DET SIETTE RÆKKE. NATURVIDENSKABELIG OG MATHEMATISK AFDELING. ANDET BIND. MED TYVE TAVLER. op ad —— KJØBENHAVN, BIANCO LUNOS KGL. HOF-BOGTRYKKERI (F. DREYER). 1881—1886. DET KONGELIGE DANSKE VIDENSKABERNES: SELSKABS SKRIFTER. SJETTE RÆKKE. NATURVIDENSKABELIG OG MATHEMATISK AFDELING. ANDET BIND. MED TYVE TAVLER KJØBENHAVN. BIANCO LUNOS KGL. HOF-BOGTRYKKERI (F. DREYER) 1881—1886. CHALET NEO à ANIME VA aan. AAA AUS ra ton Uy A po «il No} OB 9 7 u ay SØ INDHOLD. Rortegnelse over Selskabets: Medlemmer. “Maj 1886 . 0... Ne en = à 1. Eug. Warming: Familien Podostemaceae. Første Afhandling. Med 6 Tavler. Résumé et explication despplanchessen francais are ES een er ae er Ag Techn. gD cs ko WO RTE 2. L. Lorenz: Om Metallernes Ledningsevne for Varme og Elektricitet . . . . . . . . .....,.... 3. Eug. Warming: Familien Podostemaceae. Anden Afhandling. Med 9 Tavler, Résumé et explication ÜESHPIANCHESLENMELANCHIB EIER suas eee Tele Scie ET Een. 4. Odin T, Christensen: Bidrag til Kundskaben om Manganets Ilter ....... EA ONE 5. L. Lorenz: Farvespredningens Theori ................... ET RUN ES RE 6. J.P. Gram: Undersøgelser angaaende Mængden af Primtal under en given Grænse. Résumé en IED Ebro Ono tn Os vin ob Din or ont se Deo OT nine ee ia 7. L. Lorenz: Bestemmelse af Kviksolvsojlers elektriske Ledningsmodstande i absolut elektromagnetisk Male a duo tot TER Eee TE D OP TO TR ES 8. MP, A. Traustedt: Spolia atlantica. Bidrag til Kundskab om Salperne. Med 2 Tavler. Explication UeSDIANChESÉENALTANCAIS Eee eee ee ie CC COL ee Christian Bohr: Om Iltens Afvigelse fra den Boyle-Mariotteske Loy ved lave Tryk. Med 1 Tavle 10. — : Undersøgelser over den af Blodfarvestoflet optagne Iltmangde udførte ved Hjælp af etunytAbsorptiometer. MER 22 Taviero CE CR EEE EN siti) a 11. TN. Thiele: Om Definitionerne for Tallet, Talarterne og de tallignende Bestemmelser ..... . 44462 Side i bas FR oY f QE, + j 5 ay we brune ad bé © ner tom a ANR Dein Ialür;! he coté " ink nc nl QE ay | (as LL CPU He Arber ia Mn we ids ey ra Fi TT or ee u Fabia aed LSE PRET] ” KAT ot Da er ae Ne 27 Fu. RAILS LOT D LE sas but, ain’) safe VO) AMAR u tint Pr iW re 7” ide. FE ay LE x i N Br Sl he le eek ee | Be : . t 2 8 LL LION raté ete Me CA CM re à = En Ved marie AN aii Weel eet ae NET pC NE nee etl RS TO ÆT DSE Bad per OUI if’ an Pins in NT 7 à ag å Abo| 4 wi rite Pr À DPA u, it lettre Pet i ile KUN pla? # r À > he N FORTEGNELSE OVER DET KONGELIGE DANSKE VIDENSKABERNES SELSKABS MEDLEMMER. MAJ 1886. Protektor: Hans Majestæt Kongen. President: J. N. Madvig. Sekretær: H. G. Zeuthen. Redaktor: Vilh. Thomsen. Kasserer: C. F. Lütken. Kasse- Kommissionen. J. L. Ussing. A. Sleen. J. F. Johnstrup. P. E. Holm. Revisorer. L. A. Colding. H. F. A. Topsoe. Ordbogs-Kommissionen. Vilh. Thomsen. L. Wimmer. Kommissionen for Udgivelsen af et dansk Diplomatarium og Regesta diplomatica. E. Holm. H. F. Rordam. Joh. Steenstrup. Indenlandske Medlemmer. Madvig, Johan Nicolai, Dr.jur. & phil., Gehejmekonferensraad, fh. Professor i klassisk Filologi ved Kjøbenhavns Universitet, Ridder af Elefantordenen, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Storkors af Nordstjernen og af St. Olafsordenen, Storofficer af den franske Æreslegions Orden, Ridder af den preussiske Orden pour le mérite, af den russiske Hvide Orns Orden og af den nederlandske Loveorden, Selskabets President. Steenstrup, Johannes Japetus Smith, Dr. med. & phil., Etatsraad, fh. Professor i Zoologi ved Kjøbenhavns Universitet, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af Nordstjernen, Kommandor af den spanske Isabella den Katholskes Orden og af den italienske Kroneorden, Ridder af den preussiske Orden pour le mérite. Wegener, Caspar Frederik, Dr. phil., Gehejmekonferensraad, fh. Gehejmearkivar, Kgl. Histo- riograf og Ordenshistoriograf, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Storkors af den greske Frelserorden, af den russiske St. Annaorden og af Nordstjernen, Kommander af St. Olafsordenen. Engelstoft, Christian Thorning, Dr. theol., Biskop over Fyns Stift, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand. Ussing, Johan Louis, Dr. phil, LL. D., Professor i klassisk Filologi og Arkæologi ved Kjobenhavns Universitet, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Officer af den græske Frelserorden. Hannover, Adolph, Dr. med., Professor, Ridder af Danebrog. Andre. Carl Christopher Georg, Dr phil., Gehejmekonferensraad, fh. Direktor for Grad- maalingen, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Storkors af den preussiske Kroneorden og af den sicilianske Frants den Forstes Orden. Gislason, Konrad, Dr.phil., Professor i de nordiske Sprog ved Kjobenhavns Universitet, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af Nordstjernen. Colding, Ludvig August, LL.D., Professor, fh. Stadsingenior i Kjøbenhavn, Indenrigsmini- steriets tekniske Konsulent, Ridder af Danebrog. SO eee BRARY coe ESC 6 DEN 1 Vill Müller, Carl Ludvig, Lic. theol., Dr. phil, Etatsraad, Direktor for den kongelige Ment- samling og Antiksamlingen samt Inspektør ved Thorvaldsens Museum, Widder af Danebrog og Danebrogsmand, Kommandør af St. Olafsordenens 2den Klasse, af Nordstjernen og af St. Annaordenen. Holten, Carl Valentin, Professor i Fysik ved Kjøbenhavns Universitet, Kommandør af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af St. Olafsordenen og af Nordstjernen, dekoreret med Fortjenstmedaillen og det russiske rede Kors. Thomsen, Hans Peter Jürgen Julius, Dr. med. & phil., Professor i Kemi ved Kjobenhavns Universitet og den polytekniske Læreanstalt, Direktør for den polytekniske Læreanstalt, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand. Steen, Adolph, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Kjøbenhavns Universitet og den polytekniske Læreanstalt, Kommandor af Danebrog og Danebrogsmand. Rink, Hinrich Johannes, Dr. phil., Justitsraad, fh. Direktor for den Kgl. Gronlandske Handel, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af Nordstjernen. Johnstrup, Johannes Frederik, Professor i Mineralogi ved Kjobenhavns Universitet og den polytekniske Læreanstalt, Kommandør af Danebrog og Danebrogsmand. Barfoed, Christen Thomsen, Dr. med. & phil., Professor, Lektor i Kemi og Farmaci ved den Kgl. Veterinær- og Landbohojskole, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af St. Olafsordenen. Lange, Johan Martin Christian, Dr. phil., Professor, Lærer i Botanik ved den Kgl. Vete- riner og Landbohojskole, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Widder af den italienske Kroneorden. Lorenz, Ludvig Valentin, Dr. phil., Professor, Lærer i Fysik og Naturlere ved Officerskolen, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand. Mehren, August Michael Ferdinand van, Dr. phil., Professor i semitisk-orientalsk Filologi ved Kjobenhavns Universitet, Ridder af Danebrog og Kommandor af St. Stanislaus- ordenen. Holm, Peter Edvard, Dr. phil, Professor i Historie ved Kjøbenhavns Universitet, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand. Lund, Geory Frederik Vilhelm, Dr. phil., Professor, fh. Rektor ved Aarhus Kathedralskole, Ridder af Danebrog. Lütken, Christian Frederik, Dr. phil., Professor i Zoologi ved Kjøbenhavns Universitet, Ridder af Danebrog. CATS SALES IT, PR [Ef no AR N = ulk BRAR Y | =) = zZ DB nf \d > » 4 Nas LU: @ Rordam, Holger Frederik, Dr. phil., Sognepræst i Lyngby, Ridder af Danebrog. Zeuthen, Hieronymus Georg, Dr. phil., extraord. Professor i Mathematik ved Kjøbenhavns Universitet, Ridder af Danebrog og af Nordstjernen, Selskabets Sekreter. Schiellerup, Hans Carl Frederik Christian, Professor, Dr. phil., konst. Observator ved Kjøbenhavns Universitets Astronomiske Observatorium, Lærer i Tegning ved den polytekniske Læreanstalt, Ridder af Danebrog. Jorgensen, Sofus Mads, Dr. phil., Lektor i Kemi ved Kjøbenhavns Universitet og den poly- tekniske Læreanstalt, Ridder af Danebrog. Christiansen, Christian, Professor i Fysik ved den polytekniske Læreanstalt i Kjøbenhavn. Fausbøll, Michael Viggo, Dr. phil., Professor i indisk-orientalsk Filologi ved Kjøbenhavns Universitet. Thorkelsson, Jon, Dr. phil., Rektor ved Reykjaviks lærde Skole, Ridder af Danebrog. Krabbe, Harald, Dr. med., Lærer i Anatomi ved den Kgl. Veterinær- og Landbohøjskole, Ridder af Danebrog. Thomsen, Vilhelm Ludvig Peter, Dr.phil., Docent i sammenlignende Sprogvidenskab ved Kjobenhavns Universitet, Ridder af Danebrog, Selskabets Redaktor. Wimmer, Ludvig Frands Adalbert, Dr. phil., Professor i nordisk Filologi ved Kjøbenhavns Universitet, Ridder af Danebrog. Lange, Julius Henrik, Docent i Kunsthistorie ved Kjøbenhavns Universitet og ved Kunst- akademiet, Ridder af Danebrog. Topsøe, Haldor, Dr. phil., Arbejdsinspektor, Lærer i Kemi ved Officerskolen i Kjøbenhavn, Ridder af Danebrog. Warming, Eugen, Dr. phil, Professor i Botanik ved Kjøbenhavns Universitetet, Ridder af den brasilianske Roseorden. Petersen, Peter Christian Julius, Dr. phil., Docent i Mathematik ved den polytekniske Lære- anstalt og ved Officerskolen i Kjøbenhavn. Thiele, Thorvald Nikolai, Wr. phil., Professor i Astronomi ved Kjøbenhavns Universitet. Meinert, Frederik Vilhelm August, Dr. phil., Iste Inspektor ved Universitetets zoologiske Museum. Goos, August Herman Ferdinand Carl, Dr. jur., Professor i Lovkyndighed ved Kjøbenhavns Universitet, extraord. Assessor i Hojesteret, Overinspektor for Fængselsvæsenet, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand. Rostrup, Frederik Georg Emil, Docent i Plantepathologi ved den Kgl. Veterinær- og Landbo- hojskole. Steenstrup, Johannes Christoffer Hagemann Reinhardt, Dr. jur., Professor Rostgardianus i nordisk Historie og Antikviteter ved Kjobenhavns Universitet. Gertz, Martin Clarentius, Dr. phil., Professor i klassisk Filologi ved Kjøbenhavns Universitet. Nellemann, Johannes Magnus Valdemar, Dr. jur., Justitsminister og Minister for Island, extraord. Assessor i Højesteret, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Storkors af Nordstjernen og den belgiske Leopoldsorden. Jorgensen. Adolf Ditlev, Gehejmearkivar, Ridder af Danebrog. Heiberg, Johan Ludvig, Dr. phil., Bestyrer af Borgerdydskolen i Kjøbenhavn. Finsen, Vilhjälmur Ludvig, Dr. jur., Assessor i Højesteret, Kommandor af Danebrog og Danebrogsmand. Hoffding. Harald, Dr. phil, Professor i Filosofi ved Kjobenhavns Universitet. Kroman, Kristian Frederik Vilhelm, Dr. phil., Professor i- Filosofi ved Kjøbenhavns Universitet. Miller, Peter Erasmus, Dr. phil, Kammerherre, Hofjægermester, Overforster for anden Inspektion, Kidder af Danebrog og af St. Stanislaus Ordenen. XI Udenlandske Medlemmer. Chevreul, Michel-Eugene, Medlem af det franske Institut i Paris, Ridder af Danebrog. Weber, Wilhelm, Dr. med. & phil., Professor i Fysik ved Universitetet i Göttingen. Airy, Sir George Biddell, LL.D., D.C. L., Kongl. Astronom ved Observatoriet i Greenwich, Medlem af Royal Society i London. Gottsche, C. M., Dr. med., Lege i Altona. Bunsen, Robert Wilhelm, Dr. phil.. Gehejmeraad, Professor i Kemi ved Universitetet i Heidelberg, Ridder af Danebrog. Owen, Richard, D.C.L, LL.D., Superintendent over British Museum, Medlem af Royal Society i London. Daubrée, A., Professor i Geologi ved Muséum d'Histoire naturelle, Medlem af det franske Institut i Paris. Carlson, Frederik Ferdinand, Dr. theol. & phil., fh. Statsraad i Stockholm, Medlem af det Svenske Akademi, Ridder af Danebrog. 2 Stylfe: Carl Gustaf, Dr. phil., fh. Bibliothekar ved Universitetsbibliotheket i Upsala. Broch, Ole Jacob, Dr. phil., Professor i Mathematik i Kristiania, fh. Chef for det Kgl. Norske Marine-Departement. Edlund, Erik, Dr. phil., Professor i Fysik ved det Kongelige Svenske Videnskabernes Akademi i Stockholm. Hooker, Sir Joseph Dalton, M.D., D.C.L., LL.D., Direktor for den Kongelige Botaniske Have i Kew, Medlem af Royal Society i London. Rossi. Giambattista de, Commendatore, Direktor for de arkæologiske Samlinger i Rom. Rawlinson, Sir Henry Creswicke, D.C.L., LL.D., Generalmajor, bestandig Direktor for det Asiatiske Selskab, Medlem af Royal Society i London. Böhtlingk, Otto, Dr. phil., Gehejmeraad, Medlem af Videnskabernes Akademi i St. Peters- borg, i Leipzig. XII Bugge, Elseus Sophus, Dr. phil., LL.D., Professor i sammenlignende indoeuropæisk Sprog forskning og Oldnorsk ved Kristiania Universitet. Amari, Michele, italiensk Senator, Professor i Firenze. Cobet, Carl Gabriel, Professor i Leiden. Koehne, Bernhard von, Friherre, virkelig Statsraad, Medlem af Videnskabernes Akademi i St. Petersborg. Siephani, Ludolph, virkelig Statsraad, Medlem af Videnskabernes Akademi i St. Petersborg. Loven, Sven, Dr. med. & phil., Professor, Medlem af Videnskabernes Akademi i Stockholm, Kommandor af Danebrog. Kjerulf, Theodor, Dr. phil., Professor i Mineralogi ved Kristiania Universitet. De Candolle, Alphonse, fh. Professor ved Akademiet i Genève. Lubbock, Sir John, Baronet, D.C.L., LL.D., Vice-Kansler for Universitetet i London og Vice-Præsident i Royal Society i London. Agardh, Jacob Georg. Dr. med. & phil., fh. Professor i Botanik ved Lunds Universitet. Huggins, William, D.C.L., LL.D., fysisk Astronom, Medlem af Royal Society i London. Joule, James Prescott, D.C.L., LL.D., Fysiker i Manchester, Medlem af Royal Society i London. Cayley, Arthur, D.C.L., LL.D., Professor i Mathemalik ved Universitetet i Cambridge, Medlem af Royal Society i London. Haan, David Bierens de, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet i Leiden. Unger, Carl Richardt, Dr. phil., Professor i germansk og romansk Filologi ved Universitetet i Kristiania. Hermite, Charles, Professor i Mathematik ved Ecole polytechnique og Faculté des Sciences, Medlem af det franske Institut i Paris. Salmon, George, D.D., Professor i Theologi ved Universitetet i Dublin, Medlem af Royal Society i London. Cremona, Luigi, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet og Direktor for Ingeniorskolen i Rom. Kirchhoff, Gustav Robert, Dr. phil., Professor i Fysik ved Universitetet i Berlin. Helmholtz, Hermann Ludwig Ferdinand, Dr. phil., Professor i Fysik ved Universitetet i Berlin. XIII Huxley, Thomas H., LL.D., Professor ved den Kgl. Bjergværksskole i London. Ludwig, Carl Friedrich Wilhelm, Dr. med., Professor i Fysiologi ved Universitetet i Leipzig. Delisle, Léopold-Victor, Medlem af det franske Institut, Direktor for Bibliotheque Nationale i Paris, Kommandør af Danebrog. Struve, Otto Wilhelm, Gehejmeraad, Direktor for Observatoriet i Pulkova. Miklosich, Franz, Dr. phil., Professor i slaviske Sprog ved Universitetet i Wien. Allman, George James, M.D., LL. D., fh. Professor i Naturhistorie i Edinburgh, Medlem af Royal Society i London. Thomson, Sir William, LL.D., D.C.L., Professor i Fysik ved Universitetet i Glasgow, Medlem af Royal Society i London. Tait, P. Guthrie, Professor i Fysik ved Universitetet i Edinburgh. Malmstrôm, Carl Gustaf, Dr. phil., kgl. svensk Rigsarkivar, Stockholm. Pasteur, A.-M.-Louis, LL.D., Medlem af det franske Institut, Professor honorarius ved Faculté des Sciences, Paris. Des Cloizeaux, Alfred-Louis-Olivier-Legrand, Medlem af det franske Institut, Professor i Mineralogi ved Muséum d'Histoire naturelle i Paris. Kokscharow, Nicolai Iwanowitsch v., Generalmajor, Direkter for det kejserlige Bjergværks- institut i St. Petersborg. Donders, Franz Cornelius, Professor i Fysiologi ved Universitetet i Utrecht. Blomstrand, Christian Vilhelm, Dr. phil., Professor i Kemi ved Universitetet i Lund, Ridder af Danebrog. Cleve, Per Theodor, Dr. phil., Professor i Kemi ved Universitetet i Upsala, Ridder af Danebrog. Key, Ernst Axel Henrik, Dr. phil. & med., Professor i Anatomi ved det Karolinske mediko- kirurgiske Institut i Stockholm. Berthelot, Pierre-Eugene-Marcellin, Medlem af det franske Institut, Professor i Kemi ved Collège de France i Paris. Nägeli, Carl von, Dr. phil., Professor i Botanik ved Universitetet i München. Gyldén, Hugo, Dr. phil., Professor, Direktor for det Kgl. Svenske Videnskabernes Akademis Observatorium i Stockholm. Moller, Axel, Dr. phil., Professor i Astronomi ved Universitetet og Direktor for Observa- toriet i Lund. XIV Lacaze- Duthiers, F.-J.-Henri de, Medlem af det franske Institut, Professor ved Faculté des Sciences, Direktor for den zoologiske Station i Roscoff. Retzius, M. Gustav, Professor i Histologi ved det Karolinske mediko-kirurgiske Institut i Stockholm. Boissier, M.-L.-Gaston, Medlem af det franske Institut, Professor ved Collège de France, Paris. Paris, Gaston-Bruno-Paulin, Medlem af det franske Institut, Professor ved Collège de France, Paris. Fleischer, Heinrich Leberecht, Dr. phil., Gehejmeraad, Professor i orientalske Sprog ved Universitetet i Leipzig. Curtius, Ernst, Dr. phil., Gehejmeregeringsraad, Professor i Filologi ved Universitetet og Direktor for Antikvariet i Berlin. Conze, Alexander Christian Leopold, Dr. phil., Professor, Direktor for det Kgl. Museum i Berlin. Stubbs, William, D. D., LL. D., Biskop i Chester. Freeman, Edward Augustus, D.C.L., LL. D., Regius Professor i nyere Historie ved Uni- versitetet i Oxford. Maurer, Konrad v., Dr. phil., Professor i nordisk Retshistorie ved Universitetet i München. Möbius, Theodor, Dr. phil., Professor i de nordiske Sprog ved Universitetel i Kiel. Areschoug, Frederik Vilhelm Christian, Professor i Botanik ved Universiletet og Direktor for den botaniske Have i Lund. Nordenskiöld, Adolf Erik, Professor, Friherre, Intendant ved Riksmuseet i Stockholm. Torell, Otto Martin, Professor, Direktor for Sveriges geologiska Undersökning, Stockholm Weierstrass, Karl, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet i Berlin. Kronecker, Leopold, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet i Berlin. Leidy, Joseph, Professor i Philadelphia. Kölliker, Albert von, Dr. phil., Professor i Anatomi ved Universitetet i Würzburg. Leydig, Franz von, Dr. med., Gehejmemedicinalraad, Professor i Anatomi ved Universitetet og Direktor for det anatomiske Institut i Bonn. Familien Podostemaceae, Studier af Dr. Eug. Warming, Docent ved Kjobenhavns Universitet. Første Afhandling. Vegetationsorganerne hos Podostemon Ceratophyllum Michx., Mniopsis Weddelliana Tul. og Mniopsis Glaxioviana Warmg. Med 6 Tavler. Avec um résumé et une explication des planches en français. Vidensk. Selsk. Skr. 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. I. 1. Kjøbenhavn. Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri, 1858 1. MULTI TE LL ¥ CA wre PAW ere. à iA alge! i air ar Pr TS PR ‘ AA RUES 2] =, ree ie Re eS a um NP LT Beery MET ZEN HAE CONTE TV Im EZ bis ” KYST ee. sels ce ATA ‘ferme + HL! sad: BL PERLE Not SA 3 Le Familie af Blomsterplanter synes at frembyde saa afvigende og mærkværdige morfologiske Forhold som Podostemaceernes, og faa ere dog saa lidet kjendte som denne. En indgaaende Bearbejdelse af denne Familie lover hojst interessante Resultater, ikke blot i morfologisk Henseende, men det er tillige alene gjennem en saadan, omfattende Under- sogelse, at det er muligt at naa til en bestemt Anskuelse om denne Families endnu saa hojst gaadefulde Slægtskabsforhold og faa afgjort, om den virkelig skulde være en Mellem- form mellem Alger og Blomsterplanter, som en yderliggaaende, dristig Darwinist har udtalt, eller om den er en stærkt reduceret og simplificeret Form af en hojere staaende Familie, og da af hvilken — hvis det da overhovedet er muligt at oplyse noget sikkert om dens Slegtskabsforhold, og den ikke indtager en aldeles isoleret Stilling uden faste Tilknytnings- punkter til nogen bestemt anden nulevende Plantefamilie, hvilket efter mit hidtidige Kjend- skab til den unægtelig synes mig det rimeligste. En omfattende Bearbejdelse af den er i hoj Grad paatrængende og tidssvarende og ligger saa at sige i Luften; og naar den endnu ikke er bleven foretagen, er Aarsagen ene og alene at soge i den store Vanskelighed ved at skaffe det til en anatomisk-morfologisk Bearbejdelse passende, i Spiritus opbevarede Materiale. De allerfleste Podostemaceer ere, som bekjendt, meget smaa, tropiske, i ferske Vande og da navnlig i Vandfald og hvor der er stærke Stromhvirvler, paa Klipper og Stene voxende Planter; det er vanskeligt, ofte farligt at komme til dem, og for mange Lokaliteters Vedkommende kun muligt i Tortiderne ved laveste Vandstand; ingen Art er i Kultur i nogen botanisk Have; der existerer næsten intet Spiritusmateriale i noget evropæisk Museum, og Herbariernes torre, men for øvrigt i andre Henseender verdifulde og ret rige Samlinger af disse Vandplanter tillade ikke en saa indtrengende eller nojagtig Undersogelse, som der kræves. Dr. KR. Gario i Gottingen har paa en af Dr. Bernoulli bekostet Rejse i Guatemala samlet to Arter i Spiritus; om den ene af disse, 7risticha hypnoides Spreng., har han allerede publiceret sine Undersogelser!); den anden, Marathrum Shiedeanum Cham., er for ') Botan. Zeitung, 1881. Tiden Gjenstand for hans Studium, saa at en Meddelelse herom vel kan ventes i Aarets Lob. Dr. Cario er den eneste Botaniker, fra hvilken noget tidssvarende Bidrag til Podostema- ceernes Naturhistorie hidtil er blevet ydet, men hans Materiale er, som man vil se, ikke meget omfattende. Det er min Agt, om det forundes mig, at bearbejde den hele Familie saa vidt, som det paa nogen Maade vil vere mig muligt. Jeg har med dette Formaal for Øje skallet mig de i de fleste evropæiske Museer opbevarede Materalier til Laans'). Jeg har dernæst henvendt mig til Naturforskere i Amerika, Afrika og Indien med Anmodning om Under- stottelse med passende Materiale, og jeg har virkelig opnaaet at faa nogle Sendinger og har sikkert Lofte om andre; jeg bringer dem alle herved min Tak for, hvad jeg allerede bar faaet tilsendt fra nogle, og for den gode Villie, som andre hidtil have maattet nojedes med at udvise. Det ligger i Sagens Natur, at det mest værdifulde Materiale kun langsomt og usystematisk kommer mig i Hænde; hvis jeg vilde opsætte Bearbejdelsen, indtil alt det var bragt sammen, som jeg kunde have Udsigt til at skaffe mig, vilde der sikkerlig gaa flere Aar. Jeg har derfor valgt at publicere mine Undersogelser efterhaanden som nogle Arter, en Slægt eller en Slegtsgruppe komme til at foreligge nogenlunde fyldig bearbejdede og forstaaede, og jeg har gjort Begyndelsen med de paa Titelen nævnte Planter, hvortil ogsaa Mniopsis- Slægtens tredje og sidste hidtil kjendte Art, Mniopsis scaturiginum Mart., kunde føjes, da jeg har undersogt den, saa godt det efter terret Materiale lader sig gjore; men som det sæd- vanlig gaar, -— dette er meget ukomplet og meget vanskeligt at undersoge. Mit Materiale til denne første Afhandling skylder jeg følgende" Mænd og Instituter. 1. Podostemon Ceratophyllum Michx. har jeg i Spiritus, sendt mig af Dr. Wm. Canby i Wilming- ton (Delaware), ved Prof. Asa Gray som velvillig Mellemmand, og fra Pariser-Museet. Torret Materiale fra forskjellige Herbarier. 2. Mniopsis Weddelliana Tul. har jeg i Spiritus dels fra Stockholms Museum (fra Caldas i Brasilien, samlet af Mosén), og dels fra forskjellige Lokaliteter i Orgelbjærgene og Serra d'Estrella sendt mig af Dr. A. Glaziou i Rio de Janeiro. Desuden findes Brudstykker i nogle Herbarier. Tulasnes Originalexemplarer har jeg haft til Undersogelse. 3. Den nye Art Mniopsis Glazioviana Warmg. er i stor Mengde sendt mig i Spiritus af Dr. Glaziou. 4. Mniopsis scaturiginum Mart. & Zuce. existerer i forskjellige Herbarier samlet af Martius dybt i det indre Brasilien (Prov. Goyaz). 1) Nemlig Herbarierne i St. Petersborg, Berlin, Wien, München, Leipzig, Gottingen, Bruxelles og Stockholm foruden yort eget Universitets. Vegetationsorganerne hos Podostemon Ceratophyllum Michx., Mniopsis Weddelhana Tul. og Mniopsis Glaziovviana Warmg. Da den anatomiske og morfologiske Bygning i Hovedtrekkene er ganske ens, be- handles de ovennævnte tre Arter i det folgende under Et, med Fremhævelse af det for den enkelte ejendommelige, hvor saadant er til Stede. Mniopsis scaturiginum kan der derimod kun tages ringe Hensyn, da Materialet ikke har tilladt en saa fuldstendig Under- sogelse som onskeligt. Som almindelige anatomiske Ejendommeligheder kan her strax fremhæves : 1) Spalteaabninger mangle ganske. 2) Overhudscellerne ere mere eller mindre polygonale, ofte en Smule strakle, omtrent som i Ill, 25; IV, 6; V, 51). Kutikula er svag. 3) Grundvevet bestaar for storste Delen af Parenkymceller, der sædvanligvis ere noget langstrakte i Retning af Organets Længdeaxe, især jo nærmere de ligge ved Kar- strengene. Deres Vegge ere oftest noget kollenkymatiske, om ikke i andet saa i Henseende til Lysbrydning, navnlig paa visse, senere nermere betegnede Steder; de svulme ogsaa let i Kali, hvorved en tydelig Midtlamel bliver synlig (Ill, 15, 24; IV, 4; V, 8; VI, 2, 3). 4) Intercellulergange mangle ganske eller ere kun yderst ubetydelige. 5) Alle Cellevegge ere af ren Cellulose, naar Trakeiderne i Xylemet undtages, der ere svagt forvedede. 6) Stivelse findes i Mengde i Rodens og Stænglens Grundvæv (III, 15; VI, 2), mindre og af ringere Størrelse i Bladene. Kornene ere enkelte eller (især hos Mniopsis- Arterne) sammensatte, som VI, 5 viser, uden tydelig Lagdeling og Kjærne. Ofte har jeg fundet dem indlejrede i en stivnet Protoplasma-Masse, i hvilken de efterlod sig Huller, naar de faldt ud (Ill, 24); Protoplasmaets Periferi kunde vise dobbelt Kontour (III, 24). 1) Jeg betegner altid Tavlernes Numere med latinske, Figurernes med de arabiske Tal. 7) De af mig tidligere!) omtalte Kiseludskilninger i Cellerne, der udfylde disse og i Hovedtræk give en Afstobning af deres Former, findes i Mengde i alle Planternes Organer, forst og fremmest i deres Overhud, der paa ikke ringe Strekninger kan have omtrent hver eneste Celle udfyldt dermed (III, 25), dernæst i de nærmest til Overhuden grænsende Celler, og endelig i Periferien af Karstrængene og af Rodens Centralcylinder (II, 11; IV, 3, 5; VI, 8), hvor de i Overensstemmelse med Cellernes Former ofte blive meget lange. I Bladene findes de især i Basaldelene, der vist netop af denne Grund ere mere persistente end det øvrige, og dernæst i Bladfligenes Rande. De enkelte Kisel- legemer ere enten ganske jævne paa Overfladen, og deres periferiske Dele ere da sædvanlig glasklare, medens det indre er mørkt kornet paa Grund af en talrig Mængde af smaa, luft- fyldte Hulheder (III, 25; VI, 9); meget almindelig findes tillige en enkelt meget større Hulhed, der sædvanlig har en langagtig Form. Eller de ere meget ujævne, uregelmæssig grubede og ligesom udgnavede paa en Del af Overfladen (V, 8, 9; VI, 9), og det Indre er da oftest glasklart. Væggene i de kiselholdige Celler ere som i de andre Celler af ren Cellulose, og jeg har hidtil kun fundet Bestyrkelse af min tidligere (1. c.) udtalte Mening, at de stedse ligge frit i Cellen uden at vere heftede til Væggen; unge Stadier, som kunne vise Udviklingsgangen, viser det sig meget vanskeligt at finde; hvor jeg en enkelt Gang paa ny har set et saadant, har det vist sig at være fint kornet helt igjennem, som i den Fig. 3 I. c. afbildede. Jeg har aldrig fundet Klorofylkorn i kiselforende Celler saaledes som Cario. Planternes Hoveddele. Alle de omtalte Arter have et over Substratet (Sten og Klipper i Flodsengene) krybende, rhizomlignende, men bladløst Legeme, der ved nærmere Betragtning viser sig at være en Rod, og fra hvilken de løvbladbærende og blomstrende Skud alle udvikle sig, snart mere spredt, snart tættere stillede saa at der, naar Skuddene dernæst forgrene sig, dannes smaa Tuer. Roddernes Tyermaal er omtrent 1/0—1 Millimeter; Skuddenes Højde forskjellig, fra faa Milimetre hos Mniopsis Weddelliana var. pusilla?) til 4— 5 Centimetre og derover hos Podostemon Ceratophyllum, der er den største af de her omtalte Arter%). Rødderne. Rødderne ere fuldstændig plagiotrope; de krybe i alle Retninger, baade lodret og vandret hen over Underlaget, hæftende sig meget tæt og fast til dette; de krybe naturligvis 1) Videnskab. Meddelelser fra d. naturh. Forening 1881; S. 89—92. 2) De nye Arter og Varieteter, som jeg maatte finde Anledning til at opstille, ville blive diaguosticerede i den systematiske Del. 3) Med Hensyn til Forstørrelsen af Figurerne paa mine Tavler kan en Gang for alle bemærkes, at de fleste Habitusbilleder ere 3—5 Gange forstørrede; men for øvrigt er Forstørrelsen næsten altid an- given enten i Figurforklaringen eller paa Tavlen selv. | ogsaa hen mellem og over hverandre, og derved kan Underlaget paa en yderst indviklet Maade overspindes med et tat Væv af Rødder. Ofte ere de relativt meget lange og krybe fra den ene Sten over paa den anden. De ere udpræget dorsiventrale; de have en flad, til Substratet trykket Bugside, en hvælvet Rygside, .og mellem disse to afrundede Flanker, fra hvilke baade Skuddene og Rodgrenene udspringe. Tværsnittet er oftest som Ill, 3. Hos Mniopsis Weddelliana kan Roden blive noget bredere og fladere, saa at Tversnittet bliver som V, 12 B eller 18 B, og den samme Rod kan, som V, 12 A viser, have en meget forskjellig Bredde. Naar Rodderne blive saa brede som paa de sidst anforte Figurer, bryde Skud og Rodgrene ikke frem fra selve Flanken, men rykke lidt ind under denne paa Bugsiden (V, 12 og 18). Rodens Anatomi. Overhudscellerne ere som Ill, 25; de ere i Alminde- lighed ordnede i Længderækker. Hos Pod. Ceratophyllum har jeg fundet Klorofylkorn i dem, i alt Fald paa Steder, der laa ner yed Rodskuddene. Grundvævets Celler ere parenkymatiske, de inderste de storste og tillige de lengste, idet de kunne blive 3—7 Gange saa lange som vide. Lave og spredte Porer kunne findes (III, 24). Centraleylinderen har her egentlig ikke Cylinderform, men en Form, der stemmer omtrent med hele Rodens, i det den er fladere paa Bug- end paa Rygsiden. Den ligger nærmest Bugsiden (Ill, 3, 11; V, 12 B, 18 B). Den er protoplasmarig og stivelsefri. Den simplest byggede har jeg fundet hos de smaa Former af Mniopsis Weddelliana, i det den her kan mangle Xylem og alene bestaa af en noget kollenkymatisk Bladbast (VI, 2). Denne bestaar af Sirer og Kambiform. Fyldigere udviklet er Centralcylinderen hos de større Former, der have tykkere Rodder. Her findes to Xylemstrænge, der hver bestaar af 2 eller 3 snævre Ring- eller Skruetrakeider (III, 17, 18), det eneste anatomiske Element med lidt forvedet Veg, og disse to Strenge findes i den ventrale Del af Cylinderen, som angivet III, 11, 15; V, 12 B, 18 B, og VI, 3. Medens der i nogle Tilfælde (III, 15) ikke er fundet nogen Differentiering i Centralcylinderens ovrige Masse, har jeg i andre Tilfælde fundet en saadan, der navnlig viser sig deri, at der til hver Xylemstreng slutter sig et Parti Blodbast og ned gjennem Centralcylinderens Symmetriplan strækker der sig et Cellevæv, der har en noget anden Lys- brydning end det ovrige, og som skiller de to Blodbastmasser fra hverandre (VI, 3). Paa Længdesnit gjennem Roden vise de nævnte, midt mellem Xylemgrupperne liggende Geller sig at være langstrakte med horizontale Vægge og videre end Elementerne i den nærmest Xylemgrupperne liggende Blodbast; om disse er der aabenbart flest Siror, men saadanne mangle dog heller ikke i den ovrige Del. Billeder af det kambiforme Bladbastvæv med Sirorene ses i Ill, 16, 17, 19. Sirorenes Tværvægge kunne være tydelig kallose, men Perforationen af dem viser sig kun utydelig som en svag Punktering eller Stribning. Kun en enkelt Gang ere Sirer som i III, 19 blevne sete. Jeg har ikke med Sikkerhed kunnet finde Adjunktivceller!), og Tværsnittene tyde ikke paa, at saadanne findes. Stivelse har jeg ikke fundet i Sirorene, men den ene Ende af Leddene kan være rigere paa et fint grynet Indhold end den anden. Allerede i ganske unge Roddele tæt bag ved Rod-Spidsen kunne Sirerene være tydelig dannede. Tenformede Cellekjerner findes ofte i det kambiforme Vey. Grundvævscellerne nærmest omkring Centralcylinderen ere altid stærkere kollenkyma- tiske end de fjernere liggende, og gaa ved deres meget langstrakte Form over i dennes Vey; en Endodermis findes ikke; men enkelte af disse langstrakte Celler kunne vere fyldte med Kisel (antydet i Ill, 11). Paa Centralcylinderens Rygside findes der altid en mægtigere Kollenkymmasse end paa de andre Sider (antydet i III, 11 og VI, 3). Hos den lille Varietet af Mniopsis Weddelliana fandtes her Elementer, der nermede sig den seje Bast. Rodspidsen ligger ligesom hele Roden tet trykket til Underlaget; den er jævnt afrundet (I, 1; Ul, 1, 23; IV, 14; V, 10 A o.s.v.). Jeg har ikke fundet noget sikkert Exempel paa, at den ikke har veret dækket af en Rodhette; kun i et eneste Tilfælde (den lille Rod i Ill, 4 B) kunde jeg ingen saadan se. Rodhætten viser den interessante Merkelighed, at den nesten aldrig er lige stærkt udviklet paa alle Sider, i det den er kortest paa Bugsiden. Mindst udpreget er dette hos Podostemon Ceratophyllum, men den ses dog ogsaa her tydelig (HI, 23); hos Mniopsis-Arterne træffes denne Ejendommelighed langt stærkere udpræget, lige til saadanne Tilfælde, i-hvilke der kun findes en ganske lille Plade, der som en Negl dækker Rodspidsen paa Rygsiden, medens de ovrige Sider ere nogne (V, 19, 20, 21, 22, 24). Herfra er der kun et lille Skridt til, at Rodhætten aldeles bortkastes, hvad der efter Cario skal vere Tilfældet hos Tristicha hypnoides; Manglen af Rodhette hos denne Art forte ham til at betragte Roden som et Thallus. Rodhettens yderste Celler ere altid meget tydelig større og mere tykveggede end den nermest liggende Rod-Overhuds, og ikke sjælden udskilles der Kisel i dem. Jeg har ikke været i Stand til at faa særlig udmærkede Lengdesnit af Væxtpunktet, men af alt hvad jeg har set, maa jeg slutte, at der hverken er nogen tydelig Grense mellem Periblem og Plerom, og at heller ikke de øvrige Vey ere skarpt adskilte; Rodhætten og Rod-Over- huden synes i alt Fald at have felles Udspring. Lidt neden for selve Spidsen ordne Cel- lerne sig tydelig nok i Længderækker (III, 2). I Modsætning til Cario, der siger: «Wir haben hier eine Pflanze vor uns, die der Wurzeln vollständig entbehrt», maa jeg altsaa sige: her er ikke blot en Rod, men 1) Navnet «Adjunktivceller» er synonymt med Wilhelms «Geleitzellen», se Kolderup Rosenvinge, Vegetationsorganerne hos Salvadora. Vid. Selsk. Oversigter, 1880, med Tav. V og VI. 9 den spiller en overordentlig væsentlig Rolle, og dette ikke blot hos disse her gjennemgaaede Planter, men i den hele Familie. Et Blik paa Tulasne’s Figurer") vil vise, at et saadant til Underlaget trykket Organ, som her er paavist at vere en Rod, findes hos en Mengde — sandsynligvis alle — andre Slegter, og at det er Berer af Skuddene; jeg er endog tilbojelig til at tro, at Hovedaxerne i Tulasne’s Fig. II, Pl. IX af Dierwa elongata ere skudbærende Rødder. En lignende Rolle spille Rødderne som bekjendt hos Cinsium arvense, Pyrola uniflora, Monotropa 0.a., og de af Solms-Laubach o, a. paaviste thalluslignende Organer hos mange Snyltere tager jeg heller ikke i Betænkning at betegne som Radder, der under Artens Udvikling i Tidernes Løb have afkastet deres Rodhette paa Grund af deres særegne Voxested og den særegen Brug, der gjøres af dem. Ogsaa hos Podostemaceerne gjøres der jo en usædvanlig Brug af Roden, idet den i højere Grad end andre Steder bliver et Hæfteapparat. For øvrigt kan her ogsaa mindes om, at der i nyeste Tid er blevet fundet utvivisomme Rødder uden Rodhette, f. Ex. af Klein hos Aesculus (Flora, 1880), og at andre Rødder paa et ældre Udviklingstrin bortkaste Rodhætten (Azolla, Hydrocharis, Ficaria, Orchis, 0. a.). Podostemaceen Castelnavias Kimrod mangler lige saa fuldstændig Rodhætte som Cuscutas, og hele Rodspidsen dækkes under Spiringen med Rodhaar. Rod-Regeneration. Meget ofte findes Rødder, som ere afbrudte enten ved Vandhvirvlernes Magt eller paa anden Maade, f. Ex. ved Dyrenes Gnav, og som have rege- nereret sig ved en ny Roddannelse fra Saarfladen. Ofte har en Rod gjentagne Gange været afbrudt paa tæt ved hverandre liggende Steder og har regenereret sig; Exempler findes afbildede HESS SP ITT 4145022110) SAVNET OT STEG B2ODAR Det synes altid at være den mod Spidsen af Roden vendte (akroskopiske) Ende, fra hvilken Regenerationen finder Sted (ligesom hos de højere Planter efter Vöchting). Unge Stadier har jeg ikke truffet undtagen det i III, 22 afbildede, der oven i Kjøbet er mig en Smule tvivlsomt. Paa Længdesnit gjennem gamle Regenerationssteder ses Bil- leder som III, 14 og VI, 1. Centralcylinderens Væv fortsætter sig fra det ældre Rodstykke lige over i det nydannede, og Grundvævet i Barken er paa en større eller mindre Stræk- ning blevet fortsat af nyt Grundvæv. Den nye Rod kan godt komme til at sidde skjævt paa den gamle, hvis Grundvævet paa den ene Side ikke er saa regenerationsdygtigt som paa den anden (V, 16). Undertiden fremkomme to Rødder fra samme Saarflade (II, 2; III, 4 B), og de kunne rykke saa tæt sammen, at de faa en fælles Basis og synes at danne én Rod, der dikotomerer sig; et ungt Tilfælde af denne Art ses V, 13, et ældre V, 23. Hertil slutter det i III, 4 C afbildede Tilfælde: Roden har vistnok efter at være afbrudt regenereret paa omtrent hele Saarfladen lige ud til Overhuden, kun en ringe Del har ikke været enerationsdygtig, og fra Brudfladen er der fremgaaet en Tvillingrod. n 93 m CE) re ag 1) Monographia Podostemacearum (Archives du Muséum, VI, 1852). Vidensk. Selsk. Skr. 6 Række, naturvidensk og math Afd. II, 4. 2 10 Rodforgrening. Nye Rodder opstaa paa Flankerne af de ældre, men ellers uden Orden eller bestemt Plads (I, 1; V, 20 A; VI, 12); ere Moderrodderne meget flade, udspringe de lidt inde paa Bugflade under Flankerne (V, 12 A, 12 B, og 18 A og B). Ganske unge, endnu i Moderroden indesluttede Rodder har jeg ikke fundet, og jeg kan derfor heller intet speciellere angive om deres Dannelsesmaade. At alle Rodgrene ere endogene, fremgaar dog med Sikkerhed af den ringformede Saarflade, der findes om deres Basis, og det er temmelig vist, at de opstaa i Barken ner Periferien af Roden, ikke umid- delbart paa Centralcylinderen. Rodder fra Stengler. Jeg har gjentagne Gange, om end ikke almindelig, fundet Rødder udspringende fra Stængler (7 i I, 11; Ill, 1; VI, 10, 11). I det næst sidste Tilfælde (VI, 10) udspringer en Rod fra Basis af et Brudstykke af et Skud, i det sidste (VI, 11) fra en Saarflade paa en Stengel, hvorefter den, folgende Stengeloverfladen i en Skruelinie, soger nedad; den er i dette Tilfælde forsynet med serlig stor Rodhette (11, B). Hvor Forholdene have veret tydelige, have ogsaa disse Rodder vist sig at vere endogene. Roden heftes fast til Underlaget dels ved Rodhaar, dels ved ejendommelige Legemer, som jeg vil foreslaa at kalde Hapterer. Rodhaar udvikle sig paa ubestemte Steder af Rodens Bugflade, i Regelen saaledes, at hele Strækninger ere yderst tæt beklædte med en kort brunlig Belægning af dem, idet omtrent hver eneste Overhudscelle forlænger sig haarformig (III, 8, 11; V, 18; VI, 14). De ere, som sædvanlig, Udkrængninger af Overhudscellerne, men i Regelen ere de temmelig tykveggede, hvilket maa antages at staa i Forbindelse med, at deres Funktion her mindre er Opsugning af Nering end Fastheftning af Roden til Underlaget. Paa Grund heraf brede de sig ogsaa i Spidsen ud i uregelmessige Lapper (ligesom Kimplanternes Basalcelle af spirende Oedogonier og andre Alger), der synes at udskille en brunlig limagtig Substans (II, 8, 9; VI, 4, 15). Deres Længde afhænger af Substratets Nerhed, men er sædvan- ligvis meget kort. Paa ældre Rodder er det ofte neppe muligt at skjelne de enkelte Rodhaar fra hverandre, dels paa Grund af deres ringe Lengde og bugtede Form, dels paa Grund af den brune eller sortebrune sammenkittende Masse. Kisel har jeg aldrig fundet ud- skilt i dem. Hapterer!) Med dette Navn betegner jeg nogle ejendommelige især paa Roden udviklede Legemer, Gribe- og Hefteredskaber af en tvivisom morfologisk Natur. De findes normalt paa Roden af Podostemon Ceratophyllum, sjælden hos Mniopsis Weddelliana, men noget almindeligere hos Mn. Glazioviana. Hos Podostemon Ceratophyllum ere de størst og mest ejendommelige, hvorfor de ogsaa ere sete tidligere, f. Ex. af Hooker (Compan. Bot. Mag. 2, p. 24), der sammen- 1) Al drrew, drreoÿar at binde, hæfte, berøre, gribe. 11 ligner dem med Hæfteredskaberne hos Dignonia radicans og Ampelopsis hederacea. Deres Plads er ved Basis af de paa Roden udspringende Skud, men dog paa selve Roden, neden for det Ar, der fremkommer ved Skuddets Frembrud af Roden (se f. Ex. II, 6,9; III, 1; 0. a.). Isoleret udspringende fra Roden, fjærnede fra Rodskuddene har jeg aldrig fundet dem, og mere end én ved hvert Rodskud har jeg heller aldrig set. Deres Lengde afhænger af Sub- stratets Afstand fra Roden. Er denne større, blive de som i III, 1 forlænget kegle- formede og have saalænge en afrundet Spids, indtil Underlaget er naaet; er dette sket, brede de sig nemlig ud og lægge sig op til det, plastisk formende sig efter dets Overflade (se II, 9; III, 3, 5, 6). Er Roden kun ganske lidet eller slet ikke fjernet fra Underlaget, brede de sig strax ud til korte tykke Hefteskiver (I, 1, 11; II, 3, 6; II, 3). Især saadanne har jeg fundet hos Mniopsis Weddelliana og Glazioviana (V, 18; VI, 14), dog forekomme ogsaa lengere (VI, 12) hos den sidste Art. Ofte brede de sig ud i fingerformede Lapper, og de legge sig lige saa godt op til lodrette som til vandrette Sider, den samme Haptér undertiden baade til lodrette og vand- rette (II, 6, 8). De ligne i deres Formdannelse og Funktion ganske de Hefteapparater, som findes hos Fueus vesiculosus, Laminaria og andre Alger, og som kunde benævnes med det samme Navn. Undertiden ere de grenede (II, 9; IT, 6, 7, 10), og undertiden kunne to forenes meget tet i Spidsen, saa de næsten danne ét Organ (III, 5). At de ogsaa kunne hæfte sig til Rodder eller Stængler af andre Planter, navnlig da af deres egen Art, som de jo nemmest komme i Beroring med, er let forstaaeligt. Der maa ligesom ved selve Roden udskilles en Kit, hvormed de hefte sig fast, og de ere, ligesom Rodens Bugside der, hvor Rodhaarene sidde, brune eller sorte paa Under- fladen. For ovrigt bere de ofte meget tydelige, undertiden endog relativt lange Rodhaar (III, 7; VI, 14); men sædvanligvis ligne deres Rodhaar dog Roddernes korte og uregel- messig lappede. De opstaa exogent, og jeg har aldrig fundet nogenringformig Saardannelse neden for dem som ved Basis af Rodgrenene og Skuddene (ll, 6, 9; Ill, 3, 11, 12), og enhver Grendannelse paa dem er ligeledes exogen (II, 9; III, 7, 10, 13). De have Spidsevext, hvad jeg iser slutter deraf, at de mindste og protoplasmarigeste (morkeste) Celler altid findes i deres Spidser, medens Cellerne blive desto storre, jo nærmere de ere ved Basis af dem og af deres Grene (If, 12, 13; se ogsaa Ill, 7). Der er ikke Tale om nogen Rodhette, Spidsen er nogen. De bestaa alene af tyndvægget Parenkym, hvis inderste Celler ere de storste (III, 12, 13); der er ingen Antydning af nogen Karstreng. De kunne vere stivelseholdige, og Overhuden er ofte rig paa kiselholdige Celler. I et enkelt Tilfælde har jeg set dem regenerere sig efter et Brud (III, 20), ganske som Rodderne. 12 Disse Organer ere en saa merkelig og interessant Mellemform mellem Rodder, Stengler og Emergenser, at de vel kunne fortjene et egel Navn. Fra Rodder afvige de ved Mangel af Rodhætte, ved den exogene Oprindelse og ved den fuldstændig parenkymaliske Bygning. Men her ber det dog erindres, at de allerseneste Aar have lært os ægte Rodder at kjende, som i to af disse Punkter afvige fra det sædvanlige. Rodder uden Rodhette kjendes som ovenfor omtalt (S. 9), og hos selve Podostemaceae maa de jo, foruden hos Castelnavia, ogsaa findes, naar Carios lagttagelse er rigtig. Exogene Rødder kjendes nu ogsaa (efter Dr. Ad. Hansen!) hos Cardamine pratensis, Nasturtium officinale og silvestre), og hertil kunne vel ogsaa Loranthaceernes og andre Snylteres intrakortikale Rodgrene henfores. De ligne Rødder deri, at de have Spidsevæxt, have Regenerationseyne, og at de bere Rodhaar. Dog maa jeg om dette sidste Punkt bemærke, at det ikke vejer meget i Vægtskaalen; Begrebet «Rodhaar» maa fattes meget videre end det sædvanlig sker, thi aldeles de samme Haardannelser findes paa mange andre Organer end paa Roden, saa at de langt fra ere noget Serkjende for denne. At Haar med Rodhaars Bygning kunne fore- komme paa Thalli, Forkim o. |. er bekjendt; paa Kallusdannelser optræde ligeledes aldeles ægle Rodhaar; der gives vel ikke mange haarberende Rhizomer, men Haarene paa dem, der ere mig bekjendte (Goodyera repens, Corallorhiza, Mercurialis perennis, vist nok ogsaa Epi- pogon og efter van Tieghem tillige Psilotum og Trichomanes), ere overalt byggede som Rod- haar; der findes saadanne paa Forkimen af Zriticum og vel ogsaa andre Gresser’), og de kunne endog strekke sig helt op paa Epiblasten. «Rodhaar» ere aabenbart en til et bestemt Arbejde (Fastheftning og Opsugning) uddannet Haarform, der kan forekomme ikke blot paa Roden, men paa alle rodlignende eller andre Legemer, paa hvilke der er Brug for saadanne Haar. Deres Forekomst paa Haptererne vil da ikke kunne bruges som Bevis for, at disse ere Rodder. Naar jeg imidlertid ser hen til den Regenerationsevne, som jeg har iagttaget hos dem, om end kun én Gang, men som ganske ligner Rodens, og dernæst til deres Plads, nemlig paa Rødder, — paa hvilke der jo ikke med Sikkerhed vides at opstaa andre Legemer end: andre Rødder, Rodhaar og Rodskud — saa er jeg mest tilbøjelig til at antage, at de ere stærkt metamorfoserede Rodder, at de en Gang have været uddannede som sædvanlige Rodder, men i Tidens Lob ere blevne formede til den afvigende Form, som de nu have, i Overenstemmelse med deres særlige Funktion som blotte Hæfteorganer; en ganske lignende Omdannelse maa jo antages foregaaet med Tristicha-Roden, med Viscum’s og andre Snylteres Rodder, idet de have tabt Rodens ellers saa konstante Særkjende, Rodhætten. Maaske ville mine fortsatte sammenlignende Studier af Podostemaceer bringe 1) Vergleichende Untersuchungen über Adventivbildungen. (Senekenb. Naturf. Gesellsch. XII Bd. 1881.) 2) Warming, Lærebog i den almindelige Botanik, 1880, S. 83, Fig. 70, B og S. 233. 13 Kjendsgjerninger til Veje, der stolte dette. Allerede en Betragtning af de paa Stænglerne udviklede Hapterer giver nogle, om end svage Bidrag. Hos Podostemon Ceratophyllum har jeg kun en Gang fundet Hapterer paa Stænglen (afbildet II, 3); som Figuren viser, var det et fra Bugsiden nedhængende (positivt geotropisk?) forgrenet Legeme; dets Væxt og Bygning var som Rodhapterernes, dog var det ikke tydeligt, om det havde endogen eller exogen Oprindelse; paa to Steder (ved *) vare dets Grene fast sammenklebede indbyrdes. Hos Mniopsis Glazioviana har jeg ingen Stængelhapterer fundet, thi det i VI, 11 afbildede Legeme var en ægte Rod, som jeg ikke kan sammenstille med Haptererne. Men hos visse Former af Mniopsis Weddelliana ere de meget almindelige. Paa den store Form fra Caldas (var. Caldensis Warmg., IV, 14—23 og V, 1—2) har jeg aldrig set noget Exemplar; hos forma typica (V, 3, 4) ere de fundne og med lignende forgrenede Former som hos Pod. Ceratophyllum; men hos Var. pusilla, der aabenbart lever i stærkt strømmede Bjærgfloder, i hvilke der kun er lavt Vand, og hvis Skud ligge mere vandret ud end de andres og ofte let trykte til Underlaget, ere de derimod meget almindelige (V, 14, 15). De udspringe fra Bugsiden, søge lige ned mod Underlaget og hæfte sig fast til dette ved Udbredning af deres Ender aldeles som de fra Rodderne udspringende; er deres Udspringssted længere fjernet fra Underlaget, blive de længere (se V, 14 A), men sædvanligvis er denne Afstand kun kort, og de blive da ganske korte, skiveformede, uregelmæssig lappede Legemer. De kunne bere Rodhaar som Rod-Haptererne (V, 15 B), deres indre Bygning er ogsaa som disses, og Rodhætte findes aabenbart heller ikke (set tydelig f. Ex. paa den med h mærkede Ud- vext i V, 14B). Men desværre har jeg ikke kunnet faa afgjort, om de have exogen eller endogen Oprindelse, dels fordi jeg ingen unge Stadier har fundet, dels fordi Stængel- stykkerne ere saa korle hos denne Art, og fordi Basaldelene af de affaldne Blade sidde saa tat sammen og vanskeliggjore Afgjorelsen af det Sporgsmaal, om der er en Saarflade om deres Basis hidrorende fra deres Gjennembrud. Jeg har næsten altid paa Længdesnit gjennem dem fundet brunlige iturevne Celler om deres Grund, men der er jo en Mulighed for, at dette hidrorer fra de afrevne Blade. Skulde de imidlertid virkelig have endogen Dannelse, gjore de et Skridt hen mod de egte Rodder. Skuddene. Roden spiller, som anfort, den samme Rolle hos disse Planter, som Rodstokkene hos mange fleraarige Urter og som Rodderne hos nogle faa andre; det er fra den, at Skud- dene udspringe. Rodskuddene opstaa paa Rodens Flanker eller lidt inden for denne paa dens Bugflade (I, 1; Ul, 11, 12; V, 12, 18). De staa sædvanlig parvis, saaledes at der staar et Skud paa den ene Flanke og et andet lige over for eller lidt skraat over for det paa den 14 modsatte Flanke (I ‚1, 11; III, 1, 6; IV, 14; V, 10 À, 12, 18); nogen anatomisk Grund hertil kan jeg ikke paavise. Enkeltvis stillede forekomme ogsaa (f.Ex. i I, 1; III, 1). Mellem de enkelte Par er der større eller mindre Afstand, hos Podost. Ceratophyllum indtil 21/2 Centi- meter. De opstaa akropetalt, men undertiden anlegges en hel Rekke Par omtrent samtidig (V, 10 A). Skuddene ere altid endogene. De anlægges i de periferiske Dele af Rodens Bark, inden for et eller et Par Lag Geller, der senere gjennembrydes og danne en laset, ring- formet Krave om deres Basis (III, 2, 11 12, 21; V, 18 B). Knoppen anlægges altsaa ikke i Centralcylinderens Periferi, men bringes senere i Forbindelse med denne ved Udvikling af Karstræng-Væv i det mellemliggende Parenkym. Ofte findes Knopperne endog anlagte paa Dele, som endnu ere dækkede af Rodhette (III, 2). De udviklede Skud staa under forskjellige Vinkler ud fra Roden. Hos Mniopsis Glazioviana staa de nesten opret; hos Mn. Weddelliana ligge de derimod ofte næsten lige ud til Siden, vandret hen over Underlaget (IV, 14), saa at den ene Side (Bugsiden) vender nedad, den anden (Rygsiden) mod Lyset; hos Podostemon Ceratophyllum danne de sæd- vanlig en Vinkel paa 30-60° med den Flade, over hvilken den berende Rod kryber (III, 3, 5). Hyad enten det ene eller det andet er Tilfældet, ere de stærkt dorsiventrale, den udad (9: bort fra Rodens Symmetriplan) eller nedad vendte Side, Bugsiden, er altid anderledes end den modsatte, indad vendte Side, navnlig med Hensyn til Bladenes Forhold. Den ene Flanke vender mod Rodens Spids (den akroskope), den anden mod dens Basis (den basiskope). Ogsaa i Stænglens indre Bygning viser det dorsiventrale sig. Bladstillingen er Ye; den ene Bladrække sidder paa den ene Flanke, den anden paa den modsatte, men Randene gribe halvt om paa Stænglens Ryg- og Bugside, omtrent lige meget paa dem begge (sammenlign I, 6 B med 6 C, 10 A med 10 B; Il, I F med 1G; IV, 18 A med 18 B, 19 A med 19 B; VI, 13 A med 13 B). Det iste Blad paa hvert Skud sidder paa den fra Rodspidsen fjærneste (basiskope) Flanke (f. Ex. IV, 14). Hvert Blad har altsaa en Rand, der vender til samme Side som Stenglens Rygside (den notoskope Rand vil jeg kalde den), og en, som vender mod Stenglens Bugside (den gastroskope Rand). Bladets Overflade skulde egentlig vende indad mod Flanken, som det sidder paa, men der finder altid en saadan Drejning Sted, at Overfladen (Bugfladen, den mod Axen vendte) kommer til at vende mod Skuddets Rygflade, og dets Underflade (Rygfladen) mod Skuddets Bugflade!). Bladenes Bugflader komme derved alle til at ligge i 1) Jeg har veret i Tvivl om, hvad der rettest skulde kaldes Skuddets Bug og Ryg; men i Overens- stemmelse med Goebel, der kalder den mod Moderaxen vendende Side af et Skud for dets Rygside, og med Cario, der hos Tristicha kalder den mod Underlaget vendte Side af Skuddene Bugsiden, og af Hensyn til Castelnavias, Marathrums o. a. Podostemaccers stærkt dorsiventrale Skud, hvis ene Side er tæt trykket til Underlaget og i Uddannelse minder om Rodens Bugside, har jeg valgt oven staaende Betegnelsesmaade. 15 omtrent en eneste mod Lyset vendt Flade, der falder sammen med eller er parallel med Skuddenes Rygside (er parallel med Dorsiventralitetsplanen). Bladformationerne ere to, Lavblade og Løvblade. Af de første findes kun nogle faa allernederst paa de fra Rødderne udviklede Skud, der vise deres simplere Ud- dannelse deri, at de have en udelt Plade og mangle eller have en kun meget lille Stipeldannelse (se I, 3; IV, 15, 18; V, 10A og B, og 18; naar det f. Ex. i 10 B synes, at der staar et Blad i Skuddets Symmetri-Linie paa dets Rygside, da maa jeg tyde dette som den til det 2det Blad hørende, relativt store Stipel). Ogsaa senere, naar Skuddet forgrener sig, optræde kun Løvblade, undtagen i et afvigende Tilfælde, der nærmere omtales nedenfor. Hos Podostemon Ceratophyllum findes et regelmæssigt Skifte af Sæt af lange og Sæt af korte Internodier (I, 9; II, 3, 4 A). Jeg formoder, at dette staar i Forbindelse med Aarstidernes Vexlen, og at de længere Internodier betegne den gunstigere Aarstid; men Bladene ere ogsaa paa de korte Internodier Løvblade. At denne Art maa være perennerende med en Vexel i Udviklingen, fremgaar ogsaa f. Ex. af I, 6A, 8 A, og II, 1A, paa hvilke der er et tydeligt Spring i Udviklingen mellem de yngste og det næst ældre Sæt af Blade. Løvbladene. Basis af Bladene er bredt skedeformet ud og omfatter Stænglen halvt, men er for øvrigt forskjellig formet hos de forskjellige Arter. Paa den ene Side staar Podostemon Ceratophyllum (og maaske hele Slægten Podostemon), der har en fuld- stændig udviklet intrapetiolær Stipel, som i Knoppen omfatter det følgende Blad, og hvis Former ses af I, 2, 3, 4, 80.s.v.; II, 1, 4, 7 o.s.v. (paa nogle af Figurerne, f. Ex. ved Blad n og o paa II, 1 D, ved Blad m paa II, 4A, o.a., er den frit fremragende egentlige Stipel- dannelse forsvunden). Mniopsis- Arterne (og de tre her undersøgte repræsentere hele Slægten) have derimod kun en ensidig eller halv, intrapetiolær Stipel, en lille Flig, der sidder paa den notoskope Side af Bladbasis, lidt inden for Randen (IV, 15, 16, 17, 18, 0.s.v.; V, 30.s.v.; VI, 13, 16). Det vil af Figurerne ses, at den er stærkest fremtrædende og tilsyneladende næsten er et selvstændigt, paa Skuddets Rygside stillet Blad hos Mniopsis Glazioviana og scaturiginum (VI, 13 og 16)!). Løvbladenes Plade bliver sukcessivt fuldkomnere, naar man begynder med de lavest stillede og gaar opad, indtil Højdepunktet for Udviklingen er naaet. Den er fjersnit- delt og kan være gjentagne Gange delt; Afsnittenes Form er forskjellig, hvad Tegningerne ville vise; endog samme Art frembyder i denne Henseende store Variationer, hvilket jeg !) Bladstillingen hos Mn. scaturiginum beskrives derfor ogsaa saaledes af Weddell (De Cand. Prodrom. 17, p. 77): «foliis minimis subquadrifariam imbricatis, aliis semiorbicularibus amplexicaulibus, aliis in latere opposito caulis multo minoribus stipuliformibus» ... og senere «hee et illa series 4 ver- ticales parallelasque efformantia, seriebus foliorum minorum in eodem latere caulis contiguis». anlager at hidrøre fra Lokaliteternes Forskjelligheder (Vandets Dybde, Strommens Styrke); man betragte f. Ex. de forskjellige Figurer af Podostemon Ceratophyllum; det ene Yderpunkt er den I, 1 og II, 5 afbildede Form med de korte brede Afsnit, det andet den I, 6, 8 og II, 1 afbildede Form med de lange, haarfine Afsnit. At Bladene af Mniops’s scaturiginum, der kun ersamlet én Gang, nemlig af Martius, skulde vere fuldstændige saaledes, som de fore- ligge i Herbarierne og i Tegninger (VI, 16), forekommer mig tvivlsomt; jeg er tilbojelig til at antage, at kun Basaldelene ere tilbage, og at Vandet har adelagt Resten. Paa ældre Stengler ere enten kun Basaldele af Bladene tilbage, fordi disse paa Grund af deres Kiselholdighed ere mere modstandsdygtige, eller Bladene ere ganske fjernede, efterladende et Ar, hvad der især findes hos Var. pusilla af Mn. Weddelliana (V, 11, 14, 15). Paa ældre afblomstrede Planter af Mniopsis Weddelliana losrives ogsaa Stænglernes Barkvæv efterhaanden, saa at kun det mekaniske Vey med Karstengene bliver staaende (V, 2). Bladudviklingen. Der findes ingen Stengelspids, som rager nogen op over det yngste Blad, og dette indtager endog omtrent den Plads, som Stengelspidsen ellers skulde have, er med andre Ord omtrent terminalt. Længdesnit gjennem Skuddenes øvre Ender (det er især Podostemon, i ringere Grad Mniopsis Weddelliana, der har afgivet Materiale hertil) vise sig som IV, 1 og 2. Har det yngste Blad opnaaet en vis Størrelse, ses et neste at opstaa som en lille Vorte i Dalen mellem det og dets Forgænger, altsaa f5 paa IV, 1, i Dalen mellem f og f°; men allid er det yngste Blad ligesom rykket lidt op paa Foden af det 3dje yngste, f° opstaar altsaa ligesom paa Foden af f*, og den Kloft, der skiller det fra f*, er dybere end den, der skiller det fra /®. Det samme ses af IV, 2. Den gamle Fytonlere faar her en Kjendsgjerning at støtte sig til. De unge Blade bestaa af et uordnet Cellevæv under en sædvanlig Overhud (III, 21 B), og dette uordnede Delingsvæv fortsætter sig nedad i Stænglen i et lige saa uordnet; dets Grenser ere i IV, 1 og 2 angivne ved en morkere Tone, hvilket er overensstemmende med Naturen, thi dette Vevs mindre og protoplasmarigere Celler vise sig altid morkere end de tilgrensende ældre mere storcellede Vev. Har det unge Blad naaet en vis Storrelse, begynder Dannelsen af dets Dele; i enkelte Tilfælde (de nederste Blade paa et Skud, se III, 21 A og B) dannes Stiplen tidligere end Pladens Afsnit, i andre Tilfælde synes dette ikke at vere Tilfældet; men den kommer dog i ethvert Fald meget tidlig, om end efter det nederste Afsnit eller et Par af disse. Afsnittene anlægges akropetalt; dette gjælder baade de primere og alle af hojere Orden (IV, 8—13). Skiftevis anlegges et Afsnit paa Bladets hojre og venstre Rand, og ofte opstaar et Sideafsnit saa ner ved Spidsen af Hovedafsnittet, at dette næsten synes at dikotomere sig (IV, 9, 10). Saa vel i Fligenes Alternation, som i den akropetale Dannelse er der storre Lighed med Bregnebladene end med noget andet Blad, saa vidt mig bekjendt. une Afsnittene dække hverandre i Knoppen saaledes, at naar Bladet, der er sammen- foldet efter Hoved-Midtnerven med Oversiden indad, betragtes udenfra, ses kun den basi- skope Rand af hvert Afsnit, men ikke den akroskope (IV, 13 o.s.v.); denne er dækket af det ovenover paa samme Side staaende Afsnits basiskope Rand. Dette er hvad Tyskerne kalde «oberschlächlig» Bladleje, og hvorom Al. Braun siger"), at kun Cycadeerne, Botry- chium, Comptonia, Boronia alata og en Xanthoaylon ere ham bekjendte at have det; det er altsaa en Sjældenhed. Med Hensyn til den Side, paa hvilken den forste (nederste) sekundere Bladflig af et Blad fremtreder, er der en bestemt Regel: det dannes paa den notoskope, ved Pladens Drejning udad (bort fra Skuddets Symmetriplan) vendte Rand; det andet vil altsaa findes paa den modsatte (I, 2, 3, men især IV, 15, 18, 19; V, 3). Undtagelser gives. Nervationen er yderst simpel; den retter sig efter Bladets Forgrening, idet hvert Afsnit modtager en Midtnerve, som ellers ikke forgrener sig (f. Ex. IV, 15, 18, 19, 23). Skuddenes Forgrening. Den normale Forgrening sker paa en fra det hos Blomsterplanterne sædvanlige meget afvigende Maade. Knopperne staa nemlig ikke i Bladaxlernes Median, men ved Basis af Bladenes notoskope Rand, og uden for Stiplen, som ikke kommer til at omfatte dem. Men — som om Knopperne ikke kunde undvære et Dekke af en Stipel, — en 2den saadan uddannes, der omfatter Knoppen og helt kan skjule den, saa lenge den er ganske lille; denne Stipel vil jeg til Forskjel fra den sædvanlige, kalde den «ydre», fordi den paa Grund af Bladenes Stilling kommer til at staa paa den fra Skuddets Symmetriplan fjærneste Rand og vender bort fra denne, medens den sædvanlige (eller «indre») Stipel vender indad mod den; den har ganske samme Form, som den sædvanlige Stipel, men er oftest lidt mindre og sidder lavere end denne. Hvert Blad, ved hvilket et Sideskud kommer til Udvikling, bliver saaledes udstyret med to Stipler, af hvilke den ene omfatter Hovedaxen, den anden Sideskuddet. Et saadant Blad kunde kaldes «bistipulært», hvis det ikke var en Regel, at Blade med frie Stipler have to saadanne; jeg vil derfor foreslaa at kalde det «dithecisk», fordi det for- synes med to Hulheder, der omfatte Skuddene. Saadanne ditheciske Blade ses f. Ex.: I, 5, 6D (d og g), 10 A (c); I, 1D (p), 5B (7), 7 (ce); IV, 16, 18 A (d), 20 (c, d) o.s.v. Det har ofte Udseende af, at Sideskuddet udspringer fra Bladet, og ikke fra Stenglen, paa hvilken dette sidder. Der er imidlertid ikke mere Grund til at anse disse Skud for mere bladbaarne end de sædvanlige Axelknopper, der jo ogsaa ofte synes at tage deres Udspring fra Bladene. 1) Die Frage nach der Gymnospermie der Cycadeen. Berl. Akad. Monatsber. 1875, S. 328. Vidensk. Selsk. Skr. 6. Rekke, naturvidensk. og math. Afd. II. 1. 3 Sideskuddet drejer sig saaledes, at dets to Bladrækker ligge omtrent i samme Plan, som Hovedaxens; dets Blades Bugsider vende til samme Side som dennes Blades; selve Side- skuddenes Ryg- og Bugsider vende altsaa til samme Side som Moderaxens, deres Flanker ligge omtrent i samme Plan som dennes (f. Ex. IV, 19 A; VI, 13 A). Sideskuddets Dorsiventrali- tetsplan falder altsaa omtrent sammen med Moderaxens; den ene Flanke vender indad mod Moderaxen, den anden bort fra den. Denne sidste Flanke bærer altid det nederste Blad, som jeg stedse har fundet at være et Lovblad. Paa stærkt forgrenede Exemplarer, især f. Ex. af Mniopsis Glazioviana, ses Planterne ofte ligesom lidt rendeformede eller hule, fordi de sukcessive Sideskud dog ikke ligge ganske udbredte i samme Plan som Moderskuddet, men ere drejede saaledes, at deres Dorsiventralitetsplan skærer Moderaxens under en spids Vinkel. I Side- og Hovedskuddets Styrke og Udviklingsmaade er der stor Forskjel. I nogle Tilfælde udvikles de lige kraftig; der opstaar da en regelmæssig Dikotomi, midt i hvilken det ditheciske Blad er stillet (I, 6A; II, 1A). Dette synes da at staa endestillet og ved sin Basis at have to Grene, hver især stottet af en Stipel, og hver iser begyndende med et udad vendt Lovblad. I Virkeligheden er det ene af disse Lovblade altsaa det af Hovedaxens Blade, der folger efter det ditheciske, og det andet er Sideskuddets 1ste Blad. Til Vejledning af, hvilket Skud der er Sideskuddet, kan ofte Stiplernes ulige Storrelse tjene. Sympodial Forgrening er meget hyppigere, fordi Hovedaxen meget ofte strax oven for det ditheciske Blad afslutter med en Blomst, og Sideskuddet derpaa indtager dets Vextretning. Exempler paa Sympodier ses I, 4, 6 B—C, 7, 9, 10; II, 4, 5 (et Sympodium vil ogsaa udvikle sig af 7); 0. a. Monopodial Forgrening er sjældnest, og sjælden undgaar et Hovedskud aldeles at blive bragt ud af sin Vextretning ved Sideskuddenes Udvikling; IV, 19 A kan endnu siges at vere et Monopodium. Sideskuddenes Udstyrelse kan være meget forskjellig. Der er Sideskud, som ere rene Blomster (f. Ex. IV, 22 ved”), andre der have et Lovblad og en Blomst (f. Ex. IV, 20), andre der have 2 eller 3 eller end ogsaa flere Lovblade, for de afsluttes af en Blomst; IV, 19 viser Exempel paa Sideskud med 1, 2 og 3 Lovblade (det overste har færrest, det nederste flest af disse). Hyppigheden af den rent vegetative Grendannelse er forskjellig. Hos Podostemon Ceratophyllum er der ikke mange vegetative Grene, og navnlig er hele den nedre Del af et Skud sædvanlig uden Grene (II, 3; I, 9 o. a.). Derimod har den en rig Forgrening med Sympodiedannelser mod Skuddenes Spidse. Hos Mniopsis Weddelliana findes Forgrening hyppig og næsten lige fra Skuddenes Grund af; derved fremkommer det tueformede Ydre, som er saa almindeligt hos denne Art, og som fremtræder f. Ex. iV, 1, 2 og IV, 9. Varieteten pusilla afviger fra de andre Former ogsaa deri, at Skuddene hurtigere blive nogne og noget mere knudrede end hos de andre (sammenlign V, 1 med V, 11, 14, 15, 17). 19 Mniopsis Glazioviana er tueformig af Ydre, men aabenbart mindre paa Grund af en stærk Forgrening end paa Grund af Skuddenes tætte og oprette Stilling paa Roden. Ægte Axelknopper, stillede i Medianplanen af Bladet og inden for den indre Stipel ere iagttagne i ét eneste Tilfælde hos Podostemon Ceratophyllum (Il, 4; se Figurfor- klaringen); om de virkelig ere exogene Dannelser, har jeg ikke kunnet se. Oven for hvert af Bladene c, f og g findes der en Axelknop, ‘og disse støttende Blade ere ikke ditheciske. Afvigende fra alle andre Sideskud begynde disse med Lavblade; saaledes ere Blad 1 og 2 i Knop C skelformede Blade, og den nu affaldne Plade paa Blad 3 har sikkert ikke veret stor. Ligeledes ere de to nederste Blade i Knop B og C Lavblade. Stillingen af de forste to Blade er transversal i Forhold til Dorsiventralitets-Planen, men der finder temmelig hurtig en saadan Drejning af Bladrækkerne Sted, at de komme til at ligge i denne eller i en med den parallel Plan, altsaa blive stillede paa samme Maade som Bladrækkerne paa de sedvanlige Sideskud. Det forste Blad paa disse Axelknopper vendte i to Tilfælde ud mod Skuddets Rygside, i et Tilfælde mod Bugsiden, saa vidt ses kunde paa de to temmelig smaa og slet konserverede Knopper. Stenglens Anatomi. Alle Karstrenge ere Bladsporstrænge. Hvert Blad modtager én Streng; folges denne ind i Stenglen, vil man se, at den efter et kortere eller lengere Lob nedad legger sig op til en anden Streng, der hojere oppe bojer sig ud til den modsatte Side; det hele Forhold er, som om der er en eneste Stræng, der skiftevis afgiver Grene til hojre og venstre, til de paa Flankerne staaende to Bladrekker (II, 7; IV, 1, 2). Et Tværsnit af Stenglen vil derfor vise et ringe Tal af Karstrenge, som alle ligge i Dorsiventralitets-Planen (Podostemon 1V, 3) eller danne en Bue, der vender den konkave Side mod Stenglens Ryg- side (Mniopsis VI, 8). Tversnit af Stenglerne kunne vere regelmessig elliptiske, men ofte er Rygsiden lidt mindre hyelvet end Bugsiden (VI, 8). Karstrængene bestaa af lidt Blodbast (Siror og Kambiform), samt nogle meget faa og meget udtrukne Skrue- og Ring-Trakeider. Jeg har undertiden set Tversnit, der talte for, at der i Blodbasten fandtes Adjunktivceller. Det er vanskeligt bestemt at afgjore Trakeidernes Beliggenhed i Forhold til Blodbasten, fordi de paa Tversnit ere saa lidet i Ojne faldende; hvor den har veret tydelig, have Trakeiderne ligget nærmest ved Strængenes Bugside (IV, 3; VI, 8). I ældre Stængler opstaar der ofte en Hulhed i hver Streng, i hvilken Resterne af Trakeiderne ligge (VI, 8, Strængen til venstre). Karstrengene ere afstivede af et kollenkymatisk Væv, der ligesom i Roden er sterkest paa Rygsiden (IV, 3; VI, 8); de ganske smaa Strenge findes dog helt rundt omgivne af et næsten lige megtigt Kollenkym (IV, 4). Dette Kollenkym kan til sidst antage en brunlig 3" 20 Farve, ligesom ogsaa det nærmest omgivende, mindre kollenkymatiske Væv. Foruden dette Kollenkym kan der hos Podostemon længere ude i Barken paa Bugsiden findes et Kollen- kymlag, der ses i IV, 3, men ogsaa kan mangle hos den samme Art; hos Mniopsis Wed- delliana har jeg ligeledes fundet kollenkymatisk uddannede Vævlag,. om end svagere udviklede, paa Bugsiden af Stenglen. Det om Karstrængene liggende kollenkymatisk uddannede Væv er for ovrigt i visse Henseender forskjelligt fra Kollenkymet og nermer sig til den seje Basts Celler eller til Ved- parenkymet. Hos Podostemon Ceratophyllum findes der nemlig der langstrakte bastcelle- lignende Celler, dog uden spalteformede Porer; A/niopsis-Arterne have derimod mere ægte Sej-Bast, i det der ikke blot findes prosenkymatiske Celler, men disse have tillige spalte- formede Porer, stillede skraat i en til venstre opstigende Skrue, og dernest er det ovrige om Strengene liggende Vev dannet af Celler, der forbinde Vedparenkymets Former med Vedcellernes Spalte-Porer (VI, 6, 7 a—b). For ovrigt er Stænglernes Overhud og Grundvev ikke forskjelligt fra Rodens. Bladenes Anatomi. Epidermis ligner de andre Deles (IV, 6; V, 5). Den er klorofylholdig, og Klorofylkornene fandtes lejrede op til Inderveggene. Bladene ere iser hen mod Afsnittenes Spidser lidt rendeformig fordybede og i Renderne forsynede med en mere tyndvegget Overhud; ejendommeligst er det, at der her hos alle tre Arter blandt Overhudsceller af sædvanlig Form findes uordentlig indstroet nogle smaa Celler, der ligesom ere skaarne ud af de andre og ofte runde sig lidt af mod dem (IV, 6; V, 5). Disse smaa Celler have et mor- kere, noget mere kornet Celleindhold end de andre, og de rage ofte lidt kuppelformig op over dem; jeg har endog set, at de hos Podostemon Ceratophyllum kunne forlenge sig og danne korte rodhaarlignende Haar (IV, 7). Da der ofte klæber talrige smaa Smudspartikler ved disse rendeformede Partier af Bladene, synes et klebrigt Stof at secerneres her, og rime- ligvis ere disse smaa Celler eller smaa Haar herved virksomme. For øvrigt kan jeg intet oplyse om den Betydning, som en saadan Sekretion muligvis kan have for disse i Vandet nedsenkede Blade. Mesofyllet i Bladene er bygget som Stænglens Grundvæv af tyndvæggede Paren- kymeeller, der ere storst i Bladenes Indre; en Differentiering i Pallisadevæv og pnev- matisk Væv findes ikke (V, 6). Banden løber undertiden ud som tegnet i V, 7. Nerverne bestaa af enkelte Karstrænge med en meget svag Udvikling; Sirer ere ikke sete, men meget udtrukne Ring- og Skruetrakeider (VI, 7 c) kunne endnu findes i de nederste, kraftigere Dele af Nerverne. Disse Strenge stottes i hele deres Omkreds (se V, 6, Cellerne med de morke Vægge) af meget snævre og lange Prosenkymeeller, ægte Sej-Bast- celler (VI, 7d), og selv i et macereret Blad bevare Nerverne af denne Grund en vis Sejhed. 21 Nogle af de fineste Nerve-Ender bestaa næsten alene af saadanne Celler og nogle faa Kambi- form-Celler. Dette Prosenkym spiller aabenbart en mekanisk Rolle; medens Bladenes Basal- dele især gjores modstandsdygtige (faste, haarde) ved Kisel, maa de fine Pladedele, der maa belge frem og tilbage i Vandet, gjores seje paa anden Maade, hertil maa et andet Materiale end Kiselkonkretioner i Cellerne anvendes; i det højeste findes der da tillige kiselforende Celler i Bladrandene; den lille Varietet (pusilla) af Mniopsis Weddelliana har dog meget kiselrige Blade, og disse ere derfor mere modstandsdygtige. Da Roden ubevægelig ligger fast trykt til Underlaget har den ingen Brug for et bajeligt Afstivningsmateriale, som Sej- Basten er, og saadant har jeg heller ikke fundet Spor af; derimod dækkes den ofte af et tæt Kiselpanser. Den oprette Stengel faar begge Dele, baade Kisel i sin Overhud og tillige de bojelige mekaniske Celler, men disse Længde og vel ogsaa deres Bojelighed og Sejhed staar dog tilbage for Bladprosenkymets. i) i) La famille des Podostémacées. Etudes par M. Eug. Warming. I. Les organes végétatifs chez le Podostemon Ceratophyllum Michx., le Mniopsis Weddelliana Tul. et le Mn. Glaxioviana Warmg. (Came 1"° partie d'un travail que j'ai entrepris sur la famille des Podostémacées au point de vue morphologique, anatomique et systématique, je publie ici les résultats de mes recherches sur les organes végétalifs des trois plantes ci-dessus mentionnées, comme en partie aussi du Mn. scaturiginum Mart. Les matériaux de ces recherches m'ont été fournis par M. W. Canby, avec l'obli- geante entremise de M. le professeur Asa Gray, par M. A. Glaziou et par différents musées (Jardin des Plantes à Paris, musée de Stockholm, etc.), et je leur adresse ici mes sincères remerciments pour la précieuse assistance qu'ils ont bien voulu me prêter. Les plantes dont il s’agit présentent les particularités anatomiques suivantes. Les stomates manquent; les cellules épidermiques sont polygonales, quelquefois un peu allongées (HE, 25; IV, 6; V, 5); les méats intercellulaires sont extrêmement petits et peu nombreux, ou font complètement défaut; toutes les parois des cellules sont formées de cellulose pure, excepté celles des trachéides, qui sont un peu lignifiées, et elles ont de la tendance à devenir collenchymateuses, surtout dans certaines parties du tissu fondamental et autour des faisceaux vasculaires. L’amidon est très abondant dans la racine et la tige et a les formes représentées dans VI, 5; les concrétions de silice, dans les formes représentées dans III, 25; V, 8, 9 et VI, 9, sont très nombreuses à la périphérie, surtout dans l’épiderme de la racine et de la tige, à la base et plus ou moins dans le limbe des feuilles, principale- ment le long des bords (III, 11; IV, 3, 5; VI, 8); on en trouve aussi dans l’intérieur autour du cylindre central et des faisceaux fibro-vasculaires (voir Warming: Vid. Meddel. fra d. naturhist. Forening i Kjebenhavn, 1881). Les trois espèces qui nous occupent (et sans doute aussi toutes les autres Podo- stémacées) ont des racines plagiotropes rampant dans toutes les directions; elles sont dorsiventrales; leur section transversale est représentée III, 3, 11 et V, 12B, 18B; elles renferment un peu de chlorophylle. Le cylindre central a à peu près la même forme que toute la racine et est plus rapproché du côté ventral; je Vai trouvé formé seulement de liber mou dans de petites racines de Mn. Weddelliana (VI, 2), et de liber mou avec deux groupes de xylème chez toutes les autres (III, 11, 15, 17, 18; V, 12 B, 18 B et VI, 3), soit avec (VI, 3) soit sans (III, 15) différenciation du liber mou. Celui-ci se compose de cellules cambiformes et de tubes criblés (III, 16, 17, 19); je n'y ai pas constaté avec cerli- tude la présence de cellules adjointes'). Le tissu fondamental contigu au cylindre central est plus fortement collenchymateux qu'à une distance plus grande. Toutes les racines sont munies d’une coiffe, mais le côté qui regarde le substratum est moins développé que les autres (III, 23); cela va si loin qu'il ne reste qu'une petite coiffe onguiforme sur le côté supérieur de la pointe (V, 19, 20, 21, 22, 24). De là à sa complète disparition il n'y a qu'un petit pas (chez le Tristicha, d'après M. Cario, qui, pour cette raison, désigne la racine comme un thallus; les plantules du Castelnavia (princeps?) sont aussi tout à fait dépourvues de coiffe, et le sommet de la radicelle se couvre de poils radicaux tout comme chez les Cuscuta). Je n'ai pas trouvé de limite tranchée entre le périblème et le plérome, et la coiffe semble naître du même méristème que l’epiderme. La régénération des racines après une rupture est chose très commune, et elle se fait à l'extrémité acroscope (I, 1; II, 2; III, 4, 14, 22(?); V, 12, 13, 16, 20A; VI, 1). On a représenté dans II, 2 et III, 4B deux racines qui naissent de la même face de rupture; elles peuvent être réunies à la base (III, 4C; V, 13, 23), de sorte qu'il semble s'être produit une dichotomie. Les nouvelles racines naissent sur les flancs des anciennes ou un peu en dedans sur le côté ventral, lorsque la racine devient extraordinairement large (I, 1; V, 10 A, 12 A, 18 À et B, 20 A, 12B; VI, 12). Elles sont endogènes. Des racines peuvent aussi naître desmtizes (I, 11:1, 1: 91, 10,11): La racine est fixée au substratum 1° par des poils radicaux de structure ordinaire, mais à parois épaisses, irrégulièrement étalés à la pointe et souvent très courts (III, 8, 9, 11; V, 18; VI, 4, 14, 15); ils sécrètent une matière visqueuse qui les colore en brun. 2° par des appareils préhenseurs particuliers que je propose d'appeler haptères (azzew), qui partent de la racine au-dessous de la base des pousses radicales (par ex. Il, 6, 9; III, 1 etc.) et qui, suivant la distance qui les sépare du substratum, sont ou longs et coniques avant de s’elaler pour s’acerocher à ce dernier, ou courts, larges et en forme de disque (I, 1, 11; II, 3, 6, 8, 9; II, 1, 3, 5, 7; V, 18; VI, 12, 14). Ils sont quelquefois ramifies (II, 9; III, 6, 7, 10), et peuvent aussi avoir des poils radicaux. Ils naissent d'une manière exogene (HT, 11, 12) et se ramifient de la même façon (III, 13); ils ont un point végétatif terminal (III, 12, 13) qui est entièrement nu. Ils sont formés seulement de parenchyme, qui peut être riche en amidon et renfermer de la silice dans l'épiderme, et ils peuvent se régénérer (III, 20) comme les racines. Quoique, par conséquent, ils s'écartent beaucoup des racines et constituent comme une espèce d'émergences sur ces dernières, je suis cependant porté à croire qu'ils dérivent phylogénétiquement des racines, hypothèse en faveur de laquelle on 1) «Cellules-adjointes», synonymes avec les «Geleitzellens de Wilhelm. Voir Kolderup Rosenvinge «Vegetationsorganerne hos Salvadora»; Danske Vid. Selsk. Oversigter, 1880. 24 peut invoquer: 1) leur croissance apicale; 2) leur place sur les racines; 3) la faculté (il est vrai, seulement observée une fois) qu'ils ont de se régénérer, et 4) à un moindre degré, qu'ils ont des poils radicaux (car on en trouve aussi sur les thalles, sur les proembryons des cryptogames, sur les formations appelées «callus» par les botanistes allemands, sur certains rhizomes et sur le proembryon de certaines graminées). Je regarde également comme des racines transformées les formations thalloïdes intracorticales chez le Viscum et d'autres parasites. Il existe, comme on sait, des racines sans coiffe et d’autres qui sont exogènes. Les hapteres se développent aussi sur les tiges (II, 3; V, 4, 14, 15); cependant je n'ai pu constater avec certitude s'ils sont également exogènes. Les pousses naissent sur les racines, qui, sous ce rapport, jouent évidemment un rôle très important dans toute cette famille (voir les figures de Tulasne; sa Fig. 2 PI. IX, une Dierwa elongata, représente certainement une racine donnant naissance à des pousses; comparer avec mes figures IV, 14 et V, 10 A). Elles sont placées sur les flancs des racines ou un peu en dedans sur le côté ventral (III, 11, 12; V, 12, 18), ordinairement par paires (I, 1,11; III, 1,6; IV, 14; V,10A, 12 A); elles naissent en ordre acropétale (IV, 14), quelquefois plusieurs paires en même temps (V, 10 A). Elles sont endogènes à la péri- pherie de l'écorce de la racine (III, 2, 11, 12, 21; V, 18B). Les pousses développées font avec la racine des angles très variables, depuis une direction presque verticale, comme chez le Mn. Glazioviana (VI, 13), jusqu'à une direction presque horizontale, comme chez quelques formes du Mn. Weddelliana (IV, 14). Elles sont nettement dorsiventrales (p. ex. I, 6, 10; II, 1; IV, 18, 19; VI, 13), mais cette particularité n’est pas poussée à l'extrême comme chez le Castelnavia ou Marathrum et autres genres (j'appelle face ventrale celle qui se détourne du plan de symétrie de la racine et qui est tournée en dehors ou en bas vers le substratum; le flanc «acroscope» regarde la pointe de la racine et le «basiscope», son extrémité postérieure). Les feuilles situées sur les flancs de la pousse ont la disposition 1/2; la 1”? feuille est située sur le flanc basiscope, par ex. IV, 14, 15, 18. Le bord «gastroscope» de la feuille n’embrasse guère plus fortement le côté ventral de la tige que le bord «notoscope», le côté dorsal. Le limbe se tourne de manière que sa face ventrale (supérieure) vient regarder le côté dorsal de la pousse, et tous les limbes des feuilles viennent par conséquent se placer dans le plan dorsiventral de la racine. Les pousses radicales commencent avec deux écailles. Même s'il se produit un changement (suivant la saison?) dans la longueur des entre-nœuds (chez le Pod. Ceratophyllum : I, 9; II, 3, 4 A), il ne se forme ensuite que des feuilles foliacées. Les feuilles foliacées ont, chez le Pod. Ceratophyllum, une stipule intrapétiolaire complete (I, 2, 3, 4, 8, etc.; II, 1, 4, 5, etc.) Les trois espèces connues du genre Mniopsis n'ont qu'une demi-stipule intrapétiolaire sur le côté notoscope de la base de la feuille (IV, 15, 16, 17, 18, etc.; V, 3, etc.; VI, 13, 16); elle a été considérée comme une feuille indépendante (voir Weddell, De Cand. Prod. 17, p. 77). Les limbes des feuilles foliacées sont pennatipartites, et les formes des partitions varient beaucoup chez le Pod. Ceratophyllum, sans doute suivant les localités (comparer I, 1 25 et II, 5 avec I, 6, 8 et II, 1). (Les feuilles du Mn. scaturiginum gardées dans les collec- tions (VI, 16) seraient-elles entières?) La tige n'a pas de sommet qui s'élève au-dessus de la plus jeune feuille; les feuilles sont à peu près terminales (III, 21; IV, 1, 2), la plus jeune naissant entre les deux qui l’ont précédée, en surmontant un peu la base de la plus ägée. Sous l’epiderme, on trouve un tissu cellulaire irrégulier (Ill, 21) jusqu'à une cer- taine profondeur dans la tige (les parties les plus foncées de IV, I, 2). Les partitions des feuilles, tant du 1% ordre que d'un ordre plus élevé, naissent toutes en ordre acropé- tale, souvent si près du sommet de la partition principale, qu'il semble presque se dichotomer, et sont alternantes tout comme chez les fougères (IV, 8—13); dans le bour- geon, elles se recouvrent de manière que chaque bord acroscope est recouvert par le bord basiscope de la partition supérieure de la feuille, regardée du côté dorsal (IV, 13; «oberschlächtige Deckung» de feu Al. Braun, voir Berlin. Monatsber. 1875, p. 328). La partition inférieure du 1" ordre de chaque feuille naît ordinairement sur le bord noto- scope des feuilles. Les pousses latérales ne sont pas axillaires en dedans de la stipule ordinaire, mais naissent à la base du bord notoscope de la feuille, et sont couvertes par une stipule spé- ciale («extérieure») de la même forme que la stipule normale («intérieure»); ces feuilles ainsi munies de deux stipules, je propose de les appeler des feuilles dithé ques (I, 5, 6, 10, etc.; (II, 1, 5, 7, etc.; IV, 16, 18—23; V, 17; VI, 13, 16). La pousse latérale se tourne de manière que son côté dorsal regarde à peu près dans la même direction que celui de la pousse mère, et que son flanc notoscope s’écarte du plan de symétrie de la pousse mère; ce flanc porte la feuille inférieure, qui, de même que toutes les suivantes, est foliacée (voir le diagramme IV, 24). Dans quelques cas, la ramification devient dichotomique, et la feuille dithèque se trouve alors au milieu de la dichotomie (I, 6 A; II, 1 A); les sympodes sont très communs I, 4, 6B-C, 7, 9, 10; II, 4, 5; III, 1, etc.); les monopodes sont rares. Les pousses latérales peuvent porter 1, 2, 3 feuilles foliacées et davantage avant qu'elles fleurissent (voir par ex. IV, 19). De véritables bourgeons axillaires ont été observés dans un cas, mais je ne sais s'ils étaient réellement exogènes (II, 4; voir l'explication des planches). Ils ont commencé par deux écailles placées à droite et à gauche du plan médian, après quoi il s’est produit une rotation toujours plus marquée des rangées des feuilles, jusqu'à ce qu'elles fussent dans le plan dorsiventral. Les figures Il, 7 et IV, 1, 2 représentent la ramification des faisceaux vasculaires dans la tige, et les figures IV, 3 et VI, 8, des coupes transversales de la tige avec les faisceaux. Chacun d'eux est formé de liber mou et de trachéides qui sont contigus au côté ventral des faisceaux (IV, 3; VI, 8); dans les faisceaux plus âgés, il y a une cavité au milieu (VI, 8). Les faisceaux vasculaires sont, comme le cylindre central dans la racine, consolidés, surtout sur leur côté dorsal, par un tissu collenchymateux (col dans les figures) dont les cellules ici se rapprochent cependant davantage de celles du liber dur; des formes comme VI, 6, Ta-b, qui joignent la forme du parenchyme aux pores du liber dur et des fibres Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. Il. 1. 4 26 ligneuses, se trouvent dans le tissu qui entoure les faisceaux, et on y rencontre aussi de véritables cellules de liber dur. L’écorce peut renfermer des parties formées d'un tissu forte- ment collenchymateux (IV, 3). Les feuilles, dans le milieu un peu creusé en forme de gouttière de leur face supé- rieure, surtout près du sommet des partitions, ont un épiderme comme celui de la Fig. IV, 6 et V, 5; les petites cellules peuvent s’allonger en forme de poils (IV, 7); il se produit évidemment ici une sécrétion. Il n’y a pas de différenciation dans le mésophylle (V, 6). Les faisceaux vasculaires peuvent être entourés (voir V, 6) de véritable liber dur, c’est-à-dire de cellules longues et étroites de prosenchyme (VI, 7 d). 27 Explication des Planches. Planche I. Podostemon Ceratophyllum Michx. Fig. 1 [7]- Exemplaire en grandeur double, vu d'en haut. AR—R, racine fixée à une pierre, et de laquelle naissent 4 paires de pousses feuillées et 1 pousse isolée. Les pousses sont dirigées obliquement vers le haut et non horizontalement comme la figure semble l'indiquer; elles ont un côté ventral (tourné en bas) et un côté dorsal (tourné en haut et visible dans la figure). Les haptéres h—h naissent des racines au-dessous de la base des pousses; celles-ci sont endogènes et les haptères, exogènes. r—r sont 5 racines nées sur R—R; de deux d'entre elles on ne voit que des fragments; deux autres se sont régénérées immédiatement au-dessus de la base et portent chacune 1 paire de bourgeons (g, g), qui se développeront en des pousses feuillées; la cinquième a 2 paires de bourgeons. Fig. 2 [?]. Feuilles d’une pousse séparées les unes des autres et dessinées exactement avec leurs formes. f est vue de la face dorsale et les autres le sont de la face ventrale, qui se tourne toujours de manière à regarder le côté dorsal des pousses. Chaque feuille est munie d’une stipule intrapétiolaire. A est encore en prefoliation; à est renfermée dans la stipule de A. Fig. 3 [i]. Pousse naissant de la racine r, et dont les partitions des feuilles sont plus étroites que dans les Fig. 1 et 2. Fig. 4 [2]. Partie supérieure d’une pousse dont les feuilles ont en partie des partitions encore plus fines que celles de la Fig. 3. C'est un sympode de deux pousses. a, à, c sont des restes de feuilles sur l'axe du 1er ordre, qui se termine en une fleur # maintenant tombée; c est une feuille dithèque, près du bord noto- scope de Jaquelle a pris naissance la pousse II, qui porte les feuilles 1, 2, . . . 5. Fig. 5. Feuille dithèque. Fig. 6 A. Branche environ de grandeur naturelle, vue du côté ventral; 1, 2, 3 . . . 7 sont les feuilles de la pousse 1; les feuilles 3, 4 et 7 sont dithèques. Par suite du vigoureux développement des axes latéraux, l’axe principal est dévié de sa direction première, et il se forme au point d'insertion des feuilles dithèques 3 et 4 deux pseudodichotomies dans lesquelles ces feuilles sont en apparence terminales. L’axe principal se termine par la fleur I et, à la base notoscope de la feuille 7, naît une pousse latérale X, qui plus tard formera certainement un sympode avec l'axe principal (voir Fig.6, B et C). A gauche, au bord notoscope de la feuille 3, part une pousse latérale avec les feuilles a, 6, e...g; d est une feuille dithèque, à la base notoscope de laquelle naît une autre pousse latérale A! (voir Fig. 6 D). Les feuilles e, f et g sont beau- coup plus jeunes que les précédentes et ne sont en partie pas encore épanouies. Au bord de la feuille 4, à droite, on voit une pousse latérale analogue à celle de la feuille 3. Fig. 6 B [5]. Partie supérieure de la pousse I de la figure précédente, avec les feuilles 5, 6 et 7, également vue du côté ventral; A est la pousse latérale qui se développe à la base de la feuille 7. La fleur qui termine l'axe principal a donné un fruit qui n'a pas müri; dans quelque temps, elle semblera sans doute être latérale par suite de l’usurpation de l'axe lateral. 28 Fig. 6 C. Même branche vue du côté dorsal, ce qui permet de voir plus distinctement les deux sti- pules de la feuille 7. Fig. 6 D [5]. Partie supérieure, vue du côté dorsal, de la pousse située à gauche de la feuille 3, dans la Fig. 6 A, avec les feuilles à, c, d . . . g; st, stipules de la feuille dithèque d. A son bord notoscope sort un bourgeon dont la première feuille X! enferme la deuxième feuille 7. L'axe principal (Il), dont la fleur vient d’eclore, conserve encore à peu près sa direction primitive, mais plus tard la pousse latérale le rejettera certainement de côté. La feuille g est aussi dithèque et sa stipule externe enferme le bourgeon III. Fig. 7A. [3]. Extrémité supérieure d’une branche sympodique avec 3 générations de pousses. a, b et c sont les feuilles, la dernière ditheque, de la pousse I, qui se termine par une fleur flétrie. 1, 2, 3, 4, 5, 6 sont les feuilles de la pousse Jl, qui a pris naissance au bord externe de la feuille e et continue la croissance de l’axe principal. Son bourgeon terminal est enfermé entre les stipules des feuilles 5 et 6. La feuille 6 est dithèque (st, stipules); à son bord notoscope naît la pousse Ill, dont x est la première feuille. Fig. 7 B. Parties basales des feuilles 6 et x dans la Fig. 7A. Fig. 8 A. Fragment d'une branche à peu près de grandeur naturelle, vu du côté ventral; il se ter- mine en I par un bouton. Les 4 feuilles supérieures a, 6, c et d ont encore un limbe et des partitions très fines; des feuilles inférieures il ne reste que des parties basales. Fig. 8.B. Partie supérieure de 8A, vue du côté dorsal. d est une feuille dithèque et st sont ses stipules. A son bord externe, à droite, naît la pousse II avec les feuilles æ et y. Fig. 9 [}]- Partie d'une branche avec 4 générations de pousses. Après une série de courts entre- nœuds à partir de la base, viennent des entre-nœuds plus longs qui ensuite se raccourcissent de nouveau. Au-dessus de la feuille a, les feuilles sont encore assez fraîches (excepté la feuille d); au-dessous, elles sont tombées; a, b, ¢ et la feuille dithèque d sont les feuilles supérieures de la pousse I, qui se termine par une fleur, maintenant flétrie. 1, 2 et la feuille dithèque 3 appartiennent à la pousse suivante II, qui se termine par un bouton, et m, n, o, p et la feuille dithèque g, à la pousse II, qui se termine aussi par un bouton; a, 8, y, d, € . . . sont les feuilles de la 4e génération de pousses. Fig. 10 A et B. Partie d'une pousse, vue du côté dorsal (A) et du côté ventral (B). a, b et la feuille dithèque c sont les feuilles supérieures de la pousse I, qui se termine par un bouton; a est la {re feuille de la pousse Il, qui a pris naissance au bord externe de c et forme un sympode avec l'axe principal. Fig. 11 []. Fragment de racine (r, 7), d'où partent deux pousses endogènes (g, g); de l'une d’elles sort une racine 7’ qui porte une pousse nouvelle, g‘; % est un haptère. Planche IL, Podostemon Ceratophyllum Michx. Fig. 1A. Partie d'une plante, à peu près en grandeur naturelle, vue du côté dorsal. La pousse prin- cipale I porte les feuilles a, b, c et la dithèque d et est ensuite déviée à droite par la branche se développant à gauche, dont la 1re feuille est m, après quoi elle porte la feuille dithèque e, est déviée à gauche par la branche se développant à droite, dont la {re feuille est 1, et porte enfin les feuilles f, g, A (dithèque), © et % (dithéque), Voir 1B et 1 C. Fig. 1B [5]. Partie supérieure de la pousse principale précédente, vue du côté ventral. Fig. 1 G. Mème partie, vue du côté dorsal. La feuille à n'est pas tout à fait normale, car de sa base part un lobe ö! avec une stipule st! sur le côté ventral de la branche. Le bourgeon Il, embrasse par la stipule externe de la feuille 2", porte les feuilles a, 8 . .. Fig. 1 D et E. Sommet de la branche inférieure dans A, vu du côté dorsal et du côté ventral. 1 D est plus fortement grossi [4°] que 1E [?]. Cette branche porte les feuilles m, n, 0, p, g, ces deux dernières dithéques, 7 qui n'est pas encore éclose, etc. (la stipule interne de la feuille g est coupée à son extrémité). Le bourgeon Ill, embrassé par la stipule externe de la feuille p, n'a encore que 2 feuilles visibles, a et f, et celui qui est à la base externe de la feuille g‘ n'en a encore qu'une. Fig. 1F et G [}]. Sommet de l'avant-dernière branche inférieure de A, vu du côté dorsal et du côté 29 ventral. Elle porte les feuilles 1, 2, 3, 4 et 5, dont l'avant-dernière est dithèque. Le bourgeon qui est enfermé dans la stipule externe de la feuille 4 est à peu près aussi développé que le bourgeon terminal, qui est en- fermé dans la stipule interne. La {re feuille de ces deux bourgeons est, quant à son développement, bien en arrière des feuilles 1—4. Fig. 2 [2]. Parties d’une racine. Elle est brisée en reg, mais s'est régénérée par deux nouvelles racines: on voit trois pousses sur ces racines, et il y en avait une quatrième qui est tombée. Fig. 3 [3]. De la racine r part une pousse qui est vue du côté ventral, de sorte que l'haptère A, tourne vers le spectateur sa face inférieure. De la plupart des feuilles il ne reste que la base. Les feuilles a, b, c et d semblent être suivies d’une dithéque e (?); mais alors on observe ici cette particularité que la pousse latérale II, dont les feuilles inférieures sont marquées a, #, y, s'est développée beaucoup plus vite que la pousse principale, qui poursuit seulement maintenant son développement; ses autres feuilles sont f, g, À . . . L'extrémité de la pousse latérale II a disparu, de même que la plus grande partie de la feuille dithèque ¢; s est l’avant-derniere feuille supérieure. La pousse III porte les feuilles æ, y, 2 Entre les feuilles d et f de la pousse I, on voit un haptère ramifié qui veed verticalement, mais on ne discerne pas bien s’il a une origine exogéne. Les branches en sont très fortement fixées les unes aux autres en x et x. C'est la seule fois que, chez le Podostemon Ceratophyllum, j'ai observé un appareil de ce genre naissant directement de la tige. Fig. 4 A. Cette figure représente un cas rare, à savoir la formation de bourgeons axillaires normaux. J'ai représenté la partie supérieure d'une pousse vue du côté dorsal; de la plupart des feuilles il ne reste que la base. Après la feuille a, suivent avec une alternance régulière les feuilles 6, c, d, e, f, g et A, dont la der- nière est dithèque. La pousse principale se termine en I; la pousse latérale Il, embrassée par la stipule externe de 4", porte les feuilles a, Ø, 7 et la feuille dithèque 6, ainsi que la fleur Il qui a donné un fruit (stam est le reste d'une étamine); la pousse III, formée à la base de d, porte les feuilles m, n, 0, p et la dithèque g; le sommet en est caché entre les stipules de III. La pousse IV, embrassée par la stipule externe de g, porte les feuilles a!, 4" . Outre la pousse latérale normale II, l'axe principal porte trois bourgeons G, D, B, qui ne sont pas embrassés par des feuilles dithèques et qui, en opposition avec les pousses normales extra-axillaires, débu- tent avec des écailles. La pousse C, qui est vue du côté ventral dans 4 C, est à l’aisselle de la feuille c et porte l'écaille 1, l’écaille bifide 2, une feuille foliacée normale 3, dont le limbe est tombé, et ensuite les feuilles foliacées 4, 5, 6, 7,8... La feuille 1 regarde le côté dorsal de l'axe principal; la feuille 2, le côté ventral dans une direction oblique; la feuille 3 et, à un plus haut degré, les suivantes, sont situées à peu près dans le même plan que les feuilles de l'axe principal (plan dorsiventral). Le bourgeon D est situé à l’aisselle de la feuille f; il est plus fortement grossi dans 4 D, où je l'ai représenté tel qu'il se montre lorsqne l’axe mère est vu de côté. Les feuilles 1 et 2 sont des écailles; la première regarde le côté ventral de l’axe mère et la seconde, son côté dorsal. Puis viennent des feuilles foliacées. Le bourgeon B, à l’aisselle de g, est plus grossi dans 4 B; la première de ses deux feuilles inferi- eures (les écailles 1 et 2) semble être tournée vers le côté ventral de la branche comme dans le bourgeon CG (par suite d’une inexactitude dans le dessin, la feuille 1 est recouverte par 2). Fig. 5 A[?]. Partie d'une branche faiblement grossie. La pousse I porte les feuilles a, 6, c, d, dont la dernière est dithèque, et se termine par une fleur I, dont il ne reste que l'involucre. La pousse II forme un sympode avec l’axe mère; elle porte les feuilles a, Ø et y (dithèque) et se termine par le bouton II. Pour le reste, voir la figure suivante. Fig. 5 B [$]. a, Ø et y comme daus 5A. Le bouton a été enlevé. Autant qu’on en peut juger, il semble que les feuilles de la pousse latérale III sont les feuilles dithèques m et x, dont la première est en partie tombée, et 0, p .. . A la stipule externe de m, se dévéloppe une pousse qui commence avec la feuille a, mais dont le reste y est très obscur, et à celle de n se forme la pousse IV avec les feuilles 1,2... Fig.6. De la racine r partent une pousse endogène et un haptère exogène qui s'étale sur une pierre. Fig. 7 [1]. Partie supérieure de la pousse I, avec les feuilles a, 5 et la dithèque c qui est termi- nale. Celle-ci embrasse avec sa stipule interne le bouton terminal (le bouton I) et avec sa stipule externe le bourgeon Il. En f on a indiqué les faisceaux vasculaires. Fig. 8. Un haptère qui s'attache à une pierre. 30 Fig. 9. De la racine 7 partent une pousse endogene et un haptère ramifié. En cic il y a une cica- trice. Deux des autres branches se sont étalées à leur extrémité et fixées à un corps étranger; la troisième pend encore librement et est en train de se ramifier en pv. Les points végétatifs sont plus foncés que le reste du tissu. Toutes les branches des haptères sont exogènes. Planche II. Podostemon Ceratophyllum Michx. Fig. 1 [7]. Pousse d'où part une très longue racine. La pousse est presque entièrement dépourvue de feuilles. Son 1er axe se termine en fl! par les restes d'une fleur et son 2e axe en fl”, par un jeune fruit. De la raeine partent 6 paires de pousses et 2 pousses isolées; les plus jeunes (g) sont encore enfermées dans le tissu de la racine, À sont des haptères, Fig. 2. Extrémité d’une racine en coupe longitudinale; on voit un bourgeon endogène recouvert de 2 couches de cellules. Au centre est indiqué le cylindre central. Fig. 3 [5]. Coupe transversale d'une racine 7, près d'une paire de pousses; leurs parties basales sont représentées dans leur position divergente naturelle; au-dessous, on aperçoit leurs haptères. Fig. 4 [5]. Partie d'une racine qui s’est régénérée en 3 endroits et qui, au-dessus de c, présente presque une dichotomie. En c, la racine s'est régénérée totalement d'un côté (voir 4 C); en b, apparaît en même temps une racine plus petite (voir 4B), qui semble être dépourvue de coiffe. On voit deux pousses isolées et, en ci, les cicatrices de deux autres. Fig.5. Fragment de racine avec deux haptères soudés ensemble; celui de gauche a par erreur été placé trop loin de la base de la pousse à laquelle il appartient. 3 Fig. 6. Fragment de racine avec des haptéres; on voit que la longueur et la forme de ces appareils dépendent de la distance à laquelle la racine se trouve de la pierre où elle se fixe. Fig.7. Un haptére qui se ramifie 4 son extrémité inférieure; les points végétatifs sont reconnais- sables à leur contenu plus foncé; ils sont munis de poils radicaux, qui sont représentés à gauche avec un plus fort grossissement. Fig-8. Fragment d'une racine (coupe transversale) avec des poils radicaux. Fig’ 9. Extrémités de pareils poils radicaux. Fig 10. Haptère ramifié. Fig. 11. Coupe transversale d'une racine, sur laquelle on voit en g un bourgeon encore recouvert de 1 ou 2 couches de cellules, et au-dessous un haptère (4) en train de se développer. On aperçoit dans la racine le cylindre central, dont les deux groupes de xylème sont marqués æyl. Les points marqués sil désignent des cellules qui renferment de la silice. Fig. 12. Coupe longitudinale d'un haptère; en haut, en g, la coupe a rencontré une pousse qui a percé le tissu de la racine. Fig. 13. Coupe longitudinale d'un autre haptère. Fig. 14. Coupe longitudinale d'une racine d'où part une autre racine qui a du aussitôt se régénérer. On a indiqué la situation du cylindre central et la disposition des cellules aux points de rupture. Fig. 15. Coupe transversale du cylindre central d'une racine et du parenchyme riche en amidon qui l'entoure. On voit 2 groupes de tracheides (zyl), mais le cylindre est du reste formé de tubes criblés et de cellules cambiformes, en partie avec des parois un peu collenchymateuses. Fig. 16. Partie du liber mou avec des tubes criblés distincts. Fig. 17. Trachéides avec le liber mou contigu. Fig. 18. Extremite d'un trachéide. 2 Fig. 19. Partie de liber mou avec des pores distincts sur les parois des tubes criblés, cas qui n'a été observé qu'une fois. Fig. 20. Fragment d’une racine, avec un bourgeon et un haptère qui s'est régénéré et de nouveau est rompu au sommet. 31 Fig. 21 A. Coupe longitudinale d'une jeune pousse radicale, faiblement grossie; elle porte 3 feuilles, dont deux ont déjà des stipules distinctes. Fig. 21 B. La plus jeune feuille de 21 A fortement grossie. Fig. 22. Extrémité d'une racine qui semble se régénérer; derrière la pointe, on voit deux jeunes pousses qui ne se sont pas encore fait jour. Fig. 23. Pointe d'une racine, vue du côté dorsal (à gauche) et du côté ventral. La coiffe est visible- ment plus petite sur le côté ventral. Fig. 24. Cellule du parenchyme du tissu fondamental dans une racine; la paroi en est un peu collenchymateuse. Son protoplasme s'est retiré de la paroi et s'est entouré d'une membrane à double contour. Les grains d’amidon qui étaient logés dans le protoplasme en sont tombés. Fig 25. Épiderme d'une racine; toutes les cellules sont remplies de corps siliceux, dont la périphérie est transparente, tandis que leur intérieur renferme un grand nombre de pores fins remplis d'air. Planche IY. Fig. 1—13. Podostemon Ceratophyllum Michx. Fig. 1. Coupe longitudinale de l'extrémité d'une pousse. f!, f*, f*, f* et f° sont les feuilles les plus jeunes et fv, les faisceaux fibro-vasculaires qui y aboutissent. Les feuilles f*—/° et le tissu cellulaire, dans la partie de la tige au-dessous d'elles, ont des cellules plus petites, plus foncées et plus riches en pro- toplasme que les autres parties. Dans la figure placée au bas de la figure principale, on voit les deux feuilles les plus jeunes, f* et f°, et des parties de f* et de f*. La feuille la plus jeune f° est à peu près terminale, et sa face dorsale est moins haute que la face ventrale qui regarde la plus jeune feuille suivante (f*). Fig. 2. Coupe longitudinale de l'extrémité d'une autre pousse; la feuille la plus jeune est plus dé- veloppée que la feuille correspondante de la Fig. 1. La stipule de la plus jeune feuille suivante saille déjà fortement. Fig. 3. Coupe transversale d'une tige. A la périphérie, sont indiquées des cellules à silice. Dans le parenchyme du tissu fondamental, on voit sur la face ventrale (qui est tournée vers le bas) une bande de collenchyme. Les faisceaux vasculaires sont à peu près disposés en une bande transversale; ils ont chacun sur le côté dorsal une partie formée de collenchyme; les trachéides sont plus rapprochés du côté ventral. Fig. 4. Un des plus petits faisceaux vasculaires d'une tige; il est formé presque exclusivement de tissu collenchymateux environnant un peu de tissu cambiforme. Fig. 5. Coupe transversale d'une feuille. La face ventrale est tournée vers le haut. Sur les bords sont indiquées des cellules contenant de la silice. Il y a du collenchyme sur le côté ventral de la nervure. Fig. 6. Sommet d'une partition de feuille. Il est un peu ereusé au milieu en forme de gouttière, et, entre les cellules épidermiques, dont les parois sont ici un peu plus minces, on voit quelques cellules brunätres plus petites; ces petites cellules surmontent souvent les autres sous forme d'une coupole, plus rarement: Fig. 7. Sous forme de petits poils. Fig. 8—13. Diverses phases de développement de la feuille foliacée. Les partitions primaires (a, 0, c, d etc.) et secondaires (a', a?, etc., b!, b?, ete.) naissent en direction acropète. Une partition naît souvent si près du sommet de la partition principale, que celle-ci semble presque se bifurquer par dichotomie (voir, par ex., Fig. 9, 10, 11). La stipule apparaît de bonne heure à travers la base de la feuille comme un bourrelet demi-annulaire, qui en croissant entoure la feuille suivante. En regardant de dehors le côté de la feuille (Fig. 13), on voit le bord supérieur (acroscope) d'une partition recouvert par le bord inférieur de la partition située au-dessus, de sorte que le bord supérieur est l’interne et l'inférieur, l'externe (cela n'est pas bien repré- senté sur le côté gauche de la Fig. 10 comme dans les autres). Fig. 14—24. Mniopsis Weddelliana Tul. Fig. 14. Racine bien garnie de pousses et dont la pointe est recouverte par la coiffe, avec un gros- sissement de 2 fois. Il n’y a pas d’hapteres. La feuille inférieure de chaque pousse regarde l'extrémité opposée à la pointe de la racine. 32 Fig. 15 [7]. Fragment de la même racine fortement grossi. Dans cette figure et, en général, chez les feuilles des espèces dont il s'agit ici, la Ire partition de chaque feuille est située sur le bord «notoscope» de la feuille, mais tournée latéralement par la rotation des feuilles lorsqu'on regarde la pousse du côté dorsal. La feuille inférieure de chaque pousse n'a pas de stipule. Fig. 16. Partie supérieure d'une pousse florifére (de la Fig. 14). La fleur, non encore éclose, est terminale. La feuille supérieure est dithèque, mais la pousse latérale qui se développera à sa base, gardée par la stipule st‘, est encore très petite et tout à fait cachée par la stipule. Fig. 17. Feuille isolée. Dans le genre Mniopsis (Mn. Weddelliana Tul., Mn. scaturiginum Mart., Mn. Glazioviana Warmg.), la stipule est placée près du bord notoscope des feuilles et réduite à un petit lobe oblique; il n’y a qu'une demi-stipule. Fig. 18 [}]. Une pousse de la Fig. 14 vue du côté dorsal (A) et du côté ventral (B). a, b, e, den sont les feuilles; d est dithèque, comme il y a une stipule externe qui enveloppe unc pousse dont la première feuille (a) est visible. On voit bien par cette figure et les figures 15, 19 et 23, que toutes les feuilles sont tournées de manière à regarder le côté dorsal de la tige (en haut). Fig. 19 [7]. Pousse déjà munie de 3 axes latéraux, vue du côté dorsal (A) et en partie du côté ven- tral (B). Elle porte les feuilles a, 4, c, la feuille dithèque d (la pousse latérale a trois feuilles m, n, o, et se termine par une fleur), la feuille dithéque e (la pousse latérale a deux feuilles, a et #, et se termine par une fleur) et la feuille dithèque f (la pousse latérale n'a qu'une feuille et se termine par une fleur), après quoi l'axe principal se termine par une fleur (1). Fig. 20. Partie d'une pousse. Elle porte les feuilles a, 6, la feuille dithèque c, dont la pousse laté- rale a une feuille, a, et se termine par une fleur (Il), et la feuille dithèque d, dont la pousse latérale a une feuille, ©, et se termine par une fleur encore peu développée et cachée par la stipule externe. On voit par cette figure, comme par les Fig. 16, 18, 19, 21, 22 et 23, que la stipule externe est en général placée plus bas que l'interne. Fig. 21. Base d'une feuille dithèque, vue de derrière. st est la stipule interne et st‘, l'externe; l’aste- risque désigne le bourgeon (une fleur) caché par st’; dans ce cas, la fleur n'est pas accompagnée de feuilles foliacées. Fig. 22 [}]. Pousse d’une plante plus âgée. Elle porte les feuilles a, b, c, d, e (dithèque; la pousse latérale, marquée avec un astérisque, est une fleur), f (dithèque; la pousse latérale est bien plus vigoureuse que celle de e et a une feuille foliacée, a), g (dithèque, dont la pousse latérale ressemble à celle de e), et h (dithèque, dont la pousse latérale n’est également qu'une fleur). L'axe principal se termine ensuite par une fleur qui a donné un fruit (I) pas encore mür, tandis que toutes les fleurs des pousses latérales sont en bouton. On voit l'involucre à la base du pédoncule floral. Fig. 23 [7]. Pousse, vue du côté dorsal. Elle porte les feuilles a, à, c, d, e et la large feuille di- thèque f, et se termine par la fleur I qui est en pleine floraison, le stigmate et les étamines étant épanouis. La pousse II, enveloppee par la stipule externe de f, a deux feuilles foliacées a et 2; cette dernière est di- thèque et ses deux stipules sont marquées Ast. Fig. 24. Diagramme d'une pousse dont le côté dorsal est tourné vers le bas. Ses feuilles foliacées a,b,c,d,e et f sont suivies de la fleur I. Les étamines sont (toujours) sur le côté ventral, comme on le voit aussi sur la Fig. 23, et les deux carpophylles regardent le côté dorsal et le côté ventral. La feuille e est dithèque et sa stipule externe embrasse la fleur II, au bas de laquelle est une feuille foliacée également dithèque, dont la stipule externe embrasse la fleur Ill. La feuille f sur l’axe principal est aûssi dithèque. Les bords dorsaux des feuilles n’entourent pas le côté dorsal autant que dans la nature, et les pousses latérales se pla- cent ordinairement dans un plan dont la direction se rapproche davantage de celle du plan dorsiventral de la pousse mère. Planche V. Mniopsis Weddelliana Tul. (Fig. 1—2, var. Caldensis Warmg. Fig. 3—4, var. typica Warmg., d’après des exemplaires du Jardin des Plantes de Paris. Fig. 5—22, presque toutes appartenant à la var. pusilla Warmg). 33 Fig. 1. Vieille plante usée et abimée par les eaux, avec des fruits non mürs. Aucune feuille foliacée n'est complete, Les pousses sont réunies en forme de touffe et sont sans doute en partie des branches d’un tronc commun. Fig. 2. Autre vieille plante, dont le tissu fondamental était en partie pourri et enlevé par les vagues; il ne reste que la partie centrale avec les faisceaux vasculaires, et des sinflorescences» fructifères se mon- trent alors en haut, comme M. Tulasne les mentionne et les représente dans sa monographie (p. 146). Fig. 3 et 4. Exemplaires originaux de M. Tulasne. La plante Fig. 4 est vieille et en très mauvais état; sur ses côtés on voit deux haptères A, dont l'inférieur retenait antérieurement une pierre. Fig. 5. Epiderme de la face supérieure d'une feuille, correspondant aux Fig. 6 et 7 de la PI. IV. Fig. 6. Coupe transversale d'une feuille; ev, épiderme de la face supérieure. On voit un faisceau va- seulaire qui vient de se diviser en deux; le tissu de ces faisceaux est représenté avee une teinte plus foncée; ils sont enveloppés par des fibres libériennes (à parois plus noires) Fig. 7. Bord d'une feuille coupée transversalement, tel qu'il se présente quelquefois. Fig.S. Partie d'une coupe transversale du bord d’une feuille de la variété pusilla, traitée par la potasse. L'épiderme renferme des formations siliceuses dont une est isolée. Fig. 9. Concrétions isolées de silice qui montrent combien ces formations peuvent être rongées à leur surface. Fig. 10 À. Racine de la variété pusilla Warmg., avec 5 paires de pousses développées (l'une d'elles, en ci, est tombée) et 5 paires de très petites pousses (gm) encore enfermées dans le tissu de la racine. Il n'y a pas d'haptères développés. Une racine r part du côté ventral de la racine. Fig. 10 B. Deux pousses de la racine précédente fortement grossies, vues du côté dorsal. Fig. 11. Représente la ramification et l'aspect du Mn. var. pusilla, Plusieurs petites racines nais- sent des pousses ou de la grande racine. Fig. 12 A. Cas dans lequel une racine s'étale et devient relativement plate. Les pousses descendent un peu sur le côté ventral; leur place est indiquée dans la Fig. 12 B par deux étoiles. Fig. 13. Racine régénérée, sur le flanc de laquelle apparaissent deux racines (on a indiqué la coiffe) réunies à la base. Fig. 14 A. Pousse de Mn. var. pusilla, vue de côté, avec les haptères qui partent du côté ventral. Fig. 14B. Haptères de 14 A; il y en a deux, qui sont réunis A la base; de la base de l'un d’enx sort une branche, A‘. Fig. 15 A. Pousse ramifiée vue du côté ventral; il y a 4 hapteres, dont deux sont plus longs et re- présentés avec un plus fort grossissement dans la Fig. 15 B, tandis que les deux inférieurs sont des organes très courts et lobés. Fig. 16. Racine en train de se régénérer. La coiffe a des cellules renfermant de la silice (sil). Fig. 17. Pousse vue du côté dorsal; il reste encore les feuilles a, db, c, d, e et f, dont c, dele sont dithéques; les stipules de d et de e sont marquées std et ste. kd est la première feuille de la pousse latérale formée à la base de d. Fig. 18. Racine très plate vue du côté ventral, pour montrer comment les pousses s'avancent sur ce côté. A la base des pousses se trouvent des haptères courts et à lobes irréguliers. Les parties centrales plus brunätres de la racine sont des poils radicaux conglutines. Fig. 18 B. Même racine en coupe transversale. Fig. 19. Pointe de racine, vue de côté. Fig. 20 A. Racine plusieurs fois régénérée; le sommet de la branche intacte est représenté dans les Fig. 20 B et C, vu du côté dorsal et du côté ventral. Fig. 21 et 22. Deux pointes de racines, vues de côté. Fig. 23. Racine régénérée; la nouvelle racine est double; les deux lignes ponctuées indiquent la marche des faisceaux fibro-vasculaires. Fig. 24. Pointe de racine, vue du côté dorsal (A) et du côté ventral (B). oo 34 Planche VI. Fig. 1—8. Mniopsis Weddelliana Tul. Fig. 1. Coupe longitudinale d'une racine régénérée. On a trouvé dans le cylindre central des cel- lules cambiformes, mais il ne renferme pas de trachéides et on n’a pu y découvrir avec certitude des tubes criblés. Fig. 2. Coupe transversale du cylindre central d'une racine, dans lequel il n'y avait pas de trachéides (cas rare). Fig.3. Coupe transversale du cylindre central d'une autre racine. Ce cylindre présente une division peu distinete en deux parties, chacune avec des trachéides (æyl) et du liber mou. Fig. 4. Un poil radical. . Fig.5. Echantillons de grains d'amidon. Fig. 6. Parenchyme d'une tige macérée; de même que dans les fibres du liber, les pores sont dis- posés suivant une hélice sinistrorsum. Fig. 7. Produits d'une macération: a et b sont des cellules du parenchyme d'une tige; c est un tra- chéide et d, une cellule libérienne d'une feuille. Fig. 8. Coupe transversale d'une tige. Les 3 faisceaux vasculaires forment un are qui tourne sa concavité vers le côté dorsal de la tige (la Fig. 3, PI.IV, est tournée en sens inverse), et se composent en majeure partie de collenchyme sur le côté dorsal. L'un d'eux présente une lacune. Les trachéides regardent le côté ventral. Fig. 9—15. Mniopsis Glazioviana Warmg., nova sp. Fig.9. Concrétions siliceuses de la base des feuilles et de la tige. Fig. 10. Fragment d'une tige, de la base de laquelle part une racine munie d'une coiffe. On a in- diqué par une étoile le germe d'une pousse endogène. Fig.11. A est un fragment d'une pousse vue du côté ventral; de la cicatrice laissée par une feuille arrachée, sort une racine qui s'enroule sur la tige. B en montre la pointe, qui est munie d'une grande coiffe, Fig. 12. Racine rampante horizontale avec un rameau (r), trois pousses endogènes et des haptères. Fig. 13 A. Pousse entière, vue du côté dorsal avec un grossissement de 5 fois, avec sa racine. Elle porte les feuilles a, 6, c,d, e, f, g, la dithèque % (dont les stipules sont marquées Ast), à, k, la dithèque l, m et n, et se termine ensuite par une fleur I: entre celle-ci et les deux feuilles supérieures, on a trouvé deux petites écailles légèrement proéminentes. La branche embrassée par la stipule externe de h porte les feuilles 1, 2, 3, 4 et la dithèque 5, et se termine par la fleur II; la pousse latérale Ill, à la base de 5, n'a qu'une feuille foliacée. La pousse latérale II, qui naît à la base de /, porte les feuilles a et #. Fig. 13 B. Montre un fragment de A, vu du côté ventral. Fig. 14. Racine vue du côté ventral; A, haptères également vus du côté ventral, avec de courts poils radicaux; rh, poils radicaux serrés et très courts sur le côté ventral de la racine; 7, racine qui se fait jour. Au-dessus d'un des hapteres, on voit la base d'une pousse. Fig. 15. Extrémités de poils radicaux. Fig. 16. Mniopsis scaturiginum Mart. Zuce. Fragment d'une pousse, vue du côté dorsal. Elle porte les feuilles a—7; f et g sont dithèques, mais on n'en voit guère que les stipules; à la base de f naît la pousse A dont la première feuille est a, et à celle de g, la pousse X’, dont on voit les feuilles 1—5. ing Lodostemacea KD Vid Sebske Str: 6% Hække 11,1 Warm Podostemon Ceratophyllum Michx KD Vid Selsk Skr. 6% Feeicke I 1 Warming: Podostemasen Tao. H = SS Ss SS / 6 N u Fodostemon Ceratophyllum Michx MD. Ved. Selsk. Sr Ce licekhe. 11, 1 Warm mg | | — 77 a | ENS As 3 : | a, ne 2 f Que pr N | I 7: lodostemacea Podostemon Ceratophyllum Miehx. Tan JH KD Nid. Sels Sr 62 Rældce I, 1 Warming Endostemace lav 1-13 Podostemon Ceratophyllum Michx. 14-24 Mniopsis Weddelliana Tul. KD Vid. Selsh: Shear Gte elle IL 1. Warnang. Podastemacer Tao. Mniopsis Weddelliana Tul. Ta». I KD Vid Ses bs Ska: 6 Rade 1.1 Warming: Podostenacea: 1-8, Mniopsis Weddelliana Tul. 9-15 Mn. Glazioviana Warmg. 16. Mn. seaturiginum Mart. Om Metallernes Ledningsevne for Varme og Elektricitet. Af L. Lorenz. Do Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. I. Kjøbenhavn. Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri. 1881. TINY ee N "en af eV cel | De theoretiske Betragtninger, som ligge til Grund for den ene af de to Methoder, hvorved jeg har forsogt at bestemme forskjellige Metallers Ledningsevne for Varmen, ere folgende: Man tenke sig en Stang opvarmet i den ene Ende. I en fra et vilkaarligt Punkt i Stangen regnet Afstand z vere den variable Temperatur betegnet ved x, idet Temperatur- skalaens Nulpunkt regnes fra Omgivelsernes Temperatur, som antages konstant. Temperaturen i en Række, i samme Afstand / efter hinanden folgende, Punkter er saaledes wy, w,... Un. Den Del af Stangen, som ligger imellem to til e—4/ og «= (n—!)! svarende Snit, mod- cond = 6 Un UL tager i Tidsenheden ved Varmeledningen fra den ene Side Varmemengden kg — naar k er Stangens Varmeledningsevne og g dens Tversnit, medens den til den anden Side . U(n—1)1 U afgiver Varmemængden kg € ni: Naar man altsaa setter: Ug — Ur — Uni) + Un = 4, … kgd 2 2 a £ saa Vil > være den af den betragtede Del af Stangen i hver Tidsenhed modtagne Varme- mængde, som nu dels medgaar til at opvarme Metallet, dels gaar bort til Omgivelserne. Det imellem de to Snit liggende Stykke af Stangen har Længden (n—1)/ og kan tænkes delt i n—1 lige store Dele. Til at opvarme enhver af disse Dele 1 Grad udkræves cdg! Varmeenheder, naar ¢ er Metallets Varmefylde og 0 dets Vegtfylde, og da den til Tidsenheden svarende Temperaturforogelse i enhver af disse Deles Midtpunkter er du; du, duin—1)1 3 : Fy ware el saa vil hele den Varmemængde, som Opvarmningen af alle »—1 (e € at = Dele i hver Tidsenhed udkrever, kunne udtrykkes ved eal, naar ZE = ur + un +... Unı- Den anden Del af Varmemængden, som tabes til Omgivelserne, er en Funktion af Temperaturen, og naar vi antage, at Temperaturerne i de forskjellige Stykker ikke ere meget forskjellige, kan denne Varmemengde tilnærmelsesvis betragtes som en Funktion af Middeltemperaturen, altsaa ogsaa som en Funktion f af 2. 38 4 Vi erholde saaledes Ligningen: 12 — oth = 4 f(2 (ES) te mee st cot RCE (1) Naar altsaa Stangen først opvarmes i den ene Ende, medens 4 og 2 bestemmes umiddel- bart (ved thermoelektriske Elementer), og naar man derefter lader Opvarmningen ophore, hvorved 4 snart gaar over til en anden meget lille Verdi 4’, medens » i tilbagegaaende Retning paa ny gjennemlober de samme Verdier som for, saa vil man for den sidste For- sogsrekke erholde den til (1) svarende Ligning: h ’ w ae — cdgl — leer, Af disse to Ligninger vil man for X — 2” ved Subtraktion erholde: Am, 1 ST we Au = cal (GR we ) dt dt då ds’ hvor Ze positiv, SE negativ. Man vil saaledes af en enkelt Forsogsrække erholde en t N Række Bestemmelser af Forholdet 72, k Ved en lille Forandring kan denne Methode gjøres endnu lidt nøjagtigere. For at se delte og for tillige at erholde et Skjøn over Størrelsen af de Fejl, som hidrøre fra de kun tilnærmelsesvis rigtige Forudsætninger for Beregningen, vil det imidlertid være nød- vendigt at gaa tilbage til Differentialligningen for Varmens Bevægelse i en Stang: o Le) 5 Le] 5 d, du du aise 9 FEDE cop Ai DR | one. Li oc. 0 (2) Som Koefficienter indgaa heri, foruden de tidligere benyttede Storrelser, p, Stangens Peri- meter, og h, Koefficienten for den ydre Varmeledning. Alle disse Koefficienter ere imidlertid selv Funktioner af w, men naar w antages lille og ikke er store Forandringer underkastet, ville de dog med tilstrækkelig Tilnærmelse kunne udtrykkes ved: a co ph å FAT a, (1+ au) , ky == De, the = hye 5 idet disse nye Koefficienter betragtes som konstante. Herved forandres Differentialligningen ; d?u du du\ 2 É til ae — aa) + Bot + Alu — 7 (9) eer Re à (3) Det vil let ses, at man har: (n—41)2 att! 12 da de (de 27 5 = Uy — UW — Un) + Un = À. vr wr Endvidere vil man for en vilkaarlig Funktion f(x) have: (n—1)l gæt! É 2, : : (a: da f(x) = 2 (FO + f(20 + … f((0—1)0)) = Fa (Fle) FR) — fl) HF) + … eo Le hvilket Udtryk ogsaa, da man tilnærmelsesvis har: Hem) € Std — fle 19) = f((n—#)2), KU — SD —F(0)) = fl), kan omdannes til (ya) + AD + + RD + f((—B)d)) + Med en lille Forandring af den tidligere Betydning af 3%, nemlig til = un Vort ve Un gt Um BAND aa = aa A (4) ville vi saaledes af (3) ved den angivne dobbelte Integration us tilnærmelsesvis: (a —1)1 z+! Al = rte — ses + | de Va (ean + by Bu? —r(2)') 0 (D) eo x Det sidste Integral vil altid kunne betragtes som en lille Storrelse i Sammenligning med de andre i Udtrykket indgaaende Led, naar kun Forsøgene udføres ved tilstrækkelig smaa Temperaturforogelser. Vi kunne derfor ogsaa tilnærmelsesvis bestemme dette Integral, idet vi, for saa vidt Beregningen af dette angaaer, gaa ud fra den mere simple Differentialligning: d?u RE eh I og integrere denne med fornodent Hensyn til de Betingelser, under hvilke Forsogene ere udforte. Det maa da bemærkes, at Opvarmningen af Stangen ledes saaledes, at 4 holder sig meget nær konstant, saalenge Maalingerne udfores. Denne Betingelse vil være tilfreds- stillet ved et Integral af Formen: u — Adv 2 Bea — Cena og skjondt ogsaa Integraler af andre Former her ere mulige, tor det dog antages, at oven- dx? tj staaende Udtryk i det væsentlige vil kunne gjengive Temperaturtilstanden i Stangen saaledes, som den har været, medens Maalingerne bleve udførte. Stangens ene Ende er endvidere i Afstanden 4/ fra det første Punkt, hvor Tem- peraturen w, maales. Da Varmetabet i Stangens Ende kun er lille, vil man derfor her l tilstrekkelig nojagtigt kunne sætte Tr — 0 for «= —11. Al 2 Man vil nu vere i Stand til at eliminere Konstanterne A, B, C, og man vil der- efter erholde: (n—1)l art! „2 ae \dzau* = 12 + (242, à n—1 i en T (a —1)! art! 1 9 de \de(—\ = Ag Ä eo er dar i 40 6 hvor f og g ere visse, alene af /?b, afhængige Tal. Ved Indsættelsen af folgende Verdier for /?b,, som omfatte de forskjellige Verdier, denne Størrelse antager i mine Forsøg, 2b, = 0,01, 0,0225, 0,04, 0,09, 0,16, har jeg fundet folgende tilsvarende Verdier for f og g: f =11,08, 9,34, 7,66, 4,86, 3,05, g = 3,13, 2,78, 2,40, 1,76, 1,33, hvilke Tal megel ner kunne gjengives ved de empiriske Formler: ; 68 34 iso NNE Sæltes endvidere \! Bs was. à ae +) =a, an lir n— I idet altsaa a og à ere de til Middeltemperaturen = i svarende Verdier af“ = og oh, saa reduceres Ligning (5) til 4 (i—74) = are = + DES, riers ti, eatin oh ok ee cr (6) Da alle de i 7 indgaaende Størrelser kunne udledes af selve Forsøgene, har jeg kunnet beregne den i Leddet 74 indeholdte Korrektion for alle mine Forsøg, og det har da vist sig, at denne Korrektion er aldeles uden Betydning for alle de bedre ledende Metaller. Ligeledes er den endnu for Nysolv, som horer til de slettere ledende Metaller, uden Betyd- ning paa Grund af, at her 7 undtagelsesvis er positiv, derimod belober for Antimon Kor- rektionen i mine Forseg sig til henved 5 Procent og for Vismuth endog til 10 Procent, med hvilken Brokdel den fundne Verdi af a bor formindskes. Idet nu Forsøgene anstilles som ovenfor er angivet, vil man, naar 74 sættes lig 0, til Beregningen af a have Ligningen: ; DE OO a eet eels tia | eg eve (7) dt dt = û 6 À P do Endnu maa bemærkes, at Jagttagelserne ikke umiddelbart give Verdierne af Fri Forsøgene (i ere anstillede saaledes, at de til givne Værdier af NY, som 2,,2,,3%,,..… svarende Tids- momenter to ¢,, dose bestemmes, idet à voxer eller aftager med konstante Differenser. ni . 7 = 1 . Ertildet til +) — ee ” svarende dpi. à saa er då Im — Dim: =1 b? = can i ay )? + OO ine so ite OF ovo © 8 Ai ea need 19 qu m tnt ) (8) hvor allerede det anførte andet Led i Rækkeudviklingen kun opnaar en meget lille Verdi i mine Forsog. Det vil imidlertid dog bestandig blive medtaget i Regningen. 41 De Metaller, som have været Gjenstand for mine Undersogelser, ere Kobber, Mag- nium, Aluminium, Kadmium, Jern, Tin, Bly, Antimon og Vismuth, samt af Legeringer rodt og gult Messing og Nysolv. Af disse 12 Metaller lod jeg forferdige cylindriske Stenger af 30 Centimeters Længde og 1,5 Centimeters Tykkelse. Disse Stenger bleve gjennemborede med en Række meget fine Huller, kun 0,4™" i Gjennemsnit, af hvilke Huller et enkelt be- fandt sig 1% fra Stangens ene Ende, navnlig bestemt til Brug for de elektriske Modstands- bestemmelser, medens der i samme Afstand fra Stangens anden Ende begyndte en Række af 9, 2°" fra hinanden fjernede, lignende Huller, som jeg vil betegne med 0, 1, 2, ... 8. Disse gik med hinanden parallele midt igjennem Stangen. Desuden var der endnu imellem 0 og I og imellem 7 og 8 anbragt to Huller i en Afstand af 4°“ henholdsvis fra 1 og 7. Disse sidste Huller vare borede vinkelret paa de andre og lidt excentrisk. Jeg vil betegne disse ved I’ og 7’. I disse Huller bleve Thermoelementerne anbragte. De bestode i Reglen af en 0,1™™ tyk Kobbertraad og en 0,3%" tyk Nysolvtraad. Loddestedet var omviklet med Silke, som iforvejen var afviklet fra Kobbertraadens Overspinding, Kobbertraaden blev trukket helt igjennem Hullet, indtil Loddestedet befandt sig midt i dette, medens Nysolvtraadens Over- spinding dannede et Bryst udenfor Hullet. Elementet var fuldstendig isoleret fra Stangen, hvad hver Gang særlig blev undersøgt. Til de to Huller 0 og I samt til 7 og 8 benyttedes Dobbeltelementer, idet to Kobbertraade med deres ene Ende vare loddede til Enderne af en enkelt, kun nogle Centi- meter lang Nysølvtraad. Disse Dobbeltelementer angave alene Temperaturforskjellen for de to Huller 0 og 1 samt for 7 og 8. Desuden bleve de fra 0 og 7 kommende Kobber- traade forenede ved Lodning, saaledes at den thermvelektriske Differens i de fra 1 og 8 kommende Kobbertraade komme til at svare til den ovenfor ved 4 betegnede Temperatur- differens. Endvidere bleve 7 Thermoelementer anbragte i de 7 Huller 1’, 2, 3, ... 6, 7’ og" forbundne til en sammensat Kjæde, saaledes at alle de Loddesteder, som befandt sig udenfor Stangen, under Forsøgene vare førte hen til et særskilt Rum, hvor de erholdt Omgivelsernes Temperatur. Den elektriske Differens i denne Kjædes Endepunkter svarede altsaa til den ved 2' (Ligning (4)) betegnede Temperatursum. De to fra 8 og I” kommende Kobbertraade vare begge ved en Lodning forbundne med en 1”" tyk Kobbertraad (G i omstaaende Figur), medens to andre 1™ tykke Kobber- traade (D og S) vare forbundne, den første med den fra 1 kommende Kobbertraad, den anden med den fra 7’ kommende Nysølvtraad. De elektriske Differenser imellem G og D og imellem @ og S svare altsaa henholdsvis til de Temperaturstorrelser 4 og 2, som ved Forsøgene skulle bestemmes. Efter at alt dette var ordnet, blev Stangen anbragt i det i Figuren fremstillede 42 8 Varmeapparat. Dette bestod af en lukket Cylinder A (47% lang, 10,5°™ i Diameter), hvor- igjennem der gik et 4,3°® vidt, aabent Ror B, alt af Messing og med tykke Vægge. Dette Apparat blev ved en gjennem Roret a ledet Vandstrom holdt paa Vandledningens Temperatur eller ogsaa opvarmet til 100° ved en Strom af Vanddampe, som traadte ind ved b og ud gjennem Roret a. Stangen blev ved Hjælp af to Korkproppe anbragt i det indre Ror B. En tredie, ikke tæt sluttende Korkprop, som var anbragt i nogen Afstand fra Stangens b ar | forreste Ende c, tjente kun som Skjærm og tvang den fra den stærkest opvarmede Del af Stangen kommende Luft til at passere tæt forbi Rorets Vægge. Thermoelementerne vare trukne igjennem smaa Huller i den ved Stangens anden Ende anbragte Korkprop, saaledes at alle de Loddesteder, som skulde holdes paa Varmeapparatets Temperatur, befandt sig i Rummet e, hvor de vare omgivne af lost Bomuld. De tre ovenfor omtalte Kobbertraade D, G og S vare anbragte i en tætsluttende Korkprop. Thermoelementernes elektromotoriske Kræfter bleve maalte paa folgende Maade. Paa et Bord var en 5 Meter lang, 1™™ tyk Kobbertraad anbragt saaledes, at den forste halve Meter af Traaden var udspændt over en i Millimeter inddelt Maalestok, medens den ovrige Del af Traaden for hver halve Meter, regnet fra Maalestokkens Nulpunkt, var befestet til Bordet og her dannede en lille Bojle. Med denne Traad var forbunden en Siemens Rheostat, en Sinusbussole og et Daniells Element. Fra den fra Varmeapparatet kommende Traadende G forte en Ledning til et Wiede- manns Spejlgalvanometer, hvis Spejl ved Hjælp af en stærk Magnet var holdt tilborlig astalisk, og herfra til den ovenfor beskrevne Maaletraads Nulpunkt. Fra de to andre Traade D og S forte to Ledninger til den ved Maalebordet siddende lagttager. Naar en af disse to Ledninger bringes i Beroring med Maaletraaden, saa gaar den fra Maaletraaden afledede saavelsom den fra Thermoelementerne kommende elektriske Strom gjennem Galvanometret. Naar begge disse i Stromkredsen opstaaede elektromotoriske Kræfter ere lige store og mod- salte, saa vil der intet Udslag af Galvanometret fremkomme. Paa denne Maade vare alle Galvanometeriagttagelserne kun Nulpunktsiagttagelser, og Maaletraaden giver da i Millimeter et Maal for de elektromotoriske Kræfter 4 og 3, som Forsøgene gaa ud paa at bestemme, idet 4 bestemmes ved den fra D kommende Ledning og maales paa den udspendte Del af Maaletraaden, medens 2 bestemmes ved Ledningen fra S og maales kun for hver halve Meter paa den ovrige Del af Maaletraaden. 9 43 Alle Traadledningerne, heri indbefattet Maaletraaden og Galvanometrets Traad, be- stode af den samme, 1"" tykke Kobbertraad, og overalt, hvor to Traadender vare forenede ved Klemskruer, vare Traadene selv i umiddelbar Beroring med hinanden. Den ene Traad- ende, som blev fort hen til et Punkt af Maaletraaden, blev ikke berørt umiddelbart med Haanden, men var befæstet til et Træhaandtag. Maalingerne udfortes ved Lampelys, imod hvilket Galvanometret var beskyttet ved en Skjerm, navnlig var alt direkte Sollys altid holdt borte fra Tagttagelseslokalet. Daniells Element blev altid en Time for Maalingerne forbundet med Ledningen, hvorved opnaaedes en meget konstant Strom under alle Maalingerne. Endelig vare ogsaa de elektriske Modstande i de forskjellige Dele af Maaletraaden nojagtigt sammenlignede. Ved de ovennævnte Forsigtighedsregler var der opnaaet, at naar Stangen i Varme- apparatet havde opnaaet Vandledningens konstante Temperatur, saa fandtes næsten altid 4 og 2 lig 0. Var derimod Apparatet opvarmet ved Vanddamp, saa var dette ikke længere Tilfældet, og 4 og 2 maatte da regnes fra de Punkter paa Maalestokken, som Maalingerne udviste, naar Stangen havde naaet den stationere Temperaturtilstand. Disse konstante thermoelektriske Kræfter fremkom for en Del i de tre til Varmeapparatet forende tykkere Kobbertraade, idet disse havde meget forskjellige Temperaturer i deres Endepunkter, imellem hvilke der paa Grund af den ene Traadendes foregaaende Opvarmning under Lodningen var opstaaet ikke ringe thermoelektriske Forskjelligheder. Ved et Forsogs Begyndelse er Roret i Varmeapparatet lukket ved e med en Kork- prop, og Tiden afventes, indtil Stangen i Varmeapparatet har naaet dettes konstante Tem- peratur. Derefter bliver Proppen taget bort, og en iforvejen opvarmet Stang, i Reglen Kobberstangen, føres hen til c, medens Opvarmningen af den ydre Stang fortsættes ved en meget svag Lampe. Denne Opvarmning maa ledes saaledes, at den thermoelektriske Diffe- rens 4 for den i Apparatet anbragte Stang stiger raskt og derefter holder sig i nogen Tid nogenlunde konstant. For med Sikkerhed at kunne lede Opvarmningen, maa man sorge for en fuldstændig metallisk Beroring imeilem de to Stenger, hvorfor den ydre Stangs Endeflade altid var frisk amalgameret. lovrigt kan jeg ikke give nogen almindelig Regel for Opvarmningen, den udkræver kun nogen Øvelse for at lykkes, og mere rationelle Op- varmningsmethoder maatte jeg forkaste. De slettere ledende Metalstenger, Antimon og Vismuth, maatte jeg, for at erholde den rette Opvarmning, gjore noget kortere. Saasnart Maalingerne vise, at 4 nærmer sig til at blive konstant, soger man at bestemme 2, idet man bringer Spidsen af den fra S kommende Traad i kortvarig Berøring med en af de paa Maaletraaden anbragte smaa Bojler, som angive 500, 1000, . .. indtil 5000 Millimeter af Maaletraaden fra dennes Nulpunkt, og man iagttager da ved et Pendul- uhr det Ojeblik, da Beroringen med et af disse Punkter ingen Strom frembringer. Derefter bestemmes 4 nojagligt, og paany iagttages Tidsojeblikket, naar © passerer den neste, Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og math, Afd. II, 2. 6 44 10e 500™" højere Inddeling paa Maaletraaden, og saaledes videre, indtil enten 4 ikke længere holder sig konstant, eller indtil det højeste Punkt, 5000%%, paa Maaletraaden er naaet. Derefter afbrydes Opvarmningen, Apparatet lukkes atter med Korkproppen, og 4 aftager nu raskt og nærmer sig Nulpunktet. lagttagelserne fortsættes da ved aftagende 2' ligesom før, indtil man er kommet tilbage til den først noterede lavere Grænse for 2. Beregningen af en saadan Forsøgsrække udføres da ved Hjælp af Ligningerne (7) og (8). For nærmere at undersøge de forskjellige mulige Fejlkilder ved disse Forsøg og fuldstændig være sikker paa Rigtigheden af de opnaaede Resultater, har jeg, forinden jeg begyndte de endelige Maalinger, udført en stor Mængde, paa forskjellige Maader varierede Forsøg med flere af Stængerne (ialt over 100 Forsøgsrækker). Saaledes bleve Forsøg ud- førte dels med det beskrevne Varmeapparat, som blev anvendt ved alle de endelige Maa- linger, dels med et andet, dels ogsaa i fri Luft. I nogle Forsøg var Stangen omgiven med Bomuld eller Edderdun. Forskjellige Grader af Opvarmning bleve prøvede, idet den i Maale- traadens Stromkreds indskudte Modstand varierede fra 300 til 50 Siemens Enheder. For- uden de sædvanlig benyttede Thermoelementer af Kobber- og Nysølvtraad prøvedes ogsaa Elementer af Kobber- og Jerntraad. Da de første Elementers elektromotoriske Kraft voxer ved højere Temperaturer, de sidstes derimod aftager, saaledes at disse Elementers Tem- peraturangivelser altsaa afvige til modsatte Sider fra den sædvanlige Temperaturskala, ere disse Forsøg ikke uden Interesse, og jeg skal derfor i det følgende anføre en med Kobber- Jerntraad udført Forsøgsrække. Endelig har jeg ogsaa ved Jern-, Nysølv- og Vismuth- stængerne anvendt Kobbertraade alene, der indsattes i Hullerne i ledende Forbindelse med Stangen, som Thermoelementer. Jeg skal med Hensyn til alle disse Forundersøgelser ind- skrænke mig til at bemærke, at jeg ikke fandt nogen væsentlig Uoverensstemmelse i de erholdte Resultater. Efter Tilendebringelsen af disse meget tidsspildende Forundersøgelser kunde de endelige Maalinger, hvis Enkeltheder jeg i det Følgende skal meddele, bringes temmelig hurtig til Ende, da Forsøgene i og for sig efter nogen Øvelse ikke frembyde særlige Vanskeligheder. Den elektriske Ledningsevne har jeg bestemt for alle Stængerne umiddelbart i absolut Maal ved 0? og ved 100? efter den samme Methode, som jeg tidligere har benyttet til Bestemmelsen af Kviksølvets elektriske Ledningsmodstand (Oversigt over Vidensk. Selsk. Forh. 1873, S. 67), ved hvilken Methode Maalinger af smaa Modstande lade sig udføre baade med Lethed og med Nøjagtighed. Til nærværende Maalinger har jeg i Stedet for en astatisk Dobbeltnaal benyttet Spejlgalvanometret, som er folsommere, medens rigtignok paa den anden Side Dobbeltnaalen mindre er udsat for forstyrrende Indvirkninger fra Strømmen i Maaleapparatels store Traadrulle. Da imidlertid denne sidste altid kan anbringes i saa stor en Afstand fra Galvanometret og drejes om til en saadan Stilling, at disse Indvirkninger 11 45 blive umærkelige, og da der desuden i Forsogene selv er den fornodne Kontrol for de mulige Fejl af denne Art, har jeg her foretrukket Spejlgalvanometret. Stengerne bleve holdte paa 0° ved at omgives med Is, og paa 100° ved at anbringes i kogende Vand eller i Varmeapparatet (Magnium og Aluminium), ogsaa bleve nogle Forsog anstillede med Stængerne anbragte i fri Luft ved Stuens Temperatur. Resultaterne vare ved en given Temperatur de samme, hvad enten Stængerne vare omgivne af Luft eller Vand. Jeg havde til disse Forsog alene benyttet mit Apparats ydre Traadrulle, med hvilken jeg tillige udførte nogle Bestemmelser af Kviksolvets Ledningsevne. Resultaterne heraf vare de samme som de tidligere fundne, i hvilke jeg for Kviksølvets Modstand havde fundet en 2 Procent mindre Værdi end British Association's Comité. Senere er Hr. Rowland (Silliman's Journal, Vol. XV (1878), p. 281) kommet til et midt imellem disse liggende Re- sultat, men hertil maa endnu bemærkes, at disse og andre Iagttagere hidtil ikke have bestemt selve Kviksølvets Ledningsmodstand i absolut Maal, men alene Modstanden af de Siemen'ske Kopier, som ere bestemte ved Sammenligning med forholdsvis tynde Kviksølvsøjler. I min ovenfor citerede Afhandling om Kviksølvets elektriske Ledningsmodstand havde jeg (S. 78) omtalt, at en Slutning eller Afbrydelse af Hovedstrømmen under Maalingerne havde en kjendelig Virkning paa Galvanometret. Dette Fænomen, som dengang var mig uforklarligt, har jeg nu fundet, hidrører fra Traadrullens inducerende Virkning paa Ledningen til Galvanometret. Naar man kun lader denne Ledning gaa til Traadrullen vinkelret paa dennes Vindinger, bortfalde disse Induktionsfænomener ganske. Bestemmelsen af Metallernes Vægtfylde bleve udførte ved sædvanlig Temperatur, hvoraf Vægtfylden ved 0° og 100° blev beregnet, idet jeg gik ud fra de bekjendte Udvidelses- koefficienter. Disse og de følgende Forsøg bleve udførte med Stykker paa 6%" Længde, der vare afskaarne af Stængerne. Endelig har jeg ogsaa bestemt Varmefylden for alle Metallerne ved tre forskjellige Temperaturer. Det til disse Forsøg indrettede Varmeapparat bestod af en Kobbercylinder (156™" høj, 55" i Gjennemsnit), som omgav et i Laaget anbragt (128"" langt, 27™™ bredt), for neden lukket Ror. Cylindren indeholdt Æthylalkohol eller Amylalkohol, som holdtes vedvarende i Kog, idet Dampene fortættedes i et spiralformet Glasrør, hvorfra de som Vædske løb tilbage igjen til Cylinderen. Den lille Stang, hvis Varmefylde skulde bestemmes, var anbragt i Røret og blev her opvarmet til de to Vædskers Kogepunkter (78° og 1319). Endelig blev ogsaa det samme Apparat tilligemed Stangen sat ned i en Kuldeblanding af Is og Kogsalt. Naar Stangen paa en af disse Maader havde opnaaet en konstant Temperatur, blev Opvarmningsapparatet ved et Haandtag ført hen til Kalorimetret, hvori Stangen hurtig blev styrtet. Forøvrigt udførtes Maalingerne paa sædvanlig Maade. Da Værelsets Temperatur ved disse Forsøg omtrent var 20°, saa var de til de fundne Varmefylder svarende Middel- * 6 46 12 temperaturer meget ner 0°, 50°, 75°. Ved enhver af disse Temperaturer blev der udfort mindst to Maalinger. De fundne Middelverdier ville blive anforte i det folgende. Af disse Iagttagelser har jeg beregnet de til 0° og 100° svarende Varmefylder ved Formlerne : Cy = c+ 0,45e — 0,30€, \ co = C+ 0,20€ + 1,20€’, f idet ¢, ee og e+e’ ere de af lagttagelserne fremgaaede Verdier af Varmefylderne ved 0°, 50° og 75°. Disse Formler ere beregnede ved de mindste Kvadraters Methode, idet Vegtene af de fundne Verdier for c, ee og c+’ ere anslaaede til henholdsvis 1, 2 og 3,4. I de folgende Tabeller har jeg samlet Resultaterne af alle de saaledes udforte Maalinger i den Orden, hvori Forsøgene over Varmeledningen bleve udførte. # er Varme- apparalets Temperatur, de i første Linie angivne Verdier af J og X ere de paa Maaletraaden i Millimeter maalte konstante Temperaturer ved Forsogets Begyndelse, W er Modstanden i Maaletraadens Stromkreds. I Reglen har den benyttede Modstand været 102 Siemens En- heder, ved hvilken Modstand 1°C. svarer til 48™™ af Maaletraaden ved 0° og 58,5™™ ved 100°. ST v = =) af de to Den forste vertikale Række i Tabellerne indeholder Middeltallene ( paa hinanden folgende, iagttagne Verdier af ©, den anden Række det imellem disse to JES Iagttagelser forløbne Antal Sekunder (¢), hvoraf i tredie Række “= er beregnet ved Hjælp dt af Ligning (8), som paa en lille Korrektion nær giver a= = Den fjerde Række indeholder de iagttagne Verdier af 4. De tre folgende Rækker give de tilsvarende, ved den paafolgende Afkoling fundne Størrelser, idet nu X gjennemlober de samme Værdier i tilbagegaaende Retning. Endelig indeholder den ottende Række de ved Lign. (7) beregnede Verdier af al?, hvor /— 2, medens den sidste Række indeholder de ved Hjælp af Ligningen: dr’ b dt A’ a 2 fad : Se ban = ; beregnede Verdier af —.10°. Det maa bemærkes, at J og » maa regnes fra de ved Le) bl to} to} | i vb É N Forsogets Begyndelse bestemte faste Punkter ved Beregningen af —, hvorimod disse ere a uden Betydning for Beregningen af a. Som absolute Enheder er her overalt antaget for Massen Grammet, for Længden Centimeteren, for Tiden Sekundet. 13 47 Tin =, et FAN), HAE — — —— y az | ar ' A b 5 2 t di A | Fr 4 | ia |- 10 | 1250 | 153 | 397 | 45 | 513 | 0,99 0 | 10,56 79 1750 | 187 | 2,67 | 44 | 376 | 1% 1 | 10,7 82 2250 | 245 | 2,05 | 43 | 308 | 16 | 5 | 10,50 | 94 2. #=6,4°, 4=0, Y=0, W—102S.E. 3250 | 109 | 4,59 | 82 | 178 | 2,82 5 | 10,39 | 102 3750 | 116 | 431 | 85 | 155 | 3,23 5 10,61 99 4250 | 114 | 4,40 | 90 | 141 | 3,55 9 | 1019 | 105 3. 9—8,2°, 4—0, 2 —-—30, W—102S.E. 2250 | 98 | 5,10 | 73 | 265 1,90 —2 10,71 76 ENONCE HEDE ROTE BEDT SEE KEE 10153 76 8250 | 114 | 439 | 70 | 183 | 274 | —8 10,24 75 3750 | 130 | 355 | 71 | 158 | S27 | —3) | 1039 |, 79 4250 | 130 | 3,85 | 74 | 147 | 3,41 O | 10,19 80 4. #=100°, 4—9%2, Z=700, W= 102 S.E. 2250 | 120 | 417 | 88 | 320 | 1, | 22 | 11, | 101 2750 | 135 |.3x1 | 90 | 258 | 1,95 23 | 11,84 | 100 3250 | 160 | 313 | 90 | 214 | 9,5 25 RAS] 0102 3750 | 216 | 2,52 | 87 | 198 | 253 | 30 | 1135 | 106 5. &=100°7, 4——27, Y—1500, W= 102 S.E. 3750 | 61 | 8,0 | 93 | 218 | 231 | —27 | liye | 103 4950 | 68 | 7,5 | 97 | 170 | 2,95 = "| 19,04 | 108 4750 | 70 | Tu | 96 | 170 | 295 | —22 | 11,7 | 104 De tre Forsogsrækker 1, 2 og 4 ere udforte med thermoelektriske Elementer af Kobber- og Jerntraad, de andre og alle de følgende derimod med Elementer af Kobber- og Nysolvtraad. 3 erholdes som Middel: 16° C. Af Forsogsrækkerne 1, 2 og 4a — 10,44 ved Af 4 og 5: 4a — 11,74 ved 106° C. Beregnes heraf de til 0° og 100° svarende Værdier, erholdes: 4a, = 10,21, 440 = 11,64. De iagttagne Varmefylder ere: ved 0° ved 50° ved 75° 0,05368 , 0,05534 , 0,05643 , 48 hvoraf ved Formlerne (9) beregnes: hvoraf Co = 0,05360, co == 0,05731. De til 0° og 100° svarende Vegtfylder ere: do a 7,276 , O10 = 1,226 , Co 90 = 0,3900 , C100 A100 — 0,4141. Varmeledningsevnerne ved 0° og 100°, ky og kw, ere altsaa hvoraf: AIDE Heraf hvoraf Di DJ Co 00 C100 0100 ky = = 0,528, Eu k ao 4400 100 De fundne elektriske Ledningsevner yed 0° og 100° ere = = x %o — 9,346.10, zu — 6,524. 10-5, © — 1,433, X 100 k k k k = (Sh, ea, en, Xo X100 X100 Xo Jern. 1. 9-98, 4—0, Y=0, W—IAS.E. a a) tr 2 | t | & | | | = A LE lø 10 I 1 I — | 2250 | 86 | 5,81 u 553 | 0,91 2 | 20 | 40 2750 | 84 | 5,5 | 144 | 440 | 1,14 2 | 2008 | 41 3250 | 90 | 5,56 | 144 | 366 | 1,37 2 | 20,0 | 42 3750 | 90 | 5,56 | 146 | 308 | 1,62 2 | 2006 | 48 4950 | 94 | 5,32 | 149 | 268 | 1,87 4 | 2017 | 46 4750 | 99 | 5,05 | 151 | 240 | 2,08 8 | 20,06 50 ee = 1008, A 13, 3500, WS. 2750 | 180 | 2,78 77 | 510 | Ovs | —8 22,60 49 3250 | 202 | 248 | 79| 893 | on | —6 | 22,67 | 54 3750 | 238 | 210 | 79 | 347 | 1a —2 | 29,88 56 4250 | 290 | 2,72 | 79 | 308 | 1,46 | +3 | 2275 | 59 Af 1 erholdes som Middel: 4a = 20,24 ved 19° C. 4a = 22,73 ved 114° C. 4a, = 19,74, 40100 — 22,34. Varmefylderne ere: ved 0° ved 50° ved 75° 0,1050 , 0,1107 , 0,1136 , Co — 0,1050, Cıoo = 0,1165. = - -— 0,1433, — — 1,074. 14 15 49 Endvidere er Om UE O100 = 7,799 , Cy Oy = 0,8219 , C100 0100 — 0, 9086. k Altsaa ky —0,1665, Kıoo — 0,1627 , En — 1,023. 100 De elektriske Ledningsevner ere: 20 — 10,374.10-5, xım — 6,628.10-, “2 — 1,565, X 100 k k kino k altsaa 0 — 1605, m 45, 0 = 1520. xo X100 X100 Xo Nysølv. 1. 99,6%, 41—0, 2=240, W= 102 S.E. = ps — — Taal eee ee 2 t di À | | dt 4 4a 5 10 | ] | | =] 2750 | 157 | 3,18 | 194 | 495 | 1,18 4 | 43,58 51 3250 | 167 | 2,99 183 | 375 | 1,88 6 | 43,29 49 3750 | 176 | 2,84 | 192 | 340 | 1,47 8 | 42,69 47 4250 | 202 | 2,48 | 191 | 320 1,56 20 | 42,33 | 51 2. ÿ—10,3, 4—5, 2—100, W—102S.E. 2750 | 146 | 342 | 207 | 442 | 1,18 13 | 42,64 50 3250 | 140 | 3,57 | 222 | 396 | 1,26 18 | 42,24 | 50 3750 | 159 | 3,4 | 221 | 380 | 1,82 30 | 4285 | 50 3. d=100°, 4——99, 2 —350, W—102S.E. 3750 | 73 | 6,85 | 269 | 392 1,28 | —15 34,93 | 49 4250 | 73 | 635 | 281 | 345 | 145 | —13 | 354 | 49 4750 | 74 | 6,6 | 288 | 275 | 1,88 | —11 | 3485 | 53 7 — 10025 TN 211005 AS Ne 3100 | 276 | 1,51 94 | 432 1,16 | —13 36,03 | 52 4250 | 298 | 1,68 | 96 | 400 | 15 | — 7 | 3515 | 52 4750 | 362 | 1,38 | 100 | 386 | 1,350 | + 3 | 3619 | 53 Middel af 1 og 2: 4a — 42,80 ved 19° C. Middel af 3 og 4: 4a = 35,43 ved 108° C. Heraf 4a, = 44,37 , 444109 — 36,09. Varmefylderne ere: ved 0° ved 50° ved 75° 0,09153 , 0,09292 , 0,09401 , hvoraf Co — 0,09141 , C100 — 0,09467. 50 Endvidere er Oy = 8,49 , 0100 = 8,457 , Co Oo = 0,9769 , C100 D100 == 0,8006 , k altsaa er ky = 0,07004 , ko — 0,08874 , j D — 0,7893. "100 De elektriske Ledningsevner ere: 20 = 3,766.10—5, x100 = 3,632.10, = — 1,037, 100 k k k k altsaa == a, = si Xo X100 X100 Ko Kobber. 1. 9=112, 4—0, 2—50, W=102S.E. — = ; | na | ne Der re EAN re 2250 | 156 | 3,21 | 22 | 512 | 0,98 3 454 | 75 2750 | 154 | 325 | 24 | 406 | 1,24 4 | 45 | 79 3250 | 150 | 3 | 27 | 384 | 10 | 5 | 455 | 81 3750 | 156 | 321 | 29 | 288 | 1m | 65 | 4,55 | 86 | 92. 9—100°, A=3, 3150, W=32S.E. 3250 | 99 | 55 | 89 | 287 | 15 | 75 | 463 | 88 3750 | 101 | 4,05 | 40 | 250 | 2,01 8 4,60 86 4950 | 107 | 468 | 41 | 220 | 2258 | 9 | 4,60 87 Middel af 1 4a = 4,43 ved 19° C. Middel af 2 4a — 4,61 ved 117° C. Heraf 4a, = 4,40 ; 4aioo = 4,58. Varmefylderne ere: ved 0° ved 50° ved 75° 0,08988 , 0,09169 , 0,09319 , hvoraf Co = 0,08970 , Cioo = 0,09421. Endvidere er Oy = 8,827, 0100 = 8,783 , Co Oy = 0,7918 , C400 Oto — 0, 8274. k ko = 0,7198 , kon = 0,7226 , — = 0,996 , kıno = x 3 SOS, ergy N, ID X100 k k ko , k 0 — 1574, 9137, —: 0 = 1,358. %o X100 X100 %o 16 17 Bly. I. d9=11,0, {—0, >= 50, W—102S.E. à | 7 | dy | 4 | t | az | A’ | I lo 10° = | | dt | | irda | 1 je 3 = es | 1750 84 | 5,95 | 136 | 273 | 1,84 | 4 16,94 | 115 2250 | 86 | 5,81 | 140 | 211 | 2,88 | 5 | 1648 | 116 2750 | 99 | 505 | 145 | 175 | 2,86 8 | 17,30 | 118 ee, AO SO MN 2250 | 142 || 3,53 | 105 0210 "12,891 5,5 | 16,81 | 121 2750 | 149 | 3,36 | 114 | 174 | 265 | 8 | 1699 | 122 3250 | 162 | 309 | 120 | 146 | 343 | 11 | 167 | 126 3750 | 183 | 2,74 | 129 | 126 | 3,97 1.17 | 16,68 | | 133 32 9— 1005, A357 39500, WZI02S3E- 1750 | 111 | 451 | 78 | 380 | 1,33 |—30 | 184 | 129 2250 | 132 | 3,79 | 79 | 263 1,91 |—24 18,05 145 MES 10024 5 16300 2ISSRE 3250 | 233 | 2,16 | 76 | 112 447 |—42 17,80 | 156 3750 | 273 | 1,84 84 94 5,32 | —44 17,88 155 Middel af 1 og 2: 4a — 16,84 ved 19° C. Middel af 3 og 4: 4a == 18,05 ved 105° C. Heraf 4a, = 16,57, 44400 — 17,98. Varmefylderne ere ved 0° ved 50° ved 75° 0,03067, 0,03092, 0,03071, hvoraf Co = C400 = 0,03077. Endvidere er OY) = Dea 100 = 11,163. Co Oy = 0,3464 , C400 0400 — 0,3435. k k, = 0,08362 , Kon — 0,07642 , m o = 1,094, 100 AD 5,141 g 10525 X100 == 3,602. Ne La) = 1,427 5 X100 k k k k =o — 1697, 222, —*:—2 = 1,94. Xo X100 X100 Xo Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 2. 52 Messing (rødt). 1. B= 127, 2020 0D SE. 5 då ds’ ñ | b 5 I | 2250 | 110 | 455 | 70 | 558 | 0,0 3 | 12,29 | 50 2750 | 111 | 450 | 73 | 406 | 1,4 4 | 1202 | 56 3950 | 108 | 463 | 77 | 348 | 1,84 5 | lige | 56 3750 | 114 | As | 80 | 984 | 1x6 6 | 1205 | 59 DRE OO 4-14 Bere, We SD 1750 | 90 | 5,56 | 65 | 460 1,10 —12 || Usa | 65 2250 | 86 | 581 | 68 | 318 | 14 | —14 | 11,0 | 64 2750 | 83 | 6,02 | 72 | 194 | 258 | —21 | 105 | 65 3250 | 80 | 65 | 77 | 131 | 352 | —30 | 103 | 67 Afkolingen er i dette Forsog paaskyndet ved en kortvarig Berering med en kold Stang. Middel af 1: 4a = 12,05 ved 21° C. Middel af 2: 4a = 11,02 ved 107° C. Heraf 4a, == 12,29, 40400 = 11,10. Varmefylderne ere: ved 0° ved 50° ved 75° 0,08991 , 0,09224 , 0,09396 , hvoraf €, = 0,09005 , C49) = 0,09396. Endvidere er Op — 8,395, O100 = 8,348 , Co do — (),7559 > 400 O100 = 0,7844 ; k ky = 0,2460 , kyoo = 0,2827 , Es — (),8704 , 100 2 1570 10, 210 = 12,81. 10, Dies. % 100 k k k k > — 1562, es 560 Xo X100 X100 Ko Messing (gult). D 12 00 40, 2173, W=102 S. Et RATE Ta ENS y | da | _ de ' 4a |—: 10° > | | dt | 4 | i | dt | 4 | | [0 | | | | | | 3250 | 65 | 7,60 | 143 | 324 | 1,56 | 11 | 1427 | 76 3750 66 | 7,58 | 147 | 264 | 1,90 16 | 13,82 | 86 4250 | 67 | Zac | 150! 204 | 26 18 | 13,31 | 93 19 2. J= 108°, 4=0, S—120, W = 102 S.E. dx SL ER Si dE) » d 105 2 t | Sa whi be ar | 4 ia |—-10 2250 | 304 | 1,66 44 | 505 1,00 | 8 13,53 75 3. §—100°, dJ=—6, Z=550, W= 102 S.E. 2750 | 170 | 2,04 | 47 | 367 | Iv | —5 | 12,05 66 32502]. 19200 E2i61 48 | 307 1,63 —3 12,03 69 3750 | 226 | 2,22 | 48 | 266 | 1,88 | 0 | Au 74 4950 | 275 | 1,92 | 48 | 255 | tye | 4 | 11,64 76 Middel af 1 og 2: 4a = 13,73 ved 20° C. Middel af 3: 4a = 11,86 ved 107° C. Heraf 4a, =: 14,16, 4ai00 = 12,01. Varmefylderne ere ved 0° ved 50° ved 75° 0,08833 , 0,09218, 0,09265 , hvoraf co == 0,08876 , C499 == 0,09428. Endvidere er Oy) = 8,140, 0100 — 8,090 , Co Oo = 0,7225 ,… C100 0100 = 0,7627 ; ko 1 012041 Koo = 0,2540 , —— = (0,8035 , hoo IO, a= chee, (TES, X100 k k k k > — 1617, 30) as" = a, Xo X100 X100 Xo Magnium. RD AO 2107 WW 023SIR: Tale ie oe „| | | y ds | | LER | |b = Ze a le ar | 4 BE AD | | TE | 3750 | 63 | Tu |56 | 153 | 3 | 2 | 482 | 104 4950 | 66 | 758 | 59 | 132 | 3% | 3 | 493 | 109 Ce Mn CE ae | a ae 2, ÿ—10,8, dI—0, 2=50, W—102S.E 1250 | 121 | 43 | 23,5 | 514 | 0,9 0 4,59 82 1750 | 118 | 4,24 | 24,5 | 368 | 1,37 0 4,37 81 2250 | 124 | 403 | 26,5 | 268 | 188 | 0,5 4,10 90 2750 | 182 | 39 |28 | 226 | Qe | 1 41 | 90 3250 | 137 | 3,65 | 30 | 190 | 264 | 2 Aus | 97 3750 | 150 | 3,91 | 32 | 152 | 3,50 2 | Age 101 54 20 3, $= 100°. 10, Bes ay 02 Sob ae er |, ee ae & | | dt | LEE 2750 | 184 | 2,72 | 28,5] 173 | 2 15 | ds | 114 3250 | 204 | 2,45 | 30 | 145 | 3,45 2,5 | 466 | 121 3750 | 235 | 213 | 31,5 | 124 | 4,8 3 | 4.63 | 123 4250 | 273 | 1,83 | 30,5 | 122 4,10 45 | 4,38 119 4. 8= 100°, 4= 2, S—0, W=52'S.E 3250 | 81 | Gaz | 44 | 148 | 3,38 | —2 | 482 | 104 3750 | 96 | 5,21 | 40,5) 125 | 400 | —2 | 4,61 | 107 4250 | 129 | 3,8 | 38 | 119 | 420 | —15 | 4,89 101 4750 | 166 | 3,01 | 85,5 | 105 | 46 | +1, 438 | 117 Den sidste Forsogsrække er udført, ikke ved Opvarmning, men ved Afkoling, idet den ydre Stang kun var opvarmet til omtrent 80°, og under Forsøget afkøledes frit i Luften. Strommen var derfor ogsaa her i Maaletraaden vendt om. Af alle Forsogene erholdes som Middel: 4a = 4,612. Varmefylderne ere: ved 75° 0,2509 , ved 0° 0,2456 , ved 50° 0,2519 , hvoraf Co = 2100 = 0,2503. Endvidere er Oo = 1,739, 0 — 1,725, cd = 0,4335 , ko = K100 = 0,3760 3 x x = 24,47.10=5, x10 = 17,50.10-, —- = 1,398, X100 k k k k — 537, — — 2149, nt, = 1,398 , Xo X100 X100 Xo Aluminium. 1. 9=13,7, 4=0, 2—0, W—102S.E. — == if SN dz | | SAINS ES a an | dt | A | dt d Me | a 10 3750 | 61 | 8,20 | 72 | 202 | Be | 85 CT | 81 4950 | 63 | Tu | 73 | 181 | 276 | 35 6,31 85 21 hvoraf D», Se, Ja Zn as | ay Fi À il i = st —— / LINE re ES 5 = | t dt | 4 t dt 4 4a a 10 2750 | 85 | 5,88 | 52 | 308 | 1,65 | 2 6,61 71 3250 | 88 | 5,68 | 54 | 243 | 2,06 3 6,59 77 3750 | 94 | 5,8 | 55 | 212 | 2,36 4 6,64 79 4950 | 96 | 521 | 57 | 164 | 305 45 | 6,85 88 4750 97 | 5,15 | 58 180 2,78 7,5 6,37 83 D OO A TE Fr, Ir 021S9P; 3750 | 94 | 5,52 | 41 | 209 | 2e7 |—11 | 6% 84 4250 9 5,43 | 44 181 2.76 |—10 6,59 87 4750 | 92 | 543 | 47 | 167 | 200 |—9 | 665 86 a aM ei, del), ae) 3250 | 221 | 2,27 | 23,5 | 216 2,32 | —5,5 6,32 79 3750 | 290 | 1,73 | 23,5 | 191 2,62 | —5 | 65 79 4250 | 388 | 1,30 | 23 177 Brey || = | (Bae 78 Af alle Forsogene erholdes som Middel: 4a — 6,517. Varmefylderne ere: ved 0° ved 50° ved 75° 0,2055 , 0,2088 , 0,2144 , (a — 0,2043, C4099 == 0,2168. Endvidere er On 27398 0100 — 2,720 , Co do = 0,55% , C409 dıon — 0,5897 , k ky = 0,3435 , kioo = 0,3619 , um — (0,9489 , 100 ee, eg, 7100 k R k k k + — 1529, Ze Xo X100 X100 Xo Kadmium. i, Celie, Ze, ST), MRS = | | | v a | a Re > | t are A | t GE 4d | 4a | = 10 1250 | 67 746 | 71 | 566 0,90 —1 8.61 68 1750 | 71 | 7o | 74 | 396 | lev | —1 | 9,03 7 2250 | 71 | 7,0 | 76 | 303 | 1,66 =il 8,85 72 2101 ENT? 6,94 78 | 245 2,05 —1 8,79 73 3250 | 74 6,76 | 81 | 200 2350 | —1 8588) eo 3750 | 74 6,76 | 85 178 2,81 0 8,88 77 4950 | 75 | 6,67 | 88 | 156 | 3,21 +1 8,81 80 56 SEE EET DANE US Wei) 5 De Br i b å 2 t AR 4 t TE 4 4a et 10° 1750 68 | 7,35 | 78 | 385 1,30 | 0 | 9,02 74 2250 | 74 | 676 | 78 | 286 | 15 | O | 9,6 78 2750 81 | 617 | 75 | 228 2,19 0 8,97 80 3250 Shey |) | Tal 197 2,54 2 9,03 85 3750 | 123 | 4,07 | 67 | 181 276 | 5 9,08 88 3. #==14,8°, A——140, 2——40, W—102S.E 1950 | 88 | 5,68 | 58 | 548 | Oss | 0 | 87 72 1750 | 95 | 5,26 | 59 | 378 | 133 | 0 | 80 74 2250 | 114 | 430 | 56 | 287 | 15 | 05] 9,04 78 2750 | 140 | 3,57 | 52 | 285 | 2,13 | 1 8,95 80 4. $=100°, 4=—33,5, Y—1100, W—102S.E. 3250 67 | 746 | 55 | 290 1,73 | —33,5 | 9,63 80 3750 60 | 8,33 | 62 | 236 212 | —335 | 9,14 80 4250 65 | 7,69 | 64 | 196 2,55 | —33,5 | 9,52 81 4750 67 | 7,46 | 69 | 153 3,27 | —33,5| 955 90 5. J— 100, 4= —17, S—550, W=52S.E. 3250 | 133 | 3,76 | 395 | 215 | 2,33 | —17 | 928 | 86 3750 | 149 | 3,36 | 42,5 | 185 | 2,70 | —15,5| 5,57 | 89 4950 | 187 | 2,67 | 43 | 163 | 307 | —13 9,76 | 94 Middel af 1, 2 og 3: 4a = 8,927 ved 24°. Middel af 4 og 5: 4a — 9,493 ved 110°, hvoraf 4a, = 8,769, 44490 — 9,427. Varmefylderne ere ved 0° ved 50° ved 75° 0,05562 , 0,05643 , 0,05607 , hvoraf Co — 0,05585 , C100 == 0,05632. Endvidere er d = 8,638 5 0100 = 8,556 ; Co00 = 0,4824 , Ci000100 — 0,4819 , k hy = D, kıoo == 0,2045 , Te — 10767 100 x, — 14,41. 10, xı0 — 10,18.10-5, 0 — 1,415, 7100 k k k ee = 20098) | — 1815, Xo X100 X100 Xo nN m 23 or —I Antimon. 1. 3—16,5°, 4—0, S——60, W= 102 S.E. — : — | ads | dx’ b y Le mn DR RR 5 NR er | | = | 4 | fa |. 10 7 mr CO ee | ee DD Tin N SIE =a 1750 | 138 | 3,3 | 174 | 274 | Lu | 0 | 31,81 102 2250 | 162 | 3,09 | 179 | 195 | 957 | 0 | 31,63 111 2750 | 192 | 2,61, | 181 | 165 | 3.04 | 2 | 31, | 112 2. 9=15,1°, d= Ope 180,572 1025S SE 2750 89 | 5,62 | 278 | 156 | 3,21 0 | 31,47 125 3250 | 93 | 5,38 | 294 | 138 | 3,63 | 5 | 32,07 123 3750 | 100 | 5,00 | 304 | 115 | 4,35 8 | 31,64 129 4250 | 112 | 4,47 | 308 | 107 | 4,68 | 16 | 31,95 127 3. 91002, — 20378005 a 1025ER: 3250 | 133 | 3,77 | 257 | 121 4,14 —15 | 34,38 154 3750 | 141 | 3,56 | 276 | 107 | 4,68 —11 | 34,54 150 4250 | 168 | 2,9 291 | 90 | 5,56 | — 6 | 34,73 | 160 301| 87 | 575 | +12 | 3478 | 158 4750 | 197 | 2,55 Middel af 1 og 2: 4a = 31,75 ved 24°. Middel af 3: Heraf hvoraf 4a — 34,68 ved 108°. 4a, = 30,91, 49400 — 34,40. Varmefylderne ere: ved 0° ved 50° ved 75° 0,05162 , 0,05174 , 0,05070 , Cy — C100 = 0,05120. Endvidere er d6 — 6,673, D100 — 6,653, Co On == 0,3417 , 400 O100 => 0,3406 , i: ky = 0,04421 , kyoo — 0,03961 , Da = 1,116, 100 5 5 x 20 == 219.107, x = 1,522.107, —* — 1,445, X100 Ê k kıoo, k Zu Olle, eS 2603, 0 — 1,294. Xo X100 X100 Xo 58 Vismuth. LOG, Al, 2 =), Mill & | 1 im | 5 | | N az | |_ dE Ga DETTE = i | dt | | i dt d | da a 10 IL ait 2300 | 96 | 52 | 577 | 180 | 2,79 | 14 | 70,3 | 130 2800 | 112 | 447 | 583 | 150 | 31 | 28 | 717 | 133 ee 0 09, 2400 | 105 | 4,77 | 551 | 178 | 28 | 12 | TU | 1% 2900 | 133 | 3,7 | 547 | 134 | 3,74 MT | en 3400 | 181 | 2x | 528 | 109 | 4m | 0 | 715 | 185 3900 | 310 | 1,464 | 511 | 88 | 5,69 | —10 | 711 | 142 el oe ln DE 1900 | 159 | 3,6 | 440 | 169 | 298 | —30 | 765 | 169 2400 | 196 | 257 | 453 | 126 | 398 | —48 | 770 | 164 4. #—100, 4——4, 3 —380, W—102S.E. 1900 | 176 | 2,85 | 408 | 223 | 2,26 21 | 75,7 170 2400 | 244 | 207 | 421 | 178 | 2,82 43 | 773 169 2900 | 424 | 1,22 | 422 | 152 | 3,5 70 | 719 | 166 Middel af 1 og 2: 4a — 10,95 ved 25°. Middel af 3 og 4: 4a — 76,88 ved 105°. Heraf 4a, = 69,10, 47400 = 76,51. Varmefylderne ere: ved 0° ved 50° ved 75° 0,03013 , 0,03066 , 0,03090 , hvoraf co = 0,3014 , C409 — 0,03116. Endvidere er do = 9,746, 0100 = 9,707 > Co on => 0,2937 , 400 0100 == 0,3025 , k. ko = 0,01700 , k400 == 0,01581 , = — {,071, Koo 5 x Xo = 0,9293.1075, «x00 = 0,6299.105, =" = 1,475, X100 k k k k —0 — 1830, D DEN). NE) *X0 X100 X100 Xu PET wm on 59 Efter at have tilendebragt alle disse Forsog, som havde varet fra Januar til Oktober 1880, ønskede jeg, navnlig foranlediget ved de imidlertid af Hr. H. F. Weber offentliggjorte (Berichte der Academie d. W. zu Berlin, 1880, S. 457) Forsogsresultater, som i en paafaldende Grad afvige fra mine, at gjentage Bestemmelserne af Stængernes Varmeledningsevne paa en fra den først anvendte fuldkommen forskjellig Maade. Jeg valgte hertil Forbes’s Methode: lagttagelsen af den ved Opvarmning af Stangens ene Ende fremkomne stationære Tem- peraturtilstand i forskjellige Punkter af Stangen, og lagttagelsen af Stangens Afkoling ved den ydre Varmeledning, efter at Stangen forst havde veret opvarmet til en ensformig Temperatur. Da jeg tillige onskede at undgaa Anvendelsen af det tidligere benyttede Varmeapparat, var det min Hensigt at udfore disse Forsog i fri Luft ved Stuens Temperatur, hvorved jeg altsaa opgav at bestemme Varmegradens Indflydelse paa Varmeledningsevnen. Jeg begyndte disse Undersogelser med Forsog over den saakaldte ydre Varmeled- ning, idet jeg dels ved Hjælp af Thermometre, dels ved Thermoelementer undersogte Afkolingen i fri Luft af opvarmede Legemer af forskjellige Storrelser og Former. Til Beregning af disse Forsog benyttede jeg forst den i den nyere Tid indforte Formel for den ydre Varmeledning, ifolge hvilken den af Overfladeenheden i hver Tidsenhed til Omgivelserne afgivne Varmemængde udtrykkes ved hu(l+ Au), naar u er Forskjellen imellem Legemets og Omgivelsernes Temperatur, og h og f ere to af u uafhængige Kon- stanter. Denne Formel viste sig ogsaa fyldestgjorende, saalenge Afkolingen ikke fortsattes ud over en vis Grænse, som omtrent laa ved w= lu,, naar u, var den først iagtlagne Verdi af u. Under denne Grænse viste lagttagelserne regelmæssige Afvigelser fra Beregningen. Da denne empiriske Formel saaledes ikke ganske kunde tilfredsstille mig, forsøgte jeg ad theoretisk Vej at opnaa en mere brugbar Formel. Det første Skridt til en theoretisk Behandling af den ydre Varmeledning er først gjort for 2 Aar siden af Hr. A. Oberbeck (Wiedemanns Ann. Bd. 7, S. 27), men idet denne Forfatter har søgt at løse Opgaven ved Hjælp af Rækkeudviklinger efter stigende Potenser af den omgivende Lufts Udvidelses- koefficient, er det kun lykkedes ham at finde en Løsning, som alene kan bruges, naar den omgivende Luft er meget stærkt fortyndet, medens den egentlige praktiske Løsning ganske er undsluppen Forfatteren. En Plade af Højden 7 og uendelig Brede tænkes ophængt vertikalt og holdt paa en konstant Temperatur, som antages højere end den omgivende Lufts. Der opstaar herved opad- gaaende Strømninger i den omgivende Luft, og antages, at de i horizontal Retning gaaende Strømninger her blive uden Betydning, saa vil Lufttrykket p overalt i samme horizontale Plan blive det samme, medens det selvfølgelig forandrer sig fra et horizontalt Lag til et andet. Er w Luftens vertikale Hastighed, 7 Kocfficienten for den indre Gnidning, eo Luf- tens Vægtfylde og g Tyngdekraftens Acceleration, saa er med den nævnte Forudsætning Ligningen for Luftens Bevægelse: Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk, og math. Afd. II. 2. 8 60 26 ‚(dw : dw Kære: La) dei‘ APR w) = —py — P+ nl‘ ar cea 2 DR (1) dt dz dz dx? Er endvidere Luftens Temperatur i Punktet #, 2 T9 Grader, regnet fra det absolute Nulpunkt, og 7' i uendelig Afstand fra Pladen, er ce Luftens Varmefylde ved konstant Tryk og k dens Varmeledningsevne, saa er Ligningen for Varmens Bevægelse: då , då dd dg rn 2 i à | 2 9 Ze un «) (Te =). RENE le eae (2) En Del af Temperaturforandringen skyldes Luftens Udvidelse, idet den stiger tilvejrs, men da Luften herved kun afkoles 1° C., for hver 100 Meter, eller 0,0001° C. for hver Centi- meter, den stiger tilvejrs, saa kan denne Størrelse betragtes som meget lille i Sammenlig- ning med de fra de øvrige Betingelser hidrerende Temperaturforandringer. Betegnes Luftens Vægtfylde i uendelig Afstand fra Pladen (2 —%) ved p, saa er vn 1 pT = p'(T+8) og + p9 — 0, 1 i). altsaa er + og = (p'—p)g = — TEST Betragte vi endvidere alene den stationære Temperaturtilstand, som fremkommer, naar Pladens Temperatur holdes konstant, saa gaa Ligningerne (1) og (2) over til: dw ÿ 7 T+#8/d?w d?w BR = B ae Im] 5 T (Te Ta) PME te OR (3) LO LER RE EE | EN ee OS A. (4) dz pe LNA de? I disse Ligninger kunne vi med tilstrekkelig Tilnærmelse betragte Koefficienterne til de sidste Led som Funktioner alene af Ti Stedet for af 7+ 4, hvorved altsaa 4 bortfalder i disse Koefficienter. I hele det Luftlag, som er begrænset af to gjennem Pladens nederste og øverste Rand lagte horizontale Planer, vil Luften træde op igjennem det nederste Plan med en af « afhængig Hastighed w og bevæge sig videre til det øverste Plan uden væsentlig Forandring i Hastigheden, hvorimod Luftens Varmegrad i den samme Luftstrøm begynder for neden med at være kun lidet forskjellig fra 7, men gaar dernæst hurtig over til en Temperatur T-£ 4, som tilnærmelsesvis ligeledes holder sig konstant indtil den øverste horizontale Plade. Disse Forudsætninger nærme sig desto mere Virkeligheden, jo større Pladens Højde H er, og jo nærmere de betragtede Luftstromme ligge ved Pladen, men da det netop er paa de nærmeste Luftlags Bevægelser og Varmeforhold, at hele Fænomenet i det væsentlige beror, vil der neppe gjøres nogen stor Fejl ved at overføre de samme Forudsætninger paa Luft- strømningerne i alle Afstande fra Pladen. De mathematiske Forudsætninger ere altsaa, at w fra 2—0 til e=// er uafhængig { Z x dé É e di 2 af = og alene Funktion af x, medens # og are 0 for z—0, hvorefter FA hurtig voxer 2 dz 27 61 og atter aftager til 0, saaledes at # allerede for en i Sammenligning med 77 lille Verdi af 2 beholder ligesom w en konstant Verdi indtil 2— //. I denne sidste Grænse selv antages baade w og Ÿ konstante. Ved Multiplikation af Ligningerne (3) og (4) med = og Integration fra 2—0 til 2 — H erholdes saaledes: had 7 d?w 0 ont p AED AREA areas (5) tho BEN LE na Ad RAS EE. à (6) pe dw: Da Luften saavel i umiddelbar Beroring med Pladen som i uendelig Afstand fra den er i Hvile, og da Luftlaget ved Pladen har dennes konstante Temperatur, som vi ville betegne ved 7--#,, saa bliver altsaa de til Differentialligningerne svarende Grænsebetingelser : v= Où Del he Del, el el Wye er Sættes BU, =, NOTE, kunne « og / vælges saaledes, at Differentialligningerne erholde Formen: dw d* J! 0 = # +—- og vu’ = (7) da’? idet man da maa sætte: À hem a _ | / AT > _ | kgs L= V —— og P = V Er - Grænsebetingelserne blive nu: Ve ee ii a == (0), oO "—=0 og wW=0 for 2 —o. Da alle de konstante Koefficienter saaledes ere reducerede til rene Tal, vil der i Ligningernes Integraler kun kunne indgaa Talkoefficienter. Betegnes ved Z den Varmemengde, som Pladen i hvert Sekund og fra hver Kvadrat- centimeter af Overfladen afgiver ved Ledning til den omgivende Luft, saa er: då a, [dv = tj = k iD A k Ee a da’ z/=0 J og, naar den ovenfor angivne Verdi for « indsættes, An /egk® =4 5 IL, = NV Jun > Vo Or 2. 10 SEN OA ER Les (5) [dd idet — re N er et rent Tal, som jeg senere skal bestemme. For de fuldkomne Luftarter antager det fundne Udtryk for Z en noget simplere Form, idet her 7 som bekjendt kun er meget lidt forskjellig fra 1. j gr 62 28 Uagtet det fundne Resultat kun er fremkommet ved Hjælp af meget elementære Forudsætninger, og derfor kun kan betragtes som en forste Approximation, udtrykker det dog i en paafaldende nojagtig Grad Loven for den ydre Varmeledning (herunder ikke ind- befattet Varmestraalingen). Som bekjendt have Dulong og Petit (Ann. de ch. et de ph. T. 7, 1817, p. 225—264 og 337—367) af deres Iagttagelser over forskjellige Legemers Af- kolingshastighed fundet denne, naar den Del, som skyldes Udstraalingen, fradrages, propor- tional med mp°%,°. Da Afkolingshastigheden er proportional med Varmetabet Z, og da Luftens Tryk p er proportionalt med dens Vægtfylde vo, ses det, at de to ved Forsøg og ved Beregning fundne Resultater allerede i Formen ere ganske overensstemmende. For alle de undersøgte Luftarter fandt endvidere Dulong og Petit b — 1,233, medens denne Exponent i (8) er 1,25, altsaa næsten ganske den samme, derimod fandtes ce lidt forskjellig for de forskjellige Luftarter, nemlig lig 0,45 for atmosferisk Luft, 0,315 for Brint, 0,517 for Kulsyre og 0,501 for Aethylen, medens den theoretiske Formel giver ¢ —0,5 for alle Luft- arter. Naar man tager Hensyn til de Fejl, som de nævnte Iagttagere have begaaet i Beregningen af deres Forsog paa Grund af deres mangelfulde Kjendskab til Lovene for stærkt fortyndede Luftarters Varmeledningsevne, maa ogsaa Overensstemmelsen her betragtes som tilfredsstillende. Endvidere fandtes Konstanten m for atmosferisk Luft, Brint, Kulsyre, og Æthylen proportional med 1 : 3,46 : 0,965: 1,33, medens de tilsvarende Forhold, beregnede af (8), blive 1: 2,46: 0,85: 1,07. Her kan imidlertid gjores den samme Bemærkning, som ovenfor. Saaledes vil man med den af Stefan (Berichte der Wien. Acad. Bd. 79, II, 1879) angivne Korrektion for Brint i Stedet for Tallet 3,46 finde 3,11, som allerede er betydelig nærmere den beregnede Verdi 2,46. Endelig have ogsaa Dulong og Petit fundet m uafhengig af den absolute Temperatur, hvilket ogsaa for saa vidt er i ret god Overensstemmelse med (8), som det viser sig, naar de af Winkelmann, Obermayer og E. Wiedemann fundne Temperaturkoefficienter for k, 7 og ¢ (se «Theorie der Gase» af O.E. Meyer, 1877, p. 101 og 201) indsættes, at Koefficienten i (8) kun i ringe Grad forandrer sig med den absolute Temperatur (for atm. Luft og Brint —0,14, for Kulsyre +0,04, for Æthylen +0,13 Procent for 1° C.). For numerisk at bestemme Tallet N i Udtrykket (8) maa man foretage en Inte- eration af Ligningerne (7). Man indsætte heri 27 = log, og udvikle # og w i Række efter stigende Potenser af y, nemlig: HY=1+by+by?+..., w—aytay +... Disse Rekker skulle tilfredsstille Differentialligningerne og Grænsebetingelserne Vol ¢ w—0 for y 08 HN 0g w=—0 for y—1. 29 63 Idet jeg efterhaanden har medtaget flere og flere Led af Rækkerne for # og w’, har jeg fundet folgende Verdier for 6, : —1, —0,6667, —0,5902, —0,5642, —0,5539, ... en Række, som meget ner konvergerer til —0,548. dv’ dv “Ac ri altsaa er N = 0,548... For atmosferisk Luft ved sædvanligt Tryk og 0° er endvidere med de antagne Enheder g—981, p—0,001294, 7—0,00019, Æ—0,00005, ¢ — 0,238, Nu er hvorved erholdes L = 0,000096 H-' 9,1. Ved Forsøg, hvis Enkeltheder jeg her forbigaaer, har jeg for en Messingplade, 11% i Kva- drat, fundet L = 0,000125 414,1. Da Koefficienten for en uendelig bred Plade maa blive mindre, maa ogsaa Overensstem- melsen mellem den beregnede og den iagttagne numeriske Koefficient betragtes som ret tilfredsstillende. Antage vi altsaa Exponenten 5 i Dulongs og Petits Formel lig ?, og gaa vi tillige ud fra den utvivlsom rigtigere, af Stefan indførte Formel for Varmetabet ved Udstraaling, saa vil Afkolingshastigheden for et i Luften ophængt Legeme vere bestemt ved = en ee eur (9) naar 7 og 7, ere Legemets og Omgivelsernes fra det absolute Nulpunkt regnede Tem- peraturer, m Legemets Masse, c dets Varmefylde, g dets Overflade og o og 2 konstante Koefficienter. Ved svagere Opvarmning kan Udstraalingen antages proportional med 7— 7, — 9, g res da til: 1 1 ur ROMER Elan ua =. RS TI ae) en ee (10) idet h og 7 ere Konstanter. Sættes 9 — 4, for 4 — 0, erholdes heraf gi D Nop ee Oe OUR UE (11) h do ‘+7 Som Exempel paa denne Formels Brugbarhed skal jeg anføre et Afkolingsforsog med en med Kviksolv fyldt Cylinder af ferniseret Messingblik. Cylinderen, som var ophængt hori- zontalt, var 15,85°™ lang og 3,82 i Diameter. Temperaturen aflæstes paa et i „1; Grader inddelt Thermometer. Der fandtes: FT 2 0800 07 GO oem 1 NT AE t = 0, 496, 1207, 3473, 4733 Sek. t (ber.) = 0, 499, 1208, 3470, 4733 — De beregnede Verdier af ¢ svare til 4 — 0,0002463 og 7 — 0,63. 64 30 Endnu yderligere kan Formlen for Afkolingshastigheden reduceres, naar den ved Udstraalingen tabte Varmemængde kun udgjor en ringe Del af det hele Varmetab, idet man da erholder di hvori kun den ene Konstant / indgaar. Heraf erholdes 4 1 1 t= Ti SRI COUR N (13) Denne Formel finder især god Anvendelse paa mindre Legemer med metallisk Overflade. Som Exempler paa den Indflydelse, som Legemets Storrelse udover paa Koef- ficienten for den ydre Varmeledning, skal jeg anfore folgende Resultater af mine Forsog. Man vil heri tillige finde en Forklaring af de store Uoverensstemmelser, som ere til Stede i de Bestemmelser af denne Koefficient, som forskjellige Iagttagere have udført. Forsogene ere udforte dels med Thermometre dels med Thermoelementer. Bereg- ningen er udført saaledes, at jeg først enten ved Formlen (11) eller ved (13) bestemmer t, 08 dernæst for Middelværdien 7° af den højeste og laveste iagttagne Temperatur beregner _ hvorefter jeg ved Hjælp af Ligning (9) eliminerer den Del af Varmetabet, som skyldes Udstraalingen. Jeg er herved gaaet ud fra den af Graetz (Wied. Ann. Bd. 11, S. 913) fundne Værdi for Glassets Emissionskoefficient o, nemlig o — 1,085.10-'?, idet jeg ved sammenlignende Forsøg bestemte Udstraalingen af de forskjellige benyttede Overflader i Forhold til Glasset. Tages dettes Emissionskoefficient som Enhed, er efter disse Forsøg Koefficienten for fernisseret Messing 0,79, for blankt Messing 0,11. For alle rent metalliske polerede Overflader fandtes meget nær den samme Koefficient, dog danne Antimon og Vis- muth mærkelige Undtagelser, idet de udstraale 3 til 4 Gange mere end de andre Metaller i mine Stænger. For Antimonstangens Vedkommende kunde dette maaske forklares af dens Overflades porøse Beskaffenhed, derimod var Vismuthstangens Politur ikke kjendelig for- skjellig fra de andre Stængers. Ved disse Forsøg fandtes følgende Værdier for Koefficienten À (Lign.9) for den ydre Varmeledning: For horizontalt ophængte Cylindere: 1. Diameter 3,82%, Længde 15,85°™, 2 — 0,000069, 2. Diameter 1,5°7, Længde 23,8”, 2 0,000090, 3. Diameter 0,46%, Længde 80,0%, 2 — 0,000166, For Kugler: 1. Diameter 10,64, — 0,000055, 2. Diameter 4,74, À = 0,000074. Da det kun var min Hensigt at konstatere den store Indflydelse, Legemets Storrelse har paa Koefficienten 4, har jeg ikke fortsat denne Undersøgelse videre. 31 65 De to Kugler vare hule, og Forsogene bleve anstillede saavel med Kuglerne tomme som fyldte med Kviksolv. Ligeledes bleve Forsøg anstillede med et 6% langt Stykke af den ene Messingstang, hvorpaa de gjentoges, efterat Stangen var udboret og lukket med en Messingprop. Skjendt der paa denne Maade erholdtes meget forskjellige Afkølings- hastigheder ved uforandret Overflade, kunde jeg dog ikke spore nogen Forandring i den ydre Varmeledning. Dette Resultat er af Vigtighed for alle Forsøg over Metallernes indre Varmeledning, da der ved disse altid forudsættes, at Varmetabet til Omgivelserne er det r samme ved samme Temperaturer, hvad enten det opvarmede Legemes Varmegrad er kon- stant eller variabel. Dette Sporgsmaal kan kun afgjores ved Forsog, da det af theoretiske Grunde kan være meget muligt, at Afkolingshastigheden selv kan faa Indflydelse paa den ydre Varmeledning. Man kan for Exempel tænke sig et af en slet Varmeleder omgivet opvarmet Legeme saa hurtig afkolet, f. Ex. ved Tilledning af koldt Vand til dets Indre, at det endog kunde komme til at modtage Varme fra de af Legemet selv forud opvarmede Omgivelser. Befandt Legemet sig i Luften, vilde der imidlertid paa samme Tid ogsaa frem- komme en stærkere Stromning, som vilde have den modsatte Virkning. Efter Tilendebringelsen af disse Forundersogelser bleve alle Stengerne, med Undtagelse af Magniumstangen, ad galvanoplastisk Vej overtrukne med et Lag Nikkel. Da Antimonstangen desværre var gaaet itu ved Afpudsningen paa Drejebænken, og Tinstangen ved tidligere Forsog var bleven for kort, beholdt jeg saaledes kun 9 Stænger tilbage for de folgende Forsog. Disse Forsog bleve udforte paa folgende Maade. Stangen blev med den ene Ende anbragt i det samme Varmeapparat, som tidligere havde været benyttet til Bestemmelsen af Varmefylden. Apparatet indeholdt Alkohol og blev vedvarende holdt paa Alkoholens Koge- punkt. Stangen var stillet horizontalt, omtrent 3 Decimeter over Bordpladen og vel beskyttet ved Skjærme mod Lufttrek og mod Varmen fra Varmeapparatet. Efter omtrent 5 Timers Forløb, naar Varmetilstanden viste sig stationær, blev efterhaanden ' de forskjellige Huller i Stangen ved et enkelt Thermoelement, som bestod af en 0,2"" tyk Temperaturen maalt i Nysølvtraad og en 0,1™™ tyk Kobbertraad. Fremgangsmaaden var herved den samme, som den tidligere benyttede. Naar der i Maaletraadens Strømkreds var indskudt Modstanden 112 S.E., saa svarede med dette Element ved sædvanlig Temperatur 57,77" af Maaletraaden til 1° C. Thermoelementets Traadender vare i disse Forsøg lagte ved Siden af hinanden og sammenloddede i Spidsen. Begge Traadene vare lige indtil Loddestedet isolerede, og naar Elementet var sat ind i et Hul, befandt Loddestedet sig i Stangens Axe. En lille Draabe Olie var i Forvejen bragt ind i ethvert af Hullerne. Thermoelementets to andre Traadender vare forbundne med Ledningen til Galvanometret og til Maaletraaden, og de to Forbindelsessteder vare anbragte i to paa Bordet stillede Glas med Kviksølv. Naar Temperaturen i Hullerne våre maalte, blev Stangen taget fra Varmeapparatet og opvarmet ensformig til en ikke lidet højere Temperatur end den, hvorved de paafølgende 66 32 Forsog over Afkolingen skulde udfores. Naar Slangens Temperatur ved den efterfolgende Afkoling nærmede sig dette Punkt, blev Stangen, som var ophængt horizontalt i to Silke- snore, fort hen til det samme Sted, hvor de første Maalinger vare udførte, og hvor alt forblev uforandret paa det ner, at Stangen nu var udenfor Skjermen foran Varmeapparatet, og at den derved fremkomne Aabning i Skjermen var tilstoppet. lovrigt vedblev Lampen endnu at brænde under Varmeapparatet. Thermoelementet blev indsat i et af Stangens Huller, og Tidsmomenterne, da Temperaturen passerede visse faste Punkter paa Maale- traaden, bestemtes. Man vil af de i det Folgende meddelte Resultater se, at Formlen (13) med kun en enkelt Konstant er fuldkommen tilstrækkelig til Beregningen af disse Afkolingsforsog. Be- tegnes den med Maaletraadens Enheder bestemte Temperatur ved x, ville vi altsaa for Al- kolingsforsegene have A t = Mm RE NAT A atk CAL AT A (14) medens den til de første Forsøg ved stationær Temperatur svarende Differentialligning bliver 1 d?u RE Fr aa deeds re a (15) idet ligesom tidligere a=, Konstanten /’ forholder sig til ¢ i den foregaaende Ligning som Stangens krumme Overflade forholder sig til dens hele Overflade, altsaa /’:/—1 (1 + al naar d er Stangens Diameter og Z dens Længde. De Huller, i hvilke Temperaturen blev maalt, befandt sig 1,3, 5,...°" fra Stangens r frie Ende. De maalte Temperaturer vere betegnede ved w,, v3, U5,--- Tenkes Stangen forlænget saa meget, at dens cylindriske Overflade bliver saa meget foroget som Endefladens Areal, og tænkes Endefladen nu uigjennemtrængelig for Varmen, saa vil den tabe meget ner den samme Varmemængde til Omgivelserne som for. Betegnes denne Forlængelse ved =, saa er altsaa s — 1d — 0,375, idet d —1,5°™ for alle Stængerne. Vi kunne folgelig sætte: naar Koordinatens Begyndelsespunkt lægges i den virkelige Slangs Endeflade. Af Ligning (15) erholdes nu: du N ie 5 — = al\uidr, dx Je og dernest: ent anti 2n+1 du 5 5 EF da = Uon44 — Um = al’ | À wide ar In—1—.) da |. av CR 2n—1 2n—1 € Forandres de sidste Integrationer til Summationer, vil man erholde med stor Tilnærmelse : 33 67 U2n+1 — Um = Aal’ [san + lu _ WARE | ; idet Son 1 — 81 + TR PRE UE! ll +4e)u,* Sættes efterhaanden n—1,2,...m, vil heraf ved Summation erholdes: Urm+1— U = Aal Semi, idet Som—1 = 83 + 83 +... + Samt + 5 (344 u). Jeg skal i det folgende angive de i Forsogene iagttagne Storrelser og tillige under de forste med Blystangen anstillede Forsog som Exempel vise, hvorledes Beregningen er udfort. Bly. Lokalets Temperatur 4 — 3,1° C. Modstanden i Maaletraadens Stromkreds W— 112 S.E. Stangens Længde L — 23,7, 1. Opvarmningsforsoget ved stationær Temperaturtilstand gav følgende til w, ,u3,... svarende Temperaturer: u — 315, 324, 340, 364, 399, 439, 489, 558™™. Beregningen heraf udføres efter følgende Skema: 5 u us s S 4al’ 1 | 315 | 1327 | 1576 | 1580} 0,0057 3 | 324 | 1375 | 2951 | 4538| 0,0055 5 | 340 | 1460 | 4411 8960 | 0,0055 7 | 364 | 1590 | 6001 | 14977 | 0,0056 9 | 399 | 1783 | 7784 | 22780 | 0,0544 11 || 439 | 2009 | 9793 | 32597 \ 0,0534 13 | 489 | 2300 | 12093 | 44724 | 0,00543 708 130156 | 0,005440 Den forste Vertikalrekke angiver det iagttagne Huls Afstand i Centimeter fra Stangens Ende. De folgende Rækker give w,,u3,..., ur, us, ..., 0.8.V., og den sidste Række indeholder Us —U U, —U Kvotienterne “3 1, = =, 0.s.v., som angive de til de efter hinanden iagttagne 1 3 Temperaturer w,, u;, ... svarende Verdier af 4a/’. Den endelige Verdi af denne Størrelse er bestemt ved Kvotienten u + U3 +... + us — Bu, 708 S,+ S3 +... Sis 130156 2. Ved det umiddelbart derefter anstillede Afkolingsforsog fandtes for u — 600, 500, 400, 300mm t= 0, 114, 264, 463 Sek. t(ber.) = 0, 114, 261, 463 — Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. II. 2. 9 0,005440 — Aal. 68 34 Beregningen af ¢ er udført ved Hjælp af Ligning (14), idet 7—0,0003304. Hertil svarer 0,005440 0,0003203 De efter den første Methode anstillede Forsøg havde givet 4a — 16,84 ved 19° C. Messing (rad). d—2,2”, W—62S.E., L= 923,8. 1. u = 366, 372, 378, 386, 400, 419, 438, 461%, hvoraf Aal’ 0,001974. 2. u — 600, 500, 400, 300mm, MON 2376 549 9TIMSeEk., t(ber.) = 0, 239, 547, 970 — , 1 = 0,0001576, 7 — 0,0001528, 4a — 12,92 ved 16° (tidligere Forsog 12,05 ved 21°). NBI = 210 TO DESERT 1. u = 361, 377, 396, 434, 488, 545, 635™™, hvoraf Aal’ — 0,006836. 2. u = 600, 500, 400, 300mm, t = 0, 287, 539, 955 Sek., t(ber.) = 0, 236, 539, 956 — , 1 = 0,0001600, 2” = 0,0001551, 4a — 44,07 ved 17° (tidligere Forsog 42,80 ved 19°). Kadmium. 93,42. W=62S.E, b= 23's: 1. u = 368, 372, 380, 392, 409, 429, 454, hvoraf Aal’ = 0,002272. 2. u = 600, 500, 400, 350, 300, 250, 200, t= 0, 138, 326, 439, 578, 743, 961, t(ber.) = 0, 142, 325, 439, 576, 745, 962, 1 = 0,0002656, i’ = 0,0002575, 4a = 8,82 ved 17° (tidligere Forsøg 8,927 ved 24°). Kobber. #=4,3°, W=62S.E., L = 23,8. 1. u = 331, 331, 333, 337, 342, 347, 352, 359, hvoraf Aal’ == 0,000656. 2. u = 600, 500, 400, 350, 300, 250, t — 0, 251, 592, 805, 1047, 1358, t (ber.) 0, 259, 592, 801, 1050, 1358, I = 0,0001456, /’ — 0,0001412, 4a = 4,65 ved 16° (tidligere Forsog 4,43 ved 19°). U’ — 0,0003203, altsaa er 4a — — 16,98 ved omtrent 10° C. | | 35 69 Messing (gul. #—3,2°, W=62S.E.,, L= 25.2. 1. u = 341, 345, 353, 365, 380, 400, 424, 450, hvoraf Aal’ = 0,002420. — 600, 500, 400, 300, k t= 0, 237, 538, 962, t(ber.) = 0, 236, 539, 956, I = 0,0001600, 2’ — 0,0001553, 4a — 15,58 ved 17° (tidligere Forsog 13,73 ved 20°). io) S Mis EDEN ER TENNIS EL 2154: 1. =) 127, 138, 163, 202, 255,329, 489, hvoraf Aal’.= 0,02323. 2. u = 500, 400, 300, 250, 200, 0, 130, 317, 442, 601, t(ber.) = 0, 134, 318, 442, 601, I = 0,0003624, 2’ = 0,0003501. 4a — 66,35 ved 7° (tidligere Forsog 69,10 ved 0°). | jan ne SUR be 1. u — 348, 354, 364, 378, 396%), 418, 444,51), 476, hvoraf 4al’ — 0,002793. — 450, 400, 350, 297, #== 0, 184, 409, 677, t(ber.) = 0, 185, 402, 678, I = 0,0001400, 2’ — 0,0001357, 4a — 20,58 ved 18° (tidligere Forsøg 20,24 ved 19°). i Ss Af de ved Afkolingsforsogene for de forskjellige Stenger fundne Verdier for J’ erholdes ved Multiplikation med Leo, hvor d er Stangens Diameter, c dens Varmefylde, ö dens Vegtfylde, den til u— I svarende Varmemængde, som afgives i Sekundet fra hver Kvadratcentimeter af Stangens Overflade. Er Legemets Temperatur 1° C. over Omgivelserne, bliver denne Varmemængde lig vr. e8.57,7 for W=112S.E. og v.2 68. 31,94! for WS De paa denne Maade beregnede Koefficienter for det ydre Varmetab ere for de forskjellige forniklede Metaller, ordnede efter Storrelsen, folgende: !) Disse to Temperaturer ere paa Grund af de to Hullers Tilstopning ikke iagttagne, men beregnede ved Interpolation. 9% 70 36 BIS ae cane 0,000114, Vismuth. . . . 0,000106, Kadmium .. . 0,000111, Messing (rødt) 0,000103, Aluminium. . . 0,000109, Messing (gult) 0,000100, ing ee 0,000109, Kobber . . . . 0,000100, Nyselv..... 0,000107, Jern Spa eee 0,000099. Overensstemmelsen mellem disse Tal maa betragtes som tilfredsstillende, da dels Afkolingsforsogene ikke bleve anstillede under ganske identiske ydre Betingelser, dels selve de forniklede Overflader ikke vare aldeles ens. Saaledes havde Blystangen ojensynlig den sletteste Politur. Navnlig fremgaar heraf, at Koefficienterne ikke ordne sig efter Stengernes Afkjolingshastigheder, idet f. Ex. Vismuthstangen, som er den af alle Stængerne, der afkoler sig hurtigst, her kommer midt i Rekken, og det stadfester sig altsaa ogsaa ved disse Forsøg, at Afkjolingshastigheden selv ikke udøver nogen kjendelig Indflydelse paa den ydre Varmeledning. Med Hensyn til Bestemmelserne af a og derigjennem af Metallernes Varmelednings- evne, betragter jeg Overensstemmelsen med de tidligere Forsøg som tilfredsstillende for alle Stængerne med Undtagelse af den ene Messingstang. Jeg betragter imidlertid min første Forsøgsmethode som den nøjagtigste for alle Stængerne med Undtagelse af Vismuthstangen, for hvilken de fundne Resultater udkrævede en Korrektion, som ifølge Beregningen skulde gjøre a omtrent 10 Procent mindre. Da de sidste Forsøg imidlertid kun give en omtrent 4 Procent lavere Værdi, anser jeg det for rigtigst ikke at gjøre Korrektionen større. Nedenstaaende Tabel indeholder de efter den første Methode fundne Ledningsevner for Varme og Elektricitet ved 0° og ved 100°, dog for Vismuths Vedkommende med en Forøgelse af Varmeledningsevnen af 4 Procent. er ss | Ir x ko kıoo 29-10 x100 « 105 ko Broo , ko X0 X100 Xo nn | Kophen ere 0,7198 0,7226 | 45,74 | 33,82 1574 1,358 Magnium . ..... | 0,3760 0,3700 | 24,47 17,50 1537 | 1,398 Aluminium ....| 0,3435 0,3619 22,46 17,31 1529 | 1,367 Messing (rodt) . . . | 0,2460 0,2827 15,75 13,31 1562 1,360 Kadmium see 0,2200 0,2055 | 1441 10,18 1527 1,315 Messing (gult) . . . | 0,2041 0,2540 12,62 11,00 1617 1,128 LT ie ee 0,1665 0,1627 | 10,37 6,628 1605 1,530 TD ce 0,1528 0,1423 9,346 6,524 | 1635 | 1,334 BV sou cy | 0,0836 0,0764 541 | 3,602 | 1627 | 1,304 NEA ee 0,0700 0,0837 3,766 3,632 | 1858 1,314 Antimon ...... 0,0442 0,0396 | 2,199 1,522 2011 1,294 VISU CET 0,0177 0,0164 | 0,929 | 0,630 1900 1,372 37 71 Sammenholdes disse Resultater med andre lagttageres Bestemmelser af Metallernes Varmeledningsevne i absolut Maal, vil man finde meget store Uoverensstemmelser. Skarpest træde disse netop frem ved Sammenligningen med de nyere Maalinger af Tait (Trans. Roy. Soc. of Edinb. 1878, p. 717) og af H.F. Weber (Monatsber. der Acad. Berlin 1880, p. 457), som begge ligeledes have bestemt Ledningsevnen for Elektrieitet. Saaledes finder f. Ex. Weber Forholdet mellem Ledningsevnen for Varme og for Elektricitet ved 0° lig 2007 for Kobber og 1288 for Vismuth, medens jeg for Kobber har fundet 1574 (efter den anden Forsogsrekke 1500) og for Vismuth 1900. Da imidlertid begge disse Iagttagere have be- tegnet deres Meddelelser som kun forelobige, skal jeg ikke her gaa ind paa en nærmere Undersogelse af Grunden til disse Uoverensstemmelser. Af ovenstaaende Tabel fremgaar: 1° en Stadfæstelse af Wiedemanns og Franz's Lov for de bedre ledende Metallers Ved- kommende, idet Forholdet imellem Ledningsevnen for Varme og for Elektricitet er meget ner konstant for disse saavel ved 0° som ved 100°. For de slettere Ledere derimod voxer dette Forhold stærkt, naar Ledningsevnen aftager, saaledes at der paa denne Maade ligesom indledes Overgangen til de ikke metalliske Legemer, hvor som bekjendt Ledningsevnen for Varmen langt fra aftager saa sterkt som Ledningsevnen for Elek- tricitet. Grunden hertil kan ligge i disses storre Gjennemstraalelighed og storre Ud- straalingsevne, og med Hensyn til det sidste Punkt er det værd at bemærke, at netop ogsaa Antimon og Vismuth udmerke sig ved en paafaldende stor Udstraalingsevne. lovrigt er det ogsaa muligt, at de sterkt fremtredende thermoelektriske Kræfter hos Nysolv, Antimon og Vismuth kunne vere medvirkende til en lettere Forplantning af Varmen. k k 2° Forholdet = : = er for alle Metallerne, med Undtagelse af Jern, saa godt som ens 100 0 og meget nær lig med Forholdet mellem de til 100° og 0° svarende absolute Tem- peraturer (1,367). Man vil altsaa for Ledningsevnerne k og x ved den absolute Tem- peratur 7 have: k aS T x Konstant. Denne Lov synes endogsaa at være mere almindelig gjældende end den foregaaende, idet ogsaa Nysølv, Antimon og Vismuth i denne Henseende forholde sig som de øvrige Metaller. Meget paafaldende er den stærke Stigning af Varmeledningsevnen med Tempera- turen hos Legeringerne Messing og Nysølv, medens Ledningsevnen for Elektricitet ligeledes forandrer sig ganske uregelmæssig, idet den aftager langt mindre end hos alle de andre Metaller. I en svagere Grad gjælder det samme for Aluminium. Jeg havde allerede i 1872 i Vidensk. Selsk. Oversigter («Bestemmelse af Varme- grader i absolut Maal») udtalt som en Formodning, at «Forholdet imellem et rent Metals 72 38 Ledningsevne for Varme og Elektrieitet er proportionalt med Temperaturen, regnet fra det absolute Nulpunkt». Denne Formodnings Rigtighed har saaledes bekræftet sig, og Forsøgene have vist, at Loven ogsaa lader sig udstrække til Legeringer. Med Hensyn til de videre Folgeslutninger kan jeg henvise til samme Afhandling, kun maa bemerkes, at det af de dengang bekjendte Iagttagelser bestemte Tal for Forholdet imellem de to Ledningsevner var meget for stort. Det vilde maaske nu ikke vere uden Interesse at forsoge paa at gaa et Skridt videre i theoretisk Retning. Man tænke sig folgende Forsog anstillet. En Metaltraad skjæres i en Mengde smaa Stykker af Længden 7, en anden Metaltraad skjæres ligeledes i Stykker af en anden Længde 7’. Disse Stykker loddes afvexlende sammen, og den saaledes dannede Traad ind- skydes i en elektrisk Stromkreds. Ved Strommen vil der nu opstaa dels en Varmeudvik- ling i hele Traaden, dels ligeledes en Varmeudvikling i den ene Halvdel af Loddestederne og en Varmeabsorbtion i den anden Halvdel. De endelige stafionære Temperaturer i Lodde- stederne vere 7, i de første og 7’ i de andre. I Loddestederne ere tillige thermoelektromotoriske Kræfter tilstede, som ifølge den meka- niske Varmetheori kunne udtrykkes nøjagtig ved — ET, og +ET/, idet Æ er en Konstant, naar det for begge Metallerne forudsættes, at der ikke finder nogen thermoelektrisk Forskjel Sted imellem to ulige opvarmede Steder af det samme Metal. Ved den elektriske Stroms Gjennemgang gjennem to paafolgende Loddesteder vil altsaa det elektriske Potential blive formindsket med #(7,—T!). Desuden vil selve Ledningsmodstanden i Traadstykket for- mindske Potentialet, men Traadstykkerne kunne antages saa korte, at dette Tab bliver for- svindende lille. Under den samme Forudsætning ville ogsaa Temperaturerne T og 7” i et Punkt i et af Stykkerne / og /’ kunne udtrykkes ved TT tor ba? OT Th ale bia, idet x regnes fra det nærmest til venstre liggende Loddested i det betragtede Stykke. Imellem disse Konstanter ere Relationerne = T, Pal pee, T— Patent, da det ene Traadstykkes Endepunkt maa have samme Temperatur som det andets Begyn- delsespunkt. Tillige maa Loddestederne selv afgive lige saa megen Varme, som de modtage. Loddestederne modtage ifolge den mekaniske Varmetheori ved Strommens Gjennemgang Varmemengderne AiET, og — AiETY, naar A er Arbejdsenhedens Varmeækvivalent og 2 Stromstyrken. Ere endvidere k og k’ de to Traadstykkers Varmeledningsevner, g begge Traadstykkernes Gjennemsnit, saa vil man altsaa have ØR 73 : dT AL AiET, = —kq Ee a kg =. . , Ad aT” Ci ET — AiET = — kg ce Aie le: Ved Subtraktion af disse to Ligninger og Indsættelse af de ovenfor angivne Værdier for T og T’ erholdes efter Elimination af Konstanterne a, 6, a’, b’ k k! AiB(T, +1) = MT + Fr). Det ved Strommens Gjennemgang gjennem to paafolgende Loddesteder lidte Potentialtab vil altsaa vere E(T,—T,) = AE 7 vein bee: > ur idet T — EE er Loddestedernes Middeltemperatur. Det ses heraf, at de thermoelektriske Kræfter alene frembringe en Modstand, som folger de sædvanlige Love for den elekriske Ledningsmodstand, idet nemlig en saadan vilde i AL - : frembringe Potentialtabet 2 ——, naar ved x betegnes hele Traadens tilsyneladende elek- qx triske Ledningsevne. Traaden vil altsaa i vort Forsøg forholde sig, som om den havde Ledningsevnen k K (G+ pen ARTE Vi ville endvidere tænke os, at den samme Traad, uden at være gjennemstrommet af en elektrisk Strom, bliver opvarmet i den ene Ende og afkolet i den anden, medens den iovrigt er omgiven af fuldkomne Varmeisolatorer. Man vil da have, naar Temperaturerne i tre paa hinanden folgende Loddesteder ere 75, T,, T,, Tome v7:—7, glo—T l % i+U ? idet vi ved & betegne den Varmeledningsevne, man maatte tillegge Traaden, hvis man betragtede den som en ensartet Ledning. Heraf følger I+? N k AE°T 5 7 3 = i 7 7 ee Den sidste Ligning angiver saaledes Forholdet imellem den betragtede Traads af Forsogene k k fremgaaede tilsyneladende Ledningsevner for Varme og for Elektricitet. Ethvert Legeme er i sit Indre diskontinuert. Der ere indre Grænseflader tilstede, i hvilke man tillige maa antage Tilstedeverelsen af thermoelektriske Kræfter eller, efter en nyere Betragtningsmaade, af elektriske Dobbeltlag. En elektrisk Strom vil saaledes ved en 74 40 Gjennemgang gjennem et Legeme frembringe de samme Virkninger, som i det ovenfor beskrevne, tænkte Forsøg. Ligesom her vil en egentlig elektrisk Ledningsmodstand ikke komme til at spille nogen Rolle i Sammenligning med den Modstand, som fremkommer ved Gjennemgangen gjennem de elektriske Dobbeltlag, og der vil saaledes egentlig ikke blive nogen Grund til at antage, at nogen anden Modstand overhovedet existerer. Elektri- citeten vil altsaa bevæge sit frit, uden Potentialforandring langs ad et Dobbeltlag, og der vil først fremkomme en Forandring i det elektriske Potential, naar Elektriciteten passerer igjennem et Dobbeltlag. Der vil fremdeles heller ikke være nogen Grund til at antage en egentlig Varme- ledning, da alle Temperaturforskjelligheder maa udjevne sig ved lokale elektriske Strømme. Ligesom Varmen som Straalevarme forplanter sig ved lokale, alternerende Strømme af samme Årt som de Strømme, der fremkomme ved Udladningen af en Leydnerflaske igjennem en Metaltraad, saaledes forplanter Varmen sig ved Ledning ved lokale Strømme af samme Art som de Strømme, der fremkomme ved Udladningen af et galvanisk Batteri. Vi tænke os nu en Linie lagt igjennem et Legeme, og at denne Linie skjærer tre paa hinanden følgende Dobbeltlag. Skjæringspunkterne være A, B, C, Afstanden imellem A og B være /!, imellem B og C være l’, Temperaturerne i A og C vere T/, i B T,. Paa Grund af Temperaturforskjellen vil der fremkomme lokale Kredslob af elektriske Stromme, som sandsynligvis i Gjennemsnit ville fore en lige saa stor Varmemengde fra B til A som fra B til C. Betragtes nu denne Overfering af Varme som fremkommen ved Varmeledning, og kaldes Ledningsevnen imellem A og B k, imellem B og C X, vil man have de fra B 7 Rk ald til A og til C overforte Varmemengder proportionale med ee og med yee Ere nu ifølge ovenstaaende Betragtning disse Varmemengder lige store, saa er [Dee a eg AU Herved gaar det ovenfor fundne Udtryk for Forholdet imellem Ledningsevnen for Varme og for Elektricitet, naar dette Udtryk overfores paa det betragtede Legeme, over til TE Dette Forhold bliver saaledes proportionalt med Legemets absolute Temperatur, hvilket er i Overensstemmelse med Forsogsresultaterne. Disse have tillige vist, at Forholdet er det samme for alle bedre ledende Metaller, hvoraf følger, at Æ har den samme Verdi for alle disse Metaller. Den numeriske Beregning giver Z — 30400. Potentialforskjellen ET, som vi ville kalde den molekulære Potentialforskjel, bliver f. Ex. herefter omtrent 23 Gange storre end den, som fremkommer ved Beroringen imellem Kobber og Nysolv. Da den molekulære Potentialforskjel viser sig ens for forskjellige Legemer og pro- 41 75 proportional med den absolute Temperatur, ligger det nær at betragte denne Potentialforskjel som identisk med den absolute Temperatur. Man vil saaledes erholde et absolut Maal for Varmegrader, og 1 Centigrad vil blive lig 30400 absolute Enheder. Jeg har i min ovenfor citerede Afhandling gjort opmærksom paa, at den ved en given Potentialforskjel 2, — P, frembragte elektriske Strom kun vil vere i Stand til at frembringe en vis Temperaturforagelse. Er Legemets Temperatur 7°, og er 7, den højeste Varmegrad, hvortil Strømmen kan opvarme Legemet, saa vil man, naar det ovenfor fore- slaaede absolute Maal for Varmegraden indføres, have P,—P, = T, —T,. Opfattes altsaa Temperaturen som en molekulær Potentialforskjel, saa vil man kunne sige, at et Legeme, som gjennemstrommes af en elektrisk Strom, ikke vil kunne opnaa en større molekuler Potentialforskjel ved Strommen end den, der forud fandtes, plus den numeriske Verdi af den storste elektriske Potentialforskjel imellem to Punkter af Legemets Overflade. Sættes et Daniell’s Elements elektromotoriske Kraft lig 11.107 absolute Enheder, saa vil den største Opvarmning, det kan frembringe, ligeledes vere 11.107 absolute Enheder LOL 30400 forhaanden værende mangelfulde Tagttagelsesdata fundet det lavere Tal 2780 Centigrader. Ligeledes maa nu Opfattelsen af den Forbindelse, som jeg dengang troede at finde imellem eller = 3600 Centigrader. I min tidligere Afhandling havde jeg paa Grund af de Lovene for Elektrolysen, Varmefylden og Varme- og Elektricitetsledningen, af samme Grund blive at modificere. Den faktiske Forbindelse imellem disse Love er folgende: Ved Elektricitetsenhedens Gjennemgang gjennem en binær Forbindelse udskilles 7 on Gram Metal, naar N betegner Metallets Atomtal. Til at opvarme N Gram Metal 1° C. udkræves omtrent 6,4 Varmeenheder eller 6,4.42.10% Energienheder, og til at op- varme den samme Vægt en, efter den ovenfor givne Definition, absolut Grad udkreves 6 —— == 8800 absolute Energienheder. Den ved Elektricitetsenheden udskilte Mengde af Metal vil altsaa udkræve 13 Energienhed for at opvarmes 1 absolut Grad, medens Elektricitetsenheden selv vilde udkræve 1 Energienhed til Forogelsen af dens Potential med en Enhed. Jeg skal sluttelig kun henlede Opmerksomheden paa, at den ovenfor udviklede Opfattelse af den elektriske Ledningsmodstands Natur, ifolge hvilken elektriske Stromme kunne vedblive at bestaa indenfor begrænsede Kredse uden Modstand og som Folge deraf uden Energiomsetning, staar i noje Forbindelse med vor Theori om Magnetismen og Diamagnetismen, ja danner det nodvendige Grundlag for den. Saadanne elektriske Stromme repræsentere en vis kinetisk elektrisk Energi. Betragte vi f. Ex. en sluttet lineær, uendelig god Leder, hvis Induktionskonstant er ©, og nærmes til denne Leder en Magnetpol med Magnetismen m, saa vil man have 76 42 di do aa re 0, naar ? er den inducerede Stromstyrke og © Rumvinklen for en Kegle, hvis Spids er i Magnetpolen, og hvis Flade omhyller Stromlederen. Naar der altsaa oprindelig ingen Strom var tilstede i Stromlederen, saaledes at til © —0 svarer ? — 0, saa er C + mw = 0. Det ved Bevægelsen udforte Arbejde er (7) \ mide = ACP , hvorved altsaa den af Strømmen repræsenterede Energi i denne Leder er bestemt. Betragte vi et Legeme med uendelig god Ledningsevne, viser Beregningen, at der ikke ved ydre elektromotoriske Kræfter kan frembringes nogen Strøm i Legemets Indre, men kun i dets Overflade. Ledningen i det Indre kommer saaledes slet ikke til at spille nogen Rolle, og de elektriske Stramme blive ligesom den statiske Elektricitet kun Overflade- eller Grensefladefenomener. Nermes en Magnet til et saadant Legeme, vil der fremkomme vedvarende elektriske Stremme i Overfladen, og det vil forholde sig som et diamagnetisk Legeme. Har f. Ex. Legemet Form af en Kugle med Radius 7, og er en Magnetpol med Magnetismen m bragt i Afstanden a fra Kuglens Centrum, saa vil efter min Beregning det 3 mr magnetiske Moment M af de fremkomne elektriske Stromme vere bestemt ved M — Ja: i a M? og den af disse Stromme repræsenterede Energi ved 77" Som Resultat af hele denne theoretiske Udvikling fremgaar, at vi sandsynligvis i et Legemes Indre ville finde foruden Massebevægelser elektriske Dobbeltlag med en med den absolute Temperatur proportional Potentialforskjel og elektriske Strømme som forskjellige Former for Energien. Familien Podostemaceae, Studier af Dr. Eug. Warming. II. Afhandling. Il. Vegetationsorganerne hos Castelnavia princeps Tul. et Wedd. III. Vegetationsorganerne hos Dierea elongata (Gardn.) Tul., og Dicræa algeformis Beddome: IV. Fruktifikationsorganerne hos Podostemon Ceratophyllum Michx., Mniopsis Weddelliana Tul. og Glaziovana Warming, Dicrea elongata (Gardn.) Tul. og algeformis Bedd., og Castel- navia princeps Tul. et Wedd. Med 9 Tavler. Avec un résumé et une explication des planches en francais. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. IL 3. TIO ABI ——— Kjøbenhavn. Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri. 1882. Hah 8 OPA O PME MEL | | nur whe ava ' te EC WTA Ii. Vegetationsorganerne hos Castelnavia princeps Tul. et Wedd.') Denne Art har hidtil kun veret hojst ufuldkomment kjendt. Det Exemplar, som findes afbildet hos Tulasne (Monographia Podost., tab. XI, fig. 1), gjengiver næsten samme Udviklingsstadium som min Fig. 4, Tay. XIII, nemlig den afblomstrede og visnende, hvide, frugtberende Plante, og at Tulasne ikke har kjendt den i. anden Skikkelse fremgaar af hans Ord (l. €. pag. 164): «Frons simul caulis et foliorum vices gerens saxis obrepit, cir- citer 3 mm. in crassitudinem obtinet, sed in ambitu sterili maxime tenuatur et late mem- braniformis evadit; paulo supra basim in lobos 2 æquales scinditur qui 4—6 centim. sin- gulatim longi retrorsum incurvantur et ipsi in segmenta plura abbreviata dichotome disce- dunt. Frondis hujus in superficie nude et inæqualis contextus totus mere utricularis est; ejusdem penetralia loculis ovatis obliquis oreque integro donatis excavantur, in quibus aptatis flores fovent, deinque fructus absconditos sed tumentes cohibent. Flores hoc modo in ipso frondis sinu, sicut sporangium in Kiceia, solitarii gignuntur ....» og hos Weddell i De Candolles Prodromus, XVII, 1873, p. 80, tales ligeledes om «frons dichotome divisa, fastigiatim expansa, foliis genuinis omnino ut videtur destituta». Af dette fremgaar, at Plantens vegetative Dele hidtil have veret opfattede som et lovlignende, til Substratet tæt trykket Legeme, der er mere eller mindre tydelig dikotomisk delt, og i hvilket Blomsterne ere nedsenkede. Jeg blev derfor ikke lidet forbavset, da jeg forst fra Stockholm fik Materiale i Spiritus, samlet ved Caldas af Hjalmar Mosén, og senere fik et særdeles rigeligt og udmerket Materiale i Spiritus fra den bekjendte svenske Lege og Botaniker, Dr. A. F. Regnell i Caldas”), der viste, at Planten i sin fyldigst ud- 1) {ste Afhandling findes i Vidensk. Selsk. Skr. 6. Række, Il, 1, og omhandler: I. Vegetationsorganerne hos Podostemon Ceratophyllum Michx., Mniopsis Weddelliana Tul. og Mniopsis Glazioviana Warmg. 2) Alt mit Spiritus-Materiale er saaledes fra Caldas i den brasilianske Provins Minas geraes, Dr. Regnells er mærket III, 2053. 10° SO 4 viklede Form har lange, elegante, særdeles fint delte Blade, saaledes som fremstillet paa min Fig. I og 2, Tay. XIII. Jeg bringer herved min hjerteligste Tak saavel til Dr. Regnell som lil Prof. Wittrock, der godhedsfuldt laante mig Riksmuseets Materiale til Under- sogelse. Dr. Regnell ledsagede sin Sending med et Brev, dat. Cidade de Caldas d. 15. Mai 1881, af hvilket jeg aftrykker folgende, som giver en udmerket Forestilling om Plantens hele Levevis, og som tillige viser, med hvilken Omhu og Intelligens han har indsamlet Materialet. «Fyndorten för dem var en bergshäll med omkring 45° stupning ned i en liten «bassin» fylld ständigt med sakta flytande vatten frän vid ena änden befintlig vildfors och vattenfall. Den 21 Februari var denna bergshäll i vattenkanten och sa långt ned skönjas kunde tätt besatt med plantor i den utveckling, röret no. 1 visar: länga stjelkar och de fint fördelade bladen näende vattnets yta, bildade en vacker mörkgrön garnering af bassinen åt denna sida (se Fig. 1, Tav. XIII). Fran andra sidan, der vattnet flåt ut ur bassinen liksom öfver ett dammbord, och der bassinen tycktes vara djup, fanns inte. — Den 28 Mars gjordes en excursion till dylik forss och vattenfall i Rio verde, der Castelnavia äter- fanns ännu med länga stjelkar och fina blad, men nu med stjelkarna vid basen mycket uppsvulnade (se Fig. 2 og 3 A—D) och med en mängd röda punkter eller knölar pa undre sidan, hvilka befunnos innehälla könsorganer med 2 ständarknappar, hvilkas färg syntes genom den tunna epidermis af stjelken. Den 24 och 28 April fanns 4 förstnämda fyndorten, ribeirao dos Bugres, blott en mängd stumpar af stjelkarne sticka 6fver vattenytan (päminnande om stubb pa et af- mejadt sädesfält) vid basen försedde med många flera röda punkter, nu bildande knölar isynnerhet på den till en frons utvecklade vid klippan starkt vidfästa delen. Mellan dessa, och der vattnet var ännu mera grundt, fanns andra med en ech annan stump af gamla (ursprungliga) bladstjelkar och pä den mycket mer utbredda frons, i kanten af densamma, fransar (nybildningar af stjelkar och blad?), och mellan dessa ännu andra med mycket mer fürgrenad (klynnedelt) frons utan tecken till blad eller fransar; blomknölarne många fler och mer utvecklade, men könsorgan ännu inneslutna. Uti vattenkanten och dels utom den samma, der klippan blott dä och dä fuktades, funnos först former med utsluppna könsorganer (se Fig. 15, Tav. XIII); de langa stigmata stucko nu fram som elt par horn och äfven ständarsträngarne tycktes tilltagit mycket i langd; exemplar med knapparna uppsluppna funnos på det nara nog torra; frons af dessa former grönbrun (ungefar som Fusus vesiculosus), kunde sällan fås hel och hallen fran klippan, och segmenter voro så talrika och tatt intill hvarandra packade, att något centrum af frons sällan kunde finnas. Att nu vilja draga den slutsatsen, det dessa sma former uppkommit ur den ur- sprungliga (af d. 21 Febr. och 28 Mars), ar val kanske nägot förhastadt; jag har blott velat > SI visa, huru de förekommit efter hvarandra, allt efter som vatinet sjunkit undan, som mig tyckes. .... De af 3 Maj funnos i en annan «remanso» an den ofvanfår først beskrifna, men i samma ribeiråo dos Bugres, med djupare vatten och mera lugn yta, hvilken spetsarne af bladen nådde. Syntes mig mårkelig genom finare stjelkar och blad och sår- deles deri, att den befanns i samma utvecklingsgrad som de et par månader tidigare tagna.» — Saa vidt Dr. Regnell. Sammenfatter jeg hans værdifulde lagttagelser med mine egne Undersogelser af de tilsendte Planter, kunne Resultaterne i al Korthed udtrykkes saa- ledes. Castelnavia princeps har en kort, bred, kjadfuld, dorsiventral Stengel (hvis Forgrening og Bladstilling nedenfor skal forklares), der som ganske ung bærer langstilkede, særdeles fint delte, indtil 15 Gm. lange Blade (Fig. I, 2), hvis Basaldele voxe sammen indbyrdes og med Stenglen, hvorved den nedre lovlignende Del af Planten fremkommer. Under sin senere Udvikling bliver Stænglen sterre, bredere (Fig. 3), og nye Blade komme til; Stænglerne hæfte sig med Hapterer (Fig. 6, 7) fastere og fastere til Underlaget, og medens de unge Stængler dannede en spids Vinkel med dette (se Fig. 7), ligge de ældre fladt ud over det; medens de unge Skud have en mere eller mindre hul Rygside, blive de ældre ofte ganske fladt udbredte og faa derved endnu mere Lighed med et Likenthallus. Blomsterne skjules paa en særdeles mærkværdig Maade inde i det lovlignende, som anfort af Stenglen og de sammensmeltende Blades Basaldele dannede, Legeme og fremkalde Opsvulmninger paa dette; de skimtes som smaa rode Knuder i dets Indre. Exemplarer, som voxe paa dybt og roligt Vand, synes lenge at kunne bevare deres fint delte Blade og blomstre vist ogsaa under Vandet. Men de Exemplarer, som voxe i sterkere bevæget Vand, iser ner Bredden, slides saa stærkt af Vandet, at der snart ikkun er Stumper af Bladstilkene tilbage (Fig. 15). Paa Randene af saadanne af Bolgerne og Strommene odelagte «Ley» kan man finde ganske unge Blade, som fine Frynser, siddende mellem Resterne af de gamle. Gjennem Over- fladen af det af Stænglerne og sammenvoxede Bladrester dannede, nu ganske lovlignende, lil Klipperne tiltrykte Legeme, der, efterhaanden som Vandstanden hen i Tortiden (omtrent fra April af) bliver lavere, ere komne til at ligge mere udsatte for Lysets og Luftens Paa- virkning, bryde Blomsterne nu frem og udfolde Ar og Stovknapper (XIII, 15). Senere hen, naar Vandet i Tortiden er faldet endnu mere, afbleges og indterre de tiloversblevne lov- lignende og nu frugtberende Vegetationsorganer ganske, udsatte for den tropiske Sols Hede paa de torlagte Klipper, og frembyde da det Udseende som paa XIII, 4. I den ud- tørrede og paa Grund af de luftfyldte Cellerum hvide Masses mange Blomsterhulheder ses nu glinsende kastaniebrune Kapsler eller Kapselklapper nedsænkede; disse udtørrede Stengel- og Bladdele vise sig paa Overfladen ganske fint grubede paa Grund af de store, indfaldne Parenkymceller. Jeg skal nu søge at forklare Vegetationsorganernes Bygning (Tav. XIII). Ved en første Betragtning var det mig ikke muligt at forstaa den; jeg fandt, som paa Fig. 1, et nederste noget hult, bredt og kjodfuldt Legeme (man ser paa Figuren ind i en Hulhed), hvilket det jo laa nærmest at betragte som Stengel, og paa hvis Rand fandtes storre og mindre Blade, tilsyneladende uden Orden. Paa ældre, storre Planter er Tallet af Blade betydeligere, og man ser nu langt tydeligere end forhen, at Dele med unge Blade mere eller mindre stærkt hvælve sig udad i blidt afrundede Partier og springe stærkere frem end de mellemliggende, med ældre Blade besatte Stængeldele; se f. Ex. Fig. 3 C: Par- tierne m! og n! springe stærkere frem end det Parti, der berer de ældre Blade m og n, eller Fig. 3B: Midterpartiet med de allerældste Blade a og 6 ligge længere tilbage end de yngre, og af disse springe de alleryngste (ot, 21—2? o.s.v.) allerstærkest frem. Men Totalformen af den lovlignende nedre Del er den samme som for; hvis man under en svag Hvelvning af sine Hender vil slutte dem sammen, omtrent som naar man vilde ose Vand med dem, og man dernæst tænker sig Randen af dette svagt hule Legeme bugtet ud og ind, og langstilkede Blade anbragte paa Randen af Bugterne, de ældste paa de mest indspringende Bugter, de yngste paa de mest udspringende, vil man faa en omtrentlig Forestilling af Vegetationsorganernes Form. I Fig.3 A ses ind i Hulheden af et saadant lovlignende Legeme, i Fig. 3 B ses det samme fra den modsatte, mod Underlaget vendte Side, og Fig.3C og 3 D fremstille det fra højre og venstre Side. Diagrammet (XV, 10) vil ogsaa hjælpe til at forstaa Stillingen, og Fig. 3 E, Tay. XIII, viser os det hele Legeme tænkt fladt udbredt med Bladene siddende i Randen. Efter at jeg imidlertid havde lert Forgreningen og Bladstillingen hos Podostemon Ceratophyllum og Mniopsis-Arterne at kjende (se Iste Afhandling), blev det mig ret let, efter noget Studium, at henføre Castelnawa’s Vegetationsorganer til den selv samme mærk- værdige Type. Man vil se af Iste Afhandling, at Skuddene ere stærkt dorsiventrale; at Bladene staa i to Rækker paa Flankerne, men dreje deres Plader saaledes, at Bugsiden vender opad, Rygsiden nedad (mod Stænglernes Bugside); at Knopperne rykke ud af Bladaxlerne og hen til den yderste Rand af Bladgrunden paa Bladets notoskope, ved Drejningen af Bladet fra Skuddets Medianplan bortvendte Side, hvor de omgives af en extraordinær Stipel; at hver Knops Iste Blad vender bort fra Moderskuddet, og at Blomsterne ere endestillede. Hvis man nu vil tænke sig en Plante opbygget efter disse samme Principer og paa den ene Side tillige simplificeret, for saa vidt som hver Axe i den florale Region kun bærer 2 Blade og derpaa afslutter med en Blomst, men paa den anden Side fort endnu yderligere i Retning af Dorsiventralitet og stærk Forgrening, har man Castelnavia’s Stengel. Den er bygget som en sædvanlig dikotomisk Cyma; men alle Blade ere drejede saaledes, at deres gastroskope Rand vender indad mod den relative Hovedaxe, og deres Axelknopper ere = ca rykkede helt ud af Axlen og komme til Udvikling ved Bladets notoskope Rands Basis (se Diagrammet, XV, 10, og tilhørende Figurforklaring). Ligesom hos de i {ste Afhandling behandlede Arter vender hver Knops Iste Blad bort fra Moderskuddets Medianplan. Efter disse Bemærkninger vil Fig.3E (og dermed i det hele det i Fig.3 som Ex- empel afbildede Skud) kunne forstaas. Den relative Axe af Iste Orden ender med Blomst 2 (den forudgaaende Axe er ikke fuldstændig til Stede; dens Blomsterhule ses ved 1 i Fig.3 A, 3C og 3E), og denne Axe bærer Bladene a og b; a er det nederste og stotier ved sin udad vendte (notoskope) Rand den kraftigste Knop, som ender med den efter 2 næst storste Blomst 3 og bærer de to stærkeste Blade a! og a”, Blad 6 stolter paa samme Maade ved sin bortvendte Rand et lid! svagere Skud, der ender med den efter 3 nest største Blomst 4 og bærer de to Blade b! og 0°. Paa samme Maade støtter a! ved sin ydre Rand Skuddet, som ender med Blomst 5 og bærer de to Blade y? og y*, og a? støtter Skud 6 med Bladene & og 2, af hvilke « som Skuddets Iste Blad vender bort fra Moderskuddets Me- dianplan og derfor hen mod Bedstemoderskuddet (2 — ab), 0.s. v. Det vil herefter vere let at forstaa Resten, og ved Hjælp af den punkterede Linie, der fra hver Blomst forer ud til Periferien, vil det vere let at finde de til hvert Skud horende Blade; kun maa det bemerkes, at nogle Skud ikke have mere end 1 Blad. Dette er saaledes Tilfældet med de allerfleste af de yngste Skud, der ikke have faaet deres Blomster numererede; saaledes, naar man begynder fra venstre, det Skud, der stottes af n!, af 6? (Skud 8 med Blad o), af a, ft, 2", y!. Ogsaa dette er i Overensstemmelse med det hos Podostemon Ceratophyllum og hos Mniopsis bemærkede, idet Tallet af Blade ogsaa her fandtes at vere mindre hos Skud af hojere Orden end hos Skud af lavere (se f. Ex. Tay. IV, Fig. 19 A). For øvrigt er det nok muligt, at nogle af de her som Ibladede betegnede Skud ved nermere Undersogelse ville findes at have et 2det, men endnu meget lille Blad. Det ber nemlig tillige bemærkes, at endnu mange flere Skudanlæg og unge Blade kunne findes ved en mikroskopisk Undersogelse af de ved de yngste, for det blotte Oje synlige, Skud verende Dele. Begyndes fra venstre Side ses i Fig. 3E nederst Hulen for en Blomst af den i dette tegnede Parti ældste Generation, og Basaldelen af det ene til dette Skud horende Blad. Dette Blad er Moder for Skud 2 med dets Blade a--b. For øvrigt høre de forskjellige Dele saaledes sammen: Blomst 12 med Blad m! og et ikke market Blad. = 7 — m og mn. 24r 43 2, n! og et ikke mærket Blad, = 4 = bL og 62. = 8 — 0. eu 14 — ol og 0? = 2 _ a og Db. — 10 = aloe 2 ue 6 = a og f. Blomst 3 med Blad a! og a?. — 9 — zl og 22. ALS Er Desuden findes der nogle ikke mærkede Blomster med tilhørende Lovblade, og en stærkere Forstorrelse vilde lære, at endnu mange flere, ganske smaa Skud ere anlagte. 1 og y?. = Det Sporgsmaal opstaar naturlig, om der ingen Skud findes, som have flere end 2 Blade. Dette gjør der ganske sikkert, og det tor antages, at de først dannede, mere vegetative Skud altid ville have flere, saaledes som det jo ogsaa viste sig hos Podostemon og Mniopsis, men naar en vis Alder er naaet, synes der kun at frembringes tobladede Blomsterskud i et overordentlig stort Antal af Generationer. Et Skud med mere end 2 Lav- blade er afbildet XIII, 2 (Bladene a, b, e, d o.s.v. hore til et og samme Skud). At det hele Skudkomplex ikke kommer til at ligge i en eneste udstrakt Flade, folger af Bladstillingsmaaden, og vil ogsaa lettelig fremgaa ved en Betragtning af Dia- grammet i XV, 10. Paa ganske samme Maade ere de rigere forgrenede Skud hos Podostemon og Mniopsis skeformig hule i deres ovre Ender, hvilket kan ses af V,1, skjont ikke saa tyde- lig, som jeg hayde onsket at fremstille det. Fig. 3, Tay. XIII, viser, at de ældre Bladpar komme til at sidde i en Indbugtning paa Randen af det thalluslignende Legeme; dette er en Folge af, at der paa hver Side af dem findes Væxtpunkter (Sideaxer), som grundlegge nye Skudkomplexer, der for at faa Plads maa hvelve sig lidt frem uden for de eldre. Det neste, der bliver at forklare, er, hvorledes Blomsterne, som jo ere terminale paa deres relative Hovedaxer, komme til at ligge indesluttede i det hidtil som en fladt udbredt Stengel betragtede lovlignende Legeme, og langt fjernede fra dettes Rand, saaledes som f. Ex. Blomst 2 i Fig. 3 E. Hermed forholder det sig saaledes. Blomsterne ere i Virkelig- heden ganske exogene, og naar man gaar tilbage til de alleryngste Udviklingstrin (se f. Ex. de to Blomster XIII, 19, som ligge mellem 3—b og a—a), finde vi dem ogsaa meget tydelig liggende frit mellem Foddelene af to unge, ulige store Blade og i umiddelbar Forbindelse med Omyerdenen, men meget hurtig begynde de omgivende, til selve Blomstens Skud horende, Blade at voxe op omkring Blomsten og tillige sammen indbyrdes, og det ender med, at denne kommer til at ligge dybt indsenket i det kjodfulde og lovlignende, blegt gronne, straaleformig og dikotomisk delte «Lov», der altsaa viser sig for en særdeles stor Del at være dannet af sammenvoxede Foddele af Blade. Det er ganske bekvemt at have en felles Benæv- nelse for dette af Stængel- og Bladdele dannede Legeme, og jeg vil derfor i det folgende benævne det «Lovet» eller «det lovlignende Legeme». ‘Til enhver Tid kan der paavises en snever Kanal, som forer ned til Blomsten, men som er saa snever, at den i Tversnit ved en Forstorrelse af c. 200 Gange ikke viser sig større end som i XIII, 14. I Begyndelsen, indtil jeg blev nøjere bekjendt med Sammenhængen, antog jeg den paa Tversnit gjennem — ( «Lovet» for en Karstreng. Man vil i Fig. 8 A og B finde to Tværsnit lagte gjennem de to Blade a—d i Fig. 3; Fig. 8a er fort lidt neden for Kløften mellem dem, Fig. 86 lige ved denne; den lille Stjerne antyder Kanalen, medens de 6 morke Prikker betegne Kar- strengene i Bladene, af hvilke de to yderste nylig ere opstaaede ved Deling af en enkelt. Man vil heraf se, at Kanalen findes mellem de to Blade, inde i det ved Sammenvoxningen dannede fælles Fodstykke, og at den udmunder netop i Kloften, der hvor Bladene skilles fra hverandre og nærmest Rygsiden af dem (Fig. 8 6; Rygsiden vender nedad paa Figuren). Paa XIII, 19 vil man se Kanalen, der fører ned til Blomsten mellem Bladene a og b, overskaaret tet neden for Sammenvoxningsstedet mellem disse. Ligeledes vil man i Fig. 18 se den i Længdesnit, førende fra Blomst > ud til Omverdenen, og ved Blomst a vil man se dens indre Munding i Blomsterhulen; derimod har Snittet ikke truffet den ved Blomst c. De Blomsterne dækkende Vævdele ere tyndere paa Bugsiden end paa Rygsiden. Bladenes frie Foddel er bred og noget skedeformet, saa at den omfatter de nær- mest liggende yngre Dele (se f. Ex. XIII, 3 G og 3 D). Den holder sig lenge opret, efter at den lovlignende Del af Planten har lagt sig vandret. Pladen er meget fintdelt, nærmest i alternerende fjerformig Forgrening (XIII, 1, 2, 5); ved Grunden af de større Sideflige findes der en fint delt Flig snart nermest sammenvoxen med Hovedribben, snart nærmest rykket ud paa Sidefligen (XIII, 5). Bladenes Udvikling er i alt væsentligt som hos Podostemon Ceratophyllum, men Forgreningen er langt rigere. Alle de Spidser af Hoved- og Sideflige, som jeg har udprepareret, have tydelig vist, at Sidedelene anlegges i opstigende Folge og mere eller mindre tydelig alternativt (XIII, 17, 19; XV, 5, 13), og at alle Nydannelser anlægges under Epidermis (XV, 11, 12; se ogsaa 4). Knoplejet er som hos de tidligere undersogte. Angaaende Stenglens og Bladenes Anatomi kan merkes folgende. Kisel- dannelser mangle i hele Planten. Alle Cellevegge ere uforvedede. Intercellulere Rum mangle eller ere dog kun yderst smaa. Overhuden er yderst simpel, dannet af for- længet polygonale eller rektangulære Celler. Grundvævet er storcellet og dannet af tyndveggede Parenkymceller; efter Døden, naar Planten ved Vandstandens Synken kommer til at ligge paa det torre, fyldes de fleste af disse Celler med Luft, og derfra skriver sig det hvide, næsten kalkagtige Udseende, som de hentorrede, frugthbærende Exemplarer faa (XII, 4). Karstrængenes Forgrening vil ses af XIII, 16, 18 og XV, 1, 2, 3. Den er yderst simpel og staar i noje Forbindelse med hele Skuddets Forgrening. Hver Axe mod- tager I Streng, som løber ud i Blomsterbunden (XIII, 16 ved a, 18 ved a; XIV, 3, 26) og der deler sig i flere, som forsyne Stovdragere og Ovar; fra denne Streng udgaar end- videre neden for Blomsten én Streng til hvert af det paagjældende Skuds Blade, hvilke Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 3. 11 86 10 Strenge senere sædvanlig dele sig i 3 og hojere oppe i Bladene i endnu flere (XV, 3; m og n betegne de to til If hørende Blade, i hvilke 3 Nerver ere dannede). Ligeledes udgaar der fra disse Strenges udadvendte Sider Grene til de paagjældende Blades Sideskud, der paa lignende Maade tredele sig, hvis disse Sideskud bestaa af I Blomst og 2 Blade, eller tvedele sig, hvis de kun bestaa af 1 Blomst og 1 Blad; og saaledes fremdeles. Karstrængforgreningen er altsaa den samme som hos Podostemon Ceratophyllum (II, 7) og de andre Podostemaceer, jeg hidtil har undersogt. Det folger af sig selv, at man paa ethvert Tversnit gjennem det af Stengel og Bladfodder dannede lovlignende Legeme vil treffe mange Karstrenge (hvis Tal tilsyne- ladende oven i Kjobet bliver storre ved de karstrænglignende Kanaler), som lobe til de for- skjellige, lengere ude staaende Organer (XIV, 1, 2); hos de andre hidtil undersogte Podo- stemaceer, hvis Skudkomplexer ikke ere saa rige og indviklede, er Tallet af Strange paa et Tversnit meget mindre (se IV, 3; VI, 8; IX, 53). Karstrengenes histologiske Bygning. Strengene bestaa af Kambiform og til Dels meget langt udtrukne Trakeider. Tværsnit vise dem bestaaende af snevre og tynd- veggede Elementer; uden om disse ligger et snævercellet Vey med tykke, gullige Vægge — et kollenkymalisk, mekanisk virkende Væv, som lengere ude gaar jævnt over i det meget tyndvæggede Væv, der danner Hovedmassen. En serlig Kollenkymmasse i Skuddenes Bugside findes ikke her eller er dog ikke saa fremtrædende, som hos de i 1ste Afhandling undersøgte Arter. Siror har jeg ikke kunnet paavise sikkert. Det ældre «Lov» er ganske tæt tiltrykt til Underlaget; det er sikkert stærkt negativt heliotropisk, thi man finder det inderlig leggende sig op til Stenenes Overflade, folgende alle deres Ujævnheder og bojende selv om næsten retvinklede Kanter, i det det legger sig lige saa fast til den lodrette som til den vandrette Side (XIII, 4, paa venstre Side). Hapterer. Stænglen viser sig, naar den er bleven ældre, paa Undersiden besat med Hapterer, som søge lodret nedad og fæste sig tæt til de Gjenstande, med hvilke de komme i Beroring, i det de i Spidsen brede sig eller næsten lige som gyde sig ud over dem; exempelvis er der i XV, 16 afbildet en Hapterrække, der fatter om en lille Sten. Som Figurerne vise, ere Haptererne hojst uregelmæssige i Form; nogle ere frit og isoleret stillede, kegleformede, i Tværsnit trinde Legemer (XIII, 6; XV, 16), andre ere for- mede som lange, uregelmæssig takkede og vortede Bjærgrygge eller kamformede Kjæder, der folge med Stænglernes Underflade (derimod næppe gaa over paa de egentlig bladagtige Dele) og forgrene sig i Overensstemmelse med Stænglernes Forgrening (XIII, 7). Jeg har haft Lejlighed til her, bedre end tidligere, at folge Hapterernes Udvikling. De ere exogene Dannelser, opstaaende i Epidermis og det subepidermale Lag. Den XIII, 10 tegnede synes vesentlig dannet i det sidste; men jeg har set en kjædeformig Hapter lige i Dannelse, der aabenbart for en meget væsentlig Del opstod i Epidermis. Ligeledes er det 11 87 meget tydeligt dels af Cellernes Ordning, dels af Celleindholdets Beskaffenhed, at de ældre voxe især i deres Omkreds ved Deling af dennes Celler; de alleryderste af disse ere altid meget mindre end de andre og danne en Slags Overhud, der dog naturligvis ikke, netop paa Grund af Væxtmaaden, danner ét, bestemt begrænset Cellelag (XIII, 9, 11, 12, 13). Naar Hapteren afslutter sin Væxt og naar Underlaget, udgaar der Rodhaar fra denne Pseudo-Overhud (XII, 11). Paa gamle Stenglers Underflade kan man finde hele store Pletter, der ved deres Udseende vise sig at være omdannede til Hæfteapparater; de ere ujævne og brunlige, Sand- korn o. |. hæfte fast til dem; man kan endog finde Underfladen af omtrent det hele «Lov» omdannet paa denne Maade. Ligesom alle andre iagttagne Hapterer fore disse aldrig Karstrenge; de bestaa kun af et storcellet, temmelig stivelsefrit og klart Parenkym (XIII, 10). Castelnavia’s Rodder. Lige saa dominerende i Plantens Liv Rodderne ere for de tidligere omtalte Podostemaceer og for de i det efterfølgende omtalte Dier@a-Arter, lige saa ubetydelig en Rolle synes Rodderne at spille hos Castelnavia; jeg er endog tilbojelig til at tro, at den ingen har. Hos alle de af mig undersøgte Exemplarer har jeg ingen Rødder fundet, og de af Tulasne i hans Monografi givne Afbildninger af Castelnavia prin- ceps (Pl. XI, 1) saa vel som af €. jimbriata (PI. XI, 2) vise ikke saadanne forbindende Strenge mellem de enkelte «Lov», som man anden Steds finder mellem Skud eller Skudkomplexer f. Ex. hos Podostemon, Mniopsis 0.5.v. Det er endog naturligst at sige, at der hos Castel- navia end ikke findes nogen Hovedrod. Spiringen af Froene er det nemlig lykkedes mig at iagttage, efter at jeg havde udsaaet friske, i et Brev fra Dr. Regnell modtagne Fro; dog lykkedes det mig ikke at faa Kimplanterne udviklede ud over en ringe Begyndelse; de gik da til Grunde, vist til "Dels kvalte af de Alger, hvis rigelige Udvikling jeg ikke kunde forhindre (VE LS; IIB). 22—27). Froet fester sig ved Hjelp af sin slimede Froskal (som senere nermere omtales) fast til Underlaget. Idet Skallen sprænges, træder den, i Rimtilstanden yderst ubetydelige, hypokotyle Stengel frem og voxer saa vel som især Kimbladene i Lengden, forend disse afkaste Skallen og udbrede sig (XV, 15). Den unge Kimplante farver sig strax gron. Paa Enden af den hypokotyle Stengel komme en Mængde Rodhaar strax til Udvikling; de tjene ligesom den slimede Skal til at hefte Kimen fast. Ved nærmere Betragtning ses de at ud- vikle sig over hele Rodenden lige hen til den brune Rest af Kimtraaden, som endnu fore- findes (XV, 15, 19, 22—27); der er tydelig nok ingen Rodhætte, og at der ikke kan tales om nogen Hovedrod, synes mig klart (se nedenfor, Kimdannelsen hos Mniopsis). Den epikotyle Stengel har jeg set udvikle sig til det i XV, 15 afbildede Sta- dium; der har her dannet sig nogle faa og ganske smaa Blade af ufuldkomne Former. 18 88 12 Allerede den unge Kimplante er sterkt dorsiventral; det viser sig tydelig, at den epikotyle Stengel ikke udvikler sig midt mellem de to Kimblade, men nermest til den ene Side, og hele Kimen krummer sig ofte i Overensstemmelse hermed (XV, 18); ligeledes dreje Kimbladene sig saaledes, at Bugsiderne vende til samme Side, Rygsiderne til den mod- satte; jeg har forsøgt at fremstille dette paa XV, 15. Rodhaarene!), som udvikle sig paa den hypokotyle Axes Ende, have alle i deres Spids en tykkere Veg end ellers (XV, 22, 24, 26, 27); maaske skal den her ophobede Cellulose bruges, naar Rodhaaret i sin Spids skal brede sig ud i Lapper for at gjore Tje- neste som Haptér. Lignende Bygning kjendes ogsaa hos andre Rodhaar, og paa samme Maade ophobes der som bekjendt Cellulose i Oedogoniwmn-Cellen, der bereder sig til Deling, og i mange Stovkorns Intine. 1) Om denne Benævnelse se {ste Afhandl. S. 12. 13 89 [LEE Vegetationsorganerne hos Dierea elongata (Gardn.) Tul., og Dicrea algæformis Beddome. Materialet til Undersogelsen af disse er mig tilsendt i Spiritus fra Henry Trimen, Bestyrer af den botaniske Have i Peradeniya paa Ceylon'), som jeg herved bringer min hjertelige Tak; desuden er Herbariemateriale benyttet, og f. Ex. Fig. 20, Tav. X, er efter et af Thwaites under Nr. 2259 samlet Exemplar. Ogsaa Arterne Dier@a dichotoma (Gardn.) Tul. og Dierea stylosa Wight?) ere sammenlignelsesvis undersøgte, men alene ved Hjælp af Herbariemateriale og ikke saa indgaaende, som de i Overskriften nævnte Arter. Som fælles Karakterer kan anføres: Kiseldannelser mangle. Spaltaabninger mangle. Overhudscellerne ere simple, rektangulert-polygonale. Grundvevet er ufarvet og kollen- kymatisk, iser dets nermest Karstrengene liggende Vev, og Intercellulergange mangle næsten alle Vegne fuldstændig. Karstrengene indeholde ingen forvedede eller dog kun svagt forvedede Elementer og bestaa fortrinsvis eller alene af Bledbast. Rodderne ere i det mindste to Slags, nemlig: a) vandret liggende, over Under- laget krybende og ved Hapterer til det fast heftede Rodder, og b) saadanne, som udgaa opret fra disse og bolge frit i Vandet. De krybende Rødder kjender jeg egentlig kun fra D. elongata og i korte Stykker; om de kunne opnaa saadanne Lengder som hos Podost. Ceratophyllum og Mniopsis-Arterne er mig tvivlsomt (X, 1, 2, 20; XI, 17); deres Hapterer ere afbildede X, 16—20; de ere snart kortere, snart lengere, snart udelte, snart forgrenede; snart staa 1) « Podostemon (Dierea) elongatum Gardn. Mahawelliganga near Peradeniya, Ceylon, Febr. 1881.» Dicræa algæformis; ibidem. 2) De paa Tav. XII, Fig. 1 og 2, afbildede Exemplarer ere fra Herbarier, i hvilke de laa betegnede Dierea stylosa med Tulasnes Originaletikette; jeg har derfor beholdt denne Benævnelse, skjønt jeg nærer Tvivl om, at den er rigtig. Wights Afbildninger stemme ikke videre godt med disse Exemplarer, der forekomme mig at maatte vere D. algæformis. Blomsterdelene vare for lidet ud- viklede til, at en god Analyse kunde gjores og Tvivlen derved hæves 90 14 de enkeltvis og ere trinde, snart som i X, 17 udvikle de sig flere i Række, eller der dannes som en hel lille Kam, der fungerer som Hefteapparat; naar de naa til Underlaget, brede de sig altid ud i en Hæfteskive og legge sig tet op til dette, i det der danner sig Masser af paa de undersogte Exemplarer brunsorte Rodhaar. Jeg har ikke haft passende Materiale lil Forfolgelse af deres Udviklingshistorie; men de synes ganske at stemme med de hos Podostemon Ceratophyllum, Castelnavia og Mniopsis-Arterne iagttagne Hapterer. At vandret lobende Rodder kunne udspringe fra de oprette ses af X, 1, 2, 3, 20. Om de regelmessig bere korte, blomstrende Rodskud, véd jeg ikke, men jeg formoder, at dette ikke er Tilfældet. De oprette Rodder bolge frit i Vandet lig mange fastsiddende Algers Thalli (X, 20; XII, 1). De ere paa to Sider mere eller mindre tæt besat med yderst smaa i Række stillede Skud (Dverggrene), af hvilke de nederste ere blomsterberende, de overste sterile; Rodderne kunne aabenbart ikke have nogen ubegrenset Vext som andre Rodder, men afslutte deres Længdevæxt lige saa regulært som et Blad. Paa Grund af de talrige Blomster og Blade, med hvilke de ere besatte, ere de tidligere blevne opfattede som Stængler!). Skuddene ere dorsiventrale ligesom selve Rodderne, paa hvilke de sidde, om end ikke i nogen fremtredende Grad. Den Side, mod hvilken Skuddenes Bugside vender, kalder jeg Roddernes Bugside. Roddernes Form er forskjellig hos de to Arter. Hos Dicrwa elongata blive de frit belgende Rodder indtil 5 Decimeter lange (X, 20); de ere trinde, tykkest ved Grunden og blive mod Spidsen jævnt tyndere, indtil de lobe ud i en piskeformig afsmalnet Ende; de ere normalt kun lidt forgrenede (X, I, 2, 3), fortrinsvis i deres nederste Del, og Gre- nene udgaa oftest næsten vandret. Derimod er Dierea dichotoma meget stærkere forgrenet, og Grenene udgaa under en temmelig spids Vinkel fra Moderroden, eller ere endog nesten knippeformig samlede og oprette (se Tulasnes Monogr., PI. IX, I og Il). Dicrea algeformis (XM, 20, 22) og D. stylosa (XII, 1, 2) have en i sin største Udstrækning ganske fladtrykt, baandformig eller næsten bladagtig Rod, der paafaldende minder om visse Havalger og Halvmosser. Tværsnit af den ses XII, Fig. 4 og 5. Allerede hos Mniopsis Weddelliana findes der Antydninger af, at Roden kan brede sig baandformig ud (V, 12, 18); men hos disse Dierea’er er det langt stærkere. Den forgrener sig stærkt, som Figurerne vise. Jeg har fundet Spor af, at de med deres Grund undertiden trykke sig op til Underlaget og hæfte sig fast til dette, i det en større eller mindre Strekning af Overfladen udvikler sig som Hæfteapparat med Rodhaar o. |. (XI, 22ep; XII, 7). Bug- 1) Dicrea dichotoma har efter Weddell (De Candolles Prodr. XVII, p. 70): »caules graciles flagelli- formes fluitantes»; Dier@a algæformis har «caules elongati fluitantes frondiformi-compressir. — Dicrea har efter Hooker & Benth. Genera, Ill, 112: «Caules plus minus evoluti, sepe ramosi, nunc ramosissimi, gemmis floriferis quam in Eupodostemone paucioribus secus ramos lateralibus». som tin af 15 91 fladen er ofte lidt stærkere, næsten ribbeformig hvælvet, hvilket staar i Forbindelse med de nedenfor omtalte stærke Delinger i dens Parenkym. Dierwa-Rodderne ere stærkt klorofylholdige; der findes endog Klorofyl i selve Overhuden, især op til Bagvæggene. Jeg har fundet, at Klorofylkornene danne Stivelse paa deres Overflader, som afbildet XI, 20 og XII, 10, og de saaledes dannede Stivelsekorn ere oftest meget uregelmæssige. Derimod er den Stivelse, som, rimeligvis sekundært, dannes i Karstrengenes Nærhed, sædvanlig mere regelmæssig formet (XI, 16, m). Den Lighed, som disse Rødder saaledes i Form og Klorofylrigdom have med Blade, forhøjes yderligere ved deres anatomiske Bygning (XI, 22) og Karstrengforgreningen (XII, 2, 20, 22 0. a.), hvorom nedenfor. Rodhætten dækker Spidsen helt rundt hos Dicræa elongata og kan hos denne Art undertiden være ret stor (X, 6, 13); men derimod er den hos D. algæformis ligesom hos Mniopsis og Podostemon Ceratophyllum kun en lille, neglformet Plade, der aldeles ensidig findes paa Rodspidsens Rygside (XII, 20, 22, 23, 24, 25). Jeg har endog fundet Grene uden Rodhætte (XII, 20 og 22), men om de fra først af have været uden denne eller de i Tidens Løb have tabt den, formaar jeg ikke at afgjøre. Det er dog aabenbart, at Rodhætten ikke spiller nogen stor Rolle her og nærmest maa betegnes som «rudimentær» og paa Vejen til at gaa tabt; intet Under om den virkelig undertiden helt mangler (se ogsaa Iste Afhandl., S. 8). Rodforgreningen. Alt for Haanden værende Materiale af Dierwa elongata er for gammelt til, at det med Sikkerhed kan afgjøres, om Rodgrenene ere exogene eller endogene; den Omstændighed, at der ikke ses noget tydeligt Spor af Brud ved deres Basis, berettiger endnu ikke til den Slutning, at de ere exogene, thi det samme er Til- fældet med de ældre Rodskud, skjønt de bevislig ere endogene. Paa de yngste Udviklingsstadier af Dicrwa algæformis, som jeg har kunnet under- søge, og i langt højere Grad paa alle ældre, ser det ud, som om Rodgrenene vare exogene ; man betragte Fig. 20 og 22 B: Bugtningerne mellem Moderroden og dens Grene ere saa jævne, og Overgangen fra den enes Overhud i den andens synes lige saa kontinuerlig, som om Grenene vare exogene Dannelser; ingen Saarflade, intet ringformigt Ar, ingen krave- formig eller skedeformig Dannelse ved deres Grund antyder nogen endogen Oprindelse selv paa de alleryngste, jeg har kunnet finde. At Grenene i ethvert Fald ikke, som ellers, anlægges dybt inde i Moderroden, i Centralcylinderens Periferi, tror jeg at turde antage for givet, men jeg er ikke vis paa, at de dog ikke, ligesom Rodskuddene, dannes i Moder- rodens alleryderste Væv, maaske kun dækkede af to eller tre Cellelag, der afkastes eller opløses uden at efterlade sig noget varigt eller endog kun kort varigt Ar. Men naar en Rod danner sig paa en ældre Del af Moderroden, altsaa mere adventivt, er den i ethvert Fald endogen, hvad det uregelmæssige Ar om dens Grund viser (XII, 23). 92 16 Rodens Anatomi. Det er især de oprette Rodder, som jeg har undersogt, men de krybende have ikke vist sig væsentlig forskjellige fra dem. Overhuden er som sædvanlig dannet af ensartede, rektangulære eller 6-kantet- rektangulære Celler. Rodhaar mangle undtagen der, hvor Rodderne hefte sig fast. Hos D. algwformis iagttog jeg den for en Rod usædvanlige Omstendighed, at Overhudscellerne undertiden strakte sig radialt og delte sig tangentialt paa de til Underlaget tæt trykte Steder (XI, 22; XII, 7). Grundvævets Celler ere desto videre, kortere og mere tyndvæggede, jo nærmere de findes ved Periferien — desto snævrere, længere og mere kollenkymatisk tykvæggede, jo tættere de ligge ved Centralcylinderen (X, 10, 11), især gjælder dette for Dicræa elon- gata; men selv tæt op til denne blive de dog kun til langstrakte kollenkymatiske Parenkym- celler, undtagen paa Centralcylinderens Floemside, hvor de faa Udseende som Protofloem- Geller. Intercellulær-Rum mangle. I de inderste Celler findes simple, runde Porer (X, 12). I de ældre, allerede fortykkede Geller optræder der ofte talrige Længde- og Tvær- delinger, kjendelige paa de tyndvæggede Celler, der gruppevis ligge sammen omfattede af en Iykkere Væg (X, 12; XI, 17, 18). Sædvanlig ere de tangentiale Vægge overvejende. Særlig gjælder dette for D. algeformis; undertiden ere de tre nærmest under Overhuden paa Rygsiden folgende Cellelag hos denne saa sterkt strakte i radial Retning og delte ved tangentiale Vegge, at Rodens Tykkelse derved næsten voxer til det dobbelte (XI, 22). Mærkværdig er den Lighed med et sedvanligt Lovblads Bygning, som en saadan Rod frem- byder; man tror at se et Pallisadevæv opadtil, et pnevmatisk (rigtignok uden Intercellulærer) nedadtil; hertil maa man endnu erindre, at denne Rod er sterkt klorofylforende. Ogsaa i Bugsidens Grundvey findes ofte talrige Delinger af samme Art; ved disse er det især, at Bugfladens Midtlinie kommer til at springe ribbeformig frem (som paa XII, 5). Strængskede mangler, lige saa vel som Perikambium; Centralcylinderens Floem og Xylem grænse umiddelbart op til Grundvævet (X, 10, 11; XI, 18, 22; XII, 3, 12). Centralcylinderen. Roden maa kaldes diark, om dette end ofte, navnlig paa de trinde, strengformede Rødder af D. elongata (se f. Ex. X, 10, 11; XI, 18), slet ikke frem- træder tydelig. For det forste vises det deraf, at der i de kraftigere og bredere, især de basale Roddele ses to tydelig adskilte Strenge; se f. Ex. XII, 4 og XI, 22. Af denne sidste Figur synes det at fremgaa, at der er to ved Grundvæv helt adskilte Strænge, men det viser sig tydeligere i Naturen, end det er lykkedes mig at gjengive det paa Tegningen, at det mellemliggende Væv paa Grund af sit Indhold m. m. hører med til disse to Strenge og sammenbinder dem til en Enhed. For det andet ses det ofte tydelig paa unge Rodder af Dicrwa algæformis, selv om det senere kan vere mindre fremtrædende, at de ere delte i to Partier (XII, 12). For det tredje staa Rodskuddene i to Rekker paa Flankerne af den dorsiventrale Rod, og Grenene der udgaa fra Centralcylinderen til disse Rodskud udgaa hos D. algæformis lige saa regelmæssig som Nerverne i et fjernervet Blad, med hvilket de unge, lynde og endnu gjennemsigtige Rødder have en mærkværdig Overensstemmelse (XII, 20, 22B. Ligesaa D. stylosa, XII, 1, 2). Endelig stemmer denne Rodbygning med den hos Podostemon Ceratophyllum og Mniopsis-Arterne iagttagne, hos hvilke Central- cylinderen ligeledes er diark og undertiden endog meget tydelig har to adskilte Xylem- partier (III, 15; VI, 2, 3). Centralcylindere, som de X, 11, XI, 18, XII, 3 afbildede, maa da opfattes som fremkomne ved en fuldstændig Sammensmæltning af de to Strenge. Men denne Rod er alligevel ikke diark paa samme Maade som en sædvanlig Rod, i det Blod- bast- og Ved-Strenge her ikke alternere med hinanden, men maa siges at ligge kollateralt. Gentraleylinderens Histologi. I de svageste Strenge bestaar Centralcylin- deren alene af Blodbast (X, 10, 11); i alt Fald har jeg ingen Trakeider kunnet finde, og om nogle af de parenkymatiske Elementer, som findes paa Xylemsiden, skulle regnes til Xylemet som Vedparenkym eller til Floemet som Bastparenkym, kan næppe afgjores. Hos D. algeformis har jeg i nogle Tilfælde, selv i kraftige Strenge, ingen Trakeider fundet, i andre derimod fandtes saadanne i det ene Hjorne af Centralcylinderens Bugside, og i atter andre Tilfelde fandtes de i begge Hjorner eller i hele Bugsiden. Naar der er Xylem til Stede, findes dette altid paa Strengens Bugside, medens Floemet vender mod Rygsiden; desuden kan Floemsiden kjendes derpaa, at den mod Grundvævet begrænses af lange, snævre, sterkt fortykkede Geller, medens Xylemet grænser op til vide, ikke fra de andre Grundvevsceller afvigende Geller; dette ses tydeligt af XI, 15,18 og af XII, 3; ogsaa, XII, 12 viser, skjont endnu saa ung, at de Floemet mod Rygsiden begrænsende Geller afvige fra de ovrige Centralcylinderen omgivende. Om disse Geller skulle opfattes som Protofloem- celler eller som Grundvævscelier, kan jeg ikke afgjore. Hver af de to Strenge i XI, 22 bestaar altsaa, naar Udviklingen fores saa vidt, som muligt, paa Bugsiden af Xylem, paa Rygsiden af Floem. En saa kontraheret Central- cylinder, som de i XI, 18 og XII, 3 afbildede, bestaar paa samme Maade af Xylem paa Bugsiden og Floem paa Rygsiden, uden at det har været mig muligt at paavise en Ord- ning i to Grupper, i alt Fald er der ingen skarp. Sammenlignes hermed det for Podostemon Ceraiophyllum og for Mniopsis om Bodens Bygning oplyste, fremgaar det, at de hidtil undersøgte Podostemacé-Rodder paa en mærkelig Maade afvige fra alle andre Rodder. Om de end kunne kaldes diarke, for saa vidt de bestaa af to Floem- og to Xylempartier, ere disse fire Partier dog ikke ordnede alternativt som i alle andre Rodder, men snarest som Floemet og Xylemet i en sædvanlig Stængel- eller Bladstreng; Floemet ligger som ellers i en Bladnerve paa Rygsiden, og Xylemet modsat det paa Bugsiden. Jeg tvivler ikke om, at dette anatomiske Forhold staar i For- bindelse med Rodens Dorsiventralitet. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk, og mathem. Afd, IL. 3 12 94 18 I alle Tilfælde har jeg fundet, at Xylemets mest karakteristiske Del, Trakeiderne, vare korte, parenkymatiske eller dog ikke særdeles lange Celler, forsynede med ring-, skrue- eller netformede Fortykkelser (XI, 15, 16). Trakeiderne grænse ikke umiddelbart op til de fortykkede Grundvævsceller, men skilles, som det synes normalt, fra dem ved tynd- væggede Parenkymceller, der vistnok maa benævnes Vedparenkym (XI, 15). Floemet bestaar i de kraftigst udviklede Rødder af Sirør med Adjunktivceller, og desuden af Parenkym. Tværsnit gjennem ældre Strenge, som den i XI, 18 og XII, 3 afbildede, vise, at der har fundet en Mængde sekundære Delinger Sted i næsten hver eneste Celle i den hele Centralcylinder, saavel i Xylem- som i Floempartiet. Længdesnit vise os de samme Delinger (XI, 15, 16, 19; XII, 9, 11), og det fremgaar med største Tydelighed, at Floemet væsentligst bestaar af tyndvæggede Parenkymceller, som etage- og gruppevis ligge mange sammen og ere kjendelige paa deres Protoplasma og Cellekjærner; i hver Gruppe findes der et Sirør, der er kjendeligt paa sit ofte stribede Indhold, den stærkere Udvidelse af sine Ender og sin Mangel af Cellekjerne. Tværvæggene gjøre ofte tydeligt Indtryk af at være gjennemhullede, men Forholdene ere for smaa og for utydelige til, at det med Sik- kerhed kan siges, om de ere byggede som ægte Siplader. En Celle i den oprindelige unge Stræng kan altsaa ved Deling give Oprindelse til et Sirør med en Mængde i nøjagtig samme Højde liggende snævre Parenkymceller, hvilke jeg derfor tror mig berettiget til at kalde Adjunktivceller, men mere end I Sirør i hver saadan Gruppe har jeg ikke iagttaget. Ogsaa Tværdelinger i Adjunktivcellerne forekomme (XII, 9). Derimod er det blevet mig mindre tydeligt, hvorledes Trakeiderne og Vedparen- kymet er ordnet i de enkelte Grupper. Rodskuddene staa hos D. elongata udelukkende, hos 2. algæformis og stylosa næsten udelukkende paa Flankerne af Roden, i to Rækker. Hos de to sidste komme nemlig ogsaa enkelte Skud til Udvikling inden for Flankerne paa selve Rodens Flade (ved g i XII, 1). De blomstrende Skud findes, saa vidt jeg har kunnet se, kun paa de oprette Rodders nederste Dele; efter dem folger der paa den ovre Del kun sterile Skud, der ere yderst ubetydelige og frembringe nogle ganske faa og smaa Lovblade og ere uforgrenede, ja ikke en Gang have nogen tydelig Stængeldel (X, 15, 21, 22; XII, 4, 6, 22—24). Skuddene vise en lignende Tilbojelighed til at staa parvis, over for hinanden (se f. Ex. X, 20, 22), som hos Podostemon og Mniopsis, men det er ikke saa gjennemfort. Der hvor en Siderod udgaar, findes der i Regelen en Knop i dens overste Vinkel, dog nermest Rygsiden (X, 1, 3). De blomstrende Skud boje sig sædvanlig noget tilbage og konvergere mod Bug- siden, baade hos Dicræa elongata og 1). algæformis, og en svag Dorsiventralitet findes ogsaa udtalt hos dem i Bladenes Forhold (sammenlign XI, 75 med 701). pt, 19 95 Skuddene anlegges endogent i Barkens Periferi, strax inden for de lo yderste Cellelag, og uden at der fra forst af er nogen særlig Forbindelse med Centralcylinderen (X, 4, 5, 6; XII, 21); senere iværksættes en saadan Forbindelse ved Omdannelse af de mellemliggende Parenkymeeller til Karstreng (X, 21; XI, 1, 2, 4, 9, 20, 22 0. s. v.); i de unge, endnu ganske tynde Rodder af D. algæformis ses saavel Centralcylinderen som disse til Skuddene udgaaende Karstrænge, naar Rodderne holdes op for Lyset, og Roden ser da ud, som om den havde en fjerformig Nervation (XII, I, 2). Fig. 4, Tay. XII, viser Karstrængen udgaaende fra Gentraleylinderen til et Skud i et Tværsnit af Roden. Naar Roden af Dierwa stylosa og D. algæformis er bleven gammel og mere eller mindre medtaget af Vandet, ses den ofte ligesom takket paa Siderne (XII, I for oven til højre og anden Steds); dette hidrører derfra, at Dele af dens Sider ere blevne opløste, men de mere resistente Væv, nemlig Karstrængene og de til dem sig sluttende Celler blive staaende længere Tid og springe derfor frem over Resten af Roden. Det Sted, hvor et Skud danner sig, antydes hos Dicræa algæformis ogsaa udvendig ved en lille vorteformig Fremragning (XII, 24). Skuddene gjennembryde dernæst de dæk- kende Cellelag, hvilket i alt Fald for en Del ligefrem synes at ske ved Opløsning af dem; man vil saaledes paa XII, Fig. 21, se, at en Del Cellevægge over Spidsen af Bladet (ved x) ere forsvundne, og der er nu en Aabning ned til dette, som endnu ikke har hævet sig op over Moderrodens Overflade. Senere voxer det mere frem, andre følge efter, og til sidst sidder der et helt Knippe (X, 8, 15, 14, 9 o.s. v.; XII, 20, 22, 23, 24), hvis yderst ubetydelige Stængeldel dog forbliver skjult inden for Rodens Overflade. I alt Fald er dette Tilfældet med de sterile Skud; de blomsterbærende derimod voxe længere frem. Heller ikke disse sidste har jeg fundet forgrenede (X, 7; XI, 2—7; XII, 13—18). Om Bladstillingen kan jeg for de vegetative Skuds Vedkommende ikke sige meget med Sikkerhed. Det er baade hos D. algæformis og D. elongata tydeligt nok, at det første Blad paa de unge vegetative Skud (kun af saadanne har jeg haft unge Udvik- lingstrin) staar fjærnere fra Rodens Medianplan end det 2det, som tillige synes at staa noget nærmere mod Rodspidsen (se XII, 26, hvor de lo første Blade ere mærkede I og 2, og sammenlign hermed X, 4,8,14 og XII, 24), og tillige, at det Iste Blad bøjer sin Spids hen imod Rodspidsen ligesom paa de i {ste Afhandling omtalte Arter, Podostemon Ceratophyllum og Mniopsis-Arterne. Men paa noget ældre Skud, hvor flere Blade vare dannede, har det altid set ud, som om Bladene opstaa i nedstigende Følge og snarest i en Zigzagrække (se X, 9, 215 XII, 6). Skjont jeg ingen ganske unge florale Skud har fundet, anser jeg det ikke for tvivl- somt, at de i Henseende til Anlegsmaade stemme med de sterile. Paa de ældre Udvik- lingstrin, som jeg har haft til Raadighed, er der ikke Tegn til, at Skuddet har haft endogen Oprindelse, f. Ex. i Form af et ved Skuddets Grund værende Ar (se f. Ex. XI, 2—4), men 12° 96 20 jeg antager, at Gjennembruddets Mærker meget let udslettes, især fordi de gjennembrudte Cellelag kun ere to. Dette bestyrkes derved, at ogsaa Blade synes at kunne oploses og forsvinde uden at efterlade sig noget tydeligt Ar; jeg anser det saaledes for rimeligt, at der paa XI, 2—4 har siddet Blade neden for de nu synlige nederste, som ere oploste, og navnlig har der ved + i Fig. 3 sikkert siddet et, af hvilket der endnu saas Antydning. Hvad der imidlertid udmærker de blomstrende Skud fremfor de golde, er deres udviklede Stængeldel. Det bliver da ogsaa lettere at se Stillingen af Bladene; disse staa, som X, 7, XI, 2—7 og XII, 13—18 vise, i to Rækker, som ligge i Moderrodens Dorsiven- tralitetsplan, den ene Række vendende hen mod og den anden bort fra Rodspidsen (den «akroskopiske» og den «basiskopiske» Bladrække); altsaa er Bladstillingen her ganske som hos de i Iste Afhandling omhandlede Arter. Antallet af de til Udvikling kommende Blade synes at være forskjelligt. Medens de nederste Blade ligne de golde Skuds Blade i at have simple, nervelose eller I-nervede, liniedannede eller lidt spateldannede Plader uden eller uden synderlig stor Skededel, faa de hojere stillede, den endestillede Blomst omfattende Blade en langt sterre, baadformet Foddel, som paa de ældre Skud er det eneste til Stede værende, i det Pladedelene nemlig falde af (se især X,7 Blad d og e paa det nederste Skud), og meget hurtig udviskes Sporene af den affaldne Plade. De vegetative Blade, som ses i Fig. 13—18, Tav. XII, er sikkert alle kun de nedre baadformede Foddele af Blade, hvis Plader ere forsvundne. Paa disse Skud træder det ogsaa tydelig frem, at Pladerne ere sværdformede eller sammentrykte fra Siderne og, naar Hensyn tages til Foddelene, ridende (X, 7 øverste Skud, 0. fl. a.). Det synes at være Regelen, at de florale Skud udvikles i nedstigende Folge. I alt Fald ses det tydelig saa vel af X, 2 og 20 (især Roden til venstre), samt XII, 1 (Grenen lil venstre og til Dels den store midterste), at de overste Skud ere videre i Udvikling end de nederste, f. Ex. allerede i fuld Blomstring, medens disse endnu have smaa, fuldstændig lukkede Blomsterknopper. Jeg antager dog, at de blomstrende Skuds Anlægs følge lige saa vel er opstigende som de golde Skuds; Materialet har ikke tilladt Afgjørelsen af dette Spørgsmaal. Hvert floralt Skud frembringer kun én Blomst, som er terminal. Betragtes de hidtil gjennemgaaede Podostemaceer med Hensyn til deres Vegetations- organer og tages Podostemon Ceratophyllum til Udgangspunkt, synes Udviklingen at være gaaet i to Retninger. Hos den nævnte Podostemon ere Rødderne krybende, ubegrænsede i deres Væxt og bære forholdsvis kraftige Rodskud (indtil c, 5—6 Cm. lange), ret rigt forgrenede og besatte med kraftige Blade (1,6; IL, 1 o.s.v.). Rødderne ere her kun svage Assimilations- organer, Skuddene ere som ellers de vigtigste. Paa den ene Side af denne Art staar Castelnavia princeps; Rodder synes her at mangle fuldstændig; Skuddene ere særdeles rigt forgrenede og en Mengde Skudgenerationer komme til Udvikling; der fremkommer et af sammensmeltede Stængel- og Bladdele dannet thalluslignende assimilerende Legeme, og Bladene ere store og meget fint delte, Paa den anden Side af Podostemon Ceratophyllum staa først Mniopsis-Arterne. Rødderne ere ubegrænsede, men blive ofte en hel Del bredere end hos Podostemon (indtil 2—3 Mm. brede), medens Skuddene ere mindre, samt mindre forgrenede og mindre blad- rige, altsaa i det hele mindre kraftige Assimilationsorganer (IV, 14 0.s.v.). Hos Dicræa elongata, til hvilken D. dichotoma aabenbart slutter sig, er der krybende Rødder, fra hvilke andre og oprette Rødder udgaa; disse ere aabenbart begrænsede i deres Væxt, trinde og sikkerlig mere klorofylholdige end de først nævnte Arter; Rodskuddene ere derimod ganske ugrenede, samt ubetydelige i Størrelse og Bladrigdom (X, I, 2, 20, 22 0.s.v.). Hos Dicræa algæformis og D. stylosa blive de oprette Rødder til brede, baandformede, i deres Længdevæxt begrænsede, stærkt klorofylholdige Legemer, altsaa til kraftige Assimilations- organer, og samtidig hermed reduceres Rodskuddene til omtrent intet i vegetativ Hen- seende; Roden har overtaget den Rolle, som ellers tildeles Stængler og Blade (XII, 1). Noget videre i samme Retning gaar den i Tab. IX, Fig. 55, afbildede (ubestemte) indiske Podostemacé, idet Roden er bleven relativ bredere og mere thalluslignende. Naturen gaar imidlertid endnu et Skridt videre, men da jeg hidtil ikke har andet end tørt Materiale af de paagjældende Planter, udsætter jeg Bearbejdelsen af dem en Stund endnu; jeg tænker paa saadanne Arter som Aydrobryum olivaceum, afbildet efter et tørret Exemplar Tav. IX, Fig. 54. Saa vidt jeg ser, er Roden her omdannet til det brede, i Omkreds næsten kreds- formige, bladagtige, uregelmæssig lappede, sikkerlig grønne Legeme, der ligger tæt tiltrykt til Underlaget og paa en ganske mærkelig Maade gjengiver et Liken-Lovs Udseende, og fra hvis hele Flade der, som det synes uden Orden, udgaa uanselige Blomsterskud; at disse ere endogene, derfor tale de Spalter i Moderorganet, der ses ved hvert Skuds Grund (se f. Ex. Figurens højre Side). Paa ganske den samme Maade som denne Plantes maa sikkert ogsaa flere andre Podostemaceers vegetative Organer opfattes, f. Ex. Zerniola’s (Tulasnes Mono- grafi, Tav. 13, IM). Sammenholdes hermed, hvad ovenfor meddeltes om Castelnavia, vil man se, at Ud- viklingen fra Former, som Podostemon Ceratophyllum, der aabenbart i vegetativ Henseende fjærner sig mindst fra de sædvanlige Planteformer, er gaaet ad to Veje, der begge ende med et løvlignende Legeme, men i det ene Tilfælde er dette et af sammensmæltede Stængel- og Bladdele dannet Skudkomplex, i det andet Tilfælde er det en Rod, der hidtil er ene- staaende i Henseende til Metamorfose og som er Plantens næsten eneste Assimilationsorgan af løvlignende Bygning. 98 22 IV. Fruktifikationsorganerne hos Podostemon Ceratophyllum Michx., Mniopsis Weddelliana Tul. og Glazioviana Warming’), Dicrea elongata (Gardn.) Tul. og algæformis Bedd., og Castelnavia princeps Tul. et Wedd. Blomsterne ere, som alt nærmere er omtalt, endestillede. De bestaa af folgende Dele: 1) Yderst et Hylster, Forfatternes «spatha», «utrieulus» eller «involucrum», der i Knoppen omfatter alle inden for verende Dele. 2) Traadformede 1) Af Mniopsis Glazioviana har jeg siden min forste Afhandling faaet nyt Materiale (Glaziou Nr. 13144), nemlig afblomstrede Exemplarer, af hvilke her derfor afbildes nogle paa Tav. IX, Fig. 37—40, sete forfra og bagfra. Man vil ved Sammenligning med de paa Tav. VI, Fig. 13, afbildede Exemplarer se, at Bladene nu ere odelagte af Vandet, paa de brede, noget hjærtedannede Basaldele ner. Det bliver mig derfor endnu mere sandsynligt, end det var tidligere (se {ste Afhandling, S. 16), at Mniopsis scaturiginum kun existerer i mutilerede, ukomplette Exemplarer (se Tav. VI, Fig. 16). Ogsaa hos Mn. Glazioviana blive Frugterne til sidst næsten klasestillede, ligesom de af Tulasne ere af- bildede og omtalte hos Mn. Weddelliana (se min Tay. V, 2), i det de Blade, som tidligere skilte Frugterne fra hverandre, oploses af Vandet, og i det Stænglerne ligeledes slides mere eller mindre tynde af dette (IX, 38, 39). Jeg fandt her for 2den Gang en skelformet Dannelse lige neden for Blomsten, mellem denne og det øverste Blad (x i Fig. 48a, afbildet helt i 484); sammenlign Figurforklaringen til VI, 13 A. Hvad denne Dannelse egentlig er, er mig uklart. I IX, 53 er afbildet et Tværsnit gjennem Stengel og Bladbasis for at vise Strængenes Fordeling og Kollenkymstrængenes Beliggenhed: der er et stærkt lysbrydende Kollenkym omkring Strængene, især paa deres Rygside; desuden en selvstændig bred Streng i Stenglens Bugside. Lige saa ere Bladenes Strænge paa Bugsiden forsynede med Kollenkym. Kollenkymets Celler ere meget lange med vandrette eller skjæve Endevægge. Trakeider mangle. Om denne nye Art skal jeg endnu tilføje, at dens Rodskud naa 1—2 Cm. Højde. De ere oprette og udgaa tueformig, ofte meget tet samlede, fra Rodderne. Mest karakteristisk for den synes vere, at saa vel Stipel- som Bladrande ere nedlebende, hvormed folger en furet-kantet Stengel; navnlig springer Bladranden skarpt og vingeformig frem paa Rygsiderne (IX, 38, 39). Bugsiden er afrundet som vist i IX, 40. Endvidere er den brede, næsten lidt hjærtedannede Bladbasis ejen- dommelig. Af det florale maa fremhæves: de udelte Ar (IX, 46). De nævnte Arter haves i Spiritusmateriale fra folgende Lokaliteter (Castelnavia og Dicræa- Arterne opførtes ovenfor): ht GE 23 99 Legemer, sædvanlig i et Antal af tre. For Kortheds Skyld vil jeg som de tidligere For- fattere kalde dem «Staminodier», skjont jeg ikke, paa mit nuverende Standpunkt, tror, at de ere golde Stovblade. 3) To Stevdragere, enten helt frie eller forenede fra Grunden af hojere eller lengere op. 4) En Stovvej med en 2rummet Frugtknude og to Ar. Diagrammet af Blomsten ses VII, 10 og XII, 29; mellem det ringformig sluttede Hylster og Stovvejen ses Androeceet, altid stillet paa Blomstens Bugside, d. e. den Side, som vender hen mod Skuddets Bugside (IV, 24 og XV, 10). Det ene af de tre Staminodier findes mellem de to Stovdragere, de andre to hver paa sin Side af Androeceet. De to Frugtblade ligge i Skuddets Medianplan. Den hele Blomst er stærkt skjæv, hvilket især ses paa Længdesnit som VIII, 5; IX,47. Skjævheden viser sig i, at Blomsterbunden er forlenget til den ventrale Side, Frugtknudens Rum ulige store og Placenta skjævt stillet i Forhold til Blomstens Længde- axe. Dette staar aabenbart i Forbindelse med hele Skuddets stærke Dorsiventralitet. Hylsteret er i Knoptilstanden tæt lukket og slutter tet om de indre Dele. Naar Blomstringen indtræder, sprænges det uregelmæssig, og Stovknapperne samt Arrene træde frem (VII, 1,2; XI, 5; XII, 13—16 0. a.) Det mangler Karstrenge og er aldrig bygget af andet end Parenkymeeller i indtil 4 Lag (VII, 2, et ungt Hylster). Cellerne ere tyndvæggede eller, især de yderste, noget kollenkymatisk tykveggede, og hos de Arter, der have Kisel- dannelser, findes saadanne ogsaa i Hylsteret. Hos Castelnavia er det inderste Lags Celler storst og mest tykveggede, og der kan findes lave, ikke tet stillede Porer; Hylsteret er ner i sin storste Udstrækning kun 2 Cellelag tykt, men paa Bugsiden lidt tykkere. Det er ellers omtrent ens tykt helt rundt hos de fleste andre; kun hos Dier@a algæformis fandtes den Side, der vender mod Rygsiden, betydelig tykkere (dannet af flere Cellelag) end den modsatte (XII, 29)). Om deraf kan sluttes, at Hylsteret bestaar af et eneste Blad, hvis Rygside vender mod Skuddels Rygside, véd jeg ikke. Paa ganske unge Blomster af Castelnavia princeps anlagdes Hylsteret aabenbart tidligere paa Bugsiden end paa Rygsiden (XIV, 5, 6, 8, 11), men dette er maaske kun et Udtryk for den stærke Dorsi- Podostemon Ceratophyllum Michx., misit Dr. Wm. Canby, Wilmington, Delaware. Mniopsis Weddelliana Tul. — Ad Caldas, prov. Säo Paulo, m. Martio et Aprili florentem legerunt ill. Dr. Anders Fredrik Regnell et Hjalmar Mosén. — In provincia Rio de Janeiro leg. ill. Dr. Aug. Glaziou: no. 8888: «Rio da boa Esperanca, versant méridional de la chaîne des Orgues, à 1200 Mètres d’altitude environ; Mai 1876.» — +12192. Rio Soberbo (Serra dos Orgäos), le 23 Mars 1880.2 — «12194. Petropolis dans le Rio Piabanha le 3 Mai 1880.» — 12197. — “12198. Petropolis, dans le Rio Itamaraty, le 3 Mai 1880.» «Dans le rapide du Mondemo, le 9 Dec. 1878; sterile.» Mniopsis Glazioviana Warming, leg. ill. Dr. A. Glaziou. «12191. Rio Soberbo (Serra dos OrgZos) le 23 Mars 1880.» — «12193. Haut du Rio Soberbo, près du Sitio le 24 Mars 1880.» — “Rio Bengala, entre Novo Friburgo et le Alto. 11 Févr. 1881.» — 13144. 100 24 ventralitet, som i det hele hersker hos denne Plante. Kun en sammenlignende Betragtning af alle Familiens Arter og af dens nærmeste Slægtninge, hvis disse kunne udfindes, vil muligvis kunne oplyse dette med Sikkerhed. For ovrigt voxer Hylsteret i Vejret som et helrandet, sækformet Organ, med omtrent ens Tykkelse, indtil det begynder at lukke sig over Blomstens indre Dele, i det talrige Længde- og Tværdelinger tage deres Begyn- delse i dets Rand (XIV, 4). Staminodierne danne den neste Krans af Bladorganer. Af dem findes der et paa hver Side af Androeceet og fremdeles, naar Dierwa elongata og Castelnavia princeps undtages (XI, 8 og XIV, 1), et mellem de to Stovdragere (f. Ex. VII, 3; IX, 50; XII, 19). Staminodierne staa lidt, men ogsaa kun lidt uden for Stovdragerne; tydeligst ses dette paa det midterste, mellem de to Stovdragere staaende (VII, 3, 8; IX, 49, 50). Mindst tydelig saas det hos Dierea; man skulde endog snarest tro, at de her stod paa samme Hojde som eller selv inden for Stovdragerne (XII, 19). I den ganske unge Castelnavia-Blomst staa de, saa vidt jeg kunde se, paa samme Hojde som Stovdragerne (XIV, 8), men de an- lagdes senere end disse (sammenlign XIV, 7 og 8). Deres Former og Længdeforhold ere kun lidet forskjellige; sædvanlig ere de traaddannede, lidt afsmalnede mod begge Ender, under- tiden lidt tykkere oven for Midten eller hen mod Spidsen end længere nede. Hos Mniopsis Glazioviana ere de lidt mere-kolledannede og klodsede end hos de andre (IX, 49, 50). De sidestillede naa omtrent op til Ovariets Spids. Staminodierne bestaa alene af tyndvæggede Parenkymceller, i hvilke der kan findes Stivelse. Hos Podost. Ceratophyllum (VII, 13) danner der sig oven for deres Midte smaa Intercellulær-Rum, og det ikke blot mellem de indre, men ogsaa mellem de alleryderste Geller; ‘de findes hyppigere i de rette Vægge mellem to sammenstodende Celler end i Krogene, hvor 3—4 støde sammen. Nermere mod Spidsen af Staminodiet blive Intercelluler-Rummene større og talrigere, og selve Spidsen faar fuld- stendig Bygning som gjennembrudt Arbejde, et Gitterværk af lost sluttede Celler. — Meget svagere findes dette hos Mniopsis Weddelliana (VII, 27) og Mn. Glazioviana (IX, 41), og hos Dier@a-Arterne, hos hvilke de dog findes næsten fra Basis af (XI, 14). Staminodiernes mor- fologiske Betydning maa jeg lade henstaa uafgjort, indtil jeg af Autopsi kjender alle andre Podostemaceer. Den Mening synes mig dog den rimeligste, at de ere Perigonblade. Androeceet ligger i Knoptilstand trykket tet ind til Ovariet (VII, 1,6; XI,9 0. a.), til dettes Bugside. Normalt har jeg ikke fundet mere end to Stovknapper hos nogen af de undersogte Arter. Disse Knapper kunne være baarne hver af sin helt eller næsten helt frie Traad (Castelnavia, XIV, 1, 2,3), i saa Fald deler den Karstreng, som gaar til Androe- ceet, sig allerede i Blomsterbunden i to, en for hver Stovtraad (XIV, 26, 27). Men deres Traade ere hyppigere ved Grunden og til højt op forenede i ét Knippe (VII, 1, 3,8; VII, 4; apa a 25 101 IX, 50; XI, 8; XII, 19), og i Overensstemmelse hermed gaffeldeler hin Streng sig først lengere ude, i selve Androeceets fælles Stilk (se de punkterede Linier i en Del af de anforte Figurer). Det vigtige Sporgsmaal opstaar her: Af hvor mange Stovblade er Androeceet dannet? To Forhold kunne tænkes. Det kunde vere dannet af kun et eneste Stovblad, som i nogle Tilfælde dedoublerer sig ved Klovning lige til Grunden, i andre Tilfælde først forgrener sig længere ude; i saa Tilfælde maatte vi sikkert søge Podostemaceernes Slægt- ninge mellem de ikke mange Familer, hos hvilke forgrenede Støvblade forekomme. Eller det kunde tænkes dannet af to selvstændige Støvblade. Det er mig ikke muligt endnu at føre noget Bevis for Rigtigheden af det ene eller det andet. Men en komparativ Betragtning af de øvrige Slægter bringer mig til den An- tagelse, at Androeceet bestaar af to Stovblade. Fællesstilken er da enten opstaaet ved en Sammenvoxning mellem Traadenes Basaldele eller er en Forlængelse af Blomsterbunden, altsaa en Axedannelse, og naar jeg atter antager det sidste for det sandsynligste, er det fordi Blomsterbunden i det hele hos disse stærkt dorsiventrale Blomster er saa skjæv, og fordi ogsaa et Staminodium sædvanlig har sin Plads paa Fællestraaden, paa den udvendige Side af Kløften mellem de to specielle Traade. Hos Castelnavia, der er den af de under- søgte Arter, som har de stærkest adskilte Støvdragere (XIV, 1), opstaa disse som adskilte selvstændige Vorter paa Blomsterbunden. Abnormt kan saa vel Antallet af Støvdragerne som af Staminodierne forøges. I VII, 7 er fremstillet et Tilfælde, i hvilket en fælles Traad bærer 3 Antherer; der gaar to adskilte Strænge ud i Traaden, af hvilke den ene gaffeldeler sig for at forsyne de to An- therer; kun I Staminod fandtes som tegnet, I VII, 8 er et andet abnormt Tilfælde frem- stillet: en tredje Støvdrager er ogsaa her kommen til, men den er gold og er helt adskilt fra de andre, paa normal Vis forenede. Mærkeligt er, at dens Spids har en lignende Byg- ning som Staminodierne, hvilket kunde synes at tale for disses Stovdragernatur. Et tredje abnormt Tilfælde fandtes hos Mniopsis Glazioviana (IX, 49); det stemmer nærmest med VII,7, i det der til det normale Knippe af to Støvdragere, som det ses r af Fig. 50, og b—e i Fig. 49, er kommet en tredje Stovdrager (mærket a), hvis Traad er sammenvoxet med det normale Knippe indtil omtrent halv Hojde, og som ligeledes faar sin egen Karstreng, men denne Stovdrager er steril; at mærke er for det første, at dens op- svulmede Spids er papilles paa en lignende Vis som Staminodierne, og for det andet, at der sidder et Staminodium ud for hvert Mellemrum mellem to Stovdragere. Tværsnit af Stovtraaden ses VII, 4 og XIV, 7. En stærk Strækning af Stovtraadspartiet finder Sted under Blomstringen hos Podo- stemon Ceratophyllum (VII, 19) og Mniopsis Weddelliana (VII, 4). Hos Castelnavia princeps strekke Traadene sig under Afblomstringen betydelig og blive efter Afkastning af Knap- Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 3. 13 102 26 perne staaende som to kraftige hornformede Legemer, der rage ud af den Hule, hvori Blomsten sidder nedsænket (XV, 17 og XIII, 15). Det dorsiventrale, uregelmæssige i den hele Blomst gjor sig ogsaa gjældende i Stovknappernes Former; hver Knap er altid skjæv paa en lignende Maade som hos visse Labiatiflorer (f. Ex. Acanthaceer), i det den ene Halvdel, nemlig den indad, mod Blomstens Symmetriplan vendende, er mindre end den udad vendte og sidder vel og en Smule hojere (VII, 3,8; VIII, 18; IX, 49, 50; X1,8; XII, 8). Denne Skjævhed staar sikkert ogsaa i For- bindelse med den stærke Dorsiventralitet og med det Tryk, som Knapperne i Knaplejet ere udsatte for. Hos Castelnavia er Knappen symmetrisk. Stovknapperne ere for ovrigt indad vendte, basifixe eller kun ganske lidt dorsifixe, fra først af paa sædvanlig Vis 4-rummede; de aabne sig med to Liengdespalter. Castel- navia’s afvige fra de andres derved, at Rygsiden er saa hvælvet og uden nogen Fure; tillige er Knappen lidt sterkere udskaaren ved Grunden (XIV, 1). Jeg har hos alle Arter inden for Overhuden fundet fibrese Celler med ring-, halv- ring-, skrue- eller netformige Fortykkelser, paa den indre Væg især, dannende et eller paa Rummenes Indersider flere (4—5) Lag helt rundt om Rummene (VII, 14). De fibrose Geller ere især strakte i tangential-horisontal Retning, Overhudens derimod tangential-lodret (VII, 15; XIV, 24). Udviklingen af Stovknappen har jeg ikke fulgt; kun nogle faa ganske unge Stadier ere blevne undersogte. De fremviste ved Tværsnit en Gruppe nydannede Geller inden for Epidermis, men Anordningen af dem var ikke saa regelmæssig som ellers (XIV, 22). Pollenkornene ere enlige hos Castelnavia (XIV, 25), men forenede to og to i et sammensat Korn hos Podostemon Ceratophyllum (NW, 16), Mniopsis (VIII, 19—25; IX, 51—52), Dicræa (XI, 13). De ere lidt nedtrykt-kuglerunde og sædvanlig 4(—5)-lappede, det vil sige, stærkt udhvælvede paa fire eller fem fra Pol til Pol rækkende Partier, der tillige ere fint punkterdde, medens de mellemliggende Partier ere glatte; fra disse sidste er det, at Stoy- rorsdannelsen finder Sted (VIII, 21, 24, 25; XI, 13). Ikke sjælden ere de to Geller i Kornet ulige dannede, i det den ene er lappet og prikket, samt tilsyneladende helt udviklet, medens den anden gjør et umodent Indtryk, er kuglerund, ulappet, glat, og ofte uprikket (VIII, 19; IX, 51). Dog kunne ogsaa ganske kuglerunde Korn vere prikkede. Jeg har ikke set Stevror udvikle sig fra disse kuglerunde (se f. Ex. XI, 130). Begge Celler i et helt ud- viklet Korn kunne danne Stovrer. i Castelnavia's Korn fandt jeg ofte to Cellekjærner, og ligeledes har jeg under- tiden ogsaa hos de andre Arter fundet to tættere Protoplasmakugler i hver Celle, som jeg maa tyde som Cellekjærner (VIII, 23), men det var langt fra allid Tilfældet. Om disse Cellekjærner bør sættes homologe med de først af Strasburger hos mange Fanero- —— 27 103 gamer paaviste to Cellekjærner i Stovkorn, eller de antyde en ikke udført Tetradedeling, vover jeg ikke at afgjere, førend jeg har kunnet folge Udviklingshistorien. Bestovningen er vist som Regel Selybestovning. Jeg har truffet Stovkornene spi- rende i Stovknappen, og jeg har ligesaa gjentagne Gange og hos forskjellige Arter truffet dem paa Arrene (Mniopsis Weddelliana, Dierwa algæformis og elongata, se f. Ex. XII, 27), der vare i en tet Berøring med de aabne-og endnu stovholdige Antherer. Bestovningen synes at kunne foregaa lige saa godt under Vandet, som ovenfor dette, skjønt det sikkert oftest er Tilfældet, at de Planter, som blottes for Luftens Adgang, lettere blomstre end de nedsenkede (cfr. Regnells Meddelelser ovenfor). Pistillen er dannet af to Frugtblade, sammenvoxede i ét Ovarium med to termi- nale Ar. I Knoppen ere disse altid bojede nedad mod Anthererne, altsaa mod Blomstens Bugside (VII, 1, 5,6; IX, 47; XI, 9; XIV, 1). Arrene ere meget forskjellige hos de forskjellige Arter: hos Podost. Ceratophyllum udelte og nogenlunde sterkt papillose (VII, 5), hos Mniopsis Weddelliana delte i et for- skjelligt Antal Flige og endnu stærkere papillase (VIII, 3, 4, 6); hos Mniopsis Glazioviana ligeledes stærkt papillose, men udelte (IX, 42, 46). Hos Castelnavia forlænget kegleformede, næsten hornformede, ganske glatte Legemer (XIV, 1); af Farve ere de her røde ligesom Anthererne. Hos Dierea elongata kort kegleformede, tykke, budte, udelte og glatte (XI, 9, 10); hele Periferien er navnlig om Spidsen dækket af et Lag af radialt strakte Celler, men de rage ikke frem over Overfladen i Form af Papiller. Hos Dierea algeformis ere de brede, korte og lidt lappede (XII, 27). Efter Blomstringen falde Arrene ofte fuldstændig af, saa Frugtens øvre Ende bliver ganske afrundet (VII, 17—19 o. a.). Ovariet er ellipsoidisk, glat, selv om Frugten bliver ribbet (sammenlign VII, 17 med 18 og 19), og torummet med en meget tyk Placenta, som ved to meget tynde Vægge forbindes med Ydervæggen. Hos Castelnavia princeps og Mniopsis Glazioviana svinde disse Skillevægge meget tidlig, saa at Ovariet egentlig bliver enrummet (IX, 43; XIV, 15, 27). Jo mere dorsiventral Blomsten er, desto større er Forskjellen paa Rummenes Stør- relse. Omtrent lige store ere de hos Dicræa elongata og algæformis, hvis Skud i det hele ikke ere stærkt dorsiventrale (XI, 12; XII, 29). Stærkt ulige store, i det det notoskope Rum er betydelig større end det gastroskope, ere de hos Mniopsis Weddelliana (VIII, 29), hvis Blomst i det hele er meget skjæv (se Længdesnittet VIII, 5), og hos Podostemon Cerato- phyllum (VII, 10, 11). I Forbindelse med denne Forskjel i Rummenes Størrelse staar Opspringnings- Sømmenes Beliggenhed. Følgende Figurer vise, at disse dele Ovariet i to ulige store 13" 104 | 28 Stykker, i det de fra Toppen lobe i en skraa Retning over mod Bugsiden og ende ved Basis af Androeceet: VII, 1, 17—19; VIII, 4; IX, 46; XV, 7—9. Blomsterbundens Form frembyder intet merkeligt undtagen hos Castelnavia, hos hvilken den paa Rygsiden hvelver sig sterkt i Form af en glat, tolappet, kjertelformet Opsvulmning (XIV, 1, 3, 14, 26). Om Karstrengforgreningen i Blomsterbunden kan nævnes, at den Streng, som gaar ud til Blomsten, i Blomsterbunden deler sig i flere, hvoraf 1 eller ved en hurtig Deling af den (dér, hvor de to Stovdragere ere frie næsten til Grunden: XIV, 26) 2 gaa lil Androeceet, og en til Ovariet, hvilken sidste Strang dels sender en Gren op i Placenta til dens Midte, dels sender Grene op i Frugtbladenes Basaldele (VII, 9; VIII, 5; XIII, 16; XIV, 3, 14, 26). Jeg har kun kunnet folge Blomstens Udviklingshistorie nogenlunde hos en eneste Art, nemlig Custelnavia princeps. Allerførst viser Blomsten sig som en halvkugle- formet Vorte (f. Ex. XIII, 19); derefter kommer Hylsteret til Syne og, som allerede omtalt, tidligere paa Bugsiden end paa Rygsiden (XIV, 5, 6 og det histologiske Billede Fig. 11). Efter dette anlegges Stovdragerne, medens Blomsterbunden oven for dem stærkt hvælver sig i Vejret (XIV,7). Samtidig med at dernæst de to Staminodier komme til Syne, be- gynder Ovarieveggen at træde frem som en ringformig Valk omkring en i Axens Spidse stærkere fremtrædende lille Kegle, den vordende Placenta (XIV, 8). Ovarievæggen hæver sig nu jævnt i Vejret samtidig med, at Placenta ogsaa voxer i Vejret, og Blomsterbundens særegne Udvikling tager sin Begyndelse (XIV, 10). Under fortsat Udvikling af de allerede anlagte Dele komme nu ogsaa Æggene til Syne (XIV, 3, 14, 16,2). Disses videre Udvikling omtales nedenfor. Ovarievæggens og Frugtvæggens Bygning er af de tidligere Forfattere be- nyltet som Slægtsmærke; Mniopsis har «ovarium læve» (Tulasne) eller «prorsus enerve» (Weddell in Prodr. 76) og «capsula lævis», det vil sige, den er uden Ribber, medens Podo- stemon efter Weddell (1. c. 72) har «ovarium 8-nerve v. subenerve» og «capsula nervis plus minus prominentibus, raro fere omnino lævis». I Virkeligheden er Strængenes Antal i de ribbede Kapsler 10, som man vil se af VII, Fig. 10—12; herom nedenfor mere. Hvilken Betydning dette Forhold har i systematisk Henseende, tør jeg først udtale mig om, naar jeg har faaet alle Arter studerede. Naar man ser bort fra denne Forskjel, frembyder Ovarievæggen i øvrigt en over- ordentlig Ensartethed hos alle de undersøgte Arter, nemlig følgende. Tallet af Cellelag i a Veggen er c. 5—6 ho © 105 A. Inderst findes et meget i Øjne faldende Cellelag, en indre Epidermis, hvis Geller ere strakte i tangential-horisontal Retning og have tykke, brunlige Inder- og Ydervægge, men tyndere Sidevægge (Laget epi paa VII, 20, 21, 22; VIII, 30—33; IX, 45; XI, 11,21; XV, 14). Paa radiale Længdesnit gjennem Ovariet træder det stærkt frem paa Grund af Cel- lernes regelmæssig firkantede Lumen (VII, 9). B. Det næstinderste Cellelags Geller (sep i Figurerne) krydses med først nævntes (ep?) under rette Vinkler, i det de ere strakte i lodret Retning (VII, 23; VIII, 28); paa et Tværsnit gjennem Ovariet ville disse Celler derfor frembyde omtrent samme Udseende som det forst nævntes paa radialt Længdesnit, nemlig som temmelig regelmæssige Firkanter (f. Ex. XI, 11). 1 den udviklede Frugt har dette Lags Celler altid stærkt fortykkede og lagdelte Vægge; jeg har fundet C-formede Fortykkelser som afbildet hos Mniopsis Glazioviana (IX, 45), hos Podostemon Ceratophyllum (NU, 22), Dicræa elongata, algæformis (XI, 21) og rigida, og hos Castelnavia; en ens stærk Fortykkelse næsten helt rundt hos Mniopsis Wed- delliana (VII, 32, 33). C. Efter dette Lag folge de Strenge, der fremkalde Ribberne i den modne Frugt hos Podostemon, Dicrea og Castelnavia. Disse Strenge ere ogdnede som Ribberne i en Umbellifer-Frugt (VII, 10—12; XI, 12; XII, 29, hvor en er forglemt): der er en Midt- streng i Ryggen af hvert Frugtblad (af hvilke en kommer til at ligge ud for Mellemrummet mellem Stovdragerne), to Sidestrenge og endelig to Randstrenge, der slutte sig mere eller mindre tet til Opspringningsommen. Undertiden ligge de to Randribber, som støde op lil samme Som, tydelig adskilte, men sædvanlig ligge de saa tæt sammen, at de i den modne Frugt kun trede frem som en eneste, men bred Ribbe. Man vil derfor ogsaa finde Frugter beskreyne som 8-ribbede, skjont de i Virkeligheden ere forsynede med 10 Skleren- kymstrenge. En Afvigelse er afbildet XIV, 27: her er der 6 Strenge i hvert Frugtblad. Disse Strenge bestaa af ensartede prosenkymatiske Geller (Sej-Bast); kun aller- nederst i Midtribben, altsaa i Frugtbladenes Rygribbe, har jeg set Skrue- og Ring-Trakeider (se f. Ex. XV, 20 og 21). Disse Strenge mangle hos Mniopsis (VIII, 29; IX, 43), dog med Undtagelse af, at en Karstreng fra Blomsterbunden af kan træde ud i Frugtbladets Ryg og lobe et kort Stykke op i denne. For ovrigt er Resten af Frugtveggen omtrent ens; til det stærkt fortykkede, nest inderste Lag slutter der sig undertiden D, nogle, mindre regelmessig i Lag ordnede, stærkt fortykkede Celler (VIII, 32, 33), og Resten er E, et tyndvegget Parenkym, som i gamle Frugter kan vere mere eller mindre odelagt og forsvundet (f. Ex. XI, 21). 106 30 Castelnavia’s Ovarievæg er den, der afviger mest fra den i det foregaaende skildrede Bygning, i det Væggens inderste Lags Celler strække sig stærkt radialt der, hvor de ligge ud for Ribberne, og disse stode lige op til det ligesom de paa den anden Side ogsaa naa lige ud til ydre Overhud (XV, 14); ogsaa ud for Opspringningssommen er Bygningen en lidt anden. Om Frogjemmets Udviklingshistorie kan jeg oplyse folgende. I den ganske unge, endnu helt tyndvæggede Frugtknudevæg ere Strengene allerede anlagte som Prokam- biumstrenge, dannede af snævre, lange Celler, og der er en Mengde Stivelsekorn til Stede i alle Geller, baade i disse Prokambiumstrenge, i hvilke de dog ere smaa og mindst tal- rige, og i de parenkymatiske Vegceller; kun det inderste Cellelag (epi) er stivelsefrit (se VII, 20, 21 og sammenlign hermed VII, 22; fremdeles VIII, 30 og 32—33; XI, 11). De Forandringer i Retning af Væg-Fortykkelser, der senere foregaa under samtidig Forsvinden af den, dertil sikkert bestemte, Stivelse ere omtalte ovenfor. Frugten er en Kapsel af mork brun Farve og glinsende. Naar den er moden, losner den ventrale, hos de stærkt dorsiventrale Arter meget mindre, Klap sig fuldstændig og falder af, Placenta med Frøene falde ud, medens den dorsale, betydelig større Klap bliver staaende eller hos Castel- navia siddende nedsænket i det thalluslignende Legemes Gruber. Opspringningen er skille- vægbrydende (VII, 18—19; VII, 31; XV, 6—9). Placenta er altid meget mægtig, — en tyk, af særdeles tyndvæggede og med Sti- velse tæt fyldte Parenkymceller dannet Masse, der næsten udfylder Ovariehulheden og mellem sig og Ovarievæggen kun lader en ringe Plads tilbage, der udfyldes af Æggene og de to ovenfor omtalte tynde Skillevægge; denne Bygning minder mest om mange til Labiati- florernes og Tubiflorernes Familier hørende Planters. Den er fra først af fri opad til, men dens Spids lægger sig saa nøje op til Ovarierummets øvre Ende, at det paa ældre Frugt- knuder ser ud, som om de altid havde været sammenvoxede (XIV, 2, 3, 8, 10, 14 0. s. v.). Kun i Midtlinien af Placentaens nederste Del findes der en fra Blomsterbunden udgaaende Karstræng, der sædvanlig lidt før, end den naar op til Placentaens Midte, løser sig op i til alle Sider eller især til to Sider udstraalende korte Trakeider (VII, 9, 10). Det midterste, karstrængfrie Parti i Placenta udmærker sig ved sin mørkere Farve (VIII, 29; XI, 12). Abnormt har jeg én Gang fundet Placentaen tvedelt i en Blomst af Podostemon Ceratophyllum (VIL, 12); dette har Interesse, for saa vidt som det taler for, at Placentaen er et alene af de opsvulmede Bugsømme dannet Legeme, i hvilket Blomsterbunden ikke tager Del. Æggene og Frøene. Æggenes Antal er overordentlig stort i hvert Rum. De ere anatrope og amfitrope, i det de øverst paa Placenta stillede ere apotrope og oprette, 31 107 men de andre for storste Delene epitrope og hængende, naar enkelte ud til Siderne liggende undlages, der ere vandrette (VII,9, 11; XIV, 2). Hos Castelnavia opstaa de, efter Storrelses- forholdene at domme, i opstigende Folge (XIV, 3, 14, 16). Æggets Udviklingshistorie er fulgt hos Mniopsis Weddelliana og til Dels hos Castelnavia 0. a. Det opstaar paa sædvanlig Vis ved Deling af nogle faa eller fra først af maaske kun 1 subepidermal Celle, hvorved den overliggende Epidermis drives i Vejret (XIV, 17). Smart begynder det at krumme sig, og Epidermiscellerne paa Rygsiden begynde at voxe sterkere end de andre (VIII, 7; XIV, 18). Dette er Begyndelsen til ydre Integu- ment, der snart træder bestemtere frem ved antikline og perikline Delinger (VIII, 8); ydre Integument opstaar meget tydelig tidligere paa Rygsiden end paa Bugsiden. Ogsaa inden for Epidermis findes Delinger og Cellevæxt, der maa tydes som horende med til Integu- mentdannelsen. Indre Integument opstaar tydelig langt senere end ydre (se f. Ex. XIV, 13, hvor det lige netop er antydet), undertiden ensidig som dette (VIII, 11; XIV, 19), under- tiden omtrent samtidig i hele Omkredsen, altsaa ringformet (VIII, 9). Indre Integument naar aldrig op over den meget ubetydelige Nucellus; den væsent- ligste, Kimsekken indeholdende Del af denne ligger frit uden for indre Integument, men helt omsluttet af det ydre (VIII, 10, 12, 13, 15—17; XIV, 9). I f. Ex. VII, 13 og 15 be- staar Nucellus af 3 indre Celler, omgivne af en sig for neden udkilende Epidermis; den øverste af de 3 Celler er den største. Vi ville nu først holde os til denne. Snittene VIII, 16 og 17 vise indre Integuments to morkveggede (mørkebrune) Cellerækker, der om- slutte Basis af den lille pære- eller omvendt ægformede eller ellipsoidiske Nucellus-Ende. I Fig. 16 ses tydelig en buet, stærkere lysbrydende Tværvæg gjennem det af Epidermis om- sluttede større øvre Rum; i Fig. 17 ses derimod ingen saadan, men en tættere, mere lys- brydende Masse har samlet sig i den ovre Del af Rummet. De to i XIV, 21 afbildede Nucelli vise det indre dannet af en kort Række protoplasmafyldte Geller, og det samme har jeg set anden Steds. Hvad der videre foregaar i Nucellus har Materialet ikke tilladt mig at oplyse; det har ikke været mig muligt at finde Antydning af de sædvanlige i en Kimsæk forekommende Celler (Ægcelle, Synergider o. s. v.), men der er ingen Tvivl om, at i denne øvre (i XIV, 9 mørkere) Del af Ægget danner Kimen sig (se f. Ex. IX, 1, 2), her maa da ogsaa Kimsækken med Tilbehor udvikle sig. Af Fig. 9, Tav. XIV, faar man det Indtryk, at Nucelli største og derfor maaske ogsaa væsentligste Del ligger neden for den nu omtalte øvre, over indre Integument frem- ragende Del, og omsluttet af dette mørke indre Integument. I Fig. 10—15, Tav. VIII, vil man se, at denne nedre Del oprindelig er en enkelt Række af nogle ganske faa (omtrent 2) Celler, som omgives af den for neden sig udkilende Overhud paa Nucellus, og som fortsættes ned i Chalaza (se iser Fig. 15) af en lignende Cellerekke, der begrænses af Integumenterne. Denne nedre Del af Nucellus voxer senere meget betydelig ved Strækning af sine Celler 108 32 og tillige ved tondeformig Udvidning af de midterste, men uden paafolgende Deling af dem; den omsluttende Del af indre Integument voxer lige saa stærkt, men her optræde talrige Delinger; derfor vil et Længdesnit gjennem denne Del af et ældre Æg vise os en stor indre ellipsoidisk Hulhed, gjennem hvilken der ud imod Periferien lobe to yderst tynde Længde- vægge, hvorimod der kun hist og her ses en Tværvæg (XIV, 9; se ogsaa VIII, 17). I VII, 28 ses det samme indre Parti af Nucellus med sine tynde Vægge, inden for det morke indre Integument, men Tværsnittet har truffet et Sted, hvor Udvidningen i Bredden ikke er indtraadt. Men selv om denne ellipsoidiske Del af Nucellus er den storste, er den dog ikke den væsentligste; den er altid meget klar og fattig paa Protoplasma, kun hist og her ses en Cellekjærne, Reservenæring (der i saa Fald maatte tydes som en Slags Perisperm) dannes ikke; dette store Rums Bestemmelse er blot at optage Kimen; kun dennes første Anlægstrin findes i den øvre, uden for indre Integument liggende Del af Nucellus; er den bleven lidt ældre, ses den paa Vejen ned i det nedre Rum (IX, 6, 7, hvor den allerede er fort ned i dets alleroverste Del), og i det udviklede Fre fylder den dette helt ud. Til Frohvide har jeg overhovedet ikke set noget som helst Spor. Vende vi nu tilbage til Integumenterne, ville vi se, at det merke indre Integu- ment altsaa bestaar af to Lag Celler; det yderste Lags ere næsten dobbelt saa talrige som det indres (Vil, 28), hvad der jo ogsaa ellers saa ofte er Forholdet mellem de to Lag i et indre Integument. Cellerne ere ordnede i Afsnit efter Lengden, og Afsnittene ere enten kun dannede af enkelte Cellerekker, eller hyppigere have disse, navnlig midt paa Ægget, dell sig ved Længdevægge (VIII, 26). Disse to Cellélag gjenfindes kun lidet forandrede i det modne Frø (se f. Ex. VII, 34; VII, 25); de løsnes let fra Froets af ydre Integument dannede Del og spaltes ved Spiringen (og ved Tryk efter Behandling med Kali) let efter Længden ved fra Mikropyle udgaaende Spalter, som næsten kunne naa til Chalaza (Vi 93 25): Fig. 15, Tav. VIII, og lige saa VII, 28 vise, at ydre Integument bestaar af 2—3 Lag Celler, der ere meget tyndvæggede og tidlig fylde sig med Stivelse. Under Frøskallens Udvikling forsvinder denne, i det den aabenbart benyttes til Fortykkelse af det alleryderste Cellelags Vægge. Dettes Celler blive nemlig helt (f. Ex. VII, 25 og XII, 28) eller næsten helt, paa et ubetydeligt nærmest Indersiden liggende Rum nær (f. Ex. VIII, 34), udfyldte med en hvid, i tør Tilstand indskrumpet, i Vand let svulmende Masse, ganske påa samme Maade som yderste Cellelag i Frøskallen af Linwn, Cydonia 0. a. (sammenlign VII, 28 med 25). Et modent Frø af Podostemon Ceratophyllum ser derfor i tør Tilstand ud som afbildet VII, 26, men i Vand som i VII, 27 (Gjennemsnit); alle Celler i det yderste Lag ere i sidste Til- fælde svulmede ganske betydelig op, og Frøets Overflade er slimet. Den biologiske Betyd- ning af dette Lag omtales senere, under Spiringen. Hos Dierea fandtes det fint, men tæt kornet paa Overfladen (XII, 28). De andre, indre Lag i ydre Integument trykkes sammen og forsvinde mere eller mindre, saa at der paa deres Plads kun ses et Lag af utydelige brunlige, sammenfaldne Geller (VII, 25; VII, 34; XII, 28). Funiculus er yderst kort, og der findes hverken Karstræng i den eller i Raphe, saa lidt som i selve Placenta, naar den fra Blomsterbunden opstigende Streng undtages, der taber sig i Placentas Midte. Naar der altsaa, som det vil ses, er blevet visse Punkter uopklarede i Æggenes Udviklingshistorie og, som det vil ses af det folgende, ligeledes i Kimens forste Trin, er Grunden de usædvanlig mange Vanskeligheder, som disse Æg frembyde. For det forste ere de overordentlig smaa og rives saa let los fra Placenta, saa at det er meget vanskeligt at faa gode Snit gjennem dem. For det andet ere de saa uigjennemsigtige, dels paa Grund af indre Integuments brune Farve, dels paa Grund af ydre Integuments store Stivelse- riedom, at man ikke kan se gjennem dem uden ved Hjælp af klarende Reagenser, der netop ødelægge Indholdet i Cellerne, altsaa det, man skulde undersøge. Kimen er normal dikotyledon, men ofle noget skjæv, i det det ene Kimblad er større og videre udviklet end det andet (IX, 44), og uden Plumula, saa længe den endnu er hvilende (IX, 34). Kimen er en Del sammentrykket; betragtes den fra «Bredsiden», ses begge Kimbladene, og i denne Stilling ere de fleste Figurer, Tav. IX, tegnede; der maa ogsaa i Frøets Form være noget til Stede, der gjør, at det indtager en bestemt Stilling, naar det lægges paa et fladt og jævnt Underlag, thi fra denne Side er det næsten altid, at Kimen præsenterer sig, naar det paa et Objektglas liggende Frø ved Kali er gjort gjennemsigtigt. «Kantbilleder» af Kimen ses f. Ex. IX, 29 (hvormed Bredsidebilledet Fig. 27 kan sammen- lignes), 7 og 12; Tværsnit gjennem Kim ses IX, 355 (35 a er set fra Bredsiden), VII, 34 o. a.). Jeg har haft Materiale til nogenlunde at folge Kimudviklingen hos Mniopsis Weddelliana (Tab. IX). De første Stadier ses Fig. 1 og 2; jeg antager, at Fig. 1 maa for- staas saaledes: Ægcellen har delt sig i 2; i Fig.2 har den nedre af disse Celler begyndt Delingen ved Dannelsen af to Cellekjærner, den ovre Celle synes derimod at være mindre funktionsdygtig end tidligere eller være paa Vej til at gaa til Grunde. I Fig.3 er der tydelig en Kimholder, hvis øverste (nærmest Mikropyle liggende) Geller ikke synes funktions- dygtige(?), og et tocellet Anlæg til «den egentlige Kim»; denne er allerede fort ned i øverste Ende af det store ellipsoidiske Rum inden for indre Integument. En tilsvarende Figur ses Fig. 4. Fig. 5 forestiller Kimen set mest fra Enden; en Korsdeling ved lodrette Vegge har fundet Sted; Kimholderens Ende ses stikke frem under Kimen. Fig. 6 viser, at den egentlige Kim grundlegges af to Celler, nemlig en ovre (i Figuren nedad vendt), der danner Hovedmassen af Kimlegemet, og som nu er delt i 8 Celler ved lodrette og vandrette Vegge, og for det andet en Hypofysecelle, der vil vise sig at danne en yderst Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd, II. 3. 14 110 34 ringe Afslutning af Kimens Rodende. I Fig. 8 er Hypofysen begrænset af den med o—o merkede Veg, og Ækvatorialvæggen gjennem Hovedcellen, ved hvilken denne deles i ovre og nedre Etage, er mærket <—x. Kimen er saaledes nu delt i 3 Etager: en nederste, dannet af Hypofysen, en mellemste og en øverste. Med disse Navne vil jeg i det folgende for Kortheds Skyld betegne disse indre Afsnit i Kimen. Kimens nederste Etage. Fig. 9 a og b vise os nedre Etage delt ved lodrette, korsstillede Vægge; hertil vil svare Fig. 36, der fremstiller et Tværsnit af denne Etage. Den er nu 4-cellet. Folge vi den videre, viser det sig, at denne Etages Geller endnu kun deles ved nogle faa lodrette Vægge, og at de midterste i den hele Etage derpaa ogsaa deles ved nogle perikline Vægge, saaledes som Fig. 25, 31, 33 og 34 vise. Dette ubetydelige Afsnit af Kimlegemet, som herved er opstaaet, maa vel nærmest tydes som repræsenterende den hele Rod, som saaledes altsaa er et enkelt, kun i Midten fordoblet Cellelag. Som Rod- hætte kan man maaske betragte den nærmest Kimholderen liggende Halvpart af dette for- doblede Lag. Disse tangentiale Delinger i den hypokotyle Axes Rodende mangle hos andre, men maaske ikke konstant hos hver Art. Jeg har saaledes ikke fundet dem hos VPodoste- mon Ceratophyllum (VII, 24), men har her kun haft faa modne og gode Frø til Undersøgelse. Hos Castelnavia synes de ligeledes normalt at mangle, og Rodhaar udvikle sig — vel i Afhængighed heraf — lige hen til Kimholderen (XV, 22, 26). Overste Etage indbefatter alt det, der i Fig. 8 og de andre Figurer ligger oven for Linien >—><. Man vil ved at folge Suiten af Figurer se, at denne Linie bliver mere og mere bøjet og brudt, i det dens to Yderpunkter hæves mere og mere i Vejret; i Fig. 9a er den allerede tydelig buet, men der ses ingen Celledelinger i Cellerne oven for den; ligeledes vil man af Fig. 9, der er samme Kim som 9 a, drejet 90° og derfor set fra Kanten, se, at denne Linie bojer sig i en Bue op mod de Kanten skjærende Meridianvægge, medens den med omtrent uforandret Stilling skjærer de andre, lodret paa Bredsiden staaende Meridianvægge. Paa de folgende Udyiklingstrin kommer der antikline eller skraat stillede Vægge til, og som Figurerne vise med nogen Variation i Stillingen. I Fig. 17 er der paa højre Side tilkommet en Veg, som udgaar skraat fra den gjennem Kimens Længdeaxe gaaende Veg og hen til den bøjede Ækvatorialvæg; derved afsættes nedad til en med + mærket indre Celle. I Fig. 18 er der dannet 4 antikline Vægge, af hvilke den ene omtrent støder op til Enden af Meridianvæggen. I Fig. 21 og 35 er der dannet to perikline Vægge, ved hvilke der indadtil afskjæres to med + mærkede Geller, udadtil to omtrent trekantede Geller. Ligesaa i Fig.22, men her er der i de længere fra Midtaxen liggende Celler dannet flere antikline Vegge. Fig. 23 staar midt imellem 21 og 22. I Fig. 24, 26 og 25 er der til- kommet endnu flere antikline Vegge, og der har derved dannet sig en storre Flade af Overhudsceller paa den nu tydelig i Kimblade og Axe udprægede Kim. Resultatet er altsaa dette: øverste Etages Celler eller alle de oven for Linien x—Xx liggende Celler danne 39 111 Overhuden paa Kimbladenes indre Flade, og tillige nedstammer fra dem en lille Gruppe af omkring Kimens Midtaxe, inden for Overhuden liggende Geller, der i Figurerne ere mærkede med oprette Kors. Jeg formoder, at denne Gruppe er Anlægget til den epiko- tyle Axe. Paa Fig. 27 og 30—34 vil man ligeledes finde den, men her findes der ikke, som i Fig. 24—26, nogen trekantet Overhudscelle i Bugten uden for. Videst udviklet er den i Fig. 34 afbildede Kim, i hvilken den nævnte Cellegruppe ved fortsatte lodrette og vandrette Delinger er voxet betydelig. Kimens mellemste Etage. Efter at der saaledes er gjort Rede for, hvad der udvikles af nederste og af overste Etage i Kimen, er mellemste tilbage. Hele det ovrige i Kimlegemet, altsaa den hypokotyle Axe, Kimbladenes Mesofyl og Overhuden paa deres Rygside, nedstammer fra de fire i Fig. 8 anlagte Geller, som ligge imellem Linierne x — x og o—0, og som kaldtes mellemste Etage. Udviklingsgangen er omtrent folgende. Efter at de 4 Celler ere anlagte (Fig. 6, 8), opstaar der i hver af dem to perikline Vægge, der gjøre Skjel mellem Epidermis og alt indenfor liggende (Fig. 9, 10, 11, 20, og især 35 a—b). I Epidermis optræder der nu kun antikline Vægge. I de 4 indre Celler fremkomme nye lodrette, med fire af hine perikline parallele (paa Bredsiden lodrette) Vægge (sml. f. Ex. Fig. 9 og 10 med 11 og 35); ved disse sættes der Grense mellem en inderste omkring Kimens Midtaxe liggende Cellemasse, som i Figurerne er betegnet med Skravering, og et ydre Celleparti, der væsentlig danner Kimbladenes Mesofyl. Dette sidste Parti ses i Fig. 11, 14 og 35a at bestaa af kun 1 Celle paa hver Side (i Virkeligheden er der 4 i hele Kim- legemet, se 355); i Fig. 15 ligesaa, men den til højre liggende har strakt sig betydelig i lodret Retning; i Fig. 16 og 17 have begge synlige Celler strakt sig, men i Fig. 16 har den til hojre liggende delt sig i to; i Fig. 18 ses to paa hver Side, i Fig. 19 tre paa hver Side, i Fig. 27 tre paa den ene, fire paa den anden Side, i Fig. 24 fire paa hver Side 0.8. v. I Fig. 34 ses der paa venstre Side én lang Række af 16 Celler, og paa højre Side en lignende, men som i den nederste Halvdel har delt sig især ved Længdevægge. Hin midterste, inden for det nu omtalte Vævparti liggende, med Skravering beteg- nede Gruppe deler sig langt langsommere; den bestaar i Fig. 11, 14—19, 21—24, 27, 30, 35 af kun 4 Geller, af hvilke kun de to ere synlige paa disse Lengdesnit. I Fig. 26 ses den til venstre liggende Celle tværdelt, i Fig. 31, 32, 33 ere begge Celler tværdelte, og i Fig. 34 ere endnu flere Geller dannede. Denne inderste Cellegruppe maa betragtes som repræsenterende den hypokotyle Axes inderste og storste Del. Tværsnit gjennem Fro ses VII, 25; VIII, 34; XI, 28. Spiringen er det — trods gjentagne Froudsed — kun lykkedes mig at iagttage hos Castelnavia, hvorom ovenfor er talt. 14° 112 qo for) Etudes sur la famille des Podostémacées. Par Eug. Warming. Deuxième memoire.!) Il. Organes végétatifs du Castelnavia princeps Tul. & Wedd. M. Regnell, botaniste suédois bien connu, a eu lobligeance de m'envoyer du Brésil une riche collection de Castelnavia princeps conservée dans l'alcool, en l’accompagnant d’ex- cellentes observations sur le mode de croissance et de développement de cette plante, et je lui en exprime ici tous mes remerciments. J'en ai aussi reçu du Riks-Museum, à Stockholm, quelques exemplaires également conservés dans l'alcool et recueillis par M. Mosén. d Le Castelnavia princeps n’a été connu jusqu'ici que dans une phase qui correspond à peu près à mes Fig. 4 et 15, Pl. XII, et les organes végétatifs en ont aussi été décrits comme «frons dichotome divisa, fastigiatim expansa, foliis genuinis omnino ut videtur destituta» (Weddell, dans De Cand. Prodr. 17, 1873, p. 80). Mais les deux phases que j'ai figurées représentent de vieilles plantes plus ou moins abimées par les eaux; chez les exemplaires plus jeunes, on trouve des feuilles longues de plusieurs centimètres et élé- gamment découpées (Pl. XIII, Fig. 1, 2, 5). Elles sont situées sur le bord échancré du corps charnu et irrégulièrement dichotome qui a été appelé «frons», et qui, d'abord creux et à demi dressé (XIII, 1, 2, 3), devient en vieillissant plus plat, plus étendu et adhère enfin tout entier aux pierres et aux rochers (XIII, 4, 15). Ce «frons» est en réalité un corps formé d'un mélange de tiges et de parties basilaires connées des feuilles, un complex de pousses fortement dorsiventrales, dont la position des feuilles et le mode de ramification reproduisent les mêmes caractères, poussés à l'extrême, que j'ai indiqués chez le Podo- stemon Ceratophyllum et le Mniopsis (voir mon premier mémoire). Un fragment est repré- senté en partie vu du côté dorsal (Fig. 3 A), du côté ventral (B) et des flancs droit (C) et gauche (D), en partie étalé à plat et un peu schématisé en E. On voit par cette figure que la ramification est comme celle d'une cyme dichotomique ordinaire; chaque axe porte 1) Kel. Danske Vidensk. Selsk. Skr. 6e Série, Il, 3, 1882. Mon premier mémoire a paru dans la même série, II, 1, 1881. 37 ; 113 deux feuilles (ou dans les générations supérieures seulement une, de même qu'il peut en porter davantage (XIII, 2) dans les générations d'un ordre inférieur à celles de la Fig. 3) el se termine ensuite par une fleur. Ces deux feuilles sont placées alternativement (posi- tion 4) sur les flancs de la pousse fortement dorsiventrale, et tournent leurs faces encore plus complètement que chez le Podostemon et le Mniopsis, de sorte qu'elles en viennent à se trouver dans un seul et même plan, le plan de dorsiventralite, la face ventrale regardant le côté dorsal de la pousse et le bord gastroscope, son axe. Leurs bourgeons sont placés, comme chez les genres ci-dessus mentionnés, à la base notoscope de la feuille mère, et la première feuille de chaque pousse latérale est située sur le côté le plus éloigné de la pousse mère. Par ce qui précède on comprendra la structure de XII, 3E, surtout en s’aidant du diagramme XV, 10 et de l'explication des deux figures. Dans XIII, 3E, l'axe relative- ment principal se termine par la fleur 2 et porte les feuilles a et 6; Vinférieure @ est la feuille mère du bourgeon le plus grand, 3, dont la 1" feuille est a! et la seconde, a”, b est la 2% fouille de l'axe 2 et la feuille mère du bourgeon 4, dont la 1 feuille, de- tournée de l'axe mère, est 6! et la 2%, 52. Ces 4 feuilles sont de la même manière des feuilles mères de bourgeons, à savoir a! pour l'axe 5 avec les feuilles y! et y?, a? pour l'axe 6 avec les feuilles & et 2, b! pour l’axe 7 avec les feuilles m et n, et 6? pour l'axe 8, seulement avec une feuille o. La ramification se poursuit d'après le même type. Les complex de pousses les plus jeunes doivent, à cause du manque de place, saillir plus ou moins fortement entre ceux qui sont plus âgés, et c’est pour cela que le bord de tout le corps ressemblant au frons présente de fortes sinuosités (XIII, 3B, 3 D, ete.). Chaque pousse se termine donc par une fleur; mais quand, en se soudant et en continuant de croître, les parties basales des deux feuilles d’une pousse se sont élevées au-dessus de la fleur, celle-ci est profondément cachée entre elles et on n'y arrive que par un canal très étroit (voir la coupe XIII, 14, comme aussi les Fig. 16—19 et les coupes d'une paire de feuilles, 8 a et b, où ce canal est désigné par un astérisque); dans la Fig. 3 E, ces canaux sont marqués par des lignes ponctuées, qui, de l’angle entre les parties libres des deux feuilles, descendent à la cavité où se trouve la fleur. Le corps ressemblant à un thalle est par conséquent formé par la soudure de tiges et de parties basales de feuilles. Quand la floraison commence, les fleurs se font jour à travers les parties des feuilles qui les recouvrent et apparaissent sur le côté dorsal du corps thalloide (XII, 15), dont les parties libres des feuilles sont alors le plus souvent réduites à des rudiments; la fructification une fois terminée au commencement de la saison sèche ou lorsque les eaux sont basses, ce corps se dessèche au soleil, blanchit et se présente comme dans la Fig. XIII, 4. Dans les cavités qui renfermaient les fleurs, on ne trouve alors à l'ordinaire que des restes de capsules. La limbe des feuilles se développe comme chez le Podostemon Ceratophyllum (voir XIII, 17, 19; XV, 5, 13). Toutes les nouvelles formations prennent naissance comme ordi- nairement les feuilles et les émergences, c'est-à-dire sous l’épiderme (XIII, 11, 12). Les formations siliceuses font défaut. Le tissu fondamental est un parenchyme à grandes cellules et à parois minces, qui devient un peu collenchymateux autour des fais- ceaux fibro-vasculaires. La ramification de ces derniers est des plus simples; chaque axe né a rs de RE u i ia 114 38 recoit I faisceau qui, dans le réceptacle, envoie des rameaux à l’androcée et au pistil, après avoir d'abord fourni à chacune de ses feuilles un faisceau qui ne tarde pas à se trifurquer, et, à une hauteur indéterminée, ces faisceaux en envoient d’autres aux pousses latérales (XV, 3). La coupe transversale d'un «frons» montrera donc des faisceaux épars, dont les uns se rendent directement aux fleurs et les autres ne s’y terminent qu'après s'être ramifiés (XV, 1, 2); entre les faisceaux, se trouvent de nombreux canaux aboutissant aux fleurs et qui, pour la grandeur et l'aspect, sont tout à fait semblables à ces derniers lorsqu'on les regarde avec un faible grossissement. Les faisceaux fibro-vasculaires se composent de cambiforme, de tubes cribreux(?) et de trachéides. Haptères. Le «frons» est à un haut degré négativement héliotropique, il s'at- tache fortement aux inégalités de la surface sous-jacente et se plie, par ex., autour des angles droits des pierres (voir XII, 4, la partie gauche de la figure). Ses appareils de préhension sont des poils radicaux et des haptères, dont la structure et le développement sont semblables à ceux des haptères mentionnés dans mon premier mémoire (XIII, 6, 7, 9—13; XV, 16). Ils sont exogènes, naissent dans l'épiderme et la couche sous-épidermique et se composent seulement d'un parenchyme formé de grandes cellules, sauf cependant celles de Ja périphérie, qui sont plus petites et dans lesquelles la croissance par division semble avoir lieu. On ne les trouve que sur les tiges elles-mêmes dans les «corps thal- loides», et ils les accompagnent souvent dans leurs ramifications en présentant l’image d'une chaine de montagnes (XIII, 7). Ma première hypothèse, qu'ils pouvaient être des racines métamorphosées (voir mon premier mémoire) a perdu pour moi de sa vraisemblance depuis que j'ai appris à connaître ceux-ci. Je n'ai pas trouvé de racines chez le Castelnavia et je présume qu'il n'en a pas du tout. Il ne se développe pas de racine principale lors de la germination, mais l'extrémité de la tige hypocotyle se couvre de poils radicaux même jusqu'au suspenseur (XV, 15, 18, 19, 22—27); la fonction la plus importante de ces poils est certainement de servir d’hapteres et c’est, je suppose, pour servir à la formation des nombreux petits appendices et lobes qu'on y trouve souvent, que les parois à leur extrémité sont plus épaisses que d'habitude (XV, 24, 26, 27). L’embryon est déjà fortement dorsiventral; sa tige épicolyle se développe plus près du côté dorsal que du côté opposé (XV, 18), et les cotylédons tournent leur limbe en se plaçant comme dans la plante devenue plus âgée (XV, 15; comp. avec la Fig. 23). Ill. Organes végétatifs chez le Dicræa elongata (Gardn.) Tul. et le Dicræa algeformis Beddome. Je dois avant tout adresser ici mes sincères remerciments à M. Henry Trimen, directeur du jardin botanique de Peradeniya, à Ceylan, qui a bien voulu m'aider dans mes recherches en m'envoyant des exemplaires conservés dans l'alcool, tant des deux plantes nommées ci-dessus, que d’autres espèces qui feront l'objet d'un mémoire posté- 39 115 rieur. Je me suis en outre servi de matériaux secs pris dans des herbiers; c'est ainsi que les Fig. 20, Pl. X; 1, 2, PI. XII!) et 54, 55, Pl. IX, ont été dessinées d'après des plantes desséchées. Les racines sont ici de deux sortes. Les unes, rampantes, s'étendent sur la surface sous-jacente en s’y fixant, comme celles du Podostemon et du Mniopsis, par des poils radicaux et par des haptères ayant les mêmes formes que chez ces deux espèces (X, 1, 2, 16—20), mais plus solides. Ces racines paraissent avoir une croissance illimitée, et peuvent produire des pousses radicales. C'est d'elles que naît la seconde forme de racines, les racines verticales, qui ondulent librement dans l’eau comme beaucoup d'algues marines fixées aux rochers de la côte. Ces racines sont faiblement dorsiventrales; elles portent sur leurs deux flancs de petites pousses qui présentent également cette particu- larité, les unes florales, à leur partie inférieure, les autres végétatives, à leur partie supé- rieure (X, 20; XI, 1; XII, 1). Lorsque les racines sont rubanaires, comme chez le Dicræa algeformis, il peut se trouver en outre quelques pousses sur leur côté dorsal (par ex. XII, 1, en g). Ces racines verticales, qui ont été auparavant décrites comme des tiges, ont évidemment une croissance normalement limitée. Les racines verticales sont à peu près rondes chez le Dier@a elongata, mais apla- lies, rubanaires ou presque foliacées chez le Dier@a algæformis (voir la coupe transversale XII, 4, 5). On y trouve beaucoup de chlorophylle, même dans l’epiderme. Le mode de formation de l'amidon est représenté XI, 20 et XII, 10 (on voit dans la Fig. XI, 16 de l'amidon de formation secondaire). La coiffe de la racine, chez le Dicræa elongata, en couvre l'extrémité tout entière (X, 6, 13); chez le D. algæformis, elle est onguiforme, a sa place sur le côté dorsal de la racine (XII, 20—25) et est très insignifiante. J'ai trouvé des branches radicales sans coiffe (XII, 20, 22), mais ne sais si elle manquait dès l'origine ou si elle était tombée. En tout cas, on doit la considérer comme un organe rudimentaire sans importance (voir aussi mon premier mémoire p. 23). Ramification des racines. Les matériaux dont je dispose ne m'ont pas permis de voir comment se forment les jeunes racines. Mais, en examinant des racines plus âgées, par ex. celles qui sont représentées XII, 20 et 22, on arrive à cette conclusion, que si leur mode de formation n'est pas entièrement exogène, elles doivent certainement, à l'origine, n’avoir été couvertes que de deux ou trois couches du tissu de la racine mére, de même que les pousses radicales qui naissent dans les parties périphériques de la racine (X, 4, 5, 6, ete.); car il n'est pas vraisemblable que les pousses radicales naissent à une grande profondeur dans l'intérieur de la racine mère, par ex. à la périphérie du cylindre central. Par contre, lorsqu'une racine adventive naît d'une vieille racine, elle est toujours endogene (XII, 23). Ces racines doivent être appelées binaires, quoique dans une autre significalion qu'à l'ordinaire. Le tissu fondamental, qui constitue l'écorce, est parenchymateux et d’au- tant plus collenchymateux et allongé qu'on se rapproche davantage du cylindre central 1) J'ai conservé A ces deux plantes le nom de Dier@a stylosa, nom que porte l'étiquette écrite par M. Tulasne, bien que je présume qu'elles appartiennent au D. algeformis Beddome. 116 40 (X, 10, 11, 12). Les méats intercellulaires manquent. Il s'y produit de nombreuses divi- sions longitudinales et transversales (X, 12; XI, 17, 18). Les racines plates du Dicræa algæformis imitent quelquefois d'une manière remarquable la structure des feuilles ordi- naires, les nombreuses divisions tangentielles de leur côté dorsal donnant naissance à une espèce de parenchyme en palissade (XI, 22). La saillie sur le côté ventral se forme d'une manière analogue (XII, 5). La gaine protectrice manque. Le cylindre central doit être concu comme formé de deux faisceaux fibro-vasculaires, qui sont à considérer comme collatéraux, de la même manière que les faisceaux ordinaires dans une tige; le phloème se trouve toujours sur le côté dorsal et le xylème, sur le côté ventral, absolument comme chez les espèces men- tionnées dans mon premier mémoire (voir XI, 18; XI, 3; II, 11,15; VI,3). Qu'il y ait ici deux faisceaux, c'est ce qui résulte des faits suivants. D'abord, on les aperçoit distincte- ment dans les racines larges, où ces faisceaux sont écartés l'un de l’autre (XII, 4); dans la Fig. XI, 22, on aurait pu indiquer mieux qu'on ne l’a fait qu'ils sont unis par un tissu différent du tissu fondamental. Puis, ils sont très distincts dans les racines très jeunes (XII, 12). En troisième lieu, les pousses radicales forment en général 2 rangées, et les faisceaux fibro-vasculaires qui s'y rendent sont disposés aussi régulièrement que les nervures dans une feuille penninerve; tel est surtout le cas chez le D. algæformis, dont la ressemblance avec une feuille se trouve ainsi encore augmentée (voir XII, 20, 22 et, sur la même planche, les parties jeunes des Fig. 1 et 2, dont la dernière représente un fragment rendu trans- parent par la potasse). Enfin, cette structure correspond à celle des espèces du Podo- stemon et du Mniopsis; on voit, par ex., très distinctement deux parties de xylème sur les Fig. III, 15 et NI, 3. Dans les cylindres centraux, comme ceux qui sont représentés X, 10, 11; XI, 18 et XII, 3, on ne voit pas trace d'une pareille composition; les deux faisceaux y sont réunis, en ce sens que le tissu intermédiaire a pris la même structure qu'eux. L'examen de coupes transversales telles que XI, 18 et XII, 3, montre seulement un certain nombre de cellules, rayonnant plus ou moins distinctement en éventail d'un des côtés, celui du phloème ou le côté dorsal (marqué dors), qui se distingue en même temps par la circon- stance que les cellules situées en dehors sont plus longues et à parois plus épaisses, et divisées elles-mêmes par de nombreuses cloisons longitudinales irrégulièrement placées. Rien n'indique la présence du xylème et c'est seulement par les coupes longitudinales qu'on apprend qu'il y a des trachéides sur le côté ventral (XI, 15, 16). Mais ces derniers peuvent aussi faire complètement défaut, ou on ne les trouve que dans un des flancs, mais non dans l’autre; il est assez clair qu'ils ne jouent aucun rôle important, et qu'on peut tout au plus regarder le xylème comme rudimentaire. Le reste du faisceau se compose de tubes cribreux et de cellules parenchymateuses à parois minces, dont quelques-unes peut-être peuvent être regardées comme appartenant au xylème (voir le côté droit de la Fig. XI, 15); mais le reste, en tout cas, est du liber mou. Les tubes cribreux sont toujours accompagnés de cellules parenchymateuses de la même longueur qu'eux, et qui évidemment proviennent de la même cellule mère (XI, 16); ces cellules possèdent un noyau et sont riches en protoplasma, tandis que les tubes cribreux sont reconnaissables à l'élargissement de leurs extrémités, à la forme de leurs parois terminales et à leur contenu plus clair, un e 41 117 peu strié el sans noyau; suivant moi, nous avons affaire ici à des tubes cribreux avec de nombreuses cellules adjointes («Geleitzellen» de Wilhelm). Pour les formes du liber mou, voir XI, 15, 16, 19; XII, 9 (faisceau se rendant à une pousse radicale) et 11. Je ne doute pas que celle structure anatomique différente ne soit en connexion avec la dorsiventralité des racines, et avec la particularité qu'elles ne peuvent être divisées que par 1 plan de symétrie. Les pousses radicales, qui sont situées principalement sur les deux flancs des racines, et souvent disposées par paires (X, 20, 22), comme chez le Podostemon et le Mniopsis, sont endogènes et naissent sous les deux couches de cellules extérieures de la racine, loin du cylindre central, avec lequel elles n’entrent en communication que plus tard (X, 4—6, 8, 14, 15, 21, 22; XII, 21, 23). Les pousses percent ensuite les couches de cellules qui les couvrent, mais la tige des pousses purement végétatives est si insignifiante qu’elle ne s'élève pas au-dessus de la racine mère; on voit seulement une louffe de feuilles très simples émerger d’une ouverture (par ex. X, 21,22; XII, 4, 6, 22—24), et aussi est-il très difficile de savoir au juste quelle en est la situation. Les pousses florales, par contre, ont un axe distinct sur lequel les feuilles sont disposées en deux rangées, dont l’une regarde l'extrémité de la racine et l’autre s'en détourne, absolument comme chez le Podostemon et le Mniopsis. Les feuilles sont ensiformes et ont une gaine large el en forme de bateau, qui reste après la chute du limbe (X, 7; Xfi, 2—7; XII, 13, 18). Les pousses florales semblent, quoique sans grande régularité, se développer en général de haut en bas (X, 2, 20; XII, 1). On voit par là combien les pousses des Dier@a sont de peu d'importance, pour ne pas dire rudimentaires, et il est évident que, comme organes d’assimilation, elles sont loin de pouvoir étre comparées aux racines. Si l'on compare les organes végétatifs des Podostémacées examinées jusqu'ici, en prenant pour point de départ le Podostemon Ceratophyllum, on arrive aux résultats suivants. La racine de cette espèce est illimitée, à demi ronde, rampante. Les pousses radicales ont une longueur de 5 à 6 centimètres, sont munies de feuilles relativement fortes, et, quoique la racine soit verte, constituent en somme l'organe d’assimilation le plus important. De là derivent les autres formes en deux séries divergentes. Dans la première, nous n’avons que le Castelnavia; autant que j'en puis juger, la racine est completement(?) absente, les pousses sont les seuls organes d'assimilation et il s'en produit une série de générations extrêmement nombreuses qui se réunissent en un large corps thalloide. Dans la seconde, nous trouvons d'abord le Mniopsis Weddelliana et le Mn. Gluzioviana; la racine est ram- pante, illimitée, souvent relativement large et aplatie, mais les pousses sont de moins en moins riches en feuilles, et la ramification n'est peut-être pas aussi vigoureuse que chez le Podostemon. Chez le Dierea elongata, on trouve des racines rampantes qui probablement sont illimitées, mais elles donnent naissance à des racines verticales, presque rondes, ondulant librement dans l’eau et très riches en chlorophylle, dont la croissance en longueur a évidemment une limite normale, et sur lesquelles se développent de nombreuses pousses qui, au point de vue vegelalif, n'ont presque aucune importance. Chez le Dier@a algeformis, ces racines verticales deviennent des corps larges, rubanaires, peut-être plus riches encore en chlorophylle, qui, dans leur structure anatomique et la ramification des faisceaux fibro- Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II 3. 15 118 42 vasculaires, rappellent d'une manière remarquable les feuilles penninerves des Dicotylédones; quant aux pousses radicales, elles sont, si possible, encore plus réduites, et la racine joue ici le role qui appartient d'ordinaire à la tige et à la feuille. J'aurais certainement beaucoup à ajouter pour compléter les observations qui pré- cèdent, mais comme je n'ai eu jusqu'ici à ma disposition que des matériaux desséchés, je n'ai pu pousser mon analyse aussi loin que je l’eusse désiré. J'ai représenté IX, 55 une Podostémacée indéterminée (de l'Inde), qui se rattache directement au Dicrwa algæ- jformis; la racine est seulement encore plus large et plus courte et ressemble aussi davantage à un thalle. Des formes comme l’Aydrobryum olivaceum (IX, 54) sont évidemment des formes extrêmes; le corps thalloïde, lobé et sans doute de couleur verte, qu’on voit élalé sur le substratum, et qui porte des pousses florales manifestement endogènes non plus sur les deux flancs, mais sans ordre sur toute sa surface, est bien certainement une racine. Il est probable que la coiffe ne s’est pas développée et que la ramification est entièrement exogene; mais sur ces points, comme sur d'autres, je ne saurais rien dire avant d'avoir à ma disposition des matériaux conservés dans l'alcool, dont je viens du reste de recevoir envoi grace à l’obligeance de la Direction du Kew Garden. Les deux points extrêmes aboutissent ainsi l’un et l’autre à un corps qui reproduit d'une manière frappante la forme thalloïde de certaines Lichénées et Hépatiques, mais qui, un petit dans un cas, est un remarquable complex de pousses et, dans l’autre, une racine remarquablement métamorphosée. IV. Organes de‘la fructification chez le Podostemon Ceratophyllum Michx., le Mniopsis Weddelliana Tul., le Mn. Glazioviana Warmg., le Castelnavia princeps Tul. & Wedd., le Dicrwa elongata (Gardn.) Tul. et le Dicræa algeformis Beddome. Comme ces parties sont si bien connues, surtout gräce à l’excellente monographie de M. Tulasne, je me bornerai ici à relever quelques points, en me référant pour le reste à l'explication des figures. Je remettrai également l'interprétation morphologique de la structure florale jusqu'à l'époque où j'aurai terminé ces études. Relativement au diagramme de la fleur, on peut remarquer que l’androcée, com- posée de deux étamines, se trouve toujours sur le côté ventral de la fleur, et que les carpelles sont dans le plan médian (VII, 10; XV, 10, etc.). Les deux stigmates terminaux dans la préfloraison sont inclinés vers l’androcée (VII, 1,5; XIV, 1, ete.). En ce qui concerne le développement de la fleur, mes observations n'ont, pour la plupart, eu pour objet que le Castelnavia. Sur une base hémisphérique se forme d'abord Vinyolucre, qui prend naissance sur le côté ventral (XIV, 5, 6, 11). Puis naissent les deux étamines, qui, chez cette plante, ne sont presque pas monadelphes (XIV, 1), et, après elles, se montrent les deux squamules («staminodes»), bien qu’elles soient certainement des feuilles perigoniales et appartiennent par suite à un verticille extérieur. L'axe s'élève capi 43 119 alors plus verticalement, le placenta et les parois de l'ovaire se forment (XIV, 8, 10). Les ovules naissent en ordre acropetal (XIV, 3, 14, 16) et, comme à l'ordinaire, sous l'épiderme (XIV, 17). J'en ai le mieux suivi le développement chez le Mniopsis Weddelliana, dont les phases concordent avec toutes celles qui ont été observées chez lee autres espèces. Les ovules ne tardent pas à se courber (XIV, 18; VII, 7), eviennent anatropes et amphitropes (XIV, 2) avec un court funicule; ils n’ont pas de faisceaux fibro-vasculaires. Le tégument extérieur se forme bien plus tôt que le tégument intérieur (VIII, 8, 9, 11; XIV, 13); il acquiert une épaisseur de 3 couches de cellules environ, et se remplit de bonne heure d’amidon (VII, 28). Ce dernier disparaît dans les graines, les couches inté- rieures du tégument y deviennent comprimées, en même temps que les cavités cellulaires dans la couche extérieure ont disparu, et les cellules de cette couche sont remplies ou presque remplies d’une masse mucilagineuse qui se gonfle extraordinairement dans l’eau, absolument comme chez le Linum, le Cydonia, etc. (comp. VII, 28 avec 25, et 27 avec 26; VII, 34; XII, 28). Le tegument intérieur se forme seulement dans l’épiderme et se compose de deux couches de cellules; les parois de celles-ci prennent très rapidement une couleur foncée (XIV, 9; VII, 9—17). Lenucelle est d'abord constitué par trois cellules intérieures, disposées en une rangée et enveloppées d'un épiderme qui s’amineit vers la chalaze. Il se différencie en deux parties, dont l'une supérieure, pyriforme ou ellipsoïdale, s'élève au-dessus du tégument intérieur (XIV, 9, 21; VII, 10—17), et a pour fondement celle des trois cellules intérieures sus- mentionnées qui est placée le plus haut, avec l’epiderme qui l'entoure. De cette grande cellule dérive le sac embryonnaire, et dans cette partie supérieure du nucelle on trouve les premiers états de l'embryon; mais les matériaux dont je dispose ne m'ont pas permis de suivre de près la formation du sac embryonnaire et de ses cellules, qui cependant semblent se produire comme à l'ordinaire (voir les figures citées et IX, 1—3). La partie inférieure du nucelle, qui est recouverte par le legument intérieur, croît beaucoup en longueur et en largeur, mais sans qu'il se produise des divisions de cellules, et se développe en une grande cavité ellipsoïde, dans laquelle on n’apercoit que quelques parois de cellules extré- mement minces et çà et là un noyau de cellule. C'est dans cette cavité que l'embryon est très vite amené (voir XIV, 9 et IX, 3, 6, 7) et il finit par la remplir complètement. J'ai pu suivre en partie la formation de l'embryon chez le Mniopsis Weddelliana (PI. IX). Dans les toutes premières phases, il semble qu'il se forme un court proembryon avec un petit nombre de cellules, lequel ne tarde pas à se différencier en suspenseur et en embryon. Dans IX, 1, le proembryon a 2 cellules; dans IX, 2, la cellule inférieure semble être en train de se diviser, tandis que la cellule supérieure périt. La Fig. 3, PI. IX, montre le proembryon différencié et l'embryon déjà amené dans la grande cavité du nucelle. L’embryon, dans les Fig. 6 et 8, se compose de 3 étages. L’etage inférieur (l’hypophyse), situé au-dessous de la ligne o—o, n'a encore qu’une cellule, mais se divise bientôt par des cloisons verticales (Fig. 9 a-b, 10, 36) et finit par former une couche ne contenant qu'un petit nombre de cellules et seulement dédoublée au milieu, qui termine l'extrémité radiculaire de l'embryon et doit être considérée comme une radicule rudimentaire qui aboutit au sus- penseur (Fig. 34). L'étage supérieur, dans la Fig. 8, est représenté par tout ce qui est au-dessus de la ligne <——x. C’est de cet étage que tirent leur origine l’épiderme de la 15° 120 44 face ventrale des cotylédons et un petit groupe de cellules, marqué de croix verticales (+ +), qui peut être regardé comme le fondement de l'axe épicotyle (voir Fig. 34 et les phases précédentes). L’étage du milieu est placé entre les lignes =——> et o——o; il donne naissance à l’epiderme,de la face dorsale des cotylédons, au mésophylle de ces derniers et à un petit groupe int je ar de cellules, désigné par des hachures, qu'on peut regarder comme la partie hypocotyle de la tige. Un embryon complètement développé est représenté en coupe longitudinale IX, 34, et en coupe transversale VIT, 25, VII, 34 et XII, 28. Pour ce qui regarde la structure du péricarpe, je ferai remarquer que les cellules de sa couche la plus intérieure sont toujours étalées horizontalement — dans une direction tangentielle — et celles de la couche qui la précède, verticalement, de sorte qu'elles se croisent à angle droit avec les premières (VII, 20—23; VIII, 28, 30—33). Les cellules de cette dernière couche et quelquefois aussi d'autres cellules qui n’en font pas partie, s’epaississent fortement, ce qui est probablement då à l'amidon déposé en grande quantité dans les parois de l'ovaire (comp. VII, 20 avec 22, VIII, 30 avec 32, 33 et XI, 11 avec 21). Dans le jeune péricarpe, on voit des faisceaux procambiaux dont les cellules pros- enchymateuses s’épaissiront beaucoup plus tard (chez les genres Podostemon, Dierwa, Castelnavia (comp. VII, 21 avec 22 et XI, 11 avec 21); le Mniopsis en est dépourvu). Les squamules («staminodes» des auteurs) sont pourvues, surtout vers le sommet, de grands méats intercellulaires, aussi bien entre les cellules de la périphérie, que plus profondément. Ces méats, qui sont représentés XI, 14, VII, 13 et VIII, 27, peuvent être si nombreux et si grands que les squamules deviennent de véritables treillis de cellules, comme dans la Fig. VII, 13. Je me réfère, pour le reste, aux figures et à l'explication des planches. 45 121 Explication des Planches. Planche VII. Podostemon Ceratophyllum Michx. Fig. 1. Bouton de fleur. L’involuere encore fermé (sp) est indiqué par une ligne ponctuée. Les stigmates (st) sont inclinés à gauche vers le côté ventral de la fleur, où les étamines et les squamules sont aussi fixées. (Faible grossissement: c. 4°). Fig. 2. Coupe transversale d'un jeune involucre. Fig. 3. Androcée avec ses deux etamines monadelphes et la squamule {std') qui est fixée entre elles. Les lignes ponctuées dans le filament indiquent les faisceaux vasculaires. Fig. 4. Coupe transversale du filament; le côté plat est tourné vers l'ovaire. Fig. 5. Sommet de l'ovaire avec les deux stigmates non encore complètement développés. La suture est indiquée au milieu de la surface de l'ovaire. Fig. 6. Bouton de fleur privé de son involucre et vu du côté ventral. std, squamule. std', squa- mule fixée entre les deux étamines (grossissement c. 1). Fig. 7 [e. 1°]. Androcée. Cas rare: il y a 3 anthères et deux faisceaux vasculaires indépendants, dont l'un se bifurque. Fig. 8. Autre cas rare: outre les deux étamines normales monadelphes, avec leurs trois squamules, il y a à droite une étamine rudimentaire indépendante, dont le sommet a la même structure particulière que les squamules (voir Fig. 13). Fig. 9. Coupe verticale de l'ovaire, montrant la position de 3 ovules; un faisceau vasculaire aboutit au milieu de la base du placenta. On a indiqué un épiderme intérieur d'une nature particulière dans l'ovaire. Fig. 10. Coupe transversale d'une fleur. sp, involuere; st, anthères; std, squamule; la squamule du milieu, située entre les étamines, est indiquée par un astérisque. Fig. 11. Coupe transversale de l'ovaire. On a indiqué dans sa paroi l'épiderme intérieur et les 10 faisceaux de sclérenchyme. Fig. 12. Autre coupe transversale. lei se présente le cas anormal que le placenta était divisé en deux parties distinctes. Fig. 13. Sommet et partie d'une squamule située plus près de la base, montrant la structure parti- euliere à claire-voie qui distingue surtout le sommet. Fig. 14. Coupe transversale d'une anthère, montrant les cellules fibreuses et la place du faisceau vasculaire. Fig. 15. Montre la forme des cellules épidermiques (epid.) et des cellules fibreuses (fir) sous- jacentes de la paroi de l'anthère. Fig. 16. Deux grains de pollen composés. 122 46 Fig. 17 [e. 2]. Fleur qui vient de se flétrir. Les nervures de l'ovaire ne sont pas encore bien distinctes. On voit à la base les restes de l'involucre. Fig. 18. Fruit; les nervures sont maintenant très distinctes et apparaissent comme des filets saillants. Fig. 19. Fruit à peine tout à fait mûr, mais desséché et ouvert; on voit des restes de l'androcée et une squamule. Fig. 20. Coupe transversale de la paroi d'un jeune ovaire. Les cellules sont remplies d'amidon, comme on l'a indiqué sur une petite partie. Un faisceau de sclérenchyme est aussi coupé (sc). Fig. 21. Coupe analogue, montrant la suture. de déhiscence et la cloison qui réunit le placenta avec la paroi de l'ovaire. On n'a pas figuré ici l'amidon des cellules. Fig. 22. Coupe transversale de la paroi d'un fruit. L'épiderme intérieur (epi), la couche sous- épidermique et les faisceaux de sclérenchyme (sc) se sont maintenant beaucoup épaissis, tandis que l'amidon a disparu. Fig. 23. Montre la forme des cellules dans l’epiderme intérieur de la paroi de l'ovaire (epi) et de la couche sous-jacente de cellules sous-épidermiques (sep). Les premières sont disposées horizontalement et les secondes, verticalement. Fig. 24. Base d'un embryon montrant le suspenseur, qui est maintenant brun, et l'extrémité radi- culaire de l'embryon. Fig. 25. Coupe transversale d’une graine. Au milieu, on voit les deux cotylédons et, extérieure- ment à ceux-ci, les deux couches de cellules brun foncé (ii) du tégument intérieur. Puis viennent quelques restes indistinets des cellules intérieures du tégument extérieur, et enfin la couche extérieure des cellules gélatineuses, incolores et se gonflant fortement dans l'eau (epi), de ce dernier tégument. Fig. 26. Graine desséchée. Le tégument intérieur brun est visible à travers le tégument extérieur incolore. Fig. 27. La même graine que Fig. 26, mais dans l'eau et coupée longitudinalement. La couche de cellules extérieure est très gonflée; au milieu on voit l'embryon. Fig. 28. Coupe transversale d'un ovule. Les cellules du tégument extérieur (ie) sont remplies d'amidon. Le tégument intérieur (à) ne renferme que peu d'amidon, mais les parois des cellules sont déjà très brunes. Le milieu est occupé par les cellules transparentes et à parois très minces du nucelle. Planche VII. Mniopsis Weddelliana Tul. Fig. 1. Fleur en train d'éclore; l'involucre est ouvert au sommet, les stigmates et les anthères apparaissent (c. 1°). Fig. 2 [4°]. Fleur complétement épanouie; les anthéres sont ouvertes et vides de pollen. Fig. 3. Un des deux stigmates; il est profondément découpé et très papilleux (voir Fig. 6). Fig. 4 [42]. Après la floraison. Le pédoncule s'est allongé et a porté l'ovaire au-dessus de l'invo- lucre; les étamines sont flétries. Fig. 5. Coupe longitudinale d'un jeune bouton; sp, l'involuere, qui, à sa base, a 4 couches de cel- lules; fo, faisceaux vasculaires qui se rendent dans le réceptacle et envoient de lå des ramifications dans le filament et dans l'ovaire. Fig. 6. Partie d'un stigmate. Fig. 7—17 [e. 789], Phases du développement de l'ovule. 7 est la plus jeune; il n'y a encore aucun tégument. 8: le tégument extérieur (ie) se montre le premier. 9: le tégument intérieur apparaît presque en même temps sur tout le contour de l'ovule. 10: nucelle, formé de 2 à 3 cellules intérieures et d'une couche épidermique, et à, tégument intérieur; la cellule supérieure dans l'intérieur du nucelle est très grande. 11: les deux téguments se développent unilatéralement. 12 et 13: nucelle et tégument intérieur. 14: coupe transversale du nucelle près du sommet. 15: coupe longitudinale d'un ovule dont le nucelle se trouve au même degré de développement que dans les Fig. 12 et 13. 16: micropyle d'un ovule à peu près complète- 47 123 ment développé; le nucelle s'élève au-dessus du tégument intérieur (à). La grande cellule à son sommet est limitée en bas par une paroi réfringente. 17: coupe longitudinale par la partie située au-dessus et autour du mieropyle d'un ovule; fun, funicule; m, micropyle; le sommet du nucelle s'élève au-dessus du tégument intérieur, qui est reconnaissable aux parois foncées de ses cellules disposées en deux couches. Le tégument extérieur (ie) et le funicule sont remplis d'amidon (omis ici). Au sommet du nucelle, en dedans de l'épiderme, on voit une grande cellule à contenu foncé (le sac embryonnaire), à l'extrémité supérieure de laquelle se trouve une masse fortement réfringente formée peut-être par la compression de plusieurs cellules à parois gonflees. ; Fig. 18. Anthere, vue de dedans. Fig. 19. Deux grains de pollen composés; une des cellules de chaque grain est sphérique et lisse, tandis que l'autre est tétralobée et légèrement verruqueuse. Fig. 20. Grain de pollen dont les deux cellules sont tétralobées et légèrement verruqueuses. Fig. 21. Grain de pollen en germination; chaque cellule pousse un tube pollinique Fig. 22. Grain de pollen vu de son extrémité, et dont les deux cellules sont létralobées. Fig. 23. Jeune grain de pollen dans l'intérieur duquel on voit deux globules (noyaux de cellules?) dans le protoplasma contracté. Fig. 24. Deux grains de pollen, dont l'un germant. Fig. 25. Papilles stigmatiques, avec un grain de pollen germant dont l’une des cellules est vue en coupe longitudinale. Fig. 26. Tégument intérieur (à), avec le nucelle (nuc) d'un ovule. Fig. 27. Sommet d'une squamule complètement développée (6) et coupe transversale d'une autre très jeune (a). Fig. 28. Les deux couches de cellules les plus internes dans la paroi de l'ovaire. epi, l'épiderme. Fig. 29. Coupe transversale de l'ovaire; le côté dorsal est tourné en bas. Fig. 30. Fragment de la paroi d'un jeune ovaire en coupe transversale. Les cellules en sont remplies d'amidon, ici omis. Fig. 31. Fruit ouvert; la plus petite des valves (la ventrale) est tombée. Fig. 32 et 33. Coupe de la paroi d'un fruit mür; epi, épiderme intérieur. Fig. 34. Coupe transversale d'une graine. Interieurement, on voit en coupe les deux cotylédons entourés des cellules encore bien conservées (ii) du tégument intérieur. Puis apparaît le tégument extérieur, dont les couches cellulaires extrêmes ont des parois si épaisses qu'il ne reste plus intérieurement qu'un très petit lumen. Les autres cellules sont comprimées. Planche IX. Fig. 1—35. Mniopsis Weddelliana Yul. Le grossissement, pour toutes ces figures, est de c, 729 — 330, Fig. 1. Proembryon à deux cellules. Au-dessus et sur les côtés, on voit l’epiderme du nucelle. Fig. 2. Proembryon formé de deux cellules, dont l’inferieure a deux noyaux et se divisera bientôt par une cloison transversale. Au-dessus, une partie de l'épiderme du nucelle. Fig. 3. Le proembryon s’est différencié en suspenseur (à 3 ou 4 cellules) et en embryon. L'em- bryon est déjà en train de passer dans la grande cavité inférieure. Fig. 4. Jeune embryon. Fig. 5. La cellule terminale du protoembryon, qui constitue la masse principale du corps embryon- naire, est divisée ici en 4 cellules par des cloisons verticales (elle est vue d'en haut, tandis que le suspen- seur est vu de cote). Fig. 6. Jeune embryon, vu de côté. Sa partie supérieure presque sphérique est divisée en 8 cel- lules par des cloisons transversales et longitudinales; au-dessus, on voit la cellule d'où la radieule tire son origine (l'hypophyse) et une partie du suspenseur; sur les côtés de l'embryon, on a tracé deux lignes qui marquent les limites de la grande cavité, en dedans du tégument intérieur, où l'embryon sera renfermé. 124 48 Fig. 7. Embryon au même degré de développement que la fig. 6, mais la face dorsale des cotylé- dons tournant vers le spectateur, tandis que la fig. 6 et la plupart des autres figures sont vues du côté latéral, plus large. Fig. 8. Jeune embryon, vu du côté large. Fig. 9. Embryon un peu plus äge, vu du côté large (côté latéral) (a) et du côté dorsal (b). Fig. 10— 11. Embryons, vus du côté large. Fig. 12. Embryon, vu du côté dorsal. Fig. 13. Embryon vu du côté dorsal, en coupe longitudinale. Fig. 14—19. Embryons à peu près du même age vus du côté large, en partie avec les cellules du suspenseur. Fig. 20. Embryon vu du côté dorsal (a) et de l'extrémité supérieure, en coupe transversale. Fig. 21—26. Embryons de différents ages, vus du côté large, avec une cellule presque triangulaire en coupe longitudinale, à la base inférieure des cotylédons. Fig. 27. Embryon vu du côté large. Fig. 28 et 29. Embryon vu du bord (Fig. 29) et en coupe longitudinale (Fig. 28). Fig. 30—34. Embryons de différents âges, vus du côté large et qui n'ont pas de cellule triangulaire à la base inférieure des cotylédons. Fig. 35. Embryon, vu du côté large (a) et en coupe transversale (b), correspondant à peu près à la Fig. 23, 5. Fig. 36. Extrémité radiculaire d'un embryon, en coupe transversale. Fig. 37—53. Mniopsis Glazioviana Warmg. Fig. 37 [1°]. Partie supérieure d'une plante défleurie. L’axe principal porte les feuilles m, n (dithèque) et o, et se termine par un jeune fruit I qui, à la base, est entouré de l’involuere. La feuille x est mère d'une pousse latérale qui porte la feuille @ et se termine par un fruit (tombe). Fig. 38—40 [2]. Trois plantes portant de jeunes fruits; la dernière est vue de derrière. Les feuilles ont été si maltraitées par les courants que, de la plupart, il ne reste que quelques parties de la base [Glaziou, n° 13144]. Fig. 41 ["$°]. Sommet d'une squamule. Fig. 42. Stigmate. Fig. 43. Coupe transversale d’une fleur; on voit dans l’etamine deux faisceaux vasculaires (les squamules sont omises). Fig. 44. Deux embryons. Fig. 45 [?2°]. Coupe transversale de la paroi capsulaire. Fig. 46. Jeune fruit qui porte encore ses deux stigmates. On voit la suture de déhiscence descendre obliquement des stigmates à la base de l’androcée. Fig. 47 []. Coupe longitudinale d'un bouton. Fig. 48 [1°]. Pousse dont la fleur est encore en bouton. Sur son côté dorsal tourné en avant, on voit {en x) le sommet d'une petite écaille représentée isolée en 6. Fig. 49 [2°]. Forme anormale de l'androcée (vue de dehors). L'étamine non habituelle a est stérile. Fig. 50 [2°]. Forme habituelle de l'androcée, vue de dedans; la squamule gauche est omise. Fig. 51. Grain de pollen formé de deux cellules, dont Tune tétralobée et l'autre globuleuse. Fig. 52. Grain de pollen formé de 2 cellules à 5 lobes, vu de son extrémité. Fig. 53 [2°]. Coupe transversale d'une tige et d'une feuille. dors désigne le côté dorsal de la tige. Les parties obscures %koll désignent du collenchyme. Fig. 54 [2]. Hydrobryum olivaceum (Gardn.) Tul. Fig. 55 [4]. Podostemon (sp. indeterminata) leg. Dr. Ritchie. — a 49 125 Planche X. Dicrea elongata (Gardn.) Tul. Fig. 1. Plante en grandeur naturelle. La partie enlevée a sa place en x. Fig. 2—3. Fragments d'une autre plante en grandeur naturelle. g. 4—5 [°P]. Coupe longitudinale d'une plante, montrant la formation endogène des pousses. Les couches de cellules couvrant la pousse représentée Fig. 4 commencent à se détacher en +. fo, faisceau vasculaire. Fig. 6. Extrémité d'une racine, avec une coiffe et 6 pousses qui n'ont pas encore percé leur enve- loppe, en coupe longitudinale. Fig. 7 [4°]. Fragment d'une racine plus âgée avec deux pousses, dont l'inférieure porte les feuilles a, b,c, d et e, cette dernière conservant encore une partie de son limbe, tandis que d l'a perdu. Les feuilles de la pousse supérieure sont plus complètes; on entrevoit la fleur en ÿ. Fig. 8. Pousse qui se fait jour à travers son enveloppe. Fig. 9 [9]. Extrémité d'une racine, avec cinq pousses d’age différent qui ont percé leur enveloppe et sept, désignées par des astérisques, qui sont encore renfermees dans la racine. La feuille la plus ägée (a) de chacune des cinq pousses est la plus éloignée du spectateur. Fig. 10 ['£°]. Coupe transversale d'une racine. Fig. 11. Partie moyenne plus fortement grossie d'une racine semblable, Fig. 12 ['£°]. Coupe longitudinale de l'écorce d'une racine. Fig. 13. Extrémité d'une racine avec une coiffe bien distincte traitée par la potasse. Fig. 14 [4°]. Fragment d'une racine dont les pousses se sont fait jour; la feuille la plus ägée de chaque pousse est tournée vers le spectateur. Fig. 15 [*$]. Fragment d'une racine, avec trois pousses dont Ja première feuille s'est fait jour. Fig. 16—19 [c.*]. Parties basales de racines verticales, et racines rampant horizontalement (r), avec des haptères. Fig. 20. Plante en grandeur naturelle (d'après des matériaux desséchés), avec trois racines verticales florifères flottant dans l'eau et issues d'une racine qui rampe horizontalement. Fig. 21. Coupe verticale d'une racine, montrant la base d'une pousse dont la plus jeune feuille est marquée fol. fv désigne en partie le cylindre central de la racine, en partie le faisceau vaseulaire qui va de ce dernier à la pousse. Fig. 22 [7]. Extrémité d'une racine avec des pousses végétatives. = dq gg Planche XI. Fig. 1—20. Dicræa elongata (Gardn.) Tul. Fig. 1. Plante en grandeur naturelle. Fig. 2—4 [1°]. Trois pousses superposées, du même côté de la racine dessinée Fig. 1; sur la Fig. 4, on voit une fleur renfermée entre les feuilles. Dans la Fig. 3, il y a sans doute eu une feuille en «. Fig. 5. Pousse florifère, vue du côté dorsal; la fleur est épanouie, Fig. 6. Pousse florifère, vue du côté ventral; la fleur est encore en bouton. Fig. 7. Fragment d'une racine avec deux pousses florifères, vu du côté dorsal; à est vu en b’ du côté ventral. Fig. 8. Partie supérieure de l'androcée, vue de dedans. Fig. 9. Bouton de fleur après l'enlèvement de l'involucre. Fig. 10. Partie supérieure du pistil dans une fleur éclose. Fig. 11 ['$°]. Coupe transversale de la paroi d'un ovaire; le contenu des cellules en amidon est en partie indiqué. Fig. 12. Coupe transversale de l'ovaire. Fig. 13. Trois grains de pollen, dont deux sont germants; c est vu en coupe longitudinale. Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk, og mathem. Afd. II. 3. 16 126 50 Fig. 14. Partie d’une squamule. Fig. 15. Coupe longitudinale du cylindre central d'une racine; phi, phloeme; æyl, xylème. Fig. 16. Coupe semblable; m, cellules corticales avec des grains d'amidon; ad, cellules adjointes (cellules compagnes); er, tubes cribreux; à droite, les trachéides du xylème. Fig. 17. Coupe transversale de l'écorce d'une racine; la flèche est dirigée vers la périphérie, Fig. 18. Coupe transversale du cylindre central et des parties limitrophes de l'écorce d'une racine; æyl désigne le côté du xylème, dors, celui du phloème et le côté dorsal. Fig. 19 [*£°], Coupe longitudinale du phloème; autour des tubes cribreux, on voit des cellules adjointes. Fig. 20. Grains de chlorophylle et d'amidon d’une racine. Fig. 21—22. Dierwa algeformis Beddome. Fig. 21. Coupe transversale d'une vieille paroi capsulaire, dont les cellules extérieures A parois minces sont en partie dissoutes. Fig. 22 [°P]. Coupe transversale de la racine plate rubanaire et de son cylindre central binaire; ep, épiderme de la face intérieure (ventrale). Planche XII. Fig. 1—2. Dierwa stylosa Wight (exemplaires desséchés). Fig. 1. Plante en grandeur naturelle. gg désignent des pousses qui naissent sur la face dorsale de la racine plate rubanaire. Fig. 2. Fragment de racine rendu transparent, de manière à montrer la ramification des faisceaux vasculaires dans la racine. g est une pousse éloignée des bords de la racine. Fig. 3—29. Dierwa algeformıs Beddome. Fig. 3. Coupe transversale du cylindre central et de l'écorce contigué d'une racine; il n'y a pas trace ici de la structure binaire du cylindre. x, xylème; ph, phloème; dors désigne le côté dorsal du cylindre. Fig. 4. Coupe transversale d'une racine dans sa partie la plus plate; g, pousse où se rend un faisceau vasculaire partant du cylindre central, qui est distinctement binaire. Fig. 5. Coupe transversale d'une racine dans sa partie la moins rubanaire. Fig. 6. Partie d’une coupe transversale d'une racine; une pousse est coupée de manière qu'on en puisse voir les trois feuilles a, 6 et ce. Fig. 7. Partie semblable; l’epiderme de la face inférieure est divisé par des cloisons périclines. Fig. 8 [2]. Androcée (d'un bouton), vue de dedans. Fig. 9. Coupe longitudinale d'une racine; un des faisceaux vasculaires qni se rendent dans les pousses est coupé longitudinalement; er, tubes cribreux; ad, cellules adjointes (= cellules compagnes Janez.), qui ont toutes des noyaux. Autour du faisceau ci-dessus, on voit le parenchyme de l'écorce. Fig. 10, Grains de chlorophylle de la racine, formant de l'amidon. Fig. 11. Coupe longitudinale du cylindre central d'une racine, montrant des tubes cribreux et des formes particulières de cellules adjointes. Fig. 12. Coupe transversale du cylindre central d'une toute jeune racine, lequel se montre formé de deux parties encore bien distinctes; dans la face tournée vers æ, se forme le xyléme et dans la face opposée, le phloème, qui est en même temps limité par des cellules à parois plus réfringentes et marquées dans la figure d'une teinte plus foncée. Fig. 13, 14. Pousse, vue du côté dorsal et du côté ventral; st, anthère. Fig. 15, 16. Pousse florifère, vue du côté dorsal et de flanc; st, anthères; sg, squamule. Fig. 17. Base d’une pousse, vue du côté dorsal, dont les feuilles supérieures montrent distinete- ment leur dos cariné; sp, involuere. Or == > bho —ı Fig. 18. Pousse florifère, vue de flanc; en bas, les restes des feuilles végétatives sont inclinés à gauche (vers le côté ventral); au-dessus, on voit l'involuere, qui est surmonté du pédoncule et de parties de la fleur. Fig. 19. Androcée, vue de dedans; sg, squamules; les anthères sont ouvertes. Fig. 20. Fragment d'une racine, dont les rameaux portent en partie une coiffe, et dont le cylindre central et les faisceaux vasculaires sont indiqués par des lignes ponctuées. Fig. 21. La première feuille d'une pousse radicale a dissous les cellules placées au-dessus, en *, et percera bientôt la surface de la racine. Fig. 22. A, fragment de racine en grandeur naturelle. B, le même grossi [c. 3] et déployé pour qu'on puisse mieux voir la ramification des faisceaux vasculaires. Les premières feuilles apparaissent dans plusieurs pousses. Fig. 23 [12]. Jeune racine, naissant d'une vieille; elle porte quatre pousses radicales, dont trois ont percé les couches de cellules qui les recouvraient. Fig. 24 [5]. Sommet d’une racine; les trois pousses radicales plus jeunes sont encore complète- ment renfermées dans la racine; les quatre autres l'ont percée et portent des feuilles qui se sont fait jour à travers le tissu de la racine. Fig. 25. Extrémité supérieure d'une racine avec la coiffe. Fig. 26. Une pousse encore renfermee dans la racine a été traitée par la potasse de manière à rendre visible la place de ses deux premières feuilles (comp. Fig. 24, la pousse plus âgée). Fig. 27. Sommet d'un pistil; dans les deux stigmates, il y a des grains de pollen en germination. Fig. 28. Coupe transversale d’une graine; a, couche de cellules extérieure et gélatineuse; 6, couches intérieures de l'enveloppe de la graine, provenant du reste du tégument extérieur et du tégument intérieur. Fig. 29. Coupe transversale d'une fleur. sg, squamules; dors désigne le côté dorsal de la fleur (un faisceau de sclérenchyme a été oublié). Planche XIE, Castelnavia princeps Tul. & Wedd. Fig. 1 [+]. Partie d’une jeune plante en grandeur naturelle, vue du côté dorsal. Fig. 2 [+]. Partie d'une jeune plante, vue du côté ventral; la pousse dirigée à gauche porte les feuilles a, b, c, d, .. . .; au milieu, on voit une pousse dont les deux premières feuilles sont marquées 2 et y; x est une feuille n’appartenant à aucune de ces deux pousses. 3 Fig. 3 [2]. Parties basales d'une plante un peu plus âgée, vue de différents côtés: A, du côté dorsal et B, du côté ventral, avec la ligne médiane de la pousse principale tournée vers le spectateur; C et D, les deux parties latérales du même complex de pousses, vues de dehors (côté ventral). Æ montre toute la plante supposée étendue sur un plan et vue du côté ventral; elle est supposée en même temps transparente, de sorte qu'on entrevoit toutes les cavités qui renferment les fleurs (marquées 1, 2, 3 etc.), ainsi que les canaux (les lignes ponctuées) qui y conduisent. Pour plus de détails, voir le texte. Fig. 4 [1]. Pierre sur laquelle sont fixés quelques exemplaires desséchés et fructiféres de cette espèce; ils descendent à gauche sous un angle presque droit sur l'autre face de la pierre. (Dessin de M. Théodore Holm.) Fig. 5. Fragment d'une feuille. Fig. 6 [4]. Partie basale d'une plante, vue du côté ventral et de flanc, pour montrer la position des haptères. Fig. 7 [+]. Partie d’une autre plante, vue du côté ventral et montrant les hapteres. Fig. 8. Deux coupes transversales d'une paire de feuilles. La coupe a est faite en bas là où les deux feuilles sont complètement soudées; le canal qui conduit à la fleur est indiqué par un astérisque. La coupe db passe plus haut, à peu près à l'endroit où les deux feuilles se séparent; l'ouverture du canal est environ en *. 16° 128 52 Fig. 9. Coupe longitudinale à travers la périphérie d'un haptère. Fig. 10. Coupe longitudinale d'un haptère et du parenchyme contigu, riche en amidon, de la pousse mère. Fig. 11. Périphérie d'un haptère avec deux poils radicaux, en coupe longitudinale. Fig. 12. Partie d'une coupe longitudinale d'un haptère. Fig. 13. Coupe longitudinale de la partie basale d'un haptère. Fig. 14. Coupe transversale d'un canal conduisant à une fleur et du parenchyme environnant. Fig. 15 [2]. Vieille plante en fleur, dont les parties foliaires libres ont été abimees par des tour- billons d’eau et ont disparu. Les fleurs se sont fait jour à travers les parties foliaires qui les recouvraient. Fig. 16. Partie d'une coupe longitudinale d'un complex de trois pousse; m et n, parties basales de deux feuilles entre lesquelles un canal descend à la fleur, dont on voit en a quelques parties (androcée, etc.). Les lignes ponctuées indiquent la marche des faisceaux vasculaires vers les feuilles et les trois fleurs atteintes par la coupe. Fig. 17. Jeune feuille, vue de côté; dans un plan plus en arrière (pas à l'aisselle de la feuille), on voit la fleur qui en termine l'axe. Fig. 18. Coupe longitudinale à travers plusieurs pousses. On voit les parties de trois fleurs; le canal allant à à est atteint par la coupe dans toute sa longueur, mais on n’apercoit que l'orifice intérieur du canal conduisant à a, et le canal correspondant à c n'est pas visible. Les lignes ponctuées représentent les faisceaux vasculaires. Fig. 19. Jeunes feuilles et jeunes fleurs. a et à appartiennent à un axe dont on ne voit pas la fleur terminale, mais seulement le canal y conduisant, qui est coupé obliquement. a est la feuille-mère d'un bouton qui n'a qu'une seule feuille, a, et dont la fleur se voit entre a et a; & est mère d'un bouton dont la seule feuille Ø est en partie enlevée et dont la fleur se voit entre f et à. Planche XIY, Castelnavia princeps Tul. & Wedd. Fig. 1 [c. 4°}. A, parties florales d'un bouton après l’enlèvement de l'involucre, vues du coté ventral; B, les mêmes, du côté dorsal; €, les mêmes, de flanc. Fig. 2. Coupe longitudinale d'un jeune ovaire. Fig. 3. Coupe longitudinale d'une jeune fleur. Les ovules commencent à naître sur le placenta. Fig. 4. Coupe longitudinale par le berd d'un jeune involuere qui ne s'est pas encore complètement fermé en haut. Fig. 5. Jeune fleur; le canal qui aboutit à l'extérieur est indiqué par une ligne ponctuée. Fig. 6. Coupe longitudinale d'une jeune fleur semblable, un peu plus âgée; l'involucre a commencé de se former tout autour. Fig. 7. Fleur dont les deux étamines sont formées; il n'y a pas encore trace de squamules. Fig. 8. Fleur dont l'involucre en atteint déjà la demi-hauteur; outre les étamines (st), les squa- mules (sg) ont aussi fait leur apparition et l’ovaire (ov) s'élève en forme de bourrelet très bas tout autour du placenta (p). Fig. 9. Ovule en coupe longitudinale. Les deux couches de cellules du tégument intérieur (à) se distinguent par leur couleur foncée. nue, nucelle. Fig. 10. Coupe longitudinale d'une fleur un peu plus âgée que celle représentée Fig. 8. Fig. 11. Dessin histologique de la coupe longitudinale d'une fleur qui est au même degré de déve- loppement que celle représentée Fig. 6. sp, involucre. Fig. 12, 13. Deux phases du développement des ovules, tracé de leurs contours. Fig. 14. Coupe longitudinale d'une jeune fleur un peu plus ägee que celle représentée Fig. 3. Fig. 15. Coupe transversale d'une fleur; les squamules ne sont pas indiquées. Fig. 16. Jeune placenta en coupe longitudinale. Fig. 17, 15. Deux tout jeunes ovules. 93 129 Fig. 19, 20. Nucelle et tégument intérieur de deux jeunes ovules correspondant à peu près aux Fig. 13 et 12. Fig. 21. Partie supérieure des nucelles de deux ovules presque complètement développés. Fig. 22. Partie de la coupe transversale d'une jeune anthère. Il y a, comme d'ordinaire, des divi- sions de cellules sous-épidermiques, mais moins régulières. Fig. 23. Toute jeune androcée d'un bouton, vue de dedans. Fig. 24. Coupe transversale de la paroi d’une anthère. Fig 25. Deux grains de pollen, dont l'un en coupe transversale optique. Fig. 26, 27. Deux coupes transversales d'une fleur et des parties environnantes, avee l'indication des faisceaux vasculaires. La Fig. 26 montre la coupe passant par la base de la fleur et par les deux fais- ceaux, ici déjà séparés (st), qui vont à l'androcée. La coupe Fig. 27 passe plus haut. La paroi de l'ovaire est anormale, les faisceaux y étant plus nombreux qu'à l'état normal; les étamines (st) et les squamules sont coupées. Planche XY. Castelnavia princeps Tul. & Wedd. Fig. 1. Coupe par la partie basale d'un système de pousses; on voit différents faisceaux vasculaires, parmi lesquels ceux marqués I, a et 5 se rendent respectivement à la fleur la plus àgée et à ses feuilles a et à. Le faisceau 5 et les faisceaux les plus voisins se réunissent plus bas en un faisceau unique, ce qu'on a indiqué par des lignes ponctuées. Fig. 2. Coupe passant un peu plus haut par les mêmes pousses On voit en I la cavité de la fleur I, et II, Hl et IV sont des cavités correspondant à d'autres fleurs. Des deux faisceaux de la feuille a, l'un est en train de se diviser; le faisceau de à s'est divisé en 2 autres, dont l'un plus haut se divisera aussi (v. Fig. 3). Parmi les autres faisceaux, m et n vont directement aux deux feuilles appartenant à la pousse qui se termine par la fleur Il. Fig. 3. Coupe passant encore plus haut par les mêmes pousses, mais avec la ramification des faisceaux vasculaires de plusieurs coupes précédentes représentée schématiquement. Fig. 4. Coupe transversale d'un jeune lobe foliaire. Fig. 5. Contours d'une jeune feuille, vus de dedans. Fig. 6,7 [e.{]. Fruit mur mais non ouvert, vu respectivement du côté dorsal et de flanc. Fig. 8, 9. Les deux valves d'une capsule mire. Fig. 10. Diagramme d’un complex de pousses. L'axe principal porte les feuilles a et 5 et se ter- mine par la fleur I. La feuille @ est la feuille mère de la pousse 2, qui porte les feuilles @ et a‘ et se ter- mine par la fleur 2. La feuille & est la feuille mère de la pousse qui se termine par la fleur 3 et porte les feuilles 2 et #. En commençant par la gauche, nous trouverons ainsi: m feuille mère de 8 ne portant que 1 feuille. n — 9 — — — a _ 4 portant les feuilles m et n. a! — 6 — = q er. r — 12 ne portant qu'une feuille. s — 13 portant deux feuilles. t — 14 — — 8! — 7 — les feuilles s ct z. B — 5 — les feuilles o et p. p — 11 — deux feuilles. 0 — 10 — — Fig. 11, 12. Coupes longitudinales de deux jeunes lobes foliaires. Fig. 13. Jeune lobe foliaire, vu de dedans. Fig. 14. Coupe transversale d'une partie de la paroi d'un jeune ovaire; la partie la plus mince, à gauche, est la suture de déhiscence. 54 Plantule, vue du côte dorsal; les cotylédons sont tournés de manière que leur face supérieure regarde le spectateur. 130 Fig. 15. Fig. 16 Fig. 17. anthères. Fig. 18 Fig. 19 L'extrémité de Fig. Fig. Fig. Fig. Fig. Fig. Fig KO RO KØ ta ro an à 5 Poth hø où Groupe d'haptères, dont quelques-uns se sont attachés à une petite pierre; vu de côté. Parties d'une fleur flétrie; à gauche, on voit les deux longs filaments après la chute des Embryon, vu de flane; à gauche, le côté dorsal où l'on voit la plumule se développer. Embryon, vu de flanc. L'enveloppe séminale reste encore à l'extrémité des cotylédons. la radicule est représentée grossie dans la Fig. 24. 20, 21. Éléments anatomiques des nervures dans la paroi d'une capsule müre. Extrémité de la radicule d'un embryon, en coupe longitudinale. Embryon, vu du côté ventral. Extrémité grossie de la radicule de la Fig. 19. Contours d'un embryon dont la plumule présente déjà quelques petites feuilles. Extrémité de la radicule d'un embryon, en coupe longitudinale. Partie inférieure d'un embryon, vue de la face ventrale; on voit en haut les parties basales des deux cotylédons. ADP Vid Sesh Ske 608 Rache H 3 Nanning [bdostomacca Podostemon Ceratophullum Michx dup KD Vid Sesh Skr6“Rakke 3 Warming lodastenacra Mniopsis Weddelliana Tul. MO AD id Sel Slr OS he M3. Marmng-Ihdostemd pan, (£ ES Gia ho x 37-53. Mniopsis Glazioviana Warmg. etc 1-36. Mniopsis Weddelliana Tul A Did Schhskrö Bade M3. Warming Pdastemacee Lan X | = = 7 > Fe = | Intor del & lite Dicræa elongata (Gardn) Tul A Did Sclsh: Shr Række 173 Warming Bodestemacta ludor del d bith 1-20 Dicræa elongata (Gardn) Tul 21,22. Dicræa algæformis Bedd AAA SES ET OA Tan po. a n= S- we & 1,2. Dicræa stylosa Wight. 3-29 Dicræa algæformis Bedd Ad Scbsh Shade Wr Masmeeng Sadastenacen, Castelnavia princeps Tul et Wedd Tao ATV KD Vid SølskSkr kække 3. Warming: Frdostemacea a «Ke. À 17 „IH | ee Autor del & lith Castelnavia princeps Tul et Wedd » Blast, cf LOU CAC Castelnavia princeps Tul. el Wedd Bidrag til Kundskaben om Manganets Ilter. Af Odin T. Christensen. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. IL 4. ——u en Kjøbenhavn. 3ianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri. 1883. i, ved a ae dif a ia? VEST DIET TE A: QAR DIT LIL TD Shove.) ita haa, À | y d oh ile Ti | Ad Ip a, SRE SNS I. D Undersøgelser, for hvilke der i nærværende Afhandling nærmere skal gjeres Rede, omhandle væsentligst de to Manganilter Mn, 0, og Mn,0,. Det kan ikke vere andet, end at en Undersøgelse over et saa bearbejdet Æmne som Manganets Ilter paa mange Punkter maa faa Karakteren af en Revision af tidligere Arbejder, men en saadan vil vel heller ikke kunne siges at være paa urette Sted; dels hersker der med Hensyn til de to nævnte Ilters Constitution temmelig afvigende Anskuelser, og dels trænge flere tidligere Angivelser om deres Egenskaber til at fuldstændiggjøres. Det er bekjendt, at den i Naturen forekommende Braunit, Mn, 0,, krystalliserer kvadratisk, medens andre Ilter af Sammensætningen Re OÖ, krystalliserer rhomboédrisk f. Ex. Jernglands, ligeledes, at Hausmannit krystalliserer kvadratisk, medens Spinellerne, f. Ex. Magnetjernsten, krystallisere regulært. Denne Afvigelse i Krystalform har givet Anledning til, at enkelte Forskere, f. Ex. Hermann!) og G. Rose’), have udtalt sig for den Opfat- telse, at disse to Iter besad en anden Constitution end de tilsvarende Forbindelser af Jern- gruppen, idet de opstillede den Theori, at Mn, ©, maatte opfattes som 2MnO. MnO, og Mn, 0, som MnO.MnO,, altsaa begge som saltagtige Ilter. G. Rose støtter sig for Braunittens Vedkommende til den Omstændighed, at dette Ilte, som det forekommer i Na- turen, i Reglen indeholder Baryt og Kiselsyre, og mener, at baO indtræder for MnO, medens SzO, indtræder for MnO,, og Braunitten vilde herefter vere at betragte som et mangansyrligt Manganilte. Yderligere Stotte for denne Anskuelse om disse Ilters Constitu- tion kunde man iøvrigt finde i flere andre Omstændigheder. Forchhammer?) og Ber- thier ) have som bekjendt paavist, at Manganmellemilte med fortyndet Salpetersyre eller Svovlsyre spaltes nøjagtigt saaledes, at 2MnO opløses, medens MnO, lades uoplost som 1) Journ. f. prakt. Chemie. Bd. 43. p. 50. 2) Poggendorfls Annalen. Bd, 121. p. 318. 3) De Mangano. Hafn. 1820. 1) Annales de chimie et de physique. T. 20, 187. hie 134 4 Hydrat. Ligeledes angiver Turner"), at Mn,O, ved fortyndet Svovlsyre spaltes saaledes, at der dannes Manganforiltesalt medens Manganoveriltehydrat efterlades ”), men nogen bestemt Angivelse om, hvorvidt Forholdet her er nøjagtigt saaledes, at Halvdelen af Manganet gaar i Opløsning, medens Halvdelen lades uopløst i Form af Manganoverilte, findes ikke”), men de følgende Undersøgelser ville vise, at dette virkeligt finder Sted saavel overfor fortyndet Svovl- syre som overfor fortyndet Salpetersyre; tage vi nu tillige Hensyn til at MnO, er i Be- siddelse af udprægede negative Egenskaber, hvad særlig Gorgeu") har paavist, kunde det ogsaa af disse Grunde synes rimeligt at antage Mn, O, for et saltagtigt Ilte. Fremdeles kunde ogsaa den Kjendsgjerning, at Mangantveiltesaltene ere forholdsvis lidet bekjendte, og at de i Almindelighed ere temmelig ubestandige, give Anledning til den Antagelse, at vi maaske her snarere havde med en Art Dobbeltsalte at gjøre af Mangan- overilte- og Manganforiltesalte, idet Schönbein°) og Fremy®) have vist, at Manganoverilte ogsaa kan optræde med basiske Egenskaber; Fremy har saaledes vist, at Manganoverilte ogsaa kan danne en Forbindelse med Svovlsyre, der faas ved Behandling af manganoversurt Kali med Svovlsyre, og at der ved Tilsætning af svovlsurt Manganforilte til den derved dannede Opløsning fremkommer et krystallinsk Bundfald, der har Sammensætningen MnO. M10,.4 S0, +977, 0. Fremy kalder dette Salt for Svovlsurt Manganforilte-Manganover- ilte, og efter dets Dannelsesmaade kunde det vel ogsaa være rimeligt, at det var det mest passende Navn; han mener ikke, at man kan betragte det som et Mangantveiltesalt, da det ålgien ‘MnO ved Behandling med Ammoniak, medens dog ellers Sammensætningen svarer til AR .(80,);, + H,0,.S0, + 8H,0 altsaa til et surt svovlsurt Mangantveilte. Fremy bemærker i Slutningen af sin Afhandling: hvor blive da Mangantveiltesaltene af? Der synes altsaa virkeligt at være Grunde, der kunde tale for, at Iltet Mn, O0, nærmest maatte betragtes som MnO.MnO, og dermed regnes udenfor Gruppen R, OF Til nærmere Afgjorelse af dette Spørgsmaal maa det nu først undersøges, hvorvidt Mn, ©, med fortyndet Salpetersyre eller Svovlsyre nøjagtigt spaltes saaledes, at Halvdelen af Manganindholdet gaar i Opløsning, medens den anden Halvdel efterlades som Manganover- iltehydrat. Med Hensyn til Fremstillingsmaaden for det til dette Forsøg anvendte Mangan- tveilte maa jeg først gjøre et Par Bemærkninger. Schneider”) anbefaler at ophede Mangan- 1) Schweiggers Journal. 56, 166. *) Berthier har paavist, at det samme finder Sted overfor Salpetersyre. 3) Turner angiver ganske vist, at man paa Grund af den nævnte Spaltning kan betragte Mn,O, som en Forbindelse af lige Ægqvivalenter MnO, og MnO, men Afhandlingen indeholder ikke nogen Ana- ‘ lyse, der viser, at Spaltningen foregaar nøjagtigt i MnO, og MnO. ‘) Ann. de chim. et de phys. [3] T.66. p.154. 5) Journ. f. prakt. Chemie. 74. p. 315. 5) Comptes rendus, 82, 475 og 1231. 7) Ann. der Phys. und der Chemie. 107, 605. D 135 mellemilte eller oxalsurt eller kulsurt Manganforilte i en Iltstrom, en Methode der giver særdeles gode Resultater; i Slutningen af sin Afhandling bemærker Schneider, at han maa formode, at Anvendelsen af Manganoverilte vil give samme Resultat, men han har ikke udfort Forsoget; jeg forsogte derfor at fremstille Mangantveilte ved stærk Glodning af rent Manganoverilte i en ren og tor Iltstrom. Det til Forsøget anvendte Manganoverilte blev fremstillet ved Ophedning af salpetersurt Manganforilte først til 180°, paa hvilket Punkt Produktet indeholdt 79,72 Proc. MnO, hvilket er noget for lavt, hvorfor det endnu paa dette Punkt maa indeholde noget Vand, dernæst til 200— 205°, hvorefter det dannede Mangan- overilte blev analyseret. 0,857 Gr. MnO, gav 0,744 Gr. Mn, 0, svarende til 80,74 Proc. Mn O; 0,261 Gr. brugte efter Behandling med Jodkalium og Saltsyre 59,8 Ce. */10 normal svovl- undersyrligt Natron svarende til 18,33 Proc. virksom Ilt. Dette Manganoverilte, der saaledes var af størst mulig Renhed, blev glødet i et Forbrændingsrør i 1 Time i en Iltstrøm ved streng Glødhede; det dannede Produkt viste ved Analysen følgende Sammensætning: 0,767 Gr. gav 0,7385 Gr. Mn, 0, svarende til 89,55 Proc. Mn O; 0,351 Gr. behandlet med Jodkalium og Saltsyre brugte 45,3 Ce. */10 normal svovlunder- syrligt Natron, hvilket svarer til 10,32 Proc. virksom Ilt. Produktet bestaar altsaa af rent An, 0,, der kræver 89,87 Proc. An0 og 10,13 Proc. virksom Ilt. Dette Mangantveilte blev nu anvendt til de følgende Forsøg: 1) 0,884 Gr. Mn, O, blev opvarmet i Bægerglas paa Asbestplade med fortyndet Sal- petersyre (indeh. 17 Proc. ZNO,) til 100°; man maa stadigt røre om i Blandingen, da Bundfaldet i modsat Tilfælde kager sig sammen, hvorved noget Mn, O, indhylles af det ved Processen dannede Manganoveriltehydrat og derved for en Del unddrager sig Syrens Ind- virkning. Efter ca. 1 Times Indvirkning filtreredes Opløsningen, og den uopløste Rest blev omhyggeligt udvasket; den gav 0,425 Gr. Mn,0, svarende til 0,3061 Gr. Mangan; dette er 34,63 Proc. af den anvendte Mængde Mangantveilte, og da dette indeholdt 69,35 Proc. Mangan, er altsaa nøjagtigt Halvdelen af dette bleven uopløst. 2) 0,730 Gr. Mn, O, blev behandlet paa samme Maade som ovenfor, og det uopløste Manganoveriltehydrat gav 0,3505 Gr. Mn,O, svarende til 34,58 Proc. uopløst Mangan, hvilket stemmer med første Forsøg. Filtratet fra det uopløste, der altsaa indeholdt salpetersurt Manganforilte, blev inddampet paa Vandbad og derpaa titreret efter Volhards Methode; det brugte 126,5 Ce. manganoversurt Kali, af hvilket hver Cubikc. svarede til 0,002 Gr. Mangan i Manganforiltesaltet. Dette giver 0,253 Gr. Mangan i Opløsningen eller 34,66 Proc. af den anvendte Mengde Mn, Os. Dette Forsøg viser, hvor nøjagtigt Spaltningen foregaar i MnO og MnO,. Det ved 156 6 denne Proces dannede Manganoverillehydrat viste sig, tørret ved 100°, at have følgende Sammensætning: 0,785 Gr. gav 0,6615 Gr. Mn, O,, svarende til 78,37 Proc. MnO. 0,219 Gr. brugte efter Behandling med Jodkalium og Sallsyre 47,6 CC */10 normal svovlundersyrligt Natron, svarende til 17,39 Proc. virksom Ht. Sammensætningen er allsaa NONE ice se 2s AEG: 78,37 Proc. A en 17,399 — HS OR ER Cr ie 1,24 — (Dilferens) 100,00 Proc. Det samme Mangantveilte blev nu prøvet overfor fortyndet Svovlsyre (1 Rf. cone. Svovlsyre + 9 Rf. Vand): 1) 0,957 Gr. Mn, O, blev kogt med fortyndet Svovlsyre i 1 Time under Omrering; det uoploste gav efter Udvaskning og Glodning af Bundfaldet 0,460 Gr. An, 0, , svarende til 0,3314 Gr. Mangan eller 34,62 Proc. af det anvendte Mn, O,, der indeholdt 69,35 Proc, Mangan. Under Kogningen med Svovlsyre maa det Vand, der fordamper, stadigt erstattes. 2) Filtratet fra det uoploste Manganoveriltehydrat gay efter Afdampning af Svovl- syren, Fældning med kulsurt Natron og Glodning af Bundfaldet 0,459 Gram Mn, O,, sva- rende til 34,54 Proc. opløst Mangan (som sædvanligt beregnet i Forhold til den anvendte Mengde Mn, Oy). Spaltningen med fortyndet Svovlsyre foregaar altsaa ligesaa nøjagtigt i ManO og MnO, som ved fortyndet Salpetersyre, bvilket bekræftedes ved gjentagne Forsog. Er det lil Forsøgene anvendte Mangantveilte ikke nøjagtigt sammensat An, O0,, men er der enten et Overskud af MnO, eller MnO, har vi i Behandlingen med de ovennævnte fortyndede Syrer et udmærket Middel til at paavise dette, idet man ved den omtalte Behandling hen- holdsvis faar mere eller mindre end 34,6 Proc. uoplost Mangan. — Et enkelt Exempel er tilstrækkeligt Ul at vise dette. Et Manganilte, der var fremstillet efter Schneiders Methode ved Glodning af Manganmellemilte i Ilt, men som ved Analysen viste sig kun at indeholde 9,8 Proc. virksom Ilt, altsaa noget mindre end Mn, O,, blev behandlet som anført med fortyndet Salpetersyre. 0,949 Gram efterlod paa denne Maade et Manganoveriltehydrat, der gav 0,437 Gr. Mn,0,, svarende til 33,2 Proc. uoplost Mangan. Filtratet fra det uopløste gav efter Fældning med kulsurt Natron og Behandling paa sædvanlig Maade 0,472 Gr. Mn,0,, svarende til 35,84 Proc. opløst Mangan. Mangfoldige Forsøg saavel med Salpetersyre som med Svovlsyre have vist, at Spaltningen kun foregaar nøjagtigt, naar Manganiltet har den til Mn, O, nøjagtigt svarende Sammensætning. Resultatet af disse Undersøgelser er altsaa, at Mangantveilte. overfor fortyndede Syrer forholder sig paa en Maade, der fuldstændigt svarer til det Forhold, Manganmellemilte 1! —I udviser overfor de samme Syrer, og det kunde Altea ayues, at det herved end yderligere var berettiget at anse det for et saltagtigt Ite MnO, Mn O,. Folgen heraf vilde vere, at Manganmellemilte, selv naar vi betragte det som MnO.Mn,O,, i sidste Instans maatte opfattes som 2MnO. MnO,. Det egentlige Spørgsmaal bliver altsaa, om ikke Mn, 0,, trods alle de ovenfor berørte Forhold, alligevel med Nødvendighed maa betragtes som Mn,0,; og ved nærmere Betragtning viser det sig, at vi ikke ere i Besiddelse af saa faa Analogier, der berettige os til at fastholde den sidstnævnte Anskuelse, foruden at der i det følgende al gjores Rede for en Række Undersogelser, der lad, yderligere Bevis derfor. Vi kunde søge Aarsagen til, at et Ille af Sammensætningen Mn, O, spaltes i MnO, og MnO deri, at Manganet i sit Forhold overfor Ilt er særligt bestandigt som tetravalent Enkeltatom!), og at det derfor ved given Lejlighed stræber at gaa over i denne Tilstand, ligesom ogsaa den Omstændighed, at det divalente Mangan er særligt bestandigt overfor Syrer, her hjælper til at fremme Spaltningen. Man har i Virkeligheden flere Tilfælde, der ere analoge eller tildels analoge med dette. Det er saaledes bekjendt, at Kobberforilte, => hvori vi anlage Kobberet nærværende som divalent Dobbeltatom, we O, i Almindelighed ved fortyndede Iltsyrer spaltes i Kobbertveilte, der oploses, og metallisk Kobber, ligesom omvendt Kobbertvechlor og metallisk Kobber danne Kobberforchlor Cu, Cl, ; vi have her netop et Tilfælde, hvor vi med Rette antage et Metal optræde som Dobbeltatom (Kobber- forchlorets Damptæthed beviser dette); men da Cu er mest bestandigt overfor Hh som Ealeuk Enkeltatom, spaltes Cu, O netop i CuO og Cu paa en med Spaltningen af Mn, O, i MnO, og MnO analog Maade. Hos Jernet bemærke vi, at det ikke overfor Ilt har nogen Tilbojelighed til al pe som tetravalent Enkeltatom; derfor spaltes Fe, 2 O, ikke paa samme Maade som Ma, 0: anderledes er Forholdet derimod overfor Svovl; her har Jernet Tilbojelighed til at optræde som tetravalent Enkeltatom (Syovikis, #&S,), og vi finde derfor i Jerntvesvovl Fe,S, et Stof, der, under Forudsætning af den ovenfor fremsatte Anskuelses Rigtished, Beale spaltes ved fortyndede Syrer i FeS, og FeS, hvilket sidste selvfølgeligt yderligere ved Syrens Indvirkning maa give Jernforiltesalt og Svovlbrinte. I Virkeligheden finder dette, ifølge Berzelii Angivelse, ogsaa Sted fuldstændigt som anført; der dannes Svovlkis, Jernforiltesalt og Svovlbrinte. For endelig at nævne et fjernere liggende Exempel kunne vi tage Kulstoffet i en For- CO.OH bindelse, hvor det optreder som hexavalent Dobbeltatom, nemlig i Oxalsyren CO OH? Ss denne Syres Konstitution falder sammen med Manganittens, naar vi antage sidstnævnte 1) Om Manganets Tetravalens cfr. Blomstrand: Chemie der Jetztzeit p. 172—174. 135 8 Mn O.OH a LO dr: = Dre No oe In, 03. 1H, 0. Oxalsyren spaltes som bekjendt ved conc. Svovlsyre i Kulsyre, Kulilte og Vand; men Manganit forholder sig overfor middelsterk Salpetersyre paa lignende Maade, den spaltes i MnO,, MnO og H,O, hvilket folgende Forsøg viser: 0,506 Gr. fintpulveriseret naturlig og særdeles ren Manganit efterlod ved Kogning med stærk Salpetersyre (indeh. 30—40 Proc. HNO.) en Rest, der gav 0,220 Gr. Mn, 0, svarende til 31,31 Proc. uopl. Mangan. Da Manganit indeholder 62,50 Proc., er altsaa noj- agtigt Halvdelen af Manganindholdet blevet oplost som MnO, medens den anden Halvdel efterlades som MnO, + «2H, 0. De foregaaende Betragtninger vise, at vi i det tidligere berørte Forhold overfor 11 IV Syrer ikke kunne se noget afgjorende Bevis for, at Mn, OÖ, maa opfattes som MnO.MnO,, men at vi paa Forbaand kunne anføre vægtige Grunde for den ogsaa hidtil almindeligere Anskuelse, at An, 0, er at betragte som svarende til Fe, O, i Henseende til Constitution. Vil man ved Forsøg godtgjore denne Anskuelses Rigtighed endnu yderligere, vil det vere nodvendigt at prove Manganmellemiltets og Mangantveiltets Forhold overfor andre Syrer, og jeg vil da forst undersoge Forholdet overfor Eddikesyre af forskjellig Concentration. Mangantveiltets Forhold overfor Eddikesyre. 1) 0,953 Gr. Mn, O, blev behandlet med Eddikesyre, der indeholdt 15 Proc. C,H, O,, ved 100° paa sædvanlig Maade; den uoploste Rest, udvasket med Eddikesyre af samme Styrke som den anvendte, gav 0,904 Gr. Mn, O, svarende til 68,42 Proc. uopl. Mangan (beregnet i Forhold til det anvendte Mn, O,). Da Mn, O. 3 indeholdt 69,35 Proc., var altsaa kun 1 Proc. Mangan gaaet i Oplosning. 2) 0,920 Gr. Mn, O, blev behandlet paa samme Maade, men den anvendte Eddike- syre indeholdt 30 Proc. Hydrat; efter 1 Times Forlob blev udvasket med 30 Proc. holdig Eddikesyre, og Resten gav 0,869 Gr. Mn, 0, svarende til 68,04 Proc. uoplost Mangan; der er altsaa kun oplost 1,31 Proc. Mangan. 3) For at prove, om Nerverelsen af Manganforiltesalt havde nogen Indflydelse, blev 0,861 Gr. Mn, O, kogt med en Blanding af 30 Proc. holdig Eddikesyre og eddikesurt Mangan; det uoploste gav efter Udvaskning 0,8175 Gr. Mn, O, svarende til 68,39 Proc. Mangan; der var altsaa kun oplost 1 Proc. Mangan, og Manganforiltesaltets Nærværelse var saaledes uden vesentlig Betydning. 4) 0,785 Gr. Mn, O, blev opvarmet til Kogning med Eddikesyre, der indeholdt 65 Proc. Hydrat, i 1 Time. Efter sædvanlig Behandling gav Resten 0,7425 Gr. Mn, 0, svarende til 68,30 Proc. uopl. Mangan. Der var altsaa ogsaa her kun opløst I Proc. Mangan. 9 139 Af disse Forsøg fremgaar det, at Eddikesyre ikke har nogen synderlig Indvirkning paa glodet Mangantveilte, og at Syrens Concentration i denne Henseende er uden nogen væsentlig Indflydelse. Vi gaa nu i det folgende over til at betragte Manganmellemilte i dets Forhold overfor Eddikesyre og finde her et helt andet Forhold. Manganmellemilte i dets Forhold overfor Eddikesyre. 1) 0,647 Gr. glodet Wn, O, blev behandlet med Eddikesyre, der indeholdt 30 Proc. flydrat, ved Kogning i lengere Tid; den efterladte uoploste Rest var sort og gav efter sædvanlig Behandling (Udvaskning med Eddikesyre af samme Styrke som anvendt til Forsøget og Glodning) 0,253 Gram Manganmellemilte, hvilket er 39,10 Proc. af det anvendte Man- ganmellemilte. Spaltningen i 24mO og MnO, vilde have efterladt 33,34 Proc. Vi nærme os altsaa meget dertil. 2) 0,814 Gr. Mn, O,, behandlet med 60 Proc. holdig Eddikesyre, gav en Rest, der efter sædvanlig Behandling efterlod 0,390 Gr. Mn,O,, hvilket er 47,91 Proc. af den an- vendte Mengde. 3) 0,591 Gr. Mn, 0, blev behandlet med 65 Proc. holdig Eddikesyre og efterlod derved en Rest, der gav 0,3875 Gr. Mn, 0, 9: 65,56 Proc. af den anvendte Mengde. 4) 0,500 Gram Mn, O, efterlod ved stærk Kogning med ren Iseddike en Rest, der ved Glodning gav 0,492 Gr. Mn, O,, hvilket er 98,40 Proc. af den anvendte Mengde. 5) 0,799 Gr. Mn, O,, behandlet med Iseddike paa samme Maade, gav en Rest, der ved Glodning efterlod 0,785 Gr. Mn, O,, hvilket er 98,34 Proc. af den anvendte Mengde. Det fremgaar heraf, at glodet Manganmellemilte angribes saa meget mindre af Eddikesyre, jo mere concentreret Syren er. Allerede ved Tilsætning af en ringe Mengde Vand til Iseddike bliver dennes Virk- ning paa Manganmellemilte kjendeligt storre, saaledes som folgende Forsog viser: 6) 1,312 Gr. Mn, O, blev behandlet med en Blanding af 2 Rf. Vand og 98 Rf. Iseddike ved 100° i 1 Time, og det uoploste gav efter Udvaskning med samme Blanding 1,285 Gr. Mn, O,; der var altsaa opløst 2,06 Proc. af det anvendte Mn, O,. 7) 1,320 Gr. Mn, O,, behandlet paa samme Maade med en Blanding af 5 Rf. Vand og 95 Rf. Iseddike, gav til Rest 1,263 Gr. Mn, O,, altsaa var her opløst 4,32 Proc. af den anvendte Mengde. 8) 1,036 Gr. Mn, O,, behandlet med en Blanding af 10 Rf. Vand og 90 Rf. Iseddike i 1 Time, efterlod en Rest, der efter Udvaskning med 90 Proc. holdig Eddikesyre gav Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. II. 4. 18 140 10 0,893 Gr. Mn, O,; her er altsaa opløst 0,143 Gr. eller 13,8 Proc. af den anvendte Mengde Mn, O,. Filtratet fra det ved Behandlingen med ren Iseadike uoploste havde en kanelbrun Farve, hvilket kunde tyde paa, at Manganmellemilte var oplost som saadant, og at Oplos- ningen altsaa muligvis kunde indeholde et eddikesurt Manganmellemilte. For at prøve dette anstilledes folgende Forsøg. Manganmellemilte blev behandlet med Iseddike som ovenfor, og den uoploste Rest blev udvasket med Iseddike og torret ved 100°. Af den torrede Masse blev afvejet 0,439 Gram, der efter Behandling med Jodkalium og Saltsyre torbrugle 38,5 CC */10 normal svovlundersyrligt Natron, hvilket svarer til 7,0 Proc. virksom Ilt. Da rent Mn,O, inde- holder 6,99 Proc., er det altsaa An, O,, der er efterladt uoplost, og folgeligt ogsaa Mn, O,, der er gaaet i Oplosning. Dette vil yderligere blive fuldstendigt bekræftet i det folgende. Det her til disse Forsog anvendte Manganmellemilte var glodet og altsaa meget coherent; der kunde derfor vere Anledning til at forsoge, om ikke det mindre cohærente Manganmellemilte, der faas ad den vaade Vej efter Ottos!) Methode eller ved Ophedning af MnO, i Brint til 250° efter Moissans*) Methode, kunde vere lettere opløseligt i Iseddike, og om man ikke ad den Vej kunde naa til at fremstille Salte af An, 0, eller Mn, O,, saafremt det her omtalte Manganmellemilte kunde spaltes i MnO og Mn,0,. Med Hensyn til Fremstillingen af de til disse Forsøg anvendte Ilter og disses Egenskaber maa jeg hen- vise til denne Afhandlings Afsnit II. 1) 0,860 Gram af et Manganilte, der var fremstillet efter Moissans Methode ved Ophedning af MnO, i en Brintstrom til 240° og som indeholdt Manganmellemilte med noget indblandet Mangantveilte, blev behandlet med Iseddike ved 100° i 1 Time; efter at Blandingen derpaa havde henstaaet et Par Dage, blev Oplosningen filtreret, og det med Is- eddike udvaskede Bundfald gav 0,640 Gr. Mn, O,; der var altsaa opløst forholdsvis betydelige Kvantiteter, i Sammenligning med hvad der gaar i Oplosning ved tilsvarende Behandling af det glodede Manganmellemilte; det eddikesure Filtrat var stærkt kanelbrunt farvet og gav efter Inddampning til Torhed paa Vandbad en brunsort glindsende Rest, der blev fuldstæn- digt torret ved lengere Tids Henstand i Luftterrekasse ved 100°. Efter omhyggelig Tor- ring bley 0,212 Gram af Produktet forsigtigt ophedet i en Digel over Flammespreder og tilsidst glodet stærkt under rigelig Adgang af Luften; herved efterlodes 0,077 Gr. Mn, O,, svarende til et Indhold af 26,16 Proc. Mangan i Inddampningsresten. Et Salt af Sammensæt- ningen Mn,.O0,(C, H,O), eller en Blanding af Saltene Mn. 0,(C, H, 0), og Mn,.0,(C, H,O), vilde kræve et Indhold af 25,9 Procent Mangan. Om det er et Manganmellemiltesalt eller 1) Liebigs Annaler, 93, 372. *) Ann. de chim. et de phys. [5], 21, p. 231 o. fr. 11 141 en Blanding af Forilte- og Tveiltesalt, er altsaa herved ikke afgjort, men det skal senere vise sig, at det sidste er det sandsynligste. 2) Da Moissans Manganmellemilte er besværligere at fremstille, udforte jeg de folgende Forsøg med Manganmellemiltehydrat, fremstillet efter Ottos Methode!), da det viste sig, at dette Ilte forholdt sig paa tildels lignende Maade. Sammensætningen af det til Forsøgene anvendte Ilte findes anført i Afsnittet II. Behandler man Ottos Manganmellem- ilte i lufttørret Tilstand med Overskud af Iseddike ved 100? i 1 Time under Omrøring, faar man en brun Opløsning, der efter Filtrering og Henstand i nogle Dage (undertiden i kortere Tid) udskiller et kanelbrunt, krystallinsk Bundfald, der under Mikroskopet viser sig at bestaa af langstrakte, rektangulære Prismer eller Tavler. Bundfaldet maa udvaskes med Iseddike og torres over Kalibydrat; de smaa Mængder, jeg i Begyndelsen fik paa denne Maade, indeholdt alle 20,6 Proc. Mangan og maa altsaa indeholde Krystalvand, da vandfrit eddikesurt Salt af Mn,0, eller af Mn, O, skulde indeholde betydeligt mere Mangan. Da der til Forsøget blev anvendt fuldstændig ren og vandfri Iseddike, og der kun ved Processen dannes en ringe Mængde Vand, var det muligt, at Dannelsen af Saltet vilde fremskyndes, naar man efter Opløsningen og Filtreringen tilsatte lidt Vand, saa at Stoffet strax kunde forefinde den til Krystallisationen nødvendige Vandmængde. Dette bekræftedes fuldstændigt; tillige lærte Erfaringen flere Ændringer i Fremstillingsmaaden, som senere skulle blive berørte; herved lykkedes det at fremstille Saltet i rigelig Mængde. Analysen viste, at det bestod af fuldstændigt normalt eddikesurt Mangantveilte af Sammensætningen Mn,.0,.(C,H,0), + 4H, 0. Dette Salt skal i det følgende Afsnit beskrives nøjere. Ved Iseddikens Indvirkning er altsaa Manganmellemilte bleven spaltet i Mangan- forilte og Mangantveilte, MnO og Mn, 0,, der begge blive i Opløsning som eddikesure Salte, og først ved Tilsætning af lidt Vand udskilles det eddikesure Mangantveilte; denne Udskillelse er i Tidens Løb fuldstændig, saaledes at Moderluden tilsidst er fuldstændig farveløs. Man vil indse, at der altsaa er en Mulighed for, at den oprindelige Opløsning i Iseddike virkeligt indeholder et eddikesurt Manganmellemilte, og at dette spaltes ved den ringe Mængde Vand (et Par Cubikcentimeter), der tilsættes for at bringe Mangantveiltesaltet til at udkrystallisere. Man ser ogsaa den paafaldende Forskjel, det gjør, om man tilsætter en ringe Mængde Vand til Iseddiken, førend man lader den virke paa Manganmellemiltet, eller efter at dette delvis er opløst i Iseddiken, og Opløsningen filtreret; i første Tilfælde virker Eddikesyren, som de tidligere Forsøg vise, strax paa en noget anden Maade, end, naar den er tilstede i vandfri Tilstand, om end Forskjellen først bliver rigtig fremtrædende, naar større Vandmængder tilsættes. : 1) Liebigs Annaler 93, 372. 18" 142 12 En Spaltning af Mn,O, i MnO og Mn, 0, under Dannelse af Mangantveiltesalt vil man imidlertid ogsaa kunne bemærke oyerfor andre Syrer. Behandles Manganmellemilte med concentreret Svovlsyre og opvarmes efter om- hyggelig Blanding af Massen efterhaanden til 138° under Omroring, bemærker man herved ikke nogen Iltudvikling af nogen Betydning, hvilket maatte vere Tilfældet, hvis Mn,O, spaltedes i 2MnO og MnO,, da i saa Tilfælde det sidstnævnte, ifølge Carius Under- søgelser, maatte danne svovlsurt Mangantveilte under Udvikling af Ilt; det sidstnævnte Salt dannes imidlertid alligevel i rigelig Mængde, hvad man let iagttager paa den mørkegrønne Farve, Bundfaldet antager. Der staar derfor kun tilbage at antage, at Mn,O, ved den concentrérede Svovlsyres Indvirkning er spaltet i MnO og Mn,O,, der begge danne til- svarende svovlsure Salte. Af det foregaaende følger nu, at naar Mn,0, og Mn,0, i Almindelighed af for- tyndede Syrer spaltes i MnO og MnO,, sker dette, fordi Mn, 0, er en saa svag Base, at den kun optræder som saadan, naar en concentreret og stærk Syre er til Stede, medens den derimod ved svagere Syrer paa Grund af Manganets Tilbajelighed til at optrede som tetravalent Enkeltatom spaltes i Manganforilte og Manganoverilte. Manganilternes Forhold overfor conc. Svovlsyre og Iseddike giver os nu Ret til at betragte dem som MnO.Mn,0, og som Mn, OF: Det folgende Afsnit skal nu yderligere godtgjore de store Analogier mellem Mas O, og FeO hvorved det bliver fuldstændigt afgjort, at Mangantveiltesaltene existere som saadanne og ikke med nogen antagelig Grund maa betragtes som Dobbeltsalte af Mangan- overilte- og Manganforiltesalte, saaledes som Fremy!) antyder, og som han ganske vist har havt Grund til at mene. Existensen af de i det folgende omtalte normale eddikesure, phosphorsure og arsensure Mangantveiltesalte og disses Dannelsesmaader, saavelsom Dannelsen af et pyrophosphorsurt Mangantveilte-Natron, viser paafaldende Analogier med Jerntveiltet. Man maa derfor søge Aarsagen til, at Braunit krystalliserer afvigende fra Jernglands, og Hausmannit afvigende fra Spinellerne, i den Omstændighed, at Atomerne i ee befinde sig i en mere labil Ligevægtstilstand end i Fe, 0, paa Grund af den oftere berorte Streben hos Manganet efter at mettes ved 2 Iltatomer, saaledes som vi ogsaa ser det gjentage sig i Naturen, hvor Pyrolusit findes i Pseudomorfose efter Manganit. Dette maa vel antages at kunne udove en Indflydelse paa Krystalformen saaledes, at denne derved modificeres. Det bliver maaske en almindelig Regel, at saadanne Grundstoffer, der i visse særlig 1) Comptes rendus, 82, 475 og 1231. 13 143 bestandige Forbindelser med et andet Grundstof optræde som tetravalente Enkellatomer, nodigt forene sig Lil hexavalente Dobbeltatomer i Forbindelse med samme Grundstof, naar ikke samtidigt et tredie Grundstof indtræder, og i hvert Fald, naar det sker, danner temme- ligt ubestandige Forbindelser. Vi kjende jo heller ikke nogen Forbindelse C, O,, men VI derimod nok C,0,H,, der dog spaltes i CO,, CO og H,O ved given Anledning, kun virker her den concentrerede Syre (Svovlsyre) spaltende, medens det modsatte var Tilfældet hos iO: en simpel Folge af Kulstoffets og Manganets mere eller mindre negative eller positive Karakter, og af Syrens Tiltrækning til Vand. 144 14 I Mangantveiltesalte. 1. Eddikesurt Mangantveilte, VI Mn, . O, .(C, H30), + 4H, 0. | Dette Salt lader sig som tidligere berørt fremstille ved Indvirkning af ren Iseddike paa Manganmellemiltehydrat, fremstillet efter Ottos") Methode. Man gaar bedst frem paa den Maade, at man henstiller 4—5 Gram af det nævnte Ilte, der anvendes i lufttørret Til- stand, med ca. 150—200 Ce ren Iseddike i et løst tildækket Glas, idet man engang imellem omrører Blandingen; allerede efter faa Timers Henstand ved almindelig Temperatur, be- mærker man, at Opløsningen antager en brunlig Farve; efter et Par Dages Henstand kager det uopløste sig sammen, og man gjør Ret i at trykke det i Stykker med Spatlen og om- røre Vædsken; denne har efterhaanden antaget en noget mørkere Farve, men begynder de følgende Dage at blive lysere, idet der samtidigt paa Glassets Sider og mellem det uopløste Ilte afsætter sig gulbrune fine Krystalnaale. Efter 6—S Dages Henstand opvarmes paa Vandbad til 100° i I Time under stadig Omrøring, hvorved man faar en meget mørk, brun Opløsning, der filtreres varm gjennem et tæt Filtrum; til Filtratet sættes under Omrøring lidt efter lidt et Par Cubikc. destilleret Vand, og det Hele henstilles nu i et tildækket Glas; ofte begynder allerede efter faa Timers Forløb en kjendelig Udskillelse af brune Krystal- naale; efter en Dagstid eller to er der udskilt en betydelig Mængde, og man decantherer nu den brune Vædske fra Bundfaldet, der bringes paa Filtret med ren iseddike og udvadskes dermed, indtil alt Manganforiltesalt er fjernet, og Filtratet er fuldstændigt farveløst; efter at Størstedelen af Iseddiken er suget fra Bundfaldet, henstilles Saltet under Glasklokke over fast Kalihydrat, og tørres her, indtil enhver Lugt af fri Eddikesyre er forsvundet; under Tørringen maa man engang imellem sprede Saltet lidt ud paa Skaalen for at lette Eddike- syrens Fordampning. Efter Tørringen har Saltet oftest en lysere, kanelbrun Farve og er tillige noget silkeglindsende. Det er meget lidet vægtfyldigt. Moderluden bliver ved Henstand under Luftens Adgang efterhaanden fuldstændig farveløs, idet der lidt efter lidt udskilles mere af Mangantveiltesaltet, efterhaanden som Is- eddiken tilsuger mere Fugtighed fra Luften; dog medtager denne Proces som oftest flere 1) Liebigs Annaler, 93, 372. 15 145 Uger, men efter at den er forløbet, har jeg havt det udskilte Mangantveiltesalt staaende under Moderluden, der indeholder eddikesurt Manganforilte, i over '/2 Aar uden at bemærke at det har undergaaet nogen Forandring. Det eddikesure Mangantveilte oploses ved Kogning med Iseddike og danner en mørk, brun Opløsning, der giver folgende Reaktioner: Vand tilsat i Overskud giver en brun Oplosning, der efterhaanden bliver uklar og udskiller et brunsort, fyldigt Bundfald. Concentreret Svovlsyre tilsat i lige Rumfang giver en smuk violet Vædske, der i Løbet af nogle Timer afsætter lidt mørkt krystallinsk Bundfald (Fremy’s svovlsure Manganforilte-Mangantveilte), medens Vædsken samlidigt antager en lysere Farve. Phosphorsyre i temmelig concentreret vandig Oplosning frembringer et Bund- fald, der ved Kogning af Blandingen antager en lys gronliggraa Farve; det synes under Mikroskopet at være utydeligt krystallinsk. I Saltsyre opløses dette Bundfald under Chlor- udvikling, medens det lades uoplost af Salpetersyre og tilsyneladende ikke paavirkes deraf. Det tørrede Bundfald lader sig opløse i conc. Svovlsyre ved Opvarmning i et Reagensglas og Vædsken antager derved en mork, amethystrod Farve; efler 24 Timers Henstand er og- saa her udskilt morke Krystaller, sandsynligvis af Fremy’s Salt. Phosphorsurt Natron i vandig Oplosning fremkalder et amorpht, brunligviolet, fyldigt Bundfald. Arsensyre i temmelig conc, vandig Oplosning fremkalder ved Opvarmning ligesom Phosphorsyre et graahvidt Bundfald af arsensurt Mangantveilte. Arsensurt Natron giver ligesom phosphorsurt Natron et fyldigt brunligviolet Bundfald. Pyrophosphorsurt Natron forholder sig paa folgende Maade: setter man lil et Overskud af en ved alm. Temperatur mættet Opløsning af dette Salt en Opløsning af eddikesurt Mangantveilte i Iseddike, dannes intet blivende Bundfald, men dette opløses i det pyrophosphorsure Natron med rod Farve; er Oplosningen stærk, udskilles efterhaanden ved Henstand eller Kogning et rødt eller brunligrodt krystallinsk Bundfald af pyrophosphor- surt Mangantveilte-Natron, der senere skal beskrives nærmere. Bringer man fast Oxalsyre i Opløsningen af det eddikesure Salt i Iseddike, ud- skilles ved Omrystning et krystallinsk Bundfald. Anvendes paa samme Maade fast Vinsyre, udskilles ligeledes et krystallinsk Bund- fald af mork Farve. Guajactinktur farves blaa af en eddikesur Oplosning af det eddikesure Salt. Indigooplosning affarves ved Opvarmning dermed. > Le 146 16 I disse Henseender forholder det eddikesure Mangantveilte sig ligesom Schön- beins !} eddikesure Manganoverilte, hvilket han fremstillede af eddikesurt Blyoverilte og svovlsurt Manganforilte, hvorved han fik en rødbrun Vædske, der gav ovennævnte Reactioner med Guajac og Indigo, men af hvilken det ikke Iykkedes Schönbein at udskille noget Salt i fast Form; det er vel sandsynligt, at denne Opløsning har indeholdt eddikesurt Mangantveilte. Ligeledes ilter en Opløsning af eddikesurt Mangantveilte i Iseddike findelt Kvægsolv ved Rystning dermed. Med det faste eddikesure Salt faar man folgende Reactioner: Ved Rystning med Vand dissocieres det efterhaanden og danner et morkebrunt næsten sort Bundfald. Blandes det faste Salt med krystalliseret Oxalsyre, og tilsætter man derpaa lidt efter lidt Vand under Omrystning, foregaar ingen Sonderdeling ved almindelig Tem- peralur, men man faar en klar gulbrun Opløsning, der reduceres ved Opvarmning under Udvikling af Kulsyre. Med krystalliseret Vinsyre er Forholdet et lignende; bringes lidt fast Vinsyre i et Reagensglas med lidt Vand, og tilsættes derpaa lidt fast eddikesurt Mangantveilte under Omrystning og lidt efter lidt mere Vand, efterhaanden som det oploses, faar man tilsidst en morkebrun klar Oplosning, der taaler Fortynding med Vand; denne Oplosning reduceres ved Kogning. Den oxalsure Oplosning feldes ved Overmetning med Ammoniak, medens den vinsure Oplosning holder sig klar derved (jvfr. Jerntveiltesaltenes Forhold). Bringes det faste eddikesure Mangantveilte ned i conc. Salpetersyre ved al- mindelig Temperatur, opløses det ved Omrering med gulbrun Farve, men efter kort Tids Forløb bliver Vædsken fuldstændig uklar og udskiller et brunsort Bundfald. Ved Kogning med Salpetersyre udskilles Manganoveriltehydrat. ; Udrores fast eddikesurt Mangantveille med concentreret Svovlsyre og tilsættes derpaa lidt efter lidt under Omrering og delvis Afkjoling draabevis Vand, dannes en morke- rød Opløsning, der efterhaanden giver et mørkt krystallinsk Bundfald af Fremy’s oftere omtalte Salt. Conc. Saltsyre oploser det eddikesure Salt med mork, brun Farve, og Oplos- ningen forholder sig ganske som en Oplosning af Mangantveilte i Saltsyre. Vinaand, 95 Proc. holdig, angriber tilsyneladende ikke Saltet ved almindelig Tem- peratur; ved Opvarmning omdannes det, og man faar nu et morkt, fyldigt Bundfald. 1) Journal f. prakt. Chemie, 74, p. 315. 17 147 Sættes Svovlammonium til det faste eddikesure Salt dannes Svovimangan, der strax har en rodgul Farve men efter Opvarmning bliver gulgront. Udsat for Luftens Indvirkning holder det eddikesure Mangantveilte sig ganske godt, naar Krystalnaalene ikke ere altfor fine; i dette Tilfelde undergaar det en kjendelig Forandring og antager efterhaanden en morkere Farve; navnlig bemærkes dette, naar man torrer Saltet under Luftens Adgang i Stedet for over Kalihydrat under en Glasklokke. Ved Ophedning til 80°—85° tabte Saltet 39,8 Proc.; da Temperaturen forhojedes til 100°— 105°, aftog det yderligere i Vægt, og efter 35 Timers Forløb var Vægten constant og Tabet 59,2 Proc. Folgende Forsog viser Saltets Forhold ved hojere Temperatur: 0,402 Gr. eddikesurt Mangantveilte blev ophedet i en Porcellænsdigel, forst svagt over Flammespreder, indtil alt var sammensintret, hvorved bemerkes Udvikling af Vanddamp og Lugt af Acetone, derpaa over en almindelig Bunsensk Lampe til svag Rodglodhede under Luftens Adgang; det derved efterladte Ilte vejede 0,124 Gr., der efter Behandling med Jod- kalium og Saltsyre brugte 15,4 Ce. ?/10 normal svovlundersyrligt Natron, svarende til et Ind- hold af 0,01232 Gr. virksom Ilt 9: 9,93 Proc.; dette Ilte er altsaa nærmest Mn,O,, der kræver 10,13 Proc. virksom Ilt; først ved stærk Glodning dannes Mn,O,. Imidlertid er der en Mulighed for, at det dannede Mn,O0, kan hidrøre fra, at der først foregaar en Reduktion til MnO, der da ved lavere Temperatur iltes til det mindre cohærente Mn,0,, som ved 300°—400° formaar at optage Ilt af Luften og danne Mn,0,,. At en saadan Iltabsorbtion finder Sted paa et vist Stadium, viser følgende Forsøg: 0,388 Gr. eddikesurt Mangantveilte blev henstillet ved 100°— 110° og vejede efter 48 Timers Forløb 0,165 Gr.; efter yderligere Henstand ved 200° i 6 Timer var Vægten 0,159 Gr., hvilket svarer til et Tab af 59,02 Proc. Yderligere Henstand ved 200° i 36 Timer bevirkede en Vægtforøgelse, idet Resten nu vejede 0,166 Gr. Saadanne Iltningsphænomener blive nærmere berørte i Afsnittet III. Den analytiske Undersøgelse af det eddikesure Mangantveilte gav følgende Resultat: 1) 0,520 Gr. blev behandlet med fortyndet Svovlsyre (I Rf. conc. Svovlsyre + 9 Rf. Vand) ved Kogning i 2'/2 Time; herved spaltes #n,0, som tidligere omtalt i MnO og MnO,; det uopløste Manganoveriltehydrat, i hvilket altsaa findes Halvdelen af Saltets Manganindhold, gav efter Udvaskning og Glodning 0,074 Gr. Mn,O, svarende til 10,25 Proc. Mangan; Saltet indeholder altsaa 20,50 Proc. 2) 0,514 Gr. efterlod ved stærk Glødning under Luftens Adgang 0,146 Gr. Mn,0, svarende, til 20,47 Proc. Mangan. 3) 0,325 Gr. blev bragt ned i en farveløs Blanding af Jodkalium og et Par Ce. Salt- syre; efter Omrøring titreredes det frigjorte Jod med ?/10 normal svovlundersyrligt Natron; der forbrugtes 12,2 Cc. svarende til 0,00976 Gr, virksom Ilt eller 3,00 Proc. Vidensk, Selsk. Skr. 6, Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 4. 19 148 18 4) 0,385 Gr. brugte ved samme Behandling 14,4 Ce. ?/10 normal svovlundersyrligt Natron svarende til 0,01152 Gr. virksom Ilt 9: 2,99 Proc. 5) 0,4665 Gr. blev opvarmet til Kogning med en Opløsning af chlorfrit Barythydrat under jevnlig Omroring i længere Tid; efter Filtrering og omhyggelig Udvaskning blev Overskuddet af Barythydrat fældet med Kulsyre og det hele inddampet til Torhed, udtrukket med Vand, og Filtratet fra den uoploste kulsure Baryt fældet med Svovlsyre; herved fældes altsaa den til den indeholdte Mængde Eddikesyre svarende Mengde svovlsurt Baryt; denne vejede 0,607 Gr. svarende til 0,3126 Gr. Eddikesyre (C, 7, O,) i eddikesur Baryt. Altsaa indeholdt Mangansaltet 67,01 Proc. Eddikesyre. Beregnet Fundet Mn; eue ae 20,52 20,47 20,50. Virksom O0 .... 2,98 2,98 3,00. GELOST 67,16 67,01. Det maa dog bemærkes, at det Salt, hvormed disse Analyser ere foretagne, var af en særlig ren Beskaffenhed og blev analyseret umiddelbart efter Fremstillingen og Torringen; det var frit for Lugt af Eddikesyre, ligesom det ogsaa ved gjentagne Udvaskninger med Is- eddike var befriet for ethvert Spor af eddikesurt Manganforilte. Jeg har oftere havt Pro- dukter, hvor Eddikesyremængden har været lidt lavere, hvorimod Manganmængden var lidt storre; dette hidrorer aabenbart fra et Indhold af Manganforiltesalt, hvilket ogsaa giver sig lilkjende ved en ringere Mengde virksom Ilt. Jeg gaar nu over til Beskrivelsen af nogle andre Mangantveiltesalte, der ganske vist kunne fremstilles ved Hjælp af det eddikesure Salt, men da dette dog er lidt besværligt at tilvejebringe i storre Kvantiteter, har jeg fundet andre Methoder, der lade sig udfore med ganske anderledes let tilgængelige Stoffer, Normalt phosphorsurt Mangantveilte. VI Mn, .0,.(PO), + 2H, 0. Som tidligere berort dannes ved Tilsætning af Orthophosphorsyre til en Oplosning af eddikesurt Mangantveilte i Iseddike ved Opvarmning et graalighvidt Bundfald af phos- phorsurt Mangantveilte; sandsynligvis er det det samme Salt som Laspeyres!) har frem- stillet ved Kogning af en vandig Oplosning af den violette smeltede Masse, der faas ved Ophedning af et hojere Manganilte med sirupstyk Phosphorsyre i en Platindigel. Dog er 1) Journal f. prakt. Chemie [2], 15, 322 19 149 der en Mulighed for, at Laspeyres Salt ogsaa har kunnet indeholde noget pyrophosphorsurt Manganforilte. Jeg har imidlertid fundet, at det normale phosphorsure Mangantveille lader sig fremstille i saa rigelig Mængde som ønskes paa folgende Maade: Man opløser ren krystalliseret Orthophosphorsyre i sin dobbelte Mængde Vand, opvarmer denne Opløsning til 100° og tilsætter derpaa efterhaanden under Omrøring en nogenlunde concentreret Opløsning af rent salpetersurt Manganforilte, saaledes at Phosphor- syren er tilstede i Overskud; man holder stadigt Temperaturen ved 100°—105°; Opløsningen bliver strax eller efter nogen Tids Inddampning svagt amethystfarvet, og ved videre Ind- dampning og Omrøring begynder den at blive blakket og lidt efter lidt at udvikle lavere Kvælstofilter; under denne Luftudvikling, der fra nu af vedbliver, udskilles et graaligt Bund- fald af normalt phosphorsurt Mangantveilte i rigelig Mængde. Man holder stadigt Tem- peraturen ved 100°—105°, ligesom man ogsaa ved Omrøring maa sørge for, at der saavidt muligt ikke afsætter sig nogen Skorpe paa Skaalens Sider; sker dette, dannes der let paa Grund af Overhedning noget Manganoverilte, hvilket let giver sig tilkjende ved den mørke Farve, Skorpen antager, og man maa i saa Fald være særlig forsigtig, naar man fjerner det dannede phosphorsure Salt fra Skaalen, at ikke noget af den mørke, næsten sortfarvede Del. af Krystalskorpen følger med, hvilket dog imidlertid let kan undgaas. Naar en større Mængde af Saltet har udskilt sig, gjør man bedst i at lade det sætte sig, og de- cantherer derpaa Moderluden, ved hvis yderligere Opvarmning, efter Tilsætning af lidt Vand, man er i Stand til at vinde mere af Saltet; Bundfaldet udvaskes først adskillige Gange ved Decanthation, dernæst paa Filter, med koldt Vand, og tørres derpaa i Luften; for at fjerne en ubetydelig Rest af hygroskopisk Vand tørres det tilsidst ved 100°—110°. Den til Fremstillingen anvendte Phosphorsyre maa være ren Orthophosphorsyre; indeholder den Pyrophosphorsyre, faas et lignende Bundfald, der ved Analysen gav samme Mangan- og Phosphorsyremængde, men indeholdt altfor lidet virksom Ilt; dette kunde kun forklares ved et Indhold af pyrophosphorsurt Manganforilte Mn, P,0, + 3H,0; dette Salt har, som det vil ses, tilnærmelsesvis samme Molekultal som det orthophosphorsure Mangan- tveilte Mx,P,0, + 2H,0. Det påa ovennævnte Maade fremstillede Salt danner et grønliggraat, mere eller mindre mørkt, krystallinsk Pulver; under Mikroskopet er dog Krystallerne temmelig utydelige. Det paavirkes ikke ved Kogning med fortyndet Salpetersyre eller Svovlsyre, hvorimod det efterhaanden opløses ved Kogning med højst concentreret Saltsyre under Chlor- udvikling; dog gaar denne Opløsning ingenlunde særligt let fra Haanden. Ved Rystning med Natronlud angribes det allerede ved almindelig Temperatur, hvorimod Ammoniak først virker i kjendeligere Grad ved Opvarmning. Concentreret Svovlsyre opløser det efter- haanden ved Opvarmning og danner en violet Vædske, der ved Henstand i længere Tid giver et mørkt krystallinsk Bundfald af Fremy's svovlsure Salt. 19" 150 20 Det phosphorsure Mangantveilte indeholder 2 Molekuler Vand, der forst afgives ved høj Temperatur. Ved 300°— 400° i Lufttorrekasse foregaar Tabet kun Milligram for Milli- gram; først ved svag Rodglodhede bortgaar alt Vand, og samtidigt begynder ogsaa Ilt al undvige, saaledes at der efter Rodglodhede efterlades pyrophosphorsurt Manganforilte i ren Tilstand. Smelter man krystalliseret Orthophosphorsyre i en Platindigel og opvarmer til 110° paa Sandbad, kan man oplose Manganidphosphatet heri, saaledes som ogsaa Laspeyres angiver, med violet Farve; opvarmer man efterhaanden stærkere under Tilsætning af mere Manganidphosphat, saalænge dette i Lobet af nogen Tid oploses nogenlunde villigt, indtil 170°— 180°, og henstiller man derpaa den klare, mættede Opløsning i henved et Døgn ved 170°—180° (i Sandbad), udskilles ofte et penséefarvet, krystallinsk Bundfald, hvis Sammen- sætning efter en forelobig Analyse, jeg har udfort, synes nærmest at svare til surt pyro- VI Mn, = 2 9 : = phosphorsurt Mangantveilte Eh dette Salt vil senere blive undersogt nojere i Forbindelse med et smukt rodt, krystallinsk Salt, der dannes, naar man opvarmer den smeltede Masse paa Sandbad til ca. 220° i Stedet for til 170°— 190°, hvilket Salt ogsaa Laspeyres omtaler. Analysen af det phosphorsure Mangantveilte gav folgende Resultat: 1) 0,6165 Gr. efterlod ved Glodning 0,519 Gr. Mn, P,0,, hvilket svarer til 0,201 Gr. Mangan altsaa 32,60 Proc. Mn og til 0,2595 Gr. P,O; altsaa 42,10 Proc. P,0,. 2) 0,722 Gr. gav efter Oplosning i hojst conc. Saltsyre, Reduktion med faa Draaber Svovisyrlingvand og Tilsætning af phosphorsurt Natron samt Fældning med Ammoniak, et Bundfald af krystallinsk phosphorsurt Manganforilte- Ammoniak, som efter Glodning og Correction, ifølge Fresenius, gav 0,605 Gr. Mn, P,O, svarende til 32,45 Proc. Mangan. 3) 0,244 Gr. opløst i højst conc. Saltsyre, Opløsningen reduceret med faa Draaber Svovlsyrlingvand, inddampet og paa sædvanlig Maade behandlet efter Molybdænmethoden, gav 0,1605 Gr. Mg, P,0, svarende til 0,1026 Gr. P,O, eller 42,05 Proc. P,0;. 4) 0,464 Gr. forbrugte efter Behandling med Jodkalium og Saltsyre 28 Ce. */10 normal svovlundersyrligt Natron, svarende til 4,83 Proc. virksom Ilt. 5) 0,569 Gr. glodet i tor Luftstram, og de udviklede Vanddampe absorberede ved Svovlsyre i Winklers Apparat, gav 0,061 Gr. Vand eller 10,72 Proc. 4,0. Beregnet Fundet dere EN te tious fs 32,73 32,60 32,45. PORN ois 42,26 42,10 42,05. NirksOMAOE "C2 TE 4,84. GOS 6 0 6 66 6 10,71 10,72. 21 151 Arsensurt Mangantveilte, VI Mn, . O0, .(4s0), +2H,0, fremstilles fuldstændigt analogt med det tilsvarende phosphorsure Salt, idet man oploser ren Ärsensyre i sin tredobbelte Mengde kogende Vand og til den varme Oplosning efter- haanden sætter en nogenlunde concentreret Oplosning af salpetersurt Manganforilte, saaledes at Arsensyren er tilstede i Overskud; man vedbliver at opvarme til 100°— 105°, og under Opvarmningen udskilles da det arsensure Salt under Udvikling af Kvelstofilter; Bundfaldet udvaskes forst ved Decanthation, siden paa Filter, og terres i Luften ved almindelig Tem- peratur. Det danner et graat Pulver, der er noget morkere end det phosphorsure Salt. I sine øvrige Forhold ligner det i hej Grad Phosphatet og opløses ligesom dette med Vanskelighed i hejst concentreret Saltsyre, medens det er uoploseligt i Salpeter- syre. Ved Kogning med Natron spaltes det og efterlader Mangantveiltehydrat, og med Svovlammonium efterlades Svovlmangan. Analysen gav folgende Resultat: 1) 0,259 Gr. blev behandlet paa sædvanlig Maade med Jodkalium og Saltsyre; Stoffet opløste sig meget langsomt, men Titreringen lod sig alligevel udføre med */10 normal svovl- undersyrligt Natron, af hvilket der blev forbrugt 37 Ce. svarende til 0,0296 Gr. virksom Ilt eller 11,42 Proc., af hvilke de to Trediedele hidrøre fra As, O,, den ene Trediedel fra Mn,O,. 2) 1,034 Gr. blev degereret med Svovlammonium paa Vandbad; det uoploste Svovl- mangan blev efter Tørring blandet med Svovl og glodet i en Brintstrom i Rosesk Digel; herved dannedes 0,423 Gr. MnS svarende til 25,86 Proc. Mangan. 3) 0,602 Gr. blev ophedet i en Porcellænsdigel til svag Rodglodhede; tilsidst dæk- kedes Diglen faa Ojeblikke med Laag; herved efterlodes en Glodningsrest, der vejede 0,5295 Gr., svarende til et Glodningstab af 12,04 Proc.; dette Tab svarer til O + 27,0, altsaa bestaar Resten af pyroarsensurt Manganforilte, Mn, As,O,; 0,5295 Gr. af dette giver 0,1565 Gr. Mn eller 25,99 Proc. Mn i Mangantveiltesaltet og 0,3273 Gr. As,O, svarende til 54,36 Proc. As,O, i samme Salt. Beregnet Fundet Mn cite 25,94 25,86 25,99. As,0,. . : . 54,25 54,36. Oe. ae 11,32 11,42. 152 22 Pyrophosphorsurt Mangantveilte-Natron. vi Mn, \ Na f(P20:)s + 107,0. Oploser man eddikesurt Mangantveilte i Iseddike under Opvarmning, og heldes den derved dannede Oplosning ned i et Overskud af en Oplosning af pyrophosphorsurt Natron (2:25), fældes intet, men der dannes en smuk red Oplosning, der, naar den er mettet, ved Henstand afsætter et rødt, krystallinsk Bundfald af pyrophosphorsurt Mangantveille- Natron; koger man den dannede Oplosning, fremkommer Bundfaldet straks, men har da en mere brunlig Farve. Man behover imidlertid ikke til Fremstilling af dette Dobbeltsalt at anvende eddikesurt Mangantveilte, men kar med Fordel benytte den mørke Opløsning, man faar ved Behandling af glodet Mangantveilte med concentreret Saltsyre ved almindelig Temperatur; heldes denne Oplosning, umiddelbart efter at den er fremstillet, gjennem el nogenlunde tort Asbestfilter ned i et rigeligt Overskud af pyrophosphorsurt Natron, faar man en meget morktfarvet Oplosning, der ved Henstand, eller undertiden strax, udskiller det røde krystallinske Salt i rigelig Mengde. Det er af største Vigtighed, at det pyro- phosphorsure Natron er til Stede i rigeligt Overskud, saaledes at der ikke bliver fri Salt- syre tilstede i Vædsken; man kan ogsaa raade Bod herpaa ved Tilsætning af eddikesurt Natron, men det er i Almindelighed ikke nodvendigt. Den bedste Maade til at prove, om det rette Forhold er til Stede, er at opvarme lidt af Blandingen til Kogning i et Reagens- glas; udskilles herved et krystallinsk Bundfald, der hurtigt sætter sig, i rigelig Mængde, er . Forholdet det rette; fremkommer derimod et fyldigt Bundfald eller, hvad undertiden er Til- fældet, holder Vædsken sig klar, maa der tilsættes mere pyrophosphorsurt Natron. Det ved almindelig Temperatur udkrystalliserede Salt udvaskes med svagt eddikesyreholdigt Vand; vaskes med Vand alene, antager det en mere brunlig Farve paa Overfladen; dog synes Saltet atter ved Torring i Luften at antage sin oprindelige Farve. Det torre Salt danner et rodligt Krystalpulver, der meget let mister noget Krystalvand. Det er ikke uden Interesse, at man til Fremstilling af dette Salt ogsaa kan anyende Manganoveriltehydrat, idet man behandler dette med concentreret Saltsyre ved almindelig Temperatur og anvender den derved dannede Oplosning umiddelbart efter, at den er frem- stillet; man arbejder fuldstændig som ovenfor angivet. Herved bekræftes Pickerings!) Angivelse, at der ved Indvirkning af conc. Saltsyre paa Manganoverilte dannes Mn, Cl, og ikke MnCl,, idet man saaledes direkte af Oplos- 1) Journal of the chem. society, vol. 35, p. 654. 23 153 ningen kan fremstille et Mangantveiltesalt. Processen ved Indvirkning af Saltsyre paa Manganoverilte bliver altsaa, som Pickering angiver, at udtrykke ved 2MnO, + 8 HC! = Mn, Cl, + 44,0 + Ci, hvorefter ved Opvarmning Mn, Cl, spaltes i 2 MnQl, og Cl,. Naar man behandler frisk tilberedt rent Manganoveriltehydrat med hejst cone. Sallsyre, bemærker man ogsaa ved sædvanlig Temperatur en kraftig Chlorudvikling, ligesaa kraftig som naar man setter Syre til et kulsyreboldigt Stof; dette stemmer ogsaa med ovennævnte Formel. I Saltsyre opløses det pyrophosphorsure Mangantveilte-Natron let med mørk Farve og udvikler Chlor ved Opvarmning. Salpetersyre sonderdeler det ved Kogning og efterlader Manganoveriltehydrat. Conc. Svovlsyre opløser det ved Opvarmning med smuk violet Farve, og Oplos- ningen afsetter efterhaanden smukke, morke Krystaller. Henstilles det pyrophosphorsure Mangantveilte-Natron ved 100°, taber det efter- haanden en Del af sit Krystalvand; efter et Par Timers Henstand ved denne Temperatur tabte en Prove af Saltet 15,0 Proc.; det saaledes torrede Salt indsuger Fugtighed under Vejningen. Ligeledes taber Saltet Vand ved Henstand over Svovlsyre; 0,908 Gr. table paa denne Maade i 2 Dogn 0,115 Gr. eller 12,67 Proc.; Resten henstillet ved 100° i 20 Timer tabte derved yderligere 0,057 Gr.; altsaa ialt tabt 0,172 Gr. eller 18,94 Proc., hvilket nærmest svarer lil et Tab af 7 Molekuler Vand, hvilket dog kun kræver 18,42 Proc. Den ved 100° torrede Rest blev behandlet paa Vandbad med concentreret Saltsyre og Opløsningen reduceret med Svovlsyrlingvand og inddampet til Torhed; Inddampningen med concentreret Saltsyre blev gjentaget 3 Gange, hvorpaa Resten atter blev oplost i Salt- syre og fældet i Varmen med Ammoniak, hvorved dannes et krystallinsk Bundfald af phos- phorsurt Manganforilte-Ammoniak; dette gav ved Glodning 0,379 Gr. Mn, P,O, svarende til 16,15 Proc. Mangan. Analysen gav iovrigt folgende Resultat: 1) 0,723 Gr. blev kogt med fortyndet Salpetersyre i Begerglas paa Asbestplade i 1 Time ; det herved dannede Manganoveriltehydrat, hvilket altsaa indeholder Halvdelen af den i Saltet tilstedeværende Manganmengde, gav 0,080 Gr. Mn,O, svarende til 0,0577 Gr. Mangan; altsaa er hele Manganindholdet 0,1154 Gr., svarende til 15,96 Proc. Mangan. 2) 6,576 Gr. behandlet med Jodkalium og Saltsyre brugte 16,9 Ce. ?/10 normal svovl- undersyrligt Natron svarende til 0,01352 Gr. virksom Ilt eller 2,34 Proc. 3) 0,266 Gr. blev behandlet i Platinskaal med lidt Svovlsyrlingvand og concentreret Svovlsyre; derpaa blev inddampet til Torhed; Resten blev opløst i Salpetersyre og atter inddampet til Tørhed, hvorpaa den blev opløst i concentreret Saltsyre og atter inddampet 154 24 til et ringe Rumfang; denne Behandling viste sig nodvendig for at omdanne al Pyrophos- phorsyre til Orthophosphorsyre; derefter blev Opiosningen behandlet efter Molybdænmethoden og gav derved 0,1718 Gr. Mg,P,0, svarende til 0,1099 Gr. P,O, eller 41,32 Proc. P,O;. 4) 0,5935 Gr. blev behandlet paa samme Maade, og den saltsure Oplosning blev be- handlet med Ammoniak, hvorved alt Mangan udfældes som phosphorsurt Manganforilte- Ammoniak; af Filtratet herfra blev Phosphorsyren fjernet ved Jernchlorid, og derefter Natron bestemt som Na,SO, paa sædvanlig Maade; herved dannedes 0,1235 Gr. Na,SO, svarende til 6,74 Proc. Na. Beregnet Fundet MRS ee 16,08 15,96 16,18. PO Re sie Arie 41,52 41,32. Virksom O.... 2,34 2,34. Na elle 6,72 6,74. Et Tilbageblik paa de i det foregaaende omtalte Salte viser os, at de fuldtud have Charakteren af Mangantveiltesalte svarende til analoge Jerntveilte-Forbindelser, og at der her ikke vil kunne vere Tale om at opfatte dem som Dobbeltforbindelser af Manganoverilte- og Manganforiltesalte; den Methode, hvorefter det phosphorsure og arsensure Salt dannes, beror paa Iltning af Foriltesalt ved Salpetersyre, idet Anvendelsen af salpetersurt Mangan- forilte egentlig kun er en Modification af denne Fremgangsmaade, og der er al Rimelighed for, at man paa analog Maade vil kunne fremstille Mangantveiltesalte af flere andre Syrer!); det er saaledes det samme Princip, hvorefter flere Jerntyeiltesalte fremstilles, der her har fundet Anvendelse. Ligeledes dannes det pyrophosphorsure Mangantveilte-Natron paa en med det tilsvarende Jernsalt analog Maade; dog har det sidstnævnte en noget afvigende Sammensætning, medens de phosphorsure og arsensure Jerntveiltesalte kun afvige fra Man- gansaltene i Henseende til Vandmængden. Til samme Række Salle som de ovennævnte maa sikkert ogsaa Fremy’s svovisure Manganforilte-Manganoverilte henregnes og allsaa opfaltes som Mn ,0,(80.), 4 H,0,(80,) + 81,0; det dannes nemlig som tidligere bemærket ved Indvirkning af cone. Svovlsyre paa flere af de i det foregaaende nævnte Salte, og den Omstændighed, at det fremstilles af en Opløsning, der indeholder svovlsurt Manganoverilte ved Tilsætning af svovlsurt Man- ganforilte, behøver ikke at tale imod den her fremsatte Anskuelse; i saa Henseende have vi ogsaa en vis Analogi i Dannelsen af Kobberforchlor ved Indvirkning af metallisk Kobber paa en saltsur Opløsning af Kobbertvechlor. 1) efr. Etard, Comptes rendus, 86, p. 1400. 25 2 155 Hvad Manganalun angaar, har det mærkeligt nok ikke været mig muligt at frem- stille denne Forbindelse; allevegne, hvor jeg har troet at have den i Hænde, har det vist sig, at jeg havde med Fremy’s Salt at gjore; selv ved Oplosning af en afvejet Mengde Mn, O, i Flussyre og Tilsætning af den nojagtige Mængde Fluorkalium, saaledes at der for hver Mn, var 2K, og Behandling af Opløsningen med conc. Svovlsyre, fik jeg af den der- ved dannede røde Opløsning, efter at Flussyren var uddrevet, ved Henstand over Svovlsyre kun surt svovlsurt Mangantveilte. Muligvis vil dog yderligere anstillede Forsøg føre til et andet Resultat. Vidensk, Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. IT, 4. 20 Ill. Vi have i de foregaaende Afsnit oftere omtalt Manganets Tilbojelighed til at optræde som tetravalent Enkeltatom overfor Ilt som Aarsagen til Mangantveiltets Spaltning ved Syrer i MnO, og MnO og til Mangantveiltesaltenes relative Ubestandighed; denne Streben efter at optrede som tetravalent Enkeltatom og efter at bevare denne Tilstand, naar den éngang er naaet, bemærke vi som bekjendt ved flere Lejligheder; dels finde vi i Naturen Pyrolusit som Pseudomorphoser efter Manganit; og dels er det en Kjendsgjerning, at det er forbundet med langt større Vanskelighed at fremstille An, O, ved Glodning af vandfrit Manganoverilte, end ved Glodning af Manganforilte eller dettes Forbindelser med Kulsyre eller organiske Syrer. I det folgende skal jeg nu først gjøre Rede for nogle Glodningsforsog med rent Manganoverilte og med Manganmellemilte for derefter at gaa over til at omtale nogle Fæno- mener, der staa i ner Forbindelse med det ovenomtalte og derved tillige beskrive et Par af de til Fremstillingen af eddikesurt Mangantveilte anvendte Ilter noget nermere. 2,295 Gr. rent Manganoverilte blev glodet over en almindelig Bunsensk Lampe i aaben Porcellensdigel i 56 Timer og derpaa over en kraftig Iserlohner Lampe i ca. 30 Timer; det aftog derved 0,172 Gr. og Resten vejede alsaa 2,123 Gr., medens den ved fuldstændig Omdannelse til Mn, 0, kun skulde veje 2,084 Gr.; efter Glodning over Blæselampen i 1/4 Time aftog det yderligere, saaat Vegten nu var 2,078 Gr.; det var altsaa nu paa det nær- meste Mn, O,. Efter længere Tids Glodning for Bleselampen aftog Vægten, saaledes at den efter 11/2 Times Forløb var 2,031 Gr.; Mn, O, vilde kræve 2,014 Gr.; Laaget blev nu lagt paa Diglen, og Glodningen gjentaget for Bleselampen i Skorsten, hvorved efter "/4 Times Forløb Vægten aftog til 2,002 Gr.; vi ere altsaa nu passerede forbi Mn, O,; yderligere Glodning i lukket Digel paa samme Maade bevirkede, at Vegten efter en Times Forlob aftog til 1,977; Stoffet havde nu en rødbrun Farve med iblandet grønt; det lykkedes ved yderligere Glodning at danne saa meget Manganforilte, at den pulveriserede Glødningsrest tilsidst kun indeholdt 0,93 Proc. virksom Ilt, medens Mn, 0, indeholder 6,99 Proc. En Undersøgelse af Glødnings- resten viste tydeligt, at Manganoveriltet paa de hedeste Steder af Diglen nærmest Bunden og Siderne har været fuldstændigt reduceret til Manganforilte, da Glødningsresten paa disse Steder var ren grøn, medens den paa Overfladen stadigt var kanelbrun som Mangan- mellemilte. Et med dette parallelt Forsøg blev udført i Platindigel, idet 1,759 Gr. rent Mangan- overilte blev ophedet over en Bunsensk Lampe; efter 20 Timers Forløb vejede Resten 27 157 1,5935 Gr. og bestod nu af A/n,O,, der kræver 1,597 Gr.; i Mellemtiden, nemlig efter 5 Timers Glodning, havde Vægten været lavere, idet Resten da vejede 1,5855 Gr.; der maa altsaa alter have fundet en Iltabsorbtion Sted, formodentlig paa et Punkt, hvor Varmen har været ringere paa Grund af Vexlen i Gastrykket. Efter den omtalte Glodning i 20 Timer bley anvendt en kraftigere Lampe, og man bemerkede nu, at Vegten snart aftog, snart tiltog, saaledes at den efter ca. 75 Timer var 1,590Gr.; vi ere saaledes ikke naaede langt forbi Mn, O, ; 2 Timers Glodning i lukket Digel bevirkede en Nedgang til 1,535 Gr., og Farven var nu rod- brun som Mn,O,; tager man atter Laaget af Diglen og opheder den, bemærkes en For- ogelse af Vegten, saaledes at denne efter et Par Timers Forlob var 1,546; der har altsaa alter her fundet en Iltabsorbtion Sted, hvilket ogsaa tydeligt bemærkes, idet Glodningsrestens Overflade, der fer var kanelbrun, nu har antaget en mørk Farve, navnlig i Midten af Diglen, hvor Stoffet ikke har været udsat for saa stærk Varme, og hvor derfor Manganmellemiltet kan være til Stede i den mindre cohærente Tilstand, hvori det formaar at ilte sig ved Op- varmning til nogle hundrede Grader. Fortsættelse af Glødningen, tilsidst for Blæselampen, førte tilsidt til samme Resultat som det foranførte, at der fandt en delvis Afiltning til Manganforilte Sted. Dette har alle- rede Pickering!) 0. a. tidligere bemærket, men antager, som rimeligt, at det skyldes Pla- tinets Porøsitet, hvorved reducerende Luftarter fra Flammen kunne faa Adgang til Stoffet. Geuther?) har iøvrigt reduceret Manganoverilte til Manganforilte ved Ophedning i et hvid- glødende Jernrør, men ogsaa her kan maaske Metallets Porøsitet eller Kulstofholdighed have havt nogen Indflydelse. Af det før omtalte Forsøg, der blev udført i Porcellænsdigel over en meget kraftig Blæselampe, synes det dog at fremgaa at selve Glødheden er tilstrækkelig til at fremkalde den fuldstændige Reduktion, da det neppe synes muligt at reducerende Luftarter her kunne faa Adgang. Et Forsøg blev udført med Manganmellemilte, Mn, 0,, ved Glødning i lukket Por- cellensdigel for Bleselampen i Skorsten. 1,171 Gr. Mn, O, vejede efter Glødning i 11/ Time 1,097 Gr. og efter yderligere */4 Time 1,090 Gr.; fortsat Glødning gav en Rest, der kun inde- holdt 1,13 Proc. virksom Ilt. Af dette Produkt blev 0,560 Gr. atter glødet i lukket Por- cellænsdigel for Blæselampen i 1 Time og vejede derefter uforandret 0,560 Gr., men Over- fladen af Massen var nu kanelbrun, medens den før Glødningen var graagrøn; da Vægten var den samme, maa altsaa det nederste Parti have afgivet noget Ilt, der atter er blevet op- taget af det øverste Lag; heraf følger, at reducerende Luftarter næppe have kunnet have Adgang mellem Laaget og Diglen. Dette bekræftedes yderligere ved et Forsøg, hvor Glød- 1) Chem. news, 1881. ?) Jahresbericht 1865, 226. 158 28 ningen foretoges i en Roses Diger med tilkillet Laag og Porcellensror; Resultatet var ganske det samme, og her synes alle Muligheder for Adgang af reducerende Luftarter udelukkede. Det fremgaar heraf, at Manganoverilte maa antages ved stærk Hvidglode uden Luftens Adgang at afgive Halvdelen af sin Ilt og blive til Manganforilte; Geuthers For- sog bekræftes altsaa herved. Ved hoje Temperaturer bliver altsaa Manganforiltet det be- standigste Manganilte. Det ovenfor berorte Forhold, at Manganmellemilte i en vis mindre cohærent Til- stand formaar at optage Ilt, gjenfinde vi hos det Manganmellemilte, der efter Moissans 4) Angivelse dannes ved Reduktion af MnO, i en Brintstrom ved 250°; jeg har gjentaget Moissans smukke Forsog, idet jeg ophedede ren Manganoverilte i et U-formigt Ror, der var anbragt i et Bad af en smeltet Blanding af lige Molekuler Kalium- og Natriumnitrat forst til 230° i 6 Timer; man bemerkede stadigt Udvikling af Vanddampe, naar man for Enden “af Afledningsroret anbragte et koldt Uhrglas; efter Moissans Angivelse skulde man ved denne Temperatur faa Mangantveilte; man bemærkede ogsaa paa et vist Punkt en betydelig Aftagen i Vanddampenes Mængde, men nogen fuldstændig Standsning fandt ikke Sted, idet Uhrglasset stadigt beslog sig med Dug; den sikreste Maade til at treffe det rette Punkt vil derfor vere at controllere Vegttabet ved Vejning; ved det Forsog, jeg udforte, viste det sig, at Produktet indeholdt 8,87 Proc. virksom Ilt, hvilket viser, at Grændsen var overskredet, idet Mn, O, kræver 10,1 Proc. Et andet Forsøg, hvor Temperaturen blev holdt lidt lavere end 230°, gav et Ilte, der indeholdt 11,4 Proc. virksom Ilt; altsaa var man ikke her naaet til Mn, O,. Fortsattes Opvarmningen paa samme Maade ved 250° fik man et Produkt, der indeholdt 7,3 Proc. virksom Ilt, og dette svarer altsaa meget nær til Mn,0,, der kræver 6,99 Proc. virksom Ilt. Bringes lidt af dette Produkt i en Porcellænsdigel og opvarmes svagt over en Bunsensk Lampe, optager det, saaledes som Moissan angiver, Ilt og antager en mørkere Farve. 0,4915 Gr. af dette iltede Produkt brugte efter Behandling med Jodkalium og Salt- syre 50 Ce. ”/10 normal svovlundersyrligt Natron svarende til 8,13 Proc. virksom Ilt, altsaa 0,8 Proc. mere end i det anvendte Manganmellemilte. De i det foregaaende omtalte Glødningsforsøg vise Resultater, der selvfølgelig ere i høj Grad afhængige af de Betingelser, hvorunder de anstilles, idet saavel de anvendte Diglers Tykkelse og Rumfang som Lampernes Styrke faar en betydelig Indflydelse. Dog fremgaar det tydeligt deraf, at Manganet kun med stort Besvær kan bringes til fuldstændigt at gaa over fra den tetravalente til den divalente Form i sit Forhold overfor Ilt, medens det der- imod søger ved given Lejlighed at gaa den omvendte Vej. 1) Ann. de chimie et de phys. [5] 21, p. 231 o.f 29 159 Dette ses ogsaa, naar vi betragte det Manganmellemilte, der hyppigere er bleven anvendt ved nærværende Undersøgelser, og som fremstilles ved Tilsætning af frisk tilberedt Manganoveriltehydrat til en ammoniakalsk salmiakholdig Opløsning af Manganforchlor under Opvarmning, saaledes som Otto!) angiver. Jeg skal her meddele et Par udførligere Ana- lyser af dette Stof end der foreligger fra tidligere Undersøgeres Haand. 1. Manganmellemiltehydrat fremstillet nøjagtigt efter Ottos Forskrift. 1) 0,826 Gr. lufttørret Manganmellemilte blev behandlet med fortyndet Salpetersyre i Bægerglas paa Asbestplade og opvarmet til Kogning i en Time; herved lades Mangan- overilte uopløst; dette gav 0,2735 Gr. Mn, O, eller 33,11 Proc. 2) 0,941 Gr. gav ved Glødning i Platindigel et ensartet kanelbrunt Mn,O,, der vejede 0,894 Gr. svarende til 88,36 Proc. Mn O. 3) 0,817 Gr. tabte ved 100° 0,017 Gr. eller 2,07 Proc. 4) 1,285 Gr. tabte ved Tørring over Svovlsyre i 40 Timer 0,0225 Gr. svarende til 1,75 Proc. 5) 0,368 Gr. lufttørret Stof, behandlet med Jodkalium og Saltsyre, brugte 32,3 Cc. ”/10 normal svovlundersyrligt Natron svarende til 0,02584 Gr. virksom Ilt eller 7,02 Proc. Uagtet sit Vandindhold indeholder altsaa Stofflet samme Mængde virksom Ilt som vandfrit Im, O,; det maa altsaa indeholde et Overskud af Manganoverilte. Det lufttørrede Stof faar altsaa Sammensætningen: SUMO ERE 88,36 Proc. OPL RENE Se 7,02 — CAN OMAN Fae 4,62 — (Differens). 6) 0,893 Gr. af det over Svovlsyre tørrede Ilte gav efter Kogning med Salpeter- syre et Manganoveriltehydrat, der efter Glodning gav 0,297 Gr. Mn, ©, eller 33,26 Proc. 7) 0,379 Gr. af samme over Svovlsyre tørrede Ilte brugte efter sædvanlig Behand- ling med Jodkalium og Saltsyre 34,1 Ce. ”/10 normal svovlundersyrligt Natron svarende til 7,19 Proc. virksom Ilt. 8) 0,5025 Gr. af det ved 100° torrede Stof efterlod ved Behandling med fortyndet Salpetersyre et Manganoveriltehydrat, der ved Glodning gay 0,171 Gr. Mn, O, eller 34,03 Proc. 9) 0,305 Gr. af det ved 100° tørrede Stof brugte ved Titrering med */10 normal svovl- undersyrligt Natron 28,3 Ce. svarende til 7,42 Proc. virksom Ilt. 1) Liebigs Annaler, 93, 372 160 30 Saafremt det Tab af 2,07 Proc., som det lufttorrede Ilte lider ved Tørring ved 100°, repræsenterede del fuldstændige Vandtab ved denne Temperatur, uden at der samtidigt fore- gik en Iltning af Stoffet, vilde dette kun kunne medfore en meget ringe Forskjel i Mengden af virksom Ilt i det luftterrede og det ved 100° tørrede Stof, idet de 7,02 Dele der for fandtes paa 100 Dele nu skulde findes i 97,93 Dele, hvilket vilde give det Resultat, at det ved 100° tørrede Stof skulde indeholde 7,16 Proc. virksom Ilt; da der fandtes 7,42 Proc. er der altsaa allerede ved 100° foregaaet en Iltning; denne bliver ifolge J. Posts!) Under- sogelser langt betydeligere ved 250° til 300°, saaledes som vi ogsaa senere skulle se. Otto angiver, at det her omtalte Manganmellemiltehydrat ikke angribes ved Kogning med en Salmiakoplosning, hvorfor han anvender denne Methode til at rense det for Mangan- forilte; ifølge Roses”) Angivelse angribes derimod det cohærente glodede Manganmellemilte af Salmiak; der synes her at være en ikke let forklarlig Uoverensstemmelse mellem de to Ilter, da det dog er overvejende sandsynligt, at det mindre cohærente Ilte maa være lettere angribeligt. At Roses Angivelse er rigtig viser folgende Forsog: 1) 1,077 Gr. glodet Mn, 0, blev opvarmet med en concentreret Salmiakoplosning paa Vandbad i I Time; Filtratet gav en meget tydelig Manganreaction med Svovlammonium; og Bundfaldet gay efter Glodning 1,056 Gr. Mn, O,, der var altsaa tabt 0,021 Gr. eller 1,95 Proc. 2) 1,249 Gr. behandlet paa samme Maade, men inddampet til Torhed i 3 Timer, tabte 0,067 Gr., altsaa 5,44 Proc. 3) 1,409 Gr. behandlet med conc. Salmiakoplosning i 15 Timer i Porcellænsskaal overdækket med Tragt, saaledes at det fordampende Vand stadigt fortættedes og flod tilbage, tabte 0,064 Gr. eller 4,0 Proc.; det synes af Forogene 2 og 3 at fremgaa, at Salmiakken ved Inddampning til Torhed ved 100° angriber Manganmellemiltet langt sterkere; for- modentlig findes der allerede ved denne Temperatur en Dissociaton Sted af Salmiakken i NH, og HCl, naar et andet Stof er til Stede, hvormed Saltsyren kan forene sig. Det synes mig herefter sandsynligt, at Ottos Manganmellemilte ogsaa maa angribes af en Salmiakoplosning, og jeg soger en Stotte for denne Anskuelse i den Omstendighed, at dette Ilte, naar det fremstilles paa den af Otto angivne Methode og koges med Chlor- ammonium, altid indeholder for meget virksom Ilt, hvilket altsaa kan hidrøre fra den Om- stendighed, at Salmiakken har berovet det noget Manganforilte. Til nærmere Undersogelse af dette Forhold saavelsom for at prove, hvorvidt Sammensætningen af dette Ite var nogen- lunde constant, fremstillede jeg en ny Portion deraf, anvendte rigeligt Overskud af Mangan- forilte og kogte en enkelt Gang med Salmiak, men undlod den gjentagne Kogning hermed 1) Verh. zur Beförderung d. Gewerbefl. in Preussen, 58, p. 468, og Gmelin-Kaut: Handbuch der Chemie, II, p. 442. *) Handbuch der anal. Chemie, 1867, Bd. I, p. 235. 21 161 og torrede efter omhyggelig Udvaskning Stoffet ved almindelig Temperatur. Dette Produkt, der havde en særdeles smuk kanelbrun Farve, blev underkastet folgende Analyse: 2. Manganmellemilte fremstillet efter Ottos Methode med Udeladelse af den gjentagne Kogning med Salmiakoplosning. 1) 1,2755 Gr. gav efter Glodning 1,217 Gr. Mn, ©, svarende til 88,74 Proc. Mn O. 2) 0,567 Gr. gav ved Glodning i en tor Iltstrom 0,559 Gr. Mangantveilte, der ved Titrering viste sig at indeholde 0,0252 Gr. virksom Ilt (9,96 Proc.) og altsaa svarer til 88,76 Proc. MnO i det anvendte Manganmellemilte, hvilket stemmer med Glodningshestemmelsen som Manganmellemilte. 3) 0,559 Gr. afgav ved Glodning i en tor Luftstrom 0,0245 Gr. Vand, der absorberedes i Winklers Absorptionsrer; dette giver 4,38 Proc. 4,0. 4) 0,588 Gr. brugte efter Behandling med Jodkalium og Saltsyre 50 Ce. ?/10 normal svovlundersyrligt Natron, hvilket svarer til 6,80 Proc. virksom Ilt. Resultatet er altsaa, at det lufttorrede Ilte har Sammensætningen: AM ONE 88,76 Proc. OP ea sa 6,80 — DET Om, Var 4,38 — (direkte). 99,94 Proc. Dette Produkt indeholder altsaa en mindre Mengde virksom Ilt end det føromtalte og nærmer sig meget til rent Manganmellemilte; de 95,54 Dele vandfrit Ilte, der findes deri, indeholde 6,80 Proc. virksom Ilt, hvilket vilde give 7,1 Dele paa 100, medens rent Mn,O, kræver 6,99 Proc.; Forskjellen er altsaa ringe. Dette Ilte blev nu provet overfor en concentreret Salmiakoplosning, idet det blev opvarmet dermed paa Vandbad; det viste sig herved, at der efter en Times Forlob kunde paavises kjendelige Mængder Mangan i Filtratet fra det uoploste ved Hjælp af Svovlammo- nium, og den uoplaste Rest afgav efter Udvaskning atter Manganforilte til en Salmiakoplos- ning. Dette Manganmellemilte angribes altsaa af Salmiak, men som rimeligt er findes der snart en Grændse, hvor denne Virkning maa ophore; dette folger ligefrem af Dannelses- maaden for Iltet, thi det er netop fremstillet ved Indvirkning af Manganoveriltehydrat paa Manganforilte i ammoniakalsk salmiakholdig Opløsning, altsaa maa der ved Salmiakkens Indvirkning paa det dannede Ilte snart indtræde et Punkt, hvor Betingelserne for dets Dan- nelse atter er tilstede, idet der er gaaet Manganforilte i Oplosning, frigjort lidt Ammoniak og dannet noget Manganoveriltehydrat. Heri have vi sandsynligvis Aarsagen til, at Ottos Manganmellemilte indeholder lidt Overskud af virksom Ilt, da det er behandlet med Salmiak- oplosning indtil Produktet ikke afgav mere Manganforilte til denne. Roses Angivelse gjælder altsaa saavel for det glodede som for det vandholdige Manganmellemilte; begge angribes af Salmiak, dog er det sandsynligt, at der herved dannes Manganoverilte og ikke Mangantveilte, som Rose anfører, da det sidstnævnte ogsaa an- gribes af en Salmiakoplosning. Henstilles det paa ovennævnte Maade fremstillede Manganmellemiltehydrat, hvis Sammensætning er angivet ved den sidstanforle Analyse, i en Platindigel i Sandbad ved 300°—330° optager det en betydelig Mengde Ilt; 1,0582 Gr., der henstod paa denne Maade i ca. 12 Dage, havde efter denne Vids Forlob antaget en næsten sort Farve og vejede der- efter 1,0826 Gr.; 0,372 Gr. af dette sorte Ilte brugte efter sedvanlig Behandling med Jod- kalium og Saltsyre 51,6 Ce. ?/10 normal svovlundersyrligt Natron, svarende til 11,09 Proc. virksom Ilt; denne Iltmengde svarer til et Indhold af 60,34 Proc. Manganoverilte; Iltningen er altsaa skredet noget forbi Mn, O, og paa Vej til MnO,, hvilket Maal selvfølgeligt vilde være uopnaaeligt, da ren Manganoverilte begynder at afgive sin Ilt ved 210°. J. Post!) har bragt Ottos Manganmellemiltehydrat til at oplage saa meget Ilt ved 300°, at det der- efter indeholdt 56,95 Proc. MnO,; dette stemmer altsaa meget vel med ovenanforte Forsøg, hvor den anvendte Temperatur var noget højere og Absorptionen maaske derfor noget stærkere. Den Egenskab at ilte sig højere tilkommer saaledes i høj Grad Manganmellemilte- hydrat, men ogsaa med den naturlige Manganit Mn, O,.O,H, lader det sig ved Forsøg vise, at den under visse Omstændigheder optager Ilt, ligesom vi i Naturen finde Pyrolusit- krystaller som Pseudomorphoser efter Manganit. Jeg henstillede fintpulveriseret Manganit paa et Uhrglas i et Kobbertørreskab ved 100°, under daglig Befugtning med destilleret Vand, i 4 Uger; det viste sig derefter, at Stoffet, der oprindeligt indeholdt 9,18 Proc. virksom Ilt, nu indeholdt 9,73 Proc.; under Processen var Pulveret stærkt sammensintret og havde an- taget en mørkere Farve. Under den forenede Indvirkning af Fugtighed og Varme var altsaa Manganitten begyndt sin Omdannelse til Pyrolusit. Det følger ogsaa af, hvad her er fremført, at man ved Fremstilling af Manganilter, der ere lavere end MnO,, ad den vaade Vej, aldrig maa tørre det fugtige Ilte ved 100° men altid først maa anvende Lufttørring, da man i modsat Tilfælde altid faar en noget for høj Iltmængde. Pickering har allerede tidligere bemærket dette, men ikke forfulgt Sporgs- maalet videre. Jeg er nu naaet til Slutningen af dette Afsnit af mine Undersøgelser, der væsentlig have omfattet Manganets Forhold til Jerngruppens Metaller og dets Tilbøjelighed til at op- 1) Se foran. 33 163 træde tetravalent overfor Ilt; Fortsættelsen af nærværende Arbejde vil nærmest omfatte Manganels Stilling til Platingruppen, til hvilket Spørgsmaal Nicklès !) Undersøgelser har givet et væsentlig Bidrag. Nærværende Arbejde er udført i den polytekniske Læreanstalts chemiske Labo- ratorium, og jeg bringer herved dettes Bestyrer, Hr. Lektor, Dr. phil. S. M. Jørgensen en hjertelig Tak for den Beredvillighed, hvormed han har stillet alt til min Raadighed, hvad der krævedes til Arbejdets Udførelse. 1) Comptes rendus, 65, p. 107. Kjøbenhavn, d. 7de Marts 1883. kin ie | 72) ROSER NØ HAT SANGER han 2 | BA HR VE Du Farah i" ue ON" à: | “in - in À iy M. À 14 “a PAL: Nr | IK u À i ry =@ a, Ne VIE ' ee x N Le i I nts i 6 i hu Sr RT: | ook oe he te i nah ji HN 1 Le ir År 0) ey (hy u er AE OR me és TER ir RE. RAM, ar is Be ok eh pikes, Fra) ee vig it À BL [A Lau : an” PM 5 i * A DE "BE i X N: a nm 4 ar "Minik ‘1 JU hr eae Ni Ku Ch ai Van hu «il IAAL 39 HER LT - 5 DO ie GIVE Wh, 4 eas i rt LA gt 7 at i SØDE d DNS RO d'A PER AL 2 ui OS MENT à PP, SCT EN MØDE see LØN A m Art Yin DEN en ide i ps Ra à | N N PO PET OS" fh PEN RE AM kd pre 112 52. ME Ale Pr Od) | en ATOME PR LL i a The Ae aia) i rs = rl a i a. A ; du PAS ee : = j N , : 7 4 4 pat) A LL ES (a DAT 7 eaten i i ya uy ny) + Le MAR hi + 2 RC \. ORE SK > | MORT ern Ze 0 ÉD Dore”. M Lo CE sd MEN Wi eu ö a ah aa “6 VIN DE 3 ya 4 MARS FAG bit id vig? | £ ur For . + ‘i i yal pris Te con eye N= i | sr : I LÆS GE . 2 A y Pie t f i DOSE . te Jd RS, À a + >on à a REN fe Ve Se 7 FU TRES "yy a ins: u eee Re VUE UE os Sy a, Bin ee [os ARE : a, if aol : f cian LIT vtt, A 3 LU DES SE Ae Re ey, ae en PAS SETS I ‘ 7 5 f x i N u ma à . ‘Sa Farvespredningens Theori, Af L. Lorenz. Vidensk. Selsk. Skr. G. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. II. 5. Kjøbenhavn. Bianco Lunos Kgl. Hof - Bogtrykkeri. 1883. Any he rye te © MAL ak Ve" DEREN Lo 7 BIER an ER a, an ’ ig i 7 i J ludo Raed | < Meret ummm AN Da vi kjende saavel Lovene for Lysbevægelserne i et fuldkommen homogent og gjennem- sigtigt Medium som Lovene for Bevegelserne ved Overgangen fra et saadant Medium til et andet lignende, saa maa det altid vere muligt uden nogen som helst Hypothese at beregne Lysbevegelserne i det Indre af et ikke homogent, overalt fuldkommen gjennemsigtigt Medium, naar kun Lysets Hastighed, den eneste Storrelse, hvorpaa det her kommer an, er bekjendt i ethvert Punkt af samme. Jeg skal her forsoge at udfore en saadan Beregning med det Formaal, at udlede Loven for et isotropt, gjennemsigtigt Legemes Farvespredning, navnlig for saa vidt denne er afhængig af Bolgelængden og Legemets Vægtfylde. De almindelige, til en variabel Forplantningshastighed svarende, Love for Lys- bevegelserne har jeg allerede for 20 Aar siden udviklet i min Lystheori. Disse almindelige Love skal jeg her, uden at støtte mig paa tidligere Arbejder, udlede paa ny og paa en simplere Maade. Da endvidere Opgaven gaar ud paa at beregne Lysbevegelserne i et Legemes Indre, saa maa en bestemt indre Konstitution af Legemet forudsettes. Der kan vel neppe herske nogen Tvivl om, at Legemerne bestaa af adskilte Atomer eller Molekuler, og det fremgaar yderligere af min Theori af Refraktionskonstanten, som har vist sig i god Overensstemmelse med Erfaringen, at ved alle fysiske Tilstandsforandringer forbliver en Del af Lysmediet uforanderlig forbunden med Atomerne, medens Lyset i det ovrige Mellemrum forplanter sig med samme Hastighed som i det tomme Rum eller i Verdensrummet. Forøvrigt bliver der med Hensyn til Atomernes Gruppering og Lysmediets Afhengighed af denne Gruppering endnu en vid Mark aaben for Hypotheser, men til en Begyndelse maa Beregningen ind- skrenke sig til de simplest mulige Forudsætninger. Jeg antager derfor, at Lysets Hastighed ner ved Atomerne, som jeg betragter som mathematiske Punkter, er en Funktion af Af- standen fra Atomet og den samme Funktion for alle Atomer, at endvidere Hastigheden i sterre Afstande er den samme som i det tomme Rum, og endelig, at Atomerne ere lejrede tilfældigt, dog saaledes, at de tilfredsstille Betingelserne for Legemets Isotropi. 21* 168 4 Man vil her kunne gjore den Indvending, at Atomernes indre Bevægelser ligeledes ere en uomstodelig Kjendsgjerning, som ogsaa maa tages med i Betragtning. Efter de for Tiden gængse Forestillinger ere disse Bevægelser af en dobbelt Art, dels nemlig saadanne som antages at være identiske med Varmen, dels andre, som foregaa i Takt med Lyssving- ningerne og som antages at være Aarsagen til Legemernes Absorbtion og Udstraaling af Lyset. Skjondt jeg ingenlunde anser Identiteten af Varmen og de indre molekulære Be- vægelser for bevist, saa betvivler jeg dog aldeles ikke saadanne Bevægelsers Existens, men de Hastigheder, hvorom her er Tale, ville i Sammenligning med Lysets Hastighed altid være saa smaa, at de ingen kjendelig Indflydelse kunne faa paa Lysbevægelserne. Det eneste bekjendte Spor af en Indvirkning af Legemernes Bevægelser paa Lyset (bortset fra et meget tvivlsomt, 33 Aar gammelt Forsøg af Fizeau over Lysets Gjennemgang gjennem strømmende Vand) er Stjernernes Aberration, men de molekulære Hastigheder ere endnu langt mindre end Jordens Hastighed i Verdensrummet. Den anden Art af Bevægelser danner Grundlaget for de nyere Lystheoretikeres Arbejder over Absorbtionen og Emissionen. Mod Antagelsen af disse Bevægelser kunde strax gjøres den Indvending, at naar et Legemes Atomer skulde ligesom Lyset kunne udføre 500 Billioner Svingninger i Sekundet, saa maatte der være saa uhyre Kræfter tilstede i Legemets Indre, at en Forskydelse af en Billiontedel Millimeter fra Ligevægtsstillingen af de i et Gram indeholdte Atomer vilde udkræve et Tryk af en Billion Kilogram. Denne Hypothese er dog ikke opfunden for at forklare en eller anden umiddelbart ved Lyset frem- kaldt Massebevægelse, da vi overhovedet ikke kjende nogen saadan Virkning af Lyset, men kun til Forklaringen af-visse optiske Fænomener, som maaske ogsaa kunde forklares paa anden Maade. Hvorledes nu dette end forholder sig, saa vil det dog i ethvert Tilfælde være nødvendigt først at beregne Medsvingningerne af det Atomerne omgivende Lysmedium under Forudsætning af, at Atomerne ere i Hvile. Skulde det derefter vise sig nødvendigt at antage Atomernes Medsvingninger, saa vilde disse altid bagefter kunne medtages i Regningen. De almindelig anerkjendte Love for Lysets Svingninger i et isotropt og fuldkommen homogent Medium kunne udtrykkes ved følgende Ligninger: = ae Lady > dé dé ade? “27 adi? ?> «dt? | (1) DEN CAE pices | dx | dy dz 2 idet & 7, € ere Lyssvingningernes Komposanter og d? d? A, + dy? Ir dx? d? de? a betegner her Lysets konstante Forplantningshastighed. 5 169 Ved Overgangen fra et saadant Medium til et andet lignende, hvor dog Hastigheden er forskjellig, folger Lysstraalen den bekjendte Sinuslov, medens ifolge de af Fresnel op- dagede Love Amplituderne i de indfaldende, brudte og titbagekastede Straaler forholde sig som 2 cos asin 2 _tg(a — 8) naar den indfaldende Straales Svingninger ligge i Indfaldsplanen, og som ‚2cosasinß, sin(a— f) sin(a +) sin(a + 2)" naar den indfaldende Straales Svingninger ere vinkelret paa Indfaldsplanen. Ved a er Indfaldsvinklen, ved 3 Brydningsvinklen betegnet. Polarisationsplanen er her antaget vinkelret paa Svingningsretningen. Den af mig udviklede Theori gaar alene ud fra, at disse Love ere almindelig gjæl- dende, saaledes at alle Afvigelser fra disse Love kun hidrøre derfra, at intet Legeme er fuldkommen homogent, og at Overgangen fra et Legeme til et.andet foregaar successivt, uden Afbrydelse af Kontinuiteten. De ovenfor angivne Love kunne ogsaa udtrykkes paa en anden Maade. Naar Koordinatplanen yz tages som Grænseplanen imellem de to Medier, saa ville de fire Størrelser Eu 2 NE Tee CEE da dy? az de paa begge Sider af Grænseplanen faa lige store Verdier, hvilket fremgaar af de angivne Love, ligesom ogsaa disse omvendt kunne udledes af denne Sætning. Heraf følger, at d dy dé > d {dy da de\de dy) ® dz\dz =| for Exempel ere endelige overalt, ogsaa for « — 0. Ved Addition af disse to Størrelser erholdes dé Annee dy Dette Udtryk bar altsaa overalt en endelig Verdi. Man vil saaledes ifelge den anden Lig- ning (1) kunne danne Ligningen som fælles for begge Medier, idet w er Forplantningshastigheden, som antager forskjellige Værdier i de to Medier. Paa ganske lignende Maade kan man af de ovenstaaende Grænse- betingelser udlede Ligningen Ps dé i a2G JIE ZT VE eke en = 7 2 dz w dt? 170 6 og, da yz-Planen vilkaarlig er valgt som Grænseplan, ved Omsætning af Bogstaverne ME Ch Gis De de «? dt?" Saaledes ere altsaa alle Lovene for Lysbevægelserne udtrykte ved tre partielle Diffe- rentialligninger, af hvilke atter de Love, vi ere gaaede ud fra, let ville kunne afledes. De fundne Differentialligninger maa ogsaa vedblive at gjælde, naar w betragtes som en hvilken som helst Funktion af x, y og 2. De indeholde egentlig intet nyt, og man vilde kunne undvære dem, men de ere af stor Betydning for den praktiske Regning. Indskrænke vi Beregningen til en Belgebevægelse med given Svingningstid, kunne vi udtrykke Afhængigheden af Tiden ¢ ved den fælles komplexe Faktor e“, Sættes k2 ao ae gaa de ovenfor fundne Differentialligninger over til N dé 14 - def — Gate = 0, dy gi tig = 0, 426 — tee = 0. -.. 2) Jeg skal forst soge at bestemme Lysbevægelsen i et af koncentriske kugleformige Lag bestaaende Medium, hvor Lysets Hastighed er alene Funktion af Afstanden 7 fra Centret, Inden for ethvert af disse Lag antages # konstant, medens i de forskjellige Lag y antager forskjellige Verdier. Selvfolgelig udelukker denne Forudsætning ikke det Til- fælde, at ~ forandrer sig kontinuerlig, da Lagenes Tykkelse altid kan antages saa lille, som man vil. Settes x& + yn + 2€ = p, og multipliceres Ligningerne (2) henholdsvis med a, y og z, saa erholdes ved Addition dr? dp = Ta + 10 OS ee ame oe N (3) De samme Ligninger (2) differentierede med Hensyn til x, y, z og adderede give dup 4 ge BAT OC CA EEE (4) Medens x i Grænsefladen mellem to Lag forandrer sig diskontinuerlig, ville visse Funktioner af Svingningskomposanterne overalt variere kontinuerlig. Saaledes fremgaar af Ligning (3), at Pro dr?) rdr? rdr er endelig overalt, hvoraf følger, at dro dr ie i 171 er en kontinuerlig Funktion, som altsaa paa begge Sider af enhver Grænseflade, hvor y forandrer sig diskontinuert, har den samme Verdi. Jeg vil udtrykke dette ved folgende Betegnelse une dl — cz 7 q 0. Da endvidere paa begge Sider af Grænsefladen y er konstant og # derfor lig 0, saa redu- ceres denne Grensebetingelse til tap is PER BEDE aa Soi (5) En anden Grænsebetingelse fremgaar deraf, at maa være endelig overalt, da Differentialkoefficienterne med Hensyn til 7 her bortfalde. Indsættes heri den i Ligning (4) angivne Verdi af 4, gaar Udtrykket over til _ 1 dup p adr r 7 hvoraf følger, at wo er en kontinuerlig Funktion, og at man altsaa for alle Grænseflader har BEER NET ER (6) Disse to Grænsebetingelser i Forbindelse med den inden for ethvert Lag, hvor y er kon- stant, gjeldende Differentialligning AY pe DR ee M ER (7) ere tilstrækkelige til Bestemmelsen af p. Naar i den første Ligning (2) sættes 2 — rcosg, ses det, at CRETE då . Tie. GR SS ne sin @ er en Storrelse, som overalt er endelig. Da endvidere ligeledes, som ovenfor vist, ere endelige overalt, saa fremgaar, at d’rE dr? a É a op — COS @ > + sing drdp = er en overalt endelig Størrelse. Efter at dette Udtryk er omdannet til ré d 2) dr? dr\ da)? erholdes heraf Grænsebetingelsen ES aie. aie bo à rr (8) dr dx dré 0 dr dr? er endeligt overalt, saa erholdes som anden Grænsebetingelse Re = jell == 416 à 608800 6 4 0066 6 00e (9) I Analogi med disse to Ligninger dannes dr do a 7-2 == un ee | ER, a: (10) es Sal 2p LEE = E À nel LE til hvilke Grænsebetingelser slutte sig de udenfor Grænsefladerne gjældende Differential- ligninger x Höfe —= 0 Aen LIU AE CCE LEON a ee (11) Desuden skal man her have # — 0. Funktionerne p, €, 7 og € kunne udvikles i Rækker efter Kuglefunktioner. Jeg vil imidlertid her benytte en fra den sædvanlige forskjellig Form, hvorved der opnaas en be- tydelig Lettelse i Beregningen. Sættes d” 1 da" dy" r og antages, hvad der for den folgende Regning er tilstrækkeligt, at p, £ og 7 ere lige Funktioner af z, € derimod en ulige Funktion af 2, vil man kunne benytte folgende Ud- viklinger: Va I E—= Væ+y?+ 2, yen mm =. gr Mm y" > møn d 7m 12) RE wear an ade WE) A yo" m = ws 21 Pp Ana RRS nen ee idet Summationen udstrækkes til alle hele Verdier af m fra m = 0 til m = n i de tre første Rækker og til m = n —1 i den sidste Række, og dernæst til alle hele positive Verdier af n fan = 0 til n — ©. Koefficienterne 9”, €”, 7,, € ere alene Funktioner af». Tillige bemærkes, at naar der i Regningen indkommer Differentialkoefficienter med Hensyn til z af højere Orden end den første, saa bortelimineres de ved Hjælp af Ligningen Al WE (Eh Af Definitionen af V” fremgaar endvidere d VÆ n + 1 7m ete pe y SARE dr r z Naar Rækkeudviklingerne indsættes i Ligningerne (7) og (11), ses det, at Koefficienterne m em m gm Pro n> Ans ©, maa tilfredsstille Differentialligningen 2f 2 2 Er Ru ENO oe ic: begs (13) dr? r dr 9 173 Denne Ligning har de to partikulære Integraler n —= »2n+1 ih ee pe sis Se hut 2 : ( 2(2n + 3) aise 2.4. (Qn + 3) (Qn ge 5) | b Fe pers | SPAM OU (14) Rte ee DE AR Ten es Man vil altsaa kunne sætte Pa = kre, Ar PA) n ? EX TE CAR Sr and, 9 | ON ere oe (15) Tipe en, my PA mn m J b pee bn Gn Ar [RR 7 Sate nen a In CU ) idet alle disse nye Koefficienter ligesom y ere konstante inden for ethvert af Lagene, men have forskjellige Værdier i de forskjellige Lag. Af Ligningerne (14) erholdes den dé 12 — (9 EN le 4] rdr len rdr ee \ Hs - . (16) 9 d n 9 d n er zn Pt Oy tae a. Sie (CRETE Ifølge Definitionen af V” har man 0 2770 70 2 a, al, DEN = Differentieres den første Ligning n — m Gange med Hensyn til # og m Gange med Hensyn til y, og differentieres den anden Ligning x — m + 1 Gange med Hensyn til = og m — 1 Gange med Hensyn til y, saa erholdes to Ligninger, som let omdannes til (2n-+ 1) av" r LUE (n? — må) vi + m(m—1)V ae | i sf / (2n-+ 1) y ye — = r? GEVÆR +L (n—m + 1) (n — m) V" | — (2n— m 1) (m — 77.) fil Paa lignende Maade og med Benyttelse af de sidste En erholdes (2n+1)2V" = — ne Vi + (n—m) (n m—1) > ve Hmm) À VÆ . (18) Af denne Ligning erholdes endvidere ved Differentiation med Hensyn til 2, naar n — 1 sættes i Stedet for », | ye m m+2 m m+2 (2n + eV amt Be, avers (mn — m —1)n —m—2)V7", — ((n—m—1) + n-+m’) v" , — m(m—1) er: (9) n—1 De fire Størrelser p, & 7, € ere indbyrdes forbundne ved Ligningerne d& dy , dg zé + yy + 2È = p, heroes: For at bestemme de heraf folgende Relationer imellem Koefficienterne 9”, 0.58. v., danner (a) On? 7 jeg først følgende Rækkeudviklinger, idet s er et vilkaarligt Tal, rv w Vidensk, Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd, II. 5. 174 10 drsxé s+1 dé > un Kr: nash! us Tr ANNE Sl pa st! m dr : dx 26, ((s ny al n 2 J a dry s+1 dy UNE 1 væ sa) "dr ar dy 7% N, ((s—n)a Y n 7 n+1 / drsz @ s+1 dE m s—1 d m $ 2 SR LC eS AL A pe S Sti zm rm +42 dr = dz mir (s n)r- “dz V n—! aime (i nel n+1 DE Ved Addition af disse tre Ligninger erholdes paa venstre Side 5 5 s—n—1 m disp = ala, On rå Pa (PE dr dr Pi 3 SMK EN 7m ym d Paa højre Side indsættes de ovenfor fundne Verdier af #V", yV” og oe OU hvorefter az paa begge Sider Koefficienterne til V” sættes lige store. Paa denne Maade erholdes, naar man sætter s — n + 1, m 2n—1 dp, em m—1 gm gm—2 In +1 rdr SR ara 1 Sn—1 Sn 1 =a 0, Ce De D + 00 9 (20) og naar man setter s — —n, m In +3 2n+2 d Pn m+2 2 2\ =m La ne, aL 9 lose NET ee Pa Ore art ini dr pm —- (m + 2) (m + Ulmer (2 +1) m) En (m +- 1) (2n m+ VW Ana m—1 m+2 2 2 m + (n—m +-2)(n—m +1) 7,5, — (m-- 2)(m-- IN) Gat — (In —m) +m +n + lan 7 m—2 Un me 2) nl) = 04.0" he feo (abba Fa: (21) Indsættes heri de i Ligningerne (15) givne Udtryk for 9”, 0. s. v., saa erholdes med Benyttelse af Ligningerne (16) DE ‚Mm m m—1 Re Allee | ae Zn—1)k a, +b c c = (D), n—1 n—1 LL m m 5m—t m LES) CENT) ET CEE Ce Q ER yo 5 ae Li, FE In + { % G4 D Pa 1 Mn Mn 0, J = an ET k + (m + 2) (m + tant? = (In IE = m’) CAE — (m +1) (2n—m+ BEN + (n—m 4- 2) (n—m + 1) Ca — (m-- 2) (mi DER = (In — m)” m nt De, — (n— m +2) m — m + iles = 0, (23) — (In + 3) Zn —- (m 4-2) (m + æg — (in +- 1} — m’) ira — (on + 1) (In — m +-1 WEES 5m—1 m+2 + (n—m-- 2) (n — m + 112,4 — (m + 2) (on +- ler — ((n — m)? + m? + n-- 1) m ni — (n — m +2) (n— m + lire = 0. Foruden disse Relationer imellem de indenfor ethvert af Lagene konstante Koefficienter maa man ogsaa opsøge Relationerne imellem de forskjellige Koefficienter i to tilgrænsende Lag. FR 11 175 Betegnes Koefficienterne i det indre tilgrænsende Lag ved et Mærke, og er 7 Grænsefladens Radius, saa erholdes af Ligningerne (5) og (6) on py a , 5 dp LM ON CN te, AL] n m i ng eg en ge loue CS er, mm] idet CA og w ere de samme Funktioner som @, og 4,, blot med Forandring af y til y. Naar den betragtede Grænseflade er den Centrum nærmeste, saa tilhører Koefficien- terne k”" og x” det centrale Kuglelag. Her maa alle Koefficienterne x” forsvinde, da i modsat Tilfælde o vilde blive uendelig i selve Centret, og af Ligningerne (24) kan, ki bortskaffes ved Elimination. Derefter kan man gaa over til den næste Grænseflade og saaledes videre, hvoraf ses, at man for et hvilket som helst Lag vil kunne finde en Ligning De May N SEES bre Re mi eher (95) hvor p, afhænger alene af x og af de Verdier, som y og Grænsefladernes Radier gjennem- lobe indenfor det betragtede Lag. Ligeledes erholdes af Ligningerne (8), (9) og (10) ved Indsættelse af Rækkeudviklin- gerne og Sammenligning af Koefficienterne til V sex Ligninger, som ved Hjælp af Lig- ningerne (20) og (21) kunne reduceres til folgende to Grænsebetingelser: [m (€ — ee) —-(n—m-+ 1) es — Ge )| = ()), l „m m m— m—2 F Ze SR En ) ua 1) (7 — Så )| 0): Sæltes for Kortheds Skyld BETT D PT m(a, — 7") —- (n—m+ (ar — 7) = G\ ; J saa erholdes med samme Betydning af de markerede Bogstaver som ovenfor m m Im ! tm Pn ar 0} (OM = 5, Pn AF On (OM 7 ; sm D 9 de dé „do „dd aaa a m n N m n x m n m n 8 bo Di me LO) — , In Ur n dr dr, hvoraf atter, paa ganske lignende Maade som ovenfor, erholdes m m RE DR NE re) idet q, alene afhænger af n og af de Verdier, som y og r gjennemlobe indenfor det betragtede Lag. Efter at saaledes de almindelige Ligninger til Udforelsen af Beregningen af Lys- bevægelserne i et af koncentriske, homogene Kuglelag bestaaende Lysmedium ere opstillede, skal jeg gaa over til Undersogelsen af Lysbevægelserne i det Indre af et isotropt Legeme, 227 176 12 idet jeg, saaledes som bemærket i Indledningen, Betragter Atomerne som Punkter, hvor- omkring Lysmediet indtil en vis Afstand lejrer sig i koncentriske Lag, medens det udenfor denne Afstand, som antages mindre end to Naboatomers halve Middelafstand, forholder sig som i det tomme Rum. i Er ö den halve Middelafstand af to Naboatomer, og antages i Afstanden 0 fra et af Atomerne Lyssvingningerne parallele med y-Axen, saa vil man, naar tillige Bevægelsen antages at forplante sig i Retning af z-Axen, kunne sætte OT NO ED NC Ve om EE ET (29) idet / er en Funktion, som gjentager sig periodisk fra Atom til Atom. Den sidste Formel fremstiller altsaa en Bolgebevægelse, som forplanter sig igjennem Legemet med Hastig- heden = For nærmere at bestemme Betydningen af Funktionen F, ville vi betragte to Atomer, hvis Afstand er 29. En ret Linie igjennem de to Atomer skjerer de to tangerende Kugle- flader, hvis Centrer ere de to Atomer og hvis Radier ere lig 6, i de tre Punkter A, B og C. De Verdier, À antager i denne rette Linie, kunne fremstilles ved en Kurve, som fra A til B og fra B til C gjentager sig paa samme Maade, saaledes at F faar de samme Verdier i A og i B, og at Tangenterne til Kurven i disse to Punkter blive parallele. Da r regnes positiv til begge Sider fra Centret, vil altsaa i A og i.B faa lige store Ver- dier, men med modsatte Fortegn. Man har ME = dy = dV i hvilken Række Leddene for to diametralt modsatte Punkter blive lige store og for n lige faa samme Fortegn, for n ulige modsatte Fortegn. Man vil folgelig erholde for 7 =o lri m yrm m ym —lai m yrm m 7m y pater y z+’ j É (72, V 2n HE Ton +1 y a) ie (7, J 2n Tan +1 J 2n 4) 7 d lær sf m vr 1 m ae —Ilxt yy fm væ m y" 10 En e 2 (ton on T Yon+i" 2n Rn) ec (7% an Mm+1" 2n Hy) =; hvilke Ligninger kunne omdannes til li —Iri m rm di — ri m rm De Ss x 51 / VW / — (e e RE AG (e +e ae a Ve 0, | . . (30) lxi —Iri d ym rm tri —lxi d yom rm Roi (e 21226, ) 2 Yan Van + (€ € ar Banta Van +4 = LL J Disse to Ligninger gjælde for de Punkter, hvori Kuglefladen tangeres af en anden lignende Kugleflade. Dette er altsaa kun et begrenset Antal Punkter, men disse Punkter ligge til- fældigt og kunne, da Legemet antages isotropt, med samme Sandsynlighed falde i ethvert Punkt af Kuglefladen. Jeg antager derfor Ligningerne almindelig gjældende for alle Punkter a i Kuglefladen + — 0. 13 177 Ved den videre Behandling af disse Ligninger er det af Vigtighed at bemærke, at læ kan betragtes som en meget lille Storrelse. Denne Omstændighed har allerede været benyttet af Helmholtz"), som i sin Dispersionstheori er gaaet ud fra den Antagelse, at «de ponderable Deles indbyrdes Afstande ere forsvindende smaa i Sammenligning med Bolge- lengderne». Man er i Virkeligheden som bekjendt ad meget forskjellige Veje bleven i Stand til i det mindste at danne sig et Begreb om disse Afstande. Saaledes vil Bolge- længden af det synlige Lys for Exempel for Vand vere henimod 10000 Gange større end 0, og for Luftarterne maa, selv ved den storste Fortynding, hvorved overhovedet Farve- spredningen lader sig maale, Bolgelængden endnu vere flere hundrede Gange storre end 0. Nu er A a EN FU Apr: Man: naar N er Legemets Brydningsforhold, © Lysets Hastighed i det tomme Rum og 2 den ligeledes til det tomme Rum svarende Bolgelengde. Af den sidste Ligning ses, at la, som i ovenstaaende Formler ikke kan blive større end /9, maa vere en meget lille Størrelse x (4 af samme Orden som BE Tillige bemærkes, at naar y for r — 9 betegnes ved wy, saa er ke 47° OT Fe og altsaa 12 Ho Det ses heraf, at naar /d betragtes som en uendelig lille Størrelse af første Orden, saa vil | N? . (31) #99 være uendelig lille af anden Orden, og at N? fremtræder som et Forhold imellem to uendelig smaa Storrelser af anden Orden. Idet altsaa /@ betragtes som en uendelig lille Størrelse, erholdes af Ligningerne (30) NM PM 1 ym zm Euer lai an lu 1 Te 0, av ir d y 7m + lai Es m gm N dr = a 2n Fr > pre 2n +1 Ved Hjælp af den første Ligning (17) fremgaaer heraf, idet Koefficienterne til V,,,, og Vi’ 2n+1 sammenlignes, for r — à ; 7? IR (Zn Ed m? iy ae (m + 2)(m + 1) n+e )+ m eG An + 1 72 Ant 5 Ton +2 © AnL5 Yon +2 Man un | Is) 2 2 2 ‚22 ae cial N 7” m (2n +1) —m? , (m + 2) (m + 1) m ah Rn 0 J dr pnt? py deo 5 Ant 3 Von aes = Mon +1 Pere ans 1) Pogg. Ann. Bd. 154, S. 584. 178 14 Sættes x = 0, m = 0 erholdes 70 0. . . 2 0 . à . . ey Da man vilkaarlig kan betragte 7 7 som en endelig Størrelse, saa ville de i den første . . . 2 . po . . Ligning indgaaende Størrelser 7, og 7, kun faa Betydning, for saa vidt de ere endelige. 12 Naar der derfor i den anden Ligning (32) sættes n = I, m — 0 og m — 2, saa vil det forste Led, som indeholder Faktoren /7, kunne bortkastes, hvorefter faas in 72 = 0) Gh il 2% TIRE == — 0 — 7, = 0 dr 73 72 arene Ved Indforelsen af de konstante Koefficienter (Lign. (15)) erholdes heraf for de til det yderste Lag indtil 7 — 9 svarende Konstanter, naar de uendelig smaa Størrelser bortkastes, 20,0 — 38%, 20 — 3 For det samme Lag er ifølge de to første Ligninger (29) a,0° + a, = (N, ED + vs — 10! Sættes endvidere i den anden Ligning (22) n = 3, m = 1 og m — 3, erholdes med Bortkastelse af det forste, uendelig lille Led, ,+ß&—n—0, R-n=0; medens Ligningerne (23) for n = I, m = 1 give + 2b) — 3¢, = 0, — 3a,— 4b, — 5x, — 3a,— 1 +28, — 37, — 0. Disse 8 Ligninger ere dog endnu ikke tilstrekkelige til Bestemmelsen af de 8 Konstanter ved xs da det viser sig, at Ligningerne indeholde en Identitet. Imidlertid fremgaar af Ligningerne (26) og (28) for n = 2, m — 1, OE ee BC DO — ay — 7, — 2%, 6, = 4,8, som med Ligningerne ovenfor give 80 = — 2, o, = — 3%, altsaa 38,0 — 28%. Men da g, kun afhænger af de Verdier, som y og Grænsefladernes Radier antage indenfor det yderste Lag, saa maa man have Bb — 0. Dernæst erholdes af de ovenfor fremsatte Ligninger 15 179 Indsættes endvidere i Ligningerne (22) n — 1 og m — 1, erholdes 1 0 1 1 =0 Bu 0 urn 0, gjældende for alle Lagene. For det yderste Lag, hvor y betegnes ved wy, er saaledes med Bibeholdelse af de smaa Storrelser af anden Orden ye, ees I al 1 ma || Brag Lo? a 3 LOX: Ligningerne (33) ville nu kunne omdannes til ag ed sae Ar UD = 4) + Bd + B= — li(b,o = 28 JE PAU 0 iat = (I). hvoraf erholdes 2 1 ao 1 08 „0 l kO+ x, WO + 6 a - = M— 3 Lat 0rS 0 Ly Kö Sq Boa Ifølge Ligning (25) er NH A Daun: Endvidere er ifølge den første Ligning (29) for 7 — à El — 0, altsaa med Bortkastelse af de uendelig smaa Størrelser af højere Orden ad + a, = (1); og sættes i den anden Ligning (22) n — 2, m — 1 erholdes med Bortkastelse af det forste uendelig lille Led af anden Orden for det yderste Lag „0 a, + en = OF medens Ligningerne (26) og (28) for n — I, m — 1 give ae 1 Aas UE" AU ES A a Sian) me UC Af disse Ligninger folger 8? go Pi 4,9 N D Ps À + qi = 7 Sg. ls te RTE ie ele ABA ip, iQ | a hvor p, og g, ere to af à uafhængige Funktioner. Pr 1 8185 Vi have antaget #7? uendelig lille i det indenfor » — 9 liggende ydre Lag, men i andre Lag maa denne Størrelse antage en endelig Værdi, hvis overhovedet en ren i Legemet skal finde Sted. Antage vi, at sr” indenfor Grænsefladen 7 — ¢ bliver endelig, saa vil af den anden Ligning (24) erholdes Le Im for 7 =e, 0 — ke, FLE (4, (LÆR 180 16 1 7m ' . = pik ", hvor p, er uafhængig af e. Man n? medens man ifølge Ligning (25) skal have x” maa folgelig have ie — 0 og 2" — 0, det vil sige, Svingningerne ere indenfor Grænse- fladen r — £ vinkelret paa Radius. Dette er ogsaa umiddelbart indlysende, da vor Forud- sætning er ensbetydende med, at Lysets Hastighed i Grænsefladen 7» — € fra en uendelig stor Værdi gaar over til at blive endelig, hvorved alle indfaldende Lysstraaler maa brydes ind til Midtpunktet og Svingningerne derfor blive vinkelret paa Radius. Dernæst erholdes af den første Ligning (24) for n = 1, m = 1 1 H:2e—— = 0, hvoraf p, = 2e. Man vil altsaa tilnærmelsesvis kunne betragte p, som en Størrelse, der er proportional med Rumfanget af det i Alomets Nærhed stærkt forandrede Lysmedium, men er uafhængig af selve dette Mediums Brydning. Den anden i Ligningen (34) indgaaende Størrelse g, vil vere at beregne af Lig- ningerne (27) og (28). Paa hvilken Maade g, afhænger af Bolgelengden, skal jeg først søge at oplyse ved et Exempel. Jeg antager, at z udenfor Grænsefladen 7 — € er lig 0, indenfor endelig og overalt konstant lig a’. I Ligningerne (27) vil i dette Tilfælde a” vere lig 0, og sættes n — 1, vil man med Bortkastelse af den ovre Index m have 3 ly 3 1 5 8€ + i= 4e — 104€ +) 3 ee SE = 8, PE pans Lie mir ) hvoraf findes a a er ER ie 8 ne ie ea? Man vil altsaa, forudsat at Rækkeudviklingen er konvergent, kunne udvikle 9, i en Række 1 722? Naar ganske i Almindelighed betragtes som en endelig og kontinuerlig variabel Funktion, saa maa man gaa tilbage til Differentialligningen (13), af hvilken Grænse- betingelserne (27) kunne udledes. Antages ligesom for r — e som den Grænse, udenfor efter stigende Potenser af og det forste Led i Rækken vil vere positivt. hvilken » er 0, saa vil Opgaven vere at integrere Differentialligningen under de Betingelser, ; a 5 Hn 5 at man for 7 = 0 faar fr — 0 og for ry = & fn = nett), — — (In + 1)s,r?". Efter Eliminationen af de to arbitrære Konstanter vil der da af disse tre Ligninger erholdes en Endeligning til Bestemmelse af 9. Forudsettes det nu, at f„ overalt lader sig udvikle : : å 1 , i en konvergent Række efter Potenser af den i y indgaaende Faktor Ge? saa vil det uden Vanskelighed indses, at g, almindelig lader sig udvikle i en Række af Formen 17 181 Man vil saaledes se, at naar det til en uendelig Bølgelængde, og altsaa til g, — 0, svarende Brydningsforhold betegnes ved À, saa erholdes af Ligning (34) Som Resultat af denne Undersøgelse fremgaar, at Lovene for Brydningen i et gjennemsigligt, isotropt Legeme med sædvanlig Farvespredning ville kunne udtrykkes ved følgende Ligninger A—11 N?— A? 1 a b ee oem a ln lement cu idet N er Legemets Brydningsforhold, d dets Vegtfylde, À og D to af Vegtfylden uaf- hængige Konstanter. Endvidere er a en positiv Konstant, og som det af Ligningerne selv fremgaar, vil A vere det til A — 2% svarende Brydningsforhold. Den første af disse Ligninger har jeg allerede for 14 Aar siden!) udledet theoretisk paa en ganske anden Maade, og Lovens Rigtighed har senere stadfæstet sig paa mange Maader. Af mine egne Forsog over nogle Vædskers og deres Dampes Brydning har jeg beregnet folgende til Natriumlinien svarende «Dispersionskonstanter» D, idet A er beregnet ved den simplere Formel N? — 4? Fo Vædske ved | Damp ved 10° 100° Alkohole ar. cee 0,00585 | 0,00644 “thylethen nr eee 636 623 Chloroform ea 415 409 Jodathyitis C0 Te Sale 0579 SYoyIkulstofg NT EEE 1615 1732 Eddikexthere.e. ENT 536 | 550 Overensstemmelsen mellem Verdierne af J) for disse to forskjellige Tilstandsformer maa betragtes som meget tilfredsstillende. Naar de i (14) givne Rækkeudviklinger for g, og ¢, ikke ere brugbare, saa ville disse Funktioner, naar for Kortheds Skyld sættes » — a?, kunne udtrykkes ved „sin ar — ar cos ar g vp; = 3 ant ==, db, = cos ar + ar sin ar. Er f. Ex. y — 0 udenfor Grensefladen » — = og » — 4? indenfor denne Flade, vil man have 3 1, SiN ae — ae COS ae ee == 0 : 1 1 1 d ’ % 2 råde . 38,€ = s,— sin ae, “ao g a 1) Vidensk. Selsk. Skrifter, 5te Række, Bd. 8, S. 205. 1869 Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og math. Afd. II. 5. 23 182 18 hvoraf erholdes a, ie: 3e Qi e cot der —. a On SH Det ses heraf, at naar Bolgelengden 2 og derved ogsaa a gjennemlober alle Verdier, saa vil 7, kunne antage en hvilken som helst reel Verdi imellem — og +». Ifølge den anden Ligning (35) vil altsaa ogsaa ved visse Verdier af A N° kunne blive negativ og folgelig N imaginær, hvilket i denne Regning er ensbetydende med en Absorbtion. Antages, at y indenfor Grænsefladen r — = er endelig og at Rækkerne ere kon- vergente, indtil de i en meget lille Afstand fra Centret gaa over til at blive divergente, saa vil Absorbtionen kun indtræde ved enkelte bestemte Bolgelængder, saaledes at vi erholde et sedvanligt af Absorbtionslinier ledsaget Dispersionsspektrum. Idet saaledes den her fremstillede Theori ikke udelukker Muligheden af en Absorb- tion, saa vil paa den anden Side en ufuldkommen Absorbtion, hvor N antager den komplexe Form a+ bi, ikke kunne udledes af vore Forudsætninger. Hvis derfor Loven for den anomale Dispersion skal udledes theoretisk, saa vil det vere nodvendigt at udvide Bereg- ningen til et System af Atomer, som svarer til sammensatte Legemer eller Blandinger. Det vil da forst vise sig, om det ogsaa vil vere nodvendigt at forandre selve Theoriens Grundlag saaledes, at y betragtes som en komplex Variabel, hvilket atter vilde vere identisk med til de oprindelige Differentialligninger for Lysbevegelserne at tilfoje et den forste Differential- koefficient med Hensyn til ¢ indeholdende Led. I saa Tilfælde vilde Ligningerne antage den samme Form, som jeg allerede har angivet i min Afhandling om Identiteten af Lyssving- ninger og elektriske Stramme'). Der vil overhovedet, efter at ved de her angivne Methoder Muligheden af Beregningen af Lysbevegelserne i Legemernes Indre er paavist, blive en vid Mark aaben for videre gaaende Undersogelser. 1) Vidensk. Selsk. Oversigt 1867. Nr. 1. Undersegelser angaaende Mængden af Primtal under en given Grænse. Af Dr. J. P. Gram. Motto: Est data lex numeris magnorum horrenda laborum. En med Videnskabernes Selskabs Guldmedaille belønnet Prisafhandling. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. IL 6. Kjebenhavn. Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri. 1884. it PCA | lulu ST Var u Spare D te A Aj | ak En Al re N; re PAU ENS ROSE qui IN FU É ENG ‘i Wiha tah] mi nf | ks" ey ° ie SR ead Ale MORT UE EE en PNR jh À il LE NP ex ie) ' Pas tå syer; ‘ee ; ‘Wen a a 5 } ohh jui a ei te iy HA LA | , i Tr A ip PEE: ta UN ‘tae “woe | débile PN DUB EN / L x LT is Bi hina) Au ki sé: He y uy ( | i A AN PNG any War.) MAN, OMS air vi’ wey i Ac sen tit YA Ål sorgen ih ae Ay, LS A: A aS Pe ONE hee | YA el pe aks) 0 dj L brag ue Fi, ML LEE by at [4 ' MTS à j ur N a j LAN ne a, he AR Ar AN A ee ee i FE A ' # DV m ed SAY A le 1 Mer re eta À I 4, I) a ‘4 di Be Wi Acme Bee ‘ayo lara À RUN Sr ar Fk W ia All ae SN did fe CLS ave to déduit 7 Yan cu | SRE, ye (ETA SE SHS Indledning. At angive i analytisk Form Loven for Primtallenes Fordeling i Talrækken er el Problem, som for en Mathematiker er saa fristende som kun faa andre. Thi paa den ene Side fremkommer Problemet allerede paa det mest elementære Standpunkt, og paa den anden Side frembyder det saa store Vanskeligheder, at det kan have Tillokkelse nok for den storste Analytiker. Mange ere derfor ogsaa de Forfattere, som fra Tid til anden have anstillet Undersogelser vedrorende Primtallenes Fordeling!), og naar man blandt disse kan anfere Navne som Euler, Lambert, Legendre, Gauss, Dirichlet, Tchebycheff, Riemann, saa maa det næsten synes merkeligt, at vort virkelige Kjendskab til Loven for Primtallenes Fordeling saa at sige endnu kun er af tilfældig Natur. Riemann er den eneste Forfatter, som med nogen Ret kan gjore Fordring paa Æren af at have lost Problemet. I en Afhandling”), som trods sin korte og skitserede Form dog maa betegnes som en af den moderne Analyses ypperste Frembringelser, har han ganske vist gjengivet Loven exakt, men i en saadan Form, at det fundne Udtryk ikke lader sig anvende til nogen virkelig Beregning af Primtalmængden op til en given Grænse, ja neppe en Gang med Sikkerhed tor bruges til en tilnermet Beregning af denne Storrelse. Men naar selv en Riemann ikke er naaet videre, saa maa dette enten ligge i selve Problemets Natur eller ogsaa i, at man ikke har anvendt de mest passende Midler til Problemets Losning. Det vil derfor vere hensigtsmæssigt, for vi gaa over til de specielle Undersøgelser, først at betragte Opgaven fra et mere almindeligt Synspunkt. De mest elementære Betragtninger give Midler til sukcessive at udskille Primtallene af Talrækken og gjøre det indlysende, at Primtallenes Tæthed i det hele taget vil aftage, efterhaanden som man kommer lengere frem i Talrekken. Ligeledes kan let vises, dels at Primtalmængden er uendelig, dels at Intervallet mellem to paa hinanden folgende Primtal kan blive saa stort, det skal vere. Paa den anden Side ser man af Faktortavlerne, at der 1) En Fortegnelse over den herhen horende Literatur findes i Glaisher’s Factor table for the fourth Million. London 1879. 2) Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze. Monatsber. der Berliner Akademie 1359. 24" 186 4 saa at Intervallet mellem to paa hinanden følgende Primtal i Nærheden af et givet Tal kan svinge mellem temmelig store Grænser. Den Funktion af 2, som udtrykker Mængden af Primtal op til z inklusive — vi ville i det følgende betegne den ved #(x) — vil derfor være en diskontinuert Funktion, som vel stadig voxende varierer med Spring af en Enhed, men hvor Afstanden mellem Springene vexler meget uregelmæssigt. Hvis man nu ikke stillede andre Fordringer til det analytiske Udtryk for (7), end at Formlen skulde fremstille denne Funktion i en eller anden Form, saa vilde Problemet ikke være vanskeligt at løse. Med lidt Behændighed er det ikke vanskeligt at danne ana- lytiske Udtryk f. Ex. i trigonometrisk Form, som blive 0, naar 2 er et sammensat Tal, 1, naar © er et Primtal, og ved saadanne kunde altsaa #(x) fremstilles. Det vil til Bevis for denne Paastand være tilstrækkeligt at henvise dels til Ramus’s Doktordisputats!) («De functionum formis etc.r), dels til Prof. Lorenz’ Artikel «Om Primtalrekken» i Tidsskrift for Mathematik 1878, eller til en Afhandling af Libri?), hvor lignende Former opstilles. Men Vanskeligheden kommer først frem, idet man tillige maa stille den Fordring, at den fundne Formel skal kunne bruges til Beregning af Funktionen (x). Thi derved viser selv blandt de største undersøgte Tal findes Primtalpar, hvis Interval kun er 2 Enheder, det sig strax, at slige Former blive ubrugelige. Ja selv saadanne Midler som uendelige trigonometriske eller andre analoge Rækker, navnlig Udviklinger efter Kuglefunktioner, som bevislig kunne bruges til Udvikling af arbitrære Funktioner, og som ogsaa her kunne an- vendes, ville ikke kunne tilfredsstille denne Fordring. Thi omend slige Rækker, fortsatte i det uendelige, kunne bruges — rent abstrakt taget — til Fremstilling af diskontinuerte Funktioner, saa ville de dog i Nærheden af et Diskontinuitetspunkt blive saa langsomt konvergerende, at det vilde blive et forgjæves Arbejde at summere dem, og naar tilmed som her Diskontinuitetspunkterne optræde i uendeligt Antal og fordelte over hele Talrækken, saa kan man neppe vente at finde en saadan Form, at den vilde vise sig skikket til nume- risk Beregning selv for saadanne 2, som ikke svare til Diskontinuitetspunkterne. Noget mere kunde man vente sig af Benyltelsen af bestemte Integraler, det er ogsaa ved Hjælp af saadanne, at Riemann opnaar sine Resultater. Men ogsaa her frem- kommer en lignende Vanskelighed som ovenfor paapegel, omend i en noget anden Form. Et Integral, som skal fremstille @(z), maa nemlig ikke blot være diskontinuert, men da selve Primtallene ikke explicite maa indgaa i det, saa maa det fremtræde i en saadan Form, at Diskontinuiteten ikke tydelig træder frem. Allerede den Omstændighed, at Integralet fremstiller en diskontinuert Funktion, vanskeliggjør Beregningen, thi det medfører, dels at Integralets Elementer variere meget stærkt, og dels, at saadanne Rækkeudviklinger, f. Ex. !) Ramus: Tentamen de functionum formis, originibus et variationibus. Hauniæ MDCCCXXXII. ?) Mémoire sur la théorie des nombres. Crelle's Journal Bd. 9. or 187 for Faktorer under Integraltegnet, som i andre Tilfælde kunne anvendes med Held, her ikke kunne benyttes, da Diskontinuiteten derved enten kan gaa tabt eller i alt Fald fremtræde under ubestemt — altsaa ubrugelig — Form. Endnu vanskeligere bliver Forholdet, naar, som her, Beliggenheden af Diskontinuitetspunkterne er ubekjendt, thi man vil ved Beregning af saadanne diskontinuerte Integraler ofte have Lejlighed til at bemærke, at deres Bestem- melse lettest udfores ved Deling i kontinuerte Dele, altsaa netop ved at fremhæve Diskon- tinuiteten, og dette kan jo i dette Tilfælde ikke gjores. De tilladelige Transformationer af Integralet blive derfor meget begrænsede og maa foretages med storste Forsigtighed, hvis man skal undgaa at strande paa et af de mange Skjer, som en saadan Behandling frem- byder. At Riemann har været i Stand til at gjennemfore sin Methode, er et glimrende Vidnesbyrd om hans Geni, men at hans Resultat ikke er bleven helt betydningslost, beror paa, at det er muligt at dele Funktionen #{x) i en Sum af to andre, af hvilke den første og væsentligste Del er kontinuert og lader sig fremstille i Form af en Række, der kan beregnes, medens den anden indeholder den diskontinuerte Korrektion, som skal anbringes derpaa for at faa den korrekte Verdi af (2). Denne Korrektion fremtræder i Form af en Sum af imaginære Integrallogarithmer, som afhænge af Rodderne i en transcendent Ligning. Disse Rodder ere uden Tvivl atter afhængige af de sukcessive Primtal, men selv om denne Afhengighed var fuldstændig udredet, vilde det vere meget vanskeligt at afgjore, om den Række, der gives for Korrektionen, er konvergent og i saa Fald at afgjore, mellem hvilke Grænser dens Verdi ligger. Det er muligt, at fremtidige Undersøgelser kunne bringe større Klarhed til Veje paa dette Punkt, men en Sammenligning med de gjorte Optællinger viser, at den kontinuerte Del af Riemann’s Formel giver en saa god Tilnærmelse til de virkelige Primtalmængder, at der ikke kan være Tvivl om, at den af Riemann angivne Formel giver et særdeles betydningsfuldt Vink om, hvilke Funktionsformer der skulle benyttes. Vil man nøjes med en Tilnærmelsesformel, vil der neppe kunne opnaas noget bedre Resultat end den kontinuerlige Del af Riemann’s — naturligvis, naar man ikke vil benylte mere sammen- satte Funktionsformer — men der maa rigtignok i saa Fald gives den en noget anden Begrundelse. Forsaavidt man vil blive staaende ved Tilnærmelsesformler, kunde de saakaldte «Interpolationsrækker» her synes at være paa deres Plads. Dette er utvivlsomt ogsaa Til- fældet, men for at kunne bruges med Held, d.v.s., for at man kan nøjes med nogle faa Led i Rækken, er det nødvendigt, at man først har nogen Indsigt i Beskaffenheden af den Funktion, man vil udvikle. Thi kun i saa Fald er man i Stand til at vælge sine Udviklings- funktioner paa den mest passende Maade. Og dette er nødvendigt, da Rekkerne i modsat Fald blive for lidet konvergente og paa sine Steder for meget afvigende fra de virkelige Værdier af #(x). Og selv i heldigste Tilfælde give de kun et saa at sige udvortes Kjend- skab til den Funktion, man udvikler, medens de Relationer, som i Virkeligheden betinge, 188 . 6 at netop én bestemt og ikke nogen anden Funktionsform fremkommer, ikke ville findes ad denne Vej. Af alle disse Grunde ville vi i den følgende Afhandling ikke nærmere forfølge nogen af de ovenomtalte Veje, men kun — væsentlig til Sammenligning og Orientering — give en Fremstilling af Riemann's Methode; derimod ville vi særlig benytte rent taltheoretiske Methoder for at se, hvorvidt man ad denne Vej kan naa. Disse Methoder synes i Virke- ligheden at fortjene en noget større Opmærksomhed, end der hidtil er bleven skjænket dem. Allerede Legendre har lært, hvorledes man ved Benyttelsen af Primtallene op til Vx kan finde Primtalmængden mellem Væ og a ved Hjælp af ufuldstændige Kvotienter, og Meissel har vist, at denne Beregning er praktisk udførlig selv for saa store Tal som 100 Millioner. En lignende Beregning er foretagen tidligere af Englænderen Hargreave og senere af en fransk Forfatter, Piarron de Mondesir. Det Held, disse Forfattere have haft, ligger uden Tvivl deri, at de have anvendt virkelig diskontinuerte Funktionsformer og navnlig saadanne, som væsentlig stemme med Problemets Natur. Russeren Bougaieff er gaaet videre ad samme Vej og har angivet en Formel for selve #/(x). Formler af denne Art ere endnu langt fra at være det, man maatte ønske, og lade sig navnlig ikke direkte omdanne til analytiske Tilnærmelsesformler. Men de give en større indsigt i den virkelige Natur af Funktionen #(2) og de Relationer, som sammenknytte den med andre lignende, end de tid- ligere nævnte, -og det er muligt, at fortsatte Undersøgelser af saadanne Former ogsaa ville kunne lede til Opstillingen af brugbare Tilnærmelsesformler. Et væsentligt Skridt i lignende Retning er paa et beslægtet Omraade gjort af Svenskeren Berger, der ved som Udgangs- punkt at benytte en Formel, der oprindelig skyldes Dirichlet (Abhandlungen der Berliner Akademie 1849), er naaet til at opstille en Række mærkelige Formler, som angive Middelværdierne af visse symmetriske Funktioner af et Tals Divisorer. Analoge Betragt- ninger lade sig ogsaa anvende paa Primtallene, og ved at sammenknytte disse med visse Undersøgelser af Tchebycheff kan man paa en ret simpel Maade komme til en Bestem- melse af Primtallenes Middeltæthed og derigjennem atter til Tilnærmelsesformler for for- skjellige Funktioner af Primlallene op til en given Grænse. Mærkeligt er det, at man ad denne Vej faar tilvejebragt en Forbindelse mellem tv saa forskjellige Methoder som de af Tchebycheff og Riemann anvendte. Uagtet denne Methode synes at give gode Løfter om et heldigt Resultat, er det dog ikke lykkedes mig at gjennemføre disse Undersøgelser paa den Maade, det var ønske- ligt. Alligevel tror jeg dog, at denne Methode fortjener nogen Opmærksomhed, fordi den i Virkeligheden giver en Indsigt i det paagjældende Problems Natur som ingen af de andre, og fordi den rammer noget af det mest centrale i det. Og netop at forsøge paa at trænge ind til Problemets Kjærne har været Hovedformaalet for nærværende Arbejde. Vi have der- for fra først af stillet os paa det Standpunkt, i første Række at finde et exakt Udtryk for 7 189 Primtalmengden eller for dermed beslægtede Funktioner, medens Sporgsmaalet om Tilnær- melsesformler kun stilledes i anden Række. Det er muligt, at man ved at stille sig paa det omvendte Standpunkt kunde have opnaaet tilsyneladende større Udbytte, men til Gjengjæld vilde den indbyrdes Sammenhæng mellem de forskjellige Betragtningsmaader neppe være traadt saa klart frem, som vi nu tro er Tilfældet. § 1. Symmetriske Funktioner af alle Primtallene. Som Forberedelse til Studiet af Primtallenes Fordeling er det gavnligt at gjøre sig bekjendt med forskjellige Relationer mellem Funktioner af Primtallene og visse Funktioner af Tallene i den naturlige Talrække. Uagtet disse Relationer væsentlig tjene til Beregning af visse symmetriske Funktioner af alle Primtal og altsaa ikke direkte kunne benyttes, naar man kun medtager Primtallene op til en vis Grænse, saa spille de dog i alle Under- søgelser om Primtal en saa stor Rolle, at man altid maa have dem paa rede Haand. Vi ville derfor nedenfor samle disse under et, idet vi dog for Bevisernes Vedkommende i de fleste Tilfælde nøjes med Henvisninger til de Forfattere, hos hvem de findes. Et Primtal vil her som overalt i det følgende blive belegnet ved p, eller hvis der er flere saadanne, ved a, 6, e 0.s.v., og det bemærkes endvidere udtrykkeligt, at vi ikke medregne Tallet 1 iblandt Primtallene, saaledes som f. Ex. Glaisher gjør det. A 1 6 Allerede Euler") har undersøgt Produkter af Formen VIE — =); hvori p efter- | Pp haanden tillegges de Verdier, som angives ved Primtallene. Et saadant Produkt vil som ; 2 me ul bekjendt*) være konvergent, saafremt dette er Tilfældet med Rækken. ur altsaa, da il al! A aes : é 2 Be 25 hvor » —:1,2,3 0.8. v., i hvert Fald for » > 1. Udvikler man den reciproke > nm Værdi af hver af Faktorerne i Række, faas NE 1 I 1 1— ) = | 4 +... ( p' pry ; 2 på og altsaa faar man, naar alle disse Faktorer multipliceres sammen, og Leddene ordnes efter deres Størrelse, en Række, der kan skrives som 1) Introductio in Analysin infinitorum Cap, XV. 2) Weierstrass: Theorie der analytischen Facultäten, Grelle's Journal Bd, 51. 190 8 1 I 1 sm U Se eu lita? (1) der er ubetinget konvergent, saalænge » => I. Derfor bliver altsaa À I UE =) EE (2) p s(r) Den samme Ligning vil endnu gjælde for komplexe 7, for saa vidt mod r>1. Af denne folger atter ved paa begge Sider at tage Logarithmen og udvikle i Række I i 1 5 ıy ıy = (sir 7 at Pre me Is(r) for r>1, (3) og ligeledes ved Differentiation med Hensyn til 7 Spt Sp-"lp 1 Sop +... = — nn — 2 (4) s(r) 4 s(r) der ogsaa kan skrives som il s'(r) ' S'ip—T —2r ae ae en >>]; (p+ pt...) lp en s(n)? r5—> I (4) Da man endvidere maa have 1(1—2). m(1 i x) = UE =): p p pP \ saa" kan ogsaa Værdien af Produkter af Formen UE +) bestemmes ved Hjælp af de l reciproke Potenssummer s(r), for saa vidt mod r > 1. For 7—=1 maa m( I ==, blive 0, I eftersom den reciproke Verdi giver den harmoniske Rekke, Produktet UE +2) maa derfor blive uendeligt, og den Række, som faas ved at udfore Multiplikationen, divergent. I Udføres Multiplikationen af de enkelte Faktorer i Produktet H(i — =)’ faas en Række, der kan skrives som M(t —p—) = 1— Sat Da tb — Sabre +... (5) hvor a,b,e... betegne forskjellige Primtal. Da Rækken er ubetinget konvergent for r > 1, kunne Leddene i dette Tilfælde ordnes efter Storrelsen, hvorved faas I TT (1 — p) = 1 — 2-7 — 8 ST HT NOT IT. = (6) aay Man ser, at de enkelte Led indeholde rte Potens af saadanne Tal, som ikke ere delelige med noget Kvadrattal, og med Fortegnet (— 1)”, hvor m angiver Antallet af det paagjeldende Tals Primfaktorer. Betegner man altsaa ved p(x) en Faktor, som for z — et Primtal eller et Produkt af et ulige Antal forskjellige Primtal er lig —1, men for « — 1 eller et Produkt af et lige Antal forskjellige Primfaktorer er +-1, i andre Tilfælde lig 0, saa kan (6) skrives som Mt—p-") = pleat = —. (7) 1 s(r) = bø 8 9 191 Hvor vidt ogsaa denne Ligning vedbliver at gjælde for 7— 1, allsaa om Rækken Snl(a)ar" er konvergent, kan paa dette Stadium ikke afgjøres, senere skal dog vises, at den ialfald er endelig og 1, naar den afbrydes ved et hvilket som helst Led. For øvrigt vil en numerisk Beregning vise, at dens numeriske Verdi hurtig nermer sig stærkt til 0, og at den snart er positiv, snart negativ. Euler har foruden de nævnte Relalioner opstillet en hel Række andre, som dog ikke uden videre kunne bruges, da der ikke fores tilstrækkeligt Bevis for Konvergensen af de optrædende Produkter og Summer. Blandt disse kan f. Ex. anfores folgende: BD Bei PEUR. le ss AI nay. Ty (8) ee een 4 Tellerne i de her optrædende Faktorer ere alle ulige Primtal, Nævnerne de nærmeste Multipla af 4, altsaa p-+-1 eftersom p = 4mF 1. For denne Ligning er der senere givet et fuldstændigt Bevis af Mertens‘). En anden er folgende: N ye u: TE IE Fee Ne hvori der kun indgaar Primtal af Formen 6n--1. Vi anføre disse Relationer, skjønt vi a =e 9 273 (9) senere ikke gjore nogen Brug af dem, fordi den forste giver os Anledning til en Bemærk- ning. Det er klart, at alle ulige Primtal have Formen 4n +1 eller 4n—1, lad os antage, at alle Primtal fra en vis endelig Grænse g at regne havde kun en af disse Former, altsaa f. Ex. 4n + 1. Saa fik man, idet de foregaaende Faktorer samledes til en enkelt, A: A res 4 ap! 21e T Men denne Ligning er umulig, eftersom Z er en endelig Konstant, og det sidste Produkt har Verdien ©. Vi lære heraf, at der maa vere uendelig mange Primtal af Formen 4n-+-1, og paa ganske tilsvarende Maade ses, at der ogsaa maa vere uendelig mange al Formen 4n — 1, og vi faa altsaa herved et simpelt Bevis for et specielt Tilfælde af en af Dirichlet bevist almindelig Sætning. De reciproke Potenssummer s(r) af Tallene i den naturlige Talrække spille i mange Undersogelser en stor Rolle. De, der svare til lige 7, udtrykkes som bekjendt let ved de Bernoulli’ske Tal?), idet T° 9 Ti ene de 78 Br 5 A ee ee 1g GS eee) ih, EO) almindelig eme Ay e (9; a EM, 92m—1--2m s(2m) = [2m] 2 Tr, (10% 1) Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie, Borchardt's Journal Bd. 78. *) Se f. Ex. Schlômilch: Compendium der höh. Anal. 1, S. 244. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. 157 a 192 10 For ovrigt ville de, for saa vidt man vil have de numeriske Værdier af dem, baade for r lige og r ulige, lettest og sikrest beregnes ved at udregne de enkelte Led. En saadan Tabel er givel af Legendre og er nedenfor meddelt i Tab. I. Af Rækkeudviklinger, i hvilke disse Summer indgaa, mærkes især folgende: sinz 1 Byg? 1 SES 1 8525 “AE 1 2 ) CRE Meee CE eu NE ( 0 [7] s(r+1) = = (14) 0 hvoraf ses, at den nævnte Funktion staar i nogen Forbindelse med /'-Funktionen. I sin ovennævnte Afhandling, «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze», anvender Riemann et betydeligt Arbejde paa at finde et Udtryk for s(r), som kan anvendes til videre Behandling og bruges ogsaa for imaginære r. Ved at gaa ud fra det ovennævnte Integral viser han først, at Funktionen Tr) ®”s(r) bliver uforandret, naar r ombyttes med I—r, og for særlig at drage Fordel af denne Egenskab, fremstiller han s(r) ved Formlen Lr)x ?”s(r) u (ter de, (15) v0 = 2 . . hvor ¢(z) = Ze * 7, Idet han dernæst setter r — 3+ % og 1) Se: Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgeg. von Dedekind. 3 Aufl. Supplement II. 2) Se f. Ex. Schlömilch, Comp. I, S. 430. 11 193 r r = E(t) = r(E+1)@—1)2- ss, (16) kan £(t) udtrykkes i Form af et bestemt Integral, der kan udvikles i Række efter Potenser af #,. Derved ledes han til at indse Muligheden af at opløse €(¢) i et Produkt af Faktorer 9 t : à ee 3 af Formen I——;, Gange en Konstant €(0), og derved vil det i Virkeligheden atter blive TE muligt at udtrykke s(r) som en Kvotient af Produkter med uendelig mange Faktorer eller med andre Ord at fremstille /s(r) som en Sum af Logarithmer af lineære Faktorer, og det er netop dette, han specielt har Brug for. Men Udtrykket for &(t) fremtræder under Formen i £ al Wa 1 S(t) — 94 værn a 4 cos (1tlx) dx, (17) og at gjennemfore de antydede Regninger med Udvikling i Række efter Potenser af ¢ samt Opløsning af den derved fremgaaende Ligning turde derfor vistnok vere frugteslest. Forsaavidt man ikke vil fortsætte Rækkerne for s(r) i det uendelige, men afbryde dem med Leddet »—”, saa kunne Summerne bestemmes, idet man ved Hjælp af Stirling's n Formel finder et Udtryk for Summen Na”: 1 n 1 1 r Moar — us —r+i na m za C et von 19” +... Specielt mærkes for den harmoniske Række den bekjendte Ligning i 1 1 1 0 2 ie 5 Oa rp ery UT) ile (18) Et andet Udtryk haves ved Formlen 1 1 I d = Mn ns da amele+N+0C, (19) hvor x maa vere et helt Tal. I Forbindelse hermed skal anfores, at I — 0 l.T{(x+1) = ale — «+> be + LV 2x Seat hvor O 1, I 1 1 I I 1 — = — — 5 5 gr 4 en i w w w w w w i —— — === — = == RTE EE (27) 1+w (I+%) — 1 (1+w)?— 1 (1+ w)? — 1 (1+ w)? — 1 (1+ w)®—1 Gaar man her til Grensen og antager w uendelig lille, gaar denne atter over til folgende LES RCE OO SE al 2 = — — = u Me — == lo 0 9 0 1 2 3 5 iF 6 FEE ele) = (28) Forsaavidt nu det var godtgjort, at den her optrædende Række er konvergent, saa vil dens Sum altsaa blive Nul. Forudsat at dette virkelig finder Sted, saa vilde man ogsaa ved Multiplikation med /z og Overgang til Exponentialfunktioner faa, at ei a (29) Ligesaa vilde man af Rækken for —/(!—2) finde folgende nye Række a= — 1-2) + LUI a2) + $1(1—2)... all): (30) Setter man atter heri 2 — 1— 2, faas IE EE 2a og antager man 2 uendelig lille, kan denne atter skrives gez 224 (92)2 , (32)8 . (b2)5. (62) ©... = (2-!. 22. 23...). (22. 32 458.678... (Bl) Da den første Faktor i det sidst anførte Produkt nærmer sig til 1, saa bliver altsaa den anden Faktor et— eller, da z er uendelig lille, 93.33,55.67%... =e, (32) der ogsaa kan skrives som 1/2 + 113 + 415 — 2164-417... = 1. (33) Vi have anført disse Udviklinger, som findes hos Mobius, fordi de trods de mangel- fulde Beviser dog have en ikke ringe Interesse, og de vistnok ved fornyede Undersøgelser 196 14 ville vise sig rigtige. Vi have forsogt at finde Grænser for de Fejl, som begaas ved at afbryde Rækkerne ved et vilkaarligt Led, men disse Grænser ere, naar undtages for den første Række for 2 (26), ikke snævre nok til at have nogen Betydning. Ex. 2 Vi have ovenfor vist i (3), at Js, — Dp EN pre TO pan Eu e Ved at vende denne Ligning om, erholdes Sp = ls, — Iso — Asa — tl ssr + Asp... = Suit) Sir. (34) Da ls, for store m nærmer sig meget stærkt til 2”, saa bliver denne Række stærkt kon- vergent og kan derfor bekvemt bruges til Beregning af de numeriske Værdier af reciproke Potenssummer for Primtal. Paa denne Maade er Ligningen anvendt af Merrifield!). For r — I kan Xp vel findes paa denne Maade, men denne Sum viser sig at være uendelig. Mertens har derfor forsogt at finde en Tilnærmelsesformel for Bp, hvor G er en vilkaarlig valgt højere Grænse. Han finder i den anførte Afhandling”) G 3, re (35) 1 hvor C er den Eulerske Konstant, H en anden Konstant, bestemt ved, at H = is, + 41s, + 11s, — As, ... = BET sir), (36) medens à ligger imellem Grænserne 4 2 Elmer ere (él Ex. 3. Af Rækken F(z) = f(a) + 4 flat) +4 fa) + Etes) + … (38) findes ved Omvending, at fi) = Fla) — 4F (x) — 4Fla8)... (39) Er specielt x) = ({x)', saa er altsaa ogsaa ; 1 fle) — (ley — La — LE. 3 (layr — (dep [12-040 80407 = (ley 2 3 Sr+1 Hvis derfor F(z) kan udvikles i Række efter stigende Potenser af Zw, saa vil det samme vere Tilfældet med f(x), og F(x) = alu + b(lx)? + elle)’ +... (40) giver N A b c à fla) = = le + — (la)? + — (la +..., (Al) 2 DE) 84 f som vil vere konvergent, hvis Rækken for F(a) er det. 1) Proceedings of the Royal Society of London. Vol. XXXII. 1881. *) Borchardt’s Journal Bd. 78. 15 197 Ex. 4. Ved Anvendelse af Môbius's Faktorer lader der sig ogsaa udlede adskillige Resultater om endelige Rækker. Betegner man f. Ex. ved F (7) den diskontinuerte Funktion x F(a) = 1 — 27 — 37 — 57467... Hal). = Iula)lat, (42) 1 og ved E— det sterste hele Tal i Kvotienten =, saa hayes F(x) + 2-"F(EZ) + 3" F(EZ) RC nl — ls (43) eller, som den ogsaa kan skrives, Ym"F()— 1. Er specielt r — 0, og sættes Zy(x) — Mia), 1 1 saa bliver altsaa M(a) + M(5) + M) +... Mu) = 1. (44) Ex. 5. Et noget lignende Tilfælde er følgende. Man skal bestemme Funktionen F{n) saaledes, at for alle x haves (idet n er et helt Tal) a a CS) TES) EU en) SÅ Ved Anvendelse af Möbius’s Faktorer faas heraf ved efterhaanden at sætte oe, E~0.8.v. > ”) for x = D ER pe te SE ML Fin) hr E 3 ier ae sees — Zula) se = Det er imidlertid let at se ved sukcessiv Beregning af f{(1), f(2) ..., at f(x) = i, saa at altsaa almindelig haves Sala) E— et. (46) 1 a en n ie Sættes heri H— — re hvor r, er en positiv ægte Brok, saa faas TL v n 1 TER DR I = 1 =n2ula)- STE Zulr)rr = n Lux) - IS Rn) + R,(n), (47) 1 xv 1 1 z hvor Z,(n) betegner Summen af de Led, p(x)r;, som have positive Fortegn, Æ,(n) Summen af dem med negative. Altsaa bliver endelig Sa) : = a aE, gel a) _ Ron) h (477) n n n Da de to Restled optrede med modsatte Fortegn, er det at vente, at de omtrent ville op- heve hinanden, saa at = vil angive den omtrentlige Verdi af Rækken. Absolute Grænser for Afvigelserne faas ved at bemærke, at R,(n) < (+) (9: Summen af positive ~), og R,(n) << Z(—y), saa at man faar 1 1 a Le 1 kg 1 1 LE ua ENT) RCE AE (48) 2 1 x 2 n n n 198 16 ke 1 I : 7 Vi se heraf, at Rækken (a) - = reeks hvor À i ethvert Fald er en ægte Brok. 1 é Rækken (28) kan derfor, fortsat i det uendelige, ikke divergere, men maa enten være kon- vergent eller oscillere mellem endelige Grænser. $ 3. Bestemmelse af (x) ved bestemte Integraler. Riemann’s Formel. Naar man ved z(z) betegner en Funktion, som har Værdien 1, naar x er et Primtal, og 0, naar w er et sammensat Tal, saa kunne Formlerne SAC Le rs a su er ee] een le) — S1(i1—p~”) skrives som henholdsvis -5 = Ya (ay — (48) 08 Ls(r) = — Iztelli 2"). (49) Den sidste kan ogsaa skrives is(r) = Sr (a) (at dat ia +...) eller, naar man ved &(+) betegner en Funktion, som er 1, naar æ—p, % for ; ; se il æ = p*, almindelig 7, naar æ—p", men 0, naar æ— 1 eller sammensat af forskjellige Primfaktorer, ls(r) = S Gla) a. (50) 1 Enhver af disse tre Ligninger (48) — (50) indeholder implicite en Definition paa de deri optrædende Funktioner z(z) og &(x), og da de gjælde for uendelig mange Verdier af », saa maa det være muligt at udfore Bestemmelsen af disse Funktioner af de nævnte Ligninger. Paa Grund af Vanskeligheden ved al operere med saadanne Summer vil det imidlertid være hensigtsmæssigt at søge at sætte Integraler i Stedet for dem. Navnlig den sidste Form (50) tillader let en saadan Omdannelse, idet ©” erstattes ved r \ 27—"dz. Derved faas T ENT Fol) \eriaz. (51) Le i OF 17 199 Men nu er x.) N°2] a” a2 : 3 4 aii) -+ &(2)\ + 63) ) son == &(1)\ + (611) +802) | + (oi) +42) +.00)\ +... “1 “3 “3 oo “2 3 Betegner man altsaa Summen &{(1) + @(2)-+ &(3) + ...@(a) ved f(x), saa faas, idet f(x) er en diskontinuert Funktion, som ikke varierer, undtagen naar 2 passerer en Potens af et Primtal, at be SER: ES (7) ere as VG 27-1dz — Ua) Age 59 tel = Site ride — 3) fle ride — (arte (52) Funktionen f(x) vil angive Antallet af Primtal op til x + det halve Antal Primtalkvadrater + + af Antallet af Primtalkuber o.s.v. op til +. Udtrykt ved @(7), Mængden af Primtal op til = (inkl.), skal f(x) altsaa vere lig med F(a) = O(a) +19) HI) +... (53) Vi bruge i det folgende for dette Tal Benævnelsen: «Antallet af dividerede Primtal- potenser», idet hver enkelt Potens af et Primtal i dette Antal kun skal tælles som 1 divideret med Exponenten. Det erindres, at Tallet 1 ikke er medregnet i @(x) og altsaa heller ikke i (x). Forsaavidt nu f(x) bestemmes af den ovenstaaende Formel under entydig Form, saa vil i Diskontinuitetspunkterne f(x) ikke kunne falde sammen med #(x), men maa i disse Punkter angive en Middelværdi mellem (x -+ 0) og #(@—0). Derimod er der ikke noget til Hinder for fuldstændig Overensstemmelse i alle andre Punkter. For af Formlen (52) at bestemme f(x) anvender Riemann!) folgende Sætning, som bevises ved Hjælp af Fourier’ske Integraler: Naar, idet s — a+ bi, hvor a>1, g(s) = W (a) aad lal, «0 saa er ogsaa a + cot 2rih(y) = (ots y'ds, og ved Anvendelse af denne fremkommer derefter Udtrykket for /(x) under Formen at+ at fle) 5 I Is(r)ardr, (54) Iri <7ı a—oat og der staar derefter kun tilbage at omdanne dette Integral til en mere handelig Form. Skjont Riemann’s Udledning af denne Formel baade er elegant og ikke egentlig 1) Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze. Monatsber. der Berl. Akad. 1859, eller Riemann's Gesaminelte mathematische Werke S. 136. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. 26 200 18 vanskelig, tro vi dog, at det vil være ret oplysende at vise, hvorledes den samme Formel mere direkte lader sig udlede ad en anden Vej, hvorved det tydeligere ses, at Integralet virkelig fremstiller den søgte Funktion. Som bekjendt er") wo zsinbz+ kcosbz | 7 ET =e for b—0 (55) \ Ke + 2 | 2 ? 0 for) 60. k er her en vilkaarlig positiv Konstant. Sættes ln: saa er altsaa Eu 3 3 | tne REV er VE zsinz ln + kcoszl — E lz = Be 5 (mn) Erz a 9 oe Voie, (56) 0 De Mon Va tie. og fremstiller altsaa en diskontinuert Funktion, der er lig 0, saalænge til +, varierende fra 1 til ©, passerer p", og derefter er lig 1. Indfores Exponentialfunktioner for de trigo- nometriske, saa kan Integralet ændres til co at? 1 1 g\ktzi 1 PNEUS 1 N at Le AG (al Dre fA )as Nets pre 2e (561 0 — œ Divideres dette med n, faas en Funktion, som er 0, indtil x passerer p*, a i 4 i 1 og derefter er lig FR fon 7 he Galery Wis on: Indsættes nu for p efter- haanden alle Primtal, for Exponenten n alle hele Tal fra 1 og opad og summeres, faas altsaa et Udtryk for Antallet af dividerede Primtalpotenser op til 2 Kun hvis z er en Potens af et Primtal, faas ikke selve (x), men + (de — 0) + #(@+0)). Men ved k+zi = Additionen faas under Integraltegnet PE multipliceret med en Række af Formen et il, eset ss ei Ipkt:) + ae + Dpt) +... Men denne Række er for k > 1 konvergent, og dens Sum lig l.s(k-+-2), og altsaa faas, at Integralet 1 aa, i: 2 ] 57) Fe) = an ) kai .s(£ + 22) dz ( vil fremstille Funktionen 4(x), undtagen i selve Diskontinuitetspunkterne, for saa vidt k er 1) Se f. Ex. Riemann: Partielle Differentialgleichungen, herausgeg. von Hattendorff, S. 33, eller G. F. Meyer: Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale S. 197. 19 201 en positiv Konstant, der er > I. Men dette Integral er netop identisk med Riemann’s, hvilket strax ses ved at sætter == k + 21, Integralet (56’), hvorfra vi gik ud, er et specielt Tilfælde af en anden lidt alminde- ligere Form, som vi nu ville udvikle, da Riemann gjør en udstrakt Brug af den ved Transformationen af Integralet for f(x). Erstatter man nemlig k-+ 27 ved Differensen (a—b) + (2—y] 7, hvor a, b, z, y ere reelle og a>b, saa faas !) ato ; ta fe Maure = ar (ME Bey: | a 21 dz je —b) + (e—y) „de ; eller, naar man sætter a + 2 —r, b-+yi = f, ato fre 4 —— dz == 277". ati, r—ß Multipliceres paa begge Sider med 2%, faas altsaa almindelig, idet æ antages > 1, ar” ator ar a” 3 —_dz = = — dr = Inaf , (58) r—ß i \r—ß LA e — co a—c À hvor r og 2 ere komplexe Tal, og den reelle Del af r er større end den reelle Del af 2. I denne Form (med Ombytning af r med s) benyttes Ligningen af Riemann, der dog ved en eller anden Uagtsomhed har faaet et urigtigt Fortegn paa den ene Side af Ligningen. Ved Differentiation med Hensyn til 2 fremgaar alter heraf folgende Integral +» 1 at toi 27 ar é yes då urn B fe | ("—)? de i \ r— A? a Anal , (59) Uw Va—wi Carel eller for 8 —0 | = dz = Ila. (60) U_ © Man ser let, hvorledes man ved Benyttelsen af de her angivne Integralformer kan sammen- sætte Integraler, som give symmetriske Funktioner af Primtallene op til x, idet man for a setter © og summerer for alle Primtal. Men alle disse Integraler faa vesentlig lignende Form som det Riemannske Integral for f(x) og frembyde altsaa de samme Vanskeligheder som dette. Flere af disse Relationer ere imidlertid ikke uden Interesse. Vi anfore blandt dem folgende: a” Me Sl Val (5 r dz Re @ I 1@ 1 191 | \(2(2)+ Ne) ye feat |p © à: eae ps |» (OH hvor alle Nævnerne paa højre Side skulle vere < x, den reelle Del af r > 1; 1) Jvfr. Meyer: Bestimmte Integrale, S. 196 202 20 (2 jd een — {Maya (a 62 Føj s(r)dz = 27|2 5 + 72 mt ae 2r|9(a)le— &(a)] , (62) DEV pzva hvor (x) betegner "Y Ip ane Z Ip+ E lp+...; \ sivas — Ex, (63) UC Er = De Se (64) r—1 HUT ® ligesaa (5 ul) = > ar x 1 (7) z — N = — dz = Der à p(n) i (65) À r—| Je str) 1 nm og AL De ELSE VER dz 27 2 p(n). (66) Integrationsgrenserne ere i alle disse Integraler — 2 til + ©. £ 1 Paa samme Maade kan man ogsaa indse Rigtigheden af Formlen (D, 7) an + co , | > \arp, (1 Is(x)) de = — 2rlz.f (a). (67) Ÿ— % Denne kan ogsaa let findes ved delvis Integration af det Riemannske Integral (54). Paa denne Maade er den udledt af Riemann, som derefter legger den til Grund for den videre Behandling af sin Formel. Det vil ikke være overflodigt at vise, hvorledes Riemann gaar frem ved denne Behandling, da Genocchi i sin Redegjorelse for Riemann’s Fremgangs- maade !) her afviger lidt fra R. Vi skulle i det folgende saa ner som muligt folge R.'s originale Methode, idet vi kun tilføje de Mellemled, som han har anset for unødvendige. Ved den videre Omdannelse af det ovenstaaende Integral kan man ikke benytte sig af Rekkeudvikling for 2” efter Potenser af 7, da — bortset fra andre Omstændigheder — Diskontinuiteten derved vilde gaa tabt. Man er derfor alene henvist til at omdanne Is(r) til en eller anden Række, hvilket atter vil vere ensbetydende med at udvikle s(7) i et Produkt af Faktorer. Vi have ovenfor anfort, at det kan vises, at naar a + ti, saa er à Cha ( 3 ) Me, r 2 ‚\alazdia)) = 1, Nenn z~ 3(r—l) rst 1) s(r) = Et) = À Tages tS cosy tla das 1) A. Genocchi: Formole per determinare quanti siano i numeri primi fino ad un dato limite, Annali di matematica da B. Tortolini T. Ill, p. 52. 21 203 hvor dx) = ere og hvor &(¢) fremstiller en Funktion, der altid er endelig og kan LUXE = ; i 8 08 udvikles i en konvergent Række efter Potenser af #*. €&(¢) vil derfor kunne fremstilles under Formen 2 E(t) = &(0). £10). (1 m) (68) hvor £(0) er en Konstant, og Storrelserne a betegne Rødderne i £(t) — 0. Den imaginære Del af Rødderne a er stedse beliggende mellem Grænserne a men er sandsynligvis lig 0, saa at alle disse Rødder ere reelle. Fremstillingen af denne Formel er et Hovedpunkt i Riemann’s Afhandling, men skjont de af selve R. saavelsom af Genocchi givne Udviklinger ere fuldstændig tilstrækkelige til at paavise Formlens formelle Gyldighed jalfald for » > 1, forekommer der mig dog at hvile nogen Uklarhed over dennes egentlige Beskaffenhed. Dette har naturligvis sin væsentlige Grund deri, at selve Rødderne & ere ubekjendte. At finde disse Rødder ved Udvikling af ¢(¢) i Række efter Potenser af t og Opløsning af den derved fremkommende Ligning ¢(¢)—=0 synes at vere et haablost Arbejde, og der vilde altsaa ikke vere andet at gjore end at forsoge paa at finde disse Rodder ad indirekte Vej. Det er ret rimeligt, at de maa paa en simpel Maade afhenge af Tallene i den naturlige Talrekke eller maaske endog af Primtallene, men det er ikke lykkedes mig at vinde Klarhed over dette vigtige Punkt. Det synes ogsaa at vere noget kunstigt at indføre den nye variable ¢. Det er naturligvis sket for at fremhæve, at ¢(¢) er en lige Funktion af ¢, altsaa af Raat men det merkeligste er, at ved den videre Udvikling maa man igjen indfore selve r. Man faar i Is(r) = a) ae a!) 10) (69) hvor alle de enkelte Led undtagen det forste og det sidste kunne udtrykkes ved Elementer nemlig ganske vist forst af Formen l(a-+ dr), og netop denne Form er for Beregningen af Integralet særlig bekvem, men betragter man et enkelt Led i Summen %,, , saa faas ı(ı nes): = i(a@+(»—t)) — ta = 5 -r+ai) +14 rai) — la? Summen 2, kan derfor skrives som (fr; ref een J) (4 ta) — st (70) RE at 3 — at 4 Men nu er SR RAM el de CR AT ata = 2 Ne = 120) — lé em (0) , 204 22 og Folgen heraf bliver, at /&(0) helt forsvinder af Formlen for /s(r) og bliver erstattet ved den nye Konstant lE(Zi). Værdien af denne Konstant kan let angives, idet man som et andet Udtryk for &(¢) har alt ae (+) (nina; cos (su) dx , (71) i 3 og sættes her t— i, faas (57) =>. Herefter findes altsaa endelig for /s(r) folgende Udtryk Is(r) = Zen — 07 (241) Als ue i jeri ih rr ) — 12, (72 2 2 3 Hai = ai. ) og dette Udtryk er det, som skal indsættes i Integralformlen. Man ser deraf, at /£(0) helt forsvinder og erstattes ved —/2, og faar derved en Bekreftelse paa, at Genocchi's Resultat er det rigtige, medens Riemann har begaaet en Uagtsomhed. 1 3 5 3 Vi se tillige, at Størrelserne > = «ai netop maa blive Rødderne i s(r) = 0, forsaa- 2 + 1) til 0, og hvad der ved I vidt de ikke tillige kunne gjøre Faktorerne x 2 (r— 1) r( Riemann's Fremgangsmaade er vundet, er altsaa den Indsigt, at disse Rødder ere af Formen 1 gba og derfor stedse optræde parvis. Vi skulle derefter indsætte det fundne Udtryk for /s(7) i Formlen (67), som giver +» et | fa) = — SER \ «rp, = Isin)dz, og integrere Led for Led. Tages altsaa forst det forste Led i (72), saa giver dette som til- svarende Led i f(x), idet Integrationsgrenserne erindres at vere — æ til +o, Li — Qrlx ber 0d: == (I). saa at dette Led slet ingen Indflydelse faar. Betragte vi dernest det sidste Led —/2, saa giver dette ifolge (60) og saaledes vil overhovedet et konstant Led i s(r) give det samme konstante Led i f(x). Vi betragte dernæst det Led, som efter disse give det simpleste Resultat, nemlig l'-Funktionen. Ifølge Gauss") haves for m— æ I/i1-+z) = Lim, - - - =, UST) 2 (1 +2)(1 +4)...(1 +4) 7 UAE CRT: ; 4 OS & aß 1) Disquisitiones generales circa seriem infinitam ie ete. T 23 205 hvorefter atter ER r{: ++) = Lim "3" (1(' + z ) — Fim), for m—, \ n==1 In og vi maa altsaa soge en Række enkelte Integraler af Formen a a len, ' i(1 + = ) dz en, (+ Lun) dz. 7. zn 4 U: Af disse to forsvinder det sidste, saa at kun det forste bliver tilbage. Dette kan betragtes som specielt Tilfælde af det almindeligere Integral a Bie) = ben, lt — 7) ae (73) For at finde dette, differentiere vi med Hensyn til 2, hvorved faas d B(x) Ps \ 2 IA ee: \ i 1 dB BD vr B(B—r) ae È % Dy (8—r) Heraf kan atter G(x) findes ved Integration med Hensyn til 2, hvorved det ved Bestem- CU 1 ant aß 2 = - = dz ala. — + 4 dz 3 \r BE d Qala 3 (74) melsen af den lavere Integrationsgrænse maa erindres, at den reelle Del af Differensen »—8 maa vere en positiv Størrelse, men at den reelle Del af 7 i øvrigt kan tillægges en vilkaarlig konstant endelig Verdi. I det her foreliggende Tilfælde er 2 — —2n, hvor n er et positivt helt Tal, den nævnte Betingelse er altsaa altid opfyldt, naar vi sætte den lavere Integrationsgrense lig — x. Derved bliver ogsaa a—2n a—2n r r 1 1 PANIER (ita) mor \G 2) KEE De fra /'-Funktionen hidrørende Led i f(x) kunne derfor fremstilles samlede under Formen e—2n À 5, \ as fo ere ede: — Men nu er —2n “-2n fer tz e—2n or a”? ah 4 aan yon — dg = \d aßAdz = \dz \x8 148 = \ ———da = —\: da. B 8 Ê ! lx ala -— 00 LT” © Un LV» oo T Følgelig erholdes endelig, idet «> 1, (ean 9% nw = == 2 fs = Eu dx = \- ss D GT — N Mr 5 nat \ ale ala ~ (a? —l)vlx er x x 206 24 Man ser umiddelbart, at dette Integral aftager stærkt, naar x voxer, og dets Indflydelse ved Bestemmelsen af f(x) bliver derfor af ringe Betydning. For + — 2 angiver Oppermann!), a det kan derfor, naar æ > 2, aldrig faa nogen større Verdi end denne og spiller kun en Rolle, for saa vidt vi tage #< 2. at dets Verdi er omtrent Vi komme dernæst til det vigtigste af de i Formlen for /s(r) indgaaende Led, nemlig —/(r—1). Det tilsvarende Led i f(x) bliver ; 1 RUE | in = ee JD} = l(r—1) dz. <7 Dette kan behandles paa lignende Maade som de tilsvarende Integraler ovenfor. Betragler man nemlig det almindelige Integral i, | (à 7 Br \: D, (5 _ 1) de, saa er, idet @ antages at vere uafhængig af 7, Q a UE Vent. ee VE Tr et dg E B(r—p) 2 À (r—j/3)~ for saa vidt den reelle Del af r—f er positiv. Naar nu B(7) heraf bestemmes som saa maa altsaa den lavere Grense g og Integrationsvejen bestemmes saaledes, at den reelle Del af »—f stedse er posiliv, og at samtidig ved at benylte den samme Integrationsvej 1 = &(r—£) g dz = l(r—1). Men nu er a! 1 Rte A lie el EB 2 La Joy Ek. ze N re Apa? — =a DLL [le 18], UE 1) l(r—1) (2 1): ey g For at det sidste Led skal forsvinde, maa mod g vere uendelig. Dette kan ikke ske derved, at man setter g = ++ bi, da den reelle Del af g maa vere mindre end den reelle Del af 7. Man kan heller ikke give g en negativ uendelig reel Verdi, eftersom man da, hvorledes end Integrationsvejen lægges, vilde faa indført i /(r—1) et imaginært Led + z7. 1) Oversigt over det Kgl. Danske Vidensk. Selskabs Forh. 1882, S. 178. 25 207 1 1 nm ap atp A Tenke vi os nemlig Integralet \ TA delt i de tre Dele \ i +\ , hvor Integralions- CEE V_o v_p vp vejen i det forste og sidste er retlinet og for det sidste en Halveirkel med den uendelig lille Radius p, saa give det første og sidste Integral tilsammentagne den reelle Verdi r Sey ace OU Tee |) ep +1) Det mellemste Integral giver, eftersom Integrationsvejen vælges saaledes, at Polpunktet 7 —0 = Ir—1), for p =0. omgaas ved at integrere gjennem positive eller negative Buer @, henholdsvis, idet 8 = pe, +? ote 227 0 —rdß dp Na mt eller ogsaa NV di + ai RE OS = ( 1 Te œ = —2 Lou TU: B\r—B) B i g 1 te) g Or ex —p En Det imaginære Led kan altsaa ikke undgaas. Alligevel kunne vi bruge —o som lavere Grænse, idet Middeltallet mellem de to sidste Integraler er lig Nul. Vi kunne derfor skrive l(r—1) som den halve Sum af to Integraler ai ae AS idet vi vælge Integralionsvejen forskjellig for de to Integraler. Men dette vil ikke sige andet, end at vi ved Integrationen helt bortkaste det singulære Integral, som hidrører fra det uendelige Element for ?— 0. Man kunde ogsaa, som Riemann gjør, vælge den lavere Grænse som g = -—- »i med passende Valg af Integra- tionsvejen. Hvad enten man gaar frem paa den ene eller den anden Maade, skal Integrationen ved Bestemmelsen af B{x) udføres paa samme Maade, og vi faa altsaa si 3 æ al B (x) ¥ \ a TA 2 EN Qala B hvor Integrationen kan udfores ved simpelthen at indsætte Grænserne i det ubestemte Integral, idet man bortkaster det singulære Integral for 2—0. Ændre vi dette Integral I 13 ——-dz, saa faas ved Substitutionen a? — 2, 2 — 7 ELL °° B(x) hae da ; ne VE VE = im, Ir. JE ae 0 Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. 27 208 26 idet det sidste Integral med Bortkastelse af det singulære Integral netop er Integral- logarithmen til 2, saaledes som denne sædvanlig defineres. Vi se altsaa, at Leddet —/\7—1) medfører Indbringelsen af Integrallogarithmen i /(x). Funktionen Zi(x) kan som bekjendt fremstilles ved Rækken : 3 læ la)? (la)? læ)! Li = C+ lle + 11) m + LE ans ao Det fortjener at bemærkes, at af Leddene i denne Rekke hidrore alle de, som indeholde Hao} (75) Potenser af da fra — 11 =. Setter man nemlig —/(r—1) = — Ir i(1 =] og indforer hvert af disse Led i det Riemann’ske Integral, saa kan (1 —-) udvikles i Række efter Potenser af = Divideres med 7 og differentieres, saa giver den saaledes fremkomne Rekke ved Integration Led for Led netop de Led af Integrallogarithmen, som indeholde Potenser af 4. De to første maa da hidrøre fra —/r, altsaa maa man have Late er \ wD, (ma Cd (76) D D 27 la Vi komme endelig til det sidste Led i Formlen for /s(r), nemlig det, som inde- holder Sg. Leddene i denne Sum kunne nu behandies ganske paa samme Maade som de tidligere, idet de opfattes som specielle Tilfælde af den almindelige Form ; al a Ba) = Nar De i(1 :) onlay 77 2) = \ a"), —— flåde = 277 \ — dp. JR B nie & 2 J, hvor for 2 sættes 4 -- ai. Som lavere Integrationsgrense kan ogsaa her vælges g = — =, naar Integrationen udføres ganske som i forrige Tilfælde. Det i B(z) optrædende Integral ændres ved at sætte a? — z til Formen af Ci | 2 = Lila’), 0 Herefter blive altsaa to sammenhørende Led i /(2), som afhænge af samme a, — (Tiler te) + Li(a2—%)) ; og hele den fra 2% hidrerende Del af f(x) fa = — ZalLilaitéi) + Lie). Den endelige Form for Riemann’s Formel bliver herefter co = en 58 (77) a2 —]| la Ps | . 1 . Q fla) = Lile) — Sa(Li(eit*4) + Like“) | +\ e som kun afviger fra Riemann’s Resultat ved, at Konstanten er —/2 ligesom hos Genocchi, i Stedet for /&(0). 27 209 Selv en meget flyglig Sammenligning med de optalte Primtalmængder viser, at det første Led i denne Formel særdeles nøje fremstiller Funktionen #(x). Afvigelserne mellem (a) og Lila) maa altsaa navnlig tilskrives det periodiske Led Sy. Da vi ikke kjende Rødderne a, er det ikke muligt af Formlen at slutte noget bestemt om Storrelsen af disse Afvigelser, men det vil i hvert Fald være gavnligt at se, under hvilke forskjellige Former dette periodiske Led kan fremstilles. art Da vi fik et af de i denne Sum indgaaende Led under Formen de saa kan dette ændres ved at sætte z — VE Derved faas Ok ; Cain Oil A RP ar Tilt) = NS Ne de ly la vo vo Indfores heri Lai for 2 og tages to sammenhørende Led, faas disses Sum at vere at re arte goidi cos (ala) da = 2 = La ( læ 1 lx ) 5 Vale © kl eo saa at altsaa de periodiske Led ogsaa kunne skrives under Formen eo yy À cos(alr) SS De Vale NY a lv, eller som — 2 OC" (78) Vale vn hvis Rækken Z'cos(alx) er konvergent. Under denne Forudsætning vilde da, hvis M var den største positive eller negative Verdi, som Rækken cos (ale) kunde antage, de x periodiske Leds Sum vere beliggende mellem Grænserne + M.2Li(a) — + M.2\ — ne En anden Form for Summen I. faas ved at bemærke, at man ved Bestemmelsen af B(x) kan vælge den lavere Integrationsgrænse g som a--»i, hvor a er en reel endelig Storrelse, specielt 4. Man kan derfor skrive to sammenhorende Led under Formen altar ya at ad A ae N ae 1 ait 1 m2 ] A zii yt —|\ Sat Sap} = A a ad = (jar Ft oe QE I+ü Pe “TENN Yen). e A+ œi }— oi Un a va tt) a — (th) a" 2t cos (tz) — sin (tla: = ivi la ! T G ) dt ai — fe ) = | ie Karl are a Ua saa at Summen af de periodiske Led antager Formen real — « Å 2¢cos (tle) — sin (tla Vad, (le = Be ) qu. (79) 4 Ar i" Va 210 28 Ogsaa heraf synes det rimeligt, at disse Leds Sum maa vere beliggende indenfor Grænser, som væsentlig ere proportionale med x. Vi se saaledes, at Riemann's Fremgangsmaade virkelig er i Stand til at lede til et exakt Udtryk for Primtalmængden og tilmed, hvad man a priori aldeles ikke var berettiget til at vente, i en saadan Form, at i et enkelt Led Integrallogarithmen træder frem som en kontinuerlig Tilnærmelsesformel, hvis Afvigelser fra den søgte Funktion M(x) tydelig fremtræde under en saadan periodisk Form, at de, hvis en nøjere Beregning af dem var mulig ved Hjælp af selve Formlen, vilde vise sig snart at være positive, snart negative. Men en Beregning af de periodiske Led ved Hjælp af Formlen lader sig naturligvis ikke iværksætte, saa lenge Storrelserne @ ere ubekjendte, og selv om de kjendtes, vilde de periodiske Led fremtræde i Form af en Række, der skulde fremstille en meget variabel diskontinuert Funktion. Rekken maatte i hvert Fald blive uendelig og uden Tvivl saa lidet konvergent, at den ikke kunde bruges til nogen numerisk Beregning. Derimod kunde det tænkes muligt at omdanne Rækken til andre Funktionsformer, som tilstedte en saadan eller ialfald en Bestemmelse af Grænser, indenfor hvilke Værdien af de periodiske Led maatte vere beliggende. Det er med Hensyn til Bedommelsen af Muligheden af saadanne Transformationer af stor Interesse, at man er i Stand til at fremstille f(x) under en anden med den forrige noget beslægtet Form, som ganske vist paa en vis Maade ikke giver noget reelt Udbytte, men som dog giver et Indblik i forskjellige Forhold, som Riemann’s Formel ikke giver nogen Oplysning om, saa lenge Storrelserne @ ere ubekjendte. Det vil erindres, at det ved Bestemmelsen af det Riemann’ske Integral serlig kom an paa at fremstille s(r) i Form af et Produkt af Faktorer. — For at kunne udfore Integra- tionen Led for Led vil det imidlertid ogsaa vere fuldstændig nok, hvis tal ee IT(t—p~") kan Sir fremstilles paa denne Maade, og naar man kun vil have Y(x) for en vilkaarlig valgt endelig Grænse =, saa vil det være fuldt tilstrækkeligt, hvis Produktet af Faktorerne 1—p~’, taget for alle Primtal op til en vilkaarlig valgt Grænse „> 2, kan udtrykkes som et Produkt af lineære Faktorer (ar-+-b). Thi naar Summen air) = 177 + 2-"4+ 37... + 17 —…, hvor n betegner alle de Tal, som kun indeholde Primfaktorer < 7, indsættes i det Riemann’ske Integral, saa faas alligevel som Resultat }((#+-0) + 4(7—0)) saalenge wv < 7. Det er i Virkeligheden ikke vanskeligt at fremstille = under Form af et Produkt. Som bekjendt er nemlig Produktudviklingen for sin > ogsaa gjældende for komplexe 2, altsaa er ee — et — 22. LÆR SE = .) (m—1,2,3...@). MT“ Setter man heri = 47/p, faas efter Division med e® r of / | 2 I—p” — rip: pue fi +(5 2.) JE (80) EN 29 211 og altsaa, naar man heri efterhaanden setter p — alle Primtal < 7, samt 7 antages > 1, 1 zie = rlp \° sya ae i . 2 on IIm + | — . = Bb 3) mi 1+ (7#-)') (81) Følgelig faas ved paa begge Sider at tage Logarithmen — lo(r) = Y' lp + (tr — LL Ep + vp Smell 1 + ZB yi (82) = 2 Zehen Imr ; Ogsaa her fremtræder der et Udtryk for /a(7), hvis enkelte Led, indsatte i Integralet (67), +» ; l 1 vt) = — — Va" DD, | — | dz fæ) = ü vii ( = C0) dz, kunne integreres. At gjennemgaa Udførelsen en detail vil efter det foregaaende vere overflødigt, vi kunne nøjes med at anføre Resultatet, som bliver 7 amri amrı f(x) = — 2 llp + A(z) (C+ lla) — 33a p + Lia” cael (83) eller ved Omdannelse af de imaginere Integrallogarithmer ON } : r 2 cos (2mz x) f(a), = — VUlp + ly) (C+ lle) — 22 STE — de, (84) 2 J h idet der summeres først med Hensyn til m og dernæst med Hensyn til p, (p< 7). Vi have her faaet en Formel, som vel viser en vis Analogi med den Riemann'ske, men dog væsentlig adskiller sig fra denne ved sin aabenbart mere identiske Karakter. Vi skulle ikke opholde os ved at prøve paa at transformere den her optrædende Integral- sum, saaledes at Identiteten træder tydelig frem, men nojes med at henvise til en analog Formel i det folgende, som er lettere at behandle (se nedenfor 27). Paa dette Sted have vi kun anfort denne Formel, fordi den giver et gavnligt Vink om, i hvilken Retning man skal søge for at komme efter de virkelige Verdier af Rødderne a. Om end det ikke kan ventes, at disse skulle faa samme Form som de her indgaaende Argu- menter FE saa er det dog højst rimeligt, at de maa afhænge dels af Primtallenes Logarithmer, dels af en Række hele Tal ligesom hine. Det ligger nær at formode, at man ved Anvendelsen af andre diskontinuerte bestemte Integraler end det, der ligger til Grund for hele denne Undersøgelse, maatte kunne erholde andre Former, som muligvis gave bedre Resultater end dette. Men dette er ikke Tilfældet. Alle de, vi have forsøgt, vise sig at frembyde enten ganske de samme eller endog større Vanskeligheder, og altid viser det sig nødvendigt at foretage en Omdannelse af Funktionen s(r), da man i alt Fald paa dette Standpunkt udelukkende er henvist til denne som den 212 30 eneste kontinuerte Funktion, som staar i umiddelbar Forbindelse med Primtalrækken. Vi faa ganske vist senere en anden Funktion, som frembyder noget lignende, nemlig log. /'«), men denne Forbindelse finder kun Sted for hele Værdier af +. Denne Funktion synes derfor ikke at kunne benyttes paa lignende Maade som s(r), medens den derimod spiller en fremtrædende Rolle ved de rent numeriske Undersogelser, som vi beskjæftige os med i et senere Afsnit af denne Afhandling. Efter at man ved Beregning af Riemann’s Integral har fundet et Udtryk for (2), kan selve Antallet af Primtal #(x) findes ved Hjælp af Möbius’s Faktorer, idet man ved Omvending af Ligningen dx) = A(x) + 19a) + 1 Olea) +... erholder 1 1 1 1 -, | = G(x) = dla) — (x2) — £4 (a3) — 49(a5)... = 2 77 am) de m). Setter man altsaa for #(x) det fundne Udtryk efter Riemann’s Formel, saa faas, idet (x) betegner en Funktion, som er lig 3 (#{æ—0) + #(@+0)), 1, 3 al {f= ; HAS a Aie m). (85) For saa vidt man havde Riemann’s Formel i en saadan Skikkelse, at en korrekt Beregning af f(z) lod sig udføre, saa vilde man ved den numeriske Bestemmelse af (x) for et enkelt æ lettest kunne udføre denne ved alene at søge (x) ved Formlen og finde de andre Led ved Optellinger i Primtaltavlerne, for saa vidt disse vare tilstrækkelig omfattende. Skal man derimod have et analytisk Udtryk for #{x), saa har man for f(x) at indsætte det fundne Udtryk (77). Det vigtigste Led i dette er Leddet Zi(«), som altsaa i F(x) vilde give det tilsvarende Led nr 4 F(a) = Lila) — 1 Lie?) — 1 Li(æ3) ug = 5 pln) Li le m) 3 hvor Summen kan udstrækkes fra m= 1 til m=æ. Men nu bestaar /4(x) af C+ l/æ + en Række, der skrider frem efter Potenser af /v. Belegnes denne Række ved A(x), saa faas altsaa 1 7 7 I au Ul 1 lv uU 7 Fy (2) = Y—plm).C + 2— ulm) ie == » LA (is m) 3 m Mm Mm m Det sidste Led giver en Række, hvis Koefficienter umiddelbart kunne bestemmes ved Hjælp af (41), og man faar, naar denne Række betegnes ved Funktionstegnet P() , læ ENS (IS la) DEE Dear Nee ST P(x) (86) 31 213 Hvad de to første Led angaar, saa give disse, under Forudsætning af Rigtigheden af Form- lerne (28) og (33), 1 1 | af vw " 3) SEE HIS CES hits DCE Wallis 2 lm) .C Her a am) la oe am) Im — 0.C +40 lla +1, saa al man erholder som svarende til Leddet Zi(®) et Led i Formlen for #(x) af Formen 1 + Pie). Ligeledes ses, at det konstante Led —/2 i Formlen for F(x) vil optræde multipli- il : : ceret med Z—y{(m) og altsaa helt vil forsvinde. m Tilbage bliver derefter det Led, som indeholder de imaginere Integrallogarithmer, la en samt Leddet es Ta: Dette sidste Led giver Anledning til det nye Led i /\a) Le Pea (m) | dy D TENTE y?—1 yly : Fr I Setter man i ethvert af de her optrædende Integraler y = 2”, altsaa ly = —Iz P 2 : } J ay Il +-1 dy = —z™ dz, faas i m a Aa re) x I dz ln 7” saa at man vilde faa en Række af Formen a2 Elm) | 1 de | Sala "TI dæ yild) ) Zr — = a en = 1 m , (ei) ale m ENE HET Indflydelsen af dette Led kan altsaa ikke bedømmes, da dertil vilde kræves et nøjere Kjendskab til Rækker, hvis Koefficienter indeholde Faktorerne », og det lønner sig heller ikke at undersøge dette Led særskilt, da det er muligt, at det bør betragtes i Forbindelse med Leddene 2%, hvis tilsvarende Led i F heller ikke lade sig undersøge, saa lenge man ikke kjender Rødderne a. Men saameget kunne vi betragte som sikkert, at for saa vidt vi som Tilnær- melsesformel for (x) opstille Formlen Ya) = Li(z)— C— llæ, saa faa vi som tilsvarende til denne Tilnærmelsesformlen BR Biz) (87) og selv om vi medtage de to bortkastede Led i Integrallogarithmen, hvis Indflydelse, naar 214 32 undtages den aller forste Del af Talrækken, er ringe, saa medforer dette kun, at man faar O(a) = Pia) + 1. (87) Hvilken af disse to Formler som rettest bor benyttes, ses ved Sammenligning med de sande Verdier af @(2); og den vedfojede Tabel VI viser tydelig, at naar undtages © < 3, saa giver den sidste Formel øjensynlig den bedste Overensstemmelse, og vi adoptere derfor denne (87) som den endelige Form for en Tilnærmelsesformel for #(«). I Virkeligheden er P(2)+-1 allsaa kun en anden Form af den kontinuerlige Del af Riemann’s Formel, specielt af det Led, som fremstilles ved Zi(x) — 1 Lila?) — 1 Li(æ) nests men den besidder fremfor denne den Fordel at have Formen af en konvergent Rekke, som i hvert enkelt Tilfælde direkte lader sig beregne Led for Led. Tilmed er Rækkens Form ikke uden Interesse, navnlig fordi den i Koefficienterne indeholder Funktioner af Primtallene. Det ligger ret ner at formode, at det kunde vere muligt for at faa et exakt Udtryk for (x) at erstatte de i Nævnerne optrædende Funktioner s(r) ved andre med disse analoge, men afhængige alene af Primtallene op til x og altsaa diskontinuerte. Da det maatte vere af særlig Belydning at gjøre Beregningen af Funktionen P(x) saa let og bekvem som mulig, besluttede jeg, efter at have fundet dens Fremstilling ved Rækken (86), at forsøge Beregningen af en Tavle over saamange Verdier af den, at en Sammenligning mellem @(z) og P(2) indenfor de Grænser, for hvilke @(2) var bestemt ved Primtaloptellinger, kunde beregnes ved simpel Interpolation, saaledes at man i det mindste erholdt en rigtig Decimal. Til dette Ojemed beregnedes da først den i Tab. Il meddelte Tavle over Integrallogarithmen og ved Hjælp af denne Verdier af Funktionen P(x) paa den Maade, som nedenfor er angivet i Forklaringen til denne Tavle. Da det imidlertid derved viste sig, at Interpolationen, forsaavidt /.x toges til Argument, var langt simplere for Funktionen log. P(z) end for selve Piz), saa er i Tavle IM log. P(x) taget som det principale, medens de anførte Verdier af selve /(x) kun ere tilføjede af Hensyn til Kontrollen og Bedømmelsen af den Maade, hvorpaa Tavlen er beregnet. — Det bor endnu tilfojes, at de Tilnærmelses- værdier for #(2), som beregnes ved denne Tavle, forsaavidt jeg har undersøgt Sagen, stemme saa godt overens med de af Glaisher!) angivne, som det kunde ventes. — Selv om der altsaa kan rejses Tvivl om den formelle Rigtighed af Udledelsen af de Sætninger af Mobius, paa hvilke Beviset for Formlen #(&) — P(x)-+ 1 beror, saa vil der dog sikkert ikke kunne vere Tvivl om den reelle Gyldighed af disse Formler. Det vil af det foregaaende vere klart, at der med Hensyn til den korrekte numeriske Beregning af Primtalmengden op til en vis Grense ikke er vundet noget ved Riemann’s Formel. Men ikke desto mindre have hans Under- ') James Glaisher, Factor Table for the sixth Million. London 1883. 33 215 sogelser bragt et væsentligt Fremskridt i vort Kjendskab til Loven for Primtallenes Fordeling, idet han er naaet til at angive Formen af den Funktion, som skal bruges Lil at udtrykke Loven for Mængden af dividerede Primtalpotenser op til Grænsen z. Da Differential- kvotienten af det dominerende Led Zä(x) i Riemann’s Formel for (x) er = saa lærer denne Formel os endvidere, at det ikke, som Gauss antog, er Tætheden af selve Primtallene, som gjennemsnitlig er omvendt proportional med /z, men at dette derimod er Tilfældet med, hvad man med en analog Betegnelse kunde kalde Tætheden af dividerede Primtalpotenser. Men trods dette synes dog det Held, Riemann har haft med sine Undersøgelser i denne Retning, at være af en noget tilfældig Natur. Det beror udelukkende paa den særlig hensigtsmæssige Form, det er lykkedes ham at give Funktionen /s(r), og da atter paa, at Leddet /(7—1) udsondrer sig fra alle de andre og bliver af dominerende Betydning. At dette maatte blive Tilfældet, er ikke ganske klart, selv om den Side 10 anførte Formel af Dirichlet, s(1+ 0) = aa som Mertens og tildels ogsaa Tchebycheff have benyttet ved deres Undersogelser, nok kunde tyde paa noget saadant. Men selv om det ogsaa vil lykkes ved fortsalte Studier at komme til fuld Klarhed over denne Udvikling og over de i Riemann’s Formel indgaaende Rodder a, saa synes det dog, som om den Form, hvorunder disse indgaa i den endelige Formel, i hoj Grad maatte vanskeliggjore igjennem denne nogensinde at naa til en nøjagtig Beregning af Mængden af Primtal op til en given Grænse, og stiller man sig altsaa delte Formaal, saa vil man derfor vistnok endnu i lang Tid vere henvist til Beregninger af rent taltheoretisk Natur. § 4. Ufuldstændige Kvotienter. Theoremer af Berger og Césaro. I det folgende betegner n gjennemgaaende et konstant helt Tal; det største hele “Ale E DAT Tal i Kvotienten = betegnes efter Legendre ved Symbolet E— eller HE) saa at altsaa N ; , ay Ei eee cai heller i= i, eee (88) IT a x CN * Om saadanne ufuldstændige Kvotienter lader der sig angive forskjellige mærkelige Sætninger. Betragte vi Talrækken hvor 1, 2, 3 ...a ere de hele Tal op til à inklusive, saa danne de enkelte Led en Række Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. 28 216 34 aftagende hele Tal. Nogle af disse kunne være lige store, og det er let al angive, hvor mange der ere lig et givet helt Tal x. Thi den største Nævner, som ved Division i x giver den ufuldstændige Kvotient z, Bade n maa være det storste hele Tal, som fremkommer ved Division af n med x, altsaa En AL es I.) n ; . ligesaa er den største Nævner, som giver Kvotienten «+1, Tallet BEST De Tal i Rækken, T—- som ere lig æ, ere altsaa i Almindelighed de, hvis Nævnere ere Tallene n atl u: Zn = ae i Dette behøver dog ikke at være Tilfældet for de sidste Led i Rækken. Men betegnes EZ E oe EI, i Antal EZ E— ved g, saa ses let, at Antallet af Broker, som ere lig med g, vil vere ne € Betragte vi dernæst, idet 7 betegner en vilkaarlig Funktion, Summen ge 3.r(B*) a r(£2) sf r(£5) lem ) ALIEN (pe), (89) i is 1 2 \ eB} a saa maa denne aabenbart kunne ændres til Formen S = A,F(g) + A, F(4+1) +... AnF(n), hvor A,, A,... betegne konstante Koefficienter, som angive, hvormange af Funktionerne n 2 der blive lig henholdsvis /(q), F(9+1) 0. s. v. Men disse Antal ere angivne ovenfor, og man faar altsaa n S — ser rJrui+( ne a re EL ) Fin 1)-LF(n), (90) der ogsaa kan skrives S = all ay CF g+11—F(g)+E + a+ are )+...H a (Fin)—F(n—1)). Sættes En a — n, faas ee to Formler ST n = pl mn ST 5r(z 2) 5(£2 BE) Fu) (91) og Sr(E2) em) Sm) —F en. (92) 1 xv æ Paa denne Maade er Formlen angivet af Césaro !); den almindeligere Sætning- Zr(E*) a 3 (Fa) Fe 1) ES (93) 1 T g+i - LT skyldes i denne Form Berger’). 1) Formule d'arithmétique, Mathesis, T. Il, p. 97. 2) Sur quelques applications de la fonction Gamma à la théorie des nombres, Nova Acta Kee. Soc. Scientiarum Upsaliensis Ser. Ill, Vol. XI, 1881. 39 217 Særlig mærkes Tilfældet a = EVn. Da man altid maa have n < (EVn+1) —1, saa faas N ae Få = SE EVn + 2 EVn ; 7 n Mm saa at altsaa g == E— maa være et af Tallene a, a+1, a+ 2. Men betragtes Rækken (4 EVn AI a Fa) + Er et Fa) Ba (We?) rte) on sve saa ses, at hvis 7 —a+1, saa kan man sammendrage de to første Led til aF(9), og hvis q—=(a+2), kan det samme gjores med de tre første Led. Denne Række bliver derfor identisk med a/(q) + S (Flay — F(x—1)) ET, saaledes at man for ¢ — EVn altid vil 5 : have Sr(12) = gPi-+ 3 (Fe) —Fle—1) EL. (94) 1 ec ati x Setter man F(7) — F(2—1) — f(x), faas > n CE n SQ EST Sp(E%)—aFu), (95) qt Xv 1 & 7 og adderes paa begge Sider SA ET, saa findes endelig, som angivet af Berger, = 77 Sr mn 1 _n du n | ! If) EX = Spa B= 4 SF(E=)— Fa (96) 1 C i u 1 a, De angivne Formler tilstede en Udvidelse, som er verd at legge Merke til. Naar man nemlig i Stedet for at betragte en Række Broker af Formen ET, hvor # ere alle hele Tal, lader æ gjennemlobe en vilkaarlig valgt Række mærkelige Tal, som vi ville betegne ved 2, iblandt disse (f. Ex. alle Primtal), og endvidere betegner ved (x) Antallet af disse mærkelige Tal op til z inklusive, saa findes paa lignende Maade = & n c . . . A som ovenfor, at Antallet af Kvotienter Z—, som netop ere lig «, i Almindelighed vil vere n DE DS i o(” | — 0 ul: Ved derefter at gjentage Rwsonnementet ganske paa lignende Maade a aL som for faas folgende Relationer, svarende til (90) og (93): Salt) — er Ins > a BN n NV! ' $r(2) = (o0—0(,1,)) ru S(4(3)-ele)) en SF E~) — Pa) F(q) + x (Fa) — Hen 0 (1). (98) art æ 08 Ved som for at sætte qg = EVn faas som svarende til (96), idet Æ{x) — Fia—1) = f(x), SETE = fie) of) ZP(E2)— 04 Fa. (99) 1 & 4 A 2 1 218 36 Ligeledes haves specielt for a«—n na EL ge uy AU m. n så nm. nm > n = iF z=] — 2(Fla)— Fla 1) 0(“) 3(0(*) (2) Hy (100) Ved at specialisere Formen af de indgaaende Funktioner samt Rekken af Tallene z lader der sig af disse Ligninger udlede en Mængde forskjellige Relationer, som ofte ere af en meget overraskende Form. Skjont det for det Problem, vi behandle, ikke er ganske nodvendigt at fremhæve mere end en enkelt af dem, tro vi dog, at en lidt fyldigere Udvik- ling vil være paa sin Plads, og vi give derfor nedenfor en Række Exempler paa deres Anvendelse paa Primtallene. Baade Berger og Césaro have gjort en udstrakt Brug af deres Sætninger til Bestemmelse af Funktioner af Tallenes Divisorer, den forste Begyndelse til disse Undersøgelser er allerede gjort af Dirichlet!). Betragter man nemlig Differensen n n—1 en; A æ & E saa ses, at dens Verdi vil vere lig Nul, undtagen naar a er en Divisorin, da den er lig 1. Betegner altsaa d en Divisor i n, saa vil, naar f(z) er en vilkaarlig Funktion, haves Te Sole 3 (22 — Br) fla, (101) T—1 LA som ved Hjælp af Berger’s Theorem i mange Tilfælde tilsteder en tilnærmet Bestemmelse af den symmetriske Funktion 2(d), hvor Summen udstrækkes til alle Divisorer i Tallene op til » inklusive. Hvis man f. Ex. vil have Antallet af alle disse Divisorer, saa sættes /(d) — d° =1, og det søgte Antal faas da ved efterhaanden at sætte n — 1,2,3...n og summere; det vil være ue yy — s(# 2 BEEN à Sue E : TE ae E 3 + sæ E— . (102) ni 7=1 7 x rai À For dette Antal vil det være let at angive en Tilnærmelsesformel. Ved Hjælp af (96) faas nemlig, idet f(2)=1, F(2)=2, g— EVn, ei Em. ER SE 2.8 E g = 2nd q? — 209, (103) i ie i ax meal hvor 0 er en ægte Brok. Men nu er, idet ¢ er en ægte Brok, € A 1 € Sa mær a er, 1) Ueber die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie, Abhandlungen der Berliner Akademie 1849; og Ueber ein die Division betreffendes Problem, Monatsber. der Berl. Akad. Januar 1851; eller Crelle’s Journal Bd. 47. 37 219 Betragter man alene de tre første Led, saa danne disse for 9 > 1 en stedse voxende kon- tinuert Funktion, og altsaa er 1 — 1 = I UDE ER GERE VE lol) FG FR NERE more Cr. er Heraf faas alter ÿ Lee BR lyn ai CAR I = os | zie i be e’ TTC 5 Dip aa DAT een}? eller ; > Me Gr EL ae EC ART ae Vn 1 & 12n À 1 q I Men nu er endvidere altid — SE . = wt 1, allsaa ogsaa cL || zen TA == 2nSX— > 2S H— > 2(n+1) Y—— 2Vn, : 4 © 1 av 1 © og da fremdeles n—2Vn< @g@ SE — > nin + n(2C—1) —8YVn, (104) 1 æ idet vi af den lavere Grænse have bortkastet Leddene 1 all l 2C— —— — Ra Vn 6n? som tilsammen ville udgjore en positiv Sterrelse, naar n > 2. Dette Resultat afviger lidt fra det, der angives af Berger, som sætter SET = nln tn CL An, bvor A 4 (105) De her angivne Grænser ere altsaa lidt snevrere end Berger's, men alligevel ere de vistnok videre end nodvendigt, da derikke er taget Hensyn til den Omstændighed, at de forskjellige n Te ig 3 i : 5 Rester — — E— i Virkeligheden ikke ville være uafhængige af hinanden. & KL (I Forbindelse hermed skal nævnes en interessant lille Sætning, som i en lidt anden Form skyldes Dirichlet. Er > = o(y), saa er for n—ab gla) --o(b) = ¢(ab). (106) Den faas som en simpel Konsekvens af Formlen (93).) Paa Grundlag af (96) findes, at naar n er et stort Tal, saa vil Middelværdien af Antallet af Divisorer i et Tal i Nærheden af x vere m+2C. Ved en lignende Fremgangsmaade beviser Berger en hel Række lignende Sætninger, blandt hvilke vi skulle anfore folgende: 220 38 Middelværdien af 2d for et Tal i Nærheden af » er Fe | T 2 Sys "7 EP as = 5 er Im + Ci, 4 (107) — = at ene E = NS, l-—a el 1 d.II\g-+1) : — > Men 4h = = a ( o>— 7 d+y % Al cs Baal jg i — - AIT + =| er n--C. ¢ Angaaende Beviserne for disse Setninger og flere lignende henvises til den citerede Afhandling. § 5. Anvendelser paa Primtal. Funktionen ER egner sig paa Grund af sin diskontinuerte Karakter særlig til Anvendelse i Taltheorien, og flere Forfattere, blandt hvilke navnlig ber fremhæves Russeren Bougaieff'), have ogsaa benyltet den ved taltheoretiske Undersøgelser. Skjont disse endnu ikke synes direkte at ville lede til en kontinuert Tilnærmelsesformel for A(z), saa kan dog denne Funktion udtrykkes exakt ved ufuldstændige Kvotienter, og Berger’s Under- sogelser synes at angive en Vej, ad hvilken Tilnærmelsesformler derefter muligvis ville kunne opnaas. Det vil derfor vere af Interesse at se i Sammenheng de Resultater, hvortil Anvendelse af ufuldstændige Kvotienter forer. Betegner man ved Ma,o,...0,p)(v) Antallet af Tal < x, som ikke ere delelige med noget af Primtallene a, b, ...0,p, saa er almindelig Banane) = Pret — Bans..0()- (108) Denne Ligning udtrykker nemlig kun, at Antallet af Tal, som ikke ere delelige med noget af Primtallene op til p inklusive, findes ved blandt dem, der ikke ere delelige med Prim- !) Se Darboux: Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques. T. 10, 1876, p. 13. 39 221 tallene a, b,c...0, at udslette alle Multipla af p. Af denne Ligning findes nu sukcessive, f 2 12 x 4 idet @, = x — EZ > Do, 3 (a) IB CHE E 3 FE Gis og almindelig Pe STARS PN ND Sp nee De) x 2E m +ZE ZB = Poe | (109) hvor der i Nævnerne findes alle Produkter af de givne Primtal tagne I Gang. Er specielt a,b,e... alle Primtal op til Vw, saa vil denne Formel som bekjendt angive I + Antallet af Primtal mellem Vz og a. Betegne derimod a,b,c... alle Primtal, bliver venstre Side lig 1, og vi faa den Ligning, som er fremstillet i (46). Paa Grund af Arbejdets Vidtløftighed vil en virkelig numerisk Beregning af (x) — (a2) ved Formlen (109) være meget besværlig, men den kan gjøres og er i Virke- ligheden udført af Meissel!). En lignende Formel skal være benyttet af Hargreave ?) og Piarron de Mondesir?), men intet af disse Forfatteres Arbejder har været mig tilgængeligt i den originale Skikkelse. Den Sætning, som vi først skulle lægge til Grund ved de følgende Betragtninger, udtrykkes i Formlen So() wm, (110) 1 æ i 2 Den faas af (100) ved at sætte F(x) = Ex. z betegner her en Række mærkelige Tal, og M(x) Antallet af disse op til æ inklusive. Paa venstre Side summeres med Hensyn til +, paa højre Side med Hensyn til alle Tal z) al ra ZEIT — Pa) + 8 (5) +... Ligesaa for F, (7) = Zip? faas 1 SE lp? = Fn+tr, (5) SORTE Fin) + nf 2 + 22) + ee REED pe n \3 n Ye eller rd — oe +r(3) +... Paa lignende Maade bliver SE “Ip ==+F(n3) + r(3)' + F(F) +, saaledes at man endelig Be 226 44 LE Es n > n Sle = Fin +F(5) + #(5) NR 1 n\3 ,(n\3 ++ rl) Hr) +. ++ Rz) + F(3)' +... 0. 8. V. Betegne vi nu med Tchebycheff Nix ved T(n) samt Funktionen 1 Fin) + Find) + Fins) +... ved Ø(n), (130) saa faas altsaa TOO OS TOC I Funktionen d(n) indgaar aabenbart hvert enkelt Primtals Logarithme saa mange Gange som Addend, som angives ved den hojeste Potens af p, der er lig eller mindre end n, saaledes at man ogsaa kan skrive | RQ din) = Sp ET (132) Ligeledes kan ifølge (91) og (92) T{n) skrives som a n u n n ud ,n A), — ap (=) = » (# = Zen = ØE) IN) (133) Det er de to Ligninger (130) og (131): Tin) = 24 (=) og din) = S Fln=) Å 1 u 1 som Tchebycheff har lagt til Grund for sine Undersøgelser"), de tilstede i Virkeligheden ved en dobbelt Anvendelse af Möbius’s Faktorer at bestemme Funktionen Zn), som Tchebycheff for øvrigt betegner ved #(n). Af (131) afledes en ny Identitet ved at danne Differensen 7(n) — Tin—I). Paa n—| venstre Side faas derved /n, paa højre Side »(¥ (=)-¢ a) Men Differensen n—I eo db | vil alltid vere lig 0, undtagen naar oe er en Potens af et Primtal. 7 2 2 (LT STE = Er + dr p”, saa bliver Differensen /p = a ; saa at man, naar som tidligere &@(x) Xv m & : oh. : k betegner en Funktion, som er lig —, naar & —p", og i alle andre Tilfælde m ne Safe i (134) 1 lig 0, kan sætte 1) Mémoire sur les nombres premiers. Liouville's Journal, Tome 17; jfr. Serret: Cours d'Algèbre supérieure, 3. éd, T. II, p. 202. 45 227 Det andet Udtryk for {x) i (133) giver paa lignende Maade, idet Tin) = 3 (ple) — (7=1)) ET 5 5 ET &(2) le, (135) 4 € 1 d ll n—t\ . ve Formlen In 2 (x : —E = ) @(x)le = Sa(djld, (136) 1 æ æ hvor d betegner alle Divisorer i », og Summationen udføres med Hensyn til disse. Disse Udtryk for In ere saa at sige umiddelbart indlysende, og man kunde derfor ogsaa benytte dem som Udgangspunkt til Bevis for de Tchebycheff’ske Ligninger (130) og (131). Hvad der imidlertid bor særlig fremhæves paa dette Sted er, at disse Ligninger ret beset indeholde Definitioner af Funktionen (7), idet denne skal vere en saadan Funktion, at den symmetriske Funktion Y&@(d)ld, dannet af alle Divisorer i Tallet », faar Værdien In. Kan derefter &(x) bestemmes nøjagtig eller tilnærmelsesvis, saa vil n altsaa l@(x) give et Udtryk, ikke for selve Primtalmengden @(n), men for onen %(n), den samme Funktion, for hvilken Riemann ad ganske anden Vej finder en Formel. Der er derved knyttet et interessant Baand imellem disse to saa forskjelligartede Undersogelser, og netop Tilstedeværelsen af denne Forbindelse giver en Antydning af, at det virkelig er Funktionen %(n), som man navnlig ber fæste Opmærksomheden paa, fordi den tilsteder en simplere analytisk Bestemmelse end selve #{n). Inden vi forlade dette Thema, skulle vi endnu anfore nogle merkelig udseende Identiteter, der faas som simple Folger af Berger's og Césaro’s Sætninger i den udvidede Form. Ifølge (113) er, naar 4,(®) betegner Antallet af Tal af Formen ab, d.e. Produkter af to Primtal : CADET (3) +0.(5) +... = SET, og paa lignende Maade kan findes Ligninger for #,(x), Antallet af Tallene abe, op til x o.s.v. Men hvad vi navnlig her ville fremhæve, er, at #,(n) kan udtrykkes ved @(n). Dannes nemlig Summen ORPI CI saa vil denne let ses at angive Antallet af Tal af Formen ab, tagne 2 Gange, + Antallet af Primtalkvadrater op til x, eller >30 (=) == 24,(n) + A(n2) , (137) en Relation, som i ufuldstendig Form er fundet af Bougaieff. Lignende, men mere sammensatte Formler kunne findes for @,(«) 0. 8. v. 228 46 Setter man dernæst i (98) Fix) = 6(2), z=p, altsaa P(x) = A(z), saa faas 307 ) IS LES ) + ta an). (138) 1 P , ott = q n Specielt for a — EVn — q faas, ved tillige paa begge Sider at addere 44 (2) eller 50(2), 1 2 ati VI eller ogsaa 78 n Be n 4 1 30”) = 25 (1) + On), 1 P 941 P som i Forbindelse med (137) giver den mærkelige Relation 2 So) + = 202(m) + A. \g = EVn). (139) art RR følger af (98) ved at sette F(7) — H*(a), 2 — x 3e(*) — ¥ (2x) — 6? (e—1)) E— a ots 1 - + ab?(g) = à CAT — 1) BE na a (140) Er tillige =p, bliver Formlen til a n He n 2.0? = (26(p) —1) 4 | — CET : (=) zen —1) (=) + der, (141) og specielt for a—n a = 5201910 )—20(4). (142) 1 P pP 1 Pp Er endelig F(a) Summen af Primtallene op til +, saa bliver srl) = pee — + aF(q) ; > BLE) = ni (“) + A(a) Fig), (143) 1 ca ati 1 P ati P og for u—n n n n n n n n n Sl ee Sr) al 43’ i (2) fae ep ied 20 (7) un I Forbindelse hermed anføres som Exempel paa Tchebychefl’s Formel (128), at ZE a = SE Tin) + 1; len de Jee Be (144) og at n N, la - "1 1 = is | 144’ 2 le = meer ee, ee 47 229 $ 6. Tilnærmet Bestemmelse af Funktionen & (x). Enhver af de ovenfor udviklede Formler (134)—(136) giver tilstrækkelige Data til Bestemmelsen af &(x) eller, naar &(x)lx betegnes ved 7(7), af denne Funktion, hvis Verdi i Virkeligheden er 0, undtagen naar « — p”, da den er dp. Ved at ind- fore (x) i Formlerne, kunne disse skrives som n n . za —;| 4 In = 3-(=) = Sa Be ) ru — Dr(d). (145) v 1 æ 1 Vi skulle betragte hvert af disse Udtryk for sig. For af det første at bestemme (x), maatte Formlen ii —(2)+-(3)+(3)+… | vendes om ved Hjælp af Möbius’s Faktorer, idet man erindrer, at 7(7) kun har Betydning n = = ; i: for — hel, altsaa naar de under Funktionstegnet r indgaaende Argumenter ere hele Tal. i I Virkeligheden bør derfor alle de Led, hvor Nævnerne ikke ere Divisorer i », udelades. Men naar Formlerne derefter vendes om, saa føres vi identisk tilbage til 7(n) udtrykt ved Primtallogarithmer, saaledes som det vil ses af et Exempel for x — 12. Man faar nemlig da ae ee je Be ae ie RCE) ME ce) + ean) fe) = |) Ae lle (2) - (E) (2) : 12 12 12 altsaa identisk 212 — = l rs ab te — 7 (12); Der opnaas altsaa ad denne Vej ikke nogen væsentlig ny Bestemmelse af (x). Derimod kunde man tænke sig, at man muligvis kunde faa en Tilnærmelsesformel for + ved at sage Værdien af en Funktion ¢(2) bestemt ved Ligningen n IL m 1 m Ne hn = (FT) +e(z 5) + (2 )+. (21), \ som giver n ] n t n) = DM Tata E — € ir 1 f | ) ve Men bortset fra, at dette Udtryk for tim) er noget kompliceret, kan man ikke vere sikker paa, at det Resultat, man faar, vil være en virkelig Tilnermelsesverdi for z(n), navnlig fordi t(n) kan blive negativ (f. Ex. for n— 9). Vi vende os derfor til det andet Udtryk i (145) 230 48 In > (x 2 — Br") t (2). 1 x Dette giver os strax en Forestilling om den gjennemsnitlige Verdi af 7(z). Setter man paa lignende Maade som for for r(x) en Gjennemsnitsværdi af de paa hinanden folgende ri Nærheden af x, saa vil hvert enkelt Led i denne Formel ogsaa give en Gjennemsnitsverdi af det tilsvarende Led i den oprindelige Sum. Bestemmer man altsaa Funktionen (x) ved Formlen I In = J—i(a), 1 © saa er man berettiget til at formode, at ¢(2) vil paa det nærmeste angive Middelværdien af Funktionen 7(z) i Nærheden af z. Men nu faas strax 1 à t(n) In — I(n—1), eller ta) = nl. — = 1) N tat ae (146) som for voxende n nermer sig sterkt til Grænsen 1. Skjont disse Betragtninger ikke kunne opfattes som noget egentligt Bevis, vil det dog vere ret oplysende at gjøre en Prøve paa Nojagtigheden af Formlen for ¢(m) ved at indsætte det fundne Udtryk i Formlen for 7(n) (135). Da Udtrykket for t(n) ikke gjælder for n= 1, maa Summen tages fra æ— 2, og man har altsaa, al denne Sum er at] ; n n Sin) = DAT (tr). ae ates Men nu er Ewe æ len x > — .zl— > Sin) > Y(——1) c!—_. , 2 & a—1 2 \ æ æ— 1 n x eller, da n 21 — = nin og hh Z ( une 1) al © i nln — 2 (ale — al(a—1)) = nln — ¥ (ale — (e—1) U(æ—1) —l(a—1)) r— 2 2 = nln — nn + l[n—1], faas endelig nln > S(n) > ![n—1]. iS Den tilsvarende Sum, dannet af rx), er 7(n) = ![n] = nin + mn + IV? + Ton? altsaa ogsaa nln > T(n) > l[n—1]. Da saaledes S(n) og 7(n) ligge mellem de samme Grænser, hvis Differens omtrent er i — : DES In — I!Y2r, saa vil den gjennemsnitlige Afvigelse mellem 7(x) og t(x) for alle de i 7 ; : 3 DAD 2 i T{n\ indgaaende r(x) ikke kunne overstige n: XÆ—, eller den bliver af Ordenen Th 2 A 49 231 Da dette gjælder for alle Verdier af n, vil man være berettiget til at anse £(x) som repræ- senterende en Tilnærmelse til de Verdier, som vilde faas ved at udjevne Verdierne af 7(n) ved en Formel, som ikke tilsteder Vendepunkter, saa at altsaa denne Funktion tilnærmelsesvis maa anses for at være konstant lig 1. Til det samme Resultat leder det tredie Udtryk i (145) In = Zt(d). Naar man ogsaa her erstatter (x) ved é(x), hvor ¢(z) har en lignende Betydning som ovenfor, saa skal ¢(d) vere en saadan Funktion, at den symmetriske Funktion 2¢(d) faar Middel- værdien /n for Tallene i Nærheden af n. Nu har Berger ved Hjælp af (101) bevist, at naar g bestemmes saaledes, at for n — lim 7 — 0, men lim — 0, saa vil Middelværdien af Antallet af Divisorer i 9 Tallene mellem »—g og n+g nærme sig til Grænsen in + 20 (jvfr. S. 37). Udelades Divisoren 1, som forekommer i alle Tallene, bliver Middelværdien In + 2C—1, og denne Værdi vilde altsaa blive Middelverdien af S¢(d), for saa vidt ¢(z) 1. Denne Middelværdi er lidt større, end den skulde være, men da det tillige er bevist, at Middelværdien af 1 x? 2 27 era eller, naar Divisoren 1 udelades, = 1, saa kunne vi sette 2C—1 1 k AC) = Te LEE (147) ing pe 10 n 6 Ogsaa dette Udtryk nærmer sig for voxende n til Grænsen 1. 2 1 ge I LE 1 n 1 h k x Da 2 ET < n2 og > nS—— > —, saa faas, ved at indsætte 1 — — i Formlen 1 + 4 &° 4 % æ ABER: i Stedet for r(x), at Tin) —_ SE ~ (1 — =) pVn + Led af lavere Orden, 4 saa at Afvigelsen mellem Zn) og ZE= (x) her kun bliver af Ordenen Vn. Alle de her anvendte Fremgangsmaader fore altsaa til det Resultat, at ¢(m) for store n nermer sig til Grensen 1, og al altsaa Middeltætheden af dividerede 1 Jr naar n voxer. Dog kunne disse Udviklinger ikke anses for fyldestgjorende Beviser for denne Sætning, bl. a. af den Grund, at Overgangen fra r(n) til ¢(m) ikke er tilstrækkelig skarpt bestemt. Primtalpotenser (eller af @(n) = #(n)— #(n—I)) nærmer sig til Grænsen Denne Indvending kan ikke gjores mod den folgende Fremgangsmaade, hvor vi direkte benytte Formlen (135) =H) T(n) => SEs ala) = = x SA Ci ”). Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II, 6. 30 232 50 I denne Formel indgaa nemlig lineært alle Funktionerne c(z) fra x = 1 eller 2 til a = n. Opfattes altsaa Koefficienterne E— som Vægte, saa kan der, da Z(n) er bekjendt og SE ogsaa kan betragtes som bekjendt, findes en virkelig Middelværdi af alle disse (x), hvor dog de, der svare til de laveste =, faa størst Indflydelse, eftersom Vægtene omtrent ere proportionale med Betegne vi denne Middelværdi ved r,(n), saa er altsaa, idet (1) ikke medregnes Tin) n Due 2 æ Erstatter man her Teller og Nævner ved de tilnermende Udtryk (20) og (105), faas 1 = € er ern nln + (2C—2)n + AVn T (7) = (148) Tin) = 1 1 k orne DOS Te 1 ee SSS als In Vn In eller ill) = altsaa, naar Divisionen udfores, 2C—1 2C—2 n(n)? +R, (149) z,(n) = 1 hvor # betegner en Rest, der er af lavere Orden end I, saa at altsaa Lim RVn — 0 for n—. Ve De til de laveste Verdier af æ svarende (x) have den største Indflydelse ved Dan- nelsen af denne Middelverdi, og da det andet og tredie Led ville optrede med modsatte Fortegn, og deres Indflydelse altsaa gaar i modsat Retning, saa vil Middelværdien 7,(n) allerede for lave Verdier af n vere ner ved I, og hvis man tænkte sig, at Middelværdien dannedes med andre Vegte end de her anvendte, saa vilde dette Forhold aabenbart ikke kunne forrykkes meget, da Formlen gjælder for alle n. For store Verdier faar r(x) vel en mindre Vægt, men til Gjengjæld faar den, for saa vidt æ er et Primtal, en større numerisk Verdi. Man ledes derfor til den Antagelse, at vesentlig den samme Middelverdi maatte komme frem, selv om Vegtene vare ligestore og Middeltallet ikke dannedes af alle z(z) fra 2 til n, men alene af dem i Nærheden af n. Det er i Virkeligheden ikke vanskeligt at danne et Middeltal, hvor de enkelte ind- gaaende r optræde med ligestore Vægte, og hvor de til de største w svarende z faa den største Indflydelse. Dette faas ved Betragtning af Identiteten Tin) — 2T(E = ) = 3(z - — 2B S| T(z). (150) i ; 27 51 233 For Simpelheds Skyld antage vi, at n er et lige Tal samt n—ax-+r (ra). Da bliver Differensen | à { 0 for a lige = —2 Soi 2e 253, 7 \ 1 for a ulige. (151) Koefficienterne til z(z) i (150) blive altsaa alle O eller I, og navnlig ses, at for aile Værdier af DE bliver Koefficienten altid 1, medens den for lavere z kun bliver 1 for dem, der give et ulige Tal for Kvotienten ET. For n — 10 faas f. Ex. T(10)— 27(5) = 0.1) + 1.7(2) + 1.7(3) + 0.7(4) + 0.7(5) -+ 1.7(6) + 1.7(7) + 1.7(8) ae lath) a= Word (OF (152) Danne vi altsaa Middelværdien af alle de i (150) indgaaende 7 (7(1) undtagen), saa vil denne Middelværdi, som vi ville betegne med z,(n), fortrinsvis afhænge af de 7, der svare til Tallene mellem n og = Denne Middelverdi vil fremstilles ved T(n) — 27(+) CA) cores (153) 3( B27) 2 æ zu Nu er Tim) —27(5) = nin—n + 3 In + 1V9r + Hi nl, AL 15 — Ver — À nl2 - x n is (154) samt, paa en ubelydelig Brok ner, ifolge (104) eller ve (2° 25 = nl? - + pVn. (155) Folgelig faas ys ne — +n —1// 2 us ies zn) = — = = nl2 + pV nr y SEM Van =a a (156) 1 Man ser, at Afvigelsen af denne Middelverdi fra 1 kun er af Ordenen —, og at den altsaa n nærmer sig stærkere til 1 end den ovenfor fundne r,(n). Da dette gjælder for alle n, kan der herefter ikke være nogen Tvivl om, at man kun begaar en ringe Fejl ved at sætte Middelværdien af c(2) for et stort Antal paa hinanden folgende Verdier af z lig med 1. Tillige ses, at Summen af Afvigelserne mellem de enkelte r og I bliver n 3 = 3(£ 283) (ela 1) + oVn 9 In iz a (157) 1 og altsaa af Ordenen Vn. Ogsaa for Afvigelsernes Kvadratsum lader der sig uden Vanskelighed angive i det mindste en hojere Grense, men de fundne Middelværdier ere alligevel ikke, hvad man 30* Qu Lo) 234 maatte ønske. Det, man skulde tilstræbe, var nemlig at erholde Middeltal og Middelafvigelse fra dette for en Række c(z) for alle x fra en vilkaarlig valgt lavere Grænse m til n, helst med ligestore Vægte. 1 Hvis Vægtene sættes proportionale med He da kan delte gjores, idet man af (135) erholder 1 m - a 1 1 : 1 SØ SE A SE AT SALE, = Tin) < = z ll) Ti (n) + = din), (158) hvoraf der i Virkeligheden lader sig finde Grænser for Summen 2—r(@). Men disse m wv Grænser ville dels komme til at afhænge af Tchebycheffs Grænser for ¢(m), som lide af væsentlige Mangler, og dels ville de ogsaa paa Grund af selve Beskaffenheden af Formlen blive altfor vide, til at man kan have nogen reel Nytte af dem. Det vil ialfald vere bedre n at benytte selve Funktionen (x) = 2'c(2). § 7. Funktionen f(x). For saa vidt det kunde betragtes som fuldstændig sikkert, at Middelverdien af alle z(a) fra « = 2 til e — n er lig 1, saa vil Funktionen ¢(n) vere lig n — 1 + en Rest af lavere Orden end n. Dette vil, uanset de andre (2), ogsaa vere Tilfældet, hvis blot Middelverdien af de r, som ikke forekomme i Summen (87 — za) te har Grænsen 1. Disse 7 ere nemlig de, der svare til saadanne x, for hvilke Kvotienten Be er et lige Tal 2m, og Differensen mellem ¢(z) og den angivne Sum vil derfor vere qoute af en Række Udtryk af Formen Be on ea (Et? I: Em mall taget for alle A u: (m mn m fra 1 og opad. For r(m) = 1 vilde denne Sum ændres til 2 Be Er); der tilnærmelsesvis kunde omskrives til 1 1 1 1 1 1 1 NES, — soos : 9 a ea | "(5 3 uy 4 5 Ho =) (53) Rækken under Parenthesen er med en Fejl af en Brøkdel af Er lig 1—/2, saaledes at man for den søgte Sum tilnærmelsesvis vilde erholde (1—/2)n, og dette adderet til Tn) —T (2) vilde give N — > In + 2 — 12x med en Fejl, som vilde kunne findes, ialfald med Tilnermelse, hvis Afvigelsen af Middel- værdien af de udeladte + var bekjendt. Men denne Fejl kjendes ikke tilstrækkelig nojagtig, til at man kan bygge noget paa den, og det bliver derfor enskeligt at undersoge, om man ikke direkte kan bestemme (x) ad anden Vej. Det ligger da ner at forsøge at benytte Ligningen (131) Sy jad y A (LUS Tin) — 24 (7) i dette Ojemed. Denne giver, efter Omvending ved Möbius’s Faktorer, strax oe Zu T(E) Tin) r(E, )- r(#}) at r( Be A r(z?) …… (160) som exakt Udtryk for ¢(n). Men at udlede en Tilnærmelsesformel af dette er meget van- skeligt, navnlig paa Grund af, at de diskontinuerte Argumenter forhindre en Differentiation, som ellers strax vilde tilvejebringe mere handelige Funktionsformer end de, hvortil 7x) uden videre reduceres. Det er dog lykkedes Tchebycheff!) ved en overordentlig sindrig Fremgangsmaade at tilvejebringe Grænser for ¢(n) af denne Ligning, og for Fuldstændigheds Skyld skulle vi ganske kort antyde, hvorledes han gaar frem, saa meget mere, som hans Methode ogsaa i andre Tilfælde lader sig anvende til en Grænsebestemmelse for Funktioner, som faas ved lignende Omvendinger. Naar man nemlig har forelagt et System af Ligninger, som VA == DIRT Ya VERS Dr dr og man om de sogte X ved, at de danne en aftagende Række, altsaa X, > X, > X,..., og man derefter danner Summen o = Y,—Y,—Y,—Y,4+ Yu, saa findes o udtrykt ved X’erne at vere QS X,— Xp + X,—Xin + Xj, —K 42 + X13 —Xi5 + Xi; — Nig + X19 Ay + X03 — Ay Aa Asp... hvorefter der folge X med Indices, som give de samme Rester ved Division med 30 og med ganske de samme Fortegn som de, der optræde i den angivne forste Periode, altsaa saaledes, at hvert andet Fortegn er +, hvert andet —. Naar det nu er givet, at X’erne danne en aftagende Række, saa kan man ved at afbryde denne Række paa et !) Mémoire sur les nombres premiers. Liouvilles's Journal T. 17. 236 54 hvilket som helst Punkt angive en Grænse for den derved begaaede Fejl, og navnlig har man de to Uligheder NL IE da de bortkastede Led i forste Tilfælde have en negativ, i sidste en positiv Sum. Anvendt paa det foreliggende Tilfælde faas, idet ved ¢(n) betegnes Tin) T(2+) r(s5)-1(#5)+7(#5) | (161) at tin) < gin) < tm +4 (2). (162) Ved derefter forst at vise, at T(E) = Vin + ale — a LI Me + © 5 or <= We (163) finder Tchebycheff først Grænser for (x), nemlig An + 2 In > tn) > An— m1, (164) hvor A= 1044134 - 15 — 35130 — 0-92129202…, (165) og derefter for (x) Ant Fe? tin + 1 > pln) > An — mt. (166) 5 416 4 2 Væsentlig den samme Methode er anvendt af Sylvester!) og ligeledes af Dr. Jul. Petersen >”). Sylvester giver en ringe Forbedring af Tehebycheff’s Grænser, men noget væsentligt har hverken han eller nugen anden af de senere Forfattere opnaaet, navnlig har ingen af dem været i Stand til at faa Faktoren til n i Grænserne for (x) erstattet ved 1, hvilket uden Tvivl maa kunne gjores. I Virkeligheden synes det, som om Tchebycheff’s Frem- gangsmaade ikke kan udvikles videre; at den har kunnet fore saa vidt, beror paa, at man ved Dannelsen af Summen a kan faa en Række af X med skiftende Fortegn, og at danne en lignende Rekke, hvor flere af de forste efter X, folgende X mangle, synes ikke at vere muligt ved at kombinere forskjellige Y. Vi vende os derfor til de andre Maader, som kunne tjene til Bestemmelsen af ¢(n). Betragtes forst Formlen (132) ln din) = am saa giver denne ganske vist Grænser for ¢(n), nemlig 1) On Tchebycheff's theorem of the totality of the prime numbers comprised within given limits. American Journal of mathematics. Vol. 1V. *) Om Primtal. Tidsskrift for Mathematik 1882. S. 138. Qt bo ww I >(#—1)% = A(n)n—Slp < din) < So = A(njin, (167) eller, hvis man antager n delelig med nogle af de forste Primtal (f. Ex. 2, 3, 5, altsaa n = 0 mod. 30), x O(n) In — 'lp < ¢(n) < On) In, (167) men denne Formel har ved Bestemmelsen af Grænserne for ¢ ingen Betydning, hvorimod den nok, naar disse vare bekjendte, kunde benyttes til at finde Grænser for 0. Direkte at bestemme ({n) ved at vende Formlen (131) 2 b(n) + ¢ i=} +(3) De == IND) om, efter at det bekjendte Udtryk T{n) — nn —n--1V2r o.s.v. indsættes for 7, vil ikke kunne fore til noget, da man ikke kan angive Grenser for de enkelte Leds Fejl i det Udtryk, som Omvendingen vilde give. Bedre vilde det ialfald vere at erstatte Z(n) ved et Udtryk, i hvilket SB indgik. Da nemlig ST 1 À == Vor T(n) nin —n + LV 2a + 5 In + 19} og SEs = nln + (2C—1)n+ pVn, 1 d saa kan man sette n — T(n) = SE——2Cn+ pVn, (168) ne hvor p kan betragtes som en Storrelse, der altid ligger indenfor let angivelige konstante Grenser. Af denne Formel faas p(n) = n—2C+ Speo. VX . (169) Men for at finde Grænser for det her optrædende Restled maatte man først for oz sætte den storste positive eller negative Verdi, som p kunde have, og derefter for sig summere de positive og de negative Led, hvorved vilde faas en hojere og lavere Grænse. I Stedet ; à — 81/1 for disse kan man ogsaa benytte videre Grænser af Formen -L pVn sV-. Men 1 n n — —— Summation af Rekken ay" giver en Størrelse af samme Orden som \y2 dx = 2(Vn—1), ; Nee saa at Grænserne for «(n) vilde blive af Ordenen n ligesom hos Tchebycheff, og selv om vi kun udførte Summationen for de positive (x), saa vilde vi derfor ikke komme til vesentlig bedre Grænser, med mindre man blev i Stand til ogsaa at tage Hensyn til For- n tegnet for px, eller ogsaa der for Afvigelsen mellem 7(n) og DE kunde findes en Grænse af lavere Orden end Vn. 238 56 n Det ligger ner at benytte Formlen 7(m) — Zlx ved Omvendingen. Derved faas 1 folgende Ligninger m +43) +) +) +) HE 13 VE Un n n ’ LL (3) to(F) +. = 12 BE he BE —Ez. 12 2 N +e(3) +4()+--— 3S wenn DESSEN. Deraf faas ved Anvendelse af Möbius’s Faktorer n n n N n Lo N. b(n) = EZ. +E—.13 + E—.l5— 8. =, ... — — Iula) E—. le b(n) E,.12+E,.13 FE 15 BE, I6+E- IT + Zul) ET la, (170) som ogsaa i en anden Form angivet af Dr. Petersen. Dette Udtryk er ner beslægtet med den af Môbius fundne Formel (33) i I lee as 1 I OR LE = nn gt TiIt..., men vi treffe her atter paa en lignende Vanskelighed som ved Rækken (28), idet nemlig Formlen for (x) snarere kan bruges til at bevise Konvergensen af Möbius’s Række, end denne omvendt til at finde Værdien af d(n). Der kunde endelig være Tale om at benytte Formlen n n n G 57 Ze à hia T(n) 2 (2) (#7 Er i) sv = (25 —B5) 92 fe (23 —E7 VG) tn), men heller ikke denne forer til noget bedre Resultat end de andre, om end en Tilnærmelses- formel kan faas ved at erstatte Koefficienterne ved (2-5): Derimod kan man ved Anvendelse af en med Riemanns’s analog Fremgangsmaade naa til et Udtryk for ¢(n), som har Interesse. Vi fandt nemlig ovenfor Formlen (62) tel | 5 Is(r)dz = 27 (a) la — 2ry(a) , dog med den Indskrænkning, at æ ikke skal være en Primtalpotens. Adderes hertil +» | at D, L sde — \" 2. Is(r) dz AZ ona: = — Ird(z)lx, —œ ® ® 1 239 saa faas a -\ ro D,ls(r)de = Izd(e). (171) Her haves altsaa et med det Riemann’ske analogt bestemt Integral, som giver Værdien af g(x), eller rettere af 1(/(z7+0) + G(x—0)). Nu faas af det Riemann’ske Udtryk for Zs(r) Is(r) = 7 Im — Ur—1) — (s+ 1) en zu (1 + + 1£(0), Så ' I fr d AE ED ab) part 4 Diplo +1) —D, zi(ı4 = )+180)). (172) a Indsættes dette Udtryk i Formlen for (x), kan Integrationen udføres for hvert Led for sig. Da Integralet = de — 2z, saa giver et konstant Led i Formlen for —D,/s(7) et til- svarende Led la). Derved faas af det andet Led gr V ) N — lz a” dz 27 (x mn \. (4 SL N) som det tilsvarende Led i 2z¢(a). Overhovedet har man altid Er 1 1 HEN 27) 2 z — i — — dz ap — 1). (17: \ 6 DE FE mg) “An el Dette anvendes ved Behandlingen af det sidste Led. Da!) SA igs 1 HET ZU 1 < DIT (+5) = TE 5 ap (174) saa faas deraf i 27¢(a) dels et konstant Led, dels Led af Formen ® itis (il sth? . FU) Ces Re u dz RE N In—r r n(2n+r) n | In+r n De fra /”- Funktionen hidrørende Led blive altsaa, med Udeladelse af det konstante Led, | 4 € a Qa JS — a" = — Irl(l—x 2). 4 À Angaaende det sidste Led saa vi ved Behandlingen af Riemann’s Formel, at = r—1\2\, ; r r Be: Zu ) +120 As siti) + (tp) +00, hvor Konstanten /&(12) ifølge Genocchi er —/2. Da nu 1 1 oI —+| en D ( I) 1) Hermite: Cours professé pendant le 2€ semestre 1881—82, rédigé par M. Andoyer. Second tir. p. 93. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. , 31 240 58 saa give Integralerne af to til samme @ svarende Led i ovenstaaende Sum folgende Resultat U Zur r BER De le AeA DT yes i — — I(1— iz gate EN een Wi D, (If = (: me ee 1) Or en ; Sms : Me ig (oct + ammer) Ir = ia G— ai) + wv (+ ai)) 1+ See \ 140 MCE Den herfra hidrorende Konstant kan bestemmes ved at bemærke, at t2 LE(t) 1&(0) 4 DIE >) ; \ a hvoraf ved Differentiation El) yet Sano ig he E(t) ~e—t a (178) og altsaa for = 37 5 il EL) ae fat Si 2 9, €! a UD au (21) Da Riemann blandt andet for &(t) anfører folgende Udtryk Et = 1 — (+ piver cos(ltlx) dx, va saa faas heraf et) = — 21 h(a) a—* cos (=) dx — (e+ +) d(x) ai ad 1 te SU ESA 9 a) ae +7 cos | > the ) de , 4 fal og altsaa findes endelig © 1 4 = Dre 3 ai ie 1 i; 2 1 HENNES lær TE y (= za c ) dz = 9 yee COTE Ore) Ce (176) Le 1 hvoraf umiddelbart ses, at dette Integral er en positiv Storrelse, der tilmed maa være wo Lil oo : —n?r eu T ; ; 2 : mindre end AE are Dr GE Det er ikke vanskeligt ved delvis Integration at 1 vi BIC finde et nojagtigere Udtryk for denne Konstant, men for vort Formaal er den her angivne Tilnærmelse tilstrækkelig, idet den viser, at Sapp el) < 3: (177) rar ur 2 Samle vi nu alle Leddene i Udtrykket for dx), saa faas endelig folgende Formel 1cosalx + asinale [SU b(x) = (x—1) — I1— 2) — 22? 2 Da) = (x—1) — 112) 212, ee: +4, (178) hvor 2 betegner en Konstant, hvis nøjagtige Udtryk er = AT 1 i A = vie (si) le Or (179) og som altsaa maa vere en negativ Størrelse, hvis numeriske Verdi ligger mellem 0 og 1:2. 59 241 Den her fundne Formel for @(x) fortjener i flere Henseender Opmærksomhed. For det første viser den, at (x) tilsteder en betydelig simplere Fremstilling end selve #(x), og da, som vi nedenfor vise, #(æ) med en angivelig Tilnermelse kan bestemmes ved (x), saa vil det uden Tvivl vere praktisk at legge Hovedvægten paa at finde ¢{z), noget, som ogsaa de foregaaende Undersøgelser pege hen paa. Endvidere ses det let, at hvert enkelt af de under ¥-Tegnet indgaaende Led er en periodisk Funktion af le med Perioden =: Hvert enkelt af disse Led vil altsaa taget for sig have Middelværdien 0, og Folgen deraf vil atter blive den, at naar de periodiske Led udelades, saa vil den ovrige Del af Formlen fremstille en kontinuert Funktion, som angiver den Middelværdi, hvorom Værdierne af (a) svinge saaledes, at Afvigelserne snart er positive, snart negative. Da Leddet /(1— 2) hurtig nærmer sig stærkt til 0, saa vil Middelværdien af 4{x) kunne fremstilles ved Formlen (x) = «— Konst. = « — k. (180) Fremdeles ses, at Grænserne for Afvigelsen mellem (x) og z—k ville faas ved at bestemme Grænserne for de periodiske Led. Det ses, at disse Grænser blive afhængige af Vz, men om de kunne fremstilles ved Formlen + pVx, hvor o er en Konstant, vil afhænge af, om Rækken under X-Tegnet altid har en Verdi, der er mindre end en af © uafhængig Grense. Den Verdi af x, som vilde gjøre et af Leddene i denne Sum til Maximum eller Minimum, skulde bestemmes ved Ligningen !sinale = acosalx. Men naar lw bestemmes heraf og indsættes i det paagjældende Led, saa bliver, idet tg ale — 2a, 1cos ala + asin ale : 2 I 2 = 2cosalz = = = 4 @ VI +40 Vi + a? . Sal < ay RES Hvis altsaa Rækken SNE — er konvergent, og dens Sum —p, saa vil Fejlen, sol a der begaas ved at sætte d(x) — «—k, altid være numerisk mindre end pVa. Men om den omtalte Række er konvergent eller ikke, kan ikke afgjores, for man kjender Rodderne a, og selv om man kjendte dem, er der adskillige Tegn, som tyde paa, at Rækken ikke vilde konvergere. Den periodiske Faktor DE u nen iz Række, som fortjener at fremhæves. Ved Udvikling efter Fourier’ske Rækker findes nemlig") viser en Analogi med en bekjendt for -h 2h. Da højre Side nemlig er en periodisk Funktion, hvis Periode er 2h, saa vil man for z= %h+r, hvor r< 2h, paa højre Side erholde , gir 5 h—2h (= -2,) Em (5 —E5) 2h i —z+2h La ht Bel TUE le CEE Sætter man dette Udtryk ind paa venstre Side af (181), gjælder Formlen for alle z > 0. Tillegger man nu specielt À og 2 Værdierne LÀ — 1/p, 2 — 1x, saa faas folgende Formel 1 mr læ . malt en ae mg 1— pi l Z TA ERS P a (mn)? + — (Ip? ; eller 1 Rs mnie mr sin vre le i = SSO Pg Pig ements 5 eo DP EN (182) (p—1)Vz BYDE: PI EL lp 4 Hvis man heri setter Boe saa faas - ple , 4cos Bla + Bsin Ale P PEs pe opp coer CPS _ __* ___ FR. ) 183 Ø oe (p—1)Vz Ê EMI ia Analogien af den Rekke, hvis Sum her er angivet, med den periodiske Faktor i Udtrykket for @(x) er saa iøjnefaldende, at det ligger ner at formode, at denne muligvis bestaar netop af ganske lignende Led, men summerede for alle Primtal, saaledes at det almindelige Udtryk for « f. Ex. var ER hvor m betegner alle hele Tal, p alle Primtal. Men Ip for at undersøge nærmere, om dette virkelig forholder sig saaledes, maatte man direkte ıvz E allio 2 joa : —sinmze = a (a2) (OUT, m=1 M = og for 2 > 27 ser man paa lignende Maade som ovenfor ved Formel (181), at i 1 z \\ i I z > inmz — 7 z— 2z E = 7 z+nE_—. 2, sum 9 (= ( TE = 57 ae rE,- (185) 27 lx Ro a faas folgelig TEE el la: pit =m Fa SI lp a 7 lp aie ae “Db 5 og altsaa endelig 1 @ [ @ 1 læ læ h(2) = & — — À» p + — > ul 7 T DT oe) 0 (g) la 9 lp + = lp ( ol RTE 5 + aE ) ie i (9) læ = Ag) la — 7 lp + = Zip — 0 (g)lx + EEE P = 244 62 eller i Or pe x or . p(x) = Zip ee pE la 19° ee 0, naar p >a. Men dette Udtryk stemmer fuldstændig med, hvad der ad anden da E ; Vej er fundet tidligere. Hvad der i denne sidste Udvikling er af Interesse er navnlig det, at det tydelig viser sig, at Formlen (184) er en ren Identitet. Alle mathematiske Formler ere jo i sidste Instans Identiteter, og en Formel kan ikke betragtes som fuldt bevist, forend det er muligt at paavise dens identiske Karakter. Noget saadant maa altsaa ogsaa kunne gjores med Riemann’s Formel for #(x) eller, om man vil, ved den efter hans Methode afledte Formel (178) for ¢(z). Men netop den sidste Udvikling giver et Vink om, hvorledes dette maatte kunne iverksettes, og navnlig viser den, at man ved Benyttelsen af trigonometriske Rekker har et Middel, som ret naturligt frembyder sig til at sammenknytte de to forskjelligartede Undersogelsesrekker, som i det foregaaende have beskjeftiget os — paa den ene Side Riemann’s Anvendelse af bestemte Integraler, paa den anden Side de af ufuldstendige Kvotienter afhengige numeriske Funktioner. Det bliver meget sandsynligt, at det maa kunne lade sig gjøre, saavel for #(z) som for (x), at opstille et Udtryk ved ufuldstændige Kvotienter, som ved Omdannelse til kontinuert Form ved Hjælp af trigonometriske Rækker umiddelbart gik over til Riemann’s Formel. Dette ser ganske vist ret tiltalende ud, men indeholder alligevel et Moment, som ikke varsler godt for fremtidige Undersogelser, Alt vil nemlig da komme an paa Kon- vergensen af de her optredende Rekker. Men saadanne Rekker ere i og for sig serdeles vanskelige at operere med, og naar man som her maa vere forberedt paa at treffe en dobbelt uendelig Række Led, saa bliver det mere end tvivlsomt, om man af disse Rekkers Beskaffenhed vil kunne drage nogen sikker Slutning om de Grænser, indenfor hvilke Summen ligger. Snarere kunde det ventes, at Betragtningen af selve de numeriske Relationer maatte kunne give nogen Oplysning i denne Henseende, men det vil i saa Fald sikkert blive nødvendigt at foretage meget indgaaende Undersøgelser om Divisionsrester. Tilleg.!) Endnu en Ting bør her fremhæves, nemlig at i Ø(z) ligesom i #(x) det Led, som maa anses for det dominerende, hidrører fra Leddet —/(7—1) i Formlen for /s(r). Ligeledes viser det sig, at man ved i Formlerne (63)— (64) at sætte 4 for s(r) erholder en meget stor Tilnærmelse til det rigtige Resultat, hvilket for disse to Formlers Vedkom- mende let lader sig bevise. Det er tænkeligt, at en nojere Diskussion af disse Formler og dermed analoge kunde lede til Opstilling af en Udvikling for s(r), ved hvis Anvendelse det blev muligt at bedomme de andre Leds Indflydelse, i hvert Fald er dette et Punkt, som fortjener at tages i Betragtning ved fremtidige Undersogelser. 1) Fandtes ikke i det til Bedømmelse indsendte Manuskript. 63 245 I Forbindelse hermed vil det være af Interesse at paavise, at ogsaa den af Tche- bycheff i hans første Afhandling !) anvendte Methode, som netop hviler paa Betragtning af Funktionen s(r), direkte fører til en med det foregaaende overensstemmende Bestem- melse af Lim ¢(z). Ved at gaa ud fra Formlen (14) viser Tchebycheff nemlig først, at Funktionen pa 1 1 Sn s(p A g r—1 AH Er 712 saa vel som alle dens Differentialkoefficienter, vil være endelig for r — 1, og derefter paa Basis heraf, at det samme vil vere Tilfeldet med Differentialkoefficienterne af l(r—1) — Xl (1—p~). Saa vil altsaa ogsaa œ 1 f 2 $ D" Ba CE ml som med de i det foregaaende anvendte Betegnelser kan skrives som an m + ee D; [3% =D), 2 1 Les | — DF S(1— re) re = (ile 3 (1—z(2) ære hvor m er et positivt helt Tal eller 0, vedblive at være endelig for r—1. Betegner nu M den største numeriske Verdi, som denne Sum, naar > —1, kan antage for nogen Værdi af m, saa vil følgelig ogsaa pie | la (lx)? _ (lz)8 1 1 1 I a el ea. Ja io 2 een een 2 vere en endelig Storrelse. Men denne Sum er det samme som ¥(1—c(e)) — Lim,-.(n—1 — din). Der vilde herved vere fort et Bevis for, at den asymptotiske Verdi af ¢(n) havde Formen n—a, hvor a er en Konstant, og dette kunde atter benyttes til Bevis for, at Integrallogarithmen gay den asymptotiske Verdi af #(n). At Tchebycheff ad anden Vej finder Integrallogarithmen for selve #(n), beror alene paa den Omstendighed, at han i Stedet for —2/(1—p=") kun benytter Ip”, saa der ret beset ikke viser sig nogen Uover- ensstemmelse mellem hans Resultat og det, hvortil de andre Methoder fore. Skjont det saaledes kuñde synes, at man ad denne Vej naar til en direkte Bestem- melse af den asymptotiske Verdi af y(n), have vi dog ikke benyttet den, fordi den Sætning, hvorpaa Beviset bygges, hviler paa den Forudsætning, at Formlen Is(r) = — 21(1—p”) ogsaa vedbliver at vere gyldig for r— 1, da de paagjældende Rækker ere divergente, 1) Sur la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée. Liouville’s Journal Bd. 17. 246 64 hvilken ikke uden videre kan betragtes som tilladelig. Det synes imidlertid at være muligt at gjennemfore Beviset ved at tillegge r en storre Verdi end I, men dette Punkt fordrer dog en nærmere Undersogelse, paa hvilken vi ikke her skulle indlade os. § 8. Tilnermelsesformler for #(n) og #(n). Det vil af de ovenstaaende Betragtninger fremgaa, at Middelværdien af Funktionen r(«) tilnærmelsesvis kan sættes lig 1 eller, om man vil, lig 1——, hvor k er en Konstant, som er lidt mindre end =: Indsat i Formlen SET t(æ) giver den Tin) + pVn, hvor p er en konstant Starrelse. Derimod have vi ikke været i Stand til at faa tilstrækkelig snævre Grænser for den Fejl, som begaas ved at indsætte det samme Udtryk i Formlen for ¢(n). Derved faas ganske vist for ¢(m) et Udtryk, der kan erstattes ved (n—-1) — kin + Konst., men for den virkelige Verdi af ¢(n) have vi kun sikkert de af Tchebycheff angivne Grænser, hvorefter man kan sætte d(n)—=n—1--4.n, hvor 4 er en ægte Brok. Vel er det meget sandsynligt, at man i Stedet for An maatte kunne sette et Udtryk, hvis væsentligste Led var af Formen --AVn, men ganske sikkert er det dog ikke. n Da (nx) = 37 tla) saa faas, ved ogsaa her for (x) at sætte ee for &(n) et Udtryk af Formen n 1 n 1 = 3 — —k3 B dn) Ir k 2 Sur Rin) (186) Fejlen A(n) vil her let kunne vises at vere af samme Orden som Fejlen i det tilnermede Udtryk for (nl. Sættes nemlig (x) —=t(x) + f(x), hvor é(x) — m og f(x) altsaa betegner den Fejl, der begaas ved at sætte (x) for c(z), saa er Zf{x) — Pin) = Fejlen i (n). Nu er altsaa å : = à I Summeres her delvis ved Formlen!) Yu» = uSv—S(duSv,), idet u—-—, v=f(2), lx? Sv = F(x) og Sv, = F(a+1)— F(2), saa faas 1) Ramus: Differential- og Integralregning S. 352. 65 247 1 \ x 1 N a ; Ss td sh Fa ) UDE ae Fin) + 2 (F(a 4-1) — F(2)) EEE (187) I det sidste Led er Faktoren Æ{æ-+1) — #2) af samme Orden som F(a), i(1 + =) er æ 1 ; ; ; re af Ordenen NE hele Summen kan derfor ikke blive uendelig af højere Orden end #{(n), saaledes at Fejlen Rin) i det højeste bliver af samme Orden som Fn). Hvis altsaa Fejlen i (nm) afhænger af Vn, saa vil det samme blive Tilfældet med Fejlen i In). At gjennemfore Beregningen nærmere for de af Tchebycheff angivne Grænser vil ikke lønne sig, da der ikke kommer noget bedre Resultat ud deraf, end hvad man ad anden Vej kan finde, nemlig Grænser, hvis dominerende Led er af Formen —+ An. Den Formel, vi saaledes have erholdt for #(n), er, som det strax ses, væsentlig n 1 den samme som Integrallogarithmen, idet D paa det nærmeste vil kunne erstattes ved 2 læ rent} 1 : : i ; — da, medens det andet Led, der tilnærmelsesvis kan erstattes ved din, ikke vil have læ est stor Betydning i Sammenligning med det første. Da tilmed Integrallogarithmen Li(z) bliver 0 for en Verdi af x, der er lidt mindre end 1°5, saa kan man altsaa, idet det andet Led helt kastes over paa Restleddet tilligemed Afvigelsen mellem Zi(n) og Sa skrive din) = Li(n) + R’(n) , 1 hvor Restleddet ikke bliver af hojere Orden end i den oprindelige Formel. Medens vi for den absolute Verdi af Restleddet kun have faaet Grænser af Formen -- An, hvor 2 er en Konstant, saa faar man ved en Beregning af Middelafvigelsen mellem (nr) og Li(n) en noget bedre Forestilling om dette Restled. Det er nemlig let tilnærmelsesvis at beregne Kvadratsummen af Afvigelserne 7(7)—I1 for alle æ fra 2 til n. Betegnes denne Kvadratsum ved S, saa haves n S = X(c(2)—1)? = Ira)? — 2 37 (2) + n—1. 2 Men nu er n n h à Ira? — re (Ip)? < In. Sp < (njn, saa at altsaa erholdes — i Ss < d(n)n—2h(n) +n—1 = dln)(n—2) + n—1. (188) Indfores heri de Tchebycheff’ske Grænser for (n), faas et Udtryk, hvor det dominerende Led bliver af Formen («In — f)n, hvor Konstanterne « og 2 omtrent ere henholdsvis 1°11 og 12. Sættes for Simpelheds Skyld « = 2 = 1'2, saa findes som tilnærmet Udtryk for Middelafvigelsen mellem c(z) og 1 for alle 7(xz) fra x —2 til e—n m = V1-2 (n—1). Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd, II. 6. 32 248 66 For zl) faas altsaa Kvadratet af Middelafvigelsen fra = at være lx 19 (= La ERRLGD a), 2 som skal summeres for alle a fra 2 til n, hvorved faas Kvadratet af den tilsvarende Middelfejl paa 9(n)—Li(n). Vi kunne her med tilstrækkelig Tilnærmelse integrere i Stedet for at summere. Det første Led indenfor Parenthesen giver da Integralet Zi(z), det andet findes saaledes Vee \ eat = = dz = — + - dz = m + Li(e). Derefter faas altsaa endelig for den søgte Middelafvigelses Kvadrat n M? — 12 — ! In? idet Indflydelsen af den lavere Integrationsgrænse kan lades ude af Betragtning. For selve M findes derefter ET EJ i= of) = V = In? saaledes at altsaa Middelafvigelsen mellem (x) og Li(n) herefter for store n bliver af lavere Orden end Vn. Vi saa lejlighedsvis tidligere (167), at #ln)In > din) > 0‘9n, følgelig er ogsaa n O(n) m < 09° (189) Indfores dette i Udtrykket for Middelafvigelsen, faas / 4 M, < V 3 On), saa at altsaa Middelafvigelsen kan antages at voxe mindre stærkt end en Storrelse, der er proportional med Kvadratroden af Primtalmængden. Et lignende Resultat kan ogsaa udledes ved direkte at danne Summen 2 y T(7)—1 = se) y (2) fal ate ai 2 lx ) * (Ix)? * (la)? " ~ (le)? Da = à (x) . for æ— p”, saa faas ly De 5 1 TR 1 1 an = 2(@(x))? = A(n) + 7 O(n?) SF gr Ama). Bee 2 ala EN Ei eee RE vm | — (In)? Ur SPA pag ey and 2p tt Ae oe D 0 0 Da endvidere sz = m3 > Din) = O(n) + A(n2) + Ans) 4-..., saa faas 1 1 2 een \ 1 A2 2 ae 2) L Le Nats 7 A a AS M? < On) + Fi O6(n2) +... li (pui Tea Din!) +. ) tee l 1 1 eller, da A(n) + FIR)... < dn) < Dim + — Din) +... 67 249 n Å n 2 2 9 M, < — N Lin) — — = = — Ball I. < ÿ{n) TE #(n) + Li(n) 5 QUI 5) + Li(n) Be (190) som nærmer sig stærkt til A(n), naar n voxer. De i det foregaaende beregnede Kvadratsummer give ganske vist strengt taget kun betragtet som Fremstilling af @(a), men da i Kvadratsummen M,„ indgaa Kvadraterne paa alle de enkelte mulige Afvigelser ala) — 7, en Forestilling om Middelfejlen paa saa giver den tillige nogen Oplysning om Afvigelsen mellem ¢&(n) og Li(n), og navnlig maa denne ventes at ville blive betydelig mindre end M,. Den virkellge «Middelfejl» paa Li(n), opfattet som Fremstilling af (x), skulde bestemmes ved først at søge Kvadratsummen (An) — Li(n))? , men for denne Sum er det ikke muligt a priori at angive noget Udtryk. Fra #(n) er det let at gjøre Overgangen til @(n). Thi da ln) = O(n) + TT) + + (ni) +..., saa er In) — #(n?) = Ain) — +A (nb) + And) — m er On), saa at man faar 5 an) > O(n) > Bn) — A (n2). (191) Hvis Restleddet i Formlen An) — Li(n) + R(n) var bekjendt, saa vilde man ved Indsættelse i Formlen din) = ZE (Linz) + R(nz)) = Pin) + 1 + ZED Rune) kunne erholde Grænser for Restleddet i Formlen @(n) = Pin) + 1 + R’(n) ved for (x) overalt at sætte + 1. Man vilde derved finde, at Restleddet A’(n) vilde blive af samme Orden som R(n). Hvorledes end den analytiske Form for Restleddets Grænser er beskaffen, saa er det ialfald for den forste Del af Talrækken sikkert, at dets numeriske Verdi er meget ringe. Glaisher har i Indledningen til «Factor Table for the sixth Million» for Intervaller paa 50000 fra O til 9 Millioner sammenlignet #/{n) med Riemann’s Formel saa vel som med de andre Tilnermelsesformler, som ere opstillede. Han finder, at den gjennemsnitlige Afvigelse for hin vilde vere — 9, en Differens, som tilmed reduceres med en Enhed, da Glaisher regner Tallet I med blandt Primtallene og altsaa i Virkeligheden betragter Differensen Pin) + 1 —(A(n) + 1) = Pin) — O(n), som er en Enhed mindre end P(n) + 1—@(n). Betragter man Afvigelserne nærmere, saa ses, at de snart ere positive, snart negative, saa at der ikke kan vere Tvivl om, at det netop er denne Formel og ingen anden, som skal benyttes, for saa vidt man ikke vil benytte en Formel, som tilsteder Vendepunkter. Det vil endvidere ses, at selve Afvigel- sernes numeriske Verdi stiger langsomt med n, men om de stige i Forhold til 32" 250 68 Vn lader sig ikke afgjore af de Sammenstillinger, Glaisher har foretaget. De numerisk storste Afvigelser, Glaisher har i sin Tabel, ere nemlig (naar vi kun medtage de Differenser, som ere sterre end alle de foregaaende) folgende: For 0°30 Million ... + 26 for 2°85 Million... — 45 for 8°70 Million... — 95 = 1:00 029 = 3°45) — 4 one =e = 875 — ... —106 CID EM Al S05 NET = 8:80 = 4189, Disse Tal kunne nok tyde paa en Stigning proportional med Yn , men dels kan man ikke gaa ud fra, at de virkelig angive de storste Afvigelser, som findes, dels maatte man ogsaa serlig undersoge Forholdet for de laveste Tals Vedkommende, og om dette giver Glaisher ikke nogen Oplysning. Glaisher har for at anskueliggjore, hvorledes Afvigelserne variere, fremstillet dem grafisk i et Diagram, der er vedfojet den nævnte Afhandling. Der er noget i dette, som kunde tyde paa en Periode afhængig af In, saaledes at Periodetallet, naar login toges til Argument, omtrent kunde blive 0:17 (for In altsaa 0°39). For at se, om dette muligvis skulde bekræfte sig for lavere Tal, have vi for Argumenter /n sammenlignet #(n) med P(n) for Tallene op til e!°, idet Primtalmængderne ere bestemte ved Optelling dels i de af Felkel i Lambert's «Supplementa» og af Vega i 2den Udgave (1797) af hans Logarithmetavler meddelte Primtallister, efter at de i disse Tayler indeholdte Fejl vare rettede efter Professor Oppermann’s Angivelse, dels i de større Faktortavler. Da Gauss?) har angivet en For- tegnelse over Primtalmengden i hvert Tusinde af den første Million, og de i denne inde- holdte Fejl ere rettede af Meissel, samt selve Tavlen af Glaisher fortsat op til 9 Millioner, var det let ved Sammentelling af disse Tal at danne en Tabel over Primtalmengden op til 1000 N for N< 9000 (jvfr. Tab. IV), og naar en saadan Fortegnelse toges til Hjælp, var det kun et ringe Arbejde at foretage de yderligere Optællinger, som vare nødvendige. Resultatet af den nævnte Sammenligning er angivet i Tabel VI, men det vil ses, at skjont Intervallet er tilstrækkelig lille til, at den omtalte Periodicitet kunde trede frem, er der dog intet, som tyder paa dens Tilstedeværelse, saa at den i Glaisher’s Diagram tilsyneladende regelmæssige Fordeling af de store Maxima og Minima vistnok skyldes en Tilfældighed. Det bor naturligvis ogsaa erindres, at selve Faktortavlerne ikke kunne anses for fuldt korrekte. Der er f. Ex. i de hos Glaisher og i de her anforte Optellinger ikke taget Hensyn til den af Oppermann paapegede Fejl hos Burckhardt, at 1330001 er et Primtal. Om de andre Formler, som af forskjellige Forfattere ere bragte i Anvendelse til Fremstilling af #(n), kunne vi fatte os i Korthed. Naar Gauss, Tchebycheff og Har- greave benytte selve Zi(n) i Stedet for P(n)+ 1, saa maa dette efter det foregaaende utvivisomt kun betragtes som en forste Tilnærmelse, idet man derved begaar en systematisk 1) Gauss’ Werke Bd. IL 69, 251 Fejl af samme Orden som #(n?). Glaisher’s Sammenstilling af disse Formler med de optalte Primtalmængder viser ogsaa tydelig, at Fejlen er stadig voxende. Merkeligere er det vistnok, at Legendre’s ') Formel Aa re See, In — 108366 giver saa gode Resultater, som den i Virkeligheden gjør. Man kan naturligvis opfatte dette (192) som begrundet i, at denne Formel giver en god Tilnærmelse til Z2(n), men denne For- , klaring er ikke ganske tilfredsstillende. At Formlen giver en god Tilnærmelse, siger med Hensyn til Primtallenes Fordeling noget mere. Vi saa nemlig for, at man exakt maa have In bin) = 2pE—. gr) F Ip Heraf folger atter, at [In In din) = A(n) I» — Sp ea peer 5) à hvor den under Z-Tegnet staaende Parenthes altid maa vere < 1. Hele den paa højre Side staaende Sum % maa altsaa vere Z/p, altsaa ogsaa < ¢(n) eller lig 2.¢(m), hvor 2 er en ægte Brok. Heraf vilde der faas et Udtryk for #(n) af Formen n)(1+ an) _ m(1+ An) In 2 In O(n) , (193) naar din) erstattes ved »—k, hvor k er en Konstant. Det maa altsaa, naar A, ikke betragtes som en Konstant, men som en Funktion af n, være muligt at udtrykke #(n) under denne Form, og det var maaske nok Umagen værd at forsøge at finde en saadan Tilnærmelsesformel. Men naar Legendre's Formel skal gjælde, altsaa n din) = De eller @(n).m — BA(n) = n, saa vil, naar Ø(n) erstattes ved n —k, haves, at. In In ; y ER Aal SND =k Ann Xp (7 le eller at In In RL ost Di BG (n) + k zl (7 Er) ; saa at den paa højre Side indgaaende Sum væsentlig skulde voxe proportionalt med #(n). Nu gjælder ganske vist Legendre’s Formel ikke, naar B er en Konstant, men for saa vidt denne Storrelse skal opfattes som variabel, varierer den i hvert Fald meget lang- somt, og selve Legendre’s Formel giver altsaa ogsaa et af disse mange Vidnesbyrd om de højst mærkværdige Relationer, som Læren om Primtallene giver Anledning til. 1) Théorie des nombres IV, 28. 252 70 $ 9. Intervallet mellem to paa hinanden følgende Primtal. Tchebycheff har anvendt de af ham fundne Grænser for ¢(n) til deraf at udlede Grænser for Intervallet mellem to Primtal. Da en laveste Grænse for Intervallet (for p >3) altid er 2, bliver det væsentlig den hojere Grænse, hvorom der kan være Tale. En saadan Grænse vil i Virkeligheden let kunne bestemmes, saafremt man for en eller anden i øvrigt vilkaarlig Funktion af x, Zn), som kun varierer, naar n passerer et Primtal, har angivet absolute Grænser. Antages nemlig, at disse Grænser ere udtrykte som Funktioner af n ved A(n) og Bin), saa at altsaa A(n) < F{n) < Bin) (194) for alle n (eller i det mindste for alle n større end et givet Tal), og antages, at p er et Primtal og p—-a—- I det neste, saa at altsaa intet af de a Tal, som folge efter p, er et Primtal, saa vil man have F(a+p) = F(p). Da nu haves A(p) < Fip) < B(p) samt A(p+a) < F(p) < B(p+a), saa er altsaa ogsaa Alp) < B(p+a) og A(pta) < B(p). For saa vidt nu F(p) er en stedse voxende eller stedse aftagende Funktion, maa det samme vere Tilfeldet med A(p) og Bip), og Grenser for Intervallet mellem to Primtal ville derfor kunne bestemmes ved Oplosning af Ligningerne A(p) = B(p--a) eller A(p+a) = B(p), (195) som ville give en højere Grænse for Tallet a Setter man n for p, hvor x er et vilkaar- ligt Tal, faar man Grænser for Afstandene fra x til de to nærmeste Primtal. Et ganske tilsvarende Ræsonnement kan anvendes, hvis p ikke betegner Primtallene, men en anden Række mærkelige Tal, og F(x) er en Funktion, som kun varierer, naar et af disse passeres. Som Exempel kunne vi benytte Tchebycheff’s Grænser for ¢(n) til deraf at bestemme Grænser for Intervallet mellem to Primtalpotenser, eftersom (mn) kun forandres, naar n passerer en saadan. Grænserne for ¢(n) kunne, naar Faktorerne til n gjores lidt større end de af Tchebycheff angivne, altid erstattes ved Udtryk af Formen An, hvor À betegner en Konstant, saa at man kan sætte An < bin) < Bn, hvor A og D betegne konstante Tal. Dette fører til folgende Ligning til Bestemmelse af Intervallet mellem n og den neste Primtalpotens A(n+a) = Bn, 71 253 : B—A B og deraf a= — n= ( -—I1)n. (196) Man ser, at Grensen bliver af Ordenen n. n For selve Summen af Primtallenes Logarithmer 2'/p, som kan findes udtrykt ved 2 Hjælp af (x), har Tchebycheff angivet Grænserne es PO TRE UE N ne ne het An En n 816 |) à n — SE AVn 216 m) CE qe AE ) hvor A betegner en Konstant, nemlig A ot 3030 Naar x er tilstrækkelig stor, kunne disse Grænser atter erstattes ved de videre 5 — i 6 An — ain == . n Interval| Vax | In (In)? | n Interval, Vn | in (In)? | 14 0:69 05 | 370261 | 112 608 | 12:8 | 164-4 2:2. | 71:61 2:6 1357201 | 132 | 1165 | 141 | 1994 13 8:62 | 2:06.) 6:6 1561919 | 132 | 1250 | 14:3 | 2034 2 1 5 2 3 19 4 44 2:94 87 | 2010733 | 148 | 1418 | 14:5 | 2107 5 6 8 32 57 | 347 | 120 | 3826019 | 138 | 1956 | 152 | 229.8 53 73 | 397 | 15:8 | 3988599 | 132 | 1983 | 15:2 | 2306 89 | 94 | 449 | 201 | 4652358 | 154 | 2157 | 15-4 | 235-7 139 10 | 118 | 498 | 243 | 5888741 | 132 | 2497 | 156 | 2430 199 | 12 | 141 | 529 | 280 | 6034247 | 146 | 2456 | 15:6 | 2438 293 | 171 |, 568 | 323 | 6371401 | 136 | 2524 | 15-7 | 92455 887 | 20 | 298 | 679 | 461 | 6958667 2638 | 15:8 | 2482 1129 | 22 | 336 | 703 | 494 | 7230331 | 148 | 2689 | 158 | 249-4 1331 | 365 | 719 | 51-7 | 7621259 | 140 | 2761 | 158 | 251-1 5591 | 32 | 748 | 863 | 745 || 7743233 2783 | 159 | 2516 8467 | 34 | 920 | 904 | 818 | 8001359 | 132 | 2829 | 159 9551 | 36 | 977 | 916 | 840 | 8421251 | 2902 | 15:9 | 2543 15683 | 44 | 1252 | 966 | 933 | 8917528 | 140 | 2986 | 16:0 | 2561 19609 | 1400 | 988 | 977 | 31397 | 1772 | 10:35 | 107-2 | | - 1 = oo r oo © ni oo a 101 DD m ot bo Intervallets Grænse viser sig her omtrent proportional med (/n)*?, men voxer dog forholdsvis lidt stærkere. Rimeligvis forholder Sagen sig i Virkeligheden saaledes, at denne Grense maa kunne udtrykkes ved en sterkt konvergerende Rekke af Formen a = a + fn + rin)? + o(m®+..., hvor Koefficienterne ere saaledes beskafne, at det tredie Led 7(/n)? er det dominerende Led for saa godt som alle de Verdier af n, som angives ved Faktortavlernes Udstrækning. Man kunde være tilbojelig til at formode, at de af Mertens bestemte Grænser for 27 maalte egne sig til Afledning af Grænser for Intervallet, men dette er ikke Tilfældet; dertil ere de meget for vide, og dette har atter sin Grund i, at de ere udledte ved Hjælp af Grænser for ¢(n), som ere endnu mere vage end de af Tchebycheff angivne. $ 10. Forklaring af Tabellerne. Da alle Undersogelser om Primtallenes Antal blandt andet ogsaa maa stiles mod det Formaal, at tilvejebringe Midler til at kontrollere Faktortavlernes Rigtighed, er det af Vigtighed at have Midler til at kunne jevnfore Formlernes Resultater med de virkelig op- Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. 33 256 74 talte Primtalmængder. En saadan Sammenligning har nu kunnet iværksættes med betydelig storre Udbytte end tidligere, efter at Glaisher med saa megen Udholdenhed har naaet at udfylde det Hul i Faktortavlerne, som tidligere fandtes, og Resultaterne af hans Primtal- optellinger nu foreligge fuldstendig i den i indeværende Aar (1883) udkomne Faktortavle for den 6te Million. Glaisher har tillige, som ovenfor omtalt, i Indledningen til denne foretaget udførlige Sammenligninger mellem (x) og de forskjellige Formler, der ere anvendte som Tilnærmelsesformler for denne Funktion. Vi kunne derfor i Hovedsagen nøjes med at henvise til denne Forfatter angaaende dette Punkt. For at blive i Stand til at kunne udfore en saadan Sammenligning havde jeg allerede i Efteraaret 1882 beregnet en Tavle over de dertil nodvendige Fundamentalverdier af Integrallogarithmen og ligeledes paabegyndt Beregningen af en Tabel over Funktionen P(z). Da slige Tavler ingenlunde ere blevne overflodiggjorte ved Glaisher’s Arbejde, men dette tvertimod har gjort Tilvejebringelsen af saadanne mere ønskelig, eftersom den Maade, hvorpaa Glaisher har udført Beregningen, er meget besværlig, saa meddele vi nedenfor disse Tavler. Tillige var der en Del andre Tabeller, hvis Betydning for de foreliggende Undersøgelser er iøjnefaldende, og det forekom mig derfor det rigtigste at samle disse og lade dem medfølge dette Arbejde, som de derved fuldstændiggjøre. Tillige give de et Middel til at kontrollere og bedømme Rigtigheden af de angivne Udviklinger, og det har derfor sin store Betydning at have dem let tilgængelige. — Med Hensyn til deres Omfang bemærkes, at de her paa nogle Punkter fremtræde i en lidt fyldigere Skikkelse end den, hvori de fandtes i det oprindelige Manuskript. Tab. I. Tabel over Værdierne af reciproke Potenssummer og deres Logarithmer. Denne Tavle indeholder i Iste Spalte med 16 Decimaler Værdierne af s(r) for y = 2,3...35. Disse Værdier ere oprindelig beregnede af Legendre, de ere aftrykte af De Morgan i hans Diff. and Integr. Calc. p. 554. Her ere de anførte efter Merrifield’). Da den Prove, som faas ved Addition, idet 3 (s(r) —1) == 1, stemmer, tor det forudsettes, at Verdierne ere korrekt angivne. ; I 2den Spalte findes de naturlige Logarithmer af disse Tal efter Merrifield’s Beregning; efter samme Forfatter ere ogsaa Tallene i 4de Spalte, reciproke Potens- summer af Primtallene alene, angivne; de ere beregnede af dem i 2den Spalte ved Anvendelse af Formlen (34). Tallene i 3die Spalte, de Briggiske Logarithmer af s(r), ere efter egen Bereg- ning. De ere Resultatet af en dobbelt Beregning efter forskjellige Methoder og provede ved Sammenligning med de af Merrifield angivne naturlige Logarithmer. 1) Proceedings of the Royal Society of London. Vol. XXXII. 7/11 1881. 75 257 Tab. I. Verdier af e* og Li(e*) fra æ— 5 til « — 20 med Interval af 0:2. De i denne Tavle anforte Tal ere, med Undtagelse af Integrallogarithmerne fra æ— 5 til @=[1, efter selvstændig Beregning. Værdierne fremtræde med en noget forskjellig Nojagtighed, hidrorende navnlig fra, at den sidste Del af Tavlen fra =— 14 er beregnet først, og det oprindelig kun var paatenkt at beregne Zi(e”) med en saadan Nojagtighed, at log Zi(e”) kunde bestemmes med 12 rigtige Decimaler. Gjennemgaaende kan det sidste Ciffer ikke anses for fuldt paalideligt, navnlig naar det i Tavlen er skrevet med mindre Ciffer end de andre, derimod vil der, da der i det hele taget regnedes med flere Cifre end her anfort, og der kun er angivet de Cifre, for hvilke de anvendte Prover stemte, ikke kunne vere Tale om Unojagtighed i det næstsidste Ciffer. Angaaende Beregningen af Li(e”) hen- vises til det efterfølgende Tillæg. Værdierne af e* ere fundne ved ligefrem Multiplikation, saaledes at e* først bestemtes for hele x, og nogle af disse Verdier provedes ved logarith- misk Beregning af e” for samme 2. Derved fik man tillige en let Kontrol paa Rigtigheden af de mellemliggende Verdier. I Forbigaaende bemerkes, at de i Egen’s «Allgemeine Arithmetik» (Berlin 1833 —34) anførte Verdier af e” ved denne Lejlighed fandtes at vere meget unojagtige. Værdierne af e” i den første Del af Tavlen ere simpelthen fundne ved Logarithmeopslag; de tilsvarende Verdier af Zi(e”) ere angivne efter Bretschneider!). For Kontrollens Skyld er i Tavlen Differensen mellem to paa hinanden folgende Værdier af Zi(e”) opført imellem disse. Tab. lil. Verdier af Funktionen P(e) fra «=0 til 3 — 20 med Interval af 0‘1, med tilhørende Logarithmer m. m., er ligeledes efter selvstændig Beregning. Denne Tavle, i hvilken log P(e") skal opfattes som det principale, er „2 æ 1 3 beregnet paa folgende Maade. Da Pe?) ats a [2]. 2s Sr EE +... se (86), saa 20 AIRES DIR var det let ved Hjælp af Tabel I at danne en Tavle over Logarithmerne til de sukcessive Koefficienter i denne Rekke. Den forste Del af Tavlen beregnedes derefter Led for Led ved Hjælp af disse Koefficienter ad logarithmisk Vej, desuden beregnedes for nogle af Værdierne op til æ— 15 de tilsvarende Verdier af Pie”). Denne Beregning blev imidlertid paa Grund af Leddenes Antal snart uoverkommelig, hvorfor jeg valgte en anden Fremgangsmaade. Da nemlig Zi(e) — C — lx = Pie") + + Pei) + + Pie‘) +..., saa vil Differensen ? a a © k ie (Later) —C — lx) —P(et) omtrent vere lig > Pie 2) og altsaa saa lille, at en Rækkeudvikling for denne lettere kan beregnes direkte. Jeg beregnede derfor forst Værdierne af Rækken 1) Schlömilch: Zeitschrift für Mathematik und Physik 1861. 33° 258 76 Fa Se — I i: a sg — 1 / x Shy 1 a? Qe") = sr Zr 85 27.2 + 5, " GLS À sey (201) hvorefter fandtes P(e) = Li(e7) — C— la — Q(e7). (202) Naar æ blev saa stor, at der ved Beregning af Rækken Q(e”) maatte medtages flere end en halv Snes Led, saa benyttedes Rækken Ret) = (Lite) — C— le) — Pee) — + Pee?) 2 ee, | UT s,—1—2+ 2 Dre Ta CC or er ee oS som direkte beregnedes Led for Led, hvorefter det var let at bestemme i I x P(e?) = (Li(e*) —C—lz) — 7 P(e2) — R(e*) , (204) idet Pie?) toges af den færdige Del af Tavlen. Ved Udførelsen af Beregningen af Rækkerne Q(e”) og Ale”) benyttedes gjennem- gaaende kun 5- eller 6-cifrede Logarithmer, saa at der i intet Tilfælde kunde gjores Reg- ning paa at faa flere end 4, hejst 5 rigtige Decimaler, men dog altid tilstrekkelig mange til, at selve P(e") kunde bestemmes saaledes, at i det mindste et Par Decimaler bleve rigtige, hvilket maa anses for nok. Som Prove paa den rigtige Beregning af Q(e7) eller R(e7) anvendtes Differensprover paa de 5-cifrede Logarithmer af disse Storrelser, idet det viste sig, at Logarithmerne af alle de her optrædende Funktioner variere saaledes, at 3die à 4de Differens blev forsvindende. Paa Grund af denne Omstændighed fandtes det hensigtsmæssigere at danne en Tabel over log P(e") end over selve P(e"), saa meget mere, som man da ikke behøvede direkte at beregne log P(e") for alle de i Tavlen indgaaende Argumenter, men kunde nøjes med et ringere Antal og bestemme de mellemliggende Værdier ved Interpolation. Paa denne Maade fremkom da de i Tab. III indeholdte Verdier af log Pie”). I Tabellen have vi under P(e") for 2 > 2 kun anført de Fundamentalverdier, paa hvilke Beregningen af Logarithmerne i næste Rubrik hvile. Vi have i disse Tal medtaget alle Cifre, som de fremkom ved Beregningen, uagtet det sidste ialfald er meget upaalideligt, det næstsidste tvivlsomt. I de anførte Logarithmer, af hvilke omtrent Halvdelen er bestemt ved Interpolation, vil derimod Unøjagtigheden kunne betragtes som gjennemgaaende kun værende til Stede i det sidste Ciffer, hvilket ogsaa vil fremgaa ved Betragtning af de tilføjede Differenser. Det vil ses, at disse variere saa regelmæssigt, at det til Bestemmelsen af P(e”) med et Par rigtige Decimaler op til omtrent v— 14 vil være tilstrækkeligt at interpolere med den Differens af Logarithmen, og naar man kun bryder sig om at faa det hele Tal i P(e”) rigtigt eller højst et Par Decimaler, vil den her angivne Tavle være tilstrækkelig til en let og hurtig Udførelse af Regningen. 77 259 Til Bestemmelse af Primtalmengden op til x efter Riemann’s Formel, naar denne indskrænkes til P(n) +1, vil der da kun vere at beregne /n og med denne som Argument af Tavlen udtage log P(n), hvorefter P(n) findes ved et Opslag af Antilogarithmen. 7-cifrede Loga- rithmetavler ere ved denne Beregning tilstrækkelige for n < 10 Millioner og endnu noget derover. Denne Beregning kan med Hensyn til. Vanskelighed ikke stilles ved Siden af Glaisher’s Fremgangsmaade, og vi tro nok at turde paastaa, at Beregningen af «den lange Hale» ved den her angivne Methode er bleven en forholdsvis let Sag. Da 7-cifrede Logarithmer af P(e) for + > 14 kun kunne give det hele Tal i P(e") fuldkommen nøjagtigt, og det er ønskeligt, navnlig hvis Tavlen skal fortsættes, al kunne erholde en større Nojagtighed, have vi for z7> 10 tilføjet i en særlig Rubrik log (Li(e”) — P(e7)) med 6 Decimaler, beregnede ved Interpolation efter Briggs’ Methode af de Fundamentalværdier, som ere anførte under Zz(e7) — P(e”). Denne Tavle er i Virkelig- heden for Værdier af x fra x — 8'4 beregnet før selve P(e") og lagt til Grund ved Bereg- ningen af de under P(e”) for x — 10 og opad anførte Fundamentalværdier. Det skal endnu anføres, at Sammenligning med nogle af de af Glaisher beregnede Værdier har givet god Overensstemmelse mellem disse og dem, som findes ved Tabel II, saa at derved faas en Prøve paa dennes Rigtighed med Hensyn til de Cifre, hvorpaa det ved Anvendelsen kommer an. Tab. IV. Antallet af Primtal i hvert Hundrede fra 1 til 10000 og i hvert Tusinde fra I til 100000, tilligemed tilsvarende Verdier af #(«) for de første 100 Multipla henholdsvis af 100 og af 1000, og Tab. V. Antallet af Primtal i hvert af de første 90 Hundredetusinder og tilsvarende Værdier af Q(7) for de første 90 Multipla af 10°. Disse Tavler angive Primtalmængder efter Optælling i Faktortavlerne. Den første er dannet ved Addition af de under Overskriften «Diff.» anførte Tal, som tildels ere tagne efter Gauss'!) Optælling, rettet af Meissel, og stemme med de af Glaisher i Faktortavlen for 6te Million angivne. Tallene i Tab. V ere paa lignende Maade dannede af en af Glaisher i «Report of British Association» for 1881 meddelt Tavle og senere sammenholdte med den af samme Forfatter meddelte Tabel i den nævnte Faktortavle. Det maa her ved Sammen- ligningen erindres, at Glaisher altid regner I med blandt Primtallene, hvorfor hans Tal skulle være en Enhed større end vore. Efter samme Forfatters Bereg- ning meddeles den følgende Række Differenser P(x) — 4 (x). 1) Tafel der Frequenz der Primzahlen. Gauss’ Werke B. I. 260 78 Tab. VI. Sammenligning mellem Verdierne af 6 og P for Tal op tite, Hensigten med denne Tavle er angivet Side 250, hvor der tillige er givet Oplysning om, hvorledes de her optrædende Verdier af #(e*) ere fundne. Man ser, at selv i den forste Del af Tavlen, hvor man skulde være tilbojelig til at vente forholdsvis store Differenser, er Ü—P dog altid meget ner ved 1, saasnart e” overstiger 2 à 3 Enheder. Vi have end- videre dannet saavel Differensen /—/?—1 som dens Kvadrat og Middelafvigelsen, beregnet af hver: 10 paa hinanden folgende Verdier i Tavlen, for derved at faa en Forestilling om, hvorledes denne Middelafvigelse varierer. Tab. VII indeholder navnlig Verdierne af Funktionen ¢(2) for Tallene fra 1 til 2000. Da Funktionen (x) ved disse Undersøgelser spiller en saa fremtrædende Rolle, forekom det mig ønskeligt at anstille en Sammenligning mellem denne Funktion og x, dels for at se, hvilken Verdi man rettest burde tillægge Konstanten k i Formlen (2) — «—k, dels for at undersoge Storrelsen af Afvigelserne. I dette Ojemed dannedes Tabel VII, idet de naturlige Logarithmer af de dividerede Primtalpotenser med 8 Decimaler toges af Vega’s Logarithmetabel (Udgaven af 1797) og adderedes, hvorved fremgik de under ¢(n) opforte Tal. Da Vega for Tal > 1000 kun anforer Primtallenes Logarithmer (op til 10000), var en Fortsættelse af Tavlen længere end til « — 1000 ikke strengt nødvendig, da det for- nodne Materiale til en videregaaende Sammenligning kan faas ved umiddelbar Addition i selve Logarithmetavlen. Da det dog var ønskeligt at se, hvorledes (a) forholdt sig i Nærheden af det store Primtalinterval imellem 1300 og 1400, har jeg fortsat Tavlen op til x — 2000. Det vil ses, at (x) slutter sig gjennemgaaende meget nøje til «—1, men jeg har ikke anset det for nødvendigt at anstille nogen detailleret Sammenligning, hvilket for ovrigt nu er en let Sag. Tavlen indeholder endvidere dels Angivelse af ethvert af de forekommende Primtals Nummer i Rekken, dels for Tallene op til 300 de sammensatte een Å 4 - ul Tals Primfaktorer samt Faktorerne (x), endvidere Verdier af Summerne 2 el, n ; endelig ligeledes for de laveste Tals Vedkommende Verdier af IE tilligemed Antallet 2 & af de Divisorer i n, som ere større end 1. I det hele taget er denne Tabel kun tilføjet, fordi den selv i den nuværende Skikkelse giver nogen Oplysning, for selve Afhandlingen spiller den kun en underordnet Rolle og kan i Betydning neppe stilles ved Siden af de andre, sely om det altid har sin store Interesse, at man sættes i Stand til at se, hvorledes de forskjellige numeriske Funk- tioner forholde sig i den første Del af Talrækken, en Undersøgelse, som kun kan gjeres ved en Tabel som den foreliggende, og saavidt mig bekjendt” foreligger en saadan ikke noget andet Sted. 79 261 $ 11. Slutning. Naar vi til Slutning kaste et Tilbageblik over de i det foregaaende fundne Resultater, saa lader det sig ikke nægte, at det vundne Udbytte ikke synes at staa i et passende For- hold til det store Apparat, der er sat i Bevægelse. Vi have nemlig ikke naaet noget «stringent Bevis for, at en af Faktortavlerne uafhengig Funktion /(z) slutter sig saaledes til (a), at Lim “oe — 0». Alle de Midler, vi have anvendt, have kun kunnet fore til Paavisning af, at dette sandsynligvis gjælder om den Riemann’ske Funktion, som vi have betegnet ved P(x) +1, og at navnlig dennes Afvigelse fra @(x) altid ligger indenfor Grænser af Ordenen Vz. Om end mange Tegn tyde paa, at der maa endnu andre og mere indgaaende Undersogelser til, inden et saadant Bevis kan gives, saa er det dog ikke usandsynligt, at vi med Hensyn til dette specielle Problem vilde vere naaede videre ved alene at fæste Opmerksomheden paa de asymptotiske Verdier af de optrædende Funk- tioner. Men vi have med velberaad Hu ikke stillet os paa dette Standpunkt, fordi det i Virkeligheden er af større Vigtighed at kjende Tilnærmelsesformler, som kunne bruges for endelige Verdier af Argumenterne, og saadanne med det samme ville give de asympto- tiske Tilnærmelsesformler. Men noget er der alligevel opnaaet ved vore Undersogelser, og tilmed tro vi, at dette er noget vesentligt. Hvad forst Riemann’s mærkelige Formel angaar, da have vi ikke blot fort Beviset for selve det Riemann’ske Integrals Fremkomst tilbage til forholdsvis simple Forudsetninger, som tilstede en dybere Indsigt i dets egentlige Natur, men ogsaa ved den Kommentar, der er givet til selve Behandlingen af dette Integral, fjernet alle der forekommende Vanskeligheder og bragt Klarhed tilveje med Hensyn til Uoverensstemmelsen mellem Riemann og Genocchi, om hvilken denne sidste selv udtrykker sig meget beskedent. Alle Vanskeligheder ved Riemann’s Udvikling ere derved forte tilbage til Bestemmelsen af Udviklingen for /s(r), et Problem, som kan behandles uden Hensyn til Læren om Primtallene. Tilmed have vi med Hensyn til Rødderne « kunnet give visse Vink, som forhaabentlig ville kunne komme fremtidige Undersogelser til Gode. Af mere praktisk Betydning er dog den særlig smukke Form, i hvilken vi have bragt Funktionen P(z), en Form, som har den store Fordel at kunne bruges til en let numerisk Beregning. Fremdeles tillegge vi det nogen Betydning, at vi have fremdraget en Del spredte og lidet kjendte taltheoretiske Undersogelser og ved at bringe disse i Forbindelse med den af Tchebycheff indførte Funktion Ø(z) vist, at ogsaa disse lede til at betragte, ikke Funk- tionen (2), men #(x) som den, der i disse Undersøgelser maa spille Hovedrollen. Vi have derved naaet ved Betragtninger fra selve Tallæren at paavise den Rolle, som Integrallogarithmen maa spille ved Bestemmelsen af Primtalmængden, og selv om 262 80 Begrundelsen ikke er ganske tilfredsstillende, er den dog tilstrækkelig fyldestgjorende, til at man ad denne Vej vilde vere bleven ledet til at opstille Zé(x) som Tilnærmelsesformel for (x), selv om ikke Riemann’s Formel var fremkommen tidligere. Tillige synes der at være en Mulighed for ved en videre Udvikling af denne Art Undersogelser at naa til en sikker Paavisning af Fejlgrensens Afhængighed af Va, men dertil vil dog rimeligvis først fordres en mere indgaaende Undersogelse af de Divisionsrester, som fremkomme, naar et Tal divideres med alle foregaaende Tal i Talrekken. Hvad der nemlig i det foregaaende stadig har modt os som en væsentlig Hindring for at indsnevre Grænserne, er blandt andet : N. netop den Omstændighed, at man for Differenser af Formen ——E— ikke, selv om man har en Sum af saadanne, kan faa snævrere Grænser end 0 og 1. At der i denne Retning virkelig vil vere noget at udrette, derom vidner blandt andet den i det foregaaende oftere omtalte Afhandling af Berger. Ogsaa en nojere Droftelse af de Problemer, som staa i Forbindelse med Rækker, som indeholde Faktorer (2), synes ved disse Undersøgelser at være meget onskelig, ogsaa igjennem den vilde man muligvis naa til at udfylde Hullerne i den nærværende Fremstilling. Hvilket Værd der kan tillegges denne, tilkommer det ikke Forfatteren at bedomme. Dog formener han, at der ved den her givne Paavisning af den indre Sammenhæng mellem de vigtigste hidtil anstillede Undersogelser paa dette Gebet og navnlig af, at disse alle bestemt pegè hen paa det selvsamme Resultat, er gjort et Arbejde, al hvis Ud- forelse paa en eller anden Maade et videre Fremskridt maa afhenge. Kun den, der er i Besiddelse af en Riemann’s Geni, tor haabe paa et Felt, hvor saa mange store Mathematikere intet have kunnet udrette, at gjere noget stort Fremskridt uden et forud gaaende grundigt Studium dels af Forgængernes Arbejder, dels af Videnskabens nuværende Hjælpemidler. Til at lette det dermed forbundne Arbejde tro vi, at nærværende Fremstilling maatte kunne bidrage noget. Men Arbejdet vil alligevel være stort, thi enhver, som har givet sig af med Tallenes Theori, vil vistnok sande Rigtigheden af den Sentens, som Degen efter Ovid salte som Motto paa sin «Canon Pellianus», og som vi ogsaa benytte som Motto for denne Afhandling: «Est data lex numeris magnorum horrenda laborum». 263 on — Tillæg. Om Beregning af Funktionen Li(e*). Bereenine af Fundamentalverdier af Integrallogarithmen er saavel af Bretschneider!) som af Glaisher?) udført ved direkte Beregning af de enkelte Led i Rækken HN ER RE ET Tee ea ace (1) Denne Fremgangsmaade er ret praktisk, saa lenge « kun tillegges smaa Verdier, men bliver, efterhaanden som « voxer, uoverkommelig. Bretschneider har derfor ogsaa kun fortsat sin egentlige Tavle op til «7:5, medens Glaisher standser ved #— 5 og for højere Verdier kun angiver Zi(e”) for hele # op til #15 inkl. samt for 2— 20 (med 11 à 12 Decimaler). I Faktortavlen til 6te Million angiver han yderligere Værdien af Lie!®, — Hvorledes afdøde Professor Oppermann, som. ogsaa har beskjeftiget sig med Beregning af Integrallogarithmen, idet han dog indskrænkede sig til at søge Zi(e”) for hele a indtil 20, og Stenberg?) have regnet, er først senere bleven mig fuldt bekjendt (se nedenfor). Derimod har Bessel?) benyttet en af ham angiven Rekkeudvikling. Den af mig anvendte Fremgangsmaade bestaar i en sukcessiv Beregning af Integraler af Formen Se åg er er la) == da — er — de. (2) æ a-+x Ua vo F ; = 1 å ; Naar nemlig her x antages mindre end a, saa kan Faktoren Zu: udvikles i Række, hvorved faas at Qe æ Cl er et à {x æ \? et — da = —| \ erde e dx + \ e” Cfo colo (3 a+-x a a a 0 00 0 eo 1) Schlômilch's Zeitschrift Vol. VI, p. 127—139. 2) Philosophical Transactions Vol. CLX, p. 367—388. 3) Tabulæ Logarithmi integralis, Malmogiæ 1861—1867—1871. ') Abhandlungen Vol. Il, p.331. Videnskab. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. II. 6. 34 264 82 Da = er en ægte Brok, vil denne Række konvergere, og naar man for & setter en lille Størrelse, som er mindre end 1, medens a er et Tal, som er større end f. Ex. 7, saa kan man ved passende Valg af 2 bringe Rekken til at konvergere saa hurtig, som man onsker. Nu kunde man her behandle hvert af disse Integraler for sig og derved erholde en Rekke efter Potenser af 2, hvilket f. Ex. Glaisher har gjort, men dette vilde vere en Omvej. Det maa nemlig erindres, at det slet ikke kommer an paa at finde en Udvikling, der skal bruges til analytiske Undersogelser, men at det meget snarere kommer an paa at fremstille en Række sukcessive ensartede Regneoperationer, hvis fortsatte Anvendelse kunne tjene til Beregning af den forelagte Rækkes enkelte Led uden Hensyn til, hvorledes disses analytiske Form monne være. Og denne Opgave er let at løse. Da man nemlig ved Beregningen af de enkelte Led faar Integraler af Formen \earda, og ved delvis Integration D I: qr etært! 1 id erde = — ——— \erttide, I n—+I n—1 à ‘ ” 0 0 haves eller omvendt sc E \ eo = ever tt — (n+ 1) Ven ce (4) vn vn saa ses, at hvert Led i Rækken (3) maa kunne findes, ved en rekurrent Beregning, af det nærmest foregaaende. Vi behave ikke at bekymre os om, at dette derved optræder multi- pliceret med en Faktor (n-1), da Rækkens Konvergens er sikker, og Fejlens Indflydelse neutraliseres ved den paafolgende Division med en Potens af a. x ÆNGE Idet vi altsaa ved À, betegne Integralet \e(2) dx, hvor n er et helt Tal, saa 0 en haves farst et Tea — (40-4 + Ae ---); (5) samt almindelig er grt n+] Anti = ik ee = Ane (6) Da man har æ Alay = Verde = e—l, saa blive de første Led i Rækken (3): N,, —N,, N,... bestemte ved æ 2 a+r 7 entr pa N å (=) 1.N, N —— ——n N — — NE SER ll MG) 7 > 1 - RATS a 0 (7) S3 265 Sætter man her a lig et helt Tal og æ— 1, saa faas, naar man i Forvejen har beregnet en Tavle over Potenser af e* og ved Division med a deraf danner Verdier af et”: a", et atl forholdsvis let Middel til at bestemme Verdierne af Integralerne IS de Paa denne Maade av ® er Beregningen af Integrallogarithmen til e” for & — 16, 17, 18, 19 og 20 udfort for i For- bindelse med de af Glaisher angivne Verdier for hele + at kunne benyttes til Kontrol ved Beregningen af de mellemliggende Verdier i Tab. II. Disse ere fundne ved at bemærke, at et Integral af Formen —T ved Udvikling paa lignende Maade som ovenfor giver en Række af Formen ai ate +2 ate foe ef x GE 4 da = A w Je (=) dx + le i) de...|= N,.—N,+N,—N; ..., (8) —T _— væg Ja hvor det vil vise sig, at Leddene med negative Fortegn blive af forholdsvis ringere Betyd- ning end i foregaaende Tilfælde, saaledes at den numeriske Værdi af et negativt Led nærmer sig stærkt til den af det følgende positive. For øvrigt fører delvis Integration her til ganske lignende Resultater som i fore- gaaende Tilfælde, kun med den Ændring, at man erholder 5 | & L æn eat? —_ g0—T (eat? + Cm) (2) —| No (ett — Cm) (<) — EINE N, = — : = £ ar 0 Fi , 1 7 > 2 m > ; (9) - LANE É (eet + ee?) (=) pres 3.N, IN Se ons: Da man kunde sætte Udtrykket for Integralet under Formen ar? +r at? ar? eat? et et : et Be: da = —\ erde — — Verde + — \e?a*dx-+... (10) a+x a a? a’ —r =—2 dr —T saa vilde man ogsaa, hvis man skal beregne en længere Række af Integraler svarende til samme z, kunne have Fordel af engang for alle at bestemme de numeriske Værdier af de et Integraler, der optræde som Koefficienter til hvorefter en logarithmisk Beregning af m) det paagjældende Led er let, saafremt Teeiftede Tavler give tilstrækkelig Nojagtighed. Det vil herefter være klart, hvorledes dette kunde tjene til paa en forholdsvis let Maade at beregne den i Tab. Il meddelte Tavle. Forst beregnedes nemlig Værdierne af e* for Intervaller af a; og ved derefter i Formlen (8) at antage a= fandtes ved ligefrem Anvendelse af (9) Værdierne af N,, N,, Ns. De folgende Led bestemtes logarithmisk ved 34° 266 $4 at+0-4 Hjælp af de engang for alle beregnede Verdier af Integraler af Formen \erande for —0:1 m = 3, 4, 5 0.s.v. Det var til Opnaaelsen af den Nojagtighed, der onskedes, ikke nod- vendigt at medtage flere end 7 à 8 Led, da den anvendte Rækkeudvikling er meget stærkt konvergerende. For a = 12:5 fik man f. Ex. N, = 4300:55582 39903 5097 —N, = —1:14605 10705 4886 N 9186 74014 4756 ne —4 40167 3 Nae 35297 20 i= —20 13 N == 161 126 — - altsaa © da — 4299-50159 98323 9. 12:4 Af disse Integraler fremgik derefter ved Addition de sukcessive Verdier af Li(e?), og en fortrinlig Prove paa Regningens Rigtighed havdes ved Sammenligning med de allerede beregnede Verdier for hele w. Vi fik herved tillige en Bekrieftelse paa Rigtigheden af de af Glaisher beregnede Verdier, for saa vidt som disse kunde kontrolleres, altsaa med Und- tagelse af det sidste Par Cifre. Det vilde, hvis der fra Begyndelsen af havde veret lagt an derpaa, kun have veret en forholdsvis ringe Forøgelse af Arbejdet at beregne nogle flere Decimaler, idet der dertil navnlig kun vilde behoves nogle flere rigtige Cifre i Potenserne af e. Men som allerede bemerket var det oprindelig kun Hensigten at erholde 12 a 14 rigtige Cifre, og Meningen var derefter ved Beregning af Logarithmerne til disse og paafolgende Interpolation at danne en Tavle, ikke over selve Zi(e”), men over dens Logarithmer. Thi, som det vil ses ved Sammenligning med Tab. Ill, vil en saadan Tavle paa Grund af den Lethed, hvormed der kan interpoleres i den, vere saa bekvem, at den hidtil saa gjenstridige Funktion Zi(«) derved vilde være draget ind under den Række Funktioner, som kunde betragtes som fuldstændig bekjendte for alle Værdier op til den Grænse, som Tavlen angav. Imidlertid blev ved nærmere Overvejelse denne Tanke opgivet, dels fordi det til Opnaaelsen af det specielle Formaal, hvortil den skulde tjene, befandtes hensigtsmæssigere at konstruere den Tayle, der er meddelt i Tab. Ill, dels fordi en Fundamentaltavle som den omtalte som Argument rettest burde indeholde ikke naturlige, men Briggiske Logarithmer. I den Form, hvori Tavlen her foreligger, vil den i hvert Tilfælde kunne. tjene til Fundament for en saadan Tavle, da Overgangen lil andre Værdier end de Argumenter, der findes i Tavlen, forholdsvis let kan gjores, enten ved Hjælp af de her angivne eller ved andre bekjendte Formler. 85 267 Senere Aum. Efter Fuldendelsen af det foreliggende Arbejde er jeg bleven bekjendt med to andre værdifulde Bidrag til Beregning af Integrallogarithmen. Det ene er den ovenfor nævnte Tavle af Stenberg, af hvilket Værk jeg tidligere kun kjendte anden Del, der gaar til Zi(10°®), medens det senere er lykkedes mig at erhverve et fuldstændigt Exemplar af Tavlen. Det viste sig da, at Forfatteren i en Pars Ill, udkommen 1871, har fortsat Tavlen fra Z4(10%5) indtil Z2(10!0). Argumenterne ere de Briggiske Logarithmer med Interval 0:01. Værdierne ere beregnede med 14 Cifre, og der er tilføjet Differenser for at lette Interpolationen, medens Forfatteren dog ikke har været opmærksom paa Hensigtsmæssig- heden af et tabulere log Zz(z) i Stedet for selve L(x), hvorved Tavlens Omfang vilde have kunnet indskrænkes betydeligt. Men i hvert Fald fortjener "Arbejdet den største Anerkjen- delse, og det maa kun beklages, at Tavlen synes at være en Sjældenhed. Hverken Glaisher eller afdøde Professor Oppermann, som maatte anses for at have særligt Kjendskab til, hvad der var udrettet paa dette Omraade, have omtalt denne sidste Del af Tavlen, og det Exemplar, hvoraf jeg er kommen i Besiddelse, har maattet forskaffes ad antikvarisk Vej. I Indledningen til 3dje Del af sin Tavle gjør Stenberg Rede for, hvorledes denne Del er beregnet, og udvikler blandt andet de selvsamme Formler, som ere anførte ovenfor, tilligemed forskjellige andre lignende, som han har benyttet til Beregning af de Fundamental- værdier, som ligge til Grund for hans Tavle. Det andet Bidrag indeholdes i afdøde Professor Oppermann's Papirer. Det er bekjendt, at denne Mathematiker beskjæftigede sig med Beregning af Integrallogarithmer, men om den Methode, han benyttede, har han ikke givet nogen Meddelelse. Af hans mundtlige Udsagn fremgik kun, at han anlagde sin Regning saaledes, at den med det samme kunde give Værdierne af de sukcessive Differentialkoefficienter. Heller ikke i hans Papirer indeholdes nogen sammenhængende Meddelelse om dette Punkt, men derimod findes de originale Beregninger, som han har foretaget, og af disse er det ikke vanskeligt at se, hvorledes Regningen er udført. Fremgangsmaaden, som i Virkeligheden er særdeles elegant, kan udtrykkes ved Formlerne ehe be ete BRUT ENT, 2) WIENER JOR KØR Lilet) — Li(e®) = 2 (40 +a AS + 4,6? Eur dan | a= | | i (11) . . 2 es =. pay ft Tale) Te 2) = = (4, mo 3 Ars? — 438 +.. WJ hvor À, | 4, I A, - Al; Are Ay Ay == Some à ONS: V (12) Disse Formler tilstede, naar forst Potenserne af e ere beregnede, en rekurrent Beregning af de enkelte Led og give derefter Værdierne af begge Integraler 26! 86 rel. ea +5 N dx og oar a—é a Fordelen ved denne Methode bestaar i, at den giver en Kontrol paa Reg- ningens Rigtighed, idet hvert enkelt af disse Integraler, naar Intervallet £ overalt er det samme, bliver beregnet to Gange uden nogen synderlig Forøgelse i Arbejdet. Ved denne Fremgangsmaade har Oppermann fundet Differenserne af Zi(e”) for hele a fra z — 8 til æ — 20, og Regningerne forelaa i en saadan Form, at der kun behøvedes en Sammenstilling af Resultaterne for, ved at gaa ud fra de af Bretschneider angivne Værdier, at faa de tilsvarende Verdier af Zi(e?). Værdierne af e” vare dels tagne efter Schulze‘), dels fundne ved logarithmisk Bereguing, saaledes at de tilsvarende Differenser af Integrallogarithmen vare bestemte med mindst 21 rigtige Decimaler, med Undtagelse af de tre sidste, hvor Oppermann kun havde faaet 12 rigtige Decimaler. For at komplettere Resultaterne har jeg selv foretaget Bereg- ningen for de sidstes Vedkommende og anforer nedenfor alle de saaledes fundne Verdier af Li(e) fra æ = 10 til x = 20, idet Zi(e!) er anført efter Bretschneider. For saa vidt Regningen kunde sammenlignes med de af ham angivne Verdier for lavere x, fandtes disse rigtige. — Ligeledes er der tilføjet Værdierne af e”, som for «> 13 ere beregnede af mig ved som Udgangspunkt at tage de af Oppermann med mange Cifre angivne Verdier af ev ell, el? el%, e15, og som Kontrol den ligeledes af ham beregnede Verdi af e7°. I Forbindelse med de af Bretschneider beregnede Verdier danne altsaa disse en Tabel over Fundamentalverdier af Zi(e”) med 20 Decimaler op til e?°. x et Li (e7) 10 22026-465794 806716 516957 900645 | 2492-228976 241877 759138 44 11 59874-141715 197818 455326 485792 | 6071406374 098611 507964 88 12 162754791419 003920 808005 204898 | 14959-532666 397528 852292 46 13 442413:392008 920503 326102 775949 | 37197-688490 689035 604391 64 14 1202604-284164 776777 749236 770768 | 93192-513635 965371 298824 52 15 3269017-372472 110639 301855 046092 | 234955-852490 768303 578245 74 16 8886110:520507 872636 763023 740781 595560-998670 837001 850161 00 17 24154952-753575 298214 775435 180386 1516637:894042 516884 432797 43 18 65659969-137330 511138 786503 259060 | 3877904-330597 443502 996466 07 19 178482300-963187 260844 910033 788723 | 9950907-251046 844760 026002 53 20 485165195:409790 277969 106830 541541 25615652-664056 588820 481120 80 1) Schulze: Sammlung logar. trig. Tafeln. Berlin 1778. 1, S.188. I~ Værdier af reciproke Potenssummer og deres Logarithmer. Tab. I. FOI66 00000 80886 00000 00000-0 91F9T 10000 00000-0 TE8ZE 20000 00000-0 89969 LOGIE 09929 F66CG 26000 00000-0 GI2OG FL 00-0 GGCTO 6F100 00000-0 £0G60 868 GS8TS80 96600 0 GIGGL &GITO 9FF0G F8ECO 64128 69170 FGIT9 68660 00000-0 22060 &806T 00000-0 80282 GLI8E 00000-0 TLE6E TLE9L 00000-0 61698 06854 I 8860 82890 60000:0 GEL96 SFFGT 90000-0 86629 62698 G1000-0 E002 79209 F2000-0 TOT69 81768 67000-0 LEFFL G809£ 66000-0 GIGPFL CLIFF 00G00-0 81699 €GOPT 90F00-0 PETIG 8686 8Z800-0 28909 89800 20L10-0 FG6ES PATOG ELEE0-0 LYGY9 LOETE 66920-0 FFF66 6698 960LT-0 G90TF 00GPL FZECF-0 I + 06882 08678 TLGTE-0— | | 0F9GT 00000 00000-0 62888 00000 00000:0 6E¢0¢ 00000 00000:0 ETTTO 10000 00000-0 G6cG0 20000 00000-0 OLFFO 70000 000000 SF680 80000 00000:0 0-0 G68LT 91000 0 0896 GE000 0000 59972 79000 00000-0 L6FEP 66100 00000:0 20628 89600 00000-0 82692 L100 00000-0 G&LLG 8010 00000-0 GT668 1200 00000-0 67200 EFTFO 00000-0 G9FCG 2880 00000-0 18696 SLG9T 00000-0 96108 29166 00000-0 61204 69699 00090-0 GL066 OF8GE TO00 FEET 68669 20000-0 16009 70658 G0000-0 86178 80989 01000-0 68069 602GF TE000-0 JECFE SEGLT 6F000-0 G8986 IGCET 28000:0 SO086F 08212 9L100-0 90800 FT660 19800-0 OFGGG 92GFL 9FL00-0 £0029 6698 FLET0-0 TIGLE €1869 SEPEO-0 OFTPS 8906 6660-0 FEIFO OL6F8 FIAT GO “s 0730] FO168 00000 00000-0 80886 00000 00000-0 9TF9T 10000 00000-0 18828 60000 00000-0 €99¢9 F0000 00000-0 LZE1E 60000 00000-0 09989 81000 00000-0 F£6CG LE000 00000-0 GILOG F2000 00000-0 GGGTO 67100 00000-0 £0G60 86200 00000-0 28180 96900 00000-0 61661 Z6LL0 00000-0 FLEOS F8EE0 00000-0 ELSGE 69LF0 00 i) 6LCT9 66660 00000-0 9680T 8061 00000-0 62688 ELISE 00000-0 GLP89 TLE92 00000-0 98987 IG8EC T0000-0 96F89 218C0 €0000-0 89F6G SITZT 90000:0 TI68T 82025 G1000-0 62682 39609 FZ000-0 LPISE S990F 6F000-0 69929 S080F 66000-0 82470 28269 008000 €1FL0 89906 90F00-0 €LE69 GPTOP TE800-0 8690 9L8EF GILTO-0 SGC6F 96966 96960-0 96629 08286 OT6L0-0 16916 ECLTF EOFST-O CPLOL FEOEO OLL6F-0 “3 ‘jeu 30] 880162 00000 00000-T 220684 00000 00000-T GGTFITL 10000 00000-T GLESZE &0000 00000-T 689969 F0000 00000: FLGEIE 60000 00000-T 266989 81000 00000-T OPEEGS 26000 00000-T SLLLOG $2000 00000-T SPGGTO 6PTO0 00000-T G60G60 86600 00000:T 168180 96600 00000-T 092661 G6LLO 00000-T LEOGOG P8EGO 00000-T 898658 69LF0 000 666089 68460 00000:T 99TLET GSOGTI 000001 069866 ELISE 000001 628926 T2692 00000-T 980764 83854 T0000-T 020696 68840 E0000-L 28C0GE TSPGI 90000-T €SLCLP GGTLG GLOOO-L OSOEEE G9809 FZ000-T FGITFO 98817 6F000-1 081818 IGLGP 66000-T GG809G 8E688 00ZOO-T EPP6L6 T9G62 20P00-T L6GG618 61166 FESOO:T 16FFF8 61908 FELTO-T OOLEEP IGG22 66980-T G8ELLT LESSEE GEZSO-T 876464 16069 GOGOG:T PIGELP 89907 E6FFI-T %]— 668910 67998 TELLG-0 Tab. I. Værdier af e* og Li(e*) fra x —5 til x — 20. 14841315 91025 76603 181-2722 221-4064 270-4264 330-2995 403:42879 34927 35123 492-7491 601-8451 7350952 897-8474 1096-63315 84284 58599 1339-43076 43944 17830 1635:98442 99959 26540 1998-19589 51041 17959 2440-60197 76244 99077 2980:95798 70417 28275 3640-95030 73323 54722 4447-06674 76998 56086 5431-65959 13629 80322 6634-24400 62778 85159 8103-08392 75753 84008 9897-12905 87439 15887 12088-38073 02169 84398 1476478156 55772 72616 18033-74492 78285 11246 22026-46579 48067 16517 Li(e) med Dir. 40:18527 53558 643957 51500 46:62485 05058 756862 52952 5419547 58010 890831 01733 6310178 59743 10:49900 13764 73:60078 73507 12:38897 47917 8598976 21424 14-63597 97982 100°62574 19406 1730912 37596 117:93486 57002 20-49113 57080 138:42600 14082 24-28108 61632 162-70708 75714 2879765 57641 191-50474 33355 34-18306 43656 22568780 77011 40-60779 51225 266:29560 28236 4827627 56745 314:57187 84981 5743371 18197 37200559 03178 68:37430 92170 440-37989 95348 81-45116 70866 521-83106 66214 97-08818 63407 618-91925 29621 11579440 51176 73471365 80797 138:18125 98486 8372:389491 79283 164-98337 27888 1037-87829 07171 19708359 10581 1234-96188 17752 235°54315 21150 1470:50503 38902 281-63803 15825 17952-14306 54727 336-90274 79587 2089-04581 34314 40318316 28105 2492-22897 62419 102) 89 Tab. I. Fortsættelse. e 22026-46579 48067 16517 26903-18607 42975 6100 32859-62567 44433 1276 40134-83743 08757 9311 49020-80113 63817 1830 59874-14171 51978 18455 73180-44183 34154 9731 89321-72336 08055 557 0 1 09097-79927 65075 8043 1 33252-35294 55309 397 4 1 62754-79141 90039 20808 1 98789-15114 29545 3040 2 42801-61749 83235 4102 2 96558-56529 82029 281 3 3 62217-44961 12478 8502 4 42413-39200 89205 03326 5 40364-93724 66919 429 6 60003-22476 61566 277 8 06129-75912 39902 170 9 84609-11122 90349 847 12 02604-28416 47767 7775 14 68864-18965 40950 17 94074-77260 62144 21 91287-87560 6809 s 26 76445-05518 90967 32 69017-37247 21106 Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. Lite”) med Difr. 2492-22897 62419 482:70013 40763 2974-92911 03182 578:12626 55450 355305537 58632 69267846 13398 424573383 72030 830:22955 70955 5075:96339 42985 99544297 98001 6071-40637 40986 1193-93521 05557 7265734158 46543 1432-47181 85356 8697-81340 31899 1719-20403 61833 10417-01743 93732 2063°95429 87441 12480-97173 81173 2478-56092 82802 14959-53266 63975 2977-29426 71874 17936-82693 35849 3577-35913 61378 21514-18606 97227 4299-50159 98324 2581368766 95551 5168:74178 41202 30982-42945 36753 621525903 70137 37197-68849 06890 7475:46122 9807 5 44673:14972 04965 8993-27665 38509 53666-42637 43474 10821-71502 68773 64488-14140 12247 13024-75387 48385 77512:39527 60632 15679-61835 79022 93192-51363 39654 18879-53689 4967 112072-05052 893 2 22737-07223 3454 134809-12276 2386 27388-14854 4699 162197-27130 7085 32996-92046 8554 19519419177 5639 39761-66071 5129 234955-85249 0768 6. Fortsættelse. 32 69017-37247 21106 39 92786-83521 09471 48 76800-85327 22663 | 59 56538-01318 46158 72 75331-95838 9587 8 88 86110:52050 78726 108 53519-389906 44180 132 56519:14046 35683 161 91549-04176 52862 197 76402-65849 77755 241 54952-75357 52982 | 295 02925'91644 54584 360 34955-08814 16391 440 13193-53483 40439 537 57835-97888 3656 2 656 59969-13733 05111 801 97267-40504 71134 979 53163-60543 3230 4 1196 40264-19819 05134 1461 28948-67868 13127 1784 82300-96318 72608 2179 98774-67921 04573 2662 64304-66872 5045 3 3252 15956-12198 0556 3 3972 19665-80508 3821 7 4851 65195-40979 02780 234955-85249 077 47921-87998 516 282877713247 593 27166-93796 061 340644-67043 654 69646-45860 029 410291-12903 683 83982-92895 992 494274:05799 675 101286-94067 409 595560:99867 084 12217563004 051 717736:62871 135 14739498990 569 865131:61861 704 177846°86860 347 1042978-48722 051 214621-64329 086 1257600:13051 137 25903776353 115 1516637:89404 252 312689-61360 869 182932750765 121 37750544818 36 0 2206832-95583 481 45581752685 485 2662650-48268 969 550447-02275 701 3213097:50544 67 0 664806-82515 074 381190433059 744 803026-01631 899 4680930-34691 643 970100:60347 551 5651030:95039 194 117207605659 938 6823107-00699 13 2 1416268:37920 75s 8239375:38619 890 1711531°86484 794 9950907-25104 684 206858342063 06 6 1201949067167 750 250039543482 031 14519886:10649 781 3022671°70651 305 1754255781301 086 3654424:03649 959 21196981-84951 045 4418670-81454 61 4 25615652:66405 659 90 91 273 Tab. II]. Værdier af Funktionen P(e”) med tilhørende Logarithmer m.m. PEER ae) Bier [ice Pes FR 0-0 0-00000 | | 50 | 3409670 | 1:532712 5 39 01) 00629: | 870888 | | 51 | 1568498 | 95716 | à 02 | 013033 | 9-11505 | 52 | 4019635 | 1604186 | 25758 | 4 03 | 020257 | 930657 53 | | 1639990 | 80 | 48 04 | 028002 | 944719 54 | 4740695 | 1676842 | 36852 | 55 05 | 036305 | 9-55997 55 | 5149270 | 1711746 | 30904 | 56 | 06 | 045215 | 9-65528 56 | 5598782 | 1747706 | 39960 | 5. 07 | 054770 | 973861 57 RÉCENT 08 | 065045 | 981322 58 | 6603787 | 1819793 | 2? | ot | 09. 076070 | 988121 59 | 1855926 | 26133 | 6 10 | 087915 | 9-94408 60 | 7800485 | 1892121 | 36195 | 6. 11 | 1-00651 | 0-00281 | 61 | | 1928379 | 36258 | 94 12 | 114341 | 0-05820 62 | 9219366 | 1-964701 ae 65 18] 129065 | 011081 | 5998 63 | 2001088 Hee | 64 14 | 144905 | 016109 | jos, | —197 64 | 10902830 | 2037539 | 961 | 67 15. 161956 | 020040 | 4668 | —168 65 | 1185922 | 20724057 | JS | 66 16 | 180314 | 025608 | joi, | —145 66 | 129:01525 | 2110641 | 36584 | 67 17| 900085 | 030121 | 4202 | —125 67 2147299 | 36651 | 67 18 | 221882 | 084514 | és | -108 68 | 1527601 | 2184010 | 26718 | 67 19 | 9244387 | 03879 | eo | — 96 69 2290795 | 36785 | GG 20 |. 269084 | 042988 | 444, | — 82 70 | 18098661 | 2257646 | 36851 | eg 21 OT IEEE 71 | 2.294565 | 26919 | 67 22 | 324560 | 05129 | 347, | — 64 72 | 21456088 | 2331551 | 36986 | 65 23 055099 | mous | — 57 73 2-368602 | 37051 | 67 24 || 389155 | 059012 | 355, | — 49 74 | 95451804 | 2-405720 | 87118 | 66 25 062876 | ug | — 4 75 2449904 | UBL | Gy 26 | 464460 | 066696 | sep | — 39 76 | 30210110 | 2480152 | 27248 | 6 97 | | 070477 one | — 85 11 | 251746 | 94 | ga 28 | 552364 | 07423 | 5, | — 29 78 | 35879075 | 2554844 | 27978 | 65 2-9 0-77940 : — 97 79 | 25922851 | 274411 | 633 rl; a 3690 4 Me re 375044 : 30 | 655084 | 081630 | aan | — 28 80 | 42637282 | 26297805 | 57504 | Gon 31 085297 | Say | 20 81 26673564 | 3/9669 | 617 32 | 115954 | 088944 | Se | — 17 82 | 50697315 | 27049850 es | 612 33 | 842880 | 092574 | 35 | — 15 88) | 27496748 | Sinn | 603 34 | 915989 | 096189 | Seo, | — 12 84 | 60314946 | 27804249 | SES | 597 35 | 995215 099792 | Sos | — 120 85 ee | Ps | 500 | | 3:6 | 1081011 1:033830 | 35819 | — 91 86 | 71796540 | 2°8561035 | 379970 582 FE) KØD 1:069649 | 5.749 | — 70 ey | 0 | TE | Ove | 38] 1274672 | 1105398 | Ses | — 61 88 | 8550963 | 29320150 | 37° 567 39 1141086 | eb ere 89 | 29700562 | 380412 | 559 | 40 | 1502199 | 1-176728 | gay, | — 36 9-0 | 1018-9510 | 3-0081533 | 280971 | 559 | 41 1219984 | Fo | — 27 91 | | 30463066 | 381028 | 544 | 42 | 1769756 | 1247913 | So | — fo 92 | 12148211 | 30845123 | 282067 | 537 43 | | 1283480 oe Ss? 93 | | 31997797 | 882604 | 509 | | 5562 | 38313: | 44 | 2084695 | 1319042 | Sees | + 3 94 | 1449-0588 | 31610860 | 285135 | 50 | | 45 | 226260 | 1354607 | 5, | + 10 9:5 31994513 | 298653 | 515 46 | 2455737 | 1390182 | zero | + 17 9-6 | 1729-2915 | 32378681 | 284168 | 596 47 | ee E24 9-7 | | 32763355 | 284074 | 490 48 | 28:93279 | 1-461390 | 55645 | + 29 98 | 2064-6802 | 3:3148528 re 490 | 49 | 1:497035 | en L 32 99 | 33584191 | 385663 | 454 | 50 | 3409670 | 1:532712 ee) 10:0 | 2466-2316 SEEN A ZF | 373920338 | 274 92 Tab. IL. Fortsættelse. BRA AR x log (Li(e*) —P(e)) A’ I | 251662 | 14112 2466-2316 | 33920338 | 396694 | 477 | 1:414929 14484 34306962 | 387093 | 469 1-429113 14958 2947-1722 | 34694055 | 397555 | 462 97-7569 | 1443371 14939 35081610 | 399910 | 455 1:457703 ly 4405 3523-3097 | 3-5469620 | 299457 | 447 | 1-472108 12478 | 35858077 | 398897 | 410 30-6610 | 1:486586 14550 | 4214-0282 | 36246974 | 569339 | 435 1501136 | 14693 | 36636306 | 389760 | 428 1:515759 i 4694 | 5042-0436 | 37026066 | 399180 | 420 33-9198 || 1:530453 aes | 37416246 | 599595 | 415 1545218 14837 | 6035-0940 | 37806841 | 391902 | 407 1:560055 | 14008 | 38197843 | 391403 | 401 37-5805 1574963 14978 | 7226-4425 | 38589246 | 991798 | 395 1-589941 | 15048 38981044 | 399187 | 389 | 1-604989 | 15117 8656-1163 | 39373231 | 399570 | 383 41-6971 1:620106 16187 39765801 | 399947 | 377 1-635293 15256 | 103722925 | 40158748 | 393319 | 372 | 1650549 15395 | 6 | 40552067 | 399683 | 364 46-3312 1:665874 15392 12432-9689 | 40945750 | 394949 | 359 | 1:681266 | 15459 | 41339792 | 394396 | 354 1:696725 15595 | 14907-9802 | 41734188 | 304745 | 349 51-5525 | 1:712250 | 15591 | 42128933 | 395089 | 344 | 1:727841 | 15656 178814285 | 42524022 | 995497 | 338 1-743497 15721 42019449 | 395759 | 332 57-4405 1759218 16786 21454°6193 | 43315208 | 396087 | 328 1:775004 15850 | 6 43711295 | 396410 | 323 1:790854 | 15915 | 257496012 | 44107705 | 396798 | 318 64-0865 1:806767 15974 | 44504433 | 597941 | 313 1:822741 16036 30913-4410 | 44901474 | 397549 | 308 1:838777 16097 | 45298823 | 597653 | 304 71-5934 1854873 16157 371233815 | 45696476 | 397959 | 299 1:871030 FAG 46094428 | 398946 | 294 1.887248 16277 44593-0696 | 4:6492674 | 398536 | 290 80-080 1 1:903525 16335 46891210 | 398893 | 287 1:919860 16392 53580-0784 | 47290033 | 599105 | 282 1-936252 16 449 | | 47689138 | 599389 | 277 89-681 1 1-952701 16505 64394-9864 | 48088520 | 399656 | 274 1:969206 16561 | 4:8488176 | 599996 | 270 | 1:985767 16615 77412:3452 | 48888102 | 409199 | 266 100-5501 | 2002382 16669 | 49288294 | 4004531 | 2611 | 2.019051 16723 93083928 | 496887471 | 4907114 | 2583 2-035774 Con | 5:00894585 | 4 IN 16829 16880 16930 16980 17030 17079 ERR a Re 17127 195045802 | 529013661 | 4926497 | 2306 2-171406 Hi | | 5:29 975 9. [Fr L | 533010158 4098770 2273 2188580 | 17220 | 46 | 234795232 | 537068928 2242 160:6202 | 2-205800 | 46 4009660 | 2946 2-862: 9-052551 4012168 | 2208 | 2-069380 2 | 111954-729 | 504904245 | | 5-08916418 | gpragaı | 2473 | 2.086260 -4 | 134682:302 | 512931054 | 4117979 | 2438 126-8207 | 2103190 | 516948133 | 1019483. | 2404 2-120170 5 | 162060-120 | 520967616 | 4093854 | 2371 | 9-137200 | 524989470 | more | 20 142-6525 2154279 93 Tab. II. i | | | 6:058778485 | 6221479537 Pe") 150 | 23479523» 151 15.2) 282703800 15:3 | 15-4 340456-247 155 | 15:6 | 410086-924 157 158) 494052-663 159 | 16:0 | 595320:878 161 162 717476102 16:3 16-4) 864848851 16-5 | 16-6 | 1042671475 | 16-7 16:8) 1257266-682 | 16:9 17-0) 1516275615 | 17-1 | 17-2 | 1828933-784 | 17:3 | 17-4 | 2206404-92 6 | 17-5 | 17-6 | 2662185019 17-7 17-8 | 3212591-190 17-9 180 | 3877353-424 18-1 18:2 | 4680330-75s 18:3 18:4 | 5650378209 18:5 18:6 | 6822396:221 18:7 183 | 8233601202 18-9 19-0 | 9950063-809 19-1 | 19-2 | 12018571:567 19-3 19-4 | 14518884-32 6 19:5 | 19:6 | 1754146567 6 197 | 19-8 | 21195790: 19:9 | 20-0 | 25614353-817 | log Pier) 3 5:37068928 5:41099940 545133165 549168572 553206131 557245814 5:61287592 5°65331438 5°69377324 573425224 5774751113 5:815269597 5855807440 | 5.896364393 5:936940212 5:977534697 6:018147492 6:099427407 6:140094035 6180778151 6-262197982 6:302933277 6:343685218 | 6:384453603 6425238235 | 6466038919 6-506855464 6:547687682 6588535389 6°6293898403 6°670276546 6°711169641 6°752077518 6793000006 | 6:833936938 | 6:874888150 | a 6956832772 | 6-997825866 7038832610 | 7:079852854 7120836448 7161933245 | 7202993102 7244065878 ENDEN 7:326249628 7367360330 | 1408483404 | D 4031012 4033225 4035407 4037559 4039683 4041778 4043846 4045886 4047900 |” 40498873 40518484 | 40537843 40556953 40575819 40594445 40612835 40630993 40648922 40666628 | 40684116 40701386 40718445 40735295 40751941 40768385 40784632 40800684 40816545 40832218 40847707 40863014 | 40878143 40893095 40907877 40922488 40936932 | 40951212 | 40965331 40979291 40998094 41006744 41020244 41033594 41046797 41059857 | 41072776 | 41085554 41098196 41110702 41123074 | Fortsættelse. 28 bo RO NN DO > M it NO DOD © OD COD 19110 18866 18626 | 18390 | 18158 17929 17706 | 17488 17270 17059 16850 16646 16444 16247 16052 15861 15673 15489 15307 15129 14952 14782 14611 14444 14280 14119 13960 13803 13650 13500 13350 | 13203 | 13060 12919 12778 | 12642 12506 12372 Lite?) — P(e® 160:6202 181:0230 204-2049 230-5568 260-5267 294-6283 333-4484 428:0299 4854427 550-9069 7107865 808-0476 919-1047 1045-9561 1190-893 ( 2:205800 ARE or ND NO no wo N KO KO BO RO 19 2:398122 2:415852 2-433621 2:451429 2-469274 2-487156 2-505075 2:523029 2°541019 2-559043 2:577100 2:595191 2:613316 2-631474 2-649664 2:667886 bø to © to D 32 “926055 2-944697 2-963365 2:982057 3:000773 3019513 3:038277 3:057064 3:075873 3:094704 3113958 3132433 log (Lie)—Ple9)| 4’ | 4” 17266 17312 17356 17401 17444 17487 17530 17571 17611 17652 17692 17730 17769 17808 17845 17882 17919 17954 | 17990 18024 18057 18091 18125 18158 15190 eee 18283 18313 18344 18373 18402 18430 18458 18486 18512 18539 18566 18593 18618 18642 18668 18692 18716 18740 18764 18787 18809 18831 18854 18875 275 46 +] I oO > red DS bo DO no RO DO == DDr bo 276 94 Tab. IV. Antallet af Primtal i hvert Hundrede fra 1 til 10000 og i hvert Tusinde fra 1 til 100000, tilligemed tilsvarende Værdier af #. Din. 9100.) | 25 21 16 16 17 14 16 14 15 14 16 62 78 95 109 125 139 154 168 154 196 211 222 239 251 266 278 290 303 317 327 342 357 367 378 393 407 419 430 442 452 463 478 489 503 516 528 539 550 565 574 590 599 610 622 634 646 654 669 Dim. | 9.1000.) 168 135 127 120 119 114 117 107 110 112 106 103 109 105 102 108 98 104 94 104 98 104 100 104 94 98 101 94 98 92 95 92 106 100 94 92 99 0 168 303 430 550 669 783 900 1007 1117 1229 1335 1438 1547 1652 1754 1862 1960 2064 2158 2262 2360 2464 2564 2668 2762 2860 2961 3055 3155 3245, 3340 3432 3538 3638 3732 3824 3923 4017 4107 4203 4291 4392 4494 4579 4675 4761 4551 4946 5035 5133 æ 669 681 692 702 712 725 738 750 760 776 783 795 806 819 834 842 853 863 875 887 900 909 919 930 939 950 965 977 987 997 1007 1018 1028 1042 1051 1059 1071 1084 1095 1108 1117 1128 1140 1151 1162 1177 1184 1197 1208 1220 1229 89 97 89 92 90 | ifr. | 4(100x) | Di. 1911000) 5133 5222 5319 5408 5500 5590 5683 5782 5873 5963 6057 6145 6232 6320 6413 6493 6591 6675 6774 6854 6935 7033 7128 7218 7301 7393 7484 7567 7662 7746 7837 7925 9252 9336 9418 9505 9592 95 BUY Tab. V. Antallet af Primtal i hvert af de forste 90 Hundredetusinder, tilligemed tilsvarende Værdier af #. 0(10°.2) | P—é «| ow. (105.2) Din. 0 9592 | 0 50 6458 348514 1 8392 | 9592 16 GI ige 354972 2 8013 | 17984 — 8 52 6493 361408 a rss ME EE +26 53 6462 367901 4 7678 33860 a9 54 6458 374363 5 7660 41538 =5 55 6402 380801 6 VE 49098 = 56 6404 387203 ZW) “nang 56543 +13 57 6387 393607 8 | 7393 | 63951 | —7 58 6436 | 399994 9 Do Ma | =9 59 | 6499 406430 10 | wie 78498 +29 60 | 6397 412850 TN rose 85714 +22 61 | Gp 419247 12 7081 92939 —41 62 6495 425649 13 | 71 03 100020 — 2 63 | 6337 432074 14 | 08 107123 —24 64 | 6947 438411 15 | 6973 114151 — 6 65 | gag | 444758 der.) ans 121124 +34 66 | g39g | 451160 ol see 128139 1 67 | pays | 457498 18 | 6957 135071 -+23 68 | 6411 | 463873 19 | 5903 142028 = 69 6365 | 470284 20 6874 148931 — 9 70 6369 476649 Bl en 162662 | —6 72 | gs | 489324 28 | gr | 169511 | —20 73 | 6299 | 495672 4 | 970 176302 +4 74 | 639, | 501971 25 || sog 183072 +29 75 | 6305 | 508272 26 6765 189881 — 4 76 | 6347 514577 27 erie 196646 —10 COR © 520924 28 | Re 203362 +17 78 6364 527169 29 6708 210108 — 3 79 | gaz 533533 30 EE ea RESer 80 6250 539807 31 6717 223492 +19 81 6301 546057 33 6639 236900 —41 83 | 6985 558641 34 een ----243539 —26 84 6245 564926 | — 35 37 6590 | 263396 | +3 87 | 6999 583778 = 38 | 6694 269986 | +17 88 | 6900 590077 | —139 | 39 6535 276610 —14 89 | 6270 596297 ee | | 40 6625 283145 +33 , 90 602567 ea | 41 6540 289773 —24 | 42 6510 296313 — 3 100 664579 | +87 43 6511 | 302823 +37 1000 | 5761460 + 90 44 6613 309334 +67 | = | N 45 6495 315947 | —16 | 46 6592 322440 | +13 | 47 6475 328963 + 2 | | 48 BE 335438 +30 | 49 Bs 341992 —30 | 50 | | 348514 | —66 | | | 45 | 90:0 46 | 99-5 AT 110:0 48 121-5 49 1343 148-4 com mee ee OO on 20:8 22:6 24-6 26°7 28:9 31-4 341 et | ae) | Pe) |D=o—P—-1 DP 11 | 0 | 01 | —11 121 12 | an” | 01 —11 1:21 13 | > ROZ _12 14 | 15 | Da op | 13 1:69 16 @ | (EN —1-4 1-96 +11 1:8 0 0-5 =15 2:25 2-01 | 1 05 | —0:5 -25 22 | 1 | 0-7 =07/ 49 25 | 1 | 0:8 —0:8 164 | 27 1 0-9 —0:9 81 | 3-004 2 1:0 0:0 00 3:3 2 11 —0:1 -01 37 2 13 —0'3 09 41 2 1-4 0:4 16 45 2 1:6 — 06 36 + 0-4 96 wa Tab. VI. ge eZ 51 | 164-0 52 | 181:3 53 | 200:3 54 | 221-4 55 244-7 56 | 270-4 | 57 | 298-9 58 | 330-3 59 | 365:0 60 403-4 61 445-9 62 | 492-7 63 544-6 64 | 601-8 65 | 6651 | 66 7351 | 67 812-4 68 | 897-8 69 | 992-3 | 70 | 1096-6 | 71 1212-0 72 | 1339-4 | za 1480:3 T4 | 1636-0 T5 1808-0 | 7-6 1998-2 | 77 2208-3 78 | 2440-6 79 2697-3 | 8-0 2981-0 | 81 3294-5 | 8-2 3640-9 s3 | 4023-9 s4 | 4447-1 85 | 4914-8 86 5431-7 | Ss” | 6002-9 | 88 | 66342 8-9 7332-0 IN 81031 | 91 8955-3 9-2 9897-1 9-3 10938-0 94 | 120884 95 13359:7 9-6 147648 9-7 16317-6 98 | 180337 99 || 199304 100 | 22096:5 53 57 62 72 79 100 110 121 130 141 154 167 183 197 217 233 258 279 302 329 361 392 429 462 509 556 604 656 717 783 855 934 1019 1113 1220 1328 1446 1585 1729 1892 2065 2253 2466 Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd, Fortsættelse. P(e*) 370 40:2 43:7 47-4 51:5 55:9 60:8 66:0 71:8 78:0 84:8 92-2 100-2 109:0 118:6 129:0 140-4 152:8 1663 181:0 197-0 214-6 2337 254-5 2773 302-1 329-2 3588 391-1 426-4 464:9 507-0 552-9 603-1 658-0 718-0 783:5 3551 9334 1019:0 1112-5 12148 13267 1449-1 1582-9 1729-3 1889-4 2064-7 2256-4 24662 IT. 6. == 00 0:8 13 —1-4 0-5 01 02 —10 — 08 0:0 02 0-8 —1:2 0-0 14 0-0 —0-4 02 —0:3 1:0 —1-0 1-4 —17 2:0 0:7 —11 —12 12 —01 16 —39 1:0 21 —01 —3:0 —2:0 —1:5 —11 —0-4 —1:0 — 05 | 1:00 | 280 Tab. VI. 24343-0 26903-2 29732:6 328596 36315°5 401348 44555°9 49020:8 54176:4 59874:1 66171-2 73130°4 808216 893217 98715°8 1090978 1205717 1332524 147266-6 1627548 1798719 1987892 2196960 242801°6 2683373 296558°6 3277479 3622174 4003122 4424134 488942:4 5403649 5971956 660003-2 7294164 806129:8 890911-2 9846091 10881614 12026043 13290833 1468864-2 1623346°0 17940748 19827593 2191287-9 2421747-6 26764451 29579292 32690174 | 14912 16327 17885 19585 21455 23511 25733 28228 30922 33885 37128 40684 44598 48890 53565 58742 64411 70615 77395 84858 93118 102083 111957 122773 134651 147727 162089 177773 195041 213971 234855 Fortsættelse. Pie) | 2695:9 2947-2 3222°3 3523-4 3853-1 4214-0 4609-2 5042-0 5516-0 6035-1 6603°7 72264 79087 8656-1 94751 10372:3 11355°5 12433:0 136138 14908:0 16326°5 178814 195860 214546 23503°3 257496 28212:6 309134 338752 371234 406858 445931 48878:8 53080'1 58737°3 64595:0 70602-1 77412:3 848847 93083:9 102081-2 111954-7 122790°3 1346823 1477343 162060:1 1777848 195045:8 2139940 2347952 98 104-04 259:21 1095/61 nn 1:69 334-89 1043-29 68:89 77841 163-84 33:64 576-00 3457-44 99 281 Tab. VIL Veerdier af Funktionen (x) og andre numeriske Funktioner. n 0 yt (2) 3 4 © | | | 1 1:0000 0000 | 0:0000 0000 0:5000 0000 0:6931 4718 11666 6667 1.7917 5947 2:4849 0665 4.0943 4456 Faklorer din) | p(n) | Divisorer. | rt) d(n) | | 2 LA | (=) +0333 3333 "1333 3333 :0095 2381 a C1 & D m 6-0402 5471 67334 0189 7:8320 1418 = Ro © 0904 7619 "0004 3290 10-2299 0945 ‘0773 5598 12-7948 5881 -0059 2741 -0607 3926 134880 0599 0019 1573 16-3212 1933 "0507 1585 19-2656 5831 -0030 9680 "0423 7575 0011 2052 22-4011 5253 24-0105 9044 "0373 4102 251092 0273 10028 5826 28-4764 9856 "0304 7507 "0627 3314 31-9104 8576 32-6036 3294 a -0324 3011 0030 1834 0255 5309 Or RO & bo nm 1 m bo oo = -0014 7394 36-2145 5085 -0248 4185 ‘0504 8288 0260 9263 89-9281 2292 0022 8311 0209 7271 436893 2304 0007 6643 0205 1018 47-5394 7064 © M Co Qt O1 M I mm I] vH Doom Aa =] Mt O1 Do NO TE O9 CO O1 Hi OR JA CO CO Hi ORF wD We C9 Hi ND Hi Hi © 49-4853 8079 orp Fortsættelse. 100 | | HrorHr,oromor | US | lh fee SCF OR OR RH HO ee © © © —0:0009 0233 — 0197 7026 — ‘0015 8844 "0159 5542 -0331 9680 "0162 4765 0001 4580 "0159 8324 "0313 6785 0162 1634 0012 9096 0157 8372 0014 9800 "0125 8650 "0262 8513 0127 7162 “0002 1539 ‘0126 0512 10252 6335 "0130 6823 "0251 1642 0133 5171 0017 2381 0097 7045 "0014 6551 0095 2350 "0202 7619 0309 1449 0414 4081 "0311 3153 Divisorer. Qt Go Ai Hi mt CD ww el] C9 el Hi O1 C0 6 3 7 1 5 3 7 1 1 1 3 5 5 3 7 1 9 4 3 1 1 3 3 3 7 1 1 3 5 3 3 3 1 1 5 5 8 b(n) 53°4556 7270 57-5382 1014 61-6440 8400 62-3372 3118 66-5419 2380 70-8046 0368 750950 6312 79-4645 1097 80-5631 2326 84-9819 6387 89-4706 0024 101 283 Tab. VII. Fortsættelse. np (2) SES) & o Faktorer. | Ü(n) 0:0212 3054 | 0114 2662 0017 1788 98-6604 3174 | 103-2951 6073 0078 0583 ‘0016 2803 0077 1777 107-9679 8956 - "0167 9208 "0259 8299 "0169 7398 112-6593 3744 10258 2354 "0345 9546 10258 9981 117-3867 2526 "0174 2524 10090 2288 > 119-7846 2053 :0008 2516 0073 0493 121-3940 5844 ren 0005 6909 126-2382 4553 || 126-9313 9271 "0071 8285 “0005 0946 0081 4305 131-8065 9003 m 10006 2425 -0068 3844 0004 6083 "0077 0721 "0149 0146 136-7265 7096 | 141-6610 4489 en 0078 0926 10007 6700 10062 2600 - "0131 2256 “0199 7187 "0132 6046 146-6649 9120 Ll eh el oS Hi I I O2 09 mn fr i fr fr 00 Ol 00 00 NO On CO CO O1 O1 C9 lo CO I ll ri O9 I el mi I = Fortsættelse. bo bo ov bpd © 1 æ 0:0066 3795 “0001 4444 10065 9605 0002 2663 :0065 5574 "0128 4505 10190 5623 0129 2126 -0068 6065 -0128 8475 :0068 9672 "0010 1437 0047 6598 “0105 1310 "0048 6338 :0007 5459 -0048 3200 -0103 5686 -0158 5137 :0103 8688 0049 8148 "0103 5782 "0050 1023 "0102 7338 :0155 0899 "0206 9034 0155 3570 - 0206 6390 "0257 4004 "0307 6517 m M Co Co M M O9 27 O7 = mi ni co w RSI SSH OSTEN o 1010 I O2 el O2 I Hi [IH m O2 m D WA må =] he kb Divisorer. | 2 102 dh (n) 151-6822 7104 156-7385 1685 161-8322 6705 | 166-9502 6086 169-5152 1022 174-6685 0181 179-8558 8762 1850543 8465 | 190-3066 5808 | 195-5693 4827 | 200-8525 5200 206-1458 5682 103 285 ab voll. Fortsættelse. He) SE 4 © Faktorer, Divisorer. | 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211-49771495 | 211 | 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 216-9048 8672 223 224 225 | 296 229-3298 3674 227 228 227-7635 5874 229 230 231 232 233-2145 9719 233 | 234 235 236 237 238 238-6910 6074 | 239 240 244-1758 5767 241 242 245-2744 6996 | 243 244 | | 255 -0034 9860 | 246 -0005 4998 | || 247 | 248 —0:0257 9005 — “0208 3955 70159 1344 3.67 2.101 7.29 BE Bis lel 5.41 2.103 32.23 24.13 11.19 ONSMDRT 22.53 Sell 2107 5.43 23.33 7.31 2.109 3.73 2a Hell 13.17 DE Hu ka CO ©) Co oO = "0110 3539 0061 8103 or oo oO "0013 9634 "0033 6557 0013 7377 - or oo © -0033 2107 0079 9397 0126 4513 _ "0172 5342 "0218 4058 “0264 0679 „m HFOSHrSIWÜUWDHHNANSIHAHR O9 O0 Hi en O0 Hi O9 O9 O9 O1 CO C9 O9 CN mi :0309 3168 "0264 2717 70219 4287 SOrFrFOCOOR RF RFP ORF FP ROR BRP ROR SE RO oO mm 70263 6765 70219 6236 | _ "0175 9555 "0132 4772 -0089 1872 -0046 2687 - "0088 8219 "0131 0160 "0088 9992 "0047 1582 | 10005 6644 -0045 6605 | | 249 | | 250 286 104 Tab. VIL Fortsættelse. | Ws | Faktorer. Divisorer. | & EB — | 1 T | din) 1172 | 250-7999 2290 1189 | 1192 1195 | 1202 | 1210 | 251:4930 7008 1211 | 257-0421 4616 1218 1221 1232 1237 1240 1241 | 262-6143 0019 1956 | 1259 1266 1269 1274 1275 | 9268-2090 1157 1290 1291 | 273-8111 3039 1300 | 1307 1310 1315 1326 | 1327 | 279-4351 4790 1330 1335 1350 1351 | 985-0735 0257 1358 1359 | 290-7189 4947 1364 1371 1378 1381 1398 1400 | 293-5521 6281 1407 1410 1415 1416 | 299-2323 3542 1427 1430 1437 1444 1447 1450 1467 0:0005 8198 - bo æ Co Qt km CO I Hi OÙ =I O9 Co el "0045 3455 70084 7156 10045 4999 "0006 5894 70032 1703 10006 4398 bo Q9 KS I RO . i er ay ee, Coney gods 2 - O2 10044 6077 -0006 5849 rl CN O9 =] © HA O1 M ON OÙ aw O1 -0044 3207 10006 7268 -0044 1799 :0007 0052 Or FO OF Or Eee 10029 8952 "0066 5252 10030 0288 = oo He 0066 1299 +0030 1587 - EN vo ma NO ad O9 I TOR RT "0065 7459 "0101 2069 70136 5425 70171 6303 10206 5953 "0171 7521 10206 2349 "0171 8706 10206 0003 | SorHrrkooromonrm - "0172 1020 — :0138 5449 — "0105 1001 1 DO C9 =1 BES C9 Mi - 105 Tab. VI. din) 304-9591 8317 310:6989 7608 316-4451 7927 322-2040 8104 | 328-0061 9942 3338262 8235 339-7721 9250 341-6215 1728 | 347-4765 8920 353°3430 5726 | 359-2263 7965 362-1708 1863 368:0761 8048 373:9977 5890 379-9352 9511 385-8833 3010 391-5469 0944 397-8308 4572 403-8248 0715 | 409-8385 2231 415:8763 9323 | 421-9190 2606 | 427-9851 3415 434-0558 7188 440-1403 7129 446-2339 4106 | 452-3409 6395 458-4656 4734 464-5990 4538 470-7367 7243 | 476-8831 0169 483-0548 0229 489-2430 6641 4954395 1054 501-6521 1664 507:8727 0681 514-1051 5483 514-7983 0201 521-0540 5205 527-3136 3351 530-4491 2773 536-7425 4701 543-0469 9581 549-3695 6105 595°7028 4068 562-0467 2111 568-3941 1032 574-7519 5259 581-1269 7741 587-5121 7181 625 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 729 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 841 853 857 859 863 877 881 883 887 907 Fortsættelse. | 593-9074 3341 600-3060 2834 606-7145 5713 | 613-1329 2207 619:5577 9109 625-9858 9636 627-5953 3427 | 634-0426 4013 640-5056 6959 646-9718 1431 653-4441 6060 | 659-9257 3773 666-4164 6126 672-9102 1510 679-4219 6043 685-9396 3170 692-4661 2656 699-0042 6638 705-5567 7427 712-1206 2980 718-6984 9116 725-2874 1764 726-3860 2993 732-9831 7563 739-5884 7355 746-1991 6959 752-8205 7524 759-4499 3849 766-0845 7185 772-7296 6282 779-3799 4187 786-0481 7012 792-7290 2480 799-4248 2372 806-1230 9177 812-8336 1488 819-5465 7108 826-2643 7578 832-9845 9594 839-7168 0665 843-0841 0248 849-8328 6203 856-5862 9995 863-3420 6887 870-1024 8356 876-8789 9055 883-6600 4818 890-4433 7338 897-2312 1836 904-0413 6081 910-8559 0371 917-6791 8983 924-5132 9857 931-3559 8185 938-2029 2499 945:0562 2408 951-9158 3898 955-3498 2618 962-2240 2468 969-1023 5115 975-9868 3780 982-8774 4692 989-7761 6145 996-6809 1222 1003-5976 2724 1010-5182 9874 1017-4448 7577 1024-3734 1359 1025-0665 6077 1032-0048 4525 1038-9450 6772 1045-8910 8171 1052:8466 7432 1059-8041 7169 1066-7711 3883 1073:7399 8921 1080:7144 6812 1087-7056 4501 1094-7004 9500 | 1101-6971 7649 1108-6975 1095 1115-7032 9997 1122-7145 1396 | 1129-7329 1576 1136-7566 7471 1143-7857 6227 1150-8341 4868 1157-8842 7120 1164-9430 2935 | 1172-0086 4271 1179-0827 5953 1186-1619 4392 1193-2461 7034 1200-3370 8016 1207-4879 3207 1214:5420 7616 1221-6511 3830 1228-7650 9441 12358806 7654 1243-0011 2091 Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. 37 Fortsættelse. 106 din) 1250:1312 1942 1257-2692 9245 1264-4215 6131 1271-5753 9511 1278-7323 5147 1285-8939 7347 1293-0571 4586 1300-2249 5504 1307-3958 4352 1314-5682 6810 1321-7437 5781 1328-9283 8696 1336-1145 3126 13433052 0729 1345-7031 0256 1352-9190 7756 1360-1394 5140 1363-7503 6931 1370-9751 2272 1378-2056 8587 1385-4491 9884 1392-6998 3435 1399-9603 5695 1407-2236 8657 1414-4884 1675 1421-7559 4218 1429-0276 4589 1436-3048 9362 1443-5849 0187 1450-8662 8753 1458-1517 9408 1465-4454 9180 1472-7459 6461 1480-0477 8695 1487-3523 0290 din) | 1494-6581 6293 1501-9667 0573 1509-2792 5923 | 1516-5997 8619 1523-9282 2354 | 1531-2618 9994 1538-6033 8379 1545-9487 4863 1553 2966 9245 1560-6484 9232 1568-0054 1056 1575-3648 7820 1582-7294 2521 | 1590-0965 0227 1597-4723 8442 1604-8507 6813 1612-2328 9250 1619-6162 6065 1627-0021 1173 1634-3916 7568 1641-7824 7420 1649-1769 6731 1656-5775 8789 1663-9903 5191 1671-4067 3039 1678-8255 1127 1686-2454 9119 1689-9590 6326 1697-3933 2064 1704-8299 3791 1712-2677 3303 1719-7113 9671 17271620 5751 1734-6138 7975 1742-0714 8904 b(n) 1749-5337 0398 1756-9993 5929 1764-4684 4317 1771-9409 4391 1779-4236 2574 1786-9096 7836 1794-3979 7188 1801-8873 8396 1809-3834 8131 1816-8851 1577 1824-3933 5454 1831-9059 7208 1839-4272 9006 1843-1884 9018 1850-7173 5944 1858-2494 4758 1865-7836 7591 1873-3189 7261 1880-8564 0265 1888-3948 9765 1895-9387 0052 1903-4883 3586 1911-0421 2247 1918-5985 5044 1926-1643 4372 1933-7311 7220 1941-3062 4390 1948-8823 4124 1956-4696 5175 1964-0599 9870 1971-6543 7994 1979-2517 7626 1986-8511 7759 1994-4515 7992 107 289 Recherches sur la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée, Par J. P. Gram. roden Etablir, sous une forme analytique, la loi de la distribution des nombres premiers dans la suite naturelle des nombres, est un probléme qui, malgré les efforts que les plus grands géométres ont faits pour le résoudre, attend toujours encore sa solution. Le présent travail n’a pas la prétention d'en donner une; mon but principal, en l’entre- prenant, a été de réunir sous un point de vue commun les différentes méthodes qu'on a essayées jusqu'ici, de les pousser aussi loin que possible et, par là, de signaler les diffi- cultés que rencontre, pour le moment, la solution du problème, comme aussi d'indiquer quels sont les meilleurs moyens à employer pour y arriver et les résultats qu'il est permis d'en attendre. Je commence, dans l'introduction, par donner un aperçu général des moyens dont on dispose pour représenter une fonction discontinue comme celle dont il s’agit ici. La fonction de æ qui exprime la totalité des nombres premiers jusqu'à x inclusivement est désignée par f(x). Comme caractère général, elle se distingue par un nombre infini de discontinuités dont la position n'est pas connue a priori. Le problème exige que cette fonction soit mise sous une forme telle que sa valeur, pour une valeur donnée de x, puisse être calculée exactement ou, en tout cas, avec une approximation assignable. De la découlent toutes les difficultés qu'il présente. Car parvint-on, entre certaines limites, à représenter exactement la fonction par des séries trigonométriques finies, cela ne pourrait se faire qu'en y introduisant les nombres premiers eux-mêmes, qui précisément sont à regarder comme inconnus, et il est à supposer qu'il en serait de même si l’on essayait d'employer dans le même but des intégrales définies. Si l’on veut éviter que les nombres premiers entrent explicitement dans la formule, la discontinuité n'y sera plus apparente, et c’est pourquoi, si (x) est exprimée par une intégrale définie, celle-ci ne pourra étre transformée que si on la traite avec la plus grande précaution. M. Riemann n'en a pas moins réussi, en représentant #(z) par une intégrale définie, à donner une formule exacte de la distribution des nombres premiers; mais cette formule ne permet d'effectuer aucun calcul numérique exact, bien qu'elle se laisse séparer en deux autres, dont une, qui est calculable, est la meilleure formule d’approximation qu'on connaisse jusqu'ici. L'écart entre cette formule d’approximation et la véritable valeur de @(#) est en effet représenté par une série périodique infinie dont on ne saurait déterminer la convergence, et qui, en tout cas, varie si fortement qu'on peut dire avec certitude qu'il est impossible de la calculer terme par terme. 37° 290 108 On rencontrerait la même difficulté en essayant directement d'exprimer @(a) à l'aide d'un des développements en séries infinies qui peuvent être employés pour représenter des fonctions arbitraires. En effet le nombre des discontinuités étant infini, une pareille série serait sans doute très peu convergente, et c’est seulement dans le cas où l'on connaitrait à l'avance la forme de la fonction à employer qu'il serait possible, par un choix convenable de la forme du développement, de trouver une série dans laquelle un petit nombre de termes donneraient une formule d’approximation dont l'écart d'avec (x) pourrait être apprécié avec certitude. A côté des moyens ci-dessus mentionnés pour exprimer des fonctions discontinues sous une forme continue, la théorie même des nombres nous fournit dans les quotients incomplets une forme de fonction dont l'emploi est tout indiqué. A l’aide de ces quotients, on peut, en se servant des nombres premiers jusqu'à Va, trouver la totalité des nombres premiers compris entre Vz et a. Mais, en général, ils ne donnent pas sous une forme analytique des formules d’approximation dont on puisse se servir. Toutefois, comme M. Dirichlet et plus tard MM. Berger, géomètre suédois, et Césaro, géomètre belge, ont, par ce moyen, réussi à donner des formules d’approximation pour la valeur moyenne de certaines fonctions symétriques des diviseurs d'un nombre, il y a lieu de rechercher si Yon pourrait faire quelque chose d’analogue pour les nombres premiers. Cela ne semble cependant être guère possible directement, bien qu'il y ait une connexion visible entre les résultats qu'on peut obtenir par cette voie et la formule de Riemann. Les nombres premiers eux-mêmes devant être considérés comme inconnus, il faudra, pour traiter le problème à fond, partir de formules où certaines fonctions connues se trouvent combinées avec des fonctions de nombres premiers, et qui renferment ainsi des définitions implicites de ces derniers. Comme le théoréme de Wilson ne semble, sous ce rapport, être susceptible d'aucune application, il ne reste que deux de ces formules, dont l'une (2) !) est due à Euler et l’autre (131) à M. Tchebycheff. C’est donc autour de ces formules, comme points principaux, que se groupent les recherches suivantes. 2 1. Fonctions symétriques de tous les nombres premiers. Dans ce qui suit, nous désignons un nombre premier en général par p et une suite de nombres premiers par a, b, « ... et nous ne rangeons pas le nombre 1 parmi les nombres premiers. co Nous désignons en outre par s(r) ou s, la somme ne" — 17"+27 +37 +... 1 On a ainsi, d’après Euler, la formule: 1 IT —p Fare 9 (2) qui sera applicable en tant que mod. 7 > 1. Les formules (3) et (4) qui s’en déduisent sont dans le même cas, et on peut de la même manière déterminer les valeurs de la fonction correspondante //(1+p). Cette fonction est infinie pour » — 1, d'où il suit que 1) Les numéros des formules sont les mêmes que dans le mémoire danois. 109 291 I —p”) = 0, tandis qu'il est incertain si la série qu'on obtient en effectuant la multi- plication et en ordonnant les termes suivant les valeurs croissantes des dénominateurs est convergente ou non. Euler a aussi trouvé plusieurs relations analogues, dont l'une, qui a été démontrée par Mertens, peut servir à prouver qu'il y a une infinité de nombres premiers de chacune des formes 4n +1 et An — 1. Le reste du paragraphe est consacré à des développements concernant la fonction s(r), parmi lesquels nous mentionnerons l'expression trouvée par M. Riemann (15), en nous référant pour les détails à son mémoire original (Monatsber. der Berl. Akad. 1859). 2 2. Quelques séries spéciales. Facteurs de Möbius. Si, dans le pro- duit /7(1—p~"), on effectue la multiplication et ordonne les termes suivant les valeurs croissantes des dénominateurs, on obtient une série qui peut s’écrire sous la forme: co Se Zpla).a” = 1— 27 — 307 — 597467 — 77 + 107 +... w(x) désignant un facteur qui est égal à 1 lorsque z est un produit d'un nombre pair de différents facteurs premiers, à —1 lorsque ce nombre est impair et à 0 lorsque 2 renferme un facteur divisible par un carré. D’après Môbius, qui, le premier, a fait de ces facteurs l'objet d’une recherche méthodique, nous les appelons facteurs de Möbius. Leur pro- priété la plus importante est celle qui est exprimée dans la formule (22), à savoir que la somme de tous les y: qui correspondent à tous les diviseurs d'un nombre entier arbitraire est égale à zéro. De là l'emploi qu'on a fait de ces facteurs pour résoudre des systèmes particuliers d'équations. A-t-on en effet, entre deux systèmes de fonctions X, et Y,, des relations de la forme: an VG PG Ne m Rn ar (23) on trouve: X, =2ulr\Y(r,, X, = Suldr)Y(2r), X, = du(37) Y(3r).. . (24) 1 É 2 if ; 3 12 naturellement dans l'hypothèse que les series dont il s’agit, si on les prolonge à l'infini, sont convergentes. Dans ce qui suit, sont, d'après Môbius, développés plusieurs exemples parmi lesquels nous citerons les importantes formules (28) et (33): oy 1 = la Zee; Spa, = —1, qui néanmoins ne peuvent être regardées comme complètement démontrées, comme on ne peut juger de la convergence des séries dont il s'agit. On voit cependant plus loin (48) que la première, en tout cas, ne peut être divergente, mais est égale à = —- une fraction. Parmi les autres applications des facteurs de Möbius, nous citerons encore la formule : F(a) = f(x) + fiel a. à Jet) +... (38) qui, par inversion, donne: fla) = F(x) — + Fa?) - à Fe!) i ale (39) 292 110 Si F(z) est une fonction qui puisse être développée en une série convergente suivant les puissances croissantes de /z, il en sera de même de f(x), de sorte qu'à: F(a) = alx + b(lx)? + c(lx) +... (40) correspond: Fo ole + Fee... (41) 8 By 54 2 2 3 Détermination de #(«) par des intégrales définies. Formule de Riemann. Si Von désigne par z(z) une fonction égale à 1 lorsque = est un nombre 5 5 premier et à 0 lorsque + est un nombre composé, la formule (3) pourra s’écrire: co is(r) = — Zr(a)l(l— x), (49) 1 A een : ¢ ; 5 ul - ou si &(a) désigne une fonction qui est égale à 1 pour æ—p, & — pour æ —p° et, en général, à — pour æ—p", mais à 0 lorsque z — 1 ou est composé de différents facteurs i n premiers: Dre à (dat. (50) Ces équations renferment donc des définitions des fonctions z(z) et @(x), lesquelles per- mettent de les déterminer. C’est ce qu'a fait M. Riemann à l'aide d’integrales définies. En remplaçant d'abord 2” par r\ertde, l'équation (50) devient: ls) — Vic RE (52) ° 1 Cette fonction (2) a une importance particulière. Si l'on désigne par (x) la fonction: | 1 I) = O(a) + > Ala!) + (ei) +... (53) somme que nous appellerons «Totalité des puissances des nombres premiers divisées par leurs exposants», parce qu'elle donne, jusqu'à 2 inclusivement, la totalité des nombres > P q » Jusq > premiers, plus la moitié de leurs carrés, plus le tiers de leurs cubes, etc., on aura: I fa = TZ (tx —0) + Bla + 0). En se servant des intégrales de Fourier, M. Riemann determine f(x) par la formule (54), mais on peut par une autre voie arriver plus directement au même résultat. En transformant l'intégrale de Laplace (55), on trouve en effet l'intégrale: + 00 1 1 a+: i Inn \ kai pret a2, — 00 où la constante & est une grandeur positive et qui, pour z > 1, représente une fonction dis- 5 I I “a continue dont la valeur est 0 pour p" >, = pour p" =2 et = pour pr < 2. Si main- Zn (2 tenant on remplace successivement dans cette intégrale p par tous les nombres premiers et n 111 | 293 par tous les nombres entiers et fait ensuite la somme, on arrive, en supposant k > 1, à représenter f(x) sous la forme: Hos ; | one É fA) = on res (57) —oo Dans ce qui suit, on a, pour abréger, posé +27 —r. En employant la même notation, on trouve que l'intégrale de Laplace est un cas particulier de la suivante: ES ar | Ina? pour 2>1, r—B 2 \ OMe Doug ails Ge) la partie réelle de r étant plus grande que la partie réelle de la constante £. Les formules (59) et (60) représentent des formes semblables. On en déduit . per . at facilement différentes fonctions analogues à f(z), en remplaçant 2 par ar et en prenant la 2 somme des intégrales correspondant à diverses valeurs de n. Les équations (61) — (66) en fournissent des exemples. Soit par ce procédé, soit par l'intégration partielle de (57), comme l'a fait M. Riemann, on obtient la formule: +oæ , < (ep, (a Is) dz = —27lx.f(x), (67) qui est celle qu'il est préférable d'employer pour représenter l'expression finale de f(x). Dans ce qui suit, est exposée la méthode qu'a suivie M. Riemann pour transformer cette intégrale en y introduisant l'expression trouvée par lui pour log s(r) Nous avons donné ce développement tout au long, parce que M. Genocchi est arrivé à un résultat qui diffère un peu de celui de Riemann, et que le développement lui-même est très concis chez ce dernier. Riemann se sert pour /s(r) de la formule suivante: G pE) ( Br 120). (69) T is(r) = Ren — (5 +1) +3al( 1 + 2 a Les grandeurs @ sont les racines de l’equation transcendante: co (x? da i AG) = 2 A en —tlx) dx = 0, dx 2 1 et sont sans doute toutes réelles, la partie imaginaire étant au moins comprise entre les limites 42; elles se présentent en outre deux à deux avec des signes contraires. Nous nous référons, quant à ce point, au mémoire original de M. Riemann, en remarquant que, bien qu'il ne puisse régner aucun doute sur l'exactitude de son développement, il ne semble cependant pas possible d'arriver par la voie qu'il indique à la connaissance exacte des racines a. En transformant le terme qui renferme 2, on trouve que cette somme peut être remplacée par: 2,(1(1— — =) +11; 2 We 18(0) + 12. Fan we FR 294 112 Cette transformation montre que le terme constant dans la formule de M. Riemann, €(0), disparaît complètement et est remplacé par /2, comme l'indique M. Genocchi. Il reste à introduire dans l'intégrale les termes de la formule de Is(r) et à intégrer terme par terme. Pour faciliter l'intégration, on se sert de l'intégrale B(x) (73), qui a pour valeur: 27lx \ al dp B Relativement à la détermination des limites de l'intégration, il faut remarquer que cette formule suppose que la partie réelle de »— doit être positive. Cela est facile à obtenir, en ce qui concerne les termes qui proviennent de la fonction /', en intégrant de B——x à 2=—%m, et tous les termes qui y correspondent seront done compris dans l'expression : x abe dz EME ur (2? —1) ala i x qui, pour 2 > 2, est toujours < 1. Le terme qui provient de /(r—1) mérite une attention particulière. I faut ici déterminer la fonction correspondante B{(x) en posant: += Le Bia er D 7-1) — 2 WE ag 2) = \. ie (3 dz = 27l B dp, ve 9 et avoir soin de choisir la limite inférieure et le contour le long duquel on fait l'intégration de manière que la partie réelle de »— soit toujours positive, et qu'en intégrant le long du même contour on ail: 1 Le 2 (r—f) q On peut y arriver en prenant pour limile inférieure — et pour intégrale la moyenne entre deux intégrales pour lesquelles on intégrera le long d'un contour différent, de manière que l'intégrale singulière provenant du pôle —0 disparaisse. On trouve alors: —p 1 dp = L(r 1). 8 B(x) af a eae nn nl = SEE B dp + B dB, (pour p —0) == +p expression qui est identique avec le logarithme intégral Zi(z) défini par la série (75). Le symbole [n] désigne ici comme plus loin le produit 1.2 ...n. On traite de la même manière les termes qui entrent dans la somme X, et obtient ensuite le résultat final sous la forme: 1 "(ml + ai +) Lat i i dæ fe) = Lite) — 2 (Litel*") + Lite! a mise (77) qui ne diffère de celle de Riemann que par la constante, laquelle, au lieu de /£(0), est {2 comme chez Genocchi. 113 295 La formule de Riemann, et c'est en quoi consiste sa valeur scientifique, donne pour f(æ) une expression explicite qui représente cette fonction sous une forme telle, qu'on peut en séparer Zi(@) comme une partie continue, tandis que le terme ¥, a un caractère essentiellement périodique. Mais pour juger de l'influence de ce terme, il faudrait avoir une connaissance plus exacte des racines 4, de manière, au moins, à pouvoir indiquer les limites entre lesquelles cette série est comprise. Tant que cette condition ne sera pas remplie, on devra se contenter de montrer l'exactitude de la formule en la comparant avec les quantités des nombres premiers énumérés, ce qui permet de constater que les écarts sont insignifiants dans les limites de ces énumérations. Le rôle prédominant du terme Li(x) est di à la circonstance que s(r) — =» pour r — 1 et, notamment, que s(r) — P 1? aus où # est une fonction qui converge vers l'unité en même temps que 7, ainsi qu'il résulte des recherches de MM. Dirichlet et Tchebycheff. En effet, la substitution de ite ha a : en: ; å SET à s(r) dans les formules (63) et (64) donnera des formules d'approximation très satis- faisantes. Quant à calculer exactement #(2) par la formule de Riemann, cela doit être regardé comme impossible même en supposant connues les racines a; tout ce qu'on peut espérer, c’est, dans le cas le plus favorable, de déterminer les limites des écarts d’avec le terme Li(z), limites qui semblent devoir dépendre de Vx. Après avoir trouvé une expression pour #(z), on peut déterminer A(2) par inversion de la formule (55) à l’aide des facteurs de Möbius. Cette opération peut se faire pour chaque terme dans (77), après quoi on obtiendra la formule correspondante pour L(d(æ +0) + (x —0)). En considérant dans f(x) d'abord le terme Za(x), on a: A 3 la (le): (Lx)? Li(a) = C+ lla + i LE Be +: La partie de cette série qui contient les puissances croissantes de /x donne par inversion, d'après (41), la série correspondante: læ 4 ak all) Ri (86) DIE SS "Ar BEE et, dans la supposition que les formules (28) et (33) sont exactes, on obtient d'une manière analogue : 1 m av pS ANIA (i EGER m m P(x) de sorte que: . 1 . 1 . 1 Li(2) — = Li(a2) — 2 Lies)... = 1 + Pie). Le terme — /2 dans (77) disparaît par Vinversion, tandis qu'on ne peut déterminer l’in- fluence des deux autres termes. Mais il est permis de supposer qu'ils n’ont pas grande importance, et c'est pourquoi nous adoptons comme résultat définitif de ces recherches l'expression : dla) = Pla) +1 pour formule d’approximation de #(x) ou plus exactement de 4(4(a-+ 0) + #(x—0)). Mais bien qu'on ne puisse guère mettre en doute la valeur de cette formule, elle ne saurait cependant être regardée comme démontrée tant qu'on ne sera pas parvenu Videnskab. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og math. Afd. II. 6. 38 296 114 à éclaircir complètement la nature de la série qui renferme les logarithmes intégrals ima- ginaires, et, en particulier, à déterminer les racines g qui y figurent. Il est vraisemblable qu'elles dépendent d'une manière simple des nombres premiers ou peut-être plutôt de leurs logarithmes. 2 4. Quotients incomplets. Théorémes de Berger et de Cesaro. Nous avons cherché, dans ce paragraphe, les résultats qu'on peut obtenir par l'emploi 3 ai 3 à n KE des quotients incomplets, que nous désignons, d’après Legendre, par le symbole En où n et x sont généralement supposés être des nombres entiers. La proposition principale sur laquelle sont basées ces recherches s'obtient en ramenant la série générale: n nn nm. n P(E +r(8;) FRE JE (ET) a å la forme: A, F(q) + A, F(9—1) +... A, F(x). Les transformations qui en résultent ont pour expressions les formules générales (91)—(96), dans les dernières desquelles g désigne EVn et f(x) = F{x)— F{(x—1). Un cas particulier de (96) est la formule de Dirichlet: n q DEE, (103) i æ 1 Z qui permet de déterminer approximativement le nombre des diviseurs dans les nombres de I à », comme on a d'après (104): 2E = nn +n(2C—1)-- pVn, (p< 3) où C est la constante d’Euler. Une telle formule a été employée par M. Dirichlet et, récemment, par MM. Berger et Gesäro pour la détermination de fonctions symétriques des diviseurs des nombres; quelques-uns des résultats de M. Berger sont reproduits dans (107). Les formules (97)— (99) représentent une généralisation des formules correspon- dantes (90), (93) et (96); 2 y désigne une variable qui parcourt une série de «nombres particuliers» choisis arbitrairement de I à x, et Ø(n), le nombre de ceux qui sont < n. Différents exemples de l'emploi de ces formules sont donnés tant par M. Berger que par M. Cesäro. 25. Applications aux nombres premiers. Ce paragraphe renferme une série d'exemples de la détermination de la totalité des nombres premiers à l’aide des quo- tients incomplets. Le plus simple est la formule bien connue (109) pour la détermination, jusqu'à æ inelusivement, de la quantité des nombres qui ne sont pas divisibles par les nombres premiers a, b, ce... formule qu'on peut employer pour calculer @ (2) — (a2). Dans ce qui suit, on se sert en effet du cas spécial de (100) exprime dans la formule: 3o() en (110) 1: 2 115 297 . ’ . DL 04 7 yt 7 laquelle fournit les moyens d’exprimer les différentes sommes 2//— SE SE FRE elc. DK à l’aide des quantités des nombres premiers, et conduit aux relations non bu + (5 )++(& )+ os (111) Dm+2(3)+2(3) + = 200 + ES nn (115) dn + 8 (3- ERE } +. ons ! ae | nae (116) Le symbole D(n) désigne ici le nombre des puissances des nombres premiers jusqu'à » avec un exposant entier. Ces formules peuvent ensuite servir à déterminer A(x), Din) et #(n) à l’aide des facteurs de Möbius. Par l'inversion de la formule de @(x), M. Bougaieff a ainsi obtenu la formule (119); plus simple est cependant la suivante: n Fy |, sr DS Ut av 7 IK Din) SE = ET, DES Se (125) qui peut aussi s’ecrire sous la forme (126). Au lieu de représenter cette formule par l’inversion directe de (115), nous l’avons rattachée à la formule (118), qui donne la fonction symétrique 2'/(d-) formée de tous les diviseurs des nombres de I à n qui appartiennent à une série de «nombres particuliers» 2. oT es SR Far Elle nous apprend, par ex., que 2h désigne la totalité des diviseurs des nombres 1 n de 1 å x qui sont premiers, 2E 5 le nombre de ceux qui sont un produit de deux nombres premiers, ete., d’où une vérification facile de l'exactitude de (125) et des formules analogues. Nous considérons ensuite les formules qui déterminent la fonction (x) de Tche- bycheff. On montre d'abord que: in — 2p (EU + ES +E...) > (129) et en transformant celte expression par l'introduction de la somme des logarithmes des nombres premiers jusqu'à x inclusivement, somme qui est désignée par /’(n), on obtient les deux équations: Te) = See (5) 22) CNRS (2 (131) Dae En ae ary ait es et b(n) = Fin) + Fin?) + F(n3) = Or, (130) In Sci Å = - en 3 0 sy ou aussi URSS Up ia (132) Les deux formules (130) et (131) sont celles que M. Tchebycheff a le premier données dans son célèbre «Mémoire sur les nombres premiers»; elles permettent, par un double emploi des facteurs de Mobius, de déterminer l’importante fonction ¢(n). T(n) peut aussi être exprimé de plusieurs autres manières par g(x); en prenant la différence entre Tin) et Z(n—1), on déduit de ces transformations les formules: 38" 298 116 hi Sø Ce = NYöld)ld, (134) et (156) 1 où @(z) désigne, comme auparavant, une fonction qui est égale à ER lorsque «= p” et m nulle dans tous les autres cas, et d tous les diviseurs de ». Ces équations, qui sont évidentes, peuvent, de même que la formule T{n) — mA > a : le en > ZE— à(x)lx, être considérées comme de simples définitions de la fonction @(z), et s'il 1 dé était possible de déterminer @() exactement ou approximativement, on obtiendrait par som- mation des formules d’approximation correspondantes tant pour #Ÿ(n) — 26 (7) que pour 1 Gln) — Ya) Nous sommes done conduit ici, comme par la formule de Riemann, a ponsiderer la fonction #(n) comme admettant, au point de vue analylique, une definition plus simple que #(n) elle-même. Le reste du paragraphe est consacré à différentes formules qui donnent de curieuses identités entre les quantités des nombres premiers. Elles sont des conséquences des for- mules générales développées plus haut, mais on ne saurait guère en faire d'autres appli- cations et, notamment, elles ne se prêtent pas plus que les relations qui précèdent à l'établissement direct de formules d’approximation analytiques. 2 6. Détermination approchée de la fonction &(zx). En nous basant sur les définitions précédentes de @(z), nous avons cherché, dans ce paragraphe, à determiner la valeur moyenne de cette fonction ou plutôt de &(7)/z, qui y est désignée par r(e). £ 5 IN er n Nous considérons d’abord les formules (145), dont la premiere, In =a T (=), peut seule- ment servir à la détermination de r(x) par ane des facteurs de Mobius. Mais une com- paraison de deux formules : 2 n—1\ 2 lh = (8° — /i} za) et in = > 1 x 1 dont la dernière définit une fonction £(x) ea doit se rapprocher de la valeur moyenne de z(z), semble indiquer que celle-ci converge vers l'unité lorsque » croît indéfiniment. La troisième expression : : MAI si la somme Z comprend tous les diviseurs du nombre x, donne le même résultat. En remplaçant (x) par une fonction é(x) déterminée de manière que sa valeur moyenne, prise par rapport à tous les diviseurs dans un nombre voisin de n, soit In, on trouve à l’aide des formules (107) qu'elle est déterminée par: &), t(n) = Be (147) n où k est une constante. Cette valeur peut done être considérée comme la valeur moyenne de tous les 7 qui correspondent aux diviseurs des nombres dans le voisinage de n. . Sern < ee ae On peut aussi considérer directement la formule Tin) = 2E a, en formant 2 u la valeur moyenne de tous les + correspondant aux valeurs de x depuis 2 jusqu'à n, avec 117 299 les poids Æ - . Cette valeur moyenne est alors donnée par les formules: Tin) 2C—1 2C—2 Ty (7) = ———— = 1 SEER Wale +R, (148) et (149) SE nm n (In) 5 ee et converge également vers la limite 1 lorsque n croît. II n'est pas sans intérêt de former la valeur moyenne de tous les + compris dans la différence 7(n) =27( 2), où tous les coefficients sont nuls ou égaux à 1, comme on le voit par l'exemple (152). Cette valeur moyenne devient: Nor ei Rene +4 Ty (7) I+7 Va ST n ts (156) el se rapproche plus de I que les autres valeurs moyennes. Les résultats obtenus indiquent bien que la valeur moyenne d’une série de 7(z) successifs doit se rapprocher de la limite 1, mais ils n'en donnent pas une démonstration n satisfaisante, comme on n’a pas réussi à trouver, pour une somme de la forme Ir(«),, une 1 expression suffisamment exacte qui püt servir à former une valeur moyenne de la fonction t(z) où tous les poids fussent égaux. La formule qui satisfait le mieux à cette condition est l'expression (156) pour 7,(n). Il n'y entre en effet que des poids qui sont tous auls ou égaux à I, et, chose à remarquer, tous les z(z) qui correspondent à des valeurs de x n À Ate øn comprises entre a et n ont pour poids l'unité. Mais ces valeurs moyennes ont cependant quelque importance, en ce sens qu’elles confirment que la partie continue de la formule de Riemann donne une bonne approxima- tion de la totalité des puissances des nombres premiers divisées par leurs exposants. n 27 La fonction ¢(z). Comme ¢(n) — ra), on doit s'attendre, d’après ce qui précède, à ce que cette fonction ne s’écarte pas beaucoup de 2 —1, et cette expression mise dans la formule : T Le n° n) = ZE| — ( a v ( m ) ’ donnera aussi une bonne approximation de la vraie valeur de 7(n). La détermination directe de J(n) par cette formule s’obtient par inversion à l’aide des facteurs de Mobius, comme le fait voir la formule (160). C'est par cette voie que M. Tchebycheff a trouvé les véritables limites de din) indiquées dans (166). Mais ces limites sont certainement beaucoup trop larges. Nous avons essayé d'employer d’autres formes de ¢(n) obtenues par inversion, mais sans résultat satisfaisant, bien que la formule : din) = — Sul) E — . læ (170) i i, présente quelque intérêt comme étant très voisine de la formule (33) de Möbius. 300 118 Par contre, la methode de Riemann peut donner pour (x), ou plutôt pour 1 (&(n—-0) + d(n-0)), une expression qui mérite d'être remarquée. On l'obtient en traitant l'intégrale: ot © ui 27h («) = — 7 Prlstr)de (171) — de la même manière que celle de Riemann. En effet, en introduisant dans cette inté- grale l'expression qu'il a donnée pour /s(r), et en intégrant terme par terme, on trouve: leosala + asinalæ = z 5 a= fb (178) 214 où À est une constante dont la valeur est voisine de 0. Cette formule est analogue à celle de Riemann pour (x) et présente, quant aux termes périodiques, les mêmes manques provenant des racines a; mais elle est beaucoup plus simple, et comme (x) peut être déterminée par Ø(z) avec une approximation assignable, il sera sans aucun doute plus pratique de s'attacher principalement à trouver cette dernière fonction. (x) (a —1) — l(1— a7?) — 222, En raison de l’analogie de cette série périodique avec la série périodique (181), j'ai déduit de celle-ci une série (183) complètement analogue à >,, et dont la somme peut être exprimée à l'aide de nombres premiers et de quotients incomplets. Quoique cette série n’ait pas été ramenée à la fonction (7), il semble cependant qu'une telle trans- : Pe se la la formation pourrait être opérée en remplaçant les différences men par des series trigonométriques infinies, de sorte qu'il serait possible, par cette voie indirecte, de déterminer les racines a, qui peut-être sont des fonctions simples des nombres premiers eux-mêmes. Un pareil résultat serait un progrès, en ce sens qu'on passerait ainsi directement d'identités purement numériques à la formule de Riemann, et arriverait par suite à mieux pénétrer le caractère de cette dernière, mais les difficultés relatives à la détermination des limites absolues des erreurs n’en seraient pas notablement diminuées. Qu'il soit possible de passer directement d'une de ces espèces de formules à l’autre, c’est ce qu'on peut constater en considérant, entre autres, la formule suivante, qui est un supplément de (167): . 2mrlx 1@ 1@ sin Mia (x) = B(g)le — 9? lp + == Ip - ee (184) où g désigne une limite arbitraire > x, et où la somme Z s'étend à tous les m de 1 à et à tous les p< g. On trouve cette formule en décomposant dans la fonction: 9. Hd len où le produit /7 est pris pour tous les nombres premiers < g, chaque facteur en facteurs linéaires par rapport à 7, et en introduisant ensuite l’expression ainsi obtenue dans l'inté- grale de (x). En effet, on obtiendra de cette manière le même résultat qu'avec /s(r) lui- même, qui contient tous les nombres premiers. Une formule correspondante pour /(«) est donnée dans (83) ou (84). Enfin, on peut, au moyen de (185), transformer directement (184) en une expression connue : (0) ne (x) = be (voir 132). 119 301 Dans une note ajoutée à la fin de ce paragraphe, on fait remarquer que les termes dominants dans les formules de @(x) et de (x) proviennent du terme —d(7—1) dans la formule de /s(r), et qu'il en est de même des formules (63) et (64), où le degré d’approxi- malion est en outre facile à calculer. On fait également observer que la marche suivie par M. Tehebycheff dans son premier mémoire «Sur la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée», conduit à une détermination de lim @(n), pour n =», qui s'accorde avec ce qui précède, car les considérations qu'il fait valoir montrent, avec un léger changement, que ca Z'(1—c{x))a"(lx)", pour m —0, 1, 2 ..., continue à être une grandeur finie, lorsque r 2 converge vers 1. Nous nous sommes contenté de cette indication parce qu'il nous semble que M. Tchebycheff wa pas suffisamment justifié le point de départ de ces formules; ce qu'il s'agit surtout ici de montrer, s'est que son résultat, la formule d’approximation Li(x) pour (x), n’est pas en opposition avec la formule de Riemann; tout au contraire, il serait précisément arrivé à établir la même formule pour (x) si, au lieu de —S'7/(1—p-’), il ne s’etait pas seulement borné à employer le terme Ip”. 2 8 Formules d’approximation pour #(n) et (ni. Lorsque la valeur moyenne de r({n) est égale à 1, la valeur moyenne correspondante de ¢(n) sera n—I n a x et celle de #(n), 27 Dans tous les cas, on peut poser (2) = {(x) + f(x), où Z(x) RE ; k désigne la valeur moyenne de z(«) (par conséquent I ou, si l’on veut, I — =)» et, en même n n a n (a temps, on aura don) — Z'é(x) + Fin), où F(n) = f(x), de même que ln) = ze + Rin), nf u J (2) où Verreur R(n) = DETTE: l'erreur dans l'expression approchée de (x). En introduisant dans Ø(n) les limites de M. Tchebycheff, qui donnent (x) — À.n, on voit que, pour l'écart entre #{(n) et Lin), les limites sont proportionnelles à la fonction #(n) elle-même, et il résulte également de (191) que #(n) pourra, avec une approximation analogue, être déterminée comme (x) +1. Nous n'avons pas réussi à établir pour les écarts des limites absolues plus étroites que celles qui découlent des limites de Tchebycheff pour (nr), mais il n’est guère douteux qu'il ne soit possible de trouver des limites de la forme --AVn , où À est une constante. , comme il est facile de le montrer, est du même ordre que Par contre, il est facile de calculer la somme des carrés des écarts entre r(x) et -1 N I é comme entre w(2) el ——. On trouve respectivement : la n S = S(c(z)—1)? < 1:2(m—1)n n AE 2 «9, et M? ES cues (189) 2 lx n ou, d’une autre manière, l'expression (190). Ces deux dernières formules, qui ne donnent certainement que des approximations grossières, indiquent qu'une grandeur proportionnelle à Vin) doit donner une limite supérieure pour l'écart moyen entre In) et Liln). 302 120 Ainsi qu'il résulte des comparaisons que M. Glaisher a entreprises entre les différentes formules et les quantités des nombres premiers véritablement énumérés, la formule de Riemann, en tant qu'elle a pu étre vérifiée, est très supérieure aux autres, et il ne doit guère être possible d'obtenir de bien meilleurs résullats en employant des formules continues qui ne donnent pas des courbes avec des points d'inflexion. Cependant il pourrait valoir la peine d’essayer pour #(n) d'employer une formule d’approximation de la forme: n(1+ À) ° On) = —— In 3 où 4 est une fonction /(n), une forme qui se rattache étroitement à la formule ¢(n) —n—1. Mais il faut, d’après ce qui précède, regarder comme certain qu'on commet une erreur systématique de l'ordre #(n?) en employant le logarithme intégral comme formule d’approximation pour #(n) au lieu de Ÿ(n). 2 9. Intervalle entre deux nombres premiers consécutifs. La limite supérieure de cet intervalle pourra facilement étre déterminée quand on aura trouvé les limites absolues d'une fonction arbitraire F(x) qui varie seulement lorsque n passe par un nombre premier. En effet, en supposant que ces limites sont des fonctions de n exprimées par A(n) et Bin), de sorte que: A(n) < Fin) < B(n) (194) pour tous les n plus grands qu'un nombre donné, et en désignant par p un nombre premier et par 9--a--1 le suivant, on trouvera la limite supérieure de a en résolvant une des équations: £ Alp) = B(p+ta) ou A(p+a) = B(p): (195) En employant la même méthode pour déterminer l'intervalle entre deux nombres consécutifs. qui sont des puissances de nombres premiers dans le voisinage du nombre n, on trouvera facilement, à l’aide des limites de M. Tchebycheff pour ¢(n), que: a < n+3Vr; (198) mais on peut regarder comme certain que cette limite est beaucoup trop élevée. D'autre part, si l’on pouvait montrer que les limites de ¢(m) dépendent de Vn comme on l'a supposé dans (199), la limite de l'intervalle serait aussi déterminée d'une manière tout à fait analogue. Pour mieux voir comment l'intervalle varie en réalité, j'ai réuni dans le tableau p- 255 les intervalles relativement les plus grands entre les puissances des nombres premiers dans la première partie de la suite des nombres, ainsi que quelques-uns des intervalles les plus considérables au-dessus de 100, et les ai comparés soit avec Vn, soit avec In et (ln). Il semble résulter de cette comparaison que l'intervalle croît moins fortement que Vn mais plutôt comme (ln)®. On pourrait sans doute en représenter la limite par une série très convergente de la forme: a — a+ ln + rin)? + d(n) + ..., où les coefficients sont d'une nature telle, que le troisième terme est le terme dominant dans la partie de la suite des nombres pour laquelle on a des tables de diviseurs. 121 303 2 10. Explication des tables. Nous expliquerons brièvement dans ce qui suit le contenu des tables qui accompagnent ce mémoire. Sauf remarque du contraire, elles ont été calculées par l’auteur, importante table II dans l'automne de 1882, avant qu'il eût l’occasion de se servir de la comparaison établie par M. Glaisher entre la totalité des nombres premiers et la formule de Riemann. Table I. Valeurs des sommes des puissances réciproques des nom- bres et leurs logarithmes. Les 1°, 2° et 4° colonnes de cette table sont reproduites d'après Merrifield, tandis que, dans la 3° colonne, les logarithmes vulgaires des sommes s(r) des puissances ont été calculés par l’auteur lui-même et contrôlés par comparaison avec les logarithmes naturels. Table II. Valeurs de e et de Zä(e) depuis æ—5 jusqu'à æ—20, avec un intervalle de 0:2. Ces valeurs, à l'exception des logarithmes intégrals de # — 5 à æ =7, qui sont donnés d'après Bretschneider (avec une augmentation du dernier chiffre la où il a ajouté deux points), ont été calculées par l’auteur suivant la méthode qu’on trouvera indiquée plus loin dans le supplément. Comme il s'était d'abord seulement proposé d'obtenir environ 12 chiffres exacts, les dites valeurs se présentent avec un nombre de décimales un peu différent. Relativement à l'exactitude, nous remarquerons que, notamment dans la dernière partie de la table, il peut régner quelque incertitude sur le dernier chiffre. Comme moyen de contrôle, on a indiqué les differences entre les valeurs elles-mêmes. Table Ill. Valeurs de la fonction P(e") de x —0 à x — 20 avec un inter- valle de O-1, avec les logarithmes correspondants, etc. Dans cette table, log P(e”) doit être regardé comme la partie principale, tandis que les valeurs de la fonction P(e”) ne figurent que pour le contrôle. Elle a été calculée comme il suit. Dans la première partie de la table, les valeurs de: P(e*) i æ a? a [i]. te, Ole À Bla, 07° ont été trouvées directement par le calcul logarithmique des différents termes de la série; mais ce calcul étant bientôt devenu trop compliqué à cause du grand nombre des termes, j'ai déterminé de la même manière la série correspondante : Q(e7) = 1 & ET s,—1 2 ao ne TN ON CU PA IEEE RH! Pier) = Lile) — C— lz — Q(e:). (202) Pour les plus hautes valeurs de 2, je me suis servi de la série A(e*) déterminée par (203), laquelle a donné: 4 après quoi j'ai trouvé: Pie) = Lite) — C— lw — À Pez) — Ree’), (204) Pie?) étant pris dans la partie déjà terminée de la table. Dans le calcul de Q(e*) et de R(e7), on a seulement employé des logarithmes avec 5 ou 6 décimales, et pour en vérifier l'exactitude, on a soumis à des preuves par différences les logarithmes à 5 décimales de ces fonctions, comme les logarithmes de toutes les fonctions qui figurent ici varient de facon que les différences décroissent avec une très grande rapidité. Par suite de cette circonstance, on a jugé plus pratique Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. 39 304 122 de construire une table de log P(e”) qu'une table de P(e"), parce qu'il en est résulté cet avantage qu'un grand nombre des logarithmes cherchés ont pu être déterminés par inter- polation. En effet, les valeurs indiquées dans la table pour les fonctions ont seules été calculées directement, et leurs logarithmes ont servi à trouver les autres par interpolation. Pour x > 8'4, on a d'abord calculé les nombres placés sous la rubrique Za(e*) — P(e*), et, avec leurs logarithmes, on a déterminé les autres par trisection de l'intervalle suivant la méthode de Briggs. Les logarithmes ainsi trouvés ont de nouveau été employés dans la construction de la table de Pie”) pour 2 > 10. Relativement à l'exactitude qui a été obtenue, le dernier ou quelquefois les deux derniers chiffres des valeurs fondamentales de Zle”\ ne peuvent être regardés comme certains, tandis que, dans les logarithmes, il ne règne en général de l'incertitude que sur le dernier chiffre, de sorte que la table donnera toujours une approximation suffisante pour l’usage auquel elle est destinée. Table IV. Totalité des nombres premiers dans chaque centaine de I à 10000, avec les valeurs correspondantes de A(z) pour les 100 premiers multiples respectivement de 100 et de 1000, et Table V. Totalité des nombres premiers dans chacun des 90 pre- mières centaines de mille, avec les valeurs correspondantes de A(z) pour les 90 premiers multiples de 10°. Ces tables donnent les résultats des énumérations faites dans les tables des diviseurs, telles qu'elles résultent de la comparaison établie par M. Glaisher dans son introduction à la table des diviseurs pour le 6° million, et elles sont par suite entachées des erreurs qui ont pu se glisser dans les dites tables. Oppermann en a ainsi relevé une en constatant que 1330001 est un nombre premier, tandis que Burckhardt le donne comme composé. Il n’a pas été tenu compte ici de cette correction, Rappelons enfin que nous n’avons pas compté 1 parmi les nombres premiers comme M. Glaisher le fait. Table VI. Comparaison entre les valeurs de Ø(e7) et de P(e”) pour æ< 15. Cette table est une supplément à la comparaison établie par M. Glaisher, et a surtout de l'importance pour les nombres inférieurs. Elle a été originairement construite pour rechercher si la distribution, en apparence périodique, des grands écarts qu'on trouve dans le diagramme publié par ce géomètre dans sa table pour le 6° million, existe réelle- ment. Cela ne semble pas cependant être le cas. La table renferme en outre, dans la dernière colonne, l'écart moyen entre 4 et P—1 calculé pour chaque groupe de 10 écarts consécutifs. Table VII. Valeurs de (x) pour tous les nombres de 1 à 2000. Ces valeurs ne sont cependant indiquées que pour les valeurs de æ qui font varier (xl. Elles ont été obtenues par la sommation des logarithmes naturels des tables de Vega, et contrôlées soit par le calcul de 7(2000) soit par comparaison avec les logarith- mes vulgaires correspondants. La table contient en outre, jusqu'à 300, les valeurs de diverses autres fonctions numériques, dont l'importance pour ces recherches est évidente. Les valeurs de la série Z (2) sont formées à l’aide des «Tables of squares, cubes, etc.» a de M. Barlow, London 1860, où Von a pris les valeurs réciproques de x. 123 305 ? 11. Conclusion. Si, en terminant, nous jetons un coup d'œil en arrière sur les résultats qu'ont donnés les recherches qui précèdent, nous ne saurions nier qu'ils ne semblent guère être en rapport avec le grand appareil qui a été mis en œuvre. Nous n'avons en effet établi par aucune preuve rigoureuse qu'une fonction f(x), indépendante des nn — 0. Tous les moyens que nous avons employés ont seulement abouti à montrer que tel est probablement le cas de la fonction de Riemann que nous avons désignée par P(x)-+1, et notamment que son écart d'avec @(xz) est toujours compris dans des limites de l’ordre Ve. Bien que beaucoup de signes indiquent que d’autres recherches plus approfondies seront encore nécessaires pour établir une pareille preuve, il n’est cependant pas invraisemblable que, relativement à ce problème spécial, nous nous serions approché plus près du but en fixant exclusivement notre attention sur les valeurs asymptotiques des fonctions dont il s'agit. Mais c'est à dessein que nous ne nous sommes pas placé à ce point de vue, parce que, en réalité, il importe davantage de connaître des formules d’approximation qui puissent être employées pour des valeurs finies des arguments, et que de telles formules donneront en même temps les formules d’approximation asymptotiques. Mais nous avons pourtant obtenu quelque chose par nos recherches, et nous croyons en outre que c'est quelque chose d’essentiel. En premier lieu, pour ce qui regarde la remarquable formule de Riemann, non seulement nous avons ramené la preuve de l’origine de son intégrale à des données relativement simples qui permettent d'en pénétrer plus profondément la nature, mais, par le commentaire dont le traitement même de cette intégrale a été l’objet, nous avons aussi écarté toutes les difficultés quelle présente et éclairci le désaccord existant entre les formules de Riemann et de Genocchi, dés- accord sur lequel ce dernier s'exprime lui-même très modestement. Toutes les difficultés du développement de Riemann sont ramenées par là à la détermination du développement de /s(r), problème qui peut être traité indépendamment de la théorie des nombres premiers. En outre, relativement aux racines a, nous avons donné quelques indications qui ne seront pas sans utilité pour des recherches futures. D'une importance plus pratique est cependant la forme élégante que nous avons donnée à la fonction P(x), forme qui a le grand avan- tage de pouvoir se prêter à un calcul numérique facile. De plus, et ce n'est pas sans importance, nous avons reproduit un certain nombre de recherches éparses et peu connues sur la théorie des nombres et, en les mettant en relation avec la fonction (x) de M. Tchebycheff, montré qu'elles conduisent aussi à considérer non pas la fonction @(z), mais (x), comme celle qui doit jouer le premier rôle dans ces recherches. tables des diviseurs, est liée à /(x) de manière que Lim Nous sommes arrivé ainsi, par des considérations tirées de la théorie même des nombres, à indiquer le rôle que le logarithme intégral doit jouer dans la détermination de la totalité des nombres premiers, et, bien que la démonstration ne soit pas complètement satisfaisante, elle l’est cependant assez pour que, par celte voie, on eût pu être conduit à faire de Zä(x) une formule d’approximation de #{x), même si la formule de Riemann n'avait pas déjà été connue. Il semble en même temps qu'en poussant plus loin ce genre de recherches, il serait possible d'obtenir une preuve certaine que la limite de l'erreur dépend 39" 306 124 de Væ, mais cela exigerait sans doute préalablement une étude plus approfondie des restes qu'on trouve en divisant un nombre par tous ceux qui le précèdent dans la suite naturelle des nombres. En effet, la difficulté que nous avons toujours rencontrée pour resserrer les limites dont il s’agit provient, entre autres, précisément de la circonstance que, pour des différences de la forme ET, on ne peut, même lorsqu'on en a une somme, obtenir des limites plus étroites que 0 et I. Qu'il y ait vraiment quelque chose à faire dans cette voie, c'est ce qui ressort, en particulier, du mémoire souvent cité de M. Berger. Une discussion plus approfondie des problèmes qui se rattachent à des séries renfermant des facteurs (2), semble également devoir être très désirable pour l'avancement de ces recherches, car on arriverait peut-être aussi par là à combler les lacunes que présente notre travail. Enfin, nous considérons comme le résultat le plus important de nos recherches d'avoir montré que tous les travaux antérieurs indiquent le logarithme intégral Z2(2) comme formule d’approximation de Hz), et que (x) peut être représentée approximativement par une expression de la forme æ— const. Plusieurs circonstances indiquent que la solution complète du probleme qui nous occupe n'excède pas les ressources de l’analyse moderne, et nous espérons que ce travail pourra contribuer à orienter les investigateurs futurs dans les différents points de vue sous lesquels il peut être considéré, et à en faciliter ainsi indirectement la solution. Supplément: Sur le calcul de la fonction Life”). Pour déterminer les valeurs de Zi(e*) données dans la table II, j'ai calculé les différences entre deux valeurs de Zi(e*) correspondant à des intervalles égaux. En effet, comme zatz oe vn X oe Cod et ez (2% en - da ee\ ——_ dr = — eder —N e | —) da + \ e7|—) dz...], On a+ x a a a Ua 0 0 0 0 il s’agira seulement de calculer successivement des intégrales de la forme: x et ] x n 1 fe, — — À e”| — da, a a 0 a i i Fa e ; ; où » est un nombre entier et x < a. Si l'on pose N, = — Ax, on trouvera sans difficulté a par intégration partielle une formule récurrente à l’aide de laquelle les N consécutifs pourront être facilement déterminés, et on obtiendra le même résultat en calculant une fois pour toutes oy i les intégrales \eardr correspondant à des valeurs déterminées de +. En prenant pour a vo un nombre entier et x— 1, cette manière de procéder a donné, après détermination pré- alable des puissances en question de e, un moyen relativement simple pour calculer Li(e“t!) — Life‘) pour a = 16 à 20, el ces valeurs, conjointement avec celles calculées auparavant par MM. Bretschneider et Glaisher, ont ensuite pu servir à contrôler le calcul plus détaillé qu’exigent les intervalles plus petits. 125 307 Pour ce calcul, on a employé les formules (8)—(10) en prenant successivement pour a les arguments qui figurent dans la table II avec l'intervalle 0-2, x restant toujours égal à Of. Les premières valeurs de N ont ensuite été calculées par des multiplications et des divisions directes, tandis que, pour trouver celles de N, et des N suivants, on a jugé plus simple de calculer par logarithmes les termes dont il s’agit à l’aide des intégrales +01 Veranda déterminées une fois pour toutes. De cette manière, on a trouvé une serie très L —0*1 rapidement convergente pour la détermination des différences successives de la table, et, par celles-ci, toutes les valeurs de Zi(e”), dont le dernier chiffre, dans la table, est aug- mente d'une unité lorsque le chiffre suivant est égal à 5 ou plus grand que 5. Si, pour intervalle, j'ai choisi 0'2 et non 0-1, la raison en est, d’une part, que le calcul en est facilité et, de l’autre, que mon intention à l'origine était seulement de calculer une table des logarithmes de Zi(e”) avec 10—12 décimales. En réalité, une pareille table pourrait être construite par interpolation à l'aide des logarithmes des valeurs contenues dans la table If, et serait la forme la plus commode d'une table de logarithmes intégrals des grandes valeurs de n, surtout si les arguments étaient les logarithmes vulgaires. Mais j'y ai renoncé parce que, pour ces recherches spéciales, il était préférable de con- struire une table de log P(e”). C’est seulement après avoir terminé ce travail que j'ai eu connaissance de la 3° partie des tables à 14 chiffres de M. Stenberg. Dans une introduction, l’auteur développe une série de formules qui, dans leurs parties essentielles, sont identiques à celles qui ont été développées plus haut. J'ai également plus tard eu communication de quelques calculs inédits de Zi(e”) pour des valeurs entières de © jusqu'à æ — 20, dus à feu M. le professeur Oppermann. Ils ont été effectués à l’aide des formules (11) et (12) et fournissent par suite un moyen de contrôle, puisque, pour chaque valeur entière de a, on determine en même temps les deux intégrales : at gate er er == li? Gli —dz, æ œ a—E a l'intervalle £ étant partout le même et ici égal à 1. On trouvera dans le tableau, p. 268, le résultat de ce calcul. Les valeurs de e ont été calculées en partie par Oppermann, en partie, pour ce qui concerne les dernières, par l'auteur, qui, en même temps, a entrepris le calcul des trois dernières valeurs de Zä(e*), pour lesquelles Oppermann n'avait pas obtenu plus de 12 décimales exactes. M. Bretschneider ayant, avec la même exactitude, déterminé les valeurs correspondantes de Zi(e”) pour les valeurs inférieures de 2, on possède ainsi les valeurs fondamentales de cette fonction calculées avec 20 décimales jusqu'à = — 20. a de —— 308 Page Errata. (Les formules sont comptées pour des lignes.) 193—11, ligne 14, au lieu de: 2 C— ele., lisez: S2-" — s, — ele. - 1 1 195—13, formule (29), » » »: nel » = gå 199—17, ligne 22, » » » (Mara, an VAGE x) a dlæ on 0 202—20, formule (65), » » »: px), » : p(n) 204—22, » (72), le dernier membre sous le signe 2}, doil être (1 i z ): FU +! 1 —r 206—24 ligne 17, au lieu de: ——— dz. lisez: dA À Bip)” Le A j g 215—33, a OD awh EGE samer » 3 anid 221—39, formule (111), » » »: f(x), » : O(n) 1 223—41 (CIS) Se ee ae ; le numéro (118) doit P(E ===) p(1 a elre effacé. » », ligne 5—11, la lettre + doit être remplacée par n; dans la formule (120), le numérateur et le dénominateur du dernier membre sont en outre inlerverlis. 224—42, ligne 28, au lieu de: N A,Ip, lisez: 3 Aplp 225—43, DEN oe SE 3 8 he 231—49, » 25, » » »: eller af on), » : eller Middelværdien af @(n) 236—54, formule (163), » » »: T(E), » : T(Ex) 256—74, ligne 26, » » »: 2'(s(r) —1), » : S(e(r)—1) 1 2 LE en) 286— 104, en-lêle, » » »: 2 E— Å LS: BE i x 2 v Bestemmelse Kviksolvsojlers elektriske Ledningsmodstande i absolut elektromagnetisk Maal. L. Lorenz. Vidensk. Selsk. Skr. 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. IL 7. Kjøbenhavn. Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri. 1885. Bea Foranledning af den til Fastsæltelsen af de elektriske Maalenheder i Oktober 1882 sammentraadte internationale Konference har der af Regeringen veret bevilget mig en Sum af 5000 Kr. til Udførelsen af nærværende Undersøgelse, hvorved langt større Midler bleve satte til min Raadighed end dem, jeg ved mine tidligere til samme Maal sigtende Under- sogelser!) havde veret i Besiddelse af. Officersskolens kemiske Laboratoriums Lokaler vare velvilligt stillede til min Disposition, ligesom en vesentlig Bistand har veret mig ydet paa mangfoldige Maader af Laboratoriets Forstander Dr. H. Topsoe, som navnlig ogsaa har udfort en stor Del af Maalingerne. Til Bestemmelse af de absolute Grundenheder: Tid, Længde og Masse vare folgende Apparater anskaffede: 1. et Pendulkronometer, hvis Gang bestemtes ved Sammenligning med det astro- nomiske Observatoriums daglige Tidssignal, 2. en i Centimeter inddelt Normalmeter og et Kathetometer, begge fra Société Genevoise, den første med angiven Korrektion (0,0237™", rigtig ved —1°,25 C.), som var bestemt ved Sammenligning med en af det internationale Bureau i Paris verificeret Meter, 3. Normalvegtlodder fra Westphal i Celle. I. Methoder for Modstandsmaalingerne. Absolute Maalinger. Den anvendte Methode er i Principet ganske den samme, som den jeg i mine tidligere Undersøgelser har benyttet, Derimod har jeg i Udførelsen af Forsøgene gjort væsentlige Forandringer, navnlig for Rotationsapparatets Vedkommende, som jeg har indrettet i Overensstemmelse med det af mig til den internationale Konference gjorte Udkast”), og som nærmere vil blive omtalt i det følgende. 1) Overs. over d. K. D. Vidensk. Selsk. Forh. 1873, S.1. *) Journal de phys., S. II, T. 1, p. 477, 1882. Relative Maalinger. Til alle mine relative Modstandsmaalinger har jeg benyttet en særegen Methode, som har vist sig saavel bekvem i Udforelsen som i hoj Grad nojagtig, hvorfor jeg tor anbefale den fremfor de sædvanlig benyttede Methoder. De to Modstande AB og CD, som skulle sammenlignes, forbindes ved en Ledning BC og indskydes tilligemed to Traadruller i en Stromkreds. Disse Traadruller ere i pas- sende Afstand anbragte paa Bordet foran og bagved et Spejlgalvanometer. Fra to af de fire Punkter 4, B, C og D afledes Strommen til Galvanometret, saaledes at denne afledede Strom virker modsat Hovedstrommen i Traadrullerne paa Galvanometrets Naale. I den til Galvanometret forende Ledning er desuden indskudt en Rheostat, ved Hjælp af hvilken Modstanden forandres, indtil Galvanometerspejlet er fort tilbage til Skalaens Nulpunkt. Modstanden i Galvanometret tilligemed dets Tilledningstraade være betegnet ved G, Rheostatmodstandene ved À, R,, R,, efter som man har afledet Punkterne AC, BD eller AD. Man vil da have k.AC G+R EBD Gee LOAD) NETTER | idet & + I svarer til det konstante Forhold imellem Hovedstrommens og den afledede Stroms Styrke. Heraf erholdes cd BR, AB TIRE Forsøgene kunne varieres ved Afledning af andre Par Punkter, som AB og CD, hvorved erholdes en Kontrol for Rigtigheden af det fundne Resultat. For tillige at kunne variere Konstanten & paa bestemte Maader var Traaden i Traad- rullerne sammensat som et Kabel af I1 indbyrdes isolerede Traade. Kabelet var svagt snoet, ligesom ogsaa de over en Meter lange to Kabelender fra enhver af Rullerne vare sammensnoede og forte til Siden til en Kommutator, hvor de 22 tet til hinanden forte Traadender kunde indbyrdes forbindes paa hvilken som helst Maade. Man var saaledes i Stand til ved uforandret Stilling af Traadrullerne at forsterke disses Virkning paa Galvano- metret 2, 3, indtil 11 Gange. Selvfolgelig maatte det, naar disse Kombinationer benyttedes, paases, at hele den udenfor Traadrullerne værende Ledning for Hovedstremmen ingen Virk- ning udovede umiddelbart paa Galvanometret, hvilket opnaaedes ved Udskydelse af Traad- rullerne af Ledningen og Kompensering af den ovrige Lednings Virkning ved Indstilling af en paa Ledningen nær lagttageren anbragt Slojfe. Galvanometret var et Thomson’sk med Planspejl og Kikkertaflesning. Det indeholdt to Traadruller, den underste, som omfattede en Sats af smaa Magnetnaale, havde en tyk Traad, den øverste, som alene benyttedes ved disse Forsøg, bestod af en dobbelt, tynd og lang Traad og omsluttede den paa Spejlet anbragte Magnet. ex 315 Alle Forsøg anstilledes i et ikke opvarmet Lokale. Forandringer under en Forsogs- rekke af Galvanometrets Nulpunkt ophævedes ved Hjælp af en i Nærheden af lagttageren anbragt Magnet. Rheostaten var en Siemens’ med fra 1 indtil 10000 Enheder, hvortil undertiden blev føjet en anden fra „I; til 1 Enhed. Ved Kalibrering viste den förste Rheostat sig saa nøjagtig, at der ikke behøvedes at indføres nogen Korrektionstabel. Jeg skal tilføje, at Rheostaten dengang var ny, og at der et halvt Aar senere viste sig kjendelige For- andringer, som vilde have gjort en ny Justering nødvendig. II. Kalibrering af Glasrør. Alle Kalibreringerne ere udførte af Dr. Topsøe. I en lille Afstand fra det paa et Betonfundament opstillede Kathetometer var et Mahognibrædt anbragt vertikalt paa et lige- ledes paa Beton hvilende Bord. I dette Brædt var Normalmeteren indlagt og ved Siden af denne det Rør, som skulde kalibreres. Kalibreringen af de snævre Rør udførtes paa den Maade, at en lille Kviksølvsøjle efterhaanden blev forskudt gjennem Røret, idet hver Gang Søjlens nederste Endeflade netop tangerede dens øverste Endeflade i dens foregaaende Stilling. Dette lod sig bekvemt og nøjagtig udføre paa følgende Maade. Et Glasrørr af den Form, som Figuren viser, var indsat horisontalt i en Fordybning i ovennævnte Brædt. I den ombejede Ende af Roret indsattes vertikalt det Rør, som skulde kalibreres, medens Apparatets anden vertikale Gren blev lukket med en Glasprop efter at have tjent til Indfyldningen af Kviksolv. Apparatet var lukket ved en med Pakskrue forsynet Prop, hvorigjennem gik en lang og fin Skrue, alt af Staal. Ved Hjælp af denne Skrue kunde Kviksølvet trykkes op til en vilkaarlig Højde i det Rør, som skulde kalibreres. Dette sidste Rør var foroven dobbelt ombøjet og udtrukket i en Spids. Efter at Kviksølvet var drevet op indtil Spidsen, blev Søjlen atter trukket tilbage paa en saadan Maade, at. der efter den sammenhængende Søjle fulgte en lille Luftblære og derefter en omtrent 2% lang Søjle. Med denne sidste blev Kalibreringen udført. Efter endt Kalibrering blev den lille Søjle dreven ud af Roret, optagen i en Skaal og vejet. Derefter blev en ved en Luftblære adskilt længere Kviksølvsøjle opsuget i Røret, idet Længden afpassedes omtrent efter hele den kalibrerede Længde. Efter at denne Søjles Længde og Beliggenhed i Forhold til et Mærke paa Røret var maalt, blev Søjlen ligeledes 314 6 uddreven og vejet. Endelig aftages Roret, afbrekkes ner ved det kalibrerede Stykkes Grænser og tilslibes konisk i begge Ender, hvorefter Rorets Længde maales. De efter hinanden maalte Længder af den lille kalibrerende Kviksolvsojle vare Anne An TOR i ; Aiea Ag seas An =e: Endvidere vere L’ Længden af den derefter indførte (store) Kviksolvsojle, X, og A, de manglende Stykker i den kalibrerede Lengde, saaledes at man har Lx —} =. Ligeledes vere Z” Længden af det afbrekkede Ror og A’ og X, de manglende Stykker i den kalibrerede Længde, altsaa TUE Man vil da kunne udtrykke Modstanden £’ af Kviksolvsojlen 1” ved À — À" 4 AE NS ÅR SAL B= rf ee ee LR, .- = ) Si Sø Sp Sn idet 7 betegner Kviksolvets specifike Ledningsmodstand, og s,, Sg, ...s, de til Midten af Søjlerne 2,, As, .-. 4, svarende Gjennemsnit. De til det tomme Rum reducerede Vegte af den lille kalibrerende Sojle og af Sojlen L’ vere w og W. De af disse Sojler indtagne Rum kunne betegnes ved v — 2x og V— 2x, idet z er det lille Rum, som begrænses af Kviksolvsojlernes konvexe Endeflade, af en tangerende Plan til dennes Midtpunkt og af Rorets indre Cylinderflade. Naar altsaa Vægten af en Rumenhed Kviksolv ved 0°, som foreløbig antages for Forsogets Varmegrad, betegnes ved p, saa er w = p(v—2a), W = p(V—2a), hvoraf W—w = p(V—»). Tillige er ' V ( A di) À = ee v 0 S,A = Soho Fe | 2 SRE Sættes D iy JE À == 7) Ao —— = O05 An — — = O i n HEC n 22 ñ n FR hvor Storrelserne à blive meget smaa Størrelser, og indføres Betegnelsen DOS ae One 0%) saa vil man erholde , r À’ À, LL” TN TAN TA R(W-uw = rpo|n SE EN een Ao, 400, + 30? |: 7 1 in 114 Maalingerne af Længderne Z/ og LL” antages udførte ved Varmegraderne # og t”, den Varmegrad, ved hvilken Normalmaalestokken er rigtig, vere ft, (— 17,25); endvidere vere de lineære Udvidelseskoefficienter for Messing og Glas betegnede ved & og g, og Kviksolvets —I Or kubiske Udvidelseskoefficient ved 7. Man vil da have den til 0° reducerede Modstand & af Kviksolvsojlen bestemt ved oe rl rd lyt De her benyttede numeriske Værdier af Konstanterne ere É p = 13,5952, 7 = 0,0001795, 6 — 0,000018, yg — 0,0000084. Med Hensyn til den ovenfor benyttede Konstant 7 bemærkes, at man vil erholde A udtrykt i sædvanlige Kviksolvenheder, naar Længderne angives i Millimeter, Vægtene i Milligram og r sættes lig 10650- Resultatet af Maalingerne vare: Ror Nr. 1. Z = 368,119, 2, = 19,406, An = 19,315. L — 357,042, À = 4,685, 2, — 6,392". In le 0) 87 MARE ss i n EEN 1020, TENTE W = 13957528 w = 715,10", SO? — 0,4714. R = 1,26612 Kviksolvenheder. Ror Nr. 2. D = 445,3, A, = 19,%5, An == 2013400; TL! = 442,32, À = 3,06, 4, = —0,017". L” = 435,30, X = —1,58, 4” = 11,662", ee Oe Os Fig. 2. We ao NO OO — 1 1712. FR = 7,42980 Kviksolvenheder. Kalibreringen af de vide Rør, nemlig tre I Meter lange, I, 2 og 3 Centimeter vide Glasrer, som skulde benyttes ved de absolute Modstands- maalinger, udførtes paa folgende Maade. Rorene vare ved den ene Ende lukkede med et med Hane forsynet Jernlaag, og ved den anden Ende ind- fattede i en Jernbosning. Naar et af Rorene skulde fyldes med Kviksolv, blev det forst i horisontal Stilling ved et med Glashane forsynet Glasror sat i Forbindelse med en Luftpumpe og pumpet saa lufttomt som muligt, hvor- efter Kviksolvet indsugedes gjennem Jernhanen. Dernæst opstilledes det fyldte Ror vertikalt og paa den øvre Bosning befæstedes det i Fig. 2 fremstillede Staalapparat, som bestod af et ydre faststaaende Hylster med en Slidse, et indre Hylster for neden med en af Slidsen styret Tap, for oven fint skrue- 77 skaaret og fort af en Mottrik, samt inderst af en i begge Ender tilspidset | Staalstang, der vilkaarlig lod sig forskyde og fastholde. Alt var megel om- d PR | hyggelig afdrejet. Den nederste Spids blev fort ned til Beroring med Kvik- 316 8 solvets Overflade, hvilket iagttoges ved Kikkert, og derefter blev Kathetometrets Kikkert indstillet paa den overste Spids og dens Hojde maalt. Kviksolvet blev efterhaanden udtappet i passende, omtrent lige store Mengder, og Maalingerne fortsattes igjennem hele den Længde af Roret, som skulde kalibreres. Det videste af de tre Rør var forsynet med 4, de andre med 2 fine, konisk borede Huller. Ethvert af disse Huller vare lukkede lufttet med en lille Platinplade, som blev fastholdt med en Roret næsten omsluttende Urfjeder. Dennes ombojede Ender spændtes sammen ved en Kobbertraad, der tillige tjente ved de folgende Forsøg Lil elektrisk Ledning. Naar ved Kalibreringen Kviksolvet netop var sunket ned under et af Hullerne, blev Urfjedren losnet og forskudt, den nederste Staalspids indstillet paa Midten af Hullet, som endnu ret godt kunde iagttages i Kikkerten, hvorefter Højden af den øverste Spids blev maalt. Des- uden blev særskill Afstanden maalt imellem Hullerne, som alle laa i samme vertikale Linie. Da smaa Temperaturforandringer ikke kunde undgaas under Forsogene, bleve Maalingerne ved smaa Korrektioner henforte til en fælles Middeltemperatur. Er Z den kalibrerede Længde ved Middeltemperaturen ¢, W den tilsvarende Vægt af det udtappede Kviksolv, Z/ Afstanden mellem to Huller, maalt ved Temperaturen 7, saa kan Modstanden A’ af Kviksolysojlen imellem de to Huller, uden Temperaturkorrektion, bestemmes ved RW = rp Llp, hvor » er et fra I kun lidt forskjelligt Tal, hvorved den af de enkelte Maalinger fremgaaede Korrektion med Hensyn til Rorets Afvigelse fra Cylinderformen er angivet. Denne Korrek- tion er, som af det folgende vil ses, meget lille, hvorfor det ikke har været nodvendigt her at medtage de Maalingers Enkeltheder, der have ligget til Grund for Beregningen. Af den saaledes fundne Verdi for A beregnes dernæst den til 0° svarende Modstand R paa samme Maade som ovenfor, idet i den angivne Formel % og +” forandres til ¢ og #. Resultaterne af Maalingerne vare: Rør Nr. I. Deu rg, WW = 232197 mE DORA RTE A NS ye = 1,000071, hvoraf R — 0,00154180 Kviksolvenheder. Ror Nr. II. Dette Rør indeholdt 4 Huller A, B, €, D. Modstandene ved 0° af de Kviksolvsojler, som befinde sig imellem disse Huller, betegnes henholdsvis ved AB, BC, CD. AB. I = 200,4™, 4 = 11°70, W = 2103229", IN RB, = ND; p = 1,000006. BC. 1, = 203,19", 1 — 10970, W — 2124558", 7 — 199 gran 79207 np —= 1,000021 . 9 ou CD. DROITE IV 20823752, I DE 2920, g = 1,000010, hvoraf AB = 0,00025836 Kvikselvenheder, BC = 0,00025964 » CD = 0,00026279 » Da det senere ved de absolute Modstandsmaalinger viste sig, at de nojagtigste Resultater erholdtes ved de Kviksolvsojler, som havde den mindste Modstand, blev der ingen absolute Modstandsmaalinger udførte med det tredie Rør, hvis Modstand i Kviksolvenheder var 0,0062215. III. Temperaturkoefficienten for Kviksglvets Ledningsmodstand. Det til alle Forsøgene anvendte Kviksolv var af Dr. Topsøe fremstillet paa to for- skjellige Maader. Den ene Del var omhyggelig renset paa sædvanlig Maade, dog uden Destillation; den anden Del var i større Mengde (16 Kilogram) fremstillet ved Destillation af Kviksolvilte, som var præpareret af renset Kviksolv. Begge Præparater viste imidlertid ved gjentagne Forsog ikke nogen som helst kjendelig Forskjel i elektrisk Ledningsevne. Til nærværende Forsøg benyttedes to ikke kalibrerede Ror, hvis Ender vare udvidede til cylindriske Beholdere. Det ene omtrent 1 Meter lange, 1™™ vide Ror var vunden i Spiral, det andet var 260% langt, 0,1™™ vidt og bøjet U-formet. Efterat Rorene vare fyldte med Kviksolv, bleve de forst anbragte under en Luft- pumpes Klokke, og Modstanden blev iagttaget, medens Luften blev udpumpet. Hvis der nemlig skulde være smaa Luftblærer tilstede, saa vilde disse udvide sig ved Luftfortyndingen og derved forøge Ledningsmodstanden af Kviksolvsojlen. Tillige skulde en ringe Modstands- forøgelse fremkomme alene ved Trykkets Formindskelse paa Kviksølvet, men ‘jeg fandt tværtimod en konstant lille Aftagen af Modstanden, hvilken for det U-formede Rør beløb sig til 0,076 Procent. I andre Forsøg, som senere skulle omtales, og hvor der benyttedes lige, horisontalt stillede Rør, hvis Ender vare dækkede af Kviksølv, viste denne Anomali sig ikke, hvorfor jeg formoder, at den "hidrører fra Udsugningen af Luften imellem Glasset og Kviksølvet i den øvre Del af Rørene. I ethvert Tilfælde viste Forsøgene, at der ingen kjendelige Luftblerer kunde være tilstede i Rorene. Derefter indsattes et af Rorene i en med Alkohol fyldt Beholder, som befandt sig omgivet af en anden med Vand fyldt Beholder, og saaledes blev holdt paa konstant Varme- grad. Den første Beholder indeholdt tillige et i ;4, Grader inddelt Normalthermometer og en Rorer. É Modstandsmaalingerne udførtes efter den ovenfor omtalte Methode. Ved AB er betegnet Modstanden af den i et Rorene ved Temperaturen ¢ indesluttede Kviksølvsøjle, Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. II. 7 41 318 10 ved BC Modstanden af en Platintraad, som forbinder Roret med en Rheostat, hvori Mod- standen CD i den forste Forsogsrekke var I, i den anden 30 Siemens Enheder. Spiralror. t — 15228. k. AB = G+ 2464,2 k.AD = G + 6671,5 k.BD = G+ 743,1, hvoraf GS JAVA. Wh BID) = k. AB — 5928.4 (ber. 5928,3). t— 0200: k. AB = G — 2445.9 k. AD = G + 6654,0 k.BD = G + 143,0, hvoraf Gi BAC bho OSSE k. AB = 5911,0 (ber. 5911,0). i= (OP k. AB = G+ 2392.6 i. AD = G+ 6600,0 k.BD = G+741,8, hvoraf GF = ASRS) [en JED) = HON k.AB = 5858,2 (ber. 5858,2). (== DBP k. AB = G+ 2587,8 k. AD = G + 6746,0 k.BD = G+ 743.5, hvoraf CR AG TO RBDI— 42082, k. AB = 6002,5 (ber. 6002,5). De beregnede Verdier ere udledede ved Formlen k. AB = 5858,2 (1 + 0,0009013 1) , og stemme, som man ser, nesten fuldkommen med de iagttagne. U-formet Ror. Galvanometrets dobbelte Traad var her forenet lil en. jones k. AD = G+ 8773)1 k.BD = G + 3961,2 hvoraf k. AB = 4811,9 (ber. 4811,9). t = 33°43, k. AD = G+ 8882.8 k. BD = G+ 3961,2 hvoraf k. AB = 4921,6 (ber. 4921,8). 11 319 t = 35731. k.AD = G + 8891,3 k.BD = G-3961,0 hvoraf k.AB — 4930,3 (ber. 4930,1). Beregningen er udfort efter Formlen k. AB = 4775,6 (1 + 0,0009164). De saaledes fundne Koefficienter for den apparente Modstandsforogelse af Kviksolv i Glasror ved en Opvarmning af 1° ere altsaa 0,0009013 mellem 0° og 27°32, 0,000916 mellem 8°32 og 35°31, hvilke Koefficienter ere lidt storre end den af Lenz fundne og temmelig ner overens- stemmende med de af Siemens og for nylig af Mascart fundne Koefficienter. IV. Kapillaritetens Indflydelse paa Kviksglvets Ledningsevne. let af den internationale elektriske Konferences Moder i 1882 henledede Becquerel!) Opmerksomheden paa ovennævnte Fejlkilde, i hvilken Anledning Helmholtz oplyste, at Siemens bestandig havde fundet den sterste Overensstemmelse mellem den iagttagne og den beregnede Modstand af Kviksolvsojler, hvis Diameter varierede fra 1 til 2™™, ligesom ogsaa Bosscha meddelte, at Rink i Delft havde anstillet Sammenligninger med forskjellige Rer og fundet en Overensstemmelse indtil Da mine absolute Modstandsmaalinger 1 7000* skulde udfares med Sojler paa 2 og 3 Centimeters Diameter, medens Normalmaalet skulde henfores til en Sojle paa 1 Kvadratmillimeters Gjennemsnit, ansaa jeg det dog for nod- vendigt selv ved nojagtige Forsog at undersoge, hvorvidt de molekulære Forandringer i Kviksolvets Overflade langs Glasrorets Vægge kunde hidfore nogen kjendelig Forandring i Kviksolvets Ledningsevne. De første Forsøg anstilledes med et af tykke Spejlglasplader dannet Trug. Paa et Underlag af Spejlglas vare to, 1°™hoje slebne Glasstrimler befæstede med Fiskelim i en Afstand af 2% fra hinanden; to Staalplader dannede Enderne af det saaledes dannede Trug. Dette blev fylde med Kviksolv og tæt over Kviksolvets Overflade var en Spejlglasplade anbragt. I denne befandt sig to større og to mindre Huller, i hvilke sidste to Synaale vare befæstede vinkelret paa Pladen. Disse vare forbundne med Galvanometret, medens en stærk Strom lededes gjennem ‘lrugets Endeflader og de i Nærheden af Galvanometret opstillede to Traadruller. Modstanden af Kviksolvsojlen imellem de to Naalespidser blev saaledes bestemt ligesom i de tidligere Forsøg, og der undersogtes nu, hvilken Forskjel i Modstanden der indtraadte, naar Dekpladen fortes ned til Beroring med Kviksolvets Overflade. 1) Procès-verbanx, S.68. 1882. 320 12 Der viste sig ogsaa herved stedse en lille Forandring af Modstanden, men denne var snart positiv, snart negativ, og det fremgik af Forsogene, at denne Forandring hidrorte fra det paa' Kviksolvet udøvede Tryk. Dette kunde nemlig, alt efter som Kviksolvet mere eller mindre fyldte Truget, snart vere positivt, hvilket viste sig ved den udhvælvede Over- flade af Kviksolvet i de to større Huller i Dekpladen, snart negativt, i hvilket Tilfælde Kviksolvets Overflade var indhvelvet. Men ved disse Tryk bleve Trugets Vegge lidt bojede, saaledes at Gjennemsnittet blev storre, Modstanden mindre ved et storre indre Tryk, og omvendt. Af Maalingerne fremgik, at, hvis der overhovedet fremkom nogen Forandring i Modstanden alene ved Kviksolvets Beroring med Dækpladen, saa kunde denne Forandring ikke overstige 55460 af hele Modstanden. En Virkning af Kapillariteten vil have den Indflydelse paa Formlen for en Kviksolv- sojles Ledningsmodstand, at der til Sojlens Gjennemsnit vil blive at tilføje et med dens Perimeter proportionalt Led. Det ses deraf, at Virkningen fornemmelig maatte give sig tilkjende ved Forsog med meget snevre Ror. Jeg har derfor ogsaa udfort Maalinger med saadanne Ror, navnlig de ovenfor omtalte kalibrerede Ror Nr. 1 og 2, hvis Diametre vare 0,606 og 0,273™™. Roret anbragtes i et Hul i Midten af en kvadratisk Træklods (2% i Sidelinie, 1°” tyk), som blev indsat i et lignende Trug af Spejlglasplader, som ovenfor er omtalt, men af den dobbelte Højde (2°). Truget fyldtes med Kviksolv tilligemed Roret, der tilvejebragte Forbindelsen mellem de to Afdelinger af Truget. Ved Hjælp af Dekpladen kunde det lukkes lufttet og pumpes lufttomt, medens Forandringerne af Modstanden bleve iagttagne. Paa den Maade sikrede jeg mig forud for enhver Maaling imod den mulige Tilstedeværelse af smaa Luftblærer i Roret. Derefter blev Laaget aftaget og Maalingerne udforte efter samme Methode, som tidligere, idet Hovedstrommen lededes gjennem Trugets Endeflader og en Siemens’ Normalenhed, medens to Punkter af denne Ledning forbandtes med Galvanometret. Forsogene viste, at der ingen Forskjel i den maalte Modstand indtraadte, naar begge Enderne af den til Galvanometret forende Ledning bragtes i Beroring med Kviksolvet paa hver Side af Træpladen og derfra efterhaanden flyttedes langs Rorets Vægge indtil dettes Endeflader, hvorimod en kjendelig Forandring strax indtraadte, saasnart Afledningspunkterne fortes videre udenfor Endefladerne. Naar Afledningspunkterne befandt sig i Nærheden at Træpladerne, saa kunde den maalte Potentialforskjel derfor siges nøjagtig at svare til den, som findes i to Punkter, der befinde sig ved Rorets Endeflader i dets Glasvægs ydre Omkreds. Naar Glasvæggens Tykkelse kan betragtes som uendelig stor i Sammenligning med Rorets indre Diameter, saa vil den paa den nævnte Maade maalte Modstand svare til Mod- standen af Rorets Kviksolvsejle forlenget med 0,82 Gange dets indre Diameter. Dette af Lord Rayleigh beregnede Tal behøver for Rervægge af endelig Tykkelse en Korrektion, 13 321 som jeg har forsøgt at bestemme saavel ved Beregning som ved Forsøg. Jeg skal dog her udelukkende holde mig til de sidste. Disse udførtes med et 300% langt, 2,724" indvendig og 4,2™ udvendig vidt Rør, for hvilket Modstanden først bestemtes. Derefter blev Roret brækket over i to Dele paa omtrent 200 og 100" Længde, og disses Modstand bestemt, og endelig blev den større Del brækket midt over og Modstanden bestemt af hver Del. Betegnes Rørets indre og ydre Diametre ved d; og d., saa fandtes ved disse Forsøg den empiriske Formel 0,82 — 0,35 = som Udtryk for det Tal, der ved endelige Dimensioner træder i Stedet for det Rayleigh'ske Tal 0,82. Det var min Hensigt paa samme Maade direkte at bestemme Korrektionen for Ror Nr. 1, men ved et Uheld gik Roret over, allerede førend de første Maalinger vare udførte. Begge Stykker bleve anbragte hvert i sin kvadratiske Træplade og nedsattes i Truget, som saaledes blev delt i tre Afdelinger. Afstanden imellem de to Rorender, som vendte mod hinanden, var omtrent 3%, Betegnes ved Æ Modstanden af Kviksølvsøjlerne i begge Rorene og det mellem- liggende Rum, S Modstanden af min Siemens Normalenhed og « Modstanden af For- bindelsesledningen, saa gave Maalingerne, ved hvilke begge Galvanometrets Traade vare forenede til en: t = 10210. k(R + S + x) = 9063,3 + G k(R + a) ‚= 4766,8 + G k(S + x) — 3551,0+ G, hvoraf R = 1,282978. Ved direkte Forsog fandtes endvidere Modstanden af Kviksolvet i det mellem begge Rorene liggende Rum lig 0,00009S. Ved Reduktion til O° ved Hjælp af Temperaturkoefficienten 0,00090 erholdes saaledes Modstanden af begge Rorene ved 0” lig 1.27132 8. Den benyttede Siemens’ Normalenhed var mærket: Dec. 82, Nr. 2713, @ = 0,000340, richtig bei 15°5. Ved Henforing til denne Temperatur reduceres den fundne Verdi til 1,26899 Siemens Enheder. Som Kontrol blev den benyttede Normalenhed sammenlignet med en B. A. Normalenhed (verificeret al Lord Rayleigh, Juni 1882, Nr. 54, « = 0,00025, rigtig ved 115), hvor- ved fandtes 1S. E. = .0,95411 B. A" 322 a medens af Lord Rayleigh og Mrs. Sidgewick') ved Modstandsmaalinger af Kviksolvsojler af 1 til 2™ Diameter er fundet 1 Kviksolvenhed — 0,95418 B. A. Den ved Kalibrering fundne Modstand af Roret var (S. 7) 1,26612 Kviksolvenheder, og Korrektionen med Hensyn til de 4 Rorender, beregnet ved Hjælp af den ovenfor angivne Formel, idet d; — 0,6056™ og d, — 3,2™", beløb sig til 0,00315 Kviksolvenheder. Ved Kalibreringen erholdes altsaa Rorenes Modstand lig 1,26927 Kviksolvenheder. Forudsat, at min Siemens’ Normalenhed nojagtig svarer til Kviksolvenheden, er altsaa den iagttagne Modstand 0,022 Procent, og med Lord Rayleigh’s Forsøg som Grundlag 0,029 Procent mindre end den theoretiske. Det kalibrerede Ror Nr. 2 havde en Modstand af omtrent 7 S.E., og for nøjagtigere at kunne sammenligne denne med min Siemens’ Normalenhed, indfortes der efterhaanden et forskjelligt Antal Vindinger af de to ydre Traadrullers Kabel, idet forst ved tre forskjellige Kombinationer Siemens’ Normalenhed alene blev afledet til Galvanometret, og derefter ved en fjerde Kombination Roret, der paa den angivne Maade var anbragt i Truget med Kvik- sølv. Betegnes de to Modstande henholdsvis ved S og À, og Forholdet mellem Hoved- é oe. = i | strommens og den afledede Stroms Intensiteter ved STD idet x er det Antal Gange, Vin- | dingerne i Traadrullerne er forøget (ber efterhaanden 9, 5, 2 og 10 Gange), saa kunne Maalingernes Resultater udtrykkes ved i = NER KS == 9(526,50 + @ + S) RS = 5(1635,60 + G + S) KS = 2(5378,7 + G+S) KR = 10(8504,7 + G+ R). Paa højre Side kan med tilstrækkelig Nojagtighed strax sættes S — 1'og À = 7,51, hvorefter findes Den til 0° reducerede Modstand af Roret er saaledes 7,43243 Siemens Enheder. Den ved Kalibrering fundne Modstand beløb sig til 7,42980 Kviksolvenheder. Raorets indre Diameter var 0,273™", dels ydre Diameter 5,3™", hvoraf Korrektionen med Hensyn til Rorets Ender, beregnet ligesom ovenfor, findes lig 0,00369 Kviksolvenheder. Den korrigerede Mod- stand belober sig altsaa til 7,43349 Kviksolvenheder. 1) On the specific resistance of mercury, Phil, trans. of the Roy. Soc., Part. L 1883, p. 173. 15 323 Den ved direkte Maalinger bestemte Modstand er saaledes her 0,014 Procent mindre end den beregnede, naar Siemens’ Normalenhed antages nojagtig at svare til Kviksolvenheden. Da de saaledes fundne Afvigelser ere meget smaa og gaa i samme Retning, er Resultatet af denne Undersøgelse, at Kapillariteten næppe udøver nogen maalelig Indflydelse paa Kviksølvets Ledningsevne. V. Kviksølvets Ledningsmodstand i absolut Maal. Rotationsapparatet bestod af en paa et Brædt anbragt hul Messingcylinder, inden i hvilken befandt sig en paa en Axel befæstet Skive af Messing eller Kobber. Cylin- derens Længde var 17,068, ydre Diameter 0,333, indre Diameter 0",322. I Cylinderens ydre Flade var paa Maskine indskaaren en Skruegang, hvori var nedlagt et af 7, Yamm tykke, Kobbertraade bestaaende Kabel; enhver af Traadene som ogsaa hele Kabelet var dobbelt omspunden med Silke. Dette Kabel gik i 472 Vindinger omkring Cylinderen og var fra Enderne ført tilbage til Midten af Cylinderen, hvor Traadenderne vare førte enhver til sin, paa Cylinderens Fodstykke anbragte, Klemskrue. Ved Maaling af Afstanden mellem hver 50 Skruevindinger viste Skruen sig fuldkommen nojagtig, og den til de 472 Vindinger svarende Højde fandtes lig 998,707, Axlen, paa hvis Midte Skiven var anbragt, forløb konisk henimod Enderne, der hvilede i isolerede, i Cylinderens udskaarne Endeflader anbragte, Lejer. Den sattes i Om- drejning ved en Dynamomaskine, hvis Omdrejningsaxe var stillet i den første Axes For- længelse, idet begge Axler ved to isolerende Universalled vare forbundne ved et 26™™ tykt, 4m 3 langt Messingrør, som understottedes i 4 faste Lejer. Ved de større Omdrejnings- hastigheder, der kunde drives indtil 30 Omdrejninger i Sekundet, frembragtes den elektriske Strøm af en anden Dynamomaskine med tyndere Traad, idet denne Maskine bevægedes ved Dampkraft, hvorimod der til de mindre Hastigheder kun udkrævedes Strømmen fra et galvanisk Batteri paa 10 til 20 Elementer, hvormed kunde opnaas 6 til 12 Omdrejninger i Sekundet. En Del af den til Dynamomaskinen førende Strøm var afledet til en Sideledning, hvori var indskudt en Rheostat. Ved at variere Modstanden i denne kunde Maskinens Omdrejningshastighed let reguleres. Den i den roterende Skive inducerede elektromotoriske Kraft overførtes til en Ledning gjennem to Kontakter, den ene anbragt ved Axlens ene Ende i Centret, den anden ved Skivens Periferi. Den første Kontakt bestod af en konisk Messingspids, som ved en Fjeder trykkedes ind imod Axlens Midtpunkt, hvor den omskrevne Flade næppe udgjorde en Kvadratmillimeter. Den anden Kontakt bestod af en tynd, 1% bred, Strimmel af samme Metal som Skiven (Kobber eller Messing), der var loddet til en Stang ligeledes af samme Metal. Strimmelen var ført tværs over den 11,8"” tykke Skive og trykkede meget let imod 324 16 den, idet Strimmelens Bagside var belagt med blodt, fingertykt Filt, som udfyldte Mellem- rummet mellem den og Cylindren. Stangen var fort udenfor Cylinderen og fastgjort. Begge Kontakterne bleve holdte smurte med Olie. De ved Kontakterne opstaaede thermoelektriske Stromme viste sig ved denne Anordning temmelig svage og konstante, ligesom ogsaa den roterende Skive ikke opvarmedes kjendelig under Rotationen. løvrigt har der med Hensyn til Kontakterne fra først af været ikke faa Vanskeligheder at overvinde. Fra den ene af disse to Kontakter forte en Ledning til den Kviksolvsojle, hvis Ledningsmodstand skulde bestemmes, derfra til et Galvanometer og herfra atter tilbage til den anden Kontakt. Kviksolvet var indesluttet i et af de ovenfor omtalte kalibrerede, 1" lange, 2 eller 3% vide Glasror. Dette var stillet vertikalt, helt fyldt med Kvikselv, og medens Hovedstrommen gjennemstrommede hele Sojlen, skete Afledningen til Galvanometret fra to af de i Glasvæggen borede Huller igjennem de her om Roret spændte Urfjedre. Resultatet maatte iøvrigt vere blevet det samme, hvis Hovedstrommen var ledet gjennem disse Huller, og den afledede Strøm taget fra Sojlens Endepunkter, men da denne Anordning ikke frembod praktiske Fordele, blev den ikke forsogt. Det er en Selvfolge, at de i Ledningen til Galvanometret indforte elektromotoriske Kræfter fra den roterende Skive og fra Kviksolvsojlen skulle være modsat rettede, idet For- sogene, som bekjendt, gaa ud paa at maale Skivens Omdrejningshastighed, i det Øjeblik disse to modsatte elektromotoriske Kræfter netop ophæve hinanden. Galvanometret var det tidligere omtalte Thomson'ske, idet her den underste Traadrulle med omtrent 0,7 Ohms Ledningsmodstand kom til Anvendelse. Jordmagnetismens Virkning paa Magnetnaalene var ved disse Forsøg i Reglen ikke kompenseret ved den til Apparatet hørende ydre Magnet, da det var af større Vigtighed, at Svingningerne udførtes hurtig (en enkelt Svingning udførtes i omtrent 3 Sekunder). Til en elektromotorisk Kraft af en Milliontedel Volt svarede et Udslag af omtrent 120%" paa den i Kikkerten iagltagne Skala. Ved Bestemmelserne af Ledningsmodstanden af en Kviksølvsøjle, som udgjorde 0,00024 Ohm, var Hovedstrømmens Strømstyrke 2,9 Ampére, altsaa den elektromotoriske Kraft, som skulde maales, omtrent 700 Milliontedel Volt, som saaledes vilde svare til 84000%% paa Skalaen. Da Afvigelserne fra Skalaens Nulpunkt i de faa Sekunder, som forløb, medens Skivens Omlobshastighed blev maalt, næppe oversteg 10", vilde den tilsvarende Fejl kun naa op til 4 Procent. Kronografen. Foruden den ovenfor omtalte, midt inde i Cylinderen anbragte, Skive var der tæt udenfor Cylinderen anbragt en anden ganske lignende paa den roterende Axe. Disse to Skiver, hvoraf den ene var af Kobber, den anden af Messing, kunde om- byttes med hinanden. Et i Millimeter inddelt Papirbaand var lagt om den ydre Skives Rand, hvorved Skivens Omkreds blev delt i omtrent 940 Dele. I en ringe Afstand fra 17 325 Papirbaandet var stillet Enderne af to Platintraade, hvorfra elektriske Gnister gjennem Papiret sprang over paa Skivens Rand for hver to Sekunder i den Tid, Rotationshastigheden skulde maales, og for at kunne ordne de saaledes erholdte Mærker efter Tidsfolgen blev i alle Tilfelde, hvor dette var nodvendigt, de to Platintraade efter hver Gnist bragte i en anden Stilling, idet de vare anbragte i et om sin Axe bevægeligt Ror, saaledes at den ene Traad- ende befandt sig i Axen, den anden udenfor denne. Paa denne Maade bestemtes kun Brokdelen af det i to Sekunder udforte Antal Omdrejninger. Det hele Tal kunde enten maales umiddelbart eller betragtes som bekjendt, da en Fejl paa Bestemmelsen af dette overhovedet ikke var mulig. De to Platintraade vare forbundne med Induktionsrullen af et Rhumkorffs Apparat, hvori Hovedstrommen blev afbrudt hvert andet Sekund. Dette udforte jeg efter at have prøvet andre Methoder, som gave mindre gode Resultater, ved alle de endelige Forsøg paa folgende simple, men fuldkommen tilfredsstillende Maade. Foran det i Indledningen omtalte Pendulkronometer var opstillet et sædvanlig til Faldforsog benyltet Pendulur, hvis Gang under Maalingerne hyppig sammenlignedes med Kronometrets ved Bestemmelsen af de sammenfaldende Pendulslag. Til Pendulets nederste Spids var befæstet en I til 1/2 Meter lang Silketraad, hvis anden Ende var fastgjort i samme Hojde og i Pendulets Svingningsplan, saaledes at Traaden blev svagt strammet for hver dobbelt Svingning af Pendulet. Paa Midten af denne Traad var i en kort Silketraad ophængt en lille Bojle af Kobbertraad, hvis Grene gjennem to Oskener gik ned i to Cylinderglas, hvoraf det ene var fyldt helt med Kviksolv, det andet halvt med Kviksolv, halvt med Spiritus. Under Pendulets Svingninger hvilede den meste Tid Bojlen paa Osknerne, og forst naar Snoren begyndte at strammes, blev Bojlen med stor Hastighed kastet til Vejrs, og alt var afpasset saaledes, at Spidsen af Bojlens ene Gren loftedes fra Kviksolvet over i Spiritusen i det Ojeblik, Hastigheden skjon- nedes at vere størst. Ved denne Bevægelse blev det Rhumkorff’ske Apparats Hovedstrom afbrudt, og samtidig sloge Induktionsgnisterne over paa den roterende Skive. Forsogsanordningen. Apparaterne vare opstillede i to Værelser, som vare skilte fra hinanden ved et mellemliggende tredie. I det største af disse befandt sig Rotationsapparatet, Dynamomaskinen, Kronografen og den Kviksolvsojle, hvis Modstand skulde maales. Rotationsapparatets og Dynamomaskinens fælles Axe var stillet tilnærmelsesvis i Ost—Vest, og alt Jern var fjernet fra Rotationsapparatets Nærhed. Fra disse Apparater forte alle Ledninger til det andet Værelse, hvor Galvanometret var opstillet i en Afstand af 10 Meter fra Rotationsapparatet og 15 Meter fra Dynamomaskinen. Desuden befandt sig her i lagttagerens Nerhed forskjellige Stromvendere, Nøgler og Rheostater. Til den ene Stramvender forte Ledningerne fra et Batteri paa 24 Bunsen’ske Elementer, som vare op- stillede i den anden Ende af Bygningen. Fra Stromvenderen gik Ledningen til Rotations- apparatets Traadvindinger, herfra gjennem en i Luften svævende Traad til Kviksolvsojlen og Vidensk. Selsk. Skr., 6 Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II, 7. 42 326 18 videre tilbage til Stromvenderen. Ner denne var tillige indskudt en Nøgle, saaledes at Strommen forst sluttedes ved et Tryk paa denne. Et andet Batteri paa 10 til 20 Bunsen’ske Elementer tjente som Drivkraft for Dynamomaskinen, hvortil forte en direkte Ledning. Denne forgrenede sig til en Side- ledning, som forte ind til en i Nærheden af lagttageren anbragt Vedskerheostat, der bestod af et hojt, med en mættet Oplosning af svovisurt Kobberilte fyldt Cylinderglas, hvori en som negativ Elektrode tjenende Kobberplade var anbragt i Bunden, medens en tyk Kobber- traad, som bekvemt kunde hæves og sænkes, tjente som positiv Elektrode. Undertiden var ogsaa ved Siden af denne indskudt en Proprheostat. Paa denne Maade kunde uden Vanskelighed ved Pasning af Rheostatmodstanden Dynamomaskinens Hastighed reguleres og vedligeholdes konstant. Til Rhumkorff’s Apparat benyttedes 4 Elementer, hvorfra Ledningen var fort hen til en i Nærheden af lagttageren anbragt Nøgle, ved Hjælp af hvilken Kronografen sattes i Virksomhed i de Øjeblikke, Rotationshastigheden skulde maales. Endelig tjente en afledet Strøm fra et enkelt Daniell’s Element til Kompensering af de thermoelektriske Strømme i den til Galvanometret førende Ledning. | Elementets Stromkreds var indskudt den fornødne Rheostatmodstand, medens et Stykke '/2™lang, 3/2™™ tyk Kobbertraad af denne Ledning var indført i Ledningen til Galvanometret. Den ind- skudte Rheostatmodstand beløb sig i Reglen til nogle «tusinde Siemens’ Enheder, og den til Kompensationen fornødne elektromotoriske Kraft oversteg sjælden 3 Milliontedele Volt. Tillige tjente denne afledede Strøm til at vise, hvorvidt Ledningen til Galvanometret var i Orden, idet Erfaringen-snart lærte, hvilket Galvanometerudslag der skulde indtræde ved en given Forandring af Rheostatmodstanden. Endnu skal kun tilføjes, at der ogsaa i Ledningen til Galvanometret var indført en Strømvender. Forsøgene udførtes paa følgende Maade. Efterat Dynamomaskinen var sat i Gang, blev ved Trykket paa en Nøgle den til Rotationsapparatets Traadvindinger førende Batteri- strøm sluttet, og, idet Galvanometerudslaget iagttoges i Kikkerten, blev ved Hjælp af Vædske- rheostaten Dynamomaskinens Omdrejningshastighed reguleret, indtil Galvanometerspejlet omtrent viste paa Nulpunktet. Nu blev Batteristrømmen til Rotationsapparatet afbrudt og, medens Rotationen vedvarede, den thermoelektriske Strom kompenseret paa den nylig angivne Maade. Derefter sluttedes paa ny Strømmen til Rotationsapparatet og Rotationen blev nøjagtig reguleret ved Vædskerheostaten. Naar da Galvanometerspejlet med ringe Hastighed passerede Nulpunktet, blev ved et Tryk paa den anden Nøgle Strømmen sluttet til det Rhumkorffske Apparat og saaledes Kronografen sat i Virksomhed. Efter to, under- tiden flere, efter hinanden med Mellemrum af to Sekunder følgende Udladninger, som tydelig hørtes af lagttageren,. bleve alle Strommene afbrudte, Rotationen standsede og 19 927 Mærkerne af Gnisterne paa Papirbaandet noteredes. Strax derefter gjentoges Forsøget med forandret Stromretning til Rotationsapparatet, hvorpaa to tilsvarende Maalinger toges med Forandring af Ledningen til Galvanometret. Endelig viste det sig ogsaa nødvendigt at gjentage de samme fire Maalinger med den modsatte Rotationsretning, idet den til Dynamo- maskinens roterende Anker forende Ledning omvexledes. Saaledes kom der 8, umiddelbart efter hinanden folgende, Maalinger til at hore til en Forsogsgruppe, af hvilke 8 Maalings- resultater Middeltallet toges. Under Maalingerne iagltoges hyppig Kviksolvsojlens Temperatur paa et i 1/10 Grader inddelt Normalthermometer. En Ombytning af de forskjellige Batteriers Poler blev oftere provet, men viste sig at være uden Indflydelse paa Enderesultatet. Endnu skal kun bemærkes, at der ved Slutningen og Aabningen af den til Rotations- apparatet forende Batteristrom let fremkom Induktionssted i Galvanometerledningen, som kunde besvære lagttagelserne, men det var dog ikke vanskeligt at bringe disse Stod til at ophore ved Forandring af Stillingen af den Del af Galvanometerledningen, som befandt sig i Nærheden af Rotationsapparatets Traadvindinger, og hvorfra disse Induktionssted havde deres Udspring. Beregning af Rotationsapparatets Konstant. Naar den afledede Kviksolv- sojles Modstand betegnes ved 2, det ved Maalingerne fundne Antal af Skivens Omdrejninger i Sekundet ved n, og Rotationsapparatets Konstant ved C, saa skal man have BEER Jeg kan her indskrænke mig til at angive Beregningen af denne Konstant for det Tilfælde, at den roterende Skive er uendelig tynd, at Skivens Centrum falder nøjagtig i Rotationsaxen og Cylinderens Axe, og at Centralkontakten ligeledes falder nøjagtig i denne Axe, idet de virkelige Afvigelser herpaa kun give saa forsvindende smaa Korrektioner, at en nærmere Angivelse af Beregningen af disse bliver ganske unødvendig. Er d Højden af den Skruegang, hvori Traaden er nedlagt omkring Cylindren, r Traadvindingernes Radius, o Skivens Radius, a, og a, Skivens Afstande fra Traad- vindingernes Endeflader, saa bliver Konstanten C at beregne af Formlen om (di 2T ra ae RE" TYR à Ve? +7? 0? — 2rp cos 4 —a3%0 Sættes heri til Afkortning o = gr, 2? +r? = ar’, og tilsvarende a? + r? = a,r?, ag +r? — a,r?, samt a 827 Qa =\ de SEUSS Va — 1 Wa + q? — 29 cos 4 4 0 ro > 328 i 0 vil man erholde CI er For ovenstaaende sue Integral erholdes Rækkeudviklingen Aue DE Go fe Done. Sa Jeu. Qe = nae u ze re hvor det medtagne Antal Led her er tilstrækkeligt for den numeriske Beregning, medens den fuldstendige Udvikling er Q 5 Bi am 3... 2m—1 1 dm fa — 1\"+3 = 2 IQ =; 7 RE : 2 1 2.4...2m ne da” m= a. Maalingernes Resultater. Maalingerne med Rotationsapparatet kunde først paabegyndes henimod Slutningen af Marts (1884), og Resultatet af de første Maalinger (1 Kviksolvenhed — 0,9417 Ohm) meddelte jeg den den 28. April sammentrædende inter- nationale Konference med Tilfojende, at dette Resultat kun maatte betragtes som forelebigt, idet det endnu ikke var lykkedes mig at erholde en tilstrækkelig tilfredsstillende Overens- stemmelse mellem de enkelte Maalinger indbyrdes. Det samme vedblev at vise sig i en Række folgende Maalinger, indtil jeg provede at gjentage Forsogene med modsat Rotations- retning, hvorved jeg endelig opdagede den egentlige Grund til Maalingsfejlene. Jeg skal søge nærmere at gjøre Rede herfor. En fuldkommen Isolation er ved elektriske Forsøg en Umulighed, men det er dog kun undtagelsesvis, at fuldkommen uundgaaelige Isolationsfejl kunne, saaledes som Tilfældet var her, faa en kjendelig Indflydelse paa Resultatet. Den til Galvanometret førende Ledning var i to Punkter, À og B, forbunden med den Kviksølvsøjle, hvis Modstand skulde be- stemmes, og som var gjennemstrømmet af en stærk elektrisk Strøm 7. Modstanden AB var meget lille, nemlig fra 0,00026 til 0,0015 Kviksølvenheder. Er nu tillige et Punkt C af Galvanometerledningen kommen i en svagt ledende Forbindelse med et Punkt D af Hoved- ledningen, vil der ogsaa herigjennem kunne afledes en forholdsvis betydelig Del af Hoved- strømmen til Galvanometret. Betegnes nemlig ved CD Modstanden imellem de to Ledninger og ved r Modstanden af den Del af den sluttede Ledning til Galvanometret, som gaar fra A eller B til C ad den Vej, som ikke indeholder Galvanometret, saa vil den til Galvano- metret afledede elektromotoriske Kraft Æ, som under Forsøgene holdes i Ligevægt ved den i samme Ledning inducerede elektromotoriske Kraft, tilnærmelsesvis kunne udtrykkes ved Le i. AB 1 + pere Ib = (CID idet der forudsættes, at Modstanden AB er meget lille i Sammenligning med BD og r, ligesom ogsaa at CD er meget stor i Sammenligning med de andre Modstande. Det øverste Fortegn svarer til det Tilfælde, at Galvanometret befinder sig i Ledningen fra A til 21 329 C, det underste, naar det er i Ledningen fra B til C. Naar Forsøget gjentages ved Rotation af Skiven i modsat Retning, saa maa Galvanometerledningens Ender i A og B ombyttes, hvorved i ovenstaaende Udtryk Fortegnet for det andet Led bliver det modsatte. Det ses heraf, at den fra Ledningen imellem C og À hidrorende Fejl kan elimineres ved at gjen- tage Forsøget med modsat Rotation og tage Middeltallet af de to Resultater. Jeg skal som Exempel anfore det forste af de ved modsatte Rotationer anstillede Forsøg. Hovedstrommen gik 5 Gange omkring Rotationscylinderen, og Modstanden i denne Ledning, som paa det nærmeste maatte svare til Modstanden GY ovenfor, var 195 S. E. Tillige var i dette Forsøg AB = 0,00154 S. E. Antallet af Skivens Omdrejninger i 2 Sekunder var 14,6820 for Rotationen til hojre, og 14,5751 for Rotationen til venstre, saa at Afvigelserne fra Middeltallet beløb sig til 0,37 Procent. Ifølge ovenstaaende Formel haves altsaa i dette Tilfælde 0,0037 — ar, ks : 0,00154 CD hvoraf CD = 34. 106r. Sættes heri efter et Skjon r — 0,5 S.E., bliver altsaa Resultatet det, at en Isolationsfejl, ved hvilken Modstanden beleb sig til 17 Millioner Siemens’ Enheder, vilde være tilstrækkelig til at forklare den Fejl, som Forsøgene med modsatte Rotationsretninger viste maatte vere tilstede. Da de to Ledninger nodvendigvis saavel ved Rotationsapparatet som i Nærheden af lagttageren maatte føres ner hen til hinanden, vare saa smaa Isolationsfejl næppe til at undgaa, og man maatte i det Sted soge ved Forsogene selv at eliminere dem. Isolationen af de enkelte Traade i Rotationsapparatets Kabel var fra først af, navnlig ved fugtig Luft, ikke tilfredsstillende, hvorfor Kabelet gjentagne Gange blev gjennemtrukket af en tynd Skellakoplosning. Efter en Uges Forlob fandtes den mindste Modstand i de isolerende Lag imellem de 6 af Traadene indbyrdes og imellem disse og Cylinderen omtrent lig 500000 S.E., en Isolation, som her var tilstrækkelig. Den syvende Traad maatte der- imod udskydes af Forbindelsen, og i Løbet af Forsøgene maatte senere ogsaa en af de andre Traade udskydes paa Grund af aftagende Isolation, saaledes at ved de endelige Forsøg kun 5 Traade kom til Anvendelse. Udmaalingen af Rotationsapparatets enkelte Dele gav, idet Maalenheden overalt er 1 Centimeter, følgende Resultater. Traadvindingernes Radius R — 16,65, Skruevindingernes Højde d — 0,211589, Afstandene fra Skivens Midte til hver af Traadvindingernes Endeflader a, — 50,99, @ = 49,80. Maalingerne forud for Forsogene af Messingskivens Diameter 29 gave for 4 for- skjellige Steder 29,897, 29,909, 29,901, 29,913, Middel 29,905. 330 29 Efter Udforelsen af et stort Antal Omdrejningsforsog og umiddelbart forud for de endelige Forsøg fandtes 29,889, 29,879 , 29,894 , Middel 29,8933 , eg efter Tilendebringelsen af alle Forsogene 29,889 , 29,894 , 29,898 , Middel 29,8937. De sidste næsten identiske Resultater viste, at der intet kjendeligt Slid havde fundet Sted ved de endelige Forsog. Derimod fremtraadte Virkningen af Slidet tydeligt ved Kobber- skiven, for hvilken for og efter de endelige Forsog fandtes folgende Diametre 29,867 , 29,871 , 29,872 , Middel 29,870 , 29,856, 29,853 , 29,859 , Middel 29,856. Den med disse numeriske Værdier efter den ovenfor udviklede Formel beregnede Konstant C, formindsket med den sammesteds omtalte Korrektion, som kun beleber sig til 0,6 En- heder, er for Messingskiven 39656,1, og for Kobberskiven for og efter de endelige Forsøg 39594,1 og 39556,1, af hvilke to Grenseverdier ved Interpolation er beregnet de til enhver af de tre med denne Skive anstillede Forsogsrekker svarende Konstanter. Denne for 0° beregnede Konstant gaar ved ¢° over til Cll + bt), idet 5 = 0,000018 er Messingets lineære Udvidelseskoefficient. Det Antal Omdrejninger, Skiven udførte i to af Kronografens Sekunder, være be- tegnet ved m + aa idet m er det hele Antal, n det paa Papirstrimlen aflæste Antal Milli- meter imellem Merkökhe af to paa hinanden folgende Gnister, og p Længden af Papirstrimlen i Millimeter. Endvidere vere o Kronografsekunder lig 1 Sekund, s Antallet af de efter hinanden indskudte Traade i Kablet, A Kviksolvsojlens Modstand i Kviksolvenheder ved 0° og 7 (= 0,00090) den apparente Temperaturkoefficient for denne Modstand. Man vil da erholde 1 Ky. Enb. — a(m + = ) Slam) abs. Ohm. R(1 +70) Jeg kan her indskrænke mig til at angive Resultaterne af mine endelige Maalinger, som alle bleve udforte i Dagene fra den 9. til den 13. Juni (1884), og som alene ere be- nyttede til Fastsættelsen af den efter mine Maalinger sandsynligste Verdi af den til Ohm’en wi svarende Modstand i Kviksolvenheder. Ror Nr.l. Messingskive. Værdierne af x, hvorved efterhaanden Stromretningen til Rotationsapparatet og til Galvanometret blev vendt om, vare 491,0, 5887, 514,0, "571,0, 23 331 og ved Gjentagelse af de samme Maalinger 492.6, 581,3, 496,5, 592,6, Middel 540,34. Efter at Skivens Rotation var forandret til den modsatte, fandtes tilsvarende 651,1, 676,8, 626,4 , 59255), 663,1, 681,7, 648,2, 586,4, Middel 640,77. Heraf erholdes for den forste Rotationsretning, idet m — 14, p — 939,6, n m — — = 14,5751, P og for den anden n m + — = 14,6820. p Endvidere var se 5, o = 1,01I924, = 17206, R— 0,000548, CZ 39656,1, hvorefter erholdes 1 Kviksolvenhed — 0,94455 abs. Ohm. De folgende Forsøg bleve anstillede med Kobberskiven og det kalibrerede Rør Nr. II, som indeholdt de tre Kviksolvsojler AB, BC og CD. Modstanden af enhver af disse Sojler var omtrent 6 Gange mindre end Modstanden af Roret Nr.I, og de 5 Traade af Rotationsapparatets Kabel vare derfor her forenede til en Traad. Herved var Kabelets Modstand formindsket 25 Gange, og Stromstyrken forøget 12 Gange. Det ses heraf, at skjondt den maalte Modstand her var 6 Gange mindre end ved den første Forsogsrække, saa var den maalte elektromotoriske Kraft dobbelt saa stor, hvorfor Nojagtigheden af de folgende Forsog ogsaa kan regnes omtrent som den dobbelte. Ligeledes maa ogsaa For- skjellen paa de ved de modsatte Rotationer erholdte Resultater her, under Forudsætning af samme Isolationsfejl, blive betydelig mindre. Ror II, AB, Kobberskive. Verdierne af n: 253,0, 234,1, 239,8, 258,6, 245,2, — Middel 246,4. Ved modsat Rotation: 271038 280,4, 269,8, 277,6, 260,0 , 269,6 , 270,0, 275% Middel 258,9. Endvidere var i= 12, meets, Feel, az (oe, eS er, a Vz C = 39578,5, hvorefter erholdes 1 Kviksolvenhed — 0,94391 abs. Ohm. 332 24 Ror Il, BC, Kobberskive. Verdierne af n: 351,5, 325,2, 341,4, 324,6, Middel 335,7. Ved modsat Rotation: 349,8, 324,8, 3438, 321,5, Middel 335,0. D=i2, De, si, o = 101915, &= 18°73, AK = 000025964, C = 39571,0, hvorefter erholdes 1 Kviksolvenhed — 0,94410 abs. Ohm. Ror If, CD, Kobberskive. Verdierne af n: 432,8 , 435,9, 436,1, 441,2, Middel 436,5. 6 = NE, o = 1,01935. Ved modsat Rotation: 487,7, 518,4, 496,0 , 518,2, 495,8, 522,0, 484,2, 511,6, Middel 504,24. næ 685. o = 1,01945. me == i) Da OA on R = 0,00026279 , C= 395022 hvorefter erholdes 1 Kviksolvenhed — 0,94391 abs. Ohm. Af disse Maalingsresultater i Forening fremgaar som det sandsyn- ligste Enderesultat 1 Kviksolvenhed — 0,9440 abs. Ohm I abs. Ohm = 1,0593 Kviksolvenhed. Dette Resultat stemmer paa det nærmeste overens med de af F. Kohlrausch og Roiti fundne, medens de benyttede Methoder alle ere væsentlig forskjellige. Overhovedet frem- gaar det af samtlige Resultater, som have været forelagte den internationale Konference, — navnlig efter at nylig Wild ved Korrektionen af en Fejl er kommen til et Resultat, som er i noje Overensstemmelse med Middelværdien af de ovrige, — at næppe nogen af de anvendte forskjellige Methoder medfore konstante Fejl. Jeg havde selv næret Betænkelighed ved Anvendelsen af variable Stramme, idet der var Mulighed for, at indre thermoelektriske Forskjelligheder i en Leder kunde have samme Virkning som f. Ex. Polarisationen i en Elektrolyt og navnlig gjøre Modstanden ved variable Stremme mindre end ved konstante Stromme. Denne Betænkelighed kan jeg nu ganske opgive, og jeg er ogsaa ad andre Veje naaet til samme Resultat. Saavel ved mine relative som absolute Modstandsbestemmelser, der bleve udforte med konstante Stromme, har jeg nemlig hyppig gjentaget de samme Maalinger med inter- mitterende Stromme, men i intet Tilfælde har der vist sig nogen som helst Forskjel i 35 333 Resultaterne. Hertil kan jeg foje endnu en Betragtning, som ikke er ganske uden Interesse. Hvis der findes nogen kjendelig Forskjel paa Ledningsevnen for konstante og variable Stromme, saa maatte denne ogsaa have Indflydelse paa en Leders Induktionskonstant. Ved tidligere Forsog!) havde jeg i Virkeligheden fundet en lille Afvigelse af de iagttagne Induktionskonstanter fra de beregnede, idet de forste fandtes gjennemgaaende 5 til 6 Procent mindre end de sidste. Beregningen var udfort paa sædvanlig Maade, nemlig uden at der var taget tilstrækkeligt Hensyn til den Omstændighed, at Stramtetheden ved variable Stromme r er en Funktion af Afstanden fra Traadledningens Centrallinie. Efter at have taget denne Omstændighed med i Betragtning fandt jeg, at den paa sædvanlig Maade beregnede Induktions- konstant maatte formindskes med Traadens Længde, og denne Korrektion svarede paa det nærmeste netop til den fundne Afvigelse. Naar saaledes Afvigelserne imellem de forskjellige Videnskabsmænds Bestemmelser af Ohm'en maa betragtes som tilfældige, saa ber ogsaa den af Konferencen vedtagne Ohm, nemlig 1 Ohm — 1,06 Kviksolvenheder , der nærmest svarer til Middeltallet af alle lagttagelserne, vistnok almindelig betragtes som den for Tiden nojagtigste, ligesom der ved denne Bestemmelse sandsynligvis er op- naaet den oprindelig tilsigtede Grad af Nojagtighed, nemlig af 1 Tusindedel. 1) Om Elektrieitetens Forplantning, Overs. 0. d. K. D. Vidensk. Selsk. Forh. 1879. Spolia atlantica. Bidrag til Kundskab om Salperne. M. P. A. Traustedt. Med to Tavler. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. I. 8. Kjøbenhavn. Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri. 1885. Indholdsfortegnelse. AOL DO CR OC CDs CRE le er fee een ge ans La OMGENAEO 68 coe Re Oh oo boo oo odo lo CC Creil ce QmyGropperingenvatvArterne: 7... Feces sys ee Ce wtb ees) ws © its ne je encore) ons) ol Om’ Salpernes geografiske Udbredelse "mn ne ce = à ee eee ee UNOS A ONG? SEENON Se Saag ee ee Simons SHINTO Sa 86 toto BO 6, a See to ae ec oA Io big RO BIB oto oh Do AES SAI PHMpIDM Atay OLS Ke fe hey. Rene chro da! MO etre ecrire cheat eee ys & SA es (rem: oo Goo BGS oe Goo Uo Soe ood UO EC Co. 3. Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt. ............................... 4. Salpa scutigera-confoederata, Cuv.-Forsk. . ............................. 5. Salpa democratica-mucronata, Forsk. ................................ 3 = = VERS ET, nie 3.0.0 0 3 de re ce 6. Salpa runcinata-fusiformis, Cham.-Cuv. . ............................:. 7. Salpa africana-maxima, Forsk...... 2... Ne + ne à ce ea ler alka we SSS ALT, GINA SEE SSR Se ee ce CCC 9. Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim.-Cuv. . ............................. 0. Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim.-Pall. . .......................... 11. Salpa hexagona, Quoy & Gaim. ee ee wee NOMIENCJaLOTESAIpATUmI gene ee een ce ee crn Gio os oucte Bet Ef ØER ar ae nn ee ee en lee ice ces he cite: 43° 341 (7). 345 (11). 346 (12). 347 (13). 350 (16). 353 (19). 357 (23). 360 (26). 362 (28). 365 (31). 369 (35). 370 (36). 374 (40). 377 (43) 379 (45). 382 (48). 385 (51). 389 (55). 393 (59). Re Universitetets Zoologiske Museum i Kjøbenhavn forefindes saa omfangsrige og smukke Samlinger af Salper, at de vistnok vanskeligt finde deres Mage andetsteds. Disse Samlinger skylde væsenligt Professor Steenstrups mangeaarige og ihærdige Bestræbelser deres Tilblivelse, og de siden under Lokalitetsangivelserne opførte Navne af- give det bedste Vidnesbyrd om den værdifulde og utrættelige Bistand, som er blevet ham til Del fra saa mange forskjellige Sider. Som det vil fremgaa af det foreliggende Arbeide ere de fleste Indsamlinger foretagne i Atlanterhavet, og de afgive efter min Mening et smukt og kjærkomment Bidrag til denne Dyregruppes Udbredelsesforhold i dette Verdenshav. Tilskyndet af D'Hrr. Professor Steenstrup og Dr. Liitken, for hvis Bistand jeg herved bringer min Tak, tog jeg i Aaret 1880 fat paa Gjennemarbeidelsen af dette rige Materiale af Salper, og endnu inden Udgangen af det nævnte Aar forelaa Resultaterne af disse mine Studier i den Form, hvorunder jeg nu tillader mig at fremlægge dem for Offentligheden. Efter Chamisso, hvis overordentlig værdifulde Arbeide bærer Aarstallet 1819, have adskillige Naturforskere, blandt hvilke jeg særligt vil nævne Meyen og €. Vogt, beskjæftiget sig med Salpernes Systematik, men efter Vogts berømte Arbeider, der skrive sig fra den første Halvdel af Halvtredserne, altsaa nu i omtrent 30 Aar, er der ikke fremkommet noget mere omfattende Værk om disse Dyr. Der har saaledes nu i mange Aar været Trang til en paa et større Materiale støttet Bearbeidelse af den herhen hørende Literatur og til en Række Figurer, som kunde lette Oversigten og hjælpe til at holde Formerne ude fra hinanden. 340) 6 Nærværende Arbeide er då gjort med den Hensigt for Øje om muligt at afbjælpe denne Trang, og Forf. har bestræbt sig for at gjøre Behandlingen af de ham tilgjængelige Arter og deres forskjellige Former saa ensartet og kortfattet som muligt. Af ny Former foreligger der ikke mange; det indskrænker sig til Kjedesalperne af Salpa cylindrica og S. hexagona foruden S. flagellifera, som jeg indtil videre har anset for at være en Varietet. af Salpa democratica-mucronata, men som maaske fremtidige Under- søgelser paa Grundlag af et rigere Materiale, end det jeg har havt, vil gjøre til en Art for sig. Paa den anden Side findes her enkelte forlængst med Navn forsynede Salper, der ere blevne udstyrede med en mere tidssvarende Beskrivelse; herhen hore Salpa affinis, Salpa costata-Tilesti og Salpa hexagona. 1 8 I g rer ng rain ne. Literaturfortegnelse. Agass. Nr. 1. — Al. Agassiz, Description of Salpa Cabolli, Desor (Proceed. Boston Soc. N.H., Vol. XI, Debr. 1866, p. 17—23, med 2 Tavler). Agass. Nr. 2. — Al. Agassiz, Letter Nr. 4 lo C. P. Patterson, on the dredging operations of the U. S. Coast Survey Sr. «Blake», during June and July 1880 (Bulletin of the Mus. of compar. Zoology al Harvard College, Vol. VI, Nr. 8, Cambridge, Sptbr. 1880, p. 148 —149). Blainv. — Blainville, Salpa i Dictionnaire des sciences naturelles, Tome 47, 1827, p. 94—123. Blumenb. — Blumenbach, Abbildungen’ nalurhist. Gegenstände, Göllingen 1810, Nr. 30. Bory de St. V. = Bory de St. Vincent, Voyage aux quatre îles d’Afrique, Tome I, 1804, p. 134, Allas, Pl. 6, Fig. 3 (Salpa bipartita, som ill. Lesson, Cent. Zool., p. 161, Pl. 55, Fig. 1 er — Diphyes dispar, Cham. & Eys). Bosc, Nr. 1, Histoire naturelle des Vers, Tome II. Paris, An. X (1802), p.179. (Suite à Buffon, Tome LXIV). Bose, Nr.2. — Bosc, Histoire naturelle des Vers, contenant leur descriptions, leurs moeurs et leur usage, 2° éd., Paris 1827, Tome II, p. 168—181, med Tavler. Brooks, Nr. 1 -— Brooks, Embryology of Salpa (Proceed. Bost. Soc. Nat. Hist., Vol. 28, 1875, p. 193). Brooks, Nr. 2. — Brooks, The development of Salpa (Bull. of the Mus. of compar. Zool., Vol. Ill., Nr. 14, Cambridge 1876, p. 291—348). Brooks, Nr. 3 — Brooks, Development of the ova in Salpa (Johns Hopkins Univ. Biolog. Lab., Vol. II, Nr. 2, Ballimore 1882, p. 301). Brooks, Nr. 4 — Brooks, Chamisso and the discovery of allernation of generalion (Zoolog. An- zeiger, 1882, p. 212). Brooks, Nr. 5 — Brooks, The origin of the eggs of Salpa (Studies from Biol. Lab. Vol. II, p. 301, PI. XXIV. 1882). Browne — Browne, History of Jamaica, London 1756, p. 384, Tab. 43. Brug. — Bruguiere, Encyclopédie méthodique, Histoire nal. des Vers ele., Paris 1789, Tome I. Cham. — Chamisso, de animalibus quibusdam e classe vermium Linnæana, Fase. I”"°, de Salpa, Berolini, 1819. Chiaje, Nr. 1 = delle Chiaje, Memorie sulla storia e nolomia degli Animali senza verlebre del regno di Napoli, 1828, Vol. III, p. 59 —64. Chiaje, Nr. 2 — delle Chiaje, Deserizione e nolomia degli Animali inverlebrali della Sicilia citeriore osservali vivi negli anni 1822—30, Tomo terzo, Napoli 1841, p. 38—46, Tav. 66, 76—79 og 144. Costa, Nr. 1 — Costa, Osservazioni fisiologiche ed analomiche sopra aleune specie del genere Salpa, med 4 Tav. (Mem. della R. Accad. di Se. di Napoli, 1839, Vol. IV, p. 193—196, Suppl. ibid, 223—230). Costa, Nr. 2 — Costa, Fauna del Regno di Napoli, Molluschi. Ordine II, Acefali senzaconchiglia, p. 3—8, Tay. I—II. Costa, Nr. 3 == Costa, Osservazioni embriologiche sulla Salpa pinnala (Rend. Accad. di Napoli, 1866, p. 438). Cuvier, Nr. 1 == Cuvier, Mémoire sur les Thalides (Thalia, Browne) et sur les Biphores (Salpa, Forsk.) — (Annales du Muséum d’hist. nat., An. XII (1804), Tome IV, p. 360—382, Pl. 68). Cuvier, Nr. 2 — Cuvier, Le Règne animal, Paris 1817, Tome ll, p. 495-497. Cuvier, Nr. 3 == Cuvier, Le Règne animal, edit. accompagnée de Pl. gravées; les Mollusques avec un Atlas, par M. G.P. Deshayes, Paris 1828, p. 238-241, PI. 120-123. Cuvier, Nr. 4 = Cuvier, Le Règne animal, nouv. édil., Paris 1830, Tome lil, p. 163-165. Dall = Dall i American Journal of Conchology, VII, p. 457 (om Salpa hereulea og cymbiola). Desor = Desor i Proceed. of Boston Society of Nat. Hist. III, Cambridge 1851, p. 75. (Afh. er fra 1848). Eschricht — Eschricht, Analomisk-physiologiske Undersøgelser over Salperne (Kgl. Danske Vidensk. Selskabs nalurv. og malhem. Afhandl. VIII, 1841, p. 297-392, Tab. I—V). *) Fleming, Nr. 1 — Fleming, Classification of Tunicala (Edinb. Encyclop. 1820). *) Fleming, Nr 2 = Fleming, History of Brilish animals, Edinburgh 1828, p. 467. Forb. & Hanl. — Forbes and Hanley, A History of British Mollusca and their Shells, Vol. I, London 1853, p. 47--54, PIE, Fig. 5—6. Forsk. — Forskähl, Descripliones animalium ele.. qua in itinere orientali observavit. Post mortem aucloris edid. C. Niebuhr, Hauniæ 1775, p. 112—117. Freminville — Freminville, Observations zoologiques failes pendant un voyage sur les cöles d'Afrique et du Brésil (Annales des Sciences nat., 1830, p. 101). Gaimard — Quoy & Gaimard. Hanc. — Hancock, On Ihe analomy and physiology of the Tunicala (Journal of the Linnean Sociely, Zoology, Vol. IX, London 1868, p. 309— 346). Hanl. — Forbes & Hanley. Herdman — Merdman, Report on Ihe Tunieata collected during the Cruise of H.M.S. «Triton» in the summer 1882. (Transact. Royal Sociely of Edinburgh, Vol. 32, Part I, 1884, p. 113). *) Home — Home, Lectures on comparative anatomy, Vol. II, London 1814, Pl. 71—74. Hual. — Huxley, Observalions upon the anatomy and physiology of Salpa and Pyrosoma (Phil. Trans. 1851, p. 568). Jefir., Nr. 1 = Gwyn Jeflreys, Fourth Report on Dredging among the Shelland Isles (Report of the British Associalion for the Advancement of Science for 1867, p. 439). 9 345 Jefr., Nr. 2 = Gwyn Jeffreys, Last Keport on Dredging among the Shetland Isles (ibid., 1868, p. 303). Jones — Jones, Article: Tunicala i Todds Cyclopadia of Anatomy, vol, IV. Krohn — Krohn, Observations sur la génération el le développement des Biphores-Salpa (Annales des sciences nal., 3 Sér., Zoologie, Tome VI, 1846, p. 110-131). Krus. = Krusenstern, Atlas zur Reise um die Welt unlernommen auf Befehl S. Kais. M. Alexander d. Ersten auf den Schiffen Nadeshda und Neva, St. Petersburg 1814, Tab. XXI, Fig, 1—6 (Texten har jeg ikke sel), Lam. = Lamarck, Histoire naturelle des animaux sans verlebres, Tome III, Paris 1816, p. 113—-119. Less., Nr. 1 — Lesson, Centuries Zoologiques, Paris 1830, p. 95, PI. 33, Fig. 2 (Salpa probos- cidalis) og p. 161, PI. 55, Fig. 1 (Oplysning om at Bory de St. Vincents Salpa bipartila == Diphyes dispar, Ch. & Eys.). Less., Nr. 2 — Lesson i Duperrey, Voyage aulour du monde, exéculé par ordre du roi, sur la corvelte de S. M. la Coquille pendant les années 1822—25, Zoologie, Tome II, rédigée par M.M. Garnol et Lesson, Paris 1830, p. 256—279. Allas, Pl. 4—6. Leuck. — Leuckarl, Zoologische Untersuchungen, Il Hefl, Salpa und Verwandte, Giessen 1854. L., Nr. 1 == Linnæus Systema nature, Ed. X, Tom. I, Holmiæ 1758, p. 657. L., Nr. 2 = Linneus, Systema nature, Ed. Xli, Holmiæ 1766. L., Nr. 3 = Linné, Systema nature, Ed. XIN, Gmelin, London 1788—91. *) Me. Culloch — Mac Culloch. Western Isles, Vol. II, p.157. (den første, som omtaler Fundet af Salper ved Englands Kyst; cileret i Forb. & Hanl., Brit. Moll.). Me. Donald — Mac Donald, On the representative Relationships of the fixed and the free Tunieala (Transacl. of the Roy. Soc. of Edinburgh, vol. XXIII, 1864, p. 171—183). Me. Int. — Mac Intosh, Some observalions on Brilish Salpæ (Journ. Linn. Soc., Vol. IX, 1868, no. 33, p. 41—48, PI. I, read Nov. 16, 1865). Meyen — Meyen, Beiträge zur Zoologie, gesammelt auf einer Reise um die Erde. 1ste Abth., über die Salpen (Nova Acta Acad. cæs. Leop. Car. natur. curios., Tom. XVI, pars pr. 1832). Müller, Nr. 1 — U. Müller, Ueber anatom. Verschiedenheit d. zwei Formen (Gener.) bei den Salpen (Verhandl. der phys med. Gesellschaft in Würzburg, Bd. Ill, 1852, p. 57 —66). Müller, Nr. 2 — H. Müller i Zeitschrift für wissenschaftliche Zoologie, Bd. IV, 1853, p. 329. Otto — A. W. Ollo, Beschreibung einiger neuen Mollusken und Zoophyten (Nova Acta Acad. cas. Leop. Car. nalur. curios., Tom. XI, Bonne 1823, p. 303—305, Tab. 42, Fig. 1 a—d). Pall. — P.S.Pallas, Speeilegia zoologiea, Fase. X, Berolini 1774. Péron == Péron, Entdeckungsreise nach den Süd-Ländern ele. während d. J. 1800—1804. Aus dem Französischen übersetzt von Hausleutner, Bd. I—II, Tübingen 1808—1819. (Kobberlavlerne derlil ere franske; paa Tab. 30 og 31 findes Afbildning af Salpa antheliphora, cyanogasler og vivipara; jeg har ikke fundet nogen Beskrivelse af disse Dyr i Texten). Den franske Original: Péron el Lesueur, Voyage de découvertes aux terres australes, kjender jeg ikke. Vidensk, Selsk. Skr., 6 Række, naturvidensk. og mathem Afd Il. 8. 344 10 Quoy & Gaim., Nr. 1 = i Freyeinet, Voyage autour du monde. Zool., Paris 1824. Quoy & Gaim., Nr.2 == Quoy el Gaimard, Observations sur les Biphores et les Beroes, failes pendant le voyage aulour du monde de la corvelle l’Uranie, commandée par M. Louis de Freycinet (Annales des sciences nalur, Tome VI, Paris 1825, p. 28—47, Pl. I, Fig. 3—10). Quoy & Gaim., Nr. 3 = i Bull. soc. philom, Aoûl 1826, Fig. A, 1—3. — — Nr. 4 — i Ann. des sciences nat., Tome X, 1827, p. 225, Pl. 8. *) — — Nr. 5 = i Dumont d’Urville, Voyage de la corvette l'Astrolabe, éxéculé par l'ordre du roi, ele. — Zoologie par Quoy & Gaimard. 4 voll. 1826—34. Risso — Risso, Histoire naturelle des principales productions de l’Europe el parlieulieremen! de celles des environs de Nice et des Alpes maritimes, Tome IV, Paris 1826, p. 284. Salensky = W. Salensky, Ueber die embryonale Entwickelung der Salpen (Zeitschrift f. wissensch. Zoologie, Bd. 27, 28 og 30). Sars, Nr. 1 — M. Sars, Bidrag til Sedyrenes Naturhistorie, Bergen 1829, p. 51, Tab. 6. (efr. Okens Isis, 1833, Tab. 10, Fig. 8—9). Sars, Nr.2 — M. Sars, Fauna lilloralis Norvegie, 1 Heft, Christiania 1846, p. 63—85, Taf. 8, 9 og 10. Sav. = Savigny, Mémoires sur les animaux sans verlebres, II, fase. I, Paris 1816, p. 124, pl. 24. Stp. — Sleenstrup, Om Forplantning og Udvikling gjennem vexlende Generalionsrækker. Udg. som Indbydelsesskrift til Examen arlium og den offentlige Skoleexamen ved Soroe Academie i Juli 1842, Kjobenhavn 1842, p. 18—27. Til. — Tilesius, Abbildung und Beschreibung eines sonderbaren Seebeutels oder einer neuen Thetys-Species aus dem Allant. Ocean, Thelys vagina (Jahrbuch der Nalurgeschichle, I, 1802, p. 150—165, Taf. 5—6). Todaro, Nr. 1 — Todaro, Sopra lo sviluppo e l’analomia delle Salpa (Alli della R. Academia dei Lincei, 1 Ser., Vol. I, Roma 1875, p. 720—792, Tav. 1—4). Todaro, Nr. 2 — Todaro, Sopra una nuova forma di Salpa, S. dolicosoma (ibid, 3 Ser., Vol. VII, Fasc. I, Roma 1883, p. 41—43. — uden Fig.). Verrill — Verrill, Invertebrate animals of Vineyard Sound, p. 447. Vogt, Nr. 1 — C. Vogt, Bilder aus dem Thierleben, Frankfurt am Main, 1852, p. 26—90. Vogt, Nr. 2 — C. Vogt, Mém. sur les Salpes de la Mer de Nice (Bull. Inst, Nat. genev. I, p. 226). Vogt, Nr. 3 — C. Vogt, Recherches sur les animaux inférieurs de la Méditerranée, second mémoire. Sur les Tuniciers nageants de la mer de Nice. (Mém. de l'Inslilut national genevois, 1854, II, p. 1—61, Tab. V—IX). *) En Stjærne foran Titlen betyder, at jeg ikke har havt Leilighed til at se Bogen. Ms 11 345 Om Grupperingen af Arterne. D. i dette Arbeide beskrevne 11 Arter af Salper falde i to naturlige Afdelinger, der kunne opfattes som to Slægter, for hvis Vedkommende man kan anvende de allerede af Blainville foreslaaede Navne: Cyclosalpa og Salpa, s.s. — Jeg har dog foretrukket at beholde Slægt- navnet Salpa for samtlige Arter. Den første Afdeling omfatter de tre Former: Salpa pinnata, 8. affinis og S. doli- cosoma-virgula. Man behover kun at henvise til den eiendommelige Stilling og Forbindelses- maade af Individerne i Salpekjeden, det besynderlige Leiringsforhold af Tarmkanalen hos den enlige Salpe og den Omstendighed at Tarmkanalen i det hele taget ikke er nucleus- formigt sammenrullet, for blot at fremheve nogle Hovedpunkter, der ere tilstrekkelige til paa den ene Side at knytte dem sammen og paa den anden Side at stille dem fjærnt fra alle andre Salpe-Arter. Den anden Afdeling omfatter de øvrige 8 Arter: Salpa scutigera-confoederata, S. democratica-mucronata, S. runcinata-fusiformis, S. africana-maxima, 8. eylindrica, S. co- stata- Tilesti, S. cordiformis-zonaria og S. hexagona. — Disse 8 Arter lade sig igjen gruppere i to Underafdelinger, af hvilke den ene, hvis Kjedesalper alle have flere (ca. 4) Fosteranleg, optages af de tre Former: Salpa cordiformis-zonaria, S. heæagona og S. costata-Tilesii, medens de andre fem, hvis Kjedesalper alle kun have ét enkelt Fosteranlæg, danne den anden Underafdeling. Ret naturlige Smaagrupper dannes paa den ene Side af Salpa runcinata-fusiformis, 8. africana-maxima og S. cylindrica og paa den anden Side af Salpa cordiformis-zonaria og S. ‘hexagona, der kan her blot fremhæves de interessante Ligheder i Muskelkonstellationerne hos Kjedesalperne af den forste Gruppe og de Ligheder, som f. Ex. ses i Fimreorganerne og Udviklingen af Muskulaturen hos alle Former af den anden Gruppe, medens Salpa scutigera-confoederata og S. democratica-mucronata, der ere meget forskjellige fra hinanden indbyrdes, staa langt ude til Siden i den førstnævnte, og Salpa costata- Tilesti kun er fjernt beslægtet med den sidstnævnte Gruppe. 1) For ikke at belemre denne Dyregruppe med flere Navne end heist nødvendigt, har jeg ikke givet de for første Gang her i dette Arbeide beskrevne hjedesalper af Salpa cylindrica og S. hexagona særlige Navne. 44" 346 12 Salpa. ile ———— = = = | | ET | 1. S. pinnata. | | | I 2. S. affinis. 3. S. dolicosoma- | virgula. 4. S. scutigera-confoederala. | 5. S. democratica-mucronata. | 9. S. costata-Tilesii. 8. S. cylindrica. | | 6. S. runcinata-fusiformis. 7. S. africana-maxima. | | 10. S. cordiformis-zonaria. I1. S. hexagona. Om Salpernes geografiske Udbredelse. Atlanter- | Middel- Indiske Stille havet. havet. | Ocean. | Ocean. hy Salpañpinnata pa). Se | + + Su DENISE ee, | au as 3 — dolicosoma-virgula . . . . .. + 4. — scutigera-confoederata + + + + 5. — democratica-mucronata + | + + + 6 — runcinata-fusiformis . . . . - + + "+ + 7. — africana-maxima ....... | + | + + Be cylindricang.y sas) cc Ce + + ORE costata=Tilesii = are: + + + Ar 10. — cordiformis-zonaria ..... + + + + 11. — hexagona ........... | + + Som det vil ses af ovenstaaende Tabel, have flere Arter en særdeles vid geografisk Udbredelse, hvilket er let forklarligt, naar man erindrer, at Salperne ere Hoisodyr og saa- ledes med de forskjellige Stromninger kunne føres langt omkring. Fra de arktiske Have kjendes ingen Salper. Heller ikke er det mig bekjendt, at de nogensinde ere sete i danske Farvande. For Atlanterhavets Vedkommende, hvilket Verdenshav er bedst undersøgt og rigest repræsenteret paa Universitetets Zoologiske Museum, kan jeg angive den omtrentlige Nord- grendse for de fleste Arter. Salpa runcinata-fusiformis Nordgrendse gaar saaledes fra 61° N.B. paa Norges Kyst over Færoerne til henimod Gronlands Sydspids, hvor den er truffet paa ca. 59° N.B. Salpa democratica-mucronata kjendes ligeledes fra 61° N.B. paa Norges Kyst, men dens Nordgrendse falder strax stærkt mod S.V. ned over Hebriderne og gaar derfra til Cap Cod paa Nordamerikas Østkyst. Salpa pinnata, scutigera-confoederata, africana-maxima og cordiformis-zonaria træffes saa langt Nord paa som ved Indlobet til Kanalen. Salpa costata- Tilesi' Nordgrendse synes at gaa fra den pyrenæiske Halvos Nord- vestspids ud over Azorerne. Salpa affinis er ikke truffet nordligere end ved de Kanariske Øer, medens Salpa cylindrica i ethvert Tilfælde paa Universitetets Zoologiske Museum ikke haves længere Nord fra end 20° N.B. Syd paa kjendes Salper saa langt som til Cap Horn, altsaa ca. 55° S.B. Fra de øvrige Verdenshave foreligger der kun saa spredte Oplysninger om Salpernes Forekomst og Udbredningsforhold, at der ikke kan siges noget i Almindelighed derom. A. Tarmkanalen udstrakt eller dannende en vid Krumning, ikke nucleus-formigt sammen- rullet (Cyclosalpa, Blainv.): 1. Kjedesalper med finneformigt Vedhæng paa Bugsiden: a. Aabningerne endestillede: *) Et liniedannet, violet (i Spir. hvidt) Kirtelorgan paa hver Side af Ryggen; Tarmkanalen boier sig fra Maven nedad og leber langt fortil hen under BUSÉRÉEN EE Qh er ee ote SalipaapinmatasForske. Dr. er. 348 14 **) Intet liniedannet Kirtelorgan paa hver Side af Ryggen; Tarmkanalen danner en stor, aaben, boileformig Krumning . . . Salpa affinis, Cham., pr. gr. b. Kloakaabningen rygstillet; Tarmkanalen og Testiklen ligger bag Kloakrummel, indesluttede i et stort, kegleformigt, spidst tillobende Vedheng til Kroppen: Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt, pr. gr. 2. Enlige Salper med endestillede Aabninger; Tarmkanalen krummer sig fra Maven opad, fortil og løber langt ud i Gjælleroret: a. Fem liniedannede, violette (i Spir. hvide) Kirtelorganer paa hver Side af Ryggen; }, [RONNIE 5 AMEN Bo mo obs ee Salpa pinnata, Forsk., pr. sol. b. Ingen liniedannede Kirtelorganer paa hver Side af Ryggen: *) 8 Kropmuskler; der findes ingen dem krydsende Lengdemuskler: Salpa affinis, Cham., pr. sol. **) 9 Kropmuskler; der findes 4 dem krydsende Længdemuskler, to paa Ryggen og to paa Bugen, strækkende sig fra 2den til 6te Tværmuskel: Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt, pr. sol. B. Tarmkanalen nucleusformigt sammenrullet : 1. Kjedesalper uden finneformigt Vedheng paa Bugen: a. Aabningerne endestillede: *) 5 kun paa Ryggen udviklede Kropmuskler; de tre forreste nærme sig noget til hinanden midt paa Ryggen, i hvis Midtlinie de forovrigt ere afbrudte; de to bageste ere parallele: Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim.-Guv., pr. gr. ”) 7 brede Kropmuskler, af hvilke kun den forreste er afbrudt midt paa Ryggen; alle ere de afbrudte paa Bugsiden: ; Salpa hexagona, Quoy & Gaim., pr. gr. 4 Kropmuskler, der kun b. Mundaabningen endestillet, Kloakaabningen rygstillet; ere udviklede paa Ryggen, danne to skjæve Kors: Salpa scutigera-confoederata, Cuv.-Forsk., pr. gr. c. Aabningerne rygstillede : i *) Kropmusklerne indbyrdes parallele, 6 i Tallet, alle afbrudte paa Bugsiden: Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim.-Pall., pr. gr. +) Kropmusklerne ikke parallele, alle afbrudte paa Bugsiden: a. A Kropmuskler, hvoraf de tre forreste nærme sig hinanden midt paa Fg Legh mato Salpa democratica-mucronata, Forsk., pr. gr. 8. 5 Kropmuskler, der alle tangere hinanden midt paa Ryggen: Salpa cylindrica, Cuy., pr. gr. 15 i 349 7) 6 Kropmuskler, ordnede i to Grupper; de fire i den forreste og de to i den bageste Gruppe konvergere henholdsvis med hinanden midt paa Ryggen. T 4de og Ste Kropmuskel tangere hinanden paa hver Side af Dyret: Salpa runcinata-fusiformis, Cham.-Cuv., pr. gr. FF 4de og 5te Kropmuskel ere langt fjærnede fra hinanden paa hver SEEN MI LATE ONONENESE Salpa africana-maxima, Forsk., pr. gr. 2. Enlige Salper: a. Aabningerne endestillede: *) Kappen er udstyret med kortere eller lengere Vedheng omkring Kloak- aabningen: a) Et langt Vedhæng paa hver Side af Kloakaabningen: + De to Vedheng ere trinde og stive, 11 stærkt fremspringende Længdelister strække sig paalangs af Dyret, 11 parallele, sær- deles brede Kropmuskler, alle afbrudte paa Bugen: Salpa hexagona, Quoy & Gaim., pr. sol. ++ De to Vedhæng ere hornformige, svagt krummede, i Spidsen fladtrykte. I Reglen 20, i Midtlinien afbrudte Kropmuskler gaa tvers over Ryggen og standse i Hoide med Mundvigene: Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim. — Cuv., pr. sol. A) Flere korte, stumpe, tornformige Vedhæng omkring Kloakaabningen. 9 Kropmuskler gaa tværs over Ryggen og standse i Hoide med Mund- vigene; de tre forreste tangere hinanden midt paa Ryggen, ligeledes de to bageste; de mellemliggende ere parallele: Salpa runcinata-fusiformis, Cham.-Cuv., pr. sol. **) Ingen Vedhæng omkring Kloakaabningen: a) Kropmusklerne er ikke parallele: + 4 Kropmuskler, der kun findes udviklede paa Ryggen, konvergere to og to, saaledes at der dannes to skjeve Kors: Salpa scutigera-confoederata, Guv.-Forsk., pr. sol. ++ 9 Kropmuskler, der alle ere afbrudte paa Bugsiden; de 4 forreste konvergere midt paa Ryggen. Fosterkjeden ligger udstrakt under Bugfuren foran Tarmkanalen: i Salpa cylindrica, Cuv., pr. sol. 2) Kropmusklerne ere i Reglen parallele, 9—10 i Tallet; de løbe tværs 350 ; 16 over Ryggen og standse i Heide med Mundvigene. Fosterkjeden er krummet og synes") at ville sno sig rundt om ‘Tarmkanalen: Salpa afrieana-maxima, Forsk., pr. sol. b. Kloakaabningen er rygstillet. *) Et langt, tyndt, pidskeformigt Vedhæng paa hver Side af Kloakaabningen. 6 parallele, smalle Kropmuskler: Salpa democratica-mucronata, Forsk., var. flagellifera, pr. sol. *) Flere (7—8) Vedhæng omkring Kloakaabningen, hvoraf et paa hver Side kan naa Kroppens halve Lenge, de ovrige ere korte og tornformige. 6 smalle Kropmuskler, som med Undtagelse af den forreste, der er afbrudt i Ryggens Midtlinie, og den bageste, der er afbrudt i Bugens Midtlinie, gaa belteformigt rundt. 2den, 3die og 4de Kropmuskel konvergere paa Ryggen, ligeledes dte og 6te. Paa Bugsiden konvergere 4de og 5te Krop- muskel ....... Salpa democratica-mucronata, Forsk., pr. sol. Bagkroppen ender i en stor, kegleformig, spids, skraat nedad rettet For- længelse. 6 særdeles brede, parallele Kropmuskler, der baade ere afbrudte i Ryggens og Bugens Midtlinie: “ss ) Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim.-Pall. pr. sol. Synopsis Salparum. A. Tractus intestinalis porrectus aut curvaturam hiantem formans, non nucleiformis (Cyclosalpa, Blainv.). 1. Salpæ gregatæ appendice pinniformi ventrali ornate : a. Aperturæ terminales: *) Unum organum lineiforme, longitudinale superne utrinque. Tractus intesti- nalis sub endostylum porrectus . . . . . . Salpa pinnata, Forsk., pr. gr. “) Nullum organum lineiforme, longitudinale superne utrinque. Tractus intestinalis (curyatus "#00 0... al pa añffinis. Gham., pret: b. Apertura cloacalis in dorso sita. Traetus intestinalis et testis post cavitatem cloacalem in abdomine magno, conico, acuminato siti: Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogl, pr. gr. 1) Jeg har kun havt unge Exemplarer til min Disposition. 17 351 2. Salpæ solitariæ aperturis lerminalibus, tractu intestinali in tubum branchialem porrecto: a. Organa lineiformia, longitudinalia superne utrinque 5. Museuli corporis 8: Salpa pinnata, Forsk., pr. sol. b. Organa lineiformia, longitudinalia superne utrinque nulla: *) Musculi corporis 8; musculi longitudinales nulli: Salpa affinis, Cham., pr. sol. “) Musculi corporis 9; præterea quatuor musculi longitudinales inter musculum transversum secundum et sextum suspensi: Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt, pr. sol. B. Tractus intestinalis nucleiformis: I. Salpæ gregate sine appendice pinniformi ventrali: a. Aperture terminales: *) Musculi corporis 5 in dorso siti; tres antici in medio dorso interrupti et approximati; duo postici paralleli: Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim.-Cuv., pr. gr. “) Musculi corporis 7 lati, in medio ventre interrupli, primus et in medio dorso interruptus; musculi quatuor antici in medio dorso approximati: Salpa hexagona, Quoy & Gaim., pr. gr. b. Apertura oris terminalis, apertura cloacalis in dorso sita. Musculi corporis 4, in dorso siti, figuras X-formes duas formantes: Salpa scutigera-confoederata, Cuv.-Forsk., pr. gr. c. Aperture in dorso site: *) Musculi corporis 6 paralleli, lati; omnes in medio ventre interrupti, primus et in medio dorso interruptus: Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim.-Pall., pr. gr. **) Musculi corporis non paralleli, tenues, omnes in medio ventre interrupti: a) Musculi corporis 5, quorum dres antici æque ac duo postici in medio dorso approximati: Salpa democratica-mucronata, Forsk., pr. gr. #) Museuli corporis 5, omnes in medio dorso approximati: Salpa cylindrica, Cuv., pr. gr. 7) Musculi corporis 6, quorum quatuor antici æque ac duo postici in medio dorso approximati: 7 Rami descendentes quarti et quinti musculi corporis in utroque latere approximati et attingentes, posteaque divergentes: Salpa runcinata-fusiformis, Cham.-Cuv., pr. gr. Vidensk. Selsk. Skr., 6 Række, naturvidensk. og matlıem. Afd. II. 8. 45 bo 18 ++ Rami descendentes quarti et quinti musculi corporis in utroque latere non approximati: Salpa africana-maxima, Forsk., pr. gr. Salpæ solitariæ : a. Aperturæ terminales: *) Tunica circum aperturam cloacalem appendicibus brevioribus aut longi- oribus ornata: a) Appendix longa, utroque latere aperturæ cloacalis una: + Appendices due, longæ, cylindrice. Tunica cristis longitudinalibus 11, valde prominentibus ornata. Musculi corporis 11, latissimi, paralleli, omnes in medio ventre interrupti: Salpa hexagona, Quoy & Gaim., pr. sol. +} Appendices due, longe, curve, extremitate depresse. Musculi corporis 18—20, in dorso siti, medio dorso interrupti: Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim.-Cuv., pr. sol. A) Appendices plures, breves, spiniformes. Musculi corporis 9, in dorso siti; tres anlici æque ac duo postici in medio dorso approximati, ceteri paralleli: Salpa runcinata-fusiformis, Cham.-Cuv., pr. sol. **) Appendices circum aperturam cloacalem nullæ: a) Musculi corporis non paralleli: + Musculi corporis 4, in dorso siti, figuras X-formes duas formantes: Salpa scutigera-confoederata, Cuv.-Forsk., pr. sol. ++ Musculi corporis 9, omnes in medio ventre interrupti, 4 antici in medio dorso approximati: Salpa cylindrica, Cuv., pr. sol. Bi Musculi corporis 9—10, plerumque paralleli, in dorso siti: Salpa africana-maxima, Forsk., pr. sol. b. Apertura cloacalis in dorso sita: *) Appendix longa, tenuissima, flagelliformis, utroque latere aperture cloacalis una. Musculi corporis 6 paralleli, tenues: Salpa democratica-mucronata, Forsk., var. flagellifera, pr. sol. ™) Appendices circum aperturam cloacalem complures (7—8), quarum una utroque latere longitudinis dimidii corporis; ceteræ breves, spiniformes. Musculi corporis 6 — anticus (in medio dorso interruptus) et posticus (in medio ventre interruptus) excepti — corpus cingentes; musculus seeundus, terlius, quartus que ac quintus et sextus in medio dorso, quartus et quintus in medio ventre approximali: Salpa democratica-mucronata, Forsk., pr. sol. ‘*) Extremitas posterior corporis in spinam brevem, conicam, acuminatam desinens. Musculi corporis 6, latissimi, paralleli, et in medio dorso et in medio ventre interrupti: “ Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim.-Pall. pr. sol. Salpa pinnata, Forskähl. Tab. I, Fig. 1—5. Synonymi og Literatur. Thalia Nr. 1, Nr.2 og Nr. 3, Browne, p. 384, Tab. 43, fig. 3—4. Holothuria thalia, L., Nr. 1, p. 657 (opstillet paa Browne’s Thalia Nr. 1). Holothuria caudata, L., Nr. 1, p. 657 (opstillet paa Browne’s Thalia Nr. 2). Holothuria denudata, L., Nr. 1, p.657 (opstillet paa Browne’s Thalia Nr. 3, annuleret hos Gmelin og Lamarck). Salpa pinnata, Forsk., p. 113, Tab. 35, Fig. B. — Brug., pl. 74, Fig. 7—8. — Bosc, Nr. 1, p. 179. — L., Nr. 3, p. 3129. Nr.2. — Lam., p. 116. — Cham., p. 8, Fig. 1 A—I. — Blainv., p.108. — Meyen, p.406, Tab. 27. — Delle Chiaje, Nr.2, p.39, Tay. 77, Fig. 7—8. — Costa, Nr. I, p.227, Tav. 3, Fig. I. A,B. — Müller, Nr. 1, p. 57 (etc.). — Vogt, Nr. I, p.35 (etc.), Fig. 6—19; Nr.3, p. 14, Tab. V, Fig. 1—8, 15—17, Tab. VI, VII, VII og IX, Fig. 1—2. — Leuck., p.3 (ete.), Tab. 1, Fig. 2, 7 og 13 og Tab. 2, Fig. 2. — Mc. Donald, p. 181. — Costa, Nr. 3, p. 438. Salpa cristata, Cuvier, Nr. I, p. 366, PI. 68, Fig. 1—2. — Lam., p.118. — Cuvier, Nr. 3, PI. 123, Fig.-1—1a. Salpa pelasgica, Bosc, Nr. 1, p.181, Tab. 20, Fig. 4. Salpa thalia, L., Lam., p. 119. Salpa caudata, L., Lam., p. 119. Salpa proboscidalis, Less., Nr. I, p. 95, Pl. 33, Fig. 2. Beskrivelse. Proles gregata. Corpore longo; dorso depresso; ventre compresso et appendice pinniformi ornato. Aperturis terminalibus. Musculis corporis 5 — postico excepto, 45" 54 20 corpus cingente — in medio ventre interruptis; musculis duobus anticis in medio dorso coalilis; musculis tertio et quarto in medio dorso approximatis; musculis duobus posticis in utroque latere musculo longitudinali conjunctis. Tractu inteslinali sub endostylum porrecto; ano paulo post extremitatem anteriorem endostyli ad sinistram partem ejus silo; ventriculo appendice simplice cæca ornato. Linea superne utrinque longitudinali una. Proles solitaria. Corpore longo, cylindrico, subdepresso, antice ventricoso. Aper- turis terminalibus. Musculis corporis 8 — postico excepto, corpus cingente — et in medio dorso et in medio ventre interruptis; musculis duobus posticis in utroque latere dorsi approximatis. Traetu intestinali in tubum branchialem porrecto; ano paulo post ganglion ad sinistram partem ejus sito; ventriculo appendice duplice cæca ornato. Lineis superne utrinque longitudinalibus 5. Kjedesalpen (proles gregata). Kroppen er langstrakt, næsten trekantet i Tværsnit; Ryggen fladtrykt, Bugen skarp med et noget foran Midten siddende, sammentrykt, finneformigt Vedhæng, hvormed Dyret er — eller har været — forbundet med de øvrige Medlemmer af Kjeden. Det største Exemplar var 56" langt og havde i sig et Foster af 28"% Længde. I en nyfødt Kjede maalte det største Individ ca. 7°" i Længden. Kappen er geléagtig og temmelig tyk, især paa Bugsiden. Aabningerne ere endestillede. Mundaabningen ses som en bred Tværspalte paa Forenden; Underleben er tykkest og noget mere fremspringende end Overlæben. Kloak- aabningen er rund; den sidder paa Spidsen af den tudformige, skraat opadboiede, med rig Ringmuskulatur udstyrede Bagende. Kropmusklerne ere 5 i Tallet. Kun den bageste gaar bælteformigt rundt om Dyret; de øvrige ere alle afbrudte midt paa Bugen. {ste og 2den Kropmuskel ere sammen- smeltede midt paa Ryggen; de forene sig atter ved Grunden af det finneformige Vedhæng og sende deres nederste fri Ender ud i samme. Paa hver Side afgiver 1ste Kropmuskel 2 næsten parallele Grene, der løbe fortil og forene sig med Mundaabningens Muskelsystem. 3die og 4de Kropmuskel nærme sig noget til hinanden i Ryggens Midtlinie. Nede paa hver Side deler 4de Kropmuskel sig gaffelformigt; den forreste af disse Grene løber hen foran Svælget; den bageste, som næsten naar sammen med den fra den modsatte Side, løber bagom Mavens blindtarmsagtige Forlængelse. Ste Kropmuskel sender paa hver Side af Kroppen en Gren fremad til 4de Muskel, som modtager den lidt ovenfor Gaffeldelingen. Mundhulen er cylinderformig, videst fortil, gaar jævnt over i det bagtil stærkt ind- snevrede Kloakrum. Det kugleformige Nervecentrum ligger lige foran iste Kropmuskel, langt bagenfor Gjællerorets forreste Ende; fra Rygsiden af Nerveknuden rager en lysere 21 355 farvet, keglestubformig Udvæxt i Veirel; paa Toppen af denne Udvæxt findes 3 Pigment- hobe; hele dette Apparat tydes som Synsorgan. Fimreorganet ligger lige foran Gjællerorets forreste Ende og dannes af en flad, rundagtig Fordybning, noget bredere end lang, omgivet af en uregelmæssigt bolgeformig, fremspringende Rand, der fortil næsten fuldstendig udviskes. Gjælleroret er temmelig svært, den forreste Del stærkt sammentrykt. Forenden af Gjælleroret er fastgjort til Mundhulens Loft og strækker sig fra Fimreorganet til bag om 2den Kropmuskel. Der findes omtrent 124 Fimreplader paa Gjellerorets Forside. Bugfuren begynder tet indenfor Mundaabningen, er opadkrummet i sin forreste Ende, iovrigt temmelig lige; den naar helt hen til Svelget Tarmkanalen er udstrakt (ikke nucleus-formigt sammenrullet); Svælget er tragt- formigt, Spiseroret krummer sig bagtil og nedad og fortsetter sig over i en fremadrettet, langstrakt Mave, der berer et stort, blindtarmsagtigt, i Spidsen afrundet, opadkrummet Vedhæng, som strekker sig bagtil i Midtlinien af Bugen hen til 4de Kropmuskels bageste Gren. Den lange, rummelige Tarm lober i den store Blodlacune under Bugfuren lige fortil og udmunder med en opadvendende, skraat bagtil afskaaret Anus paa venstre Side af Bugfuren, et Stykke bag dennes Forende. Testiklen udvikler sig under Bugfuren, mellem denne og Tarmkanalen; den er langstrakt, cylindrisk, noget tilspidset i begge Ender; en Udforselsgang lober fortil og ud- munder i Mundhulens Gulv, noget bag ved Anus. Et langstrakt, lappet, cylindrisk, mod begge Ender tilspidset, i levende Live violet eller hvidligt farvet Kirtelorgan (Nyre?) ligger paa hver Side af Ryggen imellem 2den og 3die Kropmuskel. Fosterets Stilling. Kun et enkelt Foster anlægges; det findes fasthæftet i Kloak- rummet paa hoire Side mellem 3die og 4de Kropmuskel. Fosterets Mund- og Kloak- aabning vende henholdsvis i samme Retning som Kjedesalpens. Salpekjedens Medlemmer ere stillede i en Kreds med Bugsiden indad og hæftede til hinanden ved det oven nævnte finneformige Vedheng; de vende alle Mund- og Kloak- aabning i samme Retning. I Reglen bestaar Kjeden af 9—12 Medlemmer. Den enlige Salpe (proles solitaria). Kroppen er langstrakt, buget; Forenden bred og svær, Bagenden spids og tud- formig. Største Exemplar: 75™™ langt og 33"" bredt. Kappen er tyk og geléagtig. Aabningerne ere endestillede; Mundaabningen ses som en bred Spalte paa Forenden; Kloakaabningen er rund; den sidder paa Spidsen af den tudformige Bagende. Kropmusklerne ere 8 i Tallet, alle — med Undtagelse af den bageste, som gaar bælleformigt rundt — afbrudte saavel i Ryggens som i Bugens Midtlinie. Iste Kropmuskel sender paa hver Side to fortil konvergerede Grene hen til Mundaabningens Muskelsystem. De nedre Ender af samme Iste Kropmuskel dreie sig langt bagud paa Bugfladen; dette nys nevnte Forhold gjentager sig om end i langt ringere Grad for 2den Kropmuskels Vedkommende. 7de Kropmuskel konvergerer paa hver Side med 8de. løvrigt lobe alle de andre Muskler parallelt. De nedre fri Ender af 4de, 5te, 6te og 7de Kropmuskel dreie sig noget fortil paa Bugfladen. Mundhulen er cylindrisk, videst fortil, gaar jævnt over i Kloakrummet, der er tragtformigt indsnevret bagtil. Nerveknuden er kugleformig og sidder lige foran {ste Kropmuskel. Synsorganet er stort, knapformigt, med 3 Pigmenthobe paa Overfladen. Fimreorganet er stort og fladt og ligger lige foran Gjællererets forreste Ende; dets fremspringende Rand er stærkere bolgeformig end hos Kjedesalpen. Gjelleroret er langt og smalt; dets Forende er fastgjort til Mundhulens Loft lige fra Fimregruben til bag om Iste Kropmuskel. Bugfuren begynder tet indenfor Mundaabningen og lober hen til Svelget. Tarmkanalen er udstrakt (ikke nucleus-formigt sammenrullet). Svelget er rummeligt, tragtformigt. Spiseroret krummer sig bagtil og opad ind i Maven, der tillige med Tarmen er boiet fortil og lagt ind i Gjælleroret. Paa den Del af Maven, som vender bagud, i samme Retning som Kloakaabningen, sidde to ved Siden af hinanden stillede Blindsække. Tarmen, der som alt sagt løber ud gjennem Gjelleroret, boier sig lidt bagved Nerveknuden tilvenstre og udmunder i en forholdsvis snever, lige afskaaret Anus. Fem langstrakte cylindriske, i levende Live violet- eller hvidfarvede Kirtelorganer (Nyrer?) ligge i en Række paa hver Side af Ryggen; det forreste mellem Iste og 2den Kropmuskel, det bageste mellem 5te og 6te Kropmuskel. Fosterkjeden ligger paa Bugsiden, neden under Bugfuren. Kimroret begynder omtrent i Hoide med 5te Kropmuskel. Kjeden lober skraat nedad fortil. I Modsætning til de øvrige Salpe-Arter, med Undtagelse af S. affinis og S. dolicosoma-virgula, findes her intet Spring i Udviklingen af Individerne i Fosterkjeden. Kjeden fødes i smaa Partier ad Gangen. Kjedesalperne, som ere stillede i to Rækker med Bugsiden mod hinanden, gruppere sig umiddelbart efter Fodselen mere eller mindre regelmæssig ringformigt. Findesteder. Atlanterhavet: 156° 8° N.Br., 26° 30° V.L. (Andrea). ? 52° 47‘N.Br., 13° 10/ V.L. (Branner). 847° N. Br., 27° V. L. (Hygom). {46° N.Br., 10° V.L. (Stübe). °43° 30° N. Br., 32° 40‘ V.L. (Andréa) 643° N.Br., 36° V.L. (Mus. R.). 742° 38° N. Br., 29° 34° V.L. (Warming). °42° 20’ N. Br., 15° V. L. (Andrea). °42° N.Br., 44° V. L. SEAN EENE BER SO VAL MMA EN Br 15820 VI SOON Br LAON: 1388 N. Br., 232%, 125° og 15302 V. DL. (Hygom).: 16372 402 N. Br:, 51°20’ V. L.; US ON BR RSI OV 125365 30O0N Br 1282130 V1., MS SST ON (Br. 20324. SOS GÉGON APT RGP DEU CHAN" Br 2700 VAN Andreas #236° N. Br., 30° 30° V. L. (Thomsen). 2°35° N. Br., 30° V.L.; 2434° N. Br., 30° Val Ota a Nab Tap LOVE SISENS BEGAV SE ZT IS ANA Brailes Go Velie 28 30° N. Br., 32° V.L. (Hygom). >? V. for Azorerne (Kjellerup). °° 28° N. Br., 23° V. Le; 831728 N. Br., 35° V.L. (Hygom). 82 25°35’ N. Br., 32° V. L. (R. Nielsen). 83.24° N. Br., 30° V.L. (Hedemann). °*24° N.Br., 39° V.L. (Hygom). #5 22° 4/ N. Br., 24° 40’ V. L. (Reinhardt). °° Vestindien (Suenson). 27 Jamaica (ifl. Brown, p.384). 38 19° N. Br. 39° V. L. (Hygom). °° S.f. Rio (Reinhardt). Middelhavet: «non procul a rupe Belgran juxta insulam Yvicam» (ifl. Forskähl). Nizza (ifl. Vogt). Neapel. Det Stille Hav: «Litt. oce. Amer. merid.» (Reinhardt). Salpa affinis, Chamisso. Tab. I, Fig. 6—8. Synonymi og Literatur. Salpa affinis, Cham., p. 11, Fig. 2 A—F. — Blainv., p. 119. — Meyen, p. 407. — Vogt., Nr. 3, p. 8 (citeret). Beskrivelse. Proles gregata. Corpore longo; dorso depresso; ventre compresso et appendice pinniformi ornalo. Aperturis terminalibus. Musculis corporis 5 — duobus posticis exceptis corpus cingentibus et in utroque latere musculo longitudinali conjunctis — in medio ventre interruptis. Tractu intestinali curvato (non nucleiformi); ano post pharyngem, ad sinistram partem ejus sito; ventriculo appendice cæca non ornato. Linea superne utrinque longi- tudinali nulla. Proles solitaria. Corpore longo, cylindrico. Aperturis terminalibus. Musculis corporis 8 — duobus posticis exceptis corpus cingentibus — in medio ventre interruptis; duobus anticis preterea in medio dorso interruptis. Musculis duobus posticis in utroque latere dorsi approximatis. Traetu intestinali in tubum branchialem porrecto; ano paulo post ganglion ad sinistram partem ejus silo; ventriculo appendice duplice cæca ornato. Lineis superne utrinque longitudinalibus nullis. Kjedesalpen (proles gregata). Kroppen er langstrakt, fladtrykt; det finneformige Vedhæng paa Bugsiden, hvormed Dyret er — eller har været — forbundet med de ovrige Medlemmer af Kjeden, strækker sig noget længere bagtil end hos Salpa pinnata. Det største Exemplar var 36"" langt og havde i sig et Foster af ca. 107" Længde. Kappen er meget tyk og geléagtig. Aabningerne ere endestillede. Mundaabningen ses som en bred Tværspalte paa Forenden. Kloakaabningen er rund; den sidder paa Spidsen af den tudformige, med rig Ringmuskulatur udstyrede Bagende. Kropmusklerne ere 5 i Tallet. De ere parallele og alle — med Undtagelse af de to bageste, der gaa belteformigt rundt om Dyret — afbrudte midt paa Bugen. Iste Krop- muskel, der paa hver Side afgiver to fortil løbende og konvergerende Grene, som forene sig med Mundaabningens Muskelsystem, krummer sig midt paa Ryggen noget bagud. åde Kropmuskel udsender paa hver Side en Gren, som løber nedad hen foran Tarmkanalen; den samme 4de Kropmuskel staar nogel længere nede mod Bugfladen ved en anden Gren i Forbindelse med 5te Kropmuskel. Mundhulen er cylindrisk, bredest fortil, gaar jævnt over i det baglil noget ind- snevrede Kloakrum. Nerveknuden er kugleformig og ligger lige foran {ste Kropmuskel, langt bagenfor Gjællerørets forreste Ende; Synsorganet er cylinderformigt, temmelig høit og smalt. Fimreorganet ligger tæt foran Gjællerøret; det er fladt med bred, lappet Forrand; bagtil er det spidst; idet hele taget har det Form som en bred, kort Vifte med bagud rettet Haandtag. Gjællerøret er langt og noget spinklere end hos Salpa pinnata, den forreste Ende er fastgjort til Mundhulens Loft paa Strækningen fra Fimreorganet til lidt bag ved Iste Kropmuskel. Bugfuren begynder tæt indenfor Mundaabningen, er svagt opadkrummet i sin forreste Ende og løber helt hen til Svælget. Tarmkanalen danner her i Modsætning til Forholdet hos Salpa pinnata en stor, aaben Løkke, en Slags Tilløb til at antage den fra de fleste Salper kjendte Nucleus-Form. Svælget er rummeligt, tragtformigt; Spiserøret, som er meget snevert og kort, gaar nedad, over i en rummelig Mave, der ikke er udstyret med blindsækagligt Vedhæng. Maven fortsætter sig i Spiserørets Retning skraat nedad tilheire og gaar dernæst over i en snever Tarm, som snart danner et Knæ og løber et Stykke fortil, hvorpaa den atter danner et Knæ og stiger skraat opad tilvenstre; endelig dreier Endetarmen, som løber skraat opad, bagtil og udmunder i en snever Anus, et Stykke bagved Svælget, tilvenstre for Midiplanen. Testiklen ligger i Tarmlokken mellem de to nys omtalte Knæ. Fosterets Stilling. Kun et enkelt Foster findes anlagt i Kloakrummel paa hoire Side mellem 3die og 4de Kropmuskel, nærmest ved den forste. Salpekjedens Form synes ikke at afvige fra det for Salpa pinnata’s Vedkommende omlalte Forhold. Den enlige Salpe (proles solitaria). Kroppen ligner i Henseende til Formen ganske S. pinnata, Det største Exemplar, jeg havde til Undersøgelse, var Al"" langt og bar endnu Fostermirkerne. Kappen er tyk og geléagtig. Aabningernes Form og Stilling er ganske som hos Salpa pinnata. Kropmusklerne ere 8 i Tallet. Med Undtagelse af 7de og Sde Kropmuskel, der gaa bælteformigt rundt om Dyret, naar ingen af de ovrige sammen i Bugens Midllinie ; Iste og 2den Kropmuskel ere desuden afbrudte midt paa Ryggen. 1ste Kropmuskel sender paa hver Side to tet ved hinanden lobende Grene hen til Mundaabningens Muskelsystem ; paa Bugsiden ere samme {ste Kropmuskels fri Ender krammede bagud henimod 2den Krop- muskel, dog næppe saa stærkt som hos Salpa pinnata. Tde og 8de Kropmuskel tangere hinanden paa hver Side af Ryggen. lovrigt løbe Musklerne parallelt med omtrent lige store Mellemrum imellem sig. Mundhulen er cylindrisk, videst fortil. Nerveknuden er kugleformig og ligger tæt foran {ste Kropmuskel. Fimreorganet har samme Udseende som hos proles gregata. Gjællerøret er med sin forreste Ende fastgjort til Mundhulens Loft paa Strækningen fra Fimreorganet Lil lidt bagved Iste Kropmuskel. Bugfuren afviger i Form og Forløb ikke væsentlig fra Forholdet hos Kjedesalpen. Tarmkanalen er ganske som hos Salpa pinnata udstrakt og lagt ud i Gjielleroret; Maven har ligesom hos denne en dobbelt Blindsæk. Fosterkjedens Stilling og Udseende er som hos Salpa pinnata. Jeg har kun set en enkelt hel Kjede, som bestod af 9 Medlemmer. Findesteder. Atlanterhavet: ! Kanariske Øer (ifl. Meyen). * Guinea (Dr. Thams). * 3° 30! N.Br., 20' V.L. (Andrea). * 2° N. Br., 21° og 25° V. L. (Hygom). Middelhavet (ifl. Vogts Liste, Nr. 3, p. 8). Det Stille Hay: Omkring Sandwichoerne (ifl. Ghamisso). Vidensk. Selsk. Skr., 6 Række, naturvidensk. og mathem. Afd. Ul. 8 46 360 26 Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt. Tab. I, Fig. 9. Synonymi og Literatur. 13. Salpa dolicosoma, Todaro, Nr. 2, p.41—43. (Her paavises Forholdet til Salpa virgula, og Salpa virgula, Vogt, Nr. 3, p. 11—12, Tab. 5, Fig. 12 den sammensatte Betegnelse: Salpa dolicosoma-virgula anvendes.) Beskrivelse. Proles gregata. Corpore longo, abdomine magno, conico acuminatoque; extre- mitate anteriori subtruncata; ventre appendice pinniformi ornato. Apertura oris terminali; apertura cloacali in dorso sita. Musculis corporis 4. Tractu intestinali curvato (non nuclei- formi), in abdomine conico sito; ventriculo appendice ceca simplice ornato; ano prope aperluram cloacalem sito. Proles solitaria. Corpore longissimo, cylindrico. Aperturis terminalibus. Museulis corporis transversalibus 9, preterea quatuor musculi longitudinales inter musculum trans- versalem secundum et sextum suspensi. Tractu intestinali in tubum branchialem porrecto; ventriculo appendice cæca bifurcata ornato. Kjedesalpen (proles gregata). Kroppen har en særdeles karakteristisk Form. Den bestaar af to i hej Grad ulige Halvdele, hvoraf den forreste er cylindrisk og er optagen af Gjælle- og Kloakrum med Til- behor, medens den bageste, kegleformige Halvdel, der med sin Basis er sammensmeltet med Forparten af Kroppen og bagtil lober ud i en Spids, omslutter den ovrige Indvolds- masse. Fortil paa Bugsiden findes et stort, fra Siden set firkantet, finneformigt Vedhæng til Forbindelse med de øvrige Medlemmer af Kjeden. Totallengden udgjer omtrent 30", Kappen er ikke særligt beskrevet. Mundaabningen sidder paa den jævnt afrundede Forende saa høit oppe, at den kan siges at være iferd med at vandre om paa Ryggen; den er betydelig bredere end den som en kort Tud udseende Kloakaabning, der sidder langt fremme paa Ryggen. Kropmusklerne ere 4 i Tallet; de ere svage og synes at lobe parallelt tværs over Ryggen; efter Tegningen hos Vogt at domme ere de alle afbrudte paa Bugsiden. Mund- og Kloakrummet danner en aflang, cylindrisk Hule. Nerveknuden ligger tæt bagved Mundaabningen. Fimreorganet omtales ikke. Gjællerøret er temmelig kort og svagt S-formigt krummet. Bugfuren strækker sig helt hen til Svælget. 97 361 Tarmkanalen er ikke nucleusformigt sammenrullet; den danner en stor, vid Krum- ning i Kroppens bageste Del; Maven er udstyret med en Blindsæk; Anus udmunder hoil oppe i Kloakrummet, ikke langt fra selve Kloakaabningen. Testiklen er langstrakt, tendannet og ligger langt tilbage, ude i Bagkroppens kegle- formige Vedhæng; dens Udførselskanal udmunder fortil, ikke langt fra Anus. Saadanne Kirtelorganer som de, der findes hos Salpa pinnata foroven paa hver Side af Ryggen, omtales ikke for den nærværende Arts Vedkommende, hverken hos Kjede- salpen eller den enlige Salpe. Fosterets Stilling. Kun et enkelt Foster findes anlagt indvendig paa Kloakrummets hoire Side, omtrent lodret under Kloakaabningen. Salpekjedens Medlemmer ere grupperede ganske paa samme Maade som hos Salpa pinnata og affinis. Den enlige Salpe (proles solitaria). Kroppen er særdeles langstrakt, glasklar og blød; der findes to røde Pletter i Mundvigene. Ca. 150%" lang og 50"" bred, Kappen omtales ikke særligt. Aabningerne ere endestillede; Mundaabningen er stor og bred, Kloakaabningen for- holdsvis lille og rund. Kropmusklerne ere 9 i Tallet, som løbe påatværs, men desforuden findes 4 Længde- muskler, to paa Ryggen og to paa Bugen, som strække sig fra den den til den 6te Tværmuskel. Mundhulen og Kloakrummet, Nerveknuden, Fimreorganet, Gjællerøret og Bugfuren finder jeg ikke omtalte af Todaro. Tarmkanalens Stilling er ganske som hos de enlige Former af Salpa pinnata og affinis. Maven er forsynet med en dobbelt Blindsæk. Fosterkjeden ligger paa Bugsiden; den begynder i Hoide med den 6te Kropmuskel og løber fortil mellem de to Længdemuskler, parallelt med disse, indtil Mellemrummet mellem Iste og 2den Kropmuskel, hvor den beier sig tilhoire og udmunder paa Siden. Findesteder. Middelhavet: Villafranca Bugten (ifl. C. Vogt). — Neapels Golf (ifl. Todaro). Anm. Ovenstaaende Beskrivelser ere for Kjedesalpens Vedkommende en Gjengivelse af C. Vogts, for den enlige Salpes Vedkommende af Yodaro’s Beskrivelser. 46" O2 for) DO bo D Salpa seutigera-confoederata, Cuvier-Forsk. Tab. Il, Fig. 23, 24 og 46. Synonymi og Literatur. Salpa confoederata, Forsk., p. 115, Tab. 36, Fig. A. — Brug., PI. 75, Fig. 2—4. — Bosc, Nr. 1, p. 179. — L., Nr. 3, p. 3130, Nr. 6. — Lam., p. 117. — Risso, p. 284. — Blainv., p. 111. — Meyen, p. 410 (mindre rigtigt sammendrages denne Form med S. fasciata, Forsk. og S. africana, Forsk.; ligeledes mener han, at S. runcinala, Cham., og «sandsynligvis» S. vaginata, Cham., hore herhen). Salpa sculigera'), Cuvier, Nr. I, p.377, Pl. 68, Fig. 4—-5. (Ligel. Mém. Moll, p. 20 Fig. 7). — Lam., p.118. — Blainv., p. 110. — Non Delle Chiaje, Nr. 2, p. 39, Tav. 66, Fig. 21 og Tav. 78, Fig. 13 (begge Figurer minde om S. africana-maxima). Salpa octophora !), Cuvier, Nr. 1, p. 379, Pl. 68, Fig. 7 (Mem. Moll., p. 20, Fig. 7). — Lam., p. 118. — Blainy., p. 110. — Meyen, p. 416. Salpa vivipara, Péron & Les., Pl. 30, Fig. 3. Pegea octophora, Sav., p. 124, PI. 24, Fig. 1. Salpa ferruginea, Cham., p. 23, Fig. 10 A—-D. — Blainv., p. 110. — Meyen, p. 417. Salpa gibba, Bose, Nr. I, p. 178, Pl. 20, Fig. 5. Salpa socia, Bosc, Nr. 1, p. 180, PI. 20, Fig. 1—3. — Meyen, p. 409. Salpa bicaudata, Quoy & Gaim., Nr.3, Fig. A, 1—3. — Quoy & Gaim., Nr.4, p. 225, PI.8 A, Fig. 1—2. — Blainy., p. 123. ? Salpa dolium, Quoy & Gaim., Nr. 5, p. 575, PI. 90, Fig. 1—8 (cit. efter Krohn). Salpa nephodea, Less., Nr. 2, p. 272. Salpa seutigera-confoederata, Vogt, Nr. 3, p. 6. Beskrivelse. Proles gregala. Corpore longo, cylindrico, subdepresso; extremilate anteriori truncala, extremitate posteriori rotundata. Apertura oris terminali; apertura cloacali in dorso sila. Musculis corporis 4, in dorso silis, figuras X-formes duas formantibus. Proles solitaria. Corpore brevi, lato; extremilale anteriori subrotundata; extremilale posteriori acula; dorso depresso; ventre medio depresso. Aperturis lerminalibus. Musculis corporis 4, in dorso silis, figuras X-formes duas formantibus. 1) Cuviers Exemplarer skrive sig ifl. Lamarek og Blainville fra Pérons og Lesueurs Reise. — Home afbilder Tab. 73, Fig. I et Stykke Kjede af denne Art. 29 DAD 209 Kjedesalpen (proles greyata). Kroppen er langstrakt, cylindrisk, noget fladtrykt; fortil lige afskaaret, bagtil afrundet. Det største Exemplar var 115% langt og bar et 43™™ Jangt Foster i sig. Kappen er med Undtagelse af det bageste tykke og bruskagtige Parti, som omgiver Indvoldsmassen, temmelig tynd og blød. Undertiden ere Individerne i enkelte Kjeder for- synede med et langt, tyndt Vedhæng paa hver Side af Kloakaabningen (Salpa bicaudata, Quoy & Gaim.). Mundaabningen er endestillet og bred, Kloakaabningen rygstillet. Kropmusklerne ere 4 i Tallet, spinkle og kun udviklede paa Rygsiden; de nærme sig to og to tet til hinanden midt paa Ryggen og danne to skjæve Kors, det ene bagved det andet. Denne Muskelkonstellation gjentager sig hos den enlige Salpe, og bliver saa- ledes et for Arten karakteristisk Kjendetegn. Mundhulen er rummelig, cylindrisk, omtrent ens vid overalt. Nerveknuden er lille, kugleformig; den ligger langt foran Iste Kropmuskel, lige bagved Fimreorganets øverste, bageste Hjørne. Paa den forreste, øverste Del af Nerve- knuden sidder et temmelig stort, knapformigl Synsapparat. Fimreorganet er indsænket i den Del af Mundhulens Loft, som ligger lige foran Gjællerøret, og i den forreste Ende af dette. Det dannes af en næsten lige saa lang som hei, ganske smal Hulhed, hvis faste Bund begynder fortil med en nedboiet Spids og der- næst løber parallel med Dyrets Længdeaxe til hen tæt foran Nerveknuden; her boier den knæformigt af og stiger lodret ned paa Gjællerørets Forflade, dreier nok engang og løber fortil; tilsidst ender den med en opadboiet Spids noget bag ved og lavere end Begyndelsen; imellem disse to krummede Spidser ligger en spalteformig Aabning, hvormed Fimreorganets Hulhed udmunder i Mundhulen. Gjællerøret er langt, stærkt bygget, fastgjort foroven til Mundhulens Loft paa Strækningen fra Fimreorganet til i Højde med Randen af Iste Kropmuskel. Der findes ca. 83 Fimreplader paa Gjællerørets Forside. Bugfuren begynder med en svag Krumning fortil tæt indenfor Underlæbens Rand, har iøvrigt et lige Forløb og naar helt hen til Svælget. Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen ligger lavt nede bag Kloakrummet; den er kugleformig, svagt sammentrykt. ‘Tarmroret er videst lidt foran Midten. Svælg og Anus vende fremad. Testiklen ligger i Tarmløkken. Fosterets Stilling, Kun et enkelt Foster findes anlagt indvendig paa hoire Side i Kloakrummet, omtrent midt imellem 3die og 4de Kropmuskel. 364 30 Salpekjedens Medlemmer, hvis Længdeaxer slaa lodret paa Kjedens Længdeaxe, ere som sædvanlig stillede i to Rækker, der vende Bugfladerne mod hinanden; det enkelte Individ i den ene Række passer ind mellem to individer i den modstaaende Række 0.8. v. Den enlige Salpe (proles solitaria). Kroppen er kort og bred, noget afrundet fortil, spids bagtil; Ryggen er fladtrykt. Det største Exemplar var ca. 1207" langt. Kappen er temmelig tyk og bruskagtig. Aabningerne ere endestillede. Mundaabningen er særdeles bred. Den lille, ovale Kloakaabning sidder paa Spidsen af den med svag Ringmuskulatur udstyrede, tudformige Bagende. Kropmusklerne ere 4 i Tallet; i Henseende til Stilling og øvrige Forhold ligne de ganske Kjedesalpens. Mundhulen er næsten firkantet i Tværsnit, rummelig; bagtil gaar den over i det henimod Kloakaabningen tragtformigt indsnevrede Kloakrum. Nerveknuden er i Udseende og Leiringsforhold lig Kjedesalpens; det samme gjælder Synsapparatet. Fimreorganet afviger ikke synderlig fra Kjedesalpens. Gjællerøret er meget kort, stærkt bygget, noget sammentrykt især fortil; det er foroven fastgjort til Mundhulens Loft paa Strækningen fra Fimreorganet til midtveis mellem Nerveknuden og Iste Kropmuskel. Bugfuren begynder tæt indenfor Randen af Underlæben, er noget nedadkrummet paa Midten og løber helt hen til Svælget. Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Den kugleformige Indvoldsmasse ligger under det forreste Parti af Kloakrummet, lidt bag Midten af Bugen. Tarmrorel begynder med et tykrandet, opadvendende Svælg; Anus ligger som sædvanlig tilvenstre for Midtplanen. Fosterkjeden ligger spiralformigt uden om Indvoldsmassen og kan være snoel to Gange rundt om denne. Findesteder. Atlanterhavet: ! 48° N.Br., 15° og ? 38° V.L.; ? 472.N. Br., 8° og * 27° V.L. (Hygom). 5 44° 35! N.Br., 25°5° V.L. (Warming). © 44° N. Br., 15° V.L.; 7 48° N.Br., 16° V.L. (Hygom). § 42° 38° N. Br., 29° 34° V.L. (Warming), ? 41° 10° N. Br., 17° 55° V.L. (Normann). 1° 41° N. Br., 29° 30° V. L. (Hygom). +! 40°—38° N.Br., 26°—30° V.L. (Hygom). 12 39° 40° N. Br., 34° 30! V. L. (Andrea). "2 39° N. Br., 31 365 DER AREAS EVE ERE ER EIN. Bis, lr Moen 2127 20V u ON Br 68 021282 V. L. (Hygom). 18 34° 4’ N. Br., 17° 50° V. L. (Normann). !° 34° N. Br., 30° V. L.; ED ZENDBESe Ve RO ON Br 225262 VORM Hartmann) M2 NAT. So Walling <2 2AN IN thas 22 Wallbog 222 N Br 229 SVN I INS i Br 22° V.L. (Hygom). 7° 15°19’ N. Br., 24° 54° V.L. (Reinhardt), 27 11° N. Br., 29° 30’ V. L. (Hygom). °° Guinea (Dr. Thams, Mus. physiol.). °° 29° 0° S. Br., 11° 30° ©. L. (Andrea). Middelhavet: °° Neapel (P. E. Müller). Det Indiske Hav: ! 39° 56° S.Br., 40° 26‘ @.L.; ? 32° 0’ S.Br., 44° 10° ®.L. (Andrea). 3 1° 44° S. Br., 81° 8° Ø. L. (Mathiesen). Det Stille Hav: ' China Seen (Galath. Exp). > Valparaiso (H. Kroyer). 6° N. Br., 105° Ø. L. (Gerstenberg). Salpa democratica-mucronata, Forsk. Tab. II, Fig. 25—28. Synonymi og Literatur. Salpa democratica, Forsk., p. 113, Nr. 32, Tab. 36, Fig. G (= proles solitaria). —- Brug, Pl. 74, Fig. 9. — Bose, Nr. 1, p. 179. — L., Nr. 3, p. 3129, Nr. 3. — Lam., p. 116. — Blainv., p. 121. — Cuvier, Nr. 3, PI. 123, Fig. 3. — Delle Chiaje, Nr. I, p.61 og 63. — Meyen, p. 408, Tab. 29, Fig. 7—8. — Delle Chiaje, Nr. 2, p. 39, Tav. 79, Fig. 14, 15 og 17. Salpa mucronata, Forsk., p. 114, Nr. 33, Tab. 36, Fig. D. — Brug., PI. 74, Fig. 10. — Bosc, Nr. 1, p. 179. — Lam., p.116. — Cuvier, Nr. 3, Pl. 123, Fig. 2 — Meyen, p. 409, Tab. 28. — Sars, Nr. 2, p. 82, Tab. 10, Fig. 6—11. ? Salpa cyanogaster, Péron, Tab. 30, Fig. 3. Thalia lingulata, Blumenb., Nr. 30. Salpa longicauda, Quoy & Gaim., Nr. I, p. 507, PI. 73, Fig. 8. — Blainv., p. 123. — Meyen, p. 420. Salpa spinosa, Otto, p. 303—305, Tab. 42, Fig. 1 a—d. — Risso, p.285. — Sars, Nr. 2, p. 79—82, Tab. 10, Fig. 1—5. Biphora mucronata, Costa, Nr. 2, p. 3, Tav. I, Fig. 1—3. Biphora democratica, Costa, Nr. 2, p. 7, Tav. 2. Dubreuillia eirrhosa, Less., Nr. 2, p. 278, Pl. 6, Fig. 7. Salpa Cabotti, Desor, p.75. — Agass., Nr. 1, p.17—23 med 2 Tab. — Brooks, Nr. 1 —-4. 366 32 Salpa democratica-mucronata, Krohn, p. 112—113. — Leuck., p.3, p. 17 (ete.), Tab. 1, Fig. 1, 3, 9—10, 12, 14 og Tab.2, Fig. 6—10, 16—17 — Vogt, Nr.3, p.5, Tab. 5, Fig. 22—23. Beskrivelse. Proles gregata. Corpore ovato; extremitate anteriori rotundata, extremitate poste- riori in spinam brevem pyramidalem desinente. Aperturis in dorso sitiss Musculis cor- poris 5 in dorso sitis; tribus anticis æque ac duobus posticis in medio dorso approximatis. Proles solitaria. Corpore orciformi; extremitatibus truncatis. Cireum aperturam cloacalem 7—8 spinis, duabus lateralibus longitudinis dimidii corporis. Aperluris termi- nalibus. Musculis corporis 6 — antico (in medio dorso interrupto) et postico (in medio ventre interruplo) exceplis — corpus eingentibus; musculo secundo, tertio, quarto, æque ac quinto et sexto in medio dorso, quarto et quinto in medio ventre approximatis. Kjedesalpen (proles gregata). Kroppen er ægformig, nogel fladtrykt paa Rygsiden, jævnt afrundet fortil; Bagenden lober ud i en spids, skraat nedadrettet, i Reglen firsidet Pyramide, der omslutter Indvolds- massen. Farven er ill. Sars vandklar med himmelblaat Gjzlleror og Bugfure; Kjærnen er indigoblaa. Det største Exemplar maalte ca. 15"" i Længden. Kappen er temmelig fast, næsten bruskagtig og særdeles tyk, især paa Bugsiden. Aabningerne ere rygstillede; Mundaabningen er bredere end Kloakaabningen. Kropmusklerne ere 4 i Tallet. De tre forreste ere sammensmeltede midt paa Ryggen; 4de Kropmuskel ligger langt tilbage. De ere alle afbrudte i Bugens Midtlinie. Mundhulen er forholdsvis kortere og bredere end hos den enlige Salpe. Nerveknuden er lille, kugleformig og ligger længere foran Gjællerorets Udspring end hos den enlige Salpe. Fimreorganet er lille og næsten rundt; det ligger foran Nerveknuden; en eien- dommelig, temmelig lang, traadformig, tentakelagtig, fremadrettet, i Spidsen tilbageboiet Proces, som rager frit frem i Gjellehulen, findes tæt foran Fimreorganet. Gjelleroret er spinkelt og forholdsvis kort; den forreste Ende er fastgjort til Mund- hulens Loft paa Strekningen fra tste Kropmuskel til lidt bagved 3die. Der findes ca. 60 Fimreplader paa Gjellerorets Forside. Bugfuren er meget kort; den begynder langt nedenfor og noget foran den ryg- stillede Mundaabning paa den nederste Del af Mundhulens Forvæg, er kun svagt krummet og naar neppe hen i Hoide med 2den Kropmuskel. Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen er langaglig, spindel- formig og indtager den bageste Del af Kroppen. Tarmroret, der er videst paa Midten, 33 367 men uden tydelig Adskillelse i Spiserør, Mave og Tarm, danner en snever Løkke. Endetar- men dreier sig forover og udmunder paa venstre Side af Svælget, omtrent i Hoide med samme. Testiklen dannes af lange, tilspidsede, bagtil rettede, mer eller mindre vifteformigt sammenstillede Lapper, der ligge paa hver Side af Tarmkanalen og kunne hos ældre Individer rage ud over denne (cfr. Leuck., p. 50). Fosterets Stilling. Kun et enkelt Foster anlægges paa hoire Side bag 4de Krop- muskel. Fosterets Længdeaxe er parallel med, og Mund- og Kloakaabning vende samme Vei som Kjedesalpens. Salpekjedens Medlemmer ligge i en lang Dobbeltrække. Individernes Længdeaxer danne mer eller mindre spidse Vinkler med Kjedens Længdeaxe. Den enkelte Kjedesalpe ligger med Bugen vendt mod Bugfladerne af to Individer i den modstaaende Række og vender hoire Side mod venstre Side af sin Nabo i samme Række, 0. s. v. — Hver Kjede- salpe har til Forbindelse med Naboer og Gjenboer i Kjeden 8 Heftetraade, stillede i A Længderækker, 2 paa Bugfladen og 1 paa hver Side. Den enlige Salpe (proles solitaria). Kroppen er tondeformig, noget afstumpet i begge Ender, lidt bredere end hoi, saa- ledes at et Snit lagt paatvers gjennem Dyret frembyder en oval Flade. En Fure løber langs Ryggens og Bugens Midtlinie og langs Midten af hver Side. Farven er vandklar med blaaligt Skjær og brunrød Kjærne (cfr. Sars, Nr. 2, p. 79). Store Exemplarer maalte ca. 25™" ; Længden. Kappen er tyk og temmelig fast, næsten bruskagtig; omkring Kloakaabningen løber den ud i 7—8 kortere eller længere, ubevægelige Torne, hvoraf den yderste paa hver Side ofte er af Kroppens halve Længde. - Mundaabningen er endestillet og er meget bredere end den halvmaaneformige, ryg- stillede Kloakaabning. Kropmusklerne ere 6 i Tallet. De 4 midterste gaa bælteformigt rundt om Dyret; Iste Kropmuskel er afbrudt midt paa Ryggen og 6te midt paa Bugen. 2den, 3die og Ade Kropmuskel nærme sig stærkt til hinanden paa Ryggen; {ste Kropmuskel boier sine fri Ender bagtil henimod dette Komplex; længere bagtil paa Ryggen konvergere Ste og 6le Kropmuskel, medens 4de og 5te konvergere paa Bugsiden. Mund- og Kloakrum danne en cylindrisk, i begge Ender afrımdet Hule. Nerveknuden er kugleformig og ligger noget foran Gjellerorets Udspring. Fimreorganet ligner fuldstændigt Kjedesalpens; det er maaske lidt mere langstrakt; og den tentakelagtige Proces er noget længere og tyndere. Vidensk. Selsk. Skr., 6 Række, naturvidensk, og mathem, Afd Il. 8 47 368 34 Gjællerøret er spinkelt og sammentrykt; den til Mundhulens Loft fastgjorte Ende naar omtrent fra Nerveknuden til et Stykke bag 4de Kropmuskel. Der findes omtrent 100 Fimreplader paa Gjællerørets Forside. Bugfuren er smal, svagt og jævnt krummet gjennem hele sin Længde; den begynder tat indenfor Underlæbens Rand og taber sig i Hoide med 5te Kropmuskel. Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen er langagtig rund, linseformigt sammentrykt, uden tydelig Sondring i Spiseror, Mave og Tarm. Fra Svelget gaar Tarmroret skraat nedad bagtil, boier derpaa knæformigt om og stiger skraat opad fortil nedenunder den bagtil lebende Del; først i Svælgets umiddelbare Nærhed, dreier Tarmroret ud fra Midtlinien, idet det krummer sig tilvenstre og udmunder i en rummelig Anus i Hoide med og lidt bagved Svælget. Fosterkjeden ligger i en Spiral omkring Indvoldsmassen; den begynder paa Bug- siden foran Svælget og vender sig strax tilhoire, hvorpaa Kjeden ruller sig spiralformigt 11/4—11/> Gang rundt om Tarmkanalen. Fostrene ligge i to Rækker med Bagenderne vendende udad med Periferien. Findesteder. Atlanterhavet: ! Norges Kyst, Floro og Bremanger, 61° 50° N. Br. (Sars). Shetlands- Oerne (ifl. Gwyn Jeffreys). 3598 AN Brain Gaol av. ile) (Assist-@Steensirup): 2051223 0N Br. 18%36° V. L. (Olrik). 5 48°47° N. Br., 21° V. L. (Hygom). 6 48° 30° N. Br., 5° 30° V. L. (Hedemann) 7 48° N. Br., 38° V. L. (Hygom). 8 47° N, Be, HEY. L. (Koch). 9 46° 23° N. Br., 11° 15‘ V. L. (Reinhardt). 0 45° 43! N. Br., 34° 30° V. L. (Andrea). 1! 45° 30° N. Br., 11° 30° V. L. (Normann). 2 45° 30° N. Br., 36° 50! V. L. (Andrea). 1% 43° N. Br., 32° V. L. (Grønsund). 14 Ca. 43° N.Br., 70° V.L. Vineyard Sound, Mass. (Smithson. Institut). 1! 42° NABr:,r 46> V. I. (Andrea), 284022 N. Br. CSN MA ON Br 20m Vee (Hygom). 1338° 40° N. Br., 15° V.L. (Normann). 1? 38° N. Br., 23° V. L. (Hygom). 20 37° N. Br., 27° V. L. (Hygom). *! 36° 40° N. Br., 17° 25! V. L. (Normann). 22 30° N. Br., 18°—19° V. L. (Hygom). 23 23° 47° N. Br., 24° 31° V.L. (Reinhardt). 24 99° N, Br., 20°—22° V. L. (Hygom). °° 15° 19° N. Br., 24° 54° V. L. (Reinhardt). 26 14° N. Br., 25° V. L. (Hygom). 2 14°—7° N. Br., 16°—19° V. L. (Prosch). ÉMIS MN Br, EVIL ES UN BTE 35 VAR; N Br SHOT 31 4° N. Br., 24° V.L. (Hygom). 32 18° S. Br., 2° V.L. (Andréa). ®® 19° 8° S. Br., 36° 19° V.L.“Warming). °4 35° 31° S. Br., 0° 51° V. L. (Andrea). Middelhavet: 35 «Ad Majorcam» og «in vicinia Yvic®» (ifl. Forskähl). °° 38° 58° N. Br., 10° 32’ ©.L. (Branner). 37 Neapel (Panceri. - - © © Slazione zoologica). or 569 Det Indiske Hav: ! 42° S.Br., 31° @.L. (Strandgaard). ? 39° 54° S. Br., 41° 30° O. L. (Andrea). 3 39° 49° S. Br., 25° 12‘ 0. L. (Thomsen). * 31° 23'S. Br., 73° 53° ©. L. (Mathiesen). © 29° 54° S. Br., 76° 42° O. L. (uden Navn). Det Stille Hav: ! China Søen, Tonghai, 31° 40° N. Br., 125° 50° Ø. L. (Andrea). ” Port Jackson (ifl. Quoy & Gaimard, S. longicauda). ° Tasmanien (Corneliussen). 1 Ny Zeelandshavet, 40° 50° S. Br., 161° 0° ©. L. (Hartmann). Salpa democratica-mueronata, Forsk., Var. flagellifera, mihi. Tab. I, Fig. 12—13. Beskrivelse. Proles gregata. Si ex foetibus proli solitarie exseclis æstimare licel, nihil a prole gregata Lypica Salpæ democraticæ-mucronatæ differre videtur. Proles solitaria. Corpore longo, cylindrico, subdepresso; extremitatibus rolundatis ; ulroque latere aperturæ cloacalis appendice longa, tenuissima, flagelliformi una ornalo. Aperturis terminalibus. Musculis corporis 6 gracilibus, parallelis; primo in medio dorso reflexo et interrupto; sexto in medio ventre interruplo; ceteris corpus cingentibus. Kjedesalpen (proles gregata) synes efter de af den enlige Salpe udskaarne Fostre at domme ikke at afvige fra Kjede- salpen af den typiske Salpa democratica-mucronata. Den enlige Salpe (proles solitaria) afviger fra den typiske Form ved: 1) at der paa hver Side af Kloakaabningen kun findes en lang, tynd, pidskeformig Forlengelse af Kappen, og ved 2) at de 6 Kropmuskler ere indbyrdes parallele. De synes stundom alle at være afbrudte midt paa Ryggen (smlgn. Fig. 12), hvilket Forhold ikke er mig bekjendt for selve Salpa democratica-mucronata’s Vedkommende. Findesteder. Atlanterhavet: 18° S. Br., 2° V.L. (Andrea). Det Indiske Hav: 38° 20° S. Br., 42° 10° ©. L. (Andrea). 0 36 © =] Salpa rnneinata-fusiformis, Cham.-Cuvier. Tab. Il, Fig. 29—31 og 42. Synonymi og Literatur. ?Salpa fasciata, Forsk., p. 115, Tab. 36, Fig. B. — Brug., PI. 75, Fig. 6. — Lam., p. 117. — Blainv., p. 113. Salpa maxima, varielas, Forsk., p.113, Tab. 35, Fig. Aal. Salpa fusiformis, Cuy.'), p. 382, PI. 68, Fig. 5. — Brug., Pl. 74, Fig. 3 5. — Lam., p. 119. — Blainv., p. 117. — Meyen, p. 413 (henforer den til Salpa maxima). Salpa runcinata, Cham., p. 16, Fig. 5 A—l. — Blainv., p. 119. — Meyen, p. All (henfører den til Salpa confoederata). — Sars, Nr.2, p.63, Tab. 8, Fig. 44—45 og Tab. 9, Fig. 1—24. — Krohn, p.113. — Forb. & Hanl., p. 53, Pl. E, Fig. 5—6. — Jeffr., Nr. 1, p. 439 og Nr. 2, p. 303. Salpa moniliformis, M° Culloch, p. 187 (cit. hos Forb. & Hanl.). Salpa clostra, Milne Edwards i Cuvier, Nr. 3, Pl. 121, Fig. 2. Biphora depressa, Sars, Nr. I, p. 51, Tab. 6, Fig. 1—4. Biphora tricuspidata, Sars, Nr.1, p. 56, Tab. 6, Fig. 5—16. Salpa runcinata-fusiformis, Krohn, p. 112—113. — Leuck, p.3, ete., Tab. 1, Fig. 4, 6, 8, Nl, 16—18, Tab. 2, Fig. 1, 3—5, 11, 13—15, 18. Vogt, Nr. 5, p. 6. Beskrivelse. Proles gregata. Corpore ovalo; extremitatibus in appendicem longam, conicam, acuminatam desinentibus (corpore ipso partem tertiam longiludinis tolius occupante). Aper- turis in dorso silis. Musculis corporis 6 in medio ventre inlerruplis; qualuor anlieis æque ac duobus posticis in medio dorso valde approximalis; ramis descendentibus quarli et quinti musculi corporis in utroque lalere approximatis et allingentibus, posteaque diver- gentibus. Proles solitaria. Corpore longo, cylindrico; dorso depresso; extremilale anteriori rotundata, extremilate posteriori truncata, 7—8 spinis brevibus circum aperturam cloacalem. Aperturis terminalibus. Musculis corporis 9 in dorso silis; tribus anticis «que ac duobus posticis in medio dorso approximalis. Kjedesalpen (proles gregata). Kroppen er tondeformig; hver Ende er udstyret med et langt, snart lilhoire, snart tilvenstre boiet, kegleformigt, spidst tillebende Vedhæng, som er en Forlængelse af Kappen. 1) If. Lamarck skrive Cuviers Exemplarer sig fra Pérons og Lesueurs Reise. CS =] Gs 1 (EN Selve den egentlige Krop udgjør omtrent den midterste Trediedel af hele Dyrets Totallængde. Det største Exemplar var ca. 65" langt. Kappen er temmelig tyk og fast, særligt paa Bugsiden. Aabningerne ere rygstillede; Mundaabningen er næsten dobbelt såa bred som Kloak- aabningen. Kropmusklerne ere 6 i Tallet; de strække sig — især de fire forreste — langt ned paa Bugfladen, men alle ere de afbrudte i dennes Midtlinie. Kropmusklerne ere paa Ryggen sammensmeltede med hinanden to og to; de to forreste Grupper tangere hinanden i Midt- linien, hvorimod den bageste Gruppe er langt fjærnet fra de øvrige. Noget nede paa hver Side af Kroppen tangere 4de og ôte Kropmuskel hinanden, hvorefter de atter divergere; denne Tilnærmelse mellem åde og 5te Muskel finder ikke Sted hos Kjedesalpen af Salpa africana-maxima, der i Henseende til Antal og Lejringsforhold af Kropmusklerne ganske ligner nærværende Form. Mund- og Kloakhule danne tilsammen et aflangt Rum, noget bredere end høit, videst paa Midten. Nerveknuden er lille, rund, noget fladtrykt, med et lille, keglestubformigt Syns- apparat. i Fimreorganet er langstrakt, med seglformigt krummet i Mundhulens Loft indsænket Bund; det ligger omtrent midt imellem Overlæbens Rand og Iste Kropmuskel, lige foran Gjællerørets Forende. Gjællerøret er ret kraftigt bygget, fastvoxet til Mundhulens Loft til omtrent i Hoide med {ste Kropmuskel. Der findes ca. 150 Fimreplader paa Gjællerørets Forside. Bugfuren begynder dybt nede paa Mundhulens Gulv med opadboiet Forende, er jævnt krummet gjennem hele sin Længde og standser foran Svælget i Hoide med Ste Krop- muskel. Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen er pæreformig, noget sammentrykt, med lodret opad vendende Spids; den ligger nedenunder Kloakrummets bageste Del med sin største Runding nedad, noget tilhojre. Tarmroret er videst midtpaa. Ende- larmen stiger op paa venstre Side af Svæiget og udmunder i en tragtformig, noget sammen- trykt Anus. I levende Live er Tarmkanalen ifl. Sars af rodgul Farve. Testiklens Blindsække ere forenede under Tarmkanalen til en saddelformig Masse; de ere slillede næsten radiært i de to Sidelapper. Tarmkanalens Rygside forbliver ubedækket af dem (cfr. Leuck., p. 50). Fosterets Stilling. Der findes kun anlagt et enkelt Foster indvendig paa hoire Side af Kloakrummet, mellem 5le og 6te Kropmuskel, nærmest den første af disse. Sars for- tæller (Nr. 2, p. 74), at han har set Fosteret bevæge sig meget livligt inde i Kjedesalpen. 372 38 Salpekjedens Medlemmer ordne sig efter Fodselen saaledes, at deres Længdeaxer komme til at ligge parallelt med Kjedens Længdeaxe. Hvert Individ staar i Forbindelse med 4 andre Individer af Kjeden; med sin Bugflade er den knyttet til henholdsvis bageste og forreste Halvdel af Bugfladerne af to Individer i den modstaaende Række, medens det fortil er forbundet med Bagenden af det foranliggende Individ og bagtil med Forenden af det bagved liggende Individ i samme Række (smlgn. Kjeden hos Salpa cordiformis-zonaria). Kjeden svommer, som allerede Chamisso (p. 11) angiver, for det meste i en ret Linie; hvert Individ trækker sig ifl. Sars (Nr. 2, p. 72) sammen for sig. Kjedens Medlemmer løsnes overordentlig let fra hinanden f. Ex. ved Irritation, eller naar den løftes op af Vandet. Den enlige Salpe (proles solitaria). Kroppen er lang, foroven flad, forneden sterkt hvælvet, jævnt afrundet og noget fladtrykt fortil, lige afskaaren, dobbelt saa hoj som bred bagtil. Et Tværsnit gjennem Midten af Kroppen giver en næsten trekantet Flade. Omkring Kloakaabningen løber Kappen ud i 7—8 korte, stumpe, faste Torne; fra hver: af disse udgaar en lav Kjol fortil, som hurtigt taber sig. Den Kjel, der kommer fra den nederste, stundom spaltede Torn deler sig bag ved Indvoldsmassen og taber sig paa begge Sider af denne (smlgn. Sars, Nr. 2, p. 65). Kroppens Længde ca. 70™™. Kappen er fortil tynd; tykkere, mere bruskagtig paa Bugens bageste Del. Aabningerne ere endestillede, rykkede temmelig langt op mod Rygsiden. Mund- aabningen er bredest, halvmaaneformig, med stærkt fremspringende Underlebe. Kropmusklerne ere 9 i Tallet; de gaa tværs over Ryggen og standse i Hoide med hinanden, kort efter at de ere boiede om paa Siderne. De tre forreste og de to bageste konvergere i Ryggens Midtlinie; de mellemliggende lobe parallelt. Mund- og Kloakhule gaa jævnt over i hinanden, omtrent ens vid overalt. Nerveknuden er temmelig stor og ligger lidt bagved Fimreorganet. Synsapparatet er bredt og knapformigl; Pigmentet er ordnet i en hesteskoformig, fortil aaben Bue. Fimreorganet ligger midtveis mellem Overlæbens Rand og Iste Kropmuskel, lige foran Gjællererets Forende; det er noget mere langstrakt, men iøvrigt af samme Form som Kjedesalpens. Gjælleroret er langt og spinkelt; det er ophængt til Mundhulens Loft indtil bagom 2den Kropmuskel. Der findes ca. 180 Fimreplader paa Gjællerorets Forside. Bugfuren udspringer langt nedenfor Mundaabningen med opadboiet Forende, er jævnt krummet i hele sit Lob og standser først ved Svelget. Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Den indtager Kroppens laveste Parti og ligger noget foran den nederste Torn, under og lidt foran de to bageste Kropmuskler. 39 273 Indvoldsmassen er aflang, lindseformigt sammentrykt, i levende Live har den ifl. Sars (Nr. 2, p.67) en rodgul Farve. Fosterkjedens Stilling minder meget om Forholdel hos Salpa costata- Tilesii (ikke hos Salpa africana-maxima); Kjeden begynder paa Bugsiden, tæt foran Tarmkanalen og strækker sig fremad paa heire Side af Midtlinien; omtrent i Hoide med Ste eller 6te Krop- muskel boier den knæformigt venstre om og lober paa venstre Side af Midtlinien bagtil forbi Tarmkanalen. Fostrene vende alle Bagenden udad mod Periferien. If. Sars (Nr. 2, p. 71) fades Kjeden — som sædvanligt stykkevis — gjennem en i delte Oiemed gjennem- brudt Aabning i Nærheden af den nederste Torn. Findesteder. Atlanterhavet: ! Norges Kyst, Flora og Bremanger, 61° 50° N. Br. (Sars). 2 Færøerne (J. Steenstrup). * Orkenoerne (Steenstrup; Igl. if. Herdman og flere Eng. og Skotske Forf.). * Hebriderne (ifl. Herdman). > 60° 4‘ N. Br., 18° 33’ V. L. (Assist. Steenstrup). © 59° 37° N.B., 87 VoL. (Olrik). 7 59° N.Br:, 225° V.L. 28 58142 NB 2915 VoL. (Bang): 22572237 NB, 182362 Vol. (Olrik) 10°46° N. Br. 24° VY. L. (Hygom). !! 46° N. Br., 37° 10° M. L. (Andrea). 1? 41° 10° N. Br., ita? We Las (Normann) MS EN EBr TB Webs ate ING Br 8 31/09 Vol: (Hygom)) 259365 404 N. Bri, 23° 165 V. L.=(Andrea)., 2° 36°.IN. Br: 28° VL. (Hygom). 17 33° 48° N. Br., 53°10‘ V. L. (Garde). 15 26° N. Br., 22° V. L. (Hygom). 19 25° N. Br., 32° V.L. (R. Nielsen). 7° 23° 28/4’ N. Br., 31° 28! V. L. (Mathiesen). BOE WN Wego Wa LEB EN Br SPP I ee TRING Br LS Ye, (bes Be Wel ein, eee 00 eS VID SSN Br. 2522 elle (Ey om) 27552290! N. Br., 22° 38° V. L. (Reinhardt, Galath. Exp.) 78 3° N. Br., 27° V. L. (Hygom). 2202102 Sy ie, tle 1G? Weligs OS EE GES Pr 22500 D Andrea) Middelhavet: %! Malaga (J. Collin). - Det Indiske Hav: + 42° S.Br., 31° ©.L. (Strandgaard). ? 40° Al’ S.Br., 85° 22° ØL. (Harlmann}= 29° 5445) pr, ENGE UDLØSE MES DIS Br, 81556) OL: DAT SAA] OS S. Br., 73/4° ©.L. (Mathiesen). Det stille Hav: ! 0°, 105° Q. L., N.f. Banka (Strandgaard). ? 40° 50‘ S. Br., 161° 0‘ Q. L., Ny Zeelandshavet (Hartmann). Salpa afrieana-maxima, Forsk. Tab. Il, Fig. 32—34 og 44—45. Synonymi og Literatur. Salpa maxima, Forsk., p. 112, Tab. 35, Fig. A (undt. A, 1), Tab. 36, Fig. H. — Brug., PI.74, Fig.2. — Bosc, Nr. 1, p. 178. — L., Nr. 3, p. 3129, Nr. 1. — Lam., p. 116. — Quoy & Gaim., Nr. 5, p. 503, PI. 73, Fig.3. — Blainv., p. 117. — Cuvier, Nr. 3, PI. 120; 121, Fig. 1 og Pl. 122. — Shaw, vol: 7, Tab. 232. — Meyen, p. 412 (som mindre rigtigt regner S. runcinala, gregata, Cham., og vistnok ogsaa med Urette S. dubia, Cham., herhen). — Costa, Nr. 1, p. 195, Tav. I—II. Salpa africana, Forsk., p. 116, Tab. 36, Fig. C. — Brug., PI. 75, Fig. 7. — Bosc, Nr. I, p. 180. — Lam., p. 117. — Costa, Nr. I, p. 226. Salpa birostrata, Blainv., p. 119. Salpa Forskalii, Lesson, Nr. 2, p. 272. Salpa africana-maxima, Krohn, p. 112—113. — Vogt, Nr. 3, p. 6. Beskrivelse. Proles gregata. Corpore longo, cylindrico; extremitatibus in appendicem brevem, conicam desinentibus. Aperturis in dorso sitis. Musculis corporis 6 in dorso silis; qualuor anticis æque ac duobus posticis m medio dorso approximatis; ramis descendentibus quarti et quinli musculi corporis in ulroque latere non approximatis. Proles solitaria. Corpore longo, cylindrico; extremitate anteriori depressa, subro- tundata; extremitale posteriori alla, truncata, spinis nullis. Aperturis terminalibus. Museulis corporis 9(—10) parallelis in dorso silis (duobus aut tribus anticis rarissime in medio dorso approximalis). Kjedesalpen (proles gregata). Kroppen er langstrakt, med fladtrykt Ryg og hvælvet Bug; hver Ende er udstyret med en i Sammenligning med Forholdet hos Rjedesalpen af Salpa runcinata-fusiformis kort, tilspidset, kegleformig Forkengelse af Kappen. En stor Pukkel neden under det bageste Vedhængs Udspring gjemmer Indvoldsmassen. Totallengden udgjor ca. 150™™. Kappen er temmelig Lyk og bled; den Del, der omgiver Indvoldsmassen, er haard og bruskaglig. Aabningerne ere rygstillede, Mundaabningen næsten dobbelt saa bred som Kloak- aabningen. Kropmusklerne ere 6 i Tallet; to og to ere de sammensmeltede paa Midten af Ryggen; medens de tvende forreste Grupper alter langere hinanden i Midtlinien, staar den Dole 7 | ? 41 3 bageste Gruppe fjærnt fra de øvrige. Den for Kjedesalpen af Salpa runcinata-fusiformis eiendommelige Tilnærmelse mellem 4de og Ste Kropmuskel et Stykke nede paa hver Side finder ikke Sted hos nærværende Art; desuden naa Kropmusklerne ikke nær saa langt om paa Bugsiden som hos Salpa runcinata-fusiformis. Mundhulen og Kloakrummet danne tilsammen et aflangt, i begge Ender jævnt af- rundet Rum, som gjennemgaaende er noget bredere end hoit. Nerveknuden er lille og kugleformig; den ligger midtveis mellem Mundaabningen og tste Kropmuskel. Synsapparatet er lille, næsten kugleformigt med stærkt indkneben Hals. Fimreorganet dannes af en temmelig hoi, sammentrykt Hule, hvis opadvendende Bund er stærkt krummet, især fortil, bagtil strækker den sig lige bagud og standser i Gjellerorets øverste Del. Gjelleroret er svært bygget, sammentrykt; foroven er det fastgjort til Mundhulens Loft indtil bag om 2den Kropmuskel. Bugfuren er opadkrummet fortil og løber helt hen til Svalget. Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform og ligger langt tilbage; Tarmroret er videst paa Midten; Svælg og Anus vende fortil. Testiklen ligger i Tarmlokken. Fosterets Stilling. Der findes kun anlagt et enkelt Foster indvendig paa hoire Side af Kloakrummet imellem de divergerende Ender af dte og 6ie Kropmuskel. Salpekjedens Medlemmer ere stillede i to Rækker, ikke som Krohn (p. 126) antyder parallelt med Kjedens Liengdeaxe, men Individernes Længdeaxer danne spidse Vinkler med Kjedens Længdeaxe, hvilket iovrigt allerede er angivet af Quoy og Gaimard. Den enlige Salpe (proles solitaria). Kroppen er langstrakt, fladtrykt paa Rygsiden, stærkt hvælvet paa Bugsiden; medens den næsten lige afskaarne Bagende er kjendelig hoiere end bred, gjør del omvendte For- hold sig gjældende for den stumpt afrundede Forendes Vedkommende. Hoit oppe paa Bagenden ligger Kloakaabningen, hvorimod dens laveste Parti indtages af Indvoldsmassen. Det største Exemplar var 135™™ Jangt. Kappen er forholdsvis tynd paa Rygsiden, tykkere paa Bugsiden; særlig tyk og fast er den Del, der omgiver Indvoldsmassen. Aabningerne ere endestillede, Mundaabningen særdeles bred; Underlæben rager noget frem foran Overlæben; Kloakaabningen er lille, oval og rigt udstyret med Ringmu- skulatur. Kropmusklerne ere 9 i Tallet, den {ste er stedse noget bagtil krummet midt paa Rygfladen; iøvrigt løbe Musklerne parallelt og standse i samme Høide, kort efter at de ere Vidensk. Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 8. 48 376 42 boiede om paa Siden (i enkelte, sjældne Tilfelde har jeg set Iste og 2den Kropmuskel nærme sig noget til hinanden midt paa Ryggen; ogsaa spores en Gang imellem en Tilnær- melse af den midterste Del af de tre forreste Kropmuskler). Mundhulen er langstrakt, næsten firkantet i Tversnit, fortil noget bred og lav; bag lil gaar den jævnt over i Kloakrummet, der hurtigt indsnevres henimod Kloakaabningen. Nerveknuden er lille, kugleformig og ligger et godt Stykke foran Iste Kropmuskel, lige bagved Fimreorganet. Synsapparatet dannes af en lille, kegleformig, paa Nerveknudens forreste, overste Del siddende, spids Udvext. Fimreorganet er af en ret ejendommelig Form, som lettest vil forstaas af Figuren. Gjelleroret er svært bygget, noget sammentrykt, især fortil; det er fastgjort til Mundhulens Loft paa Strækningen fra Fimreorganet indtil Bagranden af 2den Kropmuskel. Bugfuren løber skraat nedad bagtil, helt hen til Svælget. Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform; dens Stilling og Udseende er omtrent som Kjedesalpens. Fosterkjeden begynder foran Tarmkanalen og lober halveirkelformig uden om den venstre Side af Indvoldsmassen. Findesteder. Atlanterhavet: 7 529 47! N. Br., 13° 10°-V.L. (Branner). ? 47° N.Br., 9° V.L. (Hygom). 3 46° N.Br., 10° V. L. (Stübe). + 43° 30’ N. Br., 32° 40° V. L. (Andrea). © 42° 38° N. Br., 29° 34° V.L., Azoriske Øer (Warming). © «In freto Gaditano» (ifl. Forskähl). 7 41° 15‘ N.Br., 15° 30° V. L. (Andrea). 8 40° N.Br., 26° V.L. (Hygom). ° 39° N Br, 84° Va 1. (Andréa) 20738 NH Br 230208, 342 v2 Le; OO TE Nbr E27 V.L. (Hygom). !? 36° N. Br., 20° V.L. (Andrea). '!? 35° 30° N. Br., 28° 13° V.L. (Andréa). 127359 N Br se Vol. 155342INSBr SOS AVG CIN Br292305 V.L. (Hygom). 17 29° 0° S. Br., 11°30 ©. L. (Andrea). !° Cap Hoorn (ifl. Meyen). Middelhavet: 1° 36° 17: N. Br., 3° 27° V. L. (Branner). «Ad jlittora Tunetana» (ifl. Forskähl). Neapel (Panceri). Det indiske Hav: ! 35° 12° S. Br., 26° 0‘ Ø.L.; ? 30° 14° S. Br., 37° 50° O. L. (Hartmann). 3 97° 30° S. Br., 98° 0’ @. L. (Andrea). Salpa cylindrica, Cuvier. Tab. I, Fig. 22, Tab. II, Fig. 35—37 og 43. Synonymi og Literatur. Salpa cylindrica, Cuvier"), Nr. 1, p.381, Pl. 68, Fig. 8—9). — (Lgl. i Mém. Moll., p. 22 + Fig. 8—9). — Lam., p. 119. — Blaïnv., p. 113. — Meyen, p. 417. ’ Jasis cylindrica, Sav., p. 124, PI. 24, Fig. 2. Salpa elongata, Quoy & Gaim. (ifl. Blainv., p. 113). Salpa coerulescens, Cham., p.22, Fig. 9. ?Salpa Garnotii, Lesson, Nr. 2, p. 270, Pl. 6, Fig. 6. ?Salpa cymbiola, Dall, p. 159. Beskrivelse. Proles gregata. Corpore ovalo; extremitatibus in appendicem sublongam, conicam desinentibus. Aperturis in dorso silis. Musculis corporis 5, omnibus in ventre interruplis; tribus anticis et duobus posticis in medio dorso coalitis, omnibus in medio dorso approximalis. Proles solitaria. Corpore longissimo, cylindrico; extremitatibus truncatis, spinis nullis. Aperturis terminalibus. Musculis corporis 9, omnibus in medio ventre interruplis; musculis quatuor anticis in medio dorso approximalis. Kjedesalpen (proles gregata). Kroppen er aflang, forholdsvis kort og bred, nogel fladtrykt og tilspidset i begge Ender. Største Exemplar var 9%" langt. Kappen er tyk, især paa Siderne, fast og bruskagtig; baade for og bag lober den ud i et kort, bredt, kegleformigt Vedheng. Aabningerne ere rygstillede, Mundaabningen omtrent dobbelt saa bred som Kloak- aabningen. Kropmusklerne ere 5 i Tallet, samlede i to Grupper, tre i en forreste og to i en bageste; begge Grupper tangere hinanden midt paa Ryggen. Alle Kropmuskler ere afbrudte paa Bugsiden, paa hvilken de tre i den forreste Gruppe naa længst ned. Den bageste Kropmuskel lober bagud paalangs ad Siden; i Heide med Kloakaabningen afgives en Gren til hver Vig af denne; omtrent samtidig gaffeldeler Musklen sig, idet en spinklere Gren !) Arten er ifl. Lamarck og Blainvillle først hjemført af Péron og Lesueur. 48” 378 44 fortsælter Retningen bagud, medens Muskelens Hovedmasse drejer ned paa Bugsiden og forsvinder, inden den naar Midtlinien. Mundhulen er oval, bredere end høi. Nerveknuden er temmelig stor, kugleformig; den ligger midlveis mellem Mundaab- ningen og {ste Kropmuskel. Synsapparatet er lille og fremadrettet. Fimreorganet er langstrakt og smalt; dets bageste Del løber ned paa Gjællerørets Forende; Grubens i Mundhulens Loft dybt indsænkede Bund er jævnt krummet i hele sin Længde. Gjællerøret er kort og fladt, svært bygget; dets Forende er fastgjort til Mundhulens Loft paa Strækningen fra Fimreorganet lil den forreste Rand af Iste Kropmuskel. Der findes omtrent 40, udadtil brede, midtpaa smalle Fimreplader paa Gjællerørets Forside, Bugfuren er fortil noget opadkrummet; den naar ikke Svælget, men standser om- trent i Hoide med de nedre Ender af 4de Kropmuskel. Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen er kugleformig ; Tarmrorel er temmelig kort, midtpaa noget buget. Testiklens Form og Leiringsforhold kan jeg ikke udtale mig om, da de undersøgte Individer kun vare smaa og næppe nok havde en Antydning af Testikel. Fosterets Stilling. Kun et enkelt Foster findes anlagt indvendig paa hoire Side af Kloakrummet under 4de Kropmuskel. En Kjedesalpe paa ca 8™™s Længde havde i sig et Foster paa "=, hvorpaa tydeligt det for den enlige Salpe sædvanlige Muskeltal og Muskel- stilling kunde erkjendes. Salpekjeden og Individernes Stilling i samme efter Fødselen er mig ukjendt. Den enlige Salpe (proles solitaria). Kroppen er stærkt forlænget, cylindrisk, noget fladtrykt, især fortil, lige afskaaret i begge Ender. Største Exemplar var 42"" langt. Kappen er temmelig tyk og fast. Aabningerne ere endestillede; Mundaabningen er som sædvanlig noget bredere end Kloakaabningen. Kropmusklerne ere 9 i Tallet alle afbrudte paa Bugsiden. De fire forreste Krop- muskler konvergere midt paa Ryggen; de øvrige ere parallele. Mundhulen er lang og cylindrisk, fortil bredere end høi. Nerveknuden ligger midtveis mellem Overlæbens Rand og {ste Kropmuskel; den er lille, kugleformig, med et fladt, knapformigt Synsapparat. Fimreorganet ligner i Udseende og Leiringsforhold Kjedesalpens. Gjællerøret er langt og lemmelig spinkelt; Forenden er fastgjort til Mundhulens 45 379 Loft paa Strækningen fra {ste til bag om 3die Kropmuskel. Der findes ca {35 Fimre- plader paa Gjællererets Forside. Bugfuren begynder tet indenfor Underlæbens Rand og lober uden Krumninger helt hen til Svælget. Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen, som er beliggende mellem 7de og 9de Kropmuskel, ligner en Flaske med en temmelig lang, lodret opstigende Hals. Tarmroret er videst lidt foran Midten; Endetarmen stiger lige i Veiret og udmunder i en tragtformig Anus. Fosterkjeden ligger paa Bugsiden; den begynder tet foran Indvoldsmassen og strækker sig uden Krumninger lige fortil, under Bugfuren, til lidt foran sammes Midte. Findesteder. Atlanterhavet: ! 20° N.Br., 36° V.L.; ? 18° N.Br., 25° V.L. (Hygom). ° 13° N. Br., 31° V.L. (Strandgaard). 4 6° N. Br., 28° V.L.; © 3° N. Br 22° V..L. (Hygom). 6 35° 31° S. Br., 0%51° V. L. (Andrea). Det Stille Hav: 0° Br, 105° ©.L., Javaso; Chinasoen (Strandgaard). Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim. — Cuvier. Tab. I, Fig. 10—11, Tab. II, Fig. 38—41 og 47. Synonymi og Literatur!). Thetys vagina, Til., p. 150—165, Tab. V—-VI. Salpa Tilesii, Cuvier, Nr. I, p. 375, PI. 68, Fig. 3 og 6. — Lam., p. 118. — Blainv., p. 109. — Meyen, p. 415. Salpa costata, Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 504, P]. 73, Fig.2, og Nr.2, p. 37. — Blainv., p. 122. — Meyen, p. 419. — Krohn, p. 114. Salpa bigibbosa, Quoy & Gaim., Nr. I, p. 504, PI.73, Fig. 1, og Nr.2, p.38. — Blainv., p. 122. — Meyen, p. 419. Salpa gibbosa, Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 506, PI.73, Fig.7. — Blainy., p. 122. — Meyen, p. 419. Salpa infundibuliformis, Quoy & Gaim., Nr. I, p. 508, PI.73, Fig. 13, og Nr. 2, p. 42. — Blainv., p.110. — Meyen, p. 420. Salpa costata-Tilesii, Krohn, p. 114 (opstiller Formodningen om, at S. costata og S. Tilesii høre sammen). — Vogt, Nr. 3, p. 7. 1) Home afbilder den enlige Salpe under Navnet «Dayyza strumosa, Banks» paa Tab. 71; ligeledes giver han en Figur af Kjedesalpen paa Tab. 72 under Betegnelsen »another species of dagyza». 380 46 Beskrivelse. Proles gregata. Corpore robusto, subcompresso; appendicibus nullis. Aperturis terminalibus. Musculis corporis 5 in dorso silis; tribus anticis in medio dorso interruptis el approximatis; duobus posticis parallelis. Proles solitaria. Corpore robusto, inprimis antice; extremitate posteriori depresso. Aperluris lerminalibus; utroque latere apertura cloacalis cornu longo, curvo, in extremitate depresso. Musculis corporis 18—22 in dorso sitis, medio dorso interruptis. Kjedesalpen (proles gregata). Kroppen er svær, lidt sammentrykt, med fladtrykt Ryg og sterkt hvelvet Bug. Det største Exemplar var ca, 190"" langt. Kappen er tyk, bruskagtig, hist og her forsynet med korte Pigge, især paa den Del, som dækker Indvoldsmassen, og som springer pukkelformigt frem paa Bugen; hos ganske smaa kun faa Millim. lange Individer, som jeg udtog af den enlige Salpe, vare disse Torne meget tydelige og forholdsvis kolossale (Fig. 10 og 11). Undertiden forefandt jeg dog en fuldstendig glat Overflade hos store Exemplarer. Aabningerne ere endestillede; Mundaabningen er særdeles bred og har en meget tyk Underlæbe; den ovale, med stærk Ringmuskulatur udstyrede Kloakaabning sidder paa Spidsen af den skraat opstigende, tudformige Bagende; Kloakaabningens Rande ere tynde og skarpe. Kropmusklerne ere fem i Tallet; de tre forreste ere afbrudte midt paa Ryggen, hvor de iovrigt nerme sig sterkt til hinanden; de to bageste Kropmuskler ere indbyrdes parallele og stundom, dog ikke allid, afbrudte midt paa Ryggen. Alle fem Kropmuskler labe sig i Højde med Mundvigene, saaledes at Bugen er aldeles fri for Muskulatur. Mundbulen er rummelig, noget hoiere end bred; den gaar jevnt over i det heni- mod Kloakaabningen tragtformigt indsnevrede Kloakrum. Nerveknuden er forholdsvis meget lille; Synsapparatet er ligeledes lille og knap- formigt. Fimreorganet minder i Udseende og Leiringsforhold meget om det samme Organ hos Salpa scutigera-confoederata. Gjelleroret er kraftigt bygget, forholdsvis kort, sammentrykt, ophængt til Mund- hulens Loft indtil i Højde med {ste Kropmuskel. Der findes ca. 60 Fimreplader paa Gjælle- rorets Forflade. Bugfuren begynder dybt nede under den store Underlæbe paa Mundhulens Guly; den lober helt hen til Svalget. = Vt: OTR a 5 Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. I levende Live er Indvoldsmassen ifl. Quoy og Gaimard af en brændende red Farve og lyser.i Mørke. Svælget er tragt- formigt og ligger lidt tilhoire for Midlinien; Tarmroret er videst midtpaa; Endetarmen stiger skraat opad og udmunder i en rummelig, tragtformig, sammentrykt, skraat afskaaret Anus. Testiklen ligger halvkugleformigt uden om Tarmens nederste Halvdel. Fosterets Stilling. Som hos Salpa cordiformis-zonaria og Salpa hexagona anlægges flere Fostre; kun fra en enkelt Lokalitet (27° N. Br., 64° V. L., Hovgaard °/s 1883) fore- findes paa Universitetets zoologiske Museum et Par Exemplarer paa ca. 10°%s Længde med Fosteranleg. Der findes 3, næsten ens store Fostre paa hoire Side af Kloakrummets Ryg- parti, lige bagved 4de Kropmuskel. Salpekjeden kjender jeg kun i Fostertilstanden. Jeg formoder, at Medlemmerne af Kjeden efter Fodselen gruppere sig som Kjedesalperne af Salpa democratica-mucronata, og at Individernes Længdeaxer danne spidse Vinkler med Kjedens Længdeaxe. Den enlige Salpe (proles solitaria). Kroppen er svert bygget, iser fortil, noget fladtrykt henimod Kloakaabningen, hvor den tillige bliver meget smal. Noget foran hver Vig af Kloakaabningen udgaar et langt, udad og bagtil krummet, i Spidsen fladtrykt, fast, gronligt farvet Horn. Det største Exem- plar var 192” langt, heri ikke iberegnet Hornene, hvis Længde udgjorde 34™™. Kappen er tyk, bruskagtig og fast, iser paa Bugsiden for det pukkelformige Partis Vedkommende, som omgiver Indvoldsmassen. Aabningerne ere endestillede; den særdeles brede Mundaabning har tykke Leber, iser er Underleben stærkt fortykket; den ovale, med tynde Rande udstyrede Kloakaabning sidder paa Spidsen af den tudformige Bagende. Kropmusklernes Antal varierer noget. I Reglen forefindes 20 Tværmuskler paa hver Side af Ryggens Midllinie; dette Tal kan stundom forøges til 22 eller synke ned til . 18; ofte træder desuden den Eiendommelighed til, at der en Muskel mere paa den ene Side end paa den anden. Mundhulen er omtrent saa hoi som bred; den gaar jævnt over i det bagtil stærkt indsnevrede Kloakrum. Nerveknuden er megel lille og har et særdeles lille Synsapparat; den ligger et godt Stykke bag Fimreorganet, lidt foran den Iste Kropmuskel. Fimreorganet er omtrent som hos Kjedesalpen. Gjelleroret er svært bygget, sammentrykt, ophængt til Mundhulens Loft indtil om- trent i Hoide med Ade Kropmuskel. Der findes ca. 85 Fimreplader paa Gjellerorets Forside. Bugfuren er jevnt krummet igjennem hele sin Længde og lober helt hen til Svælget. Tarmkanalen er som hos Kjedesalpen; kun synes Anus at springe noget mere frem bagtil mellem to temmelig store, bruskagtige, morgenstjerneformige Processer fra den indre Kropvæg. Indvoldsmassen er ifl. Quoy og Gaimard i levende Live orangerad. Fosterkjedens Stilling minder om Forholdet hos Salpa runcinata-fusiformis; ligesom hos denne strækker den sig fra Svælget fremad paa Bugsiden, boier derefter knæformigt om og løber næsten parallelt med og paa venstre Side af det fortilgaaende Parti bagtil og standser omtrent i Hojde ıned Anus. Findesteder. 2 Atlanterhavet: ! Ved Indlobet til Kanalen (ifl. Blainville). >” 43° N. Br., 12° V. L. (Andréa). MO HAN Br Oe Ve Des MOIN BE MEN MES MO DEN ES AT VEN (Hygom). © Azoriske Der (Warming). 7 36° N. Br., 27° V.L.; ° 35° N. Br., 31° V.L. (Hygom). ? 35° 20° N. Br., 24° V.L. (Andrea). 1° Madeira,-2 Mile fra Land (Reinhardt, Galath. Exp.). 1! 28° N. Br., 25° V.L. (Iversen). !? 27° N. Br., GAS Volen(Hoveaard))) DES TN Bre? 2 VAT S tube) SIN BTE 5 Von Slrandgaard) 2002 INS Br. 22V. ELERS SES SB ry ED GAVE VE UE) SA SIDO TESS Br 2508 DVD-R (Andrea). Middelhavet: (ifl. Krohn og Vogl). Detelndiske Hays) CMOS SC BES ØER OASE Dr ENS SD DO DR MOSS RTE S. Br., 89° 0‘ ©. L. (Andréa). * 21° 50° S. Br., 63° 40° ©. L. (Hartmann). Det Stille Hav: + Japan (Salmin). ? Mellem Marianerne og Sandwichsaerne, 38° N. Br. (if. Quoy & Gaim.: S. bigibbosa. I Nærheden af Selskabsøerne (ifl. Quoy & Gaim.: S. gibbosa.) Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim. — Pall. Tab. I, Fig. 18—21. Synonymi og Literatur. Holothurium zonarium, Pall., p.26, Tab. I, Fig. 17 A—C. Salpa polycratica, Forsk., p. 116, Tab. 36, Fig. F. — Brug., PI. 75, Fig. 5. — Bosc, Nr. I, palsies — NE pel SOseNra lie ram pelle RISSO NDS Blainv., p. 116. — Meyen, p. 414. Holothuria zonaria, L., Nr. 3, p. 3142, Nr. 18. Salpa zonaria, Brug., Pl. 73, Fig. 8—10. — Lam., p. 118. — Cham., p. 12, Fig. 3 A—G. — Blainv., p. 115. — Eschricht, p. 303 (og fremdeles), Tab. Il, Fig. 16, 18—23. — Herdman, p. 113. D 0 49 383 Salpa cordiformis, Quoy & Gaim., Nr. 4, p. 226, PI.8A, Fig. 3—6. — Blainv., p. 120. — Eschricht, p. 301 (og fremdeles), Tab. I, Fig. 1—4, Tab. II, Fig. 5—10, Tab. HI Fig. 11—15 og 17, Tab. IV, Fig. 23 (bis) — 36. — Vogt, Nr. 1, p.33, Fig. 1. Salpa microstoma, Quoy & Gaim., Nr. 4, p. 226, PI. 8 A, Fig. 7—9. 1 Salpa unicuspidata, Quoy & Gaim., iflg. Blainv., p. 116. ?Salpa quadrangularis, Lesson, Nr. 2, p.268, Pl. 6, Fig. 2. Salpa cordiformis-zonaria, Krohn, p. 112—113. Beskrivelse. Proles gregata. Corpore longo, depresso; extremitalibus in appendicem conicam, acuminatam desinentibus. Aperturis in dorso sitis. Musculis corporis 6, latis, parallelis ; omnibus in medio ventre interruptis, primo et secundo et in medio dorso interruptis. Proles solitaria. Corpore longissimo; extremitate anteriori truncata, extremitate posteriori in spinam brevem, conicam, acuminatam desinente. Apertura oris terminali, apertura cloacali in dorso sita. Musculis corporis 6, latissimis, parallelis, et in medio dorso et in medio ventre interruptis. Kjedesalpen (proles gregata). Kroppen er aflang, forholdsvis kortere og bredere end hos den enlige Salpe, noget fladtrykt, især paa Ryggen. Forenden lober ud i et stumpt, kegleformigt Vedheng; lige- ledes forlenger Bagenden sig ud i et ofte dobbelt saa langt, noget tyndere, i Reglen mere tilspidset, skjævt tilhoire siddende Vedhæng. Begge disse Vedheng ere Forlængelser af Kappen. Ca. 50™™ lang. Kappen er temmelig tyk, fast og bruskagtig. Aabningerne ere rygstillede; Mundaabningen betydelig bredere end Kloakaabningen. Kropmusklerne ere 6 i Tallet, brede, indbyrdes parallele; alle ere de afbrudte paa Bugens Midte; de to forreste tillige midt paa Ryggen. Mundhulen er bredere end hoi, afrundet for og bag. Nerveknuden er kugleformig og ligger umiddelbart bagved Fimreorganet. Fimreorganet er langstrakt og smalt og ligner Fimreorganet hos den enlige Salpe; det ligger lige foran 2den Kropmuskels forreste Rand. Gjelleroret er tyndt og spinkelt; dets forreste Ende er fastgjort til Mundhulens Loft paa Strekningen fra 2den Kropmuskels Bagrand til midt under 4de Kropmuskel. Bugfuren begynder med brat opadkrummet Spids dybt neden under Mundaabningen og naar hen i Hoide med 4de Kropmuskels Bagrand. Vidensk. Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 8. 49 384 50 Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform; Indvoldsmassen er kugleformig og ligger forholdsvis lengere fortil end hos den enlige Salpe, neden under den bageste Del af Kloakrummet. Testiklen ligger som et halvkugleformigt Overtræk omkring Tarmkanalens nederste Del. Fosterets Stilling. Der findes 4 Fostre paa lige saa mange forskjellige Udviklings- stadier indvendig paa hoire Side mellem 5te og 6te Kropmuskel; det længst fortil liggende Foster er det største, det bageste det mindst udviklede (smlgn. Salpa hevagona). Salpekjedens Medlemmer ligge i to Rekker; Kjedesalpernes Lengdeaxer ere parallele med Kjedens Længdeaxe (smlgn. Salpa runcinata-fusiformis). Den enlige Salpa (proles solitaria). Kroppen er sterkt forlenget og noget fladtrykt, især fortil. Et Tværsnit gjennem Kroppen i Hoide med Kloakaabningen frembyder en firkantet Flade. Skraat nedad bagtil udgaar en bred, kegleformig, spids Forlængelse, der indeslutter Indvoldsmassen og Foster- kjeden. Det største Exemplar maalte 65"" i Længde. Kappen er temmelig tyk, fast og bruskagtig. Mundaabningen ligger som en bred Tværspalte paa den lige afskaarne Forende. Kloakaabningen er rygstillet, halymaaneformig og langt smallere end Mundaabningen. Paa hver Side af Kloakaabningen danner Kappen et skarpt Hjorne. Kropmusklerne ere 6 i Tallet, særdeles brede, parallele og afbrudte saavel paa Ryggens som paa Bugens Midte. Den bageste Kropmuskel er kun udviklet paa Siderne af Ryggen. Mundhulen er firkantet i Tværsnit, hoiere bag end for. Nerveknuden er dobbelt saa bred som lang og ligger i Hoide med Mellemrummet mellem iste og 2den Kropmuskel, tæt foran Gjællererets Udspring. Synsapparatet er fladt. Fimreorganet er langstrakt, lige og tilspidset i begge Ender; det ligger et Stykke foran Nerveknuden. Gjællereret er langt og spinkelt; den til Mundhulens Loft fastgjorte Ende naar fra 2den Kropmuskel til hen i Hoide med Mellemrummet mellem 4de og 5te Kropmuskel. Bugfuren begynder tet indenfor Underleben, og efter et ganske lige Lob standser den lidt foran Svelget. Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform og ligger bagved Kloakrummet i den allerede ovenfor omtalte Forlængelse af Kroppens Bagende. Fosterkjeden er snoet spiralformigt uden om Tarmkanalen. “~ on 51 385 Findesteder. Atlanterhavet: ! 48° N.Br., 8° V.L. (Hygom). ? 46° 23° N. Br., 11° 15° V.L. (Reinhardt). 5 46° N. Br., 18° V. L. (Hygom). oo Ne Br, Wile Veo. BTS) > Extra fretum Gaditanum» (ifl. Forsk). © 37° N. Br., 10° og ° 15° V.L. (Friis). & 34° 22" N. Br., 18° 10° V. L. (Reinhardt). ? 34° N. Br., 54° V. L.; 31° N. Br., 61° V. L. (Hovgaard). 1° 30° 16° N. Br., 37° 16° V. L. (Warming). 1! 30° N. Br., 134° V.L. (Hygom). !? 25° 5‘ N. Br., 32° V.L. (R. Nielsen). 1% Vestindien, Øen Antigua (ifl. Pallas 216 NN Br so 10.22 1.5, I ME CON Dr 302 41V. 1 (Warming): 16 15° 19° N. Br., 24° 54° V.L. (Reinhardt). 17 12° N. Br., 26° 30° V.L.; 78 5° 24° N. Br., 26° 30° V. L. (E. von Benzon). 1°? 4° 25° N. Br., 36° V. L. (Kjellerup). NT SaBrn 822522 Vell, (BezyoneBenzon) 2 14S.Br.., 282 00+. Veli. (War- ming). 22 20° 14° S. Br., 1° 4’ V. L. (Andréa). °° 36° 34° S. Br., 2° 0‘ V. L. (Andrea). 24 36° 45° S.Br., 7° 36° V.L. (Reinhardt). Middelhavet: 2° 36° 29° N. Br., 2° 28° V.L. (Branner). °° Malaga (J. Collin). Det Indiske Hav: ! 38° 50° S. Br., 28° 30° ©. L. (Andrea). ? 35° 12’ S. Br., 26° 0‘ Q. L.; 3 34° 30° S. Br., 27° 50° ©. L. (Hartmann). * 5° 21° S. Br., 81° 26° ©. L. (Mathiesen). 5 3°9° N. Br., 84° 44° ©.L. (Reinhardt). Det Stille Hav: ! China-Soen, ved Manila (Galath. Exp.). ? 40° 50° S. Br., 161° 0° ©. L. (Hartmann). Salpa hexagona, Quoy & Gaim. Tab. I, Fig. 14—17. Synonymi og Literatur. Salpa hexagona, Quoy & Gaim., Nr. I, p. 505, Pl. 73, Fig. 3. — Quoy & Gaim., Nr. 2, p. 39, Pl. 1, Fig. 4 (cit. hos Blainv., p. 122 og Meyen, p. 419). ?Salpa triangularis, Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 511, PI. 74, Fig. 9—10. ?Salpa biensis, Blainv., p. 123 (Beskrivelsen er gjort efter en Tegning af en Naturforsker paa en engelsk Expedition til Congo). ?Salpa lineata, Less., Nr. 2, p. 268, Pl.6, Fig. 5 og 5 bis, Beskrivelse. Proles gregata. Corpore longo, ventricoso, cristis longitudinalibus 4 serratis ornato; extremitate anteriori subacuminata, extremitate posteriori truncata. Aperturis terminalibus. Musculis corporis 7 latis, in medio ventre interruptis, primo et in medio dorso interruplo; musculis 4 anticis in medio dorso approximatis. 49" 386 52 Proles solitaria. Corpore longissimo, cylindrico, cristis longitudinalibus 6 valde prominentibus ornato; extremitatibus truncatis; crista utriusque lateris media et a dextra et a sinistra parte aperture cloacalis in appendicem longam, cylindricam desinente. Aper- turis terminalibus. Musculis corporis 11, latissimis, parallelis, omnibus in medio ventre interruptis. Kjedesalpen (proles gregata). Kroppen er langstrakt, cylindrisk, noget buget paa Midten, løber spidst ud bagtil, stumpt tilspidset fortil; ca. 38"" lang. Kappen er temmelig tyk og fast; langs hver Side løbe to savtakkede, fremsprin- gende Lister, der bagtil fortsætte sig ud paa en Proces af Kappen, som rager ud over Kloakaabningen, neden under denne. Aabningerne ere endestillede; Mundaabningen er bred; den svagt tilspidsede Under- lebe rager frem foran Overlæben, saaledes at Mundaabningen kan siges at være i Begreb med at vandre op paa Rygsiden. Kropmusklerne ere 7 i Tallet, særdeles brede; den bageste er næsten dobbelt saa bred som en af de andre; alle tabe de sig i Hoide med hinanden paa Dyrets Sider; Iste Kropmuskel, der er ikke saa lidt smallere end de ovrige, er tillige afbrudt midt paa Ryggen. De 5 forreste Kropmuskler nerme sig sterkt til hinanden paa Midlen af Ryggen. Mundhulen er cylindrisk og gaar bagtil over i et noget snevrere Kloakrum. Nerveknuden er lille og kugleformig; den ligger lige foran 2den Kropmuskel i Hoide med Gjellererets forreste Ende. Synsapparatet er lille, kegleformigt og fremadrettet. Fimreorganet er lille (ca. IY/e”® langt hos et Individ paa 38"") og smalt; det ligger foran Gjellerorets forreste Ende. lovrigt minder det i Henseende til Formen i høj Grad om Fimreorganet hos S. cordiformis-zonaria. Gjelleroret er temmelig langt og spinkelt; noget sammentrykt, især i sit overste Parti; det er fastgjort til Mundhulens Loft paa Strækningen fra lidt foran 2den Kropmuskel til Forranden af 4de Kropmuskel. Bugfuren tager sin Begyndelse paa Mundhulens Gulv lige under Mundaabningen, er opadkrummet i sin forreste Ende, iovrigt lige, og lober helt hen til Svelget. Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen er langagtig; dens Længdeaxe er parallel med Kroppens. Endetarmen løber lige bagtil og udmunder i en rummelig, skraat afskaaret, tragtformig Anus. Testiklen var hos de af mig undersogte Exemplarer lille, men ret tydelig, aflang, ulappet og havde sit Leie i Tarmlokken. Fosterets Stilling. Der findes anlagt 4 Fostre indvendig paa hoire Side af Kloak- rummet under og bagved 6te Kropmuskel (Fig. 17, s, s‘, s‘ og s‘“); det længst fortil lig- 53 387 gende Foster er det største, det bageste det mindst udviklede. Paa det største Foster, der kun maalte ca. 3"" i Længde, saa jeg tydeligt 11 Kropmuskler. Salpekjedens Form og Individernes Stilling i Kjeden kjender jeg ikke. Den enlige Salpe (proles solitaria)*). Kroppen er stærkt forlænget, cylindrisk, svagt tondeformigt udvidet midtpaa, jævnt afrundet i begge Ender. Incl. Tornene paa Bagenden 71"" lang, uden Tornene 57™™ lang og ca. 12™™ bred. Kappen er temmelig tyk, fast, bruskagtig og udstyret med II Lengdelister, hvoraf de 3 paa hver Side (Fig. 16, 2, 7 og d) og de to paa Ryggen (Fig. 15, « og a‘) løbe ud i et temmelig tyndt og langt, men fast, trindt og spidst Vedheng paa hver Side af Dyrets Bagende. Aabningerne ere endestillede. Mundaabningen ses som en særdeles bred Tvær- spalte paa Forenden; Underleben er kun ubetydeligt længere end Overlæben. Kloakaab- ningen er oval med sin storste Diameter paatværs af Kroppen; den ligger lige midt paa Bagenden. Kropmusklerne ere 11 i Tallet, særdeles brede, især den bageste; langs Ryggens Midtlinie have de el karakteristisk zigzagagtigt Forleb, der dog ikke gjælder for de 3 forrestes Vedkommende; nogle Muskelfibre fra de foranliggende Muskler lobe nemlig skraat bagtil og forene sig med de bagvedliggende Muskler; alle de forovrigt parallele Kropmuskler ere afbrudte paa Bugsiden. Mundhulen er cylindrisk. Nerveknuden er temmelig stor og ligger usædvanligt langt tilbage under d5te Krop- muskel, kun lidt foran den bageste Del af Gjællerarets til Mundhulens Loft fasthæftede Forende. Synsapparatet kjender jeg ikke. Fimreorganet er langt og smalt og ligger lige foran Gjællerorets forreste Ende. Gjælleroret er langt, spinkelt og sammentrykt, især i sit forreste Parti; det er fastgjort til Mundhulens Loft paa Strækningen fra 2den Kropmuskels forreste Rand til forreste Rand af 6te Kropmuskel. Fimrepladerne paa Gjellerorets Forside gre særdeles tætstillede. Bugfuren begynder i Forranden af Iste Kropmuskel, har et lige Forleb og naar helt hen til Svælget. Tarmkanalens Form og Forleb er som hos Kjedesalpen. 1) Til min Disposition har der kun været 1 helt Exemplar og nogle tomme Kapper. 388 54 Fosterkjedens Stilling kjender jeg ikke ret meget til. Der var paa det af mig sete Exemplar kun et ganske kort, tyndt Rer med begyndende Udvikling af Kjedesalper; det laa nedenfor Bugfurens bageste Spids og krummede sig derfra tilvenstre bagud. Findesteder. Det Indiske Hav: 1 33° 20'S. Br., 33° 0‘ ©. L. (Andréa. ? 1° 20 S. Br., 89° 37° ©. L. (Hansen & Thalbitzer). 3 3°9° N. Br., 84° 44‘ O. L., (Reinhardt, Galathea Exp.). Det Stille Hav: ! I Nærheden af Karolinerne paa 13° N. Br. (ifl. Quoy & Gaim.). >” Ny- hollandshavet, 40° 50° S. Br., 161° 0° ©.L. (Hartmann). angiver, at det er den Artsbetegnelse. enten, at jeg telse ber annulleres. Findes der ikke vedfoiet noget af disse tre Mer- ker, saa er Betegnelsen at opfatte som et Synonym her i dette Arbeide brugte slet ikke kjender Formen, 2 — eller at jeg kun har vage Formodninger om, hvor den skal henfores. at Navnet er bleven eller efter min Opfat- Nomenclator Salparum. usitatam. * denotat significationem 0. — nomen jam rejiciendum esse. speeiei 389 in hoe opusculo me aut formam plane ignorare, aut valde dubitare, quo referenda sit. rejectum vel meo judicio Ubi nulla nota adponitur, nomen pro synonymo dum est. til en af de i dette Arbeide omhandlede Arter. cuidam in hoe opusculo commemorate speciei haben- Biphora democratica. — depressa. — mucronata. — tricuspidata. Dagyza strumosa. Dubreullia cirrhosa. Holothuria caudata. — denudata. — thalia. — zonaria. Holothurium zonarium. Jasis cylindrica. Pegea octophora. Pterolyra beroides. Salpa affinis. — africana. — africana-maxima. — amphoræformis. — antarelica. — antheliphora. — aspera. — bicaudata. 1758 1788-91) 1774 1816 1816 1830 1819 1775 1846 1830 1832 1819 1826 Costa, Nr.2, p.7, Tav. Il. Sars, Nr. 1, p.51, Tab. VI, Fig. 1—4. Costa, Nr. 2, p 3, Tav. I, Fig. 1—3. Sars, Nr. 1, p.56, Tab. VI, Fig. 5—16. Banks, ifl. Home, PI. 71. Lesson, Nr. 2, p.278, PI.6, Fig. 7. L., Nr. 1, p.657. L., Nr. 1, p. 657. L., Nr. 1, p. 657. L., Nr. 3, p. 3142, Nr. 18. Pall., p.26, Tab. 1, Fig. 17 A—C. Sav., p. 124, Pl. 24, Fig. 2. Sav., p. 124, PI. 24, Fig. 1. Less., Nr. 2, p. 378. Cham., p. 11, Fig. 2 A—F. Forsk, p.116, Tab. 36, Fig. C. Krohn, p. 112—113. Less., Nr. 2, p.270, Pl. 5, Fig. 3. Meyen, p. 416, Tab. 29, Fig. 1. | Pér. & Les., Tab. 30, Fig. 3 a. | Cham, p- 14, Fig. 4. Quoy & Gaim., Nr. 4, p. 225, PI. 8 A, Fig. 1—2. ~ . cordif.-zonaria, pr. . cordif.-zonaria, pr. . democr.-mucron., pr. sol. . rune.-fusif., pr. gr. . democr.-mucron., pr. gr. . Tune.-fusif, pr. sol. . eostala-Tilesii, pr. sol. . democr.-mucron., pr. sol. . pinnata. pinnata. pinnata. ua I g2 . cylindrica, pr. sol. . seutig.-conf., pr. gr. Rimeligvis ingen Salpe. S. afric.-max., pr. sol. Doliolum sp. seutig.-conf., pr. gr. var. 390 | 56 Salpa bicornis. 1819 | Cham., p. 20, Fig. 8. ? | — biensis. | 1827 Blainv., p. 123 |?]|s. hexagona, pr. sol. — bigibbosa. | 1824 Quoy & Gaim., Nr. 1, p.505, PI.73, Fig. 1. | | S. costata-Til, pr. sol. — bipartita. 1804 | Bory de Saint Vincent, p. 134, PI. 6, Fig. 3. | o | Diphyes dispar. — birostrata. 1827 | Blainv. p. 119. S. afrie.-max., pr. gr. — Caboti. 1848 | Desor, p. 75. S. democr.-mucron., pr. sol. | & gr. — caudata. | 1816 | Lam, p.119. (efr. L., Nr. 1, p. 657). | | S. pinnata. — clostra. | 1828 | Milne-Edw., Cuv., Nr. 3, Pl. 121, Fig. 2. | S.runcin.-fusif., pr. gr. — coerulea. | 1828 | Delle Chiaje, Nr. 1 p. 60. 2 | — coerulescens. | 1819 | Cham., p. 22, Fig. 9. | S. eylindrica, pr. sol. — confoederata. 1775 | Forsk., p.115, Tab. 36, Fig. A. S. seutig -conf., pr. gr. — cordiformis. 1827 | Quoy & Gaim., Nr. 4, p.226, PI.8A, | S. cordif.- zonaria, pr. sol. | Fig. 3—6. | — cordiformis-zonaria. | 1846 | Krohn, p. 112—113. 5 — costala. | 1824 | Quoy & Gaim., Nr.1, p. 504, PI.73, S. costata.-Til., pr. sol. Fig. 2. — costata-Tilesii. | 1854 | Vogt, Nr. 3, p.7 (Krohn udtaler For- | " modning om, åt de to Former høre | | | sammen). | | — cristata. | 1804 | Cuvier, Nr. 1, p. 366, Pl. 68, Fig. 1—2. S. pinnata, pr. gr. — cyanea. 1828 Delle Chiaje, Nr.1, p.63; Nr. 2, p. 39, | ? | S. pinnata, pr. sol. | Tav. 79, Fig. 12. | — cyanogaster. | Per. & Les., Tab. 30, Fig. 3. ? | S. demoer.-muer., pr. gr. — cylindrica. +-1804 | Cuvier, Nr. 1, p. 381, PI. 68, Fig. 8—9. — eymbiola. 1872 | Dall, p. 159. ? | S. cylindrica. — democratica. 1775 | Forsk. p.113, Tab. 36, Fig. G. S. democr.-mucron., pr. sol. — democratica-mucronata. | 1846 | Krohn, p. 112—113. z — dolicosoma. | 1883 | Todaro, Nr. 2, p. 41—43. S. dolie.-virg., pr. sol. — dolicosoma-virgula. | 1883 | Todaro, Nr. 2, p. 42. =) — dolium. | | Quoy & Gaim., Nr. 5, p. 575, PI. 90, S. seutig.-conf., pr. | Fig. 1—8. — dubia. 1819 | Cham., p. 18, Fig. 6. ? — elongata. | Quoy & Gaim (ifl. Blainv., p. 113). | S. cylindrica, pr. sol. — emarginata. | 1824 Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 511, Pl. 74, | ? | Fig. 11—12. | — fasciata. 1775 Forsk., p. 115, Tab. 36, Fig. B. ? | S.rune.-fusif., pr. sol. — femoralis. Quoy & Gaim., Nr. 5, p. 587, PI. 88, S. scutig -conf. pr. gr. | Fig. 1—5. — ferruginea. 1819 | Cham., p. 23, Fig. 10 A—D. S. seutig.-conf., pr. gr. — flagellifera. | 1881 | Traustedt. S. democr.-mucron., var. — Forskalii. 1830 | Lesson, Nr. 2, p. 276, PI. 4, Fig. 1. | S. afrie.-max. — fusiformis. 1804 | Cuvier, Nr. I, p. 382, Pl. 68, Fig. 11. S. runc.-fusif., pr. gr. a Salpa Garnotii. — gibba. gibbosa. hereulea. hexagona. informis. infundibuliformis. lævis. lineata. lingulata. longicauda. maxima. mierostoma. moniliformis. mucronata. neapolitana. nephodea. octophora. pelasgica. pinnata. polycratica. polymorpha. proboscidalis. punetata. pyramidalis. pyramidalis. quadrangularis. rhomboides. rubrolineata. runcinata. runcinata-fusiformis. seutigera. seutigera-confoederata. 1775 1841 1830 1804 1802 1775 1775 1824 1830 1775 1826-34 1830 1830 1824 1830 1819 1846 1804 1854 391 | Lesson, Nr. 2, p.271, PI.6, Fig. 6. | Bosc, 2nd éd., 1827, p. 178, PI. 20, Fig. 5. | Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 508, PI. 73, Fig. 13. | Dall, p. 158. | Quoy &Gaim., Nr. 1, p. 505, PI.73, 3. Fig. Quoy & Gaim,, Nr. 1, p. 510, Pl. 74, Fig. 8. Quoy & Gaim., Nr. I, p. 508, PI. 73, Fig. 13. Lesson, Nr.2, p. 273, Pl. 6, Fig. 3. Lesson, Nr. 2, p.268, Pl. 6, Fig. 5. | Blumenb., Nr. 30 (Thalia lingulata). | Quoy & Gaim., Nr. I, p. 507, PI. 73, Fig. 8. Forsk., p.112, Tab. 35, Fig. A (A 1 excl.) etc. Quoy & Gaim., Nr. 4, p. 226, PL 8 A, Fig. 7—9. Me Culloch, p. 187. | Forsk, p. 114, Tab. 36, Fig. D. | Delle Chiaje, Nr.2, p.40, Tav. 76, Fig. 1. Lesson, Nr. 2, p.275, Pl. 5, Fig. 1. Cuvier, Nr. 1, p. 379, Pl. 68, Fig. 7. Bose, Nr. 1, p.181, Tab. 20, Fig. 4. Forsk., p. 113, Tab. 35, Fig. B. | Forsk., p. 116, Tab. 36, Fig. F. | Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 512, PI. 73, Fig. 3—4. Lesson, Nr. 1, p.95, PI. 33, Fig. 2. Forsk., p. 114, Tab. 35, Fig. C. Quoy & Gaim., Nr. 5, p. 593, Tab. 89, Fig. 15—18. Lesson, Nr. 2, p.271, PI.6, Fig. 2. Lesson, Nr. 2, p.268, PI.6, Fig. 2. Quoy & Gaim., Nr. I, p. 510, PI. 74, Fig. 3—4. Lesson, Nr. 2, p. 272, Pl. 5, Fig. 5. | Cham., p. 16, Fig. 5 A—J. Krohn, p. 112—113. Cuvier, Nr. I, p. 377, PI. 68, Fig. 4—5. Vogt, Nr. 3, p. 6. Vidensk Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. IL 8. | S. seutig.-conf., pr. S n . cylindrica, pr. sol. FA . scutig.-conf., pr. sol. an . costata-Til., pr. sol. un . eostata-Til., pr. gr. n -seulig.-conf,, pr. gr. S. hexagona, pr. gr. S. demoer.-mueron., pr. gr. S >. democr.-mucron., pr. sol. | S.afric.-max., pr. gr. n . cordif.-zonaria, pr. gr. S. rune.-fusif., pr. sol. [777 . demoer.-mueron., pr. ST, . costata.-Til., pr. gr. nn . scutig.-conf., pr. gr. . pinnata, pr. sol. S. cordif.-zonaria, pr. gr. Rimeligvis ingen Salpe. S. pinnata, pr. gr. S. demoer.-muer. | S. cordif.-zonaria, pr. sol. S. rune.-fusif., pr. sol. S. seutig.-conf., pr. sol. 58 Salpa sipho. socia. solitaria. spinosa. suborbicularis. {balia. Tilesii. triangularis. tricuspida. tricuspidata. unicuspidata. vaginata. virgula. vivipara. zonaria. Thalia, Nr. 1—3. lingulata. Thetys vagina. 1775 1802 1775 1823 1824 1816 1804 1824 1830 1824 1827 1819 1854 1774 1756 1810 1802 Forsk., p. 115, Tab. 43, Fig. C. Bose, Nr. 1, p. 180, PI. 20, Fig. 1—3. Forsk., p. 116, Tab. 41, Fig. E. Otto, p. 303, Tab. 42, Fig. 1 a—d. Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 509, PI 74, Fig. 5—7. Lam., p.119 (cfr. L, Nr. I p.657). Cuvier, Nr.1, p.375, Pl. 68, Fig. 3 og 6. Quoy & Gaim., Nr. I, p. sit, PI. 74, Fig. 9—10. Lesson, Nr. 2, p. 272. Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 503, Pl. 73, Fig. 6. Quoy & Gaim., ifl. Blainv., p. 116. Cham., p. 19, Fig. 7 A—G. Vogt, Nr.3, p. 11, Tab. 5, Fig. 12—13. Per. & Les., Tab. 30, Fig, 3. Pallas, p. 26, Tab. 1, Fig. 17 A—C. | Browne, p. 384, Tab. 43, Fig. 3—4. | Blumenb., Nr. 30. Tilesius, p. 150, Taf. 5—6. nu nn mn mn Clavellina sp. S. sculig.-conf., pr. gr. Horer til Asc. simplices. S. democr.-mucron., pr. sol. S. pinnata. S. costata.-Til., pr. gr. S. hexagona, pr. gr. S. cordif.-zonaria, pr. sol. S. dolievsoma - virgula, pr. gr. . seutig.-conf., pr. sol. . cordif.-zonaria, pr. gr. . pinnata. . democr.-muer., pr. gr. .costata-Til., pr. 59 Fig. 393 Tavleforklaring. a. Mundaabning. o. Overlæbe. b. Kloakaabning. p. Finneformigt Vedhæng. e. Blindtarm. q Hjærte. d. Fimrebuer. r. Gjællerer. e. Bugfure (Endostyl). s. Foster. f. Fimreorgan. t Tarm. g. Nerveknude. u. Underlebe. h. Piacenta. r » Anus. i. Eleoblast (Fedtkugle). x. Nucleus. k. Testikel. y. Basis af de Traade, hvormed Kjedesalper have I. Linieformigt Organ. været fæstede til deres Naboer i Kjeden. m. Svelg. Forklaringen af Bogstaverne, der ere vedfojede Fig. n. Fosterkjede. 42— 47, findes under Forklaringen til Fig. 42. Tavle I. Salpa pinnata, Forsk., en Kjedesalpe, set fra venstre Side. Det finneformige Vedhæng (p) til Forbin- delse med de ovrige Medlemmer af Kjeden, den neden under Bugfuren (e) og Testiklen (k) liggende, udstrakte Tarmkanal (¢) med Anus (v) helt fortil og desuden det linieformige Organ (J) gjør denne Form let kjendelig fra alle andre Salper. Individet er fremstillet med et lille Foster (s), der skinner igjennem fra Indrefladen af Kloakrummets heire Side. Samme Art, en anden Kjedesalpe, set fra heire Side; Musklerne ere udeladte. Tarmkanal, Testikel, Bugfure og Fimrebuer ere tydeligere end paa foregaaende Figur; Fosteret (s) er paa et mere frem- rykket Stadium. Tildels Kopi efter C. Vogt. Samme Art, en enlig Salpe, ungt Individ set ovenfra. Samme Individ, set fra venstre Side. De 5 linieformige Organer (/) foroven paa hver Side er det mest karakteristiske ved denne Form. Ligesom hos den enlige Salpe af S. affinis (Fig.7 og 8) og S. dolicosoma-virgula (af hvilken der ikke existerer nogen Tegning) er Tarmkanalen lagt op langs Gjællererets Rygside. Individet bærer endnu Fostermærkerne (% og à). Fosterkjeden (n) er endnu kun særdeles lille. Samme Art, et voxent Exemplar af den enlige Salpe set fra hoire Side. Kroppens Muskler ere ude- ladte paa denne Figur. Fosterkjeden er her tydelig, og Individet er i Færd med at fode en Kjede, hvis Medlemmer strax have grupperet sig i en Kreds. Tildels Kopi efter Vogt. Salpa affinis, Cham., en Kjedesalpe set fra venstre Side. Den boileformigt sammenkrummede Tarm- kanal (t), som ligger i en stor, pukkelformig Udvæxt fra den bageste Del af Bugsiden, Mangelen af linieformige Organer og Kropmusklernes Konstellationer gjer den let kjendelig fra Kjedesalpen af Salpa pinnata, med hvilken den ellers i saa mange Forhold stemmer overens. 50* 60 Samme Art, en enlig Salpe sel fra Ryggen. Ligesom hos Kjedesalpen mangle ogsaa her de for Salpa pinnata saa karakteristiske linieformige Organer. Samme Individ set fra venstre Side. Som paa Fig. 4 af Salpa pinnata ses ogsua her Fostermer- kerne (4 og 7). Fosterkjeden er ligeledes paa dette unge Exemplar endnu kun svagt udviklet. lovrigt forholder Fosterkjeden sig ganske som hos Salpa pinnata i Henseende til Stilling og den gradvise Udvikling af Kjedesalperne, uden Spring i Udviklingen. Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt, en Kjedesalpe set fra heire Side. Det finneformige Vedheng (p) har den tilfælles med Kjedesalperne af de to foregaaende Arter; med Hensyn paa Tarmkanalens (t) Leiringsforhold mindes man om Salpa affinis. Den skraat opad rettede, lange, stærkt. tilspidsede, kegleformige Forlængelse af Kroppens Bagende, i hvilken Testiklen (%) har sit Leie og den rygstillede Kloakaabning (2) er særdeles karakteriske Kjendetegn for denne Form. Kopi efter Vogt. Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim. — Cuy., et Medlem af en Fosterkjede, udskaaret af en enlig Salpe, set fra Ryggen. De 5 Kropmuskler ses meget tydeligt. Samme Individ set fra heire Side. Eleoblasten (*) ligger i en stor pukkelformig Udvæxt fra den bageste Del af Bugen lige under Tarmkanalen. Eiendommeligt for Fosteret er den særdeles stærkt fremspringende Overlæbe (0), det svære Gjællerer (r) og de forholdvis store Torne, der ses spredte omkring paa Kappens Overflade, og som i Reglen tabe sig paa det voxne Exemplar (smlgn. Fig. 40—41). Salpa democratica-mucronata, Forsk. var. flagellifera, en enlig Salpe set fra Ryggen. De 6 næsten parallelt liggende Kropmuskler og Udstyrelsen med kun et langt, pidskeformigt Vedhæng pea hver Side af Kloakaabningen gjør den let kjendelig fra Hovedtypen (Fig. 25— 26). Et andet enligt Salpeindivid af samme Art set fra højre Side. Fra Fimreorganets (f) Basis rager som hos Hovedtypen en særdeles tydelig, svagt S-formigt krummet, ubevægelig, tentakelagtig Proces (*) ned i Mundhulen. Salpa hexagona, Quoy & Gaim., en enlig Salpe set fra Ryggen. Denne Form skjelnes med stor Lethed fra alle andre Salper ved sin eiendommelige Muskulatur og sine talrige Lengdelister paa Kap- pens Overflade. Nerveknuden (g) ligger længere tilbage end hos nogen anden mig bekjendt Salpe. Kappen af et andet Individ af samme Art set fra Ryggen, til Oplysning om de karakteristiske Længde- lister. a og a‘ tilhøre udelukkende Rygsiden, medens $ og /' er den øverste Liste paa hver Side. Samme Kappe set nedenfra, lidt fra hoire; længst borte skimtes Listen 2, midt paa Siden ses Listerne 7 og Ö, paa hver Side af Bugen e og =‘ og midt paa samme den eneste uparrede Liste €, ialt 11 Længdelister. Samme Art, en Kjedesalpe, opklippet langs venstre Side og udbredt. Af de brede Kropmuskler kon- vergere 2den, 3die, 4de og dte midt paa Ryggen. De 4 Fostre (s, s‘, s‘ og s‘“) ligge under 6te Kropmuskel. Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim. — Pall., en enlig Salpe set fra Ryggen. Samme Individ set fra Bugen. Fosterkjeden (x) er endnu kun lille. Denne Form er let kjendelig ved sine 6 særdeles brede, parallele, saavel paa Ryg som paa Bug afbrudte Kropmuskler og sin spidst tillebende, kegleformige Bagende. Bagenden af et stort, gammelt Individ for at vise den fuldt udviklede Fosterkjede. Kopi efter Eschricht. En Kjedesalpe af samme Art set fra Ryggen. Kropmusklerne ere til Stede i samme Antal — 6 — som hos den enlige Salpe; de ere brede, parallele, alle afbrudte paa Bugsiden, de 2 forreste tillige paa Rygsiden. Som hos S. hexagona (Fig. 17) findes her flere Fosteranlæg (s, s‘, s“ og s‘“! imellem ste og Gte Kropmuskel paa hoire Side af Kloakrummet. Salpa cylindrica, Cuv., et Medlem af en Fosterkjede, udskaaret af en enlig Salpe. Skjont Exemplaret endnu ikke er bleven tenformigt (smlgn. Fig. 37), vil det dog let kunne skjælnes fra andre Salper paa Grund af den eiendommelige Muskelkonstellation. roma: cuis 3 vs” 61 Fig. 31. 37. 38. 39. 395 Tavle II. Salpa scutigera-confoederata, Cuy. — Forsk., et ungt Exemplar af en enlig Salpe, set fra hoire Side. Ligesom hos Kjedesalpen (Fig. 24) dannes af de 4 Kropmuskler to skjæve Kors paa Ryggen. De endestillede Aabninger og den kun lidt bag Bugens Midte liggende Tarmkanal gjor denne Form let kjendelig fra Kjedesalpen, selv om Fosterkjeden (x) som i dette Tilfælde endnu kun er svagt udviklet. En Kjedesalpe af samme Art; hos denne er Kloakaabningen (6) rygstillet og Tarmkanalen (x) rykket helt bag ud. Fosteret (s) er i dette Tilfælde kun ganske lille. Salpa democratica-mucronata, Forsk., en enlig Salpe set fra Rygsiden, Samme Individ set fra Bugsiden. Denne Form lader sig paa Grund af sine Muskelkonstellationer og sine 7—8 Vedhæng omkring Kloakaabningen vanskelig forvexle med nogen anden Salpe. Lige- som kjedesalpen er dennes Fimreorgan ved sin Basis udstyret med en ubevægelig, svagt S-formigt krummet tentakelagtig Proces, som imidlertid ikke ses paa disse to Figurer, men som er fremstillet paa Fig. 27 (*) af den herhen hørende Kjedesalpe og ligeledes maaske endnu tydeligere ses paa Fig. 13 ("), der gjengiver Varieteten flagellifera. En Kjedesalpe af samme Art, set fra venstre Side. Samme Individ set fra Rygsiden. Karakteristisk og let ioinefaldende ere de 4 Kropmuskler og deres særegne Konstellation. Fosteret (s) er hos dette Individ endnu kun lille. Salpa runcinata-fusiformis, Cham. -— Guv., en enlig Salpe set fra Ryggen. Samme Individ set fra Bugen. Af gode og sikre Kjendetegn for denne Form kan fremhæves de 9 Kropmuskler, af hvilke de tre forreste og de to bageste henholdsvis konvergere paa Midten af Ryggen, de stumpe Torne omkring den endestillede Kloakaabning og Fosterkjedens (n) eiendommelige Forlob. En Kjedesalpe af samme Art set fra Ryggen. De 6 Kropmuskler ere grupperede som hos Kjede- salpen af Salpa africana-mazima, Forsk. (smlgn. Fig. 34), men medens Ade og Ste Kropmuskel hos S. runcinata-fusiformis konvergere paa hver Side af Ryggen, staa de samme Muskler langt fjarnede fra hinanden hos S. africana-maxima'). Salpa africana-maxima, Forsk., et ungt Individ af den enlige Form, set fra den venstre Side; det bærer endnu Fostermærkerne, og dets Fosterkjede (n) er endnu kun svagt udviklet. Samme Individ set fra Ryggen. De 9 smalle, oftest parallele Kropmuskler, Fosterkjedens Leirings- forhold og det særegent byggede Fimreorgan (smlgn. Fig. 45) gjør denne Form let kjendelig. En Kjedesalpe af samme Art set fra Ryggen. Smlgn. Forklaringen til Fig. 31. Salpa cylindrica, Cuv., en enlig Salpe set fra Ryggen. Samme Individ set fra Bugen. Ligesom hos de enlige Former af S. runcinata-fusiformis og S. afri- cana-maxima findes her 9 smalle Kropmuskler, men de 4 forreste hos nærværende 8. cylindrica konvergere midt paa Ryggen, et Forhold man ikke finder hos de to andre. Endelig er Foster- kjedens (n) Leie og lige fremad rettede Forløb særegent for S. cylindrica. En Kjedesaipe af samme Art set fra Ryggen. Medens Kjedesalperne af S. runcinata-fusiformis og S. africana-maxima have 6 Kropmuskler, forefindes her kun 5, samlede i te Grupper, der begge konvergere midt paa Ryggen. Den forskjellige Længde af de kegleformige Udvæxter fra Kappen i begge Ender af Kroppen, som findes hos Kjedesalperne af S. cordiformis-zonaria, S. runcinata-fusi- formis, S. africana-maxima og 8. cylindrica have ingen eller kun liden Betydning i systematisk Henseende. Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim. — Cuv., en enlig Salpe set fra Ryggen. Samme Individ set fra Bugen. Foruden de to hornformigt krummede, fladtrykte Udvæxter, en paa hver Side af Kloakaabninfen, afgive de særdeles talrige Kropmuskler (ca. 20) gode Kjendemærker. Denne Form minder i Henseende til Fimreorganet (f) om den enlige Salpe af S. africana-maxima, medens Fosterkjeden (n) omtrent har samme Form og Stilling som hos S. runcinata-fusiformis. 1 En Sammenligning mellem Figurerne paa den ene Side af Kjedesalperne af S. africana-maxima, 8. runcinata-fusiformis og S. cylindrica og paa den anden Side af de samme tre Arters enlige Salper vil — forekommer det mig — let overbevise en om, at de staa i et nært Slægtskabsforhold til hinanden. . 40. 41. 42. 43. Ad. 45. 46. 47. 62 En Kjedesalpe af samme Art set fra Ryggen. Samme Individ set fra hojre Side. De endestillede Aabninger, de 5 kun paa Ryggen udviklede, smalle Kropmuskler og deres indbyrdes Konstellationer og de tre Fosteranlæg (s) gjer denne Salpe- form let kjendelig. Skematisk Fremstilling af Fimreorganet af Salpa runcinata-fusiformis, den enlige Form, set fra venstre Side. o, Aabningen, som forer ind til Fimreorganets Hulhed; f, Hulhedens faste Bund; 9, Nerveknuden med paasiddende Sanseorgan. Det samme af Salpa cylindrica, den enlige Form. Det samme af Salpa africana-maxima, Kjedesalpen. Det samme af samme Art, den enlige Form. Det samme af Salpa scutigera-confoederata, Kjedesalpen. Det samme af Salpa costata-Tilesii, Kjedesalpen, af et Foster paa samme Trin som det ved Fig. 10 og 11 afbildede Individ. 63 ÉTÉ 397 Explication des Planches, a. Orifice oral. o. Lèvre supérieure. b. Orifice cloacal. p. Appendice pinniforme. e. Cœcum. g. Cœur. d. Bandes ciliées. r. Tube branchial. e Endostyle. s. Embryon. J. Organe vibratile. t. Canal intestinal. g. Ganglion nerveux. u. Lèvre inférieure. h. Placenta. v. Anus. i. Oléoblaste. x. Nucléus. k. Testicule. y. Base des fils par lesquels les salpes agrégés I. Organe liniaire. étaient liés entre eux dans la chaine. m. Pharynx. L’explication des lettres des Fig. 42—47 se trouve n. Chaine d'embryons. dans celle de la Fig. 42. Planche I. Salpa pinnata Forsk. Salpe agrégé, vu du côté gauche. L'appendice pinniforme (p) servant à l'unir aux autres membres de la chaîne, le canal intestinal (£), qui s'étend avec l'anus (v) tout en avant sous l'endostyle (e) et le testicule (4), et en outre l'organe liniaire (2) distinguent facilement cette forme de tous les autres salpes. L’individu est représenté avec un petit embryon (s) qui luit à travers la face interne du côté droit de la cavité cloacale. Même espèce, autre salpe agrégé, vu du côté droit; les muscles ne sont pas indiqués. Le canal intestinal, le testicule, l'endostyle et les bandes ciliées sont plus distincts que dans la figure précé- dente; l'embryon (s) est plus développé. En partie copiée d'après C. Vogt. Même espèce, salpe solitaire; jeune individu vu d'en haut. Même individu, vu du côté gauche. Les 5 organes liniaires (2) en haut de chaque côté sont ce que cette forme a de plus caractéristique. De même que chez le salpe solitaire du S. affinis (Fig. 7 et 8) et du S. dolicosoma-virgula (dont il n'existe aucun dessin), le canal intestinal est placé le long du côté dorsal du tube branchial. L'individu porte encore les marques de l'embryon (4 et 2). La chaine des embryons (n) est encore très petite. Méme espèce, exemplaire adulte du salpe solitaire vu du côté droit. Les muscles du tronc ne sont pas indiqués dans cette figure. La chaîne des embryons est distincte, et l'individu est en train de produire une chaîne dont les membres se sont tout de suite groupés en cercle. En partie copiée d'après C. Vogt. Salpa affinis, Cham. Salpe agrégé, vu du côté gauche. Le canal intestinal (t) recourbé sur lui- même, qui est placé dans une grande excroissance gibbeuse de la partie postérieure du côté ventral, le manque d'organes liniaires et les figures formées par les muscles du tronc le distinguent facile- ment du salpe agrégé du Salpa pinnata, auquel il ressemble d'ailleurs sous tant de rapports. 13. I 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. t2 4. 64 Même espèce, salpe solitaire, vu du dos De même que chez le salpe agrégé, les organes liniaires si caractéristiques du Salpo pinnata manquent également ici. Même individu, vu du côté gauche, Comme sur la Fig. 4 du Salpa pinnata, on voit aussi ici les marques de l'embryon (4 et à. La chaîne des embryons n'est également encore que peu développée chez ce jeune exemplaire. Elle se comporte du reste absolument comme chez le Salpa pinnata sous le rapport de la situation et du développement graduel, sans saut aucun, des salpes agrégés. Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt. Salpe agrégé, vu du côté droit. L'appendice pinniforme lui est commun avec les salpes agrégés des deux espèces précédentes, et la manière dont est placé le canal intestinal (£) rappelle le Salpa affinis. Le long prolongement conique très effilé et dirigé obliquement vers le haut de l'extrémité postérieure du corps, où le testicule (k) est logé, et la situation de l'orifice cloacal (6) sur le dos, sont les signes caractéristiques de cette forme. Copiée d'après C. Vogt. Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim. — Cuy. Membre d'une chaine d'embryons, détachée d'un salpe solitaire, vu du dos. Les 5 muscles du trone sont très distincts. Même individu, vu du côté droit. L'oléoblaste (*) se trouve dans une grande excroissance gibbeuse de la partie postérieure du ventre, juste sous le canal intestinal. Caractéristiques de l'embryon sont la saillie prononcée de la lèvre supérieure (0), la grosseur du tube branchial (7), les épines relative- ment grandes qui sont disséminées sur la surface de la tunique et disparaissent en général chez l'adulte (comp. Fig. 40—41) et Voléoblaste Salpa democratica-mucronata, Forsk. var. flagellifera. Salpe solitaire, vu du dos. Les 6 muscles presque parallèles du tronc et le long appendice flagelliforme dont il est seulement muni de chaque côté de Vorifice cloacal le distinguent facilement du type principal (Fig. 25 —26). Autre salpe solitaire de la même cspèce, vu du côté droit. De la base de l'organe vibratile (f) descend dans la cavité orale, comme chez le type principal, un prolongement (*) tentaculiforme fixe, faiblement recourbé en S et très distinct. Salpa hexagona, Quoy & Gaim, Salpe solitaire, vu du dos. Cette forme se distingue facilement de tous les autres salpes par sa musculature particulière et les nombreuses lames longitudinales de Ja surface de la tunique. Le ganglion nerveux (g) est placé plus en arrière que chez tout autre salpe à moi connu. Tunique d'un autre individu de Ja même espèce, pour montrer plus clairement les lames longitudi- nales caractéristiques ci-dessus mentionnées. «a et a’ appartiennent exclusivement au côté dorsal, tandis que / et /' sont la lame supérieure de chaque côté. Même tunique, vue d'en bas un peu du côté droit; au plus loin, on entrevoit 7, au milieu sur le côté apparaissent 7 et Ö, de chaque côté du ventre, e et ¢’, et à son milieu la seule lame impaire 6, en tout 11 lames longitudinales. Même espèce, salpe agrégé ouvert sur le côté gauche et étalé. Des larges muscles du trone, les 2e, 3e, 4e et 5€ convergent au milieu du dos. Les 4 embryons (s, s‘, s“ et s‘’) sont sous le Ge muscle. Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim. — Pall. Salpe solitaire, vu du dos. Même individu, vu du ventre. La chaine des embryons (n) est encore petite. Cette forme se reconnait facilement à ses 6 muscles du tronc, larges, parallèles et interrompus tant sur le dos que sur le ventre, et à son extrémité postérieure conique et terminée en pointe. Extrémité postérieure d'un grand individu äge, pour montrer la chaîne des embryons complètement développée. Copiée d'après Eschricht. Salpe de chaîne de la même espèce, vu du dos. Les muscles du tronc sont au nombre de 6 comme chez le salpe solitaire; ils sont larges, parallèles, interrompus tous sur le côté ventral, et les 2 antérieurs en même temps sur le côté dorsal. De même que chez le S. hewagona (Fig. 17), on trouve chez cette espèce plusieurs embryons (s, s‘, s et s‘“) entre le 5e et le Ge muscle, à droite de la cavité cloacale. Salpa cylindrica, Cuy. Membre d'une chaîne d’embryons, détaché d'un salpe solitaire. Bien que l'exemplaire ne soit pas encore devenu fusiforme (y. Fig. 37), on le distinguera cependant facilement des autres salpes à cause de sa musculature particulière. © Qu Fig. 27. 28. 29. 30. 31. 33. 34. 35. 36. 37. 399 Planche II. Salpa scutigera-confoederata, Cuv. — Forsk. Jeune exemplaire d'un salpe solitaire, vu du côté droit. De même que chez le salpe agrégé (Fig. 24), les 4 muscles du tronc forment sur le dos deux croix obliques. Les orifices terminaux et le canal intestinal, placé seulement un peu en arrière du milieu du ventre, distinguent facilement cette forme du salpe agrégé, même si la chaîne des embryons (n) n'est, comme ici, que peu développée Salpe agrégé de la même espèce; l'orifice cloacal (2) est placé sur le dos, et le canal intestinal (a), rejeté tout en arrière. L'embryon (s) est ici tout petit. Salpa democratica mucronata, Forsk. Salpe solitaire, vu du côté dorsal. Méme individu, vu du côté ventral. En raison de sa musculature et de ses 7-—8 appendices autour de l'orifice cloacal, cette forme se laisse difficilement confondre avec tout autre salpe. Son organe vibratile, comme celui du salpe agrégé, est muni à la base d'un prolongement tentaculiforme fixe, faiblement recourbé en S, qui n'est pas indiqué sur ces deux figures, mais est représenté sur la Fig. 27 (*) et se voit peut-être encore plus clairement sur la Fig. 13 (*), qui reproduit la variété flagellifera. Salpe agrégé de la même espèce, vu du côté gauche. Même individu, vu du côté dorsal. Caractéristiques et sautant facilement aux yeux sont las 4 muscles du tronc et leurs figures. L’embryon (s) est encore petit. Salpa runcinata-fusiformis, Cham. — Cuy. Salpe solitaire, vu du dos. Même individu, vu du ventre. Comme bons et sûrs caractères de cette forme, on peut mentionner les 9 muscles du trone, dont les trois antérieurs et les deux postérieurs convergent respectivement au milieu du dos, les épines émoussées qui entourent l'orifice cloacal terminal et la direction particulière que prend la chaîne des embryons (x). Salpe agrégé de la même espèce, vu du dos. Les 6 muscles du tronc sont groupés comme chez le salpe agrégé du Salpa africana-maxima, Forsk. (comp. Fig. 34); mais, tandis que le 4e et le 5e muscle du tronc, chez le S runcinata-fusiformis convergent sur chaque côté du dos, les mêmes muscles sont bien éloignés l’un de l'autre chez le S. africana-maxima'). Salpa africana-maxima, Forsk. Jeune individu de la forme solitaire, vu du côté gauche; il porte encore les marques de l'embryon, et la chaîne des embryons (nj n'est que peu développée. Méme individu, vu du dos. Les 9 muscles étroits du trone, ordinairement parallèles, la situation de la chaîne des embryons et la structure particulière de l'organe vibratile (comp. Fig. 45) rendent cette forme facile à reconnaître. Salpe agrégé de la même espèce, vu du dos. Comp. l'explication de la Fig. 31. Salpa cylindrica, Cuv. Salpe solitaire, vu du dos. Même individu, vu du ventre. De même que chez les formes solitaires du S. runcinata-fusiformis et du S. africana-maxima, on trouve ici 9 muscles étroits du tronc, mais les 4 antérieurs, chez le S. cylindrica, convergent au milieu du dos, ce qui n'est pas le cas chez les deux autres. Enfin, la place occupée par la chaîne des embryons (x) et sa direction droit en avant sont particulières au S. cylindrica. Salpe agrégé de la même espèce, vu du dos. Tandis que les salpes agrégés du S. runcinata- fusiformis et du $. africana-maxima ont 6 muscles du tronc, il y en a ici seulement 5 formant deux groupes qui convergent tous deux au milieu du dos. La longueur différente des excroissances coniques de la tunique aux deux extrémités du corps, différence qu'on observe chez les salpes agrégés des S. cordiformis-zonaria, runcinata-fusiformis, africana-maxima et cylindrica, n'a aucune ou presque aucune importance au point de vue systématique. Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim. — Cuv. Salpe solitaire, vu du dos. En comparant les figures des salpes agrégés du S. runcinata-fusiformis et du S. cylindrica, d’une part, et celles des salpes solitaires des mêmes trois espèces, d’autre part, on se convaincra, je crois, facilement qu'ils sont très voisins les uns des autres. — 43. — 44. — 45. — 46. 66 Même individu, vu du ventre. Outre les deux excroissances cornées, déprimées et recourbées, dont une de chaque côté de l'orifice cloacal, les nombreux muscles du tronc (20 env.) fournissent de bons caractères. Sous le rapport de l'organe vibratile (f) cette forme rappelle le salpe solitaire du S. africana-maxima, tandis que la chaîne des embryons (x) a à peu près la même forme et la même position que chez le S. runcinata-fusiformis. Salpe agrégé de la même espèce, vu du dos. Même individu, vu du côté droit. Les orifices terminaux, les 5 muscles étroits du tronc seulement développés sur le dos et leurs figures mutuelles, et les trois embryons (s) rendent cette forme facile à reconnaitre. Représentation schématique de l'organe vibratile de la forme solitaire du S. runcinata-fusiformis, vu du côté gauche; o, orifice qui conduit dans la cavité de l'organe vibratil; 7, fond fixe de la cavité; 9, ganglion nerveux avec son organe des sens. Même représentation du S cylindrica, forme solitaire. Même représentation du S. africana-maxima, salpe agrégé. Même représentation de la même espèce, forme solitaire, Même représentation du S. scutigeru-confoederata, salpe agrégé. Même représentation d'un embryon du S. costata-Tilesii, au même degré de développement que l'individu reproduit Fig. 10 et 11. he 0 7 Am) | K.D.Vid.Selsk. Sir. 6 Række, ILS. Transtedt, Salper . 3 2 i bi a ae 8. 5 AE b Gen! VV m t 7 fs | 3 f 4 Tate t um ws Tab1. en AD Vid. Sclsk. Skr. 6 Række HL, 8 Traustedt, Salper. N ti me. Tab ll, ittendorff 2 IW, Teéner 4] rykt ho Y i Om Iltens Afvigelse fra den Boyle-Mariotteske Lov ved lave Tryk. Af Dr. Christian Bohr. Med I Tavle. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. II. 9. Kjobenhavn. Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri (EF. Dreyer). 1885, Vea en Række absorptiometriske Undersogelser, jeg i Lobet af de sidste Aar har anstillet over Dissociationen af den lost bundne Ilt i Oxyhæmoglobinet, viste der sig ved de under lave Ilttryk anstillede Forsøg stadig Uregelmessigheder, der trods al anvendt Umage ikke lode sig fjerne eller blot forringe; jeg blev ved at undersoge Grunden til disse Uregel- mæssigheder tilsidst saa godt som tvungen til at soge den i den for alle saadanne Forsog nødvendige Omregning af Luftartens (i dette Tilfælde Iltens) Volumen fra det Tryk, hver- under den fer Absorptionen maaltes, til det efter Absorptionen indtrædende ringere Tryk. Denne Omregning var naturligvis foretagen efter den Boyle-Mariotteske Loy, og det gjaldt da om at prove, med hvilken Nojagtighed Ilten ved lave Tryk følger nævnte Lov, for derigjennem om muligt at vinde Data til Beregning af Dissociationsforsogene. Saaledes fremkom den foreliggende Undersogelsesrekke, ved hvilken det formentlig utvivlsomt er paavist, at Ilten ved de omhandlede Tryk afviger betydelig fra den Boyle-Mariotteske Lov; der viste sig imidlertid under Forsøgene regelmæssigt det uventede Fænomen, at den Kurve, der udtrykker Afhengigheden mellem Volumen og Spending, ved en bestemt Stor- relse af sidstnævnte frembød en stærkt udtalt Discontinuitet, hvis hele Forhold syntes at maatte lede Tanken hen paa en her stedfindende Forandring i Iltens molekulære Sammen- sætning; til den nærmere Bestemmelse af dette Punkt i Kurven, der forekom mig at frem- byde en Del Interesse, blev der derfor ved Forsøgene taget særligt Hensyn. De i Literaturen foreliggende Meddelelser om den Boyle-Mariotteske Lovs An- vendelighed paa ilt og Iltblandinger ved Tryk under én Atmosfære indskrænker sig, hvad den rene Ilt angaar, til nogle af Siljestrom!) mellem c.770"" og 18™™ udførte Forsøg, der ved aftagende Tryk gav en større Tæthed af Luftarten end den Boyle-Mariotteske Lov forlangte; samme Resultat gav ogsaa Forsøg med den atmosfæriske Luft. De anvendte Methoder turde imidlertid neppe vere fintmærkende nok til paa disse Forsøg at bygge videre Slutninger. 1) Siljeström: vorläufige Versuche zur Ermittelung des Verhaltniss zwisehen den Dichtigkeits- und Elastieitätsveränderungen der Gase bei Drucken unterhalb einer Atmosphäre. Poggendorff Ann. Bd. 151. 1874. 51” 404 4 For den atmosfæriske Lufts Vedkommende har Regnault!) udfert 3 Bestemmelser mellem én Atmosfæres og c. 300" Tryk, der alle gav en i samme Retning gaaende Af- vigelse fra den Mariotteske Lov; Størrelsen af denne Afvigelse laa dog efter den berømte Forfatters Anskuelse indenfor de mulige Fejlkilders Omraade. Yderligere Forsøg over dette Spørgsmaal har Regnault?) ikke udført; derimod har Mendeleffÿ) i 2 Af- handlinger offenliggjort en Række Undersøgelser over den atmosfæriske Lufts Tæthed ved forskjellige Tryk under én Atmosfære. Forsøgene, der ere udforte med omhyggelig Hensyn- lagen til mulige Fejlkilder, have stadig givet Afvigelser fra den Mariotteske Lov i saadan Retning, at Tætheden ved aftagende Tryk var større, end den vilde blive ved Beregning efter nævnte Lov. De i Mendeleffs Afhandlinger opførte Talværdier strække sig fra c. 650 til 15mm, Ved endnu lavere Tryk har Krajewitsch !) for nylig ved en særegen Methode udført herhen hørende Bestemmelser, der, hvad det foreliggende Spørgsmaal angaar, gaa i samme Retning som Mendeleffs; Forfatteren bemærker selv, at de kvantitative Resultater af hans Forsøg ikke ere meget nøjagtige, hvorimod de kvalitative ikke tillade nogen Tvivl. I Hovedtrækkene finder jeg for Iltens Vedkommende mellem 0,1 og 15""* Spæn- ding en Afvigelse fra den Boyle-Mariotteske Lov, hvis Retning er identisk med den, de to sidstnævnte Forfattere have angivet for atmosfærisk Luft. Den Fremgangsmaade, jeg anvendte ved Forsøgene, var i Hovedtrækkene følgende: I et i det physiologiske Laboratoriums Kælderetage mod Nord beliggende Værelse med særdeles ringe Temperaturvariationer var i Grunden nedlagt en i Cement lejret Granitsten. I en i Stenen boret Fordybning var indstøbt et Jernrør, som ved Hjælp af Klemmer bar det i hosstaaende Figur afbildede Apparat med Undtagelse af Kuglen A, der var anbragt paa et udenfor Stenen stillet Stativ. Apparatet selv bestod af det 500™™ hoje U-formede Ror B, der nedadtil var aflukket med Hanen C; det U-formede Rør var ved Kautchuk- slangen D sat i Forbindelse med den Kviksølv indeholdende Kugle A. Ved at hæve eller sænke Kuglen A, medens Hanen C aabnedes, var det muligt at indstille Kviksølvniveauet i B efter Behag. I hvert af det U-formede Rørs 2 Grene var anbragt et Barometerrør (a og f) af den i Figuren udviste Form. Disse Barometerrør var med Omhyggelighed udkogte paa sædvanlig Maade for den Hagenske Pumpe. I den ene nedenfor anførte Forsøgsrække var begge Rors Diameter 18,5"" (disse Rør benævnes i det folgende: Rør 1) Regnault: Relations des expériences etc. Mém. de l'Institut de France. Tome XXI. 1847 Pag. 139. 2) Regnault: I, c. pag. 415. 3) Mendeleff et Kirpitschoff: Notice préliminaire sur l’élasticité de lair raréfié. Ann. de chim. et de phys. 1874 pag. 427. Mendeleff et Hemilian: sur la compressibilité des gazes soumis aux faibles pressions. Ann. de chim. et phys. 1876 pag. 111. 4) Krajewitsch: Eine neue Methode die Spannkraft der Gase zu bestimmen. Journ. der russ. Chem- phys. Gesellsch. XIV. 1884. Citat efter Wiedemanns Beiblätter ete. Band IX pag. 315). Nr. 1); i den anden Forsogsriekke var begge Rors Diameter 32"" (Ror Nr. 2). Paa det ene af Rorene (4) fandtes en Inddeling, der delte Rør Nr. 2 i 7, Ror Nr. I i 4 omtrent ligestore Afsnit; for hver af Inddelingens Delstreger var Volumenet nojagtigt bestemt. Paa den Maade, Figuren udviser, var Fugtighed fra Atmosfæren holdt ude fra Roret &, idet begge dets Aabninger var overbundne med Kautschukmembraner, hvori var anbragt Glasror, der stod i Forbindelse indbyrdes og med den atmosfæriske Luft gjennem Chlorcalium- røret Æ. Ved Forsogets Begyndelse indførtes i Ror « nogle Blærer fuldstændig tørret Ilt, og efter at hele Apparatet havde været overladt længe nok til sig selv for med Sikkerhed at kunne vides at have an- taget den omgivende Lufts Temperatur, bestemtes med et Kathetometer, der var opstillet paa samme Granitsten, som bar det ovenfor beskrevne Apparat, Hojdeforskjellen mellem Kviksølvstanden i Roret a og Barometret 7; samtidig aflæstes til Bestemmelse af Volumenet i Røret 4 Kviksølvmeniskens Afstand fra nærmeste Delstreg. Ved dernæst at forandre Kviksølvniveauet i det U-formede Rør 2, indstilledes Kviksølvet i Rør @ paa en anden Delstreg, og Hojde- forskjellen mellem Standen i Rør og Barometer aflæstes alter. | det man paa denne Maade gik fra Delstreg til Delstreg, fandtes en Række af Tryk og tilsvarende Voluminer for samme Luftmængde. Derpaa indlededes yderligere nogle Iltblærer i Rør a, og som nys beskrevet fandt man, nu for en anden Luftmængde, en ny Række af samhørende Tryk og Voluminer. Ved at indlede passende Mængder Ilt, lykkedes det paa denne Maade at faa fastsat Afhængigheden mellem Volumen og Tryk for en Verdi af sidstnævnte mellem 0,1 og 15™™. A 405 406 : 6 Saa simpel Fremgangsmaaden end synes, er der dog, saafremt Maalene som her skulle gjore Fordring paa stor Nojagtighed, Hensyn at lage til en Del Fejlkilder; disse ville sammen med Fremstillingen af Methodens Detailler blive behandlede i det folgende. I. Den anvendte Ilt fremstilledes ved Opvarmning af rent Kviksolviveilte; i dette Ojemed anbragtes Kviksolviltet som et nogenlunde jævnt Lag i et almindeligt Forbrændings- rer, hvis ene Ende var tilsmeltet, medens den anden ved Hjælp af en tykvægget Kautchuk- slange var sat i Forbindelse med et Kapillarror, der med sin krumme Ende udmundede under Kviksolv. Forbrendingsroret blev, efter at vere anbragt i Elementaranalyseovnen opvarmet paa et begrænset Stykke ad Gangen, idet man begyndte ved Kerets bagre Ende, indtil alt det i det opvarmede Stykke værende Hg O var forsvundet. Da Mængden af Hg O i hele Roret tilnærmelsesvis var bestemt, kunde man af Længden af det forbrugte Stykke faa et Skjon over, hvormeget Ilt der alt var udviklet. Dette var nødvendigt for at vide, naar den i Apparatet værende atmosferiske Luft kunde antages fordreven. Dette opnaaedes forevrigt ret hurtigt paa Grund af den ringe Luftmængde, Apparatet indeholdt; der anvendtes intet særligt Forlag, da det bortdestillerede Kviksoly fandt tilstrækkelig Plads i Forbrendingsrorets forreste Ende. Naar nogle Liter af Ilten var undvegne, opsamledes den udviklede Luftart i et Bunsens Kviksolvgasometer af den Form, som beskrives i hans «Gasometrische Methoden» (1877 Pag. 23); kun var Kautchukforbindelsen ved Gasometrets øvre Ende omgiven af Kvik- solvlaas. Det Ror, hvorigjennem den opsamlede Luft ved Benyttelsen ledtes ud af Gaso- metret, var et meget snevert Kapillarrer, saaledes at de langsomt udtrædende Blærer under Atmosfæretryk kun havde en Størrelse af c. 0,01 Cbem. Imellem Gasometer og Kapillarrer var for at torre Luften indskudt et noget videre Ror, der indeholdt Fosforsyreanhydrid. Den udtrædende Luft kom paa denne Maade længere Tid i Berøring med Fosforsyreanhydridet og kan antages at have veret fuldstendig tor. Skulde Ilten overføres fra Gasometret til Reret a, blev ved Forsøgene med det smallere Ror (Nr. I), Roret taget ud af det U-formede Ror 5 og anbragt i en Jernskaal med Kviksolv, der med en Gasflamme opvarmedes Lil over 120° C. for saaledes at bortdrive Fugtighed fra Kviksolvoverflade og Skaal. Gjennem det opvarmede Kvikselv lededes først en Del Ilt fra Gasometret for at uddrive den atmosfæriske Luft af Forforsyreanhydridreret, hvorpaa man lod et passende Antal Blærer stige op i Reret a. Efter Afkjoling til almindelig Temperatur overførtes det nævnte Ror atter fra Jernskaalen til det U-formede Rør, hvor Maalingerne foretoges. Ved Forsogsrækken med Ror Nr. 2 var Fremgangsmaaden væsentlig den samme; kun udelodes her Opvarmningen til 120°. 2. Bestemmelsen af de til Rorets Delstreger svarende Voluminer er udført direkte for hver Delstreg ved gjentagen Udvejning med Kviksolv under lagttagelse af de almindelige 407 =] Kauteler med Hensyn til Temperatur og med Anbringelse af en Korrektion for Meniskens Krumning udført efter Bunsens Methode (Gasometrische Methoden 1877 pag. 35). Naar, saaledes som det oftest var Tilfældet, Kviksolvstanden ikke nojagtig svarede til en Delstreg, bestemtes Afstanden til nærmeste Delstreg ved Maaling med Kathetometret, hvorefter en til denne Afstand svarende Korrektion indfortes. — En særlig Prove viste, at de anvendte Ror ikke kendelig forandrede deres Volumen ved en Variation af det indvendige Tryk paa næsten én Atmosfære. Volumenbestemmelserne kunne, udførte paa ovenstaaende Maade, antages kun at være behæftede med smaa Fejl, der i Sammenligning med de ved Tryk- maalingerne indførte maa ansés for forsvindende. 3. Med Hensyn til Bestemmelsen af Temperaturen under Forsøgene bemærkes følgende: Det Værelse, hvori Apparatet var opstillet, og hvori, udenfor den korte Tid Af- læsningerne varede, ingen opholdt sig, havde en meget konstant Temperatur, der Dage igjennem kun varierede med nogle faa Tiendedele af en Grad; naar da flere Aflæsninger af samme Luftvolumen, foretagne med Timers Mellemrum,. havde givet samme Værdi saa- vel for Kviksølvstanden i Roret som for Lufttemperaturen i Apparatets umiddelbare Nærked, kunde hele Apparatet med Sikkerhed antages at have den aflæste Temperatur. At jeg ikke har anvendt den Betryggelse, som Omgivelse af Rørene med Vand synes at kunne give ved disse Forsøg, havde sin Grund i følgende Omstændigheder. Oprindelig havde jeg ved en længere Række indledende Forsøg anbragt den øverste udvidede Del af begge Rørene (a2 og Ø) i en med Glasrude forsynet Vandkasse; det lykkedes mig imidlertid ikke at faa en overalt saa egal Glasrude og en saa fuldstændig normal Indstilling af samme, at jeg ved Aflæsning med Kathetometret gjennem Glasset kunde være sikker paa at undgaa Fejl paa flere Hundrededel Millimeter. Naturligvis maa det være muligt, naar alt kan indrettes med særdeles Omhu, at faa fejlfri Bestemmelse af Kviksølvets Højdeforskjel i de to Rør, selv om man aflæser gjennem Glasrude; det er imidlertid særdeles vanskeligt, og man bør aldrig stole paa saadanne Maal, før man ved direkte Prøver paa forskjellige Steder af Glas- ruden har iagttaget, at ingen forstyrrende Forskydninger af Billedet finder Sted. Det var ved saadanne direkte Prøver, udførte ved at sammenligne Standen af to i Vandkassen anbragte Normalbarometre, at jeg blev opmærksom paa denne Fejl. Paa Grund af Usikker- heden ved Korrektion af Fejlen, der selvfølgelig kan være forskjellig paa forskjellige Steder af Glasset, opgav jeg Anbringelse af Rorene i Vand, saa meget mere som en sikker og fast Indstilling af Glasruden var forbunden med megen Vanskelighed ved Anvendelsen af det ovenfor beskrevne Apparat. Foreløbige Forsøg havde endvidere vist mig, at Luftens Udvi- delseskoefficient ved lave Tryk ikke fjærnede sig særdeles betydelig fra den ved højere Tryk fundne Koefficient af '/273 for hver Grad; heraf fulgte, at jeg ved de højeste af de under- søgte Tryk (c. 157%) kunde taale en Variaton af 0,1 Grad, uden at de derved fremkaldte Forandringer af Trykket blive til at mærke ved Aflæsningerne, hvis Nojagtighed ikke turde 408 8 sættes over 0,01", og saasnart Trykket naaede ned til et Par Millimetre, blev Variationer i Temperaturen paa en hel Grad umærkelige. Da nu ved Anvendelse af behørig Forsigtighed Værelsets Temperatur under en Aflesningsrekke ikke behøvede at svinge mere end knap 0,1 Grad, opnaaedes ved Omgivelse af Rorene med Vand ingen mærkelig Foragelse af Forsogenes Nojagtighed; derfor var det naturligvis rigtigst ved at udelade Vandkassen at undgaa Faren ved de med den forbundne Fejlkilder. 4. Ved Bestemmelse af den indesluttede Lufts Spending kommer først i Betragt- ning den Nojagtighed, hvormed det overhovedet er muligt at maale med det anvendte Ka- thetometer. Har man tilstrækkelig Øvelse, vil det uden Vanskelighed med et godt Instru- ment lykkes at aflæse 0,01™". Ved de her foreliggende Forsøg, hvor kun mindre Afstande have været at bestemme, har den indbyrdes Overénsstemmelse af Skalaen paa forskjellige Steder kunnet sikres ved Sammenligning med Nonien. Ved de merkelige Punkters Bestem- melse er der sorget for, at Aflesninger have fundet Sted paa forskjellige Steder af Skalaen. Storre Besværligheder end de med selve Maalingerne forbundne rejser sig imid- lertid fra den Vanskelighed, man har ved bestemt at vide, naar Kviksolvmeniskens øverste Rand nojagtig er indstillet i Kikkertens Focus. Naar ikke den storste Forsigtighed anvendes, er man herved udsat for meget grove Fejltagelser. Nedenstaaende Fremgangsmaade har for det 18,5™™ vide Ror vist sig brugbar. Roret blev overalt, med Undtagelse af to smalle diametralt modsatte Længdestriber, beklædt med sort Papir. Den bageste Stribe, der vendte hen mod Lyskilden, var overklæbet med olieret Papir; bag ved dette kunde en Skerm beveges op og ned langs Rorets Bagflade; denne Skerm indstilledes saaledes, at Afstanden mellem dens nederste skarpe Rand og Menisken kun var c.0,1™™. Man saa da i Kik- kerten gjennem den forreste Stribe Menisken sort uden Spor af nogen Reflex, og dens øvre Rand dannede en skarp Modsætning til det mat oplyste olierede Papir. Ogsaa den forreste Stribe kunde, for at holde uvedkommende Lys borte, dækkes i forskjellig Udstrækning med en Skerm. Denne Belysningsmaade tillader en overmaade skarp Indstilling; kun maa man passe, at den alleroverste Del af Meniskens Hvælving dog ikke bliver belyst ved ovenfra kommende Lys, i hvilket Tilfælde den paa Grund af den spejlblanke Kviksolv-Overflade let kan oversés. Dette proves nemmest ved at indstille Kikkertens Traadkors paa den for- modede ovre Rand af Menisken og dernest senke den bageste Skerm yderligere et lille Stykke; dette maa ingen Forandring give i Menisk-Randens Stilling. Ved det 32™™ vide Rør kom jeg imidlertid heller ikke paa denne Maade, paa Grund af Kviksolvets næsten plane Overflade, til noget Resultat. Trods lenge fortsat Ind- øvning lykkedes det mig ikke ved nogen Belysningsmaade at faa paalidelige Bestemmelser; der lodes altid Spillerum aaben for Vilkaarlighed i en Udstrækning af nogle Hundrededele Millimeter, og undertiden kunde endnu grovere Fejl begaas uden strax at bemerkes. Jeg bragte da en lille Glaskugle op i hvert af Rorene « og f? (sé Figuren) for derigjennem at 9 409 vinde et Indstillingsmærke for Kikkerten. Fremgangsmaaden herved var folgende: begge Ror anbragtes i en Jernskaal med Kviksolv, der opvarmedes til 120°; samtidig opvarmedes umiddelbart ved Siden heraf to smaa Glaskugler (hver af Vægt lig 0,04 Gram og af Volu- men 0,07 Chem.) til henved 400°. Med en Jernpincet fortes nu hver af Glaskuglerne saa hurtig som mulig ned under det opvarmede Kviksolv, hvorpaa man lod dem stige op hver i sit Ror. Det gjaldt nu om at bringe Glaskuglerne, der svømmede paa Kviksolvet (hvis Overflade omkring dem ikke frembød nogen kendelig Afvigelse fra den øvrige næsten plane Overflade) til at ligge lige i Midten af Roret. Dette opnaaedes ved et Par Gange at stryge Rørets udvendige Side let med en ulden Klud. Efter nogen Tids Forløb stillede Glaskuglen sig nøjagtig midt i Røret og søgte stadig atler derhen, naar den ved smaa Rystelser bragtes i Bevægelse. Ved nu at indstille Kikkerten skarpt paa Kuglens Rand havde man Sikkerhed for at have Rørets Midte i Focus; den Overfladelinje, man samtidig saa tydeligt, var da Meniskens øverste Rand. Traadkorsets Indstilling lettedes forøvrigt ved det skarpe Sam- menstød mellem Glaskuglerand og Menisk. Paa denne Maade lykkedes det at udføre Maa- lingen med god Nøjagtighed; efter Skøn formener jeg imidlertid, at Indstillingen i det snævrere Rør lod sig udføre med langt større Præcision. Til den kapillare Depression var der for det 32™ vide Rør intet Hensyn at tage. Hvad angaar det 18,5"" vide Rør, viste Maalinger af Meniskens Højde i begge Ror under Forsøget (sammenholdt med en direkte Bestemmelse af Depressionen i et lige vidt Glasrør) at Korrektionen ikke naaede den uundgaaelige Aflæsningsfejl paa Kathetometret, hvorfor den hélt er udeladt. Dens Indførelse vilde iøvrigt bidrage til at forøge Afvigelsen fra den Mariotteske Lov. Opmærksomheden har endvidere været henvendt paa den Fejl, der kunde indløbe, hvis Kviksølvsøjlerne i de to Rør havde forskjellig Varmegrad, idet en Forskjel i Temperaturen paa 0,1” C. ved en Længde af Kviksølvsøjlen paa 760™", frembringer en For- skjel af c.0,01™ i Tryk. Efter det ovenfor om Forsøgsværelsets Temperatur og om Aflæs- ningsmaaden fremsatte ses, at en saadan Fare ikke har været tilstede. Naar kunstig Belys- ning anvendtes, var Rørene altid dækkede af Skærme. Barometrene ere før Ilttilledningen prøvede for mulig tilbagebleven Luft paa den Maade, at Kviksølvet i det ene Rør (a) ved Forandring af Niveauet i 2 blev indstillet i forskjellige Højder, medens Kviksølvet i det andet Rør (2) ved Hævning eller Sænkning af dette Rør stadig holdtes paa et bestemt Sted i Røret. Saafremt der i et af Rørene havde været en maalelig Luftmængde, kunde Kathetometeraflæsningen ikke, som Tilfældet var, overalt have givet nøjagtig samme Højde i begge Rør. 5. De i nedenstaaende Forsogstabeller paa flere Steder anførte tilbagegaaende Kontrolforsøg (sé f. Ex. I. B. 6 og 18) vise med fuldstændig Sikkerhed, at Kviksølvet under Forsøget ingen Ilt har absorberet; herfor talte allerede den Omstændighed, at Kvik- Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 9 52 410 10 selvoverfladen i det Ilt indeholdende Ror under hele Forsøget var fuldstændig blank, og at Kviksolvet, naar det bevægedes op og ned i Roret, overalt lagde sig til Væggen som Spejl. Under Passagen af Iltblærerne op gjennem Roret for Forsogets Begyndelse, iltes derimod undertiden lidt Kviksolv, hvilket giver sig tilkjende ved en hist og her indtrædende lille Plet i Rorets Forlob. 6. Af de nys nævnte Kontrolforsog kan ogsaa ses, at der, medens Forsøgene varede, ikke har fortættet sig kjendelige Mængder af Luft paa den indvendige Glasoverflade ; iøvrigt findes blandt Forsøgene Afhængigheden mellem Volumen og Tryk, bestemt for samme Tryk, med god Overénsstemmelse under saa mange Variationer i Forholdet mellem Volumen og Glasoverflade, at Mistanke om en vildledende Overfladefortætning ikke godt kan finde Sted. I de nedenfor anførte Forsøg anser jeg Trykbestemmelserne for gjennemgaaende ikke at have større Fejl end 0,01"" paa Grund af de talrige Maalinger, hvorved hvert enkelt Tryk er bestemt. Som allerede ovenfor er bemærket, turde Forsøgsrækken med de smal- lere Rør i enhver Henseende være den nøjagtigste. De ikke faa indledende Forsøgsrækker, jeg har anstillet, tildels med andre Ap- parater end de her beskrevne, har jeg udeladt, da de ikke kunne maale sig i Nøjagtighed med de senere udførte Forsøg, om de end stadig have givet Resultater, der i Hovedsagen stemme overens med de nedenfor anførte. Nedenstaaende følger tabellarisk ordnet Resultatet af tvende Forsøgsrækker, udførte efter at Methoden var færdig uddannet og indøvet; den ene (I) med et 18,5™™ vidt Rør, den anden (II) med et 32™™ vidt Kør. Hver Forsøgsrække bestaar af flere Afdelinger (A, B o.s.v.), og i hver Afdeling er Luftmængden forskjellig, idet der stadig indførtes mere og mere Ilt i Roret. De i den første Kolonne af Tabellen opførte Numre angive den Orden, hvori de enkelte Iagttagelser indenfor Afdelingerne have fundet Sted. Den med p overskrevne Kolonne indeholder Trykkene; den med v overskrevne de tilsvarende Voluminer, og endelig er under Rubrikken pv opført Produktet af p og v. Hvad angaar de enkelte lagttagelser, saa er hver af dem Resultatet af flere med c. en Times Mellemrum udførte Rækker af Maalinger. Ingen af Trykkene ere observerede i kortere Tid end to Timer, og paa ikke faa Steder saavel blandt de høje som de lave Spæn- dinger er Observationen af de enkelte Tryk fortsat gjennem 12 til 24 Timer med større og mindre Afbrydelser. Denne lange Observationstid viste sig nødvendig af Hensyn til Forhold, der først kunne finde Omtale, naar Forsøgsresultaterne ere anførte. Endnu skal kun bemærkes, at i Forsøgsrække I uden Undtagelse alle observerede Tryk ere anførte. I Forsøgsrække II er mellem de iagttagne 27 Tryk to udeladte, hen- holdsvis paa 3,07 og 0,45", Disse to gave nemlig saa store Afvigelser fra de øvrige Observationer, at en grovere Maalefejl vistnok maa antages at ligge til Grund. al Tabel 1. p er udtrykt i Millimetre, v i Cubiccentimetre. 411 De anførte Kviksolvhojder have samme Temperatur som for Forsogsrækken angiven. Afdeling B. Rorets Vidde = 18.5mm, Forsggsrekke I. Temp = 14°C. oo BO RO RO 8 == OT i) no w m wo ao © | 23.240 39 s72 57.456 66.184 74.939 20.010 20.145 20.112 20.174 24.625 26.629 32 536 34.421 35.528 37.707 42.010 56.901 74.077 19.913 20.200 20.174 38.669 46.998 52.412 57.698 73.588 18.786 19.960 40.468 70.218 23.012 22.965 22.927 22.897 22.655 22.368 22.775 23.922 23.799 23.378 23.105 22.761 22 223 36.242 36.258 36.111 34.029 32.899 36.688 35.773 35.323 139.958 139.719 136.781 135.522 en Tabel 1 (Fortsættelse). Forsggsrekke II. Rorets Vidde = 32mm. Temp. = 11.5° C. | too p | v | pv Atdelins@An cer | 9 | 1.03 | 25.863 | 26.639 hy MER BEN RP | 8 0.54 | 31.145 | 26.162 Ore ore 7 0.71 34.723 24.654 AR LE eee | 11 0.70 38.489 | 26.943 = die Ne ee T | 0.70 38.264 | 26.785 om) ee ae | 14a) 4] 0.65 41.086 | 26.706 ER per. | 12 0.61 | 42.960 26 205 EH Ts | 15 Oss | 48.64 | 25.782 TP eae | 13 046 | 5654 | 26.006 =) Oe | 6 0.35 72.015 25.205 RE SERA | 5 0.28 | 86.386 24.188 RS I O23 | 100.356 | 28.082 =) ee eee eee | 3 0.19 | 116.810 22.194 EN SER al | 9 0.145 147.595 21.402 SS. A EAT eae ane 1 0.085 206.488 17.551 ATMCLING AB: ex... ber... | 17 1.415 56.494 79.940 een. | 18 0.90 87.045 | 78.340 a RER Zin) 0.72 | 101.720 | 73.238 ANZ Een. Is) 0.70 I allehen I) 82.691 a at | 20 0.54 146.778 | 79.260 Afddling Cc. a: 000. | 95 15.02 20.761 311.829 EL MER 22 13.95 22.396 312.350 A =. Sue aoe |, 123 5.07 61.017 309.357 er SER | 94 3.01 | 100.026 304.073 For at lette Oversigten over Forsøgene, har jeg paa vedfojede Kurvetavle fremstillet dem graphisk, idet de forskjellige Verdier af p ere afsatte som Abscisser og de tilsvarende Verdier af pv som Ordinater. Kurven Nr. 1 gjengiver Forsogsrække I, Kurve Nr. 2 Forsogs- række I. Da samme Trykverdier findes bestemte indenfor flere Afdelinger af samme Rekke, har Sammenfojningen af de enkelte Afdelinger til et Hele ingen serlig Vanskelighed frembudt; den er forøvrigt udført paa en Maade, der vil blive angivet længere nede (sé Side 14 og 16). Det bemærkes, at i begge Forsøgsrækker Afdeling A's Punkter paa 15 413 Kurvetavlen ere markerede rødt, Afdeling B's sort og Afdeling C og D's (der ikke kan forvexles) blaat. Maalestokken for Kurven er valgt saaledes, at en Enhed af pv i Række I, Afdeling C, er sat lig 3"", medens en Enhed (1"") af p er sat lig 20". Af den graphiske Fremstilling ses, at Værdierne af pv istedetfor, saaledes som det vilde folge af den Boyle-Mariotteske Lov, at ligge i en med Abscisseaxen parallel ret Linje i Hovedtrækkene danner en med Konkaviteten mod Abscisseaxen vendt krummet Linje. For Værdien af p — 0,7o™ har Kurven en tydelig Diskontinuitet, der deler den i to Grene, en svarende til Værdien af p > 0,70" m (kaldes i det folgende «lange Gren») og én svarende til Verdier af p 0,70"" («korte Gren»). (Med Hensyn til den graphiske Fremstilling bemærkes, at den optrukne Linje (der er identisk for begge Kurver) for begge Grenes Vedkommende er en Kurve, hvis Ordinater (pv) og hvis Abscisser (p) have Relationen (p + a) v — k, hvor Konstanterne for hver Gren ere forskjellige. Forskjellen i Nojagtighed mellem Be- stemmelserne i den korte og i den lange Gren ses af nedenstaaende Tabel 2 og 3 kun at vere ringe; den graphiske Fremstilling kan imidlertid give det Indtryk, at Nojagtigheden for Trykbestemmelserne i den korte Gren er betydelig mindre end for dem i den lange. Dette skyldes Multiplikationen af de smaa Tryk med relativt store Voluminer). Selve Diskontinuiteten, der, som Kurven udviser, er bestemt ved talrige lagttagelser, frembyder folgende mærkelige Forhold. Naar man ved en given Iltmengde i Observations- røret først indstiller Kviksolvet saaledes, at Trykket har en Verdi noget mindre end 0,70™", og naar man dernæst ved at forringe Volumen foroger Trykket til en Verdi af lidt over 0,70" (f. Ex. til 0,8""), viser det sig, at dette Tryk ikke holder sig konstant, men under Forlobet af 3 til 5 Timer synker til en Verdi, der er en halv Snes Procent ringere end den oprindelige. Under Forlobet af denne Tid er Trykket mer eller mindre ustadigt, svin- gende, mellem Begyndelses- og Slutningsverdien. Om disse Svingninger frembyde nogen Regelmæssighed, har det af forhaandenliggende Grunde ikke været mulig at bestemme med det anvendte Apparat. Efter Forlobet af hojst 5 Timer holder Trykket sig konstant, saa- længe det har været observeret (24 til 36 Timer). Hvis den blivende Verdi af Trykket netop er lig 0,0%", viser der sig ved en passende Volumenforogelse ikke, saaledes som man skulde vente, nogen Forringelse af Trykket; men dette vedbliver at vere lig 0,707", Fortsættes Forøgelsen af Volumen yder- ligere, frembringes en Forringelse af Trykket. Disse aldeles regelmæssigt indtrædende Fænomener kunne gjentages, saa ofte det skal være. Det forekommer mig herved godtgjort, at Ilten ved nævnte Tryk (0,70"*) undergaar en Tilstandsforandring, saaledes at der for Overførelse fra Tilstandsformen ved højere 414 14 Tryk til den ved lavere, behoves ingen eller i hvert Fald kun en meget ringe Tid, hvorimod der til Forandringen i modsat Retning medgaar flere Timer, naar Forsøgene udføres som ovenfor nevnt. At disse Forhold staa i Forbindelse med en indtredende Forandring i Iltens molekulære Sammensætning, synes rimeligt. Forsøg ved højere Temperaturer end de her anvendte vilde vistnok vere af Betydning for nærmere Belysning heraf; jeg har imidlertid endnu ikke naaet at faa saadanne anstillede. En Betragtning af den graphiske Fremstilling af Kurverne sammen med nogle fore- lobige Prøver gjorde det sandsynligt, at Forsogsresultaterne med god Tilnermelse kunde udtrykkes ved Ligningen p—+a v =k hvor p er Trykket, v Volumenet og a en for samme Tilstandsform absolut Konstant, medens k kun er konstant for samme Luftmængde i samme Tilstandsform; Æ har altsaa, saalenge vi befinde os i samme Gren af Kurven, samme Værdi for samme Forsogsafdeling, men skifter Verdi for de forskjellige Afdelinger. Da en saadan Ligning, uden Hensyn til dens theoretiske Værd, vilde afgive et godt Hjælpemiddel ved Forsogsresultaternes Anvendelse, er der foretaget en Udjævning af Kurven efter de mindste Kvadraters Methode, for derigjennem at finde den bedste Verdi af a. Idet samtidig Værdierne af k for hver Afdeling bestemtes, fik man de fornødne Oplysninger til em Sammenføjning af de enkelte Afdelinger indenfor Forsøgsrækken. Da Forsøgene i Række I forméntes at være de paalideligste, er denne Række alene benyttet ved Bestemmelsen af Konstanten a. Forsogsrække Il er kun anvendt til Sammen- ligning med de af Række I vundne Resultater; til den Ende er den af Række I fundne Verdi for a anvendt paa Række Il, hvor dernæst Bestemmelsen af Værdierne for k er fore- tagen, for derigjennem at sammenføje de forskjellige Afdelinger. En Sammenligning af de to Rækker kan da foretages ved Sammenligning af de for Række II ved Hjælp af Formlen fundne Trykværdier med de i samme Række direkte iagttagne Tryk. For Forsøgsrække I findes den bedste Værdi af a at være: for den lange Gren: a@ — 0,109 for den korte Gren: « — 0,070. Ligningerne for de enkelte Afdelinger findes for den lange Grens Vedkommende at være : for Afdeling B: (p + 0,109) v — 25,146 for Afdeling C: (p + 0,109) v — 38,368 for Afdeling D: (p + 0,109) v — 141,923. For den korte Grens Vedkommende findes for Afdeling A: (p + 0,070) v — 16,250 for Afdeling B: (p + 0,070) v — 26,321 for Afdeling C: (p + 0,070) v — 40,161. —— mm 15 415 Nedenstaaende findes for Række I en Tabel til Sammenligning mellem de direkte iagttagne og de af Formlerne fundne Trykværdier. Tabel 2. Forsgesrække I. | A p (iagttaget). | p (beregnet). Différents, Den lange Gren. |-—- el en — Afdelingy Bes. "08 te | 14 1.15 1.1477 — 0 0023 MERE OS | 6. 1.14 1.1393 = 0.0007 ee 18 1.14 1.1413 + 0.0013 ee et > PE | 8 1.135 1.1375 + 0.0025 ee qe che | 13 0.92 0.9121 -- 0.0079 u Aa 11 0.84 | 0.8353 lues 0.0047 ICO ARS RARE 19 1.82 1.8178 == 0.0022 erh | 26 175 | 1.7904 == 0.0046 To Gare | 4 | 1.79 | 1.7929 + 0.0029 EN Nr eee atte. i OD 31 0.88 0 8832 + 0.0032 = SSS ooo oh ot 23 | 0.70 | 0.7074 + 0.0074 Afdeling Deer a7, | 76 7.454 = 0.0046 — NR RN TRES 29 | 7.00 7.0012 —+ 0.0012 era 30 | 3.38 3.3979 + 0.0179 ae | 28 | 1.93 1.9121 == 0.0179 Den korte Gren. | | Afdeling WAST ear ee: 2 | 0.63 0.6292 —- 0.0008 —— re NN a 5 0.34 | 0.3376 —- 0.0024 ce | 1 0.23 | 0.2128 = 0.0172 nr a... 3 One ons + 0.0055 N EN LOT 4 0.12 | 0.1468 + 0.0268 Afdeling B.......... 17 0.695 0.6947 —- 0.0003 Er er le | 16 | 0.67 | 0.6709 + 0.0009 A | ne 0.62 0.6281 + 0.0081 I ee a ee 12 0.55 0.5566 + 0.0066 re ee 9 0.40 0.3926 —- 0.0074 Nec: 7 0.30 | 0.2853 + 0.0147 Afdeling CE ee. 25 0.70 0.6963 —- 0.0037 a er seau 21 0.62 0.6261 + 0.0061 ie | 22 0.48 0.4758 + 0.0042 Den angivne Formel sés heraf at være særdeles brugbar. 416 Hvad Forsogsrække Il angaar, er som ovenfor sagt Ligningerne for Vedkommende de enkelte Afdelinger Værdie indenfor Rækken blev for Afdeling A: (p + 0,109) v — 29,055 for Afdeling B: (p+ 0,109) v == 86,656 for Afdeling C: (p + 0,109) v — 314,50 for den korte Grens Vedkommende findes for Afdeling A: (p + 0,070) v for Afdeling B: (p + 0,070) v | 16 n for a taget fra Række I. da for den lange Grens Folgende Tabel giver en Sammenstilling af de beregnede og iagttagne Trykværdier for Forsogsrekke Il. Tabel 3. Forsggsrække II. Den lange Gren. Afdeling A. Afdeling B. Atdeline Gets) PURE Den korte Gren. Afdeling A. Afdeling B. Resultaterne af Række II af Rekke I fundne. sés heraf i det vesentlige at JAZ p (iagttaget). | p (beregnet). Differents. | 9 1.03 1.0144 — 0.0156 8 0.54 0.8239 — 0.0161 7 0.71 0.7278 + 0.0178 17 1.415 1.4233 + 0.0083 18 0.90 0.8855 — 0.0145 | 21 0.72 0.7420 + 0.0220 25) | 15.02 15.040 + 0.020 | 22 | 13.95 13.934 — 0.016 | 23 il 5.07 5.045 — 0.025 24 3.04 3.035 — 0.005 11 0.70 0.7039 —+ 0.0039 10 0.70 0.7084 + 0.0084 14 0.65 | 0.6549 + 0.0049 12 0.61 | 0.6233 + 0.0133 15 0.53 0.5423 + 0.0123 13 0.46 | 0.4569 — 0.0031 6 0.35 0.3436 — 0.0064 5 0.28 | 0.2748 — 0.0052 a 4 0.23 | 0.2268 — 0.0032 3 0.19 | 0.1850 — 0.0050 2 015 | 0.1318 — 0.0132 Es) 0.085 0.0742 — 0.0108 19 | 0.70 0.6812 — 0.0188 20 | 0.54 | 0.5346 — 0.0054 stemme overéns med de u 417 Efter det udviklede mener jeg at være berettiget til at resumere som folger: 1. Ved en Temperatur mellem 11° og 14° C afviger Ilten indenfor de observerede Trykgrenser fra den Boyle-Mariotteske Loy. Afhængigheden mellem Volumen og Spending for en Verdi af sidstnævnte større end 0,70™ kan udtrykkes med Tilnærmelse ved Formlen: (p + 0,109) v = k, medens Formlen for Værdier af Spændingen mindre end 0,70"" bliver: (p + 0,070) v = k. 2. Synker Trykket under 0,70™, undergaar Ilten en Tilstandsforandring; den kan atter ved Forhøjelse af Trykket til over 0,70"" overføres til den oprindelige Til- standsform. RUE re ro all ek ge 4 ‘De hye ae Aa #6) AE | des tre TA DEN dn QUELS Hal pul Le TEE i BI y i ess A is ur Wa : li a ary PRO NAT en rs lee A? Pasian! mr él RN, a Pane T2 dy øl fi ci reen PANTER RN RE ter a Gel Gia inte ay ul KEN ut ho ES Rai ur ME 3540 À Pye) CSN i ) 7 i i i qorere ean etre ÉTÉ i! Ft ao ER de Ser 200 250 . nn mee PSs ae LE ae 3 \ 4 | re mu. Fi i i: Undersogelser over den af blodfarvestoffet optagne [tmængde udforte ved Hjælp af et nyt Absorptiometer Dr. Christian Bohr. Med 2 Tavler. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. II. 10. Kjebenhavn. Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri (F. Dreyer). 1886. D Undersogelser ere paabegyndte i det physiologiske Universitetsinstitut i Leipzig i For- aaret 1883 og ere senere blevne fortsatte i det physiologiske Laboratorium i Kjøbenhavn. Ved ydre Omstendigheder er jeg bleven tvungen til forelobig at udsætte den i dette Efteraar paabegyndte udførlige Fremstilling af mine Undersøgelser; men af forskjellige Grunde har jeg fundet det hensigtsmæssigt allerede nu at offentliggjere en kort sammentrængt Med- delelse af Forsogsresultaterne. Indledning. Formaalet for mine Undersøgelser var at bestemme den Mengde Ilt, som Blodets dissociable Farvestof, Oxyhemoglobinet, formaaede at binde under forskjellige For- hold. Den her foreliggende Afhandling omfatter den Del af Undersogelserne, som det er lykkedes mig at bringe til en vis Afslutning, og angaar den af Hemoglobinet ved en Tem- peratur af 15° under forskjellige Ilttryk optagne Iltmengde. Grunden til at de, for Forstaaelsen af Respirationsprocessen serdeles vigtige Under- sogelser over Oxyhemoglobinets Iltdissociation hidtil ikke har fort til noget fuldt tilfreds- stillende Resultat trods det ikke ringe Arbejde, der af flere Physiologer er anvendt derpaa, maa vistnok søges i de Mangler, der klæbe ved de hidtil anvendte absorptiometriske Me- thoder. Beskrivelsen af et nyt Absorptiometer, hvorved forhaabentlig Hovedmanglerne ved de tidligere anvendte Apparater ere fjernede, udgjor derfor en Del af denne Afhandling. Den stillede Opgaves Losning har jeg forsogt at opnaa ved at undersoge Absorp- tionen af ren Ilt i en ren Oxyhemoglobinoplosning under forskjellige Betingelser. Det er som bekjendt forbundet med ikke ringe Vanskelighed at arbejde med ren Ilt; at jeg desuagtet ved de absorptiometriske Bestemmelser har foretrukket dette fremfor at benylie Luftblandinger og bagefter at beregne Iltens Partiartryk, har sin Grund i folgende Betragtning. For det forste frygtede jeg for derved at gjore Forsogene altfor complicerede; For- sogsbelingelserne ere nemlig selv ved Arbejdet med en enkelt Luftart ikke ganske simple, idet det drejer sig om Iltens Optagelse af et dissociabelt Stof, der er opløst i en Vædske, som selv maa antages at kunne absorbere Ilt efter den Henry’ske Lov men med ubekjendt Absorptionscoefficient. Don Desuden kunde man paa ingen Maade lade de ved Arbejde med Luftblandinger uundgaaelige Fejl i Luftanalysen ude af Betragtning, isærdeleshed ikke her, hvor man maa arbejde med meget smaa Partiartryk. Endelig maa ogsaa den Kjendsgjærning, som senere hen vil blive omtalt, at Ilten ved lave Tryk afviger betydelig fra den Boyle-Mariotteske Lov bringe os paa den Formodning, at Dalton’s Lov ved lave Partiartryk ikke er til- strekkelig nojagtig til Beregning af absorptiometriske Forsog, ved hvilke som bekjendt smaa procentiske Fejl i Trykket kunne faa ikke ringe Betydning. Men naar man skulde arbejde med ren Ilt, maatte Absorptiometret, dersom det skulde anvendes ved disse Forsog, for det forste kunne arbejde ved meget lave Tryk (indtil 1 Mm. eller derunder), og desuden maatte Kviksolvet under ingen Omstændigheder blive rystet sammen med Vædsken. I saa Fald kan man nemlig, som Bunsen (Gasomelrische Methoden 1877 Pag. 220) har vist, ikke udføre nøjagtige absorptiometriske Bestemmelser med ren Ilt, hvilket er Grunden til, at [tens Absorptionscoefficient i Vand, saavidt jeg ser, indtil nu aldrig med tilstrækkelig Nojagtighed er bleven direkte bestemt; i hvert Tilfælde ere de sædvanlig benyttede Værdier for Htens Absorptionscoefficient, som skyldes Bunsen, fundne ad indirekte Vej (se Bunsen |. c. Pag. 225). Ved de temmelig talrige indledende Forsøg, som jeg, førend jeg accepterede den neden for beskrevne Fremgangsmaade, har udført efter forskjellige Methoder og med for- skjellige Apparater, blev jeg endvidere tvungen til at stille følgende Fordringer til Absorp- tiometret: Vædskens Udkogning maa finde Sted i selve Apparatet; for det første for at sikre sig den størst mulige Renhed under Arbejdet, idet det er særdeles vanskeligt at undgaa Forurensning af Vædsken, naar den skal indføres i Absorptiometret gjennem Kvik- sølv. Det turde desuden ikke være til at forhindre, at et saa let ilteligt Stof som Hæmo- globinet ved Indførelsen i Apparatet optager en kjendelig Mængde ilt, og en saadan Iltop- tagelse kan meget let gjøre Bestemmelserne ved lave Ilttryk illusoriske. Det maatte fremdeles anses som meget ønskeligt, at man før hvert enkelt Forsøg kunde sikre sig, at Apparatet indenfor lagttagelsesgrændsen (nogle Hundrededele Millimeter Tryk) var fuldstændig lufttomt. Naar man stiller denne Fordring, vil man snart komme til ved Udkogning af Vædsken kun at benytte den Hagenske Pumpe (eller i hvert Fald Luftpumper af lignende Konstruktion). Desuden var det ogsaa nødvendigt at undgaa Indførelsen af i Forvejen afmaalte Mængder Ilt over Kviksølvet, fordi paa denne Maade mindre Kvantiteter let kunde gaa tabt, og Luftarten maatte derfor kunne maales efter Indfyldningen i Apparatet, men dog før Berøringen med Vædsken. Sluttelig maatte der med samme Vædske kunne anstilles en hel Serie af Bestem- melser ved forskjellige Tryk i vilkaarlig Rækkefølge; thi kun paa den Maade var det muligt 5 423 al faa Oplysning, om der havde fundet et Tab af It Sted under Forsøget, hvad der som bekjendt ikke sjældent kan indtræde, Methodens Hovedtræk. Selve Absorptiometret har den i Figur I fremstillede Form. Det med en Inddeling forsynede, omtrent I Gen- timeter vide, meterlange Ror har ved @ en Slibning, for at det kan forbindes med Luftpumpen, og rager med sin nederste aabne Ende ned i det med Kyikselv fyldte Glaskar g; b og ce ere fuldstændig lufttæt slebne Haner; den til højre for Manen € liggende Del af Appa- ratet indeholder i den eirca 60 Che. store Kugle d Vædsken, hvis Absorptionsforhold skal undersoges. Paa den nedenfor nærmere be- skrevne Maade bliver forst Vædsken og det hele Apparat pumpet lufttomt; hvorved Kviksolvet stiger op i Roret a—g. Medens Hanen b er lukket, og Hanen ce er aabnet, bliver dernæst Apparatets Luft- tomhed kontrolleret. Dersom denne findes tilfredsstillende, bliver Hanen ¢ lukket, og gjennem Kviksølvet i Glasset g indføres nogen Ilt i Roret «a. Efter Aflæsning af Tryk, Temperatur og Volumen, (som er bestemt ved Vejning med Kviksølv) lader den Mængde Ilt, der findes i Apparatet, sig beregne. Nu bliver Hanen c aabnet, og Væd- sken d bliver paa følgende Maade rystet stærkt sammen med Luften i Apparatet: Noget under Midten af Roret a befinder sig en med Roret ubevægelig forbundet Jernrulle 7 (Formen af denne Rulle ses paa Figur 2/); den glider i en efter den tilpasset Klemme e' (Fig. 1). Fra f udgaar 2 Snore, som (paa en senere beskreven Maade) kunne trækkes frem og tilbage og derved give Rullen f og med den Roret a en hurtig frem og tilbagegaaende Bevægelse om sin Længdeaxe. Kviksølvsøjlen i a bliver herved, naar Apparatet er rigtig ind- stillet, staaende helt rolig; der bemærkes kun en langsom Stigning af Kviksølvet paa Grund af den stedfundne Luftabsorption; derimod bliver Vædsken i d, ved den hurtig frem og tilbagegaaende Bevæ- gelse af Kuglen, meget stærkt rystet, uden at dog en eneste Draabe af Vædsken sprøjter op til Hanen e. Efter nogen Tids Forløb stiger Kviksølvsøjlen i a ikke mere, og Absorptionen er da tilendebragt. Efter Aflæsningen af Tryk, Temperatur og Volumen (Vædskens Vo- lumen bliver bestemt paa en nedenfor nærmere angiven Maade), lader Mængden af den i Apparatet værende Luft sig bestemme. Denne viser sig nu at være ringere end før Absorptionen, og Differensen er absorberet af Vædsken. 424 6 Man kan nu med samme Vædske paa folgende Maade udføre et Absorptionsforsog ved højere Tryk: Umiddelbart efter Aflæsningen af Tryk og Temperatur ved Slutningen af Absorptionen bliver Hanen c lukket; da Volumenet i den til højre for ce liggende Del af Apparatet er bekjendt, véd man nejagtig, hvor stor en Luftmængde der befinder sig frit i de til højre for Hanen c liggende Afsnit (2 Kugler og Haneboringen ved ce). Desuden ved man, hvormeget Luft Vædsken allerede har absorberet, og saaledes er hele Luftmængden tilhojre for Hanen c bekjendt. Nu bliver der, imens Hanen c er lukket, indført Ilt i Roret a. Paa sædvanlig Maade (Bestemmelse af Tryk, Volumen og Temperatur) bliver dernæst hele Luftmængden i Roret a bestemt. Denne Luftmængde, adderet til den til hojre for Hanen e værende Luftmængde, giver Summen af hele den i Apparatet tilstedeværende Ilt- mængde. Naar nu Hanen c bliver aabnet, og Vædsken rystes paa ovenfornævnte Maade, saa finder Absorptionen denne Gang Sted under et hejere Tryk. Efter at Absorptionen er bleven tilendebragt, vise Maalingerne, hvor stor en Luftmængde der befinder sig frit i Apparatet, og hermed ere de nødvendige Forudsætninger givne til Beregning af Absorp- tionen under hojere Tryk. Denne Fremgangsmaade kan naturligvis gjentages. Naar man onsker at foretage en Rekke Bestemmelser ved aftagende Tryk, lukker man paa samme Maade som ovenfor beskrevet Hanen ce umiddelbart efter, at den absorp- tiometriske Bestemmelse er foretagen, og hele Luftmengden til hojre for denne Hane bliver beregnet. Nu bringes Absorptiometret i Forbindelse med Pumpen ved Hjælp af Slibningen a, og efter at Hanen 6 er bleven aabnet, bliver Apparatets til venstre for Hanen e liggende Del gjort fuldstændig lufttom. Derefter lukkes Hanen 6, Apparatet skilles fra Pumpen, og Hanen c aabnes; saaledes er hele den i Apparatet forekommende Iltmængde bekjendt, og man kan nu udføre en Absorptionsbestemmelse ved et lavere Tryk end før, idet man subtraherer den Luftmængde, der ved Slutningen af denne Absorption findes frit i Apparatet, fra den bekjendte totale Luftmængde. Nu kan Hanen c igjen lukkes, de til venstre for den liggende Dele atter udpumpes, og paa denne Maade kan der foretages en ny Bestemmelse. Vandforseg. Med dette Apparat har jeg foruden Forsøgene over Iltoptagelsen i for- skjellige Oxyhæmoglobinopløsninger tillige foretaget Forsøg over Iltens Absorption i destil- leret Vand. Dels vilde jeg derved undersøge Apparatets Nøjagtighed; dels vilde jeg ved lave Tryk prøve Rigtigheden af den Henryske Lov, for hvilken jeg ved Forsøgene med Hæmo- globin havde Anvendelse. Fremgangsmaaden ved Vandforsøgene var i det Hele den samme, som ved Hæmoglobinforsøgene, kun maatte ved disse sidste anvendes nogle Kauteler i Be- tragtning af Oxyhæmoglobinopløsningens temmelig store Tilbøjelighed til Decomposition. Det synes mig hensigtsmæssig først senere at gjøre Rede for disse Forsigtighedsregler, og jeg vender mig nu, for at tydeliggjøre Detaillerne ved Methoden, først til de Absorptions- forsøg, der ere anstillede med destilleret Vand. WA] Den anvendte [lt blev altid fremstillet ved Opvarmning af ren Kviksølvilte, den blev ud- viklet umiddelbart før, den skulde bruges, og blev opsamlet i et Bunsen'sk Kviksølvgasometer paa den Maade, som nærmere er angivet i en Afhand- ling om den Boyle-Mariotte'ske Lov, der er | optaget i Vidensk. Selsk. Skr. 6te Række, natur- videnskabelig og mathematisk Afd. 2det Bind Nr. 9. Ilten kan, naar den fremstilles paa denne Maade, faas | meget ren. Vandet destillerede jeg selv under Hensyntagen til de Oplysninger, R. Bunsen (Gaso- metrische Methoden 1877, Pag. 222) har givet | om de herhenhorende Fejlkilder. Efter at Absorptiometret var bleven fuld- stændig renset og tørret, og Hanerne vare blevne omhyggelig indsmurte med en Blanding af Vox og Fedt, saaledes at intet Fedt kunde komme ind i Haneboringen, blev Vandet fyldt i paa folgende Maade : Paa et Glasror e (Fig. 4, Side 440) bliver et Stykke godt fransk Katheter g befæstet ved Hjælp af en Kautschukslange 7; Roret bliver indført paa en saadan Maade, at Katheteret igjennem Hanebo- ringen n (Fig. 4) rager ind i den overste Kugle paa Absorptiometret. [Da alle de ovrige i Figur 4 afbildede Apparatdele tjene til andre Formaal, maa man her tænke sig dem fjernede.| Ved Hjælp af en Tragt, som er anbragt paa Roret e, bliver Vandet bragt ind i Absorptiometerkuglen, uden at de andre Dele af Apparatet blive befugtede, og Indledningsroret bliver dernest fjernet. Derpaa bliver Absorptiometret anbragt for den Hagen’ske Pumpe ved Hjælp af Slibningen ec Fig. 2 (a Fig. 1); den nederste Del af Absorp- tiometret rager ned i den med Kviksolv fyldie Skaal g. I Figur 2 betegner a Svovisyrebeholderen paa den Hagen’ske Pumpe; 6 er en Hane, ved Hjælp af hvilken Vedskens Fordampning i Absorp- 426 8 tiometret under Udpumpningen bliver reguleret; Hanerne d og e blive paa dette Tidspunkt ikke benyttede. Ved for hyppig Brug blive de indfedtede Haner nemlig let mindre paalidelige i deres Virkning, isærdeleshed naar, som det er Tilfældet her, Glasvæggene under Udpump- ningen af og til beslaa sig med Dug. Hanerne blive derfor skaanede til det egenlige Forsag. Den storste Del af den i Vandet optagne Luft lader sig som bekjendt let uddrive ved Udpumpning; de Spor, som endnu blive tilbage, efter at den i Begyndelsen meget livlige Kogning af Vædsken er ophørt eller kun finder Sted sjeldent og stodvis, ere derimod meget vanskelige at skaffe bort. Det Iykkes dog at befri Vandet fuldstendig for Luft paa følgende Maade: Naar Vædsken har hørt op at koge, bliver Pumpen og det derpaa befæstede Ab- sorptiometer hurtig gjort muligst lufttomme og Hanen b (Fig. 2) lukket; man griber nu Absorptiometret med den højre Haand tæt under Hanen d (Fig. 2), medens man med den venstre Haand støtter Slibningen e (Fig. 2) paa den Hagen'ske Pumpe. Idet man nu trykker Absorptiometret fast ind i Slibningen c (Fig. 2), drejer man det hurtig frem og tilbage om Kviksølvsøjlens Axe; paa denne Maade bliver Vædsken i Kuglen meget stærkt rystet, hvorved der bliver noget Luft fri, som, efter at Hanen 6 (Fig. 2) er bleven aabnet, udbreder sig i Pumpen. Den størst mulige Luftfortynding bliver nu frembragt i Absorptiometret, derpaa rystes Vædsken igjen, og denne Proces bliver gjenlagel, indtil der ikke mere ved Rystningen træder nogen Luft over i Pumpen. Paa denne Maade fortsættes Pumpningen i Alminde- lighed i 24 Timer eller endnu længere med større eller mindre Mellemrum. Saa bliver Hanen d (Fig. 2) lukket, og Absorptiometret fjærnes fra Pumpen, hvorved man naturligvis maa sørge for, al den nederste Ende ikke bliver løftet op af Glasset g; det Hele bliver dernæst anbragt paa Stativet Ah Tavle I, og dette bliver fastgjort i Vandbeholderen AAA. Højden af den Støbejerns Vandbeholder er noget over I Meter, og dens Diameter c. 40 Cm. Paa Behol- derens Væg er der i hele dens Højde anbragt et c. 10 Cm. bredt Glasvindu, for at gjøre det muligt herigjennem at aflæse de Apparater, der findes i Beholderen. I Bunden er denne forsynet med 2 Haner z og y. Gjennem den ene kan Beholderen efter Behag sættes i Forbindelse med Vandledningen eller et Afløbsrør, gjennem den anden kan der føres varmt Vand ind fra et Reservoir. Paa Tavle I betegner den punkterede Linie z Vandstanden i Beholderen under Forsøgene. Stativet hh stikker med Tappen z (Tavle I) i en passende Fordybning i Bunden af Vandbeholderen og bliver oppe ved Randen skruet fast med den paa Figuren kun antydede Klemme s. Paa denne Maade staar Stativet urokkeligt fast i Beholderen, og lader sig dog let tage ud og igjen fastgjøre paa det rigtige Sted. Som man kan se af Tavle I, bærer en Jernplade paa Stativet Absorptiometrets Kviksølvglas k; Absorptiometerroret selv bliver ved Hjælp af Rullen f (Fig. 2) og Klemmen / (Tavle I efr. e Fig. I) fastholdt paa en saadan Maade, at det kan dreje sig om sin Axe, saaledes som det allerede overfor er fremstillet ; Klemmen m, hvori Absorptiometret let kan dreje sig, tjener som Fører. Paa Absorptio- metrets Rulle er der befæstet 2 Snore; hver af disse glider over en paa Stativet anbragt Tridse n (Tavle I), og derfra føres de videre over to paa Vandbeholderens Rand befæstede Tridser. I Snoren p er der ophængt en Vægt, medens den anden Snor g excentrisk er fastgjort paa Skiven 7. Medens Skiven 7, som drives af en Motor, gjør en halv Omdrej- ning, trækker den i Snoren g og drejer derved Absorptiometret om dets Axe et Stykke henimod den ene Side. Ved den neste halve Omdrejning af Skiven 7 slappes Snoren g, og den ved p hængende Vægt trækker saa Absorptiometret hurtig til den anden Side. Paa denne Maade bliver den i forrige Afsnit beskrevne Rystning af Vædsken tilvejebragt. Undersogelse paa Lufttomhed. Efter at Absorptiometret er bleven anbragt i Vand- beholderen, bliver først dets Lufttomhed prøvet ved Bestemmelse af det deri herskende Tryk, idet dette sammenlignes med Vanddampenes Spænding ved den foreliggende Tempe- ratur. Naar denne Prøve falder tilfredsstillende ud, bliver Hanen ¢ (Fig. I) lukket og Ab- sorptiomelret taget op af Vandbeholderen. Nu bliver en passende Mængde Ilt bragt ind i Absorptiometret fra det Bunsen'ske Kviksølvgasometer gjennem et kapillært Tilledningsrør. Stativet hk, som bærer Absorptiometerrøret, bliver igjen anbragt paa sin Plads i Vandbe- holderen, og de nødvendige Maalinger udført for at bestemme Mængden af den Ilt, der nu findes i Absorptiometerrøret. Forsøget fortsættes derpaa ganske som anført Side 423 idet Hanen c (Fig. 1) bliver aabnet, og Vædsken ved Hjælp af en Motor rystes meget heftigt frem og tilbage (3 Gange i Sekundet), indtil Kviksølvsøjlens Højde i Absorptiometerrøret ikke mere forandrer sig, hvorpaa atter den frie Luftmængde, der nu befinder sig i hele Apparatet, bestemmes paa sædvanlig Maade. Man har da, som man ikke nærmere behøver at forklare, de nødvendige Data til Beregning af den i Vædsken absorberede Luftmængde, og kan nu, som beskrevet ovenfor Side 424, føre Forsøget videre, idet man, efter at have lukket Hanen e (Fig. 1), enten paa ny leder Ilt ind, eller gjør den Del, der ligger til venstre for Hanen ¢, fuldstændig luftttom. Et Exempel, der er meddelt længere nede, vil forhaabentlig bidrage til Forstaaelse af Forsøgsmaaden. Bestemmelse af Spænding og Temperatur i Absorptiomelret. Endnu staar tilbage at beskrive, hvorledes Spændingen og Temperaturen i Absorptiometret kan foretages med til- børlig Nøjagtighed, ligesom ogsaa paa hvilken Maade Bestemmelsen af Vædskemængden i Absorptiometret udføres. Bestemmelsen af Trykket i Absorptiometret sker paa følgende Maade: Et i Vand- beholderen (se Tavle I) befæstet Stativ æt bærer ved Hjælp af en Jernplade Kviksolvglasset w, hvori Barometerrøret 06 var anbragt; Glasset u var anbragt i samme Højde som Absorp- tiometrets Glas k. Efter at Absorpliometret var bleven befæstet paa sin Plads i Vand- beholderen, blev paa en Maade, som strax skal beskrives, Glasset x sat i Forbindelse med Glasset k, hvorved Kviksølvoverfladerne i de to Glas indstillede sig i samme horizontale Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og matlıem. Afd. II. 10, 54 4 8 10 Niveau; Trykket i det indre af Absorptiometret kunde da maales ved den vertikale Afstand mellem Kviksølv- overfladen i Barometret bb og i Absorptiometerrøret aa (Tavle I). Denne Afstand blev maalt ved Hjælp af et Kathetometer, der var opstillet foran Vandbe- holderens Glasvindue. Foruden de almindelige Korrek- tioner med Hensyn til Kviksølvsøjlens Temperatur og Vanddampspændingen i Absorptiometret, blev der stadig foretaget Correction med Hensyn til Haarrors-Depres- sionen efter Mendelejeffs Tabeller. For at kunne ud- føre den sidste Rettelse var Barometerrørets og Ab- sorptiometerrorets Diameter nøjagtig bestemt, og ved hver Trykbestemmelse blev Højden af begge Menis- ker maalt. Begge Karrene w og k bleve satte i Forbin- delse med hinanden paa en Maade, som for det Første tillod at bringe Communicationen hurtig og sikkert i Stand og paa den anden Side gjorde det muligt lige saa hurtig at bringe Karrene ud af Forbindelse med hinanden, naar, som det skete ved hvert Forsøg, Absorptiometret skulde løftes op af Vandbeholderen. Et simpelt meterlangt Gaffelrør af Glas, hvis Form og Størrelse ses af e Fig. 3 og c Tavle I blev med Gaflen vendende nedad, og medens dets øverste Ende holdtes lukket med Pegefingeren, stukket ned i Vandbeholderen, saaledes at den ene Gren af Gaf- felen førtes ned i Glasset £ og den anden i Glasset u. Da Rorets øverste Ende var lukket, medens det sænkedes ned i Vandet, trængte der sig kun en lille Vandsøjle ind i det; efter at Glasrøret var bleven anbragt paa sin Plads, som Figur 3 viser, blev Fin- geren fjernet fra den øverste Ende, og det næsten meterhøje Vandtryk, som hvilede paa Kviksølvover- fladerne i k og u (Tavle I), drev nu Kviksølvet op til over Gaffeldelingen i Roret; herved blev en hæ- vertformig Forbindelse tilvejebragt mellem Kviksolvet 11 429 i de to Kar u og k. Naar Forbindelsen skulde ophøre, blev Gaffelen simpelt hen trukket op af Kviksolvet. (I Figur 3 betyder a Barometrets Stativ, Absorptiometrets Stativ, ¢ den nederste Ende af Barometerroret, d den nederste Ende af Absorpliometerroret, e Gallelroret, f er en gjennemboret Korkprop, der uden at slutte vandtet, letter Anbringelsen og Fastholdelsen af Glasroret.) Temperaturen blev bestemt ved Hjælp af Normalthermometret d Tavle I. Be- liggenheden af Nulpunktet paa dette, af mig selv kalibrerede Thermometer, blev hyppig kontrolleret. For at tilvejebringe ensartet Temperatur i den temmelig hoje Vandbeholders forskjellige Lag blev en Blander med halvmaaneformet Plade ee (Tavle I) uafbrudt beveget op og ned i Foringen f ved Hjælp af en Motor. Bestemmelse af Vadskemangden i Absorptiometret. Bestemmelsen af den absor- berende Vedskemengde, som her, da Udkogningen foregaar i selve Absorptiometret, nødvendigvis maa foretages ved Slutningen af Forsøget, kan ske, ved at man først vejer hele Absorptiometerroret ved Begyndelsen af Forsøget, for man hælder Vedsken i, og saa igjen, naar Forsoget er endt. Hvor ingen tilstrækkelig fin Vægt af passende Dimensioner staar til Raadighed, kommer man ogsaa med temmelig stor Nojagtighed til Maalet paa fol- gende Maade: Efter Forsøget bliver Kviksolvet fuldstændig fjernet fra Absorptiometerreret, og dette bliver, om fornødent, aftørret indvendig ved Hjælp af Trækpapir. Derpaa bliver Hanen b (Pig. 1) lukket, Hanen e (Fig. 1) aabnet, og efter at Absorptiometret er blevet stillet med Slibning a (Fig. 1) nedad, bliver den aabne Ende, der nu vender opad, ved Hjælp af en Kautschukslange sat i Forbindelse med en Vandluftpumpe, og Indholdet af Kuglen d (Fig. 1) suget op i den kugleformede Udvidelse paa Absorptiometerrøret. Hanen c (Fig. 1) bliver derpaa lukket og Absorptiometret skilt fra Vandluftpumpen. Hovedmassen af Vædsken bliver nu, idet Apparatet vendes om, heldt over i en Kolbe af bekjendt Vægt og derpaa vejet; hvad der endnu bliver hængende paa Væggene af Apparatet, bestemmes paa den Maade, at en Glasmanchet £ (Fig. 4 Side 440) hurtig og uden at der gaar en Draabe af Vædsken tilspilde, bliver skudt hen over den nederste Ende af Absorptiometerrøret og dér lufttæt befæstet ved en Kautschukprop (se Fig. 4); saa bliver et langt Glasrør e (Fig. 4), paa hvilket et fransk Katheter g (Fig. 4) er bundet fast ved Hjælp af et Stykke Kautschukslange J (Fig. 4) skudt ned i Absorptiometret, og derpaa ved Hjælp af en Kautschukprop lufttæt forbundet med Glasmanchetten paa den Fig. 4 fremstillede Maade. Medens Absorptiometrets Kugler ere nedsænkede i et Vandbad, bliver nu en Luftstrøm, der iforvejen er bleven fuld- stændig tørret over Svovlsyre ved Hjælp af en Aspirator, indsuget gjennem Roret ? (Fig. 4) paa Glasmanchetten. Efter at Luftstrømmen paa Vejen igjennem Apparatet er bleven mættet med Vanddamp, bliver den igjen suget ud gjennem Roret e (Fig. 4); derefter pas- 54% serer Luftstrammen tre forud afvejede Kør med Svovlsyre, til hvilke den afgiver al sin Fug- lighed, og hvis Vægtforagelse, naar Absorptiometerroret er blevet fuldstændig tert, angiver hele den i Roret tilbageblevne Vædskemængde. Iltens Afvigelse fra den Boyle-Mavriotte'ske Lov. Fer jeg gaar over til Frem- stillingen af de ved Forsøgene over Vandets Absorption af Ilt fundne Resultater, vil jeg, som ovenfor berørt, ved et Exempel med gjennemfort Beregning, gjøre Brugen af Apparatet saa tydelig som mulig. Jeg maa herved bemærke, at de fornødne Omregninger fra et Tryk til et andet ikke ere foretagne efter den Boyle-Mariotte’ske Loy; Ilten afviger nemlig (hvad jeg for kort Tid siden har vist i en i Vidensk. Selsk. Skr., 6te Rekke, naturviden- skabelig og mathematisk Afd. 2det Bind. Nr. 9 offentliggjort Afhandling) især ved lave Tryk temmelig meget fra den omtalte Lov. Her kan jeg under Henvisning til den citerede Afhandling indskrenke mig til den Bemerkning, at for Iltens Vedkommende Afhengigheden mellem Spending p og Volumen v med meget stor Tilnermelse lader sig udtrykke ved Formlen v (p + 0,109) — k, naar Trykket er over 0,7 Mm. Denne Formel er derfor benyttet ved de følgende Beregninger. 13 451 Forsøg over Iltens Absorption i destilleret Vand, I det Folgende betyder: p Trykket i Mm. Kviksolv ved 0°, efter at samtlige Correctioner ere indførte, og efter at Vanddampenes Spending ved den foreliggende Temperatur er fradraget. T Temperaturen beregnet i Grader efter Celsius. v Rumfanget af de til venstre for Hanen c Fig. I liggende Dele af Absorptiometret. v, Rumfanget af de til højre for Hanen c Fig. I liggende Dele af Absorpliometret. Samtlige Rumfang ere angivne i Cubiccentimeter. V betyder Luftens Rumfang ved 0° og 760™™ Kviksolvtryk. O betyder Ht. abs. betyder absorberet. Vægtangivelserne ere reducerede til Vacuum. Vædskemængde i Gram ...... = 47.602. do. i Che. ved 20°. . = 47.683. v, (efter Fradrag af 47.683) . . . . — 36.016. I. For Forsoget. p=—003 T= 20°. II. 15€ Tilledning af 0. p = 37.74 v = 38.834 V = 1.8008 7 — 20°12. Ill. 18° Absorptionsbestemmelse. p = 19.71 wo, = 73.306, Vi 1.09 PF — 20717. abs.: 1.8008 — 1.7796 — 0,0212. Af vw, kan man beregne den fri Illmængde, der ved Hanen c's Lukning findes i de lil højre liggende Kugler til 0.8744. De hermed analoge Størrelser betegnes i det Fol- gende med K. IV. 29" Tilledning af 0. p = 145.51 v — 48.584 V — 8.6666 7 — 20°18. Samtlig 0 i Apparatet — 8.6666 -+ 0.0212 + 0.8744 — 9.5622. 432 V. 2%" Absorptionsbestemmelse. p = 95.36 v+v, = 80355 V= 9.500 T= 20°18. abs. = 0.172 K = 4.2116. VI. 3% Tilledning af 0. jp) = S108 © = AO Ye Te AT Samtlig 0 i Apparatet — 50.7355 + 0.1772 + 4.2116 — 55.1243. VII. 3% Absorptionsbestemmelse. p = 409.47 v-+v, = 108.223 V — 54.2975 T = 20°16. abs. — 0.8268 À — 18.0696. Vill. Udpumpning af de til venstre for Hanene liggende Dele af Absorptiometret. Samtlig 0 i Apparatet — 18.0696 + 0.8266 — 18.8964. IX. 4" Absorptionsbestemmelse. p = 113.89 v-+ v0, = 87.025 V —= 18.5465 T — 20°20. abs. — 0.3499 KK — 71.6752. X. Udpumpningen som omtalt under VIII. Samtlig 0 i Apparatet — 7.6752 + 0.3499 — 8.0251. XI. 5° Absorptionsbestemmelse. p —= 81:27 + v, = 78.840 V = 7.8590 T = 20°17. abs. = 0.1661 K = 3.5902. XII Udpumpning (se VIII). Samtlig 0 i Apparatet — 3.5902 + 0.1661 — 3.7563. XIII. 6! Absorptionsbestemmelse. p = 39.60 v+o, = 75.234 V = 3.6591 Z' = 20°20. ADS — 010972 ahaa 7517: XIV. Udpumpning (se VIII). Samtlig 0 i Apparatet — 1.7517 + 0.0972 — 1.8489. XV. 7° Absorptionsbestemmelse, p = 1988 v+v, = 73.493 V = 1,7994 T = 20°20. abs. — 0.0195 K — 0.8818. XVI. Udpumpning (se VIII). Samtlig 0 i Apparatet — 0.8818 + 0.0495 == 0.9313. 15 153 XVII. Si Absorptionsbestemmelse. p == 10:22) vaso 72.618 V =< 019187 eT) = 20822. abs. = 0.0126. Nedenfor ere Forsogets Absorptionsbestemmelser tabellarisk angivne. De absorberede Lufimængder ere beregnede for 100 Cbe. Vand og udtrykte i Che. ved 0° og 760™™. Nr. 1—3, hvor Trykket ved den foregaaende Absorptionsbestemmelse var mindre end ved den efterfølgende Bestemmelse, gave til Resultat: Tryk. abs. af 100 Cbe. Vand. Absorptionsbestemmelse I .... 19.7 0.044 = DR eo HA 0.372 — SU re 240955 1.734. Nr. 3—8, hvor Trykket stadig var storre ved det foregaaende end ved det efter- folgende Forsøg, gave til Resultat: Tryk. abs. af 100 Cbe. Vand. Absorptionsbestemmelse 8 . 10.2 0.026 — TPE. dla °C) 0.104 — be 0.204 — DS ERBE 0.348 — er) 0.734 = Bo eed a OBS 1.734. Paa Tavle If À er givet en graphisk Fremstilling af det ovenfor meddelte Forsøg, idet Abscisserne fremstille Trykkene (I"m — 9m" Kviksolvsojle) og Ordinaterne de ved disse Tryk af 100 Cbe. Vand absorberede Iltmiengder (1"" — ?/100 Cbe. Ilt ved 0° og 760"). Henrys Lov. De ved Forsogets Nr. I og 2 bestemte Punkter ere paa Tavlen mærkede ved en lille Cirkel, og man vil se, at disse Punkter og Forsagets Nr. 3 ligge i en ret Linie, ligesom ogsaa at Punkterne Nr. 3, 4 og 5 ligge i en ret Linie, som tilmed gaar nøjagtig gjennem Coordinaternes Begyndelsespunkt. Punkterne 5, 7 og 8 ligge fordelte omkring denne Linie, dels noget over, dels noget under den. Altsaa ligge alle de Punkter, som hore til Rækken af Bestemmelser med voxende Tryk (Nr. 1, 2, 3), paa en rel Linie, og denne Linie danner en meget lille Vinkel med den Linie, som felges af samtlige Punkter (Nr.3—8) i Rækken med aftagende Tryk. Da denne sidste Linie tillige gaar igjennem Be- gyndelsespunktet, har Rækken med aftagende Tryk vist en saa godt som fuldstændig Over- 4Q—17™™, ikke kunne komme i Betragtning paa Grund af den ringe absolute Størrelse af Absorptionen ensstemmelse med Henry’s Lov, da de smaa Afvigelser, der vise sig ved Tryk fra ved disse Tryk, og da de tilmed ikke afvige til samme Side af Linien. Naar Hensyn tages til den Maalestok, i hvilken Ordinaterne ere afsatte, kunde man vel rejse det Spørgsmaal, 434 . 16 om man overhovedet bør lægge nogen Vægt paa den Afvigelse, som Linien for voxende Tryk viser fra den nys omtalte Linie; Hovedsagen er imidlertid den, at man har fundet den absorberede Luftmængde lidt mindre ved voxende end ved aftagende Tryk; herved er det nemlig godigjort, at man med dette Absorptiometer kan udføre en hel Række (i dette Tilfælde 8) Bestemmelser, uden at mærke endog blot Spor af Ilttab, og det skjønt Iltens Tryk har naaet en saa betydelig Højde som 400™". I denne Henseende viste Apparatet sig altsaa meget hensigtsmæssigt. Naar man nu fremdeles betænker, at disse Iltabsorptions- forsøg, som udførtes med kun circa 50 Cbcm. Vand ved Trykhøjder af mellem 4007" og 80m, have givet indbyrdes saa godt som fuldstændig overensstemmende Resultat, og at Absorptionsbestemmelserne udførte ved c. 10"" Tryk endnu have vist sig brugbare, maa ogsaa Apparatets Nojagtighed betegnes som tilfredsstillende. Iltens Absorptionscoeffieient. Efter at vi nu have set, at Henrys Lov ved de under- søgte Forsøg kan ansés for exact, og at vi altsaa uden Betænkelighed kunne anvende den ved Hæmoglobinforsøgene, ville vi betragte Størrelsen af den fundne Absorptionscoefficient. Denne er ved 20°2 fundet — 0.03218, altsaa ikke ubetydelig større end den af Bunsen fundne Coefficient 0.02834. Anordningen af Forsøgene og den Maade, hvorpaa de ere ud- førte, gjør, at man, som alt ovenfor omtalt, ganske kan se bort fra den ellers nærliggende Tanke, at Forurensninger af Vandet, eller Dele af Apparatet, kan have bundet Ilt. Ikke heller kunne tilfældige Fejl i Bestemmelse af Apparatkonstanterne (Volumen etc.) forklare Uoverensstemmelsen. En ny Bestemmelse, ved hvilken ikke blot Ilten og Vandet var til- beredt paa ny, men hvor ogsaa Apparatet var et andet, gav nemlig (i god Overensstemmelse med den ovenfor fundne Værdi) Coefficientens Størrelse — 0.03272 ved 20°. Forskjellem mellem disse Resultater og det af Bunsen fundne, hidrører maaske snarere derfra, at den nævnte Forsker var nødt til at gjøre Brug af Daltons Lov, som sandsynligvis ikke gjælder nøjagtig under de givne Omstændigheder. Hœæmoglobinforsog. De Wemoglobinforsog, som her skulle meddeles, ere udførte ved 15° C. under forskjellige Ittryk. Da samtlige Forsøgsfactorer (Haemoglobin, Ilt, absorp- tiometrisk Apparat) herved have varieret, uden at dette har haft nogen kjendelig Indflydelse paa Forsøgenes indbyrdes Overensstemmelse; kunne de ved Forsøgene opnaaede Resultater vel ansés for tilstrækkelig fastslaaede, og man kan ikke tage i Betragtning, al jeg ikke her har naaet en saa stor Nøjagtighed som ved Forsøgene med Vand. Dette følger allerede deraf, at den opløsende Vædskes Absorptionscoefficient indgaar som Led i Beregningen af den af Hæmoglobinet optagne Iltmængde. Bestemmelsen af denne Coefficient er imid- lertid, som vi nedenfor skulle se, ikke uden Vanskelighed og lader sig næppe udfore fuld- stendig exact. 17 435 Hemoglobinets Fremstilling. Fremstillingen af det anvendte Hæmoglobin ud- fortes væsenlig efter den af Hoppe-Seyler angivne Methode; kun fortjener det at be- mærkes, at Blodlegemerne, forend Hæmoglobinet blev adskilt fra deres Stroma, bleve fuld- stendig renvadskede i Kogsaltoplosning ved Hjælp af Centrifugen. Hæmoglobinet blev flere Gange omkrystalliseret; for at fremskynde Filtrationspro- cessen, filtreredes gjennem Glasuld under Anvendelse af hojt Tryk; kun Filtrationen af den sidste Oplosning udfortes ved Hjælp af godt Filtrerpapir. For at kunne anvende det samme Hemoglobin til flere Forsog, bleve Oplosningerne opbevarede i smaa tilsmeltede Kolber (a Fig. 4); ved Hjælp af denne af Hoppe-Seyler angivne Methode holder Oplosningerne sig brugbare i en ubegrendset Tid. Naar en saadan Kolbe aabnes efter lengere Tids Forlob, bemærker man ikke sjælden en mer eller mindre stærk aromatisk Lugt, som forsvinder ved energisk Udpumpning af Vædsken. Indheldningen af Hemoglobinoplosningen i Absorptiometret, hvor den blev udpumpet inden Forsøget, foretoges, saaledes som det nedenfor nermere skal beskrives, i en Brintstrem. Vedskemengden i Apparatet. Efter hvert absorptiometrisk Forsøg blev den anvendte Vædskemængde stadig bestemt, saaledes som det ovenfor er angivet under Vandforsøgene ; ved Hæmoglobinforsøgene var det tillige hver Gang nødvendigt efter Forsøget at gjøre en særlig Bestemmelse af Opløsningens specifiske Vægt, samt at bestemme dens Indhold af Torsubstans. Oplesningens specifiske Vægt blev bestemt, for derved at kunne omregne den i Gramvegt bestemte Vædskemængde til Chem. ved Forsøgstemperaturen; denne Stør- relse maa nemlig kjendes, for at man skal kunne bestemme det af Luften i Absorptiome- trets Kugle indtagne Volumen. Torsubstans. Bestemmelsen af Tørsubstans blev hver Gang udført saaledes, at 10—20 Gram af Opløsningen efter det absorptiometriske Forsøg blev afvejet i dertil egnede smaa Glasbeholdere, der lode sig lukke med tilslebne Laag, og derpaa strax inddampedes over Svovlsyre i Luftpumpens Klokke; ved tilstrækkelig stærk Luftfortynding (næsten Va- cuum) udførtes Inddampningen af Vædsken i de temmelig brede Glasbeholdere i omtrent 12—24 Timer, uden at der fandt nogen Decomposition af Vædsken Sted. Torringen over Svovlsyre fortsattes til fuldstændig konstant Vægt, og derpaa tørredes Resten atter i Varmekasse ved 115° til konstant Vægt. Denne Fremgangsmaade giver nøjagtig samme Resultater, som den af v. Noorden beskrevne Tørring i Brintstrøm, hvilket jeg har over- bevist mig om ved Kontrolforsøg, anstillede med specielt Hensyn hertil. Efter hvert Forsøg blev Tørsubstansen bestemt i to forskjellige Prøver; Overensstemmelsen var som Regel fuldstændig tilfredsstillende. Hæmoglobinets Krystalvand. Vægten af det over Svovlsyre tørrede Hemoglobin, sammenholdt med det Vægttab, som de paagjældende Prøver undergik ved længere Tids Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 10. 55 436 18 Opvarmning til 115°, kan benyttes til en Beregning af Hemoglobinkrystallernes Krystalvand, Denne har jeg da ogsaa udfort. Da Hoppe-Seyler nemlig havde fundet, at forskjellige Dyrearters Hæmoglobin- krystaller indeholde en forskjellig Mengde Krystalvand (mellem c. 9 og 3 pCt.), saa syntes det mig hensigtsmæssigt at forsøge ogsaa Anvendelsen af saadanne Bestemmelser til Kon- trollering af det anvendte Hundeblod-Oxyhæmoglobins Renhed; det syntes mig nemlig onskeligt at kunne kontrollere Renheden paa saa mange Punkter som muligt. Ved disse Prover viste det sig nu, at Mængden af Krystalvand i Hundeblod-Oxyhemoglobin kan va- riere belydeligt, saaledes som det fremgaar af den nedenfor meddelte Tabel. Tallene i forste Kolonne giver de enkelte Forsegsnumre, medens den 2den Kolonne indeholder en eller to Bestemmelser af den procentiske Krystalvandmængde (udtrykt i Gram for 100 Gram over Svovlsyre tørret Hemoglobin) for hver Hæmoglobinpreve, den 3dje Ko- lonne giver Middeltallet af de to Bestemmelser i 2den Kolonne. Tabel. I IL. Im es "| Go | 6.022 | f 6.479 ; x \ 6.098 6.289 f 4.432 | me x \ 4.627 | 4.529 = | À re | 4.642 fis | An 3 \ 1.116 | 1.246 6 6.227 testy 7 6.227 6.227 3 { I 3.486 i { En 5.398 a ( Ed 5.460 | f 3.310 | | L | \ 3.240 | 3.280 ål { | 5.07 f 2.875 de \ 3.164 3.019 Man ser af denne Tabel, at den procentiske Mængde af Krystalvand i Hundeblod- Oxyhæmoglobin kan variere imellem c. 6,3 og 1,2. Forskjellige Omstændigheder bragte 19 437 mig til at soge Grunden til denne Variation deri, at Vanddamptensionen under Fordamp- ningen over Svovlsyre var forskjellig ved de forskjellige Prøver, alt eftersom Svovlsyren havde været anvendt længere eller kortere Tid og derfor allerede havde optaget mer eller mindre Vand. Denne Formodning fandt jeg bekreftet ved folgende Forsog: En Prove af samme Hemoglobinoplosning blev tørret til fuldstændig konstant Vægt ved samme Luftfortynding i to forskjellige Exsiccatorer, hvor Syovisyrens Vandholdighed var noget forskjellig. Bestemmelsen af Krystalvandet gav i den ene Prove 4,485 °/o; i den anden 2,426 °/o; et paa samme Maade udført Forsøg gav for en anden Hemoglobinprove 3,659 °/o Kry- stalvand i den ene Exsiccator og 1,573 i den anden. Den direkte Bestemmelse af Vanddampten- sionen i Exsiccatorerne lod sig ikke udfore i de af mig benyttede Apparater, og jeg har derfor ikke videre forfulgt Undersogelsen af dette Forhold, der ligger den foreliggende Meddelelse noget fjernere; men en Revision af Krystalvandsbestemmelserne i de forskjellige Dyrearters Oxyhemoglobin synes mig dog herefter ikke uden Interesse. Specifisk Vægt. Wa der ved hvert Forsøg er gjort en nøjagtig Bestemmelse af den specifiske Vægt, saa bliver det muligt ved en Sammenstilling af alle disse Bestemmelser at prove, om de af forskjellige Krystalfremstillinger tilberedte Hæmoglobinoplesninger viser samme Forhold mellem Hemoglobinholdighed og specifisk Vægt, samt at undersøge, hvilken Indflydelse en langvarig Opbevaring af Oplosningerne i tilsmeltede Glas har herpaa. Der viste sig herved stadig en meget noje gensidig Overensstemmelse i Bestemmelserne, saa at det endog var muligt omtrentlig at beregne Oplosningernes Hemoglobinholdighed ved Hjælp af en Bestemmelse af den specifiske Vegt alene. For nærmere at belyse Sagen anforer jeg nedenfor en Rekke tabellarisk ordnede Bestemmelser; de dèr anferte Forsog stamme fra tre forskjellige Hæmoglobinfremstillinger, og Hæmoglobinholdigheden er bestemt dels i frisk Tilstand, dels efter længere Tids Opbe- varing i tilsmeltede Glas. ji Samtlige i Tabellen opforte specifiske Vægtangivelser ere reducerede til en Tem- peratur af 15° C.; for at kunne udføre dette, bestemte jeg Hemoglobinoplosningernes Ud- videlsescoefficient i Nærheden af denne Temperatur, og fandt, at den ikke i nogen kjendelig Grad var forskjellig fra Vandets. For Fuldstændigheds Skyld bemærker jeg endnu, at Bestemmelserne ere udforte med et Pyknometer, der rummede omtrent 10 Cbe., og som var forsynet med Thermometer og Stigeror, og at jeg ved «specifisk Vægt for en bestemt Temperatur» forstaar Forholdet mellem Vægten af et Volumen af Vedsken ved denne Temperatur og Vægten af det samme Volumen Vand ved 4° C. 438 20 Tabel. | | I. Il. TIL. | iv. Nr. | Specifisk | lagttagne | Beregnede | Vægt. pCt. Hbg. | pCt. Hbg. ae > ee 1 ur | 1 | 1.0012 0.886 0.876 | 1.303 2 | 1.0027 1.497 1.514 | 1.310 3 | 1.0033 1.738 | 1.761 | 1.311 4 1.0053 2.655 2.611 1.300 5 1.0066 | 3.077 3.155 | 1.316 6 | 1.0078 | 3.736 3.653 1.297 7 | 1.0081 | 3.834 3.874 1.309 8 1.0084 | 3.986 3.908 1.298 Tabellens Kolonne I angiver den specifiske Vægt; Kolonne Il det iagttagne pro- centiske Indhold af Hæmoglobin i de paagjældende Opløsninger (Gram i 100 Gram Op- løsning); i Kolonne III har jeg opført det paa nedenanforte Maade af den specifiske Vægt beregnede Hæmoglobinindhold, og Tallene i Kolonne IV angiver for hver Opløs- ning Forholdet mellem den iagttagne Hæmoglobinmængde og den ved Opløsningen af det tørrede Hæmoglobin indtrædende Volumenforøgelse af det i 100 Gram Opløsning inde- holdte Vand. Et Exempel vil lettest vise, hvorledes Beregningen af disse Tal er udført. I Ta- bellen findes opfort som-Nr:2 en Opløsning med 1,497 °/o Hemoglobin; 100 Gram af Op- løsningen indeholder altsaa 98,503 Gram Vand, som ved 15” indtager et Rumfang af 98,587 Cbe. Oplosningens specifiske Vægt er — 1,0027, og Volumen af 100 Gram Opløsning er altsaa ved 15? — 99,730 Cbc. Ved Opløsningen af det tørrede Hæmoglobin i Vand vilde altsaa 98,587 Cbc. Vand blive omdannet til 99,730 Cbc. Hæmoglobinopløsning, Volumen- forogelsen er altsaa 99,730 — 98,587 == 1,143; Forholdet mellem det procentiske Hæmoglobin- indhold (1,497) og Volumenforøgelsen (1,143) er — 1,310. Disse Tal er opført i Kolonne IV. Nu vise Tallene i Kolonne IV en saa stor Overensstemmelse, at man uden Be- tænkning kan betragte dem som konstante, navnlig da der ikke viser sig nogen af den procentiske Hæmoglobinholdighed afhængig Regelmæssighed i Afvigelserne fra Middeltallet. Følgende Forhold mellem en Opløsnings Hæmoglobinholdighed i Vægtprocent (z) og den specifiske Vægt ved 15° (K) lader sig da, som man let ser, opstille, naar Vandets speci- fiske Vægt ved 15° er — 0,99916 100 — x æ 100 0,99916 1306 me Efter denne Formel er Værdierne af « i Kolonne III beregnede. 21 439 Den store Regelmæssighed i de nys omtalte physikalske Forhold ved de af for- skjellige Krystaller fremstillede Oplesninger synes mig i hej Grad at tale for det benyttede Hæmoglobins Renhed, og derfor har jeg ogsaa her behandlet dette Punkt noget udforligere. Spektralundersogelse. Ved nogle af de første Forsøg har jeg for og efter de ab- sorptiometriske Maalinger bestemt det anvendte Hæmoglobins Spektralkonstanter ved Hjælp af det Glahn’ske Photometer; de for og efter Absorptionsforsogene fundne Verdier viste sig saa godt som identiske. Jeg saa mig imidlertid nodsaget til at opgive denne Undersogelse, da jeg ikke kunde finde Tid til at udfore den samtidig med de mange Bestemmelser, der vare absolut nødvendige ved hvert enkelt Forsøg. Jeg maatte derfor nøjes med den simple, kvalitative Undersøgelse af Hæmoglobinspektret efter Tilendebringelsen af det absorptio- metriske Forsøg. Hvor denne Undersøgelse viste en delvis Omdannelse af Farvestoffet til Methæmoglobin, blev Forsøget ikke benyttet. Absorptiometriske Maalinger. Udførelsen af de absorptiometriske Forsøg med Hæ- moglobinopløsninger foregik, som tidligere bemærket, i alt Væsentligt saaledes, som det er beskrevet ved Vandforsøgene. Kun Paafyldningen af Vædsken paa Absorptiometret og Fremgangsmaaden ved Udpumpningen var noget forandret, idet der blev sørget for, at de for Udpumpningen reducerede Hemoglobinoplosninger aldeles ikke kom i Berøring med Ilt, medens Udkogningen for Luftpumpen fandt Sted. Dette viste sig nødvendigt for at forhindre den delvise Omdannelse af Hæmoglobin til Methæmoglobin under den temmelig langvarige Udkogning. Paafyldning af Hamoglobinoplosningen. Paa Fig. 4 findes gjengivet den Fremgangs- maade, der gjør det muligt at beskytte de i de tilsmeltede Kolber opbevarede reducerede Hæmoglobinoplesninger mod Iltens Adgang under Paafyldningen af Absorptiometret. Kol- ben a, der indeholder Hemoglobinoplosningen, er med sin tilsmeltede Spids & indbundet i en Kautschukslange, der atter er lufttæt fastgjort til Tragten c. Tragten indeholder ved d noget Glasuld og staar ved Hjælp af en Kautschukslange i Forbindelse med det oftere om- talte Ror e; paa dette er ved / befæstet et Katheder g, der er fort ind i Absorptiometrels Kugle. Roret e er ved Hjælp af Glasmanchetten % lufttetı forbunden med Absorptiometer- røret paa en ved Hjælp af Figuren let forstaaelig Maade. I Løbet af nogle Timer bliver der nu, medens Hanen m er lukket, ledet en ren- vadsket Brintstrom ind i Apparatet gjennem det paa Tragten ¢ fastsmeltede Ror A. Brinten passerer gjennem Roret e—g ind i Kuglen, gaar dernæst gjennem Haneboringen n, som naturligvis ikke hell udfyldes af g, og træder ved 7 ud af Apparatet. Efter at al athmo- sphærisk Luft er uddrevet af Apparatet, bliver den ved 6 indfilede Kolbehals brækket over og Kolbens Indhold hældt ud i Tragten A; Brinten trykker da Vædsken gjennem e og g ind i Kuglen. Naar dette er sket, bliver Roret e, uden at Apparatet tages fra hinanden, trukket et Stykke tilbage, indtil Enden af g er kommet ud af Haneboringen ved n, og Absorptio- 22 440 Fig. 4. Sa ae 23 441 metret skilles, efter at Hanen n er lukket, fra de øvrige Dele. Absorptiometret bliver nu paa den i Fig. 2 gjengivne Maade sat i Forbindelse med Luftpumpen; imens forbliver 4 (e Fig. 2) lukket. Medens Hanerne d og 6 (Fig. 2) ere aabne, bliver dernæst Hane n Fig. Luftpumpe og Absorptiometerror gjort fuldstendig lufttomme, saa forst aabner man Hane e (Fig. 2), og Vædsken, der paa denne Maade slet ikke kan komme i Berøring med Ilten, bliver endelig udkogt. Naar man anvender en frisk tilberedt Hæmoglobinoplesning, bliver den ved Hjælp af Roret e (Fig. 4) hældt ind i Absorptiometrets Kugle. Kuglen anbringes i Is, og en ved- varende Brintstrøm ledes gjennem e ind i Hemoglobinoplosningen. Efter Reductionen bliver e trukket tilbage, Hanen n (Fig. 4) lukket og Vædsken derpaa ved Hjælp af Pumpen gjort lufttom, som ovenfor beskrevet. Efter Udpumpningen bliver Absorptiometrets Lufttomhed prøvet paa det Omhygge- ligste, Forsøget bliver dernæst udført ganske som ovenfor beskrevet under Vandforsøgene, og som det fremgaar af nedenstaaende Hæmoglobinforsøg, der exempelvis meddeles med alle Enkeltheder. Det maa særlig fremhæves, at Forsøget, naar det engang er paabegyndt, maa føres til Ende uden Afbrydelse for at forhindre Hæmoglobinets Decomposition, hvilket dog ingen- lunde altid er muligt, selv med Anvendelse af megen Omhu. I det Hele taget gaa af for- skjellige Grunde ikke faa Forsøg tabt, hvilket jo ikke kan forundre ved saa complicerede Experimenter. Bestemmelse af Damptensionen i Absorptiometret. Det maa endvidere bemærkes, at Damptensionen i Absorptiometret — som det fremgaar af derpaa særlig rettede Under- søgelser — er den samme som Vanddamptensionen ved tilsvarende Temperatur og ikke Hemoglobinoplosningernes noget lavere Tension. (Denne sidstnævnte Tension er for en 2 pCt. Opløsning ved 15° henved 0,2" lavere end Vanddamptensionen ved 15°.) Selve Hæmoglobinopløsningens Tension er det temmelig vanskeligt at vedligeholde i længere Tid, og som det var at formode, indfinder den sig kun, naar Apparatets Vægge ere ganske tørre. Dette kan imidlertid ikke indtræde ved Forsøgene, da der altid bliver sørget for, at et begrændset Parti af Kuglen paa Absorptiometrets Rør er bedugget (hvilket f. Ex. kan op- naas ved at anbringe en Draabe Æther paa dens udvendige Væg, medens Hanen c Fig. I er aaben); paa denne Maade kan man være sikker paa, at ogsaa, naar Hane c Fig. 1 er lukket, Absorptiometerrørets Indre er opfyldt af mættede Vanddampe. Undersøgelse paa Kulsyre. Sluttelig kan det anføres, at jeg af og til efter Forsøgene har prøvet Luften i Absorptiometret paa Kulsyre — dog stedse med negativt Resultat. 44 Forsøg over Iltens Absorption i en circa 2 pCt. Hæmoglobinoplesning. Bogstaverne have samme Betydning som i Vandforsøgene Side 13. Væds kemæne den r Granit, SSR SER SER CRC CC CU — 36.655 Vædskemænedes is G Dev d HINDER Gag ass Go bo 6 wo ol oO oO oe — 36.509 ©, (efter Subtraction’ af 36.509) NN s.- - =. — 49.047 .87 Oplosningens Hæmoglobinholdighed i Vægtprocenter — | 1.877 Middel — 1.876. . ‘ 1 36.655 Gram Vædske 0.688 Gram Hæmoglobin. I. For Forsøget. p =—0.01 T= 530: ll. {st Tilledning af 0. p = 12.89 v — 0.5878 T = 15.0. III 1° Absorptionsbestemmelse. p = 2.00 v+v, = 84.501 V — 0.2223 T= 15.0 abs. — 0.3655 Ki — 0.1291. IV. 21e Tilledning af 0. p = 55.6 v = 38.015 V — 1.6861 T= 150 | Samtlig 0 i Apparatet — 0.3655 + 0.1291 + 1.6861 — 2.1807. V. 2%" Absorptionsbestemmelse. p = 12.16 v-+v, = 85.201 V — 1306 T = 15.0. ase — lei. ee — 1075093 VI. Samtlig 0 i Apparatet Udpumpning af de til venstre for Hanen c liggende Dele. 0.8771 + 0.7509 — 1.6280. VII. 3% Absorptionsbestemmelse. p = 764 v+v, = 84.79 V — 0.8188 T = 15.10. abs. == 0.8097 K = 0.4741. 443 bo OL VIII. 3% Tilledning af 0. p = 463.37 v = 72.808 V — 42.0630. Samtlig 0 i Apparatet — 0.8097 + 0.4741 4- 42.0630 — 43.3466. IX. 4 Absorptionsbestemmeise. p = 308.24 "vv, = 109.106 V = 41.9440 T — 15.04. abs. = 1.4028 K — 18.8674. X. Udpumpning som i VI. Samtlig 0 i Apparatet — 1.4028 + 18.8674 — 20.2702. XI. 5% Absorptionsbestemmelse. p = 157.49 v+v, = 96.948 V = 19.0526 T — 15.0. abs. — 1.2176. Hemoglobin- Oplasningens Absorptionscoefficient. For at kunne bestemme den Ilt- mengde, som bindes af et Gram Hemoglobin ved forskjelligt Tryk, mangle vi endnu Bestem- melsen af Hemoglobinoplosningens physikalske Absorptionscoefficient. Denne er nodvendig for at kunne beregne, hvor meget af hele den absorberede Ilimængde, der ifølge Henry’s Lov er oplost i Vedsken, og hvor meget der er optaget af Hæmoglobinet som dissociabel Forbindelse. Hvis det var bekjendt, under hvilket Tryk Hæmoglobinet fuldstændig mettes med Ilt, saa lod den physikalske Absorptionscoefficient sig fastsætte gjennem en Række Forsog udforte ved endnu hojere Tryk. Det Tryk, under hvilket Hæmoglobinet opnaar sin højeste Iltmettelse, er imidlertid at betragte som ubekjendt, og man maa derfor prove paa at slaa ind paa den modsatte Vej, idet man experimentelt søger at bestemme, ved hvilken Trykhøjde hele Absorptionen i Hæmoglobinopløsningen begynder at blive en retlinet Funk- tion af Trykkene; denne Trykhøjde kunde da med stor Sandsynlighed betragtes som den, ved hvilken Hæmoglobinet havde bundet det mest mulige Ilt, og af det rellinede Stykke kunde da Absorptionscoefficienten bestemmes ved Hjælp af den Henry’ske Lov"). Denne Methode kunde imidlertid ikke komme til Anvendelse, thi ved en Betragtning af samtlige Forsøg viste det sig, at den i Hæmoglobinopløsningen absorberede Iltmængde selv ved de højeste af de undersøgte Tryk ikke var nogen retlinet Funktion af Trykkene. Kun ved et ganske enkeltstaaende men paa Grund af Mængden og Regelmæssig- heden af Bestemmelserne (10 Enkeltbestemmelser) aldeles paalideligt Forsøg med en 2 pCt. 1) Man ser let, at den anvendte Betragtningsmaade, hvorefter den optagne Ilt tænkes bestaaende af 2 Dele (én i Vædsken absorberet og én af Hæmoglobinet bunden Del), ikke med Nødvendighed følger af Forsøgene, hvor disse 2 Dele ikke særskilt kunne observeres, men at den kan have sin Berettigelse, for saa vidt Forsøgsresultaterne derved fremstilles paa en overskuelig Maade. Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem, Afd II. 10. 56 444 96 Hæmoglobinoplesning, viste den Kurve, der udtrykker hele den absorberede Iltmængde som Funktion af Spændingerne, sig retlinet fra et Punkt af, der omtrent svarede til 70™™ Ilttryk. Ved dette Forsøg gave da flere Bestemmelser udførte ved Tryk mellem 70 og 460%" over- ensstemmende Absorptionscoefficienten lig 0.02249, medens den af I Gram Hemoglobin bundne Iltmengde var lig 1.56 Cbe. (maalt ved 0° og 760™™). Dette Tal svarer til den Iltmængde, der optages af det normale Hemoglobin i en 2 pCt. Opløsning; imidlertid forholdt dette Hemoglobin sig ikke paa sædvanlig Maade, thi det afgav, selv ved en Formindskelse af Trykket til henved 2™™, kun en forholdsvis meget ringe Iltmengde og havde altsaa bundet Ilten fastere end sædvanligt. Det er endnu ikke lykkedes mig at komme fuldstendig paa det Rene med de Betingelser, under hvilke den fastere Forbindelse mellem Ilt og Hemoglobin indtræder, og jeg skal derfor her ikke gaa nærmere ind paa dette Forsøg, som forøvrigt turde frembyde stor Interesse. Jeg troer, at man uden Betenkelighed kan anvende den her fundne Absorptions- coefficient 0.02249 ved 15° paa normale 2 pCt. Hemoglobinoplosninger, og jeg har derfor paa nedenstaaende Tabel benyttet den til Beregning af det ovenfor detailleret meddelte Forsog. Tabellens Kolonne I indeholder Numrene paa Enkeltbestemmelserne ordnede kro- nologisk. Kolonne II de Ilttryk, under hvilke Absorptionen har fundet Sted, Kolonne III den hele Mængde af den ved tilsvarende Tryk absorberede Ilt, udtrykt i Cubiccentimeter ved 0° og 760%; i Kolonne IV findes den ved Hjælp af den nysnævnte Absorptionscoeffi- cient beregnede Mengde af physikalsk absorberet Ilt, medens Kolonne V angiver den af Hæmoglobinet bundne Iltmængde; Kolonne VI indeholder de samme Størrelser beregnede for et Gram Hemoglobin; i Kolonne VII er Temperaturen opfort. Eu Il. Hf. IV. | V. VI. Vil. | ; | 2 Ss Physikalsk 0 bunden 0 bunden til}, i Nie | OETrYK" Mengde Soon til Heb. 1 Gram Heb. | Temperatur. | absorb. 0. | ae UE i ; rel) 3 1 2.00 0.3655 | 0.0022 | 0.3633 | 0.5284 15.0 2 1216 | 0.8771 | 010132 0.8640 1.2565 15.0 | 3 | 7.64 | 0.8097 | 0.0083 | 0.8014 | 1.1655 | 15.1 4 308.24 | 1.4028 0.3332 | 1.0696 1.5555 15.0 5 157.49 | 1.2176 | 0.1702 | 1.0474 1.5233 15.0 | Idet jeg gaar over til at fremstille Resultaterne af Forsøgene over den Iltmengde, som Hæmoglobinet optager ved en Temperatur af 15° under forskjelligt Ilttryk, skal jeg bemærke, hvad alt forhen er antydet, at ikke faa Forsog mislykkedes, væsenlig paa Grund af Oxyhæmoglobinets Tilbojelighed til at decomponeres, men af og til naturligvis ogsaa 27 245 ved tilfældige Uheld under de mange Manipulationer, Forsøgene udkræver. Det har af de nævnte Grunde heller ikke været muligt at opnaa en Nojagtighed, der svarer til den, som er opnaaet ved de ovenfor anførte absorptiometriske Forsøg med destilleret Vand. Nojag- tigheden er dog for de Forsøg, som overhovedet ere lykkedes, ret tilfredsstillende, saaledes som det fremgaar ved Sammenligning mellem de enkelte nedenanforte Forsøg, I det Folgende betegner p Iltens Tryk i Millimeter Kviksolv ved 0°; » Volumenet af den af I Gram Hemoglobin optagne Iltmengde udtrykt i Cubiccentimeter ved 0° og 760, Temperaturen, ved hvilken Absorptionen finder Sted, er betegnet med 7. 56" 246 28 Forsøg med en circa 2 pCt. Hemoglobinoplesning. De tre forste af de nedenstaaende Forsog ere anstillede med Oplosninger, som hidrøre fra samme Hemoglobinkrystal-Fremstilling; i Forsøg I var Opløsningen frisk tilberedt, i Forsøg II og III længere Tid opbevaret i lilsmeltede Kolber. De til de to sidste Forsøg IV og V benyttede Hæmoglobinkrystaller skreve sig fra en ny Krystalfremstilling. Absorptionscoefficienten var — 0.02249 (se ovenfor Side 26). Til Forsogene ere tre forskjellige Absorptiometre benyttede. Forsog I. Hæmoglobinholdighed i Vegt-pCt. = 1.745, Vædskemængde — 34.925 Che. (ved 11° C.), heri 0.6115 Gram Hæmoglobin. D = SUVS Vo ll Dali TD 65 NT Forsøg II. Hæmoglobinholdighed i Vegt-pCt. — 1.961, Vædskemængde — 37.807 Che. (ved 15° C.), heri 0.7461 Gram Hæmoglobin. NEO nie Forsøg III. Hæmoglobinholdighed i Vægt-pCt. — 1.936, Vædskemængde — 38.774 Cbc. (ved 1575 C.), heri 0.7538 Gram Hæmoglobin. pe 339.0, 9) — 1,547 17T 19:6: Forsøg IV. Hæmoglobinholdighed i Vægt-pCt. — 1.876, Vædskemængde — 36.509 Cbe. (ved 15° C.), heri 0.6876 Gram Hæmoglobin. jp == BOS a ES = TO D = IN a ik JK 15.0 j= 1 à ies Vz NET D= Wo ein tbe p= 20 0 — 0.58 T= 150. 29 447 Forsøg Y. Hamoglobinholdighed i Vegt-pCt. — c. 1.8, Vædskemængde = 41.732 Che. (ved 15°4 C.), heri 0.76 Gram Hæmoglobin. = OR TENTE EE p= 31 v= 1.355 T= 15.4 jos] 12S Os ie HET ÆT SA DEN URI Te 115.4 Be ir — A MOMIE Anmærkning: De i Forsog V anferte Verdier af v ere ikke de direkte iagttagne, idet de samtlige ere multiplicerede med 1.107. Værdien af v ved hejt Tryk viste sig nemlig i Sammenligning med de fem ovenstaaende overensstemmende Bestemmelser, noget for lav; da dette ved det ellers gode Forseg med stor Sandsynlighed maatte antages kun at ligge i en Fejl i Be- stemmelsen af Hæmoglobinmængden (hvis 2 Værdier ikke viste nogen god Overensstemmelse), har jeg ikke villet udskyde Forsoget, men har indfert nysnævnte Correction. Paa Tavle II B ere Verdierne af Forsøgene IV og V graphisk fremstillede, idet Ilttrykkene ere opførte som Abscisser og de tilsvarende, af 1 Gram Hemoglobin optagne Iltmengder, som Ordinater. 1™™ af Abscissen svarer til 2%" Kviksolvtryk; medens 1™™ af Ordinaten svarer til 0.02 Cbe. Ilt ved 0° og 760, Punkterne ere markerede sort; igjennem dem er Kurve I trukket. Forseg med en circa 4 pCt, Hæmoglobinoplesning. I de 3 nedenforstaaende Forsøg ere de benyttede Oplosninger tilberedte af Krystaller af samme Krystalfremstilling; det er de samme Krystaller, som ere benyttede ved Forsøgene IV og V med 2 pCt. Opløsning. Af de ovenfor fremførte Grunde har den physikalske Absorptionscoefficient for den 4 pCt.’s Opløsning ikke direkte kunnet lade sig bestemme. Af Forsøgene fremgaar imid- lertid, at den, som man kunde vente, maa vere mindre end for den 2 pCt. Opløsning: Ved Hjælp af de bekjendte Verdier for Absorptionscoefficienten for destilleret Vand og for en 2 pCt. Hemoglobinoplosning har jeg (under Hensyntagen til de af Mackenzie i Wiedemanns Ann. Bind I givne Oplysninger om Absorption af Luftarter i Saltoplos- ninger) udledet Værdien 0.018, som den, der vistnok kan antages at ligge den virkelige Verdi ner. Ved Benyttelsen af denne Coefficient ere nedenforstaaende Forsøg — hvor Bog- staverne have samme Betydning som ovenfornævnt — udregnede. 448 30 Forsøgene ere udførte med 2 forskjellige Absorptiometre. Forsøg VI. Hæmoglobinholdighed i Vægt-pCt. — 3.834, Vædskemængde — 35.151 Cbc. (ved 15°7 C.), heri 1.359 Gram Hæmoglobin. p = 485.9 v= 154 T= 15.7. Forsøg VII. Hemoglobinholdighed i Vegt-pCt. = 3.736, Vædskemængde — 35.698 Cbe. (ved 15° C.), heri 1.344 Gram Hemoglobin. DAT TON eto POI ANT ATEN A" p= 63.0 v= 1:38 PM — 14.8 jp = 469 Dis = TS Forsøg VII. Hæmoglobinholdighed i Vegt-pCt. — 3.587, Vædskemængde — 35.923 Che. (ved 15° C.), heri 1.298 Gram Hæmoglobin. p = 35:9 vo — 1.87) RZ 15.0 Pp = 20 1.26) NI 50 Pris ee leo) ET EE p= a dell Mi DE CON AN oe Paa samme Maade som ved Forsøgene med de 2 pCt.’s Oplosninger ere Forsøgene VI, VII og VIII graphisk fremstillede paa Tavle Il B. De til disse Forsog herende Punkter ere markerede med rodt, og den igjennem dem trukne Kurve er betegnet 2. Som man ser af samtlige ovenstaaende Forsøg er der, imod hvad man paa For- haand efter den gængse Anskuelse skulde vente, ved de undersøgte Tryk ikke opnaaet noget Maximum for Hemoglobinets Iltoptagen; derimod synes den asymptotisk at nærme sig en Grendseverdi. Fremdeles fremgaar af Forsogene, at Hemoglobinet ved samme Tryk optager mindre Ilt, jo mere concentreret Oplosningen er. Forøvrigt fremgaar Afhengigheden mellem den af Hemoglobinet optagne Iltmengde og det tilsvarende Ilttryk for en Temperatur af 15° tilstrækkelig tydelig af den graphiske Fremstilling, hvortil jeg derfor finder det tilstrekkeligt at henvise. 31 449 -Foruden de ovenstaaende Forsøgsrækker har jeg endvidere antillet Forsøg med en Hæmoglobinopløsning af circa 0.9 pCt. Forsøgene bekræfter i det Hele de ovenfor fremsatte Resultater; de mindre Afvigelser, der findes fra disse, troer jeg at maatte henføre til de herskende uheldige Forsøgsbetingelser. Ved disse Forsøg kunde nemlig kun en ringere Mængde Hæmoglobin anvendes, hvilket for de lavere Tryks Vedkommende bevirker Usikkerhed paa Grund af den ringe absolute Iltmængde, som oplages, medens for de høje Tryks Vedkommende den Omstændighed, at en forholdsvis stor Brokdel af den hele optagne Iltmængde physikalsk absorberes af Vandet, bevirker, at Fejl i Bestemmelsen af Absorptionscoefficienten faar en mere forstyrrende Indvirkning her, end ved de mere concentrerede Opløsninger. Forsøg med en circa 0.9 pCt. Hæmoglobinopløsning. I nedenstaaende Forsøg ere de anvendte Hæmoglobinkrystaller de samme, der ere benyttede i ovenstaaende Forsøg IV, V, VI, VII og VII. Den benyttede physikalske Absorptionscoefficient er paa samme Maade, som ved de 4 pCt.'s Opløsninger fremsat, omtrentlig bestemt til 0.025. Forsøgene ere anstillede med 2 forskjellige Absorptiometre. Forsøg IX. Hæmoglobinholdighed i Vægt-pCt. — 0.871, Vædskemængde — 39.473 Che. (ved 15° C.), heri 0.3443 Gram Hæmoglobin. jo == BV SE TT ENT p = 133.4 v = 1.65 T = 15.1. Forsøg X. Hæmoglobinholdighed i Vegt-pCt. — 0.886, Vædskemængde — 33.455 Che. (ved 15° C.), heri 0.2968 Gram Hemoglobin. p= 26 v—O07 T= 146 P= 20 v — 0.55 T — 149. Forsøg XI. Hæmoglobinholdighed i Vegt-pCt. — 0.903, Vædskemængde == 32,063 Che. (ved 15° C.), heri 0.2900 Gram Hæmoglobin. jy) == Ag oe a N | DI Wilt Oy = TE 07 16 DER One DS EN Er p= 23 v — 0.60 T= 14.4. 450 32 Paa Tavle If B ere Forsøgene graphisk fremstillede paa samme Maade, som ved ovenstaaende Forsegsrekker er angiven. Punkterne ere til Adskillelse fra de øvrige Forsøg omgivne med en lille Kreds. Paa Grund af de ved Begyndelsen af denne Forsogsrække anforte Omstendigheder er der gjennem Punkterne ikke trukket nogen Kurve. I et enkelt Forsøg, jeg har anstillet med en circa 0.9 pCt. Opløsning, fik jeg Ver- dier for Httrykket, der vare omtrent dobbelt saa store som de ovenfor anførte. Da det trods omhyggelig Eftersyn af Forsegene ikke er lykkedes mig at finde noget, der kunde tale for en begaaet Fejltagelse, anforer jeg her Forsoget, skjondt jeg ikke kan angive, under hvilke Betingelser Hemoglobinet indgaar denne højere Forbindelse med Ilt. Forsøg XII, Hæmoglobinholdighed i Vægt-pCt. — 0.892, Vædskemængde — 36.741 Cbc. (ved 15° C.), heri 0.3282 Gram Hæmoglobin. p=131 v— 275 T— 148 md OS A öl ne Day TR (= MD == DAS ie For Muligheden af en saadan højere Iltforbindelse maa man altsaa ved fremtidige Forsøg have Opmærksomheden henvendt. Ved absorptiometriske Forsøg med en saa let foranderlig Vædske som Hæmoglobin- opløsninger, troer jeg, at man vanskelig med de hidtil kjendte Methoder kan opnaa større Nøjagtighed, end de ovenstaaende Resultater frembyde, selv ved yderligere at gjentage Forsøgene; hvorfor jeg i hvert Fald foreløbig betragter Forsøgene ved 15” som afsluttede. ic} Jeg haaber, at det snart vil vere mig muligt at fortsætte disse Meddelelser med en Fremstilling af Oxyhemoglobinets Dissociation ved forskjellige Temperaturer. HD. Vid. Seish. Sher 6 RAL 10. Chr Bahr: 9 = x Om Definitionerne Tallet, Talartorne og de fallonende Bestemmelser. Af T. N. Thiele. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. I. 11. Kjøbenhavn. Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri (F. Drever) 1886. Du En D ar anna. aha sl Zi SATT AUT ETS - KÆR LC ed ae i En skarpt formuleret Definition af Tallet er aabenbart den naturlige Begyndelse for en systematisk Fremstilling af Mathematiken. Saavidt jeg ved, finder man dog intet Steds en saadan Begyndelse i mathematiske Lærebøger, og dette har sine meget gode Aarsager, dels det pædagogiske Hensyn til ikke strax at skræmme Begynderen med alvorlige” Vanskelig- heder, dels den historiske Grund, at Tallets oprindelige Betydning som Storrelsens Bestem- melse éfterhaanden har vist sig at vere uholdbar eller dog uhensigtsmessig, efter at man havde draget forst de negative og senere de imaginere eller komplexe Tal ind under Mathe- matiken. At bygge paa Elevens tidlig erhværvede og uklare Fortrolighed med en af Tallenes Arter og efterhaanden at udvide Talbegrebet er dog en Fremgangsmaade, der ikke sommer sig for den exakte Videnskab, og som iailfald kun kunde taales, saa længe man ikke var udsat for at mode tallignende Bestemmelser, som ikke ere Tal, og som maa holdes ud fra Talbegrebet ved den skarpe Definition. Men om man end tidligere med nogen Berettigelse har kunnet se bort fra Mulig- heden af at forvexle Tal med Ikke-Tal, saa synes en Grændseregulering nu at vere paa- trængende dels af Hensyn til Sporgsmaal om Mathematikens Anvendelighed paa forskjellige Videnskaber, dels fordi nu næsten enhver Mathematiker kommer til at arbejde med nogle af de farligere Ikke-Tal, som ligne Tallene. Jeg tænker nærmest paa, hvad man kalder symbolsk Regning, hvor man regner med Bestemmelser, der ikke ere Tal, næsten ganske som om de vare Tal, kun med nogle enkelte Undtagelsesregler. Men i Grunden horer der hertil og har altid hort noget, som alle kjende, nemlig Exponenterne (og derunder Vinklerne). Det er bekjendt, at naar en Brok staar som Exponent, er det ikke uden videre tilladt at forkorte den, og strengt taget vil det sige, at Exponenterne, saaledes som dette Begreb forst kommer frem, nok ligne Tallene i hojeste Grad, men dog ikke ere Tal. At man kan regne med Logarithmer, som man gjor, beror paa, at Vanskeligheden paa dette Punkt endnu lader sig omgaa; men i det, som man sædvanligt kalder for symbolsk Regning, er det vir- kelig nodvendigt at være paa det Rene med, at man er gaaet udenfor Tallenes Grændser. Endnu et andet Exempel kan jeg finde indenfor det elementert bekjendte; skjønt delte rigtignok ligger saa langt tilbage i Bornelerdommen, at mange have ophort at tenke 57" 454 4 derpaa: Det er de benævnte Tal. Man ved jo, hvorledes den rene Mathematik plejer at skynde sig bort fra disse Begreber med saadan Hast, at man senere har ondt ved at faa fal paa dem igjen, naar man faar Brug for dem i Anvendelserne. De benævnte Tal ligne de egentlige, ubenævnte, Tal deri, at de have Addition og Subtraklion med ganske samme Regler; Manglen af Multiplikation er her det Kjendetegn, som viser, at de benævnte Tal kun kunne regnes for tallignende Bestemmelser, men ikke for egentlige Tal. i Vi skal da her søge Tallet defineret. Men er det nu ikke noget, som beror paa en ren Vilkaarlighed? Staar det os ikke frit at definere ganske efter Behag, naar vi blot fastholde den Definition, vi vælge? Ja og Nej! Vor Frihed faar af Hensyn til Sprogbrug og almindelig Vedtægt en Indskrænkning derved, at vi erklære at ville definere netop, hvad Tal er. Det vilde ikke være nogen logisk Fejl, men vel højst upassende, dersom Tallene ifølge vor Definition fik ganske nye Egenskaber, dersom det, som alle hidtil have været enige om at kalde Tal, blev udelukket, og Begreber, som ingen tidligere kunde falde paa at kalde Tal, blev tagne med. Ud af vor Definition bør man kunne bevise alle de vel- bekjendte almindelige Sætninger om Tallene, eller ogsaa kunde der være Tale om at benytte selve disse Sætninger som Definition. I sidste Tilfælde vilde det være nødvendigt, i hvert Fald var det et ønskeligt For- arbejde for Definitionen, kritisk at undersøge de enkelte mathematiske Hovedsætninger. Man maatte udskyde ikke blot alle de Sætninger, som ikke gjælde for alle de gamle Tal, men ogsaa saadanne, hvis almene Gyldighed for disse kan bevises ved andre principale Sæt- ninger. At optage bevislige Sætninger i Definitionen vilde være en Fejl, selv om de gjælde for alt, hvad vi nu kalde Tat, thi hvis de ikke skulde gjælde overfor en ellers mulig Ud- videlse af Talbegrebet, vilde ogsaa dette kunne bevises, og saadant kunde da vel medføre en Inddeling af Tallene men ikke være en Hindring for denne Udvidelse. Endnu vig- tigere er det Hensyn, at en saadan overflødig Definition vilde forstyrre Ordenen i Bevis- systemet saaledes, at mange Beviser kunde føres paa flere Maader, noget som, selv om Beviserne føre til samme Resultater, ogsaa kunde tænkes at antyde, at Definitionen skjulte en Selymodsigelse. Definitionen kan (smlgn. Side 8) næppe gives anderledes end i axio- matisk Form, men saa beror dens Styrke væsentlig paa, at Axiomernes Antal indskrænkes til det mindst mulige. Angaaende denne Kritik af Mathematikens Sætninger kan her henvises til en Af- handling i Mathematisk Tidsskrift 1880 Side 33. Det var let nok at se, at Undersøgelsen, der anstilledes med de reelle Tal, kunde begrændses til følgende principale Sætninger, af hvilke de fleste gjælde baade om Additionen og om Multiplikationen; nemlig 1) Entydighedsprinciperne: Naar a+ b—e og ab—c, er c utvelydig bestemt ved a og 6. 2) Omvendingsprinciperne: Til hver af de nævnte Regningsarter svarer en entydig Afhængighed f(x) og g(z) af 2, hvorved, naar a+b=c, ogsaa haves c + /(b) =a og fla) -+ce—=b; 0 or 7 > g naar ab =c, ogsaa haves c.p(b)=a og gla).c=b. 3) De associative Principer: (a+ b) + c=a + (6 +e) og (a.b).e=u.(b.e). 4) De kommutative Prineiper: atb=b+aoga.b=b.a samt 5) Det distributive Princip, som gjør Forskjel paa Additionen og Multiplikationen, og kan dele sig i to Sætninger; nemlig Multiplikators distributive Princip, (a+ b).c=a.c+b.e og Multiplikandens distributive Princip, a.(b + c)=a.b+a.c, der begge kunne haves samtidig, selv hvor Mulliplikationen ikke besidder det kommuta- tive Princip. Endnu kunde nævnes nogle specielle Sætninger især Undtagelsessætningerne om Tallet 0. Det er ikke vanskeligt at se, at alle Mathematikens øvrige almindelige Sætninger lade sig aflede af disse. Det kan ogsaa temmelig let skjønnes, at disse Sætninger ikke alle kunne være nødvendige for Tallets og Regningsarternes Definition; thi nogle af dem lade sig bevise ved de øvrige. Men det maatte gjøres klart, hvilke af disse Sætninger der skulde udskydes som bevislige. At Entydighedsprinciperne nødvendigvis maa bibeholdes, kan der dog ikke være Tvivl om; de kunne aabenbart ikke bevises. Omvendingsprinciperne og de alene definere Afhængighederne fix) og @(x). Ligeledes maa det distributive Princip enten i sin Helhed eller dog en Sætning, som horer ind derunder, bibeholdes, for at man ikke skal kunne forvexle Additionen med Multiplikationen. Vanskeligere er det at se, om de associative eller kommutative Principer fortjene Forrangen. Dette Spørgsmaal maa jeg i Henhold til den citerede Afhandling besvare saaledes, at, naar man ikke vil følge én Frem- gangsmaade ved Additionen den modsatte ved Multiplikationen, bør de kommutative Prin- ciper vige, fordi der er Mulighed for at bevise dem ved de andre Principer særlig ved de associalive, medens det ikke vil være muligt at bevise de associative Principer ved de andre. Resultatet bliver, at Definitionen skal føre til eller bestaa af Entydighedsprinciperne, Omvendingsprinciperne og de associative Principer for begge Hovedregningsarterne, samt én af Formerne for det distributive Princip enten Multiplikators eller Multiplikandens. Her- efter er det altsaa uafgjort, om der gives Tal, for hvilke Addendernes eller Faktorernes Orden ikke er ligegyldig, det bliver et Spørgsmaal, som maa afgjøres ved Bevis for eller imod. 456 6 Men endnu af en anden Grund end det nævnte historiske Hensyn er vor Definitions- frihed begrændset. Vi kunne ikke bruge nogen indviklet Definition, som kunde passe, hvis Talen var om et kunstigt logisk Tankespil. Mathematiken bor have et Grundlag, som kan gjøre dens fremragende Vigtighed indlysende derved, at det strax bliver klart, at den netop handler om de simplest tænkelige, i Virkeligheden anvendte Arter af Bestemmelser. Tallets Defini- tion bor give en saadan Beskrivelse af Tal-Bestemmelserne, at det ogsaa uden forudgaaende mathematisk Undersogelse kan afgjores, om denne eller hin virkelige Bestemmelse er Tal eller ikke, — om og hvorvidt en Videnskab er eller ikke er anvendt Mathematik. Og gives der simplere logiske Bestemmelser end Tallet, da have vi vel fuld Ret til at vælge Tallet til Gjenstand for vor Undersogelse; men vi vilde ialtfald handle lidet klogt i, ikke at sikre os, at de simplere Bestemmelsesformer vare tilstrækkelig undersøgte af os eller andre, førend vi give os i Kast med de mere indviklede. For nu at inddele Bestemmelserne og ordne dem efter deres Simpelhed maa vi være opmærksomme paa, at Bestemmelser kunne fremkalde den onskede Forestilling og bestemme Tingene enten umiddelbart uden at knyttes til nogen anden Forestilling eller Ting, eller saaledes, at en eller flere forud tilstedeværende Forestillinger eller Ting ved Bestemmelsen omdannes til den ønskede. I første Tilfælde kalde vi Bestemmelsen absolut i andet relativ. Ved Afgjørelsen herimellem kan man ikke altid stole paa Bestemmelsens ydre Form, Sproget har en Forkjærlighed for den absolute Beskrivelse og anvender denne Form ogsaa ved relative Bestemmelser. Naar vi ved at nævne et Navn fremkalde Fore- stillingen om nogen eller noget, bruge vi den absolute Form for Bestemmelsen, uagtet den næsten altid i Virkeligheden er relativ, idet vi ubevidst benytte andre Forestillinger ved Bestemmelsen. I Simpelhed ville aabenbart de virkelig absolute Bestemmelser være de relative over- legne, men de kunne desuagtet her kun faa underordnet Interesse. Virkelig absolute Be- stemmelser synes for det Første at være meget sjældne, saa sjældne, at skjøndt jeg ikke tør benægte, at der gives mere end én saadan, saa kan jeg dog kun nævne den i Tallet 0 liggende Bestemmelse af Identiteten som Exempel paa en Bestemmelse, der har kunnet modstaa mine Forsøg paa ved en Analyse at paavise Relativitet ogsaa i den. Men selv om der gaves mangfoldige absolute Bestemmelser, vilde desuden deres videnskabelige Be- handling ikke stille store Fordringer, netop fordi de saa umiddelbart og uimodstaaelig fremkalde den ønskede Forestilling. Af relative Bestemmelser er der mange og mange Slags, vi kunne inddele dem paa naturlig Maade i enkelt relative, dobbelt relative, . . . flerdobbelt relative efter Antallet af de Forestillinger, som Bestemmelsen forudsætter. Rød som en Rose og sødere end Hon- ning er en dobbelt relativ Bestemmelse, der forudsætter Forestillingen om Rosens Rodme og Honningens Sødme. Men denne Bestemmelse kan opløses i to enkelt relative, nemlig 7 457 Identitet i Farve og Fortrin i Sodhed. Det er ingenlunde alle dobbelt eller flerdobbelt relative Bestemmelser, som kunne oploses i enkelt relative; men man vil uvilkaarlig foroge saadan Oplosning, og derved anerkende, at de enkelt relative Bestemmelser ere de simpleste og de, der forst bor undersoges. Her ville vi da begrændse os til dem. Iblandt de enkelt relative Bestemmelser er der stor Forskjel paa den Klarhed, hvor- med Relativiteten trader frem. Der synes at vere én Bestemmelse, som kan anvendes saa at sige paa enhver Forestilling og Ting, nemlig Bestemmelsen ved Identitet: «uforandret det samme». Der gives Bestemmelser, der kunne anvendes paa de mangfoldigste Forestillinger ja endog paa flere Arter af Forestillinger, men ogsaa nogle, som alene kunne sættes i For- bindelse med en begrendset Samling af Forestillinger. Ved alle disse Bestemmelser er Relativiteten dog klar, fordi Bestemmelserne staa for os som selvstændige Forestillinger, der kunne sættes i Forbindelse med indbyrdes forskjellige, oprindelige Forestillinger eller Ting. Hvor derimod en Bestemmelse er uopløselig knyttet til én vis Forestilling, ved hvil- ken den bestemmer en anden saaledes, at den samme Bestemmelse ikke findes anvendelig mellem andre Forestillinger, der gjælder det samme som om absolute Bestemmelser, at en videnskabelig og almindelig Behandling bliver overflødig ved Bestemmelsens Umiddelbarhed og umulig, fordi hvert Tilfælde har sine egne Love. Disse Bestemmelser forudsætte vi altsaa, at være vel bekjendte, og holde os til saadanne enkelt relative Bestemmelser, som kunne sæltes i Forbindelse med flere indbyrdes forskjellige Forestillinger. Ja skjønt vi ikke helt kunne undgaa at behandle saadanne Bestemmelser svarende til en Art af Forestillinger, hvor vel enhver Bestemmelse kan tjene til at forbinde mangfoldige Par af Artens Forestillinger , men hvor dog ikke enhver Bestemmelse kan anvendes med enhver Forestilling til Udgangs- punkt (Mængder og Størrelser), ville vi fortrinsvis behandle saadanne Arter, Grupper af Forestillinger, hvor enhver Bestemmelse, som ved en hvilkensomhelst af Gruppens Fore- stillinger bestemmer en hvilkensomhelst anden, ogsaa ved en hvilkensomhelst tredie Fore- stilling i Gruppen maa bestemme en fjerde af dens Forestillinger. Saadanne Bestemmelser ville vi kalde ubetinget enkelt relative. Det vil dog ikke være overflødigt at tilføje en skjærpende Bestemmelse af vor Brug af disse Ord «ubetinget enkelt relativr. Vi fordre af dem og af den Gruppe, paa hvis Be- stemmelser de skulle kunne anvendes, at Bestemmelsen af den ene Forestilling ved den anden skal være én, eller at flere Bestemmelser mellem de samme Forestillinger skulle ved Ab- straktion fra mulig formel og tilsyneladende Forskjel være at anse for én saaledes, at slige indbyrdes identiske Bestemmelser ogsaa fra forandret Begyndelsesforestilling vedblivende skulle fremkalde én Forestilling. Dette staar, som man vil se, i nær Sammenligning med følgende andet Hovedled af Definitionen. Skjøndt man vel ikke med fuld Ret kunde bruge Ordet Bestemmelse, hvor man ikke — absolut eller relativt — faar en Forestilling fremkaldt med tilstrækkelig Skarphed 45 CO (0 0) til at adskille den fra alle andre, altsaa uden al Tvetydighed og Ubestemthed, maa vi dog for Sikkerheds Skyld give saadanne Bestemmelser det særlige Navn af entydige Bestem- melser i Modsætning til tvetydige og flertydige ja delvis ubestemte Bestemmelser. Helt ville vi ikke bortvise de mindre skarpe Bestemmelser fra Omtale her, thi Mathematiken giver jo paa dens senere Trin Midler ogsaa til Behandling af disse saavel som til Behandling af visse sammensat relative Bestemmelser. Men fortrinsvis og forelobig udelukkende holde vi os til de éntydige Bestemmelser som de simpleste, og vi gjore tilmed et Udvalg af de sim- pleste iblandt dem. Alle de entydige Bestemmelser ville, medens de ligefrem anvise os, hvorledes vi med en Begyndelsesforestilling fremkalde en Slutningsforestilling, tillige omvendt kunne tjene til at bestemme Begyndelsesforestillingerne, idet vi gaa tilbage ud fra Slutningsforestillingen. Da Begyndelsesforestillingen har fremkaldt denne, maa den vere en af dem, som kan frem- kalde den; men at den fremadgaaende Bestemmelse var entydig, sikrer os paa ingen Maade, at den tilbagegaaende Bestemmelse ogsaa er det, man kan endog meget let finde Exempler paa, at den tilbagegaaende Bestemmelse mangler saameget, at den bliver tvetydig eller ubestemt. Aabenbart finde vi de simpleste Forhold ved Bestemmelser, der ere saa fuld- stændige — fuldstændig entydige —, at de ogsaa give entydig Anvisning angaaende den tilsvarende tilbagegaaende Bestemmelse. Vi behandle altsaa kun saadanne Forestillinger, hvis Bestemmelser ere ubetinget enkelt relative og fuldstændig entydige; men til Skjærpelse af den sproglige For- bindelse af disse Ord bemærke vi endnu, at vi opfatte Forbindelsen mellem denne Defini- tions to Led saaledes, at idet den ubetinget enkelte Relativitet skal forstaas saaledes, at Bestemmelsen af den ene Forestilling ved den anden er én, saa skal dette i Forbindelse med den fuldstændige Entydighed forstaas saaledes, at ogsaa de tilbagegaaende Bestem- melser, hvis der synes at vere flere, dog entydig fore til en og samme Begyndelsesfore- stilling ud fra enhver Slutningsforestilling, til hvilken man er kommet ved en af dem. De ubetinget enkelt relative og fuldstendig entydige Bestemmelser ville vi fremtidig kalde Numeraler, idet vi med dette Navn antyde, at indenfor den der- med definerede Slags Bestemmelser findes alt, hvad der ligner Tallene — altsaa baade Tal- lene og de Bestemmelser, som der kan vere Tale om at forvexle med Tal. Da Numeralets Definition er flerleddet, uden at det kan bevises, at det ene Led ikke logisk udelukker det andet; da vi altsaa kun have en subjektiv erfaringsmæssig Sik- kerhed for dens Berettigelse, maa vi betegne denne Definition som axiomalisk; og i endnu hojere Grad vil dette gjelde om den senere Definition af Tallet, som bygges paa Nume- ralets Definition. Identitetsbestemmelsen: uforandret det samme eller lig, er et Numeral. Det er en enkelt relativ Bestemmelse, thi den bestemmer ved én Forestilling; og det er en ubetinget enkelt relativ Bestemmelse, thi Forestillingen om det uforandrede er selvstændig, kan kombineres med en hvilkensomhelst Udgangsforestilling. Det er fremdeles en entydig Bestemmelse, thi den giver den Forestilling, der bestemmes, med samme Sikkerhed som Udgangsforestillingen; det er endelig en fuldstændig entydig Bestemmelse, thi den til- bagegaaende Bestemmelse er lige saa entydig som den oprindelige. Identitetens Existens beviser, at der gives Numeraler; men Identitetsbestemmelsen er ikke det eneste Numeral. I de benævnte Tal, som bestemme, hvad jeg i min «Afslutning af Regneundervis- ningen»,, Kjøbenhavn 1883, har kaldt «Tingpunkter» og «Led» forøvrigt ogsaa i Vinkler m. m. haves elementære Exempler paa Numeraler. De ere — eller rettere, de forudsættes ved Axiomer angaaende den speeielle Forestillings Art at vere — baade ubetin- get enkelt relative og fuldstendig entydige Bestemmelser. Hvert af disse Numeraler er uden Undtagelse anvendeligt ud fra enhver Forestilling i den Gruppe af i videre Forstand mathematisk ensartede Forestillinger, hvortil den horer, men ordentligvis ikke udenfor denne Gruppe. Medens vi det Folgende forudsætte, at de Forestillinger og Numeraler, vi betragte, hore til én Gruppe, se vi bort fra denne Gruppes Navn og saadan særlig Beskaffenhed, som ikke udtaler sig i specielle Egenskaber ved Numeralerne. Vi maa derfor se bort fra, hvorledes den forste Udgangsforestilling i en Gruppe fremkommer, og som os uvedkommende afvise Sporgsmaal, om den muligen reelt er mere eller mindre ubestemt: for os er den vilkaarlig og som saadan ganske ubestemt. Hvad der interesserer, er kun, at naar en Forestilling haves og de i dens Gruppe anvendelige Numeraler kjendes, saa ere alle Gruppens Forestillinger og dermed Gruppen selv bestemte; og naar vi abstrahere fra Gruppens Navn m. m., gaa Forestillingerne selv ud af Betragtning, saasnart vi ved deres Hjælp have faaet Numeralets Definition omsat lil Sætninger om Numeraler. Tegnsprog for Numeraler. Som Grundlag for det senere og mere fyldige mathematiske Tegnsprog indfore vi Betegnelser for Numeralerne og Udsagn om dem. Selvfølgelig benytte vi derved Identitets- betegnelsen —; ensartede Forestillinger betegne vi med gothiske Initialer, Numeralerne ved latinske, og det om de sædvanlige Additions- og Multiplikationstegn mindende * skal betegne, at en Numeralbestemmelse finder Sted. Vi skrive B= Bx A for at betegne, at Forestillingen & er den, der bestemmes ved Numeralet Z ud fra Udgangs- forestillingen À, saavelsom for at betegne 3 som det Numeral, der bestemmer & ved N. Saadan Bestemmelse af Numeralet ved Udgangs- og Slutningsforestilling er den oprindelige; men ved Siden af denne bliver der i det Folgende Tale om, at ét Numeral er absolut bestemt, og at andre kunne afledes det ene af det andet (eller de andre) og saaledes faa relativ Bestemmelse. Lovene herom ere dog ikke lenger vilkaarlige, men maa afledes Vidensk, Selsk, Skr., 6 Række, naturvidensk. og mathem, Afd. II. 11 5S 460 10 af Numeralets Definition samlidig med, at vi oversætte denne paa vort Tegnsprog. — Iden- titetsnumeralet, som vi betegne med ©, er bestemt, reelt ved Forestillingernes blotte Art, formelt absolut. For hvilketsomhelst Å haves, A— Ox A synonymt med A — YW. Ethvert andet Numeral, som altsaa er et Forskjelsnumeral, idet man i B= B x À vilde have B= 0, hvis ikke & var forskjellig fra À, kræver til sin oprindelige Bestemmelse to forskjellige Forestillinger af samme Gruppe; men vi skulle nu se, at én saadan oprindelig, Bestem- melse maa medfore en Mangfoldighed af relative Numeralbestemmelser, muligvis af alle, der hore til samme Forestillingsgruppe. For alle Arter af Numeraler gives der to Operalioner, ved hvilke et Numeral findes bestemt ved andre, vi ville kalde dem Modsætning og Tilføjelse. Modsætning. Naar det Numeral, N, som bestemmer Forestillingen & ved den ensartede Fore- stilling À, er bekjendt, 8 — Nx YL, vil ogsaa det Numeral vere bekjendt, som bestemmer A ved B, altsaa À — (+ N)*B. Vi betegne dette ved (+ N), for dermed at udtrykke, at det efter Definitionen er givet alene ved N og gjenfindes ved alle Forestillingspar, hvor N forekommer. (+ X) siges at vere N’s modsatte Numeral; men tillige er N ogsaa (+ NYs modsatte Numeral, (+ (+ N))—= N. Identitetsnumeralet O er sit eget modsatte Numeral, O = (— 0). Tilfojelse. Har Forestillingen X ved Numeralet A bestemt Forestillingen ®, kan denne atter ved Numeralet Z bestemme en Forestilling ©. Som hørende til samme Gruppe som DB og 9 maa © da kunne bestemmes ud fra À ved et Numeral €: 5 — Ax A CE —BxY altsaa © = C* YU; om end i Formen forskjellige, maa dog i Realiteten de to Bestemmelser af © ved X vere identiske, den direkte C med den indirekte ved A og derefter ved 3, det vil sige, an- vendte paa hvilkensomhelst af Gruppens Forestillinger maa de bestandig fore til identiske Forestillinger. Der bestaar altsaa uafhengig af Begyndelsesforestillingen en Afhængighed af Numeralet C som bestemt ved Numeralerne A og B og disses indbyrdes Orden. Vi sige, at det direkte bestemmende Numeral C dannes ved Tilføjelse af Numeralet B til den forudgaaende numerale Bestemmelse A; og dette betegne vi med Ligningen C= B* A. 11 461 Da baade Modsætningsafhængigheden og Tilføjelsen efter Definitionen ere entydige, vil Tilfojelsesafhængigheden ogsaa besidde Omvendings- principet (jvnfr. Side 5). Ved at bestemme en hvilkensomhelst af vore Forestillinger A, 3 og © ud fra hver af de to andre baade direkte og med den tredie til Mellemled faas samtidig med ovenstaaende Ligning tillige: (+ C) =(+ A) * (+ B), i = C *(+ À), (+ B)= Ax*(+C), ALS (eB NE og (+ A)=(+ C)* B. Ere to af vore Forestillinger identiske, findes A=OxA — Ax 0 05 O = A * (+ A) = (= 4) + À; og omvendt: Naar Ax B= 0, vil B= (+A), A=(+ B). — Intet Numeral forandres ved dets Tilføjelse til Identiten © eller ved Tilføjelse af denne. I dette Tilfælde er Orde- nen ligegyldig for Tilfojelsens to Led, ligeledes, naar Tilfojelsens Resultat bliver O; men iøvrigt vil man vel ofte men ingenlunde altid finde det kommutative Princip gjeldende for Numeralers Tilfojelse; og hvor dette ikke er Tilfældet, ber man heller ikke soge Modsæt- ningsafhengigheden aflest af en til Subtraktionen og Divisionen svarende Afhengighed. Tage vi foruden de ovenfor betragtede ensartede Forestillinger X, & og © endnu en til samme Gruppe hørende vilkaarlig Fremstilling D med i Betragtning, saa at ou BAU C=Bx«B D= Cx, medens den direkte Bestemmelse af D ved A betegnes med S, D= SkxA, samt © = EH x YW og D= Dx, saa folger af det Foregaacnde Se ID Al = UE) eller (Cx B)* A= Cx (Bx A). Altsaa gjelder det associative Princip for Tilføjelsen; ved yderligere Benyttelse af () Betegnelsen findes den gyldig for et hvilketsomhelst Antal Led deri. De nævnte Setninger om Numeralers Modsetning og Tilfojelse udtomme Numeralets Definition, og ere at opfatte som en Gjengivelse af den i et Tegnsprog, som tor anses for mere fuldkomment end det almindelige Sprog, der dog er uundværligt, hvor Talen er om Anvendelse paa konkrete Forestillinger. 462 12 I hver Art er altsaa Identitelsnumeralet absolut bestemt. Intet af Gruppens Forskjels- numeraler behøves for at lære os O at kjende; det er kjendt som «ingen Forskjel af denne Art», saasnart i det Hojeste Gruppens Navn og almindelige Indhold kjendes. Af Bestemmelser med aabenbar Numeralskarakter mellem Numeraler i en hvilken- somhelst Gruppe have vi dernæst for det første Numeralers Identitet, A — A, for det andet giver Modsætningsafhængigheden et andet ligesaa almindeligt Numeralsnumeral, hvis Beteg- nelse er det +, der ved at settes foran Numeralets Tegn fremkalder Forestillingen om det modsatte Numeral. Tilfojelsesafhængigheden bestemmer derimod vel det direkte Numeral paa relativ Maade og entydig, men Relativiteten er almindelig en dobbelt eller flerdobbelt, alle de enkelte partielle Numeraler ere jo hver en Udgangsforestilling. Men forsaavidt alle disse partielle Numeraler lade sig bestemme ved et eneste Numeral, vil Tilfojelsen blive en enkelt relativ Bestemmelse af det direkte Numeral ved dette sidstnævnte; og indenfor dette Tilfældes Grendser er der Mulighed for, at vi kunne træffe paa endnu andre Numeralsnumeraler, altsaa saadanne, som bero paa Tilfojelse. Men i denne Henseende staar der kun en frugt- bar Udvej aaben nemlig Tilfojelse af flere eller færre indbyrdes identiske eller modsatte Numeraler. Ved at gaa ud fra Forestillingen om Numeralet A som givet bestemme vi ved Til- fojelse af med A identiske Numeraler Numeralerne AxA ur Ax Ax Ay EA AxtAsl.... (AA) = A Bestemmelsen *, som vi benævne ved de tilfojede Leds Antal, er da enkelt relativ og tillige entydig. Ved Tilfojelse af et hvilketsomhelst Numeral, * A, til et hvilketsomhelst af samme Slags, * À, fremkommer et Numeral, som ogsaa kan dannes ved Tilføjelse af lutter A’er, *A=(*4)*x(* A); dette folger af Tilfojelsens associative Princip, f. Ex. (A) * (% A) = 14x (Ax Al) LA x A1— Ax (Ax (Ax (Ax A) —* À. Paa Grund af Tilfojelsens associative Princip og A’ernes indbyrdes Identitet gjælder ogsaa det kommutative Princip for Tilfojelse af hvilketsomhelst * A og * À og i hvilket- somhelst Antal, (x A) x (x 4) = (% A) (# A). 13 463 Hvis de gjentagne Tilføjelser ske med (+ A) i Stedet for A, fremkomme paa samme 1 n = . . Maade Numeralerne x ( A), og man finder let at almindelig A) = -+-(* A); n * (4 . , nm , . . + . ligeledes, at der ved Tilfajelse af * A’er og x (= Aj'er i hvilkensomhelst Sammensætning be- . . 5 Pp p standig vil fremkomme enten O eller et Numeral * A eller et Numeral # (+ A), samt at del kommutative Princip gjælder for alle disse Numeralers Tilfojelser. Betegnelserne 0 1 n —n O=%A, A=x A og x(— À) — * À bemærkes. . . . (4 Al = De med det saaledes almindeliggjorte Tegn + betegnede Bestemmelser kunne an- vendes med ei hvilketsomhelst til Gruppen hørende Numeral til Udgangsforestilling, er dette pP + m . 2 > af Formen & A, føres man til et Numeral, som atter har den samme Form, n m Pp x (x A) = * A; den entydige Bestemmelse *, er altsaa ikke blot enkelt relativ, men dens Relativitet er saa klar, at den, uden at Gruppens nodvendige Grændser overskrides, kan anvendes med ethvert af dens Numeraler til Udgangsforestilling, ja den kan anvendes paa et hvilketsomhelst Numeral fra hvilkensomhelst Gruppe, den er altsaa en ubetinget enkell relativ og entydig Bestemmelse. % mangler altsaa blot Entydighedens Gjensidighed i at vere et Numeralsnumeral. Den vilde vere dette, dersom eller forsaavidt Bestemmelsen af A ved * A ogsaa var entydig. Men en almindelig Paastand herom vilde vere faktisk urigtig, urigtig for nogle om end rigtig for andre Forestillingsgruppers Vedkommende. Saavidt have vi kunnet behandle alle Slags Numeraler under ét, men her ere vi naaede til et kritisk Punkt; en Inddeling af Forestillingsgrupperne og deres Numeraler maa finde Sted. Saaledes slutter jeg fornemmelig deraf, at de Arter af Numeraler, som man paa erfaringsmessig Maade har lert at kjende, vise indbyrdes Forskjel i deres yder- ligere Egenskaber. Bygger man paa Erfaringens Grundlag, kan man for Tid, Sted, Vest, Verdi o. s. v., for mangfoldige, konkrete Forestillingsgrupper udvikle en Videnskab, iblandt hvis Axiomer man idelig vil finde alt, hvad der udfordres til at karakterisere dens Bestemmelser som Numeraler; alt, hvad vi endnu have udviklet, er felleds for Geometrien, Kronologien og alle disse andre Videnskaber; men i deres videre Udvikling skilles deres Veje, og nogle af dem, men ingenlunde alle, forgrene sig netop overfor Sporgsmaalel om Entydigheden af den til * svarende modsatte Bestemmelse. Til samme Resultat fores man ved Resultater af den formelle Mathematik. Antager man nemlig, at saadan Entydighed var almindelig gjældende, og tænke vi paa en vis Gruppe af Forestil- linger, hvis Numeraler altsaa atter almindelig bestemmes ved Numeralsnumeraler, (og dette er 464 14 netop, hvad vi snart specielt skulle opstille som Tallenes Kjendetegn) saa vilde man ved yder- ligere at forestille sig Numeralsnumeralerne som Gjenstand for Bestemmelse se sig stillet overfor Tilfælde, Exponenter og andre symbolske Bestemmelser, hvor den omtalte Entydig- hed bevislig ikke er tilstede. Men skal der paa dette Sted inddeles, saa er det Spørgsmaalet: Hvor finde vi Grund- laget for Inddelingen, i en ny erfaringsmæssig Definition eller i logiske Konsekvenser af den tidligere? I Modsætning til de anvendt mathematiske Videnskaber burde formentlig vor Ind- ledning til den rene Mathematik ud fra sine egne axiomatiske Definitionssætninger a priori ved en begrundet og udtømmende logisk Inddeling udvikle alle de sideordnede Muligheder hver med sine Konsekvenser, saaal Vejen banedes for hidtil ukjendte Anvendelser. Der burde ikke ske yderligere Laan fra Erfaringerne. Hvor Numeralbegrebet deler sig, der burde det almindelige Grundlag dog endnu afgive Kjendetegnene paa, hvilke Sætninger der kunde ud- siges som Definitioner paa Numeralernes Underafdelinger, og hvilke Sætninger man ikke turde opstille som saadanne Definitioner. Jeg tror nu vel paa Muligheden af, at dette kan udføres; men for mit Vedkommende tør jeg ikke haabe at kunne finde Vejen gjennem denne Vanskelighed. Jeg kjender langtfra Numeralbegrebet i de fleste af dets logisk mulige Af- skygninger, kan derfor ikke ordne a posteriori og derved vejledes til at finde Udgangs- punktet for en Inddeling a priori; men såa maa jeg bekvemme mig til at laane af Erfarin- gen, dog saaledes, at jeg vil søge at gjøre Laanet saa lidet som mulig. Ved Siden af velbekjendte Erfaringsresultater angaaende Forestillinger, der bestem- mes ved benævnte Tal, vil jeg da hente Erfaringer fra et Par let overskuelige Forestillings- grupper, og navnlig fra Kronbladenes Stilling hos regelmæssige Blomster, vild Rose og Lilie. Lad os vedABEDE tænke paa en Roses Kronblade og først vælge Forestillingen om W til at gaa ud fra i Bestemmelserne B, C, AG) ER : = D og E henholdsvis af V's, C's, D's og G's Stillinger, medens Identi- ( så ' =) tetsnumeralet © tautologisk bestemmer Ws egen Stilling. Bestem- (8 | = melserne B, C, D og E ere aabenbart Numeraler, de ere jo enkelt EA relative Bestemmelser, og hver Bestemmelse er saa selvstændig, at den kan anvendes ud fra en hvilkensomhelst af Gruppens Forestillin- ver; de ere fremdeles fuldstændig, nemlig ogsaa gjensidig entydige Bestemmelser. Opfatte vi nu disse Numeraler som Forestillinger, der søges bestemte, er O her som altid absolut givet, de andre, B, C, D og E kunne alle indbyrdes bestemmes paa enkelt relativ Maade, og det ikke blot saaledes at Z— + B og D—+C. Thi ved Til- føjelsen af identiske Numeraler dannes, som man let i det enkelte kan eftervise, det fuld- stændige System af Identiteter: 15 465 ND LCR DIRE SRG = DD 4H IC Te Cr VD) RO PMP DB MEE DE REDE KENO: Det fremgaar for det første heraf, at man udfra hvert af Forskjelsnumeralerne kan bestemme ethvert af de andre ved Tilføjelser i ét vist Antal, altsaa ogsaa entydig bestemme det Forskjelsnumeral, som ved enhver af Bestemmelserne rip + og * bestemmer et givel Forskjelsnumeral. Forskjelsnumeralernes indbyrdes Bestemmelser ere her altsaa alle Numeralsnumeraler. For det andet vil Bestemmelsen * ud fra et hvilketsomhelst Forskjelsnumeral fore lil Identitetsnumeralet, O, som altsaa fremkommer ved Tilføjelse af iden- , tiske Forskjelsnumeraler. Trods denne Frembringelses relative Form er dog her O ikkun bestemt paa absolut Maade, fordi det er aldeles ligegyldigt, hvilket af Gruppens Numeraler der tjener til Udgangsforestilling for den tilsyneladende relative Bestemmelse. É Betragte vi dernæst Bladenes Stilling i en Lilieblomst, A, &, ©, Be [ A DD, € og F, saa ere ogsaa her Forestillingerne om Bladenes Stilling \ ie overfor et af dem f. Ex. A bestemte ved aabenbare Numeraler, Iden- \? 2) S K titetsnumeralet O og Forskjelsnumeralerne henholdsvis B, C, D, E og F. (6 G \ Men betragte vi saa disse Numeraler som Forestillinger, der 4 CRE . AJ . = \® ] soges bestemte, har O sin absolute Bestemmelse, og mellem Forskjels- EN i à N numeralerne gives der foruden Modsætningens Numeralsnumeral, + iB=+F C=+E og D=~ D, endnu ved Tilføjelse af identiske Numeraler andre 1 ubetinget enkelt relative og entydige Bestemmelser. Men Schemaet: EB OP D Ola PaO, = ÈB—D,# C= 0, *.D—=D,% E=0,%F=D + B—=E% C=C &D=0,* E=E,* F=C B= DC is DT) oH OxE RB 6 6 6 {p= ONCE ONE DORE ONE OF CS EC: 5 k overbeviser os snart om, at af Bestemmelserne *, +, * og * er kun denne sidste el à 5 5 . mere, , Numeralsnumeral, og tilmed er denne (x) —(); i andre ellers lignende Tilfælde kan der 466 16 = 3 2 Diese PE 2 vere flere og selvstændige Numeralsnumeraler. Identiteterne * B = * 2, xC—%#F, 3 3 3 4 4 4 4 R 2 3 4, = = *B=%D—=xF, «B=#Eog x C— %F vise at *, * og + ikke ere entydige i tilbagegaaende Retning, altsaa ikke Numeralsnumeraler. Men ligesom ved Rosen vil ogsaa her Identitetsnumeralet kunne frembrin- ges ved Tilfojelse af identiske Forskjelsnumeraler endog af et hvilketsomhelst Forskjelsnumeral, men medens Ligheden strækker sig saavidt, at et bestemt Antal identiske LU AN FU 6 T1 . . . . Vilfojelser her x er O’s absolute Bestemmelse, gives der her ogsaa virkelig relative Be - stemmelser af Identitet ved Forskjel, nemlig + JD) == (0). MR og I) Ved Siden af disse to Exempler skulle vi saa omtale den bedst bekjendte og ube- linget vigtigste Mangfoldighed af Forestillingsgrupperne, som bestemmes ved Numeraler — her sædvanlige benævnte og ubenævnte Tal, blandt hvilke Tiden og Stedet paa Linie atter indtage den allervigligste Plads; altsaa Tingpunkterne. Her have vi ikke blot Grupper af Forestillinger med rene og klare Numeralbestemmelser i de benævnte Tal; men hver Gruppes Forskjelsnumeraler danne som Forestillinger betragtede selv en Gruppe, og be- stemmes ved de sædvanlige ubeneynte Tal som alle Gruppernes fælleds Numeralsnumeraler, og ved Siden af disse optreder der ingen tilbagegaaende Bestemmelser af blot tvivisom En- tydighed, undtagen det æ, som optræder som Modsætning til den absolute Identiletsbestem- melse, O’et. Men medens vi altsaa her gjenfinde den Sætning, som mødte os ved Rosens Kronblade, at enhver Bestemmelse mellem Forskjelsnumeralerne er et Nume- ralsnumeral, maa vi tillige fæste Opmærksomheden paa Uligheden i Henseende til den anden Setning; thi Tingpunkternes Forskjelsnumeraler kunne aldrig ved nogen Tilfojelse af identiske Numeraler frembringe Identitetsnumeralet. Anderledes stille Forholdene sig, naar vi forestille os Retningerne fra et fast Punkt til et ubegrændset System af Punkter; thi medens ogsaa disse Forestillingers ind- byrdes Bestemmelser, Vinklerne, ere Numeraler, ere Vinklernes indbyrdes Bestemmelser ikke saadanne, at * giver entydig tilbagegaaende Bestemmelse uden for Tilfældene (* ) og (+). Vi have altsaa her i Almindelighed ikke Numeralsnumeraler. Heller ikke gives der noget bestemt Antal identiske Tilfojelser, som ud fra et vilkaarligt Forskjelsnumeral frembringer Identitetsnumeralet. Derimod gives der for et hvilketsomhelst Antal Tilføjelser af identiske Vinkler, saadanne Vinkler, som netop ved dette Antal Tilføjelser frembringe ©. Man kan dog paalægge Systemet af de Punkter, man forestiller sig, saadan Be- grænsning, at det tilsvarende Vinkelsystem antager helt andre Egenskaber. Lad os saaledes indskrænke os til at betragte Punkter paa en Cirkel, hvis mellemliggende Buelengder ere — Radius. Her vil ingen Tilfojelse af noget Antal identiske Vinkler 17 467 føre tilbage til Udgangsretningen og derved frembringe Identitetsvinklen. Tillige ere disse Vinklers Bestemmelser i det væsentlige Numeralsnumeraler. Be- stemmelsen af den Vinkel V, som i dette System ved Tilføjelse af m identiske Vinkler V frembringer en given Vinkel * V, er entydig, forsaavidt en saadan Vinkel Vexisterer som Numeral for et Par af disse Retningsforestillinger. Skjondt nemlig Retningsforestillin- gerne ogsaa her danne en fuldstendig Gruppe, er dette ikke Tilfældet med deres Vinkler. Imidlertid kan vor Forestillingsgruppe fuldstændiggjores saaledes, at ogsaa Vinklerne komme til at danne en fuldstændig Gruppe, og da have vi et System af Forestillinger med lutter Numeralsnumeraler. Denne Fuldstendiggjorelse maatte ske ved Halvering, Tredeling o.s.v. af bestemte Buer, f. Ex. den, hvis Længde er Radius; man faar herved Valg mellem en Flerhed af sideordnede Forestillingsgrupper, der alle omfatte hin farstomtalte. Men det afgjorende bliver, at i hver af disse Grupper ere Vinklernes indbyrdes Bestemmelser alle Numeralsnumeraler. To Forhold, som indbyrdes synes at vere nogenlunde uafhengige, ville ved Be- traginingen af disse Exempler have frembudt sig som saadanne, efter hvilke man kunde inddele Numeralerne. 1) Der gives nogle Forestillingsgrupper, i hvilke alle Forskjelsnumeralernes ind- byrdes Bestemmelser ere Numeralsnumeraler, og andre Grupper, i hvilke kun nogle Numeralbestemmelser have denne Egenskab. 2) Der gives nogle Forestillingsgrupper, i hvilke ingen Tilføjelse af identiske Forskjelsnumeraler frembringer Identitetsnumeralet ©, andre, i hvilke et bestemt Antal Tilføjelser af ethvert Forskjelsnumeral giver ©, atter andre, i hvilke saadan Frem- bringelse forekommer sporadisk. Men endnu et tredie Forhold kan udledes af disse og lignende Erfaringer og anvendes ved Forestillingsgruppernes og Numeralernes Inddeling. Bladet A paa en Rose kan ganske vist neppe forvexles hverken med B, ©, © eller ©, dog er, saaledes som disse Navne ere satte paa ovenstaaende Figur, D og © nærmere ved À end & og ©; men for denne Egenskab, som dog ikke er uvæsentlig, haves intet Udtryk gjennem serlige Egenskaber ved Numeralerne B, * B, * B og *B. Heller ikke, hvor Forestillingerne i Gruppen ere mere mangfoldige, optræde saadanne Kjendetegn gjennem de allerede udtalte Sætninger og deres Konsekvenser, og dog bliver Forestillingernes naturlige Orden i Gruppen til et meget væsentligt Moment, naar Gruppen er saa talrig, at der bliver Fare for Forvexling af de hinanden nærmest stillede Gjenstande. Forestiller man sig Delestregerne paa en fintdeli Kreds, til hvis Aflesning Mikroskop er nødvendigt, og tænker man sig f. Ex., at der ialt er 10,800 Delestreger, saa vil man efter de hidtil nævnte Sætninger kunne udvikle Theorien for en saadan Gruppe med en Overensstemmelse, der strækker sig til de mindste Detailler, hvad enten man ved Udgangsnumeralet 2 be- Vidensk. Selsk. Skr., 6 Række, naturvidensk, og mathem. Afd. IT. 11. 59 468 18 tegner Bestemmelsen af den Streg, der folger umiddelbart efter Nulstregen eller f. Ex. den 3,33lle. I begge Tilfælde blive alle Kredsens Delestreger bestemte ved Numeraler * B, og de af dem, hvortil der paa den ene Maade knylter sig særlige Egenskaber, findes ud- rustede med de samme Egenskaber, naar de betragtes ud fra det andet Udgangsnumeral: den 5,400de Delestreg kommer i begge Tilfælde til at ligge ligeoverfor O-Stregen, og Stregerne for hele Grader vedblive at betegne hele Grader. I begge Tilfælde ordnes Stregerne efter Antallet af de til hinanden føjede D’er, og denne Ordning er tilstrækkelig for enhver exakt Behandling, men kun, hvis den falder sammen med den naturlige Ordning, hvor en Tilføjelse af B flytter Forestillingen hen til den nærmest paafolgende Streg, kan man drage Fordel af Sætninger, som gjore visse Uopmærksomheder, For- vexlinger eller Fejl uskadelige. Overfor en Gruppe som denne med diskrete Forestillinger kan Identitets- numeralet holdes skarpt ud fra alle Gruppens andre Numeraler, og det er kun praktiske Grunde, som gjore det tilraadeligt men ikke nodvendigt at fremhæve, at visse Numeraler betegne smaa, andre store Forskjelligheder, og at ringe Forskjel med ringe Fejl kan be- handles tilnærmelsesvis som Identitet. Men ved andre Grupper af Forestillinger stiller Sagen sig helt anderledes. For de kontinuerte Forestillinger blive Begreberne om det smaa og det store og om Tilnærmelse af væsentlig Betydning for selve den exakte Theori. Som Exempel paa de kontinuerte Forestillinger ville vi betragte Tiden. Begrebet om det næsten samtidige retter sig ganske efter den Grad af Opmærksomhed, med hvilken man betragter Tidsforestillingen. Snart anse vi Begivenheder for samtidige, naar de have fundet Sted i samme Aar eller paa samme Dag, snart anse vi os for meget om- hyggelige, naar vi begrændse det Samtidige til, hvad der sker i samme Sekund. Men und- tagelsesvis skjærpes vor Interesse og vor Opmærksomhed i langt højere Grad, saa at f. Ex. den Tusindedels Tidssekund bliver væsentlig, som adskiller de Momenter, da det dræbende Skud gjennembrød Karl den tolvtes højre og venstre Tinding, eller den Tusindmilliontedels Sekund, Lyset bruger for at passere en Kikkerts Glas. Ingen Erfaring har kunnet antyde en Grændse for Tidens Delelighed og skjælne imellem, hvad der er exakt samtidigt eller blot tilnærmelsesvis samtidigt. Og skjøndt det selvfølgelig ikke kan siges at være bevist ved Erfaring, at saadan Grændse overhovedet ikke existerer, er der dog næppe nogen iblandt os, som ikke anser sig for berettiget til at erklære Tiden for kontinuert, det vil sige til al paastaa, at Tidens Forandring sker ved ubetinget umærkelig og jevn Overgang uden Spring. Ved Kontinuitet forstaa vi her almindelig den Egenskab ved Forestillinger af visse Slags, at der gives Forskjelsnumeraler, som nærme sig uden Grændse til Identiletsnumeralet, saa at de selv for en ideel Betragtning tilsidst kunne forvexles 19 469 med dette uden Fejl. En Konsekvens deraf er, at Forskjelsnumeralerne ogsaa indbyrdes maa flyde over i hinanden og kunne nærme sig hinanden saaledes, at de tilsidst kunne træde i hinandens Sted uden Forskjel i noget Resultat. Kontinuitet i den tilsvarende Fore- stillingsgruppe er saaledes Betingelse for, at irrationale Tal kunne opfattes som bestemte ved Tilnærmelse og indordnes blandt de rationale i naturlig Orden. En anden Konsekvens af Kontinuiteten er, at der kan tillægges den ved Tegnet © betegnede Bestemmelse af et Forskjelsnumeral ved Identitetsnumeralet Betydningen af det uendelig store. Saafremt en Gruppes Forestillinger ikke ere kontinuerte, men diskrete, er det klart, at Bestemmelsen af en vis Forskjel ved selve Identiteten ganske simpelt er umulig; men denne Umulighed brydes, naar Bestemmelsens Udgangsnumeral kan opfattes som en til Identiteten grændsende Forskjel, som kaldes uendelig lille. Som tredie og sidste fra Erfaringen hentede Forhold, der kan tjene til Forestillin- gernes Inddeling, optræder altsaa Kontinuiteten. Kontinuitetsaxiomet, at visse Forskjelsnumeraler nærme sig grændseløst til Identiteten, gjælder for de kontinuerede Forestillinger, men ikke for de diskrete. Det sædvanlige Talbegrebs Stilling til alle disse tre Forhold er nu klar nok, de Forestillingsgrupper, som svare til disse uomtvistede Tal, ere saadanne, hvor 1) Enhver Bestemmelse mellem Forskjelsnumeraler (benævnte Tal) er et Numeralsnumeral (ubenævnt Tal). 2) Ingen Tilføjelse af indbyrdes identiske Forskjelsnumeraler giver Identitetsnumeralet, (d. e. Tælningen kan fortsættes uden Grændse). 3) Kontinuitetsaxiomet gjælder. Men Spørgsmaalet er nu, om disse 3 Erfaringsaxiomer ere saaledes uafhængige af hinanden, at de alle tre maa optages i Tallets Definition, eller om det ikke meget mere forholder sig saaledes, at der er en indre Sammenhæng imellem dem, navnlig saaledes, at naar Nummer ét antages, ogsaa Nummer to og tre kunne bevises, om ikke for alle Tal, saa dog for en logisk nødvendig Afdeling af Tallene, medens samtidig ogsaa de øvrige Tals Forhold til Nummer to og tre lader sig bevise ved Nummer ét ? Hele Resten af dette Arbejde kan opfattes som mit Svar paa dette Spørgsmaal; men førend jeg gaar dertil, ønsker jeg at bemærke, at hvis man under Benægtelse af den førstnævnte af de tre Sætninger vil studere de Forestillingsgrupper, som have flertydige Bestemmelser af B ved *B, og tilsigte en almindelig Behandling af Numeralbegrebet fornemmelig i de Afskygninger, som falde udenfor Talbegrebet, da synes Sætningerne om Identitetens Frembringelse ved Tilfojning og maaske ogsaa om Kontinuiteten at maatte op- fattes som selvstændige Axiomer. | Jeg har nemlig, hvad jeg dog ikke skal omtale udforligere, forsøgt at gjøre det andet af de tre Erfaringsresultater, Setningerne om Identitetens Frembringelse ved Tilfojning, 59° 470 20 til den principale Inddelingsgrund. Ogsaa ad denne Vej synes man at kunne udskille og behandle en vis Afdeling af Numeralbegrebet uden selvstændig Afgjorelsé af de to andre Forhold gjennem Axiomer. Men den Afdeling af Numeralbegrebet, som derved træder i Spidsen (idet man nemlig inddeler efter det bestemte Antal identiske Forskjelsnumeraler, hvis Tilfojelse forudsættes at give O), har ialtfald udenfor de hele Tals Theori, maaske endog for denne, ikke saa stor Betydning som det sædvanlige Talbegreb. Og vil man gaa ud over denne Af- deling, maa der inddeles ogsaa efter Numeralsnumeralernes og Kontinuitetens Forekomst. Og da endelig Kontinuitetsaxiomet alene utvivlsomt ikke er tilstrækkeligt som Ind- delingsgrund, saa maa det mindst mulige Laan fra Erfaringen (Side 14}, som vi bestemme os til at gjore, blive det Axiom, at der gives Forestillingsgrupper, i hvilke enhver Bestemmelse af et Forskjelsnumeral ved et andet er et Numeralsnumeral. Den hertil svarende Definition af Tallet vil saa ner som mulig omfatte, hvad dette Ord sædvanlig betegner, dog saaledes, at de hele og rationale Tal faa en noget storre Selv- stendighed indenfor Begrebet, end man plejer at tillegge dem. Men der vil ikke heri kunne paavises nogen Grund til at undlade at bruge Navnet Tal for det saaledes definerede Begreb. Tallet. Ved ubenævnte Tal eller kort Tal forstaa vi altsaa dels Identitets- numeralets absolute Bestemmelse, dels Forskjelsnumeralernes relative Bestemmelser!) i saadanne Forestillingsgrupper, hvor alle Forskjelsnume- ralernes Bestemmelser gre Numeralsnumeraler. De Numeraler, der her bestemme selve Forestillingerne og bestemmes ved de ubenævnte Tal, kaldes benævnte Tal. I det Folgende ville de benævnte Tal blive betegnede ganske som almindelige Numeraler med latinske Initialer, Operationstegnene ville forebygge Muligheden af en Forvexling. Benævnte Tals Tilføjelser kalde vi specielt for Addition, derimod anse vi det for overflødigt at indfore et specielt Navn for deres Modsetningsafhengighed. Som Additionstegn bruge vi + for x. Af Tallets Definition folge nu direkte alle de Sætninger, som gjælde for alle ube- nævnte Tal uden Hensyn til deres benævnte Tals og Forestillingers særlige Natur. De ubenævnte Tal besidde dobbelte Sæt af Afhængigheder, idet de som Numerals- numeraler baade selv ere Numeraler og bestemme Forestillinger, der atter ere Numeraler. De Afhængigheder, som tilkomme de ubenævnte Tal, fordi de selv ere Numeraler, kalde vi: deres Modsætning for Reciprocitet, deres Tilfojelse for Multiplikation. Til Be- r tegnelse af de ubenævnte Tal anvende vi Taltegn og smaa latinske Bogstaver. Som Tegn 1) Se Note Side 22. 21 471 for benævnte ‘Tals Bestemmelse ved ubenævnte anvende vi specielt (.) istedetfor (x); IDRE bils A udsiger, at det benævnte Tal 3 er bestemt ud fra det ensbenævnte Tal A, Enheden, ved det ubenævnte Tal 6. For det ubenævnte Tal, som betegner Identitet imellem to be- nævnte Tal, bruges Tegnet 1, AN AL. For hvert ubenævnt Tal, a, giver Reciprociteten det reciproke Tal —, som a i modsat Retning tjener til Bestemmelse mellem de samme to benævnte Tal som a; naar 1 A 1 A=a,E, er H = —-A. Specielt er 1 — gr a Multiplikationen, den specielle Tilfojelse af ubenævnte Tal, p—c.b0 = cb, hvorved Produktet p, der direkte bestemmer et benævnt Tal C ud fra det ensbenevnte A, findes bestemt ved Multiplikanden 6, som bestemmer et tredie henævnt Tal B ved samme A og ved Multiplikatoren e, der bestemmer © ved B, er som enhver Tilføjelse i Besiddelse af Entydigheds- og Omvendingsprinciperne, 1 I? ri. Gr Ale 3 samt af det associative Princip, (cb) Rate a) derimod i Almindelighed ikke af det kommutative Princip. Specielt er dog 1.@—a—a.l og 1.11. At Identitetsnumeralet ©, her altsaa det benævnte Tal «ingen saadan Forskjel», er absolut bestemt, betegnes paa en Maade, som i Formen ligner de andre benævnte Tals relative indbyrdes Bestemmelser, nemlig ved Tallet 0 i Formlen O = 0.4; men da denne Formel altsaa giver den absolute Bestemmelse under relativ Form, maa der tillegges 0 Egenskaber, som afvige fra, ja stride imod, hvad der ellers gjælder for Tallene: Bestem- melsen i 0 maa gjore Angivelse af Euheden for Bestemmelsen aldeles overflodig: Gigi =U BEN OE ogsaa naar A er forskjellig fra B; ja man maa endog have 0.0 — 0. Intet Tal, hverken 0 selv eller noget af de relativt bestemmende ordinære Tal, kan vere reciprokt Tal til 0. Et saadant skulde, hvis det existerede som et enkelt Tal, bestemme et vist benævnt Tal ud fra Identiteten O; = kan da ikke være 0, fordi dette Tal bestemmer : kan ikke vere a, det ubenævnte Tal, som bestemmer en vis Forskjel ved en anden, fordi detles reciproke Tal > ud fra Identiteten selv og ikke nogensomhelst Forskjel; og enhver Forskjel bestemmer en anden Forskjel og ikke Identiteten, Fastholdes det, at bo DD 472 Gruppen ikke omfatter andre Forestillinger end dem, som efter Definitionen bestemmes som indbyrdes værende enten identiske eller forskjellige, saa kan Tegnet ©, som bruges oor = ikke betegne andet end den ubetingede Umulighed. Kun derved, at Recipro- citetens formelle Lov medforer 10, altsaa ved Tilbageforelse til 0, kan c faa Belyd- ning i Ligninger. Man maa f. Ex. fortolke « = «.a saaledes, at 0.4 — a, we = 2 — 0, altsaa = — () OR CH Denne strenge Fortolkning af © maa fastholdes, saalenge Kontinuitetsaxiomet ikke anlages. Hvor Forestillingsgruppen derimod er kontinuert, saa at der gives benævnte Tal, som ikke ere Identitet, men flyde over deri, uden at det er muligt at adskille dem fra Identiteten, maa co forstaas med en vis Modifikation. Til O grændser da en Mangfoldighed af grendselost smaa ubenævnte Tal, til hvert af disse maa der svare et reciprokt Tal, og disse reciproke Tal maa ikke blot indbyrdes flyde over i hinanden med umærkelige Over- gange, men ogsaa grændse op til © som 0’s reciproke Tal. For en Forestillingsgruppes Kontinuilet bliver det da en nodvendig Betingelse, at visse af dens Forestillinger maa grændse op til Forestillinger, en, flere eller en hel Gruppe, som ikke hore til selve hin Forestillingsgruppe og ligesaalidt (eller ligesaavel) kunne bestemmes ud fra dens ordinære Forestillinger, som en Forskjel inden for Gruppen kan bestemmes ved Identiteten. I disse Tilfælde faar da © Betydning af det uendelig store (d.e. uopnaaelig) store. Uopnaaelig nemlig ved de Bestemmelser, som ellers kunne bestemme enhver Forestilling, som horer til Gruppen. Multiplikation med 0 som Multiplikator gjør Produktet til 0, uden Hensyn Lil Multi- plikanden. Dette fremgaar direkte af O's Definition, 0 —0.A—0.B. Bestemmes nemlig de benævnte Tal ud fra en fælleds Enhed / ved Tallene A=a.E, B=b.E og erindres, at O=0.E, haves Sætningen i Omvendt maa Multiplikator vere 0, naar Produktet er 0, men Multiplikanden bestemmer en Forskjel, enhver anden Multiplikator vilde give et Produkt, som bestemte en Forskjel ud fra en anden. Ogsaa naar Multiplikanden er 0, maa Produktet blive 0. Det maa forudsættes, at ethvert ubenævnt Tal, der jo efter Definitionen ud fra ethvert benævnt Tal, der betegner en Forskjel, igjen bestemmer et saadant, ogsaa ud fra Identiteten maa bestemme et til Gruppen hørende benævnt Tal, enten en Forskjel eller Identitet"). Men en Forskjel kan 1) Denne Forudsætning, der let nok kan verificeres for hver Talart iser, forekommer mig efter sin Natur at skulle ligge i Tallets Definition. Paa Grund af Latituden i de enkelte Ord, kan jeg dog ikke anse denne Forudsætning som Konsekvens af Definitionen, som den her er formuleret, og det er ikke lykkedes mig at tilspidse Definitionen ved en saadan Ændring, som fyldestgjor paa dette Punkt uden at skade paa andre. 23 473 ikke bestemmes ud fra Identiteten, uden at det bestemmende Tal var reciprokt til 0, altsaa maa et hvilketsomhelst ubenævnt Tal bestemme Identiteten ud fra Identiteten, men er O— a.0, maa ogsaa 0 =a.0, Den omvendte Sætning, at naar Produktet er 0, og Multi- plikator forskjellig fra 0, maa Multiplikandus vere 0, bevises paa samme Maade. — Naar et Produkt er 0, maa en af Faktorerne ‘(eller begge) vere 0. Fra Sætningen, at Produktet er 0, naar en af Faktorerne er 0, maa der for konti- nuerte Tals Vedkommende, naar © anses som Tal, gjores Undtagelse for det Tilfælde, at den anden Faktor var o. I det Foregaaende have vi omtalt de Afhængigheder, der tilkomme Tallene som Numeralsnumeraler, som sagt maa vi dernæst tage i Betragtning, hvad Virkning det har for de ubenævnte Tal, at de benævnte Tal, som de bestemme, ligeledes ere Numeraler, og som saadanne besidde Modsætnings- og Additionsafhængighederne. Disse Afhængigheder fremkalde tilsvarende Afhængigheder mellem de ubenævnte Tal, idet vi betragte de indbyrdes afhængige benævnte Tal som bestemte ved ubenævnte Tal ud fra en vilkaarlig Enhed. De Tal, hvorved indbyrdes modsatte benævnte Tal A og — A bestemmes i Sam- menligning med det ensbenævnte, vilkaarlige 7, maa vere indbyrdes afhængige og kunne derfor siges selv at vere modsatte ubenævnte Tal. A er nemlig bestemmeligt ud fra A, og denne Bestemmelse af et benævnt Tal ved sit modsatte er som omtalt et Nume- ralsnumeral eller ubenævnt Tal, som vi betegne ved (—1), +A = (—1).A. Er da A=a.#, vil +~A=(—1).a.H=(—a).E, idet vi med (—a) direkte bestemme — A ud fra #; som Produkt (—a) = (—1).@, er da (— a) afhængigt af a. Ligeledes er a —(—1).(— a), ogsaa de ubenevnte Tals Mod- sætning er ikke blot entydig, men ogsaa gjensidig; fremdeles er specielt (—1!).(—1!) — I og (—0) = 0. I enhver Addition af benævnte Tal S— A+ B ville de ubenævnte Tal a og 0, som bestemme À og B ud fra en vilkaarlig ensbenævnt Enhed 2, A=a.E og B=b.E, bestemme det ubenævnte Tal s, hvormed S bestemmes ud fra samme Enhed S—s. 7%. Thi ved a og b og Additionsbestemmelsen vil der ud fra en hvilkensomhelst ogsaa forandret Enhed Æ vere bestemt et ensbenevnt Tal, a. F + 6.F, altsaa vil ogsaa, da ifølge Tallets Definition dette ligesom ethvert af Gruppens Numeraler bestemmes ud fra # ved et Nume- ralsnumeral, det ubenævnte Tal, der bestemmer a./+ b.F ud fra F være givet uafhængigt af F; det kan da ikke vere andet end det ubenævnle Tal s, som afgav Bestemmelsen ud fra 2. Den Afhængighed, hvori saaledes s staar til a og b og lil disses Orden, kaldes Addition af ubenævnte Val og betegnes med 8 — à + b. 474 24 For denne Afhængighed ligesom for de benævnte Tals Addition gjælde Entydigheds og Omvendingsprinciperne a=s+(—b) og b= (—a)+s. Specielt er 0 = a+ (—a) og 0+a—a+0—a. Alt dette, fordi de benævnte Tals Addi- tion som Numeralers Tilføjelse besidder de: tilsvarende Sætninger. Ligeledes findes det associalive Princip at maatte gjælde ogsaa for ubenævnte Tals Addition, (a+ 6) He = a+(b+¢). Derimod kan Sporgsmaalet om det kommutative Prineips Gyldighed for ubenævnte Tals Addition ligesaalidt bevises i Almindelighed, som det kunde bevises for Numeraler i Al- mindelighed. Men desuden vise de ubenævnte Tals Addition og Multiplikation sig al vere sam- menknyttede ved det ene af de distributive Prineiper. Vi lade i S— A+ B ligesom oven- for de benævnte Tal A, B og S vere bestemte ud fra Enheden Z ved a, b og s, s—a+b; men desuden bestemme vi de samme benævnte Tal ud fra en anden Enhed / ved a, 0" og s’, allsaa a’ +b’ —=s'. Er da E=e.F, vil a’ =a.e, b'=b.e og !=s.e, altsaa haves for hvilkesomhelst a, b og e a.e+b.e = (a+b).e, hvorved det distributive Princip for Multiplikator som Sum er bevist for hvilkesomhelst ubenævnte Tal. Hermed er nu udtomt, hvad der af Sætninger kan udsiges om de ubeneynte Tal i fuld Almindelighed; men disse Sætninger ere ogsaa netop tilstrækkelige til at danne Grund- laget for Beviserne for de øvrige Sætninger, altsaa navnlig for de to kommutative Principer og for det fuldstændige distributive Princip for de Talarter, for hvilke disse Sætninger over- hovedet have Gyldighed. Vi maa da nu skride til at inddele Tallene, og herved ville de to Erfaringsprineiper om Identitetens Frembringelse ved Tilfojelse og om Kontinuitet, som have vist sig at vere overflødige (undtagen Kontinuiteten for 2’s Vedkommende) til Udle- delse af de almindelige principale Sætninger, faa Betydning som Inddelingsgrunde, tildels dog saaledes, at deres erfaringsmessige Karakter tabes, idet den derpaa grundede Inddeling viser sig logisk nodvendig. Men ved Siden af den heraf folgende Inddeling bliver ligesom i de sædvanlige Fremstillinger en anden Inddeling nødvendig, og krydser den første. I hver af dennes Afdelinger maa vi sondre imellem, hvad vi ville kalde nødvendige Tal og Systemer af blot mulige Tal. Først maa vi nemlig behandle de Tal, som nødvendigvis afledes af 0 og I ved de fire Regningsarter, Modsætning, Addition, Reciprocitet og Multiplikation, de Tal nemlig, hvis Existens kræves af Gruppebegrebets Fordring, til de i snævrere Forstand mathematiske Forestillinger, at ikke blot Forestillingerne selv, men ogsaa deres Forskjels- numeraler, her benævnte Tal, skulle udgjøre Grupper, at altsaa ethvert af Forestillingernes ) ’ 3 ’ LA 25 475 Numeraler og Numeralsnumeraler skal kunne anvendes ud fra henholdsvis en hvilkensom- helst af Gruppens Forestillinger og Numeraler og bestandig bestemme henholdsvis en Fore- stilling og et Numeral i Gruppen. Indbegrebet af de i denne Forstand nødvendige Tal bestemmer Gruppens mindst mulige Omfang, og der gives konkrete Forestillingsgrupper, som ikke besidde storre Mangfoldighed. Men derefter maa det saa undersoges, om der ved Siden af saadanne nodvendige Tal kan haves andre mulige Tal sammen med hine, og hvilke Betingelserne ere for saadan Mulighed. Disse mulige Tals Virkelighed beror paa, at man kan paavise konkrete Forestillingsarter af tilsvarende storre Mangfoldighed. Det vil bidrage til Fremstillingens Klarhed, at man gjor Inddelingen efter nodvendige og mulige Tal til den principale, og underordner Inddelingen efter hine Erfaringssætninger som en sekundær under den. Nedvendige Tal. Nodvendige Tal i enhver Gruppe af mathematiske Forestillinger ere foruden 0 og I i det mindste ogsaa de øvrige hele Tal, Antallene og disses modsatte hele Tal. Allerede for de almindelige Numeraler have vi ovenfor (Side 12) set, hvorledes et givet Numeral A ved Tilfojelse til dets identiske eller modsatte Numeraler frembringer en Rekke Numeraler, * (+A), 0, * A, som nodvendig here til samme Gruppe, og for hvis Tilfojelser ogsaa det kommutative Prineip kan bevises. Idet nu A antages at være benævnt Tal, bliver Tilfojelses- bestemmelserne * Numeralsnumeraler, ubenævnte Tal, som her simplere kunne skrives 7 med Bortkastelse af * Tegnet, en og x(—I) — —n. Antallene og deres modsatte Tal, og for disses Addition gjælder det kommutative Princip; Modsætningsafhængigheden kunde altsaa her erstaltes ved Subtraktion, »—+ (—m) = n— m. At Multiplikation, naar Multiplikator er et Antal, sker ved Addition af samme Antal med Multiplikanden identiske Addender, bevises ved det distributive Princip; naar nemlig n=1+1+...+1, vil na = a+ a+... +a. Denne Sætnings Udvidelse til alle hele Tal følger af, at ».(—1) = —n = (—1).», saaat formedelst det associative Princip (—n).«a n(—1).a = n(—a). Følgelig er ogsaa (—n)(— a) = na, nemlig forsaavidt n her betegner et Antal. Naar baade Multiplikator og Multiplikanden ere Antal, gjælder Multiplikationens kommutative Princip og bevises ved Additionens kommutative Princip. Te ee ee ee ne Acie) = = (+... +1) + (1 +... Lih +... +(1+...41), (m Addender) = nm. Ifølge de nærmest foregaaende Sætninger maa dernæst Multiplikationens kommutative Princip ogsaa gjelde, naar Faktorerne ere hvilkesomhelst hele Tal. Her og overalt, hvor det kommutalive Princip for Multiplikationen findes gjældende, kan Division træde i Stedet for Reciprocitetsafhengigheden. Naar a og b ere kommutative, Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. II. 11 60 476 26 1 1 ab — ba — 0, vil b = —c—c = —, denne sidste Betegnelse bliver da utvetydigt a a Udtryk for et Tal. re I 2 Naar overhovedet a er et nodvendigt Tal, maa ogsaa a hore til Gruppens nod- . m . 4 M ! vendige Tal, og er 6 et hvilketsomhelst andet nødvendigt Tal, maa ogsaa saavel 6 : — som a 1 b Ä LH de É er SR b (altsaa Fe hvis Multiplikationen er kommutativ ), være nodvendige Tal. Da de hele rg . . Al . + . . J 7 . m à yp fal altid ere nødvendige Tal i hver Forestillingsgruppe, og Kvotienterne a af hele Tal ogsaa skulle være nodvendige Tal, afhænger Sporgsmaalet, om Gruppen har andre nodven- : m \ m. ; : x dige Tal end de hele Tal, af, om — i Almindelighed er helt Tal, naar m og n ere hele n Tal. Dette Spørgsmaal maa vi særlig have for Oje ved den paafolgende nærmere Under- sogelse af de hele Tals Egenskaber. Den ved bestandig Addition af I ordnede Rekke af Antallene OAI, 28 ne peli Cet Mel TES RE re nee vil enten bestandig opvise nye fra de forudgaaende forskjellige Tal, eller ogsaa maa Rækken vere periodisk. Hvis man nemlig blot ét Sted, paa Pladsen /+o gjenfandt det samme Tal, som staar paa Pladsen /, /+-0 —l; da vil ogsaa (+ 1+o0—/+1,..., !+n+o=!+n= —/+n mo; ligeledes /—n+o—/—n. Paa Pladsen o maa da Tallet 0 gjenfindes og overhovedet paa alle Pladser mo. Kjender man Rækkens o første Tal, da kjendes de alle i disse Tilfælde. Modsætningsafhængigheden frembringer heller ikke andre Tal, thi man har almindeligt (—n) = o—n. Lad o betegne det første Tal i den ordnede Række efter 0, som bliver identisk med 0, da er det klart, at to hvilkesomhelst af Tallene (RO ol ikke kunne være identiske, alle maa de være indbyrdes forskjellige. Da 0.0 = 0.1 — 0.2 —...0.(0—1) — 0, har o fuldstændig 0's absolut bestem- mende Egenskab, og Bestemmelsen af Identitetsnumeralet ved Addition af hvilkensomhelst Forskjel i Antallet o, er en almindelig Egenskab for Forestillingsgruppen, en Egenskab, hvorefter Forestillingerne kunne inddeles, forsaavidt de ikke have større Omfang end, hvad der svarer til Systemet af nodvendige Tal. Men denne Inddeling efter Talrækkens bestan- dige Vexlen eller Periodieitet og efter Periodens Længde er ganske den samme som Ind- delingen efter Erfaringsprinciperne om Identitets Frembringelse ved Tilføjelse af identisk Forskjel. Ikke ethvert Antal, men kun primiske Antal o kunne haves — 0 i Fore- stillingsgrupper med gjennemgaaende Talbestemmelser, Thi Antagelse af, at m.n — 0, hvor mé ST D ES € 27 477 m og n vare Antal i Rækken 2, 3, ...0—-1, vilde stride imod den for alle Tal gjældende Sætning, at naar Produktet er 0, maa den ene eller anden Faktor vere — O1). Multiplikation af de hele Tal I,...o—1 med m, et hvilketsomhelst af dem, vil give en Række hele fra 0 forskjellige Tal af samme Række, blandt hvilke ikke lo kunne vere indbyrdes identiske. Thi skulde /.m—0O, maatte / —0, og skulde !.m — n.m, maatte 7—n — 0, og det ene som det andet strider imod Forudsætningen. Produkterne l.m maa da blot i forandret Orden gjengive alle Tallene I, ...0—1, og navnlig maa man i til hvert m kunne bestemme / saaledes, at /.m— 1, de. ——/. Vi se saaledes, at de . 1 å n hele Tals reciproke Tal saavel som de nodvendige Tal — alle selv ere hele m Tal i enhver af disse periodiske Talarter. Naar derimod Gruppens Forestillinger ere saadanne, at Talrækken 0, I, 2 ..... bestandig bringer nye Tal og derfor kan fortsættes uden Grændse, vil denne Række trods sin Mangfoldighed af Led dog ikke omfatte alle Gruppens nodvendige Tal. Modsetningsafhengigheden supplerer denne de positive hele Tals Række med Rækken af de negative Tal, som alle maa være forskjellige baade indbyrdes og fra de positive Tal, fordi disse ere indbyrdes forskjellige. Og vel forer baade Addition og Multiplikation af disse hele Tal bestandig til hele Tal; men Reciprociteten gjer nye Tal nod- vendige. Med Undtagelse af I kan et Antals reciproke Tal ikke selv være et helt Tal; naar m og n ere andre hele positive Tal end I, kan man ikke have m.n—1, thi da maatte m(np) = (mn)p = p; for hvilketsomhelst Antal p maatte man da ved at tælle ud over p og np tilsidst komme til et Tal m(np), som var Gjentagelse af p, hvilket er imod Forudsætningen. Heller ikke kan n’s reciproke Tal vere et negativt helt Tal, og hvad den sidste Mulighed angaar, at — — 0, saa har vi her et Valg, en Inddeling aaben, nemlig efter Kontinuitetsaxiomet; n Benægtelsen af, at et helt Tal og 0 kunne vere reciproke, adskiller de diskrete Forestil- lingers Tal fra-de kontinuerte, for hvilke saadan Reciprocitel som omtalt er mulig i Grændse- tilfældet n — ce. Da Reciprociteten er gjensidig entydig, maa forskjellige hele Tals-reci- proke Tal være forskjellige indbyrdes. Disse Gruppers nødvendige Tals Mengde fordobles altsaa, afset fra -L1 og 0, ved Reciprociteten. Ogsaa for de reciproke Tal gjælde begge de kommutative Principer og 1) En Sætning, hvis Gyldighed særlig paa dette Omraade bestyrkes ved den ojeusynlige Rigtighed af, at Bestemmelsen ved Tilføjelse af et bestemt Antal er anvendelig paa Identiteten saavel som paa For- skel, og ud fra Identiteten giver Identitet. 60° 478 28 bevises let nok og saaledes, at der ikke er Grund til her at dvæle derved. Ved Addition og Multiplikation mellem hele Tals reciproke Tal og hele Tal udvides de nodvendige Tals Grændser til ogsaa at omfatte Brokerne —, og ogsaa for disse gjælde begge de kommu- tative Principer. Naar Kontinuitetsaxiomet ikke gjælder, udfylder Brøkernes System hele Begrebet nødvendige Tal. Enhver af de 4 Regningsarter, hvis Resultat efter Definitionen skal være et nødvendigt Tal, fører ud fra hvilkesomhelst Broker til et Resultat, som ogsaa er Brok. Paa Grund af Brøkernes Forkortelighed kan et hvilketsomhelst System af givne Brøker bringes til ens Benævning, og det paa mangfoldige Maader. Dette viser, at der til hvilke- somhelst af Gruppens benævnte Tal maa kunne findes saadanne Enheder, ved hvis bestan- dige Addition og Modsætning de alle kunne bestemmes. Havde man oprindelig valgt en saadan Enhed til Udgangsnumeral, vilde de givne benævnte Tal være blevne bestemte ved hele Tal, men samtidig vilde Brøkerne ud fra denne Enhed vise Existensen af en yder- ligere Mangfoldighed af benævnte Tal i Gruppen. Ved Brug af fælleds Nævner kunne alt- saa Brøkerne ordnes paa Række lige saa vel som de hele Tal. Kun er Brøkernes Række ikke blot ubetinget aaben for Nydannelser ved Addition, ligesom de hele Tals Række er; men mellem hvert sidestillet Par Brøker i en Række, der er nok saa stærkt udfyldt, f. Ex. : I : ig à imellem 0 og —, hvor w betegner Rækkens yderste angivne hele Tal, er der bestandig [0] Plads aaben for Indskydelse af mellemfaldende Broker. Det maa dog bestemt fremhæves, at denne Brokernes Ordning er rent formel og ingenlunde, som man kunde tro, paatvinger os Kontinuitetsaxiomet. Har w den nylig : ‘ : É i IA: angivne Betydning, da indtager i vor Ordning — vistnok Pladsen nermest ved 0 og beholder [0] den saa lenge, der ikke tales om storre Antal end w; men dermed er paa ingen Maade sagt noget om, at det benævnte Tal, som med en vilkaarlig Enhed Æ bestemmes som 1 w i N : uy ; tS —.Æ, skal betegne en ubetydelig Forskjel, tvertimod kan denne Forskjel —.# (0) fysisk set vere særdeles betydelig, en Mengde ved hele Tal bestemte benævnte Tal n./ kunne meget vel i Storhed falde imellem © og .E. 1 © Antages derimod Kontinuitetsaxiomet, saa sker det i Kraft af et fysisk Moment i Forestillingsgruppens Beskaffenhed, ved den Sætning, som kun gjælder for disse, at ethvert benævnt Tal er mindre forskjelligt fra 0 end de benævnte Tal, som fremstilles ved dets gjentagne Addition og altsaa bestemmes ved hele Tal > I med det som Enhed. Med Kontinuitetsaxiomets Antagelse ordnes Tallene, Brokerne saavel som de hele Tal efter deres Størrelse; og det største Tal er det, som mindst kan og tor forvexles med 0. Saa faar man Ret og Forpligtelse til at identificere visse smaa Tal med 0, Formler modificeres ved 29 479 Bortkastelse af forsvindende Led; Tal, som bestemme Forestillinger, der med fysisk Nod- vendighed tilhore Gruppen, men ikke formelt efter den tidligere Definition kunde erklæres for nodvendige Tal, bestemmes ved Tilnærmelse og indordnes under Navn af irra- tionale Tal i flydende Overgang imellem Brokerne; og Antagelsen af ubegrændset Til- nærmelse fremtvinger Bestemmelsen af © som 0’s reciproke Tal med Betydningen af det grendselost store. Gruppen maa, naar Kontinuitetsaxiomet skal gjælde for den, grændse til Forestillinger med den særegne Egenskab, at de ere uopnaaelige ud fra Gruppens andre Forestillinger, selv ved nok saa længe fortsat Addition af hvilkesomhelst almindelige be- nævnte Tal. Med Tilnermelse beviser man her de kommutative Principer ogsaa for de irrationale Tal og Gruppens Afsluttethed ved og med disse. Uagtet man ogsaa i den traditionelle Mathematik finder, at de rationale Tal optræde med større Selvstændighed end blot som Underafdeling af de reelle, de hele Tal med en Theori, der i visse Maader stiller dem ved Siden af de rationale, kan det dog ikke nægtes, at vor Definition i denne Henseende forer os et betydeligt Stykke videre til Sondring imellem forskjellige Talarter. Tillegsordet ubenævnt til Tallet passer ikke ganske, det har ialtfald for os ikke den Hentydning til radikal Abstraktion fra Forestillingernes Navn og Særegen- heder, som man har vænnet sig til at knytte dertil. Forskjellen mellem de Abstraktioner, som knytte sig til de henævnte og ubenævnte Tal, er dog vedblivende stor nok til at retfærdig- gjøre Bibeholdelsen af disse Navne. Den Rest af Forskjel imellem de ubenævnte Tals Arter, som bliver tilbage og gjør hver af dem uanvendelig udenfor en begrendset Kreds af Forestillinger, fremgaar meget mere af en abstrakt formel Inddeling end af Hensyn til en empirisk erkjendt Forskjel mellem de konkrete Forestillinger, og den hindrer ikke, at Behandlingen af de hele Talarter, for hvilke 2—0, 3—0, 5 —0, ... p—0, kan og bør foretages under ét ved den paa de rationale Tal byggede hele Tals Theori. Og Forholdet mellem de diskrete, rationale Tal og de kontinuerte reelle Tal er heller ingenlunde nogen skarp Modsætning. Skjøndt de reelle Tal utvivlsomt udgjør en afsluttet Gruppe, som gjennem Kontinuitetsaxiomet gjør sig gjældende med en vis Nødvendighed, saa forhindrer det dog ikke, at de rationale Tals Gruppe optræder indenfor hin som de særlig og i egentlig Forstand nødvendige Tal. Og naar vi nu skulle gaa over til at betragte de Grupper af mulige Tal, som kunne knyttes som Udvidelser til hver af de omtalte Arter af nødvendige Tal, saa vil det vise sig, at ialt- fald den allervigtigste Del af de irrationale Tal ogsaa uden Kontinuitetsaxiomet ville findes som Tillæg til de rationale Tals System. Af det Sagte fremgaar Grunden til, at vi i det Følgende ville lægge de rationale Tal til Grund og særlig tænke paa dem, hvor der ikke udtrykkeligt til Benævnelsen nod- vendige Tal knyttes særlige nærmere Bestemmelser. Ud fra den rationale Talarts Under- søgelse med Hensyn til dens mulige Forøgelser kan man med Lethed slutte til begge 480 30 Sider angaaende baade de hele Talarters og den reelle Talarts mulige Tal, altsaa over- hovedet til alle Former af Begrebet: Mulige Tal. Naar man — hvad vi her overspringe, men forudsætte udført — med den ene eller den anden Art af nodvendige Tal har udviklet Læren om Afhængighederne indtil de alminde- ligste Former for Kombinationer af de 4 principale Regningsarter og grundlagt Funktions- læren, stoder man under den videre Fremgang som bekjendt ved Ligningerne af 2den og hojere Grader paa saadanne Afhængigheder, som i nogle Tilfelde aabenbart ere flertydige, i andre bevislig umulige at tilfredsstille ved nodvendige Tal. Da der nu ikke lader sig fore, iallfald ikke er fort almengyldigt Bevis for, at ogsaa saadanne Ligninger altid skulle have Losninger i Tal, kan der ikke herfra hentes noget Argument, som ligefrem tvinger os til at erkjende andre Tal for nodvendige, end f. Ex. de rationale. Vi ere saaledes ikke beret- tigede til af Mangelen af rationale Løsninger for z? = 2 at slutte, at V2 skal være et Tal, end mindre et saadant Tal, som kan adderes og multipliceres efter de kommutative Principer. Endnu urigtigere vilde dog den modsatte Slutning være, at fordi V2 ikke er noget af de Tal, som vi have erkjendt for nodvendige, derfor skulde det ikke kunne være nogel Tal. De Midler, Numeralers Modsætning og Tilfojelse af identiske Numeraler, som vi have benyttet, for ud fra Tallene 0 og 1 at slutte os til de øvrige Tal, ere vel, saavidt det kan vides, de-eneste, der i Almindelighed staa til vor Raadighed; men vort Kjendskab til disse Midler afskjærer ikke Muligheden af, at der, naar Talen er om et bestemt Slags Forestil- linger, kan existere andre Midler til ud fra en vilkaarlig Enhed at bestemme Numeralerne i Gruppen. Og fordi de Forestillinger og deres Numeraler, der bestemmes ved rationale Tal, danne en Gruppe, hvori enhver Bestemmelse kan anbringes paa henholdsvis enhver Forestilling og ethvert Numeral, uden at Resultatet overskrider Gruppens Grændser, derfor kan en saadan Gruppe dog meget vel være en Del af en endnu mere omfattende Gruppe. Endog uden alt Hensyn til Ligningerne af hojere Grader, maa vi, naar vi tilsigte fuld- stendigt Overblik over hele Talsystemet, forudsætte Muligheden af, at der kan existere Tal, som ikke hore til dem, som vi have erkjendt for nodven- dige. Og den Omstændighed, at vi ikke kjende noget Middel, som direkte kan angive os, at det overhovedet er umuligt at paavise Tal med andre end visse forud bestemmelige Kjendetegn, har kun til Folge, at vi overfor Sporgsmaal om yderligere Muligheder af Tal maa give vort Sporgsmaal bestemtere Form, at vi sukcessivt maa opstille Hypotheser om de Egenskaber, som vi tenke os, at de mulige, ikke nodvendige Tal skulle besidde. ? Preven paa hver Hypothese og eventuelt Beviset for de Hypothesen indskrænkende Betingelser maa da fores paa felgende Maade: Ved de hypothetiske Setninger i Forbindelse P yp 5 ee 31 481 med et tilstrækkeligt Udvalg af de principale Sætninger, som definitionsmæssig gjælde for alle Tal, udvikles specielle Regler for alle 4 principale Regningsarter, saaledes at alle de Talformer kunne kjendes, hvis Existens med Nødvendighed følger af den gjorte Hypothese, idet saavel Modsætningen og Additionen som Reciprociteten og Multiplikationen med hvilke- somhelst Tal af samme Art skal give et Tal til Resultat. Det kræves da, at alle de nævnte Regningsarter skulle være entydige, at Modsætningen og Recipro- citeten skulle være symmetriske Afhængigheder, at baade Addition og Mul- tiplikation skulle besidde Omvendingsprincipet og det associative Princip, at det distributive Princip for Multiplikator som Sum skal gjælde, og endelig at Undtagelsessætningerne om 0 skulle staa ved Magt: 0.,x =0, x.0 —0, og omvendt, at ay — 0 kræver enten « — 0 eller y—0. Naar alle disse Betingelser ere op- fyldte, erkjende vi saadanne hypothetiske Tal for mulige Tal. Jeg anser nemlig de nævnte Sætninger for at være en Oversættelse af Tallets De- finition i det mathematiske Tegnsprog. Er dette Tilfældet, da maa slige Talformer ikke blot erkjendes som mulige Tal, men ubetinget anerkjendes som fuldt berettigede. Skulde det ved min Fejl (jvnfr. Noterne Side 20, 22 og 27) ikke være lykkedes mig at frembringe Kongruens imellem de to Former for Tallets Definition, saa vilde jeg overfor det foreliggende Spørgsmaal, om hypothetiske Tals Anerkjendelse, holde mig til de ber angivne Kjendetegn. I Virkeligheden er det disse, som ved at suppleres med de nødvendige Definitioner for benævnte Tal og mathematiske Forestillinger ere blevne oversatte i det sædvanlige Sprog (Mathematisk Tidsskrift 1880, Side 54 til 61) til vor nærværende Definition for Tallet og ikke omvendt. Jeg haaber, at det vil erkjendes, at der er vundet noget væsentligt ved denne Oversættelse, men det har været overordentlig vanskeligt at udforme denne Over- sættelse i det forholdsvis vage Skriftsprog, som er uddannet under et System af paa dette Punkt uholdbare Forudsætninger. Ethvert System af mulige Tal maa omfatte en fuldstændig Art af nødvendige Tal og knytte sig til denne som dens Udvidelse; i Almindelighed vil der da for hver Art nød- vendige Tal gives et analogt System eller flere af mulige Tal. Men enhver Slags mulige Tal vil ogsaa som Talart kunne blive Udgangspunktet for nye Udvidelser af Begrebet mulige Tal. Det har. naturligvis baade i theoretisk og i praktisk Henseende stor Interesse at lære Talbegrebet at kjende i alle dets mulige Arter. Efterhaanden som Talbegrebet læres at kjende i større Omfang, kommer det i Betragtning, om der gives konkrete Forestillinger svarende til de theoretisk mulige Talformer, saaledes at disse derved maa erkjendes for virkelige Tal. I denne Henseende vil det være afgjørende, om der efter Forestillingernes Beskaffenhed kan paavises andre Bestemmelser af deres benævnte Tal ved Numeralsnume- raler end saadanne, som hidrøre fra en Enheds Modsætning og Addition. Til Exempel skal jeg henlede Tanken paa den Betydning, det for Planens Punktgeometri har, at almindelig 482 . 39 Ligedannethedsbestemmelse her haves ved Siden af Modsetnings- og Additionsbestemmel- sen, som kun føre til Bestemmelser for Punkter paa en ret Linie. Da de kommutative Principer ere fundne gyldige for alle de nødvendige Tal, laa det ner at begynde Søgningen efter mulige Tal med den Hypothese, at der uden for disse kan gives Tal, som besidde de kommutative Prineiper. Man vilde, efter at have fundet alle mulige kommutative Tal ingenlunde være fritaget for al sporge videre, om der ikke ogsaa var Mulighed for ikke kommutative Tal; men hvor naturlig disse end kunne være beslægtede med de nodvendige Tal, vil den store Simpelhed i den sædvanlige Mathematik lide væsentlige r Skaar ved Savnet blot af et af de kommutative Principer, saa at Tallenes Forhold overfor disse altid vil paatvinge sig som en meget vægtig Grund til en Inddeling af Tallene. Forsager man imidlertid nærmere Hypothesen om de kommutative Principers Gyl- dighed, saa vil man finde, at Modsætningens og Additionens Udvikling og Proven derefter kan udføres, men at Hypothesen overfor Multiplikationen er for vid til, at man uden yder- ligere Hypothese kan udvikle Regningsreglerne. Den udfyldende Hypothese, som her naturligst tilbyder sig, nemlig at de mulige Tal skulle have en n-leddet Hovedform, til hvilken Resul- taterne af Regningsarterne alle vende tilbage, kan imidlertid ogsaa opstilles uafhængig af Hypothesen om de kommutative Principer, og er vel ogsaa selv for vid til i Almindelighed at gjore al yderligere Hypothese overflodig, den kan dog fore videre end hin, og de Til- legshypolheser, som den endelig kræver, synes mindre betydelige. Derfor vælge vi denne. Lad os nemlig aller først betragte de nødvendige Følger af, at ét Tal 7 antages at existere uden åt høre til de nødvendige Tal. Ved Multiplikation med og Addition til hvilkesomhelst nødvendige Tal a og 6 fremtvinges alle de i Formen a +- bi indbefattede Tal, og af saadanne kunne ikke to være indbyrdes identiske, a+ bi — c + di, med mindre baade a — ce og b=d. Thi Ligningen medfører — a+ a+ bi + (-d)? = —atc+d-+ (—d)i eller (b—d)i = c—a, : : e—a altsaa vilde Hdi. imod Antagelsen fremstille © som et nødvendigt Tal, med mindre som sagt ae og b —d. Specielt kan a+ bi ikke være et nødvendigt Tal, med mindre b—0. Antagelsen af et eneste ikke nodvendigt Tal medforer altsaa idetmindste en saadan Mangfoldighed af relativt nødvendige Tal, som maa betegnes som dobbelt, idet de nødvendige ‘Tals Mangfol- dighed sættes som enkelt. Men Mangfoldigheden kan vere endnu større, nemlig hvis ikke alle 4 Regningsarter med Tal af Formen a + bi skulde give Resultater af denne samme Form, Der vil altsaa være Grund til en Inddeling og til at stille Hypothesen om de mulige SE 483 Tal saaledes, at det først skal undersøges, om man kan udruste det hypothetiske Tal 7 med den Egenskab, at alle 4 Regningsarter i hvilkensomhelst Kombination af dette med nødvendige Tal føre til Resultater af den simplest mulige Form, a hi. Naar Bevis er ført for Muligheden af disse Tal, ville vi kalde dem Tal af to Dimensioner, medens de nødvendige Tal opstilles som Tal af én Dimension. Naar Spørgsmaalet om Tal af to Dimensioner er besvaret, kan man methodisk søge at udtømme det almindelige Spørgsmaal ved efterhaanden at undersøge Muligheden af Tal af tre a + bi + cj og fire a + bi + cj + dk, 0.8. v., af » Dimensioner, bestandig saaledes, at det forudsættes, at alle 4 Regningsarter paa hvert Stadium fører til Resultater af paagjældende Form. Tal af to Dimensioner. Overfor Tal af to Dimensioner er Hypothesen altsaa, at enhver Kombination af de 4 principale Regningsarter med Val af Formen a+ bi skal give et Resultat af samme Form. Altsaa — (a+ bi) = e+ fi, (a+bi) + (c+di), = g+hi, 1 3 c ke : Een p+di, (a+ bi) .(c+ di) = r+si, hvor e og f, p og q ere entydigt bestemte ved a og b, og ligeledes y og h, 7 og s ved a, b, c, og d. Men skjondt disse Bestemmelser ere at søge som ubekjendte, krever dog vor Opgave ingenlunde, at fuldt saa mange ubestemte Funktioner indfores. Alle Bestem- melserne skulle ske i nødvendige Tal. Hvad for det første Modsætningen og Additionen angaar, er det tilstrækkeligt at sætte y + = (x, y) + play) .i Skrives Ligningen for Modsætning 0 = (e + ji) + (a + bi) — e+gla,fi+ (pla, f)+06).i, 0 — 6+ ¢(a,f), 0 = e+ (a, f) til Bestemmelse af e og f, saa snart det vides, hvilke Operationer der belegnes med ¢ og ¢. haves Og Additionen giver under samme Forudsætning, idet g + hi = (a+ bi) + (e+ di) = a+ die, b)+ (le, b)+d)z, g og h ved g = a + (cb) h = o(e,b) +d. Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem, Afd. IT. 11, 61 484 34 Men enhver af de principale Sætninger om disse to Regningsarter giver Bidrag til at finde de Betingelser, som ¢ og @ maa opfylde. Entydigheds- og Omvendingsprinciperne kræve ikke blot, at selve ø og @ skulle være entydige Operationer, der med nødvendige Tal give Funk- tionsværdierne i nødvendige Tal, men ogsaa, at de indirekte Bestemmelser af æ ved y og (x,y) samt y ved x og œ(x,y) skulle være entydige i nødvendige Tal. Desuden maa specielt ¢(0,y) = 0, da, 0 =>, g(0,y—y og pw) — 0: Fordringen om, at ethvert Tal skal være sit modsatte Tals modsatte Tal giver os Funk- tionalligningerne, 0 = f+¢(—¢la,f), —¢la,f)) 0 = a+ g(— dla, f), — (a, fi). Og Additionens associative Princip, ((a + bi) + (e + di)) + (e+ fi) = (a + bi) + ((e + di) + (e + fi) giver Funktionalligningerne de, b) + d(e, wc, 6) + d) = Ge + dle, d), b) og o(e, gle, b)-+ d) = g(e+ dle, dj, 6) + gfe, di. I Stedet for dette fuldstændige og almindelige Udtryk for det associative Princip kan man dog sielte simplere, som hentes fra Summer af Formerne y.t+ea+2 og u.t+y.i+e under deres Behandling efter det associative Princip. Her kan den Omstændighed nemlig føres til Nytte, at det kommutative Princip vides at gjælde for alle nødvendige Tal. Saa- ledes faas de fire dobbelte Funktionalligninger, P(e, y) + $(z,e(2,y) = le + 2,yi = de, y) de, ele, y), p(2,pla,y)) = gl@+2,y) = g(r, ple, y), GX, y 0) = Pe, y+u) = (dle, wy), og o(t,y+¢(dl(e,y),w = g(t, y+u) = gle, + o(d(x,u),y). Disse Funktionalligninger Lilfredsstilles ved Ya, b) = a, ola,b) = 0, og da herefter bia = a + bi, er Additionens kommutative Princip indiceret som Grundbestemmelse for et af de mulige Systemer af todimensionale Tal. Yderligere er det let nok at se, at denne Antagelse opfylder alle de Betingelser, som Modsætningen og Addilionen medfore. Derimod er det meget vanskeligt at lose Funktionalligningerne eller nogle af dem paa en saadan Maade, at ogsaa alle andre Muligheder træde for Dagen. Dog er det Iykkedes mig — se Bilag | — at bevise, at der blandt Funktioner, som kunne differentieres, ikke gives andre end folgende Former for 4 og ¢: wa n° m! nz ACT) = Må of m gay) = n® + m! — n"m! 2 ne + mr — nm! hvor m og n ere arbitrære Konstanter. Naar # — 1 eller m = 1, blive disse Former dog ubrugelige og erstattes med henholdsvis dix, y) = um! | ik: [ Le, y) = z glty—=y J \etk,y = ya; og, naar begge Undtagelsestilfælde samtidig indtræde, med ovennævnte. vigtige Form, Jia, = 2, play) = y. Kun denne Form skulle vi nærmere betragte, thi, som det vil ses af nævnte Bilag, kan der, naar samtlige Betingelser skulle kræves opfyldte, ikke gives todimensionale Tal svarende til de almindeligere Former. Af Additionens kommutative Princip, som altsaa gjælder for de nævnte, endnu hypothetiske Tal af to Dimensioner, folger en vigtig Sætning, hvorpaa Undersogelsen af Multiplikationsbetingelserne maa stottes, nemlig: Naar Multiplikator er et nodvendigt Tal, gjælder det distributive Princip ogsaa for Multiplikandus som en Sum, hvis Addender hore til en Talart, hvis Addition almindelig er kommulativ. Det vil være tilstrekkeligt her at antyde, hvorledes Beviset fores, naar Multiplikator er rational, altsaa for Sætningen * (a+bi+...+dk) Ek a+ bit... —d.k, hvor m er hel og n et Antal. Multiplikation med » giver m nr (1) (a+ bi + …. Han = at bit... + det... n n allsaa m(a+bit...+dk) = mat mbi +... + mdk. Ved Modsætning faas heraf (—m) (a+ bi + ...+ dk) = (—m)a+(—mbji +... + (—md)k. Hvad enten m er positiv eller negativ, kan man altsaa opløse Multiplikatoren i en af disse Ligningers venstre Side i en Sum af Enere og derved godtgjøre, at Ligningen er identisk. Ligesom vi kunde fremstille todimensionale Tals Modsætning og Addition ved to ubekjendte Operationer @ og ¢, kunne vi for de samme Tal nøjes med to andre ubekjendte Operationer i nødvendige Tal for at udvikle baade Reciprociteten og Multiplikationen. Vi sætte i(a+bi) = H(a,b) + Gia, b).2. For Multiplikationen have vi da 61° 456 36 (a+ bi). (e+ di) = a(e+ di) + b.i(e+ di) a(c + di) + b(Hke,d) + Ge, d) .à) ac + bH(e,d) + {ad +b Gic, d)} ah Skulle nu specielt a + bi og c + di vere reciproke, maa 1 — ac+ bH(c,d) og 0 = ad+bG(c, dj, hvorved a og b let findes udtrykte ved ¢ og d. | | Til Bestemmelsen af Operationerne /7 og @ kunne nu vel alle de almengyldige Sætninger om Reciprocitet og Multiplikation give Bidrag, men medens de fleste af disse kun begrændse Mulighederne i ringe Grad, vil Multiplikationens associative Prineip alene vere i Stand til at bestemme det Sogte saaledes, at vi kun ville behave de ovrige Principer til Kritiken af Resultatet. Af (a+bi).((c+di).(e+fÜ) = ((a+bi).(c+di)).(e+fi) følge de to Funktionalligninger, H{ce+ dH(e,f), ef + d@(e,f\y = Hic, d).e+ @(e,d). He, f), Giee+ dHe,f), cf + dG(e,f)) = Hic, d).f + Ge, d. Gee, fl. Dersom Hensigten er at finde alle mulige Losninger af disse Funktionalligninger, er det vist umuligt at opnaa saadant. Men tillader man sig at kreve, at G og H skulle vere Funktioner, som kunne differentieres, saa skal jeg i Bilag II meddele væsentlige Bidrag til Løsningen, ikke blot for todimensionale Tal men ogsaa af den analoge for n-dimensionale Tal. Navnlig vil man i dette Bilag finde bevist, at det er en nodvendig Belingelse for ner- verende Opgaves Mulighed, at der existerer hele, homogene Funktioner af anden Grad med to Variable, som paa uendelig mange Maader ved lineær Transformation vende tilbage til samme Form, — og nu er det bekjendt nok, at dette gjælder om alle disse binære anden Grads Funktioner; endvidere at Koefficienterne i den omtalte lineære Transformation ved deres indbyrdes Relationer ville vise os Loven for de sogte Funktioner, saaledes at her wx — av+ H(a,b)u og y= bv+ Ga, blu skulle transformere Funktionen, a? — 2maxy —ny, til rw — 2mvu— nu”). Af Betingelserne herfor: a —2mab—nb? = r aH—m(aG+bH)—nbG = —rm H?—-2m HG —nG? = —rn, hvor H= H(a,b), G= @(a, b), udledes, idet «> — 1, aG—bH=re, og af denne i Forening med den anden af de oprindelige Betingelser findes 37 487 H(a, b) = — ma + £. (ma -+ nb) G(a,6) = ¢.(a— mb) — mb, altsaa Formler med to arbitrære Konstanter, der efter Fortegnet @ give os to Muligheder, som det har særlig Interesse at prøve overfor vore Funktionalligninger eller selve Recipro- citetens og Multiplikationens almengyldige Sætninger: A) Naar e = +1, er Hz, y) = ny og G(x,y) = & — 2my. Hertil svarer Multiplikationsloven: Naar w+ yt = ty) + ab), skal 2 == 29% + N0YsYı Y = doi Yeti — 2myayı- Det ses strax, at denne Multiplikationslov er kommutativ. Disse Formler og deres Under- søgelse bliver noget simplere, naar vi gjennemgaaende skrive z — my — z, hvortil svarer, at man ved det specielle Valg k — m +4 af det første hypothetiske Tal, overfører den almindelige Form af de todimensionale Tal atyt = 2 + y(m+:) til = 2+yk. Saaledes er for ztyk = (2, +ySk). (2, +y1h) 2221 7 PYM Y = 2241 Frot) idet p = m? + n. Hermed viser det sig nu, at alle Betingelserne kunne opfyldes: | & Skulle 2, +y,k og 2, + y, k vere reciproke, maa ES AR! ask ser DZ pue ae = py: 08 Aa oo i &9 —PyYs 22 —PYa Reciprociteten er altsaa en symmetrisk Operation, og den vil vere entydig, hvor det behoves, naar blot ikke 2? — py? = 0 for andre nødvendige Talværdier af z og y end 2— 0 sam- tidig med y — 0. Multiplikationen er entydig, og da den sker paa samme Maade, som om k havde været et nodvendigt Tal, blot at = P; saa er det klart, at det associative Princip saavelsom det distributive Princip for begge Faktorer gjælder; og oven i Kjobet, som sagt, det kommutative Princip. Den eneste Betingelse for at saadanne Tal af to Dimensioner skulle være mulige, er at, uagtet k? =p skal vere et nodvendigt Tal, tor k selv ikke have denne Egenskab; denne Belingelse falder nemlig sammen med den, som Reciprocitetens Entydighed gav, at der ikke skal existere nødvendige Tal z og y forskjellige fra 0, saaledes at deres Forholds Kvadrat 488 3 var = p. Som bekjendt kan denne Fordring jo meget vel realiseres; og vi skulle snart omtale, hvorledes det gjælder om alle Arter af nødvendige Tal, at de kunne suppleres til Systemer af to Dimensioner; men først ville vi betragte vort andet Tilfælde: B) hvor e = — 1, altsaa H\a,y) = —2ma—ny og G(x,y) = — à. Multiplikationsloven vil altsaa være følgende: Naar 2 yt = (a, + Yet) (@, +yit), maa a — 2,0, —NYoY1 — 2mys&, og Uf = Ba ae Indfores her samme Betegnelse som i A), 2 = a— my, m? +n = p og m+i = k, haves simplere 2 = 2,2, — PYaYı = Zot Saye Skal her 2, +y,k være reciprok med 2, +y,k, maa > ARE pga Vire som ikke frembyde nogen Modsigelse mod de almindelige Principer, men kun den samme Betingelse som under A). Men Multiplikationen, der vilde være entydig, vilde ikke ube- tinget fyldestgjore det associative Prineip, og derfor maa dette Alternaliv forkastes som en selvstændig Løsning. Helt uden Betydning er det dog ikke. Betegne vi den Regningsart, Multiplikation tor den ikke kaldes, som vilde svare til —1—+ med Tegnet o, saa kunne vi karakterisere den ud fra den virkelige Multiplikation ved (Zo + yok) 0 (21 + y) = (22 — yok). (2, + Yıl)- Medens det da er klart, at for tre Faktorer (25 + Yak)o (ee + Yyak))o@ı + Yyık) = (23 + Yak) (22 — Yok) (21 + Yık) i Strid med det associative Princip er forskjellig fra (7, + Yak) 0 (12, + yok) 0 (2, + yık)) = les — ya) (eo —Ysk) (21 + Yık), vil dog ((23 + yak) 0 (2g + yok)) 0 (2, +Yık) = (23 + Yh) (les + yok) o (21 + Yık)), saa at dog paa en Maade det associative Princip kunde opretholdes, dersom man turde have begge Slags Multiplikationer i sideordnet Anvendelse. Dette forbydes nu rigtignok ved Fordringen om Multiplikationens Entydighed; men den Forandring af k til — k, som herefter skulde kunne forekomme i Multiplikator, er overhovedet en aldeles nodvendig Operation for Tallene med to Dimensioner. Thi et saadant Tal vil man ikke kunne siges at kjende, med mindre man er i Stand til at bestemme begge dets Addender, 2 og yk i 7 Formen z+ yk = q alene ved q og k, og denne Opgave lader sig ikke lose ved de 4 39 489 principale Regningsarter; men kræver med Nødvendighed en 5te. Som denne opstille vi under Navn af Omlægning den i B) forekommende Ombytning af k med —k. Naar g=zH+yk, sætte vi almindelig q — 2— yk. Omlægningen har Analogi baade med Modsætningen og med Reciprociteten. Dens Hoved- egenskab er, at enhver ved de 4 principale Regningsarters Kombination dannet Funktion omlægges ved Omlægning af alle indgaaende Tal, i uforandret Sammenstilling, Konstanter saavel som Variable, an; In) = Flaw avt qn): Specielt mærkes, at g +-g saavelsom g.g repræsentere nodvendige Tal, medens 9-4 er Produktet af et nødvendigt Tal og k. Vi kunne nu nærmere se, hvad Betingelsen er, for at Tallene af to Dimensioner ikke blot skulle have abstrakt Betydning som mulige, men virkelig Betydning i det Kon- krete: k og — k fyldestgjore begge Ligningen k? —p, og ere ikke heller paa anden formel Maade entydig bestemte ved 0 og 1. Imidlertid skal der kunne gjores Forskjel paa dem, og denne Forskjel maa da bero paa en konkret Egenskab ved Forestillingerne. Paa Planens Geometri blive de todimensionale Tal anvendelige, fordi man der kan gjøre Forskjel paa Bestemmelserne i «til højre» og «til venstre”; men paa f. Ex. Tidsforestillinger ere todimensionale Tal uanvendelige, fordi ingen saadan Forskjel existerer i Tiden. Todimensionale Tal ere mulige svarende til alle de i det foregaaende omtalte Arter af nødvendige Tal, men under væsentlig forskjellige Vilkaar: I de begrændsede Talsystemer, hvor et Primtal p — 0, vil — afset fra p — 2 — for- uden 0 Halvdelen af de øvrige nødvendige Tal vere Kvadrattal. Et hvilketsomhelst ikke- kvadratisk Tal kan sættes — hk? (et saadant er — I, naar p — in +3). Kvadratroden af hvilketsomhelst, ikke- kvadratisk, nødvendigt Tal vil da have Formen mk. Systemet af de todimensionale Tal n + mk vil være afsluttet i sig overfor de 4 principale Regnings- arter, men ikke overfor Ligninger af anden eller hojere Grad. For det ubegrændsede System af de diskontinuerte , rationale Tal er der Forskjel paa kvadratiske og ikke-kvadratiske Tal; ethvert af sidstnævnte, men simplest ethvert positivt eller negativt helt Tal, uden kvadratiske Primfaktorer, kan sættes = %k?, men hvert af dem frembringer sit særlige System af todimensionale Tal, Y3 kan f. Ex. ikke bringes paa Formen a+5V2. Hvert af disse Systemer er i sig afsluttet overfor de 4 principale Reg- ningsarter, men ikke overfor Ligninger af 2den eller hojere Grad, og Kombination af Tal af flere forskjellige Systemer forer til Tal med flere end to Dimensioner. I de kontinuerte Tals System ere derimod samtlige positive Tal kvadraliske, men intet negativt; ethvert negativt Tal, simplest —1, kan sættes — k?. Dette eneste, de 490 40 sædvanlige binært komplexe Tals System er afsluttet i sig overfor enhver, idetmindste enhver algebraisk Ligning, der dannes med de 4 principale Regningsarter, men er ligesaalidt som i de to foregaaende Talarter afsluttet i sig overfor saadanne Ligninger, hvori foruden æ ogsaa det omlagte Tal æ indgaar. Tal af flere end to Dimensioner. Skjondt jeg aldeles ikke har til Hensigt her at ville blot tilnærmelsesvis udtomme Emnet eller berige Videnskaben med hidtil ukjendte Talarter — man vil se, at Resultatet snarere bliver det modsatte — maa jeg dog anlægge de systematiske Grundtræk saa bredt som muligt, dels for at opfordre til Undersogelser i de Relninger, hvor nye Opdagelser kunne ventes, dels for at vise den Svaghed, der klæber ogsaa ved den Form for Hypothesen om mulige Tal, som vi her have valgt: den forudsatte Egenskab ved disse Tal, at de skulle kunne karakteriseres tilstrækkelig og inddeles efter Antal af Dimensioner. Medens saadan Hypothese for todimensionale Tal viser sig at være tilstrækkelig Lil at afgive bestemte Former for de 4 Regningsarter, vil man strax mærke et Savn, naar man prover en analog Behandling af Tilfældet med 3 Dimensioner; det synes her ikke at vere ligegyldigt, hvorledes vi velge Hovedformen, blandt dem, der frembyde sig ved prin- cipale Regningsoperationer med nødvendige Tal og to hypothetiske Tal à og 7. Vælge vi Formen t=a+tbitej til Hovedform, og kræve, at ÿ ikke kan bringes paa Formen «a + bi, à ikke skrives a + ce) og at intet nødvendigt Tal kan vere bi+ cj, saa er ¢ vel entydig givet ved de tre nod- vendige Tal a, 6 og ce, men ikke nødvendigvis omvendt disse ved ¢. Tænke vi os nemlig, at a+ bi+tej = a+bi4+c) uden at a—a, b — D" og tillige cc’, saa ville vi vel kunne slutte, al | bi+{(e—c)j = (a —a) + bi og j= ,(—bit (a’—a) + bi), CG men heri ligger nu ikke, som ved to Dimensioner, nogen Umulighed, som kunde tvinge os til at forkaste saadan Antagelse. Enten skulle vi da vrage denne Hovedform med overmaade ringe Udsigt til at finde en, der var bedre; eller ogsaa maa vi skaffe os den uundværlige Adgang til at reducere Afhængighederne mellem de tredimensionale Tal til Afhængigheder mellem nodvendige Tal derved, at vi knytte Begrebet Dimensioner særlig til denne Hoved- form, idet vi forlange den forstaaet saaledes, at a, b og e skulle være entydig be- stemte ved {=a+bi+ej. Jeg antager, at denne sidste Udvej maa vælges, uagtet man derved opgiver Haabet om at kunne udtomme Begrebets mulige Tal ved sukcessiv Behandling 41 491 af Tal med tre, fire... » Dimensioner og sluttelig saadanne, som ikke ved Regningsarterne holde sig indenfor noget endeligt Antal af Dimensioner. Den saaledes modificerede Hypothese aabner Mulighed for at finde Talarter, hvis Addition ikke er kommutativ. Men her ville vi ogsaa nøjes med at antyde denne Mulighed, og begrændse os til at soge saadanne mulige Tal, for hvilke Addendernes Orden er lige- gyldig. Det er let nok at se, at denne Begrændsning baade for tre og flere Dimensioner gjør den foregaaende Indskrænkning overflødig; gjælder Additionens kommutative Princip for Tal af n Dimensioner, da er Hovedformen ubetinget a + bi+...—+dk, med entydig Bestemmelse af Koefficienterne a, b, ... d ved det n-dimensionale Tal. Enhver Addition forer tilbage til denne Form, (to yo... Hugh) + (7, + yyit...+u,h) = = (2, +2,) + (yo ty it... + (u +u,)k. Summen er da entydig, omvendelig og associativ, fordi disse Egenskaber tilkomme de nod- vendige Talkoefficienter 7, +%,, Yo +Y1, ... Ug+u, i hvert af dens Led. I alt, hvad Additionen og Modsætningen angaar, ere altsaa 2, ... k, (n—1 i Antal) mulige Tal i et System af n Dimensioner. Sporgsmaalet bliver altsaa kun, om slige Tal og deres relativt nodvendige Tal ogsaa overfor Reciprocitetens og Multiplikationens principale Sætninger forholde sig som n-dimen- sionale Tal. I fuldstændig Almindelighed kræver Hypothesen kun, at i@+yi+...+uk) = 2 + it... +uk klae+yi+...+uk) = 270) + yRdit Lung, hvor #,y, ...wW... og a@—9, y@—) |, .uw@—) skulle vere nødvendige Tal og Funktioner af de nødvendige Tal æ,y ...u. Af Bilag II vil det ses, at denne Fordring i Forbindelse med Multiplikationens associative Princip afgiver virkelig bestemmende Funktionalligninger. Men da det kun for Tilfældet » — 3 er lykkedes mig at gjennemfore Løsningen til explicit Form, og da min Undersogelse ikke har fort mig til andre Talformer end saadanne, som kunne betragtes som forud bekjendte, og da endelig disse alle kunne karakteriseres derved, at det distributive Princip gjælder baade for Multiplikator og Multiplikandus, saa kan jeg gjore min Fremstilling simplere ved at drage dette Princips Gyldighed ind under Hypothesen. Men er Multiplikanden distribuliv, saa vise de sidst anforte Ligninger let nok ved Funktionalligningen F{x,,y,,...u;) + Fix,, yo, ... Ug) = Fl@,+ 22, Yi Yo... Mu), at wiy,...w... og ar), ye) ...u@—) alle maa vere lineære homogene Funktioner af x, y .u, saafremt disse ere nødvendige Tal — en Forudsætning, som vi med Flid gjentage. Koefficienterne i disse Funktioner skulle vere nodvendige Tal. Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. IT. 11. 492 42 For at komme til de explicite Udtryk for Multiplikationen og Reciprociteten og faa dem provede, gjælder det da kun om at bestemme disse Koefficienter; men dette viser sig at vere et stort Arbejde. Koefficienternes Antal er n?(n—1), saamange Ubestemte skulle findes ved Ligninger, som repræsentere de almengyldige Principer. Alene Multipli- kationens associative Princip medfører n® (n— 1) Ligninger. Rigtignok kan man allerede ved selve det distributive Princip bevise, at ai—1a, ... ak==ka, og derved reducere begge disse Antal noget: Koefficienterne til dem, som forekomme i Udtrykkene for Kl ik Ua) Soe iab som »-dimensionale Tal, disses Antal er #{n—1)?; og Ligningernes Antal bliver ved en Række Identiteter bragt ned til (2 —1)%, disse ere alle af 2den Grad. Efter Koefficienternes Bestemmelse bliver der altsaa n{(n— I)? (n — 2) Betingelser, om hvilke det skal bevises, at de alle ere identisk fyldestgjorte. Man maa altsaa søge ad andre Veje at komme ud over en saa betydelig Vanskelighed. Et Middel hertil er allerede anvendt af Weierstrass ved en analog Undersøgelse, og bestaar i at erstatte de overflødig vilkaarlig ansalte Grundtal 7,... k med Potenser af et enkelt, f. Ex. 7. Skal nemlig 7 tilhøre det n-dimensionale System, maa ogsaa baade J=eHtei+t...+ck, 1,1 1,2 4,n y =etei+...4+ch, rh MER 2,n og j=c+tei+...+ck n,i n,2 nn og altsaa kunne udtrykkes lineært ved ?, ... k saaledes, at Koefficienterne ere nødvendige Tal. Ved at multiplicere disse Ligninger og Identiteten 1 — 1 med passende Faktorer, der ere nødvendige Tal og ikke alle — 0 vil man altsaa finde en Ligning, Co te mitt... Louj+e = 0, og denne er enten af nte eller af lavere Grad. Saafremt den saaledes fundne Ligning tenktes at vere reduktibel, vil dens venstre Side lade sig oplose i Faktorer af lavere Grad, hvis Koefficienter alle ere nødvendige Tal. I saa Fald maa 7 gjøre en af disse Faktorer — 0, og kun til den deraf fremgaaende Ligning dh... dj td = 0, (r =n) behove vi at tage Hensyn. Hvis nu » —7, kunne de oprindelige Grundtal 4, ... k og dermed et hvilketsomhelst af de hypothetiske Tal af »-Dimensioner bestemmes ved Ligningerne for 7, j?, ... Jr og bringes paa Formen naine ant arc em) Con) + 43 493 hvor a’erne ere nødvendige Tal. Dette Tilfælde skulle vi behandle som Opgavens Hoved- lasning. Er derimod » n 2 = —UCn, y LU — UCn_1, Oro. u — SU Or ” WAL, LES ” sy On a = S300 A Y == © —-URA, «os u = 2 —uC, ar) — —yl"—)¢, 5 ya) — ylr—2) _ y(n—2) Cn=1, um) — Z;(—2) __ y (n—2) Ce Hvad vi skulle bevise er, at Determinanten | a, un, — Mio, Bo — und en pe | br UC, TU Chan UE) ue nc | ee wey 202) — ame, | ikke kan blive — 0. Man ser nu let, at denne Determinant ved Elimination af de mar- kerede Tal 2, 0, ..., 20), u) kan skrives paa en iøjnefaldende simpel Form, som det kan vere tilstrækkeligt at nedskrive for Tilfældet n — 4, 45 495 10 SUN 07 (DE ADP AIT for deri at gjenkjende Resultanten af de to Ligninger Jn + AUDE... + nag + en = 0 og ur dt... +yjt+a = 0, hvis Koefficienter forudsættes at vere nødvendige Tal. Men D—0 er da umuligt, naar den første af disse to Ligninger skulde vere irreduktibel. Følgelig er Reciprôciteten i dette Tilfælde entydig; ogsaa Omvendingsprincipet gjælder for Multiplikation af slige n- dimensionale Tal, hvis Existens som mulige Tal altsaa er bevist, idet der existerer irreduktible Ligninger af enhver Grad, og Grundtallet 7, da det skal vere Rod i en saadan Ligning, opfylder Betingelserne, at det ikke kan vere et nødvendigt Tal, og at dets første »—1 Potenser ikke kunne udtrykkes som Summer af endnu lavere Potenser, multiplicerede med nødvendige Tal. Sammenhengen mellem et System af n-dimensionale Tal og nte-Grads Ligningen for j, givet ved Koefficienterne c,...¢,, er for Resten kun temmelig overfladisk. Lignin- gens x Rodder hore paa den ene Side almindeligvis ikke alle til samme n-dimensionale System; og paa den anden Side har hvert ikke nødvendigt Tal i Systemet sin tilsvarende Ligning af nte Grad, dog saaledes, at denne i flere eller ferre specielle Tilfelde kan vere reduktibel eller — om man vil foretrekke dette Udtryk — af lavere end nte Grad saaledes, at det n-dimensionale System omfatter et fuldstændigt, mindre kompliceret System. Ogsaa kan det ikke blot tænkes, men ad anden Vej paavises, at der kan gives n-dimensionale Systemer, i hvilke ethvert Tal tilfredsstiller en algebraisk Ligning af lavere end nte Grad med nodvendige Tal til Koefficienter, et Forhold, som man vanskelig kan studere ud fra en Betragtning af selve denne Lignings Egenskaber. Da alle de mulige Tal, som vi hidtil have omtalt, besidde ganske de samme prin- cipale Egenskaber som de nødvendige Tal, kunne vi udvide yor Betragtning ved overalt i Stedet for de nodvendige Tal at sætte et eller andet bestemt System f. Ex. af m-dimen- sionale Tal. Ogsaa et saadant maa kunne mangfoldiggjores paa aldeles analog Maade. Hore nu vore Tal 2, y, ...,2, w til dette m-dimensionale System og ligeledes Koefficienterne Ci Cy, ++ Cp, % til en Ligning Pian Dé ee TEE 496 46 som antages at vere irreduktibel i det m-dimensionale System, saa at 7 ikke tilhører dette, saa føres vi til et System af almindelig mp Dimensioner. Ved specielt at lade €,,...,e, vere nodvendige Tal, kan man opnaa at lade to og ved yderligere Udvidelse hvilkesomhelst Rodder i algebraiske Ligninger optrede samtidig i et og samme flerdimen- sionale System, for hvilket atter alle de principale Setninger gjelde, navnlig begge de kommutative Principer og det fuldstendige distributive Princip. Man kan tænke sig de to Rødder repræsenterede af 7 og x. Kun maa vi herved bemærke, at man ikke maa mene hermed at have udtømt alle Muligheder for flerdimensionale Tal med det distributive Princip. Vilde man soge at bevise saadan Sætning, saa vilde man finde et svagt Punkt paa det Sted, hvor vi ovenfor fra det distributive Prineips Antagelse sluttede, at 2’, y, ... o.s.v. ... 2), u@ skulle vere lineære homogene Funktioner af 2, y, .., 2, u. Naar disse Koefficienter tænkes som fler- dimensionale, er denne Slutning ikke tilladt. Ved Siden af de 4 principale Afhengigheder optreder der jo allerede ved to Dimensioner en ny Afhengighed, Omlegningen; og denne er distributiv. Naar a—b+c, er a—b-+c. Som Folge heraf kan det distri- butive Princip f. Ex. ogsaa fyldestgjores derved, at a’, y’, ..., 270), w@—) blive lineære homogene Funktioner af 2, Y, ... 2 0g u, eller af disse ved Siden af x, y, ... 2, u. Og denne Mulighed kan realiseres. Lad i det to-dimensionale Tal x + yj, x og y selv vere to-dimensionale Tal. v= g++ y = D +3 2e—=-9-U y = y—z3i. Lad 7? + p—0 og j? + q — 0, idet g, x, Y, 3 samt p og q betegne nødvendige Tal, da vil, idet 7(2+ yj) = «+ y}, ikke blot 2 = —qy, y = x kunne fyldestgjore det distributive Princip; men ogsaa d —=—qy og y=a vil vise sig brugbart. Den deraf folgende Multiplikationslöv (72 Yo) (7; + YJ) = ds 2, — Wo + (toy +) er nemlig ikke blot entydig, men ogsaa associativ, thi man finder (sys) . (17, + Y2))- (it y) = ((23+93)) (+ yo) - (7, +419) = Sawa tas à (23291 TE Yazayı + YsYa2ı) + (#3 toy +-25927; + Ya, CA — 4ysY2Yı))- Kun er, som man ser, Multiplikationen her ikke kommutativ. Men Reciprociteten viser sig at vere entydig og symmetrisk. Betingelsen for, at (w,+y.j) og (x, +y,j) skulle vere reciproke, er I = tot; — QY2 Ya og 0 = my, + Ya eller explicit ln 2 LS 2 one ÆREN 47 497 Can +: Ls at to = — ; Yo = —: : Titi + OY Ue À yin Lo y. a, = = Yi = — J2 = Loy + QY2 Ya Moly + VYoYo Kun tor Nævnerne her ikke blive 0 for andre Verdier end q — j — Y — 3 — 0. Følgelig maa p og q være valgte saaledes, at Gees ay 1 Paes 0 bliver umulig for andre Verdier end de nævnte qg—2—Ù0—3—0, hvortil det kan vere tilstrækkeligt, men ikke er nodvendigt, at p og q vælges positive. Indsætter man i 2+ yj Udtrykkene for æ og y som todimensionale Tal og skriver ?.j =k, antager det den 4-dimensionale Form gtrit+ yjt 3, for hvis Multiplikation Loven er, at naar gt xityjt gb = (9, + Loi Yost sok) (Qi FT It V+ JM), skal 9 9291 — PLL, — VWYoY1 — PAzası T = del: + Lodıt 99231 — Veda y Go —Plogi + Voit Pazkı 3 = Gedi + Edi Voli + 3291 > der simplest udtrykkes saaledes, at det distributive Princip skal gjælde for begge Faktorer, medens man i Stedet for det kommutative Princip skal anvende Tabellen | dod == N oy) == MM ik = —pj Ji= lh, fof = = jk = qi kenn, hg —— qe, kk vg. Altsaa Kvaternioner i Lighed med de Hamiltonske. Af disse Kvaternioners Mathematik skal her kun omtales et Par Sætninger: Enhver Kvaternion tilfredsstiller en Ligning af anden Grad med nødvendige Tal i Koefficienterne ; . (g + vit of + gk)? — 2g. (9+ 21+ tzk + 9+ pa + gy’ + pag” — 0. Kvaternionerne have overhovedet den Egenskab, at en hvilkensomhelst Funktion af én Kva- ternion og nødvendige Tal tilhører et todimensionalt System. Naar ge g+ri+yj+zKk = i.q.i (—p) (g + Li — Dj — 3h) j.q.i = (—g)(g—zityj—3h) k.g.k = (—pq)(g—zi—vyjt 3h). | 498 48 som Folge heraf kan man alene ved de 4 Regningsarter oplose enhver Kvaternion i dens 4 Hovedled: ® saat came Res ane cr CE > I { q tai. Jai _ kgk ue ALM S| DE di ji kk ) ; g __igi , jqj__ kak | et a: WO) Ge Gh =) k — u à 3 | (i) Ci me En særegen Omlegningsregning er her overflødig netop paa Grund af, at Multiplikationen ikke er kommutativ. Omlægning i alle tre ikke nødvendige Dimensioner udføres ved = 2 h 1 igi 49) kqk 1 RU = 2 | = = Få Er | i følgelig kan man nu ogsaa indenfor et hvilketsomhelst System af to Dimensioner erstatte Omlægningen ved «ad hoc» til Systemet a+ bi at knytte et fremmed Tal ; med Egen- skaberne ji——1), medens jj er et nødvendigt, ikke kvadratisk Tal, thi da er æg Gaba) Jd Medens, som vi have nævnt, de kommutative Tal af 4 (og andre Antal) Dimensioner frit lade sig kombinere indenfor mere sammensatte Systemer, har man ikke ved Kvater- nionerne Ret til at erstatte de nodvendige Tal i deres 4 Led med flerdimensionale Tal; de Bikvaternioner, som Hamilton paa denne Maade har opstillet, ere slet ikke Tal. Kvater- nionerne ere endnu det eneste bekjendte Tilfelde af ikke kommutative Tal. I denne Undersogelse af Tallene med flere end to Dimensioner have vi brugt Ud- trykket nodvendige Tal som Felledsbetegnelse, og derved have vi undgaaet megen unyttig Gjentagelse. Men strengt taget bor Undersogelsen gjennemfores for hver Afdeling af Tallene for sig. Ligesom vi have set ved de todimensionale Tal vil ogsaa her Forskjellen imellem Arternes nodvendige Tal medfore Forskjel i de mulige Tal, som knytte sig til hver Art. Denne Forskjel faar imidlertid kun paa et eneste Punkt af det omtalte nogen videre Betyd- ning. Vi have forudsat, at man kan finde irreduktible Ligninger af en hvilkensomhelst Grad, men dette gjælder kun med en vis Undtagelse. I de begrendsede Talarter, hvor et Primtal p — 0, gjælder Sætningen, men Antallet af mulige Grader er endeligt — p—1, følgelig ogsaa Antallene af de mulige irreduktible Ligninger og af de mulige Tal. Sætningen gjælder ligeledes for det ubegrændsede System af rationale Tal som de nodvendige Tal, og her uden Begrændsning. Af enhver Grad, som nævnes kan, existerer 49 499 der en Mangfoldighed af irreduktible Ligninger, hver Rod i en saadan kan opfattes som et fler-dimensionalt Tal, og Dimensionernes Antal kan i ethvert Tilfælde opfattes som saa stort, at dette Tal kan bestaa som muligt Tal ved Siden af et hvilketsomhelst Sy- stem af andre Rodder i samme eller andre irreduktible Ligninger. Naar derimod Kontinuitetsaxiomet skal gjelde, saa at de nodvendige Tal blive at forstaa som de «reelle Tal», existerer der ikke irreduktible Ligninger af hojere end anden Grad, enhver hel algebraisk Ligning lader sig jo oplose i et Produkt af Ligninger af Iste eller 2den Grad med reelle Koefficienter. Medens der altsaa vel existerer todimensionale kontinuerte Tal og et System af kontinuerte Kvaternioner, der simplest skrives med p—q—1, Hamiltonske, kjendes der for Tiden ingen anden mulig Udvidelse af det kontinuerte Talbegreb. Navnlig er det sikkert, at der ikke existerer kommutative kontinuerte Tal af flere end to Dimensioner. Dette stemmer med Udtalelser af Weierstrass (Gôttinger Nachrichten 1884), uagtet Weierstrass’s Ord maa synes at modsige vort Resultat. Men det tor derved ikke overses, at den Sondring imellem Tal og andre Numeralsbestemmelser, som vi have gjort, ikke er bleven iagltaget af Weierstrass, der lader sine Mangfoldigheder indbefatte baade Tilfælde, hvor der findes endelige «Divisorer til 0», og saadanne, hvor et Produkt kun kan blive 0 derved, at en af Faktorerne er 0; og som ikke synes tilbejelig til heri at se en meget væsentlig Inddelingsgrund. Naar Weierstrass altsaa, idet han tydelig nok taler om konti- nuerte kommutative Mangfoldigheder af nte Grad, kan gaa ud fra, at saadanne existerer for ethvert n, men at der for n>2 bestandig gives «Divisorer til 0» deriblandt, saa er dette i god Overensstemmelse med, at det her benægtes, at der kan existere kommutative n-dimen- sionale Tal, naar n > 2. Da der nu viser sig Mulighed for, at man uden Kontinuitetsaxiomet alene paa Grundlag af en Opfattelse af de rationale Tal som de nodvendige Tal kan naa saavidt, at de formelle Hovedsætninger for de algebraisk irrationale Tal kunne bevises, saa kunde man være fristet til at rejse Sporgsmaal om, hvorvidt Kontinuitetsaxiomet virkelig er nodvendigt. Jeg mener ikke, at man nogensinde for Alvor vilde falde paa at bortkaste dette Axiom, der ialtfald er et saa udmerket tidsbesparende pædagogisk Hjælpemiddel, men jeg kunde tænke mig, at En eller Anden vilde drage Axiomets strængt systematiske Nodvendighed i Tvivl. Overfor saadan Tvivl maa jeg gjøre to Bemærkninger. Den første angaar saadanne irrationale Tal som z og e, der ikke ere Rod i nogen algebraisk Ligning af endelig Grad med rationale Koefficienter. Hvorledes skal man uden al bruge eller indsmugle Kontinuitetsaxiomet bevise, at er — ze? Jeg kan tænke mig, at man vilde henvise til en Fremgangsmaade analog med den Inddeling af Tallene, som oven- for er brugt, hvor vi sondrede mellem de Tilfælde, hvor 2—0, 3 —0, 5 —0...p—0 og Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 11. 63 500 50 endelig i Modsætning til alle disse positive Antagelser blot forudsatte, at O ikke kan frem- bringes ved Addition af Enere. Saaledes skulde vi da her, efterat have tænkt os Beviserne forte for Tal af alle endelige Antal Dimensioner, forudsætte, at der gaves mulige Tal, som overhovedet ikke vendte tilbage til samme Form a + br + ea? +... + uz” ved enhver af de principale Regningsarter, og derved skulde vi saa soge at begrunde de kommutative Principer som en mulig Losning. Jeg kan ikke helt afvise denne Analogi, og jeg ser ikke noget umuligt i, at de kommulative Principer kunne forenes med denne negative Forud- sætning, men endnu mindre er jeg rigtignok istand til at øjne et Bevismiddel, som lod sig anvende under saadan Forudsetning; og jeg maa kræve at se dette hypothetiske Bevis, forend jeg vil tro paa, at det kan fores uden Kontinuitetsbetragtninger. Men selv om Beviset for de kommutative Prineipers Gyldighed for alle mulige irra- tionale Tal var fort i bedste Maade uden Kontinuitetsaxiomel, blev dette dog ikke overflødigt. Thi med Beviset for de kommutative Principer have vi jo aldeles ikke faaet ordnet de irrationale Tal, indordnet dem hvert paa sin Plads imellem de rationale Tal, heri maa man dog vel kunne se et vesentligt og uerstatteligt Udbytte af Kontinuitetsaxiomet. Helt umuligt er det dog ikke at foretage en formel Indordning af de irrationale Tal i de rationales Rekke paa lignende Maade som den, vi have kunnet anvende ved Brokernes Ordning. Man kunde jo saaledes vedtage at give det irrationale 7 fra 7” + c,777 +... + = 0 Plads imellem de rationale Tal, som gjore denne Lignings venstre Side positiv og negativ; men man ser da ogsaa strax, at denne Ordning er flertydig; hver af de n Rodder kunde jo gjore Kray paa hver af de n Pladser. Kan man nu lose Ligningen og fremstille hver Rod ved Rodder i rationale Ligninger af lavere Grad, saa kan man rigtignok reducere denne Flertydighed til vilkaarlig Fastlæggelse af visse irrationale Grundtal. Maaske kan man be- tragte den her antydede Vanskelighed som et teknisk Problem uden systematisk Betyd- ning, maaske ikke. Afgjorelsen for eller imod Kontinuitetsaxiomet soger jeg dog ikke ad disse formelle og abstrakte Veje. Jeg har ovenfor (Side 16—17) henvist til konkrete Exempler, i hvilke jeg mener at se Grupper af konkrete Forestillinger, som man ikke tor tillegge Kontinuitet, og tii hvad jeg har sagt om disse Retningssystemers Forhold til de rationale Tal, kan nu føjes, at en Udvidelse til irrationale Tal er mulig (dog med specielle Undtagelser f. Ex. x) og herimod kan man jo let nok stille Exempler paa kontinuerte Forestillinger. Kan man end ikke i snævreste Forstand beraabe sig herpaa som paa egentlige Erfaringer, er det end umuligt at sige, hvorledes f. Ex. Rummet ser ud under uendelig stærk Forstorrelse, saa er Kontinuitetsaxiomet mig dog en Erfaringssætning, og overfor vore Forestillinger om Tid, Rum, m.m., er det dybt begrundet i Menneskets Natur, at der maa kunne sondres mellem vesentlig og uvesenflig Forskjel, og selve denne Grændses flydende Natur gjor det nod- vendigt at indføre Numeralerne, næsten identisk, og dermed Kontinuiteten i Mathe- matikken. mie wo 51 501 Forend jeg slutter dette Arbejde, maa jeg i storste Korthed berore Storrelsernes og Mængdernes særlige Forhold. Det vil allerede af det Sagte fremgaa, at jeg opfatter Fore- stillingerne af disse Kategorier som mere sammensalte end dem, vi særlig have givet Navn af mathematiske, og hvis Kjendetegn er, at de undtagelseslost bestemme hinanden ved Nu- meraler. Tilstedeværelsen af en Forestilling om et absolut bestemt naturligt Intet i hver Art af Storrelser eller Mængder og den deraf folgende Begrændsning, hvorefter ikke enhver overhovedel brugelig Bestemmelse kan anvendes ud fra en hvilkensomhelst af Artens spe- cielle Forestillinger, ere os de afgjorende Kjendetegn paa Storrelsernes og Mangdernes mere sammensatte Karakter. Ved Siden heraf er det ikke vesentligt, at vi af Naturen tvinges til at gjøre os fortrolige med Størrelser og Mengder lenge forinden vi kunne sætte os i Forhold til de simplere Bestemmelser af Tingpunkter og andre mathematiske Fore- stillinger. Folgen er kun en Konflikt imellem de pedogogiske og de systematiske Fordringer, som har uheldig Virkning til begge Sider og gjør det nødvendigt, at baade den personlige Tilegnelse og den videnskabelige Fremstilling maa gaa ad Omveje og kun kan naa Maalet under gjentagen Udrensning og Tilnærmelse. I vort System vil Storrelsernes Behandling finde deres rette Plads efter Udviklingen af Begrebet nodvendige Tal og i Forbindelse med Kontinuitetsaxiomets Opstilling. Der vil derved være at tage Hensyn til, at mange af de specielle Storrelsesforestillinger knytte sig til beslegtede mathematiske Forestillinger (f. Ex. Afstanden til Begrebet om Sted paa Linie) og fremgaa af disse ved en Abstraktion (fra Retningen); men ogsaa for de Storrelsesfore- stillinger, der savne slig direkte Stotte, vil man uden Vanskelighed kunne opstille Hoved- reglen for Storrelsernes Behandling, at man vel kan operere med Storrelsesbestemmelserne som med egentlige Tal, men dog er forpligtet til at forkaste ethvert Resultat, hvori andre Tal end positive Tal og 0 optræde som Bestemmelser af Størrelse. For enhver systematisk Fremstilling af Mathematiken bliver det en væsentlig Opgave at frigjøre Sprogbrugen for Reminiscenser fra den Tid, da hele Mathematiken var baseret paa Størrelses- og Mængdebegreberne. Først og fremmest maa man da undgaa vildledende Brug af disse Begrebers Navne. Udtryk som «negative eller imaginære Størrelser», der skrive sig fra Oversættelser fra Sprog, som savne et selvstændigt Ord for Tallet, bør paa Dansk og ; de ligesaa heldig stillede Sprog forfølges som ligefremme Selymodsigelser. Det er forøvrigt ikke blot selve Ordet Størrelse, hvis Misbrug kan gjøre Skade. Ogsaa andre mindre ioienfaldende sproglige Fænomener, især Brugen af den absolut beskri- vende Form, hvor den for Nemheds Skyld bruges i virkelig relative Bestemmelser, ere farlige. Dette fremtræder dog især overfor Forestillinger af Mængdernes Kategori. Uagtet vort Sprog ogsaa der er rigt nok og tillader os at stille de «hele Tal» i Modsætning til «Antallene» som de positivt hele Tal, viser dog det mere populære Begreb — Antal — sig at have saa dybe Rødder i Sproget og derigjennem i Tanken fremfor det systematisk simplere 63" 502 52 Begreb hele Tal, at jeg, selv efter at være bleven opmærksom paa det belænkelige deri, dog ikke har kunnet undgaa den Inkonsekvens at indfore Antallene paa et meget tidligt Stadium i dette Arbejde, hvor der efter mit System kun turde tales om hele Tal. Saavidt muligt har jeg sogt at forvisse mig om, at dette kun rammede den ydre Form og ikke Sagens Kjærne. Jeg nærer saaledes ingen Betænkelighed ved i Anledning af Modsætningens og Tilfojelsens Hovedsztninger at have brugt de simpleste Talord og især ubestemte, og hvor Tilfojelser af identiske Numeraler i Bestemmelsen k fremfører Antallene førend de hele Tal, der folger Supplementet — * saa umiddelbart efter, at Skaden ialtfald ikke kan være stor og vel opvejes ved den nalurligere Fremstilling. Men jeg erkjender, som sagt, at den omtalte Inkonsekvens er tilstede. Bilag L Funktionalligningerne for Additionen af todimensionale Tal. Naar man angaaende Funktionalligningerne P(e, y + PE, gle y) = date y) = day) + SG gle y) (2) (2, ¢(2,y)) = ple+2,y) = g(a, @(2, y) (3) EG, ph = Plejy+u — (hla, u), 9) (1) pla, y) + p(b (7, y), uw) = o(x,y+u) = p(r, u) + e(Yle, uw), y), (5) som afgive Betingelser for, at yita = la, y) + plx, y)i, (1) (se Side 34), forudsætter, at de ubekjendte Funktioner 4 og g kunne differentieres, kan ud- tommende Bestemmelse opnaas; lettest naar man tager Hensyn til, at ifolge (1) 40,9) 0, (6) og dt) — 2, I, p(0,y) =y, (8) og gm) — 0, (9). Differentiation af (2) og (3), hver en enkelt Gang med Hensyn Lil de ljenlige iblandt de 4 indbyrdes uafhængige Variable, 2, y, z og u giver dix, y), dd(z,g(a,y)) dolx,y) dd(z,y) , dé(x, elz, y) de(s, y) CARTE DANS Sill Te RA ed da do(x, y) da dz de(z,y) dz ‘ dhtx, y. de(s glay)) delay) _ dpley) , dg(a, pls) dgle,y) | “| dy do(x, y) Cie D UE de(s, y) dy ED play) dole,y) dg (x, play) detes dg (x, y) da de(z,y) dz (3 a) de(s, g(x,y) _dolx, y) dolx, play) de(s y) | do(x, y) dy der, y) dy er ne ne 53 503 Hvad der her maa vere os maglpaaliggende, er først og fremmest at faa elimineret de Funktioner, hvori alle tre Variable +, y og 2 indgaa; af saadanne findes der imidlertid A i vore Ligninger, saa at yderligere Differentiation kunde synes nødvendig. Paa Grund af de to sidste Ligningers (3 a) Homogenitet, er Elimination dog mulig. Man kan ikke have REINE do thi den særlige Betingelse (8) er i Modstrid hermed, folgelig maa (OL CNIS CCAP ISA ER dx dy dy dz delx, w) 0 og do = 0, Da nu # og 2 ere indbyrdes uafhængige, og paa Grund af den nævnte Betingelse (5) ¢(0,¥) — y, maa, idet Z/(y) betegner en foreløbig ubekjendt Funktion af y alene Hy) do(x, Y) dg (a, y) x (2 b) da dy Men ifølge denne Ligning bestaar der yderligere en saadan Proportionalitet imellem Koef- ficienterne til de ubekjendte Funktioner af 3 Variable i Ligningerne (2 a), at disse ubekjendte kunne elimineres; den Mulighed, at disse ubekjendte Differentialkvotienter døe, gly) 4, dep) dg (a, y) > do(z, y) kunde være uendelige for alle Værdier, afskæres ved vor Forudsætning om, at Funktionerne o og ¢ skulle kunne differentieres. Mullipliceres da den første Ligning (2a) med //(y) og subtraheres derfra den anden, faas en en a d f(z, y) dE) dx dy dz dy 2 hvor Y betegner en ubekjendt Funktion af y alene, saaledes som den maa være paa Grund af Ligegyldigheden af, om x eller z indgaar i dens Udtryk ved 4. Paa aldeles analog Maade findes af Ligningerne (4) Kia) dé\æ, y) die, y) (Ab) ; dy dx dei, y) dy (x,y) 2 og af (5) Re I — 0; (5 b) dy da hvor K(z) og X ere Funktioner af x alene. Af (2b) og (Ab) faas nu Lbia (Ka) My) FEY — Kay .¥, (1—K (2) Hy) ra Le d? f(x,y) > dæ dy K’ (x) .Y Aly) — (Ki)? . (YH'y) —Y'Hly) — Kla).Y' = 0, 6 der ved den dobbelte Bestemmelse af ‚ som de afgive, fore os lil Betingelsen 504 54 hvor X’ H’ og Y’ betegne første Differentialkvolienter. Paa samme Maade afgive (3 b) og (5 b) (1 dde Kia) Hy) dep (a, y = X da (Ka) Hy) LO" — xmy, som medfore en anden Betingelse 2 ; X K(x). H’(y) — (X K" (x) — X' K(2)). (Ay)? — X’. Hy) = 0. (11) I (10) og (11) forekommer der nu ikkun Funktioner af enkelt Variabel, og + og y optræde ved Siden af hinanden som de indbyrdes uafhængige Variable; derfor kunne disse Ligninger behandles umiddelbart efter de i Mathematisk Tidsskrift 1880 Pg.45 givne For- skrifter; hver af dem afgiver 3 Ligninger, men oprindelig for hver Ligning under 4 for- skjellige Alternativer. Kun et enkelt Alternativ er dog anvendeligt paa vort Problem, de andre staa i Strid med Betingelserne (6), (7), (8) eller (9). Det brugelige Alternativ giver for (10Ys Vedkommende Ligningerne K" (a) — a(K(2))? —cK(2) = 0 YH’ (y) —Y' H\y) = aY Hy) WE == Ele) analoge Ligninger faas fra (11), og deres samlede Resultat kan skrives K'(a) = a(K(a))? + ¢ K(a) H’(y) = e(H(y))® + a Aly) X. = aX K(a) KEE EN) og heraf findes ved Integration 2 » b > CL a dew AIDES e 1—dew A Mi ii 7 SS I — bet y= 4 1— des”? hvor a, b, c, d, f og g ere arbitrære Konstanter. Indsættes nu disse Verdier i de oven- staaende Udtryk for de første Differentialkvotienter af @(x,y) og @(x,y), integreres og bestemmes Konstanterne i Overensstemmelse med Betingelserne (6), (7), (8) og (9), bliver . = . a GC a det endelige Resultat, idet navnlig 6 d JET ER =: at HED) et te — | e Ne — ew PCR ae el ect 55 505 eller med Forandring af Konstanternes Betegnelse e-“ — m og e-* = n, de Side 35 angivne almindeligste Resultater: ne (X,Y m! nl mY frit n® + m! — n”m! 5 n® + m" — n° m! De hypothetiske Love for Modsætnings- og Additionsafhengighederne, ere da følgende: YI 5 si: ; g Er a+y.i- — (a+ yi), = m! y n°? in a n® + m —1 MORT Ten + mı—ı og er ati (@ +9.) + (7, 4927, 2 n'ait Te y mate da skal LE nv — mt — nee m OR UR EE ne Fa mn — nmin,” Disse Udtryk kunne omformes paa en mærkelig Mangfoldighed af Maader, man kan saaledes give Additionsligningerne Kjædebreksformen > n”ı 5 m2 TE = — - 0 m = — . I mi 8 | nv 7 Nat 1 — = {| —- ——— I — n™ I — m'a Heldigst synes det dog at være at opgive den explicite Form og erstatte Addilions- EUR n® nAatre I —n? (I — n™) n72 + mn (1—— n72) ligningerne med oy — nen 8 Tome mn mil mb) 3 i Forbindelse hermed ville folgende Dobbellligninger for denne sidste Broks Tæller og Nævner være os nyltige (I—n?)na ter — (| — n71) n72 + mn (I—n”) = (1—n*)matr—y (I— m!) nt — (1 — maine on (1— me) = (1— m”ymn tar, Det gjælder nemlig nu om at prove disse hypotheliske Love ved Regningsarternes almindelige Principer, og navnlig maa vi for Additionens associalive Prineips Skyld udvikle Udtrykkene for en Sum af 3 Addender; men ved de to sidste Ligninger er det ingenlunde vanskeligt at se, at naar (my + ya + (7, + yo I) ty) = e+ yi, skal (I—n?) na tete — (|[— 171) n®n% + mi (1—n™) n% + ms mr (1 — n™) 05 (I— m?) . mn tyr — (1 — ms) ntents 4 mn (I — m2) ne + mme (1— ms) samt må tTstT3—T — mitt ts—Y , og det, hvad enten man i Udtrykket for «-+-y7 stiller Parentheserne paa den ene eller den anden Maade. Hvad Entydigheds- og Omvendingsprinciperne angaar, saa rejser der sig vel en Be- tenkelighed derved, at der i vore Formler indgaa Exponentialfunktioner, saa at det bliver afhængigt af, hvorledes man opfatter disse, om Udtrykkene for det modsatte Tal og Summen kunne siges at vere entydige. 506 56 Men det afgjorende Bevis, for at disse hypothetiske Tal ikke kunne erkjendes for at vere mulige Tal afgiver dog forst deres Mangel af en Multipli- kation. At en saadan ikke gives, se vi lettest ved at danne Summer af indbyrdes identiske Addender, som jo skulde vere Produktet af en Addend x, +y,? med Antallet til Multiplikator Ua, + y,t) = (@,+y,t) +... + (7; +412), (/ Addender) = 1+ yt. Herfor finde vi nemlig sukcessivt nme (=) 1— n*2 I—n1 = og = —— me mis ? 1—m {—m" Tnindeliet NY nu V I— n°71 I—n?ı og almindelig I og RCE de = = mii m'a = = {—m% ” men heraf er det klart, at naar ikke = 1, vil Multiplikanden x, + 7,7 ikke vere entydig bestemt ved Multiplikator og Produktet a+ wi. Hvor afgjorende denne Modsigelse end er for, at vore hypothetiske Bestemmelser her, saavel som de mere specielle Tilfælde @(x,y) — + og @(x,y) = yn" eller b(a,y) = am! og p(a,y)—y., ikke ere Tal, saa forhindrer den dog fra et andet Synspunkt ikke, at de opfattes som Bestemmelser mellem visse komplicerede Numeraler, eller efter sædvanlig Sprog- brug, at vi i disse kunne have viglige mathematiske Symboler, beslægtede med Potenserne og indbefattende disse under sig. Opfatte vi disse @+yi’er som Bestemmelser ud fra et vilkaarligt Numeral, og betegne vi de Numeraler, som bestemmes ved nødvendige Tal = med (&)', dem der svarer til yz med (y)", hvor £—n* og 7—m" kunne bruges istedet for æ og y, da det ikke lenger er Hensigten at den paagjældende Tilfojelse skal fastholdes som en Slags Addition, saa kunne vi med (ET x (y betegne det ved @—+-yi bestemte Numeral. Efter Formlerne for @(x,y) have vi da Il = I D (te ee En ler me Fremdeles have vi som specielt Tegn Identitetsnumeralet (1)! = (1}!— ©. Modsetningsloven bliver IL £ I Il 7 i £ + x (7) = (— NE) ¢ ((E)! x (71) eee) = og for Tilfojelsesafhengigheden haves ERS I 119» 1 GR) (Er) = | — = )» (= me Ny. ( 1 Un ) ( 2 72 ) ler Syn won Specielt, idet alle 7 under Tegnet ()" sættes — 1 haves Potentiationsloven i videre Forstand (Ex (6) = (NEIL og (E)i x... (E)!, n Tilføjelser — (€”)!. au = oO SI Det er ikke vanskeligt at paavise et Exempel paa Forestillinger, der bestemmes ved Numeraler (€)'* (€)". Vore Forestillinger kunne hver for sig være variable Tal i visse enty- dige indbyrdes Afhengigheder, og deres Numeraler kunne være de Transformationer, hvor- a+ by c+dy en enkelt relativ og fuldstændig entydig Bestemmelse af Forestillingen om x ved Forestil- ved det ene variable Tal afledes af det andet. Navnlig er Transformationen æ = lingen om y, altsaa et Numeral, vi kunne udtrykke Bestemmelsen ved z= Aky. Fæste vi specielt Tanken paa Transformationens Dobbeltverdier eller det sædvanlige Udtryk en sae au 7 y—v?’ kunne vi vedtage, at Numeraltegnet ()' sigter til Dobbeltverdien ws Forekomst i Tællerne,: v's i Nevnerne og fuldende Numeralbetegnelsen ved indenfor Parenthesen at skrive & som Transformationens Index; da haves altsaa 2 — (£)!*y med Tilfojelsesloven (&,)'x (£,)' — (€, €,)' som ovenfor. Betragte vi nu yderligere saadanne Transformationer, for hvilke et tredie Tal w indgaar som Dobbeltverdi enten sammen med u eller med v, og vedtage vi med ()Y at betegne saadanne Transformationer, hvor v er sat i ws, w i v's Sted, saa at YE e110, es Tegra Bi lar = eee y = (9 «2 udtrykker det samme som = à ER saa vil den direkte Transformation af 2 til æ udtrykkes ved Numeralet (EX (pl, og denne Transformation vil vere almindeligt Udtryk for en saadan af disse Transformationer, hvor v er den ene Dobbeltverdi. For at Tilfojelse af saadanne almindeligere Transforma- tioner skal kunne ske, er det tilstrekkeligt, at den sammensatte Transformation maa kunne oploses i en af hver af de simplere Slags, tagne i den modsatte Orden, eller at to Trans- formationsindices €’ og 7 maa kunne bestemmes, saa at IE + (EN = (EVE x (7) ; ifølge a — (mx (€' x2, maa da et transformeret Tal p kunne bestemmes saaledes, al ee (y xp : P = (Ey x 2 v—v p—v D —U z—u eller en og Beer . L—w p—w p—v z—v ne ! I BR: Men ved Elimination af TE ved ovenstaaende, —— af disse Ligninger, faas to Udtryk — ji 9 for Relationen mellem z og z, nemlig (eg Zl ) I IBIS 1 I cz Bør (| 3) UD 7 — E a , I , 1 , 1 , og mu = (1. ea = (a v — 2 R—V Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 11. 64 508 58 hvis Identitet kræver, at en Faktor » kan bestemmes saaledes, at Yr a gi rfi), re og 7—1—r(1—1), hvilket kun fører til folgende to Ligninger for &’ og 7’ Ex! — DE = É + 7’—1 Å 6 ' 7 der give A re = = ain! E+ y—&y 5555 Af Overensstemmelsen med disse Resultater kunne vi slutte, at vore ovenfor fundne abstrakte mulige ,Numeraler have direkte Anvendelse paa saadanne Transformationer ved Brøker af første Grad, hvor et vilkaarligt Tal v konstant er den ene Dobbeltværdi. Vedtage vi yderligere at lade (€)"' betegne Transformationen z—w a’ —w = NE 0 ZU ev —U altsaa med den tredie mulige cykliske Kombination af Dobbeltværdier i to af de tre Tal x, v og w, vil den med (EE ae (7) x (Et à ! ' ; a+ ba! ? betegnede Transformation have samme Grad af Almindelighed som a = SELER og vise 2 ak os et Exempel paa ternære Numeraler, som kan beherskes ved de udviklede Midler til at omordne de enkelte. Thi ligesom vi have fundet, at es ie (React T/A u = =) (EN x (x) Eee P (a ; og omvendt have (gx (EE = (=) * (He) 4 haves ogsaa (ENT 4 (7) = (== ) in (2 + E—1 i i 7 - cran = (ESE (SHEE) Skal man da udfore Tilfojelsen (ET (gy) (EU) (Ei) saa udfores dette ved tre suksessive Omordninger til (Ex (yi) (6x (Co JE % (72) 4 (CGJ — = (EX (6270) (Rz) + (EP x (EN) = — (SR EE) Hvad der er udviklet i dette Bilag har vistnok ikke ringe Betydning overfor en krilisk Vurdering af den ikke-Euklidiske Geometri. Paa dette Sted skal jeg dog herom kun 59 509 bemærke, at saafremt man for Plangeometriens Vedkommende vil erstalle Euklids Axiom- system, med hvad der efter det Udviklede maa belegnes som et mere systemalisk Axiom- system, og maaske ogsaa et naturligere, om det end efter vore Sprogs ensidige Udvikling er mindre bekvemt til Undervisning —, nemlig indskrænke Plan-Geometriens særlige Axiomer til et «fiat applicatiov, hvorved Punktets Sted i Planen (eller Fladen) erklæres for en mathematisk Forestilling, som bestemmes ved benævnte Tal, Beliggenhedsforskjel, hvis tilsvarende ubenævnte Tal ere af den konti- .nuerte Art med to virkelige Dimensioner, og saaledes, at « efter frit Valg kan betegne enten et fra Planen undtaget Punkt eller en ret Linie (= Under- system af I Dimension), da er Parallelaxiomet hermed bevisligt, som Addi- tionens kommutalive Princip. Bilag IL Om n-dimensionale Tals Multiplikation. Hvis man enten forudsætter Additionens kommutative Princip, eller indskrænker sig til at behandle de Tilfælde, i hvilke det bevislig gjælder, er det som omtalt Side 41 til- strækkeligt til Udvikling af Multiplikationens (og Reciprocitetens) Love at bestemme de n(n—1) ubekjendte Funktioner i nødvendige Tal, som udtrykke det almindelige, hypothetiske, n-dimensionale Tals Produkter med Multiplikatorerne 7,...% som n-dimensionale Tal ietyi+...+uk) = a +yit...twk kletyi+...+ubl = ar dHyP dit... + uk, Bestemmelsen. af 2’, 7/,...uw... og ad, ya)... u@-1) som Funktioner af 2, y,...u, er den. Opgave, som vi stille os i dette Bilag. Tilfældet n—3 vil vere tilstrækkelig op- lysende, saa at vi kunne nojes med at give Formlerne for dette specielle Tilfælde som Repræsentant for det almindelige. Naar altsaa i(@-H-yi-+zk) = ati z'k kla+yi+zk) = a" +y"i+2"k, kunne vi bestemme Produktet af to Faktorer Cm + Yo yt tek = (x + yt + 2k). (ev, + y,¢ + 2,k) a ne 510 60 ved Wy = Wyk, + Yet + 2,27 så , rt Yo Ut + Yo Yi Er 2244 5 EU cn 2 N zu Ya + 22% - Ifølge det associative Princip er endvidere ia, 4 Vaso + 2,4) = (+ yt ak). (a + ii 2, k) og k(t, s+ Yon? + 2,8) = (ay + yt + eh). (a, + y,t +2, k) ay = 27 + Ye, + pti Yo. = Ch + oI + Is oy, = a TH +225 og wy = ae, + Yu + al Yo = 2344 + Ya + 2284 CA ,= Da ty + ee. Hermed kunne vi nu udvikle Ligningerne for Produktet af tre Faktorer og allsaa komme til det almindelige Udtryk for det associative Princip. X+YVi+ Zk = (lag +yst+ 25h). (to Eyed + 20 k)). (a, Hy i + 2, k) = = (7, -+ystt 23k). (re +Yott 22h). (a, +y,2+2,h) giver, idet Log = y + Yale t+ 3% > aN 7 , > 4 Ys,2 = %3Y2 + 4342 t 2392 - —— > of ~ 4 ie ESS + Ys22 À 2522 3 2 y , ” at > ay X = 4,92, + Ys ot, tal = Uy yy + Yu Xo, + 2,00 | 7 , ig ee 7 AES Y = 23549, 93,244 + 23,294 Le Yo 1 + Yayaı + 73 Y2 1 5 : r is Vi 2 , EL Z = 35% + Ys0% + 25.22% = Us on + Vas t 23701 9 som ved Indsættelse af de ovenstaaende Udtryk for de dobbelt-markerede Tal, ere de 3 =x Funktionalligninger til Bestemmelse af 2’, y, 2’, 2”, y” og 2”. Vi forudsætte, at alle disse Funktioner kunne differentieres, og ville, da &,, %1, 2ı samt 9, Yo, 2, Samt @3, ys og 2, alle 3n ere indbyrdes uafhængige, blot ved enkelt Differentiation med Hensyn til hver Variabel kunne opstille en overflodig Mengde Ligninger. Vanskeligheden bestaar netop i denne Overflodighed, men det treffer sig saa heldigt, at det vil vere tilstrekkeligt at udlede Funktionaldeterminanterne for X, Y og Z med Hensyn til hvert af de med Indices I, 2 og 3 betegnede Systemer af Variable (her er 3 ikke — 7). For Kortheds Skyld ville vi i det folgende betegne Determinanterne med deres Diagonalrække imellem | |, og skrive altsaa AU 61 511 NN Ne aI (ei ILS = ip 72 æ; y; 2”| 145 459 ie er PA 22020] Tillige bruge vi Betegnelsen (Sa, Yr, Zr) — ie si OR, yy ERE 5 dy \ . dys” dz | dz,’ Kap ur 2, ae REC Mn en le "de, da; ? "da, dla; CL da, AT | dag da” dys dys” dz, dz,” | Ya a Yr + | | dys dys dys dys dys dys | | 4 day Ab das gg dys Lng dys” ” a 4 > 43 a otk {3,09 43,25 af — ar Yar af” » les Yor 22) Nu er imidlertid %, ,, Y3,9 2,2 lineære homogene Transformationer af x, y; 08 25 | ka 2,04 ya, + 2,2% 43,2 — %3Yo ar Ys Yo TUE EVA 25,9 —= to À 32 + 232% Følgelig maa — og dette gjælder for m Dimensioner saavel som for 3 — den hele alge- braiske, homogene Funktion "£a, Dh ets uy", som er af nle Grad med n Variable, vere en saadan, at den, afset fra en ligegyldig Faktor, kan transformeres til sig selv paa lineær, homogen Maade. De Betingelser, som saadanne Transformationer maa være underkastede, ville, da Transformations-Koefficienterne ere & & ce vw SS DTS WT wer ej = an a vise, hvilke de sogte Afhængigheder ere, hvori de markerede a, y, 2, ... staa lil de umar- kerede, og altsaa afgive Losningen af vor Opgave. 2 fo) Le] Le) te) Hvad der i Almindelighed kan siges herom er da navnlig, at Funktionen NE: Y, Up maa kunne transformeres paa uendelig mange Maader, eftersom w,, yg, ...u, skulle vere aldeles vilkaarlige nodvendige Tal. Der er nu to Klasser af Funktioner, som her kunne komme i Betragtning, nemlig; 1) Produkter af n homogene lineære Funktioner af de n : n i a : Variable 2, y, ... u; og 2) Potenser af Graden > af én anden Grads Funktion af samme Variable. 1 det første Tilfælde gjenfinder man de Tal af hvilkesomhelst x Dimensioner, for hvilke ogsaa Multiplikationen er kommutativ. Det andet Tilfælde, som forudsætter, at n er lige, kjende vi i dets to simpleste Tilfælde; for n—2 falder det sammen med for- nævnte, for n—4 kan det vises at give Kvaternionerne; om det ud derover lader sig realisere navnlig for » — 6 eller » — 8, er mig ubekjendt. Med Hensyn til de kommutative Tals Behandling ud fra dette Synspunkt er der dog endnu en Bemærkning at gjøre. Betegne vi med &, 7, ... v de lineære Faktorer i In (2, y,... uy”, alisaa 63 513 E— ax+b,y+.. + du 7 = a,02+ boy+...+d,u v= Ant + bay +... + dau, og overføre Indices fra æ, ... um paa &,...v, saa vil Transformationssætningen, £ a = a Mar Lun — (Vs. Ua) - (2 + Pa + + : Ys) fornemmelig være at soge lost ved une = > Fee Tr Ma Ma Mar ee Van = U Ye» og her ligger navnlig det kommutative Princip overordentlig ner. Men Bevisforelsen ad denne Vej er meget udsat for en «circulus viliosus». Hvis man ikke skal legge selve den Sætning, der skal bevises, ind i Forudsætningerne, maa det fremhæves, at Koefficienterne a,,...d, skulle vere om ikke nødvendige Tal, saa dog Tal, hvis Mulighed forud er bevist, det samme gjælder da ogsaa om &,7,...v. Men selv om vi forudsætte, at Koefficienterne i da, y, ... uf" ere nødvendige Tal, vil man dog i Almindelighed maatte anse a, ... dp for afhængige af en nte Grads Lignings Rodder, dog saaledes, at vi, da Koefficienten til BE fæ, Thy ae uy" er — I, kunne sætte a, = Ay =... = = I: Lad os for at oplyse Sagen imidlertid antage, at Koefficienterne alle vare nodvendige Tal. Da vilde man kunne erstatte Systemet af Grundtallene 1, é,... med et andet, 4, /,... 4, saaledes, al f= £4 IT +...+ K i=b,F+6,74+...4+0,K k—= d,E+d,I+...+4d&K og derved kunne omskrive det almindelige hypothetiske Tal af » Dimensioner saaledes: za+yi+..+uk=E£.E+ n.I+...+v.&; og for den sidste Form have den af Weierstrass fremhævede Multiplikationsloy (6,8 + 9,14. + 0, K) SE +y,04+...+0,K) = &€, -E+ Nm 14... ue: cal Ne hvorved det, da &, 7, ... v vare nødvendige Tal, maatte vere muligt, at et Produkt kunde blive — 0, uden at nogen af Faktorerne var det. Men naar 1— Æ+7+...+X, vil ethvert nødvendigt Tal a have Formen a = aE+tal+...+aK, og man vilde være berettiget til at vente, at enhver Forskjel i Koefficienternes nodvendige Talværdier maatte frembringe et fra de nodvendige Tal forskjelligt Tal, f. Ex. i= b,E+b,T+... + dK. Danne vi nu Potenserne af dette z, vil “= DE+VLI+...+VK indtil = WE+b1+...+0°K; multiplicere vi nu disse Ligninger med Koefficienterne til den Ligning, hvis Rodder ere de nødvendige Tal 6,, 62 ... bn, og addere, finde vi, at ogsaa à maa tilfredsstille denne Ligning, in [oa [Bo ep, Da — 0: Den simpleste Fortolkning var da, at à skulde vere et af de nødvendige Tal 6, ...b,, og for at dette ikke skulde fremkalde Mangetydighed i Udtrykkene for de nodvendige Tal, idet f. Ex. b,E+b,I+...+5,K=b,E+b,l+...+b,K=b,, vilde det være nodvendigt i Overensstemmelse med den simple Fortolkning af Ligningerne E.E=E,I.I=1I,...K.K=K, at erkjende, at et af disse Grundtal, her Z, var — 1, medens de øvrige 1 =... = K = 0. Jeg ser meget vel, at man paa dette Omraade ikke ubetinget kan paaberaabe sig den Sætning, at en Ligning af nte Grad kun har n Rødder; men skal man opgive denne, vil det idetmindste være nodvendigt at anfore positive Grunde derfor. Men Folgen af, at man trods ovenstaaende Ligning fordrede Ö anerkjendt som forskjelligt fra b,, by, ... bn, og fra alle nodvendige Tal, vilde kun være, at man ved Siden af hvert nodvendigt Tal maatte stille en Mangfoldighed af hypothetiske Tal, som, uagtet der ikke kunde paavises nogen Forskjel overfor nogensomhelst Ligning, Formel eller Sætning dog vilkaarlig skulde anses som forskjellige indbyrdes og fra det nødvendige Tal. Og tillade vi os nu, da vi ad anden Vej have set, at man kan regne med irrationale og imaginære Rodder i algebraiske Ligninger efter ganske samme Principer som med de nødvendige Tal, at anse Koefficienterne b,, 6, ... by i i=b,E+b,1...+bK for selv at vere Tal af x Dimensioner, saa bliver Resultatet ganske det samme, 7 optræder som Rod i den Ligning af nte Grad, som har Rødderne b,, da, ... bn. Et Sted maa man dog standse med den rent fiktive Opstilling af nye Tal, og der reducerer hele Betydningen af sidst anforte Ligning sig til, at man kan skrive en vilkaarlig blandt n givne Rodder som en Sum af Rodderne, hver multipliceret med et Tal, der paa et vilkaarligt Sted i Summen skal læses som 1, paa de øvrige n — 1 Steder som 0. Heraf vil det være klart, hvorfor jeg ikke har turdet benyttet Formen EE-+yI+...+0vK i mine Beviser (navnlig Side 42). | Folie u ur j Ws A © u; dr CO (| D an INDHOLD. Forlegnelse over Selskabets Medlemmer. Maj 1886 . .....,..... net ee nie TR -1. Eug. Warming: Familien Podostemaceae. Første Afhandling. Med 6 Tavler. Résumé et explication des planches en français . .- : . . : . : .,. ANRT en Br ET SOUPE NE NR, x. 2. LL, Lorenz: Om Metallernes Ledningsevne for Varme og Elektricitet . . . . . . . . .. . . . . .. ‘ 3. Eug. Warming: Familien Podostemaceae. Anden Afhandling. Med 9 Tavler. Résumé et explication Fe des planches en frangais.......... ch Saar AME he bh Saat UNS Pda NUS de calla) We 4. Odin T, Christensen: Bidrag til Kundskaben om Manganets Iter .......- ero th, oe agi eee 5. „1. Lorenz: Farvespredningens Theori ... . UN 4 ee MS 6, ee ee etna 6. J.P. Gram: Undersøgelser angaaende Mængden af Primtal under en given Grænse. Résumé en | français . . . 74 Pete teen. ouate PNA NTI: rs Be So ne RR) 7. L. Lorenz: Bestemmelse af Kviksolvsojlers elektriske Ledningsmodstande i absolut elektromagnetisk 4 + Ma A LE es a ss ae Behe ven me Le ee RENE CARE “Un ES MERS CR TR ean vs 8. M.P. A, Traustedt: Spolia atlantica. Bidrag til Kundskab om Salperne. Med 2 Tavler. Explication dés) plane hes ver franignis un. al MITA Fe GR Mahn ent EE TERRES ER: 9. Christian Bohr: Om Iltens Afvigelse fra den Boyle-Mariotteske Lov ved lave Tryk. Med 1 Tavl 10. — : Underso riser over den af Blodfarvestoflet optagne Iltmængde udførte ved Hjælp ar et nyt Absorptiomser. Med 2 Tavler :..,.......... AE Bee DCR A LE in 11. T, N, Thiele: Om Definitionerne for Tallet, Talarterne og de tallignende Bestemmelser .... . &