DET
SIETTE RÆKKE.
NATURVIDENSKABELIG OG MATHEMATISK
AFDELING.
ANDET BIND.
MED TYVE TAVLER.
op ad ——
KJØBENHAVN,
BIANCO LUNOS KGL. HOF-BOGTRYKKERI (F. DREYER).
1881—1886.
DET
KONGELIGE DANSKE
VIDENSKABERNES: SELSKABS SKRIFTER.
SJETTE RÆKKE.
NATURVIDENSKABELIG OG MATHEMATISK
AFDELING.
ANDET BIND.
MED TYVE TAVLER
KJØBENHAVN.
BIANCO LUNOS KGL. HOF-BOGTRYKKERI (F. DREYER)
1881—1886.
CHALET NEO
à ANIME VA aan. AAA AUS
ra
ton Uy
A po
«il No}
OB
9 7
u
ay SØ
INDHOLD.
Rortegnelse over Selskabets: Medlemmer. “Maj 1886 . 0... Ne en = à
1. Eug. Warming: Familien Podostemaceae. Første Afhandling. Med 6 Tavler. Résumé et explication
despplanchessen francais are ES een er ae er Ag Techn. gD cs ko WO RTE
2. L. Lorenz: Om Metallernes Ledningsevne for Varme og Elektricitet . . . . . . . . .....,....
3. Eug. Warming: Familien Podostemaceae. Anden Afhandling. Med 9 Tavler, Résumé et explication
ÜESHPIANCHESLENMELANCHIB EIER suas eee Tele Scie ET Een.
4. Odin T, Christensen: Bidrag til Kundskaben om Manganets Ilter ....... EA ONE
5. L. Lorenz: Farvespredningens Theori ................... ET RUN ES RE
6. J.P. Gram: Undersøgelser angaaende Mængden af Primtal under en given Grænse. Résumé en
IED Ebro Ono tn Os vin ob Din or ont se Deo OT nine ee ia
7. L. Lorenz: Bestemmelse af Kviksolvsojlers elektriske Ledningsmodstande i absolut elektromagnetisk
Male a duo tot TER Eee TE D OP TO TR ES
8. MP, A. Traustedt: Spolia atlantica. Bidrag til Kundskab om Salperne. Med 2 Tavler. Explication
UeSDIANChESÉENALTANCAIS Eee eee ee ie CC COL ee
Christian Bohr: Om Iltens Afvigelse fra den Boyle-Mariotteske Loy ved lave Tryk. Med 1 Tavle
10. — : Undersøgelser over den af Blodfarvestoflet optagne Iltmangde udførte ved Hjælp af
etunytAbsorptiometer. MER 22 Taviero CE CR EEE EN siti) a
11. TN. Thiele: Om Definitionerne for Tallet, Talarterne og de tallignende Bestemmelser ..... .
44462
Side
i bas FR oY f QE, +
j 5 ay we brune ad bé
©
ner tom a ANR Dein Ialür;! he coté
" ink nc nl QE ay |
(as LL CPU He Arber ia Mn we ids ey ra
Fi TT or ee u Fabia aed LSE
PRET] ” KAT ot Da er ae
Ne 27 Fu. RAILS LOT D LE sas
but, ain’) safe VO) AMAR
u tint Pr iW re 7” ide. FE ay LE
x i N Br
Sl he le eek ee |
Be : . t 2 8 LL
LION raté ete Me CA CM re
à = En Ved marie AN
aii Weel eet ae NET pC NE nee etl
RS TO ÆT DSE Bad per OUI if’ an Pins in NT 7
à ag å Abo| 4 wi rite Pr À
DPA u, it lettre Pet i ile KUN pla? # r À
>
he
N
FORTEGNELSE
OVER
DET KONGELIGE DANSKE VIDENSKABERNES SELSKABS
MEDLEMMER.
MAJ 1886.
Protektor:
Hans Majestæt Kongen.
President:
J. N. Madvig.
Sekretær: H. G. Zeuthen.
Redaktor: Vilh. Thomsen.
Kasserer: C. F. Lütken.
Kasse- Kommissionen.
J. L. Ussing. A. Sleen. J. F. Johnstrup. P. E. Holm.
Revisorer.
L. A. Colding. H. F. A. Topsoe.
Ordbogs-Kommissionen.
Vilh. Thomsen. L. Wimmer.
Kommissionen for Udgivelsen af et dansk Diplomatarium og
Regesta diplomatica.
E. Holm. H. F. Rordam. Joh. Steenstrup.
Indenlandske Medlemmer.
Madvig, Johan Nicolai, Dr.jur. & phil., Gehejmekonferensraad, fh. Professor i klassisk
Filologi ved Kjøbenhavns Universitet, Ridder af Elefantordenen, Storkors af Danebrog
og Danebrogsmand, Storkors af Nordstjernen og af St. Olafsordenen, Storofficer af
den franske Æreslegions Orden, Ridder af den preussiske Orden pour le mérite,
af den russiske Hvide Orns Orden og af den nederlandske Loveorden, Selskabets
President.
Steenstrup, Johannes Japetus Smith, Dr. med. & phil., Etatsraad, fh. Professor i Zoologi
ved Kjøbenhavns Universitet, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af
Nordstjernen, Kommandor af den spanske Isabella den Katholskes Orden og af
den italienske Kroneorden, Ridder af den preussiske Orden pour le mérite.
Wegener, Caspar Frederik, Dr. phil., Gehejmekonferensraad, fh. Gehejmearkivar, Kgl. Histo-
riograf og Ordenshistoriograf, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Storkors
af den greske Frelserorden, af den russiske St. Annaorden og af Nordstjernen,
Kommander af St. Olafsordenen.
Engelstoft, Christian Thorning, Dr. theol., Biskop over Fyns Stift, Storkors af Danebrog
og Danebrogsmand.
Ussing, Johan Louis, Dr. phil, LL. D., Professor i klassisk Filologi og Arkæologi ved
Kjobenhavns Universitet, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Officer af den
græske Frelserorden.
Hannover, Adolph, Dr. med., Professor, Ridder af Danebrog.
Andre. Carl Christopher Georg, Dr phil., Gehejmekonferensraad, fh. Direktor for Grad-
maalingen, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Storkors af den preussiske
Kroneorden og af den sicilianske Frants den Forstes Orden.
Gislason, Konrad, Dr.phil., Professor i de nordiske Sprog ved Kjobenhavns Universitet,
Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af Nordstjernen.
Colding, Ludvig August, LL.D., Professor, fh. Stadsingenior i Kjøbenhavn, Indenrigsmini-
steriets tekniske Konsulent, Ridder af Danebrog.
SO
eee
BRARY
coe ESC
6 DEN
1
Vill
Müller, Carl Ludvig, Lic. theol., Dr. phil, Etatsraad, Direktor for den kongelige Ment-
samling og Antiksamlingen samt Inspektør ved Thorvaldsens Museum, Widder af
Danebrog og Danebrogsmand, Kommandør af St. Olafsordenens 2den Klasse, af
Nordstjernen og af St. Annaordenen.
Holten, Carl Valentin, Professor i Fysik ved Kjøbenhavns Universitet, Kommandør af
Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af St. Olafsordenen og af Nordstjernen,
dekoreret med Fortjenstmedaillen og det russiske rede Kors.
Thomsen, Hans Peter Jürgen Julius, Dr. med. & phil., Professor i Kemi ved Kjobenhavns
Universitet og den polytekniske Læreanstalt, Direktør for den polytekniske Læreanstalt,
Ridder af Danebrog og Danebrogsmand.
Steen, Adolph, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Kjøbenhavns Universitet og den
polytekniske Læreanstalt, Kommandor af Danebrog og Danebrogsmand.
Rink, Hinrich Johannes, Dr. phil., Justitsraad, fh. Direktor for den Kgl. Gronlandske Handel,
Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af Nordstjernen.
Johnstrup, Johannes Frederik, Professor i Mineralogi ved Kjobenhavns Universitet og den
polytekniske Læreanstalt, Kommandør af Danebrog og Danebrogsmand.
Barfoed, Christen Thomsen, Dr. med. & phil., Professor, Lektor i Kemi og Farmaci ved
den Kgl. Veterinær- og Landbohojskole, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand,
Ridder af St. Olafsordenen.
Lange, Johan Martin Christian, Dr. phil., Professor, Lærer i Botanik ved den Kgl. Vete-
riner og Landbohojskole, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Widder af den
italienske Kroneorden.
Lorenz, Ludvig Valentin, Dr. phil., Professor, Lærer i Fysik og Naturlere ved Officerskolen,
Ridder af Danebrog og Danebrogsmand.
Mehren, August Michael Ferdinand van, Dr. phil., Professor i semitisk-orientalsk Filologi
ved Kjobenhavns Universitet, Ridder af Danebrog og Kommandor af St. Stanislaus-
ordenen.
Holm, Peter Edvard, Dr. phil, Professor i Historie ved Kjøbenhavns Universitet, Ridder af
Danebrog og Danebrogsmand.
Lund, Geory Frederik Vilhelm, Dr. phil., Professor, fh. Rektor ved Aarhus Kathedralskole,
Ridder af Danebrog.
Lütken, Christian Frederik, Dr. phil., Professor i Zoologi ved Kjøbenhavns Universitet,
Ridder af Danebrog.
CATS
SALES
IT, PR
[Ef no AR
N
= ulk BRAR Y | =)
= zZ DB nf
\d > »
4 Nas
LU: @
Rordam, Holger Frederik, Dr. phil., Sognepræst i Lyngby, Ridder af Danebrog.
Zeuthen, Hieronymus Georg, Dr. phil., extraord. Professor i Mathematik ved Kjøbenhavns
Universitet, Ridder af Danebrog og af Nordstjernen, Selskabets Sekreter.
Schiellerup, Hans Carl Frederik Christian, Professor, Dr. phil., konst. Observator ved
Kjøbenhavns Universitets Astronomiske Observatorium, Lærer i Tegning ved den
polytekniske Læreanstalt, Ridder af Danebrog.
Jorgensen, Sofus Mads, Dr. phil., Lektor i Kemi ved Kjøbenhavns Universitet og den poly-
tekniske Læreanstalt, Ridder af Danebrog.
Christiansen, Christian, Professor i Fysik ved den polytekniske Læreanstalt i Kjøbenhavn.
Fausbøll, Michael Viggo, Dr. phil., Professor i indisk-orientalsk Filologi ved Kjøbenhavns
Universitet.
Thorkelsson, Jon, Dr. phil., Rektor ved Reykjaviks lærde Skole, Ridder af Danebrog.
Krabbe, Harald, Dr. med., Lærer i Anatomi ved den Kgl. Veterinær- og Landbohøjskole,
Ridder af Danebrog.
Thomsen, Vilhelm Ludvig Peter, Dr.phil., Docent i sammenlignende Sprogvidenskab ved
Kjobenhavns Universitet, Ridder af Danebrog, Selskabets Redaktor.
Wimmer, Ludvig Frands Adalbert, Dr. phil., Professor i nordisk Filologi ved Kjøbenhavns
Universitet, Ridder af Danebrog.
Lange, Julius Henrik, Docent i Kunsthistorie ved Kjøbenhavns Universitet og ved Kunst-
akademiet, Ridder af Danebrog.
Topsøe, Haldor, Dr. phil., Arbejdsinspektor, Lærer i Kemi ved Officerskolen i Kjøbenhavn,
Ridder af Danebrog.
Warming, Eugen, Dr. phil, Professor i Botanik ved Kjøbenhavns Universitetet, Ridder
af den brasilianske Roseorden.
Petersen, Peter Christian Julius, Dr. phil., Docent i Mathematik ved den polytekniske Lære-
anstalt og ved Officerskolen i Kjøbenhavn.
Thiele, Thorvald Nikolai, Wr. phil., Professor i Astronomi ved Kjøbenhavns Universitet.
Meinert, Frederik Vilhelm August, Dr. phil., Iste Inspektor ved Universitetets zoologiske
Museum.
Goos, August Herman Ferdinand Carl, Dr. jur., Professor i Lovkyndighed ved Kjøbenhavns
Universitet, extraord. Assessor i Hojesteret, Overinspektor for Fængselsvæsenet,
Ridder af Danebrog og Danebrogsmand.
Rostrup, Frederik Georg Emil, Docent i Plantepathologi ved den Kgl. Veterinær- og Landbo-
hojskole.
Steenstrup, Johannes Christoffer Hagemann Reinhardt, Dr. jur., Professor Rostgardianus
i nordisk Historie og Antikviteter ved Kjobenhavns Universitet.
Gertz, Martin Clarentius, Dr. phil., Professor i klassisk Filologi ved Kjøbenhavns Universitet.
Nellemann, Johannes Magnus Valdemar, Dr. jur., Justitsminister og Minister for Island,
extraord. Assessor i Højesteret, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Storkors
af Nordstjernen og den belgiske Leopoldsorden.
Jorgensen. Adolf Ditlev, Gehejmearkivar, Ridder af Danebrog.
Heiberg, Johan Ludvig, Dr. phil., Bestyrer af Borgerdydskolen i Kjøbenhavn.
Finsen, Vilhjälmur Ludvig, Dr. jur., Assessor i Højesteret, Kommandor af Danebrog og
Danebrogsmand.
Hoffding. Harald, Dr. phil, Professor i Filosofi ved Kjobenhavns Universitet.
Kroman, Kristian Frederik Vilhelm, Dr. phil., Professor i- Filosofi ved Kjøbenhavns
Universitet.
Miller, Peter Erasmus, Dr. phil, Kammerherre, Hofjægermester, Overforster for anden
Inspektion, Kidder af Danebrog og af St. Stanislaus Ordenen.
XI
Udenlandske Medlemmer.
Chevreul, Michel-Eugene, Medlem af det franske Institut i Paris, Ridder af Danebrog.
Weber, Wilhelm, Dr. med. & phil., Professor i Fysik ved Universitetet i Göttingen.
Airy, Sir George Biddell, LL.D., D.C. L., Kongl. Astronom ved Observatoriet i Greenwich,
Medlem af Royal Society i London.
Gottsche, C. M., Dr. med., Lege i Altona.
Bunsen, Robert Wilhelm, Dr. phil.. Gehejmeraad, Professor i Kemi ved Universitetet i
Heidelberg, Ridder af Danebrog.
Owen, Richard, D.C.L, LL.D., Superintendent over British Museum, Medlem af Royal
Society i London.
Daubrée, A., Professor i Geologi ved Muséum d'Histoire naturelle, Medlem af det franske
Institut i Paris.
Carlson, Frederik Ferdinand, Dr. theol. & phil., fh. Statsraad i Stockholm, Medlem af det
Svenske Akademi, Ridder af Danebrog. 2
Stylfe: Carl Gustaf, Dr. phil., fh. Bibliothekar ved Universitetsbibliotheket i Upsala.
Broch, Ole Jacob, Dr. phil., Professor i Mathematik i Kristiania, fh. Chef for det
Kgl. Norske Marine-Departement.
Edlund, Erik, Dr. phil., Professor i Fysik ved det Kongelige Svenske Videnskabernes
Akademi i Stockholm.
Hooker, Sir Joseph Dalton, M.D., D.C.L., LL.D., Direktor for den Kongelige Botaniske
Have i Kew, Medlem af Royal Society i London.
Rossi. Giambattista de, Commendatore, Direktor for de arkæologiske Samlinger i Rom.
Rawlinson, Sir Henry Creswicke, D.C.L., LL.D., Generalmajor, bestandig Direktor for det
Asiatiske Selskab, Medlem af Royal Society i London.
Böhtlingk, Otto, Dr. phil., Gehejmeraad, Medlem af Videnskabernes Akademi i St. Peters-
borg, i Leipzig.
XII
Bugge, Elseus Sophus, Dr. phil., LL.D., Professor i sammenlignende indoeuropæisk Sprog
forskning og Oldnorsk ved Kristiania Universitet.
Amari, Michele, italiensk Senator, Professor i Firenze.
Cobet, Carl Gabriel, Professor i Leiden.
Koehne, Bernhard von, Friherre, virkelig Statsraad, Medlem af Videnskabernes Akademi i
St. Petersborg.
Siephani, Ludolph, virkelig Statsraad, Medlem af Videnskabernes Akademi i St. Petersborg.
Loven, Sven, Dr. med. & phil., Professor, Medlem af Videnskabernes Akademi i Stockholm,
Kommandor af Danebrog.
Kjerulf, Theodor, Dr. phil., Professor i Mineralogi ved Kristiania Universitet.
De Candolle, Alphonse, fh. Professor ved Akademiet i Genève.
Lubbock, Sir John, Baronet, D.C.L., LL.D., Vice-Kansler for Universitetet i London og
Vice-Præsident i Royal Society i London.
Agardh, Jacob Georg. Dr. med. & phil., fh. Professor i Botanik ved Lunds Universitet.
Huggins, William, D.C.L., LL.D., fysisk Astronom, Medlem af Royal Society i London.
Joule, James Prescott, D.C.L., LL.D., Fysiker i Manchester, Medlem af Royal Society
i London.
Cayley, Arthur, D.C.L., LL.D., Professor i Mathemalik ved Universitetet i Cambridge,
Medlem af Royal Society i London.
Haan, David Bierens de, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet i Leiden.
Unger, Carl Richardt, Dr. phil., Professor i germansk og romansk Filologi ved Universitetet
i Kristiania.
Hermite, Charles, Professor i Mathematik ved Ecole polytechnique og Faculté des Sciences,
Medlem af det franske Institut i Paris.
Salmon, George, D.D., Professor i Theologi ved Universitetet i Dublin, Medlem af Royal
Society i London.
Cremona, Luigi, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet og Direktor for
Ingeniorskolen i Rom.
Kirchhoff, Gustav Robert, Dr. phil., Professor i Fysik ved Universitetet i Berlin.
Helmholtz, Hermann Ludwig Ferdinand, Dr. phil., Professor i Fysik ved Universitetet
i Berlin.
XIII
Huxley, Thomas H., LL.D., Professor ved den Kgl. Bjergværksskole i London.
Ludwig, Carl Friedrich Wilhelm, Dr. med., Professor i Fysiologi ved Universitetet
i Leipzig.
Delisle, Léopold-Victor, Medlem af det franske Institut, Direktor for Bibliotheque
Nationale i Paris, Kommandør af Danebrog.
Struve, Otto Wilhelm, Gehejmeraad, Direktor for Observatoriet i Pulkova.
Miklosich, Franz, Dr. phil., Professor i slaviske Sprog ved Universitetet i Wien.
Allman, George James, M.D., LL. D., fh. Professor i Naturhistorie i Edinburgh, Medlem
af Royal Society i London.
Thomson, Sir William, LL.D., D.C.L., Professor i Fysik ved Universitetet i Glasgow,
Medlem af Royal Society i London.
Tait, P. Guthrie, Professor i Fysik ved Universitetet i Edinburgh.
Malmstrôm, Carl Gustaf, Dr. phil., kgl. svensk Rigsarkivar, Stockholm.
Pasteur, A.-M.-Louis, LL.D., Medlem af det franske Institut, Professor honorarius ved
Faculté des Sciences, Paris.
Des Cloizeaux, Alfred-Louis-Olivier-Legrand, Medlem af det franske Institut, Professor i
Mineralogi ved Muséum d'Histoire naturelle i Paris.
Kokscharow, Nicolai Iwanowitsch v., Generalmajor, Direkter for det kejserlige Bjergværks-
institut i St. Petersborg.
Donders, Franz Cornelius, Professor i Fysiologi ved Universitetet i Utrecht.
Blomstrand, Christian Vilhelm, Dr. phil., Professor i Kemi ved Universitetet i Lund, Ridder
af Danebrog.
Cleve, Per Theodor, Dr. phil., Professor i Kemi ved Universitetet i Upsala, Ridder af Danebrog.
Key, Ernst Axel Henrik, Dr. phil. & med., Professor i Anatomi ved det Karolinske mediko-
kirurgiske Institut i Stockholm.
Berthelot, Pierre-Eugene-Marcellin, Medlem af det franske Institut, Professor i Kemi ved
Collège de France i Paris.
Nägeli, Carl von, Dr. phil., Professor i Botanik ved Universitetet i München.
Gyldén, Hugo, Dr. phil., Professor, Direktor for det Kgl. Svenske Videnskabernes Akademis
Observatorium i Stockholm.
Moller, Axel, Dr. phil., Professor i Astronomi ved Universitetet og Direktor for Observa-
toriet i Lund.
XIV
Lacaze- Duthiers, F.-J.-Henri de, Medlem af det franske Institut, Professor ved Faculté
des Sciences, Direktor for den zoologiske Station i Roscoff.
Retzius, M. Gustav, Professor i Histologi ved det Karolinske mediko-kirurgiske Institut i
Stockholm.
Boissier, M.-L.-Gaston, Medlem af det franske Institut, Professor ved Collège de France,
Paris.
Paris, Gaston-Bruno-Paulin, Medlem af det franske Institut, Professor ved Collège de
France, Paris.
Fleischer, Heinrich Leberecht, Dr. phil., Gehejmeraad, Professor i orientalske Sprog ved
Universitetet i Leipzig.
Curtius, Ernst, Dr. phil., Gehejmeregeringsraad, Professor i Filologi ved Universitetet og
Direktor for Antikvariet i Berlin.
Conze, Alexander Christian Leopold, Dr. phil., Professor, Direktor for det Kgl. Museum
i Berlin.
Stubbs, William, D. D., LL. D., Biskop i Chester.
Freeman, Edward Augustus, D.C.L., LL. D., Regius Professor i nyere Historie ved Uni-
versitetet i Oxford.
Maurer, Konrad v., Dr. phil., Professor i nordisk Retshistorie ved Universitetet i München.
Möbius, Theodor, Dr. phil., Professor i de nordiske Sprog ved Universitetel i Kiel.
Areschoug, Frederik Vilhelm Christian, Professor i Botanik ved Universiletet og Direktor
for den botaniske Have i Lund.
Nordenskiöld, Adolf Erik, Professor, Friherre, Intendant ved Riksmuseet i Stockholm.
Torell, Otto Martin, Professor, Direktor for Sveriges geologiska Undersökning, Stockholm
Weierstrass, Karl, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet i Berlin.
Kronecker, Leopold, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet i Berlin.
Leidy, Joseph, Professor i Philadelphia.
Kölliker, Albert von, Dr. phil., Professor i Anatomi ved Universitetet i Würzburg.
Leydig, Franz von, Dr. med., Gehejmemedicinalraad, Professor i Anatomi ved Universitetet
og Direktor for det anatomiske Institut i Bonn.
Familien Podostemaceae,
Studier
af
Dr. Eug. Warming,
Docent ved Kjobenhavns Universitet.
Første Afhandling.
Vegetationsorganerne hos Podostemon Ceratophyllum Michx., Mniopsis
Weddelliana Tul. og Mniopsis Glaxioviana Warmg.
Med 6 Tavler.
Avec um résumé et une explication des planches en français.
Vidensk. Selsk. Skr. 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. I. 1.
Kjøbenhavn.
Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri,
1858 1.
MULTI TE LL
¥ CA
wre PAW ere. à
iA alge! i air ar Pr TS PR ‘ AA RUES 2] =, ree ie Re eS
a
um NP LT Beery MET ZEN HAE CONTE TV Im EZ
bis
”
KYST ee. sels ce ATA
‘ferme + HL! sad:
BL PERLE
Not SA
3
Le Familie af Blomsterplanter synes at frembyde saa afvigende og mærkværdige
morfologiske Forhold som Podostemaceernes, og faa ere dog saa lidet kjendte som denne.
En indgaaende Bearbejdelse af denne Familie lover hojst interessante Resultater, ikke blot
i morfologisk Henseende, men det er tillige alene gjennem en saadan, omfattende Under-
sogelse, at det er muligt at naa til en bestemt Anskuelse om denne Families endnu saa
hojst gaadefulde Slægtskabsforhold og faa afgjort, om den virkelig skulde være en Mellem-
form mellem Alger og Blomsterplanter, som en yderliggaaende, dristig Darwinist har udtalt,
eller om den er en stærkt reduceret og simplificeret Form af en hojere staaende Familie,
og da af hvilken — hvis det da overhovedet er muligt at oplyse noget sikkert om dens
Slegtskabsforhold, og den ikke indtager en aldeles isoleret Stilling uden faste Tilknytnings-
punkter til nogen bestemt anden nulevende Plantefamilie, hvilket efter mit hidtidige Kjend-
skab til den unægtelig synes mig det rimeligste.
En omfattende Bearbejdelse af den er i hoj Grad paatrængende og tidssvarende og
ligger saa at sige i Luften; og naar den endnu ikke er bleven foretagen, er Aarsagen ene
og alene at soge i den store Vanskelighed ved at skaffe det til en anatomisk-morfologisk
Bearbejdelse passende, i Spiritus opbevarede Materiale. De allerfleste Podostemaceer ere,
som bekjendt, meget smaa, tropiske, i ferske Vande og da navnlig i Vandfald og hvor der
er stærke Stromhvirvler, paa Klipper og Stene voxende Planter; det er vanskeligt, ofte
farligt at komme til dem, og for mange Lokaliteters Vedkommende kun muligt i Tortiderne
ved laveste Vandstand; ingen Art er i Kultur i nogen botanisk Have; der existerer næsten
intet Spiritusmateriale i noget evropæisk Museum, og Herbariernes torre, men for øvrigt i
andre Henseender verdifulde og ret rige Samlinger af disse Vandplanter tillade ikke en saa
indtrengende eller nojagtig Undersogelse, som der kræves.
Dr. KR. Gario i Gottingen har paa en af Dr. Bernoulli bekostet Rejse i Guatemala
samlet to Arter i Spiritus; om den ene af disse, 7risticha hypnoides Spreng., har han
allerede publiceret sine Undersogelser!); den anden, Marathrum Shiedeanum Cham., er for
') Botan. Zeitung, 1881.
Tiden Gjenstand for hans Studium, saa at en Meddelelse herom vel kan ventes i Aarets Lob.
Dr. Cario er den eneste Botaniker, fra hvilken noget tidssvarende Bidrag til Podostema-
ceernes Naturhistorie hidtil er blevet ydet, men hans Materiale er, som man vil se, ikke
meget omfattende.
Det er min Agt, om det forundes mig, at bearbejde den hele Familie saa vidt, som
det paa nogen Maade vil vere mig muligt. Jeg har med dette Formaal for Øje skallet
mig de i de fleste evropæiske Museer opbevarede Materalier til Laans'). Jeg har dernæst
henvendt mig til Naturforskere i Amerika, Afrika og Indien med Anmodning om Under-
stottelse med passende Materiale, og jeg har virkelig opnaaet at faa nogle Sendinger og
har sikkert Lofte om andre; jeg bringer dem alle herved min Tak for, hvad jeg allerede
bar faaet tilsendt fra nogle, og for den gode Villie, som andre hidtil have maattet nojedes
med at udvise.
Det ligger i Sagens Natur, at det mest værdifulde Materiale kun langsomt og
usystematisk kommer mig i Hænde; hvis jeg vilde opsætte Bearbejdelsen, indtil alt det var
bragt sammen, som jeg kunde have Udsigt til at skaffe mig, vilde der sikkerlig gaa flere Aar.
Jeg har derfor valgt at publicere mine Undersogelser efterhaanden som nogle Arter, en Slægt
eller en Slegtsgruppe komme til at foreligge nogenlunde fyldig bearbejdede og forstaaede,
og jeg har gjort Begyndelsen med de paa Titelen nævnte Planter, hvortil ogsaa Mniopsis-
Slægtens tredje og sidste hidtil kjendte Art, Mniopsis scaturiginum Mart., kunde føjes, da jeg
har undersogt den, saa godt det efter terret Materiale lader sig gjore; men som det sæd-
vanlig gaar, -— dette er meget ukomplet og meget vanskeligt at undersoge.
Mit Materiale til denne første Afhandling skylder jeg følgende" Mænd og Instituter.
1. Podostemon Ceratophyllum Michx. har jeg i Spiritus, sendt mig af Dr. Wm. Canby i Wilming-
ton (Delaware), ved Prof. Asa Gray som velvillig Mellemmand, og fra Pariser-Museet. Torret
Materiale fra forskjellige Herbarier.
2. Mniopsis Weddelliana Tul. har jeg i Spiritus dels fra Stockholms Museum (fra Caldas i
Brasilien, samlet af Mosén), og dels fra forskjellige Lokaliteter i Orgelbjærgene og Serra d'Estrella
sendt mig af Dr. A. Glaziou i Rio de Janeiro. Desuden findes Brudstykker i nogle Herbarier.
Tulasnes Originalexemplarer har jeg haft til Undersogelse.
3. Den nye Art Mniopsis Glazioviana Warmg. er i stor Mengde sendt mig i Spiritus af Dr. Glaziou.
4. Mniopsis scaturiginum Mart. & Zuce. existerer i forskjellige Herbarier samlet af Martius dybt i
det indre Brasilien (Prov. Goyaz).
1) Nemlig Herbarierne i St. Petersborg, Berlin, Wien, München, Leipzig, Gottingen, Bruxelles og Stockholm
foruden yort eget Universitets.
Vegetationsorganerne hos Podostemon Ceratophyllum Michx., Mniopsis
Weddelhana Tul. og Mniopsis Glaziovviana Warmg.
Da den anatomiske og morfologiske Bygning i Hovedtrekkene er ganske ens, be-
handles de ovennævnte tre Arter i det folgende under Et, med Fremhævelse af det for
den enkelte ejendommelige, hvor saadant er til Stede. Mniopsis scaturiginum kan der
derimod kun tages ringe Hensyn, da Materialet ikke har tilladt en saa fuldstendig Under-
sogelse som onskeligt.
Som almindelige anatomiske Ejendommeligheder kan her strax fremhæves :
1) Spalteaabninger mangle ganske.
2) Overhudscellerne ere mere eller mindre polygonale, ofte en Smule strakle,
omtrent som i Ill, 25; IV, 6; V, 51). Kutikula er svag.
3) Grundvevet bestaar for storste Delen af Parenkymceller, der sædvanligvis ere
noget langstrakte i Retning af Organets Længdeaxe, især jo nærmere de ligge ved Kar-
strengene. Deres Vegge ere oftest noget kollenkymatiske, om ikke i andet saa i Henseende
til Lysbrydning, navnlig paa visse, senere nermere betegnede Steder; de svulme ogsaa let
i Kali, hvorved en tydelig Midtlamel bliver synlig (Ill, 15, 24; IV, 4; V, 8; VI, 2, 3).
4) Intercellulergange mangle ganske eller ere kun yderst ubetydelige.
5) Alle Cellevegge ere af ren Cellulose, naar Trakeiderne i Xylemet undtages,
der ere svagt forvedede.
6) Stivelse findes i Mengde i Rodens og Stænglens Grundvæv (III, 15; VI, 2),
mindre og af ringere Størrelse i Bladene. Kornene ere enkelte eller (især hos Mniopsis-
Arterne) sammensatte, som VI, 5 viser, uden tydelig Lagdeling og Kjærne. Ofte har jeg
fundet dem indlejrede i en stivnet Protoplasma-Masse, i hvilken de efterlod sig Huller, naar
de faldt ud (Ill, 24); Protoplasmaets Periferi kunde vise dobbelt Kontour (III, 24).
1) Jeg betegner altid Tavlernes Numere med latinske, Figurernes med de arabiske Tal.
7) De af mig tidligere!) omtalte Kiseludskilninger i Cellerne, der udfylde disse
og i Hovedtræk give en Afstobning af deres Former, findes i Mengde i alle Planternes
Organer, forst og fremmest i deres Overhud, der paa ikke ringe Strekninger kan have
omtrent hver eneste Celle udfyldt dermed (III, 25), dernæst i de nærmest til Overhuden
grænsende Celler, og endelig i Periferien af Karstrængene og af Rodens Centralcylinder
(II, 11; IV, 3, 5; VI, 8), hvor de i Overensstemmelse med Cellernes Former ofte blive
meget lange. I Bladene findes de især i Basaldelene, der vist netop af denne Grund ere
mere persistente end det øvrige, og dernæst i Bladfligenes Rande. De enkelte Kisel-
legemer ere enten ganske jævne paa Overfladen, og deres periferiske Dele ere da sædvanlig
glasklare, medens det indre er mørkt kornet paa Grund af en talrig Mængde af smaa, luft-
fyldte Hulheder (III, 25; VI, 9); meget almindelig findes tillige en enkelt meget større
Hulhed, der sædvanlig har en langagtig Form. Eller de ere meget ujævne, uregelmæssig
grubede og ligesom udgnavede paa en Del af Overfladen (V, 8, 9; VI, 9), og det Indre er
da oftest glasklart. Væggene i de kiselholdige Celler ere som i de andre Celler af ren
Cellulose, og jeg har hidtil kun fundet Bestyrkelse af min tidligere (1. c.) udtalte Mening,
at de stedse ligge frit i Cellen uden at vere heftede til Væggen; unge Stadier, som kunne
vise Udviklingsgangen, viser det sig meget vanskeligt at finde; hvor jeg en enkelt Gang
paa ny har set et saadant, har det vist sig at være fint kornet helt igjennem, som i den
Fig. 3 I. c. afbildede. Jeg har aldrig fundet Klorofylkorn i kiselforende Celler saaledes
som Cario.
Planternes Hoveddele. Alle de omtalte Arter have et over Substratet (Sten
og Klipper i Flodsengene) krybende, rhizomlignende, men bladløst Legeme, der ved
nærmere Betragtning viser sig at være en Rod, og fra hvilken de løvbladbærende og
blomstrende Skud alle udvikle sig, snart mere spredt, snart tættere stillede saa at der,
naar Skuddene dernæst forgrene sig, dannes smaa Tuer. Roddernes Tyermaal er omtrent
1/0—1 Millimeter; Skuddenes Højde forskjellig, fra faa Milimetre hos Mniopsis Weddelliana
var. pusilla?) til 4— 5 Centimetre og derover hos Podostemon Ceratophyllum, der er den
største af de her omtalte Arter%).
Rødderne.
Rødderne ere fuldstændig plagiotrope; de krybe i alle Retninger, baade lodret
og vandret hen over Underlaget, hæftende sig meget tæt og fast til dette; de krybe naturligvis
1) Videnskab. Meddelelser fra d. naturh. Forening 1881; S. 89—92.
2) De nye Arter og Varieteter, som jeg maatte finde Anledning til at opstille, ville blive diaguosticerede
i den systematiske Del.
3) Med Hensyn til Forstørrelsen af Figurerne paa mine Tavler kan en Gang for alle bemærkes, at de
fleste Habitusbilleder ere 3—5 Gange forstørrede; men for øvrigt er Forstørrelsen næsten altid an-
given enten i Figurforklaringen eller paa Tavlen selv.
|
ogsaa hen mellem og over hverandre, og derved kan Underlaget paa en yderst indviklet
Maade overspindes med et tat Væv af Rødder. Ofte ere de relativt meget lange og krybe
fra den ene Sten over paa den anden.
De ere udpræget dorsiventrale; de have en flad, til Substratet trykket Bugside,
en hvælvet Rygside, .og mellem disse to afrundede Flanker, fra hvilke baade Skuddene
og Rodgrenene udspringe. Tværsnittet er oftest som Ill, 3. Hos Mniopsis Weddelliana
kan Roden blive noget bredere og fladere, saa at Tversnittet bliver som V, 12 B eller
18 B, og den samme Rod kan, som V, 12 A viser, have en meget forskjellig Bredde.
Naar Rodderne blive saa brede som paa de sidst anforte Figurer, bryde Skud og Rodgrene
ikke frem fra selve Flanken, men rykke lidt ind under denne paa Bugsiden (V, 12 og 18).
Rodens Anatomi. Overhudscellerne ere som Ill, 25; de ere i Alminde-
lighed ordnede i Længderækker. Hos Pod. Ceratophyllum har jeg fundet Klorofylkorn i
dem, i alt Fald paa Steder, der laa ner yed Rodskuddene.
Grundvævets Celler ere parenkymatiske, de inderste de storste og tillige de
lengste, idet de kunne blive 3—7 Gange saa lange som vide. Lave og spredte Porer
kunne findes (III, 24).
Centraleylinderen har her egentlig ikke Cylinderform, men en Form, der
stemmer omtrent med hele Rodens, i det den er fladere paa Bug- end paa Rygsiden.
Den ligger nærmest Bugsiden (Ill, 3, 11; V, 12 B, 18 B). Den er protoplasmarig og
stivelsefri.
Den simplest byggede har jeg fundet hos de smaa Former af Mniopsis Weddelliana,
i det den her kan mangle Xylem og alene bestaa af en noget kollenkymatisk Bladbast
(VI, 2). Denne bestaar af Sirer og Kambiform.
Fyldigere udviklet er Centralcylinderen hos de større Former, der have tykkere
Rodder. Her findes to Xylemstrænge, der hver bestaar af 2 eller 3 snævre Ring- eller
Skruetrakeider (III, 17, 18), det eneste anatomiske Element med lidt forvedet Veg, og disse
to Strenge findes i den ventrale Del af Cylinderen, som angivet III, 11, 15; V, 12 B,
18 B, og VI, 3. Medens der i nogle Tilfælde (III, 15) ikke er fundet nogen Differentiering
i Centralcylinderens ovrige Masse, har jeg i andre Tilfælde fundet en saadan, der navnlig
viser sig deri, at der til hver Xylemstreng slutter sig et Parti Blodbast og ned gjennem
Centralcylinderens Symmetriplan strækker der sig et Cellevæv, der har en noget anden Lys-
brydning end det ovrige, og som skiller de to Blodbastmasser fra hverandre (VI, 3). Paa
Længdesnit gjennem Roden vise de nævnte, midt mellem Xylemgrupperne liggende Geller
sig at være langstrakte med horizontale Vægge og videre end Elementerne i den nærmest
Xylemgrupperne liggende Blodbast; om disse er der aabenbart flest Siror, men saadanne
mangle dog heller ikke i den ovrige Del.
Billeder af det kambiforme Bladbastvæv med Sirorene ses i Ill, 16, 17, 19.
Sirorenes Tværvægge kunne være tydelig kallose, men Perforationen af dem viser sig kun
utydelig som en svag Punktering eller Stribning. Kun en enkelt Gang ere Sirer som i
III, 19 blevne sete. Jeg har ikke med Sikkerhed kunnet finde Adjunktivceller!), og
Tværsnittene tyde ikke paa, at saadanne findes. Stivelse har jeg ikke fundet i Sirorene,
men den ene Ende af Leddene kan være rigere paa et fint grynet Indhold end den anden.
Allerede i ganske unge Roddele tæt bag ved Rod-Spidsen kunne Sirerene være tydelig
dannede. Tenformede Cellekjerner findes ofte i det kambiforme Vey.
Grundvævscellerne nærmest omkring Centralcylinderen ere altid stærkere kollenkyma-
tiske end de fjernere liggende, og gaa ved deres meget langstrakte Form over i dennes Vey;
en Endodermis findes ikke; men enkelte af disse langstrakte Celler kunne vere fyldte med
Kisel (antydet i Ill, 11). Paa Centralcylinderens Rygside findes der altid en mægtigere
Kollenkymmasse end paa de andre Sider (antydet i III, 11 og VI, 3). Hos den lille
Varietet af Mniopsis Weddelliana fandtes her Elementer, der nermede sig den seje Bast.
Rodspidsen ligger ligesom hele Roden tet trykket til Underlaget; den er jævnt
afrundet (I, 1; Ul, 1, 23; IV, 14; V, 10 A o.s.v.). Jeg har ikke fundet noget sikkert Exempel
paa, at den ikke har veret dækket af en Rodhette; kun i et eneste Tilfælde (den lille Rod i
Ill, 4 B) kunde jeg ingen saadan se. Rodhætten viser den interessante Merkelighed, at
den nesten aldrig er lige stærkt udviklet paa alle Sider, i det den er kortest paa Bugsiden.
Mindst udpreget er dette hos Podostemon Ceratophyllum, men den ses dog ogsaa her tydelig
(HI, 23); hos Mniopsis-Arterne træffes denne Ejendommelighed langt stærkere udpræget,
lige til saadanne Tilfælde, i-hvilke der kun findes en ganske lille Plade, der som en Negl
dækker Rodspidsen paa Rygsiden, medens de ovrige Sider ere nogne (V, 19, 20, 21, 22,
24). Herfra er der kun et lille Skridt til, at Rodhætten aldeles bortkastes, hvad der efter
Cario skal vere Tilfældet hos Tristicha hypnoides; Manglen af Rodhette hos denne Art
forte ham til at betragte Roden som et Thallus.
Rodhettens yderste Celler ere altid meget tydelig større og mere tykveggede end
den nermest liggende Rod-Overhuds, og ikke sjælden udskilles der Kisel i dem. Jeg har
ikke været i Stand til at faa særlig udmærkede Lengdesnit af Væxtpunktet, men af alt
hvad jeg har set, maa jeg slutte, at der hverken er nogen tydelig Grense mellem Periblem
og Plerom, og at heller ikke de øvrige Vey ere skarpt adskilte; Rodhætten og Rod-Over-
huden synes i alt Fald at have felles Udspring. Lidt neden for selve Spidsen ordne Cel-
lerne sig tydelig nok i Længderækker (III, 2).
I Modsætning til Cario, der siger: «Wir haben hier eine Pflanze vor uns, die
der Wurzeln vollständig entbehrt», maa jeg altsaa sige: her er ikke blot en Rod, men
1) Navnet «Adjunktivceller» er synonymt med Wilhelms «Geleitzellen», se Kolderup Rosenvinge,
Vegetationsorganerne hos Salvadora. Vid. Selsk. Oversigter, 1880, med Tav. V og VI.
9
den spiller en overordentlig væsentlig Rolle, og dette ikke blot hos disse her gjennemgaaede
Planter, men i den hele Familie. Et Blik paa Tulasne’s Figurer") vil vise, at et saadant
til Underlaget trykket Organ, som her er paavist at vere en Rod, findes hos en Mengde —
sandsynligvis alle — andre Slegter, og at det er Berer af Skuddene; jeg er endog tilbojelig
til at tro, at Hovedaxerne i Tulasne’s Fig. II, Pl. IX af Dierwa elongata ere skudbærende
Rødder. En lignende Rolle spille Rødderne som bekjendt hos Cinsium arvense, Pyrola
uniflora, Monotropa 0.a., og de af Solms-Laubach o, a. paaviste thalluslignende Organer
hos mange Snyltere tager jeg heller ikke i Betænkning at betegne som Radder, der under
Artens Udvikling i Tidernes Løb have afkastet deres Rodhette paa Grund af deres særegne
Voxested og den særegen Brug, der gjøres af dem. Ogsaa hos Podostemaceerne gjøres
der jo en usædvanlig Brug af Roden, idet den i højere Grad end andre Steder bliver et
Hæfteapparat. For øvrigt kan her ogsaa mindes om, at der i nyeste Tid er blevet
fundet utvivisomme Rødder uden Rodhette, f. Ex. af Klein hos Aesculus (Flora, 1880),
og at andre Rødder paa et ældre Udviklingstrin bortkaste Rodhætten (Azolla, Hydrocharis,
Ficaria, Orchis, 0. a.). Podostemaceen Castelnavias Kimrod mangler lige saa fuldstændig
Rodhætte som Cuscutas, og hele Rodspidsen dækkes under Spiringen med Rodhaar.
Rod-Regeneration. Meget ofte findes Rødder, som ere afbrudte enten ved
Vandhvirvlernes Magt eller paa anden Maade, f. Ex. ved Dyrenes Gnav, og som have rege-
nereret sig ved en ny Roddannelse fra Saarfladen. Ofte har en Rod gjentagne Gange været
afbrudt paa tæt ved hverandre liggende Steder og har regenereret sig; Exempler findes
afbildede HESS SP ITT 4145022110) SAVNET OT STEG B2ODAR
Det synes altid at være den mod Spidsen af Roden vendte (akroskopiske) Ende,
fra hvilken Regenerationen finder Sted (ligesom hos de højere Planter efter Vöchting).
Unge Stadier har jeg ikke truffet undtagen det i III, 22 afbildede, der oven i Kjøbet
er mig en Smule tvivlsomt. Paa Længdesnit gjennem gamle Regenerationssteder ses Bil-
leder som III, 14 og VI, 1. Centralcylinderens Væv fortsætter sig fra det ældre Rodstykke
lige over i det nydannede, og Grundvævet i Barken er paa en større eller mindre Stræk-
ning blevet fortsat af nyt Grundvæv. Den nye Rod kan godt komme til at sidde skjævt
paa den gamle, hvis Grundvævet paa den ene Side ikke er saa regenerationsdygtigt som
paa den anden (V, 16).
Undertiden fremkomme to Rødder fra samme Saarflade (II, 2; III, 4 B), og de
kunne rykke saa tæt sammen, at de faa en fælles Basis og synes at danne én Rod, der
dikotomerer sig; et ungt Tilfælde af denne Art ses V, 13, et ældre V, 23. Hertil slutter
det i III, 4 C afbildede Tilfælde: Roden har vistnok efter at være afbrudt regenereret
paa omtrent hele Saarfladen lige ud til Overhuden, kun en ringe Del har ikke været
enerationsdygtig, og fra Brudfladen er der fremgaaet en Tvillingrod.
n
93
m
CE)
re
ag
1) Monographia Podostemacearum (Archives du Muséum, VI, 1852).
Vidensk. Selsk. Skr. 6 Række, naturvidensk og math Afd. II, 4. 2
10
Rodforgrening. Nye Rodder opstaa paa Flankerne af de ældre, men ellers
uden Orden eller bestemt Plads (I, 1; V, 20 A; VI, 12); ere Moderrodderne meget flade,
udspringe de lidt inde paa Bugflade under Flankerne (V, 12 A, 12 B, og 18 A og B).
Ganske unge, endnu i Moderroden indesluttede Rodder har jeg ikke fundet, og jeg kan
derfor heller intet speciellere angive om deres Dannelsesmaade. At alle Rodgrene ere
endogene, fremgaar dog med Sikkerhed af den ringformede Saarflade, der findes om deres
Basis, og det er temmelig vist, at de opstaa i Barken ner Periferien af Roden, ikke umid-
delbart paa Centralcylinderen.
Rodder fra Stengler. Jeg har gjentagne Gange, om end ikke almindelig,
fundet Rødder udspringende fra Stængler (7 i I, 11; Ill, 1; VI, 10, 11). I det næst sidste
Tilfælde (VI, 10) udspringer en Rod fra Basis af et Brudstykke af et Skud, i det sidste
(VI, 11) fra en Saarflade paa en Stengel, hvorefter den, folgende Stengeloverfladen i en
Skruelinie, soger nedad; den er i dette Tilfælde forsynet med serlig stor Rodhette (11, B).
Hvor Forholdene have veret tydelige, have ogsaa disse Rodder vist sig at vere endogene.
Roden heftes fast til Underlaget dels ved Rodhaar, dels ved ejendommelige
Legemer, som jeg vil foreslaa at kalde Hapterer.
Rodhaar udvikle sig paa ubestemte Steder af Rodens Bugflade, i Regelen saaledes,
at hele Strækninger ere yderst tæt beklædte med en kort brunlig Belægning af dem, idet
omtrent hver eneste Overhudscelle forlænger sig haarformig (III, 8, 11; V, 18; VI, 14).
De ere, som sædvanlig, Udkrængninger af Overhudscellerne, men i Regelen ere de temmelig
tykveggede, hvilket maa antages at staa i Forbindelse med, at deres Funktion her mindre
er Opsugning af Nering end Fastheftning af Roden til Underlaget. Paa Grund heraf brede
de sig ogsaa i Spidsen ud i uregelmessige Lapper (ligesom Kimplanternes Basalcelle af
spirende Oedogonier og andre Alger), der synes at udskille en brunlig limagtig Substans
(II, 8, 9; VI, 4, 15). Deres Længde afhænger af Substratets Nerhed, men er sædvan-
ligvis meget kort. Paa ældre Rodder er det ofte neppe muligt at skjelne de enkelte Rodhaar
fra hverandre, dels paa Grund af deres ringe Lengde og bugtede Form, dels paa Grund
af den brune eller sortebrune sammenkittende Masse. Kisel har jeg aldrig fundet ud-
skilt i dem.
Hapterer!) Med dette Navn betegner jeg nogle ejendommelige især paa Roden
udviklede Legemer, Gribe- og Hefteredskaber af en tvivisom morfologisk Natur. De findes
normalt paa Roden af Podostemon Ceratophyllum, sjælden hos Mniopsis Weddelliana, men
noget almindeligere hos Mn. Glazioviana.
Hos Podostemon Ceratophyllum ere de størst og mest ejendommelige, hvorfor
de ogsaa ere sete tidligere, f. Ex. af Hooker (Compan. Bot. Mag. 2, p. 24), der sammen-
1) Al drrew, drreoÿar at binde, hæfte, berøre, gribe.
11
ligner dem med Hæfteredskaberne hos Dignonia radicans og Ampelopsis hederacea. Deres
Plads er ved Basis af de paa Roden udspringende Skud, men dog paa selve Roden, neden
for det Ar, der fremkommer ved Skuddets Frembrud af Roden (se f. Ex. II, 6,9; III, 1; 0. a.).
Isoleret udspringende fra Roden, fjærnede fra Rodskuddene har jeg aldrig fundet dem, og
mere end én ved hvert Rodskud har jeg heller aldrig set. Deres Lengde afhænger af Sub-
stratets Afstand fra Roden. Er denne større, blive de som i III, 1 forlænget kegle-
formede og have saalænge en afrundet Spids, indtil Underlaget er naaet; er dette sket, brede
de sig nemlig ud og lægge sig op til det, plastisk formende sig efter dets Overflade (se
II, 9; III, 3, 5, 6). Er Roden kun ganske lidet eller slet ikke fjernet fra Underlaget, brede
de sig strax ud til korte tykke Hefteskiver (I, 1, 11; II, 3, 6; II, 3). Især saadanne har jeg
fundet hos Mniopsis Weddelliana og Glazioviana (V, 18; VI, 14), dog forekomme ogsaa lengere
(VI, 12) hos den sidste Art.
Ofte brede de sig ud i fingerformede Lapper, og de legge sig lige saa godt op
til lodrette som til vandrette Sider, den samme Haptér undertiden baade til lodrette og vand-
rette (II, 6, 8). De ligne i deres Formdannelse og Funktion ganske de Hefteapparater, som
findes hos Fueus vesiculosus, Laminaria og andre Alger, og som kunde benævnes med det
samme Navn. Undertiden ere de grenede (II, 9; IT, 6, 7, 10), og undertiden kunne to
forenes meget tet i Spidsen, saa de næsten danne ét Organ (III, 5). At de ogsaa kunne
hæfte sig til Rodder eller Stængler af andre Planter, navnlig da af deres egen Art, som de
jo nemmest komme i Beroring med, er let forstaaeligt.
Der maa ligesom ved selve Roden udskilles en Kit, hvormed de hefte sig fast, og
de ere, ligesom Rodens Bugside der, hvor Rodhaarene sidde, brune eller sorte paa Under-
fladen. For ovrigt bere de ofte meget tydelige, undertiden endog relativt lange Rodhaar
(III, 7; VI, 14); men sædvanligvis ligne deres Rodhaar dog Roddernes korte og uregel-
messig lappede.
De opstaa exogent, og jeg har aldrig fundet nogenringformig Saardannelse neden
for dem som ved Basis af Rodgrenene og Skuddene (ll, 6, 9; Ill, 3, 11, 12), og enhver
Grendannelse paa dem er ligeledes exogen (II, 9; III, 7, 10, 13).
De have Spidsevext, hvad jeg iser slutter deraf, at de mindste og protoplasmarigeste
(morkeste) Celler altid findes i deres Spidser, medens Cellerne blive desto storre, jo nærmere
de ere ved Basis af dem og af deres Grene (If, 12, 13; se ogsaa Ill, 7). Der er ikke
Tale om nogen Rodhette, Spidsen er nogen.
De bestaa alene af tyndvægget Parenkym, hvis inderste Celler ere de storste (III,
12, 13); der er ingen Antydning af nogen Karstreng. De kunne vere stivelseholdige, og
Overhuden er ofte rig paa kiselholdige Celler.
I et enkelt Tilfælde har jeg set dem regenerere sig efter et Brud (III, 20), ganske
som Rodderne.
12
Disse Organer ere en saa merkelig og interessant Mellemform mellem Rodder, Stengler
og Emergenser, at de vel kunne fortjene et egel Navn. Fra Rodder afvige de ved
Mangel af Rodhætte, ved den exogene Oprindelse og ved den fuldstændig parenkymaliske
Bygning. Men her ber det dog erindres, at de allerseneste Aar have lært os ægte Rodder
at kjende, som i to af disse Punkter afvige fra det sædvanlige. Rodder uden Rodhette
kjendes som ovenfor omtalt (S. 9), og hos selve Podostemaceae maa de jo, foruden hos
Castelnavia, ogsaa findes, naar Carios lagttagelse er rigtig. Exogene Rødder kjendes nu
ogsaa (efter Dr. Ad. Hansen!) hos Cardamine pratensis, Nasturtium officinale og silvestre), og
hertil kunne vel ogsaa Loranthaceernes og andre Snylteres intrakortikale Rodgrene henfores.
De ligne Rødder deri, at de have Spidsevæxt, have Regenerationseyne, og at de
bere Rodhaar. Dog maa jeg om dette sidste Punkt bemærke, at det ikke vejer meget i
Vægtskaalen; Begrebet «Rodhaar» maa fattes meget videre end det sædvanlig sker, thi
aldeles de samme Haardannelser findes paa mange andre Organer end paa Roden, saa at
de langt fra ere noget Serkjende for denne. At Haar med Rodhaars Bygning kunne fore-
komme paa Thalli, Forkim o. |. er bekjendt; paa Kallusdannelser optræde ligeledes aldeles
ægle Rodhaar; der gives vel ikke mange haarberende Rhizomer, men Haarene paa dem, der
ere mig bekjendte (Goodyera repens, Corallorhiza, Mercurialis perennis, vist nok ogsaa Epi-
pogon og efter van Tieghem tillige Psilotum og Trichomanes), ere overalt byggede som Rod-
haar; der findes saadanne paa Forkimen af Zriticum og vel ogsaa andre Gresser’), og de
kunne endog strekke sig helt op paa Epiblasten.
«Rodhaar» ere aabenbart en til et bestemt Arbejde (Fastheftning og Opsugning)
uddannet Haarform, der kan forekomme ikke blot paa Roden, men paa alle rodlignende
eller andre Legemer, paa hvilke der er Brug for saadanne Haar. Deres Forekomst paa
Haptererne vil da ikke kunne bruges som Bevis for, at disse ere Rodder.
Naar jeg imidlertid ser hen til den Regenerationsevne, som jeg har iagttaget hos
dem, om end kun én Gang, men som ganske ligner Rodens, og dernæst til deres Plads,
nemlig paa Rødder, — paa hvilke der jo ikke med Sikkerhed vides at opstaa andre Legemer
end: andre Rødder, Rodhaar og Rodskud — saa er jeg mest tilbøjelig til at antage, at de
ere stærkt metamorfoserede Rodder, at de en Gang have været uddannede som sædvanlige
Rodder, men i Tidens Lob ere blevne formede til den afvigende Form, som de nu have, i
Overenstemmelse med deres særlige Funktion som blotte Hæfteorganer; en ganske lignende
Omdannelse maa jo antages foregaaet med Tristicha-Roden, med Viscum’s og andre Snylteres
Rodder, idet de have tabt Rodens ellers saa konstante Særkjende, Rodhætten.
Maaske ville mine fortsatte sammenlignende Studier af Podostemaceer bringe
1) Vergleichende Untersuchungen über Adventivbildungen. (Senekenb. Naturf. Gesellsch. XII Bd. 1881.)
2) Warming, Lærebog i den almindelige Botanik, 1880, S. 83, Fig. 70, B og S. 233.
13
Kjendsgjerninger til Veje, der stolte dette. Allerede en Betragtning af de paa Stænglerne
udviklede Hapterer giver nogle, om end svage Bidrag. Hos Podostemon Ceratophyllum
har jeg kun en Gang fundet Hapterer paa Stænglen (afbildet II, 3); som Figuren viser, var
det et fra Bugsiden nedhængende (positivt geotropisk?) forgrenet Legeme; dets Væxt og
Bygning var som Rodhapterernes, dog var det ikke tydeligt, om det havde endogen eller
exogen Oprindelse; paa to Steder (ved *) vare dets Grene fast sammenklebede indbyrdes.
Hos Mniopsis Glazioviana har jeg ingen Stængelhapterer fundet, thi det i VI, 11
afbildede Legeme var en ægte Rod, som jeg ikke kan sammenstille med Haptererne. Men
hos visse Former af Mniopsis Weddelliana ere de meget almindelige. Paa den store Form
fra Caldas (var. Caldensis Warmg., IV, 14—23 og V, 1—2) har jeg aldrig set noget Exemplar;
hos forma typica (V, 3, 4) ere de fundne og med lignende forgrenede Former som hos Pod.
Ceratophyllum; men hos Var. pusilla, der aabenbart lever i stærkt strømmede Bjærgfloder,
i hvilke der kun er lavt Vand, og hvis Skud ligge mere vandret ud end de andres og ofte
let trykte til Underlaget, ere de derimod meget almindelige (V, 14, 15). De udspringe fra
Bugsiden, søge lige ned mod Underlaget og hæfte sig fast til dette ved Udbredning af
deres Ender aldeles som de fra Rodderne udspringende; er deres Udspringssted længere fjernet
fra Underlaget, blive de længere (se V, 14 A), men sædvanligvis er denne Afstand kun kort,
og de blive da ganske korte, skiveformede, uregelmæssig lappede Legemer. De kunne
bere Rodhaar som Rod-Haptererne (V, 15 B), deres indre Bygning er ogsaa som disses,
og Rodhætte findes aabenbart heller ikke (set tydelig f. Ex. paa den med h mærkede Ud-
vext i V, 14B). Men desværre har jeg ikke kunnet faa afgjort, om de have exogen eller
endogen Oprindelse, dels fordi jeg ingen unge Stadier har fundet, dels fordi Stængel-
stykkerne ere saa korle hos denne Art, og fordi Basaldelene af de affaldne Blade sidde saa
tat sammen og vanskeliggjore Afgjorelsen af det Sporgsmaal, om der er en Saarflade om
deres Basis hidrorende fra deres Gjennembrud. Jeg har næsten altid paa Længdesnit
gjennem dem fundet brunlige iturevne Celler om deres Grund, men der er jo en Mulighed
for, at dette hidrorer fra de afrevne Blade. Skulde de imidlertid virkelig have endogen
Dannelse, gjore de et Skridt hen mod de egte Rodder.
Skuddene.
Roden spiller, som anfort, den samme Rolle hos disse Planter, som Rodstokkene
hos mange fleraarige Urter og som Rodderne hos nogle faa andre; det er fra den, at Skud-
dene udspringe.
Rodskuddene opstaa paa Rodens Flanker eller lidt inden for denne paa dens
Bugflade (I, 1; Ul, 11, 12; V, 12, 18). De staa sædvanlig parvis, saaledes at der staar et
Skud paa den ene Flanke og et andet lige over for eller lidt skraat over for det paa den
14
modsatte Flanke (I ‚1, 11; III, 1, 6; IV, 14; V, 10 À, 12, 18); nogen anatomisk Grund hertil
kan jeg ikke paavise. Enkeltvis stillede forekomme ogsaa (f.Ex. i I, 1; III, 1). Mellem
de enkelte Par er der større eller mindre Afstand, hos Podost. Ceratophyllum indtil 21/2 Centi-
meter. De opstaa akropetalt, men undertiden anlegges en hel Rekke Par omtrent
samtidig (V, 10 A).
Skuddene ere altid endogene. De anlægges i de periferiske Dele af Rodens Bark,
inden for et eller et Par Lag Geller, der senere gjennembrydes og danne en laset, ring-
formet Krave om deres Basis (III, 2, 11 12, 21; V, 18 B). Knoppen anlægges altsaa
ikke i Centralcylinderens Periferi, men bringes senere i Forbindelse med denne ved Udvikling
af Karstræng-Væv i det mellemliggende Parenkym. Ofte findes Knopperne endog anlagte
paa Dele, som endnu ere dækkede af Rodhette (III, 2).
De udviklede Skud staa under forskjellige Vinkler ud fra Roden. Hos Mniopsis
Glazioviana staa de nesten opret; hos Mn. Weddelliana ligge de derimod ofte næsten lige
ud til Siden, vandret hen over Underlaget (IV, 14), saa at den ene Side (Bugsiden) vender
nedad, den anden (Rygsiden) mod Lyset; hos Podostemon Ceratophyllum danne de sæd-
vanlig en Vinkel paa 30-60° med den Flade, over hvilken den berende Rod kryber (III, 3, 5).
Hyad enten det ene eller det andet er Tilfældet, ere de stærkt dorsiventrale,
den udad (9: bort fra Rodens Symmetriplan) eller nedad vendte Side, Bugsiden, er altid
anderledes end den modsatte, indad vendte Side, navnlig med Hensyn til Bladenes Forhold.
Den ene Flanke vender mod Rodens Spids (den akroskope), den anden mod dens Basis
(den basiskope). Ogsaa i Stænglens indre Bygning viser det dorsiventrale sig.
Bladstillingen er Ye; den ene Bladrække sidder paa den ene Flanke, den anden
paa den modsatte, men Randene gribe halvt om paa Stænglens Ryg- og Bugside, omtrent
lige meget paa dem begge (sammenlign I, 6 B med 6 C, 10 A med 10 B; Il, I F med
1G; IV, 18 A med 18 B, 19 A med 19 B; VI, 13 A med 13 B). Det iste Blad paa
hvert Skud sidder paa den fra Rodspidsen fjærneste (basiskope) Flanke (f. Ex. IV, 14).
Hvert Blad har altsaa en Rand, der vender til samme Side som Stenglens Rygside (den
notoskope Rand vil jeg kalde den), og en, som vender mod Stenglens Bugside (den
gastroskope Rand). Bladets Overflade skulde egentlig vende indad mod Flanken, som
det sidder paa, men der finder altid en saadan Drejning Sted, at Overfladen (Bugfladen,
den mod Axen vendte) kommer til at vende mod Skuddets Rygflade, og dets Underflade
(Rygfladen) mod Skuddets Bugflade!). Bladenes Bugflader komme derved alle til at ligge i
1) Jeg har veret i Tvivl om, hvad der rettest skulde kaldes Skuddets Bug og Ryg; men i Overens-
stemmelse med Goebel, der kalder den mod Moderaxen vendende Side af et Skud for dets Rygside,
og med Cario, der hos Tristicha kalder den mod Underlaget vendte Side af Skuddene Bugsiden,
og af Hensyn til Castelnavias, Marathrums o. a. Podostemaccers stærkt dorsiventrale Skud, hvis ene
Side er tæt trykket til Underlaget og i Uddannelse minder om Rodens Bugside, har jeg valgt
oven staaende Betegnelsesmaade.
15
omtrent en eneste mod Lyset vendt Flade, der falder sammen med eller er parallel med
Skuddenes Rygside (er parallel med Dorsiventralitetsplanen).
Bladformationerne ere to, Lavblade og Løvblade. Af de første findes kun
nogle faa allernederst paa de fra Rødderne udviklede Skud, der vise deres simplere Ud-
dannelse deri, at de have en udelt Plade og mangle eller have en kun meget lille
Stipeldannelse (se I, 3; IV, 15, 18; V, 10A og B, og 18; naar det f. Ex. i 10 B synes,
at der staar et Blad i Skuddets Symmetri-Linie paa dets Rygside, da maa jeg tyde dette
som den til det 2det Blad hørende, relativt store Stipel). Ogsaa senere, naar Skuddet
forgrener sig, optræde kun Løvblade, undtagen i et afvigende Tilfælde, der nærmere
omtales nedenfor.
Hos Podostemon Ceratophyllum findes et regelmæssigt Skifte af Sæt af lange og
Sæt af korte Internodier (I, 9; II, 3, 4 A). Jeg formoder, at dette staar i Forbindelse med
Aarstidernes Vexlen, og at de længere Internodier betegne den gunstigere Aarstid; men
Bladene ere ogsaa paa de korte Internodier Løvblade. At denne Art maa være perennerende
med en Vexel i Udviklingen, fremgaar ogsaa f. Ex. af I, 6A, 8 A, og II, 1A, paa hvilke der
er et tydeligt Spring i Udviklingen mellem de yngste og det næst ældre Sæt af Blade.
Løvbladene. Basis af Bladene er bredt skedeformet ud og omfatter Stænglen
halvt, men er for øvrigt forskjellig formet hos de forskjellige Arter. Paa den ene Side
staar Podostemon Ceratophyllum (og maaske hele Slægten Podostemon), der har en fuld-
stændig udviklet intrapetiolær Stipel, som i Knoppen omfatter det følgende Blad, og hvis
Former ses af I, 2, 3, 4, 80.s.v.; II, 1, 4, 7 o.s.v. (paa nogle af Figurerne, f. Ex. ved Blad
n og o paa II, 1 D, ved Blad m paa II, 4A, o.a., er den frit fremragende egentlige Stipel-
dannelse forsvunden).
Mniopsis- Arterne (og de tre her undersøgte repræsentere hele Slægten) have
derimod kun en ensidig eller halv, intrapetiolær Stipel, en lille Flig, der sidder paa den
notoskope Side af Bladbasis, lidt inden for Randen (IV, 15, 16, 17, 18, 0.s.v.; V, 30.s.v.;
VI, 13, 16). Det vil af Figurerne ses, at den er stærkest fremtrædende og tilsyneladende
næsten er et selvstændigt, paa Skuddets Rygside stillet Blad hos Mniopsis Glazioviana og
scaturiginum (VI, 13 og 16)!).
Løvbladenes Plade bliver sukcessivt fuldkomnere, naar man begynder med de
lavest stillede og gaar opad, indtil Højdepunktet for Udviklingen er naaet. Den er fjersnit-
delt og kan være gjentagne Gange delt; Afsnittenes Form er forskjellig, hvad Tegningerne
ville vise; endog samme Art frembyder i denne Henseende store Variationer, hvilket jeg
!) Bladstillingen hos Mn. scaturiginum beskrives derfor ogsaa saaledes af Weddell (De Cand. Prodrom.
17, p. 77): «foliis minimis subquadrifariam imbricatis, aliis semiorbicularibus amplexicaulibus, aliis
in latere opposito caulis multo minoribus stipuliformibus» ... og senere «hee et illa series 4 ver-
ticales parallelasque efformantia, seriebus foliorum minorum in eodem latere caulis contiguis».
anlager at hidrøre fra Lokaliteternes Forskjelligheder (Vandets Dybde, Strommens Styrke);
man betragte f. Ex. de forskjellige Figurer af Podostemon Ceratophyllum; det ene Yderpunkt er
den I, 1 og II, 5 afbildede Form med de korte brede Afsnit, det andet den I, 6, 8 og
II, 1 afbildede Form med de lange, haarfine Afsnit. At Bladene af Mniops’s scaturiginum, der
kun ersamlet én Gang, nemlig af Martius, skulde vere fuldstændige saaledes, som de fore-
ligge i Herbarierne og i Tegninger (VI, 16), forekommer mig tvivlsomt; jeg er tilbojelig til at
antage, at kun Basaldelene ere tilbage, og at Vandet har adelagt Resten. Paa ældre Stengler
ere enten kun Basaldele af Bladene tilbage, fordi disse paa Grund af deres Kiselholdighed ere
mere modstandsdygtige, eller Bladene ere ganske fjernede, efterladende et Ar, hvad der især
findes hos Var. pusilla af Mn. Weddelliana (V, 11, 14, 15). Paa ældre afblomstrede Planter
af Mniopsis Weddelliana losrives ogsaa Stænglernes Barkvæv efterhaanden, saa at kun det
mekaniske Vey med Karstengene bliver staaende (V, 2).
Bladudviklingen. Der findes ingen Stengelspids, som rager nogen op
over det yngste Blad, og dette indtager endog omtrent den Plads, som Stengelspidsen ellers
skulde have, er med andre Ord omtrent terminalt. Længdesnit gjennem Skuddenes øvre
Ender (det er især Podostemon, i ringere Grad Mniopsis Weddelliana, der har afgivet Materiale
hertil) vise sig som IV, 1 og 2. Har det yngste Blad opnaaet en vis Størrelse, ses et
neste at opstaa som en lille Vorte i Dalen mellem det og dets Forgænger, altsaa f5
paa IV, 1, i Dalen mellem f og f°; men allid er det yngste Blad ligesom rykket lidt op
paa Foden af det 3dje yngste, f° opstaar altsaa ligesom paa Foden af f*, og den Kloft,
der skiller det fra f*, er dybere end den, der skiller det fra /®. Det samme ses af IV, 2.
Den gamle Fytonlere faar her en Kjendsgjerning at støtte sig til.
De unge Blade bestaa af et uordnet Cellevæv under en sædvanlig Overhud (III, 21 B),
og dette uordnede Delingsvæv fortsætter sig nedad i Stænglen i et lige saa uordnet; dets
Grenser ere i IV, 1 og 2 angivne ved en morkere Tone, hvilket er overensstemmende
med Naturen, thi dette Vevs mindre og protoplasmarigere Celler vise sig altid morkere end
de tilgrensende ældre mere storcellede Vev.
Har det unge Blad naaet en vis Storrelse, begynder Dannelsen af dets Dele; i
enkelte Tilfælde (de nederste Blade paa et Skud, se III, 21 A og B) dannes Stiplen tidligere
end Pladens Afsnit, i andre Tilfælde synes dette ikke at vere Tilfældet; men den kommer
dog i ethvert Fald meget tidlig, om end efter det nederste Afsnit eller et Par af disse.
Afsnittene anlægges akropetalt; dette gjælder baade de primere og alle af hojere
Orden (IV, 8—13). Skiftevis anlegges et Afsnit paa Bladets hojre og venstre Rand, og ofte
opstaar et Sideafsnit saa ner ved Spidsen af Hovedafsnittet, at dette næsten synes at
dikotomere sig (IV, 9, 10). Saa vel i Fligenes Alternation, som i den akropetale Dannelse
er der storre Lighed med Bregnebladene end med noget andet Blad, saa vidt mig bekjendt.
une
Afsnittene dække hverandre i Knoppen saaledes, at naar Bladet, der er sammen-
foldet efter Hoved-Midtnerven med Oversiden indad, betragtes udenfra, ses kun den basi-
skope Rand af hvert Afsnit, men ikke den akroskope (IV, 13 o.s.v.); denne er dækket af
det ovenover paa samme Side staaende Afsnits basiskope Rand. Dette er hvad Tyskerne
kalde «oberschlächlig» Bladleje, og hvorom Al. Braun siger"), at kun Cycadeerne, Botry-
chium, Comptonia, Boronia alata og en Xanthoaylon ere ham bekjendte at have det; det er
altsaa en Sjældenhed.
Med Hensyn til den Side, paa hvilken den forste (nederste) sekundere Bladflig af
et Blad fremtreder, er der en bestemt Regel: det dannes paa den notoskope, ved Pladens
Drejning udad (bort fra Skuddets Symmetriplan) vendte Rand; det andet vil altsaa findes paa
den modsatte (I, 2, 3, men især IV, 15, 18, 19; V, 3). Undtagelser gives.
Nervationen er yderst simpel; den retter sig efter Bladets Forgrening, idet hvert
Afsnit modtager en Midtnerve, som ellers ikke forgrener sig (f. Ex. IV, 15, 18, 19, 23).
Skuddenes Forgrening.
Den normale Forgrening sker paa en fra det hos Blomsterplanterne sædvanlige meget
afvigende Maade. Knopperne staa nemlig ikke i Bladaxlernes Median, men ved Basis af Bladenes
notoskope Rand, og uden for Stiplen, som ikke kommer til at omfatte dem. Men — som
om Knopperne ikke kunde undvære et Dekke af en Stipel, — en 2den saadan uddannes,
der omfatter Knoppen og helt kan skjule den, saa lenge den er ganske lille; denne Stipel
vil jeg til Forskjel fra den sædvanlige, kalde den «ydre», fordi den paa Grund af Bladenes
Stilling kommer til at staa paa den fra Skuddets Symmetriplan fjærneste Rand og vender
bort fra denne, medens den sædvanlige (eller «indre») Stipel vender indad mod den; den har
ganske samme Form, som den sædvanlige Stipel, men er oftest lidt mindre og sidder lavere
end denne. Hvert Blad, ved hvilket et Sideskud kommer til Udvikling, bliver saaledes
udstyret med to Stipler, af hvilke den ene omfatter Hovedaxen, den anden Sideskuddet.
Et saadant Blad kunde kaldes «bistipulært», hvis det ikke var en Regel, at Blade med frie
Stipler have to saadanne; jeg vil derfor foreslaa at kalde det «dithecisk», fordi det for-
synes med to Hulheder, der omfatte Skuddene. Saadanne ditheciske Blade ses f. Ex.:
I, 5, 6D (d og g), 10 A (c); I, 1D (p), 5B (7), 7 (ce); IV, 16, 18 A (d), 20 (c, d) o.s.v.
Det har ofte Udseende af, at Sideskuddet udspringer fra Bladet, og ikke fra Stenglen,
paa hvilken dette sidder. Der er imidlertid ikke mere Grund til at anse disse Skud for
mere bladbaarne end de sædvanlige Axelknopper, der jo ogsaa ofte synes at tage deres
Udspring fra Bladene.
1) Die Frage nach der Gymnospermie der Cycadeen. Berl. Akad. Monatsber. 1875, S. 328.
Vidensk. Selsk. Skr. 6. Rekke, naturvidensk. og math. Afd. II. 1. 3
Sideskuddet drejer sig saaledes, at dets to Bladrækker ligge omtrent i samme Plan,
som Hovedaxens; dets Blades Bugsider vende til samme Side som dennes Blades; selve Side-
skuddenes Ryg- og Bugsider vende altsaa til samme Side som Moderaxens, deres Flanker ligge
omtrent i samme Plan som dennes (f. Ex. IV, 19 A; VI, 13 A). Sideskuddets Dorsiventrali-
tetsplan falder altsaa omtrent sammen med Moderaxens; den ene Flanke vender indad mod
Moderaxen, den anden bort fra den. Denne sidste Flanke bærer altid det nederste Blad,
som jeg stedse har fundet at være et Lovblad. Paa stærkt forgrenede Exemplarer, især f. Ex.
af Mniopsis Glazioviana, ses Planterne ofte ligesom lidt rendeformede eller hule, fordi de
sukcessive Sideskud dog ikke ligge ganske udbredte i samme Plan som Moderskuddet, men
ere drejede saaledes, at deres Dorsiventralitetsplan skærer Moderaxens under en spids Vinkel.
I Side- og Hovedskuddets Styrke og Udviklingsmaade er der stor Forskjel. I
nogle Tilfælde udvikles de lige kraftig; der opstaar da en regelmæssig Dikotomi, midt i
hvilken det ditheciske Blad er stillet (I, 6A; II, 1A). Dette synes da at staa endestillet
og ved sin Basis at have to Grene, hver især stottet af en Stipel, og hver iser begyndende
med et udad vendt Lovblad. I Virkeligheden er det ene af disse Lovblade altsaa det af
Hovedaxens Blade, der folger efter det ditheciske, og det andet er Sideskuddets 1ste Blad.
Til Vejledning af, hvilket Skud der er Sideskuddet, kan ofte Stiplernes ulige Storrelse tjene.
Sympodial Forgrening er meget hyppigere, fordi Hovedaxen meget ofte strax
oven for det ditheciske Blad afslutter med en Blomst, og Sideskuddet derpaa indtager dets
Vextretning. Exempler paa Sympodier ses I, 4, 6 B—C, 7, 9, 10; II, 4, 5 (et Sympodium
vil ogsaa udvikle sig af 7); 0. a.
Monopodial Forgrening er sjældnest, og sjælden undgaar et Hovedskud aldeles
at blive bragt ud af sin Vextretning ved Sideskuddenes Udvikling; IV, 19 A kan endnu siges
at vere et Monopodium.
Sideskuddenes Udstyrelse kan være meget forskjellig. Der er Sideskud, som
ere rene Blomster (f. Ex. IV, 22 ved”), andre der have et Lovblad og en Blomst (f. Ex. IV,
20), andre der have 2 eller 3 eller end ogsaa flere Lovblade, for de afsluttes af en Blomst;
IV, 19 viser Exempel paa Sideskud med 1, 2 og 3 Lovblade (det overste har færrest, det
nederste flest af disse).
Hyppigheden af den rent vegetative Grendannelse er forskjellig. Hos Podostemon
Ceratophyllum er der ikke mange vegetative Grene, og navnlig er hele den nedre Del af et
Skud sædvanlig uden Grene (II, 3; I, 9 o. a.). Derimod har den en rig Forgrening med
Sympodiedannelser mod Skuddenes Spidse. Hos Mniopsis Weddelliana findes Forgrening
hyppig og næsten lige fra Skuddenes Grund af; derved fremkommer det tueformede Ydre, som
er saa almindeligt hos denne Art, og som fremtræder f. Ex. iV, 1, 2 og IV, 9. Varieteten
pusilla afviger fra de andre Former ogsaa deri, at Skuddene hurtigere blive nogne og
noget mere knudrede end hos de andre (sammenlign V, 1 med V, 11, 14, 15, 17).
19
Mniopsis Glazioviana er tueformig af Ydre, men aabenbart mindre paa Grund af
en stærk Forgrening end paa Grund af Skuddenes tætte og oprette Stilling paa Roden.
Ægte Axelknopper, stillede i Medianplanen af Bladet og inden for den indre
Stipel ere iagttagne i ét eneste Tilfælde hos Podostemon Ceratophyllum (Il, 4; se Figurfor-
klaringen); om de virkelig ere exogene Dannelser, har jeg ikke kunnet se. Oven for hvert
af Bladene c, f og g findes der en Axelknop, ‘og disse støttende Blade ere ikke ditheciske.
Afvigende fra alle andre Sideskud begynde disse med Lavblade; saaledes ere Blad 1 og 2
i Knop C skelformede Blade, og den nu affaldne Plade paa Blad 3 har sikkert ikke veret
stor. Ligeledes ere de to nederste Blade i Knop B og C Lavblade. Stillingen af de
forste to Blade er transversal i Forhold til Dorsiventralitets-Planen, men der finder
temmelig hurtig en saadan Drejning af Bladrækkerne Sted, at de komme til at ligge i denne
eller i en med den parallel Plan, altsaa blive stillede paa samme Maade som Bladrækkerne
paa de sedvanlige Sideskud. Det forste Blad paa disse Axelknopper vendte i to Tilfælde
ud mod Skuddets Rygside, i et Tilfælde mod Bugsiden, saa vidt ses kunde paa de to
temmelig smaa og slet konserverede Knopper.
Stenglens Anatomi.
Alle Karstrenge ere Bladsporstrænge. Hvert Blad modtager én Streng; folges
denne ind i Stenglen, vil man se, at den efter et kortere eller lengere Lob nedad legger
sig op til en anden Streng, der hojere oppe bojer sig ud til den modsatte Side; det
hele Forhold er, som om der er en eneste Stræng, der skiftevis afgiver Grene til hojre og
venstre, til de paa Flankerne staaende to Bladrekker (II, 7; IV, 1, 2). Et Tværsnit af
Stenglen vil derfor vise et ringe Tal af Karstrenge, som alle ligge i Dorsiventralitets-Planen
(Podostemon 1V, 3) eller danne en Bue, der vender den konkave Side mod Stenglens Ryg-
side (Mniopsis VI, 8).
Tversnit af Stenglerne kunne vere regelmessig elliptiske, men ofte er Rygsiden
lidt mindre hyelvet end Bugsiden (VI, 8).
Karstrængene bestaa af lidt Blodbast (Siror og Kambiform), samt nogle meget faa
og meget udtrukne Skrue- og Ring-Trakeider. Jeg har undertiden set Tversnit, der talte
for, at der i Blodbasten fandtes Adjunktivceller. Det er vanskeligt bestemt at afgjore
Trakeidernes Beliggenhed i Forhold til Blodbasten, fordi de paa Tversnit ere saa lidet i
Ojne faldende; hvor den har veret tydelig, have Trakeiderne ligget nærmest ved Strængenes
Bugside (IV, 3; VI, 8). I ældre Stængler opstaar der ofte en Hulhed i hver Streng, i
hvilken Resterne af Trakeiderne ligge (VI, 8, Strængen til venstre).
Karstrengene ere afstivede af et kollenkymatisk Væv, der ligesom i Roden er
sterkest paa Rygsiden (IV, 3; VI, 8); de ganske smaa Strenge findes dog helt rundt omgivne
af et næsten lige megtigt Kollenkym (IV, 4). Dette Kollenkym kan til sidst antage en brunlig
3"
20
Farve, ligesom ogsaa det nærmest omgivende, mindre kollenkymatiske Væv. Foruden dette
Kollenkym kan der hos Podostemon længere ude i Barken paa Bugsiden findes et Kollen-
kymlag, der ses i IV, 3, men ogsaa kan mangle hos den samme Art; hos Mniopsis Wed-
delliana har jeg ligeledes fundet kollenkymatisk uddannede Vævlag,. om end svagere udviklede,
paa Bugsiden af Stenglen.
Det om Karstrængene liggende kollenkymatisk uddannede Væv er for ovrigt i visse
Henseender forskjelligt fra Kollenkymet og nermer sig til den seje Basts Celler eller til Ved-
parenkymet. Hos Podostemon Ceratophyllum findes der nemlig der langstrakte bastcelle-
lignende Celler, dog uden spalteformede Porer; A/niopsis-Arterne have derimod mere ægte
Sej-Bast, i det der ikke blot findes prosenkymatiske Celler, men disse have tillige spalte-
formede Porer, stillede skraat i en til venstre opstigende Skrue, og dernest er det ovrige
om Strengene liggende Vev dannet af Celler, der forbinde Vedparenkymets Former med
Vedcellernes Spalte-Porer (VI, 6, 7 a—b).
For ovrigt er Stænglernes Overhud og Grundvev ikke forskjelligt fra Rodens.
Bladenes Anatomi.
Epidermis ligner de andre Deles (IV, 6; V, 5). Den er klorofylholdig, og
Klorofylkornene fandtes lejrede op til Inderveggene. Bladene ere iser hen mod Afsnittenes
Spidser lidt rendeformig fordybede og i Renderne forsynede med en mere tyndvegget
Overhud; ejendommeligst er det, at der her hos alle tre Arter blandt Overhudsceller af
sædvanlig Form findes uordentlig indstroet nogle smaa Celler, der ligesom ere skaarne ud af
de andre og ofte runde sig lidt af mod dem (IV, 6; V, 5). Disse smaa Celler have et mor-
kere, noget mere kornet Celleindhold end de andre, og de rage ofte lidt kuppelformig op over
dem; jeg har endog set, at de hos Podostemon Ceratophyllum kunne forlenge sig og danne
korte rodhaarlignende Haar (IV, 7). Da der ofte klæber talrige smaa Smudspartikler ved
disse rendeformede Partier af Bladene, synes et klebrigt Stof at secerneres her, og rime-
ligvis ere disse smaa Celler eller smaa Haar herved virksomme. For øvrigt kan jeg intet
oplyse om den Betydning, som en saadan Sekretion muligvis kan have for disse i Vandet
nedsenkede Blade.
Mesofyllet i Bladene er bygget som Stænglens Grundvæv af tyndvæggede Paren-
kymeeller, der ere storst i Bladenes Indre; en Differentiering i Pallisadevæv og pnev-
matisk Væv findes ikke (V, 6). Banden løber undertiden ud som tegnet i V, 7.
Nerverne bestaa af enkelte Karstrænge med en meget svag Udvikling; Sirer ere
ikke sete, men meget udtrukne Ring- og Skruetrakeider (VI, 7 c) kunne endnu findes i de
nederste, kraftigere Dele af Nerverne. Disse Strenge stottes i hele deres Omkreds (se V, 6,
Cellerne med de morke Vægge) af meget snævre og lange Prosenkymeeller, ægte Sej-Bast-
celler (VI, 7d), og selv i et macereret Blad bevare Nerverne af denne Grund en vis Sejhed.
21
Nogle af de fineste Nerve-Ender bestaa næsten alene af saadanne Celler og nogle faa Kambi-
form-Celler. Dette Prosenkym spiller aabenbart en mekanisk Rolle; medens Bladenes Basal-
dele især gjores modstandsdygtige (faste, haarde) ved Kisel, maa de fine Pladedele, der maa
belge frem og tilbage i Vandet, gjores seje paa anden Maade, hertil maa et andet Materiale
end Kiselkonkretioner i Cellerne anvendes; i det højeste findes der da tillige kiselforende
Celler i Bladrandene; den lille Varietet (pusilla) af Mniopsis Weddelliana har dog meget
kiselrige Blade, og disse ere derfor mere modstandsdygtige. Da Roden ubevægelig ligger
fast trykt til Underlaget har den ingen Brug for et bajeligt Afstivningsmateriale, som Sej-
Basten er, og saadant har jeg heller ikke fundet Spor af; derimod dækkes den ofte af et
tæt Kiselpanser. Den oprette Stengel faar begge Dele, baade Kisel i sin Overhud og tillige
de bojelige mekaniske Celler, men disse Længde og vel ogsaa deres Bojelighed og Sejhed
staar dog tilbage for Bladprosenkymets.
i)
i)
La famille des Podostémacées.
Etudes
par
M. Eug. Warming.
I. Les organes végétatifs chez le Podostemon Ceratophyllum Michx., le Mniopsis
Weddelliana Tul. et le Mn. Glaxioviana Warmg.
(Came 1"° partie d'un travail que j'ai entrepris sur la famille des Podostémacées au point
de vue morphologique, anatomique et systématique, je publie ici les résultats de mes
recherches sur les organes végétalifs des trois plantes ci-dessus mentionnées, comme en
partie aussi du Mn. scaturiginum Mart.
Les matériaux de ces recherches m'ont été fournis par M. W. Canby, avec l'obli-
geante entremise de M. le professeur Asa Gray, par M. A. Glaziou et par différents
musées (Jardin des Plantes à Paris, musée de Stockholm, etc.), et je leur adresse ici mes
sincères remerciments pour la précieuse assistance qu'ils ont bien voulu me prêter.
Les plantes dont il s’agit présentent les particularités anatomiques suivantes. Les
stomates manquent; les cellules épidermiques sont polygonales, quelquefois un peu allongées
(HE, 25; IV, 6; V, 5); les méats intercellulaires sont extrêmement petits et peu nombreux,
ou font complètement défaut; toutes les parois des cellules sont formées de cellulose pure,
excepté celles des trachéides, qui sont un peu lignifiées, et elles ont de la tendance à
devenir collenchymateuses, surtout dans certaines parties du tissu fondamental et autour des
faisceaux vasculaires. L’amidon est très abondant dans la racine et la tige et a les formes
représentées dans VI, 5; les concrétions de silice, dans les formes représentées dans
III, 25; V, 8, 9 et VI, 9, sont très nombreuses à la périphérie, surtout dans l’épiderme de
la racine et de la tige, à la base et plus ou moins dans le limbe des feuilles, principale-
ment le long des bords (III, 11; IV, 3, 5; VI, 8); on en trouve aussi dans l’intérieur autour
du cylindre central et des faisceaux fibro-vasculaires (voir Warming: Vid. Meddel. fra d.
naturhist. Forening i Kjebenhavn, 1881).
Les trois espèces qui nous occupent (et sans doute aussi toutes les autres Podo-
stémacées) ont des racines plagiotropes rampant dans toutes les directions; elles sont
dorsiventrales; leur section transversale est représentée III, 3, 11 et V, 12B, 18B; elles
renferment un peu de chlorophylle. Le cylindre central a à peu près la même forme que
toute la racine et est plus rapproché du côté ventral; je Vai trouvé formé seulement de
liber mou dans de petites racines de Mn. Weddelliana (VI, 2), et de liber mou avec deux
groupes de xylème chez toutes les autres (III, 11, 15, 17, 18; V, 12 B, 18 B et VI, 3),
soit avec (VI, 3) soit sans (III, 15) différenciation du liber mou. Celui-ci se compose de
cellules cambiformes et de tubes criblés (III, 16, 17, 19); je n'y ai pas constaté avec cerli-
tude la présence de cellules adjointes'). Le tissu fondamental contigu au cylindre central
est plus fortement collenchymateux qu'à une distance plus grande.
Toutes les racines sont munies d’une coiffe, mais le côté qui regarde le substratum
est moins développé que les autres (III, 23); cela va si loin qu'il ne reste qu'une petite
coiffe onguiforme sur le côté supérieur de la pointe (V, 19, 20, 21, 22, 24). De là à sa
complète disparition il n'y a qu'un petit pas (chez le Tristicha, d'après M. Cario, qui, pour
cette raison, désigne la racine comme un thallus; les plantules du Castelnavia (princeps?)
sont aussi tout à fait dépourvues de coiffe, et le sommet de la radicelle se couvre de poils
radicaux tout comme chez les Cuscuta). Je n'ai pas trouvé de limite tranchée entre le
périblème et le plérome, et la coiffe semble naître du même méristème que l’epiderme.
La régénération des racines après une rupture est chose très commune, et elle se
fait à l'extrémité acroscope (I, 1; II, 2; III, 4, 14, 22(?); V, 12, 13, 16, 20A; VI, 1). On a
représenté dans II, 2 et III, 4B deux racines qui naissent de la même face de rupture; elles
peuvent être réunies à la base (III, 4C; V, 13, 23), de sorte qu'il semble s'être produit
une dichotomie.
Les nouvelles racines naissent sur les flancs des anciennes ou un peu en dedans
sur le côté ventral, lorsque la racine devient extraordinairement large (I, 1; V, 10 A, 12 A,
18 À et B, 20 A, 12B; VI, 12). Elles sont endogènes. Des racines peuvent aussi naître
desmtizes (I, 11:1, 1: 91, 10,11):
La racine est fixée au substratum 1° par des poils radicaux de structure ordinaire,
mais à parois épaisses, irrégulièrement étalés à la pointe et souvent très courts (III, 8, 9,
11; V, 18; VI, 4, 14, 15); ils sécrètent une matière visqueuse qui les colore en brun.
2° par des appareils préhenseurs particuliers que je propose d'appeler haptères (azzew),
qui partent de la racine au-dessous de la base des pousses radicales (par ex. Il, 6, 9; III, 1 etc.)
et qui, suivant la distance qui les sépare du substratum, sont ou longs et coniques avant
de s’elaler pour s’acerocher à ce dernier, ou courts, larges et en forme de disque (I, 1, 11;
II, 3, 6, 8, 9; II, 1, 3, 5, 7; V, 18; VI, 12, 14). Ils sont quelquefois ramifies (II, 9; III, 6,
7, 10), et peuvent aussi avoir des poils radicaux. Ils naissent d'une manière exogene
(HT, 11, 12) et se ramifient de la même façon (III, 13); ils ont un point végétatif terminal
(III, 12, 13) qui est entièrement nu. Ils sont formés seulement de parenchyme, qui peut
être riche en amidon et renfermer de la silice dans l'épiderme, et ils peuvent se régénérer
(III, 20) comme les racines. Quoique, par conséquent, ils s'écartent beaucoup des racines
et constituent comme une espèce d'émergences sur ces dernières, je suis cependant porté
à croire qu'ils dérivent phylogénétiquement des racines, hypothèse en faveur de laquelle on
1) «Cellules-adjointes», synonymes avec les «Geleitzellens de Wilhelm. Voir Kolderup Rosenvinge
«Vegetationsorganerne hos Salvadora»; Danske Vid. Selsk. Oversigter, 1880.
24
peut invoquer: 1) leur croissance apicale; 2) leur place sur les racines; 3) la faculté (il est
vrai, seulement observée une fois) qu'ils ont de se régénérer, et 4) à un moindre degré,
qu'ils ont des poils radicaux (car on en trouve aussi sur les thalles, sur les proembryons
des cryptogames, sur les formations appelées «callus» par les botanistes allemands, sur
certains rhizomes et sur le proembryon de certaines graminées). Je regarde également
comme des racines transformées les formations thalloïdes intracorticales chez le Viscum et
d'autres parasites. Il existe, comme on sait, des racines sans coiffe et d’autres qui sont
exogènes.
Les hapteres se développent aussi sur les tiges (II, 3; V, 4, 14, 15); cependant je
n'ai pu constater avec certitude s'ils sont également exogènes.
Les pousses naissent sur les racines, qui, sous ce rapport, jouent évidemment un
rôle très important dans toute cette famille (voir les figures de Tulasne; sa Fig. 2 PI. IX,
une Dierwa elongata, représente certainement une racine donnant naissance à des
pousses; comparer avec mes figures IV, 14 et V, 10 A). Elles sont placées sur les flancs
des racines ou un peu en dedans sur le côté ventral (III, 11, 12; V, 12, 18), ordinairement
par paires (I, 1,11; III, 1,6; IV, 14; V,10A, 12 A); elles naissent en ordre acropétale (IV, 14),
quelquefois plusieurs paires en même temps (V, 10 A). Elles sont endogènes à la péri-
pherie de l'écorce de la racine (III, 2, 11, 12, 21; V, 18B).
Les pousses développées font avec la racine des angles très variables, depuis
une direction presque verticale, comme chez le Mn. Glazioviana (VI, 13), jusqu'à une
direction presque horizontale, comme chez quelques formes du Mn. Weddelliana (IV, 14).
Elles sont nettement dorsiventrales (p. ex. I, 6, 10; II, 1; IV, 18, 19; VI, 13), mais
cette particularité n’est pas poussée à l'extrême comme chez le Castelnavia ou Marathrum
et autres genres (j'appelle face ventrale celle qui se détourne du plan de symétrie de la
racine et qui est tournée en dehors ou en bas vers le substratum; le flanc «acroscope»
regarde la pointe de la racine et le «basiscope», son extrémité postérieure).
Les feuilles situées sur les flancs de la pousse ont la disposition 1/2; la 1”? feuille
est située sur le flanc basiscope, par ex. IV, 14, 15, 18. Le bord «gastroscope» de la feuille
n’embrasse guère plus fortement le côté ventral de la tige que le bord «notoscope», le côté
dorsal. Le limbe se tourne de manière que sa face ventrale (supérieure) vient regarder le
côté dorsal de la pousse, et tous les limbes des feuilles viennent par conséquent se placer
dans le plan dorsiventral de la racine.
Les pousses radicales commencent avec deux écailles. Même s'il se produit un
changement (suivant la saison?) dans la longueur des entre-nœuds (chez le Pod. Ceratophyllum :
I, 9; II, 3, 4 A), il ne se forme ensuite que des feuilles foliacées.
Les feuilles foliacées ont, chez le Pod. Ceratophyllum, une stipule intrapétiolaire
complete (I, 2, 3, 4, 8, etc.; II, 1, 4, 5, etc.) Les trois espèces connues du genre Mniopsis
n'ont qu'une demi-stipule intrapétiolaire sur le côté notoscope de la base de la feuille
(IV, 15, 16, 17, 18, etc.; V, 3, etc.; VI, 13, 16); elle a été considérée comme une feuille
indépendante (voir Weddell, De Cand. Prod. 17, p. 77).
Les limbes des feuilles foliacées sont pennatipartites, et les formes des partitions
varient beaucoup chez le Pod. Ceratophyllum, sans doute suivant les localités (comparer I, 1
25
et II, 5 avec I, 6, 8 et II, 1). (Les feuilles du Mn. scaturiginum gardées dans les collec-
tions (VI, 16) seraient-elles entières?)
La tige n'a pas de sommet qui s'élève au-dessus de la plus jeune feuille; les
feuilles sont à peu près terminales (III, 21; IV, 1, 2), la plus jeune naissant entre les deux
qui l’ont précédée, en surmontant un peu la base de la plus ägée.
Sous l’epiderme, on trouve un tissu cellulaire irrégulier (Ill, 21) jusqu'à une cer-
taine profondeur dans la tige (les parties les plus foncées de IV, I, 2). Les partitions
des feuilles, tant du 1% ordre que d'un ordre plus élevé, naissent toutes en ordre acropé-
tale, souvent si près du sommet de la partition principale, qu'il semble presque se
dichotomer, et sont alternantes tout comme chez les fougères (IV, 8—13); dans le bour-
geon, elles se recouvrent de manière que chaque bord acroscope est recouvert par le
bord basiscope de la partition supérieure de la feuille, regardée du côté dorsal (IV, 13;
«oberschlächtige Deckung» de feu Al. Braun, voir Berlin. Monatsber. 1875, p. 328).
La partition inférieure du 1" ordre de chaque feuille naît ordinairement sur le bord noto-
scope des feuilles.
Les pousses latérales ne sont pas axillaires en dedans de la stipule ordinaire, mais
naissent à la base du bord notoscope de la feuille, et sont couvertes par une stipule spé-
ciale («extérieure») de la même forme que la stipule normale («intérieure»); ces feuilles ainsi
munies de deux stipules, je propose de les appeler des feuilles dithé ques (I, 5, 6, 10, etc.;
(II, 1, 5, 7, etc.; IV, 16, 18—23; V, 17; VI, 13, 16). La pousse latérale se tourne de
manière que son côté dorsal regarde à peu près dans la même direction que celui de la
pousse mère, et que son flanc notoscope s’écarte du plan de symétrie de la pousse mère;
ce flanc porte la feuille inférieure, qui, de même que toutes les suivantes, est foliacée (voir
le diagramme IV, 24).
Dans quelques cas, la ramification devient dichotomique, et la feuille dithèque se
trouve alors au milieu de la dichotomie (I, 6 A; II, 1 A); les sympodes sont très communs
I, 4, 6B-C, 7, 9, 10; II, 4, 5; III, 1, etc.); les monopodes sont rares. Les pousses
latérales peuvent porter 1, 2, 3 feuilles foliacées et davantage avant qu'elles fleurissent
(voir par ex. IV, 19).
De véritables bourgeons axillaires ont été observés dans un cas, mais je ne sais
s'ils étaient réellement exogènes (II, 4; voir l'explication des planches). Ils ont commencé
par deux écailles placées à droite et à gauche du plan médian, après quoi il s’est produit
une rotation toujours plus marquée des rangées des feuilles, jusqu'à ce qu'elles fussent
dans le plan dorsiventral.
Les figures Il, 7 et IV, 1, 2 représentent la ramification des faisceaux vasculaires dans
la tige, et les figures IV, 3 et VI, 8, des coupes transversales de la tige avec les faisceaux.
Chacun d'eux est formé de liber mou et de trachéides qui sont contigus au côté ventral
des faisceaux (IV, 3; VI, 8); dans les faisceaux plus âgés, il y a une cavité au milieu
(VI, 8). Les faisceaux vasculaires sont, comme le cylindre central dans la racine, consolidés,
surtout sur leur côté dorsal, par un tissu collenchymateux (col dans les figures) dont les
cellules ici se rapprochent cependant davantage de celles du liber dur; des formes comme
VI, 6, Ta-b, qui joignent la forme du parenchyme aux pores du liber dur et des fibres
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. Il. 1. 4
26
ligneuses, se trouvent dans le tissu qui entoure les faisceaux, et on y rencontre aussi de
véritables cellules de liber dur. L’écorce peut renfermer des parties formées d'un tissu forte-
ment collenchymateux (IV, 3).
Les feuilles, dans le milieu un peu creusé en forme de gouttière de leur face supé-
rieure, surtout près du sommet des partitions, ont un épiderme comme celui de la
Fig. IV, 6 et V, 5; les petites cellules peuvent s’allonger en forme de poils (IV, 7); il se
produit évidemment ici une sécrétion. Il n’y a pas de différenciation dans le mésophylle
(V, 6). Les faisceaux vasculaires peuvent être entourés (voir V, 6) de véritable liber dur,
c’est-à-dire de cellules longues et étroites de prosenchyme (VI, 7 d).
27
Explication des Planches.
Planche I.
Podostemon Ceratophyllum Michx.
Fig. 1 [7]- Exemplaire en grandeur double, vu d'en haut. AR—R, racine fixée à une pierre, et de
laquelle naissent 4 paires de pousses feuillées et 1 pousse isolée. Les pousses sont dirigées obliquement vers
le haut et non horizontalement comme la figure semble l'indiquer; elles ont un côté ventral (tourné en bas)
et un côté dorsal (tourné en haut et visible dans la figure). Les haptéres h—h naissent des racines au-dessous
de la base des pousses; celles-ci sont endogènes et les haptères, exogènes. r—r sont 5 racines nées sur
R—R; de deux d'entre elles on ne voit que des fragments; deux autres se sont régénérées immédiatement
au-dessus de la base et portent chacune 1 paire de bourgeons (g, g), qui se développeront en des pousses
feuillées; la cinquième a 2 paires de bourgeons.
Fig. 2 [?]. Feuilles d’une pousse séparées les unes des autres et dessinées exactement avec leurs
formes. f est vue de la face dorsale et les autres le sont de la face ventrale, qui se tourne toujours de
manière à regarder le côté dorsal des pousses. Chaque feuille est munie d’une stipule intrapétiolaire. A est
encore en prefoliation; à est renfermée dans la stipule de A.
Fig. 3 [i]. Pousse naissant de la racine r, et dont les partitions des feuilles sont plus étroites que
dans les Fig. 1 et 2.
Fig. 4 [2]. Partie supérieure d’une pousse dont les feuilles ont en partie des partitions encore plus
fines que celles de la Fig. 3. C'est un sympode de deux pousses. a, à, c sont des restes de feuilles sur l'axe
du 1er ordre, qui se termine en une fleur # maintenant tombée; c est une feuille dithèque, près du bord noto-
scope de Jaquelle a pris naissance la pousse II, qui porte les feuilles 1, 2, . . . 5.
Fig. 5. Feuille dithèque.
Fig. 6 A. Branche environ de grandeur naturelle, vue du côté ventral; 1, 2, 3 . . . 7 sont les
feuilles de la pousse 1; les feuilles 3, 4 et 7 sont dithèques. Par suite du vigoureux développement des axes
latéraux, l’axe principal est dévié de sa direction première, et il se forme au point d'insertion des feuilles
dithèques 3 et 4 deux pseudodichotomies dans lesquelles ces feuilles sont en apparence terminales. L’axe
principal se termine par la fleur I et, à la base notoscope de la feuille 7, naît une pousse latérale X, qui plus
tard formera certainement un sympode avec l'axe principal (voir Fig.6, B et C). A gauche, au bord notoscope
de la feuille 3, part une pousse latérale avec les feuilles a, 6, e...g; d est une feuille dithèque, à la
base notoscope de laquelle naît une autre pousse latérale A! (voir Fig. 6 D). Les feuilles e, f et g sont beau-
coup plus jeunes que les précédentes et ne sont en partie pas encore épanouies. Au bord de la feuille 4, à
droite, on voit une pousse latérale analogue à celle de la feuille 3.
Fig. 6 B [5]. Partie supérieure de la pousse I de la figure précédente, avec les feuilles 5, 6 et 7,
également vue du côté ventral; A est la pousse latérale qui se développe à la base de la feuille 7. La fleur
qui termine l'axe principal a donné un fruit qui n'a pas müri; dans quelque temps, elle semblera sans doute
être latérale par suite de l’usurpation de l'axe lateral.
28
Fig. 6 C. Même branche vue du côté dorsal, ce qui permet de voir plus distinctement les deux sti-
pules de la feuille 7.
Fig. 6 D [5]. Partie supérieure, vue du côté dorsal, de la pousse située à gauche de la feuille 3,
dans la Fig. 6 A, avec les feuilles à, c, d . . . g; st, stipules de la feuille dithèque d. A son bord notoscope
sort un bourgeon dont la première feuille X! enferme la deuxième feuille 7. L'axe principal (Il), dont la fleur
vient d’eclore, conserve encore à peu près sa direction primitive, mais plus tard la pousse latérale le rejettera
certainement de côté. La feuille g est aussi dithèque et sa stipule externe enferme le bourgeon III.
Fig. 7A. [3]. Extrémité supérieure d’une branche sympodique avec 3 générations de pousses. a, b
et c sont les feuilles, la dernière ditheque, de la pousse I, qui se termine par une fleur flétrie. 1, 2, 3, 4,
5, 6 sont les feuilles de la pousse Jl, qui a pris naissance au bord externe de la feuille e et continue la
croissance de l’axe principal. Son bourgeon terminal est enfermé entre les stipules des feuilles 5 et 6. La
feuille 6 est dithèque (st, stipules); à son bord notoscope naît la pousse Ill, dont x est la première feuille.
Fig. 7 B. Parties basales des feuilles 6 et x dans la Fig. 7A.
Fig. 8 A. Fragment d'une branche à peu près de grandeur naturelle, vu du côté ventral; il se ter-
mine en I par un bouton. Les 4 feuilles supérieures a, 6, c et d ont encore un limbe et des partitions très
fines; des feuilles inférieures il ne reste que des parties basales.
Fig. 8.B. Partie supérieure de 8A, vue du côté dorsal. d est une feuille dithèque et st sont ses
stipules. A son bord externe, à droite, naît la pousse II avec les feuilles æ et y.
Fig. 9 [}]- Partie d'une branche avec 4 générations de pousses. Après une série de courts entre-
nœuds à partir de la base, viennent des entre-nœuds plus longs qui ensuite se raccourcissent de nouveau.
Au-dessus de la feuille a, les feuilles sont encore assez fraîches (excepté la feuille d); au-dessous, elles sont
tombées; a, b, ¢ et la feuille dithèque d sont les feuilles supérieures de la pousse I, qui se termine par une
fleur, maintenant flétrie. 1, 2 et la feuille dithèque 3 appartiennent à la pousse suivante II, qui se termine
par un bouton, et m, n, o, p et la feuille dithèque g, à la pousse II, qui se termine aussi par un bouton;
a, 8, y, d, € . . . sont les feuilles de la 4e génération de pousses.
Fig. 10 A et B. Partie d'une pousse, vue du côté dorsal (A) et du côté ventral (B). a, b et la feuille
dithèque c sont les feuilles supérieures de la pousse I, qui se termine par un bouton; a est la {re feuille de
la pousse Il, qui a pris naissance au bord externe de c et forme un sympode avec l'axe principal.
Fig. 11 []. Fragment de racine (r, 7), d'où partent deux pousses endogènes (g, g); de l'une d’elles
sort une racine 7’ qui porte une pousse nouvelle, g‘; % est un haptère.
Planche IL,
Podostemon Ceratophyllum Michx.
Fig. 1A. Partie d'une plante, à peu près en grandeur naturelle, vue du côté dorsal. La pousse prin-
cipale I porte les feuilles a, b, c et la dithèque d et est ensuite déviée à droite par la branche se développant
à gauche, dont la 1re feuille est m, après quoi elle porte la feuille dithèque e, est déviée à gauche par la
branche se développant à droite, dont la {re feuille est 1, et porte enfin les feuilles f, g, A (dithèque), © et %
(dithéque), Voir 1B et 1 C.
Fig. 1B [5]. Partie supérieure de la pousse principale précédente, vue du côté ventral.
Fig. 1 G. Mème partie, vue du côté dorsal. La feuille à n'est pas tout à fait normale, car de sa base
part un lobe ö! avec une stipule st! sur le côté ventral de la branche. Le bourgeon Il, embrasse par la
stipule externe de la feuille 2", porte les feuilles a, 8 . ..
Fig. 1 D et E. Sommet de la branche inférieure dans A, vu du côté dorsal et du côté ventral. 1 D
est plus fortement grossi [4°] que 1E [?]. Cette branche porte les feuilles m, n, 0, p, g, ces deux dernières
dithéques, 7 qui n'est pas encore éclose, etc. (la stipule interne de la feuille g est coupée à son extrémité). Le
bourgeon Ill, embrassé par la stipule externe de la feuille p, n'a encore que 2 feuilles visibles, a et f, et
celui qui est à la base externe de la feuille g‘ n'en a encore qu'une.
Fig. 1F et G [}]. Sommet de l'avant-dernière branche inférieure de A, vu du côté dorsal et du côté
29
ventral. Elle porte les feuilles 1, 2, 3, 4 et 5, dont l'avant-dernière est dithèque. Le bourgeon qui est enfermé
dans la stipule externe de la feuille 4 est à peu près aussi développé que le bourgeon terminal, qui est en-
fermé dans la stipule interne. La {re feuille de ces deux bourgeons est, quant à son développement, bien en
arrière des feuilles 1—4.
Fig. 2 [2]. Parties d’une racine. Elle est brisée en reg, mais s'est régénérée par deux nouvelles
racines: on voit trois pousses sur ces racines, et il y en avait une quatrième qui est tombée.
Fig. 3 [3]. De la racine r part une pousse qui est vue du côté ventral, de sorte que l'haptère A,
tourne vers le spectateur sa face inférieure. De la plupart des feuilles il ne reste que la base. Les feuilles
a, b, c et d semblent être suivies d’une dithéque e (?); mais alors on observe ici cette particularité que la pousse
latérale II, dont les feuilles inférieures sont marquées a, #, y, s'est développée beaucoup plus vite que la
pousse principale, qui poursuit seulement maintenant son développement; ses autres feuilles sont f, g, À . . .
L'extrémité de la pousse latérale II a disparu, de même que la plus grande partie de la feuille dithèque ¢; s
est l’avant-derniere feuille supérieure. La pousse III porte les feuilles æ, y, 2
Entre les feuilles d et f de la pousse I, on voit un haptère ramifié qui veed verticalement, mais on
ne discerne pas bien s’il a une origine exogéne. Les branches en sont très fortement fixées les unes aux
autres en x et x. C'est la seule fois que, chez le Podostemon Ceratophyllum, j'ai observé un appareil de
ce genre naissant directement de la tige.
Fig. 4 A. Cette figure représente un cas rare, à savoir la formation de bourgeons axillaires normaux.
J'ai représenté la partie supérieure d'une pousse vue du côté dorsal; de la plupart des feuilles il ne reste que
la base. Après la feuille a, suivent avec une alternance régulière les feuilles 6, c, d, e, f, g et A, dont la der-
nière est dithèque. La pousse principale se termine en I; la pousse latérale Il, embrassée par la stipule externe
de 4", porte les feuilles a, Ø, 7 et la feuille dithèque 6, ainsi que la fleur Il qui a donné un fruit (stam est
le reste d'une étamine); la pousse III, formée à la base de d, porte les feuilles m, n, 0, p et la dithèque g;
le sommet en est caché entre les stipules de III. La pousse IV, embrassée par la stipule externe de g, porte
les feuilles a!, 4" .
Outre la pousse latérale normale II, l'axe principal porte trois bourgeons G, D, B, qui ne sont pas
embrassés par des feuilles dithèques et qui, en opposition avec les pousses normales extra-axillaires, débu-
tent avec des écailles. La pousse C, qui est vue du côté ventral dans 4 C, est à l’aisselle de la feuille c et
porte l'écaille 1, l’écaille bifide 2, une feuille foliacée normale 3, dont le limbe est tombé, et ensuite les feuilles
foliacées 4, 5, 6, 7,8... La feuille 1 regarde le côté dorsal de l'axe principal; la feuille 2, le côté ventral
dans une direction oblique; la feuille 3 et, à un plus haut degré, les suivantes, sont situées à peu près dans
le même plan que les feuilles de l'axe principal (plan dorsiventral).
Le bourgeon D est situé à l’aisselle de la feuille f; il est plus fortement grossi dans 4 D, où je l'ai
représenté tel qu'il se montre lorsqne l’axe mère est vu de côté. Les feuilles 1 et 2 sont des écailles; la
première regarde le côté ventral de l’axe mère et la seconde, son côté dorsal. Puis viennent des feuilles
foliacées. Le bourgeon B, à l’aisselle de g, est plus grossi dans 4 B; la première de ses deux feuilles inferi-
eures (les écailles 1 et 2) semble être tournée vers le côté ventral de la branche comme dans le bourgeon CG
(par suite d’une inexactitude dans le dessin, la feuille 1 est recouverte par 2).
Fig. 5 A[?]. Partie d'une branche faiblement grossie. La pousse I porte les feuilles a, 6, c, d, dont
la dernière est dithèque, et se termine par une fleur I, dont il ne reste que l'involucre. La pousse II forme
un sympode avec l’axe mère; elle porte les feuilles a, Ø et y (dithèque) et se termine par le bouton II. Pour
le reste, voir la figure suivante.
Fig. 5 B [$]. a, Ø et y comme daus 5A. Le bouton a été enlevé. Autant qu’on en peut juger, il
semble que les feuilles de la pousse latérale III sont les feuilles dithèques m et x, dont la première est en
partie tombée, et 0, p .. . A la stipule externe de m, se dévéloppe une pousse qui commence avec la feuille
a, mais dont le reste y est très obscur, et à celle de n se forme la pousse IV avec les feuilles 1,2...
Fig.6. De la racine r partent une pousse endogène et un haptère exogène qui s'étale sur une pierre.
Fig. 7 [1]. Partie supérieure de la pousse I, avec les feuilles a, 5 et la dithèque c qui est termi-
nale. Celle-ci embrasse avec sa stipule interne le bouton terminal (le bouton I) et avec sa stipule externe le
bourgeon Il. En f on a indiqué les faisceaux vasculaires.
Fig. 8. Un haptère qui s'attache à une pierre.
30
Fig. 9. De la racine 7 partent une pousse endogene et un haptère ramifié. En cic il y a une cica-
trice. Deux des autres branches se sont étalées à leur extrémité et fixées à un corps étranger; la troisième
pend encore librement et est en train de se ramifier en pv. Les points végétatifs sont plus foncés que le
reste du tissu. Toutes les branches des haptères sont exogènes.
Planche II.
Podostemon Ceratophyllum Michx.
Fig. 1 [7]. Pousse d'où part une très longue racine. La pousse est presque entièrement dépourvue
de feuilles. Son 1er axe se termine en fl! par les restes d'une fleur et son 2e axe en fl”, par un jeune fruit.
De la raeine partent 6 paires de pousses et 2 pousses isolées; les plus jeunes (g) sont encore enfermées dans
le tissu de la racine, À sont des haptères,
Fig. 2. Extrémité d’une racine en coupe longitudinale; on voit un bourgeon endogène recouvert de
2 couches de cellules. Au centre est indiqué le cylindre central.
Fig. 3 [5]. Coupe transversale d'une racine 7, près d'une paire de pousses; leurs parties basales
sont représentées dans leur position divergente naturelle; au-dessous, on aperçoit leurs haptères.
Fig. 4 [5]. Partie d'une racine qui s’est régénérée en 3 endroits et qui, au-dessus de c, présente
presque une dichotomie. En c, la racine s'est régénérée totalement d'un côté (voir 4 C); en b, apparaît en
même temps une racine plus petite (voir 4B), qui semble être dépourvue de coiffe. On voit deux pousses
isolées et, en ci, les cicatrices de deux autres.
Fig.5. Fragment de racine avec deux haptères soudés ensemble; celui de gauche a par erreur été
placé trop loin de la base de la pousse à laquelle il appartient.
3 Fig. 6. Fragment de racine avec des haptéres; on voit que la longueur et la forme de ces appareils
dépendent de la distance à laquelle la racine se trouve de la pierre où elle se fixe.
Fig.7. Un haptére qui se ramifie 4 son extrémité inférieure; les points végétatifs sont reconnais-
sables à leur contenu plus foncé; ils sont munis de poils radicaux, qui sont représentés à gauche avec un
plus fort grossissement.
Fig-8. Fragment d'une racine (coupe transversale) avec des poils radicaux.
Fig’ 9. Extrémités de pareils poils radicaux.
Fig 10. Haptère ramifié.
Fig. 11. Coupe transversale d'une racine, sur laquelle on voit en g un bourgeon encore recouvert de
1 ou 2 couches de cellules, et au-dessous un haptère (4) en train de se développer. On aperçoit dans la racine
le cylindre central, dont les deux groupes de xylème sont marqués æyl. Les points marqués sil désignent des
cellules qui renferment de la silice.
Fig. 12. Coupe longitudinale d'un haptère; en haut, en g, la coupe a rencontré une pousse qui a
percé le tissu de la racine.
Fig. 13. Coupe longitudinale d'un autre haptère.
Fig. 14. Coupe longitudinale d'une racine d'où part une autre racine qui a du aussitôt se régénérer.
On a indiqué la situation du cylindre central et la disposition des cellules aux points de rupture.
Fig. 15. Coupe transversale du cylindre central d'une racine et du parenchyme riche en amidon qui
l'entoure. On voit 2 groupes de tracheides (zyl), mais le cylindre est du reste formé de tubes criblés et de
cellules cambiformes, en partie avec des parois un peu collenchymateuses.
Fig. 16. Partie du liber mou avec des tubes criblés distincts.
Fig. 17. Trachéides avec le liber mou contigu.
Fig. 18. Extremite d'un trachéide. 2
Fig. 19. Partie de liber mou avec des pores distincts sur les parois des tubes criblés, cas qui n'a
été observé qu'une fois.
Fig. 20. Fragment d’une racine, avec un bourgeon et un haptère qui s'est régénéré et de nouveau
est rompu au sommet.
31
Fig. 21 A. Coupe longitudinale d'une jeune pousse radicale, faiblement grossie; elle porte 3 feuilles,
dont deux ont déjà des stipules distinctes.
Fig. 21 B. La plus jeune feuille de 21 A fortement grossie.
Fig. 22. Extrémité d'une racine qui semble se régénérer; derrière la pointe, on voit deux jeunes
pousses qui ne se sont pas encore fait jour.
Fig. 23. Pointe d'une racine, vue du côté dorsal (à gauche) et du côté ventral. La coiffe est visible-
ment plus petite sur le côté ventral.
Fig. 24. Cellule du parenchyme du tissu fondamental dans une racine; la paroi en est un peu
collenchymateuse. Son protoplasme s'est retiré de la paroi et s'est entouré d'une membrane à double contour.
Les grains d’amidon qui étaient logés dans le protoplasme en sont tombés.
Fig 25. Épiderme d'une racine; toutes les cellules sont remplies de corps siliceux, dont la périphérie
est transparente, tandis que leur intérieur renferme un grand nombre de pores fins remplis d'air.
Planche IY.
Fig. 1—13. Podostemon Ceratophyllum Michx.
Fig. 1. Coupe longitudinale de l'extrémité d'une pousse. f!, f*, f*, f* et f° sont les feuilles les
plus jeunes et fv, les faisceaux fibro-vasculaires qui y aboutissent. Les feuilles f*—/° et le tissu cellulaire,
dans la partie de la tige au-dessous d'elles, ont des cellules plus petites, plus foncées et plus riches en pro-
toplasme que les autres parties.
Dans la figure placée au bas de la figure principale, on voit les deux feuilles les plus jeunes, f* et
f°, et des parties de f* et de f*. La feuille la plus jeune f° est à peu près terminale, et sa face dorsale est
moins haute que la face ventrale qui regarde la plus jeune feuille suivante (f*).
Fig. 2. Coupe longitudinale de l'extrémité d'une autre pousse; la feuille la plus jeune est plus dé-
veloppée que la feuille correspondante de la Fig. 1. La stipule de la plus jeune feuille suivante saille déjà
fortement.
Fig. 3. Coupe transversale d'une tige. A la périphérie, sont indiquées des cellules à silice. Dans
le parenchyme du tissu fondamental, on voit sur la face ventrale (qui est tournée vers le bas) une bande de
collenchyme. Les faisceaux vasculaires sont à peu près disposés en une bande transversale; ils ont chacun
sur le côté dorsal une partie formée de collenchyme; les trachéides sont plus rapprochés du côté ventral.
Fig. 4. Un des plus petits faisceaux vasculaires d'une tige; il est formé presque exclusivement de
tissu collenchymateux environnant un peu de tissu cambiforme.
Fig. 5. Coupe transversale d'une feuille. La face ventrale est tournée vers le haut. Sur les bords
sont indiquées des cellules contenant de la silice. Il y a du collenchyme sur le côté ventral de la nervure.
Fig. 6. Sommet d'une partition de feuille. Il est un peu ereusé au milieu en forme de gouttière, et,
entre les cellules épidermiques, dont les parois sont ici un peu plus minces, on voit quelques cellules brunätres
plus petites; ces petites cellules surmontent souvent les autres sous forme d'une coupole, plus rarement:
Fig. 7. Sous forme de petits poils.
Fig. 8—13. Diverses phases de développement de la feuille foliacée. Les partitions primaires (a, 0,
c, d etc.) et secondaires (a', a?, etc., b!, b?, ete.) naissent en direction acropète. Une partition naît souvent
si près du sommet de la partition principale, que celle-ci semble presque se bifurquer par dichotomie (voir, par
ex., Fig. 9, 10, 11). La stipule apparaît de bonne heure à travers la base de la feuille comme un bourrelet
demi-annulaire, qui en croissant entoure la feuille suivante. En regardant de dehors le côté de la feuille
(Fig. 13), on voit le bord supérieur (acroscope) d'une partition recouvert par le bord inférieur de la partition
située au-dessus, de sorte que le bord supérieur est l’interne et l'inférieur, l'externe (cela n'est pas bien repré-
senté sur le côté gauche de la Fig. 10 comme dans les autres).
Fig. 14—24. Mniopsis Weddelliana Tul.
Fig. 14. Racine bien garnie de pousses et dont la pointe est recouverte par la coiffe, avec un gros-
sissement de 2 fois. Il n’y a pas d’hapteres. La feuille inférieure de chaque pousse regarde l'extrémité opposée
à la pointe de la racine.
32
Fig. 15 [7]. Fragment de la même racine fortement grossi. Dans cette figure et, en général, chez
les feuilles des espèces dont il s'agit ici, la Ire partition de chaque feuille est située sur le bord «notoscope» de
la feuille, mais tournée latéralement par la rotation des feuilles lorsqu'on regarde la pousse du côté dorsal.
La feuille inférieure de chaque pousse n'a pas de stipule.
Fig. 16. Partie supérieure d'une pousse florifére (de la Fig. 14). La fleur, non encore éclose, est
terminale. La feuille supérieure est dithèque, mais la pousse latérale qui se développera à sa base, gardée
par la stipule st‘, est encore très petite et tout à fait cachée par la stipule.
Fig. 17. Feuille isolée. Dans le genre Mniopsis (Mn. Weddelliana Tul., Mn. scaturiginum Mart.,
Mn. Glazioviana Warmg.), la stipule est placée près du bord notoscope des feuilles et réduite à un petit lobe
oblique; il n’y a qu'une demi-stipule.
Fig. 18 [}]. Une pousse de la Fig. 14 vue du côté dorsal (A) et du côté ventral (B). a, b, e, den
sont les feuilles; d est dithèque, comme il y a une stipule externe qui enveloppe unc pousse dont la première
feuille (a) est visible. On voit bien par cette figure et les figures 15, 19 et 23, que toutes les feuilles sont
tournées de manière à regarder le côté dorsal de la tige (en haut).
Fig. 19 [7]. Pousse déjà munie de 3 axes latéraux, vue du côté dorsal (A) et en partie du côté ven-
tral (B). Elle porte les feuilles a, 4, c, la feuille dithèque d (la pousse latérale a trois feuilles m, n, o, et se
termine par une fleur), la feuille dithéque e (la pousse latérale a deux feuilles, a et #, et se termine par une
fleur) et la feuille dithèque f (la pousse latérale n'a qu'une feuille et se termine par une fleur), après quoi
l'axe principal se termine par une fleur (1).
Fig. 20. Partie d'une pousse. Elle porte les feuilles a, 6, la feuille dithèque c, dont la pousse laté-
rale a une feuille, a, et se termine par une fleur (Il), et la feuille dithèque d, dont la pousse latérale a une
feuille, ©, et se termine par une fleur encore peu développée et cachée par la stipule externe. On voit par
cette figure, comme par les Fig. 16, 18, 19, 21, 22 et 23, que la stipule externe est en général placée plus bas
que l'interne.
Fig. 21. Base d'une feuille dithèque, vue de derrière. st est la stipule interne et st‘, l'externe; l’aste-
risque désigne le bourgeon (une fleur) caché par st’; dans ce cas, la fleur n'est pas accompagnée de feuilles
foliacées.
Fig. 22 [}]. Pousse d’une plante plus âgée. Elle porte les feuilles a, b, c, d, e (dithèque; la pousse
latérale, marquée avec un astérisque, est une fleur), f (dithèque; la pousse latérale est bien plus vigoureuse
que celle de e et a une feuille foliacée, a), g (dithèque, dont la pousse latérale ressemble à celle de e), et
h (dithèque, dont la pousse latérale n’est également qu'une fleur). L'axe principal se termine ensuite par une
fleur qui a donné un fruit (I) pas encore mür, tandis que toutes les fleurs des pousses latérales sont en bouton.
On voit l'involucre à la base du pédoncule floral.
Fig. 23 [7]. Pousse, vue du côté dorsal. Elle porte les feuilles a, à, c, d, e et la large feuille di-
thèque f, et se termine par la fleur I qui est en pleine floraison, le stigmate et les étamines étant épanouis.
La pousse II, enveloppee par la stipule externe de f, a deux feuilles foliacées a et 2; cette dernière est di-
thèque et ses deux stipules sont marquées Ast.
Fig. 24. Diagramme d'une pousse dont le côté dorsal est tourné vers le bas. Ses feuilles foliacées
a,b,c,d,e et f sont suivies de la fleur I. Les étamines sont (toujours) sur le côté ventral, comme on le
voit aussi sur la Fig. 23, et les deux carpophylles regardent le côté dorsal et le côté ventral. La feuille e est
dithèque et sa stipule externe embrasse la fleur II, au bas de laquelle est une feuille foliacée également dithèque,
dont la stipule externe embrasse la fleur Ill. La feuille f sur l’axe principal est aûssi dithèque. Les bords
dorsaux des feuilles n’entourent pas le côté dorsal autant que dans la nature, et les pousses latérales se pla-
cent ordinairement dans un plan dont la direction se rapproche davantage de celle du plan dorsiventral de la
pousse mère.
Planche V.
Mniopsis Weddelliana Tul.
(Fig. 1—2, var. Caldensis Warmg. Fig. 3—4, var. typica Warmg., d’après des exemplaires du Jardin
des Plantes de Paris. Fig. 5—22, presque toutes appartenant à la var. pusilla Warmg).
33
Fig. 1. Vieille plante usée et abimée par les eaux, avec des fruits non mürs. Aucune feuille foliacée
n'est complete, Les pousses sont réunies en forme de touffe et sont sans doute en partie des branches d’un
tronc commun.
Fig. 2. Autre vieille plante, dont le tissu fondamental était en partie pourri et enlevé par les vagues;
il ne reste que la partie centrale avec les faisceaux vasculaires, et des sinflorescences» fructifères se mon-
trent alors en haut, comme M. Tulasne les mentionne et les représente dans sa monographie (p. 146).
Fig. 3 et 4. Exemplaires originaux de M. Tulasne. La plante Fig. 4 est vieille et en très mauvais
état; sur ses côtés on voit deux haptères A, dont l'inférieur retenait antérieurement une pierre.
Fig. 5. Epiderme de la face supérieure d'une feuille, correspondant aux Fig. 6 et 7 de la PI. IV.
Fig. 6. Coupe transversale d'une feuille; ev, épiderme de la face supérieure. On voit un faisceau va-
seulaire qui vient de se diviser en deux; le tissu de ces faisceaux est représenté avee une teinte plus foncée;
ils sont enveloppés par des fibres libériennes (à parois plus noires)
Fig. 7. Bord d'une feuille coupée transversalement, tel qu'il se présente quelquefois.
Fig.S. Partie d'une coupe transversale du bord d’une feuille de la variété pusilla, traitée par la
potasse. L'épiderme renferme des formations siliceuses dont une est isolée.
Fig. 9. Concrétions isolées de silice qui montrent combien ces formations peuvent être rongées à
leur surface.
Fig. 10 À. Racine de la variété pusilla Warmg., avec 5 paires de pousses développées (l'une d'elles,
en ci, est tombée) et 5 paires de très petites pousses (gm) encore enfermées dans le tissu de la racine. Il n'y
a pas d'haptères développés. Une racine r part du côté ventral de la racine.
Fig. 10 B. Deux pousses de la racine précédente fortement grossies, vues du côté dorsal.
Fig. 11. Représente la ramification et l'aspect du Mn. var. pusilla, Plusieurs petites racines nais-
sent des pousses ou de la grande racine.
Fig. 12 A. Cas dans lequel une racine s'étale et devient relativement plate. Les pousses descendent
un peu sur le côté ventral; leur place est indiquée dans la Fig. 12 B par deux étoiles.
Fig. 13. Racine régénérée, sur le flanc de laquelle apparaissent deux racines (on a indiqué la coiffe)
réunies à la base.
Fig. 14 A. Pousse de Mn. var. pusilla, vue de côté, avec les haptères qui partent du côté ventral.
Fig. 14B. Haptères de 14 A; il y en a deux, qui sont réunis A la base; de la base de l'un d’enx
sort une branche, A‘.
Fig. 15 A. Pousse ramifiée vue du côté ventral; il y a 4 hapteres, dont deux sont plus longs et re-
présentés avec un plus fort grossissement dans la Fig. 15 B, tandis que les deux inférieurs sont des organes
très courts et lobés.
Fig. 16. Racine en train de se régénérer. La coiffe a des cellules renfermant de la silice (sil).
Fig. 17. Pousse vue du côté dorsal; il reste encore les feuilles a, db, c, d, e et f, dont c, dele
sont dithéques; les stipules de d et de e sont marquées std et ste. kd est la première feuille de la pousse
latérale formée à la base de d.
Fig. 18. Racine très plate vue du côté ventral, pour montrer comment les pousses s'avancent sur
ce côté. A la base des pousses se trouvent des haptères courts et à lobes irréguliers. Les parties centrales
plus brunätres de la racine sont des poils radicaux conglutines.
Fig. 18 B. Même racine en coupe transversale.
Fig. 19. Pointe de racine, vue de côté.
Fig. 20 A. Racine plusieurs fois régénérée; le sommet de la branche intacte est représenté dans les
Fig. 20 B et C, vu du côté dorsal et du côté ventral.
Fig. 21 et 22. Deux pointes de racines, vues de côté.
Fig. 23. Racine régénérée; la nouvelle racine est double; les deux lignes ponctuées indiquent la
marche des faisceaux fibro-vasculaires.
Fig. 24. Pointe de racine, vue du côté dorsal (A) et du côté ventral (B).
oo
34
Planche VI.
Fig. 1—8. Mniopsis Weddelliana Tul.
Fig. 1. Coupe longitudinale d'une racine régénérée. On a trouvé dans le cylindre central des cel-
lules cambiformes, mais il ne renferme pas de trachéides et on n’a pu y découvrir avec certitude des tubes
criblés.
Fig. 2. Coupe transversale du cylindre central d'une racine, dans lequel il n'y avait pas de trachéides
(cas rare).
Fig.3. Coupe transversale du cylindre central d'une autre racine. Ce cylindre présente une division
peu distinete en deux parties, chacune avec des trachéides (æyl) et du liber mou.
Fig. 4. Un poil radical. .
Fig.5. Echantillons de grains d'amidon.
Fig. 6. Parenchyme d'une tige macérée; de même que dans les fibres du liber, les pores sont dis-
posés suivant une hélice sinistrorsum.
Fig. 7. Produits d'une macération: a et b sont des cellules du parenchyme d'une tige; c est un tra-
chéide et d, une cellule libérienne d'une feuille.
Fig. 8. Coupe transversale d'une tige. Les 3 faisceaux vasculaires forment un are qui tourne sa
concavité vers le côté dorsal de la tige (la Fig. 3, PI.IV, est tournée en sens inverse), et se composent en
majeure partie de collenchyme sur le côté dorsal. L'un d'eux présente une lacune. Les trachéides regardent
le côté ventral.
Fig. 9—15. Mniopsis Glazioviana Warmg., nova sp.
Fig.9. Concrétions siliceuses de la base des feuilles et de la tige.
Fig. 10. Fragment d'une tige, de la base de laquelle part une racine munie d'une coiffe. On a in-
diqué par une étoile le germe d'une pousse endogène.
Fig.11. A est un fragment d'une pousse vue du côté ventral; de la cicatrice laissée par une feuille
arrachée, sort une racine qui s'enroule sur la tige. B en montre la pointe, qui est munie d'une grande coiffe,
Fig. 12. Racine rampante horizontale avec un rameau (r), trois pousses endogènes et des haptères.
Fig. 13 A. Pousse entière, vue du côté dorsal avec un grossissement de 5 fois, avec sa racine.
Elle porte les feuilles a, 6, c,d, e, f, g, la dithèque % (dont les stipules sont marquées Ast), à, k, la dithèque
l, m et n, et se termine ensuite par une fleur I: entre celle-ci et les deux feuilles supérieures, on a trouvé
deux petites écailles légèrement proéminentes.
La branche embrassée par la stipule externe de h porte les feuilles 1, 2, 3, 4 et la dithèque 5, et
se termine par la fleur II; la pousse latérale Ill, à la base de 5, n'a qu'une feuille foliacée.
La pousse latérale II, qui naît à la base de /, porte les feuilles a et #.
Fig. 13 B. Montre un fragment de A, vu du côté ventral.
Fig. 14. Racine vue du côté ventral; A, haptères également vus du côté ventral, avec de courts poils
radicaux; rh, poils radicaux serrés et très courts sur le côté ventral de la racine; 7, racine qui se fait jour.
Au-dessus d'un des hapteres, on voit la base d'une pousse.
Fig. 15. Extrémités de poils radicaux.
Fig. 16. Mniopsis scaturiginum Mart. Zuce.
Fragment d'une pousse, vue du côté dorsal. Elle porte les feuilles a—7; f et g sont dithèques,
mais on n'en voit guère que les stipules; à la base de f naît la pousse A dont la première feuille est a, et
à celle de g, la pousse X’, dont on voit les feuilles 1—5.
ing Lodostemacea
KD Vid Sebske Str: 6% Hække 11,1 Warm
Podostemon Ceratophyllum Michx
KD Vid Selsk Skr. 6% Feeicke I 1 Warming: Podostemasen Tao. H
=
SS
Ss
SS
/
6
N
u
Fodostemon Ceratophyllum Michx
MD. Ved. Selsk. Sr Ce licekhe. 11, 1 Warm mg
|
| —
77 a
| ENS As 3 :
| a, ne
2 f Que pr
N | I
7: lodostemacea
Podostemon Ceratophyllum Miehx.
Tan JH
KD Nid. Sels Sr 62 Rældce I, 1 Warming Endostemace lav
1-13 Podostemon Ceratophyllum Michx. 14-24 Mniopsis Weddelliana Tul.
KD Vid. Selsh: Shear Gte elle IL 1. Warnang. Podastemacer Tao.
Mniopsis Weddelliana Tul.
Ta». I
KD Vid Ses
bs Ska: 6 Rade 1.1 Warming: Podostenacea:
1-8, Mniopsis Weddelliana Tul. 9-15 Mn. Glazioviana Warmg. 16. Mn. seaturiginum Mart.
Om Metallernes Ledningsevne
for Varme og Elektricitet.
Af
L. Lorenz.
Do
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. I.
Kjøbenhavn.
Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri.
1881.
TINY ee
N "en
af
eV cel |
De theoretiske Betragtninger, som ligge til Grund for den ene af de to Methoder,
hvorved jeg har forsogt at bestemme forskjellige Metallers Ledningsevne for Varmen, ere
folgende:
Man tenke sig en Stang opvarmet i den ene Ende. I en fra et vilkaarligt Punkt i
Stangen regnet Afstand z vere den variable Temperatur betegnet ved x, idet Temperatur-
skalaens Nulpunkt regnes fra Omgivelsernes Temperatur, som antages konstant. Temperaturen
i en Række, i samme Afstand / efter hinanden folgende, Punkter er saaledes wy, w,... Un.
Den Del af Stangen, som ligger imellem to til e—4/ og «= (n—!)! svarende Snit, mod-
cond = 6 Un UL
tager i Tidsenheden ved Varmeledningen fra den ene Side Varmemengden kg — naar
k er Stangens Varmeledningsevne og g dens Tversnit, medens den til den anden Side
. U(n—1)1 U
afgiver Varmemængden kg € ni: Naar man altsaa setter:
Ug — Ur — Uni) + Un = 4,
… kgd 2 2 a £
saa Vil > være den af den betragtede Del af Stangen i hver Tidsenhed modtagne Varme-
mængde, som nu dels medgaar til at opvarme Metallet, dels gaar bort til Omgivelserne.
Det imellem de to Snit liggende Stykke af Stangen har Længden (n—1)/ og
kan tænkes delt i n—1 lige store Dele. Til at opvarme enhver af disse Dele 1 Grad
udkræves cdg! Varmeenheder, naar ¢ er Metallets Varmefylde og 0 dets Vegtfylde, og da
den til Tidsenheden svarende Temperaturforogelse i enhver af disse Deles Midtpunkter er
du; du, duin—1)1 3 :
Fy ware el saa vil hele den Varmemængde, som Opvarmningen af alle »—1
(e € at
=
Dele i hver Tidsenhed udkrever, kunne udtrykkes ved eal, naar
ZE = ur + un +... Unı-
Den anden Del af Varmemængden, som tabes til Omgivelserne, er en Funktion af
Temperaturen, og naar vi antage, at Temperaturerne i de forskjellige Stykker ikke ere
meget forskjellige, kan denne Varmemengde tilnærmelsesvis betragtes som en Funktion af
Middeltemperaturen, altsaa ogsaa som en Funktion f af 2.
38 4
Vi erholde saaledes Ligningen:
12 — oth = 4 f(2 (ES) te mee st cot RCE (1)
Naar altsaa Stangen først opvarmes i den ene Ende, medens 4 og 2 bestemmes umiddel-
bart (ved thermoelektriske Elementer), og naar man derefter lader Opvarmningen ophore,
hvorved 4 snart gaar over til en anden meget lille Verdi 4’, medens » i tilbagegaaende
Retning paa ny gjennemlober de samme Verdier som for, saa vil man for den sidste For-
sogsrekke erholde den til (1) svarende Ligning:
h ’ w
ae — cdgl — leer,
Af disse to Ligninger vil man for X — 2” ved Subtraktion erholde:
Am, 1 ST we
Au = cal (GR we )
dt dt
då ds’
hvor Ze positiv, SE negativ. Man vil saaledes af en enkelt Forsogsrække erholde en
t N
Række Bestemmelser af Forholdet 72,
k
Ved en lille Forandring kan denne Methode gjøres endnu lidt nøjagtigere. For at
se delte og for tillige at erholde et Skjøn over Størrelsen af de Fejl, som hidrøre fra de
kun tilnærmelsesvis rigtige Forudsætninger for Beregningen, vil det imidlertid være nød-
vendigt at gaa tilbage til Differentialligningen for Varmens Bevægelse i en Stang:
o Le) 5 Le] 5
d, du du
aise 9
FEDE cop Ai DR | one. Li oc. 0 (2)
Som Koefficienter indgaa heri, foruden de tidligere benyttede Storrelser, p, Stangens Peri-
meter, og h, Koefficienten for den ydre Varmeledning. Alle disse Koefficienter ere imidlertid
selv Funktioner af w, men naar w antages lille og ikke er store Forandringer underkastet,
ville de dog med tilstrækkelig Tilnærmelse kunne udtrykkes ved:
a
co
ph å
FAT a, (1+ au) , ky == De, the = hye 5
idet disse nye Koefficienter betragtes som konstante. Herved forandres Differentialligningen
; d?u du du\ 2 É
til ae — aa) + Bot + Alu — 7 (9) eer Re à (3)
Det vil let ses, at man har:
(n—41)2 att! 12
da de (de 27 5 = Uy — UW — Un) + Un = À.
vr wr
Endvidere vil man for en vilkaarlig Funktion f(x) have:
(n—1)l gæt!
É 2, : :
(a: da f(x) = 2 (FO + f(20 + … f((0—1)0)) = Fa (Fle) FR) — fl) HF) + …
eo Le
hvilket Udtryk ogsaa, da man tilnærmelsesvis har:
Hem) € Std — fle 19) = f((n—#)2),
KU — SD —F(0)) = fl),
kan omdannes til
(ya) + AD + + RD + f((—B)d)) +
Med en lille Forandring af den tidligere Betydning af 3%, nemlig til
= un Vort ve Un gt Um BAND aa = aa A (4)
ville vi saaledes af (3) ved den angivne dobbelte Integration us tilnærmelsesvis:
(a —1)1
z+!
Al = rte — ses + | de Va (ean + by Bu? —r(2)') 0 (D)
eo x
Det sidste Integral vil altid kunne betragtes som en lille Storrelse i Sammenligning med
de andre i Udtrykket indgaaende Led, naar kun Forsøgene udføres ved tilstrækkelig smaa
Temperaturforogelser. Vi kunne derfor ogsaa tilnærmelsesvis bestemme dette Integral, idet
vi, for saa vidt Beregningen af dette angaaer, gaa ud fra den mere simple Differentialligning:
d?u RE eh I
og integrere denne med fornodent Hensyn til de Betingelser, under hvilke Forsogene ere
udforte. Det maa da bemærkes, at Opvarmningen af Stangen ledes saaledes, at 4 holder
sig meget nær konstant, saalenge Maalingerne udfores. Denne Betingelse vil være tilfreds-
stillet ved et Integral af Formen:
u — Adv 2 Bea — Cena
og skjondt ogsaa Integraler af andre Former her ere mulige, tor det dog antages, at oven-
dx?
tj
staaende Udtryk i det væsentlige vil kunne gjengive Temperaturtilstanden i Stangen saaledes,
som den har været, medens Maalingerne bleve udførte.
Stangens ene Ende er endvidere i Afstanden 4/ fra det første Punkt, hvor Tem-
peraturen w, maales. Da Varmetabet i Stangens Ende kun er lille, vil man derfor her
l
tilstrekkelig nojagtigt kunne sætte Tr — 0 for «= —11.
Al 2
Man vil nu vere i Stand til at eliminere Konstanterne A, B, C, og man vil der-
efter erholde:
(n—1)l art!
„2
ae \dzau* = 12 + (242,
à n—1 i
en T
(a —1)!
art! 1 9
de \de(—\ = Ag Ä
eo er dar i
40 6
hvor f og g ere visse, alene af /?b, afhængige Tal. Ved Indsættelsen af folgende Verdier
for /?b,, som omfatte de forskjellige Verdier, denne Størrelse antager i mine Forsøg,
2b, = 0,01, 0,0225, 0,04, 0,09, 0,16,
har jeg fundet folgende tilsvarende Verdier for f og g:
f =11,08, 9,34, 7,66, 4,86, 3,05,
g = 3,13, 2,78, 2,40, 1,76, 1,33,
hvilke Tal megel ner kunne gjengives ved de empiriske Formler:
; 68 34
iso NNE
Sæltes endvidere
\! Bs
was. à ae +) =a, an lir
n— I
idet altsaa a og à ere de til Middeltemperaturen = i svarende Verdier af“ = og oh, saa
reduceres Ligning (5) til
4 (i—74) = are = + DES, riers ti, eatin oh ok ee cr (6)
Da alle de i 7 indgaaende Størrelser kunne udledes af selve Forsøgene, har jeg kunnet
beregne den i Leddet 74 indeholdte Korrektion for alle mine Forsøg, og det har da vist
sig, at denne Korrektion er aldeles uden Betydning for alle de bedre ledende Metaller.
Ligeledes er den endnu for Nysolv, som horer til de slettere ledende Metaller, uden Betyd-
ning paa Grund af, at her 7 undtagelsesvis er positiv, derimod belober for Antimon Kor-
rektionen i mine Forseg sig til henved 5 Procent og for Vismuth endog til 10 Procent,
med hvilken Brokdel den fundne Verdi af a bor formindskes.
Idet nu Forsøgene anstilles som ovenfor er angivet, vil man, naar 74 sættes lig 0,
til Beregningen af a have Ligningen:
; DE
OO a eet eels tia | eg eve (7)
dt dt
=
û 6 À P do
Endnu maa bemærkes, at Jagttagelserne ikke umiddelbart give Verdierne af Fri Forsøgene
(i
ere anstillede saaledes, at de til givne Værdier af NY, som 2,,2,,3%,,..… svarende Tids-
momenter to ¢,, dose bestemmes, idet à voxer eller aftager med konstante Differenser.
ni . 7 = 1 .
Ertildet til +) — ee ” svarende dpi. à saa er
då Im — Dim: =1 b?
= can i ay )? + OO ine so ite OF ovo © 8
Ai ea need 19 qu m tnt ) (8)
hvor allerede det anførte andet Led i Rækkeudviklingen kun opnaar en meget lille Verdi i
mine Forsog. Det vil imidlertid dog bestandig blive medtaget i Regningen.
41
De Metaller, som have været Gjenstand for mine Undersogelser, ere Kobber, Mag-
nium, Aluminium, Kadmium, Jern, Tin, Bly, Antimon og Vismuth, samt af Legeringer rodt
og gult Messing og Nysolv. Af disse 12 Metaller lod jeg forferdige cylindriske Stenger af
30 Centimeters Længde og 1,5 Centimeters Tykkelse. Disse Stenger bleve gjennemborede
med en Række meget fine Huller, kun 0,4™" i Gjennemsnit, af hvilke Huller et enkelt be-
fandt sig 1% fra Stangens ene Ende, navnlig bestemt til Brug for de elektriske Modstands-
bestemmelser, medens der i samme Afstand fra Stangens anden Ende begyndte en Række
af 9, 2°" fra hinanden fjernede, lignende Huller, som jeg vil betegne med 0, 1, 2, ... 8.
Disse gik med hinanden parallele midt igjennem Stangen. Desuden var der endnu imellem
0 og I og imellem 7 og 8 anbragt to Huller i en Afstand af 4°“ henholdsvis fra 1 og 7.
Disse sidste Huller vare borede vinkelret paa de andre og lidt excentrisk. Jeg vil betegne
disse ved I’ og 7’.
I disse Huller bleve Thermoelementerne anbragte. De bestode i Reglen af en
0,1™™ tyk Kobbertraad og en 0,3%" tyk Nysolvtraad. Loddestedet var omviklet med Silke,
som iforvejen var afviklet fra Kobbertraadens Overspinding, Kobbertraaden blev trukket helt
igjennem Hullet, indtil Loddestedet befandt sig midt i dette, medens Nysolvtraadens Over-
spinding dannede et Bryst udenfor Hullet. Elementet var fuldstendig isoleret fra Stangen,
hvad hver Gang særlig blev undersøgt.
Til de to Huller 0 og I samt til 7 og 8 benyttedes Dobbeltelementer, idet to
Kobbertraade med deres ene Ende vare loddede til Enderne af en enkelt, kun nogle Centi-
meter lang Nysølvtraad. Disse Dobbeltelementer angave alene Temperaturforskjellen for
de to Huller 0 og 1 samt for 7 og 8. Desuden bleve de fra 0 og 7 kommende Kobber-
traade forenede ved Lodning, saaledes at den thermvelektriske Differens i de fra 1 og 8
kommende Kobbertraade komme til at svare til den ovenfor ved 4 betegnede Temperatur-
differens.
Endvidere bleve 7 Thermoelementer anbragte i de 7 Huller 1’, 2, 3, ... 6, 7’ og"
forbundne til en sammensat Kjæde, saaledes at alle de Loddesteder, som befandt sig udenfor
Stangen, under Forsøgene vare førte hen til et særskilt Rum, hvor de erholdt Omgivelsernes
Temperatur. Den elektriske Differens i denne Kjædes Endepunkter svarede altsaa til den
ved 2' (Ligning (4)) betegnede Temperatursum.
De to fra 8 og I” kommende Kobbertraade vare begge ved en Lodning forbundne
med en 1”" tyk Kobbertraad (G i omstaaende Figur), medens to andre 1™ tykke Kobber-
traade (D og S) vare forbundne, den første med den fra 1 kommende Kobbertraad, den
anden med den fra 7’ kommende Nysølvtraad. De elektriske Differenser imellem G og D
og imellem @ og S svare altsaa henholdsvis til de Temperaturstorrelser 4 og 2, som ved
Forsøgene skulle bestemmes.
Efter at alt dette var ordnet, blev Stangen anbragt i det i Figuren fremstillede
42 8
Varmeapparat. Dette bestod af en lukket Cylinder A (47% lang, 10,5°™ i Diameter), hvor-
igjennem der gik et 4,3°® vidt, aabent Ror B, alt af Messing og med tykke Vægge. Dette
Apparat blev ved en gjennem Roret a ledet Vandstrom holdt paa Vandledningens Temperatur
eller ogsaa opvarmet til 100° ved en Strom af Vanddampe, som traadte ind ved b og ud
gjennem Roret a. Stangen blev ved Hjælp af to Korkproppe anbragt i det indre Ror B.
En tredie, ikke tæt sluttende Korkprop, som var anbragt i nogen Afstand fra Stangens
b
ar |
forreste Ende c, tjente kun som Skjærm og tvang den fra den stærkest opvarmede Del af
Stangen kommende Luft til at passere tæt forbi Rorets Vægge. Thermoelementerne vare
trukne igjennem smaa Huller i den ved Stangens anden Ende anbragte Korkprop, saaledes
at alle de Loddesteder, som skulde holdes paa Varmeapparatets Temperatur, befandt sig i
Rummet e, hvor de vare omgivne af lost Bomuld. De tre ovenfor omtalte Kobbertraade
D, G og S vare anbragte i en tætsluttende Korkprop.
Thermoelementernes elektromotoriske Kræfter bleve maalte paa folgende Maade.
Paa et Bord var en 5 Meter lang, 1™™ tyk Kobbertraad anbragt saaledes, at den forste
halve Meter af Traaden var udspændt over en i Millimeter inddelt Maalestok, medens den
ovrige Del af Traaden for hver halve Meter, regnet fra Maalestokkens Nulpunkt, var befestet
til Bordet og her dannede en lille Bojle. Med denne Traad var forbunden en Siemens
Rheostat, en Sinusbussole og et Daniells Element.
Fra den fra Varmeapparatet kommende Traadende G forte en Ledning til et Wiede-
manns Spejlgalvanometer, hvis Spejl ved Hjælp af en stærk Magnet var holdt tilborlig
astalisk, og herfra til den ovenfor beskrevne Maaletraads Nulpunkt. Fra de to andre Traade
D og S forte to Ledninger til den ved Maalebordet siddende lagttager. Naar en af disse
to Ledninger bringes i Beroring med Maaletraaden, saa gaar den fra Maaletraaden afledede
saavelsom den fra Thermoelementerne kommende elektriske Strom gjennem Galvanometret.
Naar begge disse i Stromkredsen opstaaede elektromotoriske Kræfter ere lige store og mod-
salte, saa vil der intet Udslag af Galvanometret fremkomme. Paa denne Maade vare alle
Galvanometeriagttagelserne kun Nulpunktsiagttagelser, og Maaletraaden giver da i Millimeter
et Maal for de elektromotoriske Kræfter 4 og 3, som Forsøgene gaa ud paa at bestemme,
idet 4 bestemmes ved den fra D kommende Ledning og maales paa den udspendte Del
af Maaletraaden, medens 2 bestemmes ved Ledningen fra S og maales kun for hver halve
Meter paa den ovrige Del af Maaletraaden.
9 43
Alle Traadledningerne, heri indbefattet Maaletraaden og Galvanometrets Traad, be-
stode af den samme, 1"" tykke Kobbertraad, og overalt, hvor to Traadender vare forenede
ved Klemskruer, vare Traadene selv i umiddelbar Beroring med hinanden. Den ene Traad-
ende, som blev fort hen til et Punkt af Maaletraaden, blev ikke berørt umiddelbart med
Haanden, men var befæstet til et Træhaandtag. Maalingerne udfortes ved Lampelys, imod
hvilket Galvanometret var beskyttet ved en Skjerm, navnlig var alt direkte Sollys altid holdt
borte fra Tagttagelseslokalet. Daniells Element blev altid en Time for Maalingerne forbundet
med Ledningen, hvorved opnaaedes en meget konstant Strom under alle Maalingerne.
Endelig vare ogsaa de elektriske Modstande i de forskjellige Dele af Maaletraaden nojagtigt
sammenlignede.
Ved de ovennævnte Forsigtighedsregler var der opnaaet, at naar Stangen i Varme-
apparatet havde opnaaet Vandledningens konstante Temperatur, saa fandtes næsten altid 4
og 2 lig 0. Var derimod Apparatet opvarmet ved Vanddamp, saa var dette ikke længere
Tilfældet, og 4 og 2 maatte da regnes fra de Punkter paa Maalestokken, som Maalingerne
udviste, naar Stangen havde naaet den stationere Temperaturtilstand. Disse konstante
thermoelektriske Kræfter fremkom for en Del i de tre til Varmeapparatet forende tykkere
Kobbertraade, idet disse havde meget forskjellige Temperaturer i deres Endepunkter, imellem
hvilke der paa Grund af den ene Traadendes foregaaende Opvarmning under Lodningen
var opstaaet ikke ringe thermoelektriske Forskjelligheder.
Ved et Forsogs Begyndelse er Roret i Varmeapparatet lukket ved e med en Kork-
prop, og Tiden afventes, indtil Stangen i Varmeapparatet har naaet dettes konstante Tem-
peratur. Derefter bliver Proppen taget bort, og en iforvejen opvarmet Stang, i Reglen
Kobberstangen, føres hen til c, medens Opvarmningen af den ydre Stang fortsættes ved en
meget svag Lampe. Denne Opvarmning maa ledes saaledes, at den thermoelektriske Diffe-
rens 4 for den i Apparatet anbragte Stang stiger raskt og derefter holder sig i nogen Tid
nogenlunde konstant. For med Sikkerhed at kunne lede Opvarmningen, maa man sorge
for en fuldstændig metallisk Beroring imeilem de to Stenger, hvorfor den ydre Stangs
Endeflade altid var frisk amalgameret. lovrigt kan jeg ikke give nogen almindelig Regel
for Opvarmningen, den udkræver kun nogen Øvelse for at lykkes, og mere rationelle Op-
varmningsmethoder maatte jeg forkaste. De slettere ledende Metalstenger, Antimon og
Vismuth, maatte jeg, for at erholde den rette Opvarmning, gjore noget kortere.
Saasnart Maalingerne vise, at 4 nærmer sig til at blive konstant, soger man at
bestemme 2, idet man bringer Spidsen af den fra S kommende Traad i kortvarig Berøring
med en af de paa Maaletraaden anbragte smaa Bojler, som angive 500, 1000, . .. indtil
5000 Millimeter af Maaletraaden fra dennes Nulpunkt, og man iagttager da ved et Pendul-
uhr det Ojeblik, da Beroringen med et af disse Punkter ingen Strom frembringer. Derefter
bestemmes 4 nojagligt, og paany iagttages Tidsojeblikket, naar © passerer den neste,
Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og math, Afd. II, 2. 6
44 10e
500™" højere Inddeling paa Maaletraaden, og saaledes videre, indtil enten 4 ikke længere
holder sig konstant, eller indtil det højeste Punkt, 5000%%, paa Maaletraaden er naaet.
Derefter afbrydes Opvarmningen, Apparatet lukkes atter med Korkproppen, og 4 aftager nu
raskt og nærmer sig Nulpunktet. lagttagelserne fortsættes da ved aftagende 2' ligesom før,
indtil man er kommet tilbage til den først noterede lavere Grænse for 2. Beregningen af
en saadan Forsøgsrække udføres da ved Hjælp af Ligningerne (7) og (8).
For nærmere at undersøge de forskjellige mulige Fejlkilder ved disse Forsøg og
fuldstændig være sikker paa Rigtigheden af de opnaaede Resultater, har jeg, forinden jeg
begyndte de endelige Maalinger, udført en stor Mængde, paa forskjellige Maader varierede
Forsøg med flere af Stængerne (ialt over 100 Forsøgsrækker). Saaledes bleve Forsøg ud-
førte dels med det beskrevne Varmeapparat, som blev anvendt ved alle de endelige Maa-
linger, dels med et andet, dels ogsaa i fri Luft. I nogle Forsøg var Stangen omgiven med
Bomuld eller Edderdun. Forskjellige Grader af Opvarmning bleve prøvede, idet den i Maale-
traadens Stromkreds indskudte Modstand varierede fra 300 til 50 Siemens Enheder. For-
uden de sædvanlig benyttede Thermoelementer af Kobber- og Nysølvtraad prøvedes ogsaa
Elementer af Kobber- og Jerntraad. Da de første Elementers elektromotoriske Kraft voxer
ved højere Temperaturer, de sidstes derimod aftager, saaledes at disse Elementers Tem-
peraturangivelser altsaa afvige til modsatte Sider fra den sædvanlige Temperaturskala, ere
disse Forsøg ikke uden Interesse, og jeg skal derfor i det følgende anføre en med Kobber-
Jerntraad udført Forsøgsrække. Endelig har jeg ogsaa ved Jern-, Nysølv- og Vismuth-
stængerne anvendt Kobbertraade alene, der indsattes i Hullerne i ledende Forbindelse med
Stangen, som Thermoelementer. Jeg skal med Hensyn til alle disse Forundersøgelser ind-
skrænke mig til at bemærke, at jeg ikke fandt nogen væsentlig Uoverensstemmelse i de
erholdte Resultater.
Efter Tilendebringelsen af disse meget tidsspildende Forundersøgelser kunde de
endelige Maalinger, hvis Enkeltheder jeg i det Følgende skal meddele, bringes temmelig
hurtig til Ende, da Forsøgene i og for sig efter nogen Øvelse ikke frembyde særlige
Vanskeligheder.
Den elektriske Ledningsevne har jeg bestemt for alle Stængerne umiddelbart
i absolut Maal ved 0? og ved 100? efter den samme Methode, som jeg tidligere har benyttet
til Bestemmelsen af Kviksølvets elektriske Ledningsmodstand (Oversigt over Vidensk. Selsk.
Forh. 1873, S. 67), ved hvilken Methode Maalinger af smaa Modstande lade sig udføre baade
med Lethed og med Nøjagtighed. Til nærværende Maalinger har jeg i Stedet for en astatisk
Dobbeltnaal benyttet Spejlgalvanometret, som er folsommere, medens rigtignok paa den
anden Side Dobbeltnaalen mindre er udsat for forstyrrende Indvirkninger fra Strømmen i
Maaleapparatels store Traadrulle. Da imidlertid denne sidste altid kan anbringes i saa stor
en Afstand fra Galvanometret og drejes om til en saadan Stilling, at disse Indvirkninger
11 45
blive umærkelige, og da der desuden i Forsogene selv er den fornodne Kontrol for de
mulige Fejl af denne Art, har jeg her foretrukket Spejlgalvanometret.
Stengerne bleve holdte paa 0° ved at omgives med Is, og paa 100° ved at anbringes
i kogende Vand eller i Varmeapparatet (Magnium og Aluminium), ogsaa bleve nogle Forsog
anstillede med Stængerne anbragte i fri Luft ved Stuens Temperatur. Resultaterne vare
ved en given Temperatur de samme, hvad enten Stængerne vare omgivne af Luft eller Vand.
Jeg havde til disse Forsog alene benyttet mit Apparats ydre Traadrulle, med hvilken
jeg tillige udførte nogle Bestemmelser af Kviksolvets Ledningsevne. Resultaterne heraf
vare de samme som de tidligere fundne, i hvilke jeg for Kviksølvets Modstand havde fundet
en 2 Procent mindre Værdi end British Association's Comité. Senere er Hr. Rowland
(Silliman's Journal, Vol. XV (1878), p. 281) kommet til et midt imellem disse liggende Re-
sultat, men hertil maa endnu bemærkes, at disse og andre Iagttagere hidtil ikke have bestemt
selve Kviksølvets Ledningsmodstand i absolut Maal, men alene Modstanden af de Siemen'ske
Kopier, som ere bestemte ved Sammenligning med forholdsvis tynde Kviksølvsøjler.
I min ovenfor citerede Afhandling om Kviksølvets elektriske Ledningsmodstand
havde jeg (S. 78) omtalt, at en Slutning eller Afbrydelse af Hovedstrømmen under Maalingerne
havde en kjendelig Virkning paa Galvanometret. Dette Fænomen, som dengang var mig
uforklarligt, har jeg nu fundet, hidrører fra Traadrullens inducerende Virkning paa Ledningen
til Galvanometret. Naar man kun lader denne Ledning gaa til Traadrullen vinkelret paa
dennes Vindinger, bortfalde disse Induktionsfænomener ganske.
Bestemmelsen af Metallernes Vægtfylde bleve udførte ved sædvanlig Temperatur,
hvoraf Vægtfylden ved 0° og 100° blev beregnet, idet jeg gik ud fra de bekjendte Udvidelses-
koefficienter. Disse og de følgende Forsøg bleve udførte med Stykker paa 6%" Længde,
der vare afskaarne af Stængerne.
Endelig har jeg ogsaa bestemt Varmefylden for alle Metallerne ved tre forskjellige
Temperaturer. Det til disse Forsøg indrettede Varmeapparat bestod af en Kobbercylinder
(156™" høj, 55" i Gjennemsnit), som omgav et i Laaget anbragt (128"" langt, 27™™ bredt),
for neden lukket Ror. Cylindren indeholdt Æthylalkohol eller Amylalkohol, som holdtes
vedvarende i Kog, idet Dampene fortættedes i et spiralformet Glasrør, hvorfra de som Vædske
løb tilbage igjen til Cylinderen. Den lille Stang, hvis Varmefylde skulde bestemmes, var
anbragt i Røret og blev her opvarmet til de to Vædskers Kogepunkter (78° og 1319).
Endelig blev ogsaa det samme Apparat tilligemed Stangen sat ned i en Kuldeblanding af
Is og Kogsalt.
Naar Stangen paa en af disse Maader havde opnaaet en konstant Temperatur, blev
Opvarmningsapparatet ved et Haandtag ført hen til Kalorimetret, hvori Stangen hurtig blev
styrtet. Forøvrigt udførtes Maalingerne paa sædvanlig Maade. Da Værelsets Temperatur
ved disse Forsøg omtrent var 20°, saa var de til de fundne Varmefylder svarende Middel-
*
6
46 12
temperaturer meget ner 0°, 50°, 75°. Ved enhver af disse Temperaturer blev der udfort
mindst to Maalinger. De fundne Middelverdier ville blive anforte i det folgende.
Af disse Iagttagelser har jeg beregnet de til 0° og 100° svarende Varmefylder ved
Formlerne :
Cy = c+ 0,45e — 0,30€, \
co = C+ 0,20€ + 1,20€’, f
idet ¢, ee og e+e’ ere de af lagttagelserne fremgaaede Verdier af Varmefylderne ved
0°, 50° og 75°. Disse Formler ere beregnede ved de mindste Kvadraters Methode, idet
Vegtene af de fundne Verdier for c, ee og c+’ ere anslaaede til henholdsvis 1, 2 og 3,4.
I de folgende Tabeller har jeg samlet Resultaterne af alle de saaledes udforte
Maalinger i den Orden, hvori Forsøgene over Varmeledningen bleve udførte. # er Varme-
apparalets Temperatur, de i første Linie angivne Verdier af J og X ere de paa Maaletraaden
i Millimeter maalte konstante Temperaturer ved Forsogets Begyndelse, W er Modstanden i
Maaletraadens Stromkreds. I Reglen har den benyttede Modstand været 102 Siemens En-
heder, ved hvilken Modstand 1°C. svarer til 48™™ af Maaletraaden ved 0° og 58,5™™ ved 100°.
ST v
= =) af de to
Den forste vertikale Række i Tabellerne indeholder Middeltallene (
paa hinanden folgende, iagttagne Verdier af ©, den anden Række det imellem disse to
JES
Iagttagelser forløbne Antal Sekunder (¢), hvoraf i tredie Række “= er beregnet ved Hjælp
dt
af Ligning (8), som paa en lille Korrektion nær giver a= = Den fjerde Række indeholder
de iagttagne Verdier af 4. De tre folgende Rækker give de tilsvarende, ved den paafolgende
Afkoling fundne Størrelser, idet nu X gjennemlober de samme Værdier i tilbagegaaende
Retning. Endelig indeholder den ottende Række de ved Lign. (7) beregnede Verdier af al?,
hvor /— 2, medens den sidste Række indeholder de ved Hjælp af Ligningen:
dr’
b dt A’
a 2 fad
: Se ban = ;
beregnede Verdier af —.10°. Det maa bemærkes, at J og » maa regnes fra de ved
Le) bl to} to}
| i vb É N
Forsogets Begyndelse bestemte faste Punkter ved Beregningen af —, hvorimod disse ere
a
uden Betydning for Beregningen af a. Som absolute Enheder er her overalt antaget for
Massen Grammet, for Længden Centimeteren, for Tiden Sekundet.
13 47
Tin
=, et FAN), HAE
— — ——
y az | ar ' A b 5
2 t di A | Fr 4 | ia |- 10
|
1250 | 153 | 397 | 45 | 513 | 0,99 0 | 10,56 79
1750 | 187 | 2,67 | 44 | 376 | 1% 1 | 10,7 82
2250 | 245 | 2,05 | 43 | 308 | 16 | 5 | 10,50 | 94
2. #=6,4°, 4=0, Y=0, W—102S.E.
3250 | 109 | 4,59 | 82 | 178 | 2,82 5 | 10,39 | 102
3750 | 116 | 431 | 85 | 155 | 3,23 5 10,61 99
4250 | 114 | 4,40 | 90 | 141 | 3,55 9 | 1019 | 105
3. 9—8,2°, 4—0, 2 —-—30, W—102S.E.
2250 | 98 | 5,10 | 73 | 265 1,90 —2 10,71 76
ENONCE HEDE ROTE BEDT SEE KEE 10153 76
8250 | 114 | 439 | 70 | 183 | 274 | —8 10,24 75
3750 | 130 | 355 | 71 | 158 | S27 | —3) | 1039 |, 79
4250 | 130 | 3,85 | 74 | 147 | 3,41 O | 10,19 80
4. #=100°, 4—9%2, Z=700, W= 102 S.E.
2250 | 120 | 417 | 88 | 320 | 1, | 22 | 11, | 101
2750 | 135 |.3x1 | 90 | 258 | 1,95 23 | 11,84 | 100
3250 | 160 | 313 | 90 | 214 | 9,5 25 RAS] 0102
3750 | 216 | 2,52 | 87 | 198 | 253 | 30 | 1135 | 106
5. &=100°7, 4——27, Y—1500, W= 102 S.E.
3750 | 61 | 8,0 | 93 | 218 | 231 | —27 | liye | 103
4950 | 68 | 7,5 | 97 | 170 | 2,95 = "| 19,04 | 108
4750 | 70 | Tu | 96 | 170 | 295 | —22 | 11,7 | 104
De tre Forsogsrækker 1, 2 og 4 ere udforte med thermoelektriske Elementer af
Kobber- og Jerntraad, de andre og alle de følgende derimod med Elementer af Kobber-
og Nysolvtraad.
3 erholdes som Middel:
16° C.
Af Forsogsrækkerne 1, 2 og
4a — 10,44 ved
Af 4 og 5: 4a — 11,74 ved 106° C.
Beregnes heraf de til 0° og 100° svarende Værdier, erholdes:
4a, = 10,21, 440 = 11,64.
De iagttagne Varmefylder ere:
ved 0° ved 50° ved 75°
0,05368 , 0,05534 , 0,05643 ,
48
hvoraf ved Formlerne (9) beregnes:
hvoraf
Co = 0,05360, co == 0,05731.
De til 0° og 100° svarende Vegtfylder ere:
do a 7,276 , O10 = 1,226 ,
Co 90 = 0,3900 , C100 A100 — 0,4141.
Varmeledningsevnerne ved 0° og 100°, ky og kw, ere altsaa
hvoraf:
AIDE
Heraf
hvoraf
Di DJ
Co 00 C100 0100
ky = = 0,528, Eu k
ao 4400 100
De fundne elektriske Ledningsevner yed 0° og 100° ere
= = x
%o — 9,346.10, zu — 6,524. 10-5, © — 1,433,
X 100
k k k k
= (Sh, ea, en,
Xo X100 X100 Xo
Jern.
1. 9-98, 4—0, Y=0, W—IAS.E.
a a) tr
2 | t | & | | | = A LE lø 10
I 1 I
— |
2250 | 86 | 5,81 u 553 | 0,91 2 | 20 | 40
2750 | 84 | 5,5 | 144 | 440 | 1,14 2 | 2008 | 41
3250 | 90 | 5,56 | 144 | 366 | 1,37 2 | 20,0 | 42
3750 | 90 | 5,56 | 146 | 308 | 1,62 2 | 2006 | 48
4950 | 94 | 5,32 | 149 | 268 | 1,87 4 | 2017 | 46
4750 | 99 | 5,05 | 151 | 240 | 2,08 8 | 20,06 50
ee = 1008, A 13, 3500, WS.
2750 | 180 | 2,78 77 | 510 | Ovs | —8 22,60 49
3250 | 202 | 248 | 79| 893 | on | —6 | 22,67 | 54
3750 | 238 | 210 | 79 | 347 | 1a —2 | 29,88 56
4250 | 290 | 2,72 | 79 | 308 | 1,46 | +3 | 2275 | 59
Af 1 erholdes som Middel:
4a = 20,24 ved 19° C.
4a = 22,73 ved 114° C.
4a, = 19,74, 40100 — 22,34.
Varmefylderne ere:
ved 0° ved 50° ved 75°
0,1050 , 0,1107 , 0,1136 ,
Co — 0,1050, Cıoo = 0,1165.
= - -— 0,1433, — — 1,074.
14
15 49
Endvidere er Om UE O100 = 7,799 ,
Cy Oy = 0,8219 , C100 0100 — 0, 9086.
k
Altsaa ky —0,1665, Kıoo — 0,1627 , En — 1,023.
100
De elektriske Ledningsevner ere:
20 — 10,374.10-5, xım — 6,628.10-, “2 — 1,565,
X 100
k k kino k
altsaa 0 — 1605, m 45, 0 = 1520.
xo X100 X100 Xo
Nysølv.
1. 99,6%, 41—0, 2=240, W= 102 S.E.
= ps — —
Taal eee ee
2 t di À | | dt 4 4a 5 10
| ] | | =]
2750 | 157 | 3,18 | 194 | 495 | 1,18 4 | 43,58 51
3250 | 167 | 2,99 183 | 375 | 1,88 6 | 43,29 49
3750 | 176 | 2,84 | 192 | 340 | 1,47 8 | 42,69 47
4250 | 202 | 2,48 | 191 | 320 1,56 20 | 42,33 | 51
2. ÿ—10,3, 4—5, 2—100, W—102S.E.
2750 | 146 | 342 | 207 | 442 | 1,18 13 | 42,64 50
3250 | 140 | 3,57 | 222 | 396 | 1,26 18 | 42,24 | 50
3750 | 159 | 3,4 | 221 | 380 | 1,82 30 | 4285 | 50
3. d=100°, 4——99, 2 —350, W—102S.E.
3750 | 73 | 6,85 | 269 | 392 1,28 | —15 34,93 | 49
4250 | 73 | 635 | 281 | 345 | 145 | —13 | 354 | 49
4750 | 74 | 6,6 | 288 | 275 | 1,88 | —11 | 3485 | 53
7 — 10025 TN 211005 AS Ne
3100 | 276 | 1,51 94 | 432 1,16 | —13 36,03 | 52
4250 | 298 | 1,68 | 96 | 400 | 15 | — 7 | 3515 | 52
4750 | 362 | 1,38 | 100 | 386 | 1,350 | + 3 | 3619 | 53
Middel af 1 og 2:
4a — 42,80 ved 19° C.
Middel af 3 og 4: 4a = 35,43 ved 108° C.
Heraf 4a, = 44,37 , 444109 — 36,09.
Varmefylderne ere:
ved 0° ved 50° ved 75°
0,09153 , 0,09292 , 0,09401 ,
hvoraf Co — 0,09141 , C100 — 0,09467.
50
Endvidere er Oy = 8,49 , 0100 = 8,457 ,
Co Oo = 0,9769 , C100 D100 == 0,8006 ,
k
altsaa er ky = 0,07004 , ko — 0,08874 , j D — 0,7893.
"100
De elektriske Ledningsevner ere:
20 = 3,766.10—5, x100 = 3,632.10, = — 1,037,
100
k k k k
altsaa == a, = si
Xo X100 X100 Ko
Kobber.
1. 9=112, 4—0, 2—50, W=102S.E.
— = ; |
na | ne Der
re EAN re
2250 | 156 | 3,21 | 22 | 512 | 0,98 3 454 | 75
2750 | 154 | 325 | 24 | 406 | 1,24 4 | 45 | 79
3250 | 150 | 3 | 27 | 384 | 10 | 5 | 455 | 81
3750 | 156 | 321 | 29 | 288 | 1m | 65 | 4,55 | 86
|
92. 9—100°, A=3, 3150, W=32S.E.
3250 | 99 | 55 | 89 | 287 | 15 | 75 | 463 | 88
3750 | 101 | 4,05 | 40 | 250 | 2,01 8 4,60 86
4950 | 107 | 468 | 41 | 220 | 2258 | 9 | 4,60 87
Middel af 1 4a = 4,43 ved 19° C.
Middel af 2 4a — 4,61 ved 117° C.
Heraf 4a, = 4,40 ; 4aioo = 4,58.
Varmefylderne ere:
ved 0° ved 50° ved 75°
0,08988 , 0,09169 , 0,09319 ,
hvoraf Co = 0,08970 , Cioo = 0,09421.
Endvidere er Oy = 8,827, 0100 = 8,783 ,
Co Oy = 0,7918 , C400 Oto — 0, 8274.
k
ko = 0,7198 , kon = 0,7226 , — = 0,996 ,
kıno
= x
3 SOS, ergy N, ID
X100
k k ko , k
0 — 1574, 9137, —: 0 = 1,358.
%o X100 X100 %o
16
17
Bly.
I. d9=11,0, {—0, >= 50, W—102S.E.
à | 7 | dy | 4 | t | az | A’ | I lo 10°
= | | dt | | irda | 1 je
3 = es |
1750 84 | 5,95 | 136 | 273 | 1,84 | 4 16,94 | 115
2250 | 86 | 5,81 | 140 | 211 | 2,88 | 5 | 1648 | 116
2750 | 99 | 505 | 145 | 175 | 2,86 8 | 17,30 | 118
ee, AO SO MN
2250 | 142 || 3,53 | 105 0210 "12,891 5,5 | 16,81 | 121
2750 | 149 | 3,36 | 114 | 174 | 265 | 8 | 1699 | 122
3250 | 162 | 309 | 120 | 146 | 343 | 11 | 167 | 126
3750 | 183 | 2,74 | 129 | 126 | 3,97 1.17 | 16,68 | | 133
32 9— 1005, A357 39500, WZI02S3E-
1750 | 111 | 451 | 78 | 380 | 1,33 |—30 | 184 | 129
2250 | 132 | 3,79 | 79 | 263 1,91 |—24 18,05 145
MES 10024 5 16300 2ISSRE
3250 | 233 | 2,16 | 76 | 112 447 |—42 17,80 | 156
3750 | 273 | 1,84 84 94 5,32 | —44 17,88 155
Middel af 1 og 2:
4a — 16,84 ved 19° C.
Middel af 3 og 4: 4a == 18,05 ved 105° C.
Heraf 4a, = 16,57, 44400 — 17,98.
Varmefylderne ere
ved 0° ved 50° ved 75°
0,03067, 0,03092, 0,03071,
hvoraf Co = C400 = 0,03077.
Endvidere er
OY) = Dea 100 = 11,163.
Co Oy = 0,3464 , C400 0400 — 0,3435.
k
k, = 0,08362 , Kon — 0,07642 , m o = 1,094,
100
AD 5,141 g 10525 X100 == 3,602. Ne La) = 1,427 5
X100
k k k k
=o — 1697, 222, —*:—2 = 1,94.
Xo X100 X100 Xo
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 2.
52
Messing (rødt).
1. B= 127, 2020 0D SE.
5 då ds’ ñ | b 5
I |
2250 | 110 | 455 | 70 | 558 | 0,0 3 | 12,29 | 50
2750 | 111 | 450 | 73 | 406 | 1,4 4 | 1202 | 56
3950 | 108 | 463 | 77 | 348 | 1,84 5 | lige | 56
3750 | 114 | As | 80 | 984 | 1x6 6 | 1205 | 59
DRE OO 4-14 Bere, We SD
1750 | 90 | 5,56 | 65 | 460 1,10 —12 || Usa | 65
2250 | 86 | 581 | 68 | 318 | 14 | —14 | 11,0 | 64
2750 | 83 | 6,02 | 72 | 194 | 258 | —21 | 105 | 65
3250 | 80 | 65 | 77 | 131 | 352 | —30 | 103 | 67
Afkolingen er i dette Forsog paaskyndet ved en kortvarig Berering med en kold Stang.
Middel af 1: 4a = 12,05 ved 21° C.
Middel af 2: 4a = 11,02 ved 107° C.
Heraf 4a, == 12,29, 40400 = 11,10.
Varmefylderne ere:
ved 0° ved 50° ved 75°
0,08991 , 0,09224 , 0,09396 ,
hvoraf €, = 0,09005 , C49) = 0,09396.
Endvidere er Op — 8,395, O100 = 8,348 ,
Co do — (),7559 > 400 O100 = 0,7844 ;
k
ky = 0,2460 , kyoo = 0,2827 , Es — (),8704 ,
100
2 1570 10, 210 = 12,81. 10, Dies.
% 100
k k k k
> — 1562, es 560
Xo X100 X100 Ko
Messing (gult).
D 12 00 40, 2173, W=102 S. Et
RATE Ta ENS
y | da | _ de ' 4a |—: 10°
> | | dt | 4 | i | dt | 4 | | [0
| | | | | |
3250 | 65 | 7,60 | 143 | 324 | 1,56 | 11 | 1427 | 76
3750 66 | 7,58 | 147 | 264 | 1,90 16 | 13,82 | 86
4250 | 67 | Zac | 150! 204 | 26 18 | 13,31 | 93
19
2. J= 108°, 4=0, S—120,
W = 102 S.E.
dx
SL ER Si dE) » d 105
2 t | Sa whi be ar | 4 ia |—-10
2250 | 304 | 1,66 44 | 505 1,00 | 8 13,53 75
3. §—100°, dJ=—6, Z=550, W= 102 S.E.
2750 | 170 | 2,04 | 47 | 367 | Iv | —5 | 12,05 66
32502]. 19200 E2i61 48 | 307 1,63 —3 12,03 69
3750 | 226 | 2,22 | 48 | 266 | 1,88 | 0 | Au 74
4950 | 275 | 1,92 | 48 | 255 | tye | 4 | 11,64 76
Middel af 1 og 2: 4a = 13,73 ved 20° C.
Middel af 3: 4a = 11,86 ved 107° C.
Heraf 4a, =: 14,16, 4ai00 = 12,01.
Varmefylderne ere ved 0° ved 50° ved 75°
0,08833 , 0,09218, 0,09265 ,
hvoraf co == 0,08876 , C499 == 0,09428.
Endvidere er Oy) = 8,140, 0100 — 8,090 ,
Co Oo = 0,7225 ,… C100 0100 = 0,7627 ;
ko
1 012041 Koo = 0,2540 , —— = (0,8035 ,
hoo
IO, a= chee, (TES,
X100
k k k k
> — 1617, 30) as" = a,
Xo X100 X100 Xo
Magnium.
RD AO 2107 WW 023SIR:
Tale ie oe „| | |
y ds | | LER | |b =
Ze a le ar | 4 BE AD
| | TE |
3750 | 63 | Tu |56 | 153 | 3 | 2 | 482 | 104
4950 | 66 | 758 | 59 | 132 | 3% | 3 | 493 | 109
Ce Mn CE ae | a ae
2, ÿ—10,8, dI—0, 2=50, W—102S.E
1250 | 121 | 43 | 23,5 | 514 | 0,9 0 4,59 82
1750 | 118 | 4,24 | 24,5 | 368 | 1,37 0 4,37 81
2250 | 124 | 403 | 26,5 | 268 | 188 | 0,5 4,10 90
2750 | 182 | 39 |28 | 226 | Qe | 1 41 | 90
3250 | 137 | 3,65 | 30 | 190 | 264 | 2 Aus | 97
3750 | 150 | 3,91 | 32 | 152 | 3,50 2 | Age 101
54 20
3, $= 100°. 10, Bes ay 02 Sob
ae er |, ee
ae & | | dt | LEE
2750 | 184 | 2,72 | 28,5] 173 | 2 15 | ds | 114
3250 | 204 | 2,45 | 30 | 145 | 3,45 2,5 | 466 | 121
3750 | 235 | 213 | 31,5 | 124 | 4,8 3 | 4.63 | 123
4250 | 273 | 1,83 | 30,5 | 122 4,10 45 | 4,38 119
4. 8= 100°, 4= 2, S—0, W=52'S.E
3250 | 81 | Gaz | 44 | 148 | 3,38 | —2 | 482 | 104
3750 | 96 | 5,21 | 40,5) 125 | 400 | —2 | 4,61 | 107
4250 | 129 | 3,8 | 38 | 119 | 420 | —15 | 4,89 101
4750 | 166 | 3,01 | 85,5 | 105 | 46 | +1, 438 | 117
Den sidste Forsogsrække er udført, ikke ved Opvarmning, men ved Afkoling, idet den ydre
Stang kun var opvarmet til omtrent 80°, og under Forsøget afkøledes frit i Luften.
Strommen var derfor ogsaa her i Maaletraaden vendt om.
Af alle Forsogene erholdes som Middel:
4a = 4,612.
Varmefylderne ere:
ved 75°
0,2509 ,
ved 0°
0,2456 ,
ved 50°
0,2519 ,
hvoraf Co = 2100 = 0,2503.
Endvidere er Oo = 1,739, 0 — 1,725,
cd = 0,4335 ,
ko = K100 = 0,3760 3
x
x = 24,47.10=5, x10 = 17,50.10-, —- = 1,398,
X100
k k k k
— 537, — — 2149, nt, = 1,398 ,
Xo X100 X100 Xo
Aluminium.
1. 9=13,7, 4=0, 2—0, W—102S.E.
— == if
SN dz | | SAINS ES a
an | dt | A | dt d Me | a 10
3750 | 61 | 8,20 | 72 | 202 | Be | 85 CT | 81
4950 | 63 | Tu | 73 | 181 | 276 | 35 6,31 85
21
hvoraf
D», Se, Ja Zn
as | ay Fi À il i =
st —— / LINE re ES 5
= | t dt | 4 t dt 4 4a a 10
2750 | 85 | 5,88 | 52 | 308 | 1,65 | 2 6,61 71
3250 | 88 | 5,68 | 54 | 243 | 2,06 3 6,59 77
3750 | 94 | 5,8 | 55 | 212 | 2,36 4 6,64 79
4950 | 96 | 521 | 57 | 164 | 305 45 | 6,85 88
4750 97 | 5,15 | 58 180 2,78 7,5 6,37 83
D OO A TE Fr, Ir 021S9P;
3750 | 94 | 5,52 | 41 | 209 | 2e7 |—11 | 6% 84
4250 9 5,43 | 44 181 2.76 |—10 6,59 87
4750 | 92 | 543 | 47 | 167 | 200 |—9 | 665 86
a aM ei, del), ae)
3250 | 221 | 2,27 | 23,5 | 216 2,32 | —5,5 6,32 79
3750 | 290 | 1,73 | 23,5 | 191 2,62 | —5 | 65 79
4250 | 388 | 1,30 | 23 177 Brey || = | (Bae 78
Af alle Forsogene erholdes som Middel:
4a — 6,517.
Varmefylderne ere: ved 0° ved 50° ved 75°
0,2055 , 0,2088 , 0,2144 ,
(a — 0,2043, C4099 == 0,2168.
Endvidere er On 27398 0100 — 2,720 ,
Co do = 0,55% , C409 dıon — 0,5897 ,
k
ky = 0,3435 , kioo = 0,3619 , um — (0,9489 ,
100
ee, eg,
7100
k R k k k
+ — 1529, Ze
Xo X100 X100 Xo
Kadmium.
i, Celie, Ze, ST), MRS
= | | |
v a | a Re
> | t are A | t GE 4d | 4a | = 10
1250 | 67 746 | 71 | 566 0,90 —1 8.61 68
1750 | 71 | 7o | 74 | 396 | lev | —1 | 9,03 7
2250 | 71 | 7,0 | 76 | 303 | 1,66 =il 8,85 72
2101 ENT? 6,94 78 | 245 2,05 —1 8,79 73
3250 | 74 6,76 | 81 | 200 2350 | —1 8588) eo
3750 | 74 6,76 | 85 178 2,81 0 8,88 77
4950 | 75 | 6,67 | 88 | 156 | 3,21 +1 8,81 80
56
SEE EET DANE US Wei)
5 De Br i b å
2 t AR 4 t TE 4 4a et 10°
1750 68 | 7,35 | 78 | 385 1,30 | 0 | 9,02 74
2250 | 74 | 676 | 78 | 286 | 15 | O | 9,6 78
2750 81 | 617 | 75 | 228 2,19 0 8,97 80
3250 Shey |) | Tal 197 2,54 2 9,03 85
3750 | 123 | 4,07 | 67 | 181 276 | 5 9,08 88
3. #==14,8°, A——140, 2——40, W—102S.E
1950 | 88 | 5,68 | 58 | 548 | Oss | 0 | 87 72
1750 | 95 | 5,26 | 59 | 378 | 133 | 0 | 80 74
2250 | 114 | 430 | 56 | 287 | 15 | 05] 9,04 78
2750 | 140 | 3,57 | 52 | 285 | 2,13 | 1 8,95 80
4. $=100°, 4=—33,5, Y—1100, W—102S.E.
3250 67 | 746 | 55 | 290 1,73 | —33,5 | 9,63 80
3750 60 | 8,33 | 62 | 236 212 | —335 | 9,14 80
4250 65 | 7,69 | 64 | 196 2,55 | —33,5 | 9,52 81
4750 67 | 7,46 | 69 | 153 3,27 | —33,5| 955 90
5. J— 100, 4= —17, S—550, W=52S.E.
3250 | 133 | 3,76 | 395 | 215 | 2,33 | —17 | 928 | 86
3750 | 149 | 3,36 | 42,5 | 185 | 2,70 | —15,5| 5,57 | 89
4950 | 187 | 2,67 | 43 | 163 | 307 | —13 9,76 | 94
Middel af 1, 2 og 3: 4a = 8,927 ved 24°.
Middel af 4 og 5: 4a — 9,493 ved 110°,
hvoraf 4a, = 8,769, 44490 — 9,427.
Varmefylderne ere
ved 0° ved 50° ved 75°
0,05562 , 0,05643 , 0,05607 ,
hvoraf Co — 0,05585 , C100 == 0,05632.
Endvidere er
d = 8,638 5 0100 = 8,556 ;
Co00 = 0,4824 , Ci000100 — 0,4819 ,
k
hy = D, kıoo == 0,2045 , Te — 10767
100
x, — 14,41. 10, xı0 — 10,18.10-5, 0 — 1,415,
7100
k k k
ee = 20098) | — 1815,
Xo X100 X100 Xo
nN
m
23
or
—I
Antimon.
1. 3—16,5°, 4—0, S——60, W= 102 S.E.
— : —
| ads | dx’ b
y Le mn DR RR 5
NR er | | = | 4 | fa |. 10
7 mr CO ee | ee DD Tin N SIE =a
1750 | 138 | 3,3 | 174 | 274 | Lu | 0 | 31,81 102
2250 | 162 | 3,09 | 179 | 195 | 957 | 0 | 31,63 111
2750 | 192 | 2,61, | 181 | 165 | 3.04 | 2 | 31, | 112
2. 9=15,1°, d= Ope 180,572 1025S SE
2750 89 | 5,62 | 278 | 156 | 3,21 0 | 31,47 125
3250 | 93 | 5,38 | 294 | 138 | 3,63 | 5 | 32,07 123
3750 | 100 | 5,00 | 304 | 115 | 4,35 8 | 31,64 129
4250 | 112 | 4,47 | 308 | 107 | 4,68 | 16 | 31,95 127
3. 91002, — 20378005 a 1025ER:
3250 | 133 | 3,77 | 257 | 121 4,14 —15 | 34,38 154
3750 | 141 | 3,56 | 276 | 107 | 4,68 —11 | 34,54 150
4250 | 168 | 2,9
291 | 90 | 5,56 | — 6 | 34,73 | 160
301| 87 | 575 | +12 | 3478 | 158
4750 | 197 | 2,55
Middel af 1 og 2:
4a = 31,75 ved 24°.
Middel af 3:
Heraf
hvoraf
4a — 34,68 ved 108°.
4a, = 30,91, 49400 — 34,40.
Varmefylderne ere:
ved 0° ved 50° ved 75°
0,05162 , 0,05174 , 0,05070 ,
Cy — C100 = 0,05120.
Endvidere er
d6 — 6,673, D100 — 6,653,
Co On == 0,3417 , 400 O100 => 0,3406 ,
i:
ky = 0,04421 , kyoo — 0,03961 , Da = 1,116,
100
5 5 x
20 == 219.107, x = 1,522.107, —* — 1,445,
X100
Ê k kıoo, k
Zu Olle, eS 2603, 0 — 1,294.
Xo X100 X100 Xo
58
Vismuth.
LOG, Al, 2 =), Mill &
| 1 im | 5 | |
N az | |_ dE Ga DETTE
= i | dt | | i dt d | da a 10
IL ait
2300 | 96 | 52 | 577 | 180 | 2,79 | 14 | 70,3 | 130
2800 | 112 | 447 | 583 | 150 | 31 | 28 | 717 | 133
ee 0 09,
2400 | 105 | 4,77 | 551 | 178 | 28 | 12 | TU | 1%
2900 | 133 | 3,7 | 547 | 134 | 3,74 MT | en
3400 | 181 | 2x | 528 | 109 | 4m | 0 | 715 | 185
3900 | 310 | 1,464 | 511 | 88 | 5,69 | —10 | 711 | 142
el oe ln DE
1900 | 159 | 3,6 | 440 | 169 | 298 | —30 | 765 | 169
2400 | 196 | 257 | 453 | 126 | 398 | —48 | 770 | 164
4. #—100, 4——4, 3 —380, W—102S.E.
1900 | 176 | 2,85 | 408 | 223 | 2,26 21 | 75,7 170
2400 | 244 | 207 | 421 | 178 | 2,82 43 | 773 169
2900 | 424 | 1,22 | 422 | 152 | 3,5 70 | 719 | 166
Middel af 1 og 2:
4a — 10,95 ved 25°.
Middel af 3 og 4:
4a — 76,88 ved 105°.
Heraf
4a, = 69,10, 47400 = 76,51.
Varmefylderne ere:
ved 0° ved 50° ved 75°
0,03013 , 0,03066 , 0,03090 ,
hvoraf
co = 0,3014 , C409 — 0,03116.
Endvidere er
do = 9,746, 0100 = 9,707 >
Co on => 0,2937 , 400 0100 == 0,3025 ,
k.
ko = 0,01700 , k400 == 0,01581 , = — {,071,
Koo
5 x
Xo = 0,9293.1075, «x00 = 0,6299.105, =" = 1,475,
X100
k k k k
—0 — 1830, D DEN). NE)
*X0 X100 X100 Xu
PET
wm
on
59
Efter at have tilendebragt alle disse Forsog, som havde varet fra Januar til Oktober
1880, ønskede jeg, navnlig foranlediget ved de imidlertid af Hr. H. F. Weber offentliggjorte
(Berichte der Academie d. W. zu Berlin, 1880, S. 457) Forsogsresultater, som i en paafaldende
Grad afvige fra mine, at gjentage Bestemmelserne af Stængernes Varmeledningsevne paa en
fra den først anvendte fuldkommen forskjellig Maade. Jeg valgte hertil Forbes’s Methode:
lagttagelsen af den ved Opvarmning af Stangens ene Ende fremkomne stationære Tem-
peraturtilstand i forskjellige Punkter af Stangen, og lagttagelsen af Stangens Afkoling ved
den ydre Varmeledning, efter at Stangen forst havde veret opvarmet til en ensformig
Temperatur. Da jeg tillige onskede at undgaa Anvendelsen af det tidligere benyttede
Varmeapparat, var det min Hensigt at udfore disse Forsog i fri Luft ved Stuens Temperatur,
hvorved jeg altsaa opgav at bestemme Varmegradens Indflydelse paa Varmeledningsevnen.
Jeg begyndte disse Undersogelser med Forsog over den saakaldte ydre Varmeled-
ning, idet jeg dels ved Hjælp af Thermometre, dels ved Thermoelementer undersogte
Afkolingen i fri Luft af opvarmede Legemer af forskjellige Storrelser og Former.
Til Beregning af disse Forsog benyttede jeg forst den i den nyere Tid indforte
Formel for den ydre Varmeledning, ifolge hvilken den af Overfladeenheden i hver Tidsenhed
til Omgivelserne afgivne Varmemængde udtrykkes ved hu(l+ Au), naar u er Forskjellen
imellem Legemets og Omgivelsernes Temperatur, og h og f ere to af u uafhængige Kon-
stanter. Denne Formel viste sig ogsaa fyldestgjorende, saalenge Afkolingen ikke fortsattes ud
over en vis Grænse, som omtrent laa ved w= lu,, naar u, var den først iagtlagne Verdi
af u. Under denne Grænse viste lagttagelserne regelmæssige Afvigelser fra Beregningen.
Da denne empiriske Formel saaledes ikke ganske kunde tilfredsstille mig, forsøgte
jeg ad theoretisk Vej at opnaa en mere brugbar Formel. Det første Skridt til en theoretisk
Behandling af den ydre Varmeledning er først gjort for 2 Aar siden af Hr. A. Oberbeck
(Wiedemanns Ann. Bd. 7, S. 27), men idet denne Forfatter har søgt at løse Opgaven ved
Hjælp af Rækkeudviklinger efter stigende Potenser af den omgivende Lufts Udvidelses-
koefficient, er det kun lykkedes ham at finde en Løsning, som alene kan bruges, naar den
omgivende Luft er meget stærkt fortyndet, medens den egentlige praktiske Løsning ganske
er undsluppen Forfatteren.
En Plade af Højden 7 og uendelig Brede tænkes ophængt vertikalt og holdt paa en
konstant Temperatur, som antages højere end den omgivende Lufts. Der opstaar herved opad-
gaaende Strømninger i den omgivende Luft, og antages, at de i horizontal Retning gaaende
Strømninger her blive uden Betydning, saa vil Lufttrykket p overalt i samme horizontale Plan
blive det samme, medens det selvfølgelig forandrer sig fra et horizontalt Lag til et andet.
Er w Luftens vertikale Hastighed, 7 Kocfficienten for den indre Gnidning, eo Luf-
tens Vægtfylde og g Tyngdekraftens Acceleration, saa er med den nævnte Forudsætning
Ligningen for Luftens Bevægelse:
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk, og math. Afd. II. 2. 8
60 26
‚(dw : dw Kære: La) dei‘
APR w) = —py — P+ nl‘ ar cea 2 DR (1)
dt dz dz dx?
Er endvidere Luftens Temperatur i Punktet #, 2 T9 Grader, regnet fra det absolute
Nulpunkt, og 7' i uendelig Afstand fra Pladen, er ce Luftens Varmefylde ved konstant Tryk
og k dens Varmeledningsevne, saa er Ligningen for Varmens Bevægelse:
då , då dd dg
rn 2 i à | 2 9
Ze un «) (Te =). RENE le eae (2)
En Del af Temperaturforandringen skyldes Luftens Udvidelse, idet den stiger tilvejrs, men
da Luften herved kun afkoles 1° C., for hver 100 Meter, eller 0,0001° C. for hver Centi-
meter, den stiger tilvejrs, saa kan denne Størrelse betragtes som meget lille i Sammenlig-
ning med de fra de øvrige Betingelser hidrerende Temperaturforandringer.
Betegnes Luftens Vægtfylde i uendelig Afstand fra Pladen (2 —%) ved p, saa er
vn 1
pT = p'(T+8) og + p9 — 0,
1 i).
altsaa er + og = (p'—p)g = — TEST
Betragte vi endvidere alene den stationære Temperaturtilstand, som fremkommer, naar
Pladens Temperatur holdes konstant, saa gaa Ligningerne (1) og (2) over til:
dw ÿ 7 T+#8/d?w d?w
BR = B
ae Im] 5 T (Te Ta) PME te OR (3)
LO LER RE EE | EN ee OS A. (4)
dz pe LNA de?
I disse Ligninger kunne vi med tilstrekkelig Tilnærmelse betragte Koefficienterne til de
sidste Led som Funktioner alene af Ti Stedet for af 7+ 4, hvorved altsaa 4 bortfalder i
disse Koefficienter.
I hele det Luftlag, som er begrænset af to gjennem Pladens nederste og øverste
Rand lagte horizontale Planer, vil Luften træde op igjennem det nederste Plan med en af «
afhængig Hastighed w og bevæge sig videre til det øverste Plan uden væsentlig Forandring
i Hastigheden, hvorimod Luftens Varmegrad i den samme Luftstrøm begynder for neden
med at være kun lidet forskjellig fra 7, men gaar dernæst hurtig over til en Temperatur
T-£ 4, som tilnærmelsesvis ligeledes holder sig konstant indtil den øverste horizontale Plade.
Disse Forudsætninger nærme sig desto mere Virkeligheden, jo større Pladens Højde H er,
og jo nærmere de betragtede Luftstromme ligge ved Pladen, men da det netop er paa de
nærmeste Luftlags Bevægelser og Varmeforhold, at hele Fænomenet i det væsentlige beror,
vil der neppe gjøres nogen stor Fejl ved at overføre de samme Forudsætninger paa Luft-
strømningerne i alle Afstande fra Pladen.
De mathematiske Forudsætninger ere altsaa, at w fra 2—0 til e=// er uafhængig
{
Z x dé É e di 2
af = og alene Funktion af x, medens # og are 0 for z—0, hvorefter FA hurtig voxer
2 dz
27 61
og atter aftager til 0, saaledes at # allerede for en i Sammenligning med 77 lille Verdi
af 2 beholder ligesom w en konstant Verdi indtil 2— //. I denne sidste Grænse selv
antages baade w og Ÿ konstante.
Ved Multiplikation af Ligningerne (3) og (4) med = og Integration fra 2—0 til
2 — H erholdes saaledes:
had 7 d?w
0 ont p AED AREA areas (5)
tho BEN LE na Ad RAS EE. à (6)
pe dw:
Da Luften saavel i umiddelbar Beroring med Pladen som i uendelig Afstand fra den er i
Hvile, og da Luftlaget ved Pladen har dennes konstante Temperatur, som vi ville betegne
ved 7--#,, saa bliver altsaa de til Differentialligningerne svarende Grænsebetingelser :
v= Où Del he Del,
el el Wye er
Sættes BU, =, NOTE,
kunne « og / vælges saaledes, at Differentialligningerne erholde Formen:
dw d* J!
0 = # +—- og vu’ = (7)
da’?
idet man da maa sætte:
À hem a
_ | / AT > _ | kgs
L= V —— og P = V Er -
Grænsebetingelserne blive nu:
Ve ee ii a == (0),
oO
"—=0 og wW=0 for 2 —o.
Da alle de konstante Koefficienter saaledes ere reducerede til rene Tal, vil der i Ligningernes
Integraler kun kunne indgaa Talkoefficienter.
Betegnes ved Z den Varmemengde, som Pladen i hvert Sekund og fra hver Kvadrat-
centimeter af Overfladen afgiver ved Ledning til den omgivende Luft, saa er:
då a, [dv
= tj = k iD
A k Ee a da’ z/=0 J
og, naar den ovenfor angivne Verdi for « indsættes,
An
/egk® =4 5
IL, = NV Jun > Vo Or 2. 10 SEN OA ER Les (5)
[dd
idet
— re N
er et rent Tal, som jeg senere skal bestemme. For de fuldkomne Luftarter antager det
fundne Udtryk for Z en noget simplere Form, idet her 7 som bekjendt kun er meget lidt
forskjellig fra 1. j
gr
62 28
Uagtet det fundne Resultat kun er fremkommet ved Hjælp af meget elementære
Forudsætninger, og derfor kun kan betragtes som en forste Approximation, udtrykker det
dog i en paafaldende nojagtig Grad Loven for den ydre Varmeledning (herunder ikke ind-
befattet Varmestraalingen). Som bekjendt have Dulong og Petit (Ann. de ch. et de ph.
T. 7, 1817, p. 225—264 og 337—367) af deres Iagttagelser over forskjellige Legemers Af-
kolingshastighed fundet denne, naar den Del, som skyldes Udstraalingen, fradrages, propor-
tional med mp°%,°. Da Afkolingshastigheden er proportional med Varmetabet Z, og da
Luftens Tryk p er proportionalt med dens Vægtfylde vo, ses det, at de to ved Forsøg og
ved Beregning fundne Resultater allerede i Formen ere ganske overensstemmende. For
alle de undersøgte Luftarter fandt endvidere Dulong og Petit b — 1,233, medens denne
Exponent i (8) er 1,25, altsaa næsten ganske den samme, derimod fandtes ce lidt forskjellig
for de forskjellige Luftarter, nemlig lig 0,45 for atmosferisk Luft, 0,315 for Brint, 0,517 for
Kulsyre og 0,501 for Aethylen, medens den theoretiske Formel giver ¢ —0,5 for alle Luft-
arter. Naar man tager Hensyn til de Fejl, som de nævnte Iagttagere have begaaet i
Beregningen af deres Forsog paa Grund af deres mangelfulde Kjendskab til Lovene for
stærkt fortyndede Luftarters Varmeledningsevne, maa ogsaa Overensstemmelsen her betragtes
som tilfredsstillende.
Endvidere fandtes Konstanten m for atmosferisk Luft, Brint, Kulsyre, og Æthylen
proportional med 1 : 3,46 : 0,965: 1,33, medens de tilsvarende Forhold, beregnede af (8),
blive 1: 2,46: 0,85: 1,07. Her kan imidlertid gjores den samme Bemærkning, som ovenfor.
Saaledes vil man med den af Stefan (Berichte der Wien. Acad. Bd. 79, II, 1879) angivne
Korrektion for Brint i Stedet for Tallet 3,46 finde 3,11, som allerede er betydelig nærmere
den beregnede Verdi 2,46.
Endelig have ogsaa Dulong og Petit fundet m uafhengig af den absolute Temperatur,
hvilket ogsaa for saa vidt er i ret god Overensstemmelse med (8), som det viser sig, naar
de af Winkelmann, Obermayer og E. Wiedemann fundne Temperaturkoefficienter for k, 7 og ¢
(se «Theorie der Gase» af O.E. Meyer, 1877, p. 101 og 201) indsættes, at Koefficienten i
(8) kun i ringe Grad forandrer sig med den absolute Temperatur (for atm. Luft og Brint
—0,14, for Kulsyre +0,04, for Æthylen +0,13 Procent for 1° C.).
For numerisk at bestemme Tallet N i Udtrykket (8) maa man foretage en Inte-
eration af Ligningerne (7). Man indsætte heri 27 = log, og udvikle # og w i Række
efter stigende Potenser af y, nemlig:
HY=1+by+by?+..., w—aytay +...
Disse Rekker skulle tilfredsstille Differentialligningerne og Grænsebetingelserne
Vol
¢ w—0 for y 08
HN 0g w=—0 for y—1.
29 63
Idet jeg efterhaanden har medtaget flere og flere Led af Rækkerne for # og w’,
har jeg fundet folgende Verdier for 6, :
—1, —0,6667, —0,5902, —0,5642, —0,5539, ...
en Række, som meget ner konvergerer til —0,548.
dv’ dv
“Ac ri
altsaa er N = 0,548...
For atmosferisk Luft ved sædvanligt Tryk og 0° er endvidere med de antagne
Enheder g—981, p—0,001294, 7—0,00019, Æ—0,00005, ¢ — 0,238,
Nu er
hvorved erholdes L = 0,000096 H-' 9,1.
Ved Forsøg, hvis Enkeltheder jeg her forbigaaer, har jeg for en Messingplade, 11% i Kva-
drat, fundet L = 0,000125 414,1.
Da Koefficienten for en uendelig bred Plade maa blive mindre, maa ogsaa Overensstem-
melsen mellem den beregnede og den iagttagne numeriske Koefficient betragtes som ret
tilfredsstillende.
Antage vi altsaa Exponenten 5 i Dulongs og Petits Formel lig ?, og gaa vi tillige
ud fra den utvivlsom rigtigere, af Stefan indførte Formel for Varmetabet ved Udstraaling,
saa vil Afkolingshastigheden for et i Luften ophængt Legeme vere bestemt ved
= en ee eur (9)
naar 7 og 7, ere Legemets og Omgivelsernes fra det absolute Nulpunkt regnede Tem-
peraturer, m Legemets Masse, c dets Varmefylde, g dets Overflade og o og 2 konstante
Koefficienter.
Ved svagere Opvarmning kan Udstraalingen antages proportional med 7— 7, — 9,
g res da til: 1 1
ur ROMER Elan ua =. RS TI ae) en ee (10)
idet h og 7 ere Konstanter. Sættes 9 — 4, for 4 — 0, erholdes heraf
gi
D Nop ee Oe OUR UE (11)
h do ‘+7
Som Exempel paa denne Formels Brugbarhed skal jeg anføre et Afkolingsforsog med en
med Kviksolv fyldt Cylinder af ferniseret Messingblik. Cylinderen, som var ophængt hori-
zontalt, var 15,85°™ lang og 3,82 i Diameter. Temperaturen aflæstes paa et i „1; Grader
inddelt Thermometer. Der fandtes:
FT 2 0800 07 GO oem 1 NT AE
t = 0, 496, 1207, 3473, 4733 Sek.
t (ber.) = 0, 499, 1208, 3470, 4733 —
De beregnede Verdier af ¢ svare til 4 — 0,0002463 og 7 — 0,63.
64 30
Endnu yderligere kan Formlen for Afkolingshastigheden reduceres, naar den ved
Udstraalingen tabte Varmemængde kun udgjor en ringe Del af det hele Varmetab, idet man
da erholder di
hvori kun den ene Konstant / indgaar. Heraf erholdes
4 1 1
t= Ti SRI COUR N (13)
Denne Formel finder især god Anvendelse paa mindre Legemer med metallisk
Overflade. Som Exempler paa den Indflydelse, som Legemets Storrelse udover paa Koef-
ficienten for den ydre Varmeledning, skal jeg anfore folgende Resultater af mine Forsog.
Man vil heri tillige finde en Forklaring af de store Uoverensstemmelser, som ere til Stede
i de Bestemmelser af denne Koefficient, som forskjellige Iagttagere have udført.
Forsogene ere udforte dels med Thermometre dels med Thermoelementer. Bereg-
ningen er udført saaledes, at jeg først enten ved Formlen (11) eller ved (13) bestemmer t,
08 dernæst for Middelværdien 7° af den højeste og laveste iagttagne Temperatur beregner
_ hvorefter jeg ved Hjælp af Ligning (9) eliminerer den Del af Varmetabet, som skyldes
Udstraalingen. Jeg er herved gaaet ud fra den af Graetz (Wied. Ann. Bd. 11, S. 913)
fundne Værdi for Glassets Emissionskoefficient o, nemlig o — 1,085.10-'?, idet jeg ved
sammenlignende Forsøg bestemte Udstraalingen af de forskjellige benyttede Overflader i
Forhold til Glasset. Tages dettes Emissionskoefficient som Enhed, er efter disse Forsøg
Koefficienten for fernisseret Messing 0,79, for blankt Messing 0,11. For alle rent metalliske
polerede Overflader fandtes meget nær den samme Koefficient, dog danne Antimon og Vis-
muth mærkelige Undtagelser, idet de udstraale 3 til 4 Gange mere end de andre Metaller i
mine Stænger. For Antimonstangens Vedkommende kunde dette maaske forklares af dens
Overflades porøse Beskaffenhed, derimod var Vismuthstangens Politur ikke kjendelig for-
skjellig fra de andre Stængers.
Ved disse Forsøg fandtes følgende Værdier for Koefficienten À (Lign.9) for den
ydre Varmeledning:
For horizontalt ophængte Cylindere:
1. Diameter 3,82%, Længde 15,85°™, 2 — 0,000069,
2. Diameter 1,5°7, Længde 23,8”, 2 0,000090,
3. Diameter 0,46%, Længde 80,0%, 2 — 0,000166,
For Kugler:
1. Diameter 10,64, — 0,000055,
2. Diameter 4,74, À = 0,000074.
Da det kun var min Hensigt at konstatere den store Indflydelse, Legemets Storrelse har
paa Koefficienten 4, har jeg ikke fortsat denne Undersøgelse videre.
31 65
De to Kugler vare hule, og Forsogene bleve anstillede saavel med Kuglerne
tomme som fyldte med Kviksolv. Ligeledes bleve Forsøg anstillede med et 6% langt Stykke
af den ene Messingstang, hvorpaa de gjentoges, efterat Stangen var udboret og lukket med
en Messingprop. Skjendt der paa denne Maade erholdtes meget forskjellige Afkølings-
hastigheder ved uforandret Overflade, kunde jeg dog ikke spore nogen Forandring i den
ydre Varmeledning. Dette Resultat er af Vigtighed for alle Forsøg over Metallernes indre
Varmeledning, da der ved disse altid forudsættes, at Varmetabet til Omgivelserne er det
r
samme ved samme Temperaturer, hvad enten det opvarmede Legemes Varmegrad er kon-
stant eller variabel. Dette Sporgsmaal kan kun afgjores ved Forsog, da det af theoretiske
Grunde kan være meget muligt, at Afkolingshastigheden selv kan faa Indflydelse paa den
ydre Varmeledning. Man kan for Exempel tænke sig et af en slet Varmeleder omgivet
opvarmet Legeme saa hurtig afkolet, f. Ex. ved Tilledning af koldt Vand til dets Indre, at
det endog kunde komme til at modtage Varme fra de af Legemet selv forud opvarmede
Omgivelser. Befandt Legemet sig i Luften, vilde der imidlertid paa samme Tid ogsaa frem-
komme en stærkere Stromning, som vilde have den modsatte Virkning.
Efter Tilendebringelsen af disse Forundersogelser bleve alle Stengerne, med Undtagelse
af Magniumstangen, ad galvanoplastisk Vej overtrukne med et Lag Nikkel. Da Antimonstangen
desværre var gaaet itu ved Afpudsningen paa Drejebænken, og Tinstangen ved tidligere Forsog
var bleven for kort, beholdt jeg saaledes kun 9 Stænger tilbage for de folgende Forsog.
Disse Forsog bleve udforte paa folgende Maade. Stangen blev med den ene Ende
anbragt i det samme Varmeapparat, som tidligere havde været benyttet til Bestemmelsen af
Varmefylden. Apparatet indeholdt Alkohol og blev vedvarende holdt paa Alkoholens Koge-
punkt. Stangen var stillet horizontalt, omtrent 3 Decimeter over Bordpladen og vel beskyttet
ved Skjærme mod Lufttrek og mod Varmen fra Varmeapparatet. Efter omtrent 5 Timers
Forløb, naar Varmetilstanden viste sig stationær, blev efterhaanden '
de forskjellige Huller i Stangen ved et enkelt Thermoelement, som bestod af en 0,2"" tyk
Temperaturen maalt i
Nysølvtraad og en 0,1™™ tyk Kobbertraad. Fremgangsmaaden var herved den samme, som
den tidligere benyttede. Naar der i Maaletraadens Strømkreds var indskudt Modstanden
112 S.E., saa svarede med dette Element ved sædvanlig Temperatur 57,77" af Maaletraaden
til 1° C. Thermoelementets Traadender vare i disse Forsøg lagte ved Siden af hinanden
og sammenloddede i Spidsen. Begge Traadene vare lige indtil Loddestedet isolerede, og
naar Elementet var sat ind i et Hul, befandt Loddestedet sig i Stangens Axe. En lille
Draabe Olie var i Forvejen bragt ind i ethvert af Hullerne. Thermoelementets to andre
Traadender vare forbundne med Ledningen til Galvanometret og til Maaletraaden, og de to
Forbindelsessteder vare anbragte i to paa Bordet stillede Glas med Kviksølv.
Naar Temperaturen i Hullerne våre maalte, blev Stangen taget fra Varmeapparatet
og opvarmet ensformig til en ikke lidet højere Temperatur end den, hvorved de paafølgende
66 32
Forsog over Afkolingen skulde udfores. Naar Slangens Temperatur ved den efterfolgende
Afkoling nærmede sig dette Punkt, blev Stangen, som var ophængt horizontalt i to Silke-
snore, fort hen til det samme Sted, hvor de første Maalinger vare udførte, og hvor alt
forblev uforandret paa det ner, at Stangen nu var udenfor Skjermen foran Varmeapparatet,
og at den derved fremkomne Aabning i Skjermen var tilstoppet. lovrigt vedblev Lampen
endnu at brænde under Varmeapparatet. Thermoelementet blev indsat i et af Stangens
Huller, og Tidsmomenterne, da Temperaturen passerede visse faste Punkter paa Maale-
traaden, bestemtes.
Man vil af de i det Folgende meddelte Resultater se, at Formlen (13) med kun en
enkelt Konstant er fuldkommen tilstrækkelig til Beregningen af disse Afkolingsforsog. Be-
tegnes den med Maaletraadens Enheder bestemte Temperatur ved x, ville vi altsaa for Al-
kolingsforsegene have
A
t = Mm RE NAT A atk CAL AT A (14)
medens den til de første Forsøg ved stationær Temperatur svarende Differentialligning bliver
1 d?u RE
Fr aa deeds re a (15)
idet ligesom tidligere a=, Konstanten /’ forholder sig til ¢ i den foregaaende Ligning
som Stangens krumme Overflade forholder sig til dens hele Overflade, altsaa /’:/—1 (1 + al
naar d er Stangens Diameter og Z dens Længde.
De Huller, i hvilke Temperaturen blev maalt, befandt sig 1,3, 5,...°" fra Stangens
r
frie Ende. De maalte Temperaturer vere betegnede ved w,, v3, U5,---
Tenkes Stangen forlænget saa meget, at dens cylindriske Overflade bliver saa meget
foroget som Endefladens Areal, og tænkes Endefladen nu uigjennemtrængelig for Varmen,
saa vil den tabe meget ner den samme Varmemængde til Omgivelserne som for. Betegnes
denne Forlængelse ved =, saa er altsaa s — 1d — 0,375, idet d —1,5°™ for alle Stængerne.
Vi kunne folgelig sætte:
naar Koordinatens Begyndelsespunkt lægges i den virkelige Slangs Endeflade.
Af Ligning (15) erholdes nu:
du N ie 5
— = al\uidr,
dx Je
og dernest:
ent anti 2n+1
du 5 5
EF da = Uon44 — Um = al’ | À wide ar In—1—.) da |.
av
CR 2n—1
2n—1 €
Forandres de sidste Integrationer til Summationer, vil man erholde med stor Tilnærmelse :
33 67
U2n+1 — Um = Aal’ [san + lu _ WARE | ;
idet Son 1 — 81 + TR PRE UE! ll +4e)u,*
Sættes efterhaanden n—1,2,...m, vil heraf ved Summation erholdes:
Urm+1— U = Aal Semi,
idet Som—1 = 83 + 83 +... + Samt + 5 (344 u).
Jeg skal i det folgende angive de i Forsogene iagttagne Storrelser og tillige under
de forste med Blystangen anstillede Forsog som Exempel vise, hvorledes Beregningen er
udfort.
Bly. Lokalets Temperatur 4 — 3,1° C.
Modstanden i Maaletraadens Stromkreds W— 112 S.E.
Stangens Længde L — 23,7,
1. Opvarmningsforsoget ved stationær Temperaturtilstand gav følgende til w, ,u3,...
svarende Temperaturer:
u — 315, 324, 340, 364, 399, 439, 489, 558™™.
Beregningen heraf udføres efter følgende Skema:
5
u us s S 4al’
1 | 315 | 1327 | 1576 | 1580} 0,0057
3 | 324 | 1375 | 2951 | 4538| 0,0055
5 | 340 | 1460 | 4411 8960 | 0,0055
7 | 364 | 1590 | 6001 | 14977 | 0,0056
9 | 399 | 1783 | 7784 | 22780 | 0,0544
11 || 439 | 2009 | 9793 | 32597 \ 0,0534
13 | 489 | 2300 | 12093 | 44724 | 0,00543
708 130156 | 0,005440
Den forste Vertikalrekke angiver det iagttagne Huls Afstand i Centimeter fra Stangens Ende.
De folgende Rækker give w,,u3,..., ur, us, ..., 0.8.V., og den sidste Række indeholder
Us —U U, —U
Kvotienterne “3 1, = =, 0.s.v., som angive de til de efter hinanden iagttagne
1 3
Temperaturer w,, u;, ... svarende Verdier af 4a/’. Den endelige Verdi af denne Størrelse
er bestemt ved Kvotienten
u + U3 +... + us — Bu, 708
S,+ S3 +... Sis 130156
2. Ved det umiddelbart derefter anstillede Afkolingsforsog fandtes for
u — 600, 500, 400, 300mm
t= 0, 114, 264, 463 Sek.
t(ber.) = 0, 114, 261, 463 —
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. II. 2. 9
0,005440 — Aal.
68 34
Beregningen af ¢ er udført ved Hjælp af Ligning (14), idet 7—0,0003304. Hertil svarer
0,005440
0,0003203
De efter den første Methode anstillede Forsøg havde givet 4a — 16,84 ved 19° C.
Messing (rad). d—2,2”, W—62S.E., L= 923,8.
1. u = 366, 372, 378, 386, 400, 419, 438, 461%,
hvoraf Aal’ 0,001974.
2. u — 600, 500, 400, 300mm,
MON 2376 549 9TIMSeEk.,
t(ber.) = 0, 239, 547, 970 — ,
1 = 0,0001576, 7 — 0,0001528,
4a — 12,92 ved 16° (tidligere Forsog 12,05 ved 21°).
NBI = 210 TO DESERT
1. u = 361, 377, 396, 434, 488, 545, 635™™,
hvoraf Aal’ — 0,006836.
2. u = 600, 500, 400, 300mm,
t = 0, 287, 539, 955 Sek.,
t(ber.) = 0, 236, 539, 956 — ,
1 = 0,0001600, 2” = 0,0001551,
4a — 44,07 ved 17° (tidligere Forsog 42,80 ved 19°).
Kadmium. 93,42. W=62S.E, b= 23's:
1. u = 368, 372, 380, 392, 409, 429, 454,
hvoraf Aal’ = 0,002272.
2. u = 600, 500, 400, 350, 300, 250, 200,
t= 0, 138, 326, 439, 578, 743, 961,
t(ber.) = 0, 142, 325, 439, 576, 745, 962,
1 = 0,0002656, i’ = 0,0002575,
4a = 8,82 ved 17° (tidligere Forsøg 8,927 ved 24°).
Kobber. #=4,3°, W=62S.E., L = 23,8.
1. u = 331, 331, 333, 337, 342, 347, 352, 359,
hvoraf Aal’ == 0,000656.
2. u = 600, 500, 400, 350, 300, 250,
t — 0, 251, 592, 805, 1047, 1358,
t (ber.) 0, 259, 592, 801, 1050, 1358,
I = 0,0001456, /’ — 0,0001412,
4a = 4,65 ved 16° (tidligere Forsog 4,43 ved 19°).
U’ — 0,0003203, altsaa er 4a — — 16,98 ved omtrent 10° C.
|
|
35 69
Messing (gul. #—3,2°, W=62S.E.,, L= 25.2.
1. u = 341, 345, 353, 365, 380, 400, 424, 450,
hvoraf Aal’ = 0,002420.
— 600, 500, 400, 300, k
t= 0, 237, 538, 962,
t(ber.) = 0, 236, 539, 956,
I = 0,0001600, 2’ — 0,0001553,
4a — 15,58 ved 17° (tidligere Forsog 13,73 ved 20°).
io)
S
Mis EDEN ER TENNIS EL 2154:
1. =) 127, 138, 163, 202, 255,329, 489,
hvoraf Aal’.= 0,02323.
2. u = 500, 400, 300, 250, 200,
0, 130, 317, 442, 601,
t(ber.) = 0, 134, 318, 442, 601,
I = 0,0003624, 2’ = 0,0003501.
4a — 66,35 ved 7° (tidligere Forsog 69,10 ved 0°).
|
jan ne SUR be
1. u — 348, 354, 364, 378, 396%), 418, 444,51), 476,
hvoraf 4al’ — 0,002793.
— 450, 400, 350, 297,
#== 0, 184, 409, 677,
t(ber.) = 0, 185, 402, 678,
I = 0,0001400, 2’ — 0,0001357,
4a — 20,58 ved 18° (tidligere Forsøg 20,24 ved 19°).
i
Ss
Af de ved Afkolingsforsogene for de forskjellige Stenger fundne Verdier for J’
erholdes ved Multiplikation med Leo, hvor d er Stangens Diameter, c dens Varmefylde,
ö dens Vegtfylde, den til u— I svarende Varmemængde, som afgives i Sekundet fra hver
Kvadratcentimeter af Stangens Overflade. Er Legemets Temperatur 1° C. over Omgivelserne,
bliver denne Varmemængde lig vr. e8.57,7 for W=112S.E. og v.2 68. 31,94! for
WS
De paa denne Maade beregnede Koefficienter for det ydre Varmetab ere for de
forskjellige forniklede Metaller, ordnede efter Storrelsen, folgende:
!) Disse to Temperaturer ere paa Grund af de to Hullers Tilstopning ikke iagttagne, men beregnede ved
Interpolation.
9%
70 36
BIS ae cane 0,000114, Vismuth. . . . 0,000106,
Kadmium .. . 0,000111, Messing (rødt) 0,000103,
Aluminium. . . 0,000109, Messing (gult) 0,000100,
ing ee 0,000109, Kobber . . . . 0,000100,
Nyselv..... 0,000107, Jern Spa eee 0,000099.
Overensstemmelsen mellem disse Tal maa betragtes som tilfredsstillende, da dels
Afkolingsforsogene ikke bleve anstillede under ganske identiske ydre Betingelser, dels selve
de forniklede Overflader ikke vare aldeles ens. Saaledes havde Blystangen ojensynlig den
sletteste Politur. Navnlig fremgaar heraf, at Koefficienterne ikke ordne sig efter Stengernes
Afkjolingshastigheder, idet f. Ex. Vismuthstangen, som er den af alle Stængerne, der afkoler
sig hurtigst, her kommer midt i Rekken, og det stadfester sig altsaa ogsaa ved disse
Forsøg, at Afkjolingshastigheden selv ikke udøver nogen kjendelig Indflydelse paa den
ydre Varmeledning.
Med Hensyn til Bestemmelserne af a og derigjennem af Metallernes Varmelednings-
evne, betragter jeg Overensstemmelsen med de tidligere Forsøg som tilfredsstillende for alle
Stængerne med Undtagelse af den ene Messingstang. Jeg betragter imidlertid min første
Forsøgsmethode som den nøjagtigste for alle Stængerne med Undtagelse af Vismuthstangen,
for hvilken de fundne Resultater udkrævede en Korrektion, som ifølge Beregningen skulde
gjøre a omtrent 10 Procent mindre. Da de sidste Forsøg imidlertid kun give en omtrent
4 Procent lavere Værdi, anser jeg det for rigtigst ikke at gjøre Korrektionen større.
Nedenstaaende Tabel indeholder de efter den første Methode fundne Ledningsevner
for Varme og Elektricitet ved 0° og ved 100°, dog for Vismuths Vedkommende med en
Forøgelse af Varmeledningsevnen af 4 Procent.
er ss
| Ir x
ko kıoo 29-10 x100 « 105 ko Broo , ko
X0 X100 Xo
nn
|
Kophen ere 0,7198 0,7226 | 45,74 | 33,82 1574 1,358
Magnium . ..... | 0,3760 0,3700 | 24,47 17,50 1537 | 1,398
Aluminium ....| 0,3435 0,3619 22,46 17,31 1529 | 1,367
Messing (rodt) . . . | 0,2460 0,2827 15,75 13,31 1562 1,360
Kadmium see 0,2200 0,2055 | 1441 10,18 1527 1,315
Messing (gult) . . . | 0,2041 0,2540 12,62 11,00 1617 1,128
LT ie ee 0,1665 0,1627 | 10,37 6,628 1605 1,530
TD ce 0,1528 0,1423 9,346 6,524 | 1635 | 1,334
BV sou cy | 0,0836 0,0764 541 | 3,602 | 1627 | 1,304
NEA ee 0,0700 0,0837 3,766 3,632 | 1858 1,314
Antimon ...... 0,0442 0,0396 | 2,199 1,522 2011 1,294
VISU CET 0,0177 0,0164 | 0,929 | 0,630 1900 1,372
37 71
Sammenholdes disse Resultater med andre lagttageres Bestemmelser af Metallernes
Varmeledningsevne i absolut Maal, vil man finde meget store Uoverensstemmelser. Skarpest
træde disse netop frem ved Sammenligningen med de nyere Maalinger af Tait (Trans. Roy.
Soc. of Edinb. 1878, p. 717) og af H.F. Weber (Monatsber. der Acad. Berlin 1880, p. 457),
som begge ligeledes have bestemt Ledningsevnen for Elektrieitet. Saaledes finder f. Ex.
Weber Forholdet mellem Ledningsevnen for Varme og for Elektricitet ved 0° lig 2007 for
Kobber og 1288 for Vismuth, medens jeg for Kobber har fundet 1574 (efter den anden
Forsogsrekke 1500) og for Vismuth 1900. Da imidlertid begge disse Iagttagere have be-
tegnet deres Meddelelser som kun forelobige, skal jeg ikke her gaa ind paa en nærmere
Undersogelse af Grunden til disse Uoverensstemmelser.
Af ovenstaaende Tabel fremgaar:
1° en Stadfæstelse af Wiedemanns og Franz's Lov for de bedre ledende Metallers Ved-
kommende, idet Forholdet imellem Ledningsevnen for Varme og for Elektricitet er meget
ner konstant for disse saavel ved 0° som ved 100°. For de slettere Ledere derimod
voxer dette Forhold stærkt, naar Ledningsevnen aftager, saaledes at der paa denne
Maade ligesom indledes Overgangen til de ikke metalliske Legemer, hvor som bekjendt
Ledningsevnen for Varmen langt fra aftager saa sterkt som Ledningsevnen for Elek-
tricitet. Grunden hertil kan ligge i disses storre Gjennemstraalelighed og storre Ud-
straalingsevne, og med Hensyn til det sidste Punkt er det værd at bemærke, at netop
ogsaa Antimon og Vismuth udmerke sig ved en paafaldende stor Udstraalingsevne.
lovrigt er det ogsaa muligt, at de sterkt fremtredende thermoelektriske Kræfter hos
Nysolv, Antimon og Vismuth kunne vere medvirkende til en lettere Forplantning af
Varmen.
k k
2° Forholdet = : = er for alle Metallerne, med Undtagelse af Jern, saa godt som ens
100 0
og meget nær lig med Forholdet mellem de til 100° og 0° svarende absolute Tem-
peraturer (1,367). Man vil altsaa for Ledningsevnerne k og x ved den absolute Tem-
peratur 7 have: k
aS T x Konstant.
Denne Lov synes endogsaa at være mere almindelig gjældende end den foregaaende,
idet ogsaa Nysølv, Antimon og Vismuth i denne Henseende forholde sig som de øvrige
Metaller. Meget paafaldende er den stærke Stigning af Varmeledningsevnen med Tempera-
turen hos Legeringerne Messing og Nysølv, medens Ledningsevnen for Elektricitet ligeledes
forandrer sig ganske uregelmæssig, idet den aftager langt mindre end hos alle de andre
Metaller. I en svagere Grad gjælder det samme for Aluminium.
Jeg havde allerede i 1872 i Vidensk. Selsk. Oversigter («Bestemmelse af Varme-
grader i absolut Maal») udtalt som en Formodning, at «Forholdet imellem et rent Metals
72 38
Ledningsevne for Varme og Elektrieitet er proportionalt med Temperaturen, regnet fra det
absolute Nulpunkt». Denne Formodnings Rigtighed har saaledes bekræftet sig, og Forsøgene
have vist, at Loven ogsaa lader sig udstrække til Legeringer. Med Hensyn til de videre
Folgeslutninger kan jeg henvise til samme Afhandling, kun maa bemerkes, at det af de
dengang bekjendte Iagttagelser bestemte Tal for Forholdet imellem de to Ledningsevner var
meget for stort.
Det vilde maaske nu ikke vere uden Interesse at forsoge paa at gaa et Skridt videre
i theoretisk Retning.
Man tænke sig folgende Forsog anstillet. En Metaltraad skjæres i en Mengde
smaa Stykker af Længden 7, en anden Metaltraad skjæres ligeledes i Stykker af en anden
Længde 7’. Disse Stykker loddes afvexlende sammen, og den saaledes dannede Traad ind-
skydes i en elektrisk Stromkreds. Ved Strommen vil der nu opstaa dels en Varmeudvik-
ling i hele Traaden, dels ligeledes en Varmeudvikling i den ene Halvdel af Loddestederne
og en Varmeabsorbtion i den anden Halvdel. De endelige stafionære Temperaturer i Lodde-
stederne vere 7, i de første og 7’ i de andre.
I Loddestederne ere tillige thermoelektromotoriske Kræfter tilstede, som ifølge den meka-
niske Varmetheori kunne udtrykkes nøjagtig ved — ET, og +ET/, idet Æ er en Konstant,
naar det for begge Metallerne forudsættes, at der ikke finder nogen thermoelektrisk Forskjel
Sted imellem to ulige opvarmede Steder af det samme Metal. Ved den elektriske Stroms
Gjennemgang gjennem to paafolgende Loddesteder vil altsaa det elektriske Potential blive
formindsket med #(7,—T!). Desuden vil selve Ledningsmodstanden i Traadstykket for-
mindske Potentialet, men Traadstykkerne kunne antages saa korte, at dette Tab bliver for-
svindende lille.
Under den samme Forudsætning ville ogsaa Temperaturerne T og 7” i et Punkt i
et af Stykkerne / og /’ kunne udtrykkes ved
TT tor ba? OT Th ale bia,
idet x regnes fra det nærmest til venstre liggende Loddested i det betragtede Stykke.
Imellem disse Konstanter ere Relationerne
= T, Pal pee, T— Patent,
da det ene Traadstykkes Endepunkt maa have samme Temperatur som det andets Begyn-
delsespunkt.
Tillige maa Loddestederne selv afgive lige saa megen Varme, som de modtage.
Loddestederne modtage ifolge den mekaniske Varmetheori ved Strommens Gjennemgang
Varmemengderne AiET, og — AiETY, naar A er Arbejdsenhedens Varmeækvivalent og 2
Stromstyrken. Ere endvidere k og k’ de to Traadstykkers Varmeledningsevner, g begge
Traadstykkernes Gjennemsnit, saa vil man altsaa have
ØR 73
: dT AL
AiET, = —kq Ee a kg =.
. , Ad aT” Ci ET
— AiET = — kg ce Aie le:
Ved Subtraktion af disse to Ligninger og Indsættelse af de ovenfor angivne Værdier for
T og T’ erholdes efter Elimination af Konstanterne a, 6, a’, b’
k k!
AiB(T, +1) = MT + Fr).
Det ved Strommens Gjennemgang gjennem to paafolgende Loddesteder lidte Potentialtab vil
altsaa vere
E(T,—T,) = AE 7
vein bee: > ur
idet T — EE er Loddestedernes Middeltemperatur.
Det ses heraf, at de thermoelektriske Kræfter alene frembringe en Modstand, som
folger de sædvanlige Love for den elekriske Ledningsmodstand, idet nemlig en saadan vilde
i AL - :
frembringe Potentialtabet 2 ——, naar ved x betegnes hele Traadens tilsyneladende elek-
qx
triske Ledningsevne. Traaden vil altsaa i vort Forsøg forholde sig, som om den havde
Ledningsevnen k K
(G+ pen
ARTE
Vi ville endvidere tænke os, at den samme Traad, uden at være gjennemstrommet af en
elektrisk Strom, bliver opvarmet i den ene Ende og afkolet i den anden, medens den iovrigt
er omgiven af fuldkomne Varmeisolatorer. Man vil da have, naar Temperaturerne i tre paa
hinanden folgende Loddesteder ere 75, T,, T,,
Tome v7:—7, glo—T
l % i+U ?
idet vi ved & betegne den Varmeledningsevne, man maatte tillegge Traaden, hvis man
betragtede den som en ensartet Ledning. Heraf følger
I+? N k AE°T
5 7 3 = i 7 7
ee
Den sidste Ligning angiver saaledes Forholdet imellem den betragtede Traads af Forsogene
k
k
fremgaaede tilsyneladende Ledningsevner for Varme og for Elektricitet.
Ethvert Legeme er i sit Indre diskontinuert. Der ere indre Grænseflader tilstede,
i hvilke man tillige maa antage Tilstedeverelsen af thermoelektriske Kræfter eller, efter en
nyere Betragtningsmaade, af elektriske Dobbeltlag. En elektrisk Strom vil saaledes ved en
74 40
Gjennemgang gjennem et Legeme frembringe de samme Virkninger, som i det ovenfor
beskrevne, tænkte Forsøg. Ligesom her vil en egentlig elektrisk Ledningsmodstand ikke
komme til at spille nogen Rolle i Sammenligning med den Modstand, som fremkommer
ved Gjennemgangen gjennem de elektriske Dobbeltlag, og der vil saaledes egentlig ikke
blive nogen Grund til at antage, at nogen anden Modstand overhovedet existerer. Elektri-
citeten vil altsaa bevæge sit frit, uden Potentialforandring langs ad et Dobbeltlag, og der
vil først fremkomme en Forandring i det elektriske Potential, naar Elektriciteten passerer
igjennem et Dobbeltlag.
Der vil fremdeles heller ikke være nogen Grund til at antage en egentlig Varme-
ledning, da alle Temperaturforskjelligheder maa udjevne sig ved lokale elektriske Strømme.
Ligesom Varmen som Straalevarme forplanter sig ved lokale, alternerende Strømme af samme
Årt som de Strømme, der fremkomme ved Udladningen af en Leydnerflaske igjennem en
Metaltraad, saaledes forplanter Varmen sig ved Ledning ved lokale Strømme af samme Art
som de Strømme, der fremkomme ved Udladningen af et galvanisk Batteri.
Vi tænke os nu en Linie lagt igjennem et Legeme, og at denne Linie skjærer tre
paa hinanden følgende Dobbeltlag. Skjæringspunkterne være A, B, C, Afstanden imellem
A og B være /!, imellem B og C være l’, Temperaturerne i A og C vere T/, i B T,.
Paa Grund af Temperaturforskjellen vil der fremkomme lokale Kredslob af elektriske Stromme,
som sandsynligvis i Gjennemsnit ville fore en lige saa stor Varmemengde fra B til A som
fra B til C. Betragtes nu denne Overfering af Varme som fremkommen ved Varmeledning,
og kaldes Ledningsevnen imellem A og B k, imellem B og C X, vil man have de fra B
7 Rk ald
til A og til C overforte Varmemengder proportionale med ee og med yee
Ere nu ifølge ovenstaaende Betragtning disse Varmemengder lige store, saa er
[Dee a eg
AU
Herved gaar det ovenfor fundne Udtryk for Forholdet imellem Ledningsevnen for Varme
og for Elektricitet, naar dette Udtryk overfores paa det betragtede Legeme, over til
TE
Dette Forhold bliver saaledes proportionalt med Legemets absolute Temperatur,
hvilket er i Overensstemmelse med Forsogsresultaterne. Disse have tillige vist, at Forholdet
er det samme for alle bedre ledende Metaller, hvoraf følger, at Æ har den samme Verdi
for alle disse Metaller. Den numeriske Beregning giver Z — 30400. Potentialforskjellen
ET, som vi ville kalde den molekulære Potentialforskjel, bliver f. Ex. herefter omtrent 23
Gange storre end den, som fremkommer ved Beroringen imellem Kobber og Nysolv.
Da den molekulære Potentialforskjel viser sig ens for forskjellige Legemer og pro-
41 75
proportional med den absolute Temperatur, ligger det nær at betragte denne Potentialforskjel
som identisk med den absolute Temperatur. Man vil saaledes erholde et absolut Maal
for Varmegrader, og 1 Centigrad vil blive lig 30400 absolute Enheder.
Jeg har i min ovenfor citerede Afhandling gjort opmærksom paa, at den ved en
given Potentialforskjel 2, — P, frembragte elektriske Strom kun vil vere i Stand til at
frembringe en vis Temperaturforagelse. Er Legemets Temperatur 7°, og er 7, den højeste
Varmegrad, hvortil Strømmen kan opvarme Legemet, saa vil man, naar det ovenfor fore-
slaaede absolute Maal for Varmegraden indføres, have P,—P, = T, —T,. Opfattes altsaa
Temperaturen som en molekulær Potentialforskjel, saa vil man kunne sige, at et Legeme,
som gjennemstrommes af en elektrisk Strom, ikke vil kunne opnaa en større molekuler
Potentialforskjel ved Strommen end den, der forud fandtes, plus den numeriske Verdi af
den storste elektriske Potentialforskjel imellem to Punkter af Legemets Overflade.
Sættes et Daniell’s Elements elektromotoriske Kraft lig 11.107 absolute Enheder,
saa vil den største Opvarmning, det kan frembringe, ligeledes vere 11.107 absolute Enheder
LOL
30400
forhaanden værende mangelfulde Tagttagelsesdata fundet det lavere Tal 2780 Centigrader.
Ligeledes maa nu Opfattelsen af den Forbindelse, som jeg dengang troede at finde imellem
eller = 3600 Centigrader. I min tidligere Afhandling havde jeg paa Grund af de
Lovene for Elektrolysen, Varmefylden og Varme- og Elektricitetsledningen, af samme Grund
blive at modificere. Den faktiske Forbindelse imellem disse Love er folgende:
Ved Elektricitetsenhedens Gjennemgang gjennem en binær Forbindelse udskilles
7
on Gram Metal, naar N betegner Metallets Atomtal. Til at opvarme N Gram Metal
1° C. udkræves omtrent 6,4 Varmeenheder eller 6,4.42.10% Energienheder, og til at op-
varme den samme Vægt en, efter den ovenfor givne Definition, absolut Grad udkreves
6
—— == 8800 absolute Energienheder. Den ved Elektricitetsenheden udskilte
Mengde af Metal vil altsaa udkræve 13 Energienhed for at opvarmes 1 absolut Grad,
medens Elektricitetsenheden selv vilde udkræve 1 Energienhed til Forogelsen af dens Potential
med en Enhed.
Jeg skal sluttelig kun henlede Opmerksomheden paa, at den ovenfor udviklede
Opfattelse af den elektriske Ledningsmodstands Natur, ifolge hvilken elektriske Stromme
kunne vedblive at bestaa indenfor begrænsede Kredse uden Modstand og som Folge
deraf uden Energiomsetning, staar i noje Forbindelse med vor Theori om Magnetismen og
Diamagnetismen, ja danner det nodvendige Grundlag for den.
Saadanne elektriske Stromme repræsentere en vis kinetisk elektrisk Energi. Betragte
vi f. Ex. en sluttet lineær, uendelig god Leder, hvis Induktionskonstant er ©, og nærmes
til denne Leder en Magnetpol med Magnetismen m, saa vil man have
76 42
di do
aa re 0,
naar ? er den inducerede Stromstyrke og © Rumvinklen for en Kegle, hvis Spids er i
Magnetpolen, og hvis Flade omhyller Stromlederen. Naar der altsaa oprindelig ingen Strom
var tilstede i Stromlederen, saaledes at til © —0 svarer ? — 0, saa er C + mw = 0.
Det ved Bevægelsen udforte Arbejde er
(7)
\ mide = ACP ,
hvorved altsaa den af Strømmen repræsenterede Energi i denne Leder er bestemt.
Betragte vi et Legeme med uendelig god Ledningsevne, viser Beregningen, at der
ikke ved ydre elektromotoriske Kræfter kan frembringes nogen Strøm i Legemets Indre, men
kun i dets Overflade. Ledningen i det Indre kommer saaledes slet ikke til at spille nogen
Rolle, og de elektriske Stramme blive ligesom den statiske Elektricitet kun Overflade- eller
Grensefladefenomener. Nermes en Magnet til et saadant Legeme, vil der fremkomme
vedvarende elektriske Stremme i Overfladen, og det vil forholde sig som et diamagnetisk
Legeme. Har f. Ex. Legemet Form af en Kugle med Radius 7, og er en Magnetpol med
Magnetismen m bragt i Afstanden a fra Kuglens Centrum, saa vil efter min Beregning det
3
mr
magnetiske Moment M af de fremkomne elektriske Stromme vere bestemt ved M — Ja:
i a M?
og den af disse Stromme repræsenterede Energi ved 77"
Som Resultat af hele denne theoretiske Udvikling fremgaar, at vi sandsynligvis i et
Legemes Indre ville finde foruden Massebevægelser elektriske Dobbeltlag med en med den
absolute Temperatur proportional Potentialforskjel og elektriske Strømme som forskjellige
Former for Energien.
Familien Podostemaceae,
Studier
af
Dr. Eug. Warming.
II. Afhandling.
Il. Vegetationsorganerne hos Castelnavia princeps Tul. et Wedd.
III. Vegetationsorganerne hos Dierea elongata (Gardn.) Tul., og Dicræa algeformis Beddome:
IV. Fruktifikationsorganerne hos Podostemon Ceratophyllum Michx., Mniopsis Weddelliana Tul.
og Glaziovana Warming, Dicrea elongata (Gardn.) Tul. og algeformis Bedd., og Castel-
navia princeps Tul. et Wedd.
Med 9 Tavler.
Avec un résumé et une explication des planches en francais.
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. IL 3.
TIO ABI ———
Kjøbenhavn.
Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri.
1882.
Hah 8 OPA O PME MEL | |
nur
whe
ava '
te EC WTA
Ii.
Vegetationsorganerne hos Castelnavia princeps Tul. et Wedd.')
Denne Art har hidtil kun veret hojst ufuldkomment kjendt. Det Exemplar, som
findes afbildet hos Tulasne (Monographia Podost., tab. XI, fig. 1), gjengiver næsten samme
Udviklingsstadium som min Fig. 4, Tay. XIII, nemlig den afblomstrede og visnende, hvide,
frugtberende Plante, og at Tulasne ikke har kjendt den i. anden Skikkelse fremgaar af
hans Ord (l. €. pag. 164): «Frons simul caulis et foliorum vices gerens saxis obrepit, cir-
citer 3 mm. in crassitudinem obtinet, sed in ambitu sterili maxime tenuatur et late mem-
braniformis evadit; paulo supra basim in lobos 2 æquales scinditur qui 4—6 centim. sin-
gulatim longi retrorsum incurvantur et ipsi in segmenta plura abbreviata dichotome disce-
dunt. Frondis hujus in superficie nude et inæqualis contextus totus mere utricularis est;
ejusdem penetralia loculis ovatis obliquis oreque integro donatis excavantur, in quibus
aptatis flores fovent, deinque fructus absconditos sed tumentes cohibent. Flores hoc modo
in ipso frondis sinu, sicut sporangium in Kiceia, solitarii gignuntur ....» og hos Weddell
i De Candolles Prodromus, XVII, 1873, p. 80, tales ligeledes om «frons dichotome divisa,
fastigiatim expansa, foliis genuinis omnino ut videtur destituta».
Af dette fremgaar, at Plantens vegetative Dele hidtil have veret opfattede som et
lovlignende, til Substratet tæt trykket Legeme, der er mere eller mindre tydelig dikotomisk
delt, og i hvilket Blomsterne ere nedsenkede. Jeg blev derfor ikke lidet forbavset, da jeg
forst fra Stockholm fik Materiale i Spiritus, samlet ved Caldas af Hjalmar Mosén, og
senere fik et særdeles rigeligt og udmerket Materiale i Spiritus fra den bekjendte svenske
Lege og Botaniker, Dr. A. F. Regnell i Caldas”), der viste, at Planten i sin fyldigst ud-
1) {ste Afhandling findes i Vidensk. Selsk. Skr. 6. Række, Il, 1, og omhandler: I. Vegetationsorganerne
hos Podostemon Ceratophyllum Michx., Mniopsis Weddelliana Tul. og Mniopsis Glazioviana Warmg.
2) Alt mit Spiritus-Materiale er saaledes fra Caldas i den brasilianske Provins Minas geraes, Dr.
Regnells er mærket III, 2053.
10°
SO 4
viklede Form har lange, elegante, særdeles fint delte Blade, saaledes som fremstillet paa
min Fig. I og 2, Tay. XIII. Jeg bringer herved min hjerteligste Tak saavel til Dr. Regnell
som lil Prof. Wittrock, der godhedsfuldt laante mig Riksmuseets Materiale til Under-
sogelse.
Dr. Regnell ledsagede sin Sending med et Brev, dat. Cidade de Caldas d. 15.
Mai 1881, af hvilket jeg aftrykker folgende, som giver en udmerket Forestilling om Plantens
hele Levevis, og som tillige viser, med hvilken Omhu og Intelligens han har indsamlet
Materialet.
«Fyndorten för dem var en bergshäll med omkring 45° stupning ned i en liten
«bassin» fylld ständigt med sakta flytande vatten frän vid ena änden befintlig vildfors och
vattenfall. Den 21 Februari var denna bergshäll i vattenkanten och sa långt ned skönjas
kunde tätt besatt med plantor i den utveckling, röret no. 1 visar: länga stjelkar och de
fint fördelade bladen näende vattnets yta, bildade en vacker mörkgrön garnering af bassinen
åt denna sida (se Fig. 1, Tav. XIII). Fran andra sidan, der vattnet flåt ut ur bassinen
liksom öfver ett dammbord, och der bassinen tycktes vara djup, fanns inte. — Den 28
Mars gjordes en excursion till dylik forss och vattenfall i Rio verde, der Castelnavia äter-
fanns ännu med länga stjelkar och fina blad, men nu med stjelkarna vid basen mycket
uppsvulnade (se Fig. 2 og 3 A—D) och med en mängd röda punkter eller knölar pa undre
sidan, hvilka befunnos innehälla könsorganer med 2 ständarknappar, hvilkas färg syntes
genom den tunna epidermis af stjelken.
Den 24 och 28 April fanns 4 förstnämda fyndorten, ribeirao dos Bugres, blott
en mängd stumpar af stjelkarne sticka 6fver vattenytan (päminnande om stubb pa et af-
mejadt sädesfält) vid basen försedde med många flera röda punkter, nu bildande knölar
isynnerhet på den till en frons utvecklade vid klippan starkt vidfästa delen. Mellan
dessa, och der vattnet var ännu mera grundt, fanns andra med en ech annan stump af
gamla (ursprungliga) bladstjelkar och pä den mycket mer utbredda frons, i kanten af
densamma, fransar (nybildningar af stjelkar och blad?), och mellan dessa ännu andra med
mycket mer fürgrenad (klynnedelt) frons utan tecken till blad eller fransar; blomknölarne
många fler och mer utvecklade, men könsorgan ännu inneslutna. Uti vattenkanten och
dels utom den samma, der klippan blott dä och dä fuktades, funnos först former med
utsluppna könsorganer (se Fig. 15, Tav. XIII); de langa stigmata stucko nu fram som
elt par horn och äfven ständarsträngarne tycktes tilltagit mycket i langd; exemplar med
knapparna uppsluppna funnos på det nara nog torra; frons af dessa former grönbrun
(ungefar som Fusus vesiculosus), kunde sällan fås hel och hallen fran klippan, och segmenter
voro så talrika och tatt intill hvarandra packade, att något centrum af frons sällan kunde
finnas. Att nu vilja draga den slutsatsen, det dessa sma former uppkommit ur den ur-
sprungliga (af d. 21 Febr. och 28 Mars), ar val kanske nägot förhastadt; jag har blott velat
> SI
visa, huru de förekommit efter hvarandra, allt efter som vatinet sjunkit undan, som mig
tyckes. .... De af 3 Maj funnos i en annan «remanso» an den ofvanfår først beskrifna,
men i samma ribeiråo dos Bugres, med djupare vatten och mera lugn yta, hvilken
spetsarne af bladen nådde. Syntes mig mårkelig genom finare stjelkar och blad och sår-
deles deri, att den befanns i samma utvecklingsgrad som de et par månader tidigare
tagna.» —
Saa vidt Dr. Regnell. Sammenfatter jeg hans værdifulde lagttagelser med mine
egne Undersogelser af de tilsendte Planter, kunne Resultaterne i al Korthed udtrykkes saa-
ledes. Castelnavia princeps har en kort, bred, kjadfuld, dorsiventral Stengel (hvis Forgrening
og Bladstilling nedenfor skal forklares), der som ganske ung bærer langstilkede, særdeles fint
delte, indtil 15 Gm. lange Blade (Fig. I, 2), hvis Basaldele voxe sammen indbyrdes og med
Stenglen, hvorved den nedre lovlignende Del af Planten fremkommer. Under sin senere
Udvikling bliver Stænglen sterre, bredere (Fig. 3), og nye Blade komme til; Stænglerne
hæfte sig med Hapterer (Fig. 6, 7) fastere og fastere til Underlaget, og medens de unge
Stængler dannede en spids Vinkel med dette (se Fig. 7), ligge de ældre fladt ud over det;
medens de unge Skud have en mere eller mindre hul Rygside, blive de ældre ofte ganske
fladt udbredte og faa derved endnu mere Lighed med et Likenthallus. Blomsterne skjules
paa en særdeles mærkværdig Maade inde i det lovlignende, som anfort af Stenglen og de
sammensmeltende Blades Basaldele dannede, Legeme og fremkalde Opsvulmninger paa dette;
de skimtes som smaa rode Knuder i dets Indre. Exemplarer, som voxe paa dybt og roligt
Vand, synes lenge at kunne bevare deres fint delte Blade og blomstre vist ogsaa under
Vandet. Men de Exemplarer, som voxe i sterkere bevæget Vand, iser ner Bredden, slides
saa stærkt af Vandet, at der snart ikkun er Stumper af Bladstilkene tilbage (Fig. 15). Paa
Randene af saadanne af Bolgerne og Strommene odelagte «Ley» kan man finde ganske
unge Blade, som fine Frynser, siddende mellem Resterne af de gamle. Gjennem Over-
fladen af det af Stænglerne og sammenvoxede Bladrester dannede, nu ganske lovlignende,
lil Klipperne tiltrykte Legeme, der, efterhaanden som Vandstanden hen i Tortiden (omtrent
fra April af) bliver lavere, ere komne til at ligge mere udsatte for Lysets og Luftens Paa-
virkning, bryde Blomsterne nu frem og udfolde Ar og Stovknapper (XIII, 15). Senere hen,
naar Vandet i Tortiden er faldet endnu mere, afbleges og indterre de tiloversblevne lov-
lignende og nu frugtberende Vegetationsorganer ganske, udsatte for den tropiske Sols
Hede paa de torlagte Klipper, og frembyde da det Udseende som paa XIII, 4. I den ud-
tørrede og paa Grund af de luftfyldte Cellerum hvide Masses mange Blomsterhulheder ses
nu glinsende kastaniebrune Kapsler eller Kapselklapper nedsænkede; disse udtørrede
Stengel- og Bladdele vise sig paa Overfladen ganske fint grubede paa Grund af de store,
indfaldne Parenkymceller.
Jeg skal nu søge at forklare Vegetationsorganernes Bygning (Tav. XIII).
Ved en første Betragtning var det mig ikke muligt at forstaa den; jeg fandt, som
paa Fig. 1, et nederste noget hult, bredt og kjodfuldt Legeme (man ser paa Figuren ind i
en Hulhed), hvilket det jo laa nærmest at betragte som Stengel, og paa hvis Rand fandtes
storre og mindre Blade, tilsyneladende uden Orden. Paa ældre, storre Planter er Tallet af
Blade betydeligere, og man ser nu langt tydeligere end forhen, at Dele med unge Blade
mere eller mindre stærkt hvælve sig udad i blidt afrundede Partier og springe stærkere
frem end de mellemliggende, med ældre Blade besatte Stængeldele; se f. Ex. Fig. 3 C: Par-
tierne m! og n! springe stærkere frem end det Parti, der berer de ældre Blade m og n,
eller Fig. 3B: Midterpartiet med de allerældste Blade a og 6 ligge længere tilbage end de
yngre, og af disse springe de alleryngste (ot, 21—2? o.s.v.) allerstærkest frem. Men
Totalformen af den lovlignende nedre Del er den samme som for; hvis man under en
svag Hvelvning af sine Hender vil slutte dem sammen, omtrent som naar man vilde ose
Vand med dem, og man dernæst tænker sig Randen af dette svagt hule Legeme bugtet ud
og ind, og langstilkede Blade anbragte paa Randen af Bugterne, de ældste paa de mest
indspringende Bugter, de yngste paa de mest udspringende, vil man faa en omtrentlig
Forestilling af Vegetationsorganernes Form. I Fig.3 A ses ind i Hulheden af et saadant
lovlignende Legeme, i Fig. 3 B ses det samme fra den modsatte, mod Underlaget vendte
Side, og Fig.3C og 3 D fremstille det fra højre og venstre Side. Diagrammet (XV, 10) vil
ogsaa hjælpe til at forstaa Stillingen, og Fig. 3 E, Tay. XIII, viser os det hele Legeme tænkt
fladt udbredt med Bladene siddende i Randen.
Efter at jeg imidlertid havde lert Forgreningen og Bladstillingen hos Podostemon
Ceratophyllum og Mniopsis-Arterne at kjende (se Iste Afhandling), blev det mig ret let,
efter noget Studium, at henføre Castelnawa’s Vegetationsorganer til den selv samme mærk-
værdige Type.
Man vil se af Iste Afhandling, at Skuddene ere stærkt dorsiventrale; at Bladene
staa i to Rækker paa Flankerne, men dreje deres Plader saaledes, at Bugsiden vender opad,
Rygsiden nedad (mod Stænglernes Bugside); at Knopperne rykke ud af Bladaxlerne og hen
til den yderste Rand af Bladgrunden paa Bladets notoskope, ved Drejningen af Bladet fra
Skuddets Medianplan bortvendte Side, hvor de omgives af en extraordinær Stipel; at hver
Knops Iste Blad vender bort fra Moderskuddet, og at Blomsterne ere endestillede.
Hvis man nu vil tænke sig en Plante opbygget efter disse samme Principer og paa
den ene Side tillige simplificeret, for saa vidt som hver Axe i den florale Region kun bærer
2 Blade og derpaa afslutter med en Blomst, men paa den anden Side fort endnu yderligere
i Retning af Dorsiventralitet og stærk Forgrening, har man Castelnavia’s Stengel. Den er
bygget som en sædvanlig dikotomisk Cyma; men alle Blade ere drejede saaledes, at
deres gastroskope Rand vender indad mod den relative Hovedaxe, og deres Axelknopper ere
=
ca
rykkede helt ud af Axlen og komme til Udvikling ved Bladets notoskope Rands Basis (se
Diagrammet, XV, 10, og tilhørende Figurforklaring). Ligesom hos de i {ste Afhandling
behandlede Arter vender hver Knops Iste Blad bort fra Moderskuddets Medianplan.
Efter disse Bemærkninger vil Fig.3E (og dermed i det hele det i Fig.3 som Ex-
empel afbildede Skud) kunne forstaas. Den relative Axe af Iste Orden ender med Blomst 2
(den forudgaaende Axe er ikke fuldstændig til Stede; dens Blomsterhule ses ved 1 i Fig.3 A,
3C og 3E), og denne Axe bærer Bladene a og b; a er det nederste og stotier ved sin
udad vendte (notoskope) Rand den kraftigste Knop, som ender med den efter 2 næst storste
Blomst 3 og bærer de to stærkeste Blade a! og a”, Blad 6 stolter paa samme Maade ved
sin bortvendte Rand et lid! svagere Skud, der ender med den efter 3 nest største Blomst 4
og bærer de to Blade b! og 0°. Paa samme Maade støtter a! ved sin ydre Rand Skuddet,
som ender med Blomst 5 og bærer de to Blade y? og y*, og a? støtter Skud 6 med
Bladene & og 2, af hvilke « som Skuddets Iste Blad vender bort fra Moderskuddets Me-
dianplan og derfor hen mod Bedstemoderskuddet (2 — ab), 0.s. v.
Det vil herefter vere let at forstaa Resten, og ved Hjælp af den punkterede Linie,
der fra hver Blomst forer ud til Periferien, vil det vere let at finde de til hvert Skud
horende Blade; kun maa det bemerkes, at nogle Skud ikke have mere end 1 Blad. Dette
er saaledes Tilfældet med de allerfleste af de yngste Skud, der ikke have faaet deres
Blomster numererede; saaledes, naar man begynder fra venstre, det Skud, der stottes af n!,
af 6? (Skud 8 med Blad o), af a, ft, 2", y!. Ogsaa dette er i Overensstemmelse med det
hos Podostemon Ceratophyllum og hos Mniopsis bemærkede, idet Tallet af Blade ogsaa her
fandtes at vere mindre hos Skud af hojere Orden end hos Skud af lavere (se f. Ex. Tay. IV,
Fig. 19 A). For øvrigt er det nok muligt, at nogle af de her som Ibladede betegnede Skud
ved nermere Undersogelse ville findes at have et 2det, men endnu meget lille Blad. Det
ber nemlig tillige bemærkes, at endnu mange flere Skudanlæg og unge Blade kunne findes
ved en mikroskopisk Undersogelse af de ved de yngste, for det blotte Oje synlige, Skud
verende Dele.
Begyndes fra venstre Side ses i Fig. 3E nederst Hulen for en Blomst af den i dette tegnede Parti
ældste Generation, og Basaldelen af det ene til dette Skud horende Blad. Dette Blad er Moder for Skud 2
med dets Blade a--b. For øvrigt høre de forskjellige Dele saaledes sammen:
Blomst 12 med Blad m! og et ikke market Blad.
= 7 — m og mn.
24r 43 2, n! og et ikke mærket Blad,
= 4 = bL og 62.
= 8 — 0.
eu 14 — ol og 0?
= 2 _ a og Db.
— 10 = aloe 2
ue 6 = a og f.
Blomst 3 med Blad a! og a?.
— 9 — zl og 22.
ALS Er
Desuden findes der nogle ikke mærkede Blomster med tilhørende Lovblade, og en stærkere Forstorrelse vilde
lære, at endnu mange flere, ganske smaa Skud ere anlagte.
1 og y?.
=
Det Sporgsmaal opstaar naturlig, om der ingen Skud findes, som have flere end
2 Blade. Dette gjør der ganske sikkert, og det tor antages, at de først dannede, mere
vegetative Skud altid ville have flere, saaledes som det jo ogsaa viste sig hos Podostemon
og Mniopsis, men naar en vis Alder er naaet, synes der kun at frembringes tobladede
Blomsterskud i et overordentlig stort Antal af Generationer. Et Skud med mere end 2 Lav-
blade er afbildet XIII, 2 (Bladene a, b, e, d o.s.v. hore til et og samme Skud).
At det hele Skudkomplex ikke kommer til at ligge i en eneste udstrakt Flade,
folger af Bladstillingsmaaden, og vil ogsaa lettelig fremgaa ved en Betragtning af Dia-
grammet i XV, 10.
Paa ganske samme Maade ere de rigere forgrenede Skud hos Podostemon og
Mniopsis skeformig hule i deres ovre Ender, hvilket kan ses af V,1, skjont ikke saa tyde-
lig, som jeg hayde onsket at fremstille det.
Fig. 3, Tay. XIII, viser, at de ældre Bladpar komme til at sidde i en Indbugtning
paa Randen af det thalluslignende Legeme; dette er en Folge af, at der paa hver Side af
dem findes Væxtpunkter (Sideaxer), som grundlegge nye Skudkomplexer, der for at faa
Plads maa hvelve sig lidt frem uden for de eldre.
Det neste, der bliver at forklare, er, hvorledes Blomsterne, som jo ere terminale
paa deres relative Hovedaxer, komme til at ligge indesluttede i det hidtil som en fladt udbredt
Stengel betragtede lovlignende Legeme, og langt fjernede fra dettes Rand, saaledes som
f. Ex. Blomst 2 i Fig. 3 E. Hermed forholder det sig saaledes. Blomsterne ere i Virkelig-
heden ganske exogene, og naar man gaar tilbage til de alleryngste Udviklingstrin (se f. Ex.
de to Blomster XIII, 19, som ligge mellem 3—b og a—a), finde vi dem ogsaa meget tydelig
liggende frit mellem Foddelene af to unge, ulige store Blade og i umiddelbar Forbindelse med
Omyerdenen, men meget hurtig begynde de omgivende, til selve Blomstens Skud horende,
Blade at voxe op omkring Blomsten og tillige sammen indbyrdes, og det ender med, at denne
kommer til at ligge dybt indsenket i det kjodfulde og lovlignende, blegt gronne, straaleformig
og dikotomisk delte «Lov», der altsaa viser sig for en særdeles stor Del at være dannet af
sammenvoxede Foddele af Blade. Det er ganske bekvemt at have en felles Benæv-
nelse for dette af Stængel- og Bladdele dannede Legeme, og jeg vil derfor i det folgende
benævne det «Lovet» eller «det lovlignende Legeme». ‘Til enhver Tid kan der paavises en
snever Kanal, som forer ned til Blomsten, men som er saa snever, at den i Tversnit ved
en Forstorrelse af c. 200 Gange ikke viser sig større end som i XIII, 14. I Begyndelsen,
indtil jeg blev nøjere bekjendt med Sammenhængen, antog jeg den paa Tversnit gjennem
—
(
«Lovet» for en Karstreng. Man vil i Fig. 8 A og B finde to Tværsnit lagte gjennem de
to Blade a—d i Fig. 3; Fig. 8a er fort lidt neden for Kløften mellem dem, Fig. 86 lige
ved denne; den lille Stjerne antyder Kanalen, medens de 6 morke Prikker betegne Kar-
strengene i Bladene, af hvilke de to yderste nylig ere opstaaede ved Deling af en enkelt.
Man vil heraf se, at Kanalen findes mellem de to Blade, inde i det ved Sammenvoxningen
dannede fælles Fodstykke, og at den udmunder netop i Kloften, der hvor Bladene skilles
fra hverandre og nærmest Rygsiden af dem (Fig. 8 6; Rygsiden vender nedad paa Figuren).
Paa XIII, 19 vil man se Kanalen, der fører ned til Blomsten mellem Bladene a og b,
overskaaret tet neden for Sammenvoxningsstedet mellem disse. Ligeledes vil man i Fig. 18
se den i Længdesnit, førende fra Blomst > ud til Omverdenen, og ved Blomst a vil man
se dens indre Munding i Blomsterhulen; derimod har Snittet ikke truffet den ved
Blomst c.
De Blomsterne dækkende Vævdele ere tyndere paa Bugsiden end paa Rygsiden.
Bladenes frie Foddel er bred og noget skedeformet, saa at den omfatter de nær-
mest liggende yngre Dele (se f. Ex. XIII, 3 G og 3 D). Den holder sig lenge opret, efter
at den lovlignende Del af Planten har lagt sig vandret. Pladen er meget fintdelt, nærmest
i alternerende fjerformig Forgrening (XIII, 1, 2, 5); ved Grunden af de større Sideflige
findes der en fint delt Flig snart nermest sammenvoxen med Hovedribben, snart nærmest
rykket ud paa Sidefligen (XIII, 5).
Bladenes Udvikling er i alt væsentligt som hos Podostemon Ceratophyllum,
men Forgreningen er langt rigere. Alle de Spidser af Hoved- og Sideflige, som jeg har
udprepareret, have tydelig vist, at Sidedelene anlegges i opstigende Folge og mere eller
mindre tydelig alternativt (XIII, 17, 19; XV, 5, 13), og at alle Nydannelser anlægges under
Epidermis (XV, 11, 12; se ogsaa 4). Knoplejet er som hos de tidligere undersogte.
Angaaende Stenglens og Bladenes Anatomi kan merkes folgende. Kisel-
dannelser mangle i hele Planten. Alle Cellevegge ere uforvedede. Intercellulere Rum
mangle eller ere dog kun yderst smaa. Overhuden er yderst simpel, dannet af for-
længet polygonale eller rektangulære Celler. Grundvævet er storcellet og dannet af
tyndveggede Parenkymceller; efter Døden, naar Planten ved Vandstandens Synken kommer
til at ligge paa det torre, fyldes de fleste af disse Celler med Luft, og derfra skriver sig
det hvide, næsten kalkagtige Udseende, som de hentorrede, frugthbærende Exemplarer faa
(XII, 4).
Karstrængenes Forgrening vil ses af XIII, 16, 18 og XV, 1, 2, 3. Den er
yderst simpel og staar i noje Forbindelse med hele Skuddets Forgrening. Hver Axe mod-
tager I Streng, som løber ud i Blomsterbunden (XIII, 16 ved a, 18 ved a; XIV, 3, 26)
og der deler sig i flere, som forsyne Stovdragere og Ovar; fra denne Streng udgaar end-
videre neden for Blomsten én Streng til hvert af det paagjældende Skuds Blade, hvilke
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 3. 11
86 10
Strenge senere sædvanlig dele sig i 3 og hojere oppe i Bladene i endnu flere (XV, 3;
m og n betegne de to til If hørende Blade, i hvilke 3 Nerver ere dannede). Ligeledes
udgaar der fra disse Strenges udadvendte Sider Grene til de paagjældende Blades Sideskud,
der paa lignende Maade tredele sig, hvis disse Sideskud bestaa af I Blomst og 2 Blade,
eller tvedele sig, hvis de kun bestaa af 1 Blomst og 1 Blad; og saaledes fremdeles.
Karstrængforgreningen er altsaa den samme som hos Podostemon Ceratophyllum
(II, 7) og de andre Podostemaceer, jeg hidtil har undersogt.
Det folger af sig selv, at man paa ethvert Tversnit gjennem det af Stengel og
Bladfodder dannede lovlignende Legeme vil treffe mange Karstrenge (hvis Tal tilsyne-
ladende oven i Kjobet bliver storre ved de karstrænglignende Kanaler), som lobe til de for-
skjellige, lengere ude staaende Organer (XIV, 1, 2); hos de andre hidtil undersogte Podo-
stemaceer, hvis Skudkomplexer ikke ere saa rige og indviklede, er Tallet af Strange paa
et Tversnit meget mindre (se IV, 3; VI, 8; IX, 53).
Karstrengenes histologiske Bygning. Strengene bestaa af Kambiform og
til Dels meget langt udtrukne Trakeider. Tværsnit vise dem bestaaende af snevre og tynd-
veggede Elementer; uden om disse ligger et snævercellet Vey med tykke, gullige Vægge
— et kollenkymalisk, mekanisk virkende Væv, som lengere ude gaar jævnt over i det
meget tyndvæggede Væv, der danner Hovedmassen. En serlig Kollenkymmasse i Skuddenes
Bugside findes ikke her eller er dog ikke saa fremtrædende, som hos de i 1ste Afhandling
undersøgte Arter. Siror har jeg ikke kunnet paavise sikkert.
Det ældre «Lov» er ganske tæt tiltrykt til Underlaget; det er sikkert stærkt negativt
heliotropisk, thi man finder det inderlig leggende sig op til Stenenes Overflade, folgende
alle deres Ujævnheder og bojende selv om næsten retvinklede Kanter, i det det legger sig
lige saa fast til den lodrette som til den vandrette Side (XIII, 4, paa venstre Side).
Hapterer. Stænglen viser sig, naar den er bleven ældre, paa Undersiden besat
med Hapterer, som søge lodret nedad og fæste sig tæt til de Gjenstande, med hvilke de
komme i Beroring, i det de i Spidsen brede sig eller næsten lige som gyde sig ud over
dem; exempelvis er der i XV, 16 afbildet en Hapterrække, der fatter om en lille Sten.
Som Figurerne vise, ere Haptererne hojst uregelmæssige i Form; nogle ere frit og
isoleret stillede, kegleformede, i Tværsnit trinde Legemer (XIII, 6; XV, 16), andre ere for-
mede som lange, uregelmæssig takkede og vortede Bjærgrygge eller kamformede Kjæder,
der folge med Stænglernes Underflade (derimod næppe gaa over paa de egentlig bladagtige
Dele) og forgrene sig i Overensstemmelse med Stænglernes Forgrening (XIII, 7).
Jeg har haft Lejlighed til her, bedre end tidligere, at folge Hapterernes Udvikling.
De ere exogene Dannelser, opstaaende i Epidermis og det subepidermale Lag. Den XIII, 10
tegnede synes vesentlig dannet i det sidste; men jeg har set en kjædeformig Hapter lige i
Dannelse, der aabenbart for en meget væsentlig Del opstod i Epidermis. Ligeledes er det
11 87
meget tydeligt dels af Cellernes Ordning, dels af Celleindholdets Beskaffenhed, at de ældre
voxe især i deres Omkreds ved Deling af dennes Celler; de alleryderste af disse ere altid
meget mindre end de andre og danne en Slags Overhud, der dog naturligvis ikke, netop
paa Grund af Væxtmaaden, danner ét, bestemt begrænset Cellelag (XIII, 9, 11, 12, 13).
Naar Hapteren afslutter sin Væxt og naar Underlaget, udgaar der Rodhaar fra denne
Pseudo-Overhud (XII, 11).
Paa gamle Stenglers Underflade kan man finde hele store Pletter, der ved deres
Udseende vise sig at være omdannede til Hæfteapparater; de ere ujævne og brunlige, Sand-
korn o. |. hæfte fast til dem; man kan endog finde Underfladen af omtrent det hele «Lov»
omdannet paa denne Maade.
Ligesom alle andre iagttagne Hapterer fore disse aldrig Karstrenge; de bestaa kun
af et storcellet, temmelig stivelsefrit og klart Parenkym (XIII, 10).
Castelnavia’s Rodder. Lige saa dominerende i Plantens Liv Rodderne ere for
de tidligere omtalte Podostemaceer og for de i det efterfølgende omtalte Dier@a-Arter, lige
saa ubetydelig en Rolle synes Rodderne at spille hos Castelnavia; jeg er endog tilbojelig
til at tro, at den ingen har. Hos alle de af mig undersøgte Exemplarer har jeg ingen
Rødder fundet, og de af Tulasne i hans Monografi givne Afbildninger af Castelnavia prin-
ceps (Pl. XI, 1) saa vel som af €. jimbriata (PI. XI, 2) vise ikke saadanne forbindende Strenge
mellem de enkelte «Lov», som man anden Steds finder mellem Skud eller Skudkomplexer
f. Ex. hos Podostemon, Mniopsis 0.5.v. Det er endog naturligst at sige, at der hos Castel-
navia end ikke findes nogen Hovedrod.
Spiringen af Froene er det nemlig lykkedes mig at iagttage, efter at jeg havde
udsaaet friske, i et Brev fra Dr. Regnell modtagne Fro; dog lykkedes det mig ikke at
faa Kimplanterne udviklede ud over en ringe Begyndelse; de gik da til Grunde, vist til
"Dels kvalte af de Alger, hvis rigelige Udvikling jeg ikke kunde forhindre (VE LS; IIB).
22—27).
Froet fester sig ved Hjelp af sin slimede Froskal (som senere nermere omtales)
fast til Underlaget. Idet Skallen sprænges, træder den, i Rimtilstanden yderst ubetydelige,
hypokotyle Stengel frem og voxer saa vel som især Kimbladene i Lengden, forend disse
afkaste Skallen og udbrede sig (XV, 15). Den unge Kimplante farver sig strax gron. Paa
Enden af den hypokotyle Stengel komme en Mængde Rodhaar strax til Udvikling; de tjene
ligesom den slimede Skal til at hefte Kimen fast. Ved nærmere Betragtning ses de at ud-
vikle sig over hele Rodenden lige hen til den brune Rest af Kimtraaden, som endnu fore-
findes (XV, 15, 19, 22—27); der er tydelig nok ingen Rodhætte, og at der ikke kan tales
om nogen Hovedrod, synes mig klart (se nedenfor, Kimdannelsen hos Mniopsis).
Den epikotyle Stengel har jeg set udvikle sig til det i XV, 15 afbildede Sta-
dium; der har her dannet sig nogle faa og ganske smaa Blade af ufuldkomne Former.
18
88 12
Allerede den unge Kimplante er sterkt dorsiventral; det viser sig tydelig, at den
epikotyle Stengel ikke udvikler sig midt mellem de to Kimblade, men nermest til den ene
Side, og hele Kimen krummer sig ofte i Overensstemmelse hermed (XV, 18); ligeledes dreje
Kimbladene sig saaledes, at Bugsiderne vende til samme Side, Rygsiderne til den mod-
satte; jeg har forsøgt at fremstille dette paa XV, 15.
Rodhaarene!), som udvikle sig paa den hypokotyle Axes Ende, have alle i deres
Spids en tykkere Veg end ellers (XV, 22, 24, 26, 27); maaske skal den her ophobede
Cellulose bruges, naar Rodhaaret i sin Spids skal brede sig ud i Lapper for at gjore Tje-
neste som Haptér. Lignende Bygning kjendes ogsaa hos andre Rodhaar, og paa samme
Maade ophobes der som bekjendt Cellulose i Oedogoniwmn-Cellen, der bereder sig til Deling,
og i mange Stovkorns Intine.
1) Om denne Benævnelse se {ste Afhandl. S. 12.
13 89
[LEE
Vegetationsorganerne hos Dierea elongata (Gardn.) Tul., og
Dicrea algæformis Beddome.
Materialet til Undersogelsen af disse er mig tilsendt i Spiritus fra Henry Trimen,
Bestyrer af den botaniske Have i Peradeniya paa Ceylon'), som jeg herved bringer min
hjertelige Tak; desuden er Herbariemateriale benyttet, og f. Ex. Fig. 20, Tav. X, er efter et
af Thwaites under Nr. 2259 samlet Exemplar. Ogsaa Arterne Dier@a dichotoma (Gardn.)
Tul. og Dierea stylosa Wight?) ere sammenlignelsesvis undersøgte, men alene ved Hjælp
af Herbariemateriale og ikke saa indgaaende, som de i Overskriften nævnte Arter.
Som fælles Karakterer kan anføres: Kiseldannelser mangle. Spaltaabninger mangle.
Overhudscellerne ere simple, rektangulert-polygonale. Grundvevet er ufarvet og kollen-
kymatisk, iser dets nermest Karstrengene liggende Vev, og Intercellulergange mangle
næsten alle Vegne fuldstændig. Karstrengene indeholde ingen forvedede eller dog kun
svagt forvedede Elementer og bestaa fortrinsvis eller alene af Bledbast.
Rodderne ere i det mindste to Slags, nemlig: a) vandret liggende, over Under-
laget krybende og ved Hapterer til det fast heftede Rodder, og b) saadanne, som udgaa
opret fra disse og bolge frit i Vandet.
De krybende Rødder kjender jeg egentlig kun fra D. elongata og i korte
Stykker; om de kunne opnaa saadanne Lengder som hos Podost. Ceratophyllum og
Mniopsis-Arterne er mig tvivlsomt (X, 1, 2, 20; XI, 17); deres Hapterer ere afbildede
X, 16—20; de ere snart kortere, snart lengere, snart udelte, snart forgrenede; snart staa
1) « Podostemon (Dierea) elongatum Gardn. Mahawelliganga near Peradeniya, Ceylon, Febr. 1881.» Dicræa
algæformis; ibidem.
2) De paa Tav. XII, Fig. 1 og 2, afbildede Exemplarer ere fra Herbarier, i hvilke de laa betegnede
Dierea stylosa med Tulasnes Originaletikette; jeg har derfor beholdt denne Benævnelse, skjønt
jeg nærer Tvivl om, at den er rigtig. Wights Afbildninger stemme ikke videre godt med disse
Exemplarer, der forekomme mig at maatte vere D. algæformis. Blomsterdelene vare for lidet ud-
viklede til, at en god Analyse kunde gjores og Tvivlen derved hæves
90 14
de enkeltvis og ere trinde, snart som i X, 17 udvikle de sig flere i Række, eller der dannes
som en hel lille Kam, der fungerer som Hefteapparat; naar de naa til Underlaget, brede
de sig altid ud i en Hæfteskive og legge sig tet op til dette, i det der danner sig Masser
af paa de undersogte Exemplarer brunsorte Rodhaar. Jeg har ikke haft passende Materiale
lil Forfolgelse af deres Udviklingshistorie; men de synes ganske at stemme med de hos
Podostemon Ceratophyllum, Castelnavia og Mniopsis-Arterne iagttagne Hapterer.
At vandret lobende Rodder kunne udspringe fra de oprette ses af X, 1, 2, 3, 20.
Om de regelmessig bere korte, blomstrende Rodskud, véd jeg ikke, men jeg formoder,
at dette ikke er Tilfældet.
De oprette Rodder bolge frit i Vandet lig mange fastsiddende Algers Thalli
(X, 20; XII, 1). De ere paa to Sider mere eller mindre tæt besat med yderst smaa i Række
stillede Skud (Dverggrene), af hvilke de nederste ere blomsterberende, de overste sterile;
Rodderne kunne aabenbart ikke have nogen ubegrenset Vext som andre Rodder, men
afslutte deres Længdevæxt lige saa regulært som et Blad. Paa Grund af de talrige Blomster
og Blade, med hvilke de ere besatte, ere de tidligere blevne opfattede som Stængler!).
Skuddene ere dorsiventrale ligesom selve Rodderne, paa hvilke de sidde, om end ikke i
nogen fremtredende Grad. Den Side, mod hvilken Skuddenes Bugside vender, kalder jeg
Roddernes Bugside.
Roddernes Form er forskjellig hos de to Arter. Hos Dicrwa elongata blive de frit
belgende Rodder indtil 5 Decimeter lange (X, 20); de ere trinde, tykkest ved Grunden
og blive mod Spidsen jævnt tyndere, indtil de lobe ud i en piskeformig afsmalnet Ende;
de ere normalt kun lidt forgrenede (X, I, 2, 3), fortrinsvis i deres nederste Del, og Gre-
nene udgaa oftest næsten vandret. Derimod er Dierea dichotoma meget stærkere forgrenet,
og Grenene udgaa under en temmelig spids Vinkel fra Moderroden, eller ere endog nesten
knippeformig samlede og oprette (se Tulasnes Monogr., PI. IX, I og Il).
Dicrea algeformis (XM, 20, 22) og D. stylosa (XII, 1, 2) have en i sin største
Udstrækning ganske fladtrykt, baandformig eller næsten bladagtig Rod, der paafaldende
minder om visse Havalger og Halvmosser. Tværsnit af den ses XII, Fig. 4 og 5. Allerede
hos Mniopsis Weddelliana findes der Antydninger af, at Roden kan brede sig baandformig
ud (V, 12, 18); men hos disse Dierea’er er det langt stærkere. Den forgrener sig stærkt,
som Figurerne vise. Jeg har fundet Spor af, at de med deres Grund undertiden trykke
sig op til Underlaget og hæfte sig fast til dette, i det en større eller mindre Strekning
af Overfladen udvikler sig som Hæfteapparat med Rodhaar o. |. (XI, 22ep; XII, 7). Bug-
1) Dicrea dichotoma har efter Weddell (De Candolles Prodr. XVII, p. 70): »caules graciles flagelli-
formes fluitantes»; Dier@a algæformis har «caules elongati fluitantes frondiformi-compressir. —
Dicrea har efter Hooker & Benth. Genera, Ill, 112: «Caules plus minus evoluti, sepe ramosi, nunc
ramosissimi, gemmis floriferis quam in Eupodostemone paucioribus secus ramos lateralibus».
som tin af
15 91
fladen er ofte lidt stærkere, næsten ribbeformig hvælvet, hvilket staar i Forbindelse med de
nedenfor omtalte stærke Delinger i dens Parenkym.
Dierwa-Rodderne ere stærkt klorofylholdige; der findes endog Klorofyl i selve
Overhuden, især op til Bagvæggene. Jeg har fundet, at Klorofylkornene danne Stivelse
paa deres Overflader, som afbildet XI, 20 og XII, 10, og de saaledes dannede Stivelsekorn
ere oftest meget uregelmæssige. Derimod er den Stivelse, som, rimeligvis sekundært,
dannes i Karstrengenes Nærhed, sædvanlig mere regelmæssig formet (XI, 16, m). Den
Lighed, som disse Rødder saaledes i Form og Klorofylrigdom have med Blade, forhøjes
yderligere ved deres anatomiske Bygning (XI, 22) og Karstrengforgreningen (XII, 2, 20, 22
0. a.), hvorom nedenfor.
Rodhætten dækker Spidsen helt rundt hos Dicræa elongata og kan hos denne
Art undertiden være ret stor (X, 6, 13); men derimod er den hos D. algæformis ligesom
hos Mniopsis og Podostemon Ceratophyllum kun en lille, neglformet Plade, der aldeles ensidig
findes paa Rodspidsens Rygside (XII, 20, 22, 23, 24, 25). Jeg har endog fundet Grene
uden Rodhætte (XII, 20 og 22), men om de fra først af have været uden denne eller
de i Tidens Løb have tabt den, formaar jeg ikke at afgjøre. Det er dog aabenbart, at
Rodhætten ikke spiller nogen stor Rolle her og nærmest maa betegnes som «rudimentær»
og paa Vejen til at gaa tabt; intet Under om den virkelig undertiden helt mangler (se ogsaa
Iste Afhandl., S. 8).
Rodforgreningen. Alt for Haanden værende Materiale af Dierwa elongata er
for gammelt til, at det med Sikkerhed kan afgjøres, om Rodgrenene ere exogene eller
endogene; den Omstændighed, at der ikke ses noget tydeligt Spor af Brud ved deres
Basis, berettiger endnu ikke til den Slutning, at de ere exogene, thi det samme er Til-
fældet med de ældre Rodskud, skjønt de bevislig ere endogene.
Paa de yngste Udviklingsstadier af Dicrwa algæformis, som jeg har kunnet under-
søge, og i langt højere Grad paa alle ældre, ser det ud, som om Rodgrenene vare exogene ;
man betragte Fig. 20 og 22 B: Bugtningerne mellem Moderroden og dens Grene ere saa
jævne, og Overgangen fra den enes Overhud i den andens synes lige saa kontinuerlig, som
om Grenene vare exogene Dannelser; ingen Saarflade, intet ringformigt Ar, ingen krave-
formig eller skedeformig Dannelse ved deres Grund antyder nogen endogen Oprindelse selv
paa de alleryngste, jeg har kunnet finde. At Grenene i ethvert Fald ikke, som ellers,
anlægges dybt inde i Moderroden, i Centralcylinderens Periferi, tror jeg at turde antage
for givet, men jeg er ikke vis paa, at de dog ikke, ligesom Rodskuddene, dannes i Moder-
rodens alleryderste Væv, maaske kun dækkede af to eller tre Cellelag, der afkastes eller
opløses uden at efterlade sig noget varigt eller endog kun kort varigt Ar. Men naar en
Rod danner sig paa en ældre Del af Moderroden, altsaa mere adventivt, er den i ethvert
Fald endogen, hvad det uregelmæssige Ar om dens Grund viser (XII, 23).
92 16
Rodens Anatomi. Det er især de oprette Rodder, som jeg har undersogt, men
de krybende have ikke vist sig væsentlig forskjellige fra dem.
Overhuden er som sædvanlig dannet af ensartede, rektangulære eller 6-kantet-
rektangulære Celler. Rodhaar mangle undtagen der, hvor Rodderne hefte sig fast. Hos
D. algwformis iagttog jeg den for en Rod usædvanlige Omstendighed, at Overhudscellerne
undertiden strakte sig radialt og delte sig tangentialt paa de til Underlaget tæt trykte
Steder (XI, 22; XII, 7).
Grundvævets Celler ere desto videre, kortere og mere tyndvæggede, jo nærmere
de findes ved Periferien — desto snævrere, længere og mere kollenkymatisk tykvæggede,
jo tættere de ligge ved Centralcylinderen (X, 10, 11), især gjælder dette for Dicræa elon-
gata; men selv tæt op til denne blive de dog kun til langstrakte kollenkymatiske Parenkym-
celler, undtagen paa Centralcylinderens Floemside, hvor de faa Udseende som Protofloem-
Geller. Intercellulær-Rum mangle. I de inderste Celler findes simple, runde Porer (X, 12).
I de ældre, allerede fortykkede Geller optræder der ofte talrige Længde- og Tvær-
delinger, kjendelige paa de tyndvæggede Celler, der gruppevis ligge sammen omfattede af
en Iykkere Væg (X, 12; XI, 17, 18). Sædvanlig ere de tangentiale Vægge overvejende.
Særlig gjælder dette for D. algeformis; undertiden ere de tre nærmest under Overhuden
paa Rygsiden folgende Cellelag hos denne saa sterkt strakte i radial Retning og delte ved
tangentiale Vegge, at Rodens Tykkelse derved næsten voxer til det dobbelte (XI, 22).
Mærkværdig er den Lighed med et sedvanligt Lovblads Bygning, som en saadan Rod frem-
byder; man tror at se et Pallisadevæv opadtil, et pnevmatisk (rigtignok uden Intercellulærer)
nedadtil; hertil maa man endnu erindre, at denne Rod er sterkt klorofylforende. Ogsaa i
Bugsidens Grundvey findes ofte talrige Delinger af samme Art; ved disse er det især, at
Bugfladens Midtlinie kommer til at springe ribbeformig frem (som paa XII, 5).
Strængskede mangler, lige saa vel som Perikambium; Centralcylinderens Floem
og Xylem grænse umiddelbart op til Grundvævet (X, 10, 11; XI, 18, 22; XII, 3, 12).
Centralcylinderen. Roden maa kaldes diark, om dette end ofte, navnlig paa
de trinde, strengformede Rødder af D. elongata (se f. Ex. X, 10, 11; XI, 18), slet ikke frem-
træder tydelig. For det forste vises det deraf, at der i de kraftigere og bredere, især de
basale Roddele ses to tydelig adskilte Strenge; se f. Ex. XII, 4 og XI, 22. Af denne
sidste Figur synes det at fremgaa, at der er to ved Grundvæv helt adskilte Strænge, men
det viser sig tydeligere i Naturen, end det er lykkedes mig at gjengive det paa Tegningen,
at det mellemliggende Væv paa Grund af sit Indhold m. m. hører med til disse to Strenge
og sammenbinder dem til en Enhed. For det andet ses det ofte tydelig paa unge Rodder
af Dicrwa algæformis, selv om det senere kan vere mindre fremtrædende, at de ere delte i
to Partier (XII, 12). For det tredje staa Rodskuddene i to Rekker paa Flankerne af den
dorsiventrale Rod, og Grenene der udgaa fra Centralcylinderen til disse Rodskud udgaa
hos D. algæformis lige saa regelmæssig som Nerverne i et fjernervet Blad, med hvilket de
unge, lynde og endnu gjennemsigtige Rødder have en mærkværdig Overensstemmelse
(XII, 20, 22B. Ligesaa D. stylosa, XII, 1, 2). Endelig stemmer denne Rodbygning med
den hos Podostemon Ceratophyllum og Mniopsis-Arterne iagttagne, hos hvilke Central-
cylinderen ligeledes er diark og undertiden endog meget tydelig har to adskilte Xylem-
partier (III, 15; VI, 2, 3). Centralcylindere, som de X, 11, XI, 18, XII, 3 afbildede, maa da
opfattes som fremkomne ved en fuldstændig Sammensmæltning af de to Strenge. Men
denne Rod er alligevel ikke diark paa samme Maade som en sædvanlig Rod, i det Blod-
bast- og Ved-Strenge her ikke alternere med hinanden, men maa siges at ligge
kollateralt.
Gentraleylinderens Histologi. I de svageste Strenge bestaar Centralcylin-
deren alene af Blodbast (X, 10, 11); i alt Fald har jeg ingen Trakeider kunnet finde, og
om nogle af de parenkymatiske Elementer, som findes paa Xylemsiden, skulle regnes til
Xylemet som Vedparenkym eller til Floemet som Bastparenkym, kan næppe afgjores. Hos
D. algeformis har jeg i nogle Tilfælde, selv i kraftige Strenge, ingen Trakeider fundet,
i andre derimod fandtes saadanne i det ene Hjorne af Centralcylinderens Bugside, og i
atter andre Tilfelde fandtes de i begge Hjorner eller i hele Bugsiden. Naar der er Xylem
til Stede, findes dette altid paa Strengens Bugside, medens Floemet vender mod Rygsiden;
desuden kan Floemsiden kjendes derpaa, at den mod Grundvævet begrænses af lange,
snævre, sterkt fortykkede Geller, medens Xylemet grænser op til vide, ikke fra de andre
Grundvevsceller afvigende Geller; dette ses tydeligt af XI, 15,18 og af XII, 3; ogsaa, XII, 12
viser, skjont endnu saa ung, at de Floemet mod Rygsiden begrænsende Geller afvige fra
de ovrige Centralcylinderen omgivende. Om disse Geller skulle opfattes som Protofloem-
celler eller som Grundvævscelier, kan jeg ikke afgjore.
Hver af de to Strenge i XI, 22 bestaar altsaa, naar Udviklingen fores saa vidt,
som muligt, paa Bugsiden af Xylem, paa Rygsiden af Floem. En saa kontraheret Central-
cylinder, som de i XI, 18 og XII, 3 afbildede, bestaar paa samme Maade af Xylem paa
Bugsiden og Floem paa Rygsiden, uden at det har været mig muligt at paavise en Ord-
ning i to Grupper, i alt Fald er der ingen skarp.
Sammenlignes hermed det for Podostemon Ceraiophyllum og for Mniopsis om Bodens
Bygning oplyste, fremgaar det, at de hidtil undersøgte Podostemacé-Rodder paa en mærkelig
Maade afvige fra alle andre Rodder. Om de end kunne kaldes diarke, for saa vidt de
bestaa af to Floem- og to Xylempartier, ere disse fire Partier dog ikke ordnede alternativt
som i alle andre Rodder, men snarest som Floemet og Xylemet i en sædvanlig Stængel-
eller Bladstreng; Floemet ligger som ellers i en Bladnerve paa Rygsiden, og Xylemet
modsat det paa Bugsiden. Jeg tvivler ikke om, at dette anatomiske Forhold staar i For-
bindelse med Rodens Dorsiventralitet.
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk, og mathem. Afd, IL. 3 12
94 18
I alle Tilfælde har jeg fundet, at Xylemets mest karakteristiske Del, Trakeiderne,
vare korte, parenkymatiske eller dog ikke særdeles lange Celler, forsynede med ring-,
skrue- eller netformede Fortykkelser (XI, 15, 16). Trakeiderne grænse ikke umiddelbart op
til de fortykkede Grundvævsceller, men skilles, som det synes normalt, fra dem ved tynd-
væggede Parenkymceller, der vistnok maa benævnes Vedparenkym (XI, 15).
Floemet bestaar i de kraftigst udviklede Rødder af Sirør med Adjunktivceller, og
desuden af Parenkym. Tværsnit gjennem ældre Strenge, som den i XI, 18 og XII, 3 afbildede,
vise, at der har fundet en Mængde sekundære Delinger Sted i næsten hver eneste Celle i
den hele Centralcylinder, saavel i Xylem- som i Floempartiet. Længdesnit vise os de
samme Delinger (XI, 15, 16, 19; XII, 9, 11), og det fremgaar med største Tydelighed, at
Floemet væsentligst bestaar af tyndvæggede Parenkymceller, som etage- og gruppevis ligge
mange sammen og ere kjendelige paa deres Protoplasma og Cellekjærner; i hver Gruppe
findes der et Sirør, der er kjendeligt paa sit ofte stribede Indhold, den stærkere Udvidelse af
sine Ender og sin Mangel af Cellekjerne. Tværvæggene gjøre ofte tydeligt Indtryk af at
være gjennemhullede, men Forholdene ere for smaa og for utydelige til, at det med Sik-
kerhed kan siges, om de ere byggede som ægte Siplader.
En Celle i den oprindelige unge Stræng kan altsaa ved Deling give Oprindelse til
et Sirør med en Mængde i nøjagtig samme Højde liggende snævre Parenkymceller, hvilke
jeg derfor tror mig berettiget til at kalde Adjunktivceller, men mere end I Sirør i hver
saadan Gruppe har jeg ikke iagttaget. Ogsaa Tværdelinger i Adjunktivcellerne forekomme
(XII, 9). Derimod er det blevet mig mindre tydeligt, hvorledes Trakeiderne og Vedparen-
kymet er ordnet i de enkelte Grupper.
Rodskuddene staa hos D. elongata udelukkende, hos 2. algæformis og stylosa
næsten udelukkende paa Flankerne af Roden, i to Rækker. Hos de to sidste komme
nemlig ogsaa enkelte Skud til Udvikling inden for Flankerne paa selve Rodens Flade (ved g
i XII, 1).
De blomstrende Skud findes, saa vidt jeg har kunnet se, kun paa de oprette
Rodders nederste Dele; efter dem folger der paa den ovre Del kun sterile Skud, der ere
yderst ubetydelige og frembringe nogle ganske faa og smaa Lovblade og ere uforgrenede,
ja ikke en Gang have nogen tydelig Stængeldel (X, 15, 21, 22; XII, 4, 6, 22—24).
Skuddene vise en lignende Tilbojelighed til at staa parvis, over for hinanden
(se f. Ex. X, 20, 22), som hos Podostemon og Mniopsis, men det er ikke saa gjennemfort.
Der hvor en Siderod udgaar, findes der i Regelen en Knop i dens overste Vinkel,
dog nermest Rygsiden (X, 1, 3).
De blomstrende Skud boje sig sædvanlig noget tilbage og konvergere mod Bug-
siden, baade hos Dicræa elongata og 1). algæformis, og en svag Dorsiventralitet findes
ogsaa udtalt hos dem i Bladenes Forhold (sammenlign XI, 75 med 701).
pt,
19 95
Skuddene anlegges endogent i Barkens Periferi, strax inden for de lo yderste
Cellelag, og uden at der fra forst af er nogen særlig Forbindelse med Centralcylinderen
(X, 4, 5, 6; XII, 21); senere iværksættes en saadan Forbindelse ved Omdannelse af de
mellemliggende Parenkymeeller til Karstreng (X, 21; XI, 1, 2, 4, 9, 20, 22 0. s. v.); i de
unge, endnu ganske tynde Rodder af D. algæformis ses saavel Centralcylinderen som disse
til Skuddene udgaaende Karstrænge, naar Rodderne holdes op for Lyset, og Roden ser da ud,
som om den havde en fjerformig Nervation (XII, I, 2). Fig. 4, Tay. XII, viser Karstrængen
udgaaende fra Gentraleylinderen til et Skud i et Tværsnit af Roden.
Naar Roden af Dierwa stylosa og D. algæformis er bleven gammel og mere eller
mindre medtaget af Vandet, ses den ofte ligesom takket paa Siderne (XII, I for oven til højre
og anden Steds); dette hidrører derfra, at Dele af dens Sider ere blevne opløste, men de
mere resistente Væv, nemlig Karstrængene og de til dem sig sluttende Celler blive staaende
længere Tid og springe derfor frem over Resten af Roden.
Det Sted, hvor et Skud danner sig, antydes hos Dicræa algæformis ogsaa udvendig
ved en lille vorteformig Fremragning (XII, 24). Skuddene gjennembryde dernæst de dæk-
kende Cellelag, hvilket i alt Fald for en Del ligefrem synes at ske ved Opløsning af dem;
man vil saaledes paa XII, Fig. 21, se, at en Del Cellevægge over Spidsen af Bladet (ved x)
ere forsvundne, og der er nu en Aabning ned til dette, som endnu ikke har hævet sig op
over Moderrodens Overflade. Senere voxer det mere frem, andre følge efter, og til sidst
sidder der et helt Knippe (X, 8, 15, 14, 9 o.s. v.; XII, 20, 22, 23, 24), hvis yderst ubetydelige
Stængeldel dog forbliver skjult inden for Rodens Overflade. I alt Fald er dette Tilfældet
med de sterile Skud; de blomsterbærende derimod voxe længere frem. Heller ikke disse
sidste har jeg fundet forgrenede (X, 7; XI, 2—7; XII, 13—18).
Om Bladstillingen kan jeg for de vegetative Skuds Vedkommende ikke sige
meget med Sikkerhed. Det er baade hos D. algæformis og D. elongata tydeligt nok, at
det første Blad paa de unge vegetative Skud (kun af saadanne har jeg haft unge Udvik-
lingstrin) staar fjærnere fra Rodens Medianplan end det 2det, som tillige synes at staa noget
nærmere mod Rodspidsen (se XII, 26, hvor de lo første Blade ere mærkede I og 2, og
sammenlign hermed X, 4,8,14 og XII, 24), og tillige, at det Iste Blad bøjer sin Spids hen
imod Rodspidsen ligesom paa de i {ste Afhandling omtalte Arter, Podostemon Ceratophyllum
og Mniopsis-Arterne. Men paa noget ældre Skud, hvor flere Blade vare dannede, har det
altid set ud, som om Bladene opstaa i nedstigende Følge og snarest i en Zigzagrække
(se X, 9, 215 XII, 6).
Skjont jeg ingen ganske unge florale Skud har fundet, anser jeg det ikke for tvivl-
somt, at de i Henseende til Anlegsmaade stemme med de sterile. Paa de ældre Udvik-
lingstrin, som jeg har haft til Raadighed, er der ikke Tegn til, at Skuddet har haft endogen
Oprindelse, f. Ex. i Form af et ved Skuddets Grund værende Ar (se f. Ex. XI, 2—4), men
12°
96 20
jeg antager, at Gjennembruddets Mærker meget let udslettes, især fordi de gjennembrudte
Cellelag kun ere to. Dette bestyrkes derved, at ogsaa Blade synes at kunne oploses og
forsvinde uden at efterlade sig noget tydeligt Ar; jeg anser det saaledes for rimeligt, at
der paa XI, 2—4 har siddet Blade neden for de nu synlige nederste, som ere oploste, og
navnlig har der ved + i Fig. 3 sikkert siddet et, af hvilket der endnu saas Antydning.
Hvad der imidlertid udmærker de blomstrende Skud fremfor de golde, er deres
udviklede Stængeldel. Det bliver da ogsaa lettere at se Stillingen af Bladene; disse staa,
som X, 7, XI, 2—7 og XII, 13—18 vise, i to Rækker, som ligge i Moderrodens Dorsiven-
tralitetsplan, den ene Række vendende hen mod og den anden bort fra Rodspidsen (den
«akroskopiske» og den «basiskopiske» Bladrække); altsaa er Bladstillingen her ganske som
hos de i Iste Afhandling omhandlede Arter. Antallet af de til Udvikling kommende Blade
synes at være forskjelligt. Medens de nederste Blade ligne de golde Skuds Blade i at have
simple, nervelose eller I-nervede, liniedannede eller lidt spateldannede Plader uden eller
uden synderlig stor Skededel, faa de hojere stillede, den endestillede Blomst omfattende
Blade en langt sterre, baadformet Foddel, som paa de ældre Skud er det eneste til Stede
værende, i det Pladedelene nemlig falde af (se især X,7 Blad d og e paa det nederste Skud),
og meget hurtig udviskes Sporene af den affaldne Plade. De vegetative Blade, som ses i
Fig. 13—18, Tav. XII, er sikkert alle kun de nedre baadformede Foddele af Blade, hvis
Plader ere forsvundne.
Paa disse Skud træder det ogsaa tydelig frem, at Pladerne ere sværdformede
eller sammentrykte fra Siderne og, naar Hensyn tages til Foddelene, ridende (X, 7 øverste
Skud, 0. fl. a.).
Det synes at være Regelen, at de florale Skud udvikles i nedstigende Folge.
I alt Fald ses det tydelig saa vel af X, 2 og 20 (især Roden til venstre), samt XII, 1 (Grenen
lil venstre og til Dels den store midterste), at de overste Skud ere videre i Udvikling end de
nederste, f. Ex. allerede i fuld Blomstring, medens disse endnu have smaa, fuldstændig lukkede
Blomsterknopper. Jeg antager dog, at de blomstrende Skuds Anlægs følge lige saa vel er
opstigende som de golde Skuds; Materialet har ikke tilladt Afgjørelsen af dette Spørgsmaal.
Hvert floralt Skud frembringer kun én Blomst, som er terminal.
Betragtes de hidtil gjennemgaaede Podostemaceer med Hensyn til deres Vegetations-
organer og tages Podostemon Ceratophyllum til Udgangspunkt, synes Udviklingen at være
gaaet i to Retninger.
Hos den nævnte Podostemon ere Rødderne krybende, ubegrænsede i deres Væxt
og bære forholdsvis kraftige Rodskud (indtil c, 5—6 Cm. lange), ret rigt forgrenede og
besatte med kraftige Blade (1,6; IL, 1 o.s.v.). Rødderne ere her kun svage Assimilations-
organer, Skuddene ere som ellers de vigtigste.
Paa den ene Side af denne Art staar Castelnavia princeps; Rodder synes her at
mangle fuldstændig; Skuddene ere særdeles rigt forgrenede og en Mengde Skudgenerationer
komme til Udvikling; der fremkommer et af sammensmeltede Stængel- og Bladdele dannet
thalluslignende assimilerende Legeme, og Bladene ere store og meget fint delte,
Paa den anden Side af Podostemon Ceratophyllum staa først Mniopsis-Arterne.
Rødderne ere ubegrænsede, men blive ofte en hel Del bredere end hos Podostemon (indtil
2—3 Mm. brede), medens Skuddene ere mindre, samt mindre forgrenede og mindre blad-
rige, altsaa i det hele mindre kraftige Assimilationsorganer (IV, 14 0.s.v.). Hos Dicræa
elongata, til hvilken D. dichotoma aabenbart slutter sig, er der krybende Rødder, fra hvilke
andre og oprette Rødder udgaa; disse ere aabenbart begrænsede i deres Væxt, trinde
og sikkerlig mere klorofylholdige end de først nævnte Arter; Rodskuddene ere derimod
ganske ugrenede, samt ubetydelige i Størrelse og Bladrigdom (X, I, 2, 20, 22 0.s.v.). Hos
Dicræa algæformis og D. stylosa blive de oprette Rødder til brede, baandformede, i deres
Længdevæxt begrænsede, stærkt klorofylholdige Legemer, altsaa til kraftige Assimilations-
organer, og samtidig hermed reduceres Rodskuddene til omtrent intet i vegetativ Hen-
seende; Roden har overtaget den Rolle, som ellers tildeles Stængler og Blade (XII, 1).
Noget videre i samme Retning gaar den i Tab. IX, Fig. 55, afbildede (ubestemte) indiske
Podostemacé, idet Roden er bleven relativ bredere og mere thalluslignende. Naturen gaar
imidlertid endnu et Skridt videre, men da jeg hidtil ikke har andet end tørt Materiale af
de paagjældende Planter, udsætter jeg Bearbejdelsen af dem en Stund endnu; jeg tænker
paa saadanne Arter som Aydrobryum olivaceum, afbildet efter et tørret Exemplar Tav. IX,
Fig. 54. Saa vidt jeg ser, er Roden her omdannet til det brede, i Omkreds næsten kreds-
formige, bladagtige, uregelmæssig lappede, sikkerlig grønne Legeme, der ligger tæt tiltrykt
til Underlaget og paa en ganske mærkelig Maade gjengiver et Liken-Lovs Udseende, og fra
hvis hele Flade der, som det synes uden Orden, udgaa uanselige Blomsterskud; at disse ere
endogene, derfor tale de Spalter i Moderorganet, der ses ved hvert Skuds Grund (se f. Ex.
Figurens højre Side). Paa ganske den samme Maade som denne Plantes maa sikkert ogsaa
flere andre Podostemaceers vegetative Organer opfattes, f. Ex. Zerniola’s (Tulasnes Mono-
grafi, Tav. 13, IM).
Sammenholdes hermed, hvad ovenfor meddeltes om Castelnavia, vil man se, at Ud-
viklingen fra Former, som Podostemon Ceratophyllum, der aabenbart i vegetativ Henseende
fjærner sig mindst fra de sædvanlige Planteformer, er gaaet ad to Veje, der begge ende
med et løvlignende Legeme, men i det ene Tilfælde er dette et af sammensmæltede Stængel-
og Bladdele dannet Skudkomplex, i det andet Tilfælde er det en Rod, der hidtil er ene-
staaende i Henseende til Metamorfose og som er Plantens næsten eneste Assimilationsorgan
af løvlignende Bygning.
98 22
IV.
Fruktifikationsorganerne hos Podostemon Ceratophyllum Michx., Mniopsis
Weddelliana Tul. og Glazioviana Warming’), Dicrea elongata (Gardn.)
Tul. og algæformis Bedd., og Castelnavia princeps Tul. et Wedd.
Blomsterne ere, som alt nærmere er omtalt, endestillede.
De bestaa af folgende Dele: 1) Yderst et Hylster, Forfatternes «spatha», «utrieulus»
eller «involucrum», der i Knoppen omfatter alle inden for verende Dele. 2) Traadformede
1) Af Mniopsis Glazioviana har jeg siden min forste Afhandling faaet nyt Materiale (Glaziou Nr. 13144),
nemlig afblomstrede Exemplarer, af hvilke her derfor afbildes nogle paa Tav. IX, Fig. 37—40, sete
forfra og bagfra. Man vil ved Sammenligning med de paa Tav. VI, Fig. 13, afbildede Exemplarer
se, at Bladene nu ere odelagte af Vandet, paa de brede, noget hjærtedannede Basaldele ner. Det
bliver mig derfor endnu mere sandsynligt, end det var tidligere (se {ste Afhandling, S. 16), at
Mniopsis scaturiginum kun existerer i mutilerede, ukomplette Exemplarer (se Tav. VI, Fig. 16). Ogsaa
hos Mn. Glazioviana blive Frugterne til sidst næsten klasestillede, ligesom de af Tulasne ere af-
bildede og omtalte hos Mn. Weddelliana (se min Tay. V, 2), i det de Blade, som tidligere skilte
Frugterne fra hverandre, oploses af Vandet, og i det Stænglerne ligeledes slides mere eller mindre
tynde af dette (IX, 38, 39).
Jeg fandt her for 2den Gang en skelformet Dannelse lige neden for Blomsten, mellem
denne og det øverste Blad (x i Fig. 48a, afbildet helt i 484); sammenlign Figurforklaringen til
VI, 13 A. Hvad denne Dannelse egentlig er, er mig uklart.
I IX, 53 er afbildet et Tværsnit gjennem Stengel og Bladbasis for at vise Strængenes
Fordeling og Kollenkymstrængenes Beliggenhed: der er et stærkt lysbrydende Kollenkym omkring
Strængene, især paa deres Rygside; desuden en selvstændig bred Streng i Stenglens Bugside. Lige
saa ere Bladenes Strænge paa Bugsiden forsynede med Kollenkym. Kollenkymets Celler ere meget
lange med vandrette eller skjæve Endevægge. Trakeider mangle.
Om denne nye Art skal jeg endnu tilføje, at dens Rodskud naa 1—2 Cm. Højde. De ere
oprette og udgaa tueformig, ofte meget tet samlede, fra Rodderne. Mest karakteristisk for den
synes vere, at saa vel Stipel- som Bladrande ere nedlebende, hvormed folger en furet-kantet Stengel;
navnlig springer Bladranden skarpt og vingeformig frem paa Rygsiderne (IX, 38, 39). Bugsiden er
afrundet som vist i IX, 40. Endvidere er den brede, næsten lidt hjærtedannede Bladbasis ejen-
dommelig. Af det florale maa fremhæves: de udelte Ar (IX, 46).
De nævnte Arter haves i Spiritusmateriale fra folgende Lokaliteter (Castelnavia og Dicræa-
Arterne opførtes ovenfor):
ht GE
23 99
Legemer, sædvanlig i et Antal af tre. For Kortheds Skyld vil jeg som de tidligere For-
fattere kalde dem «Staminodier», skjont jeg ikke, paa mit nuverende Standpunkt, tror,
at de ere golde Stovblade. 3) To Stevdragere, enten helt frie eller forenede fra Grunden
af hojere eller lengere op. 4) En Stovvej med en 2rummet Frugtknude og to Ar.
Diagrammet af Blomsten ses VII, 10 og XII, 29; mellem det ringformig sluttede
Hylster og Stovvejen ses Androeceet, altid stillet paa Blomstens Bugside, d. e. den Side,
som vender hen mod Skuddets Bugside (IV, 24 og XV, 10). Det ene af de tre Staminodier
findes mellem de to Stovdragere, de andre to hver paa sin Side af Androeceet. De to
Frugtblade ligge i Skuddets Medianplan.
Den hele Blomst er stærkt skjæv, hvilket især ses paa Længdesnit som VIII, 5;
IX,47. Skjævheden viser sig i, at Blomsterbunden er forlenget til den ventrale Side,
Frugtknudens Rum ulige store og Placenta skjævt stillet i Forhold til Blomstens Længde-
axe. Dette staar aabenbart i Forbindelse med hele Skuddets stærke Dorsiventralitet.
Hylsteret er i Knoptilstanden tæt lukket og slutter tet om de indre Dele. Naar
Blomstringen indtræder, sprænges det uregelmæssig, og Stovknapperne samt Arrene træde
frem (VII, 1,2; XI, 5; XII, 13—16 0. a.) Det mangler Karstrenge og er aldrig bygget af
andet end Parenkymeeller i indtil 4 Lag (VII, 2, et ungt Hylster). Cellerne ere tyndvæggede
eller, især de yderste, noget kollenkymatisk tykveggede, og hos de Arter, der have Kisel-
dannelser, findes saadanne ogsaa i Hylsteret. Hos Castelnavia er det inderste Lags Celler
storst og mest tykveggede, og der kan findes lave, ikke tet stillede Porer; Hylsteret er
ner i sin storste Udstrækning kun 2 Cellelag tykt, men paa Bugsiden lidt tykkere.
Det er ellers omtrent ens tykt helt rundt hos de fleste andre; kun hos Dier@a
algæformis fandtes den Side, der vender mod Rygsiden, betydelig tykkere (dannet af flere
Cellelag) end den modsatte (XII, 29)). Om deraf kan sluttes, at Hylsteret bestaar af et
eneste Blad, hvis Rygside vender mod Skuddels Rygside, véd jeg ikke. Paa ganske unge
Blomster af Castelnavia princeps anlagdes Hylsteret aabenbart tidligere paa Bugsiden end
paa Rygsiden (XIV, 5, 6, 8, 11), men dette er maaske kun et Udtryk for den stærke Dorsi-
Podostemon Ceratophyllum Michx., misit Dr. Wm. Canby, Wilmington, Delaware.
Mniopsis Weddelliana Tul. — Ad Caldas, prov. Säo Paulo, m. Martio et Aprili florentem
legerunt ill. Dr. Anders Fredrik Regnell et Hjalmar Mosén. — In provincia Rio de Janeiro
leg. ill. Dr. Aug. Glaziou: no. 8888: «Rio da boa Esperanca, versant méridional de la chaîne des
Orgues, à 1200 Mètres d’altitude environ; Mai 1876.» — +12192. Rio Soberbo (Serra dos Orgäos),
le 23 Mars 1880.2 — «12194. Petropolis dans le Rio Piabanha le 3 Mai 1880.» — 12197. —
“12198. Petropolis, dans le Rio Itamaraty, le 3 Mai 1880.» «Dans le rapide du Mondemo, le 9 Dec.
1878; sterile.»
Mniopsis Glazioviana Warming, leg. ill. Dr. A. Glaziou. «12191. Rio Soberbo (Serra dos
OrgZos) le 23 Mars 1880.» — «12193. Haut du Rio Soberbo, près du Sitio le 24 Mars 1880.» —
“Rio Bengala, entre Novo Friburgo et le Alto. 11 Févr. 1881.» — 13144.
100 24
ventralitet, som i det hele hersker hos denne Plante. Kun en sammenlignende Betragtning
af alle Familiens Arter og af dens nærmeste Slægtninge, hvis disse kunne udfindes, vil
muligvis kunne oplyse dette med Sikkerhed. For ovrigt voxer Hylsteret i Vejret som et
helrandet, sækformet Organ, med omtrent ens Tykkelse, indtil det begynder at lukke sig
over Blomstens indre Dele, i det talrige Længde- og Tværdelinger tage deres Begyn-
delse i dets Rand (XIV, 4).
Staminodierne danne den neste Krans af Bladorganer. Af dem findes der et
paa hver Side af Androeceet og fremdeles, naar Dierwa elongata og Castelnavia princeps
undtages (XI, 8 og XIV, 1), et mellem de to Stovdragere (f. Ex. VII, 3; IX, 50; XII, 19).
Staminodierne staa lidt, men ogsaa kun lidt uden for Stovdragerne; tydeligst ses
dette paa det midterste, mellem de to Stovdragere staaende (VII, 3, 8; IX, 49, 50). Mindst
tydelig saas det hos Dierea; man skulde endog snarest tro, at de her stod paa samme
Hojde som eller selv inden for Stovdragerne (XII, 19). I den ganske unge Castelnavia-Blomst
staa de, saa vidt jeg kunde se, paa samme Hojde som Stovdragerne (XIV, 8), men de an-
lagdes senere end disse (sammenlign XIV, 7 og 8). Deres Former og Længdeforhold ere kun
lidet forskjellige; sædvanlig ere de traaddannede, lidt afsmalnede mod begge Ender, under-
tiden lidt tykkere oven for Midten eller hen mod Spidsen end længere nede. Hos Mniopsis
Glazioviana ere de lidt mere-kolledannede og klodsede end hos de andre (IX, 49, 50). De
sidestillede naa omtrent op til Ovariets Spids. Staminodierne bestaa alene af tyndvæggede
Parenkymceller, i hvilke der kan findes Stivelse. Hos Podost. Ceratophyllum (VII, 13) danner
der sig oven for deres Midte smaa Intercellulær-Rum, og det ikke blot mellem de indre,
men ogsaa mellem de alleryderste Geller; ‘de findes hyppigere i de rette Vægge mellem to
sammenstodende Celler end i Krogene, hvor 3—4 støde sammen. Nermere mod Spidsen
af Staminodiet blive Intercelluler-Rummene større og talrigere, og selve Spidsen faar fuld-
stendig Bygning som gjennembrudt Arbejde, et Gitterværk af lost sluttede Celler. — Meget
svagere findes dette hos Mniopsis Weddelliana (VII, 27) og Mn. Glazioviana (IX, 41), og hos
Dier@a-Arterne, hos hvilke de dog findes næsten fra Basis af (XI, 14). Staminodiernes mor-
fologiske Betydning maa jeg lade henstaa uafgjort, indtil jeg af Autopsi kjender alle andre
Podostemaceer. Den Mening synes mig dog den rimeligste, at de ere Perigonblade.
Androeceet ligger i Knoptilstand trykket tet ind til Ovariet (VII, 1,6; XI,9 0. a.),
til dettes Bugside. Normalt har jeg ikke fundet mere end to Stovknapper hos nogen af
de undersogte Arter. Disse Knapper kunne være baarne hver af sin helt eller næsten helt
frie Traad (Castelnavia, XIV, 1, 2,3), i saa Fald deler den Karstreng, som gaar til Androe-
ceet, sig allerede i Blomsterbunden i to, en for hver Stovtraad (XIV, 26, 27). Men deres
Traade ere hyppigere ved Grunden og til højt op forenede i ét Knippe (VII, 1, 3,8; VII, 4;
apa a
25 101
IX, 50; XI, 8; XII, 19), og i Overensstemmelse hermed gaffeldeler hin Streng sig først
lengere ude, i selve Androeceets fælles Stilk (se de punkterede Linier i en Del af de
anforte Figurer).
Det vigtige Sporgsmaal opstaar her: Af hvor mange Stovblade er Androeceet
dannet? To Forhold kunne tænkes. Det kunde vere dannet af kun et eneste Stovblad,
som i nogle Tilfælde dedoublerer sig ved Klovning lige til Grunden, i andre Tilfælde først
forgrener sig længere ude; i saa Tilfælde maatte vi sikkert søge Podostemaceernes Slægt-
ninge mellem de ikke mange Familer, hos hvilke forgrenede Støvblade forekomme. Eller
det kunde tænkes dannet af to selvstændige Støvblade.
Det er mig ikke muligt endnu at føre noget Bevis for Rigtigheden af det ene eller
det andet. Men en komparativ Betragtning af de øvrige Slægter bringer mig til den An-
tagelse, at Androeceet bestaar af to Stovblade. Fællesstilken er da enten opstaaet ved en
Sammenvoxning mellem Traadenes Basaldele eller er en Forlængelse af Blomsterbunden,
altsaa en Axedannelse, og naar jeg atter antager det sidste for det sandsynligste, er det
fordi Blomsterbunden i det hele hos disse stærkt dorsiventrale Blomster er saa skjæv, og
fordi ogsaa et Staminodium sædvanlig har sin Plads paa Fællestraaden, paa den udvendige
Side af Kløften mellem de to specielle Traade. Hos Castelnavia, der er den af de under-
søgte Arter, som har de stærkest adskilte Støvdragere (XIV, 1), opstaa disse som adskilte
selvstændige Vorter paa Blomsterbunden.
Abnormt kan saa vel Antallet af Støvdragerne som af Staminodierne forøges.
I VII, 7 er fremstillet et Tilfælde, i hvilket en fælles Traad bærer 3 Antherer; der gaar to
adskilte Strænge ud i Traaden, af hvilke den ene gaffeldeler sig for at forsyne de to An-
therer; kun I Staminod fandtes som tegnet, I VII, 8 er et andet abnormt Tilfælde frem-
stillet: en tredje Støvdrager er ogsaa her kommen til, men den er gold og er helt adskilt
fra de andre, paa normal Vis forenede. Mærkeligt er, at dens Spids har en lignende Byg-
ning som Staminodierne, hvilket kunde synes at tale for disses Stovdragernatur.
Et tredje abnormt Tilfælde fandtes hos Mniopsis Glazioviana (IX, 49); det stemmer
nærmest med VII,7, i det der til det normale Knippe af to Støvdragere, som det ses
r
af Fig. 50, og b—e i Fig. 49, er kommet en tredje Stovdrager (mærket a), hvis Traad er
sammenvoxet med det normale Knippe indtil omtrent halv Hojde, og som ligeledes faar sin
egen Karstreng, men denne Stovdrager er steril; at mærke er for det første, at dens op-
svulmede Spids er papilles paa en lignende Vis som Staminodierne, og for det andet, at
der sidder et Staminodium ud for hvert Mellemrum mellem to Stovdragere.
Tværsnit af Stovtraaden ses VII, 4 og XIV, 7.
En stærk Strækning af Stovtraadspartiet finder Sted under Blomstringen hos Podo-
stemon Ceratophyllum (VII, 19) og Mniopsis Weddelliana (VII, 4). Hos Castelnavia princeps
strekke Traadene sig under Afblomstringen betydelig og blive efter Afkastning af Knap-
Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 3. 13
102 26
perne staaende som to kraftige hornformede Legemer, der rage ud af den Hule, hvori
Blomsten sidder nedsænket (XV, 17 og XIII, 15).
Det dorsiventrale, uregelmæssige i den hele Blomst gjor sig ogsaa gjældende i
Stovknappernes Former; hver Knap er altid skjæv paa en lignende Maade som hos visse
Labiatiflorer (f. Ex. Acanthaceer), i det den ene Halvdel, nemlig den indad, mod Blomstens
Symmetriplan vendende, er mindre end den udad vendte og sidder vel og en Smule hojere
(VII, 3,8; VIII, 18; IX, 49, 50; X1,8; XII, 8). Denne Skjævhed staar sikkert ogsaa i For-
bindelse med den stærke Dorsiventralitet og med det Tryk, som Knapperne i Knaplejet ere
udsatte for. Hos Castelnavia er Knappen symmetrisk.
Stovknapperne ere for ovrigt indad vendte, basifixe eller kun ganske lidt dorsifixe,
fra først af paa sædvanlig Vis 4-rummede; de aabne sig med to Liengdespalter. Castel-
navia’s afvige fra de andres derved, at Rygsiden er saa hvælvet og uden nogen Fure;
tillige er Knappen lidt sterkere udskaaren ved Grunden (XIV, 1).
Jeg har hos alle Arter inden for Overhuden fundet fibrese Celler med ring-, halv-
ring-, skrue- eller netformige Fortykkelser, paa den indre Væg især, dannende et eller paa
Rummenes Indersider flere (4—5) Lag helt rundt om Rummene (VII, 14). De fibrose Geller
ere især strakte i tangential-horisontal Retning, Overhudens derimod tangential-lodret
(VII, 15; XIV, 24).
Udviklingen af Stovknappen har jeg ikke fulgt; kun nogle faa ganske unge
Stadier ere blevne undersogte. De fremviste ved Tværsnit en Gruppe nydannede Geller
inden for Epidermis, men Anordningen af dem var ikke saa regelmæssig som ellers (XIV, 22).
Pollenkornene ere enlige hos Castelnavia (XIV, 25), men forenede to og to i et
sammensat Korn hos Podostemon Ceratophyllum (NW, 16), Mniopsis (VIII, 19—25; IX, 51—52),
Dicræa (XI, 13). De ere lidt nedtrykt-kuglerunde og sædvanlig 4(—5)-lappede, det vil sige,
stærkt udhvælvede paa fire eller fem fra Pol til Pol rækkende Partier, der tillige ere fint
punkterdde, medens de mellemliggende Partier ere glatte; fra disse sidste er det, at Stoy-
rorsdannelsen finder Sted (VIII, 21, 24, 25; XI, 13). Ikke sjælden ere de to Geller i Kornet
ulige dannede, i det den ene er lappet og prikket, samt tilsyneladende helt udviklet, medens
den anden gjør et umodent Indtryk, er kuglerund, ulappet, glat, og ofte uprikket (VIII, 19;
IX, 51). Dog kunne ogsaa ganske kuglerunde Korn vere prikkede. Jeg har ikke set
Stevror udvikle sig fra disse kuglerunde (se f. Ex. XI, 130). Begge Celler i et helt ud-
viklet Korn kunne danne Stovrer.
i Castelnavia's Korn fandt jeg ofte to Cellekjærner, og ligeledes har jeg under-
tiden ogsaa hos de andre Arter fundet to tættere Protoplasmakugler i hver Celle, som
jeg maa tyde som Cellekjærner (VIII, 23), men det var langt fra allid Tilfældet. Om
disse Cellekjærner bør sættes homologe med de først af Strasburger hos mange Fanero-
——
27 103
gamer paaviste to Cellekjærner i Stovkorn, eller de antyde en ikke udført Tetradedeling,
vover jeg ikke at afgjere, førend jeg har kunnet folge Udviklingshistorien.
Bestovningen er vist som Regel Selybestovning. Jeg har truffet Stovkornene spi-
rende i Stovknappen, og jeg har ligesaa gjentagne Gange og hos forskjellige Arter truffet
dem paa Arrene (Mniopsis Weddelliana, Dierwa algæformis og elongata, se f. Ex. XII, 27),
der vare i en tet Berøring med de aabne-og endnu stovholdige Antherer. Bestovningen
synes at kunne foregaa lige saa godt under Vandet, som ovenfor dette, skjønt det sikkert
oftest er Tilfældet, at de Planter, som blottes for Luftens Adgang, lettere blomstre end de
nedsenkede (cfr. Regnells Meddelelser ovenfor).
Pistillen er dannet af to Frugtblade, sammenvoxede i ét Ovarium med to termi-
nale Ar. I Knoppen ere disse altid bojede nedad mod Anthererne, altsaa mod Blomstens
Bugside (VII, 1, 5,6; IX, 47; XI, 9; XIV, 1).
Arrene ere meget forskjellige hos de forskjellige Arter: hos Podost. Ceratophyllum
udelte og nogenlunde sterkt papillose (VII, 5), hos Mniopsis Weddelliana delte i et for-
skjelligt Antal Flige og endnu stærkere papillase (VIII, 3, 4, 6); hos Mniopsis Glazioviana
ligeledes stærkt papillose, men udelte (IX, 42, 46). Hos Castelnavia forlænget kegleformede,
næsten hornformede, ganske glatte Legemer (XIV, 1); af Farve ere de her røde ligesom
Anthererne. Hos Dierea elongata kort kegleformede, tykke, budte, udelte og glatte (XI, 9, 10);
hele Periferien er navnlig om Spidsen dækket af et Lag af radialt strakte Celler, men de
rage ikke frem over Overfladen i Form af Papiller. Hos Dierea algeformis ere de brede,
korte og lidt lappede (XII, 27). Efter Blomstringen falde Arrene ofte fuldstændig af, saa
Frugtens øvre Ende bliver ganske afrundet (VII, 17—19 o. a.).
Ovariet er ellipsoidisk, glat, selv om Frugten bliver ribbet (sammenlign VII, 17
med 18 og 19), og torummet med en meget tyk Placenta, som ved to meget tynde Vægge
forbindes med Ydervæggen. Hos Castelnavia princeps og Mniopsis Glazioviana svinde disse
Skillevægge meget tidlig, saa at Ovariet egentlig bliver enrummet (IX, 43; XIV, 15, 27).
Jo mere dorsiventral Blomsten er, desto større er Forskjellen paa Rummenes Stør-
relse. Omtrent lige store ere de hos Dicræa elongata og algæformis, hvis Skud i det hele
ikke ere stærkt dorsiventrale (XI, 12; XII, 29). Stærkt ulige store, i det det notoskope Rum
er betydelig større end det gastroskope, ere de hos Mniopsis Weddelliana (VIII, 29), hvis
Blomst i det hele er meget skjæv (se Længdesnittet VIII, 5), og hos Podostemon Cerato-
phyllum (VII, 10, 11).
I Forbindelse med denne Forskjel i Rummenes Størrelse staar Opspringnings-
Sømmenes Beliggenhed. Følgende Figurer vise, at disse dele Ovariet i to ulige store
13"
104 | 28
Stykker, i det de fra Toppen lobe i en skraa Retning over mod Bugsiden og ende ved
Basis af Androeceet: VII, 1, 17—19; VIII, 4; IX, 46; XV, 7—9.
Blomsterbundens Form frembyder intet merkeligt undtagen hos Castelnavia,
hos hvilken den paa Rygsiden hvelver sig sterkt i Form af en glat, tolappet, kjertelformet
Opsvulmning (XIV, 1, 3, 14, 26).
Om Karstrengforgreningen i Blomsterbunden kan nævnes, at den Streng,
som gaar ud til Blomsten, i Blomsterbunden deler sig i flere, hvoraf 1 eller ved en hurtig
Deling af den (dér, hvor de to Stovdragere ere frie næsten til Grunden: XIV, 26) 2 gaa lil
Androeceet, og en til Ovariet, hvilken sidste Strang dels sender en Gren op i Placenta til
dens Midte, dels sender Grene op i Frugtbladenes Basaldele (VII, 9; VIII, 5; XIII, 16;
XIV, 3, 14, 26).
Jeg har kun kunnet folge Blomstens Udviklingshistorie nogenlunde hos en
eneste Art, nemlig Custelnavia princeps. Allerførst viser Blomsten sig som en halvkugle-
formet Vorte (f. Ex. XIII, 19); derefter kommer Hylsteret til Syne og, som allerede omtalt,
tidligere paa Bugsiden end paa Rygsiden (XIV, 5, 6 og det histologiske Billede Fig. 11).
Efter dette anlegges Stovdragerne, medens Blomsterbunden oven for dem stærkt hvælver
sig i Vejret (XIV,7). Samtidig med at dernæst de to Staminodier komme til Syne, be-
gynder Ovarieveggen at træde frem som en ringformig Valk omkring en i Axens Spidse
stærkere fremtrædende lille Kegle, den vordende Placenta (XIV, 8). Ovarievæggen hæver
sig nu jævnt i Vejret samtidig med, at Placenta ogsaa voxer i Vejret, og Blomsterbundens
særegne Udvikling tager sin Begyndelse (XIV, 10). Under fortsat Udvikling af de allerede
anlagte Dele komme nu ogsaa Æggene til Syne (XIV, 3, 14, 16,2). Disses videre Udvikling
omtales nedenfor.
Ovarievæggens og Frugtvæggens Bygning er af de tidligere Forfattere be-
nyltet som Slægtsmærke; Mniopsis har «ovarium læve» (Tulasne) eller «prorsus enerve»
(Weddell in Prodr. 76) og «capsula lævis», det vil sige, den er uden Ribber, medens Podo-
stemon efter Weddell (1. c. 72) har «ovarium 8-nerve v. subenerve» og «capsula nervis plus
minus prominentibus, raro fere omnino lævis». I Virkeligheden er Strængenes Antal i de
ribbede Kapsler 10, som man vil se af VII, Fig. 10—12; herom nedenfor mere. Hvilken
Betydning dette Forhold har i systematisk Henseende, tør jeg først udtale mig om, naar
jeg har faaet alle Arter studerede.
Naar man ser bort fra denne Forskjel, frembyder Ovarievæggen i øvrigt en over-
ordentlig Ensartethed hos alle de undersøgte Arter, nemlig følgende. Tallet af Cellelag i
a
Veggen er c. 5—6
ho
©
105
A. Inderst findes et meget i Øjne faldende Cellelag, en indre Epidermis, hvis Geller
ere strakte i tangential-horisontal Retning og have tykke, brunlige Inder- og Ydervægge, men
tyndere Sidevægge (Laget epi paa VII, 20, 21, 22; VIII, 30—33; IX, 45; XI, 11,21; XV, 14).
Paa radiale Længdesnit gjennem Ovariet træder det stærkt frem paa Grund af Cel-
lernes regelmæssig firkantede Lumen (VII, 9).
B. Det næstinderste Cellelags Geller (sep i Figurerne) krydses med først nævntes
(ep?) under rette Vinkler, i det de ere strakte i lodret Retning (VII, 23; VIII, 28); paa et
Tværsnit gjennem Ovariet ville disse Celler derfor frembyde omtrent samme Udseende som
det forst nævntes paa radialt Længdesnit, nemlig som temmelig regelmæssige Firkanter
(f. Ex. XI, 11).
1 den udviklede Frugt har dette Lags Celler altid stærkt fortykkede og lagdelte
Vægge; jeg har fundet C-formede Fortykkelser som afbildet hos Mniopsis Glazioviana
(IX, 45), hos Podostemon Ceratophyllum (NU, 22), Dicræa elongata, algæformis (XI, 21) og
rigida, og hos Castelnavia; en ens stærk Fortykkelse næsten helt rundt hos Mniopsis Wed-
delliana (VII, 32, 33).
C. Efter dette Lag folge de Strenge, der fremkalde Ribberne i den modne Frugt
hos Podostemon, Dicrea og Castelnavia. Disse Strenge ere ogdnede som Ribberne i en
Umbellifer-Frugt (VII, 10—12; XI, 12; XII, 29, hvor en er forglemt): der er en Midt-
streng i Ryggen af hvert Frugtblad (af hvilke en kommer til at ligge ud for Mellemrummet
mellem Stovdragerne), to Sidestrenge og endelig to Randstrenge, der slutte sig mere eller
mindre tet til Opspringningsommen. Undertiden ligge de to Randribber, som støde op
lil samme Som, tydelig adskilte, men sædvanlig ligge de saa tæt sammen, at de i den
modne Frugt kun trede frem som en eneste, men bred Ribbe. Man vil derfor ogsaa finde
Frugter beskreyne som 8-ribbede, skjont de i Virkeligheden ere forsynede med 10 Skleren-
kymstrenge. En Afvigelse er afbildet XIV, 27: her er der 6 Strenge i hvert Frugtblad.
Disse Strenge bestaa af ensartede prosenkymatiske Geller (Sej-Bast); kun aller-
nederst i Midtribben, altsaa i Frugtbladenes Rygribbe, har jeg set Skrue- og Ring-Trakeider
(se f. Ex. XV, 20 og 21).
Disse Strenge mangle hos Mniopsis (VIII, 29; IX, 43), dog med Undtagelse af, at
en Karstreng fra Blomsterbunden af kan træde ud i Frugtbladets Ryg og lobe et kort
Stykke op i denne.
For ovrigt er Resten af Frugtveggen omtrent ens; til det stærkt fortykkede, nest
inderste Lag slutter der sig undertiden
D, nogle, mindre regelmessig i Lag ordnede, stærkt fortykkede Celler (VIII, 32, 33),
og Resten er
E, et tyndvegget Parenkym, som i gamle Frugter kan vere mere eller mindre
odelagt og forsvundet (f. Ex. XI, 21).
106 30
Castelnavia’s Ovarievæg er den, der afviger mest fra den i det foregaaende skildrede
Bygning, i det Væggens inderste Lags Celler strække sig stærkt radialt der, hvor de ligge
ud for Ribberne, og disse stode lige op til det ligesom de paa den anden Side ogsaa naa
lige ud til ydre Overhud (XV, 14); ogsaa ud for Opspringningssommen er Bygningen en
lidt anden.
Om Frogjemmets Udviklingshistorie kan jeg oplyse folgende. I den ganske
unge, endnu helt tyndvæggede Frugtknudevæg ere Strengene allerede anlagte som Prokam-
biumstrenge, dannede af snævre, lange Celler, og der er en Mengde Stivelsekorn til Stede
i alle Geller, baade i disse Prokambiumstrenge, i hvilke de dog ere smaa og mindst tal-
rige, og i de parenkymatiske Vegceller; kun det inderste Cellelag (epi) er stivelsefrit
(se VII, 20, 21 og sammenlign hermed VII, 22; fremdeles VIII, 30 og 32—33; XI, 11).
De Forandringer i Retning af Væg-Fortykkelser, der senere foregaa under samtidig
Forsvinden af den, dertil sikkert bestemte, Stivelse ere omtalte ovenfor. Frugten er en
Kapsel af mork brun Farve og glinsende. Naar den er moden, losner den ventrale, hos
de stærkt dorsiventrale Arter meget mindre, Klap sig fuldstændig og falder af, Placenta med
Frøene falde ud, medens den dorsale, betydelig større Klap bliver staaende eller hos Castel-
navia siddende nedsænket i det thalluslignende Legemes Gruber. Opspringningen er skille-
vægbrydende (VII, 18—19; VII, 31; XV, 6—9).
Placenta er altid meget mægtig, — en tyk, af særdeles tyndvæggede og med Sti-
velse tæt fyldte Parenkymceller dannet Masse, der næsten udfylder Ovariehulheden og
mellem sig og Ovarievæggen kun lader en ringe Plads tilbage, der udfyldes af Æggene og
de to ovenfor omtalte tynde Skillevægge; denne Bygning minder mest om mange til Labiati-
florernes og Tubiflorernes Familier hørende Planters. Den er fra først af fri opad til, men
dens Spids lægger sig saa nøje op til Ovarierummets øvre Ende, at det paa ældre Frugt-
knuder ser ud, som om de altid havde været sammenvoxede (XIV, 2, 3, 8, 10, 14 0. s. v.).
Kun i Midtlinien af Placentaens nederste Del findes der en fra Blomsterbunden udgaaende
Karstræng, der sædvanlig lidt før, end den naar op til Placentaens Midte, løser sig op i til
alle Sider eller især til to Sider udstraalende korte Trakeider (VII, 9, 10). Det midterste,
karstrængfrie Parti i Placenta udmærker sig ved sin mørkere Farve (VIII, 29; XI, 12).
Abnormt har jeg én Gang fundet Placentaen tvedelt i en Blomst af Podostemon
Ceratophyllum (VIL, 12); dette har Interesse, for saa vidt som det taler for, at Placentaen
er et alene af de opsvulmede Bugsømme dannet Legeme, i hvilket Blomsterbunden ikke
tager Del.
Æggene og Frøene. Æggenes Antal er overordentlig stort i hvert Rum. De
ere anatrope og amfitrope, i det de øverst paa Placenta stillede ere apotrope og oprette,
31 107
men de andre for storste Delene epitrope og hængende, naar enkelte ud til Siderne liggende
undlages, der ere vandrette (VII,9, 11; XIV, 2). Hos Castelnavia opstaa de, efter Storrelses-
forholdene at domme, i opstigende Folge (XIV, 3, 14, 16).
Æggets Udviklingshistorie er fulgt hos Mniopsis Weddelliana og til Dels
hos Castelnavia 0. a. Det opstaar paa sædvanlig Vis ved Deling af nogle faa eller fra først
af maaske kun 1 subepidermal Celle, hvorved den overliggende Epidermis drives i Vejret
(XIV, 17). Smart begynder det at krumme sig, og Epidermiscellerne paa Rygsiden begynde
at voxe sterkere end de andre (VIII, 7; XIV, 18). Dette er Begyndelsen til ydre Integu-
ment, der snart træder bestemtere frem ved antikline og perikline Delinger (VIII, 8); ydre
Integument opstaar meget tydelig tidligere paa Rygsiden end paa Bugsiden. Ogsaa inden
for Epidermis findes Delinger og Cellevæxt, der maa tydes som horende med til Integu-
mentdannelsen. Indre Integument opstaar tydelig langt senere end ydre (se f. Ex. XIV, 13,
hvor det lige netop er antydet), undertiden ensidig som dette (VIII, 11; XIV, 19), under-
tiden omtrent samtidig i hele Omkredsen, altsaa ringformet (VIII, 9).
Indre Integument naar aldrig op over den meget ubetydelige Nucellus; den væsent-
ligste, Kimsekken indeholdende Del af denne ligger frit uden for indre Integument, men
helt omsluttet af det ydre (VIII, 10, 12, 13, 15—17; XIV, 9). I f. Ex. VII, 13 og 15 be-
staar Nucellus af 3 indre Celler, omgivne af en sig for neden udkilende Epidermis; den
øverste af de 3 Celler er den største. Vi ville nu først holde os til denne. Snittene
VIII, 16 og 17 vise indre Integuments to morkveggede (mørkebrune) Cellerækker, der om-
slutte Basis af den lille pære- eller omvendt ægformede eller ellipsoidiske Nucellus-Ende.
I Fig. 16 ses tydelig en buet, stærkere lysbrydende Tværvæg gjennem det af Epidermis om-
sluttede større øvre Rum; i Fig. 17 ses derimod ingen saadan, men en tættere, mere lys-
brydende Masse har samlet sig i den ovre Del af Rummet. De to i XIV, 21 afbildede
Nucelli vise det indre dannet af en kort Række protoplasmafyldte Geller, og det samme
har jeg set anden Steds. Hvad der videre foregaar i Nucellus har Materialet ikke tilladt
mig at oplyse; det har ikke været mig muligt at finde Antydning af de sædvanlige i en
Kimsæk forekommende Celler (Ægcelle, Synergider o. s. v.), men der er ingen Tvivl om,
at i denne øvre (i XIV, 9 mørkere) Del af Ægget danner Kimen sig (se f. Ex. IX, 1, 2),
her maa da ogsaa Kimsækken med Tilbehor udvikle sig.
Af Fig. 9, Tav. XIV, faar man det Indtryk, at Nucelli største og derfor maaske
ogsaa væsentligste Del ligger neden for den nu omtalte øvre, over indre Integument frem-
ragende Del, og omsluttet af dette mørke indre Integument. I Fig. 10—15, Tav. VIII, vil
man se, at denne nedre Del oprindelig er en enkelt Række af nogle ganske faa (omtrent 2)
Celler, som omgives af den for neden sig udkilende Overhud paa Nucellus, og som fortsættes
ned i Chalaza (se iser Fig. 15) af en lignende Cellerekke, der begrænses af Integumenterne.
Denne nedre Del af Nucellus voxer senere meget betydelig ved Strækning af sine Celler
108 32
og tillige ved tondeformig Udvidning af de midterste, men uden paafolgende Deling af dem;
den omsluttende Del af indre Integument voxer lige saa stærkt, men her optræde talrige
Delinger; derfor vil et Længdesnit gjennem denne Del af et ældre Æg vise os en stor indre
ellipsoidisk Hulhed, gjennem hvilken der ud imod Periferien lobe to yderst tynde Længde-
vægge, hvorimod der kun hist og her ses en Tværvæg (XIV, 9; se ogsaa VIII, 17).
I VII, 28 ses det samme indre Parti af Nucellus med sine tynde Vægge, inden for det
morke indre Integument, men Tværsnittet har truffet et Sted, hvor Udvidningen i Bredden
ikke er indtraadt. Men selv om denne ellipsoidiske Del af Nucellus er den storste, er den
dog ikke den væsentligste; den er altid meget klar og fattig paa Protoplasma, kun hist og
her ses en Cellekjærne, Reservenæring (der i saa Fald maatte tydes som en Slags Perisperm)
dannes ikke; dette store Rums Bestemmelse er blot at optage Kimen; kun dennes første
Anlægstrin findes i den øvre, uden for indre Integument liggende Del af Nucellus; er den
bleven lidt ældre, ses den paa Vejen ned i det nedre Rum (IX, 6, 7, hvor den allerede er
fort ned i dets alleroverste Del), og i det udviklede Fre fylder den dette helt ud. Til
Frohvide har jeg overhovedet ikke set noget som helst Spor.
Vende vi nu tilbage til Integumenterne, ville vi se, at det merke indre Integu-
ment altsaa bestaar af to Lag Celler; det yderste Lags ere næsten dobbelt saa talrige som
det indres (Vil, 28), hvad der jo ogsaa ellers saa ofte er Forholdet mellem de to Lag i et
indre Integument. Cellerne ere ordnede i Afsnit efter Lengden, og Afsnittene ere enten
kun dannede af enkelte Cellerekker, eller hyppigere have disse, navnlig midt paa Ægget,
dell sig ved Længdevægge (VIII, 26). Disse to Cellélag gjenfindes kun lidet forandrede i
det modne Frø (se f. Ex. VII, 34; VII, 25); de løsnes let fra Froets af ydre Integument
dannede Del og spaltes ved Spiringen (og ved Tryk efter Behandling med Kali) let efter
Længden ved fra Mikropyle udgaaende Spalter, som næsten kunne naa til Chalaza
(Vi 93 25):
Fig. 15, Tav. VIII, og lige saa VII, 28 vise, at ydre Integument bestaar af 2—3
Lag Celler, der ere meget tyndvæggede og tidlig fylde sig med Stivelse. Under Frøskallens
Udvikling forsvinder denne, i det den aabenbart benyttes til Fortykkelse af det alleryderste
Cellelags Vægge. Dettes Celler blive nemlig helt (f. Ex. VII, 25 og XII, 28) eller næsten
helt, paa et ubetydeligt nærmest Indersiden liggende Rum nær (f. Ex. VIII, 34), udfyldte
med en hvid, i tør Tilstand indskrumpet, i Vand let svulmende Masse, ganske påa samme
Maade som yderste Cellelag i Frøskallen af Linwn, Cydonia 0. a. (sammenlign VII, 28 med 25).
Et modent Frø af Podostemon Ceratophyllum ser derfor i tør Tilstand ud som afbildet VII, 26,
men i Vand som i VII, 27 (Gjennemsnit); alle Celler i det yderste Lag ere i sidste Til-
fælde svulmede ganske betydelig op, og Frøets Overflade er slimet. Den biologiske Betyd-
ning af dette Lag omtales senere, under Spiringen. Hos Dierea fandtes det fint, men tæt
kornet paa Overfladen (XII, 28). De andre, indre Lag i ydre Integument trykkes sammen
og forsvinde mere eller mindre, saa at der paa deres Plads kun ses et Lag af utydelige
brunlige, sammenfaldne Geller (VII, 25; VII, 34; XII, 28).
Funiculus er yderst kort, og der findes hverken Karstræng i den eller i Raphe,
saa lidt som i selve Placenta, naar den fra Blomsterbunden opstigende Streng undtages,
der taber sig i Placentas Midte.
Naar der altsaa, som det vil ses, er blevet visse Punkter uopklarede i Æggenes
Udviklingshistorie og, som det vil ses af det folgende, ligeledes i Kimens forste Trin, er
Grunden de usædvanlig mange Vanskeligheder, som disse Æg frembyde. For det forste ere
de overordentlig smaa og rives saa let los fra Placenta, saa at det er meget vanskeligt at
faa gode Snit gjennem dem. For det andet ere de saa uigjennemsigtige, dels paa Grund
af indre Integuments brune Farve, dels paa Grund af ydre Integuments store Stivelse-
riedom, at man ikke kan se gjennem dem uden ved Hjælp af klarende Reagenser, der
netop ødelægge Indholdet i Cellerne, altsaa det, man skulde undersøge.
Kimen er normal dikotyledon, men ofle noget skjæv, i det det ene Kimblad er
større og videre udviklet end det andet (IX, 44), og uden Plumula, saa længe den endnu er
hvilende (IX, 34). Kimen er en Del sammentrykket; betragtes den fra «Bredsiden», ses begge
Kimbladene, og i denne Stilling ere de fleste Figurer, Tav. IX, tegnede; der maa ogsaa i
Frøets Form være noget til Stede, der gjør, at det indtager en bestemt Stilling, naar det
lægges paa et fladt og jævnt Underlag, thi fra denne Side er det næsten altid, at Kimen
præsenterer sig, naar det paa et Objektglas liggende Frø ved Kali er gjort gjennemsigtigt.
«Kantbilleder» af Kimen ses f. Ex. IX, 29 (hvormed Bredsidebilledet Fig. 27 kan sammen-
lignes), 7 og 12; Tværsnit gjennem Kim ses IX, 355 (35 a er set fra Bredsiden),
VII, 34 o. a.).
Jeg har haft Materiale til nogenlunde at folge Kimudviklingen hos Mniopsis
Weddelliana (Tab. IX). De første Stadier ses Fig. 1 og 2; jeg antager, at Fig. 1 maa for-
staas saaledes: Ægcellen har delt sig i 2; i Fig.2 har den nedre af disse Celler begyndt
Delingen ved Dannelsen af to Cellekjærner, den ovre Celle synes derimod at være mindre
funktionsdygtig end tidligere eller være paa Vej til at gaa til Grunde. I Fig.3 er der
tydelig en Kimholder, hvis øverste (nærmest Mikropyle liggende) Geller ikke synes funktions-
dygtige(?), og et tocellet Anlæg til «den egentlige Kim»; denne er allerede fort ned i
øverste Ende af det store ellipsoidiske Rum inden for indre Integument. En tilsvarende
Figur ses Fig. 4. Fig. 5 forestiller Kimen set mest fra Enden; en Korsdeling ved lodrette
Vegge har fundet Sted; Kimholderens Ende ses stikke frem under Kimen. Fig. 6 viser,
at den egentlige Kim grundlegges af to Celler, nemlig en ovre (i Figuren nedad vendt),
der danner Hovedmassen af Kimlegemet, og som nu er delt i 8 Celler ved lodrette og
vandrette Vegge, og for det andet en Hypofysecelle, der vil vise sig at danne en yderst
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd, II. 3. 14
110 34
ringe Afslutning af Kimens Rodende. I Fig. 8 er Hypofysen begrænset af den med o—o
merkede Veg, og Ækvatorialvæggen gjennem Hovedcellen, ved hvilken denne deles i ovre
og nedre Etage, er mærket <—x. Kimen er saaledes nu delt i 3 Etager: en nederste,
dannet af Hypofysen, en mellemste og en øverste. Med disse Navne vil jeg i det folgende
for Kortheds Skyld betegne disse indre Afsnit i Kimen.
Kimens nederste Etage. Fig. 9 a og b vise os nedre Etage delt ved lodrette,
korsstillede Vægge; hertil vil svare Fig. 36, der fremstiller et Tværsnit af denne Etage. Den
er nu 4-cellet. Folge vi den videre, viser det sig, at denne Etages Geller endnu kun deles
ved nogle faa lodrette Vægge, og at de midterste i den hele Etage derpaa ogsaa deles ved
nogle perikline Vægge, saaledes som Fig. 25, 31, 33 og 34 vise. Dette ubetydelige Afsnit
af Kimlegemet, som herved er opstaaet, maa vel nærmest tydes som repræsenterende den
hele Rod, som saaledes altsaa er et enkelt, kun i Midten fordoblet Cellelag. Som Rod-
hætte kan man maaske betragte den nærmest Kimholderen liggende Halvpart af dette for-
doblede Lag. Disse tangentiale Delinger i den hypokotyle Axes Rodende mangle hos andre,
men maaske ikke konstant hos hver Art. Jeg har saaledes ikke fundet dem hos VPodoste-
mon Ceratophyllum (VII, 24), men har her kun haft faa modne og gode Frø til Undersøgelse.
Hos Castelnavia synes de ligeledes normalt at mangle, og Rodhaar udvikle sig — vel i
Afhængighed heraf — lige hen til Kimholderen (XV, 22, 26).
Overste Etage indbefatter alt det, der i Fig. 8 og de andre Figurer ligger oven for
Linien >—><. Man vil ved at folge Suiten af Figurer se, at denne Linie bliver mere og mere
bøjet og brudt, i det dens to Yderpunkter hæves mere og mere i Vejret; i Fig. 9a er den
allerede tydelig buet, men der ses ingen Celledelinger i Cellerne oven for den; ligeledes vil
man af Fig. 9, der er samme Kim som 9 a, drejet 90° og derfor set fra Kanten, se, at denne
Linie bojer sig i en Bue op mod de Kanten skjærende Meridianvægge, medens den med
omtrent uforandret Stilling skjærer de andre, lodret paa Bredsiden staaende Meridianvægge.
Paa de folgende Udyiklingstrin kommer der antikline eller skraat stillede Vægge til, og som
Figurerne vise med nogen Variation i Stillingen. I Fig. 17 er der paa højre Side tilkommet
en Veg, som udgaar skraat fra den gjennem Kimens Længdeaxe gaaende Veg og hen til
den bøjede Ækvatorialvæg; derved afsættes nedad til en med + mærket indre Celle.
I Fig. 18 er der dannet 4 antikline Vægge, af hvilke den ene omtrent støder op til
Enden af Meridianvæggen. I Fig. 21 og 35 er der dannet to perikline Vægge, ved hvilke
der indadtil afskjæres to med + mærkede Geller, udadtil to omtrent trekantede Geller.
Ligesaa i Fig.22, men her er der i de længere fra Midtaxen liggende Celler dannet flere
antikline Vegge. Fig. 23 staar midt imellem 21 og 22. I Fig. 24, 26 og 25 er der til-
kommet endnu flere antikline Vegge, og der har derved dannet sig en storre Flade af
Overhudsceller paa den nu tydelig i Kimblade og Axe udprægede Kim. Resultatet er altsaa
dette: øverste Etages Celler eller alle de oven for Linien x—Xx liggende Celler danne
39 111
Overhuden paa Kimbladenes indre Flade, og tillige nedstammer fra dem en lille
Gruppe af omkring Kimens Midtaxe, inden for Overhuden liggende Geller, der i Figurerne ere
mærkede med oprette Kors. Jeg formoder, at denne Gruppe er Anlægget til den epiko-
tyle Axe. Paa Fig. 27 og 30—34 vil man ligeledes finde den, men her findes der ikke,
som i Fig. 24—26, nogen trekantet Overhudscelle i Bugten uden for. Videst udviklet er
den i Fig. 34 afbildede Kim, i hvilken den nævnte Cellegruppe ved fortsatte lodrette og
vandrette Delinger er voxet betydelig.
Kimens mellemste Etage. Efter at der saaledes er gjort Rede for, hvad der
udvikles af nederste og af overste Etage i Kimen, er mellemste tilbage. Hele det ovrige i
Kimlegemet, altsaa den hypokotyle Axe, Kimbladenes Mesofyl og Overhuden paa deres
Rygside, nedstammer fra de fire i Fig. 8 anlagte Geller, som ligge imellem Linierne x — x
og o—0, og som kaldtes mellemste Etage. Udviklingsgangen er omtrent folgende. Efter
at de 4 Celler ere anlagte (Fig. 6, 8), opstaar der i hver af dem to perikline Vægge, der
gjøre Skjel mellem Epidermis og alt indenfor liggende (Fig. 9, 10, 11, 20, og især 35 a—b).
I Epidermis optræder der nu kun antikline Vægge. I de 4 indre Celler fremkomme nye
lodrette, med fire af hine perikline parallele (paa Bredsiden lodrette) Vægge (sml. f. Ex. Fig. 9
og 10 med 11 og 35); ved disse sættes der Grense mellem en inderste omkring Kimens
Midtaxe liggende Cellemasse, som i Figurerne er betegnet med Skravering, og et ydre
Celleparti, der væsentlig danner Kimbladenes Mesofyl. Dette sidste Parti ses i Fig. 11, 14
og 35a at bestaa af kun 1 Celle paa hver Side (i Virkeligheden er der 4 i hele Kim-
legemet, se 355); i Fig. 15 ligesaa, men den til højre liggende har strakt sig betydelig
i lodret Retning; i Fig. 16 og 17 have begge synlige Celler strakt sig, men i Fig. 16 har
den til hojre liggende delt sig i to; i Fig. 18 ses to paa hver Side, i Fig. 19 tre paa hver
Side, i Fig. 27 tre paa den ene, fire paa den anden Side, i Fig. 24 fire paa hver Side
0.8. v. I Fig. 34 ses der paa venstre Side én lang Række af 16 Celler, og paa højre Side
en lignende, men som i den nederste Halvdel har delt sig især ved Længdevægge.
Hin midterste, inden for det nu omtalte Vævparti liggende, med Skravering beteg-
nede Gruppe deler sig langt langsommere; den bestaar i Fig. 11, 14—19, 21—24, 27, 30,
35 af kun 4 Geller, af hvilke kun de to ere synlige paa disse Lengdesnit. I Fig. 26 ses
den til venstre liggende Celle tværdelt, i Fig. 31, 32, 33 ere begge Celler tværdelte, og i
Fig. 34 ere endnu flere Geller dannede. Denne inderste Cellegruppe maa betragtes som
repræsenterende den hypokotyle Axes inderste og storste Del.
Tværsnit gjennem Fro ses VII, 25; VIII, 34; XI, 28.
Spiringen er det — trods gjentagne Froudsed — kun lykkedes mig at iagttage
hos Castelnavia, hvorom ovenfor er talt.
14°
112
qo
for)
Etudes sur la famille des Podostémacées.
Par
Eug. Warming.
Deuxième memoire.!)
Il. Organes végétatifs du Castelnavia princeps Tul. & Wedd.
M. Regnell, botaniste suédois bien connu, a eu lobligeance de m'envoyer du Brésil une
riche collection de Castelnavia princeps conservée dans l'alcool, en l’accompagnant d’ex-
cellentes observations sur le mode de croissance et de développement de cette plante, et
je lui en exprime ici tous mes remerciments. J'en ai aussi reçu du Riks-Museum, à
Stockholm, quelques exemplaires également conservés dans l'alcool et recueillis par M.
Mosén.
d Le Castelnavia princeps n’a été connu jusqu'ici que dans une phase qui correspond
à peu près à mes Fig. 4 et 15, Pl. XII, et les organes végétatifs en ont aussi été décrits
comme «frons dichotome divisa, fastigiatim expansa, foliis genuinis omnino ut videtur
destituta» (Weddell, dans De Cand. Prodr. 17, 1873, p. 80). Mais les deux phases que
j'ai figurées représentent de vieilles plantes plus ou moins abimées par les eaux; chez les
exemplaires plus jeunes, on trouve des feuilles longues de plusieurs centimètres et élé-
gamment découpées (Pl. XIII, Fig. 1, 2, 5). Elles sont situées sur le bord échancré du
corps charnu et irrégulièrement dichotome qui a été appelé «frons», et qui, d'abord creux
et à demi dressé (XIII, 1, 2, 3), devient en vieillissant plus plat, plus étendu et adhère
enfin tout entier aux pierres et aux rochers (XIII, 4, 15). Ce «frons» est en réalité un
corps formé d'un mélange de tiges et de parties basilaires connées des feuilles, un complex
de pousses fortement dorsiventrales, dont la position des feuilles et le mode de ramification
reproduisent les mêmes caractères, poussés à l'extrême, que j'ai indiqués chez le Podo-
stemon Ceratophyllum et le Mniopsis (voir mon premier mémoire). Un fragment est repré-
senté en partie vu du côté dorsal (Fig. 3 A), du côté ventral (B) et des flancs droit (C) et
gauche (D), en partie étalé à plat et un peu schématisé en E. On voit par cette figure
que la ramification est comme celle d'une cyme dichotomique ordinaire; chaque axe porte
1) Kel. Danske Vidensk. Selsk. Skr. 6e Série, Il, 3, 1882. Mon premier mémoire a paru dans la même
série, II, 1, 1881.
37 ; 113
deux feuilles (ou dans les générations supérieures seulement une, de même qu'il peut en
porter davantage (XIII, 2) dans les générations d'un ordre inférieur à celles de la Fig. 3)
el se termine ensuite par une fleur. Ces deux feuilles sont placées alternativement (posi-
tion 4) sur les flancs de la pousse fortement dorsiventrale, et tournent leurs faces encore
plus complètement que chez le Podostemon et le Mniopsis, de sorte qu'elles en viennent à
se trouver dans un seul et même plan, le plan de dorsiventralite, la face ventrale regardant
le côté dorsal de la pousse et le bord gastroscope, son axe. Leurs bourgeons sont placés,
comme chez les genres ci-dessus mentionnés, à la base notoscope de la feuille mère, et
la première feuille de chaque pousse latérale est située sur le côté le plus éloigné de
la pousse mère.
Par ce qui précède on comprendra la structure de XII, 3E, surtout en s’aidant
du diagramme XV, 10 et de l'explication des deux figures. Dans XIII, 3E, l'axe relative-
ment principal se termine par la fleur 2 et porte les feuilles a et 6; Vinférieure @ est la
feuille mère du bourgeon le plus grand, 3, dont la 1" feuille est a! et la seconde, a”,
b est la 2% fouille de l'axe 2 et la feuille mère du bourgeon 4, dont la 1 feuille, de-
tournée de l'axe mère, est 6! et la 2%, 52. Ces 4 feuilles sont de la même manière des
feuilles mères de bourgeons, à savoir a! pour l'axe 5 avec les feuilles y! et y?, a? pour
l'axe 6 avec les feuilles & et 2, b! pour l’axe 7 avec les feuilles m et n, et 6? pour l'axe 8,
seulement avec une feuille o. La ramification se poursuit d'après le même type. Les
complex de pousses les plus jeunes doivent, à cause du manque de place, saillir plus ou
moins fortement entre ceux qui sont plus âgés, et c’est pour cela que le bord de tout le
corps ressemblant au frons présente de fortes sinuosités (XIII, 3B, 3 D, ete.).
Chaque pousse se termine donc par une fleur; mais quand, en se soudant et en
continuant de croître, les parties basales des deux feuilles d’une pousse se sont élevées
au-dessus de la fleur, celle-ci est profondément cachée entre elles et on n'y arrive que
par un canal très étroit (voir la coupe XIII, 14, comme aussi les Fig. 16—19 et les coupes
d'une paire de feuilles, 8 a et b, où ce canal est désigné par un astérisque); dans la
Fig. 3 E, ces canaux sont marqués par des lignes ponctuées, qui, de l’angle entre les parties
libres des deux feuilles, descendent à la cavité où se trouve la fleur. Le corps ressemblant
à un thalle est par conséquent formé par la soudure de tiges et de parties basales de
feuilles. Quand la floraison commence, les fleurs se font jour à travers les parties des
feuilles qui les recouvrent et apparaissent sur le côté dorsal du corps thalloide (XII, 15),
dont les parties libres des feuilles sont alors le plus souvent réduites à des rudiments;
la fructification une fois terminée au commencement de la saison sèche ou lorsque les
eaux sont basses, ce corps se dessèche au soleil, blanchit et se présente comme dans la
Fig. XIII, 4. Dans les cavités qui renfermaient les fleurs, on ne trouve alors à l'ordinaire
que des restes de capsules.
La limbe des feuilles se développe comme chez le Podostemon Ceratophyllum (voir
XIII, 17, 19; XV, 5, 13). Toutes les nouvelles formations prennent naissance comme ordi-
nairement les feuilles et les émergences, c'est-à-dire sous l’épiderme (XIII, 11, 12).
Les formations siliceuses font défaut. Le tissu fondamental est un parenchyme à
grandes cellules et à parois minces, qui devient un peu collenchymateux autour des fais-
ceaux fibro-vasculaires. La ramification de ces derniers est des plus simples; chaque axe
né
a rs de RE
u
i
ia
114 38
recoit I faisceau qui, dans le réceptacle, envoie des rameaux à l’androcée et au pistil,
après avoir d'abord fourni à chacune de ses feuilles un faisceau qui ne tarde pas à se
trifurquer, et, à une hauteur indéterminée, ces faisceaux en envoient d’autres aux pousses
latérales (XV, 3). La coupe transversale d'un «frons» montrera donc des faisceaux épars,
dont les uns se rendent directement aux fleurs et les autres ne s’y terminent qu'après
s'être ramifiés (XV, 1, 2); entre les faisceaux, se trouvent de nombreux canaux aboutissant
aux fleurs et qui, pour la grandeur et l'aspect, sont tout à fait semblables à ces derniers
lorsqu'on les regarde avec un faible grossissement. Les faisceaux fibro-vasculaires se
composent de cambiforme, de tubes cribreux(?) et de trachéides.
Haptères. Le «frons» est à un haut degré négativement héliotropique, il s'at-
tache fortement aux inégalités de la surface sous-jacente et se plie, par ex., autour des
angles droits des pierres (voir XII, 4, la partie gauche de la figure). Ses appareils de
préhension sont des poils radicaux et des haptères, dont la structure et le développement
sont semblables à ceux des haptères mentionnés dans mon premier mémoire (XIII, 6, 7,
9—13; XV, 16). Ils sont exogènes, naissent dans l'épiderme et la couche sous-épidermique
et se composent seulement d'un parenchyme formé de grandes cellules, sauf cependant
celles de Ja périphérie, qui sont plus petites et dans lesquelles la croissance par division
semble avoir lieu. On ne les trouve que sur les tiges elles-mêmes dans les «corps thal-
loides», et ils les accompagnent souvent dans leurs ramifications en présentant l’image
d'une chaine de montagnes (XIII, 7). Ma première hypothèse, qu'ils pouvaient être des
racines métamorphosées (voir mon premier mémoire) a perdu pour moi de sa vraisemblance
depuis que j'ai appris à connaître ceux-ci.
Je n'ai pas trouvé de racines chez le Castelnavia et je présume qu'il n'en a
pas du tout. Il ne se développe pas de racine principale lors de la germination, mais
l'extrémité de la tige hypocotyle se couvre de poils radicaux même jusqu'au suspenseur
(XV, 15, 18, 19, 22—27); la fonction la plus importante de ces poils est certainement de
servir d’hapteres et c’est, je suppose, pour servir à la formation des nombreux petits
appendices et lobes qu'on y trouve souvent, que les parois à leur extrémité sont plus
épaisses que d'habitude (XV, 24, 26, 27).
L’embryon est déjà fortement dorsiventral; sa tige épicolyle se développe plus
près du côté dorsal que du côté opposé (XV, 18), et les cotylédons tournent leur limbe en
se plaçant comme dans la plante devenue plus âgée (XV, 15; comp. avec la Fig. 23).
Ill. Organes végétatifs chez le Dicræa elongata (Gardn.) Tul. et
le Dicræa algeformis Beddome.
Je dois avant tout adresser ici mes sincères remerciments à M. Henry Trimen,
directeur du jardin botanique de Peradeniya, à Ceylan, qui a bien voulu m'aider dans
mes recherches en m'envoyant des exemplaires conservés dans l'alcool, tant des deux
plantes nommées ci-dessus, que d’autres espèces qui feront l'objet d'un mémoire posté-
39 115
rieur. Je me suis en outre servi de matériaux secs pris dans des herbiers; c'est ainsi
que les Fig. 20, Pl. X; 1, 2, PI. XII!) et 54, 55, Pl. IX, ont été dessinées d'après des
plantes desséchées.
Les racines sont ici de deux sortes. Les unes, rampantes, s'étendent sur la
surface sous-jacente en s’y fixant, comme celles du Podostemon et du Mniopsis, par des
poils radicaux et par des haptères ayant les mêmes formes que chez ces deux espèces
(X, 1, 2, 16—20), mais plus solides. Ces racines paraissent avoir une croissance illimitée,
et peuvent produire des pousses radicales. C'est d'elles que naît la seconde forme de
racines, les racines verticales, qui ondulent librement dans l’eau comme beaucoup d'algues
marines fixées aux rochers de la côte. Ces racines sont faiblement dorsiventrales; elles
portent sur leurs deux flancs de petites pousses qui présentent également cette particu-
larité, les unes florales, à leur partie inférieure, les autres végétatives, à leur partie supé-
rieure (X, 20; XI, 1; XII, 1). Lorsque les racines sont rubanaires, comme chez le Dicræa
algeformis, il peut se trouver en outre quelques pousses sur leur côté dorsal (par ex.
XII, 1, en g). Ces racines verticales, qui ont été auparavant décrites comme des tiges,
ont évidemment une croissance normalement limitée.
Les racines verticales sont à peu près rondes chez le Dier@a elongata, mais apla-
lies, rubanaires ou presque foliacées chez le Dier@a algæformis (voir la coupe transversale
XII, 4, 5). On y trouve beaucoup de chlorophylle, même dans l’epiderme. Le mode de
formation de l'amidon est représenté XI, 20 et XII, 10 (on voit dans la Fig. XI, 16 de
l'amidon de formation secondaire).
La coiffe de la racine, chez le Dicræa elongata, en couvre l'extrémité tout entière
(X, 6, 13); chez le D. algæformis, elle est onguiforme, a sa place sur le côté dorsal de
la racine (XII, 20—25) et est très insignifiante. J'ai trouvé des branches radicales sans
coiffe (XII, 20, 22), mais ne sais si elle manquait dès l'origine ou si elle était tombée.
En tout cas, on doit la considérer comme un organe rudimentaire sans importance (voir
aussi mon premier mémoire p. 23).
Ramification des racines. Les matériaux dont je dispose ne m'ont pas permis
de voir comment se forment les jeunes racines. Mais, en examinant des racines plus
âgées, par ex. celles qui sont représentées XII, 20 et 22, on arrive à cette conclusion,
que si leur mode de formation n'est pas entièrement exogène, elles doivent certainement,
à l'origine, n’avoir été couvertes que de deux ou trois couches du tissu de la racine mére,
de même que les pousses radicales qui naissent dans les parties périphériques de la racine
(X, 4, 5, 6, ete.); car il n'est pas vraisemblable que les pousses radicales naissent à une
grande profondeur dans l'intérieur de la racine mère, par ex. à la périphérie du cylindre
central. Par contre, lorsqu'une racine adventive naît d'une vieille racine, elle est toujours
endogene (XII, 23).
Ces racines doivent être appelées binaires, quoique dans une autre significalion
qu'à l'ordinaire. Le tissu fondamental, qui constitue l'écorce, est parenchymateux et d’au-
tant plus collenchymateux et allongé qu'on se rapproche davantage du cylindre central
1) J'ai conservé A ces deux plantes le nom de Dier@a stylosa, nom que porte l'étiquette écrite par
M. Tulasne, bien que je présume qu'elles appartiennent au D. algeformis Beddome.
116 40
(X, 10, 11, 12). Les méats intercellulaires manquent. Il s'y produit de nombreuses divi-
sions longitudinales et transversales (X, 12; XI, 17, 18). Les racines plates du Dicræa
algæformis imitent quelquefois d'une manière remarquable la structure des feuilles ordi-
naires, les nombreuses divisions tangentielles de leur côté dorsal donnant naissance à une
espèce de parenchyme en palissade (XI, 22). La saillie sur le côté ventral se forme d'une
manière analogue (XII, 5).
La gaine protectrice manque. Le cylindre central doit être concu comme formé
de deux faisceaux fibro-vasculaires, qui sont à considérer comme collatéraux, de la même
manière que les faisceaux ordinaires dans une tige; le phloème se trouve toujours sur le
côté dorsal et le xylème, sur le côté ventral, absolument comme chez les espèces men-
tionnées dans mon premier mémoire (voir XI, 18; XI, 3; II, 11,15; VI,3). Qu'il y ait ici
deux faisceaux, c'est ce qui résulte des faits suivants. D'abord, on les aperçoit distincte-
ment dans les racines larges, où ces faisceaux sont écartés l'un de l’autre (XII, 4); dans la
Fig. XI, 22, on aurait pu indiquer mieux qu'on ne l’a fait qu'ils sont unis par un tissu différent
du tissu fondamental. Puis, ils sont très distincts dans les racines très jeunes (XII, 12).
En troisième lieu, les pousses radicales forment en général 2 rangées, et les faisceaux
fibro-vasculaires qui s'y rendent sont disposés aussi régulièrement que les nervures dans
une feuille penninerve; tel est surtout le cas chez le D. algæformis, dont la ressemblance
avec une feuille se trouve ainsi encore augmentée (voir XII, 20, 22 et, sur la même planche,
les parties jeunes des Fig. 1 et 2, dont la dernière représente un fragment rendu trans-
parent par la potasse). Enfin, cette structure correspond à celle des espèces du Podo-
stemon et du Mniopsis; on voit, par ex., très distinctement deux parties de xylème sur les
Fig. III, 15 et NI, 3.
Dans les cylindres centraux, comme ceux qui sont représentés X, 10, 11; XI, 18
et XII, 3, on ne voit pas trace d'une pareille composition; les deux faisceaux y sont réunis,
en ce sens que le tissu intermédiaire a pris la même structure qu'eux. L'examen de
coupes transversales telles que XI, 18 et XII, 3, montre seulement un certain nombre de
cellules, rayonnant plus ou moins distinctement en éventail d'un des côtés, celui du
phloème ou le côté dorsal (marqué dors), qui se distingue en même temps par la circon-
stance que les cellules situées en dehors sont plus longues et à parois plus épaisses, et
divisées elles-mêmes par de nombreuses cloisons longitudinales irrégulièrement placées.
Rien n'indique la présence du xylème et c'est seulement par les coupes longitudinales
qu'on apprend qu'il y a des trachéides sur le côté ventral (XI, 15, 16). Mais ces derniers
peuvent aussi faire complètement défaut, ou on ne les trouve que dans un des flancs,
mais non dans l’autre; il est assez clair qu'ils ne jouent aucun rôle important, et qu'on peut
tout au plus regarder le xylème comme rudimentaire. Le reste du faisceau se compose
de tubes cribreux et de cellules parenchymateuses à parois minces, dont quelques-unes
peut-être peuvent être regardées comme appartenant au xylème (voir le côté droit de la
Fig. XI, 15); mais le reste, en tout cas, est du liber mou. Les tubes cribreux sont toujours
accompagnés de cellules parenchymateuses de la même longueur qu'eux, et qui évidemment
proviennent de la même cellule mère (XI, 16); ces cellules possèdent un noyau et sont
riches en protoplasma, tandis que les tubes cribreux sont reconnaissables à l'élargissement
de leurs extrémités, à la forme de leurs parois terminales et à leur contenu plus clair, un
e
41 117
peu strié el sans noyau; suivant moi, nous avons affaire ici à des tubes cribreux avec de
nombreuses cellules adjointes («Geleitzellen» de Wilhelm). Pour les formes du liber mou,
voir XI, 15, 16, 19; XII, 9 (faisceau se rendant à une pousse radicale) et 11.
Je ne doute pas que celle structure anatomique différente ne soit en connexion
avec la dorsiventralité des racines, et avec la particularité qu'elles ne peuvent être divisées
que par 1 plan de symétrie.
Les pousses radicales, qui sont situées principalement sur les deux flancs des
racines, et souvent disposées par paires (X, 20, 22), comme chez le Podostemon et le Mniopsis,
sont endogènes et naissent sous les deux couches de cellules extérieures de la racine,
loin du cylindre central, avec lequel elles n’entrent en communication que plus tard (X,
4—6, 8, 14, 15, 21, 22; XII, 21, 23). Les pousses percent ensuite les couches de cellules
qui les couvrent, mais la tige des pousses purement végétatives est si insignifiante qu’elle ne
s'élève pas au-dessus de la racine mère; on voit seulement une louffe de feuilles très simples
émerger d’une ouverture (par ex. X, 21,22; XII, 4, 6, 22—24), et aussi est-il très difficile de
savoir au juste quelle en est la situation. Les pousses florales, par contre, ont un axe
distinct sur lequel les feuilles sont disposées en deux rangées, dont l’une regarde l'extrémité
de la racine et l’autre s'en détourne, absolument comme chez le Podostemon et le Mniopsis.
Les feuilles sont ensiformes et ont une gaine large el en forme de bateau, qui reste après
la chute du limbe (X, 7; Xfi, 2—7; XII, 13, 18).
Les pousses florales semblent, quoique sans grande régularité, se développer en
général de haut en bas (X, 2, 20; XII, 1).
On voit par là combien les pousses des Dier@a sont de peu d'importance, pour ne
pas dire rudimentaires, et il est évident que, comme organes d’assimilation, elles sont loin
de pouvoir étre comparées aux racines.
Si l'on compare les organes végétatifs des Podostémacées examinées jusqu'ici, en
prenant pour point de départ le Podostemon Ceratophyllum, on arrive aux résultats suivants.
La racine de cette espèce est illimitée, à demi ronde, rampante. Les pousses radicales
ont une longueur de 5 à 6 centimètres, sont munies de feuilles relativement fortes, et,
quoique la racine soit verte, constituent en somme l'organe d’assimilation le plus important.
De là derivent les autres formes en deux séries divergentes. Dans la première, nous n’avons
que le Castelnavia; autant que j'en puis juger, la racine est completement(?) absente, les
pousses sont les seuls organes d'assimilation et il s'en produit une série de générations
extrêmement nombreuses qui se réunissent en un large corps thalloide. Dans la seconde,
nous trouvons d'abord le Mniopsis Weddelliana et le Mn. Gluzioviana; la racine est ram-
pante, illimitée, souvent relativement large et aplatie, mais les pousses sont de moins en
moins riches en feuilles, et la ramification n'est peut-être pas aussi vigoureuse que chez le
Podostemon. Chez le Dierea elongata, on trouve des racines rampantes qui probablement
sont illimitées, mais elles donnent naissance à des racines verticales, presque rondes,
ondulant librement dans l’eau et très riches en chlorophylle, dont la croissance en longueur
a évidemment une limite normale, et sur lesquelles se développent de nombreuses pousses
qui, au point de vue vegelalif, n'ont presque aucune importance. Chez le Dier@a algeformis,
ces racines verticales deviennent des corps larges, rubanaires, peut-être plus riches encore
en chlorophylle, qui, dans leur structure anatomique et la ramification des faisceaux fibro-
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II 3. 15
118 42
vasculaires, rappellent d'une manière remarquable les feuilles penninerves des Dicotylédones;
quant aux pousses radicales, elles sont, si possible, encore plus réduites, et la racine joue
ici le role qui appartient d'ordinaire à la tige et à la feuille.
J'aurais certainement beaucoup à ajouter pour compléter les observations qui pré-
cèdent, mais comme je n'ai eu jusqu'ici à ma disposition que des matériaux desséchés, je
n'ai pu pousser mon analyse aussi loin que je l’eusse désiré. J'ai représenté IX, 55
une Podostémacée indéterminée (de l'Inde), qui se rattache directement au Dicrwa algæ-
jformis; la racine est seulement encore plus large et plus courte et ressemble aussi davantage
à un thalle. Des formes comme l’Aydrobryum olivaceum (IX, 54) sont évidemment des
formes extrêmes; le corps thalloïde, lobé et sans doute de couleur verte, qu’on voit élalé
sur le substratum, et qui porte des pousses florales manifestement endogènes non plus
sur les deux flancs, mais sans ordre sur toute sa surface, est bien certainement une racine.
Il est probable que la coiffe ne s’est pas développée et que la ramification est entièrement
exogene; mais sur ces points, comme sur d'autres, je ne saurais rien dire avant d'avoir à
ma disposition des matériaux conservés dans l'alcool, dont je viens du reste de recevoir
envoi grace à l’obligeance de la Direction du Kew Garden.
Les deux points extrêmes aboutissent ainsi l’un et l’autre à un corps qui reproduit
d'une manière frappante la forme thalloïde de certaines Lichénées et Hépatiques, mais qui,
un petit dans un cas, est un remarquable complex de pousses et, dans l’autre, une racine
remarquablement métamorphosée.
IV. Organes de‘la fructification chez le Podostemon Ceratophyllum Michx.,
le Mniopsis Weddelliana Tul., le Mn. Glazioviana Warmg., le Castelnavia princeps Tul.
& Wedd., le Dicrwa elongata (Gardn.) Tul. et le Dicræa algeformis Beddome.
Comme ces parties sont si bien connues, surtout gräce à l’excellente monographie
de M. Tulasne, je me bornerai ici à relever quelques points, en me référant pour le
reste à l'explication des figures. Je remettrai également l'interprétation morphologique de
la structure florale jusqu'à l'époque où j'aurai terminé ces études.
Relativement au diagramme de la fleur, on peut remarquer que l’androcée, com-
posée de deux étamines, se trouve toujours sur le côté ventral de la fleur, et que les
carpelles sont dans le plan médian (VII, 10; XV, 10, etc.). Les deux stigmates terminaux
dans la préfloraison sont inclinés vers l’androcée (VII, 1,5; XIV, 1, ete.).
En ce qui concerne le développement de la fleur, mes observations n'ont,
pour la plupart, eu pour objet que le Castelnavia. Sur une base hémisphérique se forme
d'abord Vinyolucre, qui prend naissance sur le côté ventral (XIV, 5, 6, 11). Puis naissent
les deux étamines, qui, chez cette plante, ne sont presque pas monadelphes (XIV, 1), et,
après elles, se montrent les deux squamules («staminodes»), bien qu’elles soient certainement
des feuilles perigoniales et appartiennent par suite à un verticille extérieur. L'axe s'élève
capi
43 119
alors plus verticalement, le placenta et les parois de l'ovaire se forment (XIV, 8, 10). Les
ovules naissent en ordre acropetal (XIV, 3, 14, 16) et, comme à l'ordinaire, sous l'épiderme
(XIV, 17). J'en ai le mieux suivi le développement chez le Mniopsis Weddelliana, dont les
phases concordent avec toutes celles qui ont été observées chez lee autres espèces.
Les ovules ne tardent pas à se courber (XIV, 18; VII, 7), eviennent anatropes
et amphitropes (XIV, 2) avec un court funicule; ils n’ont pas de faisceaux fibro-vasculaires.
Le tégument extérieur se forme bien plus tôt que le tégument intérieur (VIII, 8, 9, 11;
XIV, 13); il acquiert une épaisseur de 3 couches de cellules environ, et se remplit de
bonne heure d’amidon (VII, 28). Ce dernier disparaît dans les graines, les couches inté-
rieures du tégument y deviennent comprimées, en même temps que les cavités cellulaires
dans la couche extérieure ont disparu, et les cellules de cette couche sont remplies ou
presque remplies d’une masse mucilagineuse qui se gonfle extraordinairement dans l’eau,
absolument comme chez le Linum, le Cydonia, etc. (comp. VII, 28 avec 25, et 27 avec 26;
VII, 34; XII, 28). Le tegument intérieur se forme seulement dans l’épiderme et se
compose de deux couches de cellules; les parois de celles-ci prennent très rapidement une
couleur foncée (XIV, 9; VII, 9—17).
Lenucelle est d'abord constitué par trois cellules intérieures, disposées en une rangée
et enveloppées d'un épiderme qui s’amineit vers la chalaze. Il se différencie en deux parties,
dont l'une supérieure, pyriforme ou ellipsoïdale, s'élève au-dessus du tégument intérieur
(XIV, 9, 21; VII, 10—17), et a pour fondement celle des trois cellules intérieures sus-
mentionnées qui est placée le plus haut, avec l’epiderme qui l'entoure. De cette grande
cellule dérive le sac embryonnaire, et dans cette partie supérieure du nucelle on trouve
les premiers états de l'embryon; mais les matériaux dont je dispose ne m'ont pas permis
de suivre de près la formation du sac embryonnaire et de ses cellules, qui cependant semblent
se produire comme à l'ordinaire (voir les figures citées et IX, 1—3). La partie inférieure
du nucelle, qui est recouverte par le legument intérieur, croît beaucoup en longueur et
en largeur, mais sans qu'il se produise des divisions de cellules, et se développe en une
grande cavité ellipsoïde, dans laquelle on n’apercoit que quelques parois de cellules extré-
mement minces et çà et là un noyau de cellule. C'est dans cette cavité que l'embryon est
très vite amené (voir XIV, 9 et IX, 3, 6, 7) et il finit par la remplir complètement.
J'ai pu suivre en partie la formation de l'embryon chez le Mniopsis Weddelliana
(PI. IX). Dans les toutes premières phases, il semble qu'il se forme un court proembryon
avec un petit nombre de cellules, lequel ne tarde pas à se différencier en suspenseur et
en embryon. Dans IX, 1, le proembryon a 2 cellules; dans IX, 2, la cellule inférieure
semble être en train de se diviser, tandis que la cellule supérieure périt. La Fig. 3, PI. IX,
montre le proembryon différencié et l'embryon déjà amené dans la grande cavité du nucelle.
L’embryon, dans les Fig. 6 et 8, se compose de 3 étages. L’etage inférieur (l’hypophyse),
situé au-dessous de la ligne o—o, n'a encore qu’une cellule, mais se divise bientôt par
des cloisons verticales (Fig. 9 a-b, 10, 36) et finit par former une couche ne contenant qu'un
petit nombre de cellules et seulement dédoublée au milieu, qui termine l'extrémité radiculaire
de l'embryon et doit être considérée comme une radicule rudimentaire qui aboutit au sus-
penseur (Fig. 34). L'étage supérieur, dans la Fig. 8, est représenté par tout ce qui est
au-dessus de la ligne <——x. C’est de cet étage que tirent leur origine l’épiderme de la
15°
120 44
face ventrale des cotylédons et un petit groupe de cellules, marqué de croix verticales (+ +),
qui peut être regardé comme le fondement de l'axe épicotyle (voir Fig. 34 et les phases
précédentes). L’étage du milieu est placé entre les lignes =——> et o——o; il donne
naissance à l’epiderme,de la face dorsale des cotylédons, au mésophylle de ces derniers et
à un petit groupe int je ar de cellules, désigné par des hachures, qu'on peut regarder comme
la partie hypocotyle de la tige. Un embryon complètement développé est représenté en
coupe longitudinale IX, 34, et en coupe transversale VIT, 25, VII, 34 et XII, 28.
Pour ce qui regarde la structure du péricarpe, je ferai remarquer que les
cellules de sa couche la plus intérieure sont toujours étalées horizontalement — dans une
direction tangentielle — et celles de la couche qui la précède, verticalement, de sorte
qu'elles se croisent à angle droit avec les premières (VII, 20—23; VIII, 28, 30—33). Les
cellules de cette dernière couche et quelquefois aussi d'autres cellules qui n’en font pas partie,
s’epaississent fortement, ce qui est probablement då à l'amidon déposé en grande quantité
dans les parois de l'ovaire (comp. VII, 20 avec 22, VIII, 30 avec 32, 33 et XI, 11 avec 21).
Dans le jeune péricarpe, on voit des faisceaux procambiaux dont les cellules pros-
enchymateuses s’épaissiront beaucoup plus tard (chez les genres Podostemon, Dierwa,
Castelnavia (comp. VII, 21 avec 22 et XI, 11 avec 21); le Mniopsis en est dépourvu).
Les squamules («staminodes» des auteurs) sont pourvues, surtout vers le
sommet, de grands méats intercellulaires, aussi bien entre les cellules de la périphérie, que
plus profondément. Ces méats, qui sont représentés XI, 14, VII, 13 et VIII, 27, peuvent
être si nombreux et si grands que les squamules deviennent de véritables treillis de cellules,
comme dans la Fig. VII, 13.
Je me réfère, pour le reste, aux figures et à l'explication des planches.
45 121
Explication des Planches.
Planche VII.
Podostemon Ceratophyllum Michx.
Fig. 1. Bouton de fleur. L’involuere encore fermé (sp) est indiqué par une ligne ponctuée. Les
stigmates (st) sont inclinés à gauche vers le côté ventral de la fleur, où les étamines et les squamules sont
aussi fixées. (Faible grossissement: c. 4°).
Fig. 2. Coupe transversale d'un jeune involucre.
Fig. 3. Androcée avec ses deux etamines monadelphes et la squamule {std') qui est fixée entre elles.
Les lignes ponctuées dans le filament indiquent les faisceaux vasculaires.
Fig. 4. Coupe transversale du filament; le côté plat est tourné vers l'ovaire.
Fig. 5. Sommet de l'ovaire avec les deux stigmates non encore complètement développés. La
suture est indiquée au milieu de la surface de l'ovaire.
Fig. 6. Bouton de fleur privé de son involucre et vu du côté ventral. std, squamule. std', squa-
mule fixée entre les deux étamines (grossissement c. 1).
Fig. 7 [e. 1°]. Androcée. Cas rare: il y a 3 anthères et deux faisceaux vasculaires indépendants,
dont l'un se bifurque.
Fig. 8. Autre cas rare: outre les deux étamines normales monadelphes, avec leurs trois squamules,
il y a à droite une étamine rudimentaire indépendante, dont le sommet a la même structure particulière que
les squamules (voir Fig. 13).
Fig. 9. Coupe verticale de l'ovaire, montrant la position de 3 ovules; un faisceau vasculaire aboutit
au milieu de la base du placenta. On a indiqué un épiderme intérieur d'une nature particulière dans l'ovaire.
Fig. 10. Coupe transversale d'une fleur. sp, involuere; st, anthères; std, squamule; la squamule
du milieu, située entre les étamines, est indiquée par un astérisque.
Fig. 11. Coupe transversale de l'ovaire. On a indiqué dans sa paroi l'épiderme intérieur et les 10
faisceaux de sclérenchyme.
Fig. 12. Autre coupe transversale. lei se présente le cas anormal que le placenta était divisé en
deux parties distinctes.
Fig. 13. Sommet et partie d'une squamule située plus près de la base, montrant la structure parti-
euliere à claire-voie qui distingue surtout le sommet.
Fig. 14. Coupe transversale d'une anthère, montrant les cellules fibreuses et la place du faisceau
vasculaire.
Fig. 15. Montre la forme des cellules épidermiques (epid.) et des cellules fibreuses (fir) sous-
jacentes de la paroi de l'anthère.
Fig. 16. Deux grains de pollen composés.
122 46
Fig. 17 [e. 2]. Fleur qui vient de se flétrir. Les nervures de l'ovaire ne sont pas encore bien
distinctes. On voit à la base les restes de l'involucre.
Fig. 18. Fruit; les nervures sont maintenant très distinctes et apparaissent comme des filets saillants.
Fig. 19. Fruit à peine tout à fait mûr, mais desséché et ouvert; on voit des restes de l'androcée
et une squamule.
Fig. 20. Coupe transversale de la paroi d'un jeune ovaire. Les cellules sont remplies d'amidon,
comme on l'a indiqué sur une petite partie. Un faisceau de sclérenchyme est aussi coupé (sc).
Fig. 21. Coupe analogue, montrant la suture. de déhiscence et la cloison qui réunit le placenta avec
la paroi de l'ovaire. On n'a pas figuré ici l'amidon des cellules.
Fig. 22. Coupe transversale de la paroi d'un fruit. L'épiderme intérieur (epi), la couche sous-
épidermique et les faisceaux de sclérenchyme (sc) se sont maintenant beaucoup épaissis, tandis que l'amidon
a disparu.
Fig. 23. Montre la forme des cellules dans l’epiderme intérieur de la paroi de l'ovaire (epi) et de
la couche sous-jacente de cellules sous-épidermiques (sep). Les premières sont disposées horizontalement et
les secondes, verticalement.
Fig. 24. Base d'un embryon montrant le suspenseur, qui est maintenant brun, et l'extrémité radi-
culaire de l'embryon.
Fig. 25. Coupe transversale d’une graine. Au milieu, on voit les deux cotylédons et, extérieure-
ment à ceux-ci, les deux couches de cellules brun foncé (ii) du tégument intérieur. Puis viennent quelques
restes indistinets des cellules intérieures du tégument extérieur, et enfin la couche extérieure des cellules
gélatineuses, incolores et se gonflant fortement dans l'eau (epi), de ce dernier tégument.
Fig. 26. Graine desséchée. Le tégument intérieur brun est visible à travers le tégument extérieur
incolore.
Fig. 27. La même graine que Fig. 26, mais dans l'eau et coupée longitudinalement. La couche de
cellules extérieure est très gonflée; au milieu on voit l'embryon.
Fig. 28. Coupe transversale d'un ovule. Les cellules du tégument extérieur (ie) sont remplies
d'amidon. Le tégument intérieur (à) ne renferme que peu d'amidon, mais les parois des cellules sont déjà
très brunes. Le milieu est occupé par les cellules transparentes et à parois très minces du nucelle.
Planche VII.
Mniopsis Weddelliana Tul.
Fig. 1. Fleur en train d'éclore; l'involucre est ouvert au sommet, les stigmates et les anthères
apparaissent (c. 1°).
Fig. 2 [4°]. Fleur complétement épanouie; les anthéres sont ouvertes et vides de pollen.
Fig. 3. Un des deux stigmates; il est profondément découpé et très papilleux (voir Fig. 6).
Fig. 4 [42]. Après la floraison. Le pédoncule s'est allongé et a porté l'ovaire au-dessus de l'invo-
lucre; les étamines sont flétries.
Fig. 5. Coupe longitudinale d'un jeune bouton; sp, l'involuere, qui, à sa base, a 4 couches de cel-
lules; fo, faisceaux vasculaires qui se rendent dans le réceptacle et envoient de lå des ramifications dans le
filament et dans l'ovaire.
Fig. 6. Partie d'un stigmate.
Fig. 7—17 [e. 789], Phases du développement de l'ovule. 7 est la plus jeune; il n'y a encore aucun
tégument. 8: le tégument extérieur (ie) se montre le premier. 9: le tégument intérieur apparaît presque en
même temps sur tout le contour de l'ovule. 10: nucelle, formé de 2 à 3 cellules intérieures et d'une
couche épidermique, et à, tégument intérieur; la cellule supérieure dans l'intérieur du nucelle est très grande.
11: les deux téguments se développent unilatéralement. 12 et 13: nucelle et tégument intérieur. 14: coupe
transversale du nucelle près du sommet. 15: coupe longitudinale d'un ovule dont le nucelle se trouve au
même degré de développement que dans les Fig. 12 et 13. 16: micropyle d'un ovule à peu près complète-
47 123
ment développé; le nucelle s'élève au-dessus du tégument intérieur (à). La grande cellule à son sommet
est limitée en bas par une paroi réfringente. 17: coupe longitudinale par la partie située au-dessus et
autour du mieropyle d'un ovule; fun, funicule; m, micropyle; le sommet du nucelle s'élève au-dessus du
tégument intérieur, qui est reconnaissable aux parois foncées de ses cellules disposées en deux couches.
Le tégument extérieur (ie) et le funicule sont remplis d'amidon (omis ici). Au sommet du nucelle, en dedans
de l'épiderme, on voit une grande cellule à contenu foncé (le sac embryonnaire), à l'extrémité supérieure
de laquelle se trouve une masse fortement réfringente formée peut-être par la compression de plusieurs
cellules à parois gonflees. ;
Fig. 18. Anthere, vue de dedans.
Fig. 19. Deux grains de pollen composés; une des cellules de chaque grain est sphérique et lisse,
tandis que l'autre est tétralobée et légèrement verruqueuse.
Fig. 20. Grain de pollen dont les deux cellules sont tétralobées et légèrement verruqueuses.
Fig. 21. Grain de pollen en germination; chaque cellule pousse un tube pollinique
Fig. 22. Grain de pollen vu de son extrémité, et dont les deux cellules sont létralobées.
Fig. 23. Jeune grain de pollen dans l'intérieur duquel on voit deux globules (noyaux de cellules?)
dans le protoplasma contracté.
Fig. 24. Deux grains de pollen, dont l'un germant.
Fig. 25. Papilles stigmatiques, avec un grain de pollen germant dont l’une des cellules est vue en
coupe longitudinale.
Fig. 26. Tégument intérieur (à), avec le nucelle (nuc) d'un ovule.
Fig. 27. Sommet d'une squamule complètement développée (6) et coupe transversale d'une autre
très jeune (a).
Fig. 28. Les deux couches de cellules les plus internes dans la paroi de l'ovaire. epi, l'épiderme.
Fig. 29. Coupe transversale de l'ovaire; le côté dorsal est tourné en bas.
Fig. 30. Fragment de la paroi d'un jeune ovaire en coupe transversale. Les cellules en sont
remplies d'amidon, ici omis.
Fig. 31. Fruit ouvert; la plus petite des valves (la ventrale) est tombée.
Fig. 32 et 33. Coupe de la paroi d'un fruit mür; epi, épiderme intérieur.
Fig. 34. Coupe transversale d'une graine. Interieurement, on voit en coupe les deux cotylédons
entourés des cellules encore bien conservées (ii) du tégument intérieur. Puis apparaît le tégument extérieur,
dont les couches cellulaires extrêmes ont des parois si épaisses qu'il ne reste plus intérieurement qu'un très
petit lumen. Les autres cellules sont comprimées.
Planche IX.
Fig. 1—35. Mniopsis Weddelliana Yul.
Le grossissement, pour toutes ces figures, est de c, 729 — 330,
Fig. 1. Proembryon à deux cellules. Au-dessus et sur les côtés, on voit l’epiderme du nucelle.
Fig. 2. Proembryon formé de deux cellules, dont l’inferieure a deux noyaux et se divisera bientôt
par une cloison transversale. Au-dessus, une partie de l'épiderme du nucelle.
Fig. 3. Le proembryon s’est différencié en suspenseur (à 3 ou 4 cellules) et en embryon. L'em-
bryon est déjà en train de passer dans la grande cavité inférieure.
Fig. 4. Jeune embryon.
Fig. 5. La cellule terminale du protoembryon, qui constitue la masse principale du corps embryon-
naire, est divisée ici en 4 cellules par des cloisons verticales (elle est vue d'en haut, tandis que le suspen-
seur est vu de cote).
Fig. 6. Jeune embryon, vu de côté. Sa partie supérieure presque sphérique est divisée en 8 cel-
lules par des cloisons transversales et longitudinales; au-dessus, on voit la cellule d'où la radieule tire son
origine (l'hypophyse) et une partie du suspenseur; sur les côtés de l'embryon, on a tracé deux lignes qui
marquent les limites de la grande cavité, en dedans du tégument intérieur, où l'embryon sera renfermé.
124 48
Fig. 7. Embryon au même degré de développement que la fig. 6, mais la face dorsale des cotylé-
dons tournant vers le spectateur, tandis que la fig. 6 et la plupart des autres figures sont vues du côté
latéral, plus large.
Fig. 8. Jeune embryon, vu du côté large.
Fig. 9. Embryon un peu plus äge, vu du côté large (côté latéral) (a) et du côté dorsal (b).
Fig. 10— 11. Embryons, vus du côté large.
Fig. 12. Embryon, vu du côté dorsal.
Fig. 13. Embryon vu du côté dorsal, en coupe longitudinale.
Fig. 14—19. Embryons à peu près du même age vus du côté large, en partie avec les cellules
du suspenseur.
Fig. 20. Embryon vu du côté dorsal (a) et de l'extrémité supérieure, en coupe transversale.
Fig. 21—26. Embryons de différents ages, vus du côté large, avec une cellule presque triangulaire
en coupe longitudinale, à la base inférieure des cotylédons.
Fig. 27. Embryon vu du côté large.
Fig. 28 et 29. Embryon vu du bord (Fig. 29) et en coupe longitudinale (Fig. 28).
Fig. 30—34. Embryons de différents âges, vus du côté large et qui n'ont pas de cellule triangulaire
à la base inférieure des cotylédons.
Fig. 35. Embryon, vu du côté large (a) et en coupe transversale (b), correspondant à peu près à
la Fig. 23, 5.
Fig. 36. Extrémité radiculaire d'un embryon, en coupe transversale.
Fig. 37—53. Mniopsis Glazioviana Warmg.
Fig. 37 [1°]. Partie supérieure d'une plante défleurie. L’axe principal porte les feuilles m, n
(dithèque) et o, et se termine par un jeune fruit I qui, à la base, est entouré de l’involuere. La feuille x est
mère d'une pousse latérale qui porte la feuille @ et se termine par un fruit (tombe).
Fig. 38—40 [2]. Trois plantes portant de jeunes fruits; la dernière est vue de derrière. Les
feuilles ont été si maltraitées par les courants que, de la plupart, il ne reste que quelques parties de la base
[Glaziou, n° 13144].
Fig. 41 ["$°]. Sommet d'une squamule.
Fig. 42. Stigmate.
Fig. 43. Coupe transversale d’une fleur; on voit dans l’etamine deux faisceaux vasculaires (les
squamules sont omises).
Fig. 44. Deux embryons.
Fig. 45 [?2°]. Coupe transversale de la paroi capsulaire.
Fig. 46. Jeune fruit qui porte encore ses deux stigmates. On voit la suture de déhiscence descendre
obliquement des stigmates à la base de l’androcée.
Fig. 47 []. Coupe longitudinale d'un bouton.
Fig. 48 [1°]. Pousse dont la fleur est encore en bouton. Sur son côté dorsal tourné en avant, on
voit {en x) le sommet d'une petite écaille représentée isolée en 6.
Fig. 49 [2°]. Forme anormale de l'androcée (vue de dehors). L'étamine non habituelle a est stérile.
Fig. 50 [2°]. Forme habituelle de l'androcée, vue de dedans; la squamule gauche est omise.
Fig. 51. Grain de pollen formé de deux cellules, dont Tune tétralobée et l'autre globuleuse.
Fig. 52. Grain de pollen formé de 2 cellules à 5 lobes, vu de son extrémité.
Fig. 53 [2°]. Coupe transversale d'une tige et d'une feuille. dors désigne le côté dorsal de la tige.
Les parties obscures %koll désignent du collenchyme.
Fig. 54 [2]. Hydrobryum olivaceum (Gardn.) Tul.
Fig. 55 [4]. Podostemon (sp. indeterminata) leg. Dr. Ritchie.
— a
49 125
Planche X.
Dicrea elongata (Gardn.) Tul.
Fig. 1. Plante en grandeur naturelle. La partie enlevée a sa place en x.
Fig. 2—3. Fragments d'une autre plante en grandeur naturelle.
g. 4—5 [°P]. Coupe longitudinale d'une plante, montrant la formation endogène des pousses. Les
couches de cellules couvrant la pousse représentée Fig. 4 commencent à se détacher en +. fo, faisceau
vasculaire.
Fig. 6. Extrémité d'une racine, avec une coiffe et 6 pousses qui n'ont pas encore percé leur enve-
loppe, en coupe longitudinale.
Fig. 7 [4°]. Fragment d'une racine plus âgée avec deux pousses, dont l'inférieure porte les feuilles
a, b,c, d et e, cette dernière conservant encore une partie de son limbe, tandis que d l'a perdu. Les
feuilles de la pousse supérieure sont plus complètes; on entrevoit la fleur en ÿ.
Fig. 8. Pousse qui se fait jour à travers son enveloppe.
Fig. 9 [9]. Extrémité d'une racine, avec cinq pousses d’age différent qui ont percé leur enveloppe
et sept, désignées par des astérisques, qui sont encore renfermees dans la racine. La feuille la plus ägée (a)
de chacune des cinq pousses est la plus éloignée du spectateur.
Fig. 10 ['£°]. Coupe transversale d'une racine.
Fig. 11. Partie moyenne plus fortement grossie d'une racine semblable,
Fig. 12 ['£°]. Coupe longitudinale de l'écorce d'une racine.
Fig. 13. Extrémité d'une racine avec une coiffe bien distincte traitée par la potasse.
Fig. 14 [4°]. Fragment d'une racine dont les pousses se sont fait jour; la feuille la plus ägée de
chaque pousse est tournée vers le spectateur.
Fig. 15 [*$]. Fragment d'une racine, avec trois pousses dont Ja première feuille s'est fait jour.
Fig. 16—19 [c.*]. Parties basales de racines verticales, et racines rampant horizontalement (r),
avec des haptères.
Fig. 20. Plante en grandeur naturelle (d'après des matériaux desséchés), avec trois racines verticales
florifères flottant dans l'eau et issues d'une racine qui rampe horizontalement.
Fig. 21. Coupe verticale d'une racine, montrant la base d'une pousse dont la plus jeune feuille
est marquée fol. fv désigne en partie le cylindre central de la racine, en partie le faisceau vaseulaire qui va
de ce dernier à la pousse.
Fig. 22 [7]. Extrémité d'une racine avec des pousses végétatives.
=
dq
gg
Planche XI.
Fig. 1—20. Dicræa elongata (Gardn.) Tul.
Fig. 1. Plante en grandeur naturelle.
Fig. 2—4 [1°]. Trois pousses superposées, du même côté de la racine dessinée Fig. 1; sur la Fig. 4,
on voit une fleur renfermée entre les feuilles. Dans la Fig. 3, il y a sans doute eu une feuille en «.
Fig. 5. Pousse florifère, vue du côté dorsal; la fleur est épanouie,
Fig. 6. Pousse florifère, vue du côté ventral; la fleur est encore en bouton.
Fig. 7. Fragment d'une racine avec deux pousses florifères, vu du côté dorsal; à est vu en b’ du
côté ventral.
Fig. 8. Partie supérieure de l'androcée, vue de dedans.
Fig. 9. Bouton de fleur après l'enlèvement de l'involucre.
Fig. 10. Partie supérieure du pistil dans une fleur éclose.
Fig. 11 ['$°]. Coupe transversale de la paroi d'un ovaire; le contenu des cellules en amidon est
en partie indiqué.
Fig. 12. Coupe transversale de l'ovaire.
Fig. 13. Trois grains de pollen, dont deux sont germants; c est vu en coupe longitudinale.
Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk, og mathem. Afd. II. 3. 16
126 50
Fig. 14. Partie d’une squamule.
Fig. 15. Coupe longitudinale du cylindre central d'une racine; phi, phloeme; æyl, xylème.
Fig. 16. Coupe semblable; m, cellules corticales avec des grains d'amidon; ad, cellules adjointes
(cellules compagnes); er, tubes cribreux; à droite, les trachéides du xylème.
Fig. 17. Coupe transversale de l'écorce d'une racine; la flèche est dirigée vers la périphérie,
Fig. 18. Coupe transversale du cylindre central et des parties limitrophes de l'écorce d'une racine;
æyl désigne le côté du xylème, dors, celui du phloème et le côté dorsal.
Fig. 19 [*£°], Coupe longitudinale du phloème; autour des tubes cribreux, on voit des cellules
adjointes.
Fig. 20. Grains de chlorophylle et d'amidon d’une racine.
Fig. 21—22. Dierwa algeformis Beddome.
Fig. 21. Coupe transversale d'une vieille paroi capsulaire, dont les cellules extérieures A parois
minces sont en partie dissoutes.
Fig. 22 [°P]. Coupe transversale de la racine plate rubanaire et de son cylindre central binaire;
ep, épiderme de la face intérieure (ventrale).
Planche XII.
Fig. 1—2. Dierwa stylosa Wight (exemplaires desséchés).
Fig. 1. Plante en grandeur naturelle. gg désignent des pousses qui naissent sur la face dorsale de
la racine plate rubanaire.
Fig. 2. Fragment de racine rendu transparent, de manière à montrer la ramification des faisceaux
vasculaires dans la racine. g est une pousse éloignée des bords de la racine.
Fig. 3—29. Dierwa algeformıs Beddome.
Fig. 3. Coupe transversale du cylindre central et de l'écorce contigué d'une racine; il n'y a pas
trace ici de la structure binaire du cylindre. x, xylème; ph, phloème; dors désigne le côté dorsal du cylindre.
Fig. 4. Coupe transversale d'une racine dans sa partie la plus plate; g, pousse où se rend un
faisceau vasculaire partant du cylindre central, qui est distinctement binaire.
Fig. 5. Coupe transversale d'une racine dans sa partie la moins rubanaire.
Fig. 6. Partie d’une coupe transversale d'une racine; une pousse est coupée de manière qu'on en
puisse voir les trois feuilles a, 6 et ce.
Fig. 7. Partie semblable; l’epiderme de la face inférieure est divisé par des cloisons périclines.
Fig. 8 [2]. Androcée (d'un bouton), vue de dedans.
Fig. 9. Coupe longitudinale d'une racine; un des faisceaux vasculaires qni se rendent dans les
pousses est coupé longitudinalement; er, tubes cribreux; ad, cellules adjointes (= cellules compagnes Janez.),
qui ont toutes des noyaux. Autour du faisceau ci-dessus, on voit le parenchyme de l'écorce.
Fig. 10, Grains de chlorophylle de la racine, formant de l'amidon.
Fig. 11. Coupe longitudinale du cylindre central d'une racine, montrant des tubes cribreux et des
formes particulières de cellules adjointes.
Fig. 12. Coupe transversale du cylindre central d'une toute jeune racine, lequel se montre formé
de deux parties encore bien distinctes; dans la face tournée vers æ, se forme le xyléme et dans la face
opposée, le phloème, qui est en même temps limité par des cellules à parois plus réfringentes et marquées
dans la figure d'une teinte plus foncée.
Fig. 13, 14. Pousse, vue du côté dorsal et du côté ventral; st, anthère.
Fig. 15, 16. Pousse florifère, vue du côté dorsal et de flanc; st, anthères; sg, squamule.
Fig. 17. Base d’une pousse, vue du côté dorsal, dont les feuilles supérieures montrent distinete-
ment leur dos cariné; sp, involuere.
Or
==
>
bho
—ı
Fig. 18. Pousse florifère, vue de flanc; en bas, les restes des feuilles végétatives sont inclinés à
gauche (vers le côté ventral); au-dessus, on voit l'involuere, qui est surmonté du pédoncule et de parties
de la fleur.
Fig. 19. Androcée, vue de dedans; sg, squamules; les anthères sont ouvertes.
Fig. 20. Fragment d'une racine, dont les rameaux portent en partie une coiffe, et dont le cylindre
central et les faisceaux vasculaires sont indiqués par des lignes ponctuées.
Fig. 21. La première feuille d'une pousse radicale a dissous les cellules placées au-dessus, en *,
et percera bientôt la surface de la racine.
Fig. 22. A, fragment de racine en grandeur naturelle. B, le même grossi [c. 3] et déployé pour
qu'on puisse mieux voir la ramification des faisceaux vasculaires. Les premières feuilles apparaissent dans
plusieurs pousses.
Fig. 23 [12]. Jeune racine, naissant d'une vieille; elle porte quatre pousses radicales, dont trois
ont percé les couches de cellules qui les recouvraient.
Fig. 24 [5]. Sommet d’une racine; les trois pousses radicales plus jeunes sont encore complète-
ment renfermées dans la racine; les quatre autres l'ont percée et portent des feuilles qui se sont fait jour
à travers le tissu de la racine.
Fig. 25. Extrémité supérieure d'une racine avec la coiffe.
Fig. 26. Une pousse encore renfermee dans la racine a été traitée par la potasse de manière à
rendre visible la place de ses deux premières feuilles (comp. Fig. 24, la pousse plus âgée).
Fig. 27. Sommet d'un pistil; dans les deux stigmates, il y a des grains de pollen en germination.
Fig. 28. Coupe transversale d’une graine; a, couche de cellules extérieure et gélatineuse; 6, couches
intérieures de l'enveloppe de la graine, provenant du reste du tégument extérieur et du tégument intérieur.
Fig. 29. Coupe transversale d'une fleur. sg, squamules; dors désigne le côté dorsal de la fleur
(un faisceau de sclérenchyme a été oublié).
Planche XIE,
Castelnavia princeps Tul. & Wedd.
Fig. 1 [+]. Partie d’une jeune plante en grandeur naturelle, vue du côté dorsal.
Fig. 2 [+]. Partie d'une jeune plante, vue du côté ventral; la pousse dirigée à gauche porte les
feuilles a, b, c, d, .. . .; au milieu, on voit une pousse dont les deux premières feuilles sont marquées 2
et y; x est une feuille n’appartenant à aucune de ces deux pousses. 3
Fig. 3 [2]. Parties basales d'une plante un peu plus âgée, vue de différents côtés: A, du côté
dorsal et B, du côté ventral, avec la ligne médiane de la pousse principale tournée vers le spectateur; C et D,
les deux parties latérales du même complex de pousses, vues de dehors (côté ventral). Æ montre toute la
plante supposée étendue sur un plan et vue du côté ventral; elle est supposée en même temps transparente,
de sorte qu'on entrevoit toutes les cavités qui renferment les fleurs (marquées 1, 2, 3 etc.), ainsi que les
canaux (les lignes ponctuées) qui y conduisent. Pour plus de détails, voir le texte.
Fig. 4 [1]. Pierre sur laquelle sont fixés quelques exemplaires desséchés et fructiféres de cette
espèce; ils descendent à gauche sous un angle presque droit sur l'autre face de la pierre. (Dessin de M.
Théodore Holm.)
Fig. 5. Fragment d'une feuille.
Fig. 6 [4]. Partie basale d'une plante, vue du côté ventral et de flanc, pour montrer la position
des haptères.
Fig. 7 [+]. Partie d’une autre plante, vue du côté ventral et montrant les hapteres.
Fig. 8. Deux coupes transversales d'une paire de feuilles. La coupe a est faite en bas là où les
deux feuilles sont complètement soudées; le canal qui conduit à la fleur est indiqué par un astérisque. La
coupe db passe plus haut, à peu près à l'endroit où les deux feuilles se séparent; l'ouverture du canal est
environ en *.
16°
128 52
Fig. 9. Coupe longitudinale à travers la périphérie d'un haptère.
Fig. 10. Coupe longitudinale d'un haptère et du parenchyme contigu, riche en amidon, de la
pousse mère.
Fig. 11. Périphérie d'un haptère avec deux poils radicaux, en coupe longitudinale.
Fig. 12. Partie d'une coupe longitudinale d'un haptère.
Fig. 13. Coupe longitudinale de la partie basale d'un haptère.
Fig. 14. Coupe transversale d'un canal conduisant à une fleur et du parenchyme environnant.
Fig. 15 [2]. Vieille plante en fleur, dont les parties foliaires libres ont été abimees par des tour-
billons d’eau et ont disparu. Les fleurs se sont fait jour à travers les parties foliaires qui les recouvraient.
Fig. 16. Partie d'une coupe longitudinale d'un complex de trois pousse; m et n, parties basales de
deux feuilles entre lesquelles un canal descend à la fleur, dont on voit en a quelques parties (androcée, etc.).
Les lignes ponctuées indiquent la marche des faisceaux vasculaires vers les feuilles et les trois fleurs atteintes
par la coupe.
Fig. 17. Jeune feuille, vue de côté; dans un plan plus en arrière (pas à l'aisselle de la feuille), on
voit la fleur qui en termine l'axe.
Fig. 18. Coupe longitudinale à travers plusieurs pousses. On voit les parties de trois fleurs; le
canal allant à à est atteint par la coupe dans toute sa longueur, mais on n’apercoit que l'orifice intérieur du
canal conduisant à a, et le canal correspondant à c n'est pas visible. Les lignes ponctuées représentent les
faisceaux vasculaires.
Fig. 19. Jeunes feuilles et jeunes fleurs. a et à appartiennent à un axe dont on ne voit pas la
fleur terminale, mais seulement le canal y conduisant, qui est coupé obliquement. a est la feuille-mère d'un
bouton qui n'a qu'une seule feuille, a, et dont la fleur se voit entre a et a; & est mère d'un bouton dont la
seule feuille Ø est en partie enlevée et dont la fleur se voit entre f et à.
Planche XIY,
Castelnavia princeps Tul. & Wedd.
Fig. 1 [c. 4°}. A, parties florales d'un bouton après l’enlèvement de l'involucre, vues du coté
ventral; B, les mêmes, du côté dorsal; €, les mêmes, de flanc.
Fig. 2. Coupe longitudinale d'un jeune ovaire.
Fig. 3. Coupe longitudinale d'une jeune fleur. Les ovules commencent à naître sur le placenta.
Fig. 4. Coupe longitudinale par le berd d'un jeune involuere qui ne s'est pas encore complètement
fermé en haut.
Fig. 5. Jeune fleur; le canal qui aboutit à l'extérieur est indiqué par une ligne ponctuée.
Fig. 6. Coupe longitudinale d'une jeune fleur semblable, un peu plus âgée; l'involucre a commencé
de se former tout autour.
Fig. 7. Fleur dont les deux étamines sont formées; il n'y a pas encore trace de squamules.
Fig. 8. Fleur dont l'involucre en atteint déjà la demi-hauteur; outre les étamines (st), les squa-
mules (sg) ont aussi fait leur apparition et l’ovaire (ov) s'élève en forme de bourrelet très bas tout autour du
placenta (p).
Fig. 9. Ovule en coupe longitudinale. Les deux couches de cellules du tégument intérieur (à) se
distinguent par leur couleur foncée. nue, nucelle.
Fig. 10. Coupe longitudinale d'une fleur un peu plus âgée que celle représentée Fig. 8.
Fig. 11. Dessin histologique de la coupe longitudinale d'une fleur qui est au même degré de déve-
loppement que celle représentée Fig. 6. sp, involucre.
Fig. 12, 13. Deux phases du développement des ovules, tracé de leurs contours.
Fig. 14. Coupe longitudinale d'une jeune fleur un peu plus ägee que celle représentée Fig. 3.
Fig. 15. Coupe transversale d'une fleur; les squamules ne sont pas indiquées.
Fig. 16. Jeune placenta en coupe longitudinale.
Fig. 17, 15. Deux tout jeunes ovules.
93 129
Fig. 19, 20. Nucelle et tégument intérieur de deux jeunes ovules correspondant à peu près aux
Fig. 13 et 12.
Fig. 21. Partie supérieure des nucelles de deux ovules presque complètement développés.
Fig. 22. Partie de la coupe transversale d'une jeune anthère. Il y a, comme d'ordinaire, des divi-
sions de cellules sous-épidermiques, mais moins régulières.
Fig. 23. Toute jeune androcée d'un bouton, vue de dedans.
Fig. 24. Coupe transversale de la paroi d’une anthère.
Fig 25. Deux grains de pollen, dont l'un en coupe transversale optique.
Fig. 26, 27. Deux coupes transversales d'une fleur et des parties environnantes, avee l'indication
des faisceaux vasculaires. La Fig. 26 montre la coupe passant par la base de la fleur et par les deux fais-
ceaux, ici déjà séparés (st), qui vont à l'androcée. La coupe Fig. 27 passe plus haut. La paroi de l'ovaire est
anormale, les faisceaux y étant plus nombreux qu'à l'état normal; les étamines (st) et les squamules sont
coupées.
Planche XY.
Castelnavia princeps Tul. & Wedd.
Fig. 1. Coupe par la partie basale d'un système de pousses; on voit différents faisceaux vasculaires,
parmi lesquels ceux marqués I, a et 5 se rendent respectivement à la fleur la plus àgée et à ses feuilles a
et à. Le faisceau 5 et les faisceaux les plus voisins se réunissent plus bas en un faisceau unique, ce qu'on
a indiqué par des lignes ponctuées.
Fig. 2. Coupe passant un peu plus haut par les mêmes pousses On voit en I la cavité de la
fleur I, et II, Hl et IV sont des cavités correspondant à d'autres fleurs. Des deux faisceaux de la feuille a,
l'un est en train de se diviser; le faisceau de à s'est divisé en 2 autres, dont l'un plus haut se divisera
aussi (v. Fig. 3). Parmi les autres faisceaux, m et n vont directement aux deux feuilles appartenant à la
pousse qui se termine par la fleur Il.
Fig. 3. Coupe passant encore plus haut par les mêmes pousses, mais avec la ramification des
faisceaux vasculaires de plusieurs coupes précédentes représentée schématiquement.
Fig. 4. Coupe transversale d'un jeune lobe foliaire.
Fig. 5. Contours d'une jeune feuille, vus de dedans.
Fig. 6,7 [e.{]. Fruit mur mais non ouvert, vu respectivement du côté dorsal et de flanc.
Fig. 8, 9. Les deux valves d'une capsule mire.
Fig. 10. Diagramme d’un complex de pousses. L'axe principal porte les feuilles a et 5 et se ter-
mine par la fleur I. La feuille @ est la feuille mère de la pousse 2, qui porte les feuilles @ et a‘ et se ter-
mine par la fleur 2. La feuille & est la feuille mère de la pousse qui se termine par la fleur 3 et porte les
feuilles 2 et #. En commençant par la gauche, nous trouverons ainsi:
m feuille mère de 8 ne portant que 1 feuille.
n — 9 — — —
a _ 4 portant les feuilles m et n.
a! — 6 — = q er.
r — 12 ne portant qu'une feuille.
s — 13 portant deux feuilles.
t — 14 — —
8! — 7 — les feuilles s ct z.
B — 5 — les feuilles o et p.
p — 11 — deux feuilles.
0 — 10 — —
Fig. 11, 12. Coupes longitudinales de deux jeunes lobes foliaires.
Fig. 13. Jeune lobe foliaire, vu de dedans.
Fig. 14. Coupe transversale d'une partie de la paroi d'un jeune ovaire; la partie la plus mince, à
gauche, est la suture de déhiscence.
54
Plantule, vue du côte dorsal; les cotylédons sont tournés de manière que leur face
supérieure regarde le spectateur.
130
Fig. 15.
Fig. 16
Fig. 17.
anthères.
Fig. 18
Fig. 19
L'extrémité de
Fig.
Fig.
Fig.
Fig.
Fig.
Fig.
Fig
KO RO KØ ta ro
an à
5 Poth
hø
où
Groupe d'haptères, dont quelques-uns se sont attachés à une petite pierre; vu de côté.
Parties d'une fleur flétrie; à gauche, on voit les deux longs filaments après la chute des
Embryon, vu de flane; à gauche, le côté dorsal où l'on voit la plumule se développer.
Embryon, vu de flanc. L'enveloppe séminale reste encore à l'extrémité des cotylédons.
la radicule est représentée grossie dans la Fig. 24.
20, 21. Éléments anatomiques des nervures dans la paroi d'une capsule müre.
Extrémité de la radicule d'un embryon, en coupe longitudinale.
Embryon, vu du côté ventral.
Extrémité grossie de la radicule de la Fig. 19.
Contours d'un embryon dont la plumule présente déjà quelques petites feuilles.
Extrémité de la radicule d'un embryon, en coupe longitudinale.
Partie inférieure d'un embryon, vue de la face ventrale; on voit en haut les parties basales
des deux cotylédons.
ADP Vid Sesh Ske 608 Rache H 3
Nanning [bdostomacca
Podostemon Ceratophullum Michx
dup
KD Vid Sesh Skr6“Rakke 3 Warming lodastenacra
Mniopsis Weddelliana Tul.
MO
AD id Sel Slr OS he M3. Marmng-Ihdostemd
pan, (£
ES
Gia ho
x
37-53. Mniopsis Glazioviana Warmg. etc
1-36. Mniopsis Weddelliana Tul
A Did Schhskrö Bade M3. Warming Pdastemacee Lan X
| = = 7 > Fe = |
Intor del & lite
Dicræa elongata (Gardn) Tul
A Did Sclsh: Shr Række 173 Warming Bodestemacta
ludor del d bith
1-20 Dicræa elongata (Gardn) Tul 21,22. Dicræa algæformis Bedd
AAA SES ET OA
Tan
po.
a n=
S-
we &
1,2. Dicræa stylosa Wight. 3-29 Dicræa algæformis Bedd
Ad Scbsh Shade Wr Masmeeng Sadastenacen,
Castelnavia princeps Tul et Wedd
Tao ATV
KD Vid SølskSkr kække 3. Warming: Frdostemacea
a
«Ke.
À
17
„IH |
ee
Autor del & lith
Castelnavia princeps Tul et Wedd
» Blast,
cf LOU CAC
Castelnavia princeps Tul. el Wedd
Bidrag til Kundskaben
om
Manganets Ilter.
Af
Odin T. Christensen.
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. IL 4.
——u en
Kjøbenhavn.
3ianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri.
1883.
i, ved a ae dif a ia?
VEST DIET TE A: QAR
DIT LIL TD
Shove.) ita haa, À
| y
d oh ile Ti |
Ad Ip a, SRE SNS
I.
D Undersøgelser, for hvilke der i nærværende Afhandling nærmere skal gjeres
Rede, omhandle væsentligst de to Manganilter Mn, 0, og Mn,0,. Det kan ikke vere
andet, end at en Undersøgelse over et saa bearbejdet Æmne som Manganets Ilter paa mange
Punkter maa faa Karakteren af en Revision af tidligere Arbejder, men en saadan vil vel
heller ikke kunne siges at være paa urette Sted; dels hersker der med Hensyn til de to
nævnte Ilters Constitution temmelig afvigende Anskuelser, og dels trænge flere tidligere
Angivelser om deres Egenskaber til at fuldstændiggjøres.
Det er bekjendt, at den i Naturen forekommende Braunit, Mn, 0,, krystalliserer
kvadratisk, medens andre Ilter af Sammensætningen Re OÖ, krystalliserer rhomboédrisk f. Ex.
Jernglands, ligeledes, at Hausmannit krystalliserer kvadratisk, medens Spinellerne, f. Ex.
Magnetjernsten, krystallisere regulært. Denne Afvigelse i Krystalform har givet Anledning
til, at enkelte Forskere, f. Ex. Hermann!) og G. Rose’), have udtalt sig for den Opfat-
telse, at disse to Iter besad en anden Constitution end de tilsvarende Forbindelser af Jern-
gruppen, idet de opstillede den Theori, at Mn, ©, maatte opfattes som 2MnO. MnO, og
Mn, 0, som MnO.MnO,, altsaa begge som saltagtige Ilter. G. Rose støtter sig for
Braunittens Vedkommende til den Omstændighed, at dette Ilte, som det forekommer i Na-
turen, i Reglen indeholder Baryt og Kiselsyre, og mener, at baO indtræder for MnO,
medens SzO, indtræder for MnO,, og Braunitten vilde herefter vere at betragte som et
mangansyrligt Manganilte. Yderligere Stotte for denne Anskuelse om disse Ilters Constitu-
tion kunde man iøvrigt finde i flere andre Omstændigheder. Forchhammer?) og Ber-
thier ) have som bekjendt paavist, at Manganmellemilte med fortyndet Salpetersyre eller
Svovlsyre spaltes nøjagtigt saaledes, at 2MnO opløses, medens MnO, lades uoplost som
1) Journ. f. prakt. Chemie. Bd. 43. p. 50.
2) Poggendorfls Annalen. Bd, 121. p. 318.
3) De Mangano. Hafn. 1820.
1) Annales de chimie et de physique. T. 20, 187.
hie
134 4
Hydrat. Ligeledes angiver Turner"), at Mn,O, ved fortyndet Svovlsyre spaltes saaledes,
at der dannes Manganforiltesalt medens Manganoveriltehydrat efterlades ”), men nogen bestemt
Angivelse om, hvorvidt Forholdet her er nøjagtigt saaledes, at Halvdelen af Manganet gaar i
Opløsning, medens Halvdelen lades uopløst i Form af Manganoverilte, findes ikke”), men de
følgende Undersøgelser ville vise, at dette virkeligt finder Sted saavel overfor fortyndet Svovl-
syre som overfor fortyndet Salpetersyre; tage vi nu tillige Hensyn til at MnO, er i Be-
siddelse af udprægede negative Egenskaber, hvad særlig Gorgeu") har paavist, kunde det
ogsaa af disse Grunde synes rimeligt at antage Mn, O, for et saltagtigt Ilte.
Fremdeles kunde ogsaa den Kjendsgjerning, at Mangantveiltesaltene ere forholdsvis
lidet bekjendte, og at de i Almindelighed ere temmelig ubestandige, give Anledning til den
Antagelse, at vi maaske her snarere havde med en Art Dobbeltsalte at gjøre af Mangan-
overilte- og Manganforiltesalte, idet Schönbein°) og Fremy®) have vist, at Manganoverilte
ogsaa kan optræde med basiske Egenskaber; Fremy har saaledes vist, at Manganoverilte
ogsaa kan danne en Forbindelse med Svovlsyre, der faas ved Behandling af manganoversurt
Kali med Svovlsyre, og at der ved Tilsætning af svovlsurt Manganforilte til den derved
dannede Opløsning fremkommer et krystallinsk Bundfald, der har Sammensætningen MnO.
M10,.4 S0, +977, 0. Fremy kalder dette Salt for Svovlsurt Manganforilte-Manganover-
ilte, og efter dets Dannelsesmaade kunde det vel ogsaa være rimeligt, at det var det mest
passende Navn; han mener ikke, at man kan betragte det som et Mangantveiltesalt, da det
ålgien ‘MnO ved Behandling med Ammoniak, medens dog ellers Sammensætningen svarer
til AR .(80,);, + H,0,.S0, + 8H,0 altsaa til et surt svovlsurt Mangantveilte.
Fremy bemærker i Slutningen af sin Afhandling: hvor blive da Mangantveiltesaltene af?
Der synes altsaa virkeligt at være Grunde, der kunde tale for, at Iltet Mn, O0, nærmest
maatte betragtes som MnO.MnO, og dermed regnes udenfor Gruppen R, OF
Til nærmere Afgjorelse af dette Spørgsmaal maa det nu først undersøges, hvorvidt
Mn, ©, med fortyndet Salpetersyre eller Svovlsyre nøjagtigt spaltes saaledes, at Halvdelen af
Manganindholdet gaar i Opløsning, medens den anden Halvdel efterlades som Manganover-
iltehydrat. Med Hensyn til Fremstillingsmaaden for det til dette Forsøg anvendte Mangan-
tveilte maa jeg først gjøre et Par Bemærkninger. Schneider”) anbefaler at ophede Mangan-
1) Schweiggers Journal. 56, 166.
*) Berthier har paavist, at det samme finder Sted overfor Salpetersyre.
3) Turner angiver ganske vist, at man paa Grund af den nævnte Spaltning kan betragte Mn,O, som
en Forbindelse af lige Ægqvivalenter MnO, og MnO, men Afhandlingen indeholder ikke nogen Ana-
‘ lyse, der viser, at Spaltningen foregaar nøjagtigt i MnO, og MnO.
‘) Ann. de chim. et de phys. [3] T.66. p.154.
5) Journ. f. prakt. Chemie. 74. p. 315.
5) Comptes rendus, 82, 475 og 1231.
7) Ann. der Phys. und der Chemie. 107, 605.
D 135
mellemilte eller oxalsurt eller kulsurt Manganforilte i en Iltstrom, en Methode der giver
særdeles gode Resultater; i Slutningen af sin Afhandling bemærker Schneider, at han
maa formode, at Anvendelsen af Manganoverilte vil give samme Resultat, men han har ikke
udfort Forsoget; jeg forsogte derfor at fremstille Mangantveilte ved stærk Glodning af rent
Manganoverilte i en ren og tor Iltstrom. Det til Forsøget anvendte Manganoverilte blev
fremstillet ved Ophedning af salpetersurt Manganforilte først til 180°, paa hvilket Punkt
Produktet indeholdt 79,72 Proc. MnO, hvilket er noget for lavt, hvorfor det endnu paa dette
Punkt maa indeholde noget Vand, dernæst til 200— 205°, hvorefter det dannede Mangan-
overilte blev analyseret.
0,857 Gr. MnO, gav 0,744 Gr. Mn, 0, svarende til 80,74 Proc. Mn O;
0,261 Gr. brugte efter Behandling med Jodkalium og Saltsyre 59,8 Ce. */10 normal svovl-
undersyrligt Natron svarende til 18,33 Proc. virksom Ilt.
Dette Manganoverilte, der saaledes var af størst mulig Renhed, blev glødet i et
Forbrændingsrør i 1 Time i en Iltstrøm ved streng Glødhede; det dannede Produkt viste
ved Analysen følgende Sammensætning:
0,767 Gr. gav 0,7385 Gr. Mn, 0, svarende til 89,55 Proc. Mn O;
0,351 Gr. behandlet med Jodkalium og Saltsyre brugte 45,3 Ce. */10 normal svovlunder-
syrligt Natron, hvilket svarer til 10,32 Proc. virksom Ilt.
Produktet bestaar altsaa af rent An, 0,, der kræver 89,87 Proc. An0 og
10,13 Proc. virksom Ilt.
Dette Mangantveilte blev nu anvendt til de følgende Forsøg:
1) 0,884 Gr. Mn, O, blev opvarmet i Bægerglas paa Asbestplade med fortyndet Sal-
petersyre (indeh. 17 Proc. ZNO,) til 100°; man maa stadigt røre om i Blandingen, da
Bundfaldet i modsat Tilfælde kager sig sammen, hvorved noget Mn, O, indhylles af det ved
Processen dannede Manganoveriltehydrat og derved for en Del unddrager sig Syrens Ind-
virkning. Efter ca. 1 Times Indvirkning filtreredes Opløsningen, og den uopløste Rest blev
omhyggeligt udvasket; den gav 0,425 Gr. Mn,0, svarende til 0,3061 Gr. Mangan; dette er
34,63 Proc. af den anvendte Mængde Mangantveilte, og da dette indeholdt 69,35 Proc. Mangan,
er altsaa nøjagtigt Halvdelen af dette bleven uopløst.
2) 0,730 Gr. Mn, O, blev behandlet paa samme Maade som ovenfor, og det uopløste
Manganoveriltehydrat gav 0,3505 Gr. Mn,O, svarende til 34,58 Proc. uopløst Mangan, hvilket
stemmer med første Forsøg. Filtratet fra det uopløste, der altsaa indeholdt salpetersurt
Manganforilte, blev inddampet paa Vandbad og derpaa titreret efter Volhards Methode;
det brugte 126,5 Ce. manganoversurt Kali, af hvilket hver Cubikc. svarede til 0,002 Gr. Mangan
i Manganforiltesaltet. Dette giver 0,253 Gr. Mangan i Opløsningen eller 34,66 Proc. af den
anvendte Mengde Mn, Os.
Dette Forsøg viser, hvor nøjagtigt Spaltningen foregaar i MnO og MnO,. Det ved
156 6
denne Proces dannede Manganoverillehydrat viste sig, tørret ved 100°, at have følgende
Sammensætning: 0,785 Gr. gav 0,6615 Gr. Mn, O,, svarende til 78,37 Proc. MnO. 0,219 Gr.
brugte efter Behandling med Jodkalium og Sallsyre 47,6 CC */10 normal svovlundersyrligt
Natron, svarende til 17,39 Proc. virksom Ht. Sammensætningen er allsaa
NONE ice se 2s AEG: 78,37 Proc.
A en 17,399 —
HS OR ER Cr ie 1,24 — (Dilferens)
100,00 Proc.
Det samme Mangantveilte blev nu prøvet overfor fortyndet Svovlsyre (1 Rf. cone.
Svovlsyre + 9 Rf. Vand):
1) 0,957 Gr. Mn, O, blev kogt med fortyndet Svovlsyre i 1 Time under Omrering;
det uoploste gav efter Udvaskning og Glodning af Bundfaldet 0,460 Gr. An, 0, , svarende
til 0,3314 Gr. Mangan eller 34,62 Proc. af det anvendte Mn, O,, der indeholdt 69,35 Proc,
Mangan. Under Kogningen med Svovlsyre maa det Vand, der fordamper, stadigt erstattes.
2) Filtratet fra det uoploste Manganoveriltehydrat gay efter Afdampning af Svovl-
syren, Fældning med kulsurt Natron og Glodning af Bundfaldet 0,459 Gram Mn, O,, sva-
rende til 34,54 Proc. opløst Mangan (som sædvanligt beregnet i Forhold til den anvendte
Mengde Mn, Oy).
Spaltningen med fortyndet Svovlsyre foregaar altsaa ligesaa nøjagtigt i ManO og
MnO, som ved fortyndet Salpetersyre, bvilket bekræftedes ved gjentagne Forsog. Er det
lil Forsøgene anvendte Mangantveilte ikke nøjagtigt sammensat An, O0,, men er der enten
et Overskud af MnO, eller MnO, har vi i Behandlingen med de ovennævnte fortyndede
Syrer et udmærket Middel til at paavise dette, idet man ved den omtalte Behandling hen-
holdsvis faar mere eller mindre end 34,6 Proc. uoplost Mangan. — Et enkelt Exempel er
tilstrækkeligt Ul at vise dette.
Et Manganilte, der var fremstillet efter Schneiders Methode ved Glodning af
Manganmellemilte i Ilt, men som ved Analysen viste sig kun at indeholde 9,8 Proc. virksom
Ilt, altsaa noget mindre end Mn, O,, blev behandlet som anført med fortyndet Salpetersyre.
0,949 Gram efterlod paa denne Maade et Manganoveriltehydrat, der gav 0,437 Gr.
Mn,0,, svarende til 33,2 Proc. uoplost Mangan.
Filtratet fra det uopløste gav efter Fældning med kulsurt Natron og Behandling paa
sædvanlig Maade 0,472 Gr. Mn,0,, svarende til 35,84 Proc. opløst Mangan. Mangfoldige
Forsøg saavel med Salpetersyre som med Svovlsyre have vist, at Spaltningen kun foregaar
nøjagtigt, naar Manganiltet har den til Mn, O, nøjagtigt svarende Sammensætning.
Resultatet af disse Undersøgelser er altsaa, at Mangantveilte. overfor fortyndede
Syrer forholder sig paa en Maade, der fuldstændigt svarer til det Forhold, Manganmellemilte
1!
—I
udviser overfor de samme Syrer, og det kunde Altea ayues, at det herved end yderligere
var berettiget at anse det for et saltagtigt Ite MnO, Mn O,. Folgen heraf vilde vere, at
Manganmellemilte, selv naar vi betragte det som MnO.Mn,O,, i sidste Instans maatte
opfattes som 2MnO. MnO,. Det egentlige Spørgsmaal bliver altsaa, om ikke Mn, 0,,
trods alle de ovenfor berørte Forhold, alligevel med Nødvendighed maa betragtes som
Mn,0,; og ved nærmere Betragtning viser det sig, at vi ikke ere i Besiddelse af saa faa
Analogier, der berettige os til at fastholde den sidstnævnte Anskuelse, foruden at der i det
følgende al gjores Rede for en Række Undersogelser, der lad, yderligere Bevis derfor.
Vi kunde søge Aarsagen til, at et Ille af Sammensætningen Mn, O, spaltes i MnO, og
MnO deri, at Manganet i sit Forhold overfor Ilt er særligt bestandigt som tetravalent
Enkeltatom!), og at det derfor ved given Lejlighed stræber at gaa over i denne Tilstand,
ligesom ogsaa den Omstændighed, at det divalente Mangan er særligt bestandigt overfor
Syrer, her hjælper til at fremme Spaltningen. Man har i Virkeligheden flere Tilfælde, der
ere analoge eller tildels analoge med dette. Det er saaledes bekjendt, at Kobberforilte,
=>
hvori vi anlage Kobberet nærværende som divalent Dobbeltatom, we O, i Almindelighed
ved fortyndede Iltsyrer spaltes i Kobbertveilte, der oploses, og metallisk Kobber, ligesom
omvendt Kobbertvechlor og metallisk Kobber danne Kobberforchlor Cu, Cl, ; vi have her
netop et Tilfælde, hvor vi med Rette antage et Metal optræde som Dobbeltatom (Kobber-
forchlorets Damptæthed beviser dette); men da Cu er mest bestandigt overfor Hh som
Ealeuk Enkeltatom, spaltes Cu, O netop i CuO og Cu paa en med Spaltningen af Mn, O,
i MnO, og MnO analog Maade. Hos Jernet bemærke vi, at det ikke overfor Ilt har
nogen Tilbojelighed til al pe som tetravalent Enkeltatom; derfor spaltes Fe, 2 O, ikke
paa samme Maade som Ma, 0: anderledes er Forholdet derimod overfor Svovl; her har
Jernet Tilbojelighed til at optræde som tetravalent Enkeltatom (Syovikis, #&S,), og vi finde
derfor i Jerntvesvovl Fe,S, et Stof, der, under Forudsætning af den ovenfor fremsatte
Anskuelses Rigtished, Beale spaltes ved fortyndede Syrer i FeS, og FeS, hvilket sidste
selvfølgeligt yderligere ved Syrens Indvirkning maa give Jernforiltesalt og Svovlbrinte.
I Virkeligheden finder dette, ifølge Berzelii Angivelse, ogsaa Sted fuldstændigt som anført;
der dannes Svovlkis, Jernforiltesalt og Svovlbrinte.
For endelig at nævne et fjernere liggende Exempel kunne vi tage Kulstoffet i en For-
CO.OH
bindelse, hvor det optreder som hexavalent Dobbeltatom, nemlig i Oxalsyren CO OH?
Ss
denne Syres Konstitution falder sammen med Manganittens, naar vi antage sidstnævnte
1) Om Manganets Tetravalens cfr. Blomstrand: Chemie der Jetztzeit p. 172—174.
135 8
Mn O.OH a LO dr: = Dre
No oe In, 03. 1H, 0. Oxalsyren spaltes som bekjendt ved conc. Svovlsyre i Kulsyre,
Kulilte og Vand; men Manganit forholder sig overfor middelsterk Salpetersyre paa lignende
Maade, den spaltes i MnO,, MnO og H,O, hvilket folgende Forsøg viser:
0,506 Gr. fintpulveriseret naturlig og særdeles ren Manganit efterlod ved Kogning
med stærk Salpetersyre (indeh. 30—40 Proc. HNO.) en Rest, der gav 0,220 Gr. Mn, 0,
svarende til 31,31 Proc. uopl. Mangan. Da Manganit indeholder 62,50 Proc., er altsaa noj-
agtigt Halvdelen af Manganindholdet blevet oplost som MnO, medens den anden Halvdel
efterlades som MnO, + «2H, 0.
De foregaaende Betragtninger vise, at vi i det tidligere berørte Forhold overfor
11 IV
Syrer ikke kunne se noget afgjorende Bevis for, at Mn, OÖ, maa opfattes som MnO.MnO,,
men at vi paa Forbaand kunne anføre vægtige Grunde for den ogsaa hidtil almindeligere
Anskuelse, at An, 0, er at betragte som svarende til Fe, O, i Henseende til Constitution.
Vil man ved Forsøg godtgjore denne Anskuelses Rigtighed endnu yderligere, vil det vere
nodvendigt at prove Manganmellemiltets og Mangantveiltets Forhold overfor andre Syrer,
og jeg vil da forst undersoge Forholdet overfor Eddikesyre af forskjellig Concentration.
Mangantveiltets Forhold overfor Eddikesyre.
1) 0,953 Gr. Mn, O, blev behandlet med Eddikesyre, der indeholdt 15 Proc. C,H, O,,
ved 100° paa sædvanlig Maade; den uoploste Rest, udvasket med Eddikesyre af samme
Styrke som den anvendte, gav 0,904 Gr. Mn, O, svarende til 68,42 Proc. uopl. Mangan
(beregnet i Forhold til det anvendte Mn, O,). Da Mn, O.
3
indeholdt 69,35 Proc., var altsaa
kun 1 Proc. Mangan gaaet i Oplosning.
2) 0,920 Gr. Mn, O, blev behandlet paa samme Maade, men den anvendte Eddike-
syre indeholdt 30 Proc. Hydrat; efter 1 Times Forlob blev udvasket med 30 Proc. holdig
Eddikesyre, og Resten gav 0,869 Gr. Mn, 0, svarende til 68,04 Proc. uoplost Mangan;
der er altsaa kun oplost 1,31 Proc. Mangan.
3) For at prove, om Nerverelsen af Manganforiltesalt havde nogen Indflydelse, blev
0,861 Gr. Mn, O, kogt med en Blanding af 30 Proc. holdig Eddikesyre og eddikesurt Mangan;
det uoploste gav efter Udvaskning 0,8175 Gr. Mn, O, svarende til 68,39 Proc. Mangan; der
var altsaa kun oplost 1 Proc. Mangan, og Manganforiltesaltets Nærværelse var saaledes uden
vesentlig Betydning.
4) 0,785 Gr. Mn, O, blev opvarmet til Kogning med Eddikesyre, der indeholdt
65 Proc. Hydrat, i 1 Time. Efter sædvanlig Behandling gav Resten 0,7425 Gr. Mn, 0,
svarende til 68,30 Proc. uopl. Mangan. Der var altsaa ogsaa her kun opløst I Proc. Mangan.
9 139
Af disse Forsøg fremgaar det, at Eddikesyre ikke har nogen synderlig
Indvirkning paa glodet Mangantveilte, og at Syrens Concentration i denne
Henseende er uden nogen væsentlig Indflydelse.
Vi gaa nu i det folgende over til at betragte Manganmellemilte i dets Forhold
overfor Eddikesyre og finde her et helt andet Forhold.
Manganmellemilte i dets Forhold overfor Eddikesyre.
1) 0,647 Gr. glodet Wn, O, blev behandlet med Eddikesyre, der indeholdt 30 Proc.
flydrat, ved Kogning i lengere Tid; den efterladte uoploste Rest var sort og gav efter
sædvanlig Behandling (Udvaskning med Eddikesyre af samme Styrke som anvendt til Forsøget
og Glodning) 0,253 Gram Manganmellemilte, hvilket er 39,10 Proc. af det anvendte Man-
ganmellemilte. Spaltningen i 24mO og MnO, vilde have efterladt 33,34 Proc. Vi nærme
os altsaa meget dertil.
2) 0,814 Gr. Mn, O,, behandlet med 60 Proc. holdig Eddikesyre, gav en Rest, der
efter sædvanlig Behandling efterlod 0,390 Gr. Mn,O,, hvilket er 47,91 Proc. af den an-
vendte Mengde.
3) 0,591 Gr. Mn, 0, blev behandlet med 65 Proc. holdig Eddikesyre og efterlod
derved en Rest, der gav 0,3875 Gr. Mn, 0, 9: 65,56 Proc. af den anvendte Mengde.
4) 0,500 Gram Mn, O, efterlod ved stærk Kogning med ren Iseddike en Rest,
der ved Glodning gav 0,492 Gr. Mn, O,, hvilket er 98,40 Proc. af den anvendte Mengde.
5) 0,799 Gr. Mn, O,, behandlet med Iseddike paa samme Maade, gav en Rest, der
ved Glodning efterlod 0,785 Gr. Mn, O,, hvilket er 98,34 Proc. af den anvendte Mengde.
Det fremgaar heraf, at glodet Manganmellemilte angribes saa meget
mindre af Eddikesyre, jo mere concentreret Syren er.
Allerede ved Tilsætning af en ringe Mengde Vand til Iseddike bliver dennes Virk-
ning paa Manganmellemilte kjendeligt storre, saaledes som folgende Forsog viser:
6) 1,312 Gr. Mn, O, blev behandlet med en Blanding af 2 Rf. Vand og 98 Rf.
Iseddike ved 100° i 1 Time, og det uoploste gav efter Udvaskning med samme Blanding
1,285 Gr. Mn, O,; der var altsaa opløst 2,06 Proc. af det anvendte Mn, O,.
7) 1,320 Gr. Mn, O,, behandlet paa samme Maade med en Blanding af 5 Rf. Vand
og 95 Rf. Iseddike, gav til Rest 1,263 Gr. Mn, O,, altsaa var her opløst 4,32 Proc. af den
anvendte Mengde.
8) 1,036 Gr. Mn, O,, behandlet med en Blanding af 10 Rf. Vand og 90 Rf. Iseddike
i 1 Time, efterlod en Rest, der efter Udvaskning med 90 Proc. holdig Eddikesyre gav
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. II. 4. 18
140 10
0,893 Gr. Mn, O,; her er altsaa opløst 0,143 Gr. eller 13,8 Proc. af den anvendte Mengde
Mn, O,.
Filtratet fra det ved Behandlingen med ren Iseadike uoploste havde en kanelbrun
Farve, hvilket kunde tyde paa, at Manganmellemilte var oplost som saadant, og at Oplos-
ningen altsaa muligvis kunde indeholde et eddikesurt Manganmellemilte. For at prøve dette
anstilledes folgende Forsøg.
Manganmellemilte blev behandlet med Iseddike som ovenfor, og den uoploste Rest
blev udvasket med Iseddike og torret ved 100°. Af den torrede Masse blev afvejet 0,439
Gram, der efter Behandling med Jodkalium og Saltsyre torbrugle 38,5 CC */10 normal
svovlundersyrligt Natron, hvilket svarer til 7,0 Proc. virksom Ilt. Da rent Mn,O, inde-
holder 6,99 Proc., er det altsaa An, O,, der er efterladt uoplost, og folgeligt ogsaa Mn, O,,
der er gaaet i Oplosning. Dette vil yderligere blive fuldstendigt bekræftet i det folgende.
Det her til disse Forsog anvendte Manganmellemilte var glodet og altsaa meget
coherent; der kunde derfor vere Anledning til at forsoge, om ikke det mindre cohærente
Manganmellemilte, der faas ad den vaade Vej efter Ottos!) Methode eller ved Ophedning
af MnO, i Brint til 250° efter Moissans*) Methode, kunde vere lettere opløseligt i Iseddike,
og om man ikke ad den Vej kunde naa til at fremstille Salte af An, 0, eller Mn, O,,
saafremt det her omtalte Manganmellemilte kunde spaltes i MnO og Mn,0,. Med Hensyn
til Fremstillingen af de til disse Forsøg anvendte Ilter og disses Egenskaber maa jeg hen-
vise til denne Afhandlings Afsnit II.
1) 0,860 Gram af et Manganilte, der var fremstillet efter Moissans Methode ved
Ophedning af MnO, i en Brintstrom til 240° og som indeholdt Manganmellemilte med
noget indblandet Mangantveilte, blev behandlet med Iseddike ved 100° i 1 Time; efter at
Blandingen derpaa havde henstaaet et Par Dage, blev Oplosningen filtreret, og det med Is-
eddike udvaskede Bundfald gav 0,640 Gr. Mn, O,; der var altsaa opløst forholdsvis betydelige
Kvantiteter, i Sammenligning med hvad der gaar i Oplosning ved tilsvarende Behandling af
det glodede Manganmellemilte; det eddikesure Filtrat var stærkt kanelbrunt farvet og gav
efter Inddampning til Torhed paa Vandbad en brunsort glindsende Rest, der blev fuldstæn-
digt torret ved lengere Tids Henstand i Luftterrekasse ved 100°. Efter omhyggelig Tor-
ring bley 0,212 Gram af Produktet forsigtigt ophedet i en Digel over Flammespreder og
tilsidst glodet stærkt under rigelig Adgang af Luften; herved efterlodes 0,077 Gr. Mn, O,,
svarende til et Indhold af 26,16 Proc. Mangan i Inddampningsresten. Et Salt af Sammensæt-
ningen Mn,.O0,(C, H,O), eller en Blanding af Saltene Mn. 0,(C, H, 0), og Mn,.0,(C, H,O),
vilde kræve et Indhold af 25,9 Procent Mangan. Om det er et Manganmellemiltesalt eller
1) Liebigs Annaler, 93, 372.
*) Ann. de chim. et de phys. [5], 21, p. 231 o. fr.
11 141
en Blanding af Forilte- og Tveiltesalt, er altsaa herved ikke afgjort, men det skal senere
vise sig, at det sidste er det sandsynligste.
2) Da Moissans Manganmellemilte er besværligere at fremstille, udforte jeg de
folgende Forsøg med Manganmellemiltehydrat, fremstillet efter Ottos Methode!), da det
viste sig, at dette Ilte forholdt sig paa tildels lignende Maade. Sammensætningen af det til
Forsøgene anvendte Ilte findes anført i Afsnittet II. Behandler man Ottos Manganmellem-
ilte i lufttørret Tilstand med Overskud af Iseddike ved 100? i 1 Time under Omrøring, faar
man en brun Opløsning, der efter Filtrering og Henstand i nogle Dage (undertiden i kortere
Tid) udskiller et kanelbrunt, krystallinsk Bundfald, der under Mikroskopet viser sig at
bestaa af langstrakte, rektangulære Prismer eller Tavler. Bundfaldet maa udvaskes med
Iseddike og torres over Kalibydrat; de smaa Mængder, jeg i Begyndelsen fik paa denne
Maade, indeholdt alle 20,6 Proc. Mangan og maa altsaa indeholde Krystalvand, da vandfrit
eddikesurt Salt af Mn,0, eller af Mn, O, skulde indeholde betydeligt mere Mangan. Da
der til Forsøget blev anvendt fuldstændig ren og vandfri Iseddike, og der kun ved Processen
dannes en ringe Mængde Vand, var det muligt, at Dannelsen af Saltet vilde fremskyndes,
naar man efter Opløsningen og Filtreringen tilsatte lidt Vand, saa at Stoffet strax kunde
forefinde den til Krystallisationen nødvendige Vandmængde. Dette bekræftedes fuldstændigt;
tillige lærte Erfaringen flere Ændringer i Fremstillingsmaaden, som senere skulle blive
berørte; herved lykkedes det at fremstille Saltet i rigelig Mængde. Analysen viste, at
det bestod af fuldstændigt normalt eddikesurt Mangantveilte af Sammensætningen
Mn,.0,.(C,H,0), + 4H, 0. Dette Salt skal i det følgende Afsnit beskrives nøjere.
Ved Iseddikens Indvirkning er altsaa Manganmellemilte bleven spaltet i Mangan-
forilte og Mangantveilte, MnO og Mn, 0,, der begge blive i Opløsning som eddikesure
Salte, og først ved Tilsætning af lidt Vand udskilles det eddikesure Mangantveilte; denne
Udskillelse er i Tidens Løb fuldstændig, saaledes at Moderluden tilsidst er fuldstændig
farveløs. Man vil indse, at der altsaa er en Mulighed for, at den oprindelige Opløsning i
Iseddike virkeligt indeholder et eddikesurt Manganmellemilte, og at dette spaltes ved den
ringe Mængde Vand (et Par Cubikcentimeter), der tilsættes for at bringe Mangantveiltesaltet
til at udkrystallisere. Man ser ogsaa den paafaldende Forskjel, det gjør, om man tilsætter
en ringe Mængde Vand til Iseddiken, førend man lader den virke paa Manganmellemiltet,
eller efter at dette delvis er opløst i Iseddiken, og Opløsningen filtreret; i første Tilfælde
virker Eddikesyren, som de tidligere Forsøg vise, strax paa en noget anden Maade, end,
naar den er tilstede i vandfri Tilstand, om end Forskjellen først bliver rigtig fremtrædende,
naar større Vandmængder tilsættes. :
1) Liebigs Annaler 93, 372.
18"
142 12
En Spaltning af Mn,O, i MnO og Mn, 0, under Dannelse af Mangantveiltesalt
vil man imidlertid ogsaa kunne bemærke oyerfor andre Syrer.
Behandles Manganmellemilte med concentreret Svovlsyre og opvarmes efter om-
hyggelig Blanding af Massen efterhaanden til 138° under Omroring, bemærker man herved
ikke nogen Iltudvikling af nogen Betydning, hvilket maatte vere Tilfældet, hvis Mn,O,
spaltedes i 2MnO og MnO,, da i saa Tilfælde det sidstnævnte, ifølge Carius Under-
søgelser, maatte danne svovlsurt Mangantveilte under Udvikling af Ilt; det sidstnævnte Salt
dannes imidlertid alligevel i rigelig Mængde, hvad man let iagttager paa den mørkegrønne
Farve, Bundfaldet antager. Der staar derfor kun tilbage at antage, at Mn,O, ved den
concentrérede Svovlsyres Indvirkning er spaltet i MnO og Mn,O,, der begge danne til-
svarende svovlsure Salte.
Af det foregaaende følger nu, at naar Mn,0, og Mn,0, i Almindelighed af for-
tyndede Syrer spaltes i MnO og MnO,, sker dette, fordi Mn, 0, er en saa svag Base, at
den kun optræder som saadan, naar en concentreret og stærk Syre er til Stede, medens
den derimod ved svagere Syrer paa Grund af Manganets Tilbajelighed til at optrede som
tetravalent Enkeltatom spaltes i Manganforilte og Manganoverilte. Manganilternes Forhold
overfor conc. Svovlsyre og Iseddike giver os nu Ret til at betragte dem som MnO.Mn,0,
og som Mn, OF:
Det folgende Afsnit skal nu yderligere godtgjore de store Analogier mellem Mas O,
og FeO hvorved det bliver fuldstændigt afgjort, at Mangantveiltesaltene existere som
saadanne og ikke med nogen antagelig Grund maa betragtes som Dobbeltsalte af Mangan-
overilte- og Manganforiltesalte, saaledes som Fremy!) antyder, og som han ganske vist
har havt Grund til at mene.
Existensen af de i det folgende omtalte normale eddikesure, phosphorsure og
arsensure Mangantveiltesalte og disses Dannelsesmaader, saavelsom Dannelsen af et
pyrophosphorsurt Mangantveilte-Natron, viser paafaldende Analogier med Jerntveiltet.
Man maa derfor søge Aarsagen til, at Braunit krystalliserer afvigende fra Jernglands,
og Hausmannit afvigende fra Spinellerne, i den Omstændighed, at Atomerne i ee befinde
sig i en mere labil Ligevægtstilstand end i Fe, 0, paa Grund af den oftere berorte Streben
hos Manganet efter at mettes ved 2 Iltatomer, saaledes som vi ogsaa ser det gjentage sig
i Naturen, hvor Pyrolusit findes i Pseudomorfose efter Manganit. Dette maa vel antages
at kunne udove en Indflydelse paa Krystalformen saaledes, at denne derved modificeres.
Det bliver maaske en almindelig Regel, at saadanne Grundstoffer, der i visse særlig
1) Comptes rendus, 82, 475 og 1231.
13 143
bestandige Forbindelser med et andet Grundstof optræde som tetravalente Enkellatomer,
nodigt forene sig Lil hexavalente Dobbeltatomer i Forbindelse med samme Grundstof, naar
ikke samtidigt et tredie Grundstof indtræder, og i hvert Fald, naar det sker, danner temme-
ligt ubestandige Forbindelser. Vi kjende jo heller ikke nogen Forbindelse C, O,, men
VI
derimod nok C,0,H,, der dog spaltes i CO,, CO og H,O ved given Anledning, kun
virker her den concentrerede Syre (Svovlsyre) spaltende, medens det modsatte var Tilfældet
hos iO: en simpel Folge af Kulstoffets og Manganets mere eller mindre negative eller
positive Karakter, og af Syrens Tiltrækning til Vand.
144 14
I
Mangantveiltesalte.
1. Eddikesurt Mangantveilte,
VI
Mn, . O, .(C, H30), + 4H, 0.
|
Dette Salt lader sig som tidligere berørt fremstille ved Indvirkning af ren Iseddike
paa Manganmellemiltehydrat, fremstillet efter Ottos") Methode. Man gaar bedst frem paa
den Maade, at man henstiller 4—5 Gram af det nævnte Ilte, der anvendes i lufttørret Til-
stand, med ca. 150—200 Ce ren Iseddike i et løst tildækket Glas, idet man engang imellem
omrører Blandingen; allerede efter faa Timers Henstand ved almindelig Temperatur, be-
mærker man, at Opløsningen antager en brunlig Farve; efter et Par Dages Henstand kager
det uopløste sig sammen, og man gjør Ret i at trykke det i Stykker med Spatlen og om-
røre Vædsken; denne har efterhaanden antaget en noget mørkere Farve, men begynder de
følgende Dage at blive lysere, idet der samtidigt paa Glassets Sider og mellem det uopløste
Ilte afsætter sig gulbrune fine Krystalnaale. Efter 6—S Dages Henstand opvarmes paa
Vandbad til 100° i I Time under stadig Omrøring, hvorved man faar en meget mørk, brun
Opløsning, der filtreres varm gjennem et tæt Filtrum; til Filtratet sættes under Omrøring
lidt efter lidt et Par Cubikc. destilleret Vand, og det Hele henstilles nu i et tildækket Glas;
ofte begynder allerede efter faa Timers Forløb en kjendelig Udskillelse af brune Krystal-
naale; efter en Dagstid eller to er der udskilt en betydelig Mængde, og man decantherer
nu den brune Vædske fra Bundfaldet, der bringes paa Filtret med ren iseddike og udvadskes
dermed, indtil alt Manganforiltesalt er fjernet, og Filtratet er fuldstændigt farveløst; efter at
Størstedelen af Iseddiken er suget fra Bundfaldet, henstilles Saltet under Glasklokke over
fast Kalihydrat, og tørres her, indtil enhver Lugt af fri Eddikesyre er forsvundet; under
Tørringen maa man engang imellem sprede Saltet lidt ud paa Skaalen for at lette Eddike-
syrens Fordampning. Efter Tørringen har Saltet oftest en lysere, kanelbrun Farve og er
tillige noget silkeglindsende. Det er meget lidet vægtfyldigt.
Moderluden bliver ved Henstand under Luftens Adgang efterhaanden fuldstændig
farveløs, idet der lidt efter lidt udskilles mere af Mangantveiltesaltet, efterhaanden som Is-
eddiken tilsuger mere Fugtighed fra Luften; dog medtager denne Proces som oftest flere
1) Liebigs Annaler, 93, 372.
15 145
Uger, men efter at den er forløbet, har jeg havt det udskilte Mangantveiltesalt staaende
under Moderluden, der indeholder eddikesurt Manganforilte, i over '/2 Aar uden at bemærke
at det har undergaaet nogen Forandring.
Det eddikesure Mangantveilte oploses ved Kogning med Iseddike og danner en
mørk, brun Opløsning, der giver folgende Reaktioner:
Vand tilsat i Overskud giver en brun Oplosning, der efterhaanden bliver uklar og
udskiller et brunsort, fyldigt Bundfald.
Concentreret Svovlsyre tilsat i lige Rumfang giver en smuk violet Vædske,
der i Løbet af nogle Timer afsætter lidt mørkt krystallinsk Bundfald (Fremy’s svovlsure
Manganforilte-Mangantveilte), medens Vædsken samlidigt antager en lysere Farve.
Phosphorsyre i temmelig concentreret vandig Oplosning frembringer et Bund-
fald, der ved Kogning af Blandingen antager en lys gronliggraa Farve; det synes under
Mikroskopet at være utydeligt krystallinsk. I Saltsyre opløses dette Bundfald under Chlor-
udvikling, medens det lades uoplost af Salpetersyre og tilsyneladende ikke paavirkes deraf.
Det tørrede Bundfald lader sig opløse i conc. Svovlsyre ved Opvarmning i et Reagensglas
og Vædsken antager derved en mork, amethystrod Farve; efler 24 Timers Henstand er og-
saa her udskilt morke Krystaller, sandsynligvis af Fremy’s Salt.
Phosphorsurt Natron i vandig Oplosning fremkalder et amorpht, brunligviolet,
fyldigt Bundfald.
Arsensyre i temmelig conc, vandig Oplosning fremkalder ved Opvarmning ligesom
Phosphorsyre et graahvidt Bundfald af arsensurt Mangantveilte.
Arsensurt Natron giver ligesom phosphorsurt Natron et fyldigt brunligviolet
Bundfald.
Pyrophosphorsurt Natron forholder sig paa folgende Maade: setter man lil et
Overskud af en ved alm. Temperatur mættet Opløsning af dette Salt en Opløsning af
eddikesurt Mangantveilte i Iseddike, dannes intet blivende Bundfald, men dette opløses i
det pyrophosphorsure Natron med rod Farve; er Oplosningen stærk, udskilles efterhaanden
ved Henstand eller Kogning et rødt eller brunligrodt krystallinsk Bundfald af pyrophosphor-
surt Mangantveilte-Natron, der senere skal beskrives nærmere.
Bringer man fast Oxalsyre i Opløsningen af det eddikesure Salt i Iseddike, ud-
skilles ved Omrystning et krystallinsk Bundfald.
Anvendes paa samme Maade fast Vinsyre, udskilles ligeledes et krystallinsk Bund-
fald af mork Farve.
Guajactinktur farves blaa af en eddikesur Oplosning af det eddikesure Salt.
Indigooplosning affarves ved Opvarmning dermed.
> Le
146 16
I disse Henseender forholder det eddikesure Mangantveilte sig ligesom Schön-
beins !} eddikesure Manganoverilte, hvilket han fremstillede af eddikesurt Blyoverilte og
svovlsurt Manganforilte, hvorved han fik en rødbrun Vædske, der gav ovennævnte Reactioner
med Guajac og Indigo, men af hvilken det ikke Iykkedes Schönbein at udskille noget
Salt i fast Form; det er vel sandsynligt, at denne Opløsning har indeholdt eddikesurt
Mangantveilte.
Ligeledes ilter en Opløsning af eddikesurt Mangantveilte i Iseddike findelt Kvægsolv
ved Rystning dermed.
Med det faste eddikesure Salt faar man folgende Reactioner:
Ved Rystning med Vand dissocieres det efterhaanden og danner et morkebrunt
næsten sort Bundfald.
Blandes det faste Salt med krystalliseret Oxalsyre, og tilsætter man derpaa
lidt efter lidt Vand under Omrystning, foregaar ingen Sonderdeling ved almindelig Tem-
peralur, men man faar en klar gulbrun Opløsning, der reduceres ved Opvarmning under
Udvikling af Kulsyre.
Med krystalliseret Vinsyre er Forholdet et lignende; bringes lidt fast Vinsyre
i et Reagensglas med lidt Vand, og tilsættes derpaa lidt fast eddikesurt Mangantveilte under
Omrystning og lidt efter lidt mere Vand, efterhaanden som det oploses, faar man tilsidst
en morkebrun klar Oplosning, der taaler Fortynding med Vand; denne Oplosning reduceres
ved Kogning.
Den oxalsure Oplosning feldes ved Overmetning med Ammoniak, medens den
vinsure Oplosning holder sig klar derved (jvfr. Jerntveiltesaltenes Forhold).
Bringes det faste eddikesure Mangantveilte ned i conc. Salpetersyre ved al-
mindelig Temperatur, opløses det ved Omrering med gulbrun Farve, men efter kort Tids
Forløb bliver Vædsken fuldstændig uklar og udskiller et brunsort Bundfald. Ved Kogning
med Salpetersyre udskilles Manganoveriltehydrat. ;
Udrores fast eddikesurt Mangantveille med concentreret Svovlsyre og tilsættes
derpaa lidt efter lidt under Omrering og delvis Afkjoling draabevis Vand, dannes en morke-
rød Opløsning, der efterhaanden giver et mørkt krystallinsk Bundfald af Fremy’s oftere
omtalte Salt.
Conc. Saltsyre oploser det eddikesure Salt med mork, brun Farve, og Oplos-
ningen forholder sig ganske som en Oplosning af Mangantveilte i Saltsyre.
Vinaand, 95 Proc. holdig, angriber tilsyneladende ikke Saltet ved almindelig Tem-
peratur; ved Opvarmning omdannes det, og man faar nu et morkt, fyldigt Bundfald.
1) Journal f. prakt. Chemie, 74, p. 315.
17 147
Sættes Svovlammonium til det faste eddikesure Salt dannes Svovimangan, der
strax har en rodgul Farve men efter Opvarmning bliver gulgront.
Udsat for Luftens Indvirkning holder det eddikesure Mangantveilte sig ganske
godt, naar Krystalnaalene ikke ere altfor fine; i dette Tilfelde undergaar det en kjendelig
Forandring og antager efterhaanden en morkere Farve; navnlig bemærkes dette, naar man
torrer Saltet under Luftens Adgang i Stedet for over Kalihydrat under en Glasklokke.
Ved Ophedning til 80°—85° tabte Saltet 39,8 Proc.; da Temperaturen forhojedes
til 100°— 105°, aftog det yderligere i Vægt, og efter 35 Timers Forløb var Vægten constant
og Tabet 59,2 Proc.
Folgende Forsog viser Saltets Forhold ved hojere Temperatur:
0,402 Gr. eddikesurt Mangantveilte blev ophedet i en Porcellænsdigel, forst svagt
over Flammespreder, indtil alt var sammensintret, hvorved bemerkes Udvikling af Vanddamp
og Lugt af Acetone, derpaa over en almindelig Bunsensk Lampe til svag Rodglodhede under
Luftens Adgang; det derved efterladte Ilte vejede 0,124 Gr., der efter Behandling med Jod-
kalium og Saltsyre brugte 15,4 Ce. ?/10 normal svovlundersyrligt Natron, svarende til et Ind-
hold af 0,01232 Gr. virksom Ilt 9: 9,93 Proc.; dette Ilte er altsaa nærmest Mn,O,, der
kræver 10,13 Proc. virksom Ilt; først ved stærk Glodning dannes Mn,O,.
Imidlertid er der en Mulighed for, at det dannede Mn,O0, kan hidrøre fra, at der
først foregaar en Reduktion til MnO, der da ved lavere Temperatur iltes til det mindre
cohærente Mn,0,, som ved 300°—400° formaar at optage Ilt af Luften og danne Mn,0,,.
At en saadan Iltabsorbtion finder Sted paa et vist Stadium, viser følgende Forsøg:
0,388 Gr. eddikesurt Mangantveilte blev henstillet ved 100°— 110° og vejede efter
48 Timers Forløb 0,165 Gr.; efter yderligere Henstand ved 200° i 6 Timer var Vægten
0,159 Gr., hvilket svarer til et Tab af 59,02 Proc. Yderligere Henstand ved 200° i 36 Timer
bevirkede en Vægtforøgelse, idet Resten nu vejede 0,166 Gr. Saadanne Iltningsphænomener
blive nærmere berørte i Afsnittet III.
Den analytiske Undersøgelse af det eddikesure Mangantveilte gav følgende Resultat:
1) 0,520 Gr. blev behandlet med fortyndet Svovlsyre (I Rf. conc. Svovlsyre + 9 Rf.
Vand) ved Kogning i 2'/2 Time; herved spaltes #n,0, som tidligere omtalt i MnO og
MnO,; det uopløste Manganoveriltehydrat, i hvilket altsaa findes Halvdelen af Saltets
Manganindhold, gav efter Udvaskning og Glodning 0,074 Gr. Mn,O, svarende til 10,25 Proc.
Mangan; Saltet indeholder altsaa 20,50 Proc.
2) 0,514 Gr. efterlod ved stærk Glødning under Luftens Adgang 0,146 Gr. Mn,0,
svarende, til 20,47 Proc. Mangan.
3) 0,325 Gr. blev bragt ned i en farveløs Blanding af Jodkalium og et Par Ce. Salt-
syre; efter Omrøring titreredes det frigjorte Jod med ?/10 normal svovlundersyrligt Natron;
der forbrugtes 12,2 Cc. svarende til 0,00976 Gr, virksom Ilt eller 3,00 Proc.
Vidensk, Selsk. Skr. 6, Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 4. 19
148 18
4) 0,385 Gr. brugte ved samme Behandling 14,4 Ce. ?/10 normal svovlundersyrligt
Natron svarende til 0,01152 Gr. virksom Ilt 9: 2,99 Proc.
5) 0,4665 Gr. blev opvarmet til Kogning med en Opløsning af chlorfrit Barythydrat
under jevnlig Omroring i længere Tid; efter Filtrering og omhyggelig Udvaskning blev
Overskuddet af Barythydrat fældet med Kulsyre og det hele inddampet til Torhed, udtrukket
med Vand, og Filtratet fra den uoploste kulsure Baryt fældet med Svovlsyre; herved fældes
altsaa den til den indeholdte Mængde Eddikesyre svarende Mengde svovlsurt Baryt; denne
vejede 0,607 Gr. svarende til 0,3126 Gr. Eddikesyre (C, 7, O,) i eddikesur Baryt.
Altsaa indeholdt Mangansaltet 67,01 Proc. Eddikesyre.
Beregnet Fundet
Mn; eue ae 20,52 20,47 20,50.
Virksom O0 .... 2,98 2,98 3,00.
GELOST 67,16 67,01.
Det maa dog bemærkes, at det Salt, hvormed disse Analyser ere foretagne, var af
en særlig ren Beskaffenhed og blev analyseret umiddelbart efter Fremstillingen og Torringen;
det var frit for Lugt af Eddikesyre, ligesom det ogsaa ved gjentagne Udvaskninger med Is-
eddike var befriet for ethvert Spor af eddikesurt Manganforilte. Jeg har oftere havt Pro-
dukter, hvor Eddikesyremængden har været lidt lavere, hvorimod Manganmængden var lidt
storre; dette hidrorer aabenbart fra et Indhold af Manganforiltesalt, hvilket ogsaa giver sig
lilkjende ved en ringere Mengde virksom Ilt.
Jeg gaar nu over til Beskrivelsen af nogle andre Mangantveiltesalte, der ganske vist
kunne fremstilles ved Hjælp af det eddikesure Salt, men da dette dog er lidt besværligt at
tilvejebringe i storre Kvantiteter, har jeg fundet andre Methoder, der lade sig udfore med
ganske anderledes let tilgængelige Stoffer,
Normalt phosphorsurt Mangantveilte.
VI
Mn, .0,.(PO), + 2H, 0.
Som tidligere berort dannes ved Tilsætning af Orthophosphorsyre til en Oplosning
af eddikesurt Mangantveilte i Iseddike ved Opvarmning et graalighvidt Bundfald af phos-
phorsurt Mangantveilte; sandsynligvis er det det samme Salt som Laspeyres!) har frem-
stillet ved Kogning af en vandig Oplosning af den violette smeltede Masse, der faas ved
Ophedning af et hojere Manganilte med sirupstyk Phosphorsyre i en Platindigel. Dog er
1) Journal f. prakt. Chemie [2], 15, 322
19 149
der en Mulighed for, at Laspeyres Salt ogsaa har kunnet indeholde noget pyrophosphorsurt
Manganforilte. Jeg har imidlertid fundet, at det normale phosphorsure Mangantveille lader
sig fremstille i saa rigelig Mængde som ønskes paa folgende Maade:
Man opløser ren krystalliseret Orthophosphorsyre i sin dobbelte Mængde Vand,
opvarmer denne Opløsning til 100° og tilsætter derpaa efterhaanden under Omrøring en
nogenlunde concentreret Opløsning af rent salpetersurt Manganforilte, saaledes at Phosphor-
syren er tilstede i Overskud; man holder stadigt Temperaturen ved 100°—105°; Opløsningen
bliver strax eller efter nogen Tids Inddampning svagt amethystfarvet, og ved videre Ind-
dampning og Omrøring begynder den at blive blakket og lidt efter lidt at udvikle lavere
Kvælstofilter; under denne Luftudvikling, der fra nu af vedbliver, udskilles et graaligt Bund-
fald af normalt phosphorsurt Mangantveilte i rigelig Mængde. Man holder stadigt Tem-
peraturen ved 100°—105°, ligesom man ogsaa ved Omrøring maa sørge for, at der saavidt
muligt ikke afsætter sig nogen Skorpe paa Skaalens Sider; sker dette, dannes der let paa
Grund af Overhedning noget Manganoverilte, hvilket let giver sig tilkjende ved den mørke
Farve, Skorpen antager, og man maa i saa Fald være særlig forsigtig, naar man fjerner det
dannede phosphorsure Salt fra Skaalen, at ikke noget af den mørke, næsten sortfarvede
Del. af Krystalskorpen følger med, hvilket dog imidlertid let kan undgaas. Naar en
større Mængde af Saltet har udskilt sig, gjør man bedst i at lade det sætte sig, og de-
cantherer derpaa Moderluden, ved hvis yderligere Opvarmning, efter Tilsætning af lidt Vand,
man er i Stand til at vinde mere af Saltet; Bundfaldet udvaskes først adskillige Gange ved
Decanthation, dernæst paa Filter, med koldt Vand, og tørres derpaa i Luften; for at fjerne
en ubetydelig Rest af hygroskopisk Vand tørres det tilsidst ved 100°—110°.
Den til Fremstillingen anvendte Phosphorsyre maa være ren Orthophosphorsyre;
indeholder den Pyrophosphorsyre, faas et lignende Bundfald, der ved Analysen gav samme
Mangan- og Phosphorsyremængde, men indeholdt altfor lidet virksom Ilt; dette kunde kun
forklares ved et Indhold af pyrophosphorsurt Manganforilte Mn, P,0, + 3H,0; dette Salt
har, som det vil ses, tilnærmelsesvis samme Molekultal som det orthophosphorsure Mangan-
tveilte Mx,P,0, + 2H,0.
Det påa ovennævnte Maade fremstillede Salt danner et grønliggraat, mere eller
mindre mørkt, krystallinsk Pulver; under Mikroskopet er dog Krystallerne temmelig utydelige.
Det paavirkes ikke ved Kogning med fortyndet Salpetersyre eller Svovlsyre, hvorimod
det efterhaanden opløses ved Kogning med højst concentreret Saltsyre under Chlor-
udvikling; dog gaar denne Opløsning ingenlunde særligt let fra Haanden. Ved Rystning
med Natronlud angribes det allerede ved almindelig Temperatur, hvorimod Ammoniak først
virker i kjendeligere Grad ved Opvarmning. Concentreret Svovlsyre opløser det efter-
haanden ved Opvarmning og danner en violet Vædske, der ved Henstand i længere Tid
giver et mørkt krystallinsk Bundfald af Fremy's svovlsure Salt.
19"
150 20
Det phosphorsure Mangantveilte indeholder 2 Molekuler Vand, der forst afgives ved
høj Temperatur. Ved 300°— 400° i Lufttorrekasse foregaar Tabet kun Milligram for Milli-
gram; først ved svag Rodglodhede bortgaar alt Vand, og samtidigt begynder ogsaa Ilt al
undvige, saaledes at der efter Rodglodhede efterlades pyrophosphorsurt Manganforilte i
ren Tilstand.
Smelter man krystalliseret Orthophosphorsyre i en Platindigel og opvarmer til 110°
paa Sandbad, kan man oplose Manganidphosphatet heri, saaledes som ogsaa Laspeyres
angiver, med violet Farve; opvarmer man efterhaanden stærkere under Tilsætning af mere
Manganidphosphat, saalænge dette i Lobet af nogen Tid oploses nogenlunde villigt, indtil
170°— 180°, og henstiller man derpaa den klare, mættede Opløsning i henved et Døgn ved
170°—180° (i Sandbad), udskilles ofte et penséefarvet, krystallinsk Bundfald, hvis Sammen-
sætning efter en forelobig Analyse, jeg har udfort, synes nærmest at svare til surt pyro-
VI
Mn, = 2 9 : =
phosphorsurt Mangantveilte Eh dette Salt vil senere blive undersogt nojere i
Forbindelse med et smukt rodt, krystallinsk Salt, der dannes, naar man opvarmer den
smeltede Masse paa Sandbad til ca. 220° i Stedet for til 170°— 190°, hvilket Salt ogsaa
Laspeyres omtaler.
Analysen af det phosphorsure Mangantveilte gav folgende Resultat:
1) 0,6165 Gr. efterlod ved Glodning 0,519 Gr. Mn, P,0,, hvilket svarer til 0,201 Gr.
Mangan altsaa 32,60 Proc. Mn og til 0,2595 Gr. P,O; altsaa 42,10 Proc. P,0,.
2) 0,722 Gr. gav efter Oplosning i hojst conc. Saltsyre, Reduktion med faa Draaber
Svovisyrlingvand og Tilsætning af phosphorsurt Natron samt Fældning med Ammoniak, et
Bundfald af krystallinsk phosphorsurt Manganforilte- Ammoniak, som efter Glodning og
Correction, ifølge Fresenius, gav 0,605 Gr. Mn, P,O, svarende til 32,45 Proc. Mangan.
3) 0,244 Gr. opløst i højst conc. Saltsyre, Opløsningen reduceret med faa Draaber
Svovlsyrlingvand, inddampet og paa sædvanlig Maade behandlet efter Molybdænmethoden, gav
0,1605 Gr. Mg, P,0, svarende til 0,1026 Gr. P,O, eller 42,05 Proc. P,0;.
4) 0,464 Gr. forbrugte efter Behandling med Jodkalium og Saltsyre 28 Ce. */10 normal
svovlundersyrligt Natron, svarende til 4,83 Proc. virksom Ilt.
5) 0,569 Gr. glodet i tor Luftstram, og de udviklede Vanddampe absorberede ved
Svovlsyre i Winklers Apparat, gav 0,061 Gr. Vand eller 10,72 Proc. 4,0.
Beregnet Fundet
dere EN te tious fs 32,73 32,60 32,45.
PORN ois 42,26 42,10 42,05.
NirksOMAOE "C2 TE 4,84.
GOS 6 0 6 66 6 10,71 10,72.
21 151
Arsensurt Mangantveilte,
VI
Mn, . O0, .(4s0), +2H,0,
fremstilles fuldstændigt analogt med det tilsvarende phosphorsure Salt, idet man oploser
ren Ärsensyre i sin tredobbelte Mengde kogende Vand og til den varme Oplosning efter-
haanden sætter en nogenlunde concentreret Oplosning af salpetersurt Manganforilte, saaledes
at Arsensyren er tilstede i Overskud; man vedbliver at opvarme til 100°— 105°, og under
Opvarmningen udskilles da det arsensure Salt under Udvikling af Kvelstofilter; Bundfaldet
udvaskes forst ved Decanthation, siden paa Filter, og terres i Luften ved almindelig Tem-
peratur. Det danner et graat Pulver, der er noget morkere end det phosphorsure Salt.
I sine øvrige Forhold ligner det i hej Grad Phosphatet og opløses ligesom dette
med Vanskelighed i hejst concentreret Saltsyre, medens det er uoploseligt i Salpeter-
syre. Ved Kogning med Natron spaltes det og efterlader Mangantveiltehydrat, og med
Svovlammonium efterlades Svovlmangan.
Analysen gav folgende Resultat:
1) 0,259 Gr. blev behandlet paa sædvanlig Maade med Jodkalium og Saltsyre; Stoffet
opløste sig meget langsomt, men Titreringen lod sig alligevel udføre med */10 normal svovl-
undersyrligt Natron, af hvilket der blev forbrugt 37 Ce. svarende til 0,0296 Gr. virksom Ilt
eller 11,42 Proc., af hvilke de to Trediedele hidrøre fra As, O,, den ene Trediedel fra Mn,O,.
2) 1,034 Gr. blev degereret med Svovlammonium paa Vandbad; det uoploste Svovl-
mangan blev efter Tørring blandet med Svovl og glodet i en Brintstrom i Rosesk Digel;
herved dannedes 0,423 Gr. MnS svarende til 25,86 Proc. Mangan.
3) 0,602 Gr. blev ophedet i en Porcellænsdigel til svag Rodglodhede; tilsidst dæk-
kedes Diglen faa Ojeblikke med Laag; herved efterlodes en Glodningsrest, der vejede
0,5295 Gr., svarende til et Glodningstab af 12,04 Proc.; dette Tab svarer til O + 27,0,
altsaa bestaar Resten af pyroarsensurt Manganforilte, Mn, As,O,; 0,5295 Gr. af dette giver
0,1565 Gr. Mn eller 25,99 Proc. Mn i Mangantveiltesaltet og 0,3273 Gr. As,O, svarende til
54,36 Proc. As,O, i samme Salt.
Beregnet Fundet
Mn cite 25,94 25,86 25,99.
As,0,. . : . 54,25 54,36.
Oe. ae 11,32 11,42.
152 22
Pyrophosphorsurt Mangantveilte-Natron.
vi
Mn, \
Na f(P20:)s + 107,0.
Oploser man eddikesurt Mangantveilte i Iseddike under Opvarmning, og heldes den
derved dannede Oplosning ned i et Overskud af en Oplosning af pyrophosphorsurt Natron
(2:25), fældes intet, men der dannes en smuk red Oplosning, der, naar den er mettet,
ved Henstand afsætter et rødt, krystallinsk Bundfald af pyrophosphorsurt Mangantveille-
Natron; koger man den dannede Oplosning, fremkommer Bundfaldet straks, men har da
en mere brunlig Farve. Man behover imidlertid ikke til Fremstilling af dette Dobbeltsalt at
anvende eddikesurt Mangantveilte, men kar med Fordel benytte den mørke Opløsning, man
faar ved Behandling af glodet Mangantveilte med concentreret Saltsyre ved almindelig
Temperatur; heldes denne Oplosning, umiddelbart efter at den er fremstillet, gjennem el
nogenlunde tort Asbestfilter ned i et rigeligt Overskud af pyrophosphorsurt Natron, faar
man en meget morktfarvet Oplosning, der ved Henstand, eller undertiden strax, udskiller
det røde krystallinske Salt i rigelig Mengde. Det er af største Vigtighed, at det pyro-
phosphorsure Natron er til Stede i rigeligt Overskud, saaledes at der ikke bliver fri Salt-
syre tilstede i Vædsken; man kan ogsaa raade Bod herpaa ved Tilsætning af eddikesurt
Natron, men det er i Almindelighed ikke nodvendigt. Den bedste Maade til at prove, om
det rette Forhold er til Stede, er at opvarme lidt af Blandingen til Kogning i et Reagens-
glas; udskilles herved et krystallinsk Bundfald, der hurtigt sætter sig, i rigelig Mængde, er
. Forholdet det rette; fremkommer derimod et fyldigt Bundfald eller, hvad undertiden er Til-
fældet, holder Vædsken sig klar, maa der tilsættes mere pyrophosphorsurt Natron. Det
ved almindelig Temperatur udkrystalliserede Salt udvaskes med svagt eddikesyreholdigt Vand;
vaskes med Vand alene, antager det en mere brunlig Farve paa Overfladen; dog synes
Saltet atter ved Torring i Luften at antage sin oprindelige Farve.
Det torre Salt danner et rodligt Krystalpulver, der meget let mister noget Krystalvand.
Det er ikke uden Interesse, at man til Fremstilling af dette Salt ogsaa kan anyende
Manganoveriltehydrat, idet man behandler dette med concentreret Saltsyre ved almindelig
Temperatur og anvender den derved dannede Oplosning umiddelbart efter, at den er frem-
stillet; man arbejder fuldstændig som ovenfor angivet.
Herved bekræftes Pickerings!) Angivelse, at der ved Indvirkning af conc. Saltsyre
paa Manganoverilte dannes Mn, Cl, og ikke MnCl,, idet man saaledes direkte af Oplos-
1) Journal of the chem. society, vol. 35, p. 654.
23 153
ningen kan fremstille et Mangantveiltesalt. Processen ved Indvirkning af Saltsyre paa
Manganoverilte bliver altsaa, som Pickering angiver, at udtrykke ved
2MnO, + 8 HC! = Mn, Cl, + 44,0 + Ci,
hvorefter ved Opvarmning Mn, Cl, spaltes i 2 MnQl, og Cl,.
Naar man behandler frisk tilberedt rent Manganoveriltehydrat med hejst cone.
Sallsyre, bemærker man ogsaa ved sædvanlig Temperatur en kraftig Chlorudvikling, ligesaa
kraftig som naar man setter Syre til et kulsyreboldigt Stof; dette stemmer ogsaa med
ovennævnte Formel.
I Saltsyre opløses det pyrophosphorsure Mangantveilte-Natron let med mørk
Farve og udvikler Chlor ved Opvarmning.
Salpetersyre sonderdeler det ved Kogning og efterlader Manganoveriltehydrat.
Conc. Svovlsyre opløser det ved Opvarmning med smuk violet Farve, og Oplos-
ningen afsetter efterhaanden smukke, morke Krystaller.
Henstilles det pyrophosphorsure Mangantveilte-Natron ved 100°, taber det efter-
haanden en Del af sit Krystalvand; efter et Par Timers Henstand ved denne Temperatur
tabte en Prove af Saltet 15,0 Proc.; det saaledes torrede Salt indsuger Fugtighed under
Vejningen.
Ligeledes taber Saltet Vand ved Henstand over Svovlsyre; 0,908 Gr. table paa denne
Maade i 2 Dogn 0,115 Gr. eller 12,67 Proc.; Resten henstillet ved 100° i 20 Timer tabte
derved yderligere 0,057 Gr.; altsaa ialt tabt 0,172 Gr. eller 18,94 Proc., hvilket nærmest
svarer lil et Tab af 7 Molekuler Vand, hvilket dog kun kræver 18,42 Proc.
Den ved 100° torrede Rest blev behandlet paa Vandbad med concentreret Saltsyre
og Opløsningen reduceret med Svovlsyrlingvand og inddampet til Torhed; Inddampningen
med concentreret Saltsyre blev gjentaget 3 Gange, hvorpaa Resten atter blev oplost i Salt-
syre og fældet i Varmen med Ammoniak, hvorved dannes et krystallinsk Bundfald af phos-
phorsurt Manganforilte-Ammoniak; dette gav ved Glodning 0,379 Gr. Mn, P,O, svarende til
16,15 Proc. Mangan.
Analysen gav iovrigt folgende Resultat:
1) 0,723 Gr. blev kogt med fortyndet Salpetersyre i Begerglas paa Asbestplade i 1 Time ;
det herved dannede Manganoveriltehydrat, hvilket altsaa indeholder Halvdelen af den i Saltet
tilstedeværende Manganmengde, gav 0,080 Gr. Mn,O, svarende til 0,0577 Gr. Mangan;
altsaa er hele Manganindholdet 0,1154 Gr., svarende til 15,96 Proc. Mangan.
2) 6,576 Gr. behandlet med Jodkalium og Saltsyre brugte 16,9 Ce. ?/10 normal svovl-
undersyrligt Natron svarende til 0,01352 Gr. virksom Ilt eller 2,34 Proc.
3) 0,266 Gr. blev behandlet i Platinskaal med lidt Svovlsyrlingvand og concentreret
Svovlsyre; derpaa blev inddampet til Torhed; Resten blev opløst i Salpetersyre og atter
inddampet til Tørhed, hvorpaa den blev opløst i concentreret Saltsyre og atter inddampet
154 24
til et ringe Rumfang; denne Behandling viste sig nodvendig for at omdanne al Pyrophos-
phorsyre til Orthophosphorsyre; derefter blev Opiosningen behandlet efter Molybdænmethoden
og gav derved 0,1718 Gr. Mg,P,0, svarende til 0,1099 Gr. P,O, eller 41,32 Proc. P,O;.
4) 0,5935 Gr. blev behandlet paa samme Maade, og den saltsure Oplosning blev be-
handlet med Ammoniak, hvorved alt Mangan udfældes som phosphorsurt Manganforilte-
Ammoniak; af Filtratet herfra blev Phosphorsyren fjernet ved Jernchlorid, og derefter Natron
bestemt som Na,SO, paa sædvanlig Maade; herved dannedes 0,1235 Gr. Na,SO, svarende
til 6,74 Proc. Na.
Beregnet Fundet
MRS ee 16,08 15,96 16,18.
PO Re sie Arie 41,52 41,32.
Virksom O.... 2,34 2,34.
Na elle 6,72 6,74.
Et Tilbageblik paa de i det foregaaende omtalte Salte viser os, at de fuldtud have
Charakteren af Mangantveiltesalte svarende til analoge Jerntveilte-Forbindelser, og at der
her ikke vil kunne vere Tale om at opfatte dem som Dobbeltforbindelser af Manganoverilte-
og Manganforiltesalte; den Methode, hvorefter det phosphorsure og arsensure Salt dannes,
beror paa Iltning af Foriltesalt ved Salpetersyre, idet Anvendelsen af salpetersurt Mangan-
forilte egentlig kun er en Modification af denne Fremgangsmaade, og der er al Rimelighed
for, at man paa analog Maade vil kunne fremstille Mangantveiltesalte af flere andre Syrer!);
det er saaledes det samme Princip, hvorefter flere Jerntyeiltesalte fremstilles, der her har
fundet Anvendelse. Ligeledes dannes det pyrophosphorsure Mangantveilte-Natron paa en
med det tilsvarende Jernsalt analog Maade; dog har det sidstnævnte en noget afvigende
Sammensætning, medens de phosphorsure og arsensure Jerntveiltesalte kun afvige fra Man-
gansaltene i Henseende til Vandmængden.
Til samme Række Salle som de ovennævnte maa sikkert ogsaa Fremy’s svovisure
Manganforilte-Manganoverilte henregnes og allsaa opfaltes som Mn ,0,(80.), 4 H,0,(80,)
+ 81,0; det dannes nemlig som tidligere bemærket ved Indvirkning af cone. Svovlsyre
paa flere af de i det foregaaende nævnte Salte, og den Omstændighed, at det fremstilles
af en Opløsning, der indeholder svovlsurt Manganoverilte ved Tilsætning af svovlsurt Man-
ganforilte, behøver ikke at tale imod den her fremsatte Anskuelse; i saa Henseende have vi
ogsaa en vis Analogi i Dannelsen af Kobberforchlor ved Indvirkning af metallisk Kobber
paa en saltsur Opløsning af Kobbertvechlor.
1) efr. Etard, Comptes rendus, 86, p. 1400.
25 2 155
Hvad Manganalun angaar, har det mærkeligt nok ikke været mig muligt at frem-
stille denne Forbindelse; allevegne, hvor jeg har troet at have den i Hænde, har det vist
sig, at jeg havde med Fremy’s Salt at gjore; selv ved Oplosning af en afvejet Mengde
Mn, O, i Flussyre og Tilsætning af den nojagtige Mængde Fluorkalium, saaledes at der for
hver Mn, var 2K, og Behandling af Opløsningen med conc. Svovlsyre, fik jeg af den der-
ved dannede røde Opløsning, efter at Flussyren var uddrevet, ved Henstand over Svovlsyre
kun surt svovlsurt Mangantveilte. Muligvis vil dog yderligere anstillede Forsøg føre til et
andet Resultat.
Vidensk, Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. IT, 4. 20
Ill.
Vi have i de foregaaende Afsnit oftere omtalt Manganets Tilbojelighed til at optræde
som tetravalent Enkeltatom overfor Ilt som Aarsagen til Mangantveiltets Spaltning ved Syrer
i MnO, og MnO og til Mangantveiltesaltenes relative Ubestandighed; denne Streben efter
at optrede som tetravalent Enkeltatom og efter at bevare denne Tilstand, naar den éngang
er naaet, bemærke vi som bekjendt ved flere Lejligheder; dels finde vi i Naturen Pyrolusit
som Pseudomorphoser efter Manganit; og dels er det en Kjendsgjerning, at det er forbundet
med langt større Vanskelighed at fremstille An, O, ved Glodning af vandfrit Manganoverilte,
end ved Glodning af Manganforilte eller dettes Forbindelser med Kulsyre eller organiske
Syrer. I det folgende skal jeg nu først gjøre Rede for nogle Glodningsforsog med rent
Manganoverilte og med Manganmellemilte for derefter at gaa over til at omtale nogle Fæno-
mener, der staa i ner Forbindelse med det ovenomtalte og derved tillige beskrive et Par
af de til Fremstillingen af eddikesurt Mangantveilte anvendte Ilter noget nermere.
2,295 Gr. rent Manganoverilte blev glodet over en almindelig Bunsensk Lampe i
aaben Porcellensdigel i 56 Timer og derpaa over en kraftig Iserlohner Lampe i ca. 30 Timer;
det aftog derved 0,172 Gr. og Resten vejede alsaa 2,123 Gr., medens den ved fuldstændig
Omdannelse til Mn, 0, kun skulde veje 2,084 Gr.; efter Glodning over Blæselampen i 1/4
Time aftog det yderligere, saaat Vegten nu var 2,078 Gr.; det var altsaa nu paa det nær-
meste Mn, O,. Efter længere Tids Glodning for Bleselampen aftog Vægten, saaledes at den
efter 11/2 Times Forløb var 2,031 Gr.; Mn, O, vilde kræve 2,014 Gr.; Laaget blev nu lagt paa
Diglen, og Glodningen gjentaget for Bleselampen i Skorsten, hvorved efter "/4 Times Forløb
Vægten aftog til 2,002 Gr.; vi ere altsaa nu passerede forbi Mn, O,; yderligere Glodning i lukket
Digel paa samme Maade bevirkede, at Vegten efter en Times Forlob aftog til 1,977; Stoffet
havde nu en rødbrun Farve med iblandet grønt; det lykkedes ved yderligere Glodning at
danne saa meget Manganforilte, at den pulveriserede Glødningsrest tilsidst kun indeholdt
0,93 Proc. virksom Ilt, medens Mn, 0, indeholder 6,99 Proc. En Undersøgelse af Glødnings-
resten viste tydeligt, at Manganoveriltet paa de hedeste Steder af Diglen nærmest Bunden
og Siderne har været fuldstændigt reduceret til Manganforilte, da Glødningsresten paa disse
Steder var ren grøn, medens den paa Overfladen stadigt var kanelbrun som Mangan-
mellemilte.
Et med dette parallelt Forsøg blev udført i Platindigel, idet 1,759 Gr. rent Mangan-
overilte blev ophedet over en Bunsensk Lampe; efter 20 Timers Forløb vejede Resten
27 157
1,5935 Gr. og bestod nu af A/n,O,, der kræver 1,597 Gr.; i Mellemtiden, nemlig efter 5
Timers Glodning, havde Vægten været lavere, idet Resten da vejede 1,5855 Gr.; der maa
altsaa alter have fundet en Iltabsorbtion Sted, formodentlig paa et Punkt, hvor Varmen har
været ringere paa Grund af Vexlen i Gastrykket. Efter den omtalte Glodning i 20 Timer
bley anvendt en kraftigere Lampe, og man bemerkede nu, at Vegten snart aftog, snart tiltog,
saaledes at den efter ca. 75 Timer var 1,590Gr.; vi ere saaledes ikke naaede langt forbi Mn, O, ;
2 Timers Glodning i lukket Digel bevirkede en Nedgang til 1,535 Gr., og Farven var nu rod-
brun som Mn,O,; tager man atter Laaget af Diglen og opheder den, bemærkes en For-
ogelse af Vegten, saaledes at denne efter et Par Timers Forlob var 1,546; der har altsaa
alter her fundet en Iltabsorbtion Sted, hvilket ogsaa tydeligt bemærkes, idet Glodningsrestens
Overflade, der fer var kanelbrun, nu har antaget en mørk Farve, navnlig i Midten af Diglen,
hvor Stoffet ikke har været udsat for saa stærk Varme, og hvor derfor Manganmellemiltet
kan være til Stede i den mindre cohærente Tilstand, hvori det formaar at ilte sig ved Op-
varmning til nogle hundrede Grader.
Fortsættelse af Glødningen, tilsidst for Blæselampen, førte tilsidt til samme Resultat
som det foranførte, at der fandt en delvis Afiltning til Manganforilte Sted. Dette har alle-
rede Pickering!) 0. a. tidligere bemærket, men antager, som rimeligt, at det skyldes Pla-
tinets Porøsitet, hvorved reducerende Luftarter fra Flammen kunne faa Adgang til Stoffet.
Geuther?) har iøvrigt reduceret Manganoverilte til Manganforilte ved Ophedning i et hvid-
glødende Jernrør, men ogsaa her kan maaske Metallets Porøsitet eller Kulstofholdighed have
havt nogen Indflydelse.
Af det før omtalte Forsøg, der blev udført i Porcellænsdigel over en meget kraftig
Blæselampe, synes det dog at fremgaa at selve Glødheden er tilstrækkelig til at fremkalde
den fuldstændige Reduktion, da det neppe synes muligt at reducerende Luftarter her kunne
faa Adgang.
Et Forsøg blev udført med Manganmellemilte, Mn, 0,, ved Glødning i lukket Por-
cellensdigel for Bleselampen i Skorsten. 1,171 Gr. Mn, O, vejede efter Glødning i 11/ Time
1,097 Gr. og efter yderligere */4 Time 1,090 Gr.; fortsat Glødning gav en Rest, der kun inde-
holdt 1,13 Proc. virksom Ilt. Af dette Produkt blev 0,560 Gr. atter glødet i lukket Por-
cellænsdigel for Blæselampen i 1 Time og vejede derefter uforandret 0,560 Gr., men Over-
fladen af Massen var nu kanelbrun, medens den før Glødningen var graagrøn; da Vægten
var den samme, maa altsaa det nederste Parti have afgivet noget Ilt, der atter er blevet op-
taget af det øverste Lag; heraf følger, at reducerende Luftarter næppe have kunnet have
Adgang mellem Laaget og Diglen. Dette bekræftedes yderligere ved et Forsøg, hvor Glød-
1) Chem. news, 1881.
?) Jahresbericht 1865, 226.
158 28
ningen foretoges i en Roses Diger med tilkillet Laag og Porcellensror; Resultatet var
ganske det samme, og her synes alle Muligheder for Adgang af reducerende Luftarter
udelukkede.
Det fremgaar heraf, at Manganoverilte maa antages ved stærk Hvidglode uden
Luftens Adgang at afgive Halvdelen af sin Ilt og blive til Manganforilte; Geuthers For-
sog bekræftes altsaa herved. Ved hoje Temperaturer bliver altsaa Manganforiltet det be-
standigste Manganilte.
Det ovenfor berorte Forhold, at Manganmellemilte i en vis mindre cohærent Til-
stand formaar at optage Ilt, gjenfinde vi hos det Manganmellemilte, der efter Moissans 4)
Angivelse dannes ved Reduktion af MnO, i en Brintstrom ved 250°; jeg har gjentaget
Moissans smukke Forsog, idet jeg ophedede ren Manganoverilte i et U-formigt Ror, der var
anbragt i et Bad af en smeltet Blanding af lige Molekuler Kalium- og Natriumnitrat forst
til 230° i 6 Timer; man bemerkede stadigt Udvikling af Vanddampe, naar man for Enden
“af Afledningsroret anbragte et koldt Uhrglas; efter Moissans Angivelse skulde man ved
denne Temperatur faa Mangantveilte; man bemærkede ogsaa paa et vist Punkt en betydelig
Aftagen i Vanddampenes Mængde, men nogen fuldstændig Standsning fandt ikke Sted, idet
Uhrglasset stadigt beslog sig med Dug; den sikreste Maade til at treffe det rette Punkt vil
derfor vere at controllere Vegttabet ved Vejning; ved det Forsog, jeg udforte, viste det sig,
at Produktet indeholdt 8,87 Proc. virksom Ilt, hvilket viser, at Grændsen var overskredet,
idet Mn, O, kræver 10,1 Proc. Et andet Forsøg, hvor Temperaturen blev holdt lidt lavere
end 230°, gav et Ilte, der indeholdt 11,4 Proc. virksom Ilt; altsaa var man ikke her naaet
til Mn, O,. Fortsattes Opvarmningen paa samme Maade ved 250° fik man et Produkt, der
indeholdt 7,3 Proc. virksom Ilt, og dette svarer altsaa meget nær til Mn,0,, der kræver
6,99 Proc. virksom Ilt.
Bringes lidt af dette Produkt i en Porcellænsdigel og opvarmes svagt over en
Bunsensk Lampe, optager det, saaledes som Moissan angiver, Ilt og antager en mørkere
Farve. 0,4915 Gr. af dette iltede Produkt brugte efter Behandling med Jodkalium og Salt-
syre 50 Ce. ”/10 normal svovlundersyrligt Natron svarende til 8,13 Proc. virksom Ilt, altsaa
0,8 Proc. mere end i det anvendte Manganmellemilte.
De i det foregaaende omtalte Glødningsforsøg vise Resultater, der selvfølgelig ere i
høj Grad afhængige af de Betingelser, hvorunder de anstilles, idet saavel de anvendte Diglers
Tykkelse og Rumfang som Lampernes Styrke faar en betydelig Indflydelse. Dog fremgaar
det tydeligt deraf, at Manganet kun med stort Besvær kan bringes til fuldstændigt at gaa
over fra den tetravalente til den divalente Form i sit Forhold overfor Ilt, medens det der-
imod søger ved given Lejlighed at gaa den omvendte Vej.
1) Ann. de chimie et de phys. [5] 21, p. 231 o.f
29 159
Dette ses ogsaa, naar vi betragte det Manganmellemilte, der hyppigere er bleven
anvendt ved nærværende Undersøgelser, og som fremstilles ved Tilsætning af frisk tilberedt
Manganoveriltehydrat til en ammoniakalsk salmiakholdig Opløsning af Manganforchlor under
Opvarmning, saaledes som Otto!) angiver. Jeg skal her meddele et Par udførligere Ana-
lyser af dette Stof end der foreligger fra tidligere Undersøgeres Haand.
1. Manganmellemiltehydrat fremstillet nøjagtigt efter Ottos Forskrift.
1) 0,826 Gr. lufttørret Manganmellemilte blev behandlet med fortyndet Salpetersyre
i Bægerglas paa Asbestplade og opvarmet til Kogning i en Time; herved lades Mangan-
overilte uopløst; dette gav 0,2735 Gr. Mn, O, eller 33,11 Proc.
2) 0,941 Gr. gav ved Glødning i Platindigel et ensartet kanelbrunt Mn,O,, der
vejede 0,894 Gr. svarende til 88,36 Proc. Mn O.
3) 0,817 Gr. tabte ved 100° 0,017 Gr. eller 2,07 Proc.
4) 1,285 Gr. tabte ved Tørring over Svovlsyre i 40 Timer 0,0225 Gr. svarende
til 1,75 Proc.
5) 0,368 Gr. lufttørret Stof, behandlet med Jodkalium og Saltsyre, brugte 32,3 Cc.
”/10 normal svovlundersyrligt Natron svarende til 0,02584 Gr. virksom Ilt eller 7,02 Proc.
Uagtet sit Vandindhold indeholder altsaa Stofflet samme Mængde virksom Ilt som
vandfrit Im, O,; det maa altsaa indeholde et Overskud af Manganoverilte.
Det lufttørrede Stof faar altsaa Sammensætningen:
SUMO ERE 88,36 Proc.
OPL RENE Se 7,02 —
CAN OMAN Fae 4,62 — (Differens).
6) 0,893 Gr. af det over Svovlsyre tørrede Ilte gav efter Kogning med Salpeter-
syre et Manganoveriltehydrat, der efter Glodning gav 0,297 Gr. Mn, ©, eller 33,26 Proc.
7) 0,379 Gr. af samme over Svovlsyre tørrede Ilte brugte efter sædvanlig Behand-
ling med Jodkalium og Saltsyre 34,1 Ce. ”/10 normal svovlundersyrligt Natron svarende til
7,19 Proc. virksom Ilt.
8) 0,5025 Gr. af det ved 100° torrede Stof efterlod ved Behandling med fortyndet
Salpetersyre et Manganoveriltehydrat, der ved Glodning gay 0,171 Gr. Mn, O, eller 34,03 Proc.
9) 0,305 Gr. af det ved 100° tørrede Stof brugte ved Titrering med */10 normal svovl-
undersyrligt Natron 28,3 Ce. svarende til 7,42 Proc. virksom Ilt.
1) Liebigs Annaler, 93, 372
160 30
Saafremt det Tab af 2,07 Proc., som det lufttorrede Ilte lider ved Tørring ved 100°,
repræsenterede del fuldstændige Vandtab ved denne Temperatur, uden at der samtidigt fore-
gik en Iltning af Stoffet, vilde dette kun kunne medfore en meget ringe Forskjel i Mengden
af virksom Ilt i det luftterrede og det ved 100° tørrede Stof, idet de 7,02 Dele der for
fandtes paa 100 Dele nu skulde findes i 97,93 Dele, hvilket vilde give det Resultat, at det
ved 100° tørrede Stof skulde indeholde 7,16 Proc. virksom Ilt; da der fandtes 7,42 Proc. er
der altsaa allerede ved 100° foregaaet en Iltning; denne bliver ifolge J. Posts!) Under-
sogelser langt betydeligere ved 250° til 300°, saaledes som vi ogsaa senere skulle se.
Otto angiver, at det her omtalte Manganmellemiltehydrat ikke angribes ved Kogning
med en Salmiakoplosning, hvorfor han anvender denne Methode til at rense det for Mangan-
forilte; ifølge Roses”) Angivelse angribes derimod det cohærente glodede Manganmellemilte
af Salmiak; der synes her at være en ikke let forklarlig Uoverensstemmelse mellem de to
Ilter, da det dog er overvejende sandsynligt, at det mindre cohærente Ilte maa være lettere
angribeligt. At Roses Angivelse er rigtig viser folgende Forsog:
1) 1,077 Gr. glodet Mn, 0, blev opvarmet med en concentreret Salmiakoplosning
paa Vandbad i I Time; Filtratet gav en meget tydelig Manganreaction med Svovlammonium;
og Bundfaldet gay efter Glodning 1,056 Gr. Mn, O,, der var altsaa tabt 0,021 Gr. eller 1,95 Proc.
2) 1,249 Gr. behandlet paa samme Maade, men inddampet til Torhed i 3 Timer,
tabte 0,067 Gr., altsaa 5,44 Proc.
3) 1,409 Gr. behandlet med conc. Salmiakoplosning i 15 Timer i Porcellænsskaal
overdækket med Tragt, saaledes at det fordampende Vand stadigt fortættedes og flod tilbage,
tabte 0,064 Gr. eller 4,0 Proc.; det synes af Forogene 2 og 3 at fremgaa, at Salmiakken
ved Inddampning til Torhed ved 100° angriber Manganmellemiltet langt sterkere; for-
modentlig findes der allerede ved denne Temperatur en Dissociaton Sted af Salmiakken i
NH, og HCl, naar et andet Stof er til Stede, hvormed Saltsyren kan forene sig.
Det synes mig herefter sandsynligt, at Ottos Manganmellemilte ogsaa maa angribes
af en Salmiakoplosning, og jeg soger en Stotte for denne Anskuelse i den Omstendighed,
at dette Ilte, naar det fremstilles paa den af Otto angivne Methode og koges med Chlor-
ammonium, altid indeholder for meget virksom Ilt, hvilket altsaa kan hidrøre fra den Om-
stendighed, at Salmiakken har berovet det noget Manganforilte. Til nærmere Undersogelse
af dette Forhold saavelsom for at prove, hvorvidt Sammensætningen af dette Ite var nogen-
lunde constant, fremstillede jeg en ny Portion deraf, anvendte rigeligt Overskud af Mangan-
forilte og kogte en enkelt Gang med Salmiak, men undlod den gjentagne Kogning hermed
1) Verh. zur Beförderung d. Gewerbefl. in Preussen, 58, p. 468, og
Gmelin-Kaut: Handbuch der Chemie, II, p. 442.
*) Handbuch der anal. Chemie, 1867, Bd. I, p. 235.
21 161
og torrede efter omhyggelig Udvaskning Stoffet ved almindelig Temperatur. Dette Produkt,
der havde en særdeles smuk kanelbrun Farve, blev underkastet folgende Analyse:
2. Manganmellemilte fremstillet efter Ottos Methode med Udeladelse af den gjentagne Kogning
med Salmiakoplosning.
1) 1,2755 Gr. gav efter Glodning 1,217 Gr. Mn, ©, svarende til 88,74 Proc. Mn O.
2) 0,567 Gr. gav ved Glodning i en tor Iltstrom 0,559 Gr. Mangantveilte, der ved
Titrering viste sig at indeholde 0,0252 Gr. virksom Ilt (9,96 Proc.) og altsaa svarer til 88,76
Proc. MnO i det anvendte Manganmellemilte, hvilket stemmer med Glodningshestemmelsen
som Manganmellemilte.
3) 0,559 Gr. afgav ved Glodning i en tor Luftstrom 0,0245 Gr. Vand, der absorberedes
i Winklers Absorptionsrer; dette giver 4,38 Proc. 4,0.
4) 0,588 Gr. brugte efter Behandling med Jodkalium og Saltsyre 50 Ce. ?/10 normal
svovlundersyrligt Natron, hvilket svarer til 6,80 Proc. virksom Ilt.
Resultatet er altsaa, at det lufttorrede Ilte har Sammensætningen:
AM ONE 88,76 Proc.
OP ea sa 6,80 —
DET Om, Var 4,38 — (direkte).
99,94 Proc.
Dette Produkt indeholder altsaa en mindre Mengde virksom Ilt end det føromtalte
og nærmer sig meget til rent Manganmellemilte; de 95,54 Dele vandfrit Ilte, der findes deri,
indeholde 6,80 Proc. virksom Ilt, hvilket vilde give 7,1 Dele paa 100, medens rent Mn,O,
kræver 6,99 Proc.; Forskjellen er altsaa ringe.
Dette Ilte blev nu provet overfor en concentreret Salmiakoplosning, idet det blev
opvarmet dermed paa Vandbad; det viste sig herved, at der efter en Times Forlob kunde
paavises kjendelige Mængder Mangan i Filtratet fra det uoploste ved Hjælp af Svovlammo-
nium, og den uoplaste Rest afgav efter Udvaskning atter Manganforilte til en Salmiakoplos-
ning. Dette Manganmellemilte angribes altsaa af Salmiak, men som rimeligt er findes der
snart en Grændse, hvor denne Virkning maa ophore; dette folger ligefrem af Dannelses-
maaden for Iltet, thi det er netop fremstillet ved Indvirkning af Manganoveriltehydrat paa
Manganforilte i ammoniakalsk salmiakholdig Opløsning, altsaa maa der ved Salmiakkens
Indvirkning paa det dannede Ilte snart indtræde et Punkt, hvor Betingelserne for dets Dan-
nelse atter er tilstede, idet der er gaaet Manganforilte i Oplosning, frigjort lidt Ammoniak
og dannet noget Manganoveriltehydrat. Heri have vi sandsynligvis Aarsagen til, at Ottos
Manganmellemilte indeholder lidt Overskud af virksom Ilt, da det er behandlet med Salmiak-
oplosning indtil Produktet ikke afgav mere Manganforilte til denne.
Roses Angivelse gjælder altsaa saavel for det glodede som for det vandholdige
Manganmellemilte; begge angribes af Salmiak, dog er det sandsynligt, at der herved dannes
Manganoverilte og ikke Mangantveilte, som Rose anfører, da det sidstnævnte ogsaa an-
gribes af en Salmiakoplosning.
Henstilles det paa ovennævnte Maade fremstillede Manganmellemiltehydrat, hvis
Sammensætning er angivet ved den sidstanforle Analyse, i en Platindigel i Sandbad ved
300°—330° optager det en betydelig Mengde Ilt; 1,0582 Gr., der henstod paa denne Maade
i ca. 12 Dage, havde efter denne Vids Forlob antaget en næsten sort Farve og vejede der-
efter 1,0826 Gr.; 0,372 Gr. af dette sorte Ilte brugte efter sedvanlig Behandling med Jod-
kalium og Saltsyre 51,6 Ce. ?/10 normal svovlundersyrligt Natron, svarende til 11,09 Proc.
virksom Ilt; denne Iltmengde svarer til et Indhold af 60,34 Proc. Manganoverilte; Iltningen
er altsaa skredet noget forbi Mn, O, og paa Vej til MnO,, hvilket Maal selvfølgeligt vilde
være uopnaaeligt, da ren Manganoverilte begynder at afgive sin Ilt ved 210°. J. Post!)
har bragt Ottos Manganmellemiltehydrat til at oplage saa meget Ilt ved 300°, at det der-
efter indeholdt 56,95 Proc. MnO,; dette stemmer altsaa meget vel med ovenanforte Forsøg,
hvor den anvendte Temperatur var noget højere og Absorptionen maaske derfor noget
stærkere.
Den Egenskab at ilte sig højere tilkommer saaledes i høj Grad Manganmellemilte-
hydrat, men ogsaa med den naturlige Manganit Mn, O,.O,H, lader det sig ved Forsøg
vise, at den under visse Omstændigheder optager Ilt, ligesom vi i Naturen finde Pyrolusit-
krystaller som Pseudomorphoser efter Manganit. Jeg henstillede fintpulveriseret Manganit
paa et Uhrglas i et Kobbertørreskab ved 100°, under daglig Befugtning med destilleret Vand,
i 4 Uger; det viste sig derefter, at Stoffet, der oprindeligt indeholdt 9,18 Proc. virksom Ilt,
nu indeholdt 9,73 Proc.; under Processen var Pulveret stærkt sammensintret og havde an-
taget en mørkere Farve. Under den forenede Indvirkning af Fugtighed og Varme var altsaa
Manganitten begyndt sin Omdannelse til Pyrolusit.
Det følger ogsaa af, hvad her er fremført, at man ved Fremstilling af Manganilter,
der ere lavere end MnO,, ad den vaade Vej, aldrig maa tørre det fugtige Ilte ved 100°
men altid først maa anvende Lufttørring, da man i modsat Tilfælde altid faar en noget for
høj Iltmængde. Pickering har allerede tidligere bemærket dette, men ikke forfulgt Sporgs-
maalet videre.
Jeg er nu naaet til Slutningen af dette Afsnit af mine Undersøgelser, der væsentlig
have omfattet Manganets Forhold til Jerngruppens Metaller og dets Tilbøjelighed til at op-
1) Se foran.
33 163
træde tetravalent overfor Ilt; Fortsættelsen af nærværende Arbejde vil nærmest omfatte
Manganels Stilling til Platingruppen, til hvilket Spørgsmaal Nicklès !) Undersøgelser har
givet et væsentlig Bidrag.
Nærværende Arbejde er udført i den polytekniske Læreanstalts chemiske Labo-
ratorium, og jeg bringer herved dettes Bestyrer, Hr. Lektor, Dr. phil. S. M. Jørgensen en
hjertelig Tak for den Beredvillighed, hvormed han har stillet alt til min Raadighed, hvad
der krævedes til Arbejdets Udførelse.
1) Comptes rendus, 65, p. 107.
Kjøbenhavn, d. 7de Marts 1883.
kin ie
| 72) ROSER
NØ HAT SANGER han 2 | BA HR VE
Du Farah i" ue ON" à: | “in - in À iy M. À
14 “a PAL: Nr | IK u À i ry =@
a, Ne VIE ' ee x N
Le i I nts i 6 i
hu Sr RT: | ook oe
he te i nah ji
HN 1 Le ir År
0) ey (hy u er
AE OR me és TER ir
RE. RAM, ar is Be
ok eh pikes, Fra) ee vig it À BL
[A Lau : an” PM 5 i *
A DE "BE i X N: a nm 4 ar "Minik ‘1
JU
hr eae Ni Ku Ch ai Van hu
«il IAAL 39 HER LT
- 5 DO ie GIVE Wh, 4 eas
i
rt LA gt
7 at i SØDE d
DNS RO d'A PER AL 2 ui OS MENT à PP, SCT EN MØDE see LØN A
m Art Yin DEN en ide i ps Ra à | N
N PO PET OS" fh PEN RE AM kd pre
112 52. ME Ale Pr Od) | en ATOME PR
LL i a The Ae aia) i rs = rl a i a. A ; du PAS ee
: = j N
,
: 7 4 4
pat) A LL ES (a DAT 7 eaten i i ya uy ny) + Le
MAR hi + 2 RC \. ORE SK >
| MORT ern Ze 0 ÉD Dore”.
M Lo CE sd MEN Wi eu ö
a ah aa “6 VIN DE 3 ya
4 MARS FAG bit id vig? | £ ur For . + ‘i i
yal pris Te con eye N= i | sr : I LÆS GE
. 2
A y Pie t f i DOSE . te Jd RS, À a + >on à a
REN fe Ve Se 7 FU TRES "yy a
ins: u eee Re VUE UE os Sy a,
Bin ee [os
ARE : a, if aol : f cian LIT vtt, A
3 LU DES SE Ae Re ey, ae en PAS SETS
I ‘ 7 5 f x i N u ma à .
‘Sa
Farvespredningens Theori,
Af
L. Lorenz.
Vidensk. Selsk. Skr. G. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. II. 5.
Kjøbenhavn.
Bianco Lunos Kgl. Hof - Bogtrykkeri.
1883.
Any he rye
te ©
MAL ak Ve" DEREN Lo 7 BIER an ER a,
an ’
ig i
7 i J
ludo Raed | <
Meret ummm AN
Da vi kjende saavel Lovene for Lysbevægelserne i et fuldkommen homogent og gjennem-
sigtigt Medium som Lovene for Bevegelserne ved Overgangen fra et saadant Medium til et
andet lignende, saa maa det altid vere muligt uden nogen som helst Hypothese at beregne
Lysbevegelserne i det Indre af et ikke homogent, overalt fuldkommen gjennemsigtigt
Medium, naar kun Lysets Hastighed, den eneste Storrelse, hvorpaa det her kommer an, er
bekjendt i ethvert Punkt af samme. Jeg skal her forsoge at udfore en saadan Beregning
med det Formaal, at udlede Loven for et isotropt, gjennemsigtigt Legemes Farvespredning,
navnlig for saa vidt denne er afhængig af Bolgelængden og Legemets Vægtfylde.
De almindelige, til en variabel Forplantningshastighed svarende, Love for Lys-
bevegelserne har jeg allerede for 20 Aar siden udviklet i min Lystheori. Disse almindelige
Love skal jeg her, uden at støtte mig paa tidligere Arbejder, udlede paa ny og paa en
simplere Maade.
Da endvidere Opgaven gaar ud paa at beregne Lysbevegelserne i et Legemes Indre,
saa maa en bestemt indre Konstitution af Legemet forudsettes. Der kan vel neppe herske
nogen Tvivl om, at Legemerne bestaa af adskilte Atomer eller Molekuler, og det fremgaar
yderligere af min Theori af Refraktionskonstanten, som har vist sig i god Overensstemmelse
med Erfaringen, at ved alle fysiske Tilstandsforandringer forbliver en Del af Lysmediet
uforanderlig forbunden med Atomerne, medens Lyset i det ovrige Mellemrum forplanter sig
med samme Hastighed som i det tomme Rum eller i Verdensrummet. Forøvrigt bliver der
med Hensyn til Atomernes Gruppering og Lysmediets Afhengighed af denne Gruppering
endnu en vid Mark aaben for Hypotheser, men til en Begyndelse maa Beregningen ind-
skrenke sig til de simplest mulige Forudsætninger. Jeg antager derfor, at Lysets Hastighed
ner ved Atomerne, som jeg betragter som mathematiske Punkter, er en Funktion af Af-
standen fra Atomet og den samme Funktion for alle Atomer, at endvidere Hastigheden i
sterre Afstande er den samme som i det tomme Rum, og endelig, at Atomerne ere lejrede
tilfældigt, dog saaledes, at de tilfredsstille Betingelserne for Legemets Isotropi.
21*
168 4
Man vil her kunne gjore den Indvending, at Atomernes indre Bevægelser ligeledes
ere en uomstodelig Kjendsgjerning, som ogsaa maa tages med i Betragtning. Efter de for
Tiden gængse Forestillinger ere disse Bevægelser af en dobbelt Art, dels nemlig saadanne
som antages at være identiske med Varmen, dels andre, som foregaa i Takt med Lyssving-
ningerne og som antages at være Aarsagen til Legemernes Absorbtion og Udstraaling af Lyset.
Skjondt jeg ingenlunde anser Identiteten af Varmen og de indre molekulære Be-
vægelser for bevist, saa betvivler jeg dog aldeles ikke saadanne Bevægelsers Existens, men
de Hastigheder, hvorom her er Tale, ville i Sammenligning med Lysets Hastighed altid være
saa smaa, at de ingen kjendelig Indflydelse kunne faa paa Lysbevægelserne. Det eneste
bekjendte Spor af en Indvirkning af Legemernes Bevægelser paa Lyset (bortset fra et meget
tvivlsomt, 33 Aar gammelt Forsøg af Fizeau over Lysets Gjennemgang gjennem strømmende
Vand) er Stjernernes Aberration, men de molekulære Hastigheder ere endnu langt mindre
end Jordens Hastighed i Verdensrummet.
Den anden Art af Bevægelser danner Grundlaget for de nyere Lystheoretikeres
Arbejder over Absorbtionen og Emissionen. Mod Antagelsen af disse Bevægelser kunde
strax gjøres den Indvending, at naar et Legemes Atomer skulde ligesom Lyset kunne udføre
500 Billioner Svingninger i Sekundet, saa maatte der være saa uhyre Kræfter tilstede i
Legemets Indre, at en Forskydelse af en Billiontedel Millimeter fra Ligevægtsstillingen
af de i et Gram indeholdte Atomer vilde udkræve et Tryk af en Billion Kilogram. Denne
Hypothese er dog ikke opfunden for at forklare en eller anden umiddelbart ved Lyset frem-
kaldt Massebevægelse, da vi overhovedet ikke kjende nogen saadan Virkning af Lyset, men
kun til Forklaringen af-visse optiske Fænomener, som maaske ogsaa kunde forklares paa
anden Maade. Hvorledes nu dette end forholder sig, saa vil det dog i ethvert Tilfælde være
nødvendigt først at beregne Medsvingningerne af det Atomerne omgivende Lysmedium
under Forudsætning af, at Atomerne ere i Hvile. Skulde det derefter vise sig nødvendigt
at antage Atomernes Medsvingninger, saa vilde disse altid bagefter kunne medtages i
Regningen.
De almindelig anerkjendte Love for Lysets Svingninger i et isotropt og fuldkommen
homogent Medium kunne udtrykkes ved følgende Ligninger:
= ae Lady > dé
dé ade? “27 adi? ?> «dt? | (1)
DEN CAE pices |
dx | dy dz
2
idet & 7, € ere Lyssvingningernes Komposanter og
d? d?
A, + dy? Ir
dx?
d?
de?
a betegner her Lysets konstante Forplantningshastighed.
5 169
Ved Overgangen fra et saadant Medium til et andet lignende, hvor dog Hastigheden
er forskjellig, folger Lysstraalen den bekjendte Sinuslov, medens ifolge de af Fresnel op-
dagede Love Amplituderne i de indfaldende, brudte og titbagekastede Straaler forholde sig som
2 cos asin 2 _tg(a — 8)
naar den indfaldende Straales Svingninger ligge i Indfaldsplanen, og som
‚2cosasinß, sin(a— f)
sin(a +) sin(a + 2)"
naar den indfaldende Straales Svingninger ere vinkelret paa Indfaldsplanen. Ved a er
Indfaldsvinklen, ved 3 Brydningsvinklen betegnet. Polarisationsplanen er her antaget vinkelret
paa Svingningsretningen.
Den af mig udviklede Theori gaar alene ud fra, at disse Love ere almindelig gjæl-
dende, saaledes at alle Afvigelser fra disse Love kun hidrøre derfra, at intet Legeme er
fuldkommen homogent, og at Overgangen fra et Legeme til et.andet foregaar successivt,
uden Afbrydelse af Kontinuiteten.
De ovenfor angivne Love kunne ogsaa udtrykkes paa en anden Maade. Naar
Koordinatplanen yz tages som Grænseplanen imellem de to Medier, saa ville de fire
Størrelser Eu 2
NE Tee CEE
da dy? az de
paa begge Sider af Grænseplanen faa lige store Verdier, hvilket fremgaar af de angivne
Love, ligesom ogsaa disse omvendt kunne udledes af denne Sætning. Heraf følger, at
d dy dé > d {dy da
de\de dy) ® dz\dz =|
for Exempel
ere endelige overalt, ogsaa for « — 0. Ved Addition af disse to Størrelser erholdes
dé
Annee
dy
Dette Udtryk bar altsaa overalt en endelig Verdi. Man vil saaledes ifelge den anden Lig-
ning (1) kunne danne Ligningen
som fælles for begge Medier, idet w er Forplantningshastigheden, som antager forskjellige
Værdier i de to Medier. Paa ganske lignende Maade kan man af de ovenstaaende Grænse-
betingelser udlede Ligningen
Ps dé i a2G
JIE ZT VE eke en = 7
2 dz w dt?
170 6
og, da yz-Planen vilkaarlig er valgt som Grænseplan, ved Omsætning af Bogstaverne
ME Ch Gis
De de «? dt?"
Saaledes ere altsaa alle Lovene for Lysbevægelserne udtrykte ved tre partielle Diffe-
rentialligninger, af hvilke atter de Love, vi ere gaaede ud fra, let ville kunne afledes. De
fundne Differentialligninger maa ogsaa vedblive at gjælde, naar w betragtes som en hvilken
som helst Funktion af x, y og 2. De indeholde egentlig intet nyt, og man vilde kunne
undvære dem, men de ere af stor Betydning for den praktiske Regning.
Indskrænke vi Beregningen til en Belgebevægelse med given Svingningstid, kunne
vi udtrykke Afhængigheden af Tiden ¢ ved den fælles komplexe Faktor e“, Sættes
k2
ao ae
gaa de ovenfor fundne Differentialligninger over til
N dé 14 -
def — Gate = 0, dy gi tig = 0, 426 — tee = 0. -.. 2)
Jeg skal forst soge at bestemme Lysbevægelsen i et af koncentriske kugleformige
Lag bestaaende Medium, hvor Lysets Hastighed er alene Funktion af Afstanden 7 fra
Centret, Inden for ethvert af disse Lag antages # konstant, medens i de forskjellige Lag
y antager forskjellige Verdier. Selvfolgelig udelukker denne Forudsætning ikke det Til-
fælde, at ~ forandrer sig kontinuerlig, da Lagenes Tykkelse altid kan antages saa lille,
som man vil.
Settes
x& + yn + 2€ = p,
og multipliceres Ligningerne (2) henholdsvis med a, y og z, saa erholdes ved Addition
dr?
dp = Ta + 10 OS ee ame oe N (3)
De samme Ligninger (2) differentierede med Hensyn til x, y, z og adderede give
dup 4
ge BAT OC CA EEE (4)
Medens x i Grænsefladen mellem to Lag forandrer sig diskontinuerlig, ville visse Funktioner
af Svingningskomposanterne overalt variere kontinuerlig. Saaledes fremgaar af Ligning (3), at
Pro dr?)
rdr? rdr
er endelig overalt, hvoraf følger, at
dro
dr ie
i 171
er en kontinuerlig Funktion, som altsaa paa begge Sider af enhver Grænseflade, hvor y
forandrer sig diskontinuert, har den samme Verdi. Jeg vil udtrykke dette ved folgende
Betegnelse
une dl —
cz 7 q 0.
Da endvidere paa begge Sider af Grænsefladen y er konstant og # derfor lig 0, saa redu-
ceres denne Grensebetingelse til
tap is PER BEDE aa Soi (5)
En anden Grænsebetingelse fremgaar deraf, at
maa være endelig overalt, da Differentialkoefficienterne med Hensyn til 7 her bortfalde.
Indsættes heri den i Ligning (4) angivne Verdi af 4, gaar Udtrykket over til
_ 1 dup
p adr r
7
hvoraf følger, at wo er en kontinuerlig Funktion, og at man altsaa for alle Grænseflader har
BEER NET ER (6)
Disse to Grænsebetingelser i Forbindelse med den inden for ethvert Lag, hvor y er kon-
stant, gjeldende Differentialligning
AY pe DR ee M ER (7)
ere tilstrækkelige til Bestemmelsen af p.
Naar i den første Ligning (2) sættes 2 — rcosg, ses det, at
CRETE då .
Tie. GR SS ne sin @
er en Storrelse, som overalt er endelig. Da endvidere ligeledes, som ovenfor vist,
ere endelige overalt, saa fremgaar, at
d’rE
dr?
a É a op
— COS @ > + sing drdp =
er en overalt endelig Størrelse. Efter at dette Udtryk er omdannet til
ré d 2)
dr? dr\ da)?
erholdes heraf Grænsebetingelsen
ES aie. aie bo à rr (8)
dr dx
dré 0
dr dr?
er endeligt overalt, saa erholdes som anden Grænsebetingelse
Re = jell == 416 à 608800 6 4 0066 6 00e (9)
I Analogi med disse to Ligninger dannes
dr do a
7-2 == un ee |
ER, a: (10)
es Sal 2p LEE =
E À nel LE
til hvilke Grænsebetingelser slutte sig de udenfor Grænsefladerne gjældende Differential-
ligninger x
Höfe —= 0 Aen LIU AE CCE LEON a ee (11)
Desuden skal man her have # — 0.
Funktionerne p, €, 7 og € kunne udvikles i Rækker efter Kuglefunktioner. Jeg vil
imidlertid her benytte en fra den sædvanlige forskjellig Form, hvorved der opnaas en be-
tydelig Lettelse i Beregningen. Sættes
d” 1
da" dy" r
og antages, hvad der for den folgende Regning er tilstrækkeligt, at p, £ og 7 ere lige
Funktioner af z, € derimod en ulige Funktion af 2, vil man kunne benytte folgende Ud-
viklinger:
Va I E—= Væ+y?+ 2,
yen mm =. gr Mm y" > møn d 7m 12)
RE wear an ade WE) A
yo" m = ws 21
Pp Ana RRS nen ee
idet Summationen udstrækkes til alle hele Verdier af m fra m = 0 til m = n i de tre
første Rækker og til m = n —1 i den sidste Række, og dernæst til alle hele positive
Verdier af n fan = 0 til n — ©. Koefficienterne 9”, €”, 7,, € ere alene Funktioner
af». Tillige bemærkes, at naar der i Regningen indkommer Differentialkoefficienter med
Hensyn til z af højere Orden end den første, saa bortelimineres de ved Hjælp af Ligningen
Al WE (Eh
Af Definitionen af V” fremgaar endvidere
d VÆ n + 1 7m
ete pe y SARE
dr r z
Naar Rækkeudviklingerne indsættes i Ligningerne (7) og (11), ses det, at Koefficienterne
m em m gm
Pro n> Ans ©, maa tilfredsstille Differentialligningen
2f 2 2
Er Ru ENO oe ic: begs (13)
dr? r dr
9 173
Denne Ligning har de to partikulære Integraler
n —= »2n+1 ih ee pe sis Se hut
2 : ( 2(2n + 3) aise 2.4. (Qn + 3) (Qn ge 5) |
b Fe pers | SPAM OU (14)
Rte ee DE AR Ten es
Man vil altsaa kunne sætte
Pa = kre, Ar PA) n ? EX TE CAR Sr and, 9 |
ON ere oe (15)
Tipe en, my PA mn m J b
pee bn Gn Ar [RR 7 Sate nen a In CU )
idet alle disse nye Koefficienter ligesom y ere konstante inden for ethvert af Lagene, men
have forskjellige Værdier i de forskjellige Lag. Af Ligningerne (14) erholdes
den dé 12
— (9 EN le 4]
rdr len rdr ee \ Hs
- . (16)
9 d n 9 d n
er zn Pt Oy tae a. Sie (CRETE
Ifølge Definitionen af V” har man
0 2770 70 2
a, al, DEN =
Differentieres den første Ligning n — m Gange med Hensyn til # og m Gange med Hensyn
til y, og differentieres den anden Ligning x — m + 1 Gange med Hensyn til = og m — 1
Gange med Hensyn til y, saa erholdes to Ligninger, som let omdannes til
(2n-+ 1) av" r LUE (n? — må) vi + m(m—1)V ae | i
sf /
(2n-+ 1) y ye — = r? GEVÆR +L (n—m + 1) (n — m) V" | — (2n— m 1) (m — 77.) fil
Paa lignende Maade og med Benyttelse af de sidste En erholdes
(2n+1)2V" = — ne Vi + (n—m) (n m—1) > ve Hmm) À VÆ . (18)
Af denne Ligning erholdes endvidere ved Differentiation med Hensyn til 2, naar n — 1
sættes i Stedet for »,
| ye m m+2 m m+2
(2n + eV amt Be, avers (mn — m —1)n —m—2)V7",
— ((n—m—1) + n-+m’) v" , — m(m—1) er: (9)
n—1
De fire Størrelser p, & 7, € ere indbyrdes forbundne ved Ligningerne
d& dy , dg
zé + yy + 2È = p, heroes:
For at bestemme de heraf folgende Relationer imellem Koefficienterne 9”, 0.58. v., danner
(a) On? 7
jeg først følgende Rækkeudviklinger, idet s er et vilkaarligt Tal,
rv
w
Vidensk, Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd, II. 5.
174 10
drsxé s+1 dé > un
Kr: nash! us Tr ANNE Sl pa st! m
dr : dx 26, ((s ny al n 2 J a
dry s+1 dy UNE 1 væ sa)
"dr ar dy 7% N, ((s—n)a Y n 7 n+1 /
drsz @ s+1 dE m s—1 d m $ 2
SR LC eS AL A pe S Sti zm rm +42
dr = dz mir (s n)r- “dz V n—! aime (i nel n+1 DE
Ved Addition af disse tre Ligninger erholdes paa venstre Side
5 5
s—n—1 m
disp = ala, On rå Pa (PE
dr dr Pi
3 SMK EN 7m ym d
Paa højre Side indsættes de ovenfor fundne Verdier af #V", yV” og oe OU hvorefter
az
paa begge Sider Koefficienterne til V” sættes lige store. Paa denne Maade erholdes, naar
man sætter s — n + 1,
m
2n—1 dp, em m—1 gm gm—2
In +1 rdr SR ara 1 Sn—1 Sn 1 =a 0, Ce De D + 00 9 (20)
og naar man setter s — —n,
m
In +3 2n+2 d Pn m+2 2 2\ =m
La ne, aL 9 lose NET ee Pa Ore art
ini dr pm —- (m + 2) (m + Ulmer (2 +1) m) En (m +- 1) (2n m+ VW Ana
m—1 m+2 2 2 m
+ (n—m +-2)(n—m +1) 7,5, — (m-- 2)(m-- IN) Gat — (In —m) +m +n + lan
7 m—2
Un me 2) nl) = 04.0" he feo (abba Fa: (21)
Indsættes heri de i Ligningerne (15) givne Udtryk for 9”, 0. s. v., saa erholdes
med Benyttelse af Ligningerne (16)
DE ‚Mm m m—1 Re Allee | ae
Zn—1)k a, +b c c = (D),
n—1 n—1
LL m m 5m—t m LES) CENT) ET CEE Ce Q
ER yo 5 ae Li, FE
In + { % G4 D Pa 1 Mn Mn 0, J
= an ET k + (m + 2) (m + tant? = (In IE = m’) CAE — (m +1) (2n—m+ BEN
+ (n—m 4- 2) (n—m + 1) Ca — (m-- 2) (mi DER = (In — m)” m nt De,
— (n— m +2) m — m + iles = 0,
(23)
— (In + 3) Zn —- (m 4-2) (m + æg — (in +- 1} — m’) ira — (on + 1) (In — m +-1 WEES
5m—1 m+2
+ (n—m-- 2) (n — m + 112,4 — (m + 2) (on +- ler — ((n — m)? + m? + n-- 1)
m
ni
— (n — m +2) (n— m + lire = 0.
Foruden disse Relationer imellem de indenfor ethvert af Lagene konstante Koefficienter maa
man ogsaa opsøge Relationerne imellem de forskjellige Koefficienter i to tilgrænsende Lag.
FR
11 175
Betegnes Koefficienterne i det indre tilgrænsende Lag ved et Mærke, og er 7 Grænsefladens
Radius, saa erholdes af Ligningerne (5) og (6)
on py a , 5
dp LM ON CN te,
AL] n m
i ng eg en ge loue CS
er, mm]
idet CA og w ere de samme Funktioner som @, og 4,, blot med Forandring af y til y.
Naar den betragtede Grænseflade er den Centrum nærmeste, saa tilhører Koefficien-
terne k”" og x” det centrale Kuglelag. Her maa alle Koefficienterne x” forsvinde, da i
modsat Tilfælde o vilde blive uendelig i selve Centret, og af Ligningerne (24) kan, ki bortskaffes
ved Elimination. Derefter kan man gaa over til den næste Grænseflade og saaledes videre,
hvoraf ses, at man for et hvilket som helst Lag vil kunne finde en Ligning
De May N SEES bre Re mi eher (95)
hvor p, afhænger alene af x og af de Verdier, som y og Grænsefladernes Radier gjennem-
lobe indenfor det betragtede Lag.
Ligeledes erholdes af Ligningerne (8), (9) og (10) ved Indsættelse af Rækkeudviklin-
gerne og Sammenligning af Koefficienterne til V sex Ligninger, som ved Hjælp af Lig-
ningerne (20) og (21) kunne reduceres til folgende to Grænsebetingelser:
[m (€ — ee) —-(n—m-+ 1) es — Ge )| = ()),
l „m m m— m—2
F Ze SR En ) ua 1) (7 — Så )| 0):
Sæltes for Kortheds Skyld
BETT D PT
m(a, — 7") —- (n—m+ (ar — 7) = G\ ; J
saa erholdes med samme Betydning af de markerede Bogstaver som ovenfor
m m Im ! tm
Pn ar 0} (OM = 5, Pn AF On (OM 7
; sm D 9
de dé „do „dd aaa a
m n N m n x m n m n
8 bo Di me LO) — ,
In Ur n dr dr,
hvoraf atter, paa ganske lignende Maade som ovenfor, erholdes
m m
RE DR NE re)
idet q, alene afhænger af n og af de Verdier, som y og r gjennemlobe indenfor det
betragtede Lag.
Efter at saaledes de almindelige Ligninger til Udforelsen af Beregningen af Lys-
bevægelserne i et af koncentriske, homogene Kuglelag bestaaende Lysmedium ere opstillede,
skal jeg gaa over til Undersogelsen af Lysbevægelserne i det Indre af et isotropt Legeme,
227
176 12
idet jeg, saaledes som bemærket i Indledningen, Betragter Atomerne som Punkter, hvor-
omkring Lysmediet indtil en vis Afstand lejrer sig i koncentriske Lag, medens det udenfor
denne Afstand, som antages mindre end to Naboatomers halve Middelafstand, forholder sig
som i det tomme Rum. i
Er ö den halve Middelafstand af to Naboatomer, og antages i Afstanden 0 fra et
af Atomerne Lyssvingningerne parallele med y-Axen, saa vil man, naar tillige Bevægelsen
antages at forplante sig i Retning af z-Axen, kunne sætte
OT NO ED NC Ve om EE ET (29)
idet / er en Funktion, som gjentager sig periodisk fra Atom til Atom. Den sidste Formel
fremstiller altsaa en Bolgebevægelse, som forplanter sig igjennem Legemet med Hastig-
heden =
For nærmere at bestemme Betydningen af Funktionen F, ville vi betragte to Atomer,
hvis Afstand er 29. En ret Linie igjennem de to Atomer skjerer de to tangerende Kugle-
flader, hvis Centrer ere de to Atomer og hvis Radier ere lig 6, i de tre Punkter A, B og
C. De Verdier, À antager i denne rette Linie, kunne fremstilles ved en Kurve, som fra A
til B og fra B til C gjentager sig paa samme Maade, saaledes at F faar de samme
Verdier i A og i B, og at Tangenterne til Kurven i disse to Punkter blive parallele. Da
r regnes positiv til begge Sider fra Centret, vil altsaa i A og i.B faa lige store Ver-
dier, men med modsatte Fortegn.
Man har
ME = dy = dV
i hvilken Række Leddene for to diametralt modsatte Punkter blive lige store og for n lige
faa samme Fortegn, for n ulige modsatte Fortegn. Man vil folgelig erholde
for 7 =o
lri m yrm m ym —lai m yrm m 7m
y pater y z+’ j
É (72, V 2n HE Ton +1 y a) ie (7, J 2n Tan +1 J 2n 4) 7
d lær sf m vr 1 m ae —Ilxt yy fm væ m y" 10
En e 2 (ton on T Yon+i" 2n Rn) ec (7% an Mm+1" 2n Hy) =;
hvilke Ligninger kunne omdannes til
li —Iri m rm di — ri m rm
De Ss x 51 / VW / —
(e e RE AG (e +e ae a Ve 0, |
. . (30)
lxi —Iri d ym rm tri —lxi d yom rm Roi
(e 21226, ) 2 Yan Van + (€ € ar Banta Van +4 = LL J
Disse to Ligninger gjælde for de Punkter, hvori Kuglefladen tangeres af en anden lignende
Kugleflade. Dette er altsaa kun et begrenset Antal Punkter, men disse Punkter ligge til-
fældigt og kunne, da Legemet antages isotropt, med samme Sandsynlighed falde i ethvert
Punkt af Kuglefladen. Jeg antager derfor Ligningerne almindelig gjældende for alle Punkter
a
i Kuglefladen + — 0.
13 177
Ved den videre Behandling af disse Ligninger er det af Vigtighed at bemærke, at
læ kan betragtes som en meget lille Storrelse. Denne Omstændighed har allerede været
benyttet af Helmholtz"), som i sin Dispersionstheori er gaaet ud fra den Antagelse, at «de
ponderable Deles indbyrdes Afstande ere forsvindende smaa i Sammenligning med Bolge-
lengderne». Man er i Virkeligheden som bekjendt ad meget forskjellige Veje bleven i
Stand til i det mindste at danne sig et Begreb om disse Afstande. Saaledes vil Bolge-
længden af det synlige Lys for Exempel for Vand vere henimod 10000 Gange større end 0,
og for Luftarterne maa, selv ved den storste Fortynding, hvorved overhovedet Farve-
spredningen lader sig maale, Bolgelængden endnu vere flere hundrede Gange storre end 0.
Nu er
A a EN
FU Apr: Man:
naar N er Legemets Brydningsforhold, © Lysets Hastighed i det tomme Rum og 2 den
ligeledes til det tomme Rum svarende Bolgelengde. Af den sidste Ligning ses, at la,
som i ovenstaaende Formler ikke kan blive større end /9, maa vere en meget lille Størrelse
x
(4
af samme Orden som BE
Tillige bemærkes, at naar y for r — 9 betegnes ved wy, saa er
ke 47°
OT Fe
og altsaa
12
Ho
Det ses heraf, at naar /d betragtes som en uendelig lille Størrelse af første Orden, saa vil
|
N? . (31)
#99 være uendelig lille af anden Orden, og at N? fremtræder som et Forhold imellem to
uendelig smaa Storrelser af anden Orden.
Idet altsaa /@ betragtes som en uendelig lille Størrelse, erholdes af Ligningerne (30)
NM PM 1 ym zm Euer
lai an lu 1 Te 0,
av ir
d y 7m + lai Es m gm N
dr = a 2n Fr > pre 2n +1
Ved Hjælp af den første Ligning (17) fremgaaer heraf, idet Koefficienterne til V,,,, og Vi’
2n+1
sammenlignes, for r — à
; 7? IR (Zn Ed m? iy ae (m + 2)(m + 1) n+e )+ m eG
An + 1 72 Ant 5 Ton +2 © AnL5 Yon +2 Man un | Is)
2 2 2 ‚22
ae cial N 7” m (2n +1) —m? , (m + 2) (m + 1) m ah Rn 0 J
dr pnt? py deo 5 Ant 3 Von aes = Mon +1 Pere ans
1) Pogg. Ann. Bd. 154, S. 584.
178 14
Sættes x = 0, m = 0 erholdes
70 0.
. . 2 0 . à . . ey
Da man vilkaarlig kan betragte 7 7 som en endelig Størrelse, saa ville de i den første
. . . 2 . po . .
Ligning indgaaende Størrelser 7, og 7, kun faa Betydning, for saa vidt de ere endelige.
12
Naar der derfor i den anden Ligning (32) sættes n = I, m — 0 og m — 2, saa vil det
forste Led, som indeholder Faktoren /7, kunne bortkastes, hvorefter faas
in 72 = 0)
Gh il 2% TIRE
== — 0 — 7, = 0
dr 73 72 arene
Ved Indforelsen af de konstante Koefficienter (Lign. (15)) erholdes heraf for de til
det yderste Lag indtil 7 — 9 svarende Konstanter, naar de uendelig smaa Størrelser
bortkastes,
20,0 — 38%, 20 — 3
For det samme Lag er ifølge de to første Ligninger (29)
a,0° + a, = (N, ED + vs — 10!
Sættes endvidere i den anden Ligning (22) n = 3, m = 1 og m — 3, erholdes
med Bortkastelse af det forste, uendelig lille Led,
,+ß&—n—0, R-n=0;
medens Ligningerne (23) for n = I, m = 1 give
+ 2b) — 3¢, = 0,
— 3a,— 4b,
— 5x, — 3a,— 1 +28, — 37, — 0.
Disse 8 Ligninger ere dog endnu ikke tilstrekkelige til Bestemmelsen af de 8
Konstanter ved xs da det viser sig, at Ligningerne indeholde en Identitet. Imidlertid
fremgaar af Ligningerne (26) og (28) for n = 2, m — 1,
OE ee BC DO — ay — 7, — 2%, 6, = 4,8,
som med Ligningerne ovenfor give
80 = — 2, o, = — 3%, altsaa 38,0 — 28%.
Men da g, kun afhænger af de Verdier, som y og Grænsefladernes Radier antage indenfor
det yderste Lag, saa maa man have Bb — 0. Dernæst erholdes af de ovenfor fremsatte
Ligninger
15 179
Indsættes endvidere i Ligningerne (22) n — 1 og m — 1, erholdes
1 0 1 1 =0
Bu 0 urn 0,
gjældende for alle Lagene. For det yderste Lag, hvor y betegnes ved wy, er saaledes med
Bibeholdelse af de smaa Storrelser af anden Orden
ye, ees I al 1
ma || Brag Lo? a 3 LOX:
Ligningerne (33) ville nu kunne omdannes til
ag ed sae Ar
UD = 4) + Bd + B=
— li(b,o = 28 JE PAU 0 iat = (I).
hvoraf erholdes
2 1 ao 1 08 „0
l kO+ x, WO + 6
a
- = M— 3 Lat 0rS 0
Ly Kö Sq Boa
Ifølge Ligning (25) er
NH
A Daun:
Endvidere er ifølge den første Ligning (29) for 7 — à El — 0, altsaa med Bortkastelse af
de uendelig smaa Størrelser af højere Orden
ad + a, = (1);
og sættes i den anden Ligning (22) n — 2, m — 1 erholdes med Bortkastelse af det
forste uendelig lille Led af anden Orden for det yderste Lag
„0
a, + en = OF
medens Ligningerne (26) og (28) for n — I, m — 1 give
ae 1 Aas UE" AU ES A
a Sian) me UC
Af disse Ligninger folger
8? go
Pi 4,9
N D Ps À + qi
= 7 Sg. ls te RTE ie ele ABA
ip, iQ | a
hvor p, og g, ere to af à uafhængige Funktioner.
Pr 1 8185
Vi have antaget #7? uendelig lille i det indenfor » — 9 liggende ydre Lag, men
i andre Lag maa denne Størrelse antage en endelig Værdi, hvis overhovedet en ren
i Legemet skal finde Sted. Antage vi, at sr” indenfor Grænsefladen 7 — ¢ bliver endelig,
saa vil af den anden Ligning (24) erholdes
Le Im
for 7 =e, 0 — ke, FLE (4, (LÆR
180 16
1
7m ' .
= pik ", hvor p, er uafhængig af e. Man
n?
medens man ifølge Ligning (25) skal have x”
maa folgelig have ie — 0 og 2" — 0, det vil sige, Svingningerne ere indenfor Grænse-
fladen r — £ vinkelret paa Radius. Dette er ogsaa umiddelbart indlysende, da vor Forud-
sætning er ensbetydende med, at Lysets Hastighed i Grænsefladen 7» — € fra en uendelig
stor Værdi gaar over til at blive endelig, hvorved alle indfaldende Lysstraaler maa brydes
ind til Midtpunktet og Svingningerne derfor blive vinkelret paa Radius.
Dernæst erholdes af den første Ligning (24) for n = 1, m = 1
1
H:2e—— = 0, hvoraf p, = 2e.
Man vil altsaa tilnærmelsesvis kunne betragte p, som en Størrelse, der er proportional med
Rumfanget af det i Alomets Nærhed stærkt forandrede Lysmedium, men er uafhængig af
selve dette Mediums Brydning.
Den anden i Ligningen (34) indgaaende Størrelse g, vil vere at beregne af Lig-
ningerne (27) og (28).
Paa hvilken Maade g, afhænger af Bolgelengden, skal jeg først søge at oplyse ved
et Exempel. Jeg antager, at z udenfor Grænsefladen 7 — € er lig 0, indenfor endelig
og overalt konstant lig a’. I Ligningerne (27) vil i dette Tilfælde a” vere lig 0, og sættes
n — 1, vil man med Bortkastelse af den ovre Index m have
3 ly 3 1 5
8€ + i= 4e — 104€ +)
3 ee
SE = 8, PE pans Lie mir )
hvoraf findes a a er ER ie
8 ne ie ea?
Man vil altsaa, forudsat at Rækkeudviklingen er konvergent, kunne udvikle 9, i en Række
1
722?
Naar ganske i Almindelighed betragtes som en endelig og kontinuerlig variabel
Funktion, saa maa man gaa tilbage til Differentialligningen (13), af hvilken Grænse-
betingelserne (27) kunne udledes. Antages ligesom for r — e som den Grænse, udenfor
efter stigende Potenser af og det forste Led i Rækken vil vere positivt.
hvilken » er 0, saa vil Opgaven vere at integrere Differentialligningen under de Betingelser,
; a 5 Hn 5
at man for 7 = 0 faar fr — 0 og for ry = & fn = nett), — — (In + 1)s,r?".
Efter Eliminationen af de to arbitrære Konstanter vil der da af disse tre Ligninger erholdes
en Endeligning til Bestemmelse af 9. Forudsettes det nu, at f„ overalt lader sig udvikle
: : å 1 ,
i en konvergent Række efter Potenser af den i y indgaaende Faktor Ge? saa vil det uden
Vanskelighed indses, at g, almindelig lader sig udvikle i en Række af Formen
17 181
Man vil saaledes se, at naar det til en uendelig Bølgelængde, og altsaa til g, — 0,
svarende Brydningsforhold betegnes ved À, saa erholdes af Ligning (34)
Som Resultat af denne Undersøgelse fremgaar, at Lovene for Brydningen i et
gjennemsigligt, isotropt Legeme med sædvanlig Farvespredning ville kunne udtrykkes ved
følgende Ligninger
A—11 N?— A? 1 a b
ee oem a ln lement cu
idet N er Legemets Brydningsforhold, d dets Vegtfylde, À og D to af Vegtfylden uaf-
hængige Konstanter. Endvidere er a en positiv Konstant, og som det af Ligningerne selv
fremgaar, vil A vere det til A — 2% svarende Brydningsforhold.
Den første af disse Ligninger har jeg allerede for 14 Aar siden!) udledet theoretisk
paa en ganske anden Maade, og Lovens Rigtighed har senere stadfæstet sig paa mange
Maader. Af mine egne Forsog over nogle Vædskers og deres Dampes Brydning har jeg
beregnet folgende til Natriumlinien svarende «Dispersionskonstanter» D, idet A er beregnet
ved den simplere Formel N? — 4? Fo
Vædske ved | Damp ved
10° 100°
Alkohole ar. cee 0,00585 | 0,00644
“thylethen nr eee 636 623
Chloroform ea 415 409
Jodathyitis C0 Te Sale 0579
SYoyIkulstofg NT EEE 1615 1732
Eddikexthere.e. ENT 536 | 550
Overensstemmelsen mellem Verdierne af J) for disse to forskjellige Tilstandsformer maa
betragtes som meget tilfredsstillende.
Naar de i (14) givne Rækkeudviklinger for g, og ¢, ikke ere brugbare, saa ville
disse Funktioner, naar for Kortheds Skyld sættes » — a?, kunne udtrykkes ved
„sin ar — ar cos ar g
vp; = 3 ant ==, db, = cos ar + ar sin ar.
Er f. Ex. y — 0 udenfor Grensefladen » — = og » — 4? indenfor denne Flade, vil man have
3 1, SiN ae — ae COS ae
ee == 0 :
1 1 1 d ’
% 2 råde .
38,€ = s,— sin ae,
“ao g a
1) Vidensk. Selsk. Skrifter, 5te Række, Bd. 8, S. 205. 1869
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og math. Afd. II. 5. 23
182 18
hvoraf erholdes
a, ie: 3e
Qi e cot der —.
a On
SH
Det ses heraf, at naar Bolgelengden 2 og derved ogsaa a gjennemlober alle Verdier, saa
vil 7, kunne antage en hvilken som helst reel Verdi imellem — og +». Ifølge den
anden Ligning (35) vil altsaa ogsaa ved visse Verdier af A N° kunne blive negativ og
folgelig N imaginær, hvilket i denne Regning er ensbetydende med en Absorbtion.
Antages, at y indenfor Grænsefladen r — = er endelig og at Rækkerne ere kon-
vergente, indtil de i en meget lille Afstand fra Centret gaa over til at blive divergente, saa
vil Absorbtionen kun indtræde ved enkelte bestemte Bolgelængder, saaledes at vi erholde et
sedvanligt af Absorbtionslinier ledsaget Dispersionsspektrum.
Idet saaledes den her fremstillede Theori ikke udelukker Muligheden af en Absorb-
tion, saa vil paa den anden Side en ufuldkommen Absorbtion, hvor N antager den komplexe
Form a+ bi, ikke kunne udledes af vore Forudsætninger. Hvis derfor Loven for den
anomale Dispersion skal udledes theoretisk, saa vil det vere nodvendigt at udvide Bereg-
ningen til et System af Atomer, som svarer til sammensatte Legemer eller Blandinger. Det
vil da forst vise sig, om det ogsaa vil vere nodvendigt at forandre selve Theoriens Grundlag
saaledes, at y betragtes som en komplex Variabel, hvilket atter vilde vere identisk med til
de oprindelige Differentialligninger for Lysbevegelserne at tilfoje et den forste Differential-
koefficient med Hensyn til ¢ indeholdende Led. I saa Tilfælde vilde Ligningerne antage den
samme Form, som jeg allerede har angivet i min Afhandling om Identiteten af Lyssving-
ninger og elektriske Stramme'). Der vil overhovedet, efter at ved de her angivne Methoder
Muligheden af Beregningen af Lysbevegelserne i Legemernes Indre er paavist, blive en vid
Mark aaben for videre gaaende Undersogelser.
1) Vidensk. Selsk. Oversigt 1867. Nr. 1.
Undersegelser angaaende
Mængden af Primtal
under en given Grænse.
Af
Dr. J. P. Gram.
Motto:
Est data lex numeris magnorum horrenda laborum.
En med Videnskabernes Selskabs Guldmedaille belønnet Prisafhandling.
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. IL 6.
Kjebenhavn.
Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri.
1884.
it PCA |
lulu ST Var u Spare D
te A Aj | ak En Al re N;
re PAU ENS ROSE qui IN FU É ENG
‘i Wiha tah] mi nf | ks" ey ° ie SR ead
Ale MORT UE EE en PNR jh À il
LE NP ex ie) ' Pas tå syer; ‘ee ;
‘Wen a a 5 } ohh jui a ei te iy HA
LA | , i Tr A ip PEE: ta UN ‘tae “woe |
débile PN DUB EN / L x LT is Bi hina) Au ki sé:
He y uy ( | i A AN PNG any War.) MAN, OMS air
vi’ wey i Ac sen tit YA Ål sorgen ih
ae Ay, LS A: A aS
Pe ONE hee | YA el pe aks) 0 dj L brag ue Fi,
ML LEE by at [4 ' MTS à j ur N a j LAN ne a, he
AR
Ar AN A ee ee i FE A ' # DV m ed SAY A
le 1 Mer re eta À I 4, I) a ‘4 di Be
Wi Acme Bee ‘ayo lara À RUN Sr
ar Fk W ia All ae SN did fe CLS ave to déduit 7
Yan
cu | SRE, ye (ETA SE SHS
Indledning.
At angive i analytisk Form Loven for Primtallenes Fordeling i Talrækken er el
Problem, som for en Mathematiker er saa fristende som kun faa andre. Thi paa den ene
Side fremkommer Problemet allerede paa det mest elementære Standpunkt, og paa den
anden Side frembyder det saa store Vanskeligheder, at det kan have Tillokkelse nok for
den storste Analytiker. Mange ere derfor ogsaa de Forfattere, som fra Tid til anden have
anstillet Undersogelser vedrorende Primtallenes Fordeling!), og naar man blandt disse kan
anfere Navne som Euler, Lambert, Legendre, Gauss, Dirichlet, Tchebycheff,
Riemann, saa maa det næsten synes merkeligt, at vort virkelige Kjendskab til Loven for
Primtallenes Fordeling saa at sige endnu kun er af tilfældig Natur. Riemann er den eneste
Forfatter, som med nogen Ret kan gjore Fordring paa Æren af at have lost Problemet.
I en Afhandling”), som trods sin korte og skitserede Form dog maa betegnes som en af
den moderne Analyses ypperste Frembringelser, har han ganske vist gjengivet Loven exakt,
men i en saadan Form, at det fundne Udtryk ikke lader sig anvende til nogen virkelig
Beregning af Primtalmængden op til en given Grænse, ja neppe en Gang med Sikkerhed
tor bruges til en tilnermet Beregning af denne Storrelse. Men naar selv en Riemann ikke
er naaet videre, saa maa dette enten ligge i selve Problemets Natur eller ogsaa i, at man
ikke har anvendt de mest passende Midler til Problemets Losning. Det vil derfor vere
hensigtsmæssigt, for vi gaa over til de specielle Undersøgelser, først at betragte Opgaven
fra et mere almindeligt Synspunkt.
De mest elementære Betragtninger give Midler til sukcessive at udskille Primtallene
af Talrækken og gjøre det indlysende, at Primtallenes Tæthed i det hele taget vil aftage,
efterhaanden som man kommer lengere frem i Talrekken. Ligeledes kan let vises, dels at
Primtalmængden er uendelig, dels at Intervallet mellem to paa hinanden folgende Primtal
kan blive saa stort, det skal vere. Paa den anden Side ser man af Faktortavlerne, at der
1) En Fortegnelse over den herhen horende Literatur findes i Glaisher’s Factor table for the fourth
Million. London 1879.
2) Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze. Monatsber. der Berliner Akademie 1359.
24"
186 4
saa at Intervallet mellem to paa hinanden følgende Primtal i Nærheden af et givet Tal kan
svinge mellem temmelig store Grænser. Den Funktion af 2, som udtrykker Mængden af
Primtal op til z inklusive — vi ville i det følgende betegne den ved #(x) — vil derfor være
en diskontinuert Funktion, som vel stadig voxende varierer med Spring af en Enhed, men
hvor Afstanden mellem Springene vexler meget uregelmæssigt.
Hvis man nu ikke stillede andre Fordringer til det analytiske Udtryk for (7), end
at Formlen skulde fremstille denne Funktion i en eller anden Form, saa vilde Problemet
ikke være vanskeligt at løse. Med lidt Behændighed er det ikke vanskeligt at danne ana-
lytiske Udtryk f. Ex. i trigonometrisk Form, som blive 0, naar 2 er et sammensat Tal,
1, naar © er et Primtal, og ved saadanne kunde altsaa #(x) fremstilles. Det vil til Bevis
for denne Paastand være tilstrækkeligt at henvise dels til Ramus’s Doktordisputats!) («De
functionum formis etc.r), dels til Prof. Lorenz’ Artikel «Om Primtalrekken» i Tidsskrift
for Mathematik 1878, eller til en Afhandling af Libri?), hvor lignende Former opstilles.
Men Vanskeligheden kommer først frem, idet man tillige maa stille den Fordring, at den
fundne Formel skal kunne bruges til Beregning af Funktionen (x). Thi derved viser
selv blandt de største undersøgte Tal findes Primtalpar, hvis Interval kun er 2 Enheder,
det sig strax, at slige Former blive ubrugelige. Ja selv saadanne Midler som uendelige
trigonometriske eller andre analoge Rækker, navnlig Udviklinger efter Kuglefunktioner, som
bevislig kunne bruges til Udvikling af arbitrære Funktioner, og som ogsaa her kunne an-
vendes, ville ikke kunne tilfredsstille denne Fordring. Thi omend slige Rækker, fortsatte i
det uendelige, kunne bruges — rent abstrakt taget — til Fremstilling af diskontinuerte
Funktioner, saa ville de dog i Nærheden af et Diskontinuitetspunkt blive saa langsomt
konvergerende, at det vilde blive et forgjæves Arbejde at summere dem, og naar tilmed
som her Diskontinuitetspunkterne optræde i uendeligt Antal og fordelte over hele Talrækken,
saa kan man neppe vente at finde en saadan Form, at den vilde vise sig skikket til nume-
risk Beregning selv for saadanne 2, som ikke svare til Diskontinuitetspunkterne.
Noget mere kunde man vente sig af Benyltelsen af bestemte Integraler, det er
ogsaa ved Hjælp af saadanne, at Riemann opnaar sine Resultater. Men ogsaa her frem-
kommer en lignende Vanskelighed som ovenfor paapegel, omend i en noget anden Form.
Et Integral, som skal fremstille @(z), maa nemlig ikke blot være diskontinuert, men da
selve Primtallene ikke explicite maa indgaa i det, saa maa det fremtræde i en saadan Form,
at Diskontinuiteten ikke tydelig træder frem. Allerede den Omstændighed, at Integralet
fremstiller en diskontinuert Funktion, vanskeliggjør Beregningen, thi det medfører, dels at
Integralets Elementer variere meget stærkt, og dels, at saadanne Rækkeudviklinger, f. Ex.
!) Ramus: Tentamen de functionum formis, originibus et variationibus. Hauniæ MDCCCXXXII.
?) Mémoire sur la théorie des nombres. Crelle's Journal Bd. 9.
or
187
for Faktorer under Integraltegnet, som i andre Tilfælde kunne anvendes med Held, her ikke
kunne benyttes, da Diskontinuiteten derved enten kan gaa tabt eller i alt Fald fremtræde
under ubestemt — altsaa ubrugelig — Form. Endnu vanskeligere bliver Forholdet, naar,
som her, Beliggenheden af Diskontinuitetspunkterne er ubekjendt, thi man vil ved Beregning
af saadanne diskontinuerte Integraler ofte have Lejlighed til at bemærke, at deres Bestem-
melse lettest udfores ved Deling i kontinuerte Dele, altsaa netop ved at fremhæve Diskon-
tinuiteten, og dette kan jo i dette Tilfælde ikke gjores. De tilladelige Transformationer af
Integralet blive derfor meget begrænsede og maa foretages med storste Forsigtighed, hvis
man skal undgaa at strande paa et af de mange Skjer, som en saadan Behandling frem-
byder. At Riemann har været i Stand til at gjennemfore sin Methode, er et glimrende
Vidnesbyrd om hans Geni, men at hans Resultat ikke er bleven helt betydningslost, beror
paa, at det er muligt at dele Funktionen #{x) i en Sum af to andre, af hvilke den første
og væsentligste Del er kontinuert og lader sig fremstille i Form af en Række, der kan
beregnes, medens den anden indeholder den diskontinuerte Korrektion, som skal anbringes
derpaa for at faa den korrekte Verdi af (2). Denne Korrektion fremtræder i Form af en
Sum af imaginære Integrallogarithmer, som afhænge af Rodderne i en transcendent Ligning.
Disse Rodder ere uden Tvivl atter afhængige af de sukcessive Primtal, men selv om denne
Afhengighed var fuldstændig udredet, vilde det vere meget vanskeligt at afgjore, om den
Række, der gives for Korrektionen, er konvergent og i saa Fald at afgjore, mellem hvilke
Grænser dens Verdi ligger. Det er muligt, at fremtidige Undersøgelser kunne bringe større
Klarhed til Veje paa dette Punkt, men en Sammenligning med de gjorte Optællinger viser,
at den kontinuerte Del af Riemann’s Formel giver en saa god Tilnærmelse til de virkelige
Primtalmængder, at der ikke kan være Tvivl om, at den af Riemann angivne Formel giver
et særdeles betydningsfuldt Vink om, hvilke Funktionsformer der skulle benyttes. Vil man
nøjes med en Tilnærmelsesformel, vil der neppe kunne opnaas noget bedre Resultat end
den kontinuerlige Del af Riemann’s — naturligvis, naar man ikke vil benylte mere sammen-
satte Funktionsformer — men der maa rigtignok i saa Fald gives den en noget anden
Begrundelse.
Forsaavidt man vil blive staaende ved Tilnærmelsesformler, kunde de saakaldte
«Interpolationsrækker» her synes at være paa deres Plads. Dette er utvivlsomt ogsaa Til-
fældet, men for at kunne bruges med Held, d.v.s., for at man kan nøjes med nogle faa
Led i Rækken, er det nødvendigt, at man først har nogen Indsigt i Beskaffenheden af den
Funktion, man vil udvikle. Thi kun i saa Fald er man i Stand til at vælge sine Udviklings-
funktioner paa den mest passende Maade. Og dette er nødvendigt, da Rekkerne i modsat
Fald blive for lidet konvergente og paa sine Steder for meget afvigende fra de virkelige
Værdier af #(x). Og selv i heldigste Tilfælde give de kun et saa at sige udvortes Kjend-
skab til den Funktion, man udvikler, medens de Relationer, som i Virkeligheden betinge,
188 . 6
at netop én bestemt og ikke nogen anden Funktionsform fremkommer, ikke ville findes ad
denne Vej.
Af alle disse Grunde ville vi i den følgende Afhandling ikke nærmere forfølge nogen
af de ovenomtalte Veje, men kun — væsentlig til Sammenligning og Orientering — give
en Fremstilling af Riemann's Methode; derimod ville vi særlig benytte rent taltheoretiske
Methoder for at se, hvorvidt man ad denne Vej kan naa. Disse Methoder synes i Virke-
ligheden at fortjene en noget større Opmærksomhed, end der hidtil er bleven skjænket dem.
Allerede Legendre har lært, hvorledes man ved Benyttelsen af Primtallene op til
Vx kan finde Primtalmængden mellem Væ og a ved Hjælp af ufuldstændige Kvotienter, og
Meissel har vist, at denne Beregning er praktisk udførlig selv for saa store Tal som 100
Millioner. En lignende Beregning er foretagen tidligere af Englænderen Hargreave og
senere af en fransk Forfatter, Piarron de Mondesir. Det Held, disse Forfattere have
haft, ligger uden Tvivl deri, at de have anvendt virkelig diskontinuerte Funktionsformer og
navnlig saadanne, som væsentlig stemme med Problemets Natur. Russeren Bougaieff er
gaaet videre ad samme Vej og har angivet en Formel for selve #/(x). Formler af denne Art
ere endnu langt fra at være det, man maatte ønske, og lade sig navnlig ikke direkte omdanne
til analytiske Tilnærmelsesformler. Men de give en større indsigt i den virkelige Natur af
Funktionen #(2) og de Relationer, som sammenknytte den med andre lignende, end de tid-
ligere nævnte, -og det er muligt, at fortsatte Undersøgelser af saadanne Former ogsaa ville
kunne lede til Opstillingen af brugbare Tilnærmelsesformler. Et væsentligt Skridt i lignende
Retning er paa et beslægtet Omraade gjort af Svenskeren Berger, der ved som Udgangs-
punkt at benytte en Formel, der oprindelig skyldes Dirichlet (Abhandlungen der Berliner
Akademie 1849), er naaet til at opstille en Række mærkelige Formler, som angive
Middelværdierne af visse symmetriske Funktioner af et Tals Divisorer. Analoge Betragt-
ninger lade sig ogsaa anvende paa Primtallene, og ved at sammenknytte disse med visse
Undersøgelser af Tchebycheff kan man paa en ret simpel Maade komme til en Bestem-
melse af Primtallenes Middeltæthed og derigjennem atter til Tilnærmelsesformler for for-
skjellige Funktioner af Primlallene op til en given Grænse. Mærkeligt er det, at man ad
denne Vej faar tilvejebragt en Forbindelse mellem tv saa forskjellige Methoder som de af
Tchebycheff og Riemann anvendte.
Uagtet denne Methode synes at give gode Løfter om et heldigt Resultat, er det
dog ikke lykkedes mig at gjennemføre disse Undersøgelser paa den Maade, det var ønske-
ligt. Alligevel tror jeg dog, at denne Methode fortjener nogen Opmærksomhed, fordi den
i Virkeligheden giver en Indsigt i det paagjældende Problems Natur som ingen af de andre,
og fordi den rammer noget af det mest centrale i det. Og netop at forsøge paa at trænge
ind til Problemets Kjærne har været Hovedformaalet for nærværende Arbejde. Vi have der-
for fra først af stillet os paa det Standpunkt, i første Række at finde et exakt Udtryk for
7 189
Primtalmengden eller for dermed beslægtede Funktioner, medens Sporgsmaalet om Tilnær-
melsesformler kun stilledes i anden Række.
Det er muligt, at man ved at stille sig paa det omvendte Standpunkt kunde have
opnaaet tilsyneladende større Udbytte, men til Gjengjæld vilde den indbyrdes Sammenhæng
mellem de forskjellige Betragtningsmaader neppe være traadt saa klart frem, som vi nu
tro er Tilfældet.
§ 1. Symmetriske Funktioner af alle Primtallene.
Som Forberedelse til Studiet af Primtallenes Fordeling er det gavnligt at gjøre sig
bekjendt med forskjellige Relationer mellem Funktioner af Primtallene og visse Funktioner
af Tallene i den naturlige Talrække. Uagtet disse Relationer væsentlig tjene til Beregning
af visse symmetriske Funktioner af alle Primtal og altsaa ikke direkte kunne benyttes,
naar man kun medtager Primtallene op til en vis Grænse, saa spille de dog i alle Under-
søgelser om Primtal en saa stor Rolle, at man altid maa have dem paa rede Haand. Vi
ville derfor nedenfor samle disse under et, idet vi dog for Bevisernes Vedkommende i de
fleste Tilfælde nøjes med Henvisninger til de Forfattere, hos hvem de findes. Et Primtal
vil her som overalt i det følgende blive belegnet ved p, eller hvis der er flere saadanne,
ved a, 6, e 0.s.v., og det bemærkes endvidere udtrykkeligt, at vi ikke medregne
Tallet 1 iblandt Primtallene, saaledes som f. Ex. Glaisher gjør det.
A 1 6
Allerede Euler") har undersøgt Produkter af Formen VIE — =); hvori p efter-
| Pp
haanden tillegges de Verdier, som angives ved Primtallene. Et saadant Produkt vil som
; 2 me ul
bekjendt*) være konvergent, saafremt dette er Tilfældet med Rækken. ur altsaa, da
il al! A aes : é
2 Be 25 hvor » —:1,2,3 0.8. v., i hvert Fald for » > 1. Udvikler man den reciproke
> nm
Værdi af hver af Faktorerne i Række, faas
NE 1 I 1
1— ) = | 4 +...
( p' pry ;
2 på
og altsaa faar man, naar alle disse Faktorer multipliceres sammen, og Leddene ordnes efter
deres Størrelse, en Række, der kan skrives som
1) Introductio in Analysin infinitorum Cap, XV.
2) Weierstrass: Theorie der analytischen Facultäten, Grelle's Journal Bd, 51.
190 8
1 I 1
sm U Se eu lita? (1)
der er ubetinget konvergent, saalænge » => I. Derfor bliver altsaa
À I
UE =) EE (2)
p s(r)
Den samme Ligning vil endnu gjælde for komplexe 7, for saa vidt mod r>1. Af denne
folger atter ved paa begge Sider at tage Logarithmen og udvikle i Række
I i 1
5
ıy ıy = (sir 7
at Pre me Is(r) for r>1, (3)
og ligeledes ved Differentiation med Hensyn til 7
Spt Sp-"lp 1 Sop +... = — nn — 2 (4)
s(r) 4 s(r)
der ogsaa kan skrives som
il s'(r) '
S'ip—T —2r ae ae en >>];
(p+ pt...) lp en s(n)? r5—> I (4)
Da man endvidere maa have
1(1—2). m(1 i x) = UE =):
p p pP
\
saa" kan ogsaa Værdien af Produkter af Formen UE +) bestemmes ved Hjælp af de
l
reciproke Potenssummer s(r), for saa vidt mod r > 1. For 7—=1 maa m( I ==, blive 0,
I
eftersom den reciproke Verdi giver den harmoniske Rekke, Produktet UE +2) maa
derfor blive uendeligt, og den Række, som faas ved at udfore Multiplikationen, divergent.
I
Udføres Multiplikationen af de enkelte Faktorer i Produktet H(i — =)’ faas en
Række, der kan skrives som
M(t —p—) = 1— Sat Da tb — Sabre +... (5)
hvor a,b,e... betegne forskjellige Primtal. Da Rækken er ubetinget konvergent for r > 1,
kunne Leddene i dette Tilfælde ordnes efter Storrelsen, hvorved faas
I
TT (1 — p) = 1 — 2-7 — 8 ST HT NOT IT. = (6)
aay
Man ser, at de enkelte Led indeholde rte Potens af saadanne Tal, som ikke ere
delelige med noget Kvadrattal, og med Fortegnet (— 1)”, hvor m angiver
Antallet af det paagjeldende Tals Primfaktorer.
Betegner man altsaa ved p(x) en Faktor, som for z — et Primtal eller et Produkt
af et ulige Antal forskjellige Primtal er lig —1, men for « — 1 eller et Produkt af et lige
Antal forskjellige Primfaktorer er +-1, i andre Tilfælde lig 0, saa kan (6) skrives som
Mt—p-") = pleat = —. (7)
1
s(r)
= bø 8
9 191
Hvor vidt ogsaa denne Ligning vedbliver at gjælde for 7— 1, allsaa om Rækken
Snl(a)ar" er konvergent, kan paa dette Stadium ikke afgjøres, senere skal dog vises, at
den ialfald er endelig og 1, naar den afbrydes ved et hvilket som helst Led. For øvrigt
vil en numerisk Beregning vise, at dens numeriske Verdi hurtig nermer sig stærkt til 0,
og at den snart er positiv, snart negativ.
Euler har foruden de nævnte Relalioner opstillet en hel Række andre, som dog
ikke uden videre kunne bruges, da der ikke fores tilstrækkeligt Bevis for Konvergensen af
de optrædende Produkter og Summer. Blandt disse kan f. Ex. anfores folgende:
BD Bei PEUR. le ss AI nay. Ty (8)
ee een 4
Tellerne i de her optrædende Faktorer ere alle ulige Primtal, Nævnerne de nærmeste
Multipla af 4, altsaa p-+-1 eftersom p = 4mF 1. For denne Ligning er der senere givet
et fuldstændigt Bevis af Mertens‘). En anden er folgende:
N ye u: TE IE
Fee Ne
hvori der kun indgaar Primtal af Formen 6n--1. Vi anføre disse Relationer, skjønt vi
a =e 9
273 (9)
senere ikke gjore nogen Brug af dem, fordi den forste giver os Anledning til en Bemærk-
ning. Det er klart, at alle ulige Primtal have Formen 4n +1 eller 4n—1, lad os antage,
at alle Primtal fra en vis endelig Grænse g at regne havde kun en af disse Former, altsaa
f. Ex. 4n + 1. Saa fik man, idet de foregaaende Faktorer samledes til en enkelt, A:
A res
4 ap! 21e
T
Men denne Ligning er umulig, eftersom Z er en endelig Konstant, og det sidste Produkt
har Verdien ©. Vi lære heraf, at der maa vere uendelig mange Primtal af Formen
4n-+-1, og paa ganske tilsvarende Maade ses, at der ogsaa maa vere uendelig mange al
Formen 4n — 1, og vi faa altsaa herved et simpelt Bevis for et specielt Tilfælde af en af
Dirichlet bevist almindelig Sætning.
De reciproke Potenssummer s(r) af Tallene i den naturlige Talrække spille i mange
Undersogelser en stor Rolle. De, der svare til lige 7, udtrykkes som bekjendt let ved de
Bernoulli’ske Tal?), idet
T° 9 Ti ene de 78 Br 5
A ee ee 1g GS eee) ih, EO)
almindelig
eme Ay
e (9; a EM, 92m—1--2m
s(2m) = [2m] 2 Tr, (10%
1) Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie, Borchardt's Journal Bd. 78.
*) Se f. Ex. Schlômilch: Compendium der höh. Anal. 1, S. 244.
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6.
157
a
192 10
For ovrigt ville de, for saa vidt man vil have de numeriske Værdier af dem, baade for r lige
og r ulige, lettest og sikrest beregnes ved at udregne de enkelte Led. En saadan Tabel
er givel af Legendre og er nedenfor meddelt i Tab. I.
Af Rækkeudviklinger, i hvilke disse Summer indgaa, mærkes især folgende:
sinz 1 Byg? 1 SES 1 8525 “AE
1 2 ) CRE Meee CE eu NE ( 0
[7] s(r+1) = = (14)
0
hvoraf ses, at den nævnte Funktion staar i nogen Forbindelse med /'-Funktionen. I sin
ovennævnte Afhandling, «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze»,
anvender Riemann et betydeligt Arbejde paa at finde et Udtryk for s(r), som kan anvendes
til videre Behandling og bruges ogsaa for imaginære r. Ved at gaa ud fra det ovennævnte
Integral viser han først, at Funktionen Tr) ®”s(r) bliver uforandret, naar r ombyttes
med I—r, og for særlig at drage Fordel af denne Egenskab, fremstiller han s(r) ved Formlen
Lr)x ?”s(r) u (ter de, (15)
v0
= 2 . .
hvor ¢(z) = Ze * 7, Idet han dernæst setter r — 3+ % og
1) Se: Vorlesungen über Zahlentheorie, herausgeg. von Dedekind. 3 Aufl. Supplement II.
2) Se f. Ex. Schlömilch, Comp. I, S. 430.
11 193
r
r =
E(t) = r(E+1)@—1)2- ss, (16)
kan £(t) udtrykkes i Form af et bestemt Integral, der kan udvikles i Række efter Potenser
af #,. Derved ledes han til at indse Muligheden af at opløse €(¢) i et Produkt af Faktorer
9
t : à ee 3
af Formen I——;, Gange en Konstant €(0), og derved vil det i Virkeligheden atter blive
TE
muligt at udtrykke s(r) som en Kvotient af Produkter med uendelig mange Faktorer eller
med andre Ord at fremstille /s(r) som en Sum af Logarithmer af lineære Faktorer, og det
er netop dette, han specielt har Brug for. Men Udtrykket for &(t) fremtræder under Formen
i £ al Wa 1
S(t) — 94 værn a 4 cos (1tlx) dx, (17)
og at gjennemfore de antydede Regninger med Udvikling i Række efter Potenser af ¢ samt
Opløsning af den derved fremgaaende Ligning turde derfor vistnok vere frugteslest.
Forsaavidt man ikke vil fortsætte Rækkerne for s(r) i det uendelige, men afbryde
dem med Leddet »—”, saa kunne Summerne bestemmes, idet man ved Hjælp af Stirling's
n
Formel finder et Udtryk for Summen Na”:
1
n 1 1 r
Moar — us —r+i na m
za C et von 19” +...
Specielt mærkes for den harmoniske Række den bekjendte Ligning
i 1 1 1 0 2
ie 5 Oa rp ery UT) ile (18)
Et andet Udtryk haves ved Formlen
1 1 I d =
Mn ns da amele+N+0C, (19)
hvor x maa vere et helt Tal.
I Forbindelse hermed skal anfores, at
I — 0
l.T{(x+1) = ale — «+> be + LV 2x Seat hvor O 1,
I 1 1 I I 1
— = — — 5 5 gr 4
en i
w w w w w w i
—— — === — = == RTE EE (27)
1+w (I+%) — 1 (1+w)?— 1 (1+ w)? — 1 (1+ w)? — 1 (1+ w)®—1
Gaar man her til Grensen og antager w uendelig lille, gaar denne atter over til folgende
LES RCE OO SE al 2
= — — = u Me — == lo 0 9
0 1 2 3 5 iF 6 FEE ele) = (28)
Forsaavidt nu det var godtgjort, at den her optrædende Række er konvergent, saa vil
dens Sum altsaa blive Nul. Forudsat at dette virkelig finder Sted, saa vilde man ogsaa
ved Multiplikation med /z og Overgang til Exponentialfunktioner faa, at
ei a (29)
Ligesaa vilde man af Rækken for —/(!—2) finde folgende nye Række
a= — 1-2) + LUI a2) + $1(1—2)... all): (30)
Setter man atter heri 2 — 1— 2, faas
IE EE 2a
og antager man 2 uendelig lille, kan denne atter skrives
gez 224 (92)2 , (32)8 . (b2)5. (62) ©... = (2-!. 22. 23...). (22. 32 458.678... (Bl)
Da den første Faktor i det sidst anførte Produkt nærmer sig til 1, saa bliver altsaa den
anden Faktor et— eller, da z er uendelig lille,
93.33,55.67%... =e, (32)
der ogsaa kan skrives som
1/2 + 113 + 415 — 2164-417... = 1. (33)
Vi have anført disse Udviklinger, som findes hos Mobius, fordi de trods de mangel-
fulde Beviser dog have en ikke ringe Interesse, og de vistnok ved fornyede Undersøgelser
196 14
ville vise sig rigtige. Vi have forsogt at finde Grænser for de Fejl, som begaas ved at
afbryde Rækkerne ved et vilkaarligt Led, men disse Grænser ere, naar undtages for den
første Række for 2 (26), ikke snævre nok til at have nogen Betydning.
Ex. 2 Vi have ovenfor vist i (3), at Js, — Dp EN pre TO pan Eu e
Ved at vende denne Ligning om, erholdes
Sp = ls, — Iso — Asa — tl ssr + Asp... = Suit) Sir. (34)
Da ls, for store m nærmer sig meget stærkt til 2”, saa bliver denne Række stærkt kon-
vergent og kan derfor bekvemt bruges til Beregning af de numeriske Værdier af reciproke
Potenssummer for Primtal. Paa denne Maade er Ligningen anvendt af Merrifield!).
For r — I kan Xp vel findes paa denne Maade, men denne Sum viser sig at
være uendelig. Mertens har derfor forsogt at finde en Tilnærmelsesformel for Bp,
hvor G er en vilkaarlig valgt højere Grænse. Han finder i den anførte Afhandling”)
G
3, re (35)
1
hvor C er den Eulerske Konstant, H en anden Konstant, bestemt ved, at
H = is, + 41s, + 11s, — As, ... = BET sir), (36)
medens à ligger imellem Grænserne
4 2
Elmer ere (él
Ex. 3. Af Rækken
F(z) = f(a) + 4 flat) +4 fa) + Etes) + … (38)
findes ved Omvending, at
fi) = Fla) — 4F (x) — 4Fla8)... (39)
Er specielt x) = ({x)', saa er altsaa ogsaa
; 1
fle) — (ley — La — LE. 3 (layr — (dep [12-040 80407 = (ley
2 3 Sr+1
Hvis derfor F(z) kan udvikles i Række efter stigende Potenser af Zw, saa vil det samme
vere Tilfældet med f(x), og
F(x) = alu + b(lx)? + elle)’ +... (40)
giver
N A b c à
fla) = = le + — (la)? + — (la +..., (Al)
2 DE) 84 f
som vil vere konvergent, hvis Rækken for F(a) er det.
1) Proceedings of the Royal Society of London. Vol. XXXII. 1881.
*) Borchardt’s Journal Bd. 78.
15 197
Ex. 4. Ved Anvendelse af Môbius's Faktorer lader der sig ogsaa udlede adskillige
Resultater om endelige Rækker. Betegner man f. Ex. ved F (7) den diskontinuerte Funktion
x
F(a) = 1 — 27 — 37 — 57467... Hal). = Iula)lat, (42)
1
og ved E— det sterste hele Tal i Kvotienten =, saa hayes
F(x) + 2-"F(EZ) + 3" F(EZ) RC nl — ls (43)
eller, som den ogsaa kan skrives, Ym"F()— 1. Er specielt r — 0, og sættes Zy(x) — Mia),
1 1
saa bliver altsaa
M(a) + M(5) + M) +... Mu) = 1. (44)
Ex. 5. Et noget lignende Tilfælde er følgende. Man skal bestemme Funktionen
F{n) saaledes, at for alle x haves (idet n er et helt Tal)
a a CS) TES) EU en) SÅ
Ved Anvendelse af Möbius’s Faktorer faas heraf ved efterhaanden at sætte oe, E~0.8.v.
> ”)
for x
= D ER pe te SE ML
Fin) hr E 3 ier ae sees — Zula) se =
Det er imidlertid let at se ved sukcessiv Beregning af f{(1), f(2) ..., at f(x) = i, saa at
altsaa almindelig haves
Sala) E— et. (46)
1 a
en n ie
Sættes heri H— — re hvor r, er en positiv ægte Brok, saa faas
TL v
n 1 TER DR I =
1 =n2ula)- STE Zulr)rr = n Lux) - IS Rn) + R,(n), (47)
1 xv 1 1 z
hvor Z,(n) betegner Summen af de Led, p(x)r;, som have positive Fortegn, Æ,(n) Summen
af dem med negative. Altsaa bliver endelig
Sa) : = a aE, gel a) _ Ron) h
(477)
n n n
Da de to Restled optrede med modsatte Fortegn, er det at vente, at de omtrent ville op-
heve hinanden, saa at = vil angive den omtrentlige Verdi af Rækken. Absolute Grænser
for Afvigelserne faas ved at bemærke, at R,(n) < (+) (9: Summen af positive ~), og
R,(n) << Z(—y), saa at man faar
1 1 a Le 1 kg 1 1 LE
ua ENT) RCE AE (48)
2 1 x 2
n n n
198 16
ke 1 I : 7
Vi se heraf, at Rækken (a) - = reeks hvor À i ethvert Fald er en ægte Brok.
1 é
Rækken (28) kan derfor, fortsat i det uendelige, ikke divergere, men maa enten være kon-
vergent eller oscillere mellem endelige Grænser.
$ 3. Bestemmelse af (x) ved bestemte Integraler. Riemann’s Formel.
Naar man ved z(z) betegner en Funktion, som har Værdien 1, naar x
er et Primtal, og 0, naar w er et sammensat Tal, saa kunne Formlerne
SAC Le rs a su er
ee] een le) — S1(i1—p~”)
skrives som henholdsvis
-5 = Ya (ay — (48)
08
Ls(r) = — Iztelli 2"). (49)
Den sidste kan ogsaa skrives
is(r) = Sr (a) (at dat ia +...)
eller, naar man ved &(+) betegner en Funktion, som er 1, naar æ—p, % for
; ; se il
æ = p*, almindelig 7, naar æ—p", men 0, naar æ— 1 eller sammensat af
forskjellige Primfaktorer,
ls(r) = S Gla) a. (50)
1
Enhver af disse tre Ligninger (48) — (50) indeholder implicite en Definition paa de
deri optrædende Funktioner z(z) og &(x), og da de gjælde for uendelig mange Verdier
af », saa maa det være muligt at udfore Bestemmelsen af disse Funktioner af de nævnte
Ligninger. Paa Grund af Vanskeligheden ved al operere med saadanne Summer vil det
imidlertid være hensigtsmæssigt at søge at sætte Integraler i Stedet for dem. Navnlig
den sidste Form (50) tillader let en saadan Omdannelse, idet ©” erstattes ved
r \ 27—"dz. Derved faas
T
ENT Fol) \eriaz. (51)
Le i OF
17 199
Men nu er
x.) N°2] a” a2 : 3 4
aii) -+ &(2)\ + 63) ) son == &(1)\ + (611) +802) | + (oi) +42) +.00)\ +...
“1 “3 “3 oo “2 3
Betegner man altsaa Summen &{(1) + @(2)-+ &(3) + ...@(a) ved f(x), saa faas, idet f(x) er
en diskontinuert Funktion, som ikke varierer, undtagen naar 2 passerer en Potens af et
Primtal, at
be SER: ES (7) ere as VG 27-1dz — Ua) Age 59
tel = Site ride — 3) fle ride — (arte (52)
Funktionen f(x) vil angive Antallet af Primtal op til x + det halve
Antal Primtalkvadrater + + af Antallet af Primtalkuber o.s.v. op til +.
Udtrykt ved @(7), Mængden af Primtal op til = (inkl.), skal f(x) altsaa vere
lig med
F(a) = O(a) +19) HI) +... (53)
Vi bruge i det folgende for dette Tal Benævnelsen: «Antallet af dividerede Primtal-
potenser», idet hver enkelt Potens af et Primtal i dette Antal kun skal
tælles som 1 divideret med Exponenten. Det erindres, at Tallet 1 ikke er
medregnet i @(x) og altsaa heller ikke i (x). Forsaavidt nu f(x) bestemmes af den
ovenstaaende Formel under entydig Form, saa vil i Diskontinuitetspunkterne f(x) ikke kunne
falde sammen med #(x), men maa i disse Punkter angive en Middelværdi mellem (x -+ 0)
og #(@—0). Derimod er der ikke noget til Hinder for fuldstændig Overensstemmelse i
alle andre Punkter.
For af Formlen (52) at bestemme f(x) anvender Riemann!) folgende Sætning,
som bevises ved Hjælp af Fourier’ske Integraler: Naar, idet s — a+ bi, hvor a>1,
g(s) = W (a) aad lal,
«0
saa er ogsaa
a + cot
2rih(y) = (ots y'ds,
og ved Anvendelse af denne fremkommer derefter Udtrykket for /(x) under Formen
at+ at
fle) 5 I Is(r)ardr, (54)
Iri
<7ı
a—oat
og der staar derefter kun tilbage at omdanne dette Integral til en mere handelig Form.
Skjont Riemann’s Udledning af denne Formel baade er elegant og ikke egentlig
1) Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grenze. Monatsber. der Berl. Akad. 1859,
eller Riemann's Gesaminelte mathematische Werke S. 136.
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. 26
200 18
vanskelig, tro vi dog, at det vil være ret oplysende at vise, hvorledes den samme Formel
mere direkte lader sig udlede ad en anden Vej, hvorved det tydeligere ses, at Integralet
virkelig fremstiller den søgte Funktion.
Som bekjendt er")
wo
zsinbz+ kcosbz | 7
ET =e for b—0 (55)
\ Ke + 2 | 2 ?
0 for) 60.
k er her en vilkaarlig positiv Konstant. Sættes ln: saa er altsaa
Eu 3 3 | tne REV
er VE zsinz ln + kcoszl —
E lz = Be 5
(mn) Erz a 9 oe Voie, (56)
0
De Mon Va tie.
og fremstiller altsaa en diskontinuert Funktion, der er lig 0, saalænge til +, varierende fra
1 til ©, passerer p", og derefter er lig 1. Indfores Exponentialfunktioner for de trigo-
nometriske, saa kan Integralet ændres til
co at?
1 1 g\ktzi 1 PNEUS 1 N at Le
AG (al Dre fA )as Nets pre 2e (561
0 — œ
Divideres dette med n, faas en Funktion, som er 0, indtil x passerer p*,
a i 4 i 1
og derefter er lig FR fon 7 he Galery Wis on: Indsættes nu for p efter-
haanden alle Primtal, for Exponenten n alle hele Tal fra 1 og opad og summeres, faas
altsaa et Udtryk for Antallet af dividerede Primtalpotenser op til 2 Kun hvis z er
en Potens af et Primtal, faas ikke selve (x), men + (de — 0) + #(@+0)). Men ved
k+zi =
Additionen faas under Integraltegnet PE multipliceret med en Række af Formen
et il, eset ss ei
Ipkt:) + ae + Dpt) +...
Men denne Række er for k > 1 konvergent, og dens Sum lig l.s(k-+-2), og altsaa faas, at
Integralet
1 aa, i: 2 ] 57)
Fe) = an ) kai .s(£ + 22) dz (
vil fremstille Funktionen 4(x), undtagen i selve Diskontinuitetspunkterne, for saa vidt k er
1) Se f. Ex. Riemann: Partielle Differentialgleichungen, herausgeg. von Hattendorff, S. 33, eller
G. F. Meyer: Vorlesungen über die Theorie der bestimmten Integrale S. 197.
19 201
en positiv Konstant, der er > I. Men dette Integral er netop identisk med Riemann’s,
hvilket strax ses ved at sætter == k + 21,
Integralet (56’), hvorfra vi gik ud, er et specielt Tilfælde af en anden lidt alminde-
ligere Form, som vi nu ville udvikle, da Riemann gjør en udstrakt Brug af den ved
Transformationen af Integralet for f(x). Erstatter man nemlig k-+ 27 ved Differensen
(a—b) + (2—y] 7, hvor a, b, z, y ere reelle og a>b, saa faas !)
ato ; ta fe
Maure = ar (ME Bey:
| a 21 dz je —b) + (e—y) „de ;
eller, naar man sætter a + 2 —r, b-+yi = f,
ato
fre 4
—— dz == 277". ati,
r—ß
Multipliceres paa begge Sider med 2%, faas altsaa almindelig, idet æ antages > 1,
ar” ator
ar a” 3
—_dz = = — dr = Inaf , (58)
r—ß i \r—ß
LA e
— co a—c À
hvor r og 2 ere komplexe Tal, og den reelle Del af r er større end den reelle
Del af 2. I denne Form (med Ombytning af r med s) benyttes Ligningen af Riemann,
der dog ved en eller anden Uagtsomhed har faaet et urigtigt Fortegn paa den ene Side af
Ligningen. Ved Differentiation med Hensyn til 2 fremgaar alter heraf folgende Integral
+» 1 at toi
27 ar
é yes då urn B fe
| ("—)? de i \ r— A? a Anal , (59)
Uw Va—wi
Carel
eller for 8 —0 | = dz = Ila. (60)
U_ ©
Man ser let, hvorledes man ved Benyttelsen af de her angivne Integralformer kan sammen-
sætte Integraler, som give symmetriske Funktioner af Primtallene op til x, idet man for
a setter © og summerer for alle Primtal. Men alle disse Integraler faa vesentlig lignende
Form som det Riemannske Integral for f(x) og frembyde altsaa de samme Vanskeligheder
som dette. Flere af disse Relationer ere imidlertid ikke uden Interesse. Vi anfore blandt
dem folgende:
a” Me Sl Val (5 r dz Re @ I 1@ 1 191
| \(2(2)+ Ne) ye feat |p © à: eae ps |» (OH
hvor alle Nævnerne paa højre Side skulle vere < x, den reelle Del af r > 1;
1) Jvfr. Meyer: Bestimmte Integrale, S. 196
202 20
(2 jd een — {Maya (a 62
Føj s(r)dz = 27|2 5 + 72 mt ae 2r|9(a)le— &(a)] , (62)
DEV pzva
hvor (x) betegner "Y Ip ane Z Ip+ E lp+...;
\ sivas — Ex, (63)
UC
Er = De Se (64)
r—1 HUT
®
ligesaa
(5 ul) = > ar x
1 (7) z — N = — dz = Der à p(n) i (65)
À r—| Je str) 1 nm
og
AL De ELSE
VER dz 27 2 p(n). (66)
Integrationsgrenserne ere i alle disse Integraler — 2 til + ©.
£ 1
Paa samme Maade kan man ogsaa indse Rigtigheden af Formlen (D, 7)
an
+ co , | >
\arp, (1 Is(x)) de = — 2rlz.f (a). (67)
Ÿ— %
Denne kan ogsaa let findes ved delvis Integration af det Riemannske Integral (54). Paa
denne Maade er den udledt af Riemann, som derefter legger den til Grund for den videre
Behandling af sin Formel. Det vil ikke være overflodigt at vise, hvorledes Riemann gaar
frem ved denne Behandling, da Genocchi i sin Redegjorelse for Riemann’s Fremgangs-
maade !) her afviger lidt fra R. Vi skulle i det folgende saa ner som muligt folge R.'s
originale Methode, idet vi kun tilføje de Mellemled, som han har anset for unødvendige.
Ved den videre Omdannelse af det ovenstaaende Integral kan man ikke benytte
sig af Rekkeudvikling for 2” efter Potenser af 7, da — bortset fra andre Omstændigheder —
Diskontinuiteten derved vilde gaa tabt. Man er derfor alene henvist til at omdanne
Is(r) til en eller anden Række, hvilket atter vil vere ensbetydende med at udvikle s(7)
i et Produkt af Faktorer. Vi have ovenfor anfort, at det kan vises, at naar a + ti,
saa er à
Cha ( 3 )
Me, r 2 ‚\alazdia)) = 1, Nenn
z~ 3(r—l) rst 1) s(r) = Et) = À Tages tS cosy tla das
1) A. Genocchi: Formole per determinare quanti siano i numeri primi fino ad un dato limite,
Annali di matematica da B. Tortolini T. Ill, p. 52.
21 203
hvor dx) = ere og hvor &(¢) fremstiller en Funktion, der altid er endelig og kan
LUXE = ; i 8 08
udvikles i en konvergent Række efter Potenser af #*. €&(¢) vil derfor kunne fremstilles
under Formen 2
E(t) = &(0). £10). (1 m) (68)
hvor £(0) er en Konstant, og Storrelserne a betegne Rødderne i £(t) — 0. Den
imaginære Del af Rødderne a er stedse beliggende mellem Grænserne a men er
sandsynligvis lig 0, saa at alle disse Rødder ere reelle. Fremstillingen af denne Formel
er et Hovedpunkt i Riemann’s Afhandling, men skjont de af selve R. saavelsom af Genocchi
givne Udviklinger ere fuldstændig tilstrækkelige til at paavise Formlens formelle Gyldighed
jalfald for » > 1, forekommer der mig dog at hvile nogen Uklarhed over dennes egentlige
Beskaffenhed. Dette har naturligvis sin væsentlige Grund deri, at selve Rødderne & ere
ubekjendte. At finde disse Rødder ved Udvikling af ¢(¢) i Række efter Potenser af t og
Opløsning af den derved fremkommende Ligning ¢(¢)—=0 synes at vere et haablost Arbejde,
og der vilde altsaa ikke vere andet at gjore end at forsoge paa at finde disse Rodder ad
indirekte Vej. Det er ret rimeligt, at de maa paa en simpel Maade afhenge af Tallene i
den naturlige Talrekke eller maaske endog af Primtallene, men det er ikke lykkedes mig
at vinde Klarhed over dette vigtige Punkt.
Det synes ogsaa at vere noget kunstigt at indføre den nye variable ¢. Det er
naturligvis sket for at fremhæve, at ¢(¢) er en lige Funktion af ¢, altsaa af Raat men det
merkeligste er, at ved den videre Udvikling maa man igjen indfore selve r. Man faar
i
Is(r) = a) ae a!) 10) (69)
hvor alle de enkelte Led undtagen det forste og det sidste kunne udtrykkes ved Elementer
nemlig ganske vist forst
af Formen l(a-+ dr), og netop denne Form er for Beregningen af Integralet særlig bekvem,
men betragter man et enkelt Led i Summen %,, , saa faas
ı(ı nes): = i(a@+(»—t)) — ta = 5 -r+ai) +14 rai) — la?
Summen 2, kan derfor skrives som
(fr; ref een J) (4 ta) — st (70)
RE at 3 — at 4
Men nu er
SR RAM el de CR
AT ata = 2 Ne = 120) — lé em (0) ,
204 22
og Folgen heraf bliver, at /&(0) helt forsvinder af Formlen for /s(r) og bliver
erstattet ved den nye Konstant lE(Zi). Værdien af denne Konstant kan let angives,
idet man som et andet Udtryk for &(¢) har
alt ae (+) (nina; cos (su) dx , (71)
i
3
og sættes her t— i, faas (57) =>. Herefter findes altsaa endelig for /s(r) folgende
Udtryk
Is(r) = Zen — 07 (241) Als ue i jeri ih rr ) — 12, (72
2 2 3 Hai = ai. )
og dette Udtryk er det, som skal indsættes i Integralformlen. Man ser deraf, at /£(0) helt
forsvinder og erstattes ved —/2, og faar derved en Bekreftelse paa, at Genocchi's
Resultat er det rigtige, medens Riemann har begaaet en Uagtsomhed.
1 3 5 3
Vi se tillige, at Størrelserne > = «ai netop maa blive Rødderne i s(r) = 0, forsaa-
2 + 1) til 0, og hvad der ved
I
vidt de ikke tillige kunne gjøre Faktorerne x 2 (r— 1) r(
Riemann's Fremgangsmaade er vundet, er altsaa den Indsigt, at disse Rødder ere af Formen
1
gba og derfor stedse optræde parvis.
Vi skulle derefter indsætte det fundne Udtryk for /s(7) i Formlen (67), som giver
+»
et |
fa) = — SER \ «rp, = Isin)dz,
og integrere Led for Led. Tages altsaa forst det forste Led i (72), saa giver dette som til-
svarende Led i f(x), idet Integrationsgrenserne erindres at vere — æ til +o,
Li — Qrlx
ber 0d: == (I).
saa at dette Led slet ingen Indflydelse faar. Betragte vi dernest det sidste Led —/2, saa
giver dette ifolge (60)
og saaledes vil overhovedet et konstant Led i s(r) give det samme konstante Led i f(x).
Vi betragte dernæst det Led, som efter disse give det simpleste Resultat, nemlig
l'-Funktionen. Ifølge Gauss") haves
for m— æ
I/i1-+z) = Lim, - - - =,
UST) 2 (1 +2)(1 +4)...(1 +4)
7
UAE CRT: ; 4 OS & aß
1) Disquisitiones generales circa seriem infinitam ie ete.
T
23 205
hvorefter atter
ER r{: ++) = Lim "3" (1(' + z ) — Fim), for m—,
\
n==1 In
og vi maa altsaa soge en Række enkelte Integraler af Formen
a a
len, ' i(1 + = ) dz en, (+ Lun) dz.
7. zn 4 U:
Af disse to forsvinder det sidste, saa at kun det forste bliver tilbage. Dette kan betragtes
som specielt Tilfælde af det almindeligere Integral
a
Bie) = ben, lt — 7) ae (73)
For at finde dette, differentiere vi med Hensyn til 2, hvorved faas
d B(x) Ps \ 2 IA ee: \ i 1
dB BD vr B(B—r) ae È % Dy (8—r)
Heraf kan atter G(x) findes ved Integration med Hensyn til 2, hvorved det ved Bestem-
CU
1 ant aß
2 = - = dz ala. — + 4
dz 3 \r BE d Qala 3 (74)
melsen af den lavere Integrationsgrænse maa erindres, at den reelle Del af Differensen »—8
maa vere en positiv Størrelse, men at den reelle Del af 7 i øvrigt kan tillægges en vilkaarlig
konstant endelig Verdi.
I det her foreliggende Tilfælde er 2 — —2n, hvor n er et positivt helt Tal, den
nævnte Betingelse er altsaa altid opfyldt, naar vi sætte den lavere Integrationsgrense lig — x.
Derved bliver ogsaa
a—2n a—2n
r r 1 1 PANIER
(ita) mor \G 2) KEE
De fra /'-Funktionen hidrørende Led i f(x) kunne derfor fremstilles samlede under Formen
e—2n
À 5, \ as
fo ere ede:
—
Men nu er
—2n “-2n fer tz e—2n or a”?
ah 4 aan yon
— dg = \d aßAdz = \dz \x8 148 = \ ———da = —\: da.
B 8 Ê ! lx ala
-— 00 LT” © Un LV» oo T
Følgelig erholdes endelig, idet «> 1,
(ean 9% nw
= == 2
fs = Eu dx = \- ss D GT — N Mr
5 nat \ ale ala ~ (a? —l)vlx
er x
x
206 24
Man ser umiddelbart, at dette Integral aftager stærkt, naar x voxer, og dets Indflydelse ved
Bestemmelsen af f(x) bliver derfor af ringe Betydning. For + — 2 angiver Oppermann!),
a det kan derfor, naar æ > 2, aldrig faa nogen større Verdi
end denne og spiller kun en Rolle, for saa vidt vi tage #< 2.
at dets Verdi er omtrent
Vi komme dernæst til det vigtigste af de i Formlen for /s(r) indgaaende Led,
nemlig —/(r—1). Det tilsvarende Led i f(x) bliver
; 1 RUE |
in = ee JD} = l(r—1) dz.
<7
Dette kan behandles paa lignende Maade som de tilsvarende Integraler ovenfor. Betragler
man nemlig det almindelige Integral
i, | (à 7
Br \: D, (5 _ 1) de,
saa er, idet @ antages at vere uafhængig af 7,
Q a
UE Vent. ee VE Tr et
dg E B(r—p) 2 À (r—j/3)~
for saa vidt den reelle Del af r—f er positiv. Naar nu B(7) heraf bestemmes som
saa maa altsaa den lavere Grense g og Integrationsvejen bestemmes saaledes, at den reelle
Del af »—f stedse er posiliv, og at samtidig ved at benylte den samme Integrationsvej
1
=
&(r—£)
g
dz = l(r—1).
Men nu er
a! 1
Rte A lie el EB 2 La Joy Ek. ze N re
Apa? — =a DLL [le 18], UE 1) l(r—1) (2 1):
ey
g
For at det sidste Led skal forsvinde, maa mod g vere uendelig. Dette kan ikke ske
derved, at man setter g = ++ bi, da den reelle Del af g maa vere mindre end den
reelle Del af 7.
Man kan heller ikke give g en negativ uendelig reel Verdi, eftersom man
da, hvorledes end Integrationsvejen lægges, vilde faa indført i /(r—1) et imaginært Led + z7.
1) Oversigt over det Kgl. Danske Vidensk. Selskabs Forh. 1882, S. 178.
25 207
1 1
nm ap atp A
Tenke vi os nemlig Integralet \ TA delt i de tre Dele \ i +\ , hvor Integralions-
CEE V_o v_p vp
vejen i det forste og sidste er retlinet og for det sidste en Halveirkel med den uendelig
lille Radius p, saa give det første og sidste Integral tilsammentagne den reelle Verdi
r
Sey ace OU Tee |)
ep +1)
Det mellemste Integral giver, eftersom Integrationsvejen vælges saaledes, at Polpunktet 7 —0
= Ir—1), for p =0.
omgaas ved at integrere gjennem positive eller negative Buer @, henholdsvis, idet 8 = pe,
+? ote 227 0
—rdß dp Na mt eller ogsaa NV di + ai
RE OS = ( 1 Te œ = —2 Lou TU:
B\r—B) B i g 1 te) g
Or ex
—p En
Det imaginære Led kan altsaa ikke undgaas. Alligevel kunne vi bruge —o som lavere
Grænse, idet Middeltallet mellem de to sidste Integraler er lig Nul. Vi kunne derfor skrive
l(r—1) som den halve Sum af to Integraler
ai
ae
AS
idet vi vælge Integralionsvejen forskjellig for de to Integraler. Men dette vil ikke sige
andet, end at vi ved Integrationen helt bortkaste det singulære Integral,
som hidrører fra det uendelige Element for ?— 0. Man kunde ogsaa, som
Riemann gjør, vælge den lavere Grænse som g = -—- »i med passende Valg af Integra-
tionsvejen.
Hvad enten man gaar frem paa den ene eller den anden Maade, skal Integrationen
ved Bestemmelsen af B{x) udføres paa samme Maade, og vi faa altsaa
si 3
æ al
B (x) ¥ \ a TA
2 EN
Qala B
hvor Integrationen kan udfores ved simpelthen at indsætte Grænserne i det ubestemte
Integral, idet man bortkaster det singulære Integral for 2—0. Ændre vi dette Integral
I
13 ——-dz, saa faas
ved Substitutionen a? — 2, 2 — 7
ELL
°°
B(x) hae da ;
ne VE VE = im,
Ir. JE ae
0
Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. 27
208 26
idet det sidste Integral med Bortkastelse af det singulære Integral netop er Integral-
logarithmen til 2, saaledes som denne sædvanlig defineres.
Vi se altsaa, at Leddet —/\7—1) medfører Indbringelsen af Integrallogarithmen i /(x).
Funktionen Zi(x) kan som bekjendt fremstilles ved Rækken
: 3 læ la)? (la)? læ)!
Li = C+ lle + 11) m + LE ans ao
Det fortjener at bemærkes, at af Leddene i denne Rekke hidrore alle de, som indeholde
Hao} (75)
Potenser af da fra — 11 =. Setter man nemlig —/(r—1) = — Ir i(1 =] og
indforer hvert af disse Led i det Riemann’ske Integral, saa kan (1 —-) udvikles i Række
efter Potenser af = Divideres med 7 og differentieres, saa giver den saaledes fremkomne
Rekke ved Integration Led for Led netop de Led af Integrallogarithmen, som indeholde
Potenser af 4. De to første maa da hidrøre fra —/r, altsaa maa man have
Late er
\ wD, (ma Cd (76)
D D
27 la
Vi komme endelig til det sidste Led i Formlen for /s(r), nemlig det, som inde-
holder Sg. Leddene i denne Sum kunne nu behandies ganske paa samme Maade som de
tidligere, idet de opfattes som specielle Tilfælde af den almindelige Form
; al a
Ba) = Nar De i(1 :) onlay 77
2) = \ a"), —— flåde = 277 \ — dp.
JR B nie &
2 J,
hvor for 2 sættes 4 -- ai. Som lavere Integrationsgrense kan ogsaa her vælges g = — =,
naar Integrationen udføres ganske som i forrige Tilfælde. Det i B(z) optrædende Integral
ændres ved at sætte a? — z til Formen
af
Ci
| 2 = Lila’),
0
Herefter blive altsaa to sammenhørende Led i /(2), som afhænge af samme a,
— (Tiler te) + Li(a2—%)) ;
og hele den fra 2% hidrerende Del af f(x)
fa = — ZalLilaitéi) + Lie).
Den endelige Form for Riemann’s Formel bliver herefter
co
=
en 58 (77)
a2 —]| la
Ps
|
. 1 . Q
fla) = Lile) — Sa(Li(eit*4) + Like“) | +\
e
som kun afviger fra Riemann’s Resultat ved, at Konstanten er —/2 ligesom hos Genocchi,
i Stedet for /&(0).
27 209
Selv en meget flyglig Sammenligning med de optalte Primtalmængder viser, at det
første Led i denne Formel særdeles nøje fremstiller Funktionen #(x). Afvigelserne mellem
(a) og Lila) maa altsaa navnlig tilskrives det periodiske Led Sy. Da vi ikke kjende
Rødderne a, er det ikke muligt af Formlen at slutte noget bestemt om Storrelsen af disse
Afvigelser, men det vil i hvert Fald være gavnligt at se, under hvilke forskjellige Former
dette periodiske Led kan fremstilles. art
Da vi fik et af de i denne Sum indgaaende Led under Formen de saa kan
dette ændres ved at sætte z — VE Derved faas Ok ;
Cain Oil
A RP ar
Tilt) = NS Ne de
ly la
vo vo
Indfores heri Lai for 2 og tages to sammenhørende Led, faas disses Sum at vere
at re
arte goidi cos (ala)
da = 2 = La
( læ 1 lx ) 5 Vale ©
kl
eo
saa at altsaa de periodiske Led ogsaa kunne skrives under Formen
eo
yy À cos(alr)
SS
De Vale
NY a
lv, eller som — 2 OC" (78)
Vale
vn
hvis Rækken Z'cos(alx) er konvergent. Under denne Forudsætning vilde da, hvis M
var den største positive eller negative Verdi, som Rækken cos (ale) kunde antage, de
x
periodiske Leds Sum vere beliggende mellem Grænserne + M.2Li(a) — + M.2\ — ne
En anden Form for Summen I. faas ved at bemærke, at man ved Bestemmelsen
af B(x) kan vælge den lavere Integrationsgrænse g som a--»i, hvor a er en reel endelig
Storrelse, specielt 4. Man kan derfor skrive to sammenhorende Led under Formen
altar ya at ad A
ae N ae 1 ait 1 m2 ] A zii yt
—|\ Sat Sap} = A a ad = (jar
Ft oe QE I+ü Pe “TENN Yen).
e A+ œi }— oi Un a va
tt) a — (th) a" 2t cos (tz) — sin (tla:
= ivi la ! T G ) dt ai — fe ) = | ie
Karl are
a Ua
saa at Summen af de periodiske Led antager Formen
real
— « Å 2¢cos (tle) — sin (tla
Vad, (le = Be ) qu. (79)
4 Ar i"
Va
210 28
Ogsaa heraf synes det rimeligt, at disse Leds Sum maa vere beliggende indenfor Grænser,
som væsentlig ere proportionale med x.
Vi se saaledes, at Riemann's Fremgangsmaade virkelig er i Stand til at lede til et
exakt Udtryk for Primtalmængden og tilmed, hvad man a priori aldeles ikke var berettiget
til at vente, i en saadan Form, at i et enkelt Led Integrallogarithmen træder frem
som en kontinuerlig Tilnærmelsesformel, hvis Afvigelser fra den søgte Funktion
M(x) tydelig fremtræde under en saadan periodisk Form, at de, hvis en nøjere Beregning
af dem var mulig ved Hjælp af selve Formlen, vilde vise sig snart at være positive, snart
negative. Men en Beregning af de periodiske Led ved Hjælp af Formlen lader sig naturligvis
ikke iværksætte, saa lenge Storrelserne @ ere ubekjendte, og selv om de kjendtes, vilde de
periodiske Led fremtræde i Form af en Række, der skulde fremstille en meget variabel
diskontinuert Funktion. Rekken maatte i hvert Fald blive uendelig og uden Tvivl saa
lidet konvergent, at den ikke kunde bruges til nogen numerisk Beregning. Derimod
kunde det tænkes muligt at omdanne Rækken til andre Funktionsformer, som tilstedte en
saadan eller ialfald en Bestemmelse af Grænser, indenfor hvilke Værdien af de periodiske
Led maatte vere beliggende.
Det er med Hensyn til Bedommelsen af Muligheden af saadanne Transformationer
af stor Interesse, at man er i Stand til at fremstille f(x) under en anden med den forrige
noget beslægtet Form, som ganske vist paa en vis Maade ikke giver noget reelt Udbytte,
men som dog giver et Indblik i forskjellige Forhold, som Riemann’s Formel ikke giver
nogen Oplysning om, saa lenge Storrelserne @ ere ubekjendte.
Det vil erindres, at det ved Bestemmelsen af det Riemann’ske Integral serlig kom
an paa at fremstille s(r) i Form af et Produkt af Faktorer. — For at kunne udfore Integra-
tionen Led for Led vil det imidlertid ogsaa vere fuldstændig nok, hvis tal ee IT(t—p~") kan
Sir
fremstilles paa denne Maade, og naar man kun vil have Y(x) for en vilkaarlig valgt endelig
Grænse =, saa vil det være fuldt tilstrækkeligt, hvis Produktet af Faktorerne 1—p~’, taget
for alle Primtal op til en vilkaarlig valgt Grænse „> 2, kan udtrykkes som et Produkt af
lineære Faktorer (ar-+-b). Thi naar Summen air) = 177 + 2-"4+ 37... + 17 —…, hvor
n betegner alle de Tal, som kun indeholde Primfaktorer < 7, indsættes i det Riemann’ske
Integral, saa faas alligevel som Resultat }((#+-0) + 4(7—0)) saalenge wv < 7.
Det er i Virkeligheden ikke vanskeligt at fremstille = under Form af et Produkt.
Som bekjendt er nemlig Produktudviklingen for sin > ogsaa gjældende for komplexe 2, altsaa er
ee — et — 22. LÆR SE = .) (m—1,2,3...@).
MT“
Setter man heri = 47/p, faas efter Division med e®
r of / | 2
I—p” — rip: pue fi +(5 2.) JE (80)
EN
29 211
og altsaa, naar man heri efterhaanden setter p — alle Primtal < 7, samt 7 antages > 1,
1 zie = rlp \°
sya ae i . 2 on IIm + | — .
= Bb 3) mi 1+ (7#-)') (81)
Følgelig faas ved paa begge Sider at tage Logarithmen
— lo(r) = Y' lp + (tr — LL Ep + vp Smell 1 + ZB yi (82)
= 2 Zehen Imr ;
Ogsaa her fremtræder der et Udtryk for /a(7), hvis enkelte Led, indsatte i Integralet (67),
+»
; l 1
vt) = — — Va" DD, | — | dz
fæ) = ü vii ( = C0) dz,
kunne integreres.
At gjennemgaa Udførelsen en detail vil efter det foregaaende vere overflødigt, vi
kunne nøjes med at anføre Resultatet, som bliver
7 amri amrı
f(x) = — 2 llp + A(z) (C+ lla) — 33a p + Lia” cael (83)
eller ved Omdannelse af de imaginere Integrallogarithmer
ON }
: r 2 cos (2mz x)
f(a), = — VUlp + ly) (C+ lle) — 22 STE — de, (84)
2 J h
idet der summeres først med Hensyn til m og dernæst med Hensyn til p, (p< 7).
Vi have her faaet en Formel, som vel viser en vis Analogi med den Riemann'ske,
men dog væsentlig adskiller sig fra denne ved sin aabenbart mere identiske Karakter.
Vi skulle ikke opholde os ved at prøve paa at transformere den her optrædende Integral-
sum, saaledes at Identiteten træder tydelig frem, men nojes med at henvise til en analog
Formel i det folgende, som er lettere at behandle (se nedenfor 27).
Paa dette Sted have vi kun anfort denne Formel, fordi den giver et gavnligt Vink
om, i hvilken Retning man skal søge for at komme efter de virkelige Verdier af Rødderne a.
Om end det ikke kan ventes, at disse skulle faa samme Form som de her indgaaende Argu-
menter FE saa er det dog højst rimeligt, at de maa afhænge dels af Primtallenes
Logarithmer, dels af en Række hele Tal ligesom hine.
Det ligger nær at formode, at man ved Anvendelsen af andre diskontinuerte bestemte
Integraler end det, der ligger til Grund for hele denne Undersøgelse, maatte kunne erholde
andre Former, som muligvis gave bedre Resultater end dette. Men dette er ikke Tilfældet.
Alle de, vi have forsøgt, vise sig at frembyde enten ganske de samme eller endog større
Vanskeligheder, og altid viser det sig nødvendigt at foretage en Omdannelse af Funktionen
s(r), da man i alt Fald paa dette Standpunkt udelukkende er henvist til denne som den
212 30
eneste kontinuerte Funktion, som staar i umiddelbar Forbindelse med Primtalrækken. Vi
faa ganske vist senere en anden Funktion, som frembyder noget lignende, nemlig log. /'«),
men denne Forbindelse finder kun Sted for hele Værdier af +. Denne Funktion synes
derfor ikke at kunne benyttes paa lignende Maade som s(r), medens den derimod spiller
en fremtrædende Rolle ved de rent numeriske Undersogelser, som vi beskjæftige os med i
et senere Afsnit af denne Afhandling.
Efter at man ved Beregning af Riemann’s Integral har fundet et Udtryk for (2),
kan selve Antallet af Primtal #(x) findes ved Hjælp af Möbius’s Faktorer, idet man ved
Omvending af Ligningen
dx) = A(x) + 19a) + 1 Olea) +...
erholder
1
1 1 1 -, | =
G(x) = dla) — (x2) — £4 (a3) — 49(a5)... = 2 77 am) de m).
Setter man altsaa for #(x) det fundne Udtryk efter Riemann’s Formel, saa faas, idet (x)
betegner en Funktion, som er lig 3 (#{æ—0) + #(@+0)),
1,
3 al {f= ;
HAS a Aie m). (85)
For saa vidt man havde Riemann’s Formel i en saadan Skikkelse, at en korrekt
Beregning af f(z) lod sig udføre, saa vilde man ved den numeriske Bestemmelse af
(x) for et enkelt æ lettest kunne udføre denne ved alene at søge (x) ved Formlen og
finde de andre Led ved Optellinger i Primtaltavlerne, for saa vidt disse vare tilstrækkelig
omfattende.
Skal man derimod have et analytisk Udtryk for #{x), saa har man for f(x)
at indsætte det fundne Udtryk (77). Det vigtigste Led i dette er Leddet Zi(«), som altsaa
i F(x) vilde give det tilsvarende Led
nr 4
F(a) = Lila) — 1 Lie?) — 1 Li(æ3) ug = 5 pln) Li le m) 3
hvor Summen kan udstrækkes fra m= 1 til m=æ. Men nu bestaar /4(x) af C+ l/æ +
en Række, der skrider frem efter Potenser af /v. Belegnes denne Række ved A(x), saa
faas altsaa
1
7 7 I au Ul 1 lv uU 7
Fy (2) = Y—plm).C + 2— ulm) ie == » LA (is m) 3
m Mm Mm m
Det sidste Led giver en Række, hvis Koefficienter umiddelbart kunne bestemmes ved Hjælp
af (41), og man faar, naar denne Række betegnes ved Funktionstegnet P() ,
læ ENS (IS la)
DEE Dear Nee ST
P(x) (86)
31 213
Hvad de to første Led angaar, saa give disse, under Forudsætning af Rigtigheden af Form-
lerne (28) og (33),
1 1 | af
vw " 3) SEE HIS CES hits DCE Wallis
2 lm) .C Her a am) la oe am) Im — 0.C +40 lla +1,
saa al man erholder som svarende til Leddet Zi(®) et Led i Formlen for #(x) af Formen
1 + Pie).
Ligeledes ses, at det konstante Led —/2 i Formlen for F(x) vil optræde multipli-
il : :
ceret med Z—y{(m) og altsaa helt vil forsvinde.
m
Tilbage bliver derefter det Led, som indeholder de imaginere Integrallogarithmer,
la en
samt Leddet es Ta: Dette sidste Led giver Anledning til det nye Led i /\a)
Le
Pea (m) | dy
D TENTE y?—1 yly
: Fr I
Setter man i ethvert af de her optrædende Integraler y = 2”, altsaa ly = —Iz
P 2 : } J ay
Il +-1
dy = —z™ dz, faas
i m
a Aa
re) x I dz
ln
7”
saa at man vilde faa en Række af Formen
a2
Elm) | 1 de | Sala "TI dæ
yild) ) Zr — = a en =
1
m , (ei) ale m ENE HET
Indflydelsen af dette Led kan altsaa ikke bedømmes, da dertil vilde kræves et nøjere
Kjendskab til Rækker, hvis Koefficienter indeholde Faktorerne », og det lønner sig heller
ikke at undersøge dette Led særskilt, da det er muligt, at det bør betragtes i Forbindelse
med Leddene 2%, hvis tilsvarende Led i F heller ikke lade sig undersøge, saa lenge man
ikke kjender Rødderne a.
Men saameget kunne vi betragte som sikkert, at for saa vidt vi som Tilnær-
melsesformel for (x) opstille Formlen
Ya) = Li(z)— C— llæ,
saa faa vi som tilsvarende til denne Tilnærmelsesformlen
BR Biz) (87)
og selv om vi medtage de to bortkastede Led i Integrallogarithmen, hvis Indflydelse, naar
214 32
undtages den aller forste Del af Talrækken, er ringe, saa medforer dette kun, at man faar
O(a) = Pia) + 1. (87)
Hvilken af disse to Formler som rettest bor benyttes, ses ved Sammenligning med
de sande Verdier af @(2); og den vedfojede Tabel VI viser tydelig, at naar undtages © < 3,
saa giver den sidste Formel øjensynlig den bedste Overensstemmelse, og vi adoptere derfor
denne (87) som den endelige Form for en Tilnærmelsesformel for #(«).
I Virkeligheden er P(2)+-1 allsaa kun en anden Form af den kontinuerlige Del af
Riemann’s Formel, specielt af det Led, som fremstilles ved Zi(x) — 1 Lila?) — 1 Li(æ) nests
men den besidder fremfor denne den Fordel at have Formen af en konvergent Rekke, som
i hvert enkelt Tilfælde direkte lader sig beregne Led for Led. Tilmed er Rækkens Form
ikke uden Interesse, navnlig fordi den i Koefficienterne indeholder Funktioner af Primtallene.
Det ligger ret ner at formode, at det kunde vere muligt for at faa et exakt Udtryk for (x)
at erstatte de i Nævnerne optrædende Funktioner s(r) ved andre med disse analoge, men
afhængige alene af Primtallene op til x og altsaa diskontinuerte.
Da det maatte vere af særlig Belydning at gjøre Beregningen af Funktionen P(x)
saa let og bekvem som mulig, besluttede jeg, efter at have fundet dens Fremstilling ved
Rækken (86), at forsøge Beregningen af en Tavle over saamange Verdier af den, at en
Sammenligning mellem @(z) og P(2) indenfor de Grænser, for hvilke @(2) var bestemt ved
Primtaloptellinger, kunde beregnes ved simpel Interpolation, saaledes at man i det mindste
erholdt en rigtig Decimal. Til dette Ojemed beregnedes da først den i Tab. Il meddelte
Tavle over Integrallogarithmen og ved Hjælp af denne Verdier af Funktionen P(x) paa den
Maade, som nedenfor er angivet i Forklaringen til denne Tavle. Da det imidlertid derved viste
sig, at Interpolationen, forsaavidt /.x toges til Argument, var langt simplere for Funktionen
log. P(z) end for selve Piz), saa er i Tavle IM log. P(x) taget som det principale, medens
de anførte Verdier af selve /(x) kun ere tilføjede af Hensyn til Kontrollen og Bedømmelsen
af den Maade, hvorpaa Tavlen er beregnet. — Det bor endnu tilfojes, at de Tilnærmelses-
værdier for #(2), som beregnes ved denne Tavle, forsaavidt jeg har undersøgt Sagen, stemme
saa godt overens med de af Glaisher!) angivne, som det kunde ventes. — Selv om der
altsaa kan rejses Tvivl om den formelle Rigtighed af Udledelsen af de Sætninger af
Mobius, paa hvilke Beviset for Formlen #(&) — P(x)-+ 1 beror, saa vil der dog sikkert
ikke kunne vere Tvivl om den reelle Gyldighed af disse Formler.
Det vil af det foregaaende vere klart, at der med Hensyn til den korrekte
numeriske Beregning af Primtalmengden op til en vis Grense ikke er
vundet noget ved Riemann’s Formel. Men ikke desto mindre have hans Under-
') James Glaisher, Factor Table for the sixth Million. London 1883.
33 215
sogelser bragt et væsentligt Fremskridt i vort Kjendskab til Loven for Primtallenes Fordeling,
idet han er naaet til at angive Formen af den Funktion, som skal bruges Lil at udtrykke
Loven for Mængden af dividerede Primtalpotenser op til Grænsen z. Da Differential-
kvotienten af det dominerende Led Zä(x) i Riemann’s Formel for (x) er = saa lærer
denne Formel os endvidere, at det ikke, som Gauss antog, er Tætheden af selve
Primtallene, som gjennemsnitlig er omvendt proportional med /z, men at
dette derimod er Tilfældet med, hvad man med en analog Betegnelse kunde
kalde Tætheden af dividerede Primtalpotenser.
Men trods dette synes dog det Held, Riemann har haft med sine Undersøgelser i
denne Retning, at være af en noget tilfældig Natur. Det beror udelukkende paa den særlig
hensigtsmæssige Form, det er lykkedes ham at give Funktionen /s(r), og da atter paa, at
Leddet /(7—1) udsondrer sig fra alle de andre og bliver af dominerende Betydning. At
dette maatte blive Tilfældet, er ikke ganske klart, selv om den Side 10 anførte Formel af
Dirichlet, s(1+ 0) = aa som Mertens og tildels ogsaa Tchebycheff have benyttet ved
deres Undersogelser, nok kunde tyde paa noget saadant. Men selv om det ogsaa vil lykkes
ved fortsalte Studier at komme til fuld Klarhed over denne Udvikling og over de i Riemann’s
Formel indgaaende Rodder a, saa synes det dog, som om den Form, hvorunder disse
indgaa i den endelige Formel, i hoj Grad maatte vanskeliggjore igjennem denne nogensinde
at naa til en nøjagtig Beregning af Mængden af Primtal op til en given Grænse, og stiller
man sig altsaa delte Formaal, saa vil man derfor vistnok endnu i lang Tid vere henvist til
Beregninger af rent taltheoretisk Natur.
§ 4. Ufuldstændige Kvotienter. Theoremer af Berger og Césaro.
I det folgende betegner n gjennemgaaende et konstant helt Tal; det største hele
“Ale E DAT
Tal i Kvotienten = betegnes efter Legendre ved Symbolet E— eller HE) saa at
altsaa N ; , ay
Ei eee cai heller i= i, eee (88)
IT a x CN
* Om saadanne ufuldstændige Kvotienter lader der sig angive forskjellige mærkelige Sætninger.
Betragte vi Talrækken
hvor 1, 2, 3 ...a ere de hele Tal op til à inklusive, saa danne de enkelte Led en Række
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. 28
216 34
aftagende hele Tal. Nogle af disse kunne være lige store, og det er let al angive, hvor
mange der ere lig et givet helt Tal x.
Thi den største Nævner, som ved Division i x giver den ufuldstændige Kvotient z,
Bade n
maa være det storste hele Tal, som fremkommer ved Division af n med x, altsaa En
AL es I.) n ; .
ligesaa er den største Nævner, som giver Kvotienten «+1, Tallet BEST De Tal i Rækken,
T—-
som ere lig æ, ere altsaa i Almindelighed de, hvis Nævnere ere Tallene
n
atl u: Zn = ae i
Dette behøver dog ikke at være Tilfældet for de sidste Led i Rækken. Men betegnes EZ
E
oe EI, i Antal EZ E—
ved g, saa ses let, at Antallet af Broker, som ere lig med g, vil vere ne
€
Betragte vi dernæst, idet 7 betegner en vilkaarlig Funktion, Summen
ge 3.r(B*) a r(£2) sf r(£5) lem ) ALIEN (pe), (89)
i is 1 2 \ eB} a
saa maa denne aabenbart kunne ændres til Formen
S = A,F(g) + A, F(4+1) +... AnF(n),
hvor A,, A,... betegne konstante Koefficienter, som angive, hvormange af Funktionerne
n
2 der blive lig henholdsvis /(q), F(9+1) 0. s. v. Men disse Antal ere angivne
ovenfor, og man faar altsaa
n
S — ser rJrui+( ne a re
EL ) Fin 1)-LF(n), (90)
der ogsaa kan skrives
S = all
ay CF g+11—F(g)+E + a+ are )+...H a (Fin)—F(n—1)).
Sættes En a — n, faas ee to Formler
ST n = pl mn ST
5r(z 2) 5(£2 BE) Fu) (91)
og
Sr(E2) em) Sm) —F en. (92)
1 xv æ
Paa denne Maade er Formlen angivet af Césaro !); den almindeligere Sætning-
Zr(E*) a 3 (Fa) Fe 1) ES (93)
1 T g+i - LT
skyldes i denne Form Berger’).
1) Formule d'arithmétique, Mathesis, T. Il, p. 97.
2) Sur quelques applications de la fonction Gamma à la théorie des nombres, Nova Acta Kee. Soc.
Scientiarum Upsaliensis Ser. Ill, Vol. XI, 1881.
39 217
Særlig mærkes Tilfældet a = EVn. Da man altid maa have
n < (EVn+1) —1,
saa faas
N ae Få
= SE EVn + 2
EVn ;
7 n Mm
saa at altsaa g == E— maa være et af Tallene a, a+1, a+ 2. Men betragtes Rækken
(4
EVn
AI
a Fa) + Er et Fa) Ba (We?) rte) on sve
saa ses, at hvis 7 —a+1, saa kan man sammendrage de to første Led til aF(9), og hvis
q—=(a+2), kan det samme gjores med de tre første Led. Denne Række bliver derfor
identisk med a/(q) + S (Flay — F(x—1)) ET, saaledes at man for ¢ — EVn altid vil
5 :
have
Sr(12) = gPi-+ 3 (Fe) —Fle—1) EL. (94)
1 ec ati x
Setter man F(7) — F(2—1) — f(x), faas
> n CE n
SQ EST Sp(E%)—aFu), (95)
qt Xv 1 &
7
og adderes paa begge Sider SA ET, saa findes endelig, som angivet af Berger,
= 77
Sr mn 1 _n du n | !
If) EX = Spa B= 4 SF(E=)— Fa (96)
1 C i u 1 a,
De angivne Formler tilstede en Udvidelse, som er verd at legge Merke til. Naar
man nemlig i Stedet for at betragte en Række Broker af Formen ET, hvor # ere alle
hele Tal, lader æ gjennemlobe en vilkaarlig valgt Række mærkelige Tal, som vi
ville betegne ved 2, iblandt disse (f. Ex. alle Primtal), og endvidere betegner ved (x)
Antallet af disse mærkelige Tal op til z inklusive, saa findes paa lignende Maade
= & n c . . . A
som ovenfor, at Antallet af Kvotienter Z—, som netop ere lig «, i Almindelighed vil vere
n DE DS i
o(” | — 0 ul: Ved derefter at gjentage Rwsonnementet ganske paa lignende Maade
a aL
som for faas folgende Relationer, svarende til (90) og (93):
Salt) — er Ins > a BN n NV! '
$r(2) = (o0—0(,1,)) ru S(4(3)-ele)) en
SF E~) — Pa) F(q) + x (Fa) — Hen 0 (1). (98)
art æ
08
Ved som for at sætte qg = EVn faas som svarende til (96), idet Æ{x) — Fia—1) = f(x),
SETE = fie) of) ZP(E2)— 04 Fa. (99)
1 & 4 A 2
1
218 36
Ligeledes haves specielt for a«—n
na EL ge uy AU m. n så nm. nm > n =
iF z=] — 2(Fla)— Fla 1) 0(“) 3(0(*) (2) Hy (100)
Ved at specialisere Formen af de indgaaende Funktioner samt Rekken af Tallene z
lader der sig af disse Ligninger udlede en Mængde forskjellige Relationer, som ofte ere af
en meget overraskende Form. Skjont det for det Problem, vi behandle, ikke er ganske
nodvendigt at fremhæve mere end en enkelt af dem, tro vi dog, at en lidt fyldigere Udvik-
ling vil være paa sin Plads, og vi give derfor nedenfor en Række Exempler paa deres
Anvendelse paa Primtallene. Baade Berger og Césaro have gjort en udstrakt Brug af
deres Sætninger til Bestemmelse af Funktioner af Tallenes Divisorer, den forste Begyndelse
til disse Undersøgelser er allerede gjort af Dirichlet!).
Betragter man nemlig Differensen
n n—1
en; A
æ &
E
saa ses, at dens Verdi vil vere lig Nul, undtagen naar a er en Divisorin,
da den er lig 1. Betegner altsaa d en Divisor i n, saa vil, naar f(z) er en vilkaarlig
Funktion, haves
Te
Sole 3 (22 — Br) fla, (101)
T—1 LA
som ved Hjælp af Berger’s Theorem i mange Tilfælde tilsteder en tilnærmet Bestemmelse
af den symmetriske Funktion 2(d), hvor Summen udstrækkes til alle Divisorer i Tallene
op til » inklusive.
Hvis man f. Ex. vil have Antallet af alle disse Divisorer, saa sættes /(d) — d° =1,
og det søgte Antal faas da ved efterhaanden at sætte n — 1,2,3...n og summere; det vil
være
ue yy — s(# 2 BEEN à Sue E : TE ae E 3 + sæ E— . (102)
ni 7=1 7 x rai À
For dette Antal vil det være let at angive en Tilnærmelsesformel. Ved Hjælp af (96) faas
nemlig, idet f(2)=1, F(2)=2, g— EVn,
ei Em. ER
SE 2.8 E g = 2nd q? — 209, (103)
i ie i ax meal
hvor 0 er en ægte Brok.
Men nu er, idet ¢ er en ægte Brok,
€ A 1 €
Sa mær
a er,
1) Ueber die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie, Abhandlungen der Berliner
Akademie 1849; og Ueber ein die Division betreffendes Problem, Monatsber. der Berl. Akad. Januar
1851; eller Crelle’s Journal Bd. 47.
37 219
Betragter man alene de tre første Led, saa danne disse for 9 > 1 en stedse voxende kon-
tinuert Funktion, og altsaa er
1 — 1 = I
UDE ER GERE VE lol) FG FR
NERE more Cr. er
Heraf faas alter
ÿ Lee BR lyn ai CAR I = os | zie i be e’
TTC 5 Dip aa DAT een}?
eller ; >
Me Gr EL ae EC ART ae
Vn 1 & 12n
À 1 q I
Men nu er endvidere altid — SE . = wt 1, allsaa ogsaa
cL || zen TA ==
2nSX— > 2S H— > 2(n+1) Y—— 2Vn, :
4 © 1 av 1 ©
og da fremdeles n—2Vn< @g@ SE — > nin + n(2C—1) —8YVn, (104)
1 æ
idet vi af den lavere Grænse have bortkastet Leddene
1 all
l 2C— —— —
Ra Vn 6n?
som tilsammen ville udgjore en positiv Sterrelse, naar n > 2.
Dette Resultat afviger lidt fra det, der angives af Berger, som sætter
SET = nln tn CL An, bvor A 4 (105)
De her angivne Grænser ere altsaa lidt snevrere end Berger's, men alligevel ere de vistnok
videre end nodvendigt, da derikke er taget Hensyn til den Omstændighed, at de forskjellige
n Te ig 3 i : 5
Rester — — E— i Virkeligheden ikke ville være uafhængige af hinanden.
& KL
(I Forbindelse hermed skal nævnes en interessant lille Sætning, som i en lidt anden
Form skyldes Dirichlet. Er > = o(y), saa er for n—ab
gla) --o(b) = ¢(ab). (106)
Den faas som en simpel Konsekvens af Formlen (93).)
Paa Grundlag af (96) findes, at naar n er et stort Tal, saa vil Middelværdien
af Antallet af Divisorer i et Tal i Nærheden af x vere m+2C. Ved en lignende
Fremgangsmaade beviser Berger en hel Række lignende Sætninger, blandt hvilke vi skulle
anfore folgende:
220 38
Middelværdien af 2d for et Tal i Nærheden af » er Fe
| T
2 Sys
"7 EP as
= 5 er Im + Ci,
4 (107)
— = at ene E = NS,
l-—a
el 1 d.II\g-+1) :
— > Men 4h = = a ( o>—
7 d+y % Al cs Baal jg i
— - AIT + =| er n--C.
¢
Angaaende Beviserne for disse Setninger og flere lignende henvises til den citerede
Afhandling.
§ 5. Anvendelser paa Primtal.
Funktionen ER egner sig paa Grund af sin diskontinuerte Karakter særlig til
Anvendelse i Taltheorien, og flere Forfattere, blandt hvilke navnlig ber fremhæves Russeren
Bougaieff'), have ogsaa benyltet den ved taltheoretiske Undersøgelser. Skjont disse
endnu ikke synes direkte at ville lede til en kontinuert Tilnærmelsesformel for A(z), saa
kan dog denne Funktion udtrykkes exakt ved ufuldstændige Kvotienter, og Berger’s Under-
sogelser synes at angive en Vej, ad hvilken Tilnærmelsesformler derefter muligvis ville
kunne opnaas. Det vil derfor vere af Interesse at se i Sammenheng de Resultater, hvortil
Anvendelse af ufuldstændige Kvotienter forer.
Betegner man ved Ma,o,...0,p)(v) Antallet af Tal < x, som ikke ere delelige med
noget af Primtallene a, b, ...0,p, saa er almindelig
Banane) = Pret — Bans..0()- (108)
Denne Ligning udtrykker nemlig kun, at Antallet af Tal, som ikke ere delelige med noget
af Primtallene op til p inklusive, findes ved blandt dem, der ikke ere delelige med Prim-
!) Se Darboux: Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques. T. 10, 1876, p. 13.
39 221
tallene a, b,c...0, at udslette alle Multipla af p. Af denne Ligning findes nu sukcessive,
f 2 12 x 4
idet @, = x — EZ > Do, 3 (a) IB CHE E 3 FE Gis
og almindelig
Pe STARS PN ND Sp nee
De) x 2E m +ZE ZB = Poe | (109)
hvor der i Nævnerne findes alle Produkter af de givne Primtal tagne I Gang. Er specielt
a,b,e... alle Primtal op til Vw, saa vil denne Formel som bekjendt angive I + Antallet
af Primtal mellem Vz og a. Betegne derimod a,b,c... alle Primtal, bliver venstre Side
lig 1, og vi faa den Ligning, som er fremstillet i (46).
Paa Grund af Arbejdets Vidtløftighed vil en virkelig numerisk Beregning af
(x) — (a2) ved Formlen (109) være meget besværlig, men den kan gjøres og er i Virke-
ligheden udført af Meissel!).
En lignende Formel skal være benyttet af Hargreave ?) og Piarron de
Mondesir?), men intet af disse Forfatteres Arbejder har været mig tilgængeligt i den
originale Skikkelse.
Den Sætning, som vi først skulle lægge til Grund ved de følgende Betragtninger,
udtrykkes i Formlen
So() wm, (110)
1 æ i 2
Den faas af (100) ved at sætte F(x) = Ex. z betegner her en Række mærkelige Tal, og
M(x) Antallet af disse op til æ inklusive. Paa venstre Side summeres med Hensyn til +,
paa højre Side med Hensyn til alle Tal z) al ra
ZEIT — Pa) + 8 (5) +...
Ligesaa for F, (7) = Zip? faas
1
SE lp? = Fn+tr, (5) SORTE Fin) + nf 2 + 22) + ee
REED pe n \3 n Ye
eller rd — oe +r(3) +...
Paa lignende Maade bliver
SE “Ip ==+F(n3) + r(3)' + F(F) +,
saaledes at man endelig Be
226 44
LE Es n > n
Sle = Fin +F(5) + #(5) NR
1 n\3 ,(n\3
++ rl) Hr) +.
++ Rz) + F(3)' +... 0. 8. V.
Betegne vi nu med Tchebycheff Nix ved T(n) samt Funktionen
1
Fin) + Find) + Fins) +... ved Ø(n), (130)
saa faas altsaa
TOO OS TOC
I Funktionen d(n) indgaar aabenbart hvert enkelt Primtals Logarithme saa
mange Gange som Addend, som angives ved den hojeste Potens af p, der
er lig eller mindre end n, saaledes at man ogsaa kan skrive
| RQ
din) = Sp ET (132)
Ligeledes kan ifølge (91) og (92) T{n) skrives som
a n u n n ud ,n
A), — ap (=) = » (# = Zen = ØE) IN) (133)
Det er de to Ligninger (130) og (131):
Tin) = 24 (=) og din) = S Fln=) Å
1 u 1
som Tchebycheff har lagt til Grund for sine Undersøgelser"), de tilstede i Virkeligheden ved
en dobbelt Anvendelse af Möbius’s Faktorer at bestemme Funktionen Zn), som Tchebycheff
for øvrigt betegner ved #(n).
Af (131) afledes en ny Identitet ved at danne Differensen 7(n) — Tin—I). Paa
n—|
venstre Side faas derved /n, paa højre Side »(¥ (=)-¢ a) Men Differensen
n—I eo
db | vil alltid vere lig 0, undtagen naar oe er en Potens af et Primtal.
7 2 2 (LT STE =
Er + dr p”, saa bliver Differensen /p = a ; saa at man, naar som tidligere &@(x)
Xv m &
: oh. : k
betegner en Funktion, som er lig —, naar & —p", og i alle andre Tilfælde
m
ne Safe i (134)
1
lig 0, kan sætte
1) Mémoire sur les nombres premiers. Liouville's Journal, Tome 17; jfr. Serret: Cours d'Algèbre
supérieure, 3. éd, T. II, p. 202.
45 227
Det andet Udtryk for {x) i (133) giver paa lignende Maade, idet
Tin) = 3 (ple) — (7=1)) ET 5 5 ET &(2) le, (135)
4 € 1 d
ll n—t\ . ve
Formlen In 2 (x : —E = ) @(x)le = Sa(djld, (136)
1 æ æ
hvor d betegner alle Divisorer i », og Summationen udføres med Hensyn til disse.
Disse Udtryk for In ere saa at sige umiddelbart indlysende, og man kunde derfor
ogsaa benytte dem som Udgangspunkt til Bevis for de Tchebycheff’ske Ligninger (130) og (131).
Hvad der imidlertid bor særlig fremhæves paa dette Sted er, at disse Ligninger
ret beset indeholde Definitioner af Funktionen (7), idet denne skal vere en
saadan Funktion, at den symmetriske Funktion Y&@(d)ld, dannet af alle Divisorer i Tallet »,
faar Værdien In. Kan derefter &(x) bestemmes nøjagtig eller tilnærmelsesvis, saa vil
n
altsaa l@(x) give et Udtryk, ikke for selve Primtalmengden @(n), men for
onen %(n), den samme Funktion, for hvilken Riemann ad ganske anden Vej finder
en Formel. Der er derved knyttet et interessant Baand imellem disse to saa forskjelligartede
Undersogelser, og netop Tilstedeværelsen af denne Forbindelse giver en Antydning af, at
det virkelig er Funktionen %(n), som man navnlig ber fæste Opmærksomheden paa, fordi
den tilsteder en simplere analytisk Bestemmelse end selve #{n).
Inden vi forlade dette Thema, skulle vi endnu anfore nogle merkelig udseende
Identiteter, der faas som simple Folger af Berger's og Césaro’s Sætninger i den udvidede
Form.
Ifølge (113) er, naar 4,(®) betegner Antallet af Tal af Formen ab, d.e. Produkter
af to Primtal :
CADET (3) +0.(5) +... = SET,
og paa lignende Maade kan findes Ligninger for #,(x), Antallet af Tallene abe, op til x
o.s.v. Men hvad vi navnlig her ville fremhæve, er, at #,(n) kan udtrykkes ved @(n).
Dannes nemlig Summen
ORPI CI
saa vil denne let ses at angive Antallet af Tal af Formen ab, tagne 2 Gange, + Antallet af
Primtalkvadrater op til x, eller
>30 (=) == 24,(n) + A(n2) , (137)
en Relation, som i ufuldstendig Form er fundet af Bougaieff. Lignende, men mere
sammensatte Formler kunne findes for @,(«) 0. 8. v.
228 46
Setter man dernæst i (98) Fix) = 6(2), z=p, altsaa P(x) = A(z), saa faas
307 ) IS LES ) + ta an). (138)
1 P , ott
= q n
Specielt for a — EVn — q faas, ved tillige paa begge Sider at addere 44 (2) eller 50(2),
1 2 ati VI
eller ogsaa
78 n Be n 4 1
30”) = 25 (1) + On),
1 P 941 P
som i Forbindelse med (137) giver den mærkelige Relation
2 So) + = 202(m) + A. \g = EVn). (139)
art
RR følger af (98) ved at sette F(7) — H*(a), 2 — x
3e(*) — ¥ (2x) — 6? (e—1)) E—
a ots
1
- + ab?(g) = à CAT — 1) BE na a (140)
Er tillige =p, bliver Formlen til
a n He n
2.0? = (26(p) —1) 4 | — CET
: (=) zen —1) (=) + der, (141)
og specielt for a—n
a = 5201910 )—20(4). (142)
1 P pP 1 Pp
Er endelig F(a) Summen af Primtallene op til +, saa bliver
srl) = pee — + aF(q) ; > BLE) = ni (“) + A(a) Fig), (143)
1 ca ati 1 P ati P
og for u—n
n n n n n n n n
Sl ee Sr) al 43’
i (2) fae ep ied 20 (7) un
I Forbindelse hermed anføres som Exempel paa Tchebychefl’s Formel (128), at
ZE a = SE Tin) + 1; len de Jee Be (144)
og at
n N, la - "1 1 = is | 144’
2 le = meer ee, ee
47 229
$ 6. Tilnærmet Bestemmelse af Funktionen & (x).
Enhver af de ovenfor udviklede Formler (134)—(136) giver tilstrækkelige Data til
Bestemmelsen af &(x) eller, naar &(x)lx betegnes ved 7(7), af denne Funktion, hvis
Verdi i Virkeligheden er 0, undtagen naar « — p”, da den er dp. Ved at ind-
fore (x) i Formlerne, kunne disse skrives som
n n . za —;| 4
In = 3-(=) = Sa Be ) ru — Dr(d). (145)
v
1 æ 1
Vi skulle betragte hvert af disse Udtryk for sig.
For af det første at bestemme (x), maatte Formlen
ii —(2)+-(3)+(3)+… |
vendes om ved Hjælp af Möbius’s Faktorer, idet man erindrer, at 7(7) kun har Betydning
n = = ; i:
for — hel, altsaa naar de under Funktionstegnet r indgaaende Argumenter ere hele Tal.
i
I Virkeligheden bør derfor alle de Led, hvor Nævnerne ikke ere Divisorer i », udelades.
Men naar Formlerne derefter vendes om, saa føres vi identisk tilbage til 7(n) udtrykt ved
Primtallogarithmer, saaledes som det vil ses af et Exempel for x — 12. Man faar nemlig da
ae ee je Be ae ie
RCE) ME ce) + ean)
fe) = |) Ae lle
(2) - (E) (2)
: 12 12 12
altsaa identisk 212 — = l rs ab te — 7 (12);
Der opnaas altsaa ad denne Vej ikke nogen væsentlig ny Bestemmelse af (x).
Derimod kunde man tænke sig, at man muligvis kunde faa en Tilnærmelsesformel for + ved
at sage Værdien af en Funktion ¢(2) bestemt ved Ligningen
n IL m 1 m Ne
hn = (FT) +e(z 5) + (2 )+. (21),
\
som giver
n ] n
t n) = DM Tata E — €
ir 1 f | ) ve
Men bortset fra, at dette Udtryk for tim) er noget kompliceret, kan man ikke vere sikker
paa, at det Resultat, man faar, vil være en virkelig Tilnermelsesverdi for z(n), navnlig fordi
t(n) kan blive negativ (f. Ex. for n— 9). Vi vende os derfor til det andet Udtryk i (145)
230 48
In > (x 2 — Br") t (2).
1 x
Dette giver os strax en Forestilling om den gjennemsnitlige Verdi af 7(z). Setter man paa
lignende Maade som for for r(x) en Gjennemsnitsværdi af de paa hinanden folgende ri
Nærheden af x, saa vil hvert enkelt Led i denne Formel ogsaa give en Gjennemsnitsverdi
af det tilsvarende Led i den oprindelige Sum. Bestemmer man altsaa Funktionen (x) ved
Formlen I
In = J—i(a),
1 ©
saa er man berettiget til at formode, at ¢(2) vil paa det nærmeste angive Middelværdien af
Funktionen 7(z) i Nærheden af z. Men nu faas strax
1
à t(n) In — I(n—1),
eller ta) = nl. — = 1) N tat ae (146)
som for voxende n nermer sig sterkt til Grænsen 1.
Skjont disse Betragtninger ikke kunne opfattes som noget egentligt Bevis, vil det
dog vere ret oplysende at gjøre en Prøve paa Nojagtigheden af Formlen for ¢(m) ved at
indsætte det fundne Udtryk i Formlen for 7(n) (135). Da Udtrykket for t(n) ikke gjælder
for n= 1, maa Summen tages fra æ— 2, og man har altsaa, al denne Sum er
at]
; n n
Sin) = DAT (tr).
ae ates
Men nu er
Ewe æ len x
> — .zl— > Sin) > Y(——1) c!—_. ,
2 & a—1 2 \ æ æ— 1
n x
eller, da n 21 — = nin og
hh
Z ( une 1) al © i nln — 2 (ale — al(a—1)) = nln — ¥ (ale — (e—1) U(æ—1) —l(a—1))
r— 2 2
= nln — nn + l[n—1],
faas endelig
nln > S(n) > ![n—1].
iS
Den tilsvarende Sum, dannet af rx), er 7(n) = ![n] = nin + mn + IV? + Ton?
altsaa ogsaa
nln > T(n) > l[n—1].
Da saaledes S(n) og 7(n) ligge mellem de samme Grænser, hvis Differens omtrent er
i — :
DES In — I!Y2r, saa vil den gjennemsnitlige Afvigelse mellem 7(x) og t(x) for alle de i
7 ; : 3 DAD 2 i
T{n\ indgaaende r(x) ikke kunne overstige n: XÆ—, eller den bliver af Ordenen Th
2 A
49 231
Da dette gjælder for alle Verdier af n, vil man være berettiget til at anse £(x) som repræ-
senterende en Tilnærmelse til de Verdier, som vilde faas ved at udjevne Verdierne af 7(n)
ved en Formel, som ikke tilsteder Vendepunkter, saa at altsaa denne Funktion tilnærmelsesvis
maa anses for at være konstant lig 1.
Til det samme Resultat leder det tredie Udtryk i (145)
In = Zt(d).
Naar man ogsaa her erstatter (x) ved é(x), hvor ¢(z) har en lignende Betydning som ovenfor,
saa skal ¢(d) vere en saadan Funktion, at den symmetriske Funktion 2¢(d) faar Middel-
værdien /n for Tallene i Nærheden af n.
Nu har Berger ved Hjælp af (101) bevist, at naar g bestemmes saaledes, at for
n — lim 7 — 0, men lim — 0, saa vil Middelværdien af Antallet af Divisorer i
9
Tallene mellem »—g og n+g nærme sig til Grænsen in + 20 (jvfr. S. 37). Udelades
Divisoren 1, som forekommer i alle Tallene, bliver Middelværdien In + 2C—1, og denne
Værdi vilde altsaa blive Middelverdien af S¢(d), for saa vidt ¢(z) 1. Denne Middelværdi
er lidt større, end den skulde være, men da det tillige er bevist, at Middelværdien af
1 x? 2
27 era eller, naar Divisoren 1 udelades, = 1, saa kunne vi sette
2C—1 1 k
AC) = Te LEE (147)
ing pe 10 n
6
Ogsaa dette Udtryk nærmer sig for voxende n til Grænsen 1.
2 1 ge I LE 1 n 1 h k x
Da 2 ET < n2 og > nS—— > —, saa faas, ved at indsætte 1 — — i Formlen
1 + 4 &° 4 % æ
ABER: i Stedet for r(x), at
Tin) —_ SE ~ (1 — =) pVn + Led af lavere Orden,
4
saa at Afvigelsen mellem Zn) og ZE= (x) her kun bliver af Ordenen Vn.
Alle de her anvendte Fremgangsmaader fore altsaa til det Resultat, at ¢(m) for
store n nermer sig til Grensen 1, og al altsaa Middeltætheden af dividerede
1
Jr naar
n voxer. Dog kunne disse Udviklinger ikke anses for fyldestgjorende Beviser for denne
Sætning, bl. a. af den Grund, at Overgangen fra r(n) til ¢(m) ikke er tilstrækkelig skarpt
bestemt.
Primtalpotenser (eller af @(n) = #(n)— #(n—I)) nærmer sig til Grænsen
Denne Indvending kan ikke gjores mod den folgende Fremgangsmaade, hvor vi
direkte benytte Formlen (135)
=H)
T(n) => SEs ala) = = x SA Ci ”).
Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II, 6. 30
232 50
I denne Formel indgaa nemlig lineært alle Funktionerne c(z) fra x = 1 eller 2 til a = n.
Opfattes altsaa Koefficienterne E— som Vægte, saa kan der, da Z(n) er bekjendt og SE
ogsaa kan betragtes som bekjendt, findes en virkelig Middelværdi af alle disse (x), hvor
dog de, der svare til de laveste =, faa størst Indflydelse, eftersom Vægtene omtrent ere
proportionale med Betegne vi denne Middelværdi ved r,(n), saa er altsaa, idet (1)
ikke medregnes Tin)
n
Due
2 æ
Erstatter man her Teller og Nævner ved de tilnermende Udtryk (20) og (105), faas
1 = €
er ern
nln + (2C—2)n + AVn
T (7) =
(148)
Tin) =
1 1 k
orne
DOS Te
1 ee SSS
als In Vn In
eller ill) =
altsaa, naar Divisionen udfores,
2C—1 2C—2
n(n)?
+R, (149)
z,(n) = 1
hvor # betegner en Rest, der er af lavere Orden end I, saa at altsaa Lim RVn — 0
for n—. Ve
De til de laveste Verdier af æ svarende (x) have den største Indflydelse ved Dan-
nelsen af denne Middelverdi, og da det andet og tredie Led ville optrede med modsatte
Fortegn, og deres Indflydelse altsaa gaar i modsat Retning, saa vil Middelværdien 7,(n) allerede
for lave Verdier af n vere ner ved I, og hvis man tænkte sig, at Middelværdien dannedes
med andre Vegte end de her anvendte, saa vilde dette Forhold aabenbart ikke kunne
forrykkes meget, da Formlen gjælder for alle n. For store Verdier faar r(x) vel en
mindre Vægt, men til Gjengjæld faar den, for saa vidt æ er et Primtal, en større numerisk
Verdi. Man ledes derfor til den Antagelse, at vesentlig den samme Middelverdi maatte
komme frem, selv om Vegtene vare ligestore og Middeltallet ikke dannedes af alle z(z) fra
2 til n, men alene af dem i Nærheden af n.
Det er i Virkeligheden ikke vanskeligt at danne et Middeltal, hvor de enkelte ind-
gaaende r optræde med ligestore Vægte, og hvor de til de største w svarende z faa den
største Indflydelse.
Dette faas ved Betragtning af Identiteten
Tin) — 2T(E = ) = 3(z - — 2B S| T(z). (150)
i ; 27
51 233
For Simpelheds Skyld antage vi, at n er et lige Tal samt n—ax-+r (ra). Da
bliver Differensen | à
{ 0 for a lige
= —2 Soi
2e 253, 7 \ 1 for a ulige.
(151)
Koefficienterne til z(z) i (150) blive altsaa alle O eller I, og navnlig ses, at for aile Værdier
af DE bliver Koefficienten altid 1, medens den for lavere z kun bliver 1 for dem, der
give et ulige Tal for Kvotienten ET. For n — 10 faas f. Ex.
T(10)— 27(5) = 0.1) + 1.7(2) + 1.7(3) + 0.7(4) + 0.7(5) -+ 1.7(6) + 1.7(7) + 1.7(8)
ae lath) a= Word (OF (152)
Danne vi altsaa Middelværdien af alle de i (150) indgaaende 7 (7(1) undtagen), saa vil
denne Middelværdi, som vi ville betegne med z,(n), fortrinsvis afhænge af de 7, der svare
til Tallene mellem n og = Denne Middelverdi vil fremstilles ved
T(n) — 27(+)
CA) cores (153)
3( B27)
2 æ zu
Nu er Tim) —27(5) = nin—n + 3 In + 1V9r + Hi nl, AL 15 — Ver — À
nl2 - x n is (154)
samt, paa en ubelydelig Brok ner, ifolge (104) eller ve
(2° 25 = nl? - + pVn. (155)
Folgelig faas ys
ne — +n —1// 2 us ies
zn) = — = =
nl2 + pV nr y SEM Van
=a a (156)
1
Man ser, at Afvigelsen af denne Middelverdi fra 1 kun er af Ordenen —, og at den altsaa
n
nærmer sig stærkere til 1 end den ovenfor fundne r,(n). Da dette gjælder for alle n, kan
der herefter ikke være nogen Tvivl om, at man kun begaar en ringe Fejl ved at sætte
Middelværdien af c(2) for et stort Antal paa hinanden folgende Verdier af z lig med 1.
Tillige ses, at Summen af Afvigelserne mellem de enkelte r og I bliver
n 3 =
3(£ 283) (ela 1) + oVn 9 In iz a (157)
1
og altsaa af Ordenen Vn.
Ogsaa for Afvigelsernes Kvadratsum lader der sig uden Vanskelighed angive i det
mindste en hojere Grense, men de fundne Middelværdier ere alligevel ikke, hvad man
30*
Qu
Lo)
234
maatte ønske. Det, man skulde tilstræbe, var nemlig at erholde Middeltal og
Middelafvigelse fra dette for en Række c(z) for alle x fra en vilkaarlig valgt
lavere Grænse m til n, helst med ligestore Vægte.
1
Hvis Vægtene sættes proportionale med He da kan delte gjores, idet man af
(135) erholder
1 m - a 1 1 : 1
SØ SE A SE AT SALE,
= Tin) < = z ll) Ti (n) + = din), (158)
hvoraf der i Virkeligheden lader sig finde Grænser for Summen 2—r(@). Men disse
m wv
Grænser ville dels komme til at afhænge af Tchebycheffs Grænser for ¢(m), som lide af
væsentlige Mangler, og dels ville de ogsaa paa Grund af selve Beskaffenheden af Formlen
blive altfor vide, til at man kan have nogen reel Nytte af dem. Det vil ialfald vere bedre
n
at benytte selve Funktionen (x) = 2'c(2).
§ 7. Funktionen f(x).
For saa vidt det kunde betragtes som fuldstændig sikkert, at Middelverdien af alle
z(a) fra « = 2 til e — n er lig 1, saa vil Funktionen ¢(n) vere lig n — 1 + en Rest af
lavere Orden end n. Dette vil, uanset de andre (2), ogsaa vere Tilfældet, hvis blot
Middelverdien af de r, som ikke forekomme i Summen (87 — za) te har Grænsen 1.
Disse 7 ere nemlig de, der svare til saadanne x, for hvilke Kvotienten Be er et lige Tal 2m,
og Differensen mellem ¢(z) og den angivne Sum vil derfor vere qoute af en Række
Udtryk af Formen Be on ea (Et? I: Em mall taget for alle
A u: (m mn
m fra 1 og opad. For r(m) = 1 vilde denne Sum ændres til 2 Be Er); der
tilnærmelsesvis kunde omskrives til
1 1 1 1 1 1 1
NES, — soos : 9
a ea | "(5 3 uy 4 5 Ho =) (53)
Rækken under Parenthesen er med en Fejl af en Brøkdel af Er lig 1—/2, saaledes at man
for den søgte Sum tilnærmelsesvis vilde erholde (1—/2)n, og dette adderet til Tn) —T (2)
vilde give
N — > In + 2 — 12x
med en Fejl, som vilde kunne findes, ialfald med Tilnermelse, hvis Afvigelsen af Middel-
værdien af de udeladte + var bekjendt. Men denne Fejl kjendes ikke tilstrækkelig nojagtig,
til at man kan bygge noget paa den, og det bliver derfor enskeligt at undersoge, om man
ikke direkte kan bestemme (x) ad anden Vej.
Det ligger da ner at forsøge at benytte Ligningen (131)
Sy jad y A (LUS
Tin) — 24 (7)
i dette Ojemed. Denne giver, efter Omvending ved Möbius’s Faktorer, strax
oe Zu T(E) Tin) r(E, )- r(#}) at r( Be A r(z?) …… (160)
som exakt Udtryk for ¢(n). Men at udlede en Tilnærmelsesformel af dette er meget van-
skeligt, navnlig paa Grund af, at de diskontinuerte Argumenter forhindre en Differentiation,
som ellers strax vilde tilvejebringe mere handelige Funktionsformer end de, hvortil 7x)
uden videre reduceres.
Det er dog lykkedes Tchebycheff!) ved en overordentlig sindrig Fremgangsmaade
at tilvejebringe Grænser for ¢(n) af denne Ligning, og for Fuldstændigheds Skyld skulle vi
ganske kort antyde, hvorledes han gaar frem, saa meget mere, som hans Methode ogsaa i
andre Tilfælde lader sig anvende til en Grænsebestemmelse for Funktioner, som faas ved
lignende Omvendinger.
Naar man nemlig har forelagt et System af Ligninger, som
VA == DIRT
Ya
VERS Dr dr
og man om de sogte X ved, at de danne en aftagende Række, altsaa
X, > X, > X,..., og man derefter danner Summen
o = Y,—Y,—Y,—Y,4+ Yu,
saa findes o udtrykt ved X’erne at vere
QS X,— Xp + X,—Xin + Xj, —K 42 + X13 —Xi5 + Xi; — Nig + X19 Ay + X03 — Ay
Aa Asp...
hvorefter der folge X med Indices, som give de samme Rester ved Division med 30 og
med ganske de samme Fortegn som de, der optræde i den angivne forste Periode, altsaa
saaledes, at hvert andet Fortegn er +, hvert andet —. Naar det nu er givet, at
X’erne danne en aftagende Række, saa kan man ved at afbryde denne Række paa et
!) Mémoire sur les nombres premiers. Liouvilles's Journal T. 17.
236 54
hvilket som helst Punkt angive en Grænse for den derved begaaede Fejl, og navnlig har man
de to Uligheder
NL IE
da de bortkastede Led i forste Tilfælde have en negativ, i sidste en positiv Sum.
Anvendt paa det foreliggende Tilfælde faas, idet ved ¢(n) betegnes
Tin) T(2+) r(s5)-1(#5)+7(#5) | (161)
at tin) < gin) < tm +4 (2). (162)
Ved derefter forst at vise, at
T(E) = Vin + ale — a LI Me + © 5 or <= We (163)
finder Tchebycheff først Grænser for (x), nemlig
An + 2 In > tn) > An— m1, (164)
hvor A= 1044134 - 15 — 35130 — 0-92129202…, (165)
og derefter for (x)
Ant Fe? tin + 1 > pln) > An — mt. (166)
5 416 4 2
Væsentlig den samme Methode er anvendt af Sylvester!) og ligeledes af Dr.
Jul. Petersen >”).
Sylvester giver en ringe Forbedring af Tehebycheff’s Grænser, men noget væsentligt
har hverken han eller nugen anden af de senere Forfattere opnaaet, navnlig har ingen af
dem været i Stand til at faa Faktoren til n i Grænserne for (x) erstattet ved 1, hvilket
uden Tvivl maa kunne gjores. I Virkeligheden synes det, som om Tchebycheff’s Frem-
gangsmaade ikke kan udvikles videre; at den har kunnet fore saa vidt, beror paa, at man
ved Dannelsen af Summen a kan faa en Række af X med skiftende Fortegn, og at danne
en lignende Rekke, hvor flere af de forste efter X, folgende X mangle, synes ikke at
vere muligt ved at kombinere forskjellige Y.
Vi vende os derfor til de andre Maader, som kunne tjene til Bestemmelsen af ¢(n).
Betragtes forst Formlen (132)
ln
din) = am
saa giver denne ganske vist Grænser for ¢(n), nemlig
1) On Tchebycheff's theorem of the totality of the prime numbers comprised within given limits.
American Journal of mathematics. Vol. 1V.
*) Om Primtal. Tidsskrift for Mathematik 1882. S. 138.
Qt
bo
ww
I
>(#—1)% = A(n)n—Slp < din) < So = A(njin, (167)
eller, hvis man antager n delelig med nogle af de forste Primtal (f. Ex. 2, 3, 5, altsaa
n = 0 mod. 30), x
O(n) In — 'lp < ¢(n) < On) In, (167)
men denne Formel har ved Bestemmelsen af Grænserne for ¢ ingen Betydning, hvorimod
den nok, naar disse vare bekjendte, kunde benyttes til at finde Grænser for 0.
Direkte at bestemme ({n) ved at vende Formlen (131)
2
b(n) + ¢ i=} +(3) De == IND)
om, efter at det bekjendte Udtryk T{n) — nn —n--1V2r o.s.v. indsættes for 7, vil ikke
kunne fore til noget, da man ikke kan angive Grenser for de enkelte Leds Fejl i det
Udtryk, som Omvendingen vilde give.
Bedre vilde det ialfald vere at erstatte Z(n) ved et Udtryk, i hvilket SB indgik.
Da nemlig
ST 1 À
== Vor
T(n) nin —n + LV 2a + 5 In + 19}
og SEs = nln + (2C—1)n+ pVn,
1 d
saa kan man sette
n —
T(n) = SE——2Cn+ pVn, (168)
ne
hvor p kan betragtes som en Storrelse, der altid ligger indenfor let angivelige konstante
Grenser. Af denne Formel faas
p(n) = n—2C+ Speo. VX . (169)
Men for at finde Grænser for det her optrædende Restled maatte man først for oz sætte
den storste positive eller negative Verdi, som p kunde have, og derefter for sig summere
de positive og de negative Led, hvorved vilde faas en hojere og lavere Grænse. I Stedet
; à — 81/1
for disse kan man ogsaa benytte videre Grænser af Formen -L pVn sV-. Men
1
n
n — ——
Summation af Rekken ay" giver en Størrelse af samme Orden som \y2 dx = 2(Vn—1),
; Nee
saa at Grænserne for «(n) vilde blive af Ordenen n ligesom hos Tchebycheff, og selv om
vi kun udførte Summationen for de positive (x), saa vilde vi derfor ikke komme til
vesentlig bedre Grænser, med mindre man blev i Stand til ogsaa at tage Hensyn til For-
n
tegnet for px, eller ogsaa der for Afvigelsen mellem 7(n) og DE kunde
findes en Grænse af lavere Orden end Vn.
238 56
n
Det ligger ner at benytte Formlen 7(m) — Zlx ved Omvendingen. Derved faas
1
folgende Ligninger
m +43) +) +) +) HE 13 VE Un
n n ’ LL
(3) to(F) +. = 12 BE he BE —Ez. 12
2 N
+e(3) +4()+--— 3S wenn
DESSEN.
Deraf faas ved Anvendelse af Möbius’s Faktorer
n n n N n Lo N.
b(n) = EZ. +E—.13 + E—.l5— 8. =, ... — — Iula) E—. le
b(n) E,.12+E,.13 FE 15 BE, I6+E- IT + Zul) ET la, (170)
som ogsaa i en anden Form angivet af Dr. Petersen.
Dette Udtryk er ner beslægtet med den af Môbius fundne Formel (33)
i I lee as 1
I OR LE = nn gt TiIt...,
men vi treffe her atter paa en lignende Vanskelighed som ved Rækken (28), idet nemlig
Formlen for (x) snarere kan bruges til at bevise Konvergensen af Möbius’s Række, end
denne omvendt til at finde Værdien af d(n).
Der kunde endelig være Tale om at benytte Formlen
n n n
G 57 Ze à hia
T(n) 2 (2) (#7 Er i) sv
= (25 —B5) 92 fe (23 —E7 VG) tn),
men heller ikke denne forer til noget bedre Resultat end de andre, om end en Tilnærmelses-
formel kan faas ved at erstatte Koefficienterne ved (2-5):
Derimod kan man ved Anvendelse af en med Riemanns’s analog Fremgangsmaade
naa til et Udtryk for ¢(n), som har Interesse.
Vi fandt nemlig ovenfor Formlen (62)
tel
| 5 Is(r)dz = 27 (a) la — 2ry(a) ,
dog med den Indskrænkning, at æ ikke skal være en Primtalpotens. Adderes hertil
+»
| at D, L sde — \" 2. Is(r) dz AZ ona: = — Ird(z)lx,
—œ ® ®
1
239
saa faas a
-\ ro D,ls(r)de = Izd(e). (171)
Her haves altsaa et med det Riemann’ske analogt bestemt Integral, som giver Værdien af
g(x), eller rettere af 1(/(z7+0) + G(x—0)). Nu faas af det Riemann’ske Udtryk for Zs(r)
Is(r) = 7 Im — Ur—1) — (s+ 1) en zu (1 + + 1£(0),
Så ' I fr d AE
ED ab) part 4 Diplo +1) —D, zi(ı4 = )+180)). (172)
a
Indsættes dette Udtryk i Formlen for (x), kan Integrationen udføres for hvert Led for sig.
Da Integralet = de — 2z, saa giver et konstant Led i Formlen for —D,/s(7) et til-
svarende Led la). Derved faas af det andet Led
gr V ) N
— lz a” dz 27 (x
mn \. (4 SL N)
som det tilsvarende Led i 2z¢(a).
Overhovedet har man altid
Er 1 1 HEN 27) 2
z — i — — dz ap — 1). (17:
\ 6 DE FE mg) “An el
Dette anvendes ved Behandlingen af det sidste Led. Da!)
SA igs 1 HET ZU 1 <
DIT (+5) = TE 5 ap (174)
saa faas deraf i 27¢(a) dels et konstant Led, dels Led af Formen
®
itis (il sth? . FU) Ces Re u dz RE
N In—r r n(2n+r) n | In+r n
De fra /”- Funktionen hidrørende Led blive altsaa, med Udeladelse af det konstante Led,
|
4 € a
Qa JS — a" = — Irl(l—x 2).
4 À
Angaaende det sidste Led saa vi ved Behandlingen af Riemann’s Formel, at
= r—1\2\, ; r r Be:
Zu ) +120 As siti) + (tp) +00,
hvor Konstanten /&(12) ifølge Genocchi er —/2. Da nu
1 1
oI —+| en
D ( I)
1) Hermite: Cours professé pendant le 2€ semestre 1881—82, rédigé par M. Andoyer. Second tir.
p. 93.
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. , 31
240 58
saa give Integralerne af to til samme @ svarende Led i ovenstaaende Sum folgende Resultat
U
Zur r BER De le AeA DT yes
i — — I(1— iz gate EN een
Wi D, (If = (: me ee 1)
Or en ; Sms : Me ig (oct + ammer) Ir
= ia G— ai) + wv (+ ai)) 1+ See \ 140 MCE
Den herfra hidrorende Konstant kan bestemmes ved at bemærke, at
t2
LE(t) 1&(0) 4 DIE >) ;
\ a
hvoraf ved Differentiation
El) yet Sano ig he
E(t) ~e—t a (178)
og altsaa for = 37
5 il EL) ae fat
Si 2 9, €!
a UD au (21)
Da Riemann blandt andet for &(t) anfører folgende Udtryk
Et = 1 — (+ piver cos(ltlx) dx,
va
saa faas heraf
et) = — 21 h(a) a—* cos (=) dx — (e+ +) d(x) ai ad 1 te
SU ESA 9 a) ae +7 cos | > the ) de ,
4 fal
og altsaa findes endelig
©
1
4 = Dre 3 ai ie 1 i; 2 1
HENNES lær TE y (= za c ) dz = 9 yee COTE Ore) Ce (176)
Le 1
hvoraf umiddelbart ses, at dette Integral er en positiv Storrelse, der tilmed maa være
wo Lil oo
: —n?r eu T ; ; 2 :
mindre end AE are Dr GE Det er ikke vanskeligt ved delvis Integration at
1 vi BIC
finde et nojagtigere Udtryk for denne Konstant, men for vort Formaal er den her angivne
Tilnærmelse tilstrækkelig, idet den viser, at
Sapp el) < 3: (177)
rar ur 2
Samle vi nu alle Leddene i Udtrykket for dx), saa faas endelig folgende Formel
1cosalx + asinale
[SU
b(x) = (x—1) — I1— 2) — 22? 2
Da) = (x—1) — 112) 212, ee: +4, (178)
hvor 2 betegner en Konstant, hvis nøjagtige Udtryk er
= AT 1 i
A = vie (si) le Or (179)
og som altsaa maa vere en negativ Størrelse, hvis numeriske Verdi ligger mellem 0 og 1:2.
59 241
Den her fundne Formel for @(x) fortjener i flere Henseender Opmærksomhed. For
det første viser den, at (x) tilsteder en betydelig simplere Fremstilling end
selve #(x), og da, som vi nedenfor vise, #(æ) med en angivelig Tilnermelse kan bestemmes
ved (x), saa vil det uden Tvivl vere praktisk at legge Hovedvægten paa at
finde ¢{z), noget, som ogsaa de foregaaende Undersøgelser pege hen paa. Endvidere ses
det let, at hvert enkelt af de under ¥-Tegnet indgaaende Led er en periodisk Funktion af
le med Perioden =: Hvert enkelt af disse Led vil altsaa taget for sig have Middelværdien
0, og Folgen deraf vil atter blive den, at naar de periodiske Led udelades, saa vil den
ovrige Del af Formlen fremstille en kontinuert Funktion, som angiver den Middelværdi,
hvorom Værdierne af (a) svinge saaledes, at Afvigelserne snart er positive, snart negative.
Da Leddet /(1— 2) hurtig nærmer sig stærkt til 0, saa vil Middelværdien af 4{x)
kunne fremstilles ved Formlen
(x) = «— Konst. = « — k. (180)
Fremdeles ses, at Grænserne for Afvigelsen mellem (x) og z—k ville faas ved at
bestemme Grænserne for de periodiske Led. Det ses, at disse Grænser blive afhængige af
Vz, men om de kunne fremstilles ved Formlen + pVx, hvor o er en Konstant, vil afhænge
af, om Rækken under X-Tegnet altid har en Verdi, der er mindre end en af © uafhængig
Grense.
Den Verdi af x, som vilde gjøre et af Leddene i denne Sum til Maximum eller
Minimum, skulde bestemmes ved Ligningen !sinale = acosalx. Men naar lw bestemmes
heraf og indsættes i det paagjældende Led, saa bliver, idet tg ale — 2a,
1cos ala + asin ale : 2 I
2 = 2cosalz = = =
4 @ VI +40 Vi + a?
. Sal < ay RES
Hvis altsaa Rækken SNE — er konvergent, og dens Sum —p, saa vil Fejlen,
sol a
der begaas ved at sætte d(x) — «—k, altid være numerisk mindre end pVa.
Men om den omtalte Række er konvergent eller ikke, kan ikke afgjores, for man
kjender Rodderne a, og selv om man kjendte dem, er der adskillige Tegn, som tyde paa,
at Rækken ikke vilde konvergere.
Den periodiske Faktor DE u nen
iz
Række, som fortjener at fremhæves. Ved Udvikling efter Fourier’ske Rækker findes nemlig")
viser en Analogi med en bekjendt
for -h 2h. Da højre Side nemlig er en periodisk Funktion, hvis Periode er 2h, saa vil
man for z= %h+r, hvor r< 2h, paa højre Side erholde ,
gir 5 h—2h (= -2,) Em (5 —E5) 2h i —z+2h La
ht Bel TUE le CEE
Sætter man dette Udtryk ind paa venstre Side af (181), gjælder Formlen for alle z > 0.
Tillegger man nu specielt À og 2 Værdierne LÀ — 1/p, 2 — 1x, saa faas folgende Formel
1 mr læ . malt
en ae mg
1— pi l Z TA ERS
P a (mn)? + — (Ip? ;
eller
1 Rs mnie mr sin vre
le i =
SSO Pg Pig ements 5 eo DP EN (182)
(p—1)Vz BYDE: PI EL
lp 4
Hvis man heri setter Boe saa faas
- ple
, 4cos Bla + Bsin Ale P PEs pe opp
coer CPS _ __* ___ FR. ) 183
Ø oe (p—1)Vz Ê EMI ia
Analogien af den Rekke, hvis Sum her er angivet, med den periodiske Faktor i
Udtrykket for @(x) er saa iøjnefaldende, at det ligger ner at formode, at denne muligvis
bestaar netop af ganske lignende Led, men summerede for alle Primtal, saaledes at det
almindelige Udtryk for « f. Ex. var ER hvor m betegner alle hele Tal, p alle Primtal. Men
Ip
for at undersøge nærmere, om dette virkelig forholder sig saaledes, maatte man direkte
ıvz
E
allio 2 joa : —sinmze = a (a2) (OUT,
m=1 M =
og for 2 > 27 ser man paa lignende Maade som ovenfor ved Formel (181), at
i 1 z \\ i I z
> inmz — 7 z— 2z E = 7 z+nE_—.
2, sum 9 (= ( TE = 57 ae rE,- (185)
27 lx
Ro a faas folgelig
TEE el la: pit
=m Fa SI lp a 7 lp aie ae “Db 5
og altsaa endelig
1 @ [ @ 1 læ læ
h(2) = & — — À» p + — > ul 7 T DT
oe) 0 (g) la 9 lp + = lp ( ol RTE 5 + aE )
ie i (9) læ
= Ag) la — 7 lp + = Zip — 0 (g)lx + EEE P
=
244 62
eller i Or pe x or .
p(x) = Zip ee pE
la
19°
ee 0, naar p >a. Men dette Udtryk stemmer fuldstændig med, hvad der ad anden
da E ;
Vej er fundet tidligere.
Hvad der i denne sidste Udvikling er af Interesse er navnlig det, at det tydelig
viser sig, at Formlen (184) er en ren Identitet. Alle mathematiske Formler ere jo i sidste
Instans Identiteter, og en Formel kan ikke betragtes som fuldt bevist, forend det er muligt
at paavise dens identiske Karakter. Noget saadant maa altsaa ogsaa kunne gjores med
Riemann’s Formel for #(x) eller, om man vil, ved den efter hans Methode afledte Formel
(178) for ¢(z). Men netop den sidste Udvikling giver et Vink om, hvorledes dette maatte
kunne iverksettes, og navnlig viser den, at man ved Benyttelsen af trigonometriske Rekker
har et Middel, som ret naturligt frembyder sig til at sammenknytte de to forskjelligartede
Undersogelsesrekker, som i det foregaaende have beskjeftiget os — paa den ene Side
Riemann’s Anvendelse af bestemte Integraler, paa den anden Side de af ufuldstendige
Kvotienter afhengige numeriske Funktioner. Det bliver meget sandsynligt, at det maa
kunne lade sig gjøre, saavel for #(z) som for (x), at opstille et Udtryk ved ufuldstændige
Kvotienter, som ved Omdannelse til kontinuert Form ved Hjælp af trigonometriske Rækker
umiddelbart gik over til Riemann’s Formel.
Dette ser ganske vist ret tiltalende ud, men indeholder alligevel et Moment, som
ikke varsler godt for fremtidige Undersogelser, Alt vil nemlig da komme an paa Kon-
vergensen af de her optredende Rekker. Men saadanne Rekker ere i og for sig serdeles
vanskelige at operere med, og naar man som her maa vere forberedt paa at treffe en
dobbelt uendelig Række Led, saa bliver det mere end tvivlsomt, om man af disse Rekkers
Beskaffenhed vil kunne drage nogen sikker Slutning om de Grænser, indenfor hvilke
Summen ligger. Snarere kunde det ventes, at Betragtningen af selve de numeriske Relationer
maatte kunne give nogen Oplysning i denne Henseende, men det vil i saa Fald sikkert
blive nødvendigt at foretage meget indgaaende Undersøgelser om Divisionsrester.
Tilleg.!) Endnu en Ting bør her fremhæves, nemlig at i Ø(z) ligesom i #(x) det
Led, som maa anses for det dominerende, hidrører fra Leddet —/(7—1) i Formlen for /s(r).
Ligeledes viser det sig, at man ved i Formlerne (63)— (64) at sætte 4 for s(r) erholder
en meget stor Tilnærmelse til det rigtige Resultat, hvilket for disse to Formlers Vedkom-
mende let lader sig bevise. Det er tænkeligt, at en nojere Diskussion af disse Formler og
dermed analoge kunde lede til Opstilling af en Udvikling for s(r), ved hvis Anvendelse det
blev muligt at bedomme de andre Leds Indflydelse, i hvert Fald er dette et Punkt, som
fortjener at tages i Betragtning ved fremtidige Undersogelser.
1) Fandtes ikke i det til Bedømmelse indsendte Manuskript.
63 245
I Forbindelse hermed vil det være af Interesse at paavise, at ogsaa den af Tche-
bycheff i hans første Afhandling !) anvendte Methode, som netop hviler paa Betragtning
af Funktionen s(r), direkte fører til en med det foregaaende overensstemmende Bestem-
melse af Lim ¢(z).
Ved at gaa ud fra Formlen (14) viser Tchebycheff nemlig først, at Funktionen
pa 1 1
Sn s(p
A g r—1 AH Er 712
saa vel som alle dens Differentialkoefficienter, vil være endelig for r — 1, og derefter paa
Basis heraf, at det samme vil vere Tilfeldet med Differentialkoefficienterne af
l(r—1) — Xl (1—p~).
Saa vil altsaa ogsaa
œ 1 f 2 $
D" Ba CE ml
som med de i det foregaaende anvendte Betegnelser kan skrives som
an
m + ee
D; [3% =D),
2
1 Les
| — DF S(1— re) re = (ile 3 (1—z(2) ære
hvor m er et positivt helt Tal eller 0, vedblive at være endelig for r—1. Betegner nu M
den største numeriske Verdi, som denne Sum, naar > —1, kan antage for nogen Værdi
af m, saa vil følgelig ogsaa
pie | la (lx)? _ (lz)8 1 1 1 I
a el ea. Ja io
2 een een
2
vere en endelig Storrelse.
Men denne Sum er det samme som
¥(1—c(e)) — Lim,-.(n—1 — din).
Der vilde herved vere fort et Bevis for, at den asymptotiske Verdi af ¢(n)
havde Formen n—a, hvor a er en Konstant, og dette kunde atter benyttes til Bevis
for, at Integrallogarithmen gay den asymptotiske Verdi af #(n). At Tchebycheff ad anden
Vej finder Integrallogarithmen for selve #(n), beror alene paa den Omstendighed, at han
i Stedet for —2/(1—p=") kun benytter Ip”, saa der ret beset ikke viser sig nogen Uover-
ensstemmelse mellem hans Resultat og det, hvortil de andre Methoder fore.
Skjont det saaledes kuñde synes, at man ad denne Vej naar til en direkte Bestem-
melse af den asymptotiske Verdi af y(n), have vi dog ikke benyttet den, fordi den Sætning,
hvorpaa Beviset bygges, hviler paa den Forudsætning, at Formlen
Is(r) = — 21(1—p”)
ogsaa vedbliver at vere gyldig for r— 1, da de paagjældende Rækker ere divergente,
1) Sur la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée. Liouville’s Journal Bd. 17.
246 64
hvilken ikke uden videre kan betragtes som tilladelig. Det synes imidlertid at være muligt
at gjennemfore Beviset ved at tillegge r en storre Verdi end I, men dette Punkt fordrer
dog en nærmere Undersogelse, paa hvilken vi ikke her skulle indlade os.
§ 8. Tilnermelsesformler for #(n) og #(n).
Det vil af de ovenstaaende Betragtninger fremgaa, at Middelværdien af Funktionen
r(«) tilnærmelsesvis kan sættes lig 1 eller, om man vil, lig 1——, hvor k er en Konstant,
som er lidt mindre end =: Indsat i Formlen SET t(æ) giver den Tin) + pVn, hvor p
er en konstant Starrelse. Derimod have vi ikke været i Stand til at faa tilstrækkelig snævre
Grænser for den Fejl, som begaas ved at indsætte det samme Udtryk i Formlen for ¢(n).
Derved faas ganske vist for ¢(m) et Udtryk, der kan erstattes ved (n—-1) — kin + Konst.,
men for den virkelige Verdi af ¢(n) have vi kun sikkert de af Tchebycheff angivne Grænser,
hvorefter man kan sætte d(n)—=n—1--4.n, hvor 4 er en ægte Brok. Vel er det meget
sandsynligt, at man i Stedet for An maatte kunne sette et Udtryk, hvis væsentligste Led
var af Formen --AVn, men ganske sikkert er det dog ikke.
n
Da (nx) = 37 tla) saa faas, ved ogsaa her for (x) at sætte ee for &(n)
et Udtryk af Formen
n 1 n 1
= 3 — —k3 B
dn) Ir k 2 Sur Rin) (186)
Fejlen A(n) vil her let kunne vises at vere af samme Orden som Fejlen i det
tilnermede Udtryk for (nl. Sættes nemlig (x) —=t(x) + f(x), hvor é(x) — m og f(x)
altsaa betegner den Fejl, der begaas ved at sætte (x) for c(z), saa er Zf{x) — Pin) =
Fejlen i (n). Nu er altsaa
å : = à I
Summeres her delvis ved Formlen!) Yu» = uSv—S(duSv,), idet u—-—, v=f(2),
lx?
Sv = F(x) og Sv, = F(a+1)— F(2), saa faas
1) Ramus: Differential- og Integralregning S. 352.
65 247
1 \
x 1 N a ; Ss td sh Fa )
UDE ae Fin) + 2 (F(a 4-1) — F(2)) EEE (187)
I det sidste Led er Faktoren Æ{æ-+1) — #2) af samme Orden som F(a), i(1 + =) er
æ
1 ; ; ; re
af Ordenen NE hele Summen kan derfor ikke blive uendelig af højere Orden end #{(n),
saaledes at Fejlen Rin) i det højeste bliver af samme Orden som Fn). Hvis altsaa
Fejlen i (nm) afhænger af Vn, saa vil det samme blive Tilfældet med Fejlen i In). At
gjennemfore Beregningen nærmere for de af Tchebycheff angivne Grænser vil ikke lønne
sig, da der ikke kommer noget bedre Resultat ud deraf, end hvad man ad anden Vej kan
finde, nemlig Grænser, hvis dominerende Led er af Formen —+ An.
Den Formel, vi saaledes have erholdt for #(n), er, som det strax ses, væsentlig
n 1
den samme som Integrallogarithmen, idet D paa det nærmeste vil kunne erstattes ved
2 læ
rent}
1 : : i ;
— da, medens det andet Led, der tilnærmelsesvis kan erstattes ved din, ikke vil have
læ
est
stor Betydning i Sammenligning med det første. Da tilmed Integrallogarithmen Li(z) bliver
0 for en Verdi af x, der er lidt mindre end 1°5, saa kan man altsaa, idet det andet Led
helt kastes over paa Restleddet tilligemed Afvigelsen mellem Zi(n) og Sa skrive
din) = Li(n) + R’(n) , 1
hvor Restleddet ikke bliver af hojere Orden end i den oprindelige Formel.
Medens vi for den absolute Verdi af Restleddet kun have faaet Grænser af Formen
-- An, hvor 2 er en Konstant, saa faar man ved en Beregning af Middelafvigelsen
mellem (nr) og Li(n) en noget bedre Forestilling om dette Restled.
Det er nemlig let tilnærmelsesvis at beregne Kvadratsummen af Afvigelserne 7(7)—I1
for alle æ fra 2 til n. Betegnes denne Kvadratsum ved S, saa haves
n
S = X(c(2)—1)? = Ira)? — 2 37 (2) + n—1.
2
Men nu er
n n h à
Ira? — re (Ip)? < In. Sp < (njn,
saa at altsaa erholdes — i
Ss < d(n)n—2h(n) +n—1 = dln)(n—2) + n—1. (188)
Indfores heri de Tchebycheff’ske Grænser for (n), faas et Udtryk, hvor det dominerende
Led bliver af Formen («In — f)n, hvor Konstanterne « og 2 omtrent ere henholdsvis 1°11
og 12. Sættes for Simpelheds Skyld « = 2 = 1'2, saa findes som tilnærmet Udtryk for
Middelafvigelsen mellem c(z) og 1 for alle 7(xz) fra x —2 til e—n
m = V1-2 (n—1).
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd, II. 6. 32
248 66
For zl) faas altsaa Kvadratet af Middelafvigelsen fra = at være
lx
19 (= La ERRLGD
a), 2
som skal summeres for alle a fra 2 til n, hvorved faas Kvadratet af den tilsvarende
Middelfejl paa 9(n)—Li(n). Vi kunne her med tilstrækkelig Tilnærmelse integrere i Stedet
for at summere. Det første Led indenfor Parenthesen giver da Integralet Zi(z), det andet
findes saaledes
Vee \ eat = = dz = — + - dz = m + Li(e).
Derefter faas altsaa endelig for den søgte Middelafvigelses Kvadrat
n
M? — 12 —
! In?
idet Indflydelsen af den lavere Integrationsgrænse kan lades ude af Betragtning. For selve
M findes derefter ET EJ
i= of)
= V = In?
saaledes at altsaa Middelafvigelsen mellem (x) og Li(n) herefter for store n bliver af lavere
Orden end Vn.
Vi saa lejlighedsvis tidligere (167), at #ln)In > din) > 0‘9n, følgelig er ogsaa
n O(n)
m < 09°
(189)
Indfores dette i Udtrykket for Middelafvigelsen, faas
/ 4
M, < V 3 On),
saa at altsaa Middelafvigelsen kan antages at voxe mindre stærkt end en
Storrelse, der er proportional med Kvadratroden af Primtalmængden.
Et lignende Resultat kan ogsaa udledes ved direkte at danne Summen
2 y T(7)—1 = se) y (2) fal ate
ai 2 lx ) * (Ix)? * (la)? " ~ (le)?
Da = à (x) . for æ— p”, saa faas
ly De 5 1 TR 1 1
an = 2(@(x))? = A(n) + 7 O(n?) SF gr Ama).
Bee 2 ala EN Ei eee RE vm |
— (In)? Ur SPA pag ey and 2p tt Ae oe D 0 0
Da endvidere sz = m3 > Din) = O(n) + A(n2) + Ans) 4-..., saa faas
1 1 2 een \ 1
A2 2 ae 2) L Le Nats 7 A a AS
M? < On) + Fi O6(n2) +... li (pui Tea Din!) +. ) tee
l 1 1
eller, da A(n) + FIR)... < dn) < Dim + — Din) +...
67 249
n Å n
2 2 9
M, < — N Lin) — — = = — Ball
I. < ÿ{n) TE #(n) + Li(n) 5 QUI 5) + Li(n) Be (190)
som nærmer sig stærkt til A(n), naar n voxer.
De i det foregaaende beregnede Kvadratsummer give ganske vist strengt taget kun
betragtet som Fremstilling af @(a), men da i
Kvadratsummen M,„ indgaa Kvadraterne paa alle de enkelte mulige Afvigelser ala) — 7,
en Forestilling om Middelfejlen paa
saa giver den tillige nogen Oplysning om Afvigelsen mellem ¢&(n) og Li(n), og navnlig
maa denne ventes at ville blive betydelig mindre end M,. Den virkellge «Middelfejl» paa
Li(n), opfattet som Fremstilling af (x), skulde bestemmes ved først at søge Kvadratsummen
(An) — Li(n))? ,
men for denne Sum er det ikke muligt a priori at angive noget Udtryk.
Fra #(n) er det let at gjøre Overgangen til @(n). Thi da
ln) = O(n) + TT) + + (ni) +...,
saa er In) — #(n?) = Ain) — +A (nb) + And) — m er On),
saa at man faar 5
an) > O(n) > Bn) — A (n2). (191)
Hvis Restleddet i Formlen An) — Li(n) + R(n) var bekjendt, saa vilde man ved
Indsættelse i Formlen
din) = ZE (Linz) + R(nz)) = Pin) + 1 + ZED Rune)
kunne erholde Grænser for Restleddet i Formlen @(n) = Pin) + 1 + R’(n) ved for (x)
overalt at sætte + 1. Man vilde derved finde, at Restleddet A’(n) vilde blive af samme
Orden som R(n).
Hvorledes end den analytiske Form for Restleddets Grænser er beskaffen, saa er
det ialfald for den forste Del af Talrækken sikkert, at dets numeriske Verdi er meget ringe.
Glaisher har i Indledningen til «Factor Table for the sixth Million» for Intervaller paa
50000 fra O til 9 Millioner sammenlignet #/{n) med Riemann’s Formel saa vel som med de
andre Tilnermelsesformler, som ere opstillede. Han finder, at den gjennemsnitlige Afvigelse
for hin vilde vere — 9, en Differens, som tilmed reduceres med en Enhed, da Glaisher
regner Tallet I med blandt Primtallene og altsaa i Virkeligheden betragter Differensen
Pin) + 1 —(A(n) + 1) = Pin) — O(n),
som er en Enhed mindre end P(n) + 1—@(n). Betragter man Afvigelserne nærmere, saa
ses, at de snart ere positive, snart negative, saa at der ikke kan vere Tvivl om, at
det netop er denne Formel og ingen anden, som skal benyttes, for saa vidt man ikke vil
benytte en Formel, som tilsteder Vendepunkter. Det vil endvidere ses, at selve Afvigel-
sernes numeriske Verdi stiger langsomt med n, men om de stige i Forhold til
32"
250 68
Vn lader sig ikke afgjore af de Sammenstillinger, Glaisher har foretaget. De numerisk
storste Afvigelser, Glaisher har i sin Tabel, ere nemlig (naar vi kun medtage de Differenser,
som ere sterre end alle de foregaaende) folgende:
For 0°30 Million ... + 26 for 2°85 Million... — 45 for 8°70 Million... — 95
= 1:00 029 = 3°45) — 4 one =e = 875 — ... —106
CID EM Al S05 NET = 8:80 = 4189,
Disse Tal kunne nok tyde paa en Stigning proportional med Yn , men dels kan man ikke
gaa ud fra, at de virkelig angive de storste Afvigelser, som findes, dels maatte man ogsaa
serlig undersoge Forholdet for de laveste Tals Vedkommende, og om dette giver Glaisher
ikke nogen Oplysning.
Glaisher har for at anskueliggjore, hvorledes Afvigelserne variere, fremstillet dem
grafisk i et Diagram, der er vedfojet den nævnte Afhandling. Der er noget i dette, som
kunde tyde paa en Periode afhængig af In, saaledes at Periodetallet, naar login toges til
Argument, omtrent kunde blive 0:17 (for In altsaa 0°39). For at se, om dette muligvis
skulde bekræfte sig for lavere Tal, have vi for Argumenter /n sammenlignet #(n) med P(n)
for Tallene op til e!°, idet Primtalmængderne ere bestemte ved Optelling dels i de af
Felkel i Lambert's «Supplementa» og af Vega i 2den Udgave (1797) af hans Logarithmetavler
meddelte Primtallister, efter at de i disse Tayler indeholdte Fejl vare rettede efter Professor
Oppermann’s Angivelse, dels i de større Faktortavler. Da Gauss?) har angivet en For-
tegnelse over Primtalmengden i hvert Tusinde af den første Million, og de i denne inde-
holdte Fejl ere rettede af Meissel, samt selve Tavlen af Glaisher fortsat op til 9 Millioner,
var det let ved Sammentelling af disse Tal at danne en Tabel over Primtalmengden
op til 1000 N for N< 9000 (jvfr. Tab. IV), og naar en saadan Fortegnelse toges til Hjælp,
var det kun et ringe Arbejde at foretage de yderligere Optællinger, som vare nødvendige.
Resultatet af den nævnte Sammenligning er angivet i Tabel VI, men det vil ses, at skjont
Intervallet er tilstrækkelig lille til, at den omtalte Periodicitet kunde trede frem, er der dog
intet, som tyder paa dens Tilstedeværelse, saa at den i Glaisher’s Diagram tilsyneladende
regelmæssige Fordeling af de store Maxima og Minima vistnok skyldes en Tilfældighed.
Det bor naturligvis ogsaa erindres, at selve Faktortavlerne ikke kunne anses for
fuldt korrekte. Der er f. Ex. i de hos Glaisher og i de her anforte Optellinger ikke taget
Hensyn til den af Oppermann paapegede Fejl hos Burckhardt, at 1330001 er et Primtal.
Om de andre Formler, som af forskjellige Forfattere ere bragte i Anvendelse til
Fremstilling af #(n), kunne vi fatte os i Korthed. Naar Gauss, Tchebycheff og Har-
greave benytte selve Zi(n) i Stedet for P(n)+ 1, saa maa dette efter det foregaaende
utvivisomt kun betragtes som en forste Tilnærmelse, idet man derved begaar en systematisk
1) Gauss’ Werke Bd. IL
69, 251
Fejl af samme Orden som #(n?). Glaisher’s Sammenstilling af disse Formler med de optalte
Primtalmængder viser ogsaa tydelig, at Fejlen er stadig voxende. Merkeligere er det vistnok,
at Legendre’s ') Formel Aa re See,
In — 108366
giver saa gode Resultater, som den i Virkeligheden gjør. Man kan naturligvis opfatte dette
(192)
som begrundet i, at denne Formel giver en god Tilnærmelse til Z2(n), men denne For-
, klaring er ikke ganske tilfredsstillende. At Formlen giver en god Tilnærmelse, siger med
Hensyn til Primtallenes Fordeling noget mere. Vi saa nemlig for, at man exakt maa have
In
bin) = 2pE—.
gr) F Ip
Heraf folger atter, at
[In In
din) = A(n) I» — Sp ea peer 5) à
hvor den under Z-Tegnet staaende Parenthes altid maa vere < 1. Hele den paa højre
Side staaende Sum % maa altsaa vere Z/p, altsaa ogsaa < ¢(n) eller lig 2.¢(m), hvor 2
er en ægte Brok. Heraf vilde der faas et Udtryk for #(n) af Formen
n)(1+ an) _ m(1+ An)
In
2 In
O(n)
, (193)
naar din) erstattes ved »—k, hvor k er en Konstant. Det maa altsaa, naar A, ikke
betragtes som en Konstant, men som en Funktion af n, være muligt at udtrykke #(n)
under denne Form, og det var maaske nok Umagen værd at forsøge at finde en saadan
Tilnærmelsesformel.
Men naar Legendre's Formel skal gjælde, altsaa
n
din) = De
eller @(n).m — BA(n) = n, saa vil, naar Ø(n) erstattes ved n —k, haves, at.
In In
; y ER
Aal SND =k Ann Xp (7 le
eller at
In In
RL ost Di
BG (n) + k zl (7 Er) ;
saa at den paa højre Side indgaaende Sum væsentlig skulde voxe proportionalt med #(n).
Nu gjælder ganske vist Legendre’s Formel ikke, naar B er en Konstant, men for
saa vidt denne Storrelse skal opfattes som variabel, varierer den i hvert Fald meget lang-
somt, og selve Legendre’s Formel giver altsaa ogsaa et af disse mange Vidnesbyrd om de
højst mærkværdige Relationer, som Læren om Primtallene giver Anledning til.
1) Théorie des nombres IV, 28.
252 70
$ 9. Intervallet mellem to paa hinanden følgende Primtal.
Tchebycheff har anvendt de af ham fundne Grænser for ¢(n) til deraf at udlede
Grænser for Intervallet mellem to Primtal. Da en laveste Grænse for Intervallet (for p >3)
altid er 2, bliver det væsentlig den hojere Grænse, hvorom der kan være Tale. En saadan
Grænse vil i Virkeligheden let kunne bestemmes, saafremt man for en eller anden
i øvrigt vilkaarlig Funktion af x, Zn), som kun varierer, naar n passerer et Primtal, har
angivet absolute Grænser. Antages nemlig, at disse Grænser ere udtrykte som Funktioner
af n ved A(n) og Bin), saa at altsaa
A(n) < F{n) < Bin) (194)
for alle n (eller i det mindste for alle n større end et givet Tal), og antages, at p er et
Primtal og p—-a—- I det neste, saa at altsaa intet af de a Tal, som folge efter p, er et
Primtal, saa vil man have F(a+p) = F(p). Da nu haves
A(p) < Fip) < B(p)
samt A(p+a) < F(p) < B(p+a),
saa er altsaa ogsaa
Alp) < B(p+a) og A(pta) < B(p).
For saa vidt nu F(p) er en stedse voxende eller stedse aftagende Funktion, maa det samme
vere Tilfeldet med A(p) og Bip), og Grenser for Intervallet mellem to Primtal ville derfor
kunne bestemmes ved Oplosning af Ligningerne
A(p) = B(p--a) eller A(p+a) = B(p), (195)
som ville give en højere Grænse for Tallet a Setter man n for p, hvor x er et vilkaar-
ligt Tal, faar man Grænser for Afstandene fra x til de to nærmeste Primtal. Et ganske
tilsvarende Ræsonnement kan anvendes, hvis p ikke betegner Primtallene, men en anden
Række mærkelige Tal, og F(x) er en Funktion, som kun varierer, naar et af disse passeres.
Som Exempel kunne vi benytte Tchebycheff’s Grænser for ¢(n) til deraf at bestemme
Grænser for Intervallet mellem to Primtalpotenser, eftersom (mn) kun forandres,
naar n passerer en saadan. Grænserne for ¢(n) kunne, naar Faktorerne til n gjores lidt
større end de af Tchebycheff angivne, altid erstattes ved Udtryk af Formen An, hvor À
betegner en Konstant, saa at man kan sætte
An < bin) < Bn,
hvor A og D betegne konstante Tal. Dette fører til folgende Ligning til Bestemmelse af
Intervallet mellem n og den neste Primtalpotens
A(n+a) = Bn,
71 253
: B—A B
og deraf a= — n= ( -—I1)n. (196)
Man ser, at Grensen bliver af Ordenen n.
n
For selve Summen af Primtallenes Logarithmer 2'/p, som kan findes udtrykt ved
2
Hjælp af (x), har Tchebycheff angivet Grænserne
es PO TRE UE N ne ne het
An En n 816 |) à n — SE AVn 216 m) CE qe AE )
hvor A betegner en Konstant, nemlig
A ot
3030
Naar x er tilstrækkelig stor, kunne disse Grænser atter erstattes ved de videre
5 — i 6
An — ain == .
n Interval| Vax | In (In)? | n Interval, Vn | in (In)?
| 14 0:69 05 | 370261 | 112 608 | 12:8 | 164-4
2:2. | 71:61 2:6 1357201 | 132 | 1165 | 141 | 1994
13 8:62 | 2:06.) 6:6 1561919 | 132 | 1250 | 14:3 | 2034
2 1
5 2
3
19 4 44 2:94 87 | 2010733 | 148 | 1418 | 14:5 | 2107
5
6
8
32 57 | 347 | 120 | 3826019 | 138 | 1956 | 152 | 229.8
53 73 | 397 | 15:8 | 3988599 | 132 | 1983 | 15:2 | 2306
89 | 94 | 449 | 201 | 4652358 | 154 | 2157 | 15-4 | 235-7
139 10 | 118 | 498 | 243 | 5888741 | 132 | 2497 | 156 | 2430
199 | 12 | 141 | 529 | 280 | 6034247 | 146 | 2456 | 15:6 | 2438
293 | 171 |, 568 | 323 | 6371401 | 136 | 2524 | 15-7 | 92455
887 | 20 | 298 | 679 | 461 | 6958667 2638 | 15:8 | 2482
1129 | 22 | 336 | 703 | 494 | 7230331 | 148 | 2689 | 158 | 249-4
1331 | 365 | 719 | 51-7 | 7621259 | 140 | 2761 | 158 | 251-1
5591 | 32 | 748 | 863 | 745 || 7743233 2783 | 159 | 2516
8467 | 34 | 920 | 904 | 818 | 8001359 | 132 | 2829 | 159
9551 | 36 | 977 | 916 | 840 | 8421251 | 2902 | 15:9 | 2543
15683 | 44 | 1252 | 966 | 933 | 8917528 | 140 | 2986 | 16:0 | 2561
19609 | 1400 | 988 | 977 |
31397 | 1772 | 10:35 | 107-2
| |
-
1
=
oo
r
oo
©
ni
oo
a
101
DD
m
ot
bo
Intervallets Grænse viser sig her omtrent proportional med (/n)*?, men voxer dog
forholdsvis lidt stærkere. Rimeligvis forholder Sagen sig i Virkeligheden saaledes, at denne
Grense maa kunne udtrykkes ved en sterkt konvergerende Rekke af Formen
a = a + fn + rin)? + o(m®+...,
hvor Koefficienterne ere saaledes beskafne, at det tredie Led 7(/n)? er det dominerende Led
for saa godt som alle de Verdier af n, som angives ved Faktortavlernes Udstrækning.
Man kunde være tilbojelig til at formode, at de af Mertens bestemte Grænser for
27 maalte egne sig til Afledning af Grænser for Intervallet, men dette er ikke Tilfældet;
dertil ere de meget for vide, og dette har atter sin Grund i, at de ere udledte ved Hjælp
af Grænser for ¢(n), som ere endnu mere vage end de af Tchebycheff angivne.
$ 10. Forklaring af Tabellerne.
Da alle Undersogelser om Primtallenes Antal blandt andet ogsaa maa stiles mod
det Formaal, at tilvejebringe Midler til at kontrollere Faktortavlernes Rigtighed, er det af
Vigtighed at have Midler til at kunne jevnfore Formlernes Resultater med de virkelig op-
Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. 33
256 74
talte Primtalmængder. En saadan Sammenligning har nu kunnet iværksættes med betydelig
storre Udbytte end tidligere, efter at Glaisher med saa megen Udholdenhed har naaet at
udfylde det Hul i Faktortavlerne, som tidligere fandtes, og Resultaterne af hans Primtal-
optellinger nu foreligge fuldstendig i den i indeværende Aar (1883) udkomne Faktortavle for
den 6te Million. Glaisher har tillige, som ovenfor omtalt, i Indledningen til denne foretaget
udførlige Sammenligninger mellem (x) og de forskjellige Formler, der ere anvendte som
Tilnærmelsesformler for denne Funktion. Vi kunne derfor i Hovedsagen nøjes med at
henvise til denne Forfatter angaaende dette Punkt. For at blive i Stand til at kunne udfore
en saadan Sammenligning havde jeg allerede i Efteraaret 1882 beregnet en Tavle over
de dertil nodvendige Fundamentalverdier af Integrallogarithmen og ligeledes paabegyndt
Beregningen af en Tabel over Funktionen P(z). Da slige Tavler ingenlunde ere blevne
overflodiggjorte ved Glaisher’s Arbejde, men dette tvertimod har gjort Tilvejebringelsen af
saadanne mere ønskelig, eftersom den Maade, hvorpaa Glaisher har udført Beregningen, er
meget besværlig, saa meddele vi nedenfor disse Tavler. Tillige var der en Del andre
Tabeller, hvis Betydning for de foreliggende Undersøgelser er iøjnefaldende, og det forekom
mig derfor det rigtigste at samle disse og lade dem medfølge dette Arbejde, som de derved
fuldstændiggjøre. Tillige give de et Middel til at kontrollere og bedømme Rigtigheden af
de angivne Udviklinger, og det har derfor sin store Betydning at have dem let tilgængelige. —
Med Hensyn til deres Omfang bemærkes, at de her paa nogle Punkter fremtræde i en lidt
fyldigere Skikkelse end den, hvori de fandtes i det oprindelige Manuskript.
Tab. I. Tabel over Værdierne af reciproke Potenssummer og deres
Logarithmer.
Denne Tavle indeholder i Iste Spalte med 16 Decimaler Værdierne af s(r) for
y = 2,3...35. Disse Værdier ere oprindelig beregnede af Legendre, de ere aftrykte af
De Morgan i hans Diff. and Integr. Calc. p. 554. Her ere de anførte efter Merrifield’).
Da den Prove, som faas ved Addition, idet 3 (s(r) —1) == 1, stemmer, tor det forudsettes,
at Verdierne ere korrekt angivne. ;
I 2den Spalte findes de naturlige Logarithmer af disse Tal efter Merrifield’s
Beregning; efter samme Forfatter ere ogsaa Tallene i 4de Spalte, reciproke Potens-
summer af Primtallene alene, angivne; de ere beregnede af dem i 2den Spalte ved
Anvendelse af Formlen (34).
Tallene i 3die Spalte, de Briggiske Logarithmer af s(r), ere efter egen Bereg-
ning. De ere Resultatet af en dobbelt Beregning efter forskjellige Methoder og provede
ved Sammenligning med de af Merrifield angivne naturlige Logarithmer.
1) Proceedings of the Royal Society of London. Vol. XXXII. 7/11 1881.
75 257
Tab. I. Verdier af e* og Li(e*) fra æ— 5 til « — 20 med Interval af 0:2.
De i denne Tavle anforte Tal ere, med Undtagelse af Integrallogarithmerne fra
æ— 5 til @=[1, efter selvstændig Beregning. Værdierne fremtræde med en noget forskjellig
Nojagtighed, hidrorende navnlig fra, at den sidste Del af Tavlen fra =— 14 er beregnet
først, og det oprindelig kun var paatenkt at beregne Zi(e”) med en saadan Nojagtighed, at
log Zi(e”) kunde bestemmes med 12 rigtige Decimaler. Gjennemgaaende kan det sidste
Ciffer ikke anses for fuldt paalideligt, navnlig naar det i Tavlen er skrevet med mindre
Ciffer end de andre, derimod vil der, da der i det hele taget regnedes med flere Cifre end
her anfort, og der kun er angivet de Cifre, for hvilke de anvendte Prover stemte, ikke kunne
vere Tale om Unojagtighed i det næstsidste Ciffer. Angaaende Beregningen af Li(e”) hen-
vises til det efterfølgende Tillæg. Værdierne af e* ere fundne ved ligefrem Multiplikation,
saaledes at e* først bestemtes for hele x, og nogle af disse Verdier provedes ved logarith-
misk Beregning af e” for samme 2. Derved fik man tillige en let Kontrol paa Rigtigheden
af de mellemliggende Verdier. I Forbigaaende bemerkes, at de i Egen’s «Allgemeine
Arithmetik» (Berlin 1833 —34) anførte Verdier af e” ved denne Lejlighed fandtes at vere
meget unojagtige. Værdierne af e” i den første Del af Tavlen ere simpelthen fundne ved
Logarithmeopslag; de tilsvarende Verdier af Zi(e”) ere angivne efter Bretschneider!).
For Kontrollens Skyld er i Tavlen Differensen mellem to paa hinanden folgende Værdier
af Zi(e”) opført imellem disse.
Tab. lil. Verdier af Funktionen P(e) fra «=0 til 3 — 20 med Interval af
0‘1, med tilhørende Logarithmer m. m., er ligeledes efter selvstændig Beregning.
Denne Tavle, i hvilken log P(e") skal opfattes som det principale, er
„2
æ
1 3
beregnet paa folgende Maade. Da Pe?) ats a [2]. 2s Sr EE +... se (86), saa
20 AIRES DIR
var det let ved Hjælp af Tabel I at danne en Tavle over Logarithmerne til de sukcessive
Koefficienter i denne Rekke. Den forste Del af Tavlen beregnedes derefter Led for Led ved
Hjælp af disse Koefficienter ad logarithmisk Vej, desuden beregnedes for nogle af Værdierne
op til æ— 15 de tilsvarende Verdier af Pie”). Denne Beregning blev imidlertid paa Grund
af Leddenes Antal snart uoverkommelig, hvorfor jeg valgte en anden Fremgangsmaade.
Da nemlig Zi(e) — C — lx = Pie") + + Pei) + + Pie‘) +..., saa vil Differensen
? a a © k ie
(Later) —C — lx) —P(et) omtrent vere lig > Pie 2) og altsaa saa lille, at en Rækkeudvikling
for denne lettere kan beregnes direkte. Jeg beregnede derfor forst Værdierne af Rækken
1) Schlömilch: Zeitschrift für Mathematik und Physik 1861.
33°
258 76
Fa Se — I i: a sg — 1 / x Shy 1 a?
Qe") = sr Zr 85 27.2 + 5, " GLS À sey (201)
hvorefter fandtes
P(e) = Li(e7) — C— la — Q(e7). (202)
Naar æ blev saa stor, at der ved Beregning af Rækken Q(e”) maatte medtages flere end en
halv Snes Led, saa benyttedes Rækken
Ret) = (Lite) — C— le) — Pee) — + Pee?)
2 ee, | UT s,—1—2+ 2
Dre Ta CC or er ee oS
som direkte beregnedes Led for Led, hvorefter det var let at bestemme
i I x
P(e?) = (Li(e*) —C—lz) — 7 P(e2) — R(e*) , (204)
idet Pie?) toges af den færdige Del af Tavlen.
Ved Udførelsen af Beregningen af Rækkerne Q(e”) og Ale”) benyttedes gjennem-
gaaende kun 5- eller 6-cifrede Logarithmer, saa at der i intet Tilfælde kunde gjores Reg-
ning paa at faa flere end 4, hejst 5 rigtige Decimaler, men dog altid tilstrekkelig mange
til, at selve P(e") kunde bestemmes saaledes, at i det mindste et Par Decimaler bleve rigtige,
hvilket maa anses for nok. Som Prove paa den rigtige Beregning af Q(e7) eller R(e7)
anvendtes Differensprover paa de 5-cifrede Logarithmer af disse Storrelser, idet det viste
sig, at Logarithmerne af alle de her optrædende Funktioner variere saaledes, at 3die à 4de
Differens blev forsvindende.
Paa Grund af denne Omstændighed fandtes det hensigtsmæssigere at danne en
Tabel over log P(e") end over selve P(e"), saa meget mere, som man da ikke behøvede
direkte at beregne log P(e") for alle de i Tavlen indgaaende Argumenter, men kunde nøjes
med et ringere Antal og bestemme de mellemliggende Værdier ved Interpolation. Paa
denne Maade fremkom da de i Tab. III indeholdte Verdier af log Pie”).
I Tabellen have vi under P(e") for 2 > 2 kun anført de Fundamentalverdier, paa
hvilke Beregningen af Logarithmerne i næste Rubrik hvile. Vi have i disse Tal medtaget alle
Cifre, som de fremkom ved Beregningen, uagtet det sidste ialfald er meget upaalideligt,
det næstsidste tvivlsomt. I de anførte Logarithmer, af hvilke omtrent Halvdelen er
bestemt ved Interpolation, vil derimod Unøjagtigheden kunne betragtes som
gjennemgaaende kun værende til Stede i det sidste Ciffer, hvilket ogsaa
vil fremgaa ved Betragtning af de tilføjede Differenser. Det vil ses, at disse variere saa
regelmæssigt, at det til Bestemmelsen af P(e”) med et Par rigtige Decimaler op til omtrent
v— 14 vil være tilstrækkeligt at interpolere med den Differens af Logarithmen, og naar
man kun bryder sig om at faa det hele Tal i P(e”) rigtigt eller højst et Par Decimaler,
vil den her angivne Tavle være tilstrækkelig til en let og hurtig Udførelse af Regningen.
77 259
Til Bestemmelse af Primtalmengden op til x efter Riemann’s Formel, naar denne indskrænkes
til P(n) +1, vil der da kun vere at beregne /n og med denne som Argument af Tavlen
udtage log P(n), hvorefter P(n) findes ved et Opslag af Antilogarithmen. 7-cifrede Loga-
rithmetavler ere ved denne Beregning tilstrækkelige for n < 10 Millioner og endnu noget
derover. Denne Beregning kan med Hensyn til. Vanskelighed ikke stilles ved Siden af
Glaisher’s Fremgangsmaade, og vi tro nok at turde paastaa, at Beregningen af «den lange
Hale» ved den her angivne Methode er bleven en forholdsvis let Sag.
Da 7-cifrede Logarithmer af P(e) for + > 14 kun kunne give det hele Tal i
P(e") fuldkommen nøjagtigt, og det er ønskeligt, navnlig hvis Tavlen skal fortsættes, al
kunne erholde en større Nojagtighed, have vi for z7> 10 tilføjet i en særlig Rubrik
log (Li(e”) — P(e7)) med 6 Decimaler, beregnede ved Interpolation efter Briggs’ Methode af
de Fundamentalværdier, som ere anførte under Zz(e7) — P(e”). Denne Tavle er i Virkelig-
heden for Værdier af x fra x — 8'4 beregnet før selve P(e") og lagt til Grund ved Bereg-
ningen af de under P(e”) for x — 10 og opad anførte Fundamentalværdier.
Det skal endnu anføres, at Sammenligning med nogle af de af Glaisher beregnede
Værdier har givet god Overensstemmelse mellem disse og dem, som findes ved Tabel II,
saa at derved faas en Prøve paa dennes Rigtighed med Hensyn til de Cifre, hvorpaa det
ved Anvendelsen kommer an.
Tab. IV. Antallet af Primtal i hvert Hundrede fra 1 til 10000 og i
hvert Tusinde fra I til 100000, tilligemed tilsvarende Verdier af #(«) for de
første 100 Multipla henholdsvis af 100 og af 1000, og
Tab. V. Antallet af Primtal i hvert af de første 90 Hundredetusinder
og tilsvarende Værdier af Q(7) for de første 90 Multipla af 10°.
Disse Tavler angive Primtalmængder efter Optælling i Faktortavlerne. Den første er
dannet ved Addition af de under Overskriften «Diff.» anførte Tal, som tildels ere tagne efter
Gauss'!) Optælling, rettet af Meissel, og stemme med de af Glaisher i Faktortavlen
for 6te Million angivne. Tallene i Tab. V ere paa lignende Maade dannede af en af Glaisher
i «Report of British Association» for 1881 meddelt Tavle og senere sammenholdte med den
af samme Forfatter meddelte Tabel i den nævnte Faktortavle. Det maa her ved Sammen-
ligningen erindres, at Glaisher altid regner I med blandt Primtallene, hvorfor
hans Tal skulle være en Enhed større end vore. Efter samme Forfatters Bereg-
ning meddeles den følgende Række Differenser P(x) — 4 (x).
1) Tafel der Frequenz der Primzahlen. Gauss’ Werke B. I.
260 78
Tab. VI. Sammenligning mellem Verdierne af 6 og P for Tal op
tite,
Hensigten med denne Tavle er angivet Side 250, hvor der tillige er givet Oplysning
om, hvorledes de her optrædende Verdier af #(e*) ere fundne. Man ser, at selv i den
forste Del af Tavlen, hvor man skulde være tilbojelig til at vente forholdsvis store Differenser,
er Ü—P dog altid meget ner ved 1, saasnart e” overstiger 2 à 3 Enheder. Vi have end-
videre dannet saavel Differensen /—/?—1 som dens Kvadrat og Middelafvigelsen,
beregnet af hver: 10 paa hinanden folgende Verdier i Tavlen, for derved at
faa en Forestilling om, hvorledes denne Middelafvigelse varierer.
Tab. VII indeholder navnlig Verdierne af Funktionen ¢(2) for Tallene fra
1 til 2000. Da Funktionen (x) ved disse Undersøgelser spiller en saa fremtrædende
Rolle, forekom det mig ønskeligt at anstille en Sammenligning mellem denne Funktion og x,
dels for at se, hvilken Verdi man rettest burde tillægge Konstanten k i Formlen (2) — «—k,
dels for at undersoge Storrelsen af Afvigelserne. I dette Ojemed dannedes Tabel VII, idet
de naturlige Logarithmer af de dividerede Primtalpotenser med 8 Decimaler toges af Vega’s
Logarithmetabel (Udgaven af 1797) og adderedes, hvorved fremgik de under ¢(n) opforte
Tal. Da Vega for Tal > 1000 kun anforer Primtallenes Logarithmer (op til 10000), var
en Fortsættelse af Tavlen længere end til « — 1000 ikke strengt nødvendig, da det for-
nodne Materiale til en videregaaende Sammenligning kan faas ved umiddelbar Addition i
selve Logarithmetavlen. Da det dog var ønskeligt at se, hvorledes (a) forholdt sig i
Nærheden af det store Primtalinterval imellem 1300 og 1400, har jeg fortsat Tavlen op til
x — 2000. Det vil ses, at (x) slutter sig gjennemgaaende meget nøje til «—1, men jeg
har ikke anset det for nødvendigt at anstille nogen detailleret Sammenligning, hvilket for
ovrigt nu er en let Sag. Tavlen indeholder endvidere dels Angivelse af ethvert af de
forekommende Primtals Nummer i Rekken, dels for Tallene op til 300 de sammensatte
een Å 4 - ul
Tals Primfaktorer samt Faktorerne (x), endvidere Verdier af Summerne 2 el,
n ;
endelig ligeledes for de laveste Tals Vedkommende Verdier af IE
tilligemed Antallet
2 &
af de Divisorer i n, som ere større end 1.
I det hele taget er denne Tabel kun tilføjet, fordi den selv i den nuværende
Skikkelse giver nogen Oplysning, for selve Afhandlingen spiller den kun en underordnet
Rolle og kan i Betydning neppe stilles ved Siden af de andre, sely om det altid har sin
store Interesse, at man sættes i Stand til at se, hvorledes de forskjellige numeriske Funk-
tioner forholde sig i den første Del af Talrækken, en Undersøgelse, som kun kan gjeres
ved en Tabel som den foreliggende, og saavidt mig bekjendt” foreligger en saadan ikke
noget andet Sted.
79 261
$ 11. Slutning.
Naar vi til Slutning kaste et Tilbageblik over de i det foregaaende fundne Resultater,
saa lader det sig ikke nægte, at det vundne Udbytte ikke synes at staa i et passende For-
hold til det store Apparat, der er sat i Bevægelse. Vi have nemlig ikke naaet noget
«stringent Bevis for, at en af Faktortavlerne uafhengig Funktion /(z) slutter sig saaledes
til (a), at Lim “oe — 0». Alle de Midler, vi have anvendt, have kun kunnet fore
til Paavisning af, at dette sandsynligvis gjælder om den Riemann’ske Funktion, som vi
have betegnet ved P(x) +1, og at navnlig dennes Afvigelse fra @(x) altid ligger indenfor
Grænser af Ordenen Vz. Om end mange Tegn tyde paa, at der maa endnu andre og
mere indgaaende Undersogelser til, inden et saadant Bevis kan gives, saa er det dog ikke
usandsynligt, at vi med Hensyn til dette specielle Problem vilde vere naaede videre ved
alene at fæste Opmerksomheden paa de asymptotiske Verdier af de optrædende Funk-
tioner. Men vi have med velberaad Hu ikke stillet os paa dette Standpunkt, fordi det i
Virkeligheden er af større Vigtighed at kjende Tilnærmelsesformler, som kunne bruges for
endelige Verdier af Argumenterne, og saadanne med det samme ville give de asympto-
tiske Tilnærmelsesformler.
Men noget er der alligevel opnaaet ved vore Undersogelser, og tilmed tro vi, at
dette er noget vesentligt. Hvad forst Riemann’s mærkelige Formel angaar, da have vi ikke
blot fort Beviset for selve det Riemann’ske Integrals Fremkomst tilbage til forholdsvis
simple Forudsetninger, som tilstede en dybere Indsigt i dets egentlige Natur, men ogsaa
ved den Kommentar, der er givet til selve Behandlingen af dette Integral, fjernet alle der
forekommende Vanskeligheder og bragt Klarhed tilveje med Hensyn til Uoverensstemmelsen
mellem Riemann og Genocchi, om hvilken denne sidste selv udtrykker sig meget
beskedent. Alle Vanskeligheder ved Riemann’s Udvikling ere derved forte tilbage til
Bestemmelsen af Udviklingen for /s(r), et Problem, som kan behandles uden Hensyn til
Læren om Primtallene. Tilmed have vi med Hensyn til Rødderne « kunnet give visse Vink,
som forhaabentlig ville kunne komme fremtidige Undersogelser til Gode. Af mere praktisk
Betydning er dog den særlig smukke Form, i hvilken vi have bragt Funktionen P(z), en
Form, som har den store Fordel at kunne bruges til en let numerisk Beregning.
Fremdeles tillegge vi det nogen Betydning, at vi have fremdraget en Del spredte
og lidet kjendte taltheoretiske Undersogelser og ved at bringe disse i Forbindelse med den
af Tchebycheff indførte Funktion Ø(z) vist, at ogsaa disse lede til at betragte, ikke Funk-
tionen (2), men #(x) som den, der i disse Undersøgelser maa spille Hovedrollen.
Vi have derved naaet ved Betragtninger fra selve Tallæren at paavise den Rolle,
som Integrallogarithmen maa spille ved Bestemmelsen af Primtalmængden, og selv om
262 80
Begrundelsen ikke er ganske tilfredsstillende, er den dog tilstrækkelig fyldestgjorende, til
at man ad denne Vej vilde vere bleven ledet til at opstille Zé(x) som Tilnærmelsesformel
for (x), selv om ikke Riemann’s Formel var fremkommen tidligere. Tillige synes der at
være en Mulighed for ved en videre Udvikling af denne Art Undersogelser at naa til en
sikker Paavisning af Fejlgrensens Afhængighed af Va, men dertil vil dog rimeligvis først
fordres en mere indgaaende Undersogelse af de Divisionsrester, som fremkomme, naar et
Tal divideres med alle foregaaende Tal i Talrekken. Hvad der nemlig i det foregaaende
stadig har modt os som en væsentlig Hindring for at indsnevre Grænserne, er blandt andet
: N.
netop den Omstændighed, at man for Differenser af Formen ——E— ikke, selv om man
har en Sum af saadanne, kan faa snævrere Grænser end 0 og 1. At der i denne Retning
virkelig vil vere noget at udrette, derom vidner blandt andet den i det foregaaende oftere
omtalte Afhandling af Berger. Ogsaa en nojere Droftelse af de Problemer, som staa i
Forbindelse med Rækker, som indeholde Faktorer (2), synes ved disse Undersøgelser at
være meget onskelig, ogsaa igjennem den vilde man muligvis naa til at udfylde Hullerne
i den nærværende Fremstilling.
Hvilket Værd der kan tillegges denne, tilkommer det ikke Forfatteren at bedomme.
Dog formener han, at der ved den her givne Paavisning af den indre Sammenhæng mellem
de vigtigste hidtil anstillede Undersogelser paa dette Gebet og navnlig af, at disse alle
bestemt pegè hen paa det selvsamme Resultat, er gjort et Arbejde, al hvis Ud-
forelse paa en eller anden Maade et videre Fremskridt maa afhenge. Kun den, der er i
Besiddelse af en Riemann’s Geni, tor haabe paa et Felt, hvor saa mange store Mathematikere
intet have kunnet udrette, at gjere noget stort Fremskridt uden et forud gaaende grundigt
Studium dels af Forgængernes Arbejder, dels af Videnskabens nuværende Hjælpemidler. Til
at lette det dermed forbundne Arbejde tro vi, at nærværende Fremstilling maatte kunne bidrage
noget. Men Arbejdet vil alligevel være stort, thi enhver, som har givet sig af med Tallenes
Theori, vil vistnok sande Rigtigheden af den Sentens, som Degen efter Ovid salte som
Motto paa sin «Canon Pellianus», og som vi ogsaa benytte som Motto for denne Afhandling:
«Est data lex numeris magnorum horrenda laborum».
263
on
—
Tillæg.
Om Beregning af Funktionen Li(e*).
Bereenine af Fundamentalverdier af Integrallogarithmen er saavel af
Bretschneider!) som af Glaisher?) udført ved direkte Beregning af de enkelte Led i
Rækken HN ER RE
ET Tee ea ace (1)
Denne Fremgangsmaade er ret praktisk, saa lenge « kun tillegges smaa Verdier,
men bliver, efterhaanden som « voxer, uoverkommelig. Bretschneider har derfor ogsaa
kun fortsat sin egentlige Tavle op til «7:5, medens Glaisher standser ved #— 5 og for
højere Verdier kun angiver Zi(e”) for hele # op til #15 inkl. samt for 2— 20 (med
11 à 12 Decimaler). I Faktortavlen til 6te Million angiver han yderligere Værdien af Lie!®, —
Hvorledes afdøde Professor Oppermann, som. ogsaa har beskjeftiget sig med Beregning
af Integrallogarithmen, idet han dog indskrænkede sig til at søge Zi(e”) for hele a indtil 20,
og Stenberg?) have regnet, er først senere bleven mig fuldt bekjendt (se nedenfor).
Derimod har Bessel?) benyttet en af ham angiven Rekkeudvikling.
Den af mig anvendte Fremgangsmaade bestaar i en sukcessiv Beregning af Integraler
af Formen Se åg
er er
la) == da — er — de. (2)
æ a-+x
Ua vo
F ; = 1 å ;
Naar nemlig her x antages mindre end a, saa kan Faktoren Zu: udvikles i Række,
hvorved faas
at Qe æ Cl
er et à {x æ \?
et — da = —| \ erde e dx + \ e” Cfo colo (3
a+-x a a a
0
00 0 eo
1) Schlômilch's Zeitschrift Vol. VI, p. 127—139.
2) Philosophical Transactions Vol. CLX, p. 367—388.
3) Tabulæ Logarithmi integralis, Malmogiæ 1861—1867—1871.
') Abhandlungen Vol. Il, p.331.
Videnskab. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. II. 6. 34
264 82
Da = er en ægte Brok, vil denne Række konvergere, og naar man for & setter en
lille Størrelse, som er mindre end 1, medens a er et Tal, som er større end f. Ex. 7,
saa kan man ved passende Valg af 2 bringe Rekken til at konvergere saa hurtig, som
man onsker.
Nu kunde man her behandle hvert af disse Integraler for sig og derved erholde
en Rekke efter Potenser af 2, hvilket f. Ex. Glaisher har gjort, men dette vilde vere en
Omvej. Det maa nemlig erindres, at det slet ikke kommer an paa at finde en Udvikling,
der skal bruges til analytiske Undersogelser, men at det meget snarere kommer an paa at
fremstille en Række sukcessive ensartede Regneoperationer, hvis fortsatte Anvendelse kunne
tjene til Beregning af den forelagte Rækkes enkelte Led uden Hensyn til, hvorledes disses
analytiske Form monne være. Og denne Opgave er let at løse. Da man nemlig ved
Beregningen af de enkelte Led faar Integraler af Formen \earda, og ved delvis Integration
D
I: qr
etært! 1 id
erde = — ——— \erttide,
I
n—+I n—1 à ‘
” 0
0
haves
eller omvendt
sc E
\ eo = ever tt — (n+ 1) Ven ce (4)
vn vn
saa ses, at hvert Led i Rækken (3) maa kunne findes, ved en rekurrent Beregning, af det
nærmest foregaaende. Vi behave ikke at bekymre os om, at dette derved optræder multi-
pliceret med en Faktor (n-1), da Rækkens Konvergens er sikker, og Fejlens Indflydelse
neutraliseres ved den paafolgende Division med en Potens af a.
x
ÆNGE
Idet vi altsaa ved À, betegne Integralet \e(2) dx, hvor n er et helt Tal, saa
0 en
haves farst
et
Tea — (40-4 + Ae ---); (5)
samt almindelig
er grt n+]
Anti = ik ee
= Ane (6)
Da man har
æ
Alay = Verde = e—l,
saa blive de første Led i Rækken (3): N,, —N,, N,... bestemte ved
æ 2
a+r 7
entr pa N å (=) 1.N, N
—— ——n N — — NE SER ll
MG) 7 > 1 - RATS a 0 (7)
S3 265
Sætter man her a lig et helt Tal og æ— 1, saa faas, naar man i Forvejen har beregnet
en Tavle over Potenser af e* og ved Division med a deraf danner Verdier af et”: a", et
atl
forholdsvis let Middel til at bestemme Verdierne af Integralerne IS de Paa denne Maade
av
®
er Beregningen af Integrallogarithmen til e” for & — 16, 17, 18, 19 og 20 udfort for i For-
bindelse med de af Glaisher angivne Verdier for hele + at kunne benyttes til Kontrol ved
Beregningen af de mellemliggende Verdier i Tab. II.
Disse ere fundne ved at bemærke, at et Integral af Formen
—T
ved Udvikling paa lignende Maade som ovenfor giver en Række af Formen
ai ate +2 ate
foe ef x GE 4
da = A w Je (=) dx + le i) de...|= N,.—N,+N,—N; ..., (8)
—T _— væg
Ja
hvor det vil vise sig, at Leddene med negative Fortegn blive af forholdsvis ringere Betyd-
ning end i foregaaende Tilfælde, saaledes at den numeriske Værdi af et negativt Led
nærmer sig stærkt til den af det følgende positive.
For øvrigt fører delvis Integration her til ganske lignende Resultater som i fore-
gaaende Tilfælde, kun med den Ændring, at man erholder
5 | & L æn
eat? —_ g0—T (eat? + Cm) (2) —| No (ett — Cm) (<) — EINE
N, = — : = £ ar
0 Fi , 1 7 > 2 m > ;
(9)
- LANE
É (eet + ee?) (=) pres 3.N,
IN Se ons:
Da man kunde sætte Udtrykket for Integralet under Formen
ar? +r at? ar?
eat? et et : et Be:
da = —\ erde — — Verde + — \e?a*dx-+... (10)
a+x a a? a’
—r =—2 dr —T
saa vilde man ogsaa, hvis man skal beregne en længere Række af Integraler svarende til
samme z, kunne have Fordel af engang for alle at bestemme de numeriske Værdier af de
et
Integraler, der optræde som Koefficienter til hvorefter en logarithmisk Beregning af
m)
det paagjældende Led er let, saafremt Teeiftede Tavler give tilstrækkelig Nojagtighed.
Det vil herefter være klart, hvorledes dette kunde tjene til paa en forholdsvis let
Maade at beregne den i Tab. Il meddelte Tavle. Forst beregnedes nemlig Værdierne af e*
for Intervaller af a; og ved derefter i Formlen (8) at antage a= fandtes ved ligefrem
Anvendelse af (9) Værdierne af N,, N,, Ns. De folgende Led bestemtes logarithmisk ved
34°
266 $4
at+0-4
Hjælp af de engang for alle beregnede Verdier af Integraler af Formen \erande for
—0:1
m = 3, 4, 5 0.s.v. Det var til Opnaaelsen af den Nojagtighed, der onskedes, ikke nod-
vendigt at medtage flere end 7 à 8 Led, da den anvendte Rækkeudvikling er meget stærkt
konvergerende. For a = 12:5 fik man f. Ex.
N, = 4300:55582 39903 5097
—N, = —1:14605 10705 4886
N 9186 74014 4756
ne —4 40167 3
Nae 35297 20
i= —20 13
N == 161
126 — -
altsaa © da — 4299-50159 98323 9.
12:4
Af disse Integraler fremgik derefter ved Addition de sukcessive Verdier af Li(e?),
og en fortrinlig Prove paa Regningens Rigtighed havdes ved Sammenligning med de allerede
beregnede Verdier for hele w. Vi fik herved tillige en Bekrieftelse paa Rigtigheden af de
af Glaisher beregnede Verdier, for saa vidt som disse kunde kontrolleres, altsaa med Und-
tagelse af det sidste Par Cifre.
Det vilde, hvis der fra Begyndelsen af havde veret lagt an derpaa, kun have veret
en forholdsvis ringe Forøgelse af Arbejdet at beregne nogle flere Decimaler, idet der dertil
navnlig kun vilde behoves nogle flere rigtige Cifre i Potenserne af e. Men som allerede
bemerket var det oprindelig kun Hensigten at erholde 12 a 14 rigtige Cifre, og Meningen
var derefter ved Beregning af Logarithmerne til disse og paafolgende Interpolation at danne
en Tavle, ikke over selve Zi(e”), men over dens Logarithmer. Thi, som det vil ses ved
Sammenligning med Tab. Ill, vil en saadan Tavle paa Grund af den Lethed, hvormed der
kan interpoleres i den, vere saa bekvem, at den hidtil saa gjenstridige Funktion Zi(«)
derved vilde være draget ind under den Række Funktioner, som kunde betragtes som
fuldstændig bekjendte for alle Værdier op til den Grænse, som Tavlen angav.
Imidlertid blev ved nærmere Overvejelse denne Tanke opgivet, dels fordi det til
Opnaaelsen af det specielle Formaal, hvortil den skulde tjene, befandtes hensigtsmæssigere
at konstruere den Tayle, der er meddelt i Tab. Ill, dels fordi en Fundamentaltavle som den
omtalte som Argument rettest burde indeholde ikke naturlige, men Briggiske Logarithmer.
I den Form, hvori Tavlen her foreligger, vil den i hvert Tilfælde kunne. tjene til
Fundament for en saadan Tavle, da Overgangen lil andre Værdier end de Argumenter, der
findes i Tavlen, forholdsvis let kan gjores, enten ved Hjælp af de her angivne eller ved
andre bekjendte Formler.
85 267
Senere Aum. Efter Fuldendelsen af det foreliggende Arbejde er jeg bleven bekjendt
med to andre værdifulde Bidrag til Beregning af Integrallogarithmen. Det ene er den ovenfor
nævnte Tavle af Stenberg, af hvilket Værk jeg tidligere kun kjendte anden Del, der gaar
til Zi(10°®), medens det senere er lykkedes mig at erhverve et fuldstændigt Exemplar af
Tavlen. Det viste sig da, at Forfatteren i en Pars Ill, udkommen 1871, har fortsat Tavlen
fra Z4(10%5) indtil Z2(10!0). Argumenterne ere de Briggiske Logarithmer med Interval
0:01. Værdierne ere beregnede med 14 Cifre, og der er tilføjet Differenser for at lette
Interpolationen, medens Forfatteren dog ikke har været opmærksom paa Hensigtsmæssig-
heden af et tabulere log Zz(z) i Stedet for selve L(x), hvorved Tavlens Omfang vilde have
kunnet indskrænkes betydeligt. Men i hvert Fald fortjener "Arbejdet den største Anerkjen-
delse, og det maa kun beklages, at Tavlen synes at være en Sjældenhed. Hverken Glaisher
eller afdøde Professor Oppermann, som maatte anses for at have særligt Kjendskab til,
hvad der var udrettet paa dette Omraade, have omtalt denne sidste Del af Tavlen, og det
Exemplar, hvoraf jeg er kommen i Besiddelse, har maattet forskaffes ad antikvarisk Vej.
I Indledningen til 3dje Del af sin Tavle gjør Stenberg Rede for, hvorledes denne
Del er beregnet, og udvikler blandt andet de selvsamme Formler, som ere anførte ovenfor,
tilligemed forskjellige andre lignende, som han har benyttet til Beregning af de Fundamental-
værdier, som ligge til Grund for hans Tavle.
Det andet Bidrag indeholdes i afdøde Professor Oppermann's Papirer. Det er
bekjendt, at denne Mathematiker beskjæftigede sig med Beregning af Integrallogarithmer,
men om den Methode, han benyttede, har han ikke givet nogen Meddelelse. Af hans
mundtlige Udsagn fremgik kun, at han anlagde sin Regning saaledes, at den med det samme
kunde give Værdierne af de sukcessive Differentialkoefficienter. Heller ikke i hans Papirer
indeholdes nogen sammenhængende Meddelelse om dette Punkt, men derimod findes de
originale Beregninger, som han har foretaget, og af disse er det ikke vanskeligt at se,
hvorledes Regningen er udført. Fremgangsmaaden, som i Virkeligheden er særdeles elegant,
kan udtrykkes ved Formlerne
ehe be ete BRUT ENT, 2) WIENER JOR KØR
Lilet) — Li(e®) = 2 (40 +a AS + 4,6? Eur dan |
a= | | i (11)
. . 2 es =. pay ft
Tale) Te 2) = = (4, mo 3 Ars? — 438 +.. WJ
hvor
À, | 4, I A, -
Al; Are Ay Ay == Some à ONS: V (12)
Disse Formler tilstede, naar forst Potenserne af e ere beregnede, en rekurrent Beregning
af de enkelte Led og give derefter Værdierne af begge Integraler
26! 86
rel. ea +5
N dx og oar
a—é a
Fordelen ved denne Methode bestaar i, at den giver en Kontrol paa Reg-
ningens Rigtighed, idet hvert enkelt af disse Integraler, naar Intervallet £ overalt er
det samme, bliver beregnet to Gange uden nogen synderlig Forøgelse i Arbejdet. Ved denne
Fremgangsmaade har Oppermann fundet Differenserne af Zi(e”) for hele a fra z — 8 til
æ — 20, og Regningerne forelaa i en saadan Form, at der kun behøvedes en Sammenstilling
af Resultaterne for, ved at gaa ud fra de af Bretschneider angivne Værdier, at faa de
tilsvarende Verdier af Zi(e?).
Værdierne af e” vare dels tagne efter Schulze‘), dels fundne ved logarithmisk
Bereguing, saaledes at de tilsvarende Differenser af Integrallogarithmen vare bestemte med
mindst 21 rigtige Decimaler, med Undtagelse af de tre sidste, hvor Oppermann kun havde
faaet 12 rigtige Decimaler. For at komplettere Resultaterne har jeg selv foretaget Bereg-
ningen for de sidstes Vedkommende og anforer nedenfor alle de saaledes fundne Verdier
af Li(e) fra æ = 10 til x = 20, idet Zi(e!) er anført efter Bretschneider. For saa vidt
Regningen kunde sammenlignes med de af ham angivne Verdier for lavere x, fandtes disse
rigtige. — Ligeledes er der tilføjet Værdierne af e”, som for «> 13 ere beregnede af mig
ved som Udgangspunkt at tage de af Oppermann med mange Cifre angivne Verdier af
ev ell, el? el%, e15, og som Kontrol den ligeledes af ham beregnede Verdi af e7°.
I Forbindelse med de af Bretschneider beregnede Verdier danne altsaa disse en
Tabel over Fundamentalverdier af Zi(e”) med 20 Decimaler op til e?°.
x et Li (e7)
10 22026-465794 806716 516957 900645 | 2492-228976 241877 759138 44
11 59874-141715 197818 455326 485792 | 6071406374 098611 507964 88
12 162754791419 003920 808005 204898 | 14959-532666 397528 852292 46
13 442413:392008 920503 326102 775949 | 37197-688490 689035 604391 64
14 1202604-284164 776777 749236 770768 | 93192-513635 965371 298824 52
15 3269017-372472 110639 301855 046092 | 234955-852490 768303 578245 74
16 8886110:520507 872636 763023 740781 595560-998670 837001 850161 00
17 24154952-753575 298214 775435 180386 1516637:894042 516884 432797 43
18 65659969-137330 511138 786503 259060 | 3877904-330597 443502 996466 07
19 178482300-963187 260844 910033 788723 | 9950907-251046 844760 026002 53
20 485165195:409790 277969 106830 541541 25615652-664056 588820 481120 80
1) Schulze: Sammlung logar. trig. Tafeln. Berlin 1778. 1, S.188.
I~
Værdier af reciproke Potenssummer og deres Logarithmer.
Tab. I.
FOI66 00000
80886 00000 00000-0
91F9T 10000 00000-0
TE8ZE 20000 00000-0
89969
LOGIE
09929
F66CG 26000 00000-0
GI2OG FL 00-0
GGCTO 6F100 00000-0
£0G60 868
GS8TS80 96600 0
GIGGL &GITO
9FF0G F8ECO
64128 69170
FGIT9 68660 00000-0
22060 &806T 00000-0
80282 GLI8E 00000-0
TLE6E TLE9L 00000-0
61698 06854 I
8860 82890 60000:0
GEL96 SFFGT 90000-0
86629 62698 G1000-0
E002 79209 F2000-0
TOT69 81768 67000-0
LEFFL G809£ 66000-0
GIGPFL CLIFF 00G00-0
81699 €GOPT 90F00-0
PETIG 8686 8Z800-0
28909 89800 20L10-0
FG6ES PATOG ELEE0-0
LYGY9 LOETE 66920-0
FFF66 6698 960LT-0
G90TF 00GPL FZECF-0
I + 06882 08678 TLGTE-0— |
|
0F9GT 00000 00000-0
62888 00000 00000:0
6E¢0¢ 00000 00000:0
ETTTO 10000 00000-0
G6cG0 20000 00000-0
OLFFO 70000 000000
SF680 80000 00000:0
0-0
G68LT 91000 0
0896 GE000 0000
59972 79000 00000-0
L6FEP 66100 00000:0
20628 89600 00000-0
82692 L100 00000-0
G&LLG 8010 00000-0
GT668 1200 00000-0
67200 EFTFO 00000-0
G9FCG 2880 00000-0
18696 SLG9T 00000-0
96108 29166 00000-0
61204 69699 00090-0
GL066 OF8GE TO00
FEET 68669 20000-0
16009 70658 G0000-0
86178 80989 01000-0
68069 602GF TE000-0
JECFE SEGLT 6F000-0
G8986 IGCET 28000:0
SO086F 08212 9L100-0
90800 FT660 19800-0
OFGGG 92GFL 9FL00-0
£0029 6698 FLET0-0
TIGLE €1869 SEPEO-0
OFTPS 8906 6660-0
FEIFO OL6F8 FIAT GO
“s 0730]
FO168 00000 00000-0
80886 00000 00000-0
9TF9T 10000 00000-0
18828 60000 00000-0
€99¢9 F0000 00000-0
LZE1E 60000 00000-0
09989 81000 00000-0
F£6CG LE000 00000-0
GILOG F2000 00000-0
GGGTO 67100 00000-0
£0G60 86200 00000-0
28180 96900 00000-0
61661 Z6LL0 00000-0
FLEOS F8EE0 00000-0
ELSGE 69LF0 00 i)
6LCT9 66660 00000-0
9680T 8061 00000-0
62688 ELISE 00000-0
GLP89 TLE92 00000-0
98987 IG8EC T0000-0
96F89 218C0 €0000-0
89F6G SITZT 90000:0
TI68T 82025 G1000-0
62682 39609 FZ000-0
LPISE S990F 6F000-0
69929 S080F 66000-0
82470 28269 008000
€1FL0 89906 90F00-0
€LE69 GPTOP TE800-0
8690 9L8EF GILTO-0
SGC6F 96966 96960-0
96629 08286 OT6L0-0
16916 ECLTF EOFST-O
CPLOL FEOEO OLL6F-0
“3 ‘jeu 30]
880162 00000 00000-T
220684 00000 00000-T
GGTFITL 10000 00000-T
GLESZE &0000 00000-T
689969 F0000 00000:
FLGEIE 60000 00000-T
266989 81000 00000-T
OPEEGS 26000 00000-T
SLLLOG $2000 00000-T
SPGGTO 6PTO0 00000-T
G60G60 86600 00000:T
168180 96600 00000-T
092661 G6LLO 00000-T
LEOGOG P8EGO 00000-T
898658 69LF0 000
666089 68460 00000:T
99TLET GSOGTI 000001
069866 ELISE 000001
628926 T2692 00000-T
980764 83854 T0000-T
020696 68840 E0000-L
28C0GE TSPGI 90000-T
€SLCLP GGTLG GLOOO-L
OSOEEE G9809 FZ000-T
FGITFO 98817 6F000-1
081818 IGLGP 66000-T
GG809G 8E688 00ZOO-T
EPP6L6 T9G62 20P00-T
L6GG618 61166 FESOO:T
16FFF8 61908 FELTO-T
OOLEEP IGG22 66980-T
G8ELLT LESSEE GEZSO-T
876464 16069 GOGOG:T
PIGELP 89907 E6FFI-T
%]— 668910 67998 TELLG-0
Tab. I.
Værdier af e* og Li(e*) fra x —5 til x — 20.
14841315 91025 76603
181-2722
221-4064
270-4264
330-2995
403:42879 34927 35123
492-7491
601-8451
7350952
897-8474
1096-63315 84284 58599
1339-43076 43944 17830
1635:98442 99959 26540
1998-19589 51041 17959
2440-60197 76244 99077
2980:95798 70417 28275
3640-95030 73323 54722
4447-06674 76998 56086
5431-65959 13629 80322
6634-24400 62778 85159
8103-08392 75753 84008
9897-12905 87439 15887
12088-38073 02169 84398
1476478156 55772 72616
18033-74492 78285 11246
22026-46579 48067 16517
Li(e) med Dir.
40:18527 53558
643957 51500
46:62485 05058
756862 52952
5419547 58010
890831 01733
6310178 59743
10:49900 13764
73:60078 73507
12:38897 47917
8598976 21424
14-63597 97982
100°62574 19406
1730912 37596
117:93486 57002
20-49113 57080
138:42600 14082
24-28108 61632
162-70708 75714
2879765 57641
191-50474 33355
34-18306 43656
22568780 77011
40-60779 51225
266:29560 28236
4827627 56745
314:57187 84981
5743371 18197
37200559 03178
68:37430 92170
440-37989 95348
81-45116 70866
521-83106 66214
97-08818 63407
618-91925 29621
11579440 51176
73471365 80797
138:18125 98486
8372:389491 79283
164-98337 27888
1037-87829 07171
19708359 10581
1234-96188 17752
235°54315 21150
1470:50503 38902
281-63803 15825
17952-14306 54727
336-90274 79587
2089-04581 34314
40318316 28105
2492-22897 62419
102)
89
Tab. I.
Fortsættelse.
e
22026-46579 48067 16517
26903-18607 42975 6100
32859-62567 44433 1276
40134-83743 08757 9311
49020-80113 63817 1830
59874-14171 51978 18455
73180-44183 34154 9731
89321-72336 08055 557 0
1 09097-79927 65075 8043
1 33252-35294 55309 397 4
1 62754-79141 90039 20808
1 98789-15114 29545 3040
2 42801-61749 83235 4102
2 96558-56529 82029 281 3
3 62217-44961 12478 8502
4 42413-39200 89205 03326
5 40364-93724 66919 429
6 60003-22476 61566 277
8 06129-75912 39902 170
9 84609-11122 90349 847
12 02604-28416 47767 7775
14 68864-18965 40950
17 94074-77260 62144
21 91287-87560 6809 s
26 76445-05518 90967
32 69017-37247 21106
Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd.
II.
Lite”) med Difr.
2492-22897 62419
482:70013 40763
2974-92911 03182
578:12626 55450
355305537 58632
69267846 13398
424573383 72030
830:22955 70955
5075:96339 42985
99544297 98001
6071-40637 40986
1193-93521 05557
7265734158 46543
1432-47181 85356
8697-81340 31899
1719-20403 61833
10417-01743 93732
2063°95429 87441
12480-97173 81173
2478-56092 82802
14959-53266 63975
2977-29426 71874
17936-82693 35849
3577-35913 61378
21514-18606 97227
4299-50159 98324
2581368766 95551
5168:74178 41202
30982-42945 36753
621525903 70137
37197-68849 06890
7475:46122 9807 5
44673:14972 04965
8993-27665 38509
53666-42637 43474
10821-71502 68773
64488-14140 12247
13024-75387 48385
77512:39527 60632
15679-61835 79022
93192-51363 39654
18879-53689 4967
112072-05052 893 2
22737-07223 3454
134809-12276 2386
27388-14854 4699
162197-27130 7085
32996-92046 8554
19519419177 5639
39761-66071 5129
234955-85249 0768
6.
Fortsættelse.
32 69017-37247 21106
39 92786-83521 09471
48 76800-85327 22663 |
59 56538-01318 46158
72 75331-95838 9587 8
88 86110:52050 78726
108 53519-389906 44180
132 56519:14046 35683
161 91549-04176 52862
197 76402-65849 77755
241 54952-75357 52982 |
295 02925'91644 54584
360 34955-08814 16391
440 13193-53483 40439
537 57835-97888 3656 2
656 59969-13733 05111
801 97267-40504 71134
979 53163-60543 3230 4
1196 40264-19819 05134
1461 28948-67868 13127
1784 82300-96318 72608
2179 98774-67921 04573
2662 64304-66872 5045 3
3252 15956-12198 0556 3
3972 19665-80508 3821 7
4851 65195-40979 02780
234955-85249 077
47921-87998 516
282877713247 593
27166-93796 061
340644-67043 654
69646-45860 029
410291-12903 683
83982-92895 992
494274:05799 675
101286-94067 409
595560:99867 084
12217563004 051
717736:62871 135
14739498990 569
865131:61861 704
177846°86860 347
1042978-48722 051
214621-64329 086
1257600:13051 137
25903776353 115
1516637:89404 252
312689-61360 869
182932750765 121
37750544818 36 0
2206832-95583 481
45581752685 485
2662650-48268 969
550447-02275 701
3213097:50544 67 0
664806-82515 074
381190433059 744
803026-01631 899
4680930-34691 643
970100:60347 551
5651030:95039 194
117207605659 938
6823107-00699 13 2
1416268:37920 75s
8239375:38619 890
1711531°86484 794
9950907-25104 684
206858342063 06 6
1201949067167 750
250039543482 031
14519886:10649 781
3022671°70651 305
1754255781301 086
3654424:03649 959
21196981-84951 045
4418670-81454 61 4
25615652:66405 659
90
91 273
Tab. II]. Værdier af Funktionen P(e”) med tilhørende Logarithmer m.m.
PEER ae) Bier [ice Pes FR
0-0 0-00000 | | 50 | 3409670 | 1:532712 5 39
01) 00629: | 870888 | | 51 | 1568498 | 95716 | à
02 | 013033 | 9-11505 | 52 | 4019635 | 1604186 | 25758 | 4
03 | 020257 | 930657 53 | | 1639990 | 80 | 48
04 | 028002 | 944719 54 | 4740695 | 1676842 | 36852 | 55
05 | 036305 | 9-55997 55 | 5149270 | 1711746 | 30904 | 56
| 06 | 045215 | 9-65528 56 | 5598782 | 1747706 | 39960 | 5.
07 | 054770 | 973861 57 RÉCENT
08 | 065045 | 981322 58 | 6603787 | 1819793 | 2? | ot
| 09. 076070 | 988121 59 | 1855926 | 26133 | 6
10 | 087915 | 9-94408 60 | 7800485 | 1892121 | 36195 | 6.
11 | 1-00651 | 0-00281 | 61 | | 1928379 | 36258 | 94
12 | 114341 | 0-05820 62 | 9219366 | 1-964701 ae 65
18] 129065 | 011081 | 5998 63 | 2001088 Hee | 64
14 | 144905 | 016109 | jos, | —197 64 | 10902830 | 2037539 | 961 | 67
15. 161956 | 020040 | 4668 | —168 65 | 1185922 | 20724057 | JS | 66
16 | 180314 | 025608 | joi, | —145 66 | 129:01525 | 2110641 | 36584 | 67
17| 900085 | 030121 | 4202 | —125 67 2147299 | 36651 | 67
18 | 221882 | 084514 | és | -108 68 | 1527601 | 2184010 | 26718 | 67
19 | 9244387 | 03879 | eo | — 96 69 2290795 | 36785 | GG
20 |. 269084 | 042988 | 444, | — 82 70 | 18098661 | 2257646 | 36851 | eg
21 OT IEEE 71 | 2.294565 | 26919 | 67
22 | 324560 | 05129 | 347, | — 64 72 | 21456088 | 2331551 | 36986 | 65
23 055099 | mous | — 57 73 2-368602 | 37051 | 67
24 || 389155 | 059012 | 355, | — 49 74 | 95451804 | 2-405720 | 87118 | 66
25 062876 | ug | — 4 75 2449904 | UBL | Gy
26 | 464460 | 066696 | sep | — 39 76 | 30210110 | 2480152 | 27248 | 6
97 | | 070477 one | — 85 11 | 251746 | 94 | ga
28 | 552364 | 07423 | 5, | — 29 78 | 35879075 | 2554844 | 27978 | 65
2-9 0-77940 : — 97 79 | 25922851 | 274411 | 633
rl; a 3690 4 Me re 375044 :
30 | 655084 | 081630 | aan | — 28 80 | 42637282 | 26297805 | 57504 | Gon
31 085297 | Say | 20 81 26673564 | 3/9669 | 617
32 | 115954 | 088944 | Se | — 17 82 | 50697315 | 27049850 es | 612
33 | 842880 | 092574 | 35 | — 15 88) | 27496748 | Sinn | 603
34 | 915989 | 096189 | Seo, | — 12 84 | 60314946 | 27804249 | SES | 597
35 | 995215 099792 | Sos | — 120 85 ee | Ps | 500 |
| 3:6 | 1081011 1:033830 | 35819 | — 91 86 | 71796540 | 2°8561035 | 379970 582
FE) KØD 1:069649 | 5.749 | — 70 ey | 0 | TE | Ove
| 38] 1274672 | 1105398 | Ses | — 61 88 | 8550963 | 29320150 | 37° 567
39 1141086 | eb ere 89 | 29700562 | 380412 | 559 |
40 | 1502199 | 1-176728 | gay, | — 36 9-0 | 1018-9510 | 3-0081533 | 280971 | 559
| 41 1219984 | Fo | — 27 91 | | 30463066 | 381028 | 544
| 42 | 1769756 | 1247913 | So | — fo 92 | 12148211 | 30845123 | 282067 | 537
43 | | 1283480 oe Ss? 93 | | 31997797 | 882604 | 509 |
| 5562 | 38313: |
44 | 2084695 | 1319042 | Sees | + 3 94 | 1449-0588 | 31610860 | 285135 | 50 |
| 45 | 226260 | 1354607 | 5, | + 10 9:5 31994513 | 298653 | 515
46 | 2455737 | 1390182 | zero | + 17 9-6 | 1729-2915 | 32378681 | 284168 | 596
47 | ee E24 9-7 | | 32763355 | 284074 | 490
48 | 28:93279 | 1-461390 | 55645 | + 29 98 | 2064-6802 | 3:3148528 re 490 |
49 | 1:497035 | en L 32 99 | 33584191 | 385663 | 454 |
50 | 3409670 | 1:532712 ee) 10:0 | 2466-2316 SEEN A ZF |
373920338 |
274 92
Tab. IL. Fortsættelse.
BRA AR x log (Li(e*) —P(e)) A’
I | 251662 | 14112
2466-2316 | 33920338 | 396694 | 477 | 1:414929 14484
34306962 | 387093 | 469 1-429113 14958
2947-1722 | 34694055 | 397555 | 462 97-7569 | 1443371 14939
35081610 | 399910 | 455 1:457703 ly 4405
3523-3097 | 3-5469620 | 299457 | 447 | 1-472108 12478
| 35858077 | 398897 | 410 30-6610 | 1:486586 14550 |
4214-0282 | 36246974 | 569339 | 435 1501136 | 14693
| 36636306 | 389760 | 428 1:515759 i 4694 |
5042-0436 | 37026066 | 399180 | 420 33-9198 || 1:530453 aes
| 37416246 | 599595 | 415 1545218 14837 |
6035-0940 | 37806841 | 391902 | 407 1:560055 | 14008 |
38197843 | 391403 | 401 37-5805 1574963 14978 |
7226-4425 | 38589246 | 991798 | 395 1-589941 | 15048
38981044 | 399187 | 389 | 1-604989 | 15117
8656-1163 | 39373231 | 399570 | 383 41-6971 1:620106 16187
39765801 | 399947 | 377 1-635293 15256 |
103722925 | 40158748 | 393319 | 372 | 1650549 15395 | 6
| 40552067 | 399683 | 364 46-3312 1:665874 15392
12432-9689 | 40945750 | 394949 | 359 | 1:681266 | 15459
| 41339792 | 394396 | 354 1:696725 15595 |
14907-9802 | 41734188 | 304745 | 349 51-5525 | 1:712250 | 15591
| 42128933 | 395089 | 344 | 1:727841 | 15656
178814285 | 42524022 | 995497 | 338 1-743497 15721
42019449 | 395759 | 332 57-4405 1759218 16786
21454°6193 | 43315208 | 396087 | 328 1:775004 15850 | 6
43711295 | 396410 | 323 1:790854 | 15915 |
257496012 | 44107705 | 396798 | 318 64-0865 1:806767 15974 |
44504433 | 597941 | 313 1:822741 16036
30913-4410 | 44901474 | 397549 | 308 1:838777 16097
| 45298823 | 597653 | 304 71-5934 1854873 16157
371233815 | 45696476 | 397959 | 299 1:871030 FAG
46094428 | 398946 | 294 1.887248 16277
44593-0696 | 4:6492674 | 398536 | 290 80-080 1 1:903525 16335
46891210 | 398893 | 287 1:919860 16392
53580-0784 | 47290033 | 599105 | 282 1-936252 16 449 |
| 47689138 | 599389 | 277 89-681 1 1-952701 16505
64394-9864 | 48088520 | 399656 | 274 1:969206 16561 |
4:8488176 | 599996 | 270 | 1:985767 16615
77412:3452 | 48888102 | 409199 | 266 100-5501 | 2002382 16669
| 49288294 | 4004531 | 2611 | 2.019051 16723
93083928 | 496887471 | 4907114 | 2583 2-035774 Con
| 5:00894585 | 4 IN
16829
16880
16930
16980
17030
17079
ERR a Re 17127
195045802 | 529013661 | 4926497 | 2306 2-171406 Hi |
| 5:29 975 9. [Fr
L | 533010158 4098770 2273 2188580 | 17220 | 46
| 234795232 | 537068928 2242 160:6202 | 2-205800 | 46
4009660 | 2946 2-862: 9-052551
4012168 | 2208 | 2-069380
2 | 111954-729 | 504904245
| | 5-08916418 | gpragaı | 2473 | 2.086260
-4 | 134682:302 | 512931054 | 4117979 | 2438 126-8207 | 2103190
| 516948133 | 1019483. | 2404 2-120170
5 | 162060-120 | 520967616 | 4093854 | 2371 | 9-137200
| 524989470 | more | 20 142-6525 2154279
93
Tab. II.
i
|
|
| 6:058778485
| 6221479537
Pe")
150 | 23479523»
151
15.2) 282703800
15:3 |
15-4 340456-247
155 |
15:6 | 410086-924
157
158) 494052-663
159 |
16:0 | 595320:878
161
162 717476102
16:3
16-4) 864848851
16-5 |
16-6 | 1042671475 |
16-7
16:8) 1257266-682 |
16:9
17-0) 1516275615 |
17-1 |
17-2 | 1828933-784 |
17:3 |
17-4 | 2206404-92 6 |
17-5 |
17-6 | 2662185019
17-7
17-8 | 3212591-190
17-9
180 | 3877353-424
18-1
18:2 | 4680330-75s
18:3
18:4 | 5650378209
18:5
18:6 | 6822396:221
18:7
183 | 8233601202
18-9
19-0 | 9950063-809
19-1 |
19-2 | 12018571:567
19-3
19-4 | 14518884-32 6
19:5
| 19:6 | 1754146567 6
197 |
19-8 | 21195790:
19:9 |
20-0 | 25614353-817
| log Pier) 3
5:37068928
5:41099940
545133165
549168572
553206131
557245814
5:61287592
5°65331438
5°69377324
573425224
5774751113
5:815269597
5855807440 |
5.896364393
5:936940212
5:977534697
6:018147492
6:099427407
6:140094035
6180778151
6-262197982
6:302933277
6:343685218
| 6:384453603
6425238235 |
6466038919
6-506855464
6:547687682
6588535389
6°6293898403
6°670276546
6°711169641
6°752077518
6793000006 |
6:833936938 |
6:874888150 |
a
6956832772 |
6-997825866
7038832610 |
7:079852854
7120836448
7161933245 |
7202993102
7244065878
ENDEN
7:326249628
7367360330 |
1408483404 |
D
4031012
4033225
4035407
4037559
4039683
4041778
4043846
4045886
4047900 |”
40498873
40518484 |
40537843
40556953
40575819
40594445
40612835
40630993
40648922
40666628
| 40684116
40701386
40718445
40735295
40751941
40768385
40784632
40800684
40816545
40832218
40847707
40863014 |
40878143
40893095
40907877
40922488
40936932
| 40951212
| 40965331
40979291
40998094
41006744
41020244
41033594
41046797
41059857
| 41072776
| 41085554
41098196
41110702
41123074 |
Fortsættelse.
28
bo RO NN DO
> M it NO DOD
©
OD COD
19110
18866
18626
| 18390
| 18158
17929
17706
| 17488
17270
17059
16850
16646
16444
16247
16052
15861
15673
15489
15307
15129
14952
14782
14611
14444
14280
14119
13960
13803
13650
13500
13350
| 13203
| 13060
12919
12778
| 12642
12506
12372
Lite?) — P(e®
160:6202
181:0230
204-2049
230-5568
260-5267
294-6283
333-4484
428:0299
4854427
550-9069
7107865
808-0476
919-1047
1045-9561
1190-893 (
2:205800
ARE
or ND NO
no wo N
KO KO BO RO 19
2:398122
2:415852
2-433621
2:451429
2-469274
2-487156
2-505075
2:523029
2°541019
2-559043
2:577100
2:595191
2:613316
2-631474
2-649664
2:667886
bø
to © to D
32
“926055
2-944697
2-963365
2:982057
3:000773
3019513
3:038277
3:057064
3:075873
3:094704
3113958
3132433
log (Lie)—Ple9)| 4’ | 4”
17266
17312
17356
17401
17444
17487
17530
17571
17611
17652
17692
17730
17769
17808
17845
17882
17919
17954
| 17990
18024
18057
18091
18125
18158
15190
eee
18283
18313
18344
18373
18402
18430
18458
18486
18512
18539
18566
18593
18618
18642
18668
18692
18716
18740
18764
18787
18809
18831
18854
18875
275
46
+] I
oO
>
red
DS
bo DO
no RO DO
== DDr
bo
276
94
Tab. IV. Antallet af Primtal i hvert Hundrede fra 1 til 10000 og i hvert
Tusinde fra 1 til 100000, tilligemed tilsvarende Værdier af #.
Din. 9100.) |
25
21
16
16
17
14
16
14
15
14
16
62
78
95
109
125
139
154
168
154
196
211
222
239
251
266
278
290
303
317
327
342
357
367
378
393
407
419
430
442
452
463
478
489
503
516
528
539
550
565
574
590
599
610
622
634
646
654
669
Dim. | 9.1000.)
168
135
127
120
119
114
117
107
110
112
106
103
109
105
102
108
98
104
94
104
98
104
100
104
94
98
101
94
98
92
95
92
106
100
94
92
99
0
168
303
430
550
669
783
900
1007
1117
1229
1335
1438
1547
1652
1754
1862
1960
2064
2158
2262
2360
2464
2564
2668
2762
2860
2961
3055
3155
3245,
3340
3432
3538
3638
3732
3824
3923
4017
4107
4203
4291
4392
4494
4579
4675
4761
4551
4946
5035
5133
æ
669
681
692
702
712
725
738
750
760
776
783
795
806
819
834
842
853
863
875
887
900
909
919
930
939
950
965
977
987
997
1007
1018
1028
1042
1051
1059
1071
1084
1095
1108
1117
1128
1140
1151
1162
1177
1184
1197
1208
1220
1229
89
97
89
92
90
| ifr. | 4(100x) | Di. 1911000)
5133
5222
5319
5408
5500
5590
5683
5782
5873
5963
6057
6145
6232
6320
6413
6493
6591
6675
6774
6854
6935
7033
7128
7218
7301
7393
7484
7567
7662
7746
7837
7925
9252
9336
9418
9505
9592
95 BUY
Tab. V. Antallet af Primtal i hvert af de forste 90 Hundredetusinder,
tilligemed tilsvarende Værdier af #.
0(10°.2) | P—é «| ow. (105.2)
Din.
0 9592 | 0 50 6458 348514
1 8392 | 9592 16 GI ige 354972
2 8013 | 17984 — 8 52 6493 361408
a rss ME EE +26 53 6462 367901
4 7678 33860 a9 54 6458 374363
5 7660 41538 =5 55 6402 380801
6 VE 49098 = 56 6404 387203
ZW) “nang 56543 +13 57 6387 393607
8 | 7393 | 63951 | —7 58 6436 | 399994
9 Do Ma | =9 59 | 6499 406430
10 | wie 78498 +29 60 | 6397 412850
TN rose 85714 +22 61 | Gp 419247
12 7081 92939 —41 62 6495 425649
13 | 71 03 100020 — 2 63 | 6337 432074
14 | 08 107123 —24 64 | 6947 438411
15 | 6973 114151 — 6 65 | gag | 444758
der.) ans 121124 +34 66 | g39g | 451160
ol see 128139 1 67 | pays | 457498
18 | 6957 135071 -+23 68 | 6411 | 463873
19 | 5903 142028 = 69 6365 | 470284
20 6874 148931 — 9 70 6369 476649
Bl en 162662 | —6 72 | gs | 489324
28 | gr | 169511 | —20 73 | 6299 | 495672
4 | 970 176302 +4 74 | 639, | 501971
25 || sog 183072 +29 75 | 6305 | 508272
26 6765 189881 — 4 76 | 6347 514577
27 erie 196646 —10 COR © 520924
28 | Re 203362 +17 78 6364 527169
29 6708 210108 — 3 79 | gaz 533533
30 EE ea RESer 80 6250 539807
31 6717 223492 +19 81 6301 546057
33 6639 236900 —41 83 | 6985 558641
34 een ----243539 —26 84 6245 564926 | — 35
37 6590 | 263396 | +3 87 | 6999 583778 =
38 | 6694 269986 | +17 88 | 6900 590077 | —139 |
39 6535 276610 —14 89 | 6270 596297 ee |
|
40 6625 283145 +33 , 90 602567 ea |
41 6540 289773 —24 |
42 6510 296313 — 3 100 664579 | +87
43 6511 | 302823 +37 1000 | 5761460 + 90
44 6613 309334 +67
| = | N
45 6495 315947 | —16 |
46 6592 322440 | +13 |
47 6475 328963 + 2 | |
48 BE 335438 +30 |
49 Bs 341992 —30 |
50 | | 348514 | —66 | | |
45 | 90:0
46 | 99-5
AT 110:0
48 121-5
49 1343
148-4
com
mee ee OO
on
20:8
22:6
24-6
26°7
28:9
31-4
341
et | ae) | Pe) |D=o—P—-1 DP
11 | 0 | 01 | —11 121
12 | an” | 01 —11 1:21
13 | > ROZ _12 14 |
15 | Da op | 13 1:69
16 @ | (EN —1-4 1-96 +11
1:8 0 0-5 =15 2:25
2-01 | 1 05 | —0:5 -25
22 | 1 | 0-7 =07/ 49
25 | 1 | 0:8 —0:8 164 |
27 1 0-9 —0:9 81 |
3-004 2 1:0 0:0 00
3:3 2 11 —0:1 -01
37 2 13 —0'3 09
41 2 1-4 0:4 16
45 2 1:6 — 06 36 + 0-4
96
wa
Tab. VI.
ge eZ
51 | 164-0
52 | 181:3
53 | 200:3
54 | 221-4
55 244-7
56 | 270-4
| 57 | 298-9
58 | 330-3
59 | 365:0
60 403-4
61 445-9
62 | 492-7
63 544-6
64 | 601-8
65 | 6651
| 66 7351
| 67 812-4
68 | 897-8
69 | 992-3
| 70 | 1096-6
| 71 1212-0
72 | 1339-4
| za 1480:3
T4 | 1636-0
T5 1808-0
| 7-6 1998-2
| 77 2208-3
78 | 2440-6
79 2697-3
| 8-0 2981-0
| 81 3294-5
| 8-2 3640-9
s3 | 4023-9
s4 | 4447-1
85 | 4914-8
86 5431-7
| Ss” | 6002-9
| 88 | 66342
8-9 7332-0
IN 81031
| 91 8955-3
9-2 9897-1
9-3 10938-0
94 | 120884
95 13359:7
9-6 147648
9-7 16317-6
98 | 180337
99 || 199304
100 | 22096:5
53
57
62
72
79
100
110
121
130
141
154
167
183
197
217
233
258
279
302
329
361
392
429
462
509
556
604
656
717
783
855
934
1019
1113
1220
1328
1446
1585
1729
1892
2065
2253
2466
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd,
Fortsættelse.
P(e*)
370
40:2
43:7
47-4
51:5
55:9
60:8
66:0
71:8
78:0
84:8
92-2
100-2
109:0
118:6
129:0
140-4
152:8
1663
181:0
197-0
214-6
2337
254-5
2773
302-1
329-2
3588
391-1
426-4
464:9
507-0
552-9
603-1
658-0
718-0
783:5
3551
9334
1019:0
1112-5
12148
13267
1449-1
1582-9
1729-3
1889-4
2064-7
2256-4
24662
IT.
6.
==
00
0:8
13
—1-4
0-5
01
02
—10
— 08
0:0
02
0-8
—1:2
0-0
14
0-0
—0-4
02
—0:3
1:0
—1-0
1-4
—17
2:0
0:7
—11
—12
12
—01
16
—39
1:0
21
—01
—3:0
—2:0
—1:5
—11
—0-4
—1:0
— 05
| 1:00
|
280
Tab. VI.
24343-0
26903-2
29732:6
328596
36315°5
401348
44555°9
49020:8
54176:4
59874:1
66171-2
73130°4
808216
893217
98715°8
1090978
1205717
1332524
147266-6
1627548
1798719
1987892
2196960
242801°6
2683373
296558°6
3277479
3622174
4003122
4424134
488942:4
5403649
5971956
660003-2
7294164
806129:8
890911-2
9846091
10881614
12026043
13290833
1468864-2
1623346°0
17940748
19827593
2191287-9
2421747-6
26764451
29579292
32690174
|
14912
16327
17885
19585
21455
23511
25733
28228
30922
33885
37128
40684
44598
48890
53565
58742
64411
70615
77395
84858
93118
102083
111957
122773
134651
147727
162089
177773
195041
213971
234855
Fortsættelse.
Pie) |
2695:9
2947-2
3222°3
3523-4
3853-1
4214-0
4609-2
5042-0
5516-0
6035-1
6603°7
72264
79087
8656-1
94751
10372:3
11355°5
12433:0
136138
14908:0
16326°5
178814
195860
214546
23503°3
257496
28212:6
309134
338752
371234
406858
445931
48878:8
53080'1
58737°3
64595:0
70602-1
77412:3
848847
93083:9
102081-2
111954-7
122790°3
1346823
1477343
162060:1
1777848
195045:8
2139940
2347952
98
104-04
259:21
1095/61
nn
1:69
334-89
1043-29
68:89
77841
163-84
33:64
576-00
3457-44
99 281
Tab. VIL Veerdier af Funktionen (x) og andre numeriske Funktioner.
n 0
yt (2)
3
4 ©
| | |
1 1:0000 0000 | 0:0000 0000
0:5000 0000 0:6931 4718
11666 6667 1.7917 5947
2:4849 0665
4.0943 4456
Faklorer
din) | p(n) | Divisorer. | rt) d(n)
| | 2 LA |
(=)
+0333 3333
"1333 3333
:0095 2381
a C1 & D m
6-0402 5471
67334 0189
7:8320 1418
=
Ro ©
0904 7619
"0004 3290 10-2299 0945
‘0773 5598 12-7948 5881
-0059 2741
-0607 3926
134880 0599
0019 1573 16-3212 1933
"0507 1585 19-2656 5831
-0030 9680
"0423 7575
0011 2052 22-4011 5253
24-0105 9044
"0373 4102
251092 0273
10028 5826 28-4764 9856
"0304 7507
"0627 3314 31-9104 8576
32-6036 3294
a
-0324 3011
0030 1834
0255 5309
Or RO & bo
nm
1 m
bo
oo
=
-0014 7394 36-2145 5085
-0248 4185
‘0504 8288
0260 9263 89-9281 2292
0022 8311
0209 7271
436893 2304
0007 6643
0205 1018 47-5394 7064
© M Co Qt O1 M I mm I] vH Doom Aa =] Mt O1 Do NO TE O9 CO O1 Hi OR JA CO CO Hi ORF wD We C9 Hi ND Hi Hi ©
49-4853 8079
orp
Fortsættelse.
100
| |
HrorHr,oromor
|
US | lh fee
SCF OR OR RH
HO ee
© © ©
—0:0009 0233
— 0197 7026
— ‘0015 8844
"0159 5542
-0331 9680
"0162 4765
0001 4580
"0159 8324
"0313 6785
0162 1634
0012 9096
0157 8372
0014 9800
"0125 8650
"0262 8513
0127 7162
“0002 1539
‘0126 0512
10252 6335
"0130 6823
"0251 1642
0133 5171
0017 2381
0097 7045
"0014 6551
0095 2350
"0202 7619
0309 1449
0414 4081
"0311 3153
Divisorer.
Qt Go Ai Hi mt CD ww el] C9 el Hi O1 C0
6
3
7
1
5
3
7
1
1
1
3
5
5
3
7
1
9
4
3
1
1
3
3
3
7
1
1
3
5
3
3
3
1
1
5
5
8
b(n)
53°4556 7270
57-5382 1014
61-6440 8400
62-3372 3118
66-5419 2380
70-8046 0368
750950 6312
79-4645 1097
80-5631 2326
84-9819 6387
89-4706 0024
101 283
Tab. VII. Fortsættelse.
np (2)
SES)
& o
Faktorer. | Ü(n)
0:0212 3054 |
0114 2662
0017 1788
98-6604 3174
| 103-2951 6073
0078 0583
‘0016 2803
0077 1777 107-9679 8956
-
"0167 9208
"0259 8299
"0169 7398
112-6593 3744
10258 2354
"0345 9546
10258 9981
117-3867 2526
"0174 2524
10090 2288
>
119-7846 2053
:0008 2516
0073 0493
121-3940 5844
ren
0005 6909 126-2382 4553
|| 126-9313 9271
"0071 8285
“0005 0946
0081 4305 131-8065 9003
m
10006 2425
-0068 3844
0004 6083
"0077 0721
"0149 0146
136-7265 7096
| 141-6610 4489
en
0078 0926
10007 6700
10062 2600
-
"0131 2256
“0199 7187
"0132 6046 146-6649 9120
Ll eh el oS Hi I I O2 09 mn fr i fr fr 00 Ol 00 00 NO On CO CO O1 O1 C9 lo CO I ll ri O9 I el mi I
=
Fortsættelse.
bo
bo ov bpd ©
1
æ
0:0066 3795
“0001 4444
10065 9605
0002 2663
:0065 5574
"0128 4505
10190 5623
0129 2126
-0068 6065
-0128 8475
:0068 9672
"0010 1437
0047 6598
“0105 1310
"0048 6338
:0007 5459
-0048 3200
-0103 5686
-0158 5137
:0103 8688
0049 8148
"0103 5782
"0050 1023
"0102 7338
:0155 0899
"0206 9034
0155 3570
- 0206 6390
"0257 4004
"0307 6517
m
M Co Co M M O9 27 O7 = mi
ni
co w
RSI
SSH OSTEN o
1010 I O2 el O2 I Hi [IH m O2
m
D WA må =]
he kb
Divisorer. | 2
102
dh (n)
151-6822 7104
156-7385 1685
161-8322 6705
| 166-9502 6086
169-5152 1022
174-6685 0181
179-8558 8762
1850543 8465
| 190-3066 5808
| 195-5693 4827
| 200-8525 5200
206-1458 5682
103 285
ab voll. Fortsættelse.
He)
SE
4 ©
Faktorer, Divisorer. |
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211-49771495 | 211
| 212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
216-9048 8672 223
224
225
| 296
229-3298 3674 227
228
227-7635 5874 229
230
231
232
233-2145 9719 233
| 234
235
236
237
238
238-6910 6074 | 239
240
244-1758 5767 241
242
245-2744 6996 | 243
244
| | 255
-0034 9860 | 246
-0005 4998 | || 247
| 248
—0:0257 9005
— “0208 3955
70159 1344
3.67
2.101
7.29
BE Bis lel
5.41
2.103
32.23
24.13
11.19
ONSMDRT
22.53
Sell
2107
5.43
23.33
7.31
2.109
3.73
2a Hell
13.17
DE
Hu
ka CO ©) Co
oO
=
"0110 3539
0061 8103
or oo oO
"0013 9634
"0033 6557
0013 7377
-
or oo ©
-0033 2107
0079 9397
0126 4513
_
"0172 5342
"0218 4058
“0264 0679
„m
HFOSHrSIWÜUWDHHNANSIHAHR O9 O0 Hi en O0 Hi O9 O9 O9 O1 CO C9 O9 CN mi
:0309 3168
"0264 2717
70219 4287
SOrFrFOCOOR RF RFP ORF FP ROR BRP ROR SE RO oO mm
70263 6765
70219 6236
|
_
"0175 9555
"0132 4772
-0089 1872
-0046 2687
-
"0088 8219
"0131 0160
"0088 9992
"0047 1582
|
10005 6644
-0045 6605 | | 249
| | 250
286 104
Tab. VIL Fortsættelse.
| Ws |
Faktorer. Divisorer. | & EB — |
1 T |
din)
1172 | 250-7999 2290
1189 |
1192
1195 |
1202 |
1210 | 251:4930 7008
1211 | 257-0421 4616
1218
1221
1232
1237
1240
1241 | 262-6143 0019
1956 |
1259
1266
1269
1274
1275 | 9268-2090 1157
1290
1291 | 273-8111 3039
1300 |
1307
1310
1315
1326 |
1327 | 279-4351 4790
1330
1335
1350
1351 | 985-0735 0257
1358
1359 | 290-7189 4947
1364
1371
1378
1381
1398
1400 | 293-5521 6281
1407
1410
1415
1416 | 299-2323 3542
1427
1430
1437
1444
1447
1450
1467
0:0005 8198
-
bo
æ
Co Qt km CO I Hi OÙ =I O9 Co el
"0045 3455
70084 7156
10045 4999
"0006 5894
70032 1703
10006 4398
bo Q9 KS I RO
. i er
ay ee, Coney
gods
2
-
O2
10044 6077
-0006 5849
rl
CN O9 =] © HA O1 M ON OÙ aw O1
-0044 3207
10006 7268
-0044 1799
:0007 0052
Or FO OF Or Eee
10029 8952
"0066 5252
10030 0288
=
oo He
0066 1299
+0030 1587
-
EN vo ma NO ad O9 I TOR RT
"0065 7459
"0101 2069
70136 5425
70171 6303
10206 5953
"0171 7521
10206 2349
"0171 8706
10206 0003
|
SorHrrkooromonrm
-
"0172 1020
— :0138 5449
— "0105 1001
1 DO C9 =1 BES C9 Mi
-
105
Tab. VI.
din)
304-9591 8317
310:6989 7608
316-4451 7927
322-2040 8104
| 328-0061 9942
3338262 8235
339-7721 9250
341-6215 1728
| 347-4765 8920
353°3430 5726
| 359-2263 7965
362-1708 1863
368:0761 8048
373:9977 5890
379-9352 9511
385-8833 3010
391-5469 0944
397-8308 4572
403-8248 0715
| 409-8385 2231
415:8763 9323
| 421-9190 2606
| 427-9851 3415
434-0558 7188
440-1403 7129
446-2339 4106
| 452-3409 6395
458-4656 4734
464-5990 4538
470-7367 7243
| 476-8831 0169
483-0548 0229
489-2430 6641
4954395 1054
501-6521 1664
507:8727 0681
514-1051 5483
514-7983 0201
521-0540 5205
527-3136 3351
530-4491 2773
536-7425 4701
543-0469 9581
549-3695 6105
595°7028 4068
562-0467 2111
568-3941 1032
574-7519 5259
581-1269 7741
587-5121 7181
625
631
641
643
647
653
659
661
673
677
683
691
701
709
719
727
729
733
739
743
751
757
761
769
773
787
797
809
811
821
823
827
829
839
841
853
857
859
863
877
881
883
887
907
Fortsættelse.
| 593-9074 3341
600-3060 2834
606-7145 5713
| 613-1329 2207
619:5577 9109
625-9858 9636
627-5953 3427
| 634-0426 4013
640-5056 6959
646-9718 1431
653-4441 6060
| 659-9257 3773
666-4164 6126
672-9102 1510
679-4219 6043
685-9396 3170
692-4661 2656
699-0042 6638
705-5567 7427
712-1206 2980
718-6984 9116
725-2874 1764
726-3860 2993
732-9831 7563
739-5884 7355
746-1991 6959
752-8205 7524
759-4499 3849
766-0845 7185
772-7296 6282
779-3799 4187
786-0481 7012
792-7290 2480
799-4248 2372
806-1230 9177
812-8336 1488
819-5465 7108
826-2643 7578
832-9845 9594
839-7168 0665
843-0841 0248
849-8328 6203
856-5862 9995
863-3420 6887
870-1024 8356
876-8789 9055
883-6600 4818
890-4433 7338
897-2312 1836
904-0413 6081
910-8559 0371
917-6791 8983
924-5132 9857
931-3559 8185
938-2029 2499
945:0562 2408
951-9158 3898
955-3498 2618
962-2240 2468
969-1023 5115
975-9868 3780
982-8774 4692
989-7761 6145
996-6809 1222
1003-5976 2724
1010-5182 9874
1017-4448 7577
1024-3734 1359
1025-0665 6077
1032-0048 4525
1038-9450 6772
1045-8910 8171
1052:8466 7432
1059-8041 7169
1066-7711 3883
1073:7399 8921
1080:7144 6812
1087-7056 4501
1094-7004 9500
| 1101-6971 7649
1108-6975 1095
1115-7032 9997
1122-7145 1396
| 1129-7329 1576
1136-7566 7471
1143-7857 6227
1150-8341 4868
1157-8842 7120
1164-9430 2935
| 1172-0086 4271
1179-0827 5953
1186-1619 4392
1193-2461 7034
1200-3370 8016
1207-4879 3207
1214:5420 7616
1221-6511 3830
1228-7650 9441
12358806 7654
1243-0011 2091
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6.
37
Fortsættelse.
106
din)
1250:1312 1942
1257-2692 9245
1264-4215 6131
1271-5753 9511
1278-7323 5147
1285-8939 7347
1293-0571 4586
1300-2249 5504
1307-3958 4352
1314-5682 6810
1321-7437 5781
1328-9283 8696
1336-1145 3126
13433052 0729
1345-7031 0256
1352-9190 7756
1360-1394 5140
1363-7503 6931
1370-9751 2272
1378-2056 8587
1385-4491 9884
1392-6998 3435
1399-9603 5695
1407-2236 8657
1414-4884 1675
1421-7559 4218
1429-0276 4589
1436-3048 9362
1443-5849 0187
1450-8662 8753
1458-1517 9408
1465-4454 9180
1472-7459 6461
1480-0477 8695
1487-3523 0290
din)
| 1494-6581 6293
1501-9667 0573
1509-2792 5923
| 1516-5997 8619
1523-9282 2354
| 1531-2618 9994
1538-6033 8379
1545-9487 4863
1553 2966 9245
1560-6484 9232
1568-0054 1056
1575-3648 7820
1582-7294 2521
| 1590-0965 0227
1597-4723 8442
1604-8507 6813
1612-2328 9250
1619-6162 6065
1627-0021 1173
1634-3916 7568
1641-7824 7420
1649-1769 6731
1656-5775 8789
1663-9903 5191
1671-4067 3039
1678-8255 1127
1686-2454 9119
1689-9590 6326
1697-3933 2064
1704-8299 3791
1712-2677 3303
1719-7113 9671
17271620 5751
1734-6138 7975
1742-0714 8904
b(n)
1749-5337 0398
1756-9993 5929
1764-4684 4317
1771-9409 4391
1779-4236 2574
1786-9096 7836
1794-3979 7188
1801-8873 8396
1809-3834 8131
1816-8851 1577
1824-3933 5454
1831-9059 7208
1839-4272 9006
1843-1884 9018
1850-7173 5944
1858-2494 4758
1865-7836 7591
1873-3189 7261
1880-8564 0265
1888-3948 9765
1895-9387 0052
1903-4883 3586
1911-0421 2247
1918-5985 5044
1926-1643 4372
1933-7311 7220
1941-3062 4390
1948-8823 4124
1956-4696 5175
1964-0599 9870
1971-6543 7994
1979-2517 7626
1986-8511 7759
1994-4515 7992
107 289
Recherches sur la totalité des nombres premiers inférieurs
à une limite donnée,
Par
J. P. Gram.
roden Etablir, sous une forme analytique, la loi de la distribution des nombres
premiers dans la suite naturelle des nombres, est un probléme qui, malgré les efforts que
les plus grands géométres ont faits pour le résoudre, attend toujours encore sa solution.
Le présent travail n’a pas la prétention d'en donner une; mon but principal, en l’entre-
prenant, a été de réunir sous un point de vue commun les différentes méthodes qu'on a
essayées jusqu'ici, de les pousser aussi loin que possible et, par là, de signaler les diffi-
cultés que rencontre, pour le moment, la solution du problème, comme aussi d'indiquer
quels sont les meilleurs moyens à employer pour y arriver et les résultats qu'il est permis
d'en attendre.
Je commence, dans l'introduction, par donner un aperçu général des moyens dont
on dispose pour représenter une fonction discontinue comme celle dont il s’agit ici. La
fonction de æ qui exprime la totalité des nombres premiers jusqu'à x inclusivement est
désignée par f(x). Comme caractère général, elle se distingue par un nombre infini de
discontinuités dont la position n'est pas connue a priori. Le problème exige que cette
fonction soit mise sous une forme telle que sa valeur, pour une valeur donnée de x,
puisse être calculée exactement ou, en tout cas, avec une approximation assignable. De
la découlent toutes les difficultés qu'il présente. Car parvint-on, entre certaines limites,
à représenter exactement la fonction par des séries trigonométriques finies, cela ne pourrait
se faire qu'en y introduisant les nombres premiers eux-mêmes, qui précisément sont à
regarder comme inconnus, et il est à supposer qu'il en serait de même si l’on essayait
d'employer dans le même but des intégrales définies. Si l’on veut éviter que les nombres
premiers entrent explicitement dans la formule, la discontinuité n'y sera plus apparente,
et c’est pourquoi, si (x) est exprimée par une intégrale définie, celle-ci ne pourra étre
transformée que si on la traite avec la plus grande précaution. M. Riemann n'en a pas
moins réussi, en représentant #(z) par une intégrale définie, à donner une formule exacte
de la distribution des nombres premiers; mais cette formule ne permet d'effectuer aucun
calcul numérique exact, bien qu'elle se laisse séparer en deux autres, dont une, qui est
calculable, est la meilleure formule d’approximation qu'on connaisse jusqu'ici. L'écart entre
cette formule d’approximation et la véritable valeur de @(#) est en effet représenté par une
série périodique infinie dont on ne saurait déterminer la convergence, et qui, en tout cas,
varie si fortement qu'on peut dire avec certitude qu'il est impossible de la calculer terme
par terme.
37°
290 108
On rencontrerait la même difficulté en essayant directement d'exprimer @(a) à l'aide
d'un des développements en séries infinies qui peuvent être employés pour représenter des
fonctions arbitraires. En effet le nombre des discontinuités étant infini, une pareille série
serait sans doute très peu convergente, et c’est seulement dans le cas où l'on connaitrait
à l'avance la forme de la fonction à employer qu'il serait possible, par un choix convenable
de la forme du développement, de trouver une série dans laquelle un petit nombre de
termes donneraient une formule d’approximation dont l'écart d'avec (x) pourrait être
apprécié avec certitude.
A côté des moyens ci-dessus mentionnés pour exprimer des fonctions discontinues
sous une forme continue, la théorie même des nombres nous fournit dans les quotients
incomplets une forme de fonction dont l'emploi est tout indiqué. A l’aide de ces quotients,
on peut, en se servant des nombres premiers jusqu'à Va, trouver la totalité des nombres
premiers compris entre Vz et a. Mais, en général, ils ne donnent pas sous une forme
analytique des formules d’approximation dont on puisse se servir. Toutefois, comme M.
Dirichlet et plus tard MM. Berger, géomètre suédois, et Césaro, géomètre belge,
ont, par ce moyen, réussi à donner des formules d’approximation pour la valeur moyenne
de certaines fonctions symétriques des diviseurs d'un nombre, il y a lieu de rechercher si
Yon pourrait faire quelque chose d’analogue pour les nombres premiers. Cela ne semble
cependant être guère possible directement, bien qu'il y ait une connexion visible entre les
résultats qu'on peut obtenir par cette voie et la formule de Riemann.
Les nombres premiers eux-mêmes devant être considérés comme inconnus, il faudra,
pour traiter le problème à fond, partir de formules où certaines fonctions connues se
trouvent combinées avec des fonctions de nombres premiers, et qui renferment ainsi des
définitions implicites de ces derniers. Comme le théoréme de Wilson ne semble, sous
ce rapport, être susceptible d'aucune application, il ne reste que deux de ces formules, dont
l'une (2) !) est due à Euler et l’autre (131) à M. Tchebycheff.
C’est donc autour de ces formules, comme points principaux, que se groupent les
recherches suivantes.
2 1. Fonctions symétriques de tous les nombres premiers. Dans ce
qui suit, nous désignons un nombre premier en général par p et une suite de nombres
premiers par a, b, « ... et nous ne rangeons pas le nombre 1 parmi les nombres premiers.
co
Nous désignons en outre par s(r) ou s, la somme ne" — 17"+27 +37 +...
1
On a ainsi, d’après Euler, la formule:
1
IT —p Fare 9 (2)
qui sera applicable en tant que mod. 7 > 1. Les formules (3) et (4) qui s’en déduisent sont
dans le même cas, et on peut de la même manière déterminer les valeurs de la fonction
correspondante //(1+p). Cette fonction est infinie pour » — 1, d'où il suit que
1) Les numéros des formules sont les mêmes que dans le mémoire danois.
109 291
I —p”) = 0, tandis qu'il est incertain si la série qu'on obtient en effectuant la multi-
plication et en ordonnant les termes suivant les valeurs croissantes des dénominateurs est
convergente ou non.
Euler a aussi trouvé plusieurs relations analogues, dont l'une, qui a été démontrée
par Mertens, peut servir à prouver qu'il y a une infinité de nombres premiers de chacune
des formes 4n +1 et An — 1.
Le reste du paragraphe est consacré à des développements concernant la fonction
s(r), parmi lesquels nous mentionnerons l'expression trouvée par M. Riemann (15), en
nous référant pour les détails à son mémoire original (Monatsber. der Berl. Akad. 1859).
2 2. Quelques séries spéciales. Facteurs de Möbius. Si, dans le pro-
duit /7(1—p~"), on effectue la multiplication et ordonne les termes suivant les valeurs
croissantes des dénominateurs, on obtient une série qui peut s’écrire sous la forme:
co
Se Zpla).a” = 1— 27 — 307 — 597467 — 77 + 107 +...
w(x) désignant un facteur qui est égal à 1 lorsque z est un produit d'un nombre pair de
différents facteurs premiers, à —1 lorsque ce nombre est impair et à 0 lorsque 2 renferme
un facteur divisible par un carré. D’après Môbius, qui, le premier, a fait de ces facteurs
l'objet d’une recherche méthodique, nous les appelons facteurs de Möbius. Leur pro-
priété la plus importante est celle qui est exprimée dans la formule (22), à savoir que la
somme de tous les y: qui correspondent à tous les diviseurs d'un nombre entier arbitraire
est égale à zéro. De là l'emploi qu'on a fait de ces facteurs pour résoudre des systèmes
particuliers d'équations. A-t-on en effet, entre deux systèmes de fonctions X, et Y,, des
relations de la forme:
an VG PG Ne m Rn ar (23)
on trouve: X, =2ulr\Y(r,, X, = Suldr)Y(2r), X, = du(37) Y(3r).. . (24)
1 É 2 if ; 3 12
naturellement dans l'hypothèse que les series dont il s’agit, si on les prolonge à l'infini,
sont convergentes.
Dans ce qui suit, sont, d'après Môbius, développés plusieurs exemples parmi
lesquels nous citerons les importantes formules (28) et (33):
oy 1 = la
Zee; Spa, = —1,
qui néanmoins ne peuvent être regardées comme complètement démontrées, comme on ne
peut juger de la convergence des séries dont il s'agit. On voit cependant plus loin (48)
que la première, en tout cas, ne peut être divergente, mais est égale à = —- une fraction.
Parmi les autres applications des facteurs de Möbius, nous citerons encore la
formule : F(a) = f(x) + fiel a. à Jet) +... (38)
qui, par inversion, donne:
fla) = F(x) — + Fa?) - à Fe!) i ale (39)
292 110
Si F(z) est une fonction qui puisse être développée en une série convergente suivant les
puissances croissantes de /z, il en sera de même de f(x), de sorte qu'à:
F(a) = alx + b(lx)? + c(lx) +... (40)
correspond:
Fo ole + Fee... (41)
8 By 54
2
2 3 Détermination de #(«) par des intégrales définies. Formule de
Riemann. Si Von désigne par z(z) une fonction égale à 1 lorsque = est un nombre
5 5
premier et à 0 lorsque + est un nombre composé, la formule (3) pourra s’écrire:
co
is(r) = — Zr(a)l(l— x), (49)
1
A een : ¢ ; 5 ul -
ou si &(a) désigne une fonction qui est égale à 1 pour æ—p, & — pour æ —p° et, en
général, à — pour æ—p", mais à 0 lorsque z — 1 ou est composé de différents facteurs
i n
premiers: Dre à (dat. (50)
Ces équations renferment donc des définitions des fonctions z(z) et @(x), lesquelles per-
mettent de les déterminer. C’est ce qu'a fait M. Riemann à l'aide d’integrales définies.
En remplaçant d'abord 2” par r\ertde, l'équation (50) devient:
ls) — Vic RE (52) °
1
Cette fonction (2) a une importance particulière. Si l'on désigne par (x) la
fonction: | 1
I) = O(a) + > Ala!) + (ei) +... (53)
somme que nous appellerons «Totalité des puissances des nombres premiers divisées par
leurs exposants», parce qu'elle donne, jusqu'à 2 inclusivement, la totalité des nombres
> P q » Jusq >
premiers, plus la moitié de leurs carrés, plus le tiers de leurs cubes, etc., on aura:
I
fa = TZ (tx —0) + Bla + 0).
En se servant des intégrales de Fourier, M. Riemann determine f(x) par la
formule (54), mais on peut par une autre voie arriver plus directement au même résultat.
En transformant l'intégrale de Laplace (55), on trouve en effet l'intégrale:
+ 00
1 1 a+: i
Inn \ kai pret a2,
— 00
où la constante & est une grandeur positive et qui, pour z > 1, représente une fonction dis-
5 I I “a
continue dont la valeur est 0 pour p" >, = pour p" =2 et = pour pr < 2. Si main-
Zn (2
tenant on remplace successivement dans cette intégrale p par tous les nombres premiers et n
111 | 293
par tous les nombres entiers et fait ensuite la somme, on arrive, en supposant k > 1,
à représenter f(x) sous la forme: Hos
; | one É
fA) = on res (57)
—oo
Dans ce qui suit, on a, pour abréger, posé +27 —r.
En employant la même notation, on trouve que l'intégrale de Laplace est un cas
particulier de la suivante: ES
ar | Ina? pour 2>1,
r—B 2 \ OMe Doug ails Ge)
la partie réelle de r étant plus grande que la partie réelle de la constante £.
Les formules (59) et (60) représentent des formes semblables. On en déduit
. per . at
facilement différentes fonctions analogues à f(z), en remplaçant 2 par ar et en prenant la
2
somme des intégrales correspondant à diverses valeurs de n. Les équations (61) — (66)
en fournissent des exemples. Soit par ce procédé, soit par l'intégration partielle de (57),
comme l'a fait M. Riemann, on obtient la formule:
+oæ , <
(ep, (a Is) dz = —27lx.f(x), (67)
qui est celle qu'il est préférable d'employer pour représenter l'expression finale de f(x).
Dans ce qui suit, est exposée la méthode qu'a suivie M. Riemann pour transformer
cette intégrale en y introduisant l'expression trouvée par lui pour log s(r) Nous avons
donné ce développement tout au long, parce que M. Genocchi est arrivé à un résultat
qui diffère un peu de celui de Riemann, et que le développement lui-même est très
concis chez ce dernier.
Riemann se sert pour /s(r) de la formule suivante: G
pE)
( Br 120). (69)
T
is(r) = Ren — (5 +1) +3al( 1 +
2 a
Les grandeurs @ sont les racines de l’equation transcendante:
co
(x? da i
AG) = 2 A en —tlx) dx = 0,
dx 2
1
et sont sans doute toutes réelles, la partie imaginaire étant au moins comprise entre les
limites 42; elles se présentent en outre deux à deux avec des signes contraires. Nous
nous référons, quant à ce point, au mémoire original de M. Riemann, en remarquant
que, bien qu'il ne puisse régner aucun doute sur l'exactitude de son développement, il ne
semble cependant pas possible d'arriver par la voie qu'il indique à la connaissance exacte
des racines a.
En transformant le terme qui renferme 2, on trouve que cette somme peut être
remplacée par:
2,(1(1— — =) +11; 2 We 18(0) + 12.
Fan we FR
294 112
Cette transformation montre que le terme constant dans la formule de M. Riemann, €(0),
disparaît complètement et est remplacé par /2, comme l'indique M. Genocchi.
Il reste à introduire dans l'intégrale les termes de la formule de Is(r) et à intégrer
terme par terme. Pour faciliter l'intégration, on se sert de l'intégrale B(x) (73), qui a
pour valeur:
27lx \ al dp
B
Relativement à la détermination des limites de l'intégration, il faut remarquer que
cette formule suppose que la partie réelle de »— doit être positive. Cela est facile à
obtenir, en ce qui concerne les termes qui proviennent de la fonction /', en intégrant de
B——x à 2=—%m, et tous les termes qui y correspondent seront done compris dans
l'expression : x
abe dz
EME ur (2? —1) ala i
x
qui, pour 2 > 2, est toujours < 1.
Le terme qui provient de /(r—1) mérite une attention particulière. I faut ici
déterminer la fonction correspondante B{(x) en posant:
+= Le
Bia er D 7-1) — 2 WE ag
2) = \. ie (3 dz = 27l B dp,
ve 9
et avoir soin de choisir la limite inférieure et le contour le long duquel on fait l'intégration
de manière que la partie réelle de »— soit toujours positive, et qu'en intégrant le long
du même contour on ail:
1
Le
2 (r—f)
q
On peut y arriver en prenant pour limile inférieure — et pour intégrale la moyenne
entre deux intégrales pour lesquelles on intégrera le long d'un contour différent, de manière
que l'intégrale singulière provenant du pôle —0 disparaisse. On trouve alors:
—p 1
dp = L(r 1).
8
B(x) af a
eae nn nl =
SEE B dp + B dB, (pour p —0)
== +p
expression qui est identique avec le logarithme intégral Zi(z) défini par la série (75). Le
symbole [n] désigne ici comme plus loin le produit 1.2 ...n. On traite de la même
manière les termes qui entrent dans la somme X, et obtient ensuite le résultat final sous
la forme:
1 "(ml + ai +) Lat i i dæ
fe) = Lite) — 2 (Litel*") + Lite! a mise (77)
qui ne diffère de celle de Riemann que par la constante, laquelle, au lieu de /£(0), est
{2 comme chez Genocchi.
113 295
La formule de Riemann, et c'est en quoi consiste sa valeur scientifique, donne
pour f(æ) une expression explicite qui représente cette fonction sous une forme telle,
qu'on peut en séparer Zi(@) comme une partie continue, tandis que le terme ¥, a un
caractère essentiellement périodique. Mais pour juger de l'influence de ce terme, il faudrait
avoir une connaissance plus exacte des racines 4, de manière, au moins, à pouvoir indiquer
les limites entre lesquelles cette série est comprise. Tant que cette condition ne sera pas
remplie, on devra se contenter de montrer l'exactitude de la formule en la comparant avec
les quantités des nombres premiers énumérés, ce qui permet de constater que les écarts
sont insignifiants dans les limites de ces énumérations. Le rôle prédominant du terme
Li(x) est di à la circonstance que s(r) — =» pour r — 1 et, notamment, que s(r) — P 1?
aus
où # est une fonction qui converge vers l'unité en même temps que 7, ainsi qu'il résulte
des recherches de MM. Dirichlet et Tchebycheff. En effet, la substitution de
ite ha a : en: ; å
SET à s(r) dans les formules (63) et (64) donnera des formules d'approximation très satis-
faisantes. Quant à calculer exactement #(2) par la formule de Riemann, cela doit être
regardé comme impossible même en supposant connues les racines a; tout ce qu'on peut
espérer, c’est, dans le cas le plus favorable, de déterminer les limites des écarts d’avec le
terme Li(z), limites qui semblent devoir dépendre de Vx.
Après avoir trouvé une expression pour #(z), on peut déterminer A(2) par inversion
de la formule (55) à l’aide des facteurs de Möbius. Cette opération peut se faire pour
chaque terme dans (77), après quoi on obtiendra la formule correspondante pour
L(d(æ +0) + (x —0)).
En considérant dans f(x) d'abord le terme Za(x), on a:
A 3 la (le): (Lx)?
Li(a) = C+ lla + i LE Be +:
La partie de cette série qui contient les puissances croissantes de /x donne par
inversion, d'après (41), la série correspondante:
læ 4 ak all) Ri (86)
DIE SS "Ar BEE
et, dans la supposition que les formules (28) et (33) sont exactes, on obtient d'une manière
analogue : 1
m av
pS ANIA (i EGER
m m
P(x)
de sorte que:
. 1 . 1 . 1
Li(2) — = Li(a2) — 2 Lies)... = 1 + Pie).
Le terme — /2 dans (77) disparaît par Vinversion, tandis qu'on ne peut déterminer l’in-
fluence des deux autres termes. Mais il est permis de supposer qu'ils n’ont pas grande
importance, et c'est pourquoi nous adoptons comme résultat définitif de ces recherches
l'expression : dla) = Pla) +1
pour formule d’approximation de #(x) ou plus exactement de 4(4(a-+ 0) + #(x—0)).
Mais bien qu'on ne puisse guère mettre en doute la valeur de cette formule,
elle ne saurait cependant être regardée comme démontrée tant qu'on ne sera pas parvenu
Videnskab. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og math. Afd. II. 6. 38
296 114
à éclaircir complètement la nature de la série qui renferme les logarithmes intégrals ima-
ginaires, et, en particulier, à déterminer les racines g qui y figurent. Il est vraisemblable
qu'elles dépendent d'une manière simple des nombres premiers ou peut-être plutôt de
leurs logarithmes.
2 4. Quotients incomplets. Théorémes de Berger et de Cesaro.
Nous avons cherché, dans ce paragraphe, les résultats qu'on peut obtenir par l'emploi
3 ai 3 à n KE
des quotients incomplets, que nous désignons, d’après Legendre, par le symbole En où
n et x sont généralement supposés être des nombres entiers.
La proposition principale sur laquelle sont basées ces recherches s'obtient en
ramenant la série générale:
n nn nm. n
P(E +r(8;) FRE JE (ET)
a
å la forme:
A, F(q) + A, F(9—1) +... A, F(x).
Les transformations qui en résultent ont pour expressions les formules générales
(91)—(96), dans les dernières desquelles g désigne EVn et f(x) = F{x)— F{(x—1). Un cas
particulier de (96) est la formule de Dirichlet:
n q
DEE, (103)
i æ 1 Z
qui permet de déterminer approximativement le nombre des diviseurs dans les nombres de
I à », comme on a d'après (104):
2E = nn +n(2C—1)-- pVn, (p< 3)
où C est la constante d’Euler. Une telle formule a été employée par M. Dirichlet et,
récemment, par MM. Berger et Gesäro pour la détermination de fonctions symétriques des
diviseurs des nombres; quelques-uns des résultats de M. Berger sont reproduits dans (107).
Les formules (97)— (99) représentent une généralisation des formules correspon-
dantes (90), (93) et (96); 2 y désigne une variable qui parcourt une série de «nombres
particuliers» choisis arbitrairement de I à x, et Ø(n), le nombre de ceux qui sont < n.
Différents exemples de l'emploi de ces formules sont donnés tant par M. Berger
que par M. Cesäro.
25. Applications aux nombres premiers. Ce paragraphe renferme une
série d'exemples de la détermination de la totalité des nombres premiers à l’aide des quo-
tients incomplets.
Le plus simple est la formule bien connue (109) pour la détermination, jusqu'à
æ inelusivement, de la quantité des nombres qui ne sont pas divisibles par les nombres
premiers a, b, ce... formule qu'on peut employer pour calculer @ (2) — (a2). Dans ce qui
suit, on se sert en effet du cas spécial de (100) exprime dans la formule:
3o() en (110)
1: 2
115 297
. ’ . DL 04 7 yt 7
laquelle fournit les moyens d’exprimer les différentes sommes 2//— SE SE FRE elc.
DK
à l’aide des quantités des nombres premiers, et conduit aux relations non
bu + (5 )++(& )+ os (111)
Dm+2(3)+2(3) + = 200 + ES nn (115)
dn + 8 (3- ERE } +. ons ! ae | nae (116)
Le symbole D(n) désigne ici le nombre des puissances des nombres premiers jusqu'à »
avec un exposant entier.
Ces formules peuvent ensuite servir à déterminer A(x), Din) et #(n) à l’aide des
facteurs de Möbius. Par l'inversion de la formule de @(x), M. Bougaieff a ainsi obtenu
la formule (119); plus simple est cependant la suivante:
n
Fy |, sr DS Ut av 7 IK
Din) SE = ET, DES Se (125)
qui peut aussi s’ecrire sous la forme (126).
Au lieu de représenter cette formule par l’inversion directe de (115), nous l’avons
rattachée à la formule (118), qui donne la fonction symétrique 2'/(d-) formée de tous les
diviseurs des nombres de I à n qui appartiennent à une série de «nombres particuliers» 2.
oT es SR Far
Elle nous apprend, par ex., que 2h désigne la totalité des diviseurs des nombres
1
n
de 1 å x qui sont premiers, 2E 5 le nombre de ceux qui sont un produit de deux
nombres premiers, ete., d’où une vérification facile de l'exactitude de (125) et des formules
analogues.
Nous considérons ensuite les formules qui déterminent la fonction (x) de Tche-
bycheff. On montre d'abord que:
in — 2p (EU + ES +E...) > (129)
et en transformant celte expression par l'introduction de la somme des logarithmes des
nombres premiers jusqu'à x inclusivement, somme qui est désignée par /’(n), on obtient
les deux équations:
Te) = See (5) 22) CNRS (2 (131)
Dae En ae ary ait es
et b(n) = Fin) + Fin?) + F(n3) = Or, (130)
In
Sci Å = - en 3 0 sy
ou aussi URSS Up ia (132)
Les deux formules (130) et (131) sont celles que M. Tchebycheff a le premier données
dans son célèbre «Mémoire sur les nombres premiers»; elles permettent, par un double
emploi des facteurs de Mobius, de déterminer l’importante fonction ¢(n).
T(n) peut aussi être exprimé de plusieurs autres manières par g(x); en prenant
la différence entre Tin) et Z(n—1), on déduit de ces transformations les formules:
38"
298 116
hi Sø Ce = NYöld)ld, (134) et (156)
1
où @(z) désigne, comme auparavant, une fonction qui est égale à ER lorsque «= p” et
m
nulle dans tous les autres cas, et d tous les diviseurs de ».
Ces équations, qui sont évidentes, peuvent, de même que la formule T{n) —
mA > a : le en >
ZE— à(x)lx, être considérées comme de simples définitions de la fonction @(z), et s'il
1 dé
était possible de déterminer @() exactement ou approximativement, on obtiendrait par som-
mation des formules d’approximation correspondantes tant pour #Ÿ(n) — 26 (7) que pour
1
Gln) — Ya) Nous sommes done conduit ici, comme par la formule de Riemann,
a ponsiderer la fonction #(n) comme admettant, au point de vue analylique, une definition
plus simple que #(n) elle-même.
Le reste du paragraphe est consacré à différentes formules qui donnent de curieuses
identités entre les quantités des nombres premiers. Elles sont des conséquences des for-
mules générales développées plus haut, mais on ne saurait guère en faire d'autres appli-
cations et, notamment, elles ne se prêtent pas plus que les relations qui précèdent à
l'établissement direct de formules d’approximation analytiques.
2 6. Détermination approchée de la fonction &(zx). En nous basant sur
les définitions précédentes de @(z), nous avons cherché, dans ce paragraphe, à determiner
la valeur moyenne de cette fonction ou plutôt de &(7)/z, qui y est désignée par r(e).
£ 5 IN er n
Nous considérons d’abord les formules (145), dont la premiere, In =a T (=), peut seule-
ment servir à la détermination de r(x) par ane des facteurs de Mobius. Mais une com-
paraison de deux formules :
2 n—1\ 2
lh = (8° — /i} za) et in = >
1 x 1
dont la dernière définit une fonction £(x) ea doit se rapprocher de la valeur moyenne de
z(z), semble indiquer que celle-ci converge vers l'unité lorsque » croît indéfiniment. La
troisième expression : : MAI
si la somme Z comprend tous les diviseurs du nombre x, donne le même résultat. En
remplaçant (x) par une fonction é(x) déterminée de manière que sa valeur moyenne, prise
par rapport à tous les diviseurs dans un nombre voisin de n, soit In, on trouve à l’aide
des formules (107) qu'elle est déterminée par:
&),
t(n) = Be (147)
n
où k est une constante. Cette valeur peut done être considérée comme la valeur moyenne
de tous les 7 qui correspondent aux diviseurs des nombres dans le voisinage de n.
. Sern < ee ae
On peut aussi considérer directement la formule Tin) = 2E a, en formant
2 u
la valeur moyenne de tous les + correspondant aux valeurs de x depuis 2 jusqu'à n, avec
117 299
les poids Æ - . Cette valeur moyenne est alors donnée par les formules:
Tin) 2C—1 2C—2
Ty (7) = ———— = 1 SEER Wale +R, (148) et (149)
SE nm n (In)
5 ee
et converge également vers la limite 1 lorsque n croît.
II n'est pas sans intérêt de former la valeur moyenne de tous les + compris
dans la différence 7(n) =27( 2), où tous les coefficients sont nuls ou égaux à 1,
comme on le voit par l'exemple (152). Cette valeur moyenne devient:
Nor ei Rene +4
Ty (7) I+7 Va ST n ts (156)
el se rapproche plus de I que les autres valeurs moyennes.
Les résultats obtenus indiquent bien que la valeur moyenne d’une série de 7(z)
successifs doit se rapprocher de la limite 1, mais ils n'en donnent pas une démonstration
n
satisfaisante, comme on n’a pas réussi à trouver, pour une somme de la forme Ir(«),, une
1
expression suffisamment exacte qui püt servir à former une valeur moyenne de la fonction
t(z) où tous les poids fussent égaux. La formule qui satisfait le mieux à cette condition
est l'expression (156) pour 7,(n). Il n'y entre en effet que des poids qui sont tous auls
ou égaux à I, et, chose à remarquer, tous les z(z) qui correspondent à des valeurs de x
n À Ate øn
comprises entre a et n ont pour poids l'unité.
Mais ces valeurs moyennes ont cependant quelque importance, en ce sens qu’elles
confirment que la partie continue de la formule de Riemann donne une bonne approxima-
tion de la totalité des puissances des nombres premiers divisées par leurs exposants.
n
27 La fonction ¢(z). Comme ¢(n) — ra), on doit s'attendre, d’après ce
qui précède, à ce que cette fonction ne s’écarte pas beaucoup de 2 —1, et cette expression
mise dans la formule :
T Le n°
n) = ZE| —
( a v ( m ) ’
donnera aussi une bonne approximation de la vraie valeur de 7(n). La détermination
directe de J(n) par cette formule s’obtient par inversion à l’aide des facteurs de Mobius,
comme le fait voir la formule (160). C'est par cette voie que M. Tchebycheff a trouvé
les véritables limites de din) indiquées dans (166). Mais ces limites sont certainement
beaucoup trop larges. Nous avons essayé d'employer d’autres formes de ¢(n) obtenues
par inversion, mais sans résultat satisfaisant, bien que la formule :
din) = — Sul) E — . læ (170)
i i,
présente quelque intérêt comme étant très voisine de la formule (33) de Möbius.
300 118
Par contre, la methode de Riemann peut donner pour (x), ou plutôt pour
1 (&(n—-0) + d(n-0)), une expression qui mérite d'être remarquée. On l'obtient en traitant
l'intégrale: ot ©
ui
27h («) = — 7 Prlstr)de (171)
—
de la même manière que celle de Riemann. En effet, en introduisant dans cette inté-
grale l'expression qu'il a donnée pour /s(r), et en intégrant terme par terme, on trouve:
leosala + asinalæ
= z 5 a= fb (178)
214
où À est une constante dont la valeur est voisine de 0. Cette formule est analogue à
celle de Riemann pour (x) et présente, quant aux termes périodiques, les mêmes
manques provenant des racines a; mais elle est beaucoup plus simple, et comme (x)
peut être déterminée par Ø(z) avec une approximation assignable, il sera sans aucun doute
plus pratique de s'attacher principalement à trouver cette dernière fonction.
(x) (a —1) — l(1— a7?) — 222,
En raison de l’analogie de cette série périodique avec la série périodique (181),
j'ai déduit de celle-ci une série (183) complètement analogue à >,, et dont la somme
peut être exprimée à l'aide de nombres premiers et de quotients incomplets. Quoique
cette série n’ait pas été ramenée à la fonction (7), il semble cependant qu'une telle trans-
: Pe se la la
formation pourrait être opérée en remplaçant les différences men par des series
trigonométriques infinies, de sorte qu'il serait possible, par cette voie indirecte, de déterminer
les racines a, qui peut-être sont des fonctions simples des nombres premiers eux-mêmes.
Un pareil résultat serait un progrès, en ce sens qu'on passerait ainsi directement
d'identités purement numériques à la formule de Riemann, et arriverait par suite à mieux
pénétrer le caractère de cette dernière, mais les difficultés relatives à la détermination des
limites absolues des erreurs n’en seraient pas notablement diminuées.
Qu'il soit possible de passer directement d'une de ces espèces de formules à l’autre,
c’est ce qu'on peut constater en considérant, entre autres, la formule suivante, qui est un
supplément de (167): . 2mrlx
1@ 1@ sin Mia
(x) = B(g)le — 9? lp + == Ip - ee (184)
où g désigne une limite arbitraire > x, et où la somme Z s'étend à tous les m de 1 à
et à tous les p< g. On trouve cette formule en décomposant dans la fonction:
9.
Hd len
où le produit /7 est pris pour tous les nombres premiers < g, chaque facteur en facteurs
linéaires par rapport à 7, et en introduisant ensuite l’expression ainsi obtenue dans l'inté-
grale de (x). En effet, on obtiendra de cette manière le même résultat qu'avec /s(r) lui-
même, qui contient tous les nombres premiers. Une formule correspondante pour /(«) est
donnée dans (83) ou (84). Enfin, on peut, au moyen de (185), transformer directement (184)
en une expression connue : (0) ne
(x) = be (voir 132).
119 301
Dans une note ajoutée à la fin de ce paragraphe, on fait remarquer que les termes
dominants dans les formules de @(x) et de (x) proviennent du terme —d(7—1) dans la
formule de /s(r), et qu'il en est de même des formules (63) et (64), où le degré d’approxi-
malion est en outre facile à calculer.
On fait également observer que la marche suivie par M. Tehebycheff dans son
premier mémoire «Sur la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée»,
conduit à une détermination de lim @(n), pour n =», qui s'accorde avec ce qui
précède, car les considérations qu'il fait valoir montrent, avec un léger changement, que
ca
Z'(1—c{x))a"(lx)", pour m —0, 1, 2 ..., continue à être une grandeur finie, lorsque r
2
converge vers 1. Nous nous sommes contenté de cette indication parce qu'il nous semble
que M. Tchebycheff wa pas suffisamment justifié le point de départ de ces formules;
ce qu'il s'agit surtout ici de montrer, s'est que son résultat, la formule d’approximation
Li(x) pour (x), n’est pas en opposition avec la formule de Riemann; tout au contraire,
il serait précisément arrivé à établir la même formule pour (x) si, au lieu de —S'7/(1—p-’),
il ne s’etait pas seulement borné à employer le terme Ip”.
2 8 Formules d’approximation pour #(n) et (ni. Lorsque la valeur
moyenne de r({n) est égale à 1, la valeur moyenne correspondante de ¢(n) sera n—I
n
a x
et celle de #(n), 27 Dans tous les cas, on peut poser (2) = {(x) + f(x), où Z(x)
RE ; k
désigne la valeur moyenne de z(«) (par conséquent I ou, si l’on veut, I — =)» et, en même
n n a n (a
temps, on aura don) — Z'é(x) + Fin), où F(n) = f(x), de même que ln) = ze + Rin),
nf
u J (2)
où Verreur R(n) = DETTE:
l'erreur dans l'expression approchée de (x). En introduisant dans Ø(n) les limites de
M. Tchebycheff, qui donnent (x) — À.n, on voit que, pour l'écart entre #{(n) et Lin),
les limites sont proportionnelles à la fonction #(n) elle-même, et il résulte également de
(191) que #(n) pourra, avec une approximation analogue, être déterminée comme (x) +1.
Nous n'avons pas réussi à établir pour les écarts des limites absolues plus étroites que
celles qui découlent des limites de Tchebycheff pour (nr), mais il n’est guère douteux
qu'il ne soit possible de trouver des limites de la forme --AVn , où À est une constante.
, comme il est facile de le montrer, est du même ordre que
Par contre, il est facile de calculer la somme des carrés des écarts entre r(x) et -1
N I é
comme entre w(2) el ——. On trouve respectivement :
la
n
S = S(c(z)—1)? < 1:2(m—1)n
n AE 2 «9,
et M? ES cues (189)
2 lx n
ou, d’une autre manière, l'expression (190). Ces deux dernières formules, qui ne donnent
certainement que des approximations grossières, indiquent qu'une grandeur proportionnelle
à Vin) doit donner une limite supérieure pour l'écart moyen entre In) et Liln).
302 120
Ainsi qu'il résulte des comparaisons que M. Glaisher a entreprises entre les
différentes formules et les quantités des nombres premiers véritablement énumérés, la
formule de Riemann, en tant qu'elle a pu étre vérifiée, est très supérieure aux autres,
et il ne doit guère être possible d'obtenir de bien meilleurs résullats en employant des
formules continues qui ne donnent pas des courbes avec des points d'inflexion. Cependant
il pourrait valoir la peine d’essayer pour #(n) d'employer une formule d’approximation de
la forme: n(1+ À) °
On) = ——
In 3
où 4 est une fonction /(n), une forme qui se rattache étroitement à la formule ¢(n) —n—1.
Mais il faut, d’après ce qui précède, regarder comme certain qu'on commet une
erreur systématique de l'ordre #(n?) en employant le logarithme intégral comme formule
d’approximation pour #(n) au lieu de Ÿ(n).
2 9. Intervalle entre deux nombres premiers consécutifs. La limite
supérieure de cet intervalle pourra facilement étre déterminée quand on aura trouvé les
limites absolues d'une fonction arbitraire F(x) qui varie seulement lorsque n passe par un
nombre premier. En effet, en supposant que ces limites sont des fonctions de n exprimées
par A(n) et Bin), de sorte que:
A(n) < Fin) < B(n) (194)
pour tous les n plus grands qu'un nombre donné, et en désignant par p un nombre
premier et par 9--a--1 le suivant, on trouvera la limite supérieure de a en résolvant
une des équations: £
Alp) = B(p+ta) ou A(p+a) = B(p): (195)
En employant la même méthode pour déterminer l'intervalle entre deux nombres
consécutifs. qui sont des puissances de nombres premiers dans le voisinage du nombre n,
on trouvera facilement, à l’aide des limites de M. Tchebycheff pour ¢(n), que:
a < n+3Vr; (198)
mais on peut regarder comme certain que cette limite est beaucoup trop élevée. D'autre
part, si l’on pouvait montrer que les limites de ¢(m) dépendent de Vn comme on l'a
supposé dans (199), la limite de l'intervalle serait aussi déterminée d'une manière tout à
fait analogue.
Pour mieux voir comment l'intervalle varie en réalité, j'ai réuni dans le tableau
p- 255 les intervalles relativement les plus grands entre les puissances des nombres premiers
dans la première partie de la suite des nombres, ainsi que quelques-uns des intervalles les
plus considérables au-dessus de 100, et les ai comparés soit avec Vn, soit avec In et
(ln). Il semble résulter de cette comparaison que l'intervalle croît moins fortement que
Vn mais plutôt comme (ln)®. On pourrait sans doute en représenter la limite par une
série très convergente de la forme:
a — a+ ln + rin)? + d(n) + ...,
où les coefficients sont d'une nature telle, que le troisième terme est le terme dominant
dans la partie de la suite des nombres pour laquelle on a des tables de diviseurs.
121 303
2 10. Explication des tables. Nous expliquerons brièvement dans ce qui
suit le contenu des tables qui accompagnent ce mémoire. Sauf remarque du contraire,
elles ont été calculées par l’auteur, importante table II dans l'automne de 1882, avant qu'il
eût l’occasion de se servir de la comparaison établie par M. Glaisher entre la totalité des
nombres premiers et la formule de Riemann.
Table I. Valeurs des sommes des puissances réciproques des nom-
bres et leurs logarithmes.
Les 1°, 2° et 4° colonnes de cette table sont reproduites d'après Merrifield,
tandis que, dans la 3° colonne, les logarithmes vulgaires des sommes s(r) des puissances ont
été calculés par l’auteur lui-même et contrôlés par comparaison avec les logarithmes naturels.
Table II. Valeurs de e et de Zä(e) depuis æ—5 jusqu'à æ—20, avec
un intervalle de 0:2.
Ces valeurs, à l'exception des logarithmes intégrals de # — 5 à æ =7, qui sont
donnés d'après Bretschneider (avec une augmentation du dernier chiffre la où il a
ajouté deux points), ont été calculées par l’auteur suivant la méthode qu’on trouvera
indiquée plus loin dans le supplément. Comme il s'était d'abord seulement proposé d'obtenir
environ 12 chiffres exacts, les dites valeurs se présentent avec un nombre de décimales
un peu différent. Relativement à l'exactitude, nous remarquerons que, notamment dans la
dernière partie de la table, il peut régner quelque incertitude sur le dernier chiffre. Comme
moyen de contrôle, on a indiqué les differences entre les valeurs elles-mêmes.
Table Ill. Valeurs de la fonction P(e") de x —0 à x — 20 avec un inter-
valle de O-1, avec les logarithmes correspondants, etc.
Dans cette table, log P(e”) doit être regardé comme la partie principale, tandis
que les valeurs de la fonction P(e”) ne figurent que pour le contrôle. Elle a été calculée
comme il suit. Dans la première partie de la table, les valeurs de:
P(e*)
i æ a? a
[i]. te, Ole À Bla, 07°
ont été trouvées directement par le calcul logarithmique des différents termes de la série;
mais ce calcul étant bientôt devenu trop compliqué à cause du grand nombre des termes,
j'ai déterminé de la même manière la série correspondante :
Q(e7) = 1 & ET s,—1 2
ao ne TN ON CU PA IEEE RH!
Pier) = Lile) — C— lz — Q(e:). (202)
Pour les plus hautes valeurs de 2, je me suis servi de la série A(e*) déterminée par (203),
laquelle a donné:
4
après quoi j'ai trouvé:
Pie) = Lite) — C— lw — À Pez) — Ree’), (204)
Pie?) étant pris dans la partie déjà terminée de la table.
Dans le calcul de Q(e*) et de R(e7), on a seulement employé des logarithmes
avec 5 ou 6 décimales, et pour en vérifier l'exactitude, on a soumis à des preuves par
différences les logarithmes à 5 décimales de ces fonctions, comme les logarithmes de
toutes les fonctions qui figurent ici varient de facon que les différences décroissent
avec une très grande rapidité. Par suite de cette circonstance, on a jugé plus pratique
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 6. 39
304 122
de construire une table de log P(e”) qu'une table de P(e"), parce qu'il en est résulté cet
avantage qu'un grand nombre des logarithmes cherchés ont pu être déterminés par inter-
polation. En effet, les valeurs indiquées dans la table pour les fonctions ont seules été
calculées directement, et leurs logarithmes ont servi à trouver les autres par interpolation.
Pour x > 8'4, on a d'abord calculé les nombres placés sous la rubrique Za(e*) — P(e*), et,
avec leurs logarithmes, on a déterminé les autres par trisection de l'intervalle suivant la
méthode de Briggs. Les logarithmes ainsi trouvés ont de nouveau été employés dans la
construction de la table de Pie”) pour 2 > 10. Relativement à l'exactitude qui a été obtenue,
le dernier ou quelquefois les deux derniers chiffres des valeurs fondamentales de Zle”\ ne
peuvent être regardés comme certains, tandis que, dans les logarithmes, il ne règne en
général de l'incertitude que sur le dernier chiffre, de sorte que la table donnera toujours
une approximation suffisante pour l’usage auquel elle est destinée.
Table IV. Totalité des nombres premiers dans chaque centaine de
I à 10000, avec les valeurs correspondantes de A(z) pour les 100 premiers
multiples respectivement de 100 et de 1000, et
Table V. Totalité des nombres premiers dans chacun des 90 pre-
mières centaines de mille, avec les valeurs correspondantes de A(z) pour
les 90 premiers multiples de 10°.
Ces tables donnent les résultats des énumérations faites dans les tables des diviseurs,
telles qu'elles résultent de la comparaison établie par M. Glaisher dans son introduction
à la table des diviseurs pour le 6° million, et elles sont par suite entachées des erreurs
qui ont pu se glisser dans les dites tables. Oppermann en a ainsi relevé une en constatant
que 1330001 est un nombre premier, tandis que Burckhardt le donne comme composé.
Il n’a pas été tenu compte ici de cette correction, Rappelons enfin que nous n’avons pas
compté 1 parmi les nombres premiers comme M. Glaisher le fait.
Table VI. Comparaison entre les valeurs de Ø(e7) et de P(e”) pour æ< 15.
Cette table est une supplément à la comparaison établie par M. Glaisher, et a
surtout de l'importance pour les nombres inférieurs. Elle a été originairement construite
pour rechercher si la distribution, en apparence périodique, des grands écarts qu'on trouve
dans le diagramme publié par ce géomètre dans sa table pour le 6° million, existe réelle-
ment. Cela ne semble pas cependant être le cas. La table renferme en outre, dans la
dernière colonne, l'écart moyen entre 4 et P—1 calculé pour chaque groupe de 10 écarts
consécutifs.
Table VII. Valeurs de (x) pour tous les nombres de 1 à 2000.
Ces valeurs ne sont cependant indiquées que pour les valeurs de æ qui font varier
(xl. Elles ont été obtenues par la sommation des logarithmes naturels des tables de
Vega, et contrôlées soit par le calcul de 7(2000) soit par comparaison avec les logarith-
mes vulgaires correspondants. La table contient en outre, jusqu'à 300, les valeurs de
diverses autres fonctions numériques, dont l'importance pour ces recherches est évidente.
Les valeurs de la série Z (2) sont formées à l’aide des «Tables of squares, cubes, etc.»
a
de M. Barlow, London 1860, où Von a pris les valeurs réciproques de x.
123 305
? 11. Conclusion. Si, en terminant, nous jetons un coup d'œil en arrière sur
les résultats qu'ont donnés les recherches qui précèdent, nous ne saurions nier qu'ils ne
semblent guère être en rapport avec le grand appareil qui a été mis en œuvre. Nous
n'avons en effet établi par aucune preuve rigoureuse qu'une fonction f(x), indépendante des
nn — 0. Tous les moyens
que nous avons employés ont seulement abouti à montrer que tel est probablement le
cas de la fonction de Riemann que nous avons désignée par P(x)-+1, et notamment que
son écart d'avec @(xz) est toujours compris dans des limites de l’ordre Ve. Bien que
beaucoup de signes indiquent que d’autres recherches plus approfondies seront encore
nécessaires pour établir une pareille preuve, il n’est cependant pas invraisemblable que,
relativement à ce problème spécial, nous nous serions approché plus près du but en
fixant exclusivement notre attention sur les valeurs asymptotiques des fonctions dont il
s'agit. Mais c'est à dessein que nous ne nous sommes pas placé à ce point de vue,
parce que, en réalité, il importe davantage de connaître des formules d’approximation qui
puissent être employées pour des valeurs finies des arguments, et que de telles formules
donneront en même temps les formules d’approximation asymptotiques.
Mais nous avons pourtant obtenu quelque chose par nos recherches, et nous
croyons en outre que c'est quelque chose d’essentiel. En premier lieu, pour ce qui
regarde la remarquable formule de Riemann, non seulement nous avons ramené la preuve
de l’origine de son intégrale à des données relativement simples qui permettent d'en
pénétrer plus profondément la nature, mais, par le commentaire dont le traitement même
de cette intégrale a été l’objet, nous avons aussi écarté toutes les difficultés quelle présente
et éclairci le désaccord existant entre les formules de Riemann et de Genocchi, dés-
accord sur lequel ce dernier s'exprime lui-même très modestement. Toutes les difficultés
du développement de Riemann sont ramenées par là à la détermination du développement
de /s(r), problème qui peut être traité indépendamment de la théorie des nombres premiers.
En outre, relativement aux racines a, nous avons donné quelques indications qui ne seront
pas sans utilité pour des recherches futures. D'une importance plus pratique est cependant
la forme élégante que nous avons donnée à la fonction P(x), forme qui a le grand avan-
tage de pouvoir se prêter à un calcul numérique facile.
De plus, et ce n'est pas sans importance, nous avons reproduit un certain nombre
de recherches éparses et peu connues sur la théorie des nombres et, en les mettant en
relation avec la fonction (x) de M. Tchebycheff, montré qu'elles conduisent aussi à
considérer non pas la fonction @(z), mais (x), comme celle qui doit jouer le premier rôle
dans ces recherches.
tables des diviseurs, est liée à /(x) de manière que Lim
Nous sommes arrivé ainsi, par des considérations tirées de la théorie même des
nombres, à indiquer le rôle que le logarithme intégral doit jouer dans la détermination de
la totalité des nombres premiers, et, bien que la démonstration ne soit pas complètement
satisfaisante, elle l’est cependant assez pour que, par celte voie, on eût pu être conduit à
faire de Zä(x) une formule d’approximation de #{x), même si la formule de Riemann n'avait
pas déjà été connue. Il semble en même temps qu'en poussant plus loin ce genre de
recherches, il serait possible d'obtenir une preuve certaine que la limite de l'erreur dépend
39"
306 124
de Væ, mais cela exigerait sans doute préalablement une étude plus approfondie des restes
qu'on trouve en divisant un nombre par tous ceux qui le précèdent dans la suite naturelle
des nombres. En effet, la difficulté que nous avons toujours rencontrée pour resserrer les
limites dont il s’agit provient, entre autres, précisément de la circonstance que, pour des
différences de la forme ET, on ne peut, même lorsqu'on en a une somme, obtenir
des limites plus étroites que 0 et I. Qu'il y ait vraiment quelque chose à faire dans cette
voie, c'est ce qui ressort, en particulier, du mémoire souvent cité de M. Berger. Une
discussion plus approfondie des problèmes qui se rattachent à des séries renfermant des
facteurs (2), semble également devoir être très désirable pour l'avancement de ces recherches,
car on arriverait peut-être aussi par là à combler les lacunes que présente notre travail.
Enfin, nous considérons comme le résultat le plus important de nos recherches
d'avoir montré que tous les travaux antérieurs indiquent le logarithme intégral Z2(2) comme
formule d’approximation de Hz), et que (x) peut être représentée approximativement par
une expression de la forme æ— const. Plusieurs circonstances indiquent que la solution
complète du probleme qui nous occupe n'excède pas les ressources de l’analyse moderne,
et nous espérons que ce travail pourra contribuer à orienter les investigateurs futurs dans
les différents points de vue sous lesquels il peut être considéré, et à en faciliter ainsi
indirectement la solution.
Supplément: Sur le calcul de la fonction Life”).
Pour déterminer les valeurs de Zi(e*) données dans la table II, j'ai calculé les
différences entre deux valeurs de Zi(e*) correspondant à des intervalles égaux. En effet,
comme zatz
oe vn X oe
Cod et ez (2% en
- da ee\ ——_ dr = — eder —N e | —) da + \ e7|—) dz...],
On a+ x a a a
Ua 0 0 0 0
il s’agira seulement de calculer successivement des intégrales de la forme:
x
et ] x n
1 fe, — — À e”| — da,
a a
0
a
i i Fa e ; ;
où » est un nombre entier et x < a. Si l'on pose N, = — Ax, on trouvera sans difficulté
a
par intégration partielle une formule récurrente à l’aide de laquelle les N consécutifs pourront
être facilement déterminés, et on obtiendra le même résultat en calculant une fois pour toutes
oy
i
les intégrales \eardr correspondant à des valeurs déterminées de +. En prenant pour a
vo
un nombre entier et x— 1, cette manière de procéder a donné, après détermination pré-
alable des puissances en question de e, un moyen relativement simple pour calculer
Li(e“t!) — Life‘) pour a = 16 à 20, el ces valeurs, conjointement avec celles calculées
auparavant par MM. Bretschneider et Glaisher, ont ensuite pu servir à contrôler le
calcul plus détaillé qu’exigent les intervalles plus petits.
125 307
Pour ce calcul, on a employé les formules (8)—(10) en prenant successivement pour
a les arguments qui figurent dans la table II avec l'intervalle 0-2, x restant toujours égal
à Of. Les premières valeurs de N ont ensuite été calculées par des multiplications et
des divisions directes, tandis que, pour trouver celles de N, et des N suivants, on a jugé
plus simple de calculer par logarithmes les termes dont il s’agit à l’aide des intégrales
+01
Veranda déterminées une fois pour toutes. De cette manière, on a trouvé une serie très
L
—0*1
rapidement convergente pour la détermination des différences successives de la table, et,
par celles-ci, toutes les valeurs de Zi(e”), dont le dernier chiffre, dans la table, est aug-
mente d'une unité lorsque le chiffre suivant est égal à 5 ou plus grand que 5.
Si, pour intervalle, j'ai choisi 0'2 et non 0-1, la raison en est, d’une part, que le
calcul en est facilité et, de l’autre, que mon intention à l'origine était seulement de calculer
une table des logarithmes de Zi(e”) avec 10—12 décimales. En réalité, une pareille table
pourrait être construite par interpolation à l'aide des logarithmes des valeurs contenues
dans la table If, et serait la forme la plus commode d'une table de logarithmes intégrals
des grandes valeurs de n, surtout si les arguments étaient les logarithmes vulgaires.
Mais j'y ai renoncé parce que, pour ces recherches spéciales, il était préférable de con-
struire une table de log P(e”).
C’est seulement après avoir terminé ce travail que j'ai eu connaissance de la
3° partie des tables à 14 chiffres de M. Stenberg. Dans une introduction, l’auteur
développe une série de formules qui, dans leurs parties essentielles, sont identiques à celles
qui ont été développées plus haut.
J'ai également plus tard eu communication de quelques calculs inédits de Zi(e”)
pour des valeurs entières de © jusqu'à æ — 20, dus à feu M. le professeur Oppermann.
Ils ont été effectués à l’aide des formules (11) et (12) et fournissent par suite un moyen de
contrôle, puisque, pour chaque valeur entière de a, on determine en même temps les deux
intégrales : at gate
er er
== li? Gli —dz,
æ œ
a—E a
l'intervalle £ étant partout le même et ici égal à 1.
On trouvera dans le tableau, p. 268, le résultat de ce calcul. Les valeurs de e
ont été calculées en partie par Oppermann, en partie, pour ce qui concerne les
dernières, par l'auteur, qui, en même temps, a entrepris le calcul des trois dernières valeurs
de Zä(e*), pour lesquelles Oppermann n'avait pas obtenu plus de 12 décimales exactes.
M. Bretschneider ayant, avec la même exactitude, déterminé les valeurs correspondantes
de Zi(e”) pour les valeurs inférieures de 2, on possède ainsi les valeurs fondamentales de
cette fonction calculées avec 20 décimales jusqu'à = — 20.
a de ——
308
Page
Errata.
(Les formules sont comptées pour des lignes.)
193—11, ligne 14, au lieu de: 2 C— ele., lisez: S2-" — s, — ele.
- 1 1
195—13, formule (29), » » »: nel » = gå
199—17, ligne 22, » » » (Mara, an VAGE x) a dlæ
on 0
202—20, formule (65), » » »: px), » : p(n)
204—22, » (72), le dernier membre sous le signe 2}, doil être (1 i z ):
FU
+! 1
—r
206—24 ligne 17, au lieu de: ——— dz. lisez: dA
À Bip)” Le A j
g
215—33, a OD awh EGE samer » 3 anid
221—39, formule (111), » » »: f(x), » : O(n)
1
223—41 (CIS) Se ee ae ; le numéro (118) doit
P(E ===) p(1 a elre effacé.
» », ligne 5—11, la lettre + doit être remplacée par n; dans la formule (120), le
numérateur et le dénominateur du dernier membre sont en outre inlerverlis.
224—42, ligne 28, au lieu de: N A,Ip, lisez: 3 Aplp
225—43, DEN oe SE 3 8 he
231—49, » 25, » » »: eller af on), » : eller Middelværdien af @(n)
236—54, formule (163), » » »: T(E), » : T(Ex)
256—74, ligne 26, » » »: 2'(s(r) —1), » : S(e(r)—1)
1 2
LE en)
286— 104, en-lêle, » » »: 2 E— Å LS: BE
i x 2 v
Bestemmelse
Kviksolvsojlers elektriske Ledningsmodstande
i absolut elektromagnetisk Maal.
L. Lorenz.
Vidensk. Selsk. Skr. 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. IL 7.
Kjøbenhavn.
Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri.
1885.
Bea Foranledning af den til Fastsæltelsen af de elektriske Maalenheder i Oktober 1882
sammentraadte internationale Konference har der af Regeringen veret bevilget mig en Sum
af 5000 Kr. til Udførelsen af nærværende Undersøgelse, hvorved langt større Midler bleve
satte til min Raadighed end dem, jeg ved mine tidligere til samme Maal sigtende Under-
sogelser!) havde veret i Besiddelse af. Officersskolens kemiske Laboratoriums Lokaler vare
velvilligt stillede til min Disposition, ligesom en vesentlig Bistand har veret mig ydet paa
mangfoldige Maader af Laboratoriets Forstander Dr. H. Topsoe, som navnlig ogsaa har
udfort en stor Del af Maalingerne.
Til Bestemmelse af de absolute Grundenheder: Tid, Længde og Masse vare folgende
Apparater anskaffede:
1. et Pendulkronometer, hvis Gang bestemtes ved Sammenligning med det astro-
nomiske Observatoriums daglige Tidssignal,
2. en i Centimeter inddelt Normalmeter og et Kathetometer, begge fra Société
Genevoise, den første med angiven Korrektion (0,0237™", rigtig ved —1°,25 C.),
som var bestemt ved Sammenligning med en af det internationale Bureau i Paris
verificeret Meter,
3. Normalvegtlodder fra Westphal i Celle.
I. Methoder for Modstandsmaalingerne.
Absolute Maalinger. Den anvendte Methode er i Principet ganske den samme,
som den jeg i mine tidligere Undersøgelser har benyttet, Derimod har jeg i Udførelsen af
Forsøgene gjort væsentlige Forandringer, navnlig for Rotationsapparatets Vedkommende, som
jeg har indrettet i Overensstemmelse med det af mig til den internationale Konference gjorte
Udkast”), og som nærmere vil blive omtalt i det følgende.
1) Overs. over d. K. D. Vidensk. Selsk. Forh. 1873, S.1.
*) Journal de phys., S. II, T. 1, p. 477, 1882.
Relative Maalinger. Til alle mine relative Modstandsmaalinger har jeg benyttet
en særegen Methode, som har vist sig saavel bekvem i Udforelsen som i hoj Grad nojagtig,
hvorfor jeg tor anbefale den fremfor de sædvanlig benyttede Methoder.
De to Modstande AB og CD, som skulle sammenlignes, forbindes ved en Ledning
BC og indskydes tilligemed to Traadruller i en Stromkreds. Disse Traadruller ere i pas-
sende Afstand anbragte paa Bordet foran og bagved et Spejlgalvanometer. Fra to af de
fire Punkter 4, B, C og D afledes Strommen til Galvanometret, saaledes at denne afledede
Strom virker modsat Hovedstrommen i Traadrullerne paa Galvanometrets Naale. I den til
Galvanometret forende Ledning er desuden indskudt en Rheostat, ved Hjælp af hvilken
Modstanden forandres, indtil Galvanometerspejlet er fort tilbage til Skalaens Nulpunkt.
Modstanden i Galvanometret tilligemed dets Tilledningstraade være betegnet ved G,
Rheostatmodstandene ved À, R,, R,, efter som man har afledet Punkterne AC, BD eller
AD. Man vil da have
k.AC G+R
EBD Gee
LOAD) NETTER
|
idet & + I svarer til det konstante Forhold imellem Hovedstrommens og den afledede Stroms
Styrke. Heraf erholdes
cd BR,
AB TIRE
Forsøgene kunne varieres ved Afledning af andre Par Punkter, som AB og CD, hvorved
erholdes en Kontrol for Rigtigheden af det fundne Resultat.
For tillige at kunne variere Konstanten & paa bestemte Maader var Traaden i Traad-
rullerne sammensat som et Kabel af I1 indbyrdes isolerede Traade. Kabelet var svagt
snoet, ligesom ogsaa de over en Meter lange to Kabelender fra enhver af Rullerne vare
sammensnoede og forte til Siden til en Kommutator, hvor de 22 tet til hinanden forte
Traadender kunde indbyrdes forbindes paa hvilken som helst Maade. Man var saaledes i
Stand til ved uforandret Stilling af Traadrullerne at forsterke disses Virkning paa Galvano-
metret 2, 3, indtil 11 Gange. Selvfolgelig maatte det, naar disse Kombinationer benyttedes,
paases, at hele den udenfor Traadrullerne værende Ledning for Hovedstremmen ingen Virk-
ning udovede umiddelbart paa Galvanometret, hvilket opnaaedes ved Udskydelse af Traad-
rullerne af Ledningen og Kompensering af den ovrige Lednings Virkning ved Indstilling af
en paa Ledningen nær lagttageren anbragt Slojfe.
Galvanometret var et Thomson’sk med Planspejl og Kikkertaflesning. Det indeholdt
to Traadruller, den underste, som omfattede en Sats af smaa Magnetnaale, havde en tyk
Traad, den øverste, som alene benyttedes ved disse Forsøg, bestod af en dobbelt, tynd og
lang Traad og omsluttede den paa Spejlet anbragte Magnet.
ex
315
Alle Forsøg anstilledes i et ikke opvarmet Lokale. Forandringer under en Forsogs-
rekke af Galvanometrets Nulpunkt ophævedes ved Hjælp af en i Nærheden af lagttageren
anbragt Magnet. Rheostaten var en Siemens’ med fra 1 indtil 10000 Enheder, hvortil
undertiden blev føjet en anden fra „I; til 1 Enhed. Ved Kalibrering viste den förste Rheostat
sig saa nøjagtig, at der ikke behøvedes at indføres nogen Korrektionstabel. Jeg skal tilføje,
at Rheostaten dengang var ny, og at der et halvt Aar senere viste sig kjendelige For-
andringer, som vilde have gjort en ny Justering nødvendig.
II. Kalibrering af Glasrør.
Alle Kalibreringerne ere udførte af Dr. Topsøe. I en lille Afstand fra det paa et
Betonfundament opstillede Kathetometer var et Mahognibrædt anbragt vertikalt paa et lige-
ledes paa Beton hvilende Bord. I dette Brædt var Normalmeteren indlagt og ved Siden af
denne det Rør, som skulde kalibreres.
Kalibreringen af de snævre Rør udførtes paa den Maade, at en lille Kviksølvsøjle
efterhaanden blev forskudt gjennem Røret, idet hver Gang Søjlens nederste Endeflade netop
tangerede dens øverste Endeflade i dens foregaaende Stilling. Dette lod sig bekvemt og
nøjagtig udføre paa følgende Maade. Et Glasrørr af den Form, som Figuren viser, var
indsat horisontalt i en Fordybning i ovennævnte Brædt. I den ombejede Ende af Roret
indsattes vertikalt det Rør, som skulde kalibreres, medens Apparatets anden vertikale Gren
blev lukket med en Glasprop efter at have tjent til Indfyldningen af Kviksolv. Apparatet
var lukket ved en med Pakskrue forsynet Prop, hvorigjennem gik en lang og fin Skrue, alt
af Staal. Ved Hjælp af denne Skrue kunde Kviksølvet trykkes op til en vilkaarlig Højde i
det Rør, som skulde kalibreres. Dette sidste Rør var foroven dobbelt ombøjet og udtrukket
i en Spids. Efter at Kviksølvet var drevet op indtil Spidsen, blev Søjlen atter trukket tilbage
paa en saadan Maade, at. der efter den sammenhængende Søjle fulgte en lille Luftblære og
derefter en omtrent 2% lang Søjle. Med denne sidste blev Kalibreringen udført.
Efter endt Kalibrering blev den lille Søjle dreven ud af Roret, optagen i en Skaal
og vejet. Derefter blev en ved en Luftblære adskilt længere Kviksølvsøjle opsuget i Røret,
idet Længden afpassedes omtrent efter hele den kalibrerede Længde. Efter at denne Søjles
Længde og Beliggenhed i Forhold til et Mærke paa Røret var maalt, blev Søjlen ligeledes
314 6
uddreven og vejet. Endelig aftages Roret, afbrekkes ner ved det kalibrerede Stykkes
Grænser og tilslibes konisk i begge Ender, hvorefter Rorets Længde maales.
De efter hinanden maalte Længder af den lille kalibrerende Kviksolvsojle vare
Anne An TOR i ;
Aiea Ag seas An =e:
Endvidere vere L’ Længden af den derefter indførte (store) Kviksolvsojle, X, og A, de
manglende Stykker i den kalibrerede Lengde, saaledes at man har
Lx —} =.
Ligeledes vere Z” Længden af det afbrekkede Ror og A’ og X, de manglende Stykker i
den kalibrerede Længde, altsaa
TUE
Man vil da kunne udtrykke Modstanden £’ af Kviksolvsojlen 1” ved
À — À" 4 AE NS ÅR SAL
B= rf ee ee LR, .- = )
Si Sø Sp Sn
idet 7 betegner Kviksolvets specifike Ledningsmodstand, og s,, Sg, ...s, de til Midten af
Søjlerne 2,, As, .-. 4, svarende Gjennemsnit.
De til det tomme Rum reducerede Vegte af den lille kalibrerende Sojle og af
Sojlen L’ vere w og W. De af disse Sojler indtagne Rum kunne betegnes ved v — 2x og
V— 2x, idet z er det lille Rum, som begrænses af Kviksolvsojlernes konvexe Endeflade,
af en tangerende Plan til dennes Midtpunkt og af Rorets indre Cylinderflade. Naar altsaa
Vægten af en Rumenhed Kviksolv ved 0°, som foreløbig antages for Forsogets Varmegrad,
betegnes ved p, saa er
w = p(v—2a), W = p(V—2a),
hvoraf W—w = p(V—»).
Tillige er '
V ( A di) À
= ee v 0 S,A = Soho
Fe | 2 SRE
Sættes
D iy JE
À == 7) Ao —— = O05 An — — = O
i n HEC n 22 ñ n FR
hvor Storrelserne à blive meget smaa Størrelser, og indføres Betegnelsen
DOS ae One 0%)
saa vil man erholde
, r À’ À, LL” TN TAN TA
R(W-uw = rpo|n SE EN een Ao, 400, + 30? |:
7
1 in
114
Maalingerne af Længderne Z/ og LL” antages udførte ved Varmegraderne # og t”, den
Varmegrad, ved hvilken Normalmaalestokken er rigtig, vere ft, (— 17,25); endvidere vere
de lineære Udvidelseskoefficienter for Messing og Glas betegnede ved & og g, og Kviksolvets
—I
Or
kubiske Udvidelseskoefficient ved 7. Man vil da have den til 0° reducerede Modstand &
af Kviksolvsojlen bestemt ved
oe rl rd
lyt
De her benyttede numeriske Værdier af Konstanterne ere É
p = 13,5952, 7 = 0,0001795, 6 — 0,000018, yg — 0,0000084.
Med Hensyn til den ovenfor benyttede Konstant 7 bemærkes, at man vil erholde A udtrykt
i sædvanlige Kviksolvenheder, naar Længderne angives i Millimeter, Vægtene i Milligram
og r sættes lig 10650-
Resultatet af Maalingerne vare:
Ror Nr. 1.
Z = 368,119, 2, = 19,406, An = 19,315.
L — 357,042, À = 4,685, 2, — 6,392".
In le 0) 87 MARE ss
i n
EEN 1020, TENTE
W = 13957528 w = 715,10", SO? — 0,4714.
R = 1,26612 Kviksolvenheder.
Ror Nr. 2.
D = 445,3, A, = 19,%5, An == 2013400;
TL! = 442,32, À = 3,06, 4, = —0,017".
L” = 435,30, X = —1,58, 4” = 11,662",
ee Oe Os Fig. 2.
We ao NO OO — 1 1712.
FR = 7,42980 Kviksolvenheder.
Kalibreringen af de vide Rør, nemlig tre I Meter lange, I, 2 og 3
Centimeter vide Glasrer, som skulde benyttes ved de absolute Modstands-
maalinger, udførtes paa folgende Maade. Rorene vare ved den ene Ende
lukkede med et med Hane forsynet Jernlaag, og ved den anden Ende ind-
fattede i en Jernbosning. Naar et af Rorene skulde fyldes med Kviksolv,
blev det forst i horisontal Stilling ved et med Glashane forsynet Glasror sat
i Forbindelse med en Luftpumpe og pumpet saa lufttomt som muligt, hvor-
efter Kviksolvet indsugedes gjennem Jernhanen. Dernæst opstilledes det fyldte
Ror vertikalt og paa den øvre Bosning befæstedes det i Fig. 2 fremstillede
Staalapparat, som bestod af et ydre faststaaende Hylster med en Slidse, et
indre Hylster for neden med en af Slidsen styret Tap, for oven fint skrue- 77
skaaret og fort af en Mottrik, samt inderst af en i begge Ender tilspidset |
Staalstang, der vilkaarlig lod sig forskyde og fastholde. Alt var megel om- d PR
|
hyggelig afdrejet. Den nederste Spids blev fort ned til Beroring med Kvik-
316 8
solvets Overflade, hvilket iagttoges ved Kikkert, og derefter blev Kathetometrets Kikkert
indstillet paa den overste Spids og dens Hojde maalt. Kviksolvet blev efterhaanden udtappet
i passende, omtrent lige store Mengder, og Maalingerne fortsattes igjennem hele den
Længde af Roret, som skulde kalibreres.
Det videste af de tre Rør var forsynet med 4, de andre med 2 fine, konisk borede
Huller. Ethvert af disse Huller vare lukkede lufttet med en lille Platinplade, som blev
fastholdt med en Roret næsten omsluttende Urfjeder. Dennes ombojede Ender spændtes
sammen ved en Kobbertraad, der tillige tjente ved de folgende Forsøg Lil elektrisk Ledning.
Naar ved Kalibreringen Kviksolvet netop var sunket ned under et af Hullerne, blev Urfjedren
losnet og forskudt, den nederste Staalspids indstillet paa Midten af Hullet, som endnu ret
godt kunde iagttages i Kikkerten, hvorefter Højden af den øverste Spids blev maalt. Des-
uden blev særskill Afstanden maalt imellem Hullerne, som alle laa i samme vertikale Linie.
Da smaa Temperaturforandringer ikke kunde undgaas under Forsogene, bleve
Maalingerne ved smaa Korrektioner henforte til en fælles Middeltemperatur.
Er Z den kalibrerede Længde ved Middeltemperaturen ¢, W den tilsvarende Vægt
af det udtappede Kviksolv, Z/ Afstanden mellem to Huller, maalt ved Temperaturen 7, saa
kan Modstanden A’ af Kviksolysojlen imellem de to Huller, uden Temperaturkorrektion,
bestemmes ved
RW = rp Llp,
hvor » er et fra I kun lidt forskjelligt Tal, hvorved den af de enkelte Maalinger fremgaaede
Korrektion med Hensyn til Rorets Afvigelse fra Cylinderformen er angivet. Denne Korrek-
tion er, som af det folgende vil ses, meget lille, hvorfor det ikke har været nodvendigt her
at medtage de Maalingers Enkeltheder, der have ligget til Grund for Beregningen. Af den
saaledes fundne Verdi for A beregnes dernæst den til 0° svarende Modstand R paa samme
Maade som ovenfor, idet i den angivne Formel % og +” forandres til ¢ og #.
Resultaterne af Maalingerne vare:
Rør Nr. I.
Deu rg, WW = 232197 mE
DORA RTE A NS ye = 1,000071,
hvoraf R — 0,00154180 Kviksolvenheder.
Ror Nr. II.
Dette Rør indeholdt 4 Huller A, B, €, D. Modstandene ved 0° af de Kviksolvsojler, som
befinde sig imellem disse Huller, betegnes henholdsvis ved AB, BC, CD.
AB. I = 200,4™, 4 = 11°70, W = 2103229",
IN RB, = ND; p = 1,000006.
BC. 1, = 203,19", 1 — 10970, W — 2124558",
7 — 199 gran 79207 np —= 1,000021 .
9 ou
CD.
DROITE IV 20823752,
I DE 2920, g = 1,000010,
hvoraf
AB = 0,00025836 Kvikselvenheder,
BC = 0,00025964 »
CD = 0,00026279 »
Da det senere ved de absolute Modstandsmaalinger viste sig, at de nojagtigste Resultater
erholdtes ved de Kviksolvsojler, som havde den mindste Modstand, blev der ingen absolute
Modstandsmaalinger udførte med det tredie Rør, hvis Modstand i Kviksolvenheder var 0,0062215.
III. Temperaturkoefficienten for Kviksglvets Ledningsmodstand.
Det til alle Forsøgene anvendte Kviksolv var af Dr. Topsøe fremstillet paa to for-
skjellige Maader. Den ene Del var omhyggelig renset paa sædvanlig Maade, dog uden
Destillation; den anden Del var i større Mengde (16 Kilogram) fremstillet ved Destillation
af Kviksolvilte, som var præpareret af renset Kviksolv. Begge Præparater viste imidlertid
ved gjentagne Forsog ikke nogen som helst kjendelig Forskjel i elektrisk Ledningsevne.
Til nærværende Forsøg benyttedes to ikke kalibrerede Ror, hvis Ender vare udvidede
til cylindriske Beholdere. Det ene omtrent 1 Meter lange, 1™™ vide Ror var vunden i
Spiral, det andet var 260% langt, 0,1™™ vidt og bøjet U-formet.
Efterat Rorene vare fyldte med Kviksolv, bleve de forst anbragte under en Luft-
pumpes Klokke, og Modstanden blev iagttaget, medens Luften blev udpumpet. Hvis der
nemlig skulde være smaa Luftblærer tilstede, saa vilde disse udvide sig ved Luftfortyndingen
og derved forøge Ledningsmodstanden af Kviksolvsojlen. Tillige skulde en ringe Modstands-
forøgelse fremkomme alene ved Trykkets Formindskelse paa Kviksølvet, men ‘jeg fandt
tværtimod en konstant lille Aftagen af Modstanden, hvilken for det U-formede Rør beløb
sig til 0,076 Procent. I andre Forsøg, som senere skulle omtales, og hvor der benyttedes
lige, horisontalt stillede Rør, hvis Ender vare dækkede af Kviksølv, viste denne Anomali
sig ikke, hvorfor jeg formoder, at den "hidrører fra Udsugningen af Luften imellem Glasset
og Kviksølvet i den øvre Del af Rørene. I ethvert Tilfælde viste Forsøgene, at der ingen
kjendelige Luftblerer kunde være tilstede i Rorene.
Derefter indsattes et af Rorene i en med Alkohol fyldt Beholder, som befandt sig
omgivet af en anden med Vand fyldt Beholder, og saaledes blev holdt paa konstant Varme-
grad. Den første Beholder indeholdt tillige et i ;4, Grader inddelt Normalthermometer
og en Rorer. É
Modstandsmaalingerne udførtes efter den ovenfor omtalte Methode. Ved AB er
betegnet Modstanden af den i et Rorene ved Temperaturen ¢ indesluttede Kviksølvsøjle,
Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. II. 7 41
318 10
ved BC Modstanden af en Platintraad, som forbinder Roret med en Rheostat, hvori Mod-
standen CD i den forste Forsogsrekke var I, i den anden 30 Siemens Enheder.
Spiralror.
t — 15228. k. AB = G+ 2464,2
k.AD = G + 6671,5
k.BD = G+ 743,1,
hvoraf GS JAVA. Wh BID) =
k. AB — 5928.4 (ber. 5928,3).
t— 0200: k. AB = G — 2445.9
k. AD = G + 6654,0
k.BD = G + 143,0,
hvoraf Gi BAC bho OSSE
k. AB = 5911,0 (ber. 5911,0).
i= (OP k. AB = G+ 2392.6
i. AD = G+ 6600,0
k.BD = G+741,8,
hvoraf GF = ASRS) [en JED) = HON
k.AB = 5858,2 (ber. 5858,2).
(== DBP k. AB = G+ 2587,8
k. AD = G + 6746,0
k.BD = G+ 743.5,
hvoraf CR AG TO RBDI— 42082,
k. AB = 6002,5 (ber. 6002,5).
De beregnede Verdier ere udledede ved Formlen
k. AB = 5858,2 (1 + 0,0009013 1) ,
og stemme, som man ser, nesten fuldkommen med de iagttagne.
U-formet Ror. Galvanometrets dobbelte Traad var her forenet lil en.
jones k. AD = G+ 8773)1
k.BD = G + 3961,2
hvoraf k. AB = 4811,9 (ber. 4811,9).
t = 33°43, k. AD = G+ 8882.8
k. BD = G+ 3961,2
hvoraf k. AB = 4921,6 (ber. 4921,8).
11 319
t = 35731. k.AD = G + 8891,3
k.BD = G-3961,0
hvoraf k.AB — 4930,3 (ber. 4930,1).
Beregningen er udfort efter Formlen
k. AB = 4775,6 (1 + 0,0009164).
De saaledes fundne Koefficienter for den apparente Modstandsforogelse af Kviksolv i Glasror
ved en Opvarmning af 1° ere altsaa
0,0009013 mellem 0° og 27°32,
0,000916 mellem 8°32 og 35°31,
hvilke Koefficienter ere lidt storre end den af Lenz fundne og temmelig ner overens-
stemmende med de af Siemens og for nylig af Mascart fundne Koefficienter.
IV. Kapillaritetens Indflydelse paa Kviksglvets Ledningsevne.
let af den internationale elektriske Konferences Moder i 1882 henledede Becquerel!)
Opmerksomheden paa ovennævnte Fejlkilde, i hvilken Anledning Helmholtz oplyste, at
Siemens bestandig havde fundet den sterste Overensstemmelse mellem den iagttagne og
den beregnede Modstand af Kviksolvsojler, hvis Diameter varierede fra 1 til 2™™, ligesom
ogsaa Bosscha meddelte, at Rink i Delft havde anstillet Sammenligninger med forskjellige
Rer og fundet en Overensstemmelse indtil Da mine absolute Modstandsmaalinger
1
7000*
skulde udfares med Sojler paa 2 og 3 Centimeters Diameter, medens Normalmaalet skulde
henfores til en Sojle paa 1 Kvadratmillimeters Gjennemsnit, ansaa jeg det dog for nod-
vendigt selv ved nojagtige Forsog at undersoge, hvorvidt de molekulære Forandringer i
Kviksolvets Overflade langs Glasrorets Vægge kunde hidfore nogen kjendelig Forandring i
Kviksolvets Ledningsevne.
De første Forsøg anstilledes med et af tykke Spejlglasplader dannet Trug. Paa et
Underlag af Spejlglas vare to, 1°™hoje slebne Glasstrimler befæstede med Fiskelim i en
Afstand af 2% fra hinanden; to Staalplader dannede Enderne af det saaledes dannede Trug.
Dette blev fylde med Kviksolv og tæt over Kviksolvets Overflade var en Spejlglasplade
anbragt. I denne befandt sig to større og to mindre Huller, i hvilke sidste to Synaale
vare befæstede vinkelret paa Pladen. Disse vare forbundne med Galvanometret, medens en
stærk Strom lededes gjennem ‘lrugets Endeflader og de i Nærheden af Galvanometret
opstillede to Traadruller. Modstanden af Kviksolvsojlen imellem de to Naalespidser blev
saaledes bestemt ligesom i de tidligere Forsøg, og der undersogtes nu, hvilken Forskjel i
Modstanden der indtraadte, naar Dekpladen fortes ned til Beroring med Kviksolvets Overflade.
1) Procès-verbanx, S.68. 1882.
320 12
Der viste sig ogsaa herved stedse en lille Forandring af Modstanden, men denne
var snart positiv, snart negativ, og det fremgik af Forsogene, at denne Forandring hidrorte
fra det paa' Kviksolvet udøvede Tryk. Dette kunde nemlig, alt efter som Kviksolvet mere
eller mindre fyldte Truget, snart vere positivt, hvilket viste sig ved den udhvælvede Over-
flade af Kviksolvet i de to større Huller i Dekpladen, snart negativt, i hvilket Tilfælde
Kviksolvets Overflade var indhvelvet. Men ved disse Tryk bleve Trugets Vegge lidt bojede,
saaledes at Gjennemsnittet blev storre, Modstanden mindre ved et storre indre Tryk, og
omvendt. Af Maalingerne fremgik, at, hvis der overhovedet fremkom nogen Forandring i
Modstanden alene ved Kviksolvets Beroring med Dækpladen, saa kunde denne Forandring
ikke overstige 55460 af hele Modstanden.
En Virkning af Kapillariteten vil have den Indflydelse paa Formlen for en Kviksolv-
sojles Ledningsmodstand, at der til Sojlens Gjennemsnit vil blive at tilføje et med dens
Perimeter proportionalt Led. Det ses deraf, at Virkningen fornemmelig maatte give sig
tilkjende ved Forsog med meget snevre Ror. Jeg har derfor ogsaa udfort Maalinger med
saadanne Ror, navnlig de ovenfor omtalte kalibrerede Ror Nr. 1 og 2, hvis Diametre vare
0,606 og 0,273™™.
Roret anbragtes i et Hul i Midten af en kvadratisk Træklods (2% i Sidelinie, 1°”
tyk), som blev indsat i et lignende Trug af Spejlglasplader, som ovenfor er omtalt, men af
den dobbelte Højde (2°). Truget fyldtes med Kviksolv tilligemed Roret, der tilvejebragte
Forbindelsen mellem de to Afdelinger af Truget. Ved Hjælp af Dekpladen kunde det lukkes
lufttet og pumpes lufttomt, medens Forandringerne af Modstanden bleve iagttagne. Paa
den Maade sikrede jeg mig forud for enhver Maaling imod den mulige Tilstedeværelse af
smaa Luftblærer i Roret. Derefter blev Laaget aftaget og Maalingerne udforte efter samme
Methode, som tidligere, idet Hovedstrommen lededes gjennem Trugets Endeflader og en
Siemens’ Normalenhed, medens to Punkter af denne Ledning forbandtes med Galvanometret.
Forsogene viste, at der ingen Forskjel i den maalte Modstand indtraadte, naar begge
Enderne af den til Galvanometret forende Ledning bragtes i Beroring med Kviksolvet paa
hver Side af Træpladen og derfra efterhaanden flyttedes langs Rorets Vægge indtil dettes
Endeflader, hvorimod en kjendelig Forandring strax indtraadte, saasnart Afledningspunkterne
fortes videre udenfor Endefladerne. Naar Afledningspunkterne befandt sig i Nærheden at
Træpladerne, saa kunde den maalte Potentialforskjel derfor siges nøjagtig at svare til den,
som findes i to Punkter, der befinde sig ved Rorets Endeflader i dets Glasvægs ydre
Omkreds.
Naar Glasvæggens Tykkelse kan betragtes som uendelig stor i Sammenligning med
Rorets indre Diameter, saa vil den paa den nævnte Maade maalte Modstand svare til Mod-
standen af Rorets Kviksolvsejle forlenget med 0,82 Gange dets indre Diameter. Dette af
Lord Rayleigh beregnede Tal behøver for Rervægge af endelig Tykkelse en Korrektion,
13 321
som jeg har forsøgt at bestemme saavel ved Beregning som ved Forsøg. Jeg skal dog her
udelukkende holde mig til de sidste. Disse udførtes med et 300% langt, 2,724" indvendig
og 4,2™ udvendig vidt Rør, for hvilket Modstanden først bestemtes. Derefter blev Roret
brækket over i to Dele paa omtrent 200 og 100" Længde, og disses Modstand bestemt,
og endelig blev den større Del brækket midt over og Modstanden bestemt af hver Del.
Betegnes Rørets indre og ydre Diametre ved d; og d., saa fandtes ved disse Forsøg den
empiriske Formel
0,82 — 0,35 =
som Udtryk for det Tal, der ved endelige Dimensioner træder i Stedet for det Rayleigh'ske
Tal 0,82.
Det var min Hensigt paa samme Maade direkte at bestemme Korrektionen for Ror
Nr. 1, men ved et Uheld gik Roret over, allerede førend de første Maalinger vare udførte.
Begge Stykker bleve anbragte hvert i sin kvadratiske Træplade og nedsattes i Truget, som
saaledes blev delt i tre Afdelinger. Afstanden imellem de to Rorender, som vendte mod
hinanden, var omtrent 3%,
Betegnes ved Æ Modstanden af Kviksølvsøjlerne i begge Rorene og det mellem-
liggende Rum, S Modstanden af min Siemens Normalenhed og « Modstanden af For-
bindelsesledningen, saa gave Maalingerne, ved hvilke begge Galvanometrets Traade vare
forenede til en:
t = 10210. k(R + S + x) = 9063,3 + G
k(R + a) ‚= 4766,8 + G
k(S + x) — 3551,0+ G,
hvoraf R = 1,282978.
Ved direkte Forsog fandtes endvidere Modstanden af Kviksolvet i det mellem begge Rorene
liggende Rum lig 0,00009S. Ved Reduktion til O° ved Hjælp af Temperaturkoefficienten
0,00090 erholdes saaledes Modstanden af begge Rorene ved 0” lig
1.27132 8.
Den benyttede Siemens’ Normalenhed var mærket: Dec. 82, Nr. 2713, @ = 0,000340, richtig
bei 15°5. Ved Henforing til denne Temperatur reduceres den fundne Verdi til
1,26899 Siemens Enheder.
Som Kontrol blev den benyttede Normalenhed sammenlignet med en B. A. Normalenhed
(verificeret al Lord Rayleigh, Juni 1882, Nr. 54, « = 0,00025, rigtig ved 115), hvor-
ved fandtes
1S. E. = .0,95411 B. A"
322 a
medens af Lord Rayleigh og Mrs. Sidgewick') ved Modstandsmaalinger af Kviksolvsojler
af 1 til 2™ Diameter er fundet
1 Kviksolvenhed — 0,95418 B. A.
Den ved Kalibrering fundne Modstand af Roret var (S. 7) 1,26612 Kviksolvenheder, og
Korrektionen med Hensyn til de 4 Rorender, beregnet ved Hjælp af den ovenfor angivne
Formel, idet d; — 0,6056™ og d, — 3,2™", beløb sig til 0,00315 Kviksolvenheder. Ved
Kalibreringen erholdes altsaa Rorenes Modstand lig
1,26927 Kviksolvenheder.
Forudsat, at min Siemens’ Normalenhed nojagtig svarer til Kviksolvenheden, er altsaa den
iagttagne Modstand 0,022 Procent, og med Lord Rayleigh’s Forsøg som Grundlag 0,029
Procent mindre end den theoretiske.
Det kalibrerede Ror Nr. 2 havde en Modstand af omtrent 7 S.E., og for nøjagtigere
at kunne sammenligne denne med min Siemens’ Normalenhed, indfortes der efterhaanden
et forskjelligt Antal Vindinger af de to ydre Traadrullers Kabel, idet forst ved tre forskjellige
Kombinationer Siemens’ Normalenhed alene blev afledet til Galvanometret, og derefter ved
en fjerde Kombination Roret, der paa den angivne Maade var anbragt i Truget med Kvik-
sølv. Betegnes de to Modstande henholdsvis ved S og À, og Forholdet mellem Hoved-
é oe. = i |
strommens og den afledede Stroms Intensiteter ved STD idet x er det Antal Gange, Vin- |
dingerne i Traadrullerne er forøget (ber efterhaanden 9, 5, 2 og 10 Gange), saa kunne
Maalingernes Resultater udtrykkes ved
i = NER KS == 9(526,50 + @ + S)
RS = 5(1635,60 + G + S)
KS = 2(5378,7 + G+S)
KR = 10(8504,7 + G+ R).
Paa højre Side kan med tilstrækkelig Nojagtighed strax sættes S — 1'og À = 7,51,
hvorefter findes
Den til 0° reducerede Modstand af Roret er saaledes
7,43243 Siemens Enheder.
Den ved Kalibrering fundne Modstand beløb sig til 7,42980 Kviksolvenheder. Raorets indre
Diameter var 0,273™", dels ydre Diameter 5,3™", hvoraf Korrektionen med Hensyn til Rorets
Ender, beregnet ligesom ovenfor, findes lig 0,00369 Kviksolvenheder. Den korrigerede Mod-
stand belober sig altsaa til
7,43349 Kviksolvenheder.
1) On the specific resistance of mercury, Phil, trans. of the Roy. Soc., Part. L 1883, p. 173.
15 323
Den ved direkte Maalinger bestemte Modstand er saaledes her 0,014 Procent mindre end
den beregnede, naar Siemens’ Normalenhed antages nojagtig at svare til Kviksolvenheden.
Da de saaledes fundne Afvigelser ere meget smaa og gaa i samme Retning, er
Resultatet af denne Undersøgelse, at Kapillariteten næppe udøver nogen maalelig Indflydelse
paa Kviksølvets Ledningsevne.
V. Kviksølvets Ledningsmodstand i absolut Maal.
Rotationsapparatet bestod af en paa et Brædt anbragt hul Messingcylinder,
inden i hvilken befandt sig en paa en Axel befæstet Skive af Messing eller Kobber. Cylin-
derens Længde var 17,068, ydre Diameter 0,333, indre Diameter 0",322. I Cylinderens ydre
Flade var paa Maskine indskaaren en Skruegang, hvori var nedlagt et af 7, Yamm tykke,
Kobbertraade bestaaende Kabel; enhver af Traadene som ogsaa hele Kabelet var dobbelt
omspunden med Silke. Dette Kabel gik i 472 Vindinger omkring Cylinderen og var fra
Enderne ført tilbage til Midten af Cylinderen, hvor Traadenderne vare førte enhver til sin,
paa Cylinderens Fodstykke anbragte, Klemskrue. Ved Maaling af Afstanden mellem hver
50 Skruevindinger viste Skruen sig fuldkommen nojagtig, og den til de 472 Vindinger
svarende Højde fandtes lig 998,707,
Axlen, paa hvis Midte Skiven var anbragt, forløb konisk henimod Enderne, der
hvilede i isolerede, i Cylinderens udskaarne Endeflader anbragte, Lejer. Den sattes i Om-
drejning ved en Dynamomaskine, hvis Omdrejningsaxe var stillet i den første Axes For-
længelse, idet begge Axler ved to isolerende Universalled vare forbundne ved et 26™™ tykt,
4m 3 langt Messingrør, som understottedes i 4 faste Lejer. Ved de større Omdrejnings-
hastigheder, der kunde drives indtil 30 Omdrejninger i Sekundet, frembragtes den elektriske
Strøm af en anden Dynamomaskine med tyndere Traad, idet denne Maskine bevægedes ved
Dampkraft, hvorimod der til de mindre Hastigheder kun udkrævedes Strømmen fra et
galvanisk Batteri paa 10 til 20 Elementer, hvormed kunde opnaas 6 til 12 Omdrejninger i
Sekundet. En Del af den til Dynamomaskinen førende Strøm var afledet til en Sideledning,
hvori var indskudt en Rheostat. Ved at variere Modstanden i denne kunde Maskinens
Omdrejningshastighed let reguleres.
Den i den roterende Skive inducerede elektromotoriske Kraft overførtes til en
Ledning gjennem to Kontakter, den ene anbragt ved Axlens ene Ende i Centret, den anden
ved Skivens Periferi. Den første Kontakt bestod af en konisk Messingspids, som ved en
Fjeder trykkedes ind imod Axlens Midtpunkt, hvor den omskrevne Flade næppe udgjorde
en Kvadratmillimeter. Den anden Kontakt bestod af en tynd, 1% bred, Strimmel af samme
Metal som Skiven (Kobber eller Messing), der var loddet til en Stang ligeledes af samme
Metal. Strimmelen var ført tværs over den 11,8"” tykke Skive og trykkede meget let imod
324 16
den, idet Strimmelens Bagside var belagt med blodt, fingertykt Filt, som udfyldte Mellem-
rummet mellem den og Cylindren. Stangen var fort udenfor Cylinderen og fastgjort. Begge
Kontakterne bleve holdte smurte med Olie.
De ved Kontakterne opstaaede thermoelektriske Stromme viste sig ved denne
Anordning temmelig svage og konstante, ligesom ogsaa den roterende Skive ikke opvarmedes
kjendelig under Rotationen. løvrigt har der med Hensyn til Kontakterne fra først af været
ikke faa Vanskeligheder at overvinde.
Fra den ene af disse to Kontakter forte en Ledning til den Kviksolvsojle, hvis
Ledningsmodstand skulde bestemmes, derfra til et Galvanometer og herfra atter tilbage til
den anden Kontakt. Kviksolvet var indesluttet i et af de ovenfor omtalte kalibrerede, 1"
lange, 2 eller 3% vide Glasror. Dette var stillet vertikalt, helt fyldt med Kvikselv, og
medens Hovedstrommen gjennemstrommede hele Sojlen, skete Afledningen til Galvanometret
fra to af de i Glasvæggen borede Huller igjennem de her om Roret spændte Urfjedre.
Resultatet maatte iøvrigt vere blevet det samme, hvis Hovedstrommen var ledet gjennem
disse Huller, og den afledede Strøm taget fra Sojlens Endepunkter, men da denne Anordning
ikke frembod praktiske Fordele, blev den ikke forsogt.
Det er en Selvfolge, at de i Ledningen til Galvanometret indforte elektromotoriske
Kræfter fra den roterende Skive og fra Kviksolvsojlen skulle være modsat rettede, idet For-
sogene, som bekjendt, gaa ud paa at maale Skivens Omdrejningshastighed, i det Øjeblik
disse to modsatte elektromotoriske Kræfter netop ophæve hinanden.
Galvanometret var det tidligere omtalte Thomson'ske, idet her den underste
Traadrulle med omtrent 0,7 Ohms Ledningsmodstand kom til Anvendelse. Jordmagnetismens
Virkning paa Magnetnaalene var ved disse Forsøg i Reglen ikke kompenseret ved den til
Apparatet hørende ydre Magnet, da det var af større Vigtighed, at Svingningerne udførtes
hurtig (en enkelt Svingning udførtes i omtrent 3 Sekunder). Til en elektromotorisk Kraft
af en Milliontedel Volt svarede et Udslag af omtrent 120%" paa den i Kikkerten iagltagne
Skala. Ved Bestemmelserne af Ledningsmodstanden af en Kviksølvsøjle, som udgjorde
0,00024 Ohm, var Hovedstrømmens Strømstyrke 2,9 Ampére, altsaa den elektromotoriske
Kraft, som skulde maales, omtrent 700 Milliontedel Volt, som saaledes vilde svare til
84000%% paa Skalaen. Da Afvigelserne fra Skalaens Nulpunkt i de faa Sekunder, som forløb,
medens Skivens Omlobshastighed blev maalt, næppe oversteg 10", vilde den tilsvarende
Fejl kun naa op til 4 Procent.
Kronografen. Foruden den ovenfor omtalte, midt inde i Cylinderen anbragte,
Skive var der tæt udenfor Cylinderen anbragt en anden ganske lignende paa den roterende
Axe. Disse to Skiver, hvoraf den ene var af Kobber, den anden af Messing, kunde om-
byttes med hinanden. Et i Millimeter inddelt Papirbaand var lagt om den ydre Skives
Rand, hvorved Skivens Omkreds blev delt i omtrent 940 Dele. I en ringe Afstand fra
17 325
Papirbaandet var stillet Enderne af to Platintraade, hvorfra elektriske Gnister gjennem Papiret
sprang over paa Skivens Rand for hver to Sekunder i den Tid, Rotationshastigheden skulde
maales, og for at kunne ordne de saaledes erholdte Mærker efter Tidsfolgen blev i alle
Tilfelde, hvor dette var nodvendigt, de to Platintraade efter hver Gnist bragte i en anden
Stilling, idet de vare anbragte i et om sin Axe bevægeligt Ror, saaledes at den ene Traad-
ende befandt sig i Axen, den anden udenfor denne. Paa denne Maade bestemtes kun
Brokdelen af det i to Sekunder udforte Antal Omdrejninger. Det hele Tal kunde enten
maales umiddelbart eller betragtes som bekjendt, da en Fejl paa Bestemmelsen af dette
overhovedet ikke var mulig.
De to Platintraade vare forbundne med Induktionsrullen af et Rhumkorffs Apparat,
hvori Hovedstrommen blev afbrudt hvert andet Sekund. Dette udforte jeg efter at have
prøvet andre Methoder, som gave mindre gode Resultater, ved alle de endelige Forsøg paa
folgende simple, men fuldkommen tilfredsstillende Maade. Foran det i Indledningen omtalte
Pendulkronometer var opstillet et sædvanlig til Faldforsog benyltet Pendulur, hvis Gang
under Maalingerne hyppig sammenlignedes med Kronometrets ved Bestemmelsen af de
sammenfaldende Pendulslag. Til Pendulets nederste Spids var befæstet en I til 1/2 Meter
lang Silketraad, hvis anden Ende var fastgjort i samme Hojde og i Pendulets Svingningsplan,
saaledes at Traaden blev svagt strammet for hver dobbelt Svingning af Pendulet. Paa
Midten af denne Traad var i en kort Silketraad ophængt en lille Bojle af Kobbertraad, hvis
Grene gjennem to Oskener gik ned i to Cylinderglas, hvoraf det ene var fyldt helt med
Kviksolv, det andet halvt med Kviksolv, halvt med Spiritus. Under Pendulets Svingninger
hvilede den meste Tid Bojlen paa Osknerne, og forst naar Snoren begyndte at strammes,
blev Bojlen med stor Hastighed kastet til Vejrs, og alt var afpasset saaledes, at Spidsen af
Bojlens ene Gren loftedes fra Kviksolvet over i Spiritusen i det Ojeblik, Hastigheden skjon-
nedes at vere størst. Ved denne Bevægelse blev det Rhumkorff’ske Apparats Hovedstrom
afbrudt, og samtidig sloge Induktionsgnisterne over paa den roterende Skive.
Forsogsanordningen. Apparaterne vare opstillede i to Værelser, som vare
skilte fra hinanden ved et mellemliggende tredie. I det største af disse befandt sig
Rotationsapparatet, Dynamomaskinen, Kronografen og den Kviksolvsojle, hvis Modstand
skulde maales. Rotationsapparatets og Dynamomaskinens fælles Axe var stillet tilnærmelsesvis
i Ost—Vest, og alt Jern var fjernet fra Rotationsapparatets Nærhed. Fra disse Apparater
forte alle Ledninger til det andet Værelse, hvor Galvanometret var opstillet i en Afstand af
10 Meter fra Rotationsapparatet og 15 Meter fra Dynamomaskinen. Desuden befandt sig
her i lagttagerens Nerhed forskjellige Stromvendere, Nøgler og Rheostater. Til den ene
Stramvender forte Ledningerne fra et Batteri paa 24 Bunsen’ske Elementer, som vare op-
stillede i den anden Ende af Bygningen. Fra Stromvenderen gik Ledningen til Rotations-
apparatets Traadvindinger, herfra gjennem en i Luften svævende Traad til Kviksolvsojlen og
Vidensk. Selsk. Skr., 6 Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II, 7. 42
326 18
videre tilbage til Stromvenderen. Ner denne var tillige indskudt en Nøgle, saaledes at
Strommen forst sluttedes ved et Tryk paa denne.
Et andet Batteri paa 10 til 20 Bunsen’ske Elementer tjente som Drivkraft for
Dynamomaskinen, hvortil forte en direkte Ledning. Denne forgrenede sig til en Side-
ledning, som forte ind til en i Nærheden af lagttageren anbragt Vedskerheostat, der bestod
af et hojt, med en mættet Oplosning af svovisurt Kobberilte fyldt Cylinderglas, hvori en
som negativ Elektrode tjenende Kobberplade var anbragt i Bunden, medens en tyk Kobber-
traad, som bekvemt kunde hæves og sænkes, tjente som positiv Elektrode. Undertiden var
ogsaa ved Siden af denne indskudt en Proprheostat. Paa denne Maade kunde uden
Vanskelighed ved Pasning af Rheostatmodstanden Dynamomaskinens Hastighed reguleres og
vedligeholdes konstant.
Til Rhumkorff’s Apparat benyttedes 4 Elementer, hvorfra Ledningen var fort hen
til en i Nærheden af lagttageren anbragt Nøgle, ved Hjælp af hvilken Kronografen sattes i
Virksomhed i de Øjeblikke, Rotationshastigheden skulde maales.
Endelig tjente en afledet Strøm fra et enkelt Daniell’s Element til Kompensering
af de thermoelektriske Strømme i den til Galvanometret førende Ledning. | Elementets
Stromkreds var indskudt den fornødne Rheostatmodstand, medens et Stykke '/2™lang, 3/2™™
tyk Kobbertraad af denne Ledning var indført i Ledningen til Galvanometret. Den ind-
skudte Rheostatmodstand beløb sig i Reglen til nogle «tusinde Siemens’ Enheder, og den
til Kompensationen fornødne elektromotoriske Kraft oversteg sjælden 3 Milliontedele Volt.
Tillige tjente denne afledede Strøm til at vise, hvorvidt Ledningen til Galvanometret var i
Orden, idet Erfaringen-snart lærte, hvilket Galvanometerudslag der skulde indtræde ved en
given Forandring af Rheostatmodstanden.
Endnu skal kun tilføjes, at der ogsaa i Ledningen til Galvanometret var indført en
Strømvender.
Forsøgene udførtes paa følgende Maade. Efterat Dynamomaskinen var sat i Gang,
blev ved Trykket paa en Nøgle den til Rotationsapparatets Traadvindinger førende Batteri-
strøm sluttet, og, idet Galvanometerudslaget iagttoges i Kikkerten, blev ved Hjælp af Vædske-
rheostaten Dynamomaskinens Omdrejningshastighed reguleret, indtil Galvanometerspejlet
omtrent viste paa Nulpunktet. Nu blev Batteristrømmen til Rotationsapparatet afbrudt og,
medens Rotationen vedvarede, den thermoelektriske Strom kompenseret paa den nylig
angivne Maade. Derefter sluttedes paa ny Strømmen til Rotationsapparatet og Rotationen
blev nøjagtig reguleret ved Vædskerheostaten. Naar da Galvanometerspejlet med ringe
Hastighed passerede Nulpunktet, blev ved et Tryk paa den anden Nøgle Strømmen sluttet
til det Rhumkorffske Apparat og saaledes Kronografen sat i Virksomhed. Efter to, under-
tiden flere, efter hinanden med Mellemrum af to Sekunder følgende Udladninger, som
tydelig hørtes af lagttageren,. bleve alle Strommene afbrudte, Rotationen standsede og
19 927
Mærkerne af Gnisterne paa Papirbaandet noteredes. Strax derefter gjentoges Forsøget med
forandret Stromretning til Rotationsapparatet, hvorpaa to tilsvarende Maalinger toges med
Forandring af Ledningen til Galvanometret. Endelig viste det sig ogsaa nødvendigt at
gjentage de samme fire Maalinger med den modsatte Rotationsretning, idet den til Dynamo-
maskinens roterende Anker forende Ledning omvexledes. Saaledes kom der 8, umiddelbart
efter hinanden folgende, Maalinger til at hore til en Forsogsgruppe, af hvilke 8 Maalings-
resultater Middeltallet toges.
Under Maalingerne iagltoges hyppig Kviksolvsojlens Temperatur paa et i 1/10 Grader
inddelt Normalthermometer. En Ombytning af de forskjellige Batteriers Poler blev oftere
provet, men viste sig at være uden Indflydelse paa Enderesultatet.
Endnu skal kun bemærkes, at der ved Slutningen og Aabningen af den til Rotations-
apparatet forende Batteristrom let fremkom Induktionssted i Galvanometerledningen, som
kunde besvære lagttagelserne, men det var dog ikke vanskeligt at bringe disse Stod til at
ophore ved Forandring af Stillingen af den Del af Galvanometerledningen, som befandt sig
i Nærheden af Rotationsapparatets Traadvindinger, og hvorfra disse Induktionssted havde
deres Udspring.
Beregning af Rotationsapparatets Konstant. Naar den afledede Kviksolv-
sojles Modstand betegnes ved 2, det ved Maalingerne fundne Antal af Skivens Omdrejninger
i Sekundet ved n, og Rotationsapparatets Konstant ved C, saa skal man have
BEER
Jeg kan her indskrænke mig til at angive Beregningen af denne Konstant for det Tilfælde,
at den roterende Skive er uendelig tynd, at Skivens Centrum falder nøjagtig i Rotationsaxen
og Cylinderens Axe, og at Centralkontakten ligeledes falder nøjagtig i denne Axe, idet de
virkelige Afvigelser herpaa kun give saa forsvindende smaa Korrektioner, at en nærmere
Angivelse af Beregningen af disse bliver ganske unødvendig.
Er d Højden af den Skruegang, hvori Traaden er nedlagt omkring Cylindren,
r Traadvindingernes Radius, o Skivens Radius, a, og a, Skivens Afstande fra Traad-
vindingernes Endeflader, saa bliver Konstanten C at beregne af Formlen
om (di 2T ra
ae RE" TYR
à Ve? +7? 0? — 2rp cos 4
—a3%0
Sættes heri til Afkortning o = gr, 2? +r? = ar’, og tilsvarende a? + r? = a,r?,
ag +r? — a,r?, samt
a 827
Qa =\ de SEUSS
Va — 1 Wa + q? — 29 cos 4
4
0
ro
>
328 i 0
vil man erholde
CI er
For ovenstaaende sue Integral erholdes Rækkeudviklingen
Aue DE Go fe Done. Sa Jeu.
Qe = nae u ze re
hvor det medtagne Antal Led her er tilstrækkeligt for den numeriske Beregning, medens
den fuldstendige Udvikling er
Q 5 Bi am 3... 2m—1 1 dm fa — 1\"+3
= 2 IQ =; 7 RE :
2 1 2.4...2m ne da”
m= a.
Maalingernes Resultater. Maalingerne med Rotationsapparatet kunde først
paabegyndes henimod Slutningen af Marts (1884), og Resultatet af de første Maalinger
(1 Kviksolvenhed — 0,9417 Ohm) meddelte jeg den den 28. April sammentrædende inter-
nationale Konference med Tilfojende, at dette Resultat kun maatte betragtes som forelebigt,
idet det endnu ikke var lykkedes mig at erholde en tilstrækkelig tilfredsstillende Overens-
stemmelse mellem de enkelte Maalinger indbyrdes. Det samme vedblev at vise sig i en
Række folgende Maalinger, indtil jeg provede at gjentage Forsogene med modsat Rotations-
retning, hvorved jeg endelig opdagede den egentlige Grund til Maalingsfejlene. Jeg skal
søge nærmere at gjøre Rede herfor.
En fuldkommen Isolation er ved elektriske Forsøg en Umulighed, men det er dog
kun undtagelsesvis, at fuldkommen uundgaaelige Isolationsfejl kunne, saaledes som Tilfældet
var her, faa en kjendelig Indflydelse paa Resultatet. Den til Galvanometret førende Ledning
var i to Punkter, À og B, forbunden med den Kviksølvsøjle, hvis Modstand skulde be-
stemmes, og som var gjennemstrømmet af en stærk elektrisk Strøm 7. Modstanden AB
var meget lille, nemlig fra 0,00026 til 0,0015 Kviksølvenheder. Er nu tillige et Punkt C af
Galvanometerledningen kommen i en svagt ledende Forbindelse med et Punkt D af Hoved-
ledningen, vil der ogsaa herigjennem kunne afledes en forholdsvis betydelig Del af Hoved-
strømmen til Galvanometret. Betegnes nemlig ved CD Modstanden imellem de to Ledninger
og ved r Modstanden af den Del af den sluttede Ledning til Galvanometret, som gaar fra
A eller B til C ad den Vej, som ikke indeholder Galvanometret, saa vil den til Galvano-
metret afledede elektromotoriske Kraft Æ, som under Forsøgene holdes i Ligevægt ved den
i samme Ledning inducerede elektromotoriske Kraft, tilnærmelsesvis kunne udtrykkes ved
Le i. AB 1 + pere Ib
= (CID
idet der forudsættes, at Modstanden AB er meget lille i Sammenligning med BD og r,
ligesom ogsaa at CD er meget stor i Sammenligning med de andre Modstande. Det
øverste Fortegn svarer til det Tilfælde, at Galvanometret befinder sig i Ledningen fra A til
21 329
C, det underste, naar det er i Ledningen fra B til C. Naar Forsøget gjentages ved Rotation
af Skiven i modsat Retning, saa maa Galvanometerledningens Ender i A og B ombyttes,
hvorved i ovenstaaende Udtryk Fortegnet for det andet Led bliver det modsatte. Det ses
heraf, at den fra Ledningen imellem C og À hidrorende Fejl kan elimineres ved at gjen-
tage Forsøget med modsat Rotation og tage Middeltallet af de to Resultater.
Jeg skal som Exempel anfore det forste af de ved modsatte Rotationer anstillede
Forsøg. Hovedstrommen gik 5 Gange omkring Rotationscylinderen, og Modstanden i denne
Ledning, som paa det nærmeste maatte svare til Modstanden GY ovenfor, var 195 S. E.
Tillige var i dette Forsøg AB = 0,00154 S. E. Antallet af Skivens Omdrejninger i 2
Sekunder var 14,6820 for Rotationen til hojre, og 14,5751 for Rotationen til venstre, saa at
Afvigelserne fra Middeltallet beløb sig til 0,37 Procent. Ifølge ovenstaaende Formel haves
altsaa i dette Tilfælde
0,0037 — ar, ks
: 0,00154 CD
hvoraf CD = 34. 106r.
Sættes heri efter et Skjon r — 0,5 S.E., bliver altsaa Resultatet det, at en Isolationsfejl,
ved hvilken Modstanden beleb sig til 17 Millioner Siemens’ Enheder, vilde være tilstrækkelig
til at forklare den Fejl, som Forsøgene med modsatte Rotationsretninger viste maatte vere
tilstede. Da de to Ledninger nodvendigvis saavel ved Rotationsapparatet som i Nærheden
af lagttageren maatte føres ner hen til hinanden, vare saa smaa Isolationsfejl næppe til at
undgaa, og man maatte i det Sted soge ved Forsogene selv at eliminere dem.
Isolationen af de enkelte Traade i Rotationsapparatets Kabel var fra først af, navnlig
ved fugtig Luft, ikke tilfredsstillende, hvorfor Kabelet gjentagne Gange blev gjennemtrukket
af en tynd Skellakoplosning. Efter en Uges Forlob fandtes den mindste Modstand i de
isolerende Lag imellem de 6 af Traadene indbyrdes og imellem disse og Cylinderen omtrent
lig 500000 S.E., en Isolation, som her var tilstrækkelig. Den syvende Traad maatte der-
imod udskydes af Forbindelsen, og i Løbet af Forsøgene maatte senere ogsaa en af de
andre Traade udskydes paa Grund af aftagende Isolation, saaledes at ved de endelige Forsøg
kun 5 Traade kom til Anvendelse.
Udmaalingen af Rotationsapparatets enkelte Dele gav, idet Maalenheden overalt er
1 Centimeter, følgende Resultater.
Traadvindingernes Radius R — 16,65,
Skruevindingernes Højde d — 0,211589,
Afstandene fra Skivens Midte til hver af Traadvindingernes Endeflader a, — 50,99,
@ = 49,80.
Maalingerne forud for Forsogene af Messingskivens Diameter 29 gave for 4 for-
skjellige Steder
29,897, 29,909, 29,901, 29,913, Middel 29,905.
330 29
Efter Udforelsen af et stort Antal Omdrejningsforsog og umiddelbart forud for de endelige
Forsøg fandtes
29,889, 29,879 , 29,894 , Middel 29,8933 ,
eg efter Tilendebringelsen af alle Forsogene
29,889 , 29,894 , 29,898 , Middel 29,8937.
De sidste næsten identiske Resultater viste, at der intet kjendeligt Slid havde fundet Sted
ved de endelige Forsog. Derimod fremtraadte Virkningen af Slidet tydeligt ved Kobber-
skiven, for hvilken for og efter de endelige Forsog fandtes folgende Diametre
29,867 , 29,871 , 29,872 , Middel 29,870 ,
29,856, 29,853 , 29,859 , Middel 29,856.
Den med disse numeriske Værdier efter den ovenfor udviklede Formel beregnede Konstant
C, formindsket med den sammesteds omtalte Korrektion, som kun beleber sig til 0,6 En-
heder, er for Messingskiven
39656,1,
og for Kobberskiven for og efter de endelige Forsøg
39594,1 og 39556,1,
af hvilke to Grenseverdier ved Interpolation er beregnet de til enhver af de tre med denne
Skive anstillede Forsogsrekker svarende Konstanter.
Denne for 0° beregnede Konstant gaar ved ¢° over til
Cll + bt),
idet 5 = 0,000018 er Messingets lineære Udvidelseskoefficient.
Det Antal Omdrejninger, Skiven udførte i to af Kronografens Sekunder, være be-
tegnet ved m + aa idet m er det hele Antal, n det paa Papirstrimlen aflæste Antal Milli-
meter imellem Merkökhe af to paa hinanden folgende Gnister, og p Længden af Papirstrimlen
i Millimeter. Endvidere vere o Kronografsekunder lig 1 Sekund, s Antallet af de efter
hinanden indskudte Traade i Kablet, A Kviksolvsojlens Modstand i Kviksolvenheder ved 0°
og 7 (= 0,00090) den apparente Temperaturkoefficient for denne Modstand. Man vil
da erholde
1 Ky. Enb. — a(m + = ) Slam) abs. Ohm.
R(1 +70)
Jeg kan her indskrænke mig til at angive Resultaterne af mine endelige Maalinger,
som alle bleve udforte i Dagene fra den 9. til den 13. Juni (1884), og som alene ere be-
nyttede til Fastsættelsen af den efter mine Maalinger sandsynligste Verdi af den til Ohm’en
wi
svarende Modstand i Kviksolvenheder.
Ror Nr.l. Messingskive. Værdierne af x, hvorved efterhaanden Stromretningen
til Rotationsapparatet og til Galvanometret blev vendt om, vare
491,0, 5887, 514,0, "571,0,
23 331
og ved Gjentagelse af de samme Maalinger
492.6, 581,3, 496,5, 592,6,
Middel 540,34.
Efter at Skivens Rotation var forandret til den modsatte, fandtes tilsvarende
651,1, 676,8, 626,4 , 59255),
663,1, 681,7, 648,2, 586,4,
Middel 640,77.
Heraf erholdes for den forste Rotationsretning, idet m — 14, p — 939,6,
n
m — — = 14,5751,
P
og for den anden
n
m + — = 14,6820.
p
Endvidere var
se 5, o = 1,01I924, = 17206, R— 0,000548, CZ 39656,1,
hvorefter erholdes
1 Kviksolvenhed — 0,94455 abs. Ohm.
De folgende Forsøg bleve anstillede med Kobberskiven og det kalibrerede Rør Nr. II,
som indeholdt de tre Kviksolvsojler AB, BC og CD. Modstanden af enhver af disse
Sojler var omtrent 6 Gange mindre end Modstanden af Roret Nr.I, og de 5 Traade af
Rotationsapparatets Kabel vare derfor her forenede til en Traad. Herved var Kabelets
Modstand formindsket 25 Gange, og Stromstyrken forøget 12 Gange. Det ses heraf, at
skjondt den maalte Modstand her var 6 Gange mindre end ved den første Forsogsrække,
saa var den maalte elektromotoriske Kraft dobbelt saa stor, hvorfor Nojagtigheden af de
folgende Forsog ogsaa kan regnes omtrent som den dobbelte. Ligeledes maa ogsaa For-
skjellen paa de ved de modsatte Rotationer erholdte Resultater her, under Forudsætning af
samme Isolationsfejl, blive betydelig mindre.
Ror II, AB, Kobberskive. Verdierne af n:
253,0, 234,1, 239,8,
258,6, 245,2, —
Middel 246,4.
Ved modsat Rotation:
271038 280,4, 269,8, 277,6,
260,0 , 269,6 , 270,0, 275%
Middel 258,9. Endvidere var
i= 12, meets, Feel, az (oe, eS er, a Vz
C = 39578,5, hvorefter erholdes
1 Kviksolvenhed — 0,94391 abs. Ohm.
332 24
Ror Il, BC, Kobberskive. Verdierne af n:
351,5, 325,2, 341,4, 324,6,
Middel 335,7.
Ved modsat Rotation:
349,8, 324,8, 3438, 321,5,
Middel 335,0.
D=i2, De, si, o = 101915, &= 18°73, AK = 000025964,
C = 39571,0, hvorefter erholdes
1 Kviksolvenhed — 0,94410 abs. Ohm.
Ror If, CD, Kobberskive. Verdierne af n:
432,8 , 435,9, 436,1, 441,2,
Middel 436,5. 6 = NE, o = 1,01935.
Ved modsat Rotation:
487,7, 518,4, 496,0 , 518,2,
495,8, 522,0, 484,2, 511,6,
Middel 504,24. næ 685. o = 1,01945.
me == i) Da OA on R = 0,00026279 , C= 395022
hvorefter erholdes
1 Kviksolvenhed — 0,94391 abs. Ohm.
Af disse Maalingsresultater i Forening fremgaar som det sandsyn-
ligste Enderesultat
1 Kviksolvenhed — 0,9440 abs. Ohm
I abs. Ohm = 1,0593 Kviksolvenhed.
Dette Resultat stemmer paa det nærmeste overens med de af F. Kohlrausch og Roiti
fundne, medens de benyttede Methoder alle ere væsentlig forskjellige. Overhovedet frem-
gaar det af samtlige Resultater, som have været forelagte den internationale Konference, —
navnlig efter at nylig Wild ved Korrektionen af en Fejl er kommen til et Resultat, som
er i noje Overensstemmelse med Middelværdien af de ovrige, — at næppe nogen af de
anvendte forskjellige Methoder medfore konstante Fejl.
Jeg havde selv næret Betænkelighed ved Anvendelsen af variable Stramme, idet der
var Mulighed for, at indre thermoelektriske Forskjelligheder i en Leder kunde have samme
Virkning som f. Ex. Polarisationen i en Elektrolyt og navnlig gjøre Modstanden ved variable
Stremme mindre end ved konstante Stromme. Denne Betænkelighed kan jeg nu ganske
opgive, og jeg er ogsaa ad andre Veje naaet til samme Resultat.
Saavel ved mine relative som absolute Modstandsbestemmelser, der bleve udforte
med konstante Stromme, har jeg nemlig hyppig gjentaget de samme Maalinger med inter-
mitterende Stromme, men i intet Tilfælde har der vist sig nogen som helst Forskjel i
35 333
Resultaterne. Hertil kan jeg foje endnu en Betragtning, som ikke er ganske uden Interesse.
Hvis der findes nogen kjendelig Forskjel paa Ledningsevnen for konstante og variable
Stromme, saa maatte denne ogsaa have Indflydelse paa en Leders Induktionskonstant.
Ved tidligere Forsog!) havde jeg i Virkeligheden fundet en lille Afvigelse af de iagttagne
Induktionskonstanter fra de beregnede, idet de forste fandtes gjennemgaaende 5 til 6 Procent
mindre end de sidste. Beregningen var udfort paa sædvanlig Maade, nemlig uden at der
var taget tilstrækkeligt Hensyn til den Omstændighed, at Stramtetheden ved variable Stromme
r
er en Funktion af Afstanden fra Traadledningens Centrallinie. Efter at have taget denne
Omstændighed med i Betragtning fandt jeg, at den paa sædvanlig Maade beregnede Induktions-
konstant maatte formindskes med Traadens Længde, og denne Korrektion svarede paa det
nærmeste netop til den fundne Afvigelse.
Naar saaledes Afvigelserne imellem de forskjellige Videnskabsmænds Bestemmelser
af Ohm'en maa betragtes som tilfældige, saa ber ogsaa den af Konferencen vedtagne
Ohm, nemlig
1 Ohm — 1,06 Kviksolvenheder ,
der nærmest svarer til Middeltallet af alle lagttagelserne, vistnok almindelig betragtes som
den for Tiden nojagtigste, ligesom der ved denne Bestemmelse sandsynligvis er op-
naaet den oprindelig tilsigtede Grad af Nojagtighed, nemlig af 1 Tusindedel.
1) Om Elektrieitetens Forplantning, Overs. 0. d. K. D. Vidensk. Selsk. Forh. 1879.
Spolia atlantica.
Bidrag til Kundskab
om
Salperne.
M. P. A. Traustedt.
Med to Tavler.
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. I. 8.
Kjøbenhavn.
Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri.
1885.
Indholdsfortegnelse.
AOL DO CR OC CDs CRE le er fee een ge ans
La OMGENAEO 68 coe Re Oh oo boo oo odo lo CC Creil ce
QmyGropperingenvatvArterne: 7... Feces sys ee Ce wtb ees) ws © its ne je encore) ons) ol
Om’ Salpernes geografiske Udbredelse "mn ne ce = à ee eee ee
UNOS A ONG? SEENON Se Saag ee ee
Simons SHINTO Sa 86 toto BO 6, a See to ae ec oA Io big RO BIB oto oh Do
AES SAI PHMpIDM Atay OLS Ke fe hey. Rene chro da! MO etre ecrire cheat eee ys
& SA es (rem: oo Goo BGS oe Goo Uo Soe ood UO EC Co.
3. Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt. ...............................
4. Salpa scutigera-confoederata, Cuv.-Forsk. . .............................
5. Salpa democratica-mucronata, Forsk. ................................
3 = = VERS ET, nie 3.0.0 0 3 de re ce
6. Salpa runcinata-fusiformis, Cham.-Cuv. . ............................:.
7. Salpa africana-maxima, Forsk...... 2... Ne + ne à ce ea ler alka we
SSS ALT, GINA SEE SSR Se ee ce CCC
9. Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim.-Cuv. . .............................
0. Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim.-Pall. . ..........................
11. Salpa hexagona, Quoy & Gaim. ee ee wee
NOMIENCJaLOTESAIpATUmI gene ee een ce ee crn Gio os oucte
Bet Ef ØER ar ae nn ee ee en lee ice ces he cite:
43°
341 (7).
345 (11).
346 (12).
347 (13).
350 (16).
353 (19).
357 (23).
360 (26).
362 (28).
365 (31).
369 (35).
370 (36).
374 (40).
377 (43)
379 (45).
382 (48).
385 (51).
389 (55).
393 (59).
Re Universitetets Zoologiske Museum i Kjøbenhavn forefindes saa omfangsrige og smukke
Samlinger af Salper, at de vistnok vanskeligt finde deres Mage andetsteds.
Disse Samlinger skylde væsenligt Professor Steenstrups mangeaarige og ihærdige
Bestræbelser deres Tilblivelse, og de siden under Lokalitetsangivelserne opførte Navne af-
give det bedste Vidnesbyrd om den værdifulde og utrættelige Bistand, som er blevet ham
til Del fra saa mange forskjellige Sider.
Som det vil fremgaa af det foreliggende Arbeide ere de fleste Indsamlinger foretagne
i Atlanterhavet, og de afgive efter min Mening et smukt og kjærkomment Bidrag til denne
Dyregruppes Udbredelsesforhold i dette Verdenshav.
Tilskyndet af D'Hrr. Professor Steenstrup og Dr. Liitken, for hvis Bistand jeg herved
bringer min Tak, tog jeg i Aaret 1880 fat paa Gjennemarbeidelsen af dette rige Materiale
af Salper, og endnu inden Udgangen af det nævnte Aar forelaa Resultaterne af disse mine
Studier i den Form, hvorunder jeg nu tillader mig at fremlægge dem for Offentligheden.
Efter Chamisso, hvis overordentlig værdifulde Arbeide bærer Aarstallet 1819, have
adskillige Naturforskere, blandt hvilke jeg særligt vil nævne Meyen og €. Vogt, beskjæftiget
sig med Salpernes Systematik, men efter Vogts berømte Arbeider, der skrive sig fra den
første Halvdel af Halvtredserne, altsaa nu i omtrent 30 Aar, er der ikke fremkommet noget
mere omfattende Værk om disse Dyr. Der har saaledes nu i mange Aar været Trang til
en paa et større Materiale støttet Bearbeidelse af den herhen hørende Literatur og til en
Række Figurer, som kunde lette Oversigten og hjælpe til at holde Formerne ude fra
hinanden.
340) 6
Nærværende Arbeide er då gjort med den Hensigt for Øje om muligt at afbjælpe
denne Trang, og Forf. har bestræbt sig for at gjøre Behandlingen af de ham tilgjængelige
Arter og deres forskjellige Former saa ensartet og kortfattet som muligt.
Af ny Former foreligger der ikke mange; det indskrænker sig til Kjedesalperne af
Salpa cylindrica og S. hexagona foruden S. flagellifera, som jeg indtil videre har anset for
at være en Varietet. af Salpa democratica-mucronata, men som maaske fremtidige Under-
søgelser paa Grundlag af et rigere Materiale, end det jeg har havt, vil gjøre til en
Art for sig.
Paa den anden Side findes her enkelte forlængst med Navn forsynede Salper, der
ere blevne udstyrede med en mere tidssvarende Beskrivelse; herhen hore Salpa affinis,
Salpa costata-Tilesti og Salpa hexagona.
1 8 I g
rer ng rain ne.
Literaturfortegnelse.
Agass. Nr. 1. — Al. Agassiz, Description of Salpa Cabolli, Desor (Proceed. Boston Soc. N.H., Vol.
XI, Debr. 1866, p. 17—23, med 2 Tavler).
Agass. Nr. 2. — Al. Agassiz, Letter Nr. 4 lo C. P. Patterson, on the dredging operations of the
U. S. Coast Survey Sr. «Blake», during June and July 1880 (Bulletin of the Mus. of
compar. Zoology al Harvard College, Vol. VI, Nr. 8, Cambridge, Sptbr. 1880, p. 148 —149).
Blainv. — Blainville, Salpa i Dictionnaire des sciences naturelles, Tome 47, 1827, p. 94—123.
Blumenb. — Blumenbach, Abbildungen’ nalurhist. Gegenstände, Göllingen 1810, Nr. 30.
Bory de St. V. = Bory de St. Vincent, Voyage aux quatre îles d’Afrique, Tome I, 1804, p. 134,
Allas, Pl. 6, Fig. 3 (Salpa bipartita, som ill. Lesson, Cent. Zool., p. 161, Pl. 55, Fig. 1
er — Diphyes dispar, Cham. & Eys).
Bosc, Nr. 1, Histoire naturelle des Vers, Tome II. Paris, An. X (1802), p.179. (Suite à Buffon,
Tome LXIV).
Bose, Nr.2. — Bosc, Histoire naturelle des Vers, contenant leur descriptions, leurs moeurs et leur
usage, 2° éd., Paris 1827, Tome II, p. 168—181, med Tavler.
Brooks, Nr. 1 -— Brooks, Embryology of Salpa (Proceed. Bost. Soc. Nat. Hist., Vol. 28, 1875, p. 193).
Brooks, Nr. 2. — Brooks, The development of Salpa (Bull. of the Mus. of compar. Zool., Vol. Ill.,
Nr. 14, Cambridge 1876, p. 291—348).
Brooks, Nr. 3 — Brooks, Development of the ova in Salpa (Johns Hopkins Univ. Biolog. Lab.,
Vol. II, Nr. 2, Ballimore 1882, p. 301).
Brooks, Nr. 4 — Brooks, Chamisso and the discovery of allernation of generalion (Zoolog. An-
zeiger, 1882, p. 212).
Brooks, Nr. 5 — Brooks, The origin of the eggs of Salpa (Studies from Biol. Lab. Vol. II, p. 301,
PI. XXIV. 1882).
Browne — Browne, History of Jamaica, London 1756, p. 384, Tab. 43.
Brug. — Bruguiere, Encyclopédie méthodique, Histoire nal. des Vers ele., Paris 1789, Tome I.
Cham. — Chamisso, de animalibus quibusdam e classe vermium Linnæana, Fase. I”"°, de Salpa,
Berolini, 1819.
Chiaje, Nr. 1 = delle Chiaje, Memorie sulla storia e nolomia degli Animali senza verlebre del regno
di Napoli, 1828, Vol. III, p. 59 —64.
Chiaje, Nr. 2 — delle Chiaje, Deserizione e nolomia degli Animali inverlebrali della Sicilia citeriore
osservali vivi negli anni 1822—30, Tomo terzo, Napoli 1841, p. 38—46, Tav. 66,
76—79 og 144.
Costa, Nr. 1 — Costa, Osservazioni fisiologiche ed analomiche sopra aleune specie del genere Salpa,
med 4 Tav. (Mem. della R. Accad. di Se. di Napoli, 1839, Vol. IV, p. 193—196, Suppl.
ibid, 223—230).
Costa, Nr. 2 — Costa, Fauna del Regno di Napoli, Molluschi. Ordine II, Acefali senzaconchiglia,
p. 3—8, Tay. I—II.
Costa, Nr. 3 == Costa, Osservazioni embriologiche sulla Salpa pinnala (Rend. Accad. di Napoli,
1866, p. 438).
Cuvier, Nr. 1 == Cuvier, Mémoire sur les Thalides (Thalia, Browne) et sur les Biphores (Salpa,
Forsk.) — (Annales du Muséum d’hist. nat., An. XII (1804), Tome IV, p. 360—382,
Pl. 68).
Cuvier, Nr. 2 — Cuvier, Le Règne animal, Paris 1817, Tome ll, p. 495-497.
Cuvier, Nr. 3 == Cuvier, Le Règne animal, edit. accompagnée de Pl. gravées; les Mollusques avec
un Atlas, par M. G.P. Deshayes, Paris 1828, p. 238-241, PI. 120-123.
Cuvier, Nr. 4 = Cuvier, Le Règne animal, nouv. édil., Paris 1830, Tome lil, p. 163-165.
Dall = Dall i American Journal of Conchology, VII, p. 457 (om Salpa hereulea og
cymbiola).
Desor = Desor i Proceed. of Boston Society of Nat. Hist. III, Cambridge 1851, p. 75.
(Afh. er fra 1848).
Eschricht — Eschricht, Analomisk-physiologiske Undersøgelser over Salperne (Kgl. Danske Vidensk.
Selskabs nalurv. og malhem. Afhandl. VIII, 1841, p. 297-392, Tab. I—V).
*) Fleming, Nr. 1 — Fleming, Classification of Tunicala (Edinb. Encyclop. 1820).
*) Fleming, Nr 2 = Fleming, History of Brilish animals, Edinburgh 1828, p. 467.
Forb. & Hanl. — Forbes and Hanley, A History of British Mollusca and their Shells, Vol. I,
London 1853, p. 47--54, PIE, Fig. 5—6.
Forsk. — Forskähl, Descripliones animalium ele.. qua in itinere orientali observavit. Post mortem
aucloris edid. C. Niebuhr, Hauniæ 1775, p. 112—117.
Freminville — Freminville, Observations zoologiques failes pendant un voyage sur les cöles
d'Afrique et du Brésil (Annales des Sciences nat., 1830, p. 101).
Gaimard — Quoy & Gaimard.
Hanc. — Hancock, On Ihe analomy and physiology of the Tunicala (Journal of the Linnean
Sociely, Zoology, Vol. IX, London 1868, p. 309— 346).
Hanl. — Forbes & Hanley.
Herdman — Merdman, Report on Ihe Tunieata collected during the Cruise of H.M.S. «Triton» in
the summer 1882. (Transact. Royal Sociely of Edinburgh, Vol. 32, Part I, 1884, p. 113).
*) Home — Home, Lectures on comparative anatomy, Vol. II, London 1814, Pl. 71—74.
Hual. — Huxley, Observalions upon the anatomy and physiology of Salpa and Pyrosoma (Phil.
Trans. 1851, p. 568).
Jefir., Nr. 1 = Gwyn Jeflreys, Fourth Report on Dredging among the Shelland Isles (Report of
the British Associalion for the Advancement of Science for 1867, p. 439).
9 345
Jefr., Nr. 2 = Gwyn Jeffreys, Last Keport on Dredging among the Shetland Isles (ibid.,
1868, p. 303).
Jones — Jones, Article: Tunicala i Todds Cyclopadia of Anatomy, vol, IV.
Krohn — Krohn, Observations sur la génération el le développement des Biphores-Salpa (Annales
des sciences nal., 3 Sér., Zoologie, Tome VI, 1846, p. 110-131).
Krus. = Krusenstern, Atlas zur Reise um die Welt unlernommen auf Befehl S. Kais. M. Alexander
d. Ersten auf den Schiffen Nadeshda und Neva, St. Petersburg 1814, Tab. XXI, Fig, 1—6
(Texten har jeg ikke sel),
Lam. = Lamarck, Histoire naturelle des animaux sans verlebres, Tome III, Paris 1816, p. 113—-119.
Less., Nr. 1 — Lesson, Centuries Zoologiques, Paris 1830, p. 95, PI. 33, Fig. 2 (Salpa probos-
cidalis) og p. 161, PI. 55, Fig. 1 (Oplysning om at Bory de St. Vincents Salpa bipartila
== Diphyes dispar, Ch. & Eys.).
Less., Nr. 2 — Lesson i Duperrey, Voyage aulour du monde, exéculé par ordre du roi, sur la
corvelte de S. M. la Coquille pendant les années 1822—25, Zoologie, Tome II, rédigée
par M.M. Garnol et Lesson, Paris 1830, p. 256—279. Allas, Pl. 4—6.
Leuck. — Leuckarl, Zoologische Untersuchungen, Il Hefl, Salpa und Verwandte, Giessen 1854.
L., Nr. 1 == Linnæus Systema nature, Ed. X, Tom. I, Holmiæ 1758, p. 657.
L., Nr. 2 = Linneus, Systema nature, Ed. Xli, Holmiæ 1766.
L., Nr. 3 = Linné, Systema nature, Ed. XIN, Gmelin, London 1788—91.
*) Me. Culloch — Mac Culloch. Western Isles, Vol. II, p.157. (den første, som omtaler Fundet af
Salper ved Englands Kyst; cileret i Forb. & Hanl., Brit. Moll.).
Me. Donald — Mac Donald, On the representative Relationships of the fixed and the free Tunieala
(Transacl. of the Roy. Soc. of Edinburgh, vol. XXIII, 1864, p. 171—183).
Me. Int. — Mac Intosh, Some observalions on Brilish Salpæ (Journ. Linn. Soc., Vol. IX, 1868,
no. 33, p. 41—48, PI. I, read Nov. 16, 1865).
Meyen — Meyen, Beiträge zur Zoologie, gesammelt auf einer Reise um die Erde. 1ste Abth., über
die Salpen (Nova Acta Acad. cæs. Leop. Car. natur. curios., Tom. XVI, pars pr. 1832).
Müller, Nr. 1 — U. Müller, Ueber anatom. Verschiedenheit d. zwei Formen (Gener.) bei den Salpen
(Verhandl. der phys med. Gesellschaft in Würzburg, Bd. Ill, 1852, p. 57 —66).
Müller, Nr. 2 — H. Müller i Zeitschrift für wissenschaftliche Zoologie, Bd. IV, 1853, p. 329.
Otto — A. W. Ollo, Beschreibung einiger neuen Mollusken und Zoophyten (Nova Acta Acad. cas.
Leop. Car. nalur. curios., Tom. XI, Bonne 1823, p. 303—305, Tab. 42, Fig. 1 a—d).
Pall. — P.S.Pallas, Speeilegia zoologiea, Fase. X, Berolini 1774.
Péron == Péron, Entdeckungsreise nach den Süd-Ländern ele. während d. J. 1800—1804. Aus
dem Französischen übersetzt von Hausleutner, Bd. I—II, Tübingen 1808—1819.
(Kobberlavlerne derlil ere franske; paa Tab. 30 og 31 findes Afbildning af Salpa
antheliphora, cyanogasler og vivipara; jeg har ikke fundet nogen Beskrivelse af disse
Dyr i Texten). Den franske Original: Péron el Lesueur, Voyage de découvertes aux
terres australes, kjender jeg ikke.
Vidensk, Selsk. Skr., 6 Række, naturvidensk. og mathem Afd Il. 8.
344 10
Quoy & Gaim., Nr. 1 = i Freyeinet, Voyage autour du monde. Zool., Paris 1824.
Quoy & Gaim., Nr.2 == Quoy el Gaimard, Observations sur les Biphores et les Beroes, failes
pendant le voyage aulour du monde de la corvelle l’Uranie, commandée par M. Louis
de Freycinet (Annales des sciences nalur, Tome VI, Paris 1825, p. 28—47, Pl. I,
Fig. 3—10).
Quoy & Gaim., Nr. 3 = i Bull. soc. philom, Aoûl 1826, Fig. A, 1—3.
— — Nr. 4 — i Ann. des sciences nat., Tome X, 1827, p. 225, Pl. 8.
*) — — Nr. 5 = i Dumont d’Urville, Voyage de la corvette l'Astrolabe, éxéculé par l'ordre
du roi, ele. — Zoologie par Quoy & Gaimard. 4 voll. 1826—34.
Risso — Risso, Histoire naturelle des principales productions de l’Europe el parlieulieremen! de
celles des environs de Nice et des Alpes maritimes, Tome IV, Paris 1826, p. 284.
Salensky = W. Salensky, Ueber die embryonale Entwickelung der Salpen (Zeitschrift f. wissensch.
Zoologie, Bd. 27, 28 og 30).
Sars, Nr. 1 — M. Sars, Bidrag til Sedyrenes Naturhistorie, Bergen 1829, p. 51, Tab. 6. (efr.
Okens Isis, 1833, Tab. 10, Fig. 8—9).
Sars, Nr.2 — M. Sars, Fauna lilloralis Norvegie, 1 Heft, Christiania 1846, p. 63—85,
Taf. 8, 9 og 10.
Sav. = Savigny, Mémoires sur les animaux sans verlebres, II, fase. I, Paris 1816, p. 124, pl. 24.
Stp. — Sleenstrup, Om Forplantning og Udvikling gjennem vexlende Generalionsrækker. Udg. som
Indbydelsesskrift til Examen arlium og den offentlige Skoleexamen ved Soroe Academie
i Juli 1842, Kjobenhavn 1842, p. 18—27.
Til. — Tilesius, Abbildung und Beschreibung eines sonderbaren Seebeutels oder einer neuen
Thetys-Species aus dem Allant. Ocean, Thelys vagina (Jahrbuch der Nalurgeschichle,
I, 1802, p. 150—165, Taf. 5—6).
Todaro, Nr. 1 — Todaro, Sopra lo sviluppo e l’analomia delle Salpa (Alli della R. Academia dei
Lincei, 1 Ser., Vol. I, Roma 1875, p. 720—792, Tav. 1—4).
Todaro, Nr. 2 — Todaro, Sopra una nuova forma di Salpa, S. dolicosoma (ibid, 3 Ser., Vol. VII,
Fasc. I, Roma 1883, p. 41—43. — uden Fig.).
Verrill — Verrill, Invertebrate animals of Vineyard Sound, p. 447.
Vogt, Nr. 1 — C. Vogt, Bilder aus dem Thierleben, Frankfurt am Main, 1852, p. 26—90.
Vogt, Nr. 2 — C. Vogt, Mém. sur les Salpes de la Mer de Nice (Bull. Inst, Nat. genev.
I, p. 226).
Vogt, Nr. 3 — C. Vogt, Recherches sur les animaux inférieurs de la Méditerranée, second mémoire.
Sur les Tuniciers nageants de la mer de Nice. (Mém. de l'Inslilut national genevois,
1854, II, p. 1—61, Tab. V—IX).
*) En Stjærne foran Titlen betyder, at jeg ikke har havt Leilighed til at se Bogen.
Ms
11 345
Om Grupperingen af Arterne.
D. i dette Arbeide beskrevne 11 Arter af Salper falde i to naturlige Afdelinger, der kunne
opfattes som to Slægter, for hvis Vedkommende man kan anvende de allerede af Blainville
foreslaaede Navne: Cyclosalpa og Salpa, s.s. — Jeg har dog foretrukket at beholde Slægt-
navnet Salpa for samtlige Arter.
Den første Afdeling omfatter de tre Former: Salpa pinnata, 8. affinis og S. doli-
cosoma-virgula. Man behover kun at henvise til den eiendommelige Stilling og Forbindelses-
maade af Individerne i Salpekjeden, det besynderlige Leiringsforhold af Tarmkanalen hos
den enlige Salpe og den Omstendighed at Tarmkanalen i det hele taget ikke er nucleus-
formigt sammenrullet, for blot at fremheve nogle Hovedpunkter, der ere tilstrekkelige til
paa den ene Side at knytte dem sammen og paa den anden Side at stille dem fjærnt fra
alle andre Salpe-Arter.
Den anden Afdeling omfatter de øvrige 8 Arter: Salpa scutigera-confoederata,
S. democratica-mucronata, S. runcinata-fusiformis, S. africana-maxima, 8. eylindrica, S. co-
stata- Tilesti, S. cordiformis-zonaria og S. hexagona. — Disse 8 Arter lade sig igjen gruppere
i to Underafdelinger, af hvilke den ene, hvis Kjedesalper alle have flere (ca. 4) Fosteranleg,
optages af de tre Former: Salpa cordiformis-zonaria, S. heæagona og S. costata-Tilesii,
medens de andre fem, hvis Kjedesalper alle kun have ét enkelt Fosteranlæg, danne den
anden Underafdeling. Ret naturlige Smaagrupper dannes paa den ene Side af Salpa
runcinata-fusiformis, 8. africana-maxima og S. cylindrica og paa den anden Side af Salpa
cordiformis-zonaria og S. ‘hexagona, der kan her blot fremhæves de interessante Ligheder i
Muskelkonstellationerne hos Kjedesalperne af den forste Gruppe og de Ligheder, som f. Ex.
ses i Fimreorganerne og Udviklingen af Muskulaturen hos alle Former af den anden
Gruppe, medens Salpa scutigera-confoederata og S. democratica-mucronata, der ere meget
forskjellige fra hinanden indbyrdes, staa langt ude til Siden i den førstnævnte, og Salpa
costata- Tilesti kun er fjernt beslægtet med den sidstnævnte Gruppe.
1) For ikke at belemre denne Dyregruppe med flere Navne end heist nødvendigt, har jeg ikke givet de
for første Gang her i dette Arbeide beskrevne hjedesalper af Salpa cylindrica og S. hexagona
særlige Navne.
44"
346 12
Salpa.
ile
———— = = = |
| ET |
1. S. pinnata. | | |
I
2. S. affinis. 3. S. dolicosoma- |
virgula.
4. S. scutigera-confoederala.
|
5. S. democratica-mucronata. | 9. S. costata-Tilesii.
8. S. cylindrica.
|
|
6. S. runcinata-fusiformis. 7. S. africana-maxima.
| |
10. S. cordiformis-zonaria. I1. S. hexagona.
Om Salpernes geografiske Udbredelse.
Atlanter- | Middel- Indiske Stille
havet. havet. | Ocean. | Ocean.
hy Salpañpinnata pa). Se | + + Su
DENISE ee, | au as
3 — dolicosoma-virgula . . . . .. +
4. — scutigera-confoederata + + + +
5. — democratica-mucronata + | + + +
6 — runcinata-fusiformis . . . . - + + "+ +
7. — africana-maxima ....... | + | + +
Be cylindricang.y sas) cc Ce + +
ORE costata=Tilesii = are: + + + Ar
10. — cordiformis-zonaria ..... + + + +
11. — hexagona ........... | + +
Som det vil ses af ovenstaaende Tabel, have flere Arter en særdeles vid geografisk
Udbredelse, hvilket er let forklarligt, naar man erindrer, at Salperne ere Hoisodyr og saa-
ledes med de forskjellige Stromninger kunne føres langt omkring. Fra de arktiske Have
kjendes ingen Salper. Heller ikke er det mig bekjendt, at de nogensinde ere sete i danske
Farvande.
For Atlanterhavets Vedkommende, hvilket Verdenshav er bedst undersøgt og rigest
repræsenteret paa Universitetets Zoologiske Museum, kan jeg angive den omtrentlige Nord-
grendse for de fleste Arter.
Salpa runcinata-fusiformis Nordgrendse gaar saaledes fra 61° N.B. paa Norges
Kyst over Færoerne til henimod Gronlands Sydspids, hvor den er truffet paa ca. 59° N.B.
Salpa democratica-mucronata kjendes ligeledes fra 61° N.B. paa Norges Kyst, men
dens Nordgrendse falder strax stærkt mod S.V. ned over Hebriderne og gaar derfra til
Cap Cod paa Nordamerikas Østkyst.
Salpa pinnata, scutigera-confoederata, africana-maxima og cordiformis-zonaria træffes
saa langt Nord paa som ved Indlobet til Kanalen.
Salpa costata- Tilesi' Nordgrendse synes at gaa fra den pyrenæiske Halvos Nord-
vestspids ud over Azorerne.
Salpa affinis er ikke truffet nordligere end ved de Kanariske Øer, medens Salpa
cylindrica i ethvert Tilfælde paa Universitetets Zoologiske Museum ikke haves længere Nord
fra end 20° N.B.
Syd paa kjendes Salper saa langt som til Cap Horn, altsaa ca. 55° S.B.
Fra de øvrige Verdenshave foreligger der kun saa spredte Oplysninger om Salpernes
Forekomst og Udbredningsforhold, at der ikke kan siges noget i Almindelighed derom.
A. Tarmkanalen udstrakt eller dannende en vid Krumning, ikke nucleus-formigt sammen-
rullet (Cyclosalpa, Blainv.):
1. Kjedesalper med finneformigt Vedhæng paa Bugsiden:
a. Aabningerne endestillede:
*) Et liniedannet, violet (i Spir. hvidt) Kirtelorgan paa hver Side af Ryggen;
Tarmkanalen boier sig fra Maven nedad og leber langt fortil hen under
BUSÉRÉEN EE Qh er ee ote SalipaapinmatasForske. Dr. er.
348 14
**) Intet liniedannet Kirtelorgan paa hver Side af Ryggen; Tarmkanalen danner
en stor, aaben, boileformig Krumning . . . Salpa affinis, Cham., pr. gr.
b. Kloakaabningen rygstillet; Tarmkanalen og Testiklen ligger bag Kloakrummel,
indesluttede i et stort, kegleformigt, spidst tillobende Vedheng til Kroppen:
Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt, pr. gr.
2. Enlige Salper med endestillede Aabninger; Tarmkanalen krummer sig fra Maven
opad, fortil og løber langt ud i Gjælleroret:
a. Fem liniedannede, violette (i Spir. hvide) Kirtelorganer paa hver Side af Ryggen;
}, [RONNIE 5 AMEN Bo mo obs ee Salpa pinnata, Forsk., pr. sol.
b. Ingen liniedannede Kirtelorganer paa hver Side af Ryggen:
*) 8 Kropmuskler; der findes ingen dem krydsende Lengdemuskler:
Salpa affinis, Cham., pr. sol.
**) 9 Kropmuskler; der findes 4 dem krydsende Længdemuskler, to paa Ryggen
og to paa Bugen, strækkende sig fra 2den til 6te Tværmuskel:
Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt, pr. sol.
B. Tarmkanalen nucleusformigt sammenrullet :
1. Kjedesalper uden finneformigt Vedheng paa Bugen:
a. Aabningerne endestillede:
*) 5 kun paa Ryggen udviklede Kropmuskler; de tre forreste nærme sig noget
til hinanden midt paa Ryggen, i hvis Midtlinie de forovrigt ere afbrudte;
de to bageste ere parallele:
Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim.-Guv., pr. gr.
”) 7 brede Kropmuskler, af hvilke kun den forreste er afbrudt midt paa
Ryggen; alle ere de afbrudte paa Bugsiden: ;
Salpa hexagona, Quoy & Gaim., pr. gr.
4 Kropmuskler, der kun
b. Mundaabningen endestillet, Kloakaabningen rygstillet;
ere udviklede paa Ryggen, danne to skjæve Kors:
Salpa scutigera-confoederata, Cuv.-Forsk., pr. gr.
c. Aabningerne rygstillede : i
*) Kropmusklerne indbyrdes parallele, 6 i Tallet, alle afbrudte paa Bugsiden:
Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim.-Pall., pr. gr.
+)
Kropmusklerne ikke parallele, alle afbrudte paa Bugsiden:
a. A Kropmuskler, hvoraf de tre forreste nærme sig hinanden midt paa
Fg Legh mato Salpa democratica-mucronata, Forsk., pr. gr.
8. 5 Kropmuskler, der alle tangere hinanden midt paa Ryggen:
Salpa cylindrica, Cuy., pr. gr.
15 i 349
7) 6 Kropmuskler, ordnede i to Grupper; de fire i den forreste og de to
i den bageste Gruppe konvergere henholdsvis med hinanden midt
paa Ryggen.
T 4de og Ste Kropmuskel tangere hinanden paa hver Side af Dyret:
Salpa runcinata-fusiformis, Cham.-Cuv., pr. gr.
FF 4de og 5te Kropmuskel ere langt fjærnede fra hinanden paa hver
SEEN MI LATE ONONENESE Salpa africana-maxima, Forsk., pr. gr.
2. Enlige Salper:
a. Aabningerne endestillede:
*) Kappen er udstyret med kortere eller lengere Vedheng omkring Kloak-
aabningen:
a) Et langt Vedhæng paa hver Side af Kloakaabningen:
+ De to Vedheng ere trinde og stive, 11 stærkt fremspringende
Længdelister strække sig paalangs af Dyret, 11 parallele, sær-
deles brede Kropmuskler, alle afbrudte paa Bugen:
Salpa hexagona, Quoy & Gaim., pr. sol.
++ De to Vedhæng ere hornformige, svagt krummede, i Spidsen
fladtrykte. I Reglen 20, i Midtlinien afbrudte Kropmuskler gaa
tvers over Ryggen og standse i Hoide med Mundvigene:
Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim. — Cuv., pr. sol.
A) Flere korte, stumpe, tornformige Vedhæng omkring Kloakaabningen.
9 Kropmuskler gaa tværs over Ryggen og standse i Hoide med Mund-
vigene; de tre forreste tangere hinanden midt paa Ryggen, ligeledes
de to bageste; de mellemliggende ere parallele:
Salpa runcinata-fusiformis, Cham.-Cuv., pr. sol.
**) Ingen Vedhæng omkring Kloakaabningen:
a) Kropmusklerne er ikke parallele:
+ 4 Kropmuskler, der kun findes udviklede paa Ryggen, konvergere
to og to, saaledes at der dannes to skjeve Kors:
Salpa scutigera-confoederata, Guv.-Forsk., pr. sol.
++ 9 Kropmuskler, der alle ere afbrudte paa Bugsiden; de 4 forreste
konvergere midt paa Ryggen. Fosterkjeden ligger udstrakt under
Bugfuren foran Tarmkanalen:
i Salpa cylindrica, Cuv., pr. sol.
2) Kropmusklerne ere i Reglen parallele, 9—10 i Tallet; de løbe tværs
350 ; 16
over Ryggen og standse i Heide med Mundvigene. Fosterkjeden er
krummet og synes") at ville sno sig rundt om ‘Tarmkanalen:
Salpa afrieana-maxima, Forsk., pr. sol.
b. Kloakaabningen er rygstillet.
*) Et langt, tyndt, pidskeformigt Vedhæng paa hver Side af Kloakaabningen.
6 parallele, smalle Kropmuskler:
Salpa democratica-mucronata, Forsk., var. flagellifera, pr. sol.
*) Flere (7—8) Vedhæng omkring Kloakaabningen, hvoraf et paa hver Side
kan naa Kroppens halve Lenge, de ovrige ere korte og tornformige.
6 smalle Kropmuskler, som med Undtagelse af den forreste, der er afbrudt
i Ryggens Midtlinie, og den bageste, der er afbrudt i Bugens Midtlinie,
gaa belteformigt rundt. 2den, 3die og 4de Kropmuskel konvergere paa
Ryggen, ligeledes dte og 6te. Paa Bugsiden konvergere 4de og 5te Krop-
muskel ....... Salpa democratica-mucronata, Forsk., pr. sol.
Bagkroppen ender i en stor, kegleformig, spids, skraat nedad rettet For-
længelse. 6 særdeles brede, parallele Kropmuskler, der baade ere afbrudte
i Ryggens og Bugens Midtlinie:
“ss
)
Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim.-Pall. pr. sol.
Synopsis Salparum.
A. Tractus intestinalis porrectus aut curvaturam hiantem formans, non nucleiformis
(Cyclosalpa, Blainv.).
1. Salpæ gregatæ appendice pinniformi ventrali ornate :
a. Aperturæ terminales:
*) Unum organum lineiforme, longitudinale superne utrinque. Tractus intesti-
nalis sub endostylum porrectus . . . . . . Salpa pinnata, Forsk., pr. gr.
“) Nullum organum lineiforme, longitudinale superne utrinque. Tractus
intestinalis (curyatus "#00 0... al pa añffinis. Gham., pret:
b. Apertura cloacalis in dorso sita. Traetus intestinalis et testis post cavitatem
cloacalem in abdomine magno, conico, acuminato siti:
Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogl, pr. gr.
1) Jeg har kun havt unge Exemplarer til min Disposition.
17 351
2. Salpæ solitariæ aperturis lerminalibus, tractu intestinali in tubum branchialem
porrecto:
a. Organa lineiformia, longitudinalia superne utrinque 5. Museuli corporis 8:
Salpa pinnata, Forsk., pr. sol.
b. Organa lineiformia, longitudinalia superne utrinque nulla:
*) Musculi corporis 8; musculi longitudinales nulli:
Salpa affinis, Cham., pr. sol.
“) Musculi corporis 9; præterea quatuor musculi longitudinales inter musculum
transversum secundum et sextum suspensi:
Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt, pr. sol.
B. Tractus intestinalis nucleiformis:
I. Salpæ gregate sine appendice pinniformi ventrali:
a. Aperture terminales:
*) Musculi corporis 5 in dorso siti; tres antici in medio dorso interrupti et
approximati; duo postici paralleli:
Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim.-Cuv., pr. gr.
“) Musculi corporis 7 lati, in medio ventre interrupli, primus et in medio
dorso interruptus; musculi quatuor antici in medio dorso approximati:
Salpa hexagona, Quoy & Gaim., pr. gr.
b. Apertura oris terminalis, apertura cloacalis in dorso sita. Musculi corporis 4,
in dorso siti, figuras X-formes duas formantes:
Salpa scutigera-confoederata, Cuv.-Forsk., pr. gr.
c. Aperture in dorso site:
*) Musculi corporis 6 paralleli, lati; omnes in medio ventre interrupti, primus
et in medio dorso interruptus:
Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim.-Pall., pr. gr.
**) Musculi corporis non paralleli, tenues, omnes in medio ventre interrupti:
a) Musculi corporis 5, quorum dres antici æque ac duo postici in medio
dorso approximati:
Salpa democratica-mucronata, Forsk., pr. gr.
#) Museuli corporis 5, omnes in medio dorso approximati:
Salpa cylindrica, Cuv., pr. gr.
7) Musculi corporis 6, quorum quatuor antici æque ac duo postici in
medio dorso approximati:
7 Rami descendentes quarti et quinti musculi corporis in utroque
latere approximati et attingentes, posteaque divergentes:
Salpa runcinata-fusiformis, Cham.-Cuv., pr. gr.
Vidensk. Selsk. Skr., 6 Række, naturvidensk. og matlıem. Afd. II. 8. 45
bo
18
++ Rami descendentes quarti et quinti musculi corporis in utroque
latere non approximati:
Salpa africana-maxima, Forsk., pr. gr.
Salpæ solitariæ :
a. Aperturæ terminales:
*) Tunica circum aperturam cloacalem appendicibus brevioribus aut longi-
oribus ornata:
a) Appendix longa, utroque latere aperturæ cloacalis una:
+ Appendices due, longæ, cylindrice. Tunica cristis longitudinalibus
11, valde prominentibus ornata. Musculi corporis 11, latissimi,
paralleli, omnes in medio ventre interrupti:
Salpa hexagona, Quoy & Gaim., pr. sol.
+} Appendices due, longe, curve, extremitate depresse. Musculi
corporis 18—20, in dorso siti, medio dorso interrupti:
Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim.-Cuv., pr. sol.
A) Appendices plures, breves, spiniformes. Musculi corporis 9, in dorso
siti; tres anlici æque ac duo postici in medio dorso approximati,
ceteri paralleli:
Salpa runcinata-fusiformis, Cham.-Cuv., pr. sol.
**) Appendices circum aperturam cloacalem nullæ:
a) Musculi corporis non paralleli:
+ Musculi corporis 4, in dorso siti, figuras X-formes duas formantes:
Salpa scutigera-confoederata, Cuv.-Forsk., pr. sol.
++ Musculi corporis 9, omnes in medio ventre interrupti, 4 antici
in medio dorso approximati:
Salpa cylindrica, Cuv., pr. sol.
Bi Musculi corporis 9—10, plerumque paralleli, in dorso siti:
Salpa africana-maxima, Forsk., pr. sol.
b. Apertura cloacalis in dorso sita:
*) Appendix longa, tenuissima, flagelliformis, utroque latere aperture cloacalis
una. Musculi corporis 6 paralleli, tenues:
Salpa democratica-mucronata, Forsk., var. flagellifera, pr. sol.
™) Appendices circum aperturam cloacalem complures (7—8), quarum una utroque
latere longitudinis dimidii corporis; ceteræ breves, spiniformes. Musculi
corporis 6 — anticus (in medio dorso interruptus) et posticus (in medio
ventre interruptus) excepti — corpus cingentes; musculus seeundus, terlius,
quartus que ac quintus et sextus in medio dorso, quartus et quintus in
medio ventre approximali:
Salpa democratica-mucronata, Forsk., pr. sol.
‘*) Extremitas posterior corporis in spinam brevem, conicam, acuminatam
desinens. Musculi corporis 6, latissimi, paralleli, et in medio dorso et in
medio ventre interrupti:
“ Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim.-Pall. pr. sol.
Salpa pinnata, Forskähl.
Tab. I, Fig. 1—5.
Synonymi og Literatur.
Thalia Nr. 1, Nr.2 og Nr. 3, Browne, p. 384, Tab. 43, fig. 3—4.
Holothuria thalia, L., Nr. 1, p. 657 (opstillet paa Browne’s Thalia Nr. 1).
Holothuria caudata, L., Nr. 1, p. 657 (opstillet paa Browne’s Thalia Nr. 2).
Holothuria denudata, L., Nr. 1, p.657 (opstillet paa Browne’s Thalia Nr. 3, annuleret hos
Gmelin og Lamarck).
Salpa pinnata, Forsk., p. 113, Tab. 35, Fig. B. — Brug., pl. 74, Fig. 7—8. — Bosc, Nr. 1,
p. 179. — L., Nr. 3, p. 3129. Nr.2. — Lam., p. 116. — Cham., p. 8, Fig. 1 A—I.
— Blainv., p.108. — Meyen, p.406, Tab. 27. — Delle Chiaje, Nr.2, p.39,
Tay. 77, Fig. 7—8. — Costa, Nr. I, p.227, Tav. 3, Fig. I. A,B. — Müller, Nr. 1,
p. 57 (etc.). — Vogt, Nr. I, p.35 (etc.), Fig. 6—19; Nr.3, p. 14, Tab. V, Fig. 1—8,
15—17, Tab. VI, VII, VII og IX, Fig. 1—2. — Leuck., p.3 (ete.), Tab. 1, Fig. 2,
7 og 13 og Tab. 2, Fig. 2. — Mc. Donald, p. 181. — Costa, Nr. 3, p. 438.
Salpa cristata, Cuvier, Nr. I, p. 366, PI. 68, Fig. 1—2. — Lam., p.118. — Cuvier, Nr. 3,
PI. 123, Fig.-1—1a.
Salpa pelasgica, Bosc, Nr. 1, p.181, Tab. 20, Fig. 4.
Salpa thalia, L., Lam., p. 119.
Salpa caudata, L., Lam., p. 119.
Salpa proboscidalis, Less., Nr. I, p. 95, Pl. 33, Fig. 2.
Beskrivelse.
Proles gregata. Corpore longo; dorso depresso; ventre compresso et appendice
pinniformi ornato. Aperturis terminalibus. Musculis corporis 5 — postico excepto,
45"
54 20
corpus cingente — in medio ventre interruptis; musculis duobus anticis in medio dorso
coalilis; musculis tertio et quarto in medio dorso approximatis; musculis duobus posticis
in utroque latere musculo longitudinali conjunctis. Tractu inteslinali sub endostylum
porrecto; ano paulo post extremitatem anteriorem endostyli ad sinistram partem ejus silo;
ventriculo appendice simplice cæca ornato. Linea superne utrinque longitudinali una.
Proles solitaria. Corpore longo, cylindrico, subdepresso, antice ventricoso. Aper-
turis terminalibus. Musculis corporis 8 — postico excepto, corpus cingente — et in
medio dorso et in medio ventre interruptis; musculis duobus posticis in utroque latere
dorsi approximatis. Traetu intestinali in tubum branchialem porrecto; ano paulo post
ganglion ad sinistram partem ejus sito; ventriculo appendice duplice cæca ornato. Lineis
superne utrinque longitudinalibus 5.
Kjedesalpen (proles gregata).
Kroppen er langstrakt, næsten trekantet i Tværsnit; Ryggen fladtrykt, Bugen skarp
med et noget foran Midten siddende, sammentrykt, finneformigt Vedhæng, hvormed Dyret
er — eller har været — forbundet med de øvrige Medlemmer af Kjeden. Det største
Exemplar var 56" langt og havde i sig et Foster af 28"% Længde. I en nyfødt Kjede
maalte det største Individ ca. 7°" i Længden.
Kappen er geléagtig og temmelig tyk, især paa Bugsiden.
Aabningerne ere endestillede. Mundaabningen ses som en bred Tværspalte paa
Forenden; Underleben er tykkest og noget mere fremspringende end Overlæben. Kloak-
aabningen er rund; den sidder paa Spidsen af den tudformige, skraat opadboiede, med rig
Ringmuskulatur udstyrede Bagende.
Kropmusklerne ere 5 i Tallet. Kun den bageste gaar bælteformigt rundt om
Dyret; de øvrige ere alle afbrudte midt paa Bugen. {ste og 2den Kropmuskel ere sammen-
smeltede midt paa Ryggen; de forene sig atter ved Grunden af det finneformige Vedhæng
og sende deres nederste fri Ender ud i samme. Paa hver Side afgiver 1ste Kropmuskel
2 næsten parallele Grene, der løbe fortil og forene sig med Mundaabningens Muskelsystem.
3die og 4de Kropmuskel nærme sig noget til hinanden i Ryggens Midtlinie. Nede paa
hver Side deler 4de Kropmuskel sig gaffelformigt; den forreste af disse Grene løber hen
foran Svælget; den bageste, som næsten naar sammen med den fra den modsatte Side,
løber bagom Mavens blindtarmsagtige Forlængelse. Ste Kropmuskel sender paa hver Side
af Kroppen en Gren fremad til 4de Muskel, som modtager den lidt ovenfor Gaffeldelingen.
Mundhulen er cylinderformig, videst fortil, gaar jævnt over i det bagtil stærkt ind-
snevrede Kloakrum. Det kugleformige Nervecentrum ligger lige foran iste Kropmuskel,
langt bagenfor Gjællerorets forreste Ende; fra Rygsiden af Nerveknuden rager en lysere
21 355
farvet, keglestubformig Udvæxt i Veirel; paa Toppen af denne Udvæxt findes 3 Pigment-
hobe; hele dette Apparat tydes som Synsorgan.
Fimreorganet ligger lige foran Gjællerorets forreste Ende og dannes af en flad,
rundagtig Fordybning, noget bredere end lang, omgivet af en uregelmæssigt bolgeformig,
fremspringende Rand, der fortil næsten fuldstendig udviskes.
Gjælleroret er temmelig svært, den forreste Del stærkt sammentrykt. Forenden af
Gjælleroret er fastgjort til Mundhulens Loft og strækker sig fra Fimreorganet til bag om
2den Kropmuskel. Der findes omtrent 124 Fimreplader paa Gjellerorets Forside.
Bugfuren begynder tet indenfor Mundaabningen, er opadkrummet i sin forreste
Ende, iovrigt temmelig lige; den naar helt hen til Svelget
Tarmkanalen er udstrakt (ikke nucleus-formigt sammenrullet); Svælget er tragt-
formigt, Spiseroret krummer sig bagtil og nedad og fortsetter sig over i en fremadrettet,
langstrakt Mave, der berer et stort, blindtarmsagtigt, i Spidsen afrundet, opadkrummet
Vedhæng, som strekker sig bagtil i Midtlinien af Bugen hen til 4de Kropmuskels bageste
Gren. Den lange, rummelige Tarm lober i den store Blodlacune under Bugfuren lige
fortil og udmunder med en opadvendende, skraat bagtil afskaaret Anus paa venstre Side af
Bugfuren, et Stykke bag dennes Forende.
Testiklen udvikler sig under Bugfuren, mellem denne og Tarmkanalen; den er
langstrakt, cylindrisk, noget tilspidset i begge Ender; en Udforselsgang lober fortil og ud-
munder i Mundhulens Gulv, noget bag ved Anus.
Et langstrakt, lappet, cylindrisk, mod begge Ender tilspidset, i levende Live violet
eller hvidligt farvet Kirtelorgan (Nyre?) ligger paa hver Side af Ryggen imellem 2den og
3die Kropmuskel.
Fosterets Stilling. Kun et enkelt Foster anlægges; det findes fasthæftet i Kloak-
rummet paa hoire Side mellem 3die og 4de Kropmuskel. Fosterets Mund- og Kloak-
aabning vende henholdsvis i samme Retning som Kjedesalpens.
Salpekjedens Medlemmer ere stillede i en Kreds med Bugsiden indad og hæftede
til hinanden ved det oven nævnte finneformige Vedheng; de vende alle Mund- og Kloak-
aabning i samme Retning. I Reglen bestaar Kjeden af 9—12 Medlemmer.
Den enlige Salpe (proles solitaria).
Kroppen er langstrakt, buget; Forenden bred og svær, Bagenden spids og tud-
formig. Største Exemplar: 75™™ langt og 33"" bredt.
Kappen er tyk og geléagtig.
Aabningerne ere endestillede; Mundaabningen ses som en bred Spalte paa Forenden;
Kloakaabningen er rund; den sidder paa Spidsen af den tudformige Bagende.
Kropmusklerne ere 8 i Tallet, alle — med Undtagelse af den bageste, som gaar
bælleformigt rundt — afbrudte saavel i Ryggens som i Bugens Midtlinie. Iste Kropmuskel
sender paa hver Side to fortil konvergerede Grene hen til Mundaabningens Muskelsystem.
De nedre Ender af samme Iste Kropmuskel dreie sig langt bagud paa Bugfladen; dette
nys nevnte Forhold gjentager sig om end i langt ringere Grad for 2den Kropmuskels
Vedkommende. 7de Kropmuskel konvergerer paa hver Side med 8de. løvrigt lobe alle
de andre Muskler parallelt. De nedre fri Ender af 4de, 5te, 6te og 7de Kropmuskel dreie
sig noget fortil paa Bugfladen.
Mundhulen er cylindrisk, videst fortil, gaar jævnt over i Kloakrummet, der er
tragtformigt indsnevret bagtil.
Nerveknuden er kugleformig og sidder lige foran {ste Kropmuskel. Synsorganet
er stort, knapformigt, med 3 Pigmenthobe paa Overfladen. Fimreorganet er stort og fladt
og ligger lige foran Gjællererets forreste Ende; dets fremspringende Rand er stærkere
bolgeformig end hos Kjedesalpen.
Gjelleroret er langt og smalt; dets Forende er fastgjort til Mundhulens Loft lige
fra Fimregruben til bag om Iste Kropmuskel.
Bugfuren begynder tet indenfor Mundaabningen og lober hen til Svelget.
Tarmkanalen er udstrakt (ikke nucleus-formigt sammenrullet). Svelget er rummeligt,
tragtformigt. Spiseroret krummer sig bagtil og opad ind i Maven, der tillige med Tarmen
er boiet fortil og lagt ind i Gjælleroret. Paa den Del af Maven, som vender bagud, i
samme Retning som Kloakaabningen, sidde to ved Siden af hinanden stillede Blindsække.
Tarmen, der som alt sagt løber ud gjennem Gjelleroret, boier sig lidt bagved Nerveknuden
tilvenstre og udmunder i en forholdsvis snever, lige afskaaret Anus.
Fem langstrakte cylindriske, i levende Live violet- eller hvidfarvede Kirtelorganer
(Nyrer?) ligge i en Række paa hver Side af Ryggen; det forreste mellem Iste og 2den
Kropmuskel, det bageste mellem 5te og 6te Kropmuskel.
Fosterkjeden ligger paa Bugsiden, neden under Bugfuren. Kimroret begynder
omtrent i Hoide med 5te Kropmuskel. Kjeden lober skraat nedad fortil. I Modsætning
til de øvrige Salpe-Arter, med Undtagelse af S. affinis og S. dolicosoma-virgula, findes her
intet Spring i Udviklingen af Individerne i Fosterkjeden. Kjeden fødes i smaa Partier ad
Gangen. Kjedesalperne, som ere stillede i to Rækker med Bugsiden mod hinanden,
gruppere sig umiddelbart efter Fodselen mere eller mindre regelmæssig ringformigt.
Findesteder.
Atlanterhavet: 156° 8° N.Br., 26° 30° V.L. (Andrea). ? 52° 47‘N.Br., 13° 10/ V.L. (Branner).
847° N. Br., 27° V. L. (Hygom). {46° N.Br., 10° V.L. (Stübe). °43° 30° N. Br.,
32° 40‘ V.L. (Andréa) 643° N.Br., 36° V.L. (Mus. R.). 742° 38° N. Br., 29°
34° V.L. (Warming). °42° 20’ N. Br., 15° V. L. (Andrea). °42° N.Br., 44° V. L.
SEAN EENE BER SO VAL MMA EN Br 15820 VI SOON Br LAON:
1388 N. Br., 232%, 125° og 15302 V. DL. (Hygom).: 16372 402 N. Br:, 51°20’ V. L.;
US ON BR RSI OV 125365 30O0N Br 1282130 V1., MS SST ON (Br.
20324. SOS GÉGON APT RGP DEU CHAN" Br 2700 VAN Andreas
#236° N. Br., 30° 30° V. L. (Thomsen). 2°35° N. Br., 30° V.L.; 2434° N. Br., 30°
Val Ota a Nab Tap LOVE SISENS BEGAV SE ZT IS ANA Brailes Go Velie
28 30° N. Br., 32° V.L. (Hygom). >? V. for Azorerne (Kjellerup). °° 28° N. Br., 23°
V. Le; 831728 N. Br., 35° V.L. (Hygom). 82 25°35’ N. Br., 32° V. L. (R. Nielsen).
83.24° N. Br., 30° V.L. (Hedemann). °*24° N.Br., 39° V.L. (Hygom). #5 22° 4/
N. Br., 24° 40’ V. L. (Reinhardt). °° Vestindien (Suenson). 27 Jamaica (ifl. Brown,
p.384). 38 19° N. Br. 39° V. L. (Hygom). °° S.f. Rio (Reinhardt).
Middelhavet: «non procul a rupe Belgran juxta insulam Yvicam» (ifl. Forskähl). Nizza (ifl.
Vogt). Neapel.
Det Stille Hav: «Litt. oce. Amer. merid.» (Reinhardt).
Salpa affinis, Chamisso.
Tab. I, Fig. 6—8.
Synonymi og Literatur.
Salpa affinis, Cham., p. 11, Fig. 2 A—F. — Blainv., p. 119. — Meyen, p. 407. —
Vogt., Nr. 3, p. 8 (citeret).
Beskrivelse.
Proles gregata. Corpore longo; dorso depresso; ventre compresso et appendice
pinniformi ornalo. Aperturis terminalibus. Musculis corporis 5 — duobus posticis exceptis
corpus cingentibus et in utroque latere musculo longitudinali conjunctis — in medio ventre
interruptis. Tractu intestinali curvato (non nucleiformi); ano post pharyngem, ad sinistram
partem ejus sito; ventriculo appendice cæca non ornato. Linea superne utrinque longi-
tudinali nulla.
Proles solitaria. Corpore longo, cylindrico. Aperturis terminalibus. Musculis
corporis 8 — duobus posticis exceptis corpus cingentibus — in medio ventre interruptis;
duobus anticis preterea in medio dorso interruptis. Musculis duobus posticis in utroque
latere dorsi approximatis. Traetu intestinali in tubum branchialem porrecto; ano paulo
post ganglion ad sinistram partem ejus silo; ventriculo appendice duplice cæca ornato.
Lineis superne utrinque longitudinalibus nullis.
Kjedesalpen (proles gregata).
Kroppen er langstrakt, fladtrykt; det finneformige Vedhæng paa Bugsiden, hvormed
Dyret er — eller har været — forbundet med de ovrige Medlemmer af Kjeden, strækker
sig noget længere bagtil end hos Salpa pinnata. Det største Exemplar var 36"" langt og
havde i sig et Foster af ca. 107" Længde.
Kappen er meget tyk og geléagtig.
Aabningerne ere endestillede. Mundaabningen ses som en bred Tværspalte paa
Forenden. Kloakaabningen er rund; den sidder paa Spidsen af den tudformige, med rig
Ringmuskulatur udstyrede Bagende.
Kropmusklerne ere 5 i Tallet. De ere parallele og alle — med Undtagelse af de
to bageste, der gaa belteformigt rundt om Dyret — afbrudte midt paa Bugen. Iste Krop-
muskel, der paa hver Side afgiver to fortil løbende og konvergerende Grene, som forene
sig med Mundaabningens Muskelsystem, krummer sig midt paa Ryggen noget bagud.
åde Kropmuskel udsender paa hver Side en Gren, som løber nedad hen foran Tarmkanalen;
den samme 4de Kropmuskel staar nogel længere nede mod Bugfladen ved en anden Gren
i Forbindelse med 5te Kropmuskel.
Mundhulen er cylindrisk, bredest fortil, gaar jævnt over i det baglil noget ind-
snevrede Kloakrum.
Nerveknuden er kugleformig og ligger lige foran {ste Kropmuskel, langt bagenfor
Gjællerørets forreste Ende; Synsorganet er cylinderformigt, temmelig høit og smalt.
Fimreorganet ligger tæt foran Gjællerøret; det er fladt med bred, lappet Forrand;
bagtil er det spidst; idet hele taget har det Form som en bred, kort Vifte med bagud
rettet Haandtag.
Gjællerøret er langt og noget spinklere end hos Salpa pinnata, den forreste Ende
er fastgjort til Mundhulens Loft paa Strækningen fra Fimreorganet til lidt bag ved Iste
Kropmuskel.
Bugfuren begynder tæt indenfor Mundaabningen, er svagt opadkrummet i sin
forreste Ende og løber helt hen til Svælget.
Tarmkanalen danner her i Modsætning til Forholdet hos Salpa pinnata en stor,
aaben Løkke, en Slags Tilløb til at antage den fra de fleste Salper kjendte Nucleus-Form.
Svælget er rummeligt, tragtformigt; Spiserøret, som er meget snevert og kort, gaar nedad,
over i en rummelig Mave, der ikke er udstyret med blindsækagligt Vedhæng. Maven
fortsætter sig i Spiserørets Retning skraat nedad tilheire og gaar dernæst over i en snever
Tarm, som snart danner et Knæ og løber et Stykke fortil, hvorpaa den atter danner et
Knæ og stiger skraat opad tilvenstre; endelig dreier Endetarmen, som løber skraat opad,
bagtil og udmunder i en snever Anus, et Stykke bagved Svælget, tilvenstre for Midiplanen.
Testiklen ligger i Tarmlokken mellem de to nys omtalte Knæ.
Fosterets Stilling. Kun et enkelt Foster findes anlagt i Kloakrummel paa hoire
Side mellem 3die og 4de Kropmuskel, nærmest ved den forste.
Salpekjedens Form synes ikke at afvige fra det for Salpa pinnata’s Vedkommende
omlalte Forhold.
Den enlige Salpe (proles solitaria).
Kroppen ligner i Henseende til Formen ganske S. pinnata, Det største Exemplar,
jeg havde til Undersøgelse, var Al"" langt og bar endnu Fostermirkerne.
Kappen er tyk og geléagtig.
Aabningernes Form og Stilling er ganske som hos Salpa pinnata.
Kropmusklerne ere 8 i Tallet. Med Undtagelse af 7de og Sde Kropmuskel, der
gaa bælteformigt rundt om Dyret, naar ingen af de ovrige sammen i Bugens Midllinie ;
Iste og 2den Kropmuskel ere desuden afbrudte midt paa Ryggen. 1ste Kropmuskel sender
paa hver Side to tet ved hinanden lobende Grene hen til Mundaabningens Muskelsystem ;
paa Bugsiden ere samme {ste Kropmuskels fri Ender krammede bagud henimod 2den Krop-
muskel, dog næppe saa stærkt som hos Salpa pinnata. Tde og 8de Kropmuskel tangere
hinanden paa hver Side af Ryggen. lovrigt løbe Musklerne parallelt med omtrent lige
store Mellemrum imellem sig.
Mundhulen er cylindrisk, videst fortil.
Nerveknuden er kugleformig og ligger tæt foran {ste Kropmuskel.
Fimreorganet har samme Udseende som hos proles gregata.
Gjællerøret er med sin forreste Ende fastgjort til Mundhulens Loft paa Strækningen
fra Fimreorganet Lil lidt bagved Iste Kropmuskel.
Bugfuren afviger i Form og Forløb ikke væsentlig fra Forholdet hos Kjedesalpen.
Tarmkanalen er ganske som hos Salpa pinnata udstrakt og lagt ud i Gjielleroret;
Maven har ligesom hos denne en dobbelt Blindsæk.
Fosterkjedens Stilling og Udseende er som hos Salpa pinnata. Jeg har kun set
en enkelt hel Kjede, som bestod af 9 Medlemmer.
Findesteder.
Atlanterhavet: ! Kanariske Øer (ifl. Meyen). * Guinea (Dr. Thams). * 3° 30! N.Br., 20'
V.L. (Andrea). * 2° N. Br., 21° og 25° V. L. (Hygom).
Middelhavet (ifl. Vogts Liste, Nr. 3, p. 8).
Det Stille Hay: Omkring Sandwichoerne (ifl. Ghamisso).
Vidensk. Selsk. Skr., 6 Række, naturvidensk. og mathem. Afd. Ul. 8 46
360 26
Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt.
Tab. I, Fig. 9.
Synonymi og Literatur.
13.
Salpa dolicosoma, Todaro, Nr. 2, p.41—43. (Her paavises Forholdet til Salpa virgula, og
Salpa virgula, Vogt, Nr. 3, p. 11—12, Tab. 5, Fig. 12
den sammensatte Betegnelse: Salpa dolicosoma-virgula anvendes.)
Beskrivelse.
Proles gregata. Corpore longo, abdomine magno, conico acuminatoque; extre-
mitate anteriori subtruncata; ventre appendice pinniformi ornato. Apertura oris terminali;
apertura cloacali in dorso sita. Musculis corporis 4. Tractu intestinali curvato (non nuclei-
formi), in abdomine conico sito; ventriculo appendice ceca simplice ornato; ano prope
aperluram cloacalem sito.
Proles solitaria. Corpore longissimo, cylindrico. Aperturis terminalibus. Museulis
corporis transversalibus 9, preterea quatuor musculi longitudinales inter musculum trans-
versalem secundum et sextum suspensi. Tractu intestinali in tubum branchialem porrecto;
ventriculo appendice cæca bifurcata ornato.
Kjedesalpen (proles gregata).
Kroppen har en særdeles karakteristisk Form. Den bestaar af to i hej Grad ulige
Halvdele, hvoraf den forreste er cylindrisk og er optagen af Gjælle- og Kloakrum med Til-
behor, medens den bageste, kegleformige Halvdel, der med sin Basis er sammensmeltet
med Forparten af Kroppen og bagtil lober ud i en Spids, omslutter den ovrige Indvolds-
masse. Fortil paa Bugsiden findes et stort, fra Siden set firkantet, finneformigt Vedhæng
til Forbindelse med de øvrige Medlemmer af Kjeden. Totallengden udgjer omtrent 30",
Kappen er ikke særligt beskrevet.
Mundaabningen sidder paa den jævnt afrundede Forende saa høit oppe, at den kan
siges at være iferd med at vandre om paa Ryggen; den er betydelig bredere end den som
en kort Tud udseende Kloakaabning, der sidder langt fremme paa Ryggen.
Kropmusklerne ere 4 i Tallet; de ere svage og synes at lobe parallelt tværs over
Ryggen; efter Tegningen hos Vogt at domme ere de alle afbrudte paa Bugsiden.
Mund- og Kloakrummet danner en aflang, cylindrisk Hule.
Nerveknuden ligger tæt bagved Mundaabningen.
Fimreorganet omtales ikke.
Gjællerøret er temmelig kort og svagt S-formigt krummet.
Bugfuren strækker sig helt hen til Svælget.
97 361
Tarmkanalen er ikke nucleusformigt sammenrullet; den danner en stor, vid Krum-
ning i Kroppens bageste Del; Maven er udstyret med en Blindsæk; Anus udmunder hoil
oppe i Kloakrummet, ikke langt fra selve Kloakaabningen.
Testiklen er langstrakt, tendannet og ligger langt tilbage, ude i Bagkroppens kegle-
formige Vedhæng; dens Udførselskanal udmunder fortil, ikke langt fra Anus.
Saadanne Kirtelorganer som de, der findes hos Salpa pinnata foroven paa hver
Side af Ryggen, omtales ikke for den nærværende Arts Vedkommende, hverken hos Kjede-
salpen eller den enlige Salpe.
Fosterets Stilling. Kun et enkelt Foster findes anlagt indvendig paa Kloakrummets
hoire Side, omtrent lodret under Kloakaabningen.
Salpekjedens Medlemmer ere grupperede ganske paa samme Maade som hos Salpa
pinnata og affinis.
Den enlige Salpe (proles solitaria).
Kroppen er særdeles langstrakt, glasklar og blød; der findes to røde Pletter i
Mundvigene. Ca. 150%" lang og 50"" bred,
Kappen omtales ikke særligt.
Aabningerne ere endestillede; Mundaabningen er stor og bred, Kloakaabningen for-
holdsvis lille og rund.
Kropmusklerne ere 9 i Tallet, som løbe påatværs, men desforuden findes 4 Længde-
muskler, to paa Ryggen og to paa Bugen, som strække sig fra den den til den 6te
Tværmuskel.
Mundhulen og Kloakrummet,
Nerveknuden,
Fimreorganet,
Gjællerøret og
Bugfuren finder jeg ikke omtalte af Todaro.
Tarmkanalens Stilling er ganske som hos de enlige Former af Salpa pinnata og
affinis. Maven er forsynet med en dobbelt Blindsæk.
Fosterkjeden ligger paa Bugsiden; den begynder i Hoide med den 6te Kropmuskel
og løber fortil mellem de to Længdemuskler, parallelt med disse, indtil Mellemrummet
mellem Iste og 2den Kropmuskel, hvor den beier sig tilhoire og udmunder paa Siden.
Findesteder.
Middelhavet: Villafranca Bugten (ifl. C. Vogt). — Neapels Golf (ifl. Todaro).
Anm. Ovenstaaende Beskrivelser ere for Kjedesalpens Vedkommende en Gjengivelse af C. Vogts, for den
enlige Salpes Vedkommende af Yodaro’s Beskrivelser.
46"
O2
for)
DO
bo
D
Salpa seutigera-confoederata, Cuvier-Forsk.
Tab. Il, Fig. 23, 24 og 46.
Synonymi og Literatur.
Salpa confoederata, Forsk., p. 115, Tab. 36, Fig. A. — Brug., PI. 75, Fig. 2—4. — Bosc,
Nr. 1, p. 179. — L., Nr. 3, p. 3130, Nr. 6. — Lam., p. 117. — Risso, p. 284. —
Blainv., p. 111. — Meyen, p. 410 (mindre rigtigt sammendrages denne Form med
S. fasciata, Forsk. og S. africana, Forsk.; ligeledes mener han, at S. runcinala,
Cham., og «sandsynligvis» S. vaginata, Cham., hore herhen).
Salpa sculigera'), Cuvier, Nr. I, p.377, Pl. 68, Fig. 4—-5. (Ligel. Mém. Moll, p. 20 Fig. 7).
— Lam., p.118. — Blainv., p. 110. — Non Delle Chiaje, Nr. 2, p. 39, Tav. 66,
Fig. 21 og Tav. 78, Fig. 13 (begge Figurer minde om S. africana-maxima).
Salpa octophora !), Cuvier, Nr. 1, p. 379, Pl. 68, Fig. 7 (Mem. Moll., p. 20, Fig. 7). — Lam.,
p. 118. — Blainy., p. 110. — Meyen, p. 416.
Salpa vivipara, Péron & Les., Pl. 30, Fig. 3.
Pegea octophora, Sav., p. 124, PI. 24, Fig. 1.
Salpa ferruginea, Cham., p. 23, Fig. 10 A—-D. — Blainv., p. 110. — Meyen, p. 417.
Salpa gibba, Bose, Nr. I, p. 178, Pl. 20, Fig. 5.
Salpa socia, Bosc, Nr. 1, p. 180, PI. 20, Fig. 1—3. — Meyen, p. 409.
Salpa bicaudata, Quoy & Gaim., Nr.3, Fig. A, 1—3. — Quoy & Gaim., Nr.4, p. 225,
PI.8 A, Fig. 1—2. — Blainy., p. 123.
? Salpa dolium, Quoy & Gaim., Nr. 5, p. 575, PI. 90, Fig. 1—8 (cit. efter Krohn).
Salpa nephodea, Less., Nr. 2, p. 272.
Salpa seutigera-confoederata, Vogt, Nr. 3, p. 6.
Beskrivelse.
Proles gregala. Corpore longo, cylindrico, subdepresso; extremilate anteriori
truncala, extremitate posteriori rotundata. Apertura oris terminali; apertura cloacali in
dorso sila. Musculis corporis 4, in dorso silis, figuras X-formes duas formantibus.
Proles solitaria. Corpore brevi, lato; extremilale anteriori subrotundata; extremilale
posteriori acula; dorso depresso; ventre medio depresso. Aperturis lerminalibus. Musculis
corporis 4, in dorso silis, figuras X-formes duas formantibus.
1) Cuviers Exemplarer skrive sig ifl. Lamarek og Blainville fra Pérons og Lesueurs Reise. — Home
afbilder Tab. 73, Fig. I et Stykke Kjede af denne Art.
29 DAD
209
Kjedesalpen (proles greyata).
Kroppen er langstrakt, cylindrisk, noget fladtrykt; fortil lige afskaaret, bagtil
afrundet. Det største Exemplar var 115% langt og bar et 43™™ Jangt Foster i sig.
Kappen er med Undtagelse af det bageste tykke og bruskagtige Parti, som omgiver
Indvoldsmassen, temmelig tynd og blød. Undertiden ere Individerne i enkelte Kjeder for-
synede med et langt, tyndt Vedhæng paa hver Side af Kloakaabningen (Salpa bicaudata,
Quoy & Gaim.).
Mundaabningen er endestillet og bred, Kloakaabningen rygstillet.
Kropmusklerne ere 4 i Tallet, spinkle og kun udviklede paa Rygsiden; de nærme
sig to og to tet til hinanden midt paa Ryggen og danne to skjæve Kors, det ene bagved
det andet. Denne Muskelkonstellation gjentager sig hos den enlige Salpe, og bliver saa-
ledes et for Arten karakteristisk Kjendetegn.
Mundhulen er rummelig, cylindrisk, omtrent ens vid overalt.
Nerveknuden er lille, kugleformig; den ligger langt foran Iste Kropmuskel, lige
bagved Fimreorganets øverste, bageste Hjørne. Paa den forreste, øverste Del af Nerve-
knuden sidder et temmelig stort, knapformigl Synsapparat.
Fimreorganet er indsænket i den Del af Mundhulens Loft, som ligger lige foran
Gjællerøret, og i den forreste Ende af dette. Det dannes af en næsten lige saa lang som
hei, ganske smal Hulhed, hvis faste Bund begynder fortil med en nedboiet Spids og der-
næst løber parallel med Dyrets Længdeaxe til hen tæt foran Nerveknuden; her boier den
knæformigt af og stiger lodret ned paa Gjællerørets Forflade, dreier nok engang og løber
fortil; tilsidst ender den med en opadboiet Spids noget bag ved og lavere end Begyndelsen;
imellem disse to krummede Spidser ligger en spalteformig Aabning, hvormed Fimreorganets
Hulhed udmunder i Mundhulen.
Gjællerøret er langt, stærkt bygget, fastgjort foroven til Mundhulens Loft paa
Strækningen fra Fimreorganet til i Højde med Randen af Iste Kropmuskel. Der findes ca.
83 Fimreplader paa Gjællerørets Forside.
Bugfuren begynder med en svag Krumning fortil tæt indenfor Underlæbens Rand,
har iøvrigt et lige Forløb og naar helt hen til Svælget.
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen ligger lavt nede
bag Kloakrummet; den er kugleformig, svagt sammentrykt. ‘Tarmroret er videst lidt foran
Midten. Svælg og Anus vende fremad.
Testiklen ligger i Tarmløkken.
Fosterets Stilling, Kun et enkelt Foster findes anlagt indvendig paa hoire Side i
Kloakrummet, omtrent midt imellem 3die og 4de Kropmuskel.
364 30
Salpekjedens Medlemmer, hvis Længdeaxer slaa lodret paa Kjedens Længdeaxe, ere
som sædvanlig stillede i to Rækker, der vende Bugfladerne mod hinanden; det enkelte
Individ i den ene Række passer ind mellem to individer i den modstaaende Række 0.8. v.
Den enlige Salpe (proles solitaria).
Kroppen er kort og bred, noget afrundet fortil, spids bagtil; Ryggen er fladtrykt.
Det største Exemplar var ca. 1207" langt.
Kappen er temmelig tyk og bruskagtig.
Aabningerne ere endestillede. Mundaabningen er særdeles bred. Den lille, ovale
Kloakaabning sidder paa Spidsen af den med svag Ringmuskulatur udstyrede, tudformige
Bagende.
Kropmusklerne ere 4 i Tallet; i Henseende til Stilling og øvrige Forhold ligne de
ganske Kjedesalpens.
Mundhulen er næsten firkantet i Tværsnit, rummelig; bagtil gaar den over i det
henimod Kloakaabningen tragtformigt indsnevrede Kloakrum.
Nerveknuden er i Udseende og Leiringsforhold lig Kjedesalpens; det samme gjælder
Synsapparatet.
Fimreorganet afviger ikke synderlig fra Kjedesalpens.
Gjællerøret er meget kort, stærkt bygget, noget sammentrykt især fortil; det er
foroven fastgjort til Mundhulens Loft paa Strækningen fra Fimreorganet til midtveis mellem
Nerveknuden og Iste Kropmuskel.
Bugfuren begynder tæt indenfor Randen af Underlæben, er noget nedadkrummet
paa Midten og løber helt hen til Svælget.
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Den kugleformige Indvoldsmasse
ligger under det forreste Parti af Kloakrummet, lidt bag Midten af Bugen. Tarmrorel
begynder med et tykrandet, opadvendende Svælg; Anus ligger som sædvanlig tilvenstre for
Midtplanen.
Fosterkjeden ligger spiralformigt uden om Indvoldsmassen og kan være snoel to
Gange rundt om denne.
Findesteder.
Atlanterhavet: ! 48° N.Br., 15° og ? 38° V.L.; ? 472.N. Br., 8° og * 27° V.L. (Hygom).
5 44° 35! N.Br., 25°5° V.L. (Warming). © 44° N. Br., 15° V.L.; 7 48° N.Br.,
16° V.L. (Hygom). § 42° 38° N. Br., 29° 34° V.L. (Warming), ? 41° 10° N. Br.,
17° 55° V.L. (Normann). 1° 41° N. Br., 29° 30° V. L. (Hygom). +! 40°—38° N.Br.,
26°—30° V.L. (Hygom). 12 39° 40° N. Br., 34° 30! V. L. (Andrea). "2 39° N. Br.,
31 365
DER AREAS EVE ERE ER EIN. Bis, lr Moen 2127 20V u ON Br 68 021282
V. L. (Hygom). 18 34° 4’ N. Br., 17° 50° V. L. (Normann). !° 34° N. Br., 30° V. L.;
ED ZENDBESe Ve RO ON Br 225262 VORM Hartmann) M2 NAT.
So Walling <2 2AN IN thas 22 Wallbog 222 N Br 229 SVN I INS i Br
22° V.L. (Hygom). 7° 15°19’ N. Br., 24° 54° V.L. (Reinhardt), 27 11° N. Br.,
29° 30’ V. L. (Hygom). °° Guinea (Dr. Thams, Mus. physiol.). °° 29° 0° S. Br.,
11° 30° ©. L. (Andrea).
Middelhavet: °° Neapel (P. E. Müller).
Det Indiske Hav: ! 39° 56° S.Br., 40° 26‘ @.L.; ? 32° 0’ S.Br., 44° 10° ®.L. (Andrea).
3 1° 44° S. Br., 81° 8° Ø. L. (Mathiesen).
Det Stille Hav: ' China Seen (Galath. Exp). > Valparaiso (H. Kroyer). 6° N. Br., 105°
Ø. L. (Gerstenberg).
Salpa democratica-mucronata, Forsk.
Tab. II, Fig. 25—28.
Synonymi og Literatur.
Salpa democratica, Forsk., p. 113, Nr. 32, Tab. 36, Fig. G (= proles solitaria). —- Brug,
Pl. 74, Fig. 9. — Bose, Nr. 1, p. 179. — L., Nr. 3, p. 3129, Nr. 3. — Lam., p. 116.
— Blainv., p. 121. — Cuvier, Nr. 3, PI. 123, Fig. 3. — Delle Chiaje, Nr. I, p.61
og 63. — Meyen, p. 408, Tab. 29, Fig. 7—8. — Delle Chiaje, Nr. 2, p. 39, Tav. 79,
Fig. 14, 15 og 17.
Salpa mucronata, Forsk., p. 114, Nr. 33, Tab. 36, Fig. D. — Brug., PI. 74, Fig. 10. —
Bosc, Nr. 1, p. 179. — Lam., p.116. — Cuvier, Nr. 3, Pl. 123, Fig. 2 — Meyen,
p. 409, Tab. 28. — Sars, Nr. 2, p. 82, Tab. 10, Fig. 6—11.
? Salpa cyanogaster, Péron, Tab. 30, Fig. 3.
Thalia lingulata, Blumenb., Nr. 30.
Salpa longicauda, Quoy & Gaim., Nr. I, p. 507, PI. 73, Fig. 8. — Blainv., p. 123. — Meyen,
p. 420.
Salpa spinosa, Otto, p. 303—305, Tab. 42, Fig. 1 a—d. — Risso, p.285. — Sars, Nr. 2,
p. 79—82, Tab. 10, Fig. 1—5.
Biphora mucronata, Costa, Nr. 2, p. 3, Tav. I, Fig. 1—3.
Biphora democratica, Costa, Nr. 2, p. 7, Tav. 2.
Dubreuillia eirrhosa, Less., Nr. 2, p. 278, Pl. 6, Fig. 7.
Salpa Cabotti, Desor, p.75. — Agass., Nr. 1, p.17—23 med 2 Tab. — Brooks, Nr. 1 —-4.
366 32
Salpa democratica-mucronata, Krohn, p. 112—113. — Leuck., p.3, p. 17 (ete.), Tab. 1,
Fig. 1, 3, 9—10, 12, 14 og Tab.2, Fig. 6—10, 16—17 — Vogt, Nr.3, p.5,
Tab. 5, Fig. 22—23.
Beskrivelse.
Proles gregata. Corpore ovato; extremitate anteriori rotundata, extremitate poste-
riori in spinam brevem pyramidalem desinente. Aperturis in dorso sitiss Musculis cor-
poris 5 in dorso sitis; tribus anticis æque ac duobus posticis in medio dorso approximatis.
Proles solitaria. Corpore orciformi; extremitatibus truncatis. Cireum aperturam
cloacalem 7—8 spinis, duabus lateralibus longitudinis dimidii corporis. Aperluris termi-
nalibus. Musculis corporis 6 — antico (in medio dorso interrupto) et postico (in medio
ventre interruplo) exceplis — corpus eingentibus; musculo secundo, tertio, quarto, æque
ac quinto et sexto in medio dorso, quarto et quinto in medio ventre approximatis.
Kjedesalpen (proles gregata).
Kroppen er ægformig, nogel fladtrykt paa Rygsiden, jævnt afrundet fortil; Bagenden
lober ud i en spids, skraat nedadrettet, i Reglen firsidet Pyramide, der omslutter Indvolds-
massen. Farven er ill. Sars vandklar med himmelblaat Gjzlleror og Bugfure; Kjærnen er
indigoblaa. Det største Exemplar maalte ca. 15"" i Længden.
Kappen er temmelig fast, næsten bruskagtig og særdeles tyk, især paa Bugsiden.
Aabningerne ere rygstillede; Mundaabningen er bredere end Kloakaabningen.
Kropmusklerne ere 4 i Tallet. De tre forreste ere sammensmeltede midt paa
Ryggen; 4de Kropmuskel ligger langt tilbage. De ere alle afbrudte i Bugens Midtlinie.
Mundhulen er forholdsvis kortere og bredere end hos den enlige Salpe.
Nerveknuden er lille, kugleformig og ligger længere foran Gjællerorets Udspring
end hos den enlige Salpe.
Fimreorganet er lille og næsten rundt; det ligger foran Nerveknuden; en eien-
dommelig, temmelig lang, traadformig, tentakelagtig, fremadrettet, i Spidsen tilbageboiet
Proces, som rager frit frem i Gjellehulen, findes tæt foran Fimreorganet.
Gjelleroret er spinkelt og forholdsvis kort; den forreste Ende er fastgjort til Mund-
hulens Loft paa Strekningen fra tste Kropmuskel til lidt bagved 3die. Der findes ca. 60
Fimreplader paa Gjellerorets Forside.
Bugfuren er meget kort; den begynder langt nedenfor og noget foran den ryg-
stillede Mundaabning paa den nederste Del af Mundhulens Forvæg, er kun svagt krummet
og naar neppe hen i Hoide med 2den Kropmuskel.
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen er langaglig, spindel-
formig og indtager den bageste Del af Kroppen. Tarmroret, der er videst paa Midten,
33 367
men uden tydelig Adskillelse i Spiserør, Mave og Tarm, danner en snever Løkke. Endetar-
men dreier sig forover og udmunder paa venstre Side af Svælget, omtrent i Hoide med
samme.
Testiklen dannes af lange, tilspidsede, bagtil rettede, mer eller mindre vifteformigt
sammenstillede Lapper, der ligge paa hver Side af Tarmkanalen og kunne hos ældre Individer
rage ud over denne (cfr. Leuck., p. 50).
Fosterets Stilling. Kun et enkelt Foster anlægges paa hoire Side bag 4de Krop-
muskel. Fosterets Længdeaxe er parallel med, og Mund- og Kloakaabning vende samme
Vei som Kjedesalpens.
Salpekjedens Medlemmer ligge i en lang Dobbeltrække. Individernes Længdeaxer
danne mer eller mindre spidse Vinkler med Kjedens Længdeaxe. Den enkelte Kjedesalpe
ligger med Bugen vendt mod Bugfladerne af to Individer i den modstaaende Række og
vender hoire Side mod venstre Side af sin Nabo i samme Række, 0. s. v. — Hver Kjede-
salpe har til Forbindelse med Naboer og Gjenboer i Kjeden 8 Heftetraade, stillede i A
Længderækker, 2 paa Bugfladen og 1 paa hver Side.
Den enlige Salpe (proles solitaria).
Kroppen er tondeformig, noget afstumpet i begge Ender, lidt bredere end hoi, saa-
ledes at et Snit lagt paatvers gjennem Dyret frembyder en oval Flade. En Fure løber
langs Ryggens og Bugens Midtlinie og langs Midten af hver Side. Farven er vandklar med
blaaligt Skjær og brunrød Kjærne (cfr. Sars, Nr. 2, p. 79). Store Exemplarer maalte ca.
25™" ; Længden.
Kappen er tyk og temmelig fast, næsten bruskagtig; omkring Kloakaabningen løber
den ud i 7—8 kortere eller længere, ubevægelige Torne, hvoraf den yderste paa hver Side
ofte er af Kroppens halve Længde. -
Mundaabningen er endestillet og er meget bredere end den halvmaaneformige, ryg-
stillede Kloakaabning.
Kropmusklerne ere 6 i Tallet. De 4 midterste gaa bælteformigt rundt om Dyret;
Iste Kropmuskel er afbrudt midt paa Ryggen og 6te midt paa Bugen. 2den, 3die og Ade
Kropmuskel nærme sig stærkt til hinanden paa Ryggen; {ste Kropmuskel boier sine fri
Ender bagtil henimod dette Komplex; længere bagtil paa Ryggen konvergere Ste og 6le
Kropmuskel, medens 4de og 5te konvergere paa Bugsiden.
Mund- og Kloakrum danne en cylindrisk, i begge Ender afrımdet Hule.
Nerveknuden er kugleformig og ligger noget foran Gjellerorets Udspring.
Fimreorganet ligner fuldstændigt Kjedesalpens; det er maaske lidt mere langstrakt;
og den tentakelagtige Proces er noget længere og tyndere.
Vidensk. Selsk. Skr., 6 Række, naturvidensk, og mathem, Afd Il. 8 47
368 34
Gjællerøret er spinkelt og sammentrykt; den til Mundhulens Loft fastgjorte Ende
naar omtrent fra Nerveknuden til et Stykke bag 4de Kropmuskel. Der findes omtrent 100
Fimreplader paa Gjællerørets Forside.
Bugfuren er smal, svagt og jævnt krummet gjennem hele sin Længde; den begynder
tat indenfor Underlæbens Rand og taber sig i Hoide med 5te Kropmuskel.
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen er langagtig rund,
linseformigt sammentrykt, uden tydelig Sondring i Spiseror, Mave og Tarm. Fra Svelget
gaar Tarmroret skraat nedad bagtil, boier derpaa knæformigt om og stiger skraat opad fortil
nedenunder den bagtil lebende Del; først i Svælgets umiddelbare Nærhed, dreier Tarmroret
ud fra Midtlinien, idet det krummer sig tilvenstre og udmunder i en rummelig Anus i Hoide
med og lidt bagved Svælget.
Fosterkjeden ligger i en Spiral omkring Indvoldsmassen; den begynder paa Bug-
siden foran Svælget og vender sig strax tilhoire, hvorpaa Kjeden ruller sig spiralformigt
11/4—11/> Gang rundt om Tarmkanalen. Fostrene ligge i to Rækker med Bagenderne
vendende udad med Periferien.
Findesteder.
Atlanterhavet: ! Norges Kyst, Floro og Bremanger, 61° 50° N. Br. (Sars). Shetlands-
Oerne (ifl. Gwyn Jeffreys). 3598 AN Brain Gaol av. ile) (Assist-@Steensirup):
2051223 0N Br. 18%36° V. L. (Olrik). 5 48°47° N. Br., 21° V. L. (Hygom).
6 48° 30° N. Br., 5° 30° V. L. (Hedemann) 7 48° N. Br., 38° V. L. (Hygom).
8 47° N, Be, HEY. L. (Koch). 9 46° 23° N. Br., 11° 15‘ V. L. (Reinhardt).
0 45° 43! N. Br., 34° 30° V. L. (Andrea). 1! 45° 30° N. Br., 11° 30° V. L. (Normann).
2 45° 30° N. Br., 36° 50! V. L. (Andrea). 1% 43° N. Br., 32° V. L. (Grønsund).
14 Ca. 43° N.Br., 70° V.L. Vineyard Sound, Mass. (Smithson. Institut). 1! 42°
NABr:,r 46> V. I. (Andrea), 284022 N. Br. CSN MA ON Br 20m Vee
(Hygom). 1338° 40° N. Br., 15° V.L. (Normann). 1? 38° N. Br., 23° V. L. (Hygom).
20 37° N. Br., 27° V. L. (Hygom). *! 36° 40° N. Br., 17° 25! V. L. (Normann).
22 30° N. Br., 18°—19° V. L. (Hygom). 23 23° 47° N. Br., 24° 31° V.L. (Reinhardt).
24 99° N, Br., 20°—22° V. L. (Hygom). °° 15° 19° N. Br., 24° 54° V. L. (Reinhardt).
26 14° N. Br., 25° V. L. (Hygom). 2 14°—7° N. Br., 16°—19° V. L. (Prosch).
ÉMIS MN Br, EVIL ES UN BTE 35 VAR; N Br SHOT
31 4° N. Br., 24° V.L. (Hygom). 32 18° S. Br., 2° V.L. (Andréa). ®® 19° 8° S. Br.,
36° 19° V.L.“Warming). °4 35° 31° S. Br., 0° 51° V. L. (Andrea).
Middelhavet: 35 «Ad Majorcam» og «in vicinia Yvic®» (ifl. Forskähl). °° 38° 58° N. Br.,
10° 32’ ©.L. (Branner). 37 Neapel (Panceri.
-
-
© ©
Slazione zoologica).
or 569
Det Indiske Hav: ! 42° S.Br., 31° @.L. (Strandgaard). ? 39° 54° S. Br., 41° 30° O. L.
(Andrea). 3 39° 49° S. Br., 25° 12‘ 0. L. (Thomsen). * 31° 23'S. Br., 73° 53° ©. L.
(Mathiesen). © 29° 54° S. Br., 76° 42° O. L. (uden Navn).
Det Stille Hav: ! China Søen, Tonghai, 31° 40° N. Br., 125° 50° Ø. L. (Andrea). ” Port
Jackson (ifl. Quoy & Gaimard, S. longicauda). ° Tasmanien (Corneliussen). 1 Ny
Zeelandshavet, 40° 50° S. Br., 161° 0° ©. L. (Hartmann).
Salpa democratica-mueronata, Forsk., Var. flagellifera, mihi.
Tab. I, Fig. 12—13.
Beskrivelse.
Proles gregata. Si ex foetibus proli solitarie exseclis æstimare licel, nihil a
prole gregata Lypica Salpæ democraticæ-mucronatæ differre videtur.
Proles solitaria. Corpore longo, cylindrico, subdepresso; extremitatibus rolundatis ;
ulroque latere aperturæ cloacalis appendice longa, tenuissima, flagelliformi una ornalo.
Aperturis terminalibus. Musculis corporis 6 gracilibus, parallelis; primo in medio dorso
reflexo et interrupto; sexto in medio ventre interruplo; ceteris corpus cingentibus.
Kjedesalpen (proles gregata)
synes efter de af den enlige Salpe udskaarne Fostre at domme ikke at afvige fra Kjede-
salpen af den typiske Salpa democratica-mucronata.
Den enlige Salpe (proles solitaria)
afviger fra den typiske Form ved:
1) at der paa hver Side af Kloakaabningen kun findes en lang, tynd, pidskeformig
Forlengelse af Kappen, og ved
2) at de 6 Kropmuskler ere indbyrdes parallele. De synes stundom alle at være
afbrudte midt paa Ryggen (smlgn. Fig. 12), hvilket Forhold ikke er mig bekjendt for selve
Salpa democratica-mucronata’s Vedkommende.
Findesteder.
Atlanterhavet: 18° S. Br., 2° V.L. (Andrea).
Det Indiske Hav: 38° 20° S. Br., 42° 10° ©. L. (Andrea).
0 36
©
=]
Salpa rnneinata-fusiformis, Cham.-Cuvier.
Tab. Il, Fig. 29—31 og 42.
Synonymi og Literatur.
?Salpa fasciata, Forsk., p. 115, Tab. 36, Fig. B. — Brug., PI. 75, Fig. 6. — Lam., p. 117.
— Blainv., p. 113.
Salpa maxima, varielas, Forsk., p.113, Tab. 35, Fig. Aal.
Salpa fusiformis, Cuy.'), p. 382, PI. 68, Fig. 5. — Brug., Pl. 74, Fig. 3
5. — Lam., p. 119.
— Blainv., p. 117. — Meyen, p. 413 (henforer den til Salpa maxima).
Salpa runcinata, Cham., p. 16, Fig. 5 A—l. — Blainv., p. 119. — Meyen, p. All (henfører
den til Salpa confoederata). — Sars, Nr.2, p.63, Tab. 8, Fig. 44—45 og Tab. 9,
Fig. 1—24. — Krohn, p.113. — Forb. & Hanl., p. 53, Pl. E, Fig. 5—6. — Jeffr.,
Nr. 1, p. 439 og Nr. 2, p. 303.
Salpa moniliformis, M° Culloch, p. 187 (cit. hos Forb. & Hanl.).
Salpa clostra, Milne Edwards i Cuvier, Nr. 3, Pl. 121, Fig. 2.
Biphora depressa, Sars, Nr. I, p. 51, Tab. 6, Fig. 1—4.
Biphora tricuspidata, Sars, Nr.1, p. 56, Tab. 6, Fig. 5—16.
Salpa runcinata-fusiformis, Krohn, p. 112—113. — Leuck, p.3, ete., Tab. 1, Fig. 4, 6, 8,
Nl, 16—18, Tab. 2, Fig. 1, 3—5, 11, 13—15, 18. Vogt, Nr. 5, p. 6.
Beskrivelse.
Proles gregata. Corpore ovalo; extremitatibus in appendicem longam, conicam,
acuminatam desinentibus (corpore ipso partem tertiam longiludinis tolius occupante). Aper-
turis in dorso silis. Musculis corporis 6 in medio ventre inlerruplis; qualuor anlieis æque
ac duobus posticis in medio dorso valde approximalis; ramis descendentibus quarli et
quinti musculi corporis in utroque lalere approximatis et allingentibus, posteaque diver-
gentibus.
Proles solitaria. Corpore longo, cylindrico; dorso depresso; extremilale anteriori
rotundata, extremilate posteriori truncata, 7—8 spinis brevibus circum aperturam cloacalem.
Aperturis terminalibus. Musculis corporis 9 in dorso silis; tribus anticis «que ac duobus
posticis in medio dorso approximalis.
Kjedesalpen (proles gregata).
Kroppen er tondeformig; hver Ende er udstyret med et langt, snart lilhoire, snart
tilvenstre boiet, kegleformigt, spidst tillebende Vedhæng, som er en Forlængelse af Kappen.
1) If. Lamarck skrive Cuviers Exemplarer sig fra Pérons og Lesueurs Reise.
CS
=]
Gs
1
(EN
Selve den egentlige Krop udgjør omtrent den midterste Trediedel af hele Dyrets Totallængde.
Det største Exemplar var ca. 65" langt.
Kappen er temmelig tyk og fast, særligt paa Bugsiden.
Aabningerne ere rygstillede; Mundaabningen er næsten dobbelt såa bred som Kloak-
aabningen.
Kropmusklerne ere 6 i Tallet; de strække sig — især de fire forreste — langt ned
paa Bugfladen, men alle ere de afbrudte i dennes Midtlinie. Kropmusklerne ere paa Ryggen
sammensmeltede med hinanden to og to; de to forreste Grupper tangere hinanden i Midt-
linien, hvorimod den bageste Gruppe er langt fjærnet fra de øvrige. Noget nede paa hver
Side af Kroppen tangere 4de og ôte Kropmuskel hinanden, hvorefter de atter divergere;
denne Tilnærmelse mellem åde og 5te Muskel finder ikke Sted hos Kjedesalpen af Salpa
africana-maxima, der i Henseende til Antal og Lejringsforhold af Kropmusklerne ganske
ligner nærværende Form.
Mund- og Kloakhule danne tilsammen et aflangt Rum, noget bredere end høit,
videst paa Midten.
Nerveknuden er lille, rund, noget fladtrykt, med et lille, keglestubformigt Syns-
apparat. i
Fimreorganet er langstrakt, med seglformigt krummet i Mundhulens Loft indsænket
Bund; det ligger omtrent midt imellem Overlæbens Rand og Iste Kropmuskel, lige foran
Gjællerørets Forende.
Gjællerøret er ret kraftigt bygget, fastvoxet til Mundhulens Loft til omtrent i Hoide
med {ste Kropmuskel. Der findes ca. 150 Fimreplader paa Gjællerørets Forside.
Bugfuren begynder dybt nede paa Mundhulens Gulv med opadboiet Forende, er
jævnt krummet gjennem hele sin Længde og standser foran Svælget i Hoide med Ste Krop-
muskel.
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen er pæreformig, noget
sammentrykt, med lodret opad vendende Spids; den ligger nedenunder Kloakrummets bageste
Del med sin største Runding nedad, noget tilhojre. Tarmroret er videst midtpaa. Ende-
larmen stiger op paa venstre Side af Svæiget og udmunder i en tragtformig, noget sammen-
trykt Anus. I levende Live er Tarmkanalen ifl. Sars af rodgul Farve.
Testiklens Blindsække ere forenede under Tarmkanalen til en saddelformig Masse;
de ere slillede næsten radiært i de to Sidelapper. Tarmkanalens Rygside forbliver ubedækket
af dem (cfr. Leuck., p. 50).
Fosterets Stilling. Der findes kun anlagt et enkelt Foster indvendig paa hoire Side
af Kloakrummet, mellem 5le og 6te Kropmuskel, nærmest den første af disse. Sars for-
tæller (Nr. 2, p. 74), at han har set Fosteret bevæge sig meget livligt inde i Kjedesalpen.
372 38
Salpekjedens Medlemmer ordne sig efter Fodselen saaledes, at deres Længdeaxer
komme til at ligge parallelt med Kjedens Længdeaxe. Hvert Individ staar i Forbindelse med
4 andre Individer af Kjeden; med sin Bugflade er den knyttet til henholdsvis bageste og
forreste Halvdel af Bugfladerne af to Individer i den modstaaende Række, medens det fortil
er forbundet med Bagenden af det foranliggende Individ og bagtil med Forenden af det
bagved liggende Individ i samme Række (smlgn. Kjeden hos Salpa cordiformis-zonaria).
Kjeden svommer, som allerede Chamisso (p. 11) angiver, for det meste i en ret Linie; hvert
Individ trækker sig ifl. Sars (Nr. 2, p. 72) sammen for sig. Kjedens Medlemmer løsnes
overordentlig let fra hinanden f. Ex. ved Irritation, eller naar den løftes op af Vandet.
Den enlige Salpe (proles solitaria).
Kroppen er lang, foroven flad, forneden sterkt hvælvet, jævnt afrundet og noget
fladtrykt fortil, lige afskaaren, dobbelt saa hoj som bred bagtil. Et Tværsnit gjennem Midten
af Kroppen giver en næsten trekantet Flade. Omkring Kloakaabningen løber Kappen ud i
7—8 korte, stumpe, faste Torne; fra hver: af disse udgaar en lav Kjol fortil, som hurtigt
taber sig. Den Kjel, der kommer fra den nederste, stundom spaltede Torn deler sig bag
ved Indvoldsmassen og taber sig paa begge Sider af denne (smlgn. Sars, Nr. 2, p. 65).
Kroppens Længde ca. 70™™.
Kappen er fortil tynd; tykkere, mere bruskagtig paa Bugens bageste Del.
Aabningerne ere endestillede, rykkede temmelig langt op mod Rygsiden. Mund-
aabningen er bredest, halvmaaneformig, med stærkt fremspringende Underlebe.
Kropmusklerne ere 9 i Tallet; de gaa tværs over Ryggen og standse i Hoide med
hinanden, kort efter at de ere boiede om paa Siderne. De tre forreste og de to bageste
konvergere i Ryggens Midtlinie; de mellemliggende lobe parallelt.
Mund- og Kloakhule gaa jævnt over i hinanden, omtrent ens vid overalt.
Nerveknuden er temmelig stor og ligger lidt bagved Fimreorganet. Synsapparatet
er bredt og knapformigl; Pigmentet er ordnet i en hesteskoformig, fortil aaben Bue.
Fimreorganet ligger midtveis mellem Overlæbens Rand og Iste Kropmuskel, lige
foran Gjællererets Forende; det er noget mere langstrakt, men iøvrigt af samme Form som
Kjedesalpens.
Gjælleroret er langt og spinkelt; det er ophængt til Mundhulens Loft indtil bagom
2den Kropmuskel. Der findes ca. 180 Fimreplader paa Gjællerorets Forside.
Bugfuren udspringer langt nedenfor Mundaabningen med opadboiet Forende, er
jævnt krummet i hele sit Lob og standser først ved Svelget.
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Den indtager Kroppens laveste Parti
og ligger noget foran den nederste Torn, under og lidt foran de to bageste Kropmuskler.
39 273
Indvoldsmassen er aflang, lindseformigt sammentrykt, i levende Live har den ifl. Sars
(Nr. 2, p.67) en rodgul Farve.
Fosterkjedens Stilling minder meget om Forholdel hos Salpa costata- Tilesii (ikke
hos Salpa africana-maxima); Kjeden begynder paa Bugsiden, tæt foran Tarmkanalen og
strækker sig fremad paa heire Side af Midtlinien; omtrent i Hoide med Ste eller 6te Krop-
muskel boier den knæformigt venstre om og lober paa venstre Side af Midtlinien bagtil
forbi Tarmkanalen. Fostrene vende alle Bagenden udad mod Periferien. If. Sars (Nr. 2,
p. 71) fades Kjeden — som sædvanligt stykkevis — gjennem en i delte Oiemed gjennem-
brudt Aabning i Nærheden af den nederste Torn.
Findesteder.
Atlanterhavet: ! Norges Kyst, Flora og Bremanger, 61° 50° N. Br. (Sars). 2 Færøerne
(J. Steenstrup). * Orkenoerne (Steenstrup; Igl. if. Herdman og flere Eng. og
Skotske Forf.). * Hebriderne (ifl. Herdman). > 60° 4‘ N. Br., 18° 33’ V. L. (Assist.
Steenstrup). © 59° 37° N.B., 87 VoL. (Olrik). 7 59° N.Br:, 225° V.L. 28 58142
NB 2915 VoL. (Bang): 22572237 NB, 182362 Vol. (Olrik) 10°46° N. Br.
24° VY. L. (Hygom). !! 46° N. Br., 37° 10° M. L. (Andrea). 1? 41° 10° N. Br.,
ita? We Las (Normann) MS EN EBr TB Webs ate ING Br 8 31/09 Vol:
(Hygom)) 259365 404 N. Bri, 23° 165 V. L.=(Andrea)., 2° 36°.IN. Br: 28° VL.
(Hygom). 17 33° 48° N. Br., 53°10‘ V. L. (Garde). 15 26° N. Br., 22° V. L. (Hygom).
19 25° N. Br., 32° V.L. (R. Nielsen). 7° 23° 28/4’ N. Br., 31° 28! V. L. (Mathiesen).
BOE WN Wego Wa LEB EN Br SPP I ee TRING Br LS Ye, (bes
Be Wel ein, eee 00 eS VID SSN Br. 2522 elle (Ey om) 27552290!
N. Br., 22° 38° V. L. (Reinhardt, Galath. Exp.) 78 3° N. Br., 27° V. L. (Hygom).
2202102 Sy ie, tle 1G? Weligs OS EE GES Pr 22500 D Andrea)
Middelhavet: %! Malaga (J. Collin). -
Det Indiske Hav: + 42° S.Br., 31° ©.L. (Strandgaard). ? 40° Al’ S.Br., 85° 22° ØL.
(Harlmann}= 29° 5445) pr, ENGE UDLØSE MES DIS Br, 81556) OL: DAT SAA] OS
S. Br., 73/4° ©.L. (Mathiesen).
Det stille Hav: ! 0°, 105° Q. L., N.f. Banka (Strandgaard). ? 40° 50‘ S. Br., 161° 0‘ Q. L.,
Ny Zeelandshavet (Hartmann).
Salpa afrieana-maxima, Forsk.
Tab. Il, Fig. 32—34 og 44—45.
Synonymi og Literatur.
Salpa maxima, Forsk., p. 112, Tab. 35, Fig. A (undt. A, 1), Tab. 36, Fig. H. — Brug., PI.74,
Fig.2. — Bosc, Nr. 1, p. 178. — L., Nr. 3, p. 3129, Nr. 1. — Lam., p. 116. —
Quoy & Gaim., Nr. 5, p. 503, PI. 73, Fig.3. — Blainv., p. 117. — Cuvier, Nr. 3,
PI. 120; 121, Fig. 1 og Pl. 122. — Shaw, vol: 7, Tab. 232. — Meyen, p. 412 (som
mindre rigtigt regner S. runcinala, gregata, Cham., og vistnok ogsaa med Urette
S. dubia, Cham., herhen). — Costa, Nr. 1, p. 195, Tav. I—II.
Salpa africana, Forsk., p. 116, Tab. 36, Fig. C. — Brug., PI. 75, Fig. 7. — Bosc, Nr. I,
p. 180. — Lam., p. 117. — Costa, Nr. I, p. 226.
Salpa birostrata, Blainv., p. 119.
Salpa Forskalii, Lesson, Nr. 2, p. 272.
Salpa africana-maxima, Krohn, p. 112—113. — Vogt, Nr. 3, p. 6.
Beskrivelse.
Proles gregata. Corpore longo, cylindrico; extremitatibus in appendicem brevem,
conicam desinentibus. Aperturis in dorso sitis. Musculis corporis 6 in dorso silis; qualuor
anticis æque ac duobus posticis m medio dorso approximatis; ramis descendentibus quarti
et quinli musculi corporis in ulroque latere non approximatis.
Proles solitaria. Corpore longo, cylindrico; extremitate anteriori depressa, subro-
tundata; extremitale posteriori alla, truncata, spinis nullis. Aperturis terminalibus. Museulis
corporis 9(—10) parallelis in dorso silis (duobus aut tribus anticis rarissime in medio dorso
approximalis).
Kjedesalpen (proles gregata).
Kroppen er langstrakt, med fladtrykt Ryg og hvælvet Bug; hver Ende er udstyret
med en i Sammenligning med Forholdet hos Rjedesalpen af Salpa runcinata-fusiformis kort,
tilspidset, kegleformig Forkengelse af Kappen. En stor Pukkel neden under det bageste
Vedhængs Udspring gjemmer Indvoldsmassen. Totallengden udgjor ca. 150™™.
Kappen er temmelig Lyk og bled; den Del, der omgiver Indvoldsmassen, er haard
og bruskaglig.
Aabningerne ere rygstillede, Mundaabningen næsten dobbelt saa bred som Kloak-
aabningen.
Kropmusklerne ere 6 i Tallet; to og to ere de sammensmeltede paa Midten af
Ryggen; medens de tvende forreste Grupper alter langere hinanden i Midtlinien, staar den
Dole 7 | ?
41 3
bageste Gruppe fjærnt fra de øvrige. Den for Kjedesalpen af Salpa runcinata-fusiformis
eiendommelige Tilnærmelse mellem 4de og Ste Kropmuskel et Stykke nede paa hver Side
finder ikke Sted hos nærværende Art; desuden naa Kropmusklerne ikke nær saa langt om
paa Bugsiden som hos Salpa runcinata-fusiformis.
Mundhulen og Kloakrummet danne tilsammen et aflangt, i begge Ender jævnt af-
rundet Rum, som gjennemgaaende er noget bredere end hoit.
Nerveknuden er lille og kugleformig; den ligger midtveis mellem Mundaabningen
og tste Kropmuskel. Synsapparatet er lille, næsten kugleformigt med stærkt indkneben Hals.
Fimreorganet dannes af en temmelig hoi, sammentrykt Hule, hvis opadvendende
Bund er stærkt krummet, især fortil, bagtil strækker den sig lige bagud og standser i
Gjellerorets øverste Del.
Gjelleroret er svært bygget, sammentrykt; foroven er det fastgjort til Mundhulens
Loft indtil bag om 2den Kropmuskel.
Bugfuren er opadkrummet fortil og løber helt hen til Svalget.
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform og ligger langt tilbage; Tarmroret er
videst paa Midten; Svælg og Anus vende fortil.
Testiklen ligger i Tarmlokken.
Fosterets Stilling. Der findes kun anlagt et enkelt Foster indvendig paa hoire Side
af Kloakrummet imellem de divergerende Ender af dte og 6ie Kropmuskel.
Salpekjedens Medlemmer ere stillede i to Rækker, ikke som Krohn (p. 126) antyder
parallelt med Kjedens Liengdeaxe, men Individernes Længdeaxer danne spidse Vinkler med
Kjedens Længdeaxe, hvilket iovrigt allerede er angivet af Quoy og Gaimard.
Den enlige Salpe (proles solitaria).
Kroppen er langstrakt, fladtrykt paa Rygsiden, stærkt hvælvet paa Bugsiden; medens
den næsten lige afskaarne Bagende er kjendelig hoiere end bred, gjør del omvendte For-
hold sig gjældende for den stumpt afrundede Forendes Vedkommende. Hoit oppe paa
Bagenden ligger Kloakaabningen, hvorimod dens laveste Parti indtages af Indvoldsmassen.
Det største Exemplar var 135™™ Jangt.
Kappen er forholdsvis tynd paa Rygsiden, tykkere paa Bugsiden; særlig tyk og
fast er den Del, der omgiver Indvoldsmassen.
Aabningerne ere endestillede, Mundaabningen særdeles bred; Underlæben rager
noget frem foran Overlæben; Kloakaabningen er lille, oval og rigt udstyret med Ringmu-
skulatur.
Kropmusklerne ere 9 i Tallet, den {ste er stedse noget bagtil krummet midt paa
Rygfladen; iøvrigt løbe Musklerne parallelt og standse i samme Høide, kort efter at de ere
Vidensk. Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 8. 48
376 42
boiede om paa Siden (i enkelte, sjældne Tilfelde har jeg set Iste og 2den Kropmuskel
nærme sig noget til hinanden midt paa Ryggen; ogsaa spores en Gang imellem en Tilnær-
melse af den midterste Del af de tre forreste Kropmuskler).
Mundhulen er langstrakt, næsten firkantet i Tversnit, fortil noget bred og lav; bag
lil gaar den jævnt over i Kloakrummet, der hurtigt indsnevres henimod Kloakaabningen.
Nerveknuden er lille, kugleformig og ligger et godt Stykke foran Iste Kropmuskel,
lige bagved Fimreorganet. Synsapparatet dannes af en lille, kegleformig, paa Nerveknudens
forreste, overste Del siddende, spids Udvext.
Fimreorganet er af en ret ejendommelig Form, som lettest vil forstaas af Figuren.
Gjelleroret er svært bygget, noget sammentrykt, især fortil; det er fastgjort til
Mundhulens Loft paa Strækningen fra Fimreorganet indtil Bagranden af 2den Kropmuskel.
Bugfuren løber skraat nedad bagtil, helt hen til Svælget.
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform; dens Stilling og Udseende er omtrent
som Kjedesalpens.
Fosterkjeden begynder foran Tarmkanalen og lober halveirkelformig uden om den
venstre Side af Indvoldsmassen.
Findesteder.
Atlanterhavet: 7 529 47! N. Br., 13° 10°-V.L. (Branner). ? 47° N.Br., 9° V.L. (Hygom).
3 46° N.Br., 10° V. L. (Stübe). + 43° 30’ N. Br., 32° 40° V. L. (Andrea). © 42° 38°
N. Br., 29° 34° V.L., Azoriske Øer (Warming). © «In freto Gaditano» (ifl. Forskähl).
7 41° 15‘ N.Br., 15° 30° V. L. (Andrea). 8 40° N.Br., 26° V.L. (Hygom). ° 39°
N Br, 84° Va 1. (Andréa) 20738 NH Br 230208, 342 v2 Le; OO TE Nbr E27
V.L. (Hygom). !? 36° N. Br., 20° V.L. (Andrea). '!? 35° 30° N. Br., 28° 13° V.L.
(Andréa). 127359 N Br se Vol. 155342INSBr SOS AVG CIN Br292305
V.L. (Hygom). 17 29° 0° S. Br., 11°30 ©. L. (Andrea). !° Cap Hoorn (ifl. Meyen).
Middelhavet: 1° 36° 17: N. Br., 3° 27° V. L. (Branner). «Ad jlittora Tunetana» (ifl. Forskähl).
Neapel (Panceri).
Det indiske Hav: ! 35° 12° S. Br., 26° 0‘ Ø.L.; ? 30° 14° S. Br., 37° 50° O. L. (Hartmann).
3 97° 30° S. Br., 98° 0’ @. L. (Andrea).
Salpa cylindrica, Cuvier.
Tab. I, Fig. 22, Tab. II, Fig. 35—37 og 43.
Synonymi og Literatur.
Salpa cylindrica, Cuvier"), Nr. 1, p.381, Pl. 68, Fig. 8—9). — (Lgl. i Mém. Moll., p. 22
+
Fig. 8—9). — Lam., p. 119. — Blaïnv., p. 113. — Meyen, p. 417.
’
Jasis cylindrica, Sav., p. 124, PI. 24, Fig. 2.
Salpa elongata, Quoy & Gaim. (ifl. Blainv., p. 113).
Salpa coerulescens, Cham., p.22, Fig. 9.
?Salpa Garnotii, Lesson, Nr. 2, p. 270, Pl. 6, Fig. 6.
?Salpa cymbiola, Dall, p. 159.
Beskrivelse.
Proles gregata. Corpore ovalo; extremitatibus in appendicem sublongam, conicam
desinentibus. Aperturis in dorso silis. Musculis corporis 5, omnibus in ventre interruplis;
tribus anticis et duobus posticis in medio dorso coalitis, omnibus in medio dorso
approximalis.
Proles solitaria. Corpore longissimo, cylindrico; extremitatibus truncatis, spinis
nullis. Aperturis terminalibus. Musculis corporis 9, omnibus in medio ventre interruplis;
musculis quatuor anticis in medio dorso approximalis.
Kjedesalpen (proles gregata).
Kroppen er aflang, forholdsvis kort og bred, nogel fladtrykt og tilspidset i begge
Ender. Største Exemplar var 9%" langt.
Kappen er tyk, især paa Siderne, fast og bruskagtig; baade for og bag lober den
ud i et kort, bredt, kegleformigt Vedheng.
Aabningerne ere rygstillede, Mundaabningen omtrent dobbelt saa bred som Kloak-
aabningen.
Kropmusklerne ere 5 i Tallet, samlede i to Grupper, tre i en forreste og to i en
bageste; begge Grupper tangere hinanden midt paa Ryggen. Alle Kropmuskler ere afbrudte
paa Bugsiden, paa hvilken de tre i den forreste Gruppe naa længst ned. Den bageste
Kropmuskel lober bagud paalangs ad Siden; i Heide med Kloakaabningen afgives en Gren
til hver Vig af denne; omtrent samtidig gaffeldeler Musklen sig, idet en spinklere Gren
!) Arten er ifl. Lamarck og Blainvillle først hjemført af Péron og Lesueur.
48”
378 44
fortsælter Retningen bagud, medens Muskelens Hovedmasse drejer ned paa Bugsiden og
forsvinder, inden den naar Midtlinien.
Mundhulen er oval, bredere end høi.
Nerveknuden er temmelig stor, kugleformig; den ligger midlveis mellem Mundaab-
ningen og {ste Kropmuskel. Synsapparatet er lille og fremadrettet.
Fimreorganet er langstrakt og smalt; dets bageste Del løber ned paa Gjællerørets
Forende; Grubens i Mundhulens Loft dybt indsænkede Bund er jævnt krummet i hele sin
Længde.
Gjællerøret er kort og fladt, svært bygget; dets Forende er fastgjort til Mundhulens
Loft paa Strækningen fra Fimreorganet lil den forreste Rand af Iste Kropmuskel. Der
findes omtrent 40, udadtil brede, midtpaa smalle Fimreplader paa Gjællerørets Forside,
Bugfuren er fortil noget opadkrummet; den naar ikke Svælget, men standser om-
trent i Hoide med de nedre Ender af 4de Kropmuskel.
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen er kugleformig ;
Tarmrorel er temmelig kort, midtpaa noget buget.
Testiklens Form og Leiringsforhold kan jeg ikke udtale mig om, da de undersøgte
Individer kun vare smaa og næppe nok havde en Antydning af Testikel.
Fosterets Stilling. Kun et enkelt Foster findes anlagt indvendig paa hoire Side af
Kloakrummet under 4de Kropmuskel. En Kjedesalpe paa ca 8™™s Længde havde i sig et
Foster paa "=, hvorpaa tydeligt det for den enlige Salpe sædvanlige Muskeltal og Muskel-
stilling kunde erkjendes.
Salpekjeden og Individernes Stilling i samme efter Fødselen er mig ukjendt.
Den enlige Salpe (proles solitaria).
Kroppen er stærkt forlænget, cylindrisk, noget fladtrykt, især fortil, lige afskaaret i
begge Ender. Største Exemplar var 42"" langt.
Kappen er temmelig tyk og fast.
Aabningerne ere endestillede; Mundaabningen er som sædvanlig noget bredere end
Kloakaabningen.
Kropmusklerne ere 9 i Tallet alle afbrudte paa Bugsiden. De fire forreste Krop-
muskler konvergere midt paa Ryggen; de øvrige ere parallele.
Mundhulen er lang og cylindrisk, fortil bredere end høi.
Nerveknuden ligger midtveis mellem Overlæbens Rand og {ste Kropmuskel; den er
lille, kugleformig, med et fladt, knapformigt Synsapparat.
Fimreorganet ligner i Udseende og Leiringsforhold Kjedesalpens.
Gjællerøret er langt og lemmelig spinkelt; Forenden er fastgjort til Mundhulens
45 379
Loft paa Strækningen fra {ste til bag om 3die Kropmuskel. Der findes ca {35 Fimre-
plader paa Gjællererets Forside.
Bugfuren begynder tet indenfor Underlæbens Rand og lober uden Krumninger helt
hen til Svælget.
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen, som er beliggende
mellem 7de og 9de Kropmuskel, ligner en Flaske med en temmelig lang, lodret opstigende
Hals. Tarmroret er videst lidt foran Midten; Endetarmen stiger lige i Veiret og udmunder
i en tragtformig Anus.
Fosterkjeden ligger paa Bugsiden; den begynder tet foran Indvoldsmassen og
strækker sig uden Krumninger lige fortil, under Bugfuren, til lidt foran sammes Midte.
Findesteder.
Atlanterhavet: ! 20° N.Br., 36° V.L.; ? 18° N.Br., 25° V.L. (Hygom). ° 13° N. Br.,
31° V.L. (Strandgaard). 4 6° N. Br., 28° V.L.; © 3° N. Br 22° V..L. (Hygom).
6 35° 31° S. Br., 0%51° V. L. (Andrea).
Det Stille Hav: 0° Br, 105° ©.L., Javaso; Chinasoen (Strandgaard).
Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim. — Cuvier.
Tab. I, Fig. 10—11, Tab. II, Fig. 38—41 og 47.
Synonymi og Literatur!).
Thetys vagina, Til., p. 150—165, Tab. V—-VI.
Salpa Tilesii, Cuvier, Nr. I, p. 375, PI. 68, Fig. 3 og 6. — Lam., p. 118. — Blainv., p. 109.
— Meyen, p. 415.
Salpa costata, Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 504, P]. 73, Fig.2, og Nr.2, p. 37. — Blainv.,
p. 122. — Meyen, p. 419. — Krohn, p. 114.
Salpa bigibbosa, Quoy & Gaim., Nr. I, p. 504, PI.73, Fig. 1, og Nr.2, p.38. — Blainv.,
p. 122. — Meyen, p. 419.
Salpa gibbosa, Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 506, PI.73, Fig.7. — Blainy., p. 122. — Meyen,
p. 419.
Salpa infundibuliformis, Quoy & Gaim., Nr. I, p. 508, PI.73, Fig. 13, og Nr. 2, p. 42. —
Blainv., p.110. — Meyen, p. 420.
Salpa costata-Tilesii, Krohn, p. 114 (opstiller Formodningen om, at S. costata og S. Tilesii
høre sammen). — Vogt, Nr. 3, p. 7.
1) Home afbilder den enlige Salpe under Navnet «Dayyza strumosa, Banks» paa Tab. 71; ligeledes
giver han en Figur af Kjedesalpen paa Tab. 72 under Betegnelsen »another species of dagyza».
380 46
Beskrivelse.
Proles gregata. Corpore robusto, subcompresso; appendicibus nullis. Aperturis
terminalibus. Musculis corporis 5 in dorso silis; tribus anticis in medio dorso interruptis
el approximatis; duobus posticis parallelis.
Proles solitaria. Corpore robusto, inprimis antice; extremitate posteriori depresso.
Aperluris lerminalibus; utroque latere apertura cloacalis cornu longo, curvo, in extremitate
depresso. Musculis corporis 18—22 in dorso sitis, medio dorso interruptis.
Kjedesalpen (proles gregata).
Kroppen er svær, lidt sammentrykt, med fladtrykt Ryg og sterkt hvelvet Bug.
Det største Exemplar var ca, 190"" langt.
Kappen er tyk, bruskagtig, hist og her forsynet med korte Pigge, især paa den
Del, som dækker Indvoldsmassen, og som springer pukkelformigt frem paa Bugen; hos
ganske smaa kun faa Millim. lange Individer, som jeg udtog af den enlige Salpe, vare disse
Torne meget tydelige og forholdsvis kolossale (Fig. 10 og 11). Undertiden forefandt jeg
dog en fuldstendig glat Overflade hos store Exemplarer.
Aabningerne ere endestillede; Mundaabningen er særdeles bred og har en meget
tyk Underlæbe; den ovale, med stærk Ringmuskulatur udstyrede Kloakaabning sidder paa
Spidsen af den skraat opstigende, tudformige Bagende; Kloakaabningens Rande ere tynde
og skarpe.
Kropmusklerne ere fem i Tallet; de tre forreste ere afbrudte midt paa Ryggen,
hvor de iovrigt nerme sig sterkt til hinanden; de to bageste Kropmuskler ere indbyrdes
parallele og stundom, dog ikke allid, afbrudte midt paa Ryggen. Alle fem Kropmuskler
labe sig i Højde med Mundvigene, saaledes at Bugen er aldeles fri for Muskulatur.
Mundbulen er rummelig, noget hoiere end bred; den gaar jevnt over i det heni-
mod Kloakaabningen tragtformigt indsnevrede Kloakrum.
Nerveknuden er forholdsvis meget lille; Synsapparatet er ligeledes lille og knap-
formigt.
Fimreorganet minder i Udseende og Leiringsforhold meget om det samme Organ
hos Salpa scutigera-confoederata.
Gjelleroret er kraftigt bygget, forholdsvis kort, sammentrykt, ophængt til Mund-
hulens Loft indtil i Højde med {ste Kropmuskel. Der findes ca. 60 Fimreplader paa Gjælle-
rorets Forflade.
Bugfuren begynder dybt nede under den store Underlæbe paa Mundhulens Guly;
den lober helt hen til Svalget.
=
Vt: OTR a 5
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. I levende Live er Indvoldsmassen
ifl. Quoy og Gaimard af en brændende red Farve og lyser.i Mørke. Svælget er tragt-
formigt og ligger lidt tilhoire for Midlinien; Tarmroret er videst midtpaa; Endetarmen stiger
skraat opad og udmunder i en rummelig, tragtformig, sammentrykt, skraat afskaaret Anus.
Testiklen ligger halvkugleformigt uden om Tarmens nederste Halvdel.
Fosterets Stilling. Som hos Salpa cordiformis-zonaria og Salpa hexagona anlægges
flere Fostre; kun fra en enkelt Lokalitet (27° N. Br., 64° V. L., Hovgaard °/s 1883) fore-
findes paa Universitetets zoologiske Museum et Par Exemplarer paa ca. 10°%s Længde med
Fosteranleg. Der findes 3, næsten ens store Fostre paa hoire Side af Kloakrummets Ryg-
parti, lige bagved 4de Kropmuskel.
Salpekjeden kjender jeg kun i Fostertilstanden. Jeg formoder, at Medlemmerne af
Kjeden efter Fodselen gruppere sig som Kjedesalperne af Salpa democratica-mucronata, og
at Individernes Længdeaxer danne spidse Vinkler med Kjedens Længdeaxe.
Den enlige Salpe (proles solitaria).
Kroppen er svert bygget, iser fortil, noget fladtrykt henimod Kloakaabningen, hvor
den tillige bliver meget smal. Noget foran hver Vig af Kloakaabningen udgaar et langt,
udad og bagtil krummet, i Spidsen fladtrykt, fast, gronligt farvet Horn. Det største Exem-
plar var 192” langt, heri ikke iberegnet Hornene, hvis Længde udgjorde 34™™.
Kappen er tyk, bruskagtig og fast, iser paa Bugsiden for det pukkelformige Partis
Vedkommende, som omgiver Indvoldsmassen.
Aabningerne ere endestillede; den særdeles brede Mundaabning har tykke Leber,
iser er Underleben stærkt fortykket; den ovale, med tynde Rande udstyrede Kloakaabning
sidder paa Spidsen af den tudformige Bagende.
Kropmusklernes Antal varierer noget. I Reglen forefindes 20 Tværmuskler paa
hver Side af Ryggens Midllinie; dette Tal kan stundom forøges til 22 eller synke ned til
. 18; ofte træder desuden den Eiendommelighed til, at der en Muskel mere paa den ene
Side end paa den anden.
Mundhulen er omtrent saa hoi som bred; den gaar jævnt over i det bagtil stærkt
indsnevrede Kloakrum.
Nerveknuden er megel lille og har et særdeles lille Synsapparat; den ligger et godt
Stykke bag Fimreorganet, lidt foran den Iste Kropmuskel.
Fimreorganet er omtrent som hos Kjedesalpen.
Gjelleroret er svært bygget, sammentrykt, ophængt til Mundhulens Loft indtil om-
trent i Hoide med Ade Kropmuskel. Der findes ca. 85 Fimreplader paa Gjellerorets Forside.
Bugfuren er jevnt krummet igjennem hele sin Længde og lober helt hen til Svælget.
Tarmkanalen er som hos Kjedesalpen; kun synes Anus at springe noget mere frem
bagtil mellem to temmelig store, bruskagtige, morgenstjerneformige Processer fra den indre
Kropvæg. Indvoldsmassen er ifl. Quoy og Gaimard i levende Live orangerad.
Fosterkjedens Stilling minder om Forholdet hos Salpa runcinata-fusiformis; ligesom
hos denne strækker den sig fra Svælget fremad paa Bugsiden, boier derefter knæformigt
om og løber næsten parallelt med og paa venstre Side af det fortilgaaende Parti bagtil og
standser omtrent i Hojde ıned Anus.
Findesteder.
2
Atlanterhavet: ! Ved Indlobet til Kanalen (ifl. Blainville). >” 43° N. Br., 12° V. L. (Andréa).
MO HAN Br Oe Ve Des MOIN BE MEN MES MO DEN ES AT VEN
(Hygom). © Azoriske Der (Warming). 7 36° N. Br., 27° V.L.; ° 35° N. Br.,
31° V.L. (Hygom). ? 35° 20° N. Br., 24° V.L. (Andrea). 1° Madeira,-2 Mile fra
Land (Reinhardt, Galath. Exp.). 1! 28° N. Br., 25° V.L. (Iversen). !? 27° N. Br.,
GAS Volen(Hoveaard))) DES TN Bre? 2 VAT S tube) SIN BTE 5
Von Slrandgaard) 2002 INS Br. 22V. ELERS SES SB ry ED GAVE VE UE)
SA SIDO TESS Br 2508 DVD-R (Andrea).
Middelhavet: (ifl. Krohn og Vogl).
Detelndiske Hays) CMOS SC BES ØER OASE Dr ENS SD DO DR MOSS RTE
S. Br., 89° 0‘ ©. L. (Andréa). * 21° 50° S. Br., 63° 40° ©. L. (Hartmann).
Det Stille Hav: + Japan (Salmin). ? Mellem Marianerne og Sandwichsaerne, 38° N. Br.
(if. Quoy & Gaim.: S. bigibbosa. I Nærheden af Selskabsøerne (ifl. Quoy &
Gaim.: S. gibbosa.)
Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim. — Pall.
Tab. I, Fig. 18—21.
Synonymi og Literatur.
Holothurium zonarium, Pall., p.26, Tab. I, Fig. 17 A—C.
Salpa polycratica, Forsk., p. 116, Tab. 36, Fig. F. — Brug., PI. 75, Fig. 5. — Bosc, Nr. I,
palsies — NE pel SOseNra lie ram pelle RISSO NDS
Blainv., p. 116. — Meyen, p. 414.
Holothuria zonaria, L., Nr. 3, p. 3142, Nr. 18.
Salpa zonaria, Brug., Pl. 73, Fig. 8—10. — Lam., p. 118. — Cham., p. 12, Fig. 3 A—G.
— Blainv., p. 115. — Eschricht, p. 303 (og fremdeles), Tab. Il, Fig. 16, 18—23.
— Herdman, p. 113.
D 0
49 383
Salpa cordiformis, Quoy & Gaim., Nr. 4, p. 226, PI.8A, Fig. 3—6. — Blainv., p. 120. —
Eschricht, p. 301 (og fremdeles), Tab. I, Fig. 1—4, Tab. II, Fig. 5—10, Tab. HI
Fig. 11—15 og 17, Tab. IV, Fig. 23 (bis) — 36. — Vogt, Nr. 1, p.33, Fig. 1.
Salpa microstoma, Quoy & Gaim., Nr. 4, p. 226, PI. 8 A, Fig. 7—9.
1
Salpa unicuspidata, Quoy & Gaim., iflg. Blainv., p. 116.
?Salpa quadrangularis, Lesson, Nr. 2, p.268, Pl. 6, Fig. 2.
Salpa cordiformis-zonaria, Krohn, p. 112—113.
Beskrivelse.
Proles gregata. Corpore longo, depresso; extremitalibus in appendicem conicam,
acuminatam desinentibus. Aperturis in dorso sitis. Musculis corporis 6, latis, parallelis ;
omnibus in medio ventre interruptis, primo et secundo et in medio dorso interruptis.
Proles solitaria. Corpore longissimo; extremitate anteriori truncata, extremitate
posteriori in spinam brevem, conicam, acuminatam desinente. Apertura oris terminali,
apertura cloacali in dorso sita. Musculis corporis 6, latissimis, parallelis, et in medio
dorso et in medio ventre interruptis.
Kjedesalpen (proles gregata).
Kroppen er aflang, forholdsvis kortere og bredere end hos den enlige Salpe, noget
fladtrykt, især paa Ryggen. Forenden lober ud i et stumpt, kegleformigt Vedheng; lige-
ledes forlenger Bagenden sig ud i et ofte dobbelt saa langt, noget tyndere, i Reglen mere
tilspidset, skjævt tilhoire siddende Vedhæng. Begge disse Vedheng ere Forlængelser af
Kappen. Ca. 50™™ lang.
Kappen er temmelig tyk, fast og bruskagtig.
Aabningerne ere rygstillede; Mundaabningen betydelig bredere end Kloakaabningen.
Kropmusklerne ere 6 i Tallet, brede, indbyrdes parallele; alle ere de afbrudte paa
Bugens Midte; de to forreste tillige midt paa Ryggen.
Mundhulen er bredere end hoi, afrundet for og bag.
Nerveknuden er kugleformig og ligger umiddelbart bagved Fimreorganet.
Fimreorganet er langstrakt og smalt og ligner Fimreorganet hos den enlige Salpe;
det ligger lige foran 2den Kropmuskels forreste Rand.
Gjelleroret er tyndt og spinkelt; dets forreste Ende er fastgjort til Mundhulens
Loft paa Strekningen fra 2den Kropmuskels Bagrand til midt under 4de Kropmuskel.
Bugfuren begynder med brat opadkrummet Spids dybt neden under Mundaabningen
og naar hen i Hoide med 4de Kropmuskels Bagrand.
Vidensk. Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 8. 49
384 50
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform; Indvoldsmassen er kugleformig og
ligger forholdsvis lengere fortil end hos den enlige Salpe, neden under den bageste Del
af Kloakrummet.
Testiklen ligger som et halvkugleformigt Overtræk omkring Tarmkanalens nederste Del.
Fosterets Stilling. Der findes 4 Fostre paa lige saa mange forskjellige Udviklings-
stadier indvendig paa hoire Side mellem 5te og 6te Kropmuskel; det længst fortil liggende
Foster er det største, det bageste det mindst udviklede (smlgn. Salpa hevagona).
Salpekjedens Medlemmer ligge i to Rekker; Kjedesalpernes Lengdeaxer ere parallele
med Kjedens Længdeaxe (smlgn. Salpa runcinata-fusiformis).
Den enlige Salpa (proles solitaria).
Kroppen er sterkt forlenget og noget fladtrykt, især fortil. Et Tværsnit gjennem
Kroppen i Hoide med Kloakaabningen frembyder en firkantet Flade. Skraat nedad bagtil
udgaar en bred, kegleformig, spids Forlængelse, der indeslutter Indvoldsmassen og Foster-
kjeden. Det største Exemplar maalte 65"" i Længde.
Kappen er temmelig tyk, fast og bruskagtig.
Mundaabningen ligger som en bred Tværspalte paa den lige afskaarne Forende.
Kloakaabningen er rygstillet, halymaaneformig og langt smallere end Mundaabningen. Paa
hver Side af Kloakaabningen danner Kappen et skarpt Hjorne.
Kropmusklerne ere 6 i Tallet, særdeles brede, parallele og afbrudte saavel paa
Ryggens som paa Bugens Midte. Den bageste Kropmuskel er kun udviklet paa Siderne
af Ryggen.
Mundhulen er firkantet i Tværsnit, hoiere bag end for.
Nerveknuden er dobbelt saa bred som lang og ligger i Hoide med Mellemrummet
mellem iste og 2den Kropmuskel, tæt foran Gjællererets Udspring. Synsapparatet er fladt.
Fimreorganet er langstrakt, lige og tilspidset i begge Ender; det ligger et Stykke
foran Nerveknuden.
Gjællereret er langt og spinkelt; den til Mundhulens Loft fastgjorte Ende naar fra
2den Kropmuskel til hen i Hoide med Mellemrummet mellem 4de og 5te Kropmuskel.
Bugfuren begynder tet indenfor Underleben, og efter et ganske lige Lob standser
den lidt foran Svelget.
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform og ligger bagved Kloakrummet i den
allerede ovenfor omtalte Forlængelse af Kroppens Bagende.
Fosterkjeden er snoet spiralformigt uden om Tarmkanalen.
“~ on
51 385
Findesteder.
Atlanterhavet: ! 48° N.Br., 8° V.L. (Hygom). ? 46° 23° N. Br., 11° 15° V.L. (Reinhardt).
5 46° N. Br., 18° V. L. (Hygom). oo Ne Br, Wile Veo. BTS) > Extra
fretum Gaditanum» (ifl. Forsk). © 37° N. Br., 10° og ° 15° V.L. (Friis). & 34° 22"
N. Br., 18° 10° V. L. (Reinhardt). ? 34° N. Br., 54° V. L.; 31° N. Br., 61° V. L.
(Hovgaard). 1° 30° 16° N. Br., 37° 16° V. L. (Warming). 1! 30° N. Br., 134° V.L.
(Hygom). !? 25° 5‘ N. Br., 32° V.L. (R. Nielsen). 1% Vestindien, Øen Antigua (ifl.
Pallas 216 NN Br so 10.22 1.5, I ME CON Dr 302 41V. 1 (Warming):
16 15° 19° N. Br., 24° 54° V.L. (Reinhardt). 17 12° N. Br., 26° 30° V.L.; 78 5° 24°
N. Br., 26° 30° V. L. (E. von Benzon). 1°? 4° 25° N. Br., 36° V. L. (Kjellerup).
NT SaBrn 822522 Vell, (BezyoneBenzon) 2 14S.Br.., 282 00+. Veli. (War-
ming). 22 20° 14° S. Br., 1° 4’ V. L. (Andréa). °° 36° 34° S. Br., 2° 0‘ V. L. (Andrea).
24 36° 45° S.Br., 7° 36° V.L. (Reinhardt).
Middelhavet: 2° 36° 29° N. Br., 2° 28° V.L. (Branner). °° Malaga (J. Collin).
Det Indiske Hav: ! 38° 50° S. Br., 28° 30° ©. L. (Andrea). ? 35° 12’ S. Br., 26° 0‘ Q. L.;
3 34° 30° S. Br., 27° 50° ©. L. (Hartmann). * 5° 21° S. Br., 81° 26° ©. L. (Mathiesen).
5 3°9° N. Br., 84° 44° ©.L. (Reinhardt).
Det Stille Hav: ! China-Soen, ved Manila (Galath. Exp.). ? 40° 50° S. Br., 161° 0° ©. L.
(Hartmann).
Salpa hexagona, Quoy & Gaim.
Tab. I, Fig. 14—17.
Synonymi og Literatur.
Salpa hexagona, Quoy & Gaim., Nr. I, p. 505, Pl. 73, Fig. 3. — Quoy & Gaim., Nr. 2,
p. 39, Pl. 1, Fig. 4 (cit. hos Blainv., p. 122 og Meyen, p. 419).
?Salpa triangularis, Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 511, PI. 74, Fig. 9—10.
?Salpa biensis, Blainv., p. 123 (Beskrivelsen er gjort efter en Tegning af en Naturforsker
paa en engelsk Expedition til Congo).
?Salpa lineata, Less., Nr. 2, p. 268, Pl.6, Fig. 5 og 5 bis,
Beskrivelse.
Proles gregata. Corpore longo, ventricoso, cristis longitudinalibus 4 serratis ornato;
extremitate anteriori subacuminata, extremitate posteriori truncata. Aperturis terminalibus.
Musculis corporis 7 latis, in medio ventre interruptis, primo et in medio dorso interruplo;
musculis 4 anticis in medio dorso approximatis.
49"
386 52
Proles solitaria. Corpore longissimo, cylindrico, cristis longitudinalibus 6 valde
prominentibus ornato; extremitatibus truncatis; crista utriusque lateris media et a dextra
et a sinistra parte aperture cloacalis in appendicem longam, cylindricam desinente. Aper-
turis terminalibus. Musculis corporis 11, latissimis, parallelis, omnibus in medio ventre
interruptis.
Kjedesalpen (proles gregata).
Kroppen er langstrakt, cylindrisk, noget buget paa Midten, løber spidst ud bagtil,
stumpt tilspidset fortil; ca. 38"" lang.
Kappen er temmelig tyk og fast; langs hver Side løbe to savtakkede, fremsprin-
gende Lister, der bagtil fortsætte sig ud paa en Proces af Kappen, som rager ud over
Kloakaabningen, neden under denne.
Aabningerne ere endestillede; Mundaabningen er bred; den svagt tilspidsede Under-
lebe rager frem foran Overlæben, saaledes at Mundaabningen kan siges at være i Begreb
med at vandre op paa Rygsiden.
Kropmusklerne ere 7 i Tallet, særdeles brede; den bageste er næsten dobbelt saa
bred som en af de andre; alle tabe de sig i Hoide med hinanden paa Dyrets Sider; Iste
Kropmuskel, der er ikke saa lidt smallere end de ovrige, er tillige afbrudt midt paa
Ryggen. De 5 forreste Kropmuskler nerme sig sterkt til hinanden paa Midlen af Ryggen.
Mundhulen er cylindrisk og gaar bagtil over i et noget snevrere Kloakrum.
Nerveknuden er lille og kugleformig; den ligger lige foran 2den Kropmuskel i
Hoide med Gjellererets forreste Ende. Synsapparatet er lille, kegleformigt og fremadrettet.
Fimreorganet er lille (ca. IY/e”® langt hos et Individ paa 38"") og smalt; det ligger
foran Gjellerorets forreste Ende. lovrigt minder det i Henseende til Formen i høj Grad
om Fimreorganet hos S. cordiformis-zonaria.
Gjelleroret er temmelig langt og spinkelt; noget sammentrykt, især i sit overste
Parti; det er fastgjort til Mundhulens Loft paa Strækningen fra lidt foran 2den Kropmuskel
til Forranden af 4de Kropmuskel.
Bugfuren tager sin Begyndelse paa Mundhulens Gulv lige under Mundaabningen,
er opadkrummet i sin forreste Ende, iovrigt lige, og lober helt hen til Svelget.
Tarmkanalen er sammenrullet i Nucleusform. Indvoldsmassen er langagtig; dens
Længdeaxe er parallel med Kroppens. Endetarmen løber lige bagtil og udmunder i en
rummelig, skraat afskaaret, tragtformig Anus.
Testiklen var hos de af mig undersogte Exemplarer lille, men ret tydelig, aflang,
ulappet og havde sit Leie i Tarmlokken.
Fosterets Stilling. Der findes anlagt 4 Fostre indvendig paa hoire Side af Kloak-
rummet under og bagved 6te Kropmuskel (Fig. 17, s, s‘, s‘ og s‘“); det længst fortil lig-
53 387
gende Foster er det største, det bageste det mindst udviklede. Paa det største Foster,
der kun maalte ca. 3"" i Længde, saa jeg tydeligt 11 Kropmuskler.
Salpekjedens Form og Individernes Stilling i Kjeden kjender jeg ikke.
Den enlige Salpe (proles solitaria)*).
Kroppen er stærkt forlænget, cylindrisk, svagt tondeformigt udvidet midtpaa, jævnt
afrundet i begge Ender. Incl. Tornene paa Bagenden 71"" lang, uden Tornene 57™™ lang
og ca. 12™™ bred.
Kappen er temmelig tyk, fast, bruskagtig og udstyret med II Lengdelister, hvoraf
de 3 paa hver Side (Fig. 16, 2, 7 og d) og de to paa Ryggen (Fig. 15, « og a‘) løbe ud i
et temmelig tyndt og langt, men fast, trindt og spidst Vedheng paa hver Side af Dyrets
Bagende.
Aabningerne ere endestillede. Mundaabningen ses som en særdeles bred Tvær-
spalte paa Forenden; Underleben er kun ubetydeligt længere end Overlæben. Kloakaab-
ningen er oval med sin storste Diameter paatværs af Kroppen; den ligger lige midt paa
Bagenden.
Kropmusklerne ere 11 i Tallet, særdeles brede, især den bageste; langs Ryggens
Midtlinie have de el karakteristisk zigzagagtigt Forleb, der dog ikke gjælder for de 3
forrestes Vedkommende; nogle Muskelfibre fra de foranliggende Muskler lobe nemlig skraat
bagtil og forene sig med de bagvedliggende Muskler; alle de forovrigt parallele Kropmuskler
ere afbrudte paa Bugsiden.
Mundhulen er cylindrisk.
Nerveknuden er temmelig stor og ligger usædvanligt langt tilbage under d5te Krop-
muskel, kun lidt foran den bageste Del af Gjællerarets til Mundhulens Loft fasthæftede
Forende. Synsapparatet kjender jeg ikke.
Fimreorganet er langt og smalt og ligger lige foran Gjællerorets forreste Ende.
Gjælleroret er langt, spinkelt og sammentrykt, især i sit forreste Parti; det er
fastgjort til Mundhulens Loft paa Strækningen fra 2den Kropmuskels forreste Rand til
forreste Rand af 6te Kropmuskel. Fimrepladerne paa Gjellerorets Forside gre særdeles
tætstillede.
Bugfuren begynder i Forranden af Iste Kropmuskel, har et lige Forleb og naar
helt hen til Svælget.
Tarmkanalens Form og Forleb er som hos Kjedesalpen.
1) Til min Disposition har der kun været 1 helt Exemplar og nogle tomme Kapper.
388 54
Fosterkjedens Stilling kjender jeg ikke ret meget til. Der var paa det af mig sete
Exemplar kun et ganske kort, tyndt Rer med begyndende Udvikling af Kjedesalper; det
laa nedenfor Bugfurens bageste Spids og krummede sig derfra tilvenstre bagud.
Findesteder.
Det Indiske Hav: 1 33° 20'S. Br., 33° 0‘ ©. L. (Andréa. ? 1° 20 S. Br., 89° 37° ©. L.
(Hansen & Thalbitzer). 3 3°9° N. Br., 84° 44‘ O. L., (Reinhardt, Galathea Exp.).
Det Stille Hav: ! I Nærheden af Karolinerne paa 13° N. Br. (ifl. Quoy & Gaim.). >” Ny-
hollandshavet, 40° 50° S. Br., 161° 0° ©.L. (Hartmann).
angiver, at det er den
Artsbetegnelse.
enten, at jeg
telse ber annulleres.
Findes der ikke vedfoiet noget af disse tre Mer-
ker, saa er Betegnelsen at opfatte som et Synonym
her i dette Arbeide brugte
slet ikke kjender Formen, 2 —
eller at jeg kun har vage Formodninger
om, hvor den skal henfores.
at Navnet er bleven eller efter min Opfat-
Nomenclator Salparum.
usitatam.
* denotat significationem
0. — nomen jam
rejiciendum esse.
speeiei
389
in hoe opusculo
me aut formam plane ignorare, aut valde
dubitare, quo referenda sit.
rejectum vel
meo judicio
Ubi nulla nota adponitur, nomen pro synonymo
dum est.
til en af de i dette Arbeide omhandlede Arter.
cuidam in hoe opusculo commemorate speciei haben-
Biphora democratica.
— depressa.
— mucronata.
— tricuspidata.
Dagyza strumosa.
Dubreullia cirrhosa.
Holothuria caudata.
— denudata.
— thalia.
— zonaria.
Holothurium zonarium.
Jasis cylindrica.
Pegea octophora.
Pterolyra beroides.
Salpa affinis.
— africana.
— africana-maxima.
— amphoræformis.
— antarelica.
— antheliphora.
— aspera.
— bicaudata.
1758
1788-91)
1774
1816
1816
1830
1819
1775
1846
1830
1832
1819
1826
Costa, Nr.2, p.7, Tav. Il.
Sars, Nr. 1, p.51, Tab. VI, Fig. 1—4.
Costa, Nr. 2, p 3, Tav. I, Fig. 1—3.
Sars, Nr. 1, p.56, Tab. VI, Fig. 5—16.
Banks, ifl. Home, PI. 71.
Lesson, Nr. 2, p.278, PI.6, Fig. 7.
L., Nr. 1, p.657.
L., Nr. 1, p. 657.
L., Nr. 1, p. 657.
L., Nr. 3, p. 3142, Nr. 18.
Pall., p.26, Tab. 1, Fig. 17 A—C.
Sav., p. 124, Pl. 24, Fig. 2.
Sav., p. 124, PI. 24, Fig. 1.
Less., Nr. 2, p. 378.
Cham., p. 11, Fig. 2 A—F.
Forsk, p.116, Tab. 36, Fig. C.
Krohn, p. 112—113.
Less., Nr. 2, p.270, Pl. 5, Fig. 3.
Meyen, p. 416, Tab. 29, Fig. 1.
| Pér. & Les., Tab. 30, Fig. 3 a.
| Cham, p- 14, Fig. 4.
Quoy & Gaim., Nr. 4, p. 225, PI. 8 A,
Fig. 1—2.
~
. cordif.-zonaria, pr.
. cordif.-zonaria, pr.
. democr.-mucron., pr. sol.
. rune.-fusif., pr. gr.
. democr.-mucron., pr. gr.
. Tune.-fusif, pr. sol.
. eostala-Tilesii, pr. sol.
. democr.-mucron., pr. sol.
. pinnata.
pinnata.
pinnata.
ua
I
g2
. cylindrica, pr. sol.
. seutig.-conf., pr. gr.
Rimeligvis ingen Salpe.
S.
afric.-max., pr. sol.
Doliolum sp.
seutig.-conf., pr. gr. var.
390 | 56
Salpa bicornis. 1819 | Cham., p. 20, Fig. 8. ? |
— biensis. | 1827 Blainv., p. 123 |?]|s. hexagona, pr. sol.
— bigibbosa. | 1824 Quoy & Gaim., Nr. 1, p.505, PI.73, Fig. 1. | | S. costata-Til, pr. sol.
— bipartita. 1804 | Bory de Saint Vincent, p. 134, PI. 6, Fig. 3. | o | Diphyes dispar.
— birostrata. 1827 | Blainv. p. 119. S. afrie.-max., pr. gr.
— Caboti. 1848 | Desor, p. 75. S. democr.-mucron., pr. sol.
| & gr.
— caudata. | 1816 | Lam, p.119. (efr. L., Nr. 1, p. 657). | | S. pinnata.
— clostra. | 1828 | Milne-Edw., Cuv., Nr. 3, Pl. 121, Fig. 2. | S.runcin.-fusif., pr. gr.
— coerulea. | 1828 | Delle Chiaje, Nr. 1 p. 60. 2 |
— coerulescens. | 1819 | Cham., p. 22, Fig. 9. | S. eylindrica, pr. sol.
— confoederata. 1775 | Forsk., p.115, Tab. 36, Fig. A. S. seutig -conf., pr. gr.
— cordiformis. 1827 | Quoy & Gaim., Nr. 4, p.226, PI.8A, | S. cordif.- zonaria, pr. sol.
| Fig. 3—6. |
— cordiformis-zonaria. | 1846 | Krohn, p. 112—113. 5
— costala. | 1824 | Quoy & Gaim., Nr.1, p. 504, PI.73, S. costata.-Til., pr. sol.
Fig. 2.
— costata-Tilesii. | 1854 | Vogt, Nr. 3, p.7 (Krohn udtaler For- | "
modning om, åt de to Former høre |
| | sammen). | |
— cristata. | 1804 | Cuvier, Nr. 1, p. 366, Pl. 68, Fig. 1—2. S. pinnata, pr. gr.
— cyanea. 1828 Delle Chiaje, Nr.1, p.63; Nr. 2, p. 39, | ? | S. pinnata, pr. sol.
| Tav. 79, Fig. 12. |
— cyanogaster. | Per. & Les., Tab. 30, Fig. 3. ? | S. demoer.-muer., pr. gr.
— cylindrica. +-1804 | Cuvier, Nr. 1, p. 381, PI. 68, Fig. 8—9.
— eymbiola. 1872 | Dall, p. 159. ? | S. cylindrica.
— democratica. 1775 | Forsk. p.113, Tab. 36, Fig. G. S. democr.-mucron., pr. sol.
— democratica-mucronata. | 1846 | Krohn, p. 112—113. z
— dolicosoma. | 1883 | Todaro, Nr. 2, p. 41—43. S. dolie.-virg., pr. sol.
— dolicosoma-virgula. | 1883 | Todaro, Nr. 2, p. 42. =)
— dolium. | | Quoy & Gaim., Nr. 5, p. 575, PI. 90, S. seutig.-conf., pr.
| Fig. 1—8.
— dubia. 1819 | Cham., p. 18, Fig. 6. ?
— elongata. | Quoy & Gaim (ifl. Blainv., p. 113). | S. cylindrica, pr. sol.
— emarginata. | 1824 Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 511, Pl. 74, | ? |
Fig. 11—12. |
— fasciata. 1775 Forsk., p. 115, Tab. 36, Fig. B. ? | S.rune.-fusif., pr. sol.
— femoralis. Quoy & Gaim., Nr. 5, p. 587, PI. 88, S. scutig -conf. pr. gr.
| Fig. 1—5.
— ferruginea. 1819 | Cham., p. 23, Fig. 10 A—D. S. seutig.-conf., pr. gr.
— flagellifera. | 1881 | Traustedt. S. democr.-mucron., var.
— Forskalii. 1830 | Lesson, Nr. 2, p. 276, PI. 4, Fig. 1. | S. afrie.-max.
— fusiformis. 1804 | Cuvier, Nr. I, p. 382, Pl. 68, Fig. 11. S. runc.-fusif., pr. gr.
a
Salpa Garnotii.
— gibba.
gibbosa.
hereulea.
hexagona.
informis.
infundibuliformis.
lævis.
lineata.
lingulata.
longicauda.
maxima.
mierostoma.
moniliformis.
mucronata.
neapolitana.
nephodea.
octophora.
pelasgica.
pinnata.
polycratica.
polymorpha.
proboscidalis.
punetata.
pyramidalis.
pyramidalis.
quadrangularis.
rhomboides.
rubrolineata.
runcinata.
runcinata-fusiformis.
seutigera.
seutigera-confoederata.
1775
1841
1830
1804
1802
1775
1775
1824
1830
1775
1826-34
1830
1830
1824
1830
1819
1846
1804
1854
391
| Lesson, Nr. 2, p.271, PI.6, Fig. 6.
| Bosc, 2nd éd., 1827, p. 178, PI. 20,
Fig. 5.
| Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 508, PI. 73,
Fig. 13.
| Dall, p. 158.
| Quoy &Gaim., Nr. 1, p. 505, PI.73, 3. Fig.
Quoy & Gaim,, Nr. 1, p. 510, Pl. 74,
Fig. 8.
Quoy & Gaim., Nr. I, p. 508, PI. 73,
Fig. 13.
Lesson, Nr.2, p. 273, Pl. 6, Fig. 3.
Lesson, Nr. 2, p.268, Pl. 6, Fig. 5.
| Blumenb., Nr. 30 (Thalia lingulata).
| Quoy & Gaim., Nr. I, p. 507, PI. 73,
Fig. 8.
Forsk., p.112, Tab. 35, Fig. A (A 1
excl.) etc.
Quoy & Gaim., Nr. 4, p. 226, PL 8 A,
Fig. 7—9.
Me Culloch, p. 187.
| Forsk, p. 114, Tab. 36, Fig. D.
| Delle Chiaje, Nr.2, p.40, Tav. 76, Fig. 1.
Lesson, Nr. 2, p.275, Pl. 5, Fig. 1.
Cuvier, Nr. 1, p. 379, Pl. 68, Fig. 7.
Bose, Nr. 1, p.181, Tab. 20, Fig. 4.
Forsk., p. 113, Tab. 35, Fig. B.
| Forsk., p. 116, Tab. 36, Fig. F.
| Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 512, PI. 73,
Fig. 3—4.
Lesson, Nr. 1, p.95, PI. 33, Fig. 2.
Forsk., p. 114, Tab. 35, Fig. C.
Quoy & Gaim., Nr. 5, p. 593, Tab. 89,
Fig. 15—18.
Lesson, Nr. 2, p.271, PI.6, Fig. 2.
Lesson, Nr. 2, p.268, PI.6, Fig. 2.
Quoy & Gaim., Nr. I, p. 510, PI. 74,
Fig. 3—4.
Lesson, Nr. 2, p. 272, Pl. 5, Fig. 5.
| Cham., p. 16, Fig. 5 A—J.
Krohn, p. 112—113.
Cuvier, Nr. I, p. 377, PI. 68, Fig. 4—5.
Vogt, Nr. 3, p. 6.
Vidensk Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. IL 8.
| S. seutig.-conf., pr.
S
n
. cylindrica, pr. sol.
FA
. scutig.-conf., pr. sol.
an
. costata-Til., pr. sol.
un
. eostata-Til., pr. gr.
n
-seulig.-conf,, pr. gr.
S. hexagona, pr. gr.
S. demoer.-mueron., pr. gr.
S
>. democr.-mucron., pr. sol.
| S.afric.-max., pr. gr.
n
. cordif.-zonaria, pr. gr.
S. rune.-fusif., pr. sol.
[777
. demoer.-mueron., pr. ST,
. costata.-Til., pr. gr.
nn
. scutig.-conf., pr. gr.
. pinnata, pr. sol.
S. cordif.-zonaria, pr. gr.
Rimeligvis ingen Salpe.
S. pinnata, pr. gr.
S. demoer.-muer.
| S. cordif.-zonaria, pr. sol.
S. rune.-fusif., pr. sol.
S. seutig.-conf., pr. sol.
58
Salpa sipho.
socia.
solitaria.
spinosa.
suborbicularis.
{balia.
Tilesii.
triangularis.
tricuspida.
tricuspidata.
unicuspidata.
vaginata.
virgula.
vivipara.
zonaria.
Thalia, Nr. 1—3.
lingulata.
Thetys vagina.
1775
1802
1775
1823
1824
1816
1804
1824
1830
1824
1827
1819
1854
1774
1756
1810
1802
Forsk., p. 115, Tab. 43, Fig. C.
Bose, Nr. 1, p. 180, PI. 20, Fig. 1—3.
Forsk., p. 116, Tab. 41, Fig. E.
Otto, p. 303, Tab. 42, Fig. 1 a—d.
Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 509, PI 74,
Fig. 5—7.
Lam., p.119 (cfr. L, Nr. I p.657).
Cuvier, Nr.1, p.375, Pl. 68, Fig. 3 og 6.
Quoy & Gaim., Nr. I, p. sit, PI. 74,
Fig. 9—10.
Lesson, Nr. 2, p. 272.
Quoy & Gaim., Nr. 1, p. 503, Pl. 73,
Fig. 6.
Quoy & Gaim., ifl. Blainv., p. 116.
Cham., p. 19, Fig. 7 A—G.
Vogt, Nr.3, p. 11, Tab. 5, Fig. 12—13.
Per. & Les., Tab. 30, Fig, 3.
Pallas, p. 26, Tab. 1, Fig. 17 A—C.
| Browne, p. 384, Tab. 43, Fig. 3—4.
| Blumenb., Nr. 30.
Tilesius, p. 150, Taf. 5—6.
nu nn mn mn
Clavellina sp.
S. sculig.-conf., pr. gr.
Horer til Asc. simplices.
S. democr.-mucron., pr. sol.
S. pinnata.
S. costata.-Til., pr. gr.
S. hexagona, pr. gr.
S. cordif.-zonaria, pr. sol.
S. dolievsoma - virgula,
pr. gr.
. seutig.-conf., pr. sol.
. cordif.-zonaria, pr. gr.
. pinnata.
. democr.-muer., pr. gr.
.costata-Til., pr.
59
Fig.
393
Tavleforklaring.
a. Mundaabning. o. Overlæbe.
b. Kloakaabning. p. Finneformigt Vedhæng.
e. Blindtarm. q Hjærte.
d. Fimrebuer. r. Gjællerer.
e. Bugfure (Endostyl). s. Foster.
f. Fimreorgan. t Tarm.
g. Nerveknude. u. Underlebe.
h. Piacenta. r » Anus.
i. Eleoblast (Fedtkugle). x. Nucleus.
k. Testikel. y. Basis af de Traade, hvormed Kjedesalper have
I. Linieformigt Organ. været fæstede til deres Naboer i Kjeden.
m. Svelg. Forklaringen af Bogstaverne, der ere vedfojede Fig.
n. Fosterkjede. 42— 47, findes under Forklaringen til Fig. 42.
Tavle I.
Salpa pinnata, Forsk., en Kjedesalpe, set fra venstre Side. Det finneformige Vedhæng (p) til Forbin-
delse med de ovrige Medlemmer af Kjeden, den neden under Bugfuren (e) og Testiklen (k) liggende,
udstrakte Tarmkanal (¢) med Anus (v) helt fortil og desuden det linieformige Organ (J) gjør denne
Form let kjendelig fra alle andre Salper. Individet er fremstillet med et lille Foster (s), der skinner
igjennem fra Indrefladen af Kloakrummets heire Side.
Samme Art, en anden Kjedesalpe, set fra heire Side; Musklerne ere udeladte. Tarmkanal, Testikel,
Bugfure og Fimrebuer ere tydeligere end paa foregaaende Figur; Fosteret (s) er paa et mere frem-
rykket Stadium. Tildels Kopi efter C. Vogt.
Samme Art, en enlig Salpe, ungt Individ set ovenfra.
Samme Individ, set fra venstre Side. De 5 linieformige Organer (/) foroven paa hver Side er det
mest karakteristiske ved denne Form. Ligesom hos den enlige Salpe af S. affinis (Fig.7 og 8) og
S. dolicosoma-virgula (af hvilken der ikke existerer nogen Tegning) er Tarmkanalen lagt op langs
Gjællererets Rygside. Individet bærer endnu Fostermærkerne (% og à). Fosterkjeden (n) er endnu
kun særdeles lille.
Samme Art, et voxent Exemplar af den enlige Salpe set fra hoire Side. Kroppens Muskler ere ude-
ladte paa denne Figur. Fosterkjeden er her tydelig, og Individet er i Færd med at fode en Kjede,
hvis Medlemmer strax have grupperet sig i en Kreds. Tildels Kopi efter Vogt.
Salpa affinis, Cham., en Kjedesalpe set fra venstre Side. Den boileformigt sammenkrummede Tarm-
kanal (t), som ligger i en stor, pukkelformig Udvæxt fra den bageste Del af Bugsiden, Mangelen af
linieformige Organer og Kropmusklernes Konstellationer gjer den let kjendelig fra Kjedesalpen af
Salpa pinnata, med hvilken den ellers i saa mange Forhold stemmer overens.
50*
60
Samme Art, en enlig Salpe sel fra Ryggen. Ligesom hos Kjedesalpen mangle ogsaa her de for
Salpa pinnata saa karakteristiske linieformige Organer.
Samme Individ set fra venstre Side. Som paa Fig. 4 af Salpa pinnata ses ogsua her Fostermer-
kerne (4 og 7). Fosterkjeden er ligeledes paa dette unge Exemplar endnu kun svagt udviklet. lovrigt
forholder Fosterkjeden sig ganske som hos Salpa pinnata i Henseende til Stilling og den gradvise
Udvikling af Kjedesalperne, uden Spring i Udviklingen.
Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt, en Kjedesalpe set fra heire Side. Det finneformige Vedheng
(p) har den tilfælles med Kjedesalperne af de to foregaaende Arter; med Hensyn paa Tarmkanalens
(t) Leiringsforhold mindes man om Salpa affinis. Den skraat opad rettede, lange, stærkt. tilspidsede,
kegleformige Forlængelse af Kroppens Bagende, i hvilken Testiklen (%) har sit Leie og den rygstillede
Kloakaabning (2) er særdeles karakteriske Kjendetegn for denne Form. Kopi efter Vogt.
Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim. — Cuy., et Medlem af en Fosterkjede, udskaaret af en enlig
Salpe, set fra Ryggen. De 5 Kropmuskler ses meget tydeligt.
Samme Individ set fra heire Side. Eleoblasten (*) ligger i en stor pukkelformig Udvæxt fra den
bageste Del af Bugen lige under Tarmkanalen. Eiendommeligt for Fosteret er den særdeles stærkt
fremspringende Overlæbe (0), det svære Gjællerer (r) og de forholdvis store Torne, der ses spredte
omkring paa Kappens Overflade, og som i Reglen tabe sig paa det voxne Exemplar (smlgn. Fig.
40—41).
Salpa democratica-mucronata, Forsk. var. flagellifera, en enlig Salpe set fra Ryggen. De 6 næsten
parallelt liggende Kropmuskler og Udstyrelsen med kun et langt, pidskeformigt Vedhæng pea hver
Side af Kloakaabningen gjør den let kjendelig fra Hovedtypen (Fig. 25— 26).
Et andet enligt Salpeindivid af samme Art set fra højre Side. Fra Fimreorganets (f) Basis rager som
hos Hovedtypen en særdeles tydelig, svagt S-formigt krummet, ubevægelig, tentakelagtig Proces (*)
ned i Mundhulen.
Salpa hexagona, Quoy & Gaim., en enlig Salpe set fra Ryggen. Denne Form skjelnes med stor
Lethed fra alle andre Salper ved sin eiendommelige Muskulatur og sine talrige Lengdelister paa Kap-
pens Overflade. Nerveknuden (g) ligger længere tilbage end hos nogen anden mig bekjendt Salpe.
Kappen af et andet Individ af samme Art set fra Ryggen, til Oplysning om de karakteristiske Længde-
lister. a og a‘ tilhøre udelukkende Rygsiden, medens $ og /' er den øverste Liste paa hver Side.
Samme Kappe set nedenfra, lidt fra hoire; længst borte skimtes Listen 2, midt paa Siden ses
Listerne 7 og Ö, paa hver Side af Bugen e og =‘ og midt paa samme den eneste uparrede Liste €,
ialt 11 Længdelister.
Samme Art, en Kjedesalpe, opklippet langs venstre Side og udbredt. Af de brede Kropmuskler kon-
vergere 2den, 3die, 4de og dte midt paa Ryggen. De 4 Fostre (s, s‘, s‘ og s‘“) ligge under 6te
Kropmuskel.
Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim. — Pall., en enlig Salpe set fra Ryggen.
Samme Individ set fra Bugen. Fosterkjeden (x) er endnu kun lille. Denne Form er let kjendelig
ved sine 6 særdeles brede, parallele, saavel paa Ryg som paa Bug afbrudte Kropmuskler og sin
spidst tillebende, kegleformige Bagende.
Bagenden af et stort, gammelt Individ for at vise den fuldt udviklede Fosterkjede. Kopi efter
Eschricht.
En Kjedesalpe af samme Art set fra Ryggen. Kropmusklerne ere til Stede i samme Antal — 6 —
som hos den enlige Salpe; de ere brede, parallele, alle afbrudte paa Bugsiden, de 2 forreste tillige
paa Rygsiden. Som hos S. hexagona (Fig. 17) findes her flere Fosteranlæg (s, s‘, s“ og s‘“! imellem
ste og Gte Kropmuskel paa hoire Side af Kloakrummet.
Salpa cylindrica, Cuv., et Medlem af en Fosterkjede, udskaaret af en enlig Salpe. Skjont Exemplaret
endnu ikke er bleven tenformigt (smlgn. Fig. 37), vil det dog let kunne skjælnes fra andre Salper
paa Grund af den eiendommelige Muskelkonstellation.
roma: cuis
3
vs”
61
Fig.
31.
37.
38.
39.
395
Tavle II.
Salpa scutigera-confoederata, Cuy. — Forsk., et ungt Exemplar af en enlig Salpe, set fra hoire Side.
Ligesom hos Kjedesalpen (Fig. 24) dannes af de 4 Kropmuskler to skjæve Kors paa Ryggen. De
endestillede Aabninger og den kun lidt bag Bugens Midte liggende Tarmkanal gjor denne Form let
kjendelig fra Kjedesalpen, selv om Fosterkjeden (x) som i dette Tilfælde endnu kun er svagt udviklet.
En Kjedesalpe af samme Art; hos denne er Kloakaabningen (6) rygstillet og Tarmkanalen (x) rykket
helt bag ud. Fosteret (s) er i dette Tilfælde kun ganske lille.
Salpa democratica-mucronata, Forsk., en enlig Salpe set fra Rygsiden,
Samme Individ set fra Bugsiden. Denne Form lader sig paa Grund af sine Muskelkonstellationer
og sine 7—8 Vedhæng omkring Kloakaabningen vanskelig forvexle med nogen anden Salpe. Lige-
som kjedesalpen er dennes Fimreorgan ved sin Basis udstyret med en ubevægelig, svagt S-formigt
krummet tentakelagtig Proces, som imidlertid ikke ses paa disse to Figurer, men som er fremstillet
paa Fig. 27 (*) af den herhen hørende Kjedesalpe og ligeledes maaske endnu tydeligere ses paa
Fig. 13 ("), der gjengiver Varieteten flagellifera.
En Kjedesalpe af samme Art, set fra venstre Side.
Samme Individ set fra Rygsiden. Karakteristisk og let ioinefaldende ere de 4 Kropmuskler og deres
særegne Konstellation. Fosteret (s) er hos dette Individ endnu kun lille.
Salpa runcinata-fusiformis, Cham. -— Guv., en enlig Salpe set fra Ryggen.
Samme Individ set fra Bugen. Af gode og sikre Kjendetegn for denne Form kan fremhæves de 9
Kropmuskler, af hvilke de tre forreste og de to bageste henholdsvis konvergere paa Midten af Ryggen,
de stumpe Torne omkring den endestillede Kloakaabning og Fosterkjedens (n) eiendommelige Forlob.
En Kjedesalpe af samme Art set fra Ryggen. De 6 Kropmuskler ere grupperede som hos Kjede-
salpen af Salpa africana-mazima, Forsk. (smlgn. Fig. 34), men medens Ade og Ste Kropmuskel hos
S. runcinata-fusiformis konvergere paa hver Side af Ryggen, staa de samme Muskler langt fjarnede
fra hinanden hos S. africana-maxima').
Salpa africana-maxima, Forsk., et ungt Individ af den enlige Form, set fra den venstre Side; det
bærer endnu Fostermærkerne, og dets Fosterkjede (n) er endnu kun svagt udviklet.
Samme Individ set fra Ryggen. De 9 smalle, oftest parallele Kropmuskler, Fosterkjedens Leirings-
forhold og det særegent byggede Fimreorgan (smlgn. Fig. 45) gjør denne Form let kjendelig.
En Kjedesalpe af samme Art set fra Ryggen. Smlgn. Forklaringen til Fig. 31.
Salpa cylindrica, Cuv., en enlig Salpe set fra Ryggen.
Samme Individ set fra Bugen. Ligesom hos de enlige Former af S. runcinata-fusiformis og S. afri-
cana-maxima findes her 9 smalle Kropmuskler, men de 4 forreste hos nærværende 8. cylindrica
konvergere midt paa Ryggen, et Forhold man ikke finder hos de to andre. Endelig er Foster-
kjedens (n) Leie og lige fremad rettede Forløb særegent for S. cylindrica.
En Kjedesaipe af samme Art set fra Ryggen. Medens Kjedesalperne af S. runcinata-fusiformis og
S. africana-maxima have 6 Kropmuskler, forefindes her kun 5, samlede i te Grupper, der begge
konvergere midt paa Ryggen. Den forskjellige Længde af de kegleformige Udvæxter fra Kappen i
begge Ender af Kroppen, som findes hos Kjedesalperne af S. cordiformis-zonaria, S. runcinata-fusi-
formis, S. africana-maxima og 8. cylindrica have ingen eller kun liden Betydning i systematisk
Henseende.
Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim. — Cuv., en enlig Salpe set fra Ryggen.
Samme Individ set fra Bugen. Foruden de to hornformigt krummede, fladtrykte Udvæxter, en paa
hver Side af Kloakaabninfen, afgive de særdeles talrige Kropmuskler (ca. 20) gode Kjendemærker.
Denne Form minder i Henseende til Fimreorganet (f) om den enlige Salpe af S. africana-maxima,
medens Fosterkjeden (n) omtrent har samme Form og Stilling som hos S. runcinata-fusiformis.
1
En Sammenligning mellem Figurerne paa den ene Side af Kjedesalperne af S. africana-maxima,
8. runcinata-fusiformis og S. cylindrica og paa den anden Side af de samme tre Arters enlige Salper vil
— forekommer det mig — let overbevise en om, at de staa i et nært Slægtskabsforhold til hinanden.
. 40.
41.
42.
43.
Ad.
45.
46.
47.
62
En Kjedesalpe af samme Art set fra Ryggen.
Samme Individ set fra hojre Side. De endestillede Aabninger, de 5 kun paa Ryggen udviklede,
smalle Kropmuskler og deres indbyrdes Konstellationer og de tre Fosteranlæg (s) gjer denne Salpe-
form let kjendelig.
Skematisk Fremstilling af Fimreorganet af Salpa runcinata-fusiformis, den enlige Form, set fra
venstre Side. o, Aabningen, som forer ind til Fimreorganets Hulhed; f, Hulhedens faste Bund;
9, Nerveknuden med paasiddende Sanseorgan.
Det samme af Salpa cylindrica, den enlige Form.
Det samme af Salpa africana-maxima, Kjedesalpen.
Det samme af samme Art, den enlige Form.
Det samme af Salpa scutigera-confoederata, Kjedesalpen.
Det samme af Salpa costata-Tilesii, Kjedesalpen, af et Foster paa samme Trin som det ved Fig. 10
og 11 afbildede Individ.
63
ÉTÉ
397
Explication des Planches,
a. Orifice oral. o. Lèvre supérieure.
b. Orifice cloacal. p. Appendice pinniforme.
e. Cœcum. g. Cœur.
d. Bandes ciliées. r. Tube branchial.
e Endostyle. s. Embryon.
J. Organe vibratile. t. Canal intestinal.
g. Ganglion nerveux. u. Lèvre inférieure.
h. Placenta. v. Anus.
i. Oléoblaste. x. Nucléus.
k. Testicule. y. Base des fils par lesquels les salpes agrégés
I. Organe liniaire. étaient liés entre eux dans la chaine.
m. Pharynx. L’explication des lettres des Fig. 42—47 se trouve
n. Chaine d'embryons. dans celle de la Fig. 42.
Planche I.
Salpa pinnata Forsk. Salpe agrégé, vu du côté gauche. L'appendice pinniforme (p) servant à l'unir
aux autres membres de la chaîne, le canal intestinal (£), qui s'étend avec l'anus (v) tout en avant
sous l'endostyle (e) et le testicule (4), et en outre l'organe liniaire (2) distinguent facilement cette
forme de tous les autres salpes. L’individu est représenté avec un petit embryon (s) qui luit à
travers la face interne du côté droit de la cavité cloacale.
Même espèce, autre salpe agrégé, vu du côté droit; les muscles ne sont pas indiqués. Le canal
intestinal, le testicule, l'endostyle et les bandes ciliées sont plus distincts que dans la figure précé-
dente; l'embryon (s) est plus développé. En partie copiée d'après C. Vogt.
Même espèce, salpe solitaire; jeune individu vu d'en haut.
Même individu, vu du côté gauche. Les 5 organes liniaires (2) en haut de chaque côté sont ce que
cette forme a de plus caractéristique. De même que chez le salpe solitaire du S. affinis (Fig. 7 et 8)
et du S. dolicosoma-virgula (dont il n'existe aucun dessin), le canal intestinal est placé le long du
côté dorsal du tube branchial. L'individu porte encore les marques de l'embryon (4 et 2). La chaine
des embryons (n) est encore très petite.
Méme espèce, exemplaire adulte du salpe solitaire vu du côté droit. Les muscles du tronc ne sont
pas indiqués dans cette figure. La chaîne des embryons est distincte, et l'individu est en train de
produire une chaîne dont les membres se sont tout de suite groupés en cercle. En partie copiée
d'après C. Vogt.
Salpa affinis, Cham. Salpe agrégé, vu du côté gauche. Le canal intestinal (t) recourbé sur lui-
même, qui est placé dans une grande excroissance gibbeuse de la partie postérieure du côté ventral,
le manque d'organes liniaires et les figures formées par les muscles du tronc le distinguent facile-
ment du salpe agrégé du Salpa pinnata, auquel il ressemble d'ailleurs sous tant de rapports.
13.
I
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
t2
4.
64
Même espèce, salpe solitaire, vu du dos De même que chez le salpe agrégé, les organes liniaires
si caractéristiques du Salpo pinnata manquent également ici.
Même individu, vu du côté gauche, Comme sur la Fig. 4 du Salpa pinnata, on voit aussi ici les
marques de l'embryon (4 et à. La chaîne des embryons n'est également encore que peu développée
chez ce jeune exemplaire. Elle se comporte du reste absolument comme chez le Salpa pinnata
sous le rapport de la situation et du développement graduel, sans saut aucun, des salpes agrégés.
Salpa dolicosoma-virgula, Todaro-Vogt. Salpe agrégé, vu du côté droit. L'appendice pinniforme lui
est commun avec les salpes agrégés des deux espèces précédentes, et la manière dont est placé le
canal intestinal (£) rappelle le Salpa affinis. Le long prolongement conique très effilé et dirigé
obliquement vers le haut de l'extrémité postérieure du corps, où le testicule (k) est logé, et la
situation de l'orifice cloacal (6) sur le dos, sont les signes caractéristiques de cette forme. Copiée
d'après C. Vogt.
Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim. — Cuy. Membre d'une chaine d'embryons, détachée d'un salpe
solitaire, vu du dos. Les 5 muscles du trone sont très distincts.
Même individu, vu du côté droit. L'oléoblaste (*) se trouve dans une grande excroissance gibbeuse de
la partie postérieure du ventre, juste sous le canal intestinal. Caractéristiques de l'embryon sont
la saillie prononcée de la lèvre supérieure (0), la grosseur du tube branchial (7), les épines relative-
ment grandes qui sont disséminées sur la surface de la tunique et disparaissent en général chez
l'adulte (comp. Fig. 40—41) et Voléoblaste
Salpa democratica-mucronata, Forsk. var. flagellifera. Salpe solitaire, vu du dos. Les 6 muscles
presque parallèles du tronc et le long appendice flagelliforme dont il est seulement muni de chaque
côté de Vorifice cloacal le distinguent facilement du type principal (Fig. 25 —26).
Autre salpe solitaire de la même cspèce, vu du côté droit. De la base de l'organe vibratile (f)
descend dans la cavité orale, comme chez le type principal, un prolongement (*) tentaculiforme fixe,
faiblement recourbé en S et très distinct.
Salpa hexagona, Quoy & Gaim, Salpe solitaire, vu du dos. Cette forme se distingue facilement de
tous les autres salpes par sa musculature particulière et les nombreuses lames longitudinales de Ja
surface de la tunique. Le ganglion nerveux (g) est placé plus en arrière que chez tout autre salpe
à moi connu.
Tunique d'un autre individu de Ja même espèce, pour montrer plus clairement les lames longitudi-
nales caractéristiques ci-dessus mentionnées. «a et a’ appartiennent exclusivement au côté dorsal,
tandis que / et /' sont la lame supérieure de chaque côté.
Même tunique, vue d'en bas un peu du côté droit; au plus loin, on entrevoit 7, au milieu sur le
côté apparaissent 7 et Ö, de chaque côté du ventre, e et ¢’, et à son milieu la seule lame impaire 6,
en tout 11 lames longitudinales.
Même espèce, salpe agrégé ouvert sur le côté gauche et étalé. Des larges muscles du trone, les
2e, 3e, 4e et 5€ convergent au milieu du dos. Les 4 embryons (s, s‘, s“ et s‘’) sont sous le
Ge muscle.
Salpa cordiformis-zonaria, Quoy & Gaim. — Pall. Salpe solitaire, vu du dos.
Même individu, vu du ventre. La chaine des embryons (n) est encore petite. Cette forme se reconnait
facilement à ses 6 muscles du tronc, larges, parallèles et interrompus tant sur le dos que sur le
ventre, et à son extrémité postérieure conique et terminée en pointe.
Extrémité postérieure d'un grand individu äge, pour montrer la chaîne des embryons complètement
développée. Copiée d'après Eschricht.
Salpe de chaîne de la même espèce, vu du dos. Les muscles du tronc sont au nombre de 6
comme chez le salpe solitaire; ils sont larges, parallèles, interrompus tous sur le côté ventral, et
les 2 antérieurs en même temps sur le côté dorsal. De même que chez le S. hewagona (Fig. 17),
on trouve chez cette espèce plusieurs embryons (s, s‘, s et s‘“) entre le 5e et le Ge muscle, à
droite de la cavité cloacale.
Salpa cylindrica, Cuy. Membre d'une chaîne d’embryons, détaché d'un salpe solitaire. Bien que
l'exemplaire ne soit pas encore devenu fusiforme (y. Fig. 37), on le distinguera cependant facilement
des autres salpes à cause de sa musculature particulière.
©
Qu
Fig.
27.
28.
29.
30.
31.
33.
34.
35.
36.
37.
399
Planche II.
Salpa scutigera-confoederata, Cuv. — Forsk. Jeune exemplaire d'un salpe solitaire, vu du côté droit.
De même que chez le salpe agrégé (Fig. 24), les 4 muscles du tronc forment sur le dos deux croix
obliques. Les orifices terminaux et le canal intestinal, placé seulement un peu en arrière du milieu
du ventre, distinguent facilement cette forme du salpe agrégé, même si la chaîne des embryons (n)
n'est, comme ici, que peu développée
Salpe agrégé de la même espèce; l'orifice cloacal (2) est placé sur le dos, et le canal intestinal (a),
rejeté tout en arrière. L'embryon (s) est ici tout petit.
Salpa democratica mucronata, Forsk. Salpe solitaire, vu du côté dorsal.
Méme individu, vu du côté ventral. En raison de sa musculature et de ses 7-—8 appendices autour
de l'orifice cloacal, cette forme se laisse difficilement confondre avec tout autre salpe. Son organe
vibratile, comme celui du salpe agrégé, est muni à la base d'un prolongement tentaculiforme fixe,
faiblement recourbé en S, qui n'est pas indiqué sur ces deux figures, mais est représenté sur la
Fig. 27 (*) et se voit peut-être encore plus clairement sur la Fig. 13 (*), qui reproduit la variété
flagellifera.
Salpe agrégé de la même espèce, vu du côté gauche.
Même individu, vu du côté dorsal. Caractéristiques et sautant facilement aux yeux sont las 4 muscles
du tronc et leurs figures. L’embryon (s) est encore petit.
Salpa runcinata-fusiformis, Cham. — Cuy. Salpe solitaire, vu du dos.
Même individu, vu du ventre. Comme bons et sûrs caractères de cette forme, on peut mentionner
les 9 muscles du trone, dont les trois antérieurs et les deux postérieurs convergent respectivement
au milieu du dos, les épines émoussées qui entourent l'orifice cloacal terminal et la direction
particulière que prend la chaîne des embryons (x).
Salpe agrégé de la même espèce, vu du dos. Les 6 muscles du tronc sont groupés comme chez
le salpe agrégé du Salpa africana-maxima, Forsk. (comp. Fig. 34); mais, tandis que le 4e et le
5e muscle du tronc, chez le S runcinata-fusiformis convergent sur chaque côté du dos, les mêmes
muscles sont bien éloignés l’un de l'autre chez le S. africana-maxima').
Salpa africana-maxima, Forsk. Jeune individu de la forme solitaire, vu du côté gauche; il porte
encore les marques de l'embryon, et la chaîne des embryons (nj n'est que peu développée.
Méme individu, vu du dos. Les 9 muscles étroits du trone, ordinairement parallèles, la situation
de la chaîne des embryons et la structure particulière de l'organe vibratile (comp. Fig. 45) rendent
cette forme facile à reconnaître.
Salpe agrégé de la même espèce, vu du dos. Comp. l'explication de la Fig. 31.
Salpa cylindrica, Cuv. Salpe solitaire, vu du dos.
Même individu, vu du ventre. De même que chez les formes solitaires du S. runcinata-fusiformis
et du S. africana-maxima, on trouve ici 9 muscles étroits du tronc, mais les 4 antérieurs, chez
le S. cylindrica, convergent au milieu du dos, ce qui n'est pas le cas chez les deux autres. Enfin,
la place occupée par la chaîne des embryons (x) et sa direction droit en avant sont particulières
au S. cylindrica.
Salpe agrégé de la même espèce, vu du dos. Tandis que les salpes agrégés du S. runcinata-
fusiformis et du $. africana-maxima ont 6 muscles du tronc, il y en a ici seulement 5 formant
deux groupes qui convergent tous deux au milieu du dos. La longueur différente des excroissances
coniques de la tunique aux deux extrémités du corps, différence qu'on observe chez les salpes
agrégés des S. cordiformis-zonaria, runcinata-fusiformis, africana-maxima et cylindrica, n'a aucune
ou presque aucune importance au point de vue systématique.
Salpa costata-Tilesii, Quoy & Gaim. — Cuv. Salpe solitaire, vu du dos.
En comparant les figures des salpes agrégés du S. runcinata-fusiformis et du S. cylindrica, d’une
part, et celles des salpes solitaires des mêmes trois espèces, d’autre part, on se convaincra, je crois,
facilement qu'ils sont très voisins les uns des autres.
— 43.
— 44.
— 45.
— 46.
66
Même individu, vu du ventre. Outre les deux excroissances cornées, déprimées et recourbées, dont
une de chaque côté de l'orifice cloacal, les nombreux muscles du tronc (20 env.) fournissent de
bons caractères. Sous le rapport de l'organe vibratile (f) cette forme rappelle le salpe solitaire du
S. africana-maxima, tandis que la chaîne des embryons (x) a à peu près la même forme et la même
position que chez le S. runcinata-fusiformis.
Salpe agrégé de la même espèce, vu du dos.
Même individu, vu du côté droit. Les orifices terminaux, les 5 muscles étroits du tronc seulement
développés sur le dos et leurs figures mutuelles, et les trois embryons (s) rendent cette forme facile
à reconnaitre.
Représentation schématique de l'organe vibratile de la forme solitaire du S. runcinata-fusiformis, vu
du côté gauche; o, orifice qui conduit dans la cavité de l'organe vibratil; 7, fond fixe de la cavité;
9, ganglion nerveux avec son organe des sens.
Même représentation du S cylindrica, forme solitaire.
Même représentation du S. africana-maxima, salpe agrégé.
Même représentation de la même espèce, forme solitaire,
Même représentation du S. scutigeru-confoederata, salpe agrégé.
Même représentation d'un embryon du S. costata-Tilesii, au même degré de développement que
l'individu reproduit Fig. 10 et 11.
he
0
7 Am)
|
K.D.Vid.Selsk. Sir. 6 Række, ILS. Transtedt, Salper .
3 2
i bi a ae 8.
5 AE
b
Gen!
VV
m
t
7 fs | 3 f 4 Tate
t
um
ws
Tab1.
en
AD Vid. Sclsk. Skr. 6 Række HL, 8 Traustedt, Salper.
N
ti
me.
Tab ll,
ittendorff
2
IW, Teéner 4]
rykt ho
Y
i
Om Iltens Afvigelse
fra den
Boyle-Mariotteske Lov
ved lave Tryk.
Af
Dr. Christian Bohr.
Med I Tavle.
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. II. 9.
Kjobenhavn.
Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri (EF. Dreyer).
1885,
Vea en Række absorptiometriske Undersogelser, jeg i Lobet af de sidste Aar har anstillet
over Dissociationen af den lost bundne Ilt i Oxyhæmoglobinet, viste der sig ved de under
lave Ilttryk anstillede Forsøg stadig Uregelmessigheder, der trods al anvendt Umage ikke
lode sig fjerne eller blot forringe; jeg blev ved at undersoge Grunden til disse Uregel-
mæssigheder tilsidst saa godt som tvungen til at soge den i den for alle saadanne Forsog
nødvendige Omregning af Luftartens (i dette Tilfælde Iltens) Volumen fra det Tryk, hver-
under den fer Absorptionen maaltes, til det efter Absorptionen indtrædende ringere Tryk.
Denne Omregning var naturligvis foretagen efter den Boyle-Mariotteske Loy, og det
gjaldt da om at prove, med hvilken Nojagtighed Ilten ved lave Tryk følger nævnte Lov, for
derigjennem om muligt at vinde Data til Beregning af Dissociationsforsogene. Saaledes
fremkom den foreliggende Undersogelsesrekke, ved hvilken det formentlig utvivlsomt er
paavist, at Ilten ved de omhandlede Tryk afviger betydelig fra den Boyle-Mariotteske
Lov; der viste sig imidlertid under Forsøgene regelmæssigt det uventede Fænomen, at den
Kurve, der udtrykker Afhengigheden mellem Volumen og Spending, ved en bestemt Stor-
relse af sidstnævnte frembød en stærkt udtalt Discontinuitet, hvis hele Forhold syntes at
maatte lede Tanken hen paa en her stedfindende Forandring i Iltens molekulære Sammen-
sætning; til den nærmere Bestemmelse af dette Punkt i Kurven, der forekom mig at frem-
byde en Del Interesse, blev der derfor ved Forsøgene taget særligt Hensyn.
De i Literaturen foreliggende Meddelelser om den Boyle-Mariotteske Lovs An-
vendelighed paa ilt og Iltblandinger ved Tryk under én Atmosfære indskrænker sig, hvad
den rene Ilt angaar, til nogle af Siljestrom!) mellem c.770"" og 18™™ udførte Forsøg,
der ved aftagende Tryk gav en større Tæthed af Luftarten end den Boyle-Mariotteske
Lov forlangte; samme Resultat gav ogsaa Forsøg med den atmosfæriske Luft. De anvendte
Methoder turde imidlertid neppe vere fintmærkende nok til paa disse Forsøg at bygge
videre Slutninger.
1) Siljeström: vorläufige Versuche zur Ermittelung des Verhaltniss zwisehen den Dichtigkeits- und
Elastieitätsveränderungen der Gase bei Drucken unterhalb einer Atmosphäre. Poggendorff Ann.
Bd. 151. 1874.
51”
404 4
For den atmosfæriske Lufts Vedkommende har Regnault!) udfert 3 Bestemmelser
mellem én Atmosfæres og c. 300" Tryk, der alle gav en i samme Retning gaaende Af-
vigelse fra den Mariotteske Lov; Størrelsen af denne Afvigelse laa dog efter den
berømte Forfatters Anskuelse indenfor de mulige Fejlkilders Omraade. Yderligere Forsøg
over dette Spørgsmaal har Regnault?) ikke udført; derimod har Mendeleffÿ) i 2 Af-
handlinger offenliggjort en Række Undersøgelser over den atmosfæriske Lufts Tæthed ved
forskjellige Tryk under én Atmosfære. Forsøgene, der ere udforte med omhyggelig Hensyn-
lagen til mulige Fejlkilder, have stadig givet Afvigelser fra den Mariotteske Lov i saadan
Retning, at Tætheden ved aftagende Tryk var større, end den vilde blive ved Beregning
efter nævnte Lov. De i Mendeleffs Afhandlinger opførte Talværdier strække sig fra c. 650
til 15mm, Ved endnu lavere Tryk har Krajewitsch !) for nylig ved en særegen Methode
udført herhen hørende Bestemmelser, der, hvad det foreliggende Spørgsmaal angaar, gaa
i samme Retning som Mendeleffs; Forfatteren bemærker selv, at de kvantitative Resultater
af hans Forsøg ikke ere meget nøjagtige, hvorimod de kvalitative ikke tillade nogen Tvivl.
I Hovedtrækkene finder jeg for Iltens Vedkommende mellem 0,1 og 15""* Spæn-
ding en Afvigelse fra den Boyle-Mariotteske Lov, hvis Retning er identisk med den,
de to sidstnævnte Forfattere have angivet for atmosfærisk Luft.
Den Fremgangsmaade, jeg anvendte ved Forsøgene, var i Hovedtrækkene følgende:
I et i det physiologiske Laboratoriums Kælderetage mod Nord beliggende Værelse med
særdeles ringe Temperaturvariationer var i Grunden nedlagt en i Cement lejret Granitsten.
I en i Stenen boret Fordybning var indstøbt et Jernrør, som ved Hjælp af Klemmer bar
det i hosstaaende Figur afbildede Apparat med Undtagelse af Kuglen A, der var anbragt
paa et udenfor Stenen stillet Stativ. Apparatet selv bestod af det 500™™ hoje U-formede
Ror B, der nedadtil var aflukket med Hanen C; det U-formede Rør var ved Kautchuk-
slangen D sat i Forbindelse med den Kviksølv indeholdende Kugle A. Ved at hæve eller
sænke Kuglen A, medens Hanen C aabnedes, var det muligt at indstille Kviksølvniveauet i
B efter Behag. I hvert af det U-formede Rørs 2 Grene var anbragt et Barometerrør
(a og f) af den i Figuren udviste Form. Disse Barometerrør var med Omhyggelighed
udkogte paa sædvanlig Maade for den Hagenske Pumpe. I den ene nedenfor anførte
Forsøgsrække var begge Rors Diameter 18,5"" (disse Rør benævnes i det folgende: Rør
1) Regnault: Relations des expériences etc. Mém. de l'Institut de France. Tome XXI. 1847 Pag. 139.
2) Regnault: I, c. pag. 415.
3) Mendeleff et Kirpitschoff: Notice préliminaire sur l’élasticité de lair raréfié. Ann. de chim.
et de phys. 1874 pag. 427.
Mendeleff et Hemilian: sur la compressibilité des gazes soumis aux faibles pressions. Ann.
de chim. et phys. 1876 pag. 111.
4) Krajewitsch: Eine neue Methode die Spannkraft der Gase zu bestimmen. Journ. der russ. Chem-
phys. Gesellsch. XIV. 1884. Citat efter Wiedemanns Beiblätter ete. Band IX pag. 315).
Nr. 1); i den anden Forsogsriekke var begge Rors
Diameter 32"" (Ror Nr. 2).
Paa det ene af Rorene (4) fandtes en Inddeling,
der delte Rør Nr. 2 i 7, Ror Nr. I i 4 omtrent
ligestore Afsnit; for hver af Inddelingens Delstreger
var Volumenet nojagtigt bestemt. Paa den Maade,
Figuren udviser, var Fugtighed fra Atmosfæren
holdt ude fra Roret &, idet begge dets Aabninger
var overbundne med Kautschukmembraner, hvori var
anbragt Glasror, der stod i Forbindelse indbyrdes
og med den atmosfæriske Luft gjennem Chlorcalium-
røret Æ.
Ved Forsogets Begyndelse indførtes i Ror «
nogle Blærer fuldstændig tørret Ilt, og efter at hele
Apparatet havde været overladt længe nok til sig
selv for med Sikkerhed at kunne vides at have an-
taget den omgivende Lufts Temperatur, bestemtes
med et Kathetometer, der var opstillet paa samme
Granitsten, som bar det ovenfor beskrevne Apparat,
Hojdeforskjellen mellem Kviksølvstanden i Roret a
og Barometret 7; samtidig aflæstes til Bestemmelse
af Volumenet i Røret 4 Kviksølvmeniskens Afstand
fra nærmeste Delstreg. Ved dernæst at forandre
Kviksølvniveauet i det U-formede Rør 2, indstilledes
Kviksølvet i Rør @ paa en anden Delstreg, og Hojde-
forskjellen mellem Standen i Rør og Barometer
aflæstes alter. | det man paa denne Maade gik
fra Delstreg til Delstreg, fandtes en Række af Tryk
og tilsvarende Voluminer for samme Luftmængde.
Derpaa indlededes yderligere nogle Iltblærer i
Rør a, og som nys beskrevet fandt man, nu for
en anden Luftmængde, en ny Række af samhørende
Tryk og Voluminer. Ved at indlede passende
Mængder Ilt, lykkedes det paa denne Maade at faa
fastsat Afhængigheden mellem Volumen og Tryk for
en Verdi af sidstnævnte mellem 0,1 og 15™™.
A
405
406 : 6
Saa simpel Fremgangsmaaden end synes, er der dog, saafremt Maalene som her
skulle gjore Fordring paa stor Nojagtighed, Hensyn at lage til en Del Fejlkilder; disse
ville sammen med Fremstillingen af Methodens Detailler blive behandlede i det folgende.
I. Den anvendte Ilt fremstilledes ved Opvarmning af rent Kviksolviveilte; i
dette Ojemed anbragtes Kviksolviltet som et nogenlunde jævnt Lag i et almindeligt Forbrændings-
rer, hvis ene Ende var tilsmeltet, medens den anden ved Hjælp af en tykvægget Kautchuk-
slange var sat i Forbindelse med et Kapillarror, der med sin krumme Ende udmundede
under Kviksolv.
Forbrendingsroret blev, efter at vere anbragt i Elementaranalyseovnen opvarmet
paa et begrænset Stykke ad Gangen, idet man begyndte ved Kerets bagre Ende, indtil alt
det i det opvarmede Stykke værende Hg O var forsvundet. Da Mængden af Hg O i hele
Roret tilnærmelsesvis var bestemt, kunde man af Længden af det forbrugte Stykke faa et
Skjon over, hvormeget Ilt der alt var udviklet. Dette var nødvendigt for at vide, naar den
i Apparatet værende atmosferiske Luft kunde antages fordreven. Dette opnaaedes forevrigt
ret hurtigt paa Grund af den ringe Luftmængde, Apparatet indeholdt; der anvendtes intet
særligt Forlag, da det bortdestillerede Kviksoly fandt tilstrækkelig Plads i Forbrendingsrorets
forreste Ende. Naar nogle Liter af Ilten var undvegne, opsamledes den udviklede Luftart i
et Bunsens Kviksolvgasometer af den Form, som beskrives i hans «Gasometrische Methoden»
(1877 Pag. 23); kun var Kautchukforbindelsen ved Gasometrets øvre Ende omgiven af Kvik-
solvlaas. Det Ror, hvorigjennem den opsamlede Luft ved Benyttelsen ledtes ud af Gaso-
metret, var et meget snevert Kapillarrer, saaledes at de langsomt udtrædende Blærer under
Atmosfæretryk kun havde en Størrelse af c. 0,01 Cbem. Imellem Gasometer og Kapillarrer
var for at torre Luften indskudt et noget videre Ror, der indeholdt Fosforsyreanhydrid.
Den udtrædende Luft kom paa denne Maade længere Tid i Berøring med Fosforsyreanhydridet
og kan antages at have veret fuldstendig tor.
Skulde Ilten overføres fra Gasometret til Reret a, blev ved Forsøgene med det smallere
Ror (Nr. I), Roret taget ud af det U-formede Ror 5 og anbragt i en Jernskaal med Kviksolv,
der med en Gasflamme opvarmedes Lil over 120° C. for saaledes at bortdrive Fugtighed fra
Kviksolvoverflade og Skaal. Gjennem det opvarmede Kvikselv lededes først en Del Ilt fra
Gasometret for at uddrive den atmosfæriske Luft af Forforsyreanhydridreret, hvorpaa man
lod et passende Antal Blærer stige op i Reret a. Efter Afkjoling til almindelig Temperatur
overførtes det nævnte Ror atter fra Jernskaalen til det U-formede Rør, hvor Maalingerne
foretoges. Ved Forsogsrækken med Ror Nr. 2 var Fremgangsmaaden væsentlig den samme;
kun udelodes her Opvarmningen til 120°.
2. Bestemmelsen af de til Rorets Delstreger svarende Voluminer er udført direkte
for hver Delstreg ved gjentagen Udvejning med Kviksolv under lagttagelse af de almindelige
407
=]
Kauteler med Hensyn til Temperatur og med Anbringelse af en Korrektion for Meniskens
Krumning udført efter Bunsens Methode (Gasometrische Methoden 1877 pag. 35). Naar,
saaledes som det oftest var Tilfældet, Kviksolvstanden ikke nojagtig svarede til en Delstreg,
bestemtes Afstanden til nærmeste Delstreg ved Maaling med Kathetometret, hvorefter en
til denne Afstand svarende Korrektion indfortes. — En særlig Prove viste, at de anvendte
Ror ikke kendelig forandrede deres Volumen ved en Variation af det indvendige Tryk paa
næsten én Atmosfære. Volumenbestemmelserne kunne, udførte paa ovenstaaende Maade,
antages kun at være behæftede med smaa Fejl, der i Sammenligning med de ved Tryk-
maalingerne indførte maa ansés for forsvindende.
3. Med Hensyn til Bestemmelsen af Temperaturen under Forsøgene bemærkes
følgende: Det Værelse, hvori Apparatet var opstillet, og hvori, udenfor den korte Tid Af-
læsningerne varede, ingen opholdt sig, havde en meget konstant Temperatur, der Dage
igjennem kun varierede med nogle faa Tiendedele af en Grad; naar da flere Aflæsninger
af samme Luftvolumen, foretagne med Timers Mellemrum,. havde givet samme Værdi saa-
vel for Kviksølvstanden i Roret som for Lufttemperaturen i Apparatets umiddelbare Nærked,
kunde hele Apparatet med Sikkerhed antages at have den aflæste Temperatur. At jeg ikke
har anvendt den Betryggelse, som Omgivelse af Rørene med Vand synes at kunne give
ved disse Forsøg, havde sin Grund i følgende Omstændigheder. Oprindelig havde jeg ved
en længere Række indledende Forsøg anbragt den øverste udvidede Del af begge Rørene
(a2 og Ø) i en med Glasrude forsynet Vandkasse; det lykkedes mig imidlertid ikke at faa en
overalt saa egal Glasrude og en saa fuldstændig normal Indstilling af samme, at jeg ved
Aflæsning med Kathetometret gjennem Glasset kunde være sikker paa at undgaa Fejl paa
flere Hundrededel Millimeter. Naturligvis maa det være muligt, naar alt kan indrettes med
særdeles Omhu, at faa fejlfri Bestemmelse af Kviksølvets Højdeforskjel i de to Rør, selv
om man aflæser gjennem Glasrude; det er imidlertid særdeles vanskeligt, og man bør
aldrig stole paa saadanne Maal, før man ved direkte Prøver paa forskjellige Steder af Glas-
ruden har iagttaget, at ingen forstyrrende Forskydninger af Billedet finder Sted. Det
var ved saadanne direkte Prøver, udførte ved at sammenligne Standen af to i Vandkassen
anbragte Normalbarometre, at jeg blev opmærksom paa denne Fejl. Paa Grund af Usikker-
heden ved Korrektion af Fejlen, der selvfølgelig kan være forskjellig paa forskjellige Steder
af Glasset, opgav jeg Anbringelse af Rorene i Vand, saa meget mere som en sikker og
fast Indstilling af Glasruden var forbunden med megen Vanskelighed ved Anvendelsen af det
ovenfor beskrevne Apparat. Foreløbige Forsøg havde endvidere vist mig, at Luftens Udvi-
delseskoefficient ved lave Tryk ikke fjærnede sig særdeles betydelig fra den ved højere Tryk
fundne Koefficient af '/273 for hver Grad; heraf fulgte, at jeg ved de højeste af de under-
søgte Tryk (c. 157%) kunde taale en Variaton af 0,1 Grad, uden at de derved fremkaldte
Forandringer af Trykket blive til at mærke ved Aflæsningerne, hvis Nojagtighed ikke turde
408 8
sættes over 0,01", og saasnart Trykket naaede ned til et Par Millimetre, blev Variationer i
Temperaturen paa en hel Grad umærkelige. Da nu ved Anvendelse af behørig Forsigtighed
Værelsets Temperatur under en Aflesningsrekke ikke behøvede at svinge mere end knap
0,1 Grad, opnaaedes ved Omgivelse af Rorene med Vand ingen mærkelig Foragelse af
Forsogenes Nojagtighed; derfor var det naturligvis rigtigst ved at udelade Vandkassen at
undgaa Faren ved de med den forbundne Fejlkilder.
4. Ved Bestemmelse af den indesluttede Lufts Spending kommer først i Betragt-
ning den Nojagtighed, hvormed det overhovedet er muligt at maale med det anvendte Ka-
thetometer. Har man tilstrækkelig Øvelse, vil det uden Vanskelighed med et godt Instru-
ment lykkes at aflæse 0,01™". Ved de her foreliggende Forsøg, hvor kun mindre Afstande
have været at bestemme, har den indbyrdes Overénsstemmelse af Skalaen paa forskjellige
Steder kunnet sikres ved Sammenligning med Nonien. Ved de merkelige Punkters Bestem-
melse er der sorget for, at Aflesninger have fundet Sted paa forskjellige Steder af Skalaen.
Storre Besværligheder end de med selve Maalingerne forbundne rejser sig imid-
lertid fra den Vanskelighed, man har ved bestemt at vide, naar Kviksolvmeniskens øverste
Rand nojagtig er indstillet i Kikkertens Focus. Naar ikke den storste Forsigtighed anvendes,
er man herved udsat for meget grove Fejltagelser. Nedenstaaende Fremgangsmaade har for
det 18,5™™ vide Ror vist sig brugbar. Roret blev overalt, med Undtagelse af to smalle
diametralt modsatte Længdestriber, beklædt med sort Papir. Den bageste Stribe, der vendte
hen mod Lyskilden, var overklæbet med olieret Papir; bag ved dette kunde en Skerm
beveges op og ned langs Rorets Bagflade; denne Skerm indstilledes saaledes, at Afstanden
mellem dens nederste skarpe Rand og Menisken kun var c.0,1™™. Man saa da i Kik-
kerten gjennem den forreste Stribe Menisken sort uden Spor af nogen Reflex, og dens øvre
Rand dannede en skarp Modsætning til det mat oplyste olierede Papir. Ogsaa den forreste
Stribe kunde, for at holde uvedkommende Lys borte, dækkes i forskjellig Udstrækning med
en Skerm. Denne Belysningsmaade tillader en overmaade skarp Indstilling; kun maa man
passe, at den alleroverste Del af Meniskens Hvælving dog ikke bliver belyst ved ovenfra
kommende Lys, i hvilket Tilfælde den paa Grund af den spejlblanke Kviksolv-Overflade let
kan oversés. Dette proves nemmest ved at indstille Kikkertens Traadkors paa den for-
modede ovre Rand af Menisken og dernest senke den bageste Skerm yderligere et lille
Stykke; dette maa ingen Forandring give i Menisk-Randens Stilling.
Ved det 32™™ vide Rør kom jeg imidlertid heller ikke paa denne Maade, paa
Grund af Kviksolvets næsten plane Overflade, til noget Resultat. Trods lenge fortsat Ind-
øvning lykkedes det mig ikke ved nogen Belysningsmaade at faa paalidelige Bestemmelser;
der lodes altid Spillerum aaben for Vilkaarlighed i en Udstrækning af nogle Hundrededele
Millimeter, og undertiden kunde endnu grovere Fejl begaas uden strax at bemerkes. Jeg
bragte da en lille Glaskugle op i hvert af Rorene « og f? (sé Figuren) for derigjennem at
9 409
vinde et Indstillingsmærke for Kikkerten. Fremgangsmaaden herved var folgende: begge
Ror anbragtes i en Jernskaal med Kviksolv, der opvarmedes til 120°; samtidig opvarmedes
umiddelbart ved Siden heraf to smaa Glaskugler (hver af Vægt lig 0,04 Gram og af Volu-
men 0,07 Chem.) til henved 400°. Med en Jernpincet fortes nu hver af Glaskuglerne saa
hurtig som mulig ned under det opvarmede Kviksolv, hvorpaa man lod dem stige op hver
i sit Ror. Det gjaldt nu om at bringe Glaskuglerne, der svømmede paa Kviksolvet (hvis
Overflade omkring dem ikke frembød nogen kendelig Afvigelse fra den øvrige næsten plane
Overflade) til at ligge lige i Midten af Roret. Dette opnaaedes ved et Par Gange at stryge
Rørets udvendige Side let med en ulden Klud. Efter nogen Tids Forløb stillede Glaskuglen
sig nøjagtig midt i Røret og søgte stadig atler derhen, naar den ved smaa Rystelser bragtes
i Bevægelse. Ved nu at indstille Kikkerten skarpt paa Kuglens Rand havde man Sikkerhed
for at have Rørets Midte i Focus; den Overfladelinje, man samtidig saa tydeligt, var da
Meniskens øverste Rand. Traadkorsets Indstilling lettedes forøvrigt ved det skarpe Sam-
menstød mellem Glaskuglerand og Menisk. Paa denne Maade lykkedes det at udføre Maa-
lingen med god Nøjagtighed; efter Skøn formener jeg imidlertid, at Indstillingen i det
snævrere Rør lod sig udføre med langt større Præcision.
Til den kapillare Depression var der for det 32™ vide Rør intet Hensyn at
tage. Hvad angaar det 18,5"" vide Rør, viste Maalinger af Meniskens Højde i begge Ror
under Forsøget (sammenholdt med en direkte Bestemmelse af Depressionen i et lige vidt
Glasrør) at Korrektionen ikke naaede den uundgaaelige Aflæsningsfejl paa Kathetometret,
hvorfor den hélt er udeladt. Dens Indførelse vilde iøvrigt bidrage til at forøge Afvigelsen
fra den Mariotteske Lov.
Opmærksomheden har endvidere været henvendt paa den Fejl, der kunde indløbe,
hvis Kviksølvsøjlerne i de to Rør havde forskjellig Varmegrad, idet en Forskjel i
Temperaturen paa 0,1” C. ved en Længde af Kviksølvsøjlen paa 760™", frembringer en For-
skjel af c.0,01™ i Tryk. Efter det ovenfor om Forsøgsværelsets Temperatur og om Aflæs-
ningsmaaden fremsatte ses, at en saadan Fare ikke har været tilstede. Naar kunstig Belys-
ning anvendtes, var Rørene altid dækkede af Skærme.
Barometrene ere før Ilttilledningen prøvede for mulig tilbagebleven Luft paa den
Maade, at Kviksølvet i det ene Rør (a) ved Forandring af Niveauet i 2 blev indstillet i
forskjellige Højder, medens Kviksølvet i det andet Rør (2) ved Hævning eller Sænkning
af dette Rør stadig holdtes paa et bestemt Sted i Røret. Saafremt der i et af Rørene
havde været en maalelig Luftmængde, kunde Kathetometeraflæsningen ikke, som Tilfældet
var, overalt have givet nøjagtig samme Højde i begge Rør.
5. De i nedenstaaende Forsogstabeller paa flere Steder anførte tilbagegaaende
Kontrolforsøg (sé f. Ex. I. B. 6 og 18) vise med fuldstændig Sikkerhed, at Kviksølvet under
Forsøget ingen Ilt har absorberet; herfor talte allerede den Omstændighed, at Kvik-
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 9 52
410 10
selvoverfladen i det Ilt indeholdende Ror under hele Forsøget var fuldstændig blank, og at
Kviksolvet, naar det bevægedes op og ned i Roret, overalt lagde sig til Væggen som Spejl.
Under Passagen af Iltblærerne op gjennem Roret for Forsogets Begyndelse, iltes derimod
undertiden lidt Kviksolv, hvilket giver sig tilkjende ved en hist og her indtrædende lille
Plet i Rorets Forlob.
6. Af de nys nævnte Kontrolforsog kan ogsaa ses, at der, medens Forsøgene
varede, ikke har fortættet sig kjendelige Mængder af Luft paa den indvendige Glasoverflade ;
iøvrigt findes blandt Forsøgene Afhængigheden mellem Volumen og Tryk, bestemt for
samme Tryk, med god Overénsstemmelse under saa mange Variationer i Forholdet mellem
Volumen og Glasoverflade, at Mistanke om en vildledende Overfladefortætning ikke
godt kan finde Sted.
I de nedenfor anførte Forsøg anser jeg Trykbestemmelserne for gjennemgaaende
ikke at have større Fejl end 0,01"" paa Grund af de talrige Maalinger, hvorved hvert enkelt
Tryk er bestemt. Som allerede ovenfor er bemærket, turde Forsøgsrækken med de smal-
lere Rør i enhver Henseende være den nøjagtigste.
De ikke faa indledende Forsøgsrækker, jeg har anstillet, tildels med andre Ap-
parater end de her beskrevne, har jeg udeladt, da de ikke kunne maale sig i Nøjagtighed
med de senere udførte Forsøg, om de end stadig have givet Resultater, der i Hovedsagen
stemme overens med de nedenfor anførte.
Nedenstaaende følger tabellarisk ordnet Resultatet af tvende Forsøgsrækker, udførte
efter at Methoden var færdig uddannet og indøvet; den ene (I) med et 18,5™™ vidt Rør,
den anden (II) med et 32™™ vidt Kør. Hver Forsøgsrække bestaar af flere Afdelinger
(A, B o.s.v.), og i hver Afdeling er Luftmængden forskjellig, idet der stadig indførtes mere
og mere Ilt i Roret. De i den første Kolonne af Tabellen opførte Numre angive den
Orden, hvori de enkelte Iagttagelser indenfor Afdelingerne have fundet Sted. Den med p
overskrevne Kolonne indeholder Trykkene; den med v overskrevne de tilsvarende Voluminer,
og endelig er under Rubrikken pv opført Produktet af p og v.
Hvad angaar de enkelte lagttagelser, saa er hver af dem Resultatet af flere med
c. en Times Mellemrum udførte Rækker af Maalinger. Ingen af Trykkene ere observerede i
kortere Tid end to Timer, og paa ikke faa Steder saavel blandt de høje som de lave Spæn-
dinger er Observationen af de enkelte Tryk fortsat gjennem 12 til 24 Timer med større og
mindre Afbrydelser. Denne lange Observationstid viste sig nødvendig af Hensyn til Forhold,
der først kunne finde Omtale, naar Forsøgsresultaterne ere anførte.
Endnu skal kun bemærkes, at i Forsøgsrække I uden Undtagelse alle observerede
Tryk ere anførte. I Forsøgsrække II er mellem de iagttagne 27 Tryk to udeladte, hen-
holdsvis paa 3,07 og 0,45", Disse to gave nemlig saa store Afvigelser fra de øvrige
Observationer, at en grovere Maalefejl vistnok maa antages at ligge til Grund.
al
Tabel 1.
p er udtrykt i Millimetre, v i Cubiccentimetre.
411
De anførte Kviksolvhojder have samme Temperatur som for Forsogsrækken angiven.
Afdeling B.
Rorets Vidde = 18.5mm,
Forsggsrekke I.
Temp = 14°C.
oo
BO RO RO 8
== OT
i)
no w m wo
ao © |
23.240
39 s72
57.456
66.184
74.939
20.010
20.145
20.112
20.174
24.625
26.629
32 536
34.421
35.528
37.707
42.010
56.901
74.077
19.913
20.200
20.174
38.669
46.998
52.412
57.698
73.588
18.786
19.960
40.468
70.218
23.012
22.965
22.927
22.897
22.655
22.368
22.775
23.922
23.799
23.378
23.105
22.761
22 223
36.242
36.258
36.111
34.029
32.899
36.688
35.773
35.323
139.958
139.719
136.781
135.522
en
Tabel 1 (Fortsættelse).
Forsggsrekke II.
Rorets Vidde = 32mm. Temp. = 11.5° C.
| too p | v | pv
Atdelins@An cer | 9 | 1.03 | 25.863 | 26.639
hy MER BEN RP | 8 0.54 | 31.145 | 26.162
Ore ore 7 0.71 34.723 24.654
AR LE eee | 11 0.70 38.489 | 26.943
= die Ne ee T | 0.70 38.264 | 26.785
om) ee ae | 14a) 4] 0.65 41.086 | 26.706
ER per. | 12 0.61 | 42.960 26 205
EH Ts | 15 Oss | 48.64 | 25.782
TP eae | 13 046 | 5654 | 26.006
=) Oe | 6 0.35 72.015 25.205
RE SERA | 5 0.28 | 86.386 24.188
RS I O23 | 100.356 | 28.082
=) ee eee eee | 3 0.19 | 116.810 22.194
EN SER al | 9 0.145 147.595 21.402
SS. A EAT eae ane 1 0.085 206.488 17.551
ATMCLING AB: ex... ber... | 17 1.415 56.494 79.940
een. | 18 0.90 87.045 | 78.340
a RER Zin) 0.72 | 101.720 | 73.238
ANZ Een. Is) 0.70 I allehen I) 82.691
a at | 20 0.54 146.778 | 79.260
Afddling Cc. a: 000. | 95 15.02 20.761 311.829
EL MER 22 13.95 22.396 312.350
A =. Sue aoe |, 123 5.07 61.017 309.357
er SER | 94 3.01 | 100.026 304.073
For at lette Oversigten over Forsøgene, har jeg paa vedfojede Kurvetavle fremstillet
dem graphisk, idet de forskjellige Verdier af p ere afsatte som Abscisser og de tilsvarende
Verdier af pv som Ordinater. Kurven Nr. 1 gjengiver Forsogsrække I, Kurve Nr. 2 Forsogs-
række I. Da samme Trykverdier findes bestemte indenfor flere Afdelinger af samme
Rekke, har Sammenfojningen af de enkelte Afdelinger til et Hele ingen serlig Vanskelighed
frembudt; den er forøvrigt udført paa en Maade, der vil blive angivet længere nede (sé
Side 14 og 16). Det bemærkes, at i begge Forsøgsrækker Afdeling A's Punkter paa
15 413
Kurvetavlen ere markerede rødt, Afdeling B's sort og Afdeling C og D's (der ikke kan
forvexles) blaat.
Maalestokken for Kurven er valgt saaledes, at en Enhed af pv i Række I, Afdeling C,
er sat lig 3"", medens en Enhed (1"") af p er sat lig 20".
Af den graphiske Fremstilling ses, at Værdierne af pv istedetfor, saaledes som det
vilde folge af den Boyle-Mariotteske Lov, at ligge i en med Abscisseaxen parallel ret
Linje i Hovedtrækkene danner en med Konkaviteten mod Abscisseaxen vendt krummet Linje.
For Værdien af p — 0,7o™ har Kurven en tydelig Diskontinuitet, der deler den i to Grene,
en svarende til Værdien af p > 0,70" m (kaldes i det folgende «lange Gren») og én svarende
til Verdier af p 0,70"" («korte Gren»).
(Med Hensyn til den graphiske Fremstilling bemærkes, at den optrukne Linje (der
er identisk for begge Kurver) for begge Grenes Vedkommende er en Kurve, hvis Ordinater
(pv) og hvis Abscisser (p) have Relationen
(p + a) v — k,
hvor Konstanterne for hver Gren ere forskjellige. Forskjellen i Nojagtighed mellem Be-
stemmelserne i den korte og i den lange Gren ses af nedenstaaende Tabel 2 og 3 kun at
vere ringe; den graphiske Fremstilling kan imidlertid give det Indtryk, at Nojagtigheden for
Trykbestemmelserne i den korte Gren er betydelig mindre end for dem i den lange. Dette
skyldes Multiplikationen af de smaa Tryk med relativt store Voluminer).
Selve Diskontinuiteten, der, som Kurven udviser, er bestemt ved talrige lagttagelser,
frembyder folgende mærkelige Forhold. Naar man ved en given Iltmengde i Observations-
røret først indstiller Kviksolvet saaledes, at Trykket har en Verdi noget mindre end 0,70™",
og naar man dernæst ved at forringe Volumen foroger Trykket til en Verdi af lidt over
0,70" (f. Ex. til 0,8""), viser det sig, at dette Tryk ikke holder sig konstant, men under
Forlobet af 3 til 5 Timer synker til en Verdi, der er en halv Snes Procent ringere end
den oprindelige. Under Forlobet af denne Tid er Trykket mer eller mindre ustadigt, svin-
gende, mellem Begyndelses- og Slutningsverdien. Om disse Svingninger frembyde nogen
Regelmæssighed, har det af forhaandenliggende Grunde ikke været mulig at bestemme med
det anvendte Apparat. Efter Forlobet af hojst 5 Timer holder Trykket sig konstant, saa-
længe det har været observeret (24 til 36 Timer).
Hvis den blivende Verdi af Trykket netop er lig 0,0%", viser der sig ved en
passende Volumenforogelse ikke, saaledes som man skulde vente, nogen Forringelse af
Trykket; men dette vedbliver at vere lig 0,707", Fortsættes Forøgelsen af Volumen yder-
ligere, frembringes en Forringelse af Trykket. Disse aldeles regelmæssigt indtrædende
Fænomener kunne gjentages, saa ofte det skal være.
Det forekommer mig herved godtgjort, at Ilten ved nævnte Tryk (0,70"*) undergaar
en Tilstandsforandring, saaledes at der for Overførelse fra Tilstandsformen ved højere
414 14
Tryk til den ved lavere, behoves ingen eller i hvert Fald kun en meget ringe Tid, hvorimod
der til Forandringen i modsat Retning medgaar flere Timer, naar Forsøgene udføres som
ovenfor nevnt. At disse Forhold staa i Forbindelse med en indtredende Forandring i
Iltens molekulære Sammensætning, synes rimeligt. Forsøg ved højere Temperaturer end
de her anvendte vilde vistnok vere af Betydning for nærmere Belysning heraf; jeg har
imidlertid endnu ikke naaet at faa saadanne anstillede.
En Betragtning af den graphiske Fremstilling af Kurverne sammen med nogle fore-
lobige Prøver gjorde det sandsynligt, at Forsogsresultaterne med god Tilnermelse kunde
udtrykkes ved Ligningen
p—+a v =k
hvor p er Trykket, v Volumenet og a en for samme Tilstandsform absolut Konstant, medens
k kun er konstant for samme Luftmængde i samme Tilstandsform; Æ har altsaa, saalenge
vi befinde os i samme Gren af Kurven, samme Værdi for samme Forsogsafdeling, men
skifter Verdi for de forskjellige Afdelinger.
Da en saadan Ligning, uden Hensyn til dens theoretiske Værd, vilde afgive et godt
Hjælpemiddel ved Forsogsresultaternes Anvendelse, er der foretaget en Udjævning af Kurven
efter de mindste Kvadraters Methode, for derigjennem at finde den bedste Verdi af a.
Idet samtidig Værdierne af k for hver Afdeling bestemtes, fik man de fornødne Oplysninger
til em Sammenføjning af de enkelte Afdelinger indenfor Forsøgsrækken.
Da Forsøgene i Række I forméntes at være de paalideligste, er denne Række alene
benyttet ved Bestemmelsen af Konstanten a. Forsogsrække Il er kun anvendt til Sammen-
ligning med de af Række I vundne Resultater; til den Ende er den af Række I fundne
Verdi for a anvendt paa Række Il, hvor dernæst Bestemmelsen af Værdierne for k er fore-
tagen, for derigjennem at sammenføje de forskjellige Afdelinger. En Sammenligning af de
to Rækker kan da foretages ved Sammenligning af de for Række II ved Hjælp af Formlen
fundne Trykværdier med de i samme Række direkte iagttagne Tryk.
For Forsøgsrække I findes den bedste Værdi af a at være:
for den lange Gren: a@ — 0,109
for den korte Gren: « — 0,070.
Ligningerne for de enkelte Afdelinger findes for den lange Grens Vedkommende at være :
for Afdeling B: (p + 0,109) v — 25,146
for Afdeling C: (p + 0,109) v — 38,368
for Afdeling D: (p + 0,109) v — 141,923.
For den korte Grens Vedkommende findes
for Afdeling A: (p + 0,070) v — 16,250
for Afdeling B: (p + 0,070) v — 26,321
for Afdeling C: (p + 0,070) v — 40,161.
—— mm
15 415
Nedenstaaende findes for Række I en Tabel til Sammenligning mellem de direkte
iagttagne og de af Formlerne fundne Trykværdier.
Tabel 2.
Forsgesrække I.
| A p (iagttaget). | p (beregnet). Différents,
Den lange Gren. |-—- el en —
Afdelingy Bes. "08 te | 14 1.15 1.1477 — 0 0023
MERE OS | 6. 1.14 1.1393 = 0.0007
ee 18 1.14 1.1413 + 0.0013
ee et > PE | 8 1.135 1.1375 + 0.0025
ee qe che | 13 0.92 0.9121 -- 0.0079
u Aa 11 0.84 | 0.8353 lues 0.0047
ICO ARS RARE 19 1.82 1.8178 == 0.0022
erh | 26 175 | 1.7904 == 0.0046
To Gare | 4 | 1.79 | 1.7929 + 0.0029
EN Nr eee atte. i OD 31 0.88 0 8832 + 0.0032
= SSS ooo oh ot 23 | 0.70 | 0.7074 + 0.0074
Afdeling Deer a7, | 76 7.454 = 0.0046
— NR RN TRES 29 | 7.00 7.0012 —+ 0.0012
era 30 | 3.38 3.3979 + 0.0179
ae | 28 | 1.93 1.9121 == 0.0179
Den korte Gren. | |
Afdeling WAST ear ee: 2 | 0.63 0.6292 —- 0.0008
—— re NN a 5 0.34 | 0.3376 —- 0.0024
ce | 1 0.23 | 0.2128 = 0.0172
nr a... 3 One ons + 0.0055
N EN LOT 4 0.12 | 0.1468 + 0.0268
Afdeling B.......... 17 0.695 0.6947 —- 0.0003
Er er le | 16 | 0.67 | 0.6709 + 0.0009
A | ne 0.62 0.6281 + 0.0081
I ee a ee 12 0.55 0.5566 + 0.0066
re ee 9 0.40 0.3926 —- 0.0074
Nec: 7 0.30 | 0.2853 + 0.0147
Afdeling CE ee. 25 0.70 0.6963 —- 0.0037
a er seau 21 0.62 0.6261 + 0.0061
ie | 22 0.48 0.4758 + 0.0042
Den angivne Formel sés heraf at være særdeles brugbar.
416
Hvad Forsogsrække Il angaar, er som ovenfor sagt
Ligningerne for
Vedkommende
de enkelte Afdelinger
Værdie
indenfor Rækken blev
for Afdeling A: (p + 0,109) v — 29,055
for Afdeling B: (p+ 0,109) v == 86,656
for Afdeling C: (p + 0,109) v — 314,50
for den korte Grens Vedkommende findes
for Afdeling A: (p + 0,070) v
for Afdeling B: (p + 0,070) v
|
16
n for a taget fra Række I.
da for den lange Grens
Folgende Tabel giver en Sammenstilling af de beregnede og iagttagne Trykværdier
for Forsogsrekke Il.
Tabel 3.
Forsggsrække II.
Den lange Gren.
Afdeling A.
Afdeling B.
Atdeline Gets) PURE
Den korte Gren.
Afdeling A.
Afdeling B.
Resultaterne af Række II
af Rekke I fundne.
sés heraf i det vesentlige at
JAZ p (iagttaget). | p (beregnet). Differents.
| 9 1.03 1.0144 — 0.0156
8 0.54 0.8239 — 0.0161
7 0.71 0.7278 + 0.0178
17 1.415 1.4233 + 0.0083
18 0.90 0.8855 — 0.0145
| 21 0.72 0.7420 + 0.0220
25) | 15.02 15.040 + 0.020
| 22 | 13.95 13.934 — 0.016
| 23 il 5.07 5.045 — 0.025
24 3.04 3.035 — 0.005
11 0.70 0.7039 —+ 0.0039
10 0.70 0.7084 + 0.0084
14 0.65 | 0.6549 + 0.0049
12 0.61 | 0.6233 + 0.0133
15 0.53 0.5423 + 0.0123
13 0.46 | 0.4569 — 0.0031
6 0.35 0.3436 — 0.0064
5 0.28 | 0.2748 — 0.0052
a 4 0.23 | 0.2268 — 0.0032
3 0.19 | 0.1850 — 0.0050
2 015 | 0.1318 — 0.0132
Es) 0.085 0.0742 — 0.0108
19 | 0.70 0.6812 — 0.0188
20 | 0.54 | 0.5346 — 0.0054
stemme overéns med de
u 417
Efter det udviklede mener jeg at være berettiget til at resumere som folger:
1. Ved en Temperatur mellem 11° og 14° C afviger Ilten indenfor de observerede
Trykgrenser fra den Boyle-Mariotteske Loy. Afhængigheden mellem Volumen og
Spending for en Verdi af sidstnævnte større end 0,70™ kan udtrykkes med Tilnærmelse
ved Formlen:
(p + 0,109) v = k,
medens Formlen for Værdier af Spændingen mindre end 0,70"" bliver:
(p + 0,070) v = k.
2. Synker Trykket under 0,70™, undergaar Ilten en Tilstandsforandring; den
kan atter ved Forhøjelse af Trykket til over 0,70"" overføres til den oprindelige Til-
standsform.
RUE re ro
all ek ge 4 ‘De hye ae Aa #6) AE |
des tre TA DEN dn QUELS Hal pul Le TEE
i BI
y
i ess A
is ur Wa : li a ary PRO NAT
en rs lee A? Pasian! mr él
RN, a Pane T2 dy øl
fi
ci reen PANTER RN RE ter a Gel Gia
inte ay ul KEN ut ho ES Rai ur ME
3540 À
Pye) CSN
i )
7 i i i
qorere
ean
etre
ÉTÉ
i!
Ft ao
ER de
Ser
200
250
.
nn mee PSs ae LE ae 3
\ 4 | re
mu. Fi i i:
Undersogelser
over den af
blodfarvestoffet optagne [tmængde
udforte ved Hjælp af
et nyt Absorptiometer
Dr. Christian Bohr.
Med 2 Tavler.
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. II. 10.
Kjebenhavn.
Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri (F. Dreyer).
1886.
D Undersogelser ere paabegyndte i det physiologiske Universitetsinstitut i Leipzig i For-
aaret 1883 og ere senere blevne fortsatte i det physiologiske Laboratorium i Kjøbenhavn.
Ved ydre Omstendigheder er jeg bleven tvungen til forelobig at udsætte den i dette Efteraar
paabegyndte udførlige Fremstilling af mine Undersøgelser; men af forskjellige Grunde har
jeg fundet det hensigtsmæssigt allerede nu at offentliggjere en kort sammentrængt Med-
delelse af Forsogsresultaterne.
Indledning. Formaalet for mine Undersøgelser var at bestemme den Mengde Ilt, som
Blodets dissociable Farvestof, Oxyhemoglobinet, formaaede at binde under forskjellige For-
hold. Den her foreliggende Afhandling omfatter den Del af Undersogelserne, som det er
lykkedes mig at bringe til en vis Afslutning, og angaar den af Hemoglobinet ved en Tem-
peratur af 15° under forskjellige Ilttryk optagne Iltmengde.
Grunden til at de, for Forstaaelsen af Respirationsprocessen serdeles vigtige Under-
sogelser over Oxyhemoglobinets Iltdissociation hidtil ikke har fort til noget fuldt tilfreds-
stillende Resultat trods det ikke ringe Arbejde, der af flere Physiologer er anvendt derpaa,
maa vistnok søges i de Mangler, der klæbe ved de hidtil anvendte absorptiometriske Me-
thoder. Beskrivelsen af et nyt Absorptiometer, hvorved forhaabentlig Hovedmanglerne ved
de tidligere anvendte Apparater ere fjernede, udgjor derfor en Del af denne Afhandling.
Den stillede Opgaves Losning har jeg forsogt at opnaa ved at undersoge Absorp-
tionen af ren Ilt i en ren Oxyhemoglobinoplosning under forskjellige Betingelser. Det
er som bekjendt forbundet med ikke ringe Vanskelighed at arbejde med ren Ilt; at jeg
desuagtet ved de absorptiometriske Bestemmelser har foretrukket dette fremfor at benylie
Luftblandinger og bagefter at beregne Iltens Partiartryk, har sin Grund i folgende Betragtning.
For det forste frygtede jeg for derved at gjore Forsogene altfor complicerede; For-
sogsbelingelserne ere nemlig selv ved Arbejdet med en enkelt Luftart ikke ganske simple,
idet det drejer sig om Iltens Optagelse af et dissociabelt Stof, der er opløst i en Vædske,
som selv maa antages at kunne absorbere Ilt efter den Henry’ske Lov men med ubekjendt
Absorptionscoefficient.
Don
Desuden kunde man paa ingen Maade lade de ved Arbejde med Luftblandinger
uundgaaelige Fejl i Luftanalysen ude af Betragtning, isærdeleshed ikke her, hvor man maa
arbejde med meget smaa Partiartryk. Endelig maa ogsaa den Kjendsgjærning, som senere
hen vil blive omtalt, at Ilten ved lave Tryk afviger betydelig fra den Boyle-Mariotteske
Lov bringe os paa den Formodning, at Dalton’s Lov ved lave Partiartryk ikke er til-
strekkelig nojagtig til Beregning af absorptiometriske Forsog, ved hvilke som bekjendt smaa
procentiske Fejl i Trykket kunne faa ikke ringe Betydning.
Men naar man skulde arbejde med ren Ilt, maatte Absorptiometret, dersom det
skulde anvendes ved disse Forsog, for det forste kunne arbejde ved meget lave Tryk (indtil
1 Mm. eller derunder), og desuden maatte Kviksolvet under ingen Omstændigheder blive
rystet sammen med Vædsken. I saa Fald kan man nemlig, som Bunsen (Gasomelrische
Methoden 1877 Pag. 220) har vist, ikke udføre nøjagtige absorptiometriske Bestemmelser
med ren Ilt, hvilket er Grunden til, at [tens Absorptionscoefficient i Vand, saavidt jeg ser,
indtil nu aldrig med tilstrækkelig Nojagtighed er bleven direkte bestemt; i hvert Tilfælde
ere de sædvanlig benyttede Værdier for Htens Absorptionscoefficient, som skyldes Bunsen,
fundne ad indirekte Vej (se Bunsen |. c. Pag. 225).
Ved de temmelig talrige indledende Forsøg, som jeg, førend jeg accepterede den
neden for beskrevne Fremgangsmaade, har udført efter forskjellige Methoder og med for-
skjellige Apparater, blev jeg endvidere tvungen til at stille følgende Fordringer til Absorp-
tiometret: Vædskens Udkogning maa finde Sted i selve Apparatet; for det første for
at sikre sig den størst mulige Renhed under Arbejdet, idet det er særdeles vanskeligt at
undgaa Forurensning af Vædsken, naar den skal indføres i Absorptiometret gjennem Kvik-
sølv. Det turde desuden ikke være til at forhindre, at et saa let ilteligt Stof som Hæmo-
globinet ved Indførelsen i Apparatet optager en kjendelig Mængde ilt, og en saadan Iltop-
tagelse kan meget let gjøre Bestemmelserne ved lave Ilttryk illusoriske.
Det maatte fremdeles anses som meget ønskeligt, at man før hvert enkelt Forsøg
kunde sikre sig, at Apparatet indenfor lagttagelsesgrændsen (nogle Hundrededele Millimeter
Tryk) var fuldstændig lufttomt. Naar man stiller denne Fordring, vil man snart komme
til ved Udkogning af Vædsken kun at benytte den Hagenske Pumpe (eller i hvert Fald
Luftpumper af lignende Konstruktion).
Desuden var det ogsaa nødvendigt at undgaa Indførelsen af i Forvejen afmaalte
Mængder Ilt over Kviksølvet, fordi paa denne Maade mindre Kvantiteter let kunde gaa tabt,
og Luftarten maatte derfor kunne maales efter Indfyldningen i Apparatet, men dog før
Berøringen med Vædsken.
Sluttelig maatte der med samme Vædske kunne anstilles en hel Serie af Bestem-
melser ved forskjellige Tryk i vilkaarlig Rækkefølge; thi kun paa den Maade var det muligt
5 423
al faa Oplysning, om der havde fundet et Tab af It Sted under Forsøget, hvad der som
bekjendt ikke sjældent kan indtræde,
Methodens Hovedtræk. Selve Absorptiometret har den i Figur I
fremstillede Form. Det med en Inddeling forsynede, omtrent I Gen-
timeter vide, meterlange Ror har ved @ en Slibning, for at det kan
forbindes med Luftpumpen, og rager med sin nederste aabne Ende
ned i det med Kyikselv fyldte Glaskar g; b og ce ere fuldstændig
lufttæt slebne Haner; den til højre for Manen € liggende Del af Appa-
ratet indeholder i den eirca 60 Che. store Kugle d Vædsken, hvis
Absorptionsforhold skal undersoges. Paa den nedenfor nærmere be-
skrevne Maade bliver forst Vædsken og det hele Apparat pumpet
lufttomt; hvorved Kviksolvet stiger op i Roret a—g. Medens Hanen
b er lukket, og Hanen ce er aabnet, bliver dernæst Apparatets Luft-
tomhed kontrolleret. Dersom denne findes tilfredsstillende, bliver
Hanen ¢ lukket, og gjennem Kviksølvet i Glasset g indføres nogen Ilt
i Roret «a. Efter Aflæsning af Tryk, Temperatur og Volumen, (som
er bestemt ved Vejning med Kviksølv) lader den Mængde Ilt, der
findes i Apparatet, sig beregne. Nu bliver Hanen c aabnet, og Væd-
sken d bliver paa følgende Maade rystet stærkt sammen med Luften
i Apparatet: Noget under Midten af Roret a befinder sig en med
Roret ubevægelig forbundet Jernrulle 7 (Formen af denne Rulle ses
paa Figur 2/); den glider i en efter den tilpasset Klemme e' (Fig. 1).
Fra f udgaar 2 Snore, som (paa en senere beskreven Maade) kunne
trækkes frem og tilbage og derved give Rullen f og med den Roret
a en hurtig frem og tilbagegaaende Bevægelse om sin Længdeaxe.
Kviksølvsøjlen i a bliver herved, naar Apparatet er rigtig ind-
stillet, staaende helt rolig; der bemærkes kun en langsom Stigning
af Kviksølvet paa Grund af den stedfundne Luftabsorption; derimod
bliver Vædsken i d, ved den hurtig frem og tilbagegaaende Bevæ-
gelse af Kuglen, meget stærkt rystet, uden at dog en eneste Draabe
af Vædsken sprøjter op til Hanen e. Efter nogen Tids Forløb stiger
Kviksølvsøjlen i a ikke mere, og Absorptionen er da tilendebragt.
Efter Aflæsningen af Tryk, Temperatur og Volumen (Vædskens Vo-
lumen bliver bestemt paa en nedenfor nærmere angiven Maade), lader
Mængden af den i Apparatet værende Luft sig bestemme. Denne viser
sig nu at være ringere end før Absorptionen, og Differensen er absorberet
af Vædsken.
424 6
Man kan nu med samme Vædske paa folgende Maade udføre et Absorptionsforsog
ved højere Tryk: Umiddelbart efter Aflæsningen af Tryk og Temperatur ved Slutningen af
Absorptionen bliver Hanen c lukket; da Volumenet i den til højre for ce liggende Del af
Apparatet er bekjendt, véd man nejagtig, hvor stor en Luftmængde der befinder sig frit i
de til højre for Hanen c liggende Afsnit (2 Kugler og Haneboringen ved ce). Desuden ved
man, hvormeget Luft Vædsken allerede har absorberet, og saaledes er hele Luftmængden
tilhojre for Hanen c bekjendt. Nu bliver der, imens Hanen c er lukket, indført Ilt i Roret
a. Paa sædvanlig Maade (Bestemmelse af Tryk, Volumen og Temperatur) bliver dernæst
hele Luftmængden i Roret a bestemt. Denne Luftmængde, adderet til den til hojre for
Hanen e værende Luftmængde, giver Summen af hele den i Apparatet tilstedeværende Ilt-
mængde. Naar nu Hanen c bliver aabnet, og Vædsken rystes paa ovenfornævnte Maade,
saa finder Absorptionen denne Gang Sted under et hejere Tryk. Efter at Absorptionen er
bleven tilendebragt, vise Maalingerne, hvor stor en Luftmængde der befinder sig frit i
Apparatet, og hermed ere de nødvendige Forudsætninger givne til Beregning af Absorp-
tionen under hojere Tryk. Denne Fremgangsmaade kan naturligvis gjentages.
Naar man onsker at foretage en Rekke Bestemmelser ved aftagende Tryk, lukker
man paa samme Maade som ovenfor beskrevet Hanen ce umiddelbart efter, at den absorp-
tiometriske Bestemmelse er foretagen, og hele Luftmengden til hojre for denne Hane
bliver beregnet. Nu bringes Absorptiometret i Forbindelse med Pumpen ved Hjælp af
Slibningen a, og efter at Hanen 6 er bleven aabnet, bliver Apparatets til venstre for Hanen
e liggende Del gjort fuldstændig lufttom. Derefter lukkes Hanen 6, Apparatet skilles fra
Pumpen, og Hanen c aabnes; saaledes er hele den i Apparatet forekommende Iltmængde
bekjendt, og man kan nu udføre en Absorptionsbestemmelse ved et lavere Tryk end før, idet
man subtraherer den Luftmængde, der ved Slutningen af denne Absorption findes frit i
Apparatet, fra den bekjendte totale Luftmængde. Nu kan Hanen c igjen lukkes, de til
venstre for den liggende Dele atter udpumpes, og paa denne Maade kan der foretages en
ny Bestemmelse.
Vandforseg. Med dette Apparat har jeg foruden Forsøgene over Iltoptagelsen i for-
skjellige Oxyhæmoglobinopløsninger tillige foretaget Forsøg over Iltens Absorption i destil-
leret Vand. Dels vilde jeg derved undersøge Apparatets Nøjagtighed; dels vilde jeg ved
lave Tryk prøve Rigtigheden af den Henryske Lov, for hvilken jeg ved Forsøgene med Hæmo-
globin havde Anvendelse. Fremgangsmaaden ved Vandforsøgene var i det Hele den samme,
som ved Hæmoglobinforsøgene, kun maatte ved disse sidste anvendes nogle Kauteler i Be-
tragtning af Oxyhæmoglobinopløsningens temmelig store Tilbøjelighed til Decomposition.
Det synes mig hensigtsmæssig først senere at gjøre Rede for disse Forsigtighedsregler, og
jeg vender mig nu, for at tydeliggjøre Detaillerne ved Methoden, først til de Absorptions-
forsøg, der ere anstillede med destilleret Vand.
WA]
Den anvendte [lt blev altid fremstillet
ved Opvarmning af ren Kviksølvilte, den blev ud-
viklet umiddelbart før, den skulde bruges, og blev
opsamlet i et Bunsen'sk Kviksølvgasometer paa
den Maade, som nærmere er angivet i en Afhand-
ling om den Boyle-Mariotte'ske Lov, der er |
optaget i Vidensk. Selsk. Skr. 6te Række, natur-
videnskabelig og mathematisk Afd. 2det Bind Nr. 9.
Ilten kan, naar den fremstilles paa denne Maade, faas |
meget ren. Vandet destillerede jeg selv under
Hensyntagen til de Oplysninger, R. Bunsen (Gaso-
metrische Methoden 1877, Pag. 222) har givet |
om de herhenhorende Fejlkilder.
Efter at Absorptiometret var bleven fuld-
stændig renset og tørret, og Hanerne vare blevne
omhyggelig indsmurte med en Blanding af Vox og
Fedt, saaledes at intet Fedt kunde komme ind i
Haneboringen, blev Vandet fyldt i paa folgende Maade :
Paa et Glasror e (Fig. 4, Side 440) bliver
et Stykke godt fransk Katheter g befæstet ved Hjælp
af en Kautschukslange 7; Roret bliver indført paa
en saadan Maade, at Katheteret igjennem Hanebo-
ringen n (Fig. 4) rager ind i den overste Kugle
paa Absorptiometret. [Da alle de ovrige i Figur
4 afbildede Apparatdele tjene til andre Formaal,
maa man her tænke sig dem fjernede.| Ved Hjælp
af en Tragt, som er anbragt paa Roret e, bliver
Vandet bragt ind i Absorptiometerkuglen, uden at
de andre Dele af Apparatet blive befugtede, og
Indledningsroret bliver dernest fjernet.
Derpaa bliver Absorptiometret anbragt for
den Hagen’ske Pumpe ved Hjælp af Slibningen
ec Fig. 2 (a Fig. 1); den nederste Del af Absorp-
tiometret rager ned i den med Kviksolv fyldie Skaal g.
I Figur 2 betegner a Svovisyrebeholderen
paa den Hagen’ske Pumpe; 6 er en Hane, ved
Hjælp af hvilken Vedskens Fordampning i Absorp-
426 8
tiometret under Udpumpningen bliver reguleret; Hanerne d og e blive paa dette Tidspunkt
ikke benyttede. Ved for hyppig Brug blive de indfedtede Haner nemlig let mindre paalidelige
i deres Virkning, isærdeleshed naar, som det er Tilfældet her, Glasvæggene under Udpump-
ningen af og til beslaa sig med Dug. Hanerne blive derfor skaanede til det egenlige Forsag.
Den storste Del af den i Vandet optagne Luft lader sig som bekjendt let uddrive
ved Udpumpning; de Spor, som endnu blive tilbage, efter at den i Begyndelsen meget
livlige Kogning af Vædsken er ophørt eller kun finder Sted sjeldent og stodvis, ere derimod
meget vanskelige at skaffe bort. Det Iykkes dog at befri Vandet fuldstendig for Luft paa
følgende Maade:
Naar Vædsken har hørt op at koge, bliver Pumpen og det derpaa befæstede Ab-
sorptiometer hurtig gjort muligst lufttomme og Hanen b (Fig. 2) lukket; man griber nu
Absorptiometret med den højre Haand tæt under Hanen d (Fig. 2), medens man med den
venstre Haand støtter Slibningen e (Fig. 2) paa den Hagen'ske Pumpe. Idet man nu trykker
Absorptiometret fast ind i Slibningen c (Fig. 2), drejer man det hurtig frem og tilbage om
Kviksølvsøjlens Axe; paa denne Maade bliver Vædsken i Kuglen meget stærkt rystet, hvorved
der bliver noget Luft fri, som, efter at Hanen 6 (Fig. 2) er bleven aabnet, udbreder sig i
Pumpen. Den størst mulige Luftfortynding bliver nu frembragt i Absorptiometret, derpaa
rystes Vædsken igjen, og denne Proces bliver gjenlagel, indtil der ikke mere ved Rystningen
træder nogen Luft over i Pumpen. Paa denne Maade fortsættes Pumpningen i Alminde-
lighed i 24 Timer eller endnu længere med større eller mindre Mellemrum. Saa bliver Hanen d
(Fig. 2) lukket, og Absorptiometret fjærnes fra Pumpen, hvorved man naturligvis maa sørge for,
al den nederste Ende ikke bliver løftet op af Glasset g; det Hele bliver dernæst anbragt
paa Stativet Ah Tavle I, og dette bliver fastgjort i Vandbeholderen AAA. Højden af den
Støbejerns Vandbeholder er noget over I Meter, og dens Diameter c. 40 Cm. Paa Behol-
derens Væg er der i hele dens Højde anbragt et c. 10 Cm. bredt Glasvindu, for at gjøre
det muligt herigjennem at aflæse de Apparater, der findes i Beholderen. I Bunden er
denne forsynet med 2 Haner z og y. Gjennem den ene kan Beholderen efter Behag sættes
i Forbindelse med Vandledningen eller et Afløbsrør, gjennem den anden kan der føres
varmt Vand ind fra et Reservoir. Paa Tavle I betegner den punkterede Linie z Vandstanden
i Beholderen under Forsøgene.
Stativet hh stikker med Tappen z (Tavle I) i en passende Fordybning i Bunden af
Vandbeholderen og bliver oppe ved Randen skruet fast med den paa Figuren kun antydede
Klemme s. Paa denne Maade staar Stativet urokkeligt fast i Beholderen, og lader sig dog
let tage ud og igjen fastgjøre paa det rigtige Sted. Som man kan se af Tavle I, bærer
en Jernplade paa Stativet Absorptiometrets Kviksølvglas k; Absorptiometerroret selv bliver
ved Hjælp af Rullen f (Fig. 2) og Klemmen / (Tavle I efr. e Fig. I) fastholdt paa en saadan
Maade, at det kan dreje sig om sin Axe, saaledes som det allerede overfor er fremstillet ;
Klemmen m, hvori Absorptiometret let kan dreje sig, tjener som Fører. Paa Absorptio-
metrets Rulle er der befæstet 2 Snore; hver af disse glider over en paa Stativet anbragt
Tridse n (Tavle I), og derfra føres de videre over to paa Vandbeholderens Rand befæstede
Tridser. I Snoren p er der ophængt en Vægt, medens den anden Snor g excentrisk er
fastgjort paa Skiven 7. Medens Skiven 7, som drives af en Motor, gjør en halv Omdrej-
ning, trækker den i Snoren g og drejer derved Absorptiometret om dets Axe et Stykke
henimod den ene Side. Ved den neste halve Omdrejning af Skiven 7 slappes Snoren g,
og den ved p hængende Vægt trækker saa Absorptiometret hurtig til den anden Side.
Paa denne Maade bliver den i forrige Afsnit beskrevne Rystning af Vædsken tilvejebragt.
Undersogelse paa Lufttomhed. Efter at Absorptiometret er bleven anbragt i Vand-
beholderen, bliver først dets Lufttomhed prøvet ved Bestemmelse af det deri herskende
Tryk, idet dette sammenlignes med Vanddampenes Spænding ved den foreliggende Tempe-
ratur. Naar denne Prøve falder tilfredsstillende ud, bliver Hanen ¢ (Fig. I) lukket og Ab-
sorptiomelret taget op af Vandbeholderen. Nu bliver en passende Mængde Ilt bragt ind i
Absorptiometret fra det Bunsen'ske Kviksølvgasometer gjennem et kapillært Tilledningsrør.
Stativet hk, som bærer Absorptiometerrøret, bliver igjen anbragt paa sin Plads i Vandbe-
holderen, og de nødvendige Maalinger udført for at bestemme Mængden af den Ilt, der nu
findes i Absorptiometerrøret. Forsøget fortsættes derpaa ganske som anført Side 423 idet
Hanen c (Fig. 1) bliver aabnet, og Vædsken ved Hjælp af en Motor rystes meget heftigt frem
og tilbage (3 Gange i Sekundet), indtil Kviksølvsøjlens Højde i Absorptiometerrøret ikke
mere forandrer sig, hvorpaa atter den frie Luftmængde, der nu befinder sig i hele Apparatet,
bestemmes paa sædvanlig Maade. Man har da, som man ikke nærmere behøver at forklare,
de nødvendige Data til Beregning af den i Vædsken absorberede Luftmængde, og kan nu,
som beskrevet ovenfor Side 424, føre Forsøget videre, idet man, efter at have lukket Hanen
e (Fig. 1), enten paa ny leder Ilt ind, eller gjør den Del, der ligger til venstre for Hanen
¢, fuldstændig luftttom. Et Exempel, der er meddelt længere nede, vil forhaabentlig bidrage
til Forstaaelse af Forsøgsmaaden.
Bestemmelse af Spænding og Temperatur i Absorptiomelret. Endnu staar tilbage at
beskrive, hvorledes Spændingen og Temperaturen i Absorptiometret kan foretages med til-
børlig Nøjagtighed, ligesom ogsaa paa hvilken Maade Bestemmelsen af Vædskemængden i
Absorptiometret udføres.
Bestemmelsen af Trykket i Absorptiometret sker paa følgende Maade: Et i Vand-
beholderen (se Tavle I) befæstet Stativ æt bærer ved Hjælp af en Jernplade Kviksolvglasset w,
hvori Barometerrøret 06 var anbragt; Glasset u var anbragt i samme Højde som Absorp-
tiometrets Glas k. Efter at Absorpliometret var bleven befæstet paa sin Plads i Vand-
beholderen, blev paa en Maade, som strax skal beskrives, Glasset x sat i Forbindelse med
Glasset k, hvorved Kviksølvoverfladerne i de to Glas indstillede sig i samme horizontale
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og matlıem. Afd. II. 10, 54
4
8
10
Niveau; Trykket i det indre af Absorptiometret kunde
da maales ved den vertikale Afstand mellem Kviksølv-
overfladen i Barometret bb og i Absorptiometerrøret
aa (Tavle I). Denne Afstand blev maalt ved Hjælp
af et Kathetometer, der var opstillet foran Vandbe-
holderens Glasvindue. Foruden de almindelige Korrek-
tioner med Hensyn til Kviksølvsøjlens Temperatur og
Vanddampspændingen i Absorptiometret, blev der stadig
foretaget Correction med Hensyn til Haarrors-Depres-
sionen efter Mendelejeffs Tabeller. For at kunne ud-
føre den sidste Rettelse var Barometerrørets og Ab-
sorptiometerrorets Diameter nøjagtig bestemt, og ved
hver Trykbestemmelse blev Højden af begge Menis-
ker maalt.
Begge Karrene w og k bleve satte i Forbin-
delse med hinanden paa en Maade, som for det Første
tillod at bringe Communicationen hurtig og sikkert
i Stand og paa den anden Side gjorde det muligt
lige saa hurtig at bringe Karrene ud af Forbindelse
med hinanden, naar, som det skete ved hvert Forsøg,
Absorptiometret skulde løftes op af Vandbeholderen.
Et simpelt meterlangt Gaffelrør af Glas, hvis
Form og Størrelse ses af e Fig. 3 og c Tavle I blev
med Gaflen vendende nedad, og medens dets øverste
Ende holdtes lukket med Pegefingeren, stukket ned
i Vandbeholderen, saaledes at den ene Gren af Gaf-
felen førtes ned i Glasset £ og den anden i Glasset
u. Da Rorets øverste Ende var lukket, medens det
sænkedes ned i Vandet, trængte der sig kun en lille
Vandsøjle ind i det; efter at Glasrøret var bleven
anbragt paa sin Plads, som Figur 3 viser, blev Fin-
geren fjernet fra den øverste Ende, og det næsten
meterhøje Vandtryk, som hvilede paa Kviksølvover-
fladerne i k og u (Tavle I), drev nu Kviksølvet op
til over Gaffeldelingen i Roret; herved blev en hæ-
vertformig Forbindelse tilvejebragt mellem Kviksolvet
11 429
i de to Kar u og k. Naar Forbindelsen skulde ophøre, blev Gaffelen simpelt hen trukket
op af Kviksolvet.
(I Figur 3 betyder a Barometrets Stativ, Absorptiometrets Stativ, ¢ den nederste
Ende af Barometerroret, d den nederste Ende af Absorpliometerroret, e Gallelroret, f er en
gjennemboret Korkprop, der uden at slutte vandtet, letter Anbringelsen og Fastholdelsen
af Glasroret.)
Temperaturen blev bestemt ved Hjælp af Normalthermometret d Tavle I. Be-
liggenheden af Nulpunktet paa dette, af mig selv kalibrerede Thermometer, blev hyppig
kontrolleret. For at tilvejebringe ensartet Temperatur i den temmelig hoje Vandbeholders
forskjellige Lag blev en Blander med halvmaaneformet Plade ee (Tavle I) uafbrudt beveget
op og ned i Foringen f ved Hjælp af en Motor.
Bestemmelse af Vadskemangden i Absorptiometret. Bestemmelsen af den absor-
berende Vedskemengde, som her, da Udkogningen foregaar i selve Absorptiometret,
nødvendigvis maa foretages ved Slutningen af Forsøget, kan ske, ved at man først vejer
hele Absorptiometerroret ved Begyndelsen af Forsøget, for man hælder Vedsken i, og saa
igjen, naar Forsoget er endt. Hvor ingen tilstrækkelig fin Vægt af passende Dimensioner
staar til Raadighed, kommer man ogsaa med temmelig stor Nojagtighed til Maalet paa fol-
gende Maade:
Efter Forsøget bliver Kviksolvet fuldstændig fjernet fra Absorptiometerreret, og
dette bliver, om fornødent, aftørret indvendig ved Hjælp af Trækpapir. Derpaa bliver Hanen
b (Pig. 1) lukket, Hanen e (Fig. 1) aabnet, og efter at Absorptiometret er blevet stillet med
Slibning a (Fig. 1) nedad, bliver den aabne Ende, der nu vender opad, ved Hjælp af en
Kautschukslange sat i Forbindelse med en Vandluftpumpe, og Indholdet af Kuglen d (Fig. 1)
suget op i den kugleformede Udvidelse paa Absorptiometerrøret. Hanen c (Fig. 1) bliver
derpaa lukket og Absorptiometret skilt fra Vandluftpumpen. Hovedmassen af Vædsken
bliver nu, idet Apparatet vendes om, heldt over i en Kolbe af bekjendt Vægt og derpaa
vejet; hvad der endnu bliver hængende paa Væggene af Apparatet, bestemmes paa den
Maade, at en Glasmanchet £ (Fig. 4 Side 440) hurtig og uden at der gaar en Draabe af
Vædsken tilspilde, bliver skudt hen over den nederste Ende af Absorptiometerrøret og dér
lufttæt befæstet ved en Kautschukprop (se Fig. 4); saa bliver et langt Glasrør e (Fig. 4), paa
hvilket et fransk Katheter g (Fig. 4) er bundet fast ved Hjælp af et Stykke Kautschukslange
J (Fig. 4) skudt ned i Absorptiometret, og derpaa ved Hjælp af en Kautschukprop lufttæt
forbundet med Glasmanchetten paa den Fig. 4 fremstillede Maade. Medens Absorptiometrets
Kugler ere nedsænkede i et Vandbad, bliver nu en Luftstrøm, der iforvejen er bleven fuld-
stændig tørret over Svovlsyre ved Hjælp af en Aspirator, indsuget gjennem Roret ? (Fig. 4)
paa Glasmanchetten. Efter at Luftstrømmen paa Vejen igjennem Apparatet er bleven
mættet med Vanddamp, bliver den igjen suget ud gjennem Roret e (Fig. 4); derefter pas-
54%
serer Luftstrammen tre forud afvejede Kør med Svovlsyre, til hvilke den afgiver al sin Fug-
lighed, og hvis Vægtforagelse, naar Absorptiometerroret er blevet fuldstændig tert, angiver
hele den i Roret tilbageblevne Vædskemængde.
Iltens Afvigelse fra den Boyle-Mavriotte'ske Lov. Fer jeg gaar over til Frem-
stillingen af de ved Forsøgene over Vandets Absorption af Ilt fundne Resultater, vil jeg,
som ovenfor berørt, ved et Exempel med gjennemfort Beregning, gjøre Brugen af Apparatet
saa tydelig som mulig. Jeg maa herved bemærke, at de fornødne Omregninger fra et Tryk
til et andet ikke ere foretagne efter den Boyle-Mariotte’ske Loy; Ilten afviger nemlig
(hvad jeg for kort Tid siden har vist i en i Vidensk. Selsk. Skr., 6te Rekke, naturviden-
skabelig og mathematisk Afd. 2det Bind. Nr. 9 offentliggjort Afhandling) især ved lave Tryk
temmelig meget fra den omtalte Lov.
Her kan jeg under Henvisning til den citerede Afhandling indskrenke mig til den
Bemerkning, at for Iltens Vedkommende Afhengigheden mellem Spending p og Volumen
v med meget stor Tilnermelse lader sig udtrykke ved Formlen v (p + 0,109) — k, naar
Trykket er over 0,7 Mm. Denne Formel er derfor benyttet ved de følgende Beregninger.
13 451
Forsøg over Iltens Absorption i destilleret Vand,
I det Folgende betyder:
p Trykket i Mm. Kviksolv ved 0°, efter at samtlige Correctioner ere indførte, og efter
at Vanddampenes Spending ved den foreliggende Temperatur er fradraget.
T Temperaturen beregnet i Grader efter Celsius.
v Rumfanget af de til venstre for Hanen c Fig. I liggende Dele af Absorptiometret.
v, Rumfanget af de til højre for Hanen c Fig. I liggende Dele af Absorpliometret.
Samtlige Rumfang ere angivne i Cubiccentimeter.
V betyder Luftens Rumfang ved 0° og 760™™ Kviksolvtryk.
O betyder Ht.
abs. betyder absorberet.
Vægtangivelserne ere reducerede til Vacuum.
Vædskemængde i Gram ...... = 47.602.
do. i Che. ved 20°. . = 47.683.
v, (efter Fradrag af 47.683) . . . . — 36.016.
I. For Forsoget.
p=—003 T= 20°.
II. 15€ Tilledning af 0.
p = 37.74 v = 38.834 V = 1.8008 7 — 20°12.
Ill. 18° Absorptionsbestemmelse.
p = 19.71 wo, = 73.306, Vi 1.09 PF — 20717.
abs.: 1.8008 — 1.7796 — 0,0212.
Af vw, kan man beregne den fri Illmængde, der ved Hanen c's Lukning findes i de
lil højre liggende Kugler til 0.8744. De hermed analoge Størrelser betegnes i det Fol-
gende med K.
IV. 29" Tilledning af 0.
p = 145.51 v — 48.584 V — 8.6666 7 — 20°18.
Samtlig 0 i Apparatet — 8.6666 -+ 0.0212 + 0.8744 — 9.5622.
432
V. 2%" Absorptionsbestemmelse.
p = 95.36 v+v, = 80355 V= 9.500 T= 20°18.
abs. = 0.172 K = 4.2116.
VI. 3% Tilledning af 0.
jp) = S108 © = AO Ye Te AT
Samtlig 0 i Apparatet — 50.7355 + 0.1772 + 4.2116 — 55.1243.
VII. 3% Absorptionsbestemmelse.
p = 409.47 v-+v, = 108.223 V — 54.2975 T = 20°16.
abs. — 0.8268 À — 18.0696.
Vill. Udpumpning af de til venstre for Hanene liggende Dele af
Absorptiometret.
Samtlig 0 i Apparatet — 18.0696 + 0.8266 — 18.8964.
IX. 4" Absorptionsbestemmelse.
p = 113.89 v-+ v0, = 87.025 V —= 18.5465 T — 20°20.
abs. — 0.3499 KK — 71.6752.
X. Udpumpningen som omtalt under VIII.
Samtlig 0 i Apparatet — 7.6752 + 0.3499 — 8.0251.
XI. 5° Absorptionsbestemmelse.
p —= 81:27 + v, = 78.840 V = 7.8590 T = 20°17.
abs. = 0.1661 K = 3.5902.
XII Udpumpning (se VIII).
Samtlig 0 i Apparatet — 3.5902 + 0.1661 — 3.7563.
XIII. 6! Absorptionsbestemmelse.
p = 39.60 v+o, = 75.234 V = 3.6591 Z' = 20°20.
ADS — 010972 ahaa 7517:
XIV. Udpumpning (se VIII).
Samtlig 0 i Apparatet — 1.7517 + 0.0972 — 1.8489.
XV. 7° Absorptionsbestemmelse,
p = 1988 v+v, = 73.493 V = 1,7994 T = 20°20.
abs. — 0.0195 K — 0.8818.
XVI. Udpumpning (se VIII).
Samtlig 0 i Apparatet — 0.8818 + 0.0495 == 0.9313.
15 153
XVII. Si Absorptionsbestemmelse.
p == 10:22) vaso 72.618 V =< 019187 eT) = 20822.
abs. = 0.0126.
Nedenfor ere Forsogets Absorptionsbestemmelser tabellarisk angivne. De absorberede
Lufimængder ere beregnede for 100 Cbe. Vand og udtrykte i Che. ved 0° og 760™™.
Nr. 1—3, hvor Trykket ved den foregaaende Absorptionsbestemmelse var mindre
end ved den efterfølgende Bestemmelse, gave til Resultat:
Tryk. abs. af 100 Cbe. Vand.
Absorptionsbestemmelse I .... 19.7 0.044
= DR eo HA 0.372
— SU re 240955 1.734.
Nr. 3—8, hvor Trykket stadig var storre ved det foregaaende end ved det efter-
folgende Forsøg, gave til Resultat:
Tryk. abs. af 100 Cbe. Vand.
Absorptionsbestemmelse 8 . 10.2 0.026
— TPE. dla °C) 0.104
— be 0.204
— DS ERBE 0.348
— er) 0.734
= Bo eed a OBS 1.734.
Paa Tavle If À er givet en graphisk Fremstilling af det ovenfor meddelte Forsøg,
idet Abscisserne fremstille Trykkene (I"m — 9m" Kviksolvsojle) og Ordinaterne de ved disse
Tryk af 100 Cbe. Vand absorberede Iltmiengder (1"" — ?/100 Cbe. Ilt ved 0° og 760").
Henrys Lov. De ved Forsogets Nr. I og 2 bestemte Punkter ere paa Tavlen
mærkede ved en lille Cirkel, og man vil se, at disse Punkter og Forsagets Nr. 3 ligge i en
ret Linie, ligesom ogsaa at Punkterne Nr. 3, 4 og 5 ligge i en ret Linie, som tilmed gaar
nøjagtig gjennem Coordinaternes Begyndelsespunkt. Punkterne 5, 7 og 8 ligge fordelte
omkring denne Linie, dels noget over, dels noget under den. Altsaa ligge alle de Punkter,
som hore til Rækken af Bestemmelser med voxende Tryk (Nr. 1, 2, 3), paa en rel Linie,
og denne Linie danner en meget lille Vinkel med den Linie, som felges af samtlige Punkter
(Nr.3—8) i Rækken med aftagende Tryk. Da denne sidste Linie tillige gaar igjennem Be-
gyndelsespunktet, har Rækken med aftagende Tryk vist en saa godt som fuldstændig Over-
4Q—17™™,
ikke kunne komme i Betragtning paa Grund af den ringe absolute Størrelse af Absorptionen
ensstemmelse med Henry’s Lov, da de smaa Afvigelser, der vise sig ved Tryk fra
ved disse Tryk, og da de tilmed ikke afvige til samme Side af Linien. Naar Hensyn tages
til den Maalestok, i hvilken Ordinaterne ere afsatte, kunde man vel rejse det Spørgsmaal,
434 . 16
om man overhovedet bør lægge nogen Vægt paa den Afvigelse, som Linien for voxende
Tryk viser fra den nys omtalte Linie; Hovedsagen er imidlertid den, at man har fundet
den absorberede Luftmængde lidt mindre ved voxende end ved aftagende Tryk; herved er
det nemlig godigjort, at man med dette Absorptiometer kan udføre en hel Række (i dette
Tilfælde 8) Bestemmelser, uden at mærke endog blot Spor af Ilttab, og det skjønt Iltens
Tryk har naaet en saa betydelig Højde som 400™". I denne Henseende viste Apparatet sig
altsaa meget hensigtsmæssigt. Naar man nu fremdeles betænker, at disse Iltabsorptions-
forsøg, som udførtes med kun circa 50 Cbcm. Vand ved Trykhøjder af mellem 4007" og
80m, have givet indbyrdes saa godt som fuldstændig overensstemmende Resultat, og at
Absorptionsbestemmelserne udførte ved c. 10"" Tryk endnu have vist sig brugbare, maa
ogsaa Apparatets Nojagtighed betegnes som tilfredsstillende.
Iltens Absorptionscoeffieient. Efter at vi nu have set, at Henrys Lov ved de under-
søgte Forsøg kan ansés for exact, og at vi altsaa uden Betænkelighed kunne anvende den
ved Hæmoglobinforsøgene, ville vi betragte Størrelsen af den fundne Absorptionscoefficient.
Denne er ved 20°2 fundet — 0.03218, altsaa ikke ubetydelig større end den af Bunsen
fundne Coefficient 0.02834. Anordningen af Forsøgene og den Maade, hvorpaa de ere ud-
førte, gjør, at man, som alt ovenfor omtalt, ganske kan se bort fra den ellers nærliggende
Tanke, at Forurensninger af Vandet, eller Dele af Apparatet, kan have bundet Ilt. Ikke
heller kunne tilfældige Fejl i Bestemmelse af Apparatkonstanterne (Volumen etc.) forklare
Uoverensstemmelsen. En ny Bestemmelse, ved hvilken ikke blot Ilten og Vandet var til-
beredt paa ny, men hvor ogsaa Apparatet var et andet, gav nemlig (i god Overensstemmelse
med den ovenfor fundne Værdi) Coefficientens Størrelse — 0.03272 ved 20°.
Forskjellem mellem disse Resultater og det af Bunsen fundne, hidrører maaske
snarere derfra, at den nævnte Forsker var nødt til at gjøre Brug af Daltons Lov, som
sandsynligvis ikke gjælder nøjagtig under de givne Omstændigheder.
Hœæmoglobinforsog. De Wemoglobinforsog, som her skulle meddeles, ere udførte
ved 15° C. under forskjellige Ittryk. Da samtlige Forsøgsfactorer (Haemoglobin, Ilt, absorp-
tiometrisk Apparat) herved have varieret, uden at dette har haft nogen kjendelig Indflydelse
paa Forsøgenes indbyrdes Overensstemmelse; kunne de ved Forsøgene opnaaede Resultater
vel ansés for tilstrækkelig fastslaaede, og man kan ikke tage i Betragtning, al jeg ikke her
har naaet en saa stor Nøjagtighed som ved Forsøgene med Vand. Dette følger allerede
deraf, at den opløsende Vædskes Absorptionscoefficient indgaar som Led i Beregningen af
den af Hæmoglobinet optagne Iltmængde. Bestemmelsen af denne Coefficient er imid-
lertid, som vi nedenfor skulle se, ikke uden Vanskelighed og lader sig næppe udfore fuld-
stendig exact.
17 435
Hemoglobinets Fremstilling. Fremstillingen af det anvendte Hæmoglobin ud-
fortes væsenlig efter den af Hoppe-Seyler angivne Methode; kun fortjener det at be-
mærkes, at Blodlegemerne, forend Hæmoglobinet blev adskilt fra deres Stroma, bleve fuld-
stendig renvadskede i Kogsaltoplosning ved Hjælp af Centrifugen.
Hæmoglobinet blev flere Gange omkrystalliseret; for at fremskynde Filtrationspro-
cessen, filtreredes gjennem Glasuld under Anvendelse af hojt Tryk; kun Filtrationen af den
sidste Oplosning udfortes ved Hjælp af godt Filtrerpapir.
For at kunne anvende det samme Hemoglobin til flere Forsog, bleve Oplosningerne
opbevarede i smaa tilsmeltede Kolber (a Fig. 4); ved Hjælp af denne af Hoppe-Seyler
angivne Methode holder Oplosningerne sig brugbare i en ubegrendset Tid. Naar en saadan
Kolbe aabnes efter lengere Tids Forlob, bemærker man ikke sjælden en mer eller mindre
stærk aromatisk Lugt, som forsvinder ved energisk Udpumpning af Vædsken. Indheldningen
af Hemoglobinoplosningen i Absorptiometret, hvor den blev udpumpet inden Forsøget,
foretoges, saaledes som det nedenfor nermere skal beskrives, i en Brintstrem.
Vedskemengden i Apparatet. Efter hvert absorptiometrisk Forsøg blev den anvendte
Vædskemængde stadig bestemt, saaledes som det ovenfor er angivet under Vandforsøgene ;
ved Hæmoglobinforsøgene var det tillige hver Gang nødvendigt efter Forsøget at gjøre en
særlig Bestemmelse af Opløsningens specifiske Vægt, samt at bestemme dens Indhold af
Torsubstans. Oplesningens specifiske Vægt blev bestemt, for derved at kunne omregne
den i Gramvegt bestemte Vædskemængde til Chem. ved Forsøgstemperaturen; denne Stør-
relse maa nemlig kjendes, for at man skal kunne bestemme det af Luften i Absorptiome-
trets Kugle indtagne Volumen.
Torsubstans. Bestemmelsen af Tørsubstans blev hver Gang udført saaledes, at
10—20 Gram af Opløsningen efter det absorptiometriske Forsøg blev afvejet i dertil egnede
smaa Glasbeholdere, der lode sig lukke med tilslebne Laag, og derpaa strax inddampedes
over Svovlsyre i Luftpumpens Klokke; ved tilstrækkelig stærk Luftfortynding (næsten Va-
cuum) udførtes Inddampningen af Vædsken i de temmelig brede Glasbeholdere i omtrent
12—24 Timer, uden at der fandt nogen Decomposition af Vædsken Sted. Torringen over
Svovlsyre fortsattes til fuldstændig konstant Vægt, og derpaa tørredes Resten atter i
Varmekasse ved 115° til konstant Vægt. Denne Fremgangsmaade giver nøjagtig samme
Resultater, som den af v. Noorden beskrevne Tørring i Brintstrøm, hvilket jeg har over-
bevist mig om ved Kontrolforsøg, anstillede med specielt Hensyn hertil. Efter hvert Forsøg
blev Tørsubstansen bestemt i to forskjellige Prøver; Overensstemmelsen var som Regel
fuldstændig tilfredsstillende.
Hæmoglobinets Krystalvand. Vægten af det over Svovlsyre tørrede Hemoglobin,
sammenholdt med det Vægttab, som de paagjældende Prøver undergik ved længere Tids
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 10. 55
436 18
Opvarmning til 115°, kan benyttes til en Beregning af Hemoglobinkrystallernes Krystalvand,
Denne har jeg da ogsaa udfort.
Da Hoppe-Seyler nemlig havde fundet, at forskjellige Dyrearters Hæmoglobin-
krystaller indeholde en forskjellig Mengde Krystalvand (mellem c. 9 og 3 pCt.), saa syntes
det mig hensigtsmæssigt at forsøge ogsaa Anvendelsen af saadanne Bestemmelser til Kon-
trollering af det anvendte Hundeblod-Oxyhæmoglobins Renhed; det syntes mig nemlig
onskeligt at kunne kontrollere Renheden paa saa mange Punkter som muligt. Ved disse
Prover viste det sig nu, at Mængden af Krystalvand i Hundeblod-Oxyhemoglobin kan va-
riere belydeligt, saaledes som det fremgaar af den nedenfor meddelte Tabel.
Tallene i forste Kolonne giver de enkelte Forsegsnumre, medens den 2den Kolonne
indeholder en eller to Bestemmelser af den procentiske Krystalvandmængde (udtrykt i Gram
for 100 Gram over Svovlsyre tørret Hemoglobin) for hver Hæmoglobinpreve, den 3dje Ko-
lonne giver Middeltallet af de to Bestemmelser i 2den Kolonne.
Tabel.
I IL. Im
es "| Go | 6.022
| f 6.479 ;
x \ 6.098 6.289
f 4.432 | me
x \ 4.627 | 4.529
= | À re | 4.642
fis | An
3 \ 1.116 | 1.246
6 6.227 testy
7 6.227 6.227
3 { I 3.486
i { En 5.398
a ( Ed 5.460
| f 3.310 | |
L | \ 3.240 | 3.280
ål { | 5.07
f 2.875
de \ 3.164 3.019
Man ser af denne Tabel, at den procentiske Mængde af Krystalvand i Hundeblod-
Oxyhæmoglobin kan variere imellem c. 6,3 og 1,2. Forskjellige Omstændigheder bragte
19 437
mig til at soge Grunden til denne Variation deri, at Vanddamptensionen under Fordamp-
ningen over Svovlsyre var forskjellig ved de forskjellige Prøver, alt eftersom Svovlsyren
havde været anvendt længere eller kortere Tid og derfor allerede havde optaget mer eller
mindre Vand. Denne Formodning fandt jeg bekreftet ved folgende Forsog:
En Prove af samme Hemoglobinoplosning blev tørret til fuldstændig konstant Vægt
ved samme Luftfortynding i to forskjellige Exsiccatorer, hvor Syovisyrens Vandholdighed var
noget forskjellig. Bestemmelsen af Krystalvandet gav i den ene Prove 4,485 °/o; i den anden
2,426 °/o; et paa samme Maade udført Forsøg gav for en anden Hemoglobinprove 3,659 °/o Kry-
stalvand i den ene Exsiccator og 1,573 i den anden. Den direkte Bestemmelse af Vanddampten-
sionen i Exsiccatorerne lod sig ikke udfore i de af mig benyttede Apparater, og jeg har derfor
ikke videre forfulgt Undersogelsen af dette Forhold, der ligger den foreliggende Meddelelse
noget fjernere; men en Revision af Krystalvandsbestemmelserne i de forskjellige Dyrearters
Oxyhemoglobin synes mig dog herefter ikke uden Interesse.
Specifisk Vægt. Wa der ved hvert Forsøg er gjort en nøjagtig Bestemmelse af den
specifiske Vægt, saa bliver det muligt ved en Sammenstilling af alle disse Bestemmelser
at prove, om de af forskjellige Krystalfremstillinger tilberedte Hæmoglobinoplesninger viser
samme Forhold mellem Hemoglobinholdighed og specifisk Vægt, samt at undersøge, hvilken
Indflydelse en langvarig Opbevaring af Oplosningerne i tilsmeltede Glas har herpaa. Der
viste sig herved stadig en meget noje gensidig Overensstemmelse i Bestemmelserne, saa at
det endog var muligt omtrentlig at beregne Oplosningernes Hemoglobinholdighed ved Hjælp
af en Bestemmelse af den specifiske Vegt alene.
For nærmere at belyse Sagen anforer jeg nedenfor en Rekke tabellarisk ordnede
Bestemmelser; de dèr anferte Forsog stamme fra tre forskjellige Hæmoglobinfremstillinger,
og Hæmoglobinholdigheden er bestemt dels i frisk Tilstand, dels efter længere Tids Opbe-
varing i tilsmeltede Glas. ji
Samtlige i Tabellen opforte specifiske Vægtangivelser ere reducerede til en Tem-
peratur af 15° C.; for at kunne udføre dette, bestemte jeg Hemoglobinoplosningernes Ud-
videlsescoefficient i Nærheden af denne Temperatur, og fandt, at den ikke i nogen kjendelig
Grad var forskjellig fra Vandets.
For Fuldstændigheds Skyld bemærker jeg endnu, at Bestemmelserne ere udforte
med et Pyknometer, der rummede omtrent 10 Cbe., og som var forsynet med Thermometer
og Stigeror, og at jeg ved «specifisk Vægt for en bestemt Temperatur» forstaar Forholdet
mellem Vægten af et Volumen af Vedsken ved denne Temperatur og Vægten af det samme
Volumen Vand ved 4° C.
438 20
Tabel.
| |
I. Il. TIL. | iv.
Nr. | Specifisk | lagttagne | Beregnede |
Vægt. pCt. Hbg. | pCt. Hbg.
ae > ee 1 ur |
1 | 1.0012 0.886 0.876 | 1.303
2 | 1.0027 1.497 1.514 | 1.310
3 | 1.0033 1.738 | 1.761 | 1.311
4 1.0053 2.655 2.611 1.300
5 1.0066 | 3.077 3.155 | 1.316
6 | 1.0078 | 3.736 3.653 1.297
7 | 1.0081 | 3.834 3.874 1.309
8 1.0084 | 3.986 3.908 1.298
Tabellens Kolonne I angiver den specifiske Vægt; Kolonne Il det iagttagne pro-
centiske Indhold af Hæmoglobin i de paagjældende Opløsninger (Gram i 100 Gram Op-
løsning); i Kolonne III har jeg opført det paa nedenanforte Maade af den specifiske
Vægt beregnede Hæmoglobinindhold, og Tallene i Kolonne IV angiver for hver Opløs-
ning Forholdet mellem den iagttagne Hæmoglobinmængde og den ved Opløsningen af
det tørrede Hæmoglobin indtrædende Volumenforøgelse af det i 100 Gram Opløsning inde-
holdte Vand.
Et Exempel vil lettest vise, hvorledes Beregningen af disse Tal er udført. I Ta-
bellen findes opfort som-Nr:2 en Opløsning med 1,497 °/o Hemoglobin; 100 Gram af Op-
løsningen indeholder altsaa 98,503 Gram Vand, som ved 15” indtager et Rumfang af 98,587
Cbe. Oplosningens specifiske Vægt er — 1,0027, og Volumen af 100 Gram Opløsning
er altsaa ved 15? — 99,730 Cbc. Ved Opløsningen af det tørrede Hæmoglobin i Vand
vilde altsaa 98,587 Cbc. Vand blive omdannet til 99,730 Cbc. Hæmoglobinopløsning, Volumen-
forogelsen er altsaa 99,730 — 98,587 == 1,143; Forholdet mellem det procentiske Hæmoglobin-
indhold (1,497) og Volumenforøgelsen (1,143) er — 1,310. Disse Tal er opført i Kolonne IV.
Nu vise Tallene i Kolonne IV en saa stor Overensstemmelse, at man uden Be-
tænkning kan betragte dem som konstante, navnlig da der ikke viser sig nogen af den
procentiske Hæmoglobinholdighed afhængig Regelmæssighed i Afvigelserne fra Middeltallet.
Følgende Forhold mellem en Opløsnings Hæmoglobinholdighed i Vægtprocent (z) og den
specifiske Vægt ved 15° (K) lader sig da, som man let ser, opstille, naar Vandets speci-
fiske Vægt ved 15° er — 0,99916
100 — x æ 100
0,99916 1306 me
Efter denne Formel er Værdierne af « i Kolonne III beregnede.
21 439
Den store Regelmæssighed i de nys omtalte physikalske Forhold ved de af for-
skjellige Krystaller fremstillede Oplesninger synes mig i hej Grad at tale for det benyttede
Hæmoglobins Renhed, og derfor har jeg ogsaa her behandlet dette Punkt noget udforligere.
Spektralundersogelse. Ved nogle af de første Forsøg har jeg for og efter de ab-
sorptiometriske Maalinger bestemt det anvendte Hæmoglobins Spektralkonstanter ved Hjælp
af det Glahn’ske Photometer; de for og efter Absorptionsforsogene fundne Verdier viste sig
saa godt som identiske. Jeg saa mig imidlertid nodsaget til at opgive denne Undersogelse,
da jeg ikke kunde finde Tid til at udfore den samtidig med de mange Bestemmelser, der
vare absolut nødvendige ved hvert enkelt Forsøg. Jeg maatte derfor nøjes med den simple,
kvalitative Undersøgelse af Hæmoglobinspektret efter Tilendebringelsen af det absorptio-
metriske Forsøg. Hvor denne Undersøgelse viste en delvis Omdannelse af Farvestoffet til
Methæmoglobin, blev Forsøget ikke benyttet.
Absorptiometriske Maalinger. Udførelsen af de absorptiometriske Forsøg med Hæ-
moglobinopløsninger foregik, som tidligere bemærket, i alt Væsentligt saaledes, som det er
beskrevet ved Vandforsøgene. Kun Paafyldningen af Vædsken paa Absorptiometret og
Fremgangsmaaden ved Udpumpningen var noget forandret, idet der blev sørget for, at de
for Udpumpningen reducerede Hemoglobinoplosninger aldeles ikke kom i Berøring med Ilt,
medens Udkogningen for Luftpumpen fandt Sted. Dette viste sig nødvendigt for at forhindre
den delvise Omdannelse af Hæmoglobin til Methæmoglobin under den temmelig langvarige
Udkogning.
Paafyldning af Hamoglobinoplosningen. Paa Fig. 4 findes gjengivet den Fremgangs-
maade, der gjør det muligt at beskytte de i de tilsmeltede Kolber opbevarede reducerede
Hæmoglobinoplesninger mod Iltens Adgang under Paafyldningen af Absorptiometret. Kol-
ben a, der indeholder Hemoglobinoplosningen, er med sin tilsmeltede Spids & indbundet i
en Kautschukslange, der atter er lufttæt fastgjort til Tragten c. Tragten indeholder ved d
noget Glasuld og staar ved Hjælp af en Kautschukslange i Forbindelse med det oftere om-
talte Ror e; paa dette er ved / befæstet et Katheder g, der er fort ind i Absorptiometrels
Kugle. Roret e er ved Hjælp af Glasmanchetten % lufttetı forbunden med Absorptiometer-
røret paa en ved Hjælp af Figuren let forstaaelig Maade.
I Løbet af nogle Timer bliver der nu, medens Hanen m er lukket, ledet en ren-
vadsket Brintstrom ind i Apparatet gjennem det paa Tragten ¢ fastsmeltede Ror A. Brinten
passerer gjennem Roret e—g ind i Kuglen, gaar dernæst gjennem Haneboringen n, som
naturligvis ikke hell udfyldes af g, og træder ved 7 ud af Apparatet. Efter at al athmo-
sphærisk Luft er uddrevet af Apparatet, bliver den ved 6 indfilede Kolbehals brækket over og
Kolbens Indhold hældt ud i Tragten A; Brinten trykker da Vædsken gjennem e og g ind i
Kuglen. Naar dette er sket, bliver Roret e, uden at Apparatet tages fra hinanden, trukket
et Stykke tilbage, indtil Enden af g er kommet ud af Haneboringen ved n, og Absorptio-
22
440
Fig. 4.
Sa ae
23 441
metret skilles, efter at Hanen n er lukket, fra de øvrige Dele. Absorptiometret bliver nu
paa den i Fig. 2 gjengivne Maade sat i Forbindelse med Luftpumpen; imens forbliver
4 (e Fig. 2) lukket. Medens Hanerne d og 6 (Fig. 2) ere aabne, bliver dernæst
Hane n Fig.
Luftpumpe og Absorptiometerror gjort fuldstendig lufttomme, saa forst aabner man Hane e
(Fig. 2), og Vædsken, der paa denne Maade slet ikke kan komme i Berøring med Ilten,
bliver endelig udkogt.
Naar man anvender en frisk tilberedt Hæmoglobinoplesning, bliver den ved Hjælp
af Roret e (Fig. 4) hældt ind i Absorptiometrets Kugle. Kuglen anbringes i Is, og en ved-
varende Brintstrøm ledes gjennem e ind i Hemoglobinoplosningen. Efter Reductionen bliver
e trukket tilbage, Hanen n (Fig. 4) lukket og Vædsken derpaa ved Hjælp af Pumpen gjort
lufttom, som ovenfor beskrevet.
Efter Udpumpningen bliver Absorptiometrets Lufttomhed prøvet paa det Omhygge-
ligste, Forsøget bliver dernæst udført ganske som ovenfor beskrevet under Vandforsøgene,
og som det fremgaar af nedenstaaende Hæmoglobinforsøg, der exempelvis meddeles med
alle Enkeltheder.
Det maa særlig fremhæves, at Forsøget, naar det engang er paabegyndt, maa føres
til Ende uden Afbrydelse for at forhindre Hæmoglobinets Decomposition, hvilket dog ingen-
lunde altid er muligt, selv med Anvendelse af megen Omhu. I det Hele taget gaa af for-
skjellige Grunde ikke faa Forsøg tabt, hvilket jo ikke kan forundre ved saa complicerede
Experimenter.
Bestemmelse af Damptensionen i Absorptiometret. Det maa endvidere bemærkes, at
Damptensionen i Absorptiometret — som det fremgaar af derpaa særlig rettede Under-
søgelser — er den samme som Vanddamptensionen ved tilsvarende Temperatur og ikke
Hemoglobinoplosningernes noget lavere Tension. (Denne sidstnævnte Tension er for en
2 pCt. Opløsning ved 15° henved 0,2" lavere end Vanddamptensionen ved 15°.) Selve
Hæmoglobinopløsningens Tension er det temmelig vanskeligt at vedligeholde i længere Tid,
og som det var at formode, indfinder den sig kun, naar Apparatets Vægge ere ganske tørre.
Dette kan imidlertid ikke indtræde ved Forsøgene, da der altid bliver sørget for, at et
begrændset Parti af Kuglen paa Absorptiometrets Rør er bedugget (hvilket f. Ex. kan op-
naas ved at anbringe en Draabe Æther paa dens udvendige Væg, medens Hanen c Fig. I er
aaben); paa denne Maade kan man være sikker paa, at ogsaa, naar Hane c Fig. 1 er lukket,
Absorptiometerrørets Indre er opfyldt af mættede Vanddampe.
Undersøgelse paa Kulsyre. Sluttelig kan det anføres, at jeg af og til efter Forsøgene
har prøvet Luften i Absorptiometret paa Kulsyre — dog stedse med negativt Resultat.
44
Forsøg over Iltens Absorption i en circa 2 pCt. Hæmoglobinoplesning.
Bogstaverne have samme Betydning som i Vandforsøgene Side 13.
Væds kemæne den r Granit, SSR SER SER CRC CC CU — 36.655
Vædskemænedes is G Dev d HINDER Gag ass Go bo 6 wo ol oO oO oe — 36.509
©, (efter Subtraction’ af 36.509) NN s.- - =. — 49.047
.87
Oplosningens Hæmoglobinholdighed i Vægtprocenter — | 1.877 Middel — 1.876.
. ‘
1 36.655 Gram Vædske 0.688 Gram Hæmoglobin.
I. For Forsøget.
p =—0.01 T= 530:
ll. {st Tilledning af 0.
p = 12.89 v — 0.5878 T = 15.0.
III 1° Absorptionsbestemmelse.
p = 2.00 v+v, = 84.501 V — 0.2223 T= 15.0
abs. — 0.3655 Ki — 0.1291.
IV. 21e Tilledning af 0.
p = 55.6 v = 38.015 V — 1.6861 T= 150 |
Samtlig 0 i Apparatet — 0.3655 + 0.1291 + 1.6861 — 2.1807.
V. 2%" Absorptionsbestemmelse.
p = 12.16 v-+v, = 85.201 V — 1306 T = 15.0.
ase — lei. ee — 1075093
VI.
Samtlig 0 i Apparatet
Udpumpning af de til venstre for Hanen
c liggende Dele.
0.8771 + 0.7509 — 1.6280.
VII. 3% Absorptionsbestemmelse.
p = 764 v+v, = 84.79 V — 0.8188 T = 15.10.
abs. == 0.8097 K = 0.4741.
443
bo
OL
VIII. 3% Tilledning af 0.
p = 463.37 v = 72.808 V — 42.0630.
Samtlig 0 i Apparatet — 0.8097 + 0.4741 4- 42.0630 — 43.3466.
IX. 4 Absorptionsbestemmeise.
p = 308.24 "vv, = 109.106 V = 41.9440 T — 15.04.
abs. = 1.4028 K — 18.8674.
X. Udpumpning som i VI.
Samtlig 0 i Apparatet — 1.4028 + 18.8674 — 20.2702.
XI. 5% Absorptionsbestemmelse.
p = 157.49 v+v, = 96.948 V = 19.0526 T — 15.0.
abs. — 1.2176.
Hemoglobin- Oplasningens Absorptionscoefficient. For at kunne bestemme den Ilt-
mengde, som bindes af et Gram Hemoglobin ved forskjelligt Tryk, mangle vi endnu Bestem-
melsen af Hemoglobinoplosningens physikalske Absorptionscoefficient. Denne er nodvendig
for at kunne beregne, hvor meget af hele den absorberede Ilimængde, der ifølge Henry’s
Lov er oplost i Vedsken, og hvor meget der er optaget af Hæmoglobinet som dissociabel
Forbindelse.
Hvis det var bekjendt, under hvilket Tryk Hæmoglobinet fuldstændig mettes
med Ilt, saa lod den physikalske Absorptionscoefficient sig fastsætte gjennem en Række
Forsog udforte ved endnu hojere Tryk. Det Tryk, under hvilket Hæmoglobinet opnaar sin
højeste Iltmettelse, er imidlertid at betragte som ubekjendt, og man maa derfor prove paa
at slaa ind paa den modsatte Vej, idet man experimentelt søger at bestemme, ved hvilken
Trykhøjde hele Absorptionen i Hæmoglobinopløsningen begynder at blive en retlinet Funk-
tion af Trykkene; denne Trykhøjde kunde da med stor Sandsynlighed betragtes som den, ved
hvilken Hæmoglobinet havde bundet det mest mulige Ilt, og af det rellinede Stykke kunde
da Absorptionscoefficienten bestemmes ved Hjælp af den Henry’ske Lov"). Denne Methode
kunde imidlertid ikke komme til Anvendelse, thi ved en Betragtning af samtlige Forsøg
viste det sig, at den i Hæmoglobinopløsningen absorberede Iltmængde selv ved de højeste
af de undersøgte Tryk ikke var nogen retlinet Funktion af Trykkene.
Kun ved et ganske enkeltstaaende men paa Grund af Mængden og Regelmæssig-
heden af Bestemmelserne (10 Enkeltbestemmelser) aldeles paalideligt Forsøg med en 2 pCt.
1) Man ser let, at den anvendte Betragtningsmaade, hvorefter den optagne Ilt tænkes bestaaende af 2 Dele
(én i Vædsken absorberet og én af Hæmoglobinet bunden Del), ikke med Nødvendighed følger af
Forsøgene, hvor disse 2 Dele ikke særskilt kunne observeres, men at den kan have sin Berettigelse,
for saa vidt Forsøgsresultaterne derved fremstilles paa en overskuelig Maade.
Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem, Afd II. 10. 56
444 96
Hæmoglobinoplesning, viste den Kurve, der udtrykker hele den absorberede Iltmængde som
Funktion af Spændingerne, sig retlinet fra et Punkt af, der omtrent svarede til 70™™ Ilttryk.
Ved dette Forsøg gave da flere Bestemmelser udførte ved Tryk mellem 70 og 460%" over-
ensstemmende Absorptionscoefficienten lig 0.02249, medens den af I Gram Hemoglobin
bundne Iltmengde var lig 1.56 Cbe. (maalt ved 0° og 760™™).
Dette Tal svarer til den Iltmængde, der optages af det normale Hemoglobin i en
2 pCt. Opløsning; imidlertid forholdt dette Hemoglobin sig ikke paa sædvanlig Maade, thi
det afgav, selv ved en Formindskelse af Trykket til henved 2™™, kun en forholdsvis meget
ringe Iltmengde og havde altsaa bundet Ilten fastere end sædvanligt. Det er endnu ikke
lykkedes mig at komme fuldstendig paa det Rene med de Betingelser, under hvilke den
fastere Forbindelse mellem Ilt og Hemoglobin indtræder, og jeg skal derfor her ikke gaa
nærmere ind paa dette Forsøg, som forøvrigt turde frembyde stor Interesse.
Jeg troer, at man uden Betenkelighed kan anvende den her fundne Absorptions-
coefficient 0.02249 ved 15° paa normale 2 pCt. Hemoglobinoplosninger, og jeg har derfor
paa nedenstaaende Tabel benyttet den til Beregning af det ovenfor detailleret meddelte Forsog.
Tabellens Kolonne I indeholder Numrene paa Enkeltbestemmelserne ordnede kro-
nologisk. Kolonne II de Ilttryk, under hvilke Absorptionen har fundet Sted, Kolonne III
den hele Mængde af den ved tilsvarende Tryk absorberede Ilt, udtrykt i Cubiccentimeter
ved 0° og 760%; i Kolonne IV findes den ved Hjælp af den nysnævnte Absorptionscoeffi-
cient beregnede Mengde af physikalsk absorberet Ilt, medens Kolonne V angiver den af
Hæmoglobinet bundne Iltmængde; Kolonne VI indeholder de samme Størrelser beregnede
for et Gram Hemoglobin; i Kolonne VII er Temperaturen opfort.
Eu Il. Hf. IV. | V. VI. Vil.
| ; |
2 Ss Physikalsk 0 bunden 0 bunden til}, i
Nie | OETrYK" Mengde Soon til Heb. 1 Gram Heb. | Temperatur.
| absorb. 0. |
ae UE i ; rel) 3
1 2.00 0.3655 | 0.0022 | 0.3633 | 0.5284 15.0
2 1216 | 0.8771 | 010132 0.8640 1.2565 15.0
|
3 | 7.64 | 0.8097 | 0.0083 | 0.8014 | 1.1655 | 15.1
4 308.24 | 1.4028 0.3332 | 1.0696 1.5555 15.0
5 157.49 | 1.2176 | 0.1702 | 1.0474 1.5233 15.0
|
Idet jeg gaar over til at fremstille Resultaterne af Forsøgene over den Iltmengde,
som Hæmoglobinet optager ved en Temperatur af 15° under forskjelligt Ilttryk, skal jeg
bemærke, hvad alt forhen er antydet, at ikke faa Forsog mislykkedes, væsenlig paa Grund
af Oxyhæmoglobinets Tilbojelighed til at decomponeres, men af og til naturligvis ogsaa
27 245
ved tilfældige Uheld under de mange Manipulationer, Forsøgene udkræver. Det har af de
nævnte Grunde heller ikke været muligt at opnaa en Nojagtighed, der svarer til den, som
er opnaaet ved de ovenfor anførte absorptiometriske Forsøg med destilleret Vand. Nojag-
tigheden er dog for de Forsøg, som overhovedet ere lykkedes, ret tilfredsstillende, saaledes
som det fremgaar ved Sammenligning mellem de enkelte nedenanforte Forsøg,
I det Folgende betegner p Iltens Tryk i Millimeter Kviksolv ved 0°; » Volumenet af
den af I Gram Hemoglobin optagne Iltmengde udtrykt i Cubiccentimeter ved 0° og 760,
Temperaturen, ved hvilken Absorptionen finder Sted, er betegnet med 7.
56"
246 28
Forsøg med en circa 2 pCt. Hemoglobinoplesning.
De tre forste af de nedenstaaende Forsog ere anstillede med Oplosninger, som
hidrøre fra samme Hemoglobinkrystal-Fremstilling; i Forsøg I var Opløsningen frisk tilberedt,
i Forsøg II og III længere Tid opbevaret i lilsmeltede Kolber. De til de to sidste Forsøg
IV og V benyttede Hæmoglobinkrystaller skreve sig fra en ny Krystalfremstilling.
Absorptionscoefficienten var — 0.02249 (se ovenfor Side 26).
Til Forsogene ere tre forskjellige Absorptiometre benyttede.
Forsog I.
Hæmoglobinholdighed i Vegt-pCt. = 1.745, Vædskemængde — 34.925 Che. (ved 11° C.),
heri 0.6115 Gram Hæmoglobin.
D = SUVS Vo ll
Dali TD 65 NT
Forsøg II.
Hæmoglobinholdighed i Vegt-pCt. — 1.961, Vædskemængde — 37.807 Che. (ved 15° C.),
heri 0.7461 Gram Hæmoglobin.
NEO nie
Forsøg III.
Hæmoglobinholdighed i Vægt-pCt. — 1.936, Vædskemængde — 38.774 Cbc. (ved 1575 C.),
heri 0.7538 Gram Hæmoglobin.
pe 339.0, 9) — 1,547 17T 19:6:
Forsøg IV.
Hæmoglobinholdighed i Vægt-pCt. — 1.876, Vædskemængde — 36.509 Cbe. (ved 15° C.),
heri 0.6876 Gram Hæmoglobin.
jp == BOS a ES = TO
D = IN a ik JK 15.0
j= 1 à ies Vz NET
D= Wo ein tbe
p= 20 0 — 0.58 T= 150.
29 447
Forsøg Y.
Hamoglobinholdighed i Vegt-pCt. — c. 1.8, Vædskemængde = 41.732 Che. (ved 15°4 C.),
heri 0.76 Gram Hæmoglobin.
= OR TENTE EE
p= 31 v= 1.355 T= 15.4
jos] 12S Os ie HET ÆT SA
DEN URI Te 115.4
Be ir — A MOMIE
Anmærkning:
De i Forsog V anferte Verdier af v ere ikke de direkte iagttagne, idet de samtlige
ere multiplicerede med 1.107. Værdien af v ved hejt Tryk viste sig nemlig i Sammenligning
med de fem ovenstaaende overensstemmende Bestemmelser, noget for lav; da dette ved det
ellers gode Forseg med stor Sandsynlighed maatte antages kun at ligge i en Fejl i Be-
stemmelsen af Hæmoglobinmængden (hvis 2 Værdier ikke viste nogen god Overensstemmelse),
har jeg ikke villet udskyde Forsoget, men har indfert nysnævnte Correction.
Paa Tavle II B ere Verdierne af Forsøgene IV og V graphisk fremstillede, idet
Ilttrykkene ere opførte som Abscisser og de tilsvarende, af 1 Gram Hemoglobin optagne
Iltmengder, som Ordinater. 1™™ af Abscissen svarer til 2%" Kviksolvtryk; medens 1™™
af Ordinaten svarer til 0.02 Cbe. Ilt ved 0° og 760,
Punkterne ere markerede sort; igjennem dem er Kurve I trukket.
Forseg med en circa 4 pCt, Hæmoglobinoplesning.
I de 3 nedenforstaaende Forsøg ere de benyttede Oplosninger tilberedte af Krystaller
af samme Krystalfremstilling; det er de samme Krystaller, som ere benyttede ved Forsøgene
IV og V med 2 pCt. Opløsning.
Af de ovenfor fremførte Grunde har den physikalske Absorptionscoefficient for den
4 pCt.’s Opløsning ikke direkte kunnet lade sig bestemme. Af Forsøgene fremgaar imid-
lertid, at den, som man kunde vente, maa vere mindre end for den 2 pCt. Opløsning:
Ved Hjælp af de bekjendte Verdier for Absorptionscoefficienten for destilleret Vand
og for en 2 pCt. Hemoglobinoplosning har jeg (under Hensyntagen til de af Mackenzie
i Wiedemanns Ann. Bind I givne Oplysninger om Absorption af Luftarter i Saltoplos-
ninger) udledet Værdien 0.018, som den, der vistnok kan antages at ligge den virkelige
Verdi ner.
Ved Benyttelsen af denne Coefficient ere nedenforstaaende Forsøg — hvor Bog-
staverne have samme Betydning som ovenfornævnt — udregnede.
448 30
Forsøgene ere udførte med 2 forskjellige Absorptiometre.
Forsøg VI.
Hæmoglobinholdighed i Vægt-pCt. — 3.834, Vædskemængde — 35.151 Cbc. (ved 15°7 C.),
heri 1.359 Gram Hæmoglobin.
p = 485.9 v= 154 T= 15.7.
Forsøg VII.
Hemoglobinholdighed i Vegt-pCt. = 3.736, Vædskemængde — 35.698 Cbe. (ved 15° C.),
heri 1.344 Gram Hemoglobin.
DAT TON eto
POI ANT ATEN A"
p= 63.0 v= 1:38 PM — 14.8
jp = 469 Dis = TS
Forsøg VII.
Hæmoglobinholdighed i Vegt-pCt. — 3.587, Vædskemængde — 35.923 Che. (ved 15° C.),
heri 1.298 Gram Hæmoglobin.
p = 35:9 vo — 1.87) RZ 15.0
Pp = 20 1.26) NI 50
Pris ee leo) ET EE
p= a dell Mi
DE CON AN oe
Paa samme Maade som ved Forsøgene med de 2 pCt.’s Oplosninger ere Forsøgene
VI, VII og VIII graphisk fremstillede paa Tavle Il B.
De til disse Forsog herende Punkter ere markerede med rodt, og den igjennem
dem trukne Kurve er betegnet 2.
Som man ser af samtlige ovenstaaende Forsøg er der, imod hvad man paa For-
haand efter den gængse Anskuelse skulde vente, ved de undersøgte Tryk ikke opnaaet
noget Maximum for Hemoglobinets Iltoptagen; derimod synes den asymptotisk at nærme
sig en Grendseverdi.
Fremdeles fremgaar af Forsogene, at Hemoglobinet ved samme Tryk optager mindre
Ilt, jo mere concentreret Oplosningen er.
Forøvrigt fremgaar Afhengigheden mellem den af Hemoglobinet optagne Iltmengde
og det tilsvarende Ilttryk for en Temperatur af 15° tilstrækkelig tydelig af den graphiske
Fremstilling, hvortil jeg derfor finder det tilstrekkeligt at henvise.
31 449
-Foruden de ovenstaaende Forsøgsrækker har jeg endvidere antillet Forsøg med en
Hæmoglobinopløsning af circa 0.9 pCt.
Forsøgene bekræfter i det Hele de ovenfor fremsatte Resultater; de mindre Afvigelser,
der findes fra disse, troer jeg at maatte henføre til de herskende uheldige Forsøgsbetingelser.
Ved disse Forsøg kunde nemlig kun en ringere Mængde Hæmoglobin anvendes, hvilket for de
lavere Tryks Vedkommende bevirker Usikkerhed paa Grund af den ringe absolute Iltmængde,
som oplages, medens for de høje Tryks Vedkommende den Omstændighed, at en forholdsvis
stor Brokdel af den hele optagne Iltmængde physikalsk absorberes af Vandet, bevirker, at
Fejl i Bestemmelsen af Absorptionscoefficienten faar en mere forstyrrende Indvirkning her,
end ved de mere concentrerede Opløsninger.
Forsøg med en circa 0.9 pCt. Hæmoglobinopløsning.
I nedenstaaende Forsøg ere de anvendte Hæmoglobinkrystaller de samme, der ere
benyttede i ovenstaaende Forsøg IV, V, VI, VII og VII.
Den benyttede physikalske Absorptionscoefficient er paa samme Maade, som ved
de 4 pCt.'s Opløsninger fremsat, omtrentlig bestemt til 0.025.
Forsøgene ere anstillede med 2 forskjellige Absorptiometre.
Forsøg IX.
Hæmoglobinholdighed i Vægt-pCt. — 0.871, Vædskemængde — 39.473 Che. (ved 15° C.),
heri 0.3443 Gram Hæmoglobin.
jo == BV SE TT ENT
p = 133.4 v = 1.65 T = 15.1.
Forsøg X.
Hæmoglobinholdighed i Vegt-pCt. — 0.886, Vædskemængde — 33.455 Che. (ved 15° C.),
heri 0.2968 Gram Hemoglobin.
p= 26 v—O07 T= 146
P= 20 v — 0.55 T — 149.
Forsøg XI.
Hæmoglobinholdighed i Vegt-pCt. — 0.903, Vædskemængde == 32,063 Che. (ved 15° C.),
heri 0.2900 Gram Hæmoglobin.
jy) == Ag oe a N |
DI Wilt Oy = TE 07 16
DER One DS EN Er
p= 23 v — 0.60 T= 14.4.
450 32
Paa Tavle If B ere Forsøgene graphisk fremstillede paa samme Maade, som ved
ovenstaaende Forsegsrekker er angiven. Punkterne ere til Adskillelse fra de øvrige Forsøg
omgivne med en lille Kreds. Paa Grund af de ved Begyndelsen af denne Forsogsrække
anforte Omstendigheder er der gjennem Punkterne ikke trukket nogen Kurve.
I et enkelt Forsøg, jeg har anstillet med en circa 0.9 pCt. Opløsning, fik jeg Ver-
dier for Httrykket, der vare omtrent dobbelt saa store som de ovenfor anførte. Da det
trods omhyggelig Eftersyn af Forsegene ikke er lykkedes mig at finde noget, der kunde
tale for en begaaet Fejltagelse, anforer jeg her Forsoget, skjondt jeg ikke kan angive, under
hvilke Betingelser Hemoglobinet indgaar denne højere Forbindelse med Ilt.
Forsøg XII,
Hæmoglobinholdighed i Vægt-pCt. — 0.892, Vædskemængde — 36.741 Cbc. (ved 15° C.),
heri 0.3282 Gram Hæmoglobin.
p=131 v— 275 T— 148
md OS A öl
ne Day TR
(= MD == DAS ie
For Muligheden af en saadan højere Iltforbindelse maa man altsaa ved fremtidige
Forsøg have Opmærksomheden henvendt.
Ved absorptiometriske Forsøg med en saa let foranderlig Vædske som Hæmoglobin-
opløsninger, troer jeg, at man vanskelig med de hidtil kjendte Methoder kan opnaa større
Nøjagtighed, end de ovenstaaende Resultater frembyde, selv ved yderligere at gjentage
Forsøgene; hvorfor jeg i hvert Fald foreløbig betragter Forsøgene ved 15” som afsluttede.
ic}
Jeg haaber, at det snart vil vere mig muligt at fortsætte disse Meddelelser med en
Fremstilling af Oxyhemoglobinets Dissociation ved forskjellige Temperaturer.
HD. Vid. Seish. Sher 6 RAL 10. Chr Bahr:
9
=
x
Om Definitionerne
Tallet, Talartorne og de fallonende Bestemmelser.
Af
T. N. Thiele.
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. I. 11.
Kjøbenhavn.
Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri (F. Drever)
1886.
Du En D
ar
anna. aha
sl Zi
SATT AUT ETS -
KÆR LC ed ae i
En skarpt formuleret Definition af Tallet er aabenbart den naturlige Begyndelse for en
systematisk Fremstilling af Mathematiken. Saavidt jeg ved, finder man dog intet Steds en
saadan Begyndelse i mathematiske Lærebøger, og dette har sine meget gode Aarsager, dels
det pædagogiske Hensyn til ikke strax at skræmme Begynderen med alvorlige” Vanskelig-
heder, dels den historiske Grund, at Tallets oprindelige Betydning som Storrelsens Bestem-
melse éfterhaanden har vist sig at vere uholdbar eller dog uhensigtsmessig, efter at man
havde draget forst de negative og senere de imaginere eller komplexe Tal ind under Mathe-
matiken. At bygge paa Elevens tidlig erhværvede og uklare Fortrolighed med en af Tallenes
Arter og efterhaanden at udvide Talbegrebet er dog en Fremgangsmaade, der ikke sommer
sig for den exakte Videnskab, og som iailfald kun kunde taales, saa længe man ikke var
udsat for at mode tallignende Bestemmelser, som ikke ere Tal, og som maa holdes ud fra
Talbegrebet ved den skarpe Definition.
Men om man end tidligere med nogen Berettigelse har kunnet se bort fra Mulig-
heden af at forvexle Tal med Ikke-Tal, saa synes en Grændseregulering nu at vere paa-
trængende dels af Hensyn til Sporgsmaal om Mathematikens Anvendelighed paa forskjellige
Videnskaber, dels fordi nu næsten enhver Mathematiker kommer til at arbejde med nogle
af de farligere Ikke-Tal, som ligne Tallene. Jeg tænker nærmest paa, hvad man kalder
symbolsk Regning, hvor man regner med Bestemmelser, der ikke ere Tal, næsten ganske
som om de vare Tal, kun med nogle enkelte Undtagelsesregler. Men i Grunden horer der
hertil og har altid hort noget, som alle kjende, nemlig Exponenterne (og derunder Vinklerne).
Det er bekjendt, at naar en Brok staar som Exponent, er det ikke uden videre tilladt at
forkorte den, og strengt taget vil det sige, at Exponenterne, saaledes som dette Begreb
forst kommer frem, nok ligne Tallene i hojeste Grad, men dog ikke ere Tal. At man kan
regne med Logarithmer, som man gjor, beror paa, at Vanskeligheden paa dette Punkt endnu
lader sig omgaa; men i det, som man sædvanligt kalder for symbolsk Regning, er det vir-
kelig nodvendigt at være paa det Rene med, at man er gaaet udenfor Tallenes Grændser.
Endnu et andet Exempel kan jeg finde indenfor det elementert bekjendte; skjønt
delte rigtignok ligger saa langt tilbage i Bornelerdommen, at mange have ophort at tenke
57"
454 4
derpaa: Det er de benævnte Tal. Man ved jo, hvorledes den rene Mathematik plejer at
skynde sig bort fra disse Begreber med saadan Hast, at man senere har ondt ved at faa fal
paa dem igjen, naar man faar Brug for dem i Anvendelserne. De benævnte Tal ligne de
egentlige, ubenævnte, Tal deri, at de have Addition og Subtraklion med ganske samme
Regler; Manglen af Multiplikation er her det Kjendetegn, som viser, at de benævnte Tal
kun kunne regnes for tallignende Bestemmelser, men ikke for egentlige Tal. i
Vi skal da her søge Tallet defineret. Men er det nu ikke noget, som beror paa
en ren Vilkaarlighed? Staar det os ikke frit at definere ganske efter Behag, naar vi blot
fastholde den Definition, vi vælge? Ja og Nej! Vor Frihed faar af Hensyn til Sprogbrug
og almindelig Vedtægt en Indskrænkning derved, at vi erklære at ville definere netop, hvad
Tal er. Det vilde ikke være nogen logisk Fejl, men vel højst upassende, dersom Tallene
ifølge vor Definition fik ganske nye Egenskaber, dersom det, som alle hidtil have været
enige om at kalde Tal, blev udelukket, og Begreber, som ingen tidligere kunde falde paa
at kalde Tal, blev tagne med. Ud af vor Definition bør man kunne bevise alle de vel-
bekjendte almindelige Sætninger om Tallene, eller ogsaa kunde der være Tale om at benytte
selve disse Sætninger som Definition.
I sidste Tilfælde vilde det være nødvendigt, i hvert Fald var det et ønskeligt For-
arbejde for Definitionen, kritisk at undersøge de enkelte mathematiske Hovedsætninger.
Man maatte udskyde ikke blot alle de Sætninger, som ikke gjælde for alle de gamle Tal,
men ogsaa saadanne, hvis almene Gyldighed for disse kan bevises ved andre principale Sæt-
ninger. At optage bevislige Sætninger i Definitionen vilde være en Fejl, selv om de gjælde
for alt, hvad vi nu kalde Tat, thi hvis de ikke skulde gjælde overfor en ellers mulig Ud-
videlse af Talbegrebet, vilde ogsaa dette kunne bevises, og saadant kunde da vel medføre
en Inddeling af Tallene men ikke være en Hindring for denne Udvidelse. Endnu vig-
tigere er det Hensyn, at en saadan overflødig Definition vilde forstyrre Ordenen i Bevis-
systemet saaledes, at mange Beviser kunde føres paa flere Maader, noget som, selv om
Beviserne føre til samme Resultater, ogsaa kunde tænkes at antyde, at Definitionen skjulte
en Selymodsigelse. Definitionen kan (smlgn. Side 8) næppe gives anderledes end i axio-
matisk Form, men saa beror dens Styrke væsentlig paa, at Axiomernes Antal indskrænkes
til det mindst mulige.
Angaaende denne Kritik af Mathematikens Sætninger kan her henvises til en Af-
handling i Mathematisk Tidsskrift 1880 Side 33. Det var let nok at se, at Undersøgelsen,
der anstilledes med de reelle Tal, kunde begrændses til følgende principale Sætninger, af
hvilke de fleste gjælde baade om Additionen og om Multiplikationen; nemlig
1) Entydighedsprinciperne: Naar
a+ b—e og ab—c,
er c utvelydig bestemt ved a og 6.
2) Omvendingsprinciperne: Til hver af de nævnte Regningsarter svarer en entydig
Afhængighed f(x) og g(z) af 2, hvorved,
naar a+b=c, ogsaa haves c + /(b) =a og fla) -+ce—=b; 0
or
7 >
g
naar ab =c, ogsaa haves c.p(b)=a og gla).c=b.
3) De associative Principer:
(a+ b) + c=a + (6 +e) og (a.b).e=u.(b.e).
4) De kommutative Prineiper:
atb=b+aoga.b=b.a
samt
5) Det distributive Princip, som gjør Forskjel paa Additionen og Multiplikationen, og
kan dele sig i to Sætninger; nemlig Multiplikators distributive Princip,
(a+ b).c=a.c+b.e
og Multiplikandens distributive Princip,
a.(b + c)=a.b+a.c,
der begge kunne haves samtidig, selv hvor Mulliplikationen ikke besidder det kommuta-
tive Princip.
Endnu kunde nævnes nogle specielle Sætninger især Undtagelsessætningerne om
Tallet 0.
Det er ikke vanskeligt at se, at alle Mathematikens øvrige almindelige Sætninger
lade sig aflede af disse. Det kan ogsaa temmelig let skjønnes, at disse Sætninger ikke
alle kunne være nødvendige for Tallets og Regningsarternes Definition; thi nogle af dem
lade sig bevise ved de øvrige. Men det maatte gjøres klart, hvilke af disse Sætninger
der skulde udskydes som bevislige. At Entydighedsprinciperne nødvendigvis maa bibeholdes,
kan der dog ikke være Tvivl om; de kunne aabenbart ikke bevises. Omvendingsprinciperne
og de alene definere Afhængighederne fix) og @(x). Ligeledes maa det distributive Princip
enten i sin Helhed eller dog en Sætning, som horer ind derunder, bibeholdes, for at man
ikke skal kunne forvexle Additionen med Multiplikationen. Vanskeligere er det at se, om
de associative eller kommutative Principer fortjene Forrangen. Dette Spørgsmaal maa jeg
i Henhold til den citerede Afhandling besvare saaledes, at, naar man ikke vil følge én Frem-
gangsmaade ved Additionen den modsatte ved Multiplikationen, bør de kommutative Prin-
ciper vige, fordi der er Mulighed for at bevise dem ved de andre Principer særlig ved de
associalive, medens det ikke vil være muligt at bevise de associative Principer ved de andre.
Resultatet bliver, at Definitionen skal føre til eller bestaa af Entydighedsprinciperne,
Omvendingsprinciperne og de associative Principer for begge Hovedregningsarterne, samt
én af Formerne for det distributive Princip enten Multiplikators eller Multiplikandens. Her-
efter er det altsaa uafgjort, om der gives Tal, for hvilke Addendernes eller Faktorernes
Orden ikke er ligegyldig, det bliver et Spørgsmaal, som maa afgjøres ved Bevis for eller imod.
456 6
Men endnu af en anden Grund end det nævnte historiske Hensyn er vor Definitions-
frihed begrændset. Vi kunne ikke bruge nogen indviklet Definition, som kunde passe, hvis
Talen var om et kunstigt logisk Tankespil. Mathematiken bor have et Grundlag, som kan gjøre
dens fremragende Vigtighed indlysende derved, at det strax bliver klart, at den netop handler
om de simplest tænkelige, i Virkeligheden anvendte Arter af Bestemmelser. Tallets Defini-
tion bor give en saadan Beskrivelse af Tal-Bestemmelserne, at det ogsaa uden forudgaaende
mathematisk Undersogelse kan afgjores, om denne eller hin virkelige Bestemmelse er Tal
eller ikke, — om og hvorvidt en Videnskab er eller ikke er anvendt Mathematik. Og gives
der simplere logiske Bestemmelser end Tallet, da have vi vel fuld Ret til at vælge Tallet
til Gjenstand for vor Undersogelse; men vi vilde ialtfald handle lidet klogt i, ikke at sikre
os, at de simplere Bestemmelsesformer vare tilstrækkelig undersøgte af os eller andre, førend
vi give os i Kast med de mere indviklede.
For nu at inddele Bestemmelserne og ordne dem efter deres Simpelhed maa
vi være opmærksomme paa, at Bestemmelser kunne fremkalde den onskede Forestilling og
bestemme Tingene enten umiddelbart uden at knyttes til nogen anden Forestilling eller
Ting, eller saaledes, at en eller flere forud tilstedeværende Forestillinger eller Ting ved
Bestemmelsen omdannes til den ønskede. I første Tilfælde kalde vi Bestemmelsen absolut
i andet relativ. Ved Afgjørelsen herimellem kan man ikke altid stole paa Bestemmelsens
ydre Form, Sproget har en Forkjærlighed for den absolute Beskrivelse og anvender denne
Form ogsaa ved relative Bestemmelser. Naar vi ved at nævne et Navn fremkalde Fore-
stillingen om nogen eller noget, bruge vi den absolute Form for Bestemmelsen, uagtet
den næsten altid i Virkeligheden er relativ, idet vi ubevidst benytte andre Forestillinger ved
Bestemmelsen.
I Simpelhed ville aabenbart de virkelig absolute Bestemmelser være de relative over-
legne, men de kunne desuagtet her kun faa underordnet Interesse. Virkelig absolute Be-
stemmelser synes for det Første at være meget sjældne, saa sjældne, at skjøndt jeg ikke
tør benægte, at der gives mere end én saadan, saa kan jeg dog kun nævne den i Tallet 0
liggende Bestemmelse af Identiteten som Exempel paa en Bestemmelse, der har kunnet
modstaa mine Forsøg paa ved en Analyse at paavise Relativitet ogsaa i den. Men selv
om der gaves mangfoldige absolute Bestemmelser, vilde desuden deres videnskabelige Be-
handling ikke stille store Fordringer, netop fordi de saa umiddelbart og uimodstaaelig
fremkalde den ønskede Forestilling.
Af relative Bestemmelser er der mange og mange Slags, vi kunne inddele dem paa
naturlig Maade i enkelt relative, dobbelt relative, . . . flerdobbelt relative efter Antallet af
de Forestillinger, som Bestemmelsen forudsætter. Rød som en Rose og sødere end Hon-
ning er en dobbelt relativ Bestemmelse, der forudsætter Forestillingen om Rosens Rodme
og Honningens Sødme. Men denne Bestemmelse kan opløses i to enkelt relative, nemlig
7 457
Identitet i Farve og Fortrin i Sodhed. Det er ingenlunde alle dobbelt eller flerdobbelt
relative Bestemmelser, som kunne oploses i enkelt relative; men man vil uvilkaarlig foroge
saadan Oplosning, og derved anerkende, at de enkelt relative Bestemmelser ere de
simpleste og de, der forst bor undersoges. Her ville vi da begrændse os til dem.
Iblandt de enkelt relative Bestemmelser er der stor Forskjel paa den Klarhed, hvor-
med Relativiteten trader frem. Der synes at vere én Bestemmelse, som kan anvendes saa
at sige paa enhver Forestilling og Ting, nemlig Bestemmelsen ved Identitet: «uforandret det
samme». Der gives Bestemmelser, der kunne anvendes paa de mangfoldigste Forestillinger
ja endog paa flere Arter af Forestillinger, men ogsaa nogle, som alene kunne sættes i For-
bindelse med en begrendset Samling af Forestillinger. Ved alle disse Bestemmelser er
Relativiteten dog klar, fordi Bestemmelserne staa for os som selvstændige Forestillinger,
der kunne sættes i Forbindelse med indbyrdes forskjellige, oprindelige Forestillinger eller
Ting. Hvor derimod en Bestemmelse er uopløselig knyttet til én vis Forestilling, ved hvil-
ken den bestemmer en anden saaledes, at den samme Bestemmelse ikke findes anvendelig
mellem andre Forestillinger, der gjælder det samme som om absolute Bestemmelser, at en
videnskabelig og almindelig Behandling bliver overflødig ved Bestemmelsens Umiddelbarhed
og umulig, fordi hvert Tilfælde har sine egne Love. Disse Bestemmelser forudsætte vi altsaa,
at være vel bekjendte, og holde os til saadanne enkelt relative Bestemmelser, som kunne
sæltes i Forbindelse med flere indbyrdes forskjellige Forestillinger. Ja skjønt vi ikke helt
kunne undgaa at behandle saadanne Bestemmelser svarende til en Art af Forestillinger, hvor
vel enhver Bestemmelse kan tjene til at forbinde mangfoldige Par af Artens Forestillinger ,
men hvor dog ikke enhver Bestemmelse kan anvendes med enhver Forestilling til Udgangs-
punkt (Mængder og Størrelser), ville vi fortrinsvis behandle saadanne Arter, Grupper af
Forestillinger, hvor enhver Bestemmelse, som ved en hvilkensomhelst af Gruppens Fore-
stillinger bestemmer en hvilkensomhelst anden, ogsaa ved en hvilkensomhelst tredie Fore-
stilling i Gruppen maa bestemme en fjerde af dens Forestillinger. Saadanne Bestemmelser
ville vi kalde ubetinget enkelt relative.
Det vil dog ikke være overflødigt at tilføje en skjærpende Bestemmelse af vor Brug
af disse Ord «ubetinget enkelt relativr. Vi fordre af dem og af den Gruppe, paa hvis Be-
stemmelser de skulle kunne anvendes, at Bestemmelsen af den ene Forestilling ved den anden
skal være én, eller at flere Bestemmelser mellem de samme Forestillinger skulle ved Ab-
straktion fra mulig formel og tilsyneladende Forskjel være at anse for én saaledes, at slige
indbyrdes identiske Bestemmelser ogsaa fra forandret Begyndelsesforestilling vedblivende skulle
fremkalde én Forestilling. Dette staar, som man vil se, i nær Sammenligning med følgende
andet Hovedled af Definitionen.
Skjøndt man vel ikke med fuld Ret kunde bruge Ordet Bestemmelse, hvor man
ikke — absolut eller relativt — faar en Forestilling fremkaldt med tilstrækkelig Skarphed
45
CO
(0 0)
til at adskille den fra alle andre, altsaa uden al Tvetydighed og Ubestemthed, maa vi dog
for Sikkerheds Skyld give saadanne Bestemmelser det særlige Navn af entydige Bestem-
melser i Modsætning til tvetydige og flertydige ja delvis ubestemte Bestemmelser. Helt
ville vi ikke bortvise de mindre skarpe Bestemmelser fra Omtale her, thi Mathematiken giver
jo paa dens senere Trin Midler ogsaa til Behandling af disse saavel som til Behandling af
visse sammensat relative Bestemmelser. Men fortrinsvis og forelobig udelukkende holde vi
os til de éntydige Bestemmelser som de simpleste, og vi gjore tilmed et Udvalg af de sim-
pleste iblandt dem.
Alle de entydige Bestemmelser ville, medens de ligefrem anvise os, hvorledes vi
med en Begyndelsesforestilling fremkalde en Slutningsforestilling, tillige omvendt kunne tjene
til at bestemme Begyndelsesforestillingerne, idet vi gaa tilbage ud fra Slutningsforestillingen.
Da Begyndelsesforestillingen har fremkaldt denne, maa den vere en af dem, som kan frem-
kalde den; men at den fremadgaaende Bestemmelse var entydig, sikrer os paa ingen Maade,
at den tilbagegaaende Bestemmelse ogsaa er det, man kan endog meget let finde Exempler
paa, at den tilbagegaaende Bestemmelse mangler saameget, at den bliver tvetydig eller
ubestemt. Aabenbart finde vi de simpleste Forhold ved Bestemmelser, der ere saa fuld-
stændige — fuldstændig entydige —, at de ogsaa give entydig Anvisning angaaende
den tilsvarende tilbagegaaende Bestemmelse.
Vi behandle altsaa kun saadanne Forestillinger, hvis Bestemmelser ere ubetinget
enkelt relative og fuldstændig entydige; men til Skjærpelse af den sproglige For-
bindelse af disse Ord bemærke vi endnu, at vi opfatte Forbindelsen mellem denne Defini-
tions to Led saaledes, at idet den ubetinget enkelte Relativitet skal forstaas saaledes, at
Bestemmelsen af den ene Forestilling ved den anden er én, saa skal dette i Forbindelse
med den fuldstændige Entydighed forstaas saaledes, at ogsaa de tilbagegaaende Bestem-
melser, hvis der synes at vere flere, dog entydig fore til en og samme Begyndelsesfore-
stilling ud fra enhver Slutningsforestilling, til hvilken man er kommet ved en af dem.
De ubetinget enkelt relative og fuldstendig entydige Bestemmelser
ville vi fremtidig kalde Numeraler, idet vi med dette Navn antyde, at indenfor den der-
med definerede Slags Bestemmelser findes alt, hvad der ligner Tallene — altsaa baade Tal-
lene og de Bestemmelser, som der kan vere Tale om at forvexle med Tal.
Da Numeralets Definition er flerleddet, uden at det kan bevises, at det ene Led
ikke logisk udelukker det andet; da vi altsaa kun have en subjektiv erfaringsmæssig Sik-
kerhed for dens Berettigelse, maa vi betegne denne Definition som axiomalisk; og i endnu
hojere Grad vil dette gjelde om den senere Definition af Tallet, som bygges paa Nume-
ralets Definition.
Identitetsbestemmelsen: uforandret det samme eller lig, er et Numeral. Det
er en enkelt relativ Bestemmelse, thi den bestemmer ved én Forestilling; og det er en
ubetinget enkelt relativ Bestemmelse, thi Forestillingen om det uforandrede er selvstændig,
kan kombineres med en hvilkensomhelst Udgangsforestilling. Det er fremdeles en entydig
Bestemmelse, thi den giver den Forestilling, der bestemmes, med samme Sikkerhed som
Udgangsforestillingen; det er endelig en fuldstændig entydig Bestemmelse, thi den til-
bagegaaende Bestemmelse er lige saa entydig som den oprindelige. Identitetens Existens
beviser, at der gives Numeraler; men Identitetsbestemmelsen er ikke det eneste Numeral.
I de benævnte Tal, som bestemme, hvad jeg i min «Afslutning af Regneundervis-
ningen»,, Kjøbenhavn 1883, har kaldt «Tingpunkter» og «Led» forøvrigt ogsaa i Vinkler
m. m. haves elementære Exempler paa Numeraler. De ere — eller rettere, de
forudsættes ved Axiomer angaaende den speeielle Forestillings Art at vere — baade ubetin-
get enkelt relative og fuldstendig entydige Bestemmelser. Hvert af disse Numeraler er uden
Undtagelse anvendeligt ud fra enhver Forestilling i den Gruppe af i videre Forstand
mathematisk ensartede Forestillinger, hvortil den horer, men ordentligvis ikke udenfor denne
Gruppe. Medens vi det Folgende forudsætte, at de Forestillinger og Numeraler, vi betragte,
hore til én Gruppe, se vi bort fra denne Gruppes Navn og saadan særlig Beskaffenhed,
som ikke udtaler sig i specielle Egenskaber ved Numeralerne. Vi maa derfor se bort fra,
hvorledes den forste Udgangsforestilling i en Gruppe fremkommer, og som os
uvedkommende afvise Sporgsmaal, om den muligen reelt er mere eller mindre ubestemt:
for os er den vilkaarlig og som saadan ganske ubestemt. Hvad der interesserer, er kun,
at naar en Forestilling haves og de i dens Gruppe anvendelige Numeraler kjendes, saa ere
alle Gruppens Forestillinger og dermed Gruppen selv bestemte; og naar vi abstrahere fra
Gruppens Navn m. m., gaa Forestillingerne selv ud af Betragtning, saasnart vi ved deres
Hjælp have faaet Numeralets Definition omsat lil Sætninger om Numeraler.
Tegnsprog for Numeraler.
Som Grundlag for det senere og mere fyldige mathematiske Tegnsprog indfore vi
Betegnelser for Numeralerne og Udsagn om dem. Selvfølgelig benytte vi derved Identitets-
betegnelsen —; ensartede Forestillinger betegne vi med gothiske Initialer, Numeralerne ved
latinske, og det om de sædvanlige Additions- og Multiplikationstegn mindende * skal betegne,
at en Numeralbestemmelse finder Sted. Vi skrive
B= Bx A
for at betegne, at Forestillingen & er den, der bestemmes ved Numeralet Z ud fra Udgangs-
forestillingen À, saavelsom for at betegne 3 som det Numeral, der bestemmer & ved N.
Saadan Bestemmelse af Numeralet ved Udgangs- og Slutningsforestilling er den
oprindelige; men ved Siden af denne bliver der i det Folgende Tale om, at ét Numeral er
absolut bestemt, og at andre kunne afledes det ene af det andet (eller de andre) og saaledes
faa relativ Bestemmelse. Lovene herom ere dog ikke lenger vilkaarlige, men maa afledes
Vidensk, Selsk, Skr., 6 Række, naturvidensk. og mathem, Afd. II. 11 5S
460 10
af Numeralets Definition samlidig med, at vi oversætte denne paa vort Tegnsprog. — Iden-
titetsnumeralet, som vi betegne med ©, er bestemt, reelt ved Forestillingernes blotte
Art, formelt absolut. For hvilketsomhelst Å haves,
A— Ox A synonymt med A — YW.
Ethvert andet Numeral, som altsaa er et Forskjelsnumeral, idet man i
B= B x À vilde have B= 0,
hvis ikke & var forskjellig fra À, kræver til sin oprindelige Bestemmelse to forskjellige
Forestillinger af samme Gruppe; men vi skulle nu se, at én saadan oprindelig, Bestem-
melse maa medfore en Mangfoldighed af relative Numeralbestemmelser, muligvis af alle, der
hore til samme Forestillingsgruppe.
For alle Arter af Numeraler gives der to Operalioner, ved hvilke et Numeral findes
bestemt ved andre, vi ville kalde dem Modsætning og Tilføjelse.
Modsætning.
Naar det Numeral, N, som bestemmer Forestillingen & ved den ensartede Fore-
stilling À, er bekjendt, 8 — Nx YL, vil ogsaa det Numeral vere bekjendt, som bestemmer
A ved B, altsaa À — (+ N)*B. Vi betegne dette ved (+ N), for dermed at udtrykke, at
det efter Definitionen er givet alene ved N og gjenfindes ved alle Forestillingspar, hvor N
forekommer. (+ X) siges at vere N’s modsatte Numeral; men tillige er N ogsaa
(+ NYs modsatte Numeral, (+ (+ N))—= N. Identitetsnumeralet O er sit eget modsatte
Numeral, O = (— 0).
Tilfojelse.
Har Forestillingen X ved Numeralet A bestemt Forestillingen ®, kan denne atter
ved Numeralet Z bestemme en Forestilling ©. Som hørende til samme Gruppe som DB og
9 maa © da kunne bestemmes ud fra À ved et Numeral €:
5 — Ax A
CE —BxY
altsaa © = C* YU;
om end i Formen forskjellige, maa dog i Realiteten de to Bestemmelser af © ved X vere
identiske, den direkte C med den indirekte ved A og derefter ved 3, det vil sige, an-
vendte paa hvilkensomhelst af Gruppens Forestillinger maa de bestandig fore til identiske
Forestillinger. Der bestaar altsaa uafhengig af Begyndelsesforestillingen en Afhængighed
af Numeralet C som bestemt ved Numeralerne A og B og disses indbyrdes Orden. Vi
sige, at det direkte bestemmende Numeral C dannes ved Tilføjelse af Numeralet B
til den forudgaaende numerale Bestemmelse A; og dette betegne vi med Ligningen
C= B* A.
11 461
Da baade Modsætningsafhængigheden og Tilføjelsen efter Definitionen
ere entydige, vil Tilfojelsesafhængigheden ogsaa besidde Omvendings-
principet (jvnfr. Side 5). Ved at bestemme en hvilkensomhelst af vore Forestillinger A, 3
og © ud fra hver af de to andre baade direkte og med den tredie til Mellemled faas samtidig
med ovenstaaende Ligning tillige:
(+ C) =(+ A) * (+ B),
i = C *(+ À),
(+ B)= Ax*(+C),
ALS (eB NE
og (+ A)=(+ C)* B.
Ere to af vore Forestillinger identiske, findes
A=OxA
— Ax 0
05
O = A * (+ A) = (= 4) + À;
og omvendt: Naar Ax B= 0, vil B= (+A), A=(+ B). — Intet Numeral forandres
ved dets Tilføjelse til Identiten © eller ved Tilføjelse af denne. I dette Tilfælde er Orde-
nen ligegyldig for Tilfojelsens to Led, ligeledes, naar Tilfojelsens Resultat bliver O; men
iøvrigt vil man vel ofte men ingenlunde altid finde det kommutative Princip gjeldende for
Numeralers Tilfojelse; og hvor dette ikke er Tilfældet, ber man heller ikke soge Modsæt-
ningsafhengigheden aflest af en til Subtraktionen og Divisionen svarende Afhengighed.
Tage vi foruden de ovenfor betragtede ensartede Forestillinger X, & og © endnu
en til samme Gruppe hørende vilkaarlig Fremstilling D med i Betragtning, saa at ou
BAU
C=Bx«B
D= Cx,
medens den direkte Bestemmelse af D ved A betegnes med S,
D= SkxA,
samt © = EH x YW
og D= Dx,
saa folger af det Foregaacnde
Se ID Al = UE)
eller
(Cx B)* A= Cx (Bx A).
Altsaa gjelder det associative Princip for Tilføjelsen; ved yderligere
Benyttelse af () Betegnelsen findes den gyldig for et hvilketsomhelst Antal Led deri.
De nævnte Setninger om Numeralers Modsetning og Tilfojelse udtomme Numeralets
Definition, og ere at opfatte som en Gjengivelse af den i et Tegnsprog, som tor anses for
mere fuldkomment end det almindelige Sprog, der dog er uundværligt, hvor Talen er om
Anvendelse paa konkrete Forestillinger.
462 12
I hver Art er altsaa Identitelsnumeralet absolut bestemt. Intet af Gruppens Forskjels-
numeraler behøves for at lære os O at kjende; det er kjendt som «ingen Forskjel af denne
Art», saasnart i det Hojeste Gruppens Navn og almindelige Indhold kjendes.
Af Bestemmelser med aabenbar Numeralskarakter mellem Numeraler i en hvilken-
somhelst Gruppe have vi dernæst for det første Numeralers Identitet, A — A, for det andet
giver Modsætningsafhængigheden et andet ligesaa almindeligt Numeralsnumeral, hvis Beteg-
nelse er det +, der ved at settes foran Numeralets Tegn fremkalder Forestillingen om det
modsatte Numeral.
Tilfojelsesafhængigheden bestemmer derimod vel det direkte Numeral paa relativ
Maade og entydig, men Relativiteten er almindelig en dobbelt eller flerdobbelt, alle de
enkelte partielle Numeraler ere jo hver en Udgangsforestilling. Men forsaavidt alle disse partielle
Numeraler lade sig bestemme ved et eneste Numeral, vil Tilfojelsen blive en enkelt relativ
Bestemmelse af det direkte Numeral ved dette sidstnævnte; og indenfor dette Tilfældes
Grendser er der Mulighed for, at vi kunne træffe paa endnu andre Numeralsnumeraler,
altsaa saadanne, som bero paa Tilfojelse. Men i denne Henseende staar der kun en frugt-
bar Udvej aaben nemlig Tilfojelse af flere eller færre indbyrdes identiske eller modsatte
Numeraler.
Ved at gaa ud fra Forestillingen om Numeralet A som givet bestemme vi ved Til-
fojelse af med A identiske Numeraler Numeralerne
AxA ur
Ax Ax Ay EA
AxtAsl.... (AA) = A
Bestemmelsen *, som vi benævne ved de tilfojede Leds Antal, er da enkelt relativ og
tillige entydig.
Ved Tilfojelse af et hvilketsomhelst Numeral, * A, til et hvilketsomhelst af samme
Slags, * À, fremkommer et Numeral, som ogsaa kan dannes ved Tilføjelse af lutter A’er,
*A=(*4)*x(* A);
dette folger af Tilfojelsens associative Princip, f. Ex.
(A) * (% A) = 14x (Ax Al) LA x A1— Ax (Ax (Ax (Ax A) —* À.
Paa Grund af Tilfojelsens associative Princip og A’ernes indbyrdes Identitet gjælder
ogsaa det kommutative Princip for Tilfojelse af hvilketsomhelst * A og * À og i hvilket-
somhelst Antal,
(x A) x (x 4) = (% A) (# A).
13 463
Hvis de gjentagne Tilføjelser ske med (+ A) i Stedet for A, fremkomme paa samme
1 n = . .
Maade Numeralerne x ( A), og man finder let at almindelig
A) = -+-(* A);
n
* (4
. , nm , . . + .
ligeledes, at der ved Tilfajelse af * A’er og x (= Aj'er i hvilkensomhelst Sammensætning be-
. . 5 Pp p
standig vil fremkomme enten O eller et Numeral * A eller et Numeral # (+ A), samt at
del kommutative Princip gjælder for alle disse Numeralers Tilfojelser. Betegnelserne
0 1 n —n
O=%A, A=x A og x(— À) — * À
bemærkes.
. . . (4 Al =
De med det saaledes almindeliggjorte Tegn + betegnede Bestemmelser kunne an-
vendes med ei hvilketsomhelst til Gruppen hørende Numeral til Udgangsforestilling, er dette
pP + m . 2 >
af Formen & A, føres man til et Numeral, som atter har den samme Form,
n m Pp
x (x A) = * A;
den entydige Bestemmelse *, er altsaa ikke blot enkelt relativ, men dens Relativitet er saa
klar, at den, uden at Gruppens nodvendige Grændser overskrides, kan anvendes med ethvert
af dens Numeraler til Udgangsforestilling, ja den kan anvendes paa et hvilketsomhelst
Numeral fra hvilkensomhelst Gruppe, den er altsaa en ubetinget enkell relativ og entydig
Bestemmelse. % mangler altsaa blot Entydighedens Gjensidighed i at vere et
Numeralsnumeral. Den vilde vere dette, dersom eller forsaavidt Bestemmelsen af A ved
* A ogsaa var entydig. Men en almindelig Paastand herom vilde vere faktisk urigtig,
urigtig for nogle om end rigtig for andre Forestillingsgruppers Vedkommende.
Saavidt have vi kunnet behandle alle Slags Numeraler under ét, men her ere vi
naaede til et kritisk Punkt; en Inddeling af Forestillingsgrupperne og deres Numeraler maa
finde Sted. Saaledes slutter jeg fornemmelig deraf, at de Arter af Numeraler, som man
paa erfaringsmessig Maade har lert at kjende, vise indbyrdes Forskjel i deres yder-
ligere Egenskaber. Bygger man paa Erfaringens Grundlag, kan man for Tid, Sted,
Vest, Verdi o. s. v., for mangfoldige, konkrete Forestillingsgrupper udvikle en Videnskab,
iblandt hvis Axiomer man idelig vil finde alt, hvad der udfordres til at karakterisere dens
Bestemmelser som Numeraler; alt, hvad vi endnu have udviklet, er felleds for Geometrien,
Kronologien og alle disse andre Videnskaber; men i deres videre Udvikling skilles deres
Veje, og nogle af dem, men ingenlunde alle, forgrene sig netop overfor Sporgsmaalel om
Entydigheden af den til * svarende modsatte Bestemmelse.
Til samme Resultat fores man ved Resultater af den formelle Mathematik. Antager man
nemlig, at saadan Entydighed var almindelig gjældende, og tænke vi paa en vis Gruppe af Forestil-
linger, hvis Numeraler altsaa atter almindelig bestemmes ved Numeralsnumeraler, (og dette er
464 14
netop, hvad vi snart specielt skulle opstille som Tallenes Kjendetegn) saa vilde man ved yder-
ligere at forestille sig Numeralsnumeralerne som Gjenstand for Bestemmelse se sig stillet
overfor Tilfælde, Exponenter og andre symbolske Bestemmelser, hvor den omtalte Entydig-
hed bevislig ikke er tilstede.
Men skal der paa dette Sted inddeles, saa er det Spørgsmaalet: Hvor finde vi Grund-
laget for Inddelingen, i en ny erfaringsmæssig Definition eller i logiske Konsekvenser af
den tidligere?
I Modsætning til de anvendt mathematiske Videnskaber burde formentlig vor Ind-
ledning til den rene Mathematik ud fra sine egne axiomatiske Definitionssætninger a priori
ved en begrundet og udtømmende logisk Inddeling udvikle alle de sideordnede Muligheder
hver med sine Konsekvenser, saaal Vejen banedes for hidtil ukjendte Anvendelser. Der burde
ikke ske yderligere Laan fra Erfaringerne. Hvor Numeralbegrebet deler sig, der burde det
almindelige Grundlag dog endnu afgive Kjendetegnene paa, hvilke Sætninger der kunde ud-
siges som Definitioner paa Numeralernes Underafdelinger, og hvilke Sætninger man ikke
turde opstille som saadanne Definitioner. Jeg tror nu vel paa Muligheden af, at dette kan
udføres; men for mit Vedkommende tør jeg ikke haabe at kunne finde Vejen gjennem denne
Vanskelighed. Jeg kjender langtfra Numeralbegrebet i de fleste af dets logisk mulige Af-
skygninger, kan derfor ikke ordne a posteriori og derved vejledes til at finde Udgangs-
punktet for en Inddeling a priori; men såa maa jeg bekvemme mig til at laane af Erfarin-
gen, dog saaledes, at jeg vil søge at gjøre Laanet saa lidet som mulig.
Ved Siden af velbekjendte Erfaringsresultater angaaende Forestillinger, der bestem-
mes ved benævnte Tal, vil jeg da hente Erfaringer fra et Par let overskuelige Forestillings-
grupper, og navnlig fra Kronbladenes Stilling hos regelmæssige Blomster, vild Rose og Lilie.
Lad os vedABEDE tænke paa en Roses Kronblade og først
vælge Forestillingen om W til at gaa ud fra i Bestemmelserne B, C,
AG)
ER : = D og E henholdsvis af V's, C's, D's og G's Stillinger, medens Identi-
( så ' =) tetsnumeralet © tautologisk bestemmer Ws egen Stilling. Bestem-
(8 | = melserne B, C, D og E ere aabenbart Numeraler, de ere jo enkelt
EA relative Bestemmelser, og hver Bestemmelse er saa selvstændig, at
den kan anvendes ud fra en hvilkensomhelst af Gruppens Forestillin-
ver; de ere fremdeles fuldstændig, nemlig ogsaa gjensidig entydige Bestemmelser.
Opfatte vi nu disse Numeraler som Forestillinger, der søges bestemte, er O her
som altid absolut givet, de andre, B, C, D og E kunne alle indbyrdes bestemmes paa
enkelt relativ Maade, og det ikke blot saaledes at Z— + B og D—+C. Thi ved Til-
føjelsen af identiske Numeraler dannes, som man let i det enkelte kan eftervise, det fuld-
stændige System af Identiteter:
15 465
ND LCR DIRE
SRG = DD 4H IC
Te Cr VD)
RO PMP DB
MEE DE REDE KENO:
Det fremgaar for det første heraf, at man udfra hvert af Forskjelsnumeralerne kan
bestemme ethvert af de andre ved Tilføjelser i ét vist Antal, altsaa ogsaa entydig bestemme
det Forskjelsnumeral, som ved enhver af Bestemmelserne rip + og * bestemmer et givel
Forskjelsnumeral. Forskjelsnumeralernes indbyrdes Bestemmelser ere her
altsaa alle Numeralsnumeraler.
For det andet vil Bestemmelsen * ud fra et hvilketsomhelst Forskjelsnumeral fore
lil Identitetsnumeralet, O, som altsaa fremkommer ved Tilføjelse af iden-
,
tiske Forskjelsnumeraler. Trods denne Frembringelses relative Form er dog her O
ikkun bestemt paa absolut Maade, fordi det er aldeles ligegyldigt, hvilket af Gruppens
Numeraler der tjener til Udgangsforestilling for den tilsyneladende relative Bestemmelse.
É Betragte vi dernæst Bladenes Stilling i en Lilieblomst, A, &, ©,
Be [ A DD, € og F, saa ere ogsaa her Forestillingerne om Bladenes Stilling
\ ie overfor et af dem f. Ex. A bestemte ved aabenbare Numeraler, Iden-
\? 2)
S K titetsnumeralet O og Forskjelsnumeralerne henholdsvis B, C, D, E og F.
(6 G \ Men betragte vi saa disse Numeraler som Forestillinger, der
4 CRE . AJ .
= \® ] soges bestemte, har O sin absolute Bestemmelse, og mellem Forskjels-
EN i à
N numeralerne gives der foruden Modsætningens Numeralsnumeral,
+ iB=+F C=+E og D=~ D, endnu ved Tilføjelse af identiske Numeraler andre
1
ubetinget enkelt relative og entydige Bestemmelser. Men Schemaet:
EB OP D Ola PaO, =
ÈB—D,# C= 0, *.D—=D,% E=0,%F=D
+ B—=E% C=C &D=0,* E=E,* F=C
B= DC is DT) oH OxE RB
6 6 6
{p= ONCE ONE DORE ONE OF
CS EC: 5 k
overbeviser os snart om, at af Bestemmelserne *, +, * og * er kun denne sidste el
à 5 5 . mere, ,
Numeralsnumeral, og tilmed er denne (x) —(); i andre ellers lignende Tilfælde kan der
466 16
= 3 2 Diese PE 2
vere flere og selvstændige Numeralsnumeraler. Identiteterne * B = * 2, xC—%#F,
3 3 3 4 4 4 4 R 2 3 4, = =
*B=%D—=xF, «B=#Eog x C— %F vise at *, * og + ikke ere entydige i
tilbagegaaende Retning, altsaa ikke Numeralsnumeraler.
Men ligesom ved Rosen vil ogsaa her Identitetsnumeralet kunne frembrin-
ges ved Tilfojelse af identiske Forskjelsnumeraler endog af et hvilketsomhelst
Forskjelsnumeral, men medens Ligheden strækker sig saavidt, at et bestemt Antal identiske
LU AN FU 6 T1 . . . .
Vilfojelser her x er O’s absolute Bestemmelse, gives der her ogsaa virkelig relative Be -
stemmelser af Identitet ved Forskjel, nemlig + JD) == (0). MR og I)
Ved Siden af disse to Exempler skulle vi saa omtale den bedst bekjendte og ube-
linget vigtigste Mangfoldighed af Forestillingsgrupperne, som bestemmes ved Numeraler —
her sædvanlige benævnte og ubenævnte Tal, blandt hvilke Tiden og Stedet paa Linie atter
indtage den allervigligste Plads; altsaa Tingpunkterne. Her have vi ikke blot Grupper
af Forestillinger med rene og klare Numeralbestemmelser i de benævnte Tal; men hver
Gruppes Forskjelsnumeraler danne som Forestillinger betragtede selv en Gruppe, og be-
stemmes ved de sædvanlige ubeneynte Tal som alle Gruppernes fælleds Numeralsnumeraler,
og ved Siden af disse optreder der ingen tilbagegaaende Bestemmelser af blot tvivisom En-
tydighed, undtagen det æ, som optræder som Modsætning til den absolute Identiletsbestem-
melse, O’et. Men medens vi altsaa her gjenfinde den Sætning, som mødte os ved Rosens
Kronblade, at enhver Bestemmelse mellem Forskjelsnumeralerne er et Nume-
ralsnumeral, maa vi tillige fæste Opmærksomheden paa Uligheden i Henseende til den
anden Setning; thi Tingpunkternes Forskjelsnumeraler kunne aldrig ved nogen
Tilfojelse af identiske Numeraler frembringe Identitetsnumeralet.
Anderledes stille Forholdene sig, naar vi forestille os Retningerne fra et fast
Punkt til et ubegrændset System af Punkter; thi medens ogsaa disse Forestillingers ind-
byrdes Bestemmelser, Vinklerne, ere Numeraler, ere Vinklernes indbyrdes Bestemmelser
ikke saadanne, at * giver entydig tilbagegaaende Bestemmelse uden for Tilfældene (* ) og (+).
Vi have altsaa her i Almindelighed ikke Numeralsnumeraler. Heller ikke gives
der noget bestemt Antal identiske Tilfojelser, som ud fra et vilkaarligt
Forskjelsnumeral frembringer Identitetsnumeralet. Derimod gives der for et
hvilketsomhelst Antal Tilføjelser af identiske Vinkler, saadanne Vinkler, som netop ved
dette Antal Tilføjelser frembringe ©.
Man kan dog paalægge Systemet af de Punkter, man forestiller sig, saadan Be-
grænsning, at det tilsvarende Vinkelsystem antager helt andre Egenskaber. Lad os saaledes
indskrænke os til at betragte Punkter paa en Cirkel, hvis mellemliggende Buelengder
ere — Radius. Her vil ingen Tilfojelse af noget Antal identiske Vinkler
17 467
føre tilbage til Udgangsretningen og derved frembringe Identitetsvinklen.
Tillige ere disse Vinklers Bestemmelser i det væsentlige Numeralsnumeraler. Be-
stemmelsen af den Vinkel V, som i dette System ved Tilføjelse af m identiske Vinkler V
frembringer en given Vinkel * V, er entydig, forsaavidt en saadan Vinkel Vexisterer
som Numeral for et Par af disse Retningsforestillinger. Skjondt nemlig Retningsforestillin-
gerne ogsaa her danne en fuldstendig Gruppe, er dette ikke Tilfældet med deres Vinkler.
Imidlertid kan vor Forestillingsgruppe fuldstændiggjores saaledes, at ogsaa Vinklerne komme
til at danne en fuldstændig Gruppe, og da have vi et System af Forestillinger med lutter
Numeralsnumeraler. Denne Fuldstendiggjorelse maatte ske ved Halvering, Tredeling o.s.v. af
bestemte Buer, f. Ex. den, hvis Længde er Radius; man faar herved Valg mellem en Flerhed
af sideordnede Forestillingsgrupper, der alle omfatte hin farstomtalte. Men det afgjorende bliver,
at i hver af disse Grupper ere Vinklernes indbyrdes Bestemmelser alle Numeralsnumeraler.
To Forhold, som indbyrdes synes at vere nogenlunde uafhengige, ville ved Be-
traginingen af disse Exempler have frembudt sig som saadanne, efter hvilke man kunde
inddele Numeralerne.
1) Der gives nogle Forestillingsgrupper, i hvilke alle Forskjelsnumeralernes ind-
byrdes Bestemmelser ere Numeralsnumeraler, og andre Grupper, i hvilke kun nogle
Numeralbestemmelser have denne Egenskab.
2) Der gives nogle Forestillingsgrupper, i hvilke ingen Tilføjelse af identiske
Forskjelsnumeraler frembringer Identitetsnumeralet ©, andre, i hvilke et bestemt
Antal Tilføjelser af ethvert Forskjelsnumeral giver ©, atter andre, i hvilke saadan Frem-
bringelse forekommer sporadisk.
Men endnu et tredie Forhold kan udledes af disse og lignende Erfaringer og
anvendes ved Forestillingsgruppernes og Numeralernes Inddeling.
Bladet A paa en Rose kan ganske vist neppe forvexles hverken med B, ©, ©
eller ©, dog er, saaledes som disse Navne ere satte paa ovenstaaende Figur, D og ©
nærmere ved À end & og ©; men for denne Egenskab, som dog ikke er uvæsentlig, haves
intet Udtryk gjennem serlige Egenskaber ved Numeralerne B, * B, * B og *B. Heller
ikke, hvor Forestillingerne i Gruppen ere mere mangfoldige, optræde saadanne Kjendetegn
gjennem de allerede udtalte Sætninger og deres Konsekvenser, og dog bliver Forestillingernes
naturlige Orden i Gruppen til et meget væsentligt Moment, naar Gruppen er saa talrig, at
der bliver Fare for Forvexling af de hinanden nærmest stillede Gjenstande. Forestiller man
sig Delestregerne paa en fintdeli Kreds, til hvis Aflesning Mikroskop er nødvendigt,
og tænker man sig f. Ex., at der ialt er 10,800 Delestreger, saa vil man efter de hidtil
nævnte Sætninger kunne udvikle Theorien for en saadan Gruppe med en Overensstemmelse,
der strækker sig til de mindste Detailler, hvad enten man ved Udgangsnumeralet 2 be-
Vidensk. Selsk. Skr., 6 Række, naturvidensk, og mathem. Afd. IT. 11. 59
468 18
tegner Bestemmelsen af den Streg, der folger umiddelbart efter Nulstregen eller f. Ex. den
3,33lle. I begge Tilfælde blive alle Kredsens Delestreger bestemte ved Numeraler * B,
og de af dem, hvortil der paa den ene Maade knylter sig særlige Egenskaber, findes ud-
rustede med de samme Egenskaber, naar de betragtes ud fra det andet Udgangsnumeral:
den 5,400de Delestreg kommer i begge Tilfælde til at ligge ligeoverfor O-Stregen, og
Stregerne for hele Grader vedblive at betegne hele Grader. I begge Tilfælde ordnes
Stregerne efter Antallet af de til hinanden føjede D’er, og denne Ordning er tilstrækkelig
for enhver exakt Behandling, men kun, hvis den falder sammen med den naturlige Ordning,
hvor en Tilføjelse af B flytter Forestillingen hen til den nærmest paafolgende Streg, kan
man drage Fordel af Sætninger, som gjore visse Uopmærksomheder, For-
vexlinger eller Fejl uskadelige.
Overfor en Gruppe som denne med diskrete Forestillinger kan Identitets-
numeralet holdes skarpt ud fra alle Gruppens andre Numeraler, og det er kun praktiske
Grunde, som gjore det tilraadeligt men ikke nodvendigt at fremhæve, at visse Numeraler
betegne smaa, andre store Forskjelligheder, og at ringe Forskjel med ringe Fejl kan be-
handles tilnærmelsesvis som Identitet. Men ved andre Grupper af Forestillinger
stiller Sagen sig helt anderledes. For de kontinuerte Forestillinger blive Begreberne
om det smaa og det store og om Tilnærmelse af væsentlig Betydning for selve den exakte
Theori.
Som Exempel paa de kontinuerte Forestillinger ville vi betragte Tiden. Begrebet
om det næsten samtidige retter sig ganske efter den Grad af Opmærksomhed, med
hvilken man betragter Tidsforestillingen. Snart anse vi Begivenheder for samtidige, naar
de have fundet Sted i samme Aar eller paa samme Dag, snart anse vi os for meget om-
hyggelige, naar vi begrændse det Samtidige til, hvad der sker i samme Sekund. Men und-
tagelsesvis skjærpes vor Interesse og vor Opmærksomhed i langt højere Grad, saa at f. Ex.
den Tusindedels Tidssekund bliver væsentlig, som adskiller de Momenter, da det dræbende
Skud gjennembrød Karl den tolvtes højre og venstre Tinding, eller den Tusindmilliontedels
Sekund, Lyset bruger for at passere en Kikkerts Glas. Ingen Erfaring har kunnet antyde
en Grændse for Tidens Delelighed og skjælne imellem, hvad der er exakt samtidigt eller
blot tilnærmelsesvis samtidigt. Og skjøndt det selvfølgelig ikke kan siges at være bevist
ved Erfaring, at saadan Grændse overhovedet ikke existerer, er der dog næppe nogen iblandt
os, som ikke anser sig for berettiget til at erklære Tiden for kontinuert, det vil sige
til al paastaa, at Tidens Forandring sker ved ubetinget umærkelig og jevn Overgang
uden Spring.
Ved Kontinuitet forstaa vi her almindelig den Egenskab ved Forestillinger af
visse Slags, at der gives Forskjelsnumeraler, som nærme sig uden Grændse til
Identiletsnumeralet, saa at de selv for en ideel Betragtning tilsidst kunne forvexles
19 469
med dette uden Fejl. En Konsekvens deraf er, at Forskjelsnumeralerne ogsaa indbyrdes
maa flyde over i hinanden og kunne nærme sig hinanden saaledes, at de tilsidst kunne
træde i hinandens Sted uden Forskjel i noget Resultat. Kontinuitet i den tilsvarende Fore-
stillingsgruppe er saaledes Betingelse for, at irrationale Tal kunne opfattes som
bestemte ved Tilnærmelse og indordnes blandt de rationale i naturlig Orden. En
anden Konsekvens af Kontinuiteten er, at der kan tillægges den ved Tegnet © betegnede
Bestemmelse af et Forskjelsnumeral ved Identitetsnumeralet Betydningen af det uendelig
store. Saafremt en Gruppes Forestillinger ikke ere kontinuerte, men diskrete, er det
klart, at Bestemmelsen af en vis Forskjel ved selve Identiteten ganske simpelt er umulig;
men denne Umulighed brydes, naar Bestemmelsens Udgangsnumeral kan opfattes som en
til Identiteten grændsende Forskjel, som kaldes uendelig lille.
Som tredie og sidste fra Erfaringen hentede Forhold, der kan tjene til Forestillin-
gernes Inddeling, optræder altsaa Kontinuiteten. Kontinuitetsaxiomet, at visse
Forskjelsnumeraler nærme sig grændseløst til Identiteten, gjælder for de
kontinuerede Forestillinger, men ikke for de diskrete.
Det sædvanlige Talbegrebs Stilling til alle disse tre Forhold er nu klar nok, de
Forestillingsgrupper, som svare til disse uomtvistede Tal, ere saadanne, hvor
1) Enhver Bestemmelse mellem Forskjelsnumeraler (benævnte Tal) er et Numeralsnumeral
(ubenævnt Tal).
2) Ingen Tilføjelse af indbyrdes identiske Forskjelsnumeraler giver Identitetsnumeralet,
(d. e. Tælningen kan fortsættes uden Grændse).
3) Kontinuitetsaxiomet gjælder.
Men Spørgsmaalet er nu, om disse 3 Erfaringsaxiomer ere saaledes uafhængige af
hinanden, at de alle tre maa optages i Tallets Definition, eller om det ikke meget mere
forholder sig saaledes, at der er en indre Sammenhæng imellem dem, navnlig saaledes, at
naar Nummer ét antages, ogsaa Nummer to og tre kunne bevises, om ikke for alle Tal,
saa dog for en logisk nødvendig Afdeling af Tallene, medens samtidig ogsaa de øvrige Tals
Forhold til Nummer to og tre lader sig bevise ved Nummer ét ?
Hele Resten af dette Arbejde kan opfattes som mit Svar paa dette Spørgsmaal;
men førend jeg gaar dertil, ønsker jeg at bemærke, at hvis man under Benægtelse af den
førstnævnte af de tre Sætninger vil studere de Forestillingsgrupper, som have flertydige
Bestemmelser af B ved *B, og tilsigte en almindelig Behandling af Numeralbegrebet
fornemmelig i de Afskygninger, som falde udenfor Talbegrebet, da synes Sætningerne om
Identitetens Frembringelse ved Tilfojning og maaske ogsaa om Kontinuiteten at maatte op-
fattes som selvstændige Axiomer. |
Jeg har nemlig, hvad jeg dog ikke skal omtale udforligere, forsøgt at gjøre det
andet af de tre Erfaringsresultater, Setningerne om Identitetens Frembringelse ved Tilfojning,
59°
470 20
til den principale Inddelingsgrund. Ogsaa ad denne Vej synes man at kunne udskille og
behandle en vis Afdeling af Numeralbegrebet uden selvstændig Afgjorelsé af de to andre
Forhold gjennem Axiomer. Men den Afdeling af Numeralbegrebet, som derved træder i Spidsen
(idet man nemlig inddeler efter det bestemte Antal identiske Forskjelsnumeraler, hvis Tilfojelse
forudsættes at give O), har ialtfald udenfor de hele Tals Theori, maaske endog for denne,
ikke saa stor Betydning som det sædvanlige Talbegreb. Og vil man gaa ud over denne Af-
deling, maa der inddeles ogsaa efter Numeralsnumeralernes og Kontinuitetens Forekomst.
Og da endelig Kontinuitetsaxiomet alene utvivlsomt ikke er tilstrækkeligt som Ind-
delingsgrund, saa maa det mindst mulige Laan fra Erfaringen (Side 14}, som vi bestemme
os til at gjore, blive det Axiom, at der gives Forestillingsgrupper, i hvilke enhver
Bestemmelse af et Forskjelsnumeral ved et andet er et Numeralsnumeral.
Den hertil svarende Definition af Tallet vil saa ner som mulig omfatte, hvad dette Ord
sædvanlig betegner, dog saaledes, at de hele og rationale Tal faa en noget storre Selv-
stendighed indenfor Begrebet, end man plejer at tillegge dem. Men der vil ikke heri kunne
paavises nogen Grund til at undlade at bruge Navnet Tal for det saaledes definerede Begreb.
Tallet.
Ved ubenævnte Tal eller kort Tal forstaa vi altsaa dels Identitets-
numeralets absolute Bestemmelse, dels Forskjelsnumeralernes relative
Bestemmelser!) i saadanne Forestillingsgrupper, hvor alle Forskjelsnume-
ralernes Bestemmelser gre Numeralsnumeraler. De Numeraler, der her bestemme
selve Forestillingerne og bestemmes ved de ubenævnte Tal, kaldes benævnte Tal. I det
Folgende ville de benævnte Tal blive betegnede ganske som almindelige Numeraler med
latinske Initialer, Operationstegnene ville forebygge Muligheden af en Forvexling. Benævnte
Tals Tilføjelser kalde vi specielt for Addition, derimod anse vi det for overflødigt
at indfore et specielt Navn for deres Modsetningsafhengighed. Som Additionstegn bruge
vi + for x.
Af Tallets Definition folge nu direkte alle de Sætninger, som gjælde for alle ube-
nævnte Tal uden Hensyn til deres benævnte Tals og Forestillingers særlige Natur.
De ubenævnte Tal besidde dobbelte Sæt af Afhængigheder, idet de som Numerals-
numeraler baade selv ere Numeraler og bestemme Forestillinger, der atter ere Numeraler.
De Afhængigheder, som tilkomme de ubenævnte Tal, fordi de selv ere Numeraler, kalde vi:
deres Modsætning for Reciprocitet, deres Tilfojelse for Multiplikation. Til Be-
r
tegnelse af de ubenævnte Tal anvende vi Taltegn og smaa latinske Bogstaver. Som Tegn
1) Se Note Side 22.
21 471
for benævnte ‘Tals Bestemmelse ved ubenævnte anvende vi specielt (.) istedetfor (x);
IDRE bils A
udsiger, at det benævnte Tal 3 er bestemt ud fra det ensbenævnte Tal A, Enheden,
ved det ubenævnte Tal 6. For det ubenævnte Tal, som betegner Identitet imellem to be-
nævnte Tal, bruges Tegnet 1,
AN AL.
For hvert ubenævnt Tal, a, giver Reciprociteten det reciproke Tal —, som
a
i modsat Retning tjener til Bestemmelse mellem de samme to benævnte Tal som a; naar
1 A 1
A=a,E, er H = —-A. Specielt er 1 — gr
a
Multiplikationen, den specielle Tilfojelse af ubenævnte Tal,
p—c.b0 = cb,
hvorved Produktet p, der direkte bestemmer et benævnt Tal C ud fra det ensbenevnte
A, findes bestemt ved Multiplikanden 6, som bestemmer et tredie henævnt Tal B ved
samme A og ved Multiplikatoren e, der bestemmer © ved B, er som enhver Tilføjelse i
Besiddelse af Entydigheds- og Omvendingsprinciperne,
1 I?
ri. Gr Ale 3
samt af det associative Princip,
(cb) Rate a)
derimod i Almindelighed ikke af det kommutative Princip. Specielt er dog
1.@—a—a.l og 1.11.
At Identitetsnumeralet ©, her altsaa det benævnte Tal «ingen saadan Forskjel», er
absolut bestemt, betegnes paa en Maade, som i Formen ligner de andre benævnte Tals
relative indbyrdes Bestemmelser, nemlig ved Tallet 0 i Formlen O = 0.4; men da denne
Formel altsaa giver den absolute Bestemmelse under relativ Form, maa der tillegges 0
Egenskaber, som afvige fra, ja stride imod, hvad der ellers gjælder for Tallene: Bestem-
melsen i 0 maa gjore Angivelse af Euheden for Bestemmelsen aldeles overflodig:
Gigi =U BEN OE
ogsaa naar A er forskjellig fra B; ja man maa endog have 0.0 — 0.
Intet Tal, hverken 0 selv eller noget af de relativt bestemmende ordinære Tal, kan
vere reciprokt Tal til 0. Et saadant skulde, hvis det existerede som et enkelt Tal, bestemme
et vist benævnt Tal ud fra Identiteten O; = kan da ikke være 0, fordi dette Tal bestemmer
: kan ikke vere a, det ubenævnte
Tal, som bestemmer en vis Forskjel ved en anden, fordi detles reciproke Tal > ud fra
Identiteten selv og ikke nogensomhelst Forskjel; og
enhver Forskjel bestemmer en anden Forskjel og ikke Identiteten, Fastholdes det, at
bo
DD
472
Gruppen ikke omfatter andre Forestillinger end dem, som efter Definitionen bestemmes
som indbyrdes værende enten identiske eller forskjellige, saa kan Tegnet ©, som bruges
oor = ikke betegne andet end den ubetingede Umulighed. Kun derved, at Recipro-
citetens formelle Lov medforer 10, altsaa ved Tilbageforelse til 0, kan c faa Belyd-
ning i Ligninger. Man maa f. Ex. fortolke « = «.a saaledes, at 0.4 — a, we = 2
— 0, altsaa = — () OR CH
Denne strenge Fortolkning af © maa fastholdes, saalenge Kontinuitetsaxiomet ikke
anlages. Hvor Forestillingsgruppen derimod er kontinuert, saa at der gives benævnte Tal,
som ikke ere Identitet, men flyde over deri, uden at det er muligt at adskille dem fra
Identiteten, maa co forstaas med en vis Modifikation. Til O grændser da en Mangfoldighed
af grendselost smaa ubenævnte Tal, til hvert af disse maa der svare et reciprokt Tal, og
disse reciproke Tal maa ikke blot indbyrdes flyde over i hinanden med umærkelige Over-
gange, men ogsaa grændse op til © som 0’s reciproke Tal. For en Forestillingsgruppes
Kontinuilet bliver det da en nodvendig Betingelse, at visse af dens Forestillinger maa
grændse op til Forestillinger, en, flere eller en hel Gruppe, som ikke hore til selve hin
Forestillingsgruppe og ligesaalidt (eller ligesaavel) kunne bestemmes ud fra dens ordinære
Forestillinger, som en Forskjel inden for Gruppen kan bestemmes ved Identiteten. I disse
Tilfælde faar da © Betydning af det uendelig store (d.e. uopnaaelig) store. Uopnaaelig
nemlig ved de Bestemmelser, som ellers kunne bestemme enhver Forestilling, som horer
til Gruppen.
Multiplikation med 0 som Multiplikator gjør Produktet til 0, uden Hensyn Lil Multi-
plikanden. Dette fremgaar direkte af O's Definition, 0 —0.A—0.B. Bestemmes nemlig
de benævnte Tal ud fra en fælleds Enhed / ved Tallene A=a.E, B=b.E og erindres,
at O=0.E, haves Sætningen i
Omvendt maa Multiplikator vere 0, naar Produktet er 0, men Multiplikanden bestemmer en
Forskjel, enhver anden Multiplikator vilde give et Produkt, som bestemte en Forskjel ud
fra en anden.
Ogsaa naar Multiplikanden er 0, maa Produktet blive 0. Det maa forudsættes, at
ethvert ubenævnt Tal, der jo efter Definitionen ud fra ethvert benævnt Tal, der betegner
en Forskjel, igjen bestemmer et saadant, ogsaa ud fra Identiteten maa bestemme et til
Gruppen hørende benævnt Tal, enten en Forskjel eller Identitet"). Men en Forskjel kan
1) Denne Forudsætning, der let nok kan verificeres for hver Talart iser, forekommer mig efter sin
Natur at skulle ligge i Tallets Definition. Paa Grund af Latituden i de enkelte Ord, kan jeg dog
ikke anse denne Forudsætning som Konsekvens af Definitionen, som den her er formuleret, og det
er ikke lykkedes mig at tilspidse Definitionen ved en saadan Ændring, som fyldestgjor paa dette
Punkt uden at skade paa andre.
23 473
ikke bestemmes ud fra Identiteten, uden at det bestemmende Tal var reciprokt til 0, altsaa
maa et hvilketsomhelst ubenævnt Tal bestemme Identiteten ud fra Identiteten, men er
O— a.0, maa ogsaa 0 =a.0, Den omvendte Sætning, at naar Produktet er 0, og Multi-
plikator forskjellig fra 0, maa Multiplikandus vere 0, bevises paa samme Maade. — Naar
et Produkt er 0, maa en af Faktorerne ‘(eller begge) vere 0.
Fra Sætningen, at Produktet er 0, naar en af Faktorerne er 0, maa der for konti-
nuerte Tals Vedkommende, naar © anses som Tal, gjores Undtagelse for det Tilfælde, at
den anden Faktor var o.
I det Foregaaende have vi omtalt de Afhængigheder, der tilkomme Tallene som
Numeralsnumeraler, som sagt maa vi dernæst tage i Betragtning, hvad Virkning det har
for de ubenævnte Tal, at de benævnte Tal, som de bestemme, ligeledes ere Numeraler, og
som saadanne besidde Modsætnings- og Additionsafhængighederne. Disse Afhængigheder
fremkalde tilsvarende Afhængigheder mellem de ubenævnte Tal, idet vi betragte de indbyrdes
afhængige benævnte Tal som bestemte ved ubenævnte Tal ud fra en vilkaarlig Enhed.
De Tal, hvorved indbyrdes modsatte benævnte Tal A og — A bestemmes i Sam-
menligning med det ensbenævnte, vilkaarlige 7, maa vere indbyrdes afhængige og kunne
derfor siges selv at vere modsatte ubenævnte Tal. A er nemlig bestemmeligt ud
fra A, og denne Bestemmelse af et benævnt Tal ved sit modsatte er som omtalt et Nume-
ralsnumeral eller ubenævnt Tal, som vi betegne ved (—1),
+A = (—1).A.
Er da A=a.#, vil +~A=(—1).a.H=(—a).E, idet vi med (—a) direkte bestemme
— A ud fra #; som Produkt
(—a) = (—1).@,
er da (— a) afhængigt af a. Ligeledes er a —(—1).(— a), ogsaa de ubenevnte Tals Mod-
sætning er ikke blot entydig, men ogsaa gjensidig; fremdeles er specielt (—1!).(—1!) — I
og (—0) = 0.
I enhver Addition af benævnte Tal S— A+ B ville de ubenævnte Tal a og 0,
som bestemme À og B ud fra en vilkaarlig ensbenævnt Enhed 2, A=a.E og B=b.E,
bestemme det ubenævnte Tal s, hvormed S bestemmes ud fra samme Enhed S—s. 7%.
Thi ved a og b og Additionsbestemmelsen vil der ud fra en hvilkensomhelst ogsaa forandret
Enhed Æ vere bestemt et ensbenevnt Tal, a. F + 6.F, altsaa vil ogsaa, da ifølge Tallets
Definition dette ligesom ethvert af Gruppens Numeraler bestemmes ud fra # ved et Nume-
ralsnumeral, det ubenævnte Tal, der bestemmer a./+ b.F ud fra F være givet uafhængigt
af F; det kan da ikke vere andet end det ubenævnle Tal s, som afgav Bestemmelsen ud
fra 2. Den Afhængighed, hvori saaledes s staar til a og b og lil disses Orden, kaldes
Addition af ubenævnte Val og betegnes med
8 — à + b.
474 24
For denne Afhængighed ligesom for de benævnte Tals Addition gjælde Entydigheds og
Omvendingsprinciperne
a=s+(—b) og b= (—a)+s.
Specielt er 0 = a+ (—a) og 0+a—a+0—a. Alt dette, fordi de benævnte Tals Addi-
tion som Numeralers Tilføjelse besidder de: tilsvarende Sætninger. Ligeledes findes det
associalive Princip at maatte gjælde ogsaa for ubenævnte Tals Addition,
(a+ 6) He = a+(b+¢).
Derimod kan Sporgsmaalet om det kommutative Prineips Gyldighed for ubenævnte Tals
Addition ligesaalidt bevises i Almindelighed, som det kunde bevises for Numeraler i Al-
mindelighed.
Men desuden vise de ubenævnte Tals Addition og Multiplikation sig al vere sam-
menknyttede ved det ene af de distributive Prineiper. Vi lade i S— A+ B ligesom oven-
for de benævnte Tal A, B og S vere bestemte ud fra Enheden Z ved a, b og s, s—a+b;
men desuden bestemme vi de samme benævnte Tal ud fra en anden Enhed / ved a, 0"
og s’, allsaa a’ +b’ —=s'. Er da E=e.F, vil a’ =a.e, b'=b.e og !=s.e, altsaa haves
for hvilkesomhelst a, b og e
a.e+b.e = (a+b).e,
hvorved det distributive Princip for Multiplikator som Sum er bevist for
hvilkesomhelst ubenævnte Tal.
Hermed er nu udtomt, hvad der af Sætninger kan udsiges om de ubeneynte Tal i
fuld Almindelighed; men disse Sætninger ere ogsaa netop tilstrækkelige til at danne Grund-
laget for Beviserne for de øvrige Sætninger, altsaa navnlig for de to kommutative Principer
og for det fuldstændige distributive Princip for de Talarter, for hvilke disse Sætninger over-
hovedet have Gyldighed. Vi maa da nu skride til at inddele Tallene, og herved ville de
to Erfaringsprineiper om Identitetens Frembringelse ved Tilfojelse og om Kontinuitet, som
have vist sig at vere overflødige (undtagen Kontinuiteten for 2’s Vedkommende) til Udle-
delse af de almindelige principale Sætninger, faa Betydning som Inddelingsgrunde, tildels
dog saaledes, at deres erfaringsmessige Karakter tabes, idet den derpaa grundede Inddeling
viser sig logisk nodvendig.
Men ved Siden af den heraf folgende Inddeling bliver ligesom i de sædvanlige
Fremstillinger en anden Inddeling nødvendig, og krydser den første. I hver af dennes
Afdelinger maa vi sondre imellem, hvad vi ville kalde nødvendige Tal og Systemer af
blot mulige Tal. Først maa vi nemlig behandle de Tal, som nødvendigvis afledes af 0
og I ved de fire Regningsarter, Modsætning, Addition, Reciprocitet og Multiplikation, de
Tal nemlig, hvis Existens kræves af Gruppebegrebets Fordring, til de i snævrere Forstand
mathematiske Forestillinger, at ikke blot Forestillingerne selv, men ogsaa deres Forskjels-
numeraler, her benævnte Tal, skulle udgjøre Grupper, at altsaa ethvert af Forestillingernes
) ’ 3 ’
LA
25 475
Numeraler og Numeralsnumeraler skal kunne anvendes ud fra henholdsvis en hvilkensom-
helst af Gruppens Forestillinger og Numeraler og bestandig bestemme henholdsvis en Fore-
stilling og et Numeral i Gruppen. Indbegrebet af de i denne Forstand nødvendige Tal
bestemmer Gruppens mindst mulige Omfang, og der gives konkrete Forestillingsgrupper,
som ikke besidde storre Mangfoldighed. Men derefter maa det saa undersoges, om der
ved Siden af saadanne nodvendige Tal kan haves andre mulige Tal sammen med hine,
og hvilke Betingelserne ere for saadan Mulighed. Disse mulige Tals Virkelighed beror paa,
at man kan paavise konkrete Forestillingsarter af tilsvarende storre Mangfoldighed.
Det vil bidrage til Fremstillingens Klarhed, at man gjor Inddelingen efter nodvendige
og mulige Tal til den principale, og underordner Inddelingen efter hine Erfaringssætninger
som en sekundær under den.
Nedvendige Tal.
Nodvendige Tal i enhver Gruppe af mathematiske Forestillinger ere foruden 0 og I
i det mindste ogsaa de øvrige hele Tal, Antallene og disses modsatte hele Tal. Allerede
for de almindelige Numeraler have vi ovenfor (Side 12) set, hvorledes et givet Numeral A
ved Tilfojelse til dets identiske eller modsatte Numeraler frembringer en Rekke Numeraler,
* (+A), 0, * A, som nodvendig here til samme Gruppe, og for hvis Tilfojelser ogsaa det
kommutative Prineip kan bevises. Idet nu A antages at være benævnt Tal, bliver Tilfojelses-
bestemmelserne * Numeralsnumeraler, ubenævnte Tal, som her simplere kunne skrives 7
med Bortkastelse af * Tegnet, en og x(—I) — —n. Antallene og deres modsatte
Tal, og for disses Addition gjælder det kommutative Princip; Modsætningsafhængigheden
kunde altsaa her erstaltes ved Subtraktion, »—+ (—m) = n— m.
At Multiplikation, naar Multiplikator er et Antal, sker ved Addition af samme Antal
med Multiplikanden identiske Addender, bevises ved det distributive Princip; naar nemlig
n=1+1+...+1, vil na = a+ a+... +a.
Denne Sætnings Udvidelse til alle hele Tal følger af, at ».(—1) = —n = (—1).»,
saaat formedelst det associative Princip (—n).«a n(—1).a = n(—a). Følgelig er ogsaa
(—n)(— a) = na, nemlig forsaavidt n her betegner et Antal.
Naar baade Multiplikator og Multiplikanden ere Antal, gjælder Multiplikationens
kommutative Princip og bevises ved Additionens kommutative Princip.
Te ee ee ee ne Acie) =
= (+... +1) + (1 +... Lih +... +(1+...41), (m Addender) = nm.
Ifølge de nærmest foregaaende Sætninger maa dernæst Multiplikationens kommutative
Princip ogsaa gjelde, naar Faktorerne ere hvilkesomhelst hele Tal.
Her og overalt, hvor det kommutalive Princip for Multiplikationen findes gjældende,
kan Division træde i Stedet for Reciprocitetsafhengigheden. Naar a og b ere kommutative,
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. II. 11 60
476 26
1 1
ab — ba — 0, vil b = —c—c = —, denne sidste Betegnelse bliver da utvetydigt
a a
Udtryk for et Tal.
re I 2
Naar overhovedet a er et nodvendigt Tal, maa ogsaa a hore til Gruppens nod-
. m . 4 M !
vendige Tal, og er 6 et hvilketsomhelst andet nødvendigt Tal, maa ogsaa saavel 6 : — som
a
1 b Ä LH de É er
SR b (altsaa Fe hvis Multiplikationen er kommutativ ), være nodvendige Tal. Da de hele
rg . . Al . + . . J 7 . m à yp
fal altid ere nødvendige Tal i hver Forestillingsgruppe, og Kvotienterne a af hele Tal
ogsaa skulle være nodvendige Tal, afhænger Sporgsmaalet, om Gruppen har andre nodven-
: m \ m. ; : x
dige Tal end de hele Tal, af, om — i Almindelighed er helt Tal, naar m og n ere hele
n
Tal. Dette Spørgsmaal maa vi særlig have for Oje ved den paafolgende nærmere Under-
sogelse af de hele Tals Egenskaber.
Den ved bestandig Addition af I ordnede Rekke af Antallene
OAI, 28 ne peli Cet Mel TES RE re nee
vil enten bestandig opvise nye fra de forudgaaende forskjellige Tal, eller ogsaa maa Rækken
vere periodisk. Hvis man nemlig blot ét Sted, paa Pladsen /+o gjenfandt det samme Tal,
som staar paa Pladsen /, /+-0 —l; da vil ogsaa (+ 1+o0—/+1,..., !+n+o=!+n=
—/+n mo; ligeledes /—n+o—/—n. Paa Pladsen o maa da Tallet 0 gjenfindes og
overhovedet paa alle Pladser mo. Kjender man Rækkens o første Tal, da kjendes de alle
i disse Tilfælde. Modsætningsafhængigheden frembringer heller ikke andre Tal, thi man
har almindeligt (—n) = o—n.
Lad o betegne det første Tal i den ordnede Række efter 0, som bliver identisk
med 0, da er det klart, at to hvilkesomhelst af Tallene
(RO ol
ikke kunne være identiske, alle maa de være indbyrdes forskjellige.
Da 0.0 = 0.1 — 0.2 —...0.(0—1) — 0, har o fuldstændig 0's absolut bestem-
mende Egenskab, og Bestemmelsen af Identitetsnumeralet ved Addition af hvilkensomhelst
Forskjel i Antallet o, er en almindelig Egenskab for Forestillingsgruppen, en Egenskab,
hvorefter Forestillingerne kunne inddeles, forsaavidt de ikke have større Omfang end, hvad
der svarer til Systemet af nodvendige Tal. Men denne Inddeling efter Talrækkens bestan-
dige Vexlen eller Periodieitet og efter Periodens Længde er ganske den samme som Ind-
delingen efter Erfaringsprinciperne om Identitets Frembringelse ved Tilføjelse af identisk
Forskjel.
Ikke ethvert Antal, men kun primiske Antal o kunne haves — 0 i Fore-
stillingsgrupper med gjennemgaaende Talbestemmelser, Thi Antagelse af, at m.n — 0, hvor
mé
ST D ES €
27 477
m og n vare Antal i Rækken 2, 3, ...0—-1, vilde stride imod den for alle Tal gjældende
Sætning, at naar Produktet er 0, maa den ene eller anden Faktor vere — O1).
Multiplikation af de hele Tal I,...o—1 med m, et hvilketsomhelst af dem, vil
give en Række hele fra 0 forskjellige Tal af samme Række, blandt hvilke ikke lo kunne
vere indbyrdes identiske. Thi skulde /.m—0O, maatte / —0, og skulde !.m — n.m,
maatte 7—n — 0, og det ene som det andet strider imod Forudsætningen. Produkterne
l.m maa da blot i forandret Orden gjengive alle Tallene I, ...0—1, og navnlig maa man
i
til hvert m kunne bestemme / saaledes, at /.m— 1, de. ——/. Vi se saaledes, at de
. 1 å n
hele Tals reciproke Tal saavel som de nodvendige Tal — alle selv ere hele
m
Tal i enhver af disse periodiske Talarter.
Naar derimod Gruppens Forestillinger ere saadanne, at Talrækken 0, I, 2 .....
bestandig bringer nye Tal og derfor kan fortsættes uden Grændse, vil denne
Række trods sin Mangfoldighed af Led dog ikke omfatte alle Gruppens nodvendige
Tal. Modsetningsafhengigheden supplerer denne de positive hele Tals Række med Rækken
af de negative Tal, som alle maa være forskjellige baade indbyrdes og fra de positive Tal,
fordi disse ere indbyrdes forskjellige. Og vel forer baade Addition og Multiplikation af
disse hele Tal bestandig til hele Tal; men Reciprociteten gjer nye Tal nod-
vendige. Med Undtagelse af I kan et Antals reciproke Tal ikke selv være et helt Tal;
naar m og n ere andre hele positive Tal end I, kan man ikke have m.n—1, thi da
maatte
m(np) = (mn)p = p;
for hvilketsomhelst Antal p maatte man da ved at tælle ud over p og np tilsidst komme
til et Tal m(np), som var Gjentagelse af p, hvilket er imod Forudsætningen. Heller ikke
kan n’s reciproke Tal vere et negativt helt Tal, og hvad den sidste Mulighed angaar, at
— — 0, saa har vi her et Valg, en Inddeling aaben, nemlig efter Kontinuitetsaxiomet;
n
Benægtelsen af, at et helt Tal og 0 kunne vere reciproke, adskiller de diskrete Forestil-
lingers Tal fra-de kontinuerte, for hvilke saadan Reciprocitel som omtalt er mulig i Grændse-
tilfældet n — ce. Da Reciprociteten er gjensidig entydig, maa forskjellige hele Tals-reci-
proke Tal være forskjellige indbyrdes.
Disse Gruppers nødvendige Tals Mengde fordobles altsaa, afset fra -L1 og 0, ved
Reciprociteten. Ogsaa for de reciproke Tal gjælde begge de kommutative Principer og
1) En Sætning, hvis Gyldighed særlig paa dette Omraade bestyrkes ved den ojeusynlige Rigtighed af, at
Bestemmelsen ved Tilføjelse af et bestemt Antal er anvendelig paa Identiteten saavel som paa For-
skel, og ud fra Identiteten giver Identitet.
60°
478 28
bevises let nok og saaledes, at der ikke er Grund til her at dvæle derved. Ved Addition
og Multiplikation mellem hele Tals reciproke Tal og hele Tal udvides de nodvendige Tals
Grændser til ogsaa at omfatte Brokerne —, og ogsaa for disse gjælde begge de kommu-
tative Principer.
Naar Kontinuitetsaxiomet ikke gjælder, udfylder Brøkernes System hele Begrebet
nødvendige Tal. Enhver af de 4 Regningsarter, hvis Resultat efter Definitionen skal være
et nødvendigt Tal, fører ud fra hvilkesomhelst Broker til et Resultat, som ogsaa er Brok.
Paa Grund af Brøkernes Forkortelighed kan et hvilketsomhelst System af givne Brøker
bringes til ens Benævning, og det paa mangfoldige Maader. Dette viser, at der til hvilke-
somhelst af Gruppens benævnte Tal maa kunne findes saadanne Enheder, ved hvis bestan-
dige Addition og Modsætning de alle kunne bestemmes. Havde man oprindelig valgt en
saadan Enhed til Udgangsnumeral, vilde de givne benævnte Tal være blevne bestemte ved
hele Tal, men samtidig vilde Brøkerne ud fra denne Enhed vise Existensen af en yder-
ligere Mangfoldighed af benævnte Tal i Gruppen. Ved Brug af fælleds Nævner kunne alt-
saa Brøkerne ordnes paa Række lige saa vel som de hele Tal. Kun er Brøkernes Række
ikke blot ubetinget aaben for Nydannelser ved Addition, ligesom de hele Tals Række er;
men mellem hvert sidestillet Par Brøker i en Række, der er nok saa stærkt udfyldt, f. Ex.
: I : ig à
imellem 0 og —, hvor w betegner Rækkens yderste angivne hele Tal, er der bestandig
[0]
Plads aaben for Indskydelse af mellemfaldende Broker.
Det maa dog bestemt fremhæves, at denne Brokernes Ordning er rent formel og
ingenlunde, som man kunde tro, paatvinger os Kontinuitetsaxiomet. Har w den nylig
: ‘ : É i IA:
angivne Betydning, da indtager i vor Ordning — vistnok Pladsen nermest ved 0 og beholder
[0]
den saa lenge, der ikke tales om storre Antal end w; men dermed er paa ingen Maade
sagt noget om, at det benævnte Tal, som med en vilkaarlig Enhed Æ bestemmes som
1 w i N : uy ; tS
—.Æ, skal betegne en ubetydelig Forskjel, tvertimod kan denne Forskjel —.#
(0)
fysisk set vere særdeles betydelig, en Mengde ved hele Tal bestemte benævnte
Tal n./ kunne meget vel i Storhed falde imellem © og .E.
1
©
Antages derimod Kontinuitetsaxiomet, saa sker det i Kraft af et fysisk Moment i
Forestillingsgruppens Beskaffenhed, ved den Sætning, som kun gjælder for disse, at ethvert
benævnt Tal er mindre forskjelligt fra 0 end de benævnte Tal, som fremstilles ved
dets gjentagne Addition og altsaa bestemmes ved hele Tal > I med det som Enhed. Med
Kontinuitetsaxiomets Antagelse ordnes Tallene, Brokerne saavel som de hele Tal efter deres
Størrelse; og det største Tal er det, som mindst kan og tor forvexles med 0. Saa faar
man Ret og Forpligtelse til at identificere visse smaa Tal med 0, Formler modificeres ved
29 479
Bortkastelse af forsvindende Led; Tal, som bestemme Forestillinger, der med fysisk Nod-
vendighed tilhore Gruppen, men ikke formelt efter den tidligere Definition kunde erklæres
for nodvendige Tal, bestemmes ved Tilnærmelse og indordnes under Navn af irra-
tionale Tal i flydende Overgang imellem Brokerne; og Antagelsen af ubegrændset Til-
nærmelse fremtvinger Bestemmelsen af © som 0’s reciproke Tal med Betydningen af det
grendselost store. Gruppen maa, naar Kontinuitetsaxiomet skal gjælde for den, grændse til
Forestillinger med den særegne Egenskab, at de ere uopnaaelige ud fra Gruppens andre
Forestillinger, selv ved nok saa længe fortsat Addition af hvilkesomhelst almindelige be-
nævnte Tal.
Med Tilnermelse beviser man her de kommutative Principer ogsaa for de irrationale
Tal og Gruppens Afsluttethed ved og med disse.
Uagtet man ogsaa i den traditionelle Mathematik finder, at de rationale Tal optræde
med større Selvstændighed end blot som Underafdeling af de reelle, de hele Tal med en
Theori, der i visse Maader stiller dem ved Siden af de rationale, kan det dog ikke nægtes,
at vor Definition i denne Henseende forer os et betydeligt Stykke videre til Sondring imellem
forskjellige Talarter. Tillegsordet ubenævnt til Tallet passer ikke ganske, det har ialtfald
for os ikke den Hentydning til radikal Abstraktion fra Forestillingernes Navn og Særegen-
heder, som man har vænnet sig til at knytte dertil. Forskjellen mellem de Abstraktioner, som
knytte sig til de henævnte og ubenævnte Tal, er dog vedblivende stor nok til at retfærdig-
gjøre Bibeholdelsen af disse Navne. Den Rest af Forskjel imellem de ubenævnte Tals Arter,
som bliver tilbage og gjør hver af dem uanvendelig udenfor en begrendset Kreds af Forestillinger,
fremgaar meget mere af en abstrakt formel Inddeling end af Hensyn til en empirisk erkjendt
Forskjel mellem de konkrete Forestillinger, og den hindrer ikke, at Behandlingen af de hele
Talarter, for hvilke 2—0, 3—0, 5 —0, ... p—0, kan og bør foretages under ét ved den
paa de rationale Tal byggede hele Tals Theori. Og Forholdet mellem de diskrete, rationale
Tal og de kontinuerte reelle Tal er heller ingenlunde nogen skarp Modsætning. Skjøndt de
reelle Tal utvivlsomt udgjør en afsluttet Gruppe, som gjennem Kontinuitetsaxiomet gjør sig
gjældende med en vis Nødvendighed, saa forhindrer det dog ikke, at de rationale Tals
Gruppe optræder indenfor hin som de særlig og i egentlig Forstand nødvendige Tal. Og
naar vi nu skulle gaa over til at betragte de Grupper af mulige Tal, som kunne knyttes
som Udvidelser til hver af de omtalte Arter af nødvendige Tal, saa vil det vise sig, at ialt-
fald den allervigtigste Del af de irrationale Tal ogsaa uden Kontinuitetsaxiomet ville findes
som Tillæg til de rationale Tals System.
Af det Sagte fremgaar Grunden til, at vi i det Følgende ville lægge de rationale
Tal til Grund og særlig tænke paa dem, hvor der ikke udtrykkeligt til Benævnelsen nod-
vendige Tal knyttes særlige nærmere Bestemmelser. Ud fra den rationale Talarts Under-
søgelse med Hensyn til dens mulige Forøgelser kan man med Lethed slutte til begge
480 30
Sider angaaende baade de hele Talarters og den reelle Talarts mulige Tal, altsaa over-
hovedet til alle Former af Begrebet:
Mulige Tal.
Naar man — hvad vi her overspringe, men forudsætte udført — med den ene eller
den anden Art af nodvendige Tal har udviklet Læren om Afhængighederne indtil de alminde-
ligste Former for Kombinationer af de 4 principale Regningsarter og grundlagt Funktions-
læren, stoder man under den videre Fremgang som bekjendt ved Ligningerne af 2den og
hojere Grader paa saadanne Afhængigheder, som i nogle Tilfelde aabenbart ere flertydige,
i andre bevislig umulige at tilfredsstille ved nodvendige Tal. Da der nu ikke lader sig fore,
iallfald ikke er fort almengyldigt Bevis for, at ogsaa saadanne Ligninger altid skulle have
Losninger i Tal, kan der ikke herfra hentes noget Argument, som ligefrem tvinger os til
at erkjende andre Tal for nodvendige, end f. Ex. de rationale. Vi ere saaledes ikke beret-
tigede til af Mangelen af rationale Løsninger for z? = 2 at slutte, at V2 skal være et Tal,
end mindre et saadant Tal, som kan adderes og multipliceres efter de kommutative
Principer.
Endnu urigtigere vilde dog den modsatte Slutning være, at fordi V2 ikke er noget
af de Tal, som vi have erkjendt for nodvendige, derfor skulde det ikke kunne være nogel
Tal. De Midler, Numeralers Modsætning og Tilfojelse af identiske Numeraler, som vi have
benyttet, for ud fra Tallene 0 og 1 at slutte os til de øvrige Tal, ere vel, saavidt det kan
vides, de-eneste, der i Almindelighed staa til vor Raadighed; men vort Kjendskab til disse
Midler afskjærer ikke Muligheden af, at der, naar Talen er om et bestemt Slags Forestil-
linger, kan existere andre Midler til ud fra en vilkaarlig Enhed at bestemme Numeralerne
i Gruppen. Og fordi de Forestillinger og deres Numeraler, der bestemmes ved rationale
Tal, danne en Gruppe, hvori enhver Bestemmelse kan anbringes paa henholdsvis enhver
Forestilling og ethvert Numeral, uden at Resultatet overskrider Gruppens Grændser, derfor
kan en saadan Gruppe dog meget vel være en Del af en endnu mere omfattende Gruppe.
Endog uden alt Hensyn til Ligningerne af hojere Grader, maa vi, naar vi tilsigte fuld-
stendigt Overblik over hele Talsystemet, forudsætte Muligheden af, at der
kan existere Tal, som ikke hore til dem, som vi have erkjendt for nodven-
dige. Og den Omstændighed, at vi ikke kjende noget Middel, som direkte kan angive
os, at det overhovedet er umuligt at paavise Tal med andre end visse forud bestemmelige
Kjendetegn, har kun til Folge, at vi overfor Sporgsmaal om yderligere Muligheder af Tal
maa give vort Sporgsmaal bestemtere Form, at vi sukcessivt maa opstille Hypotheser
om de Egenskaber, som vi tenke os, at de mulige, ikke nodvendige Tal skulle besidde.
?
Preven paa hver Hypothese og eventuelt Beviset for de Hypothesen indskrænkende
Betingelser maa da fores paa felgende Maade: Ved de hypothetiske Setninger i Forbindelse
P yp 5
ee
31 481
med et tilstrækkeligt Udvalg af de principale Sætninger, som definitionsmæssig gjælde for
alle Tal, udvikles specielle Regler for alle 4 principale Regningsarter, saaledes at alle de
Talformer kunne kjendes, hvis Existens med Nødvendighed følger af den gjorte Hypothese,
idet saavel Modsætningen og Additionen som Reciprociteten og Multiplikationen med hvilke-
somhelst Tal af samme Art skal give et Tal til Resultat. Det kræves da, at alle de
nævnte Regningsarter skulle være entydige, at Modsætningen og Recipro-
citeten skulle være symmetriske Afhængigheder, at baade Addition og Mul-
tiplikation skulle besidde Omvendingsprincipet og det associative Princip,
at det distributive Princip for Multiplikator som Sum skal gjælde, og endelig
at Undtagelsessætningerne om 0 skulle staa ved Magt: 0.,x =0, x.0 —0, og
omvendt, at ay — 0 kræver enten « — 0 eller y—0. Naar alle disse Betingelser ere op-
fyldte, erkjende vi saadanne hypothetiske Tal for mulige Tal.
Jeg anser nemlig de nævnte Sætninger for at være en Oversættelse af Tallets De-
finition i det mathematiske Tegnsprog. Er dette Tilfældet, da maa slige Talformer ikke
blot erkjendes som mulige Tal, men ubetinget anerkjendes som fuldt berettigede. Skulde
det ved min Fejl (jvnfr. Noterne Side 20, 22 og 27) ikke være lykkedes mig at frembringe
Kongruens imellem de to Former for Tallets Definition, saa vilde jeg overfor det foreliggende
Spørgsmaal, om hypothetiske Tals Anerkjendelse, holde mig til de ber angivne Kjendetegn.
I Virkeligheden er det disse, som ved at suppleres med de nødvendige Definitioner for
benævnte Tal og mathematiske Forestillinger ere blevne oversatte i det sædvanlige Sprog
(Mathematisk Tidsskrift 1880, Side 54 til 61) til vor nærværende Definition for Tallet og
ikke omvendt. Jeg haaber, at det vil erkjendes, at der er vundet noget væsentligt ved
denne Oversættelse, men det har været overordentlig vanskeligt at udforme denne Over-
sættelse i det forholdsvis vage Skriftsprog, som er uddannet under et System af paa dette
Punkt uholdbare Forudsætninger.
Ethvert System af mulige Tal maa omfatte en fuldstændig Art af nødvendige Tal
og knytte sig til denne som dens Udvidelse; i Almindelighed vil der da for hver Art nød-
vendige Tal gives et analogt System eller flere af mulige Tal. Men enhver Slags mulige Tal vil
ogsaa som Talart kunne blive Udgangspunktet for nye Udvidelser af Begrebet mulige Tal.
Det har. naturligvis baade i theoretisk og i praktisk Henseende stor Interesse at
lære Talbegrebet at kjende i alle dets mulige Arter. Efterhaanden som Talbegrebet læres
at kjende i større Omfang, kommer det i Betragtning, om der gives konkrete Forestillinger
svarende til de theoretisk mulige Talformer, saaledes at disse derved maa erkjendes for
virkelige Tal. I denne Henseende vil det være afgjørende, om der efter Forestillingernes
Beskaffenhed kan paavises andre Bestemmelser af deres benævnte Tal ved Numeralsnume-
raler end saadanne, som hidrøre fra en Enheds Modsætning og Addition. Til Exempel skal
jeg henlede Tanken paa den Betydning, det for Planens Punktgeometri har, at almindelig
482 . 39
Ligedannethedsbestemmelse her haves ved Siden af Modsetnings- og Additionsbestemmel-
sen, som kun føre til Bestemmelser for Punkter paa en ret Linie.
Da de kommutative Principer ere fundne gyldige for alle de nødvendige Tal, laa
det ner at begynde Søgningen efter mulige Tal med den Hypothese, at der uden for disse
kan gives Tal, som besidde de kommutative Prineiper. Man vilde, efter at have fundet alle
mulige kommutative Tal ingenlunde være fritaget for al sporge videre, om der ikke ogsaa
var Mulighed for ikke kommutative Tal; men hvor naturlig disse end kunne være beslægtede
med de nodvendige Tal, vil den store Simpelhed i den sædvanlige Mathematik lide væsentlige
r
Skaar ved Savnet blot af et af de kommutative Principer, saa at Tallenes Forhold overfor
disse altid vil paatvinge sig som en meget vægtig Grund til en Inddeling af Tallene.
Forsager man imidlertid nærmere Hypothesen om de kommutative Principers Gyl-
dighed, saa vil man finde, at Modsætningens og Additionens Udvikling og Proven derefter
kan udføres, men at Hypothesen overfor Multiplikationen er for vid til, at man uden yder-
ligere Hypothese kan udvikle Regningsreglerne. Den udfyldende Hypothese, som her naturligst
tilbyder sig, nemlig at de mulige Tal skulle have en n-leddet Hovedform, til hvilken Resul-
taterne af Regningsarterne alle vende tilbage, kan imidlertid ogsaa opstilles uafhængig af
Hypothesen om de kommutative Principer, og er vel ogsaa selv for vid til i Almindelighed
at gjore al yderligere Hypothese overflodig, den kan dog fore videre end hin, og de Til-
legshypolheser, som den endelig kræver, synes mindre betydelige. Derfor vælge vi denne.
Lad os nemlig aller først betragte de nødvendige Følger af, at ét Tal 7 antages at
existere uden åt høre til de nødvendige Tal. Ved Multiplikation med og Addition til
hvilkesomhelst nødvendige Tal a og 6 fremtvinges alle de i Formen
a +- bi
indbefattede Tal, og af saadanne kunne ikke to være indbyrdes identiske,
a+ bi — c + di,
med mindre baade a — ce og b=d. Thi Ligningen medfører
— a+ a+ bi + (-d)? = —atc+d-+ (—d)i
eller (b—d)i = c—a,
: : e—a
altsaa vilde Hdi.
imod Antagelsen fremstille © som et nødvendigt Tal, med mindre som sagt ae og b —d.
Specielt kan a+ bi ikke være et nødvendigt Tal, med mindre b—0. Antagelsen af et
eneste ikke nodvendigt Tal medforer altsaa idetmindste en saadan Mangfoldighed af
relativt nødvendige Tal, som maa betegnes som dobbelt, idet de nødvendige ‘Tals Mangfol-
dighed sættes som enkelt. Men Mangfoldigheden kan vere endnu større, nemlig hvis ikke
alle 4 Regningsarter med Tal af Formen a + bi skulde give Resultater af denne samme
Form, Der vil altsaa være Grund til en Inddeling og til at stille Hypothesen om de mulige
SE 483
Tal saaledes, at det først skal undersøges, om man kan udruste det hypothetiske Tal 7
med den Egenskab, at alle 4 Regningsarter i hvilkensomhelst Kombination af dette med
nødvendige Tal føre til Resultater af den simplest mulige Form, a hi. Naar Bevis er
ført for Muligheden af disse Tal, ville vi kalde dem Tal af to Dimensioner, medens de
nødvendige Tal opstilles som Tal af én Dimension.
Naar Spørgsmaalet om Tal af to Dimensioner er besvaret, kan man methodisk søge
at udtømme det almindelige Spørgsmaal ved efterhaanden at undersøge Muligheden af
Tal af tre
a + bi + cj
og fire a + bi + cj + dk,
0.8. v., af » Dimensioner, bestandig saaledes, at det forudsættes, at alle 4 Regningsarter paa
hvert Stadium fører til Resultater af paagjældende Form.
Tal af to Dimensioner.
Overfor Tal af to Dimensioner er Hypothesen altsaa, at enhver Kombination af de
4 principale Regningsarter med Val af Formen a+ bi skal give et Resultat af samme Form.
Altsaa
— (a+ bi) = e+ fi, (a+bi) + (c+di), = g+hi,
1 3 c ke :
Een p+di, (a+ bi) .(c+ di) = r+si,
hvor e og f, p og q ere entydigt bestemte ved a og b, og ligeledes y og h, 7 og s ved
a, b, c, og d. Men skjondt disse Bestemmelser ere at søge som ubekjendte, krever dog
vor Opgave ingenlunde, at fuldt saa mange ubestemte Funktioner indfores. Alle Bestem-
melserne skulle ske i nødvendige Tal.
Hvad for det første Modsætningen og Additionen angaar, er det tilstrækkeligt
at sætte y + = (x, y) + play) .i
Skrives Ligningen for Modsætning
0 = (e + ji) + (a + bi)
— e+gla,fi+ (pla, f)+06).i,
0 — 6+ ¢(a,f),
0 = e+ (a, f)
til Bestemmelse af e og f, saa snart det vides, hvilke Operationer der belegnes med ¢ og ¢.
haves
Og Additionen giver under samme Forudsætning, idet
g + hi = (a+ bi) + (e+ di)
= a+ die, b)+ (le, b)+d)z,
g og h ved g = a + (cb)
h = o(e,b) +d.
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem, Afd. IT. 11, 61
484 34
Men enhver af de principale Sætninger om disse to Regningsarter giver Bidrag til at finde
de Betingelser, som ¢ og @ maa opfylde. Entydigheds- og Omvendingsprinciperne kræve ikke
blot, at selve ø og @ skulle være entydige Operationer, der med nødvendige Tal give Funk-
tionsværdierne i nødvendige Tal, men ogsaa, at de indirekte Bestemmelser af
æ ved y og (x,y) samt y ved x og œ(x,y)
skulle være entydige i nødvendige Tal. Desuden maa specielt
¢(0,y) = 0, da, 0 =>, g(0,y—y og pw) — 0:
Fordringen om, at ethvert Tal skal være sit modsatte Tals modsatte Tal giver os Funk-
tionalligningerne,
0 = f+¢(—¢la,f), —¢la,f))
0 = a+ g(— dla, f), — (a, fi).
Og Additionens associative Princip,
((a + bi) + (e + di)) + (e+ fi) = (a + bi) + ((e + di) + (e + fi)
giver Funktionalligningerne
de, b) + d(e, wc, 6) + d) = Ge + dle, d), b)
og o(e, gle, b)-+ d) = g(e+ dle, dj, 6) + gfe, di.
I Stedet for dette fuldstændige og almindelige Udtryk for det associative Princip kan man
dog sielte simplere, som hentes fra Summer af Formerne
y.t+ea+2 og u.t+y.i+e
under deres Behandling efter det associative Princip. Her kan den Omstændighed nemlig
føres til Nytte, at det kommutative Princip vides at gjælde for alle nødvendige Tal. Saa-
ledes faas de fire dobbelte Funktionalligninger,
P(e, y) + $(z,e(2,y) = le + 2,yi = de, y) de, ele, y),
p(2,pla,y)) = gl@+2,y) = g(r, ple, y),
GX, y 0) = Pe, y+u) = (dle, wy),
og o(t,y+¢(dl(e,y),w = g(t, y+u) = gle, + o(d(x,u),y).
Disse Funktionalligninger Lilfredsstilles ved
Ya, b) = a, ola,b) = 0,
og da herefter bia = a + bi, er Additionens kommutative Princip indiceret som
Grundbestemmelse for et af de mulige Systemer af todimensionale Tal. Yderligere er
det let nok at se, at denne Antagelse opfylder alle de Betingelser, som
Modsætningen og Addilionen medfore.
Derimod er det meget vanskeligt at lose Funktionalligningerne eller nogle af dem
paa en saadan Maade, at ogsaa alle andre Muligheder træde for Dagen. Dog er det Iykkedes
mig — se Bilag | — at bevise, at der blandt Funktioner, som kunne differentieres, ikke
gives andre end folgende Former for 4 og ¢:
wa
n° m!
nz
ACT) = Må of m gay) =
n® + m! — n"m! 2
ne + mr — nm!
hvor m og n ere arbitrære Konstanter. Naar # — 1 eller m = 1, blive disse Former dog
ubrugelige og erstattes med henholdsvis
dix, y) = um! | ik: [ Le, y) = z
glty—=y J \etk,y = ya;
og, naar begge Undtagelsestilfælde samtidig indtræde, med ovennævnte. vigtige Form,
Jia, = 2, play) = y.
Kun denne Form skulle vi nærmere betragte, thi, som det vil ses af nævnte Bilag,
kan der, naar samtlige Betingelser skulle kræves opfyldte, ikke gives todimensionale Tal
svarende til de almindeligere Former.
Af Additionens kommutative Princip, som altsaa gjælder for de nævnte, endnu
hypothetiske Tal af to Dimensioner, folger en vigtig Sætning, hvorpaa Undersogelsen af
Multiplikationsbetingelserne maa stottes, nemlig: Naar Multiplikator er et nodvendigt
Tal, gjælder det distributive Princip ogsaa for Multiplikandus som en Sum,
hvis Addender hore til en Talart, hvis Addition almindelig er kommulativ.
Det vil være tilstrekkeligt her at antyde, hvorledes Beviset fores, naar Multiplikator er
rational, altsaa for Sætningen
* (a+bi+...+dk) Ek a+ bit... —d.k,
hvor m er hel og n et Antal. Multiplikation med » giver
m nr
(1) (a+ bi + …. Han = at bit... + det...
n n
allsaa
m(a+bit...+dk) = mat mbi +... + mdk.
Ved Modsætning faas heraf
(—m) (a+ bi + ...+ dk) = (—m)a+(—mbji +... + (—md)k.
Hvad enten m er positiv eller negativ, kan man altsaa opløse Multiplikatoren i en af disse
Ligningers venstre Side i en Sum af Enere og derved godtgjøre, at Ligningen er identisk.
Ligesom vi kunde fremstille todimensionale Tals Modsætning og Addition ved to
ubekjendte Operationer @ og ¢, kunne vi for de samme Tal nøjes med to andre ubekjendte
Operationer i nødvendige Tal for at udvikle baade Reciprociteten og Multiplikationen. Vi
sætte i(a+bi) = H(a,b) + Gia, b).2.
For Multiplikationen have vi da
61°
456 36
(a+ bi). (e+ di) = a(e+ di) + b.i(e+ di)
a(c + di) + b(Hke,d) + Ge, d) .à)
ac + bH(e,d) + {ad +b Gic, d)} ah
Skulle nu specielt a + bi og c + di vere reciproke, maa
1 — ac+ bH(c,d) og 0 = ad+bG(c, dj,
hvorved a og b let findes udtrykte ved ¢ og d.
|
|
Til Bestemmelsen af Operationerne /7 og @ kunne nu vel alle de almengyldige
Sætninger om Reciprocitet og Multiplikation give Bidrag, men medens de fleste af disse
kun begrændse Mulighederne i ringe Grad, vil Multiplikationens associative Prineip alene
vere i Stand til at bestemme det Sogte saaledes, at vi kun ville behave de ovrige Principer
til Kritiken af Resultatet.
Af (a+bi).((c+di).(e+fÜ) = ((a+bi).(c+di)).(e+fi)
følge de to Funktionalligninger,
H{ce+ dH(e,f), ef + d@(e,f\y = Hic, d).e+ @(e,d). He, f),
Giee+ dHe,f), cf + dG(e,f)) = Hic, d).f + Ge, d. Gee, fl.
Dersom Hensigten er at finde alle mulige Losninger af disse Funktionalligninger, er det
vist umuligt at opnaa saadant. Men tillader man sig at kreve, at G og H skulle vere
Funktioner, som kunne differentieres, saa skal jeg i Bilag II meddele væsentlige Bidrag til
Løsningen, ikke blot for todimensionale Tal men ogsaa af den analoge for n-dimensionale
Tal. Navnlig vil man i dette Bilag finde bevist, at det er en nodvendig Belingelse for ner-
verende Opgaves Mulighed, at der existerer hele, homogene Funktioner af anden Grad med
to Variable, som paa uendelig mange Maader ved lineær Transformation vende tilbage til
samme Form, — og nu er det bekjendt nok, at dette gjælder om alle disse binære anden
Grads Funktioner; endvidere at Koefficienterne i den omtalte lineære Transformation ved
deres indbyrdes Relationer ville vise os Loven for de sogte Funktioner, saaledes at her
wx — av+ H(a,b)u og y= bv+ Ga, blu
skulle transformere Funktionen,
a? — 2maxy —ny,
til rw — 2mvu— nu”).
Af Betingelserne herfor:
a —2mab—nb? = r
aH—m(aG+bH)—nbG = —rm
H?—-2m HG —nG? = —rn,
hvor H= H(a,b), G= @(a, b), udledes, idet «> — 1,
aG—bH=re,
og af denne i Forening med den anden af de oprindelige Betingelser findes
37 487
H(a, b) = — ma + £. (ma -+ nb)
G(a,6) = ¢.(a— mb) — mb,
altsaa Formler med to arbitrære Konstanter, der efter Fortegnet @ give os to Muligheder,
som det har særlig Interesse at prøve overfor vore Funktionalligninger eller selve Recipro-
citetens og Multiplikationens almengyldige Sætninger:
A) Naar e = +1, er
Hz, y) = ny og G(x,y) = & — 2my.
Hertil svarer Multiplikationsloven: Naar
w+ yt = ty) + ab),
skal 2 == 29% + N0YsYı
Y = doi Yeti — 2myayı-
Det ses strax, at denne Multiplikationslov er kommutativ. Disse Formler og deres Under-
søgelse bliver noget simplere, naar vi gjennemgaaende skrive z — my — z, hvortil svarer,
at man ved det specielle Valg k — m +4 af det første hypothetiske Tal, overfører den
almindelige Form af de todimensionale Tal
atyt = 2 + y(m+:) til = 2+yk.
Saaledes er for ztyk = (2, +ySk). (2, +y1h)
2221 7 PYM
Y = 2241 Frot)
idet p = m? + n. Hermed viser det sig nu, at alle Betingelserne kunne opfyldes:
|
&
Skulle 2, +y,k og 2, + y, k vere reciproke, maa
ES AR! ask ser
DZ pue ae = py:
08 Aa oo i
&9 —PyYs 22 —PYa
Reciprociteten er altsaa en symmetrisk Operation, og den vil vere entydig, hvor det behoves,
naar blot ikke 2? — py? = 0 for andre nødvendige Talværdier af z og y end 2— 0 sam-
tidig med y — 0.
Multiplikationen er entydig, og da den sker paa samme Maade, som om k havde
været et nodvendigt Tal, blot at
= P;
saa er det klart, at det associative Princip saavelsom det distributive Princip for begge
Faktorer gjælder; og oven i Kjobet, som sagt, det kommutative Princip. Den eneste
Betingelse for at saadanne Tal af to Dimensioner skulle være mulige, er at, uagtet k? =p
skal vere et nodvendigt Tal, tor k selv ikke have denne Egenskab; denne
Belingelse falder nemlig sammen med den, som Reciprocitetens Entydighed gav, at der ikke
skal existere nødvendige Tal z og y forskjellige fra 0, saaledes at deres Forholds Kvadrat
488 3
var = p. Som bekjendt kan denne Fordring jo meget vel realiseres; og vi skulle snart
omtale, hvorledes det gjælder om alle Arter af nødvendige Tal, at de kunne suppleres
til Systemer af to Dimensioner; men først ville vi betragte vort andet Tilfælde:
B) hvor e = — 1, altsaa
H\a,y) = —2ma—ny og G(x,y) = — à.
Multiplikationsloven vil altsaa være følgende:
Naar 2 yt = (a, + Yet) (@, +yit),
maa a — 2,0, —NYoY1 — 2mys&,
og Uf = Ba ae
Indfores her samme Betegnelse som i A), 2 = a— my, m? +n = p og m+i = k,
haves simplere 2 = 2,2, — PYaYı
= Zot Saye
Skal her 2, +y,k være reciprok med 2, +y,k, maa
> ARE pga Vire
som ikke frembyde nogen Modsigelse mod de almindelige Principer, men kun den samme
Betingelse som under A). Men Multiplikationen, der vilde være entydig, vilde ikke ube-
tinget fyldestgjore det associative Prineip, og derfor maa dette Alternaliv forkastes som
en selvstændig Løsning. Helt uden Betydning er det dog ikke. Betegne vi den Regningsart,
Multiplikation tor den ikke kaldes, som vilde svare til —1—+ med Tegnet o, saa kunne
vi karakterisere den ud fra den virkelige Multiplikation ved
(Zo + yok) 0 (21 + y) = (22 — yok). (2, + Yıl)-
Medens det da er klart, at for tre Faktorer
(25 + Yak)o (ee + Yyak))o@ı + Yyık) = (23 + Yak) (22 — Yok) (21 + Yık)
i Strid med det associative Princip er forskjellig fra
(7, + Yak) 0 (12, + yok) 0 (2, + yık)) = les — ya) (eo —Ysk) (21 + Yık),
vil dog ((23 + yak) 0 (2g + yok)) 0 (2, +Yık) = (23 + Yh) (les + yok) o (21 + Yık)),
saa at dog paa en Maade det associative Princip kunde opretholdes, dersom man turde
have begge Slags Multiplikationer i sideordnet Anvendelse. Dette forbydes nu rigtignok
ved Fordringen om Multiplikationens Entydighed; men den Forandring af k til — k, som
herefter skulde kunne forekomme i Multiplikator, er overhovedet en aldeles nodvendig
Operation for Tallene med to Dimensioner. Thi et saadant Tal vil man ikke kunne siges
at kjende, med mindre man er i Stand til at bestemme begge dets Addender, 2 og yk i
7
Formen z+ yk = q alene ved q og k, og denne Opgave lader sig ikke lose ved de 4
39 489
principale Regningsarter; men kræver med Nødvendighed en 5te. Som denne opstille vi
under Navn af Omlægning den i B) forekommende Ombytning af k med —k. Naar
g=zH+yk,
sætte vi almindelig q — 2— yk.
Omlægningen har Analogi baade med Modsætningen og med Reciprociteten. Dens Hoved-
egenskab er, at enhver ved de 4 principale Regningsarters Kombination dannet Funktion
omlægges ved Omlægning af alle indgaaende Tal, i uforandret Sammenstilling, Konstanter
saavel som Variable,
an; In) = Flaw avt qn):
Specielt mærkes, at g +-g saavelsom g.g repræsentere nodvendige Tal, medens
9-4 er Produktet af et nødvendigt Tal og k.
Vi kunne nu nærmere se, hvad Betingelsen er, for at Tallene af to Dimensioner
ikke blot skulle have abstrakt Betydning som mulige, men virkelig Betydning i det Kon-
krete: k og — k fyldestgjore begge Ligningen k? —p, og ere ikke heller paa anden formel
Maade entydig bestemte ved 0 og 1. Imidlertid skal der kunne gjores Forskjel paa dem, og
denne Forskjel maa da bero paa en konkret Egenskab ved Forestillingerne. Paa Planens
Geometri blive de todimensionale Tal anvendelige, fordi man der kan gjøre Forskjel paa
Bestemmelserne i «til højre» og «til venstre”; men paa f. Ex. Tidsforestillinger ere
todimensionale Tal uanvendelige, fordi ingen saadan Forskjel existerer i Tiden.
Todimensionale Tal ere mulige svarende til alle de i det foregaaende omtalte Arter
af nødvendige Tal, men under væsentlig forskjellige Vilkaar:
I de begrændsede Talsystemer, hvor et Primtal p — 0, vil — afset fra p — 2 — for-
uden 0 Halvdelen af de øvrige nødvendige Tal vere Kvadrattal. Et hvilketsomhelst ikke-
kvadratisk Tal kan sættes — hk? (et saadant er — I, naar p — in +3). Kvadratroden
af hvilketsomhelst, ikke- kvadratisk, nødvendigt Tal vil da have Formen mk. Systemet
af de todimensionale Tal n + mk vil være afsluttet i sig overfor de 4 principale Regnings-
arter, men ikke overfor Ligninger af anden eller hojere Grad.
For det ubegrændsede System af de diskontinuerte , rationale Tal er der Forskjel
paa kvadratiske og ikke-kvadratiske Tal; ethvert af sidstnævnte, men simplest ethvert
positivt eller negativt helt Tal, uden kvadratiske Primfaktorer, kan sættes = %k?, men hvert
af dem frembringer sit særlige System af todimensionale Tal, Y3 kan f. Ex. ikke bringes paa
Formen a+5V2. Hvert af disse Systemer er i sig afsluttet overfor de 4 principale Reg-
ningsarter, men ikke overfor Ligninger af 2den eller hojere Grad, og Kombination af Tal
af flere forskjellige Systemer forer til Tal med flere end to Dimensioner.
I de kontinuerte Tals System ere derimod samtlige positive Tal kvadraliske, men
intet negativt; ethvert negativt Tal, simplest —1, kan sættes — k?. Dette eneste, de
490 40
sædvanlige binært komplexe Tals System er afsluttet i sig overfor enhver, idetmindste
enhver algebraisk Ligning, der dannes med de 4 principale Regningsarter, men er ligesaalidt
som i de to foregaaende Talarter afsluttet i sig overfor saadanne Ligninger, hvori foruden
æ ogsaa det omlagte Tal æ indgaar.
Tal af flere end to Dimensioner.
Skjondt jeg aldeles ikke har til Hensigt her at ville blot tilnærmelsesvis udtomme
Emnet eller berige Videnskaben med hidtil ukjendte Talarter — man vil se, at Resultatet
snarere bliver det modsatte — maa jeg dog anlægge de systematiske Grundtræk saa bredt
som muligt, dels for at opfordre til Undersogelser i de Relninger, hvor nye Opdagelser
kunne ventes, dels for at vise den Svaghed, der klæber ogsaa ved den Form for Hypothesen
om mulige Tal, som vi her have valgt: den forudsatte Egenskab ved disse Tal, at de skulle
kunne karakteriseres tilstrækkelig og inddeles efter Antal af Dimensioner.
Medens saadan Hypothese for todimensionale Tal viser sig at være tilstrækkelig Lil
at afgive bestemte Former for de 4 Regningsarter, vil man strax mærke et Savn, naar
man prover en analog Behandling af Tilfældet med 3 Dimensioner; det synes her ikke at
vere ligegyldigt, hvorledes vi velge Hovedformen, blandt dem, der frembyde sig ved prin-
cipale Regningsoperationer med nødvendige Tal og to hypothetiske Tal à og 7. Vælge vi
Formen
t=a+tbitej
til Hovedform, og kræve, at ÿ ikke kan bringes paa Formen «a + bi, à ikke skrives a + ce)
og at intet nødvendigt Tal kan vere bi+ cj, saa er ¢ vel entydig givet ved de tre nod-
vendige Tal a, 6 og ce, men ikke nødvendigvis omvendt disse ved ¢. Tænke vi os nemlig,
at a+ bi+tej = a+bi4+c)
uden at a—a, b — D" og tillige cc’, saa ville vi vel kunne slutte, al
| bi+{(e—c)j = (a —a) + bi
og j= ,(—bit (a’—a) + bi),
CG
men heri ligger nu ikke, som ved to Dimensioner, nogen Umulighed, som kunde tvinge os
til at forkaste saadan Antagelse. Enten skulle vi da vrage denne Hovedform med overmaade
ringe Udsigt til at finde en, der var bedre; eller ogsaa maa vi skaffe os den uundværlige
Adgang til at reducere Afhængighederne mellem de tredimensionale Tal til Afhængigheder
mellem nodvendige Tal derved, at vi knytte Begrebet Dimensioner særlig til denne Hoved-
form, idet vi forlange den forstaaet saaledes, at a, b og e skulle være entydig be-
stemte ved {=a+bi+ej. Jeg antager, at denne sidste Udvej maa vælges, uagtet man
derved opgiver Haabet om at kunne udtomme Begrebets mulige Tal ved sukcessiv Behandling
41 491
af Tal med tre, fire... » Dimensioner og sluttelig saadanne, som ikke ved Regningsarterne
holde sig indenfor noget endeligt Antal af Dimensioner.
Den saaledes modificerede Hypothese aabner Mulighed for at finde Talarter, hvis
Addition ikke er kommutativ. Men her ville vi ogsaa nøjes med at antyde denne Mulighed,
og begrændse os til at soge saadanne mulige Tal, for hvilke Addendernes Orden er lige-
gyldig. Det er let nok at se, at denne Begrændsning baade for tre og flere Dimensioner
gjør den foregaaende Indskrænkning overflødig; gjælder Additionens kommutative Princip
for Tal af n Dimensioner, da er Hovedformen ubetinget a + bi+...—+dk, med entydig
Bestemmelse af Koefficienterne a, b, ... d ved det n-dimensionale Tal.
Enhver Addition forer tilbage til denne Form,
(to yo... Hugh) + (7, + yyit...+u,h) =
= (2, +2,) + (yo ty it... + (u +u,)k.
Summen er da entydig, omvendelig og associativ, fordi disse Egenskaber tilkomme de nod-
vendige Talkoefficienter 7, +%,, Yo +Y1, ... Ug+u, i hvert af dens Led. I alt, hvad
Additionen og Modsætningen angaar, ere altsaa 2, ... k, (n—1 i Antal) mulige Tal i et
System af n Dimensioner.
Sporgsmaalet bliver altsaa kun, om slige Tal og deres relativt nodvendige Tal ogsaa
overfor Reciprocitetens og Multiplikationens principale Sætninger forholde sig som n-dimen-
sionale Tal.
I fuldstændig Almindelighed kræver Hypothesen kun, at
i@+yi+...+uk) = 2 + it... +uk
klae+yi+...+uk) = 270) + yRdit Lung,
hvor #,y, ...wW... og a@—9, y@—) |, .uw@—) skulle vere nødvendige Tal og Funktioner af de
nødvendige Tal æ,y ...u. Af Bilag II vil det ses, at denne Fordring i Forbindelse med
Multiplikationens associative Princip afgiver virkelig bestemmende Funktionalligninger. Men
da det kun for Tilfældet » — 3 er lykkedes mig at gjennemfore Løsningen til explicit Form,
og da min Undersogelse ikke har fort mig til andre Talformer end saadanne, som kunne
betragtes som forud bekjendte, og da endelig disse alle kunne karakteriseres derved, at det
distributive Princip gjælder baade for Multiplikator og Multiplikandus, saa kan jeg gjore min
Fremstilling simplere ved at drage dette Princips Gyldighed ind under Hypothesen.
Men er Multiplikanden distribuliv, saa vise de sidst anforte Ligninger let nok ved
Funktionalligningen F{x,,y,,...u;) + Fix,, yo, ... Ug) = Fl@,+ 22, Yi Yo... Mu), at
wiy,...w... og ar), ye) ...u@—) alle maa vere lineære homogene Funktioner af x, y
.u, saafremt disse ere nødvendige Tal — en Forudsætning, som vi med Flid gjentage.
Koefficienterne i disse Funktioner skulle vere nodvendige Tal.
Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. IT. 11.
492 42
For at komme til de explicite Udtryk for Multiplikationen og Reciprociteten og faa
dem provede, gjælder det da kun om at bestemme disse Koefficienter; men dette viser
sig at vere et stort Arbejde. Koefficienternes Antal er n?(n—1), saamange Ubestemte
skulle findes ved Ligninger, som repræsentere de almengyldige Principer. Alene Multipli-
kationens associative Princip medfører n® (n— 1) Ligninger. Rigtignok kan man allerede ved
selve det distributive Princip bevise, at ai—1a, ... ak==ka, og derved reducere begge
disse Antal noget: Koefficienterne til dem, som forekomme i Udtrykkene for
Kl ik
Ua) Soe
iab
som »-dimensionale Tal, disses Antal er #{n—1)?; og Ligningernes Antal bliver ved en
Række Identiteter bragt ned til (2 —1)%, disse ere alle af 2den Grad. Efter Koefficienternes
Bestemmelse bliver der altsaa n{(n— I)? (n — 2) Betingelser, om hvilke det skal bevises, at
de alle ere identisk fyldestgjorte. Man maa altsaa søge ad andre Veje at komme ud over
en saa betydelig Vanskelighed. Et Middel hertil er allerede anvendt af Weierstrass ved en
analog Undersøgelse, og bestaar i at erstatte de overflødig vilkaarlig ansalte Grundtal 7,... k
med Potenser af et enkelt, f. Ex. 7.
Skal nemlig 7 tilhøre det n-dimensionale System, maa ogsaa
baade J=eHtei+t...+ck,
1,1 1,2 4,n
y =etei+...4+ch,
rh MER 2,n
og j=c+tei+...+ck
n,i n,2 nn
og altsaa kunne udtrykkes lineært ved ?, ... k saaledes, at Koefficienterne ere nødvendige
Tal. Ved at multiplicere disse Ligninger og Identiteten 1 — 1 med passende Faktorer, der
ere nødvendige Tal og ikke alle — 0 vil man altsaa finde en Ligning,
Co te mitt... Louj+e = 0,
og denne er enten af nte eller af lavere Grad. Saafremt den saaledes fundne Ligning
tenktes at vere reduktibel, vil dens venstre Side lade sig oplose i Faktorer af lavere Grad,
hvis Koefficienter alle ere nødvendige Tal. I saa Fald maa 7 gjøre en af disse Faktorer
— 0, og kun til den deraf fremgaaende Ligning
dh... dj td = 0, (r =n)
behove vi at tage Hensyn.
Hvis nu » —7, kunne de oprindelige Grundtal 4, ... k og dermed et hvilketsomhelst
af de hypothetiske Tal af »-Dimensioner bestemmes ved Ligningerne for 7, j?, ... Jr
og bringes paa Formen
naine ant arc em) Con)
+
43 493
hvor a’erne ere nødvendige Tal. Dette Tilfælde skulle vi behandle som Opgavens Hoved-
lasning.
Er derimod » n
2 = —UCn, y LU — UCn_1, Oro. u — SU
Or ” WAL, LES ” sy On
a = S300 A Y == © —-URA, «os u = 2 —uC,
ar) — —yl"—)¢, 5 ya) — ylr—2) _ y(n—2) Cn=1, um) — Z;(—2) __ y (n—2) Ce
Hvad vi skulle bevise er, at Determinanten
| a, un, — Mio, Bo — und en
pe | br UC, TU Chan UE)
ue nc | ee wey 202) — ame, |
ikke kan blive — 0. Man ser nu let, at denne Determinant ved Elimination af de mar-
kerede Tal 2, 0, ..., 20), u) kan skrives paa en iøjnefaldende simpel Form, som det
kan vere tilstrækkeligt at nedskrive for Tilfældet n — 4,
45 495
10 SUN 07 (DE ADP AIT
for deri at gjenkjende Resultanten af de to Ligninger
Jn + AUDE... + nag + en = 0
og ur dt... +yjt+a = 0,
hvis Koefficienter forudsættes at vere nødvendige Tal. Men D—0 er da umuligt, naar den
første af disse to Ligninger skulde vere irreduktibel. Følgelig er Reciprôciteten i dette
Tilfælde entydig; ogsaa Omvendingsprincipet gjælder for Multiplikation af slige n-
dimensionale Tal, hvis Existens som mulige Tal altsaa er bevist, idet der
existerer irreduktible Ligninger af enhver Grad, og Grundtallet 7, da det skal vere Rod
i en saadan Ligning, opfylder Betingelserne, at det ikke kan vere et nødvendigt Tal, og
at dets første »—1 Potenser ikke kunne udtrykkes som Summer af endnu lavere Potenser,
multiplicerede med nødvendige Tal.
Sammenhengen mellem et System af n-dimensionale Tal og nte-Grads Ligningen
for j, givet ved Koefficienterne c,...¢,, er for Resten kun temmelig overfladisk. Lignin-
gens x Rodder hore paa den ene Side almindeligvis ikke alle til samme n-dimensionale
System; og paa den anden Side har hvert ikke nødvendigt Tal i Systemet sin tilsvarende
Ligning af nte Grad, dog saaledes, at denne i flere eller ferre specielle Tilfelde kan vere
reduktibel eller — om man vil foretrekke dette Udtryk — af lavere end nte Grad saaledes,
at det n-dimensionale System omfatter et fuldstændigt, mindre kompliceret System. Ogsaa
kan det ikke blot tænkes, men ad anden Vej paavises, at der kan gives n-dimensionale
Systemer, i hvilke ethvert Tal tilfredsstiller en algebraisk Ligning af lavere end nte Grad
med nodvendige Tal til Koefficienter, et Forhold, som man vanskelig kan studere ud fra
en Betragtning af selve denne Lignings Egenskaber.
Da alle de mulige Tal, som vi hidtil have omtalt, besidde ganske de samme prin-
cipale Egenskaber som de nødvendige Tal, kunne vi udvide yor Betragtning ved overalt i
Stedet for de nodvendige Tal at sætte et eller andet bestemt System f. Ex. af m-dimen-
sionale Tal. Ogsaa et saadant maa kunne mangfoldiggjores paa aldeles analog Maade.
Hore nu vore Tal 2, y, ...,2, w til dette m-dimensionale System og ligeledes Koefficienterne
Ci Cy, ++ Cp, % til en Ligning
Pian Dé ee TEE
496 46
som antages at vere irreduktibel i det m-dimensionale System, saa at 7 ikke tilhører dette,
saa føres vi til et System af almindelig mp Dimensioner. Ved specielt at lade €,,...,e, vere
nodvendige Tal, kan man opnaa at lade to og ved yderligere Udvidelse hvilkesomhelst
Rodder i algebraiske Ligninger optrede samtidig i et og samme flerdimen-
sionale System, for hvilket atter alle de principale Setninger gjelde, navnlig
begge de kommutative Principer og det fuldstendige distributive Princip.
Man kan tænke sig de to Rødder repræsenterede af 7 og x.
Kun maa vi herved bemærke, at man ikke maa mene hermed at have udtømt alle
Muligheder for flerdimensionale Tal med det distributive Princip. Vilde man soge at bevise
saadan Sætning, saa vilde man finde et svagt Punkt paa det Sted, hvor vi ovenfor fra det
distributive Prineips Antagelse sluttede, at 2’, y, ... o.s.v. ... 2), u@ skulle vere
lineære homogene Funktioner af 2, y, .., 2, u. Naar disse Koefficienter tænkes som fler-
dimensionale, er denne Slutning ikke tilladt. Ved Siden af de 4 principale Afhengigheder
optreder der jo allerede ved to Dimensioner en ny Afhengighed, Omlegningen; og
denne er distributiv. Naar a—b+c, er a—b-+c. Som Folge heraf kan det distri-
butive Princip f. Ex. ogsaa fyldestgjores derved, at a’, y’, ..., 270), w@—) blive lineære
homogene Funktioner af 2, Y, ... 2 0g u, eller af disse ved Siden af x, y, ... 2, u. Og
denne Mulighed kan realiseres.
Lad i det to-dimensionale Tal x + yj, x og y selv vere to-dimensionale Tal.
v= g++ y = D +3
2e—=-9-U y = y—z3i.
Lad 7? + p—0 og j? + q — 0, idet g, x, Y, 3 samt p og q betegne nødvendige Tal, da
vil, idet 7(2+ yj) = «+ y}, ikke blot 2 = —qy, y = x kunne fyldestgjore det distributive
Princip; men ogsaa
d —=—qy og y=a
vil vise sig brugbart. Den deraf folgende Multiplikationslöv
(72 Yo) (7; + YJ) = ds 2, — Wo + (toy +)
er nemlig ikke blot entydig, men ogsaa associativ, thi man finder
(sys) . (17, + Y2))- (it y) = ((23+93)) (+ yo) - (7, +419) =
Sawa tas à (23291 TE Yazayı + YsYa2ı) + (#3 toy +-25927; + Ya, CA — 4ysY2Yı))-
Kun er, som man ser, Multiplikationen her ikke kommutativ. Men Reciprociteten viser sig
at vere entydig og symmetrisk. Betingelsen for, at (w,+y.j) og (x, +y,j) skulle vere
reciproke, er
I = tot; — QY2 Ya og 0 = my, + Ya
eller explicit
ln 2 LS 2 one ÆREN
47 497
Can +: Ls at
to = — ; Yo = —: :
Titi + OY Ue À yin
Lo y.
a, = = Yi = — J2 =
Loy + QY2 Ya Moly + VYoYo
Kun tor Nævnerne her ikke blive 0 for andre Verdier end q — j — Y — 3 — 0. Følgelig
maa p og q være valgte saaledes, at
Gees ay 1 Paes 0
bliver umulig for andre Verdier end de nævnte qg—2—Ù0—3—0, hvortil det kan vere
tilstrækkeligt, men ikke er nodvendigt, at p og q vælges positive.
Indsætter man i 2+ yj Udtrykkene for æ og y som todimensionale Tal og skriver
?.j =k, antager det den 4-dimensionale Form
gtrit+ yjt 3,
for hvis Multiplikation Loven er, at naar
gt xityjt gb = (9, + Loi Yost sok) (Qi FT It V+ JM),
skal
9 9291 — PLL, — VWYoY1 — PAzası
T = del: + Lodıt 99231 — Veda
y Go —Plogi + Voit Pazkı
3 = Gedi + Edi Voli + 3291 >
der simplest udtrykkes saaledes, at det distributive Princip skal gjælde for begge Faktorer,
medens man i Stedet for det kommutative Princip skal anvende Tabellen
|
dod == N oy) == MM ik = —pj
Ji= lh, fof = = jk = qi
kenn, hg —— qe, kk vg.
Altsaa Kvaternioner i Lighed med de Hamiltonske. Af disse Kvaternioners
Mathematik skal her kun omtales et Par Sætninger:
Enhver Kvaternion tilfredsstiller en Ligning af anden Grad med nødvendige Tal i
Koefficienterne ; .
(g + vit of + gk)? — 2g. (9+ 21+ tzk + 9+ pa + gy’ + pag” — 0.
Kvaternionerne have overhovedet den Egenskab, at en hvilkensomhelst Funktion af én Kva-
ternion og nødvendige Tal tilhører et todimensionalt System.
Naar ge g+ri+yj+zKk
= i.q.i (—p) (g + Li — Dj — 3h)
j.q.i = (—g)(g—zityj—3h)
k.g.k = (—pq)(g—zi—vyjt 3h).
|
498 48
som Folge heraf kan man alene ved de 4 Regningsarter oplose enhver Kvaternion i dens
4 Hovedled:
® saat came Res
ane cr CE
> I { q tai. Jai _ kgk
ue ALM S| DE di ji kk
)
; g __igi , jqj__ kak |
et a:
WO) Ge Gh =)
k — u à
3 | (i) Ci me
En særegen Omlegningsregning er her overflødig netop paa Grund af, at Multiplikationen
ikke er kommutativ. Omlægning i alle tre ikke nødvendige Dimensioner udføres ved
= 2 h 1 igi 49) kqk
1 RU = 2 | = = Få Er | i
følgelig kan man nu ogsaa indenfor et hvilketsomhelst System af to Dimensioner erstatte
Omlægningen ved «ad hoc» til Systemet a+ bi at knytte et fremmed Tal ; med Egen-
skaberne ji——1), medens jj er et nødvendigt, ikke kvadratisk Tal, thi da er
æg Gaba)
Jd
Medens, som vi have nævnt, de kommutative Tal af 4 (og andre Antal) Dimensioner
frit lade sig kombinere indenfor mere sammensatte Systemer, har man ikke ved Kvater-
nionerne Ret til at erstatte de nodvendige Tal i deres 4 Led med flerdimensionale Tal; de
Bikvaternioner, som Hamilton paa denne Maade har opstillet, ere slet ikke Tal. Kvater-
nionerne ere endnu det eneste bekjendte Tilfelde af ikke kommutative Tal.
I denne Undersogelse af Tallene med flere end to Dimensioner have vi brugt Ud-
trykket nodvendige Tal som Felledsbetegnelse, og derved have vi undgaaet megen unyttig
Gjentagelse. Men strengt taget bor Undersogelsen gjennemfores for hver Afdeling af Tallene
for sig. Ligesom vi have set ved de todimensionale Tal vil ogsaa her Forskjellen imellem
Arternes nodvendige Tal medfore Forskjel i de mulige Tal, som knytte sig til hver Art.
Denne Forskjel faar imidlertid kun paa et eneste Punkt af det omtalte nogen videre Betyd-
ning. Vi have forudsat, at man kan finde irreduktible Ligninger af en
hvilkensomhelst Grad, men dette gjælder kun med en vis Undtagelse.
I de begrendsede Talarter, hvor et Primtal p — 0, gjælder Sætningen, men Antallet
af mulige Grader er endeligt — p—1, følgelig ogsaa Antallene af de mulige irreduktible
Ligninger og af de mulige Tal.
Sætningen gjælder ligeledes for det ubegrændsede System af rationale Tal som de
nodvendige Tal, og her uden Begrændsning. Af enhver Grad, som nævnes kan, existerer
49 499
der en Mangfoldighed af irreduktible Ligninger, hver Rod i en saadan kan opfattes
som et fler-dimensionalt Tal, og Dimensionernes Antal kan i ethvert Tilfælde opfattes
som saa stort, at dette Tal kan bestaa som muligt Tal ved Siden af et hvilketsomhelst Sy-
stem af andre Rodder i samme eller andre irreduktible Ligninger.
Naar derimod Kontinuitetsaxiomet skal gjelde, saa at de nodvendige Tal blive at
forstaa som de «reelle Tal», existerer der ikke irreduktible Ligninger af hojere end anden
Grad, enhver hel algebraisk Ligning lader sig jo oplose i et Produkt af Ligninger af Iste
eller 2den Grad med reelle Koefficienter. Medens der altsaa vel existerer todimensionale
kontinuerte Tal og et System af kontinuerte Kvaternioner, der simplest skrives
med p—q—1, Hamiltonske, kjendes der for Tiden ingen anden mulig Udvidelse af det
kontinuerte Talbegreb. Navnlig er det sikkert, at der ikke existerer kommutative
kontinuerte Tal af flere end to Dimensioner.
Dette stemmer med Udtalelser af Weierstrass (Gôttinger Nachrichten 1884), uagtet
Weierstrass’s Ord maa synes at modsige vort Resultat. Men det tor derved ikke overses,
at den Sondring imellem Tal og andre Numeralsbestemmelser, som vi have gjort, ikke er
bleven iagltaget af Weierstrass, der lader sine Mangfoldigheder indbefatte baade Tilfælde,
hvor der findes endelige «Divisorer til 0», og saadanne, hvor et Produkt kun kan blive 0
derved, at en af Faktorerne er 0; og som ikke synes tilbejelig til heri at se en meget
væsentlig Inddelingsgrund. Naar Weierstrass altsaa, idet han tydelig nok taler om konti-
nuerte kommutative Mangfoldigheder af nte Grad, kan gaa ud fra, at saadanne existerer
for ethvert n, men at der for n>2 bestandig gives «Divisorer til 0» deriblandt, saa er dette
i god Overensstemmelse med, at det her benægtes, at der kan existere kommutative n-dimen-
sionale Tal, naar n > 2.
Da der nu viser sig Mulighed for, at man uden Kontinuitetsaxiomet alene paa
Grundlag af en Opfattelse af de rationale Tal som de nodvendige Tal kan naa saavidt, at
de formelle Hovedsætninger for de algebraisk irrationale Tal kunne bevises, saa kunde man
være fristet til at rejse Sporgsmaal om, hvorvidt Kontinuitetsaxiomet virkelig er nodvendigt.
Jeg mener ikke, at man nogensinde for Alvor vilde falde paa at bortkaste dette Axiom, der
ialtfald er et saa udmerket tidsbesparende pædagogisk Hjælpemiddel, men jeg kunde tænke
mig, at En eller Anden vilde drage Axiomets strængt systematiske Nodvendighed i Tvivl.
Overfor saadan Tvivl maa jeg gjøre to Bemærkninger.
Den første angaar saadanne irrationale Tal som z og e, der ikke ere Rod i nogen
algebraisk Ligning af endelig Grad med rationale Koefficienter. Hvorledes skal man uden
al bruge eller indsmugle Kontinuitetsaxiomet bevise, at er — ze? Jeg kan tænke mig, at
man vilde henvise til en Fremgangsmaade analog med den Inddeling af Tallene, som oven-
for er brugt, hvor vi sondrede mellem de Tilfælde, hvor 2—0, 3 —0, 5 —0...p—0 og
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 11. 63
500 50
endelig i Modsætning til alle disse positive Antagelser blot forudsatte, at O ikke kan frem-
bringes ved Addition af Enere. Saaledes skulde vi da her, efterat have tænkt os Beviserne
forte for Tal af alle endelige Antal Dimensioner, forudsætte, at der gaves mulige Tal, som
overhovedet ikke vendte tilbage til samme Form a + br + ea? +... + uz” ved enhver
af de principale Regningsarter, og derved skulde vi saa soge at begrunde de kommutative
Principer som en mulig Losning. Jeg kan ikke helt afvise denne Analogi, og jeg ser ikke
noget umuligt i, at de kommulative Principer kunne forenes med denne negative Forud-
sætning, men endnu mindre er jeg rigtignok istand til at øjne et Bevismiddel, som lod sig
anvende under saadan Forudsetning; og jeg maa kræve at se dette hypothetiske Bevis,
forend jeg vil tro paa, at det kan fores uden Kontinuitetsbetragtninger.
Men selv om Beviset for de kommutative Prineipers Gyldighed for alle mulige irra-
tionale Tal var fort i bedste Maade uden Kontinuitetsaxiomel, blev dette dog ikke overflødigt.
Thi med Beviset for de kommutative Principer have vi jo aldeles ikke faaet ordnet de
irrationale Tal, indordnet dem hvert paa sin Plads imellem de rationale Tal, heri maa
man dog vel kunne se et vesentligt og uerstatteligt Udbytte af Kontinuitetsaxiomet. Helt
umuligt er det dog ikke at foretage en formel Indordning af de irrationale Tal i de rationales
Rekke paa lignende Maade som den, vi have kunnet anvende ved Brokernes Ordning.
Man kunde jo saaledes vedtage at give det irrationale 7 fra 7” + c,777 +... + = 0
Plads imellem de rationale Tal, som gjore denne Lignings venstre Side positiv og negativ;
men man ser da ogsaa strax, at denne Ordning er flertydig; hver af de n Rodder kunde
jo gjore Kray paa hver af de n Pladser. Kan man nu lose Ligningen og fremstille hver
Rod ved Rodder i rationale Ligninger af lavere Grad, saa kan man rigtignok reducere denne
Flertydighed til vilkaarlig Fastlæggelse af visse irrationale Grundtal. Maaske kan man be-
tragte den her antydede Vanskelighed som et teknisk Problem uden systematisk Betyd-
ning, maaske ikke.
Afgjorelsen for eller imod Kontinuitetsaxiomet soger jeg dog ikke ad disse formelle
og abstrakte Veje. Jeg har ovenfor (Side 16—17) henvist til konkrete Exempler, i hvilke jeg
mener at se Grupper af konkrete Forestillinger, som man ikke tor tillegge Kontinuitet, og
tii hvad jeg har sagt om disse Retningssystemers Forhold til de rationale Tal, kan nu
føjes, at en Udvidelse til irrationale Tal er mulig (dog med specielle Undtagelser f. Ex. x) og
herimod kan man jo let nok stille Exempler paa kontinuerte Forestillinger. Kan man end
ikke i snævreste Forstand beraabe sig herpaa som paa egentlige Erfaringer, er det end
umuligt at sige, hvorledes f. Ex. Rummet ser ud under uendelig stærk Forstorrelse, saa er
Kontinuitetsaxiomet mig dog en Erfaringssætning, og overfor vore Forestillinger om Tid,
Rum, m.m., er det dybt begrundet i Menneskets Natur, at der maa kunne sondres mellem
vesentlig og uvesenflig Forskjel, og selve denne Grændses flydende Natur gjor det nod-
vendigt at indføre Numeralerne, næsten identisk, og dermed Kontinuiteten i Mathe-
matikken.
mie wo
51 501
Forend jeg slutter dette Arbejde, maa jeg i storste Korthed berore Storrelsernes
og Mængdernes særlige Forhold. Det vil allerede af det Sagte fremgaa, at jeg opfatter Fore-
stillingerne af disse Kategorier som mere sammensalte end dem, vi særlig have givet Navn
af mathematiske, og hvis Kjendetegn er, at de undtagelseslost bestemme hinanden ved Nu-
meraler. Tilstedeværelsen af en Forestilling om et absolut bestemt naturligt Intet i hver
Art af Storrelser eller Mængder og den deraf folgende Begrændsning, hvorefter ikke enhver
overhovedel brugelig Bestemmelse kan anvendes ud fra en hvilkensomhelst af Artens spe-
cielle Forestillinger, ere os de afgjorende Kjendetegn paa Storrelsernes og Mangdernes
mere sammensatte Karakter. Ved Siden heraf er det ikke vesentligt, at vi af Naturen
tvinges til at gjøre os fortrolige med Størrelser og Mengder lenge forinden vi kunne sætte
os i Forhold til de simplere Bestemmelser af Tingpunkter og andre mathematiske Fore-
stillinger. Folgen er kun en Konflikt imellem de pedogogiske og de systematiske Fordringer,
som har uheldig Virkning til begge Sider og gjør det nødvendigt, at baade den personlige
Tilegnelse og den videnskabelige Fremstilling maa gaa ad Omveje og kun kan naa Maalet
under gjentagen Udrensning og Tilnærmelse.
I vort System vil Storrelsernes Behandling finde deres rette Plads efter Udviklingen
af Begrebet nodvendige Tal og i Forbindelse med Kontinuitetsaxiomets Opstilling. Der vil
derved være at tage Hensyn til, at mange af de specielle Storrelsesforestillinger knytte sig
til beslegtede mathematiske Forestillinger (f. Ex. Afstanden til Begrebet om Sted paa Linie)
og fremgaa af disse ved en Abstraktion (fra Retningen); men ogsaa for de Storrelsesfore-
stillinger, der savne slig direkte Stotte, vil man uden Vanskelighed kunne opstille Hoved-
reglen for Storrelsernes Behandling, at man vel kan operere med Storrelsesbestemmelserne
som med egentlige Tal, men dog er forpligtet til at forkaste ethvert Resultat, hvori andre
Tal end positive Tal og 0 optræde som Bestemmelser af Størrelse.
For enhver systematisk Fremstilling af Mathematiken bliver det en væsentlig Opgave
at frigjøre Sprogbrugen for Reminiscenser fra den Tid, da hele Mathematiken var baseret
paa Størrelses- og Mængdebegreberne. Først og fremmest maa man da undgaa vildledende
Brug af disse Begrebers Navne. Udtryk som «negative eller imaginære Størrelser», der
skrive sig fra Oversættelser fra Sprog, som savne et selvstændigt Ord for Tallet, bør paa
Dansk og ; de ligesaa heldig stillede Sprog forfølges som ligefremme Selymodsigelser.
Det er forøvrigt ikke blot selve Ordet Størrelse, hvis Misbrug kan gjøre Skade.
Ogsaa andre mindre ioienfaldende sproglige Fænomener, især Brugen af den absolut beskri-
vende Form, hvor den for Nemheds Skyld bruges i virkelig relative Bestemmelser, ere farlige.
Dette fremtræder dog især overfor Forestillinger af Mængdernes Kategori. Uagtet vort Sprog
ogsaa der er rigt nok og tillader os at stille de «hele Tal» i Modsætning til «Antallene»
som de positivt hele Tal, viser dog det mere populære Begreb — Antal — sig at have
saa dybe Rødder i Sproget og derigjennem i Tanken fremfor det systematisk simplere
63"
502 52
Begreb hele Tal, at jeg, selv efter at være bleven opmærksom paa det belænkelige deri, dog
ikke har kunnet undgaa den Inkonsekvens at indfore Antallene paa et meget tidligt Stadium
i dette Arbejde, hvor der efter mit System kun turde tales om hele Tal. Saavidt muligt
har jeg sogt at forvisse mig om, at dette kun rammede den ydre Form og ikke Sagens
Kjærne. Jeg nærer saaledes ingen Betænkelighed ved i Anledning af Modsætningens og
Tilfojelsens Hovedsztninger at have brugt de simpleste Talord og især ubestemte, og hvor
Tilfojelser af identiske Numeraler i Bestemmelsen k fremfører Antallene førend de hele
Tal, der folger Supplementet — * saa umiddelbart efter, at Skaden ialtfald ikke kan være
stor og vel opvejes ved den nalurligere Fremstilling. Men jeg erkjender, som sagt, at den
omtalte Inkonsekvens er tilstede.
Bilag L
Funktionalligningerne for Additionen af todimensionale Tal.
Naar man angaaende Funktionalligningerne
P(e, y + PE, gle y) = date y) = day) + SG gle y) (2)
(2, ¢(2,y)) = ple+2,y) = g(a, @(2, y) (3)
EG, ph = Plejy+u — (hla, u), 9) (1)
pla, y) + p(b (7, y), uw) = o(x,y+u) = p(r, u) + e(Yle, uw), y), (5)
som afgive Betingelser for, at
yita = la, y) + plx, y)i, (1)
(se Side 34), forudsætter, at de ubekjendte Funktioner 4 og g kunne differentieres, kan ud-
tommende Bestemmelse opnaas; lettest naar man tager Hensyn til, at ifolge (1)
40,9) 0, (6) og dt) — 2, I,
p(0,y) =y, (8) og gm) — 0, (9).
Differentiation af (2) og (3), hver en enkelt Gang med Hensyn Lil de ljenlige
iblandt de 4 indbyrdes uafhængige Variable, 2, y, z og u giver
dix, y), dd(z,g(a,y)) dolx,y) dd(z,y) , dé(x, elz, y) de(s, y)
CARTE DANS Sill Te RA ed
da do(x, y) da dz de(z,y) dz ‘
dhtx, y. de(s glay)) delay) _ dpley) , dg(a, pls) dgle,y) | “|
dy do(x, y) Cie D UE de(s, y) dy
ED play) dole,y) dg (x, play) detes
dg (x, y) da de(z,y) dz
(3 a)
de(s, g(x,y) _dolx, y) dolx, play) de(s y) |
do(x, y) dy der, y) dy
er ne ne
53 503
Hvad der her maa vere os maglpaaliggende, er først og fremmest at faa elimineret de
Funktioner, hvori alle tre Variable +, y og 2 indgaa; af saadanne findes der imidlertid A i
vore Ligninger, saa at yderligere Differentiation kunde synes nødvendig. Paa Grund af de
to sidste Ligningers (3 a) Homogenitet, er Elimination dog mulig. Man kan ikke have
REINE
do
thi den særlige Betingelse (8) er i Modstrid hermed, folgelig maa
(OL CNIS CCAP ISA ER
dx dy dy dz
delx, w)
0 og
do
= 0,
Da nu # og 2 ere indbyrdes uafhængige, og paa Grund af den nævnte Betingelse (5)
¢(0,¥) — y, maa, idet Z/(y) betegner en foreløbig ubekjendt Funktion af y alene
Hy) do(x, Y) dg (a, y) x (2 b)
da dy
Men ifølge denne Ligning bestaar der yderligere en saadan Proportionalitet imellem Koef-
ficienterne til de ubekjendte Funktioner af 3 Variable i Ligningerne (2 a), at disse ubekjendte
kunne elimineres; den Mulighed, at disse ubekjendte Differentialkvotienter
døe, gly) 4, dep)
dg (a, y) > do(z, y)
kunde være uendelige for alle Værdier, afskæres ved vor Forudsætning om, at Funktionerne
o og ¢ skulle kunne differentieres.
Mullipliceres da den første Ligning (2a) med //(y) og subtraheres derfra den
anden, faas en en a d f(z, y) dE)
dx dy dz dy
2
hvor Y betegner en ubekjendt Funktion af y alene, saaledes som den maa være paa Grund
af Ligegyldigheden af, om x eller z indgaar i dens Udtryk ved 4.
Paa aldeles analog Maade findes af Ligningerne (4)
Kia) dé\æ, y) die, y) (Ab)
; dy dx
dei, y) dy (x,y) 2
og af (5) Re I — 0; (5 b)
dy da
hvor K(z) og X ere Funktioner af x alene.
Af (2b) og (Ab) faas nu
Lbia
(Ka) My) FEY — Kay .¥,
(1—K (2) Hy) ra Le
d? f(x,y)
> dæ dy
K’ (x) .Y Aly) — (Ki)? . (YH'y) —Y'Hly) — Kla).Y' = 0, 6
der ved den dobbelte Bestemmelse af ‚ som de afgive, fore os lil Betingelsen
504 54
hvor X’ H’ og Y’ betegne første Differentialkvolienter. Paa samme Maade afgive (3 b)
og (5 b) (1 dde Kia) Hy) dep (a, y = X
da
(Ka) Hy) LO" — xmy,
som medfore en anden Betingelse 2 ;
X K(x). H’(y) — (X K" (x) — X' K(2)). (Ay)? — X’. Hy) = 0. (11)
I (10) og (11) forekommer der nu ikkun Funktioner af enkelt Variabel, og + og y
optræde ved Siden af hinanden som de indbyrdes uafhængige Variable; derfor kunne disse
Ligninger behandles umiddelbart efter de i Mathematisk Tidsskrift 1880 Pg.45 givne For-
skrifter; hver af dem afgiver 3 Ligninger, men oprindelig for hver Ligning under 4 for-
skjellige Alternativer. Kun et enkelt Alternativ er dog anvendeligt paa vort Problem, de
andre staa i Strid med Betingelserne (6), (7), (8) eller (9). Det brugelige Alternativ giver
for (10Ys Vedkommende Ligningerne
K" (a) — a(K(2))? —cK(2) = 0
YH’ (y) —Y' H\y) = aY Hy)
WE == Ele)
analoge Ligninger faas fra (11), og deres samlede Resultat kan skrives
K'(a) = a(K(a))? + ¢ K(a)
H’(y) = e(H(y))® + a Aly)
X. = aX K(a)
KEE EN)
og heraf findes ved Integration
2 » b > CL
a dew
AIDES e 1—dew
A Mi ii 7
SS I — bet
y= 4
1— des”?
hvor a, b, c, d, f og g ere arbitrære Konstanter. Indsættes nu disse Verdier i de oven-
staaende Udtryk for de første Differentialkvotienter af @(x,y) og @(x,y), integreres og
bestemmes Konstanterne i Overensstemmelse med Betingelserne (6), (7), (8) og (9), bliver
. = . a GC a
det endelige Resultat, idet navnlig 6 d JET ER =: at
HED) et te — |
e Ne —
ew
PCR ae el
ect
55 505
eller med Forandring af Konstanternes Betegnelse e-“ — m og e-* = n, de Side 35
angivne almindeligste Resultater:
ne (X,Y m!
nl mY frit
n® + m! — n”m! 5 n® + m" — n° m!
De hypothetiske Love for Modsætnings- og Additionsafhengighederne, ere da følgende:
YI 5 si: ; g
Er a+y.i- — (a+ yi),
= m! y n°?
in a n® + m —1 MORT Ten + mı—ı
og er ati (@ +9.) + (7, 4927,
2 n'ait Te y mate
da skal LE nv — mt — nee m OR UR EE ne Fa mn — nmin,”
Disse Udtryk kunne omformes paa en mærkelig Mangfoldighed af Maader, man kan
saaledes give Additionsligningerne Kjædebreksformen
> n”ı 5 m2
TE = — - 0 m = — .
I mi 8 | nv
7 Nat
1 — = {| —- ———
I — n™ I — m'a
Heldigst synes det dog at være at opgive den explicite Form og erstatte Addilions-
EUR n® nAatre I —n? (I — n™) n72 + mn (1—— n72)
ligningerne med oy — nen 8 Tome mn mil mb) 3
i Forbindelse hermed ville folgende Dobbellligninger for denne sidste Broks Tæller og
Nævner være os nyltige
(I—n?)na ter — (| — n71) n72 + mn (I—n”) = (1—n*)matr—y
(I— m!) nt — (1 — maine on (1— me) = (1— m”ymn tar,
Det gjælder nemlig nu om at prove disse hypotheliske Love ved Regningsarternes
almindelige Principer, og navnlig maa vi for Additionens associalive Prineips Skyld udvikle
Udtrykkene for en Sum af 3 Addender; men ved de to sidste Ligninger er det ingenlunde
vanskeligt at se, at naar
(my + ya + (7, + yo I) ty) = e+ yi,
skal (I—n?) na tete — (|[— 171) n®n% + mi (1—n™) n% + ms mr (1 — n™)
05 (I— m?) . mn tyr — (1 — ms) ntents 4 mn (I — m2) ne + mme (1— ms)
samt må tTstT3—T — mitt ts—Y ,
og det, hvad enten man i Udtrykket for «-+-y7 stiller Parentheserne paa den ene eller den
anden Maade.
Hvad Entydigheds- og Omvendingsprinciperne angaar, saa rejser der sig vel en Be-
tenkelighed derved, at der i vore Formler indgaa Exponentialfunktioner, saa at det bliver
afhængigt af, hvorledes man opfatter disse, om Udtrykkene for det modsatte Tal og Summen
kunne siges at vere entydige.
506 56
Men det afgjorende Bevis, for at disse hypothetiske Tal ikke kunne
erkjendes for at vere mulige Tal afgiver dog forst deres Mangel af en Multipli-
kation. At en saadan ikke gives, se vi lettest ved at danne Summer af indbyrdes identiske
Addender, som jo skulde vere Produktet af en Addend x, +y,? med Antallet til Multiplikator
Ua, + y,t) = (@,+y,t) +... + (7; +412), (/ Addender)
= 1+ yt.
Herfor finde vi nemlig sukcessivt
nme (=) 1— n*2 I—n1
= og = ——
me mis ? 1—m {—m"
Tnindeliet NY nu V I— n°71 I—n?ı
og almindelig I og RCE de
= = mii m'a = = {—m% ”
men heraf er det klart, at naar ikke = 1, vil Multiplikanden x, + 7,7 ikke vere entydig
bestemt ved Multiplikator og Produktet a+ wi.
Hvor afgjorende denne Modsigelse end er for, at vore hypothetiske Bestemmelser
her, saavel som de mere specielle Tilfælde @(x,y) — + og @(x,y) = yn" eller b(a,y) = am!
og p(a,y)—y., ikke ere Tal, saa forhindrer den dog fra et andet Synspunkt ikke, at de
opfattes som Bestemmelser mellem visse komplicerede Numeraler, eller efter sædvanlig Sprog-
brug, at vi i disse kunne have viglige mathematiske Symboler, beslægtede med Potenserne
og indbefattende disse under sig. Opfatte vi disse @+yi’er som Bestemmelser ud fra et
vilkaarligt Numeral, og betegne vi de Numeraler, som bestemmes ved nødvendige Tal =
med (&)', dem der svarer til yz med (y)", hvor £—n* og 7—m" kunne bruges istedet for
æ og y, da det ikke lenger er Hensigten at den paagjældende Tilfojelse skal fastholdes
som en Slags Addition, saa kunne vi med
(ET x (y
betegne det ved @—+-yi bestemte Numeral. Efter Formlerne for @(x,y) have vi da
Il =
I
D (te ee
En ler me
Fremdeles have vi som specielt Tegn Identitetsnumeralet (1)! = (1}!— ©. Modsetningsloven
bliver
IL
£ I Il 7 i £
+ x (7) = (— NE) ¢
((E)! x (71) eee) =
og for Tilfojelsesafhengigheden haves
ERS I 119» 1
GR) (Er) = | — = )» (= me Ny.
( 1 Un ) ( 2 72 ) ler Syn won
Specielt, idet alle 7 under Tegnet ()" sættes — 1 haves Potentiationsloven i videre Forstand
(Ex (6) = (NEIL
og (E)i x... (E)!, n Tilføjelser — (€”)!.
au
=
oO
SI
Det er ikke vanskeligt at paavise et Exempel paa Forestillinger, der bestemmes ved
Numeraler (€)'* (€)". Vore Forestillinger kunne hver for sig være variable Tal i visse enty-
dige indbyrdes Afhengigheder, og deres Numeraler kunne være de Transformationer, hvor-
a+ by
c+dy
en enkelt relativ og fuldstændig entydig Bestemmelse af Forestillingen om x ved Forestil-
ved det ene variable Tal afledes af det andet. Navnlig er Transformationen æ =
lingen om y, altsaa et Numeral, vi kunne udtrykke Bestemmelsen ved
z= Aky.
Fæste vi specielt Tanken paa Transformationens Dobbeltverdier eller det sædvanlige Udtryk
en sae
au 7 y—v?’
kunne vi vedtage, at Numeraltegnet ()' sigter til Dobbeltverdien ws Forekomst i Tællerne,:
v's i Nevnerne og fuldende Numeralbetegnelsen ved indenfor Parenthesen at skrive & som
Transformationens Index; da haves altsaa 2 — (£)!*y med Tilfojelsesloven (&,)'x (£,)' — (€, €,)'
som ovenfor. Betragte vi nu yderligere saadanne Transformationer, for hvilke et tredie Tal
w indgaar som Dobbeltverdi enten sammen med u eller med v, og vedtage vi med ()Y at
betegne saadanne Transformationer, hvor v er sat i ws, w i v's Sted, saa at
YE e110,
es Tegra Bi lar = eee
y = (9 «2 udtrykker det samme som = à ER
saa vil den direkte Transformation af 2 til æ udtrykkes ved Numeralet
(EX (pl,
og denne Transformation vil vere almindeligt Udtryk for en saadan af disse Transformationer,
hvor v er den ene Dobbeltverdi. For at Tilfojelse af saadanne almindeligere Transforma-
tioner skal kunne ske, er det tilstrekkeligt, at den sammensatte Transformation maa kunne
oploses i en af hver af de simplere Slags, tagne i den modsatte Orden, eller at to Trans-
formationsindices €’ og 7 maa kunne bestemmes, saa at
IE + (EN = (EVE x (7) ;
ifølge a — (mx (€' x2, maa da et transformeret Tal p kunne bestemmes saaledes, al
ee (y xp : P = (Ey x 2
v—v p—v D —U z—u
eller en og Beer .
L—w p—w p—v z—v
ne ! I BR:
Men ved Elimination af TE ved ovenstaaende, —— af disse Ligninger, faas to Udtryk
— ji 9
for Relationen mellem z og z, nemlig
(eg Zl ) I IBIS 1 I
cz Bør (| 3) UD 7 — E a
, I , 1 , 1 ,
og mu = (1. ea = (a
v — 2 R—V
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 11. 64
508 58
hvis Identitet kræver, at en Faktor » kan bestemmes saaledes, at
Yr
a gi rfi), re og 7—1—r(1—1),
hvilket kun fører til folgende to Ligninger for &’ og 7’
Ex! — DE = É + 7’—1 Å
6 ' 7
der give A re = = ain!
E+ y—&y 5555
Af Overensstemmelsen med disse Resultater kunne vi slutte, at vore ovenfor fundne
abstrakte mulige ,Numeraler have direkte Anvendelse paa saadanne Transformationer ved
Brøker af første Grad, hvor et vilkaarligt Tal v konstant er den ene Dobbeltværdi.
Vedtage vi yderligere at lade (€)"' betegne Transformationen
z—w a’ —w
= NE 0
ZU ev —U
altsaa med den tredie mulige cykliske Kombination af Dobbeltværdier i to af de tre Tal x,
v og w, vil den med (EE ae (7) x (Et
à ! ' ; a+ ba! ?
betegnede Transformation have samme Grad af Almindelighed som a = SELER og vise
2 ak
os et Exempel paa ternære Numeraler, som kan beherskes ved de udviklede Midler til at
omordne de enkelte. Thi ligesom vi have fundet, at
es ie (React T/A u = =)
(EN x (x) Eee P (a ;
og omvendt have (gx (EE = (=) * (He)
4
haves ogsaa (ENT 4 (7) = (== ) in (2 + E—1 i
i 7
- cran = (ESE (SHEE)
Skal man da udfore Tilfojelsen
(ET (gy) (EU) (Ei)
saa udfores dette ved tre suksessive Omordninger til
(Ex (yi) (6x (Co JE % (72) 4 (CGJ —
= (EX (6270) (Rz) + (EP x (EN) =
— (SR EE)
Hvad der er udviklet i dette Bilag har vistnok ikke ringe Betydning overfor en
krilisk Vurdering af den ikke-Euklidiske Geometri. Paa dette Sted skal jeg dog herom kun
59 509
bemærke, at saafremt man for Plangeometriens Vedkommende vil erstalle Euklids Axiom-
system, med hvad der efter det Udviklede maa belegnes som et mere systemalisk Axiom-
system, og maaske ogsaa et naturligere, om det end efter vore Sprogs ensidige Udvikling
er mindre bekvemt til Undervisning —, nemlig indskrænke Plan-Geometriens særlige
Axiomer til et «fiat applicatiov, hvorved Punktets Sted i Planen (eller Fladen)
erklæres for en mathematisk Forestilling, som bestemmes ved benævnte
Tal, Beliggenhedsforskjel, hvis tilsvarende ubenævnte Tal ere af den konti-
.nuerte Art med to virkelige Dimensioner, og saaledes, at « efter frit Valg
kan betegne enten et fra Planen undtaget Punkt eller en ret Linie (= Under-
system af I Dimension), da er Parallelaxiomet hermed bevisligt, som Addi-
tionens kommutalive Princip.
Bilag IL
Om n-dimensionale Tals Multiplikation.
Hvis man enten forudsætter Additionens kommutative Princip, eller indskrænker sig
til at behandle de Tilfælde, i hvilke det bevislig gjælder, er det som omtalt Side 41 til-
strækkeligt til Udvikling af Multiplikationens (og Reciprocitetens) Love at bestemme de
n(n—1) ubekjendte Funktioner i nødvendige Tal, som udtrykke det almindelige, hypothetiske,
n-dimensionale Tals Produkter med Multiplikatorerne 7,...% som n-dimensionale Tal
ietyi+...+uk) = a +yit...twk
kletyi+...+ubl = ar dHyP dit... + uk,
Bestemmelsen. af 2’, 7/,...uw... og ad, ya)... u@-1) som Funktioner af 2, y,...u,
er den. Opgave, som vi stille os i dette Bilag. Tilfældet n—3 vil vere tilstrækkelig op-
lysende, saa at vi kunne nojes med at give Formlerne for dette specielle Tilfælde som
Repræsentant for det almindelige.
Naar altsaa i(@-H-yi-+zk) = ati z'k
kla+yi+zk) = a" +y"i+2"k,
kunne vi bestemme Produktet af to Faktorer
Cm + Yo yt tek = (x + yt + 2k). (ev, + y,¢ + 2,k)
a
ne
510 60
ved Wy = Wyk, + Yet + 2,27
så , rt
Yo Ut + Yo Yi Er 2244
5 EU cn 2 N
zu Ya + 22% -
Ifølge det associative Princip er endvidere
ia, 4 Vaso + 2,4) = (+ yt ak). (a + ii 2, k)
og k(t, s+ Yon? + 2,8) = (ay + yt + eh). (a, + y,t +2, k)
ay = 27 + Ye, + pti
Yo. = Ch + oI + Is
oy, = a TH +225
og
wy = ae, + Yu + al
Yo = 2344 + Ya + 2284
CA ,= Da ty + ee.
Hermed kunne vi nu udvikle Ligningerne for Produktet af tre Faktorer og allsaa komme
til det almindelige Udtryk for det associative Princip.
X+YVi+ Zk = (lag +yst+ 25h). (to Eyed + 20 k)). (a, Hy i + 2, k) =
= (7, -+ystt 23k). (re +Yott 22h). (a, +y,2+2,h)
giver, idet Log = y + Yale t+ 3%
> aN 7 , > 4
Ys,2 = %3Y2 + 4342 t 2392
- —— > of ~ 4
ie ESS + Ys22 À 2522 3
2
y , ” at > ay
X = 4,92, + Ys ot, tal = Uy yy + Yu Xo, + 2,00 |
7 , ig ee 7 AES
Y = 23549, 93,244 + 23,294 Le Yo 1 + Yayaı + 73 Y2 1
5 : r is Vi 2 , EL
Z = 35% + Ys0% + 25.22% = Us on + Vas t 23701 9
som ved Indsættelse af de ovenstaaende Udtryk for de dobbelt-markerede Tal, ere de 3 =x
Funktionalligninger til Bestemmelse af 2’, y, 2’, 2”, y” og 2”.
Vi forudsætte, at alle disse Funktioner kunne differentieres, og ville, da &,, %1, 2ı
samt 9, Yo, 2, Samt @3, ys og 2, alle 3n ere indbyrdes uafhængige, blot ved enkelt
Differentiation med Hensyn til hver Variabel kunne opstille en overflodig Mengde Ligninger.
Vanskeligheden bestaar netop i denne Overflodighed, men det treffer sig saa heldigt, at
det vil vere tilstrekkeligt at udlede Funktionaldeterminanterne for X, Y og Z med Hensyn
til hvert af de med Indices I, 2 og 3 betegnede Systemer af Variable (her er 3 ikke — 7).
For Kortheds Skyld ville vi i det folgende betegne Determinanterne med deres
Diagonalrække imellem | |, og skrive altsaa
AU
61 511
NN Ne
aI (ei ILS = ip 72
æ; y; 2”| 145 459
ie er PA
22020]
Tillige bruge vi Betegnelsen (Sa, Yr, Zr) —
ie si OR, yy ERE 5 dy \ . dys” dz | dz,’
Kap ur 2, ae REC Mn en
le "de, da; ? "da, dla; CL da, AT
| dag da” dys dys” dz, dz,”
| Ya a Yr + |
| dys dys dys dys dys dys |
| 4 day Ab das gg dys Lng dys” ” a 4 > 43 a otk
{3,09 43,25 af — ar Yar af” » les Yor 22)
Nu er imidlertid %, ,, Y3,9 2,2 lineære homogene Transformationer af x, y; 08 25
|
ka 2,04 ya, + 2,2%
43,2 — %3Yo ar Ys Yo TUE EVA
25,9 —= to À 32 + 232%
Følgelig maa — og dette gjælder for m Dimensioner saavel som for 3 — den hele alge-
braiske, homogene Funktion
"£a, Dh ets uy",
som er af nle Grad med n Variable, vere en saadan, at den, afset fra en ligegyldig Faktor,
kan transformeres til sig selv paa lineær, homogen Maade. De Betingelser, som saadanne
Transformationer maa være underkastede, ville, da Transformations-Koefficienterne ere
&
&
ce
vw
SS
DTS WT wer
ej
=
an
a
vise, hvilke de sogte Afhængigheder ere, hvori de markerede a, y, 2, ... staa lil de umar-
kerede, og altsaa afgive Losningen af vor Opgave.
2 fo) Le] Le) te)
Hvad der i Almindelighed kan siges herom er da navnlig, at Funktionen NE: Y, Up
maa kunne transformeres paa uendelig mange Maader, eftersom w,, yg, ...u, skulle vere
aldeles vilkaarlige nodvendige Tal. Der er nu to Klasser af Funktioner, som her kunne
komme i Betragtning, nemlig; 1) Produkter af n homogene lineære Funktioner af de n
: n i a :
Variable 2, y, ... u; og 2) Potenser af Graden > af én anden Grads Funktion af samme
Variable. 1 det første Tilfælde gjenfinder man de Tal af hvilkesomhelst x Dimensioner,
for hvilke ogsaa Multiplikationen er kommutativ. Det andet Tilfælde, som forudsætter, at
n er lige, kjende vi i dets to simpleste Tilfælde; for n—2 falder det sammen med for-
nævnte, for n—4 kan det vises at give Kvaternionerne; om det ud derover lader sig
realisere navnlig for » — 6 eller » — 8, er mig ubekjendt.
Med Hensyn til de kommutative Tals Behandling ud fra dette Synspunkt er der
dog endnu en Bemærkning at gjøre. Betegne vi med &, 7, ... v de lineære Faktorer i
In
(2, y,... uy”, alisaa
63 513
E— ax+b,y+.. + du
7 = a,02+ boy+...+d,u
v= Ant + bay +... + dau,
og overføre Indices fra æ, ... um paa &,...v, saa vil Transformationssætningen,
£ a =
a Mar Lun — (Vs. Ua) - (2 + Pa + + : Ys)
fornemmelig være at soge lost ved
une = > Fee
Tr Ma Ma Mar ee Van = U Ye»
og her ligger navnlig det kommutative Princip overordentlig ner. Men Bevisforelsen ad
denne Vej er meget udsat for en «circulus viliosus». Hvis man ikke skal legge selve den
Sætning, der skal bevises, ind i Forudsætningerne, maa det fremhæves, at Koefficienterne
a,,...d, skulle vere om ikke nødvendige Tal, saa dog Tal, hvis Mulighed forud er bevist,
det samme gjælder da ogsaa om &,7,...v. Men selv om vi forudsætte, at Koefficienterne
i da, y, ... uf" ere nødvendige Tal, vil man dog i Almindelighed maatte anse a, ... dp
for afhængige af en nte Grads Lignings Rodder, dog saaledes, at vi, da Koefficienten til
BE fæ, Thy ae uy" er — I, kunne sætte
a, = Ay =... = = I:
Lad os for at oplyse Sagen imidlertid antage, at Koefficienterne alle vare nodvendige Tal.
Da vilde man kunne erstatte Systemet af Grundtallene 1, é,... med et andet, 4, /,... 4,
saaledes, al
f= £4 IT +...+ K
i=b,F+6,74+...4+0,K
k—= d,E+d,I+...+4d&K
og derved kunne omskrive det almindelige hypothetiske Tal af » Dimensioner saaledes:
za+yi+..+uk=E£.E+ n.I+...+v.&;
og for den sidste Form have den af Weierstrass fremhævede Multiplikationsloy
(6,8 + 9,14. + 0, K) SE +y,04+...+0,K) = &€, -E+ Nm 14... ue: cal Ne
hvorved det, da &, 7, ... v vare nødvendige Tal, maatte vere muligt, at et Produkt kunde
blive — 0, uden at nogen af Faktorerne var det.
Men naar 1— Æ+7+...+X, vil ethvert nødvendigt Tal a have Formen
a = aE+tal+...+aK,
og man vilde være berettiget til at vente, at enhver Forskjel i Koefficienternes nodvendige
Talværdier maatte frembringe et fra de nodvendige Tal forskjelligt Tal, f. Ex.
i= b,E+b,T+... + dK.
Danne vi nu Potenserne af dette z, vil
“= DE+VLI+...+VK
indtil = WE+b1+...+0°K;
multiplicere vi nu disse Ligninger med Koefficienterne til den Ligning, hvis Rodder ere de
nødvendige Tal 6,, 62 ... bn, og addere, finde vi, at ogsaa à maa tilfredsstille denne
Ligning,
in [oa [Bo ep, Da — 0:
Den simpleste Fortolkning var da, at à skulde vere et af de nødvendige Tal 6, ...b,,
og for at dette ikke skulde fremkalde Mangetydighed i Udtrykkene for de nodvendige Tal,
idet f. Ex.
b,E+b,I+...+5,K=b,E+b,l+...+b,K=b,,
vilde det være nodvendigt i Overensstemmelse med den simple Fortolkning af Ligningerne
E.E=E,I.I=1I,...K.K=K, at erkjende, at et af disse Grundtal, her Z, var — 1,
medens de øvrige 1 =... = K = 0.
Jeg ser meget vel, at man paa dette Omraade ikke ubetinget kan paaberaabe sig
den Sætning, at en Ligning af nte Grad kun har n Rødder; men skal man opgive denne,
vil det idetmindste være nodvendigt at anfore positive Grunde derfor. Men Folgen af, at
man trods ovenstaaende Ligning fordrede Ö anerkjendt som forskjelligt fra b,, by, ... bn,
og fra alle nodvendige Tal, vilde kun være, at man ved Siden af hvert nodvendigt Tal
maatte stille en Mangfoldighed af hypothetiske Tal, som, uagtet der ikke kunde paavises
nogen Forskjel overfor nogensomhelst Ligning, Formel eller Sætning dog vilkaarlig skulde
anses som forskjellige indbyrdes og fra det nødvendige Tal.
Og tillade vi os nu, da vi ad anden Vej have set, at man kan regne med irrationale
og imaginære Rodder i algebraiske Ligninger efter ganske samme Principer som med de
nødvendige Tal, at anse Koefficienterne b,, 6, ... by i
i=b,E+b,1...+bK
for selv at vere Tal af x Dimensioner, saa bliver Resultatet ganske det samme, 7 optræder
som Rod i den Ligning af nte Grad, som har Rødderne b,, da, ... bn. Et Sted maa man
dog standse med den rent fiktive Opstilling af nye Tal, og der reducerer hele Betydningen
af sidst anforte Ligning sig til, at man kan skrive en vilkaarlig blandt n givne Rodder som
en Sum af Rodderne, hver multipliceret med et Tal, der paa et vilkaarligt Sted i Summen
skal læses som 1, paa de øvrige n — 1 Steder som 0.
Heraf vil det være klart, hvorfor jeg ikke har turdet benyttet Formen
EE-+yI+...+0vK
i mine Beviser (navnlig Side 42).
| Folie
u
ur j
Ws A © u;
dr CO (|
D an
INDHOLD.
Forlegnelse over Selskabets Medlemmer. Maj 1886 . .....,..... net ee nie TR
-1. Eug. Warming: Familien Podostemaceae. Første Afhandling. Med 6 Tavler. Résumé et explication
des planches en français . .- : . . : . : .,. ANRT en Br ET SOUPE NE NR, x.
2. LL, Lorenz: Om Metallernes Ledningsevne for Varme og Elektricitet . . . . . . . . .. . . . . .. ‘
3. Eug. Warming: Familien Podostemaceae. Anden Afhandling. Med 9 Tavler. Résumé et explication Fe
des planches en frangais.......... ch Saar AME he bh Saat UNS Pda NUS de calla) We
4. Odin T, Christensen: Bidrag til Kundskaben om Manganets Iter .......- ero th, oe agi eee
5. „1. Lorenz: Farvespredningens Theori ... . UN 4 ee MS 6, ee ee etna
6. J.P. Gram: Undersøgelser angaaende Mængden af Primtal under en given Grænse. Résumé en |
français . . . 74 Pete teen. ouate PNA NTI: rs Be So ne RR)
7. L. Lorenz: Bestemmelse af Kviksolvsojlers elektriske Ledningsmodstande i absolut elektromagnetisk 4 +
Ma A LE es a ss ae Behe ven me Le ee RENE CARE “Un ES MERS CR TR ean vs
8. M.P. A, Traustedt: Spolia atlantica. Bidrag til Kundskab om Salperne. Med 2 Tavler. Explication
dés) plane hes ver franignis un. al MITA Fe GR Mahn ent EE TERRES ER:
9. Christian Bohr: Om Iltens Afvigelse fra den Boyle-Mariotteske Lov ved lave Tryk. Med 1 Tavl
10. — : Underso riser over den af Blodfarvestoflet optagne Iltmængde udførte ved Hjælp ar
et nyt Absorptiomser. Med 2 Tavler :..,.......... AE Bee DCR A LE in
11. T, N, Thiele: Om Definitionerne for Tallet, Talarterne og de tallignende Bestemmelser .... . &