pe ae es PE au! Ms Pdf ÿ ) ji LE x æ Fe; . %. à D - S 0 A ES ( @ 8 L © ;” 4 ï À. LY 7 à AA F = Ka os Xe ù > ; [ À | = ÿ 4 { =: ds j y & } \à À F 6 & be De = | À ) à 4 \ >: LL % no. / \ Sd à | S 2x Med ( 7 \ raie NA er + AP VAS TT D ES FREE 7 D 4 N o Ve 4 e 1 À 22 “= PS Digitized by the Internet Archive in 2010 with funding from University of Ottawa http://www.archive.org/details/dictionnairedess01mont 2 < ré la JL ER TÉ a c ca 3e te j A, ! des Pein { p : # &: 1 ee % ga ete = D cdi = er be L +, re E = _ .— en ù + ! pin = ä - ( Le _— - Fi # ten, DICTIONNAIRE DES SCIENCES MATHEMATIQUES. © IMPRIMERIE DE C.-J. DE MAT. DICTIONNAIRE DES SCIENCES MATHEMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES, PAR UNE SOCIÉTÉ D'ANCIENS ÉLÈVES DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE. SOUS LA DIRBGTION DE A.-S. DE MONTFERRIER, MENBRE DE L'ANCIENNE SOCIÉTÉ ROYALE ACADEMIQUE DES SCIENCES DE PARIS, DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES DE MARSEILLE, DE CELLE DE METZ, EIC., ETC. TOME PREMIER. BRUXELLES. \ LA LIBRAIRIE CLASSIQUE ET MATHÉMATIQUE n'Azex. DE MAT. RUE DE LA BATTERIE, N° 24. M DCCC XXXVIHII, ZA PO SAME sÈTE DGA MUINT 80) MU HR. EXT du LE DA At AO ani 6 YA SA Aie C& HDI … és apye EX fi PCR RÉAL F1 +4 AL. rkino2 gaë man D UTHERIS y CALE »# > L ee: EE es TA À : fé Tr Mn 2FthAG SE 6 asie MES AJ aR vhs rites euh Ve . ere dAilavs el + | fi a rang LEARN PRRIAATAE É ent F NT ads LS RS: Ta 4 ta c al FATERE Love L Ê EL ds à For { Di mé c COS ORNE INTRODUCTION. Les sciences mathématiques constituent, dans leur ensemble, l'ordre de réalitésle plus complet, auquel le savoir humain soit parvenu jusqu'à ce jour. En effet, les lois générales de l'univers et la plupart des manifestations phénoméniques qui en découlent, n'ont été expliquées à notre intelligence que par le concours de ces seules sciences, qui embrassent dans leur immense empire les rapports multipliés des quantités et de l'étendue, la mesure du temps et celle de l'espace. C'est dans le sanctuaire des vérités immuables qu'elles ont établies, que l'homme a surtout le droit de se souvenir de sa céleste origine, en contemplant dans une religieuse admiration l'œuvre auguste de sa propre raison, Ces vérités, contre lesquelles ne saurait prévaloir aucune puissance intelligente ; il ne les a point créées sans doute , mais en les découvrant, il s'est élevé jusqu’à leur principe même , etil a brisé ainsi les barrières qu'une philosophie désespérante avait imposées à sa raison. Mais ce n’est qu'après de bien longs travaux, bien des essais infructueux : bien des recherches et des tentatives vaines, que l'humanité s’est trouvée en possession de quelques vérités, d autant plus infaillibles, qu'elles portent en elles leur eriterium. Cette certitude absolue qui accompagne les propositions mathéma- tiques, en général, manque encore aux autres sciences, qui cependant doivent être liées entre elles dans la raison humaine comme les déductions d’un seul et même principe intellectuel. Ainsi de nos jours encore plusieurs mathematiciens, confondant la science même avec les objets sur lesquels elle s'exerce, prétendent vainement la faire descendre du haut rang qu'elle occupe dans l'intelligence , jusqu'à celui des connais- sances pratiques, obtenues par l'observation, et la renfermer tout entière avec sa puissance universelle, dans le cercle borné d'une simple méthode empirique. Erreur étrange et vraiment inconciliable avec les progrès des mathématiques, qui n'ont pu s'effectuer sans que la considération de L'INFINI m'entrât comme élément nécessaire dans toutes les propositions élevées de la science. Cette nécessité de l’abstrac- tion, qui se rencontre dans toutes les constructions mathématiques, établit d'une manière incontestable la spiritualité du principe d'où la science découle. Il doit paraître inexplicable, au premier aspect, qu'une division aussi profonde, aussi difficile à dé- truire, existe dans la connaissance des principes générateurs d'une science, dont la plupart des déductions, ou si l'on veut des applications, ont un caractère irréfragable de certitude et de vérité, L'histoire générale des mathématiques, considérée du point de vue philosophique où nous nous placons, peut nous aider à -résoudre ce problème. L'histoire, en effet, nous montre la science participant de toutes les modifications successives que subit la société humaine. Elle lutte d'abord péniblement contre les besoins dont le monde est assailli dès l'aurore de sa civilisation. Ses preraières fonctions pratiques furent certainement de régler les rapports des choses entre elles , en établissant parmi les hommes un moyen juridique et supérieur de constater l'étendue et la quantité réelle des objets, dont le partage entre les familles et le maintien dans chacune d'elles, d'après certaines règles, devaient fonder une des bases essentielles du contrat social ; ainsi, comme Ja morale, la science dut d'abord être législatrice. A l'époque où elle déterminait les formes et les limites de la propriété, la science était appelée à me- surer la marche du temps et à régler ainsi, avec la mème autorité, les rapports les plus nobles et les plus élevés des associations humaines. Dès ce moment elle entra avec hardiesse dans le vaste domaine de la spéculation ; et, quand la morale se formula dans le sentiment religieux, la science devint l'un des attributs les plus respectés du sacerdoce. À mesure que la civilisation s'éloigne de son berceau, les liens qui en- chaînent ces deux produits supérieurs de la raison se resserrent plus étroitement, et ensemble ils con- courent à abréger l'enfance de l'humanité, C'est ici que commence l'histoire sociale, et dans toutes les alternatives qui marquent son cours, dans toutes ses phases de progrès ou d'hésitation, on retrouve les mêmes puissances intellectuelles, présidant aux perfectionnemens successifs de toutes les forces de l'hu- manité. Néanmoins, si les faits résultant de la morale et les faits résultant de la science s'établissent d'abord partout sans contradiction, on voit aussi dès les premières pages de l'histoire, l'homme ne faire usage de son intelligence émancipée que pour se poser des doutes sur les lois mêmes de ces causalités. Ces doutes se retrouvent dans l'explication du principe auquel se rattachent les sciences mathématiques ; et d’ailleurs, toutes les philosophies se résument, en effet, dans deux idées opposées : le but de la raison est aujour- d'hui de les ramener à un principe identique et absolu. Afin de réaliser plus spécialement dans la science ces vues élevées, il était nécessaire de procéder à un grand travail préparatoire, pour réunir, en les élaborant, les élémens divers et nombreux de cette synthèse philosophique. Telle a été la pensée première des auteurs de ce dictionnaire. Depuis long-temps l'Allemagne et l'Angleterre avaient devancé le France dans cette marche scientifique. Ces deux pays , à qui l'humanité est redevable de si prodigieuses recherches et de si admirables travaux dans toutes les branches du savoir, possédaient des recueils assez semblables, quant à la forme, à celui que nous publions. Néanmoins ces ouvrages estimables, et qui nous ont souvent été d'une indispensable utilité, ne portent point encore l'empreinte de l'idée philosophique, dont nous avons eu le dessein de pré- VI parer la production féconde au sein de la science. Nous venons donc accomplir, en France, une tâche nouvelle et qui présentait de graves difficultés. Parmi les traités qui composent l'Encyclopédie , il en existe bien un qui est intitulé : Dictionnaire des Mathématiques, mais cet ouvrage incomplet devait, au reste, être pour nous un obstacle plutôt qu'un modèle ou un moyen. D’ailieurs, soit qu'on considère l'œuvre encyclopédique sous le point de vue spécial de son utilité scientifique, soit qu'on l’envisage comme une application à la science, du système philosophique dont elle émane, elle est tombée, sous ce double rapport, dans un discrédit complet. D'une part les progrès de la science ont dépassé, en beaucoup de points importans, les travaux mathématiques qui ÿ sont rassemblés, et d'autre part la pensée philosophique, qu'ils avaient pour but de fortifier, ne peut plus prétendre à exercer sur les esprits l'influence dont elle a été en possession. La place était done vacante , et nous l'avons prise. Mais nous nous sommes élancés dans cette voie nouvelle sans le secours d'espérances trop vives et trop prochaines. De tout temps dé rudes épreuves et d'amères déceptions ont été le partage des efforts les plus généreux ; à toute vérité il faut une époque, à tout homme qui la produit il faut la constance et la foi en lui-même. Nous devons done ajouter ici que nous avons seulement en nous cette conscience complète de l’utiité t de l'importance de notre œuvre, qui donne seule le courage nécessaire pour commencer les grandes ittes. Car au moment où nous écrivons, le monde intellectuel n'est pas seulement divisé sur quelques! points isolés de ses connaissances : l'hostilité des principes auxquels sont, de part et d'autre, attribués les! développemens du savoir, se rencontre avec plus de force que jamais dans toutes les idées sociales ou seu- lement spéculatives dont l'humanité est en possession. Peut-être ces combats, que le progrès à dû soutenir! clans toutes les périodes historiques de la science, ont-ils été nécessaires, pour qu'aucune vérité n'ait pu! s'établir dans le monde, sans avoir été soumise à l'orageuse épreuve de l'examen et du temps. Mais cepen- dent les événemens de l'histoire sociale moderne sont trop profondément empreints d'un caractère provi- dentiel, c'est-à-dire d'une direction supérieure à la volonté et aux prévisions humaines, pour n'avoir pas produit une réaction spontanée dans l'intelligence, qui a dû se tourner vers ce principe supérieur comme vers un guide plus infaillible que l'expérience. A l'aide de cette dernière méthode, l'homme ne peut s'é- lever, avec quelque certitude, qu'à la connaissance souvent imparfaite des faits; les causes qui les ont pro-| duits lui demeurent inconnues, et c’est vers la découverte de ces grands mystères, que dans l'état de| culture intellectuelle où elle se trouve, marche aujourd'hui l'humanité, :| e k Dans l'espoir de favoriser ce mouvement progressif de la raison, nous n'avons pas dû borner nos tra- vaux à rassembler, dans un ordre favorable aux recherches , les seuls enseigsnemens pratiques de la science. Nous avons voulu que les spéculations les plus élevées, comme les propositions les plus élémentaires ÿ fussent présentées avec l'histoire, et surtout la philosophie, de laquelle toutes les découvertes scientifiques ne sont que des déductions. Ainsi nous nous adressons à toutes les intelligences, comme nous avons dû prendre la vérité partout où nous l'avons rencontrée; car, ainsique nous l'avons déjà exprimé, notre dic- tionnaire n'est en effet qu'une œuvre synthétique , dans laquelle tous les travaux antérieurs à notre époque devaient trouver leur place. Notre intention avait d'abord été d'exposer ici toutes les déductions du principe philosophique de la science, mais nous avons pensé que cette importante doctrine devait faire partie de l'ouvrage même dont elle a dicté l'inspiration ( Voy. Marnémariques et Paicosopure DES MarnÉMariQuES ). Il n'en est pas de même de l'histoire , dont chacun de nos articles renferme seulement quelques aperçus particuliers, qu'il nous semble absolument nécessaire de considérer ici dans leur ensemble, n'est pas possible d'établir dans l'histoire spéciale de la science une division différente de celle que les grandes périodes de civilisation ont fait établir dans l'histoire sociale. En faisant même la part de cette antiquité conjecturale, que quelques nations ont prétendu s'attribuer , les temps historiques se partagent en trois âges ; la venue du quatrième est d'une part dans le secret de la Providence, d'autre part dans le développement plus où moins hâtif de la raison. Ainsi dans le premieräge de l'histoiresociale naissent et se. développent successivement toutes les formes de civilisation. La société humaine, qui tend vers l'unité, arrive par le fait de la puissance romaine sur les limites de cette destination, mais elle y arrive comme vers un but négatif, et guidée par la seule FaraLirÉ; ici l'unité va produire une matérialisation complète de l'humanité, et tel n'est pas son but social. Le second âge s'ouvre par la venue de Jésus-Christ, dont la aission auguste sauva le monde de ce danger ; il donne à la morale l'autorité absolue qui lui avait manqué dans l’âge précédent, et l'humanité se recommence pour ainsi dire elle-même, dirigée par la PROVIDENCE. Durant cette époque la société recompose tous ses élémens de civilisation d'après le principe supérieur qui lui a été apporté, puis elle arrive au terme de ce but transitoire , plus consciente de ses buts définitifs. Le troisième âge commence à la réformation, et l'humanité se trouve encore aujourd'hui dans la crise où a dû la plonger le principe d'examen , duquel découle la supériorité de la raison. Nous allons voir maintenant la production scientifique de la vérité s’harmoniser complétement dans le développement successif et général des faits sociaux. Durant les siècles incertains où s'élabora l'antique civilisation humaine, la science que nous avons mon- trée déjà présidant à la création des relations sociales, ne s'élève point d'abord au-dessus du but purement matériel qu’elle a en vue. Le petit nombre de vérités qu'elle produit ne sont en effet que des déductions Vil empiriques des faits. Mais elle prend son essor avec l'humanité, et depuis Thalès jusqu'à Archimède , d'im- menses travaux reculentles bornes du savoir et tendent à généraliser les connaissances humaines; ces travaux demeurentnéanmoins incomplets, et cet effort infructueux:ils se résumentdans quelques brillantes indivi- dualités, et la marche générale de ja science reste enchaînée dans le cercle que parcourt l'histoire sociale. Au second âge la science semble d'abord s'arrêter tout-à-coup, elle n'entre point comme éjément dans la rénovation de l'humanité. Elle jette cependant encore quelques lueurs dans l'école d'Alexandrie, mais après Diophante, son flambeau s'éteint partout. Quelques siècles plus tard, la science renaît et est rendue au monde par le peuple mème qui l'avait frappée dans son dernier asile etavait livré aux flammes la célèbre bibliothèque d'Alexandrie où se trouvait le recueil de tous les travaux scientifiques antérieurs. Les grands événemens sociaux qui marquent la fin de cet âge sont précédés par des découvertes qui annoncent une ère brillante et nouvelle, dans laquelle l'humanité se précipite avec ardeur. Enfin , au troisième âge, la science entre en possession des grandes théories, dont les âges précédens avaient à peine eu le pressentiment ; la lutte qui s'établit alors dans l'ordre moral, passe dans l'ordre scien- üfique, et l'intelligence humaine, avide de découvertes, agrandit par l'examen et la discussion la sphère de ses connaissances positives. Est-il réservé à notre époque de couronner cet auguste édifice du savoir humain, œuvredetant de siècles, pir une puissante doctrine qui réunisse toutes les branches encore isolées de ce savoir, en les faisant découler d'un seul principe absolu, objet des recherches de la philosophie moderne? C'est ce qui a été tenté, avec plus ou moins de succès , par les écoles philosophiques modernes, etparticulièrement par un géomètre étranger , dont nous aurons souvent l'occasion de rappeler les travaux dans le cours de ce dictionnaire. Remontons maintenant le torrent des âges pour y surprendre la marche didactique de la science, qui doit confirmer l'appréciation philosophique de ses développemens supérieurs que nous venons d'exposer. Thalès , qui vivait dans le septième siècle avant Jésus-Christ , est le premier des géomètres dont les tra- vaux puissent indiquer la production scientifique des mathématiques. Avant lui sans doute les idées de nombre et de mesure existaient dans le monde, et les hommes les exprimaient par des moyens particuliers. Mais la science n'était qu'en germe dans l'arithmétique des Phéniciens, dans la géométrie de l'Egypte et de l'Inde , dans les vagues observations des Chaldéens. Thalès remplaça ces procédés informes par une mé- thode rigoureuse qui commenca à environner d'une certitude plus complète les démonstrations élémen- taires de la science, Ce philosophe cultiva avec le même succès l'arithmétique, la géométrie et l'astronomie; et l'école ionienne, dont il estle fondateur, se divisa après lui en diverses sectes qui embrassèrent dans leurs recherches toutes les parties du savoir humain. Pythagore apparut alors dans le monde : ce philosophe, que l'humanité dans sa reconnaissance salua du titre de divin, pénétra plus avant que Thalès dans le domaine de l’abstraction mathématique; il fit faire à la science d'importans progrès, et telle dut être la joie religieuse où le plongea la découverte qu'il fit de l'égalité du carré de l'hypothénuse, dans le triangle rectangle , avec la somme des carrés des deux autres côtés, qu'on a avancé qu'il sacrifia cent bœufs aux dieux immortels, comme s'il eût voulu constater par cet hécatombe la source auguste de l'inspiration humaine. Grand et admirable spectacle que présente la science au sortir de son berceau, en rendant ainsi hommage au principe créateur et éternel du sein du- quel elle venait de s’élancer! L'illustre Pythagore ne tarda pas à s'élever jusqu’à la perception des vérités les plus sublimes, Il enseigna à ses disciples la sphéricité de la terre, dont Anaximandre avait eu l'idée, et décrivit son mouvement autour du soleil. Ainsi les premiers pas de l'homme dans la science sont marqués par la découverte de la vérité; et cependant, aussitôt abandonnée comme une rêverie, elle a besoin, pour se produire denouveau dans sa certitude majestueuse , du concours d'immenses travaux , durant une longue suite de siècles. Depuis Thalès et Pythagore jusqu'à l'établissement de l’école d'Alexandrie, les recherches de la philo- sophie grecque étendent les progrès de la science dans un grand nombre de ses propositions particulières. OEnopide et Hypocrate de Chio sont à la tête de ce mouvement progressif. Le problème de la duplication du cube est posé, et Menechme applique à sa solution la théorie des sections coniques. Ge problème, celui de la trisection de l'angle et plusieurs autres, dont la seule proposition indique la marche ascendante de l'esprit humain, sont agités dans l’école de Platon; ce philosophe écrit sur la porte de son école ces paroles, qui établissent une liaison nécessaire entre toutes les vérités : Nul n'entre ici s’il n'est géomètre. Alors l'école d'Alexandrie produit le grand Euclide, dont le livre célèbre des élémens est à peu près le premier où les enseignemens et les propositions de la science aient été classés dans un ordre méthodique. Ru apparait l'illustre Archimède , le plus grand des géomètres de l'antiquité, qui pose et résout avec toûte la puissance du génie, les problèmes les plus élevés de la science. Les travaux d’Apollonius de Perge, de Conon et Dositée, de Germinus de Rhodes, d'Hipparque, de Ptolémée, de Dioclès, et enfin de Diophante , remplissent tout le premier âge de la science, Mais il faut remarquer que tous ces travaux sont pour ainsi dire individuels ; que les progrès de l'arithmétique, de la géometrie, de l'astronomie , de viii la mécanique, de l'hydrostatique et de l'optique, marchent tous isolément , et que rien n'indique, dans cette première phase, ce point de vue général où la science devait être amenée pour accomplir ses buts les plus élevés. 1l faut encore remarquer que Ptolémée et Diophante, bien qu'ils aient vécu dans le deuxième âge social, appartiennent cependant par cette considération supérieure, au premier âge de la science , dont les travaux complètent, pour ainsi dire, les découvertes possibles dans la direction qu'elle avait subie jusqu'alors (Voy. Écor.E D'ALEXANDRIE). Quand l'histoire sociale nous montre le monde en proie aux grandes misères qui durent accompagner la chute de l'empire romain et la réorganisation des nationalités , sous l'égide du christianisme, l'histoire de la science demeure silencieuse. Durant les premiers siècles de ce second âje, on aurait pu penser que l'humanité en était revenue aux instincts grossiers des temps les plus éloignés, mais ce n'était là qu’une ap- parence, car il y avait en elle un principe puissant qui ne devait pas tarder à la ramener dans des voies plus augustes. L'influence que la civilisation arabe exerca sur celle de l'Europe, ne contredit en rien ces vues philosophiques de l'histoire. On n'a pas remarqué, en effet , que le brillant mouvement de progrès de cette illustre nations dépendit malheureusement de la volonté et du caractère de quelques souverains ; Jislamisme a étouffé cette haute tendance, mais le christianisme l'a recue et fécondée. Durant ce deuxième âge, toutes les branches des mathématiques recoivent de grands développemens; la science des nombres commence à sélever à des considérations générales : l'algebre naît. Il serait beau de parcourir un à un les anneaux de cette chaîne merveilleuse de travaux qui commencent à Diophante et aboutissent à Euler et Lagrange ; mais il nous aura suffi d'en embrasser ici l'ensemble et d'en caracté- riser la tendance. {Voyez dans le dictionnaire l'article MATHEMATIQUES.) Si l'Europe recut des Arabes les traditions de la science, elle ne tarda pas à rivaliser et à vaincre ses maîtres; aux Albatenius, aux Ebn-[onis, aux Alhazen , elle opposa bientôt Roger Bacon, Albert le Graud, Sacro-Bosco, Purbach et Regiomontanus. Enfin l'illustre Copernic apparut aux derniers jours de cet âge, comme Diophante à la fin du premier. Il recommenca l'astronomie en lui donnant pour base ce sys- tème de limmobilité du soleil au centre de l'univers, et du double mouvement de la terre, que Pythagore avait pressenti et que lui eutla gloire d'exposer et derendre plusévident que les apparences sur lesquelles était fondée l'opinion de Ptolémée (Voy. AsTRoNOMIE). Ici commence le troisième âge de la science, dont les progrès, comme nous l'avons déjà exprimé semblent intimement unis à la marche générale de l'humanité. Au moment où Luther jetait dans l'ordre moral le principe de l'examen, Copernic l'appelait dans l'ordre scientifique par la production du vrai système du monde. Alors se succèdent en Europe ces génies immortels et sublimes dont la main puissante soulève le voile de plomb qui couvrait les hauts mystères de la science. Galilée, Descartes, Leibnitz, Newton, apparaissent dans le monde, et l'homme ne peut plus douter de la réalité du savoir et du principe supé- rieur qui est en lui. Non-seulement à cette époque toutes les branches des connaissances humaines sont poussées à un point excessif de perfection individuelle, mais on voit toutes les forces de la science converger vers le grand but d'unité qu'elle doit atteindre. La sublime découverte du calcul infinitésimal détermine cette haute tendance philosophiqne dont le développement extrème, ou plutôt la finalité appartient à l'avenir. Nous regrettons de n'avoir pu qu'indiquer ici, et d'une manière rapide, les points principaux de T'histoire des sciences mathématiques, mais nous avons saisi avec empressement, dans notre dictionnaire , toutes les occasions qui se sont présentées de les exposer avec plus de détails : c'est là qu'on doit les chercher. Il nous suffisait de cet apercu pour donner quelque idée du point de vue philosophique dans lequel nous nous sommes placés. Enfin nous nous sommes attachés à coordonner les divers articles de chaque branche particulière de la science, en les faisant correspondre par des renvois; nous donnerons à la fin de l'ouvrage une table où ils serontclassés de manière à établir un ensemble systématique, formant des traités spéciaux. Les noms des auteurs yseront joints. 5 Les MATRÉMATIQUES PURES se divisent en deux branches principales : l’une de ces branches a pour objet les Nombres; l'autre a pour objet l'Étendue. La science des nombres, prise dans sa généralité, est connue sous le nom d'ALGÈBRE. Quelques auteurs la nomment Antrn- MÉTIQUE UNIVERSELLE ; d’autres ANALYSE ; On à proposé récemment de lui donner le nom d’ALGoriTaMIE, qui, dans l’état élevé où cette science a été portée de nos ‘jours, paraît en effet la désigner de la manière la plus convenable. La science de l'étendue se nomme GEomr- ‘rue. (Voyez, dans l’ouvrage, les mots 4/gèbre et Géo- métrie.) Quant à l’origine de cette division fondamen- tale desmathématiques pures, elle est suffisamment dé- veloppée au mot mathématiques, où se trouvent également exposées les diverses branches dans lesquelles se subdivisent ces sciences ainsi que leurs nombreuses applications. M La science des nombres emploie, comme celle de l'étendue , des abréviations et des signes particuliers qui.se trouveront tous exposés dans leur ordre alpha- bétique; mais , à cause du mode de publication de cet ouvrage, nous avons cru devoir placer ici l’explica- tion des“signes les plus usuels, en y joignant une des- cription succincte des objets les plus élémentaires de l'algèbre et de la géométrie, afin de faciliter aux lec- teurs les plus étrangers aux mathématiques, l'étude de nos premiers articles, où l’usage fréquent que nous fai- sons de ces signes leur présenterait d’insolubles difficul- tés. Ce travail préparatoire n’estau reste qu’un aperçu qui sera complété, dans le cours de l'ouvrage, pour chaque objet en particulier. I. Scrence pes NomBres. 1. On représente en particu- lier les nombres par des chiffres, et en général, par des lettres, lorsqu'on examine leurs propriétés indépendantes de toûtes valeurs déterminées, La première considéra- tion générale est celle-ci : lorsque deux ou plusieurs nombres sont connus, on peut toujours, par leur réunion ou leur somme, construire un nouveau nombre, Par exemple, 3 ajouté à 6 forme 9, et 9 est dit la somme de 3 et de 6. Le signe de cette opération, qu’on nomme ADDITION , est + (plus), ainsi 3 Æ 4 exprime 3 plus 4 ; le signe de l'égalité est = ( égal à); donc 3 +4 = 7 signi- fie 3 plus 4 est égal à 7. On aurait de même 5 + 7 + NOTIONS PRÉLIMINAIRES. | 8— 90, 5 plus n plus 8 est égal à 20. En général dési- goant par les lettres a, b, c, d, des nombres quelcon- ques dont la somme est égale au nombre m2, la formule a+ b+c+ d=— m, exprimera cette égalité. 2. Du moment qu’un nombre quelconque c est cons- truit paï la réunion de deux autres a et b, il s'ensuit nécessairement que si de ce on retranche l’un des nom- bres a, b, qui le composent on doit obtenir l’autre pour résultat. Cette opération, qui se nomme SOUSTRACTION ; s'exprime par le signe — (moins ); l’on écrit donc c — a= b ce qui se lit c moins a est égal à b. C'est ainsi que l'égalité particulière 3 + 4 — 7 nous conduit à l'égalité inverse 7 — 4 — 3. Le résultat de l'opération se nomme alors différence. 3. Lorsqu'on a plusieurs nombres égaux à ajouter ensemble, l'opération change de nature, et s’indique par un nouveau sigae. Ainsi, pour exprimer que le nom- bre 7 ajouté 6 fois à lui-même est égal à 42, au lieu d’'é- crie 7 +7 +7 +747 +7 —42, on écrit simple- ment 7 X 6 — 42; ce qui signifie 7 pris 6 fois, ou, ce qui est la même chose, 7 multiplie par 6, est égal à 42. L'opération se nomme alors MULTIPLICATION, et son signe est X (multiplié par). On la désigne encore par un seul point (.); et, lorsque les nombres sont exprimés par des lettres, on se contente presque toujours de les écrire les uns à côté des autres : les trois expressions &æ X b, a.b, ab signifient également & multiplié par b. Le résultat de l'opération se nomme ici produit ; le nombre qui est multiplié se nomme le multiplicande, et celui qui mul- tiplie, {e multiplicateur; on désigne encore par le nom commun de facteurs le multiplicande et le multiplica- teur: ainsi, dans la multiplication générale a X b= 0 a etb sont nommés les facteurs de c, parce qu’ils entrent tous deux de la même manière dans la construction de c, etqu'on a en général a X b=b X a. 4. Pour exprimer le produit d'une somme de plu- sieurs nombres 4, b, c, par un autre nombre 77, on écrit la somme entre deux accolades, et l’on placele multipli- cateur à côté, ainsi qu’il suit : (a + b + c) X m ou! (a+b<+c).m ou enfin (a+b+c)m. 5. La multiplication donne, ainsi que l'addition; naissance à une opération inverse. En effet, puisque dans l'égalité 7 X 6 = 42, le nombre 42 est composé des nombres 5 et 6, on peut se proposer de décomposer 42 par le moven de l’un de ces nombres et dans le but de retrouver l’autre. Cette dernière opérationse nomme 42 DIVISION, ets'exprimeiadifféremment par —oupar 42:7. { Er Ron . em ainsi les deux égalités °° = 6, 42: 7 = 6 signifient 42 divisé par 7 est égal à 6. On donne alors le nom de di- vidende au produit, celui de diviseur au facteur connu, et celui de quotient au facteur cherché. Ainsi, dans l’ex- b seur, et a le quotient. pression générale — — a, cest le dividende, b le divi- a+ b+c [LL ,(a+b+c):n désignent l’une et l’autre que la somme des trois uom- Les deux expressions bres a, b, c, est divisée par le nombre 7». 6. Lorsquela division d’un nombre par un autre n’est pas possible, ce qui arrive, 1° lorsque le diviseur est plus grand quele dividende, 2° lorsque le diviseur n’est pas contenu dans le dividende un nombre exact de fois, . D + 0 se on conserve la notation genéraie D et la quantité que cette forme représente prend le nom de Fracriow dans le premier cas, et celui de nombre fractionnaire dans le 2 e] . 7 second. Par exempie,— est une fraction, et = est un 4 4 nombre fractionnaire. : > . «a . La somme de plusieurs fractions 5 , s'exprime C e , F1 a c e à a e e L PAT + _ + et leur produit par ce x na pa F rene ou pal ue 7 . f 7. Lorsqu'on multiplie l'un par l'autre plusieurs nom- bres égaux, l'opération change encore de nature, et con- séquemmeni s'écrit d’une manitre différente de la sim- ple multiplication. Par exemple, pour exprimer que le nombre 64 résulte de la multiplication du nombre 2 six fois parlui-même, au lieu d'écrire X2X2X2X2X 2 — 64 on écrits? = 64. Dans ce cas le nombre 2 prend le nom de base, 6 celui d'exposant , et 64 celui de pus- sance : ainst, l'égalité2° = 64 signifie : 2 cleve à la sixième puissance est égal à GY. 8. L'opération que la forme générale a? — c repré- sente ; se nomme ÉLEVATION AUX PUISSANCES. On donne en particuher les noms de carré et de cube aux puis- sances seconde et troisième : ainsi, dans les égalités a? = m,a— non dit que» est le carré, et que » est le cube de a. Ces dernières expressions sont tirées de la géométrie : la surface. d’un carré étant égale à la se- conde puissance d’un de ses côtés, et la solidité d’un cube étant pareillement égale à la troisième puissance d’un de ses côtés. )D 1}, || AXEL: x Yi ï INAIRES. — 1 =C 9. Les deux égalités précédentes, d'addition : à + à et de multiplication : a X b = c, nous ont conduit aux deux opérations inverses de soustraction : c—a— bet de division : - = b, l'égalité de puissance : 4ë — c nous Fe - conduit également à une opération inverse qu’on NOMINC EXTRACTION DES RACINES, et dont le but.est de trouver Ja base d’une puissance, lorsque cette puissance est connue. Par exemple, chercher le nombre dont la sixième puissance est 64, c'est extraire {a racine sixième de 61; car, dans ce cas, la base de la puissance prend le nom de racine. Cette opération se désigne par le signe V/ qu'on nomme radical ; et dans le cas particulier dont G il s’agit on écrirait V2 64 = 2, ce qu'on lit, racine sixième de G4 est égale à 2. 10. Lorsqu'il s'agit des racines secondes ou carrées, on écrit le radical sans exposant ; ainsi \/a, vb signi- fient racine carrée de & et racine carrée de b. Dans tous les autres cas, on place l’exposant de la puissance dans le signe V_ de sorte que V désigne en général la racine du degré 7. 11. Les expressions(a+b+c+d)m,et {a+ bYc+ ad) désignent : la première, l'élévation à la puissance 72 de la somme a + b + c+ d, et laseconde, l'extraction de la racine »2 de la même quantité. Les expressions Gy ; V : désignent également la (4 ai 12. L’extraction des racines s'exprime encore par des puissance et la racine 77 de la quantité fractionnaire Li exposans fractionnaires: ainsi @ * est la même chose que LS 4 V/a , a*est la même chose que Va. En général L: m les deux expressions a “et y/a désignent toutes deux la racine »2 de a. On peut donc écrire indifféremment C0) : a+ bLc),(a+b+c)" pour exprimer la ra- cine »2 de la quantité a+b+e. 13. Dans l'opération de l'élévation aux puissances at —c, les deux nombres composant à et b n’entrent pas de la même manière dans la composition du résul- tat e, et le problème de trouver l’exposant lorsque la base et la puissance sont données, cesse d’être élémen- taire. Ce n’est pas ici le lieu de nous occuper de cette considération. /’oyez LoGARITHMES. 14. Les six opérations précédentes : l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, l'élévation aux puissances , et l'extraction des racines, renferment, comme nous le verrons en son lieu, tous les modes élé- mentaires de la construction des nombres. Ainsi toutes les opérations possibles sont comprises dans les trois formes directes : NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 5 AEN—Cr ab C; ETES et dans les trois formes inverses. 6 CD = pee Vans Jy/e—= 15. Lorsqu'on compare deux nombres ensemble, on trouve uécessairement que ces nombres sont égaux où inégaux. Le signe de l'égalité nous est connu. Celui de l'inégalité est + ainsi, a > bou b a signifie que «a est plus grand que b. Le plus petit nombre devant être placé à la pointe ,du signe 7. L'égalité ne peut, dans sa simplicité élémentaire, nous fournir aucune considéra- tion nouvelle; mais l'inégalité peut être envisagée sous deux aspects différens : 1° comme donnant naissance à une différence ; 5° comme déterminant un quotient. Les deux nombres 12 et 4, par exemple, comparés en- semble, nous fournissent les deux relations. 192— 4 —$ , 19448; et, dans ce cas, 8 et 3 se uomiment les rapports des nom- bres 1% et 4, savoir : 8 le rapport arithmétique, et 3 le rapport géometrique. 16. Deux rapports égaux constituent une PROPORTION. Ainsi, l'égalité 12—4—=15—7 est une PROPORTION ARITHMÉTIQUE dont le rapport est 8, et l'égalité ® 129 — 2010 est une PROPORTION GÉOMÉTRIQUE dont le rapport est 4. On écrit encore la proportion géométrique de la ma- nière suivante, 12 : 3 :: 20 : 5. Ce qui se lit 12 est à 3 comme 20 est à 5. 17. Une suite de rapports égaux forme une ProGnrts- sion. La progression est arithmétique lorsque les rap- ports sont arithmétiques, et se désigne ainsi : z 2.4.6.8.10.12.14.16.18.20.92, etc. C’est l’abréviation de 2—4=4—6:-6—8—8—10—10—19—192—14— , etc. La progression est géométrique lorsque les rapports sont géométriques. Elle se désigne par 7 2:14:8::146:182: 641: 198 : 256.: etc. C’est l’abréviation de 2:4=4,:9 —6 : 16 — 716 : 32 — 5 "64 = etc. ‘els sont 16s principaux objets employés dans la par- tie élémentaire de la science des nombres. Quant aux algorithmes supérieurs, il nous serait impossible, dans cet examen si superficiel, d’en donner aucune notion sa- tisfaisante, et nous ne pouyons que renvoyer aux articles qui les concernent. ÏT. SCIENCE DE L'ÉTENDUE. 18. L’étendue est uné portion déterminée de l’espace indéfini. Ainsi, la place que les corps occupent dans cet espace forme l'étendue particulière des corps. 19. L’étendue dés corps à trois dimensions : /on- gucur , largeur et épaisseur. On‘la nomme s611pE. 20, Si l’on fait abstraction de l’une de ces dimensions, on a la conception d'une étendue en longueur et largeur seulement, que l’on nomme surracr. Les surfaces peu- vent être considérées comme tes limites des corps. 21. En faisant encore abstraction d’une des dimen- sions des surfaces, on a la conception d’une étendue en longueur seulement; el cette étendue se nomme riGNE. On peut considérer les lignes comme les limites des sur- faces. 22. Les extrémités ou les limites d’une ligne se nom- ment poinrs, On donne encore le nom de point à l’en- droit où deux lignes se rencontrent. Le point mathé- matique doit être conçu comme n'ayant aucune espèce détendue. La génération des lignes, des surfaces et des solides s'opère, pour l'intelligence, dans un ordre inverse de celui que nous venons d'établir (Joy. GÉomÉrRIE) ; mais il s’agit seulement ici d’en donner une idée popu- laire. 23. On considère deux espèces de lignes : les droites et les courbes. 24. La ligne droite, que l’on nomme simplement la droite, est celle dont toutes les parties ont une même di- rection. IÏ n’y à conséquemment qu’une seule espèce de ligue droite. 25. La ligne courbe est celle dont la direction varie à chaque point, en la considérant comme formée par une infinité de points placés les uns à côté des autres. Il y a plusieurs espèces de lignes courbes. On désigne une ligne ‘A B par les lettres placées à ses extrémités. AB: est: uner : 22277000 LU RQ CT D ligne droite, et CD une ligne courbe. 26. La surface plane cst celle sur laquelle étant pris deux points quelconques, si lon ‘suppose une droite menée par ces deux points, cette droite sera entière- ment contenue dans la surface, et se confondra avec elle. I n’y a qu'uné seule espèce de surface plane. On la nomme aussi simplement plan, 27. La surface courbe est celle sur laquelle on ne peut appliquer une ligne droite dans tous les sens. If y a plusieurs espèces de surfaces courbes. 28. Nous supposcrons, dans ce qui sûit, que toutes 4 NOTIONS PRÉLIMINAIRES. les lignes dont nous allons parler sont tracées sur un même plan. A c Lorsque deux droites se rencon- trent, elles forment un axeze. Le point de rencontre se nomme le som- met de l'angle, et les droites en sont les côtés. On désigne un angle par trois lettres, en plaçant celle du som- : met au milieu. Ainsi, l'angle formé par les deux droites AB, BC, se nomme l'angle ABC. Quelquefois on désigne l’angle parla seule lettre du sommet. 29. La grandeur d’un angle ne dépend pas de la lon- gueur des lignes qui le forment, mais de la différence de leurs directions. Plus b cette différence est grande CS et plus l'angle est grand. \ 73 Ainsi, l'angle BAC aug- » D san | SN} menterait successivement RE si le côté AB prenait SE À directions Ab", Ab”, Ab"', etc. ; et enfin il arriverait à son maximum de grandeur, si le côté AB prenait la direction Ab” opposée à celle de l’autre côté AC. Le maximum de grandeur d’un angle est donc l’état dont il peut approcher indéfiniment, mais qu'il ne peut at- teindre sans cesser d'exister, puisqu’alors ses côtés ne forment plus qu’une seule ligne droite. 30. On nomme angles contigus où angles de suite deux angles qui ont un D côté commun, et dont les ; T deux autres ne forment 4 | A C qu’une seule ligne droite. B els sont , par exemple, les angles BAD , DAC. 31. Lorsque deux angles contigus sont égaux, c'est qu’alors la droite AD rencontre la droite BC sans pencher plus vers AB que vers D AC, ou que les différences de sa direction avec celles de chacune de ces droites est la même de part et d'autre. La D A € droite AD est dite alors PERPENDICULAIRE sur la droite BC , et les angles égaux BAD , CAD, prennent le nom d'ANGLES DROITS. 32. Lorsqu'une droite en rencontre une autre sans lui être perpendiculaire , elle est dite oBLIQUE par rapport à cette dernière, et les angles qu’elle forme sont plus ou moins grands que les angles droits. 33. On nomme angle obtus tout angle plus grand qu’un angle droit, et angle aigu tout angle plus petit. Par exemple ( fig. 1 ), l'angle BAD est obtus , et l'angle DAC est aigu. 34. Lorsque deux droites se coupent en un point, telles que AC et DB les angles qu'elles forment, et qui sont construits d'une manière opposée, A D sont égaux; ils se nomment verticaux ou opposés pour le sommet. Ainsi, les angles égaux AOB, COD sont des angles verticaux. Îl en est de même des angles AOD, BOC. 35. Deux droites AB, CD, qui ont la même direction, et qui, par consé- L È quent, ne peuvent se rencon- à B trer lors méme qu’on les pro- longerait à l'infini, se nom- ment lignes parallèles. C D 36. Lorsque deux parallèles sont rencontrés par une troisième droite, cette droite, qu’on nomme en général transversale, forme avec les parallèles trois classes d’an- gles égaux deux à deux. 1°. Les angles situés dans le même sens, l’un en de- dans, l’autre en dehors des pa- A C rallèles, ettous deux d’un même côté de Ja transversale, se nom- ment angles correspondans. EL mlee , AFC G els sont. les angles égaux AFG, É CGH. E 2°, Les angles situés en de- dans des parallèles, et d’un p D côté différent de la transversale, se nomment angles al- ternes internes. Tels sont les angles égaux AFG, FGD. 3°. Enfin les angles situés en dehors des parallèles, et d’un côté différent de la transversale, se nomment angles alternes externes. Tels sont les angles égaux EFB, CGH. On nomme en général angles internes tous ceux qui sont compris en dedans des parallèles, et angles exter- nes ceux qui sont en dehors. Les angles AFG, BFG, CGF, EGD, sont les angles internes, et les angles AFE, BFE, CGH , DGH, sont les angles externes. 37. Lorsqu'un plan est limité par des lignes, on le nomine figure, particulièrement figure rectiligne lorsque les lignes sont droites, et figure curviligne lorsque les lignes sont courbes. Les figures rectilignes se nomment en général polygones; les droites qui forment la limite, prises en- semble, en sont le contour ou le peri- fan mètre. 38. On nomme en particulier TRIAN- GLE un polygone de trois côtés(1); QUA- DRILATERE, Celui de quatre côtés (2); 3 PENTAGONE, celui de cinq côtés(3); HExA- Gone , celui de six côtés, etc., etc. 39. Un polygone étant composé d’angles et de côtés, peut être considéré sous ces deux rapports. Si l’on fait NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 5 cette application au triangle, on aura les deux classifica- tions suivantes : 1°. Considéré par rapport aux an- c gles, il prend le nom de : Triangle rectangle lorsqu'il à un angle droit; alors le côté opposé à l'angle droit prend le nom d'Aypothc- nuse. Par exemple, dans le triangle rectangle ABC , le côté BC est l'hypo- à D thénuse. Triangle obtusangle où amblygone, s'il a un angle obtus ; Triangle acutangle où oxigone, si ses trois angles sont aigus. 2°, Considéré par rapport aux côtés, il prend le nom de : Triangle équilatcral, si ses trois côtés sont égaux ; Triangle isocèle, si deux seulement de ses côtés sont égaux ; Triangle scalène, si ses trois côtés sont inégaux. On appelle sommet d'un triangle le sommet d’un quelconque de ses angles; et alors le côté opposé à cet angle se nomme la base du triangle. On prend ordi- nairement pour sommet du triangle isocèle le sommet de l'angle formé par les deux côtés égaux. On nomme hauteur d’un triangle la perpendiculaire abaissée de sou sommet sur sa base. lier : Quarré, celui dont e: quatre côtés sont égaux et 40. Quant aux quadrilatères, on nomme en particu- 1 2 | E | } les quatre angles droits (1); Rectangle, celui dont = Pi on moe Lozange où rhombe, celui dont les côtés sont égaux LE] \ les quatre angles sont droits , sans que les côtés soient égaux (2); sans que les angles soient droits (3). Parallélogramme, celui dont les côtés opposés sont parallèles (4) ; Et enfin trapéze, celui qui n’a que deux côtés paral- lèles (5). 41. On nomme en général polygone équilatcral celui dont tous les côtés sont égaux ; polygone équiangle, celui dont tous les angles sont égaux, et polygone régu- lier celui dont les angles et les côtés sont respectivement égaux. 42. De toutes les figures curvilignes, on ne considère que le cencce dans la géométrie élémentaire. C’est un plan limité par une ligne courbe dont tous les points sont à égale distance d’un point pris dans l’intérieur de la figure, et qu’on nomme le centre. La courbe qui li- init cette figure se nomme cérconférence du cercle, où simplement circonférence. Telle est la figure POSBP. La ligne courbe PQSBP est la circonférence ; l'espace renfermé dans cette ligne est le cercle, et le point A est le centre. Les droites que l’on pourrait supposer menées du centre à divers points de la circonférence, et qui sont toutes égales, se nomment rayons. Telles sont les ligues AË, AB, etc. Une droite PQ, menée dans le cercle, et qui EE D M Bo — 15, R TN JRESQI ) se termine de part et d'autre . RE À Q \/ p. double du rayon, tous les diamètres sont égaux. à la circonférence , se nomme ma corde. Lorsqu'une corde passe par le centre, comme } 7 BE DC, elle prend le nom de d'a- mètre. Un diamètre étant le La partie de la circonférence interceptée, ou , comme on le dit, sous-tendue par une corde, se nomme are de cercle. PmQ cst l'arc sous-teudu par la corde PQ. Une droite telle que MN, qui coupe Ja circonférence en deux points, æ nomme sécante. Une droite comme TR, dont la direction coïncide avec celle de la circouférence dans un seul point de cette courbe se nomme /angente. Le point S, commun aux deux lignes, se nomme point de contact. Une portion de cercle EAB, terminée par deux rayons €t par l'arc intercepté, se nomme secteur. On appelle segment la partie 737PQ comprise entre l'arc QP et la corde PQ. 42. Les relations des lignes entre elles sont considé- rées dans un même plan; mais celles des lignes avec les surfaces, ainsi que celles des surfaces entre elles, sont con:idérées dan; l’espace indéfini. Une droite est dite perp : diculaire à un plan lors- qu’elle forme des angles B droits avec toutes les droites qu'on peut mener dans le plan en partant du point où elle le rencontre. Ainsi, la ligne AB sera perpendicu- MÈ= P laire au plan MC, si en menant les droites AD, AE, AC, etc., dans ce plan, les angles BAC, BAD, BAE, etc. , sont droits. 43. Un plan CB est perpendiculaire sur un autre plan MN, si d’un point quelconque o pris dans ce plan, abais- sant une perpendi- culaire oD sur la 6 NOTIONS PRELIMINAIRES. section AB des deux plans, cette perpendiculaire est également perpendiculaire au plan MN. 44. Lorsque deux plans QP et QR se rencontrent , ils formentun angle qu'on me- . sure par l'angle des droites AB et AC, menées dans ces plans, toutes deux perpen- diculaires à la section QS, = au méme point À decette © section. 45. Deux plans AB, CD, sont parallèles lorsque pro- longés indéfiniment de toutes parts, ils ne peuvent ja- mais se rencontrer; alors leurs sections MP et ON, avec un troisième plan, qui les coupent tous deux, con- sidérées dans ce dernier plan, sont deux droites paral- lèles. La distance des deux plans parallèles est mesurée par une perpendiculaire QR, abaissée de l’un quel- conque de ces plans sur l’autre. 46. On appelle angle solide un angle O formé par la réunion de plusieurs plans MON, MOS, SON, qui se coupent en un même point. 47. On nomme en général polyèdres les solides ter- minés par des plans. Si ces plans sont égaux et réguliers, les polyèdres sont réguliers. Il n’y a que anq polyèdres réguliers : le tetraèdre, terminé par quatre triangles équilatéraux égaux; l’aexaèdre ou le cube, terminé par six quarrés égaux ; l'octaèdre , terminés par huit triangles équilatéraux Tégaux; le dodécaëdre, terminé par douze pentagones réguliers égaux ; et l'icosaèdre , terminé par vingt triangles équilatéraux égaux. 48. L’hexaèdre, terminé par huit plans parallèles deux à deux,se nomme parallélipipède ; c’est un parallélipi- ‘ pède rectangle lorsque les plans sont des rectangles; et enfin c’est un cube comme nous l'avons dit ci-dessus, lors- que les plans sont des quarrés. 49. Le prisme droit (x) est un polvèdre qui a deux plans polygonaux parallèles et égaux . et dont tous les autres plans sont des rectangles perpendiculaires à la Fois à ces deux polygones. 50. Le prisnie oblique (2) a ; comme le prisme droit, deux faces égales et parallèles ; mais ses autres plans sont des paralléiogrammes non perpendiculaires aux deux polygones. 51. Lorsque les plans parallèles sont des triangles, les prismes se nomment prismes triangulaires. On les nomme encore prismes quadrangulaires, lorsque ces plans sont des quadrilatères ; prismes pentagonaux, lors- qu'ils sont des pentagones; prismes hexagonaux , lors- qu'ils sont des hexagones, etc., etc. Les prismes (1) et (2) sont des prismes pentagonaux. On donne indifféremment le nom de base à chacun des pians polygonaux d’un prisme. Sa hauteur est la perpendiculaire qui mesure la distance de ces plans. 52. La pyramide est un polvèdre dont une des fa- ces, nommée buse, est un polygone quelconque, et dont tous les autres plans sont des triangles qui s'élèvent sur les côtés de ce polygone, et vont se réunir par leurs sommets à un inême point, qu’on appelle le sommet de la pyramide ; (1) et (2). Une pyramide est dite triangulaire, quadrangulaire, pentagonale, hexagonale, etc., etc., selon que sa base est un triangle, un quadrilatère, un pentagone, un hexagone, etc. On nomme pyramide droite celle dont tous les plans qui se réunissent au sommet sont des triangles isocèles de même hauteur (1), et pyramide oblique celle où ces triangles ont des hauteurs différentes (2). La hauteur d'une pyramide est la perpendiculaire abaissée de son sommet sur le plan de sa base. 53. De tous les solides terminés par des surfaces cour- bes, on ne considère dans la géométrie élémentaire que le cylindre, le cône et la sphère. NOTIONS PRELIMINAIRES. va - 7 Le cylindre est un solide terminé par trois surfaces, lorsque l’axe est perpendiculaire à la base; il est oblique dont deux sont planes et parallèles entre elles, et dont la troisième est convexe et circulaire. On peat le consi- dérer comme un prisme dont les bases seraient des po- lorsque l'axe est incliné (2). La hauteur d'un cône est la perpendiculaire abaissée de son sommet.sur le plan de sa base. RES Re ; — 7 lygones réguliers d’un norabre infini de côtés. 55. La sphère est un solide terminé par une seule sur Le cylindre est droit (1) lorsque la perpendiculaire, abaissée du centre de l’une de ses bases sur l’autre, tombe sur le centre de cette dernière Il est oblique (2) dans face courbe, dont tous les points sont également éloi- gnés d’un point pris dans l'intérieur, et qu'on nomme centre. : Toutes es droites 5 ‘e à É tous les autres cas. On nomme are du cylindre la tes 1es droites menées du centre à la surface de la : PAT . s or ar : . AE droite qui joint les centres de ses bases. Sa hauteur est phère sont par conséquent égales ; ; : ; : on les nom e ‘ticu- la perpendiculaire qui mesure la distance de ses bases. ! e me chacune en particu k j lier rayon de la sphère. Une droite 54. Le cône est un solide dont la base est un cercle, | qu passe par le ceutre, et se ter- et qui se termine par le haut en une pointe qu’on ap- : E G P 2 P Le P7 mine de part et d’autre à la surface, elle Je;ssommet. On peut considérer le cône comme se Bb P E se üvmme axe ou diamètre. Tous une pyramide dont la ait ur lvgone régulier Fe : P' t la base serait un polyg Li les diamètres d'une sphère sont d’un nombre infini de côtés. , PE égaux , puisqu'ils sont tous composés de deux rayons. La ligne droite menée du sommet d’un cône au cen- tre de sa base se nomme l’axe. Le cône est droit (1) ABRÉVIATIONS EMPLOYÉES DANS LE COURS DE L'OUVRAGE. Acoust. — Acoustique. Ag. — Algèbre. Arch. — Architecture. Arith. — Arithmétique. Arp. — Arpentage. Art. — Artillerie. Ast. — Astronomie. Cal. diff. — Calcul différentiel. Catopt. — Catoptrique. Cos. — Cosinus. Cosec. — Cosécante. Cos. vers. — Cosinus verse, Cot. — Cotangente. Diopt. — Dioptrique. Dyn. — Dynamique. Géod. — Géodésie. Geog. — Géographie. Géom. — Géométrie. Gnom. — Gnomonique. Hydraul. — Hydraulique. Hydrog. — Hydrographie, Hydrod. Hydrost. Mec. Nav. Op. Persp. Pneu. iSée. Sin. Sin. vers. Stat. Tang. Trig. Voy. Hydrodynamique. Hydrostatique. Mécanique. Navigation. Optique. Perspective. Pneumatique. Sécante. Sinus. Sinus verse. Statique. Tangente. Trigonomttrie. Voyez. Dans les renvois, le chiffre qui suit le chef d'article indique le paragraphe. Ainsi (Foy. Alg. 13), signifie : Voy. l'article ALGÈBRE, paragraphe 13. DICTIONNAIRE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES. À AB ABACO , ou plutôt Ausaco ( Paur de l) naquit à Florence au commencement de ce XIV® siècle, célèbre par l'invention de la boussole, découverte qui favorisa les tentatives hardies des navigateurs du siècle suivant. Paul doit être compté parmi les savans de cette épeque, dont les utiles travaux préparèrent les progrès qui ne tar- dèrent pas à s’opérer dans le vaste domaine des connais- sances mathématiques. Contemporain du Dente, de Cino et de Pétrarque, quelques biographes, sans le placer au même rang que ces grauds poètes, vanteut quelques- unes de ses productions littéraires, qui malgré leur in- correction, révèlent un talent remarquable. Mais Paul dut surtout sa renommée à ses prodigieuses connais- sances en arithmétique ct en géométrie; elles lui mé- citèrent le surnom &’Abbaco , car Paolo del Abbaco si- guifie littéralement Paul de l'arithmétique. On croit qu'il fut un des premiers mathématiciens qui pratiquè- rent l'algèbre. On lui doit aussi d'importantes observa- tions astronomiques, qu'il fit à laide d'instruments de son invention. Il mourut en 135, peu de temps avant Boccace. : ABACUS ou AvaqQue. Instrumenten usage dans Fan- fiquité pour faciliter les calculs arithmétiques. I parait que £’était dans l’origine une petite table couverte de pous- sière sur laquelle on traçait les figures et où l’on exécutait les opérations. Cet instrument semble aussi ancien que l'arithmétique elle-même et on le retrouve chez les Grecs, les Romains, les Chinois, les Allemands et les Français. Sa forme varia avec le temps ; il devint enfin un cadre long divisé par plusieurs cordes parallèles dans chacune desquelles étaient cafilées dix petites bou- les. La première ligne à droite était celle des unités, la « seconde celle des dixaiues, la troisème celle des cen- AB taines, etc. Pour écrire un premier 5300|| uombre sur l’abacus, on commen- çait par relever toutes les boules la 1} partie supérieure de l'instrument, ——2000600%02| et ensuite on abaissait sur chaque ligue, à la partie inférieure, un nombre de boules égal aux unités, de l’ordre de ces lignes. Ainsi, par exemple, pour écrire le nombre 3564 on abaissait 4 boules à La partie inférieure de la première ligne, 6 à celle de la seconde, 5 à celle de Ja troisième ct 3 à celle de la quatrième. Le nombre 3564 se trouvait ainsi re- présenté comme il l'est dans la figure (1) ci-contre. Ce nombre étant écrit, s’agissait-il de lui ajouter ua autre nombre 53529; on commençait par abaisser 9 boules de la partie supéricure de la première ligne à la partie inférieure ; et comme, dans le cas présent, il n'en restait que G, après avoir abaissé ces 6 boules, on relevait les 10 à la partie supéricure, en abaissant une boule, pour cette dixaine, à la seconde colonne, et on achevait l'opération , sur la première, en abaissant 5 boules pour compléter les 9 qu'il s'agissait d’abaisser, Passant à la seconde colonne, on abaissait 2 boules pour le chiffre 2 des dixaines du nombre 53329. Arrivé à la troisième colonne, on abaissait d’abord les à boules res- tantes, ensuite on remontait le tout, en abaissant, pour la dixeine, une boule de la quatrième colonne et on re- descendait 2 boules à latroisième colonne pour com- pléter le chiffre 7. Passant à la quatrième colonne, on abaissait 3 boules pour le chiffre 3 des mille et enfin ou abaissait 5 boules à la cinquième colonne pour le chiffre 5 des dixaines de mille. L'apparence finale de l’abacus 2 40 AB était, après cette opération, celle de la figure 2, et le nombre 55293 quis’y trouve écrit, à la partieinférieure, est la somme des deux nombres 3564 et 53529. Pour ajouter un nouveau nombre à 55293 on agirait de la même manière et ainsi de suite. On voit donc qu’a l’aide de cet instrument les additions des nombres peuvent s'effectuer avecla plus grande facilité ; il en estde même des soustractions, qu’on peut exécuter par une marche inverse de celle que nous venons de décrire. L'abacus abandonné par toutes les nations euro- péennes se trouve encore en Chine et dans quelques parties des Indes. Agacus de Pythagore. Table pour faciliter les calculs. C'était probablement une table de multiplication sem- blable à celle que nous avons encore et qui porte lenom de Pythagore. ABAISSEMENT (4/gèbre). On appelle abaissement d’une équation la réduction de cette équation à un degré inférieur. Par exemple, l'équation du sixième degré x$ + pas + q = 0 s’abaisse au second en fei- sant xŸ— y, car alors on a y? = x et en substituant ces valeurs de x?, x° dans l'équation, elle devient y? + py + q = 0. En général, une équation de la forme x + p æ"—+ q —o peut toujours s’abaisser au second degré en y faisant x" = y ; et une équation du degré mn et de la forme m (n—1 m(n—2) 112 nm æ is À x de A;x etc... An1x H A;=0o s'abaisse au degré » par la substitution d’une nouvelle inconnue ÿ = x". | En géométrie on dit abaisser une perpendiculaire d’un point sur une ligne ou sur une surface, et dans ce cas, ce mot abaisser signifie mener. ABaissemENT de l'horizon sensible. Vovez Horizon. Awaissement des planètes par l'effet de la parallaxe (Astr.) Voyez ParaLLaxe. ABaAIssEMENT d’un astre sousl’horizon. (4str.)Ilest me- suré par l’arc du cercle vertical, compris entre Pastre et horizon. f’oyez VErricar. ABEILLE (45tr.). Constellation méridionale, nom- mée aussi mouche indienne ; elle n’est point visible en Europe. De toutes les étoiles qui la composent, les trois plus remarquables ne sont que de la quatrième grandeur. ABENEZRA (Astr.Ÿ. Nom arabe de l'étoile de la première grandeur, parmi les hyades qui font partie de la constellation du Taureau; ce nom signifie la grande étoile, la principale étoile. Les Grecs l'appelaient Lam- padias où Hypochiros. Les Latins Palilicium ou Parili- cium et Subrufa. Elle est connue aussi sous la dénomi- nation d'œil-du-taureau et plus généralement sous le nom d’Aldeboran. On croit aussi que cette belle étoile est Je génie Taschter des Indiens, qui préside à l’éani- AB noxe du printemps. Elle est située fort près des Pléiades, sur la ligne menée de l’épaule occidentale d’Orion. ABERRATION (4str.). Mouvement apparent des corps célestes causé par la combinaison du mouvement de la iumière avec celui de la terre autour du soleil, Le changementde position qui résulte pour les étoiles fixes de ce mouvement est si petit que les astronomes anciens ne s’en étaient point apercus; et quoiqu'il soit un produit nécessaire de deux causes connues, au moment de sa dé- couverte il w’ayait point été entrevu par la théorie lors- qu'il fut annoncé au monde savant en 1728. C’est au célèbre astronome anglais Bradley qu’on doit cette im- portante découverte dont il a exposé lui-même l’his- toire dans le numéro 406 des Transactions Philosophi- ques. Il y fut conduit accidentellement par plusieurs observations faites avec un soin éxtrême, À l’aide d’ins- trumens à grandes dimensions, et entreprises dans le but de détesniner la parallaxe annuelle des étoiles fixes. (F’oyez PARALLAXE. ) Le phénomène de l’aberration peut être conçu de la manière suivante : Soit À une étoile, dont une molécule lumineuse par- court la distance AB qui la sépare de la terre dans un temps quelconque. Si cette molécule rencontre au point m le centre de l’ouverture su- ; D 1A Le périeure d'un tube creux ou Q d’un télescope z2c incliné par rapport à BA; la molécule lu- mireuse , si le tube est immo- bile, ira frapper sa surface inté- rieure, elle sera conséquemment absorbée ou réfléchie, ct ne parviendra pas en c à l'œil de l'observateur. Muis si l’on sup- Bic c2c pose que le tube soit transporté parallèlement à lui-même decen B, et cela, dans le même temps que la molécule lumineuse parcourra la distance »B, il est évident que cette molécule descen- dra librement le long de l’axe du tube, se trouvant en o lorsque le tube est en 72" c', en o' lorsque le tube est en m"c" ct enfin parvenant en B, à l’œil de l'observateur lorsque le tube arrive dans la position »2'"B. Aïnsi la lumière, tout en suivant la route #4B, se sera toujours trouvée dans l’axe du tube, et l'observateur qui renvoie l'image de l’objet dans la direction BD, où il la reçoit verra l'étoile en D et uon en A. La différence qu'il y a entre la véritable place et le lieu apparent de l'étoile ou l'angle ABD, constitue l’aberration. T7 Or, dansle triangle 2Bc on a la proportion (Tricoxo- mÈTRIE) CB : By : : sinus Brnc : sinus Bcm d’où l’on tire sin Bric = sin Bem. AB Mais dans la construction de notre figure, nous avons supposé que la distance léré, pour trouver celui parcouru pendant fa huitième seconde en particulier, on poserait la proportion PeTOr ST — 0e, tandis que pour avoir l’espace total parcouru pendant les huit secondes , on poserait celle-ci : AOC HME Toutes les déductions des formules précédentes peu- : x — 64g. vent être récapitulées ainsi qu'il suit : ete :: 0: es ei: v LA v'é, (4 . ? . er e ti ee y v ls d':: ev :ev’, D'après ce que nous venons de dire, en prenant la seconde pour unité de temps, il suffit de connaitre la quantité g ou l’espace parcouru peudant la première seconde du temps d'un mouvement uniformément accé- léré, pour pouvoir, à l’aide des formules précédentes , calculer toutes les circonstances de ce mouvement. Il est donc important de faire entrer dans les formules cette quantité constante g, afin de les rendre immédiatement applicables aux cas particuliers. Or, nous avons , en gé- néral,e:e'::4 : 4°, et par conséquent e:g::42:1, ce qui donne (ni) e= gl. Mais g étant l’espace parcouru pendant la première se- conde , la vitesse finale à la fin de cette seconde sera 2g, et conséquemment la vitesse finale, après le temps 4 sera (7) —= 9281, + exprimant un nombre de secondes. Des deux équations(m) et (x), on tire les théorèmes pratiques suivans qui embrassent toutes les questions qu’on peut se proposer sur le mouvement uniformément T2. + e accéléré : e v ra 2e Ce TD — b..T= 0 Lg... 1= Ve 28 6° s ; 2e a VI ALL G...v—2Veg 10. = — p? dv Rise 6 7... e=— Il. e—— AS 2 4 e g y p? …. rs does L— — 12%. L—=—— 8 PTS 97 4e La chute des corps pesans dans le vide nous donne un exemple d'un mouvement uniformément accéléré ; car l'expérience a démontré que les espaces qu'ils par- courent sont proportionnels aux carrés des temps, et que les vitesses qu'ils acquièrent sont simplement pro- portionnelles aux temps. La pesanteur est donc, comme A (8 l'a découvert Galilée , une force accélératrice constante ; et, connaissant seulement l’espace parcouru par un corps pendant la première seconde de sa chute, on pourra déterminer avec exactitude toutes les particularités du mouvement de ce corps. Nous devons cependant faire observer que la pesanteur n’est une force constante que pourdes chutes d’une médiocre hauteur; car rigoureuse- ment elle varie en raison inverse des carrés des distances au centre de la terre. (Foy. Arrracriox. ) Mais lorsque la hauteur dont un corps tombe est peu sensible par rapport au rayon de la terre, on peut alors supposer, sans erreur, comme nous le verrons plus loin, que la pesanteur est constante. Des expériences faites avec un soin extrème ( ay. Pexpure), ont démontré que l’espace parcouru , pen- dant la première seconde, par un corps qui tombe li- brement, en vertu de la seule pesanteur, varie avec la latitude des lieux, et qu'il est le même pour tous les corps, à la même latitude. À Paris, cet espace est égal à 4 mètres,9044. Nous avons donc pour Paris g—4",0044; et, à l’aide de ce nombre, nous pouvons résoudre tous les problèmes relatifs à la chute des corps. Dans ce qui suit, nous faisons abstraction de la résistance de l'air, ou,ce qui est la même chose, nous considérons les mouvemens comme s’effectuant dans le vide. I. Prosriwe. Quel espace a parcouru un mobile dans une chute de 10 secondes, et quelle est sa vitesse finale ? Ici nous avons {= 10; donc(5),e=10°X4,9044 = 490,44. L'espace parcouru pendant la chute était donc de 490,44. De même (2), 98,044, dernière vitesse acquise. II. Pros. Quel nombre de secondes emploicra un v—92.10.4,9044 — corps pour tomber d'une hauteur de 400 mètres? Ici nous avons e — 400, et la formule (9) nous donne 400 t= — —= 9 secondes à peu près. 4,9044 IL. Pror. Combien de temps un corps doit-il tomber pour acquérir une vitesse finale de 100 mètres par se- conde ? Nous avons v— 100, et la formule (1)nous donne = — 10 secondes 314 peu près. 2. 2.4,90! 44 10 IV. Pros. Trouver la hauteur de laquelle un corps doit tomber pour acquérir une vitesse finale de 100 mé- tres par seconde. En faisant v = 100 dans la formule (;), 100? elle donnee= > — 509,7461. Ce problème se 4.4,9044 présente souvent dans la mécanique. L'action de la pesanteur sur un corps est indépen- dant de la vitesse qu'on pourrait lai communiquer en le lançant de haut en bas avec une force quelconque; car son effet étant d'imprimer au corps des vitess®s égales en temps égaux à toutes les époques du mouve- ment, quoiqu'il soit, à ces différentes époques , animé AC de vitesses différentes, il est évident que cette action ne dépend pas de la grandeur de la vitesse du mobile, et qu'en désignant par a la vitesse communiquée au meo- bile par une force quelconque, au moment de sa chute, la vitesse finale sera a H ogt, et l’espace parcouru atbge, les deux forces impulsion et de pesanteur ayant agi toutes deux en même temps sur le mobile, comme si chacune d’elle en particulier était seule. Or, il est naturel de supposer que pareille chose doit arriver en sens inverse, c’est-à-dire que dans un corps lancé verticalement de bas en haut la pesanteur doit diminuer continuellement la vitesse par les mêmes degrés qu’elle l'augmenterait pendant la chute du corps, c’est-à-dire que si l’on désigne par a la vitesse initiale du corps, sa vitesse à la fin de la première seconde sera a— 2g, à la fin de la seconde a—4g, à la fin de la troisième a —Gg. C’est en effet ce que l’expérience confirme : ainsi il suffit de rendre g négatif dans les deux expressions précé- dentes pour obtenir le mouvement d’un corps pesant lancé de bas en haut avec une vitesse initiale 4, on a donc p=a—2g e—al-gl, g étant toujours égal à 4w,9044 pour la latitude de Paris. Le corps s’élevera jusqu’à ce que la vitesse devienne nulle, et alors il commencera à redescendre; si nous dé- signons par À la plus grande hauteur à laquelie il puisse parvenir, et par 9 le temps qu'il emploiera pour y arri- ver, nous aurons. o=a—92g9, h—aî—g, d’où l’on tire “ he ; peurs 28 Âg parvenu à cette hauteur A, le corps retombera vers la 0= terre reprenant successivement, par l'effet de sa pesan- teur, tous les degrés de vitesse qu'il avait perdus en montant; Car sa vitesse finale en tombant de Ja hauteur ga? mA hsera(6),24/gh— »\/E ——=4y/a = a. D'où lon con- 4 ( clut que pour élever un corps à une hauteur donnée, il faut lui imprimer une vitesse égale à celle qu'il ac- querrait en tombant de cette hauteur. Ainsi, d’après le problème L, si un corps était lancé de bas en haut avec une vitesse initiale de 98,088 par seconde , il s’éleverait à une hauteur de 480"44, et quand il serait retombé de cette hauteur, sa vitesse finale serait redevenue égale à 98,088. Passons aux mouvemens des corps qui glissent sur des plans inclinés (Voyez PLan incriné). La pesanteur se décompose alors en deux forces , l’une perpendiculaire et l'autre parallèle au plan ; la première est détruite, ct c'est :: seconde seule qui produit le mouvement. Pour se rendre compte de la nature de ce mouvement, il faut partir du principe que les vitesses communiquées AC 19 en temps égaux, à un même corps, par des forces diffé- rentes sont entre elles comme les intensités de ces forces. En vertu de ce principe, si la force agissant parallèle- ment au plan était la moitié de la force absolue de‘a pesanteur, la vitesse qu'elle imprimerait dans un temps quelconque serait la moitié de la vitesse qu'imprimerait la pesanteur dans le même temps. Ainsi le mouvement, le long d'un plan incliné, sera uniformément accéléré, el l'espace parcouru pendant la première seconde serait égale à ?g dans le cas présent. Généralement, pour un plan incliné quelconque dont la hauteur est A et la longueur {, la force parallèle agis- sante étant à la force absolue dans Îe rapport de À à Z, : = k : la vitesse, dans la première seconde, sera 57; substi- tuant donc cette quantité à la place de g dans les équa- tions précédentes, on aura les équations du mouvement «ccéléré sur un plan incliné. Nous trouverons de cette manière les trois équations fondamentales gh ogh he =. ep v=92 É. Il résulte de ces équations plusieurs particularités re- marquables que nous devons signaler. En y faisant e—7, c’està-dire en supposant que‘la longueur entière du plan‘incliné ait éte parcourue, nous trouvons pour l'expression du temps employé par le mobile, et v—2vy/gh pour l'expression de la vitesse finale à la fin de la chute. Cette valeur de v nous apprend que la vitesse acquise, lorsque le corps a par- couru toute la longueur du plan incliné, est la nn même que s’il füt tombé BCD E.F verticalement de la hauteur du plan. Sil’on avait donc une suite de droites AB, AC, AD, AË, partant toutes d’un même point À, et aboutissant à un même plan horizontal, les mobiles qui glisseraient sur ces droites, en partant ensemble du point À, acquerraient toutes des vitesses finales égales en arrivantau plan horizontal. Il résulte de la valeur de t, que toutes les cordes AB', AB”, AB", partant de diamètre l'extrémité À d'un AB, dans un cercle quelcon- vertical que, seront décrites dans le même temps par des corps pesans qui parii- raient au même instant du point À, Car, en supposant que 20 AC £ soit la longueur de la corde AB, en abaissant du point B' la perpendiculaire B'C sur le diamètre, AC sera la hauteur À du plan incliné AB'; désignant donc le dia- mètre AB par d, nous avons , dans le triangle rectangle ABB ( Voy. Crneue), AB° — AB X AC ou Z — dh. Substituant cette valeur de Z dans celle de 4, elle donne d {= Ve expression indépendante de la corde AB", et qui con- - ; À . vient également à toutes les autres. Mais Ve exprime le temps de la chute par le diamètre AB. Donc, dans un cercle, toutes les cordes sont parcourues dans le même temps que le diamètre. Mouvement variable accéléré. Lorsqu'une force accé- lératrice varie pendant le temps qu’elle agit sur le mo- bile, la vitesse acquise dans chaque unité de temps va- rie également, et le mouvement produit n’est plus uni- formément accéléré. Dans les corps pesans tombant d'une grande hauteur , la variation de la gravité due à leur rapprochement du centre de la terre, nous offre l'exemple d'un pareil mouvement; le frottement et la résistance des fluides nous présentent aussi des exemples de mouvemens variés. Quelle que soit la nature du mou- vement varié, l’espace parcouru, la vitesse acquise à chaque instant et la force accélératrice sont trois fonc- tions du temps liées entre elles par des lois. Représentons, comme ci-dessus, le temps par #, l’espace parcouru par e, la vitesse acquise par v, et la force accélératrice par ?. Cela posé, si nous concevons qne le temps { croisse d’une quantité infiniment petite dt (dtest ce qu'on nomme la différentielle det), l’es- pace parcouru croîtra d’une quantité correspondante de; mais, comme nous pouvons supposer que, pour parcou- rir cet espace, le mobile n'a été animé que de la vi- tesse », qu'il avait au commencement de dt, nous au- rons de = vdt, d'où (y) de : — & première équation fondamentale. Pour pouvoir mesurer la force que nous avons dési- gnée par ? , il faut la comparer avec une force accéléra- trice uniforme , et, conséquemment , il faut prendre les vitesses produites dans des intervalles de temps infini- ment petits, afin quon puisse considérer l'intensité de ces forces comme constante pendant ces instans. Soit donc f une force accélératrice uniforme, qui communi- que au mobile une vitesse v’ pendant l'unité de temps, v'dt sera la vitesse due à cette force pendant l'instant dt; mais, pendant le même instant dt, la force @ produit une vitesse dy; car la vitesse du mobile étant p à la fin AC du temps #, et v + do à la fin du temps t + dt, dvest la vitesse produite pendant le temps dt. Nous aurons donc de: dv : v'dt; d'où _Sf dv ? — v' . d' On simplifie cette expression en supposant que f soit l'unité de force et v' l'unité linéaire; c’est-à-dire eu pre- nant pour unité de force celle qui produit dans l'unité de temps une vitesse égale à l'unité de longueur. Par cette considération, la valeur de @ devient __ dv PT Mais, en différenciant l'équation (y), on a dv — ée Le substituant cette valeur de dy dans celle de #, elle de- vient (z) de P — de” seconde équation fondamentale. Ex prenant la pesanteur pour l'unité de force, et la seconde pour l’unité de temps, l'unité linéaire sera égale à 9" ,8088, ou au double de la quantité que nous avons désignée ci-dessus par g. Exprimant donc, au moyen de ces unités, le temps et les quantités linéaires qui entrent dans les deux équations (y) et (z), ces équa- tions nous feront connaître, en les intégrant, les rap- ports des données avec les inconnues des problèmes qu’on peut se proposer sur le mouvement varié. Nous nous contenterons ici d’une application impor- tante, celle de déterminer le mouvement d’un corps tombant verticalement dans le vide, en ayant égard à Ja variation de la pesanteur. Soient r le rayon de la terre, 2g la pesanteur à sa surface , À la distance du mobile au centre de la terre, à l'instant où le mouvement commence. Lorsque le corps aura parcouru un espace e en tom- bant , sa distance au centre sera k—e; par conséquent, sa pesanteur, ou la force accélératrice qui agit sur lui, sera donnée par la proportion p:ag::r:(h—e), l’action de la pesanteur étant en raison invérse du carré de la distance (Joy. ATTRACTION ). On tire de cette proportion 2gr° [.) = AR TE" (A—e) Substituant cette valeur de @ dans l'équation (2), elle donne pour l'équation du mouvement cherché de __2g" de (h—e} AC En intégrant cette équation , et la résolvant successi- vement, par rapport à w et à 4, on obtient les deux expressions —: cs en h(h—e) 1 h 7 ne = = [VUe —e ) + _ are (cos. =") |, qui embrassent le problème sous tous ses aspects. Lorsque le mobile tombe d’une petite hauteur , e est très-petit par rapport à d, et d ne diffère que très-peu de r; la première expression se réduit à ? Ï D V'eg. : h—2e Quant à la seconde, observant que arc Ce p 6 : he—e? : =arc| sin —2 ral etque le sinus > 4 à étant très-petit, peut être confondu avec son arc, elle 2 — hé e? h° se réduit, en négligeant e*, de, à très-petit par rapport à LE ar. ; Ve. 2Vre= = Ces valeurs de v et de £ sont les mêmes que celles dé- Juites ci-dessus pour le mouvement uniformément ac- céléré. On peut donc, ainsi que nous l’avious dit, con- sidérer la pesanteur comme une force accélératrice con- stante. Les deux équations fondamentales (y), (z), s'appli- quent également au cas du mouvement variable retardé, comme nous le verrons en son lieu. ACCORD ( Musique). Co-existence de plusieurs sons dont les intervalles sont consonnans. L'accord est parfait lorsqu'il se compose de la tierce, de la quinte et de l’octave du premier son. ( J’oyez Musique.) ACCORES ( Architecture navale ). Supports d'un vaisseau en construction. Ce sont des pièces de bois placées obliquement. ACCROISSEMENT ( 4/gèbre). On appelle accrois- sement l'augmentation que reçoit une quantité variable. Cet accroissement peut être fini ou infiniment petit; dans le premier cas il prend le nom de DiFFÉRENCE et se désigne par la caractéristique A; dans le second, il prend celui de DtFFÉRENTIELLE et se désigne par la ca- ractéristique d. Ainsi Ax représente l'accroissement fini ou la différence de la variable æ, et dx son accroissement infiniment petit ou sa différentielle. Lors- que dans une fonction quelconque d’une variable x que nous désignerons par gx, æ reçoit un accroisse- ment Ax ou dx, elle devient alors 9 (x + 4x) ou ? (x + dx) et croit conséquemment d’une manière AC 24 correspondante à l'augmentation de la variable; ces accroissemens se désignent encore par Agx et dpx et se nomment respectivement la différence et la différen- tielle de la fonction gx. Les accroissemens des fonc- tions ont des lois particulières qui sont l’objet d’une branche de la science des nombres nommée CaLcur DES DIFFÉRENCES, et dont les deux subdivisions princi- pales forment le calcul des différences finies et le calcul des difftrences infiniment petites où Île calcul différentiel. ( Foyez ces mots. ) ACHARNAR ( Astr. ). C'est le nom arabe d’une belle étoile de première grandeur, qui est à l'extrémité de l’Éridan. Elle est désignée dans les catalogues par la lettre «. ACHROMATIQUE (Optique). De xropx couleur, et d’z privatif; nom donné par Lalande à une lunette qui corrige l'aberration de réfrangibilité ; phéno- mène produit par la décomposition d’un faisceau de rayons parallèles, qui en traversant un milieu diaphane, se divise en différentes couleurs. Pour que l’image d’un objet soit bien distincte et bien nette, il est cependant nécessaire que ces rayons se réunissent au même point. Oa à cru long-temps qu’il était impossible de construire des instrumens au moyen desquels on püt arriver à ce résultat si important pour la précision et la régularité des observations. L’illustre Newton, lui-même, a fait à ce sujet des expériences imparfaites, et le télescope construit d’après ses calculs et ses plans ne remplit point ce hut. Vers le milieu du xvin° siècle le savant Euler proposa d'employer des lentilles composées de substan- ces différemment réfringentes. Il pensait que les veux sont achromatiques , c’est-à-dire qu'ils réunissent en un point toutes les espèces de rayons colorés. D’après ce principe il ne suffisait plus que d’imiter la nature pour parvenir au même résultat. Dollond , célèbre opticien anglais, appliqua le calcul d'Euler, en employant les réfrangibilités résultantes des expériences de Newton, et se convainquit de l'impossibilité de réussir par ce moyen. Une polémique s’éleva à ce sujet entre Euler et Dollond. Un tiers, Klingenstierna, mathématicien suédois, se mêla à la discussion, et parvint à prouver à Dollond que l’expérience de Newton reposait sur une erreur. Après divers essais, cet opticien mesura la force de dispersion de plusieurs substances ; il trouva que celle des verres qu’on appelle en Angleterreflintglass et crown- glass était dans le rapport de trois à deux ; il employa ces deux espèces de verres à former une lentille qu'il parvint à rendre achromatique , en ce sens qu’elle dimi- nuait considérablement les aberrations de réfrangibilité et même de sphéricité. Les objectifs achromatiques qui ont été long-temps composés de deux lentilles de crownglass, séparées par un verre de flintglass, concave des deux côtés, 99 AC ne se forment plus aujourd’hui que de deux verres accolés, dont l’un est une lentille de crownglass et l'autre un verre de flintglass bi-concave. (Joy. OPTIQUE.) ACLASTE (Optique). Nom des figures qui laissent passer les rayons de la lumière sans les réfracter, quoi- qu’elles aient toutes les propriétés requises pour opérer la réfraction. Ce mot a été inventé par Leibnitz. (Foyez Leibnitz op. tome n1, page 203.) ACOUSTIQUE. C’est une des branches de la phy- sique générale qui a pour objet le mouvement vibra- toire des corps considéré dans ses effets sur les organes de l’ouïe, ou dans la production des sons. On appelle mouvement vibratoire, les oscillations que font les molécules d’un corps élastique pour reprendre leur position primitive lorsqu'elles en ont été écartées par l’action instantanée d’une force quelconque. Ce mouvement est rendu sensible à l'œil dans une lame de ressort maintenue-fixément par une de ses extrémités et dont on écarte l'extrémité libre de sa position d'équilibre; dès qu’on abandonne cette extrémité à elle-même, la lame revient vers sa première situation, la dépasse en vertu de la vitesse acquise, retourne de nouveau en arrière, et exécule une suite d’oscillations d’une éten- due de plus en plus petite, jusqu'a ce que, par la perte successive de force due à la résistance du poiut d'appui et à la communication du mouvement à l’air environ- nant, elle rentre dans le repos. Lorsque ces vibrations, communiquées à l'air envi- ronnant, sont assez rapides et assez fortes pour arriver de proche en proche à la membrane du tympan d’une oreille humaine, agiter cette membrane et se trans- mettre à l'air renfermé au-dessous, elles produisent sur les nerfs acoustiques une impression de laquelle résulte la sensation du son. Siles vibrations d’un corps sonore sont appréciables et régulières, elles forment le son distinct, ou le son proprement dit ; lorsque ces vibrations sont irrégulières elles forment le bruit. L’acoustique est particulièrement la science des sons distincts; elle les envisage : 1° Dans leurs modes de gé- nération selon les divers corps sonores ; 2° Dans leurs rapports numériques; 3° Dans leur propagation; et, [9 afin, 4° Dans la sensation ou l’ouïe. La génération, la propagation et les rapports numé- riques des sons forment la partie mathématique de l’a- coustique; l’ouïe est l'objet de sa partie physiologique. L'acoustique, restreinte pendant long-temps à la con- sidération musicale des sons, a été cultivée dès la plus haute antiquité, et Pythagore n'est pas moins célèbre par la découverte des rapports entre les longueurs des cordes vibrantes qui rendent différens tons, que par ses autres travaux. Cette science fit cependant peu de pro- grès jusqu’à la fin du xvn° siècle, C’est à Sauveur, mem- AC bre de l’Académie des sciences, qu'est dü l'honneur d’avoir fait de la théorie des cordes vibrantes et de son application à la musique, une des branches importantes de la physique. Après lui, Taylor, danssa Méthode des incrémens, a traité le même problème des cordes vibrantes d'une manière beaucoup plus approfondie; Daniel Bernouilli développa ensuite et généralisa la théorie de Taylor; mais la solution générale et rigou- reuse du problème est due à Euler et à d’Alembert. Notre iliustre Lagrange s'est également occupé de cette question qui paraît avoir donné naissance au calcul des differentielles partielles. Malgré tous ces travaux l’acoustique se bornait encore à quelques considérations particulières, lorsque l’admi- rable découverte faite par Chladni, de la vibration des surfaces élastiques, en ouvrant un champ vaste et nou- veau aux mathématiciens et aux physiciens, a permis enfin d’embrasser la production du son dans toute sa généralité, d'étendre le domaine de sa science et d’en compléter l’idée. Les expériences de Chladni sont con- signées dans son Traité d'acoustique, publié en 180g. Depuis cette époque M. Savart, en généralisant et variant les expériences de Chladni, s’est élevé à des con- sidérations nouvelles dont les conséquences, pour l'é- tude de la constitution moléculaire des corps, font de lacoustique une des sciences les plus utiles et les plus intéressantes. [l s’est attaché aux mouvemens individuels des molécules ; il a déterminé le sens, les lois et les carac- tères physiques des divers modes d’ébranlemens qu’elles peuvent recevoir ; la transmission à toute la masse d’un corps du mouvement vibratoire imprimé à certaines de ses parties; la communication de ce mouvement aux corps contigus; les modifications que reçoivent ces phénomènes par la nature particulière des divers corps solides; et, enfin, 1l a déduit, d’une immense suite d'observations, une analyse des organes de l’ouïe et de la voix, supérieure à tout ce qu'on avait pu tenter jusqu’à lui. Aidés de ces nouvelles données, MM. Porsson et Cauchy ont déterminé les équations du mouvement vibratoire en considérant les corps élastiques, dans les- quels il s'opère, comme de simples agrégats de molé- cules matérielles, retenues en équilibre par des forces inconnues, mais assujéties à la condition de décroitre rapidement avec la distance. Les formules auxquelles ces géomètres sont parvenus se sont jusqu'à présent trouvées complètement d'accord avec toutes les obser- vations qu'on a pu leur comparer. Nous traiterons des rapports numeriques des sons à l'article Moxoconpe ; de leur génération par la vibration des corps sonores aux articles : Corpes vipranres, Corps SONORES, SURFACES ÉLASTIQUES ; et de leur propagation aux articles : Sox, Écno, Porrr-voix, CORNET ACOUSTIQUE. ACRE. Ancienne mesure de superficie différente AC selon les pays. En France, l'introduction du mètre a fait disparaître cette variété de mesures qu'on rencon- trait d’une province à l’autre, et dont ilest à désirer que le souvenir puisse s’effacer entièrement. L’acre d'An- gleterre contient 43,560 pieds carrés anglais, ou 4840 yards carrés. Le pied anglais, tiers du yard , vaut 3 dé- cimètres 48 millimètres, ou exactement 3,04794409 dé- cimètres, et conséquemment l’acre équivaut à 0,404671 hectare. ACRONIQUE ( Astronomie ). On appelle lever acronique le lever d'une étoile au-dessus de l'horizon au moment ou le soleil se couclie. On nomme également coucher acronique, le coucher des étoiles qui s'effectue en même temps que celui du soleil, Ce lever et ce cou- cher sont les opposés du lever et du coucher cosmiques qui ont lieu dass l’instant où le soleil se lève. (Foy. Lr- VER. ) ACTION (Mécanique). On désigne sous ce nom l'effort que fait un corps ou une puissance contre un autre corps où une autre puissance, où plus exactement le mouvement qu'un corps communique réellement ou tend à communiquer à un autre corps. Si un corps est sollicité par des actions égales et con- traires, il demeure en repos; mais si l’une des actions est plus forte, elle déterminera le mouvement en détrui- sant d’abord l’action opposée et en agissant ensuite par son excès de force. Il est bon d'observer que l’action d’un corps sur un autre dans un espace qui se meut d’une manière quel- conque est la même que si l’espace était en repos; ainsi le mouvement des corps à bord d’un bâtiment qui fend les flots s'effectue de ta même manière que si le bâti- ment était en repos; le mouvement de la terre autour de son axe ne produit aucun effet sur l’action des corps et des agens à sa surface. En général l’action d’un corps sur un autre ne dépend que de son mouvement relatif. QuanriTé D’acrION. Terme employé par Maupertuis pour désigner le produit de la masse d’un corps par sa vitesse et l’espace parcouru. On doit à ce savant le prin- cipe suivant : Lorsqu'il arrive quelque changement dans la nature, la quantité d'action qui Le produit est La plus petite possible. Ce principe, désigné sous le nom de LEx PARGIMONLE ( Loi d'économie), est, malgré les plai- santeries de Voltaire, une des lois les plus importantes des sciences physico-mathématiques, et il en résulte plu- sieurs conséquences très-importanres qui seront exposées successivement. Maupertuis y fut conduit en cherchant les lois de la réfraction, et l’appliqua ensuite à celles de l'équilibre ainsi qu’à celles du choc des corps; il s'éleva même à des considérations d’un ordre supérieur en con- cluant que les lois du mouvement ramenées à ce prin- cipe et jointes à la notion métaphysique des causes finales, étaient à ses yeux une preuve plus convaincante AD 25 de l'existence de Dieu , ou d’une cause première intelli- gente, que tous Îles autres argumens puisés dans l’ordre de la nature. Euler a fait une brillante application de la Loi d’éco- nomie dans son ouvrage : Methodus inventendi lineas curvas mactmi, vel minimi proprietate gaudentes. 1 prouve que pour les trajectoires que les corps décrivent par des forces centrales, la vitesse multipliée par l’élé- ment de la courbe est toujours un minimum. Depuis, Lagrange, à l’aide du calcul des variations qu’il a dé- couvert, a démontré de la manière la plus rigoureuse et la plus élégante que leiprincipe s’étendait à tout système de corps soumis aux lois de l'attraction, et agissant d’ail- leurs les uns sur les autres d’une manière quelconque. C'est particulièrement à cette belle proposition de La- grange,qu'on a attaché en mécanique le nom de Principe de la moindre action. ( Foy. Taasecroine.) ACUTANGLE (Géométrie). Triangle acutangle ; c'est celui dont les trois angles sont aigus. Qn le nomme encore triangle oxigone. ( Foy. Notions PRÉLIMI- NAIRES, 39.) ACUTANGULAIRE ( Géométrie). Section acutan- gulaire d'un cône; cest la section d’un cône faite par un plan oblique à son axe. (/’oy. Cônr.) ADAR. Nom du douzième mois de l’année lunaire des juifs. Il était de 30 jours dans les années embolis- miques, et de 9 jours dans les années communes. (Poy. ANNÉE.) ADDITION. Opération dont le but est d'exprimer l& valeur totale de plusieurs nombres par un seul. Appiriow, en arithmétique , est la première des opé- rations fondamentales de cette science. Elle est simple ou composée : simple, lorsque les quantités qu’on veut ajouter sont toutes des nombres entiers; composée, lorsque ces quantités contiennent des parties fraction- maires. L’addition simple est donc la méthode de réunir, en un seul, plusieurs nombres entiers, exprimant d’ailleurs des collections d’un même objet. Pour ajouter ensemble de petits nombres, tels que 5et 4, il ne faut qu'ajouter successivement à l’un d’eux les unités qui composent l'autre : ainsi où dirait, 5 plus 1faitG, G plus 1 faits, 7 plus 1 fait8, et enfin 8 plus 1 est égal à 9. Par l'habitude, on acquiert la facilité de faire tout d’un coup de semblables opérations, et cela est nécessaire pour pouvoir additionner de grands nom- bres, eu suivant la règle que nous allons exposer. Règle. Ecrivez les nombres que vous voulez ajouter les uns sous les autres de manière que les chiffres de même ordre se correspondent, c’est-à-dire que les uni tés soient sous les unités , les dixaines sous les dixaines, les centaines sous les centaines, etc., etc. Ajoutez successivement ensemble les chiffres de la 94 AD première colonne verticale ou de la colonne des unités. S'il en résulte un nombre plus grand que 9, et qui, par conséquent, renferme des dixaines et des unités, écrivez les unités seules sous la colonne des unités, et réservez les dixaines pour les ajouter avec les chiffres de la colonne suivante; ajoutez ensuite les chiffres de la colonne des dixaines, écrivant de nouveau les unités du résultat sous cette colonne, et retenant les dixaines de ce résultat, s'il yen a, pour les ajouter avec les chiffres de la co- lonne suivante. Continuez ainsi de colonne en colonne jusqu'aux chiffres de la dernière, dont vous écrirez la somme telle qu’elle aura été trouvée. Ainsi, pour additionner les nombres 79345 , 6854, les a 364, 9876 et 32624, on les écrira les uns sou (71 ainsi qu'il suit 79345 6854 364 9856 32624 129063 Et, commencant par la colonne des unités, on dira: 5et 4 fonto, 9 et 4 font 13,13 et 6 font 19, 19 et4 font 23 ; on écrira 3 sous cette colonne, eton retiendra 2. Passant aux dixaines, on dira : 2 de retenu et 4 font 6, et 5 font 11, et 6 font 17, et 7 font 24, et 2 font 26; on posera 6, eton retiendra 2. Passant aux centaines, on dira : > de retenu et 3 font 5, et 8 font 13, et 3 font 16, et 8 font 24, et 6 ront 30; on posera o etonretiendra 3. Passant aux mille, on dira : 3 de retenu et 9 font 12, et 6 font 18,et 9 font 27, et 2 font 29; on posera 9 et on retiendra 2. Enfin, arrivant aux dixaines de mille ,on terminera en disant: 2 de retenu et 7 font 9, et 3 font 19, et l’on écrira 12. Ainsi, 129003 est la somme des cinq nombres pro- posés. Siles nombres qu’on veut additionner étaient com- posés d’entiers et de fractions décimales, la règle serait absolument la même; car les chiffres, croissant toujours de dix en dix, en allant de droite à gauche, il faudrait seulement encore écrire dans une même colonne verti- ‘cale les chiffres d’un même ordre ; en se réglant sur ceux des unités, opérer l'addition colonne par colonne, comme nous venons de le faire, sans porter aucune at- tention aux décimales , et placer à la fin de l'opération la virgule qui doit séparer les chiffres entiers des chiffres décimaux, immédiatement avant la colonne des unités. Exempes. 34,5064 835,575 148,35 750,35 7,8603 85,655 4567,45 315,7255 4758,:667 2020,3055 AD Lorsque les fractions qui accompagnent les entiers sont des parties déterminées de l’unité, et dont le nom suffit pour connaitre leur rapportavec cette unité, telles, par exemple, que des onces à l'égard delalivre de poids, des sous à l'égard de la livre monétaire , etc. , l'addition prend le nom de complexe. Pour exécuter‘une addition complexe , il faut encore écrire les quantités de même nature les unes sous les autres. Par exemple, s'agital de quantités composées de livres, onces et gros, on écrira les livres sous les livres, les onces sous les onces, les gros sous les gros, en faisant correspondre dans une même colonne verticale les unités du même ordre de chaque espèce en particulier. ExempLes. livres. onces. gros. livres. sous. deniers. 198 14 6 256 19 11 64 7 3 370 715 006 170415 7 834 13 o 8:13. 2 74 15 ro 220 3 2 On prendra d’abord la somme des plus petites es- pèces, et l’on verra si cette somme ne contiendrait pas une ou plusieurs unités de l’espèce plus grande ; dans ce cas, on retiendrait ces unités, et l’on n'écrirait que le surplus sous la colonne additionnée. C’est ainsi que, dans le premier exemple , la somme 18 des gros étant équivalente à 2 onces 2 gros, on n’a écrit que 2 sous la colonne des gros, et l’on a conservé 2 pour ajouter avec les onces. La somme des onces étant 49 , et conséquem- ment 51 avec les 2 de retenu , cette somme équivaut à 3 livres 3 onces; on a donc écrit seulement 3 sous la colonne des onces ; et l’on a reporté 3 pour ajouter avec les livres. C’est de cette manière qu'on a trouvé la somme 220 livres 3 onces 2 gros. Dans le second exemple, pour chaque 12 deniers, on a reporté un sou à la colonne des unités de sous, pour chaque 20 sous, 1 livre à la colonne des unités de livres. Depuis l'établissement en France du système décimal, les opérations complexes n’y sont plus exécutées pour les besoins ordinaires que par une vieille routine qui se perd de jour en jour. Mais il est essentiel de comprendre le principe de ces opérations, lorsqu'on veut calculer des mesures étrangères dont les subdivisions sont sur une autre échelle. Appiriox de fractions. Lorsque les fractions pro- posées ont le même dénominateur, il suffit d'ajouter ensemble les numérateurs , et de donner à leur somme le dénominateur commun: c’est ainsi qu’on trouve que la somme de £ et de À est, et que la somme des dr se TER EE TL ER évidente, puisqu'il s’agit d’additionner des quantités de quatre fractions est #. Cette règle est même espèce , savoir : des douzièmes dans le premier AD cas, et des quinzièmes dans le second ; ce qui ne peut danner pour résultats que des quantités de même na- ture, le dénominateur ne faisant que donner le nom des unités de la fraction. Si les dénominateurs sont différens, comme on ne peut ajouter ensemble que des quantités de même na- ture, et qu'il est impossible de réunir, par exemple, x et ! dans une somme qu'on‘puisse nommer 2; il faut réduire les fractions au même dénominateur , ce qui ne change pas leurs valeurs, et ce qu'on effectue, pour deux fractions, en multipliant les deux termes de chacune d’elles par le dénominateur de l’autre; et, pour plusieurs fractions, en multipliant les deux termes de chaque fraction par le produit des dénominateurs de toutes les autres ( J’oyez Fracriows ). Cela fait, on additionne tous les numérateurs, et on donne à leur somme le dé- nominateur commun. ExEmpPLes. 4 9. CRT ainsi 15. On demande la somme des trois fractions #, 2,2. On réduit d’abord ces fractions aumême dénominateur, et l'on a 5 _5.9-17 765 7 88.917 12247 __7-8.17 992 3 2.8.9 144 9 98.17 12247 17 17.8.9 1224" Additionnant ensuite les numérateurs 765, 952, 144, 1861 on obtient pour la somme demandée ———. 1224 Avopirion, en algèbre , est l'opération par laquelle on trouve la somme de plusieurs quantités algébriques. Il faut ici tenir compte des signes dont les quantités sont affectées. Par exemple, S'il s’agit d'additionner + a ct +6, on exprimera la somme par + a+ b; lorsqu'on aura La et + 5a, on écrira + {a+ 5a , et en rédui- saut + ga. Mais s’il s'agissait de + a et de — D, cette somme serait a— b. En effet, la quantité b précé- dée du signe — est ce qu’on nomme une quantité nc- gative, c'est-à-dire une quantité douée d’une fonction de diminution, et qui doit.exercer cette fonction partout où on l’ajoute (J’oyez ALGEvrE). Ainsi, la somme de + 34 et de — a sera + 3a— a, où +2a en réduisant ; celle de +4a et de —5a sera + {a—5a, où —a; et ainsi de suite. Lorsque les quantités qu’on veut additionner sont composées de plusieurs termes, il faut les écrire les unes sous les autres, en faisant correspondre les termes où se trouvent une même lettre précédée ou non de coefficiens numériques; on réduit ensuite cha- AD 5 que colonne verticale en un seul terme, par l'addition des coefficiens numériques, comme nous venons de ré- duire + 4a+5a et Æ4a— 5a, en opérant suivant les signes. ExempLes. On demande la somme des quantités 7a+ ob— 3e, 5b— 4ja+Sd et 9c—oa— 10b— 114. Ecrivant ainsi qu'il vient d’être prescrit , on aura. ja + ob —3c — ha 68 +84 — 2a —10b +ogc —11d. Or, 7421, 9+5—10—=4, —-34+9—6, +8—11——3. La somme demandée sera donc a + 4b+Gc—3d.Toute quantité qui n'est précédée d'aucun signe est supposée positive , ou avoir le signe +-. On trouvera de même que la somme des quantités suivantes, écrites dans l’ordre désigné — quai + Bab — 5a«b? + Gac ai—11ab — 5ac+Gad+e — Sai + ja + 3ad+5e — ab -— Cab? + 4ac —3e, est égale à —rai—riaib— hab + Sac +oad+ 3e. Apprrion de fractions algébriques. Opération qui a pour but de trouver la somme de plusieurs fractions algébriques. Si les fractions ont le même dénominateur , on addi- tionnera les numérateurs , et on donnera à leur somme. le dénominateur commun. Ainsi on a a 5a. Ba 204 nai be 0 A0) dd aib 5a 104 3a hé 24 178, 190 tuagbn «M8 5a’b 2@b Sac? 2 jab—5ac? chier Lorsque les fractions ont des dénominateurs diffé- rens, on commence par les réduire au même dénomi- nateur ; ce qui s'effectue de la même manière que pour les fractions numériques, en multipliant les deux ter- mes de chaque fraction par le produit des dénomina- teurs de toutes les autres, et ensuite on opère l'addition comme il vient d’être dit. ExEmpLes. . . 3a' 94 5c de. I. Additionner les fractions LE 35° Gb Rédui- û 26 AD sant au même dénominateur , on aura 3a° _3a X 3b X 6h? 5ha’bi 4 4 X 3b X Gb jobs ? 2a 2e X 4h? X Gb? 48a°b* 3b 7285 ? 3b 7 3b X 4b? X GB Go be. 5e __5cX4PX3b 68 GX 4 X 3b — jab ? et la somme des trois fractions sera 54 a bi + 48 05 + Gbc PPS expression qu'on réduit à oab+L8ab+ioc 120 È en remarquant qu’on peut diviser les deux termes par 63 (Foy. Fracrions). On évite de semblables réductions en ramenant direc. tement les fractions à leur plus petit commun dénomi- nateur; ce qui s'effectue en multipliant les deux termes de chaque fraction par les facteurs différens qui entrent dans tous les autres dénominateurs , et que le sien ne contient pas. Ainsi, dans l’exemple précédent, les dé- nominateurs étant 4b°, 3b, Gb', ou 2.2. b. D, 3.b, 2. 3. b.b. b, on prend d’abord les facteurs différens 3, b, >, b.b, qui entrent dans les deux derniers {on considère comme différens les facteurs répétés plusieurs fois, tels que 2, 2;b,b,etc.); on enretranche les facteurs 2, b, b, qui sont contenus dans le premier dénominateur, et on multiplie les deux termes de la première fraction par 2h . «a les facteurs restans 3, b, ce qui donne a ; on prend ensuite les facteurs différens 2, 2, 3, b, b, b, qui entrent dans le premier et le dernier dénominateur ; on en re- tranche les facteurs 3, b, contenus dans le second, et l'on multiplie les deux termes de la seconde fraction par les facteurs restans 2,2, b, b, ou 4b*; ce qui donne. Enfin, on prend les facteurs différens 2,2, 3,b,b, des deux premiers dénominateurs ; on en retranche les facteurs 2, 3, b, b, contenus dans le troisième , et l’on muluplie les deux termes de la troisième fraction par le 10C 12 DS trois fractions, on obtient immédiatement gæb + Sa b° Loc 1205 2 ” facteur restant 2; ce qui donne Additionnant les ou l'expression réduite ci-dessus. IT. On trouverait , d’après cette règle, que pour ré- duire les trois fractions 4e? 5a? qa?c 3@b Ÿ obc ? 110 au même dénominateur, il suffit de multiplier les deux AD termes de la première par oc, ceux de la seconde par 33æb, et ceux de Ja troisième par 6a*c. Effectuant ces opérations, on obtient les trois fractions suivantes : 88h03 165aib 4oa{b? 66@be * G6a be * 66&be égales aux proposées, et dont la somme 88b?c3 Æ 165afb L 4oaib? G6añbe — ? est exprimée le plus simplement possible. ADpiTion des quantités radicales. C’est trouver la somme de plusieurs quantités radicales ou irrationnelles qu’on ne peut exprimer en nombres rationnels. Règle. Réduisez toutes les quantités données à leur plus simple forme, et ajoutez ensuite les coefficiens des radicaux égaux. ExempLrs. Ainsi VB8+vV18=2y2+3v2—=5y2 Vir+vV27=2vV3+3V3—5y3 $ 5 s - 3 3 V'108ai + \/32a =3a\/fa +o\/{a = (3a+ 2) Va. Quaud les quantités sont réduites à leur plus simple expression, et que les radicaux sont inégaux, ils ne peu- vent étre ajoutés ensemble qu'au moyen du-signe + placé entre eux. Ainsi, y/18 + y/108 = 3y/2<+ 63 ne peut être réduit à une forme plus simple que la der- .nière. Et de même dans les divers cas. ADÉRAIMIN ou ALDÉRAIMIN ( Astronomie). Nom grec de l'étoile marquée # dans la constellation de Céphée. ADHÉSION (Physique). C'est une espèce d’attraction qui a lieu entre les surfaces des corps, et dont les effets sont extrémement curieux. Muschenbræck nous apprend que deux cylindres de verre, d'à peu près deux pouces de diamètre chacun, étant chauffés au degré de l’eau bouillante, et joints l’un à l’autre avec un peu de suif, adhèrent avec une force égale à 130 livres. Deux cylin- dres de plomb, dans les mêmes circonstances, adhèrent avec une force de 195 livres, et deux cylindres de fer avec une force de 300. Martin rapporte, dans sa PArlo- sophie britannique, qu'ayant pris deux balles de plomb pesant l’une et l’autre à peu près une livre, il forma sur chacune d'elles, avec une lame de canif, une surface plane d’un tiers de pouce carré ; il appliqua ensuite ces surfaces l’une contre l’autre , en soumettant les balles à une très-forte pression, et l’adhérence fut telle, qu'un poids de 150 livres ne fut pas suffisant pour séparer les balles. Deux plaques de cuivre de { pouces ? de diamèe- tre, graissées avec du suif et appliquées l’uue contre l'autre par le même observateur , adhéraient, dit-il, avec une si grande force, qu'il ne put trouver deux hommes capables de les séparer. Ces exemples suffisent pour donner une idée de la AD nature de cette force, dont l'effet est proportionnel au nombre des points de contact des surfaces appliquées ; ce nombre dépendant de la forme des molécules consti- tuantes des corps, ainsi que du degré de finesse et de poli des surfaces. On a employé divers moyens pour me- surer la force d'adhésion entre des substances non simi- laires , et sous des températures et dans des circonstan- ces differentes ; muis le meilleur est celui qui a été trouvé par le docteur Brook Taylor qui, à force d’ex- périences, a été amené à conclure que l'intensité de l'adhésion peut être déterminée par la force nécessaire pour produire la séparation des surfaces appliquées. Ce principe aété, depuis, vérifié etdéveloppé avec beauroup de succès par Guyton de Morveau. Ce physicien fit con- fectionner des cylindres de divers métaux et d’un pouce de diamètre, tous également épais; les ayant attachés à un petit anneau , pour les tenir en équilibre, il les sus- pendit l’un après l’autre au fléau d’une balance mise en équilibre par des poids suffisans, et les appliqua sur du mercure placé, à deux lignes de distance, en les faisant couler le long de la surface pour éviter l'interposition de l’air. Il marqua ensuite exactement le poids néces- saire pour vaincre l'adhésion, ayant, de plus, le soin de changer de mercure après chaque expérience. Les résultats qu’il obtint sont les suivans : L'or adhère au mercure avec une force de 446 grains. ATDODLS eee -a-ece-enees-wee se 1 420 HET CRM RE 1: PR D .--ccsétss. : 2007 DÉMO eee -ceueore. Le 072 PIALINE, 2: epasiereiss res. s,e. CUVE PEER La lelne eee dfeeiaie set pics qe 2 ATÉLIMOITE ste seins à stele sie soie) hi e.7Coe se see OL rs > mice ds croi oucesto cad 11) GODAID RE En se ef à comes code 8 Cette méthode, qui, toutes les fois qu'on peut l’ap- pliquer, est la plus directe et la plus exacte de toutes ceiles qu’on a imapinées, a été employée avec encore plus de précision et de netteté par M. Achard, ainsi que par quelques autres. 11 résulte de toutes les expériences : 1° qu'il existe une tendance d'adhésion entre plusieurs et peut-être entre toutes les substances physiques, absolument indépen- dante de la pression atmosphérique où de toute autre pression extérieure; 2° que la force dé cette adhésion entre les solides résulte de leurs affinités chimiques: et que celle entre les solides et les fluides est en raison in- verse de la température du thermomètre, et en raison directe du carré des surfaces ; 3° que chaque solide ad- hère à chaque liquide avec une force particulière, et que cette force est exprimée par le poids nécessaire pour AE 27 rompre l'adhésion, toutes les fois que le solide peut se dégager du fluide sans en être mouillé, mais que, dans le cas contraire, ce poids est le résultat de la combinai- son de deux forces différentes, savoir, de l'adhésion en- tre la surface du liquide et celle du solide, et de la co- hésion entre les parties constituantes du liquide. ADHIL ( Astronomie). Étoile de la sixième gran deur , qui fait partie de la constellation d’Andromède. ADIGÈGE ou ADAGÈGE( Astronomie). Nom arabe de la constellation du Cygne. ADJACENT (Gécometrie). Qui est à côté. Deux an- gles sont adjacens lorsqu'ils ont un côté commun. Tou- tefois, on nomme plus particulièrement angles adjacens des angles contigus, tels que CAD et BAD. ( Norrons PRÉLIM. , 30.) Dans un triangle ou un polygone quel- conque, on nomme côtés adjacens les côtés qui forment un même angle. AEGOCEROS ( Astr.). Nom donné par quelques auteurs à la constellation du Capricorne. AÉROSTATION, AÉRONAUTIQUE (Histoire). Ces mots, dont le premier, dans son sens primitif et littéral, s'applique à la science des poids suspendus en l'air, servent alternativement aujourd’hui à désigner l’art de se soutenir ou de naviguer dans air, au moyen d’un appareil qu'on à appelé acrostat ou ballon, à cause de sa forme sphérique. On donne le nom d’aé- ronaute à l'observateur qui dirige l’aérostat. Ces divers mots comprennent ainsi la théorie et la pratique de cette science que nous désignerons habituellement sous celui d’aéronautique. La découverte réelle de l'aéronautique est tellement récente, son histoire est d’ailleurs si généralement con- nue, qu'il paraît difficile d'y rattacher aucune considéra- tion nouvelle. Mais la popularité même de cette décou- verte, l'importance que pourrait avoir la réalisation complète des espérances qu'elle avait fait concevoir, non-seulement pour lascience, mais même pour l’ordre social tout entier, nous déterminent à lui accorder une mention assez étendue dans ce dictionnaire L'homme qui a gravi les pics les plus élevés de la terre et parcouru les immenses solitudes de l'Océan, a dû songer de tout temps à pénétrer aussi dans les vastes régions de l'air, où se forment la foudre et les orages, où il semble qu'un grand mystère dont la révélation lui est promise, y appelle souvent sa pensée. N'est-ce pas ce vague sentiment de curiosité ou de puissance qui lui a fait attacher une idée religieuse à cette faculté qu'il enviait de se mouvoir et d'agir dans l'air? Des êtres divins, où dont la nature était supérieure à celle de l'homme, jouissaient seuls, dans toutes les mythologies anciennes, d u pouvoir de parcourir rapidement les zones inconnues et sans limites où des lois éternelles règlent les mouyemens des astres, Les enchanteurs que le moyen 28 AE âge avait empruntés aux poétiqiès täiditions de l’Ara- bie, Réritèrent de ce privilége, qu'ils partagèrent avec les anges : Le christianisme, en conservant l'antique croyance, a su au moins borner l'intervention des êtres spirituels, dans les choses humaines, à quelques rares circonstances, où la bonté de la Providence envers les hommes avait besoin de se manifester. Il parait néanmoins que l'antiquité, tout en n’accor- dant qu’à des intelligences supérieures la faculté de se mouvoir dans l’espace atmosphérique, ne renonça pas pour l'humanité à la conquête de cette merveilleuse puis- sance ; l’idée de s'élever dans l'air au moyen d’un appa- reil aérostatique , comme des ailes d’une envergure assez grande pour supporter le poids d’un homme, se retrouve dans quelques anciens écrits. Mais ces rares tentatives qui se rattachent toutes, pour la plupart, à des fictions poétiques comme l'aventure fabuleuse de Dédale et d'Icare, sont demeurées sans résultat et sans intérêt pour la science. On est donc fondé à dire que les hommes ne possédaient aucun moyen pour résoudre ce grand problème avant la découverte dont Joseph Montgol- fier, né à Darvezieux près Annonay, le 6 août 1740, fit à Avignon la première expérience au mois de dé- cembre 1782, expérience qu'il renouvela à Annonay le 5 juin 1783. Les Anglais ont voulu ravir à la France l'idée pre- mière de cette découverte, dont ils racontent ainsi l'origine : Quelque temps après que Cavendish eut étudié et fait connaitre les propriétés du gaz hydrogène, le docteur Black assura que si un appareil mince et léger, comme une vessie, était rempli de ce gaz, il formerait une masse moins pesante qu'un égal volume d’air atmosphérique, et pourrait, par conséquent, s’y élever et s’y soutenir, L’honorable docteur développa cette idée davws ses cours publics en 1563 et 1768, ct il annon- ça mème une prochaine expérience par le procédé qu’il avait indiqué; mais de nombreuses occupations l’em- péchèrent de mettre ce projet à exécution. La possibi- lité de construire un appareil qui, rempli de gaz hydrogène, s'élevât dans l'atmosphère, se présenta aussi à l'esprit de M. Cavallo. C’est à lui qu’il faudrait accor- der le mérite des premières expériences faites à ce sujet, et qu'il aurait exécutées au commencement de l’année 1782, expériences sur lesquelles un rapport fut lu à la Société royale de Londres, le 20 juin de la même année. M. Cavallo se servit inutilement de plusieurs vessics; la plus mince de toutes celles qu’il essaya, quoique préparée avec le plus grand soin, se trouva encore trop pesante. Il employa ensuite du papier de Chine ; mais l'air inflammable s'échappait par les pores de cette matière, comme l’eau passe au travers de la toile d’un tamis. Après avoir échoué dans ces diverses entreprises, quoiqu'il eût tour à tour enduit ses appareils AE de gomme, de vernis et de couleurs à l'huile, il fut obligé d'exécuter ses expériences avec des bulles de savon, qu'il chargeait d'air inflammable au moyen d’une vessie pleine de ce gaz. En admettant comme certains tous ces faits, que nous n'avons aucune raison pour révoquer en doute, on voit du moins que l'aéronautique germait, pour ainsi dire, en Angleterre au moment où Montgolfer achevait en France une expérience concluante. Nous devons aussi faire observer en passant, que la découverte de Caven- dish ne paraît pas avoir inspiré à Montgolfer l’idée de la sieone, puisqu'elle reposait entièrement sur Ja puis- sance qu'il attribuait à la raréfaction de l'air : ce fut en brülant du papier au-dessous du globe en taffetas qu'il avait fait préparer, que Montgolfier en obtint l’as- cension. Et c’est en énonçant seulement ce procédé, que l'intendant de la province du Vivarais transmit la nou- velle de la découverte à l'Académie des sciences. La- lande, en rendant compte de cet événement, ajoute : « Nous dimes tous, cela doit être; comment n’y a-t-on pas pensé? » On voit qu'à cette époque il n’était nullement question des propriétés de l’air inflammable et de son application à l'aéronautique, puisque le simple procédé de Montgolfer parut à un corps savant, qui comptait dans ses rangs des mathématiciens et des physiciens cé- lèbres, le seul à l’aide duquel on püt résoudre le pro- blème de la navigation dans l'air. La nouvelle d’un événement aussi extraordinaire se répandit rapidement en France, etelle y futaccueillieavec un enthousiasme difficile à décrire. On ne douta pas dès ce moment qu’il ne füt facile d'imprimer aux aérostats une direction utile, en maîtrisant leur marche dans les airs, et que par conséquent la navigation aérienne ne devint bientôt aussi commune que celle de l'Océan. L'homme crut avoir fait une immense conquête, et l’Académie des sciences invita Montgolfier à venir à Paris renouveler ses expériences, à ses frais et sous les yeux de ses membres. Ce fut Étienne Montgolfer , frère de l'inventeur des aérostats, et qui paraît avoir pris une assez grande part à ses études sur cet objet, qui se rendit aux vœux de l’Académie. Les expériences qui furent’ aussitôt tentées, sur une échelle plus grande que celle qui avait eu lieu à Avignon, paraissent avoir été faites dans le sens de ces espérances. Il était d’abord im" portant de constater la puissance de l’aérostat sur des poids étrangers à sa masse. Le premier appareil construit dans ce but était une sorte de sac en toile doublé de papier, et d’une capacité d'environ 23,000 pieds cubes. On adapta à cette machine un poids qui en éleva la pesanteur totale à 500 livres, et une certaine quantité de laine ct de paille hachée fut brülée à son ouverture inférieure. Elle ne tarda pas 4 s'enfler et à s'élever dans l'atmosphère; en moins de dix AE minutes l’aérostat atteignit une hauteur de 6000 pieds; et quand sa force ascensionnelle ne fut plus en proportion de la résistance qu’il éprouvait , il retomba sur la terre à une distance de 7668 pieds du lieu où il avait été lancé. Diverses expériences de ce genre, quoique souvent con- trariées par l’état de la température, permirent de croire à la réalité de cette découverte. Les mémoires du temps, écrits par des savans distingués, retracent la naïve admi- ration qu’elle inspira, et l’exagération des espérances dont elle fut l’objet. Une cage renfermant divers ani- maux avait été attachée à un ballon de forme elliptique d’une assez grande capacité, et quoiqu’un violent coup de vent eût considérablement endommagé la machine, elle ne s’éleva pas moins, avec ses passagers, destinés à ouvrir les premiers à l’homme un chemin dans les airs, à une hauteur de 1440 pieds; elle s’y soutint environ huit minutes, et tomba à une distance de 10,200 pieds du point où avait eu lieu son ascension. Les animaux n'éprouvèrent aucun accident. La puissince des machines aérostatiques étant ainsi constatée, et la graduation avec laquelle s’opérait leur descente éloignant toute idée de danger pour l’observa- teur qui s’éleverait dans l’air avecelles, Pilatre des Rosiers s’offrit le premier pour faire l'essai .de cette navigation. Son nom mérite d’être transmis à la postérité, car il y avait de l’audace et de la grandeur à s’exposer, dans un léger esquif, au sein de l’immensité des airs, et à aller ainsi, nouveau Christophe Colomb, prendre possession, au nom de l'humanité, de cette région orageuse où elle devait peut-être découvrir de grands mystères qui étaient demeurés cachés aux générations passées. Après plusieurs essais de Pilatre, qu’il tenta d’abord seul, en- suite avec un compagnon de voyage, Giroud de Villette, essais qui eurent pour but de s'assurer des moyens de diriger l’aérostat, et de le faire descendre à volonté, une expérience décisive fut tentée le 21 novembre 1783. Comme elle occupe une place importante dans l'histoire de l'aéronautique, nous croyons devoir en rendre compte avec quelques détails. La machine construite au faubourg Saint-Antoine, chez Réveillon, dont le nom devint tristement célèbre quel- ques années après, était de forme ovale, et avait environ 48 pieds de diamètre sur 54 de hauteur; on la char- gea de toutes sortes d'ornemens et d’élégantes peintures qui représentaient les signes du zodiaque et les armes royales. Une galerie pourvue d’un treillage avait été pratiquée autour de l'appareil, pour que l’aéronaute eût toutes les facilités possibles d'entretenir le feu ou de le diminuer suivant qu'il voudrait monter ou descendre, Le poids de cet appereil, combiné avec celui des deux hardis observateurs qui allaient en faire usage, était d'environ 1600 livres. Ce fut le marquis d'Arlandes qui accompagna Pilatre. dé AE 29 L'aérostat, parti du jardin de Réveillon, s’éleya rapide- ment à une prodigieuse hauteur, et vingt-cinq ou trente minutes après, il descendit à terre à cinq lieues de Paris, Le marquis d’Arlandes nous a laissé un récit de ce voyage aérien qui est rempli d'intérêt. I] paraît que les aéronautes rencontrèrent différens courans d'air qui influèrent sensiblement sur la marche de la machine, La direction des divers chocs qu’elle éprouva sembla s’opérer de haut en bas. Le ballon faillit devenir la proie des flammes : Ce ne fut pas sans éprouver une vive terreur que le marquis aperçut dans la partie inférieure de l'appareil plusieurs trous occasionnés par le feu. L'intrépide Pi- latre reconnut aussitôt la justesse des observations de son compagnon de danger; mais il arrêta facilement les progrès de l’incendie au moyen d’une éponge mouillée, et toute apparence de danger s’'évanouit. C'est à ce dernier voyage de Pilatre et du marquis d’Arlandes que finit l’histoire de la découverte de Mont- golfier, c’est-à-dire celle des machines aérostatiques s’élevant par le secours du feu. Pour mieux comprendre l'emploi de l’air inflammable qui fut substitué à ce pro- cédé par le célèbre physicien Charles et son frère Ro- bert, nous croyons utile d'entrer ici dans quelques dé- tails sur la théorie de l'aéronautique. Les principes de cette science reposent entièrement sur les lois de la pesanteur, de la pression, de l’élasticité de l'air, sur celles de la pesanteur spécifique de ce fluide et des corps destinés à voguer dans l’espace qu’il occupe. Il est établi d’une manière absolue, par l’ensemble de ces lois, que tout corps qui est spécifiquement, ou à égalité de volume, plus léger que l'air atmosphérique, doit s’y élever et y être soutenu à peu près comme le bois ou le liége s'élèvent et se soutiennent dans l’eau. Mais comme il existe une progression décroissante dans Ja densité de l'atmosphère, qui est en raison de la dimi- nution de la pression de l’air supérieur, le corpsqui s'élève ne peut continuer son ascension au-delà du point où l'air environnant égale sa pesanteur spécifique; parvenu à cette hauteur, il flotterait ou serait poussé dans la direc- tion des courans d’air avec lesquels il entrerait en con- tact. Un aérostat ou ballon est un corps de ce genre, dont toute la masse doit être d’une pesanteur spécifique moindre que celle de l’air atmosphérique dans lequel il doit s'élever. On sait que la chaleur appliquée à l'air le raréfie, le dilate , et en diminue par conséquent la pesanteur spé- cifique. Cette diminution de la pesanteur s'effectue en proportion du degré d'intensité de Ja chaleur. Pour chaque degré du thermomètre de Farenheit, la chaleur parait dilater l'air d'environ 5 ainsi 400 degrés de chaleur, ou plus exactement 435, doubleront juste le volume d'une masse d’air. Si donc l’air renfermé dans uu appareil quelconque, est modifié par la chaleur, et AE se trouve dilaté, par conséquent, au point que sa pe- 50 santeur soit moins considérable qu'une masse d’air égale, cet appareil doit s'élever dans l'atmosphère jusqu'à ce que l'air qu’il contient devienne plus froid et se condense davantage , où bien que l'air environnant devenant moins dense, ces deux espèces d'air aient atteint une pesanteur spécifique égale. Dans cette circonstance, l'ap- pareil doit redescendre graduellement si la chaleur n’est renouvelée et ne diminue de nouveau sa pesanteur. Mais si, au lieu d'avoir recours à ce moyen, dont les procédés fort difficiles ne sont pas sans danger, l'appareil était rempli d’un fluide élastique, plus léger que l'air atmosphérique, il continuerait à s'élever jusqu'à uné hauteur où les couches d’air environnantes auraient le même degré de pesanteur spécifique. Ce dernier problème fut résolu par l'emploi du gaz hydrogène. Comme nous l'avons dit plus haut, le phy- sicien Charles et son frère Robert s’exposèrenrt les pre- miers aux hasards de cette expérience. L'appareil qu'ils firent construire , à l’aide d’une souscription qui fut immédiatement remplie, différait sous beaucoup de rapports des montgolfières. Il était de forme sphérique, en taffetas enduit de vernis de caoutchonc, d'un dia- mètre de 27 pieds et 1/2. Un filet fut tendu sur l’hé- misphère supérieure de ce ballon et assujéti au cercle qui en marquait le milieu;il était terminé par des cordes aux- quelles on suspendit une nacelle dans laquelle les aéro- nautes devaient se placer, et d’où ils pouvaient faire ma- nœuvrer une soupape pratiquée au sommet de l'appareil, au moyen d’une corde dont l'extrémité était entre leurs mains. Cette disposition avait pour bat de permettre aux voyageurs, sinon de diriger le ballon, au moins de le rendre plus lourd à volonté, en donnant issue à une certaine quantité de gaz. ( PL.T, fig. 1.) | Ce fur le 1°* décembre 1583, que cette expérience eut lieu dans le jardin des Tuileries. Les deux frères montèrent dans la nacelle à quatre heures moins un quart , et s'élevèrent rapidement dans l'air aux applau- dissemens et aux cris de joie d’une foule immense, accourue de toutes parts dans la capitale de la France, pour jouir de ce spectacle si étrange et si nouveau. Nous n’entreprendrons point de rapporter toutes les expériences qui furent tentées depuis cette époque pour améliorer cette découverte. Quelques-unes ont eu des suites funestes; Pilatre des Rosiers, qui avait attaché son nom à la premiére de toutes, périt avec Romain, son compagnon, le 14 juin 1585. MM. Biot et Gay-Lussac, et ensuite M. Gay-Lussac seul, entreprirent, en 1804, des expériences d’aéronautique dans un but tout scienti- fique; car jusqu’alors cette découverte n’avait guère servi qu'a exciter la curiosité publique, et à augmenter l'attrait des fêtes populaires. Les Français crurent cependant 1 pouvoir appliquer l'aéronautique à l’art de la guerre ; AE mais l'essai qu’on en fit à la bataille de Fleurus n'a pas été renouvelé depuis, ce qui prouve suffisamment qu’il fut à peu près infructueux. Ce fut seulement le 15 septembre 1784 que l'italien Vincent Lunardi essaya en Angleterre un voyage aérien. Le célèbre Blanchard, accompagné de M. Sheldon, pro- fesseur d'anatomie à l'Académie royale, y renouvelèrent Ja même expérience le 16 octobre suivant. Nous ne devons pas oublier que Garnerin y fit pour la première fois, le 21 septembre 1802, l'expérience audacieuse de monter dans un ballon et d’en descendre à l'aide d’un parachute , appareil qui avait été imaginé par Blanchard. Le parachute n’est autre chose qu'un vaste parapluie en toile, d'environ 30 pieds de diamètre , mais sans baleine et sans poignée, disposé de manière qu’il puisse être ouvert par l’aéronaute qui se place, alors au’il veut faire usage de l’appareil, dans un panier d’osier qui y est attaché. Quand le parachute se trouve séparé du ballon, il s'ouvre nécessairement en raison de la résis- tance de l'air, et permet à l’aéronaute de descendre graduellement à terre. Cette expérience reussit complè- tement à Garnerin. Lorsque ce célèbre aéronaute coupa la corde pour la séparer du ballon et descendre en parachute, il tomba d’abord avec une grande rapidité, mais quelques nstans après, quand la machine s’ouvrit, il descendit très- doucement et graduellement. En arrivant à terre, Garnerin éprouva plusieurs chocs : il avait les traits décomposés au moment où on l’aida à sortir de son panier, mais il reprit bientôt connaissance. CRT fe 051) On ne fait plus aujourd'hui aucune expérience aéro- nautique sans employer l’insufflation du gaz hydrogène dans le ballon. Ce moyen est fort coûteux, et rend par conséquent assez difficiles les progrès dont cet art est peut-être susceptible. JL existe plusieurs moyens de préparer le gaz hydro- gène qui sert à remplir les ballons. Tous sont plus ou moïns coûteux. Celui qu'on obtient par l’incinératiou du charbon de terre, nécessite une perte de temps qu’il est convenable d'éviter dans ces sortes d'expériences , et d’ailleurs exige l'emploi d’un appareil trop embarrassant. On se sert généralement du gaz obtenu par la décompo- sition de l’eau à l’aide de l'acide sulfurique et de la limaille de fer, et c’est à ce procédé qu'est employé l'appareil dont nous donnons la figure ( PL. T, fig. 4). B, B, sont deux réservoirs entourés de tonneaux qui contiennent l’eau et la limaille de fer; ces tonneaux ont à leur partie supérieure des tubes d’étain qui plongent au fond des réservoirs. À, A, sont deux appareils qui recouvrent les réservoirs B, B, et qui donnent passage au gaz par deux autres tubes d’étain, auxquels on adapte des tubes flexibles qui pénètrent dans l’inté- rieur du ballon. Lorsqu'on verse l'acide sulfurique AF dans les tonneaux, ce qui se fait par des trous pla- cés à leur partie supérieure, qu'on ferme exactement après cette opération, l’eau se décompose, et le gaz produit dans les divers tonneaux se rassemble dans les réservoirs B, B, d’où il est conduit dans l’inté- rieur du ballon par les tuyaux’ flexibles dont nous venons de parler. Nous croyons avoir exposé dans ce rapide résumé de l'histoire de l’aréonautique tout ce qui peut intéresser plus directement la science , et nous n'avons pu nous li- vrer à des considérations spéculatives sur cette décou- verte. Elle n’a fait que peu de progrés depuis l'expérience de Charles, et le problème de la navigation dans l'air est demeuré à demi résolu. Il reste maintenant à décou- vrir les moyens de diriger l’aérostat : aucune des expé- riences entreprises dans ce but n’a réussi jusqu’à ce jour. Mais ce n’est pas une raison pour désespérer du succès, et d’un moment à l’autre une nouvelle combinaison de la science peut enrichir l'humanité de la solution com- plète de cet important problème. AÉROSTATIQUE (De éhp air et de raw je m'ar- réte). Science de l’équilibre de Pair. Les lois princi- pales de l’hydrostatique s'appliquent à l’air considéré comme un fluide pesant. ( Voyez HyprosTATIQUE. ) On peut donc poser les principes suivans : 1°. Chaque pression se propage également dans tous les sens. 2°. La pression est égale sur tous les points de chaque plan horizontal ; mais à cause de la grande légèreté de l'air, cette pression diminue beaucoup plus lentement que dans les liquides, à mesure qu’on s'élève, et suit d’ailleurs une autre loi de décroissement. - 3°. Chaque corps qui se trouve dans l'air perd autant de son poids que pèse Le volume d'air qu'il déplace, 4°. Un corps plus léger qu’un égal volume d’air afmo- sphérique, s'élève dans l’atmosphère jusqu’à la hauteur où 1l se trouve en équilibre avec l'air environnant, la densité de l'air diminuant en raison de sa hauteur au- dessus de la surface de la terre. C’est sur ce principe qu’est fondée la théorie des aérostats ou ballons. Voyez AËROSTATION. 5. L'air étant non-seulement un fluide pesant, mais encore un fluide élastique, et l’élasticité des fluides ten- dant constamment à augmenter leur volume, il est né- cessaire, pour que l’équilibre puisse subsister , que la pesanteur soit égale à la force élastique : ainsi, comme la pesanteur augmente ou diminue avec la densité, lélasticité de l'air augmente ou diminue dans le même rapport. Voyez Arr. AFFECTÉ ( 4lg.). Terme qu'on emploie pour ex- primer qu'une quantité est modifiée par le concours d’une autre quantité où d’un signe particulier. Par AG 51 exemple, dans l'expression 3x la quantité æ est affectée du coefficient 3; dans l'expression —zx, cette même quantité est affectée du signe —; enfin, dans l’expres- sion Vx, æ est affectée du signe radical y. AFFECTION (Gcom.). Ancienne expression qui si- guifie la même chose que propriété. Ainsi, on disait jadis : cette courbe a telle affection, pour dire, a telle propriété. AFFIRMATIVE (4/g.). Quantité affirmative. C'est la même chose qu'une quantité positive , où qu'une quantité affectée du signe +. AGE de la lune ( 4s4r.). C’est le nombre des Jours écoulés depuis la nouvelle lune. On détermine l'âge de la lune, pour un jour donné, à l’aide de l’épacte de l'année dans laquelle se trouve le jour proposé. Fay. Epacre. AGENT (Méc.). Force ou puissance qui produit un mouvement ou tend à le produire. AGNESL(Manra Garrawa) naquit à Milan le 16 mars 718, et devint un des rares exemples de la précocité de l'intelligence, en même temps qu'elle se distingua par des connaissances élevées , acquises au prix d’études abstraites que semblent interdire à son sexe sa faiblesse naturelle et ses habitudes sociales. A l’âge de neuf ans, Marie expliquait déjh, avec une clarté et une facilité remarquables, les passages les plus obscurs des auteurs latins. Mais la jeune fille dédaigna bientôt ces travaux élémentares; elle voulut apprendre le grec , l'hébreu , le français, l'allemand et l'espagnol, Elle réussit avec une promptitude qui tient du prodige dans ce projet, dont ses parens et ses maîtres essayèrent en vain de la dissuader. Jusque-là on aurait pu comparer les étonnantes dispositions dont Marie Agnesi était douée, à celles que l'Italie avait précédemment admirées dans Pic de la Mi- randole; mais elle ne tarda pas à appliquer aux plus su- blimes conceptions de l'intelligence ces connaissances : qui appartiennent souvent aux seules facultés de ja mé- moire, et peuvent n'être ainsi que le résultat d’une heureuse organisation. La jeune Marie se livra à l'étude de la philosophie avec la confiance et la te- nacité qu’inspire l'amour de la science et de la vérité. Elle y apporta les inspirations d’un esprit supérieur, et soutint, à l’âge de 19 ans, 191 thèses publiques sur les sujets les plus controversés de la métaphysique et de la psycologie. Ges thèses furent réunies et im primées à cette époque sous ce titre : Propositiones philosophicæ (Milan 1738). Tant de travaux n'avaient point épuisé, dans cette jeune fille , ni son ardeur pour la science , ni cette mer- veilleuse facilité de l’acquérir, qui en font à peu près un être à part dans l’histoire de l'esprit humain. Le père de Marie occupait avec quelque éclat une chaire de ma. thématiques à l'université de Milan; elle les étudia avec 32 AI succès et ne fut point arrêtée par les graves difficultés que présentent les parties transcendantes de cette science. C'est surtout à ces derniers travaux que Marie Agnesi doit la renommée qui environne encore son nom. C’est à ce titre aussi que cette femme célèbre devait occuper une place dans ce dictionnaire. La réputation de Marie devint européenne; ses concitoyens enthousiastes l’entourèrent de leur admira- tion en lui décernant ces honneurs populaires, que l'I- talie a su rendre si chers aux beaux talens. Ses divers biographes la représentent comme une personne simple et bonne, presque timide; et qui ne paraissait pas com- prendre la vive impression qu'occasionait sa présence dans les réunions publiques et privées de Milan. En 1750, son père étant tombé malade, Marie sollicita et obtint du pape Benoît XIV l'autorisation d'occuper sa chaire. Ce fut à cette époque qu’elle publia ses Znstitu- zione analytiche, qui ne sont point aujourd’hui même au-dessous du progrès de la science. Peu d'années après, Marie Agnesi, jeune encore, termina sa vie scientifique. En proie à une secrète mé- Jancolie dont la cause est demeurée inconnue, elle re- nonça aux travaux qui avaient rendu son enfance si re- marquable , aux études qui avaient illustré sa jeunesse, et se consacra entièrement au service des pauvres et des malades. Ainsi, tout devait être extraordinaire dans cette belle vie, que la calomnie , si funeste au talent, n’osa point troubler. Ce n’est pas ici qu'il convient de se livrer aux réflexions que suggère la détermination si peu explicable de Marie Agnesi au milieu des enivre- mens de la gloire et de la renommée; mais il est impos- sible de ne pas remarquer combien la science a perdu à cette sorte d’exil volontaire auquel elle se condamna , et qu’elle supporta jusqu’à la fin de ses jours -avec la persistance et la forte volonté que ses premiers travaux avaient révélées en elle. Maria Gaetana Agnesi est morte à Milan , le 9 janvier 1799. Ses Instituzione analytiche ont été traduites en fran- çais par Anthelmv, sous les yeux de Bossut, et impri- mées avec des notes de ce dernier savant sous ce titre : Traités élémentaires du calcul différentiel et du cal- cul intégral. Lyon , 1775. in-8°. AIGU (Geom.). Angle aigu. C'est celui qui est plus petit qu'un angle droit. Foy. Notions PRÉLIM. 33. AIGLE ( Astr.). Nom d’une constellation située dans l'hémisphère boréal. AILE (Méc.). Partie du volant d’un moulin à vent. Les ailes de moulin sont de grands châssis #n forme d’é- chelle, sur lesquels on étend des toiles pour recevoir l'impulsion du vent. Les plus grandes ont de 12 à 13 mètres de longueur sur deux mètres de largeur — On donne encore le nom d’ailes aux dents d’un pignon. Voy. Dents. AI AIR. Substance fluide, transparente , élastique, pon- dérable et dilatable qui entoure le globe terrestre , et forme son atmosphère. Les anciens considéraient l'air comme un élément ; mais la chimie moderne a reconnu qu'il est un mélange de deux gaz, l'oxigène et l'azote, et que ce mélange est à peu près dans le rapport de 1:4. L'air contient en outre une petite quantité de gaz acide carbonique; il tient sans doute aussi en disso- lution beaucoup d’autres substances. Les propriétés mécaniques de l'air ou sa pesanteur et son élasticité sont les seules qui doivent nous occuper ici. Les anciens avaient quelque idée de la pesanteur de l'air, quoique leurs opinions sur ce sujet fussent con- fuses et incomplètes. Aristote affirme ( De Cælo, lib. 1v), qu'une vessie remplie d’air pèse plus qu’une vessie vide. Empédocle attribue la respiration à la pesanteur de l'air qui, par sa pression , s'introduit dans les poumons. Asclépiade avait la même opinion. Héron d'Alexandrie, et son contemporain Ctésibius, connaissaient tous deux la gravité et l'élasticité de l'air, et c’est d’après ces principes qu'ils ont inventé les fusils à vent que l'on croyait une découverte moderne. On doit encore au premier une machine ingénieuse dans laquelle l’eau jaillit au-dessus de son niveau par l'effet de la pesanteur de l'air, combinée avec son élasticité. (Poyez Fonraxe D'HEÉRON. ) Il parait donc étrange que les successeurs d’Aristote aient pu abandonner les doc- trines de leur maitre , et soutenir pendant plusieurs siècles des opinions contraires. Les effets résultant du poids et de l’élasticité de l'air ont été long-temps attri- bués à un principe imaginaire nommé füga vacui, où l'horreur que la nature a pour le vide. On savait depuis long-temps qu'en aspirant l'air contenu dans un tube, dont l'extrémité est plongée dans l’eau , ce fluide s’éle- vait au-dessus de son niveau, et prenait la place de l'air, C’est d’après cette observation qu’on avait inventé les pompes aspirantes et diverses autres machines hy- drauliques, dans lesquelles on expliquait l'élévation de l’eau par le Juga vacui. Galilée lui-même, malgré sa sagacité, n'avait rien trouvé de plus satisfaisant ; cepen- dant il avait été forcé de donner des limites à cette horreur pour le vide, ayant remarqué que les pompes aspirantes ne soulevaient plus l’eau au-delà de la hauteur de 32 pieds. Ce physicien distingué était ce- pendant bien familiarisé avec la pesanteur de l'air : il enseigne dans ses Dialogues deux moyens de la démon- trer et de la mesurer; mais il n'avait pas été au-delà , et l'honneur de découvrir la pression de l’atmosphère était réservé à son disciple Torricelli. En 1643, Torricelli eut enfin l’heureuse idée que cette force qui soutient les fluides au-dessus de leur niveau dans les tuyaux privés d'air, ne pouvait être que la colonne atmosphérique qui pèse sur leur surface ex- al térieure. Ce principe adopté, il en conclut qu'un fluide plus pesant que l’eau ne s’éleverait pas à 32 pieds, et que la hauteur qu’il pourrait atteindre serait en raison iuverse de son poids comparé à celui de l’eau. Ainsi, le mercure étant à peu près 14 fois plus lourd que l’eau, ne doit s'élever qu’à la quatorzième partie de 32 pieds, c’est-à-dire à 29 ou 30 pouces. Torricelli prit en con- séquence un tube de verre de plusieurs pieds de lon- gueur, fermé hermétiquement à l’un de ses bouts ; il le remplit de mercure, le renversa ensuite , en bouchant l'ouverture avec un doigt, et ayant plongé cette partie du tube dans un vase plein de mercure , il retira son doigt. L'événement justifia sa conjecture : le mercure, contenu dans le tube, descendit jusqu’à ce qu'il n’en restât plus qu’une colonne d’une hauteur d’à peu près 30 pouces au-dessus de la surface du mercure qui se trouvait dans le vase. L'expérience de Torricelli devint bientôt populaire ; le père Mersenne la répéta en 1644, et en envoya le rapport aux savans français avec qui il était en corres- pondance. Pascal et Petit la vérifièrent de nouveau , et le premier publia à ce sujet un traité remarquable sous le utre : Expériences nouvelles touchant le vide. Pascal ayant adopté, après quelques hésitations, l'opinion de Torricelli, imagina plusieurs expériences pour la con- firmer. Il détermina son beau-frère, M. Périer, à exé- cuter Ja célèbre expérience du Puy-de-Dôme , dans la- quelle on trouva que la hauteur de la colonne de mer- cure, soutenue dans le tube de Torricelli, était plus petite à mi-côte qu’au pied de la montagne, et plus pe- tte encore au sommet. Par ce moyen, la question fut complétement résolue, et il ne fut plus permis de dou- ter que ce fût la pesanteur de l’atmosphère qui tint la ce-pnne de mercure en équilibre, puisqu’en s’élevant dara l'air, et en rendant ainsi la colonne atmosphérique plus courte et par conséquent moins pesante, celle de mercure diminuait en même temps. On doit à cette expérience la première idée de la me. sure des hauteurs par le baromètre. (Foy. ALTIMÉTRIE.) Les lecteurs ont déjà sans doute reconnu, dans le tube de Torricelli, l'instrument devenu si populaire sous le nom de baromètre. (#’oy. BarnomÈrre. ) La pesanteur de l'air se montre encore d’une manière très-sensible dans un phénomène connu de tout le monde: c’est celui du Syphon. On nomme syphon un tuyau l'e= courbé ABC composé de deux agen branches inégales AB et BC. Si l'on al: [ll k MIT {| Il, plonge la plus courte AB dans un k vase MN plein d’un liquide quel- , = conque, et qu’on ôte l’air contenu dans ce tuyau en le sucaut par le A 5}) bout C, la liqueur du vase montera dans le syphon et s’écoulera par l'ouverture C, pourvu que cette ouver- ture soit au dessous de la surface du liquide. Ce phénomène est de la même nature que celui du tube de Torricelli ; car il est évident qu'une fois le vide opéré par la succion , l'eau du vase doft monter en B, et s'écouler ensuite par l'ouverture C; mais cet écoule- ment ne laissant plus pénétrer l'air dans le syphon, la pression atmosphérique doit faire continuellement mon- ter de nouveau liquide dans le tube AB, tant que le poids de Ja colonne BC est plus grand que celui de la colonne AB, puisque cet excédant de poids empécue l'équilibre que la pression atinosphérique au point C ferait à cette même pression en A; mais si ces deux colonnes deviennent égales, l'équilibre des pressions s'établit au même instant, l’eau ne monte plus dans le tube AB , et l'écoulement cesse. Depuis l'invention de la machine pneumatique (v07. ce mot), la pression de l'atmosphère a été vérifiée de mille manières différentes, et la pesanteur de l'air, dont elle est une conséquence, a été le sujet d'un grand nombre de travaux. Après l'expérience de Torricelli, le père Mersenne entreprit de déterminer la pesanteur spécifique de l'air; mais il approcha encore moins de la vérité que Galilée; car ce dernier l'avait évaluée à +, et Mersenne l’évalua à ,55, celle de l’eau étant prise pour unité. Boyle obtint un résultat plus exact, en trou- vant +5. Hawksbee le fixa à 55. Mais, dans toutes ces recherches, il est essentiel de tenir compte de l’état de l'atmosphère ; et il résulte enfin des expériences de MM. Biot et Arago que le poids de l'air atmosphérique sec, à la température de la glace fondante et sous Ja pression de 0",76, c’est-à-dire, le thermomètre marquant o,etie baromètre 0",76, est, à volume égal, ;°3 de celui de l’eau distillée. | Avant d'examiner les autres propriétés de l’air, nous devons dire ici qu'il parait que Descartes avait reconnu sa pesanteur avant Torricelli, et que l’idée première de l'expérience du Puy-de-Dôme lui appartient également. C’est ce qui setrouve constaté dans le recueil de ses let tres. L'élasticité de l’air est une propriété de ce fluide qui consiste à céder à toute pression quelconque, en resser- rant son volume, qu’il reprend aussitôt que la pression cesse d'agir. On a cru long-temps que l'air atmosphéri- que était le seul fluide élastique qui se trouyät dans la nature. Mais les travaux des chimistes de notre époque nous ont appris qu'il existe un grand nombre de ces fluides, auxquels on a donné le nom générique de gaz. L'élasticité de l'air se manifeste visiblement dans une vessie pleine de ce fluide, et dont on a fermé exacte- ment l’ouverture; on l'aplatit en la pressaut eutre les mans, et alors on éprouve une résistance sensible, due Al à la réaction des molécules comprimées. Dès qu'on la Co | Lu + laisse libre, elle reprend sa première forme. Si la pres- sion est assez forte pour que la réaction surpasse la tena- cité des parois de la vessie, elle crève avec bruit. Quant au degré d'intensité de la force élastique de l'air ,ila été prouvé par les expériences les plus satis- £aisantes que, pour une pression modérée, il est toujours proportionnel à la densité de la masse d'air comprimée, et que cette densité est égale à la force compressive. Pour s’en assurer, on prend un tube de verre recourbé, dont l'une des branches est beaucoup plus longue que l'autre ; on ferme hermétiquement la plus courte bran- che, et ensuite on verse du mercure par l’extrémité ou- verte dé la plus grande. En remplissant peu à peu la grande branche, et mesurant successivement l’espace qu'occupe l'air renfermé qui se comprime de plus en plus dans la petite branche , on trouve que les espaces sont en raison inverse des poids qui pressent l'air. Or, comme ces poids sont. la mesure de lélasticité, l'élasti- cité est donc aussi en raison inverse de l’espace, ou en raison directe de la densité , puisque la densité est elle- mêmé en raison inverse de l’espace. On pose en consé- quence la loi générale qui suit : La densité d'üne masse d'air croît et décroit dans le rapport des pressions, tant que Sa température et sa combinaison chimique sont les mêmes. Cette loi importante se nomme la oi de Mariotte. Élle fut decouverte presque en même temps par Robert Royle et Townley en Angleterre, et par Mariotte à Pa- ris. 11 résulte des expériences de Gay-Lussac et de Dal- ton, que cette loi est exacte sous toutes les tempéra- türes. Les physiciens se sont demandé si la force élastique de l'air pouvait être détruite; mais Boyle n’a trouvé au- cun degré de raréfaction capable de produire cet ef- fet. Désaguliers renferma de l’air dans un fusil à vent, ét vit qu’au bout de six mois il n'avait perdu aucune de ses qualités primitives. Roberval, répétant cette expé- rience, obtint les mêmes résultats après un temps beaucoup plus long. De là, on peut conclure qu'aucun état'de raréfaction ou de condensation ne saurait entiè- rement détruire le pouvoir élastique de l'air. Cepen- dant , le colonel Roy a prouvé que les molécules d’une masse d’air peuvent être déplacées de manière à perdre À une grande partie de leur force élastique. Il résulte en- core de ses expériences que l’air humide est plus élas- tique que l'air sec, et que l'air atmosphérique, dans son ‘état naturel, est proportionnellement plus élastique que lorsque sa densité est considérablement augmentée par la pression. Hawksbec a trouvé aussi que l’élasticité de l'air peut être tellement affectée par une violente pres- sion, qu’il lui faut ensuite quelque temps pour revenir à son état primitif. Enfin, le docteur Hale prétend qu'il AI existe différens cas où cette élasticité est affaiblie et al- térée. L'air étant un fluide pesant, si l’on conçoit l’atmo- sphère partagée en une infinité de couches, il est évi- dent que les couches inférieures portant le poids des su- périeures seront plus comprimées, et conséquemment , que la densité de l'air doit varier avec son élévation au- dessus de la surface de la terre. Pour trouver la loi de cette variation, supposons les couches infiniment petites, et alors nou: pourrons considérer chacune d’elles comme homogène dans toutes ses parties, &ésignons par d, d', d', les densités de trois couches successives dont 4 est l’inférieure ; désignons én outre par p le poids de touté la colonne atmosphérique qui pèse sur la prémière coù- che, ou le poids de la colonne qui commence à la se- conde couche, par p' le poids dé cette colonne, en la commençant à la troisième couche, et enfin par p" lé poids de la colonne qui pèse sur la troisième couche. Le poids particulier de la seconde couche, en le consi- dérant isolément , sera donc p —p', et celui de la troi- sième sera p'—p". Or, comme les densités dé deux corps égaux en vo- lumes sont dans le rapport direct de leurs poids (voyez DexsirE), on a d':d':p—p':p—p". Mais, d’après la loi de Mariotte ; on a aussi : d'd'sspiipls puisque p' et p” sont les pressions qui détérminent les densités d' et d”. De ces deux proportions, on tire p—p'ip—P'P'iP") ce qui donne ( 7oy. Proportion) p:p':p:pe Mais les densités d, d', d’ sont proportionnelles aux poids p, p', p", on a donc également d':d':: d': à”, C'est-à-dire que la densité d’une couche quelconque est moyenne proportionnelle entre la densité de la cou- che qui la précède et celle de la couche qui la suit. Il résulte de cette propriété que les densités des cou- ches atmosphériques forment une progression géomé- trique. Nous avons, à la vérité, supposé ces couches infiniment petites ; mais comme, dans une telle progres- sion, les sommes d’un même nombre de termes succes- sifs sont elles-mêmes en progression géométrique (voyez PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE), nous pouvons considérer comme démontré le théorème principal de l'aérostati- que, savoir : Dans l’état d'équilibre , la densité de l'air décroït de bas en haut en série géométrique , lorsque la nature AT chimique et la température de la colonne sont egales dans toute sa hauteur. L’élasticité de l’air se manifeste toujours de la même manière dans toutes les occasions : qu'il soit libre ou comprimé, elle s'exerce dans toutes les directions et lui fait contracter une forme sphérique. Cela se voit clairement dans les liqueurs placées sous le récipient d’une machine pneumatique; car, en pompant l'air, il apparait d’abord, sur la masse liquide, une multitude de petites bulles d’eau qui vont en grossissant, tout en conservant leur sphéricité ; et ces bulles ne sont produi- tes que par l'air contenu dans le liquide, qui se dilate à mesure que la.pression de l'air extérieur diminue par l'action de la machine. C’est pour la même raison qu’on forme toujours un globe, quand on souffle à travers un tube de fer dans une masse de verre fondu. L'expansion de l'air, lorsqu'on enlève tout à coup la force com- pressive, est telle, qu’il occupe dans certains cas un espace 13 à 14,000 fois plus grand que son espace primitif, et cela par sa force de dilatation seule, et sans l'application du feu. La chaleur exerce sur la densité et l’élasticité d’une masse d'air une influence qui fait l’obiet de la pro- position suivante : Dans une masse d'air parfaitement renfermée , et qui ne peut changer son volume, lélasticité croit, par la chaleur, dans le méme rapport que son volume serait augmenté, si, la pression restant la même , il lui était possible de se dilater, Gay-Lussac ayant découvert que tous les fluides élas- tiques sont également dilatés par la chaleur lorsque la pression reste la même , et que cette dilatation, entre la température de la congélation jusqu’à celle de l’ébulli- tion , est de 0,375 ou des ? du volume que la masse avait à la première température , il faut donc que, dans les mêmes limites, l’élasticité d’une masse d’air renfermée croisse dans le rapport de 1 à 1,375 ou de 8 à v1. Il est facile d’en conclure que l'aceroissement d'élasticité est de 325, ou, à peu près, de -+; pour chaque degré du thermomètre centigrade. Foy. TaERMOMÈTRE, Ain de vent. V’oy. Boussote. AIRE ( Géom.). Superficie d’une figure. Pour mesurer l'aire ou la surface d’une figure plane, on prend pour unité de mesure l’aire d’un carré dont les côtés sont l'unité linéaire. Ainsi, en adoptant le mètre pour unité des mesures linéaires, et la surface du carré construit sur un mètre pour unité de surface, l’aire d'une figure quelconque sera déterminée, quand on connaîtra combien elle contient de mètres carrés ou de parties de mètre carré. Toutes les propositions de la géométrie relatives à l'aire des figures planes peuvent se ramener aux suivantes AI 55 I. Tout rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur. La ligne CF étant prise pour l'unité linéaire, le carré GCFE sera l'unité de surface. Or, A on voit, par l'inspection de la fi- gure, que le rectangle ABCD con- ! à l tient autant de ces carrés qu’il ya @ d'unités das ie produit qui résulte PE ———— D en multipliant le nombre d’umités linéaires contenu dans la base CD, par le nombre d'unités contenu dans la hauteur AC, Ici ces nombres sont 4 et 5, et leur pro- duit 0 exprime en effet le nombre des carrés GCFE contenus dans ABCD. Il faut cependant remarquer que le mot produit n'a pas le sens arithmétique ordinaire; car, en arithméti- que, le produit est toujours de même neture que le multiplicande, ou, en général , que l’un des facteurs À tandis qu'ici il est d’une tout autre espèce que les fac- teurs; ses unités expriment des surfaces et non des ligaes. Si l'unité linéaire n'était pas contenue un nombre exact de fois dans la base et la hauteur du rectangle, l'aire de ce rectangle n’en serait pas moins exprimée par le produit de sa base par sa hauteur; car, en compa- rant deux rectangles quelconques , tels que ABCD et GCFE, on a la proportion : (V’oy. RecranGe) surf. ABCD : surf. GCFE :: AC X CD : GC XCF. Or, le carré GCFE étant pris pour unité de mesure, on à GC—=1,CF= 1, d'où GCXCF=:; et, par conséquent surf, ABCD : surf. GCFE :: AC X CD':1. Donc, le produit AC X CD contiendra autant d'unités et de parties d’unité que le rectangle ABCD contiendra de fois le carré BCFE. Ce produit exprimera donc, dans tous les cas, l’aire du rectangle. | Un carré n'étant qu'un rectangle dont la base et . hauteur sont égales, son aire sera exprimée par la se- conde puissance d'un de ses côtes. II. L’aire d'un triangle est égale à la moitié de celle d'un rectangle de méme base et de méme hauteur. Ou, ce qui revient au même, l'aire d'un triangle est cgale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur. Il y a trois cas : est le triangle ABC. Il est visiblement la moitié du rectangle ABCD, de même base BC et de même hauteur AB. 2°, La perpendiculaire qui mesure 56 AI la hauteur dutriangletombe M_..A......:N dans l’intérieur du triangle. i 7. 7e Tel est le triangle ABD, Î PA Ë ; Ne dont la hauteur est AC. ve E Ne Mais ce triangle peut être y i : € D considéré comme la somme des deux triangles rectangles ABC, ACD, dont le pre- mier est la moitié du rectangle AMBC, et le second, la moitié du rectangle ANDC. Donc le triangle entier ABD est aussi la moitié du rectangle entier MBDN, de même base BD et de même hauteur AC. 3°. La perpendiculaire qui mesure la hauteur du tiangle tombe hors du triangle. Tel est je triangle BAD. On peut le considérer comme la différence des deux triangles BCD et BCA , égaux à la moitié des rectangles BCDN et BCAM , il sera donc lui-même égal à la moitié de la différence de ces deux Cr LA TenD rectangles, ou égal à la moitié du rectangle MADN , de méme base AD et de même hauteur AM ou BC. L’aire de tout triangle est donc égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur. Corvllare. Deux triangles ayant même base ou des bases égales, et compris entre les mêmes parallèles, sont épaux en surface. Toutes les figures rectilignes étant décomposables en triangles, la proposition précédente suffit donc pour déterminer leur surface (f’oy. Porxcowes). 1H. L’aire d'un parallélogramme est égale au pro- duit de sa base par sa hauteur. Car, en menant une diagonale, on divise le parallé- logramme en deux triangles qui ont des bases égales, sa- voir, deux côtés opposés du parallélogramme, consé- quemment égaux et parallèles ; ces deux triangles sont donc égaux , d’après le corollaire précédent, Or, Paire de chacun d’eux est égale au demi-produit de sa base par la hauteur commune, qui est en même temps celie du parallélogramme. Donc, leur somme ou l'aire du parallélogramme est égale à deux fois ce demi-produit , c’est-à-dire au produit entier. IV. L'aire d’un trapèze est'égale à la moitié du pro- duit de sa hauteur par la somme des deux bases paral- lèles. : En menant la droite CB, on partage le trapèze ABDC en deux triangles CAB et C E D BCD, qui ont une même hauteur EF, et dont le premier a AB pour base, ë a et le second CD. Gr, l'aire A F B du triangle CAB est égale à L EF X AB, et l'aire du triangle BCD est égale à? EF X CD. Donc, la somme de ces deux triangles , ou l'aire du trapèze est égale à AT 1EF X ABL:EF X CD, ou, ce qui revient au même, à: LF X (AB + CD). Voyez, pour Faire des surfaces terminées par des ligues courbes, le mot Quanrarure. Quant aux surfu- ces des solides, elles seront traitées pour chaque solide en particulier. Aires proportionnelles aux temps (Astronomie ). C’est une des lois du mouvement © des planètes, découvertes par Ké- Fi de pler (Joy. Lois »E Képzen). Voici > en quoi elle consiste : si l’on sup- * pose que des diverses positions 4, : b,c, d’une planète, prises sur son i 4 orbite, on mène des droites idéales * S aS, LS, cS, au foyer de cet orbite occupé par le soleil, les aires ren- de fermées entre ces droites et les portions correspondantes ab et be de l’orbite ;telles que Sab, Sbe, seront propor- tionnelles aux temps employés par la planète pour par- courir les arcs ab etbhe. Si donc ces temps étaient égaux, l'aire Sab serait égale à l’aire Sbc; si le premier était la moitié du second, Sab serait pareïllementla moitié de Sbe , et ainsi de suite. Newton, dans son livre des Principes, a fait voir que cette loi était une suite nécessaire de l'attraction univer- selle , et en a donné la démonstration suivante : Soit B le lieu d’une planète tournant autour du so- . leil S, et venant de parcourir la très-petite portion AB de son orbite, que nous pouvons considérer comme une ligne droite ; le rayon SA, ou le rayon vecteur, ayant passé de À en B, a décrit l'aire SAB dans un temps très- petit, que nous supposerons une minute; Or, si la pla nète parvenue en B était abandonnée à elle-même , elle continuerait à se mouvoir en ligne droite, parcourant dans une seconde minute un espace BD égal à AB; et sonrayon vecteur décrirait l'aire SBD égale à la première aire D SAB, puisque ces aires sont deux triangles qui ont une même hauteur, et dont les bases AB, BD, sont égales. Mais, arrivée en B, la plarète est attirée par le soleil; et si elle n’était sollici- tée que par cette seule force, elle prendrait la direction BS, et parcourrait dans une minute un espace que nous désignerons par BP. Ainsi, au point B la planète est sollicitée par deux forces, dont l’une lui ferait parcourir BD, et l’autre BP, en une minute; elle décrira donc, dans le même temps, la diagonale BC du parallélogramme BDCP , construit sur BD et BP, et l'aire décrite par le rayon vecteur sera le triangle SBC. Or, les triangles SBD et SBC sont égaux, puisqu'ils ont une même base SB, et qu'ils sont AL compris entre les parallèles SB et DC. { J’oyez Aime ET.) Donc, l'aire SBC, décrite dans la seconde minute, est égale à l'aire SAB, décrite dans la première. En pour- suivant de la même manière pour toutes les minutes suivantes, et pendant toute la durée de la révolution, on démontrerait que la planète décrira toujours la même aire dans une minute, quelle que soit la portion de son orbite dans laquelle elle se trouve, tant que des causes étrangères ne viendront pas troubler l'action des forces primitives qui la font mouvoir. Voyez au mot Lois ne Krpcer, l’histoire de cette découverte, et au mot Arrracrion le parti que Newton en atiré pour établir son système, Pour la déduction mathématique de cette loi, »0y. Trazecroinr. ALAMAK ou AMAK (4str.). Nom donné par les Arabes à une étoile de seconde grandeur, qu'on trouve dans le pied austral d'Andromède. Elle est indiquée par le signe 7 dans les catalogues. ALBATÉNIUS. Nom latinisé de Mouammen-Brv- Dyaser BEN-SENAN, AROU-ABDALLAH, l’un des plus cé- lèbres mathématiciens arabes, né dans la ville de Batan, en Mésopotamie, d’où lui est venu le surnom d’ar- BATTAN OU EL-BATTANY, sous lequel il est généralement désigné en Europe. On ignore l'époque précise de la naissance de ce grand homme ; mais il est certain qu'il florissait 50 ans environ après le khalyfe El-Mämoun, c’est-à-dire vers l’an 880 de l’ère chrétienne. Il n'était point musulman , et professait au contraire le sabéisme, ou cuite des étoiles. Comme la plupart des mathémati- ciens arabes, Albaténius appliqua surtout la science à l'astronomie, dont il aborda ainsi l'étude avec la dou- ble puissance du sentiment religieux et des connaissan- ces humaines. Albaténius, malgré sa religion, en horreur aux Musulmans, était gouverneur de Syrie pour les kha- lyfes. Ses observations furent toutes faites à Antioche ou dans la ville de Ragqah, en Mésopotamie, d’où il a été désigné, dans quelques anciens auteurs, sous le nom de Mahometus Aractentis. Voici l'idée générale qu'on peut se faire des travaux d’Albaténius, si remar- quables pour l’époque où ils furent entrepris. Cet illustre astronome adopta à peu près le système et les hypothèses de Ptolémée; mais il les rectifia en plusieurs points, et fit d’ailleurs plusieurs découvertes qui lui ont mérité une place distinguée parmi les hom- mes dont les travaux ont enrichi la science astrono- mique. Albaténius approcha beaucoup plus de la vérité que les anciens , en ce qui concerne le mouvement des fixes. Ptolémée leur faisait parcourir un degré seulement en 100 ans ; l’astronome arabe leur fait parcourir cet es- pace en 70 ans; et, suivant les modernes, ce sont 72 ans qu’elles y emploient. En second lieu, Albaténius mesura la grandeur de l’excentricité de l'orbite solaire, AL 5T et l'on né pouvait arriver à une appréciation plus juste. IH le 3465 100,000; et ce calcul s'accorde avec celui de plusieurs détermina de parties, le rayon étant astronomes modernes, La détermination de la grandeur de l’année solaire, dont s'occupa Albaténius, ne parait pas d'abord une opération aussi heureuse, En comparant ses observations avec celles de Ptolémée, il la composait de 365 jours 5 heures 46° 24"; supputation où il se trouve une er- reur d'environ 2°. Le célèbre Hallev justifie Albaté- nus en attribuant l'erreur de cet astronome à la trop grande confiance qu'il a eue dans les observations de Ptolémée, dont plusieurs sont si peu d'accord avec les mouvemens du soleil connus aujourd'hui, qu’elles sem- blent plutôt fictives que réelles. Celle qu'Albaténius à employée dans sa détermination est de ce nombre. C’est un équinoxe que Ptolémée dit avoir observé la troisième année d’Antonin, et qui devait tomber le 20 du mois Athir, et non le 21, comme il l'avance. Le savant as- tronome anglais remarqne encore que si Albaténius eût comparé ses observations avec celles d'Hipparque rap- portées par Piolémée, il aurait beaucoup plus approché de la vérité. C'est néanmoins cette détermination vi- cieuse , qui a persuadé à quelques astronomes du XVI° siècle que l’année solaire tropique avait diminué jusqu’à lui, et qu’elle recommençait à augmenter ; conjecture hasardée qui n’est nullement d'accord avec les observa- tions modernes. Une des découvertes les plus belles qui se rattachent au nom et aux travaux d’Albaténius est celle qui est relative à la détermination du mouvement de l'apogée du soleil. Avant cet astronome, on avait regardé l'apogée du soleil comme fixe dans le même point du zodiaque, immobile et imaginaire, qu'on conçoit au-delà des étoiles. [l'avait paru tel à Ptolémée lui-même. Mais Albaténius , aidé d'observations plus éloignées entre elles, déméla ce mouvement, et le distingua de celui des fixes. [l fit voir qu'il était un peu plus rapide, comme semblent le confirmer les observations les plus récentes. Albaténius remarqua l'insuffisance et les dé- fauts de la théorie de Ptolémée sur la lune et les autres planètes; et, s'il ne les corrigea pas entièrement, il rec- tifia du moins ses hypothèses dans beaucoup de détails. Sa découverte du mouvement de l'apogée du soleil le porta à soupçonner qu’elle était applicable au mouve- ment des autres planètes ; ses conjectures ont encore été vérifiées sous ce rapport. Enfin, Albaténius construisit de nouvelles tables astronomiques, et les substitua à celles de Ptolémée , qui commencçaient à s’écarter sensi- blement du ciel. Ces tables, beaucoup plus parfaites que les premières, eurent une graude célébrité en Orient , et furent long-temps en usage. Laplace a insinué, dans son Histoire de l'astronomie, qu’on avait eu tort d'attribuer au travail d’Albaténius les changemens avantageux qu'il 58 AL paraissait apporter aux élémens des tables de Ptolémée. I'appuie son opinion sur un fragment d'Ebn-Younès, tra- duit par M. Caussin , duquel il résulterait que ces chan- gemens sont dus aux auteurs de la table vérifiée. Quel que soit notre respect pour Ja décision de Laplace, nous ne sommes nullement convaincus, dans cette cir- constance, de la justesse de son objection.Outre que le mérite de la traduction de M. Caussin aurait besoin d’être apprécié, il n’est pas inutile de faire observer que l’astronome Ebu-Younès vivait vers l’an 1000, sous le Khalrfat d'El-Hakem, en Égypte, et que les dernières observations d'Albaténius sont de l'an 918. Nous ne comprenons pas bien la confiance qu’on accor- derait au fragment d'Ebn Younès, dont l’assertion, entout état de cause , ne nous semblerait pas suffisante pour at- ténuer la gloire d'Albaténius, qui reste ainsi entière sui- vaut nous. L'ouvrage d’Albaténius, où sont consignées ses dé- couvertes , et auquel il donna le titre de Table sabeenne (zrdj-séby), a été traduit en latin sous ce titre : De ccientid stellarum ; mais un biographie d'Albaténius fait observer avec raison que le traducteur ne savait ni l'a- rabe ni le latin. Cette traduction est en effet remplie de fautes graves, et ne peut donner qu’une idée impar- faite des travaux si remarquables d'Albaténius. La pre- mière édition parut à Nuremberg, en 153%, in-f°. La seconde, aussi peu exacte, malgré les promesses de l'éditeur , a été publiée à Bologne, en 1645 , in 4°. On croit que l'original se trouve à la bibliothèque du Vati- can. Albaténius, que Lalande a classé parmi les qua- rante-deux plus célèbres astronomes, mourut, suivant Aboul-Farug , l'an 929 de l’ère chrétienne ( de l’hégire 317). ALBEGALA (Astr.). C’est un des noms de Ja Ivre, constellation boréale. ALBERT :-1E-Granp , nommé par divers autenrs AL- BERTUS THEUTONICUS, FRATER ÂLBERTUS DE COLOSIA, AL- BERTUS RATISBONENSIS, et enfin ALBERTUS GROTUS , de la famiile des comtes de Bollstædt, naquit à Lawingen, en Souabe, en 1193, suivant quelques-uns de ses biogra- phes, et en 1205, suivant d’autres. La vie de cet homme extraordinaire a été le sujet des plus étranges dissenti- mens, comme ses connaissances si profondes, si étendues pour l’époque dans laquelle il a vécu, ont servi de texte à des contes absurdes, dont la vulgarité et le peu de fondemens n’ont pas moins trouvé des échos hors de la tourbe ignorante et grossière où ils avaient pris naissance. L’auteur de la biographie du grand Albert, dans l'Encyclopédie, a adopté, en parlant de cet homme célèbre, un ton de persiflaye ct de plaisanterie de mau- vais goût , que le caractère religieux dont il était revêtu avait sans doute inspiré. Albert a du le surnom de Grand, qui lui a été déféré ] AL par son siècle, à ses connaissances, que ses contempo- rains seuls ont dù croire surnaturelles, et non pas à la corruption du mot grot ou great, qu'on a cru être le surnom distinctif de sa famille. Il est prouvé qu'aucune branche de la maison de Bollstædt n'a jamais été ainsi désignée. Quoi qu'il en soit, Albert-le-Grand fitses études à l’u- niversité de Paris , où l'influence du célèbre Jordanus, l’un de ses maîtres, le décida à entrer dans l’ordre de Saint: Dominique. 11 vint à Paris à l’époque où les théo- ries d’Aristote ( Foy. ce mot) étaient proscrites par la Sorbonne et le Saint-Siége. 11 commenta publiquement les doctrines de ce philosophe, et il fut assez heureux pour triompher des répugnances de l'église qui les avait anathématisées. Albert ne s’occupait pas seulement de phi- losophie et de ce que l'on appelait alors dialectique ; il s’adonnait sérieusement à l'étude des sciences positives. Vers l'an 1254, désigné par la haute renommée qui récompensait ses travaux , il fut promu par les chefs de son ordre à la dignité de provincial des Dominicains en Allemagne. Il se retira alors à Cologne, où bientôt après il devint évéque de Ratisbonne. C'est dans la première de ces villes, qu’Albert, au sein de ses études solitaires, résolut quelques problèmes difficiles des sciences mathématiques. I] construisit, s’il faut s'en rapporter à la fois à la naïve admiration de ses amis et à la haine de ses ennemis, un automate doué du mouvement et de la parole. Ce chef d'œuvre de l’art, que cinq siècles après renouvela Vaucanson, lui attira les plus ridicules accusations ; et Saint- Thomas d'Aquin, son élève, dans un triste excès de zèle pour la religion, brisa cet ouvrage merveilleux , dans lequel il crut re- connaitre l'inspiration du démon. Vaucanson fut plus heureux. Albert-le-Grand, évêque de Ratisbonne , a composé un grand nombre d'écrits. La plupart de ses ouvrages, ou du moins de ceux qui lui furert attribués, se trouvent dans : Fabricit, Bibl. lat. med. et inf. ætatis, au mot Azserrus, édit. de Pierre Jamimi. Albert-le-Grand est mort à Cologne, en 1280 , à l’äge de 87 ans. Les b'ographes qui, dans leur ignorance, ont cru pou- voir s'égayer avec le nom de cet homme célèbre, au- raient dû ajouter que les ridicules rapsodies intitulées : Secrets merveilleux du grand et du petit Albert, n'étaient pas de lui, et n’étaient en aucune façon extraites de ses œuvres. ALBIREO (Astr.). Nom qu'on a donné à une étoile du cygne marquée 8 dans les catalogues. ALCUIN , moine anglo-saxon, disciple de Bède, et maître de Charlemagne, né dans le VILI* siècle, La bie- graphie de cet homme célèbre appartient plus à l'histoire littéraire du moyen äge, qu’à ceile des sciences mathématiques, dont il favorisa néanmoins les pre- AL grès, et dans lesquelles il possédait des connaussan- ces remarquables pour son siècle. Le prince abbé de Saint-Emeran a donué, en 1777, une belle édition des œuvres d’'Alcuin, dans lesquelles on trouve les écrits : 1° De cursu et sallu lunæ et de bissexto; 2° De reperienda suivans sur diverses parties des mathématiques luna paschali per 19 annos ; 3° Proposiliones arithme- ticæ ad acuendos juvenes. Ce dernier ouvrage est un recueil de questions arithmétiques du genre de celles de l'anthologie grecque : on pourrait le regarder comme le germe du livre si connu des Accreations mathémati- ques. Il est probable que Bachet, auteur de l'ouvrage intitulé : Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres (Lyon, 1613, in-8°), avait lu le livre d’Alcuin, déjà imprimé en 1543, sous le nom de Bède. Alcuin servit avec un noble zèle les projets de civili- sation de Charlemagne. Il a attaché son nom à ce règne, qui brille commeun météore dansla nuit du VIl'siècle. Mais ses travaux mathématiques, et l’ardeur avec la- quelle il favorisa l'étude de l'astronomie, ne paraissent pasavoir influé sur les progrès de cette science en France. La postérité, qui lui a su gré de ses efforts, le place dans un rang distingué parmi les hommes qui ont le plus illustré l'étude des sciences. ALCYON (Astr.). C’est le nom de la plus brillante des Pléiades, marquée y dans 1es catalogues. ALDEBARAN (l’oyez ABENEZRA). ALDHAFERA ( 4str. ). Étoile de la troisième gran- deur dans la constellation du Lion. ALEMBERT (Jeanx-cr-Ronp D’), littérateur et ma- thématicien célèbre, né à Paris le 16 novembre 1717. On a toujours recherché avec un vif intérêt les détails les moins importans de la vie des grands hommes. Toutes les circonstances qui se rattachent, même de fort loin, à leurs travaux et à leurs succès, semblent faire partie de leur gloire. Cette espèce de culte que la postérité voue au génie, est le résultat d’un sentiment à la fois enthousiaste et curieux, qui s’augmente à mesure que le temps passe sur leur renommée sans y porter aucune atteinte. Nous aimons à nous asseoir au berceau des hommes dont le nom a survécu à leur époque, comme pour y surprendre leur première pensée, et découvrir jusque dans les jeux de leur enfance le germe du talent qui illustra leur carrière. Sous ce point de vue, la bio- graphie de d’Alembert pourrait présenter une foule de traits remarquables, mais auxquels nous ne pouvons accorder dans ces pages, plus particulièrement consa- crées à la science, qu’une place peu importante : nous nous plairons néanmoins à retracer ceux qui font le plus d'honneur à son caractère. Durant la nuit du 16 novembre 1717, un enfant nou- veau-né, faible et chétif, fut trouvé sous le porche de l'église de Saint-Jean-le-Rond, et porté , suivant l'usage, AL 39 chez le commissaire du quartier. Soit que cét homme eût été prévenu par les parens de cet enfant, soit qu'il eüt pitié de cette innocente et fréle créature, il exerça envers elle un acte d'humanité que les devoirs de sa ma- gistrature ne lui imposaient pas. Il confia l'enfant à la femme d’un vitrier, qui lui prodigua les soins les plus touchans. On lui donna le nom de Jean-le-Rond, qu'il devait un jour rendre célèbre avec celui de d'Alem- bert. Peu de jours après cet événement, on put déjà supposer que le petit Jean-le-Rond avait été ainsi abandonné par de riches parens, pour cacher la faute dont il était le fruit malheureux, car une pension de douze cents livres fut constituée sous son nom. Plus tard, on a cru savoir qu’il était le fils de madame de Tencin , femme aussi célèbre par son esprit que par sa beauté, et de Destouches , commissaire provincial d'ar- tillerie, qu’on avait surnommé Canon, pour qu’on ne le coufondit pas avec le poète dramatique Destouches. Quoi qu’il en soit, d'Alembert annonça de bonne heure les plus heureuses dispositions, et, contre l'habitude des eufans doués d’une précocité prodigieuse, il tint parole en devenant homme. Quand sa renommée naissante le fit accueillir dans le monde avecune honorable distinc- tion, madame de Tencin, chez laquelle il était reçu, lui fit, dit-on, connaître ie secret de sa naissance. Le jeune d’Alembert reçut cet aveu avec une dignité froide, et déclara qu’il ne reconnaîtrait jamais pour sa véritable mère que la pauvre femme dont il avait sucé le lait, et qui avait pris un soin si tendre de sa débile en- fance. D’Alembert fut mis en pension dès l’âge de quatre ans. Il en avait à peine dix que son maître se déclara hors d'état de lui apprendre rien de plus que ce qu’il savait déjà. Mais la faiblesse de son tempérament exigeait encore des soins assidus. Ce fut seulement deux années après qu'il entra au collége Mazarin, où il acheva ses études d’une manière brillante. La mémoire de ce pre- mier maitre dont il avait été l’élève bien-aimé , fut tou- jours chère à d’Alembert. Malgré la médiocrité de sa fortune , il fut assez heureux plus tard pour l'aider à élever ses enfans, et pour lui offrir de fréquens secours. Au sortir du collége, il voulut aussi retourner auprès de sa bonne nourrice, et il a passé près de trente années de sa vie avec cette femme, à laquelle il donua toujours le doux nom de mère. Ces traits, et un grand nombre d'autres que nous sommes obligés de passer sous silence, dessinen' no- blement le caractère de d’Alembert, caractère qu'il ne démentit pas dans le cours de sa vie. I futun homme de mœurs douces et d’un commerce aimable et facile, malgré la malignité de son esprit et son peuchant pour l'épigramme. Si ses ouvrages révèlent en lui une intelli- gence supérieure et forte, ses actions privées révèlent : 10 AL aussi une âme élevée et un cœur sensible et généreux. Après cet éloge mérité de d'Alembert, il nous sera sans doute permis de dire que nous n’aurons point à nous occuper de ses œuvres littéraires , et moins encore de ses préteadustravaux philosophiques. Entraîné par un esprit vif et inquiet dans le mouvement qui a dominé son siècle, cet illustre écrivain a malheureusement adopté et préconisé avec un remarquable talent ïes grossières erreurs des réformateurs de son temps, parmi lesquels il occupe du moins une place distinguée. À uue autre époque , et il est douloureux de le dire, dans un autre pays que la France, où la nouveauté et la hardiesse des idées exercent un empire plus facile et plus puissant que la vérité, il est permis de croire que d’Alembert aurait rempli une mission plus digne de son génie et plus utile à l'humanité. Les heureuses dispositions que d’Alembert avait ma- nifestées dès l'enfance se développèrent rapidement au collége, où il réalisa bientôt les espérances qu'il avait fait concevoir à son premier maître. Il n’est pas inutile de remarquer que cet enfant studieux et melancoïique sembla d’abord promettreun éloquent défenseur au chris- tianisme, dont il devait cependant contribuer à ébranler les croyances. Ses professeurs jansénistes dirigèrent ses premières idées vers la théologie, et, émerveillés de ses travaux, crurent un moment que le collége Mazarin allait voir renaître Pascal, l’illustre solitäire de Port-Royal. En effet, des sa première année de philosophie , d’Alem- bert écrivit un remarquable commentaire sur l’épitre de saint Paul aux Romains : ainsi, dit Condorcet, il commença comme Newton avait fini. Ce fut néanmoins durant cette période de sa vie d’étu- diant que d’Alembert prit goût aux mathématiques, dont il poursuivit avec ardeur l'étude laborieuse et pé- nible. Il ne tarda pas à prendre une place élevée parmi les hommes dont les utiles travaux ont fait faire des progrès à ces hautes sciences. Après avoir successivement étudié pour le barreau et la médecine, il débuta dans la carrière de son choix et objet de sa plus vive prédi- lection, par deux mémoires qu’il présenta à l'Académie des sciences : le premier, sur le mouvement des corps solides à travers un fluide; le second, sur le calcul inté- Igral. Ces premiers travaux l’élevèrent tout à coup au rang des plus savans mathématiciens, et l’Académie les récompensa ea ouvrant, dès 1741, ses portes à leur auteur. En 1543, d’Alembert publia son Traité de dyna- mique. La méthode dont il se servit dans cet écrit ré- duit toutes les lois du mouvement des corps à celle de Jeur équilibre, et ramène conséquemmient la dynamique à Ja statique. En rapportant ainsi, dit Lagrange , à une méthode uniforme la mise en équation des problèmes de ce genre, qu’on faisait dépendre de principes incohé- ES AL rens, plutôt devinés que rencontrés, il mit fin aux espèces de défis que les géomètres s’adressaient sur cette matière. Le Traité des fluides ; suite nécessaire du Traité de dynamique, parut en 1744. D'Alembert fut encore obligé, dans cet ouvrage , de s’astreindre aux hypothèses par lesquelles Jean et Daniel Bernouilli étaient parve- nus à rendre le mouvement des fluides accessible au calcul; mais en appuyant ses solutions sur le principe qu'il avait appliqué à la recherche du mouvement des corps solides, il rectifia quelques erreurs échappées à ses illustres devanciers, et mit du moins ce qu'ils avaient trouvé d’exact à l’abri de toute difficulté. Dans la même année, d’Alembert publia le mémoiresur la T'hcorie des vents, qui remporta le prix proposé par l’Académie de Berlin. En 1748, il fit paraître ses Recher- ches sur les cordes vibrantes. Ce beau travail! fixa l’at- tention des géomètres sur le calcul intégral aux diffé- rentielles partielles, dont la découverte est un des plus beaux titres de gloire de d’Alembert. Enfin, en 1549, parurent les Recherches sur la préces- sion des équinoxes. On trouve dans cet ouvrage impor- tant la première détermination générale du mouvement de rotation d’un corps de figure quelconque. Ces re- cherches font époque dans la dynamique aussi bien que dans l'astronomie physique. D'Alembert consacra à des travaux purement litté- raires plusieurs années de sa vie; il est l’auteur du dis- cours d'introduction de l'Encyclopédie, et d'un grand nombre d'articles relatifs aux sciences mathématiques insérés dars cet ouvrage. Le 29 octobre 1783, d’Alcm- bert mourut de la pierre, avant d’avoir été opéré, à l’âge de soixante-dix ans. Voici l’ordre dans lequel on peut classer ses princi- pales œuvres mathématiques, qui ont rarement été réunies dans les collections de ses écrits. 1°. Traité de dynamique, 1 vol, in-4°, 1743, 1758. 2° Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides, * Réflexions sur la cause 1, Vol. in-4°,.1940, 1770. 3 géncrale des vents, in-4°, 1747. 4° Recherches sur la précession des équinoxes et sur la mutation de l’axe de la terre, 1 vol. in-4°, 1749. 5° Essai d'une nouvelle théorie sur la résistance des fluides, 1 vol. in-4°, 1552. 6° Recherches sur différens points importans du sys- tème du monde, 3 vol. in-4°, 1754, 1556. 7° Opuscules mathématiques, 8 vol. in-4°, publiés successivement en 1701,1764; 1967, 1968, 1773, 1780. ALEXANDRIE (Écoze p'). L'histoire de cette an- tique et célèbre institution est, sans doute, intimement liée à celle des lettres; mais les sciences mathématiques doivent à ses illustres disciples de si importantes décou- vertes et de si mémorables travaux, qu’elle semble sur- pes AL tout appartenir à ces hautes connaissances, dont leurs travaux ont agrandi le domaine. Sous un autre point de vue, l’histoire de cette noble école se rattacherait en- core à l’enseignement supérieur de ces sciences, quand elle n’aurait-eu que la seale gloire d’en conserver dans son sein le précieux dépôt durant des périodes funestes aux progrès de l'humanité. La ville d'Alexandrie, située entre le lac Mareotis et la Méditerranée, à l'extrémité de l'angle occidental de l'Egypte, fur fondée par Alexandre-le-Grand vers la ‘€ année de la exn* olympiade, environ l’an du 1 monde 3670 , et 334 ans avant Jésus-Christ. Alexandre, ce conquérant civilisateur, qui n'eut point d'enfance et W'arriva point jusqu'à l’âge mür ; cet homme prodigieux, dont la vaste pensée embrassait le monde, qu'il par- courut en triomphateur, voulait que la ville dont il traça l'enceinte, servit pour ainsi dire de lien entre l'Orient et l'Occident. Cette noble idée qui rattachait ainsi à un avenir inconnu tout le passé de la terre des Pharaons, ne finit point avec la vie et la puissance hu- maine de celui qui l'avait conçue, et participa ainsi de ce caractère de durée qui défend contre le temps les inspirations du génie. Alexandrie a rempli, en effet, sous plusieurs rapports, la destinée que lui avait assi- guée son glorieux fondateur. Après la mort d'Alexandre, le vaste empire que for- maient ses conquêtes , fut livré à d’effroyables déchire- mens. Chacun de ses capitaines prit une couronne, Celle d'Égypte échut à Lagus, qui, respectant du moins la pen- sée de son maitre, transporta à Alexandrie le siége de son autorité. Bientôt cette cité effaça, par la beauté et le nombre de ses monumens, la splendeur de ces villes an- tiques, berceau des orgueilleuses traditions de l'Égypte. La douceur du gouvernement de Lagus attira dans ses murs les savans et les philosophes de la Grèce : les ar- tistes accoururent sur leurs pas , et la brillante civilisation d'Athènes, dont la gloire et la liberté venaient de mourir, transportée ainsi sous le beau ciel de l'Égypte, y jeta en peu d'années de fécondes racines. C'est à cette époque qu'il faut placer l'établissement de l’école d'Alexandrie. Mais Ptolémée-Philadelphe, fils et successeur de Lagus.. donna à cette institution naissante des marques si écla. tantes de sa protection, que la gloire de sa fondation lui en est généralement attribuée. Il logea les savans et les philosophes, à qui l’école était ouverte, dans un magni- fique édifice attenant à son palais. (Srrason, Géogr. hb. xur.) I fournit libéralement à toutes les dépenses des entreprises tentées dans le but des découvertes et du perfectionnement des sciences, et commença enfin à rassembler à grands frais cette immense et célèbre biblio- thèque , où furent successivement déposés tous les livres de l'Égypte, et tous ceux que produisirent les progrès des connaissances humaines, La perte de cette collection AL 41 unique est encore, après plus de mille ans, l'objet des regrets les plus justes et les plus douloureux. Au premier rang des maitres qui, sous le rapport des sciences mathématiques, vinrent dès son origineillustrer l'école d'Alexandrie, on doit placer le grand Eudclide, qu'il n’est plus permis aujourd'hui de confondre avec Euclide de Mégare, le philosophe , et le disciple de So- crate, mort un siècle avant l'époque du géomètre. Euclide rassembla toutes les vérités élémentaires de la géométrie découvertes avant lui. Il apporta dans cet ouvrage une méthode si certaine et si avancée, il mit entre ses propositions un enchainement si précis et si rigoureux , que depuis lui, tous les efforts des géomètres ont été impuissans pour réformer ses démonstrations, à l'évidence et à la force desquelles ils n’ont pu porter atteinte. Après plus de deux mille ans, les élémens d'Euclide n’ont pas cessé de former la base essentielle de la science, et nul bras n’a été assez fort pour briser la chaine formée par l'ancien géomètre. Nous examine- rons avec plus de développemens les importans tra- vaux d'Eudide à l'article biographique que nous lui consacrerons. Il en sera de même des doctrines et des découvertes des savans que nous allons nommer dans le cours de cette notice, spécialement consacrée à l’en- semble des connaissances mathématiques que l’école d'Alexandrie a répandues dans le monde. Tandis qu'Euclide jetait ainsi les bases indestructibles de l’arithmétique et de la géométrie, l'astronomie sor- tait, à Alexandrie, de l’état d'enfance où elle était encore plongée, et où l'avaient laissée les philosophes grecs depuis Thalès. Aristille et Timocharis, dont nous ne connaissons malheureusement les travaux que parce qu'ils ont été analysés dans l’almageste de Ptolémée, cessaient de se livrer à de vaines conjectures , et com- mençaient à sentir la nécessité des observations aux- quelles on a dû le premier système d'astronomie ; fondé sur une comparaison réfléchie des phénomènes célestes, et propre à les représenter avec quelque vérité. Aristille et Timocharis paraissent avoir été les premiers astro- nornes qui aient déterminé d’une manière approxima- tive la position des étoiles fixes par rapport au zodia- que, en marquant leurs longitudes et leurs latitudes. Un autre astronome, Dionysius, se faisait en même temps remarquer à l’école d'Alexandrie par la produc- tion d’une ère particulière, où les noms des mois sont dérivés de ceux du zodiaque. À peu près à la même époque, l’école voyait fleurir Aristarque de Samos, dont les travaux astronomiques acquirent une grande célé- brité, car ils eurent pour objet le système de l'univers : il se rallia à l'opinion que l'école pythagoricienne avait émise sur le mouvement de la terre, et fit de nombreux efforts pour faire prévaloir cette hypothèse à Alexan- drie, Avistarque de Samos a composé divers écrits ma- 42 AL thématiques dont malheureusement il n’est venu jusqu'à nous qu’une faible partie; mais le témoignage de ses contemporains a déposé en faveur de son génie et con- solidé sa gloire. Il créa une nouvelle méthode pour mesurer la distance du soleil à la terre par la dichoto- mie de la lune, qui fit une profonde sensation à l’école d'Alexandrie; car cette proposition qui reculait consi- dérablement les bornes de l'univers, était contraire à toutes les connaissances scientifiques, et surtout à la cos- mogonie de l’époque. Eratostènes, qui suivit de près ces hommes célèbres, prit à Alexandrie une place distinguée parmi les savans maîtres de l’école, par ses travaux dans la géométrie et l'astronomie, branches des sciences mathématiques aux- quelles il s’'adonna spécialement. Il donna une solution du problème de la duplication du cube, conservée par Eutocius dans ses commentaires sur Archimède. On lui doit encore une méthode ingénieuse pour trouver les nombres premiers. Ce fat par les conseils d'Eratostènes que Ptolémée-Evergetes fit établir et placer sous le por- tique de l’école d'Alexandrie de grands instrumens pour l'observation des astres ; la science lui doit aussi la con- struction des armilles, fameuses dans l'histoire de l’astro- nomie grecque, qui a exécuté par leur moyen ses prin- cipales observations. La tentative d'Eratostènes pour me- surer la grandeur de la terre, en observant le passage du soleil au-dessus du puits de Syène, dont il avait remar- qué que le fond était illuminé à midi, le jour mème du solstice d'été, fit époque dans la science, quoique l’éva- luation de la grandeur du degré terrestre due à ce pro- cédé, n’offre qu'une approximation peu concluante. Il en est de même de l'observation que fit encore ce savant de l’obliquité de l’écliptique. Parmi les mathématiciens qui se formèrent à l’école d'Alexandrie sous les successeurs d'Euclide, Appollo- nius de Perge est un de ceux dont le génie a jeté le plus d'éclat, et dont les travaux ont le plus contribué aux progrès de la science. Appollonius a écrit avec une étonnante fécondité sur toutes les parties des mathéma- tiques ; maisson Traité des coniques aurait seul suffi pour immortaliser son nom. Ce chef-d'œuvre, dont les Arabes avaient entrepris une traduction sous le règne d'El-Mà- moun, a été long-temps inconnu à l'Europe. Les quatre premiers livres de cet ouvrage précieux étaient les seuls qu'on y possédät , quand vers le milieu du XVII° siècle, les derniers furent heureusement recouvrés. Au reste, l'histoire de ces vicissitudes bibliographiques sera plus naturellement placée à l’article que nous consacre- rons à Appollonius. On ne s’est pas attendu sans doute à trouver ici la nomenclature exacte des mathématiciens qui firent hon- neur à l'école d'Alexandrie; nous avons seulement dû choisir, dans l’ordre chronologique, les hommes supé- AL rieurs, dont les travaux font époque dans l'histoire de cette institution , et marquent un progrès dans la science. L'esprit humain n'arrive que par des gradations lentes et successives à la découverte des grandes vérités; et l'on peut se faire une idée de la marche suivie par les sciences mathématiques, en mesurant les phases de leurs progrès dans l'intervalle des deux siècles qui séparent les Élémens d'Euclide du ‘Fraité des coniques d’Appol- lonius. On ne doit pas oublier, au surplus, que nous avons passé sous silence l'histoire de ces progrès hors de l'école d'Alexandrie, quoiqu’elle füt alors comme le centre d’un grand système, et que son influence et ses enseignemens se répandissent au loin parmi les nations civilisées, Ainsi au nombre des grands mathématiciensde ce temps, dont nous n'avons pas mentionné les travaux, brille l’illustre et immortel Archimède. Mais un tel homme s’appartient à lui-même, ses œuvres appartien- nent au monde, et aucune école ne peut revendiquer la gloire qui s'attache à son nom. Après les grands hommes dont nous venons de rap- porter succinctement les titres à l'admiration de la posté- rité, l’ordre naturel des temps place dans les fastes de l’école d'Alexandrie le nom justement célèbre d'Hip- parque, né à Nicée en Bithynie, durant le cours du IT' siècle avant notre ère. Si l'époque précédente semble plus remplie, dans l’histoire des mathématiques ; por les progrès de la géométrie, Hipparque vint marquer celles des découvertes dont l'astronomie devait s'enrichir, en établissant des hypothèses qui ont mis la science sur le chemin de la vérité. Cet astronome détermina avec plus de précision qu’on ne l'avait fait avant lui , la durée des révolutions du soleil; il mesura l'excentricité de cet astre et détermina son apogée. Le génie de cet homme célè- bre s’éleva ainsi jusqu'aux plus hautes conceptions de la science. C’est à lui que l’on doit le premier catalogue d'étoiles fixes, qui servit ensuite à Ptolémée pour dres- ser les tables du ciel. Ce prodigieux travail, qui n'ef- fraya ni la patience, ni le courage d'Hipparque, mit la science sur la voie d’une de ses plus brillantes déceu- vertes, celle du mouvement des étoiles, et révéla à l'humanité la connaissance de l’ordre admirable qui préside au système du monde. Les mouvemens de ces astres innombrables qui se meuvent dans l’immensité , cessèrent d'être pour l’homme un mvstèré inexplicable, et désormais il eut l’espoir, que la science a réalisé, de pénétrer plus avant dans le sanctuaire des lois immua- bles qui régissent l'univers. Sainte et puissante faculté de Ja raison, qui place l’homme au premier anneau de la chaîne des êtres, et lui découvre une partie des secrets de sa haute destination, en développant en lui cette virtualité créatrice qui l'élève jusqu’à Dieu! Quelque imperfection qui existe dans les découvertes des an- aens, il estimpossible de ne pas admir2r les ingénieuses ne AL hypothèses qu'ils fondèrent sur des observations exécu- tées en l'absence des instrumens que la science moderne a créés, et sur des observations antérieures dont ils n’a- vaient aucun moyen de vérifier l'exactitude et la pré- cision. Ils apportèrent en effet une admirable aptitude et une étonnante sagacité dans l'emploi des seules mé- thodes qui fussent à leur disposition. Le chemin par- couru par la science astronomique depuis Thalès jusqu’à Hipparque est immense, et l’école d'Alexandrie a eu la gloire de marquer chacune de ses périodes par quelque grand progrès. En suivant par la pensée cette marche lente, maissüre, on voit peu à peu se dissiper les nuayyes qui dérobaient à la raison humaine les connaissances qui lui sont maintenant acquises; on voit se briser une à une les vieilles erreurs cosmogoniques des premières races civilisées, et la science préparer ainsi le monde à recevoir la première révélation de l'Évangile, Tous les hommes qui se distinguèrent dans les sciences depuis Hipparque jusqu’à l’ère chrétieune, appartien- nent directement ou indirectement à l’école d'Alexan- drie. Leurs travaux ne sont en réalité que le dévelop- pement des travaux des illustres maitres, que cette iustitution vit sortir de son sein. Ctésibius et Hé- ron, son disciple, tous deux d'Alexandrie, se livrent alors avec succès à l’étude de la mécanique et reculent les bornes de cette science ; Possidonius se distingue par son habileté et ses profondes connaissances dans toutes les parties des mathématiques; Géminus trace l’histoire de l'astronomie; Cléomède écrit les élémens de cette science, et commence ainsi à en populariser l'étude; un autre astronome, Sosigènes, rattache son nom à la réformation du calendrier opérée par Jules - César; Divnysiodore résout le problème posé par Archimède de la division d’un hémisphère en raison donnée par un plan parallèle à la base; enfin, le géomètre Théodore pose les principes de l'astronomie sphérique, et fait faire un progrès à la gnomonique en construisant un cadran universel et portatif. Durant le premier siècle de l'ère chrétienne l’école d'Alexandrie 2e produisit aucun mathématicien dont la postérité ait dù conserver le nom. Elle n’en brilla pas _ moins d’un vif éclat dans les autres branches du savoir humain, dont nous n’avons point à nous occuper ici. Chaque siècle a un développement intellectuel qui lui est propre; et à cette époque les grands événemens politiques qui venaient de changer la face du monde, durent donner à l'esprit humain une direction qui affecta les progrès des sciences. Toutes les idées se por- tèrent vers les questions sociales, que devait faire agiter la perte de tant de nationalités envahies par l'immense monarchie qui s’éleva sur les débris de la liberté ro- maine. D'un autre côté, le christianisme commençait à répandre dans le monde les bienfaits de ses hautes doc- AL 43 trmes, et influait sur la préoccupation des esprits de toute la puissance que la morale exerce dans les rapports sociaux. Vers l’an 130 de cette ère de rénovation, l’école d'Alexandrie accueillit avec enthousiasme les travaux de Ptolémée, né à Ptolémaïde en Égypte. Hipparque avait eu le projet de fonder un cours complet d’études astronomiques ; Ptolémée le réalisa, et rectifiales théories de ce maitre par de nouvelles observations, auxquelles il donna plus d’extension, et un caractère de certitude qui fit de ses hypothèses la science elle-même, dont ses devanciers n'avaient pu aborder tous les problêmes, Nous parlerons ailleurs avec plus de développemens des découvertes de Ptolémée; il nous suffira de dire ici que cet illustre astronome, en posant ses doctrines comme une limite qu’il n’était plus permis de dépasser, ferma pour ainsi dire l’école d'Alexandrie au progrès, Son sytème fat généralement adopté et servit de base aux observations des Arabes, quand les mathématiciens de cette nation restaurèrent l'astronomie. En recevant d’eux la science , l'Europe moderne accepta les principes sur lesquels elle était fondée; ils furent aussi les seuls qu’on enseignät dans nos écoles, jusqu’au temps plus près de nous où de prodigieuses découvertes vinrent renverser un système qui avait régi la ‘science pendant près de quatorze siècles. Les travaux de Ptolémée semblent avoir donné un élan nouveau à l'étude des sciences mathématiques ; maisses livres furent seulement l’objet de commentaires plus ou moins ingénieux, sans que, comme on vient de le dire, les bornes qu'ils avaient imposées à l’astro- nomie fussent jamais dépassées. Cependant des géo- mètres célèbres, tels que Hvpsicle, Porphyre, l’évêque Anazolius, Philon de Thyane, Tymaridas, Achille Tatius, conservèrent dignement depuis Ptolémée jus- qu’à Diophante l'antique renommée de l’école d'Alexan- drie. C’est à ce dernier mathématicien qu'on attribue l'in- vention de l'algèbre; il est du moins le premier des Grecs dans les ouvrages duquel on découvre les plus anciennes traces de cette science. Après lui, Pappus, Théon et la célèbre Hvpatia, sa fille, apparaissent dans l’école d'Alexandrie comme les derniers rayons de l’astre majestueux des sciences mathématiques. Vers le milieu du cinquième siècle, le philosophe Proclus, chef de la secte platonicienne, ouvrit une école nouvelle à Athènes, où se trouva ainsi transporté le siège des mathéma- tiques. Depuis lors, l’école fondée par Lagus et Ptolé- mée-Philadelphe fut presque exclusivement ouverte aux disputes dogmatiques et aux doctrines de cette philosophie, remarquable par sa tendance à opérer la fusion des principes les plus opposés, tentative impuis- sante que l'éclectisme de notre époque semble vouloir 44 AL reproduire, au mépris des travaux intellectuels de l'Allemagne , qui ont fait faire aux sciences philosophi- ques un progrès aussi réel sur les doctrines de lécole d'Alexandrie, que ceux qui, dans les sciences mathé- matiques, ont dépassé les hypothèses de Ptolémée. En l'an 641 de notre ère, la ville d'Alexandrie tomba au pouvoir des Arabes. Ce désastreux événement arriva sous le khalyfat d'Omar, le deuxième successeur de Mahomet, dont la religion avait en peu de temps em- brasé l'Asie d’un enthousiasme frénétique. Le monde civilisé fut un moment menacé de tomber sous le glaive des sectaires ardens et fanatiques du Koran ; et Alexan- drie, alors encore le refuge des savans et le dépôt des connaissances humaines, n’échappa point à leur aveugle instinct de destruction. Les monumens vénérables de l’antiquité qui peuplaient cette ville furent détruits ou mutilés, et la flamme dévora sa précieuse bibliothèque, où avaient été laborieusement recueillis tous les livres écrits durant neuf siècles, sur toutes les parties du savoir humain. L'histoire a conservé le nom du philosophe Philo- pone, dont le dévouement et les généreux efforts furent néanmoins impuissans à prévenir cette catastrophe. Il parvint cependant à en faire suspendre l'exécution, et il ébranla assez fortement les convictions d’Amrou, pour que celui-ci crût devoir consulter le Khalyfe sur le parti qu'il avait à prendre. Voici la réponse que fit Omar, réponse que sa barbarie sophistique a rendue cé- lèbre. « Les livres dont tu me parles, ditl à l'envoyé de son lieutenant, sont conformes ou contraires au Ko- ran : dans le premier cas il faui les bruler comme inu- tiles; dans le second ils sont dignes du feu comme dé- testables. » Cet arrêt fut exécuté, et tel était le nombre immense des volumes qui formaient cette collection, que tous les historiens s'accordent à dire qu'ils servirent pendant près d’un an à chauffer les bains publics de la malheureuse Alexandrie. | Ainsi périrent à la fois et cette célèbre école, qui du- rant une suite non interrompue de dix siècles, avait si puissamment coopéré aux progrès de l'esprit hu- main, et cette bibliothèque où avaient, dit-on, été jf classés dans un ordre admirable, tous les livres qui contenaient la pensée de l'antiquité. Cette perte inappré- ciable ne fut sans doute pas une des causes qui contri- buèrent le moins à répandre sur le monde le sombre nuage d’ignorance et de barbarie qui ne s'est dissipé que lentement et après une longue suite d'années. Par une de ces réactions inespérées et presque inexpli- cables, qui semblent indiquer l'influence de la main puissante qui dirige l’humanité, ces mêmes Arabes qui avaient anéanti, dans leur étrange fanatisme, l’école et la bibliothèque d'Alexandrie, et étouffé pour ainsi dire la science dans leurs mains sanglantes, furent la AL première nation qui rétablit son culte, et qui honora son caractère social par d’importans travaux, auxquels Jes lumières modernes doivent jeurs développemens primitifs. ALGEBAR ou ALGÉBOR ( 4str.). Nom arabe de la constellation d'Orion. ALGÈBRE. Science des nombres considérés en QUE néral, ou science des Lois des nombres. (F'oyez Ma- THÉMATIQUES. ) L'origine de cette science ne peut être dérerminée avec exactitude, et, quoiqu'il en existe des traces dans les écrits des plus anciens mathématiciens, ce n'est pro- prement que depuis Diophante qu'elle a formé une branche de la science des nombres distincte de l'arith- métique. En effet, toutes les considérations numériques des anciens ne sortaient point de la sphère des propriétés individuelles des nombres. Diophante même ne s'élève à quelques vérités générales que dans cette partie de l'aigèbre nommée théorie des nombres, que Gauss et Legendre ont portée récemment à un si haut degré de perfection. 1 Le mot algèbre est dérivé de l'arabe ; mais son étv- mologie a été diversement interprétée. Les Arabes, qui nous ont transmis les premières notions de cette impor- tante science, l'avaient nommée é/-dyaber él-moqabelah; ce qui signifiait la science des restitutions, des propor- tions et des solutions. Quelques auteurs ont pensé que l'algèbre tirait son nom de Geber, mathématicien, à qui ils en attribuent l'invention, quoique l'existence de ce Geber ne soit pas bien prouvée. Sans nous arrêter à d’autres versions étymologiques plus ou moins fondées, nous allons jeter un coup d'œil rapide sur les premiers déveioppemens de la science des nombres, suivre ses progrès lents et insensibles à travers les siècles, et men- tionner les principaux auteurs dont les utiles travaux l’ont successivement amenée à la certitude rationnelle qui la distingue si éminemment des autres sciences. Le plus ancien ouvrage que nous connaissions sur l'algébre est celui de Diophante, auteur grec d’Alexan- drie, qui vivait Pan 350 : il était composé de treize livres dont six seulement nous sont parvenus. Xylander en a publié une traduction latine en 1575; et, en 1621 et 1650, Gaspard Bachet et l'illustre Fermat en don- nèrent des éditions grecques et latines accompagnées de commentaires. Les six livres qui nous restent de Dio- phante ne renferment pas un traité sur les parties élé- mentaires de la science; ils contiennent seulement une collection de questions difficiles sur les nombres carrés et cubes, ainsi que plusieurs autres propriétés des nombres. Dans ses observations préliminaires, ou dans sa préface qui est adressée à un Dionysius, pour lequel l'ouvrage paraît avoir été écrit, Diophante donne la nomenclature ct la génération des puissances ; il nomme AL les secondes puissances ou les carrés dynamis ; les cubes, cubus ; les quatrièmes puissances dynamo-dynamis; les cinquièmes, dynamo-cubus; les sixièmes, cubo-cu- bus , etc., selon la somme des exposans des puissances. L exprimait une quantité inconnue par le mot æpiôgos (nombre), et la désignait dans la solution par la seule finale os. Dans ses recherches sur la multiplication, il observe que moins multiplié par moins produit plus, et que moins multiplié par plus produit moins. À l'égard des signes d’addition et de-soustraction, il n’en employa qu’un seul pour la dernière et c’est un 4 ren- versé et un peu tronqué. Le mérite principal de l’ou- vrage de Diophante consiste dans l'adresse avec laquelle il résout des problèmes indéterminés. Dans ces pro- blèmes, ainsi nommés parce qu'ils sont susceptibles d’une infinité de solutions, il s’agit particulièrement d'éviter les valeurs irrationnelles auxquelles conduit la méthode ordinaire. Les anciens ne considéraient point les quantités irrationnelles comme de véritables nom- bres, et conséquemment, lorsqu'on demandait un ou plusieurs nombres propres à satisfaire une question, il ne fallait pas donner de ces quantités. Diophante les évite au moyen de certaines équations feintes, dont l'artifice mérite d'être développé. Nous allons en don- ner un exemple. Soit proposé de diviser un carré donné en deux autres. Si le carré donné est 25, exprimant l’un des carrés cher- chés par æ?, le second sera 25 — x?, ce qui doit être un nombre carré. Pour qu’il le soit nécessairement, formez, dit Diophante, un carré quelconque de la racine du carré donné, augmentée où diminuée d’un nombre de fois l’inconnue x, que vous égalerez au précédent 25 — x’. Ce nombre étant arbitraire, supposons - le égal à 3; on aura, pour la racine du carré fictif, 5—3x, dont le carré 25 — 30ox + 9x? sera égal à 25 — x. Ainsi, dans cette équation, 25 peut être retrauché des deux membres, et il restera seulement 92? — 307 = — x’; ce qui donne, en divisant le tout par æ, et résolvant l'équation du premier degré 9x3—30=—x , x —3. Ainsi , les carrés cherchés seront 9 et 16. Mais en formant autrement le carré fictif, en pre- nant, par exemple, pour racine 5— 4x, on aurait 1600 289 De , 0 A A2 trouvé x — e , dont le carré , ôté de 25, donne 5625 289 pour le second carré demandé. Ce nombre est en 3 | Cr effet le carré de Æ . Ainsi, voila encore deux nombres carrés dont la somme est égale à 25; et en poursuivant de la même manière, on trouverait une foule d’autres solutions. AL 45 Diophante est le seul auteur grec sur l'algèbre dont les écrits nous aient été transmis. Nous savons seulement que la célèbre Æypathia, fille de Théon, fit un com- mentaire sur les treize livres de Diophante; mais ce commentaire a été perdu, ainsi que les sept derniers livres. Comment les Arabes devinrent-ils possesseurs de cette science ? C'est ce qu'on ignore. Quelques-uns sup- posent qu'ils la tenaient des Grecs , et d’autres soutien- nent qu’ils la doivent aux Indous. Il est certain que les Bramines avaient quelques connaissances algébriques ; mais était-ce antérieurement aux Arabes ou postérieu- rement ? Voilà ce qu’on ne peut préciser. Quoi qu’il en soit, l’algèbre et son nom ont été transmis à l'Europe, et particulièrement à l'Espagne par les Arabes ou Sarra- sins, vers l’an 1100, ou un peu avant. L'Italie paraît avoir cultivé cette science, après son introduction en Europe, avant toutes les autres nations; et Lucas Paciolus où Lucas de Burgo fut un des pre- miers qui écrivit sur ce sujet : il publia plusieurs traités d'algèbre en 1470, 1476, 1481, 1487 et 1509. Son principal ouvrage, intitulé : Summa arithmeticæ et geometriæ proportionumque et proportionalitatum , fut publié à Venise en 1494, et réimprimé en 1593. Il Y fait mention de Leonardus Pisanus, qui parait avoir vécu au commencement du XIII siècle. Ce Pisanus, dont le véritable nom est Bonacct, était un marchand qui exploitait les côtes d'Afrique et du Levant. C’est de là qu’il avait rapporté l'algèbre; et c’est indubitablement à lui que l'Italie dut la connaissance de cette science. Il ne faut pas corifondre Léonard Bonacci avec un autre Léonard de Pesar, auteur d’un livre intitulé : Liber de- sideratus. Montucla, dans son histoire des mathémati- ques, parle de deux autres savans qui auraient précédé Leonardus Pisanus dans la science algébrique : Paul de l’Abacco et Belmondo ou Beldomondo de Padoue. Néanmoins, on connaissait très-peu l’algèbre en Europe avant les ouvrages de Lucas de Burgo ; et nous voyons, par ces ouvrages, que la science à cette époque (1500) ne s’étendait pas au-delà des équations du second de- gré, dont on tirait seulement les racines positives. On n’employait encore aucuns signes, excepté quelques signes d’abréviation des mots. Il ne s'agissait, au reste, que de la solution de problèmes numériques. Après Lucas de Burgo, la science fit des progrès sen- sibles, et se répandit davantage. Elle fut principale- ment cultivée par le célèbre Jérôme Cardan de Bona- mia, dont les écrits sur les mathématiques, en neuf livres, furent imprimés à Milan , où il professait la phy- sique etles mathématiques, dans l'année 1539. En 1545 Cardan publia un dixième livre, sous le titre d’Arte magna, contenant la résolution des équations du troi- sième degré, résolution qui lui avait été révélée en par- 46 AL tie par Nicolas Tartalea, mais qu'il compléta et dé- montra. Cardan est le premier qui ait aperçu la multiplicité des valeurs de l’inconnue dans les équations , et leur dis- tinction en positives et négatives. On lui doit en outre la remarque du cas dit rréductible dans les équations du troisième degré. Il avoue dans son #rte magna que la méthode de résoudre les équations cubiques appar- tient à Scipion Ferrco, de Bologne. Celui-ci cacha pen- dant long-temps sa découverte, ne l'ayant communi- quée qu’au seul Antoine Florido, son élève. Ce der- nier ayant proposé, dans un combat littéraire, à Nicolas Tartalea quelques problèmes qui conduisaient à des équations du troisième degré , son adversaire travailla avec tant de succès qu'il trouva enfin la solution dési- rée. Tartalea découvrit la règle à Cardan, mais ne lui communiqua point la démonstration. A force de médi- tations et de travaux, Cardan découvrit cette démons- tration, et perfectionna la formule qui a conservé son nom. Dans l'A#rte magna se trouve encore une autre dé- couverte bien remarquable : c'est la résolution des équa- tions du quatrième degré, due à Scipion Ferrari, élève de Cardan. Nous ne connaissons de Tartalea ou Tartaglea qu'un ouvrage publié en 1546 sous le titre : Quesite inven- zioni diverse. Ce qu'on y trouve de plus remarquable, c’est la résolution des équations cubiques et le récit des difficultés qui s’élevèrent à ce sujet entre Cardan et fui. A la même époque la science algébrique fut cultivée en Allemagne par Stifelius et Scheubelius. L’ Arithme- tica imtegra de Stüfelius fut publiée à Nuremberg en 1544, par consèquent une année avant la putlication del’ Arte magna de Cardan. Ce fut Stifelius et quelques autres mathématiciens allemands qui inventèrent les si- gnes +, —, y, pour exprimer plus, moïns et les raci- nes. Jean Scheubelius écrivit aussi plusieurs ouvrages ; mais il paraît n'avoir pas connu les équations cubiques, car il n’en fait aucune mention. Quelques années après la publication de ces écrits en Italie et en Allemagne , Robert Recorde, céièbre phy- sicien du pays de Galles, prouva par ses écrits que l'al- gèbre n’était pas tout-à-fait inconnue en Angleterre. La première édition de son arithmétique fut publiée en 1552, et la seconde en 1557, sous le titre de The F hetson of svitte. On y trouve l'extraction des racines des quantités algébriques composées, et l’usage du signe de l'égalité, =. En 1558 fut publié à Paris l'ouvrage de Peletarius , Jacobi Peletarii cenomant de occulta parte rumero- rum quam algebram vocant Lib. duo. C’est une com- position remarquable, dans laquelle toutes les parties alors connues de l'algèbre sont traitées avec beaucoun AL de profondeur. Peletarius découvrit qu'une racine d'nne! équation est diviseur du terme absolu, L'Italie nous présente encore Raphaël Bombelli, qu fit plusieurs désouvertes utiles, et dont l'algèbre parut en 1579. C’est Bombelli qui reconnut le premier que, dans le cas irvéductible des équations du troisième de- gré, la racine est toujours réelle. On lui a attribué la ré- solution des équations du quatrième degré, quoique le principe de sa solution soit le mème que celui de Fer- rari, dont il n’a fait que développer la découverte. Nous devons encore mentionner Sÿmon Steven, de Bruges, dans les ouvrages duquel on trouve des amé- liorations et quelques aperçus nouveaux. Il écrivit en 1585. Depuis les découvertes de Cardan et de Ferrari, la science avait fait peu de progrès réels, lorsque la France vit naître dans son sein Francois Viète, cet illustre géomètre dont les travaux allaient changer la face de l'algèbre. Sortant enfin des considérations individuelles, il envisagea les nombres d’une manière beaucoup plus générale , et établit l'usage des lettres pour représenter toutes les quantités connues ou inconnues; ce qui fit donner à son algèbre le nom de spécieuse, qu’elle a gardé long-temps, parce que tout y est représenté par des symboles. Les diverses transformations qu'on peut faire subir à une équation, pour lui donner une forme plus commode, sont pour la plupart de l'invention de Viète. Il en traite dans son livre : De ernendatione æquationum, et enseigne la méthode d’auginenter, de diminuer, de multiplier et de diviser les racines d’une équation. C'est par un artifice semblable qu’il fait dis- paraître le second terme des équations, opération qui résout directement celles du second degré et prépare les autres. Partant de ces considérations, Viète s'élève jusqu’à la résolution générale des équations de tous les degrés. Personne avant lui n'avait embrassé un sujet aussi vaste. Il propose des règles pour trouver les raci- nes par approximation; et si la méthode qu'il invente est longue et laborieuse, il ne lui reste pas moins le mérite d’avoir ouvert la carrière parcourue ensuite avee tant de succès par Descartes, Newton, Euler et La- grange. Où doit encore à Viète l’application de l'algèbre à la géométrie, du moins cette application dont l’objet est la construction des formules sans employer les coor- données. Quelques géomètres du XVI siècle avaient, à la vérité, trouvé plusieurs solutions particulières; mais comme ils assignaient tous des valeurs numériques aux lignes données des problèmes , et qu'ils se bornaient à trouver celles qu'ils cherchaient de cette manière, leurs solutions étaient privées de cette généralité que la nou- velle forme que Viète avait donuée à l’algèbre, par l’ad- option des lettres pour représenter les grandeurs, lui permettait d'erbrasser. Nous ne devons pas omettre AL que la doctrine es sections angulaires doit être mise au nombre des découvertes de ce grand mathématicien, et qu'il entrevit la loi que suivent les développemens des puissances d’un binome; loi trouvée depuis par Newton, et qui est l’ubjet du fameux théorème connu sous le nom de binome de Newton. La considération de l'infini ne fut pas non plus étrangtre à Viète, car on lui doit la formule remarquable suivante : VEXVEHVIXVEHVEHVE) X etc... à l'infini, qui exprime le rapport du carré au cercle circonscrit, le diamètre étant 1. Les ouvrages algébriques de Viète furent écrits vers l'année 1600, mais quelques-uns d’entre eux ne furent publiés qu'après sa mort en 1603. Le recueil de ses œuvres complètes compose un volume in-folio, que François Schooten fit imprimer en 1646. Albert Gerard, en Flandre, et Harriot, en Angle- terre, s’illustrèrent au commeucement du XVII° siècle par d'importantes découvertes. Gérard dans son livre, Invention nouvelle en algèbre, publié en 1629 , enseigne à construire géumétriquement les trois racines de l’équa- tion cubique, su moyen de la trisection de l’angle, et il les représente par trois cordes inscrites dans le cercle. I prouve que daus le cas irréductible il ÿ a toujours trois racines réelles. Gérard parait être le premier qui se soit occupé des racines imaginaires, et qui ait découvert qu’une équa- tion à autant de racines réelles ou imaginaires qu’il v a d'unités dans l’exposant de la plus haute puissance de l'inconnue., Il fut également le premier qui montra l’usage des racines négatives dans les constructions géo- métriques. La principale découverte d’'Harriot consiste dans les lois de la formation des équations de tous les degrés qu’il montre être le résultat du produit de binomes du pre- mier degré. De cette formation découle une foule de vé- rités intéressantes pour l'algèbre, et on ne peut nier que le géomètre anglais n'ait fait faire un pas immense à la science , et qu'il n'ait grandement facilité les travaux de Descartes sur les équations. La résolution numérique des équations de tous les degrés fut aussi considérable- ment perfectionnée par Harriot, Les signes > et pour désigner plus grand et plus petit, sont de son an- vention. Ses ouvrages furent publiés en 1631 par son ami Waruer. Avant de quitter ces premiers fondateurs de l’al- gebre, nous ne devons pas oublier de mentionner Ougtred, dont les ouvrages ont été pendant quelque temps regardés comme classiques dans les universités eoglaises. Il écrivit le premier les fractions décimales fans leurs dénominateurs, comme on le fait actuelle- AL 47 ment, ét introduisit le signe X pour exprimer la mul- tiplication. Pendant la longue période que nous venons de par- courir, nous avons vu presque tous les efforts des géo- * mètres tournés vers les équations, et l’histoire de! l'algèbre se borne au récit de leurs travaux, plus ou moins heureux, sur cette partie de la science, impor- tante à la vérité, mais qui est loin de la renfermer tout entière. Ce n’est qu'à partir des découvertes de Viète. et de Harriot que ses autres parties sont cultivées avec succès, et il nous devient impossible de continuer cette revue biographique d’auteurs, liée si intimement aux premiers progrès de l'algèbre. Désormais les décou- vertes se pressent et se succcèdent avec rapidité; d’im- menses matériaux s'accumulent ; le cercle jadis si borné de la science des nombres s'étend de la manière la plus vaste et la plus inattendue; les phénomènes de la na- ture sont soumis à ses lois, et la création devient tri- butaire de ses caïculs. Le XVII® siècle nous apparaît brillant entre tous les siècles; avec lui les Descartes, les Fermat, les Waillis, les Galilée, les Kepler, les Newton, les Leibnitz, les Bernouilli, et tant d'autres non moins illustres, s’élancent dans la carrière. Une découverte ingénieuse, celle des logarithmes, salue son aurore; une découverte admirable, celle du calcul dif- férentiel, couronne son déclin. Héxitier de tant de gloire, le XVIIT® siècle enrichit encore le vaste domaine qui lui est transmis : Moivre, Stirling, Cotes, Lambert, Waring, Maclaurin, Maupertuis, d'Alembert, La- grange, Laplace et surtout Euler, développent et per- fectionnent successivement toutes les branches de la science; mais les limites qui nous sont fixées dans ce dictionnaire nous forcent à renvoyer aux articles qui concernent en particulier chacun de ces hommes célèbres le récit de leurs travaux. Nous allons aborder la science elle-même que des investigations plus modernes ont enfin complétée. 1. Les nombres peuvent être envisagés sous deux points de vue différens : celui de leur construction ou génération, et celui de leur relation réciproque ou comparaison. Il en résulte deux subdivisions géné- rales pour la science de leurs lois, qui se partage ainsi en deux branches, dont la première a pour objet les lois de la construction des diverses espèces de nom- bres, et la seconde, les lois de fa comparaison de ces nombres. Établissons d’abord en quoi consiste la con- struction des nombres. 2. Nous n'avons ja conception primitive que du seul nombre un, car nos perceptions ne nous offrent que des individus, et si nous formons des collections d'objets c'est par la force synthétique de notre entendément qui nous fait réunir plusieurs perceptions en une seule perception générale ou conception; ainsi deux percep- 48 AL tions d'un même objet ou d'objets semblables nous donnent la conception du nombre deux et par suite celle des nombres 3, 4, 5, G, etc. Les nombres se pré- sentent donc d’abord à l'intelligence comme de simples agrégats d'unités, et le premier mode de construction qu’elle peut embrasser est de continuer indéfiniment cette agrégation d’unités, pour s'élever successivement à des nombres de plus en plus grands, depuis l'unité primitive jusqu’à l’évfint, qui n’est lui-même que l'unité totale. Nous avons, dans les NorTioOns PRÉLIMINAIRES, assigné à ce mode de construction la forme générale a+b=ce. a et b exprimant des quantités quelconques d'unités et c le nombre formé par la réunion ou la somme de ces unités. Si nous étions bornés à ce mode primitif de construc- tion, toute la science se réduirait évidemment à /’addi- tion et à la soustraction, qui n’en est que la considéra- tion inverse, et nous ne connaitrions d’autres nombres que 1es nombres entiers ; mais ces nombres étant une fois construits, l’entendement s'en empare, y applique ses facultés diverses, et s'élève à de nouveaux modes de constructions qui nous font successivement connaitre d'autres espèces de nombres soumis à de nouvelles con- sidérations. C’est ainsi que du mode primitif a + b —c, nous parvenons au mode intermédiaire «a X b=ce,et enfin au mode final a — €. Ces trois modes de construction des nombres étant, comme nous le verrons plus loin, les seuls possibles, c'est d'eux que nous devons déduire la nature particu- lière de toutes les espèces de nombres, ainsi que les lois générales qui les régissent; reprenons donc les trois formes a: bb= ca bc; = C et généralisons ce que nous avons exposé dans les no- tions préliminaires. La prenuère forme a + b = c ne peut, comme nous l'avons déjà dit, nous faire connaître que les nombres entiers : la conception du nombre £ étant dans tous les cas celle d’un agrégat d'unités tant que à et b sont eux- mêmes de tels agrégats : mais l'égalité a + b = c nous donnant nécessairement l'égalité inverse © — a — b, cette dernière devient, à son tour, susceptible d’être con- sidérée dans toute sa généralité, indépendamment des valeurs particulières de e et de à, et doit toujours nous donner la construction du nombre b, quels que soient act c. Or il se présente un cas remarquable dans cette construction, c'est celui où, dans l'expression générale c—a—b;onac# a,etouil est conséquemment im- possible de retrancher a de ce, Dans ce cas supposons que AL l'excès de a sur c soit d ou que l'on ait a — c + d; alors ce — a deviendra c—c—d puisqu'il est évident que pour retrancher a de c il faut retrancher les deux quantités « et d qui lui équivalent, et l’on aura, € — c se détruisant, c—c—d=—4 L'idée que nous pouvons attacher au nombre d, pré- cédé ainsi du signe —, est celle d’une quantité ayant une fonction de diminution, car partout où elle entrera elle opérera une soustraction. Nous sommes donc ame- nés à reconnaître dans les nombres, indépendamment de leurs grandeurs, une qualité d'augmentation et de diminution, et c’est ce qu'on appelle état positif ou négatif d'un nombre. Nous désignerons donc, selon l'usage , par le nom de nombre positif tout nombre qui a une fonction d'augmentation, et par celui de nombre négatif, tout nombre qui a une fonction de diminution. 3. Il est important de remarquer que l’état positif ou négatif d’un nombre n’exerce aucune influence sur la grandeur de ce nombre considéré isolément, mais qu’elle influe d’une manière majeure sur celle du résul- tat des opérations d’addition ou de soustraction dans lesquelles il peut entrer. En effet, si nous désignons toute quantité positive par (+ A), et toute quantité négative par (— B), l'addition de ces quantités sera exprimée par GA) + (+8) ou par A —B,en ne considérant que la grandeur des nombres A et B, puisque la fonction de diminution du nombre (— B ) lui fait opérer une soustraction partout où il peut être placé. Quant au résultat de l'opération, il sera positif si l’on a À > B et négatif si l’on a À < B. C'est ainsi, pour donner un exemple de cas parti- culiers , qu’on trouve : CAUSE Lt) D Co Si le nombre auquel on ajoute un autre nombre 7—4=(+3) a er os D Î était lui-même négatif, il entrerait également dans l'o- pération avec sa fonction de diminution, {l est donc fa cile de voir qu’on aurait aussi SRE dt D) CE (9) FES Tai). Nous conclurons donc que, lorsque les quantités qu’on I ] additionne sont toutes deux positives, ou toutes deux né- gatives, le résultat est égal, en grandeur, à la somme de ces deux quantités, mais positif dans le premier cas et négatif dans le second ; que, lorsque ces quantités sont AL de natures différentes, le résultat est égal à leur diffé- rence ; et de même nature que la plus grande. 4. La soustraction opérée à l’aide des mêmes quantités (+A),(—B), sera exprimée par (es 20 Re ou simplement par À + B, car il faut considérer que B ayant une fonction de diminution, diminuerait (+ A) s’il lui était ajouté; il doit donc opérer un effet con- traire, lui étant soustrait. L'opération de la soustraction est donc ici artificielle; et soustraire un nombre est la même chose que l’ajouter en changeant le signe de sa qualité. Nous aurons, par la même raison, (—A)—(—B)=—A+8B. D'où nous tirerons les exemples particuliers suivans, qui embrassent tous les cas de la soustraction : (HB)—C+4) = 8—4=(+ 4) (+8)—(—4) 8+4—(+12) E—8)—(+4) = —8—{=(— 12) (—8)—(—4) = —8+{=(— 4) 5. Les anciens mathématiciens commençaient leurs ou- Il I vrages élémentaires par l'exposition de certaines propo- sitions nommées axiomes, sur lesquelles ils établissaient successivement leurs théorèmes, en suivant une marche progressive ou synthétique. Ces axiomes sont des propositions évidentes par elles- mêmes, et dont la certitude , fondée sur le principe lo- gique de contradiction ( principium contradictionis et identitatis), ne peut admettre aucune discussion. Tels sont : 1°. Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles. 2°. Le tout est plus grand qu’une de ses parties, 3°. Lorsque deux quantités sont égales, si l’on aug- mente ou si l’on diminue chacune d'elles de la même manière , les résultats sont égaux, Dans une égalité quelconque MN, les quantités M et N se nomment les #2embres ; particulièrement M le premier membre, et N le second. En leur appliquant le troisième axiome ci-dessus, on peut encore le généra- liser de la manière suivante : Quelles que soient les opérations qu'on puisse exécu- ter sur le premier membre M de l'égalité M =N, si l’on fait subir les mémes operations au second membre N, des deux résultats seront égaux. Nous avions besoin de poser cette proposition évi- dente pour ce qui va suivre. 6. Jusqu'ici nous avons considéré chaque nombre comme formé seulement par l'addition de deux autres ; mais il est facile d'étendre ce que nous venons de dire ; AL 49 car , si nOus avons une suite de nombres construits de ja manière suivante : a+b=e, c+d=e, FT £, g+h—i, ik, etc. , nous obtenons immédiatement la forme générale : a+b+dLf+h+LKL etc... =M. D'où nous pouvons conclure qu'un nombre peut être formé par l'addition d’une quantité quelconque d’au- tres nombres. Lorsque tous les nombres composans sont égaux , ou lorsqu'on à a+a+tatabat+ec..…. =e, e désignant la scmme, la construction de e devient ré- gulière, et s’exprime par «a X b—c. b désignant la quantité des nombres a (Norioxs pRÉLIM. , 3). La génération du nombre c, obtenu de cette manière à l’aide des deux nombres & et b, diffère essentielle- ment de la génération primitive que nous venons d’exa- miner, et constitue conséquemment un nouveau mode de construction des nombres. 7. Nous devons d’abord remarquer que, quelque différentes que puissent être les idées qu’on attache aux fonctions des nombres a et b dans la génération axX b=e du nombre ec, ces deux nombres entrent de la même manière dans cette génération , c'est-à-dire qu’on a ab ba: En effet, a X b, ou, pour mieux fixer les idées, 4 X 3 désigne 4 +4 +4; mais 41 +114: ainsi, 4 X 3 est la même que la somme des unités 1Hitrt+i 1+i+itki 1+i+ibi. Or, de quelque manière qu'on opère l'addition de ces unités , soit en les comptant par tranches horizontales , soit en les comptant par tranches verticales, on obtieu- dra nécessairement le mênie résultat, Mas de la pre- mière manière on à 3 fois 4 unités, et de la seconde 4 fois 3 unités; donc 1X3=3X4. Il est facile d'étendre cette démonstration aux nom- bres quelconques d'unités a et b. 8. Ce mode de construction a , comme le précédent, sa branche directe et sa branche inverse. La branche di- recte constitue l'opération de Ja multiplication que nous venons de déduire; la branche inverse, celle de la divi- sion dont la forme générale est = = b, a Avant d'examiner plus particulièrement Jes nombres :0 AL qui peuvent être construits par ces nouvelles opérations, il est important de considérer l'influence que peut exer- cer sur la nature de leurs résultats l’état positif ou né- gatif des nombres sur lesquels on opère. 9. La grandeur d’un produit ne recoit aucun change- ment de la qualité particulière de ses facteurs. Quant à sa qualité, il se présente trois cas pour la déterminer : 1° les deux facteurs sont positifs; 2° les deux f cteurs sont négatifs; et 3° l’un des facteurs est positif, et l'autre négatif. Lorsque les deux facteurs sont positifs, le produit est positif; car (+ A) X(+B) est la même chose que (+A)+(+A)H(+A)+etc., dont la somme est nécessairement positive. Lorsque les deux facteurs sont négatifs, le produit est encore positif, car (— A) X(—B) désigne que la quantité (— À ) est ajoutée négativement B fois à elle- même, ce qui est la même chose que (4) —(—A)—(—A)—(—A)—(—A)— etc... Or, nous savons (4) que—{(—A)= + À ; ainsi, l’ex- pression (a) est la même chose que HA+LAHAHE AL AE A —Hetc.……, dont la somme est positive. Lorsqu'un des facteurs est négatif et l'autre positif, le produit est négatif; car (—A) X (+B) est l'ex- pression abrégée de (—A)+(—A)+(—A)+(—A)+ etc, ce qui revient (3) à A AAA SEA GÉANT AN EE À à dont la somme est évidemment négative. Si au lieu d’avoir (— A) X (+ B) on avait (+ À) X (—3B), le produit serait encore négatif, puisque (4A) X (—E)=(—B)X (HA). La règle générale est donc celle-ci: Le produit est po- sitif lorsque ses deux facteurs ont le méme signe ; et il est négatif lorsqu'ils ont des signes différens. 10. Dans opération de la division il se présente éga- lement trois cas différens pour déterminer la qualité du quotient à l’aide des qualités du diviseur et du divi- dende, savoir : 1°. Le diviseur et le dividende sont positifs; et alors .le quotient est aussi positif; car dans l'égalité géné- rale c devant être produit par la multiplication des facteurs aet b, il faut que ces facteurs soient tous deux positifs ‘ou tous deux négatifs, pour que a puisse être positif. Ainsi, dans le présent cas & étant positif, b est épale- ment positif. 2°. Le dividende est positif, et le diviseur négatif; AL alors, par la même raison que ci-dessus, le quotient est négatif. Si le dividende était négatif et le diviseur po- sitif, il est facile de voir que le quotient serait encore négatif. 3°. Enfin le dividende et le diviseur sont tous deux négatif ; dans ce cas, le diviseur est nécessairement po- sitif, puisqu'il faut que les facteurs aient dés signés dif. férens pour que le produit soit négatif. La règle générale est donc la même que celle de la multiplication ; c'est-à-dire que Le résultat de la division est positif lorsque les nombres sur lesquels on opère sont tous deux de même signe, et qu'il est négatif lorsque ces nombres ont des signes différens. 11. La formation d’un nombre entier au moyen de facteurs suppose l'existence de certains nombres entiers qui ne peuvent être décomposés en facteurs; car, si dans la génération générale A X BC, on pouvait considérer dans tous les cas l’un des nombres À comme formé aussi par le produit de deux autres nombres A", B', et successivement A’ comme résultant du produit de A” par B”, etc., etc. Les nombres A, A’, A" etc., B,B',B",etc. devenant de plus en plus petits, on pourrait continuer cette décomposition jusqu’à ce que les derniers facteurs fussent égaux à l’unité. Mais 1 X 1 ne donne jamais que 1 : on ne peut donc admettre gé- néralement une telle décomposition; et il existe néces- sairement des nombres entiers qui ne peuvent être for- més par le produit d’autres nombres entiers. Ces nombres se nomment nombres premiers. Tels sont2,3,5,7,11,13, 17, etc., dans la suite des nom- bres naturels 1,2, 3,4,5,6, etc. Tous les autres peu- vent être formés par leurs produits. Ainsi, dans l'expression À X B—C si l’on suppose A formé par le produit de deux nombres premiers a et b; et B par celui des nombres premiers c et d, le nom- bre C sera le produit des quatre nombres 4,b,c, d,et l’on aura a.b.c.d = C. Le moyen d'opérer cette décomposition d’un nombre en ses facteurs premiers west point ici notre objet (voyez Facteurs) : nous nous contenterons d'observer que, quel que soit l’ordre des facteurs, le produit est toujours le même, et qu'on à a.b.e.d = a.c.d.b = b.c.da = êtc ; ce qui est la conséquence de la propriété a.b = b.a. (7) 19. La construction des nombres par la division gé- nérale = À B présente un cas particulier remarquable : c'est celui où le nombre B contient des facteurs premiers qui ne se trouvent pas dans G, Par exemple, soit C composé AL (des eux facteurs premiers «&, b, et B composé des deux facteurs premiers 4.d, on aura C__a.b B a.d' Or, si l’on avait simplement 4.b à diviser par a, le quo- tient serait évidemment égal à b. Mais, au lieu de divi- : b ser par a il faut diviser par a.d. Ce quotient est donc Tr [4 Les deux nombres b et d étant des nombres premiers, la division de b par d est impossible; car on ne peut avoir b = d X m, puisque b est indécomposable en fac- teurs. Donc la division de C par B, qui se réduit à celle de b par d n’est pas possible. 11 en serait encore de même si les nombres C et B étaient prerniers entre eut, c’est-à-dire s'ils n'avaient aucuns facteurs communs. Cependant, le nombre À qui répond au quotient L’ devant toujours être obtenu, quels que soient Get B, nous sommes conduits à reconnaitre l'existence d’une autre espèce de nombre que celle des nombres entiers, dont nous nous sommes occupés jusqu'ici. En effet , sup- posons C— 3, B—2, nous aurons 3 3 SC nigar La valeur de À est donc plus grande que 1, et plus pe- üte que 2, et n’est point par conséquent un nombre en- tier. Ces nombres nouveaux, dont la division vient de nous donner la génération, se nomment Fracriows. fl en existe une infinité dont les grandeurs sont entre o et 1,1et%,2et53, etc. Dans l'arithmétique, on ne nomme proprement fractnns que ceux de ces nombres compris entre oetr, c'est-h-dire dans lesquels on a B>> C; les autres se nomment zombres fractionnaires, parce qu’en effectuant la division autant qu’elle est possible on peut toujours les réduire à une fraction. ?, par exemple, est la même chose que 1 ++. Quoi qu'il en soit, nous dési- guerons sous le nom de fraction tous les nombres de la ÿ B tient un nombre entier. . forme lorsque là division ne peut donner pour quo- La manière d’énoncer les fractions dérive de l’opéra- tion qui les fait naître. Ainsi, pour énoncer la fraction Z, on dira la huitième partie de sept ; pour énoncer la frac- tion #©, on dira la quatrième partie de onze, etc. Dans l'arithmétique, comme on ne nomme fractions que celles de ces quantités qui sont plus petites que l'unité, on Îles considère comme des parties de l’unité ; et au lieu de dire, par exemple, la troisième partie de deux pour énoncer la fraction à, on dit deux troisièmes où deux tiers. On suppose alors que l'unité est divisée en trois parties, et que ; représente deux de ces parties, Par la AL 51 même raison, pour la fraction ?, qu’on énonce en di4 sant sept neuvièmes, on suppose que l'unité est divisée en neuf parties, et que la fraction en contient sepe. Ainsi de même pour tous les autres cas. On donne en général le nom de aumérateur au dividende, et celui de y à 1 re . cv dénominateur au diviseur. Ainsi, dans la fraction — bÈ a est le uumérateur et b le dénominateur. a et b se nomment encore les deux termes de la fraction. 13. Il résulte immédiatement de la construction des fractions : 1° qu'on les multiplie en multipliant leurs nu- mérateurs ou en divisant leurs dénominateurs. En ef- PE _. ; Ua fet, si lon multiplie le numérateur à d’une fraction — b r b ] Île devient 27; or, 1 pa un nomDre que conque mn, elle devient 9 or, e dividende devenant »2 fois plus grand, doit contenir #4 fois davantage le diviseur. De même, en divisant le , : : . a dénominateur D par #2, la fraction devient -—— , et le b:m diviseur étant 72 fois plus petit doit être contenu 7» fois davantage dans le dividende. On a donc am a Bb TT bim 2°. Qu'on divise une fraction en divisant son numéra- teur ou en multipliant son dénominateur. Car, dans le premier cas, en nous servant des mêmes nombres que . . Var ci-dessus, la fraction devient gr ct dans le second, a “ À : à in 91» lorsque le dividende devient 2 fois plus peti D,.712 par la division , il contient »2 fois moins le diviseur; et lorsque le diviseur devient 2 fois plus grand par la mul- tiphcation , il est également contenu 72 fois moins dans le-dividende, On a donc aussi : 1712 «a bn 3°. Qu'une fraction ne change pas de valeur lorsqu'on multiplie ou qu'on divise ses deux termes par le même nombre. Effectivement, dans le premier cas la fraction am devenant -—- b.m , le dividende et le diviseur deviennent tous deux 2 fois plus grands qu’ils n'étaient ; le premier ne peut donc contenir le second qu’autant de fois qu'il le contenait avant la multiplication; c’est-à-dire que la fraction conserve la même valeur; dans Je second cas, nr ! a: la fraction devenant ——— B , le dividende et le diviseur :m deviennent tous deux 2 fois plus petits; et, conséquem- ment, le second ne peut être contenu dans le premier que le même nombre de fois qu'il l'était avant la divi- am aim ont donc Ja bn b;m? sion. Les deux expressions même valeur, 58 AL 4. A suit des propriétés précédentes que si les deux termes d’une fraction avaient un facteur commun, on pourrait le retrancher sans changer la valeur de la frac- tion. Soit, par exemple, la fraction G’ dans laquelle A — ap, et B— bp, où aura A __ ap «& B bp ep en supprimant le facteur commun p. Lorsque les deux termes d’une fraction n’ont aucun facteur commun , elle est dite #rréductible où à sa plus simple expression. 15. On peut exécuter sur les fractions les quatre opé- rations qui nous ont été données par les deux premiers l'addition, la soustraction , la multiplication et la division. modes de construction des nombres, savoir : Les deux premières opérations ne peuvent s’exécuter immédiatement que lorsque les fractions sur lesquelles on veut opérer ont le même dénominateur ; mais il est toujours possible de ramener les autres cas à celui-ci, par la propriété que possèdent ces nombres de pouvoir changer de forme sans FR de valeur. Par exemple, si l’on à plusieurs fractions © : ; On peut aisé- b? . F ment les transformer en d’autres fractions qui leur soient respectivement égales , et qui de plus aient le même dé- pour cela, que multiplier les nominateur; il ne faut, deux termes de chaque fraction par les dénominateurs de toutes les autres, et alors elles deviennent g.b.d.f af h cbfh Bd fh LfA e.b.d.h arr Or, ces fractions ont le même dénominateur , puisqu'on ab.dfh = db.fih = fb.dh = hb.df (5); et elles sont égales aux proposées, puisqu'elles ont été formées en multipliant les deux termes de chacune de ces pre- mières par un même nombre (13). À l’aide de cette préparation, qu’on nomme réduc- tion au mème dénominateur, Yaddition des fractions ne présente aucune difficulté : il suffit d’additionner les numérateurs et de donner à leur somme le dénomina- teur commun. /’oy. Abpirion des fractions. 16. La soustraction des fractions s'exécute en prenant la différence des numérateurs et en donnant à cette dif- férence le dénominateur commun. Par exemple, pour 3 9 retrancher — de _ on retranche 3 de 0, et on donne : c xx au reste 6 le dénominateur commun 113 on a ainsi 9 3 298 1:16 11 TIR NOTE DUrT. Les raisons de cette règle sont les mêmes que celles de l'addition. Â É On a donc en général Siles fractions ont des dénominateurs différens , on commence par les réduire au même dénominateur , et on opère ensuite comme ci-dessus, Ainsi, pour les deux fractions géné srales + £ Sp on obtient a cad cb _a.d—c.b bd bd bd b.d 17. Pour multiplier une fraction par une autre frac- tion , il faut mulüplier les deux numérateurs l’un par l'autre et les deux dénominateurs l’un par l’autre; le premier produit est le numérateur du résultat, et le se- ET LUC C'est-à-dire que + X — b d est cond est son dénomivateur. égal à à TT eva En effet, en multipliant - 3 seulement par €, on ob- 5 ; duit est d fois plus grand que celui qu’on demande, tient, d’après ce qui a été dit (13), mais ce pro- eee _. © puisqu'il s’agit de multiplier par gp Ctnon pas parc, et que D est d fois plus petit que c; il faut donc rendre Te d'fois plus petit; et pour cela il sufit de multiplier son dénominateur par d (13), le résultat 2° 5 Ta est donc le à , a ,c véritable produit de 5 x . On trouverait par suite que a CE lguiN=ndiGre-prelce b X d X FX h SE b.d.f.h,etc. 18.La division des fractions se change en multiplication en renversant l'ordre des termes de la fraction diviseur; d a. : a -à-dire que 3: st la même chose que 3 X:= ce c’est Le b D a.d 7, ; : PRES On peut trouver aisément les raisons de cette rè- .C gle; mais nous en allons donner une démonstration qui sera en même temps un exemple du mécanisme de l’al- s 1 : » 2 gèbre. Désignons le quotient cherché par -, æety étant des nombres inconnus qu'il s’agit de déterminer, et nous aurons ROSES bd y : CL. a Mais alors get étant les facteurs de Gr nous de- c Y vons avoir a Cox 1 —aXÿ AL ce qui donne, d'après les règles de la multiplication, | | ace b dy Or, multipliant ces deux quantités égales par 4, l'é- galité ne sera pas détruite et deviendra ad" °cir Brnonpr? et, divisant actuellement par c, on obtiendra Ta CO _Y TG C 4 chauds... a.d Mais ÿ Fa donc D JE où Ainsi, comme ee est la même chose que ne il en résulte la règle énoncée. 19. Si nous concevons une suite de nombres construits à l’aide du second mode de génération, de la manière suivante : AXB=C, CXD=E, EXF=H ; etc. etc... LXM=N; en introduisant les facteurs de C dans la seconde éga- lité, ceux de E dans la troisième, et ainsi de suite de proche en proche jusqu’à la dernière, nous obtiendrons AB ICDICE NH etc NN; expression qui nous apprend qu’un nombre peut être construit par une quantité quelconque de facteurs ; ce que nous pouvions déja conclure de ce qui précède. Cette expression ne nous présente donc aucune consi- dération nouvelle tant que les nombres A, B, D, F, etc. sont différens les uns des autres ; mais, lorsque tous ces facteurs sont égaux , la génération de leur produit, que nous désignerons par C, devient AUDE ANOAC ASC Are. = GC; et s'exprime d’une manière entièrement déterminée par la forme générale AB CG: B placé ainsi au-dessus de A désignant le nombre des facteurs A. ( Foy. Norioxs PRÉLIM. 8.) Cette génération d’un nombre C, au moyen de deux autres nombres À et B, est évidemment différente de celles qui résultent des deux premiers modes généraux de construction des nombres : AHB—=C,AXB—C; elle constitue donc un mode nouveau dont l'examen va nous faire connaître de nouvelles opérations et de nou- velles espèces de nombres. R Sa branche inverse s'exprime par vC = À. 20. On nomme en général quantités exponentielles les quantités dont la forme est Am, Ba, etc. Comme les diverses transformations dont elles sont susceptibles for- ment une partie impostauie de Ja gamstruction des nom- AL 53 bres , nous allons donner la déduction de leurs proprié- tés principales. Le produit de deux puissances Am, Br, dont les bases sont inégales, ne peut s'exprimer différemment de celui de deux nombres quelconques ; mais lorsque les bases sont égales, on a Am X An — Am+n, puisque le nombre des facteurs A est alors 72 + n. Par la même raison, Am An X AP X Ag X Ar Xetc. —Am+n+p+q+r+etc. 21. La puissance m2 d'un produit a. b. c. d. e. etc. peut s'exprimer indifféremment par (a.b.c.d.e.etc.)" et par am.bm,cm.dm.em, etc. C’est encore un résultat immédiat de la construction des puissances. : : . a , 22. La puissance 72 d’une fraction quelconque 5° ob- tient en prenant les puissances du même degré de ses deux termes; c’est-à-dire qu’on a NM: 47 b) br” En effet, on a cette suite d’identités : a.a.a .. etc. am a\mn a a a () mt AT Li Li) + x M7 à ; q 23. Le quotient de deux puissances quelconques R? s'exprime par A9—*, C’est une conséquence directe de la propriété 20 ; car , de l'égalité AM An — Am+n 6 AM+NR : on tire Am — re Faisons m+ n—g, on aura m— qg—n, et par conséquent Ag = en = Ag—n, 24. Il résulte plusieurs conséquences importantes de cette dernière expression. 1°. Si les exposans g et x sont égaux, on a A9: AI — . Ag : A9—9— A0; mais TE donc A9 — 1. La puissance zéro d’une quantité quelconque est donc égale à l'unité. o°, Si dans la même expression on fait g —0, elle devient Ainsi, une puissance dont l’exposant est négatif est égale à l'unité divisée par cette même puissance, en faisant l’exposant positif. 5. Le produit et le quotient de deux puissances à exposans négatifs suit donc les mêmes lois que dans le cas des exposans positif; et l'on a A—m A—m > 4 AR = A—m-n , AR —= A—ma#n ; #4 AL car Am = =: ainsi, Am x An — xx X = je CD) Or, Re = AT de même, _ = 5 ; DT = An—m (16). 26. On élève une quantité exponentielle à une puis- sance quelconque en multipliant son exposant par celui de cette puissance; c'est-à-dire que (Am)n — Ant, L'expression (An désigne le produit Am X A" X Am Am X etc... n étant le nombre des facteurs At; mais ce produit se réduit à Am+mHmr ele, ou à Am, puisque »+m-m+ etc. = mn. La puissance { d’un produit Am. Ba. Cp. D4. etc. s'exprimera donc indifféremment par (A7, Br. Cr. D. etc. } ou par Amt, Bnf. Ci. etc. n 27. La racine n d'une quantité A% ou V/An est égale mn à Al; car, soit » = ph, nous avons n n, L, V/Am = VA = \/(Ar)n. " n n Mais, en général, V/X2 —X; donc, V/Am = AP — m A% , puisque l'égalité m=pn nous donne p =. Cette déduction suppose que »2 est divisible par n», ou que p est un nombre entier; seul cas dans lequel on peut prendre exactement Ja racine. Lorsque cela n’a pas lieu, on conserve néanmoins la notation ñn ui V/An — A", qui nous donne la signification d’une puissance à expo- sant fractionnaire. 28. Les quantités dont la forme générale est ve se nomment quantités radicales Jorsqu’on les considère dans toute leur généralité. Il se présente un cas remar- quable dans cette construction des nombres, c’est celui où il n’existe aucun nombre entier A capable de don- ner légalité. B VC = A. Par exemple, la racine carrée de 5 est plus grande que 2, puisque 2’ — 4; et cependant elle est plus pe- tite que 3, puisque 3 — 9; la valeur du nombre y5 est donc entre 2 et 3. Or, il n'existe aucun nombre fractionnaire qui puisse répondre à cette valeur; car, ; ; ns a s’il pouvait s’en trouver un, en le désignant par Fo 08 RAT ALAN Gi = * te aurait (5) = ÿ étant une fraction, la division AL de 4 par à n'est pas possible ; et conséquemment, non plus celle de a X a par b X b( Voy. Tnéonte pes now- æ b? gres), - ne peut donc être un nombre entier; ct l’éga- lité . —= nombre entier ni un nombre fractionnaire, et fuit con- 5 ne peut être admise. Ainsi, y/5 n’est ni un séquemment partie d’une nouvelle espèce de nombres. Ces nombres nouveaux se nomment nombres 1rra- tionnels , parce que leurs rapports avec l'unité ne peu- vent être assignés exactement. 7’oy. Nompres IRRATION- NELS. 29. Le produit de deux nombres irrationnels du même degré, ou eu général de deux quantités radicales m m m VA et VB peut s'exprimer par V/AB. : En effet, soient VA = x'et VB = y, on aura Aussi Am et B= y", et par suite AB — x ym; mais (21) am.ym = (x.y)", ainsi AB = (xyÿ". Prenant la racine m , cette dernière égalité devient VAR 2 où VABZ A X (78! On aurait aussi VA X VB X VC XV/D.etc. =V/(A.B.C.D. etc.). 30. On peut toujours ramener au même degré, sañs changer leurs valeurs, les quantités radicales de degrés m n différens. Par exemple, VA et V/B étant la même I 3 chose que A, B* (27), en réduisant les deux fractions 1 ; : 3 ; =, —, au même dénominateur (15), elles deviennent n nt = Le t les tité oposées sont identi 3 uantités proposées sont identique- mn mn” { Proc T Hs us mn mn ment les mêmes que A7, B"*, ou que V/A#, V/Bm. Donc, mn, mn VA KXVB= Van X V'Bn = V/ArEn. 31. On a, par les mêmes raisons, Van x V/Ba = VA X \/ Bmg — = V/A7r.Ena. Si dans cette expression on suppose AB, elle de- vient (a) VA Fm. (an X VAI — 7 Mais Van = A, V/AG 2 AP, VRP = ASE, étant évidemment la somme Or, la A PA mp des deux fractions + ; # l'égalité (a) est la même AL chose que k 13 ie Am A9— Am 9- Ainsi, la règle donnée (20 et 25) pour les exposans enticrs, positifs et négatifs, s'étend aux cas des expo- sans fractionnaires positifs. 32. Le quotient de la division d’une quantité radi- m m cale V/À par une autre quantité radicale VB, du même m , z À : degré; s'exprime par Ur Pour le démontrer, sup- m m posons vA = x et vB = y; alors nous aurons am B ya , am PAUL À PAUL Mais Ga) 2) , donc ñ =(*) É Prenant la racine #1 des deux membres de cétte der- nière égalité, elle devient A=œm, B—ym et m m ,— ne ya A _VA By ou BE =" 33. Lorsque les quantités radicales sont de degrés dif- férens, on les ramène d’abord au même degré comme ci-dessus (50), et l’on obtient sans difficulté, m mit mn mn vA c VB 1/4 ny V/B" — V/An : Bm, m ñ ui mn VA» : v/B4 = VAN: V/Bma= Van : Bmg. 34. Faisant À —B dans la dernière de ces expres- sions, elle devient VA» à \/A = VAT =. où, identiquement , (b) LRU LE AM: AN — AM n° La règle du numéro 23 s'étend donc aussi au cas des ex- posans fractionnaires. 35. Si dans légalité (b) on fait P. = 0, elle devient I q=AÀ Aù Ainsi. les puissances à exposans fractionnatres négatifs ont la même signification que les puissances à exposaus entiers négatifs (24). Test facile de conclure, de cette dernière proposi- tion, en suivant la marche du numéro 25, que les rè- gles de Ja muluplication et de la division des puissances d’une même bas? embrassent le cas des exposans frac- tionnaires négatifs; c'est-à-dire que, quels que soient AL 55 les éxposans 7 ét n entiers où fractionnaires , positifs ou négatifs, on à généralement An Am X An AMEN etes Amen, n n 36. La puissance mr d’une quantité V/A, où (VA, m 125 est la même chose que VAn, et la racine m de cette hm,n mn même quantité, où 1/{V/A), est égale a V/A. n n nn, En effet (Am exprime le produit vA x VA S'é n VA. etc. , 27 étant le nombre des facteurs, Or, ce produit peut se mettre sous la forme n nl VA X A X AK A...ete.) ou V/Am. Quant à la racine +, si nous supposons l'égalité m ñn x V(VA)= VA; nous obticndrons d'abord, en élevant les deux mem- bres à la puissance m, une seconde égalité n ZT, VA = V'Am. Donc, élevant ençore les deux membres à la puissance 7, nous aurons la troisième égalité À = VAm. Élevant enfin les deux membres de cette dernière à la puissance x, nous obtiendrons A: — Ar, Ce qui nous donne x = mn, et par conséquent m On mn, V(VA)= VA. 37. H nous reste à examiner de quelle manière la qualité des résultats, où leur état positif et négatif. est liée avec celle des quantités données dans les deux opé- rations de l'élévation aux puissances et de l'extraction des ‘racines. Commençons par l'élévation aux puis- sances. Quatre cas se présentent ; 1°. La base et l'exposant sont positifs. Alors il est évident que la puissance est également positive, et qu’on a (HA? = (4 0). Désignant, comme nous l'avons fait ci-dessus, par les signes Æ et — renfermés entre des accolades, l’état des nombres sur lesquels on opère , afin de mieux faire sai, sir les règles de leurs combinaisons. 2°. La base est négative et l’exposant positif. La puis- sance peut être dans ce cas positive ou négative, selon que l’exposant sera pair où impair; c'est-à-dire selon que l’exposant sera multiple où yon de 2. En effet, soit #2 un nombre quelconque, 0, 1, 2, 3 etc. depuis 56 AL o jusqu’à l'infini, 2m représentera tous les nombres pairs possibles, et 22 + 1 tous les nombres impairs. Ainsi, lorsque l’exposant est pair, la puissance sera .— À} et (— A 241 lorsqu'il est impair. Nous nous dispensons de donner le signe + aux exposans et de les senfermer entre des accolades , parce qu’il est convenu que toute quantité qui n’est précédée d'aucun signe est considérée comme positive. Mais, d’après les règles de l'élévation aux puissances des quantités exponentielles (26), nous avons (—A}r =[(=AYT Or (9), (— A} = (— À) X (— A) = + A7. Donc, (— Apn (2H Asÿe = + Am. La puissance est donc positive lorsque l’exposant est pair. Nous avons aussi (20) (— Anti 2 (— A) X (A) Cette égalité est la même chose, d’après ce qui vient d’être dit, que = La puissance est donc négative lorsque l’exposant est Apm+i — (4 Am) (— A) = —Amt+i, impair. 3°. La base est positive et l’exposant négatif. La puis- sance se réduit alors à une fraction; car , ainsi que nous l'avons déjà vu (24) CD = (+4) AB 4°. Enfin, Ja base et l’exposant sont négatifs. On a aussi I A "ap et selon que B sera pair ou impair, la puissance sera positive où négalive. 38. Dans l'opération de l'extraction des racines il se présente également quatre cas différens pour détermi- ner l’état positif ou négatif de la racine. 1°. Le nombre et l’exposant sont positifs. La qualité de la racine dépend de la grandeur de l’exposant; car, si l’exposant est pair , comme on a (37) HAPM= (HO et (—Apn=(+O. il en résulte 2m, am VHO=(4HA) e& VH+O=(A). Dans le cas de l’exposant pair, la racine est donc po- sitive ou négative. On exprime cette propriété par la formule 2m V4 0)= (HA). Si l’exposant est impair, comme on a (APM = (HO, AL d'ou il résulte 241 VHC) = (#A), la racine est donc toujours positive lorsque l’exposant est impair. >». Le nombre étant positif, et l'exposant négatif, la racine prend une forme fractionnaire. En effet, (2) nr V/C est la même chose que CP ë C Donc, {—B) vG— F- vC 3°. Le nombre et l’exposant étant négatifs, on trouve de la même manière (2) VC) = ve © 4°. Enfin, le nombre étant négatif et l'exposant posi- tif, si l’exposant est 2mparr, car de la racine est negative, 2/n+1 (— A}m+i = (— Cj).on tire V/ (— C)—( la génération de la racine, =, Mais si l’exposant est pair, quoique possible en idée, devient impossible en réalité : ce nombre ne pouvant être alors ni positif n! négatif. En effet, V/{—C) ne peut être une quantité positive (+ À), puisque (HA): est positif, et il ne peut être Aj2m est également positif (37). Ce cas, extrêmement remar- non plus une quantité négative (— A), puisque (— quable, nous offre donc la construction d’une espèce par- ticulière de nombres auxquels il est impossible d’atta- cher aucune interprétation quelconque, quoiqu'ils soient d’un usage fréquent et utile dans les calculs. On a donné à ces nombres le nom de quantités imaginai- res (voyez ce mot), qui est loin d’en définir exactement l'origine; car l'imagination est une faculté psychologique qui ne concourt en aucune manière à la génération des nombres opérée par l’enteudement. Si nous observons que la génération d’un nombre né- gatif au moyen de l'unité est en général (—1)XM, am, nous pourrons donner à la quantité V{— C) la forme am Verx ac qui revient (27) à V/(+C) SAVE 2m Or, la quantité VA (+ C) étant réelle, le facteur imagi- 2m, À En s naire V/—1, peut être seul l’objet de considérations nouvelles, Les quantités dites imaginaires peuvent donc s’expri- 2m mer à l’aide de la seule V— 1, ct leur forme générale est M étant une quantité réelle quelconque. 48. Nous nous sommes élevés successivement de la génération primitive des nombres À + B— C aux gé- nérations À X B—Cet AB—C; nous avons examiné les diverses espèces de nombres engendrés par ces trois modes différens de construction, et déterminé leur na- ture; il nous reste à prouver que le mode AB— C est le dernier mode élémentaire possible de construction, et, conséquemment , que ce qui précède renferme tous les élémens de la science des nombres. Pour cet effet, reprenons la marche qui nous a conduits (6) de A + B—C à A XB—C et de cette dernière (19) à AB —C. Formons donc une suite de nombres at=c,cd—æe,ef—g;,gh=ti,etc., etc. En substituant la valeur de ce dans celle de e, nous avons (ab )d — e ou (26) abd — e, Substituant ensuite cette valeur de e dans celle deg, elle devient (abd\f = g ou abdf — g. Continuant donc de la même manière de proche en proche , eu désignant par m1 la dernière puissance, nous aurons abdfh.. ete. — mn ; qui, lorsque toutes les quantités b, d,f, h,k, etc., sont égales, se réduit à anb = ; D en désignant le nombre de ces quantités'par #1. Or, cette expression ne diffère en aucune manière de AB — C. Ilest donc impossible de trouver un mode de génération élémentaire qui ne soit pas compris sous l’une des trois formes déjà trouvées ; et ces trois formes renferment en effet tous les élémens possibles de la science des nombres considérée dans sa plus grande gé- néralité. Ever est le premier qui se soit aperçu de la liaison qui existe entre les divers modes des générations élé- mentaires, et qui ait fait remarquer que chacun d’eux donne naissance à de nouvelles espèces de nombres. Les mathématiciens qui lui ont succédé , et particulière- ment les auteurs d'ouvrages élémentaires semblent ne point avoir saisi tout ce qu'il y a d’important dans cette considération , qui seule permet de coordonner les di- verses parties de l'algèbre, et de l’amener à cette unité systématique sans laquelle une science n’est qu’une col- lection de faits ou de lois sans liaison. Ces auteurs se sont contentés, pour la plupart, de présenter l'algèbre comme un moyen particulier de résoudre des problè- AL 57 mes , confondant ainsi ce qui a pu conduire à découvrir la science avec la science elle-même ; et ils sont partis de questions particulières pour arriver à des équations dont la résolution généralisée forme , suivant eux, la base de la science des nombres. Cette marche est évi- demment vicieuse : les nombres constituent un ordre de réalités dont les lois sont nécessairement indépendantes de toute application numérique ou géométrique; et, comme tels, leur generation doit précéder nécessaire- ment leur comparaison, de laquelle dépendent les équations. Mais cette génération présente deux points de vue distincts : le premier est celui dans lequel on ne consi- dère que les modes élémentaires et primitifs, pris isolé- ment, de la construction des nombres; le second est celui dans lequel on considère la réunion de ces modes primitifs et les constructions dérivées qui naissent de cette réunion. Le premier point de vue constitue la ge- nération élémentaire que nous venons d'exposer ; le se- cond, la génération systématique qui sera développée successivement. La comparaison des nombres nous pré- sente également deux parties, dont la première, la com- paraison élémentaire, nous donne les pRoPoRTIONS et les PRoGREssIONS, et dont la seconde, la comparaison systématique , nous donne les ÉQuaTIoNs. Foy. ces mots et ALGORITHMIE. ALGÉBRIQUE. Ce qui appartient à l'algèbre. On dit caractères algébriques , quantités algébriques , cour- bes algcbriques, etc. On partageait jadis les lignes courbes en courbes géométriques, algébriques , transcendantes et mécani- ques, et le terme algébrique se rapportait à celles de ces lignes dont la nature peut être exprimée par'une équa- tion élémentaire, c’est-à-dire par une équation qui ne renferme aucune quantité transcendante. Mais aujour- d’hui où la génération de toutes les quantités fait partie de l'algèbre, ces distinctions n’ont plus aucun fonde- ment. Toutes les équations sont essentiellement algébri- ques, et le rapport des abscisses aux ordonnées d’une courbe quelconque étant toujours représenté par une équation immanente ou transcendante, la classifica- tion de ces lignes doit suivre celle des équations. (Voyez Courses et ÉqQuarions. ) AL-GEDY ( Astr.). Nom de l'étoile du Capricorne marquée y dans les catalogues, et qui signifie Le Che- vreau. Les Arabes donnaient aussi ce nom à la constel- lation entière, ainsi qu’à l'étoile polaire. ALGENEB ou ALGENIB, et plus correctement AL- Gens Fersaous ( Z côté de Persée). ( Astr.). Quelques observateurs ont donné ce nom à la ceinture de Persée; mais il a été mal à propos confondu par plusieurs au teurs avec le nom de AL-GEnau (l'aile), donné à uue étoile de la seconde grandeur, située dans la constella- 8 AL tion de Pégase. On la marque dans les catalogues par la 98 lettre y. ALGOL, ei plus exactement rA5 AL-cnouL (téle de furie).( Astr.) Nom de l'étoile vulgairement appelée Téte de Méduse, marquée B dans la constellation de Persée. Cette étoile est sujette à une variation pério- dique dans l'intensité de sa lumière : elle passe en » jours 48 ou 49° de la deuxième grandeur à la quatrième ou à la cinquième grandeur. Cette observation a été faite pour la premièré fois en 1783 par un gentilhomme du duché d’'Yorck, appelé Goodricke. L'étoile Algol ne reste à Paris sous Fhorizon que pendant 1 heure 27". (Poyez Érorres cHANGEANTES. ) LGOMEIZA, et plus correctement AT-GHAMEYSSA. ( Astr.). On donne ce nom à Procvon, lune des étoiles de la constellation du Petit-Chien, et quelquefois à la constellation entière. ( ’oyez Procyon.) Quelques as- tronomes arabes ont écrit ce nom AL-GOMEYZAN, qui si- gnifie petit Sycomore. ALGORAB ( Astr. ). Nom de l’une des étoiles de la constellation méridionale du Corbeau, marquée ; dans les catalogues. Le nom d’ar-cnorar, qui signifie le cor- beau, est donné par les Arabes à la constellation entière. ALGORITHME. Terme dérivé du mot arabe AL- GORETM, Qui signifie racine en général, et qu'on a employé, par extension, pour calcul. On l'emploie pour désigner chaque forme particulière de génération desnombres. Ainsi, parexemple, «& = c est l'algorithme des puissances; A9 x=@ (x+Ax)—@x est l'algorithme des différences; F x=A co + Ai Z4A ,x2+4# A3 ti, etc.., est l’algorithmé des séries, ete., ete. La science dont le but est d’embrasser les faits et les lois des nom- bres, et par conséquent tous les algorithmes, devrait donc être nommée par excellence a/gorithmie ; et nous devons faire observer à ce sujet que l'adoption d’un moi particulier pour exprimer la science générale des nom- bres, est d'autant plus nécessaire que cette science n’a recu , jusqu'ici, aucune désignation spéciale qui puisse l'empêcher d’être confondue avec l’une ou l’autre de ses branches, l’artthmétique et l'algèbre. M. Ampère, dans sa classification des connaissances humaines, propose le ot arithmologre ; mais ce mot ne nous parait pas aussi bien approprié à son objet que celui d’a/gorithrnie, qui est déjà employé dans plusieurs ouvrages importans. ALGORITHMIE. C'est sous ce nom qu'un géomètre moderne, M. Wronski, désigne l’une des branches fondamentales des mathématiques pures : celle qui à pour objet les nombres. Le but de ce savant, dans les nombreux ouvragesqu’ila publiés en France depuisi8r1, paraît être de fonder en général la philosophie des ma- thématiques, et de constituer en particulier une bran- che nouvelle de ces sciences, à laquelle il donne le nom de Technie. Les vues nouvelles qu'il propose, l’unite AN qu'il veut établir entre les nombreuses parties des ma thématiques, la loi universelle qu'il a découverte, loi qui, d'après le rapport du célèbre Lagrange, embrasse toutes les lois connues pour le développement des fonc- tions, ne nous permettent pas de passer sous silence une doctrine dont l’avenir de la science ne peut manquer de se ressentir. ( J’oyez PniLosoPiE DES MATREMATIQUES. ) ALHABOR, ct plus correctement AL 4arour. (4str.) Nom arabe de Sirius. ALHAIOTIT, et plus correctement ar-asovo. (Astr.) Nom arabe de la belle étoile de la Chèvre, qui se trouvé dans la constellation du Cocher, et que les Syriens nom- ment ayouTo. flle est indiquée par quelques auteurs comme une étoile de la troisième grandeur dans la con- stellation du Capricorne. C’est une erreur à laquelle le nom vulgaire de cette étoile, attribué aussi quelquefois à cetie dernière constellation, a pu donner naissance. L'étoile de Za Chevre est désignée encore par le nom d'ALnatOD. ALHAZEN, nom vulgaire sous lequel les savans d'Europe ont désigné le célèbre et savant mathématicien arabe dont le nom est AL-RASSAN, BEN-HASSAN, AEOR-ALY, BEN ÉL-RAYTHAM : il était natif de Basrah, et vivait en Égvpte à la cour du khalyfe ÉL-nakEm, vers l’an 400 de l'hcgire ( 1009 de notre ëêre). Il mourut au Kaire l’an 430 (1038). Il s’occupa Spécialement d'astronomie et d'optique, et mérite sous ce rapport d’être cité avec dis- tinction parmi les hommes de sa nation, dont lestravaux et les recherches ont le plus contribué à répandre en Europe les sciences et les lumières. Nous avons de lui un Traité d'optique, dont quelques parties révèlent une haute instruction, et des tentatives heureuses pour arri- ver à l'explication des phénomènes que présente cette science, et qui étaient encore regardés comme insolubles au temps d’Alhazen, Ce livre est encore recommandable sous un autre rapport : il peut être fort utile à l’histoire littéraire et critiqué des sciences chez les Arabes, dont il résume les progrès dans un tableau des connaissances que possédait cette illustre nation. Cet ouvrage est, au reste, divisé en trois parties. La première, consacrée à Ja physique, n’est pas exemipte d’erreurs : Alhazen y dé- veloppe quelques fausses doctrines sur la cause de la vi- sion et sur les couleurs, On y trouve néanmoins des aperçus fort judicieux sur la réfraction astronomique, sur la grandeur apparente des objets, et spécialement sur le phénomène du grossissement apparent du solcil et de la lune, vus à l'horizon. La seconde partie, qui est consacrée à la catoptrique, est traitée par Alhazen avec plus de supériorité, quoiqu'il s’v soit aussi glissé quelques erreurs, telles que ses appréciations sur le ïieu apparent de l’image dans les miroirs courbes, et celles sur le foyer des miroirs caustiques. La troisième partie est consacrée à Ja dioptrique, Les connaissances d’Alba- AL zen, sous ce rapport, quoique fort étendues, sont néan- moins encore imparfaites. On trouve cependant dans cette partie de son ouvrage l'exposition d'ingénieuses théories pour expliquer la réfraction. Huygens a accusé Alhazen d’une grave erreur, dont il n’est point coupable, en lui faisant dire que les angles rompus sont propor- tionnels aux angles d’inclinaison. Ce mathématicien arabe aperçut très-bien, au contraire, qu'il n’y avait entre eux aucune raison constante, et il recourut à l'expérience pour déterminer la quantité de réfraction convenable à chaque obliquité ; il en donne même ure table, qui détruit complétement l’assertion d'Huvgens. L'optique d’'Alhazen, traduite de l'arabe, et réunie à celle de Vitellion, a été publiée pour la première fois à Bäle, en 1532, par Risner, sous le titre de : Thesaurus opticæ, in-folio. Il existe d’autres mathématiciens du nom d’Alhazen, dont les travaux sont moins importans, et que nous n’a- vons pas jugé utile de mentionner ici. AL-HOOT ( Ze Cétacce ). ( Astr.). Nom arabe de l'étoile marquée : dans nos catalogues, et qui est la pre- mière de Ja queue de la Grande-Ourse. On la désigne encore sous les noms altérés de AL1OT, ALIATH, ALLIOTH, Miracu, et sous celui de Mizar dans l’Uranomeétrie de Bayer. La connaissance de cette étoile est surtout utile aux marins. ALIDADE ( Géom. ). Règle mobile de bois ou de métal, portant une pinnule à chacune de ses extrémités, dont on se sert pour viser les objets et tracer les lignes de leurs directions lorsqu'on lève les plans à l’aide de l'instrument nommé Planchette. (Foy. PLancnerre.) Ce mot vient de AL-HiDAD, qui signifie tout à la fois en arabe, pinnule de fer, but ct point déterminé. On ap- pelle encore Alidade la règle mobile qui, tournant au- tour du centre d’un cercle divisé en degrés, peut en par- courir tout le limbe pour mesurer les angles. Elle porte aussi des pinnules, ou bien est surmontée d’une lunette. (Voyez GrapaomËTRE et CERCLE RÉPÉTITEUR. ) ALIGNEMENT (4rp.). Voyez ARPENTAGE. ALIEMINI (Astr. ). Nom donné dans les Tables Alphonsines à la belle étoile du Grand-Chien, plus habituellement désignée sous le nom de Sirius. Aliemini est le mot arabe corrompu AL-YEMINY , Ou AL-YEMANIER, qui signifie placé à droite. ALIQUANTE (Arith.). Parties aliquantes d’un nom- bre. Ce sont celles qui ne le divisent pas exactement, ou qui ne sont pas ses facteurs. Par exemple, 5 est une partie aliquante de 8, parce que 5 n’est pas facteur de 8, ALIQUOTE ( Arith.). Parties aliguotes d’un nombre. Parties d’un nombre qui le divisent exactement ou qui sont ses facteurs, Par exemple, 2 est une partie aliquote de 8, parce que 2 est facteur de 8. ( Voyez Murriecica- TION. } AL 39 ALKAMELUZ (Astr.). Nom donné par quelques auteurs à l’étoile Arcturus, située dans la constellation du Bouvier. Cette dénomination est corrompue du nom d’ar-ramene (le lancier ) que lui donnent les Arabes. ALLIAGE. Règle d’alliage (Ærith.). On donne in- distinctement en arithmétique le nom d’alliage à tout mélange de diverses matières susceptibles d'être réunies. Les questions qu'on peut se proposer sur ces mélanges offrent deux points de vue différens : 1° Les valeurs et les quantités des matières composantes étant données, on veut déterminer la valeur du mélange. 2° La valeur et la quantité du mélange étant données,ainsi que les valeurs des matières composantes, on veut déterminer les quanti- tés de ces matières. Les opérations arithmétiques qu’il faut faire pour résoudre ces deux ordres de propositions, se nomment règles d’alliage, savoir : règle d’alliage directe dans le premier cas, et règle d’alliage inverse dans le second. Règle d'alêiage directe. Le cas le plus simple est celui qui a pour objet de déterminer le prix d’un mélange. II faut d’abord bien préciser l’idée attachée au mot prix. En exprimant la quantité d'une marchandise quel- conque par un nombre, l’unité de ce nombre désigne toujours une cértaine quantité déterminée, dont on est convenu d'avance, et c’est particulièrement la valeur en argent de cette unité que nous nommons le prix de la marchandise. Ce prix, multiplié ensuite par le nombre d'unités que la quantité de marchandise renferme, fait connaître la valeur de cette quantité. Par exemple, 12 mètres d’étoffe, à 3 fr. le mètre, valent 36 fr. Le nombre 12 exprime la quantité de la marchandise, le nombre 36 sa valeur, et le nombre 3 son prix. Le prix est donc la valeur spécifique d’une chose, ou la valeur de l’unité de cette chose. Ceci étant posé, voilà la règle : Multipliez Le prix de chaque matière par sa quantité respective; divisez la somme des produits par celle des quantités ou par la quantité totale du mélange: le prix trouvé sera le prix du mélange. Ex. I. On a mélé ensemble 3 sortes de ble à diffé- rens prit, Savoir : ? 10 sacs de blé à 15 fr. 15 à 19 8 à 12 On demande le prix du mélange. Multipliant chaque nombre de sacs par son prix, on trouve : Valeur des r0 sacs 150 fr. 15 199 (e) 96 Valeur totale des 53 sacs 4x fr. 60 AL Divisant 441 par 33, on trouve 13 fr. 36 c. pour le prix du sac de mélange. Ex. II. Voulant fondre ensemble plusieurs lingots d'argent à différens titres, on veut connaître le titre du mélange. On nomme tre de l'argent la quantité de métal pur contenu dans un marc, et on évalue ce titre en suppo- sant le marc divisé en 12 parties, qu’on nomme deniers, et le denier en 24 grains. Ainsi quand on dit que le titre d’un lingot est de 10 deniers 3 On entend qu’un marc de ce lingot contient 10 deniers 12 gr. d'argent pur, et 1 denier 12 gr. de quelque autre métal inférieur, Lors- qu'un lingot d'argent est entièrement pur, on dit qu'il est à 12 deniers. Le titre de l'argent indique donc en même temps le prix qu'il a dans le commerce; ct nous devons agir ici comme dans l'exemple précédent. Ainsi, ayant fondu eusemble 25 marcs d'argent à 10 = deniers de fin 38 9 3 42 11 z pour trouver le prix du mélange, on multiplie chaque titre par le nombre de marcs auquel il appartient, et on trouve Valeur des 25 marcs 262 : deniers 38 351 = 42 472 à Valeur des 105 marcs 1086 2 denicrs. 2 Divisant le nombre total des deniers par celui des marcs on obtient 10 deniers 9 grains pour le titre de l’al- liage. Le titre de l'argent ainsi que celui de l'or, s'exprime en France, depuis l'introduction du système décimal, en millièmes de l'unité : ainsi l'argent pur est dit à 1000 millièmes ; et l'argent qui contient 90 ou 100 millièmes d’alliage, est dit au titre de 0,910 Où 0,900. En examinant le procédé suivi dans la règle d’alliage directe, il est facile d’en concevoir les raisons. En effet A,B,C,D, etc., étant des quantités quelconques de marchandises dont les prix respectifs sont m, m',m", m'", etc., les valeurs de ces marchandises sont mA, m'B, m'C, m"D, etc., et par conséquent la valeur totale de leur mélange sera mA + m'B + m"C+ m" D + etc. La quantité du mélange étant A+B+C+D etc. Or, pour trouver la valeur d’une marchandise, il faut multiplier sa quantité par son prix: donc, en divisant is valeur par la quantité, on trouve le prix. Ainsi, divi- Sant m A + m B+m" C+m"D ro CÉC-> pan AL AB+C+D+,etc., on aura le prix du mélange. Régle d'alliage inverse. Dans la règle d'alliage inverse, lorsqu'il y a plus de deux objets mélangés, le probléme est indéterminé, et peut admettre un grand nombre de solutions : il surpasse alors les forces de l’arithmétique ordinaire. ( foyez Axazyse iNpÉrermiNÉE. ) Nous n’exa- minerons donc ici que le cas de deux objets. Le prix de chacune des matières étant connu, ainsi que celui du mélange, il s'agit de déterminer la quan- tité de chacune des matières composantes. Voici la règle : Otez Le plus petit prix du prix du mélange ; Ôtez ensuite le prix du mélange du plus grand Prix , cela vous donnera deux différences. Partagèz ensuite la quantité du mélange en deux parties qui soient entre elles dans le méme rapport que les deux diffe- rences trouvées, et ces deux parties seront les quan- tités demandées, savoir : la plus grande, celle dont le prix est le plus petit, et la plus petite, celle dont le prix est le plus grand. 1 Exemple. Un sac de blé à 15 francs est composé d’une partie de blé à 19 francs et d’une autre à r9 francs. On demande les quantités de chacune de ces parties. Première différence. 15 — 12 = 3 Seconde différence. 19 — 15 = 4 Il faut donc partager le sac en deux parties qui soient cutre elles comme 3 : 4. Ainsi, le sac étant l’unité, ces parties sont ? et À; il y a donc dans le mélange 3 de sac à 19 francs et # 1° Exemple. 500 boutalles de vin à 3 fr. sont le produit du mélange de deux espèces de vins, l’une à 5 fr. et l’autre à 2 fr. On demande les quantités qu’on a dû prendre de chacune de ces espèces. à 12 francs. Première différence. 3 — 2 = 1. Seconde différence. 5 — 3 = 2. Les quantités cherchées sont donc dans le rapport de 2 : 1. Pour les trouver, on pose les deux proportions 2 : 333 166 On a donc pris 166 3 bouteilles à 5 fr. , et 333 3 bou- teilles à 3 fr. Cette règle peut se démontrer de la manière suivante : Soit À la quantité d’une des matières, et m2 son prix; B la quantité de l’autre matière, et » son prix; M la quantité du mélange, et p son prix : on a, par la règle directe 3 : 5oa :: 3 > DOO 20 T à lo oym mA+LnB=pM Mais M est la même chose que A + B, donc on a aussi mA+nB=pA+pB Réunissant dans ie même membre les quantités qui ont un facteur commun, on a mA—pA=pB—nB AL Ou (m—p)A=(p—n)B Ce qui donne Le rapport des quantités À et B est donc en effet le même que celui des différences p — n et m — p. ALLONGÉ ( Géom. ). Ce qui est plus long que large. Le sphéroïde allongé est un sphéroïde produit par la révolution d’une demi-ellipse autour de son grand axe, (Poyez sruéroïpe.) Au contraire, si le sphéroïde est formé par la révolution d'une demi-ellipse autour de son petit axe, on le nomme sphéroide aplati. Cette der- nière figure est à peu près celle de la terre. (Foyez TERRE. ) La Cyctoide allongée estcelle dont la base est plus grande que la circonférence du cercle générateur. (Foyez CxcLoiDE. ) ALMAGESTE (Histoire littéraire des sciences ma- thématiques.) Tél est letitre donné d’après les Arabes au Trauté d'astronomie composé par Ptolémée vers lan 140 de notre ère. C’est en même temps l’un des plus célèbres livres de l'antiquité, et le plus ancien ouvrage d’astronomie qui soit parvenu jusqu'a nous. Ce nom est formé du mot grec geyirror, érès-grand, que les Arabes n’ont fait que transcrire en y joignant leur article arabe al dans le titre de tahryr àl-megesty : il: signifie ainsi le très grand ouvrage, l'ouvrage par excellence. L’en- thousiasme avec lequel l’Almageste fut accueilli, à l’é- poque où il fut écrit, lui avait précédemment fait dé- cerner un titre analogue par les astronomes de l’école d'Alexandrie. (M:yæny Euvraïis, grande composition. ) Les Arabes donnent aussi à cet ouvrage de Ptolémée le titre de sountaksys. L’Almageste a été, depuis son apparition, jusqu’à une époque assez rapprochée de nous, l’objet d’un très- grand nombre de commentaires ; c'est la destinée com- mune à toutes les productions qui ouvrent une car- rière nouvelle aux investigations de la science et aux progrès de l'esprit humain. Les plus anciens et les plus remarquables de ces commentaires furent ceux de Théon et de Pappus, mathématiciens célèbres qui honoraient au IV® siècle l’école d'Alexandrie. La partie du travail de Théon, échappée aux vicissitudes des temps, s'arrête au dixième livre de l'Almageste; le reste est sans doute perdu pour toujours, ainsi que les commentaires de Pappus, dont nous ne possédons que des fragmens relatifs au cinquième livre de l’ouvrage de Ptolémée. On doit regretter avec tous les mathéma- ticiens modernes qui se sont occupés de l’histoire litté- raire de la science, que ces restes précieux des connais- sances astronomiques de l'antiquité n'aient jamais été AL 61 tradui s; car il est impossible qu’ils ne contiennent pas des aperçus curieux sur l'astronomie et la géométrie. Vers l’an 212 de l'hégyre, ou 827 de l’ère chrétienne, c’est-à-dire à l’époque où un grand mouvement civilisa- icur s'opéra dans la race arabe, et où ce peuple donna asile aux sciences, si cruellement proscrites à Alexandrie par les soldats d'Omar, l’illustre khalyfe El-Mämouu fit exécuter à Baghdad une traduction arabe de l’Almageste. On rapporte que ce prince, vainqueur de l’empereur Michel fl, lui imposa comme une condition de la paix, qu’il consentit à faire avec lui, le don d'une coilection des meilleurs livres de la Grèce. C’est à cetribut, qui ho- nore la mémoire d'El-Mämoun, et atteste son amour pour les sciences, que les Arabes durent l'ouvrage de Ptolémée, auquel ils donnèrent alors le nom de T'ahryr dl-megesty, dont nous avons fait celui d’A/mageste. Le musulman él-Hassan ben-Yousef et le chrétien Sergius en furent, dit-on, les traducteurs. De nombreuses copies de l'Almageste circulèrent dès- lors parmi les Arabes, et popularisèrent chez cette grande nation les connaissances astronomiques, qui avaient illustré l’école d'Alexandrie. On cite Thabet-ben-Qorrah et Nassir-éd-dyn , entre tous les savans Arabes, dont les commentaires contribuèrent le plus à en expliquer les diverses hypothèses, et à en faciliter l'étude. Au commencement du XII siècle, époque où les sciences renaissantes jetèrent quelques rayons de lu- mière au sein des ténèbres qui enveloppaient l’Europe occidentale, l'empereur Frédéric II, qui protégeait l'astronomie, et cultivait lui-même cette science, fit tra- duire l'Almageste sur la version arabe. Vers le milieu du siècle suivant, une autre traduction de cet ouvrage fut entreprise par Gérard de Crémone. La première édition latine de l’Almageste fut faite à Venise en 1515. Il est probable que la version de Gé- rard de Crémone fut celle dont on se servit pour ce tra- vail, monument remarquable , et devenu très-rare, des premiers essais de art typograhique. Un siècle avant cette époque, Georges de Trébizonde, l'un des savans grecs qui vinrent chercher un refuge en Italie, après la chute de l'empire byzantin, traduisit l'Almageste de sa langue natale en latin. Son ouvrage, conservé. long- temps manuscrit, fut successivement imprimé à Venise en 1507, et à Bâle en 1541 et 1551. Eu 1538, J. Walder imprimait à Bâle le texte grec de l'Almageste, avec celut des commentaires de Théon, mais sans traduction cn regard. Cette édition, remarquable par la pureté des caractères et l'exactitude du texte, est regardée comme un des plus beaux ouvrages qui soient sortis des presses de ce célèbre typographe. L'Almageste contient un recucil précieux et impor- tant d'anciennes observations : ce sont les seules que l'an- tiquité ait léguées à la science astronomique; quoique 62 AL Ptolémée en ait presque toujours tiré des conclusions erronées, qui ont été réctifiées par la science moderne, nous examinerons à l’article biographique de ce grand astronome, les principales hypothèses fondées sur ces anciens erremens de la science. Voyez ProLEMÉE. ALMAMON. Foyez EL-Mamoux. ALMANACH ( Astr. ). contient les jours de l’année et les phénomènes les plus Calendrier ou Table qui remarquables des corps célestes, tels que les éclipses, les conjonctions et oppositions des planètes, ‘elc,, etc. Le bureau des longitudes publie tous les ans, outre un almanach nommé Connaissance des temps, dans lequel l'état du ciel est calculé plusieurs années à l'avance, pour l'usage des navigations de long cours, un A4n- nuaire qui renferme les objets d’une utilité générale et populaire. Le mot a/manach est formé de l'article arabe al et du mot manakh, qui signifie dans cette lan- gue, calendrier, cphémerides, cadran solaire. On trouve le mot a/menichiacum employé dans ce sens par saint Augustin dans son traité de /a Cité de Dieu. Voyez CarenDnier. ALMERZAMONNAGIED ( 4str.). Nom de l'étoile qui forme la partie la plus orientale de l'épaule d'O- rion. ALMICANTARATS ou ALMUCANTARATS(A4str.). Petits cercles parallèles à l'horizon, que l’on conçoit pas- ser par tous les degrés du méridien; leurs centres sont situés sur Ja verticale qui joint le zénith au nadir. On les appelle aussi cercles de hauteur, parallèles de hau- teur, parce qu'ils servent à marquer la hauteur d’un astre au-dessus de l'horizon. Ce mot est arabe : dans cette langue, d/-moganttarät signifie formant la voüte, en forme d'arcade ou de pont. (Voyez SPHÈRE ARMIL- LAIRE. ) ALMUCÉDIE où ALMUREDIN ( Astron.). Nom donné par les Arabes, suivant Casius, à l’étoile mar- quée : dans la constellation de la Vierge. Ces deux dé- nominations également fautives , ne sont que l’altération commise par nos copistes des mots 77igd&m-él-qitiàf (annonce de la vendange), nom réel que donnent les Arabes à cette étoile. ALPHERAZ (Astr.). Plus exactement &/-faras (le cheval). Nom uonné tant à la constellation de Pégase, qu'a celle du Petit-Cheval. On les distingue par les dé- nominations de dl-faras-al-aazem (le Grand-Cheval ), et de gattat-él-faras (section du cheval). Quelques-uns de nos astronomes donnent à tort à la belle étoile qu’on trouve à l'aile de Pégase, et qui est marquée + dans les catalogues, tantôt le nom d'a/pharaz, tantôt celui de markab. C'est par iguorance qu’on a séparé en deux noms différens une seule dénomination. Cette étoile est appelée par les Arabes markab-&l-faras (le véhicule du cheval). AL ALPISETA (4str.). Nom corrompu de celui de al-fekah, donné par les Arabes à la constellation entière de la Couronne septentrionale. Nos astronomes ont douné par erreur ce nom à une étoile particulière de cette même constellation dont lenomestmoanyr-4l-fekah (la lumineuse de la Couronne) : c’est celle qu’on appelle aussi : lucida “Coronæ, ou luisante de la Couronne. ALPHONSE X, surnommé le Sage et lAstronome, roi de Castille et de Léon, fiis de Ferdinand le saint et de Béatrix d'Allemagne, succéda en 1252 à Ferdi- nand IIE, son frère. Ce prince déploya, en faveur de l'astronomie , un zèle qui a rendu son nom célèbre dans les fastes de cette science, dont il faisait son occupation favorite. On montre encore aujourd'hui dans l'Alcasar, ou le palais de Ségovie, la chambre où il faisait ses observations, et le cabinet où il les rédigeait. Le règne d’Alphonse a été fort agité; mais la protection qu'il accorda aux sciences lui acquit plus de gloire que les guerres où l’entraina son ambition de devenir empe- reur. C’est à ses frais et par ses ordres que furent dressées les Tables astronomiques qui portent son nom. (Woyez ÂALPHONSINES. ) Le jésuite Mariana , auteur d’une histoire d’Espagne, faisant allusion aux malheurs de ce prince et à son- goût pour l'astronomie, dit : « Qu’it perdit la terre à « force de contempler le ciel.» Une accusation d’impiété, plus grave que ce mauvais jeu de mots, a été injuste- ment imputée à Alphonse, à propos de quelques paroles un peu libres qui lui échappèrent à la vue des hypothè- ses ermbarrassées qu’il fallait admettre pour cencilier tous les phénomènes célestes : « Si Dieu, dit-il, m'avait « consulté, lorsqu'il créa l'univers, les choses eussent été « dans un ordre meilleur et plus simple.» Cette plaisan- terie prouve seulement qu’Alphonse n’était poirt satis- fait du système astronomique de son temps, et qu’il avait un vague pressentiment des découvertes qui ne permet- tent plus désormais d'adresser un pareil reproche à l'ordre de l’univers. Ce prince mourut le 4 avril 1284. ALPHONSINES ( 4str.). On a donné ce nom aux Tables astronomiques dressées à Tolède par les ordres du roi Alphonse X. Ce prince entreprit le premier de remédier aux défauts de l'astronomie ancienne, et sur- tout de corriger les tables de Ptolémée, dont la théorie s’écartait toujours de plus en plus des observations nou- velles. Alphonse appela à Tolède un grand nombre d’astronomes chrétiens, juifs et arabes, quitravaillèrent collectivement à l'exécution de cet important projet. Après quatre ans d’études, les Tables Alphonsines farent publiées en 1252. Elles furent corrigées en 1256 sur les observations d'un astronome arabe célèbre, dont nos astronomes ont altéré le nom de Æassan Abou-l- Hassan en celui d’Ælboaren (voyez ce nom ). Les astronomes AL qui prirent le plus de part à la confection de ces Tables furent, suivant divers auteurs , le juif fshaq Aben-Saïd, AI-Kabith, Aben-Ragel, Aben-Mousa, Mohammed, etc. Les connaissances astronomiques du temps d’Alphonse étaient insuffisantes pour réaliser la pensée de ce roi. Les Alphonsins ont commis plusieurs graves erreurs, notamment leur hypothèse sur le mouvement des fixes. Cependant ils déterminèrent le lieu de l'apogée du so- leil plus exactement qu’on ne l'avait encore fait, et ne se trompèrent que de 28” sur la durée de l’année. Les Tables Alphonsines, dont la première édition a été faite en 1492, ont été depuis réimprimées plusieurs fois. ALRAMECH ou ARAMEH ( Astr. ), corrompu pour âl-rämèhh (le lancier), nom arabe de la belle étoile Arcturus, dans la constellation du Bouvier. ALRUCCABAH ( Astr.), plus exactement d/-reka- béh (le char). C’est un des noms arabes de l'étoile Po- laire, suivant les astronomes; mais les Arabes n’ont donné ce nom, qui est emprunté de la langue chal- déenne, qu’à la constellation de la Petite-Ourse. ALTAIR, ATAIR ou ALCAIR (A4str.). Noms diver- sement corrompus par les astronomes européens du nom dl Uayr (Yoiseau), sous lesquels on désigne la bel'e constellation de l’Aigle; ce nom est aussi donné à la constellation du Cigne. ALTERNATION (-4{g. ). Changement d'ordre ou de position de plusieurs objets les uns à l'égard des autres. ( Voyez PERMUTATION. ) ALTERNE (Géom.). Lorsque deux droites paral- lèlles AB et CD (v0y. Notions pRÉLIM. , 36) sont cou- pées par une transversale quelconque EH, les angles formés par ces lignes se nomment angles alternes, lors- qu’on les prend en sens contraire deux à deux, soit en dedans, soit en dehors des parallèles, Ainsi, les deux an- gles AFG, FGD, sont deux angles alternes intérieurs, ou deux angles alternes internes ; et les deux angles AKE, DGH, sont deux angles alternes extérieurs, où deux an- gles alternes externes. (Voyez ANGLes.) Dans une proportion géométrique quelconque, LI AE BR": 6 7D Si l’on fait changer de place aux deux termes moyens Bet C, on obtient une autre proportion A:C::B:D qu'on appelle proportion alterne par rapport à la pre- mière. ( Voyez Prororrion.) Dans les anciens ouvrages ce changement de place des termes moyens est exprimé par le mot alernando. ALTIMETRIE ( Géom. : (De altus haut, et de merper mesure). Partie de la géométrie pratique qui à pour objet la mesure des hauteurs accessibles et inacces- sibles. AL 63 On donne le nom d'accessibles aux objets dont on peut approcher dela base pour mesurer sa distance au point de la station d’où la hauteur doit être prise. On donne au contraire le nom d’inaccessibles aux objets dont on ne peut approcher, Il existe plusieurs méthodes pour mesurer la hauteur des objets : les unes ne demandent que la connaissance des principes les plus élémentaires de la géométrie ; les autres reposent sur ceux de la trigonométrie. Nous al- lons les faire successivement connaitre par des exemples. Les instrumens dont on.sesert communément pour ces opérations, sont les 7alons, le graphomètre, le théo- dolite et le baromètre. ( Voyez chacun de cs mots.) Proszème i*. Mesurer la hauteur AL d'une tour accessible (PL. IT fig. 1), en n'employant pour cette mesure que de simples jalons. On choisira une station F convenable, c’est-à-dire de niveau avec le pied de la tour (Joy. ArPenTAGE), et l'on y plantera un jalon CF, en ayant soin de l’établir exacte- ment perpendiculaire à l'horizon, ce qui s'exécute très- facilement à laide d’un fil d'aplomb. On s’éloignera ensuite du jalon d’une distance quelconque FG, et l’on plantera un second jalon DG, plus petit que le premier, qu'on enfoncera dans la terre jusqu’à ce qu’en visant par son extrémité D, cette extrémité, celle du premier jalon C et le sommet A de la tour, se trouvent dans une même ligne droite ou dans le même rayon visuel DA. Cela étant exécuté, on mesurera avec soin les distances IG et FG, et les hauteurs des jalons GF et DG. Les triangles semblables ABD, GED donneront la proportion (voy. TRIANLGES ) ED : CE :: BD : AB, de laquelle on tire (v0y. ProronrTion }); or, connaissant AB, il suffit de lui ajouter BI ou DG, hauteur du plus petit jalon, pour avoir la hauteur cherchée AT. Supposons, par exemple, que la distance mesurée IG soit de 80 mètres, FG de 10 mètres, la hauteur du premier jalon CF de 3 mètres, et celle du second, DG, de 1": 255. On aura CE —CF — DG — *3—1,275—1%,795; ED—FG=10 ; et BD = IG = 80... Donc in 1.725 X 80 = 13,800; ajoutant à cette dernière valeur BI = DG = 1,255, on aura définitivement pour la hauteur cherchée Al=,15%,005. On pourrait également faire cette opération ec un seul jalon; mais il faut alors, après avoir planté ce jalon CF, trouver exactement le point H, déterminé 64 AL par le rayon visuel AC. Les deux triangles semblables ATH, CFH fournissant la proportion IH : FH::: AI : CE on en tirera immédiatement it LIEX CE FH Ainsi, substituant dans cette expression les valeurs de IH, CE et FH, qu'on aura préalablement mesurées avec exactitude, on trouvera celle de AT. Le problème de mesurer une hauteur accessible sans faire usage de la trigonométrie, peut encore se résoudre par la réflexion des rayons visuels opérée dans un mi- roir, où par le moven de l'ombre que projettent les objets; mais ces deux méthodes ne fournissent que des approximations peu précises, et nous nous contenterons de donner une idée de la dernière. Pros. Il. Mesurer la hauteur AB d’une colonne par le moyen de l'ombre qu'elle projette. (Pr. 1, fig. 4.) Mesurez la longueur BC de l'ombre; plantez un jalon DE, et mesurez également sa hauteur, ainsi que la lon- gueur EF de son ombre. Les longueurs des ombres étant entre elles comme les hauteurs des objets, vous aurez la proportion (7) EF : DG:::,BCi: AB d’où vous tirerez facilement la valeur de AB. La détermination de AB sera d’autant plus exacte que les ombres auront été plus nettes, et conséquemment plus faciles à mesurer exactement; de plus, il est impor- tant de les mesurer en même temps, car leurs lengueurs variant à chaque instant ; les rapports de ces longueurs ne sont réellement égaux aux rapports des hauteurs des objets que dans un même instant. Ainsi, pour plus d’exactitude, il faut commencer par marquer les points F et C sur le terrain, et mesurer ensuite les lignes BC et, EF. Dans le cas présent, si l’on avait trouvé BE — 3 mèt., BC — 65 inèt., et EF — 4":,533 , en substituant ces va- leurs dans la proportion (#72), on obtiendra 65 X:3 AB == — = — 3 mètres. 4,533 À Pros. II. Mesurer une hauteur accessible BC à 3 l’aide d’un graphomètre ou d'un instrument propre à relever les angles. (PL. IL. fig. 2.) Ayant choisi unestation À, et mesuré sa distance AC, au pied du mur dont on veut connaître la hauteur, on y placera le graphomètre en lui donnant une position verticale. On dirigera ensuite l’alidade de manière à apercevoir le sommet B dans le rayon visuel des pin- nules, ou dans l’axe AB de la lunette, si l’instrument en est muni, et on relevera sur le limbe le nombre des de- AL grés de l'angle BAC. Cela fait, le triangle rectangle ABC donnant la proportion ( Foyez Tnic.) R : tang BAC :: AC : BC, on en conclura AC X tang BAC BC in : R désignant le rayon. En opérant par les logarithmes, cette expression devient : Log. BC — Log. AC + Log. tang BAC — Log. R. Supposons, pour exemple, la distance AC = 60 mètres et l'angle BAC — 29° 50’, alors, par la formule précé- dente, Log. AC ou Log 80 — 1,9030900 Log. tang 29°.50" — 9,696:745 11,5098049 10,0000000 Le logarithme de BC répondant au nombre 39,798, la hauteur BC est donc de 39," 508. Ajoutant à BC la hauteur du graphomètre, ou aura la hauteur totale du mur. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que le terrain sur lequel on a mesuré AC, était de niveau avec le pied du mur; si cela n’avait pas lieu, la ligne visuelle AC étant toujours parallèle au ter- rain ( fig. ci-contre), letriang le ABC ne serait plus rectangle en C. Dans ce cas, ayant déter- miné le point C tel que CN soit égal à la hauteur AM du gra- phomètre, on mesurera AC ou MN , ainsi que les deux angles BAC et CAM; mais les lignes AM et BN étant parallèles, les angles alternes internes CAM et ACB sont égaux ( J’oyez ANGLES ); et par conséquent connaissant deux angles du triangle ACB, on déterminera le troisième angle ABC, en re- tranchant la somme de ces deux angles de deux angles droits. ( f’oyez Anezes.) Or dans le triangle ABC, on a la proportion Sin ABC : sin BAC :: AC : BC qui donne, pour calculer BC, l'expression AC. sin BAC nr des sin ABC Ou, employant les logarithmes, Log. BC = Log. AC + Log sin BAC — Log. sin ABC. Avant effectué le calcul, il suffit d'ajouter à BC la hauteur du graphomètre pour avoir la hauteur de- mandée BN. AL une hauteur inaccessible CD. Pros. IV. Mesurer (PL. IL. fig. 3.) Ayant choisi et mesuré une distance MN bien de ni- veau , on fera deux stations, l’une en M et l’autre en N, mesurant avec le graphomètre les angles CAD et DAB de la première, ainsi que les angles ABC et ABD de la seconde. Cela fait, dans le triargle ACB on calculera le côté AC par la proportion Sin ACB : sin ABC :: AB : AC et l’on aura, pour la valeur de ce côté, AB. sin ABC Tim sin ACB ? l'angle ACB étant égal à deux droits, moins les deux angles observés CAB, ABC. Dans le triangle ADB, on calculera également le côté AD par la proportion Sin ADB : sin ABD :: AB : AD qui donne, vour la valeur de ce côté, l'expression AB. sin ABD Dee 7 sin ADB ? l'angle ADB étant aussi égal à deux droits, moins les deux angles observés DAB, ABD. Ayant effectué les calculs, on connaît les deux côtés AC et AD du triangle ACD, ainsi que l'angle observé CAD, compris entre ces côtés, il ne s’agit donc plus que d'obtenir le troisième côté CD de ce triangle. Pour cet effet, on remarquera que, connaissant l’angle CAD, on aura la somme des deux autres angles ACD et ADC , en le retranchant de deux angles droits, et que la différence de ces mêmes angles est donnée par la proportion AC + AD : AC -— AD :: tang £S : tang 3 D, S désignant la somme, et D Ja différence des angles ACD, ABC. Or, connaissant la somme et la différence de deux quantités, on obtient la plus grande en ajoutant la moitié de la somme à la moitié de la différence, ct la plus petite en retranchant de la moitié de la somme la moitié de la différence. En effet, soient M et N deux quantités quelconques, £ M + © N sera la moitié de leur somme, et ? M — EN la moitié de leur différence : on a évidemment MIN +! LM+IN—: M—:N—M et M+iN=N Ainsi, dans le triangle ACD on connaîtra les trois angles et les deux côtès AC et AD ; et, pour obtenir le troisième côté, on posera la proportion sin ADC : sin CAD :; AC : CD. AL D'où l’on obtiendra définitivement, pour la hauteur de. 65 mandée, l'expression AC X sin CAD Ce sin ADC Soient, par exemple, AB — 10 mèt., CAB = 29°,30", ABC = 130°.10', DAB — 15°.6’, ABD — 148°.28' ct CAD — 14° 24 Des valeurs des angles observés on conclura celle des deux angles ACB, ADB, savoir: ACB — 18°.20", et ADP — 15°.54". Substituant ces valeurs dans les expressions trouvées, on aura — 10° $ AC = -—= ©" — 23,564, sin 18°, 10 X sin 14 .58" à AD — TE = 10",672 ; sin 15 _S et, conséquemment, AC + AD = 42,436 et AC — AD— 4,691. . . 180°— 140.24 Dans le triangle ACB on a 2S — SUNSRNS ee, > 82°.48', et par suite 4,691 X tang 52°.48' tang N l'objectif, contient le rayon de sphéri- cité de l’oculaire. En effet, soit A le centre et B le bord d’un objet, le point À sera vu de l’œil O par le rayon À aO qui traverse les deux lentilles sans éprou- ver de réfraction; nous faisons abstrac- tion de tous les autres rayons partis du point À, et qui vont se réunir au foyer par la réfraction de l’objectif. Le bord B envoie également un rayon principal Bb au foyer ab de l'objectif; ce rayon, pour- suivant sa route, éprouve une réfraction en entrant dans la seconde lentille: il en éprouve aussi une seconde, en e, en sortant de cette len- AM ülle, et se rend au foyer O de l’oculaire, en sorte que Oe est parallèle à Eb. L'image est donc vue sous l'angle eOE — bEa ou plus simplement sous l'angle O, tandis que son angle primitifest ADB ou D : l’amplification est donc dans le rapport des angles D et O. Or, les triangles rectangles Eba, Dab donnent ab = Ea X tang E, ab = Da X tang D on tire de ces égalités ab Da tang E — D X tang D. Désignons donc par R le rayon de sphéricité Da de l'objectif, et par r le rayon Ea de l’oculaire, nous au- rons tang E 1% tang D, ou bien E — > x D. Car pour de petits angles les tangentes peuvent être considérées comme proportionnelles aux arcs. L’angle sous lequel l’image est vue est donc augmenté dans le rapport des deux rayons de sphéricité, et con- séquemment le diamètre de l’image sera augmenté dans le même rapport. Le grossissement sera donc d’autant plus grand, que le foyer de l’oculaire sera plus courten comparaison de celui de l'objectif. Ainsi, par exemple, un objectif de à mètres de foyer, combiné avec un ocu- laire de 5 centimètres, grossira le diamètre d’un objet 40 fois, parce que 5 centimètres sont contenus 40 fois dans 2 mètres. Les lunettes astronomiques grossissent ordinairement de 70 à 100 fois; quelques-unes même grossissent 300 fois. Il ne faut pas cependant donner un sens trop ri- goureux à cette amplification, car l’on se tromperait beaucoup si l’on croyait, par exemple, trouver la lune 100 fois plus grande dans une lunette qui serait donnée pour grossir 100 fois. Il s’agit seulement ici de l’angle de vision ; mais cet angle ne détermine pas seul la gran- deur que nous attribuons aux objets; la distance à la- quelle nous les supposons y entre aussi pour beaucoup. ( Voyez OPTIQUE. ) AMPHORA (Astr.). Nom latin donné quelquefois à la constellation du Verseau, AMPLITUDE ( 4str.). C’est l'arc de l'horizon com- pris entre le point où un astre se lève ou se couche, et les vrais poiuts de l’est ou de l’ouest. L'amplitude se nomme ortive, lorsqu’on la compte du point de l’orient, pour un astre qui se lève; elle se nomme occase lors- qu'on la compte du point de l'occident, pour un astre qui se couche. L’amplitude, soit ortive, soit occase, est toujours sep- tentrionale pour les astres qui sont entre l'équateur céleste et le pôle nord, et elle est mcridionale pour ceux qui sont entre l'équateur et le pôle sud. Ainsi l'am- plitude du soleil est septentrionale depuis l’équinoxe du printemps jusqu’à celui d'automne , et elle est méri- AM 69 dionale depuis le dernier de ces deux points jusqu’au premier. Soient : ROAH le cercle de l'horizon vrai, RZPH Je méridien du lieu, Z le zénith, P le pôle, O le point de l’est ou de l’ouest, et A le lieu d’un astre qui se lève ou se cou- l'arc OA sera l'amplitude de cet as- che : tre. Pour calculer cet arc, abstraction faite o # de la réfraction et de la hauteur de l'œil RE du niveau de la mer, deux causes qui concourent à rendre l'amplitude apparente différente de l’amplitude wrare, on considère letriangle sphérique APH, rectangle en H, dans lequel on a PA égal au complément de la déclinai- son de l’astre au moment donné, et PH égal à la lati- tude du lieu : ce triangle donne ( voyez Tricon. ) la proportion cos PH : R :: cos PA : cos AH de laquelle on tire cos AH — R X cos PA cos PH Mais, AH—OH—OA—go° —OA: donc cos AH — sin OA. Ainsi, désignant par d la déclinaison de l’as- tre, par / la latitude du lieu , et négligeant R, que dans toutes Les formules de trigonométrie on suppose égal à l'unité, nous aurons sin d cos / Exemple. Trouver l'amplitude du soleil, à une lati- tude de 48°.30'.15", sa déclinaison étant de 21°.54’. Nous avons ici 9 —21°.54, 1 — 48°.30'.15"; opérant par logarithmes, nous trouverons log sin9— 9,5716946 log cos / — 9,8212527 sin amplitude — log sin amplitude — 0,7504419 = log sin (34°.15'.27"). L'amplitude demandée est donc égale à 34°.15'.27". Lorsqu'il s’agit de calculer l'amplitude apparente , dont on a particulièrement besoin en mer , il faut ima- giner que ROAIT est un cercle parallèle à l'horizon, et qui en est éloigné, en dessous, de 37', valeur de la rétrac- tion, y compris l’abaissement de l'horizon dü à la hau- teur de l'œil, au-dessus du niveau de la mer ; alors le triangle sphérique ZAP , dont on connaît les trois côtés, savoir : ZP complément de la hauteur du pôle ou de la latitude , PA complément de la déclinaison , et ZA égal à 90°.37', donne, en désignant par S la demi-somme des côtés, ZP, ZA, PA, sin (S—ZP).sin(S—ZA) = ER | Or, l'angle PZA est le complément de l'angle d'am- sin + PZA = y [ 70 AN plitude OZA ou de l'are OA; l'ayant donc calculé à l'aide de cette formule, il suffit de le retrancher de 90° pour avoir l'amplitude cherchée. Exemple. Supposons les mêmes données que ci-des- sus, et nous aurons ZP — 90° — 48.30.15" — 41°.29". 45", PA 90° — 21°.54—68°.6", ZA = g0°.37'. De la demi-somme 100°.6'.22", des trois côtés, retranchant successivement ZP et ZA, nous obtiendrons S — ZP = 58°.36'.37", Effectuant les calculs , nous trouvérons log sin (58°.36.37") — 9,9312769 16p Sin ( 9°.29.2"2) = 9,2i71308 et S—ZA = 9.509.924", lôg sin (41°.59°.45”) — 9,8212289 log sin (g0°.37) = ),9090746 19,8212035 Retranchant la seconde somme de la première, et pre- nant , pour extraire la raeitie carrée, là moitié de la dif- férence 19,3272642, nous aurons Log. in ? PZA — 9,6636021 et par sute, 3 PZA = 27° 26° 41": Retranchant le double de ce nombre de go°, nous aurons définitive- ment 35° 6° 28” pour l'amplitude apparente démandée. Cette amplitude est celle du centre du soléil. Si l'on voulait avoir l'amplitude apparente de l’an des bords, au lieu d'employer dans le calcul 90° 37' pour ZA, on ajouterait à ce nombre ou on en retrancherait le demi- diamètre du soleil, selon qu'il s'agirait aa boïd inférieur où du bord supérieur. Les navigateurs se servent de l’amplitude pour trouver la déclinaison de l'aiguille aimantée ou la variation du compas. Pour cet effet, ils observent, à l'aidé du com- pas de variation (voyez ce mot), l'amplitude du bord inférieur du soleil au moment de son lever ou de son coucher; ils calculent ensuite, comme nous venons de le faire ; l'amplitude appärénté de ce même bord , et la différence entre l'amplitude calculée, ét l'amplitude observée leur dônne la fariation. Foyéz BouisoLe. L’amplitude d'un astre est toujours le Complément de son azimut, de sorte que l’un de cés arcs détérminé immédiatément l’autre. Voyez Azimur. AMPEITUDE { Geo. ). On nomme amplitude d’un are de parabole à droite horizontale qui mésure la distance du point où l'arc parabolique commence, à celui où il finit. Ce terme est particulièrement employé dans le jet des projectilés. Voyez PArisoce et Projecrire. ANABIBAZON ( 4str.). Nom donné à la queue du Dragon, ou au nœud ascendant de la Lune: Voyez Nour. ANACAMPTIQUE ( Acoust. j. ( Dé araxémis, AN je réfléchis). C’est le nom donné aux sons réfléchis , tels que les échos que l’on dit être des sons anacampliques. Voyez Ecno. ANACHRONISME. C’est, en chronologie, une ér- reur dans le calcul du temps, par laquelle un événe- ment est placé avant l'époque réelle où il est arrivé: ANACLASTIQUE ( Opi.}, (De «sx, à travers, et de xàaû je brise.) Nom ancien de la partie de l'optique nommée aujourd'hui dioptrique ; et qui a pour objet la propagation de la lumière par réfraction. Foyez DiorrriQue: Mairan a nommé eourbes anacläsliques cértaines courbes apparentes qui se forment au fond d’un vase plein d’eau, quand l'œil de l'observateur est placé au- dessus. Voy. Mém. de l’ Acad. des sciences, 1740. Verres anäclastiques. Espèces de fioles sonores, fabri- quées particulièrement en Allemagne, qui ont la pro- priété d’être flexibles, et d'émettre un bruit violént lors- qu’on aspire avec la bouche l'air qu'elles renferment. ANALEMMATIQUE. Foyez Capran. ANALEMME (Astr.). (De uyanemmu, hauteur) C'est une projection orthographique de la sphère sur lé plan du méridien, l’œil étant supposé à une distance infinie, ét placé au point oriental ou occidental de l'horizon. Cette projection, dans laquelle l'équateur ét l'horizon sont représentés par des lignes droites , donne, parune simple opération graphique, la hauteur de soleil pour une heure quelconque; et vice versü. Elle sert encore pour déterminer le temps du lever et du coucher du soleil pour une latitude et un jour déterminés: Nous 4llons donner un exemple de son emploi. Soit ab l'horizon, aBAb le inéridien, BO l'équateur, ét À le pôle. Prenons BC égal à la déclinaison du soléil, et menons CQ perpendiculaire sur AO ; CQ sera le rayon du parallèle diurnedusoleilCDME, prenons aussi KN égal IKOL äu sinus de la hauteur du soleil à l'instant où l’on veut connaître l'héure, et du point N ménons ND perpendi- culaire sur CQ ; le point D où cette perpendiculaire réncontre le parallèle CDME détermine l’arc CD égal à l'arc horaire du soleil ou à sa distance du méridien. Cette distance convertie en temps fait connaitre heure correspondante à la hauteur dont KN éstrle sinus. On aurait agi d’une manière inverse si l’on avait voulu dé- terminer la hauteur du soleil pour une heure donrée. Voyez Prosecrios. ANALOGIE. Ce mot, pris dans son acception mathés matique, est le synonyme de Proportion AN On nomme ordinairement Analogies de Neper, quatre formuies découvertes par ce géomètre pour la résolution des triangles sphériques. Ces formules, très-utiles dans la pratique, sont les suivantes : tangs (b +e) = ct; a X ge BFC Mngsth=ec) = cote ant NE, ang à + © œ ent à x SE ÈS, ang Be D) et A KT dans lesquelles A, B, C désignent les trois côtés d’un trangle sphérique, et 4, b, 0 les angles respectivement opposés à ces côtés. Ces formules ont été données par Néper sans démons- tration, et l’on ignore comment il y avait été conduit. On les trouve indiquées dans son ouvrage posthume intitulé : Mirifici logaritimorüm canonis constructto ; mais c’est Henri Briggs qui les a développées, et qui leur a donné la forme sous laquelle nous venons de les pré- senter. Waillis est le premier qui les ait démontrées. Depuis elles l'ont été de plusieurs manières différentes. Voyez TnicoNOMÉTRIE. ANALYSE, { De æveavs, je décompose.) Les mathé- maticiens modernes désignent sous le nom d'analyse la méthode de résoudre les problèmes par des calculs gé- néraux. Quelques-uns d’entre eux ont étendu tellement la signification de ce mot, qu'ils lui ont fait embrasser toutes les branches de la science des nombres: c'est ainsi qu'ils ont nommé l'algèbre, analyse finie; le ealcul différentiel, analyse infinttésimale, etc., ete. Ces di- verses dénomifations sont d'autant plus mal fondées que la science des uombres, loin de procéder toujours par analyse, emploie la synthèse, tout aussi bien que la géo- métrie pour la génération des objets dont elle s'occupe. L'analyse, dans l’acception rigoureuse du mot, est une méthode de raisonnement qui procède par voie de décomposition’ ou de l'inconnu au conuu ; en ce sens, elle est l'opposé de la synthèse, méthode de raisonnement qui procède par voie de composition où du connu à l'inconnu. Ces deux méthodes s'appliquent également à toutes les branches des mathématiques, et si les découvertes des modernes ont laissé si loin derrière elles les travaux des anciens , ce n’est point parce que ces derniers igno- raient Ja méthode analytique, mais bien parce que la science des nombres n'existait point encore pour eux, ou que du moins ils n’en connaissaient que les premiers élémens. C’est l'emploi des signes généraux , pour repré- . senter les quantités, qui a facilité aux modernes la découverte des lois des nombres ; mais c’est seulement à cette découverte qu'ils doivent leur supériorité incon- testable ; car toutes les considérations mathématiques les AN 71 plus élevées peuvent se ramener à des considérations de nombres. La distinction qu’on a voulu établir entre l’analyse ancienne gt l'analyse moderne ne repose donc, en der- nier lieu, sur rien de réel. I] n’y a, en effet, qu’une seule et même méthode analytique; seulement elle s'exerce aujourd’hui sur une multitude de créations nou- velles de la seience, inconnues par conséquent aux an- ciens, et ses moyens sont d'autant plus prompts et plus sûrs, que ses instrumens spnt plus parfaits. | C’est à Platon qu’on attribue l'invention de l'analyse géométrique, ou plus exactement de l'application de la méthode analytiqueaux constructions de la géométrie, car l'analyse, comme forme logique de raisonnement, était connue avant ce philosophe. Cette application a eu de si heureuses conséquences pour la perfection de Ja géomé: trie, qu'il est essentiel d’en donner une jdée exacte. Elle consiste à supposer vrai ce qui est en question : on cons- truit ce qui est à exécuter; on tire de ces suppositions les conséquences qui en dérivent, et de celles-ci de nouvelles, jusqu'à ce que l'on soit parvenu à quelque chose d’évi- demment vrai ou faux, d’évidemment possible ou im- possible. La nature de cette dernière conséquence décide de la vérité ou de la possibilité de la proposition qu’on examine. Pour comparer l’analyse et la synthèse, nous ajouterons que dans la première méthode on décompose une proposition encore incertaine en ses parties, les- quelles doivent se trouver vraies et liées ensemble si la proposition est vraie, ou fausses et sans liaison possible si la proposition est fausse ; tandis que dans la seconde méthode on assemble, on joint en quelque sorte plu- sieurs vérités, de la liaison desquelles résultent de nou- velles vérités. Eu un mot, dans l'analyse on va des rameaux au tronc, et dans la synthèse on va du tronc aux rameaux. Nous allons éclaircir ces procédés par quelques exemples. Progcème I. Trouver un point C sur le segment de cercle donné BCA, CA et CB aux extrémités de la corde AB, ces droites soient entre elles dans le rapport des droites données Met N. tel qu'en menant les droites ANALYSE, Supposons le point G connu( fig. ci-après), et me- nons AC et BC ,nous aurons AC : BC :: N : M. Si l'on mène la droite AD de manière que l'angle BAD soit égal à l'angle ACB, et qu'on prolonge BG jusqu’en D, on aura les deux triangles ACB et ABD qui ( Voyez sont équiangles , et par conséquent semblables. TaranGues sempLAgLes. ) On a donc la proportion AG : BG :: AD : AB 72 AN et par couséquent AD : AB :: N : Or, dans cette der- 3 nière proportion, AB C étant connu, AD se trouve entièrement déterminé, etil est fa- cile d'arriver par son moyen à la solution du problème. SYNTRÈSE. Construction. Menons au point A la droite AD qui fasse avec la droite donnée un angle BAD égal à celui dont est capable le segment BCA donné. Cette droite étant de plus quatrième proportionnelle aux droites données AB, M,N, c’est-à-dire telle que l’on ait M : N:: AB : AD. Menons la droite BD, et du point C où elle rencontre le cercle, menons AC, le problème sera résolu. Démonstration. Les triangles ABC, ABD sont équian- gles, car l’angle B est commun, et l’angle BAD est par construction égal à tous les angles dont le segment est capable, et conséquemment à l’angle BCA. Ces deux triangles sont donc semblables et donnent BG: AG: AB: AD: M: N les deux droites, AG et BC, ont donc le rapport de- mandé. Pros. II. Inscrire un carré dans un triangle donné. ANALYSE. Soit ABC le triangle donné. Supposons le problème résolu , et que DEFG soit le carré inscrit : par les point A et E menons la droite AE prolongée jusqu’à ce ‘qu’elle rencontre en O Ja ‘ligne CO parallèle à la base AB, et abaissons la per- lpendiculaire Of sur cette base prolongée s'il est né- cessaire ; abaissons égale- ment la perpendiculaire CH qui sera la hauteur du triangle. Les triangles CAO et DAE étant semblables, ainsi que les triangles OAI et EAF, on a les deux pro- portions AE : ÀO :: DE : CO AE : AO :: EF : OI. Mais les trois premiers termes de la première sont égaux aux trois premiers termes de la seconde, car EF = DE; AN donc les quatriémes termes sont nécessairement égaux, et l’on a OL. =1CO —= CH: Ainsi, la figure CHIO est un carré dont le côté est égal à la hauteur du triangle donné, et il ne faut que cons- truire ce carré pour obtenir le point E, et par consé- quent résoudre le problème. SYNTHÈSE. Construction. Sur la hauteur CH du triangle donné, construisez le carré CHIO ; joignez les points A et O par une droite; du point E, où cette droite rencontre le côté CB du triangle, abaissez la perpendiculaire EF sur la base, menez par ce même point E la droite ED parallèle à la base; abaissez enfin la perpendiculaire DG, et la figure DGFE sera le carré inscrit demandé. Démonstration. Les triangles ACO et ADE, ainsi que les triangles AOT et AEF sont semblables par con- struction , on à donc : AO : AE :: CO : DE AO : AE :: OI : FF. Mais CO est égal à OI, donc DE —EF = DG = GF; ainsi, la figure DGEF ayant ses quatre côtés égaux est un carré, puisque ses angles sont droits. Ces exemples sont suffisans pour faire connaître la différence des méthodes analytique et synthétique, et pour donner une idée de la manière dont les anciens les employaient. Nous traiterons à Particle APPLICATION, des moyens nouveaux d’analyse géométrique. Quant à ’analyse algébrique, ses procédés seront successivement décrits dans les divers articles qui se rapportent à la science des nombres. ANALYTIQUE. Ce qui appartient à l'analyse. La- grange a voulu remplacer le calcul différentiel par une méthode artificielle, à laquelle il a donné le nom de Calcul des fonctions analytiques. Le but de ce géo- mètre, si recommandable d’ailleurs par ses brillantes découvertes, était d'éviter la considération de l'infini, dont le calcul différentiel reçoit sa signification, et de ramener ainsi les principes de cette branche de la science des nombres aux principes élémentaires de l’algèbre. C’est dans cette intention qu’il désigne sous les noms de fonction prime , fonction seconde, fonction uerce, etc., les dérivées différentielles d’une fonction quelconque fx, d’une variable x, qui entrent dans le développe- ment de Taylor : DE 6 LC LS Là + = dx? ‘1.2 Se+d=fi+ dx Les fonctions prime, seconde, ctc., n'étant autre chose AN que les coefficiens différentiels de ce développement, savoir : ! dfx (4 df. La 12 d fx Sr JE = Es sf = » etc. Outre que les procédés du calcul des fonctions analy- tiques sont loin d’avoir la simplicité de ceux du calcul différentiel, la méthode de Lagrange n’est évidemment qu'une transformation, un emploi indirect de ce der- nier calcul, et ses fonctions dérivées n’ont par elles- mêmes aucune signification, ainsi que nous le prouve- Calcul différentiel et Calcul des fonctions analytiques. rons aux articles Les diverses espèces de quantités qui forment l'objet de la science des nombres sont autant de réalités intel- lectuelles, présentant des ordres différens, soumis à des lois différentes. Vouloir ramener toutes ces quantités aux mêmes considérations élémentaires, c’est non-seulement méconnaître , tout à la fois, la nature de la science et ses immenses progrès, mais C’est encore matérialiser l’esprit humain, lui ravir ses plus nobles facultés, et imiter le grossier anatomiste qui, le scalpel à la main, croit trouver dans la mort les secrets de la vie. ANAMORPHOSE ( Persp.). Projection monstrueuse ou représentation d’une image défigurée, sur un plan ou sur une surface courbe, et qui cependant parait régulière et faite avec d’exactes proportions, étant vue d’un certain point. Voyez PERSPECTIVE. ANAXAGORAS, de Clazomène en lonie, fut l’un des successeurs de Thalès dans la direction de l’école lonienne, fondée par ce célèbre philosophe : il com- mença à acquérir de la réputation vers l'an 500 avant J.-C. Il s’est principalement occupé de géométrie et d'astronomie. Ses livres, qu’on regarde comme les plus anciens de la Grèce savante, ne sont point venus jusqu’à nous, et nous n'avons guère une idée de ses travaux que par les écrits de Plutarque et de Platon, qui les ont accidentellement mentionnés. On attribue à Anaxagoras la découverte de la cause des éclipses de lune; il est du moins certain que ses opinions sur ce phénomène, qui parurent hardies et peu conformes à la cosmogonie de son temps, lui attirèrent d’injustes persé- cutions. Comme Galilée, le sage de Clazomène fut le martyr de la vérité. Il est douloureux de penser que de tout temps les hommes ont repoussé les lumières, et ont été disposés à condamner ce qu’ils ne peuvent com- prendre. Il est probable qu'Anaxagoras à partagé les opinions erronées de l’école Tonienne sur la plupart des grands phénomènes dont les lois nous sont aujour- d’hui mieux connues; mais cela ne prouve rien contre son génie, ni contre celui des philosophes de l'antiquité, dont les travaux , qui marquent le point de départ de la science, inspireront toujours sous ce rapport un vif AN intérêt. F n’est pas au reste bien certain que nous inter- 15 prétions avec exactitude le sens de leurs propositions scientifiques ; et d’ailleurs toutes les idées qu’elles résu- ment n’ont pas été détruites par l’expérienceet les progrès de la science. Ainsi que ses prédécesseurs, et le célèbre fondateur de l’école Tonienne , Anaxagoras regardait le soleil comme une masse enflammée, mais dense et sem- blable à la terre, opinion qui est conforme aux lois de la gravitation universelle. Quand ce philosophe soutenait que les cieux étaient de pierre, voulait évidemment dire que tous les corps célestes étaient d’une matière pesante et à peu près semblable à celle de la terre. On demandait à Anaxagoras, contre ce sentiment sur la matérialité des astres, comment il arrivait que ces corps si pesans ne tombaient pas. Il répondait à cette objec- tion, que la cause en était dans leur mouvement circu- laire, et que leur chute serait immédiate si ce mouve- ment cessait. Cette opinion remarquable est la plus ancienne trace , qu’on trouve dans l’histoire de la science, de la connaissance de la force centrifuge qui retient les corps célestes dans leur orbite. Anaxagoras, à qui l'on a aussi attribué des recherches sur la.solution du problème de la quadrature du cercle, mourut à Lam- psaque, vers l’an 469 avant J.-C., dans un âge avancé. (Poyez Tuarës, pour les détails historiques relatifs à l'école Tontenne:) ANAXIMANDRE, de Milet, né vers l’an 620 avant J.-C. , successeur de Thalès dans la direction de l’école Tonienne, a attaché son nom aux premiers progrès des sciences. Quelques auteurs l'ont rangé, d’après des do- cumens historiques peu certains, parmi les philosophes qui ont connu le mouvement de la terre. Mais il est probable que les opinions d’Anaximandre à ce sujet n'avaient rien de plus décisif que celles du fondatèur de l'école d’'Ionie. Ce géomètre se persuada néanmoins, dans ces jours d'enfance de l'astronomie, que le soleil était une masse enflammée , aussi grosse que la terre; et quoique cette opinion ne füt en lui que conjecturale, elle doit faire concevoir une idée avantageuse de son génie, car elle prouve que plusieurs siècles après il eut eu peu de peine à s'élever jusqu'aux réalités dont la science est maintenant en possession. Diverses inventions ingénieuses qui eurent lieu à cette époque, et qui furent le résultat des travaux de l’école Tonienne , ont été attri- buées à Anaximandre. Il parait étre l'inventeur de la sphère, c’est-à-dire qu'il construisit un instrument qui représentait le système céleste, tel qu’on le concevait de son temps. Mais l'invention qui a le plus contribué à illustrer le nom d’Anaximandre est celle du gnomon. 11 s’en servit pour observer les solstices. Les sciences ma- thématiques doivent enfin à Anaximandre les cartes géographiques et les horloges solaires. I mourut l'an 545 avant l'ère chrétienne. 10 T4 AN ANAXIMEÈNE, de Milet, disciple d'Anaximandre, et son successeur à l’école Ionienne, suivit avec éclat les traces de ses prédécesseurs. Pline lui attribue l'invention des cadrans solaires, qui appartient évidemment à son maître Anaximandre. L'incertitude qui règne dans la chronologie de cette époque, et le peu de documens historiques qui nous sont restés de ces âges reculés, ne permettent guère que des conjectures à l'égard des faits qui intéressent le plus l'histoire de la science. Anaximène s’occupa spécialement de gnomonique et de géographie, et sa position à l’école de Thalès a na- turellement fait attacher son nom aux premiers progrès de ces sciences. On ignore la date précise de la naissance de ce philosophe; mais il succéda à Anaximandre vers l'an 545 avant J.-C., et il est probable qu’il était alors parvenu à l'âge mür. On croit qu'il mourut vers l'an 500 avant la même époque. ANDERSON (AzEexanpre), géomètre écossais, qui vivait dans les premières années du XVII siècle, a dû sa réputation à l'amitié du célèbre Viète, dont il était aussi le disciple. Il a rendu aux sciences mathématiques un seryice important, en publiant plusieurs ouvrages de géométrie et d'analyse, laissés par ce savant mathé- maticien, Alexandre Anderson possédait aussi fort bien l'analyse ancienne, et il en a donné la preuve dans son Supplementum Apolloni redivivi (Paris 1612), travail dans lequel il a suppléé à tout ce que Ghetaldi avait Jaissé d’incomplet dans son ouvrage. ANDROIDE ( Mec. ). Du grec éwp, génitif, évèpes, homme, et d'tides, forme, ressemblance; automate qui a reçu une forme humaine, et qui, au moyen de ressorts disposés dans son intérieur, exécute divers mouvemens et diverses fonctions qui appartiennent à l'homme. Albert-le-Grand construisit, dit-on, uue de ces ma- chines, qui, malgré le génie qu’elles permettent de sup- poser dans leurs auteurs, offrent plus d'intérêt à la curiosité, qu'elles ne sont réellement utiles aux progrès de la science. Dans le dernier siècle, Vaucanson s’ac- quit, par un ouvrage semblable, une célébrité qui depuis n’a point été dépassée. Le flüteur automate que coustruisit, en 1736, cet habile mécanicien, excita à Paris la plus vive admiration: où courut en foule pour voir ce chef-d'œuvre de mécanique, exécuté avec une rare perfection. L’automate jouait plusieurs airs sur la flûte, et imitait parfaitement tous les mouvemens d’un musicien. L'Académie des sciences, dont Vaucanson était membre, nomma dans son sein une commission pour examiner l’androïde, à qui la renommée était loin de se montrer défavorable, car elle lui accordait une foule de facultés qu'il n’est pas au pouvoir de la science de donner à la matière. Cette commission constata que le mécanisme employé pour faire rendre des sons à la flûte, exécutait rigoureusement les mêmes opérations AN qu'un véritable musicien, et que le mécanicien avait imité à Ja fois les effets et les moyens de la nature, ayec une exactitude etune précision auxquelles on n'avait pas imaginé qu'il fût possible d’atteindre.Vaucanson a publié un mémoire qui a reçu les éloges de l’Académie, et où l'on trouve la description de son joueur de flûte. (Voyez Mémoires de l'Académie des sciences, 1738, etl'En- cyclopédie, au mot Anxproïne.) Quelques années après, Vaucanson construisit un nouvel androïde qui n'eut pas moins de succés : c'était un joueur de tambour pro- vençal, qui tirait en même temps des sons d’une flûte, et frappait sur un tambour. L’androïde n’est qu’une sorte d’automate. On donne généralement ce dernier nom à toute machine qui porte en elle le principe de son mouvement, et sur- tout à celles qui imitentle mouvement des corps ani- més. Il vient du grec #èréwaros, spontané, de soi-même, composé d’adros, soi-même, et de pau, je veux, je désire. L'histoire fait mention d’un assez grand nombre d’automatest mais ces relations, la plupart fort dou- teuses, ne donnent aucune idée des moyens d'exécution employés par les auteurs de ces machines. Archytas construisit, dit-on, un pigeon qui pouvait voler; mais le célèbre Vaucanson acheva un canard, dont le méca- nisme Jui faisait exécuter toutes les fonctions du boire, du manger et de la digestion, ou du moins de la tritu- ration des alimens, Les développemens qu’on pourrait donner à la des. cription de ces ingénieuses machines ue peuvent entrer dans cet ouvrage; on les trouvera dans les recueils que nous avons cités plus hant. Cependant nous ne pouvons passer sous silence une découverte que fit Vaucanson en construisant son flûteur , et qui peut intéresser la science. Ce célèbre mécanicien, en combinant les vents dont il avait besoin pour produire l'effet qu’il cherchait, re- connut que la petite flûte est un des instrumens qui fatiguent le plus la poitrine des joueurs. Il faut que les muscles de ce viscère fassent un effort équivalent à un poids de 56 livres (28 kïlog.), puisqu'ils ont besoin de cette force, ou de cette pesanteur, pour produire le si d'en haut, note la plus élevée que puisse atteindre cet instrument. ANDROMÉDE (A4str.). Constellation située dans l'hémisphère boréal. ’oyez CONSTELLATION, ANELAR ou ANHELAR (Astr.), Nom de l'étoile marquée « sur la tête de Castor, constellation des Gé- meaux. ANÉMOMÈTRE (Mec.)( de dysues, vent, et de wérper, mesure). Machine pour mesurer la force du vent. Le premier instrument de ce genre paraît avoir été inventé par Wolf, en 1708, et perfectionné en- suite par Martin. Dans les Transactions philosophiques de 1766, AN M. A. Brice expose une méthode qu'il a pratiquée avec succès, pour mesurer la vitesse du vent par l'ombre dés nuages qui passent sur la surface de la terre. M. d'Ons en Bray a donné, dans les Mémoires de l'Académie des sciences, annéé 1734, la description d'un anémomètre de son invention, qui marque sur un papier les différens vents qui ont soufflé pendant vingt- quatre heures avec les temps de leur durée, et leurs vitesses différentes. Où trouve la description de plusieurs autres instru- mens du même genre dans l'Encyclopédie britan- niquë. ANÉMOSCOPE (Mcc.). Machine qui indique les variations du vent. ANES ( Astr.). Étoiles de la constellation du Cancer ou de l'Écrevisse, marquées 7 et d dans les catalogues. Elles sont désignées sous le nom d’Anes dans l'Æ{/mageste de Ptolémée. ANGLE ( Géom.). On nomme angle, l'inclinaison d’une droite CB vers une autre AB À c qu’elle rencontre quelque part en B. Le point de rencontre B est le som- met de l'angle, et les droites elles- mêmes AB et CB en sont les côtes. Comme on peut prolonger indéfini- ment ces deux droites sans que leur inclinaison mutuelle en soit affectée, il est visible que la grandeur d’un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés, mais seulement de la diffé- rence de leurs directions. Un angle est donc d'autant plus grand que la diffé- rence des directions de ses côtés est plus grande, et son maximum de grandeur a licu lorsque ces côtés, ayant des directions opposées, ne forment plus qu’une seule ligne droite. (Noriows pRÉLIMINAIRES, 29.) De cette seule considération on peut facilement déduire, ainsi que nous allons le faire, tous les rapports des angles entre eux. Quant à leurs noms particuliers, pour ne pas nous répéter, nous renvoyons aux Norioxs PrÉLimI- NAIRES. 1. Tuéonème. La somme: de deux angles contigus est équivalente à celle dé deux angles droits. La somme de deux angles contigus est égale au maxi- mum de grandeur des an- gles : car l'angle DAC est, en d’autres termes, la dif- 2 férence de la direction de B * PU TUE DA, avec la direction de AC ; l'angle BAD est également la différence de la direction de BA avec celle de AD; donc la somme de ces angles ou de ces différences, est égale à la différence de la direction de BA avec celle de AC, c'est-à-dire à un maximum. Il suit de Jà, que la somme de deux angles contigus est AN 75 égale à la somme de deux au- D L tres angles contigus quelcon- ques. Or, les angles droits ( ft- F guré 2) sont deux angles con- Ba RAT PAe c tigus; donc la somme de deux angles contigus est équivalente à celle de deux angles droits. 2. Corollaire. Tous les angles droits sont égaux entre eux; car un angle droit est la moitié de deux angles contigus. 3. Tuéorèur. Les angles verticaux formés par deux droites AG, DB, qui se coupent en un point O, sont égaux. A D La somme des deux angles contigus \ : AOD, DOC, est équivalente à celle \ des deux autres angles contigus DOC, Ne COB; c’est-à-dire qu'on a l'égalité AOD +- DOC — DOC + COB. Retranchant DOC de part et d'autre, / il reste AOD = COB. On a, par les mêmes raisons, AOB = DOC. On voit immédiatement, par l'inspection äe la figure, que la somme des quatre angles AOD , AOB, COB, DOC, est équivalente à celle de quatre angles droits. On aurait évidemment toujours la même somme , en divisant ces angles par des droites menées au point O; comme on n'aurait aussi qu'une somme équivalente à deux angles droits, en divisant deux angles contigus par un nombre quelconque de droites menées au sommet commun. On exprime ces propriétés de la manière suivante : - 4. Tous les angles formés autour d’un point pris sur une droite, et situés d’un même côté de cette droite, ont pour somme deux angles droits. 5. Tous les angles formés autour d’un point, et situés dans toutes les directions, tant d'un côté que de l’autre d’une droite qui passerait par le point donné ; ont pour somme quatre angles droits. G. Tniorèus. Les angles correspondans formés par la rencontre de deux paral- A c léles AB, CD, ct d’une trans- | versale EH, sont égaux. Les droites AB et CD étant paralliles, ont une même di- f rection; conséquemment, la E différence de la direction de AB avec celle de EH est identique- L D ment la même que la différence de la direction de CD avec celle de la même droite EH. En d'autres termes, les deux angles correspondans AFG, CGH, sont égaux. Ilen est évidemment de même des autres angles corres- pondons AFE ct CGE , EFB et FGD, BFG et DGH. 76 AN Fa ConozLatrE. L'égalité des angles correspondans entraine nécessairement celle des angles alternes inter- nes , ainsi que celle des angles alternes externes. En effet, les angles verticaux FGD, CGH étant égaux (3), on a en même temps les deux égalités : FGD=CGH et AFG—CGH. D'où l’on conclut FGD = AFG, et ainsi de même pour les autres angles alternes in- ternes. Quant aux angles alternes externes, on a aussi les deux égalités : EFB = FGD et FGD —CGH, desquelles on tire EFB = CGH; c'est-à-dire l'égalité des deux angles alternes externes EFB et CGH : raisonnement qui s'applique aussi aux autres angles alternes externes. 8. Turorimx. La somme des trois angles d'un trian- gle quelconque ABC est équivalente à deux angles droits. Prolongeons la base AC jusqu’en D; et, par le point C, menons la droite CM parallèle au côté AB. Nous au- rons autour du point C les trois angles ACB, ACM, MCD, dont la somme est égale à deux angles droits (4), égalité que nous exprimerons par ACB + ACM + MCD — 2 droits. Mais les angles ABC et MCD sont correspondans par rapport à la transversale BD, et les angles ACM et BAC sont alternes internes par rapport à la transversale BD; ‘on à donc (3) BAC — ACM et ABC — MCD. Substituant BAC et ABC à M la place de ACM et de MCD : dans la première égalité, elle deviendra B en ACB + ABC + BAC — 2 droits. Donc la somme des trois angles du triangle ABC est égale à deux angles droits. 9. CorozLaire. L’angle extérieur ACD, formé par le côté AC d'un triangle, et le prolongement du côté ad- jacent BC, est équivalent à la somme des deux angles intérieurs opposés CAB, ABC. Car CAB — ACM, ABC — MCD; donc CAB + ABC — ACM + MCD — ACD. 10. CorozLaAIRE. Un triangle ne peut avoir qu’un an- gle droit , et, à plus forte raison qu’un angle obtus. 11. CoroLLaIRE. Dans un triangie rectangle, la = : AN somme des deux angles aigus est égale à un angle droit. 12. Turorime. Dans un méme cercie ou dans des cercles égaux , les angles égaux qui ont leurs sommets au centre interceptent des ares égaux sur la circonfe- rencee K& Soient les deux cercles égaux B et », et les angles égaux ABC, abc, qui ont leurs sommets aux centres de ces cercles. Les arcs AC et ac interceptés par les côtés de ces angles sont égaux. Car , si l’on suppose Je cercle b transporté sur le cer- cle B, de manière que les centres coïncident, et que le rayon ab tombe sur le rayon AB, ces deux cercles, étant égaux, coincideront parfaitement dans toutes leurs par- ties; mais alors, comme l'angle abc est égal à l'angle ABC, le côté be tombera sur le côté BC; et comme ces côtés sont des rayons égaux, le point c se trouvera sur le point C; et, conséquemment, les arcs ac et AC co- incideront parfaitement. Ces arcs sont donc égaux. Réciproquement; les ongles qui ont leurs sommets au centre, el que interceptent des arcs égaux sur la circon- Jtrence, sont égaux. Soient les deux arcs égaux AC, ac; les angles ABC, abc, dont les côtés interceptent ces arcs, sônt égaux; car, s'ils ne l’étaient pas, on pourrait t ujours construire un angle abd plus grand ou plus petit que abc, et qui serait égal à ABC ; mais, d’après la proposition directe les ares AC et ad seraient égaux. Or, on a supposé AC — ac: on aurait donc aussi 4e = ad, ce qui est absurde. Donc, puisqu'il ne peut y avoir un angle plus grand ou plus petit que abc, qui soit égal à ABC, ces deux an- gles sont nécessairement égaux. 13. Turorème. Les angles qui ont leurs sommets au centre d'un méme cercle ou de cercles égaux sont entre eux comme les arcs interceptés par leurs côtés. Soient les deux angles MBN, bn, qui ont leurs sommets aux centres des deux cercles égaux B et b, et dont les côtés interceptent les arcs MN et 77 : on a la proportion MBN : nbn :: MN : mn. Car les arcs MN et mn étant mesurés. à l’aide d'un arc quelconque Mr, pris pour unité de mesure, nous pou- vons supposer que le premier contient 2 fois la mesure Mir, et que le second contient x fois cette même me- AN sure, ou que le rapport de ces deux arcs soit le mème que celui des nombres », »; c’est-à-dire qu’on ait la proportion MN :mn::mi:n. Or, les nombres » et x peuvent être rationnels ou irrationnels; où, ce qui est la même chose, les deux arcs MN et mn peuvent être commensurables ou incom- mensurables. Dans le premier cas, divisant l’arc MN en m parties égales, Mr,12,23, 34, 45, etc., l'arcman contiendra x de ces parties 7211, 12, 23, 34, 45, etc. Si par les points de division on mène les droites Br, B2, B3,B4 ,etc.. b1,b2, b3, b4 , etc., l'angle MBN sera partagé en »2 angles égaux (12), et l'angle bn sera partagé en » angles égaux; le rapport de ces deux angles sera donc celui de »2 : 2, ou le même que le rap- port des arcs MN et mn. On a donc effectivement MBN : mnbn :: MN : mn. Si les deux arcs MN et nn étaient incommensurables, c'est-à-dire s’il n'existait aucun arc Mi, quelque petit qu'on puisse le supposer, qui fût capable d’être con- tenu un nombre exact de fois dans MN et dans mn , le rapport de ces arcs serait néanmoins encore le même que celui des angles MBN et bn; car le rapport _ serait dans ce cas égal à une quantité irrationnelle que nous supposerons d’abord égale à y/3, pour faire mieux saisir l’esprit de la démonstration: on aurait donc MN :mn::1:y3. V3 est égal à la fraction 1,732050817, etc. , la suite des chiffres décimaux étant infinie. Or, on pourrait prendre 1, ou 1,7, ou 1,73, Ou 1,732, etc., pour valeurs approchées de y/3; et il est évident que plus on prendrait de décimales et plus on appro- cherait de la véritable valeur. Prenant donc 1,7 pour A PAR MN » première approximation, Je rapport Fe sera à peu . I 10 els . près —— ou Fr et, divisant MN en 10 parties égales, ) l'arc in contiendra 17 de ces parties, plus un reste quel- conque on; alors, supposons menéc la droite bo , uous aurons , d’après ce qui précède, MBN : m1b0 :: MN : m0. Prenons actuellement 1,73 pour valeur approchée de AN Fr V3,lera rat eu près ——, ou; di < PRO re EP ER UE 1, visant l’arc MN en 100 parties, l’arc mn contiendra 173 de ces parties, plus un reste o'r évidemment plus petit que on. Supposons encore menée la droite bo", nous aurons aussi MBN : mbo' :: MN : mo’. En prenant 1,732 pour valeur approchée de y3, nous tomberions de même sur un arc o’m qui donne- rait MBN : mbo" :: MN : mo’. et ainsi de suite, On voit aisément que les arcs mo, mo', mo", etc., augmentent successivement , et diffèrent de moins en moins de l'arc proposé »1r , et qu’en prenant pour va- leurs approchées de 1/3 les quantités 1,7; 1,73; 1,732; etc., on est tombé sur des angles z2bo, mbo', mbo', etc., dont les rapports avec l'angle MBN sont les mêmes que ceux de leurs arcs respectifs 20, mo', mo", etc. , avec l'arc MN. Il est évident qu’en prenant un plus grand nombre de décimales pour la valeur de \/3 on trouve rait toujours des angles qui auraient la mème propriété. Donc cela aura lieu pour un nombre quelconque de chiffres de la suite 1,320, et, par conséquent, pour la totalité de ces chiffres ou pour la quantité y3, qu'ils représentent. Ainsi, On a dans tous les cas MBN : mbn :: MN : mn. Pour généraliser cette démonstration, fondée entiè- remeut sur la nature des quantités incommensurables ou irrationnelles (Foy. ces mots), il suffit de remarquer MN : que lorsque le rapport Es est incommensurable, c’est qu'il est égal à une quantité dont la forme générale est m VA, et dont le développement, composé d’un nombre infini de termes, est de la forme B+C+D+HE+HF+EG + etc. Ainsi, les rapports T:B, 1:B+C, 1:B+C+D, ctc., etc., se MN approchent de plus en plus du véritable rapport ra Or, en procédant comme nous venons de le faire, on voit qu'à chaque somme B,B+C, B+LC+D,etc., répond un angle dont le rapport avec l’angle MBN est égal à celui des arcs interceptés; il en est nécessai- rement de même pour la somme d’un ombre quelcon- que de termes de la série B4+C+4+D+4+E+FÆLG+ etc, et, conséquemment , pour la somme de tous Les termes » 18 AN ou pour le nombre VA, que cette somme représente. 14. Tuéorèume. Un angle quelconque étant donné, si l'on suppose décrit un cercle qui aït son centre au som- met de cet angle, l'arc intercepté par ses côtés pourra lux servir de mesure. Soit l'angle ABC, dont le sommet est placé au centre B d’un cercle. Cet angle TO aura pour mesure l'arc vd AC. 1 Unanglene peut être me- | 2 Si é ei Ë suré que par unautre anple, f IN pris pour unité de mesure; \ f car; on ne peut comparer 4 X que des quantités de même À susre nerffié nature; mais si MBN est cette unité, on a la proportion ABC : MBN :: AC : MN. Or, si l'on prend MN pour mesure des ares, le nom- bré qui éxprimera la mesuré de AC sera _ où, cé qui AC MN exprime donc la mesure de nel ABC au moyen de l'angle MBN. 15. Scnoue. Dans l'ancien système métrique, suivi ABC est la mênie chose, MEN Le TADEDEE des deux arcs =- encore aujourd'hui dans toute l'Europe, on prend pour unité de mesure l'augle dont les côtés interceptent la 300° partie de la circonférencé décrite de son sommet ; et cette partie se nomme degre.Ainsi , lorsqu'on dit, par exemple, qu'un angle a 30 ee c'est que cet angle interceplérait, entre ses eiés » #0. 36s © dela circonférence. Le degré se subdivisé en 60 parties, qu’on nomme #ié- nutes ; la minute en 60 parties, qu’on nomme secondes ; la seconde en 60 uerces, etc., etc. L’angle droit est dans ce système un angle dé 90 degrés. Dans le système métrique français, l’angle droit ést pris pour unité de mesüre: on le divise en 100 degrés , le degré en 100 minutes ; la minute en 100 secondes , etc., etc. La circonférence entière est alors partagée en 400 degrés. Ü La première division se nomme division Sexagesi- male , et la seconde division centésimale. La plupart des instrumens en usage étant divisés en 360 degrés, nous nous servirons habituellement , dans cet ouvrage, de la division sexagésimale, à moins que nous n’avertissions À expressément du contraire pour quelques Cas particu- liers. [1 est, du reste, extrémement facile de passer de l'une des divisions à l’autre 360 : 400. e, leur rapport étant celui de 16. Tuéoniur. L’angle Jormé par une tangente et par une corde a pour mesure la moitié de L'are sors: tendu par la corde. * AN Soi l'angle BAG formé par la re AG et ijar la corde AB, cet angle a pour mesure la moi- Fa tié de l’arc AB. F4 \ | Car, si l’on mène les / S MEN rayons AD et DB, l’an- | D fo | gleDAGseradroit(f’oy. | E "6 l Cencce ). Mais, dans le # ” triauglé isocèle ADB, Le i / | les angles à la base sont LT aie égaux (Foy: Tnrance 160cëLE ); donc Fl'anglé, au sommet ADB ; est égal à deux droits moins deux fois l'angle DAB. Or, l'angle proposé BAC est égal à un droit moins l'angle DAB ; donc cet angle est la moitié de ADB. Ainsi, la mesure de l'angle ADB étant l'arc AB(14), la mesure de l'angle BAC sera la moitié de cet arc. 17. Tuorème. Un angle qui a son sommet à la cr- conférence d'un cercle a pour mesure la moitié de l'arc interceplé pär ses CÔLES. Soit un tel angle ACB : si l'on mène la tangente CD, on aura les deux angles DGA et DCB, dont les mesures respectives seront les moitiés des arcs CA et CAB ; mais l'angle proposé est la différence de ces deux angles, donc sa mesure sera la différence de leurs mesures ou la moitié de l'arc AB compris entre ses côtés. 18. CorozzarRE I. Tous les angles qui ont leurs som- mets à la circouférence d’un r mème cercle, et dont les co- end GET £ 7 up d’une même corde, sont " / [P.- tés passent par les extrémités égaux entre eux, puisqu'ils ont tous pour mesure la moitié du même arc. 19. Cotottaime IT Un angle qui a son sommet à la circonférence d’un cercle, et dont les côtés passent par NS si N les extrémités du diamètre, est droit, puisqu'il a pour mesure le quart de la circonférence. 50. Tiforème. Un angle qui à son somntet dans l'in. térieur d'un cercle a pour mesuré la moitié de la sorte des ares interceptés par $és côtés et par le prolongement de ces mêmes côlés. Soit l'angle APB : sj l’on prolonge ses côtés jusqu’à ‘ce qu’ils rencontrent la circonférence en CetenE, la mesure de cet angle sera : (AB + CE); car, si l'on mène la corde AC, l'angle APB, extérieur par rapport au triangle APC, sera égal à la somme des deux angles intérieurs opposés CAE, ACB (9). Sa mesure sera doac égale à la somme des mesures dé ces angles, c’est-a-dire 1 4 (AB + C). AN o1. Œuronime. L'angle formé par deux secantes à pour mesure la mottic de la différence des arcs inter- ceptés par ses côlés. Soit ABC un tel angle, sa mesure sera + (AC — DE). +8 Car, si l’on mène la corde AE, l'angle AEC, exté- rieur au triangle AEB, sera égal à la somme des deux angles ABE, BAE. On à donc ABC—AEC — BAE; et, par conséquent, la mesure de l’angle ABC sera égale à la différence des me- AC DE 9 3 sures des angles AEC, BAE, c'est-à-dire à , ou, ce qui est la même chose, à (AC — DE). 22. Si la sécante BA devenait tangente en «, l’angle aBC aurait aussi pour mesure la moitié de la différence des arcs aAC, aDE, 23. On démontrerait encore de la même manière que siles deux côtés de l'angle, dont le sommet est hors du cercle, sont des tangentes, comme MP et Pa, cet angle a pour mesure la moitié de la différence des ares Mma et MDACa. 24. ProëcÈme I. Construire sur une ligne donnée AB ‘un angle égal à un angle donné D. Du point D décrivez, avec un rayon quelconque, l'arc FE, qui rencontre les deux côtés de Fangle donné D. Du point À, avec le même ravon, décrivez un arc an, et prenez in égal à FE; par lé point m1, menez la droite AC, l'angle CAB sera égal à l'angle D. 25. ProeLème Il. Diviser un R angle donné en deux. \ Prenez Am égal à An, et, \ des deux points » et n, décri- \ vez, avec le même rayon, des mn\ arcs qui se coupent en un point O; menez de ce point la ligne OA ; elle partagera l'angle BAC en deux angles égaux, Voyez À PERPENDICULAIRE. 26. La mesure des angles à l'aide d’instrumens qui font connaitre le nombre des degrés, minutes, secon- des , etc., de leurs arcs, est une opération d'un grand usage dans la Navigation, l'Arpentage, l'Astronomie , etc. (J’oy. ces mots,) Lorsqu'ils sont sur le papier, on se sert du RAPPORTEUR Où du COMPAS DE PROPORTION: Foy. ces mots, AN 19 27. Jusqu'ici nous n'avons considéré que les angles formés par des droites sur un même plan; mais il existe encore a’autres espèces d’angles , tels sont : Les angles curvilignes, formés par deux lignes courbes ; Les angles miriilignes, formés par une droite et par une ligne courbe; Les angles plano-linéaires, formés par l’inclinaison d’une droite sur un plan ; Les angles plans, formés par l'inclinaison de deux plans; Les angles solides, formés par le concours de plu- sieurs plans au même point. Foy. les mots Curvirr- anE , MixTILIGNE , PLAN, etc. Quant aux relations des angles des figures planes, voyez TRIANGLE, PARALLÉLOGRAMME , PoLYcowr. ANGLES (_4str. — Méc. — Opt. — l'ortification). Les angles reçoivent dans plusieurs sciences des déno- minations particulières. Tels sont, pour l'Astronomic, les ANGLES d’élongation ; de position, azimutal, paral- lactique, etc.; pour la Mécanique, les axçGres de direction, d'élévation, d'inclinaïison, etc. ; pour l Op- uque, les anGLes d'incidence, de réflexion, de réfrac- tion, etc. ; et pour la Fortification, les axGLEs saïllans, rentrans, flanquans, morts, etc. (J’oyez ces divers mots. ) ANGLE OPTIQUE. C’est l'angle formé par deux rayons visuels, menés du centre de l’œil aux extrémités d’un objet. ANGUINEE (Géom.). Nom d’une espèce particu- lière d’hyperbole du troisième ordre, qui ayant des points d’inflexions , serpente autour de ses asymptotes. (Voyez HyrEr20OLE.) e ANGULAIRE. Ce qui est relatif aux angles. Mouvement ANGuLaire. C’est celui qui est effectué par un corps tournant autour d’un centre, le sommet de l'angle étant au centre du mouvement. Ainsi, les pla- nètes décrivent un mouvement angulaire autour du soleil; un pendule décrit un mouvement angulaire autour de son point de suspension, etc. Le mouvement angulaire d'un corps est d'autant plus grand qu'il décrit un plus grand angle dans un temps donné. Deux corps peuvent avoir le même mouvement angulaire, quoique leurs mouvemens réels soient différens. En effet tous les points d’un pendule, mis en oscillation, décrivent le même angle, et cependant les mouvemens réels ou absolus de chacun de ces points sont d'autant plus grands qu'ils sont plus éloignés du centre de suspension. Sections AxGuLAIRES. Terme employé par Viète pour désigner les ares multiples de la circonférence du cercle. Viète a découvert la loi d'accroissement des cordes de ces arcs, et il l’a signalée, en 1550, dans son Canon mathematique, qui nest autre chose qu'une table de 80 AN sinus construite suivant cette loi. Cet ouvrage est extré- _ mement rare; car l’auteur y ayant découvert un grand nombre de fautes typographiques, a détruit tous les exemplaires qu'il a pu se procurer. Viète démontre que si une demi-conférence AB est divisée en arcs égaux BC, CD, DE, EF, etc., en dési- gnant le rayon par l'unité, et la corde supplémentaire AC par æ, on a les valeurs suivantes : AB —= 2 AG = x AD = 2— a AF — ai — 3x AF = x — 4x + AG = x° — 5x + 5x AH = 2x5 — Gri + gx? — 2 etc. etc. Dans lesquelles les puissances de x dé- croissent de 2en, et dont les coeffi- ciens numériques à  sont : l’unité, pour [e] les premiers termes; les nombres triangulaires , en com- mençant par 2, pour les seconds termes; les nom- bres pyramidaux, pour les troisièmes termes; les nombres triangulo-triangulaires, pour les quatrièmes termes, etc., etc. En cherchant le rapport des cordes elles-mêmes, Viète trouve encore, en désignant la corde BC par 7. y —= BC 2 — y? — BD o 7 Fr —=BE D ANS = DE 57 — 5 Lys = BG etc. etc. La loi des coefficiens étant la même que dans la suite précédente, et les signes des puissances de y étant les opposés de ceux des mêmes puissances de x. Ces formules sont aujourd’hui facilement démontrées. (Foyez Conpes.) Mais dans l’état où la science se trou- vait à l’époque des travaux de Viète, elles sont une preuve incontestable du génie supérieur de cet homme célèbre. ANISOCYCLE (Balistique). Ancienne machine de guerre, dont le ressort, de forme spirale, servait à lancer des flèches. Elle est décrite dans l’4#rchitecture de Vitruve. ANNEAU pe Sarunxe ( Astr. ). Corps solide, opaque et circulaire, qui entoure la planète de Saturne. Il est composé de deux bandes, plates, larges et très minces, couchées dans un même plan et à peu près concentri- ques. La première de ces bandes ou l'anneau intérieur, AN est séparé du globe par un intervalle de 6,972 lieues ; Ja seconde bande, ou l’an- : neau extérieur, est séparé du premier par un inter- valle seulement de 648 lieues; leur épaisseur est au plus de 36 lieues ; en- fin le diamètre extérieur de l’ensemble des trois parties qui composent cette planète singulière est de 63,880 lieues L'existence de ce merveilleux appendice de Saturne, qui excite notre étonnement et notre admiration , a été inconnue aux anciens; son observation est due à la perfection ré- cente des instrumens astronomiques. Le résumé rapide de l’histoire de cette découverte facilitera nécessaire- ment l'intelligence du phénomène qu’elle nous a révélé. Ce fut seulement vers l’an 1612 que l’illustre Galilée, aidé d’un télescope d'une puissance bornée et d’une construction incomplète, crut voir Saturne accompagné de deux globes, qu’il jugea être des satellites immobiles de cette planète, à laquelle il les crut même adhérens, puisque cette découverte lui fit donner à Saturne l’épi- thète de Triformen, composé de trois parties. Le vif étonnement que lui causa ce phénomène ne le céda qu’à celui dont il fut frappé, lorsqu’après deux années d'observations , il vit disparaître ces prétendus satellites. Quoiqu'il ne füt pas possible à Galilée d’entrevoir la cause de ces apparences, il osa néanmoins prévoir le re- tour des deux prétendus globes qui avaient cessé d’être visibles. Mais leur réapparition , qui confirma sous ce rapport ses prévisions, ne servit durant long-temps qu'à lui fournir, ainsi qu'aux astronomes dont cette dé- couverte avait éveillé l'attention, un texte à des conjec- tures, que les hypothèses de Gassendi, d'Hévélius, de Roberval et de Cassini même, laissèrent sans solution scientifique. Mais, en 1655, le célèbre Huygens, au moyen d'instrumens perfectionnés dont il était l’auteur, découvrit les véritables causes de ce phénomène, et en établit la théorie, qu’il publia en 1656, telle a peu près qu’elle est admise aujourd’hui. En effet, les deux globes de Galilée apparurent à ce savant observateur comme une longue bande de lumière presque adhérente à Sa- turne, À mesure que cette planète passa dans d’autres positions à l'égard du soleil et de la terre, il remarqua que ses longues anses s’élargissaient et prenaient la forme d’une ellipse fort alongée; le mouvement de la planète continuant, cette ellipse s’élargissait davantage encore, et prenait l'apparence de deux cercles concentriques vus obliquement. Cette observation le détermina à pen- ser que le phénomène était produit par un corps plat et circulaire, semblable à un anneau. Depuis cette décou- verte d'Huygens, que la perfection toujours croissaute x AN des instrumens a permis de véffier diverses particula- rités de Saturne, qui avaient dû lui échapper, ont été déterminées ; mais les observations les plus récentes, et qu'on est autorisé à croire les plus exactes, n’ont apporté que peu de changemens dans l'appréciation du phé- nomène que présente l'anneau de Saturne proprement dit, dont il nous reste maintenant à expliquer les phases de disparition et de réapparition. L'ombre que projette cet anneau ou plutôt ces an- neaux, sur le corps de la plauète, du côté le plus voisin du soleil , et l'ombre que la planète projette elle-même sur eux du côté opposé, démontrent qu’ils sont un corps solide et opaque. L'axe de rotation de Saturne est per- pendiculaire au plan des anneaux, et durant le mouve- ment de la planète dans son orbite, il conserve toujours son parallélisme. Le plan des anneaux conserve aussi à peu près la même inclinaison sur le plan de l’orbite. L’inclinaison à l’écliptique est de 28° 40’, et les nœuds des anneaux correspoudent à 170° et 350° delongitude. Aünsi, quand la planète paraît à l’un ou à l’autre de ses nœuds, le plan des anneaux passe par le soleil qui l'éclaire de côté ; dans les mêmes époques la terre qui enrest plus éloignée en raison de la petitesse de son orbite, passe nécessairement dans le plan peu d’instans avant ou après que ce plan passe exactement par le centre du soleil, Alors, bien que les anneaux soient encore éclairés, ils ne paraissent plus que comme une seule ligne droite très-déliée, qui coupe le disque de la planète et la dépasse des deux côtés; mais il faut des instrumens d’une puissance extraordinaire pour l'aper- cevoir. Ceci explique la première observation de Ga- lilée. Ce phénomène de la disparition des anneaux se re- produit deux: fois durant la révolution de Saturne, c’est-à-dire à des intervalles de 15 ans; mais par suite de la lenteur du mouvement de cette immense planète, la terre ayant le-temps de rencontrer deux autres fois le plan des anneaux, leur disparition est double en gé- néral. La science qui a pu déterminer les mouvemens des astres et les lois d’après lesquelles ces mouvemens s’o- pèrent, est encore impuissante à expliquer les causes de la construction merveilleuse de plusieurs d’entre eux. Cependant, en décrivant Saturne et le système complet de cette planète, nous rendrons compte avec plus de développemens des autres particularités qui lui sont communes avec ses anneaux. ( Voyez SATURNE. ) ANNEAU. L’anneau astronomique où universel est un instrument composé de plusieurs cercles, qui sert à trouver l'heure du jour en un lieu quelconque de la terre. Il est représenté PL, IV, fig. 2. (Voyez Gnomo- NIQUE et Cana.) ANNÉE (Hist. Astr.) L'étymologie de ce mot est AN 81 fort controversée ; nous ne chercherons point à la fixer. Il est du moins à peu près certain pour les Français qu'année vient du mot latin annus, qui signifie la même chose. On appelle ainsi un certain nombre de jours qui forment une période fixe ou variable, solaire ou lunaire, suivant qu'on mesure le temps par les révolutions du soleil ou par celles de la lune. Le premier besoin des hommes réunis en société 2 dû être de diviser l'année par parties égales, d’après lc retour périodique et la durée des saisons. C’est là le point de départ de l’histoire , car la tradition écrite ou orale ne retracerait que devagues souvenirs, si ellene se rattachait à des époques authentiques, également remarquées par toutes les nations. C’est donc sur l'observation du cours des astres que la détermination de l’année a toujours ét fondée. Mais quoique les phénomènes astronomiques qui servirent de base aux premiers calculs, soient le résulta: de lois immuables, et se renouvellent uniformément, il: n'ont pas lieu nécessairement dans le même temps, rel:- tivement aux peuples qui habitent des zones différentes, c'est-à-dire qu'ils ne produisent pas les mêmes effets d’une manière générale. Il est résulté des appréciations relatives de ces effets divers, que toutes les nations ne se sont pas accordées entre elles, dans leurs rapports sociaux, sur la manière de compter le temps et d’en opérer la division. Telle est sans aucun doute la source des fables chronologiques qui voilent les premiers:pas de l’homme sur la terre, et qui ont attribué à quelques races primitives une antiquité, dont la religion et la science ont également démontré la folle exagération. C’est à la science seule que nous devons en appeler ici ; l'histoire de ses découvertes et de ses progrès successifs, dont nous pouvons embrasser l'ensemble, est à la fois un monument irrécusable de l'âge plus récent de l’hu- manité et de la puissance de perfectibilité dont elle est douée. Il n’est pas possible que les connaissances hu- maines aient acquis en près de six mille ans le degré d’exactitude et de réalité où elles sont parvenues, tar- disque, durant d'immenses périodes qui auraient précédé cette époque historique, l'homme ne serait péniblement arrivé qu’à la découverte de vagues hypothèses. Il fau- drait du moins supposer que sa destination et ses facul- tés intellectuelles ont subi depuis ces temps inconnus une modification essentielle ; ce qui ne peut être admis par la raison , parce que dans les divers modes de divi- sion de l’année, adoptés par les anciens peuples, on peut déjà reconnaitre une haute direction intellectuelle, et des évaluations ingénieuses des mouvemens célestes fondées sur l'expérience. La science n'est venue plus tard ajouter à ces découvertes que l’exactitude et la ri- goureuse précision de ses formules. L'année, prise dans son acception didactique, est astronomique ow. civile, suivant que cette division du LE: 82 * AN temps s'applique spécialement aux phénomènes célestes ou aux usages SOCIaux. 1, ANNÉES ASTRONOMIQUES. On donne à l’année as- tronomique diverses dénominations que nous allons successivement expliquer; mais il est nécessaire avant tout de déterminer sa durée réelle. >. La durée de l’année astronomique solaire, cal- culée sur le temps qu'emploie le soleil à faire le tour de l'écliptique, c'est-à-dire le temps qui s'écoule entre un solstice et un solstice semblable, ou bien entre un équi- noxe et un équinoxe semblable, est de 365 jours, 5 d 48" 51”. 3. La durée de l’anuée astronomique lunaire est cal- culée sur la durée de 12 lunaisons, chacune d'elles étant de 29 j. 12*44/2" Æ, cette année se compose ainsi de 354 jours 8 + 48° 34". Ce sont ces fractions de temps difficilement appré- ciables pour les usages de la vie sociale, qui forment la différence existante entre l’année civile et l'année astro- nomique. On va voir, par les exemples que nous cite- rons , que cette différence était encore plus considérable chez les anciens peuples qu'aujourd'hui. 4. L'année tropique est l’année solaire vraie, c'est-à- dire le temps que met le soleil à revenir au même tro- pique, et par conséquent celui qui est nécessaire pour que chaque saison se reproduise dans le même ordre. C'est par cette raison que les astronomes l’appellent aussi annce équinoxiale. 5. L'année sidérale est celle qui est calculée sur le retour apparent du soleil à la même étoile. Cette année excède l’année tropique de 20" 20”. En voici la raison : la rétrogradation des points équinoxiaux étant de 50" 1, le soleil, après qu'il est parti d’un équinoxe, doit paraître rencontrer ce même équinoxe, l’année suivante, dans uu point un peu en deçà de celui où il l'a quitté, et avant d’avoir ainsi achevé sa révolution entière, c’est- à-dire après avoir parcouru seulement 359° 59° 9”, 9, du cercle qu’il paraît décrire, ce qui produit la différence que nous venons d'exposer. 6. On donne le nom d’année anomalistique à une révolution entière de l’anomalie; elle excède l’année tropique de 25’ 27” 2. Elle est employée par les astro- nomes pour déterminer le lieu de l'apogée, d’après la méthode proposée par Lacaille. 7. ANNÉES crvices. L’année civile a toujours été chez tous les peuples ou solaire ou lunaire; mais de la diversité des modes établis pour calculer cette période, sont nées les dénominations d’embolsmique, de ju- dienne, de grégorienne, de bissextile et de commune, sous laquelle elle a été désignée, dénominations dont mous expliquerons successivement la signification. Cette période a dù nécessairement se former des di- visions de période moins longues ct d’un calcul plus AN facile, par chacune des phases qui marquent une révo- lution entière du soleil (2) ou de la lune (3). Ainsi, un certain nombre de jours a formé la semaine ou la décade des Grecs, un certain nombre de semaines ou de décades, le mois, un certain nombre de mois, l’année. À quelle. époque cette division de l’année, qui simplifie les cal- culs chronologiques, et facilite les relations sociales, s’est-elle établie? C’est ce qu'il n’est pas possible de dé- terminer d’une manière précise et incontestable, et c’est au reste une question entièrement dans le domaine des sciences littéraires. En rappelant ici les usages des peu- ples les plus célèbres de l'antiquité, relativement à la division de l’année, nous avons dùü mettre de côté toutes les conjectures, et ne prendre que des faits histo- riquement démontrés. Il sera nécessaire pour mieux saisir l’ensemble de ce rapide résumé, de parcourir le tableau placé à la fin de cet article, en observant toutefois que les mois des peuples dont nous décriyons l’année, y sont seulement classés d’après l’ordre qu'ils occupaient dans les anciens calendriers, et non pas dans l’ordre des rapports qu’ils peuvent avoir entre eux; concordance que le lecteur pourra établir lui-même avec facilité. 8. L'année civile des Égyptiens était une année solaire composée de 360 jours , divisée en 12 mois qui étaient invariablement de 30 jours chaque ; après le 12° mois on ajoutait cinq jours épagomènes ou additionnels, qui por- taient ainsi à 365 jours la durée totale de l’année, L'année égyptienne était une année vague, parce qu’elle n’avait point de commencement fixe, comme cela est établi dans les calendriers actuellement en usage. Ce commencement rétrogradait d’un jour tous les quatre ans et répondait successivement à toutes les saisons Les Égyptiens ne connaissaient pas l’année bässextile (13) et perdaient environ 6 heures tous les ans, de façon que 1461 de leurs années n’équivalent qu’à 1460 années juliennes (4) 9. L'année des Juif était une année /unaire , compo- sée de douze mois alternativement de 30 et de 29 jours; elle était ainsi de 354 jours dans les années communes , et de384 dans les années enbolismiques ou intercalaires. Dans cette dernière circonstance, on ajoutait un treizième mois de 29 jours nommé Veadar, où deuxième Adar, et alors Adar était de 30 jours. Chaque septième année, chez les Juifs, se nommait encore l’année sabbatique. Pendant sa durée toutes les terres demeuraient en jachères. Le retour de chaque septième année sabbatique, c’est-à-dire chaque 49° année, s'appelait l’année du jubilé ; c'était une année re- ligieuse qui était célébrée avec la plus grande solennité, 10. L'année grecque était lunaïre et composée de 12 mois alternativement de 29 ou de 30 jours. Elle était embolismique, comme l'année juive, les 3°, 6°, 8°, etc., du cycle lunaire. AN Le mois des Grecs était divisé en trois décades : la première s'appelait épzomivos, du mois commencant, la seconde, pécoëvros, du mois à son milieu, la troi- sième , @éivouvros , du mots finissant (14). 11. L'année arabe ou turque est aussi lunaire, et le cycle de 30 ans s’y partage également en années com- munes et en années embolismiques. Elle se compose de 12 ou de 13 mois, alternativement de 29 ou de 30 jours suivant qu’elle est dans l’une de ces deux condi- tions. On ajoute un jour épagomène à chaque 3°, 5, 7°, 10°,139,.15°, 18°, 21°, 24°, 26° et 29° ännée du cycle trentenaire de la lune. Les années communes sont ainsi de 354 jours, et les années embolismiques de 355, La première année de l'hégire, qui est Père des Maho- métans , a commencé le vendredi 16 juillet de l'an 622 de J.-C, (14). 12. L'année persane, composée de 12 mois de 30 jours chacun et de 5 jours épagomènes, est une année solaire semblable à l’année égyptienne. Versle milieu du onzième siècle on entreprit de corriger le calendrier per- san, en intercalant un jour de quatre en quatre années. Mais parce qu’on avait déjà reconnu que l'année solaire n’est pas exactement de 365 jours 6 heures, il fut décidé qu'alternativement, après sept ou huit intercalations, on intercalerait la cinquième et non la quatrième année. L'année persane diffère donc très-peu de l’année gré- gorienne. 13. Romulus avait fait l’année romaine de dix mois seulement. Numa en ajouta deux nouveaux, et en l'an 304 de Rome, les décemvirs intervertirent l’ordre dans lequel ce législateur les avait placés. Les grands-prêtres, à qui la loi laissait Le soin de déterminer les intercala- tions que nécessitait cette méthode antique de diviser le temps, avaient plus souvent consulté leur intérêt et leur caprice que les règles indiquées par la science et la rai- son. Ii était résulté de cet état de choses un désordre et une confusion que Jules-César, investi de la dignité pontificale, résolut de faire cesser pour toujours, en donnant à l’année une constitution régulière et inva- riable. Il fit venir à Rome Sosigènes, astronome d'Alexandrie, qui l’aida à accomplir cet utile et impor- tont projet, en lui indiquant une mesure de l’année so- laire plus exacte que celle sur laquelle était fondée l’ancienne année romaine. La réforme de Jules-César a été depuis lors adoptée par tous les peuples de l'Europe: elle est désignée dans la science astronomique sous le nom d’ère Julienne. Sosigènes ayant supposé que l’année moyenne était de 365 j. +, César établit que l’année commune serait trois fois de suite de 365 jours , et la quatrième de 366, pour employer les quatre quarts excédans. Ce jour épa- gomène se plaçait six jours avant les calendes de mars, AN 83 et on l’appelait bissexto-calendas, d'où nous avons donné à cette année le nom de bissextile. 14. L'année julienne, telle qu'elle avait été calculée par Sosigènes, était trop longue d'environ 11° 10 ou 12” qui produisent à peu près un jour en 134 ans, ou 3 jours en 400 ans. En 1582, las inconvéniens qui résultaient de l'erreur astronomique sur laquelle était établi le calen- drier julien devinrent assez manifestes, pour quele pape Grégoire XIII cherchât à y remédier par une nouvelle réforme. En effet l’équinoxe du printemps, qui, du temps du concile de Nicée, en 325, tombait au 21 mars, arriva cette année le 11 de ce mois. On fut obligé de retrancher 10 jours à l’année civile, etle 5 du mois d’oc- tobre 1582 fut compté pour le 15, de façon que l’équi- noxe du printemps revint l’année suivante le 21 mars. Afin qu’une pareille confusion ne se renouvelät plus, on convint de retrancher ce qu'il y avait de trop dans l’année julienne, c’est-à-dire un jour sur 134 aus, et par consé- quent 3 jours sur 400 ans. ( Voyez CALENDRIER. ) Cette réforme n’est peut-être pas complètement satis- faisante pour les astronomes; mais elle a été générale- ment adoptée sous le nom d’ère grégorienne. Les pays protestans refusèrent long-temps de l’accueillir; c’est seulement en 1700 qu’elle fut reçue en Allemagne, et on ne commença en Angleterre à s’en servir, pour l'an née civile, que le 1° janvier 1752. Le calendrier julien n'est plus suivi aujourd'hui qu’en Russie, où l’on n’a- dopta pas le retranchement des 10 jours d'octobre 1582, ordonné par le pape Grégoire. La manière de compter des Russes s'appelle le vieux style, par opposition à celle en usage dans le reste de l'Europe et qu’on appelle nouveau style. L'année civile grégorienne est donc une année solaire, dans laquelle les fractions de temps dont se compose l’année astronomique (2) ont pu entrer au moyen d'in- tercalations d’une application facile. C’est aussi une année fixe , parce qu’elle commence toujours à la mème époque après une révolution complète du soleil ; c’est le contraire, par exemple, pour l’année turque, qui, étant lunaire et composée seulement de 354 jours, ne peut pas toujours recommencer à la même saison, et consé- quemment est une année vague, comme l'était aussi, l’année égyptienne. ( Voy. pour les détails, CazenDrier.) 15. En 1792, on imagina en France une réforme complète du calendrier, que nous ne pouvons passer sous silence, quoiqu’elle n’ait pas survécu aux temps orageux au sein desquels elle avait pris naissance. On emprunta aux Égyptiens (8) la division de l’année en douze mois de 30 jours avec l'addition de jours épagomènes, qu'on appela complémentaires , au nombre de cinq ou de six, suivant que l’année était commune où bissextile , etaux Grecs (10) la division du mois en trois décades. L'idée de cette réforme avait été inspirée par des considé- 54 “HONVAUODNON) APN, # apubridxa vus Éroanon ef anod ajeaana8 aporqiam ef surtout np no ‘auEp1OIU09 2129 ‘SUOISTAIPAUS 52P 21110, SAOUUOP SUOU JUOP ÉsaHUUE sp uontsOds1p e[ suep oouvp 109009 oun 1704040 sed ane ou rnb ‘up efop suoae snou onb a9 11 suosaypodder snoN ‘strônesy so8esauo sap edojd ej suep a1qe1oçdap oxotueu auu,p sain#pap ‘SIOu $2p SOU So[qEIN9A So] Aqua 9p aueuodur 2jquos » snou [1 ‘quouuonaedde sopo sayponbxur so[dnod sap xneaën So[ suep quaauosoi as 250d09 25 ne2[q81 29 JUOP s21[97 *aouas e] 1nod joraqur sus ‘juaumoubsuos fuos sajponb 12 ‘onbruononse no anbriojstq a8e1ano unone sarp sop£ojdma queanon »s ou sajpo,nb ooued ‘roqaed np sed suoae,u snou juop oouue,[ 2p suorstatpqns sonne p 2109u2 21s1x0 I] EE EEE Ua 6 U9PPI2S0 4 auwuou uonb oiteft DPF | “nor p 6 sojur onbrwust{oquu no ppro { owtuon | 2[ aouaurmos 72 ‘2x “onbrdor ‘auwoyne p 2xou|SIOU 2248 ‘219, P 991$ ‘21q0120|as sIour 3) “enbriwu “anfcA autre] | “sue osgenb sof snoy|asretos q5a aauue a1ja9 |a1tefos 152 aouue o129|-1mb2 7 & auebuamutuos|-jos ne queououwumos|,,t ne jueuouuwuos -SIJOQuA aJtequasaqut ‘axg aute[os aauuy |-05 352 aauue 2127 | epnresstq oouuy ['sougwoñedosimo(c |'sougwoëedasinolG |axg ontvunt aouuy |oxy eneanf oœouuvy |9xg outejos aouuy |stowftosteunçasnuy |'onfea oiteunt souuy|‘sauawogedo sano(c | -sauawo8edo sanol Ç | 1€ squos(|og essegnN|Of poumepuessgiog soçeosaqedx|og nomogdoarg |of inorfa|6z moyg|oc-6c ypSeg--nog|o fioupayy |0€ uosan| rt | € quon |0€ STAR |0E uewoqag|6c sogrdiox)|07 vortex |1e ay|oc qv|0€ wppeb--noq|og qfax|0e mddal 1 | 1€ 1290P%0|0€ uÂs|0€ 4aloç soo|og uorqyfunog|1€ znoweqy|6z znomeq y [Ôc penorq9|0€ qunomeg|o€ tukeg| o1 | 0€ saquaydos|o€ requin |0€ ap |66 sowoueg|Cz uortoqose[g|0€ ueifozep|0€ uomIs|0€ uypeury|0€ suogeg|0€ uoqtra| 6 | LE snysnäny log vételtn 0€ ugqy|o€ soreglog uonersoquy|re sefy|6c aek|6e uequeqn|0€ qpnomaeg|0€ vpnoueqg| g | [ra snrnf|oc qqusen|0€ sœn|6z SOISTU9IY uorpwen|oc uesiN|0€ uesIN|oC qoiey [og Jequaeg|oc gouoweuyq| £ | 0€ sntung|o€ qgeyex |0€ Jemtueqeqn|o sorpurx [oc uooptasoq|re sepy|6z aæpy{6ôz Aoe-j9 Épemon log afqon (0€ soqwnl y | 1€ soie [0€ KL {oc pypion|6z sonsiq|6c uorsdouefq|6c-gc 4,49lo 1449/0€ ‘ponor-p9 Apeuan|og ° geqnor |0€ EL] ç 0€ suudy|og sestqy |0€ L|0€ sonuaglog uongreurelog © unouey|6z aq11|6" duei-1o Cqey [oc aeqlx|0€ qq # | [LE snnae|0€ sepx|0€ prpioqy|6c sowuip{y |6c uorwoipoog|1€ «1 unouey|og mapeylog jonoe-19 qeylog anorey|0€ pyle | l6c-g5 SUHENI9 T|O0€ dub |0€ Apogeqemy|0c soreppedy 0€ uotuytoStyap OC © uuyaqg|6e UENOSSAHIE A 6c sepes [0€ dPqeg|0€ tqdueq| z | TS “snnenaeç|og weseysepy [OC ufpiearag|6c s01g{6z uorequoyewoyp|1e HT unpanL|0€ ustqL|0c wosirqon [0€ do |0€ our! ! smuf “sanof sanof “sanof “sanof sanof -sanol “sanof “sanof sanol QE, "SNTINOGHIVH "SNAINAHLV “SALH4O LR 2.2 ‘SNIFKOU “SNAIdOIHLA ANVSE | “SN OVIUAS *Salnr "SHIVUV np £ 3. SDA49 SANVITON SNAILALIA SNALLAA 94 Fe "S4TIdAAd SUHAIG ZAHIO AANNVT AŒ SNOISIAIGAINS SAG AVATAVI AN | rations toutes politiques, et il fut difficile aux astro- nomes qui furent chargés de ce travail, de mettre d’ac- cord leurs exigences avec celles de la science. Le calen- drier républicain n’a été en usage que durant environ douze ans; mais il est nécessaire de connaitre sa concor- dance avec le calendrier grégorien pour établir la chro- nologie, dont l’ordre a été interverti par son applica- tion rigoureuse dans tous les actes civils et politiques de cette époque. Cette année commençait le jour de l’équinoxe d’automne : les noms de ses mois étaient vendémiaire, brumaïre, frimaire, nivose, pluviose, ventose, germinal, floral, prairial, messidor, thermi- dor et fructidor. Ces dénominations beaucoup trop si- gnificatives, puisqu'elles établissaient un état particulier de la saison pour chaque mois, ne pouvaient évidem- ment devenir d’un usage général, les saisons n’arrivant point à la même époque pour tous les peuples du monde. L'ère républicaine date du 22 septembre 1792, qui était ainsi le 1° vendémiaire de l'an 1‘; et cesten partant de cette époque qu’on peut établir la concor- dance de ce calendrier avec le calendrier grégorien. Voyez CALENDRIER, Êne et PÉRIODE. ANNUEL (Astr.). Ce qui est relatif à l’annce, on dont la durée est d’une année , comme mouvement AN- nuEL de la terre, argument de longitude, épacte, équa- tion, etc. Poy. Terre, ARGUMENT, ÉPacre, etc. ANNUITÉ (Arith.). C'est une rente qui n’est payée que pendant un certain nombre d'années, à des époques déterminées , et dont la quotité est telle que le débiteur se trouve, à l'expiration de ce temps, avoir acquitté son emprunt, avec les intérêts, en donnant annuellement une même somme. Pour déterminer les relations qui existent entre la somme à rembourser et la quotité de l’annuité, il faut rapporter à une même époque la valeur de cette somme ainsi que celle des paiemens successifs. Soit donc A une somme empruntée actuellement, et qu’il s'agit de rem- bourser en 727 paiemens annuels égaux , que nous dési- guerons par a. Si l’emprunteur devait simplement rem- bourser la somme A avec ses intérêts au bout d’une an- née, il devrait payer à cette époque. A Ar. r étant ce qu'on nomme le taux de l'intérêt ou le rap- port qu’il ÿ a entre une somme de 100 francs, prise pour terme de comparaison, et l’intérèt de cette somme. Ainsi, rest égal à :55, si l'intérêt est à 5 pour 100; il est égal à ;f si l'intérêt est à 6 pour 100 et ainsi de suite. Il est évident que pour trouver l'intérêt d’une somme quelconque À, il suffit de la multiplier par le taux. Désignons donc par A' ce que l’emprunteur doit: Payer en capital et en intérêts à la fin de l’année, et nous aurons l'égalité A'=A+Ar—A(r1+7). AN 85 Mais si, au lieu de s'acquitter à la fin de la première année, lemprunteur venvoyait le paiement à la fin de la seconde , il devrait alors rembourser non-seulement la somme A", qu'il devait au commencement de la se- conde année, mais encore les intérêts de cette somme pour an an, qui sont A'r; il aurait donc à payer A'+ A'r— A'(1 br). Substituant à la place de À, sa valeur A (1 +7), on a pour la valeur du paiement l'expression A(r+ry. En poursuivant de la même manière, on voit aisé- ment que si l'emprunt durait trois ans, la somme à rembourser à la fin de la troisième année serait A (1+r, et qu’en général, si l'emprunteur n’effectue son paie- ment qu'après 72 années, cette somme serait A (1). Telle est donc la valeur de la somme A, empruntée actuellement, rapportée à l'expiration des » années de l'emprunt, en admettant qu'il ne soit fait aucun rem- boursement dans l’intervalle. Mais, dans le cas des annuités, l’emprunteur paie au prêteur une somme & à la fin de chaque année suc- cessive. Il faut donc également évaluer les valeurs de ces divers paiemens en les rapportant tous à la fin de la dernière année. Or, le premier paiement a, étant fait »m—1 ans avant l'expiration de l’emprunt, vaut entre les mains du prèteur qui le reçoit a(i + rt, Le second paiement étant fait »3—2 ans, avant la même époque, vaut a+, et ainsi de suite jusqu’au dernier; lequel, rapporté au moment de l'échéance, vaut seulement a. Mais il faut nécessairement que toutes les sommes re- çues par le prêteur, à l'expiration du prèt, soient équi- valentes à la valeur du prêt, c’est-à-dire à A(i1+r}y. On à donc l'égalité A Grp a (+ rpm a (nr + ny +a(i+r)s Hetc..…. a(r +r) + a. Le second membre de cette égalité forme une pro- gression géométrique décroissante dont la somme est (Foy. Proc. GEO.) al+rm—i] | Elle se réduit donc à (a) A (trie REIN Cette dernière égalité renferme la solution de toutes 86 AN les questions qu'on peut se proposer sur les annuités. On eu tire d’abord les deux formules pe} (2)... a = (m2) . É (x {GG Er mr dont la première sert à déterminer la valeur d’une somme remboursée par une annuité dont on connaît la quotité, et dont la seconde sert à déterminer la quotité de lannuité, quand on connait la somme à rembourser. Nous allons appliquer ces formules à quelques exem- ples. I. Exemprze. On demande quelle somme il faut payer annuellement ponr rembourser en 10 années un em- prunt de 4000 francs, avec ses intérêts à 6 pour 100. Nous avons, dans ce cas: A —4000, m—10,etr= GRR —, Substituant ces valeurs dans la formule (2), on ob- 0 10619 L. LAN I00 tient io0oX x <( hi mn) ie , 10610 : Evaluant (5) , par le moyen des logarithmes ,*on 100 ie 106 1° > trouve (& 2) = 1,790849, et par suite 100 240 X 1,700849 0,790849 Effectuant le reste des calculs par les logarithmes , ou directement, on trouve définitivement a = 543 f. 47 c. Telle est donc la somme qu'il faut payer annuellement pendant 10 ans. IT. Exrmpze. On demande quelle somme il faut pré- ter pour obtenir une annuité de 500 fr. pendant 12 ans, l'intérêt étant à 4 pour 100. Ici nous avons : a — 00, m— 12, etr = —— La formule (1) donne I 12 5oo 14 —) —:1 25 LE I 12 I 1H— ) — Pas 25 Calculant la valeur de (: +) ou de (&)’, on la trouve égale à 1.60103, et l’on a K 4 a 25 K 500 X 0,60103 De eo NOR es 1,00103 Ainsi, l'intérêt étant à 4 pour 100, il faudrait prêter 4692 f. 53 c. pour recevoir pendant 10 ans une annuité de 500 francs. AN Les calculs qu'exigent les questions relatives aux an- nuités étant embarrassans pour les personnes auxquelles l'usage des logarithmes n’est pas familier, nous avons cru devoir joindre ici une table qui rend leur emploi inutile. Cette table contient les sommes qu’il faut prè- ter pour recevoir une annuité de un franc pendant un nombre d'années dépuis 1 jusqu’à 60, et pour des inté- rêts depuis 3 pour 100 jusqu’à 6 pour 100. I suffit d’une seule multiplication ou d’une seule division pour réali- ser les opérations qui sont indiquées dans les formules (1) et(2). Par exemple, pour trouver la somme qu’il faut prêter pour obtenir une aunuité de 500 francs, pendant 12 ans, à 4 pour 100 d'intérêt, il ne faut que chercher le nombre qui, dans la colonne 4 pour 100, répond au nombre 12 de la colonne des années, et le multiplier par 5oo. Ce nombre est 0,385074, et son produit par 500, est 4692 fr. 53 c.; comme nous l'avons trouvé dans le second exemple. S'il s'agissait, au con- traire , de déterminer quelle est la somme qu'il fau- drait payer annuellement pendant dix ans pour rem- bourser un emprunt de 4000 à 6 pour 100, on cherche- rait, dans la table , le nombre de la colonne 6 pour 100 qui correspond au nombre 10 de la tolonne des années, et l’on diviserait la somme proposée par ce nombre. Il est ici égal à 7,360087, et le quotient est 543 fr. 47 c. C’est le même résultat que celui du premier exemple. Cette table est construite à l’aide de la formule (1), en y faisant successivement, pour un même taux d’in- térêt, égal à 1. On peut encore se proposer sur les annuités deux problèmes différens des précédens, savoir : 1° Détermi- Mm—=1, n=2, m—3, etc, «a étant toujours ner le nombre d'années nécessaires pour éteindre une dette, lorsque cette dette, l'intérêt et l’annuité sont connus ; et 2°, déterminer le taux de l'intérêt, lorsque le nombre d'années , l’annuité et la dette sont connus. Dans le premier cas, dégageant (1 + r}" de la for- mule fondamentale (a), on obtient Gr = expression dont on ne peut tirer la valeur de 77 qu en ayant recours aux logarithmes. Prenant donc les loga- rithmes des deux membres de cette égalité, il vient mlog (1+r) =loga— log(a— Ar). D'où loga— log (a — Ar) TT JogG+r) ‘ Nous allons montrer l'usage de cette dernière for m = mule en l’appliquant à un exemple. TI. Exemrze. On demande le nombre d’années pen- dant lequel il faudra payer une annuité de 500 fr. pour ANNEES. 3 pour 100. 0,970874 1,913470 2,828611 3,716098 4579708 5,419191 6,230283 7019692 7,786109 8,530203 9,252624 9954004 10,634055 11,296073 11,937935 12,561102 13,166118 13,753513 14,323709 14877475 15,415024 15,936091n 16,1436c8 16,935542 17,413148 17,876842 18,325031 18,764108 19,188455 19,600441 20,000428 20,388965 20,765792 21,131837 21,487220 21,832252 22,167235 22,492462 22,808215 23,114772 23,412400 23,:01359 23,981g02 24,254274 24,518713 24775449 25,024708 25,266707 25,501657 23,729764 25,951227 26,166240 26,374990 26,577660 26,774428 26,965464 27,150936 2753331005 27,50583t 27075564 32 Pour 100. 4,515052 5,328553 6,114544 6,873956 7605687 8,316605 9,001551 9:663334 10,302738 10,920520 11,919411 12,094117 12,651321 13,189682 13,709837 14,212403 14697974 15,167125 15,602410 16,058368 16,481515 16,89035a 17,285364 17,667019 18,035767 18,392045 18,736276 19,068865 19,390208 19,700684 20,00066£ 20,290494 20,570525 20,841087 21,102500 21,355072 21,599104 21,834882 22,062689 22,282791 22,495450 22,700918 22,899438 23,091244 23,256564 23,455618 23,628616 23,795765 23,957260 24,113295 24,264053 24,4097 13 24550448 24,086423 24,817800 24,944734 TABLEAU DE LA VALEUR DES SOMMES PRODUISANT UNE ANNUITÉ D'UN FRANC, Pendant un nombre d'années compris entre 1 et 60, et pour des intérêts depuis 3 jusqu’à 6 pour 100. 4 POUR 100. 0,961538 1,886095 2,775097 3,629895 4451822 5,242137 6,002055 6,732945 75435332 8,110896 8,760477 9385074 9985648 10,563123 11,118387 11,652296 12,165669 12,659297 13,133839 13,590326 14,029160 14,451115 14,856842 15,246963 15,622080 15,932569 16,329580 16,663063 16,983715 17,292033 17,588494 17,893551 18,146674 18,411198 18,66461:13 18,908282 19,:42579 19,367864 19,584485 19792774 19,995052 20,185627 20,370795 20,54884r 20,720040 20,884652 21,042936 21,195131 21,341472 21,482185 21,617485 21,747582 21,872675 21992957 22,108612 22,219819 22,326549 22,429367 22,528430 22,62 3490 8 43 POUR 100. 0,956938 1,872668 2,748964 3,587526 4389977 5,159872 5,892701 6,595886 7:268790 75912718 8,528917 9,118581 9,682852 10,222825 10,739546 11234015 11,707191 12,159992 12,503294 13,005936 13,404724 13,784425 1414797975 14,495478 14,528209 15,146611 15,451303 15,742874 16,021889 16,288889 16,544391 16,78889x 17,022862 17,246758 17,461012 17,666040 17,862240 18,049990 18,229656 18,401584 18,566109 18,3923550 18,874210 19,018383 19,126343 19,288377r 19414709 10,935607 19,651298 19,762008 19,865950 19969330 20,066343% 20,159181 20,248021t 20,492236 20,566953 20,63802a 5 POUR 100, ne | | nn mme 2,723248 3,543950 4329477 5,075602 5,786373 6,463213 7,107822 9721735 8,306414 8,863252 9:393573 9,898641 10,379658 10,837770 11,274066 11,689587 12,085321r 12,462210 12,821153 13,163003 13,488574 13,793642 14,093945 14,395185 14,6/43034 14,898127 15,141074 15,392451 15,592810 15,802677 16,002549 16,192904 16,374194 16,546852 16,711287 16,867893 17,017041 17,159086 17,204368 17,423208 17,915912 17,662573 1737794070 17,880066 17,981016 18,079158 18,168722 18,255925 18,338997 18,418073 18,493405 18,165146 18,633472 18,698545 18,760519 13,819542 18,855754 18,929290 5 L pour 100. 0,947867 1,8463r9 2697971 3,505149 4,270286 4:995529 5,682969 6,334567 6,952198 7537627 8,092539 8,618699 9117075 9589649 10,037582 10,462162 10,86 ,606 11,240054 11,605653 11,950359 12,270244 12,583168 12,855046 15,151700 13,413930 13,662493 13,898103 14,121418 14,333098 14,533746 14,723926 14,904200 15,035072 15,237034 15,390550 15,636063 15,664256 15,804726 15,928660 16,046126 16,157462 16,263000 16,363033 16,457844 16,547724 16,632910 16,713664 16,790187 16,802749 16,931517 16,99670t 17,058485 17:117045 17,172553 19,225191 17:27504 ; 17,322323 17,367127 15,41 9602 17:449356 6 Pour 100. 0,943306 1,833393 2,673012 3,465106 4,212364 4917324 5,58238r 6,209794 6,801692 7:360087 7886835 8,383844 8,852683 9:294984 9:712249 10,105805 10,477260 10,827603 11,158116 11,469921 11,764073 12,041582 12,303359 12,550358 12,783356 13,003166 13,210534 13,406164 13,590321 13,76483r 13,929086 14,084043 14,230230 14368141 14498246 14,620986 14,7 36:80 14,846019 14949075 19,040297 24370 5* 59028 1 1 15,650027 15,707572 15,761861x 15,813076 15,861303 15,906974 15,949976 15,990543 16,028814 16,064919 16,0989$0 106,131113 16,161428 RER D eme 7 88 AN éteindre une dette de 4692 fr. 53 c., l'intérêt étant à 4 pour 100. 1 Nous avons a = 500, A 4692,53, r = —— = —, 100 25 26 et 1 T= —. 1 25 On trouve, en évaluant, a— Ar —312,2988. Cher- chant donc, dans les tables, les logarithmes de ces nom- bres , on a 2,6989700 — 2,4945703 14149733 —1,3979400 m = Le tableau peut aussi servir pour résoudre les ques- tions de ce genre avec beaucoup de facilité. En effet, divisant 4692,53 par oo, on trouve le nombre 9,38506, qui est la somme correspondante à un franc d’an- nuité : les autres conditions du problème étant les mêmes. Cherchant donc dans la colonne 4 pour 100 le nombre qui approche le plus de 9,38506, on trouve 9,382074, qu'on peut considérer comme lui étant en- tièrement égal : le nombre 12, placé en face, dans la colonne des années, est donc le nombre d'années cherché. Le second cas qui nous reste à examiner est un des plus compliqués de la science des nombres; car il con- duit à une équation d’un degré infini dont on ne peut exprimer l’inconnue que par une série également infi- nie. Les calculs sont alors d'autant plus pénibles que la série est moins convergente. Reprenons la formule (a), et donnons-lui la forme A MT = =;[: —(1+7r) | Développons ensuite le binôme (1 + r)-" (Voy. Br- NÔmME), et faisons 2 [am— A] am (m +1) = 9) nous aurons ! [2] =: een) no. PÈRE Dent DCE D n + etc . Enfin, dégageant r de cette série (Foy. Retour pes suiTes), nous obtiendrons (b) r=g+ Ut, .+@T er CRIE + PENSE SEE 44 ete. Dans le plus grand nombre des cas, cette série est peu convergente ; et, pour obtenir une approximation suffisante, il est essentiel de caiculer dix à douze termes, ce qui devient très-long et très-pénible, par l'extrême complication des coefficiens qui suivent celui du qua- trième terme. Il est alors plus simple de calculer seule- AN ment les quatre premiers termes, et de se servir ensuite de la règle de fausse position; car, à l'aide de cette rè gle, il est facile de pousser l’approximation aussi loin qu'on peut le désirer. Voy. Fausse PosITION. Pour donner une application de la formule (b), nous nous servirons des mêmes données que dans l'exemple . précédent; c'est-à-dire, nous supposerons qu’étant con- venu de rembourser 4692 fr. 53 c. par 12 annuités de 500 fr. , on ne connaisse pas le taux de l'intérêt, et qu'il s'agisse de le déterminer. Nous aurons alors 2? 2 [am — A] am (m — he Faisant »: — 12 dans les coefficiens de (b), on trouve ( _ 130747 | 2[500 X 12—4692,53] ” 3900000 500 X 12 X 13 130747 14 130747 Ÿ+ 7 3900000 | 3 * \3900000 469 130747 21035 130747 \‘ us 18 ‘ 3900000 135 a RS Exécutant les calculs indiqués , on obtient 0,033524.. 0,038769... NAT 5 0,039948.. Premier terme Somme des deux premiers — Somme des trois premiers Somme des quatre premiers En examinant la marche de ces quantités, on voit qu’elles approchent de plus en plus de 0,04, qui est en effet la véritable valeur de r. Si nous transformons la série (b) en fraction continue (Foy. FRACTION CONTINUE), nous trouverons l'expres- sion 1— Ctc. Les premiers termes de cette fraction sont très-sim- ples; et il suffit d'en employer trois pour obtenir un degré d'approximation bien supérieur à celui que donne la somme des quatre premiers termes de la sé- rie (b). Pour faire usage de cette formule, nous y fe- rons __ 130747 TL —= 12 ? 3900000 , et nous aurons , conséquemment, M—I IT 12 12 37 30 Réalisant ensuite les opérations, nous trouverons 0,033524 D Le 0,0309742 Pour la première fraction intégrante. . Pour les deux premières. . . . Pour les trois premières. . . . . . . . ns AN La dernière valeur ne diffère de la véritable, 4 1 que de deux millionièmes. La table des annuités peut encore abréger tous ces calculs, lorsqu'ils se rapportent à des questions compri- ses entre ses limites; car, après avoir divisé 4692 f. 53 c. par 500 , afin de connaître la somme correspondante à 1 franc d’annuité, 1l suffit de chercher dans la colonne horizontale de chiffres placée devant 12 années le nom- bre qui approche le plus du quotient trouvé. Ce nom- bre étant ici 9,385074 , de la colonne 4 pour 100, nous voyons immédiatement que le taux demandé est _ Si le quotient ne se trouvait pas exactement, c'est que le taux serait compris entre ceux des deux colonnes dont les nombres seraient immédiatement au-dessous et au-dessus de ce quotient. Prenant alors la différence de ces nombres, ainsi que la différence du plus petit et du quotient, on pourrait, à l’aide d’une règle de trois, cal- culer la différence du plus petit taux avec le taux cher- ché, car on a en effet, à peu près, la proportion : La différence des nombres est à la différence du plus petit et du quotient comme la différence des taux est à la différence du plus petit taux et du taux cherché. En se bornant aux millièmes, ce qui suffit dans le plus grand nombre des cas, tous les chiffres seront exacts. I! résulte de la formule (a) plusieurs autres particula- rités dont il sera fait mention aux articles InrsrÈr et ASSURANCE. ANNULAIRE, Éccipse ANNULAIRE (Astr.). On a donné cette dénomination à une éclipse de soleil qui a lieu lorsque le disque de cet astre et celui de la lune se trouvent concentriques, et que cependant le diamètre apparent de la lune est moindre que celui du soleil. Dans cette circonstance, le centre de cette planète est seul éclipsé; sa lumière déborde autour du cercle obs- cur occupé par la lune, et forme pendant quelques mi- nutes un mince anneau lumineux. Ce phénomène sin- gulier ne se reproduit qu’à de rares intervalles. Voyez Écrrpse. ANOMALIE (de & privatif, et de opunos, régulier). Distance angulaire d’une planète au sommet de l’axe de son orbite où au point de son aphélie. On a donné le nom d'anomalie à cette distance parce qu’elle déter- mine l'inégalité du mouvement de la planète, et qu’elle sert à Ja calculer dans les divers lieux de sa marche, Elle est mesurée par l'angle formé entre le rayon vec- teur et la ligne des apsides , en partant de l'apogée pour la lune et le soleil, et en partant de l’aphélie pour les autres planètes. On distingue trois sortes d'anomalies : moyenne, excentrique , et vraie. L'anomaLiE moyenne était, dans l’astronomie des an- ciens, la distance supposée uniforme de la planète au AK 8g point de l'apogée. Cette distance était alors proportion nelle au temps du mouvement; c’est-à-dire que, pour une planète qui décrirait en six mois la moitié de son orbite, ou qui parcourrait uniformément en six mois les 180 degrés de ce demi-orbite , en allant de l'apogée au périgée, l'anomalie serait de 30 degrés à la fin du premier mois, de 60 degrés à la fin du second mois, de 90 degrés à la fin du troisième, etc. Mais, en réalité, une planète décrivant autour du s0- leil une ellipse dont il occupe l’un des foyers, et les arcs elliptiques n'étant pas proportionnels aux temps pendant lesquels ils ont été parcourus, l’astronomie mo- derne donne le nom d’anomalie moyenne au temps seul du mouvement. Ainsi, deux heures après le passage d'une planète à son aphélie, l'anomalie est de 2h; 3 heures après, elle est de 3" , et ainsi de suite. Soit S Le foyer de l'orbite occupé par le soleil, AMDP la moitié de l'orbite, A l’aphélie, P le périhélie, et M le lieu d'une planète , l’anomalie moyenne sera le temps que la planète aura mis pour parvenir de A en M. Or, d’après les lois de Képler , l’aire elliptique ASM est proportionnelle au temps du mouvement selon AM (Poy. Ares proportionnelles au temps). Cette aire peut donc aussi représenter l'anomalie moyenne. De plus, si l’on imagine un demi-cercle AKP décrit sur l'axe AP , et que l’on mène par le lieu M de la planète une perpendiculaire MR à l’axe, cette perpendiculaire déterminera un point N, duquel menant la ligne NS on formera un espace mixtiligne ANS, toujours pro- portionnel au secteur elliptique AMS par une propriété connue de l’ellipse (Foy. Errrrse). A l’aide de cet es- pace, l’anomalie moyenne pourra être exprimée en de- grés du cercle; ce qui est essentiel pour la faire entrer dans les calculs astronomiques, ces calculs ne s’exécutant que par le moyen des degrés circulaires. En effet, si du point S on abaisse la perpendiculaire ST sur le rayon NC prolongé, etque l'on prenne ensuite l'arc NX égal à ST, l'arc de cercle ANX sera l’anomalie moyenne ; car le secteur circulaire CXN est égal autrianglerectiligne CNS : la surface du premier étant IXN X NC, et celle du se- cond :ST X NC. Donc l’es- pace mixtiligne ANS est égal au secteur circulaire AXC ; et ce secteur, et conséquem- ment son arc ANX , peuvent servir à mesurer le secteur elliptique AMS oul’anomalie moyenne, puisqu'il y aura toujours le même rapport entre le nombre de degrés de l'arc ANX et 360° qu'entre le secteur elliptique AMS et la surface entière de l’ellipse. On peut donc considé- LE] 90 AN rer l'arc ANX comme l’espace que parcourrait unifor- mément la planète sur la circonférence ANP, pendant le temps qu’elle décrit réellement larc elliptique AM sur son orbite. L’anomaLie excentrique où du centre est l'arc AN du cercle, intercepté entre Paphélie et le sommet N de la perpendiculaire NR. Elle sert à trouver l'anomalie vraie. L’avomarte vraie est l'angle ASM formé par le rayon vecteur SM et l’axe AP. Le problème de calculer l'anomalie vraie par le moyen de l’anomalie moyenne, ou de déterminer l'angle ASM à l'aide du secteur elliptique qui forme cet angle , est un des plus importans de l'astronomie, puis- qu'il renferme le moyen de déterminer le vrai lieu d’une planète pour un temps donné. On le nomme Prorrème pe Képrer. Il fut en effet posé par ce grand astronome, qui en a donné une solution approximative dans son bel ouvrage de Stella martis. Waillis et New- ton l’ont résolu par le moyen de Ja cycloïde alongée; mais leurs solutions ne sont poiat en usage dans la pra- tique. Plusieurs mathématiciens, tels que La Hire, Keil, Cassini, Herman, Machin, Sinpson, Lalande, Cagnoli, etc., l'ont envisagé de diverses manières (Voy. Mémoires de l'Académie des Sciences, 1710, 1719; Transactions philosophiques, 1507, moires de Pctersbourg, t. 1; Trigonometrie de Cagnoli; de 1713; Me- Astronomie de Lalande). Mais toutes leurs solutions ne reposent que sur des moyens plus ou moivus indirects. Bossut, Prix de l'Académie, 1506, et Klugel, 4stro- misches yahr-bach, 1789, ont traité directement le problème de Képler, dont nous possédons encore une solution complète donnée par Lagrange dans les Aem. de l Académie de Berlin, 1769, comme application de sa belle formule de développement en série d'une fonc- tion quelconque Fx, d’une variable x engagée dans une équation (x—a) + xx; ou gx est aussi une fonction quelconque de x. ( Foyez DéyrLorpemEnr.) Désignons par a le demi-grand axe AC de l’ellipse, par e l’excentricité CS, par u l'anomalie vraie ou laugle ASM, par x l’anomalie excentrique ou l'arc AN, et par z l’anomalie moyenne ou l'arc ANX, On à, dans les triangles rectangles MRS et NCR (ris, Ut Of CRT SR SM tang Lx — L EN MAR TT De ces deux égalités on tire (72) tangzu RM CR + a Em RN SR EISM Mais , d’après les propriétés de l’ellipse , on a RM. CD Le a+ e += = — SI SN PR: ——— EN RE HSM = PR os AN et de plus PR — CR + a. Substituant ces valeurs dans l'égalité (m), elle devient ungiu _CD _(CR+d.a _ CD tangix a (CR+a)(a+e) a+e Or, CD, étant le demi petit axe de l’ellipse, est égal à V/æ —e; donc on a définitivement (u) ta 1 t LT fes nglu—=tang Lx. ER gi gi à Cette formule, qu'on doit à Lacaille, fait connaître Panomalie vraie par l’anomalie excentrique. Pour obte- unir cette dernière, reprenons l'égalité surf ACX — surf ASN , ou plutôt surf ACX = surf ACN + surf CNS ; c’est-à-dire Laz = ax +leX NR. NR étant le sinus de l’angle ACN ou de l’arc AN, cette dernière égalité , en la multipliant par 2, se réduit à az = ax + esin x, équation transcendante dont on ne peut tirer la valeur de x que par approximation ou par des séries infinies. Cette expression, trouvée par Képler, est ce qui lui avait fait croire que le problème était insoluble, et qu'on ne pouvait arriver que par tâtonnement à des va- leurs approchées de x, Le moven direct d’obtemr x est de substituer dans cette équation , à Ja place de sin æ, la série qui donne la valeur du sinus au moyen de l'arc; car on a alors et ——— #5 ns «| x.2.3:405 12340107 dont on peut tirer la valeur de æ, exprimée en z, par la méthode du Retour des surtes. L'anomalie excentrique étant connue, la formule (x) donne sans difficulté l’anomalie vraie. ANOMALISTIQUE (Æ5tr.). La révoiution anomalis- tique d’une planète est le temps pendant lequel elle par- court son orbite, en partant d’un point quelconque de cet orbite jusqu’à son retour au même point. Cette ré- volution ne différerait pas de Îa révolution sidérale ou du retour à la mème étoile, si les orbites des planètes étaient fixes ; mais l'aphélie ou le grand axe de l’orbite ayant un mouvement propre, selon l’ordre des signes, il faut plus de temps à la planète pour revenir à son aphélie qui s'est avancé pendant ja durée de la révolu- tion que pour revenir à la même étoile. Ce mouvement de l'aphélie étant pour la terre de 50" par année, l’an- née anomalistique est plus longue que l’annéesidérale de 4!.47".33. Foy. Axxée ct Précessiow. ANSE pe paxier (4rch.). Courbe formée par la ren- contre de plusieurs arcs de cercle, et que, dans l’archi- tecture, on substitue à l’ellipse pour former les cintres des voûtes, AN Le nombre des ares qui composent ces courbes est toujours impair, et d'autant plus grand que la voûte doit être plus surbaissée. Ce que nous allons dire pour les anses de panier à trois et cinq arcs, ou, comme on les nomme, à trois et cinq centres, pourra s'appliquer facilement à tous les autres cas. Celui de trois centres est du reste le plus employé. Soit la droite AB , sur laquelle il s’agit de dé- crire une anse de panier; et soit DC la hauteur de la voûte , ou sa montée. Supposons que la courbe soit tra- cée; c’est-à-dire que des centres K et M, et avec les rayons égaux AK et BM, on ait décrit les arcs AF et BH, et que du centre E on ait également décrit le troi- sième arc FDH. Pour que la courbe soit régulière, et que les arcs se touchent seulement aux points de rencon- tre F et H, il faut qu'en menant de ces points les droites FK et HM, ces droites prolongées se rencon- trent au centre E. Nommons n la demi-base AC, 4 la montée DC, x le rayon KF ou HM, et y le rayon DE. Nous aurons CK=—n—x, CE—7y—}h,EK—EF —KF=7y— x; et de plus EF — EH, KF = KA — MH — MB, d’après la nature de la courbe. Le triangle rectangle KCE donne ( Foy. RecrANGLE) (Y—x}=(n— x} +(y—h}; égalité dont on tire, en développant les puissances, (41) ne + oxy — onx — 0hy = 0. Telle est l'équation de condition entre les quantités données et les rayons x et y. Or, pour que la courbure des arcs soit la moins iné- gale, où pour que anse de panier ait la forine la plus elliptique il faut que la différence y —x des rayons soit dans le plus petit rapport possible avec chacun de ces rayons. Les rapports LE dr doivent donc être des minima. Différenciant ces rapports (Foy. Minima ), ils don- nent l’un et l’autre. xdy — ydx = 0. Substituant dans cette équation la valeur de y, tirée de l’équation (#2), elle devient AN à — ondx (ht?) — dr (h—5æ). (re hreix) — 0. , » pois S Divisant par dx, et résolvant par rapport à x, ôn ob- tient x CHR ER). vVr+k 211 Enfin, substituant cette valeur de æ dans l'équation (2), et résolvant par rapport à y, on trouve LR CRD Ve +2 PSE oh DE Le double signe H nous apprend que ces valeurs 0 peuvent se construire de deux manières; mais nous pren- drons seulement les sigues inférieurs, parce que dans le 0 cas qui nous occupe y doit être plus grand que x. Construction. Menons par les points À et D la droite AD, et prenons CX — CD; portons AX de Den T;et, sur le milieu Z de AT élevens 1 perpendiculaire ZK., prolongée jusqu'a sa rencontre avec DC prolongé. Les points K et E, où cette perpendiculaire rencontrera la base AB et le prolongemiert de la montée DC seront les centres cherchés. I ne faut plus que prendre BM égale à AK pour avoir le troisième centre. En effet, nous avons par construction AD=Y rm + k, AT—AD—AX— VV +ir—{ñ—h), 47 —(n his VA + he » Mais les triangles semblables ACD et AZK donnent AG : AD :: AZ : AK. Donc Re + li te De LAN LS on Les trianoles semblables ACD et ECK donnent aussi CD : AG :::-CK : CE. D'où l'on tire 7 + (n — h)\/r2 & : ol re CE — et enfin ED — mL + = BV +R . à cause dé ED — PC + CE = ñ + CE: - } Si l'on voulait détérminer par le caleul lès rayons AK, ED, ainsi que les angles AKF, FEH, il faudrait simplement substituer dans les valeurs de.ces rayons la grandeur numérique de a et de D ,;.et employer ensuite les formules trigonométriques qui servent à trouver les angles d'un wiangle par Le moyen des côtés. 92 AN Nous allons considérer actuellement l'anse de panier (à cinq centres. Le] Soient AB la base, DC la montée, AS — TB le rayon des arcs égaux AF et IB, FK —IL le rayon des arcs égaux FG et HL, et enfin DO le rayon de l’arc moyen GDH. La figure ci-dessus montre suffisamment Jes po- sitions respectives que ces rayons doivent avoir entre eux pour que la courbure soit uniforme; nous croyons donc inutile d’entrer dans de plus longs détails. Il est facile de voir que si la base et la montée étaient seules données , le problème pourrait admettre une in- finité de solutions ; mais ordinairement, dans la prati- que, on suppose connu le rayon AS des arcs extrêmes , et l’on prend en outre l'angle ASF de 60° et les angles FKG et GOD chacun de 15°. Menons la perpendicu- laire KN , et faisons AC=a,CD—AhA, AS—n, KF=x, et OD—7y; nous aurons KS—x—n,KN—KS.sin 60° —(æ—n) sin 60°, SN =KS. cos 60° — (x—n) cos 6o°, CN = KZ—a—n— {(x—n) cos 60°, OZ —OC—CZ —OC —KN = y—}h—(x—n)sin 60°, et enfin OK — OG—KG—y— x. Cela posé, le triangle rectangle OZK donne OK’ OZ’ + KZ’, ou (p) Ga) = (ah (2) 4 (y hi (an) 3)" | V3 en substituant à la place de sin 60° sa valeur et à la place de cos 60° sa valeur +. Telle est l'équation de condition entre les quantités données a, h, n et les deux rayons x et y. Si l’on vou- lait déterminer ces rayons par la condition que la cour- bure soit la plus uniforme possible, il faudrait prendre AN : —x ne comme ci-dessus le rapport © pour un 7ninimum ; l Es ce qui donnerait l'équation xdy — ydx — 0, dans la- quelle on mettrait les valeurs de y et de dy, tirées de l'équation (p); et on continuerait en suivant la même marche que pour le cas des trois centres. La somme de tous les arcs qui forment une anse de panier doit toujours être égale à une demi-circonfé- rence ou à 180°. ANSES (Astr.). C’est le nom donné par Galilée aux parties sensiblement éminentes de l’Anneau de Sa- turne, qui ont en cffet, dans certains cas, l'apparence de deux anses attachées à cette planète. Voyez ANNEAU DE SATURNE. ANTARCTIQUE( Astr.). Antarcticus (d’&vri, contre, opposé, et &p#ros, Ourse, opposé à la Grande-Ourse ). C’est le nom donné à l'extrémité méridionale de l'axe de la terre, l’un des deux pôles autour desquels s'opère le mouvement de rotation de ce globe. On nomme cercle antarctique ou cercle polaire an- arctique, VYun des petits cercles de la sphère, qui est parallèle à l'équateur, et éloigné du pôle méridional de 23° 25" par opposition à un autre cercle qui est à la même distance du pôle septentrional et qu’on désigne sous le nom de cercle arctique polaire. Voyez Arcri- QUE, Quese, PôLe et Zoe. ANTARES (Astr.). Du grec A’yrépns, nom d’une étoile de la première grandeur, située dans la cons- tellation du Scorpion. ANTÉCANIS. J’oyez Procton. ANTÉCÉDENT ( 4{g.). On donne ce nom au pre- saier des deux termes qui composent un rapport. Ainsi dans le rapport M: N, M est en général l’antécédent. Voyez Prororriow. ANTECEDENTIA ou PRECEDENTIA, termes d’as- tronomie. Lorsqu'une planète paraît aller vers l'occident contre l’ordre des signes, comme de la Vierge dans le Lion, on dit en astronomie qu’elle se meut en antece- dentia où precedentia. On dit au contraire qu’elle se meut in consequentia lorsqu'elle suit l’ordre des signes et va vers lorient, comme du Sagittaire au Capricorne. ANTHEÉMIUS, de Tralles, né durant le VI° siècle, se rendit célèbre sous le règne de Justinien, par la supériorité avec laquelle il fit l'application des mathé- matiques à l'architecture, à la mécanique et à l'optique. 11 fut l'ami d'Eutocius, le savant commentateur d’Ar- chimède et d’Apollonius de Perge, et fit le plus grand honneur à l’école platonicienne de Proclus, dont il a été le disciple. On sait que cette école, établie à Athènes vers le milieu du V° siècle, hérita durant une assez longue période, de toute la gloire que les sciences ma- thématiques avaient méritée à l’école d’Alexanärie. La renommée gu’Anthémius s'était acquise dès sa AN jeunesse, le fit choisir par l'empereur Justinien pour diriger, de concert avec Isidore, la construction de la basilique de Sainte-Sophie, chef-d'œuvre de l'art, qu’il acheva seul après la mort de ce grand architecte. C'est à lui qu'on attribue, avec raison, l'invention des dômes , couronnement qui termine avec autant de hardiesse que de majesté les monumens de ce genre. Nous ne connaissons malheureusement les travaux d’Anthémius dans la mécanique et l’optique que par les fragmens de son ouvrage : zepi ræpadobuy pnyævnmara, de Machinis paradoxis, etc., dont Dupuy, de l’Aca- démie des inscriptions, a publié la traduction. Dans cet écrit, dont l'analyse nous conduirait trop loin, Anthémius résout plusieurs problèmes ingénieux d’op- tique, entre autres celui d'exécuter ce qu’on raconte d’Archimède brülant les vaisseaux romains avec des miroirs. Voyez Mémoires de l'Académie des inscrip- tions, tome xL11. ANTI LOGARITHME (4/g.). Nom donné par quel- ques auteurs au complément arithmétique du logarithme d’un sinus, d’une tangente ou d’une sécante, c’est-à- dire à la différence entre ce logarithme et celui du rayon. ANTICHTONES ( Astr. ). ( D'évri, contre, opposé, etde xfav, la terre. Peuples qui habitent dans les hémi- sphères opposés de la terre, mais à des latitudes égales : ainsi de deux peuples antichtones, V'un a l'été tandis que l’autre a l'hiver, Foyez ANTIPODES. ANTINOUS (Astr.). Constellation boréale vague- ment indiquée par Ptolémée comme une des étoiles qui avoisinent l’Aigle, mais qu'Hévélius ajoute la première au catalogue donné par cet ancien astronome, et place au- dessous de cette constellation. On ignore si ce noma été donné au groupe d'étoiles qui le portent, par les astro- nomes du temps d’Adrien, dont la douleur pour la perte de son favori se manifesta par d'inexcusables folies, ou si l’Antinous céleste est le même que Ganymède. Les étoiles %; 41 #), de la constellation de l’Aigle, sont repré- sentées dans nos cartes du ciel, comme placées sur la figure d’Antinoüs, et indiquent la position qu’occupe cette constellation, en l’admettant comme telle, ANTIPODES (Astr. — Geogr. — Math.) D'art, contre, opposé, et de æës, modes, pied. Points diamé- tralement opposés du globe terrestre. Cette expression ne s'applique vulgairement qu'aux êtres qui habitent des contrées placées dans cette situation : la science a dû l'entendre d’une manière plus précise, et dans le sens de la définition que nous venons de donner. Les pays qui sont sur des parallèles à l’équateur, à un égal éloigne- ment de ce cercle, les uns au midi, les autres au nord, enfin qui ont le même méridien , et qui sont sous ce mé- ridien à la distance les uns les autres de 182°, c’est-à- AP 93 dire de la moitié de ce méridien, sont antipodes les uns aux autres, et leurs habitans marchant dans un sens contraire, ont effectivement les pieds diamétralement opposés. Les antipodes éprouvent à peu près les mêmes degrés de chaleur et de froid, et ont des jours et des nuits d’une égale grandeur ; mais ils subissent ces variations de température et de durée des jours en des temps opposés. Ainsi, quand il est midi pour l’un des antipodes, il est minuit pour l’autre ; et lorsque les jours ont atteint leur plus grand accroissement pour l’un, ils sont pour l’autre au point le plus court de leur durée. AOÛT (Astr.). Sextilis, et ensuite ÆAugustus, le sixième mois, le mois d’Auguste. Le nom de sextilis avait été donné à ce mois, à cause du rang qu’il occupait dans l’année de Romulus, qui n’était que de dix mois. Il devint le huitième de l’année de Numa, et conserva néanmoins son nom primitif jusqu'à l’époque où Au- guste lui imposa le sien. Pendant le mois d'août ou d’Auguste, le soleil paraît parcourir la plus grande partie du signe du Lion, et entre vers le 23 au signe de la Vierge. APHÉLIE (4str.). (De ame, loin, etde “es , soleil.) Point de l'orbite d’une planète où sa distance au soleil est la plus grande; c’est l’une des extrémités du grand axe de l’ellipse que les planètes décrivent autour de cet astre. L'autre extrémité de ce grand axe se nomme peérihélie. Dans les anciens systèmes d'astronomie, où l'on sup- posait la terre immobile au centre de l'univers, l’aphe- die devient l'apogée. Foyez Arocée. Les aphélies des planètes ne sont point fixes, parce que l'attraction mutuelle qu’elles exercent les unes sur les autres donne à ces points un mouvement continuel plus ou moins grand dans les diverses planètes, et qui se fait selon l’ordre des signes. L'exposition des lois de ce mou- vement n’est point ici notre objet. ( l’oyez PErTursa- rio.) Nous devons d'abord expliquer comment on détermine la position de l’aphélie par les observation astronomiques. Soit donc EBACE l’orbe ellip- tique d’une planète, et S le foyer D_À de cet orbe occupé par le soleil. Soit de plus ASP le grand axe, ou comme on le nomme, la ligne des apsides. À sera le point de l’aphe- lie, et P le point du perihelie. Or, l'axe partage l’ellipse en deux par- ties égales qui sont parcourues en temps égaux et avec les mêmes de- grés de vitesse, la plus grande vi- tesse étant au périhélie et la plus petite à l’aphélie. Mais si l’on tire par le foyer $ une autre droite DE, elle partagera l’el- 94 AP jipse en deux parties qui ne seront ni égales a1 parcou- rues dans un même temps : car la partie DACE sera vi lemment décrite dans un temps plus long que la par- tie DBPE. Ainsi, choisissant deux observations d'une planète, où les longitudes réduites au soleil se twouvent diamétralement opposées entre elles, si les temps de ces observations sont éloignés entre eux de cekui dune demi-révolution de la planète, alors ces observations auront été faites dans la ligne même des apsides; si au contraire l'intervalle de ces temps diffère de celui de la demi-révolution, les positions observées se rappro- cheront d'autant plus de laphélie et du périhélie que la différence sera plus petite. Cette méthode réussit très-bien pour les planètes dont les oppositions sont fréquentes; mais pour celles dont ces oppositions n’ont lieu qu'à de longs intervalles de temps, on est obligé d'employer une autre considération. On prend deux observations faites l’une aux environs du point À, ét l’autre aux environs du point CO, situé à la distance moyenne de la planète au soleil : On à ainsi le mouvement vrai ou l'angle ASF; mais, par la durée entière de la révolution, on connait le mouvement moyen pour un intervalle de témps quelconque. La différence du mouvement vrai au mouvement moyen doit être d'accord avec l'équation de lorbite calculée, si Pobser- vation faite vers À répond exactement à ce point; mais sielle ne s’y rapporte pas, il y aura une erreur dans l'équation calculée vers le point A , où elle change rapi- dément, tandis qu'il n’y en aura presque point vers la moyenne distance F, où l’équation, étant à son maximum, ne varie que très-peu. Donc le mouvement total, calculé de À en F ne sera conforme au mouvement observé que quand on aura employé un lieu véritable de l’aphélie A. If faudra done changer d'hypothèse jusqu’à ce. que le calcul soit conforme à l’observation, et l’on aura alors la véritable situation de l’aphélie. Lalande a employé, pour déterminer l’aphélie de Mercure, une méthode dont nous allons donner uné idée nète : Soit T la position de la terre, et F celle de la pla- vers les distances moyennes; la terre verra la pla- nète suivant le rayon visuel TF qui touche l'orbite en F, et qui marque la plus grande digression STF. Pour peu qu'on change la direction de la ligne des apsides, le rayon SF change de position et sort de l'angle STF du côté du point G, de sorte que l'angle d’élongation devient STG, et alors le calcul ne s'accorde pas avec l'observation supposée faite dans la ligne TF. Il faut donc faire diverses hypothèses jusqu’à ce qu’on ait la vé- ritable. Cette méthode fait connaitre l’aphélie à l’aide de l’angle d’élongation. Il existe d’autres méthodes pour trouver l’aphélie des planètes. Delambre paraît en avoir employé une nou- velle, dont i] fait l'essai dans son Traité d'astronomie , AP sur la planète de Mars. M. Bouvard l'avait aussi décou. verte de son côté. ( Voyez Delambre, Astronomie, chap. xx1, t 11.) Pour le mouvement de l’aphélie voyez LÉMENS DES PLANÈTES. APIAN ou APIANUS (Pierre ), né à Leipsick en 1499, astronome et professeur de mathématiques à fugolstadt, a composé un grand nombre d’ouvrages qui lui acquirent de la célébrité parmi ses contempo- rains, ét lui valurent les faveurs de l’empereur Charles- Quint. Mais de tous ses écrits, dont la plupart se ressen- tent des préjugés du temps où ils furent composés, l'Astronomicon cæsareum contient seul une partie qui intéresse vivement la science astronomique. Apian y consigne les observations qu’il a faites des comètes de 1531, 1532, 1533, 1538 et 1539. Celle qui eut pour objet la comète de 1532 est surtout d’une grande im- pôrtaänce, puisqu'elle a servi à calculer le retour pério- dique des comètes, et ainsi agrandi la sphère des con- naissances astronomiques. Le célèbre Halley, ayant déterminé les élémens paraboliques de la comète qui se montra en 1682, put conclure de la grande similitude des élémens, que cette comète était identique avec celle de 1607. Il assignait ainsi à cet astre une révolution de 74 l'attraction des planètes pouvait apporter à sa marche. à 76 ans, en faisant la part des perturbations que L'observation faite par Apian en 1531. et qui remontait à 76 ans avant l'apparition de 1607, justifia les conjec- tures de Halley, et ne permit pas de douter de la périodicité de la comète dont il se hasarda à prédire la réapparition pour la fin de 1758 ou le commencement de 1959. Clairaut, de l'Académie des sciences, résolüt le difficile problème posé par Halley, en déterminant avec exactitude la valeur des perturbations que la co- mète devait éprouver, eu égard au ralentissément que l'attraction des planètes apporterait dans sa marche. Il annonça que le passage au périhélie aurait lieu vers le milieu d'avril 1759; mais il avertit toutefois que les fractions de temps négligées dans ses calculs, faits rapi- dement, pourraient s'élever à plus où moins de 30 jours sur les 76 ans. La comète passa en effet au périhélie le ‘19 mars 17950. Il est certain aujourd’hui que la comte observée à Ingolstadt, en 1531, par Apian, est celle qui avaitapparu précédemment en 1456, et ensuite en 1607, 1682 et 1759. Le peu d’exactitude des observations anté- rieures au X V° siècle ne permet pas de suivre plus loin dans le passé la chronologie de ses retours périodiques; mais la science est du moins à même d’en déterminer la marche future. M. Damoiseau , du bureau des longi- tudes, institution qui rend de si grands services à la science , a calculé la date du prochain retour de la fa- meuse comète de 1759, et l'a fixé au 16 novembre 1835, Apian, dont cette digression nous à un moment fait perdre de vue les travaux, est aussi célèbre par des AP observations d’éclipses et une cosmographie qui a été long-temps consultée. Il mourut en 1552 à Ingolstadt, âgé de 57 ans. Son fils Philippe, qui se consacra aussi à l'astronomie, n’a rien écrit de remarquable; du moins le seul ouvrage de lui que nous connaissions est une lettre au landgrave de Hesse, sur létoile qui parut tout à coup dans Cassiopée, en 1572. APOCATASTASE ( Astr.). Révolution entière des points équinoxiaux , qui s'effectue à peu près en 25,860 ans. On a donné à cette période le nom d’apocatastase ou de grande année. Voyez Précessiox. APOGÉE ( Astr.). (De «ro, loin, et de 74, laterre.) C’est dans l'astronomie ancienne le point de la plus grande distance d'une planète à la terre. En ne considé- rant que l’apparence des phénomènes, on dit encore aujourd'hui que le soleil est à son apogce lorsque la terre est à son aphélie. L’apogée est opposé au périgee qui est la plus petite distance d’une planète à la terre. APOJOVE ( Astr. ). Nom donné par quelques astro- nomes au point de la plus grande distance des satellites de Jupiter à cette planète, ou à l’apside supériewe de leurs orbites. Ce nom est formé du mot grec #xe, loin, et du mot latin jovis. APOLLONIENNE ( Géom.). Courbes apollonien- nes. C’est le nom sous lequel on désigne souvent l’hy- perbole et la paraboleordinaires, pour les distinguer de quelques autres courbes auxquelles on à aussi donné le nom d’hyperboles et de paraboles. Par exemple, la courbe dont l'équation est y? = Ax est la parabole apollonienne, et la courbe dont l'équation est A? = xy est l'hyperbole apollonienne ; tandis que les courbes exprimées pary = A?x et A — xy? sont des para- boles et des hyperboles du troisième degré. { Joyez Parasoze et Hypensoze.) Le nom d’epollonien vient du célèbre mathématicien Apollonius, auquel on doit un traité très-remarquable sur les sections coniques. Foyez AvorLonius. APOLLONIUS , né à Perge en Pamphilie vers lan 244 avant J.-C., sous le règne de Ptolémée-Evergète I, fut un de ces hommes rares dont le génie féconde les sciences, et les fait marcher en avant de leur siècle. L’an- tiquité lui décerna le titre de grand géomètre, de géométre par excellence à l'époque même où l'ilustre Archimède finissait sa brillante carrière. Elle sembla se partager entre ces deux hommes prodigieux, mais la postérité, tout en. admirant les travaux d’Apollonius, a cassé cet arrêt, et placé le nom du géométre syracusain en tête de tous ceux que la science environne d’une gloire immortelle. Apollonius, de Perge, étudia à l’école d'Alexandrie sous les successeurs d'Euclide, et ce fut là qu'il acquit ces connaissances supérieures et cette habileté en géo- métrie qui ont rendu son nom fameux. Il fut l'un des AB * 95 écrivains les plus profonds et les plus féconds qu’aient eus dans l'antiquité les sciences mathématiques, dont ses ouvrages formèrent Jong-temps le traité le plus complet. Entre tous les écrits d’Apollonius, celui qui a le plus contribué à sa célébrité et qui donne la plus haute idée de son génie, est son Traité des coniques, sur lequel nous croyons intéressant et utile de rapporter quelques détails bibliographiques, sans entrer néanmoins trop avant dans l'explication scientifique du sujet même de ce livre, qu’on trouvera exposé ailleurs. Voyez Sections CONIQUES. Archimède avait connu le nom de parabole, puisqu'il s’en est servi dans le titre même de l’ouvrage où il carre cette courbe : il est donc peu exact de croire d’après Eutocius, qu'Apollonius ait donné, le premier, aux courbes les noms qu’elles portent aujourd’hui. Cepen. dant c’est dans son livre des sections qu'on trouve pour la première fois ceux d’e/lipse et d’'hyperbole, et cet ou- vrage, quelle que soit l’origine des synonymies employés par Apollonius, n'est pas moins un des plus précieux écrits que nous ait laissés l'antiquité. Ce livre était divisé en huit parties. Nous n'avons, durant long-temps, pos- sédé que les quatre premières, dans lesquelles l’auteur rassemble seulement toutes les découvertes en géomé- trie qui l'avaient précédé, en étendant et développant leurs théories. Mais les quatre dernières parties du livre des coniques, contiennent les découvertes propres d’Apollonius, et attestent qu'il dut être doué d’une prodigieuse force d'esprit, pour qu’il ait pu suivre, sans s’égarer, des recherches dont la plupart exigent une grande aptitude à se servir des procédés de l'analyse moderne. Deux de ces parties sont spécialement très- importantes : ce sont la cinquième et la septième. Apol- lonius y traite les questions les plus difficiles de la géo- métrie, savoir, celles de zzaximis et de minimis sur les sections coniques. Dans la cinquième, l’auteur exa- mine particulièrement quelles sont les plus grandes et les moindres lignes qu’on peut tirer de chaque point douné à leur circonférence.: Il y expose tout ce que les méthodes analytiques modernes peuvent apprendre sur ce sujet, jusqu'a la détermination même de nos déve- loppées, puisqu'il fait très-bien remarquer qu’il existe upe suite de points dans l’espace au-delà de J'axe d’une section conique, d’où l’on ne peut tirer à la partie oppo- sée qu'une ligne qui lui soit perpendiculaire. Apollonius va plus loin ; il détermine ces points que nous connais- sons aujourd’hui sous le nom de centres d'oscultation. Toutes les questions qui appartiennent à ces recherches, que nous ne faisons qu'indiquer ici, sont à peu près résolues dans cette cinquième partie. La sixième ne ue Je i s'applique à des sections couiques semblables. On trouve présente { développement des mêmes idées, et dans 11 septüème l'exposition des diverses proprié 96 AP remarquables de ces courbes ; telles sont celles-ci : que dans l'ellipse et les hyperboles conjuguées, les parallé. Jogrammes formes par les tangentes aux extrémités des diamètres conjugués ; sont constamment les mêmes : — Que dans l'hyperbole la différence des carrés de deux diamètres conjugués, et dans l’ellipse, leur somme, est toujours la méme. La huitième partie, dont nous n'avons eu connaissance que par l'ingénieux et estimable travail d'Halley, renfermait un grand nombre de pro- positions semblables, qui servent de fondement : la résolution des problèmes de maximis et de minimis, problèmes d'une certaine difficulté, tel, par exemple, que celui-ci : dans une hyperbole quelconque, détermi- ner le diamètre dont le paramètre est le moindre, ou bien celui dont le carré avec celui de son paramètre fasse lu plus petite somme. Les coniques d’Apollonius ont été l’objet d’un grand nombre de commentaires et d’annotations. Pappus d'Alexandrie, Hypatia, la savante fille de Théon, et Eutocius d’Ascalon, en donnèrent successivement l’expli- cation, et en éclaircirent les points qui paraissaient obscurs à leurs contemporains. Le commentaire de Pap- pus nous est seul parvenu en entier. Cet ouvrage d’Apollonius fut un ceux que le khalyfe ÉI-Mämoun fit traduire en arabe, lorsqu'il donna asile aux sciences abandonnées dans le reste du monde. Apollonius n’a été apprécié dans l'Occident que vers la fin du XV® siècle. La mort précipitée de Régiomontanus, qui en méditait une édition, le priva de la gloire de faire connaitre ce grand géomètre. En 1507, Memmius, noble vénitien, en donna une traduction latine fort imparfaite ; celle de Commandin, qui parut en 1566, avec le commentaire d'Eutocius et les Lemmes de Pappus, est de beaucoup supérieure. Mais ces traductions et beaucoup d’autres que nous passons sous silence, ne portaient que sur les quetre premières parties du livre d’Apollonius. Viviani, l’un des plus illustres élèves de Galilée, se proposa de rétablir cet ouvrage dans son entier. Cet ingénieux et immense travail a été publié sous ce titre : Divinatio in V Apollon conicorum. En 1658, Borelli re- trouva beureusement, dans la bibliothèque des Médicis, à Florence, un manuscrit arabe qui renfermait l’œuvre d’Apollonius. Il le traduisit en latin, à l’aide du célèbre orientaliste Abraham Echelleuris, et le publia à Rome en 1661. Mais il est à remarquer que cette dernière traduction ne comprenait encore que les sept premiers livres d’Apollonius. La meilleure édition que nous pos- sédions est celle qu’en a donnée Halley (1710, in-folio). Ce célèbre mathématicien y a rétabli la huitième partie sur les indications de Pappus; et ses connaissances péciales dans la géométrie ancienne, permettent de penser qu'on ne doit plus regretter la perte de l'origi- nal, Halley, Snellius, Marin Ghetaldi et Viète se sont AP occupés des autres écrits d’Apollonius, en publiant tout ce qu'ils renferment d’intéressant pour la science. Apollonius mourut sous le règne de Ptolémée-Philo- pator, c’est-à-dire au commencement du siècle qui sui- vit celui de sa naissance. Pappus le représente comme un homme vain, jaloux du mérite des autres, et saisis- sant volontiers l'occasion de les déprécier. Il est pos- sible qu'un tel travers d’esprit ait diminué l’estime que le génie d'Apollonius avait inspirée à ses contemporains ; mais il est possible aussi que cette jalousie qu’on lui reproche ait dicté les jugemens peu favorables dont:il a été l'objet de la part des savans d'Alexandrie. Quoi qu'il en soit, la gloire d’Apollonius est réelle, et les talens élevés qui la lui méritèrent exciteront seuls l’at- tention de la postérité. APOMECOMÉTRIE ( Géom.).(De ære, loin, unes longueur, et de perpey, mésure.) Art de mesurer la distance des objets éloignés. Foyez Disrance. APOTHÈME ( Gcom. ). Perpendiculaire abaissée du centre d’un polygone régulier sur l’un de ses côtés. L’aire d’un tel polygone est égale à la moitié du pro- duit de son apothème par son côté. Voyez Poryxcower. APOTOME ( 4/g.). (De «roreuos , séparé, coupé.) Différence de deux quantités incommensurables. Telle est V/2— 1, ou la différence entre le côté d’un carré et sa diagonale. Euclide, dans son dixième livre, traite de ces quantités, et les subdivise en plusieurs ordres; mais sa classification n’est d'aucune utilité réelle. APPARENCE ( Persp.). C'est la représentation ou la projection d’une figure ou d’un corps quelconque sur le plan du tableau. Woyez Perspecrive et PROJECTION. L’appareNcE directe, en optique, est la vue d’un objet par des rayons visuels directs, c’est-à-dire, sans 1éflexion ni réfraction. En Astronomie, les apparences sont plus communément appelées phénomènes ou phases. APPARENT (Math. et Astr.). Se dit des objets tels qu'ils nous apparaissent, pour les distinguer de ce qu’ils sont réellement : car l’état apparent des choses est sou- vent très-différent de leur état réel; comme dans les cas d’éloignement, d’élévation, etc. Conjonction ApparENTE des planètes. Elle à lieu lorsqu'une ligne droite supposée menée à travers les centres des planètes, passe par l'œil du spectateur; tandis que la conjonction réelle est celle dans laquelle cette même droite passe par le centre de la terre. — En général, la conjonction apparente de plusieurs objets est leur position dans une même ligne droite qui passe par l'œil de l’observateur. Diamètre ApparexT. On nomme diamètre apparent d'un objet, non la longueur de ce diamètre, mais l'angle qu’il sous-tend à l'œil, et sous lequel il apparaît. Cet angle diminue à mesure que la distance augmente, AP de manière qu'un petit objet situé à une petite distance peut avoir le même diamètre apparent qu’un objet plus grand situé à une plus grande distance; il suffit pour cela que ces objets sous-tendent des angles égaux. Le diamètre apparent varie donc avec la situation de l'objet. Distance ApparENTE. Voyez Disrance. Hauteur AppareNTE des corps célestes. La hauteur à laquelle les astres nous apparaissent au-dessus de l’ho- rizon est augmentée par l'effet de la réfraction et de la parallaxe.( Voyez ces mots.) La hauteur des objets ter- restres est aussi affectée par la réfraction. Forme apparente. C'est la forme sous laquelle nous voyons un objet, d'une certaine distance. Cette forme diffère souvent beaucoup de la véritable; car une ligne droite peut ne paraître qu'un point, une surface ‘ne paraitre qu’une ligne, et un solide ne paraitre qu’une surface , selon leurs situations relativement à notre œil. Ainsi, l'arc d’un cercle peut offrir de loin la forme d’une ligne droite, un carré peut présenter celle d’un trapèze ou même d’un triangle, un cercle peut paraitre une ellipse, des corps angulaires peuvent sembler ronds. Tous les objets ont aussi une tendance à s’arron- dir par l'éloignement. À une grande distance les aspé- rités disparaissent , et les corps nous semblent unis. Mouvement Apparenr. C’est le mouvement que nous remarquons dans un corps éloigné qui se meut, ou le mouvement que paraît avoir un corps en repos pendant que notre œil est lui-même en mouvement. ; Les mouvemens des corps situés à une grande distance, bien que s’effectuant d’une manière égale et uniforme, peuvent paraitre inégaux et irréguliers à l'œil qui ne sait en juger que par le changement apparent de l'angle visuel. Lieu Avparent d'un objet. C'est l'endroit où nous parait un objet, vu à travers un milieu qui fait dévier les rayons lumineux. Cet endroit diffère toujours de la véritable place. Station APpvARENTE ( 4str.). C’est la position d’une planète qui semble demeurer plusieurs jours au même point du zodiaque. Ÿ’oyez STATIONNAIRE. APPARITION ( 4str. ). C’est un mot dont on se sert pour indiquer qu’une étoile ou que d’autres corps lumi- neux commencent à devenir visibles, après avoir été cachés. Dans ce sens, le terme apparition est l'opposé de celui d'occultation. Ainsi le lever héliaque (voyez Lx- VER ) est plutôt une apparition qu’un véritable lever. APPLATI { Géom.). Sphéroïde applati. C’est celui dont l’axe est plus petit que le diamètre de l’équateur. Voyez SruénoïDE. APPLIQUÉE (Gcom. ). Lizne droite menée dans le plan d’une courbe, d'un de ses points à un autre, et AP 97 qui coupe son diamètre, C’est ce qu’on nomme commu- nément double ordonnée. Voyez ORDONNÉE. APPLICATION DE L'ALGÈBRE A LA GÉO- MÉTRIE. La science de l'étendue se divise en deux parties, dont l’une a pour objet les modes distincts et indépendaus de la génération et de la comparaison des diverses espèces d’étendues, et l’autre la généra‘ion et la comparaison universelles de ces étendues. La pre- mière partie est généralement connue sous le nom de gcométrie élémentaire. La seconde sous celui, assez vague, d'application de l'algèbre à la géométrie. Quel- ques auteurs ont nommé, cette dernière, géométrie ana- lytique ; mais cette désignation inexacte n’est pas plus appropriée à son objet que celle d’analyse à la science générale des nombres. Dans cette branche supérieure de la Gromérrie, les lignes, les surfaces et les solides sont considérés d’une manière générale, comme autant d'espèces de quantités, soumises conséquemment à toutes les considérations des nombres, et tirant des lois universelles de leur science, les lois qui leur sont propres. Mais les lois de la science des nombres sont élémen taires ou systématiques, c'est-à-dire, particulières ou générales : les premières donnent naissance aux rap- ponts des quantités, les secondes, aux ÉQUATIONS. L'application de lalsèbre à la geomctrie doit donc avoir deux branches correspondantes aux rapports et aux équations. Ces C°ux branches existent en effet, elles forment : 1° l'ap; lication de l’algèbre à la géo- métrie sans coordon: ées, ou la construction indi- viduelle des LIEUX 6 omÉrriques; 2° l'application de l'algèbre à la géomét.ie avec des coordonnées, ou la coustruction universelle des ÉqQuarions. (F'oyez le Dis- cours »'Inrropucrion et l’article PnicosopuiE DEs Mare.) Nous allons exposer successivement les propositions fon- damentales de chacune de ces branches. L Lieux GéomÉTRIQUES. 1. Pour appliquer les lois des nombres à l’étendue , 11 faut exprimer en nombres les lignes , les surfaces et es solides ; ce qui s'exécute facile- ment en prenant pour &ntté une droite quelconque, d’une grandeur déterminée ou tacitement sous-entendue : c’est ainsi, par exemple, que, a exprimant le nombre d'unités linéaires contenues dans le côté d’un carré, V2 exprimera la diagonale de ce carré, et a? sa surface. De même, & et b étant les nombres d'unités linéaires de deux côtés contigus d'un rectangle, aXb exprimera la surface de ce rectangle, et a, b, ce étant les trois arêtes contiguës d'un parallélipipède rectangle, le produit aXbXc exprimera la solidité de ce parallé- lipipède. 2. En général, un nombre isolé a représente toujours une ligne ; \e produit de deux nombres, tel que ab, re- 13 98 AP présente une surface, et le produit de trois nombres, tel que abc représente un solide. S'il s'agissait donc de construire géométriquement les trois étendues exprimées par 4, ab, abc, on tracerait , pour la première, une droite dont la longueur contien- tiendrait & fois l'unité linéaire ; pour la seconde, un rectangle dont la base serait a et la hauteur b; pour la troisième, un parallélipipède rectangle dont la lar- geur serait &, la longueur b, et l'épaisseur c. 3. On nomme, en général, lieu géométrique, l'étendue particulière exprimée pour chacune des formes a, ab, abc; et la construction de ces lieux ou l'évaluation de leurs grandeurs numériques est spécialement l'objet de cette partie de la géométrie dont nous nous occupons. 4. Le lieu de toute expression algébrique dont la valeur finale n’a qu’une seule dimension, esttoujours une à me . @ ab ab droite : ainsi les expressions —, —, ——, etc., etc., re- c e présentent des lignes; car toutes ces formes n'ont en réalité qu’une seule dimension, puisque le nombre des facteurs du numérateur ne surpasse que d’une unité celui des facteurs du dénominateur. Les lieux de cette espèce ou d’une seule dimension, se nomment lieux du premier ordre. Dans la résolution des questions géomé- triques on ramène autant que possible la construction des autres lieux à celles des lieux du premier ordre ; ce qui s’exécute facilement toutes les fois que ces ques- tions peuvent se réduire à la recherche de la valeur d’une ligne droite. 5. Lorsqu'une question géométrique est proposée, il faut d'abord tracer une figure qui représente les parties et les conditions de la question ; observer ensuite avec soin les rapports que les différentes parties ont entre elles, ou avec d’autres droites arbitraires qu’on peut mener à volonté dans la figure; exprimer enfin les rap- ports trouvés, par des signes généraux , et établir l’éga- lité qui doit exprimer la relation des lignes inconnues ou cherchées avec celles qui sont connues. L'égalité une fois posée, on pourra en évaluer numériquement les inconnues, ou les construire géométriquement à l’aide des règles générales que nous ahons exposer. 6. La construction des lieux du premier ordre se réduit à cinq cas, qu'on peut exprimer de la manière suivante, en désignant par x le lieu cherché, et par la, b,c, d, etc., les droites données dont il dépend : 1.T—a—b+c—etc., ab Bee TL — — C ? 3e. x=V&, ke. x=Va# +, en Va —b. AP 7- Pour construire le lieu x =a—b+c— d +0 etc. , on rassemblera toutes les quantités négatives afin de donner à l'expression la forme x =(a+c+etetc.)—(b + d+f+ete.). Elle représente, de cette manière, la différence entre la somme des droites &, c,e, etc., et celle des droites b, d, f, etc. a O — Co ——— A H F E p (» B c id On prendra donc, sur une droite indéfinie AD , à par- tir du point À, AB—a,BC—c,CD =e;et, en sup- posant qu’il n’y ait que ces trois droites, on aura AD =at+c+e. On portera ensuite de D vers À, DE—b,EF—d, FH — f'; ce qui détermine DH=b+d+f Et l’on a, conséquemment, AH = AD — DH = (a+b+c) —(b+d+f) = x. AH est donc le lieu demandé. On agirait de la même manière pour un plus grand nombre de lignes. Il est important de remarquer que l’addition doit tou- jours s'effectuer de gauche à droite, et la soustraction de droite à gauche. ; ; ab Pe. 8. Pour construire le lieu æ ——, on le réduit à la c proportion DT: ce qui nous apprend que x est une quatrième propor- tionnelle aux trois droites &, b, c. Or, une quatrième proportionnelle peut s’obtenir de deux manières : 1°. Formons un angle quelconque avec des droites indéfinies AX , AY;et, à partir du point A, prenons sur AX, AB= c, AC=&, et L è sur AY, AD —b, tirons À D M Y BD , et menons par C une paralièle CM à BD , le pont M, où cette parallèle coupe AY, déterminera À MT. En effet les triangles semblables ABD , ACM, donnent AB : AC :: AD: AM ou c:a::b: AM. Donc AM 2 ab —T: Æ 2°. Sur une droite indéfinie AY, prenons AD = €, AP AM = a; du point D tirons une droite quelconque DB et precons BD—b ; par les points A, B menons AX, ct, par le point M, MC parallèle à BD. La ligne MC sera égale à x, car cette construction donne ° AD : AM :: BD : MC c; æ::b: MC. 9. Le lieu x — V/ab, exprime une moyenne propor tionnelle entre a et b; car cette expression devient Ci: De ou D ab, d'ou, a; On peut encore le construire de deux manières : 1°. Sur une ligne indéfinie AD, prenons AB — a, BD—b, puis sur AD—a<+b, pris pour diamètre, décrivons une demi-cir- ë conférence ACD ; et éle- HE vons la perpendiculaire BC. Cetté perpendicu- Le laire est, par une pro- ; \ priété du cercle, moyenne £ à D proportionnelle entre les re segmens AB et BD du dia- mètre (voy. CercLe). Nous avons donc AB : BC :: BC : BD ou a:BC::BC:b. Dôtic FC" = 4b, et BC =V/ab=x. 2. Sur üne ligne AD — 4, décrivons une demi-cir- conférence; prenons AB — b, et du point B élevons la perpendiculaire BC : tirons ensuite la corde AC, elle sera égale à æ. En effet, par une propriété connue du cercle, on a AB : AC :: AC : AD ou a:AC::AC:b. Donc AC = ab, et AC —Vab= x. se 10. Le lieu x— Va+b, \ représente d'un Ê triangle rectangle dont les côtés #7 de l'angle droit sont a et b (voy. Recraneze). Il suffit donc, pour l’hypothénuse le construire, de faire un angle droit BAC, de prendre AB — a, AC=—b; et de tirer BC; car on a 4 G'Y 11. Enfin, le lieu x —\/a —1* représente l’un des côtés de l'angle droit d’un triangle rectangle dont a est T. l'hypothénuse et b l’autre côté. On peut le construire de trois manières. 1°. Traçons un angle droit YAX ; prenons AC = b; puis, du point C comme ceutre avec un rayon BC = 4; AP 99 décrivons un arc de cercle qui coupe AX en un point B, AB sera égal à, car otia AB LCR’ RC = —b?, ou AB =\ a Er. 2°. Sur AB—a, comme diamètre, décrivons la demi-circonférence ACB, et prenons Ja corde AC—Db; menons CB, et : : vous aurons CB = x; ce à or n qui est évident, puisque le triangle ACB est rectangle en C. 3°. L'expression \/a —?, peut se mettre sous la forme \/ (a@+b) (a —b); elle représente alors une moyenne proportionnelle entre a + b et a— b. On peut donc encore la construire par les procédés du numéro 9, après avoir préalablement construit les droites 4 + cta— b. 12. Toutes les expressions algébriques les plus com- pliquées peuvent se construire au moyen de celles qui précèdent, comme on le verra dans le cours de cet ou- vrage. Pour ne pas nous étendre inutilement ici > nous allons seutement employer ces constructions à la solu- tion de deux questions géométriques, qui rendront plus évidentes leur application et leur utilité, la valeur du côté d'un carré inscrit dans un triangle donné. 13. Pronrime. Déterminer Soit ABC le triangle donné. Supposons que le carré soit inscrit, et que EG soit son côté. Abaissons la perpen- diculaire CD , et dé- signons AB par a, | CD par h,et EG A GD ir à P à par æ. Nous aurons GH — FH — EF —EG— ID — æ et par conséquent CI = CD — ID = } — x. Cela posé, les triangles semblables ABC, CEF donnent la pro portion AB : CD:: EF : CI ou a:h::x:h—x. on en tire a(h—x)=Ahx, où ah —=ax+hx=x(a+h), et, enfin, ah | aFh Cette expression donnera la valeur numérique du côté du carré inscrit à l’aide de celles de la base et de la hauteur du triangle donné. Pour Ja construire géo- métriquement, ou pour trouver une droite égale au côté du carré inscrit daus un triangle, on cherchera une quatrième proportionnelle aux trois lignes 4, h et a+, par le procédé du numéro 8. 100 AP Mais, pour faire immédiatement usage de la hauteur h, nous nous servirons de l'angle CDB. Prolongeant donc AB, nous porterons AB, ou «, deD en P, et CD, ou h, de P eu Q. Nous joindrons les points C et Q par une droite; et, par le point P, nous mènerons PI parallèle à CQ. La quatrième proportionnelle cherchée, ou le côté du carré sera ID. Nous devons faire observer ici que les constructions géométriques sont d’autant plus élégantes qu’on y fait entrer moirs de lignes étrangères aux données de la question. 14. Pros. Partager une droite en moyenne et extrème rason; c'est-à-dire eu deux parties, dont l’une soit moyenne proportionnelle entre là ligne entière et l'au- tre partie. Soit a la ligne donnée; désie ons par æ, la partie moyenne proportionnelle, alors l'autre partie sera a—x. Or par l'énoncé du problème, on doit avoir a: Li: (at) Cette proportion donne L’'=am—ax, équation du second degré dont les deux racines sont (Foy. ÉqQuarions) La première de ces valeurs peut seule satisfaire à la question; car la seconde, abstraction faite du signe —, est évidemment plus grande que a. Occupons-nous d'a- bord de cette première. Elle est composée de deux par- : a? FE 4 nuse d’un triangle rectangle qui aurait pour côtés de ties dont l’une (re , Exprime (10) l'hypothé- . A t l'angle droit, les ligues a et É 2 a ; et dont l'autre, —-, est , 2 une simple ligne droite égale à la moitié de la propo- sée. Cette dernière étant négative, il faut donc com- . [12 mencer j'ar Construire + —-, ct ensu te en re- 4 « trancher - pour obtenir x, Meñous donc une ligne AB = 4; à l'extrémité B, éle- AP a vons la perpendiculaire BC — - et joignons les points AetC, nous aurons évidemment AC — a+. a : a Pour retrancher = de cette ligne, portons — de C en 5 2 M,etle reste AM sera la valeur de x. AM est donc la partie cherchée de AB ; et il suffit de la porter sur AB de A en N pour opérer le partage demandé. Cette der- mère condition s'exécute en décrivant du point A comme centre, avec AM pour rayon, l'arc MN; car on a alors AN — AM. La construction que nous venons de donner est préci- sément la même que celle que l’on trouve dans les élé- mens de géométrie. Il nous reste à examiner ce que signifie la seconde raleur de x, Nous pouvons lui donner la forme + > +=. Cette dernière expression indique qu'après avoir con- ; |, DE struit \/# + 7 > Somme nous l'avons fait, il faut : a AU s ajouter = ; prolongeons donc AC jusqu’à sa rencontre en D avec le cercle décrit du point C comme centre, avec CB pour rayon, et nous aurons CD = CB, et par conséquent a at AD — CD +AC= - + OU ns Mais æ étant négatif, on doit le prendre en sens in- verse de ce qu’on aurait fait s’il était positif. Ainsi, au lieu de le porter sur AB, de À dans la direction AB, on le portera dans une direction opposée, de A en P sur le prolongement de AB, et l’on obtiendra de cette manière une droite PB qui sera le quatrième terme de la proportion AB : AP :: AP : PB. Quoique cette solution ne satisfasse pas entièrement à l'énoncé du problème , puisque AB n'est point partagé en deux parties, elle le résout cependant. dans toutes ses autres circonstances; car l’une des lignes trouvées est moyenne proportionnelle entre l’autre ligne et a, ct, de plus, la somme de ces deux lignes, en prenant x négativement, est égale à a. Il résulte de cette remarque, et d’autres semblables qu'on pourra faire dans des questions du même genre, AP que lorsqu'on trouve plusieurs valeurs différentes pour l'inconnue d’un problème, ce problème est susceptible de plusieurs solutions. Si donc son énoncé n’en com- porte qu’une seule, c'est qu'il a été trop restreint, et que la question peut être envisagée d’une manière plus générale. Par exemple, dans le cas qui nous occupe, en l’énonçant comme il suit : Une droite AB étant donnee, trouver sur cette droite ou sur son prolongement un point tel que sa distance au point À soit moyenne proportionnelle entre sa distance au point B et cette droite AB. On lui fait embrasser les deux solutions données par les deux valeurs de x, puisque les points N et P rem- plissent tous deux la condition demandée. Pour établir, dans ce dernier cas, les rapports entre les quantités cherchées et la quantité connue, il n’y a pas de raison pour supposer le point demandé plutôt à droite qu'à gauche de A. On peut donc adopter indiffé- remment l’une ou l’autre de ces hypothèses, dont la première donne a—x pour la distance du point de- mandé au point B, et dont la seconde donne a + x pour cette distance, et l’on obtiendra, toujours, les deux mêmes valeurs de + trouvées ci-dessus. 15. Lorsque les lieux gcométriques ne peuvent se construire par de simples intersections de lignes droites et d’arcs de cercle, ce qui arrive toutes les fois que l’ex- pression algébrique qui les représente renferme des quantités variables élevées à des puissances , ils exigent l'emploi des lignes courbes. On les nomme alors Lieux du second ordre, du troisième ordre, etc., suivant que les puissances des variables sont du second degré, du troi- sième degré, etc. Les lieux du second ordre se construi- sent à l’aide des sections coniques, et les lieux des ordres plus élevés à l’aide des courbes supérieures. On trou- vera dans le cours de cet ouvrage des exemples de ces constructions. Nous ne nous y arréterons point ici, parce qu’elles sont considérées d’une manière beaucoup plus générale dans la seconde branche de l'application de l'algèbre à la géométrie. Ce n’est même que depuis la découverte de cette branche snportante, que les sciences mathématiques doivent à notre immortel Drs- CARTES, qu’on peut ramener à des lois générales le petit nombre de ces constructions, obtenues par les anciens de la manière la plus laborieuse. IT. Équarions. 1. Toutes les relations qui existent entre les quantités s'expriment par des rapports où par des équations ( Foy. Comparaison). Lors donc que l’on considère les diverses espèces d’étendues comme antant de quantités diverses, leurs relations doivent également s'exprimer par des rapports et par des équations. Nous venons de montrer comment la construction des rap- ports conduit à la solution des questions géométriques : il est facile d’entrevoir que la construction des cqua- AP 401 tions, dont celle des rapports n'est qu'un cas particu- lier, doit embrasser toutes les propriétés de l'étendue. Or, les relations de l'étendue, prises dans leur plas grande généralité ; ne sont que des relations de lignes droites ou courbes décrites sur un même plan, ou tra- cées dans l’espace ; car c’est en effet seulement avec des lignes qu’on forme toute étendue linéaire, plane ousolide, Pour étudier ces relations, il faut donc préalablement déterminer la situation arbitraire des lignes soit sur un plan indéfini soit dans l’espace absolu, en les rapportant à quelque chose de fixe et d’invariable qui permette d'en suivre avec exactitude toutes les circonstances. Nous trouvons donc ici deux subdivisions pour cette partie de la géométrie générale, correspondantes au plan indéfini et à l'espace absolu, dans lesquels il s’agit de considérer les relations des lignes. La première est ce qu'on nomme aujourd’hui, GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS ; la seconde, GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. Avant d'exposer leurs lois fondamen- tales, nous devons faire encore observer que le terme analytique, dérivé de celui d'analyse donné à l'algèbre, n’exprime point exactement la nature de ces bran- ches de la géométrie, puisque la méthode analytique n'y est point exclusivement employée. Si le mot a/go- rithmie est adopté par les géomètres , toutes les parties qui composent l'application de l'algèbre à la géométrie devront être réunies sous le titre géuéral de GÉOMÉTRIE ALCORITHMIQUE. 2. Deux droites indéfinies, perpendiculaires l’une sur l'autre, étant données sur un plan, la position d’un point quelconque pris sur ce plan sera entièrement dé- terminée lorsqu'on connaitra sa distance à chacune de ces droites. En effet, soient XX’, Y Y' deux droites rectan- gulaires; a, la distance d’un point o à la droite YY';et b la distance de ce même point à la droite XX’. Il est évident que si l’on prend Ax — a, et que par le point x on mène xo parallèle à YY', tous les points de cette pa- rallèle se trouvant à une distance a de YY , le point o sera nécessairement un de ces points; de même, si l’on prend Ay=b, et que par le point y on mène yo paral- lèle à XX’, tous les points de cette pa- rallèle se trouvant à une distance b de XX, le point o se- ra encore un de ces points. Or, le point o devant se trou- veren mêmetemps sur les deux droites yo et xo, ne peut être évidemment situé qu’à l'intersection de ces droites. Donc, lorsque 402 AP Ax et Ay, ou a et b, sont connus, la position du point o est fixée. Cependant, la construction que nous venons de faire pouvant avoir également lieu dans chacun des quatre angles X'AY, X'AY', XAY, XAY', il faut de plus connaître celui de ces quatre angles dans lequel doit se trouver Je point o, pour que sa situation soit entière- ment déterminée sur le plan indéfini des droites XX", YY'. Cette dernière condition est remplie de la manière suivante : on considère toutes les distances mesurées sur XX", en partant du point À, comme positives , lorsque leurs directions vont de A vers X, et comme négatives lorsque leurs directions vont de A vers X'; de même on considère toutes les distances mesurées sur Y Y',en partant du point À , comme positives, lorsqu'elles sont dirigées de A vers Ÿ , et comme négatives lorsqu’elles sont diri- gées de À vers Y'. De cette manière, les signes des quantités a et b déterminent toujours l'angle dans le- quel le point se trouve. Si ces quantités sont toutes deux positives, le point est en o dans l’angle YAX ; si & est négatif et b positif, le point est en o' dans l'angle X'AY; dans l'angle XAY'; et enfin si a et b sont négatifs, le point est en 0” dans l’angle X'AY”. Les quantités & et b se nomment toutes deux les coor- si æ est positif et b négatif, le point est en 0” données du point o. En particulier, à senommel’abscrsse, et b, l'ordonnee. Les deux droites XX’, YY'sont les axes des coordonnées , savoir : XX’, l'axe des abscisses, et YY'Vaxe des ordonnées. Le point d’intersection À se nomme l’origine des coordonnées ou simplement l’ori- gine. On désigne encore, pour abréger, XX'sousle nom d'axe des æ, et YY' sous celui d’axe des y, parce que les abscisses sont généralement exprimées par la lettre x, et les ordonnées par la lettre y. Les égalités Y —= D D — A se nomment les équations du point. Ces équations pré- sentent les quatres combinaisons Ta z=+a x—=—u Lx=—a y=+ =ax+b y=ax+b", I on aura a = ——. a En effet, par l’origine À menons les deux autres droites AB et AC respectivement parallèles aux propo- sées, les équations de ces derrières seront () MALE AT: Or, si nous prenons AP égal au rayon trigonométrique, AP et que nous menions MN perpendiculaire à AP, PM E sera la tangente de l’angle BAX , et PN celle de l'angle CAX ; c'est-à-dire qu’on aura PM—a et PN— a. Mais le triangle rectangle MAN donne PN : AP :: AP : PM. ou 1 —. Donc a —-, et comme de plus PN est négatif, les a équations (4) seront SEAT ; JET; et les équations générales proposées deviendront y =ax+b I = x +0". nn . Telles sont les équations de deux droites perpendicu- laires l’une sur l’autre. 16. Trouver l'équation d'une droite EF perpendi- culaire sur une autre droite donnée CD et assuietie à passer par ur point E. Si y —ax+b est l'équation de CD; celle de EF aura la forme y = — Lx bi) Mais EF devant passer par le point E, si nous désignons par x", y’ les coordonnées de ce point, l'équation de EF, d’après (12), sera ’ I U jy =— (ex). 17. Si l’on demandait la grandeur EF de la perpen- AP diculaire , il faudrait dans l'expression générale VTT +G@—x), qui donne (13) la distance de deux pointsx, #@ x", y', substituer les valeurs des Y coordonnées des points E et F. Or, les coordonnées du point E sont x’, y'; et quant à celles du pointF, en con- sidérant que ce point est commun aux deux droites EF et ED, on voit facilement qu'elles doivent vérifier en même temps les deux équa- tions de ces droites. Ainsi, A h:9p! prenant x et y pour inconnues, les équations Yÿ = ax + b ! I G —Y =— (Lt —Z). PT at?) Nous donnerons, pour les valeurs de x et de y , les eo- ordonnées du point F; mais, comme dns l'expression de la distance de deux points, les coordonnées des points p’entrent que par leurs différences, on arrivera plus vite au résultat en cherchant immédiatement les quantités x—zx'ety— 7". Pour les obtenir, on donnera à l’é- quation y =ax+b \a forme y —y'=a(x—x)—y +ax +b; , et ou en retranchera l’équation de la perpendiculaire ' L L Ver: =) on obtiendra ainsi CRETE D'où l’on tirera et par suite Gubstituant ces valeurs dans VO—rY+@—xry. On aura, pour la distance cherchée , l’expression y'—ax'—b Vi — FR 18. Déterminer l'angle que font entre elles deux droites dont les équations sont données. Soient y —axr +b,y— a'x+b", les équations don- nées, Il est évident que l'angle de ces droites ne chan- AP 405 gera pas en les faisant mouvoir parallèlement à elies- mêmes jusqu’à ce que le sommet de l'angle soit à l'origine. Ainsi, nous pou- seule- ment deux droites AM et AN, dont les équations sont alors vons considérer J=AT, y=ux. Prenons sur AM un A point M dont les coordonnées soient x’, y’, et abais- sons de ce point MN perpendiculaire sur AN, la gran- deur de cette perpendiculaire sera (17) Y' De a'x' MN — = 60 0 000 Vita (v) à cause de b' — 0. Mais en considérant AM comme le rayon trigonomé- trique, on aura (u) AM =1i=x+y". et comme le point M est sur la ligne AM, dont l’équa- tion est y —ax, on aura aussi J'=ax", et par suite (2) y" — ax, des expressions (u) et (z) on tire 4 1 ; a vire ve Substituant ces valeurs dans (v), on obtient PRE re Vioate Mais MN est le sinus de l'angle MAN; donc l'angle formé par deux droites dont les équations sont Y = ax + b J'=ax+b", a, pour sinus, la valeur MN a— a Va+æ).(+a) Pour obtenir la tangente du même angle, on partira de l'égalité (voy. Sixus) cos P—1—-Ssin #, d étant un angle quelconque. On aura donc D'où l’on tirera cos MAN — TR — , V'G + a) (+4) k 406+ AP ct par suite sin MAN a— a! MAN ee ip NES Nous allons appliquer ce qui précède à la solution de quelques questions géométriques. 19. Pros. I. Deux droites CA et CB étant données de position par les angles giwelles forment avec une troi- sième droite AB = p, trouver sur une quatrième droite AY perpendiculaire à AB, un point G tel qu'en menant GK. parallèle à AB, la partie HK interceptée entre les droites AC et CB soit égale à une ligne donnée m. Soient & la tangente de l'angle CAB et a’ celle de l'angle CBA. Prenant le point À pour l'origine des coordonnées, l'équation de AC sera Y=AX; et celle de CB sera f=—a(x—p), puisqu'elle doit passer par le point B, dont les coor- données sont 2=p y et y —0o, et que de plus y diminuant lors- que æ augmente, a” doit être pris négati- vement. Or, pour trouver les points H et K, où C|-— les droites AC: et CB rencontrent GK, il suffit de faire dans iles À k TE BE équations de ces droites y = AG,ouy=7%, désignant par 3 l’inconnue AG. Ces équations deviendront Z—AX, z=—a'(x—p). La première donne et la seconde, Ces valeurs sont celles des abscisses A et Ah, dont la différence Ak — Ah, est Ak ou HK = "1, ligne donnée, On a donc équation dans laquelle tout est connu, excepté z. On en tire (p—m)aa atrau Si au lieu de donner à HK une valeur déterminée mn, 2 — on eût demandé que HK — AG, ce qui revient à trou- ver le côté du carré inscrit dans un triangle, on aurait A! faut pa'—2z 23 Ne a! ta et on aurait cu . paa nee 20. Pro». Il. Trois lignes qui se con ent deux à deux étant données, trouver % ls angles qu'elles for- ment, ainsi que la sur- Jace du triangle dont elles sont les côtés. Soient AB, BC, AC les droites données. Suppo- sons le sommet d’un des angles placé à l’origine des coordonnées, et fai- : sons | | Les: ï Ap=m Bp—=n Ag=m' Cq=n', l'équation de AB sera — n pp = ie ? celle de AC Lis he et celle de BC n—n J—n— rep (t— m). Les distances comprises entre les points À et B, À et C, Bet C ou les côtés AB, AC, BC du triangle seruut AB= VER AC — V7" — n° BC = VAm — my} +(n—n). Si l'on fait AB — a, AC—b, BC = c, on aura e=m +R B=mi+tnt Ci (m— m'} + (nn) = nm L m—omn + n+n°—oann, et, par suite, @ + br 0 = 2 (mm +nn'), ou mm! + nn'=2(a + b?— c°). Or, le cosinus de l'angle BAC est, d’après (18) nn 1+ = mm V'Cra) (+33) oun +nn' V' (re +) men) Substituant dans cette expression les valeurs en côtés AP da triangle, on aura définitivement co AGE Fe 2ab égalité qui donne la valeur d’un angle au moyen des trois côtés du triangle. On obtiendrait de la même manière, pour les deux autres angles, ABC = a He —b 24ac HAS Qu sut Les 2bc Pour trouver la surface du triangle, il faut abaisser du sommet À une perpendiculaire AD sur le côté BC cu ce, dont l’équation est 2 n— n ( m°) —)N— L— Y mi — mn de ou (12) LA ' ’ n—n mn — mn = = x À = Fm + m—m O1, la longueur d’une perpendiculaire abaissée d’un point æ, y' sur une ligne J7=ax+b est, d’après (17), J'—ax —b VA as Jasnous avons Ne n—n FA mn — mn St bé + m— Im mm Nous aurons donc m'n— mn rs nm} + nn) d AD on, à cause de c — v{ m—im} +(n—n) , Dm AD = Mais en désignant par S la surface du triangle ; on a S—YAD $ BC — — Donc, en substituant la valeur de AD, on à , NN—= mn 2. Pour changer cette expression en une autre qui ne dépende que des côtés du triangle, il faut chercher l'expression de #1'n—mn' en fonctions de ces côtés. Or; on a @ = n° + nr à —=m?+n" æ + D? et o = mm + nn, AP ACT Multipliant les deux premières égalités l’une par l’au- tre , et retrancharit du produit le carré de la troisième, on trouve æ& + b2 —=) PSE . (m'n—mn} = ab — ( ce qui donne SVT CFE On peut mettre cette expression sous la forme S = V/5(5—a) (—b)(—0). en faisant s égal à la demi-somme des trois côtés a, b, c, ou en posant l'égalité s = = (a4-b4c). o1. Si l'on avait un Ÿ quatrième point D dont les coordonnées fussent m',n’, en désignant par d, d', d" les distan- ces AD, BD, CD de ce point aux sommets des trois angles du triangle, on aurait pat mn = dd (n'—m) + (n'—n) = d° On) + (n'y = d”" en développant les deux dernières égalités, et en substi- tuant les valeurs des coordonnées en côtés, on trouve a +d—d'"? mm'+nn" = + =p Lo ] » b+dbd" m'm'+ nn" = LA es 2 —0# 2 p etg désignant, pour abréger, les seconds nombres de ces égalités. Dégageant alors #2" et n° on obtient mr Ap—nq IL — 7 ; DU —HIL I ? 3 DT MP mn —mn Substituant ces deux valeurs dans l’équation 72"? + C n" = d, elle devient CH +R hs MN NN mn —m'n et, en développant, n°p? Hg —onn'pq + n°qg +m'p—onmum'pq =. (mn mn}, ou p°(n?Æn°) + q(n8 +) 2pq(mm'4nn) =@&.(mn—m'n}). Substituant, dans cette dernière, les valeurs des coordon- nées en côtés, on obtient ag + bp —2py (° \ 4108 AP éqution qui renferme toutes les propriétés des quadri- latères. En faisant d = d' = d", alors le point D est dans l’in- térieur du triangle , à égale distance des trois sommets : on peut donc le considérer comme le centre d’un cercle circonscrit (Foy. CErce). Les expressions ci-dessus de- viennent a Ps b Ta et, par suite, __ @b4 ,afbt ab: [a+ bic, RE pet ce qui se réduit à &dS = abc, d’où l’on tire ; abc d= T5 expression très-remarquable du rayon du cercle circon- scrit à l’aide des trois côtés du triangle. 2. Pros. III. Trou- » ver La valeur du rayon d'u: cercle inscrit dans un .riangle. Les équations des trois côtés étant comme ci- dessus un Choer re , Pme ———— X il s’agit d'exprimer la circonstance de la situation du point o à égale distance de ces trois côtés. Or, les coor- données de ce point étant m", n", les perpendiculaires op ; 0q, or, auront pour valeurs ñ n— —m" TT m mn'—m'n OP = —; > —= rm V'r+r k Frs ' La (4 NO — mn m'n"—m'n 09 = — © = —— n° V/m+n 1+ m'? ' ’ ER em —mn nm— 1m M— mm or = Il Gm—m) n° — (n—n')m'—mn + nn V'(n=m)} + (an) ? ou bien à mn'—m'n PER a m'n"—m"n oq — b æ (nn mn) — (m"n—m"n) — (mn'—m'n) OP = ————— (a Mais, la formule qui donne l'expression générale de la perpendiculaire résultant d’une extraction de racine a le double signe + ; les expressions précédentes peuvent donc être prises dans les deux sens. Pour ne faire usage que des valeurs positives, seules nécessaires dans la question qui nous occupe, il faut remarquer que dans la figure construite on a " n n non = 7 > nm 3 mm" m n' DE TE et par conséquent m'n>>mn" , mn>m'n, mn>mn. D'où il suit que pour n'avoir que des valeurs positives, il faut changer les signes de la première, qui devient alors m'n— mn" Op —= —. à a m'n” étant plus grand que »"n»', il ne faut rien changer à la seconde, Quant à la troisième, l'équation de BC étant n—n — æ LT de mn —m'n —m" Mm—m Si nous faisons dans cette équation x—m", le point de BC qui répond à l’abscisse m” est nécessairement une or- donnée plus grande que n»", nous avons donc mn mn m" + m—m ou mn" — mr" mn — m'n + mn — mn; ce qui revient à mn'— mr — m'n+ m'nmn', — (nn — mn) sera une quantité positive plus grande que la somme de toutes les autres; et conséquemment or est positif. [l ne faut donc pas changer ses signes. Cela posé, soit og = €" or=e", op =e on aura (p) ae +be +cc=mn--mn= 28. | | AP Mais, dans le cas du cercle inscrit, e—e'=e”, donc 128 | FE 2Fb+e C’est la valeur du rayon du cercle inscrit. 23. Si l’on faisait a—b=—c dans l'équation (p) on au- rait e 28 € + € +e” = 7 ; ce qui fait voir que si d’un point quelconque, pris dans l'intérieur d’un triangle équilatéral , on abaisse des per- pendiculaires sur les côtés, la somme de ces perpendi- culaires sera égale à la hauteur du triangle ; car, pre- nant a pour base, et nommant À la hauteur, on a Lah=S, d'où k=®, et, par conséquent , e+-e'+e"— Ah. 24. Il résulte des principes que nous avons précé- demment exposés, et des applications que nous venons d’en faire, que la solution des questions géométriques qui dépendent des relations des lignes droites, se ré- duisent à déterminer dans l'équation générale y = ax + b les valeurs particulières de a et b qui conviennent aux droites cherchées. Cette équation étant en même temps l'équation générale du premier degré à deux inconnues (voyez Équarions), on doit conclure réciproquement que toute équation du premier degré peut se cons- truire par une ligne droite. Si de ces équations nous passons à celles de degrés plus élevés, nous verrons qu’elles représentent des lignes courbes de diverse na- ture; mais pour nous élever successivement aux consi- dérations nouvelles qui découlent de cette manière d’en- visager les propriétés de l'étendue, nous allons d’abord rechercher l'équation de la circonférence du cercle, courbe que sa régularité et sa facile construction ren- dent presque aussi simple que la ligne droite; nous montrerons ensuite que cette équation n’est qu’un cas particulier de l’équation générale du second degré, qui embrasse dans sa généralité toutes les courbes nommées sections coniques , comme l’équation générale du troi- sième degré embrasse toute une autre espèce de courbes, et ainsi de suite. Cette recherche nous donnera un exemple de la méthode qu’il faut suivre pour trouver! l'équation d’une courbe dont quelques-unes des pro- priétés sont connues, tandis que la construction des équations générales nous offrira les moyens de déter- miner la nature des courbes qu’elles représentent, et d’arriver à la connaissance de toutes leurs propriétés. Soient AX et AY les axes des coordonnées et o le centre d’un cercle dont les coordonnées sont op = p etog = q. AP 109 Si nous prenons sur la circonférence un point quel- conque c, dont nous désignerons les coordonnées par x ety'; la distance de ce point au point o sera d’après (13) = VE nn) Mais cette distance est la même pour tous les points de la courbe. Si donc nous désignons par r le rayon du cercle où la quantité à laquelle cette distance doit être constamment égale, nous aurons l'équation (2) on: nn Ed 0 NE Un ou x +g—2qx + +p my =r, qui sera celle de la cir- conférence d’un cer- cle, puisqu'elle con- vient à tous les points de cette courbe. Les trois quantités constantes p, g, rp|… qu'elles renferment, servent à indiquer en quoi une circonféren- ce de cercle diffère en grandeur et en posi-| tion d’une autre cir- conférence de cercle. L'équation (m») change de forme suivant la position du cercle par rapport aux axes. Par exemple, si l’ori- gine était située sur l’un des points de la circonférence, on aurait p+g=r et l'équation prendrait la forme plus simple(n) 2? + ÿ° — 2pX — 2qY = 0. Si l'un des axes passait par le centre, et si l’autre tou- chait la courbe au point où elle est coupée par le pre- mier, On aurait g = 0 et ou q = p="r r et p—= 0, et l'équation (n) deviendrait Æ'+ÿ—ary =0 où x + y — 2rx — 0. Enfin, si l’origine des axes était au centre, on aurait en même temps g=0 € p = 0, et l’équation générale se réduirait à (0) my = 7, Cette dernière est celle dont on se sert le plus commu - nément. 25. Pour trouver l'équation d'une courbe il suffit donc d'exprimer algébriquement les relations fondamentales qui existent entre ses points et les droites qui s'y rap- 110 AP portent d’une manière déterminée. Cette équauon une fois trouvée, toutes les particularités de. la courbe en découlent naturellement, comme aussi celles qui peu- vent résulter de son concours avec d’autres lignes quel- conques dont les équations sont données. C’est ainsi qu’en combinant les équations du cercle et de la ligne droite nous pourrons déduire toutes les pro- positions géométriques qui se rapportent à ces lignes. Voyez CERCLE. 26. L’équation générale du second degré à deux in- déterminées est de la forme (voyez ÉQUATIONS ) Ax? + By° + Cxy + Dx + Ey + F—o. Or, en supposant À = 1, B— 1 e1C — 0, cette équa- tion devient & + y + Dr + Ey +F=o. Faisantdans cette dernière D=—2q,E=-2p,F=q+p —r, elle se réduit à 2? + y — 297 — 0py FI+P Tr =; équation que nous avons trouvée pour le cercle. L’équation du cercle n’est donc en effet qu’un cas particulier de l'équation complète du second degré. 27. En cherchant les équations des courbes par la mar- che indiquée (25), nous trouvons Vi — 3x pour celle de la parabole, voyez PARABOLE; À: y2 + B? à = A: >, pour celle de l’ellipse, voyez Erzrrse; et A y? Lt Br = — A2h: pour celle de l'hyperbole, voyez HyrersoLe. Ges trois équations sont encore évidemment des cas particuliers de l'équation générale du second degré à deux indéterminées. 28. Mais si, au lieu de chercher ces équations par les propriétés connues des courbes, nous construisons di- rectement l’équation générale du second degré qui les embrasse toutes, chacune de ces courbes sera détermi- née par des hypothèses particulières faites sur les coeffi- ciens de l’équation, et leurs propriétés fondamentales se déduiront aisément de leurs équations individuelles. Voyez ConsTRucTION. Il en est de même pour les équations des degrés su- périeurs. Voyez Courses. 29. Géométrie à trois dimensions. La position d’un point dans l’espace indéfini est déterminée lorsqu'on connait ses distances à trois plans donnés. Soient trois plans YAZ, XAZ, XAY perpendiculaires entre eux, et dont les sections sont les trois droites AZ, AP AY, AX, dont chacune est ainsi perpendiculaire aux deux autres. Voyez PLan. Désignons par 2, n, p les distances d’un point O à ces trois plans, et supposons d’ailleurs que ce point soit situé dans l'angle trièdre AXYZ. Prenons sur AX, Am = m;sur AY A,n—n; sur Z AZ, Ap =p,et menons par les points »,n, p, des plans parallè- les aux plans don- nés. Le point O sera situé. à l’in- ©* tersection com- È mune des trois Li, plans parallèles,et conséquemment sa situation dars l’espace est entiè- + rement fixée. En effet, puisque les deux plans Om et On ont tous leurs points placés aux distances m1 et n des plans YAZ et XAZ, l'intersection Oo de ces plans aura éga- lement tous ses points à ces mêmes distances de YAZ ct de XAZ : ainsi, le point O devant se trouver en même temps sur les deux plans Om et On, ne peut se trouver que sur la droite Oo qui leur est commune. De plus, ce point doit également se trouver sur le troisième plan parallèle pO placé à une distance p de XAY; donc ce point ne peut être autre part qu’en O, où le plan pO coupe encore l'intersection Oo. On désigne par x, les distances au plan YAZ, comptées surAX ; par y, les distances au plan XAZ, comptées sur AY; et enfin par z, les distances au plan XAY, comptées sur AZ. De cette manière, les trois intersections AX, AY, AZ sont les axes des x, des y et des z. On les nomme axes coordonnées, et x, y,2, ou les distances aux trois plans, se nomment les coordonnées du point. On nomme encore, pour abréger, plan des yz, le plan YAZ perpendiculaire à l’axe des æ; plan des xz, le plan XAZ perpendiculaire à J’axe des y; et plan des æy le plan XAY perpendiculaire à l’axe des z. Ce dernier plan est considéré ordinairement comme ayant une po- sition horizontale. D’après ces notations, les équations du point O sont T m, =, Zz = pP; et les quantités », #, p, lorsqu'elles sont connues suf- fisent pour fixer la position du point dans l’espace. Comme les trois plans coordonnés ; étant prolongés indéfiniment en tous sens, forment huit angles trièdres âu point À , pour déterminer dans lequel de ces angles est situé le point, on régarde comme positives les dis- tances comptées sur AX à la droite de À, ct comme ne- AP gatives les distances comptées à la gauche de À, ou de A vers X'. De même, les distances comptées sur AY et AZ sont considérées comme positives de À vers Y et Z, et comme négatives de À vers Y' et Z'. Ainsi, la position d’un point dans l'espace se trouve entièrement fixée par les signes des distances 71, n;,p; lorsque d’ailleurs ces distances sont connues. C’est ainsi que les équations du point sont : Dans l’angle AXYZ . 2=%m, ÿ=+n, 2=+p:. AXYZ ee = mm, ÿ—=+4n, 2 =+p. AXYZ . x=+tni, y=—n, 5: =+p: AXYZ' ... #—=+m, Y=+n, 3—=—p. AXYZ Om, y=—n, 2=+p. AXYZ'... xm——m, Y=<+n, z2—=—p. AXYZ'... x=+m, yY=—n, 3 =—p. AX'YZ'... a=—=m, Y=—nN, 2—=—p: 30. Lorsque dans les équations générales du point, T=MY =, T7 = Pp, une des quantités 7, n, p est zéro, cette circonstance indique que le point est situé dans le plan des deux autres coordonnées ; ainsi, par exemple, l'équation z = o correspond à un point placé dans le plan xy. Lorsque deux de ces distances sont nulles en même temps, le point est situé sur l’axe de la dernière : ainsi les équations D = V — 0) 2 —\0 té : ie ; sppartiennent à un point situé sur l'axe de æ. Fnfn, Ies trois équations = 0 T=EUzS=e désignent l'origine À des plans coordonnés. 31. Lorsque les plans coordonnés nesont pas perpen- à à « diculaires les uns sur les autres, les axes se nomment axes obliques, et les équations du point expriment alors des distances comptées parallèlèment à ces axes. Voyez TRANSFORMATION DES COORDONNÉES. 32, Si de tous [es points d'une droite située dans Z l'espace on abaisse des perpendiculaires aux plans coor- donnés, on aura sur chacun de ces plans la projection AP 444 de la droite; mais il suffit de deux de ces projections pour déterminer la position de cette droite. (Foy. GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. } Ordinairement on choisit les projections faites sur les plans des xz et des yz, dont l'axe commun AZ est regardé comme l'axe des abscisses, alors AX est l'axe des ordonnées sur le plan des æz, et AY l'axe des ordonnées sur le plan des yz. Soient douc PQ une droite quelconque, et pg et p'q ses projections sur le plan des æz et des yz, les équations de ces projections sur chacun de leur plan auront la forme zx = az + b Vi + d. act © étant les tangentes des angles que forment pg et p'q! avec l'axe des z, et b et d les distances de l’ori- CZ gine aux points où ces droites rencontrent l'axe des x et celui des y. Or, la droite étant entièrement connue lorsque ses projections sont connues, les équations az + b,y cz + d sout en même temps les équations de la droite dans D œi—| l'espace. A l’aide de ces équations on peut résoudre toutes les questions qui se rapportent à la ligne droite dans l’es- pace; mais c'est surtout en les combinant avec celle du plan qu’on obtiendra des résultats nouveaux et im- portans: Joy. Pan et Surrace. APPLICATION d’une science à une autre. Usage qu'on fait des principes et des vérités qui appartiennent à une science pour perfectionner et augmenter une autre science. Toutes les sciences et tous les arts étant liés, le do- maine du savoir humain se compose en grande partie d'applications de chacune de ses branches fondamentales à toutes les autres. C’est ainsi qu’elles se prêtent un mu- tuel secours et concourent au même but, celui d'élever le savoir à l'unité systématique vers lequel il gravite sans cesse depuis les premières traces de la vérité parmi les hommes. APPLICATION (Géom.). Superposition de deux figures égales. C’est par l’application qu'on démontre les propositions fondamentales de la géométrie élémen- taire; par exemple, que deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont un angle égal compris entre des côtés égaux, etc. Foy. SUPERPOSITION. APPLIQUÉE ( Géom. ). Ligne droite qui coupe le diamètre d’une courbe et dont les deux extrémités sont des points de la courbe. On la nomme encore double ordonnée. Foy. ORDONNEE. APPLIQUER. Transport d'une ligne soit dans un cercle , soit dans toute autre figure, en plaçant les extré- mités de la ligne sur le périmètre de la figure. 412 AP Appliquer est encore pris quelquefois dans le sens de diviser. Ainsi, 4 appliqué à 20 signifie 20 divisé par 4. Cette expression, très-commune dans les auteurs latins, est rarement employée aujourd’hui. APOLLON (Astr.). Nom donné par quelques au- teurs à l'étoile des Gémeaux, plus connue sous celui de Castor, et marquée x dans les catalogues. APPROCHE (WMeéc.). Courbe aux approches égales, accessus æquabilis. Courbe célèbre que Leibnitz de- manda aux géomètres de son temps, qui ne voulaient point admettre les principes du calcul différentiel, et dont ces géomètres ne purent trouver l’équation. Un corps, abandonné à l'effet de la pesanteur, par- court, soit en tombant librement par la perpendiculaire, soit en roulant sur un plan incliné, des espaces d'autant plus grands en temps égaux, qu’il s'éloigne davantage du point où sa chute a commencé. ( Voyez ACCÉLÉRE. ) Mais ce corps reste un temps d'autant plus grand à par- courir la même ligne avec une vitesse déterminée, qu’elle forme un angle plus petit avec l’horizon. Il doit donc exister une courbe telle, que l’obliquité de ses diverses parties compensant la vitesse avec laquelle elles seront parcourues , le mobile approchera uniformément de la ligne horizontale, c’est-à-dire parcourra en temps égaux des espaces égaux, pris dans le sens perpendicu- laire. Tel est le problème proposé par Leibnitz en ces termes : Trouver une courbe xx'x", le long de laquelle un corps descendant par l’action seule de la pesanteur, approche également de l'horizon en temps égaux, ou dont les parties xx, xx', x'x", etc., déterminées par les lignes horizontales xy, x'y', x'y" également dis- tantes l'une de l'autre, soient parcourues dans des temps égaux. Cette question n'ayant point été résolue, Leibnitz publia sa solution en 1689 (Act. À . erud. ), sans laisser entrevoir la marche qu'il avait suivie pour y parvenir. Bientôt après Jacques Bernouilli, à l’aide des nouveaux calculs de l'infini qu’il commençait - à cultiver, trouva la même solution, eten publia l’analyse ( Act. Erud., 1690). Varignon généralisa ensuite le problème en cherchant la courbe qu'un corps doit décrire dans le vide pour s'approcher également de l'horizon en temps égaux, la loi de la pesanteur étant supposée quel- conque. Enfin, Maupertuis le ré- solut complètement dans sa plus grande généralité, AP en prenant l'hypothèse d'un milieu résistant. Voyez Mémoires de l'Académie des sciences , 1699 et 1730. L’équation de la courbe, dans le vide, s'obtient fa- cilement de la manière suivante : Supposons que le mobile parvenu au point x, ait acquis un degré de vitesse égal à celui qu’il aurait obte- nu en tombant perpendiculairement de la hauteur Ay; menons zn parallèle à xy, et du point x abaissons xm perpendiculaire sur 22; prenons Ay pour l'axe des x, et faisons Ay = x, xy — y. Si nous concevons yz infininent petit, ou si nous prenons yz pour la diffe- rentielle de Ay, alors nn sera la différentielle de y; et l'arc æn sera la différentielle ou l'élément de la courbe. Nous aurous donc, à cause de æm = y = dx, et de mn = dy, æn = V/dx° + dy Mais la vitesse au point x est égale à \/Ay ou V/x. Ainsi, en désignant par dt le temps de la chute suivant l'arc infiniment petit x», nous avons æn = dt. \/%. Or, d’après la nature du problème dx = dt, done æn = dx, V/x, et, par conséquent, dxV/x — Ve + dr. D'où l'on tire dy = dx. Va—:1, ( et , en intégrant, = fdx .Va—i =2(x—1) 5 ce qui nous donne définitivement S'=i(@— 1), ou, faisant x — 1 3, 47 =. Cette équation est celle d’une parabole cubique dont l'abscisse égale z, l’ordonnée y et le paramètre = 2. V'oy. PARABOLE. Pour avoir le point où la courbe rencontre l’axe Ay, si nous faisons 2—0 , nous avons æ=1 ; d’où il suit que l'origine n’est point en A, mais en P, en faisant AP —1. Ainsi, pour que le mobile descende selon la loi qu’exigele problème, avant d'atteindre le sommet P de la courbe. il doit avoir une vitesse égale à celle qu’un corps ac- querrait en tombant librement de la hauteur AP. Cette hauteur étant égale à l’unité, lorsque le paramètre est ?, on peut dire, en général, que le corps doit d’abord tomber librement des # du paramètre avant de ren- contrer la courbe, pour qu'ensuite il puisse s'approcher également de l'horizon en temps égaux. APPROCHES (Fonrirication). Nom que l’on donne à tous les travaux que l’on fait dans an siége pour s'a- AP vancer vers la place en se mettant à couvert de son feu. Voy. FoRTIFICATION. APPPROXIMATION (Aritk. et Alg.). Méthode d’é- valuer une quantité en approchant de plus en plus de sa véritable grandeur. A l'exception des nombres ra- aonnels , entiers ou fractionnaires, tous les autres nom- bres n’ayant point de rapport fini avec unité, lors- qu'il s'agit de les mesurer ou de les comparer à l'unité, on a besoin de connaître les nombres rationnels dont ils diffèrent le moins, afin d’assigner les valeurs approchées des rapports qu’il est impossible d'obtenir exactement. Par exemple, si l'on voulait comparer 2, à l'unité, où si l’on désirait connaître combien d'unités et de par- ties d'unité contient V/2, il faudrait calculer les nom- bres rationnels qui diffèrent le moins de la véritable va- leur de V/2; et comme cette véritable valeur, exprimée en fractions décimales, contient un nombre infini de chiffres , il est évident que plus on prendra de ces chif- fres, et plus on approchera du rapport exact de 1 et de V/2. C'est ainsi qu’en se contentant d’une valeur appro- chée à moins d’un centième, on a V2=i1,4r.. Que si l’on demande cette valeur, à moins d’un mil. lième , on a V2=:1,414.. Et qu’enfin si l’on a besoin de pousser l’approximation jusqu’à un dix-millième, on trouve V2= 1,4142.... Or, la méthode d'approcher ainsi de plus en plus de la grandeur d’une quantité est ce qu’on nomme approxt- mation. Dans les calculs ordinaires on se contente encore des valeurs approchées des nombres fractionnaires , lorsque ces nombres sont exprimés par une trop grande quantité de chiffres pour que leur rapport avec l'unité dont ils dépendent, puisse être facilement apprécié. C’est ainsi, par exemple, qu'ayant trouvé 150 mètres et À28E de mètre, pour résultat d’un calcul dans une question où il est inutile de considérer les quantités plus petites que le millimètre, on réduit la fraction ordinaire en fraction décimale en s’arrêtant au troisième chiffre du quotient de la division ; ce qui donne D'où l’on conclut que le résultat trouvé est, à moins d'un millimètre près, égal à 150,168. Dans ces sortes de questions, l’approximation est toujours suffisante lorsqu'elle s'élève aux plus petites subdivisions des quan- tités sur lesquelles on opère. Il y a encore, pour les fractions ordinaires , une ap- proximation d’une nature différente : c’est lorsqu'on AP 413 demande d’autres fractions ordinaires qui diffèrent très- peu des proposées , et qui soient exprimées par de plus petits nombres. J'oyez, pour toutes ces questions , es mots : Fracrion, Fracrion pÉcImALE ét FRACTION con- TINUE. Quant à l’'approximation des nombres incommensu- rables , voyez EXTRACTION DES RACINES. APPROXIMATION des racines des équations. La résolu- tion théorique des équations, à partir du cinquième degré, étant encore un problème au-dessus des forces actuelles de la science, et celle même des équations du troisième et du quatrième degré étant souvent très-la- borieuses par les regles générales, les efforts des géomè- tres se sont tournés du côté des méthodes d’approxima- tion. Sous ce rapport, du moins, leurs succès ont été plus complets. Saus parler ici des premières tentatives de Viète, qui ne peuvent plus compter que pour l’his- toire de l'algèbre, nous allons exposer successivement les procédés généraux que l’usage a consacrés. Le plus populaire de ces procédés est dü à Newton, qui le communiqua à Barrow dès l’année 1669, dans son écrit intitulé : Analysis per æquationes numero termi- norum infinitas. Voici en quoi il consiste : Soit l'équation générale du degré », ayant des rac- nes réelles, am + À ami A am? LE A; m5 — etc... + Am —0. et soit a, une valeur approchée d’une de ces racines, va- leur qu’il est toujours possible de trouver, à moins d’une unité près. Joy. Limrres. Désignons par z, la quantité dont à diffère de la véri- table valeur de x, et nous aurons l'égalité —= 4 + Z. C’est donc la valeur de z qu'il s’agit de déterminer. Pour cet effet, substituons (a + z) à la place de x dans l'équation proposée, elle deviendra (a +2) + As (a+sÿi it As (a+z)rs LE etc. + An —=o0. Développant les puissances des binômes, en ordonnant par rapport à z, nous obtiendrons une équation en z de la forme B+B:z<+ be 2 LB; 2 + etc... + 2 — 0. Or, ane devant différer de x que d’une quantité plus pe- tite que l'unité, z sera une fraction, et par conséquent z?, 23,74 ,etc., seront aussi des fractions de plus en plus petites. Négligeant donc les termes où ces quantités se trouvent , nous aurons l'équation BLB,z=0, d'autant plus exacte que z sera plus petit. La valeur ap- prochée de z sera donc 35 144 AP et, par suite, celle de x B:1 Maintenant, en exprimant par 72 cette première ap- proximation, et par z' la quantité dont elle diffère de la véritable valeur de +, nous aurons encore æ = mn + 3. z'à la place de x, Substituant 2 + proposée, et continuant comme ci dessus, nous parvien- dans l'équation drons à une nouvelle équation en z' CH Ci z' + Ce: 32 + Cs 35 + etc... — 0; laquelle, en négligeant tous les termes affectés des puis- ra NOT ES sances supérieures de z", se réduira à C —- Ci 2e 0: D'où nous tirerons Ë G Anar Qui et par suite papa hr (a BC: seconde valeur approchée de +. En continuant de la même manière, nous obtiendrons successivement des valeurs qui différeront de moins en moins de la vérita- ble, dont nous pouvons ainsi approcher indéfiniment. Un exemple va rendre ce procédé plus sensible, Exéuprr. On demande une des racines de l'équation a— 9x —5—0. Après avoir trouvé qu'une des racines est comprise entre 2 et 3, on fera L—2$7 Substituant dans l'équation, on aura D'où 103— 1 —o, en négligeant les termes affectés de z2 et de z°. ï Cette dernière équation donne z2=—. On a donc 10 pour première valeur approchée de æ 1 =2 + — —02,1 26 10 Faisant actuellement d'=S;1#2 car il est inutile de prendre un autre caractère que z, ou æ— 2,1 +3; et substituant dans la proposée, nous aurons a} — (2,1) H 3(2,1)z + etc. — 2(2,1)— 23 —)d —=—), | à Ï t, par conséquent , 0,061 4- 11,233 = 0. D'ou _ r —— 0,0004 , en se bornant au quatrième chiffre décimal. Nous avons donc pour seconde valeur approchée de x &—2,1—0,0004 —2,0946. Faisons encore —2,0946+72, et nous aurons a —(2,09406) + 3(2,0946)z + etc. — 2% = — 2(2,0946) — 2z —) —=—5. D'où 0,000541708+#11,16196z=—0, et 0,00054 1708 ,10196 —=—0,0000/853 ; ec qui donne pour troisième valeur approchée de æ 2=9,0946—0,00004853=—2,09455147, dont les sept premiers chiffres décimaux sont exacts. En continuant de la méme manière, on obtiendrait un aussi grand nombre de chiffres exacts qu’on pourrait le demander... Avant de passer aux méthodes plus modernes, nous devons parler de deux autres procédés fondés sur le même principe, et qui ont été trouvés par Halley et Raphson, peu de temps après la découverte de New. ton, dont il parait prouvé qu'ils n'avaient point connais-- sance. Le procédé de Halley ne diffère de celui de Newton qu’en ce qu'il conserve dans les équations successives les termes où se trouvent les secondes puissances de z; mais, par un moyen ingénieux, dont il fait honneur à Lagny, il réduit encore toute l'opération à une simple division. Voyez Transactions philosophiques, 1694. Le procédé de Raphson n’est en réalité qu’une sim- n° 210, année plification de celui que nous venons d'exposer. Comme tel cependant, il mérite de trouver place ici. Soit, moins d’une unité, d’une des racines de l’équation (72) am + A4 ami As am LA; am etc... + An —0. Eu multipliant chaque terme de cette équation par comme ci-dessus, « la valeur approchée, à l'exposant de la puissance de x qui s'y trouve, et dimi- nuant ensuite tous ces exposans d’une unité, on obtient l'expression (2) mari (nr )A a 2 (no) A ans Letc... Arret, qui west autre chose que la dérivée différeutiel{e de AP Véquation. Dans cette opération on considère le terme absolu À, comme s’il était A, x°, et alors en le multi- pliant par l’exposant zéro il disparait. Si nous désignons par M, ce que devient l'équation (mr) lorsqu'on y substitue a à la place de x, et par N ce que devient l'expression (x) par la même substitution, la valeur approchée de x , sera M T=Aa— TV. A l’aide de cette valeur on obtiendra une seconde ap- proximation en opérant de la même manière, et ainsi de suite. Nous allons faire une application de cette mé- thode à l’équation de l'exemple précédent. L’équation donnée étant (r) x—92x—5=0, sa dérivée est (2) 3x1 — 0. Nous avons d’ailleurs a — 2. Substituant 2 à la place de x dans (1) et (2), nous trouverons 8—4—5—M 12—9—=N. D'où M 1 BE DER UT Substituant de nouveau 2,1 dans (1) et (2), nous au- rons (2,1) 22,1) —5=M, 3(2,1)—9 = N. 1où 0,061 L=2,1— 0, 1— ——— 2,0946. N 11,23 Substituant encore 2,0946 dans (1) et (2), nous ob- tiendrons (20946) — 2(2,0946) —5—M, 3(2,0946 —2=N, et, par suite , M x—2,0946— N— 2,09425147. Chaque substitution nous donne donc les mêmes va- leurs ‘que dans le procédé de Newton; seulement la marche est plus simple. Raphsona encore facilité l'appli- cation de son procédé, en calculant des tables à laide desquelles on obtient les quantités que nous avons dési- guées par M et N, pour chaque équation, jusqu’à celles du dixième degré inclusivement. Voyez Analysis æquat. univ. London, 1600. Tne faut cependant pas conclure, de approximation rapide que nous venons d'obtenir pour la valeur de x, das l'équation x—2%—5=—0, que le procédé de Raph- AP 4145 son ou de Newton puisse s’appliquer avec le même avan- tage dans tous les cas. Si la première valeur approchée a différait de la véritable de plus de, l'approximation serait beaucoup plus lente, et l'opération exigerait un grand nombre de substitutions. Il est donc important, ayant d'employer ce procédé, de trouver une valeur de æ dont les limites scient plus rapprochées que & et a + 1 ; une simple application de la règle de Fausse posITION peut abréger les calculs. Par exemple, après avoir trouvé que l'équation x—2x--5 se réduit à —r en fai- sant x — 2 et à +16 en faisant æ=—3, ce qui montre d’abord évidemment que la valeur de æ est plus près de 2 que de 3, on multiplie le résultat de chaque substitu- tion par la valeur de l'autre substitution, et l'on divise la somme des produits par celle des résultats. Le quo- tient est déjà une valeur plus approchée de x que 2 et 3 (foyez Fausse rostrion), et l'application du procédé de Newton amène alors une approximation beaucoup plus prompte. Nous aurons ici 1X3—H16X2 35 =: —9,05 17 ? 1+106 en nous bornant aux centièmes. Partant donc de cette valeur, la première substitu- tion donnera æ—2,07, qui diffère bien moins de la vé- ritable que æ=2,1 trouvée ci-dessus ; et, conséquem- ment, les substitutions suivantes donneront également des résultats plus approchés. Dans son bel ouvrage sur la Résolution des équations numériques, Lagrange à examiné la certitude de ces procédés et le degré d’approximation qu’on peut attein- dre par chaque substitution successive. Les détails dans lesquels il est entré ne laissant rien à désirer, nous y renvoyons ceux de nos lecteurs qui voudraient appro- fondir entièrement la question. On doit aux illustres frères Jean et Jacques Ber- nouilli plusieurs méthodes ingénieuses d’approximation dont l'exposition nous entrainerdit trop loin (Voy. Jean Bernouïlli, opera, tome UK, et Actes de Leipsick, 1689). Taylor (Trans. Philosoph. 1717), Thomas Simpson (Essays on several curions et usufiuls subjets. London, 1740. — Select exerëises for young profiéients. Lond., 1952), M. de Courtivron (Mém. Acad. des Se., 174), et le mathématicien allëmand Kæstner ont également découvert des procédés particuliers que les limites de ce dictionnaire nous permettent seulement de mention- ner. Cependant, la méthode dé Daniel Bernouilli , ex- poséé dans le Commentaire de l'Académie de St, La. Ce dernier nombre devient, en lui ajoutant l'unité, (10000) — 1000000000 , où le plus grand nombre de l’arithmétique vulgaire des Grecs. Cette limite était plus que suffisante pour les besoins ordinaires; car les unités de poids et de mesure de longueur chez les Grecs, tels que le talent et le stade, étaient beaucoup plus grands que notre kïlogramme et que notre mètre. Les géomètres et les astronomes seuls pouvaient donc trou- ver des inconvéniens à une telle limitation ; mais enfin ces inconvéniens existaient, et ils durent chercher les moyens de les faire disparaitre. Archimède, par exem- ple, dans son ouvrage de Arenarius , pour exprimer \a quantité des grains de sable que pourrait contenir AR 139 une sphère dont le diamètre serait égal à la distance alors présumée de la terre aux étoiles fixes, trouve qu'il faudrait un nombre qui exigerait soixante-quatre figures dans notre système de numération. Afin de représenter ce nombre, il prend la myriade carrée, ou 100000000 pour une nouvelle unité, et il nomme nombres du se- cond ordre ceux qu’on peut former avec cette unité; ce qui lui donne le moyen d’exprimer les quantités pour lesquelles il nous faut seize figures. Prenant encore (100000000) pour unité, il parvient à exprimer les quantités qui nous demandent trente-quatre figures, et ainsi de suite. De cette manière, il arrive enfin à pou- voir exprimer le nombre en question, lequel, ainsi que nous l’avons déjà dit, demande soixante-quatre figures de notre échelle de numération. Archimède entreprit ce singulier calcul pour réfuter quelques personnes qui, peu instruites de la nature des nombres et des progres- sions, prétendaient qu'aucun nombre, quelque grand qu'il füt, ne pourrait exprimer la quantité de grains de sable répandus sur les bords de la mer. Pour mieux faire ressortir leur erreur, Archimède démontra qu’en supposant les bornes de l'univers beaucoup au-delà de celles qu'on lui donnait alors, le cinquantième terme d’une progression géométrique décuple croissante était plus que suffisant pour exprimer le nombre des grains de sable qu’il pourrait contenir. D'après Archimède , tous les nombres se partageaient donc en périodes ou ordres de huit figures , qu’il nom- mait octades. Cette méthode, comme nous l’apprend Pappus, fut considérablement perfectionnée par Apol- lonius, qui réduisit les octades en périodes de quatre figures, dont la première est celle des unités, la seconde celle des r1yriades, la troisième celle des doubles my- riades , etc. , et ainsi de suite indéfiniment. Apollonius était donc capable d’écrire tous les nom- bres qui peuvent être exprimés par notre système de numération. C’est ainsi, par exemple, que sil avait voulu représenter la circonférence du cercle dont le diamètre est une myriade du huitième ordre, il aurait écrit vrais rbe, y m8. €, AB. vous. Bxuy.y,w2B. 2 v. 3 1415 9265 3589 7932 3846 92643 3832 7650. Il nous reste à expliquer comment les Grecs représen- taient les fractions. Lorsque le numérateur de la frac- tion était simplement l’unité , ils marquaient d’un petit trait le nombre du dénominateur. Ainsi, par exemple, J' signifiait &, d signifiait £; £ signifiait #7, et ainsi de suite; mais la fraction Æ avait un caractère particulier, comme &G,ou< c', ou K. r À 2 Quand le numérateur était aatre que l'unité, le déna- iinateur se plaçait à côté, un peu au-dessus, comme 440 AR nous le faisons pour n6s exposans, Ainsi, 2 D , L RG TS. 1857, représentait 15°*, Où 33 Êrtt, représentait 5°, Où 337 De même, ? Van ris SEE CPS 2633544 C4 27270 R SEE ETES ENTER RES Cette dernière fraction se trouve dans Diophante, Liv. IV, quest. 46. Avec un système si compliqué de numération, les calculs étaient longs et pénibles, et il x a apparence que les opérations s'exécutaient presque à force de tête. On pourra se former une idée de leur difficulté par les exemples très-simples que nous allons donner. ExemPLe D'ApDIT'ox tiré d'Eutocius, théorème &, sur La mesure du cercle. OuL . 7 De 847 3921 10 6o 8400 D n. Brua 908 2321 Dans cet exemple, le procédé est assez sensible pour ne demander aucune explication ; on l’exécute exacte- ment comme notre addition complexe de livres, sous et deniers. ExempLe DE sousrnacriox. ÆEutocius, théorème 3, sur la mesure du cercle. d She 93636 B8.7,v 8 23409 Ês. x£ 70227 On peut encore suivre ici l'opération sans difficulté ; en procédant de droite à gauche; et, il est si évidem- ment plus avantageux de suivre cette marche, qu’on peut difficilement comprendre pourquoi les Grecs avaient adopté la marche opposée. Ils exécutaient toutes leurs opérations de gauche à droite. ExEmpLeE DE MULTIPLICATION. y pr MAT 58,9 pv Ter8 L.7v8 Les Grecs écrivaient les produits partiels dass la mul- AR tiplication sans aucun ordre apparent ; mais comme cha- cun de leurs caractères conserve la même valeur, queile que soit la place qu'il occupe, le seul inconvénient qui pouvait résulter de cette méthode était de rendre l’ad- dition finale plus laborieuse. Nous pouvons nous repré- senter les détails de la multiplication précédente, prise encore dans Eutocius, de la manière suivante : pXp—= 100X 100 —= 10000 — z.My »Xp—= 5oX100 — 5000 —:, 7Xp= 3X 100 — 300 =7; : ensuite, p Xy— 100X 50 — 5000 —:, r Xr— So X 50° — 25500 — 89 7Xr= 383X50 — 150—=p; enfin, s Xy7— 100X 3 — 300=7 » KXy—= 90X 3 — 1950 — pr 7Xr= 3X 3 — 9—4 dont l'addition est 23404 = B.y,v8 Les opérations supérieures, telles que la division et l'extraction des racines, deviennent tellement compli- quées, qu'il nous serait impossible d’en faire connaître la marche sans entrer dans des détails beaucoup trop longs pour ce dictionnaire. Delambre a joint a la tra- duction française des ouvrages d’Archimède un essai sur l'arithmétique des Grecs auxqneis nous renvoyons ceux de nos lecteurs qu’une semblable matière peut intéres- ser. Ils doivent encore consulter l'histoire de l’astrono- mie ancienne du même auteur. Eu prenant pour point de départ le perfectionne- ment introduit par Apollonius dans la numération grec- que , il serait assez vraisemblable de supposer que quel- que autre mathématicien, frappé des avantages de la, réduction des périodes de huit chiffres d’Archimède en périodes de quatre chiffres, ait cherché à réduire encore ces dernières, et que par une suite d’améliora- tions ou soit enfin parvenu à reconnaitre qu’il suffisait de considérer des périodes d'un seul chiffre pour pou- voir exprimer tous les nombres; mais il n’en est point ainsi : notre système numérique n’est pas le résultat d’une semblable transformation successive; car les Grecs ne s’élevèrent jamais au-dessus de la méthode d’Apol- lonius. Il est à regretter que nous ne sachions pas à qui nous devons la brillante invention de l'échelle décimale, dont il paraît cependant que l'idée première appartient aux Indiens. C’est en effet de ces peuples que Jes Arabes, qui nous l'ont transmise, déclarent la tenir; et les au- teurs qui ont voulu donner une origine purement arabe AR à la aumération actuelle se sont manifestement trompés. Sans doute, cette numération fut long-temps familière aux Arabes avant de péuétrer dans nos contrées; mais ce serait faire à ce peuple un honneur qu'il reconnait être dû à un autre, si on lui en attribuait l’invention. A la vérité, Boëce (de Geometria) nous apprend que quelques pythagoriciens employaient dans leurs calculs neuf caractères particuliers, pendant que les autres se servaient des signes ordinaires, savoir les lettres de l’al- phabet ; et d’autres auteurs s'appuient sur cette assertion pour revendiquer en faveur des Grecs une priorité dé- mentie par des documens irrécusables. En admettant que l’on connüt dans l’école de Pythagore une manière de noter les nombres semblable à la nôtre, on peut seu- lement conjecturer que c'était une de ces connaissances puisées chez les Indiens par Pythagore, et qui, trans- mise par ce philosophe à un petit nombre d'initiés, de- meura stérile entre leurs mains. Les savans arabes sont tous d’accord sur l’origine de leur arithmétique. C’est aux peuples de l'Inde qu’ils ont emprunté, vers le dixième siècle de notre ère, les caractères que nous nommons chiffres arabes , et qu'ils nommaient chiffres indiens. Ces caractères sont à peu près les mêmes que ceux dont nous nous servons actuel- lement, sauf le zéro, dont le signe est un point (.). Le nom même de l’arithmétique chez les Arabes, hendes- séh, signifie la science indienne. Au nombre des arithméticiens arabes, se trouve le célèbre Avicenne, non moins fameux chez les Orien- taux par ses connaissances mathématiques que par sa science médicale. Ce savant, dont le véritable nom est Abou-Aly Ébn-Syna, a composé un grand nombre d'ouvrages dont il sera fait mention à l’article qui le concerne, et dont la plupart sont demeurés inconnus aux Européens. M. J. J. Marcel, ancien directeur de l’im- primerie nationale au Kaire, et membre de la com- mission d'Égypte, possède dans sa bibliothèque un manuscrit d'Avicenne intitulé : Ressalet fatyhat äbouäb èl-medresséh, fy beyän oussoul él hissdb ou-êl-hen- desséh; ce qui signifie littéralement : Lettre qui ou- vre les portes de l'académie, par l'exposition des raci- nes du calcul et de l'arithmétique. W a bien voulu tra- duire, à notre prière, un fragment curieux de ce ma- nuscrit, que nous croyons devoir insérer ici, parce qu'il peut donner une idée xacte de la manière dont les Arabes envisageaient l’arithmétique. C’est le début de l’ouyrage. » Au nom de Dieu clément et miséricordieux. » Louange à Dieu, qui a créé l'univers et tous les êtres, qui a réglé par poids et par mesures toutes ses créations ; il a créé à la fois et fait sortir du néant les AR AM nombres et les choses, le Æmps et l’espace, et les di- verses influences des nombres, qui modifient l'espace ct le temps. I a doté l’homme, fils d'Adam, de la science des nombres, afin que par les nombres il püt conquérir la puissance des choses, et qu'il dominât le temps ct l'espace, l'un et l'autre abimes sans limites, lui qui oc- cupe sur cette petite terre un espace si borné, lui dont le temps d'apparition dans cette vie inférieure est res- serré dans des limites si étroites, au milieu de la mer immense des siècles se roulant les uns sur les autres, » » Et que la bénédiction du Dieu très-haut, du Dieu dont le nombre est un, soit sur le prophète chéri, sur Mahomet , dont la mission n’a eu lieu qu’au temps pré- fixé déterminé irrévocablement par les calculs sublimes de la Providence unique, et dont le nom a clos le #0m- bre des prophètes élus de Dieu. » » Or donc, comprenant qu'à l'insu de l’homme il existe une puissance surnaturelle et indéfinissable dans les nombres, j'ai voulu composer cet opuscule. Que Dieu fasse miséricorde au pauvre auteur de ce petit livre, comme à ceux qui le liront et en feront bon usage. » » Et d’abord , sache que tout nombre , quel qu'il soit, west autre chose que le nombre Q ou son multiple, plus un excédant; car les signes des nombres n’ont que 9 ca- ractères et valeurs, plus le point (zéro) qui lui-même n’exprime aucun nombre. » » Si tu parviens à connaître cet excédant et le multi- plicateur novénaire , le nombre entier te sera connu. » — Tout multiple novénaire, si tu additionnes en- semble horizontalement les signes qui le composent, sans faire attention à leur valeur de position, te donnera nécessairement le nombre 9, soit seul, soit extrait du to- tal par la même opération. Ainsi, 18 donne 1 plus 8 égal à 9 274 00-12 PLUS 750010) SO + 3 PIUS Os Q Hess te HIPIUS 0e. 10 Elise ss EC. 5... etc. 2763 donne 2 plus 7 plus 6 plus 3 égal à 18 qui donne 9 3456: .....3 plus 4 plus 5plus6..... 18...5.... 9 17847...... 1 plus plus8 plus 4 plus 7.27 ....... 9 (ASS CODE ClCoo ee ss ee MélCes ses CLCe » Toutes les fois qu'additionnant ainsi les signes d’un nombre quelconque tu trouveras 9 pour résultat de ton opération horizontale, sois assuré que c'est un multiple de 9; sinon, après avoir extrait ce nombre il te restera un excédant seulement variable de 1 à 8. » — Tout nombre composé de signes dissemblables change nécessairement de valeur si l’on change l'ordre des signes. Ainsi, 23 devient 32, 164 peut devenir 146, 416, 4613; 614, G4r, etc.; mais sache aussi qu'entre le 142 AR premier nombre et le second, le troisième, etc,, il ne peut jamais y avoir pour différence que neuf ou un mul- tiple de 9.» » Ainsi, 12 retourné fera 21, différence 9 AD Sie de Besse DB. .eorese 27 ce 3 FOIS Q BDs so sseces JJDesscersse 10: + 2 F0 0 Id.......... 537.......,180..20 fois 9 Id. sso B7Bcesces re 2166 24 fOÏs 9 ClCospporeoss Close goes a Go seroeo os Dfhesooe er ee 18/OU 9 FOIS 9 » ADDITION. » Quand tu auras additionné ensemble différentes sommes, si tu veux t'assurer de l'exactitude de ton opé- ration , tu procéderas ainsi : 1°. Additionne horizontale- ment chaque valeur des signes isolés, écris le nombre trouvé inférieur à 9, ou, si tu as un nombre plus fort, additionne de nouveau ses signes, et porte le restant dans une colonne latérale, puis additionne tous ces ex- cédans, et inscris au-dessous ce qui t'en reste en défini- tif, après avoir obtenu un nombre inférieur à g en ad- ditionnant les signes isolés comme ci-dessus. 2°. Fais la même opération sur le total que ton opération d’addi- tion, faite suivant la marche ordinaire, t'avait donné pour la somme résultante des sommes partielles ; addi- tionne jusqu’à ce que tu aies un nombre inférieur à 9, et tu auras de même un excédant. » » Si ton opération avait été bien faite en premier lieu, tes deux excédans seront identiques ; sinon, ton opé- ration avait été mauvaise; recommence-la avec pa- tience. » » Vois l'exemple suivant : Preuve. En Addition ordinaire. es 1147 somme des chiffres : 381... 100 Rat etu care D sesrergenere mecs OI eee cs sara es du 13,secondesomme: 4 0 TO semestres O TA spa nee ae. D D eee À enosoosonapesess IDosvsossssse DO arcanes dent TD itassrects eos (OS NT PE RE RPC Portrait 00 Tot. 29784 .. .somme des chiffres 30 30 excédant 3...... excédant 3 » SOUSTRACTION. » Pour verifier si ton opération de soustraction faite à l’ordinaire est exacte, voici le maven : 1° Opère comme ci-dessus horizontalement sur la somme que tu as eue a soustraire et sur celle que tu as eue pour résidu ; ad- ditionne les excédans et note à part l’excédant final; AR 2° opère de même sur la somme dont tu as soustrait , et si ta soustraction est exacte, tes deux excédans seront identiques. » » Vois pour exemple : Soustraction. 2165 somme des signes : 14, excédant ... 5 — JA eds door eninn-2n sus h Hétdu, ‘BE, 15e t6rarur 0 Somme des excédans........ 14 Excédent final.............. à MULTIPLICATION » Quand tu as multiplié une quantité par un nombre quelconque , si tu veux reconnaître l’exactitude de ton opération et t’assurer que tu n’as commis aucune erreur en suivant la marche vulgairement usitée , tu feras la vérification suivante : » » 1°, Additionne horizontalement comme ci- dessus les valeurs isolées des chiffres de ton multiplicande, de manière à en extraire le chiffre restant, au-dessous de 9, par tes additions successives, et que j'appellerai, pour plus de brièveté, le chiffre radical. » » 2°, Fais la même opération sur le multiplicateur. » » 3°. Multiplie l’un par l’antre les deux chiffres ra- dicaux que tu viens d'obtenir. » » 4°. Extrais le chiffre radical de ee produit. » » 5°. Extrais de même le chiffre radical du produit que t'avait donné l’opération ordinaire. » » Si celle-ci avait été bien faite et sans erreur , ces deux derniers chiffres radicaux doivent être les mé- mes. » » Vois ici pour exemple : » multiplicande 495, 1° somme 14, ehiffre radical 5 multiplicateur 122....1d..,. 5.,.... Idssrsee 550. produit... 25. . .chiff, rad. 7 55o é 295 . produit 33550... 11° somme 16.,.,..... chiffre radical... DIVISION. » Et pour vérifier une opération dans laquelle tu au- ras divisé un nombre par un autre, suis la même mar- che; et, après avoir extrait les chiffres radicaux du di- viseur et du quotient, multiplie ces deux nombres l’un par l’autre, le chiffre radical de ce produit devra être le même que celui de ton dividende , si tu n'as pas commis d'erreur. » » Au reste, sache que les quatre opérations précé- AR déntes ne sont que la permutation de nombres com- plexes, souvent susceptibles de mettre en erreur, par la multiplicité des signes et des calculs partiels qu'ils né. cessitent, en un nombre simple, d’une seule figure, qui y est caché, comme le noyau de la datte au milieu du fruit, et qui représente parfaitement, dans toutes leurs fonctions, les nombres, quels qu'ils soient, dont il est enveloppé. Ce nombre, par sa simplicité, n’est plus sus- ceptible d'erreur comme celui qu’il représente ; et je l'ai nommé chiffre radical, parce qu'il est la racine réelle des autres, et en rend maître , comme on l’est d’un ar- bre, eût-il mille branches, quand on est maitre de sa racine; comme aussi dans une maladie on maîtrise les symplômes les plus compliqués êt les plus alarmans, quand on a connu et attaqué avec succès la cause latente de la maladie, et qu’on en a extirpé la racine. » Ce fut vers le commencement du XIIL° siècle que l’a- rithmétique arabe se répandit en Europe. Le plus an- cien ouvrage écrit sur cette matière, intitulé : Ælgorith- mus demonstratus , est de Jordanus de Namur, à qui nous sommes encore redevables d’un traité d’arithmé- tique, commenté ensuite et publié par Jacques Faber d’Étaples aussitôt après l'invention de l'imprimerie dans le XV° siècle. Le moine Planude, contemporain de Jordanus, écrivit aussi un ouvrage intitulé : Arith- métique indienne, où manière de calculer suivant les Indiens, dont il existe encore des manuscrits. À peu près à la même époque, Jean Halifax , plus connu sous le nom de Sacro-Bosco, donna son arithmétique en vers latins, dans laquelle la forme des chiffres est pres- que déjà identique avec la nôtre. Bientôt après la science numérique reçut de grandes améliorations , auxquelles contribuèrent d’une manière assez remarquable Lucas de Burgo et Nicolas Tarta- glea. En France, Clavius et Ramus; en Allemagne, Suifelus et Henischius; en Angleterre, Buckley, Diggs et Recorde, peuvent être cités comme les principaux arithméticiens de cette première époque de la science. Mais ce n’est qu'aux immenses progrès de l’algèbre, opérés durant les deux derniers siècles, que l’arithmé- tique doit son entier developpement; et, si nous pou- vons ici l’embrasser dans son ensemble, nous en sommes redevables à ces hommes illustres qui cultivèrent avec tant de succès, pendant cette seconde époque, la science générale des nombres, Foy. ALGÈBre, 1. Les nombres se présentent d’abord à l'intelligence comme dés collections d'unités (voy. ALcÈpne 9). Aussi Les anciens les définissaient-ils : l'assemblage de plusieurs unités. Mais cette définition incomplète ne s'applique réellement qu'aux nombres entiers; ét comme ces nom- bres ne sont pas les seuls dont la science doive s’occu- per, les modernes ont cherché infructueusement à la AR - 443 généraliser. Celles de Wolf et de Newton, qui se rédui- sent à considérer les nombres comme le rapport d’une quantité à une autre de la même espèce, prise pour unité, renferment déjà implicitement l'idée primitive de nombre; et il eu est à peu près de même de toutes les autres, que nous nous abstiendrons de rapporter. Les nombres, abstraction faite de tout objet extérieur , sont un produit de l’entendemert formant une classe particulière de réalités intellectuelles; leur définition est donc une véritable construction philosophique qui n’est plus du domaine de leur science; et l’on ne doit päs s'étonner si toutes les tentatives des mathématiciens sur ce sujet ont complétement échouées. En effet, la phi- losophiié seule peut remonter à l'origine des objets pri- mitifs des sciences, comme elle peut seule aussi expli- quef leurs principes et légitimer leurs lois; c'est au moins l’idéal de cette science des sciences, et nous ver: rons, à l’article Puiro3opRié pes marnÉMarIQUES , de quelle manière elle prétend aujourd’hui réaliser cette haute fonction. Notre but ne pouvant être ici que de donner une exposition purement élémentaire de l’arith métique, nous devons nous contenter des déductions vulgaires suivantes, qui nous paraissent suffisäntes pour en faire connaître l’ensemble et les procédés. 2. L'unité est un objet quelconque pris pour terme de comparaison avec tous les objets de même espèce. 3. Un nombre est l'assemblage de plusieurs unités, Ainsi, lorsqu'on désigne la longueur d’un espace en di- sant qu'il a trois mètres, trois est un nombre qui ex- prime combien cet espace contient de fois l'unité de longueur ou le mètre. 4. Mais le mètre, ou généralement l'unité quelconque de mesure, péut étre considéré comme ayant des par- ties; il n'y a donc pas d'unité absolue, et celles dont nous nous servons, telles, par exemple, que Le franc, pour les monnaies, Le gramme, pour les poids, Le mètre, pour les longueurs, L’'are, pour les surfaces, Le Ztre, pour les liquides, L'heure, pour les jours , etc., sont nécessairement arbitraires. etc., 5. Considérée en elle-même, l'unité est ce qui est opposé à plusieurs, l'élément premier de toute collec- tion. 6. On peut aussi considérer les nombres indépendam ment des objets : ils se nomment alors nombres abstraits, tandis qu’on les nomme nombres concrets lorsqu'ils ex- priment des objets déterminés. Ainsi, cinq est un nom- bre abstrait tant qu'on ne l'applique à aucun objet; mais cinq mètres où cinq grammes est un nombre concret. 144 AR 7. Comme il est évident que, quelles que soient les propriétés individuelles du nombre cinq, ces propriétés auront toujours lieu, soit qu’il exprime des mètres, des grammes ou toute autre espèce d'objets, il suffit de con- sidérer les nombres abstraits dans la recherche des pro- cédés de l’arithmétique. 8. L'arithmétique se divise en deux parties, dont l’une a pour objet la construction des nombres, et l’au- tre leur comparaison. Dans la première, on s'occupe à former les nombres; dans la seconde, on recherche, lorsqu'ils sont formés, leurs relations ou leurs rap- ports. 9. Le premier mode primitif de formation des nom- bres est l’anpirion. C’est en ajoutant d’abord l'unité avec elle-même que nous formons deux ; et c’est ensuite en ajoutant l'unité avec deux que nous formons #rors, et ainsi de suite. Lorsqu'un nombre est une fois formé, nous le représentons par un caractère particulier ou chiffre qui sert à le distinguer de tous les autres : ainsi, deux est représenté par 2, trois par 3, quatre par 4, etc., etc. Mais comme nous pouvons former une infinité de nombres, et qu'il nous serait impossible d’a- voir pour chacun d’eux un caractère particulier, il faut nécessairement trouver le moyen d'exprimer tous les nombres par une quantité limitée de caractères. 10. La première opération de l’arithmétique, sur laquelle repose sa possibilité, a donc pour objet de re- présenter un nombre quelconque à l’aide d’autres nom- bres que l’on cousidère cornme simples, et qu’on repré- sente par des signes particuliers. Cette opération se nomme NUMERATION. 11. Dans l’arithmétique actuelle , les caractères adop- tés pour représenter les nombres considérés comme simples et ces nombres eux-mêmes , sont : OÙ 1, 2,000 04-00 1081 7E, zéro, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf. 8, 0: 12. Pour exprimer tous les nombres au moyen de ces dix caractères , on leur attribue deux valeurs : l’une ab- solue, indiquée par la quantité d'unités qu'ils renfer- ment ; l’autre relative, déterminée par la place qu'ils occupent lorsqu'on les écrit sur une même ligne hori- zontale. Par exemple, 2 pris isolément exprime deux unités; placé à la gauche d’un autre chiffre, il exprime une quantité dix fois plus grande , ou deux diraines, comme or est convenu de le nommer alors. En général, lorsque plusieurs chiffres sont écrits les uns à côté des autres , tels que 299299 , le premier , à droite, n’a que sa valeur absolue; le se- cond vaut dix fois plus, le troisième cent fois plus, le AR quatrième mille fois plus , et ainsi de suite en allant de droite à gauche. 13. On est donc convenu de nommer diraine l’assem- blage de dix unités, et de compter par dixaines comme on compte par unités, c'est-à-dire d’avoir une, deux, trois, etc., jusqu’à neuf dixaines ; et, pour les expri- mer, on voit qu’il suffit de placer au second rang le chiffre qui exprime le nombre de ces dixaines; 60, par exemple, exprime six dixaines, tandis que G seul n’ex- prime que six unités. Le caractère o sert particulièrement à donner aux chiffres le rang qu'ils doivent occuper. 14. On nomme centaine la collection de dix diraines, mille celle de dix centaines ; et on compte par centaines et par mille comme par unités et par dixaines. Il suffit, d’après ce qui précède , de placer au troisième ou au quatrième rang le chiffre qui indique le nombre des centaines et des mille pour lui faire exprimer sa double valeur. Ainsi, 500 désigne cinq centaines , et 5000 cinq mille. 15. Cela posé (nous supposons les noms des nombres connus), pour écrire sir cent quaranle-cinq , On remar- quera que ce nombre est composé de cinq unités sim- ples, de quatre dixaines et de six centaines. On placera donc le chiffre cinq au premier rang , le chiffre quatre au second , et enfin le chiffre six au troisième, et 645 exprimera le nombre proposé. 16. Passé mille, on compte par diraines de mille et centaines de mille ; dix centaines de mille se nomment un million. On compte ensuite par dixaines de millions et centaines de millions; dix centaines de millions se nomment un billion; dix centaines de billions un tril lion, etc., etc. On donne plus particulièrement le nom de nilliard au billion. Ainsi, pour exprimer le nombre huit milliards deux cent millions deux cent vingt-quatre mille cing cent trente-huït, on écrira : 8 200 224 538, mettant des zéros à la place des unités de millions et d dixaines de millions qui ne se trouvent pas dans le nom bre proposé. 17. Pour éuoncer un nombre écrit par des chiffres, il faut le diviser en périodes de trois chiffres, en allant de droite à gauche , la première période sera celle des unilés simples, Va seconde celle des znille, la troisième celle des millions, etc. , etc.; et il suffit alors d’énoncer successivement chaque tranche comme si elle était seule, en joignant au nombre d'unités qu’elle renferme son nom particulier. Par exemple, pour énoncer le nombre 88:5648585607832506, on le partagera par tranches _de trois chiffres, ainsi qu'il suit 8,835 ,648, 585, Go7 , 832 , 506; AR et, remarquant que la dernière tranche est celle des quintillions, on lira : huit quintillions, huit cent soixante- quinze quatrillions, six cent quarante-huit crillions , cinq cent quatre-vingt cinq béllions, six cent sept mil- lions , huit cent trente-deux mille, cinq cent six unités. 18. D’après ce qui précède, on voit qu'il ne peut exister de nombre, quelque grand qu’il soit, qu'on ne puisse représenter au moyen des dix caractères adoptés, et qu’ainsi le problème de la numération est compléte- ment résolu. Nous verrons à l’article NuméraTIoN qu’on peut éga- lement représenter tous les nombres en employant plus ou moins de dix caractères, c’est-à-dire en prenant une échelle numérique quelconque différente de dix. 19. Les nombres étant ainsi construits d’une manière générale, la première opération de l’arithmétique est Vanprriow’, de laquelle on déduit la sousrracrion; de l'addition on passe à la mucripzicarion , dont dérive la Division; et enfin de là on arrive à l'ÉLÉVATION AUX PUISSANCES €t à son inverse l’EXTRACTION DES RACINES. (Voy. ces divers mots, ainsi que FracrIoNs.) 20. Les rapports des nombres nous donnent les pro- porTIONSs et les PROGRESSIONS (voy. ces mots), et des di- verses considérations qu’on peut en faire dériver nais- sent : la RÈGLE DE Trois, celle de soci£ré, celle d'az- LIAGE, celle d’EscCOMPTE, d’INTÉRÈT, de FAUSSE PoOsI- TION ; la règle consointE, et même les LOGARITHMES , en les considérant d’une manière purement arithmétique. Voy. ces divers mots. ARITHMOMÈTRE ou ARITHMOGRAPHE, Ins- trumens sur lesquels sont tracées des divisions logarith- miques , et qui servent à exécuter les calculs arithmé- tiques. Peu de temps après la découverte des logarithmes , Edmund Gunter, astronome anglais, eut l’idée de les construire linéairement sur une règle de bois ou de mé- tal, pour pouvoir effectuer, à l’aide d’un simple com- pas, toutes les opérations qui exigent l'emploi de ces nombres. Cette ingénieuse construction fut bientôt per- fectionnée par #ingate, Ougthred, Milburne, et sur- tout par Lambert, qui rendit inutile l’usage peu certain du compas, en employant deux règles au lieu d’une. Avant Lambert, J. Biler, en 1606, avait construit deux demi-cercles tournant l’un sur l’autre, et portant sur leurs limbes les nombres , les sinus et les tangentes. La règle logarithmétique , où règle glissante , en usage au- jourd’hui, et que les Anglais nomment encore échelle de Gunter, est le résultat de ces perfectionnemens. Cet instrument, d’un usage aussi simple qu’avanta- ‘geux, demeura long-temps inconnu en France; la première tentative faite pour l'y introduire est due, à ce que nous croyons, à M. Jomard, de l'Institut. De- puis, l’échelle de Gunter reçut un nouyeau perfection- AR 445 nement par la construction circulaire des logarithmes sur deux limbes concentriques; ce qui permet d’obte- air une plus grande exactitude, en rendant néanmoins l'instrument plus portatif. Si le cercle logarithmique n’est pas devenu en France d'un usage aussi général que la règle glissante ne l'est en Angleterre, où les enfans apprennent à s’en servir en apprenant à lire, on ne peut l’attribuer qu’à l’exécu- tion défectueuse de ceux de ces instrumens qui ont été jusqu'ici livrés au public; car la plus légère inexactitude dans les divisions où dans la centration rend le cercle logarithmique entièrement inutile. Il n’en est pas de même de l’Arithmomètre que nous avons en ce moment sous les yeux : c’est un véritable instrument de préci- sion, exécuté avec autant de soin que les meilleurs cer- cles répétiteurs, et sur lequel on peut trouver en un instant les résultats des calculs les plus compliqués de l’arithmétique. Un dépôt de ces Arithmomètres Venant d’être établi’ chez les Éditeurs de notre dictionnaire, nous nous dis- peuserons de plus longs détails sur cette utile et intéres- sante machine, que tout le monde peut aujourd’hui se procurer. On trouve également au même dépôt des mo- dèles de cercles logarithmiques d’une plus grande di- mension pour les calculs supérieurs du cadastre , du gé- nie et de la marine. ARMILLAIRE (Astr.). Sphère armillaire. Assem- blage de plusieurs cercles de métal, de bois ou de car- ton, au centre desquels on place un petit globe qui sert à désigner la terre. Ces cercles ont été em- ployés pour représenter les mouvemens des astres selon le système de Ptolémée; c’est-à-dire dans l'hypothèse de la terre immobile au centre de univers. Quoique le véritable système du monde soit aujourd’hui hors de toute discussion, la sphère de Ptolémée est cependant la plus usitée, comme étant la plus simple; elle suffit, en effet, pour les notions élémentaires de l'astronomie et de la géographie, et sert à classer les faits apparens du mouvement des corps célestes. On ne sait pas au juste quel est l’inventeur de la sphère armillaire ; quel- ques écrivains en ont attribué la première idée à T'ha- les, et d’autres à Archimède. Mais, d’après les témoi- gnages les plus authentiques, nous croyons qw'elle est due à Anazximandre. Le nom d’armillaire est dérivé d'armilla, bracelet. Tous les cercles qui composent cette sphère sont effectivement des bandes circulaires assez semblables à des bracelets. 1. On distingue dans la sphère armillaire dix cercles: six grands et quatre petits. Les grands cercles sont ceux qui passent par le centre de la sphère, et qui par con- séquent la partagent en deux parties égales que l’on ap- nelle hémisphères. Les petits cercles sont ceux qui ne 146 AR passent pas par le centre; ils divisent la sphère en deux parties inégales. 2. Les prands cercles sont (PL. IV, fig. 1): l'horizon, le méridien, V'équateur, le zodiaque, qui renferme l’e- cliptique, et les deux colures. 3. Les petits cercles sont : les deux tropiques et les deux ceroles polaires. 4. Les dix cercles de la sphère servent à expliquer les mouvemens des astres ou à déterminer leur situa- tion. Nous allons donc exposer successivement l'usage particulier de chacun de ces cercles ; mais nous devons rappeler d’abord qu'il y a deux sortes d’astres : les étoiles fixes et les planètes, Les étoiles fixes sont des astres qui paraissent garder toujours la même situation entre eux; c’est ce qui leur a fait donner l’épithète de fixes. Les planètes, au contraire, changent continuel lement de situation les unes à l'égard des autres, et par rapport aux étoiles fixes. Les anciens, qui met- taient le soleil et la lune au nombre des planètes, en comptaient sept, savoir : le Soleil, la Lune, Mercure, Venus, Mars, Jupiter et Saturne. Aujourd'hui , nous comptons onze planètes principales : Mercure, Venus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus (découvert par Herschel en 1781), Cérès, Pallas, Junon et Vesta (découvertes récemment par MM. Piazzi, Harding et Olbers), et dix-sept planètes inférieures ou satellites, savoir : la Lune, satellite de la Terre, quatre satellites de Jupiter, sept de Saturne et cinq d’Uranus. Quant aux étoiles fixes, leur nombre est immense; et, pour pouvoir distinguer les principales, on en a formé diffé- rens groupes qu’on nomme constellations. On remarque dans les étoiles et dans les planètes deux sortes de mouvemens, dont le premier s'effectue en viogt-quatre heures d’orient en occident; on le nomme diurne ou journalier ; ce mouvement étant à peu près le même dans tous les astres, on lui donne encore le nom de mouvement commun. Le second mouvement, opposé au premier, se fait d'occident en orient : on le nomme périodique et propre. Quand il s’agit du soleil, on le nomme aussi annuel, parce qu'il se fait dans l’es- pace d’une année. Sa durée diffère pour chaque pla- nète ; elle est tellement grande pour les étoiles fixes, que ce n’est que par une immense suite d'observations qu’on a pu constater chez ces astres l'existence d’un mouvoment propre. Pour concevoir comment ces deux mouvemens oppo- sès peuvent convenir aux mêmes corps, il faut imaginer une roue qui tourne sur son axe, et sur laquelle une mouche marche en sens contraire de la rotation; le mouvement communiqué à la mouche par la roue peut représenter le mouvement commun des astres vers l’oc- cident , tandis que le mouvement propre de la mouche peut représenter leur mouvement propre vers lorient. AR Toutefois, il est important de remarquer que cette complication dé mouvemens n’existe qu’en apparence, et que nous décrivons ici les phénomènes tels qu’ils ap- paraissent à nos sens, et non tels qu’ils sont en réalité. Le mouvement diurne fait décrire à tous les astres des cercles parallèles, qui ont tous par conséquent le même axe, que l’on appelle l'axe du monde, ét dont les deux pôles sont aussi les pôles du monde. Le pôle qui est dans la partie du ciel visible pour les peuples de l'Eu- rope se nomme septentrional, arctique où boréal; et le pôle qui lui est opposé s'appelle méridional, antarcti- que où austral. Cela posé, passons à l’explication des cercles de la sphère. 5. L’aomizon divise la sphère ou le monde en deux parties égales, dont l’une est visible, et dont l'autre nous est cachée à cause de la terre, qui la dérobé à nos re- gards. La partie visible se nomme l'hémisphère supé- rieur , et la partie invisible l'hémisphère inférieur. L’horizon est donc représenté par le cercle posé sur les quatre supports qui sont attachés au pied de Ja sphère. (Foy. PL. IV, fig. 1. Il est essentiel d’avoir cette figure sous les yeux pour comprendre exactement ce qui va suivre. ) 7. L’axe de l'horizon est une ligne droite quel'on eon- çoit passer par le point du ciel qui est directement au- dessus de notre tête, et par le point diamétralement op- posé, et qui répond à nos pieds : le premier se nonmne cénith, et le second nadir. Cet axe passe aussi par le centre de la terre. 8. L’horizon sert à déterminer le lever et le coucher des astres. C'est ainsi, par exemple, qu’on dit que le 50- leil se lève lorsqu'il monte au-dessus de l'horizon, et qu'il se couche lorsqu'il descend au-dessous. On distin- gue plusieurs espèces d'horizons; mais cette considé- ration est étrangère à la sphère armillaire (Foy. Ho- RIZON ). 9. L'horizon se partage en deux moitiés, dont l’une se. nomme ortentale et l’autre occidentale. Ces deux moitiés sont séparées l’une de l’autre par ie méridien. 10. Le MEriDren est un grand cercle qui passe par les deux pôles. Il divise la sphère en deux parties, nommées hémisphère ortental et hémisphère occidental. Ce cercle, qui est perpendiculaire à l'horizon et qui passe aussi par le zénith et le nadir, a été inventé pour déter- miner le milieu de la course des astres au-dessus de cet horizon. On le nomme méridien, parce qu'il est mid pour tous ceux qui ont le même méridien, ou plus exactement le même demi-méridien; lorsque le soleil y est parvenu, il est alors minuit pour ceux qui ont le demi-méridien opposé. 11. Chaque lieu ayant nécessairement un méridien particulier sur lequel se trouvent son zénith et son na- dir, on voit qu'il ÿ a un nombre infini de méridiens AR qui vont tous se couper aux pôles du monde. Pour dis- tuinguer un de ces méridiens des autres , il faut lui ajou- tér , lorsqu'on en parle, le nom du lieu auquel il appar- tient. C'ést ainsi qu’on dit : le méridien de Paris, le mé- riien de Londres , etc., etc. On doit encore remarquer que par cette désignation on sous-entend un endroit par- ticulier de Paris ou des autres villes, lequel est ordinai- rement l'observatoire de ces villes. De cette manière, par lé méridien de Paris, on entend le méridien qui passe par le zénith de lobservatoire. La ligne corres- pondante tracée sur la surface de la terre se nomme mé- ridienne, Tous les points de la méridienne ont seuls le même méridien. Les pôles du méridien se nomment l’ortent et l'occident vrais; ce sont les points où le soleil , se lève et se couche dans le temps de l’équinoxe. 12. L'ÉqQuateun est un grand cercle qui a les mêmes pôles et le même axe que la sphère , et qui la divise en deux hémisphères, dont l’un se nomme septentrional ou boréal, parce qu'il contient le pôle du même nom, et dont l’autre se nomme méridional ou austral par Ja même raison. Ce cercle est nommé cquateur à cause de l'égalité des jours et des nuits, qui a lieu pour toute la terre lorsque le soleil occupe un de ses points, ce qui arrive deux fois par an, savoir, vers le 21 mars et le 23 septembre, et ce qu’on appelle l’éequinoxe. L'équa- teur coupe l'horizon en deux points, qui sont l’est ou lorient, et Y'ouest ou l'occident. Ces points sont les pôles du méridien. D’après cette définition de l'équateur, on voit qu'il est coupé perpendiculairement par tous les méridiens, puisque tous les méridiens passent par ses pôles. 13. L'ÉCLIPTIQUE est un autre grand cercle qui coupe obliquement l'équateur et fait avec lui un angle d’envi- ron 23° 28’. Cet angle se nomme l’obliquité de l'éclip- tique. L’écliptique occupe le milieu d’une bande nom- mée ZopraqQuE dont la largeur est de 16 à 18 degrés. Le soleil ne s’écarte jamais du cercle de l’écliptique dans Ja route qu’il paraît parcourir par son mouvement propre; mais les planètes s'en éloignent tantôt vers un pôle et tantôt vers l’autre, les uns plus et les autres moins. C'est pour cette raison queles premiers astronomes ont formé le zodiaque, auquel ils ont donné une largeur suf- fisante pour qu'il pût contenir les orbites des planètes qu'ils connaissaient. 14. L'écliptique, ou plutôt son plan, faisant un angle avec le plan de l'équateur, les axes de ces cercles font nécessairement le même angle; c’est-à-dire que le pôle de l’écliptique est éloigné de 23° 28° de celui de l'équa- teur. 15. On partage le zodiaque en douze parties égales, qu’on appelle signes. Chaque signe a une étendue de 30° : le cercle entier étant supposé divisé en 360°. Les ù AR 447 noms de ces Signes, ainsi que les époques de l’année où le soleil paraît les atteindre, sont : Y le Bélier, 21 mars. © le Taureau, 20 avril. H les Gémeaux, 21 mai. & le Cancer, 22 juin, 8, le Lion, 23 juillet. np la Vierge, 23 août. + la Balance, MA le Scorpion, 24 octobre. > le Sagittaire, 23 novembre, % le Capricorne, 22 décembre, = le Verseau, X les Porssons, 23 septembre. 20 janvier. 19 février. 16. Le soleil parait parcourir les trois premiers signes pendant le printemps, les trois suivans pendant l'été, les trois autres pendant l'automne et les trois derniers pendant l'hiver. 17. On nomme points équinoxiaux les points où l'é- cliptique coupe l'équateur, et points solsticiaux les deux points de l’écliptique les plus éloignés de l'équateur, Ces quatre points séparent les signes d’une saison de ceux d’une autre. 18. Les colures sont de grands cercles qui se coupent perpendiculairement aux pôles de la sphère, et dont l'un passe par les points équinoxiaux, et l’autre par les points solsticiaux : ils divisent le zodiaque et l’équateur en quatre parties égales. On les distingue par les noms de colure des solstices et colure des équinoxes, d’après les points où ils passent, Ges deux cercles sont de vérita- bles méridiens. 19. Les Troriques sont deux petits cercles parallèles À l'équateur qui touchent l’écliptique aux points solsti- ciaux. Celui qui est dans la partie septentrionale se nomme {ropique du cancer, et V'autre tropique du capri- corne. Ces noms leur ont été donnés parce qu'ils tou- chent l’écliptique aux commencemens des signes du can- cer et du capricorne. “ Dans le chemin que le soleil semble parcourir sur l’é- cliptique, si l’on suit sa trace en partant de l’un des points où ce cercle coupe l'équateur, on le voit s’éloi- Ë gner de l'équateur, en décrivant chaque jour, par l'effet . du mouvement diurne, des cercles de plas en plus petits, parallèles à ce dernier, ou plus justement des portions de spirale à peu près parallèles. Parvenu à l'un des points solsticiaux, il décrit le cercle tropique, puis se rapproche ensuite de l'équateur et le dépasse en s’en éloignant pour aller atteindre l'autre point solsticial , et s’en rapprocher ensuite de nouveau. C’est pour cetta raison qu’on a donné le nom de tropiques aux deux pe- tits cercles qu'il décrit à ces poïnts solsticiaux où il pas 148 AR raît retourner vers l'équateur Le mot fropique Venant du grec rptæw , je relourne. 20. Les points du cercle de l’horizon où le soleil se lève et se couche dans nos climats, lorsqu'il décrit le tro- pique du cancer, se nomment lorient et l'occident d'été, et ceux où il se lève et se couche lorsqu'il décrit le tro- pique du capricorne se nomment lorient et l'occident d'hiver. 21. Les deux cERCLES poLAIRES sont décrits par les pôles de l’écliptique, tandis que la sphère entière fait sa révolution autour des pôles de l'équateur. Ces cercles sont donc éloignés des pôles du monde de 23° 28". 22. Outre les cercles dont nous venons de parler , et qui composent la sphère armillaire, il y en a d’autres, soit grands soit petits, dont la connaissance est indispen- sable pour l'astronomie et la géographie. On les nomme cercles verticaux, cercles de déclinaison, de latitude, et cercles horaires. Voy. DÉcrinaison, Larirune, VErTi- CAUX. 23. Il nous reste à parler des différentes positions de la sphère, désignées sous les noms de sphère droite, sphère oblique et sphère parallèle. La spnère Droite est celle dans laquelle l'équateur coupe l'horizon à angles droits. Ainsi, tous les peu- ples qui sont sous la ligne équinoxiale, ou dont le zé- nith est sur l’équateur céleste, ont la sphère droite. La spnÈRE oBLIQUE est celle dans laquelle l'équateur coupe obliquement l'horizon. Telle est donc la position de la sphère pour tous les peuples de la terre, excepté pour ceux qui sont sous l’équateur ou sous les pôles. Enfin, la spnÈRE PARALLÈLE est celle dont l’équateur se confond avec l'horizon : alors le zénith est à l’un des pôles du monde. Il est facile de comprendre que, dans ces trois posi- tions de la sphère, les apparences des mouvemens cé- lestes doivent être entièrement différentes. V’oy. Lever, Covcuer, Jour NATUREL et JOUR ARTIFICIEL. ARMILLE. Ancien instrument dont les astronomes se servaient pour leurs observations. Il était composé de deux cercles de cuivre fixés l’un dans le plan de l’équa- teur, l’autre dans celui du méridien, et d’un troisième cercle mobile. Depuis long-temps cet instrument a été abandonné. = ARPENTAGE (dérivé d’arpert, nom de plusieurs mesures agraires employées en France). Art de mesu- rer les terrains , ou application de la géométrie à la me- sure des terrains. Tous les écrivains s'accordent à placer en Egypte l’o- rigine de l’arpeutage; mais ils la racontent de diverses manières : suivant les uns (Proclus in 1), les crues pé- riodiques du Nil confondant les limites des propriétés, il devint indispensable de se former des règles pour as- AR signer à chacun ce qui lui appartenait avant l’inonda- tion; et cette nécessité fit naître les premières notions de la géométrie. Suivant d’autres (Hérodote, liv. 1), dont les conjectures paraissent mieux fondées, sous le règne de Sésostris, l'Égypte fut coupée par de nombreux ca- naux, que ce prince répartit entre ses sujets. Ce partage s’effectua d’après les instructions de Thot, ninistre de Sésostris, qui jeta à cette occasion les fon- demens de la géométrie. Quoi qu’il en soit de ces ver- sions , que nous examinerons autre part (v0y. GÉOMÉ- TE) , il parait certain que le besoin de déterminer la figure et les dimensions des terrains a donné naissance à cette branche importante des mathématiques, si res- treinte à son origine, si vaste de nos jours, et que nous désignons sous le nom de géométrie , quoique ce nom, qui signifie littéralement en grec mesure de la terre, soit loin d’en caractériser la nature et l’objet. L’arpentage , en donnant à ce mot sa plus grande ex- tension, se divise en trois parties : la première se com- pose des opérations qu'il faut exécuter sur le terrain même ; la seconde, des opérations qui ont pour but de représenter sur le papier la figure et les proportions du terrain mesuré; la troisième, des calculs nécessaires pour arriver à la connaissance de la superficie ou de l'aire du terrain. La première partie est proprement l’arpentage; la seconde , le /evé des plans , et la troisième ; le toise. 1. Les instrumens dont on se sert pour opérer sur le terrain sont : l’éguerre , le graphomètre, la boussole , la planchette et le niveau. 1] faut de plus une chaine et des fiches pour mesurer les longueurs, et des jalons pour tracer les alignemens. 2. Les jalons sont des bâtons droits ferrés en pointe par le bas et fendus par le haut , pour recevoir un petit carré de papier; leur longueur est arbitraire. On trace un alignement à l’aide des jalons de la manière sui- vante : Soit proposé de mener sur le terrain une ligne droite qui passe par les deux points À et B, et qui se prolonge plus loin en E. Pour cet effet, on plantera deux jalons AetB(Pz. V, fig. 2) perpendiculairement à l'horizon : ces deux jalons détermineront l'alignement. A une dis- tance BC, prise à vue d’œil, égale à AB, on plantera un troisième jalon C, dont on ajustera la tête en avan- ant ou reculant, de manière que le rayon visuel qui passe par C et B rencontre À dans une même ligne droite. On fera une semblable opération en D, en pre- nant la distance CD à peu près égale à BC ou AB ; c’est- à-dire qu’on plantera un troisième jalon D, en ayant soin que le rayon visuel DC passe par les points B et A:; ce que l’on connait lorsqu’en visant de D en C, les ja- lons Bet À sont cachés entièrement par le jalon C. On continuera de même aussi loin qu’on le voudra, AR Si le terrain sur lequel on veut prendre un aligne- ment est montueux , On en suivra les sinuosités de trois en trois jalons, en alignant chacun de ces jalons avec les deux qui le précèdent, et se servant de jalons plus petits les uns que les autres, suivant le besoin. 3. La chaine est une chaîne de fer de dix mètres de Jongueur, Elle est divisée de mètre en mètre par des anneaux de cuivre; et chaque mètre est encore subdi- visé en moitié ou en quart par de plus petits anneaux. Elle se termine à chacun de ses bouts par un anneau plus large, qu'on nomme poignée, et dans lequel on peut passer la main pour la tendre. Les poignées font partie de la longueur de la chaine. On se sert aussi, au lieu de chaine, d’un ruban de fil divisé en mètres et parties de mètre, 4. Les fiches sont des tringles de fer d’un demi-mètre de hauteur, et d’une épaisseur suffisante pour qu’on puisse les enfoncer en terre sans les courber. 5. Pour mesurer uve ligne droite avec la chaine et les fiches, il faut deux personnes : la première, qui est l'aide ou le porte-chaïne, marche en avant, tenant les fiches de la main gauche et une poignée de la chaine de la main droite; la seconde, ou l’arpenteur, suit en ar- rière en tenant l’autre poignée. Après avoir planté une première fiche au point de départ, le porte-chaîne marche directement sur l'alignement en se dirigeant à l'aide des jalons préalablement posés. Lorsqu'il se sent arrêté par l’arpenteur , qui appuie sa poignée contre la première fiche, le porte-chaine tend la chaine en pas- sant une fiche dans la poignée, et eu enfonçant ensuite cette fiche dans la terre. Cela fait, il continue sa route jusqu’à ce que l’arpenteur, arrivé à cette seconde fiche, l'arrête de nouveau pour tendre la chaîne et planter une nouvelle fiche. Ils continuent d'opérer de cette manière tant que le porte-chaine à des fiches : lorsqu'il les a toutes employées , l’arpenteur, qui les lève à mesure, les lui rend , en cotant leur nombre sur un morceau de papier, sauf la première, qui demeure pour servir en- core de point de départ. Ordinairement, il y a en tout onze fiches. Ainsi chaque cote est de 10. L'opération se continue de la même manière jusqu’au poin’ où l’on doit arriver. Lorsque la distance de ce point à la dernière fiche est plus petite que 10 mètres, on a soin de la mesure: exactement, et on l'ajoute au nombre total des fiches, qui vaut dix fois autant de mètres. Cette opération, quoique très-simple, demande ce- pendant une grande attention; car, si la chaîne n’est pas suffisamment tendue à chaque station, ou si le porte- chaine s’écarte de l'alignement, la mesure n’est plus exacte. Nous allons exposer les principales opérations d'ar- pentage qui ne demandent que la chaine et les jalons. AR 149 6. ProgLÈME Î. Mesurer une distance inaccessible AB (PL. V, fig. 1). Prolongez à volonté AB vers C, et du point C menez une droite CF faisant avec AC un angle à peu près droit. Etablissez ensuite, avec des jalons, la ligne BF; et du point D, milieu de CF, menez une ligne droite BD, et prolougez-la vers G en prenant DG—BD. Par les points F et G, menez l’alignement FE, et par le point D menez ug autre alignement vers À , que vous prolon- gerez au-desses de CF jusqu’à ce qu'il rencontre FE en E, où vous planterez un jalon. Mesurez enfin EG, cette ligne est égale à la distance demandée AB. En effet, AC et FE étant parallèles par construction, les angles CAD et DEF sont égaux (voy. Anczrs, n° 7). Ainsi, les triangles BDA et EDG, cui ont les côtés égaux BD et DG, et les angles égacx CAD et DEF, BDA et EDG, sont entièrement égaux (voy. TatancLrs) donc AB—GE. » 7- ProsLème I. Tracer sur le terrain une ligne per. pendiculaire à une autre ligne donnée. C Soient AB la ligne donnée, et D le point où doit tomber la per- pendiculaire. MenezDE de maniere que l’angle EDB soit aigu; prenez DE=DB;et, par les points E et B, tracez un alignement BEC; mesu- A D B rez BE avec soin, et faites CB égal à 2DB “EB' Le point C appartiendra à la perpendiculaire, dont l’a- lignement se trouvera ainsi déterminé par les deux points C et D. En effet, le triangle CDB étant rectangle en D, si l’on conçoit DF perpendiculaire sur l’hypothénuse CB, on aura (v0y. TRIANGLE RECT.) DB — CB X BF. Mais, par construction , BF — 3EB ; donc on a aussi DB = : CB X EB; et, conséquemment , » | 2 DB CB=—°. EB Par exemple, si l’on avait DB — 100 mètres, et que l’on eût mesuré EB — 98 mètres, on trouverait par le \ f calcul 20000 BEST —= 204",08. 450 AR On prendrait donc sur Falignement BC une longueur de 204,08, et le point C serait déterminé. 8. S'il s'agissait d’abaisser c une perpendiculaire d'un point donné C, sur AB, on mènerait CA et CB de ma- nière que les deux angles CAB et CBA fussent aigus, et l’on déterminerait le pied D de la perpendiculaire en A D B calculant DB par l'expression Echo. DB UTÉ Voy. TRIANGLES. | 8. Pros. III. D'un point donné À sur le terrain,menerune ligne parallèle à une autre ligne donnée BC. E A Formez un triangle BDC dont un côté DC passe par le point don- né À, mesurez BD, DC et AD, et calculez DE par la formule B C Le point E sera l’un des points de la parallèle deman- dée dont il ne s'agira plus que de faire passer l’aligne- ment par À et E. La valeur de DE est une conséquence de la similitude des triangles EDA et BDC. Foy. Trian- GLES SEMBLABLES. 9. L'emploi de l'équerre rend la solution des problè- mes précédens beaucoup plus simple; mais nous avons voulu donner une idée des ressources que les arpenteurs peuvent tirer de la géométrie, dont, en général, ils ne possèdent pas une connaissance assez approfondie. Foy. au mot EQuERRE l’usage de cet instrument. La description et les usages de la planchette et du graphomètre seront également donnés aux mots PLan- cuerTE et GRAPHOMÈTRE. Voyez aussi LEVÉ DES PLANS, Mesure, NivVELLEMENT, SURFACE , VOLUME et Pory- GOKES. ARTIFICIEL. On donne quelquefois le nom de nombres artificiels aux sinus, tangentes et sécantes. En astronomie, on appelle sphère artificielle le globe par lequel on représente la voûte concave du ciel. L'horizon artificiel est le même que l’horizon ration- nel ou mathématique qui passe par le centre de la terre, il est différent de l’horizon sensible qui pour chaque observateur varie suivant le plus ou le moins d’éléva- tion, Voyez Honizon. AR Le jour artificiel est Ve nychthémère des Grecs, où le jour de of heures, par opposition au jour naturel qui est Le temps de la présence du soleil au-dessus de l’ho- rizOn. ARTILLERIE, ars tollendi, de ars, art, moyen, et du gérondif de tollere, enlever, — lancer au loin. Ce mot sous lequel on a d’abord désigné , dans le moyen-âge, les engins ou balistes qui servaient à l'attaque ou à la dé- fense des places, s'applique expressément aujourd’hui à la théorie des projections opérées au moyen de la poudre ; on le donne aussi par extension au corps mili- taire chargé spécialement de diriger l'emploi des ma- chines consacrées à ce service. Considérée seulement sous le point de vue historique de son utilité militaire, l'artillerie a fait d'immenses pro- grès, depuis l’époque où, pour la première fois, on ap- pliqua à l’art de la guerre la découverte de la poudre. Ce moyen terrible de destruction, sur l’origine duquel on n’est pas parfaitement d’accord , soit qu’on en attribue l'invention à Roger Bacon, à Bertholde Schwarts ou à Constantin Anchtzen, exerça une prodigieuse influence, non-seulement sur la tactique militaire, mais encore sur l’ordre social tout entier. Les armes à feu ont en effet beaucoup plus contribué à la chute du système féodal, que toutes les spéculations des publicistes ou la politique des rois, à qui l’on fait honneur d’une lutte qui a changé les formes de la civilisation. Elles firent disparaitre du champ de bataille l'inégalité des classes, et ce sont au- jourd’hui les masses uniformément armées, bien plus que le courage personnel, qui y décident du sort des empires. Ainsi, quand l’armure défensive des chevaliers fut deve- nue impuissante à les garantir.contre l’attaque même loin- taine d’un obscur fantassin, la chevalerie cessa d’être une institution dominante; elle perdit bientôt ses priviléges, en abandonnant son ancienne forme, dépouillée désor- mais du vieux prestige de sa supériorité. Néanmoins l’ar- tillerie ne sortit que lentement de l’état d’enfance, et long-temps encore après ses premiers essais, l’absurde préjugé qui semblait interdire l'étude des sciences, comme une occupation méprisable, aux hommes d’une naissance élevée, fit abandonner, par les gouverne- mens, à des mains inhabiles, la direction de cette arme nouvelle. Mais la prééminence militaire qu’elle ne tarda pas à assurer aux nations qui en adoptèrent l'usage, devait déterminer tôt ou tard une révolution complète dans la tactique. L'histoire de la science a plutôt pour but de constater des résultats que de se livrer à de minutieuses recher- ches sur des origines douteuses. Il nous parait donc peu essentiel de décider si ce sont les Vénitiens , en 1336, au siége de Clodia-Fossa, ou les Anglais à la bataille de Crécy, en 1346, qui les premiers ont employé la poudre à l’aide de machines, auxquelles on a donné depuis Le AR nom de canons. Il est certain que cette arme meurtrière ne commença réellement à faire partie du matériel de la guerre que durant la seconde période du XV* siècle. Les canons dont on se servait alors n'étaient qu’un assemblage de pièces de tôle roulée, ajustées les unes aux autres et cerclées en fer. On les posait sur des ma- driers, presqu'à fleur de terre, et l’on ignorait ainsi complétement l’art d’en diriger le feu. Ces procédés grossiers compromirent souvent la vie des artilleurs, et firent d'abord négliger une découverte dont l'usage présentait de si graves dangers, sans amener aucun résul- tat bien décisif, La construction des canons en fonte de fer et d’un énorme calibre, qu’on transportait pénible+ ment sur de lourdes voitures, ne permit pas davantage d'en améliorer la manœuvre, On ne se servait guère de ces pièces que dans les sièges, où elles remplaçaient avantageusement l'emploi des anciennes balistes, À cette époque, on ne se servait généralement encore que de projectiles en pierre; les machines d’une dimension plus portative, dont on arma les fantassins, comme l’arque- buse à croc, n'étaient point même chargées de projec- tiles d’un autre genre. Le chevalier Bayard fut tué à la retraite de Rebecco, le 30 avril 1524, d’un coup de pierre lancée par une arquebuse. Cependant, dès les premières années du X VI siècle, on commençait à perfectionner la fonte des canons, et à les monter sur un appareil spécial nommé affüt, qui en facilita la manœuvre. Les premiers modèles de ces nouveaux véhicules furent d’abord lourds et grossiers; leur transport difficile et coûteux gênait là marche des armées, et explique la lenteur avec laquelle s’opéraient alors les grands mouve- mens militaires. Ces premiers essais furent successive- ment suivis d'améliorations importantes dans le matériel de l'artillerie, dont une des plus décisives fut la con- fection de canons d’un calibre moins fort, et obtenus par une fonte de cuivre et d’étain , alliés dans des pro- portions données. Ces progrès de l'artillerie qui furent dus moins à l'expérience qu'aux connaissances mathé- matiques, qu’on appliqua à la confection et à l'emploi des machines, décidèrent enfin de la supériorité de cette arme, dont la direction ne put, dès-lors, être confiée qu’à des officiers éclairés, qui sont deveuus l'élite des armées de l’Europe. Cependant le haut degré de perfection où est parvenue l'artillerie, quoique suscep- tible encore de réformes et de progrès, n’a été acquis à cette arme que depuis une date récente, et pour ainsi dire de nos jours, La construction des appareils de l'artillerie, et l'art d’en diriger l'emploi, présentent peu de diffé rences chez les diverses nations de l'Europe. Ces dif- férences, si elles existent, se réncontrent soit dans le calibre des pièces, soit dans les conditions du matériel, Le officiers d'artillerie de toute l'Allemagne se font AS 451 remarquer par une instruction profonte; fes officiers de ce corps Anglais et Russes laissent, au contraire, beaucoup à désirer sur ce point, et nous ne croyons pas sacrifier à l'entrainement de l’esprit national, en avançant ici que le corps d'artillerie française, tant sous le rapport de l'instruction des officiers , que sous celui du matériel, a depuis long-temps acquis une supérioritéincontestable et qu’il a su conserver. Un grand nombre de sous-offciers et de soldats de cette arme sont parvenus, en France, à des grades élevés et ont fait d’excellens officiers; ce qui n’est arrivé chez aucun autre peuple de l’Europe. La théorie de l'artillerie, qui doit être l’objet spécial de nos travaux, repose sur l'application de diverses branches des sciences mathématiques et physiques. Elle comporte surtout une connaissance approfondie de la théorie des courbes et de la mécanique; elle exige des études étendues en géométrie , dans les arts graphiques, en chimie, et en physique proprement dite. Nous expo- serons ailleurs sous tous ces rapports scientifiques, et dans tous les détails qu’elle implique, cette branche importante de la tactique. Voyez BALISTIQUE. ARTIMON ( Marine). Mit de l'arrière, ou troisième mât d’un vaisseau; il donne son nom à la voile qu’il porte. ARZACHELL (Anranam), ou E1ZARACHELL, né à Tolède dans le XIT° siècle ou à la fin du XI°, est un des plus savans et des plus laborieux observateurs qu’ait eus l’astronomie. Arzachell a laissé un ouvrage sur les éclipses et les révolutions des années, et des tables du ciel, auxquelles on a donné le nom de Toledanes, Ces écrits, Gont le dernier surtout dut être consulté par les rédacteurs des Tables alphonsines, n’ont point été tra- duits, et ils n’existent que manuscrits dans quelques bi- bliothèques, où peu de savans ont pu les consulter. Ar- zachell a été plus utile à la science par le nombre consi- dérable d'observations qu'il a été à même de réunir, pour déterminer les élémens de la théorie du soleil, comme le lieu de son apogée et de son excentricité. Il fxa l’obli- quité de l’écliptique à 23° 34’. Cet astronome, qui a eu long-temps de la célébrité, était de la religion juive. On ignore l’époque précise de sa naissance et celle dé sa mort. ASCENDANT ( Astr.). Mouvement qui se fait en montant. Le r7œud ascendant d'une planète est le point où elle traverse l’écliptique en allant du midi au nord, tandis que le zœud descendant est celui par lequel elle passe pour aller du nord au midi. Le nœud ascendant de lalune, nommé aussi anabibazon , se représente par le signe Q; le nœud descendant de cet astre a le signe opposé Ü. On nomme signes ascendans les trois premiers et les trois derniers du zodiaque, savoir : Le Bélier, le Tau- 452 AS reau, les Gémeaux, le Capricorne, le Verseau et les Poissons, parce que le soleil, en parcourant ces signes, s’élève de plus en plus au-dessus de l'horizon dans ros contrées septentrionales, et semble monter vers le zénith. Les six autres signes sont appelés descendans pat la rai- son contraire. Les signes ascendans deviennent descen- dans, el vice vers& pour les peuples qui ont le pôle boréal au-dessus de l'horizon. On donne encore le nom d’ascendant au point de Yécliptique situé dans l'horizon oriental, c’est-à-dire au point qui se lève, ASCENDANTE (Arith.). Progression ascendante ; c’est celle dont les termes vont en croissant : telle est la progression arithmétique. LOS DIET OUT T T135 "etc, ou la progression géométrique 25 4» 8: 10, 32, 6%, 128, etc, ASCENSION ( Astr.). Arc de cercle mesuré sur l'équateur, et compris entre le point équinoxial et le point de l’équateur qui se lève en même temps qu’une étoile ou qu’une planète, On distingue l'ascension en droite et oblique. L'Ascension protTE d’un astre est l’arc de l'équateur, compté dans l’ordre des signes, depuis le commence- ment du Bélier jusqu’au point où il est coupé par le méridien de cet astre, ou, ce qui est la même chose, c’est l’arc équatorial compris entre le point équinoxial et le point de l'équateur qui passe au méridien en même temps que l’astre. L’'ASGENSION O8LIQUE d’un astre est l’arc de l'équateur compris entre le premier point du Bélier ou le colure ‘des équinoxes, et le point de l'équateur qui se lève en même temps que l’astre. L’ascension oblique est donc plus ou moins grande selon la différente obliquité de [a sphère; tandis que cette obliquité n’exerce aucune influence sur l'ascension droite. La différence entre ces ‘deux ascensions se nomme différence ascensionnelle. La position d’un astre est entièrement déterminée, sur la voûte céleste, lorsque son ascension droite est connue, ainsi que la distance où il se trouve de l’équa- teur au moment de son passage au méridien : l'arc du méridien qui mesure cette distance se nomme déclinac- son de l’astre. L’ascension droite et la déclinaison sont donc, pour un astre, la même chose que la longitude et la latitude pour un lieu terrestre. On ne peut déterminer l’ascension droite d’une étoile fixe que par celle du soleil. Mais cette dernière se trouve facilement, comme nousle verrons plus bas, au moyen de sa déclinaison. Lorsque l'ascension droite d’une étoile fixe est connue, celles de toutes les autres étoiles peuvent AS en être déduites sans aucune difficulté : ainsi, la détermi- nation de l'ascension droite du soleil est la base de toute l'astronomie, car cette science ne repose que sur la détermination exacte des lieux que les étoiles occu- pent sur la voûte céleste. Le mouvement propre des étoiles fixes étant presque insensible, leur ascension droite et leur déclinaison va- rient très-peu; tandis que celles du soleil et des planètes varient chaque jour d’une quantité plus ou moins consi- dérable. Pour trouver la déclinaison du soleil, il faut observer sa hauteur méridienne au jour donné, et en retrancher l'élévation de l'équateur au-dessus de l'horizon, le reste est cette déclinaison. Ainsi, par exemple, à Paris, où la hauteur de l'équateur est de 41° 10’, si l’on trouve à midi que celle du soleil est de 50° 15', on en conclut qu'au même instant la déclinaison du soleil est de 9° 5". Cette déclinaison étant connue, on peut cal- culer aisément l’ascension droite qui est l’un des côtés du triangle sphérique rectangle formé par le méridien, lécliptique et l'équateur. Nous allons éclaircir cette pra- tique par un exemple. Prosrèmr. Connaïissant la déclinaison du soleil, trou- ver son ascension droite. Soient ASPBE le méridien, P le pôle, AB l’équa- teur, SE l’écliptique, N le point équinoxial, et S la posi- tion du soleil sur le méridien , AS fera la déclinaison. Tous les méridiens étant perpendiculaires à l’équateur, le triangle sphérique SAN est rectangle en A : on connait donc dans ce triangle | P l'angle droit SAN, l'angle ANS qui est l’obliquité de l’écliptique, le côté AS ou la déclinaison observée, etil s’agit de calculer le côté AN, c’est-à-dire la distance du point équi- noxial au méridien sur le- quel le soleil se trouve, ou l'ascension droite. Or, dans tout triangle sphérique rectangle, la tan- gente d’un angle est à la tangente du côté opposé comme le rayon est au sinus de l’autre côté. Nous avons donc ici tang ANS : tang AS :: R : sin AN, d'où R X tang AS NET ANS L’obliquité de l’écliptique étant de 23° 28", supposons AS égal à 9° 5’, et nous aurons REX tang (9°5) & taug (23° 287 © sin ascension droite = Opérant par logarithmes, nous trouverons AS log. R — 10.0000000 iog. taug (0° 5’) 9.203785 19.2037925 9-6376100 Somme — log. tang (23° 25°) Différence — Ce résultat est le logarithme du sinus de 2r° 36° 33"3, ou du sinus de 158° 23! 37” 7. Pour savoir lequel de ces arcs convient à l'ascension droite cherchée, il faut con- naître dans quel quart de l’écliptique se trouve le soleil ; car s’il est dans le premier quart l’ascension droite est de 21° 36' 33" 3; tandis que s’il est dans le second, c’est le supplément de cet arc qu’il faut prendre. I 9.661719 Comme l'ascension droite se compte d’occident en orient depuis 0°, c’est-à-dire depuis le point équinoxial jusqu’à 360°, ou le retour au même point, on voit aisé- ment que si le soleil se trouvait dans le troisième quart de l’écliptique , il faudrait ajouter 180° à 21° 36° 33"3, pour avoir son ascension droite; comme aussi il fau- drait retrancher ce dernier nombre de 360° pour obtenir cette ascension, si le soleil était dans le quatrième quart. En comparant les passages au méridien du soleil avec ceux d’une étoile, on détermine l'ascension droite de l'étoile, et il suffit ensuite de cette dernière pour obte- air celles de toutes les autres étoiles, car la différence des ascensions droites de deux astres n’est que la diffé- rence des temps de leurs passages au méridien convertie en degrés. En effet, le mouvement diurne de la sphère céleste faisant décrire à chaque point de cette sphère 360° en 24 h. ou 15° par heure, deux astres, dont l’un passe 5 heures avant l’autre au méridien, sont situés sur des cercles de déclinaison éloignés l’un de l’autre de 5 fois 15°, ou de 75° en mesurant cette distance sur l'équateur; mais cette distance est en mème temps la différence de leurs ascensions droites : ainsi lorsqu'une de ces ascensions est connue, l’autre s'obtient par une simple addition ou par une simple soustraction. Lorsqu'on observe les hauteurs du soleil pour obtenir sa déclinaison, :l est indispensable de tenir compte des effets de la parallaxe et de ceux de la réfraction qui con- courent à modifier ces hauteurs, La DIFFÉRENCE ASGENSIONNELLE est, comme nous l’avons déjà dit, la différence entre l'ascension droite et l’ascen- sion oblique d’un astre, Elle est donnée par cette pro- portion : Le rayon est à la tangente de la latitude du lieu de l'observation, comme la tangente de la déclinaison du soleil est au sinus de la différence ascensionnelle. Lorsqu'on connaît cette différence, on connaît en même temps l'ascension oblique ; car si le soleil est dans un des signes septentrionaux, il ne faut qu'ôter cette dif- férence ascensionnelle de l'ascension droite, et la lui AS 453 ajouter, au contraire, lorsque le soleil est dans les signes méridionaux. La différence ascensionnelle sert à connaître de com- bien les jours de l'année auxquels elle répond diffèrent du jour de l’équinoxe. Voyez Jour. ASCHEMIE ( 4str.). Nom du petit chien Procyon. ASCHÈRE (Ast.). Nom du grand chien Sirius. ASCIENS (A4str.). De & privatif, et cxioi, ombre. On appelle ainsi les peuples qui sont quelquefois privés d’ombre à midi. Les habitans de la zone torride peu- vent être asciens deux fois dans l’année, quand le soleil est à leur zénith. On appelle Æntisciens ceux qui ont des ombres opposées ou dans une direction contraire : tels sont les peuples des zones froides ; et Hetérasciens ceux qui ne voient jamais l'ombre que d’un même côté : tels sont les peuples qui habitent les zones tempérées, comprises entre les tropiques et les cercles polaires. ASPECT (A4str.). Situation des étoiles et des planè- tes les unes par rapport aux autres. On considère cinq principaux aspects, lesquels, avec leurs signes respec- tifs, sont : d ; conjonction, quand l'angle de deux pla- nétestquelconquesiests..5...1 #10 * , sextile, quand cet angle est de....,.... Le quartiers essteneiets: mO00 AANUTINE Jensen deer de ssl L2O GEVOPPOSHION etes see Aesennielle cit 0100) Les angles des aspects se comptent par les degrés de longitude des planètes; c’est-à-dire que l'aspect est censé le même , que les planètes soient ou ne soient pas dans l’écliptique. Ces termes, ainsi que plusieurs autres inutiles à rap- porter, ont été introduits dans la science par les astro logues, qui considéraient les aspects des astres comme le fondement de leurs prédictions. Quoique les réveries astrologiques aient passé de mode, les signes précédens sont encore employés dans quelques ouvrages astrono- miques. Lorsque les planètes ont exactement entre elles les distances ci-dessus, les aspects se nomment aspects par- tiles ; mais lorsque les distances n’ont pas précisément ces mesures, les aspects se nomment aspects platiques. ASPIRANTE (ydraul.). Voy. Pompe ASPIRANTE. ASSURANCE, contrat synallagmatique, en vertu duquel une ou plusieurs personnes, agissant en nom collectif, s'engagent envers une autre personne ou une association quelconque, au moyen d'une rétribution ordinairement annuelle, et qu'on appelle Prime, à garantir les propriétés ou les objets désignés dans l'acte, de tout risque, dommage ou destruction. Ce con- trat s'applique, sous diverses dénominations et condi- tions réciproques. aux propriétés mobilières ou immo- 20 154 AS bilières, aux chances de la navigation, et en général à tous les objets dommageables : on l’a étendu aussi à l'épizootie et à la mortalité humaine. Celui des contrac- tans qui garantit se nomme ASSUREUR ; l’autre contrac- tant est désigné sous le nom d’Assure. Les conditions de l'assurance sont de deux matures en France. Les premières sont purement civiles; les secondes sont d'ordre public, c’est-à-dire qu’elles inteydisent toute stipulation contraire aux lois. L'acte où les conditions sont énumérées se nomme Pouice. Il existe aussi deux modes d'assurances : l’ASSURANCE À PRIME, c’est-à-dire celle où le prix de la garantie est fixé d'avance, garantie à laquelle l'assureur s'engage de satisfaire, soit que le dommage dépasse ou non ses prévisions; l'ASSURANCE MUTUELLE où la quotité de la garantie s'établit par con- tribution, suivant celle du dommage, entre toutes les personnes qui se sont mutuellement assurées. Le système des assurances, dont nous allons successi- vement exposer l'histoire, l’économie et la théorie, est une heureuse déduction du principe de l’association, principe fécond en immenses résultats. L'industrie et le commerce lui doivent surtout leur prospérité: il a porté la fertilité dans des champs long-temps arides et in- cultes, agrandi les villes, favorisé toutes les relations so- ciales, en établissant de grands centres d'action, dont les produits se sont écoulés par mille canaux , et ont porté partout la civilisation et le mouvement créateur qui lui est propre. Il faudrait faire une abnégation expresse de sa raison, pour ne pas comprendre que l’action continue de plusieurs hommes qui suivent une direction uni- forme, est de beaucoup supérieure à celle du même nombre d'hommes agissant isolément dans le même but. Néanmoins, nous devons nous hâter de dire que, de nos jours, le principe même de l'association a été l’objet des systèmes les plus hasardés, des théories les plus dan- gereuses. On a confondu l'esprit d’association avec l’es- prit de secte, qui n’ont entre eux aucun point de contact ou de ressemblance. On a oublié peut-être de part et d'autre que la société humaine, fractionnée en diverses nationalités, n’est elle-même qu’une grande association, dont les associations intermédiaires doivent avoir pour but essentiel d'accélérer la marche et d'améliorer la prospérité, mais dont elles doivent avant tout respecter les principes généraux et les formes politiques. Nul pro- grès ne peut s'établir en dehors de la science, et jamais lascience n’est conjecturale; elle n’agit, en effet, que dans un ordre parfait de réalités. Elle prend la société telle qu’elle est, et ne rêve point pour elle un type de per- fection, qu'il n’est donné à l’humanité d'atteindre qu’a- près un grand nombre de modifications successives. On comprendra, nous l’espérons, quelle distance sé- pare ces principes simples et rationnels des dogmes arbi- AS traires ct fantastiques proposés par quelques sectes prétendues réformatrices, dont les audacieuses préten- tions, colorées de tous les charmes de l'imagination et de l'éloquence, ont déjà apporté dans la société un trouble et un malaise que la raison , aidée de la science, doits’attacher à neutraliser, et que seule elle peut guérir. On attribue à tort l'invention du système des assu. rances aux juifs qui, persécutés durant le moyen-äge, et souvent arbitrairement dépouillés de leurs propriétés, trouvèrent ainsi le moyen de se prémunir contre l'in- juste et cruel préjugé dont ils étaient continuellement les victimes. C’est une erreur , car, d’après le texte formel des législations de ces temps déplorables, la propriété immobilière était à peu près partout interdite aux juifs, et la propriété mobilière ne leur était concédée qu'à certaines conditions. C’est probablement la méthode de transporter sans risques de grands capitaux au moyen de lettres de change, qui est due à ces circonstances, méthode qu’on a mal à propos confondue avec les assu- rances. D’autres personnes ont aussi pensé que le systèine des assurances n’avait point été inconnu à l'antiquité ; mais on n’en trouve de traces dans aucune législation, et l’on est fondé à croire que cette allégation n’est pas moins hasardée que la première. C’est en Angleterre, sous le règne de la reine Anne, au commencement du dernier siècle, que la plus ancienne compagnie d’assurance connue s'établit à Londres. Cette compagnie existe encore sous le nom de Société amie, qu’elle prit dès sa formation. Elle a vour objet les assurances sur la vie. Plusieurs compagnies s’y établirent successivement, et appliquèrent ce système aux divers risques de la pro- priété. Peu à peu la théorie des assurances se rectifia suivant les progrès de la science; et les compagnies modifièrent leurs opérations basées d’abord sur des principes peu exacts. Aujourd’hui le système prévoyant des assurances est populaire dans ce pays, et ils’applique, avec un égal avantage pour les assurances et les assurés, à une foule d’objets qui, par la nature de leur destina- tion, paraissaient les moins susceptibles d’entrer dans des prévisions de ce genre. La fortune publique se res- sent, en Angleterre, de la sécurité qui environne les propriétés privées placées sous la sauvegarde de ces institutions, dont le principe, garanti par la loi, est néanmoins abandonné, dans son application, àla spécu- lation individuelle. L'Allemagne a adopté le système des assurances, mais en général avec une modification essentielle : il y est devenu une loi de l'État. Le gouvernement a remplacé les associations ou les compagnies : il est lui-même l’as- sureur, et prélève les primes d'assurances comme un impôt spécial, obligatoire pour tous les propriétaires. Ces deux modes d'assurances conviennent également au AS génie des deux natious auxquelles ils s'appliquent. Il semble que la marche suivie en Angleterre soit plus conforme à l'esprit des institutions politiques de la France, quoiqu'une grande partie de ses riches pro- vinces, nous le disons avec douleur, végète encore dans les chaînes de préjugés malheureux, qui leur ren- draient nécessaire la protection paternelle dont fes gou- vernemens de l'Allemagne environnent leurs sujets. Il est certain que la raison publique a fait en France assez peu de progrès pour que le système des assurances contre les risques de la propriété en général, et celui qui a pour objet l’accumulation des capitaux, d’après les probabi- lités de l’existence humaine, y soient encore mal com- pris, et presque repoussés comme des spéculations inté- ressées, sans avantage pour ceux qui y participent à titre d'assurés. Sous ce rapport, et comme avant tout nous devons la vérité à notre pays, nous dirons que cet état de choses tient presque autant aux procédés incomplets et à la marche, souvent embarrassée de contestations minutieuses, des compagnies d'assurances, qu’à l'igno- rance malheureusement encore bien profonde des po- pulations. Nous n’entendons point accuser ici d’une manière absolue, ni la probité des compagnies d'assu- rances, ni l'intelligence nationale , mais des faits nom- breux ne prouvent que trop l'influence de ces deux causes sur l'éloignement du public pour un mode de conservation de la propriété, dont l’efficacité est démon- trée par la raison et l'expérience. En effet, it est cons- tant, d’une part, que l'application trop restreinte du système des assurances, ne contribue pas peu à en em- pêcher la propagation. La plupart des compagnies sont instituées seulement pour les cas d'incendie; et toutes ont établi dans la série d’accidens dont elles s'engagent à réparer le dommage, un nombre considérable d’excep- tions qui bornent leur intervention à des cas excep- tionnels heureusement assez rares. Ainsi, les accidens atmosphériques ou géologiques sont, en général, formel- lement exclus de l'assurance; et les compagnies formées pour assurer les propriétes rurales contre la grêle et con- tre le feu du ciel, qui devraient être un bienfait immense pour les campagnes, restent encore à établir; car, celles en petit nombre, qui existent sous cette dénomination, ontdes policestellement surchargées de prévisions excep- tionnelles, que leur garanticest à peu près une dérision. Les capitalistes français qui entrent dans ces associations ne paraissent pas assez pénétrés de la haute utilité du mandat qu'ils acceptent dans ces circonstances; l'appât du gain est évidemment le mobile principal de leur adhésion aux statuts des compagnies d'assurance, Cette ayidité ou du moins cette äpresollicitude qu’ils montrent avant tout pour leurs intérêts, est cependant une des causes qui nuisent le plus à leurs spéculations, Ce n’est pas ainsi qu'agissent eu Angleterre les hommes habitués ete Le p 9 AS aux grandes opérations du commerce, parce qu'ils ne 455 sont dépourvus ni de connaissances scientifiques, ni de la moralité qui, à l'époque de civilisation où nous sommes arrivés, doivent épurer les sources de la pros- périté individuelle. D'autre part enfin, ce n’est pas sans raison que nous accusons l'ignorance publique, puisque naguère, dans la Chambre des députés même, assemblée où l’on doit supposer qu'il existe une intelligence plus éclairée des intérêts généraux, le système des assurances, exposé dans tous ses développemens avec beaucoup de clarté et de talent par un de ses membres, n’a trouvé que des au- diteurs distraits, et en résultat une résolution hostile. Sur le chapitre du budget consacré AUx SECOURS sp£- craux, M. Colomès proposa une réduction de 200,000 f., en s'appuyant sur les considérations les plus positives en économie politique. ( ’oyez ze Moxireur , séance de la Chambre des députcs, du vendredi 2 mars 1832.) Nous sommes heureux de pouvoir rappeler ici quel- ques-unes des paroles de cet honorable député. Ce fut ainsi qu'il s’exprima : — « Je viens appeler votre atteu- « tion sur les dégâts causés à notre agriculture par la « grêle et les autres accidens atmosphériques, vous « démontrer en même temps que la somme destinée « dans le budget à la réparation de ces maux est perdue « pour le trésor, sans soulager aucune infortune; enfin, « soumettre à vos méditations un moyen, selon moi, « puissant, pour atténuer les effets désastreux de cet « horrible fléau... Il est une classe toujours trop « nombreuse, qui songe rarement à réserver le superflu « des temps heureux pour les besoins de l’adversité; « et ce défaut de prévoyance devient plus grand à « mesure que l’on descend dans échelle sociale. Peut- « être est-il injuste d’accuser cette classe infortunée, si « peu au-dessus de ses besoins, Le mal provient sans « doute en grande partie de la faiblesse de ses ressour- « ces... Qui de vous n’a été profondément affligé de « l'état déplorable de nos campagnes, lorsque la grêle « où d’autres accidens atmosphériques sont venus dé- « truire les espérances du laboureur, le travail de ses « bras, le produit de ses capitaux?... Ses bestiaux meu- « rent de misère et de maladie, ses champs languissent « sans culture, ses forces physiques s’énervent, et les « suites du désastre deviennent plus affligeantes que le « désastre lui-même. Et ne croyez pas que ce tableau « déchirant ne se rencontre que dans une classe peu « nombreuse : elle constitue, au contraire, la très- « grande majorité des propriétaires de fouds de terre; « et pour preuve de mon assertion je vous citerai des « chiffres irrécusables. Sur dix millions de familles « agricoles, huit millions, c'est-à-dire les quatre cin- « quièmes, paient moins de 20 francs de coutribu- « tions, » 156 AS Après ces considérations générales qui auraient dû frapper une assemblée entièrement composée de grands propriétaires ruraux, M. Colomès entre dans l'exposi- tion spéciale de son sujet. Il résulte de ses recherches que le gouvernement dépense chaque année près de deux millions de secours spéciaux , mais que les pertes que ce fonds est destiné à soulager dépassent souvent cent mil- lions, et sont rarement au-dessous de cinquante. Il est évident que la répartition de la somme allouée ne peut produire aucun bien: le contingent assigné à une com- mune dont les champs ont été dévastés par la grêle, ne dépasse que dans des circonstances fort rares la somme de deux cents francs ! En cherchant quel remède on pourrait opposer à un mal aussi intense, et dont le retour périodique attaque la production dans son principe, M. Colomès rend jus- ess au système des assurances , qui offre, suivant lui, ile meilleur moyen de suppléer à l'imprévoyance des hommes ; mais il ne pense pas que les compagnies d’assu- rance contre la grêle, établies d’après le principe de la mutualité puissent présenter des résultats aussi heu- reux que dans les autres circonstances où ce principe est appliqué; il s'appuie à cet égard sur un raisonne- ment assez concluant. « Il y a pour ces compagnies, « dit-il, dans la nature même de leurs assurances, un « principe de mort auquel elles ne peuvent de « long-temps échapper : c’est l'inégalité des chances a courues par les divers assurés, Il n’en est pas de la a grêle comme des incendies. Dans ces derniers, les « sinistres peuvent être le résultat de l’incurie des « hommes, qui est à peu près la même partout ; tandis a que pour la grêle les chances varient à chaque pas. « Telle commune se souvient à peine d’avoir été frap- « pée par ce fléau, tandis que la voisine l’est presque « annuellement. C'est que les courans atmosphéri- « ques qui entrainent les nuages et contribuent à leur « formation, sont le résultat de la configuration du sol, « et affectent plus particulièrement de certaines direc- « tions... C’est donc se bercer d'illusions que d’avoir « foi dans l'avenir des sociétés d'assurance contre la « grêle, établies sur le principe de la mutualité. Une « société à prime, dans laquelle le paiement intégral du « sinistre serait garanti par l'assureur, deviendrait en- « core plus impossible , à moins qu'il n’y eût pour cha- « quelieu, pour chaque champ, une prime différente ; NS ie. ; « car si l’on établissait une prime moyenne, la même « pour tous les lieux, un inconvénient semblable se « reproduirait, et l'assureur serait bientôt ruiné. » Nous espérons prouver bientôt que ces appréciations de l'assurance à prime et mutuelle ne sont exactes que Mans l'hypothèse choisie par l'honorable député ; hypo- thèse d’après laquelle l'assurance serait bornée à une localité donnée, comme un département, et restreinte AS aux dommages causés par la grêle. Mais ce n’est pas le seul risque qui puisse atteindre la propriété rurale. M. Colomès se demande s’il n’existe que ces deux moyens de produire le bien qu’on attend d’une compagnie d’as- surance contre la grêle. Il s’élève d’abord contre le pré- jugé qui fait souvent aussi regarder une assurance comme une affaire lucrative, dans laquelle l’assuré reçoit plus qu'il ne donne; et il propose ensuite un système d’an- nuités par contribution ou primes remboursables en dix ans, dont le fonds de terre frappé par la grêle serait la garantie. Dans la crainte d'établir une centralisation qu'il croit dangereuse et nuisible, il ne veut pas faire dépendre d’un point unique les intérêts matériels de la France entière, et il se borne à demander des annuites départementales, c'est-à-dire une organisation d’assu- rance par département. C’est en cela que M. Colomès à avec les intentions les plus louables, nous parait s'être trompé , et n'avoir pas envisagé son sujet sous un point de vue assez vaste. Au reste son système est ingénieux et d’une application facile, il aborde d’ailleurs une question fort grave , et il est triste qu'il n’ait point été approfondi par la Chambre, qui lui refusa l'appui de ses lumières en passant à l’ordre du jour. Nous devons donc observer ici que plus un système d'assurance embrasse de risques, en s'appliquant à une grande superficie, plus il s'ouvre de chances de les cou- vrir par le nombre plus considérable d’assurés qu’il doit réunir, N’examinons l’économie de ce système que dans son application aux risques de la propriété rurale, à part ceux des habitations. Il est évident, par exemple, qu’en restreignant les opérations d’une grande compagnie aux assurances contre la grêle, elle n'aura pour assurés que les habitans des localités où ce fléau se reproduit le plus souvent, et que cette compagnie établie sur le principe de la prime ou sous celui de la mutualité, peut voir en une seule année se consommer toutes ses ressources. Dans ce cas certainement, M. Colomès a raison. Mais, outre que l'affection particulière des courans atmosphé- riques pour certaines directions n’est pas démontrée, puisque la formation et la précipitation de la grèle s’ef- fectuent spontanément, ct toujours avec les anomalies les plus bizarres, les propriétés rurales sont soumises à d’autres risques, qui, dans une vaste superficie comme celle de la France, compenseraient les uns par les autres ce qu’il y a de local et d’accidentel dans leurs sinistres. Ainsi, la gelée, la pluie, la sécheresse, l'invasion des insectes, les inondations, les éboulemens de terrain, sont des accidens qui peuvent affecter plus ou moins, et à différens intervalles, les propriétés rurales dans toutes les parties de la France. C’est seulement dans une vaste association, dans une assurance générale à prime ou mutuelle, maux occasionnés par de tels désastres. L'égoisme de qu'on pourrait trouver la réparation des AS localité disparaîtrait nécessairement dans cette combi- naison , car le canton qui n’est point exposé à la grêle est soumis à d’autres risques. fl résulte des recherches statistiques auxquelles a dù se livrer M. Colomès, que les pertes occasionnées par ces divers accidens s’élèvent an- nuellement en France à ure valeur de 50 à 100 millions. En prenant la moyennede ces deux sommes pour basedes opérations d’une puissantecompagnie d'assurance, et celle de dix millions de propriétaires dans le cas d’y partici- per comme assurés, on verra que d’une part il serait facile d'établir une échelle de primes , aujourd’hui sur- tont que les opérations cadastrales touchent à leur fin, d’après des bases facilement appréciables; et que, d’autre part, il y aurait garantie suffisante dans les recettes de la compagnie pour indemniser les assurés, pourvoir aux frais de l'administration, et pour la réalisation de béné- fices considérables en faveur des actionnaires du fonds social. Sans doute une telle entreprise exigerait peut- être des dispositions législatives toutes spéciales, et par conséquent le concours actif de tous les pouvoirs de l'État. Aussi ne présentons-nous point cette hypotlièse comme une théorie réalisable immédiatement, mais seu- lement comme un aperçu du bien que le système des assurances largement appliqué est susceptible de réaliser. Nous avons dit en commencant que les compagnies d'assurances étaient établies d'après deux modes princi- paux : l'assurance à prime et l'assurance mutuelle. Les compagnies d'assurances à prime sont les plus nom- breuses ; elles semblent présenter en effet plus de ga- ranties , tant sous le rapport de leur organisation firan- cière que sous celui de la surveillance légale dont elles sont l’objet. On appelle compagnie d'assurance à prime une association de capitalistes, qui, présentant un fonds social d’une valeur déterminée, s'engage, moyennant le paiement annuel d’une contribution fixe, établie d’après un tarif joint à ses statuts, à garantir contre tout risque ; suivant sa spécialité, contre l’incendie, la grèle, les désastres maritimes, et les habitations, les navires, les propriétés rurales, etc. Cette contribution ou prime est ordinairement établie d’après une échelle de proportion des objets à assurer. Ainsi, par exemple, la prime à payer pour l'assurance de constructions en pierres est moins élevée que celle exigée pour les constructions en bois. L’assuré passe avec l'assureur un contrat ou police où sont énumérées les conditions de l'assurance ; et où sont prévus tous les cas qui pourraient l’annuler. L'assurance se contracte pour un certain nombre d'années, et il arrivesouvent que les compagnies qui entrent en concur- rence avec celles établies précédemment, proclament comme un nouveau système d'assurance les changemens insignifians qu’elles apportent à ces conditions. La plu- part de ces compagnies sont instituées contre l'incendie j et les primes sont établies d'après l'évaluation en argent AS 157 des objets immobiliers ou mobiliers soumis à l'assurance; cette prime, par exemple, est fixée à 50 c. pour chaque 1,000 fr. de la valeur conventionnelle de l’objet assuré ; muis cette valeur ne saurait être fictive, et en conséquence, au moyen d’une prime de 10 fr. qui représenterait ainsi une valeur de 20,000, on ne pourrait assurer une pro- priété dont la valeur réelle ne serait que de 10,000. Il est arrivé quelquefois que la négligence apportée par les compagnies dans l'estime des objets assurés, les a rendues victimes des spéculations les plus coupables. La législation française, semble favoriser les opéra- tions des compagnies d'assurances, en rendant le locataire responsable de l'incendie. Le Code civil s'exprime ainsi : « Art. 1733. Le locataire répond de l'incendie, à moins « qu’il ne prouve que l'incendie est arrivé par cas for- « tuit, force majeure, ou par vice de construction, ou « que le feu a été communiqué par une maison voisine. e —Art. 1734. S'il y a plusieurs locataires, tous sont soli- « dairement responsables de l'incendie, à moins qu'ils « ne prouvent que l'incendie a commencé dans l’habi- « tation de l’un d’eux, auquel cas celui-là seul en est « tenu ; ou que quelques-uns ne prouvent que l'incendie « n’a pas commencé chez eux, auquel cas ceux-là n’en « sont pas tenus. » En couséquence, les compagnies garantissent habituellement les locataires de la respon- sabilité résultante de cette loi. Mais l'établissement, en France, d’un grand nombre de corps de pompiers, institués daus presque toutes les communes, et qui se portent rapidement sur les lieux incendiés, a rendu les désastres occasionnés par l'incendie assez peu fréquens ; et la sécurité qu'ils inspirent dans les villes surtont a beaucoup influé sur le peu de succès des compagnies d’as- suraxces. Ce devrait être pour elles une raison puissante de donner plus d’étendue à leurs opérations. Les compagnies mutuelles n’ont point de fonds social ; l'assuré y est assureur comme l'assureur y est assuré : elles se forinent par la réunion d’un certain nombre de personnes qui s'engagent à se garantir mutuellement contre les risques de l'incendie, suivant des conditions déterminées. Ce système n’est pas sans inconvénient, car la réparation des sinistres ne peut s’y opérer qu'avec lenteur et lorsqu’à la fin d'un exercice un appel de fonds est fait aux associés; la quotité de chaque contribution étant établie d'après celle des dommages. Il peut arriver que, d'après ce mode, onsoit parfaitement garanti durant plusieurs années sans être soumis à aucune contribution, et que tout à coup cette contribution s'élève à une forte somine ; ce qui dépend absolument du nombre de cas d'incendie et de celui des membres de l'association. L'assurance à prime fixe est donc préférable; car, d’ail- leurs, il ne peut jamais s'élever de contestation sur sa quotité. Les compagnies d’assurance à prime, et les compagnies d'assurance mutuelle ne peuvent opérer 158 AS qu’en vertu d’une ordonnance royale qui en a reconnu l'existence légale , et qui en a approuvé les statuts. Les assurances maritimes sont toujours à prime; elles paraissent avoir même en France une existence assez ancienne, bien qu’elles fussent connues sous d’autres dénominations, et que le contrat qui lie l'assureur et l'assuré n’eût pas les mêmes conséquences. Les risques maritimes sont un des objets qui présentent le plus d’éventualités : aussi la loi s’est-elle attachée à régler avec une haute prévoyance cette partie essentielle du système d’assurance. Il parait même que la loi française repose, à cet égard, sur des principes assez généraux d'équité et de bonne foi, pour qu’elle ait été adoptée par toutes les nations de l'Europe. Il existe à Paris un assez grand nombre de compagnies d'assurances qui s'appliquent à des risques éventuels et spéciaux, comme celle qui assure les propriétaires de voitures contre la responsabilité qu'ils encourent des dommages qu’ils peuvent causer , etc. Ces associations , qui ont toutes un but utile, reposent sur les principes généraux que nous avons exposés. Il n'en est pas de même de l'assurance sur la vie: nouvellement introduite en France, on peut la définir ; un contrat au moyen duquel on peut léguer à autrui un capital après sa mort, ou se préparer à soi-même des ressources pour un âge plus avancé. Cette assurance s'opère par une prime annuelle ou une fois payée: elle peutavoir lieu pour un certain nombre d’années, et dans une foule de circonstances prévues par la police d’assu- rance. Les primes sont déterminées pour chaque âge, et suivant les professions qui présentent plus ou moins de chances de mortalité. Telle est l'économie générale du système d'assurance dont il nous reste à exposer la théorie mathématique. Tous les calculs relatifs aux assurances reposent sur la probabilité de la perte de l’objet assuré; il est donc essentiel de connaître exactement cette probabilité pour pouvoir établir le contrat d'assurance sur des bases équitables. En effet , la situation relative de l’assureur et de l’assuré peut être comparée à celle de deux joueurs dont les chances sont inégales, et qui veulent compenser cette inégalité par celle de leurs mises. Or, cette com- pensation a lieu toutes les fois que le rapport de ces mises est égal à celui des chances respectives ; car, pour mieux fixer les idées, supposons que Je gain de la partie dépende d’un coup de dé dont l’un des joueurs ait cinq faces en sa faveur, tandis que l'autre n’en a qu’une ; le nombre total des chances étant 6, et ces chances ayant autant de probabilité les unes que les autres, le pre- mier joueur peut donc parier cinq contre un qu'il ga- gnera la partie; et, conséquemment, sa mise doit être cinq fois plus forte que celle du second. Si donc les en- jeux réunis forment une somme de 120 francs, celui du AS premier joueur doit être les cing sixièmes , et celui du second Je sixième de cette somme; c’est-à-dire 100 fr. et 20 fr. Il en est de même d’un assureur qui s'engage à payer üne somme de 120 francs dans le cas de la des- truction d'un objet quelconque, lorsque la probabilité de cette destruction est égale à +; ses chances favorables sont «lors égales à 3, et il peut parier 5 contre 1 que le cas funeste n'arrivera pas. La prime de l’assuré, par la même raison , doit être la cinquième partie de ce que risque l'assureur , ou la sixième partie de la somme to- tale qui doit appartenir finalement à l’un ou à l’autre à l'issue de l'événement. Ainsi, dans le cas présent, cette prime doit être le sixième de 120 francs, ou 20 francs, lesquels, étant payés d'avance, réduisent à 100 francs la perte réelle de l'assureur dans Je cas qui lui est défa- vorable, Si l'on pouvait admettre qu'en faisant en même temps six opérations semblables l’assureur ne dut en rencon- trer qu'une seule de funeste, il est évident qu’il n’aurait alors ni profit ni perte, puisqu'il recevrait 6 primes de 20 francs, ou 120 francs, et qu'il paierait 129 francs pour l’objet perdu. Dans ce cas, pour obtenir un béné- fice il lui suffirait d'exiger une prime un peu plus forte. Mais la probabilité % ne signifie pas que sur 6 opéra- tions une seule est nécessairement funeste, et l’on se tromperait étrangement en l'interprétant de cette ma- nière; car, pour continuer notre comparaison, la pro- babilité d'amener le point de 2, par exemple, en jetant un dé est bien ?, ct cependant on peut le jeter 10 fois, 20 fois, 30 fois, etc. , sans amener ce point; comme aussi ce point peut se présenter plusieurs fois de suite. Tout ce que l’on peut conclure de cette probabilité +, c'est que sur un très-grand nombre de jets du méme dé, le point 2 se présentera dans le rapport de 1 à 5; la probabilité d'obtenir ce rapport augmentant avec le nombre des jets (Joy. ProBariLiTÉ). Ainsi, l'assureur ne peut espérer une exacte compensation des chances de gain et de perte qu’en étendant le cercle de ses opéra- tions, et les primes doivent être calculées de manière à le dédommager non-seulement de ses risques généraux, mais encore à lui payer l’intérèt de ses fonds et ses frais d'administration, D'un autre côté, la probabilité de la perte d’un objet quelconque ne peut s’évaluer avec la même certitude que celle des chances d’un jeu dont les conditions sont déterminées. Pour le jeu, la probabilité est déduite « priori du nombre des chances possibles , et l'expérience ne fait que confirmer les calculs, Pour l'objet des assu- rances , la probabilité ne peut être déduite qu'a poste- riori, et l'expérience doit précéder les calculs. Ce n’est donc qu'à l’aide de recherches statistiques qu’on peut se procurer les élémens du calcul des assu- rances; et, nous devons le dire, ces élémens sont encore AS trop incomplets aujourd’hui pour qu’il soit possible d'é- tablir une théorie rigoureuse. Les chances de la vie hu- maine, quoique beaucoup mieux connues que toutes les autres, ne sont pas même déterminées d’une manière certaine ; ainsi, on doit considérer la théorie actuelle des assurances comme une approximation à peu près suffisante, et que des travaux ultérieurs perfectionne- ront successivement. Les assurances contre les risques maritimes, les incen- dies , la gréle, etc.; et en général contre la destruction d’un objet matériel quelconque, se calculent de la même manière, On évalue l’objet à assurer; le montant de cette évaluation est la somme que l'assureur s'engage à payer en cas de perte; et cette même somme, multi- pliée par un facteur constant , qui est la probabilité sup- posée de la perte, forme la prime due par l'assuré. Ainsi, l'expérience ayant établi qu'il périt moins de un sur cent des vaisseaux anglais baleiniers, le facteur con- stant adopté par les compagnies d'assurances pour ces batimens est +; le propriétaire d’un tel vaisseau doit donc payer une prime égale à la centième partie de la valeur de sa propriété pour la faire assurer. Les assurances sur la vie se partagent en deux grandes divisions : 1° les assurances dont les sommes doivent être payées après la mort des assurés ; 2° les assurances payables du vivant des assurés. Ces divisions présentent une foule de combinaisons particulières dont on peut trouver les détails dans les statuts des compagnies d’as- surances. Quant aux calculs que ces combinaisons exi- gent, ils sont tous fondés sur les probabilités de la vie humaine; mais comme leur théorie est intimement liée à celle des rentes viagères , nous renvoyons sou expo- sition à l’article qui traite de ces rentes, j La France possède peu d'ouvrages sur les assurances; et nous devons regretter que l'excellent traité de M. Francis Baïly, intitulé : the Doctrine of life an- nuïlies and assurances n'ait point encore été traduit. ASTAROTH (4str.). Un des noms de la planète de Vénus. ASTÉRÉOMÈTRE. Instrument destiné à calculer le lever et le coucher des astres dont on connait la décli- naison et l'heure du passage au méridien, La descrip- tion de cet instrument a été donnée par M. Jeaurat dans les Mémoires de l Académie des Sciences pour 1779. ASTÉRIO (Astr.). Nom d'un des chiens de la con- stellation des CniEns DE CHASSE. ASTÉRISME (4str.). Da latin asterimus , dérivé du grec &kp, étoile. Ce mot s’'employait autrefois dans la langue astronomique pour celui de CONSTELLATION. ASTÉROIDES (A4str.). Nom donné par Herschell aux quatre nouvelles planètes, Junon, Pallas, Vesta et Cérès, découvertes par MM. Piazzi, Olbers et Har- ding. Ce qui a fait dire, sans doute à tort, que le célèbre AS = = 159 Anglais ne voulait accorder qu’à lui seul l’honneur d’a- voir découvert une planète. ASTÉROPE (Astr.). C’est le nom de l’une des sept étoiles principales qui composent les Pléïades. ASTRAL (4str.). Ce qui a rapport aux astres , ou ce qui dépend des étoiles et des astres, comme année as- trale, sydérale , etc. Ce mot est peu en usage. ASTREE. C’est un des anciens noms de la constella tion de la Vierce. Voy. ce mot. ASTRES (du latin astrum). Mot général qui s’appli- que aux étoiles, aux planètes et aux comètes. ASTRODICTUM (Astr.). Instrument astronomique inventé par M. Wetghel, par le moyen duquel plu- sieurs personnes peuvent voir le même astre dans le même instant, ASTROGNOSIE. Nom d’une branche de l’astrono- mie qui a pour objet la connaissance des étoiles fixes, c'est-à-dire leurs noms , leurs rangs , leurs situations, etc., etc, ASTROKION, Un des noms de la belle étoile, plus connue sous celui de Sirius. ASTROLABE (de arr, astre, et de Aæu£are , je prends). Ancien instrument astronomique très-ressem- blant à notre sphère armilliaire, Il y a plusieurs espèces d’astrolabes : le premier et le plus célèbre instrument de ce genre est celui que fit construire Hipparque à Alexandrie , et qui lui servit pour diverses observations astronomiques. Aujourd’hui on ne fait plus usage des astrolabes, dont les curieux d’antiquités peuvent trou- ver la description dans les ouvrages de Clavius et d'Adrien Metius. ASTRONOMIE (Histoire). D’Acr#p, astre, et'yépos ; loi. Science des lois des astres , ou des mouvemens des corps célestes. L'astronomie est une des branches les plus impor- tantes des mathématiques appliquées. Elle comporte trois grandes divisions spéciales ; la première est l’as- tronomie sphérique, c'est-à-dire qui explique les phé- uomènes célestes d’après cette hypothèse, que la terre est au -centre d’une sphère dont les astres occupent la surface; la seconde est l'astronomie théorique, science qui expose les différens rapports des corps célestes entre eux, comme leur position relative, leur éloignement, leur vitesse, et qui par conséquent, s'applique à décrire la véritable forme de l’univers ; la troisième est l’astro- nomie physique, dont l’objet est de déterminer les cau- ses des mouvemens célestes par les principes de la mé- canique. Ces divisions de la science, établies par Ké- pler et adoptées depuis lui, en comprennent toute la théorie, dont l'application générale aux observations, à la confection des instrumens, aux calculs, se nomme par opposition astronomie pratiques Diverses sciences , telles que la géographie mathéma- 160 AS uque, la navigation, la gnomonique, la chronologie et l'optique, sont nées de l'astronomie; c’est-à-dire qu’elles sont déduites des principes sur lesquels repose sa théo- rie. Mais chacune de ces subdivisions de la science exi- geant un examen spécial sera exposée ailleurs, et nous ne nous occuperons ici que de l'astronomie en général, c'est-à-dire de l’histoire de son origine et de ses progrès chez les diverses nations de la terre. Nul homme ne peut jeter les yeux vers le ciel et con- templer froidement le grand spectacle qu'il présente. A l'aspect de ces astres innombrables, de ces soleils qui peuplent l’immensité et éclairent des systèmes inconnus, une pensée grave et forte s'empare de lui. Dans la pro- fonde méditation où le plonge cette harmonieuse et puissante poésie du ciel, l'idée de l'Être éternel qui a imposé par sa parole d'immuables lois à ces globes lui devient plus claire et plus précise. "Ce n’est plus seule- ment une vague intuition, un besoin d'avenir pour sa faiblesse, c’est une certitude consolante qui le grandit et remplit son âme d’une noble et sainte espérance. Car la pensée de l’homme, souveraine à son tour, s'em- pare dès lors de ces grands mystères, comme s'ils étaient pour lui un éclatant manifeste de la puissance qui lui a été donnée de s’élancer au-delà de cette sphère bornée, où il subit un exil passager. Partout, dans ce livre im- mense où seul , de tous les êtres qu'il connaît, il lui a été réservé de lire, il aperçoit la main du Père, qui n’a pu lui donner une vie intellectuelle sans la faire participer de sa propre immortalité. Telle fut sans doute la pre- mière révélation de la destination humaine qui ait été faite à notre raison. L’astronomie , qui explique l’ordre de l'univers et ré- forme les illusions de nos sens en posant la vérité là où de trompeuses apparences semblent le plus démentir la science, a été de tout temps pour l'humanité un objet important de recherches et de travail, un but fixé à son intelligence. Si l’on veut s'assurer de l'antiquité de ses tentatives pour se créer une conviction sur les mouve- mens des astres ; si l’on veut s’assurer dece penchant na- tifquiesten elle, de ce besoin énergique qu’elle éprouve de chercher quel lien mystérieux, mais puissant, il existe entre elle et les phénomènes célestes ; qu’on prenne au hasard un homme bien organisé, mais entièrement dé- pourvu des notions les plus élémentaires du savoir, et que , d’un lieu où il est possible de découvrir une assez grande étendue du ciel, on lui explique en langage sim- ple et facile le système du monde, on verra cet homme, attentif et soucieux , écouter dans un recueillement pro- fond ces paroles nouvelles pour lui, on le verra subir tour à tour les impressions les plus opposées, suivant que les démonstrations de son maître seront admises ou rejetées par sa raison encore peu développée. Quelquefois un sourire de doute viendra effleurer ses lèvres; mais plus AS souvent un sentiment imprevu d'admiration et d'éton- nement s’emparera de lui, et lai causcra cette indéfinis- sable émotion qu’excitent en pous les accens d’une har- menieuse musique et la majesté sévère des grands phé- nomènes de la nature. Soyez certain qu'aucune de vos paroles n'aura été perdue, et qu’il restera dans la mé- moire de cet homme une trace ineffaçable de votre en- tretien. Et, lorsque solitaire et placé dans les mêmes conditions, en présence de ce grand spectacle, ses re- gards se reporteront involontairement vers les astres dont les lois lui auront été dévoilées, il aimera à repas- ser dans son esprit les sublimes leçons qu’il aura reçues. A son tour, et parmi des êtres de sa classe aussi dépourvus que naguère il l'était lui même de toute instruction, cet homme répétera, avec une satisfaction presque orgueil- leuse, tout ce qu’il aura pu retenir de vos leçons. Au- tour de lui s’éleveront certainement des contradicteurs; et, parmi ses compagnons émerveillés, plusieurs se le- veront pour opposer à ses explications le témoignage de leurs sens et de l’expérience. Bientôt des hypothèses nouvelles naîtront de ces discussions; et il faudrait, pour y mettre un terme, que la science elle-même, avec ses preuves infaillibles, vint briser tous les doutes etéclaircir toutes les suppositions que cette espèce de tradition au- rait fait naître parmi ces hommes. Telles sont à peu près les vicissitudes de la vérité sur la terre : l’histoire de l’homme que nous venons de supposer va se retrou- ver avec toutes ses périodes de recherches, de décou- vertes, de doutes et de certitudes, dans l’histoire de l'astronomie. On ne peut fixer, d’une manière conforme aux erre- mens positifs de la science, l'époque certaine des pre- mières observations astronomiques : nous croyons avoir suffisamment démontré que ces tentatives spontanées, ct dans tous les cas isolées, touchent au berceau de l’hu- manité. C’est pour cette raison qu'avant d’adopter un ordre chronologique rigoureux, nous exposerons d’a- bord les connaissances primitives des peuples dans l’ordre de leur antiquité présumée. Il résulte évidemment de toutes les traditions histo- riques, et de nombreux faits géologiques, qu’à une époque récente dans les temps, le globe terrestre, sou- mis à une immersion plus ou moins complète, a subi des modifications telles, que la plus grande partie des races humaines présentes à cette catastrophe durent périr. Sans entrer ici dans l’examen d'une question, qui suivant nous est purement philosophique, et qui ne se rattache que de loin au sujet dont nous nous occu- pons, nous dirons qu’il n’est resté sur la terre aucun mo- nument qui puisse indiquer le degré de civilisation où l'humanité était parvenue à l’époque de ce désastre. D'après l'hypothèse la plus conforme à la raison, hypo- thèse à laquelle Jes plus récentes découvertes de la géo- AS logie donnent un caractère prononcé de cer titude et. de réalité, les eaux de l'Océan couvriraient aujourd’hui des continens primitivement habités, et la plupart de ceux que nous habitons auraient été leur lit antérieur, Il est donc impossible d'admettre, comme des faits dignes d'être cités à l'appui des recherches scientifiques, les con- jectures hasardées des plus anciens écrivains sur l’évène- ment terrible qui semble avoir séparé pour toujours l'histoire mystérieuse de la race anté-diluvienne de celle qui lui a succédé. Il faut en conséquence rejeter comme une fable, reflet incertain de quelque vague et antique tradition, les assertions de Josèphe et de Manethon, fon- dées, suivant l’un, sur les colonnes construites en pierre et en brique, où les pères du genre humain auraient gravé les principes de la science astronomique et la pré- diction du cataclysme qui devait bouleverser la terre ; et suivant l’antre, sur les prétendues colonnes égyptiennes de Sothis ou de Thot. Manethon cependant a osé parler de ce dernier monument. comme, ayant été, consulté par des écrivains peu.antérieurs à lui, qui vivait durant le troisième siècle avant l’ère chrétienne. On doit d’a- bord supposer .que Josèphe n’a imaginé les colonnes d'Adam et de Seth que d’après l'inspiration de. Ma- nethon, et qu’ainsi ces deux traditions ont une ori- gine commune. Mais, si du temps de ce dernier histo- rien, un monument semblable existait encore en Égvpte dans la mémoire des prêtres, comment n’aurait-il pas été conservé lui-même par les hommes comme un objet sacré , ou comment Manethon, seul dans l'Égypte reli- gieuse et éclairée, avait-il pu entendre parler de ces titres saints et méconnus qui attestaient les malheurs et l'antiquité du genre humain, et dont pour la pre- mière fois il invoquait le témoignage ? Nous nous sommes arrêtés un moment sur ces hypo- thèses puériles, parce qu’il nous a paru utile d’en dé- montrer l’absurdité. Un préjugé fortement enraciné at- tache l’homme à de vieilles erreurs, et nous avons un penchant irrésistible. à à juger de la réalité d’un fait par 16 antiquité de l'historien qui le rapporte. D'ailleurs , il convient d'aborder l’histoire de la science avec un es- prit dégagé de toute préoccupation étrangère à des dé- monstrations précises, et de ne chercher sou véritable berceau que là où la civilisation, en formulant ses be- soins, commence à montrer les premiers développe- mens de la raison humaine. PRE Le doux climat de l’orient, son ciel pur, la hau- teur de quelques-unes de ses montagnes, où peut-être les restes de la race anté-diluvienne cherchèrent un re- fuge, et descendirent ensuite dans les vastes et fertiles plaines qu'arrosent le Tigre et l'Euphrate, durent Y ap- peler de bonne heure des habitans et favoriser leur re- production. L’astronomie chaldéenne est la première, en effet, de laquelle l’histoire ait conservé quelques ob- AS 161 servations qui annoncent le point de départ réel de la science. On a souvent fait deux;mations distinctes des Chaldéeus et des Babyloniens : cette erreur u’a pas peu contribué à jeter de la confusion dans la chronologie, d'ailleurs si vague et si embrouillée de ces races primi- tives. Il est certain que le nom de Chaldéen, poar des raisons qui nous sont inconnues et qui sont ensevelies dans le secret des anciens idiomes orientaux, fut donné dans la Babylonie à des sages, peut-être à un collége de prêtres ou à une secte philosophique. Quoiqu’on ne puisse point juger des civilisations passées par la nôtre, il est un fait inhérent à l'espèce humaine, et qui est commun à toutes les sociétés, c’est que les connaissances scientifiques, toujours excentriques et individuelles, ne sont partout que le privilége d’un petit nombre d'hommes. Les Chaldéens , pris comme peuple, ne sauraient donc être regardés comme les fondateurs de l'astronomie ; et c’est dans le.sens le plus restreint que nous emploierons cette expression pour désigner ces auciens observateurs des astres. } Comme toutes les connaissances humaines, les con- naissances astronomiques ont dù avoir une longue en- fance. La division du temps a d’abord été ieur seul ob- jet; car c’est le premier besoin social qui se fasse sentir dans uue agglomération d'hommes. Aussi lastronomie des Chaldéens consista-t-elle, avant tout, dans l’observa- tion du zodiaque, dans celle du lever et du coucher hé- liaque des constellations, c’est-à-dire dans leurs mouve- mens par rapport à celui du soleil; dans celle de la mar che de cet astre et des phases de la lune. H fallut. en- suite donner des noms à tous, ces astres, pour les recon- naître et les suivre dans leurs mouyemens divers. On avait remarqué que le soleil, la lune et les planètes alors connues, ne s’écartaient jamais d’une zône céleste, dans l’étendue de laquelle s’opéraient tous leurs mouye- mens. Cette observation donna l’idée du cercle imagi- maire , qu’on a nommé zodiaque, et de sa division eu douze constellations. Ce fut seulement quand elle posséda ces premières notions, que l'astronomie chaldéenne put se livrer à des observations plus régulières; mais ces notions, filles d’une expérience acquise d’après des apparences, et souvent de traditions populaires transmises d’âge en âge, ne reposant sur aucuns principes positifs, ne pouvaient encore constituer une science. Néanmoins , ces antiques observations sont précieuses, et méritent d’être recueil- lies par l’histoire; car, plus nous avons de peine à con- cevoir aujourd’hui comment il a été possible d'expliquer et d'annoncer les éclipses en s'appuyant sur les plus folles hypothèses du système du monde, et souyent même en l'absence de toute hypothèse, plus nous devons montrer de respect et d’admiration pour ces premières tentatives de l'émancipation intellectuelle de l'homme. C’est toute au 162 AS autre chose quand il s’agit de transporter dans ja science même ces appréciations vagues des phénomènes célestes, Les premières paroles de l'enfance ont une naïveté et un charme auxquels on ne peut être insensible ; mais ce lan- gage, que dans notre âge mûr nous nous souvenons à peine d’avoir balbutié, ne forme point une branche essen- telle de l’idiome national, Les Chaldéens se vantaient de posséder un recueil d'observations astronomiques qui remontaient à 493,000 ans. Ces incohcevables exägérations, que nous rencon- trerons quelquefois dans les sipputations de l’astrono- mie ancienne, né méritent pas d’être contredites. Mais peut-être n’estil pas inutile de dire qu’ellés ne sont sans douûte que le résultat de l'incéhérence qui règne dans la détérminätion primitive de l’année, et de l'ignorance ab- solue dans laquellé nous sommes à cet égard. En suppo- sant, cormmé tout porte à le croire, que cette longue pé- riode chaldéenne puisse se réduire à des jours, on trou- véräit encôre que leurs travaux astronomiques remontent à une haute antiquité. Les plus anciennes observations chaldéennes qu’il soit possible d'admettre sont celles de trois éclipses de lüné qui auraient eu lieu durant les an- nées 719 ét 720 avant J.-C. (ans 27 et 28 de l’èré de Nabonassar), ét dont Ptolérnée S'ect servi, probable- ment d’après Hipparque, le premier astronome qui ait recueilli avec discernement et méthode les observations antérieures à l'astronomie des Grecs. Il est naturel aussi de penser que ces observations chaldéennes n’étaient pas les premières qui eussent été faites à Babylone. Elles sup- posent évidemment des études fondées sur une longue expérience; mais les déterminations qui étarent r'ésultéés de cés premières tentatives n’avaiént point le câractère de précision et dé cértitude qui peut seul utiliser la éon- naissancé des éclipsés. Simplicius, cité par Porphvre, assure qu'Aristôte se fit communiquer, par l’éntrémise de Calisthènes, un recuéil d'obsérvations chaldéennes qui remontaient à 1900 ans avant Alexandre. Cela est fort possible, quoiqu’Aristote lui-même te parle nuile part d’un fait qui intéressait si expressément la Science ; mais ces observations, aujourd’hüi perdues, ne pouvaient l'être pour Ptolémée , qui a dû les rejeter én s’arrétant à celles des années 719 et 520, dont nous fénons dé parler, parce qu’ellés ne présentaient point le éme dégré de certitude et d’exactitude. Î] est cepeñdant demeuré établi que les Chaldéens avaient la connaissance dé plusieurs Périodes astronomiqués dont nots ne pouvons apprécier za justessé, paï la raison déjà doniée de l'impossibilité où nous sômmes de détériiner là signification qu'ils at- tachaient au mot de leur langue qui correspond à celui d'année, Cés connaissances , au reste, qui ont du être le Fruit de lôngués observations , ne peñmeéttént cependant aucune supposition favorable à l'antiquité de la &ience, $i l’on considère surtout que les mathématiques étaient AS à peu près ignorées des Chaldéens, dônt les éonnais- sances, sous ce rapport, se bornaient à un système dé nu- mération pratique , et qué leurs opinions sur le système du monde n’avaient rien de positif et de satisfaisant. 2. Les commencemens de l’astronomié égÿptiénne sont demeurés cachés dans le mystère qui énvéloppait, chez ce peuple singulier , les institutions religieuses, muettes dépositaires de sa civilisation et dé $on éavoir. On à voulu tirer une conséquence favôrable aux con- naissances astronomiques des Égvptiens de la directidn exacte des faces de léurs pyramides vers lés quatre points cardinaux. Certainement le hasard ne peut avoir constamment produit cetté disposition remarquable de leurs plus anciens monumens; mais cependant aucunes dés observations égyptiennes ne nous ont été conservées. 1] est au contraire historiquement prouvé que les astro- nomes de l’école d'Alexandrie recoururent aux obser- vations chaldéénnes, D’un autre côté, long-temps avant cette époque, Thalès, Pythagore, Eudoxe et Platon étaient venus de la Grèce visiter les prêtres égyptiens, ét ils puisèrent dans leurs entretiens les connaissances qu'ils rapportèrent dans leur patrie. D'où viént donc que les monumens èt les prêtres de l'Égypte sont de- meurés muets pour les savans d'Alexandrie? C’est là, si l’on peut s'exprimer ainsi, une de ces singularités de l’histoire qui doivent restér à jamais inexplicables, et qu’il faut se borner à faire remarquer. Manethon, prêtre égyptien , dont nous avons déjà êu l'occasion de parler, composa, vers l'an 260 avant J.-C., une histoire de soti pays pour l'instruction de Ptoléthée- Philadelphé, fils et successeur de Lagus. Il n’est pas possible de savoir si cet écrivain, en compilant ls éontés les plus absurdes , et en faisant remonter l’origine dé la civilisation égyptienne à une antiquité fabuleuse, répé- tait dés opinions reçues par la caste privilégiée dont il faisait partie, ou s’il voulait tromper sciemment un prince dé race étrangère, en lui inspirant du respect pour une nation dont les dieux eux-mêmes avaient gouverné les ancêtres durant une période immense. Quoiqu’on ne puisse tirer aucune induction certaine de tout ce chaos historique, il est demeuré prouvé, par des ônumens et des témoignages non suspects, que l'Égypte, dès une antiquité relativé fort reculée, possédait des connais- Sanéés astronomiques déjà avancées, que les mouve- mens de Mercure et de Vénus autour du soleil y avaient été observés ; qu’elle avait une année civilé de trois cent $oixante-cinq jours, divisée en douze mois de trente jours, et cinq jours épagomènes; que l’observation du lever héliaque de Syrius, dont le retour était rétardé chaque annéé d’un quart de jour, y avait fait fonder la période sothique de 1461 ans, qui ramenait les mois ct les Fètes, à peu de variations près, aux mêmes saisons. Enfin, les zodiaques égyptiens qui se sont con- AS serwés jusqu'à nous, attestent lesoin avec lequel ce peuple observait la position des solstices dans les constellations ou signes de la zone zodiacale. On lui attribue aussi l’éta- blissement de la période de sept jours qui formaient la semaine, et qui étaient placés dans l’ordre où l’ancienne astronomie plaçait le soleil, la lune et les planètes, d’après leur distance de la terre, et en partant de la plus grande : Saturne, samedk ; Jupiter, jeudi ; Mars, mardi ; le Soleil, dimanche; Vénus, vendredi ; Mercure, mercredi ; la Lune, lundi. Les chrétiens, qui, par un motif religieux, ont appelé le jour du soleil dimanche ou jour du Sei. gneur, ont complétement interverti cet ordre, en com- mençant la semaine par le jour de la lune ou le lundi. 3. I existe à l’est et au nord de l'Asie un immense empire, dont la population homogène, régie par les mêmes lois, et surtout par les mêmes mœurs, se compte par myriades d'individus. Cette nation, dont la civilisa- tion traditionnelle se perd dans un passé sans bornes, et ne participe point de la nôtre , nation d'hommes qui ne se mêlent point aux autres hommes, qui ne connais- sent pas leurs ancêtres, et prétendent posséder une liste non interrompue de souverains, dont les plus rappro- chés de nous dans cette étrange chronologie, régnaient à une époque où, suivant nos connaissances religieuses et historiques , l’homme n’avait point encore apparu sur la tevre, la nation Chinoise enfin, se vante de conser- ver dans ses annales les observations astronomiques les plus anciennes. Quelques savans, sans adopter néan- moins les prétentions historiques des Chinois, semblent leur accorder ce dernier avantage sur les autres peuples. Nous n’adoptons point cette opinion; car il ne faut qu’exa- miner avec un peu d’attention ce qu’on nous a commu- niqué de ces annales, pour être convaincu qu'elles n'offrent qu'un assemblage incohérent de faits impossi- bles. Le plus ancien livre de Ja Chine, le Chouking, attribué à Confutzée ou Confucius, et qui aurait été écrit par lui il y a environ deux mille deux cent soixante ans, en supposant qu’il en ait été conservé des copies authen- tiques , n’attribue point à cet empire une origine qui choque d’une manière aussi tranchante toutes les idées del’histoire. Confutzée commence celle de la Chine à un empereur nommé Ya0, lequel s’occupa de l’écoulement des eaux qui s'étaient élevées jusqu’au ciel. Ceci est fort remarquable; car, d’après ce document, Yao aurait vécu à 4163 ou 3943 années de nous, c’est-à-dire un peu moins de deux mille ans avant notre ère, époque à laquelle toutes les traditions reçues placent la fin du grand cataclysme qui bouleversa le monde, et où se retrouve le berceau des sociétés. Ce fut, ajoute-t-on, environ mille ans après Yao, que l’empereur Tcheou- Kong fit les premières observations astronomiques qui puissent être utiles à la science. Mais nous ne croyons pas devoir nous étendre sur ce fait, pas plus que sur ceux de’ AS 165 la conjonction de cinq planètes et de l’éclipse de soleil, qui avaient été observées en Chine durant les années2514 et 2436 avant notre ère. Les astronomes du dernier siècle ont vainement voulu soumettre les prétendues observa- tions de ces antiques phénomènes aux lois du calcul : il n’est résulté de ces tentatives, et de Ja polémique dont elles ont été la cause, que des appréciations à peu près aussi vagues que celles des Chinois. Cependant, quel que soit l’origine de ce grand peuple, il n’est pas douteux que son astronomie pratique n’ait une date fort an- cienne. Dès l’époque la plus reculée, il existait en Chine un tribunal des mathématiques chargé de diriger et de vérifier les observations des astronomes, d’après lesquelles ce tribunal fixait le calendrier et annonçait les éclipses. Nous accordons aussi qu’on y a observé dès long-temps les ombres méridiennes du gnomon aux solstices, et le passage des astres au méridien : mais en faisant la part du tort réel que dut faire au progrès de la science l’in- cendie des livres chinois, ordonné par l'empereur Chi- Hoanti, vers l’an 213 avant notre ère, nous nous éton- nerous que la marche de la civilisation ait suivi chez cette nation une marche tout opposée à celle qu’elle a suivie partout ailleurs, c’est-à-dire qu’elle ait commencé par d'immenses découvertes, et fini par l'ignorance la plus complète des premiers élémens de la science. En général, il est constant que l'Europe a été dupe des contes mer- veilleux que lui ont faits les voyageurs du moyen-âge, y compris Marc Paul, sur une race d'hommes dont les insti- tutions bizarres, les préjugés et les mœurs se prétaient si bien, par leur singularité, à toutes les exagérations de l'imagination. Les premiers missionnaires européens qui pénétrèrent en Chine y trouvèrent les sciences dans un état peu florissant , et peu d'accord par conséquent avec l'antiquité depuis laquelle les Chinois se vantaient de les posséder. Leur géométrie ne consistait qu’en quelques règles très-élémentaires de l’arpentage. Ils connaissaient la propriété du triangle rectangle ; mais ils n’en faisaient aucune application. La trigonométrie sphérique, si essen - tielle à l’astronomie, ne leur avait point été connue avant le X° siècle, et il est probable qu'ils la tenaient des astronomes arabes. Leur arithmétique se borne encore aujourd’hui à quelques règles d’un usage com- mun, et s'exécute au moyen d’un instrument assez semblable à un abacus. Ils en étaient également aux élémens de la mécanique et de la navigation; ils n’a- vaient aucune idée de l'optique. Ces objections, qui reposent sur des données certaines, nous paraissent concluantes; elles nous dispenseront de parler de l’astro- nomie indienne, et de celle des anciens Parsis, qui se trouvent à peu près dans les mêmes conditions , et pré- sentent dans leurs observations le même degré d’inexac- titude et d’exagération chronologique. 4. Avant d'aborder l'histoire authentique de l'astro- 154 AS nomie , dont nous suivrons désormais en Grèce les vé- ritables progrès et les découvertes scientifiques, jus- qu'au moment où les vicissitudes des temps transporte- ront cette science au sein d’autres nations , il nous parait convenable de rappeler ici quelques circonstances qui se rattachent évidemment à'son origine et à son usage dans les siècles que nous avons appelés héroïques. [n'y a pas de doute que toutes les anciennes cosmogonies, une seule peut-être exceptée, ont plus ou moins pour base des observations astronomiques. Les premiers noms des planètes sont partout ceux des dieux. Le Soleil a régné en Égypte comme Mercure ; le Temps, regardé comme le père des dieux, est personnifié dans Saturne, la pla- nète qu’on croyait alors la plus éloignée du système de la terre; la Lune, sous le nom de Diane, a des rapports fréquens avec les habitans de notre globe. Tout fait pré- sumer que l’histoire des héros de tous les mythes anciens, dont les noms sontdemeurés attachés à des constellations, n’est aussiqu'une allégorie astronomique. Avec le temps, ces allégories et ces fables prirent dans l’esprit des socié- tés naïssantes le caractère grave de croyances religieuses. Cela est probable, en effet ; et l’on peut même, à l’aide d’une facile érudition , retrouver dans l'histoire des ci- vilisations passées, un nombre considérable de ces rap- ports étranges entre les phénomènes célestes et les théo- gonies ; mais il faut se garder, comme d’uñe erreur dan- gereuse, de donner une extension sans bornes à cette hypothèse historique. C'est cette erreur soutenue avec la persistance la plus aveugle , qui a malheureusement ins- piré un livre moderne, où la science et la raison sont continuellement sacrifiées à des appréciations arbitraires, exposées dans l'intérêt d’un coupable système. Nous voulons parler de l’Origine de tous Les cultes, production où l'audace du mensonge, colorée de toutes les séductions d’un style simple et peu scientifique, met les fausses idées de son auteur à la portée de toutes les intelligences. Le plan de Dupuis fut évidemment d'achever l'œuvre en- cyclopédique, en prouvant que la religion chrétienne n'avait pas d’autres bases que celles empruntées à l’ob- seryation du mouvement des astres par les anciennes cosmogonies, et qu'en conséquence Je christianisme n’était, lui aussi, qu’une fable astronomique: L'extra- vagance des suppositions où l’auteur est entrainé pour coordonner toutes les parties de.son absurde:sys- tème, aurait dû nous dispenser d’en parler dans cette partie d’un travail sérieux, où la science semble n’avoir à remplir qu'une mission spéciale, Mais si les jeunes générations auxquelles ous nous adressons ont beau- coup à apprendre, elles ont aussi beaucoup à oublier; et nous regardons comme un de nos devoirs les plus sacrés de leur signaler au moins les écueils contre les- quels leur intelligence pourrait aller se briser. Peu de mots suffiront, au resæ, pour placer la théogouie de AS Moïse hors des atteintes de Dupuis. L'origine du système du monde west point cachée dans la Genèse sous le voile des allégories; c’est une exposition sublime par sa sim- plicité, d'une grande révélation, ou, si l’on veut, d’une théosophie qui n’a rien de choquant pour la raison. Là, il n'y a rien d'emprunté à des traditions humaines. En prin- cipe Dieu créa le ciel et la terre : les astres, la lumière et le temps, tout est l'œuvre de sa parole. S’il nous semble dans l'histoire de l’homme que quelque chose reste inexpliqué, c’est sans doute que l’auteur sacré n’a voulu que traduire en langage humain un problème, dont l'explication n’appartenait point à la mission qu’il venait remplir sur la terre. Mais il est impossible de trouver dans le Sepher de Moïse aucun rapport, même éloigné ; avec les élémens cosmogoniques des reli- gions de l’antiquité. Si l’on songe ensuite que ce livre, qui est le plus ancien et le plus authentique dont l’hu- manité puisse se prévaloir, ne renferme rien qui soit en opposition aux lois connues de la science, :et que chaque jour, au contraire, les nouvelles découvertes viennent en justifier les appréciations phénoméniques, on conviendra qu’on ne doit en aborder la lecture qu’a- vec un profond sentiment de vénération et d'amour pour la vérité, Lorsque l'homme eut trouvé dans les phénomènes cé- lestes la réalisation des idées qu'il s'était faites sur la divi- nité, dont il avait partagé le pouvoir créateur entre une foule de puissances iomortelles , il se persuada facile- ment que les astres, doués d’une intelligence supé- rieure , exerçaient une influence directe sur sa destinée. Comme il avait fait ses dieux avec toutesses passions, il dut s’habituer à les considérer sous le point de vue de leur double nature divine et humaine; et enfin le désir de pénétrer dans l'avenir, désir qui se manifeste chez l'homme dans tous les degrés de civilisation qu’il subit, dut lui faire attacher une haute importance à certains signes ou aspect des astres ; dont son esprit égaré par une expérience trompeuse, tira des conséquences absolues. Telles sont probablement les idées qui donnèrent nais- sance. à l’ASTROLOGIE JupicraiRE, c'est-à-dire: à l’art prétendu. de prédire l'avenir par les aspects, les posi- tions et les influences des corps célestes. C’est chez le, peuple qu’on suppose avoir eu, le premier, des notions, astronomiques, qu’on trouve aussi les premières traces de l'astrologie; tant il est vrai que dans le développe, ment intellectuel de l'homme, l'erreur touche de près à la vérité! Ce mot servit long-temps à désigner la science même ; ce qui prouve que dans l'antiquité on ne faisait nulle différence entre l'art conjectural de quelques imposteurs, et la connaissance scientifique des lois, des astres. Les Chaldéens et les Égyptiens paraissent avoir eu un penchant décidé pour l'astrologie : c'est encore sur leur autorité que s'appuient les charlatans auprès du AS vulgaire. Il est probable qué cette aberration de l'intel- ligence n’a pas étéle moindre obstacle qu'aient rencon- tré les progrès de lascience durant tant de:siècles, où. elle n’était cultivée que pour satisfaire une vaine curiosité, au moyen de calculsiet d'observations chimé- riques. Quoi qu’il en soit, les Chaldéens etles Égyptiens avaient dans toute la terre une réputation prodigieuse sous ce rapport; et s’il est vrai, comme le raconte Vitruve, qu'un prêtre chaldéen, nommé Bérose, vint autrefois en. Grèce, et y reçut des honneurs presque divins, à cause de ses connaissances astrologiques, il faut convenir que les hommes sont toujours disposés à accueillir favorablement les mensonges qui flattent leurs préjugés et leurs secrets penchans. Nous ne serions guère plus raisonnables si nous adoptions comme des décou- vertes réelles et des faits incontestables toutes les pré- tendues observations de l'astronomie ancienne, qui, si l'on ne les sépare pas des exagérations chronologiques dont elles sont accompagnées , peuvent bien n’être que des rêveries astrologiques, mal appréciées à l’époque où l'astronomie fut l’objet de travaux plus sérieux. Jusqu'à une époque assez rapprochée de nous, les folies de l’astrologie judiciaire ont souvent usurpé une grande place dans l’histoire de la science. On les retrouve dans le moyen-âge, chez les Arabes même, à qui nous devons des travaux si importans et si réellement scienti- fiques. L'Europe au XV* siècle était infatuée de cette prétendue science, que la grande et puissante décou- verte du véritable système du monde a seule pu faire descendre du trépied sur lequel elle rendait ses oracles. De nos jours on retrouve encore quelques traces de l'astrologie judiciaire dans des almanachs malheureu- sement populaires, et qui réunissent un nombre trop considérable de crédules lecteurs. 5. Quoique l’illustre Newton ait pris pour l’une des bases de sa chronologie le fabuleux voyage des Argo- nautes, nous sommes peu disposés à chercher quels rapports peuvent exister entre cette expédition et les * connaissances astronomiques de la Grèce ancienne. Il est certain qu'avant Thalès et Pythagore, l'astronomie des Grecs se bornait à l'observation des levers et des couchers héliaques ou achroniques de quelques étoiles remarquables; observation pratique, et qui avait sa source dans les besoins de l’agriculture. On ne trouve rien dans Homère et surtout dans Hésiode, les plus anciens poètes qu’on puisse consulter à défaut d’histo- riens, qui s'élève au-dessus de ces notions vulgaires. La division du ciel en consteltations et à peu près avec les noms que les Grecs leur donnèrent, subsiste encore dans notre astronomie. Mais il serait peut-être hardi de vouloir déterminer l’époque où cet ingénieux travail fut accompli dans la Grèce. Si, comme le pensent de savans astronomes , ce travail était antérieur au siége de Troie, AS 465 on.eu:trouverait des traces dans les poètes que nous ve- uous de nommer. Néanmoins l'imagination brillante de ce peuple, et ce génie de la fiction qui lui est propre, éclatent partout dans ce monument ingénieux de l’an- cienneastronomie. Tout porte donc à croire que les Grecs sont.en grande partie les auteurs de la division du ciel, ou que du moins ils eurent l’art d'y rattacher de bonne heure toutes leurs traditions nationales. Le groupe nom- breux des Pléiades, dont l'étymologie grecque est zac, beaucoup, plusieurs , sera pour eux la réunion des filles de l'antique Atlas; Calisto et son fils sont les Ourses; le brillant groupe d'étoiles qu’on découvre au midi de la Grèce; est le navire Argo; Castor et Pollux, Hercule, le Vautour qui gardait la toison d’or, le Bélier qui l’a- vait fournie, tous ces êtres ou ces objets imaginaires seront placés par eux dans le ciel, où la religion yien- dra bientôt consacrer leur migration poétique. Sans entrer dans aucune discussion au sujet de l’ori- gine des constellations et de la division du zodiaque, qui parait appartenir à des peuples plus anciens que les Grecs, nous dirons que cette nation, dont l’histoire se lie plus intimement à la nôtre, a dû emprunter par- ticulièrement aux Égyptiens, d’où la tradition faisait sortir sa civilisation, une grande partie des premiers wavaux de son astronomie. Cette science ne commence en effet à mériter ce nom dans la Grèce qu'a l’époque où le célèbre Thalès de Milet fonda l’école ionienne. Ce philosophe naquit vers l’an 640 avant notre ère: il u’était déja plus jeune lorsqu'il alla puiser en Égypte des connaissances qu’il n'avait point trouvées dans sa patrie, où il revint apporter une vaste instruction qu'il avait acquise, dit-on, dans ses entretiens avec les prêtres égyptiens. Le premier dans la Grèce, Thalès enseigna Ja sphéricité de la terre, l’obliquité de l’éclip- tique, expliqua les vraies causes des éclipses, et en prédit une au moyen d’une méthode qui nous est de- meurée inconnue. Cette éclipse arriva, suivant le té- moignage de Pline et les calculs ‘d’un astronome mo- derne, l'an 585 avant J.-C., ou la quatrième année de la XLVIII olympiade. Après Thalès, l’école ionienne vit fleurir successive- ment Anaximandre, Anaximène et Anaxagore, qui professèrent les doctrines de leurs maîtres, et introdui- sirent en Grèce l’usage du gnomon et des cartes géo- graphiques : le dernier fat, dit-on, proscrit par les Athéniens comme impie. Ces trois philosophes, nom sous lequel on désignait alors généralement les hommes dont les connaissances s’élevaient au-dessus-du vulgaire, établirent ainsi en Grèce les premiers principes d'une astronomie scientifique. Mais dans le même temps, un disciple de Thalès fondait en Italie une école dont la réputation et la gloire devaient effacer celles de l’école ionienne. L’'illustre et célèbre Pythagore, né à Samos, 466 AS vers l'an 590 avant notre ère, se fit remarquer de bonne heure, par sa haute intelligence, parmi ceux qui venaient écouter comme lui la parole de Thalès. Le philosophe ionien devina le génie de son jeune disciple, et lui donna le conseil d’aller chercher la science aux sources où lui-même avait été la puiser. Pythagore partit pour l'Égypte, où il fut initié aux mystères célèbres de ce pays; mais son amour pour la science lui fit dépasser ce terme des voyages de son maître : il alla sur les bords du Gange, et puisa, dit-on, dans les entretiens des brahmanes les opinions, souvent si avancées, que professa l'école philosophique à laquelle il donna son nom. Sous le rapport de l'astronomie, Pythagore donna un développement important aux principes enseignés dans Fécole ionienne, en y ajoutant l'explication des deux mouvemens dela terre sur elle-même et autour du soleil. Il compléta ces notions , si justes, du vrai système du monde, par l'hypothèse du mouvement régulier des comètes et dé toutes les planètes autour du soleil. On enseigna plus tard dans son école, ct l’on peut penser que ces opinions furent aussi les siennes, que les pla- nètes étaient habitées, et que les étoiles étaient autant de soleils placés au centre d’autant de systèmes plané- taires. Les pythagoriciens expliquèrent également la distribution ou Pordre de la sphère céleste, l’obliquité de l'écliptique, la rondeur de la terre, l’existence des antipodes, la sphéricité du soleil, la cause de la lumière de la lune, celle de ses éclipses, éclipses du soleil. La plupart de ces idées leur furent ainsi que celle des communes avec l’école de Thalès, et avaient été émises par ce philosophe lui-même ; mais le système pythago- ricien les rassembla toutes, et les exposa, camme on vient de le dire, avec plus d’étendue et d'ensemble. On se demande comment la possession des vérités fondamentales de ce système a pu échapper à l’huma- nité, qui s’est glorifiée, après une longue suite de siècles, de les avoir reconquises. La plupart des astronomes, tout en témoignant leur enthousiasme pour ces grandes découvertes, et leur admiration pour le génie sublime de Pythagore, n’ont point cherché à expliquer ce phé- nomène historique. Mais dans le point de vue philoso- phique sous lequel nous examinons ici la marche de la science, cette circonstance est trop essentielle, pour qu’elle ne soit pas, de notre part, l’objet de quelques rapides réflexions. Et d'abord est-ce bien des brahmanes ou des prêtres de l'Égypte que Pythagore tira des leçons aussi remarquables par la grandeur et la justesse des vues qu’elles expriment? Il est au moins permis d’en douter. L’astronomie des Indiens et des Égyptiens n’é- tait plus avancée que celle des Grecs, à cette époque, que sous des rapports pratiques; mais rien n ndique nulle part dans leurs observations, leurs monumens et le peu de documens authentiques que nous possédions sur AS leur antique histoire, que la science s'y fût élevée à le hauteur de l'hypothèse pythagoricienne. D'ailleurs, coms ment Thalès qui avait eu avec les prêtres égyptiens les mêmes rapports que Pythagore, n’en avait-il pas reçu les mêmes révélations ? Faudrait-il ajouter foi à l’exis- tence de ces divers degrés d'initiation , dont on suppose que la connaissance entière des mystères était précédée ? Mais si les prêtres étaient en possession des idées que Pythagore professa sur le système du monde, pourquoi les maîtres ont-ils gardé le silence sur un objet qu’il a été permis au disciple de dévoiler? et pourquoi enfin cette faculté, parmi tous les hommes qui subirent les degrés les plus élevés de l'initiation, a-t-elle été le par- tage du seul Pythagore? On sent bien que toutes ces questions compliquent le problème au lieu de le résou: dre ; mais on les a exposées pour démontrer l'incertitude qui règne dans l'histoire de ces temps éloignés, et la hardiesse qu'il y aurait d'adopter, sans aucune critique, des faits présentés par les écrivains des siècles intermé- diaires avec une confiance qui ne prouve rien en faveur de leur authenticité. On ne peut donc que hasarder des hypothèses plus ou moins probables sur ces hâtives ma- nifestations de l'esprit humain, qui surgissent de loin en loin comme des clartés inattendues dans la nuit mys- térieuse de l’antiquité. Ainsi, il est possible que Pytha- gore ait profité de quelques vagues aperçus des brah- manes et des prêtres de l'Égypte, pour fonder son opinion sur le système du monde. Mais ce système lui-même dut naître dans la spontanéité de son génie, puisque, avant et après lui, l'univers entier, fidèle à ses vicilles erreurs méconnut les vérités qu’il était venu lui révéler. Au reste, il ne faut pas non plus accuser l'humanité d’une disposition trop prononcée à dédaigner les découvertes scientifiques. Elle n’entre dans le progrès qu'en vertu des lois qui le déterminent, c’est- à-dire qu'il n ya progrès pour l'humanité que là où les découvertes : scientifique- ment exposées, deviennent incontestables. Pythagore enveloppa sa doctrine des formes mystiques de l'initia- tion; il ne la présenta que dans un langage mystérieux et obscur, et mélée à des doctrines philosophiques « d'un ordre tout différent. Peut-être ce grand homme craignit- il à la fois d’exposer ses dogmes aux raïllerics du vul- gaire, dont ils offensaient les préjugés, etses disciples à des persécutions dont les malheurs d’Anaxagore ayaient été le prélude dans la Grèce. Au reste, son école con- serva long-temps, jusqu’à un certain point, la direction intellectuelle qu’elle avait reçue de lui; et il paraît alors moins surprenant qu’elle n'ait pu se placer en tête des progrès de la science. Philolaüs de Crotone, fut le pre- mier disciple de Py thagore, qui professa publiquement l'opinion de ce philosophe sur le mouvement de la terre : elle était demeurée jusqu’! à lui enveloppée dans le mys- tère qui couvrait les doctrines de cette école. AS Environ un sièele après Pythagore , deux astronomés grecs, Meton et Euctemoti, exposèrent aux jeux olym- piques une table astronomique où était expliqué l’ordre d’une période nouvelle qui devait servir à rectifier le calendrier de la Grèce, en conciliant les mouvemens de la lune et du soleil. Cette période, que les Grecs adop- tèrent avec enthousiasme, à été célèbre sous le not d’enncéadécatéride, où cycle de 19 ans. Elle était de dix- neufannées luuaires, dont douze se composaient de douze lunaisons, et les sept autres de treize. Callipe apporta plus tärd quelque changement à cette période qui anti- cipait de quélques heures sur les révolutions précises du soleil et sur celles de la lune. Il quadrupla le cycle de Meton, et en forma un nouveau de 76 ans, aù terme duquel on devait rétrancher un jour. Cette autre période, qui a été appelée cellipique, du nom de son auteur, avait été formée d’après l'évaluation de l’année à 365 jouts G heures, et offrait encore une anticipation dé quelques minutes. Ce défaut fut remarqué par le célèbre Hippar- que; mais l’usage du cycle de Callipe prévalut sur celui que présenta cet astroriome. Il n’est pas inutile de rap- peler ici que la réforme du calendrier, en 1582; fut nécessitée par laccumulation des anticipations de ce eycle depuis l’époque du concile de Nicée, jusqu'à cette année du seizième siècle. Où attribue encore à Meton et Euctemoïñ une ob- sérvation ästronomique fort importante pour l’histoire de la bcience dans la Grèce, et que nous né pouvons passer sous silence : c'est celle du solstite d'été de Fan 435 avant J:-C: Dans le siècle suivant, c’est-ä-dire à peu près du temps d'Alexandre, la république de Marseille vit naitre Pytheas, qui s’est illastré comnte féographe ct comme astronomé: Nous aurons l’occasion d'envisager sé$ trafaux sous ce double rapport : il suf- fira de dire, dans te rapide résumé de l'histoire de l'as- ironomié, qu’à cette époque Pythéas obsefya à Mar- seille la longueur méridienne du gnomoen añ rôlstiee d'été. Cette observation rémalquablé à cause dé sôn antiquité, est surtout précieuse pour les astionomes, en cé qu’elle confirmé les diminutions suctessives dé l'obh- quité de l’écliptique. C’est à Pytheas de Marseille que finit véritablement la première période de l'histoire de l'astronomie éhez les Grecs, car elle renferme tous les progrès qui s'effec- tuèrent dans la science depuis Thalès jusqu'à Alexandre. Nous croyons donc devoir passer sous silente des tra- vaux de quelques astronomes du siècle qui p'écéda la fondation de l’école d'Alexandrie, tels qu'Archslas, Leucippe, Démocrite, dout les observations w'appor- tèrent aucun changement essentiel aux hypothèses adop- tées avant èux. [l en est de-mêmie de Platon et de l'école célèbre qu'il créa. On sait que cet homme prodigiéux, et à qu le monde est redevable d'une philosophie qui AS 167 donna üne si haute direction aux sciences morales , avait néanmoins adopté le système du monde, généralement reçu de son temps, et qui fait la terre immobile au centre de l’univers. Cependant Plutarque assure qu’arrivé aux bornes de la vie, le divin Platon renença à cette erreur, et embrassa le système pythagoricien. (PzuT. Quest. plat. 7.) Les principaux disciples de Platon qui s’occu- pèrent d’astronomie, comme Hélicon de Cysique et le célèbre Eudoxe , professèrent des opinions si erronées sur cette matière , que leur exposition est devenue com- plétement étrangère à l’histoire de la science. Aristote et l’école péripatéticienne ne s’occupèrent pas d’astrô- nomie, ou ne l’envisagèrent que dans le sens des fausses hypothèses dont elle était l’objet, et à l’aide d’une mau- vaise physique. Ce fut cependant l'opinion d’Aristote, basée sur des principes aussi peu solides , qui porta le dernier coup au système pythagoricien. Cette opinion fut adoptée par les plus célèbres astronomes d’Alexan- drie, et durant quatorze siècles l'intelligence humaine gravita dans le cercle étroit que l’empirisme avait tracé autour d'elle. Il nous reste maintenant à suivre la mar- che de la scierice pendant cette longue période, et à con- sidérer pär quels immenses travaux l’humanité racheta la conquête de la vérité qu’elle avait dédaignée deux mille ans auparavant. G. On a vu que l’astronomie des divers peuples civi- lisés, dont nous avons interrogé l’histoire, était entière- ment pratique. Les phénomènes des saisons, des éclip- ses, l'apparition des comètes, n'étaient observés que dans l'intérêt des besoins sociaux, et peut-être aussi dans celui des préjugés, que nourrissaient les frayeurs occasionnées par l'accomplissement de ces grandes lois générales. Toute la science consistait dans la connais- sance des diverses périodes calculées sur de longues observations ; elle ne rassemblait sur le système de l'univers qne des conjectures, dont la plupart étaient malheuréuses et fondées sur les rappôrts des sens avec les appärences des mouvemens planétaires. À dater de la foñi- dätion dé l’école d'Alexandrie, l'astrondinie va prendre ünié place plus distinguée dansles connaissances humäinés. Les observations s’exécuteront dès lors à l’aidè d’ins- t'umens ingénieux et propres à mesurer les angles : eHés seront calculées d’après les méthodës trigonomé- uiques. Des cercles du ciel seront dressés, et la posi- tion des étoiles sera déterminée avée uñé exactitude dont toutes des Observations añtérieures n'avaient point approché: Des mouvemens du soleil et de ln lune, ceux des planètes seront appréciés et saisis avec plus de jüstesse ; etenfin de l’énsemble des travaux entrepris au seih de cétté illustre écolé ; sortira ie premier Système astronomique complet; malgré les erreurs qu'il consä- crera, et qui, adopté par toutes les nations; donnera du moius à la science ce caractère d'unité à Paide duquel 168 AS s'établira sa marche progressive vers le vrai système du monde. De toutes les branches des sciences mathématiques, dont les travaux de l’école d'Alexandrie accélérèrent les progrès, aucune ne fut cultivée avec plus d’ardeur et de succès que l’astronomie. Nous avons déjà présenté daus un article de ce Dictionnaire, sous un point de vue général, l’ensemble de l’histoire de la science, en par- lant de cette institution célèbre : nous croyons devoir y renvoyer le lecteur. (#oyez ALEXANDRE (ÉCOLE D.) Cependant, pour intervertir le moins possible l’ordre des recherches spéciales auxquelles nous nous livrons ici , nous résumerons dans quelques considérations nou- velles cette partie si importante de l’histoire de l’astro- nomie. Si ce que nous avons dit plus haut relativement aux prétendues connaissances attribuées aux prêtres égyp- tiens, et à l'antiquité non moins douteuse de leurs observations (2), avait besoin d’être plus particulièrement démontré, les travaux des astronomes alexandrins “seraient un témoignage irrécusable de la justesse de nos objections. Ni Aristille, ni Timocharis, ni le judicieux Hipparque, ni le savant et ingénieux Ptolémée, ne purent se servir des observations si vantées de l’antique et mystérieuse Égypte. Les premiers de ces grands astro- nomes, aidés de toute la faveur des successeurs de Lagus, durent avoir à leur disposition tous les docu- mens utiles à la science qu’ils pratiquaient ; et il est pro- bable que dans un pays dont les monumens étaient cou- verts de caractères qui dans l'opinion générale conser- vaient les fastes nationaux, ils eurent tous les moyens possibles de s’éclairer. Cependant la plus ancienne observation, rapportée par Ptolémée, est empruntée aux annales de Babylone, et elle ne remonte qu’à l'an 719 avant l'ère chrétienne (1). C’est donc à tort qu’inclinée devant ces antiques restes d’une civilisation à peu près inconnue, et qui ont sur- nagé sur les vagues des siècles, la science rêveuse cher- che à lire ces pages muettes pour elle, et à soulever le voile qui couvre le passé. Long-temps avant Hipparque, Aristarque de Samos essaya vainement de faire prévaloir à l’école d’Alexan- drie l'opinion pythagoricienne sur le système du monde. N'est-ce donc pas une preuve évidente de l’excentricité de ce système, que la profonde indifférence avec la- quelle il fut accueilli dans la terre même où l’on a pré- tendu qu’il avait pris naissance? Et plusieurs siècles après , lorsque le studieux Ptolémée rassembla tous les travaux astronomiques des temps anciens , la production de ce système ne changea rien à ses opinions, et il dépensa un immense talent pour expliquer le système opposé, qui était celui de l'Égypte, par une complica- AS tion prodigieuse de combinaisons et d’hypothèses qui attestent seulement la fécondité brillante de son génie. Cette noble tentative d’Aristarque de Samos, les observations importantes d'Hipparque, et les travaux synthétiques de Ptolémée, nous semblent caractériser les trois ages de l'astronomie dans l’école d'Alexandrie, Du temps d’Aristarque, le système général du monde est encore en discussion ; mais ce premier travail est inu- tile, et Hipparque n'apporte que peu de changemens à l'opinion reçue, en faisant mouvoir le soleil uniformé- ment dans un: ordre circulaire, et en éloignant la terre de la vingt-quatrième partie da rayon, au lieu de la pla- cer à son centre. Ptolémée s'empare en maitre de ces divers travaux , il les coordonne ; les rectifie suivant de nouvelles observations opérées à l’aide de meilleurs instrumens ; et forme un système qui diffère peu de celui d'Hipparque et de celui des Égyptiens ; mais il l’entoure d'explications qui étonnent l'imagination, et qui sup- posent en lui une science si profonde que nul après lui n’osera porter la main sur son œuvre, La découverte qui a immortalisé Hipparque est celle de la précession des équinoxes ; et ce fut pour expliquer ce phénomène réel de l'inégalité des deux intervalles d’un équinoxe à l’autre, qu'il proposa son hypothèse sur le mouvement du soleil. Ptolémée confirma cette découverte par de nouvelles observations, mais il n’en donna pas des explications plus satisfaisantes. La plus importante de celles qu’on attribue à ce gramd astro- nome est celle de l’évection de la lune. ( Voyez ce mot. ) Voici au surplus l’idée générale qu'on peut se faire de son système, et qu’il est important de connaître pour bien comprendre la nature des progrès de l’astrondmie mo- derne et l'importance des travaux des Arabes durant le moyen-âge. Nous empruntons à La Place l’expositionque ce savant et illustre géomètre en a faite en ces termes : « Ce fut, dans l'antiquité , une opinion générale, que le « mouvement uniforme et circulaire, comme le plus par- « fait, devait être celui des astres. Cette erreur s’est « maintenue jusqu'a Képler, qu’elle arrêta pendant « long-temps dans ses recherches. Ptolémée l'adopta, « et plaçant la terre au centre des mouvemens célestes, « il ‘essaya de représenter leurs inégalités dans cette « hypothèse. Que l’on imagine en mouvement sur une « première circonférence dont la terre occupe le centre, « celui d’une circonférence sur laquellese meut le centre « d’une troisième circonférence ; et ainsi de suite jus- « qu’à la dernière que l’astre décrit uniformément. Si « le rayon d’une de ces circonférences surpasse la somme « des autres rayons, ce mouvement apparent de l’astre « autour de la terre, sera composé d’un moyen mou- « vement uniforme, et de plusieurs inégalités dépen- « dantes des rapports qu'ont entre eux les rayons des « diverses circonférences , et des mouvemens de Jeurs AS « centres et de l’astre. On peut donc, en multipliant et « en déterminant convenablement ces quantités , repré- « senter toutes les inégalités de ce mouvement apparent. Telle est la manière la plus générale d'envisager l'hy- « pothèse des épicycles et des excentriques; car un « excentrique peut être considéré comme un cercle = « dont le centre se meut autour de la terre avec une « vitesse plus ou moins grande, et qui devient nulle « s’il est immobile. » « Ptolémée suppose le soleil , la lune et les planètes « en mouvement autour de la terre dans cet ordre de « distances : la Lune, Mercure, Vénus, le Soleil, « Mars, Jupiter et Saturne. Chacune des planètes su- « périeures au soleil était mue sur un épicycle dont le « centre décrivait autour de la terre un excentrique « dans un temps égal à celui de la révolution de la « planète. La période du mouvement de l’astre sur « l’épicycle, était celle d’une révolution solaire, et il « se trouvait toujours en opposition au soleil lorsqu'il « atteignait le point de lépicycle le plus près de la « terre. Rien ne déterminait dans ce système la gran- « deur absolue du cercle et des épicycles : Ptolémée « n’avait besoin que de connaître le rapport du rayon « de chaque épicycle à celui du cercle décrit par son « centre. Il faisait mouvoir pareillement chaque pla- « nète inférieure sur un épicycle dont le centre décri- « vait un excentrique autour de la terre; mais le mou- « vement de ce point était égal au mouvement solaire, « et la planète parcourait son épicyle pendant un temps « qui, dans Fastronomie moderne, est celui de sa révo- « lution autour du soleil; la planète était toujours en « conjonction avec lui, lorsqu'elle parvenait au point « le plus bas de son épicycle. Rien ne déterminait encore ici la grandeur absolue des cercles et des épi- « cycles. Les astronomes antérieurs à Ptolémée étaient « partagés sur les rangs de Mercure et de Vénus dans le système planétaire. Les plus anciens dont il suivit 2 l'opinion, les mettaient au-dessous du soleil ; les autres plaçaient cès astres au-dessus : enfin quelques = « Égyptiens les faisaient mouvoir autour du soleil. » Telles sont les hypothèses principales du système de Ptolémée. Ce système dont l’adoption générale rendit tout progrès impossible, marque un point d'arrêt dans la marche de l'esprit humain. Comme il rassemblait toutes les connaissances antérieures à sa production, il fut aussi durant une longue période, l’axe sur lequel vinrent se grouper toutes les recherches postérieures. 7- Tandis que l’Europe et cette partie de l’Asie, quéla politique romaine y avait rattachée par ses conquêtes et ses lois, subissaient une transformation complète dans leurs mœurs , leur religion et leur droit public; tandis que de puissantes révolutions changaient la ficé du monde civilisé, que des royaumes s’élevaient sur les débris des AS 169 royaumes, que des nations nouvelles s’élançant d'une zonc inconnue, venaient s'asseoir au foyer dévasté des viciies nations , et que les sciences et les lettres disparaissaient comme englouties sous les ruines des anciens monu- mens : une nâtion jeune, malgré ss antiques traditions, brave, spirituelle et remarquable par l'énergie de son enthousiasme religieux, se révélait au monde par sa puis- sance intellectuelle, après l'avoir menacé par la puis- sance victorieuse de ses armes. Les sciences et les lettres trouvèrent un refuge chez cette noble nation , alors que leur flambeau s’éteignait dans le sang des peuples où il avait autrefois répandu de vives clartés. La religion nouvelle, qu’elle adopta avec l’ardeur naturelle de son caractère, modifia durant quelque temps ses mœurs patriarchales, en lui inspirant une ferveur de prosély- tisme qui lui fit soumettre la raison au tranchant du sabre. Mais quand ses prémiers khalyfes eurent accompli la pensée de Mahomet par d’immenses conquêtes, elle retrouva dans les loisirs de la paix toutes les traditions de sa belle civilisation, Passionnée pour la poésie et pour l’éloquence, elle eut de nouveau des palmes pour les poètes et les orateurs ; elle cultiva les sciences mathé- matiques, et surtout l’astronomie, dont son ciel sans nuages devait favoriser les observations; et l'Europe, courbée sous la hache des hommes du Nord , ne la suivit que lentement, et de bien loin, dans la voie de la régé- nération ct du progrès. Telle fut la nation arabe, dont les glorieusés annales renferment tant de faits intéressaris pour l’histoire des sciences , et que d’aveugles préjugés nous ont long-temps montrée comme une nation barbare, en calomniant jusqu’à sa religion. Nous ne parlerons point de l'astronomie des anciens Arabes : leurs connaissances pratiques dans cette science ne s’élevaient guère ‘au-dessus de celles que les Grecs possédaient avant Thalès, et ce fut seulement sous lés kbalyfes de la dynastie des Abbassydes qu’ils cominen: cèrent à en faire l’objet de recherches sérieuses. Lie cé- lèbre El-Mansour, surnommé Abou-Djafar ( Almanzor- le-Victorieux), eut la plus grande part à la révolution intellectuelle qui s’opéra chez les Arabes. Ce khalyfe, qui monta sur le trône vers le milieu du huitième siècle ( a de J.-C. 754, de l'hégyre 136), encouragea les sciences | par ses libéralités, par la faveur dont il hoñorait ceux qui les cultivaient, et surtout par son propre exemple, car il s’adonna lui-même avec beaucoup d'ardeur à l'étude de l'astronomie. Ses successeurs marchèrent Sur ses traces ; le célèbre Haroun-äl-Raschyd et sôn fils Mu£ hamed-el-Amyr favorisèrent dé tout leur pouvoir1é mouvement civilisateur qui s'était manifesté paires Arabes. Le brillant règne de ces princes à lasséqaris l'Orient d’impérissables souvenirs; les cotites inffénieurs} qui ont amusé notre enfance, ne sont qu'un seflet Ge ee 470 :- - _——- AS ete époque de progrès, que plus tard l'imagination ardente de ces peuples qui viven de poésie, reproduisit dans leurs traditions avec l’exagération et l'amour du merveilleux qui lui sont naturels. Mais parmi tous les princes arabes qui s’illustrèrent par leur amour pour les sciences, le khalife Él-Mamoun-Abd-Allah, deuxième fils d'Haroun, et qui monta sur le trône l'an 198 de l’hégyre (813-14 de J.-C.), mérite une mention particulière. Il protégea les sciences en souverain et en philosophe ; car, magnanime comme Alexandre, il n’oublia pas dans ses expéditions guerrières le noble but qu'il s'était fixé : il imposa à Michel HI un tribut en livres, trésor de l'antique civilisation de la Grèce, et plus tard il fitla guerre à Théophile qui avait refusé de laisser partir pour Bagdad Léon, archevèque de Thessalonique, que cet empereur chrétien laissait vivre du prix des leçons qu’il était obligé de donner aux escla- ves. À dater du règne d'Él-Mamoun toutes les sciences » et particulièrement l'astronomie, prirent chez les Arabes un développement prodigieux, et une foule d'hommes remarquables par leurs travaux et leur aptitude scienti- fiques, se pressèrent autour de son trône. L’Æ/mageste fut traduit comme tous les ouvrages mathématiques de la Grèce et de l’école d'Alexandrie. Les astronomes de Bagdad firent un grand nombre d'observations impor- tantes, et dressèrent de nouvelles tables du soleil et de la lune, plus exactes que celles de Ptolémée, auxquelles on a donné le nom de Tables vérifiées. Is détermi- nèrent avec plus de précision qu'Hipparque la durée de l’année tropique, et mesurèrent dans une plaine de la Mésopotamie un degré du méridien, dans le but d’ob- tenir une évaluation juste de la grandeur de la terre. Nous aurions à citer un grand nombre d’astronomes célèbres qui se distinguèrent par d’utiles et grands tra- vaux sous le règne d'Él-Mamoun, et sous celui de ses successeurs ; car l'astronomie se ressentit long-temps de la protection puissante que lui avait accordée ce prince éclairé. Cette revue intéressante nous ferait dépasser de beaucoup les bornes qui nous sont imposées; nous con- sacrerons des biographies à ceux dont les découvertes ont le plus contribué aux progrès de la science, et nous renverrons le lecteur, pour les autres, au recueil de d'Herbelot, et aux diverses bibliothèques orientales, Voyez ALuASEN, ALBATENIUS, etc. Les Arabes ne se bornèrent pas à des observations, dont lascience moderne a souvent l’occasion d'apprécier l'exactitude; ils donnèrent aussi tous leurs soins à la perfection des instrumens astronomiques; et lorsque, par leur invasion en Espagne, ils furent à même de communiquer à l'Europe les connaissances qu'ils avaient acquises, ce moyen puissant d’en vérifier les calculs et les résultats contribua beaucoup à les répandre. Aiusi, l’époque à laquelle nous avons donné le nom AS de moyen-äge, qui fut pour nous une époque de ténè- bres et de servitude, renferme la période la plus bril- lante de l’histoire des Arabes. Lorsque nos chevaliers, aussi braves qu’ignorans, suivirent en Orient ces my- riades de pélerins armés qu'y conduisait l’exaltation religieuse, ils s’imaginaient aller combattre des bar- bares , dignes à peine de tomber sous leur noble épée. Ils eurent affaire à une nation aussi vaillante qu’éclairée, et la civilisation arabe triompha de cette attaque for- midable : mais les chrétiens rapportèrent d'Orient des idées qui germèrent en Europe, et concoururent plus tard à sa rénovation intellectuelle. Tel fut le résultat le plus positif des croisades. Il est grand sans doute, et témoigne éloquemment de la direction providentielle que subit l’histoire sociale. 8. Vers le milieu du XI° siècle, les Persans, long- temps soumis aux Arabes, secouèrent le joug de leurs khalyfes; mais ils continuèrent à pratiquer les sciences que leurs conquérans leur avaient enseignées. Omar- Cheyau , l’un de leurs plus célèbres astronomes, reforma leur calendrier, dans lequel on trouve une intercala- tion que Dominique Cassini , à la fin du XVII° siècle, proposa comme plus exacte que l’intercalation grégo- rienne. Ce savant paraîtavoir ignoré l'existence déjà an- cienne de ces progrès astronomiques chez les Persans. Deux siècles après, Holagu-Ilecoukan, souverain de la Perse, donna aux études astronomiques les plus louables encouragemens, et Ulugh-Beigh, un de ses successeurs, doit être mis lui-même au rang des meilleurs obser- vateurs. Il mesura, en 1477, l’obliquité de l’écliptique, et dressa des tables astronomiques que celles de Tycho- Brahé surpassèrent seules en exactitude et en perfection. La Chine participa durant le moyen-âge de ces pro- grès généraux de l'astronomie dans l'Orient. Nous de- vons aux missionnaires chrétiens, et particulièrement au savant jésuite Gaubil, la connaissance d’une suite d'observations qui s'étendent de l’an 1100 avant notre ère, jusqu'en 1280 après. Dans le V® siècle, un habile astronome chinois, nommé Tsoutchong, avait déter- miné la grandeur de l'année tropique avec plus d’exac- titude que les Grecs et les Arabes, en la fixant à 365 jours 24282. Cette évaluation est à peu de chose près celle de Copernic. En 1271, Kobilai, cinquième successeur de Genpgis- Kan, protégca l'astronomie, en Chine, ayec autant de zèle et de générosité que son frère Holagu-[lecoukan en Perse. Il est curieux de suivre ces migrations diverses de la science : des Arabes chez les Persans, des Persans chez les Tartares, des Tartares chez les Chinois, Kabilai nomma chef du tribunal des mathématiques Cocheou- King, qui est le Ptolémée de la Chine. Ce célèbre observateur a. laissé des travaux remarquables que le père Gaubil a communiqués à l'Europe. Il fit construire AS an grand nombre d’instrumens supérieurs à ceux dont on avait fait usage jusqu'alors, et entre autres un gno- mon d’une grande dimension, à l’aide duquel il put faive des observations importantes sur les diminutions de l'obliquité de l'écliptique et de l’excentricité du globe terrestre. 9. C’est à peu près À cette époque qu’Alphonse, roi de Castille, et Frédéric IT, empereur d'Allemagne, côminencèrent à encourager les études astronomiques, ét que la science, rendue à l’Europe par les Arabes, jeta quelques rayons de lumière au milieu des épaisses ténèbres ‘qui couvraient ce pays. Les tables astrono- miqués drossées pari les soins du premier de ces princes, Ja traduction de V'{lmageste de Ptolémée, due aux encouragemens du second, furent les premiers indices importans de la révolution intellectuelle que Europe aaitsubir dansles siècles suivans. L’astronomie, dont les connaissances étaient alors mélées à beaucoup d'erreurs el de rêveries astrologiques, fut spécialement l’objet de quelques utiles travaux, parmi lesquels se distinguent ceux de Sacro-Bosco (Jean de Halifax), de Campanus de Novarre , de Girard de Crémone, qu’on croit avoir été le premier traducteur de lA/mageste en latin. Ce mouvement continua durant le XIV° et le XV* sièele: Pierre d’Apono, Marc de Bénévent et George Purbacb se jetèrent avec une sorte d’enthousiasme sur los écrits des anciens, les commentèrent, les analysèrent, et préparèrent ainsi la voie des découvertes dans laquelle la science ‘allait s’élancer après eux. Ce fut alors que pürut le célèbre Jean Muller, plus connu sous 1e nom dé Regiomontanus, l’un des observateurs les plus re- marquables du système astronomique de Ptolémée, dont il découvrit même, dit-on, les erreurs, qu’il fut sur le point de sacrifier à l’ancienne opinion pythagoricienne. Mais le moment m'était pas venu de cette grande et heureuse révolution, et l'honneur de la commencer était réservé à un autre. Regiomontanus acheva d’im- inenses travaux dans toutes les parties de l’astrono- mie, et son observation de la comète de 1472, pour laquelle il écrivit un traité spécial, est encore aujour- d'hui d’un haut intérêt. Cet astronome, qui mourut jeune, laissa à de nombreux disciples le soin de perfec- tionner sa méthode et de continuer ses observations. Parmi eux se distingue Bernhard Walther, que, suivant l'usage de ce temps, on a appelé ##/altherus. I est le premier astronome moderne qui ait observé le phéno- mène de la réfraction. Ces savans et laborieux astronomes, ainsi qu’un grand nombre d’autres qui tiennent une place honorable dans l’histoire de la science, ne firent aucune découverte im- portante ; mais ils préparèrent celles du XVI® siècle, ère de rénovation dans laquelle nous allons enfin entrer, et où nous allons voir poux la dernière fois le génie aux AS 174 prises avec les préjugés et les erreurs dont une longue suite de siècles avaient pour ainsi dire consacré la ja - louse autorité. 10. Le système de Ptolémée, comme on l’a dit plus haut, avait résumé toute l'astronomie ancienne : il fut durant près de quatorze cents ans la base fondamentale de la science ; il régna sans contestation, et toutes les observations furent faites dans le sens de l’hypothèse qu’il avait convertie en loi. Ainsi, l’histoire de l’astro- nomie, envisagée d’une manière générale, peut se di- viser en trois grandes périodes, La première est celle des systèmes pratiques, si l'on peut s'exprimer ainsi, c’est-à-dire celle où chaque nation avait adopté une hy- pothèse suivant ses préjugés, ses besoins sociaux et ses croyances religieuses. Cette époque est peut-être celle des plus grands travaux de l'humanité : à travers de nombreuses erreurs, on voit cependant peu à peu chez toutes les nations des idées raisonnables, des appréciations justes des phénomènes célestes, servir de base à des observations utiles. Durant cette périvde, l’homme par- vient à s'assurer de la sphéricité de la terre et de celle des planètes : il observe la déclinaison de l’écliptique, et découvre la précession des équinoxes. Alors un sage ex- pose sur le système de l’univers une idée juste, qui ne peuttriompher des préjugés existans, fondés sur des ap- parences, que cette idée trop avancée n’explique pas d’une manière assez précise, assez satisfaisante. Une se- conde période historique commence à Ptolémée; elle n’a pas d’autre nom que celui de cet astronome, qui, mettant un terme aux vagues incertitudes du passé, s'empare de l'avenir, et enchaîne la raison humaine dans les cercles ingénieux que son hypothèse a tracés dans le ciel. Alors les travaux astronomiques n’ont plus d’autre but que de trouver une mesure plus exacte de la terre, une division du temps qui tienne compte des distances les moins sai- sissables par les sens, de déterminer avec plus de préci- sion l'apogée du soleil, l'inclinaison de lécliptique et tous les phénomènes célestes. Après quatorze siècles , l'humanité conçoit enfin des doutes sur la réalité de ce système. Une troisième et brillante période commence pour l'histoire de l’astronomie : c’est celle de Copernic. Une fois le préjugé vaincu dans sa base essentielle, l’es- prit humain marche de découvertes en découvertes, et en moins de deux siècles tous les travaux des généra- tions passées sont anéantis, toutes les hypothèses ren- versées ; la science, dans son vol hardi, ets’appuyaytsur d’incontestables certitudes, mesure la distance de la terre au soleil, pèse tous les globes dans sa main puissante , et détermine les lois en vertu desquelles ils se meuvent dans l’espace; elle pénètre au sein de tous les mystères de la création, et explique tous les phénomènes célestes avec une autorité qui n’admet ni doute ni hésitation. 15 Sclare : LE 'ARUR. « L'homme, en vertu de sa raison, déclare alors être en 479 ÀAS possession de la vérité! Ce spectacle est beau, cette révolution est immense, et cependant la science n’est encore qu’à l'aurore de son règne. Ce fut le 19 février 1473, que Nicolas Copernic na- quit à Thorn, petite ville de la Prusse. Cet homme, dont le nom est désormais immortel, manifesta de bonne heure son goût pour les hautes études astronomiques. 11 alla s'instruire en Italie aux leçons de Dominique Maria, et obtint à Rome une chaire de professeur. Déjà des ob- servations avaient commencé, et la complication bizarre des hypothèses de Ptolémée lui avait fait penser que le système du monde reposait sur un ordre différent. Pourvu d’un canonicat dans la ville de Fravenberg, il se livra dans la retraite à de profondes méditations, et, frappé de la majestueuse simplicité de l'opinion pytha- goricienne, elle servit de point de départ à ses travaux. Copernic appliqua à ce système toutes les observations qui avaient été faites dans l'hypothèse de Ptolémée; et il vit avec joie que ces observations se liaient admira- blement à la théorie du mouvement de la terre. I1 se rendit compte de la révolution diurne apparente du ciel par le mouvement de rotation de la terre, et de la précession des équinoxes par le mouvement d’oscil- lation qui s'opère dans J'axe de la terre. Ainsi, les cercles imaginés par Ptolémée n’expliquèrent plus à Copernic les mouvemens directs et rétrogrades des pla- nètes ; il jugea que ces phénomènes n'étaient que des apparences produites par la combinaison du mouve- ment de la terre autour du soleil avec celui des pla- nètes; cette découverte le mit à même de déterminer les dimensions de leurs orbes. Ce fut après trente-six ans d’études , de méditations et d'observations, que Co- pernic, parvenu déjà à une extrême vieillesse, publia l'ouvrage dans lequel il avait consigné et expliqué le vrai système du monde, sous le titre de : Révolutions cc- lestes (De revolutionibus cœlestibus ); mais il n'osa le présenter que sous la forme d’une hypothèse ; car il comprenait toute la force du préjugé qu'il venait com- battre, et de quelles difficultés est entourée la produc- tion d’une vérité nouvelle. L'illustre Copernic ne put être témoin du succès de son ouvrage : il mourut tout à coup à l’âge de soixante-onze ans, peu de jours après avoir reçu le premier exemplaire de sou livre , imprimé à Nuremberg. Joachim Rheticus, qui avait quitté sa chaire de pro- fesseur à Wittemberg pour venir entendre Copernic, dont les idées nouvelles sur le système du monde com- mençaent à se répandre, fut le premier de ses disciples qui adopta publiquement ce système. C'était lui qui avait tiomphé de la répugnance timide de l’illustre vieillard pour la publicité, et qui l'avait déterminé à livrer son ouvrage à l'impression. Mais si tous les esprits éclairés furent frappés de l'évidence des idées de Copernic, elles AS eurént alors à triompher d’un obstacle plus difficile à vaincre que les préjugés de la routine et des opinions populaires. Il est douloureux de le dire, l'Église ro- maine crut trouver dans ce système une démonstration contraire aux enseignemens de la religion. La décou- verte admirable du télescope et les progrès des sciences mathématiques vinrent bientôt confirmer toutes les ap- préciations de Copernic; et cependant, Galilée, déjà vieux, fut obligé d’humilier sa raison devant un tribu- nal ecclésiastique, en niant la réalité d’un mouvement qui lui était démontré. Au moment où Copernic descendait dan la tombe, le Danemarck voyait naître Tycho-Brahé, l’un des plus grands observateurs qu’ait eus l'astronomie. Les tra- vaux de cet homme célèbre appartiennent entièrement aux théories de la science : ils seront exposés ailleurs; et nous ne croyons pas utile de donner ici une idée qui serait nécessairement incomplète de l’hypothèse à la- quelle il a donné son nom, et qu’il vint jeter entre le système de Ptolémée et celui de Copernic. Les décou- vertes de Galilée; bientôt après, les admirables lois de Képler, disciple.cependant de Tycho-Brahé; les tra- vaux d'Huygens, et les progrès toujours croissans des sciences mathématiques, mirent, dès la fin du dix-sep- tième siècle, les opinions de Copernic à l'abri de toute discussion. Cependant, la découverte des lois des mouvemens célestes n’était pas le dernier point où, après tant de travaux et d'efforts, l’esprit humain devait parvenir ; il lui restait encore à s'élever jusqu’à la cause immédiate, jusqu’au principe général dont ces lois dérivent. Un philosophe français, dont les travaux ont été si utiles aux sciences, et dont le beau nom n’est pas encore en- vironné dans sa patrie d’assez de respect et d’admira- tion, Descartes enfin , songea le premier à résoudre ce grand problème, en ramenant à la mécanique la cause de ces mouvemens ; mais il s’égara dès son point de dé- part. « Il était réservé à Newton, dit La Place, de nous » faire connaitre le principe général des mouvemens » célestes. La nature, en le douant d’un profond génie, » prit encore soin de le piacer dans les circonstances les » plus favorables. Descartes avait changé la face des » sciences mathématiques par l'application féconde de » l'algèbre à la théorie des courbes et des fonctions va- » riables. Wallis, Wren et Huygens venaient de trouver » les lois de la communication du mouvement. Les dé- » couvertes de Galilée sur la chute des graves, et celles » d'Huygens sur les développées et sur la force centri- » fuge, conduisaient à la théorie du mouvement dans » les courbes. Képler avait déterminé celles que décri- » vent les planètes; et il avait entrevu la gravitation ‘» universelle. Enfin Hook avait très-bien vu que les » mouvemens planétaires sont le résultat d’une force AS ».primitive de projection combinée avec la force attrac- » tive du soleil. La mécanique céleste n’attendait ainsi , » pour éclore, qu’un homme de génie, qui, rappro- » chant et généralisant ces découvertes, sût en tirer la » loi de la pesanteur. C’est ce que Newton exécuta dans » son ouvrage des Principes mathématiques de la philo- » sophie naturelle. » Mais dès ce moment l'astronomie n’a plus d'histoire , ou plutôt son histoire n’est que le développement de ses théories et l’exposition scientifique des observations dont elles se composent : c’est la science elle-même. 11 se- rait contraire à notre plan de donner plus d’étendue à ce résumé des travaux astronomiques qui ont précédé Yépoque où le système général de l'univers a été établi sur des bases certaines. Ce que nous avons voulu sur- tout, dans ce rapide exposé, a été de montrer par quelles voies lentes et multipliées l'esprit humain a dùû passer pour arriver à la découverte de la vérité. C'est dans ce but que nous avons recherché avec plus de dé- tails l’origine des premières connaissances astronomi- ques chez les nations les plus célèbres de l'antiquité. Nous avons évité à dessein de porter le même examen dans l’histoire des peuples moins avancés en civilisation, comme les habitans du sud de l’Afrique, les Péruviens et les tribus qui habitent l'Océanie. Les phénomènes in- tellectuels que nous avons observés parmi les nations antiques se retrouvent partout avec de légères différen- ces, qui tiennent au climat et aux mœurs; partout l'homme s’est laissé guider par des apparences trom- peuses; partout l'erreur se présente avec les ‘mëmes caractères. De toutes les sciences; l’astronomie est peut-être celle dont l’histoire est le plus intimement liée à l’histoire in- tellectuelle et sociale de l’homme. Ce rapprochement, nous l’espérons , aura frappé le lecteur qui se sera élevé avec nous à toutes les considérations philosophiques qu'il doit inspirer. Après bien des jours; après avoir subi le joug de toutes les erreurs, l'humanité triom- phante, émancipée par la science, se trouvera bientôt digne d’entrevoir l’accomplissement de sa haute desti- nation , et la réalisation des sublimes espérances qui se révèlent à sa raison. C’est avec cette direction d'idées qu’on doit aborder l’étude des sciences; et ce résumé des vicissitudes historiques de l’astronomie, ne doit être considéré que comme une introduction nécessaire à la méthode philosophique, à laquelle fera bientôt place le - froid empirisme des anciennes méthodes élémentaires. ASTRONOMIQUE. Ce qui a rapport à l'astronomie, Calendrier astronomique. Voy. CazenoriEr. Heures astronomiques. Voy. Heure. Fractions astronomiques. Nom donné par quelques au- teurs aux fractions sexagésimales dont on fait usage pour la division des degrés du cercle. F, SexagésimaLes. A5 473 Tables astronomiques. l'oy. Tavre. ASTROSCOPE (de «ohne, astre , et de cxomtw, je con- sidère ). Instrument astronomique, composé de deux cônes, sur les surfaces desquels les étoiles et les constella- tions sont décrites; ce qui donne le moyen de les re- trouver facilement dans le ciel. Cet instrument est de l'invention de Schukhard, professeur de mathémati- ques à Tubingen , qui publia en 1698 un traité particu- lier à ce sujet. ASTROTHÉSIE. Ancien terme, à peu près syno- nyme de constellation. ASUGIA (Astr.). Un des noms de la constellation d’'Orion. ASYMETRIE (de a, privatif, de uw, avec, et de ænrper, mesure). Sans mesure. Défaut de proportion entre les parties d’un objet, comme entre le côté d’un carré et sa diagonale, dont le rapport, celui de 1 : y2, ne peut être exprimé ni en nombres entiers ni en nom- bres fractionnaires. Voyez INCOMMENSURABLE. ASYMPTOTE (Geom.) (de x privatif, de sw, avec ; et de rirrw, je tombe, c’est-à-dire qui ne rencontre pas, ou qui ne coincide pas). Ligne droite qui s'approche de plus en plus d’une ligne courbe sans pouvoir la rencon- trer, lors même qu’on les suppose l’une et l’autre pro- longées à l'infini, et que leur distance puisse être alors considérée comme plus petite que toute quantité finie assignable. On étend quelquefois le terme d’asymptote en l’ap- pliquant à des branches de courbes qui ne peuvent éga- lement se rencontrer, quoiqu’elles s'approchent les unes des autres à l'infini. Ainsi, les asymptotes peuvent se diviser en droites et courbes; mais, lorsqu'on ne lui donne pas une acception autrement déterminée, le mot asymptote ne désigne qu’une ligne droite. La nature des asymptotes ne peut être que difficile- ment conçue par les personnes peu familiarisées avec les constructions de la haute géométrie. En effet, comment comprendre que deux lignes peuvent s'approcher indé- finiment sans qu’il soit possible qu’elles se touchent ou coïncident? Ce mystère néanmoins s’éclaircit avec faci- lité lorsqu’on examine la génération de la courbe nom- mée conchoide. 474 AS Soit MN une ligne droite indéfinie: d’un point A situé en dehors, menons les droites AB, Aa, Ab, Ac, Ad, etc., et prenons les diverses parties CB, fa, gb, he , id, etc., toutes égales entre elles ; la courbe Babcde, qui passe par les extrémités B, a, c,d,e, etc., est là conchoide, et la droite MN est son asymptote; car il est évident que la courbe ne peut jamais toucher MN, quoique chacun de ses points a, b,c,d,e,etc., sen rapprochent de plus en plus. Toutes les courbes ne sont pas susceptibles d'avoir des asymptotes ; parmi celles du second degré , l'Ayper. bole seule est dans ce cas, et parmi celles des degrés plus élevés, lesquelles généralement en ont plusieurs, on compte un grand nombré de courbes dépourvues de cette propriété. Nous allons exposer les moyens de re- connaître les courbes susceptibles d’asymptotes, ainsi que les procédés nécessaires pour effectuer la construc- tion de ces droites. pis Soit AyN une branche de courbe rapportée à deux axes rectangulaires AX et AY, et soit BM l'asymptote de cette branche. Si l’on examine les diverses situations que peut prendre une tangente Cy de la courbe, par rapport à l’asymptote , on voit que plus le point de con- tact y est éloigné de l'origine À, plus le point € doit se rapprocher du point B ; comme aussi le point O du point D. Ainsi, comme il est en outre évident que AC ne peut devenir plus grand que AB, ni AO plus grand que AD, AB et AD sont donc les limites ou les grandeurs extrêmes des valeurs de plus en plus grandes que peu- vent acquérir AG et AO, à mesure que la tangente Cy se rapporte à un point de contact de plus en plus éloi- gné de l’origine À, ou, ce qui est la même chose , on peut confondre l’asymptote BM avec une tangente dont le point de contact serait à une distance infiniment grande de l’origine. L'équation de l’asymptote est donc la tangente; seulement il faut lui faire exprimer la circonstance de la distance infi- la même que l'équation de nie du point de contaët à l'origine; ce qui s'effectue en égalant à l'infini Y'abscisse de ce point. Or, x", y' étant les coordonnées d’un point quelconque d’une courbe, l'équation de la droite, tangente à ce point, est (Voyez TANGENTE) AS En faisant æ = 0 dans cette équation, ÿ devient égal à AO (Voy. Agë. DE L’ALG. À LA GÉOM., IL, n° n ), et l'on à dy' AO=ÿ'— x' de .(e) De même, faisant y = 0, x devient égal à AC, et l’on obtient 4 AG=zx'—y' ETC) Les deux expressions (a) et (b), en y faisant = , donnent les valeurs de AC et de AD, et suivant que ces valeurs sont finies ou infinies, réelles ou imaginaires , il existe ou n'existe pas d’asymptote pour la courbe dont l'équation aura préalablement fait connaître Ja relation générale des coordonnées x’ et y’. Nous allons éclaircir cette théorie par quelques exemples. PrOëLÈME Ï. Déterminer si La courbe dont l'équation esty* — Âx a des asymptotes. Dans les expressions (a) et (b), le point x'‘y' devant appartenir à la courbe, on exprime cette circonstance en faisant x =x',y—y', et l'équation proposée de- vient J'= A2". En cette dernière pour avoir les rapports dx' 2 > € er on trouve dy" = Adx'. D'où l’on tire HE et dz' _2y" dx’ = dé TA? Ces rapports substitués dans (a et () donnent A "y Ag ‘og = Ax = ! = g —— = — AIX TE 29" AV/Ax" = VAT) 2 —_ 2 Ax'— y" Ax A Az" _. AC =x y", … dos obus F =— 24%. Mais AO devient égal à AD, et AG à AB, lorsque x est infini, Faisant donc z'= © , nous avons AD =:iV/AS, AB—=—2%, valeurs qui, ne pouvant être construites , nous appren< nent que la courbe y? — Ax n’a point d’asymptote. Cette courbe est la parabole apollonienne. Propzème If, Déterminer les asymptotes de la couroe y Ar + Ba. L’équation proposée nous donne AS J?=Azx+Bzx, qui devient , en différentiant , v'dy'=Adzx' + 2Bzx'dx’. D'où l'on tire dy! _ALoBzx dz' 2y Ag = ape » €t CE SET à Substituant dans (a) et (b), on obtient ,__Azx'+92Bz" _ 2y2— Ar — 1Br" 29 RE dus. ah de /a AO=7Yy _ Ax'+ 2Bx°—27" PEUT A-PaBe Faisant, dans ces expressions æ'= %, on a définitive» ment Or, ces valeurs pouvant être construites , la courbe proposée est susceptible d’asymptotes, pourvu toutefois ea V/—B L’équation proposée est celle de l’Ayperbole lorsque B est positif, et celle de l'ellipse, lorsqu'il est négatif. que B soit positif, car s’il était négatif » Serait imaginaire. En faisant B — 0, elle devient encore celle de la para- bole. Dans ce cas, les valeurs de AD et de AB devien- nent toutes deux infinies, comme dans l'exemple précé- dent. Voyez au mot Hyrervoce, pour la construction des valeurs de AD et de AC. Si dans les expressions (a) et (b), en faisant x'=, l’une des quantités AD ou AC devenait infinie, l’autre restant finie, c’est que la courbe aurait une asymptote parallèle à l'axe sur lequel se trouve la quantité infinie. Pros. IE. Trouver les asymptotes de la 1ocarrTT- MIQUE, dont l'équation est y — a". Cette équation nous donne Y' — CIE et, en différentiant, dy'=a", loga.dx'. D'où dy! ze! dx ) 6 T4 .loga, et PT TEE Substituant dans (a) et (b) , nous avons AT AO=ÿ'—x'a".loga = a — x'a:'loga, 475 AC=—zx—7". = : 20 Loder'ilégest et L at" log a ar',loga : ‘ Re, log a Faisant x’ —%, nous obtenons AD — — x —0o, AB — ©. Ges valeurs nous apprennent qu’il y a une asymptote parallèle à l’axe des abscisses, et située à une distance AD — 0 de cet axe. L'asymptote se confond donc avec l'axe des abscisses , ou, ce qui est la même chose, dans la logarithmique , Vaxe des x est asymptote à la courbe, I ne suffit pas qu’une droite s'approche à l'infini d’une courbe, pour qu’elle lui soit asymptote; car alors, dans la figure précédenté, une parallèle quelconque bm à BM serait asymptote à la courbe AyN ; mais la dis- tance de bm à la courbe ne peut jamais devenir plus petite que sa distance à BM , qui est une distance finie et assignable. Aïnsi , br ne satisfait pas à la définition que nous avons donnée des asymptotes. Voyez, pour la théorie complète des asymptotes , l'ouvrage de Cramer, fntitulé : Zntroduction à l'analyse des lignæ courbes. Voy. aussi le Traité des fluxions de Maclaurin, les Institutions analytiques de Marie Agnesi, et, dans ce Dictionnaire, les articles Courpes et Brancues. ASYMPTOTIQUE (Géom.). Espace asymptotique. C’est l’espace renfermé entre une courbe et son asymp- tote. Quoique d’une longueur indéfinie, cet espace est quelquefois fini; dans le plus grand nombre des cas, est infiniment grand. Poy. HYPERSOLE. ATAIR (Astr.). Nom de la belle étoile de l'aigle. ATAUR (As), Un des noms de la constellation du Taureau. ATELIER DU SCULPTEUR (Astr.). Constellation méridionale introduite par La Caille dans son plani- sphère des étoiles australes. Elle est située sur le colure des solstices, au-dessus de la Grue et du Phénix. La plus belle étoile de cette constellation n’est que de la cinquième grandeur. ATHÉÈNÉE, de Cysique, mathématicien grec de l'é- cole de Platon, vivait vers lan 210 avant J.-C. I est au nombre des disciples du lycée, dont Proclus nous a transmis les noms et les travaux. Athénée paraît s'être adonné spécialement à l'application des mathématiques à la mécanique. Il est l’auteur d’un traité sur les ina- chines de guerre, qu'il adressa au consul Marcellus, peu de temps après la prise de Syracuse. On ne sait si cette démarche d'Athénée lui fut dictée pat la ftousie, que la gloire dont le grand À rchimède Yenait alors de 476 — AT & couvrir avait pu lui inspirer. Il est plus juste peut- être de l’attribuer à l’orgueil excusable dans un honume de talent, d'expliquer à un chef militaire, aussi distin- gué que Marcellus, les moyens à l’aide desquels un vieillard lui avait si long-temps disputé la victoire. Dans cette hypothèse, on a fait observer, avec plus d'esprit que de raison, qu’Athénée aurait rendu un plus grand service au consul, en lui dévoilant plus tôt le se- cret de la résistance d’Archimède. Au surplus, cet ou- vrage d’Athénée est venu jusqu’à nous; on le trouve dans le recueil intitulé: Mathematici veteres, Paris, Imprimerie Royale, 1693, in-f°. ATIN, ATIR ou ATYR (A4str.). Noms de Fétoile ap- pelée aussi 4/débaran. ATLANTIDES (Astr.). Nom quelquefois donné aux sept étoiles des Pleiades. ATLAS {Astr.). Nom que Dupuis suppose avoir ap- partenu à la constellation du Bouvier, dans l'explica- tion qu'il donne des fables d’Atlas, à l'aide de cette con- stellation. ATMOSPHÈRE (de lues, vapeur, et de caigæ, sphère). Fluide gazeux ou aériforme, qui entoure un corps de toutes parts et qui participe de tous ses mou- vemens. ATMOSPHÈRE TERRESTRE. Masse d'air dont les proprié- tés mécaniques ont été déja examinées à l’article Air. Nous ne considérons donc ici l'atmosphère que comme formant un corps, c'est-à-dire comme ayant forme, di- mensions et pesanteur. L'atmosphère enveloppant toutes les parties de la surface de la terre, il est certain que si l’une et l’autre étaient en repos, et n'étaient point astreintes à une rotation diurne autour de leur axe commun, l’atmo- sphère serait complétement sphérique, d’après les lois de la gravitation; car les parties de la surface d’un fluide en état de repos doivent être toutes également éloignées de son centre. Mais la terre, ainsi que Ja masse d’air qui l’entoure , ayant un mouvement diurne , leurs différentes parties ont une force cen- trifuge d'autant plus considérable qu'elles sont plus éloignées de l'axe; et, conséquernment ; la force cen- tripète qui retient toutes ces parties autour du cen- tre de gravité doit être affectée proportionnellement , c'est-à-dire, doit perdre d’autant plus de son intensité que la force opposée est plus grande. Ainsi, la forme de l'atmosphère doit être celle d’un sphcroïde aplati vers les pôles, parce que les parties qui correspondent à l’é- quateur ont une plus grande force centrifuge que celles qui correspondent aux pôles. Une autre cause concourt encore à augmenter l’apla- tissement du sphéroïde atmosphérique: c’est la dilata- tion opérée par les rayons du soleil qui frappent plus di- rectement les régions de l'équateur que celles des pôles; AT d'ou il résulte que là masse d'air, ou la parue de l'at- mosphère des régions polaires, étant moïns échauffée}" doit moins se dilater ‘ét-‘moiné s'élever. Cependant, comme la même force qui contribue à élever l'air on,,àt lui faire occuper un plus grand espace, diminue la pression sur la surface de la terre, de hautes colonnes d'air, près de l'équateur, ne seront pas plus pesantes que des colonnes d’air moins élevées du côté des pôles, toutes les autres circonstances étant les mêmes; mais, au contraire, sans quelque compensation elles devraient être plus légères, en conséquence de la diminution de la pesanteur: La hauteur de l'atmosphère a été l’objet d’un grand nombre de recherches, qui n’ont jusqu'ici donné que des résultats approximatifs plus ou moins contestables. Si l'air n'avait point de force élastique, mais qu'il fût partout de la mème densité, depuis la surface de la terre jusqu'aux limites extrèmes de l'atmosphère, il suffirait, pour déterminer avec exactitude la hauteur de l'atmo- sphère, de connaître le rapport de la densité du mer- cure à cette densité constante de l’air; car alors ce rap- port serait le même que celui dela hauteur du mercure dans le baromètre à la hauteur totale de la colonne d'air qui le soutient. En effet, la pesanteur spécifique d’une colonne d'air de 27 millimètres de haut étant à la pesan- teur spécifique d’une colonne de mercure, de même base et de même hauteur comme 1 : 10470, il est évi- dent que 10450 fois une colonne d’air de 27 millimètres de haut, c’est-à-dire une colonne d'air de 282 mètres se- rait égale en poids à une colonne de mercure de 27 mil- limètres. Mais la colonne entière d'air atmosphérique fait équilibre dans le baromètre à une coloune de mer- cure de 560 millimètres ou de 28 fois 27 millimètres : cette colonne d’air devrait donc être 25 fois plus haute que 282 mètres. Ainsi, en admettant la densité con- stante , la hauteur de l'atmosphère serait à peu près de 7896 mètres. Mais il est loin d'en être ainsi: la densité de l'air décroit en proportion géométrique à mesure que les élévations croissent en progression arithméti- que (voy. Ai); et si la loi de Mariotte était exacte pour tous les degrés imaginables de raréfaction, la dila- tation de l'atmosphère serait illimitée et sa hauteur infinie. Cependant, cette conclusion ne.s’accorde pas avec les observations astronomiques dans lesquelles on n’aperçoit aucune trace de l'influence qu'un milieu ré- sistant exercerait sur les mouvemens des planètes. Il est certain, en outre, que l'atmosplière térrestr2 ne peut s'étendre au-delà du centre commun d’attrac- tion de la terre et de la lune; car , au-delà de ce ceutre l'attraction de la lune surpassant celle de la.terre, eile entrainérait vers son propre centre toutes Jes partis de notre atmosphère, et il se formerait un vide entre les deux atmosphères de la terre et de la lune , ou bica es AT linites de ces atmosphères seraient au centre commun d'attraction de ces corps. Une autre cause encore, sa- voir la force centrifuge, s’oppose à l'extension indéfinie de l’atmosphère; car l'air partageant le mouvement diurne de la terre, il est évident que la limite de l’at- mosphère doit se trouver au point où la force centri- fuge est égale à la force de gravité, puisque au-delà, le fluide serait lancé dans l’espace par le mouvement de rotation, et ne resterait pas uni avec la terre. Quoiqu’on ne puisse déterminer d’une manière abso- lue la hauteur de l'atmosphère, on l’évalue ordinaire- ment à 80000 mètres, parce qu'il résulte de la théorie des mesures barométriques, qu’à cette distance de la surface de la terre l’air doit être au moins aussi rare que dans le vide de la machine pneumatique. Nous avons vu à l’article ALrImÉTRIE que la formule générale qui sert à déterminer la différence de niveau de deux points, pour une température moyenne de 16° % Réaumur , est æ=— 10000 [logh'—logh |], h' étant l'élévation en lignes de Paris du mercure dans le baromètre au point le plus bas, et À son élévation au point le plus haut. Donnons a cette expression la forme 4 x = 10000.log 7? ou, ce qui est a même chose, loe 2 æ=10000 log, étant la densité de la couche d’air qui donne la hau- CRE ! 1 ee Je teur barométrique z ; et = la densité de la couche d’air qui donne la hauteur k' : ces densités ayant le même rap- port que ces hauteurs. De cette dernière formule on tire à x + 10000logm log n = z+ 10000l0gm 10000 Ainsi, prenant pour unité la densité de l’air au niveau . I * de la mer, ou faisant = 1, nous aurons log m log 1=0 , et par suite log nr = ë 10000 ? formule à l’aide de laquelle, en faisant successivement T=0,L—= 100, X—200, x = 300 toises, etc., nous obtiendrons les densités correspondantes à ces hauteurs. C'est de cette manière qu’on trouve : AT aix hauteurs en toises densités Or aeseeeT TOO sise nette + 0,9772 200........... 0,9549 300........... 0,0332 400..:...:...: 0,9120 Boos. 52... ‘0,801 Gonesse 0,8710 700. Tereece: 0,851K : 800:7..;.757: 0,8318 900 vers 10,8128 1000... 07043 10000... 0,1000 HODOOe sa... ere 0,000 Ainsi, d’après cette théorie, la densité de l'air serait dix mille fois moindre à la hauteur de 40000 toises qu’à la surface de la mer; ce qui est un degré de raréfaction bien au-Gessus de celui qu’on peut obtenir dans les meil- leures machines pneumatiques. Malgré cette extrême raréfaction, il est hors de doute que l'atmosphère s'étend à une plus grande hauteur ; car , en estimant l’élévation de quelques météores, tels que les aurores borcales, les globes de feu, etc., etc. , ainsi que la durée du crépuscule, on est forcé d’admet- tre qu'à une hauteur de plus de vingt lieues il doit y avoir non-seulement de l'air atmosphérique, mais en- core beaucoup d’autres substances. Foy. CrÉpuscuLEs. L’atmosphère possède une puissance réfractive, cause d’un grand nombre de phénomènes, et dont l'influence s'exerce particulièrement d’une manière puissante sur les apparences célestes (Foy. Rérracrion). Elle est en outre sujette à un grand nombre d’altérations et de changemens pour l'appréciation desquels on a inventé plusieurs instrumens nommés: BaromÈTRE, TuEermo- MÈTRE , HYGROMÈTRE, ANÉMOMÈTRE, etc. Voyez ces di-. vers mots. ArmospnÈRE des planètes. Les planètes et leurs satel- lites étant universellement reconnus aujourd’hui pour des corps d’une nature semblable à la terre que nous habitons, il est naturel de supposer que ces astres sont entourés d’atmosphères analogues à celle dont nous ve- nons d’exposer les propriétés. Les observations astrono- miques confirment en effet cette conjecture, du moins pour les planètes principales; car la petitesse apparente des satellites n’a pas permis jusqu’à présent que nos connaissances sur leur état physique soient fort avan- cées. Cependant la lune paraït former une exception singulière : il est certain qu’elle ne présente ni nuages à sa surface, ni rien qui puisse indiquer la présence d’une atmosphère, quelque peu de densité qu’on veuille lui attribuer. L'aspect de ce satellite de notre terre, hérissé de montagnes, dont quelques-unes n’ont pas moins de 2800 mètres de hauteur, est entièrement volcanique ; 23 178 AT les taches auxquelles on à donné le nom de mers sont des excavations profondes où il est impossible de recon- naître l'existence d'aucun fluide semblable à l’eau; et tout fait présumer que la lune est dépourvue de végé- tation, d’eau ct d'air, Dans son Système du monde, Ya-Place est entré dans de grands détails sur les atmosphères des planètes. « Toutes les couchies atmosphériques , dit-il, doivent « prendre, à la longué , un mêmemouvément angulaire « de rotation, commun aweorps qu'elles environnent ; « car le frottement de ces couches, les unes contre les «autres et contre Ja surface du corps, doit accélérer les « mouvemens les plus lents,et retarder les plus rapides, « jusqu’à ce qu'il ÿ ait entre eux une parfaite égalité. « Dans ces changemens, et généralement dans tous « ceux que l'atmosphère éprouve, la somme des pro- « duits des molécules du côrps et de son atmosphtre, « multipliées respectivement par les aires que décrivent « autour de leur centre commun de gravité, leurs « rayons vecteurs projetés sur le plan de l'équateur, « reste toujours la même en 1émps égal. En supposant « donc que, par une cause quelconque, atmosphère « vienne à se resserrer, ou qu'une partie se condense à « la surface du corps; le mouvement de rotation du « corps et de l'atmosphère en sera accéléré; car Jes « rayons vecteurs des aires décrites par les molécules « de l'atmosphère primitive, devenant plus petits, Ja « somme des produits de toutes lés molécules, par les « aires correspondantes ; ne peut pas rester la même, à « moins que la vitesse de rotation waugmente, & À la surface extérieure de l'atmosphère, le fluide ét a figure de « cette surface est telle, que la résultante de la force « n’est retent que par sa pesanteur, « centrifuge et de fa force attractive du corps, Jui est « perpendiculaire. L'’atmosphère est aplatie vers ses « pôles,etrenflée à son équateur ; mais cet aplatissement « a des limites; et dans le cas où il est le plus grand, « le rapport des axes du pôle et de l'équateur est celui « de deux à trois. « L’atmosphère ne peut s'étendre à l'équateur, que « jusqu’au point où la force centrifuge balance exac- « tement sa pesanteur; car il est clair qu'au-delà de « cette limite, le fluide doit se dissiper. Relativement « au soleil, ce point est éloigné de son centre, du « rayon de l’orbe d’une planète qui ferait sa révolution « dans un temps égal à celui de la rotation du soleil, « L’atmosphère solaire ne s'élève donc pas jusqu'à « l'orbe de Mercure, etpar conséquent, elle ne produit & point la lunnère RAR qui parait s'étendre au- a delà même de l’orbre terrestre, D’ ailleurs, cette atmo- & sphère dont l'axe des s pôles doit être au moins les « deux ticrs de celui de son Équateur . est fort éloignée AT d'avoir la forme lenticulaire que les ‘observations donnent à la lumière zodiacale, » ATMOSPHÉRIQUE. Ce qui appartient à latmo- sphère , ou ce qui se rapporte à l’atmosphère. Flux atmosphériques. Ce sont de certains mouve- mens périodiques dans l’atmosphère,semblables en quel- que sorte à ceux de l'Océan, et provenant à peu près des mêmes causes, Foy. Laplace, Æxposiion du sys- tème du monde, Liv IV. ATTOUCHEMENT (Géom.). Point d'attouchement où de contact. C’est le point commun entre une courbe et sa tangente, cu dans lequel deux courbes se touchent sans se couper. ’oy. TANGENTrE. ATTRACTION (ad, vers, traho, je tire). Terme général employé en physique pour désigner la cause, la force ou le principe qui fait que tous les corps tendent mutuellement Fun vers l’autre, et adhèrent jusqu’à ce qu'ils soient séparés par quelque autre force. Les lois, les phénomènes, etc., de l'attraction, forment le sujet principal de la théorie newtonienne; car l'attraction se retrouve dans presque toutes les merveilleuses opé- rations de la nature. Le principe de lattraction, dars le sens newtonien, à été d'abord entrevu par Copernic. «Quant à la gravité, dit-il, je ne la considère que comme une certaine appé- tence naturelle (appetentia) que le Créateur a imprimée sur toutes les parties de la matière, afin qu’elles tendis- sent à s’unir en forme globulaire pour se mieux conser- ver; etil est probable que la même force est aussi inhé- rente au soleil, à la lune, et aux planètes , afin que ces corps puissent constamment se maintenir dans la forme ronde que nous leur voyons. » (De revol. ob. cœlest., Hib. 1, cap. 9.) Képler appelle la gravité une affection corporelle et mutuelle entre des corps semblables, afin de s'unir (4str. nov. in introd.). Et il prononça plus po- sitivement qu'aucuns corps quelconques n'étaient abso- lument légers, mais qw'ils n'étaient seulement aïmsi que relativement, et, conséquemment, qué toûte lt matière était sujette à la puissance et aux lois de la gravitation. Le premier qui, en Angleterre , ait adopté l’idée de l'attraction fut le docteur Gilbert, magnete ; et le second füt François Bacon, dans son No. organ., lib. IE, aph. 36, 45, cap. 33; aussi dans son traité De motu, particulièrement dans son livre De 48; Sylv. cent., EF, dans les articles sur Les 9° et 13° sortes de mouvemiens N° En France, Fermat et Roberval l’admirent , et en Ita- lie Galilée et Borelli. Mais jusqu’à Newton ce principe avait été très-imparfaitement défini et même appliqué. Avant Newton, personne n'avait eu des idées aussi exactes ét aussi claires de la doctrine de l'attraction uni: verselle que le docteur Hooke, qui, dans son Æssai pour prouver le mouvement de la terre, 1654, fait ob- server que l'hypothèse d'après laquelle il explique le AT système du monde est fondée sur trois principes : 1° Que tous les corps célestes ont non-seulement une at- traction ou gravitation vers leurs propres centres, mais qu'ils s’attirent mutuellement lun l’autre dans leur sphère d'activité. 2° Que tous les corps qui ont un mou- vement simple et direct continuent à se mouvoir en droite ligne, si quelque force, dont l’action est con- stante, ne les contraint pas de décrire un cercle, une el- lipse, ou quelque autre courbe plus compliquée. 3° Que l'attraction est d'autant plus puissante que les corps atti- raus sont plus près l’un de l’autre. Mais Hooke ne put pas résoudre le problème général relatif à la loi de la gravi- tation qui forcerait un corps à décrire une ellipse autour d’un autre corps quiescent , placé à l’un de ses foyers. Cétte admirable découverte , qui exige le secours de la géométrie transcendante, et fait le plus grand honneur à l'esprit humain , était réservée au génie de Newton. L’attraction peut étre considérée relativement aux corps célestes, aux corps terrestres, et relativement aux imoindres particules des corps , aux atomes. Le premier de ces cas est ordinairement désigné sous le nom d’at- traction où gravitation universelle ; Je second , par gra- vitation; et le troisième, par les mots affinité, attrac- tion chimique , attraction moléculaire. Plusieurs savans sont maintenant d'opinion que c’est la même force con- sidérée sous différens aspects, et cependant toujours su- jette à la même loi. A une distance finie, tous les corps de la nature s’at- tirent l’un l’autre en raison directe des masses, et en raison inverse du carré des distances, ce qui peut se démontrer ainsi : ‘ Suivant une loi de Képler , déduite de l'observation, les rayons vecteurs des planètes et des comètes décri- vent autour du soleil des aires proportionnelles aux temps; mais cette loi peut seulement avoir lieu autant que la force qui fait dévier chacun de ces corps de la ligne droite est constamment dirigée vers un point fixe, qui est l’origine des rayons vecteurs. Donc, la tendance des planètes et des comètes vers le soleil découle néces- sairement de la proportionnalité desaires décrites par les rayons vecteurs aux temps de sa course. Cette tendance est réciproque. C’est, dans le fait, une loi générale de la nature, que l’action et la réaction sont égales et con- traires. D'où il résulte que les planètes et les comètes ré- agissent sur le soleil, et lui communiquent une ten- dance vers chacun d’eux, Les satellites d'Uranus tendent vers Uranus, et Ura- nus vers ses satellites. Les satellites de Saturne tendent vers Saturne, et Saturne vers eux. Le cas est le même relativement à Jupiter et à ses satellites. La terre et la lune tendent aussi réciproquement lune vers l’autre. La proportionnalité des aires décrites par les satellites con- AT 179 court, avec l'égalité de l’action et de la réaction, à rendre ces assertions tout-à-fait inattaquables. Tous les satellites ont une tendance vers le soleil; car ils sont tous animés d’un mouvement régulier autour de leurs planètes respectives, comme si elles étaient immo- biles. D’où il résulte qu’ils sont entraînés par un mou- vement commun aussi à leur planète; c’est-à-dire que la même force par laquelle les planètes tendent inces- samment vers le soleil agit aussi sur les satellites, et qu’ils sont emportés vers le soleil avec la même vélo- cité que leurs planètes. Et, puisque les satellites tendent vers le soleil, il s’ensuit que le soleil tend vers eux, à cause de l'égalité de l’action et de la réaction. Des observations nous ont convaincus que Saturne dé- vie un peu de sa route quand il passe près de Jupiter, la plus grande des planètes; d’ou il suit que Jupiter et Saturne tendent réciproquement l’un vers l’autre. Sa- turne, ainsi que l’a observé Flamstead , trouble le mous vement des satellites de Jupiter, et les attire un peu vers lui; ce qui prouve que ces satellites tendent vers Saturne, et que Saturne tend vers eux. Ilest par conséquent vrai que tous les corps célestes tendent réciproquement les uns vers les autres ; cepen- dant cette tendance, où plutôt la force attractive qui l’oc- casione, n'appartient pas seulement à leur masse, prise comme agrégat; mais toutes les molécules y participent ou y contribuent. Si le soleil agissait sur le centre de la terre exclusivement, sans attirer aucune deses particules, les ondulations de l'Océan seraient incomparablement plus grandes et très-différentes de celles qui s'offrent journellement à notre vue.La tendance de la terre vers le soleil est donc la résultante de la somme des attractions exercées sur toutes les molécules, qui, conséquemment, attirent le soleil en raison de leurs masses respectives. En outre, taut corps sur la terre est attiré vers son cen- tre proportionnellement à sa masse, Il réagit donc sur lui; car l'attraction agit d’après la même raison. S'il en était autrement, si toutes les parties de la terre n’exer- çaient pas l’une sur l’autre une attraction réciproque, le centre de gravité de la terre avancerait d’un mouve- ment constamment accéléré, jusqu’à ce qu’à la fin il se perdit au-delà des limites de notre système, L’attraction est donc universelle, réciproque, et pro- portionnelle aux masses. Il reste à démontrer que cette force agit dans une raison inverse du carré de la dis- tance. Les observations ont appris que les carrés des temps périodiques des corps célestes sont proportionnels aux cubes des moyennes distances. De plus, il est rigoureu- sement démontré que quand des corps circulent d’une manière telle que les carrés des temps périodiques soient proportionnels aux cubes des distances, la forec centrale qui les sollicite agit en raison inverse du carré de la &is- 18Q AT tance. En conséquence, supposant que les planètes se meuvent dans des orbites circulaires (et dans le fait, la différence n'est pas grande), elles sont sollicitées vers le soleil par une force qui varie dans une raison inverse du carré de la distance. Cette supposition n’est pas ri- goureuse; mais la relation constante des carrés des temps périodiques aux cubes des distances étant indé- pendante de l’excentricité, subsisterait sans doute dans le cas où l’excentricité disparaitrait, c’est-à-dire si les planètes se mouvaient dans des orbites circulaires. La vérité de cette proposition pourrait être facilement éta- blie relativement aux orbites elliptiques; mais nous omettons la démonstration pour ne pas prolonger cet article au-delà des bornes que nous nous sommes pres- crites. Si les planètes font leur révolution autour du soleil en vertu d’une force centrale qui est réciproquement comme le carré de la distance, il est naturel d’inférer de ce mou- vement que la lune est retenue dans son orbite par une force centrale dirigée vers la terre, et qui seulement dif- fère de la gravité des corps terrestres en raison de la dimi- nution occasionée par l'augmentation du carré de la dis- tance de la lune. Or , on peut faire voir que la révolu- tion de la lune autour de la terre est un phénomène de la même espèce, et que l’on explique de la même ma- nière (c’est-à-dire en considérant l’action simultanée des forces de projection et de gravitation) que le mouve- ment curviligne d’une pierre, d’un boulet, ou de tout autre projectile à la surface de la terre. Si nous avions des machines d’une force suffisante pour projeter un corps, suivant une ligne droite parallèle à l'horizon, avec une vélocité de 7903 mètres par seconde; ce corps, en ne tenant pas compte de la résistance de l’air, tour- nerait autour de la terre comme une lune; car 7903 est une moyenne proportionnelle entre 12733557 mètres, le diamètre moyen de la terre, et 4°,9044, l’espace par- couru dans la première seconde par un corps tombant librement vers la terre. Et le temps périodique d’un semblable projectile serait d’enviren une heure 24 mi- nutes 27 secondes. Si ce corps pouvait être transporté à la distance de la lune et projeté, dans ia même direction que la lune suit maintenant, avec une vitesse qui lui fe- rait parcourir 61233 mètres par minute, il parcourrait autour de la terre le même orbite décrit maintenant par la lune. Nous savons, par expérience, que la force par laquelle un corps placé à la surface de la terre tend vers son centre lui ferait parcourir, en descendant, 4",9044 dans la première seconde. Supposons que cette force diminue en raison inverse du carré de la distance; à la distance de la lune, qui est égale à Go demi-diamètres de la terre, elle serait Go X 60 fois moindre qu'à la sur- face de la terre, et, par conséquent, à cette distance elle serait suffisante pour faire descerdre un corps de AT 4°,9044 en une minute. Ceci est effectivement l'espace dont la lune, placée à Go demi-diamètres de la terre, descend de la tangente de son orbite vers le centre de la terre dans une minute de temps; car cet espace est une troisième proportionnelle au diamètre de l'orbite de la lune et à l'arc décrit dans le même temps, et le diamètre de l'orbite de la lune, 7364505170 mètres, est à 61233 (l'arc décrit en une minute) :: 61233 : 4,9044. Ainsi, le mouvement s'accorde en quantité aussi bien qu'en direction avec les conséquences légitimes tirées du mouvement des projectiles à la surface de la terre. Or ces phénomènes sont tellement semblables, et coïnci- dent si complétement, qu’on doit les rapporter aux mé- mes principes, savoir : une force de projection et une force de gravitation variant en raison inverse du carré des distances. En établissant cette loi de l'attraction, nous avons considéré les centres des corps, quoique la gravité soit propre à chacune des molécules, parce que dans les sphères, ou les sphéroïdes, qui en diffèrent peu, l’at- traction des molécules les plus distantes du point attiré et celle des molécules les plus proches de ce point se compensent tellement, que l'attraction totale est la mème que si toutes les molécules étaient réunies au centre de gravité. Cette loi des sphères souffre diverses modifications, quand les corps attirés sont à la surface ou à l’intérieur des sphères. Un corps situé dans une sphère creuse, partout de la même épaisseur, est également attiré de tous les côtés; tellement qu’il restera en repos au milieu des attractions qu'il éprouve. La même chose a lieu dans une conque elliptique dont les surfaces intérieures et ex- térieures sont similaires et placées de même. Supposons donc que les planètes sont des sphères homogènes ; la gravité dans leur intérieur diminue comme la distance de leurs centres; car l'enveloppe extérieure ne contri- bue point à la gravité, qui est seulement produite par l'attraction d’une sphère d’un rayon égal à la distance entre le corps attiré et le centre de la planète. Mais cette attraction est proportionnelle à la masse de la sphère divisée par le carré de son rayon : la gravité des corps est en conséquence proportionnelle à un sembla- ble rayon. Il sera cependant bon d'observer: 1° Que ce résultat est rigoureusement vrai seulement dans l'hypothèse de l'homogénéité des planètes : elles sont probablement composées de strates de plus en plus denses en appro- chant du centre; alors la gravité au-dessous de la sur- face diminue dans un moindre rapport que dans le cas de leur homogénéité. 2° Les mêmes résultats ne peuvent être exacts qu’en faisant abstraction de l'attraction mo- léculaire que l'on trouve toujours dans les corps placés à la surface d’une sphère. Cette attraction est très- AT grande au contact, et nulle à-une distance sensible : d’où 1l résulte que les molécules en contact, et qui sont situées à l'extrémité opposée du même diamètre, n’at- tirent pas comme si elles étaient unies au centre. ATTRACTION DES MONTAGNES. Suivant la théorie new- tonnienne de lattraction , cette force pénètre les parti- cules les plus minimes de la matière , et l’action combi- née de toutes les parties de la terre forme les attractions de la masse totale. Par la même raison, donc, qu’un corps pesant tend vers le bas en parcourant une perpen- diculaire à la surface de la terre , il doit être attiré vers le centre d’une montagne voisine par une force plus ou moins grande, suivant la quantiié de matière qu’elle contient ; et l'effet de cette attraction, ou la force accé- lératrice produite par elle, doit dépendre de la distance de la montagne au corps gravitant, parce que cette force augmente comme le carré des distances diminue. D'après ces principes , il est évident que le fil-à-plomb d’un quart de cercle ou de tout autre instrument astro- nomique doit dévier de son aplomb d’une petite quan- tité vers la montagne : ainsi les hauteurs apparentes, et les distances des étoiles au zénith prises avec cet instru- ment, ‘dans ce moment ; seront nécessairement fau- tives; savoir : si la distance d’une étoile au zénith était observée à deux stations , sous le même méridien, une au-sud de la montagne, l’autre au nord , et que le fil-à- plomb de l'instrument füt dévié de la verticale par l’at- traction de la montagne, l'étoile devrait paraître tropau nord par l’observation faite à la station méridionale , et trop au sud par la septentrionale, et, conséquemment , la différence des latitudes des deux stations, résultant des observations, serait plus grande qu’elle n’est en effet. Si donc, la vraie différence de leurs latitudes était déter- minée, en mesurant sur le terrain la distance entre les deux stations, l’excès de la différence trouvée par l'ob- servation de l'étoile sur celle trouvée par le fait de la mesure , doit avoir été produite par l'attraction de la montagne ; la moitié de cette différence sera l'effet de l'attraction exercée sur le fil-à-plomb à chaque obser- vation , pourvu que la montagne attire également des deux côtés. La première idée de déterminer la quantité de cette attraction fut suggérée par Newton, dans son Zraité du système du monde ; mais on n’y avait fait aucune at- tention , jusqu’à ce que, en 1738, Bouguer et La Conda- mine mesurant trois degrés du méridien près de Quito, dans le Pérou, crurent apercevoir une déviation de leur fil à-plomb , par l'effet de l'attraction du Chimboraçao, montagne dans le voisinage, que par aperçu ils jugèrent être la 200° partie environ de l'attraction de la terre en- tière. En observant les hauteurs des étoiles fixes à deux stations, l’une au sud, et l'autre au nord de la mon- tagne, ils trouvèrent, par la moyenne de leurs ob- AU 481 servations, 74" en faveur de l'attraction de la montagne; tandis que, selon la théorie, la ligne à plomb aurait dû dévier de la verticale de 143”. Cependant, bien que le résultat général fût favorable à la doctrine de Newton, l'expérience fut faite dans des circonstances si désavan- tageuses, qu’on n’en obtint pas toute la satisfaction qu'on aurait désirée; et Bouguer termine le récit de leurs observations en exprimant l’espoir que l’expé- rience serait répétée dans des circonstances plus favora- bles, soit en France, soit en Angleterre. On ne fit rien, néanmoins, jusqu’à ce que le docteur Maskelyne, célèbre astronome anglais, soumit à ce sujet une proposition à la Société royale de Londres, en 1772; eten 17974, il fut désigné pour faire l'essai avec les aides nécessaires : muni des instrumens les plus exacts, il fit choix de la montagne Schehallien, en Écosse, pour la scène de ses opérations. Sa direction est presque de l’est à l’ouest; sa hauteur moyenne au-dessus des vallées environnantes est d'environ 2000 pieds anglais, et son point le plus élevé au-dessus du niveau de la mer 3550 pieds. On choisit deux stations pour les observations : l’une au nord , et l’autre au sud de la montagne. On apporta un soin scrupuleux à tout ce qui pouvait con- tribuer à l'exactitude de l'expérience; et, d’après les observations de dix étoiles près du zénith, on trouva une déviation d'environ 6 secondes. ( Transact. phil., vol. LXV, part. 2, n° 48 et 49.) Ces données semblaient offrir la possibilité de déter- miner la moyenne densité de la terre. Mais le calcul exigeait nécessairement une grande exactitude, et en même temps un immense travail. La tâche, cependant, fut entreprise par le docteur Hutton, qui en donna la notice avec le résultat de ses recherches dans les Tran- sactions philosophiques et aussi dans les traités qu’il a publiés. Il parait que la moyenne densité de la terre est à celle de l’eau commune :: 5 : 1 environ. ATTRITION ( Mec.) ( Attriio ). Frottement de deux corps l’un contre l’autre. Voyez FROTTEMENT. AUBES (Mec.). Palettes qui garnissent la circon- férence d’une roue hydraulique, exposée à la percus- sion d’un courant d’eau. Voyez ROUE HYDRAULIQUE AUGES ( Astr.) C’est l’apside supérieure, le point où le mouvement de la planète est le plus lent et com- mence à croître : augere. Voyez ApnÈLiE et APOGÉE. AUGMENTATION du diamètre ( Astr.). Phéno- mène produit par les effets de la parallaxe sur le dia- mètre des astres. Voyez PAnALLAXE. AURIGA ( Astr.). Voyez Cocuer. AURORE ( Astr. Phys.). Lumière faible qui com- mence à colorer l'atmosphère lorsque le soleil est à 18° au dessous de l'horizon , et qui continue en augmen- tant jusqu’au lever de cet astre. F’oyez Créruscutx. AUSTRAL ( Astr.). (D'auster, vent du midi.) Sy- 182 AU nonyme de meéridional. On dit indifféremment pôle austral où pôle méridional, hémisphère austral ou hémisphère méridional. Voyez ARMILLAIRE. AUTEL ( Astr.), Constellation méridionale appelée aussi {ltare, Thymale, Vesta, Pharus, Ara Thimia- tis. La principale étoile de l'Autel est dé la troisième grandeur. AUTOLYCUS, de Pitane, ville éolienne de l'Asie, mathématicien et astronome célèbre, vivait dans le III siècle avant notre ère, à peu près vers le temps d'Alexandre. Il est l'auteur de deux ouvrages sur la sphère et le mouvement des astres, qui ont eu de l'im- portance dans le temps où ils furent composés. Auto- lycus y démontre rigoureusement, par la théorie des sphériques, les divers phénomènes des levers et des couchers des étoiles fixes. Ces écrits, que les progrès de la science ont dépouillés de beaucoup d'intérêt, ont été traduits plusieurs fois, avant que les découvertes modernés eussent entièrement changé les principes de l'astronomie. Conrad Dasypodius en a publiéle texte grec avec la traduction latine en regard, 1° De sphera mobili ; — 2° De ortu et occasu stderum , etc. ; Strasbourg, 1579, ju-8° Le premier de ces traités a été de nouveau publié par Jean Auria, en 1578, et le second en 1588. — La traduction latine du livre De ortu, etc., se trouve aussi dans le recueil du père Mersenne { Synopsis math.). AUTOMATE ( Aec.). (De avros, soi-même, et de gñe, je veux). Machine qui se meut d’elle-même, ou qui porte en elle le principe de son mouvement. Voyez ANDROÏDE. AUTOMNE (Astr.). Troisième saison de l’année qui commence le 23 septembre, lorsque le soleil entre dans le signe de la Balance, et finit le 22 décembre, lorsqu'il entre dans celui du Capricorne. Sa durée est de 89 jours 16 heures . Depuis le premier jour d’au- tomne, qui est celui de l’éguinoxe, les jours vont en décroissant et sont toujours plus courts que les nuits dans notre hémisphère septentrional. AUZOUT (Adrien), mathématicien et opticien, né à Rouen dans le XVIT* siècle, s’est rendu célèbre par la perfection qu’il parvint à donner à quelques instrumens astronomiques d’une grande utilité. On assure qu’ilavait construit un objectif desix cents pieds de foyer; mais la difficulté de trouver un emplacement convenable pour l'établissement d’une pareille machine, ne lui permit jamais d’en essayer l'usage et de s'assurer de sa portée. Auzout a rendu un plus grand service à la science par les améliorations qu'il apporta au micromètre, amélio- rations qui ont tellement modifié cet instrument, qu'un grand nombre d'auteurs lui en attribuent l’in- vention. Mais avant Auzout, le célèbre Huygens avait songé à mesurer l’espace occupé par les astres dans le champ des lunettes. On connait la description qu'il a AV faite du micromètre à la fin de son Systema Sacrrrrn, et l’on sait que cet ingénieux et savant observa- teur se servait d’une lame de métal qu'il introduisait dans le télescope par une fente latérale, pour trouve: le diamètre apparent d’un corps céleste. Le marquis de Malvasia, noble Bolonais, qui s’occupait avec un zèle estimable de cette partie de la science, avait substitué à ce mécanisme un réticule qu'il plaçait au foyer de la Junette : c'étaient plusieurs fils qui se croisaient à angles droits, et formaient plusieurs carrés, à chacun desquels devait répondre un certain intervalle dans le ciel. Cet instrument était peut-être préférable à celui d'Huygens pour les observations; on évitait d’ailleurs par son moyen l'effet de la diffraction de la lumière qui avait lieu sur le bord des lames dans l’appareil qu'il avait proposé. Mais d’un autre côté les fils étant fixes dans l'instrument de Malvasia, il perdait un de ses princi- paux avantages. C’est cette invention qu'Auzout per- fectionna, et qu’il rendit plus propre à des détermina- tions extrêmement délicates. Il ne conserva que des filets parallèles avec un transversal qui les coupait à angles droits ; et afin de renfermer toujours l’objet à mesurer entre des filets parallèles, il imagina d’en faire porter un par un châssis mobile, glissant dans les rainures de celui auquel les autres étaient fixés. Auzout a publié la description de son micromètre en 1667, les lecteurs qui voudraient en prendre connaissance la trouveront dans le tome VII des anciens Mémoires de l Académie des sciences. C’est de cet instrument, avec les additions qu'y fit depuis encore Bradley, que se servent les astro- nomes. On peut aussi consulter à ce sujet l'introduction des Tables astronomiques de La Hire, le Traité des instrumens de mathématiques de Bion, Doppelmaver, etenfin une dissertation de Towaley dans es Transac- tions philosophiques. Auzout partagea avec Picard l'hon- neur d’avoir appliqué le télescope au quart de cercle, quoique ce dernier n’ait nullement parlé de cette colla- boration dans son ouvragesur la Figure de la terre. Cette idée heureuse a été aussi utile aux progrès de l’astrono- mie, que le perfectionnement du micromètre et l'ap- plication du pendule aux horloges. Auzout, qui figure au nombre des premiers membres de l’Académie des sciences, est mort à Paris eu 1691. Il ne paraît pas avoir écrit d’autre ouvrage que son Traité du micromètre. Paris, 16067, AVELLAN ou AVELLAR ( Astr.). Nom de l'étoile appelée aussi Pollux. AVERROES ; ABOU-L-WALID-MOHAMMED-ÉEN-AUMED- ÉDN-MORAMMED-ÉEN-RACHED, célèbre savant arabe, xt à Cordoue durant le XII° siècle, est auteur d’un gra nombres d’écrits, dont quelques-uns ont trait aux sciences mathématiques. Averroës à professé dans sa ville satale la philosophie et la médecine, sciences qui in-4°. AV de son temps paraissaient inséparables, et qui, d’a- près les préjugés du vulgaire, supposaient des con- paissances presque surnaturelles dans ceux qui les pra- tiquaient. L'époque d'Averroës est celle de la décadence de la domination politique des Arabes en Espagne, époque où cette grande nation vit aussi se perdre dans son sein le goût des sciences qu’elle avait apporté à l'Europe. À en juger par le nombre prodigieux de ses ouvrages, Averroës, qui exerçait en outre à Cordoue les fonctions d’iman et de cadi, a dù mener une vie toute de méditation et de travail. Il est l’auteur d’une version d’Aristote en arabe; mais cette version n’est pas la première qui existât dans cette langue, comme l’avan: cent plusieurs de ses biographes, puisque ce travail avait déja été fait à Bagdad sous le brillant khalyfat d'Él- Mämoun, Nous possédons divers manuscrits d’Averroës, qui contiennent des traités de physique et de mathéma- tiques pures, d’astronomie et d’astrologie ; car, malgré leur savoir encyclopédique, les hommes célèbres de ces vieux temps n'étaient pas au-dessus de toutes les erreurs populaires. La science alors était environnée d’une sorte de respect superstitieux, auquel Averroës, comme beau- coup d’autres; doit la plus grande partie de sa re- nommée. La plupart de ses ouvrages ont été traduits d’a- rabe en hébreu; on en retrouve quelques-uns dans la bibliothèque du célèbre Rossi (4pparatus hebræo-bibli- eus, etc. —Specimen tneditæ , etc. — Parmæ-Bodont, 1975-1792.) La bibliothèque royale de Paris possède jusqu'à vingt-sept commentaires de cé savant sur Aris- tote, et divers opuscules mathématiques. ( Bibl. roy. ms; n° 438 et suiv. ) Averroës est mort l'an 595 de l’hégyre (1198 de l'ère chrétienne). L'époque précise de sa naissance ne se trouve nulle part. AVICENNE ; 4pou-ALY HOUSSÉYN-ÊBN ABD-ALHAH ÉBN-SyNA , l’un des plus célèbres savans arabes, est né à Assenah, village des environs de Bokharä, l'an 3750 de l’hégyre (980 de l’ère chrétienne), suivant ce qu’il nous apprend lui-même dans lun de ses écrits. Long- temps cet homme, extraordinaire par son savoir et l'activité prodigieuse de son esprit, n’a été connu des savans d'Europe que comme l’Hippocrate de l'Orient. Mais Avicenne ne fut pas seulement un grand médecin ; les sciences mathématiques lui doivent plusieurs tra- vaux remarquables, et qui nous donnent, du moins, une juste idée du point de vue sous lequel cés hautes con- naissances étaient envisagées chez les Arabes, et du degré de perfection qu’elles y avaient pu atteindre, La vie d’Avicenne, pleine de travaux qui étonnent l’ima- gination par leur nombre et leur importance, semée de catastrophes et d’étranges aventures, ressemble beau- coup à celles d'un héros fantastique de ces merveilleuses AV 183 histoires qui portent l'empreinte du génie national des Arabes. Le grand Ébn - Syna, cest ainsi que dans tout l'Orient on désigne encore Avicenne, révéla de bonne heuré la puissante intelligence dont il était doué. Il avait à 18 ans terminé toutes ses études dans les diverses sciences qui devaient faire plus tard l'objet de travaux admirés dans sa patrie, et ses titres à la gloire. À 21 ans, il avait composé une Encyclopédie, à laquelle il ajouta dans la suite un commentaire qui ne forme pas moins de vingt volumes, Avicenne avait le goût des voyages : il parcourut diverses contrées de l'Orient, et devancé par la renommée, il fat tour à tour l’objet de la faveur des princes et de disgrâces cruelles. Premier médecin et vizir de Magd-êd-Doulah, sultan de la dynastie des Bouïdes, deux fois il fut déposé et jeté dans les fers, On attribue ces divers chängemens de fortune auxquels il fut soumis, à des circonstances qui font peu d’hon- neur à son caractère, et qui justifient l’épitaphe remar- quable qu’un poète grava sur son tombeau. Il était fort enclin à des excès de vin et de débauche, et il paraît qu'il trahit son bienfaiteur pour Ala-êd-Doulah, prince d'Ispahan, ennemi du sultan qui l'avait accueilli et comblé d’honneurs. Après quatre ans d’une dure capti- vité, il parvint à tromper la surveillance de ses gardes, et il chercha un asile auprès de ce même Ala-êd-Doulah, au service duquel il $’attacha. Au milieu de ses courses périlleuses, et malgré les chagrins inséparables d’une vie agitée, Avicenne ne negligea pas ses travaux scien- tifiqués. Son goût pour l'étude et son activité étaient tels, qi’il attesté lui-même n’avoir jamais laissé écouler une seule journée sans écrire cinquante feuillets. Ea liste des manuscrits qu'il a laissés et qu'on pos- sède dans diverses bibliothèques de l'Europe, forme une nomenclature assez étendue. Nous possédons de lui une Dissertation Sur la division systématique des sciences, un Recueil d'observations astronomiques , an Traité complet des sciences mathematiques, et'une Col- léction d'opuscules mathématiques et philosophiques. Nous avons donné ailleurs la traduction d’un de ces écrits. Voyez ARITHMÉTIQUE. La fatigue de ses longues courses, et les excès de toute espèce auxquels il se livra, abrégèrent les jours d’Avi- cénné. Cet homme célèbre avait à peine atteint 56 ans quand il mourut à Hamiadän, l'an 428 de l'hégyre (1036 de notre ère). Voici l’épitaphe dont nous avons parlé plus haut, et qui manque peut-être au tombeau de plus d’un grand homme. « Le grand philosophe, le « grand médecin Ébn-Synà est mort. Ses livres de: « philosophie ne lui ont point appris l’art de bien « vivre, ses livres de médecine l’art de vivre long- « temps. » ; AVRIL ( Calendrier). Quatrième mois de l’année, 184 AX suivant notre calendrier. Il était le second de l’an- cienne année romaine, avant la réforme de Numa. Voyez CALENDRIER. AXE (4str.). Ligne droite, imaginaire, supposée passer à travers la terre, le soleil, les planètes, les sa- tellites, etc., et autour de laquelle ils exécutent leurs respectives rotations diurnes. La terre et les planètes, dans leur mouvement de translation sur leurs orbites, se meuvent de manière que l'axe de chacun avance toujours parallèlement à lui-même, ou est toujours dirigé vers les mêmes parties du ciel. L’axe de la terre est incliné à l’écliptique sous un angle de près de 66°7, position la plus favorable pour faciliter la fertilité de la terre et la rendre habitable. Le docteur Keïll dans son examen de la Théorie de la terre, de Burnet, a indiqué plusieurs avantages qui résultent de l’inclinaison de l'axe, et particulièrement celui de fairemurir les fruits de la terre; et il a démontré la vérité de ce que Képler avait avancé sur ce sujet dans son Epist. astron. Coperni. Parmi d’autres parti- cularités curieuses, Keill a fait voir que tous ceux qui vivent au-delà du 45° degré de latitude, et ont le plus grand besoin de la chaleur du soleil, en ont davantage pendaut toute l’année, que si l’équateur et l’écliptique coïncidaient; tandis que ceux qui vivent entre l’équa- teur et le 45° de latitude, et qui sont plutôt trop expo- sés au soleil, ont cependant, à cause de l’inclinaison actuelle, moins de chaleur que si la terre avait une position droite. Ces considérations nous conduisent à une admiration sans bornes pour la sagesse qui a pré- sidé à l’organisation de l’univers. Axe de l'horizon, de l'équateur, etc., est une ligne droite tirée à travers le centre des cercles respectifs, et perpendiculaire à leur plan. Axe en gcométrie. C’est une ligne droite autour de laquelle une figure plane fait sa révolution pour produire ou engendrer un solide. Ainsi, un demi- cercle qui se meut autour de son diamètre en repos, engendrera une sphère dont l'axe est ce même dia- mètre; et si un triangle rectangle tourne autour de sa perpendiculaire en repes, il décrira un cône dont l’axe est cette perpendiculaire. - Axe est encore plus généralement employé pour dé- sigper une ligne que l’on conçoit tirée du sommet d’une figure au milieu de sa base. Ainsi, l'axe d’un cercle ou d’une sphère, sera une ligne quelconque passant par le centre, et terminée à la circonférence par ses deux extrémités. Axe d’un cône est une ligne tirée du sommet au centre de la base. Axe d’un cylindre est une ligne menée du centre d’une de ses bases au centre de l’autre base. Ax Axe d'une section conique, Yoyez SEcrIOx contot. Axe transverse dans l’ellipse et l'hyperbole : c’est le diamètre passant par les deux foyers et les deux princi- paux sommets de la figure. Dans l'hyperbole, c’est le plus court diamètre; mais dans l’ellipse c'est le plus long. AxE conjugué où second axe daus l’ellipse et l’hy- perbole, c’est le diamètre passant par le centre, et per- pendiculaire à l’axe transverse, c’est le plus court des diamètres conjugués. Axe d'une ligne courbe est encore plus généralement employé pour le diamètre qui a ses ordonnées à angle droit quand cette position est possible. AXE en mécanique est une certaine ligne autow de laquelle un corps peut tourner. Il y a des axes de di- verses espèces. Ainsi, on appelle : Axe d'une balance, la ligne sur laquelle elle se meut; Axe de rotation, a ligne autour de laquelle un corps tourne réellement lorsqu'il est en mouvement. L’im- pulsion donnée à une sphère homogène, dans une di- rection qui ne passe pas par le centre, la fera tourner constamment autour du diamètre qui est perpendicu- laire à un plan passant par le centre, et à la ligne de direction de Ja force imprimée. De nouvelles forces agissant sur toutes ses parties, et dont la résultante passe par le centre, ne changeront point le parallélisme de son axe de rotation. C’est ainsi que l’axe de la terre reste toujours presque parallèle à lui-même dans sa ré- volution autour du soleil, sans qu'il soit besoin de sup- poser, avec Copernic, un mouvement annuel des pôles de la terre autour de ceux de l’écliptique. Si le corps possède une certaine figure, son axe de ro- tation peut changer à chaque instant. La détermination de ces changemens, quelles que puissent être les forces agissant sur les corps, est un des problèmes les plus inté- ressans de la mécanique des corps solides, à cause de sa counexion avec la précession des équinoxes et la libration de la lune. La solution de ce problème a conduit à un résultat curieux et très-utile, savoir : que dans tous les corps il existe trois axes perpendiculaires l’un à l’autre, autour desquels le corps peut tourner uniformément quand il n’est point sollicité par des forces extérieures. C’est pour cela que ces axes sont appelés très-convena- blement axes principaux de rotation. Axe d’oscillation est une ligne parallèle à l'horizon, passant par le centre autour duquel vibre un pendule et perpendiculaire au plan dans lequel il oscille. Axe du treuil, une des cinq puissances de la méca- nique, consistant en une roue fixée à un arbre, La puis- sance est appliquée à la circonférence de la roue, et le poids est élevé par une corde qui s’euroule sur l'axe tandis que la machiuetourne, On peut conceven la _ AZ puissance appliquée à l'extrémité d’un bras de levier égal au rayon de la roue, et le poids comme appliqué à l'extrémité d’un levier égal au rayon de l'axe; seule- ment ces bras ne se rencontrent pas à un centre unique de mouvemens, comme dans le levier; mais à la place de ce centre, nous avons un axe de mouvement, savoir : l'axe de la machine entière. (Voyez Treuir.) Dans les anciens traités de mécanique cette machine est appelée Aœis in peritrochio. Axe en optique. L’axe optique ou l'axe visuel est un rayon passant par le centre de l’œil, ou tombant per- pendiculairement sur l'œil. Axe d’une lentille ou d’un verre est l'axe du solide dont la lentille est un segment, ou l’axe d’un verre est la ligne joignant les deux sommets ou points centraux des deux surfaces opposées du verre. Axe d’un aimant. Ligne passant par le milieu d’un aimant, dans le sens de la longueur; de quelque manière qu’un aimant soit divisé, pourvu que la di- vision se fassé suivant un plan dans lequel cette ligne se trouve, l’aimant sera coupé ou séparé en deux au- tres; et les extrémités de cette ligne sont appelés les pôles de Paimant. AXIFUGE (Meéc.). (D'axis, axe, et de fugere, fuir.) Force avec laquelle un corps qui tourne autour d’un axe tend à s'éloigner de cet axe. ’oyez CENTRIFUGE. AXIOME ( D’xgsos, digne ). Proposition évidente par elle-même, et qui n’a pas besoin de démonstration. Par exemple : Le tout est plus grand que sa partie. Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles. Lorsque deux figures , étant appliquées l’une contre l'autre, se recouvrent exactement, elles sont égales, etc. Voyez ALGÈBRE 5. ; Les mathématiques pures sont fondées sur des axiomes et participent ainsi de la certitude de ces propositions. AYUK ( A4str..). Nom de l'étoile appelée communé- ment la Chèvre, dans la constellation du Bouvier. AZELPHAGE (4str. ). Étoile qui est à la queue du Cygne. AZIMECH ( Astr. ). Nom arabe de l’'Epi de la Vierge. Bayer l’applique à tort à Arcturus. AZIMUT (Astr.). Arc de l'horizon compris entre le vertical d’un astre et le méridien du lieu de lobserva- tion Soient RZPIH le méridien , RO'OEH l'horizon, Z le zénith, P le pôle, et A la position d’un astre sur son vertical A'AP, l’are OH sera l’azimut, Pour trouver cet arc, on considère le triangle sphérique ZPA., dans le- quel ZP est le complément de la hauteur du pôle au- dessus de l'horizon ou de la latitude, AZ le complé- ment de la hauteur de l'astre au-dessus de l'horizon, AZ 185 et ‘AP le complément de la déclinaison de l’astre au moment de l'observation. Si, EE étant l’équateur cé- leste, l’astre était situé en A’ dans l’hémisphère op- posé à celui dont le pôle est au-dessus de l'horizon, l'arc A'Z ne serait plus le complément de la déclinai- son, mais bien cette déclinaison augmentée de 90°. Dans le triangle ZPA ou ZPA'", lorsqu'on connait les trois côtés, il est facile de calculer l'angle AZP ou A'ZP, dont la mesure OH ou O'H est l’azimut de- mandé , par la formule snic— - : s V [ sin À . sin B A et B étant les deux côtés qui comprennent l'angle €, sin (S— À). sin (S — 2] et S la demi-somme des trois côtés du triangle. ExempLe. La hauteur observée du bord inférieur du soleil étant de 27°, et la latitude du lieu de l’observa- tion de 36° 45" nord, on demande l’azimut de ce bord sachant d’ailleurs que la déclinaison du soleil est aus- trale et de g° 50", et que l'élévation de l'œil au-dessus du niveau de la mer est de 15 pieds. Corrigeant la hauteur observée des effets de la réfrac- tion , de la parallaxe, et de la dépression de l'horizon due à la hauteur de l'œil, on a d’abord : hauteuriobservée.….....4. 27° dépression pour 15 pieds... — o 3.587 .# 20 246; 297 réfraction et parallaxe..... — o 1 45 hauteur vraie.... — 20° as 44 M , . ! ll , sh Ainsi O'A' = 96° 44' 17", et, par conséquent, A'Z — 63° 15° 43"; de plus, A'P— 9° 50° +90° — 99° 50", et ZP — 90° — 36° 45! = 53° 15". Avec ces données, nous trouverons APE, 53015! Si: 106° 4o! aif AMP: 100,150 ZPS5 53 1x5 0 AZ... CS T5 048? a E S—7ZP —=:53° 25%ars 213° 20’ 43" S... 106° 40! 21" demi-som. = 106 4o 21=S A'Z... G3 x15 43 S—A'Z— 43° 94! 38" EM 185 AZ Substituan! ces dernières valeurs dans la formule ci- dessus, nous aurons en UD ONE sin (53° 25’ 21").sin (43° 24° 38”) CE 0 [ sin (69e r59ssin (03° 18° a | LA Opérant par logarithmes, ainsi qu’il suit; log sin (53° 25° 21") = 9,9047434 log sin (43° 24! 38") — 9,8371178 comp. log sin (53° 15° 0”) — 0,0902299 0,0491133 19.8872043 log.sin+A'ZP = 9,9436o21 comp. log sin (63° 1543") — nous obtiendrons définitivement + A'ZP — Gi 25" 41"; d'où O'H = 122° 51° 22”. L'azimut calculé de cette manière sert à découvrir la variation de l'aiguille aimantée : cette variation étant égale à la différence qui se trouve entre le résultat du calcul et l’azimut observé immédiatement à l’aide du compas azimutal. Voy. Compas AZIMUTAL. AZ T’amphtude est le complément de l’azimut d’un astre à l'horizon ou la différence entre 90° et cet azimut; on la déduit done immédiatement de ce dernier, lorsqu'il est coûnu, et vicé versa ; mais nous devons faire observer à ce sujet que nous donnons ici de l'extension au mot complément én lui faisant exprimer une différence égale à 90° — x, quel que soit x; car ce mot ne s’applique ordinairement à une telle différence que lorsqu’elle est positive, c’est-à- dire pour le casde x 90°. Danslesens général que nous lui attribuons, le signe de go —x peut être positif ou négatif : ce qui est utile à considérer; car, lorsque ce signe est positif, l'amplitude est de même désignation boréale ou australe que le pôle élevé; et, lorsqu'il est négatif, elle est d’une désignation opposée. Foy. Am- PLITUDE. B. BA BACHET pe MEZIRIAC (Craune-Gasparp), né dans le Bugey, vers la fin du XVI° siècle, mathémati- cien distingué, et l’un des membres de l’Académie française à l’époque où cette institution fut fondée. Il était destiné à l'église, et il ft partie de la célèbre so- ciété des Jésuites. Dès l’âge de vingt ans il professait la rhétorique à Milan. On ignore quelles raisons le déter- minèrent à quitter cet ordre religieux pour rentrer dans la vie civile; mais il était encore très-jeune lorsqu'il vint à Paris, où son esprit et ses connaissances le firent bien- tôt remarquer. Nous wavons à nous occuper ici-que de ses travaux mathématiques; mais on connaît de lui plu- sieurs productions littéraires qui annoncent de lérudi- tion et du goût. On sait @me vers le milieu du XVI siècle, le livre de Diophante fut retrouvé dans la bibliothèque du Vatican, et publié par Xylander qui le traduisit et le commenta. Cette traduction laissait beaucoup à désirer, car on reprochait à l'auteur de ne posséder que des connaissances imparfaites en mathématiques. Bachet en entreprit une nouvelle qu'il publia avec un commen- taire ; en 1621. L’historien de l’Académie française nous apprend que ce travail fut achevé par Bachet, dans un moment où il était malade de la fièvre quarte. Lui- même il disait que, rebuté par les difficultés que pré- sentait son entreprise, il ne l'aurait jamais achevé sans Vopinidtreté mélancolique que sa maladie lui in pirait. BA Les matériaux qui étaient à sa disposition durent exi- ger en effet de sa part un travail pénible et soutenu. Le manuscrit de Diopbante, qu'il se proposait de tra- duire , était altéré dans plusieurs endroits, et les notes de Maxime Planude et de Xylander, souvent erronées ou inintelligibles, étaient loin de suppléer à ce qui man- quait dans le texte. Cette édition de Diophante fut donc ce qu’on appelait alors une sorte de divination du mathématicien grec, et on peut la regarder comme un ouvrage original de Bachet. L’illustre Fermat fit de savantes notes sur cet ingénieux travail, et son fils en publia une nouvelle édition en 1670, augmentée de ces notes et des découvertes de son père en aksèbre. Bachet mérite d’être cité parmi les mathématiciens qui contri- buèrent aux progrès de la science. On lui doit la réso- lution générale et complète des équations indéterminées du premier degré, quel que soit le nombre de ces indé- terminées et des équations. Il est en effet le premier des modernes qui se soit occupé de cette branche importante de la science. Il annonça cette solution dans l'édition! publiée à Lyon, en 1612, de son ouvrage intitulé : Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres. 11 se borna alors à appliquer sa méthode à un de ces problèmes curieux, mais il la développa dans l'édition de 1624, et il serait difficile d’y rien ajouter, ou de l’exposer avec plus de perfection. Bachet mourut on 1628, âgé, suivant quelques biographes, de près de BA soixante ans, et suivant d’autres seulement de quarante- cinq. | ; BACON ( Roerr ), religieux anglais, de Pobservance de Saint-François, mathématicien et astronome célèbre, V'un des savans les plus remarquables du moyen-àge , naquit à Ilchester, dons le comté de Sonumerset , en 1214. Ses contemporains l’honorèrent avec raison du titre de docteur admirable, et la postérité la placé au premier rang des hommes de ce siècle, dont les tra- vaux signalent les modernes efforts de l'intelligence coutre les ténèbres qui couvraient encore l'Europe. Les découvertes attribuées à Roger Bacon, ses ingénieux aperçus, ses nombreux travaux dans toutes les branches du savoir, et enfin les malheurs que lui attirèrent ses connaissances , dans ces temps d’ignorance et de grossiers préjugés, en font un de ces personnages pour lequels, après de longues années, le biographe se sent encore ému d'un profond intérêt. Né dans une famille peu riche, mais de la classe de celles qu'on appelle honorables en Angleterre, Roger Bacon révéla dès son enfance les heureuses facultés que l'étude des sciences devait un jour développer en lui. Ce fut à l’université d'Oxford, et sous le professorat d'Edmond Rich, depuis archevêque de Cantorbéry, qu’il commença ses cours. Il les continua à Paris, où l'appela , dans un âge un peu plus avancé, la réputation dont jouissait l’université de cette ville. IL fut promu dans cette école, alors célèbre , au grade de docteur en théologie; science qui supposait, à cette époque, la con- naissance de toutes les autres. On croit généralement que ce fut à Paris, et après avoir obtenu, pour prix de ses premiers efforts, ce titre si respectable, que le Jeune Bacon prononça ses vœux dans un des ordres mineurs. Ce fut sans doute avec l'espoir de pouvoir se livrer exclusivement, au sein de la solitude du cloître, aux études qu'il avait embrassées avec tant d’ardeur, qu’il se sépara ainsi du monde. Mais sa renommée devait tromper ses nobles espérances, et l'ignorance monacale réservait à son âge mür d’étranges persécutions, qui durent lui faire regretter le parti qu'il avait pris dans sa jeunesse enthousiaste. Bacon, dévoré du besoin de connaître tout ce que les hommes pouvaient savoir de son temps , apprit succes- sivement le latin, le grec, Phébreu et l'arabe. Il fut bientôt à même de consulter les auteurs anciens dans leur propre langue, et de comparer leur texte avec les versions infidèles qu'on colportait dans les écoles. Mais alors il éprouva cette amère déception qui attend souvent l'homme de génie au moment même où il croit entrer eu possession de la vérité : il ne trouva rien derrière cêtte érudition stérile , acquise au prix de tant de veilles. Doué d’un génie supérieur et digne d’un meil- leur siècle, il voulut s'ouvrir une route plus large ct BA 187 plus sûre dans les sciences. 11 se livra, en conséquence, avec une ardeur nouvelle, à l'étude de la philosophie naturelle, et comprenant enfin que la connaissance des mathématiques pouvait seule attacher un caractère de certitude aux découvertes scientifiques, il en fit l’ob- jet principal de ses travaux. C’est sous ce dernier point de vue seulement que la vie de Roger Bacon doit être envisagée dans cet ouvrage. Cet homme extraordinaire a rendu de plus grands services à l'humanité, en prouvant l'utilité des mathé- matiques dans la philosophie naturelle, qu'il n’a mé- rité sa reconnaissance par des découvertes destinées à en agrandir les connaissances. Néanmoins, ceux de ses bio- graphes modernes qui se montrent les plus sévères envers lui, ne lui refusent pas de grandes vues et une habileté remarquable dans sa manière séduisante de les présenter. L'un des ouvrages les plus importans qu’ait composés Foger Bacon est son Traité de perspective, branche des mathématiques qu’il paraît avoir affectionnée. Cet écrit renferme des idées justes, et nouvelles alors, sur un grand nombre de phénomènes qui s'expliquent par les lois de l'optique. Telles sont les observations de l’auteur sur la réfraction astronomique, sur la grandeur apparente des objets, et sur l'apparence extraordinaire du soleil et de la lune à l'horizon. Il n’y a pas de doute que Bacon n'ait tiré un très-grand parti des travaux anciens sur l'optique, de Ptolémée et de l’arabe Alhazen. Mais ce serait un étrange reproche à adresser à un savant, que celui d’avoir profité, dans ses recherches de la vérité, des tentatives antérieures aux siennes. La plupart des grandes découvertes dans les sciences n’ont été d’abord que des aperçus, dont les développemens sont devenus peu à peu des systèmes complets, suivant que des hommes de génie s’en sont emparés. Cette observation s'applique surtout à la découverte du télescope, attribuée à Roger Bacon, d’après plusieurs passages fort remarquables de son Opus majus. On a cramt, en lui faisant honneur de cette puissante invention, de diminuer la gloire de l'il- lustre Galilée; mais ce motif n’a aucune valeur ration- nelle. Que Roger Bacon ait entrevu que des milieux figu- rés d’une certaine manière, et disposés convenablement entre l'œil et l’objet, pouvaient augmenter Fangle visuel, et conséquemment l'apparence de l’objet, cela nous paraît hors de doute. Mais il y aurait encore loin de cette cons- tuction à priori d'un objectif de ce genre, Au télescope de Galilée, comme l'instrument inventé par ce grand homme est peu comparable à celui que les perfection- nemens d'Huygens ont rendu si utile à la science. Ceci une fois posé, qu’on fasse la part de tout ce que la bril- lante et féconde imagination de Bacon pouvait lui montrer d’exagéré dans les résultats de sa découverte, il est difficile d'expliquer autrement qu'en sa faveur les divers passages de l’'Opus majus ; où il ex 488 « BA à ce sujet. Nous n’en citerons qu'un seul : De wisione jracta majora sunt : nam de facili patet per canoneS supradictos quod mazxima possunt apparere minima ; et ëcontrà, et longè distantia, videbuntur propinquis” sima, et è converso. Nam possumus sic figurare pers. picua, et taliter ea ordinare respecti nostri visûs et rerum , quod frangentur radii et flectentur quorsumque voluerimus et sub quocumque angulo voluerimus, et videbimus rem longè vel propè; et sic ex incredibili distantia legeremus litteras minutissimas , et pulveres ex arend numeramus.... el Si sic possel puer apparere gigas, et unus homo videri mons et parvus exercilus videretur maxinus.Sic etiam feceremus solem et lunam descendere hic inferiüs , secundiumn apparentiam el super capita inimicorum apparere, etc. C'est-à-dire, en ré- sumé : « On peut tirer encore un meilleur parti de la « vision rompue; car il est facile, en exécutant ce qui a « été prescrit dans les canons susdits ( chapitres), de & faire apparaître plus petits les plus grands objets et « d'obtenir un résultat opposé, comme de rapprocher « les objets les plus éloignés, et également le con- « traire....., etc. » L'historien de l’université d'Ox- ford, Wood , et Jebb, l'éditeur de l’ Opus majus, ont cru pouvoir avancer, d'après ce passage ct divers autres extraits des écrits et de la correspondance de Roger Bacon, qu'il avait été en possession du télescope. Bayle paraît adopter cette opinion; mais ce célèbre critique n’était nullement compétent dans cette discussion; et Montucla, dans son Histoire des mathematiques, soutient l'opinion contraire par des raisons qui nous semblent sans réplique. Cependant cet illustre savant, quelque disposé qu’il soit à rendre hommage à l’étonnante pers- picacité de Bacon, oublie que si l'invention du téles cope lui a été mal à propos attribuée, il n’est pas moins certain que ses écrits ont pu mettre sur la voie de cette découverte. Rien ne prouve en effet que Galilée ne les ait pas connus. On peut en dire autant des verres leuti- culaires , dont on a également attribué l'invention à Ro- ger Bacon. La théorie qu'il expose à ce sujet prouve qu'il ne l’a jamais réduite en pratique, et que même ses conjectures ont été, sous ce rapport, moins heureuses que celles d’Alhazen; mais ce fut peu de temps après Bacon que l'usage des lunettes fut connu en Europe, et l'on ne peut lui refuser la gloire d’avoir contribué à cette découyerte. Dans l’un de ses écrits sur les Secrets de la nature, il parle de la possibilité de construire une machine à l'aide de laquelle l’homme pourrait se soutenir dans air; mais il ajoute aussitôt qu’il pourrait s’en servir comme l'oiseau de ses ailes. Son ardente imagination l'entraine toujours au-delà des bornes de la science et de Ja vérité. Cependant il est impossible de ne pas voir das fe passage qui nous fournit cette observation, une BA idée de l'aéronautique, qu’il n’a point cherché nonplus à réaliser. Roger Bacon s’est beaucoup occupé d’astronomie : on peut même dire avec le docteur Freind, auteur de l'Histoire de la médecine, qu’il était le seul astronome de son temps. Il est certain qu’il a eu lidée de Ja réfor- mation du calendrier, qui eut lieu seulement sous Gré- goire XII. C’est du moins l'opinion des savans docteurs Jebb et Freind. - L'invention de la poudre à canon est aussi attribuée à Bacon avec plus de fondement, suivant de graves auteurs. « On peut faire, dit-il dans une de ses lettres « sur la chimie, avec du salpètre et d’autres ingrédiens « un feu qui brule à telle distance qu’on veut. » Ailleurs, il décrit la nature de cesingrédiens, et donne une formule dans laquelle il entre des parties de soufre, de salpêtre et de charbon ; il explique ensuite les effets produits par cette composition d’une manière assez singulière pour qu'elle mérite d’être citée : « Elle excite, ditl, un « bruit sernblable à celui du tonnerre; elle brille comme « les éclairs, et même d’une lueur plus effrayante : car « une petite quantité, de la valeur, par exemple, d'un « pouce, bien disposée, fait un bruit violent et une « lueur extraordinaire. Cela peut se faire de diffe-! « rentes manières capables de détruire des villes et des « armées entières, à limitation du stratagème de Gé- « déon, qui, ayant rompu les cruches, fit paraître le feu « avec un bruit horrible, et le mit en état de défaire « une puissante armée de Madianites avec trois cents « hommes. » Dans son Opus majus, Roger Bacon a abordé l’in- telligence de toutes les branches du savoir humain. Mais on ne trouve en effet, comme on l’a déjà dit, dans ses nombreux ouvrages, que des aperçus étonnans, des appréciations plus où moins heureuses. En se reportant à l'époque où il vivait, on s'explique mieux ses erreurs, et l’on apprécie mieux aussi la supériorité de son génie! Les talens de Roger Bacon, ses opinions philoso- phiques peu respectueuses pour celles d’Aristote qui régnait alors en souverain sur nos écoles ; enfin l’impru- dence qu'il eut de rendre publiques quelques expériences chimiques qui le firent accuser d'entretenir un commerce abominable avec l'esprit de ténèbres, mais peut-être plus encore sa renommée et sa supériorité incontestable, armèrent contre lui la haine et la jalousie des moines de son ordre. Il fat mis en jugement dans un chapitre général, et l’auteur du livre de Nullitate magiæ fut déclaré magicien : on lui fit défense d’écrire, et on le condamna à une prison perpétuelle. L’infortuné Roger Bacon ne recouvra sa liberté que dans une extrême vieillesse : il n’en jouit que peu de temps, et il mourut accablé de chagrins et d'infirmités, suites des traitemens odieux qu’on Jui avait fait subir, en l'année 1202, à l’âgede ? 2 2 G BA 78 ans. Ses ouvrages les plus recherchés des bibliophiles et des savans sont : Roc. Baconis, vi eminentissin , Perseecriva, etc., Joh. Combachii, Francf., 1514, in-4°. — Opus majus, Roc. Baconis, nunc primum edidit, S. Jebb, London, 1733, in-folio. — De secrets naturæ et arts et nullitate magiæ. Paris ; 1542, in-8°, 1b., 1622, in-8°. La bibliothèque d'Oxford possède divers autres ouvrages de Bacon, entre autres : Opus minus , etc., Opus terüium, etc., et un Traité du Calendrier, dans lequel sont consignées les observations astronomiques dont nous avons parlé, BACULAMETRIE ( Géom.), vieux mot par lequel on désignait l'art de mesurer les distances avec des bâtons ou des verges. J’oyez ALTIMÉTRIE et ARPENTAGE. BAILLY (Jean-Sivain), membre de l’Académie des sciences, de l'Académie française et de celle des Inscrip- tions, moins célèbre peut-être par ses talens que par ses malheurs, naquit à Paris en 1736. Il se fit d’abord connaître par des poésies et des pièces de théâtre, et ce fat dans l’amitié du savant abbé Lacaille, qu'il puisa du goût pour des travaux d’un ordre plus élevé. L’astro- uomie fut, de la part de Bailly, l’objet d’études spé- ciales, dans lesquelles il ne tarda pas à acquérir de la réputation. Néanmoins il a plus souvent envisagé cette science en littérateur qu’en géomètre. On trouve, il est vrai, dans ses écrits, quelques justes appréciations des phénomènes célestes, scientifiquement exposées, et qui supposent des connaissances assez étendues ; mais en général, cet écrivain affectionne des hypothèses qui rap- pellent trop ses premières productions littéraires. C’est surtout dans l’Æistoire de l'astronomie indienne que Bailly s’est abandonné à tous les caprices de son imagi- nation, en prenant au sérieux de prétendues observa- tions astronomiques qui feraient remonter la civilisation de cette nation à une antiquité exagérée. Ces supposi- tions romanesques plaisent aux gens du monde, et elles eureut surtout du succès à une époque où l’école ency- clopédique s’avisait de transporter, même sur le terrain de la science, le combat qu’elle soutenait contre la rai- son et la saine philosophie. Bailly fut successivement appelé à siéger dans trois Académies. L'aménité de ses mœurs, la douceur de son caractère, la bienveillance aimable qu’il portait dans toutes les relations de la vie, contribuèrent sans doute beaucoup plus que l'importance de ses écrits, à lui faire cueillir tant de palmes académi- ques. Le caractère ctle talent de cet écrivain lui attirèrent en même temps les dangereux honneurs de la popula- rité... On sait par quelle cruelle catastrophe il expia sa funeste confiance dans les principes philosophiques qu'il avait contribué à répandre. Illustre victime de la fureur des factions et de la brutale ignorance des masses popu- laires, Bailly, dont la mémoire restera à jamais pure et honorable, sera aussi à jamais un d'ouloureux exemple BA 189 pour les hommes de science et de progrès, qui descen- dent quelquefois, des hauteurs où les placent leurs tra- vaux, dans la lice brülante des partis. Condamné à mort par le tribunal révolutionnaire, après avoir été l’idole des Parisiens, Bailly fut exécuté au Champ-de-Mars, le 12 novembre 1503, avec des circonstances atroces. Ses principaux ouvrages sont : Æssai sur les satellites de Jupiter, avec les Tables de leurs mouvemens, Paris, un vol. in-4°, 1766. — Histoire de L Astronomie ancienne, depuis son origine jusqu’à l'établissement de l'école d'Alexandrie. Paris, 1981, in-4°. — His- toire de l’ Astronomie moderne, depuis la fondation de l'école d'Alexandrie jusqu'en 1782. Paris, 1785, 3 vol. in-4°. — Histoire de l' Astronomie indienne et orientale. Paris, 1787, in-4°. BAKER ( Tnomas ), mathématicien anglais, né à Iton, dans le Sommerset, en 1625, s’est rendu célèbre par la publication d’une méthode pour la résolution des équations du 3° et du 4° degré. En 1645, il avait été ap- pelé à occuper une chaire de mathématiques au collége de Wadham; il fut plus tard recteur de la paroisse de Bishop-Nympton, dans le comté de Devon. On ignore dans quelles circonstances cet ecclésiastique fut mis en prison pour dettes à Newgate; mais ce fut dans cette maison qu’il écrivit l’ouvrage où il proposa sa méthode de résolution des équations, sans aucune préparation, par un cercle et une parabole. Peu de temps avant sa mort, la Société royale de Londres lui soumit plusieurs questions importantes et difficiles, qu'il résolut de la manière la plus satisfaisante. Cette compagnie lui décer- na ure médaille d’or, où une flatteuse inscription rap- pelait ses titres à cette récompense. Thomas Baker mourut en 1690. Voici le titre de son ouvrage : The geometrical key, or a gate of œquations un locked, etc., ou Clavis geometrica catholica, seu janua æquationum relevata. London, 1684, in-4°. : BALANCE (4str.). Ce nom s'applique également à une constellation située dans l'hémisphère austral et au septième signe du zodiaque, marqué #2. Avant la découverte de la précession des équinoxes, ou du mouvement des points équinoxiaux, on croyait que le soleil, revenant au même équinoxe, se trouvait correspondre exactement aux mêmes étoiles; et l’on avait partagé l’écliptique en 12 parties égales ou signes, faisant de chacune de ces parties une constellation dé- terminée à l'aide d’un groupe d'étoiles. Alors le pre- mier signe correspondait à la constellation du Bélier, le second à celle du Taureau , et ainsi de suite, Depuis cette époque, l’état du ciel a entièrement changé; et, par la rétrogradation des points équinoxiaux, les signes ne correspondent plus aux mêmes constellations. Ce- pendant, on a conservé aux signes les noms qu'ils avaient dans l’origine; et, par une convention généra- 490 BA lement adoptée, le premier point da signe du Bélier répond toujours à l’équinoxe du printemps, et celui de la Balance à l'équinoxe d'automne; tandis que les con- stellations du Bélier et de la Balance, ainsi que toutes les autres se sont éloignées de ces signes de près de 30° ou d’un signe entier. Poy. PRrÉCEssi0N. BALANCE (Méc.). Machine qui sert à comparer les masses des corps, ou à déterminer l'égalité ou l'inégalité de leurs poids. La balance est une application du levier (Foy. ce mot), et comme telle on en distingue plusieurs espèces ; les principales sont la éalance ordinaire , nommée sim- plement balance, et la balance romaïne ; ou le peson. La BALance ORDINAIRE est composée d’un levier droit AB (PL. XII, fig. 8), nommé fléau, aux extrémités duquel sont suspenäus deux bassins C et D, qui reçoi- vent les corps qu'on veut peser. Le fléau est suspendu par son milicu, de manière à pouvoir osciller librement lorsque l'équilibre des bassins est détruit par l'addition d’un poids dans Fun ou dans l'autre. Le fléau AB est donc un levier du premier genre, partagé en deux bras égaux par son point d'appui x, et chargé de Veffort des deux puissances qui sont dans les deux bassins C, D, et dont les directions sont pa- rallèles entre elles, faisant avec le fléau des angles droits lorsqu'il est horizontal, ou des angles dont les sinus sont égaux lorsqu'il est incliné. 11 n’y a donc que des masses égales qui puissent être en équilibre sur un pareil le- vier. ‘ | Pour que la balance ordinaire soit exacte , elle doit réunir au plus haut degré possible les trois qualités suivantes : 1° Elle doit être très-mobile, pour que le plus petit poids ajouté d’un côté ou de l’autre fasse tré- bucher le fléau. 2° Ses bras doivent être toujours égaux; car, dans le cas contraire, les masses qui se feraient équilibre ne seraient point égales en poids. 3° Les bras doivent être dans une même direction, afin de pouvoir juger avec plus de facilité s'ils font réellement des an- gles égaux de part et d’autre avec les directions verti- cales du poids. Pour donner une grande mobilité à la balance or- dinaire , il faut rendre le frottement qui se fait au point d'appui le plus petit possible, et faire correspondre exactement le centre du mouvement avec le centre de pesanteur. On remplit la première condition en don- nant au point de suspension la forme d’un couteau dont le tranchant seul porte sur l'appui. Quant à la seconde, on la néglige dans les balances destinées aux usages or- dinaires, parce qu’une extrême mobilité deviendrait alors incommode , et qu’il est indifférent de se tromper d’une petite quantité dans les évaluations commerciales auxquelles ces machines sont employées. La longueur des bras d’une balance contribue aussi à BA lui donner de la mobilité; car un très-petit poids, agis- sant à l'extrémité d’un plus long bras, fait autant d’ef- fet qu'un plus grand poids agissant sur un plus petit bras. Mais on ne peut tirer un grand parti de cette re- marque; car la longueur des bras doit toujours être en proportion avec leur solidité; des bras trop longs deve- nant flexibles et cessant d’être égaux en se courbant ; le fléau, d’ailleurs, devant être le plus léger possible, pour diminuer la pression sur le point d'appui. Une balance peut paraitre juste en se tenant en équi- libre dans une situation horizontale, et cependant avoir des bras de levier inégaux. Il suffit pour cela que le bras le plus court ou son bassin soit plus pesant que l’autre bras ou que l’autre bassin ; mais on reconnaît facilement ce défaut; car, après avoir chargé les bassins de ma- nière qu'il y ait équilibre, si l’on change les masses d’un bassin à l’autre, l’équilibre ne subsistera plus après ce changement. En effet, dans le premier cas cet équilibre n'existait que parce qu’une plus grande masse corres- pondair au bras le plus court, tandis que dans le second cette plus grande masse, correspondant au bras le plus long, doit nécessairement emporter l’autre. Voyez le mot Levier pour la démonstration des propriétés et pour la théorie de la Barance. Lorsqu'une balance est fausse, on peut néanmoins s’en servir, pour peser exactement, en procédant de la manière suivante : Après avoir mis en équilibre une masse Q par un poids P , en plaçant, par exemple, Q dans le bassin C, et P dans le bassin D ; on transporte Q dans le bassin D, et on observe quel poids il faut mettre dans l’autre bas- sin pour lui faire équilibre; soit P' ce nouveau poids. Connaissant P et P', le véritable poids de Q est égal à VPxPr. En effet, d’après les principes de l'équilibre du le- vier, si nous désignons par > la longueur du bras à l’extrémité duquel est le bassin C, et par » la longueur de l’autre bras, nous aurons.les deux égalités mP=nQ et nP'=mQ, dont le produit mnPP' = mnQ, étant divisé par le facteur commun 7», donne PP'—Q où Q—=V/PP. Ainsi, par exemple, en supposant que la première pesée ait donné un poids P — 38 grammes, et que la seconde ait donné P'— 42 grammes, le véritable poids de Q sera VX 42 = V/1596 — 39,05. Si les poids P et P’ différent très-peu, on peut gé- BA pargner la longuéur d’une extraction de racine carrée ; car on peut faire alors P: Que 2 En effet, soit P'— P — p, nous avons PP=P: + Pp. Mais V/(P? + Pp) est à très-peu de chose près égale à P + Ê , lorsque p est très-petit par rapport à P; on peut donc faire dans ce cas P __2P+p P+P 0sPHhS ou Q— ER RIRE NP Dans l'exemple ci-dessus on trouverait, en employant cette dernière formule, Q — 40 grammes ; ce qui ne é Le diffère de la véritable valeur que de moins de 3 de gramme , quantité sans importance pour les usages or- dinaires, La Bacance RomAINE est un levier dont les bras sont inégaux ; elle se compose d’un fléau AB (PL. XIT, fig. 7). suspendu par une anse EK ; le bras le plus court porte un bassin C, ou un crochet destiné à soutenir l’objet qu'on veut peser, et un poids constant P, coule au moyen d'un anneau le long du bras le plus long. Cette machine à l'avantage de n'avoir besoin que d’un seul poids pour peser les corps les plus lourds; car, d’après la théorie du levier, l'équilibre a lieu lorsque la dis: tance de P au point de suspension est en raison inverse de la distance du corps pesé au même point. 1l suffit donc d'établir sur le bras EB des divisions dont le nom- bre, à partir du centre de suspension, puisse faire con- naitre immédiatement le poids du corps pesé. Par exemple, si le corps pesé = 10 kilogrammes, et que le poids constant soit un kilogramme, l'équilibre aura lieu lorsque la partie Ka sera égale à 10 fois le bras AK. Ainsi, en admettant que chaque division du grand bras soit égale au petit bras, lorsqu'il faudra mettre, par exemple, le poids P à la cinquième division , pour faire équilibre à un objet Q placé dans le bassin, en en con- clura que le poids de Q est égal à 5 fois P, et ainsi de suite. Les subdivisions de ces parties donneront égale- ment Les subdivisions de poids au-dessous de P. Pour que cette balance soit juste, il faut qu’elle soit en équilibre dans une position horizontale indépen- damment du poids P et de tout objet à peser. Toutes les autres espèces de balances ne sont que des modifications de ces deux premières. Nous en explique- rons la théorie au mot Levier. Dazance uypnasriQué. Machine qui sert à trouver la BA 491 pesanteur spécifique des corps solides ou liquides. Foy. PEsanTEUR SPÉCIFIQUE. : BALANCEMENT. Foy. Oscillation. BALANCIER (Aéce.). Nom générique qu’on donne à toute partie d’une machine qui a un mouvement d’os- cillation ; et qui sert à régler le mouvement des autres parties. BALEINE (4str.). Constellation méridionale, dans laquelle on remarque une étoile changeante fort singu- lière: La Baleine contient 07 étoiles dans le catalogue de Flamstead. On la nomme encore Cetus, Cete, Draco ; Leo ; Ursus Marinus , Canis tritonis. Les Ara- bes lui donnaient le nom de Kaëtos ou Elketos. Elle est située au-dessous de là costellation des Possons, entre celles du F’erseau et de V Éridan. BALISE (/fce.). Corps flottant , attaché à des chaînes d’amarrage, qui sert à indiquer aux navires, pendant la nuit, la direction qu’ils doivent prendre. BALISTE ( A4rt de là guerre), Antique machine de guerre, Qui servait à lancer des traits dont la longueur et le poids étaient souvent extraordinaires. (Voyez Ar- chitecture de Vitruve, ou Polybe, avec les commen- taires de Fülard. ) BALISTIQUE (ars balistica, du grec Bzrw, je lance). Théorie des projectiles ou du jet des bombes. On désigne en général sous le nom de Balistique la théorie et la pratique des corps solides lancés en l'air à l'aide d’un moteur quelconque. Depuis l’invention et les progrès de l'artillerie, ce terme a été plus particulie- rement consacré aux projectiles lancés par les bouches à feu; et, sous ce dernier aspect, la balistique forme une des parties les plus importantes de l'art de la guerre, Jusque vers le milieu du seizième siècle; l'artillerie fut traitée d’une mänière tout empirique; et ses pro- cédés, incomplets et grossiers, n'étaient’ susceptibles d'aucun résultat certain. Le premier qui s’occupa de re- cherches scientifiques sur cet objet est Tartaglia, géo- mètre distingué, auquel la science est redevable sous d’autres rapports. Il trouva qu'aucune partie de la di- rection du boulet n’était une ligne droite, et qu’un angle d’élévation de 45° donnait la plus grande portée (Della nova scienziaæ, Venise, 1537). Les principes sur les- quels il fondait sa théorie étaient, sous beaucoup de rapports, inexacts et erronés : la loi de la chute des corps graves n'étant point encore découverte, Néanmoins, comme un artilleur soutenait que la plus grande portée avait lieu sous un angle de 30°, Tartaglia développa sa théorie en 1546, dans son ouvrage: Queæsiti ad inven- ziont; ce qui donna lieu à beaucoup d'expériences, et à la construction de tables d'élévation calculées sans au cune base solide. Ces tables furent considérées corame très-exactes , jusqu'a ce que Galilée, appliquant à la ba- 192 BA Xstique sa nouvelle loi de la chute des graves (70y. Ac- cÉLÉRATION ), démontra que la direction des bombes devait être une parabole. Le père Mersenne, et surtout Toricelli, se livrèrent à de nouvelles expériences, et cherchèrent à déterminer les points qu’un boulet lancé d’abord verticalement, et ensuite horizontalement, pourrait atteindre; ce qui ne procura aucun résultat pratique. Le jésuite Deschales fut plus heureux sous le dernier rapport; car il indiqua la direction du canon nécessaire pour atteindre un point plus haut ou plus bas (Mundus mathem., tom. IT, stat. lib. 2). En 1641, Collado recommença tous les essais de Tartaglia sur un fauconneau de trois livres de balles; et, mesurant avec soin les élévations, à l’aide d’un bon cadran d’artille- rie , il établit les portées suivantes , dont les longueurs sont exprimées en pas : Angles Angles d'dévauions. Portés. d'élévation. Portées. 0°,0 268 45°,0 1053 7 50 594 20 900 15 ,0 794 60 ,0 700 22 ,5 954 | 67,5 400 30 ,0 1010 | 75,0 150 37 ,5 1040 62 ,o 12 Les ekpériences de Bourne, faites probablement avec une pièce d’un plus petit calibre, donnèrent des résul- tats plus exacts (Pratica manuale dell artigleria, Mi- lan, 1641). Au lieu de mesurer les angles d’élévation par les points du cadran d'artillerie, divisé de 7°,5 en 7°,5, il se servit des degrés, et admit la distance hori- zontale au point de mire comme unité; ce qui lui fit ob- teÿ les portées suivantes : Élév. Portées, Élév. Portées. 0° 1 15? 43 5 23 20 4È 10 33 42 5E La dernière élévation donnait, terme moyen, la plus grande portée dans un temps calme; mais Bourne trouva que cette portée changeait lorsque le vent se fai- sait sentir ; ce qui plaçait son angle d’élévation entre 36° et 45° (Art of shooting in great ordon , 1643). Galilée avait déjà fait voir dans ses discours que la direction d’un boulet ne pouvait être une parabole que lorsque la résistance de l’air ne la modifiait pas; mais on oublia complétement cette importante remarque, et on appliqua rigoureusement la théorie parabolique à la ba- listique, dans la supposition que l'air, comme milieu très-faible, ne pouvait exercer aucune influence sur des corps aussi lourds que des boulets de fer. C’est d’après préiuges que furent modifiés les essais que fit Ro- Anderson, et qu'il publia en 1690. L'ingénieur BA français Blondel (Art de jeter les bombes), et même le célèbre Halley (Trans. phil., 216, pag. 68), s’efforcè- rent de défendre la théorie parabolique contre les ex- périences qui s’en écartaient. Mais, malgré tous les ef- forts d'Anderson; il ne put accorder ses essais avec la théorie, lorsqu'il s'agissait de déterminer les petites et les grandes vitesses iritiales. Malgré les objections qui s’élevèrentalors en foule, l'ouvrage de Blondel demeura long-temps comme autorité. Cependant, la loi de la résistance de l'air devint l’ob- jet de beaucoup de recherches. On admit généralement l'hypothèse de Newton (Principes, lib. IT, prop. 40), que cette résistance est proportionnelle au carré de la vitesse du mobile; et l’on s’efforça de l’appliquer à la directior aes boulets. Æuygens { Discours de la cause de la pesanteur. Leyde, 1690) avait déjà prouvé que Ja direction du boulet, dans un espace rempli d'air, devait s’écarter d’une parabole ; et néanmoins, malgré les efforts d’un officier d'artillerie, Resson, qui mo:- tra (Mém. de l'Acad. des Sc., 1716) que la théorie de la balistique était insuffisante pour la pratique, cette théorie n’en demeura pas moins en vigueur jusqu’à ces derniers temps même, et on en déduisit des tables qui ne peuvent rendre aucun service. Cependant , les géomètres étant couvaincus de l'in- fluence que doit exercer la résistance de l'air, il s’agis- sait de trouver la courbe qu’un boulet doit décrire sous cette influence. Jean Bernouïlli avant manifesté quel- ques opinions sur ce problème difficile, Ke! l'engagea, en 1718, d’en donner une solution, lui proposant à ce sujet une espèce de défi. Bernouilli annonça qu'il avait résolu le problème, mais ne voulut pas donner sa théo- rie avant que Keil ne publiät la sienne. Ce dernier n’ayant rien pu produire, Jean Bernouilli fit connaître sa solution en 1719, ainsi qu'une autre, due à son ne- veu Nicolas Bernouilli (J. Bernouilli opera, W). De- puis cette époque, les plus grands géomètres se sont oc- cupés de la courbe balistique sans qu’on puisse dire que l'analyse ait complétement réussi dans cette tâche. Dans la plupart des calculs de ce genre, on a pris pour données expérimentales les essais importans que Robirs à faits avec autant de soin que d’exactitude (Robins new prin- ciples of gunnery , fut interrompu dans ses travaux par une mort préma- turée; mais le célèbre Æutton se livra en 1775 à de nou- veaux essais, répétés depuis et confirmés par un grand nombre d’artilleurs. Ces divers travaux, en y compre- nant les recherches théoriques faites en France, en Italie et en Allemagne vont être résumées dans l'exposition 742). Malheureusement, Robins suivante : 1. Varesse ixiTiaze. Pour pouvoir déterminer avec exactitude la route d’un corps lancé dans l’espace : il est essentiel de connaître sa vitesse initiale, ou la vitesse BA avec laquelle il se meut dans un temps donné, suivant la direction qui lui est primitivement communiquée. Or, les effets de la poudre à canon sont tellement dé- pendans de circonstances accessoires, que les détermina- tions sont loin de réunir le degré de certitude néces- saire. C’est ainsi que Daniel Bernouïlli trouve que la vitesse initiale d’un projectile est de 6004 pieds par se- œnde, en admettant que la force d’expansion de la poudre enflammée est de 10000 atmosphères; tandis que Robins, qui ne prend la force de la poudre que pour 1000 atmosphères, obtient des résultats qui s'ac- cordent beaucoup mieux avec l'expérience. Pour se ren- dre compte de toutes les circonstances du problème, il faut examiner avec soin les phénomènes produits par Vinflammation de la poudre, suivant la nature des ob- jets dans lesquels elle est contenue. 2. Le boulet se trouve placé dans un espace cvlindri- que, le canon, et comprime la poudre, dont l'explo- sion doit le lancer. Cette explosion, due au dégagement subit des gaz élastiques qui se développent au moment de l’inflammation, chasse le boulet avec une force d'au- tant plus grande que le développement du gaz est plus grand et plus complet; mais le frottement du boulet ‘contre les parois du canon, jusqu’au moment de sa sor- tie, neutralise une partie de cette force; et la vitesse initiale s’en trouve nécessairement modifiée. 3. On pourrait croire que la vitesse initiale d’un bou- let peut être augmentée sans limite par l'augmentation de la quantité de la poudre: il n’en est point ainsi; l’in- flammation de la poudre n’a lieu que successivement, Ainsi, dans le premier moment quelle que soit la lon- gueur du cylindre formé par la poudre derrière le bou- let, la pression contre le boulet, et, conséquemment , son déplacement dans le canon, sont dus au dégage- ment des gaz de la première couche qui s’enflamme : il peut donc arriver que le boulet soit chassé de la pièce avant que toute la poudre soit enflammée. Ainsi, comme l'effet de la partie enflammée de la poudre a lieu ins- tantanément , il peut arriver, lorsque la charge est trop considérable, qu’une certaine quantité de poudre non brülée soit lancée hors de la pièce avec le boulet; ce que les essais ont suffisamment prouvé. Il existe donc un maximum pour la quantité de poudre capable de produire la plus grande vitesse initiale; mais la déter- mination théorique de ce maximum est impossible, parce que non-seulement la qualité de la poudre à ca- non est extrêmement variable, mais qu'il existe encore une foule de circonstances accessoires qui exercent sur ses effets une influence importante. 4. Il résulte des considérations précédentes que le maximum de la charge doit être dans un certain rapport avec la longueur du canon. D’Arcey ( Mém. de l'Acad. des Sc., 1751, p, 57), qui fit beaucoup d'expériences BA 495 pour déterminer les effets de la poudre, tronva que le rapport de la longueur de la charge à la longueur du canon devait être celui de 100 : 171, pour obtenir Ja plus grande vitesse initiale. Ce résultat s'accorde admi- rablement avec les calculs et les observations de Robins, d’après lesquels le rapport est 1 : 1,718. La longueur des bouches à feu ne doit donc pas non plus dépasser une certaine Kmite; et cette assertion, dé- fendue par le comte de Martillière, Scharnhorst, et d’autres savans artilleurs, est devenue assez évidente pour changer le matériel de l'artillerie: toutes les piè- ces modernes sont beaucoup plus courtes que les an- ciennes. 5. Robins, et ensuite ÆZutton, ont trouvé que pour les canons de longueur suffisante les vitesses initiales étaient entre elles en raison directe des racines carrées des quantités de poudre, et en raison inverse des racines carrées des poids des boulets. Il en résulte un calcul très-facile, en admettant toutefois que la qualité de la poudre employée soit la même que celle de la poudre d'artillerie anglaise, dont Hutton se servit à Wolwich; les essais avant donné, pour un boulet d’une livre lancé par une charge de huit onces de poudre, une vitesse initiale de 1600 pieds anglais, la vitesse initiale d’un boulet de 24 livres, lancé par 8 livres de poudre, ou 198 onces, sera donnée par la proportion 128 = —- :: 1600: x. 2 vs ! D'où æ = 1306 picds. Mais, comme un boulet du poids d'une livre a eu besoin de huit onces de la meilleure poudre ou de la moitié de son poids pour obtenir une vitesse de 1600 pieds, le boulet de 24 demandera 12 livres de poudre pour avoir la même vitesse. On pourrait donc établir le tableau suivant des vitesses initiales communiquées par diverses charges de poudre, en prenant le poids du boulet pour unité. Polds de la Vitesses initiales Poids de la Vitesses initiales poudre. … pieds anglais. pieds franc. poudre. pieds anglais. pieds franc need ss sf 1 511 DOË 75 OO à Lo) 652 toeses sb #19 4806 sis stshs,237 Dh 708 Fos. 100 500 Zussite]x0000 750 27 dde ve 940 515 | À 00e 4e 11 DD 802 ec... 566 531 eh siaertr02É 865 T5 cc. D U04 548 Sidbps. 1012 959 = - Jtv01009 568 Seheleeutiol 106t Fo. 628 589 Bosco :.1306:7y:# 1225 4 6 008 G13 l Eoscsee 1000 1501 7... 682 640 Tes 4 12080 2723 Ces valeurs ne doivent être considérées que comme 35 approximatives; nous verrons plus loin qu'elles ne s’ac- cordent pas complétement avec le résultat des expé- riences exécutées en France. 6. En adoptant les conclusions de Hutton, si l’on dé- signe par V la vitesse initiale, par P le poids du bou- let et par p celui de la poudre, on aura l'expression V = 1600 2E qui donne en pieds anglais la viteste initiale. Le coet- ficient constant 1600 est la vitesse communiquée par une charge de poudre dont le poids est la moitié de celui du boulet. En réduisant 1600 en pieds français ou en mètres, c’est-à-dire en le remplaçant dans la formule par les nombres 1507 pieds ou 487",671. Cette formule donnera en pieds français, ou en mètres, la vitesse initiale. Désignons donc en général par v le coefficient constant, nous aurons Paie En tirant de (a) la valeur. de p on a formule à l’aide de laquelle on peut calculer le poids de la poudre pour fes divers boulets et pour les diffé- rentes vitesses. Par exemple, si l’on demandait le poids de la poudre nécessaire pour communiquer à un boulet de 24 livres une vitesse initiale de 2000 picds anglais, en substituant les nombres aux lettres, on trouve — _ . _ = 18,75 livres. Pour une vitesse initiale de 3000 pieds anglais, la for- mule donne 42 livres; ce qui n’est déjà plus conforme à l'expérience. On ne peut compter sur l'exactitude des résultats que pour des vitesses peu différentes de la vi- tesse normale 1600. 7- Pour trouver théoriquement les grandeurs respec- tives des boulets, de la quantité de poudre et des vitesses initiales, nous exprimerons par la longueur AB de la charge (PL. XIV, Jig. 4). la longueur AE de l’âme de la pièce. le diamètre du boulet. le poids d’un pied cube de la masse du boulet, nr DA l’espace parcouru par un corps dans la première seconde de sa chute w la vitesse initiale. mt la pression de l'air sur une surface d’un pouce Carre, BA n lélasticité de la vapeur de Ia poudre. p le poids du boulet. r la circonférence du cercle dont le diamètre est r. æ la longueur variable AC. La surface d’une sphère étant égale à quaire fois la surface de son grand cercle (Foy. Srnkre), la surface du boulet sera —2rD°; et, par conséquent, la moitié de cette surface sera — xD’. Ainsi, la pression atmo- sphérique sera exprimée par m#rD?, et celle de la va- peur de la poudre par #mrD°. Mais, comme la force de la vapeur de la poudre, d’après la loi de Mariotte, est proportionnelle à sa densité, la farce au dedans de AB est à la force au dedans de AC comme AC : AB. Ainsi, mnarD: æ:a::smnrD?: med ce qui donne la force mouvante dans BC. D’après cela, p_ px désignant par f la force mouvante. De cette expression on tire la formule différentielle 2gmnarD? dx vdv = 9gfdx = à x =) dont l'intégrale est jee . logx+c. logæ étant le logarithme naturel de x, et C üne con- 2 — stante qu’on détermine en faisant x — a et Pb —0; ce qui réduit la formule à ___ 4gmnarD? Fr pv? log, ou v=V pere s log? |. Ainsi, en désignant généralement par À la longueur du cylinäre rempli de poudre , longueur plus grande que a lorsque le boulet ne touche pas la poudre, la vi- tesse avec laquelle le boulet sort du canon sera is AgmnhrD? b v=V Fes . log ; mais comme dans cette portion de temps il décline de 3 X gm, il viendra en »; et si l’on prend les intervalles de la chute = 1:3:5,etc., correspondant de la même manière aux temps 1,2, 3... Il décrira, à travers les espaces cm2, mn, op, pq et gd, dans lesquels il est supposé tomber, les deux branches de la para- bole cod. Pour trouver l'étendue et la hauteur appartenant à un semblable jet, on se sert de l'observation suivante, qui, outre cela, fait mieux connaitre la disposition de la voie. . Soit lancé un corps avec une vitesse initiale = À dans la direction AC (Pc. XIV, fig. 5), qui fait avec l’hori- zou l’angle CAB —%, sa vitesse se décomposera en la ligne horizontale AQ et la ligne verticale QN, dont la première est = À cos.2; l’autre = # sin. La gravité n’agit pas sur la première, et elle deviendra, après le temps ?, AQ — k cos «.t. Mais, la seconde après le temps #, sera diminuée de gF, et ainsi QM=QN—NM = sin «.t— gr. Pour le point B, où le corps lancé retrouve le plan horizontal, on obtient QM = 0; ; ainsi, ksina.t—gt, et __ ksin & D TE BA donc, lorsque AQ devient AB on a AB 2 sin u.cosix Asin 24 £ dé Si l’on cherche le point où QM devient un maximum, en posant dQM = À sin &.dt — 2gtdt = 0, il en résultera he k sin « EE LU 28 c’est-à dire la moitié de ce qu’il est pour le point B. Ceci, substitué à £ dans la valeur de AQ, donne k2 sin &.cos x k2 sin 24 AE = = — === 28 4g Par conséquent, AE — 1AB; et en le substituant dans la valeur de QM, on obtient l'élévation qu’'atteint le jet. k2 sin 2x 4g k2 sin ?« 28 48 De ces équations pour AE et DE, il résulte k coS x AE: — DE, c’est-à-dire que la courbe est une parabole qui a D pour k cos sorimet, et pour paramètre. Le temps {, dans lequel est décrite la partie AM, est = AN _ AQ5e. k k d ainsi, AQ est proportionnel au temps. Mais le temps #, ; e ; AB sec. x jusqu'à ce que le corps arrive en B, est — PT = sue comme on l’a déjà trouvé plus haut. Des valeurs trouvées pour AB (étendue du jet), et DE (hauteur atteinte ), il résulte enfin qu’elles sont toutes deux proportionnelles au carré de la vitesse initiale = À. Mais à des valeurs égales pour 4, DE ou la hau- teur est proportionnelle au carré du sinus de l'angle d'inclinaison , et elle sera par conséquent la plus grande si l'angle estle plus grand possible, c’est-à-dire pour un angle de 90°, ou si le coup est tiré perpendiculaire- ment. L’étendue AE est proportionnelle au sinus de l'angle d'inclinaison double; elle disparait donc quand on a sin? — 0, c’est-à-dire pour « = 0 et — go°. A une projection perpendiculaire ou complétement horizontale, le corps lancé n’atteindra aucune distance étendue. La première proposition est claire en elle- même ; la seconde, qui semble renfermer une contra- diction avec l'expérience, est explicable par-là, qu'il ne peut être question d'aucun mouvement sous le plan hori- zontal. Si l’on suppose, par exemple, la paroi inférieure du canon exactemert dans le plan horizontal ; le boulet, BA en s'échuppant de l'orifice, touchera ce plan; etcomme, d’après les lois de la chute, ïl doit tout aussitôt s’affaisser!, il traversera ce plan, et son mouvement horizontal de- vieudra nécessairement — 0. Mais il y aura lieu à la plus grande distance, si sin2> devient un maximum, c'est-à dire; pour + = 45°; et comme des valeurs égales au-dessus et au-dessous de cette quantité répondent à une valeur égale de sin 2x, la distance étendue du jet diminuera de quantités égales pour des varia- tions égales de l'élévation au - dessus ou au - dessous de 45°. Les formules sont toutes établies pour le cas où l’objet à atteindre est dans un plan horizontal avec le canon. Mais il en résulte que, si l’objet se trouvait à un angle 7 au-dessus ou au-dessous de ce plan, l'angle d’éléva- tion appartenant au jet le plas étendu serait dans le pre- = 45 + 5 y, et dans le second = 45° — © y. mier cas — 45 Eclaircissons ceci par un exemple. Si nous prenous la vitesse initiale À — 2000 pieds, l'angle d’élévation a — 45°, nous aurous la hauteur atteinte 4000000 sin? 4 et, pour g pris = 16 pieds de Londres, DE = 312507 DE pieds , on aura de même 4000000 ER AB = 125000 pieds. Bien que ces formules ne comportent point d’appli- cation pratique , elles répondent néanmoins encore aux deux questions suivantes qui y ont rapport . d’abord, dans quel angle faut-il qu’un canon soit incliné pour, avec une vitesse initiaie donnée, atteindre un objet à une distance donnée? Et secondement quelle doit être la vitesse initiale pour atteindre un obiet placé à une distance donnée, et avec un angle d’élévation donné du canon ? L'on répond facilement aux deux questions à l’aide de la formule re A3 sin 24 26 donnée plus haut , d’où l’on tire sin9æ — es et + / AB .2g GE sin 2x Si l’on devait atteindre un objet à une distance de 10,000 pieds, et avec une vitesse initiale de 2000 pieds, il faudrait donc un angle d’élévation de °° F 9" 2" ou de 87° 50° 55” 55", Si au contraire l'objet à attein- dre étant à cette même distance, l'angle d’élévation BA 205 était de 45°, la vitesse initiale ne serait que 5477 pieds en une seconde, 35. Telle simple que soit la construction de la courbe que décrit un boulet lancé dans l’espace vide, aussi impossible est-il de la trouver tout-à-fait exactement, eu égard à la résistance que présente l’air, attendu que l'équation différentielle exigée ici n’est pas intégrale, d’après les moyens fournis jusqu’à présent par l'analyse. Il y a long-temps déjà que J. Bernouilli, Hermann et Taylor cherchèrent une solution générale de ce pro- blème. Au nombre des recherches les plus savantes il faut ranger les observations de L. Euler sur l'ouvrage de Robins : Nouveaux principes d'artillerie, dans lesquelles il calcule la résistance d’après une loi propre adoptée. Graevenitz a, d'après cela, dressé des Tables pour l'usage pratique. Newton, qui trouva déjà que l’équa- tion différentielle pour ces propositions n’était pas inté- grable, chercha à la résoudre par approximation, et trouva par ce moyen que la courbe ressemble plus à une hyperbole qu'a une parabole, résultat auquel, d’après lui, sont revenus plusieurs autres géomètres. Lambert aussi chercha une solution de ce problème, et essaya d’en faire une application pratique à l'artillerie. I] faut compter parmi les recherches les plus importantes a ce sujet celles de Borda, qui tenta en même temps de découvrir, par des expériences particulières, la loi de la résistance de l'air. Par des calculs étendus, il trouva pour un boulet de 24 livres, d’un diamètre de 5,444 pouces de Paris, et un angle d’élévation du canon de 45°, les quantités suivantes : a ——— , a ————_—_—_ ——_—__— Vitesse DisTANCEs Disraxces Havreurs initiale. dans le vide, dans l'air, atteintes. Pieds français Toises. Toises. Toises. 100 55 13 ‘ 200 221 53 400 883 170 6oo 1987 306 800 3532 442 1000 5519 57o 1200 7947 635 1500 12417 839 1800 17981 975 2100 24338 1095 2400 31758 1203 2700 40232 1292 3000 49669 1407 3500 67605 1525 Dans une expérience avec un boulet de 24 livres, la charge étant de 16 livres, et l'angle d’élévation de 45°, le boulet parcourut une distance de 2250 toises, qui appartient, d'après la table, à une vitesse initiale de 2038 pieds. 206 BA Pour les angles d’élévation, qui appartiennent au jet lezplus étendu, le calcul donne les valeurs suivantes : ANGLES d'élévation. VITESSE initiale. Pieds francais, (LED 2 I 2 SRE EE 2 D en | ce A Ce RE 300 ka? 10 Goo 36 30 1000 33 o 1200 31 40 ; 1500 30 10 1800 28 5o 2000 28 10 Quelques expériences faites à Brest par Borda avec un boulet de 6 livres et une charge de 3 livres de poudre, donnèrent, à un angle d’élévation de 45°, une distance de 1590 toises, et pour 30°, 1700 toises. La première distance, d’après la table, appartient à une vitesse initiale de 2050 pieds; et si, pour cette vitesse initiale, on cherche la distance, pour un angle d’élévation de 30°, on obtient 1715 toises, ce qui coïn- cide avec l'expérience, au-dessus de ce que l’on pouvait espérer, et prouve la certitude des formules de Borda. 36. Des recherches assez savantes, mais pas assez ap- plicables à la pratique, et insuffisantes d’ailleurs sur le trajet du boulet au milieu de la résistance, ont été teutées par Bezout. Ces recherches, ainsi que les travaux faits auparavant par Euler et par Lambert, furent mises à profit par Kraft; il prit pour base le principe de New- ton, d’une résistance de l'air proportionnelle au carré de la vitesse, développa les formules trouvées par Bezout, mais non achevées par lui, et calcula des tables qui, malgré cela, sont toujours trop restreintes, pour l'usage pratique, ainsi qu'il l’avoue lui-même. Plus tard, la question de balistique, proposée pour sujet du prix par l’Académie des sciences de Berlin, engagea Legendre à se livrer à de nouvelles recherches sur la courbe que doit décrire un corps lancé sous un angle d’inclinaison avec l'horizon, pris à volonté. Pour une résistance proportionnelle au carré de la vitesse dans un milieu d’égale densité, il trouva que la courbe s’approche beaucoup d’une hyperbole qui a deux asymptotes : l’une dans un plus grand angle avec l'horizon, comme est l'angle d'inclinaison du canon; l'autre perpendiculaire. Le calcul étendu , par lequel on trouve les nombres isolés, rend malheureusement cette solution impraticable pour l'usage ordinaire, et Legendre l'avoue lui-même. On peut en dire autant de l’expé- rience qui teud à faire trouver les deux bras de cette courbe hyperbolique, lun s’élevant, l’autre s’abaissant, chacun isolément, par approximation, et il reste tou- jours à demander jusqu’à quel point les résultats de ces BA recherches théoriques concorderaient avec l'expérience, tant de conditions diverses étant mises en avant. 37. T'empelhof s'occupa simultanément de ces recher- ches, et le plus amplement pour ce qui concerne la balistique; il essaya aussi de déterminer la courbe que décrivent des boulets et des bombes en tenant compte de la résistance de l'air, Kraft reprit de nou- veau ce problème, principalement dans le butde trouver l'angle d’élévation du jet le plus étendu ; il pose la résis tance de l'air proportionnelle au carré de la vitesse, et n'introduit qu'un coefficient pour les grandeurs des boulets, parce que, d’après Robins, la résistance avec de petits boulets a été trouvée moindre qu'avec les plus grands. Le calcul donne : que dans l’espace vide un angle d’élévation = 45° appartient à la plus grande étendue, mais que dans le milieu résistant, la grandeur de l’angle est en rapport inverse de la vitesse initiale, puisque , pour une vitesse infinie, il faudrait que cet angle devint = o. Pour la coustruction des tables de l'angle d’élévation du jet le plus étendu, il faut surtout connaître la loi de la résistance (qui est admise comme proportionnelle au carré de la vitesse, d’après Newton, Robins et Lambert); la vitesse ini- tiale, le poids et le calibre du boulet ou de la bombe : Le calcul donne pour un boulet de 24 livres avec une vitesse initiale de 1884 pieds, dans l’espace vide, une portée de 113583 pieds, et dans l'air, seulement une portée de 14603 pieds; ce dernier nombre est encore trop grand, d’après ce que nous savons par l'expé- rience. 38. Moreau à publié ( Journal de l'Ecole poly- technique, cahier IT), un beau travail sur ce su jet. D'abord, par un calcul élégant, il établit la carrière du boulet dans le vide, montre qu’elle est une parabole, et qu’un angle d’élévation de 45° doit donner la plus grande distance du jet; chaque quantité, égale au-dessus ou au-dessous de ce nombre, donne des diminutions égales de chaque étendue du jet. Toute- fois, il ne trouve pas non plus l’équation générale inté- grable pour le trajet du boulet, en tenant compte de la résistance de l'air, et il la détermine par approximation dans ses parties isolées. Il remarque, en outre, que quand même on voudrait, d’après cette méthode, dres- ser des tables pour l'emploi pratique, la quantité prin- cipale nécessaire pour cela, ainsi que la vitesse initiale, éprouverait trop de modifications par la qualité inégale de la poudre, et beaucoup d’autres influences, pour pouvoir arriver à une conclusion certaine et rigoureuse. Pour donner un exemple de l'emploi de ses formules, dans lesquelles il pose pour base l'hypothèse d’une ré- sistance proportionnelle au carré de la vitesse, il trouve pour un boulet de 24 livres à uu angle d’élévation de 45°, la hauteur du jet—1668 ", 86; sa distance —3:08 w; BA ja durée de l'élévation = 14" 94; celle de l’abaissement = 21” 03. Dans le vide, au contraire, on aura pour la hauteur du jet 5941", 4; la distance 23765 "6, et la durée du mouvement 97" 7. 39. Au milieu de toutes ces difficultés iasurmontables pour obtenir une solution complète du problème de la balistique, les meilleurs résultats, les plus applicables, se tirent des méthodes d’approximation de Hutton. ® Celui-ci aussi admet que le trajet du boulet est com- posé de deux branches hyperboliques différentes, AV, VC(Pz. XIV, fig. 9), avec des asymptotes ED, FG, dont l’une a une plus grande inclinaison vers l'horizon que le canon, et dont l’autre est perpendiculaire. D'a- près cela, l'angle d’élévation appartenant à la plus grande distance; ne pourra pas être — 45°; dernier appartient à la plus petite vitesse et au plus grand boulet, et il décroît insensiblement, à mesure mais ce que la vitesse augmente et que le boulet diminue, tan- dis que la résistance de l’air croît proportionnellement à cette dernière quantité. Il en résulte qu'une fixation exacte du jet le plus étendu ne rentre pas dans les limites de Panalyse. En attendant, on peut mettre à profit les découvertes suivantes, au moins par approximalion, faites par Newton, Robins, Euler, Robison. 40. D'abord, par les résultats des expériences expo: sées plus haut sur la résistance que rencontre un boulet d’une grosseur donnée , avec une vitesse donnée à travers atmosphère, on peut calculer par quelle vitesse finale —v; la résistance atteint son maximum, et quand le mouvement passera d’une vitesse accélérée à une vitesse uniforme. Appelons P Je poids du boulet de fer en livres, D son diamètre en pouces, V la vitesse fi- nale, H la hauteur dont le boulet doit être tombé dans l’espace vide, pour atteindre cette vitesse; enfin T le temps de la chute libre à laquelle cette hauteur appar- tient; la table suivante donne un aperçu des valeurs qui se correspondent les unes aux autres. E D v H TL 1 1,923 247 948 772 2 2,423 279 1193 8,06 3 2,773 297 1371 9,28 4 3,053 311 1503 9,72 6 3,494 333 1724 10,41 9 4,000 356 1070 11,12 12 4.403 354 2174 11,09 18 5,040 400 2488 12,50 24 5,546 419 2729 13,09 32 6,106 440 3010 19,72 36 6,550 449 3134 14.03 42 6,684 461 3304 14,37 48 6,958 470 3444 14,07 Les quantités P, D, Het T se donnent d'elles-mèmes BA 20? dans cette table, Quant à la quantité V, Hutton latrouve de la manière suivante, Avec un boulet d’un diamètre de 1,965 pouces anglais, le coefficient de la résistance dans la chute où la vitesse atteint son maximum, a été trouvé — 0,000016865. Si l’on pose maintenant la résistance comme proportionnelle au carré de la vitesse, on a 0000016865 V? — P. Mais le poids de ce boulet était 1,05 0,000016865 d’où l'on trouve V — 249.52. Le poids des boulets — 1,05 livres, par conséquent V? — 2 ? croissant comme le cube de leur diamètre, et la résis- tance comme le carré, l’on obtient pour un boulet d’un diamètre quelconque Pour trouver, au moyen de cette table, l'angle d’élévation appartenant au plus grand jet, et l’éten- due du jet elle-même, Hutton nous donne une autre table, où w : » désigne le quotient qu’on obtient en divisant la vitesse initiale par la vitesse finale, et 2 le facteur qui y appartient, par lequel la plus grande hauteur doit être multipliée pour obtenir l'étendue du jet, ANGLE D'ÉLÉVATION. m 0,6910 44,0 0,4110 0,944 43 15 0,0148 1,1980 42 30 0,9170 1,4515 41 45 1,0210 1,700 41 0 1,2244 1,9585 4o 15 1,4278 2,2120 39 30 1,021 2,4655 38 45 1,8346 2,7190 58 0 2,0379 2,972 57 LMIO 22419 3,2260 36 30 2,4447 3,4705 35 45 2,648 3,7330 39 o 2,8915 3,980 34 15 3,0549 4,2400 33490; 3,25593 44935 32 |45 3,4616 4,7470 92 0 3,6650 5,0000 PME 3,8684 A l'aide de ces tables on peut facilement, et par une simple interpollation, obtenir les quantités inter- médiaires. Veut-on savoir, par exemple, à quel augle d’élévation un boulet de 24 livres, avec 1640 pieds de vitesse initiale, atteint la plus grande distance? La première table donne la vitesse finale d’un boulet de 24 livres = 419 pieds et la hauteur de la chute libre qui appartient à cette vitesse finale — 2729 pieds. Les deux vitesses divisées l’une par l'autre, daunent y" : V= 3,92 comme argument, lequel on 208 BA cherche dans la seconde table ; le nombre semblable le plus proche dans cette table indique l'angle d'é- lévation = 34° 15’. Si on le prend, sans interpollation, à cause du peu de différence, le facteur 3,0549 = m lui appartiendra; d’où 2729 X 3,0549 — 8336 pieds, est la plus grande distance du jet. 41. Il n’est pas sans intérêt de comparer à ceci les résultats obtenus, d’après Bezout, dans des expériences faites à La Fère en 1740 et 1741. Elles furent exécutées avec une pièce de 24, le boulet avait 5,1 pouces de diamètre, et elle était chargée avec 8,4 livres de poudre. On obtint les résultats suivans : a ————_—_—_—_—— AxGues | Disrances | Temps | Anczes | Disrances | Temrs d'élév. [en pieds fr.|en secondes] d'éev. |en pieds fr.|en secondes 52 5520 11706 | 32,80 10 7392 13098 | 34,00 15 9600 12348 | 34,00 20 10356 11556 | 36,00 25 10830 9986 | 43,50 30 10944 7410 | 46,00 35 11286 5394 | 48,75 On voit immediatement que les distances du jet obte- nues ici sont bien différentes de celles que les calculs pourraient donner; mais on doit remarquer que les élé- mens de la dernière table, que Hutton emprunte à Ro- bison , sont pris d'expériences faites avec de plus petits boulets, et qu’il existe de plus une foule de circonstan- ces qui peuvent aisément produire des aberrations im- portantes. Les distances trouvées par ces dernières expériences paraissent sans doute très-grandes , cependant les quan- tités obtenues ainsi par le calcul sont-elles encore vrai- semblablement trop petites de beaucoup. Les expé- riences faites par Bezout avec les quantités que Borda avait calculées d’après ses formules, présentent plus de concordance. Voici les résultats : ELU ViTessEes ANGLES D'ÉLÉV. Disrances Disraxces initiales, du jet du jet. du jet le plus étendu. sous l’éley. de 45°, —————_——, ————— | ee 600 D LD: 6210 Gr20 700 36 20 7350 7155 300 939 20 8430 8190 900 4 35 9456 9108 1000 332 55 10434 9954 1100 3310 920 11304 10755 Les plus grandes distances furent obtenues dans les expériences faites à Strasbourg, en 1740, d’après D’Arcv, avec une pièce de 24, sous un angle d’élévation de 45°, et l'emploi qu’on y fit de boulets polis et de poudre BA passée au tamis, ne fut certes pas sans influence : de plus, on avait fixé les canons si solidement qu’ils ne pou- vaient pas reculer. Mais ce qui frappe le plus, c’est que dans les deux séries d'expériences, les plus petites et les plus grandes quantités de poudre donnèrent les plus grandes portées pour le coup tiré. On obtint les résul- tats suivans : ——————————— ] LE 31 AOoUT. LE 11 sEPTEMPRRE, EE Charges. Distances. Charges. Distances. a livres. pieds.|| livres. 8 13068 24 9 14100 18 10 14100 16 11 12462 15 12 13596 14 13 14610 13 14 13800 12 12 14520 2 16 14700 10 18 13380 9 24 13200 8 42. D’après la Afartillière, pour tous les calibres, un angle d’élévation de 35° et une charge de + du poids du boulet donnent la plus grande distance, qui est, pour une pièce de 24, 14088 pieds français; mais la vitesse initiale n'y est que de 642 pieds, quantité qui est évi- demment donnée trop petite par le calcul. Les portées des plus petits fusils, quoiqu’avec des balles de plomb, sont relativement plus faibles, parce que la vitesse initiale est plus petite, et que la résistance del’air est plus grande. Les expériences exactes d’Antoni, donnèrent, en moyenne de deux séries d'expériences corrélatives, les valeurs suivantes : 1°. Avec une carabine de ? pouces de calibre, les balles étant de ? d’once; © ——— —_—"—— VITESSE ANGLES PORTÉES PorTÉES initiale. d’élévation. des coups. dans le vide, > ————— 19, 0 1590 35410 1160 DE O 1662 53115 45, o 1584 7o821 >. Avec un fusil d'infanterie d’un pouce de calibre, et avec des balles de -; d’once. ViTEssE ANGLES PorTÉES Portes initiale. d'élévation. des coups. dans le vide. ———————— | —— ms 2 1689 13059 15, 00 2310 >-018 1030 ? 2r/ HE 24, 20 2504 41577 45; Mc 2090 55636 BA 43: De Morla a publié beaucoup d'observations sur la portée de la grosse artillerie : de ces observations les plus importautes sont, sans contredit, celles résultant de nombreuses expériences faites en 1784 à Barcelonne. Elles donnent ponr moyenne : a ———_—_—_—_—__—_]_——— aa | CANON DE 24. Caxow De 16. ef ——— — ANGLES d'élévation. | Charges. Portées. Charges. Portéees. livres. pieds. livres __ pite 12950 10 9795 10, 3 5592 10 9 7296 6 7972 9 10 5686 10, 3 75372 9 9 7506 6 6870 6 12 6120 8 5646 5 9 5286 6 5202 3 12 3942 5 3912 5 ( 3870 6 3828 o | 12 348 8 315 44. 1l est rare de chercher la distance du jet par l'arc qu'il décrit avec la direction première du boulet, on le fait généralement pour les bombes, avec lesquelles il est plus facile d’atteindre une plus grande distance. Hutton employa aussi, pour ces dernières, le sys- tème de calcul que nous avons exposé. Ainsi D, set H conservant leur signification; appelons de plus le diamètre du mortier D'; le poids de la bombe vide p; le poids de la bombe remplie p'; le poids d’un boulet de canon d’une égale grosseur p”; les valeurs suivantes seront corrélatives. D D‘ P P' P'" 0 H ne —— a 4,53 4,6 8,3 9,0 12,75 318 1580 5,72 5,8 16,7 18,0 25,50 356 1980 7,90 8,0 43,8 47,9 67,00 420 2756 9:34 10,0 85,5 91,9 | 130,00 468 3422 12,80 13,0 187,8 201,0 | 286,00 534 4430 La manière dont on trouve les quantités d’après cette table ne présente aucune difficulté. Les valeurs de V sont données comme il suit : le rapport d’une bombe pleine avec un boulet d’une grosseur égale est 1 : d’après cela, la formule du numéro 40 V=i:8VD; donne pour la bombe, L 142 L'emploi de cette table est aussi simple. Qu'on lance, par exemple, une bombe de 13 pouces avec une vitesse initiale de 2000 pieds (la plus grande qu’on puisse at- teindre d’après Hutton), on aura ; v = 534; ct ——=—— v BA 209 ce qui dans la table {{0) répond à un angle d'élévation I (4 F 6 nr0o de 35° 0°. Le nombre voisin m — 2,8515 multiplié par le nombre qu'on trouve dans la première table, sous H— 4430, donne 12632 pieds pour la plus grande dis- tance du jet. É Hutton reconnait lui-même que les Français, nom- mément au siége de Cadix, lancèrent des bombes beau- coup plus loin, en ce qu’ils recoururent au moyen de : les remplir avec du plomb, de sorte qu’elles purent être ! lancées à une plus grande distance que des boulets de canon de fer massif. Veut-on appliquer cette res- source de manière à en faire une loi générale ? Soit alors le poids du boulet de fer = p, un boulet d’une autre masse = p', et D = q; d'où nous aurons la vitesse v = 178 V?. Ceci admis, pour le cas présent, le diamètre du creux finale d'une bombe de 13 pouces est — 9 pouces. Un boulet de plomb de ce diamètre pèse 139,3 livres; à cela joi- gnez le poids de la bombe même — 187,8 livres, en- semble 327 livres = p'; le poids d’un boulet de fer de grandeur égale — 286 = p, et … = 0,8783 — g. Mais comme D est = 12,8 pouces, on aura v = 178 AE — 680 , et À — Po = 7235 + (la hauteur de la chute g — 16 pieds anglais) Si l’on à v' = 2000 pieds, on aura nombre qui, dans la table, donne par interpollation l'angle d’élévation = 37° 20', qui répond à une va- leur de »1 — 2,2153. La plus grande distance du jet est donc 7225 X 2,2153 = 16005 pieds. 45. Ni la théorie ni l'expérience n’ont donc pu nous faire connaître encore la hauteur et la distance que peuvent atteindre des boulets ou des bombes lancés sous un angle à volonté. Cependant l’une et l’autre nous apprennent que des boulets d'une égale force, sous le même angle d'élévation, et avec des vitesses proportionnelles à la racine carrée de leur diamètre, décrivent des courbes semblables, résultat que Borda avait déjà trouvé, Le calcul des expériences étendues de Woolwich , pour un angle d’élévation de 45°, qui, d'après la théo- rie, appartient au jet le plus étendu, et ayec un boulet 27 210 BA de 24 livres, donne les résultats réunis dans la table sui- vante, dans laquelle v’ représente la vitesse initiale ; sv la distance du jet dans Pespace vide, ww cette dis- tance dans l'air d’une égale densité, et ww" cette même distance, en ayant égard à la diminution de la densité de Pair, et À la hauteur atteinte; toutes ces quantités en pieds anglais. y’ w w” a! k ee me 200 1249 960 990 300 400 4966 3000 3057 900 600 11103 4173 4257 1200 500 19890 5oGt 5157 1392 1000 31186 5520 5634 154 1200 44766 5802 5934 1683 1400 60930 6234 6387 1818 1600 79584 6618 679% 1090 1800 100722 6078 7173 2082 2000 124350 7314 7530 2914 2200 150405 766 7806 2334 2400 170164 7920 5175 2448 2600 210150 5202 84069 2556 2800 243723 8481 8548 2661 3000 270780 8745 9006 2706 3200 318333 5982 9220 2088 L'emploi de cette table est facile. Supposons que nous avons à ‘déterminer l'étendue du jet et la hauteur qu'atteint un boulet de 12 livres lancé sous l'angle d’é- lévation de 45° sur l'horizon, et avec 1600 pieds de Vitesse initiale, on obtiendra la vitesse correspondante du boulet de 24 livres par la proportion suivante : les Ulinméétél des deux sont 5,546 et 4,403 pouces; et attendu que les courbes qu’ils décrivent sont semblables quand les vitesses sont entre elles comme les racine car- rées des diamètres, on a V/ 4403 : V/5,546 = 1600 : X; ainsi, X = 1706. Pour cette vitesse, cherchant la dis- c tance et la hauteur, par interpollation, dans la table précéderte, on trouve 7158 et 2076 pieds; par con- séquent l'on a Il 7158 : 5682 2076 : 1647, ainsi, 5682 pieds sera la distance du jet, et 1647 pieds, la hauteur atteinte. Veut-oritrouver ces deux quantités pour des bombes, il faut en même temps tenir compte du poids différent d'après la méthode donnée. S'il faut trouver, par exem- ple , les deux quantités pour une bombe de 13 pouces, lancée avec une vitesse initiale de 2000 pieds, on a V/ 12,8 2 vitesse initiale appartenant au boulet de 24 livres, V/5,546 = 2000 : 1317, j| BA mais, comme pour des corps de grandeurs différentes et de poids différens, d’après les règles posées plus haut, les vitesses sont généralement dans la proportion de ou, s'il faut seulement avoir égard au poids plus faible des bombes pleines qu'a celui des boulets également grands dans le rapport 1 : 1,42; on a I 1,42? 178 : 178 ou 178 : 149,4 ; ainsi la vitesse réduite est 149,4 1317 X 187 — F = 1109, A cette valeur appartiennent dans la table précédente, par interpollation, 5500 et 1617 : par conséquent l’on a 5,546: 12,8 = 5700 : 13365 — la distance du jet, 5,546 : 19,8 — 1619: 3732 — la plus grande hauteur. 11 faudrait calculer une table semblable pour chaque angle d’élévation, si l’on osait considérer les tables don- nées ci-dessus comme parfaitement concordantes avec l'expérience. 46. Dans les équations,les résultats desexpériences ten- tées à La Fère par Bezout, peuvent aussi servim pour les bombes. Une bombe, pesant 142 livres, ayant un dia- mètre de 11 pouces 10 lignes , et lancée avec 3,95 livres de poudre, donna les vileurs corrélatives suivantes, {v' désignant la distance du jet en pieds françäis, et £ le temps du mouvement en secondes. Ang. d'élev. sw” t Angl. d'elév. ww" € 10° 1434 4,00 45° 3090 | 15,2 0 2484 7,33 50 2082 | 16,0 30 2904 | 10,75 Go 2682 | 10,3 -. 40 3408 | 14,06 70 1986 | 28,0 43 3144 | 14,00 | 75 1620 | 22,0 47. D'après Morla, les expériences les plus récentes, des plus grandes distances du jet, obtenues avec des mortiers de mer anglais, donnent les résultats suivans corrélatifs. Bouses DE 13 roucEs. BomBes DE 10 POUCES. [l L EE — Charges. | Temps du jet.| Distance. | Charges. [Temps du jet.|Distanc. | ET) ME SEMEENT MEME ms ne liv p!| liv. Fr 10 15,0 | 19381: | : 4 29255 | 5650 15 10,2 9018 6 23,0 1,1 .6090 20 25.0 9900 | 8 9330 5400 25 26,5 [109230 | 9 24,95 6000 28 27,5 [11380 |! “10 >5,0 6600 50 20,0 12000 | 11 25,5 10020 30 29,5 13039 À 12 20,0 10200 ue mp BA Il est difficile d'espérer des développemens impor- tans et des améliorations dans l'artillerie à moins d’em- ployer la vapeur, que déjà Papin et Vauban avaient mise en avant. Il est probable aussi qu’on ne pourra attendre d'aucun mélange faisant explosion, de plus grands effets que ceux obtenus avec la poudre à tirer, lors- qu’elle est composée et mélangée avec toute la per- fection dont elle est susceptible. Notre célèbre Lagrange s'est occupé du problème fondamental de la balistique, et plusieurs formules re- latives au mouvement des boulets dans l'intérieur des canons, ont été extraites de ses manuscrits par M. Pois- son, et insérées dans le 21° cahier du Journal de l'École polytechnique , auquel nous renvoyons nos lecteurs. La longueur de cet article nous force également à passer sous silence de nouvelles expériences faites récemment en Angleterre ; on les trouve décrites en détail dans les voyages de M. Charles Dupin. BANDES pe Juriter Er DE SATURNE (A4str.). Ce sont des zones obscures qui paraissent entourer ces planètes et faire partie de leurs disques. Ces bandes ne présentent pas toujours le même aspect; leurs grandeurs et leurs positions changent , mais jamais leur direction générale. Une longue suite d'observations sur les bandes de Jupi- ter ont fait connaitre que cette planète tourne autour d’un axe perpendiculaire à leur direction, dans la très- courtepériodede gb 55". D'après les lois dela gravitation, un mouvement si rapide de rotation devait influer d’une manière majeure sur la forme de la planète, et c’est ce qu’en effet les observations démontrent clairement. Jupiter est un élipsoïde très-aplati vers les poles; le rapport de ses diamètres équatorial et polaire est égal à 107: 100, exactement le même que celui que donne la théorie pour des circonstances semblables de dimen- sion et de durée de rotation. La fig. 2, PL. XVIII, re- présente Jupiter tel qu’on l’a observé à Slough, le 23 sep- tembre 1832, avec un réflecteur de 20 pieds. Les bandes de Saturne sont plus larges et-moins ap- parentes; elles sont parallèles au plan de l'anneau. (Foy. Pr. XVIII, Jig. 5.) C’est aussi par leur moyen qu'on a appris que la durée de la rotation de cette sin- gulière planète est de 10 ?- 18’. Herschel suppose que les bandes de Jupiter et de Saturne subsistent dans les atmosphères de ces planètes et qu’elles n’en sont que des parties plus transparentes, au travers desquelles on entrevoit les corps mêmes des planètes. Il les attribue à des courans analogues à nos vents alisés, Huygens aperçut aussi une espèce de bande sur le disque de Mars ; mais elle n’a pas été revue depuis. La fig. 1 de la Pr, X VII représente l'aspect de Mars tel qu’on l’ob- serve avec les meilleurs télescopes. BAROMÈTRE (de £apos, poids, et xnrpor, mesure.). Instrument pour mesurer le poids de l'atmosphère, et BA 241 déterminer ses variations. L'origine de cet instrument remonte à la célèbre expérience de Toricelli, par la- quelle ce physicien démontra le premier la pesanteur de l'air (Foy. Air.). Il se compose d’un tube de verre d’en- viron un mètre de longueur et de 5 à 6 millimètres de diamètre; ce tube, rempli de mercure coulant bien pu- rifié, est fermé hermétiquement à l’une de ses extrémi- tés, tandis que l’autre qui est ouverte plonge dans une cuvette, pleine de mercure ou se recourbe en forme de fiole. L'air agissant par sa pression sur la fiole ou la cuvette tient le mercure élevé dans le tube à la hau- teur moyenne de 56 centimètres. Une échelle divisée en pouces, ou en centimètres, placée le long du tube, fait connaitre les variations de cette hauteur moyenne, auxquelles correspondent autant de variations dans l'état de l'atmosphère. Nous avors exposé à l’article AvrimÉrRiEe l’application du baromètre à la mesure des hauteurs. Voyez notre DicrionnaiRE DE PHYSIQUE pour la construction de cet instrument et ses divers usages dans les sciences physiques. BAROSCOPE. Nom donné au baromètre par quel- ques physiciens. Ce mot, qui est dérivé de Bapos, pe- santeur, et de cxersw , je vois, n’est plus en usage. BARROW (Isaac), géomètre célèbre, né à Londres en 1630, monira dès j'enfance autant d'aptitude que d’ardeur pour toutes les connaissances qui exigent des études sérieuses et approfondies. Il affectionna spéciale- ment celles des langues, de la théologie et des mathé- matiques, dans lesquelles il ne tarda pas à se distin- guer. Jeune encore, il se mit sur les rangs pour obtenir la chaire de grec à l’université de Cambridge, mais la révolution anglaise’ était alors dans sa période la plus intense de ferveur religieuse et de sombre intolérance. Soupçonné de faire partie d’une secte dissidente, celle des Arméniens, Barrow vit ses prétentions repoussées par l'influence des fanatiques qui disposaient des liber- tés et de la fortune de l’Angleterre. Il s’expatria volon- tairement , voyagea quelque temps en Europe, et alla se fixer à Constantinople où l’appelait son goût pour les lan- gues orientales. En 1660, Isaac Barrow revint en Angle- terre, et il entra en possession de la chaire, qui d’abord, ! lui avait été refusée. IL n’occupa cette place que durant! deux années, et il la quitta pour professer la géométrie au collége de Gresham, À cette époque, néanmoins, le chevalier Lucas ayant fondé une chaire pour cette science à l’université de Cambridge, il fut choisi pour la remplir, et il rentra avec joie dans le sein de cette école célèbre, témoin de ses premiers travaux et de ses premiers succès. Ce fut la qu’il dicta ses Lecons de géo- métrie et d'optique, qui furent imprimées quelques années après, mais qui lui méritèrent dès-lors un rang distingué parmi les plus savans mathématiciens de son temps. Au nombre de ccux qui suivaicut ses cours, 919 BA avec assiduité, il y avait à Cambridyre un jeune homme, solitaire et studieux, qui débutait alors dans la géomé- rie avec ces hautes dispositions qui révèlent aussitôt un maitre à la science. Barrow eut le bonheur de deviner le génie de cet étudiant, génie sublime et fécond, qui devait un jour éclairer l'univers; et pour l’attacher à l'Université, dont il prévoyait qu’il serait la gloire, il descendit de sa chaire où il le fit monter à sa place. Ce jeune homme était Isaac Newton! Les travaux de Barrow, comme ceux de son illustre contemporain Wallis, doivent être comptés au nombre des plus heureux efforts qui aient été faits, avant ceux de l’immortel créateur de la mécanique céleste, en fa- veur des progrès de la géométrie. Les Lectiones geome- tricæ de ce savant professeur forment, en effet, un ouvrage remarquable et rempli de recherches profondes sur la dimension et la propriété des figures curvilignes. On y admire surtout sa belle méthode des tangentes, qu'il n’est pas inpossible d'appliquer aux expressions irrationnelles. Mais les théorèmes nouveaux et curieux qu’il a exposés dans cet ouvrage ne constituent pas, comme on l’a avancé plusieurs fois, même les premiers germes du calcul différentiel, dont nous exposerons ailleurs la véritable origine. F’oyez Carcuz DiFRÉRES- TIEL. Les Lectiones opticæ , qu’on doit également à cet homme célèbre, renferment une foule de propositions d'optique du plus haut intérêt, et auxquelles il appliqua la géomé- trieavec une élégance dont on trouve peu d'exemples. Barrow s’attacha dans cet ouvrage à exposer une théorie nouvelle des foyers des verres formés de différentes convexités ou concavités, combinées d’une manière quelconque. Avant lui, les opticiens ne déterminaient les foyers de ces sortes de verres, que par l'expérience. Barrow donne dans son ouvrage une solution com- plète de ces problèmes, et propose une formule pour déterminer ces concours dans tous les cas des rayons incidens, parallèles, convergens ou divergens. Il fit fréquemment usage, dans ses leçons d'optique, d'un principe nouveau sur le lieu apparent de l'image des objets vus par réflexion ou par réfraction. Nous nous , bornons à indiquer ici la pensée première des travaux Iscientifiques d'Isaac Barrow : elle suffit en effet pour honorer sa mémoire, et justifier la célébrité dont il a joui. Voyez Orrique. Isaac Barrow se livra dès-lors à l'étude de la théo- logie: il ne tarda pas à se distinguer dans cette Faculté, etil y parvint en peu de temps au grade de docteur. Le célèbre et savant docteur Tillotson se fit, en 1613, l'éditeur de ses sermons et de ses œuvres théologiques. Néanmoins l’ancien professeur de mathématiques, qui avait été un moment le maitre de Newton, ne renonça pas entièrement à la science dont il avaitillustré l'étude, BA et il publia successivement divers travaux sur les géo- mètres de l’antiquité. On sait que ce savant était fort attaché au parti de la royauté. La restauration parut un moment l'oublier, et il en manifesta sa mauvaise hu- meur dans un distique latin, qui lui fut une recomman- dation plus puissante que son talent et sa fidélité à Charles IT, car il fut promu à la place, si honorable en Angleterre, de chancelier de l’université de Cambridge. Ce fut là qu'il mourut, le 4 mars 1677, dans un âge peu avancé , et dans des sentimens philosophiques dignes de sa haute raison. 11 vit approcher la mort avec une sorte de joie, car, disait-il aux amis qui environnaient son lit de douleurs : « Je vais enfin apprendre dans le sein de la Divinité la solution de beaucoup de problèmes de géoméirie et d'astronomie... O Seigneur! quel géomètre tu es! » Barrow futenterré à Westminster, où ses amis lui ont fait élever un monument. Ses écrits sont remar- quables par ure concision qui ne nuit point à leur clarté. Voici les divers titres de ceux qu’il a publiés, et qui intéressent plus spécialement les sciences mathéma- tiques. I. Zectiones oplicæ et geometricæ, in quibus phænomenon opticorum genuinæ rationes inveskgantur ac exponuntur, et generalia curvarum linearum symp- tomata declarantur. Londres, 1674, in-4°. II. Archi- medis opera, Apollon Pergæi, conicorum libri IV, Theodosi spherica, methodo nova illustrata et suc- inctè demonstrata. Londres, 1675, 1 vol. in-4°. III. ÆEuclidis elementorum libri XV, breviter desmons- trati. Londres, in-12, 1659-1658. A Ja suite de cette dernière édition on trouve une leçon de Barrow sur les théorèmes d’Archimède, concernant la sphère et le cylindre, exposée par la méthode des indivisibles. IV. Et enfin: Issacr Bannow mathematicæ, professoris Lucasiani, lectiones habitæ in scholis publicis Acade- miæ Cantobrigiencis. Londres, 1684, 1 vol. in-12. BASE (Gcom.). (De Bus:s, fondement, appui.) Partie la plus basse d’une figure, ou celle qui est opposée au sommel. On peut prendre indifféremment pour base d’un triangle un quelconque de ses côtés, et alors son sommet est celui de l’angle opposé à ce côté : cependant on prend assez ordinairement l’Aypothénuse pour base dans les triangles rectangles, et le côté inégal aux deux autres pour base dans les triangles isocèles. La pase d’un cylindre cest l’une quelconque deses sur- faces planes. La vase d'une pyramide est le polygone sur lequel elle est construite. La n4sE d’un cône est également le cercle sur lequel il est construit. La pase d’une section conique est la ligne droite que forme l'intersection du plan coupant avec la base du cône ; dans la parabole ct l’Ayperbole. Base en arpentage. Ligne droite, mesurée sur le BA ter su avec la plus grande exactitude possible, et sur laquelle on construit une série de triangles pour déter- miner la situation et la place des objets. Foyez Levée DES PLans. Base en astronomie. Distance mesurée sur la terre entre deux points fixes très éloignés, dans le but de trouver l'étendue des degrés terrestres, et par consé- quent la grandeur de la terre. Foyez Ficure DE LA Terre. BASILICUS ( Astr.). Nom donné par quelques au- teurs à la belle étoile du Lion, plus connue sous celui de Régulus. Les Arabes l’appellaient Xolebeleced. BASSANTIN (Jacouss), célèbre astronome écossais, nésousle règne de Jacques IV, vers la fin du XV° siècle. Il était de la famille des /airds ou seigneurs de Bassan- tüin, dans le comté de Mers; et à cette époque où la noblesse écossaise, la plus belliqueuse, c’est-à-dire la plus barbare de l'Europe, ne vivait que de l'épée, il donna un exemple remarquable de son amour pour les sciences, en se livrant, malgré les préjugés de sa caste et de son pays, à des etudes pacifiques. Aussi le jeune Bassantin, après avoir étudié quelque temps à Glascow, fut-il contraint de s'expatrier, afin de se livrer li- brement aux goûts honorables qui le dominaient. Il voyagea long-temps, moins en gentilhomme qu'eu sa- vant Jaborieux, dans les Pays-Bas, la Suisse, l'Italie, l'Allemagne et la France. Il occupa une chaire de ma- thématiques à l’université de Paris, quoiqu'il ne parlât le français qu'avec beaucoup de difficulté; mais il se distingua néanmoins par ses connaissances mathématiques dans ce dernier pays, où il séjourna fort long-temps, et où il acquit par extraordinaire une grande réputation et une grande fortune. Bassantin s’adonna surtout à l’étude de l’astronomie, et 5es ouvrages sur cette science et sur d'autres branches des mathématiques donnent une haute idée de son savoir et de son intelligence, quoiqu'on y trouve à regret un mélange d'idées superstitieuses qui nuisent souvent à la gravité de ses observations. Le noble Bas- santin s’avisa de prédire au célèbre sir James Melvil les événemens qui menaçaient l’infortunée Marie Stuart, alors réfugiée en Angleterre. Quelques-uns de ces évé- nemens se réalisèrent ; et il ne serait pas impossible que l'astrologie judiciaire, au moyen de laquelle il fit ses prédictions, ait été la véritable cause de sa fortune et de sa réputation. De retour dans sa patrie, à un âge déjà avancé, Bassantin entra dans le parti du comte Murray, qui était aussi celui de la réforme. 11 mourut à Édimbourg en 1568. Voici le titre un peu ambitieux de l'ouvrage le plus important qu’il ait publié : 4stro- nomia JAcort BassanTiNt scoti, opus absolutissimum, in quo quicquid unquam peritiores mathematici in cœlis observarunt, eo ordine edque methodo traditur, ut cui- BA NS os post hac facile innotescant quæcumque de astris ac planetis, necnon de eorum variis orbibus, motibus, pas- sionibus, etc., dici possunt, ingens et doctum volumen ter editun latinè et gallicè. Genève, 1599, in-folio. On voit par ce titre, où le savant est trahi par l’orgueil du lard, ane l'ouvrage de Bassantin, écrit d’abord en écossais, avait été publié en français. La traduction latine est de Jean Tornesius. Les autres ouvrages de Bassantin, sont : I. Paraphrases de l’astrolabe, avec une explication de l'usage de cet instrument. Lyon, 1555, — Paris, 1617; in-8°. IL. Super mathematic. geneth- liaca. WA. Arithmetica. IV. Musica secundum Plato- nem. V. De mathest in genere. BASTION ( rt de la guerre). Masse de terre revêtue de maçonnerie ou de gazon, placée en saillie sur les augles d’une place fortifiée, pour en défendre toutes les parties. Un bastion est formé par quatre lignes, deux desquelles font un angle saillant À ou B, vers la campagne ( loyez PL. XI, fig. 1 ), et que l’on nomme angle flanque. Chacune des deux autres lignes qui joignent les faces de l'enceinte, se nomme les flancs. Voyez FonTiFIcATION. BATARDEAU ( Fortif.). Massif de maçonnerie qui traverse toute la largeur d’un fossé d’une place forte pour en retenir les eaux. On construit ordinairement les batardeaux vis-à-vis les angles saillans des bastions et des demi-lunes; quelquefois ils tiennent lieu d’écluses au moyen d’une vanne qu’on établit au milieu , pour laisser écouler ou pour retenir les eaux suivant le besoin. Les batardeaux sont employés lorsque les fossés de la place ne sont pas de niveau, qu'il y a de l’eau dans une partie et que l’autre est sèche, ou qu’on peut disposer de quelque ruisseau ou petite rivière pour la faire entrer dans le fossé : on construit alors ces ouvrages pour em- pècher l'écoulement dans les parties les plus basses. BATN-ÉL-GEYTTORS (Astr. ). (Le ventre du Cé- tacée.) Ce nom altéré par nos astronomes en ceux de Batan-él-K aitos, Beten-Ketos, et mème de Bata-Kaïtos, est celui que donnent les astronomes arabes à une étoile du ventre de la Baleine. Cette étoile est marquée € dans les catalogues. BATN-ÉL-HOAT (Astr.). (C'est-à-dire ventre du Poisson.) Nom donné par les astronomes arabes a troi étoiles, à la tête et à l’épine dorsale du Poisson boréal, c’est suivant eux la XXVIIT station de la Lune. BATON DE JACOB (Astr.). Nom donné quelquefois aux trois étoiles situées en ligne droite sur la ceinture d'Orion. BATYN ou ÉLB-ATTYN (4sur.). Nom douné par les Arabes à trois étoiles très-petites et très rapprochées l’une de l'autre dans le ventre du Betier. 244 BA * BATTYAT ou BATTAT ( Astr.), (Le Vase). Nom donné par les Arabes, soit à l'étoile de la Coupe, commune avec la constellation de l'Æydre, soit à la constellation entière de la Coupe, dans laquelle ils comp- tent 7 étoiles. Ce nom, qui s'écrit plus correctement ÉtL Battyat, à été altéré par nos astronomes en celui d'Albatina. Les Arabes lui donnent aussi le nom d'Æ/- Kas ( Galice, Vase à boire), qui a été différemment désigné par les modernes ; car on le trouve écrit : Ælkis, Alches, Alkes, Alhas, Alhes, Alkarso. BAYER (Jean), né à Augsbourg vers la fin du XV® siècle, s’est rendu célèbre par l'exécution d’un ouvrage fort important, dont la publication rendit à l'astronomie un service signalé. Ce fut en 1603 que, sous le titre d'Uranometria, il publia dans sa ville natale, où il exerçait le ministère évangélique, une description des constellations célestes, et le catalogue des étoiles qu’elles contiennent. Bayer eut l'heureuse idée de désigner chaque étoile par une lettre grecque ou latine, désignation qui a été depuis adoptée par tous les astronomes, et qui facilite considérablement Îes études et les recherches uranographiques. D'après sa méthode, que nous avons suivie dans cet ouvrage, la principale étoile d’une constellation, ou celle qui parait la plus brillante et la plus belle est marquée x, la se- conde 8, la troisième y, et ainsi de suite jusqu’à ce que alphabet grec ne suffise plus: alors on se sert de lettres latines, et enfin de chiffres arabes, si ce dernier alpha- bet devient également insuffisant. L'ouvrage de Bayer fut accueilli avec distinction dans le monde savant, quoique son exécution typographique laissât beaucoup à désirer. Bayer n'avait probablement pas fait attention que si un dessin est gravé tel qu'il doit être vu, il en résulte qu'à l'impression le côté droit devient le côté gauche sur le papier. Voilà aussi pour- quoi les figures de l'Uranometrie paraissent toutes à l'envers. Mais ce défaut n’est pas essentiel dans un tra- vail de ce genre, dont la classification méthodique des étoiles est la pensée importante. La plupart des biographes confondent mal à propos, avec l'ouvrage de Bayer, le Cœlum stellarum christanum qui parut en 1627. Cette dernière œuvre à laquelle il n’est pas impossible cependant que Bayer ait contribué, au moins par ses conseils, appartient à Jules Schiller, un de ses compatriotes. C'était un jeune homme d’une piété exaltée, qui, choqué de voir les astres et les cons- tellations désignées toujours sous des noms mythologi- ques, conçut le dessein de leur en imposer de plus con- ! formes à la religion chrétienne, et de substituer aux figures antiques des figures tirées de la Bible. En consé- quence, il plaça les douze apôtres dans le zodiaque, et donna aux constellations méridionales des roms puisés dans l'Ancien Testament, et il prit dans le Nouveau BE ceux qu'il appliqua aux constellations septentrionales. Cette entreprise bizarre, qui ne tendait à rien moins qu'a entraver les études astronomiques, en portant dans cette science d’inutiles embarras, ne pouvait avoir aucun succès. On sait peu de choses intéressantes sur la vie de Jean Baver. Le zèle ardent et souvent peu éclairé avec lequel il remplit les devoirs de son ministère, lui suscita des cha- grins et de ficheuses affaires. C’est sans doute cette exal- tation religieuse dont il a donné trop de preuves, qui lui a fait attribuer une grande part dans la composition de l'ouvrage de Schiller. Il fut, dit-on, anobli en 1669 par l'empereur Léopold. Il n’a, au reste, publié aucun autre ouvrage que celui dont il a été question dans cette notice. Barert Rhaïnani (Joh.), Uranometria, omnium asterismorum continens schemata. Augustæ-Vindelico- rum, 1603. — Ulmiæ, 1723, in-folio, fig. BEAUNE (FLrormmoxp pe), né à Blois en 1607 , géo- mètre célèbre, dont l’amitié de l’illustre Descartes ré- compensa les travaux et honora la vie, entra d’abord dans la carrière militaire. Les habitudes de cette pro- -fession convenaient peu à son caractère paisible et à ses goûts solitaires. Il quitta l'épée pour la toge, et acquit une charge de conseiller au présidial de sa ville natale. C’est là qu’il passa le reste de ses jours, dont il partagea les instans entre l'étude et les devoirs de sa magistra- ture. On ignorait néanmoins quelle science Florimond de Beaune cultivait avec tant de zèle, lorsque la géo- métrie de Descartes parut. La France , peu soucieuse ordinairement de ses véritables grands hommes, aurait eu la honte de méconnaitre cette production supérieure, si un magistrat obscur, d’une petite ville, dont le talent jusqu'alors était aussi ignoré que la vie, eût pris en main, du fond de sa retraite, la gloire de Descartes, et n’eût entrepris d'expliquer son œuvre à son pays. l'iorimond de Beaune ne se contenta pas d'avoir obtenu l'intelligence de la géométrie carté- sienne, il voulut encore en sonder les profondeurs et en dévoiler les mystères à ses contemporains. Il rédigea des notes dans le but d'éclaircir les endroits de cet ouvrage qui, dans l’état où se trouvait alors la science, auraient pu passer pour obscurs, et il sou- mit ses observations à Descartes lui-même, avec le- quel il avait eu l'occasion de se lier en 1626. C'est là une de ces amitiés qui donnent la gloire. On trouve dans la csrrespondance de cet illustre philosophe (Voy. Lettres de Descartes, tome HE, p. 254 et suiv.) la haute opinion et la reconnaissance que lui inspirèrent les tra- vaux de son ami. À cette époque, Florimond de Beaune était jeune encore, puisque c'est seulement en 1637 que parut la géométrie de Descartes. Il se fit le défen- seur de ce grand ouvrage avec tout le zèle de la science et l'ardeur d’une noble anitié. Il réduisit au silence les BE envicux et les demi-savans, toujours empressés de flé- tirles plus belles œuvres du génie, et parvint à faire partager son admiration pour la nouvelle géométrie à tout ce que la France renfermait alcrs d'hommes capa- bles d’en apprécier les conceptions élevées. On voit, dans la correspondance dont nous avons parlé, que Des- cartes faisait plus de fond sur les lumières et Pappro- bation de Florimond de Beaune, que sur celles de tous les autres géomètres qui s'étaient prononcés en faveur de son ouvrage. Un pareil éloge suffit à la vie d'un homme; mais l’ami de Descartes a d’autres titres en- core à la gloire que dispense la science. Le premier, il formula la proposition de déterminer la nature d’une courbe par les propriétés données de sa tangente. C’est ce qu'on appelle aujourd’hui la méthode inverse des tangentes, parce qu’elle est en effet l'inverse de celle qui sert à trouver la tangente par les propriétés de la courbe. Dans une de ses lettres, Descartes loue beau- coup son ami de quelques découvertes qu'il avait faites à ce sujet. « Pour vos lignes courbes, dit-il, la pro- » priété dont vous m’envoyez la démonstration m'a » paru si belle, que je la préfère à la quadrature de la » parabole trouvée par Archimède; car il examinait » une ligne donnée , au lieu que vous déterminez l’es- » pace contenu dans une qui ne l’est pas encore. » On croit que ce fut à cette occasion que Florimond de Beaune proposa à Descartes un problème qui est de- venu célèbre, et qui a retenu son nom. Il s'agissait de trouver la construction d'une courbe, telle que le rap- port de l’ordonnée et de la sous-tangente fut le même qüe celui d’une ligne donnée et d’une portion de l’or- donnée comprise entre la courbe et une droite tirée de l'origme , formant un angle de 45° (Voy. Actiones calculi integralis de Jean Bernouilli). Florimond de Beaune est encore l’auteur d’une théorie nouvelle en algèbre, celle des limites des équations , avec l'axe des x théorie très-utile pour leur résolution. Foy. Équartox. En 1644, Descartes avait été à Blois rendre visite à son ami : il passa quelque temps avec lui, et sa corres- pondance témoigne en plusieurs endroits de tout le charme qu'il trouva dans la société de ce savant mo- deste. La géométrie n’occupa pas seule la studieuse vie de Florimond de Beaune. Il s’'adonna aussi à la con- struction des télescopes ; et ses succès dans les perfec- tionnemens dont ce puissant instrument était suscep- tible, l'avaient mis de bonne heure en relation avec Bouillaud , Midorge, le père Mersenne et d’autres sa- vans astronomes, Une maladie cruelle l’enleva à 51 ans à ses anis, qui honoraient son caractère , à la science, qu'il cultivait avec tant de distinction. On comprendra difficilement aujourd'hui qu'il ait fallu lui faire subir l'amputation d’un pied pour le guérir d'une goutte même opiniatre et maligne. Ce furent les suites de cette BE A5 douloureuse opération qui caustrent sa mort. Le célè- bre Erasme Bartholin , qui avait été le voir à Blois peu de temps avant ce triste événement, obtint de ses héri- tiers les lambeaux épars de ses manuscrits, et les fit im- primer en 1659, à la suite du conimentaire de Schooten ur la géométrie de Descartes. On trouve les deux écrits qui nous restent de lui dans l'édition latine Æ/zévir de cer ouvrage de notre grand philosophe : Florimundi de Beaune in Cartes geometriam notæ breves; et De æqualionum constructione et limitibus opuscula due in- cepta à Florimundo de Beaune, absoluta vero et post mortem ejus edita, ab Erasmo Bartholino. BEDOS DE CELLES (pou Fraxcois). Religieux bé- nédictin de la congrégation de Saint-Maur, l'un des plus savans hommes de cette illustre compagnie, naquit à Caux, dans ie diocèse de Béziers, au commencement du XVIII: siècle. La gnomonique, dont les observa- tions et les procédés ont pour base l'astronomie, avait suivi les progrès de cette science ; mais il restait néan- moins à mettre d'accord avec la pratique toutes les théories dont elle avait été l’objet. Telle fut l'œuvre Gno- monique, où l'art de tracer les cadrans solaires. qu'il qu’entreprit dom Bedos. Son ouvrage, intitulé : publia en 1:60, est un des traités les plus complets et les plus savans qui aient paru sur cette partie intéres- sante des mathématiques. Il suffit, pour classer dom Bedos parmi les géomètres les plus distingués. Une nouvelle édition de cet écrit, considérablement aug- mentée de nouvelles recherches, parut en 1774. Ce religieux, qui était membre correspondant de l'Académie des sciences, ec sur lequel il ne reste que peu de détails biographiques, mourut le 25 novembre ji: 779, dans un äge avaricé. BEGALA ou BEGALO (A4str.). (Plus correctement ÉL-BAGHLÉH, qui signifie la J/ule.) Nom donné par quelques astronomes Arabes à la Luisante de la Lyre. BELIDOR (BennarD Forer pr). Ingénieur et ma- thématicien célèbre, fils d’un officier français ; il naquit en Catalogne, pendant la campagne de 1697. On pense qu'il perdit son père au siége de Barcelonne : il est cer- ain, du moins, qu'il fat orphelin dès le berceau. Un ingénieur de l’armée, dont on ignore le nom, l’adopta et fit son éducation. Il annonça de bonne heure de grandes dispositions pour les mathématiques, et un goût décidé pour l'honorable profession de son bienfai- teur. Bélidor, qui s'était distingué dans ses études, devint successivement professeur à l’école militaire de La Fère et commissaire provincial d’artillerie. Ce fut en s’adon- nant aux devoirs de son emploi qu’il fut amené à ré- soudre un problème important pour l'art militaire : ce- lui d'obtenir, avec une moindre quantité de poudre, un effet semblable à celui produit par une plus grande, Ses expériences eurent un grand succès, et il BE fit honneur de sa découverte au cardinal Fleurv. Le 216 prince de Conti, alors grand-maitre de l'artillerie, fut piqué de la préférence qu’il avait accordée au ministre, et le priva de son emploi. C’est peut-être à cette injuste persécution que nous devons les nombreux ouvrages publiés par Bélidor, et dont la plupart sont encore fort estimés de nos jours. On a de Jui: E. Sommaire d'un cours d'architecture militaire, civile et hydraulique ; Paris, 1720, in-12. I. Le Bombardier francais, ou nou- velle méthode de jeter les bombes avec précision ; Paris, 1731,in-4° fig. II. Traité des fortifications; Paris, 1735, 2 vol. in-4°. IV. La Science des ingénieurs dans la conduite des travaux de fortification et d'architecture militaire ; Paris, 1549, grand in-4°. fig. V. Archiütec- ture hydraulique, ou l'art de conduire Les eaux ; Paris, 1937.— 2° édit. 1753, 4 vol. in-4°, fig. Cet ouvrage, fort estimé et fort recherché , renferme, sur cette partie des sciences mathématiques, des découvertes impor- tantes qui n’ont point été dépassées depuis sa publica- tion. Une traduction allemande de cet excellent écrit a été publiée à Augsbourg en 2 vol. in-fol., 1564-1966. VI. Nouveau cours de mathématiques à l'usage de l'ar- tillerie ; Paris, 1757, in-4°. Il existe encore d’autres écrits de Bélidor, tels que des Traités sur le toisé et l'ar- pentage, et enfin un Dictionnaire portatif de l'inge- nieur, qui parut en 1755, et dont Jombert a donné une nouvelle édition avec des éclaircissemens et des aug- mentations, en 1768. L’incontestable talent de Bélidor, et ses hautes con- naissances dans diverses parties des mathématiques ap- pliquées, lui ouvrirent, en 1756, les portes de l'Aca- démie des Sciences. Lorsque le maréchal de Belle-fsle fut appelé au ministère de la guerre, il s’attacha le cé- lèbre et savant auteur de l'Architecture hydraulique et du Bombardier francais, et le nomma inspecteur de l'artillerie. [l mourut à Paris, à l’Arsenal, où il était logé en raison de ses fonctions, le 8 septembre 1761. BÉLIER ( Astr.). Nom d’une constellation, et du premier des douze signes du zodiaque, marqué Y.. Le commencement du signe du Bélier est le point équinoxial ascendant, V'un des deux où l’écliptique coupe l'équateur. Lorsque le soleil, dans sa course apparente, sort des régious australes du ciel, et nous amène Le printemps, il traverse le point ascendant vers le 21 mars, et s'élève ensuite chaque jour en se rapprochant du pôle boréal, jusqu’à ce qu’il soit parvenu au signe du Cancer ou de l'Écrevisse; là il paraît un moment stationnaire , redes- cend après, en s’éloignant peu à peu du pôle, jusqu’au signe de la Balance où il quitte notre hémisphère vers le 23 septembre, en traversant le premier point de ce dernier signe, c’est-à-dire le point équinoxial descen- dant. Le mouvement rétrograde des points équinoxiaux BE ayant changé la correspondance des signes avec les cons- tellations dont ils portent les noms ( Voyez Barance), la constellation du Bélier est aujourd'hui presque tout eutière dans le signe du Taureau. Cette constella- 3 de la troisième grandeur, 1 de la quatrième, 2 de la cin- tion renferme 19 étoiles remarquables, savoir : quième et 13 de la sixième. BÉLIER (Mec. ). Machine de guerre des anciens; elle consistait en une grosse poutre suspendue, dont ils se servaient, en lui imprimant un mouvement oscil- latoire, pour produire des chocs violens qui ébranlaient et renversaient les murailles. Voyez Polybe, avec les Commentaires de Folard. BELIER uyprauriQuEe. Machine très-ingénieuse pour élever l’eau, inventée par Montgolfier. Nous en doune- rons la description et les usages BELLATRIX (4str.). Nom de l'étoile marquée y dans la constellation d'Orion. Cette étoile, remarquable par sa couleur rougeûtre est située à la partie supérieure occidentale de la constellation. BELLÉROPHON ( Astr.). Nom donné quelquefois à la constellation de Pégase. BENAT-ÉL-NAACH ( Astr.). Nom donné par les astronomes arabes aux trois étoiles qui forment la queue de la grande Ourse. Ce nom a été corrompu par nos astronomes qui l’ont écrit Benet-Nasch, Benec-Nasz, et mème Jene naim. BÉRÉNICE ( Astr.) Voyez Cneveuvre DE Béré- NICE. BERNOUILLI. Il n’existe point dans les sciences de nom plus célèbre que celui de cette famille, qui a suc- cessivement donné aux deux derniers siècles jusqu’à huit hommes d’un génie supérieur, et dont quatre au moins peuvent étre mis au premier rang des plus grands géomètres. Tandis qu'une loi sévère de la nature permet si rarement la transmission du père au fils des talens ou des vertus, la famille Ber- nouilli a seule donné au monde ce noble spectacle de l'hérédité du savoir dans plusieurs générations. C’est dans l'exil que la gloire est venue tirer cette fa- mille de l'obscurité. Établis originairement à Anvers, les Bernouilli, qui professaient la religion protestante, furent obligés, vers la fin du XVI siècle, de fuir leur patrie, abandonnée alors par l'Espagne aux frénétiques fureurs de l’infime duc d’Albe. Ils se réfugièrent d’abord à Francfort, et se retirèrent ensuite à Bâle, où on les voit de bonnc heure occuper d’inportantes magistra- tures dans cette république. Mais l'illustration que cette fanulle acquit dans le siècle suivant , parles travaux etles découvertes, dans diverses parties des sciences mathéma- tiques, de Jacques et de Jean Bernouilli, est d'un ordre plus élevé; elle durera désormais aussi long-temps que la civilisation humaine conservera Îe dépôt des sciences. 0 BE Dès l'apparition sur la scène du monde savant de ces deux illustres géomètres, l’histoire de leur famille est tellement unie à celle des progrès de la science, que les événemens de leur vie n’offrent plus d’intérêt que par leur liaison avec des découvertes scientifiques, qui furent l'unique but de leur laboricuse existence. C’est par cette raison que notre intention a d’abord été d'exposer l’en- semble des travaux dus aux mathématiciens du nom de Mais sommes bientôt aperçus qu’entrainés par la marche Bernouilli dans un récit commun. nous nous de la science, nous aurions été trop souvent obligé d'anticiper sur celle du temps, et de tomber sou- veut dans la confusion que la ressemblance des pré- H:0mS à Occasionnée à la plupart des biographes des Bernouilli. Nous avons en conséquence adopté la mé- thode généalogique qui nous a paru la plus simple et en même temps la plus propre à nous faire éviter ce grave inconvénient. Ainsi, nous examinerons successi- vement la vie et les travaux : 1° De Jacques I BEr- ouiLLi; 2° de Jean I, frère du précédent; 3° de Nico- LAs [, neveu des précédens; 4° de Nicoras IT, fils de Jean I; 5° de Danrez, frère du précédent; 6° de Jean IT, également frère du précédent; 7° de Jean HE, fils de Jean Il; 8° et enfin de Jacques IE, frère du précédent. Voyez Commentarii Academiæ Petropolitanæ, tome I, et Nova. acta, etc., tome VII. BERNOUILLI (Jacques, premier de ce nom ) na- quit à Bâle le 27 décembre 1654, de Nicolas Bernouilli qui occupait une charge importante dans cette répu- blique. IL était destiné par sa famille à la chaire évan- gélique; mais ses dispositions naturelles l’entrainaient impérieusement vers l’étude des sciences mathématiques, quoiqu'il ne laissât point encore pressentir les succès qui l'attendaient dans cette carrière. La persistance de ces goûts, auxquels il fut long-temps obligé de se livrer en secret, triompha de l'opposition de son père, et il en obtint la permission de voyager. L’astronomie fut le premier objet de ses travaux : ilavait, dit-on, pris pour emblème Phaéton conduisant le char du soleil, avec cette devise qui s’appliquait assez bien à sa position per- sonnelle : Znvito patre sydera verso. Heureusement cette opposition aux volontés paternelles n'eut pas pour Jac- ques Bernouilli des conséquences aussi ficheuses que limprudence de Phaéton. Il parcourut tour à tour la France, la Hollande et l'Angleterre, recucillant par- tout dans les entretiens des savans et dans l’étude de leurs productions les plus importantes, les lumières et les connaissances qui devaient régulariser les premiers aperçus de son génie; car, comme le dit Fontenelle, il avait été son seul précepteur. De retour dans sa patrie, Jacques Bernoulli publia, en 1681, son premier ouvrage qui a pourtitre: Conamen novi systematis planetarum. Son principal but en composant cet écrit avait été BE en rm NC de démontrer que les comètes n'étaient pas des météores, mais des astres qui obéissent à des lois qui régularisent leur marche et les assujétissent à des retours périodiques. Cette vérité, soupconnée depuis quelque temps par les astronomes, avait déjà été exposée par plusieurs d’entre eux, mais elle ne fut mise hors de doute, peu de temps après, que par les démonstrations de Newtonet de Halley, car cette première production de Jacques Bernouilli, peu digne de la célébrité qu'il acquit et qu'il mérita depuis, n’exerça que peu d'influence sur les progrès de la science. En 1652, il publia un nouvel ouvrage sous ce titre : Cogitationes de gravitate ætherts, qui, expression de la physique de son temps, n’est pas plus estimé aujourd’hui que son premier écrit. Jacques Bernouilli ne commença à occuper un rang distingué parmi les mathématiciens qu'à l'époque où, suivant les véritables inspirations de son génie, il expliqua les théorèmes les plus compliqués de la géométrie de Descartes. Il ne tarda pas alors à mettre le sceau à sa réputation ct à sa gloire, en dévelop- pant avec un rare bonheur les bases posées par Leibnitz du calcul différentiel et du calcul intégral. La plupart des géomètres les plus habiles de ce temps ne virent pas à quelles découvertes importantes pouvaient conduire ces calculs alors nouveaux ; ils s’obstinèrent à confondre la méthode de Leibnitz avec celle de Barrow (voyez ce nom ), en convenant cependant qu’elle en était un.per- fectionnement. On sait quelle révolution l'application de ces calcuis à la géométrie produisit dans les mathé- matiques. Jacques Bernoulli eut la gloire de la deviner et de la commencer par ses travaux ; mais il est juste de dire ici que son frère Jean, dont nous parlerons bientôt, mérita de lui être associé dans l’honneur de ces dé- couvertes. L’'illustre Leibnitz, avec une sincérité digne d’un grand homme, dit Fontenelle, avoua que sa mé- thode, ainsi perfectionnée par les deux Bernouilli, leur appartenait autant qu’à lui. Leibnitz avait proposé , en 1687, le célèbre problème de la courbe rsochrone, qui fixa l'attention de tous les géomètres. On croit que c’est en en cherchant la solu- tion que Jacques Bernouilli fit le premier essai des calculs dont nous venons de parler. On sait qu’il s’agis- sait de déterminer dans ce problème le long de quelle courbe un corps devait tomber, afin qu'il s’éloignât d’un point donné proportionnellement au temps, et que c’est pour cette raison que son auteur lui donna le nom d’ésochrone paracentrique. Leïbnitz ne se hâta pas d’en publier la solution, et les deux Bernouilli paraissent d’abord lavoir vainement cherchée. Un peu plus tard, les efforts de Jacques Bernouilli furent plus heureux : il résolut le problème dont son frère Jean Bernouilli et Leibnitz lui-même ne firent connaître qu'après lui la solution qu'ils en donnèrent. À cette époque, Jacques Beruouilli posa à son tour le problème de la chaïnette, 25 218 BE devenu non moins célèbre que celui de la courbe iso- chrone. Il s’agissait de déterminer la courbe que prend une chaîne, ou un fil pesant et infiniment flexible, qui est suspendu par ses deux bouts. Nous reviendrons ici sur quelques circonstances de la vie de Jacques Bernouilli qui sont intimement liées à ses travaux mathématiques. Dans l’année où Leibnitz avait proposé son problème, il fut élu professeur de mathématiques à l’université de Bäle. Ses concitoyens ne trouvèrent pas de meilleur moyen d’honorer ses ta- lens et son caractère. Cette récompense dans une petite république, et surtout à une époque où la science était comptée pour quelque chose, devait en effet avoir du prix aux yeux d’un homme aussi dévoué à ses progrès que Jacques Bernouilli. Alors, dit Pauteur de son éloge, il fit paraître.un nouveau talent: c’est celui d’instruire, L’extréme netteté de ses leçons, et les progrès qu’il fai- sait faire en peu de temps, attirèrent à Bâle un grand concours d'étrangers. Peut-être est-ce à ces travaux de tous les instans, à ces exercices spontanés, inattendus, qu’exigent les devoirs du professorat , que nous devons les recherchesles plus importantes de Jacques Bernoulli sur les sinus et sur le calcul différentiel et intégral. 11 publia en 1661, dans les Actes de Leipzig un essai ou plutôt un traité de ce calcul, où, à l’occasion d'une espèce particulière de spirale, il donne toutes les règles pour déterminer les tangentes, les points d’inflexion, les rayons de la développée, les aires, et les rectifications dans toutes les courbes à ordonnées, soit parallèles, soit convergentes. Ces recherches le conduisirent à la décou- verte des propriétés remarquables de la spirale luga- rithmique. Jacques Bernoulli en éprouva autant de joie et de satisfaction que jadis Archimède en avait fait écla- ter lorsqu'il eut reconnu les rapports entre la sphère et le cylindre. On sait que le grand géomètre de l'antiquité voulut qu’on gravät sur son tombeau la figure géomé- trique qui attestait ainsi sa gloire et son génie. Le grand géomètre moderne désira qu’on gravât sur le sien une spirale logarithmique, avec ces mots : Eädem mu- tata resurgo; heureuse allusion à sa découverte et à l'espérance du chrétien, dont la vie recommence après la mort, comme la propriété de cette courbe est d’être continuellement renaissante. En 1699 , l’Académie des sciences de Paris, usant de la liberté que lui laissait un nouveau réglement, de choisir huit associés étrangers, s’honora en y appelant, à l'unanimité des suffrages, Jacques Bernouilli et son frère. Is furent également associés en 1701 à l’Académie de Berlin, récemment fondée, et qui se trouvait alors sous la direction de Pillustre Leïibnitz. Nous n'avons point eu l'intention d’exposer ici, même d’une manière fort restreinte, les travaux si nombreux ctsiimportans dans la théorie et l'histoire dela science, de BE Jacques Bernouilli, cette énumération nous entraîtierait trop loin. Lenomde cecélèbre géomètre, souventrappelé dans divers articles de ce Dictionnaire, y sera souvent encore cité dans ceux qui sont spécialement consacrés à expliquer ses découvertes. Nous nous bornerons à dire qu’il a embrassé en homme de génie les parties les plus élevées des mathématiques, qui doivent à ses tra- vaux leur développement et leurs modernes progrès : il a eu l'honneur de publier la première intégration d’une équation différentielle; et la découverte du calcul des variations, par Lagrange, est due sans doute à la solution qu'il donne du problème des isopérimètres dont nous allons parler à l’article de son frère Jean. Enfin, Jacques Bernouilli fut naturellement amené par ses profondes études du calcul différentiel, à concevoir tout ce qu’on pouvait attendre du calcul des probabilités, que Pascal et Huygens n'avaient encore considéré que par rap- port aux chances des jeux. Il reconnut que ce calcul pouvait s'appliquer à de hautes questions sociales. Mais il n'eut pas le temps de réunir ses travaux dans cette partie des mathématiques sous la forme de traité; cette gloire fut réservée à Nicolas Bernouilli, son neveu. Jacques Bernoulli, suivant Fontenelle et la plupart de ses biographes , était d’un tempérament bilieux et mé- lancolique, caractère heureux sous quelques rapports, puisqu'il donne plus que tout autre l’ardeur et surtout la constance nécessaire pour accomplirles grandes choses. Cette disposition particulière le voua à des études assi- dues et opiuiâtres. Dans toutes les recherches auxquelles il se livra, sa marche était lente, mais sûre. L’habitude des succès ne lui avait point inspiré une orgueilleuse confiance; il ne publiait aucun travail qu’il ne l’eût plusieurs fois et successivement soumis à un minutieux examen, tantilredoutait le jugement du public, malgré là vénération que ce public avait pour lui! Quand on songe avec quelle légèreté on jette aujourd’hui dansle monde de nouvelles idées, combien ne doit-on pas regretter les habitudes des savans respectables qui nous ont précédés dans la carrière, et dont les travaux étaient, pour ainsi dire, empreints de l’austérité qui distinguait leurs vertus privées. Les travaux continuels de cet homme célèbre, causés par les devoirs du professorat qu'il remplissait avec un rare dévouement, par l’avidité de savoir et d'acquérir, et peut-être aussi la joie de ses succès, le rendirent sujet de bonne heure à une grave affection goutteuse. Les derniers accès qu'il eut à éprouver de cette cruelle maladie le firent enfin tomber dans une fièvre lente, dont il mourut le 16 août 1705, ägé seulement de 5r ans. Il s'était marié à l’âge de 30 ans, et il laissa de son union un fils et une fille. Voici sous quels titres il faut chercher ses ouvrages : I. Jacobi Bernouïlli bastleensis opera: Genève, 1944, in-4°, 2 vol, IL, Jacobi Bernouïlli ars conjectandi, opus BE posthumum , accedil tractatus de seriebus infinitis. Bâle, 1713, in-4°, un vol. La première partie de cet ouvrage a été traduite en français, par L. G. T. Vastel. Caen, 1801, in-4°. BERNOUILLI (Jean I), frère du précédent, naquit à Bâle. le 27 juillet 1667. Il fut, comme son frère, des- tiné à une carrière pour laquelle il n’éprouvait qu'un dégoût invincible. Cette circonstance qu’on voit sou- vent se reproduire dans la vie des hommes les plus célèbres, quelle que soit l’époque où ils ont apparu sur la scène du monde, accuse dans l'éducation sociale un vice profondément enraciné. Lorsque le jeune Bernouilli eut terminé ses études, il fut envoyé par son père à Neu- châtel pour y apprendre à la fois la langue française et le commerce. Mais le goût qu'il ne tarda pas à mani- fester pour les sciences, l’enleva bientôt à des occupa- Ligps auxquelles il ne s'était livré qu'avec répugnance. Les mathématiques furent aussi l’objet vers lequel l’en- traipa la voix du génie. I] fut d’abord le disciple de son frère. Ses progrès furent rapides sous un tel maitre, dont il devint en peu d'années le collaborateur, et ensuite le compagnon de gloire. L'esprit élevé, mais inquiet ct jaloux, de Jean Ber nouilli, le guida de bonne heure dans le vaste champ des découvertes, où il acquit une re- nommée que Les nombreux travaux de sa longue vie ont confirmée de Ja manière la plus glorieuse ct la plus éclatante. | Les deux frères, qui suivaient la même carrière en généreux émules, y devinrent enfin riYaux ; et il est triste de dire que, dans la lutte souvent animée à laquelle ils se livrèreut, le caractère de Jean Bernoulli ue par ut pas toujours exempt d’amertume et d'i injus tice. On sait que Jean Bernouilli se montra, comme son frère, un aident promoteur des calculs nouvellement exposés par Leibnitz, et dont nous avons parlé à l’articie bio- graphique de Jacques. A l’aide de ces calculs, Jean Bernoulli résolut un grand nombre de problèmes fort difficiles, agités parmi les géomètres de ce temps; et ses travaux dans ce genre servirent activement à l’avan- cemént de la science. On trouve dans les Actes de Leip- t zig béancoup d’écrits de ce savant géomètre ; ils renfer- ment une foule de découvertes qui toutes ont été fort utiles au perfectionnement du calcul intégral. Au nom- bre de ces travaux qui ont mérité à Jean Bernouilli une illustration si belle, il en est qui exigent, par leur importance, une mention spéciale, tel est, par exemple, le calcul exponentiel, dont l'idée créatrice appar tient il est vrai à Leibnitz, mais qui peut néanmoins étre regardée comme une découverte de Jean Bernouilli. Ce fut en 1697 qu'il en publia les premiers essais, Aux procédés pour différencier et intégrer les fonctions à exposans variables, qui sont l'objet de ce calcul, il ajouta la méthode pour intégrer les fonctions rationnelles, BE 219 Nous avons déjà dit que l’histoire des géomètres du nom de Bernoulli, et surtout celle de Jacques et de Jean, serait l'histoire de la science même : nous ne pouvons dans ces notices qu'indiquer seulement les principaux travaux de ces hommes célèbres, surtout quand ils se rattachent à des circonstances de la vie privée, que le biographe nesaurait passer sous silence. Ainsi, nous par- lerons rapidement des problèmes connus sous le nom de brachystocrone et des isopérimètres, parce qu'ils ont don- né lieu à des faits qui doiventservir à nous faire connaître le caractère de ces grands géomètres. C'était alors l'usage parmi les savans de s'adresser mutuellement des espèces de défis, où le vaincu succombait sans honte, vu le vainqueur, heureux des applaudissemens publics, ne son- geait qu'à la gloire. Ces pacifiques combats tournaient tous à l’avantage de la science, et caractérisent ce XVHI° siècle si grand dans Fhistoire des progrès de l'humanité, et qui en forme pour ainsi dire les temps héroïques. Jean Bernoulli, peut-être un peu trop fier de ses talens, susceptible, emporté, donna et reçut un assez grand nombre de ces cartels scientifiques. Parmi les problèmes les plus remarquables qu’il soumit aux géomètres ses émules, celui de la plus courte descente mérite surtout d'être cité. Deux points qui ne sont ni dans la même perpendiculaire, ni dans la même horizontale, étant donnés, il s’agit de trouver la ligne le long de laquelle un corps roulant de l'un à l’autre y emploierait le moins de temps possible. Bernouilli donna à ce problème le nom de brachystocrone, nom dérivé du grec, et qui signifie le temps le plus court (voyez ce mot). C'était un de ceux que l’illustre Galilée avait vainement tenté de résoudre. Tous les géomètres de l'Europe s'en occu- pèrent alors: Leibnitz, Newton , Jacques Bernouilli, le marquis de L’Hôpital envoyèrent des solutions ; Jean Bernoulli après avoir prorogé le délai de six mois qu'il avait accordé, en donna deux solutions qui ajoutèrent à l'honneur qu'il avait acquis en proposant une décou- verte si curieuse et si difficile. Il était professeur de mathématiques : à Groningue, tandis que son frère honorait la même chaire dans leur patrie commune. Une émulation vive se mit entre les deux frères, dit un célèbre écrivain contemporain x émulation fomentée encore par leur éloignement qui les réduisait à ne se parler presque que dans les j journaux, et qui était propre à entretenir long temps entre eux le malentendu, s’il en pouvait naître quelqu’ un. Enfin l'aîné ramassant toutes ses forces, lança pour ainsi dire un problème qu'il adressait non-seulement à tous les géomètres, mais aussi à son frère en particulier, lui promettant même publiquement une certaine somme s'il le pouvait résoudre. Jean Bernouilli le résolut, et même assez promptement ; mais il donna sa solution saus analyse, Ce problème est célèbre, comme nous 220 BE Vavons déjà dit, sous le nom des ssopérimètres. I] s'agis- sait de trouver d’une manière générale, entre une infi- nité de courbes qui ont le même périmètre, ou la même longueur, celles qui, dans certaines condi- tions, renfermaient les plus grands ou les plus petits espaces, ou, en faisant une révolution autour de leur axe, produisaient les plus grandes ou les plus petites superficies, ou les plus grands et les plus petits solides. Jacques Bernouilli trouva la solution de son frère dif- férente de la sienne , et il demanda à voir l'analyse pour connaître la cause de cette différence. Telle fut l’ori- gine de la division qui régna depuis lors entre les deux frères. TL résulte de l'opinion de tous les contemporains, que dans ce triste démêlé Jean n'eut raison ni pour le fond ni pour la forme, et qu’il opposa à la modération de son frère Jacques une äâpreté et une véhémence qui n'honorent point son caractère. Jean montra la même susceptibilité et la même irritation avec un grand nom- bre de savans dignes d’estime, tels que Taylor, Côtes et Keil. FH accueillit même d’une manière peu encou- rageante les succès de son fils Daniel et, loin de voir en lui un digne successeur , il fut profondément affecté de partager avec lui, en 1734, le prix proposé par l’Aca- démie des sciences, sur la théorie des déclinaisons des planètes. Cependant on a remarqué avec raison que, malgré ces faiblesses, Jean Bernouilli, dont les travaux sont si dignes de l'estime et de la reconnaissance de la postérité, ne repoussa pas toujours le mérite. Il conser- va en effet une constante amitié au grand Leibnitz, placé encore plus haut que lui dans l’opinion publique. Il accueillit avec empressement les premiers essais d'Eu- ler, dont il fut le maître, et prouva quelquefois qu'il savait mettre de la politesse dans la discussion , malgré la violence qu’il apporta malheureusement dans ses démêiés avec son frère, auquel aurait du l’attacher la reconnais- sance que le maitre doit inspirer à l’élève. Jean Bcr- nouilli a été membre de l’Académie des sciences de Paris, de celles de Berlin, de Saint-Pétersbourg, de la Société royale de Londres et de l’Institut de Bologne. Il était professeur à Groningue depuis l'année 1605. Après la mort de son illustre frère, il vint le remplacer, en 1705, dans la même qualité, à l'université de Bäle, où il est mort à l’âge de 80 ans, le 1°° janvier 1748. On trouve dans les Mémoires de l’Academie des sciences de Paris, dans les Acta eruditorum de Leipzig, et dans toutes les coltections littéraires et savantes du temps, la plupart de ses productions qui furent recueil- lies sous ses yeux, à Genève, par le célèbre Cramer, en 1742, et publiées sous ce titre : Johann Bernoutilli opera omnia. Lausanne et Geuève, 1742, in-4°, 4 vol. On doit y joindre sa correspondance avec Leibnitz, Got-Gul, Leibnitzi et Johan. Bernouilli, commercium plilosophicum +1 mathematicum. Van- intitulée : BE sanne et Gonève, 1745, in-4°, 2 vol. Jean Bernouilli s'est aussi occupé de physique, de théologie et même de poésie; mais nous n’avons point à apprécier son mé- rite sous le rapport de ces divers travaux. BERNOUILLI { Nicoas [), neveu des deux précé- dens, naquit à Bâle, le 10 octobre 1687. Il suivit éga- lement la carrière des sciences, et cultiva surtout les mathématiques; mais les succès qu’il y remporta n’ont pu, malgré son rare mérite, le placer au même rang que ses illustres parens. Nicolas Bernouilli a été l’édi- teur de l’Ars conjectandi de son oncle Jacques, et il a résolu d’une manière brillante plusieurs des problèmes proposés par Jean Bernouilli. Il est juste de remarquer que le germe de la théorie des conditions d’intégralité des fonctions différentielles, se trouve dans la solution de l’un de ces problèmes. Il a successivement professé à Padoue les mathématiques et la logique, et la science du droit à Bâle. Membre de l’Académie de Berlin, de la Société royale de Londres et de l’Institut de Bologne, Nicolas Bernouilli est mort à Bäle, le 29 novembre 1759. Ce géomètre n’a point publié d’écrits séparés. On trouve quelques morceaux de lui dans les œuvres de Jean Bernouiili, son oncle, dans les Acta eruditorum de Leipzig, et dans le Giornale de’ Letterati d'Italia. BERNOUILLI ( Nicozas IT), fils aîné de Jean Ber- nouilli, naquit à Bäle, le 27 janvier 1605. Il hérita, sinon des talens, au moins dés heureuses dispositions que son père avait montrées des l’enfance pour les ma- thématiques. Objet des prédilections paternelles , il put, dès l’âge de seize ans soulager Jean Bernouilli dans sa correspondance avec les savans. On sait au reste peu de choses sur ce géomètre, dont le nom se perd dans les rayons de gloire qui environnent celui de son père. En 1925, il fut appelé à Saint-Pétersbourg, avec son jeune frère Daniel, pour y professer les mathématiques. Une maladie cruelle l'enleva tout à coup dans cette ville à la science et à sa famille le 26 juillet 1726. Les œuvres de Jean Bernouilli et les Acta eruditorum de Leipzig contiennent quelques-uns de ses mémoires sur diverses branches des sciences mathématiques. BERNOUILLI (Daxier), second fils de Jean Ber- nouilli, géomètre célèbre et digue de son nom, naquit à Groningue, le 9 février 1760. Par une étrange bi- zarrerie, sa famille voulut le destiner au commerce; mais il ne montra pas plus de goût que son père n’en avait montré lui-même pour cette profession. Il parut plus disposé à étudier la médecine, science dans laquelle il prit le grade de docteur. Au milieu de ses études, ses dispositions naturelles pour les mathématiques , dont son père lui avait donné des leçons, se manifestèrent avec force. Il continua néanmoins, en Italie, sous Mi- chelotti et Morgagni, à étudier à fond: les diverses bran- ches de la médecine, et il ne tarda pas à prendre part aux BE discussions des géomètres, et à s’acquérir une brillante réputation. Il refusa à vingt-quatre ans la présidence d’une Académie nouvellement fondée à Gênes, et accom- pagna son frère à Pétersbourg, où il professa les mathé- matiques. Il quitta cette ville en 173, revint se fixer dans sa patrie, où il occupa successivement une chaire d'anatomie et de botanique , de physique et de philoso- phie spéculative. C’est là qu’il s’occupa de la mécanique, dont il démontra les principes fondamentaux avec plus de précision et de rigueur qu'on ne l'avait essayé jus- qu'alors. Son Traité d'hydrodynamique est fort estimé, bien qu’il soit fondé sur un principe indirect, celui de la conservation des forces vives : c’est en effet le pre- mier ouvrage qui ait été publié sur ce sujet aussi diffi- cile qu'important. Daniel Bernouülli, doué d’une rare sagacité, et remar- quable par son assiduité au travail, s’est rendu célèbre par les nombreux mémoires académiques qu’il a publiés. Ses biographes citent parmi les sujets qu'ilatraités, et qui offrent des applications utiles et des résultats piquans par leur singularité , ses recherches sur l’inoculation , sur la durée des mariages, sur le milieu pris entre des obser- vations, sur la détermination de l'heure à la mer lors- qu'on ne voit pas l'horizon. Il a également traité d’une manière fort remarquable deux questions d'astronomie physique: la première, concurremment avec son père, sur l'inclinaison des orbites planétaires; la seconde, sur le flux et le reflux de la mer. Il partagea le prix proposé pour la première, en 1734, avec son redoutable rival; et celui de la seconde, en 1740, avec Euler, Maclaurin, et un autre-personnage dont le nom n’est pas connu. C’est à l'occasion du concours de 1734, que Condorcet s’ex- prime ainsi, dans son éloge de Daniel Bernouilli : « Jean, dit-il, ne vit dans ce fils qu’un rival, et dans son succès qu’un manque de respect qu’il lui reprocha long-temps avec amertume. » Le célèbre écrivain dont nous venons de rapporter quelques paroles , a exposé avec l'élégance et la précision qui caractérisent son talent, les tœavaux et la marche de l'esprit de Daniel Bernouilli. 11 fut associé étranger à l'Académie des sciences de Paris, et se fit assez long-temps une sorte de revenu des prix qu'elle proposait : il les a remportés ou partagés dix fois. Cet illustre savant a été membre des Académies de Saint-Pétersbourg , de Berlin et de la Société royale de Londres. Environné de respect et d’admiration , d’un commerce doux et agréable, Daniel Bernouilli eut une vie très-heureuse : il conserva dans un âge très-avancé toute sa présence d'esprit, toute la force de sa haute raison : il ne se fit remplacer dans ses fonctions de pro- fesseur, par son neveu Jean Bernouilli, qu'à l'âge de soixante-dix-sept ans; il en avait quatre-vingt-deux quand il mourut à Bäle le 17 mars 1782. Ses ouvrages mathématiques sont : 1. Danielis Bernoulli e xercita- BE tiones quædam mathematicæ. Vencetis, 1724, in-4°, 224 1 vol. IL Danielis Bernoutlli hydrodynamica, seu de vr- ribus el motibus fluïidorum commentarti, opus academi- cum ab auctore dum Petropoli ageret, congestum. Ar- » gentorati, 1738, in-4°, 1 vol. Ses divers mémoires sur les autres branches des sciences mathématiques et phy- siques n’ont point été recueillis ni imprimés séparé- ment des collections académiques où ils se trouvent. BERNOUILLI (Jean IT), troisième fils de Jean I Bernouilli, uaquit à Bâle, le 18 mai 1710. Comme les autres membres de sa famille, il s’est distingué ‘dans les sciences mathématiques qu'il professa à Bâle, en 1743, dans la chaire illustrée par son oncle Jacques et par sou père. Il a concouru avec son trère Daniel, pour les prix proposés par l’Académie des sciences de Paris. Trois de ses mémoires + ont été couronnés; ce sont : celui sur la propagation de la lumière, celui sur le ca- bestan , et celui sur l’aimant. Membre de l’Académie de Berlin, il est mort à Bâle, le 17 juillet 1790. BERNOUILLI (Jran I), fils du précédent, est également né à Bâle, le 4 novembre 1744. Ses disposi- tions naturelles le portèrent vers les mathématiques, l'astronomie et la philosophie. Ses études, qu’il acheva à Bâle et à Neuchâtel, furent dirigées dans ce sens. Il acquit de bonne heure une éclatante réputation, etil n’était âgé que de dix-neuf ans quand l'Académie de Berlin l'appela dans son sein comme astronome. Après avoir obtenu la permission de voyager, et avoir visité la plus grande partie de l'Europe, il revint, en 1779, se fixer à Berlin, où il fut nommé directeur de la classe des mathématiques de l’Académie, et honoré du titre d’astronome royal. Jean Bernouilli a aussi étéémembre des Académies de Pétersbourg et de Stockholm. Il est mort à Berlin le 13 juillet 1803. Il est le dernier de cette illustre famille qui ait rendu son nom célèbre dans notre siècle. Ses travaux sont nombreux; nous ne citerons ici que ceux qui ont les mathématiques pour objet. L. Ae- cueil pour les astronomes, 1772-76, 3 vol. in-S°. IT. Lettres astronomiques, 1781. TT. Élémens d’al- gébre d'Eurer, traduits de l'allemand. Lyon, 1585, 2 vol. in-8°. Il à publié avec le professeur Hindenburg trois années du Magasin pour les sciences mathéma- tiques. Un grand nombre de ses observations 5e relrou- vent dans les Mémotres de l’Académie de Berlin, et dans les Ephémérides astronomiques de cette ville. BERNOUILLI (Jacques 11), frère du précédent, naquit à Bâle, le 17 octobre 1759. C'est le dernier de cette pléiade de savans, dont uous n'avons pu que rap- peler succinctement les titres à la gloire. Il n’a point eu une destinée aussi brillante. Jacques Bernouilli fat le disciple de son oncle Daniel, et c’est lui qui fut son suppléant à la chaire de physique de l’université de Bâle. Mais il ne put lui succéder. L’inquiétude de son BE esprit, ou le chagrin d’avoir échoué dans ime espérance 223 que son nom et ses talens avaient du lui faire légitime- ment concevoir, le porta à voyager. Il vint se fixer à Pétersbourg, où il occupa une chaire de professeur de mathématiques, et s’unit à une petite-fille d’'Euler. Il était membre de l’Académie de cette ville, de la Société de physique de Bäle, de la Société royale de Turin. Ses premiers travaux insérés dans les Nova acta Academ. Petropol., donnaient une haute idée de ses talers, et annonçaient qu'il allait marcher sur les traces de son oncle Daniel ; mais il périt tout à coup d’une attaque d’apoplexie, à l’âge de trente ans, en se baignant dans la Néva. Ce malheur arriva le 3 juillet 1780. BÉROSE. Deux personnages de ce nom, dont l’un se serait rendu célèbre par des travaux astronomiques, et l'autre comme historien, ont-ils existé dans l’anti- quité, ou ne sont-ils en effet que le même individu? Cette question toute littéraire ne saurait être résolue ici. Pline parle d’un astronome chaldéen, nommé Bé- rose, à qui les Athéniens avaient élevé une statue, dont la langue était d’or, pour faire allusion à son éloquence. Vitruve en parle avec plus de détail, comme d’un prêtre de Babylone, contemporain d’Alexandre. I] lui attri- bue l'invention d’un cadran solaire de forme semi-cir- culaire, et qui pouvait recevoir une position conve- nable à diverses latitudes. La détermination précise de ce fait intéresserait sans doute l’histoire de la gnomo- nique, mais il n’y a pas d'espoir d’y arriver aujourd’hui. Bailly, dans l'Histoire de l'astronomie antique, s'est malheureusemont appuvésur les absurdités apoeryphes, publiées à diverses époques sous le nom de Bérose, pour donner à la civilisation et aux connaissances humaines une antiquité impossible. BEZE ou ALBEZE. Nom que nos anciens astro- noines ont prétendu mal à propos avoir été employé par les Arabes pour désigner la constellation du Cen- taure. BEZOUT (Ériexxe), mathématicien distingué, est né à Nemours, le 31 mars 1730. Le nom de cet esti- mable géomètre est cher aux hommes de notre généra- tion qui ont puisé les premières notions de la science dans ses ouvrages élémentaires. On a peu de détails sur son éducation et ses premières années; on sait seule- ment qu'il fut obligé, par son peu de fortune, de donner de bonne heure des leçons particulières de mathéma- tiques. Cette situation pénible n'éteignit point en lui, par la fatigue et le dégoût qu’elle inspire souvent, la noble ambition de pénétrer dans les régions les plus élevées de la science. La persistance et le généreux en- thousiasme de Bezout ne lui furent point défavorables. L'Académie des sciences distingua plusieurs de ses mé- moires, et l'appela dans son sein en 1758; le duc de Choiseul le plaça, en 1763, à la tête de l'instruction BE de fa marine royale, comme examinateur des gardes du pavillon. Ce fut cette circonstance qui valut à la France la publication d’un cours complet de mathéma- tiques, où Ja science est exposée avec autant de clarté que d’élévation. Les travaux de Bezout sont trop généralement connus de toutes les personnes qui cultivent les mathématiques, pour qu'il soit nécessaire de les énumérer ici, même d’une manière sommaire; il nous suffira de dire que, s’il s’est rendu célèbre par ses ouvrages élémentaires, | ses recherches sur la résolution des équations algébriques lai ont mérité une place distinguée parmi les mathé- maticiens de son époque. Le caractère de cet excellent et honorable professeur lui mérita toute sa vie une considération digne d'envie, comme sa réputation de- viut populaire par les nombreuses éditions de ses cours. Sa vie a été paisible, pure et heureuse. Condorcet a relevé, dans l’éloge de ce géomètre, un trait qui ho- nore à la fois, suivant nous, son courage et la bonté de son cœur. Deux jeunes aspirans de la marine à Toulon étaient malades de la petite-vérole que Bezout n'avait pas eue. [Il était alors dans un âge déjà avancé, et il eüt été dangereux pour lui de contracter à cette époque cetie cruelle maladie. Mais il n’hésita pas entre cette crainte et celle de retarder d’un an l'avancement de ses jeunes disciples : it alla les examiner dans leur lit. On ne dit pas que Bezout ait eu l'habitude de n’agréer que ceux de ces élèves qui avaient étudié les mathéma- tiques dans ses livres ; les professeurs de notre époque ont seuls le triste droit de réclamer l'honneur d’un pareil progrès. Etienne Bezout est mort à Paris, le 27 septembre 17583. Ses ouvrages, souvent réimprimés, sont : I. Cours de mathématiques à l'usage des gardes du pavillon et de la marine. Paris, 6 vol. in-8°, y compris son Zraïtc de la navigation. I. Cours de ma- thématiques à l'usage. du corps royal de l'artillerie. Paris, in-8°, 4 vol. II. T'corie générale des équañons algébriques. Paris, 1779, in-4°, 1 vol. BILLION ( 4rith.) Mille millions. Un billion est une unité du dixième ordre : on l’écrit 1 000 000 000. Dans l'usage ordinaire on se sert plutôt du mot nulliard pour exprimer les quantités de cet ordre. Foyez Arnira- MÉTIQUE. | BIMÉDIAL ( Géom. ). Terme inusité aujourd’hui, employé par Euclide pour désigner la somme de deux droites commensurables seulement en puissance. Cette somme est toujours incommensurable par rapport à l'une des deux lignes composantes. J’oyez Evcur, livre X, prop. 33. | BINAIRE. Nombre binaire. C'est un nombre com- posé de deux unités. ARITHMÉTIQUE rBINAIRE. Nous avous vu ( ArtTu. IE. ), que le problème fondamental de l’arithmétique est la BE construction de tous les nombres, au moyen d’une quantité limitée de nombres que l’on considère comme simples ou comme donnés immédiatement. Or, cette quantité de nombres simples est entièrement arbitraire, et si l'échelle décimale de la numération indienne a été généralement adoptée, c’est qu’elle présentait un avan- tage tellement frappant sur la numération grecque, que personne ne s’est avisé de rechercher si une autre échelle composée de plus ou de moins de dix carac- tères, ne rendraient pas l'exécution des calculs plus simple et plus facile. Cependant le choix de l'échelle décimale, déterminée sans doute primitivement par l'usage umversel de compter par périodes de dix, n’est pas le plus avantageux qu'on aurait pu faire, car une échelle de douze chiffres simplifierait singulièrement le plus grand nombre des opérations. ( F’oyez Numéra- sion.) De toutes les échelles de numération, la plus sunple est évidemment celle qui ne serait composée que de deux chiffres Oureb ES Or, l'aritimctique binaire est précisément fondée sur cette echelle numérique. 1. Pour exprimer tous les nombres à l'aide des deux caractères O6 et 1, on assigne au chiffre 1, outre sa va= leur absolue, une valeur relative dépendante de la place qu’il occupe. Ainsi, 1 isolément désigne une unité; 1 à la seconde place, tel que 10, exprime une dixaine; mais ici la dixaine ne se compose que de deux unités; 1 à la troisième place, tel que 100, exprime 10 fois 10, c’est-à-dire 4 unités; 1 à la quatrième place, tel que 1000, exprime 10 fois 100, ou 8 unités. Enfin, le carac- tère 1 vaut 2 fois plus à la seconde place qu’à la pre- mière, 2 fois plus à la troisième qu’à la seconde, ou 4 fois plus qu’à la première, 2 fois plus à la quatrième qu'à la troisième, ou 8 fois plus qu'à la première, et ainsi de suite. C’est absolument le même principe que celui de notre numération décimale ; seulement, au lieu d'augmenter de dix en dix en allant de droite à gauche, les chiffres croissent de deux en deux. 2. Ilest facile de voir que tous les nombres quel- conques peuvent s'exprimer dans le système binaire aussi bien que dans le système décimal, et que Système binaire. Système décimal, HCXPAIME eee LT TO der eisete sete 00 Ilossoosoeoosoeeoese LOT srsielois slotsjeis nles 0e o10.e TlOsis ee ses scies celO TT. sarcie s'ietqee, 7 TOOD se ss et elere RE PA MOOD ae béritenelera à amiens NO) 225 Système binaire, Système décimal, TOIOI-csennes ete 58e O LOT -s Pris lnemte ait ae STI TIOOsssoute 6$ Juyson 12 LIOLsétastn SVT 425 D LÉO Milenlece ter 107% 1ITTMe ue emasso ss ONs 10000 .16 4 does es 10 ÉtCS te PRIS RS IRIS Sans la grande quantité de figüres qu'il faut pour exprinier des nombres, iiême très-petits , mille ; par exemple, exige déjà dix figures : 1r11100100, l'arith- métique binaire serait supérieure à la nôtre, car les opérations les plus compliquées n'y présentent aucune difficulté, puisqu'on n'opèrce jamais que sur l'unité, et que, par conséquent, les multiplications et les divi- sions pourraient s'effectuer aussi facilement que les additions et les soustractions, Mais la prolixité des fi- gures est un inconvénient tellement grave qu'il détruit tous ces avantages, 3. Leibnitz, à qui nous devons la première idée de l'arithmétique binaire, pensait que dans des recher- ches difficiles elle pourrait conduire à des spéculations plus élevées que l’arithmétique ordinaire, et nous croyons avec lui qu'il est possible d’en faire des appli- cations importantes. C’est une question qui sera traitée ailleurs. Voyez LocariTaMEs. Le père Bouvet, célèbre jésuite, missionnaire de la Chine, à qui Leibnitz avait communiqué son invention, lui écrivit qu'il était convaintu que l’arithmetique. bi- naire donnait le véritable sens d'une ancienne inscrip- tion chinoise laissée par l’empereur Fohi, et dont l'in- telligence s'était perdue depuis près de mille ans, mal- gré les recherches des lettres, qui ne voyaient plus dans ce monument qu'une allégorie puérile ou chimérique. Cette inscription consiste dans différentes combinaisons d’une ligne droite et d’une ligne brisée, en supposant avec le père Bouvet que la ligne droite ——, exprime l'unité, et la ligne brisée — — zéro, on trouve les mêmes expressions des nombres que donne l’arithmc:- tique binaire ; ainsi les figures —d — nt cn un mes cm Meme Gen DO MONMNENENN SEEN CNE MEN us ms mms SEE CNE MES DE en LES nn — ee me st ns nn ÉNN s nns signifieraient D LUE — 14 ,5-8n0 cé EN 0.6 L , 7e Cette conformité des combinaisons des lignes de Folu et des deux uniques caractères de l’arithmétique de Leibnitz, fit croire au père Bouvet que Fohi et Leiboitz avaient eu la même pensée. 4. A1 nous reste à exposer le moyen de traduire en arithmétique binaire un norabre écrit dans notre sys- tème, et réciproquement. Soit, par exemple, 29 à expri« 224 BE mer en système binaire; on divisera 29 par 2, ce qui donnera un quotient et un reste. Le reste sera le pre- mier chiffre cherché ou le chiffre du premier ordre. On divisera de nouveau le quotient trouvé par 2, et lon obtiendra un nouveau quotient et un nouveau reste : ce nouveau reste sera le chiffre du second ordre; on divisera encore. le dernier quotient par 2, et l’on continuera de la même manière, en divisant successive- ment chaque dernier quotient par 2, jusqu'a ce que l'opération ne soit plus possible. Les restes des divisions seront les chiffres du nombre donné, exprimé dans le système binaire; ainsi, 29 ; 14,reste 1, = 3, reste 1, — = 7, reste o, D (3 3 L - = 1,reste1, —— oO, reste 1. 2 2 29 sera donc exprimé par 11101. De même, pour traduire 17 eu arithmétique bi- paire, On aura - = 9, resteo , LI 1 8 11 = Greste 1, — = À, reste o ? D + 2 2 2 1 — = 1,resteo, — = 0, reste I, 2 2 donc 17 est exprimé par 10001. 5. Lorsqu'il s’agit au contraire de traduire em arith- métique décimale un nombre écrit dans le système bi- naire , il suffit de former une table des puissances de 2, et une simple addition donne immédiatement l’expres- sion demandée. En effet, le nombre 11101, par exemple, est composé d’une unité simple, d’une unité du troi- sième ordre, d’une du quatrième et d’une du cinquième. Or, dans notre numération, l'unité du premier- ordre vaut 1, celle du troisième vaut 2 — 4, celle du qua- trième vaut 2? — 8, et celle du cinquième vaut 24 = 16, le nombre 1101 vaut donc 1+o+4+8—H 16 = 29. Ces transformations sont trop simples pour qu'il soit besoin d'entrer dans de plus longs détails, les principes sur lesquels elles reposent devant être d’ailleurs expo- sés à l'article NumÉRATION. BINOME (Ælg.) (de Bis, deux fois , et de vou, part). Quantité composée de deux parties ou de deux termes. Ainsi, AB, a+ 3x, ba—x, 8x — 3a«b, etc., sont des binomes. Une quantité qui n’a qu’un seul terme se nomme »10- nome. On lui donne le nom de trinome lorsqu'elle en a trois, comme A+ B—C, et en général celui de poly- nome ou multinome. Binome ne Newron. On donne ce nom à la formule qui exprime le développement d’une puissance quel- BE conque d’uu binome. Cette formule, l'une des plus im- portantes de l'algèbre, et qui forme la première loi théorique de la scieuce des nombres, fut découverte par l'immortel Newton dès ses premiers pas dans la carrière qu'il parcourut avec tant de gloire. Voici en quoi elle consiste : Soit a + b un binome quelconque et x un nombre également quelconque, positif ou ñé- gatif, entier ou fractionnaire, on a (74) m(In— (a+b}" = a" LE mani b + D us be + m(m—1)(rr—2) 1:2:3 Lorsque »2 est un nombre entier positif, le second membre de cette égalité a un nombre fini de termes; — am—5 bi + etc. mais , dans tous les autres cas, ce nombre est infini. Si nous faisons, par exemple, m=3, le cinquième cocff- cient m(m—1) (m—2) (m—3) 1.294 devient o à cause du facteur (#1—3) qui devient 3—3— —0; et comme ce facteur entre également dans tous les coefficiens suivans, l'égalité (m1) se réduit à (a+b) = a 3ab + 3abr + bi, Lorsqu’au contraire l’exposant 2 est négatif ou frac- tionnaire, aucun facteur ne devient o, et le second membre de (”) a un nombre indéfini de termes. Si, par exemple, »2——1, nous aurons (a+ b) = a a? b + a br — a 4b5 + etc, à l'in- fini. D'où ar Mb Ab DE Di Et (a + b) A mate ete, à l'infini. Si m—"+, nous aurons a Ta ÉG— 1) à (@+D za tra F4 a + ee 5 + RE T a bi Letc. ou + + SU , À (a+b) = « [r+iis | Ce théorème se démontre très-facilement lorsque »2 est un nombre entier positif. En effet, Pour avoir la puissance 72 d’un binome (a+4-b), il faut observer que, d’après les lois de la multiplication (Foy. Murrirzicarion), cette puissance doit se compo- ser de la somme de tous les produits formés par toutes les combinaisons »2 à m des deux lettres & et b. Par exemple, le produit de a + b par a4-b. ou la seconde puissance de (a4-b) est aa + ab + ba + bb, BI ou la somme des produits deux à deux des lettres à, b; et ces produits se trouvent exprimés par toutes les coni- binaisons deux à deux de ces mêmes lettres. Si l’on multiplie cette dernière quantité par a+, le résultat aaa + aab + aba + baa + abb + bab bba + bbb, ou la troisième puissance de a+ b, contient la somme des produits exprimés par toutes les combinaisons érois à trois des lettres a et b. De même, en multipliant encore cette dernière quan- tité par a+b, on formerait la quatrième puissance de a+b, qui serait évidemment composée de tous les produits formés par les combinaisons quatre à quatre des deux lettres a et h, et ainsi de suite. Le produit de » binomes a+-b, ou la puissance m du binome &æ+- b doit donc contenir la somme de tous les produits formés par toutes les combinaisons 73 à m3 des deux lettres a et b. Mais des groupes différens de combinaisons peuvent exprimer le même produit, ab, par exemple, est la même chose que ba; abb, que bab, ou que bba, etc., etc. (roy. ALGÈsrE, 7 et 11); il faut donc remarquer qu'un produit quelconque se trouve, de cette manière, répété autant de fois que les lettres qui le composent admettent entre elles d’arrangemens différens ou de permutations. Si l'on demandait donc, par exemple, la quatrième puissance de (a+4-b), il faudrait commen- cer par former les groupes de combinaisons qui ne con- tiennent pas les mêmes lettres, tels que aaaa , aaab , aabb, abbb, bbbb; et ensuite on donnerait à chacun de ces produits tous les arrangemens différens dont les lettres qui les com- posent sont susceptibles pour former toutes les autres combinaisons. On aurait donc aaaa + aaab + aabb + abbb + bbbb + aaba + abab Æ babb + abaa + baab + bbab + baaa + baba + bbba —+ bbaa + abba. D’où l’on conclurait : (a+ bi = ai Lab Æ Gab? Æ 3ab3 + bé, On doit donc considérer-deux espèces de groupes de combinaisons, savoir: ceux qui expriment des produits différens, tels que aaab et aabb, et ceux qui expriment le même produit, tels que aaab et abaa. Les premiers se nomment simplement combinaisons, les deux en- semble se nomment combinaisons avec permutations : ainsi, aa, bb, ab, sont les combinaisons deux à deux deaet deb,et aa, ab, ba, bb, sont les combinaisons deux à deux avec permutations des mêmes lettres, BI 295 Pour former la puissance »# d’un binome a+b, il ne faut donc que former toutes les combinaisons m2 à m des deux lettres a et b, prendre les permutations de chaque combinaison , et la somme de tous les groupes exprime la puissance demandée. Or, les combinaisons » à m de « et de b sont : a répété 71 fois, ou AAA A Ailirres —=A7, a répété »—1 fois, et b une fois, ou a répété 77 —2 fois, et b deux fois, ou a.a.a.a.. = ani, BoBililrsc ob = AIR, arépété m—3 fois, et b trois fois, ou a. a.a.a.....b.b,b = an-3b5, etc. etc. Et enfin b répété m fois, ou bb: bib:b. =: Chacun de ces groupes doit se trouver à son tour ré- pété autant de fois qu’il admet de permutations. Pour avoir l’expression générale de la puissance 7# du binome a+b, il ne s’agit donc plus que de connaîi- tre le nombre des permutations qu’admet chaque groupe de combinaisons, représentant un produit différent. Car, désignant par À, le nombre des permutations du groupe exprimé par a"—tb, par A, celui du groupe a—b; par A; celui du groupe a"—b?, et ainsi de suite, nous aurons évidemment (n\ (a+-b}" = an HA, am—1 DH A, am—2 D + A, am—3 B+etc.... + A4 abm—1 Lhn Les groupes a”, b", n’admettent point de permuta: tions, puisqu'ils sont composés d’une seule lettre. On sait, d’après la théorie des permutations, qu’un groupe de »2 lettres différentes admet un nombre de permutations représenté par le produit 1.2.3.4.5.6.7..(m—1).m, c’est-à-dire par le produit de tous les nombres entiers depuis l'unité jusqu'a m. Et que si ce groupe ne con- tient que deux lettres différentes , il faut, pour connai- tre son nombre de permutations, diviser ce produit gé- néral par le nombre des permutations que pourrait for- mer la quantité de chacune de ces lettres, si elles étaient différentes. Ainsi, lorsqu'un groupe de m lettres a et b contient n fois la lettre b, et m—n fois la lettre a, le nombre de ses permutations est exprimé par (4) 1.2.3.4.5.6..(m—1)m 1.2.3..(m—n).1.2.3..n Voyez PERMUTATION. 29 226 BI Ceci posé, if est facile de trouver la valeur des coef- À; , Ày, ele, dans l’expression (n); car A; , désignant le nombre des ficiens que nous avons désignés par A; , permutations d’un groupe de deux lettres dans lequel une de ces lettres se trouve une fois, est égal à 1.2:3.4:..(m—i)m dd (SD EU A; , désignant le nombre des permutations du groupe dans lequel a 5e trouve m— 2 fois et b,2 fois, est égal à 1.9.3.4...(m—1).m mi) 1.2:3...(0—9).1.9 1.2 Enfin, faisant successivement n—2, n=3, n—4,etc., dans l'expression générale (a), on trouvera de même m(m—1)(m—2) 1:23 m(m—i)\m—92)m—3) 152364 | A3 , A, etc., etc. La puissance 72 du binome (a+b) est donc définiti- vemeént — (a+b)"— a+ mail LÀ 1) a" m(m—1)(m—9) m—3 ( X VE 3 1209 suis dont la loi de génération des termes est visible, Si l’on voulait, au moyen de cette expression générale trouver la quatrième puissance de (ab), il faudrait commencer par calculer les coefficiens 72, ee , etc., en faisant m = 4, on trouverait m = 4 m(m—1) _4:3 ENCORE n—i)(n—2) 4.3.2 4 FAT ES ne mm—i1Xm—2\m—3) 4.3.2.1 1:92.3:4 T Roe3.4 m(m—1Xm=2\m—3Xm—#) 4.3:2.1.0 2.3.4 MÉNTS TiS 1 n’y a donc plus de termes passé le cinquième, et Ja puissance demandée est (a+ bi = ai b+Geb ab 4; comme nous l’avions déjà trouvé ci-dessus. Foutés les considérations particulières sur la forme - de l'expression générale (2), ses termes , toujours égal à 2241, Fégalité des cocffi- telles que le nombré de ciens également éloignés des extrémités, elc., etc., pouvant se déduire sans aucune difficulté de cette ex- pression méine où de Fi marche qui nous v a conduits, BI nous nous coutenterons de faire remarquer une pro- priété des coefficiens qui consiste en ce que leur somme, pour une puissance quelconque n, est égale à 2° , et que la somme des coefficiens de l’ordre impair, c’est-à- dire le premier, le troisième, le cinquième, etc. , est toujours égale à la somme des coefficiens de l’ordre pair. En effet, dans l'expression générale (n) faisons a—1 et b=1, nous aurons iles n(n—1\n—2) 1:29 QG+1)" = 27 =1+° + — + etc... Faisons actuellement a=— 1, et b —— 1, nous aurons — + En PRE ner I1)} =O—=I—- ( ) I 1,2 1:2:8 etc... Or, cette dernière égalité ne peut avoir lieu qu’au- tant que la somme des coefficiens positifs est égale à la somme des coefficiens négatifs, ce qui est la même chose que la propriété énoncée. L'expression générale (m1) a été gravée sur le tombeau de Newton, l’une de ses plus brillantes découvertes. Nous devons dans l’abbave de Westminster, comme dire cependant que le cas des puissances entières posi- tives avait été entrevu par Viète et surtout par Briggs (Voy. même dans ce simple cas, ne s'était élevé à la forme gé- Trigonometria britarnica): mais aucun d'eux, nérale des coefficiens te ...(nm— n + he rB O4 s si forme qui constitue la /oi du développement. Ainsi, quelqu'emprunt que Newton ait pu faire à ses devan- ciers, il lui reste l'honneur plein et entier d’avoif fe- connu que l'expression qui porte lé nom de son binôme embrasse toutes les valeurs de l’exposant »1. La pre- mière communication qu'il fit de cette importante dé- couverte se trouve dans une lettre écrite à Oldenbourg, le »{ octobre 1676; il paraît qu’il y fut conduit par l'é- tude du célèbre ouvrage de Wallis : l’Arithmetique de l'infini. Le binome fut donné par Newton sans démon- stration; mais la grande utilité de cette formule la ren- dit bientôt l’objet des travaux des mathématiciens : Jac- ques Bernouïlli, Moivre, Euler et d’autres, en donnè- rent diverses démonstrations; cependant, mêmeé au- jourd’hui, il n’en existe pas encore une entièrement sa- tisfaisante pour le cas général de l’exposant quelconque; le plus grand nombre des démonstrations connues ne sont rigoureusement que des vérifications ; les autres, fondées sur le développement des fonctions en séries, sont de véritables cercles vicieux dans lesquels on re- garde comme établi ce qui est précisément en question. L'examen de ces démonstrations nous entrainerait trop ” f : BI loiu, et n’est point d’ailleurs notre objet. Nous devons nous contenter de donner ici les formes particulières de l'expression (#), dont nous aurons l’occasion de faire de nombreuses applications. Lorsque 72 est entier, posi- tif, ou négatif, on peut donner au binome les formes suivantes, plus commodes pour les calculs, m(m—1) a + 1.2 ‘bt HD" [ins AUS m(m—1)(m—2) b + Ed etc. | 1.2.3 Cu Ltd Et” Port 2 DITES TS Ox Tee et = fin DE — Sr etat] an "fs + Li sr mm x )(rm 4) b Sie 15330 ste] Dans le cas de »2 fractionnaire, on trouve également (a-+bÿ — =az “[° KE + p? 2 + Bb E D Hd | g 1.2 + P(P—9)(P pe UP + ae] y db? roy Ath La — & q a g:1.2 @ __np+g)(p+2q) b PA RE TIC a + ete. | Quand b est négatif, il faut changer les signes des ter- mes qui contiennent des puissances impaires de b dans ces deux dernières expressions. #oy. ExTrAGTION Des RACINES. BiNOME DES FACTORIELLES. Xramp et Æ#rbogast ont donné le nom de factorielle au produit des termes d’une progression arithmétique, tel que a.(a+r).(a4-2r).(a+-3r).. que Vandermonde ; auquel on doit la découverte de ces etc, fonctions très-importantes (voy. Mém. de l'Ac. des se., 1772) , avait désigné sous celui de puissances du second ordre. Nous adopterons ici la dénomination de Kramp ainsi que sa notation, plus commode que celle de Van- dérmonde , et surtout beaucoup plus simple que celle que Legendre, on ne sait trop pourquoi, a voulu lui BI substituer. Nous poserons donc arr = a(a+r) (a4-2r) (a43r). ... (a{m—i}r). Voy. l'article FactTorIELLE. Nous aurons ainsi alr=a æV = a(a+r) aÿlr = a{a+r) (ar) air = a(a+r) (a+-2r) (a4-3r) etc, etc. Sans entrer ici dans des détails qui se trouveront autre part, nous allons exposer le théorème principal des fac- torielles, qui est : L La factorielle à base binome(a#b}"\", a pour dévelop- pement l'expression an pm am—irbife E ei): am—21rb}r n(m— ra m(m—1)\m—2) dre NET b | + etc. + Les coefficiens sont les mêmes que ceux du binome de Newton, et la loi des termes est évidente. Vander- monde, à qui nous devons ce théorème, ne l'a envisagé que dans le cas particulier de r= — 1, Kramp, qui l’a reproduit ensuite, sans faire mention de Vandermonde, l'a traité dans toute sa généralité, mais il ne l’a pré- senté que sous la forme d'un problème; et rien ne lé- gitime la supposition dont il part. (Foy. Kramp, Arith. univ., page 358.) Nous allons essayer ici de suppléer à ces démonstrations. D'après la nature des factorielles, quel que. soit l’ex- posant m, entier ou fractionnaire , positif ou négatif, on a am = (a+ (m—i)r). ami = (a—r)am—ilr mr ant = (a—ryrlr om ran—ilr Faisant a—a—br, on obtient (1) (a+ anlr À mr (abr)n-itr, Mas, en vertu de cette dernière expression , on a aussi | (a+nmilr = gite Æ (m—i)r(atnn2lr (a-Hnn—2tr = am—2lr (m—o) r(a+-r)e sfr (a+ = am—5lr Æ (m3) n(a4-rr—4lr etc. etc. (a+r)m-lr = an—b|r + (m—u) r(a+r)nk—ilr Ainsi, substituant chacune de ces expressions dans la précédente, on obtiendra (a—brpnir = antr om am—itr.rm(m—i)amalr re + m(m—i) (m—2)ar-sir.r + etc... + mm—i)(m—2).. (mn) (a+) tt, 228 BI #2 étant un nombre entier positif quelconque, si on le fait égal à m, on a, lorsque mn est lui-même entier vositif, m(m—1)(m—2)...(m—p#)=0. D'où il suit que, dans le cas de » entier positif, le dé- veloppement précédent n’a que m1 termes, et que le dernier terme est m(m—i)(m—2)...(m—p+4i)r(atrm-mlr, ou simplement m(m—i)(m—a)...3.2.17, à cause de (a+r}mir = (atr)lr = 0. Dans le cas de toute autre valeur de », ce développe- ment prend un nombre indéfini de termes. On a donc en général (p) (a+rÿri = ant + mam—\rr + m(m—i)an—2\rr 4 H m(m—1)(m—o2)an—sir, ri etc. Cela posé, si l’on fait dans cette dernière expression a=a+r, elle.devient (a+orÿtr = (a+r)rl Æ m(a+r)r -11r,r3 Æ + m(m—i)(a+r}—2ir 78 Æ etc. Développant (a+rÿrir, (a4-r}—1lr, etc. par la même loi (p) on obtient (a+arÿtr = ant + man—iir,rbm(m—i)ar-2 rer, + me am ir m(m—i)an 1 re +. + m(m—i)an-slr re. ne. et, par couséquent, (a+2r) = ant om amie, + 3 m(m—) as L + 4m) (m—o2)an-sir.rs + etc. Faisant ercore dans cette dernière expression 4=#+ r, et opérant comme ci-dessus, on a (a+3r)" Ca L man—tirer He m(m—i)am-sir,. rm +. +aman—tir.rbom(m—i)an—2lr,r+.. +m(m—i)an-2 rm. +. et, en additionnant, (a+3rÿrir= ant + Sman—i\r LL 6 m(m—1)am—21r,r 4 +i5m(m—iXm—o)an-sir, 3 Æ ete. En suivant la même marche , on trouverait encore (a+ rpl = amie & fm ami LE 10 mm— 1)am—2ir, pe + 20m (m—i)(m—o2)an- 517,73 L etc. Or, en examinant la formation des coefficiens numé- riques, on reconnait facilement que ceux de {a+44r) BI sont donnés par la somme de ceux de (a+3r), et ces derniers par la somme de ceux de (a+ ar) lesquels forment la suite des nombres naturels. 1512 ,192:40 10,0 O1, 10:21etc: 7119 Ces cocfficiens sont donc les nombres figurés ( Foy. ce mot) des divers ordres ; et comme en substituant tou- jours successivement a4-r à la place de a dans chaque nouveau développement, les coefficiens numériques se- ront nécessairement des nombres figurés d’un ordre de plus en plus élevé, il est évident que les coefficiens nu- mériques de (a+-nr)"i" seront Con MH) mabiins) EE EE DE T:2.3110 000 ou qu’on a en général (a+nrÿlr = ar LE nm ami + + _ m{m— 1)am—t|r,r + nn) (ne) | is — + ———— m(m—i)(m—92) ar-5lr,.r Æ etc... Or, le terme général de cette suite est, en désignant par v le rang des termes, LE NEeee (3) DCE (n—v+2)an-v+tlr pes, Mais on a n(n+41)n+2)\n+43)...(n+v—s)= nt, et de plus (voy. FAcTORIELLE), a À (0 3 ur On peut donc donner à ce terme général la forme m(m—3)\(m—°2)... (m—v+2) 1.2.3.4...(v—2) an—v+ir, (ar)—ilr, Ainsi, faisant nr = b, on a définitivement at (aHb}ntr= ar om ami, ER an—2lr, btir m(m—1)\m—2) am—slr, s|r os NE SR bslr L etc + n étant nécessairement un nombre entier, cette dé- monstration n’est entièrement rigoureuse que lorsque & est un multiple exact de r; mais nous déduirons autre part ce binome en laissant les quantités a, b, m,r, dans toute leur généralité, Nous devons seulement faire remarquer ici qu’en faisant r infiniment petit et » iufi- viment grand, on a toujours pour b un nombre fini; et conune dans ce cas la factorielle générale a”l” se réduit BI à la simple puissance a” , la formule ci-dessus se réduit aussi à celle de Newton (V’oy. Bixomx ne Newrow), qui se trouve par là démontrée pour toutes les valeurs de . l'exposant. BIQUADRATIQUE { 4lg.). Nom donné par les anciens algébristes à la quatrième puissance d'une quan- tité. Ainsi 16 est la biguadratique puissance de 2, parce "que 24 = 16. ÉQUATION BIQUADRATIQUE. C’est une équation du qua- trième degré, ou dans laquelle la quantité inconnue est élevée à la quatrième puissance, La forme générale de ces équations est æi + Axi + Br? + Cr + D —o, dans laquelle À, B, C, D sont des quantités quelcon- ques positives, négatives ou zéro. La résolution générale des équations du quatrième de- gré fut trouvée en premier lieu par Louis Ferrari, élève de Cardan, ainsi que ce dernier nous l’apprend dans son Arte magna, publiée en 1540. Bombelli, en 1574, décrivit, dans son Algèbre, la règle de Ferrari, avec quel- ques développemevus, et pendant long-temps il en fut cru l'inventeur. Depuis, Descartes parvint au même résultat en suivant une marche nouvelle, et ensuite plusieurs autres méthodes furent données par #aring, Euler, Simpson, ete., etc. Mais quelque différens que puissent paraître les procédés de ces mathématiciens, ils conduisent au même but, sont, en principe, esssn- tiellement les mêmes, et donnent une même forme aux racines de l'équation. 1. Méthode de Ferrari, nommée improprement règle de Bombelli. Soit l'équation générale du quatiiime degré, xt + ax LE bx? + cx + d = 0. Supposons cette équation identique avec (a +5 ar + p)?—(qe+r)? = 0, p,getr étant des quantités inconnues qui vost être déterminées par cette supposition. En effet, on a, en développant les puissances, (A +s ar +p}= xt + ax + £a x + apx +p° + 2p x? — jf XL —2q4rL— 7, — (gx + r) Or, en comparant avec la proposée il faut, pour que ces expressions soient identiques, que les coefficiens des mêmes puissances de + soient les mêmes ; on a donc «a $®—Hop— gp —=b ap—%qr = c st p+r-d. Il à BI 229 Au moyen de ces équations les valeurs de P; ger peuvent être facilement obtenues. On en tire d’'a- bord 8p? — 4bp° + (2ac — 8d) p —æ@d + 4bd — © — 0, équation du troisième degré qui ne contient plus que P; ainsi on peut considérer cette quantité comme étant entièrement connue. Mais p étant connu, la valeur de 4 donnée par la seconde équation, qg=VG + 2p—b) et celle der, donnée par la troisième Le Gp C r — EVA se trouvent déterminées. Les quantités p, g, r étant ainsi trouvées on en obtient immédiatement les quatre valeurs de x de l'équation proposée; car cette équation est alors effec- tivement identique avec (2 +rac+p}— (gx +r} =o, qui donne Ce + ia +p} = (gx +ry. Prenant la racine seconde des deux membres, nous avons m+rar+p=t(gz+r), d’où l’on tire, à cause du double signe Æ, les deux égalités æ'+(sa—qg)z=r—p C+(ra+q)zx=p—r. Équations du second degré dont les racines 4 / [CET 4e] Aie Et [CE] ie /[ (EE) er] sont les quatre racines demandées. On voit que cette méthode fait dépendre la solution de l'équation du ZX = OU — quatrième degré de la solution préalable d’une équation du troisième. Il en est de même de toutes les autres. II. Règle de Descartes. L’équation proposée étant privée de son second terme (voyez TRANSFORMATION), ou ramenée à la forme xi+pr+qr+r=o. 250 BI On peut la considérer comme formée par le produit de deux facteurs du second degré a +ar+b, x + cx + d, les coefficiens &, b, c, d étant des quantités que la con- dition d'égalité ai + pr gx res (a+ ax +b)(x*+ ox + d) va nous servir à déterminer, Effectuant la multiplication indiquée, nous avons a+ pr? Lg kr 2i + ax + br? + cx5 + acx* + bcx + dx? + adx + bd, Ce qui donne les équations de conditions a+c—=o b+ac+d=p bc + ad = q bd=r. La première donne c — — a; substitugnt — a, à la place de c, dans les deux suivantes elles deviennent b—a+d=p ad — ab = q. Multipliant la première par &, et l’ajoutant ensuite à la seconde on obtient 2ad — a = pa + q, d’où l’on tire 4 S+ra+g = = ; Cette valeur de d étant substituée dans la dernière équa- tion de condition, elle donne 2 der NETET Enfin substituant ces valeurs de à et de d dans l’équa- tion ad — ab — q, on trouve définitivement 4 ai. opai + pa — q—4r = 0. Cette équation, qui se nomme la réduite, quoique étant du sixième degré, peut se résoudre comme celles du troisième. (’oyez ABalsseMENT. ) On peut donc con- sidérer la valeur de & conime connue. Mais les deux facteurs du second degré, en y substituant à la place de a L,ce, d les valeurs de ces quantités, deviennent 27 LR ET 7e & HP ie m—artie+iptT= 0. BI ue ait donc plus que de résoudre ces deux équa- tions du second degré pour obtenir les quatre racines de la proposée. Ces racines sont : ERHS 1 \/: 2r L=—s;0— 3 — & + p +1 r=+sat\/ Zi ip F F q x=—!a— IT. Règle d'Euler. Si l’on remarque que la résolu- tion d'une équation du second degré se réduit à prendre la racine carrée d’une certaine fonction de ses coefficiens, et que celle d’une équation du troisième degré se réduit également à prendre la racine troisième de deux fonc- tions de ses coefficiens, l’analogie porterait à conclure que la résolution d’une équation du quatrième degré doit pouvoir se ramener à l'extraction de la racine qua- trième de trois fonctions semblables de ses coefficiens, c'est-à-dire que la forme d’une des racines de cette équation doit être 5 î 4 VM+VN+VO, M, N, O étant trois fonctions des coefficiens de l’équa- tion. Mais en observant que l'extraction d’une racine qua- trième peut s'effectuer par deux extractions successives de racines secondes, nous pourrons donner aux ra- cines de l'équation du quatrième degré la forme plus simple (a) 2 2 2 x=Va+Ve+Ve, @, æ', ?” étant les fonctions des coefficiens p, g, r de l'équation générale LT — pr — QE —r = 0. Pour déterminer ces fonctions , élevons d’abord l’éga- lité (a) à la seconde puissance, nous aurons a=g+9 +9 +oV/99 +aV/99" +a1/99", ou 2 — À =a/p9 + 209" + 21/98", en faisant A — @ + @' + Ÿ”. Élevant encore cette dernière égalité à la seconde puissance, nous aurons xi—0Ax + A° = 499 +499" +499" + +8 V#999"+8V9"29" +849", faisant 9’ + 69" + 99” —B,et #9?" = C, nous BI L ponrrons ramener cette expression à la forme 2x4 — 2Ax° + À? — 4B + 8xV/C à cause de V/® + V9 + V/9"= x. Nous avons donc l'équation æ4 — 9Axt — 8V/C.x + A1—4B—=0o qui doit être identique avec la proposée; ce qui nous donne les équations de condition P — 2À q = 8VC r — {4 — A! desquelles on tire (2) ÀA=:3p PARTIS G= CE À Mais puisqu'on a g+? +9 =A g9 + 99" +9e —=B gb?" = 0, il est évident que les quantités 9, ®', ®” sont les trois racines de l’équation du troisième degré. Voyez Équa- TIONS. —Ar Er 6 =0 Ainsi les coëfficiens de cetté équation étant donnés par les égalités (b), on peut regarder commé connues les quantités @, ®’, ®’. Une des racines de l'équation pro- posée sera donc Zz=VE+VE + Va". Cétte formule renferme nécéssairement les quatre racinés demandées à cause dés différens signes qu’on péut donner aux radicaux; bien plus, on pourrait croire qu’elle peut mêmé donner huit valeurs diffé- rentes pour x; mais il faut observer que V/#6'9” doit être égale à vC — d5 donc si . est une quantité pos- tive, le produit des quantités \/9, V/?', V/®" doit être positif, et il ést par conséquent nécessaire dans ce cas de prendre les trois radicaux avéc le signe +, ou bieu deux avéc lé signe —; les valeurs de æ sont donc alors (1) z= VR+Ve +Ve x=. Ve—Ve — Ve = —Ve+Vr — Ve" T=—Ve—Ve + ve. si { ést une quantité négative les valeurs de x seront les suivantes : (2) BI 934 x= Ve+Ve' — Ve z= Ve—Ve +Ve" t=—-VR+Vg +Ve" x=—\/p—Vg —V?. Pour donner un exemple de l'application de ces for- iules , soit ai = 25x? Æ Gox = 36 = o une équation du quatrième degré, sans second terme ; en comparant avec l’équation générale on a p=25, g—=—60, r = 56. Substituänt ces Valeurs dans les égalités (b) on trouve À #25 2 = 150 10 La réduite du troisième degré est donc r° À 4 18 — =, afin d’éliminer les fractions faisons y = 7 et ; Substi- tuant, nous aurons après les réductions 25 — 5oz? + 769: — 3600 = 0. Cétte équation ayant uné racine 4 = 9, divisons-la par z— 9,il vient Z — 13 + 400 — 0, équation du sécond degré dont les racines sont z = 16 et z — 25. Ces trois valeurs mises dans y = £ 4 donnent pour les trois racities de la réduite les quantités 5 25 9, 4 et ER nous ayons donc @ — 9 p=4etp" =; ä 4 4  nous 15 rs , — —, ainsi, d’après les for- 2 mais V/?9'?" = J = mules (2) les racines de l'équation proposée sont : re ns DE 1 fe dieiee ee L = phares 1 5 e Ze — -— HODOUC À = 27: 2 D demo sectes z=—)+i+= Fi e 3 5 _ A eee mt piera ie Die ie 2 ee 6. Nous ne nous sommes point arrêtés à prouver que, dans les deux méthodes précédentes, comme daus cette der- 252 BL nière, les diverges combinaisons des signes des radicaux ne donnent jamais que quatre racines différentes pour l'équation proposée du quatrième degré. Cette démons- tration se trouve daps tous les traités d’algèbre. Quant aux différentes valeurs réelles ou imaginaires qui résul- tent de la nature des coefficiens, Voyez ÉQUATION CU- giQue. Nous devons faire observer que la règle de Ferrari, exposée en premier, a été généralisée par Simpson. BIQUINTILE (Astr.). Aspect de deux planètes situées à 144° de distance l’une de l’autre. Voyez ASPECT. On nomme cet aspect hiquentile, parce que la dis- tance est alors double de l’aspect quintile, ou 2 fois 72°. BISSECTION Division d’une étendue quelconque en deux parties égales. BISSEXTILE ( Calendrier.). Année composée de 366 jours, et que l’on forme de 4 en 4 ans par l’inter- ( Géom. ). calation d’un jour au mois de février qui se trouve alors de 29 jours, tandis qu'il n’en a que 28 dans les année communes. Cette addition a pour but de recou- vrer les 6 heures dont l’année civile diffère de l’année astronomique lorsque cette première n’est composée que de 365 jours. F’oyez ANNÉE et CALENDRIER. Lors de la réformation du calendrier romain par Jules César, le jour intercalaire que l’on convint d’ajouter de 4 ans en 4 ans, fut placé immédiatement après le 24 de février, qui portait le nom du sixième jour avant les calendes, de là lui vient celui de bissexto calendas, d'où les années dans lesquelles se «trouvaient une telle intercalation furent nommées bissexules. BLAGRAVE (Jan), savant mathématicien anglais, né vers le milieu du XVI° siècle, .dans le comté de Berk. La vie studieuse et solitare de Blagrave offre peu d’événemens. On sait seulement qu'après avoir fait de brillantes études à Reading et à l’université d'Oxford, il se retira dans sa propriété de Southcote-Lodge. Les mathématiques furent le seul objet de ses méditations dans cette paisible retraite, où ne vinrent pas l’atteindre les orages de son siècle, dont les révolutions tiennent une si grande place dans l’histoire sociale. Jean Blagrave a composé un assez grand nombre d’écrits estimables , dans le seul but de rendre l'étude des mathématiques plus facile et plus générale. Après avoir été long- temps le bienfaiteur des pauvres, il mourut à Reading le 9 août 1611. Ses amis et ses parens lui firent élever un monument dans l’église de cette ville, dédiée à saint Laurent, où il fut enterré. Son testament qu'on peut trouver bizarre, ‘révèle à la fois la générosité de son cœur et l'esprit exact et prévoyant d'un mathéma- ticien. On a dit que c'était un de ses meilleurs ouvrages. C'est ainsi qu’un de ses biographes en expose les détails les plus intéressans, « Blagrave n'ayant jus toèur ié, BL D et par le testament de son père, ayant la disposition des biens de sa famille pendant 09 années, à compter de l'année 1591, il légua à chacun des enfans et des- cendans de ses trois frères, pendant cet espace de temps, la somme de 50 liv. sterl. qui leur serait payée lorsqu'ils auraient atteint 26 ans; il calcula sa donation avec tant d’exactitude, que près de quatre-vingts deses neveux en recueillirent le produit. Parmi d’autres charités , il laissa 10 liv. sterl. pour être distribuées de la manière sui- vante : le vendredi-saint, les marguilliers de chacune des trois paroisses de Reading, devaient envoyer à l’hôtel- de-ville une fille vertueuse qui aït vécu cinq ans avec son maitre; Va, en présence des magistrats, ces trois filles vertueuses devaient tirer aux dés pour les 1olivres. Les deux filles qui n'avaient rien étaient renvoyées l’année suivante avec une troisième, et de même la troisième année, jusqu’à ce que chacune eût tiré trois fois pour le prix. » Blagrave a laissé les ouvrages sui- vans : [. Bijou mathématique, etc. Londres, 1585, in-folio. IT. De la construction et de l'usage du bâton Jamiier, ainsi nommé parce qu'il peut servir égalemens pour se promener et mesurer geométriquement toutes les. hauteurs. Londres, 1590, in-4°. IIL. Astrolabium ura- nicum generale, etc., ou Consolation et récréation nécessaire et agréable pour les navigateurs dans leurs longs voyages, contenant l'usage d’un astrolabe, etc. Londres, 1596, in-4°. IV. L'Art de faire des cadrans solaires. Londres, 1600, in-4°. BLONDEL (François), mathématicien et architecte célèbre, naquit à Ribemont, en Picardie, en 1617. Le hasard l'ayant mis en relation avec une famille puissante, il parut de bonne heure sur la scène du monde, et s’y trouva favorablement placé pour y développer ses talens. Tandis que tant d'hommes n’ont envisagé l’étude et le savoir que comme des moyens pour arriver à la for- tane, Blondel ne semble avoir au contraire accepté des emplois élevés que pour pouvoir se livrer avec plus de facilité et de distinction à des travanx, auxquels il doit en effet toute sa renommée et la gloire, qui auraient pu l'oublier dans les rangs des courtisans vul- gaires. Le succès qu’il obtint dans une mission diplo- matique à Constantinople, le fit choisir par Louis XIV pour enseigner au Dauphin son fils les belles-lettres et les mathématiques. Ses profondes connaissances dans ces dernières sciences, qu'il professa aussi au collège royal, lui servirent éminemment à régulariser ses pro- ductions en architecture, art auquel il se livra tout à coup dès 1665, et qu'il cultiva depuis avec ardeur. Son premier ouvrage fut la restauration d’un pont à Saintes sur la Charente, qu’il rétablit avec hardiesse, et sur lequel il plaça un arc de triomphe. Nous n’entrerons pas dans de plus grands détails à ce sujet, nous ajou- serons seulement quele talent de Blondel parut se pro- BO noncer avec plus de sympathie pour ce dernier genre de construction. En 1669, il fut nommé membre de l'Académie des sciences, et des lettres-patentes du roi l’investireut du titre d'architecte de la ville de Paris, ct le chargèrent seul de l'exécution des monumens destinés à orner cette capitale. Il est l’auteur dela porte monumeu- tale de Saint-Denis, mais il est juste de faire observer que les deux portes latérales de cetarc de triomphe sont des fautes qui lui furent imposées dans un intérêt d'ordre public par les échevins de la ville, car alors ce monu- ment n’était point isolé comme aujourd’hui. Les talens de l’heureux Blondel furent récompensés par la place de directeur et de professeur à l’Académie d'architecture qui avait été établie en 1671. Ce fut la qu’il rédigea sous le titre de Cours d'architecture, les leçons qu’il don- nait à ses élèves; ouvrage remarquable qui atteste des connaissances étendues dans son art et l’heureuse appli- cation qu’il a su y faire des mathématiques. La car- rière de Blondel ne devait point cependant se ter- miner ainsi. Îl composa successivement un art de jeter les bombes, et un traité de la fortification des places, qu’il présenta au roi. Ce prince le récompensa de ces nouveaux travaux par le titre de maréchal de camp. Blondel mourut dansle mois de février 1686, les artistes enthousiastes lui ont souvent donné le nom de Grand ; on doit au moins convenir qu’il a traité d’une manière fort remarquable toutes les branches de la science et de l'art dont son génie capricieux et brillant le porta à s’occuper. Les principaux ouvrages de Blondel sont : I. Cours d'architecture. Paris, 16758. IL. Histoire du calendrier romain. Paris, 1682, in-4°. III. Cours de mathématiques pour le Dauphin. Paris, 1683, 2 vol. in-4°. IV. L'Art de jeter des bombes. La Haye, 1685, in-12. V Nouvelle manière de fortifier les places. Paris, 1683, in-4°. BOISSEAU. Ancienne mesure de capacité équivalente ; : : 692 : à 13 litres. L’hectolitre vaut pese borsseaux. BORDA {Jxan-CnanLes), savant mathématicien et l'un des plus célèbres ingénieurs du dernier siècle, naquit à Dax, le 4 mai 1733. Les dispositions brillantes qu'il manifesta pour les sciences mathématiques, furent d’abord contrariées par sa famille, qui appartenait à cette partie de la noblesse dont l'illustration était toute militaire. Cette circonstance de sa vie lui est commune avec un grand nombre d'hommes supérieurs , qui furent obligés de lutter comme lui contre les préjugés ou les vues de leurs parens. Néanmoins ces dispositions furent assez exclusives dans le jeune Borda, qui avait com- mencé ses étndes au collége des Carmélites de sa ville natale, et qui les acheva à celle de La Flèche, dirigé par les jésuites, pour déterminer ses parens à le laisser libre du choix de sa carrière. Il fut admis avec éclat BG 253 dans le génie militaire, mais peu de temps apits il entra dans les chevau-légers, corps dont le séjour per pétuel à Paris lui permettait de s Hvrer avec plus d'avantage à l'étude spéciale des mathématiques, science dans laquelle il avait fait des progrès remarquables. En effet, dès l’année 1958, c'est-à-dire à peine âgé de 23 ans , il lut à l’Académie des sciences un mémoire swr le mouvement des projectiles, qui obtint une honorable mention, et lui mérita le tire de membre associé de cette célèbre compagnie. La guerre qui éclata à cctte époque l’arracha momentanément aux sciences qu'il cultivait avec autant d’ardeur que de succès ; mais après la compagne de 1757 et la bataille d'Hastembeck où il assista, en qualité d’aide-de-camp du maréchal de Maillcbois , il rentra dans le génie militaire, et fut im- médiatement employé dans les ports. Borda résolut dès- lors d'appliquer à l’art nautique ses hautes connaissances en mathématiques : il publia successivement en 1763, 1766 et 1767, divers mémoires relatifs à ce nouvel objet de ses recherches. Il s'était proposé dans ces écrits de détesminer, d’après l'expérience, les lois de la résis- tance des fluides, et celles de l'écoulement des fluides par des ouvertures très-petites. Il publia encore en 1767 un mémoire sur la meilleure forme à donner aux vannes des roues hydrauliques et aux roues elles-mêmes, pour qu’elles reçoivent du courant d’eau qui les fait tourner, la plus grande impulsion possible. Ces expériences qui intéressaient si essentiellement l’art nautique, le firent appeler, dès 1767, au service de mer : il commença immédiatement sa première campagne. Nous ne devons pas oublier de dire que les travaux de Borda ne se bor- nèrent pas, à cette époque , à des recherches sur l’appli- cation des mathématiques à des objets de physique expérimentale ; il s’occupa aussi avec un égal succès de plusieurs branches importantes des mathématiques pures; Il publia encore, dans l’année 1767, un mémoire remar- quable par sa clarté et son élégance, dans lequel il eut pour but d’exposer les vrais principes du calcul des va- riations , récemment découvert par Lagrange. ( Foyez Bennouizzt Dane. ) Enfin il publia également à cette époque un mémoire sur la Théorie des projectiles , en ayant égard à la résistance de l'air. Nous ne suivrons pas Borda dans la nouvelle carrière où l'avaient appelé ses talens: sa vie appartient dès-lors autant à l’histoire militaire qu’à l’histoire de la science. Cependant nous devons dire qu’il ne tarda pas à y mé- riter les plus hautes distinctions, et à y acquérir cette illustration glorieuse qui environna son nom. Au milieu des vicissitudes de Ja vie de marin, Borda recueillit les élémens de la carte des Canaries et des côtes d'Afrique, dont il a enrichi la géographie. Ce fut aussi dans les mêmes circonstances, qu'il fit exécnter son cercle ak réflexion, instrument d'une utilité incontestable pour 30 " 234 BO les marins, et que nous déerirons ailleurs. 7’oyez CERCLE DE RÉFLEXION. Jean Charles Borda a fait faire à la physique moderne d’importans progrès qu’il ne nous est pas possible de mentionner ici. Mais dans toutes ses recherches et dans toutes ses inventions , on reconnait, dit un deses savans biographes, le physicien géomètre qui sait allier habile- ment le calcul à l'expérience, et atteindre par les pro- cédés les plus simples, la dernière précision. L'influence de cet illustre mathématicien n’a pas été moins heureuse et moins grande sur l'art nautique ; car c’est à dater de ses observatious que la marine française s’arrachant enfin des vieilles voies de la routine, a marché de pro- grès en progrès à l’aide des sciences exactes. Borda, membre de. l'Académie des sciences, et plus tard de l'Institut, capitaine de vaisseau, et en dernier lieu chef de division au ministère de la marine, est mort à Paris le 20 février 1799. Tous ses mémoires se trou- vent dans le recueil de ceux de l’Académie des sciences, sous la date à laquelle ils ont été successivement publiés. ses autres ouvrages imprimés séparément sont : [. Voyage fait par ordre du roi, en 1771 et1772, en diverses par- ties de l'Europe et de l’ Amérique, pour vérifier l'utilité de plusieurs méthodes et instrumens servant à déter- miner la latitude et la longitude, tant du vaisseau que des côtes, iles et écueils qu'on reconnait; suivi de recherches pour rectifier les cartes hydrographiques. Panis, 1778, 2 vol. in-4°. Cet ouvrage a été publié par Borda en société de Verdun de la Creuse et Pingré. IL. Description et usage du cercle de réflexion. Paris, 1787, in-4°. LIL. Tables trigonometriques décimales ou Tables des logarithmes des sinus, sécantes et tangentes, suivant la division du quart de cercle en cent degrés. Paris, x vol. in-4°. M. Delambre a donné, en 1804, une nouvelle édition de ces Tables revues et augmentées. BORÉAL ( Astr. ). On donne indifféremment le nom de boréal ou celui de septentrional à tout ce qui est situé dans l'hémisphère nord de la sphère. (Voyez ArmLLAIRE.) Cet hémisphère lui-même se nomme é- misphère boréal. BORELLI (J£an-Azpnonse) médecin célèbre et savant mathématicien , naquit à Naples, le 28 janvier 1608.11 professa long-temps les mathématiques à Pise et à Flo- rence, où il composa plusieurs ouvrages importans, qui ont surtout pour objet les travaux des géomètres de antiquité. On lui doit la restitution du troisième des quatre derniers livres d’Apollonius, qu'il parvint à déchiffrer avec l’aide, dit-on, d'Abraham Echellensis, d’après une paraphrase de quelques anciennes traduc- tions de larabe. Il fit à la même époque des recherches semblables sur jes travaux d'Euclide. Ses divers bio- graphes le représentent comme un homme d'un esprit mobile et inquiet, et d’un caractère peu sociable. Soit BO qu'il eût éprouvé à l’université de Pise des sujets. de mécontentemens réels où imaginaires, ou quil fût préoccupé d'intérêts autres que ceux de la science, Borelli passa à Messine au moment où cette ville essayait de se ravir par l'insurrection à la domination de l’'Es- pagne. I prit à cette sédition une part très-active, et courut les plus grands dangers quand l'autorité du roi d'Espagne l’eut emporté sur le mouvement désespéré des habitans de Messine, Il parvint néanmoins à prendre la fuite, et il se retira à Rome, oùil trouva un asile dans la maison des religieux des Écoles pies. Borelli s’est occupé d’astronvmie, et il tächa de déduire, des obser- vations de l’astronome sicilien Hodierna , la théorie des mouvemens des satellites de Jupiter. On remarque dans les principes sur lesquels il établit cette théorie quel- ques idées de l'attraction, qui sont loin sans doute de la détermination précise des lois de ce phénomène, mais qui révèlent du moins en lui une haute portée intellectuelle, Borelli est surtout célèbre par ses travaux en médecine. Il passa avec Bellini pour le chef de la secte iatro-mathématicienne, qui a long-temps dominé en Italie. On sait que cette secte avait pour objet de sou- mettre au calcul tous les phénomènes de l’écono- mie animale. Nous n'avons point à nous occuper ici de cette hypothèse et des recherches qu’elle a occasionnées à Borelli. Il est mort à Rome le 31 décembre 16709, Ses ouvrages mathématiques sont : I. Apolonii pergœæi corucorum, libri V, VI et VI. Florence, 1661, x vol. in-f°. 11. Æuclides restituluis. Pise, 1628, 1 vol. in-4°. L'ouvrage sur lequel se fonde encore aujourd'hui la réputation de Borelli n'appartient qu'indirectement aux sciences inathématiques; il est intitulé : De motu ani- malium , etc. Rome, 1680-1681, 2 vol. iu-4°. BOSCOVICH (Rocer-dosepn), polygraphe célèbre et savant mathématicien, naquit à Raguse le 18 mai 1711. Il entra chez les Jésuites de Rome, pour y conti- nuer ses études, à l’âge de 14 ans. Il annonçait déjà ce qu'il devait être un jour par les rapides progrès qu'il fit,en peu de temps, dans la philosophie et les mathéma- tiques. Aussi, par une dérogation spéciale aux lois de cette institution, dans laquelle il prononça ses vœux, fut-il nommé professeur de ces deux sciences au collége romain, avant d’avoir pris les degrés prescrits par les statuts. Le père Boscovich, qui acquit bientôt une bril- lante réputation par l’étendue de ses connaissances, son esprit et son caractère, fut tour à tour honoré de la confiance de plusieurs papes, et de celle de la répu- blique de Lucques, qu le choisit pour arbitre d'un différend qui s'était élevé entre elle et la Foscane. Mais c’est surtout de la partie de sa vie qu'il consacra à des travaux scientifiques, que nous devons nous occuper ici. Boscovich s'est principalement livré à des recherches BO d’astronomie et d'optique. Il avait embrassé les opinions de Newton, dont il commenta la philosophie dans un ouvrage renarquable qu'il publia en 1758. En 1736, Boscovich avait débuté par une dissertation sur les taches du soleil (De maculis solaribus ). C’est dans cet écrit qu'on trouve la première solution géométrique qui ait été donnée du problème astronomique de l’équa- teur d’une planète, déterminé par trois observations d’uue tache. Il publia successivement à cette époque plusieurs dissertations astronomiques qui ont pour objet la méthode d'observer les éclipses de lune, et latmo- sphère de ce corps céleste. Après la suppression de son ordre, ce savant distingué fut accueilli par le grand- duc de Toscane, qui le nomma professeur de l'univer- sité de Pavie; mais il n’occupa sa chaire que fort peu de temps. En 17553, Boscovich fut appelé à Paris pour remplir l'emploi de directeur de optique de la marine, auquel furent attachés des émolumens considérables. Il était alors membre de la Société royale de Londres, et avait vu s’augmenter la renommée attachée à son nom, par le choix que cette illustre compagnie avait fait de lui pour aller observer en Californie, le second pas- sage de Vénus, et par la manière dont il s'était acquitté de cette mission. À cette époque, Boscovich s’attacha à perfectionner presque exclusivement la théorie des In- nettes achromatiques. Cette branche des mathématiques appliquées, occupe la plus grande partie de l'ouvrage considérable qu'il publia en 1785. Boscovich , obligé de quitter la France par des raisons qui sont demeurées inconnues, se retira à Milan, où l’empereur d’Alle- magne le chargea d’inspecter une mesure du degré en Lombardie. Il était environné d’une considération gé- nérale quand il mourut à Milan le 12 février 1787. Peu d’écrivains , même parmi ceux qui nese sont oceu- pés que de sujets frivoles, ont déployé autant de faci- lité et de fécondité que Boscovich. Nous ne citerons ici que ceux de ses ouvrages qui se rattachent à l'étude ou à l’histoire des sciences mathématiques, et dont voici les titres:1. E/ementa universa matheseos. Rome, 1754, 3 vol iu-8°. IT. Philosophie naturalis theoria, redacta ad unicam legem virium in natur& existentium. Vienne, 1758, fig. TT. De lentibus et telescopis dioptricis. Rome, 175, in-4°. Cet ouvrage à été traduit en alle- mand et én français. IV. Rog. Jos. Boscovich, opera ad opticam et astronomiam maximé ex parte nova et omnia hujusque inedita, in NV tomos distributa. Bas- sano , 1795, in-4°, fg. BOSSUT (Cnantrs), mathématicien distingué, na- quit, le 11 août 1730, dans un village des environs de Lyon. Il fut admis à l’âge de 14 ans au collége des Jésuites de cette ville, et continua avec succès sous ces maîtres célèbres des études pour lesquelles il avait réveié dès l'enfance les plus heureuses dispositions. Il fat BO 255 accucilli à Paris, où l’appela, au sortir du collége, son goût pour les sciences, par le vénérable Fontenelle et par d'Alembert. Ilse lia plus étroitement avec ce dernier, et devint en quelque sorte son disciple. Ces relations et les connaissances déjà profondes qu’il manifesta dans les mathématiques, le firent nommer, à 22 ans, profes- seur de ces sciences à l’École militaire de Mézières. C’est alors qu’il composa une assez grande partie des ouvrages sur lesquels sa réputation est fondée, et qui lui ouvrirent les portes de l’Académie des sciences. La révolution vint troubler sa carrière en le privant de ses emplois. Il se retira à la campague pendant ces jours orageux, et fut assez heureux pour éviter, dans la solitude qu’il avait choisie, le sort funeste de plusieurs homenes de talent dont il était l’ami. Sous le consulat, il fut successivement nommé membre de lInstitut, de la Lépion-d'Hon- ._neur, et l’un des examinateurs de l'Ecole polytechnique, Charles Bossut était aussi membre associé de l’Institut de Bologne, des Académies de Pétersbourg, de Turin, et d’un assez grand nombre de Sociétes savantes ou lit- téraires , qui jouissent d’une renommée moias brillante. Ilest mort à Paris le 14 janvier 1814. Bossut a fait peu de découvertes remarquables; mais ce qui le place au-dessus des mathématiciens vulgaires, ce sont, d’une part, ses talens incontestables pour le professorat, et d’autre part ses nombreux et utiles travaux. II était de mœurs douces et simples, qu’il unissait néanmoins à un caractère ferme et élevé. La seconde édition de son Âistoire des mathématiques lui suscita quelques ennemis, car il avait eu l’imprudence d’y apprécier avec une justice trop impartiale les travaux des mathé- maticiens vivans. Cependant son honorable vieillesse fat constamment entourée du respect et de la considéra- tion dont elle était digne. Le gouvernement s’associa aux pieux égards dont il était l’objet, en lui conservant jusqu’à la fin de ses jours le traitement des divers em- plois, dont son âge ne lui permettait plus de remplir les devoirs. Les ouvrages de Bossut qui intéressent plus spécialement les sciences mathématiques sont : I. Traité élémentaire de mécanique et de dynamique, 1763. IT. Traité élementaire de mecanique statique, 1771. IT. Traité élémentaire d'hydro-dynamique , 177%. IV, Truite élémentaire d'arithmétique, 1772. V. Traité élémentaire de géométrie, et de la manière d'appliquer l'algèbre à la géométrie, 1774. VI. Cours de math: matiques à l'usage des écoles militaires, 1782. VIT. Cours complet de mathématiques, 1800-1801. VIII. Essai sur l'histoire générale des mathématiques, 2° édition, 1810, 2 vol. in-8°, Cet ouvrage, très-inférieur à celui de Mon- tucla, convient néanmoins beaucoup mieux aux étudians et aux gens du monde. Il renferme des appréciations rapides, mais justes, des progrès généraux de ia science jasqu'aux travaux des mathématiciens modernes. 256 BG BOUC ( Astr.). Nom donné par quelques auteurs à la constellation du Capricorne. D'autres donnent ce nom à la belle étoile de la Chèvre qui est dans la cons- tellation du Cocher. BOUGUER (Pierre), géomètre célèbre, naquit au Croisic, en Basse-Bretagne, le 16 février 1658. Il était fils de Jean Bouguer, professeur d’hydrographie, et dont nous possédons un Traité de navigation , qui fut remar- qué à l’époque où il fut publié (1699-1706). Le jeune Bouguer n’eut pas en mathématiques d’autres maîtres que son père, et il le dépassa de bonne heure. Il concourut en 1727, 1729 et 1731, pour des prix proposés par l’Aca- démie, sur des sujets qui embrassaient diverses branches des sciences mathématiques et physiques. En 1527, son mémoire sur la mâture des vaisseaux remporta le prix. Celui qui fut également couronné en 1729 avait pour sujet la meilleure manière d'observer les astres à la mer. Enfin, son troisième mémoire sur la méthode la plus avantageuse pour obtenir à la mer la déclinaison de lai- guille aimantée , obtint aussi le prix en 1731. La répu- tation que Bouguer s’acquit par ses succès comme géo- mètre et comme physicien, et la publication de son Traité de ta gradation de la lumière, ui méritèrent le titre de pensionnaire de l’Académie des sciences, et le firent choisir pour accompagner ceux de ses membres qu’eMe chargea, vers cette époque, de mesurer deux degrés de latitude, l’un vers l'équateur, l’autre près du pôle, pour déterminer la figure de la terre. Bouguer fut chargé avec Godin et La Condamine d'aller à l'équateur. On sait que cette expédition scientifique eut le plus heureux succès ; et il est certain que les vastes connais- sances et le talent supérieur de Bouguer lui méritèrent Ja plus grande partie de la gloire qu’acquirent ces géné- reux apôtres de la science , au milieu de tous les dangers et detoutes les fatigues. Bouguer a publiéles résultats de cette importante opération dans un écrit remarquable qui est encore aujourd’hui le meilleur guide que puissent suivre les observateurs en astronomie et en physique. Cet ouvrage eut un très-grand succès, et plaça Bouguer au rang le plus distingué des savans de cette époque. Il fut successivement nommé membre de l’Académie des sciences de Paris, de la Société royale de Londres, et reçut le titre de correspondant des plus illustres compagnies savantes de l’Europe. On sait que cet ouvrage qui mit de comble à la gloire de Bouguer, lui causa plus tard .de graves chagrins, qui désolèrent les dernières années de sa vie. L'histoire de sa querelle avec La Condamine est connue. Il mourut le 15 août 1558, âgé d’un peu ‘plus de 60 ans, après avoir contribué d’une manière remarquable aux progrès des sciences, durant une vie ‘pleine de travaux, et que ses vertus avaient rendue aussi honorable que ses talens. Il n'avait trouvé d'autre moven pour rabattre l’orgueil de son heureux et bril- Dot BO lant rival, que de donner au publicune seconde édition de son ouvrage sur Ja gradation de la lumière; la mort vint le frapper avant que l'impression füt terminee. Mais il eut dans le digne et savant abbé Lacaille un ami fidèle qui remplit ses intentions avec un soin reli- gieux. Voici les ouvrages et les travaux de Bouguer qui intéressent plus spécialement les sciences mathéma- tiques : I. De la mâture des vaisseaux. Paris, 1727, in-4°. IT. Acthode d'observer sur mer la hauteur des astres. Paris 1729, in-4°. I. Essai d'optique sur la gradation de la lumière. Paris, 1729, in-12. IV. Ma- nière d'observer en mer la déclinaison de la boussole. Paris, 1729, in-4°. V. Théorie de la figure de la terre. Paris, 1749, in-4°. VI. Traité d'optique sur la grada- tion de la lumière, édition posthume, augmentée d’un Essai d'optique, et publiée par Lacaille. Paris, in-4°, fig. Bouguer est l'inventeur de l’hcliomètre, instrument qui sert à mesurer les diamètres apparens du soleil et des planètes. On lui doit un grand nombre d’excellentes observations sur la longueur du pendule simple à diffé- rentes latitudes; des recherches non moius curieuses sur la dilatation des métaux, sur la densité de l'air à diverses hauteurs, sur les réfractions atmosphériques, et sur un nombre considérable d'objets qui intéressent } géométrie et l'astronomie. Bouguer a été aussi l’un des principaux rédacteurs du Journal des Savans jusqu'en juin 1955. Il n’est pas inutile d’ajouter ici que cet homme célèbre qui avait malheureusement adopté les principes philosophiques des encyclopédistes, y renonça solennellement plusieurs années avant sa mort. Ces dé- tails sont consignés dans un ouvrage curieux, et qui a pour titre : Relation de la conversion et de La mort de M. Bouguer, par le père Laberthonie, dominicain. Paris, 1784, in-12. PBOULLIAU (Ismarz), célèbre astronome, naquit a Loudun le 28 septembre 1605. Bailly fait un grand éloge de ses travaux dans son Histoire de l'astronomie ancienne; mais On sait que cet honorable écrivain adoptait avec un trop facile enthousiasme toutes les idées qui favorisaient ses hypothèses si souvent hasardées. Le fait est que Boulliau ne fit que réunir des observations astronomiques peu connues, et qui existaient à la bibliothèque royale. Ces observations avaient pour objet des conjonctions de planètes, des occultations présumées , faites environ vers l'an 500 de notre ère, et qui n'auraient plus aujourd’hui pour la science l'intérêt qu’elles pouvaient présenter à l’époque où Boulliau les fitconnaitre. Boulliau acquit des connais- sauces étendues et variées dans ses voyages en Europe et dans le Levant. Il entra en correspondance avec les savans les plus distingués de son temps, et cette cir- constance n’a pas peu contribué à répandre son nom. Le plus important ouvrage qu'on ait de lui, et il a beau- BO coup écrit sur l'astronomie, la théologie et l'histoire, est son Astronomia philolaica. a eu le malheur, dins cet écrit, d'attaquer les fameuses lois de Képler : néan- moius on y trouve des constructions ingénicuses c£ des preuves d'un travail immense. Quelques-unes de ses recherches sur les mouvemens de la lune méritent d'être rapportées. Boulliau voulant expliquer la seconde inéga- lité, découverte qui a honoré le génie de Ptolémée, il en donne pour raison un déplacement du foyer de lel- lipse lunaire, qui n’est pas fixe au centre de Ja terre: de là le nom d'évection qu'il donne à cette inégalité, nom que la scicnce à conservé. Cet ouvrage de Boulliau fut vivement attaqué par le célèbre docteur Seth- Ward, évêque de Salisbury. Ce sa- Vant prit en main la défense des théories de Képler et démontra les erreurs de son adversaire, qui reconnut naïvement sa méprise dans un écrit publié pour servir de complément à son premier travail. Ismaël Boulliau, qui avait été élevé dans la religion protestante, se fit catholique romain, et mourut à l'abbaye Saint Victor, à Paris, où il s'était retiré, le 25 novembre 1694. Ces principaux ouvrages sont : L. Thco- ries Snyrnæi mathematica, 1644, in-4°, grec et latin. IL. Astronomia philolaica, 1645, in-folio. JT. Æstro- nomiæ philolaicæ fundamenta explicata, 1657, in-4°. IV. Opus novum ad arithmeticum infinitorum, 168, in-fäio. V. Ad astronomos montta duo, 1667. Dans cet ouvrage Boulliau explique le changement de lumière qu’on observe dans quelques étoiles, par une révolution sur leur axe, qui nous montre successivement des par- ties obscures ou lumineuses. On n’a point encore donné une explication plus satisfaisante de ce phénomène. BOUSSOLE ( Astr.). Une des quatorze nouvelles constellations formées par Lacaille dans l'hémisphère austral. Elle est située au-dessus du Navire, très- près du tropique du Capricorne. Lacaille a donné une figure exacte de cette constellation dans les Aé- moires de l’Académie des sciences, année 1752. Elle est dessinée sur les cartes en forme de boussole ou com- pas de mer. BOUSSOLE (Nav.). Boîte dans laquelle on suspend librement sur un pivot une aiguille d’acier, qui, ayant été aimantée, à la propriété singulière de se diriger vers un mème point de l'horizon dans la direction du- quel elle retourne constamment lorsqu'on l’écarte à droite ou à gauche de la position où elle est en repos. La ligne de direction de l’aiguille aimantée se nomme la méridienne magnétique. Cette ligne forme, avec la méridienne d’un lieu un angle plus ou moins grand, qu’on appelle la déclinaison ou la variation de V'ai- guille (voy. ces mots). La boussole sert à diriger la route d'un vaisseau, et à faire que cette route coupe sous un augle constant tous les méridiens qu’elle traverse. BO 237 On nomme loxodromique la courbe que décrit ainsi le vaisseau sur la surface sphérique de la terre. f'oyez Loxoproute. L'invention de la boussole est généralement attri- buée à Flavio de Gioia, Napolitain qui vivait dans le XII siècle. Mais, malgré la dissertation de M. Gri- maldi, publiée dans les Mémoires de l'Acuil. étrusque, il parait certain que cet instrument était connu en France avant l’an 1200. C’est ce qui résulte positive- ment des poésies de Æugues de Sercy ct de Jean de Mehun, cités lun et l’autre par Pasquier, dans le qua- trième livre de ses Recherches sur la, France. Guyot de Provins, vieux poète français du douzième siècle, parle aussi de l'usage de laimant pour la navigation. © Les Anglais s’attribuent sinon la découverte même de 15 boussole, au moins l'honneur de l'avoir perfec- tionnée ; et, sous ce dernier rapport, leurs prétentions paraissent assez bien fondées. Quelques auteurs ont avancé que la première application des vertus de l'ai- guille magnétique à la navigation est due aux Chinois. Ils se fondent sur ce qu'aujourd'hui encore on n’em.. ploie l’aiguille aimantée, à la Chine, qu’en la faisant nager sur un support de liége, comme on le faisait au- trefois en Europe, et qu’il est probable que quelques Vénitiens, dans un voyage à la Chine, auront été té- moins de cette expérience importante, et l’auront en- suite fait connaître à leur retour; mais il en est peut- être des découvertes des Chinois comme de leur haute antiquité. L'invention de la boussole, ainsi que toutes les inventions dont il est impossible de nommer aujour- d’hui les auteurs, sont dues sans doute à plusieurs per- sonnes, qui successivement se sont emparées d’un germe donné quelquefois par le hasard, l'ont modifié, amé- lioré et amené peu à peu à une plus grande perfection. Tout imparfaite qu’elle était alors que son usage com- mença à s’introduire dans la marine, la boussole parut aux navigateurs un moyen sûr de connaître en tout temps la position du nord, et de se guider dans ieur route. Pendant long-temps on crut que l’aiguille aiman- tée se tournait toujours dans la direction de l'axe de la terre, et indiquait ainsi les véritables points du nord et du sud ; on s’y abandonna aveuglément, sans soupçon ner la moindre erreur. Il fallut trois siècles pour que a déclinaison de cette aiguille fût bien constatée; et en- core ne l’admit-on qu'après y avoir opposé tout ce que les faux principes de la physique d’alors purent four nir de sophismes. La boussole dont on se sert aujourd’hui est üne boi & ronde , au centre de laquelle l'aiguille aimantée est po- sée sur un style de cuivre. Cette aiguille est plate, et forme un losange évidé en forme de chape à son centre de gravité, qui doit être exactement le centre de sus- pension, ou bieu elle est percée d'un trou rond à ce 258 BR centre , auquel on adapte alors une chape d’agathe. Sur la chape est appliqué un cercle de carton, de tôle ou de cuivre très-mince ; en sorte que l'aiguille, dans son mouvement, est obligée d’entrainer avec elle ce petit cercle, qui par son poids modère un peu la trop grande facilité qu’elle aurait à vaciller. Le petit cercle appliqué à l'aiguille est découpé, et présente 32 points qui divisent la circonférence en 32 Parties égales nommées rwmbs. Le cercle s'appelle rose des vents. Les quatre pointes principales désignent les points cardinaux de l'horizon : le nord, l’est, le sud et l’ouest. Quatre pointes intermédiaires portert les noms composés de nord-ouest, nord-est, sud-est et sud- ouest. Ces huit rumbs divisent le cercle en autant d’arcs de 45°, lesquels sont partagés chacun en deux parties égales par des pointes dont les noms sont : nord-nord- est, nord-nord-ouest, sudsud-est, sud-sud-ouest, est- sud-est, est-sud-ouest, ouest-sud-ouest, Ouest-nord-ouest. Enfin, ces derniers arcs sont divisés en deux par les pointes dont les dénominations sont ord 3-nord-est, nord $-nord-ouest, etc. Cet instrument, qu'on nonne plus particulièrement compas de mer, est suspendu daus une autre boîte, à la manière de la lampe de Cardan > afin que le rouis et le tangage du vaisseau ne lui fassent jamais perdre sa posi- tion horizontale. Outre la rose des vents, fixée sur l'aiguille, et qui par- tageses mouvemens, on place autour du bord de la boîte un cercle divisé en 360 degrés, et concéntrique avec le pivot. Ce cercle sert à faire connaître les angles formés par la direction de l'aiguille et celle du vaisseau , et donne en même temps les moyens de tenir exactement compte de la déclinaison de l'aiguille. La seconde boîte de la boussole est ordinairement carrée et couverte d’une glace (voy. PL. VII fig. 7); on la place près du gouver- nail, afin que le matelot qui tient la barre puisse l’a- voir toujours sous les yeux, et diriger la route du vais- Seau suivant le rumb nécessaire, Outre la boussole marine, on construit encore des boussoles plus simples dont on se sert Pour orienter les plans dans l’arpentage , et que l’on emploie même pour les lever lorsqu'il n’est pas besoin d’une grande exacti- tude. Voy. LevÉ Des prans. BOUVIER ( 4str. ). Constellation boréale qui a 53 étoiles dans le catalogue de Flamstead. La plus belle étoile de cette constellation porte aujourd’hui générale- ment le nom d’Arcturus; les Arabes la nommaient Aramech. Voyez ce mot. BRACHYSTOCHRONE (Géom.) (de Épäxicres, très- Court, et de xpèros , temps). Nom donné par Jean Ber- nouilli à la courbe de la plus vite descente. I] proposa le problème de déterminer cette courbe, dans les 4ctes de Leïpsick , en 1696; sous la forme suivante : BR j Prorcema NovumM Ad cujns solutionem mathematici invitantur, « Datis in plano verticali duobus punctis AetB, assi- » gnare mobili M, viam AMB > Per Quam gravitate sua » descendens, etmoveri incipiens a puncto À. brevissimo » tempore perveniat ad ultrum punctum B. » C'est-à-dire : Trouver la courbe le long de laquelle un corps descende d'un point donné A à un autre point donné B, l’un et l’autre dans le même plan vertical, en employant le temps le plus court possible. Il semble, au premier aspect, que la ligne deman- dée doive être une ligne droite; car une telle ligne est la plus courte qu’on puisse mener d’un point à un autre; mais si l’on considère qu'il s’agit ici d’un mouvement accéléré, et que, dans une courbe concave, décrite d’un point à un autre, le corps descend d’abord dans une direction plus rapprochée de la perpendiculaire, et, conséquemment, acquiert une plus grande vitesse que sur le plan incliné plus écarté de cette perpendiculaire, on peut comprendre que le corps peut arriver au point B en employant moins de temps sur la courbe que sur la ligne droite. Ce problème fut résolu par Leibnitz, Jacques Ber- nouilli, Newton et le marquis de L'Hôpital. Jacques Bernouilli et Newton publièrent leurs solutions dans les Actes de Leipsick de mai 1697. Le dernier garda l’in- cognito, et se contenta de dire que la courbe demandée était une cycloïde ; mais Jean Bernouilli remarqua, à cette occasion, qu’il était facile de reconnaitre l’ongle du lion. Euler, dans le second volume de sa Mécanique , im- prané à St-Pétersbourg en 1736, donne une solution très-élégante de ce problème, en prenant l'hypothèse d’un milieu résistant ; ce qui complique extrêmement la question , et ce que personne n'avait fait avant lui. On trouve, dans les Mémoires de l Acad. pour 1718, deux solutions du problème de la brachystochrone dans le vide, données l’une et l’autre par Jean Bernouilli , et toutes deux fort simples. Nous allons faire connaitre la plus élémentaire de toutes ces solutions. Prosèmr. Trouver la courbe de La plus mite des- cente, ou la brachystochrone AM : Par le moyen de 4a- quelle un corps À parvienne de À en M dans le moindre temps possible, en supposant le milieu sans rÉSi= tance. BR Ayant mené les ordonnées PM, pm et Nn, que nous supposerons infiniment proches, ainsi que les autres lignes que représente la figure, soient AP =x, et PM =}, on aura Pp=Mr=mf=nF = dx, dx étaut l'accroissement infiniment petit ou la djffcrenticlle de x; de même »r— dy, et l'élément de la courbe = Mn = V/dx+dy:. Soit de plus rF = b, on aura mF —=b— dy, et mn =\V[(b—dy) + dx]. La vitesse le long de l’arc infiniment petit Mme pou- vant être regardée comme uniforme et comme égale à celle que le corps acquiert en tombant de la hauteur AP, supposons cette vitesse —+», et désignons par V la vitesse acquise le long de Ap ou la vitesse avec laquelle l'arc mn'est parcouru. Soit enfin £ le temps employé à parcourir l'arc AM: alors le temps, le long de Mm, sera — di. Or, dans le mouvement uniforme, les espa- ces sont en raison composée des temps et des vitesses , nous avons donc Mn = V/(dx? + dy?) = vdt, mn —= V/[(b— dy} + dx] = Vat. Ainsi, le temps employé à parcourir l'arc Mn sera Mais la courbe An doit être telle que si le corps des- cendait de M en », il devrait employer le moindre temps possible ; donc le temps 24df est un minimum. On a donc d(2dt) — 0, ou M dy&y dyd&y—bdy PE Ts + ds) VCD Ed” en supposant dx constant. Divisant par dy, et transposant, on obtient 8 dy b— dy va + dy) VV — dy +de] C'est-à-dire, en remettant les lignes, mE V.mn' rm v.Mm ou v.Mm rar V.mn Jr Ainsi, puisque la vitesse est comme V/AP, et la vi- tesse V comme \/Ap, V.mn mE — le produit de la racine de l’abs- cisse par l'élément de l'arc correspondant étant divisé par la différentielle de l’ordonnée , donne toujours une quantité constante. Désignons cette quantité par V/a, et nous aurons V2. Vide? + dy?) dy =V/a. 259 D'où l’on tire æxdzx? PE ae et = D CARE [ES | 2V/(ax—x) L2V/{ax—x:) Ce qui donne en intégrant , C étant une constante, adx DE J' aV/(ax—x) Supposons que AB — a soit le diamètre du demi-cer- cle AQB, l’ordonnée QP sera —\/{ax—2), et — V/(ax—x). adx = Ladx pre V/ax — x) sera l’arc AQ ; donc C+y—AQ—QP. Mais lorsquey—o, l'arc AQ et l’ordonnée QP de- viennent o ; donc C=—0, et l’on a définitivement 7 =AQ—QP. C'est-à-dire l’ordonnée de la courbe cherchée est égale à l'arc du cercle correspondant , dont le diamètre est 4, moins le sinus de cet arc; ce qui est une des propriétés fondamentales de la cycloïde. La courbe demandée est donc une cycloide. Foy. ce mot. L'équation de la brachystochrone réclame le secours du calcul des variations pour être déterminé d’une manière directe, Voyez le Traité de mécanique de Poisson. C’est à l’aide de ce calcul que cet habile géo- mètre résout le problème de Jean Beruouilli avec cette clarté et cette élégance qui distinguent si éminemment toutes ses productions. BRADLEY (Jacques), grand et célèbre astronome, naquit vers la fin de l’aunée 1692, a Shireborn, en An gleterre, dans le comté de Glocester. La vie de cet bomme illustre, qu'on a surnommé avec raison le m0- dèle des astronomes, est tout entière dans ses travaux, qui en renferment les événemeus les plus importans. Destiné à l’état ecclésiastique, il prit ses grades, et ter. mina ses études à Oxford, Il fut successivement pourvu des cures de Bridstow et de Welfrie, dans le comté de Pembroke. Mais il renonça aux espérances d’ svan- cement qu’il était à même d’obtenir dans cette carrière pour se livrer aux observations astronomiques, dont l'étude des mathématiques avait développé en lui le goût exclusif, En 1721, à l’âge de 29 ans, Bradley, qui avait résigné ses fonctions évangéliques, fut nommé professeur d'astronomie du collége de Saville, à Ox- ford. Dès ce moment sa vie appartient tout entière à la science, dont il allait hâter les progrès et développer, les connaissances par d’immortelles découvertes. Ge fut 240 BR en 1727 qu'il publia ses importantes observations sur l’aberration de la lumière (’oy. AsenraTion). Dans la même année, il exposa dans une lettre adressée à lord Masclesfield sa découverte du phénomène de la mutation de l'axe terrestre (Foy. Nurariow). Ces deux décou- vertes de Bradley ont eu une grande influence sur les progrès de l'astronomie; elles portent en effet sur les plus grands phénomènes de la nature, et expliquent la cause, jusqu'alors inconnue , des petits mouvemens des corps célestes. Elles ont permis d'apporter dans les observations astronomiques une exactitude rigoureuse et un degré de certitude dans celles des spéculations de la science qui en paraissaient le moins susceptibles. C’est aussi Bradley qui, ayant reconnu la principale inégalité du premier satellite de Jupiter, démontra comment les éclipses de ce satellite , corrigées de cette inégalité, pouvaient servir à mesurer les différences de longitude. Trois aunées après la découverte de l’aberration de la lumière, en 1730, Bradley, que l'éclat de ses travaux astronomiques avait environué d’une brillante réputa- tion, fut nommé professeur d'astronomie et de philoso- phie naturelle au muséum d'Oxford. Plus tard, en 1741, après la mort du célèbre Halley, on lui déféra la place d'astronome royal, et il alla résider à Green- vich. On peut dire qu’alors Bradley n’eut plus de vœux à former: toute l’ambition qui avait pu remplir ce ‘cœur simple et bon était alors satisfaite. Il se trouva au milieu des objets et des instrumens utiles à la science dans laquelle se concentraient toutes ses affections et toutes ses pensées ; et il commença ces longues et admi- rables observations, dont il remplit plusieurs volumes in-folio ; collection unique par son importance, et qu’on a peine à croire l’auvrage d’un seul homme. De cette mine féconde, dit un savant biographe, on a tiré des milliers d'observations du soleil, de la lune, des pla- nètes, qui, habilement combinées, et, pour ainsi dire, fondues ensemble par le calcul, ont porté l'exactitude dans toutes nos tables astronomiques. Ce fut là que le célèbre astronome Mayer puisa les élémens de ses Tu- bles de la lune , les premières qui aient rempli par leur exactitude l'espoir des marins et des géomètres. Bradley se voua entièrement, et avec un désintéres- sement sans exemples, à ce grand travail, qui a rempli sa vie. On ne trouve de lui que quelques mémoires in- sérés dans les Transactions philosophiques; mais son nom, recueilli par la reconnaissance et l'admiration des savans, peut se passer de tous les autres titres de gloire qu'il sacrifia à des travaux solitaires et spéciaux. Bradley était associé-étranger de l’Académie des Sciences de Pa- ris, membre de la Société royale de Londres, de l’A- cadémie impériale des Sciences de Pétersbourg et de l'Iustitut de Bologne. Comme le biographe dont nous venons de rapporter le jugement sur quelques tra- BR vaux de Bradley, nous sommes heureux de pouvenr dire que les savans français devancèrent, par les hom- mages qu'ils rendirent au talent de ce grand homme, ceux qui dans sa patrie récompensèrent son génie, son admirable patience et ses vertus. Jacques Bradley mou- rut, après deux années de souffrances cruelles, à Green- vich, le 13 juillet 1562, âgé de 50 ans. BRANCHE DE COURBE (Géom.). C'est un terme usité pour désigner les parties d’une courbe qui s'éten- dent indéfiniment sans retourner sur elles-mêmes. On les appelle aussi branches indéfinies. Tels sont les deux côtés de la parabole et de l’hyperbole (Foy. ces mots). Pour mieux faire comprendre la nature de ces branches, designons par x l’abscisse, par y l’ordonnée, et par gx une fonction de x, de manière que Y = x soit l'équation d’une courbe. En donnant successive- ment à x des valeurs arbitraires, nous trouverons les va- leurs correspondantes de y, qui nous donneront autant de points différens de la courbe, au moyen desquels nous pourrons la construire. Or, si pour chaque valeur post- tive de x la fonction #x donne deux valeurs pour y, l'une positive et l'autre négative, cette circonstance nous indiquera que la courbe a deux branches: l'une si- tuée à droite de l’axe des x, et l’autre à gauche; et si de plus les valeurs de y croissent en même temps que celle de +, ces deux branches s’étendront indéfiniment. De plus, en faisant æ négatif dans la fonction @x, si nous obtenons également deux valeurs pour y, l'une positive et l’autre négative, nous aurons deux autres branches s'étendant également à la droite et à la ganche de l'axe des x, mais du côté des x négalifs. Lorsqu’en faisant x négatif, la fonction 9x devient imaginaire, c'est qu'alors la courbe n’a pas de branches du côté né. gauf de l'axe des abscisses. Soit, par exemple, ° = px l'équation d’une courbe, cette équation donne y = V/pz. Ainsi, pour chaque valeur de x correspond une valeur positive et une va- leur négative pour y; la valeur +\/pr appartient aux ordonnées situées à la droite de l'axe des x, et la va- leur —\/px appartient aux ordonnées situées à la gau- che de cet axe. Nous avons donc d’abord dans ce cas deux branches différentes ; et comme y augmente indé- fiuiment à mesure que æ augmente, ces deux branches sont indéfinies. Mais si nous faisons x négatif, l'équa- tion devient Y=EV re. Ce qui nous apprend que la courbe n’a pas de branches du côté des x négatifs, puisque V/—=pz est une qua tité imaginaire. Cette courbe est la parabole apollos nienrie, BR Si l'équation de la courbe était d’où l’on tire + 2 nous aurions d’abord évidemment deux branches infi- nies du côté des x positifs. Faisant x négatif, l'équation devient EN ME 5 V'(x—Bx). Or, cette quantité est imaginaire tant que Bx est plus grand que x? , et devient o lorsque x? — Bx, ou lors- qu'on fait x—B. Ainsi, pour toutes les valeurs néga- tives de æ, depuis-r = o jusqu’à æ=B, il n'existe pas de valeurs réelles pour y; mais si l’on donne à æ des valeurs plus grandes que B, on trouve pour y des va- leurs réelles; ce qui nous apprend qu'à la distance B de l’origine et du côté négatif de l'axe des æ recom- mencent deux branches s'étendant à l'infini à droite et à gauche de cet axe. La courbe dont nous examinons l'équation a donc quatre branches infinies. C’est l’Ay- perbole apollonienne. Parmi les courbes du second degré, la parabole et l’Ayperbole ont seules des branches infinies : le cercle et l'ellipse n’en ont point; ces dernières sont des courbes qui rentrent en elles-mêmes. Les branches infinies des courbes supérieures se divi- sent en deux espèces. On les nomme branches paraboli- ques lorsqu'elles sont susceptibles d’avoir pour asymp- totes des paraboles d’un ordre quelconque , et branches hyperboliques lorsqu'elles ont pour asymptotes des lignes droites ou des hyperboles également d’un degré quelconque. (Voyez l’Zntroduction & l'analyse des lignes courbes, de Cramer.) Foy. Counress. BRAS DE LEVIER (#Méc.). Partie d’un levier cora- prise entre le point d'appui et le point où est appli- quée la puissance ou la résistance. Voyez Levier. BRASSE. Ancienne mesure de longueur en usage dans la marine. Il y en avait de trois espèces : la grande brasse dont se servaientles vaisseaux de guerre ; elle avait six pieds (1,94904 mètres). La moyenne dont se servaient les vaisseaux marchands, elle était d’une longueur de cinq pieds et demi (1,78662 mètres); et enfin, la petite brasse, en usage parmi les patrons de barque, dont la longueur était seulement de cinq pieds (1,62420 mètres.) BRIGGS (Hewni). Célèbre mathématicien anglais, né vers lan 1560 dans le York-shire, de parens pauvres et d’une condition qui, d’après lès prejugés du temps, semblait devoir lui fermer la carrière des sciences. Mais les premières études du jeune Briggs furent si brillantes, et il y manifesta des dispositions si extraordinaires, BR 241 que sa famille se condamna à tous les sacrifices pour l'envoyer à l’université de Cambridge, où il fut admis en 15709. C’est là, dit-on, qu'il connut pour la première fois les mathématiques, dont il embrassa l'étude avec ardeur. Il ne tarda pas d’y faire des progrès tellement supérieurs, que le chevalier Gresham, qui établit et dota en 1569 le collége de Londres qui porte son nom, nomma Briggs à la chaire de géométrie. Il sy distingua dans des entreprises utiles aux progrès de l'astronomie et de la géographie; mais son plus beau titre de gloire est d’avoir le premier saisi toute l'utilité de la décou- verte des logarithmes de Neper, alors toute récente. Henri Briggs fit plusieurs voyages de Londres à Edim- bourg pour canférer avec cet homme célèbre sur cet important sujet. On pense qu'il forma, concurremment avec Neper, le projet de changer la forme de ses loga- rithimes, Ce dernier n'eut que le temps de lui en recom- mauder l'exécution, car il mourut au moment où Briggs se disposait à faire un troisième voyage auprès de lui pour cet objet. Il + travailla avec tant d’ardeur , que dès 1618 il publia une table des logarithmes ordinaires des 100 premiers nombres, comme essai d’un travail beancoup plus étendu, qu'il promettait. Il se proposait de composer deux immenses tables : l’une contenant tous les logarithmes des nombres naturels depuis 1 jus- qu’à 100,000 , et l’autre, ceux des sinus et des tangentes pour tous les degrés et ;4; de degré du quart de cercle. Il ne put exécuter qu'une partie de ce prodigieux tra- vail; la mort vint le surprendre à Oxford , le 25 jan- vier 1630. Henri Briggs fut ainsi le premier promoteur de la théorie des logarithmes, et il est sans contredit celui qui contribua le plus par son travail à la propaga- tion de cette mémorable découverte. Cet éloge suffirait à la gloire de plusieurs noims. Voici la liste de ses prin- cipaux ouvrages : L. Logarithnorum chilias prima, Londres, 1617, in8°. Il. Arithmetica logarithmica, Londres, 1624, in-fol. ; ouvrage d’un travail immense, et qui à servi de modèle à toutes les tables de logarith- mes publiées depuis cette époque- Celles de Briggs contiennent les logarithmes des nombres naturels de 1 à 20,000 et de 00,000 à 100,000 , avec 14 décimales ; elles renferment aussi ceux des sinus et des tangentes pour chaque -E, de degré, également avec 14 décimales, les sinus naturels avec 15 décimales, et les tangentes et sé- cantes naturelles avec 10 décimales. On attribue aussi à Briggs des travaux fort estimables sur les géomètres de l'antiquité, et la plus grande partie de la trigonométrie britannique; Trigonometria britannica , Goudal , 1623, in-folio. BROUETTE (HMce.). Caisse suspendue sur une roue, qui sert à transporter des matériaux de construction et autres. Cet appareil d’un usage extrêmement commun est susceptible de plusieurs perfectionnemens qui ont 31 242 BY été indiqués plusieurs fois, et que la routine aveugle a lconstamment repoussés. M. Person, dans son Recueil le mécanique, propose une nouvelle forme de brouette ‘où le caisson est construit de manière que son centre de gravité porte le plus directement possible sur l’essieu formant le poiut d'appui du brancard (/oy. PL. XII, fig. 2). De cette manière, le plus grand bras du levier formé par le brancard se trouve beaucoup moins chargé et le conducteur peut mettre la brouctte en mouvement avec moins de force. On peut faire usage de ce prin- cipe sur les brouettes ordinaires et éviter les frais de nouvelles constructions en prolongeant en b (Foyez PL. XIT, fig. 1) les deux jumelles au-delà de l’essieu pour ÿ adapter un massif de plomb ce. Alors le brancard devient levier du premier genre; et la charge c de son petit bras balançant une portion du poids que porte le grand bras, diminue d'autant l'effort du conducteur. BROUNKER (Guirraume), lord, vicomte de Castle- Lyons, mathématicien anglais célèbre par sa décou- verte des fractions continues, naquit en 1620. Atta- ché à la cause royaliste, il fut un des nobles qui si- gnèrent la fameuse déclaration de 1660 en faveur de Mouk. Après la restauration, il fut chancelier de la reine Catherine, garde du grand sceau, et l’un des lords commissaires de la Tour. Il était du nombre des savans dont la réunion forma la Société royale de Londres. il en fut élu président. Lord Brounker culti- vait les sciences mathématiques avec beaucoup de dis- tinction; mais ce qui lui mérite l'honneur d'être cité parmi les plus grands géomètres, c’est son inven- tion des fractions continues. Wallis a publié sa décou- verte et la méthode par laquelle le noble savant v est parvenu (Voyez Fracrions conrinuEs et Wazis). Lord Brounker est mort à Westminster, en 1684. On trouve plusieurs égrits de lui dans les Transactions philoso- plhiques, BURIN (A4str.). Constellation méridionaie établie par La Caille dans son planisphère austral. Elle est pla- cée entre l’Éridan, la Colombe et la Dorade. Son étoile principale est de la cinquième grandeur. BYRGE (Jusre), mécanicien et astronome célèbre, na- quit à Lichstensteig, en Suisse, vers l’année 1549. Guil- Jaume IV, landgrave de Hesse, dont le nom est cher aux sciences, auxquelles il accorda une généreuse protection, appela Byrge à Cassel, où sa réputation d’astronome et de mécanicien l’avait devancé. Il y construisit plusieurs ins- trumens d'astronomie et diverses machines remarqua- bles par leur singularité, et se livra aux observations as- tronomiques avec son protecteur, qui cultivait spéciale- ment cette science. En 1597, et après la mort de Guil- laume, Bvyrge fut nominé mécanicien de l’empereur. Képler le représente (voy. Tasces Runozrmnes, fol, H) BY comme un homme doué de beaucoup de génie, vais pensant si modestement de ses inventions, et si indiffé- rent pour elles, qu’il les laissait enfouies dans la pous- sière de son cabinet. C’est par cette raison , ajoute ’u- lustre auteur, que, quoique fort laborieux, il ne donna jamais rien au public par la voie de l'impression. Il pa- raît que, sous ce dernier rapport du moins, Képler était dans l'erreur. Benjamin Bramer, son disciple et son beau-frère, dans un ouvrage qui a pour objet ja description d’un instrument pour la perspective et le levé des plans, s'exprime ainsi: « C’est sur ces prin- cipes que mon cher beau-frère et maître Juste Byrge a calculé, il y a vingt ans (cet ouvrage paraissait à Cassel ea 1630), une belle table des progressions , avec leurs différences de 10 en 10, calculées à 9 chiffres, qu’il a aussi fait imprimer sans texte à Prague, en 1620; de sorte que l'invention des lagarithmes n’est pas de Néper, mais a été faite par Juste Byrge long-temps avant. » Une telle prétention ne pouvait manquer d’exciter l’at- tention des savans. On objecta avec raison que, en sup- posant que Byrge eut publié ses tables en 1620 , on ue pouvait en conclure qu’il eut découvert les logarithmes avant Néper, dont l’ouvrage avait paru en 1614. Cette date est importante pour fixer l'opinion sur le mérite de l’antériorité, qui est demeuré à Néper. L'ouvrage de Byrge ne se retrouva pas; et ce fut le hasard qui le fit découvrir vers 17940, par Gotthelf Koœstner, géomètre allemand, connu par un traité de gaomonique analytique. Ce savant fut conduit, par le passage de Bramer que nous venons de citer, à recon- naitre les tables de Byrge parmi d’autres, qu'il avait achetées avec quelques anciens ouvrages mathématiques, qu'il n'avait jamais examinés. Voici la traduction du titre qu’elles portent : « Tables progressives, arithmé- tiques et géométriques , avec une instruction sur la ma- nière de les comprendre et de les employer dans toutes sortes de calculs, par J, B. (Juste Byrge), imprimées dans la vieille Prague, 1620. » Ces tables se composaient de sept feuilles et demie d'impression in-f°; mais on n’y trouve pas l'instruction annoncée dans le titre. D'où l'on a dû conjecturer que quelques circonstances particulières avaient empêché la continuation de cet ouvrage. Kæstner fit savoir qu’elles n'étaient pas de la forme des tables logarithmiques or- dinaires. Dans celles de Byrge, ce ne sont pas les nom- bres, mais les logarithmes , qui croissent arithmétique- ment de 10 en 10; ils sont imprimés en rouge, et les nombres naturels exprimés en 9 chiffres sont imprimés en noir, en regard , de cette manière : 0.....100000000 10 ++ + + 100010000 20,,+.:100020001 30.....100030003 EE BY Nous n’accorderons pas plus d’étendue à cetexemple, qui suffit pour donner une idée de la marche adoptée par Byrge. Sans doute, c’est à Néper qu’appartient la gloire de cette découverte ; mais il est impossible de ne pas rendre justice au talent de Byrge, à qui une occasion seule a peut-être manqué pour être associé à l’honneur de cette ingénieuse invention. Byrge mourut à Cassel DY en 1633, ägé ainsi de quatre-vingt-un ans. On a attribué 245 à cet habile mécanicien l'invention du compas de pro- portion ; mais son instrument ayant été décrit par Levin Holstius, dans son ouvrage intitulé : Tractatus ad geo- desiam spectantes ; où l'on en trouve aussi la gravure; il en résulte que le compas de Byrge n’est autre chose que le compas de réduction. Voy. Gompas et GALILÉE. C. CA CABESTAN (Mec.). Treuil vertical, que l’on fait tourner circulairement avec des barres ou leviers hori- zontaux. Il se compose d’un roulean de bois cylindrique ou un peu conique AB (voy. FL. XIT, jig. 5), posé ver- ticalement dans un bâtis de bois, et dont la tête cubique A est percée de manière qu'on puisse y introduire les leviers GE et HF, qui servent à le faire tourner. Avec cette machine, on peut vaincre de très-grandes résistances à l’aide d’une force beaucoup moindre. Pour s’en servir, on fait faire plusieurs tours à la corde CD, qui tient en D le fardeau à mouvoir; on fixe l’extré- mité de cette corde, ou on la fait tenir par des hommes, et on en applique d’autres aux leviers GE et HF. Lors- que ces derniers font tourner le cylindre, la corde se roule de plus en plus autour, en faisant avancer la résis- tance D. Il est évident que le cabestan agit comme un le- vier du premier genre, ou plutôt comme un assemblage de leviers, et que le bras de la résistance est plus court que celui de la puissance; car le premier est le demi-diamè- tre, ou le rayon du cylindre, tandis que le second est ce même rayon prolongé de la longueur des leviers en croix. Plus ces leviers seront longs, plus la puissance devien- dra capable de surmonter une plus forte résistance , seu- lement il lui faudra plus de temps, parce qu’elle aura eu un plus grand espace à parcourir. Foy. Treuiz et Levier. Cette machine est employée sur les vaisseaux pour lever les ancres où autres fardeaux, auxquels sont amar- rés les cäbles que l’on fait passer autour du cylindre. Pour cet effet, il y a ordinairement deux cabestans sur les vaisseaux; savoir, un grand, qu’on appelle cabestan double, et un petit, qui est le cabestan ordinaire. Le cabestan double est placé sur le premier pont, derrière le grand mât; il s'élève jusqu’à quatre ou cinq pieds au- dessus du second pont. Son nom de cabestan double lui vient de ce qu’on peut mettre des hommes sur les deux ponts en même temps pour le faire tourner, et doubler CA ainsi sa force. Il sert particulièrement à lever les ancres Le cabestan ordinaire est placé sur le second ou le troi- sième pont, et sert à hisser les mâts de hune et les grandes voiles, et dans toutes les occasions où l’on peut lever les ancres avec peu de force. Il existe aussi des cabestans mobiles, qu’on peut trans- porter avec facilité d’un lieu à un autre. Ils servent dans l'architecture, ou plutôt dans la construction des bâti- mens, pour mettre en mouvement les grosses pierres. Le cabestan est sujet à plusieurs inconvéniens, qu’on n'a pu encore corriger. Il exige un homme qui serve uniquement à faire filer le câble au fur et à meswe qu'il s’enroule, pour que les tours qu’il fait sur le cylindre ne sy accumulent pas. La partie du câble qui s’enve- loppe, s’élevant ou s’abaissant progressivement , on est obligé de temps en temps d’arrêter la machine, afin de remettre le cäble dans la position qu’il doit occuper. Cette opération, que les ouvriers nomment choquer ; fait perdre un temps considérable, L'Académie des sciences de Paris proposa pour sujet de prix, en 1739, de trouver un cabestan qui eût les avantages de l’ancien, sans en avoir les défauts. Ce prix, qui ne fut pas remporté, fut remis au concours en 1741. et, sur un très-grand nombre de mémoires, les quatre suivans furent couronnés: Discours sur le cabestan, par Jean Bernouilli le fils; Dissertation sur la meilleure construction du cabestan, par un anonyme ; De ergatæ navalis præstabiliore usu , dissertatio|, auctore Joanne Poleno; Recherches sur la meilleure construction du cabestan, par Ladot, avocat en parlement. Trois au- tres mémoires obtinrent des accessits ; ce sont : A/Cmoire sur le cabestan, par de Pontis; Recueil d'expcriences sur le cabestan, par Fenel, chanoine de Seus; Cabes- tan à ccrevisses et cabestan à bras, par Delorme. Ces sept mémoires furent imprimés en 1745. Toutefois, l’Académie dit dans son avertissement qu’elle n’a trouvé aucun des cabestans proposés exempt d’inconvéniens ; mais elle reconnait qu'il y a d’excellentes choses, prin- 244 CA cipalement sous le rapport de la théorie dans chacun des ouvrages couronnés. : En 1793, un ingénieur mécanicien français, nommé Cardinet , présenta au bureau de consultation un cabes- tan d’une construction plus simple que tous ceux pro- posés jusqu'alors, et dans lequel on évite Fopération de choquer. Cardinet s’est à la vérité servi d’une invention qu’on trouve dans les mémoires cités ci-dessus de Jean Bernouilli et de Ladot; mais il l'a considérablement perfectionnée ; et sa machine offre des avantages incon- testables. En 1594, E. C. de La Lande, professeur de mathématiques à l’école de La Flèche, inventa un nou- veau cabestan que l'illustre Borda déclara supérieur à , tout ce qui avait été fait avant. Voyez, pour ce qui concerne le cabestan : Recueil des pièces qui ont rem- porté le prix de Académie, tome V ; et le volume in- titulé Mouvement des fardeaux , du Traité de mécani- que appliquée aux arts, de M. Borgnis. CADMUS (Astr). Nom de la constellation du S$er- pentaire. Voy. ce mot. CADRAN SOLAIRE (Gnom.). Instrument sur le- quel sont tracées des lignes qui indiquent l'heure par Jombre d’un style ou par un ravon solaire. Foy. Gxo- MONIQUE. CAILLE ( Nicozas-Louis DE La), l’un des plus cé- lèbres et des plus savans astronomes du dernier siècle, est né à Rumigny, près de Rosoy en Thierache, le 15 mars 1713. Il terminait ses études au collége de Lizieux, où il s'était déjà fait remarquer par son application et son goût pour les sciences, quand son père mourut, et le laissa sans ressources. Heureusement pour cet enfant qui donnait de si belles espérances , le duc de Bourbon, protecteur de sa famille, vint à son secours, et lui four- ait les moyens de se livrer à des études d'un ordre élevé. La douceur du caractère de La Caille, la générosité de son cœur, son ardeur pour le travail, lui avaient dès- lors concilié l'amitié de ses maitres et de ses condisciples; ses succès éclatans ne tardèrent pas à justifier l'intérèt qu'il inspirait à tout le monde. Le moment arriva enfin où il dut songer sérieusement au choix d’une carrière. Son père, ancien officier d'artillerie, qui s'était retiré à Anet où il était attaché à la duchesse de Vendôme comme capitaine des chasses, lui avait de bonne heure inspiré ie goût des sciences , etl’avait même initié à la connais- sance des mathématiques qu'il appliquait spécialement à la mécanique. Le jeune La Caille, conservant dans un âge plus avancé Fheureuse direction d'idées qu'il avait recues dès l'enfance, résoiut de se youer à l'état ccclésias- Üique, qui pouvait 4 la fois iui assurer une existence in- dépeñdante, et:lui offrn: assez Ge loisirs pour culuüver les hâutes sciences, vers desquelles l'entrsineit un pen- chant qui se développait eu hui de sus enpibas Dé cette époque. La Caille avait dirige toutes &c 9 CA vers l’astronomie, que, durant son cours de théologie, il étudiait en secret, saus instrumens et presque sans livres. [1 fit cependant des progrès si remarquables dans cette science, que le savant Fouchy, auquel il fut recom- mandé peu de temps après, eu 1736, s’étonna qu’un jeune homme de 23 ans eût pu pénétrer aussi avant daus ces connaissances supérieures. La Caille ayant éprouvé quelques contrariétés à l’époque où il subit son premier examen théologique, à l'issue duquel il reçut le sous-diaconat , se détermina à ne point chercher d'autre avancement dans les ordres. La hardiesse et la nouveauté de quelques-unes de ses réponses avaient irrité l'un de ses examinateurs, vieux docteur habitué aux subuilités de l’école, et aux yeux duquel l'indépendance des idées était un crime irré- missible. On fut sur le point de lui refuser le titre de maitre-ès-arts, et le jeune La Caille comprit sans doute qu'il aurait de noimbreux obstacles à vaincre dans Ja carrière qu'il avait voulu embrasser : il renonça dès ce moment à la théologie, et se livra sans réserve aux obser- vations de la science qu’il afféctionnait. Ce fut dans ces circonstances que l'abbé La Caille fut présenté à Jacques Cassini, qui, appréciant ses talens, l’accueillit avec bonté, et lui donna même un logement à l'Observatoire. Il se trouva ainsi en possession, dès son entrée dans la carrière, d'une position qui lui offrait l’inappréciable avantage de pouvoir vérifier les observations des meil- leurs maitres à l’aide des instrumens les plus puissans et les plus parfaits qu'on possédät alors. Dès l’année qui suivit sou entrée à l'Observatoire, l'abbé de La Caille fit, avec Maraldi qui l'avait pris en amitié, la descrip- tion géographique de la France, depuis Nantes jusqu'à Bayonne. On s'occupait à cette époque de la vérification de la méridienne. L’exactitude et la précision que La Caitle avait mises dans son premier travail, le firent juger digne d’être associé à cette grande et importante entre- prise. 1 commença ses opérations le 30 avril 1730, ct avant l'expiration de cette année, il avait achevé tous les triangles, dit le plus illustre de ses biographes, depuis Paris jusqu'à Perpignan; mesuré les bases de Bourges, de Rhodès et d'Arles; observé les azimuts ct les distances des éioiles au zénith à Bourges, Rhodès et Perpignan ; et avait enfin pris la plus grande part à la mesure du degré de longitude qui se termine au port de Cette. La Cuille, en continuant ses travaux pendant le rigoureux hiver de 1740, eutl'occasion de démontrer, par des calculs d’une exactitude inattaquable, que les soupçons sur la vraie longueur de la base de Picard, iesurée par cet acadéwicien, en 1669, en s'appuyant sur le moulin de Juvisy, étaient fondés. Il trouva que cette base était non de 5,663 toises, comme Picard l'avait mesurée, mais seulement de 5,657, c'est-à-dire moindre d'euvitca une toise par mille, et que par conséquent la CA toise dont s'était servi Picard était au moins d’une ligne plus courte que celle de l’Académie. Cette différence étant enfin bien reconnue et constatée, La Caille pro- céda avec Gassini à la vérification des triangles depuis Paris jusqu’à Dunkerque. A peu près à cette époque ; ces deux astronomes se livrèrent à une autre opération non moins importante, et qui confirme comme la me- sure exacte du méridien, l’aplatissement de la terre : c’est la mesure d’un.degré du parallèle passant au 43° + de latitude. Ils trouvèrent la longueur de ce degré égale à 41,358 toises, tandis qu'il cût du être moindre de 260 toises dans l'hypothèse de ia terre sphérique, et de plus de 500 dans celle de la terre allongée. Foyez Menibirx. Pendant que l'abbé La Caille se livrait ainsi à ces utiles travaux, le docteur Robbe, sur la foi de sa réputation, le nomma professeur de mathématiques au collége Maza- rio. Les devoirs de ses nouvelles fonctions suspendirent la continuation de la méridienne dans la partie du nord, qu'il termina en quelques mois lautomne suivant. À époque de la révolution française, et lorsqu'il fut ques- tion de prendre pour ünité de mesure la dix-millionième partie du quart du méridien, Delambre et Méchain furent chargés de refaire et de vérifier avec des moyens nouveaux la plus grande partie des travaux de La Calle. Le premier de ces savans , qui a rendu aussi d’importans services à l’astronomie , et qui est le biographe que nôus avons cité plus haut, ne parle de ces travanx qu'avec un sentiment de respect et d’admiration qui honore son caractère et ses talens. Nous croyons devoir lui emprunter ici quelques traits particuliers de la vie scientifique de La Calle, car nous avons déjà eu loc- casion de le dire, il est rare que toute la vie d’un homme de science ne soit pas renfermée dans l’histoire de ses travaux, et il n'existe guère plusieurs manières de les exposer. Au retour de ses excursions pour la mesure du méri- dien, La Caille se livra aux calculs qu’entrainait une si longue opération, et, par la comparaison des divers arcs qu'il avait mesurés, il démontra que les degrés allaient en croissant de l'équateur vers le pôle, conclusion dia- métralement opposée à celle qui résultait de l’ancienne mesure. En 1741, La Caille entra à l'Académie des sciences, et de cette époque date la plus grande partie des écrits qu’il a consacrés à la partie théorique de la science qu’il pratiquait avec tant de zèle et de distinction. Ses traités de géométrie, de mécanique, d'astronomie et d'optique, qui se succédèrent à des intervalles très- rapprochés, prouvent avec quelle assiduité il remplis- sait ses fonctions de professeur. Ses éphémérides et les nombreux et-importans mémoires qu'il publia dans le recueil de l'Académie des sciences, ses calculs d'éclipses pour dix-huit cents ans, insérés dans la première édition de l'Art de vérifier les dates, prouvent aussi avec quelle ar- CA 245 deur il poursuivait ses travaux astronomiques. ILavait entrepris la vérification des catalogues d'étoiles, Les lu- nettes méridiennes étaient presque inconnues en France, et celles qu’il avait pu avoir ne lui inspirant que peu de confiance, il s’attacha à la méthode des hauteurs correspondantes, qu’il regardait comme la seule qui püt lui assurer l'exactitude à laquelle il aspirait. Fidèle à cette méthode pénible qu’il avait préférée pendant qua- torze aps, La Caille passa les jours et les nuits à obser- ver le soleil, les planètes, et surtout les étoiles, pour rectifier les catalogues et les tables astronomiques. On lui avait abandonné les deux secteurs de six pieds, avec lesquels il avait mesuré la méridienne de France, Ce travail lui inspira l’idée d’une expédition lointaine, qui a offert à la science des résultats importans. Nous en parlerons avec quelque détail. Ce fut en 1751 que l'abbé La Caille, dans le but de connaitre et de vérifier les étoiles australes qui nese lèvent jamais sur l'horizon de Paris, entreprit de faire un voyage au cap de Bonne-Espérance. Ce déplacement devait en outre offrir d’importans avantages pour l’ob- servation de la parallaxe de la lune, de celle de Vénus et de Mars, comme pour les réfractions, Le judicieux La Caille embrassa d’un coup d’œil ces diverses circons- tances , et se prépara à son expédition, pour laquelle il obtint facilement l’assentiment du gouvernement et de l'Académie des sciences. Il donna avis de son voyage à tous les astronomes de l'Europe ,'daus l'espoir que quel- ques-uns d’entre eux se joindraient à lui : un horloger seul l’accompagna. La Caille rapporte lui-même qu’à son arrivée au Cap, il crut, durant plusieurs mois, qu’il ne pourrait atteindre l’objet de son voyage. Lorsque le vent de sud-est, qui se fait sentir fréquemment dans ces latitudes, venait à souffler, tous les astres paraissaient dans une agitation continuelle; les étoiles même pre: naient la figure et les apparences des comètes , et la vio- lence du vent ébraulant les instrumens, il devenait à peu près impossible de se livrer à des observations suivies. La persévérance de La Caille, etson zèle pour la science, triomphèrent néanmoins de ces obstacles imprévus, et il observa avec une étonnante précision jusqu’à dix mille étoiles, dont il fut obligé de former quatorze nouvelles constellations, pour les lier méthodiquement entre elles. Hevélius et Halley avaient aussi précédemment formé des constellations nouvelles (voyez ce mot); mais ces savans astronomes avaient fait entrer quelques vues per- sonnelles dans les noms qu’ils leur avaient imposés. La Calle suivit une autre marche, et voulut consacrer sa dé- couverte aux sciences et aux arts. Ou trouve le nom de ces constellations placées dans l’ordre des ascensions droites, et telles qu'il les rapporte lui-même, dans es Mémoires de l'Académie des sciences de 1752, et dans le journal de son voyage, ainsi qu'il suit : 246 CA 2°. L'ATELIER DU SCULPTEUR : il est composé d’un sca- bellon qui porte un modèle , et d’un bloc de marbre sur lequel on a posé un maillet et un ciseau; 9° Le rounxeau CHIMIQUE avec son alambic et son récipient; 3° L'non- LOGE à pendule et a secondes; 4° LE RÉTICULE RHOMLOÏIDE, petit instrument astronomique composé de plusieurs fils, et qui se place au foyer d’une lunette pour mesurer le diamètre des astres ; 5° Le suriN pu craveur: la figure est composée d’un burin et d’une échoppe en sautoir liés par un ruban ; 6° Le cuevaLer Du PEINTRE auquel est attachée une palette; 5° La BOUSSOLE Où LE com- PAS DE MER; 8° LA MACHINE PNEUMATIQUE avec son récipient , instrument qui appartient à la physique expérimentale; 3° L’ocrantT ou LE QUARTIER DE RE- FLEXION dont on se sert en mer pour observer les lati- tudes et les longitudes; 10° Le compas; 11° L’ÉQuERRE XT LA RÈGLE, attributs de l'architecture, auxquels il ajouta en forme de niveau, le triangle austral qui sub- sistait déja; 12° LE TÉLESCOPE Où LA GRANDE LUNETTE ASTRONOMIQUE suspendue à un mât; 13° LE micROSCOPE : comme attribut de l'histoire naturelle, cet insrument est représenté par un tuyau placé au-dessus d’une boîte carrée ; 14° LA MONTAGNE DE sARLE, nom d’un lieu cé-- lèbre au cap de Bonne-Espérance, où La Caille acheva son grand travail sur les étoiles ; il l’a placée au-dessous du GRAND NUAGE, pour faire allusion à un nuage blanc qui couvre cette montagne aux approches des vents violens du sud-est. La Caille, en formant ces quatorze constella- tions, indiqua par des lettres grecques et latines, suivant la méthode employée par Bayer, en 1600, chacune des étoiles visibles à l'œil nu. Il reforma sous quelques rap- ports les catalogues de cet ancien astronome, en chan- reant les lettres qu'il avait mal à propos attribuées aux étoiles de diverses constellations. Le voyage de La Caille dura quatre ans, et ses décou- vertes, auxquelles on a justement donné le nom de con- quête astronomique, ne coùtèrent au gouvernement, en y comprenant les frais de construction ct d'instrumens ; que la somme de 9,144 livres 5 sous. Le modeste et scrupuleux La Caille, dont la naïve probité étonna, dit- on, les agens du trésor royal, lorsqu'il leur rendit ses comptes, fut épouvanté de la célébrité et de la gloire que son noble dévouement aux progrès de la science venait de lui acquérir. À son retour à Paris, en 1754; il fut accueilli avec un empressement qu'il était loin de rechercher, et auquel il se déroba en s’enfermant dans l'observatoire qu’on avait construit pour lui en 1748, au collége Mazarin. Il eut un moment le projet, dont ses amis eurent de la peine à le détourner, de se retirer dans une province méridionale, où les impor- tuns et les curieux ne vinssent pas troubler ses études solitaires. Cette époque de la vie de La Caille est celle oùil produisit ses plus importans ouvrages. On est surpris CA de l'inmensité des travaux qu'a atégimpiis € isa lux ctsavanl astronome, durant une carrière malheureuse- nient si courte, dont il trouva encore le moyen de con- Sacrer une parue à la pratique des plus douces vertus, etaux devoirs de l'amitié. (Voyez Boueuer.) Un vio- lent accès de goutte vinttout à coup interrompre les tra- vaux de La Caille; mais il les reprenait avec une ardeur inprudente durant les intervalles de repos que lui lais- sait Ja douleur. Ce fut ainsi qu'il usa ce qui lui restait de forces, et qu'il contracta une maladie mortelle, eu pas- sant les nuits, pendant un hiver entier, couché sur les dalles de san observatoire, pour achever son cata- logue des étoiles. Il avait déjà éprouvé au Cap la fièvre violente dont il fut saisi. Le repos alors l'avait guéri sans le secours de l’art; les talens des médecins de Paris lui furent moins favorables. Il vit approcher ses derniers momens avec le calme et la résignation d’une âme forte et religieuse, fit de nombreuses dispositions qui prouvent jusqu’à quel point il avait conservé l’usage deses facultés, et il mourut le 21 mars 1562, à peine âgé de 49 ans. Sa perte fut grande pour la science ; et les ombreux travaux de La Lande, qui se glorifiait d’avoir été son disciple, ne la firent point oublier. La Caille est un des hommes les plus remarquables qu’ait produits la France, Son noble caractère ne se démentit jamais. Simple dans ses goûts, modeste, laborieux, on aurait dit que la gloire le fatiguait, et qu'il fuyait la célébrité avec autant de soin que d’autres en mettent à exalter un mérite douteux. Accueilli par les chefs de la secte encyclopédique, sa raison fut assez forte pour dérober sa jeunesse à l'entrainement des idées qui emportaient alors la France, idées fatales contrelesquelles elle estenfin entrée en lutte, dans sa généreuse ardeur de rénovation et de progrès. Les principaux ouvrages de l'abbé La Gaille sont : 1. Astronomiæ fundamenta, etc. Paris, 1957, in-40. Il. Cœlum australe stelliferum. Paris, 1700 , in-4°. C’est dans cet ouvrage que sont consignées les découvertes et les observations faites par l’auteur au cap de Bonne-Espérance. III. Tables des logarithmes pour des sinus el tangentes de toutes les minutes du quart de cercle, etc.; édition revue par l'abbé Marie. Paris, an vu (1799), in-8°. IV. Tables solaires, etc. Paris, 1758. V. Lecons élémentaires de mathématiques. Paris, 1741-1807, in-8°. VI. Lecons de mécanique, 1743, in-8°. VII. Leçons d'astronomie, 1746, 4° édition, publiée par La Lande, 1730. VIIL. Élemens d'optique. Paris, 1750-1807 et 1808, IX. Éphémerides depuis 1745 jus- qu'à 1775. La Caille est aussi l’auteur d’un Zraité de na- vigation, d'observations faites au cap de Bonne-Espé- rance pour les parallaxes de Vénus et de Mars, etc. CALCUL. Réalisation des opérations qu'il faut faire sur les nombres donnés par une question pour en con- naitre le résultat. Ce mot est dérivé de calculus, pierre, CA parce que les anciens employaient de petites pierres pour effectuer les règles de l'arithmétique. On l’étend encore à toutes les branches de lx science des nom- bres qui emploient des procédés qui leur sont pro- pres pour exécuter des recherches ou des opérations mathématiques. C’est daus ce sens que l’on dit calcul différentiel, calcul des variations, ete., etc. Nous avons ainsi : CaLcuL DIFFÉRENTIEL, V0Y+ DiFFÉRENTIEL. CALCUL INTEGRAL, v0Y. INTEGRAL. CALCUL DES FONCTIONS , voy. Foncrion. CALCUL DES LIMITES, v0y. LIMITES. CALCUL DES FLUXIONS, V0Y. FLUXIONS. CALCUL DES DÉRIVATIONS , V0ÿ. DÉRIVATION. CALCUL EXPONENTIEL , VOY. ÉXPONENFIEL, CALCUL DES DIFFÉRENCES PARTIELLES, VOY« DIFFÉREN- CES PARTIELLES. CALGUL DES PROBABILITÉS, V0Y. PROBABILITÉ. CALCGUL DES VARIATIONS , VOY. VARIATION. Cazcuz numérique. C’est la même chose que l’Antre- MÉTIQUE. CALENDES (Calendrier). C'était ke nom que les Ro- mains donnaient au premier jour de chaque mois Voy. CALENDRIER. CALENDRIER. Distribution du temps en périodes plusou moins longues, imaginées pour les usages sociaux. On entend encore par ce mot une table qui contient l'ordre des jours , des semaines, des mois et des époques remarquables, ou des fêtes qui arrivent pendantle cours de l’année. Le nom de calendrier est dérivé de calendes : c’est ainsi que les Romains désignaient le premier jour de chacun de leurs mois, d’après le grec xæAtw , j'appele, parce que c'était en ces jours qu'on appelait le peuple aux assemblées. La perfection du calendrier a été de tout temps un des premiers besoins des peuples civilisés; et ee, n’est en effet qu’en déterminant une manière invariable de compter le temps, qu’on peut désigner avec exactitude le retour des mêmes travaux, des mêmes cérémonies, conserver à la postérité la date des événemens, et fixer enfin lesépoques de l'apparition des phénomènes célestes que la science est parvenue à calculer si long-temps à l'avance. 1. La division du temps en jours se présente d’abord naturellement à tous les hommes : cependant les dif- févens peuples n'ont point attaché à ce met la même signification, Le jour est raturel où artificiel. Par jour naturel, nous entendons le temps pendant lequel le soleil achève sa révolution complète d’orient en occident, ou le temps écoulé entre deux midis consécutifs, Le jour naturel renferme donc non-seulement le temps de : . L l'apparition du soleil au-dessus de l'horizon; ce qui cons- CA 217 titue le jour proprement dit, mais encore le temps de sa présence au-dessous de l'horizon, où la nuit. Le jour artificiel, au contraire, est seulement le temps pendant lequel le soleil demeure au-dessus de l'horizon. C’est sui- vant cette dernière signification que le jour est opposé à la nuit. 2. Quelques peuples, comme les Assyriens, ont pris le commencement du jour naturel au lever du soleil, d’autres Font pris au coucher, comme on le fait en Ita: lie, en Bohème et ailleurs; plus généralement comme en France, et dans presque tous les états de l'Europe, le jour naturel commence à minuit; alors l'intervalle de temps compris entre deux minuits consécutifs forme le jour civil. Les astronomes et les navigateurs com- mencent le jour à midi, parce que le passage du soleil au méridien es! un phénomène facile à observer et qui est par cela très-propre à indiquer le commencement d’un nouveau jour. C’est là l’origine du jour astrono- mique où du jour vrai. Voyez Jovr. 3. Le jour naturel se divise en 24 parties qu'on appelle heures; nous faisons ces parties égales entre elles. Il y a eu des peuples qui donnaient 12 heures au jour artificiel et 12 heures à la nuit ; alors les heures des jours et des nuit étaient bien égales entre celles, mais non les premières aux secondes, excepté le jour de l’équinoxe. Les Juifs et les Romains divisaieat le jour artificrel en quatre parties égales, quatre heures principales qu’ils nomimaient prime, tierce, Seæle el RONE, dont la pre- mière commençait au lever du soleil. L'Église se sert encore de ces quatres heures principales pour l'office. 4. Après avoir divisé ainsi le temps en jours, on cher- cha à former des périodes plus grandes, composées d’un nombre déterminé de jours, et ensuite d’autres périodes composées de celles-ci, pour établir un moyen pratieable de fixer le retour des événemens physiques ou sociaux. La révolution synodique de la lune ou Finter- valle de temps compris entre deux nouvelles Tunes of- frit un avantage précieux pour les peuples encore peu ävancés, en ce que les phases de cette planète servent éllesmémes de subdivisions à sa révolution entière. Aussi les Juifs, les Grecs , les Gaulois, les Saxons, etc., employaient:ls le retour de la nouvelle ou de la pleine lune pour l'indication de leurs réunions politiques et religieuses. La révolution synodique de la lune s’effec- tuant à peu près en 29 jours, on donna à cette période le nom dé mois, et r2 mois réunis composèrent l'année lunaire. 5. Mais la division du temps en /unaisons où mois lunaires, quoiqu’en apparence la plus simple , est loin cependant d’être la plus avantageuse; le retour des mêmes saisons eu offre une autre beaucoup plus impor- tante et qui dépend entièrement de la révolution du 248 CA soleil. Cette révolution est le temps employé par le soleil pour faire le tour de l’écliptique d’occident en orient, ou l'intervalle qui sépare l’équinoxe du prin- temps du même équinoxe suivant. Cet intervalle, qui est de 365 jours et à peu près 6 heures. forme l’année solaire où astronomique. On tâcha de concilier ces deux divisions; et comme douze révolutions de la lune rem- plissent à peu près la durée d’une révolution du soleil, on prit cette dernière pour unité, sous le nom d'année, et on la divisa en 12 parties auxquelles on donna, comme nous l'avons déjà dit, le nom de mois, mot dé- rivé de celui de la lune dans toutes les langues anciennes. Douze lunaisons différant de près de 11 jours d'une révolution solaire, on s'aperçut bientôt que les saisons ne correéspoudaient plus, après quelques années, avec les mêmes mois des années précédentes ; et la difficulté de faire concorder les mouvemens de la lune avec le mou- vement du soleil jeta les astronomes dans le plus grand embarras. Quelques peuples, tels queles Égvpüens, tran- chèrent la difficulté, en s’en tenant au seul mouvement solaire; d’autres, au coutraire, tels que les Arabes, s’attachèrent uniquement à celui de la lune. Les Grecs s’obstinèrent à concilier les deux mouvemens, et ce fut chez eux l’occasion d’un grand nombre de tentatives qui contribuërent puissamment aux progrès de l’astro- nomie. 6. Une révolution complète de la lune étant d’en- viron 29 jours +, et la nécessité de composer le mois d’un nombre entier de jours ne permettant pas de s’en tenir rigoureusement pour sa durée au temps de cette révolution, on imagina d’abord de faire alternative- ment les mois de 29 et de 30 jours, afin de regagner sur l'un ce qu'on était forcé de perdre sur l’autre. Soon, qui institua cette compensation , donna le nom de caves aux mois de 29 jours, et de pleins à ceux de 30; le trentième jour des mois pleins fut désigné par lui sous le nom de &%y xs veu», dernier et premier, parce que ce jour était le dernier de la lunaison qui finissait, et le premier de la lunaison qui commençait. Mais 12 lunai- sons , ainsi déterminées, ne faisant que 354 jours, et la révolution solaire étant de 365 £, on fit l’année tantôt de 12 et tantôt de 13 mois, c’est-à-dire que sur une période de huit années, cinq seulement se composaient de 12 mois, tandis qu'aux trois autres suivantes, la troi- sième, la cinquième et la huitième, on intercalait un treizième mois plein où de 30 jours. De cette manière comme cette période de huit ans se composait de 2922 jours, et que huit révolutions solaires de 365 ; font également 2922 jours, on voit qu’en admettant la durée du mois lunaire égale à 29 jours +, les mouvemens du soleil et de la lune devaient coïncider exactement de la même manière à chaque période de huit ans. On fait honneur de l'invention de cette période, nommée CA octuctéride, à Cléostrate de Tenédos, astronome, à ce qu’on croit, peu postérieur à Thalès, 7- Cet arrangement du calendrier grec aurait été fort heureux, si les 99 mois qui composent la période de Cléostrate eussent eu précisément la même durée qne 99 lunaisons ; mais la révolution de la lune s’effectuant en 29 jours 12 heures 4o minutes 2# secondes, 99 lu- naisons font réellement 2923 j. 12 h. 40° 37", de sorte que la lune qui aurait dû se renouveler à l'expiration des huit années lunaires, ne le faisait qu'après un jour et demi. Pour remédier à ce défaut, qui ne tardä pas à se faire sentir, on se contenta pendant assez long-temps de faire quelques corrections pour rapprocher les octaétéri- des de l'état du ciel; ce qui finit par jeter un si grand désordre dans le calendrier, que tous les astronomes s’ef- forcèrent à l’envi de chercher les moyens d’y remédier. Plusieurs périodes furent successivement proposées et rejetées, lorsqu’enfin parurent Méton et Euctémon qui inventèrent la célèbre enneadécatéride, où cycle de 19 ans. 8. Cette période, qui ramène les nouvelles lunes aux mêmes jours de l’année, et presque aux mêmes heures, se composait de 19 années lunaires, dont 12 étaient communes où de 12 lunaisons, et 5 de 13 lunaisons, en tout 235 lunaisons : les années où l’on intercalait étaient les 3°, 6°, 8°, 11°, 14°, 19°, 19°. On les nommait an- nées embolismiques , du nom des mois ajoutés, qui s’ap- pelaient embolismiques ou intercalaires. La distributiox des mois caves et pleins n’était pas tout-à-fait la mêrne que celle de Solon: il y avait 110 mois caves, et 125 pleins. Par ce moyen, les mouvemens du soleil et de la lune sont très-heurement conciliés, et ces deux astres se rencontrent à la fin de la période, à très-peu de chose près, dans le même lieu du ciel d’où ils étaient partis au commencement. 9. Le cycle de Méton avait cependant un inconvé- nient qui exigea bientôt une correction que l’astronome Calippe effectua environ un siècle après. Les 235 mois lunaires, tant caves que pleins, qu'il renfermait, for- ment 6940 jours, tandis que 235 lunaisous ue font que 6939 jours 16 heures 32 minutes: ainsi la période anti- cipait de sept heures et demie, et la nouvelle lune, qui aurait dûavoir lieu précisément à l'instant où recommen- çait la période, se trouvait déjà avancée de sept heures et demie; cette erreur multipliée ne pouvait manquer de devenir sensible dès la troisième révolution du cycle. De plus, 19 années solaires de 365 + ne font que 6039 jours Ÿ : ainsi la période de Méton anticipait aussi sur les révolutions du soleil. Calippe commença d’abord par la quadrupler, ce qui fit un nouveau cycle de 56 ans, au bout duquel on devait retrancher un jour, c’est- à-dire que son cycle était composé de quatre cycles de Méton, dont les trois premiers étaient de 6940 jours, et CA le dernier de 6939. L'effet de cette correction devait être de retarder l’anticipation des nouvelles lunes de plus de 300 ans, et en même temps de faire mieux accorder toute la période avec le mouvement du soleil. En effet, l'intervalle des quatre cycles de Méton diminué d’un jour, fait 27759 jours, et les 940 lunaisons qui les composent font 27558 jours 18 heures 8 minutes, tandis que 96 révolutions du soleil font 27759 jours. Ainsi, le mouvement de la lune n’eût anti- cipé sur la période entière que de 5 heures 52 mi- nutes, et, par conséquent, que d’un seul jour environ après quatre de ces révolutions, ou 304 ans. A la vérité, sa concordance exacte avec l’année solaire n’était qu'appa- rétite, puisque cette année n’est pas exactement de 365 jours +; mais à cette époque il était impossible de le prévoir. Cette période de 36 ans, appelée calppique, du nom de son auteur, commença l’an 331 avant J.-C., la septième aunée du sixième cycle métonien. Elle fut adoptée surtout par les astronomes qui y lièrent leurs ubservations, comme on peut le voir dans Ptolémée qui en fait fréquemment mention. Nous verrons plus loin qu’elle répond à notre cycle lunaire combiné avec les année juliennes. 10. Cette combinaison des années solaires et lunaires rendait le calendrier des Grecs très-compliqué et très- peu commode; nous ne l’avons exposée en détail que parce que notre calendrier actuel la renferme également, quoique-notre année soit purement solaire : uue partie des fêtes que nous célébrons étant attachée au cours du soleil et l’autre à celui de la lune. C’est ce qui forme la distinction des fêtes immobiles qui ont un jour fixe dans l’année, et des fêtes mobiles qui se célèbrent tantôt un jour et tantôt un autre. Nous avons donné au mot année les divisions adoptées par les principaux peuples dans leurs calendriers ; nous ne nous y arrêéterons donc point ici : mais comme nous tenous en grande partie le nôtre des Romains, avant de développer les principes sur lesquels il est fondé, nous allons jeter un coup d'œil sur son origine. 11. Lors de la fondation de la république romaine, Romulus, législateur barbare et ignorant, n'avait com- posé l’année que de 340 jours divisés en 10 mois; mais Numa qui possédait sans doute quelques connaissances astronomiques, fixa la durée de l’année solaire à 365 jours, et celle de l’année lunaire à 354. Il voulut en conséquence que l’année romaine fût composée de 12 mois alternativement de 9 et de 30 jours, afin de se conformer aux mouvemens de la lune, et que de deux en deux années on ajoutät un mois intercalaire alternativement de 22 et de 23 jours, pour l’accorder avec le mouvement du soleil. D'après ce que nous avons dit plus haut, il est facile de voir que Numa était loin d'atteindre son but, puis- 919 CA que son année ne s’accordait que de deux en deux ans avec le cours du soleil, et rarement, ou même seule- ment par hasard, avec celui de la lune. Il sentit, à.ce qu'il parait, l'imperfection de son. calendrier, puisqu'il préposa les pontifes pour y veiller et pour l'accorder avec les mouvemens célestes. Mais les intentions de ce prince furent bien mal remplies , car le peuple conqué-= rant, Ja grande nation dominatrice de l'univers, de- meura jusqu'a Jules-César, sous le rapport du calendrier, au-déssous de tous les peuples connus , et même de ceux que Kome traitait de barbares. 12. Le calendrier romain était tombé, du temps de Jules-César, daus une si prodigieuse confusion que l’équi- noxe civil s’écartait de l’équinoxe astronomique de près de trois mois, et que l’ordre des saisons se trouvait entièrement interverti. César, d’après les conseils de l'astronomé Sosigènes, ayant déterminé l’année solaire astronomique de 365 jours G heures, adopta cette année comme plus commode pour la conformer à l’état du ciel. En conséquence, il décida que l’année civile serait pendant trois ans de 365 jours, ct qu’à chaque qua- trième aunée, on intercalerait un jour pour recouvrer les 24 heures dont 4 années communes diffèrent de 4 années astronomiques. Suivant cette manière de compter, le soleil n’a pas fait sa révolution entière à la fin de la première année civile, il s’en faut alors de G heures; à la fin de la se- conde , ils’en faut de 12 heures; à la fin de la troisième, il s’en faut de 18; ct enfin il s'en faudrait de 24 heures à la fin de la quatrième si on ne la faisait pas plus lon- gue d’un'jour que la précédente. Grâce à cet arrange- ment, les saisons se reproduisent exactement aux mêmes époques de 4 en 4 années. 13. Pour opérer sa réformation, César ajouta à l’an- née courante83 jours afin de ramener l’équinoxe du prin- temps à sa place; ce qui fit donner à cette année le nom d'année de confusion. K fixa, comme Numa, le com- mencement de chaque année au premier janvier, et fit les 12 mois alternativement de 31 et de 30 jours, à l'exception du mois de février qui ne devait être que de 29 jours dans les années communes, et de 30 jours dans les années dites bissextiles, par la raison que nous allons exposer. 14. Notre période de sept jours, ou la semaine, qui ramène invariablement les différens jours dans le même ordre, quoique fort ancienne et fort répandue, n’en- trait cependant pas dans le calendrier des Grecs ni dans celui des Romains. Les Grecs divisaient le mois en trois décades, usage qu’on avait voulu renouveler dans le calendrier français républicain; les Romains parta- geaient également le mois en trois parties, mais ils Je faisaient de la manière la plus incommode pour les 3» 250 CA calculs. Ces parties se nommaient calendes, nones et ides. Les calendes étaient le premier jour de chaque mois; les nones arrivaient le 7 dans les mois de mars, de mai, de juillet et d'octobre, et le 5 dans les autres mois; les ides tombaient au 15 dans les mois de mars, de mai, de juillet et d'octobre ; et le 13 dans les autres mois. Les jours qui précédaient ces trois termes en tiraient leurs dénominations; c’est-à-dire que les jours compris entre les calendes et les nones se nommaient les jours avant les nones ; ceux qui étaient compris entre les nones et les ides étaient appelés jours avant les ides; et enfin les jours compris entre les ides d’un mois et les ca- lendes du mois suivant étaient nommés Jours avant les calendes de ce dernier mois. Ainsi, les ides de mars tombant le 14 de ce mois, le jour d’après était le Aui- tième jour avant les calendes d'avril, le suivant, le sep- tième avant les calendes d'avril, et ainsi de suite. 15. Jules-César ayant arrêté que le jour intercalaire dont on augmenterait l’année tous les quatre ans serait placé entre le G° et le 7° jour avant les calendes de mars, on comptait dans cette année deux sixièmes jours des calendes, et l’on disait sexto calendas martit, et en- suite bi-sexlo calendas martit; ante est sous-entendu. C'est ce qui a fait donner à l’année de 366 jours le nom de bissextile. 16, Le calendrier institué par Jules-César, et adopté, ensuite généralement, sauf quelques légères modifica- tions dont nous parlerons plus loin, sous le nom de ca- Lendrier julien, eut besoin, du temps d’Auguste, d’une espèce de correction dont Pline parle de manière à prouver qu’il n’avait aucunes connaissances astronomi- ques. Les prêtres chargés, comme avant la réformation, de la direction du calendrier, avaient anal compris ce que César avait ordonné, savoir, d’intercaler un jour après chaque quatrième année révolue; et ils avaient intercalé, après chaque quatrième année commençante, c’est-à-dire de trois ans en trois ans. Cette erreur avait déja duré 36 ans, et l’équinoxe commençait à arriver trois jours plus tôt qu'il ne fallait, lorsqu'Auguste, ayant fait examiner par les astronomes la cause de ce désor- dre, ordonna qu’on ne ferait aucune intercalation pen- dant 12 années, et qu’ensuite on ne le ferait qu’à la fin de la quatrième année. CA 17. Les noms des mois romains furent conservés par Jules-César tels qu’ils se trouvaient dans l’ancien calen- drier. Les deux mois que nous nommons Juillet et août s’appelaient alors guintile et sextile, parce que l’un était le cinquième et l’autre le sixième de l’année de Romu- lus commençant au premier mars; mais dans la suite on donna le nom de Jules-César à quintile, et celui d'Au- guste à sextile. Pour que le mois d'Augustus ne fût pas inférieur à celui de Julius, on prit un jour de février pour le reporter sur août, qui fut alors de 31 jours, tandis que février n'eut plus que 28 jours dans les années commu nes, et 20 dans les années bissextiles. C’est ainsi qu’on dérangea l’ordre commode que Jules-César avait établi en ordonnant que les mois auraient alternativement 30 et 31 jours. Les mois du calendrier romain, et par suite les mois de notre calendrier actuel, sont donc distri- Luës comme il suit : 1.Janvier....31 jours 7.Juillet......3r1 jours 2.Février.s..260u2091 8.Août....:..7.31 3.Mars.. h:ANrilL......30 5: Mai... Oduin,.....80 es ol 9.Septembre...30 10.O0ctobre.....31 01 11.Novembre...30 12.Décembre...31 Pour aider la mémoire, on donne les deux règles sui- vantes: 1° Fermez la main; et sans tenir compte du poucé, comptez les mois par les racines des quatre doigts, et par les trois creux qui les séparent, en comp- tant l'index pour janvier, eten recommençant la série à ce même doigt lorsqu'elle est épuisée. Tous les ntois qui tomberont sur les doigts auront 31 jours, et ceux qui tomberont dans les intervalles n’en auront que 30. e° Ouvrez la main et baissez le second et le quatrième doigts , les doigts levés indiqueront les mois de 31 jours, en commençant par le pouce affecté.au mois de mars; les doigts baissés indiqueront les mois de 30 jours. Il faut faire attention seulement que le mois de février désigné dans ces deux procédés comme ayant 30 jours n’en à réellement que 28 dans les années communes, et 29 dans les années bissextiles. 18. Le tableau suivant comprend tout le calendrier romain. Nous y avons fait l'année bissextile; et le jour intercalaire est marqué par une étoile au 25 février. | JANUARIUS, sous la protection de Junon. 1[Galeudis Jan. V Nonas. IT Nonas. ! idiè Nonas. 3[Nonis Januar. LE VI ildus. VIT Idus. VI Idus. V Idus. IV Idus. FEGRUARIUS, sous la protection de Neptune, 1 Calendis Feb. 2| IV Nonas. 3| TITI Nonas. a|Pridiè Nonas. 5[Nouis Februar. 6| VIII Idus. 7| VII Idus. 8 VI Idus. 9 V Idus. o! IV Idus. CALENDRIER ROMAIN. [IT Idus. Pridiè Idus. fdibus Januar. X'!'X Cal. Feb. 5|X VIII Cal. III Iüus. 2|Pridiè Idus. 3|Idibus Febr. XVI Cal. Mar. XV Calendas. 6 XVII Cal. XVI Cal. XV Cal. XIV Cal. XITI Cal. XII Cal. > CEA X: Cal. IX Cal. VIII Cal. "IP OA) XIV Cal. 7 XIII Cal. 8| XII Cal. XI Cal. X Cal IX Cal. VIII Cal. VII Cal. >4 NI Cal DUBLIN af Prid. Cal. Feb.{ >5 *Cal: 6 V Cal. 27| : IV Cal. 28| ITT Cal. Prid, Cal. Mar. »1l XII Cal. | >| XI Cal: 56| VII Cal. MARTIUS , sous la protection de | Minerve 1|Calendis Mart.| 2| VI Nonas. 5| V Nonas. 4| IV Nonas 5| TITI Nonas. 6|Pridiè Nonas. 71Nonis Marti. 8| VIIE Idus, g| VII Iaus. 10 VI Idus. 11 V ldus 12 IV idus, 15| III Idus. 14|Pridiè Tdus 15|fdibus Marti, 16/X VII Cal. Ap. 191 XVI Calend,. 18" XVC “a 19! XIV Cal. “ XLIT Cai. 25, X Cal. 4| IX Cal Lil. 5| VIII Col. >6 )7 VI Cal. >< V Cal. 20 EN Cal. 301 III Cal. 51 |Pridiè Cal. An.! 9 & Ÿ DE Cr DIR = il | APRILIS, | sous la protection de V ecaus. DUT (trlengis Apr. a! IV Nonas. 3| III Not: 4|Pridiè Nonas. 5'Nonis Aprilis. MAIUS, sous la prote.tion d'Apollon. Laleudis Mau. VI Nonas. V Nonas. IV Nonas. III Nonas. VIII fdus. VIi Idus. VI Idus. V Idus. IV idus. LI Ldus. Lridiè dus. Idibus Aprilis. X VIII Ca. Ma XVII Calend: 5 © ON OIL DIN )|Pridiè Nonas. Nonis Mau. | VIII Idus. VII Idur. VI Idus mn V Idus. IV Idus. IIT Jdus. 4|Pridiè Idus. 5{Idibus Mau. 251 JONIUS, sous la protection de Mercure. en mens 1/Calendis Junn. IV Novas. III Nonas. Pridiè Nonas. Nonis Junit. VIII Idus. VII Idus. VI Idus. V Idus. IV Idus. III Idus. Pridiè Idus. 3{Edibus Junit. 4IX VIII Cal. Jul 5! XVII Cal, © ŒNI a CE ©, D | XVI Cal. XV Cal. XIV Cal. | XIII Cal. XII Cal. IX VII Ca. Jun. XVI Cal: XV Cal. XIV Cal. XIII Cal. XVI Cal. XV:Cal. XIV Cal. XIII Cal, XII Cal. XI Cal. X Cal. JX Cal. VIII Cal. VII Cal. XII Cal: XI Cäl. X Cal. TX Cal: VIIT Cal. VI Cal. ] Cal. IV Cal. III Cal. 5o|Prid. Gal. Maiil5 50 Pridié Cal. Jur XI Cal. X Cal. IX Cal. 4| VIII Cal. VII Cal. NI-Cal. V Cal. EV Cal. 29] TI Cal. Joli. 30|Pridiè Cal. Jul. Î | alu or = JULIUS, sous la protection de Jupiter. a Calendis Julri. VI Nouas. V Nonas. IV Nomas. ITL Nonas. Pridiè Nonas. Nonis Jul. VIII Idus. VII Idus. VI Idus. V Idus. IV Idus. III Idus. 4|Pridiè Idus. OO OI 5{fdibus Julii. AUGUSTUS, sous la protection de Ceres. |[Calendis Aug. IV Nonas. III Nonas. 4|Pridrè Nonas. 5[Nonis August. VIIL Idus. VII Idus. VI Idus. V Idus. IV Idus. 5 EAN] SEPTEMBER , sous Ja protection de Vulcoin. Calendis Septe. IV Nonas. IIT Nonas. Pridiè Nonas. 5[Nonis Septem. | | OUTOBER. | sous la protection de Mars. [Calendis Octo. VI Nonas. V Nonas. IV Nonas, ITI Nonas. NOVEMBER, sous la protection de Diane. 1, Caleudis Nov. 2| IV Nonas. ITIT Nonas. Pridiè Nonas. 5/Nonis Novem. )| ViII Idus. VII Ilus. VI Idus. V Idus. IV Idus. Pridié Nouas. Nonis Octobris VITi Idus. VIT dus. V Ï Jdus. 3 Ol Gi cie D VIII Idus. VII Idus. VI Idus. V Idus. IV Idüus. DECEMBER , sous la protection dé Vesta. 1|Calendis Dec. “| IV Nonas. III Nonas. Pridiè Nouas. 5/Nonis Decemb. RTE PRET | VIII Idus. VIT Idus. VI Idus. V Idus. IV Idus. 111 Idus. Pridiè Idus. Idibus Augnsti XIX Cal. Sept XVIIL Cal. OZ ON — ITE Tdus. >|Pridiè Idus. 3|Idibus Septeni.| 4|X VIII Ca. Oct 5|X VII Cal V tdus. IV Idus. III Idus. 4lPridiè Jdns. [idibus Octobr. 16[XVEL Ca. Au. XVI Calendas. XV Cal. XIV Cal. XIII Cal. )'XVILC al. XVI Cal. XV Cal. | XIV Cal. XIII ve l: °NSNÉNY srqruo1dae TITI Cal. 31|Pridiè Ca. Aug 31 Pi idié Ca, Sept ‘SL1{O10) o|Pridiè Cal, Oct. IX VIE. Ca. Nov XVI Cal. XV Cal. XIV Cal. XIIXL Gal. XII Cal. XI Gal. X Cal: IX Cal. VIII Gal. VTE CAT VI Cal. Y Cal. IR Cal. o|Pridiè Cal, Oct. “SH RON. D D & NX CUS O1 N! - | er] 19 "D & © | 22 ÊÎ IIT Idus. Pridiè dus. dibuis Novem XVIII Ca. Der 5|X VII Gal: HI Idus. 2! Pridiè Idus. Idibus Decemb XIX Cal. Jan. 5[X VII Cal, 16! X V1 Gal. 5| XV Cal. 18] XIV Cal. 19| XIII Cal, »vo| XII Cal. o1l XI Cal 21 X Cal: 3] IX Cal. 24] VIII Cal. 25| VII Cat. 26 27 V Cal. 28] IV Cal. gl III Cal. 30|Pridiè Ca. Dec. "STIQUI0N(T Vi: Cal: | X VII Cal. XIII Cal. XI Cal. X Cal. 2 XI Cal. 5| VIII Cal. VII Cal. VL Cal. Ÿ Cal. IV Cal. III Cal. 31|Pridiè Ca. Jan. ‘IIENUR p 9252 CA 19. Lorsque la religion chrétienne commença à rem- plir sa mission civilisatrice , l’année lunaire reparut dans le calendrier romain, dont Jules-César l'avait ban- me. Il fallait en effet se servir des révolutions de la lune pour fixer chaque année la fête de Pâques, instituée à Fimitation de la Päâque des juifs, quoiqu’en mémoire d’un événement bien différent, Les Juifs céléhbraient cette fête le 14 de leur premier mois, qu'ils nommaient Nisan, et ce premier mois était celui dont le 14° jour de la lune tombait à l'équinoxe du printemps ou le sui- vait de plus près. L'Église relint cet usage quant à la détermination du mois; mais à l’épard da jour elle vou- lut qu'il ne fût célébré que le dunanche. La division du mois en semaines ou périodes de 7 jours, commune aux Juifs et aux premiers chrétiens, remplaca bientôt dans le calendrier romain les anciennes subdivisions de calendes, d'idées et de nones; mais la concordance des deux années lunaire et solaire se fit d’une manière si inexacte dans les premiers siècles de l'Église, que le concile de Nicée, tenu en 325, fut obligé de prendre un arrêté réglementaire à ce sujet. Ce con- cile décida que la fête de Pâques serait célébrée le pre- inier dimanche qui suit la pleine lune de l’équinoxe du printemps, ou qui vient immédiatement après cet équi- noxe : c’est-à-dire que si la nouvelle lune tombe au 8 de mars, la pleine lune tombera le 21, qui est le jour de l’équinoxe, et par conséquent cette pleine lune sira paschale : la fête de Pâques devra donc être célébrée le premier dimanche suivant. De même, si la nouvelle lune tombait après le 8 1aars, la pleine lune suivaute serait aussi paschale, tandis qu’au contraire, si la nou- velle lune arrivait du 1‘* au 7 mars, la pleine lune tomberait avant l’équinoxe, et par conséquent il fau- drait attendre la pleise lune suivante, et prendre poër le jour de Päques le dimanche après cette dernière. 20. Le problème de déterminer avec exactitude les nouvelles lunes, devint donc le plus important du ca- lendrier chrétien. Après plusieurs tentatives impuis- santes et mal conçues, dont il est inutile de rappeler les auteurs, Eusèbe de Césarée introduisit le cycle de Me- ton, ou autrement le cycle lunaire, dont nous ayons parlé ci-dessus (8).:L’usage de ce cycle, sous le nom de nombre d'or, fut confirmé par le concile de Nicée et le calendrier, arrangé définitivement, garda la forme dont nous allons parler, jusqu'a l’égoque de la grande réforme opérée sous le pontificat de.Grégoire XIII. or. L'Église ayant adopté le calendrier julien et les années bissextiles , il s'agissait de faire concorder avec les jours du mois ceux de la semaine, ainsi que les jours de la lune. Pour cet effet, on se servit d’un cycle de 28 ans, nommé cycle solaire et du cycle lunaire. 22. Le cYcLE soLAIRE est uue période de 28 années qui renferme toutes les combinasons possibles des jours CA de la semaine avec ceux du mois. Ces combinaisons naissent de ce que tous les ans les dimanches ne tom- bent pas les mêmes jours des mois. Par exemple, si l'année de 365 jours a commencé par un lundi, et que par conséquent le 7 de janvier ait été un dimanche, l'année suivante ne commencera pas par un lundi, mais par un mardi, etle premier dimanche sera le 6 de janvier. Lorsque l'année est bissextile ou de 366 jours, la diffé- rence est de deux jours; c’est-à-dire, que si l’année bis- sextile a cominencé par un lundi, l'année suivante com- mencera par un mercredi. Cette variation est due à ce que l’année solaire ne contient pas un nombre exact de semaines : l’année commune contient 52 semaines, plus 1 jour, et l’année bissextile 52 semaines plus 2 jours. 23. Si toutes les années étaient communes ou de 365 jours, le cvcle solaire serait seulement de 3 ans ; car dans cette période toutes les combinaisons seraient épui- sées, puisqu'en supposant que la première année du cycle commençät par un lundi, la seconde commence- rait par le mardi, la troisième par le mercredi, la qua- trième par le jeudi, la cinquième par le vendredi, la sixième par le samedi, et la septième par le dimauche ; la huitième année, ou la première du cycle suivant, re- cominencerait donc par le lundi et ainsi de suite. Mais il arrive une année bissextile de 4 en 4 ans; et comme cette année produit un jour de différence de plus que les autres années , il faut 5 années bissextiles pour que le jour excédant de chacune produise 7 jours ou une se- maine. Or, 5 années bissextiles ne peuvent se présenter qu'en 28 ans : il faut donc une révolution complète de 28 ans pour que les jours de la semaine correspondent de nouveau, de la mème manière, avec les mêmes jours du mois. 24. On détermine les jours de la semaine à l’aide des sept premières lettres de l'alphabet que l’on place vis-à- vis les jours des mois dans le calendrier perpétuel. Ces lettres, auxquelles on a donné ie nom de LETTRES DoxI- NICALES, sont disposées comme il suit : À est à côté du premier de janvier, B à côté du second, C à côté du troisème, et ainsi de suite jusqu'au G qui est à côté du septième jour. A revient après au huitième, B au neu- vième, etc., etc., en continuant cet ordre jusgr'au 31 janvier, auquel correspond la lettre C, février commence ensuite par D, et enfin on poursuit de la même ma- nière jusqu’au 31 décembre. Ces lettres sont nommées Domunicales, parce qu’on s'en sert pour marquer tous les dimanches de l'année. Ainsi, À étant la lettre dominicale d’une année, tous les jours des mois vis-à-vis desquels se trouve V'A sont des dimanches. Il en est de même des autres lettres qui de- viennent successivement dominicales. 25. Dans les années bissextiles il y a toujours deux CA lettres dominicales, dont l’une sert depuis le commèn- cement de l’année jusqu’à la fête de saint Mathias, et l’autre depuis le jour de cette fête iuclusivement jusqu’à la fin de l’année. Nous devous remarquer qu’actuellement on ne change de lettre dominicale qu’à compter du premier mars; de cette manière, la fête de saint Mathias est toujours le 24 février. 26. Les lettres ne deviennent pas dominicales d’une année à l’autre, suivant le rang qu’elles tiennent dans l'alphabet, mais dans un ordrerenversé, c’est-à-dire que si la lettre C est dominicale pendant une année, B le deviendra l’année suivante; et ainsi de suite jusqu’à À, après laquelle on recommence par G. Cela résulte de ce que nous avons dit plus haut (22). 27. LecycLe LUNAIRE est comme nous l'avons vu une période de 19 ans (8), qui renferme toutes les variétés qui peuventarriver aux nouvelleslunes par rapport aux jours des mois. En admettant que cette période soit en- tièrement exacte, les nouvelles lunes tomberaient, daus une année, aux mêmes jours auxquels elles arrivaient 19 ans auparavant, et il suffirait de connaître la situation des nouvelles lunes pendant 19 années consécutives pour établir un calendrier perpétuel. Après la découverte du cycle lunaire de 19 ans, on marquait à Athènes l’année de ce cycle par des chiffres d’or qui étaient gravés en grand dans un lieu public. C’est pour cette raison que le nombre qui désigne l'an- née du cycle lunaire est encore appelé de nos jours le nombre d'or. Dans les anciens calendriers on écrivait aussi ces nombres en caractères d’or. 28. On se servait de ces nombres pour marquer dans le calendrier les jours de chaque mois auxquels arri- vaient les nouvelles lunes, d’une manière analogue à celle dont les lettres dominicales étaient employtes pour marquer les dimanches. Ainsi, lorsqu'on était dans la première année: du cycle lunaire, le chiffre I indiquait dans le calendrier tous les jours de nouvelles lunes pendant cette année. Dans la seconde année du cycle, le chiffre 11 indiquait les jours des nouvelles lunes, et ainsi de suite. On avait donc disposé les nom- bres d’or dans les anciens calendriers, comme on le verra dans la table suivante, de manière qu'on connaissait immédiatement les jours des nouvelles lunes à l’aide du nombre d’or de l’année. Nous donnerons seulement ici les trois premiers mois de l’année ; ce qui est suffisant pour faire connaître lé mé- canisme du calendrier. Le nombre d’or II répond au premier janvier, parce qu'x Fépoque où lon a intro- duit le cycle de Méton dans le calendrier chrétien, la nouvelle lune arrivait le premier de janvier dans la troisième année de ce cycle. Il y a 11 jours dans janvier, 10 dans février, et 11 dans mars, à côté desquels il n’y a CA 953 point de nombres d’or; ce sont ceux où il w'arrivai pas alors de nouvelles lunes pendant la révolution di cycle. CALENDRIER ANCIEN DE L'ÉGLISE. JANVIER. FEVRIER. J. du | Let. | Sal lSda | La, | Neon. | Dom. d'or. mois. | Doi. a | mme emmmnns | communs A D B E x G A B C 2 > © CI OUTE ON D NE OF CIN _ P = CO POAHODOT-OmMOO0N-OTHECQ QE T 2100 w>- O0 On 29. Ge système de calendrier renfermait deux fausses suppositions. La première, que la révolution du soleil est exactement de 365 j. Gh.; et la seconde, que 19 années solaires sont égales à 235 lunaisons. Ces deux erreurs, qui sont peu sensibles pour un petit nombre d'an- nées , le sont devenues d’une manière assez considérable dans la suite des siècles. L'année solaire étant de 365 j. 5 h. 48" 52”, dre que 365 j. G h., il en résultait un avancement c’est-à-dire d’à peu près 11 minutes moin- successif des équinoxes de 11 minutes par an, ou de 3 jours en 400 ans. Cet avancement avait fait passer l'équinoxe du printemps, du 21 mars où il était lors du concile de Nicée, au 11 mars dès le XVI° siècle. De plus, le cycle de Méton ne ramenait pas précisément les nouvelles lunes au même point de l’année julienne: celles qu'annonçait le calendrier précédaient déjà de 4 jours les véritables au milieu du même siècle , et sans la réformation qui se fit alors, les âges suivans auraient fini par avoir la pleine lune quand le calendrier aurait indiqué la nouvelle. Dès l'an 300 de l'ère chrétienne, le célèbre Bède avait signalé l’anticipation des équinoxes qui arrivaient 254 CA déjà trois jours plus tôt qu’il ne fallait. Cingsiècles après, Jean de Sacro-Bosco et Roger Bacon, le premier dans son livre De anni ratione , et le second dans son projet de réformation intitulé : De reformatione calendar, exposèrent les défauts, devenus encoré plus saillans, du calendrier ; mais leurs travaux demeurèrent sans résul- tats. Enfin, dans le cours du XV° siècle, Pierre d’Ailly renouvela le projet de réformer le calendrier de l'Église, et présenta, sur ce sujet, au concile de Constance, des projets et des mémoires qui firent mettre la matière en délibération. Vers la même époque, le célèbre cardinal de Cusa en fit autant pour le concile de Latran. Le pape Sixte IV, frappé lui-même des désordres du comput ecclésiastique, entreprit, en 1474, la grande tâche qu'il n'était point destiné à remplir. Il fit choix de l’astro- nome Regiomontanus pour travailler à la réforme ; mais la mort précipitée de ce mathématicien célèbre rendit vaine la bonne volonté de Sixte. Plusieurs astronomes de divers pays s’occupèrent à l’envi de cette question devenue des plus importantes : Jean Angelus, en 1504, Jean Stoeffler, en 1516, Albertus Pighius, en 1520, Jean Schôner, en 1 522, Lucas Gauricus, en 1525, pu- blièrent des projets de réformation. Paul de Middel- bourg, évêque de Fossembrone, calcula les lunaisons pour les 3000 premières années de l’ère chrétienne, et détermina astronomiquement celles qui étaient pas- chales. Pierre Pitatus de Vérone, fit un grand nombre d'observations pour déterminer au juste les périodes solaires et lunaires ; il en présenta les résultats, avec un plan de réformation, en 1550, aü pape Pie IV. Le guomon élevé dans l’église de saint Pétrone à Bologne, par Egnazio Dante, n’a d’abord eu d’autre objet que de rendre sensible à tout le monde l’anticipation considé- rable de l’équinoxe. Le pape Grégoire XIIL exécuta enfin la réformation désirée depuis tant de siècles. Le plan qui réunit tous les suffrages fut celui de Aloysius Lilius, astronome et médecin véronais, que la mort enleva lorsqu'il était sur le point de le pré- senter au pape: ce fut son frère qui renælit cette mis- sion. Grégoire XIIT ayant donné le travail de Lilius à examiner à d'habiles mathématiciens, il fut jugé d’une exécution facile, et dès-lors l'affaire de la réformation fut entamée. Pour la traiter et la conduire à sa fin, le pape demanda l'avis de tous les souverains catholiques, et, après s'être assuré du consentement universel, il donna au mois de mars 1582, un bref par lequel il abrogea l'usage de l’ancien calendrier, et lui substitua le nouveau. Cette année, 1582, eut la particularité singu- lière d’avoir un mois de 20 jours, car on passa immé- diatement du 4 au 15 octobre, afin que l’équinoxe revint au 21 mars de l’année suivante 1583. Nous allons exposer la construction du calendrier grégorien, devenu le calendrier de tous les peuples chrétiens, à l'excep- CA tion des Russes qui n’ont point encore adopté la réfore mation. 30. Dans le calendrier julien, les années étaient bis- sextiles de 4 en 4 ans, c’est-à-dire qu'en partant de l'année 1° d’un siècle, les années 4, 8, 12, 16, 20, 24, etc., étaient composées de 366 jours. On reconnaissait ainsi qu'une année devait être bissextile lorsque le nom- bre de cette année est divisible par 4. Toutes les années . séculaires ou les années dont le nombre finit par deux 0,7 telles que 100, 200, 1000, 1200, 1800, etc., étaient douc bissextiles. Dans le calendrier grégorien, on ne fait bissextile qu’une seule année séculaire sur quatre con- sécutives, pour éviter l’anticipation de l'équinoxe de 3 jours sur 400, causée par la règle julienne. Ainsi, des quatre années 1600, 1700, 1800, 1900, la seule année 1600 est bissextile, et les trois autres doivent être com- munes. Il en est de même dés années 2000, 2100, 2200, 2300, dont la première doit être seule bissextile, et ainsi de suite. De cette manière, la règle pour trou- ver les années bissextiles se compose de deux parties : 12 . Pour les années qui ne sont pas séculaires ne prenez que les deux premiers chiffres à droite, et di- visez par 4 : si la division se fait exactement l'année est bissextile ; dans le cas contraire elle est conunune. 2°. Pour les années séculaires , retranchez deux zéros à droite et divisez les chiffres restans à gauche par 4; l’année sera bissextile si la division se fail exacte- ment. D’après cette règle, si l’année proposée est 1534, on retranche 18, et l’on divise 34 par 4; la division ne pou- vant se faire exactement, 1834 est une année commune; si l’année proposée est 2400, on retranche deux zéros et l’on divise 24 par 4 : la division pouvant s’effectuer exactement , 2400 est une année bissextile. 31. D’après cette combinaison, 400 années grégo- riennes se composent de 97 années bissextiles, et de 303 années communes; ce qui forme un total de 146067 j.; mais 400 années solaires de 365 j. 5 h. 48° 52”, font 146096 j. 21 h. 46" 40": il y a donc encore en 400 ans une différence de 2 h. 13° 20"; ce qui finira par pro- duire un jour en 4 ou 5000 ans. Ainsi, pour rétablir l'équinoxe, il faudra alors faire quatre années séculaires de suite non bissextiles ; mais on a le temps de se pré- parer à cette correction ; et si la réforme de Lilius n’est pas entièrement satisfaisante pour les astronomes, elle suffit amplement à tous les besoins civils. 32. La restauration de l’année solaire, et la fixation de l’équinoxe au même jour, n’étaient pas la partie diffi- cile de la réformation du calendrier; il s'agissait d'v lier l’année lunaire; et c’est ce que Lilius a fait d'une manière très-ingénieuse a l’aide des épactes. 33. Les Épacres sont trente nombres, depuis À jus- qu'à XXX, que l’on écrit à côté des jours du mois, CA comme on écrivait autrefois les nombres d’or, avec cette différence toutefois qu’on les place sans interruption, de manière qu'il y a des épactes devant tous les jours des mois. Ces nombres sont placés dans un ordre rétrograde, de sorte que l’astérisque * qui tient lieu de l’épacte XXX est à côté du premier janvier; ensuite l’'épacte XXIX est à côté du deux, XX VIIT est à côté du trois, et ainsi de suite jusqu’à l’épacte T, après laquelle on recom- .mence XXX ou l’astérisque *. 34. Les 30 épactes ainsi disposées répondent à 30 jours, et par conséquent elles désignent les 30 jours des mois lunaires pleins (6); mais comme il y en a six dans l’année lunaire qui sont caves, C'est-à-dire de 29 jours, on a mis ensemble les deux épactes XXV et XXIV, en sorte qu’elles répondent à un même jour dans six différens mois, savoir : au 5 février, au 5 avril, au 3 juin, au 1° août, au 29 septembre et au 27 novembre. Par ce moyen , les 30 épactes ne répondent qu’à 29 jours dans ces six mois. 35. Le nom d’épactes donné à ces nombres, du grec kæaxrès, surajouté, vient de ce que celui qui appartient à chaque année est le nombre de jours dont la nouvelle lune précède le commencement de l’année civile. Par exemple, il y a XX à l’épacte en 1834, parce que la lune avait 20 jours lorsque cette année a commencé. On peut encore définir l’épacte d’une année, le nombre de jours qui restent au mois de décembre de l’année précédente, après la lune qui s’est terminée dans ce mois. 36. D'après l’ordre rétrograde dans lequel les épactes sont écrites, on voit aisément que la nouvelle lune de janvier, pour une année quelconque, doit arriver le jour devant lequel cette épacte est placée; car pour l’année 1834 l’épacte étant XX, ce nombre signifie qu’au 1° janvier la lune avait 20 jours, ou que la lunaison de décembre s’est terminée le 11. Ainsi, la Junaison de janvier ayant commencé le 12 décembre, doit finir le 10 janvier, puisque du 12 décembre au 10 janvier in- clusivement il ÿ a 30 jours : la nouvelle lune de janvier arrive donc le 11, justement marqué par le chiffre d’épacte XX, à cause de l’ordre rétrograde. Ainsi, comme cette épacte XX se trouve successivement écrite *« CA 255 à 30 et 29 jours de distance, elle indique les nouvelles lunes pour toute la durée de l’année. 37. Il est évident que cette manière de déterminer les nouvelles lunes est loin d’être exacte, et que la vé- ritable nouvelle lune diffère souvent de un, deux et même trois jours; mais cet arrangement a été choisi exprès pour que la Pâque des Chrétiens ne concordât pas avec celle des Juifs. 38. Au lieu d'écrire le nombre XXX, on s’est servi de l’astérisque *, parce qu’on peut prendre ce signe pour o ou pour 30 selon que le besoin peut s’en pré- senter. Lorsque la lune se termine au premier décembre, l’épacte est alors XXX; mais si elle se termine au 31, l'épacte est o ; et comme ces deux cas placent la nou- elle lune de janvier au premier de ce mois, on s’est servi d’un signe qui pouvait être pris indifféremment pour o ou pour XXX. 39. Nous verrons plus loin comment on calcule l’épacte d’une année donnée. Ce qui précède estsuffisant pour faire comprendre le calendrier suivant, qui est le calendrier grégorien, aujourd’hui en usage dans tous les pays catholiques. La première colonne de chaque mois contient l’ordre des jours, la seconde les lettres domi- nicales , et la troisième les épactes. 4o. Le chiffre 19 placé à côté de l’épacte XX au 3r décembre, sert lui-même d’épacte pour les années dans lesquelles lenombre d’or 19 concourt avecl’épacte XIX. Dans cette année, qui est la dernière du cycle lunaire, la lune, qui commence au second jour de décembre doit finir le trente du même mois, puisque cette lunaison est cave ou de 29 jours; par conséquent, la nouvelle lune doit être le 31 : ainsi l’épacte 19 doit aussi se trouver à côté de ce jour. L’épacte de l’année suivante étant I, et ce chiffre ne se rencontrant plus qu’au 30 de janvier, il n’y aurait point eu de nouvelle lune indiquée sur le calendrier depuis le 2 décembre jusqu’au 30 juillet, si l'on n’avait pas remédié à cette difficulté en plaçant le chiffre 19 au 31 décembre. Quant au chitfre 25 placé à côté de XX VI dans les mois où les deux épactes XXV et XXIV répondent au même jour, et à côté de XXV dans tous les autres, nous verrons plus loin son usage. 256 JANVIER. FEVRIER, MARS. 1e ST RE je |? Cyde = | Cycle z |* Cycle 3 5 des épactes, 3 [5 | des épactes. [3 |5 des épactes, 5 |! #5 F |É 1|Al* 11D [xxix 11D |* 2|B{xxix 2lE [xxvut 21E fxxix 51C laxvur 31F [xxvir SE fxxvir 41 D xxvrr 416 |25.xxvt 41G fxxvir 5[Elxxvr SIA [xxv.xxrv 5IA [xxvi 61 F 125 xxv 6IB lxxrr 6!B 125. xxv 71G{xxiv 710 fxxir 7|C [xx1v 8|A {xx 8|D |xxr SD [xx 918 xx glE |xx o[E [xx 10|C[xxr 10!F |x1x 10!F [xxr 11/D}xx 11/G [xviir 11/G [xx 121 E/x1x 12 |A |xvir 12 |A |xix 13|F}xvrr 131B |xvr 13/B |xvirr 14/Gfxvir 141 [xv 14[C |xvir 15| A |xvr 15 [D |xrv 15[D |svr h6|Blxv GIE |xur I6IE |xv 17 Clxiv 17 F |xrr 171E [xrv 18 D'xur 181G |xr 281G [xx ol Efxir 19|[A |x 19|A |xir 20! Flxt 20|B |tx 20|B [xt 211G x 22|C |vuir 21|C [x 22! À |ix 221D [vit >2[D [1x 251B{vur 23/E |vr 231E [vrrr 24IE |v 24|F |vrr 251G |rv 251G |vr 26/A |r1r 26/[A |v 271B [1 27|D |rv 28IC |r >8[C fur 29|D |1r 3o[E | 51|F CALENDRIER GRÉGORIEN, JUILLET. AOÛT. SELTEMBRE. F ue ls Ha Cycle Al ES Cycle a | Cycle © | des épactes. 3 a des épactes. 3 ë des epactes. 5 F |? GE 1G [xxvi 110 [xxv.xxiv Oil fxxur 31A [25 xxv 2|[D [sx 21G fxxrr 31B [xxiv 3SIE {xx1r 3 A |xxr 4[C Peu 4lE [xxr 41B [xx 51D fxxn 51G [xx 51C [xrx GlE |sxr G[A x1x 61D |xvrr IF xx 71B [xvir 7lE |xvn 81G [xrx SIC [xvrr 8 le XVI À OA vu 9[D [xvr 916 |xv 101B [xvir 10/E [xv 10 [À |x1v nie XVI 11|E [xrv 11B |xurr 121D |xv 12[G [xrr r2|C |xrt Asie uv 15|A |xir 13/D |xr PARU 14 B XI 14/E |x 4,51G [xt 15 |x 1518 |rx 6IA |x1 16|D |1x 16[G |vur 1718 X 171E VIII 17|À VII 18 C rx 1SIE lvrr 19 B vi 19[D VIII 19|G |vr 1g|U v LolE [vir 2o[A |v 0|D {iv (pe EF |vr 21|B |rv o1lE lu do21G | 29|C [rrr >2lE fr 3) A [IV 23 D Il 231G | 24 3 III 2i E nt 24|A |* 5 C {ir 25|E0 5 25 B XXIX 26 D ' 26[G [xxix 26!C xxvrr 27 E 27|A |xxvirr 27 D XXVIT ,81E [xxrx 281B [xxvir BE |xxvr 29 G |xxvrir 29 C XXVI 29 [ XXV. XXIY |A |xxvir 50|D |25.xxv 50[@ | xx 5118 25.xxvI 51lE [xxiv | | AVRIL. MAI. JUIN. Il Sn le T ob | Cycle Ge Cycle En Cycle E |E des epactes E des epactes. El Es des epactes. | me | plu fxxix 1B fixvut al [xxvir 214 [sxvut 2[C [xxv oF [25.xxvr 5113 [xxvir 3|D |xxvr 31G [xxv.xxrv 41C [25.xxvi 4ÏE |25.xxv 4lA {sxur 31D [xxv.xxIv SE fxxiv 51B {xx [GIE [xx €lG [xsxur 61C [xxr 716 [xx 7lÀ [xxir 71D [xx SIG [xx SIB |xxr SIE [xrx glA |xx 9 C [xx 9ÙF [xvur 101B [xx 10! D |xix 10[G [xvir ilC pavot nlE |xvrt nf A fxvr 121D [xvit 121E |xvr 121B [xv 131E [xv 13|G |xvr 1310 [xiv 14lE [xv 14| À |xv 141D fxur 151G fxiv 151B [xiv 151E |x1r M6|A [xui 1610 lxrr 16!1F |xr 171B fx 171 |xn 171G |x 181C [xt 18E |xr 18|A [1x 19|D [x 191F [x 191B |vrir 20[E fix 20[G [1x 2o[C |vir 21lE |vur ou[A [vit 21|D [vr 221G [vit 22|B |vrr 22/E [v 123|A |vr 2310 |vr 23|E {iv 1241B |v 241D |v 241G lt 291C {iv 25[E |rv »5|A [rt 26/D [rx 26[K lt 261B Îr 27lE lux 271G | 27|C |* 281E |r 28/A |r 28 1D [xxrx lolG |* 29|B |* 29[E |xxvir 3ol A [xxix 30|C |xxix 3olF |sxvir 31|D xxvur | E. NOVEMBRE. DECEMBRE. 17 Cycle des épactes. | Cycle des épactes. Cycle des épactes. “sou np'£ XX xXIX XVIII XVII XVI XXI XX XIX XVIII XVII XVI XV XIV XIII XII XI x IX > CG | wo * ==>: feseur mpeg SI C DE CID = aw®ie- RER SI XXIX XXVIIT XVII XAVI 25.X2V XXIX XXVIII XXVIT 25.xxvr AXV.XXIY XIII AIT XXI XXIA XXVII XXVIT XXVI CA 41. I résuite, de ce que nous venons d’exposer, que lorsqu'on connaît le nombre d’or, la lettre dominicale et l’épacte d’une année, le calendrier de cette année se trouve entièrement déterminé à l’aide du tableau pré- cédent. Il nous reste donc, avant d’aller plus loin, à dé- velopper les moyens de trouver ces différens nombres. 42. Pour trouver le nombre d’or ou le cycle lunaire d’une année proposée, il faut faire usage de la règle sui- vante : Ajoutez 1 à l’annce dont il s’agit; divisez en- suite la somme par 19, et le reste de la division sera le nombre d'or. Par exemple, pour trouver le nombre d’or de l’année 1834, il faut d’abord ajouter 1 à 1834, et puis diviser la somme 1835 par 19, le reste 11 de cette division est le nombre d’or demandé. La raison de cette règle est facile à comprendre : on ajoute 1 à l’année proposée, parce que la première année de l'ère chrétienne était la seconde du cycle lunaire, ou que le cycle avait commencé un an avant notre ère. Ea divisant ensuite par 19, le quotient indique néces- sairement le nombre de cycles entiers qui se sont suc- cédé depuis l’année qui a précédé le commencement de l'ère chrétienne jusqu’à l’année proposée, et le reste in- dique le nombre des années du cycle qui s'écoule, ou CA £5T l’année de ce cycle. Ainsi, dans l'exemple précédent, le quotient de la division étant 96, nous voyons que de- puis l’an un avant l'ère chrétienne, il y a eu 96 cycles lunaires révolus, tandis que le reste 11 nous apprend qu’en sus de ces 96 cycles entiers, il y a encore 11 an- nées d’écoulées, ou que nous nous trouvons dans la 11° année du 97° cycle. 43. La table suivante contient tous les nombres d’or, depuis l’origine de l’ère chrétienne jusqu’à l’année 5600. Son usage est des plus faciles. On a mis dans le haut trois rangées de chiffres qui renferment toutes les années séculaires ; au-dessous sont les nombres d’or. A la gauche des nombres d’or, sont les années des siècles depuis jusqu’à 09. Pour trouver le nombre d’or d’une année proposée 1744, par exemple, on cherche 1700 dans les années séculaires, et on descend le long de la colonne correspondante des nombres d’or jusqu’à ce qu’on soit arrivé au nombre placé horizontalement vis-à-vis de 44, pris dans les années des siècles , ce nombre qui est ici 6, est le nombre d’or. Lorsqu'il s’agit seulement d’une année séculaire, le nombre d’or est alors.le premier de la colonue: vour 1700, par exemple, ce nombre est 10. ot on von Gi | «pr, € QI gi ; cs. É gr Loic 11 Q 1! cô TA LG Ve @ Sy gi CL ®@ Lx 1 QT Er 9 I gi o1 G Gr Y6 çL OC cr @& cz ci Er 91 11 9 14) GT OI GCre Vr 6 ÿ gr g6 YL co GI LG, 26 QI TIAVOU I GI “OI: G Gr 1 6 ÿ gt ei g £g Lt cb el y | xt gg =12 €: OL. 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HO GI O1 G 08 19 a) ISO Gr 207 € Li er T 201 LT 9 pa eC O1 G O1 HINION 1 61 09 il PAT er ler OL IL 9 I GI 01 G Gr Vi GANT Cr @ ve gl GG op lon ‘Hi cg. + GIS OI. =G Gr ÿYr 6 ÿ 2 gr .:ct GR CINE el LOT LL oc 6e Cor Ge GT Yi 6 + gt 1 8 g Lr «rt L % 91 TAN ON UT "TIDAIS HOdVHO AA STINNV ‘UOŒ SHUXANON [4 Cr Cr (e: [ea (Si ES + EN + ENS ES = + En En D Qu + C = al © © ©: 1 O XX + © Sa La © ee] © © © © © © © © Q © [e) © © [e] © © © © © © © © © Q © Q © © © © © © © U9 © © œ Co © Le) œ D 5 © 2. Cl © © D D — D CT E & = © © Q = (er) Cr + © & m4 © © © © © © © © re] © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © — et La LD. di LS — 4 al D 3 Q Qt + a & Cal © Lo) œ. 3 © oo + 9 LD a © © © © © © © © Q © Q © © © © © Le} © © © © © © [e] © [e] © e] © © © © © el ee] © © ‘SATOAIS SIA SAUAINUAG SAT É AVIQ-V-LS4 9 “SAUIVINOAS STANNV Ô ‘0098 NYUT V.NÙSNT AUIVI TNA AMAT SINdAU STANNV SAT SHLAOL UNOd UOŒ SAUUNON S4Q N'IAVL 258 CA 44. Pour trouver la lettre dominicale d’une année, on fait usage de plusieurs règles particulières. Nous allons exposer les deux les plus usuelles avant de donner la règle générale. Si l'annee proposée est entre 1700 et 1800, on prend Le nombre de l'année, sans tenir compte des siècles ; on lui ajoute 5 , et de plus autant d'unités qu'ily a d'annces bissextiles dans ce temps ; on divise ensuite la somme par 7, et le resie de la division, s'il y en a un, désigne la lettre dominicale, pourvu qu’on compte ces lettres dans un ordre rétrograde, c’est-à-dire, en prenant G pour 1, F pour2, E pour 3, D pour 4, C pour 5, B pour 6 et À pour 7. S'il n’y a point de reste après la division faite, la lettre dominicale est 7. Par exemple, on veut connaitre Ja lettre dominicale de 1534 : 1° on prend le nombre d'années 34 et on lui ajoute 5, et de plus 8 parce qu’il y a eu 8 années bissextiles en 34 ans; 2° ou divise la somme 47 par 7; le reste est 5 : d’où l’on conclut que la lettre dominicale de 1734 est C. 45. Cette règle est facile à comprendre : on ajoute 5 au nombre d'années, parce que la lettre dominicale de l’année 1701 était B, et que, par conséquent, avant 1701 il y avait déjà à lettres dominicales qui avaient servi : G,F,E,D, C; on ajoute ensuite autant d’uni- tés qu'il y a eu d’années bissextiles depuis 1701 jusqu’à l’année proposée, parce que chaque année bissextile a deux lettres dominicales, dont l’une sert jusqu’à la fin de février, et l’autre pendant le reste de l’année. Pour trouver le nombre des années bissextiles , il suffit de diviser le nombre de l’année proposée par 4, sans tenir compte du reste de la division : le quotient indique les années bissextiles. Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, 34, divisé par 4, donne 8, et c’est pour cette raison que nous avons ajouté 8. 46. Lorsque l'année proposée est bissextile, Ja lettre trouvée par la règle précédente est la première lettre dominicale de cette année ; on trouve la seconde en pre- nant celle qui suit immédiatement dans l'ordre rétro- CA 259 grade que nous avons assigné. Ainsi, en opérant sur ‘1744 commeil vient d’être dit, on a un reste 3 qui donne E pour lettre dominicale, mais 1744 est une année bissextile (30), donc sa seconde lettre sera 4 ou D. 47. Voici une autre règle pour les années au-dessus de 1800. Si l’année proposée est entre 1800 et 1900, on prend également le nombre d'années, sans tenir compte des siècles; on lui ajoute son quart lorsque ce quart est exact, ou son quart par excès dans le cas contraire ; on divise ensuite la'somme par, et on retranvhe le reste de la division de 6 : La différence indique la lettre domi- nicale, en prenant toutefois les lettres dans l’ordre alphabétique , c’est-à-dire en prenant À pour 1, B pour 2, etc. Si la différence est o, la lettre dominicale est G. À Soit, par exemple, 1834 l’année proposée; le quart de 34 étant plus grand que 8, on ajoute Q à 34, ce qui donne 43; en divisant ensuite 43 par 7, on obtient uu reste 1, qui, retranché de 6, donne 5:la lettre dominicale de 1834 est donc la cinquième dans l’ordre alphabé- tique ou E. 48. La table suivante contient les lettres dominicales de toutes les années, depuis 1600 jusqu’à 5600. Elle est disposée d'une manière semblable à la table des nombres d’or : dans le haut sont les années séculaires, au-dessous les lettres dominicales, et à gauche les années de chaque siècle, depuis 1 jusqu’à ag. Pour s’en servir, on cherche la partie séculaire de l’an- née proposée, et on descend ensuite dans Ja colonne des lettres dominicales qui lui correspond, jusqu’à ce qu’on soit vis-à-vis de la partie excédante des années. La lettre ainsi trouvée est la lettre dominicale demandée. Par exemple, pour 1834, on cherche 1800 dans les années séculaires, et on descend ensuite verticalement dans la colonne des lettres située au-dessous de 1800 jusqu'à la lettre E placée en face de 34, pris dans les années de chaque siècle : E est donc la lettre dominicale de 1834. 260 TABLE DES LETTRES DOMINICALES ue pEruIs 4600 susou’a 5699. ANNÉES SÉCULAIRES, OU LES DERNIÈRES DES SIECLES,. 1000 1700 2100 1800 2200 1900 2300 2000 2400 2500 2000 2600 3000 2700 3100 2800 3200 3300 3700 400 3800 3500 3900 3600 4000 4100 4500 4200 4600 4300 4700 4400 4Boo 4900 5300 5000 5400 5100 5500 5200 5600 Apnée de cune € E G BA 1 29 957 95 B D 15) G 2 30 58 86 A C E F 3 31 59 97 G B D E 4 32 60 55 FE AG CB DC 5::33,:01:'199 D EF A B 6 34 62 90 C E G A 35 63 0x1 B D F G 36 64 92 AC CB ED FE 9 37 65 93 F A C D 10 38 66 94 E G D C 11 39 67 95 D F A B 12 40 68 96 CB ED GF AG 13 41 69 97 A C E F 1 4 42 70 98 G B D E 15 43 71 99 F A C D 16 44 72 ED. GF BA CB 7 45 73 C E G A 18 46 74 B D F G 19 47 75 A C E E 20 48 76 GE BA DC ED 21 49 77 E G B C 29:50:75 D F A B 23 51 79 C E G A 24 B5a 8o BA DC FE GF 25 53 "81 G B D E 26 54 82 F A C D 27:55 -83 E G B C 28 56 84 DC FE AG BA 49: Il nous reste à exposer la règle générale qu’on doit employer pour calculer la lettre dominicale d’une aunée quelconque. Soit N le numéro de la lettre domi- nicale d’une année donnée, en prenant les lettres dans l’ordre alphabétique : alors, comme les lettres rétro- gradent d’une année à l’autre (26), le numéro de la lettre dominicale de l’année suivante sera N — 1, et après un nombre d’années égal à a, il sera N — a. Mais, comme il arrivera presque toujours que a sera plus grand que N, pour rendre la soustraction possible, on ajoute un multiple de 7 ou 7», m étant un nombre entier quelconque : de cette manière la formule générale est N+qm— a. 1} suffit donc de connaître la lettre dominicale d'une année donnée pour trouver celles de toutes les années suivantes. Or, c'est un fait que l’année première de notre ère commençait par un samedi; ainsi À indiquait le samedi et par conséquent B le dimanche; B était donc la lettre dominicale de l’an 1; d’où il suit que C, dont le numéro est 3, était la lettre dominicale de l’an 0. Faisant donc N —3, nous aurons qmm+3—a pour le numéro de la lettre dominicale, & étant le nombre d’années écoulées depuis l’an 0. Mais sur 4 années il y en a une bissextile, et chaque intercalation fait rétrograder la lettre d’une unité; la formule deviendra donc (a) Ju+3—a—;a. CA a : Lave ñ est toujours un nombre entier, et l’on néglige le reste de la division lorsqu’elle en offre un. Pour donner une application de cette formule, sup- posons qu’il s'agisse de trouver la. lettre dominicale de , = + «a l’année 545; on a ici a = 545 Sr — 136; la formule devient 7m + 3 — 681 ou 7m — 678. Or, m2 étant un nombre arbitraire, il faut le choisir de manière que 7m soit plus grand que 678 , mais de ma- nière cependant aussi que la différence de ces nombres ne soit pas au-dessus de 7. Faisant 2 = 97 , nous aurons 7m =679, et par suite 679—678 = 1. La lettre dominicale de l’année 545 est donc A. Pour trouver immédiatement le plus petit nombre m qui rende 79» >a, il faut diviser a par 7, et, sans tenir compte du reste de la division, prendre le quo- tient augmenté d’une unité pour 2. 5o. Cette règle n’est bonne que pour les années qui ont précédé la réformation grégorienne, ou pour le calen- drier julien, dans lequel l’intercalation bissextile arrive régulièrement tous les quatre ans. Pour l’étendre aux années qui ont suivi la réformation , il faut réduire la date grégorienne en date julienne, en se rappelant qu’en l’année 1582 on a retranché 10 jours, et que le 5 oc- tobre est devenu le 15. Ainsi, depuis.le 5 octobre 1582 jusqu'en 1700, nous avons compté 10 jours de plus que ceux qui ont conservé le calendrier julien. En outre, ayant fait commune l’année 1700, qui devait être bissextile, nous avons dès-lors compté 11 jours de plus; et enfin, ayant fait une nouvelle suppression en 1800, nous comptons en ce moment 12 jours de plus. Le premier mars 1900, nous compterons 13 jours de plus, et ainsi de suite. Ainsi, pour réduire au calen- CA 261 drier julien, il faut retrancher d’abord les 10 jours omis en 1582, plus la correction 3(5—16), s étant le nombre qui marque le siècle. La formule (a) deviendra donc, en portant cette correction avec un signe contraire, qi+3—a—;a+is—16) +ro, qu'on peut mettre sous la forme (2), plus commode pour le calcul , 74 G—a—iac+(s—16)—1%(s—16) Cette dernière servira pour toutes les années postérieu- res à la réformation. Quant aux années antérieures, on s’en tiendra à la formule (a). Soit à trouver la lettre dominicale de 1834, on a a—1834 , Fa—458 , s—18 , s—16—2, {(s—16)—0; ainsi la formule devient 74 6—22092+#2, ou 7n—2284 Faisant m—327, nous aurons 7»—2289 et 2289—929284 =5; ainsi, à étant le numéro de la lettre dominicale, cette lettre est E. Les formules (a) et (b) ont été données par Delambre. 51. Quand on connaît la lettre dominicale de l’année et le quantième du mois, on peut trouver immédiate- ment le jour de la semaine à l’aide du tableau suivant, qui forme un calendrier civil perpétuel. Sachant, par exemple , ce qu’on trouve dans Ja table du numéro 48, que les lettres dominicales de l’année bissextile 1812 sont GF, si l’on voulait savoir à quel jour de la semaine répondait le 22 février, comme la lettre G sert jusqu’à la fin de février, on descendrait dans la colonne correspondante à G jusqu’à ce que l’on soit en face du 22 février; et l’on verrait que ce jour était un mardi. Pour les mois suivans, on prendrait la seconde lettre E. 262 2 2PUEUUI(T "IPaurT PR 3: L P9H 419 IN * Doi pu À ‘IpPaurrs + / € ta « "Ipoutes ; ayourur(t IPanT “PAR EE ‘Ipnof "pou 19 À & 1p9a41 pus ÂÀ ‘prof "IP NT *IPature "IP21pUu9 À ‘prof "DUPOBUU(E cIpPaties PONT Apart PAIN ‘prof “JUPUEUUI(T ‘IPUN'T "IPAr N ‘IP91pu9 À SIPouut ‘PEN “IPAO IN “1pnof "PAIPU9 À "IpPÈ us "2PUEUI(T ‘IPUNT *ATPUEUT(T ‘PAR IN “PAU dl (1C) Tuuxmao x 0€ ) AVIXAIAIS “EHPUNT PEN 4 “IP9 RHIN ci ‘prof a ‘TPATPU9 À e) *IPatues 4 É aqourœui(t V mm — ‘SHIVOININOG SAHLLAT o€ d JUPUEU(T à IPotues si IP91pu9 À “pun'T “aqrueurl (I "pau LAS IPB ‘IP I relÿe “IDE ocicc (og) Truav “pumq Lo: "IPorpuo À tpnof “IPAIO TU LIPAVIN ci: “PAEN “IPUNT aŒUuEUI( "IPotueS ‘IP9IPUua A APT f "IPOO NN 4 ‘1 PALIN IPAEN 7 apang F apueurig “pourg “IP9Ipu? À “prof Œ ‘Ipuaf “IPHD “PAC “punrT “Aou tu (T ‘Ipaues “PAP T9 À D “pol PUIA ‘rpuaf "IP9.0.9 TA “1poutteS sg 11 *IPaTpPU9 À Lilo: “prog 191,6 | "IPICN ‘punrg “aqpueuu(f “PAT TA Pre "IpPOn'T Î S118 Yill | (L&loc £119 0€|ET | L IPaurrs 4 ‘SH'IVOININOG SHULLAT "TANLAAUAd HAIAGNAIVI ‘ATOUT y 197 |61|t1|G (0Ç) AuImTAON (1£) savx (63 no gc) uxiuAz3 Gr |ca (1£) æusorïo (1S) uaranvr CA 52. Pour compléter tout ce qui a rapport au calen- drier grégorien, il nous reste à déterminer l’épacte d’une année proposée. Ce problème est très-facile à résoudre lorsqu'on connait l’épacte de l’année précédente , car il suffit d'ajouter 11 à cette dernière, et si la somme n'excède pas 30, elle est l’épacte demandée ; si elle sur- passe 30, on en retranche cenombre, et le reste est alors l’épacte. Par exemple, l’épacte de 1834 étant XX, celle de 1835 sera 20 + 11 — 31; et comme cette somme est plus grande que 30, il faut en retrancher 30; ce qui donne 1 pour l’épacte de 1835. Ainsi l'épacte de 1836 sera 1+- 11 Ou 12. 53. Les 11 unités qu’on ajoute à l’épacte de l’année précédente viennent de ce que l’année lunaire est plus petite que l’année solaire de 11 jours. Or, ces 11 jours ajoutés les uns aux autres forment les sept mois embo- lismiques composés de 30 jours d’un cycle lunaire; il faut donc retrancher toujours 30 de la somme qu’on obtient, en ajoutant successivement 1 1 chaque année, au lieu de retrancher alternativement 30 et 29. Cependant, comme le dernier mois du cycle n’est que de 29 jours, et qu’en retranchant 30 on diminuerait d’une unité le reste de la soustraction, au lieu d’ajouter 11 à la dernière année du cycle on ajoute 12. Ainsi, lorsque l’année proposée est la première du cycle lunaire, ou bien qu’elle a I pour nombre d’or, on trouve son épacte en ajoutant 12 à l’épacte de l’année précédente. 54. Pour trouver l’épacte d'une année, à partir de 1700 , lorsqu'on ne connaît pas celle de l’année précé- dente, on fait usage de la formule suivante : Soit a le nombre d'années écoulées depuis 1700, et b le nombre de fois que le nombre d’or I $’est présenté pendant le temps 4, formez le nombre (c) 11a+b+o. d Divisez ce nombre par 30, et le reste de la division sera l’épacte demandée. Lorsque ce reste est o, l’épacte est XXX ou plutôt l’astérisque * qui tient la place de 30. S'il s'agissait, par exemple, de trouver l’épacte de 1746, on aurait a — 46, b — 2 et par conséquent ia+b+ og = 517. Or, 517 divisé par 30, donne pour reste 7, donc l’épacte de 1746 est VII. Le nombre d’or I ayant été celui de l’année 1710, et ue devant se présenter que tous les 19 ans, il est donc CA 263 venu deux fois de 1700 à 1710 + 19, 3 fois de 1700 à 1710 +2. 10, et enfin n fois de 1700 à 1910 +(n—1) 19, jusqu'à 1910 L(n—1) 194 18 inclusivement. On peut ürer, de là, la règle suivante pour calculer b : de l’année proposée retranchez 1509, et divisez le reste par 19; si la division se fait exactement, le quotient sera égal a b; s'il y a un reste, b sera égal au quotient augmenté d’une unité, Soit 1834, l’année dont on demande l’épacte. Nous aurons 1834 — 1709 — 125, et 125 divisé par 19 donne G avec un reste : ainsi b = 7; mais nous avons de plus a = 134. Substituons ces valeurs dans (c), nous trouve- rons 11a+b + 9— 1490. Ainsi, divisant 1490 par 30, le reste 20 sera l'épacte de 1834. On peut se servir des formules précédentes sans aucune correction jusqu’à l’année 1900 ; mais dans cette année il y aura ce qu’on appelle une z2étemptose, c'est-à dire que la nouvelle lune tombera un jour plus tard qu’elle ne sera arrivée auparavant, et par-la l’épacte sera moin- dre d’une unité cette année et les suivantes qu’elle n’au- rait été sans la métemptose. Mais comme à l’aide de la Table étendue des épactes , il est plus facile de trouver ces nombres que par aucun autre moyen, nous n’entre- rons pas dans des détails d’ailleurs sans intérêt, car tout l’échafaudage des épactes ne vaut pas, pour tronver les nouvelles lunes, la plus grossière détermination astronomique. 55. Dans la table étendue des épactes , composée de 30 suites horizontales d’épactes désignées chacune par uue lettre ou indice différent, ces suites sont divisées en 19 colonnes verticales, répondant aux 19 nombres d’or du cycle lunaire. Pour faire usage de cette table, il faut donc connaître 1e nombre d’or de l’année dont on cher- che lépacte, et de plus la lettre ou l'indice de la suite d’épactes qui appartient à cette année. Cet indice ne varie pas pour chaque année, mais seulement de siècle en siècle, ou de plusieurs siècles en plusieurs siècles, par leffet de la métemptose, ou de la correction qu'il faut faire subir de temps à autre à la suite des épactes, pour empêcher les nouvelles lunes qu’elles indiquent de trop s’écarter des nouvelles lunes moyennes astrono- miques. Cette variation se nomme l'équation des epactes. Voici les indices correspondans aux années séculaires. 264 CA ÉQUATION DFS ÉPACTES. Tadices. Annevs. 1100 1400 1582 après la réf. 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200 3300 3400 3500 3600 5700 3800 3900 4000 4100 . 4200 SR STANNQN NN R ER DEEE OOo SAR T 2 On voit d’après cette table que toutes les années com- Jadices. HELD DDZMAMRSESORRREe SSSR RE RS me mm Ne Annces 4300 4400 4500 4600 4700 4800 4900 5000 5100 5200 5300 5400 5500 5600 5700 5800 5900 Gooo G100 6200 6300 6400 6500 6600 6700 6800 6900 7000 7100 7200 7300 7400 7500 7600 CA prises depuis 1700 jusqu'a 1899 inclusivement ont C pour indice. Ainsi, pour trouver l’épacte de 1834, par exemple, on cherchera dans la colonne horizontale de l'indice C; dans la table des épactes, le chiffre écrit au- dessous du nombre d’or de 1834. Ce nombre d’or étant 11, l'épacte XX qui lui correspond est celle de l’année proposée. 56. I faut remarquer que dans la table des épactes on a mis 5 en chiffres arabes au lieu de XXV dans toutes les colonnes dont les nombres d’or surpassent 11, tandis que dans les autres on a mis XXV. Cette dispo- sition est relative à celle des épactes dans le calendrier universel grégorien (n° 40 ), où l’on a placé 25 à côté de XXVI, dans les mois qui ont les deux épactes XXV et XXIV au même jour, et à côté de XXV dans les autres mois. On a pris cet arrangement pour que les nouvelles lunes ne fassent pas indiquées plusieurs fois au même jour dans l’espace de 19 ans, ou pendant la durée d’un cycle lunaire, ce qui effectivement serait une erreur, Or, on évite cet inconvénient à l’aide de la combinaison de ce nombre arabe 25; car dans les huit suites où les deux épactes XXIV et XX V se trou- veut ensemble, au lieu de XXV on a mis 25 qui, dans le calendrier , se trouve partout un jour plus haut que XKXIV : ces huit suites sont celles qui ont les indices b,e,k,n,r, B,E, N. Et pour éviter le même in- convénient par rapport à 25 et à XX VI qui répondent au même jour dans six mois différeus, on a mis XXV au lieu de 25 dans les huit séries qui contiennent les épactes XXV et XX VI. Ce sont les séries qui ont pour indices c,:f, lp 5; CE, P. 57. Si l'on avait voulu conserver les nombres d’or pour indiquer les nouvelles lunes, il aurait fallu faire 30 calendriers différens, à cause des variations qui ré&ultent du défaut de concordance des années solaires et lunaires après la révolution de plusieurs cycles lu- naires : c’est ce dont les 30 séries d’épactes contenues dans la table suivante tiennent lieu. 265 fraxx [ax 1 ! {naxxl frax [a AXX AIX fu fixx [x & XIX { { fux Ul q xxx Lirax [ia faxx AX Al [rrxx fix { XX 1 frraxx AIX {ni I Sel. XX fual fiaxx [ax AÏ aAIxx fux fi [xx xX| XIXX Ax A { XX x] firaxx frax [a AXX AIX fu fixx {x ë [ax Al H E = fax [A NW 5 fitax [ra N Eu XIX [its d Æ | xx ya D = à [xx x T a TR ne Ü al faxx (1x { XX x1| frraxx [a AXX AIX fu fixx {x {] z al aix fre f [xx x xixx {ral Éaxx 1e ail fnxx fix p 5 [al axxl aix fn] fixx (x ; xx] final fraxx fax 4] -aixx] [nx| Es exal fax) af Lex af ail fixxl fix 1e xxb Sa] faxxl = fax (Al Sax] & xl. à ct à x x Tia [rAxx [ax A aA1xx fix fi [xx xX| OXIXX) firax [ral faxx Ax 3 = Re” —— = ce 2 { XX xi| frraxx AXX AIX [ui {xx [x ; XIX fial friaxx [ax y = (L [xx X|:0 XIXX [axx AX ail fuxx {1x | XX xi [rraxx [rax 1 E fr fixx [x : fraax [ax A] AIXX furx xxx] (rrax A eo ail irxx {1x ( firaxx [rax [a AXX AIX ; XIX I (= AÏ aixx fix fi { Uxixx| firax [inf faxx AX { xx] uw o mc: ES ls PE [a AXX AIX [nr fixx [x x fraxx fax 1 u = [ral faxx AX " [1x { [raaxt frax fu d 5 {uaf fraxx [ax Af aix frix (CO XIXX|. frrax AI b ee x] friaxx (rax [a Axx AIX (nl : XIX A 1 7 x| xiex] firaxl) fial Çaxx] ax #1 (xx fa axxl 7 À Las [ Me — ——— 6 #3 [x . XIX {ul fraxx [ax À AIXX fax fr [xx x XIXX fisax [ra [AXX 1 se {1x [ XX x] firaxx [rax [a AXX AIX (O: [rxx [x e xx fural fraxx n ‘ [nix fi [xx x] Cxuxxl firax [ral faxx AX Ai fnxx fix { xx x1| fuaxxl y AIX {ui fixx {x 1e xXIX 1AÏ fiaxx [ax A AIXX [uix {1 [xx x| xxx q | AX ail fiixx fix { XX x1| frraxx frax [a AXX AIX fu [ixx [x : r | *STLOVAT *STLO VAT Lt 91 çr pr C1 &I 11 or 6 g 2 9 c y c & I | ‘UOŒ SAUANON *SANQ'T SATIVENON SAHG SALOVAH SAQ HAONALH H'IAVE 34 266 CA 58. L'usage principal des épactes consiste à faire connaître le jour où doit se célébrer la fête de Päques, jour qui sert ensuite à déterminer ceux de toutes les fêtes mobiles. Quant à la détermination des nouvelles lunes qu’on obtient par leur moyen, depuis long-temps elle n’est plus en usage que dans les calendriers ecclé- siastiques , les calendriers civils ou les almanachs con- tiennent aujourd’hui les nouvelles lunes astronomiques. D'après le concile de Nicée, le jour de Päques doit être célébré le dimanche qui suit la pleine lune du jour de l’équinoxe du printemps, ou qui vient immédiate- ment après cet équinoxe. Or, si la nouvelle lune de mars tombe au 8, le 14° jour de la lune ou la pleine lune tombera le 21, jour de l’équinoxe : alors cette pleine lune sera paschale; c’est-à-dire qu’il faudra célé- brer Pâques le premier dimanche qui la suivra. Si le 21 était un dimanche, le jour de Pâques tomberait 7 jours après, ou le 28. Par la même raison, si la nouvelle lune tombait aprèsle8 de mars la pleine lune suivante serait aussi paschale. Mais, au contraire, sila nouvelle lune ar- rive avant le 8 de mars, la pleine lune tombera avant le 21,etnesera pas paschale: il faudra conséquemmentatten- dre la pleine lune suivante pour célébrer Päques le di- manche d’après. Pâques ne peut donc arriver plus tôt que le 22 mars, d’après ce qui vient d’être dit; son plus graud retard est le 25 avril; car, lorsque la nouvelle lune de mars tombe le 7, le jour de la pleine lune est le 20; et comme il faut attendre dans ce cas la pleine lune suivante qui arrive le 18 d'avril, et que si ce jour est un dimanche il faut aller jusqu’au dimanchesuivant, qui est le 25 d'avril, il s'ensuit que le jour de Pâques ne peut jamais tomber plus loin que le 25 avril. 59. Voici la règle à l'aide de laquelle on trouve le jour de Pâques pour une année proposée. 1°. Cherchezla lettre dominicale de l’année proposée, ainsi que son épacte. 2°. Voyez ensuite quel est le premier jour après le 7 mars auquel répond l’épacte trouvée dans le calendrier grégorien (40), Ce jour est le premier de la lune pas- chale. 3. Comptez 14 jours depuis celui de la nouvelle lune inclusivement , le quatorzième sera la pleine lune pas- chale. 4° Enfin, voyez le premier jour après cette pleine lune, auquel répond la lettre dominicale; ce jour est le dimanche de Päques. Supposons, par exemple, qu’il s'agisse de déterminer le jour de Pâques de l’année 1834. L'épacte de cette année, prise dans la table du n° 57, ou calculée par la méthode du n° 52, étant XX, nous chercherons dans le calendrier grégorien ( 40) le jour, après le 7 mars, devant lequel se trouve l’épacte XX. Ce jour est le 11. Comptant ensuite jusqu’à 14, en prenant 11 pour 1, CA nous arriverons au 24, jour de la pleine lune paschale ; cherchant ensuite, après le 24, le jour qui correspond à la lettre dominicale E de l’année 1834, nous trouve- rons cette lettre devant le 30 mars. Le dimanche de Pâques de 1834 est donc le 30 mars. S'il s'agissait de 1835, la lettre domigicale de cette année étant D, et l’épacte I, nous trauverions de la même manière que le dimanche de Pâques doit arriver le 19 avril. | 60. Delambre à donné, dans son Traité d' Astronomie, la table suivante par laquelle on trouve immédiatement le jour de Pâques au moyen de J’épacte et de la lettre dominicale. TABLE POUR TROUVER LA FÊTE DE PAQUES. LS. LETTRES DOMINIGALES. è D 0 0 0 € 2 conan 31 D E F G A B G 23122 mars! 23 mars|24 mars|25 mars|26 mars|27 mars|28 mars 22129 23 24 25 26 27 28 21129 30 34 25 26 29 28 20129 30 31 25 26 29 28 19129 30 31 x avril|26 27 28 18/29 30 31 I 2 avril|27 28 15129 30 SL 1 2 3 avrill28 16/29 30 31 1 2 3 4 avril 15] 5 avril| 30 31 1 2 3 4 14} 5 6 avril|31 1 2 3 4 131 3 6 7 avril] 1 2 5 4 12) 5 6 7 8 2 3 4 11] 5 6 7 8 9 8 4 10) 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 LT (3 6 7 8 9 10 11 12 13 7 8 9 10 1 12 13 14 8 9 10 ti 12 13 14 15 9 10 IT £a 13 14 15 16 10 IL 12 13 14 15 16 17 It 12 13 14 15 16 17 15 19 13 14 15 16 17 18 19 20 14 15 16 17 18 29/19 20 21 15 16 17 18 28119 20 21 22 16 17 18 27119 20 21 22 23 17 18 26/19 20 21 22 23 2 18 25119 20 21 22 45 24 25 24/19 avril|20 avrill2r avril|22 avril\23 avril|24 avrill25 avril La première colonne de cette table renferme les épactes, et les colonnes suivantes, en tête desquelles sont les lettres dominicales, donnent le jour de la fête de Pâques dans le point qui répond à la fois à la lettre dominicale et à l'épacte. C'est ainsi qu'on trouve au- dessous de la lettre E, et devant l’épacte 20, le 30 mars pour le jour de Pâques de l’année 1834. 61. Gauss a donné deux formules pour déterminer CA immédiatement le jour de Pâques sans le secours des léttres dominicales, ni des épactes ; nous allons les faire confiaitre. - Soit : à le reste de la division de l’année proposée par 19, b le résté de la division du même nombre par #4, c le reste de là division du même nombre par 7. Divisons 19 a + M par 30, et nommons 4 le reste de la division; divisons également 2b + 4c + 6d+ N par 7, et nommons € le reste. Nous aurons pour le quantième du jour de Päques les deux expressions (71) (22 + d+e), mars ( d + é — 9), avril. Pour le calendrier julien; les quantités Met N, sont constamment M = 15 et N = 6, et pour le calendrier grégorien on à M N Depuis 1582 jusqu'a 1699:::::.2%,:4:3 ADOO: 5458179096. 550235. 53 18065 + à à #3 818995 5 5 6528 à 5 « 54 19006 «2458 1909206245. . 55 2OOO: à «5 à à à 62090. » so 5 + De 5 5 D BLOG à a à à 5 à 2199 à 5 8 à 8 24 5 5 + 40 2200, : à à 8 6 82200: 6 6 à +525 à 56 10 2BOO:5 55 . à 32909 s 445. 260csa0t 2400: 15.15: 249956, 5.26.5ai15 Nous allons éclaircir l'usage de ces formules par un exemple, Cherchons Päques pour l’année 1835, nous aurons = 95 rate 11= 4 1835 4 1835 7 = 458, reste 3 = b — 26», reste i = €. Cornme lés quantités M et N sont respectivement 23 et 4 pour toutes les années depuis 1800 jusqu'à 1899; noûs aurons deplus 19a+M 932 DD DS 7 ; reste 22 = d 2b44c46d+N 6 SERTÈTS = 148 = 26, r'éste 6 —é. De cés valéars nous tirons, par les formules (#), Päques 5o mars 22% Æ 29 + 6, mars = où = 92 + G6— 9, avril = 19 avril, . à 5 ë La première valeur est identique avec la seconde, éaf en retranchant les 31 jours de mars de 50, il reste 19, qu'il faut nécéssairement reporter eur avril. CA %T. Cette règle, qui est générale pour le calendrier julien, souffre une exception pour le caléndrier grégorien à si le calcul donne un nombre au-dessus du 25 avril, il faut rétrancher 7 jours où une semäine, G2. Lorsque le jour de Pâques est trouvé, on en dé: duit les jours de toutes les fêtes mobiles, ainsi qu'il suit: Le jeudi quarantièmé jour après Päqués est l'Ascéh- sion: Le dimanche cinguantième jour après Pâques ést la Pentecôte. Le dimanche après la Pentecôte est la Thinité. Le jeudi après la Trinité est la Féte-Dieu. Si l’on compte, en rétrogradant de Pâques, si£ dis manches, on a le premier dimanche de carêmié où la Quadragésime ; le mercredi qui précède la quadragé- sime est le Aferéredi des cendres ; le dimanche avant les cendres est la Quinquagésime, et le dimanche qui là pré- cède est la Sexagésime; enfin, le dimanche avant sexagésime est la Septuagesime. 63. Lorsque le calendrier grégorien parut, il fut objet de vives attaques, la plupart injustes et sans fondement. Les auteurs de ce calendrier voulaient détérminer la fête de Pâques dans de certaines limites, en satisfaisant atix conditions qu’ils s'étaient imposées, et ils ÿ ont réussi autant qu’ils ont pu le désirer. Lors de‘la réformation, en 1582, les états catholiques adoptèrent seuls le calën- drier grégorien; le retranchenient des 16 jours opéré par le bref de Grégoire XI fut cause d'uné différence dans la manière de compter les jours en Europe, et qui y à subsisté lonig-temps. Ainsi, tandis qu'en Angleterre on comptait le 3 janvier, en France on comptait lé 12, c’est-à-dire 10 jours de plus. En 1700 les États protes- tans d'Allemagne adoptèrent le calendrier grégorien pour tout ce qui concerne l'année solaire; mais ils ré- glèrent les nouvelles lunes et les fêtes qui dépenderit du jour de Pâques par les calculs astronomiques. En Angle- terre, cétte réforme n’a commencé qu’au mois de sep« tembre 1752. La Russie est aujourd’hui le seul pays de l’Europe où l’on se serve encore du calendrier julien, et comme en 1700 les Russes ont eu une añnée bissextile que nots avons fait commune , leur manière de compter les jours diffë- rentde 12 jours delanôtre: par exemple, lorsqu'ils datent du 1, nous datons du 13 ; et ainsi dé suite. On désigneleur, manière de compter sous le nom de vieux style. Dans les actes publics ou privés de ce peuple, on écrit les deux dates l’une au-dessus de l’autre: par exemple, pouf désigner le 6 février, on écrit £ février, etc. G4. Lorsque la France fut constituée en république, les législateurs de cette sanglante époque voulurent ré- former le calendrier grégorien, et lui substituer ane 268 CA copie du calendrier égyptien, perfectionné cependant. Cette tentative n’ayant pas eu de résultat, et l’œuvre de la force étant tombée avec la puissance désorganisatrice qui avait voulu Périger, nous n’en parlerons point ici. On peut pour cet objet consulter Lalande et Delambre,. Toutes les améliorations dont le calendrier est suscep- tible ne peuvent être désormais que l’œuvre de la science, et ce n’est que du temps et des progrès de la civilisation des peuples, qu’il est permis de les attendre. Le calendrier grégorien a été l’objet d’un immense travail publié en 1603 par Clavius ,sous le titre de Ro- mani Calendarii à Gregorio XIII, P. M., restituti explicatio. Cet ouvrage est assez curieux pour que nous y renvoyious ceux de nos lecteurs qui voudraient appro- fondir la question. 65. On considère comme faisant partie du calendrier plusieurs cycles ou périodes dont nous n’avons point encore parlé ; ce sont : Les PÉRIODES Juzienxe et Vicro- RIENNE , et l'Inpicrion romaine. ’oyez ces divers mots. CALIPPE, astronome grec, qui vivait dans les pre- ‘mières années du IV° siècle avant J.-C. Il est célèbre par l'invention d’un nouveau cycle, dont la durée était de 176 ans, et qui fut substitué au cycle de Méton. On a donné à cette période, qui commença à être employée en l’an- ‘née 331 avant notre ère, le nom de Calippique. Foyez ASTRONOMIE D. CAMÉLEON (Astr.). Nom de l’une des douze constel- lations méridionales ajoutées durant le X VI‘siècle à celles que les anciens avaient reconnues au midi du zodiaque. Elle estsur le colure des équinoxes et au-dedans du cercle polaire antarctique. Le caméléon n’est composé que de neuf étoiles dans l’Uranometria de Bayer ; mais La Caille ‘ena ajouté un grand nombre d’autres dans son catalogue des étoiles australes, dressé au cap de Bonne-Espérance en 1751. Ce savant astronome et le célèbre Halley, qui, avant lui, avait été dans le même but à l'ile de Sainte- Hélène, ont déterminé la position des étoiles de cette constellation. Celle que Ea Caille a marquée x dans son catalogue, et qu’il a observée avecle plus de soin, avait, suivant lui, au commencement de 1750, 126°8' 38" d’ascension droite, et 56° 7° 12” de déclinaison australe. CAMUS (Cuarze-Érienxe-Louis), géomètre distin- gué du dernier siècle, naquit à Cressy-en-Brie le 25 août 1699. Comme la plupart des hommes qui se sont fait un nom dans les sciences, Camus manmifesta dès l'enfance un goût décidé pour les mathématiques. Ses dispositions précoces déterminèrent ses parens à lui ouvrir, malgré lexiguité de leur fortune, la carrière dans laquelle il désirait entrer avec tant d’ardeur. I fit ses études à Paris, au collége de Navarre, où il ne tarda pas à se faire re- marquer par son assiduité au travail et par ses progrès. Deux ans après son entrée au collége, il fut assez fort en mathématiques pour pouvoir en donner des leçous CA particulières, dontle produit le mit à mème de se passer du secours de ses parens. Il fit plus tard son cours de géométrie sous Varignon. Camus se fit connaître dans le monde savant, en 1727, par un mémoire qu'il soumit au concours ouvert par l’Académie des sciences pour le prix qu’elle avait proposé sur la manière la plus avan- tageuse de müter Les vaisseaux. Ce fut Bouguer que l'Académie couronna; mais elle s’empressa de recevoir dans son sein Camus, dont le mémoire révélait un talent remarquable. Il fut du nombre des académiciens envoyés, quelques années après, dans le Nord, pour déterminer la figure de la terre. Nommé examinateur des écoles du génie et de l'artillerie, Camus composa pour les élèves de ces corps un Cours de mathématiques qui a été long-temps estimé, mais que les progrès toujours crois- sans de la science ont rendu inférieur aux livres élémen- taires publiés depuis. Ce mathématicien estimable, que son génie appela à des travaux plutôt utiles que brillans, n’a laissé que des manuscrits dont on ignore le sort. Dans le recueil de l'Académie des sciences, on trouve à l’année 1728 un mémoire intéressant de Camus, sur les forces vives, et à celui de 17933, un autre sur les dents des roues et êes ailes des pignons. En 1730, il lut à l'Académie plusieurs fragmens d’un grand travail sur l’Aydraulique, qui n’a point été imprimé. La meilleure édition de son Cours de mathématiques est celle de Paris, 1766, 4 vol. in-8°. Camus, membre de l’Académie des sciences et de la Société royale de Londres, mourut à Paris le 2 fé- vrier 1768. CANCER ou ÉCREVISSE (Astr.). Nom d’une con- stellation boréale et du quatrième signe du zodiaque, qu’on représente par cette figure 65. On appelle Trorique pu Cancer l’un des petits cer- cles de la sphère parallèles à l’équateur ; et qui passe à l’une des extrémités du signe zodiacal, dont il emprunte le nom. Le tropique du Cancer, qui est situé dans l’hé- misphère septentrional, est éloigné de l'équateur de 23° 28". C’est ce cercle que le soleil paraît décrire le jour du solstice d'été. Foy. EcREvissE et ARMILLAIRE. CANICULE (Asu.). C'est le nom de la belle étoile de la constellation du Grann Cuiex , que les Grecs ap- pelaient œéposs, Sirius, et les Égyptiens Sothis. Cette étoile occupait une place importante dans l'astronomie pratique des anciens. Dans les temps reculés, le lever héliaque de la canicule coïncidait à peu près avec le sol- stice d'été, époque des inondations périodiques du Nil. Les Égyptiens choisirent pour point de départ de leur an- née tropique l'apparition de cette étoile, qui leur an- nonçait l'approche d’un phénomène si important pour eux. L'étoile Sirius, sous le nom de Sothis, joua le plus grand rôle dans toute leur mythologie et leurs rites re- ligicux. Les autres peuples ivilisés, pour qui le lever CA héliaque de Sirius était au contraire l'annonce des plus grands maux, puisqu'il précédait immédiatement les plus fortes chaleurs de l’année, qui engendrent souvent de graves maladies, sacrifiaient à cette étoile comme à un dieu malfaisant. Le lever héliaque de la canicule a lieu maintenant dans le mois d'août. On appelle caniculaires un certain nombre de jours qui précèdent et qui suivent celui où a lieu le lever hé- liaque de la canicule. C’est une habitude populaire de les compter par ceux qu'emploie le soleil à parcourir le signe du Lion, c’est-à-dire depuis le 22 juillet jusqu'au 23 août. CANON (Alg.) (de xaysov, règle). Expression générale qui embrasse comme règle une infinité de cas partieu- liers. Ce mot, aujourd'hui peu usité, a été remplacé par celui de formule, Par exemple, l'expression sfr est un canon à l’aide duquel on obtient les valeurs de x dans l'équation générale du second degré x?+ax+4b—o; il suffit pour cet effet d’y substituer à la place de & et de b les valeurs particulières données par chaque question. De même, les deux expressions #3 cb'—c'b Tab __ ac'—a'e FD — ab sont les canons qui donnent, pour toutes les valeurs par- ticulières des quantités a,b, ce, a", L', c', celles des in- connues x et y , des deux équations du premier degré ax + by =c d'x+b'y=c". Les tables des logarithmes, sinus, tangentes, etc., sont aussi quelquefois désignées sous le nom de canons, parce qu’au moyen d’une quantité déterminée ces tables font connaître une autre quantité correspondante. CANOPUS (Astr.). Nom d’une belle étoile de la pre- mière grandeur, qui parait située à l'extrémité méridio- nale de la constellation Argo , dans l'hémisphère boréal. Elle est indiquée dans le catalogue de Bayer, sous les divers noms de Canobus, de Piolomæon, de Suel. Elle est, après la canicule ou Sirius, une des plus bril- lantes étoiles du ciel. CAPABLE (Géom.). Un segment de cercle est ca- pable d’un angle donné lorsque ce segment est tel que tous les angles qu’on peut y inscrire, et qui sont égaux entre eux, puisqu'ils ont chacun pour mesure le même arc, savoir la moitié du reste de la circonférence, sont égaux à cet angle donné. Il y a plusieurs procédés pour décrire un semblable CA 269 segment; nous donnerous Île suivant, qui est le plus usité dans la pratique. Soit la droite AB, sur laquelle il s’agit de décrire un segment Less capable de l'angle M. Faites l'angle CAB égal à l’angle donné M. Du som- met À , menez la droite AO perpendiculaire sur AC ; et du point E, milieu de AB, menez à cette droite la per- pendiculaire EO. Du point GO, rencontre des deux per- pendiculaires avec AO pour rayon, décrivez la circon- férence AMBrA, le segment AMMMB sera le segment demandé. En effet, l’angle donné M ou CAB, qui lui est égal, a pour mesur: Ja moitié de l'arc AmB ; mais cette moitié est aussi la mesure de tous les angles AMB inscrits dans le segment AMMMB (Voy. angle, 18 et 17) : donc tous ces angles sont égaux à l'angle M; donc, etc. a Cette construction sert dans la levée des plans, pour donner graphiquement la position d’un point, quand on connaît les angles sous lesquels on aperçoit, de ce point, trois autres dont les distances respectives sont connues. Soient, par exemple, À, B, C, trois points donnés de position, et soit D un quatrième point, duquel on a mesuré les angles ADB et BDC. Pour placer ce pot sur la carte, où se trouvent déjà A, B, C, décrivez sur la droite AB un segment capable de l'angle ADB, et, sur la droite BC, décrivez un segment capable de l'angle BDC; le point D, où les cercles se coupent, est évidem- ment le point demandé, puisqu'il est le seul d’où l’on puisse apercevoir en même temps les droites AB et BC sous les angles ADB et BDC. CAPACITÉ ( Géom.). Volume d’un corps. Ce mot est plus communément employé pour désigner la quan- tité de matière qu’un vaisseau peut contenir; c’est ainsi qu’on dit : la capacité d’une bouteille, d’un tonneau, d’une cuve, etc. nr : s On nomme mesures de capacité celles qui servent à déterminer le volume des liquides et des matières sèches 270 CA divisées, telles que les grains, les racines alimentaires; le charbon, etc., etc. Mesures DE capacité pour les liquides. La esuré prise pour unité est le Zitre, dont le volume est égal à celui d’un cube qui aurait pour côté uñe longueur d’un décimètre. Cette mesure se subdivise en demi-litre et en quart de litre, auxquels on a adapté populairement les anciens noms de chopine et de demi-setier. Avant l'introduction du nouveau système métiique français, les mesures de capacité étaient différentes daris chaque province : on nommait pinte l'unité de ces me- sures pour Paris; la demi-pinte prenait le nom de cho- pine; le quart de pinte, celui de demi-setier, et le demi-quart, celui de poisson. L'emploi du litre évant aujourd’hui le seul toléré , et le litre différant d’ailleurs très-peu de l’ancienne pinte (le rapport du litre à la pinte est égal à 50,462248 : 48), on se sert encore quelquefois du nom de pinte pour le désigner; D'après la terminologie adoptée dans notre système métrique, les subdivisions décimales du litre sont : le décilitre, dixième du litre, et le certilitre, centième du litre. Les multiples décimaux du litre sont : le déca- litre où dix litres, l’hectolitre ou cent litres, et le Aïlo- litre où mille litres. Le litre, ou la pinte, contient un kilogramme d’eau distillée. 5 décilitres, ou la chopine, contiennent 5 hecto- grammes où 500 grammes d’eau distillée. 2 + décilitres, ou le demi-selier, en contiennent 250 grammes: 1 décilitre, ou ? de poisson, contient 100 grammes. 1 centilitre contient 10 grammes. Mesures DE CAPACITÉ pour les matières sèches. Le Ltre est encore l'unité de ces mesures qui se composent de ces multiples décimaux. L'unité des añciennés me- sures était le boisseau, et 12 boïsseaux faisaient un selier. Le rapport de l’hectolitre au setier ést égal à 1 : 0,64; c'est-a-dire que 641 setier$ équivalent à 1000 hecto: litres. Le rapport du boisseau au litre est égal à 5:13, c'est-à-dire que 13 litres équivalent à un boisseau. Féyez Mesures, CAPRICORNE (A45t.). Caper, nom du dixième sipñie du zodiaque ; qu’on indique par cette figure %: Le ca= pricorne donne son nom au trôpique méridional ; c’est à-dire à l’un des cercles parallèles qui touchent à l’éclip- tique. Mayer et La Caille ont considérablement augmenté le nombre des étoiles de cette constellation. On n’en comptait que 51 dans les catalogues dressés avant leurs découvertes. Foy. ARMILLAIRE. CARACTÈRE (de yxoxxrio, marque). Signe dont on CA se dert en mathématiques pour désigner une quantité. Les caractères numériques se nomment en général chiffres. Nous avons Yü à l’article ArtramÉTiIQuE quels sont Jés. chiffres de l’arithinétique actuelle, ainsi que ceux de l’arithmétique grecque; nous allons exposer ici les caractères employés par les Romains dans leur sys- tème de numération, ces caractères étant encore usités parmi les peuples modérnes. Les chiffres romains sont au nombre de sept : (LYS ENT (Ce DM dont les valeurs sont 5; En combinant ces chiffres comme il suit, on forme tous lés nombres : T placé à Ka gauche de V, tel qe IV, exprime 4 ; placé à la droite, VE, il exprime 6. On a de cette manière 1, I, HI, IV, Ÿ, VI, VIL, VII. Ten 0 in 19) 10 utgulsie ie . 1 ; 10, DO, 100, 506, 1000. De la inême manière, I placé à la pauche de X ex- primé 4; tandis que placé à la droite il exprimé ri; on a douce äinsi IX, X, XI, XIE, XIII, XIV, XV, XVI. 010, 11; 19 ÿ 14, 16, et ainsi de suite jusqu'à XXXIX, 30. Le chiffre X agit par rapport aux chiffres L et C de la même manière que Î par rapport à V; c’est-à-dire que 124 15}, placé à leur gauche il les diminue de 10 ; tandis que placé à leur droite il les augmente dé la même quantité. Ainsi, XL signifie 40, et LX, 60; XG signifie go, et CX, 110. De 1 à 100 les dixaines sont donc exprimées par X, XX, XXX,XL,L,LX,LXX, LXXX, XC, C. 10, 36, 36, 46,50, 60, 76, 86, A la suite de ces dixaines, on écrit les caractères qui désignent les unités, de manière que 63 s'écrit LXVIT; 84, LXXXIV ; 105, CV, etc. De 100 à 1000 , les centaines sont exprimées par G, CG, CCG, CECC, D, DC, DEC, DCEC, PCCCC, M 160, 560, 300, 460, 5od, 600, 700, 800, 900, 1000 go , 100. et l’on écrit également à la suite de ces caractères ceux qui expriment les dixaines et les unités ; ainsi, 547 s'écrit DXLVII; 839 s'écrit DCCCXXXIX,, etc., etc. On agit de la même manière pour les nombres au- dessus de mille. Par exemple, MDXCVII signifie 1597. MDCCCXXXIV signifie 1834. Outre la lettre D, qui exprime 500, on peut encore CA désigner ce nombre par un Î devant un € renversé de cette manière In. Quelquefois aussi, au lieu de M, on se sert de I entre deux C, dont l’un est renversé comme Cl). Suivant cette notation, on peut exprimer 600 par 19C; 700 par 19CC, etc. L'addition de C devant et après CI augmente ce nombre en raison décuple. Ainsi, CCI exprime 10000, CECI 99) exprime 100000 , etc. Les Romains exprimaient encore les nombres au-des- sus de mille par une ligne — placée sur les caractères. Par exemple, V signifiait 5000; XL, 40000 ; M, 100000; MN, 2000000 , etc. , etc. On n’est pas d'accord sur la manière dont les Romains effectuaient leurs calculs avec un système si incommode de numération; mais on peut attribuer en grande"partie à ce système la longue nullité de ce peuple sous le rap- port des connajssances mathématiques. À CARACTÉRISTIQUE, La caractéristique d’un loga- rithme vulgaire est le nombre entier qui entre dans ce logarithme. Par exemple, 2 est la caractéristique de 2,02118930, logarithme de 105; et o est la caractéris- tique de 0,6989700 , logarithme de 5. Les logarithmes vulgaires des nombres étant les expo- sans des puissances auxquelles il faut élever 10 pour obtenir ces nombres, et les puissances successives de 10 étant Q OL — I 0! = 10 10 — 100 10? — 1000 10$ — 10000 10Ÿ — 100000 etc. etc. On voit que les nombres compris entre 1 et 10 ont pour logarithmes o plus une fraction; 1 plus une fraction, lorsqu'ils sont compris entre 10 et 100; 2 plus une frac- tion, entre 100 et 1000, etc., etc. On connaît donc im- médiatement la caractéristique du logarithme d’un nom- bre par la quantité de chiffres qui le composent ; car cette caractéristique est toujours égale à cette quantité moins un. Ainsi la caractéristique du logarithme de 4799 est 3, parce que ce nombre a 4 chiffres, ou qu'il est compris entre 1000 et 10000, Il suffit donc de connaître la partie fractiounaire d'un logarithme, pour le con- naître entièrement; et c’est par cette raison que dans les tables de logarithmes on ne trouve que cette partie fractionnaire, et que les caractéristiques y sont sous- entendues. Foyez Locantrumes. On nomme en général caractéristique une marque, ou caractère, par laquelle on désigne une certaine fonc- tion d'une quantité : c'est ainsi que la lettre d est la caracleristique des quantités différentielles, ou que dx CA 271 exprime la différentielle de x, suivant Leïbnitz. Dans la notation de Newton, cette caractéristique est un point (.) placé sur la quantité : +, est donc, d’après Newton, la fluxion ou la différentielle de x. Voyez DirrérenTiez et FLuxton. CARDAN (Jérôme), médecin et géomètre célèbre, naquit à Milan suivant quelques-uns de ses biographes, et à Pavie suivant d’autres, le 23 septembre ou le 24 no- vembre de l'an 1501. Cardan, qui a souvent parlé de lui dans ses écrits, n’avait lui-même aucune certitude À cet égard , d’où l’on a cru pouvoir tirer la conséquence que sa naissance était illégitime. Quoi qu'il en soit il est du moins certain que le jeune Jérôme fut élevé h Milan dans la maison de Faccia Cardan, son père, savant médecin et jurisconsulte éclairé, qui fut son premier maître. Il ne s’en sépara qu’à l’âge de 0 ans, époque à laquelle il alla à Pavie pour achever, à l'Université de cette ville, ses études et recevoirses grades. Ce fut dans cette célèbre institution que Jérôme Cardan acquit les premières no- tions des mathématiques, sciences dans lesquelles il de- vait plus tard illustrer son nom. Il fut bientôt à même d'expliquer Euclide, et dans la suite:il professa succes- sivement la médecine et les mathématiques à Pavie, à Bologre, à Milan et à Rome. Cardan était doué d'un génie fertile et d’une brillante imagination. Si ces heu- reux dons de la nature lui facilitèrent l'intelligence de toutes les connaissances humaines, car il fut À la fois, à un degré remarquable, orateur, naturaliste, géomètre, médecin, physicien, moraliste et philologue, ils contri- buèrent aussi à égarer quelquefois sa raison , en le jetant dans des travers et des contradictions inexplicables. Ainsi, il cultiva avec une incroyable ardeur , et défen- dit avec un fanatisme aveugle les vaines pratiques de lastrologie judiciaire; erreur à laquelle la plupart des savans de son siècle ont au reste payé un large tribut, Mais Cardan exagéra même les folies que l'astrologie a pu suggérer à des hommes beaucoup moins familiers que lui avec les vérités de la science. Il avait tracé plusieurs fois, et toujours inutilement, comme cela devait être, l’horoscope de sa mort, et il eut le courage d'attribuer publiquement la fausseté de ses prédictions, non à l’in- certitude de l’art, mais à l'ignorance de l'artiste. Car- dan avait si bien réussi, sous ce rapport, à établir sa ré- putation, que le bruit se répandit, après lui, qu’il s'était laissé mourir de faim à l’âge de 75 ans, pour ne pas faire mentir sa dernière prédiction, ou plutôt pour éviter la honte ou les railleries que ce nouvel essai de son art mensonger devait attirer sur lui. Enfin, Cardan a publié deux traités sous ces titres : De subtilitate et De rerum varietale, où sont consignées toutes les extravagances que l'astrologie inspira à cette imagination vive et exaltée. Ces traités, dit un de ses biographes, embrassent l'en- semble de sa physique, de sa métaphysique et de 272 CA ses connaissances en histoire naturelle, et peuvent pa- raitre curieux à ceux qui aiment à voir dans quelles erreurs s'est promené l'esprit humain. Jules Scaliger s'attacha particulièrement à réfuter le traité De subtili- tate avec l’urbanité et la modération, dont ce célèbre critique avait coutume d’'user envers les malheureux auteurs des livres qui avaient pu exciter son irritabilité pédantesque : il se vanta d’avoir tué à la fois Cardan et son livre par la vivacité et la force de sa critique. Au reste, la vie agitée de Cardan a trouvé en lui-même un juge plus sévère que celui qu’auraient pu inspirer la haine et les passions des nombreux ennemis que son caractère lui avait attirés. Dans celui de ses ouvrages intitulé : De vita propria, et qu'on peut regarder comme des Mémoires d'une irréprochable authenticité, il a dépassé, en parlant de ses vices, toute la hardiesse de la calonnie. Il nous apprend dans ce livre, ajoute son biographe, que dans le monde il ne savait dire que ce qui devait déplaire à ceux qui l’entouraient, et qu’il persévérait dans cette mauvaise disposition, quoiqu'il en vit les effets; qu’il recherchait les souffrances phy- siques, parce qu’elles le préservaient des orages qui s’élevaient fréquemment dans son esprit en proie à une sombre mélancolie; qu'il se procurait lui-même des sensations douloureuses dans cette vue , et pour jouir de la volupté qu'il éprouvait à leur cessation ; enfin, qu'il employait aussi ce moyen comme un remède ou comme un palliatif dans les grandes afflictions morales. Nous abrégeons ces tristes aveux d’un homme de génie lut- tant avec un inconcevable cynisme contre des souvenirs qui, sans doute, venaient troubler sa vieillesse. De grandes infortunes l'avaient déjà puni de ses erreurs et de ses vices, dans tout ce que l’homme a de plus cher et de plus doux sur cette terre, les affections de famille. Son fils aîné, Jean-Baptiste Cardan, jeune homme de 26 ans, qui s'était déjà acquis de la réputation dans la médecine, fut convaincu d’avoir empoisonné sa femme, et eut la tête tranchée à Milan. Les désordres de son second fils n’eurent pas un résultat aussi funeste, mais causèrent à ce malheureux père d’inexprimables cha- grins qui peut-être troublèrent sa raison et lui occa- _sionnèrent des accès de folie. C’est ainsi qu'ont pensé de lui lillustre Leibnitz et Naudé, et c’est sous ce rap- - port seulement que Cardan peut être jugé avec quelque indulgence. Tel fut l'homme cependant qui a conservé des titres réels à la gloire et à la reconnaissance des savans, quoique ses découvertes en mathématiques se rattachent encore à une conduite peu délicate et peu scrupuleuse de sa part, si l'on doit ajouter foi à l'opinion que ses contemporains en ont manifestée. Cardan était depuis long-temps étroitement lié avec Nicola Tartalea ou Tar- taglia de Brescia, mathématicien, que son savoir ct ses CA productions avaient déjà rendu célèbre. L'algèbre était une connaissance pour ainsi dire au berceau, et qui, depuis son introduction en Europe, n'avait guére été cultivée qu’en Italie. A l'époque où vivaient Cardan et Tartalea, les recherches dont cette science était l’objet excitaient une vive émulation entre les mathématiciens de ce pays. On était alors dans l'usage de proposer et d'accepter des défis publics dans les sciences aussi bien que dans les arts, etlesgraves géomètres, cornme les musiciens et les peintres, allaient de ville en ville exposer leurs découvertes et leurs talens devant les curieux, qui se réunissaient dans les églises, où l’on jugceait du mérite de ces rivaux de gloire et de savoir : c’étaient les temps chevaleresques de la science. fl paraît que Tartalea avait triomphé plusieurs fois dans de semblables défis, au moyen de la résolution des équations du troisième de- gré. Cardan conçut, dit-on, le vif désir de conuaiître la méthode qu'emplovait son ami pour obtenir an résultat si important et si inutilement cherché par les géomètres. Comme ses premières sollicitations avaient été inutiles, et que Tartalea avait besoin de la protection d’un grand, suivant l’usage du temps, Cardan employa, pour déci- der son ami à se rendre à ses désirs, une étrange super- cherie, Il lui fit savoir que le marquis del Vasto dési- rait faire sa connaissance, et s’entretenir avec lui de sa découverte. Tartalca se rendit avec empressement à cette invitation; mais Cardan se trouva seul dans l'hôtel du marquis, où le rendez-vous avait été'indiqué. Ce fat ainsi que ce dernier, après de vives instances, obtint, sous la foi du secret et du serment , la communication des méthodes de Tartalea. Telle serait, suivant les partisans de Tartalea , la vé- rité sur la découverte de la résolution des équations du troisième degré, attribuée à Cardan , qui la publia peu d’années après dans son 4rs magna. Mais selon Cardan, il n'aurait point ainsi violé la foi de sa promesse, ni trahi la confiance de Tartalea, dont il n'aurait reçu que la formule du procédé de la solution, tandis que seul il avaittrouvé la démonstration. Quant à la formule même, Cardan soutenait que la première découverte n’appar- tenait ni à lui ni à Tartalea, mais à Scipion Ferrco, mathématicien bolonais. La publication de l'4rs magna exata les vives plaintes de Tartalea : il reprocha amère- meut sa conduite à Cardan, et publia leur correspon- dance pour prouver sa duplicité. Il proposa aussi à son ancien ami, maintenant son adversaire et son ennemi, la solution de plusieurs problèmes , et l'on doit conve- nir que l'honneur de la lutte ne demeura pas à Cardan. Quoi qu'il en soit, Jérome Cardan est, en résultat, le premier qui ait publié la méthode de résolution des équations du troisième degré, et celui à qui est restée la gloire de cette découverte. On donne encore aujourd’hui à cette méthode le nom de formule de Cardan. West CA enfin beaucoup mieux établi encore que Cardan décou- vrit plusieurs cas nouveaux dont nous allons parler, et qui, d’après l'aveu de Tartalea, n'étaient pas compris dans la règle qu’il avait donnée. On doit en effet à Cardan la remarque de la limi- tation du cas irréductible, cas particulier des équations cubiques , qui est celui où il arrive que l'extraction de la racine carrée, qui entre dans la formule, n’est pas pos- sible. Il est également le premiér qui ait aperçu la mul- tiplicité des valeurs de l’inconnue dans les équations, et leur distinction en positives et négatives. Mais il ne paraît pas qu'il ait reconnu l’usage de ces racines néga- tives, découverte cependant qui, avec celle de Viète, a servi de fondement à celles d'Harriot et de Descartes sur l'analyse des équations. Si l’on ajoute à l’exposition de ces importans travaux, que la résolution des équa- tions du quatrième degré a été l'ouvrage, non contesté, de Louis Ferrari, disciple de Cardan, on re saurait refuser à cet homme extraordinaire, malgré les récri- minations de Tartalea, une grande part dans ces pro- grès de l'algèbre. ( J’oyez Ferranr. ) Telle est l'opinion du savant Cossali, dans son Histoire de l'algèbre en Jialie ( Origine e trasporto in Ttalia del algebra, 1.11), qui ayant eu à sa disposition les plus anciens manuscrits italiens, ajoute qu’on peut revendiquer en faveur de -Cardan la méthode de l'application de l'algèbre aux pro- blèmes de géométrie déterminés. Il y a sans doute quel- que exagération dans ce jugement de Cossali, car cette découverte est justement et généralement attribuée à ‘notre célèbre Viète. On croit communément que Jérôme Cardan mourut VA Rome en 1575, quoiqu'il y ait quelque incertitude sur la date précise de cet événement. Nous nous croyons ‘dispensés de donner ici la liste deses nombreux ouvrages, qui ont tous été réunis et publiés par Charles Spon , sous ce titre : Hieronymi Cardani opera. Lyon, 1663, 10 vol. fin-folio. CARDINAUX ( Astr. ). On a donné ce nom aux quatre points les plus diamétralement opposés de l'ho- rizon, l’est et l’ouest, le nord et le sud. Les points car- dinaux du zodiaque sont les premiers degrés des signes où l'entrée apparente du soleil détermine les saisons, c’est-à-dire le Bélier, le Cancer, la Balance et le Capri- corne. « CARNOT ( Lazare-Nicozas-MarGUERITE ), mathé- maticien célèbre, général, membre de l'Institut et de la Légion-d’'Honneur, naquit à Nolay en Bourgogne, le.10 mai 1753. L'illustration de Carnot appartient à la science et à l’histoire moderne; les grands événemens dans lesquels il a figuré sont encore jugés en France avec trop de passions, pour qu’il nous soit convenable d'apprécier, sous ce dernier point de vue, une vie si pleine de nobles actious et d'erreurs déplorables, C’est CA 275 du savant seul que nous avons à nous occuper. La fa- mille de Carnot occupait dans le morale une position recommandable, elle avait déjà fourni à la France des officiers de mérite et des jurisconsultes distingués. Il fit d'excellentes études, et manifesta de bonne heure le goût qui l’entraiîna vers celles des mathématiques. En 17971, Carnot entra au service dans l'arme du génie. En 1780, il n’était encore parvenu qu'au grade de ca- pitaine, quoique son Éloge de Fauban eût été cou- ronné par l’Académie de Dijon, et que son Essai sur les mathématiques eût obtenu un grand succès. En 1797, le département du Pas-de-Calais, où résidait le corps dans lequel il servait, le nomma député à l'Assemblée législative. Dès ce moment sa vie fut entièrement con- sacrée aux triomphes des opinions politiques qu'il avait embrassées. On sait qu’il occupa les plus hautes dignités de l'État dans ces temps désastreux, où la France se souvient avec reconnaissance qu'il organisa en peu de mois ses nombreuses armées. Lorsque Napoléon parvint à la couronne, Carnot résigna les fonctions de ministre de la guerre qu’il occupait, et se livra dans la retraite aux travaux qui avaient honoré sa jeunesse. Il publia, en 1808, son traité si remarquable De la défense des places fortes. Cet ouvrage le rappela à Napoléon, qui lui fit offrir les brillans avantages auxquels il avait renoncé. Carnot vivait alors dans un état voisin de l'indigence, lui qui avait un moment présidé aux destinées politiques de la Nation française. Il eut le courage de sacrifier ces avantages à ses principes, et il demeura dans la retraite. Mais en 1813, à la suite des désastres qui frap- pèrent alors son pays, il offrit spontanément son épée à l'empereur, qui accepta le dévouement de cet homme antique. Il s’enferma dans Anvers qu’il défendit jusqu’à l’époque où une nouvelle révolution changea en France la forme du gouvernement. Il s’acquit pendant ce siège mémorable qu'il soutint, une renommée digne de ses talens et de son caractère. Après les Cent-Jours, Carnot qui était un moment rentré au pouvoir, dans des espé-à rances qui ne devaient point se réaliser, fut compris $: dans une liste de personnes que le gouvernement des, Bourbons crut devoir éloigner de la France. Il fixa d sa résidence à Magdebourg, où il reprit ses travaux : scientifiques, et continua à vivre dans la solitude. Il mourut en 1823 avec le calme d’une âme pure et chré- tienne, si l’on doit s’en rapporter aux journaux du‘ temps; digne de respect pour les travaux dont il a en- richi la science, et du regret de toutes les âmes élevées, pour des erreurs vers lesquelles du moins ne l'entrainè- rent jamais les calculs d’un vil intérêt. Ses meilleurs écrits sont : I. Traité de la défense des places fortes, 1 vol in-4°, avec planches; 3° édition; 1819. IL. Mémoire sur la fortification primitive, pour servir de suite au Traité sur la défense des places fortes, LP] 974 È ‘A in-4°, fig, 1823. IT. Géométrie de position, in-4°, 1803. [V. Mémoire sur la relation qui existe entre les distances respectives de cinq points quelconques pris dans l'espace; suivi d'un Essai sur la théorie des trans- versales, in-4°, 1806. V. De la corrélation des figures de géométrie, an 1x, in-8°. VI. Réflexions sur la méta- plysique du calcul infinitésimal, in-8°, fig., 2° édition, 1813. VII. Principes de l'équilibre et du mouvement, -in-8°, 1803. CARRÉ (Louis), savant mathématicien, naquit en 1663, le 26 juillet, à Clofontaine, près de Nangis en Brie. Son père était un honnête et pauvre laboureur de ce village, qui le fit étudier pour qu'il pût embrasser l'état ecclésiastique. Mais il ne crut pas avoir la voca- tion nécessaire, et ce fut par obéissance qu’il suivit du- rant trois années un cours dethéologie. A cette époque, comme il refusa d'entrer dans les ordres, et que d’ail- leurs son père ne pouvait plus lui fournir l'argent qui lui était nécessaire pour continuer ses études et pour subsister à Paris, il tomba dans l’'indigence ; mais il fut assez heureux, dans son infortune, pour trouver un asile chez l’illustre père Mallebranche, dont il devint je copiste. Ce fut sous ce grand maître que Louis Carré apprit les mathématiques, et qu'il fut initié à une phi- losophie bien supérieure à l’obscure métaphysique de l’école. L'histoire de sa vie est tout entière dans le culte qu'il voua à ces deux sciences ; il fut bientôt assez fort pour acquérir son indépendance en donnant des leçons de mathématiques et de philosophie. Il affectionnait particulièrement cette dernière science, et ik eut surtout pour disciples beaucoup de femmes et des religieuses. Cette circonstance a inspiré à Fontenelle des réflexions qui rendent intéressant l’éloge qu'il a fait de Carré, document auquel nous renvoyons le lecteur. Il continua ses études mathématiques sous Varignon, qui le mit au nombre de ses élèves pour l’Académie, Carré ne tarda pas à faire honneur à un tel maître; il publia un ouvrage sur le calcul intégral, qui eut beaucoup de suc- cès, malgré les imperfections et les erreurs qu'il con- tient, erreurs qu’il rceonnut ct corrigea dans la suite. Reçu, en 1697, membre de l’Académie des sciences, il fournit plusieurs mémoires à la collection de cette illustre compagnie, entre autres un Abrégée d’un traité sur la théorie générale du son, sur les différens accords de lamusique, et sur Le monochorde. I donna également un grand nombre d’articles au Journal des savans. Carré avait toujours été d’une santé faible et délicate , il mou- rut à Paris le 11 avril 1755, avant d’avoir pu achever un travail dont l'abbé Bignon l'avait chargé, sur les instrumens de musique les plus usités en France. Son ouvrage le plus important est intitulé : Aéthode pour la mesure des surfaces, la dimension des solides, leurs centres de pesanteur, de percussion, d'oscillation, par D CE ré tm— CA l'application du caleul intégral. Paris, 17005 == 9° édi- tion, 1710, in-4°. CARTE (Géographie Mathém. ). Figure plane qui représente la terre ou une de ses parties. L'invention des cartes géographiques est attribuée à | Anaximandre, qui le premier, dit-on, exposa aux veux des Grecs le tableau de la Grèce et des pays et des mers que fréquentaient les voyageurs de cette nation. Depuis cette époque la construction des cartes est deve- nue l’une des parties les plus importantes de la géogra- phie mathématique. La surface de la terre étant courbe, une carte ne peut représenter avec exactitude que des parties très-bornées de cette surface; car lors- qu'il s’agit de parties considérables la carte n’est plus qu'une projection faite suivant certaines lois de la per- spective. F’oyez ProjEcrioN. Les cartes sont universelles ou particulières. Les cartes universelles représentent toute la surface de la terre, où seulement la surface d’un hémisphère. On les nomme particulièrement m#appemondes.( Voyez Mavre- monpe.) Les cartes particulières représentent quelques parties déterminées de la terre. Ces deux espèces de cartes sont souvent désignées sous le nom de cartes géographiques ou cartes terrestres pour les distinguer des cartes hydrographiques ou ma- rines dans lesquelles on ne représente que la mer, ses îles et ses côtes. Voyez Hynrocrapuie. On distingue encore les cartes topographiques qui représentent de petites parties de la terre. Voyez Toro- GRAPHIE et LEVÉE DES PLANS ; Les cartes célestes qui représentent la position des étoiles fixes, telles que nos planches IX et X 3. Les cartes sélénographiques qui contiennent la des- cription ou les apparences soit de la lune entière soit de quelques-unes de ses parties. La planche XVIII ren- ferme une carte générale et sélénographique. Foyes Jig. 3 et Lune. La théorie et la pratique de la construction de toutes ces sortes de cartes seront données aux mots PERSPECTIVE et PROJECTION DE LA SPRÈRE ; voyez aussi les mots R£- DUCTION ET TERRE. CAS IRRÉDUCTIBLE (4/g.). C’est celui où les trois racines d’une équation du troisième degré sont réelles et inégales. Les expressions générales des racines don- nées par la formule dite de Cardan se présentent alors compliquées de radicaux imaginaires qu’il est impos- sible de faire disparaître, à moins de les développer en séries, et, encore, ces séries sont si rarement COnver< gentes , que dans la pratique on est forcé d’avoir re- cours aux méthodes de résolution des équations numé- riques. Soit x'+px+g=0o une équation quelconque du Fr CA troisième degré, sans second terme, ses trois racines sont (a) (Joy. ÉQUATIONS QUBIQUES) : es V[-24v (EH HV (HD) NE (ae HV (EH) 3.2 [-2+v(e Fun +V[- VE - Le Lorsque les valeurs de pet de g sont telies que Le + — est une quantité négative, ce qui arrive toutes les 27 3 2 Êe ‘ad alors 4 GBA ue ue ; ; V ( re) devient imaginaire , et par suite les trois fois que est négatif et plus grand que racines le sont également. Par exemple, si l'équation proposée est x—7x+6—0. Comparant avec les formules précédentes, on a p=—7 et 9 =6, d’où l’on obtient pour la première racine 2=V[-54/ + —5— expression zmaginaire, dont il est po ble de rien conclure pour la valeur de x. Quant aux deux autres racines, elles se trouvent doublement compliquées d’i- maginaires. On prouve cependant avec facilité que dans ce cas les trois racines sont réelles. En effet, faisons en général VISE = nous aurons, pour la première racine, (b) 5 5 =VAHBV—1] + VB a]. 3 3 Or, si l’on développe VIA+BV/—1] et V[A—B\/—1] par la formule de Newton (voy. BinomE) , on obtient HV A | 1+3 iv HR DB? ds 7 AS V— 1+— 243 Pa ete | Désignant par M la somme des termes impairs où la quantité V/—71 ne se trouve pas, et par N la somme des coefficiens de \/—1, ces deux expressions devien- nent [AB —1$ = AMEN —1] [A—By/—1$ = AM-Ny—1] dont la somme est —»A3M 3 quantité réelle. Ainsi, la première racine est une quantité réelle dont la valeur est donnée par la série 10 Bi 33 1 3 æ=2 GIF HE E:5 6 + ete. |. Les deux autres racines deviennent Eu -3 2: SAME AN 1) X — se PAR K ee ee 3, us Ce qui se réduit, en effectuant les multiplications , à 3, TA M TN VE . + [ASMAîN Eu 2....%—=—AÎM-+ ASNV/3 Lu : 3....x——AM—ASNy/35. Ges racines sont donc également réelles. Il est donc prouvé que lorsque p est négatif et que : lon à les trois racines sont réelles, et que malgré la forme imaginaire sous laquelle elles apparaissent on peut les développer en séries; mais ces séries, par leur compli- cation de quantités irrationnelles, n’offrant qu’un moyen insuffisant pour arriver à l'évaluation des racines, il faut avoir recours à d’autres procédés (Foy. ArproxI- MATION , ÉQuarIoNSs, RAGINES CoMMENSURABLES). C’est ainsi qu’en appliquant la méthode des racines com- mensurables à l'équation 2x—7x+6=0, on obtient, pour les trois valeurs de x, =, 425 1 276 En x—-3; tandis que, par les formules ci-dessus, la plus simple de ces racines est 100 10000 it 10 243 59049 z=— vs [its +], série si peu convergente ; qu'un très-grand nombre de termes ne peut faire soupçonner sa véritable valeur. La difficulté du cas irréductible se présenta bientôt à Cardan, lorsque Tartalea lui eut communiqué sa mé- thode pour résoudre les équations cubiques. Dans une lettre adressée à ce dernier le 4 août 1539, Cardan lui annonce que la méthode est en défaut pour l'équation x—o9x— 10 —0, et demande des explications à ce su- jet. Dans sa réponse, loin d'aborder la question, Tar- talea s'étend en récriminations sur la conduite de Car- dan, qui allait à cette époque rendre public ce qui lui avait été confié sous le secret ; il se contente de lui dire qu'il n’a pas su employer la formule ; et qu’elle est ri- goureuse dans tous les cas. Mais Tartalea n’était pas ca- pable de lever une difficulté demeurée insurmontable aux plus grands géomètres. L'emploi des fonctions trigonométriques fait dispa- raître les quantités imaginaires des racines (a) dans le cas irréductible ; et ces fonctions présentent ainsi le moyen le plus prompt et le plus direct pour résoudre les équations du troisième degré. C’est ce que nous al- lons développer : reprenons la racine (b) PNA TEE LAS), à la quantité et remarquons que nous pouvons donner A+By —1 la forme (c) _—_. A a VAT VA+B'VA+FE ce qui est évident. vi} : Mais A et B étant des quantités réelles, |/A°ÆB7 est ; A plus grand que À; et, par conséquent, Var B VA +B. A 1 : VAR est le cosinus d’un arc inconnu z, puisqu'en prenant le rayon pour plus petit que l'unité. Il en est de même de On peut donc supposer que unité, les cosinus peuvent avoir toutes les valeurs com- prises entre o et 1. Or, de l'égalité \ COST = — V'A+B on tire sine — VAT A? in?z = 1 — 05 PRIT: : ou Z£ D #1 sin?z — pee “A+: et enfin B SZ = — = —— VA +B: L'expression (c) devient donc VB" |cosz+ sinzl/—1], 3 et l’on a conséquemment 3 Gé = VIA+By —1] = VA +B [cosz-sinzy/—1}, On obtiendrait de même 3 6 VIA+ByV —1]= VASHB[cosz—sinz|/—1 8. Ces valeurs substituées dans (2) donnent (4) GC} —— T= 2V/AHB.cosiz, en observant que (voy. Sinus) + (cosz sinz/—1) Pour rapporter cette dernière valeur de x aux racines (a), nous avons A7 2 ser (45] p° L étant négatif et plus grand que ee dans la dernière 4 égalité. Or, nous avons donc Substituaut ces valeurs de À et de B dans (d), nous obtiendrons définitivement (e) T—=2 cosiz.V/P. 3 L’arc z étant donné par la relation (f) Telle est donc l'expression générale et réelle d’une des racines de l’équation T'—pr+q=e p° lorsque À ; C'est-à-dire dans le cas irréductible. CA Les deux autres racines se produisent également sous une forme à la fois réelle et finie; mais sans entrer dans des calculs qui du reste n’offrent aucune difficulté, con- tentons-nous de faire observer que la formule (e) ren- ferme déja implicitement les trois racines par les va- leurs différentes de z, que donne la relation (f). En effet, » étant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est 1, les arcs z, 252, 442, Go+z, etc. tous le même cosinus (voy. Sinus). Ainsi, on peut ., ont prendre indifféremment le tiers d’un de ces arcs pour le substituer dans (a); mais, à cause de la périodicité des valeurs des sinus et des cosinus, il n’y a que les trois arcs 2p+F É kHz 38 3 Siroil qui donnent des valeurs différentes pour leurs cosinus, tous les autres se réduisent à ces trois derniers. Or, 2 360° +2 _ 3 nn 100 °HLz et z _720°—Lz : He = <+— = = 240°—2z. Les trois valeurs de x, ou les trois racines de l’équation a—px+q=0 sont donc VE 1....4—2C0S 2e. #22 cos (120° + 12) /À Dee L—2 cos (240° +32) À Appliquons ces formules à l'équation x—5x4+6—0, nous avons p—7, g—6, et par conséquent ha 18.V3 TARN Pour ne pas tenir compte du signe —, rappelons-nous que COST — — cosz — cos(180°+:), et nous aurons cos (180°Æz) — ne Opérant par logarithmes, nous trouverons log cos(180°+2) = 9,92515607. D'où 180° + z — 32° 4o' 41", et par conséquent 32=—147° 19" CA HT dont le tiers est 3z2=—— 49° 6’ 27"; l'arc 3z étant néga- tif, nous avons COS (120427) = cos (120°=/09° 6' 27") — cos (70° 5333" cos (2404-52) = cos(240°—49° 6 27")— cos (190°53'33"). Le cosinus d’un arc négatif étant le même que si l’arc était positif, les trois racines cherchées sont donc ee 7 OO 2. De cos( 70°53' 33”) Do D 2 Ver cos (190° 53° 33”). La dernière racine est négative et se réduit à 3... — 2 | / 2. cos (10° 53 337) à cause de la propriété générale, cos (180° + ) = —co Réalisant les calculs nous trouverons cos( 49° 627") 2....T—=2 Log 7 — 0,8450980 Log 3 — 0,4771212 7 Log /2 Log 2 = 0,3010300 Log 2 v72 = 0,4850184. Première racine Log 2 A: —= 0,4850184 Log cos (49° 6° 27") — 9,8160116 0,36:9768 = 0,1839884 0,3010300 — Log 2. Seconde racine Log» \/ 1 Log cos (70° 53° 33") — 9,5149816 — 0,4850184 0,0000000 = Log. 1. Troisième racine Log 2 173 = 0,4850184 Log cos (10° 53° 33") — 9,9921028 0,4771212 = Log 3. Les racines de x? — 7x + 6 — 0, sont doncæx = 3, Lx, Z=— 3. On peut encore se servir des fonctions circulaires ou 278 CA trigonométriques dans tous les cas des équations du troisième degré. Voyez RÉésorurion. CASSINI (Jeanx-Dommique). Les grands hommes appartiennent, comme la science, à l'humanité tout entière. Cependant la France revendique avec quelque raison le célèbre, ingénieux et savant astronome dont nous allons rapidement esquisser la vie et exposer Les travaux. Le roi Louis XIV eut assez d'influence pour l'enlever à Pitalie, et assez d'amour de la véritable gloire pour le fixer dans le royaume par des honneurs et de justes récompenses. La France est devenue sa seconde patrie. Les travaux qui lui ont acquis le plus de gloire ont été achevés dans son seiu, et entrepris pour elle. Enfin, il a laissé des enfans qui ont dignement porté son nom, et accepté pour eux l'honorable adoption dont leur père avait été l’objet. Cassini naquit le 8 juin 1625, à Perinaldo, dans le comté de Nice. Son pére, gentilhomme italien , sé nommait Jacopo Cassini, et sa mère Julia Crovesi. La fortune deses parens lui permit de recevoir une éducation distinguée, sous un habile professeur, qui fut dès son enfance atta- ché à sa personne. Il alla achever ses études à Gênes, chez les Jésuites de cette ville, où il ne tarda pas à se disüinguer. Ses premières dispositions le portèrent vers les lettres, pour lesquelles il manifesta un goût très-vif. Il composa un assez grand nombre de poésies latines qui ont été imprimées en 1646, avec celles de ses maitres, dans un recueil in-folio. Ce fut, diton, le hasard qui décida son penchant pour l'astronomie, et le fit entrer dans la glorieuse car- rière où nous allons suivre ses pas. Voici comment lil- lustre et spirituel auteur de léloge académique de Cassini raconte cette circonstance intéressante de sa vie : « Il fit une étroite liaison d'amitié avec M. Lercaro, qui fut depuis doge de la république de Gênes. I était allé avec lui à une de ses terres, lorsqu'un ecclésiastique lui prêta, pour l’amuser, quelques livres d’astrologie judi- ciaire. Sa curiosité en fut frappée, et il en fit un extrait pour son usage. L'instinct naturel qui le portait à la con- naissance des astres se méprenait alors, et ne démélait pas encore l’astronomis d'avec l'astrologie. Il alla jusqu’à faire quelques essais de prédictions qui lui réussirent. Mais cela même qui aurait plongé un autre dans l’er- reur lui fut suspect. Il sentit, par la droiture de son esprit, que cet art de prédire ne pouvait être que chi- mérique, etil craignit, par délicatesse de religion , que les succès ne fassent la punition de ceux qui sy appli- quaieut. Au travers du frivole et du ridicule de l’astro- logie, il avait aperçu les charmes solides de l’astro- uomie, et en avait été vivement touché,» Ce fut dès-lors que Cassini se livra aux sérieuses études qu’exige cette science : il y fit de si rapides progrès, que le sénat de Bologne, sur les pressantes recommandations du mar- CA quis Coruelio Malvasio, l'appela en 1650, et quand il n'était ainsi ägé que de 25 ans, à occuper la chaire de professeur d'astronomie, vacante à l'Université de cette ville par Ja mort récente du célèbre Cavalier, auteur de la méthode des indivisibles. En 1652, le jeune pro- fesseur observa la marche d’une comète, et tira de ses observations la juste conséquence, que le mouvement de ces astres n'était inégal qu'en apparence, et qu’ils étaient soumis à des lois régulières comme les autres planètes. Vers la même époque, Cassini résolut un pro- blème fondamental pour l'astronomie, et qui avait paru d’une difficulté iuabordable à Képler lui-même et à Boulliaud. IL détermina géométriquement l'apogée et l'excentricité d’une planète, les deux intervalles entre le lieu vrai et le lieu moyen étant donnés. Dès l’année 1653, le génie de Cassini s'appliqua à un objet non moins essentiel aux progrès de l'astronomie et à la ré- gularité de ses observations. Il aspirait à éclaircir quel- ques points difficiles et importans de la théorie du soleil par des observations d'une exactitude particulière; mais la méridienne tracée à Bologne par le père Ignazio Dante, dans l'église de Sainte-Pétrone ou Pétronille, et qui existait encore à cette époque, était insuffisante pour arriver au résultat cherché par Cassini. Ce n’était qu’une ligne qui déclinait quelques degrés du soleil, et que ce savant avait tracée dans la seule vue d'observer combien l'équinoxe du printemps s’écartait du 21 mars. L'aup- mentation qu'on fit, en 1653, aux bâtimens de Sainte- Pétrone, fut une occasion heureuse pour Cassini de mettre à exécution l’idée qu'il avait conçue. Il résolut de tracer une méridienne plus grande et plus exacte que ceile de Dante. Les dispositions de l'édifice sem- blaient présenter un obstacle insurmontable à ce projet: la méridienne devait passer entre deux colonnes, contre l'une desquelles on devait craindre qu’elle n’allàt frapper. Les magistrats s'opposèrent d’abord aux vues de Cassini, pour cette raison et à cause de l'incertitude où l’on étaitde la réussite de l’entreprise. Mais il parvint à triompher de leur répugnance et des difficultés plus réelles que présen- tait cette opération. La nouvelle méridienne de Sainte- Pétrone , une des plus grandes et des plus exactes qu'on ait jamais construites, fut terminée en moins de deux ans. Il invita, par un écrit public, les astronomes de l'Europe à y venir observer le solstice d'hiver de 1655. « Il disait dans un style poétique, que la sécheresse des mathé- matiques ne lui avait pas fait perdre, ajoute Fontenelle que nous avons cité plus haut, qu'il s'était établi dans un temple un nouvel oracle d'Apollon ou du Soleil, que l'on pouvait consulter avec confiance sur toutes les difficultés d'astronomie.» Le gnomon de Cassini, dont la description peut intéresser les personnes qui s'occupent de cette science, était en effet construit de manière à produire les résultats merveilleux annoncés par son auteur. La CA ligne méridienne qu’il traça d’abord, passa entre Îles deux colonnes, sans éprouver le contact qu’on avait dû craindre; perpendiculairement au-dessus de cette ligne, et à la hauteur de 1000 pouces bolonnais (environ 83 pieds de France ), il plaça horizontalement une plaque de bronze solidement scellée dans la voûte, et percée d’un trou circulaire qui a précisément un pouce de dia- mètre. C’est par ce trou que pénétrait le rayon solaire qui formait tous les jours à midi sur la méridienne l'image elliptique du soleil. Cette élévation considérable fait qu’à la variation de 1° en hauteur, répondent quatre lignes de différence près du solstice d'été, et près de celui d'hiver deux pouces une ligne ; de sorte que les moindres inégalités , soit dans la déclinaison, soit dans le diamètre apparent du soleil, sont extrêmement sensibles. Ce gno- mon existe toujours , et les révolutions dont l'Italie a été le théâtre, paraissent avoir respecté ce bel ouvrage de Cassini, qui n’a pas cessé d’être utile à la science, et qui fait encore l’ornement de l’église de Sainte-Pétrone. Nous ne devons pas oublier de dire néanmoins que lors- qu'après trente ans de séjour en France, Cassini, dans sa vieillesse, alla revoir sa patrie, il ne manqua pas de visi- ter son gnomon. Il trouva que le cercle de bronze qui lui sert de sommet était un peu sorti dela ligne verticale où il devait être, et que le pavé de marbre sur lequel était tracée la méridienne s'était un peu affaissé. I] rétablit les choses dans leur ancien état; et Dominique Gugliclmi fit de cette opération le sujet d’un livre intitulé : La meridiana di S. Petronia, revista el retirala per le osservaziont del S. dom Cassini. ( Bol. in-folio, 1696.) À l’aide de ce puissant instrument, le jeune professeur ‘d'astronomie apporta à la théorie du soleil des correc- tions importantes. Il trouva que la déclinaison de léclip- “tique devait être diminuée d'environ 1° 30”, c’est-à- ‘dire qu’au lieu de 23° 30’ que lui donnaient la plu- part des astronomes, elle n’était, en 1660, que de 23° 28! 42". Les mêmes observations l’aidèrent à déterminer T'excentricité , ou la demi-distance des foyers de l'orbite ‘solaire à 1700 parties. Képler l'avait faite, dans ses tables, ‘de 1800, l’axe entier étant de 100000. Il reconnut lensuite une erreur qu'avait commise Tycho-Brahé, en fondant les réfractions solaires que jusqu’au 45° d'élé- lvation. Ses observations prouvèrent que ce phénomène s'étend jusqu'au zénith. Cassini obtint enfin de ce qu'il appelait le nouvel oracle d'Apollon, des tables du soleil plus parfaites, une mesure très-rapprochée de la parallaxe de cet astre, et une excellente table des réfractions. Ces suecès éclatans, à une époque où la science tenait le premier rang dans l'estime des na- tions, méritèrent à Cassini une brillante réputation. Mais bientôt la confiance que les magistrats de Bo- Jogne avaient dans ses connaissances mathématiques , le força d'interrompre momentanément ses occupa- SON à CA 279 tions astronomiques, et le fit descendre, dit Fonte- nelle, de la région des astres, pour s'appliquer à des affaires purement terrestres. Les irrégularités et les inondations fréquentes du Pê occasionnaient entre Ferrare et Bologne de fréquens différends que le pape avait à juger, comme souverain de ces deux Etats, qui se gouvernaient alors séparément par leurs lois munici- pales. Dans une circonstance de ce genre, la ville de Bologne envoya le marquis de Tanara comine ambassa- deur extraordinaire auprès d'Alexandre VIT; mais elle voulut que ce personnage fût accompagné de Cassini, qui accepta cette mission. Il la remplit dignement, et publia un ouvrage savant et remarquable sur le cours du P6, si changeant et si dangereux. Cet ouvrage éclaircit un grand nombre de points difficiles, relativement à la na- vigation de ce fleuve. I fit, en présence des cardinaux de la congrégation des eaux, quantité d'expériences qui appartenaient à cette matière, et y apporta cette exacti- tude dont il avait donné tant de preuves dans ses tra- vaux astronomiques. Le sénat de Bologne lui donna alors en récompense la surintendance des eaux de l'État, fonctions qui le mirent en relation avec plusieurs dignitaires de V’Église, et firent briller d’un vif éclat l'esprit dont il était doué. En 1663, dom Mario Chigi, frère du pape, lui donna la surintendance du fort d’'Ur- bin, dont il eut à faire réparer les fortifications. Dans un démélé qu’Alexandre VIT eut avec le grand-duc de Toscane , relativement aux eaux de la Chiana, Cassini fut encore chargé des intérêts du Saint-Père, qui, pour lui témoigner sa satisfaction et l'estime qu’il avait pour ses talens, lui fit offrir des avantages considérables s’il voulait embrasser l’état ecclésiastique. Cassini ne se sentant pas la vocation que sa piété véritable lui faisait regarder comme indispensable dans cette circon- stance, refusa d'entrer dans l'Église. Au milieu des occu- pations nombreuses que ses diverses fonctions lui occa- sionnaient, Cassini, ajoute Fontenelle, ne laissait pas de jeter de temps en temps quelques regards vers le ciel. À la fin de 1664 , il parut une comète qu’il observa à Rome, dans le palais de Chigi, en présence de la reine Christine, cette célèbre reine de Suède, qui semblait avoir abandonné le trône pour les sciences. Il eut la joie de vérifier dans cette circonstance le système qu’il avañt précédemment émis sur les mouvemens des comètes, et de voir se réaliser toutes ses prévisions. Ce fut en 1665, à Citta della Picde, en Toscane, et dans l’un des inter- valles que lui laissait la discussion de l'affaire de la Chia- na , que Cassini reconnut, pour la première fois, avec quelque certitude, les ombres que les satellites de Jupi- ter projettent sur le disque de cette planète, lorsqu'ils passent entre elle et le soleil. Les astronomes avaient reconnu les taches qui restent fixes à la surface de Jupiter; mais Cassini sut distinguer les ombres mobiles, occasion- 280 CA nées par les occultations de ses satellites d'avec ces acci- dens qui paraissent inhérens à sa masse. Il se servit des ombres mobiles pour compléter et vérifier la théorie des mouvemens des satellites qu’il venait de proposer, et ce fut au moyen des ombres ou des taches fixes qu’il recon- nut et mesura la rotation de cette planète sur elle-même. Il fixa son mouvement à 9 h. 56’, mouvement beaucoup plus rapide que celui de la Terre, qui est cependant près de quinze cents fois plus petite que Jupiter. Ce fut éga- lement par l'observation des taches semées à sa surface, que Cassini put reconnaître la rotation de Mars : il trouva que son mouvement était de 24 h. 4o'. Cassini avait aperçu la rotation de Vénus ; mais il n'avait pu la déter- miuer avec la même précision : il la supposa néanmoins peu différente de celle de Mars. Des observations ré- centes ont confirmé ce résultat des recherches de Cassini. La rotation de Vénus, comme on le sait, s'opère en 23h. 21" à peu près, en effet, comme celles de la Terre et de Mars. L'importance et l'utilité réelle des observations astro- nomiques auxquelles Cassini aimait à se livrer, ne lui évitèrent pas les obsessions de ses admirateurs, qui ré- clamèrent trop souvent son intervention pour des objets étrangers à ses hautes études. Outre les emplois étrau- gers à l'astronomie qu'il avait déjà, on le chargea de l'inspection de la forteresse de Perrugia et du pont Félix que le Tibre menaçait d'abandonner. Il fit cons- truire divers ouvrages qui prévinrent ce dommage. Lui- même, d’ailleurs possédé d’un amour général pour les sciences, se livrait quelquefois à des distractions volou- taires. Lorsqu'il traitait de l'affaire de la Chiana avec Viviani, en Toscane, il avait fait sur les insectes un graud nombre d'observations physiques, que Montal- bani, auquel il les adressa, fit imprimer dans les ouvrages d’Aldrovandus. Il eut aussi la curiosité de répéter chez lui, à Bologne, les expériences, nouvelles alors, de la transfusion du sang , faites en France et en Angleterre. La réputation qu'il s'était acquise par l’universalité de ses connaissances, était telle, enfin, que lorsque, dans ses voyages de Bologne à Rome, il passait par Florence, le grand-duc de Toscane et le prince Léopold faisaient tenir en sa présence les assemblées de l’Académie del Cimento, persuadés qu’il y laisserait de ses lumières. En 1668 , Cassini publia les Éphémérides des satellites de Jupiter, que depuis Galilée on nommait encore, à cette époque, en Italie, les astres de Médicis. On peut se faire une idée de la difficulté et de l'importance de ce travail, si l’on considère quelle multiplicité d’élémens, qu'il fallait alors déterminer pour la première fois, durent lui servir de bases. Ces tables, comparées avec celles du ciel, parurent à tous les astronomes du temps d’une exactitude que l’observation trouvait plus rigou- reuse encore que leur auteur ne l'avait pensé, Mais si CA l'on compare aujourd'hui ces tables avec celles de De- lambre, on est encore plus étonné de trouver cette exactitude si imparfaite, tant les progrès de l’astro- nomie mathématique, depuis Cassini jusqu’au célèbre astronome moderne, ont été considérables. u Nous sommes enfin parvenus à cette époque de la vie de Cassini où son génie brilla sur une scène immense, au sein d’une grande nation où alors tous les talens étaient admirés, récompensés avec éclat, et surtout honorés : époque glorieuse en effet, pour l’homme célèbre dont nous esquissons la vie, et pour la France, dont on ne peut voir aujourd'hui, sans une profonde tristesse, l’in- différence pour les nobles travaux qui l'ont jadis illus- trée. Alors la France marchait réellement au-devant de l'humanité; elle avait une part dans toutes les dé- couvertes; elle servait de modèle à tous les peuples : elle était vraiment la grande nation. Aujourd’hui.ses savans isolés ne révèlent qu'à de rares intervalles l'an- cienne puissance intellectuelle dont elle était douée. Tels sont les fruits amers des discordes intestines, et de ces révolutions fatales où s’use le génie d’un peuple, que la Providence semble abandonner à son aveugle présomption. L'Académie des sciences, fondée à Paris, en 1666, par ordre de Louis XIV, voulut avoir Cassini pour correspondant; mais Colbert, le ministre influent de cette époque, et dont le nom se rattache à cette grande institution, fit plus encore : il sentit la né- cessité d'appeler en France le célèbre astronome de Bologne, honneur qu'il devait partager avec Huy- gens. Cette affaire fut alors l’objet d’une négociation diplomatique, qui dura fort long-temps, entre le roi de France, le pape et le sénat de Bologne. Il fut enfin dé- cidé que Cassini viendrait en France , mais seulement durant quelques années , après lesquelles il retournerait en Italie, où on lui conserva les émolumens des places qu'il occupait. Ce fut au commencement de 1669 que Cassini arriva à Paris, où il fut reçu par le roi avec la distinction qu’il méritait. Il fut vivement touché des preuves honorables d’empressement et d'admiration qu’il reçut de toutes parts; et l’on voit que, dès l’année 1673, Colbert lui fit expédier des lettres de grande na- turalité. Dans la même année, Cassini contracta avec une Française un mariage qui reçut l'approbation du roi; et c'est ainsi, dit Fontenelle, que la France faisait des conquêtes jusque dans l’empire des lettres : con- quêtes pacifiques , dont la France devait tirer des fruits plus heureux que de toutes celles qui, sous le même roi, lui avaient coûté tant de sang. Jean-Dominique Cassini ne tarda pas à se montrer digne de l'estime flatteuse dont il était l’objet dans sa nou- velle patrie; il comprit qu’on atteudait beaucoup delui, et que pour ue pas tomber au-dessous de sa réputation, CA il fallait que ses nouveaux travaux surpassassent l'éclat des premiers. Le plan de cet ouvrage ne permet pas de les exposer en détail; nous ne pouvons que mentionner les plus remarquables de ceux qu’il entreprit, et les dé- couvertes essentielles dont son génie patient et hardi enrichit alors la science. Dès 1672, Cassini avait eu assez d'influence dans le sein de l'Académie pour faire entre- prendre à des observateurs, envoyés par elle, le voyage de Cayenne, dont le résultat fut de fixer les idées sur plusieurs points importans relatifs à la figure de la terre, en même temps qu'il fit découvrir le décroissement d'intensité de la pesanteur terrestre, en allant du pôle vers l'équateur ; phénomène qui offre une confirmation frappante de la théorie de la gravitation. La fameuse comète de 1680 fournit à Cassini l’occasion de faire de nouvelles observations qui confirmèrent la théorie qu'il avait précédemment exposée sur la marche des corps célestes. Nous n’avons pas besoin de faire remarquer ici que cette, théorie, quelque respect qui soit dû à son cé- lèbre auteur, n’était pas complétement rigoureuse. Son hypothèse, aujourd'hui modifiée sous plusieurs points, était du moins la plus'scientifique qui eût été émise jus- qu’à lui. En 1683, Cassini découvrit la lumière zodia- cale, cette lueur blanchâtre qui entoure le soleil comme une lentille aplatie dont il serait le centre, et dont les bords s'étendent dans le plan de son équateur au-delà de l’orbe de Vénus. Il en fit connaître la forme avec exactitude ; et, d’après sa position relativement à l’éclip- tique , il détermina les circonstances où elle devait s’ob- server le plus exactement. Ce fut à peu près à la même époque que Cassini découvrit encore que l’axe de rota- tion de la terre n’était pas perpendiculaire à l'écliptique, comme, on l'avait cru jusqu'alors, et que ses positions successives dans l’espace n'étaient point parallèles entre elles : phénomène important, et qui n’avait point encore êté observé dans le système du monde. Les lois de ces mouvemens, qu'il assigna avec autant d'élégance que d’exactitude, doivent être mises au rang de ses plus belles découvertes. Huygens n'avait encore aperçu qu’un seul satellite de Saturne, en 1655: c’est le plus gros de tous, et le sixième dans l’ordre des distances. En 1671, Cas- sini avait vu le septième, et en 1672 le cinquième; en mars 10684, il découvrit le troisième et le quatrième; ce qui portait à cinq le nombre des satellites de cette pla- nète. On crut qu'il n’était plus possible d’en reconnaître d’autres. Une médaille fut frappée à cette occasion, avec cette légende : Saturni satellites primum cognité. Cela fait dire à Fontenelle, dans l'éloge de Cassini, que ce grand astronome mit alors la dernière main au monde de Saturne. Les conquêtes de l'astronomie ont depuis fait justice de cette exagération poétique, et l’on sait que le célèbre Herschell découvrit, en 1789, le deuxième, et ensuite le premier satellite, Er 1687, Cassini donna à CA 281 l’Académie des recherches sur le calendrier indien, dont il avait retrouvé les fondemens dans la méthode empi- rique en usage à Siam, ét qu'avait rapportée de ée pays l'ambassadeur du roi, de La Loubère. En 1693, il publia de nouvelles tables des satellites de Jupiter, plus exactes que celles de 1667. Picard avait commencé, en 1669,;une méridienne qui devait être la 45° partie de la circonfé- ;° rence terrestre; elle avait été continuée par de La Hire, , au nord de Paris, en 1680; elle fut poussée, en 1920, par Cassini, jusqu'à l'extrémité du Roussillon. C’est cette même ligne qui fut mesurée de nouveau, quarante ans après, par un autre Cassini et jar La Caille, et enfin une dernière fois par Delambre et Méchain. Mais l'il- lustre auteur de l'éloge de Dominique Cassini n’a pas moins raison de dire que ce grand astronome, seul au- teur de la méridienne de Bologne, et auteur de la plus grande partie de celle de la France, a eu la gloire d’at- tacher son nom aux deux plus beaux monuméns que l'astronomie pratique ait jamais élevés sur la terre. Dans la dernière année de sa vie, Cassini perdit la vue. Ce malheur, qui lui a été commun avec le grand Galilée, a inspiré à Fontenelle une de ces appréciations ingénieuses qu’on trouve souvent dans ses écrits et qui mérite d’être conservée. « Selon l'esprit des fables, dit-il, ces deux grands hommes qui ont fait tant de découvertes dans le ciel, ressembleraient à Tirésias, qui devint aveugle pour avoir vu quelque secret des dieux. » Cassini mourut à Parisle 14 septembre 1712, sans avoir éprouvé aucunealtération dans sa santé, sans douleur: il avait alors quatre-vingt-sept ans et demi. La perte de ce grand homme fut vivement ressentie. Sa statue en marbre est aujourd’hui dans les salles de l'Observatoire. Jean Dominique Cassini était d’une constitution saine et robuste ; il était doué d’une extrême activité, qui a suffi aux nombreux emplois qu’il a occupés, aux nombreux ouvrages qu'il a publiés. Cependant cet homme qui semble avoir mené une vie si pleine et si agitée, avait un esprit égal, tranquille, exempt d'inquiétude; il était d’un commerce agréable, et d’une gaîté que l’af- fiction dont il fut frappé dans sa vieillesse ne put lui faire perdre. I devait à la religion et à son austère mo- ralité ce calme délicieux qui a embelli sa longue exis- tence. On sentait en lui, ajoute Fontenelle, avec lequel il avait été long-temps lié, cette candeur et cette sim- plicité que l’on aime tant dans les grands hommes, et qui cependant y sont plus communes que chez les autres. Il communiquait sans peine ses découvertes et ses vues, au hasard de se les voir enlever, il désirait plus qu’elles servissent aux progrès de la science qu'à sa propre gloire. On trouve dans la Bibliographie de Lalande la nomenclature des ouvrages de Cassini. CASSINI ( Jacours), astronome et géomètre distin- gué, fils de Jeau-Dominique Cassini et de Geneviève 36 282 CA Delaitre, uaquit à Paris en 1677. Comparé à son père et à son fils, Jacques Cassini ne saurait prétendre à une part égale dans leur célébrité; mais ses travaux utiles et importlans n’en méritent pas moins une menlion spé- ciale , car ils assignent à leur auteur un rang élevé parmi les hommes qui ont le plus contribué aux progrès de la science. Dominique Cassini fut le professeur de son fils, qui, dès l’année 1694, fut reçu membre de l'Académie des sciences. On conçoit facilement que ce jeune homme ait dû puiser de bonne heure dans les entretiens des nombreux savans qui fréquentaient la maison pater- nelle, des connaissances supérieures qui justifiaient la faveur dont il était l’objet. Jacques Cassini accompagna son père en Italie en 1605: il voyagea depuis en Hol- lande et en Angleterre, pays où il fut accueilli, et où il eut le bonheur de se lier d'amitié avec des hommes tels qué Newton, Halley et Flamstead. En 1696, il fut recu mémbre de la Société royale de Londres. Au retour de ses voyages, il selivra avec ardeur, dans le sein de l’Aca- démie, à des travaux qui attestent la multiplicité et l’éténdue des connaissances qu’il avait acquises. On trouve en effet dans la collection de ce corps savant un grand nombre de mémoires de Jacques Cassini sur divers sujets d'astronomie, d’optique et de physique. Ce fat en 1717 qu'il acheva, et qu'il présenta à l'Aca- démie des sciences un travail considérable et important sur l’iclinaison de l'orbite des satellites et de l’anneau de Saturne. Les premiers travaux-astronomiques et géométriques de Jacques Cassini avaient eu pour objet la mesure d’un degré du méridien , opération dans laquelle il avait aidé son père, en 1701, qui avait prolongé cette mesure jus- qu'au Canigou. En 1718, il en avait seul exécuté Ja partie septentrionale jusqu’à Dunkerque : il était donc tout-à-fait compétent dans la discussion que fit naître alors entre les géomètres le résultat proposé de cette expérience, qui avait pour but de donner une détermi- nation plus exacte de la figure de la terre. La mesure géométrique de la méridienne de Paris, prolongée au travers de Ja France, avait paru démontrer que le degré, loin de croître de l'équateur au pôle, allait au contraire en décroissant. On trouvait que la grandeur moyenne que donnaient les 6 degrés 3 mesurés au midi de Paris, était de 57,092 toises ; tandis que celie des degrés me- surés au nord, n’était que de 56,960. Il résulte de cette différeuce un accroissement de degré en allant du pêle à l'équateur, qui est d’environ 30 toises, et l’on devait en conclure que la terre avait la forme d’un sphéroïde alongé, et que le rapport de son axe au diamètre de son équateur était de 96 : 95. Ce résultat était diamé- tralement opposé à la détermination de la figure de la terre, donnée par Newton et Huygens. Ces grands aoms avaient sans doute de l'autorité; mais des opé- CA rations faites par les Cassini, Maraldi, La Hire et d’autres babiles géomètres qui les avaient secondés dans leurs travaux, n'étaient pas moins concluantes, pas moins dignes d’attention. On se partagea donc dans la science pour ou contre laplatissement ou l’alongement de Ja terre vers les pôles. Ce fut dans ces circonstances que Jacques Cassini publia son Traité de la grandeur et de la figure de la terre, Paris, 1720 , in-4°. La publication de cet ouvrage ne décida point la question, le système de Newton conserva de nombreux partisans parmi les géomètres et les philosophes du continent, mais surtout en Angleterre. Ils objectaient avec raison, contre le ré- sultat des opérations des deux Cassini, que la figure alongée de la terre ne pouvait, d’une part, se concilier avec les lois de la mécanique; et d’autre part, que la différence des degrés mesurés en France était trop peu considérable , pour que la mesure füt à l’abri des erreurs que pouvait produire l’imperfection des instrumens dont cuseservait. (Voy. Mémorres de l’ Académie pour 1720.) La discussion continuait encore en 1733, et alors l’Aca- démie fut chargée par le roi de mesurer la perpendicu- laire à la méridienne, depuis Brest jusqu’à Strasbourg. Cassini dirigea ce travail. Accompagné de quelques autres astronomes de l'Académie, il mesura d’abord, en 1733 et 1734, la partie de cette ligne entre la méridienne de Paris et la partie la ples occidentale de la Bretagne; il en fit de même de la partie orientale de cette ligne, interceptée entre l'observatoire et le méridien de Stras- bourg. Ces différentes mesures donnèrent encore le degré de longitude plus court qu’il n'aurait du l'être dans l'hypothèse newtonienne: elles confirmèrent Cassini dans son opinion de l’alongement de la terre vers les pôles. Cette opération nouvelle était cependant moins concluante et moins susceptible d’exactitude que celle de la mesure des degrés du méridien : aussi les objections ne manquèrent-elles pas à ce résultat. Elles portèrent surtout, et avec raison, sur ces circonstances principales à Que lorsque les académiciens qui acccompagnaient Cas! sini arrivèrent à Strasbourg, Jupiter approchant de sa conjonction, ils se bornèrent, pour en déterminer la longitude, à faire usage de quelques anciennes observa- tions dessatellitesde cette planète faites par Eisenschmidt, et de celles de Picard et de La Hire, dout l'exactitude était précisément en discussion. On ajoutait que du temps de ces astronomes, d’ailleurs fort habiles, il n'existait aucun instrument assez perfectionné pour une opération aussi délicate : l'horloge à pendule d'Huygens leur était à peine connue. Ils ne pouvaient donc répondre d’une erreur d’une demi-minute sur le moment précis de : l’émersion des satellites. Or, une demi-miuute sur le temps dans une observation pareille en entraine une de 7' + de longitude; ce qui ferait sur l'arc du parallèle entre le méridien de Paris et la côte de Bretagne plus CA de 5009 toises, Gomme la mesure était prise sur environ 6° +, cette différence donnait pour chaque degré ure erreur presque certaine de 750 toises, quantité qui excédait la différence possible d’un degré d'un parallèle quelconque de même latitude, sur la sphère et sur le sphéroïde dans les deux hypothèses de l’alongement ou de l’aplatissement. On sait que l'hypothèse de Cassini a complétement succombé devant des observations pos- térieures, et que le système de l’aplatissement de la terre a été depuis démontré d’une mauière positive. Nous exposerons ailleurs les principes sur lesquels est fondée ‘cette détermination précise de la figure de la terre. Foyez MÉRIDIENNE Ct SPHÉROÏDE. Jacques Cassini mourut dans sa terre de Thury, le 16 avril 1756, dans sa 50° année. Outre les mémoires académiques et l'ouvrage que nous avons cité, ses prin- cipaux écrits sont : I. Élémens d'astronomie. Paris, 1746 in-4°. Cet ouvrage, entrepris sur la demande du duc de Bourgogne, a depuis été traduit en latin par le père Hell, professeur à Vienne. IE. Tables astronomiques du soleil, de la lune, des planètes, des étoiles et des satellites. Paris, 1740, in-4°. CASSINI DE THURY ( CésanmÆrancois), géomètre et astronome, célèbre surtout par ses travaux géodé- siques, fils de Jacques Cassini, naquit dans la terre dont al porta le nom, le 17 juin 1714. Son enfance fut confiée aux soins du savant Maraldi, qui avait été le collabora- teur et l’ami de son illustre aïeul. Le jeune Cassini se montra à la fois digne du nom qu’il portait, et des leçons d’un tel professeur. Il avait à peine 22 ans, quand il fut reçu à l’Académie des sciences, en qualité de membre adjoint surnuméraire : il prit dès ce moment une part très-active à ses travaux. Les recueils si curieux et si remarquables de cette Société contiennent un grand nombre de mémoires, rédigés par Cassini de Thury, sur des questions intéressantes d'astronomie , de géométrie, et surtout de topographie , science à laquelle il s’est spé- cialement consacré. On a vu ailleurs (voyéz J.-D. Cas- sint, J. Cassint, La Carre) les discussions qui s’éle- vèrent en France parmi les géomètres, dans la première partie du XVII siècle au sujet de la mesure d’un degré du méridien et du résultat qu’on prétendait en tirer pour ja détermination de la figure de la terre. En 1740, les académiciens chargés de faire au Nord l'opération qui avait excité en France tant de réclamations, revin- rent de leur voyage avec une mésure qui, rectifiant le degré de Picard, ne permettait pas de douter qu’il ne se fût glissé quelque erreur importanté dans les travaux de ses continuateurs ; erreur qui avait pour conséquence de détruire l'hypothèse de D. Cassini. Cassini de Thury s'étant assuré de la discordance qui existait entre les opérations faites dans le Nord, et celles faites en France, entreprit de rectifier les dernières. On sait qu’il CA 283 fut habilement secondé dans cette entreprise par |le sa- vant La Caille, et nous avons déjà exposé les résultats de leurs opérations à l'article biographique consacré à cet illustre astronome. ( Voyez La Caizre. ) On sait au reste que toutes ses mesures ont été refaites avec un nouveau soin, et à l’aide d’instrumens perfectionnés par Delambre et Méchain, dans les années 1702 à 1799, et il ne reste plus aucun doute sur la théorie newtonienne relative à l’aplatissement de la terre vers les pôles. Cassini de Thury se présentera à la postérité avec un titre incontestable de gloire : nous voulons parler du grand travail qui porte le nom de sa famille, et dont le temps n’a pu encore diminuer fa perfection. Voici com- ment parle Condorcet, dans l'éloge de Cassini, de cette belle opération : on avait, dit-il, formé le projet de faire une description géométrique de la France ; le jeune Cassini conçut le plan plus étendu de ne pas borner cette description à la détermination des points des grands triangles qui devaient embrasser toute Ja surface du royaume, mais de lever le plan topographique de la France entière; de déterminer par ce moyen la distance de tous les lieux à la méridienne de Paris et à la per- peudiculaire de cette méridienne. Jamais on n'avait formé en géographie une entreprise plus vaste et d’une utilité plus générale. Une entreprise si utile, et en même temps si difficile, exigeait de la part du gouvernement des secours extraordinaires, et Cassini les obtint. Cepen- dant, dès l’année 1756 , le gouvernement cessa de don- ner des fonds, et l’entreprise fut abandonnée aux seules ressources de son auteur. Alors Cassini forma le plan d'une compagnie qui se chargerait des avances, et qui, devenue propriétaire de l'entreprise, retirerait ses fonds sur la vente des cartes. L'opération se continua sous cette nouvelle forme avec plus de rapidité et de mé- thode. Bientôt le gouvernement accorda de nouveau quelques encouragemens ; différentes provinces même contribuèrent à la dépense, et Cassini, bien qu’une mort prématurée l'ait enlevé à la science , a eu la consolation de voir terminer presque entièrement un travail si étendu, et d’en devoir à lui-même presque tout le suc- cès. Cassini mourut de la petite-vérole, le 4 septembre 1754, membre de l'Académie des sciences, maître des comptes et directeur de l'Observatoire. Son fils, Jacques- Dominique Cassini, depuis membre de l'Institut, et comte de l'empire, continua cette belle entreprise. La Carte de Cassini forme une collection devenue très- rare , de cent quatre-vingt-deux feuilles. Ce grand et excellent ouvrage a fait une révolution dans la géographie, et il méritait de servir de modèle à tous les travaux qui ont cette science pour objet. Son exécution est admirable, toutes les mesures s'y rappor- tent à la méridienne et à la perpendiculaire de f'Obser- yatoire de Paris ; la projection est celle des cartes plates, 9284 CA et l'échelle est d’une ligne pour cent toises , c’est-à-dire 86, En réunissant les cent quatre-vingt une feuilles 300° d’un dont se compose ce chef-d'œuvre detopographie (la carte des triangles forme une feuille à part), on établit une seule carte de trente-trois pieds de long sur trente- quatre de large. Les autres principaux ouvrages de Cas- sini de Thury sont : 1. La Mcridienne de l'Observatoire royal de Paris, vérifiée dans toute l'étendue du royaume, ete., 1744. IL. Cartes des triangles de la France( en société avec Maraldi), 1944, in-4°. IT. Addition aux tables astronomiques de Cassini, 1756, in-4°. IV. Des- cription géométrique de laterre, 17795, in-4°. Descrip- tion géométrique de la France, 178%, in-4°, etc. CASSINOÏDE ( Géom.), nom que l’on donne à la courbe proposée par Jean-Dominique Cassini, pour re- présenter l'orbite des planètes. C’est une courbe ellip- tique, dans laquelle le produit des deux droites tirées des foyers à la circonférence est une quantité constante, savoir : le produit des distances aphélie et périhélie de la planète. Mais, sauf quelques cas particuliers, les observations astronomiques ne s'accordent pas avec une telle courbe, et elle n’a pu être admise. On en trouve la déscription dans les Élémens d'astronomie de Cas- sini, page 149. CASSIOPÉE ( Astr.), nom d’une constellation bo- réale, située près du pôle nord, l’une des 48 formées par Ptolémée ; elle renferme 55 étoiles principales dans le catalogue britannique. En 1572, une nouvelle étoile, surpassant en gran- deur et en éclat la planète de Jupiter, apparut tout à coup dans cette constellation; mais elle diminua peu à peu, et finit par disparaitre entièrement au bout de dix- huit mois. Un phénomène si extraordinaire ne pouvait manquer d’appeler l'attention des astronomes de cette époque, et nous lui devons en eftet plusieurs écrits de Tycho-Brahé, de Képler, de Maurolycus, etc. Quel- ques observateurs prétendirent que c'était une comète ; on alla même jusqu’à prétendre que c'était la même qui avait paru à la naissance du Christ; mais Tycho-Brahé ré- futa victorieusement toutes ces assertions dans un grand ouvrage intitulé : De nova stella anni 1552. On sup- pose que cette étoile à un mouvement périodique, et qu’elle était déja apparue en 945 et 1264 : cependant cette conjecture est encore loin d’être appuyée sur des preuves satisfaisantes. Voyez ÉroiLes CHANGEANTES. CASTELLI( Bexoir ), mécanicien célèbre, et regardé comme le créateur d’une nouvelle partie de l'hydrau- lique (la mesure des eaux courantes) , naquit à Brescia -en 1553. Il devint abbé d’un couvent de Bénédictins de la congrégation du Mont-Cassin. Les hautes fonctious religieuses dont il était revêtu n’empêchèreut pas le père Castelli de se livrer avec ardeur à l'étude des ma- thématiques, qu'il professa avec distinction à l’univer- CA sité de Pise, et ensuite au collége de la Saprenza de Rome. Ce savant prit chaleureusement la défense de lillustre Galilée, dont il fut un des plus célébres dis- ciples, à l’occasion des découvertes hydrostatiques , qu’on osa disputer à ce grand maître, en 1615. Le pape Urbain VIT, qui l'avait appelé à Rome pour y profes- ser les mathématiques, le chargea d'indiquer les moyens de perfectionner les travaux destinés à contenir les eaux des fleuves, dont les crues extraordinaires et fréquentes occasionnent en Italie de graves dommages, et donnent lieu à de nombreuses contestations. C’est le fruit de ses recherches et de ses réflexions sur cet objet, qu'il donna dans son traité intitulé : Della misura dell acque cor- renti; ouvrage peu considérable par le volume, dit un historien, mais précieux par la solide et judicieuse doc- trine qu'il contient. Ce livre, qui parut en 1638, fut tra- duit en français en 1664. Castelli est avec Torricelli, dont il fut le professeur de mathématiques, un des dis- ciples de Galilée auxquels les théories de ce grand homme doivent leurs premiers accroissemess. 11 mourut à Rome en 1664. Les autres opuscules publiés par Castelli n’inté- ressent point spécialement les mathématiques, et sont d’ailleurs fort au-dessous del’ouvrage que nous avonscité. CASTOR ( Astr.). Nom de l’une des deux belles étoiles de la constellation des Gémeaux. Elle estmarquée « dans les cartes célestes. CASTRAMETATION (Art de la guerre ). ( De castrum , camp, ) Art de camper les armées, CATABIBAZON (Astr.), nœud descendant de la lune, nommé aussi Queue du Dragon. Voyez Luxe. CATACAUSTIQUE ( Opt.). Courbes catacaustiques (de *4ræ, contre, et de xaiw, je brüle). Ce sont de espèces de courbes caustiques formées L de la manière sui- vante par la réfle- xion des rayons lu- mineux : soit un point lumineux A, duquel une infinité de rayons AB, AC, AD, vont frapper une courbe donnée BCDH, et sont réfléchis en fai- etc:,, sant chacun un angle de réflexion égal à celui de leur incidence. (Voyez Carorrrique. ) La courbe GEI, à la- quelle les rayons réfléchis, ou les droites BI, CE, DF, etc., sont toutes tangentes, est la catacaustique, ou la caustique par réflexion ; c’est-à-dire qu’en supposant une iufinité de rayons réfléchis infiniment proches les uns des autres, la courbe se trouve formée par les points de rencontre de ces rayons. CA On donne ie nom de catacaustique à celte courbe, pour la distinguer de la diacaustique où caustique par réfraction. F’oyez CAUSTIQUE et DrAcAUSTIQUE. Si l'on prolonge le rayon réfléchi IB en K, en faisant BK — AB, et que la courbe KMNL commençant au point K, soit la développet (voyez ce mot) de la cata- caustique, commençant au point Ï, une tangente -quel- conque EM, de cette dernière, sera toujours égale à la partie correspondante EI de la courbe, plus la droite IK. Nous avons donc EI == EM —IK, ou, ce qui revient au même EI = EC + CM—IB—BK;, ce qui peut se mettre sous la forme EI =(EC—IB) +(AC—AB), à cause de BK — AB, CM— AC. Ainsi, une partie quel- conque de ia diacaustique est égale à la différence des rayons extrêmes réfléchis ajoutée à la différence des rayons extrêmes incidens. Lorsque la courbe BCDH est une courbe géométrique, la catacaustique l’est également, et se trouve toujours rectifiäblé. La catacaustique du cercle est une cycloïde ou épicycloïde formée par la révolution d’un cercle sur un cercle. La catacaustique d’une cycloïde commune, quand les rayons luruineux sont parallèles à l’axe, est elle-même une cycloïde commune. Celle de la spirale logarithmique ‘est aussi une spirale de même nature. Voyez Causrique. CATADIOPTRIQUE ( Op&). On se sert de ce mot pour désigner ce qui appartient à la fois à la catoptrique et à la dioptrique, ou les appareils d'optique daus les- quels on fuit usage en même temps de la réfraction et de la réflexion de la lumière. Foyez Técescore DE n£- FLEXION. | CATALOGUE pxs Éroires ( Astr. ), table des posi- tions des étoiles fixes à une époque donnée. Pour déterminer la situation d’un point sur le globe terrestre, on mène de ce point deux cercles imaginaires dont l’un est supposé passer par les pôles de la terre, et dont l’autre est parallèle à l'équateur. Le premier se nomme #néridien, et le second cercle parallèle. Ya po- sition du méridien est déterminée lorsque sa distance, mesurée sur l'équateur, à un autre méridien fixe nommé premier méridien et pris pour point de départ, est con- nue; de même la position du cercle parallèle est déter- minée lorsque sa distance à l’équateur mesurée sur le méridien est aussi connue, La distance du méridien d’un CA 285 lieu au premier méridien est la longitude du lieu, et celle du cercle de latitude à l'équateur, ou, ce qui est la même chose, la distance du lieu à l'équateur, mesurée sur le méridien, est la latitude. On emploie le même moyen pour déterminer la situation d’un astre sur la voute cé- leste ; toutefois on nomme ascension droite ce que nous nommons longitude sur la terre, et décéinaison ce que nous nommons latitude. L’ascension droite d’un astre est donc la distance du méridien de cet asire au premier méridien céleste ; ce premier méridien, dont le choix est arbitraire, est ordinairement celui qui passe par le nœud équinoxial du printemps, ou par l'un des points de con- cours de l'équateur et de l’écliptique. La déclinaison est Parc du méridien compris entre l'astre et l'équateur. Voyez AScENSION DROITE et DÉCLINAISON. On rapporte encore la position des astres à d’autres cercles qui sont par rapport à l’écliptique, ce que sont les méridiens par rapport à l'équateur. Alors la distance de l’astre à l’écliptique, mesurée sur l'arc d’un grand cercle qui passe par les pôles de l'écliptique, est la lat. tude de V'astre , tandis que la distance de ce grand cercle au point équinoxial, mesurée sur l’écliptique, en est la longitude. X ne faut donc pas confondre les latitudes et longitudes célestes, avec les latitudes et longitudes ter- restres. Si les étoiles que l'on nomme fixes n’avaient aucune espèce de mouvement réel ou apparent, lorsqu'une fois on serait parvenu à déterminer leurs ascensions droites et déclinaisons , ou leurs latitudes et longitudes, on pour- rait dresser des catalogues invariablés comme ceux que nous possédons pour la position géographique des villes et autres lieux terrestres; il n’en est point ainsi, les étoiles fixes ont un mouvement apparent sur la sphère céleste, très-lent à la vérité, et qui ne devient sensible qu'à de longs intervalles, mais dont linfluence cepen- dant fait assez variér leurs positions pour qu'il soit essen- tiel de corriger chaque année les ascensious droites et déclinaisons données dans les catalogues. f’oyez Pré- cession et NUTATION. Le plus ancien catalogue d’étoiles est celui que Prolé- mée nous a conservé dans son A/mageste ; il renferme les latitudes et longitudes de 1022 étoiles pour l’année 137 de notre ère, exprimées non en degrés et minutes, mais en degrés et fractions de degré. En admettant que les observations aient été bien faites, l'imperfection des moyens alors employés ne permet de compter sur ces longitudes qu’à 8 où 10 minutes près. C'est en comparant ces longitudes avec celles qu'Hip- parque avait observées 267 ans avant lui, que Ptolémée vérifia la précession des équimoxes déjà découverte et annoncée par son illastre prédécesseur, 286 CATALOGUE DE 100 ÉTOILES POUR 1830, D'APRÈS CELUI DE PIAZZI. ; - ASCENSION DROITE MOYENNE ; DÉCLINAISON MOYENNE | NOMS 1°t janvier 1890 1°f janvier 180. À 1 a — ————— et — > ES DE Variation Variation Variation GRANDEURS DES ÉTOILES. | H+ M. S. mtedo De Me: $e ee | More Se he s. te he bte mt À RUE) PR ETIEN PSN TEUTS 31 à Andromède 3 47.53 |'29 55 43,7 Br 19.87 27 7 Cassiopée 3 52.97 | 59 47 45,5 B | + 19,65 45 # Baleine 3 44. 99 9 545,2 AN —"18,97 68 ar 3 45 49.24 Hr1g :58 27,5 B | + 17.96 113 « Poissons 6 53 ° 15,6 56918 18 253,2 46,35 1 1 56 24,5 B| + 17.64 = “| 57 y Andromède 2 53 29.4 3,63, 28 22 21,7 54,45 À 41 30 34,0 B | + 17.65 82 à Baleine 3 2 30 4b,7 3,06 | 37 41 3598 £. 45.93 ) 24 55,2: À |j— 15 85 85 Bileine 3 31 20,6 2,89 | 37 50 9.6 45,27 12 55 51,0 À | — 15.85 86 ; Baleine fs) 54 20.8 S'HLNIS 58 37 26,5 46,58 2, 30 52,3 B | + 15,66 3 Eridan 3 48 7,8 2,02, 1242) LA 567 43,76 9 34 40,4 À | — 14,88 235 2 Eridan à A5 GT 2,65 153 46 40,7 435,06 10 20 55:49 Al = Tr,25 25 » Pléiades 3 39:123:3 3,54 | 54 20 47.9 53,13 | 23 34 ne 1 B| + 11,69 34 7 Eridan 5 5o 6,0 2:79 07 31 29.4 41,81 13 59 49. 9 A | —:10. 76 54 y Taureau 3 4 lo 17 3:39 | "62:.381., 54,811 40,85,11.15,-212,, 36,6,B.|, +: 9:94 67 8 Lridan 5 59 29:7 2,99 {174 52 25,2 44,22 5 18 44,4 À | — 5.25 19. igel 1 HA O0 2,88 | 56 35 31.9 45,14 8 24 14,7 À | — 4,65 114 Lièvre 3 25 13.9 2,64 | 8r 18 28,9 39,60 À 17. 57:02 À 3,03 129 5 Taureau 3 27. - 28,7 5,58 | 81 52 9.9 55.65 | 21 To 52 DUB UE En SS 53 Orion 2.5 59 415 2,84 | 84 55 22,8 À 42,60 |. 9 44 7,8 AT 1,7 z Colombe 3: 44 58,t 2,10 | 86.,:14 31,8 31,57 39 50 25,2 A | — 1,91 ARE UE À ; 7 7 . ant // É / p + 34 3 Cocher 2.3 47 3:4 440 | 86 45 51,7 65.97 À 44 55 11,4 B,| +2 1,18 7 à Gémeaux 2.9 6 4 56,6 5,62 | 91. 91185 54,35 À 22 92 52,9 3 | 22 6,40 19 s Gémeaux à) 19 40,2 3,62 | 93,.:10.,,,2:8 54,55. 1 22 95. ,34,7B| — 1,11 15 Gr.-Chien 2,3 13: 4733 2,30 | 95 26 5o,2 34,47 | 29 59 41,8 A+ 1,01 2 2 Gr.-Chien 2.3 25,.12:7 2.64 | 95 48 9,9 39,57 | 17 52 45,7 A | + 1,33 74 1 Gémeaux 20 27 53,0 3,46 | 96 58 15,1 51,93 16 32 15.5 B| — ,243 or: Gr-Chien 5 51 56,6 2,35 [102 59 8,7 35,31 | 28 44 42,8 A | + 4.50 43 >; Gémeaux 3 A ND 3,56 [103 30 18,1 53,43 | 20 48 40,8 B | 4 4.68 à 7 Gr.-Chien 2 56 3,8 2,70 [104 0 56,8 À 40.67 | 15 25 14,1 AT — 4,55 5 d Gr.-Clhien 2 7 ÉLS 9877 2,44 |105 922 ‘9,7 36,54 | 26 7 42,0 A | + 5,31 55 à Gémeaux 3 9 57.6 3,59 [107 29 24.6 53,85 À.22,: 17: 15,7 B | -— 6,02 Fr DR Hs 11 7,6 2,12 |1c7 46 55,7 31,74 50 47 49,0 A | + 6,12 1% Gr.-Chien 2 1929196 2,37 [109 20 24,4 35,55 À 28 58 35,6 A | 4 6,635 5 £ Petit-Chien 5 17 55,2 5,26 liog 28 48,1 À 48,80 | 8 57 55,5 B | — 6,68 5 Navire 2 271230: 2,11 [119 24 7,8 31,62 | 59 51 40,8 A | + 9.84 el 24» Lion 04 lion 53 À Gr.-Ourse 6 5 Lion &iy Lion O1 C1 O1 OI O1 co En Er © 2 mn RI me Es OIL, mn O1 Ur O1 CI & OO © © Le; = CESSNATS =] œ HR CES Die = Qt UT > © a œ SE & & © O1 DIE O1 O1 eu © & © [Sa © 24 p Gr.-Ourse 68 Ÿ Lion ro ? Lion 1 « Corbeau 2 Croix + © © oi Le . ŒI ON [er] O1 © — O0 © 1 © > O- NN © © DS [ep © me O1 TC ur œ © En Q1 O1 Ga ET GA NEO à 20 HDI ou O1 OI O1 EN ESENS ro Lin tn 1 D ER OI ON 19 09 7 Croix 92 Corbeau 71 Vierge Gr.-Ourse 29 7 45 Vierge OI ©C1Q1 01 © © © D 10 9 19.92 19.99 B — 109,05 D Or bp D L°a] &io00 bo ot © D Cor D © n° < © O1 C1 I DD GO es oz) Lei n cs Qt D [#2] DO mm D OO OO £= C1 OC > +++ O1 © © ee] = © A = [#) O1 or © B lt} 02 287 Suite du Catalogue des Étoiles. ASCENSION DROITE MOYENNE, DÉCLINAISON MOYENNE ; NOMS 1er janvier 1830. 1e" janvier 1830. et Variation anauelle, D. i- Me : Si Variation annuelle, GRANDEURS DES ÉTOILES. | H+ M: S. s. 47 < Vierge 3 | 12 53 42,8 | +3,00 45.05 Tir 52 35,2 B | — 19,49 2 y Cont. Hydre 31309 41,7 3,25 48,48 À 22 16 14,0 A | + 719,12 « Centaure 5h13 14, ,4,9 3,36 50,43 À 35 48 41,3 A ++ 19.09 50 £ Gr .-Ourse 2 17 2,9 2,42 36,29 55 48 56.8 B | — 79 #- Vierge 3 26 9,5 3,07 45,99 o 16 39.3 B 8» Bouvier 3 46 35,2 2,86 42,88 19 15 13,9 B 5 4 Centaure 2.3 56 43,1 5.49 52,36 | 35 51 46.9 À 30% Bouvier Bhi435200% 2,85 42,83 14 97 48,7 B 74 Petite-Ourse 3 51 17,5 | —0,29 — 4:29 À 74 50 55:9 B 27 2 Balance 2.5 | 15 7 52,0 3,22 48,27 8 44 55,7 À y» Loup 3 23 50.8 3,96 1230. 57 41.4 59,55 À 40 355 9,7 À 13 à Serpent 3 26 40,9 2,06 951 40 13,2 42,95 11. 6 5o.9 B 28 8 Serpent 5 38 20,4 2,76..1234 55 5,4 #r,55 À 15 57 421 B 417 Serpent 5 48 56,5 3,74 [237252911446 41,22 16 .:141:%332: B 8£ Scorpion 2 55 54,0 3:47 1238 55 . 29;8 52,04 19: 19. 53,5 À MT 1 Ophiuchus 3, 1 16 ‘5 26,3 3:13 a4i 21 34.9 + 9.6: 27 8 Hercule 3 22 54,3 2:90 245 43 55.9 — 8,24 135 Ophiuchus 2.5 27 48,3 3,29 246 57 4,3 + 7:82 26 © Scorpion 3 39 10,1 3,87 |249 47 51,3 + 6.92 p1 Scorpion 5 4o 22,2 4,04 125025 33,6 Eu: 6:8 ns ee + 35 n Ophiuchus 2.3 17 a 38,1 3,43 255 9 32,2 51,39 15-301 40,0 À L + 5,13 65 à Hercule 3 8... 2,1 2,46 257 O0 32,1 36.90 25 2 48.6 B|— 4,51 35 à Scorpion 3 22 4,6 4,06 |»60 36° 9:7 66,96 |"36 58° 3,5 À | £ ‘3,30 * Scorpion 3 30 44,0 4,14 [962 41 o,6 62,08 | 58 55 533 A! 4. 2,55 : Scorpion 3 35 41,7 418.263 55 25,6 | 62,78 | 4o 2 58.9 AÏ + 2,12 62 y Ophiuchus 3 39 22,0 3,00 45,04 2 46 46,4 B| -- 1,80 32 ? Dragon 3 50 34.8 1,02 15,50 56. 54 5,2 B | — 0,82 20 { Sagittaire 2.3-1.18 -22,-53,5 3,98 59,74 | 34 27 7,4 A | — 1,13 3 à Petite-Ourse 3 27 5,1 19,17 287.50 86 35 5,7 B 2.36 34 < Sagittaire 2.3 44 43,3 3,72 55,83 26 29 54.9 A | — 3,89 58 ; Sagittaire 3 51: 47,4 3:82 |o83 56 50,5 57,55 | 30 6 49.6 A — 4.4 16 Aigle 3 57 13,1 3:18. |. 84 18 16,6 47.76 5 7 4253 A | — 203 ce r Sa: gittaire 3 59 38,9 3,57 [284.54 43.9.| 55.57 21 27 4.3. A | — 5,6 ? Dragon 3 | 19 12 29,1 DIGMERIER 17 16,9 0,34 67 21,.44,6B | + 6,23 UE Aigle 3 16 1:55,5 9:01, 1289 ‘15 49.8 45,10 3 47 29 B|+ 6,60 ner | mener | eng 68 Cygne 3 23 51.6 2,42 90.57 54,6 36,24. 27 36, 31,6 B | +, 9:17 182 Cygne 3 39 394 1,87 194 54 51,7 | 2802 | 44 43 214,1 B| +. 8,44 55% Aigle 3 45 481 3,00 295 57 1.9 | 45,84 | o 34 372 B|+ 8.77 6o 8 Aigle 3 46 57,7 2,94 1296 44 24.0 | 44,14 5 59 21,5 B|+ 8,48 5x Capricorne 3.4 | 20 8 15,0 3,55 |302 , 3 15,3 49.95 13. 1 31,4 A | — 1064 bus, pates nos nee td À 7 Qi à -96 gr Capricorne 3 11. 27,0 3,37 302 51 45,6 50,62 15 18 35,1 À | — 10,88 377 Cygne 3 160 7,9 2,19 {304 sum 495 lnu32,22- 1 395 450 2,n:B |1#9° 11,22 ga Dauphin 3 31 44,5 2,78 |507 56 . 7.3 41.69 À 15 .19. 9,4, B | + 12.32 8 « Pégase 2.3 | 21 35 5o:1 2:94 825 57 31.5 44,13 9 6 2,8 B | + 16,21 49 © Capricorne 3 37 38,8 9,00 1324 24 42,1 49,56 16 53 34,1 À | + 16,30 | ——————— | —————— | ——————_——— | ——————— À ——— | ————— y Grue si 43 35,9 3,66 |325 53 59,1 54,85 | 3 9 30,6 A | — 16.60 8 Poisson A 3 297 91 49.4 5,45 355 27 20,7 51,46 33 12 50,6 A | — 18,23 4235 Pégase 3 32. 58,9 2.98. [338 14 44,1 44,73 a 56 52,9 B | + 18.6r 62 Verseau &) 45 ‘37,1 3,20 |341 24 197,r 47:94 16 43 15,4 A | — 19.00 3 Ë Pégase 2 55 32,4 2,88 1343 53 55 es 27 9 491 B| + 19,25 288 CA Il paraît certain que Ptolémée n’a point observé réel- lement le grand nombre d’étoiles que contient son cata- logue, mais qu'il n’a fait que réduire le catalogue d'Hipparque à l’année 137 en ajoutant 2° 4o' à toutes les longitudes, pour tenir compte de l'effet de la pré- cession. Cette quantité était trop petite; et les longitudes de Ptolémée, quoique appliquées par lui à l'année 137, se rapportent à peu près à l'an 6. 783 ans après Ptolémée, Albaténius vérifia quelques positions et les trouva plus avancées de 11° 50°. Ulugh- Beig, prince Tartare, nous a laissé un catalogue pour l'an 1437, que Flamstead donne dans son Histoire cé- leste, avec ceux plus étendus et plus exacts de Tycho- Brahé et d'Hévélius. L'histoire céleste de Flamstead, publiée en 1725, contient le grand catalogue de ce célèbre astronome. Ce grand ouvrage, célèbre sous le nom de Catalogue britannique, renferme 2884 étoiles. Lemonier, en 1742, donna, en plusieurs parties, un catalogue des étoiles zodiacales; et à peu près à la même époque, La Caille entreprit un grand travail sur ces étoiles, travail pour lequel il ft son voyage au cap de Bonne-Espérance. (Joy. Caire.) Depuis, Mayer, Brad- ley, Maskeline, Cagnoli, le baron de Zach, Delambre et Piazzi se sont livrés à de grands travaux, soit pour perfectionner les catalogues, soit pour les augmenter. Le Français Lalande a déterminé les positions de 50000 étoiles boréales avec un grand quart de cercle de Bird; ouvrage immense qui assure à son auteur la reconnais- sance de la postérité. Piazzi a publié à Palerme un catalogue de 6500 étoiles pour l’époque de 1800, que les astronomes re- gardent comme le plus parfait de tous ceux qui existent. Nous en extrayons la table jointe à cet article et qui renferme 100 étoiles dont les positions ont été ramenées à l’époque de 1830 par le bureau des longitudes. Pour les besoins de l'astronomie et de la ravigation, la Con- naissance des temps contient chaque année un catalogue des positions de 67 étoiles principales, dans lequel les ascensions droites et les déclinaisons sont données de 10 jours en 10 jours. Dans les observations et calculs astro- nomiques il est très-souvent essentiel de réduire les degrés du cercle en temps, c'est-à-dire d’exprimer en heures ascension droite d’un astre. Or, comme la sphère céleste fait sa révolution diurne en 24 heures, 24 heures équivalent à 560°, et conséquemment 1 heure équivaut à 15°, une minute d'heure à 15 miuutes de degré et ainsi de suite. Cette réduction se trouve toute faite dans la Connaissance des temps ainsi que dans la table ci-jointe. Voyez CONSTELLATION, Éroite, Lari- Tune, LoncrrupE et Passace au MÉRIDiEx. CATAPULTE (Aféc.). Nom d’une ancienne ma- chiue de guerre qui servait à lancer des pierres. Voyez ; CA Vitruve; — Ammien Marcellin; — Polybe avec les Commentaires de Folard. CATHÈTE ( Géom.). (Dexabirns, perpendiculaire.) Droite tombant perpendiculairement sur une autre. Ainsi les cathètes d'un triangle rectangle sont les deux côtés qui comprennent l’angle droit. Carnère d'incidence en oPTIiQuE , est une ligne droite menée d'un point éclairé et rayonnant perpendiculai- rement au plan du miroir réfléchissant. Caraire de reflexion, c'est une perpendiculaire me- née de l'œil ou d’un point quelconque d’un rayon réfléchi sur le plan de réflexion. F’oyez Oprique. CATOPTRIQUE (Opr.) L'une des branches de l’op- tique, qui a pour objet les lois de la réflexion de la lu- mière. Nous donnerons au mot OpTique l'histoire de cétte science depuis ses premières traces jusqu'a nos jours. Toutes les surfaces polies réfléchissent Ja lumière; mais comme parmi les corps solides il n’y a que quelques métaux simples et quelques amalgames qui soient sus- ceptibles de prendre un poli parfait, on ne construit les miroirs qu'avec des substances métalliques. Les mi- roirs de verre ne sont eux-mêmes que des miroirs mé- talliques ; car ils ne doivent leurs propriétés réfléchis- santes qu’à l’amalgame de mercure et de zinc dont leur surface postérieure est revêtue. Les miroirs de verre ne peuvent être employés pour les expériences exactes d’optique, parce qu’ils opèrent dans les rayons lumineux une double réflexion, et même une double réfraction aux deux surfaces du verre. Les phénomènes qu’on peut observer par leur moyen ne résultent donc point de la seule réflexion des rayons. Ainsi nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que les miroirs employés sont des surfaces métalliques d’un poli mathématique. De toutes les formes qu’on peut donner aux miroirs, nous distinguerons particulièrement celles des miroirs plans et celles des miroirs sphériques concaves , el con- vexes, mais, quelle que soit la forme du miroir, tous les phénomènes reposent sur la loi générale suivante, qu'on peut considérer comme le fondement de toute la catoptrique : I. Loi roNDamENTALE. Lorsqu'un rayon de lumière mA (Pi. XVI, fig. 1, 2, 3) tombe sur une surface quel- conque, el qu’on élève au point d'incidence À la droûe AI, perpendiculaire au miroir, lorsqu'il est plan (fig. 1), ou perpendiculaire au plan tangent du miroir ax point À, lorsqu'il est sphérique (fig. 2 et 3); si ensuite on imagine un plan passant par celle perpendiculaire et le rayon incident, le rayon réfléchi se trouvera aussi dans ce plan, et fera avec la perpendiculaire AT un angle IAm égal à l'angle IAn, formé par le rayon in- cident avec la perpendiculare. CA L’angle IAm se nomme l'angle d'incidence, et l'angle IAn l'angle de réflexion. La loi précédente peut donc s’énoncer plus simplement en disant que lorsqu’un rayon de lumière est réfléchi par une surface polie quelconque, l'angle d’incidence est toujours égal à l'angle de ré- flexion. Cette loi est donnée par l'expérience. 2. Si un rayon tombe perpendiculairement sur un miroir , l'angle d'incidence ainsi que celui de réflexion sont nuls : alors le rayon est réfléchi sur lui-même. 3. A l’aide de la loi précédente on peut facilement expliquer les phénomènes du miroir plan, connus de tout le monde. Soit AB (PL. XVI, fig. 4) la coupe d’un tel miroir , et soit 22 un point rayonnant placé devant sa surface, si le rayon incident © est réfléchi suivant Cx', un œil situé en x’ recevra la sensation de la lumière dans la direction n'n, et renverra conséquemment dans cette même direction l’image du point 7». Or, si du point m on abaisse la droite mD, perpendiculaire au miroir, et qu'on la prolonge jusqu’à sa rencontre en 7 avec le rayon réfléchi, également prolongé, les deux triangles rectangles DC et DCn sont égaux; car les deux angles DC et BCn', complémens des angles d'in- cidence et de réflexion, sont égaux, et par conséquent il en est de même des angles CD et DC; donc nD=Dyn. Or, cette construction sera la même pour tous jes rayons venant de 72, et réfléchis par le miroir ; c’est-à- dire que les directions de ces rayons passeront toutes par le point ». Donc un œil placé dans une de ces direc- tions, tel que n', doit voir er x une image du point mr. Mais comme ce que nous venons de dire du point 72 s'applique nécessairement à tous les autres points d’un objet, on peut concevoir comment l'image de l’objet doit se montrer dans le miroir, et en apparence der- rière sa surface, à une distance égale à sa distance réelle. Nous allons retrouver plus loin cette propriété comme cas particulier d’une formule générale pour tous les mi- roirs. 4. Des miroirs sphériques. Soit G (PL. XVI, fig. 5) le centre de la sphère dont le miroir AB est un segment, Le point D, milieu du segment, se nomme le centre op- tique, le point C est le centre géométrique ; et la droite menée par D et C représente l'axe. CD est le rayon du miroir, et DA ou DB sont les ouvertures. Lorsque la surface intérieure est polie, le miroir est concave ou convergent; lorsqu'au contraire c’est la surface exté- rieure qui sert à réfléchir la lumière, alors le miroir est convexe ou divergent. 5. Lorsqu'on dirige l'axe d’un miroir concave vers le soleil, tous les rayons solaires qui viennent le frapper sont réunis par la réflexion dans un petit espace situé justement en F au milieu des deux centres. Il se produit non seulement à ce point une lumière éclatante; mais il s’y développe de plus une chaleur d’une prodigieuse CA 289 intensité. Ce petit espace se nomme le foyer du miroir, et la distance DF se nomme la distance focale. G Pour se rendre raison des phénomènes que pré- sentent les miroirs sphériques, il faut examiner préala- blement la marche des rayons réfléchis dans ces sortes de miroirs. C’est l’objet des deux théorèmes suiyans: I. Un rayon lumineux qui tombe parallèlement à l'axe, sur un miroir concave, est réfléchi entre les deux centres, et d'autant plus près du foyer qu'il passe plus près de l'axe. Soit EA ce rayon, et C le centre géométrique (PL. XVI, Jig. 11), si l’on mène AC, cette droite sera un rayon de la sphère, et sera par conséquent perpendiculaire en A à Ja surface du miroir. Si l’on fait l’angle CAF égal à l'angle CAE, AF sera le rayon réfléchi (1). Mais dans le triangle AFC les angles FAC et FCA sont égaux ; car EAC—FCA comme angles alternes internes ( Voyez AnGre, 7) et EAC — FAC; donc les côtés opposés à ces angles sont égaux, et l’on a AF = FC. Por. IsocèLe. Ainsi, si l’on avait AF— DF, on aurait aussi DF— FC, ctie point F scrait le milieu de DC ou de la dis- tance des deux centres; mais cela n’arrive pas exacte- ment pour tous les rayons. Cependant la différence entre AF et DF est d'autant plus petite que l’arc AD est petit par rapport à DF; lors donc que l’angle AFD est très petit, on peut supposer sans erreur sensible DF — AF — FC. IL Un rayon lumineux qui tombe parallèlement à l'axe sur un miroir convexe est réfléchi dans la direc- tion de la droite mence du milieu de l'axe au point de contact. Soit ADB Île profil d’un miroir convexe (PL. XVI, Jig. 8), et soit AË un rayon parallèle à l’axe CD , et qui frappe le miroir en A. Si du centre géométrique C on mène le rayon CA, et qu'on le prolonge en G pour faire l'angle HAG égal à l'angle d'incidence GAE , AH sera le rayon réfléchi, lequel, suffisamment prolongé, passera par le point F, milieu de CD. La démonstra- tion est la même que la précédente, et l'égalité de AF er de FD n’est rigoureuse que pour un arc AD infini- ment petit. ] Dans le miroir convexe, le point 6ù les rayons ré- fléchis coupent l'axe se nomme le foyer négatif, et sa distance derrière le miroir La distance focale negative. 7. Nommons 2a le rayon CD d’un miroir sphérique AB (PL. xvi, fig. 13), a sera la distance focale ; uommons encore d la distance DE du point lumineux E, et a’ la distance DF, à laquelle le rayon réfléchi AE coupe l'axe. GC étant le centre géométrique du miroir, si nous menons CA, nous aurons CA—CD=%2a ; CA sera per- pendiculaire en A à la surface du miroir, et par con- 32 290 CA séquent, d’après la loi (1) CAF=CAE ; mais on à (ANGLE ©) CAF—AFD—ACF et CAE=—ACF—AEC. Donc AFD—ACF—ACF—AEC, ou, ce qui est la même chose, (72) 2 ACF—AFD+AEC. Mais, dans un triangle rectangle (v0y. TRIGONOMÉTRIE), lorsqu'un des angles aigus est très-petit, cet angle est à très-peu près proportionnel au côté opposé divisé par le côté adjacent, et cela d'autant plus exactement que le côté opposé est plus petit. Supposons donc que l'arc ADrest très-petit, nous pourrons le considérer comme une Jigne droite perpendiculaire sur l’axe DC, et alors les triangles ADF, ADC et ADE seront des triangles rec- tangles dontles angles er F, en Cet en E seront très-pe- tits, nous aurons donc , AD Il angle ACF— DC AD l'angle AFD = DF : A NAD 1 angle AEC = DE Substituant ces valeurs dans l'égalité (#) elle de- vient = AD AD DE TDF et, en divisant par AD, 2 DG—DÉTDF” ou, définitivement (x), I I ï a -dta équation qui embrasse toute la théorie des miroirs sphé- riques. 8. Le quotient qu’on obtient en divisant l’unité par une quantité quelconque se nomme ordinairement la valeur réciproque de cette quantité; ainsi 7 St en général la valeur réciproque de ». En appliquant cette dénomi- nation aux quantités de la formule (x), et en nommant de plus d=DE ct a'-=DF, les deux distances de réu- ñion tles rayons, on peut énoncer en ces termes la loi répréentés par la formule (x). i l { CA La valeur réciproque de la distance focale est égale à la somme des valeurs du die des deux distances de réunion des rayons. 9. Dans la construction géométrique qui nous a servi à trouver la formule (2) nous avons considéré les quan- tités a, a’, d comme positives; mais si une de ces lignes se trouvait avoir une situation opposée à celle qu’elle a dans la figure 13, il faudrait lui donner un signe négatif; et avec cette modification la formule s'applique égale- ment aux miroirs convexes. Ainsi, pour un miroir con- cave (fig. 12) vers lequel un rayon lumineux GA ne vient pas d’un des points de l’axe , mais au contraire se dirige vers un de ces points, la distance DE — d se trouve dans un sens opposé, et alors il faut l’exprimer par —d. Si le miroir est convexe, le rayon et la dis- tance focale ont une direction opposée à celles qu’indi- quent les figures 12 et 13; il faut donc représenter la distance focale par —4, et par conséquent la fosmule (n) devient (p) TT ACT Ta-ata pour les miroirs convexes. 10. Il résulte des formules (x) et (p) plusieurs consé- quences importantes que nous alloë exposer. D'abord, puisque tous les rayons qui partent d’un objet éclairé et qui tombent sur le miroir , à peu de distance du centre optique, vont passer par le foyer, ou du moins très- près de ce point, il doit s’y former une image de l’ob- jet qui sera visible pour un œil placé de manière à rece- voir, à quelque distance, les rayons réfléchis.Cette image est devant le miroir lorsque la valeur de a’ est positive, et elle’est derrière lorsque cette valeur est négative. Si l'on fait a— d, c'est-à-dire si l’on suppose le 2 pa rayonnant placé au Pas on a ETUI a ata" D'où I ’ Tes et Aa =D, Ce qui signifie que lorsque les rayons incidens partent du foyer, ils deviennent parallèles à l’axe après la ré- flexion; ou que leur point de réunion est à une distance infinie. On observe ce phénomène en plaçant une bou- gie allumée au foyer d’un miroir concave : l’image de la bougie ne se trouve nulle part; mais la lumière est réfléchie parallèlement à l'axe, et se propagerait à une distance infinie, si elle n’était pas absorbée par le mi- lieu dans lequel elle passe. On se sert de ceite propriété des miroirs concaves pour transmettre une vive clarté à de grandes distances. 11. Jusqu'ici nous avons considéré le point rayonnant CA comme placé sur l'axe, examinons maintenant ce qui doit arriver lorsqu'il est situé hors de cet axe, mais à peu de distance. Soit G (fig. 15) un point rayonnant près de l’axe, et GK le rayon incident; menons la droite GCH par le centre géométrique, cette droite peut être considérée comme uu axe, puisque KDB est sphérique. Si donc le rayon réfléchi coupe GH en L, en faisant GH=d et UL = a', nous aurons comme ci-dessus RAS LR : a ata et tout ce que nous venous de dire par rapport à l’axe doit s'appliquer à la ligne GH ; c’est-à-dire que chaque point rayonnant situé sur la ligne GH produit une image quelque part dans la direction de cette même ligue, image qui peut être tantôt devant, tantôt derrière le miroir, et tantôt à une distance infinie selon les divers cas. 12. Eu faisant différentes suppositions sur la distance à laquelle un objet exposé à la surface réfléchissante d’un miroir sphérique concave peut se trouver, nous déterminerons le lieu de son image par les formules (») et (p). Donnons d’abord à {n) la forme et supposons da ; d—a sera une quantité négative, et par conséquent a’ le sera également. Ainsi, lorsque l’objet est placé entre le foyer et le centre optique, l'i- mage est derrière le miroir. Nous avons examiné ci-dessus le cas de d—a; faisons maintenant da, alors a' est toujours positif, et l’image doit apparaître devant le miroir. Si l’on a d—a, c'est-à-dire si l’objet est placé au centre géométrique, a! devient ; 24? 24—a = 24. Donc lorsque l'objet est au centre l'image y est aussi. n étant un nombre quelconque, supposons généralement d=na, la formule devient $ na n = S ? Ti] 1A4—@ et cette dernière expression explique tous les phéno- mènes du miroir concave. En effet, soit successivement NY ) n—=0 , =}, N=1yn—È, n—=2, n=3,n—=k4, etc., nous aurons 4'—=0, 4 —=—7i4a, d'=—a, a =, ' “ ’ ‘ 2m | LEE | d'—3a,a—1a,@—ÿîa,a—;a, Ctc. D'où il suit que lorsque la distance de l’objet croît depuis o jusqu’à & ou jusqu'a la moitié du rayon, l'i- mage s'éloigne derrière le miroir depuis o jusqu'à l’in- fini; passé « l'image est devant le miroir, et s’en rap- CA soi proche à mesure que l’objet s'éloigne, jusqu’à parvenir au foyer lorsque la distance est infinie. 13. Pour les miroirs convexes, la formule devient ,_ ad nr. Faisons comme ci-dessus, d—na, nous aurons a na? n : D = = ——.4. a+na 1+n Or, quelles que soient les valeurs qu’on donne à », comme a’ reste négatif, nous voyons que dans les m1- roirs convexes l’image est toujours derrière. Faisons successivement 2—0, n—E, =, N=1,N—2, n=3, etc., nous aurons, abstraction faite du signe —, a'=0,a'=ia, a'=ïja, a —1la, a'—3a, a —$a, etc. Il résulte de ces valeurs que lorsque la distance de l’ob- jet au miroir croit depuis o jusqu’à une quantité égale à la moitié du rayon, l’image s'éloigne derrière le mi- roir depuis o jusqu’à a; c’est à-dire depuis o jusqu’au quart du rayon. Passé cette grandeur, l’image s'éloigne toujours derrière le miroir, à mesure que l’objet s'é- loigne; mais sans pouvoir s’écarter plus que de la moitié du rayon; car lorsque » est infini, on a a'=a. 14. Si nous supposons infini le rayon de sphéricité a, nous pourrons considérer les miroirs comme plans, et la formule {#) nous donnera toutes Jes propriétés de ces miroirs. En effet ; elle devient alors D'où l’on tire Cette égalité nous apprend que l’image est toujours, derrière le miroir, à une distance égale à celle de l’ob- jet; c'est ce que nous avions vu précédemment {n° 3). 15. Dans les miroirs sphériques , les images n’ont pas la même grandeur que les objets, et paraissent quel- quefois droites et quelquefois renversées. 7oy. Miroirs aoncaves et Miroirs CONVEXES. CAUDA LUCIDA (4str.). Belle étoile de la pre- mière ou de la seconde grandeur , placée à la queue du Lion , et marquée B dans les catalogues. CAUS, premier inventeur des machines à feu. Foyez SALOMON DE CAUs. CAUSTIQUE (Géom.). Courbe formée par l’inter- section des rayons lumineux partant d’un point rayon- nant, et réfléchis ou réfractés par une autre courbe. Chaque courbe a ses deux caustiques ; l’une produite par la réflexion, se nomme catacaustique (voy. ce mot); l’autre, produite par la réfraction , se nomme diacaus- tique. Foy. ce mot. L'invention de ces courbes est attribuée à Tschirn- hausen, qui les proposa à l'Académie des sciences en 292 CA 1682. Elles ont cette particularité remarquable, que, lorsque les courbes qui les produisent sont géométri- ques, elles sont toujours rectifiables. J. Bernoulli, le marquis de l'Hôpital et Carré se sont occupés des caus- tiques, pour lesquelles on peut consulter leurs ouvra- ges, ainsi que les Mémoires de l'Acad. des sciences de 1705. Nous donnerons autre part les moyens de déduire de l'équation d'une courbe celles de ses causti- ques. Joy, Counnes ENVELOPPANTES. CA VALIERI ou CAVALLERI (Bonavenrure ), l’un de ces grauds géomètres du XVII siècle, dont les dé- couvertes font époque dans l'histoire des mathéma- tiques, naquit à Milan en 1598. Il était entré fort jeune dans l’ordre des Jésuates ou Hyéronimites, et il avait révélé dès lors, et durant ses premières études, une intelligence si remarquable, que les chefs de son ordre crurent devoir l'envoyer à Pise, dont l'Université, cé- lèbre alors, présentait plus de moyens que le cloitre pour initier le brillant novice à tous les degrés de Ja haute instruction. El y avait alors une louable émulation entre les diverses congrégations religieuses, et elles lais- saient rarement échapper l’occasion de développer les intelligences supérieures qui se mauifestaient dans leur sein. L'Église, en ces temps déjà loin de nous, marchait en tête de l'humanité, et gouvernait le monde chrétien autant par la science que par la foi. C’est donc à tort que quelques modernes biographes de Cavalieri ont dit que les moiues cherchèrent à le détourner de son goût pour les études scientifiques, comme d’occupations profanes. Ses supérieurs, au contraire, eurent à lutter contre sa modestie et sa timidité naturelles, pour le dé- cider à aller à Pise; et d’ailleurs le jeune Cavalieri était déjà en proie à la mélancolie qu'une maladie doulou- reuse acheva d'imprimer à son caractère durant la courte durée de sa vie. Tristesse sublime du génie qu’on observe dans tous les hommes supérieurs, dans Des- cartes comme dans Corneille, dans Newton comme dans Mallebranche et Pascal! Cavalieri eut le bonheur d’étu- dier les mathématiques, à Pise, sous le père Benoît Castelli, le disciple et l'ami de Galilée, qui lut dans l'avenir de son jeune élève, et lui procura la conuais- sance de l’illustre philosophe de Florence. La géométrie fut l'objet spécial des travaux de Cavalieri; et, dit un historien, il y fit de tels progrès, et épuisa si prompte- ment dans ses lectures tous les géomètres anciens, que Castelli et Galilée prédirent dès-lors la haute célébrité à laquelle il devait atteindre. On est fondé à croire que, dès 1629, Cavalieri étaiten possession de sa Hethode des indivisibles, qu'il ne publia cependant que quelques années après, car, à cette époque, il fut nominé à la chaire d'astronomie, vacante alors à l'université de Bologuc; et il soumit aux magistrats un mémoire sur cette méthode nouvelle de traiter la géo- CA métrie, et un autre sur les sections coniques, qui le firent admettre imméaiatement. Ce fut en s’élevant à des considérations de l'infini, que Cavalieri résolut divers problèmes posés par Képler, et qu'abrégeant les démonstrations employées par les géomètres anciens dans la nature des figures curvilignes, il envisagea les élémens de ces figures, et remonta jusqu’à ceux qu’il appela indivisibles. Il concevait ainsi les lignes comme formées d’un nombre infini de points, les surfaces d’une infinité de lignes, et les volumes ou solides d’une infinité de surfaces. Nous exposons ailleurs scientifiquement cette méthode ( foyez Innivisisces et [nxrint); mais nous pouvons dire ici qu’elle a ouvert un champ plus vaste et plus fécond aux recherches des géomètres, et que la considération de l'infini, dont elle est le résultat , atteste une haute et saine philosophie, que certains biographes ont néanmoins appelée des idées monacales. C’est à de semblables idées que la science doit cependant tous ses progrès; et si l’on comparait aux merveilleuses décou- vertes qu’elles ont enfantées, le petit nombre de celles qui sont nées dans le domaine restreint de l’empirisme on comprendrait mieux Ja puissance de leur sublime inspiration. Les principes de Cavalieri furent vivement attaqués par quelques géomètres contemporains ; mais ils furent acceptés avec enthousiasme par ceux qui étaient le plus à même d’en juger. L’illustre Pascal se servit de la géo- métrie des indivisibles. Son suffrage dut consoler Cava- lieri des vives attaques de Guldin etdes prétentions de Ro- berval, qui réclama pour lui l'invention d’une méthode, dont la publication était de deux ans antérieure à celle qu'il proposait. Un biographe fait la remarque qu’il y eut entre Pascal et Cavalieri cette singulière conformité , qu'ils cherchèrent dans la culture de la géométrie un adoucissement à de grandes douleurs physiques. Cava- lieri ressentit de bonne heure de fortes atteintes de goutte, et Pascal éprouvait de longues insomnies, occa- sionnées par de cruels maux de dents. Cavalieri parait avoir été le premier géomètre qui aitaccueilli en Italie la mémorable découverte de Néper. Il publia à Bologne , en 1632, une trigonométrie, dans laquelle on trouve les sinus, tangentes, sécantes et sinus verses, avec leurs logarithmes en 8 chiffres, pour tous les degrés et minutes du quart de cercle. Ces tables renferment même une addition importante aux autres tables ; savoir : de seconde en seconde pour les cinq pre- mières et cinq dernières minutes du quart de cercle; de cinq en cinq secondes pour les cinq minutes suivantes; de 20 en 20 jusqu’à 30'; de 30 en 30 jusqu’à 1° 30"; et enfin pour le reste du quart de cercle de minute en mi- pute. Les logarithmes des nombres naturels ÿ sont don- nés seulement jusqu'à 2000. Après avoir mis la dernière main à sa géométrie des CE indivisibles, Cavalieri mourut d’une attaque de goutte le 3 décembre 1647. Voici les titres des ouvrages de ce célèbre géomètre, qui renferment pour la plupart des aperçus neufs, une érudition remarquable, et doivent tenir un rang distingué dans l’histoire scientifique du XVIL' siècle. I. Traité des sections coniques , en italien, sous ce titre : Lo spechio ustorio, overo trattato delle settioni coniche ; Bologne, 1632, in-4°. II. Directorium generale uranometrieum, in quo trigonométriæ loga- ritimiæ fundamento ac regulæ demonstratur ; Bologne, 1632, in-4°. III. Geometria indivisibilibus continuorum nové guédam ratione promota, in häc postremä editione ab erroribus expurgatd ; Bologne, 1635-1653. IV. Tri gonometria plana et spherica, linearis et logarithmica; Bologne, 1605. V. Exercitationes geometricæ sex ; Bo- logne, 1647, iu-4° : ouvrage remarquable, le dernier de Cavalieri, dans lequel il a développé sa méthode des indivisibles, et où il a répondu aux objections des géomètres de son temps contre sa découverte. En 1776, le père Frisi a publié un éloge de Cavalieri, qui ren- ferme une exposition fort détaillée des travaux scienti- fiques de ce célèbre géomètre. = CEGINUS (Astr.), nom d’une étoile de la troisième grandeur, dans l'épaule gauche du Bouvier, et mar- quée y dans les catalogues. CÉLÉRITÉ (Mec.). Vitesse d’un corps en mouve- ment Voyez Vitesse. CÉLESTE. Se dit de tout ce qui a rapport au ciel; comme globe céleste, sphère céleste, etc. Voyez GLoze et SPHÈRE. CENTAURE ( 4st.). Constellation méridionale qui ne renfermait que cinq étoiles dans le catalogue de Flamstead, mais qui en a un grand nombre dans celui de Lacaille, une.entre autres de la première grandeur. Voyez CONSTELLATION. CENTÉSIMALE (Arüh.). Division centésimale du cercle. Le quart de la circonférence étant pris pour unité, on le divise en 100 degrés, le degré en 100 minutes, la minute en 100 secondes, etc. Cette division qui fait partie du système métrique français, quoique employée dans beaucoup d'ouvrages nouveaux, n'a pu faire oublier l’ancienne division sexagésimale, beaucoup moins com- mode sans doute, mais universellement adoptée par toutes les nations. CENTRAL ( Mée.). Ce qui est relatif à un centre. Nous avons ainsi éclipse centrale, force centrale, etc. Écupse cexrraze. Il y a éclipse centrale quand les centres de deux astres coïncideut exactement, et sont en ligue droite avec l'œil de lobservateur. Voyez Écurs. Foncrs CENTRALES, Ce sont ces forces qui proviennent directement d'un certain point où centre, où qui Y terdent; ou bien ce sont ls forces qui déterminent un CE 295 corps en mouvement à tendre vers un centre ou à s'en éloigner : aussi les at-on divisées en deux espèces, selon leurs rapports différens avec le centre, savoir, lors- qu’elles approchent ou qu’elles repoussent du centre. On les appelle forces centripètes &ans le premier cas, et dans le second, forces centrifuges. La doctrine des forces centrales dépend de la pre- mière loi du mouvement, savoir : Tout corps persiste dans son état de repos, ou de mouvement uniforme dans une ligne droite, jusqu’à ce que l’action de quel- que force extérieure opère un changement. De là, quand un corps en repos tend incessamment à se mouvoir, ou quand la vitesse d’un mouvement reculigne est continuellement soit accélérée, soit retar- dée, ou qu'il décrit une ligne courbe; ces change- mens indiquent évidemment l’action ou l'influence de quelque force extérieure qui agit sans cesse sur le corps en repos ou en mouvement. Dans le premier cas, on mesure cette force par la pression du corps en repos coutre l’obstacle qui s’oppose à son mouvement; dans le second, si le corps est mu en ligne droite, on mesure la forcé par la quantité de l’accélération ou du retarde- ment; et si le corps se meut en décrivant une courbe, la courbure de cette ligne sert à évaluer la force, c’est- à dire qu’on l’évalue d’après l'écart constant du corps de sa voie rectiligne, en ayant égard, dans tous ces cas, au temps pendant lequel ces effets sont produits et aux autres circonstances , suivant les principes de la méca- nique. Tout ce qui est soumis à la puissance ou à la force de gravité tombe, selon une constante observation, près de la surface de la terre; car la même puissance qui rend les corps pesans quand ils sont en repos, les accé- lère quand ils tombent, et les retarde quand ils mon- tent ou quand ils sont projetés dans quelque autre direction que celle de la gravité; mais nous ne pouvons juger des forces ou puissances qui agissent sur les corps célestes, que par les phénomènes de cette dernière espèce de mouvement. De là vient que la doctrine des forces centrales est d’un si grand usage dans la théorie des mouvemens planétaires. La doctrine des forces centrales pour les orbites circulaires fut d’abord examinée par Huygens; mais Newton a traité le sujet plus en général, et dans les livres E et IL de ses Principes il a démontré ce théorème fondamental, savoir : Les aires décrites par le rayon mené d'un centre immobile à un corps en révolution, dans un méme plan immobile ,:sont proportionnelles aux temps pendant lequel elles sont parcourues. Cette loi, découverte d’abord par Képler, est la seule loi générale dans la doctrine des forces centrales ; muis püuisqu'elie ne peut (ainsi que Newton l'a prouvé) s'appliquer, quand un corps à une tendance, par sa CE pravité vers un autre que ce seul ét saëme point, il 294 semble nous manquer quelque loi qui serve à expli- quer le mouvement de la lune et des satellites qui ont une gravité vers déux centres différens. Voici célle que ce grantl honane pose pour cet objet, savoir : qu'un corps sollicité par deux Jürces, tendañt constamment vers deux pointé Jtces, décria, par dés lignes tirées de ces deux points fixes, des solides égaux dans des temps égaux, autour de la ligne joignant ces deux points. Des mathématiciéns distingués out traité avéc élé- gance le mème sujet, quand le mouvement est dirigé vers plus de deux centres; et des règles pratiques ont été données pour calculer la marche des planètes et dés satellites, par Lagrange, Laplace, Waring, etc: Voyez Mécanique céleste, Transactions philosophiques, ét les Mémoires des Acädémies de Paris et dé Berlin. Moivre, dans ses Mémoires analytiques, page 331, ainsi que dans les Transactions philosophiques, a écritsur ce sujet, et nous lui devons plusieurs théorèmes élégans, relatifs à la doctrine des forces centrales. Varignon, Maclautin, Simpson, Euler, Emerson et de L’Hôpi- tal, etc., s’en sont également occupés. Nous devons à ce deruier la proposition générale suivante : 1. Sun corps d'un poids déterminé se meut unifor- mément autour d'un centre avec une vilesse donnce, sa force centrifuge Sera déterminée par celte propor- Lion : Le rayon du cercle décrit est au double de là hau- teur due à lu vitesse comme le poids du corps est & la force centrifuge. Ainsi, si P représente le poids du corps ou la force avec laquelle il tend vers le centre, 2g—9",8088 la force de la gravité, V la vitesse et R le rayon du cercle décrit, nous aurons d’abord, par la loi de la chute des corps; 2 V ; —— = là hauteur due à la vitesse, 48 et énsuité en vertu de la proportion énoncée , : Us : D: me — la force centrifuge. 2g 2gR Il suit de cette expression que si la force centrifuge était égale à la force centripèté, ce qui a toujours lieu dans les mouvemens circulaires des corps libres , onau- räit, en désignant là première par f, Ps et par conséquent V2=58R ; on V—oV/giR ette dernière égalité nous apprend qu'alors la vitesse CE est la même que celle que le corps acquerrait en tom- bant librement d’une hauteur égale à la moitié du rayon. 3. La forcé centrale d’un corps quise meut sur la cir- conférence d’un cercle est proportionnelle au sinus verse AM de Parc infiniment petit AE; ou bien elle est pro- portiontfiellé aü carré de cet arc divisé par le diamètré. Ex-effet, péndanit le temps que le corps décrit l'arc AE, ee > A » 7 MN il | it B il descend de la tangénte AD, de la quantité AM. AM est düne la véritable mesure de la force centrale, puis- que l'intensité d’une force accélératrice s'évalue par le doublé de l’espace qu’elle fait parcourir dans la pre- mièré unité dé temps; mais AË étant supposé uès-pe- tit, et par cette raison égal à sa corde, nous avons par la nature du cercle 7 2 AB : AE :: Ft em AB 3. Si deux corps roulent uniformément dans des cer cles différens, leurs forces centrales sont en raisun des carrés de leurs vitesses respectives divisées par les dix mètres ou rayons des cercles; c’est-à-dire qu'on à Fu: sr ë = d RE F,V,D,R étant la force, la vitesse, le diametre et le rayon pour l’un des corps, et f, v, d, r, ces mêmes quan tités pour l’autre ; car la force, suivant le dernier ar- 2 / E2 . AB % D? et la vitesse V est conne l’espace AE uniformément décrit. ticle, est comme 4. H suit de là que si les rayons ou diamètres sont en raison inverse des carrés des vitesses, les forces centrales seront en rapport inverse des carrés des rayons, ou en rapport direct des quatrièmes puissances des vitesses; car ayant V:viareR, on entire, d’après ce qui précède, : Fifi rss: Vésvé 5. Les forces centrales sont entre elles comme les da mètres des cercles divisés par les carrés des temps pé- TA 54 riodiqu: s: car gi € est li crconférence décrite dans le temps T avec la vitesse V, alors l’espace C=TV, ou C ‘ , V— T' De là, emplovaut la valeur de V du numéro 3, on a CHEDNd AR. r Fu re ‘de T'eT'e: puisque le diamètre est comme la circonférence. 6. Si deux corps roulant dans des cercles différens sont poussés par la même force centrale, les temps pé- riodiques sont en raison directe des racines carrées des diamètres ou des rayons des cercles ; car lorsque F=/, d alors ==, et l'on a ue Ta D:di Titi: VTiN4, ou DAV: A/r 7. Si les vitesses sont réciproquement comme les dis- tances à partir des centres, les forces centrales seront réciproquement comme les cubes des mêmes distances, ou directement, comme les cubes des vitesses; car si MéparsR, alors on a HE UP REV Ps 8. Si les vitesses sont en raison inverse des racines carrées des distances centrales, les carrés des temps se- ront comme les cubes des distances. En effet, de VE NTI 7R on tire Wiswtsp:R, et, par ce qui précède, ne Ni: 7 On déduit la même loi en supposant les forces cen- trales dans le rapport inverse des carrés des rayons ou des distances centrales. 9. Des théorèmes précédens nous déduirons la vitesse et le temps périodique d’un corps roulant dans un cercle au moyen desa propre gravité , ou lorsque la force cen- trifuge est égale à la force centripète, à toute distance donnée du centre de la terre. Soit g l’espace parcouru par un corps pesant à la surface de la terre, pendant la première seconde de temps, où 4",9044—AM dans la figure précédente ; 2g mesurera la force de gravité à la surface et r étant pris pour le rayon AC de la terre, la vitesse du corps dans un cercle , à sa surface, sera dans une seconde, AE=V/(AB.AM)=\/2rg— 0903 mètres environ, le rayon moven de la terre étant 63663-8 mètres. CE Mais nous avons de plus, x étant la demi-circonfc- 90Ë rence du cercle dorit le rayon est 1, ar V'org : 2mr :: 1": mV/—. £ Car 27r représente la circonférence d’un ceréle dont le rayon est r, et le rapport de cette circonférence à l'arc AË, ou org, est le même que celui des temps em- ployés pour les parcourir. Le temps périodique est donc or 2.6366778 t= rV/ = 314160 s.\/ 1, Ve 141592 4,9044 Réalisant les calculs, nous aurons t= 1 24! 27" = 5067”. Si R représente maintenant le rayon d’un autre cercle décrit par un corps pesant autour du centre de la terre, comme la force de la gravité varie en raison inverse du carré de la distance, nous aurons VR:Vr:: Vie | . vy K 2 la vitesse daus le cercle dont le rayon est R, et d’après (8) Vr:VRsc:t TE ? 73 sera le temps périodique dans le même cercle. Or, puisque nous avons trouvé ci-dessus » = 7903" et 4 = 5067", ces formules deviennent (1)« CEE _. (2):.:::» 067 dont la première donne la vitesse, et la seconde le temps d’une révolution, r étant le rayon de la terre. 10. Pour appliquer cette théorie à la lune , comme le rayon de son orbite est à peu près égal à 6o rayons de la terre, nous ferons R—Gor, et nous trouverons 7903V/#— 1020 mètres 5067 3V 21600 = = 27> jours à peu près, Ainsi, la vitesse de la lune est à peu près de 1020 mètres par seconde; et le temps de sa révolution périodique ASTON ER d'environ 27 j. +. On peut déterminer de la même manière les vitesses des planètes et leurs divers temps périodiques, leurs distances étant données, et, réciproquement ; le temps CE périodique de la révolution de la terre et sa distance au 296 soleil étant supposés connus. 11. Il est bon d'observer que quoique nos premiers théorèmes se rapportent uniquement au mouvement cir- culaire, ils sont cependant également vrais pour des or- bites elliptiques; les géomètres que nous avons cités ayant démontré d'une manière satisfaisante que la même loi doit s'appliquer dans ce dernier cas, pourvu que la révolution soit faite autour de l’un des foyers de l'el- lipse , ainsi que cela est le cas dans tous les mouvemens planétaires, l'axe semi-transverse étant pris comme dis- tance moyenne. 12. Nous pouvons calculer de la méme manière encore la force centrifuge d’un corps à l'équateur, due à la ro- tation de la terre; car il a été démontré plus haut que Le temps périodique, quand la force centrifuge est égale à la force de gravité, est 5067 secondes ; pour l'équateur, vù le rayon de la terre est 6376406 mètres, on trouve- rait de la même manière ce temps égal à 3078". On sait, de plus,.que 23 heures 56minutes 4 secondes, ou 86164 secondes, est la période de la rotation de la terre sur son axe : c'est pourquoi on a par l'art. 5 86164? : 5078? :: 1 : 559. 34 est donc la force centrifuge demandée; et cette force est par conséquent la 289° partie de la gravité à la sur- face de la terre. 13. Pour un autre exemple, supposons A une boule d’une once ( fig. ci-dessus) tournant autour du centre C, de manière à décrire le cercle ABE ; chaque révolution s’effectuant en une demi-seconde , et la longueur de la corde AC=2 pieds; d'où T=—+, R=—2. Ayant trouvé plus haut que VE test le temps périodique à la circonférence de la terre quand la force centrifuge est égale à la gravité, on a, par l’art. 5, LieourtF, laquelle proportion devient Bet ne 2 = 1677 ff à AE Le — 0,819 Ainsi la force centrifuge , ou celle par laquelle la corde est tendue, est environ 10 onces, c’est-à-dire dix fois le poids de la boule. 14. Enfin, supposons la corde et la boule suspendues d’un point D, et qu’elle décrive dans son mouvement une surface conique ABD ; posant DC—a, AC=R, AD—# ; et faisant f — 1, la force de gravité comme ci-des- sus; le corps A sera affecté par trois forces, savoir CE la gravité, agissant parallèlement à DC, une force cen- wifuge dans la direction CA, et la tension de la corde, ou force par laquelle elle est tendue dans la direction DA. De là, ces trois puis- sancesserontrespectivement comme les trois côtés du triangle ADC, et par consé- quent CD ou a: AD ou hh : his: Dit la tension de la corde comparée avec le poids du corps. De même DCoua:ACouR::1 228 ge , expression générale de Ja force centrifuge trouvée ci- dessus. D'où 24 gl?—2ar? , UT 108V/a. 1,108V/« est donc le temps périodique. Voyez les Hé. de l’Acad, pour 1500, 1701 et 1710; voyez aussi Ae- can. anal. de Lagrange, Mécanique de Poisson, et les mots MouvEMENT et GRAVITÉ. CENTRE, dans un sens général, désigne un point également éloigné des extrémités d’une ligne, d'une surface ou d’un solide. Ce mot vient de xeyrpor, qui ori- ginairement signifie un point. Le CEnrre d'attraction d'un corps est ce point dans lequel, si toute sa matière était réunie, son action sur uue molécule éloignée serait toujours la même, ainsi que cela est tant que le corps conserve sa propre forme. Ou bien c’est le point vers lequel des corps tendent par leur gravité, ou autour duquel une planète tourne comme autour d'un centre, y étant attirée ou poussée par l’action de la gravité. On désigne quelquefois par le centre commun d'at- traction de deux ou de plusieurs corps, le point dans lequel une molécule de matière étant placée, l’action de chaque corps sur cette molécule serait égale, et dans lequel elle resterait par conséquent en équilibre, n'ayant point de tendance à se mouvoir dans uu sens plutôt que dans un autre. Le nom donné à ce point par quelques auteurs, de point d'égale attraction, est plus convenable. La puis- sance d'attraction étant directement comme les masses des corps attirans, et réciproquen:ent comme les carrés de leurs distances, nous avons la méthode suivante pour trouver le centre commun d'attraction de deux corps dont les masses et les distances sont données. Représentons par M et n les massés de ces deux corps PS "2 | : î : | CE et par d la distance qui les sépare. Désignons par zx la distance du point d’égale attraction à M, et par y la distance du même point à m2; nous aurons æ + y = d, et par les lois de l’attraction, Foyez ATTRACTION, m:M:Y:2 ou VA : vM ML) de là on tire Vm+ÆVM:Vmiy+x:x VrÆEVM:VM:y+zx:7. D'où he dV/m = mn + Vi dV/M Se PM Le CEngne d’un cercle est ce point, dans un cercle, qui est également distant de tous les points de la cir- conférence, ou duquel le cercle a été décrit. Si plus de deux lignes égales peuvent être tirées d’un point à la circonférence, dans un cercle, ce point sera le centre. Le Cenrre d’une section conique est le point qui di- vise en deux son diamètre, ou le point dans lequel tous les diamètres s’entrecoupent l’un l’autre. Dans une ellipse ce point est dans la figure; il est dehors dans l'hyper- bole ; et dans la parabole il est à une distance infinie du sommet. Cenrre de conversion en mécanique , terme employé par M. Parent. On peut le comprendre ainsi : si on place un bâton sur de l’eau stagnante, et qu’on tire le fil auquel il est attaché, de manière à ce que ce fil fasse tou- jours le même angle avec lui, on trouvera que le bâton tourne autour d’un certain point. C’est ce point qu’on appelle centre de conversion. Voyez l’Abrégé des Mé- moires de À Académie des sciences , vol. T, page 197. Le Cenrre d'une courbe de la plus haute espèce, est le point où concourent deux diamètres, et quand tous les diamètres concourent au même point, on l’ap- pelle le centre général. Voyez, sur ce sujet, l'abbé de Gua, Usages de l'analyse de Descartes, et Cramer, Introduction à l'analyse des lignes courbes. CEnrre d’un cadran est le point où le gnomou ou style, qui est placé parallèlement à l'axe de la terre, coupe le plan du cadran. J’oyez GNomowique. Centre d'équant. C'est, dans l’ancienne astronomie, un point sur la ligne d’aphélie , aussi distant du centre de l’excentrique vers l’aphélie, que le soleil l’est du centre de l’exceutrique vers le périhélie. Le Genre d'équilibre est le même, pour les corps plongés dans un fluide, que le centre de gravité est CE SO pour les corps dans l’espace libre ; ou bien c’est un cer- tain point sur lequel un corps ou un système de corps resteront en équilibre dans toutes positions s'ils v sont [ suspendus. ! Le CENTRE de gravité de tout corps, ou de tout système de corps, est ce point sur lequel tout corps ou système de corps, actionné seulement par la force de gravité, se maintient en équilibre dans toutes les positions; ou bien c’est un point qui étant supporté, le corps ou le système sera supporté, de quelque manière qu'il soit situé sous les autres rapports. Il suit de là que si une ligne où un plan passant par le centre de gravité sont supportés , le corps ou le système sera supporté aussi. Et réciproquement, si un corps ou un système sont en équilibre sur une ligne ou un plan, dans toutes les posi- tions, le centre de gravité est dans cette ligne ou ce plan. Il résultera de la même manière, que si un corps reste en équilibre quand il est suspendu par un point, le centre de gravité de ce corps ou système est dans la perpendiculaire abaissée du centre de suspension. C’est de ces principes que dépend la méthode mécanique de trouver le centre de gravité des corps. Trouver mécaniquement le centre de gravité des corps. Pour cette opération, il suffit de disposer un corps dans deux positions différentes d'équilibre à l’aide de deux forces, dans des directions verticales, appliquées successivement à deux différens points du corps, et le point d'intersection de ces deux directions sera le centre cherché. Nous allons le démontrer par quelques exemples : Si le corps a les côtés plans comme un morceau de planche, suspendez-le par un point, alors le fil d'aplomb suspendu du mème point passera par le centre de gravité; après avoir tracé cette direction sur la planche, suspendez-la par un autre point, et appliquez le fil aplomb pour trouver une autre ligne semblable; leur intersection in- diquera le centre de gravité. Ou bien encore suspendez Îe corps par deux cordes partant du même point, et fixées à différentes parties du corps; le fil d'aplomb suspendu au même point tom- bera sur le centre de gravité. Autre méthode. Placez le corps sur le tranchant d’un prisme triangulaire, ou de quelque autre de ce genre, le changeant de place jusqu'a ce que les parties des deux côtés soient en équilibre, et marquez-y une ligne tout contre le bord du prisme; mettezle en équilibre de nouveau dans une autre position, et marquez une autre ligne au bord du prisme: la ligne verticale passant par l'intersection de ces lignes passera pareillement par le centre de gravité. On obtiendra le même résultat en posant le corps sur le bord d’une table, jusqu'a ce qu’il soit prêt à tomber, et en y marquant une ligne le long de ce bord; ceci répété dans deux positions du corps, 35 298 CE fera connaître de la même manière .:e centre de gra- vité. Trouver le centre de gravité de certains corps géome- triquement. Pror. I. Trouver le centre de gravité de deux corps donncs. Soit A et B les deux corpsdonnés, prenezAG:BG::B:A, le point G sera le centre de gravité de ces deux corps: cela est évident par le principe du levier; car les corps étant suspendus sur le point G, resteront en équilibre. Voyez Levier. Prop». II. Trouver le centre de gravité d’un triangle ABC. Partagez en deux chacun des deux côtés, AC, CB, aux points Det E; joignez AE et BD, le point d'inter- section G sera le centre de gravité du triangle. En effet, le triangle serait en équilibre sur chacune des lignes AE, BD; car ces lignes par- tageant également les lignes BC, AC, partagent toute section paral- lèle, et par conséquent le poids de chaque côté est égal, et également m" distant de ces lignes. Pro». II. Trouver le centre de gravité d'un trapèze. Divisez-le en deux triangles; trouvez le centre de gravité de chaque triangle, puis, par la proposition I, le centre de gravité de ces deux : ce sera le centre de gravité du trapèze. On trouvera de la même manière le centre de gravité de toute figure terminée par des ligne droites. Lois générales et détermination du centre de gravité. Pror. I. Trouver le centre de tout nombre de corps placés dans une ligne droite. 8 A m ce __ La Soit A, B, GC, D, etc., les corps réunis dans leurs centres de gravité respectifs; S, tout point dans la ligne droite SAD; O le centre de gravité de tous ces corps. Alors puisque les corps se font équilibre en O, nous avons, par le principe du levier, E AXAO+BXBO—=CXCO+DYXDO, de là A K (SO —SA)-+B X (SO — SB)— C X(SG—S0) + D X (SD —SO), CE d'où l'en tire A X:SO +HBX SOLCX SO + D X SO — AXSA+BXSB+CXSC-ÆHD XSC, et, conséquemment , RER nr Enre et A EBEG LD Si quelqu'un des corps est placé en sens inverse de la IUT L “ l SÙ direction SD, leur distance doit être considérée comme négative; et si SO est négatif, la distance SO devra être mesurée de S selon cette direction qui a été sup- posée négative dans le calcul. Pop. II. 4S7 d’un nombre quelconque de corps on tire des perpendiculaires sur un plan donne, la somme des produits de chaque corps, par sa distance perpendicu- laire respective du plan, est égale au produit de la somme de tous les corps par la distance perpendicu- laire de leur centre commun de gravité au plan. Soient A,B, C, etc., les corps réunis dans leurs cen- tres respectifs de gravité; PQ le plan donné; tirez Aa, Bb, Ce, à angles droits sur | PQ, et par conséquent pa- rallèles entre eux; joignez > AB et prenez AE : EB::B:A. E est donc le centre de gravité de A et B; tirez Ee per- pendiculaire à PQ, ou parallèle à AQ, et x perpen- diculaire a Aa, ou Bb; donc dans les triangles sem- blables AEr, EBy on aura Azx : AL :: By : BE ° Ax : By :: AE: BE ::B: A, c'est pourquoi A X Az = B X By, ou A(xa—Aa)=B(Bh—7yb), et, puisque Ea et EP sont des parallélogrammes A (Ee— Aa) — B (Bb — Ee) d'où A X Ee+B X Ec= A X Aa +B X Bb, ce qui donne (A+HB)Ee = A X Aa +B X B6, De plus joigrez EC, et prenez | CG:GE::A+B:C, CE donc G est le centre &e gravité des corps À, B, C; tirez Gg perpendiculaire à PQ, et on trouvera de même (À + B)Ee + C X Ce—(A LB +C) Gg, ou (AH BE C)Gg = À X Auf B X BBC X Ce. Il est évident que l’on peut étendre la même démonstra- tion à tout nombre de corps. Par conséquont Ca AXAa+BXBbHCKCCLDKDAHetc. LE “AFB+FC+DHetc. Et si un plan est tiré parallèlement à PQ, à une distance Gg, le centre de gravité sera quelque part dans ce plan. Où trouvera de la même manière deux autres plans, dans chacun desquels se trouve le centre de gravité, ct le point où les trois plans se coupent l’un l’autre est le centre de gravité du systéme. Maintenaut de l’expression précédente , pour le centre de gravité de tout'système de corps, on peut déduire uñe méthode générale pour trouver ce centre. Car A, B, C: etc., étant considérés comime les molécules élé- mentairés d’un corps, dont la somme où masse est M—A+B+C-+D +, etc.; À X Aa; B X Bb; C x Ce, D,x Dd, etc, Sont les divers momens de toutes cés parties. ( foyez Momens.) De là dohc, dans tout corps, trouvez une expression péïérale pour là somme des momens, et divisez-la pär la masse du corps ; le quotient sera la distance du centre de gravité au sümi- met où à tout autre point fixe, à partir duquel les mo- mens sont évalués. Mais maintenañt pour trouver l’ex- pression générale de la somme des momens , 2e problème se divise en différens cas, suivant qu’on demande de trouvér le centre dE fravité d’un solde, où d'une sur- face plane où courbe, où d’une ligne courbe de toute description. Nous examinerons chaque cas séparément. Prop. I. Trouver le centre de gravité d'un corps ‘considéré comme aire , solide, surface d’un solide, ou ligne courbe: Soit ALV une liÿne courbe quelconque, RL l'axe dans léquel devra se trouver le centre de gravité, car, comme il partage toute , ordonnée IF en deux PS parties égales en N, les parties de chaque côté dekKLseferontéquilibre | les unes aux autres; le Rss | corps sera donc en équi- A libre sur RL, et par con- | séquent le centre de gravité doit être quelque part dans cette ligne. Faisons LN = x,IN = y,1L = 2, et tirons PQ pa- CE po railèle à IF : si nous considérons donc ce corps comme étant composé d’un nombre iufini de corpuscules, et si nous multiplions chacun d’eux par sa distance à PQ, la sonne de tous les produits divisée par la somme de tous les corpuscules, où par la masse du corps, nous donnera la distance du centre de gravité à L, ainsi que celà a été démontré plus haut dans la proposition précédente. Maintenant pour obtenir la somme de tousles produits, nous devrons trouver d’abord la différentielle de la somme , et son intégrale sera la somme elle-méme. Soit ds la différentielle ou l'élément du corps, ou en- core la différentielle de la somme des molécules, à la distance LN=zx;, alors xs sera la différentielle de la somme de tous les produits, et respectivement les in- tégrales ds: et: frds seront la première, la somme des molécules, et 1x 8e- conde, li somme des produits. Désignons par D la distance du point L au centre de gravité, et nous aurons, d’après ce qui vient d’être dit (a), D fé, J'ds Nous allons appliquer cette formule à plusieurs cas particuliers. | Soit la courbe ALV la parabole vulgaire dont l’équa- tion est y?—ax, a étant le paramètre. 1. Trouver le centre de gravité de l’aire parabolique ALV. Nous avons L 4 Y=V ax = ax", De plus, l'élément ds, puisqu'il s’agit d’une surface , est 2ydx ; nous aurons donc 1 5 & 5 > Jade is S'x dæ. z'dx 2x = ÿx—5LR quand x = LR. D 2. Trouver le centre de gravité de la courbe para- bolique ALV. Ici, puisqu'il s’agit d’une simple ligne, l'élément ds devient ds =V/dx+dÿ; mais l'équation y?—ax nous donne en différentiant dy—ïai.x-idx ou dÿ=}ax-dæ. Nous avons donc : Var = dev [14%] et par conséquent L 3 a fEv Le + Fe Jéz U _L &x. p= RL + a if av [r + Je CE __J'x V(4x+a)dzæ JS VUz+adr Les intégrales étant trouvées, leur quotient donnera la distance demandée. 3. Trouver le centre de gravité du paraboloïde formé par la révolution de la parabole ALV autour de son axe LR. L'élément ds étant pour un solide ry°dx , dans lequel r est la demi-circonférence dont le rayon est 1, nous au- rous, à cause de y°—=ax J'ax*dx x np: axdx Tix = 3x LR quand x= LR. 4. Trouver le centre de gravité de la surface du pa- raboloiïde. L'élément d’une surface courbe étant ds — ryV/Ax® + dy*, nous trouverons , en substituant dans (a) _ Jai (4x +a)dx LE: V(4x+a)dz" dont les intégrales, étant trouvées, feront connaître la distance cherchée. Le centre de gravité pourra se déterminer de la mème manière dans tous les autres cas où l’on pourra exprimer la courbe par une équation algébrique. Ainsi, par exemple, en désignant par a la droite qui joint le sommet et le milieu de la base, nous trouvons pour les centres de gravité des corps suivans, les expressions 5. Dans un triangle plan...... 3a. +lu wire 6. Dans un cône droit...... .. 34. 7. Pour un secteur circulaire nous avons : l’arc est à la corde comme les & du rayon sont à la distance du centre de gravité au Le du cercle. La hauteur du segment d’une sphère, d’un sphéroïde ou d’un conoïde , étant représentée par +, et tout l'axe par & , la distance du centre de gravité au sommet, dans chacun de ces corps, sera comme il suit : pour 8. La sphère ou sphéroïde.......... es Aa— 4x RE TS SR 5 9. Demi-sphère ou demi-sphéroïde.... 2x. 10. Conoïde parabolique....,......., x. 4a+3x 11. Conoïde hyperbolique............ ae La position, la distance , et le mouvement du centre de gravité de tout corps, sont les moyennes des posi- tions ct distances de toutes les molécules de ce corps. Cette propriété de ce centre a déterminé plusieurs au- teurs à le nommer le centre de position, d’autres, le centre de la distance moyenné, etc. Et c'est sur ce principe qu'il est si important, dans toutes les questions CE mécaniques, de déterminer le centre de gravité des corps. Car, ce centre trouvé, on considère tout le corps comme condensé dans ce seul point, au moyen de quoi on obtient la plus grande simplicité possible. Foy. CEn- TRODARIQUE. Centre de mouvement circulaire. Ce centre d’un corps ou d’un système de corps est le point dans lequel, si toute la masse était réunie, une force donnée appli- quée à une distance donnée de l’axe de suspension pro- duirait la même vitesse angulaire dans le même temps, que si tous les corps étaient mis en mouvement à leurs distances respectives. Ce pomt ne diffère du centre d’oscillation qu’en ce que, dans ce dernier cas , le mou- vement est produit par la gravité du corps ou de ses molécules ; tandis que, dans le cas du centre de mouve- ment circulaire, le corps est mis en mouvement par quelque autre force agissant sur un de ses points. Déterminer le centre du mouvernent circulaire. Soient A, B, C, etc. , les molécules d’un corps, ou les corps qui forment ensemble un système; P la force don- née appliquée en D; R le centre du mouvement cir- culaire. Donc la force qui accélère D pendant que ces corps sont à leurs distances respectives est PXSD AXSA+BXSBLCXSCHetc. Soit maintenant toute la masse réunie en R, alors la force d'accélération sur D sera PXSD (A+B+C-+etc.) X SR Mais puisque P, et la vitesse angulaire de D sont, d’a- près la définition, les mêmes dans les deux cas, la vi- tesse absolue de D est aussi la même, et conséquem- ment aussi la force accélératrice. Ainsi, M=N. D'où SR=V ts XSA + BXSE + etc. ] Et, par conséquent , si ds est la différentielle du corps à la distance x de l’axe, on aura (b) SR — =] CE 1. Dans le cas d’une ligne droite, cette formule de- vient | 2. d 2. Pour le plan d’un cercle ou d’un cylindre roulant autour de l'axe, on a SR — rayon X V/+. 3. Pour la périphérie d’un cercle autour du dia- mètre , SR=—rayonX +. 4. Pour une roue avec un bord très-etroit, tournant autour de son essieu , SR = rayon. 5. Pour le plan d’un cercle autour du diamôtre, SR = +rayon. 6. Pour la surface d’une sphère autour du diamètre, SR = rayon X V/3. 7. Pour un globe autour du diamètre, SR = rayon X V/+- 8. Enfin, pour un cône, autour de l'axe, SR = rayon X y À. La distance du centre du mouvement circulaire à l’axe du mouvement est une moyenne proportionnelle entre la distance du centre de gravité et celle du centre d’oscillation au même axe. Ainsi, quand deux de ces distances sont connues, on déterminera facilement la troisième. Cenrre d'inertie. Voy. CENTRE de gravité. Cenrre de grandeur. C'est le point également distant des parties externes d’un corps. Cenrre des distances moyennes. Voy. CENTRE de gra- vilé. Cenrre de mouvement. Point autour duquel tournent plusieurs corps ou un système de corps. CenrRE d'oscillation. C’est le point dans axe de sus- pension d’un corps ou d’un système de corps , sur le- quel toute force appliquée, en supposant la masse du système réunie en ce point, produirait la même vitesse angulaire, dans un temps donné, que si cette même force était appliquée au centre de gravité, les parties du système oscillant à leurs places respectives; ou bien encore, puisque la force de gravité sur tout le corps peut être considérée comme une simple force, équiva- lente au poids du corps, appliquée à son centre de gra- vité, le centre d’oscillation est ce point, dans un CE 301 corps vibrant, qui, si toute la masse était concentrée dans ce point, vibrerait dans le même temps que le fait le corps dans son état naturel. ? Mersenne proposa le premier à Huygens le pro- blème de trouver le centre d’oscillation de plusieurs corps de formes différentes, particulièrement de sec- teurs circulaires à différens points de suspension, et c'est à ce dernier que nous en devons la première solu- tion complète, quoique plusieurs cas particuliers aient. été considérés auparavant par Descartes, Fabry, etc. Depuis la découverte du calcul différentiel, cette ques- tion se trouve résolue dans presque tous les ouvrages élémentaires; mais nous renverrons le lecteur curieux de connaître les premières méthodes employées pour la solution de ce problème, aux Actes de Leipsic, de 1691 à 1714, où le sujet est traité de la manière la plus ingénieuse par Bernoulli. Foyez aussi Herman, De motu corporum solidorum et fluidorum ; et Huygens, Horlo- gium oscillatorium. Déterminer le centre d’oscillation. Faites osciller plusieurs corps autour du point S, comme si la masse de chacun était concentrée dans les point S A,B,C. L'action produite par la gravité de chacun de ces corps peut être décomposée en deux forces, dont l’une est dé- truite par la résistance du cen- tre de suspension, que sa di- rection traverse, et dont l’autre est perpendiculaire dans la di- rection de la première; cette dernière seule est efficace pour mouvoir le corps ou le système. La gravité tendant à imprimer la même vitesse aux points À, B, C, dans la direction verticale, nous dési- gnerons cette vitesse par g, et par m, n,p, les sinus des angles que les barres supposées inflexibles, SA, SB, SC, etc., forment avec la verticale SL. Tirant AM, BN, CP, parallèles à SL, et chacune égale à g, elles représen- teront les forces accélératrices des points À, B,C, ou les espaces qu’ils décriraient dans la première unité de temps, s'ils étaient abandonnés à eux-mêmes. Mais si, à cause.de l’obliquité de ces forces sur SA, SB, SC, on construit les rectangles am, bn, cp, les espaces parcou- rus seront seulement Aa, Bb, Cc; et comme les angles AMa, BNb, CPc, ont pour sinus 72, 7, p, nous aurons Aa=m.g, Bb=n.g, Cc=p.g, etc. D'où il suit que les corps A, B, C, pris séparément, se meuvent avec des vitesses différentes, Mais si nous les 302 CE supposons réunis ensemble d’une manière invariable, de façon à former toutes leurs vibrations dans le même temps, la vitesse des uns $era augmentée ; tandis que celle des autres séra diminuée; et comme la somme des forces qui sollicitent le système est toujours la même, la somme des mouvemens perdus doit nécessairement être égale à celle des mouvemens gagnés, ou la somme de ces mouvemens doit être égale à zéro; considérant les premiers comme positifs et les derniers comme né- gatifs. Représentons par À, B, C les masses des trois corps; par a, b;, c leurs distances du point de suspension, et par z,B, 7 les vitesses initiales qu’ils perdent où qu’ils gagnent, les quantités de mouvement perdues ou ga: gnées seront Az, B8; Cy, qui devront se faire équilibre : ainsi la Sonime des momens pris par rapport au point S est zéro; et comme les distances respectives de ce point sont a, b; ©, nous aurons Aaz + BEBE Ccy — 0. Soit f'la vitesse que recevrait dans la première unité de temps le point À soumis aux lois du système. Comme tous les points décrivent des arcs semblables, leurs vi- tesses initiales sont proportionnelles aux distances du centre de suspension Lf ne? : c'est pourquei celle de B sera C nee 1: et celle de C sera ce Or, l4 vitesse perdue par chaque corps est égale à la vitesse qu'il aurait eue 7noÏns celle qu’il a réellement : donc bf a? \ D < c a=m.g—f, Ê=n.g— v=pe—%. d’où, substituant ces valeurs dans l'équation précédente, nous aurons DIN. 2e ©. x Aaim.8 +8 n8— 7) + (ps Ÿ = 0. Maltipliant pat 4 pour débarrasser cette équation dés fractions , et dégageant f, nous aurons glAa*m+Babn+ Cacp] Aa+Bb+Ce sd — Des points A; B, C; abaissez les perpendictlaires AT; BK, CL, sur SL; et de IH; centre dé gravité du systotié, tirez HG perpendicüläire à la rnême ligne. La soriiié dés momens des points A; B, C, par rapport au püirit S, est égale du moment dé leur résultante qui traverse le point H, dofic A.AI + B.BK + C.CL = (A + B+C).Hg. Les triangles SAI, SBK, SCL, SHG étant donnés, faisons SIL — A, et désignons par r le sinus de l'angle HSG, nous aurons CE AI = AS;sin ASI — an, BK — BS. sin BSK = bn CL = CS. sin CSL = c.p, HG = SG. sin GSH = Air. Substituant donc à ces lignes leurs valeurs, dans l’équa- tiou précédente, nous aurons Aam + Bbn + Cep = (À Æ BÆC) hr; d’où résulte — ag[A+B<+C]Ar 7 Aa + Bh + Ceci Pour constater la position actuelle du point, dont la connexion invariable avec le système ne change pas la vitesse, soit æ la distance au centre de suspension} et s le sinus de l'angle que la barre inflexible qui l’attache à ce point fait avec la verticale; sa force accélératrice, quand il se meut simplement, est gs; au cas contraire, elle est pruportionrielle à sa distance du point S; et par conséquent elle est égale à LS mais ces deux forces, ou les vitesses initiales qu’élles produisént, devrorit être égales : donc 2 =; niettant dans cette égalité la valeur précédente trouvée pour f, il en résulte (A ÆB +C)ghrx e Am +Br+Ce 6” d’où nous trouverons s Aa + Bb: L Ce? F (A+TB+EC)A Pour que le point désigné soit le centre d’oscillation, D a — il n’est pas seulement nécessaire que ces deux vitesses soient égales dans le premier moment, elles doivent l'être encore à chaque instant de la descente : c’est pour- quoi x restant le même, l’équation aura lieu, quelle que soit la position de ce point et celle du centre de gravité, relativement à la Verticale, c'est-à-dire, quêls que soient $ s et r; le rapport - est constant, et nous avons par F conséquent en même temps r—0, $ —0; ce qui prouvé que le cëntre d'ostillation, lé centre de gravité, et le point de suspetision, sütit dans une seule et mêmi ligne droite d'où il résulte s = r; et Âa 4 Bb: + Ce FTUATFBEOR Le même gente de raisonnement s'applique éxactement,; quel que soit le nombre des molécules. Donc; pour trouver le centre d’oscillation d’un système de molécules ou de corps, il faut multiplier le poids de chacune d'elles par le carré de sa distance au point de suspension, et diviser la somme de ces produits par celle des poids mulupliée par la distance du centre de gravité au centre CE de suspension ; le quotient exprime la distance du centre d'oscillation au point de suspension mesurée sur la droite menée par le centre de gravité et ce point. Pour rendre l'expression ci-dessus homogène à celles des articles précédens, nommons $S le point de suspen- sion, O le centre d’oscillation , ou SO Ja distance du centre d’oscillation au point de suspension; soit ds la différentielle du corps à la distance x, la formule ci- dessus devient alors Proposons-nous pour exemple de trouver le centre d’oscillation d’une ligne droite, ou d’un cylindre sus- pendu à à un point. Dans ce cas C'est-à-dire que le centre d’oscillation est aux 4 de toute la longueur, à partir du point de-suspension. Si du centre d’oscillation nous faisons le point de suspension ; le point de suspension deviendra le centre d'oscilla- tion. | | Les centres d'oscillation pour différentes figures yi- brantes sont, comme on le voit ci-dessous, savoir : Nature de la figure. Triangle isocèle. . Suspendue par le sommet. 3 de sa hauteur. Parabole commune. de sa hauteur. ss... 7 _—s X Ja hauteur. Toute parabole. ........... Comme dass les figures mues latéralement ou par côté, le mouvement se fait autour d’un axe perpendiculaire au plan de la figure, il est difficile de trouver le centre d’oscillation, parce que toutes les parties du poids, dans le même plan horizontal, ne se meuvent pas avec la même vitesse en raison de leurs distances inégales du point de suspension, C’est ce qu a démontré Huy gens dans son /Zorol. oscil. nl trouve, dans ce Cas, la distance du centre d’ oscillation au- PS de |’ axe, . say oir : Dans un cercle..... DDR 3 du ddtre. ss. Dans un rectangle suspendu | ] L .. 3 de la diagonale, par un angle. Dans une parabole + tt 5 1 : - axe 3 param, par son sommet 7 F- 3 P: La même perdue par le +. axe ++ param. milieu de la base. 3 arc X rayon Dans un secteur de cercle... LD pe 4 corde (rayon base} baxe Dans DUNCONDe en. ?axe+ CE 303 Dans une sphère... ......,...: +2 où rest le rayon, et g—=a—+r le rayon ajouté à la lon- gueur a du fil par lequel elle est suspendue. Emerson , dans sa Mécanique, place le centre d’oscil- lation d’un cône aux + de son axe, à compter du som- met ; partant de la supposition erronée que chaque mo- lécule, dans Ja base du cône, se meut avec la même yitesse; mais quand la hauteur du cône est égale au demi-diamètre de sa base, le centre de la base est le centre d'oscillation ; et quand le demi-diamètre de la base excède la hauteur, ce centre tombe toujours au- dessous de la base : ce qu'on peut déduire de l'expression donnée ci-dessus pour le centre d'oscillation d’un cône. Le CENTRE de percussion, dans un corps en mouve- ment, est le point où la percussion ou le choc est le plus fort; le point dans lequel toute la force de percussion du corps est supposée réunie, ou autour duquel l'élan des parties est balancé de chaque côté de manière à être arrêté par un obstacle immuable à ce point, et à y res- ter sans agir sur le centre de suspension. 1e Quand] le corps Ten roule autour d’un point fixe, le centre de percussion ne fait qu'un avec le cen- tre es et il est déterminé de la même ma- nière, savoir, en considérant le choc violent des parties comme autant de poids appliqués : à une ligne droite, inflexible, sans gravité; ÿ € ’est-à-dire en divisant ei par leurs distances du point de suspension , par la somme des forces. C’est pourquoi ce qui a été démontré plus baut pour le centre d' oscillation peut s'appliquer aussi au centre de percussion , quand ! le corps tourne au- tour d un point fixe. Par exemple, le centre de percus- sion dans un cylindre est à + de sa longueur, à partir du point de suspension; ainsi un bâton, de figure cylindri- que, en supposant le centre de mouvement à la main ; frappera le coup le plus fort au point qui se trouve en- yiron aux ; de sa longueur, à partir de la main. 2. Mais si le corps se meut avec un mouvement paral- lèle, ou qu'il meuve toutes ses parties avec la même vitesse, alors le centre de percussion est le même que le centre de gravité; car les momens sont les produits des poids et des vitesses ; et multiplier des corps d’un poids égal par la même vitesse est la même chose que de prendre des multiples égaux : mais les multiples égaux de corps de poids égaux pèsent également aussi ; donc des momens équivalens sont disposés autour du centre de gravité, et par conséquent les deux centres coïnci- dent dans ce cas, et ce qui a été montré pour l’un sert pour l'autre. à CENTRE phonique (Acoust.). C'est la place où l’audi- teur entend des échos polysyllabiques et articulés. 504 CE CenrTre phonocamptique. C’est la place où est l’objet qui renvoie le son. Cenrre de position (Méc.), désigne un point d’un corps quelconque, ou d’un système de corps choisi de manière à ce que nous puissions estimer exactement la situation et le mouvement du corps ou du système par le mouvement et la situation de ce point. Cenrre de pression, ou Meta centre d’un fluide contre ‘un plan, est le point que soutient une force égale et op- posée à toute la pression appliquée contre lui, de sorte que le corps sur lequel s'exerce la pression demeure en équilibre ; c’est le même que le centre de percussion, en supposant l'axe de mouvement à l'intersection de ce plan avec la surface du fluide; et le centre de pression sur un plan parallèle à l'horizon ou sur tout plan où la pression est uniforme, est le même que le centre de gra- vité de ce plan. Le cexvre de rotation spontanée est le point qui reste en repos au moment où un corps est frappé, ou autour duquel le corps commence à tourner. Dans un court écrit intitulé Specimen theoriæ turbinium , Segnes a dé- montré que si on abandonne entièrement à lui-même, après des mouvemens de rotation ou circulaires, tout corps de telle forme ou dimension que ce soit, il aura toujours trois axes principaux de rotation; c’est-à-dire, tous les mouvemens de rotation peuvent constamment se réduire à trois, lesquels sont accomplis autour de trois axes perpendiculaires l’un à l’autre, passant par le centre de gravité, et conservant toujours la même po- sition dans un espace absolu , tant que le centre de gra- vité demeure en repos ou avance dans une ligne droite. Ce sujet est plus développé dans un des Mémoires de l'Acad. des sciences, 1761, sur l’Arrimage des vais- seaux , par A. Euler, fils du célèbre Léonard Euler. Ce dernier a écrit aussi sur le méme sujet dans les Mem. d: Berlin, 1759, et encore dans sa Theoria motus cor- porum rigidorum. Foyez aussi les OEuvres de d’Alem- bert, vol. I et IV. Cexrne vélique ou point vélique, est le centre de gravité d’une voile équivalente , ou d’une seule voile, dont la position ct la grandeur seraient telles, qu’elle püt recevoir l'action du vent, de manière que le mou- vement du vaisseau soit le même que celui qui a lieu pendant que les voiles ont leurs positions usuelles. Bouguer, dans son Traité sur les vaisseaux, publié en 1746, examine la meilleure position pour les mäts, l'extension à donner aux voiles, et les différens mouve- mens de tourner par rapport aux changemens du point vélique; et la science pratique qu’il unissait à ses pro- fondes connaissances théoriques, le rendirent capable de jeter une telle lumière sur cette question, que s’il eût continué, il aurait pu être d’une grande utilité aux navi- gateurs pratiques. CE CENTRER ( Opt.). Action de placer ie centre de l'axe d’une lunette , de manière que toutes les parties du champ soient semblables et situées de la même ma- nière par rapport à cet axe. De tous les movens emplovés pour obtenir ce résultat, le plus simple est celui de cou- vrir l’objectif avec un diaphragme que l’on promène sur sa surface, en le présentant au soleil : il faut alors que l’image réfléchie par la partie convexe fasse un cercle concentrique et parallèle à celui de l’image don- née par la surface concave. CENTRIFUGE (Méccan.), force centrifuge (de cen- trum, centre, et de fugare, chasser). C’est celle par laquelle un mobile qui tourne autour d’un centre, fait effort pour s'éloigner de ce centre. Pour avoir une idée précise de cette force , considé- rons un point matériel P attaché à un centre fixe C par un fil CP, et supposons qu’on lui imprime une vitesse quelconque dans une direction PM perpen- diculaire à ce fil. Ce point matériel décrira un cercle dont le cen- M tre sera le point fixe C, etle rayon la lon- gueur du fil CP. Pen- dant le mouvement, le fil éprouvera une tension qui sera précisément la force centrifuge. En faisant abstraction du fil, et appliquant au mobile une force égale à cette tension, et constamment dirigée vers le point fixe C, on pourra considérer le mobile comme entièrement libre, mais obéissant à l’action simultanée de deux forces , dont l’une, la force centrifuge, si elle agissait seule, l’entrainerait dans la direction PM, et dont l’autre, la force centripète, si elle agissait égale- ment seule, lui ferait prendre la direction CP, tandis que le concours de ces deux forces oblige le mobile à décrire le cercle C. Voyez CENTRAL. CENTRIPÈTE (Mécan. ), force centripète (de cen- trum, centre, et de peto, je tends). C’est celle par la- quelle un mobile lancé suivant une droite PM ( fig. ci- dessus), est continuellement détourné de son mouve- ment rectiligne, et se meut dans une courbe. Cette force est ioujours égale à la force centrifuge. Foyez CENTRAL et TRAJECTOIRE. CENTROBARIQUE (Mecan.), (de xirrper, centre, et de Bagos, pesanteur, gravité). Méthode centrobarique, ou procédé pour déterminer le volume des solides de révolution par le mouvement des centres de gravité. Le père Guldin, jésuite, se rendit célèbre dans le XVII siècle par le théorème suivant, dont la décou- CE verte fui fut ensuite contestée par plusieurs savans. Toute figure formée par la rotation d'une ligne ou d'une surface autour d'un axe immobile, est le produit de la grandeur génératrice par le chemin de son centre de gravité. Cette belle proposition se trouve énoncée à peu près de la même manière dans la préface du septième livre des Collections mathématiques de Pappus d'Alexandrie ; et ii paraît difficile de disculper Guldin du plagiat dont ii fut accusé. Quoi qu'il en soit, Guldin ne put parvenir à démontrer son théorème d’une manière satisfaisante ; et ce n’est qu’en l’appliquant à des problèmes déjà ré- solus, qu'il conclut par induction qu'il était rigoureux et général. La première démonstration géométrique qui eu fut donnée est due à Antonio Roccha, disciple de Cavalleri. Depuis la découverte des calculs différentiel et intégral, le théorème de Guldin à été démontré de plusieurs manières. Soient x' et y’ les coordonnées du centre de gravité G d’une surface plane PMM'P' J dont nous représenterons l'aire par =; le moment de l'élément de cette surface, par rapport à l'axe des æ, est +y Xydy; mais la somme des momens des élémens est égale à celle du centre de gravité (voy. CENTRE DE GRAVITÉ ), et nous avons SEvdr= y. à P° P A En multipliant les deux membres de cette égalité par 27, 7 étant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est 1, elle deviendra JSry?dx = ?ry'3. Or, l'expression f'ry’dx cest celle du volume engendré par la révolution de PMM'P' autour de l’axe Ax, et 2ry'E est le produit du chemin décrit par le centre de gravité autour de l’axe Ax par la surface génératrice PMM'P', d'où il suit le théorème énoncé ci-dessus, Pour donner quelques applications de cette méthode, proposons-nous de déterminer les volumes du cône ct du cylindre, c La génératrice du cône est le triangle rectangle CAB, qui fait une révolution autour de l’axe AC; cette génératrice a donc pour aire + AB X AC. (J’oyez Arme.) Menows les droites BE et AF sur les milieux des côtés BC et AC, le centre de gravité du triangle | CAB est au point de concours O 2 de ces droites,etl’onaLO—1BE. ( Voyez Cenrax pe cnayisé. ) L'ordonnée du centre de (> 505 gravité sera donc la perpendiculaire OD, dont la valeur VA s’obtiendra par la proportion EO : EB :: OD : AB, ou 2209.11: OD : AB, d’où l’on tire OD — 5 AB. Mais dans la révolution de CAB autour de AC, le centre de gravité O décrit un cercle dont OD est le rayon, et dont par conséquent la circonférence est égale à 27 X OD, où 57 X AB. En multipliant cette circonférence, ou le chemin du centre de gravité, par l'aire de la génératrice qui est + AB X AC, on aura 37. AC X AB”, pour le volume du cône. Or, r.AB° est la surface du cercle dont AB est le rayon. ( J’oyez Cercre.) Donc le volume du cône est égal au tiers du produit de sa base par sa hauteur. Le cylindre étant produit par la révolution du rec- tangle ABCD autour de l’axe AB, et l’ordonnée GE du centre de gravité G de ce rec- tangle étant égale à + AC, le chemin décrit par le centre de gravitéserar.AC.Multipliant cette expression par l'aire de la génératrice qui est égale à £B K AC, r.AC X AB, pour le volume du cylindre, c’est-à-dire que nous aurons, ae ce volume équivaut au pro- duit de sa base par sa hauteur. Lorsque la génératrice est une ligne, sa révolution autour d’un axe produit une surface à laquelle le théo- rème s'applique également. ( Foyez Poisson, Traité de mécanique statique, 114.) Varignon a fait plusieurs appli- cations curieuses de cette propriété du centre de gravité, dans un mémoire intitulé : Réflexions sur l'usage que la mécanique peut avoir en géométrie, et inséré dans les Mémoires de l'Académie pour 1714. CÉPHÉE ( Astr. ). Nom d’une constellation boréale composée de 35 étoiles, dans le catalogue britannique. Elle est située entre le Dragon et Cassiopée. Voyez Prancne IX. CERBÈRE ( Astr. ). Nom d'une constellation boréale introduite par Hévélius. Flamstead l’a adoptée dans son catalogue, et elle est figurée à côté d'Hercule dans son Atlas céleste. Cette constellation renferme seulement quatre étoiles qui sont aux environs de la main d'Her- cule. CERCLE (Gcom.). Figure plane terminée par une 39 306 CE ligne courbe dont tous les points sont à égale distance d'un point pris dans l’intérieur de la figure, et qu'on nomme le centre. Le cercle est la seule figure plane curviligne dont la géométrie élémentaire s'occupe, et les anciens géomètres ne donnaient le nom de constructions géométriques qu'à celles qui peuvent s'exécuter à l’aide de la ligne droite et du cercle. Plusieurs problèmes fameux dans l'antiquité, tels que la quadrature du cercle, la dupli- cation du cube et la trisection de l'angle n’ont conservé la popularité dont ils jouissent encore aujourd'hui parmi les personnes les plus étrangères aux mathématiques, que par l'aveugle obstination avec laquelle on s'est efforcé de les ramener dans le champ borné des con- structions géométriques élémentaires. Nous devons faire observer à cette occasion qu'il ue faut pas considérer comme une imperfection de la science l'impossibilité où elle se trouve de satisfaire à des exigences qui n’ont rien de rationnel : la véritable imperfection, ou plutôt l'ignorance, réside dans les efforts infructueux qui ont été faits pour résoudre avec. la ligne droite et le cercle des questions qui sont du ressort d’une géométrie plus élevée. Le cercle est donc une des figures les plus impor- tantes de la géométrie élémentaire ; et, sans rappeler i ici les définitions que nous avons données ailleurs, ainsi que les noms que prennent les lignes droites dans leurs rapports avec sa circonférence (voyez Norions PRELI- MINAIRES, n° 42), nous allons exposer les théorèmes principaux qui le concernent. Turoxème. La perpendiculaire abaïssée du centre d'un cercle sur une corde , partage cette corde en deux parues égales. Soit le cercle À, la perpendiculaire AM menée du centre sur la corde BC, partage cette corde en deux parties égales. Car en supposant les rayons AB, AC, le trian- gle BAC est isocèle, et par conséquent la per- pendiculaire AM menée du sommet à la base BC, partage cette base en deux parties égales. ( 7’oyez IsocÈre. ) Tuéonème. Dans un méme cercle ou des cercles égaux, les cordes situces à égale distance du centre sont égales. Boss Soient le cercle O et les deux cordes AB, CD, situées à égale distance du centre de ce cercle, ces cordes sont égales.Carsi on suppose menées les perpendiculairesOM, ON. ces perpendiculaires seront égales, puisqu'elles sont les distances du centre O aux cordes AB, CD , et de plus CE elles partageront ces cordes en parties égales (1); sup- posant de plus les rayons” OA, OC, on pourra con- sidérer ces rayons comme deux obliques égales par ee: A a D «M HAE p< R rapport aux perpendicu- laires égales OM, ON : ces obliques s’écartent donc également de leurs pieds : AM est donc égal à CN; mais AM, CN sont les moi- tiés des cordes AB, CD. Donc ces cordes elles-mêmes sont égales. 3. Tnéorème. De deux cordes inégalement éloignées du centre d'un cercle, La plus proche est la plus grande, et réciproquement. 1. Soit dans le cercle O les deux cordes AB, AC, inégalement éloignées du cen- tre, de manière que AB soit la plus proche; elle sera la plus longue; Car si on mène les deux perpendiculaires OE, OD, on aura AM > AD; car AM est oblique par rapport à la perpendiculaire AD : mais AE est plus grand que AM; donc on aura à fortiort AE >> AD. Or, AE, AD, sont les moitiés des cordes AB, AC (r); donc aussi AB est plus grand que AC. Soient dans le cercle O les cordes AB, AC, de ou e que AB soit plus grande que AC. Elle sera plus près du centre; Car, si cela n’était pas, sa distance au centre ne pour- rait être que plus petite ou égale à celle de l’autre. Mais dans le premier cas, d’après la proposition directe elle serait la plus petite, et dans le second cas elle serait égale à l’autre, ce qui est également contre l'hypo- thèse. Elle ne peut donc être que la plus proche du centre. 4. Corozvarre. On peut conclure de cette proposi- tion la réciproque de la précédente, c’est-à-dire que les cordes égales dans un méme cercle ou dans des cercles égaux sont à Cgale distance du centre; Car il est évident qu'on ne peut le supposer autre- ment. 2e ” 5. Turonèmr. Dans un méme cercle où dans des cercles égaux, les arcs égaux sont soutendus par des cordes égales , el réciproquement. 0 1”. Sotent les deux cercles O , o égaux, et les deux CE arcs égaux ACB, acb : les cordes AB, ab qui soutenden: ces arcs sont égales; car si l’on conçoit le cercle O su” c perposé au cercle o, de manière que les deux points A, a coïncident, ces cercles étant égaux coïncideront dans toutes leurs parties, et par conséquent les circoufé- rences ACB , acb se confoudront; mais puisque le point A coïncide avec le point a, et que les arcs ACB, acb sont égaux, le point B coïncidera avec le point b, et les deux cordes AB, ab, ayant leurs extrémités con- fondues , evincideront parfaitement, et sont donc égales 2°, Soient dans les cercles égaux O, o les cordes égales AB, ab. Les arcs ACB, acb soutendus par ces cordes sont égaux ; Car si l'arc acb w’était point égal à l’arc ACB, on pourrait en concevoir un autre ac, plus grand ou plus petit; qui le serait; et alors menant la corde &m, d’après ce qui précède, on aurait AB = am. Mais am est plus près ou plus éloigné du centre que &b; dans le premier cas on aurait am > ab, et dans le second (2) am < ab. On en conclurait donc dans le premier cas AB < ab, et dans le second AB > ab, ce qui est également contre l'hypothèse. Donc l'arc ACB ne pouvant être ni plus grand ni plus petit que l'arc acb, lui est égal. 6. CorozLaimE. La perpendiculaire menée du centre d'un cercle sur une corde, partage l'arc soutendu en parties égales ( fig. du n° 1). On a démontré, n° 1, que cette perpendiculaire par- tageait la corde BC en deux parties égales. Donc, puis- que BM — MC, en supposant menées les cordes BD, DC, ces cordes seraient égales, et par conséquent les arcs soutendus égaux : le point D est donc le milieu de l’are BDC. 3. Tüéorème. Les cordes parallèles interceptent dans cercle des arcs égaux. CE 207 Soient les cordes parallèles AB, CD, dans le cuicie O, Les arcs AC, AD, qu'elles interceptent; son: égaux ; Car, en supposant menée la droite CB, on aurait les angles BCD, ABC qui au- raient pour mesures les moi- tiés des arcs BD, AC, qu'ils interceptent (voy. ANGLE O). Mais ces angles sont égaux internes. comme alternes Donc les moïitiés des arcs AC, BD, sont égales, et par conséquent ces arcs eux-mêmes sont égaux. S. Taronème: Lorsque deux cercles se coupent, la droite qui joint leurs points d'intersection est partagée en deux parties égales et à angles droits par celle qui joint leurs centres. Soient lés deux cercles A; B; qui se coupent aux points GC, D, la drusite CD qui joint leurs points d’in- tersecton est parti- £ gée en deux parties r égales et à anples  ; droits, par la droite & ABquijointleurscen- "D tres : car ie centre A estégalement éloigné des d ux points C, D, extrémités de Ja Jroite CD, 6es points se trouvant sur la circonférence de son cercle; par la même raison, le centre B est ass! également éloigné de ces deux extrémités. Donc la droite AB ayant deux de ces points également éloignés des extrémités de la droite CD, lui est perpendiculaire, et la partage en deux parties égales. Foy. PERPENDICULARE. 9. Tuéorèue. Par trois points dorines qui ne sont pas en digne droite, on peut toujours faire passer une circonférence de cercle. Soient les trois points À; B;, C qui ne sont pas en ligne droite, on pourra toujours faire passer une cir: conférence de cercle par ces trois points. Pour le prouver, il ne s’agit que de faire voir qu’il existe un point à égale dis- tance des points donnés À, B, C. Or, si l’on eonçoit ces points joints par les droites AB, BC, et que sur les mi- lieux dé ces droites on ait élevé les perpendiculaires EO, DO, cés perpéndicu- laires se rencontréront nécessairement en un point quel- conque O, car elles ne peuvent être parallèles, puis- qu'en menant la droite ED, la somme des angles in- ternes OED , EDO est évidemment plus petite que deux angles droits. Mais le point O, comme appartenant à la perpendiculaire EO, est également éloigné des deux 508 CE points À, B, et, comme appartenant à la perpendiculaire DO, il est également éloigné des deux points B, C : donc il est également éloigné des trois points A, B, C,et par conséquent c’est le centre de la circonférence qui passe- rait par ces points. On se sert de cette construction pour trouver le centre du cercle qui doit passer par trois points donnés. 10. CorozLatrE. La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une corde passe par le centre du cercle ; Car les droites AB, BC, deviendraient des cordes si on faisait passer une circonférence de cercle par les trois points A, B, C. 11. ScoutE. On peut conclure des numéros 1,6 et 10, que le ceutre d’un cercle, le milieu d’un arc et celui de la corde qui le soutend, sont en ligne droite, et que par conséquent , en faisant passer une ligne droite par deux de ces points, elle passera par le troisième. 12. Turorème. Un triangle quelconque peut étre inscrit et circonscrit à un cercle. Soit un triangle quelconque ABC; ce triangle peut être inscrit et circonscrit à un cercle. D'abord il peut être. inscrit, puisqu'on peut toujours faire passer une circonférence de cercle par trois points qui ne sont pas en ligne droite (9). Il peut être aussi drconscrit, car si l’on suppose les angles À, B, divi- sés en deux par- ties égales par les droites AO, BO, le point O, ren- contre de ces deux droites, est à égale distance des trois côtés du triangle. Pour le prouver, supposons menées les droites Oa, Ob, Oc, perpendicu- laires aux côtés AB, BC, AC, et le triangle BO& trans- porté sur le triangle BOb de manière que le côté BO reste commun : alors, comme par construction, l'angle OBa est égal à l'angle OBb, le côté Ba prendra la di- rection du côté Bb; mais ces deux triangles étant rec- tangles, le troisième angle BOa est égal au troisième angle BOP, et par conséquent, à cause de l'égalité de ces angles, le côté Oa prendra la direction du côté Oh. Donc le point «a devant être en même temps sur les directions des droites Ab, Ob, ne peut tomber qu’au point à com- mun à ces deux droites; donc les deux perpendiculaires Oa, OL coincideront parfaitement et sont égales. On démontrerait de même que Oa, Oc, et par consé- quent que les trois perpendiculaires Oa, Ob, Oc, sont égales. On peut donc faire passer une circonférence de cercle par les trois pointsa, b, ce, et alors les trois côtés du CE triangle ABC étant perpendiculaires aux extrémités des rayons Oa, Ob, Oc, seront des tangentes, et ce triangle sera circonscrit. Donc, etc. 13. Tuéorème. Un polygone régulier, d’un nombre quelconque de côtés, peut étre inscrit dans un cercle. Soit le polygone régulier ABCDEF, Il peut être in- scrit dans un cercle; Car si des points M, N, milieu des côtés AB, BC, on suppose élevées les perpendi- culaires Mo, No, à ces côtés, le point d’inter- section O de ces per- pendiculaires est le centre de la circonfé- rence (9) qui passerait par les trois points A,B, C. Il ne s’agit donc que de prouver que les autres som- mets D, E, Fse trouvent sur cette circonférence, ou qu’ils sont également éloignés du point O. Pour cet effet, supposant menées les droites AO, BO, CO, etc., les deux triangles OAB , OBC auront les deux angles AOB, BOC égaux, puisque ces angles ont leurs sommets au centre d’un même cercle, et qu'ils interceptent des arcs égaux AB, BC, sur la circonférence; la somme des deux angles OAB, ABO du triangle OAB, sera donc égale à la somme des deux angles OBC, BCO du triangle OBC (52); mais ces deux triangles sont isocèles par construction, puis- que les trois côtés OA, OB, OC, sont rayons d’un même cercle; on a donc OBC — BCO et OAB — ABO, donc OBC + BCO — OAB + ABO est la même chose que 20BC — 2ABO, d’où l'on conclut OBC — ABO. La droite OB partage donc en deux parties égales l'angle B du polygone; mais l'angle OBC étant égal à l'angle BCO, ce dernier sera aussi la moitié de l’angle B ou de son égal C, et par suite l'angle OCD sera l’autre moitié. Donc si l’on suppose le triangle OBC transporté sur le triangle DOC, de manière que le côté OC reste com- mun, le côté BC prendra la direction du côté CD, à cause de l'égalité des angles OCB , OCD; et comme de plus ces côtés sont égaux, le point B tombera sur le point D, et le côté OB ayant ses extrémités confondues avec celles du côté OD, lui coïncidera parfaitement: ces deux côtés sont donc égaux, CE On démontrerait de même que OD—OE—OF= etc. Donc tous les sommets du polygone sont également distans du point O, et par conséquent la circonférence ABC devra passer par tous ces sommets, et ce polygone peut donc être inscrit. 14. Scoue. Les angles AOB, BOC, COD, etc., se nomment angles au centre du polygone; ils sont tous égaux puisqu'ils interceptent des arcs égaux , et ilssont équivalens au quotient de la division de quatre angles droits par le nombre des côtés du polygone :car la somme de tous ces angles équivaut à quatre angles droits, puisque cette somme a pour mesure la circon- férence entière, et qu’il y en a autant que de côtés de polygone. Par exemple, l'angle au centre de l'hexagone régulie est équivalent à 4 ou 3 d'angle droit. 15. Tuxonème. Un polygone régulier d'un nombre quelconque de côtés peut étre circonscrit à un cercle. Car soit le polygone régulier ABCDEF, nous avons démontré (13) que ce polygone pouvait être inscrit; donc tous les côtés AB, BC, CD, etc., peuvent êtreconsidérés comme des cordes éga- les ; mais alors ces cor- des sontégalementéloi- gnées du centre (4), et par conséquent les per- pendiculaires om, on, op, etc., que l’on peut concevoir menées du centre sur ces côtés sont égales, et les points m, n, 0, p, etc., sont également éloignés du centre 0. On peut donc par tous ces points faire passer une circonfé- rence de cercle : alors tous les côtés du polygone seront des tangentes, puisqu'ils sont perpendiculaires aux extrémités des rayons, et le polygone sera circonscrit. Un polygone régulier peut donc toujours être cir- conscrit à un cercle. 16. ScoLiE. Dans un polygoné régulier les centres des cercles inscrits et circonscrits sont le même point. La perpendiculaire om, qui est le rayon du cercle inscrit, se nomme aussi l’apothéme du polygone. 17. Tuéorème. Dans un demi-cercle, si de l'extré- milé du diamètre on mène des cordes, et que de l’autre extrémité de ces cordes on abaisse des perpendiculaïres sur le diamètre, les carrés de ces cordes seront entre «uæ comme les segmens adjacens. Soit le demi-cercle ABCE ; si de l'extrémité À du dia- mètre, on mène les cordes AB, AC, et que de l’extré- mité de ces cordes on abaisse sur le diamètre les per- pendiculaires BF, CG, on aura AB? : AC” :: AF : AG, 509 car si l’on suppose menéesles cordesBE, CE,lestriangles ABE, ACE étant rectangles (angle n°6), on aura (voyez TRIANGLE) AB'—AE XAF, AC — AE X AG, d’où l’on tire la proportion “AB° : AC° :: AE X AF : AE X AG. Divisant le dernier rapport par le facteur commun AË, on aura Ris AB : AC ::AF : AG, ce qui est la propriété énoncée. 18. Scome. Il résulte encore des propriétés du triangle rectangle que la perpendiculaire abaissée d’un point de la circonférence sur le diamètre est moyenne, proportionnelle entre les deux segmens du diamètre, car le triangle ABE étant rectangle, on a AF : BF :: BF : FE. 19. Taéorime. Dans un cercle, lorsque deux cordes se coupent, le rectangle formé entre les deux parties de l’une, est équivalent au rectangle formé entre les deux parties de l'autre. Soient AB et CD deux cordes qui se coupent au point O , on aura AO X OB — CO X OD car, menant lescor- des AC, DB, les deuxtrianglesACO DBO, ayant les an- gles CAO et ODB égaux, comme ayant chacun pour mesure la moitié de l'arc CB (angle 17), sontentre eux COm- me les produits‘ des côtés qui forment ces angles (voyez Trraxcze), on a donc ACO : DBO :: AC X AO : BD X OD. Mais ces deux triangles ont aussi les angles ACO et OBD égaux, comme ayant chacun pour mesure la moitié de l'arc AD (ANGLE n° 17), on a donc aussi ACO : DBO :: AC X CO : OB X BD; 310 CE mais le rapport ACO : DBO étant commun à cette pro- portion et à la précédente, on en conclura AC X AO : BD x OD :: AC X CO : OB X BD. Divisant les antécédens par AC, et les conséquens par BD, on aura AO : OD :: CO : OB, donc AO X OB = CO X OD, donc, etc. 20. Turorème. 8ÿ d'un point pris hors d'un cercle on lui mène une tangente et une sécante, le carré de la tangente sera équivalent au rectangle construit entre la sécante entière et sa partie extérieure. Soit: Je cercle ABCEA ; si d’un point quelconque D pris au dehors de ce cercle, on mène la tangente BD et la sécante AD, on aura BD° = AD KX CD, car, menant les cordes AB, D BC, les deux triangles ABD, CBD auront les trois angles égaux chacun à chacun, savoir l'angle D commun, les deux angles DBC, BAC comme ayant chacun pour mesure la moitié de l'arc BC, et les deux autres an- gles BCD , ABD à cause de l'égalité des deux premiers (ANGLE 8). Or, à cause de l'égalité des deux angles BAD, CBD, on à "+ ABD : CBD :: AB X AD : BC K BD; et ABD : CBD :: AB X BD : BC X CD, à cause de celle des deux angles ABD, BCD. Mais le rapport ABD : CBD étant commun aux deux proportions, les autres rapports sont égaux, et l’on a AB X AD : BC X BD :: AB X BD : BC x CD, ou AD : BD :: BD : CD, en divisant les antécédens par AB et les conséquens par BC. D'où l’on tire BD° = AD X CD. Donc, etc. CE 21. Tnéorème. SE d’un point quelconque pris hors d'un cercle; on lui mène deux sécantes, le rectangle formé entre l'uhe de ces sécantes et sa partie extérieure sera équivalent au rectangle formé entre l'autre sécante et sa partie extérieure. Soit le cercle ci-dessus; si d’un point D pris au dehors ou mène les sécantes AD, DE; on aura AD *X CD — DE X DF. Car, menant les cordes AF, CE, les déux triangles AFD, CEF; auront leurs trois angles égaux chacun à chacun; savoir : ADE qui est commun, DAF et DEC comme ayant chacun pour mesure la moitié de l’are CF et AFD, DCE à cause de l'égalité des autres. Or, l'égalité des angles DAF, DEC, donne la pro- portion AFD : ECD :: AD X AF:DE KX CE, et l’on a aussi AFD : ECD :: AF X DF : CE X CD, à cause de celle des deux angles AFD , DCE. Mais le rapport AFD : ECD étant commun aux deux proportions , on en tire AD X AF:DE X CE :: AF X DF : CE X CD, d'où; en divisant les antécédens par AF, ét les consé- quèns par CE, AD : DE :: DF : CD, ce qui donne AD X CD — DE X DF. Doc, etc. 22. TuéorÈme. $ÿ dans un demi-cercle on élève une perpendiculaire sur le diamètre , et que de l'extrémité de ce diamètre on mène une droite qui Coupe la perpendiculaire et la circonference, le rectangle formé entre les distances, prises sur cette droite, de l’extrc- mité du diamètre à la perpendiculaire et au cercle, sera équivalent au rectangle formé entre le diamètre et son segment adjacent à cette droite. Soit le demi-cerclé ADC; si on élève la perpen- diculaire BD sur lé diamètre AC, et que de lextré- mité À de ce dia- mètre, on mène la droite AE qui cou- pe la perpendicu- laire en F, et la cir- conférence en E, on aura AE X AF = AC X AB CE car, menant la corde CE, les deux triangles ACE, ABF seront rectangles, le premier en E, le second enB, et douncrort par conséquent ACE : ABF :: AE X EC : AB X BF, mais l'angle À étant commun à ces deux triangles, le troisième angle ACE du premier est égal au troisième augle AFB du second, et on a aussi ACE : ABF :: AC X EC : AF x BF. Le rapport ACE : ABD, étant commun aux deux proportions, on en conclura AE X EC: AB X BF :: AC X EC: AF X BF, d’où l’on tire, en divisant les antécédens par EC, et les conséquens par BF, AE : AB :: AC: AF, ce qui donne AE X AF — AC X AB. Donc, etc. 23. Une ligne courbe pouvant être considérée comme un assemblage de lignes droites infiniment petites, la circonférence du cercle n’est que le périmètre d’un po- lygone régulier d’un nombre infini de côtés, et le cerele lui-même n’est qu'un tel polygone. Envisagé de cette manière, on voit immédiatement que le cercle doit avoir toutes les propriétés des poly- gones réguliers (voyez Porxcone). En conséquence, 24. Tous les cercles quelconques sont semblables entre eux. 25. Les secteurs de différens cercles formant au centre des angles égaux entre eux, sont aussi semblables entre eux. 26. Les circonférences de cercles différens, de même que les arcs qui sous-tendent des secteurs semblables, sont entre eux comme les rayous de ces cercles. 27. Les surfaces des cercles, de même que celles des secteurs circulaires semblables , sont entre elles comme les carrés de leurs rayons ou de leurs diamètres. 28. La surface du cercle est égale au produit de sa circonférence par la moitié du rayon ; ou bien à la moi- tié du produit de la circonférence par le rayon. 29. La surface d’un secteur circulaire est égale à la moitié du produit de son arc par le rayon. 30. Turonèue. Trouver le rapport du diamètre à la circonference ; ou bien, le rayon étant supposé égal à l'unité, trouver la demi-circonférence. Ce rapport étant trauscendant, comme nous le ver- rons plus loin, la géométrie élémentaire ne peut ré- soudre le problème que par approximation. £i l’on con- sidère que la circonférence ‘est plus grande que tout polygone inscrit, quel que soit le nombre de ses côtés, et plus petite que tout polygone cireonscrit, le moven CE 51 le plus simple qui se présente pour arrlver à une éva- luation approchée de la circonférence, consiste à calcu- ler les périmètres de deux polygones, l’un inscrit et l’autre circonscrit, et d’un nombre de côtés assez grand pour que la différence de leurs périmètres soit au-des- sous du degré où lon veut pousser l’approximation : alors la grandeur de la circonférence qui est entre cellesde ces périmètres sera connue d’une manière satisfaisante. C’est ainsi que le rayon du cercle étant 1, on trouve : Polygones inscrits. Nombre de côtés. Demi-périmètres. 3 Se seotcese 30000001 6 sosie DJ: 1000200 12 ss sos ses J1020200 24 ss: 01909002 48 sssse.sse. 31410319 96 soccer 91414020 102 essossoss 3,1415576 384 ssssesces. 3,1415839 768 coossssse 3,1415004 1536 sissscses 31410020 Polygones circonserits. fMombre de côtés, Demi-périmètres. 3 séscsosor 34041016 6 ssl 2 1000 12 Sos ose cs 1021000000 24 ss sos 1914008002 43 sessreoie 3,1427140 96 ss ss see 31410 TOI 192 sieste MO: 1410030 384 sessssses 3,1416102 768 ses... 3314150790 1536 soso. 3,1410987 La demi-circonférence du cercle tient le milieu entre deux demi-polygones inscrit et circonscrit d’un même nombre de côtés; mais elle n’en est pas la moyenne arithmétique. L’algèbre nous apprend qu'il faut ajouter à la première valeur, non la moitié, mais le &ers de Leur différence, pour avoir la valeur très-rapprochée de la demi-circonférence du cercle. En faisant ce ealcul, voici les résultats qu’on obtient : 3 o..s.or.s 3,1423497 6 ........: 3,1416391 13 scies. 31415955 2H Lthareeacee 0;1410029 HO Re eeee. J1410027 96 Ve 3,1415927 192 +. à 3,1415927 Stat EN . 3314159027 RENE ETS 3,14150927 130 see 3,1415927 512 CE Les six derniers nombres de cette table, absolument égaux entre eux, prouvent que le rayon étant supposé égal à l'unité, la demi-circonférence est 3,1415927, sans qu'il y ait l'erreur d’une unité sur la septième décimale. Le rapport 1 : 3,1415927 peut se réduire à des rap- 10000000 ports plus simples, en réduisant 199%%%%% en fraction continue (voyez ce mot). On en retire les quotiens suc- cessifs 3, 7, 15, 1; d'où il résulte les rapports suivans : De tous les nombres, ceux-ci sont les plus petits qui expriment le plus exactement possible le rapport du rayon à la demi-circonférence, ou du diamètre à la cir- conférence. Archimède est le premier qui se soit occupé de cette recherche importante : il yemploya les polygones inscrits et circonscrit de 96 côtés chacun, et trouva que ce rap- port devait étre renfermé entre les limites 9:92 et 71: 223. Le premier revient à 3,1425; l'autre à 3,1408 : ils différent donc du véritable rapport, savoir : l’un de 5 par excès, et l'autre de ès par défaut. Adrien Métius, géomètre de Franeker, se rendit cé- lèbre par la découverte des nombres 113 : 355, dont le plus grand mérite est d'être faciles à retenir , ce rapport étant composé des trois premiers nombres impairs 1, 3, 5, répétés chacun deux fois de suite. Il revient à 3,1415929 : ainsi, il ne diffère du véritable, par excès, que de =. Avant Métius, Ludolph Var Ceulen, avec un tra- vail d'une longueur effrayante , en continuant les cal- culs d’Archimède, par l'inscription et la circonscription des polygones, porta à 34 le nombre des décimales exactes du rapport. Plus récemment, l'infatigable Lagny, à l’aide de nouveaux moyens, poussa l’approximation jusqu'à la cent vingt-huitième décimale. Enfin, on trouve ce calcul porté à 155 décimales dans un manus- crit de la bibliothèque de Ratclif, à Oxford. Ainsi, le rayon du cercle étant 1, la circonférence est égale à 3, 14159 26535 80793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 69384 46095 5o582 37172 53594 08128 4802 + etc... Cette approximation étant de beaucoup au-dessus de ce que peuvent exiger les calculs les plus délicats, nous pouvons mettre le rapport du diamètre à la circonfé- rence au nombre des quantités entièrement connues. CE 31. Eu désignant le nombre 3,141592... etc. par la lettre grecque #, qui lui est généralement consacrée, nous aurons, d’après ce qui précède (24, 26, 27, 28), R, Cet S étant respectivement le rayon, la circonférence et la surfac d’une cercle quelconque, 1:2x::R:C. D'où C—=2r.R S = 2r.R XÈ=r.Re. Ainsi, lorsque le rayon d’un cercle est connu, on trouve sa circonférence en multipliant ce rayOu par 2, et sa surface en multipliant par + le carré de ce même rayon. 32. Exposons maintenant quelques-uns des moyens que possède la science pour déterminer directement la nature et la valeur de ce nombre r. Soit z un arc quelconque de cercle, et x la tangente de cet arc, ou soit (a) T—=tangz, le rayon du cercle étant 1. Il s’agit donc de dégager z de cette équation; car le problème sera résolu quand on connaîtra la valeur d’un arc par celle de sa tangente. En effet, si nous pouvons obtenir une expression générale qui donne z en fonction de æ, comme on sait que la tangente de l'arc égal à la huitième partie de la circonférence est égal au rayon, en faisant dans cette expression æ=— 1 On aura ÿr —2, et x sera déterminé. Pour arriver à ce résultat, prenons la différentielle des deux membres de (a), nous aurons z = dtang z. Mais sin z cos z.dsin.z—sinz.d cosz cos?z d'ange =a[ TE — ! Or, dsinz— coszdz et dcosz — — sin z dz (Voyez DrrréRENTIELLES). Substituant ces valeurs, nous obtien- drons cos?z. dz + sin°z. dz diangs = — cos?z ou dz dtangz — ; cos?z à cause de cos’z+sinz=1. Cette dernière égalité nous donne () dz=cosz.dtangz. Mais, pour faire disparaître la quantité auxiliaire cos’z, rappelons-nous que sinz = cosz.tangz, CE et que, par conséquent, cos:z + cos?z.tang?z = 1. D'où l’on tire CUS?3 — Re 1 +tang?z Substituant daus (b) , nous aurons dtangz 1-+tangz Z = ou (c) dx 1+ 2x2? en remplaçant tangz par x, En prenant l'intégrale des deux membres de cette égalité, nous obtiendrons (d) dz— 3 — -E Us GC; C étant une constante arbitraire que nous déterminerons plus tard. Ainsi pour connaître l’arc z, il faut intégrer l'expres- sion ——— ; cetteintégration se fait par série de la ma- 1+ x nière suivante : On a dx —— = dx (1+2)- I + zx? ( + développant le binome (1 + x°) —1 par la formule de Newton (Woy. Binome), et multipliant ensuite chaque terme par dx, nous obtiendrons JS var tar ads + + xfdx — etc. |. Prenant l'intégrale terme par terme, en observant qu’on a en général, LÉ Me TU si FE ms cette expression devient dx DENT M ET NDS IE FR RP NT TN TS et nous avons définitivement (e) x “x'1 FETE + etc... n 1 x x° _æ1 CC OR US Quant à la constante, elle est nulle; car, si nous ob- servons que lorsque z est o, nous devons avoirxæ = 0, et que dans ce cas, l'égalité (e) devient o = 0 + C, on voit immédiatement que C = o. CE Telle est donc la série qui donne l'arc par la tangente; 513 ainsi, faisant x — 1, cas Où nous avons z — +7, nous obtiendrons l’expression très-remarquable ( f). 1 tre: —,f =4ii--+e—-+-— etc... l 3.2 07,0 qui est due à Leibnitz et à laquelle il est parvenu par des procédés bien différens. Cette série est très-peu convergente, mais on enseigne dans tous les ouvrages de mathématiques les moyens de la transformer en d’autres d’une convergence telle qu’il est plus facile d’obtenir 200 décimales exactes par leur moyen, que d’en calculer 20 par le procédé d’Archi- mède. 33. Les nouvelles fonctions introduites dans la science des nombres par Vandermonde et ensuite par Kramp, sous le nom de factorielles, donnent une expression du nombre, dont nous allons exposer la déduction comme un exemple de leur usage. Le binome des factorielles ( voy. ce mot ) étant ap- pliqué au développement du trinome (a+4+b+4+c)1-—1 donne (a+b+o) Ti (a+) (a)? ali c LE +200 ED toc Multipliant les deux membres de cette égalité par a 011 elle devient (1) (a+b+o) a li Cet) et ot al 1 TC en ps c ne Hb)i-si-iq=bis gai b(b+1)(0- is 2) 1. sg —bt cit HET ab) + etc... Mais; nous avons en général (Voy. FacroneLces) a" — alla — 17) et par conséquent, en faisant m— — m;b—— bet 2—=—1, a"! mie ui — CD) NX Ainsi, en vertu de cette dernière expression, nous avons successivement go 314 CE (a-p3} 1 ri a°=t Ce ai (ab) 1-1 à —bl 1 ali étc. etc. CH TAaTiE La Ari . Substituant dans (1), nous obtiendrons (ab Chr t.a- tt à Æ bia-tit, cils Æ b( G—2 + —— —_'g—2l-A1 ç 2-1 .2 D(b—1)b—2) se 2812 La 1:23 ns Es is + etc. ce qui devient, eu faisant c = — à b bi, —Ù —1 =1#baT lt (a) + b(b— + Le Sen b( (b—1Xb—2) Es 1:29 + etc... Mais on a généralement a) 31—1 —1(— ali TND Donc, l'expression précédente se réduit à (2) ae ni ru Ce Et bfB=r), (=apttet bôl 1,a—û SN tra (a+ bb—1)\b—92) (—aÿt-1 KE 1:270 Mo rt Ceci posé, l'intégrale de la quantité prxPm—t,(1 —xr) est, en développant le binome (1—x?)", PR f 2e ml —ar)"=pnf | amd —naxr rt) dx ME Danmts)s de ALLO À 1.2.3 REINE + ete... En intégrant la série terme par terme , et faisant en- suite = 1, nous trouverons (3) CE pm | xPm-1.(1=xry.dx Res à (æ=1) m1 m n(n—1) MES 12. mn RES) ee PE PTT LAN Maintenant pour comparer les expressions (2) et (3), remarquons qu’en gérérak mp't CE CP Gap m mp à cause de mn (mtpXmt tt met m(m+ x), et de (—1)P.mPt=(—m}rl-s, Ainsi, l'expression (3) peut $e mettre aussi sous la forme (4) pme flam-stixr)" din (—m)l=1 TEEN LE n(n=1) (=m}l=: 1.2 (m+i)alt n(r—3) (n—2) (—m}l-s 1.243 (m+1) Gino ttc is + + faisant donc x — betm—a, les seconds membres de (2) et de (4) deviennent identiques, et l’on à nécessaire- ment (5) pa far dr =bii,a-tit, =) ER SE * a =}, b=—; Pour les valeurs déterminées p=2, LR cette intégrale devient (6) _ A à cause de d’où 1 + (—37* f=o(:) | Or, lorsque x = 1 est le sinus d’un arc, l'intégrale est la valeur de cetarc, alors égal à + #,car en diffé- rentiant l'égalité CE Ainsi dans Je cas de x = 1 , nous avons de ps | Vas. #=[@ LR T 4! et par conséquent d’où enfin TC Cette élégante expression de 7 nous apprend que ce nombre est une quantité irrationnelle d'un ordre su- périeur aux irrationnelles élémentaires. 34. Jean Bernouilli, par la considération des loga- rithmes des quantités dites imaginaires, est arrivé à une expression de 7 également remarquable : c’est la sui- vante : 1, log. Vs ? V3 C'est en faisaut observer qu’il entre dans cette égalité des logarithmes qui sont déjà des fonctions dérivées, et que pour obtenir l'expression théorique d’un nombre (ce qui constitue sa nature), il ne faut employer que des fonctions élémentaires entièrement primitives (l'addi- tion, la multiplication, les puissances et leurs inverses), que M. Wronski parvient à la belle expression Le) ss — Her Vers CV — a) — (iv —:1)° — 1 qui ne contient plus en effet que des fonctions primi- tives et qui dévoile la nature entièrement transcen- dante de ce fameux nombre. (Vov. /ntroduction à la phil. des math. , page 26.) Æn développant les binomes( (HV GevMEsf par la formule de Newton, on retrouve la série de Leibnitz. 35. Pour compléter, autant que la nature de cet ou- vrage nous le permet, ce qui a rapport au cercle, nous ne devons pas passer sous silence les produites continues de Wallis. Ce célèbre géomètre a trouvé 22-44.0-8-8-B-10, 10.12.01... 1:3.325 5871-0401 L4 LI. CIC, QC T'=— fraction qui, lorsqu'on se-borne à un nombre fini de termes, comme on y est obligé lorsqu'on veut réaliser les calculs, donne des valeursalternativement plus petites et plus grandes que la véritable, suivant qu'on prend un nombre des termes pair où impair, C’est ainsi que 2 2.2 : esttrpp grand et que rs est trop petit, De même CE 515 2. A n —. 22-408 = “À £ sera trop grand, ete if ge. ee sera trop petit. On obtient donc par ce moyen des limites de plus en plus rapprochées entre lesquelles se trouve la vraie valeur de x. 36. Brounker s’est rendu célèbre par la fraction con- tinue suivante : Er =— 1H 2+9 2 +25 2 +49 2 + 81 2 + etc. dont les numérateurs sont la suite des carrés des nom- bres impairs 1, 3,5, 7,etc. Cette fraction n’est qu’une transformation de la série de Leiïbnitz, et elle est tout aussi peu convergente que cette dernière ; c'est-à-dire qu’un nombre quelconque de termes de la fraction donne précisément la même valeur qu’un pareil nombre de termes de la série. Euler s’est beaucoup occupé de toutes ces expressions singulières du nombre +; nous ne pouvons que ren- voyer à son Zntroduction à l'analyse des infiniment pe- tits, ceux qui voudraient approfondir cette matière. 37. Nous terminerons cet article en donnant la frac- tion continue suivante, à laquelle nous sommes parve- nus par l’application de nouvelles formules sur ces im- portantes fonctions. Voyez FRACTIONS CONTINUES. La loi en est facile à saisir : les numérateurs des frac- tions particulières sont, comme dans la fraction de Brounker, la suite des carrés des nombres impairs 1, 3, 5, etc.; et les dénominateurs sont les produits deux à deux successifs de ces mêmes nombres. Cette fraction est beaucoup plus convergente que celle de Brounker ; il suffit de 6 termes pour approcher dela valeur de x à moins de == près. Pt 516 CE Cencies des degrés supérieurs. Ce sont des courbes représentées par l'équation générale VTT ES =Xx" (a—xy . dans laquelle a est l'axe, x l’abscisse, et y l’ordonnée. Ces courbes sont des espèces d’ovales lorsque m et n sont des nombres entiers, et se réduisent au cercle or- dinaire lorsque » = 1 et n — 1. On leur a donné le nom de cercles, parce que leur équation embrasse celle de cette figure comme cas particulier. Cencres de la sphère, Voyez SPhÈRE ARMILLAIRE. Cenczes de hauteur, Voyez ALMICANTARATS. Cencces de déclinaison. Ce sont de grands cercles qui passent tous par les deux pôles de la sphère céleste. Cencres diurnes. Ce sont des cercles parallèles à l’é- quateur, et supposés décrits par les étoiles et autres points du ciel dans leur rotation diurne apparente au- tour de la terre. Nous devons faire observer que la plus grande partie des cercles de la sphère sont transportés du ciel à la terre, et servent aussi bien à la géographie qu’à l’as- tronomie. On imagine, pour cet effet, que de chaque point d’un cercle céleste est abaissée une perpendicu- laire à la surface de la terre; toutes ces perpendicu- laires tracent sur cette surface un cercle absolument semblable au cercle céleste. C’est ainsi que l'équateur terrestre correspond directement ayec la ligne équi- noxiale ou l’équateur céleste. Cencces verticaux, Voyez Azimur. Cereces de latitude, de longitude, etc., Voyez La- TITUDE , LONGITUDE. CÉRES (Astr.). Nom donné par l’astronome Piazzi, ‘de Palerme , à la planète qu’il a découverte le 1° jan- vier 1807. M. Piazzi, dans une courte relation qu'il a publiée sur la découverte de cette planète, raconte qu’occupé de la confection du grand catalogue qui porte aujour- d’hui son nom, il cherchait une étoile que Wollaston avait placée danssa collection sous le nom de87° deMaver, quoiqu’elle ne soit réellement pas dans le catalogue de cet astronome. Il paraît que par une faute de copie ou de calcul Wollaston l'avait changée de zone. Piazzi, ne pouvantla reconnaitre à la place indiquée, s’attacha à dé- terminer les petites étoiles qui s’y trouvaient. Le pre- mier janvier 1801, il observa une étoile qui, le lende- demain , lui parut avoir changé de place; 11 réitéra son observation les jours suivans, et il s’assura que cette étoile avaitun mouvement diurne et rétrograde de 4' en ascension droite, et de 3',5 en déclinaison vers le pôle boréal. Après en avoir suivi la marche jusqu’au 23 jan- vier ,il écrivit le 24 à MM. Bode et Oriani, leur don- nant les positions que l’étoile avait le premier et le 23 ; ais la planète était déjà perdue dans les rayons du so- CE leil, lorsque la lettre parvint 4 ces astronomes, et ce ne fut que le 7 décembre suivant que M. de Zach put la retrouver. Dans l'intervalle MM. Olbers, Burckhard et Gauss calculèrent, sur les observations de Piazzi, l'orbite decette nouvelle planète àlaquelle il venait de donner le nom de Cérès. Le premier trouva une orbe circulaire et les deux autres une orbe elliptique. Cette découverte ne fit que confirmer une idée de Képler, qui avait soupçonné l'existence d’une planète entre Mars et Jupiter, par la lacune qui semblait exister dans l’ordre des distances des planètes au soleil. En effet, c’est en partant de cette idée que MM. Lambert, Bode et Wurm trouvèrent une loi très-remarquable dans les différences premières des rayons vecteurs en nombres ronds. En prenant celui de Ja terre pour 10 , ces rayons vecteurs sont : Mercure... 4—4 Vénus .... 7—4+#3.2 Terre..... 10—4+43.2: Mars...... 16—4<+3.2 Ts hors MOOGE ES 98 Jupiter. ... 52—4+3.24 Saturne ... 100—4+3.95 Uranus. ... 196—4+43.95 Ainsi, en exprimant par » le rang de la planète, à commencer par Vénus, l’expression générale du rayon vecteur serait 4+3.2r— La lacune entre Mars et Jupiter est évidente. Quoi qu’il en soit de cette loi, connue aujourd’hui sous le nom de Loi de Bode et qui n’est du reste qu’une approximation empirique , la lacune s’est trouvée rem- plie beaucoup mieux qu’on n’aurait pule supposer, car la découverte de Cérès fut bientôt suivie de celles de trois autres planètes Pallas, Junon et Vesta, également situées entre Mars et Jupiter. (Joy. ces mots). Voici les élémens de Cérès d’après Gauss. Moyenne distance au soleil......,. 2,767 Excentricité. 1806.............. 0,0785028 Diminution annuelle............ 0,00000583 Nœud ascendant. 1806..........° 80° 53 31",a Mouvement annuel............. 1,48 Inclinaison de l'orbite. 1806...... 10 37 3r,2 Diminution annuelle.........,.. 0, 46 Révolution sydérale............ 1681 jours 12b0 En prenant, comme on le fait dans la loi de Bode, la moyenne distance de la terre pour 10, celle de Cérès est 27,67; ce qui se rapporte assez bien avec ce que demande cette loi, c'est-à-dire l’existence d’une planète dont le rayon vecteur soit 28. L CE L'extrème petitesse de Cérès n’a pas encore permis de déterminer son diamètre ni le temps de sa rotation sur elle-même. CEULEN, ou plutôt KEULEN (Luporpn van), cé- lèbre géomètre hollandais, naquit à Hildesheim vers 1550. Sa famille était originaire de Cologne, et c'est à cette circonstance qu'il doit le surnom néerlandais de Ceulen ou Keulen, sous lequel il est plus généralement désigné dans l’histoire de la science. Professeur de ma- thématiques à Breda et ensuite à Amsterdam , van Lu- dolph s'était acquis de la réputation par la publication de quelques écrits et pour l'habileté avec laquelle il sa- vait faciliter à ses nombreux auditeurs l'accès des pro- blèmes les plus difficiles, lorsqu'il se rendit tout à coup célèbre par l’approximation qu’il donna du rapport du diamètre du cercle àla circonférence. Le résultat auquel il parvint, par un immense travail, l’emporta de beau- coup sur celui où étaient parvenus Archimède, Metius, Viete et Adrianus Romanus, qui s'étaient évertués à resserrer de plus en plus les limites de ce rapport. Il y avait, en effet, quelque temps qu’Adrianus Romanus avait poussé cette approximation jusqu'à 17 décimales. Van Ludolph la porta à une exactitude bien plus satis- faisante; il démontra que le diamètre du cercle étant l'unité, suivie de 35 zéros, la circonférence est plus grande que3,14159265358579323846264338327950288 et moindre que le même nombre augmenté de l’u- nité; ainsi l'erreur est moindre qu'une fraction dont l'unité serait le numérateur et le dénominateur un nombre de 36 chiffres. L'imagination est effrayée, dit Snellius, cité par les biographes de Ludolph, lorsqu'elle tente de se représenter la pctitesse de cette fraction : elle est beaucoup moindre, à l'égard de l'unité, que ne serait l'épaisseur d’un cheveu sur la circonférence d’un cercle , dont le rayon serait la distance qui existe entre la terre et les fixes les plus voisines. Van Ludolph ex- posa cette approximation dans son livre de Circulo et adscriptis, qu'il publia en hollandais en 1610, et que Snellius traduisit en 1615. On a observé avec raison que ce travail du géomètre hollandais annonçait plus de patience que de génie. Il suivit simplement le procédé d’Archimède, en doublant continuellementle nombre des côtés des polygones inscrits et circonscrits, jusqu’à ce qu’il fût parvenu à deux, dont les contours diffé- rassent de moins que l'unité sur un nombre composé de 35 chiffres. Néanmoins Van Ludolph fut émerveillé de la découverte de son approximation que la science détermine autrement aujourd’hui (voy. Crrcre); et à l'exemple d’Archimède, il désira que ces nombres fus- sent gravés sur son tombeau. Ses dernières volontés furent respectées : il mourut à Leyde en 1610, l'année même où il publia son travail sur lerapport du diamètre du cercle à la circonférence, il fut inhumé dans l’église CE 517 de Saint-Pierre de cette ville où l’on voit son tombeau avec l’inscription qui rappelle sa principale découverte. Van Ludolph Ceulen est du petit nombre des géomètres distingués qui parurent dans les Pays-Bas au commen- cement du XVII® siècle; parmi ses ouvrages nous cite- rons seulement les deux suivans : undamenta arithme- tica et geometrica, traduction latine de Snellius, Leyde, 1615, in-4°, L'original hollandais a été réimprimé à Leyde en 1716, in-fol. Zetemata ( ceu protesnata) geo- metrica, Leyde. Dans ce dernier écrit Van Ludolph s’escélevé à des considérations algébriques, qui attestent son habileté à se servir de l’analyse mathématique. CÉEVA (Tnomas), géomètre distingué, né à Milan, le 20 décembre 1648, était entré fort jeune dans l’ordre des Jésuites, association aussi remarquable alors par sa puissanceque parle savoir élevé dela plupartde sesmem- bres, et où son mérite comme mathématicien ne tarda pas à être remarqué. En 1695 , le P. Thomas Céva , déjà connu en Italie, publia la découverte d’un instrument, à l'aide duquel on pouvait exécuter mécaniquement la trisection de l'angle. Le marquis de L’Hospital donna la même découverte dans son Traité des sections coniques, qui paruten 1707, et les géomètres italiens lui repro- chèrent de n'avoir fait, en la rapportant , aucune men- tion de Céva. Ce géomètre publia en 1699ses Opuscula mathematica, où Von trouve diverses considérations ingénieuses sur la multisection de l’angle, soit mécanique au moyen de son instrument, soit géométrique par le secours de certaines courbes. Le P. Céva ne s’occupait pas seulement de mathématiques, il était poète aussi, et l'on a de lui uu poème latin en quatre livres sur la phy- sique ancienne et moderne ; il est mort à Milan le 3 fé- vrier 1736. — CEVA (Jean, le marquis), l’un des frères du précédent , commissaire de la chambre archiducale, mérita aussi la réputation d’un savant mathématicien. Le P. Grandi en parle avec éloge dans son ouvrage inti- tulé : Geometrica divinatio vivianeorum problematum, mais il classe son mérite au-dessous de celui de son frère, malgré le nombre considérable de ses ouvrages, la plupart fort estimables Le premier ouvrage de Jean Céva, De lineis rectis se invicem secantibus constructio statica, publié à Milan en 1678, in-4, est un traité de géométrie remarquable pour l’époque. On Y trouve sur les centres de gravité use théorie profonde et supérieure du moins à ce qu’on avait publié jusqu'alors. Ses autres écrits sont: I. Opuscula mathematica, Milan, 1682, in-4°. II. Geometrica motus, Bologne, 16c2, in-4°. Cet ouvrage est fort rare, et paraît avoir obtenu ur grand succès lors de sa publication. L'auteur y traite du mou- vement des eaux; il fut probablement publié à l'occa- sion des contestations qui s'élevaient souvent entre Bo- logne , Ferrare et d’autres villes d'Italie, au sujet du cours irrégulier des fleuves de ce pays. (Voy. Cassini 348 CH Dom.) Lé célèbre et savant Wolf recommande spéciale- ment cet écrit, que bien des géomètres français ont pu consulter. INT. Trra problemala geometris proposita, Mantoue, 1710, in-4°. IV. De re nummerid, quoad fieri potuit, geometricè tractat&. Mantoue, 1711, im-4°. V. De mundo fabricä, unico gravitatis principio innixa, deque fluminibus, etc., Mantoue, 1715, in-4°. VI. Hy- drostatica, Mantoue , 1928 ,in-4°. CHAINE (4rp.). Instrument dont on se sert pour me- surer les distances sur le terrain. Voy. ARPENTAGE. CHAINETTE (Gcom.).Ligne courbe formée par une corde parfaitement flexible, qui, suspendue lâchement à deux points fixes, est abandonnée à l’action de sa seule pesanteur. Le problème de déterminer la nature de cettecourbe, fut un de ceux que Jacques Bernouilli proposa aux géo- mètres du XVIT° siècle. Il est devenu célèbre par toutes les controverses qu’il a fait noître. Galilée s’en était déja occupé, mais il avait jugé sans aucune raison valable que la courbure de la chatnette était celle d’une parabole; et cette opinion soutenue par le père Pardies, à l’aide de grossiers paralogismes, n'avait pu résister aux dé- monstrations expérimentales de Jungius. Quatre solutions répondirent à la demande de Jacques Bernouilli ; elles furent publiées dansles actes deLeipsik, en 1691, et sont dues à Jacques et Jean Bernouilli, Leibnitz et Huygens. Ces illustres géomètres ont donné leurs résultats sans analyse, probablement, dit Montucla, dans son Histoire des mathématiques, afin de laisser encore quelques lauriers à ceux qui viendraient à bout de la deviner. En 1697, Grégory tenta de compléter leurs travaux, en exposant la théorie de la chaînette dans les Transact. philos., vol. W, page 48, et il pré- tendit que cette courbe renversée était la meilleure figure qu’on pût donner à une arche. Hutton a récem- ment prouvé dans son ouvrage: Principles of Brigdes que cela n’avait lieu que dans quelques cas particuliers. L'usage important qu’on peut faire de cette courbe dans l'architecture, et les propriétés, tout-à-fait remarquables, dont elle est douée , exigent que nous entrions dans quel: ques détails à son sujet. A 2 œ oœ BB eennesnnnnem en ene sem ememems comen | Soit une corde ADB parfaitement flexible, supendue CH par ses extrémités en À eten B, ct prenant par son propre poids une courbure AyDFB. Prenons AB pour l'axe des abscisses, et faisons Ax — x et l’ordonnée yx ==Y, en choisissant le point À pour origine. Par les points À et y, menons les tangentes AO ,yO qui se rencontrent en O, et par ce point, abaissons Oh per- pendiculaire à l’axe. D’après la théorie de la machine Juniculaire (voy. ce mot), si nous supposons que le poids de la corde est appliqué en O, nous aurons T:P::sin AOy : sin AOy T désignant la tension en A et P le poids de la portion Ay de la corde. La tension T agissant suivant la tangente AO, dési- gnons par @ l'angle OAB formé par cette tangente et l'axe horizontal AB, et nommons s l'arc Ay. Remar- quons en outre que si nous prenons pour unité de poids une quantité quelconque p, nous aurons d’abord P=5p, et ensuite T—np, n étant un coefficient constant qui exprime le rapport de cette unité de poids avec celui de la tension de la portion de la corde Ay. La propor- tion ci-dessus devicadra donc np:sp::sin AO: sin AOY, ou (a) n:s::sin AOy:sin AOy en supprimant le facteur commun p dans le premier rapport. Ceci posé, imaginons le triangle élémentaire ny, c’est-à-dire, preuons 27 pour la différentielle de d'or- donnée, alors »n sera la différentielle de l'absçisse, et my celle de l'arc, ou nous aurons ny =dy, mn=dx, my=ds Or, ce triangle étant rectangle en », nous donne : nn yn sin myn my cos PYn = Fra ou, ce qui est la même chose, 5 dx dy Sin JAY — = COS AY — Æ . Mais l’angle myn se confond avec l'angle Oyx, lors: que »2y est infiniment petit, et l'on a évidemment, à cause des parallèles AO , yx l'angle Oyx = l'angle GO donc dy Ë COL A Ai GO — De plus, les angles GOk et AOy ainsi que les angles: AOGet AOy, sont supplémens l’un del'autre; on a donc sin GOA — sin kOy CH sin AOy = sin AOG = sin (GO4 — hOAÿj. D'où (Foy. Sinus) sin AOy — sin GO. cos AOA — sin AOA. cos GO et, substituant les valeurs de sin GOZ et de cos GO , —-, cos AOA DM ee PE sin AOA sin AOy — Le triangle AO étant rectangle en , les deux angles AOA et OA sont complémens l’un de lautre. Ainsi, ayant désigné OA par @, nous avons cos AOA — sin ét Sin AOA = cos?, d’où : Æ dx . dy sin AOy= Te » Sin®— 7 cos ?. Etenfin, en substituant les valeurs précédentes dans (a), on obtient (b) dredr dy ni ST 2 snpE 5 COS @: De cette dernière proportion, on tire (c) é d S—=nSINŸ —n —— dx SP: En différentiant l'équation (c), elle devient ds——n T cos ?. dx Mais pas la nature du triangle élémentaire »ny, on a aussi. ds — Vdx'+dy.. Donc, Var = n0T. 606 4 HE , D où l’on tire facilement À EE nos pa Intégrant cette dernière équation, on obtient Y=—n cos ? 17128. it qui, en mültipliant par dx et dégageant le rapport pl < A devient ( /) CH 919 dy V{C—r)—n0c0s? dx n cos @ | Nous déterminerons la constante C en remarquant qu’au point A ,ona X—= 0,7 —0 €t dy —= tango. dx Ces valeurs substituées dans (d) donnent ntang . cos ? — VC cos’? ou, à cause de tängÿ. cos à — sii @(Poÿ. Sixvs), n sin ÿ = V/Ü—rc05@ Élevant au carré, ôn obtient sin 9 — Crncos 9 et par conséquent, Ch" sing—cos ?)=7?* Ainsi C = n et l'équation différentielle de la chainette, est définitivement (e) dy LV (a—yÿ cos g dx A COS ® : Pour intégrer cette équation ; faisons N—Y=3, n COS —IM now aurons dy = — d, et elle deviendra indé dx = — —— VE —7r Sous cetté forme, l'intégrale est (log. désiguant le loga- rithme naturel), x=m log nc — V3 ns |+ C. Ainsi , en remettant pour z et 72 leurs valeurs, on a X=n cos @ log[ (unir cure | +C. Pour déterminer la constante C, faisons æ — 0 et ! y = 0 dans cette dernière équation, et nous obtien- drons = — A COS @. Log[ x (1— Vi cor) |, d’où résulte pour l'équation élémentaire de la chaînetter l'expression (f) (n —y) =V{n—r) Pan LEee) n—n\/1—c05 @ g æ=ncoseog| 320 CH de laquelle on peut aisément déduire toutes les propriétés de cette courbe. Nous verrons ailleurs qu’elle est rec- tifiable et quarrable. Voy. QUADRATURE et RECTIFICA- TION. Cette équation peut être mise sous une forme plus simple en la résolvant par rapport à y. En effet, E désignant la base des iogarithmes naturels, on a en gé- néral el &P=p, et, par conséquent, en faisant ; =, 1 COS® n—n\/1— =D remarquant que V/1— cos’? — sin @, et dégageant y, on obtient (g) — 95 | y=n [1 Ilentre dans leséquations(f) et(g) deux quantitésret®, dont on ne peut déterminer les valeurs qu’en sachant quelles sont les coordonnées du second point de suspen- sion, ainsi que la longueur totale dela corde. Supposons pour plusde généralité queFsoitcesecond point dont nous désiguerons les coordonnées AE et EF par x'ety', et que / soit la longueur de la corde comprise entre A et F'; en substituant ces valeurs dans (c) et dans (f), nous ob- tienudrons —3-(sinp).e = nsing—V/(1—y'}—ncosp (a _ DV arr co p x'=n cos. tof = a Vi cos 9) équations à l’aide desquelles on pourra déterminer » et cos @ en fonctions de x’ et de y”. CHAMBRE OBSCURE (Opt.). Instrument d'optique quireprésente les images des objets en leur conservant leurs couleursetleursmouvemens.La premièreinvention de ce curieux appareilest généralement attribuée à Bap- tiste Porta qui en a donné une description dans son ou- vrage, Magia naturalis, publié à Anvers en 1587.Cepen- dautle docteur Friend (Æistory of physic). affirme que la chambre obscure était connue de Roger Bacon, et il v’est guère possible de rejeter les preuves qu'il rapporte à l'appui de son assertion. i 1 théorie de cet appareil est facile à comprendre. Si un objet AB envoie des rayons à travers une petite ou- verture € sur un fond blanc opposé, et que la place de V'irradiation soit sombre derrière C, l'image de AB se peindra renversée en ab sur le fond; car l'ouverture C étant très petite, les rayons qui viennent du point A tomberont en a, et ceux de B en b; et comme ces rayons CH sont réfléchis par le fond blanc, une image de AB se montrera sur ce fond; image né- cessairement ren- versée, puisque la f partie supérieure D setrouveréfléchie ! en sens inverse de la partie inférieu- Quant à la grandeur de l’image, lorsque le fond de la chambre est parallèle à l'objet, elle sera à celle de l’objet dans le même rapport que celui de sa distance au point C, à la distance de l’objet au même point; c’est-à-dire qu’on aura AB : ab :: CD: Cd, oc qui est évident par l'inspection des triangles sem- blables Cd, CAD et Cad, CBD. On pourrait donc construire une chambre obscure au moyen d’un seul trou très-petit, sans y mettre de verre; mais lorsqu'on adapte en C une lentille convexe dont le foyer est en d, on obtient une image beaucoup plus distincte. De toutes les formes qu’on peut donner à cet instrument, la suivante est Ja plus simple et la plus com- mode pour le rendre facilement transportable. Soit MNCD une boite rectangulaire d’une longueur de 20 à 24 pouces, et d’une largeur de 10 pouces. Cette boîte doit être fermée de tous les côtés, sauf l’espace FGED qu’on recouvre d’une glace ou d’un papier trans- parent, et d’un trou L auquel on adapte un tube portant un verre lenticulaire d’un foyer égal à la longueur de | la boite. Les rayons d’un objet quelconque AB, placé devant le tube, sont interceptés par un miroir, plan ID, incliné de 45° au fond de la droite, lequel les renvoie. sur le transparent FGED, où se peint l’image a'b'de l'objet, Comme il est nécessaire que le transparent ne soit pas affecté par la lumière extérieure, on le recouvre d’une autre boîte àlaquelle on ne réserve qu’une ouver- ture opposée à L pour regarder dans l’intérieur. On peut varier de plusieurs manières cette cons- truction, comme on peut aussi redresser la situation de l'image , en ajoutant au tube L un second verre lenti- cujaire. CH CHAMP (Opt.). On désigne sous ce nom l'étendue des objets qu’on peut embrasser avec une lunette, un télescope ou un microscope. La grandeur du champ d’un instrument dépend de la grandeur du foyer et de l’ou- verture de l’oculaire. Plus ce foyer est long et plus l’ou- verture est grande, plus le champ est considérable. (Foy. DiorTRIQUE.) CHANGEANTES 4str.).Étoiles qui changent d'éclat ou dont la lumière augmente et diminue alternative- ment, On les nomme plus particulièrement étoiles pé- riodiques. L'une des plus remarquables est la changeante de la Baleine, signalée par Fabricius en 1596, et dont la période fut fixée approximativement à 333 jours, par Bouillaud, en 1667. Cette étoile conserve son plus grand éclat pendant environ quinze jours, elle est alors de la seconde grandeur, elle décline ensuite pendant trois mois, jusqu’à devenir invisible, ce qui dure à peu près cinq mois, ensuite elle reparaît, et va en croissant pendant les trois derniers mois de sa période, dont la durée est de 333 à 334 jours. Aigol ou Bde Persée passe en 2j. 20! 48" ou 49'de la seconde grandeur à la quatrième. 6 de la Lyre passe en 6 jours ob + de la troisième à la cinquième grandeur. Voici la liste des étoiles périodiques telles qu’on les connaît en cemoment. VARIATION NOMS DES ÉTOILES. | »Erloprs. | de Bide Persée... 2 20 48 draf HdeGéphée.. se... 5 837 | 3.4— 5 Bidelaliyré....... ; 0MGEr 3 —,.5 n d’Antinoüs......... ; 7 415 | 3.4—4.5 cidiHerculests tes... sos 60 6 o 3 — 4 Anonyme du Serpent....[ 180 » » 7 —.0 n de la Baleime..... Al r334. 210 0 2 — 0 x du Cvgne..... ere 300220 6 —11 B67de l'Hydre:.. 1... 494 » » 4 —10 BA dB YEN... eus 18 ans. 6 — 0 {20 du Lion.....:- OA : 7 — 0 x du Sagittaire. ........ po 3 — 6 AAA Ion lee ‘ 6 — o Pour expliquer ce phénomène, on a supposé que ces étoiles avaient des parties moins brillantes ou totalement obscures, que leur rotation sur elles-mêmes nous mon- trait successivement; mais cette hypothèse, ainsi que plusieurs autres proposées par Maupertuis, Goodricke, etc. , ne peuvent être encore soumises à aucune théorie certaine, On pourrait peut-être ranger dans les classes des étoiles périodiques, ces astres qui ont apparu dans di- verses régions célestes, et qui, après avoir présenté pen- dant des temps plus ou moins longs tous les caractères des étoiles fixes, ont disparu sans laisser de traces. S'il en était ainsi, leurs périodes de réapparition ne serait pointencorearrivée. Cependant, quelques faits détruisent CH 394 cette analogie; tel est entre autres celui de cette étoile découverte par Anthelme, en 1670, dans la tête du Cygne, qui, après avoir éprouvé pendant deux ans plusieurs variations de lumière, finit par disparaître en- tièrement, et n’a jamais reparu. Il est certain en outre que plusieurs étoiles marquées dans les anciens cata- logues, ne se retrouvent plus aujourd’hui. CHAPITEAU (Architecture). Partie du haut d’une colonne qui pose eur le füt. Les architectes grecs distin- guaient trois sortes de chapiteaux : le Dorique (P1. III, Sig. 2), V'Ionique (fig. 3) etle Corinthien (fig. 4). Les Romains ont ajouté à ce nombrele chapiteau composite (Jig. 5). Quant au chapiteau Toscan(fig. x), il ne diffère pas du Dorique. CHARIOT (A4str.). Constellationnommée aussi grande Ourse. Foy. ce mot. CHÊNE DE CHARLES II (4str.).Nom d'une cons- tellation méridionale, introduite par Halley, en mé- moire du chène royal sur lequel Charles II se cacha pendant 24 heures, après sa défaite à Worcester, le 3 septembre 1651. Cette constellation composée en grande partie des étoiles du Navire, n’a point été adoptée par tous les astronomes. CHERCHEUR (astr.). Petite lunette adaptée aux té- lescopes dont le champ est petit, pour trouver plus fa- cilement les astres et les amener dans l’axe optique. CHÉRUBIN ({e Père), capucin, fut un géomètre etun mécanicien habile; il naquit vraisemblablement à Or- léans, vers le milieu du XVII° siècle, d’une famille in- connue. Les recherches biographiques les plus minu- tieuses n’ont pu nous faire découvrir ni son véritable nom, ni aucun détail relatif à ses premières années. Voué de bonne heure aux austères pratiques de son ordre, ilsut. du moinsallier lesdevoirs qu’elles imposent, avecla culture des sciences mathématiques.La géométrie et la mécanique ont été les principaux objets de ses études; mais c’est surtout par ses travaux en optique, qu'il s’est acquis de la célébrité. Chérubin a fabriqué des instrumens dont la supériorité relative a été utile aux progrès de cette dernière science, sur la théorie de laquelle il a publié un assez grand nombre d'ouvrages, qui fortrecherchés à l'époque où ils parurent, peuventen- coreaujourd’hui être consultésavec fruit.Le père Rheita, religieux de l’ordre auquel appartenait Chérubin, avait imaginé la construction du télescope binocle. X1 perfec- tionna cette invention quelques années après, et en 1676, itfut admis à présenter au roi un de ces instrumens.Il est formé de deux télescopes égaux et disposés de manière à diriger la vuesurle même objet, qu’on mire ainsiavecles deux yeux.f arrive ici un phénomène au moins curieux : lorsqu'on regarde par un seul des deux tubes, on aper- çoit l'objet comme on l’apercevrait avec un télescope de la même portée et de la même dimension; mais si l’on 4: 52 CH regarde dans les deux à la fois, le champ de la vision semble s’agrandir , et l'objet se rapprocher. Ce n’est à en effet qu'une illusion de la vue. L'action dés deux té- lescopes n’est point réellement supérieure à celle d’un seul , et à l'aide du binocle, on ne peut découvrir ce qué ne montrerait pas une seulé dé ses branches , où un té: lescope ordinaire de force égale à l'uné de ces branches. Cependant il résulte de céttè combinaison un degré de clarté, qui favorisé les observations. L'on dut croire que lé téleséope binocle, suscéptible au reste de nou- veaux pérfectionnemens, conservérait la supériorité qu'il paraissait avoir sur Iles lunettés astronomiques dont on se servait alors. Mais l'usage, devenu général, d’un instrument bien plus puissant, celui du télescope à réflexion, fit abaudouner l'invention des PP. Rheita et Chérubin. Néarmoins, le regrét qu'ont manifesté divers mathématiciens du dernier Siècle, de l'oubli dans lequel où avait laissé toinber cette invérntion, éstaujour- d’hui saus ébjet; elle a été appliquée avec avantagé, de- puis quéiques années, aux lunéttés achromatiqués d’une petite dimension, dont on se sert dans les spectaclés où dans les réunions publiques, pour agrandir la vision, ct rapprocher les objets. Les perféctionnémens de l'acous- tique ont aussi occupé Je Père Chérubin. 11 raconte lui- même dans unclettré du 2 février 1675, -adresséé à TFoinard , une expérience exécutée én présencé du gé- néral de son étrdre. «Je fis, dit, énténdre très-distinc- tement à quatre vingts pas dé distance, et discerner lés voix des particuliérs, dans une multitude, qui parlaient ensemble, quoique dans Je milieu on ne les püût aucu- nement entendre, car ils ne parlaient qu’à voix basse, et néanmoins on n’en perdait pas une syllabe. » Son supé- rieur lui défendit de donner de la suite à une pareille invention, qu'il considéra comme pouvant devenir dan- gercuse pour la société civile. On n'aurait en effet aucun moven de défense contre ce procédé qui mettrait à la merci du preinier venu les secrets les plus intimes. Avant et après la Père Chérubin, son invention, qui aurait fa- cilité l’inquiète curiosité de la tyrannie, n'aurait peut- être pas été repoussée par la haute moralité qui la fit condamner par le général de son ordre. L'ingénieux Chérubin respecta scrupuleusement la défense qui lui avait été faite ; mais il avoue avec naïveté à Toinard que dans une térêts de son seule circonstance, où il s'agissait des in- ordre, il avait fait usage de son méca- nisme, et découvert des secrets importans qui favori- saient son parti. Comme l’époque de sa naissance, celle de la mort du Père Chérubin demeura un secret du cloitre. On a de lui : L La Dioptrique oculaire , ou la théorique , la po- stive et La mécanique de l'oculaire dioptrique en toutes ses espèces, Paris, 1671, in-fol. avec Go planches et un frontispice. If. La Vision parfaite, ou le Concours des CH deux actes de la vision en 1m seul point de l'objet, Paris, 1659, in-fol. L'année suivante, Chérabin publia la traduction latiné dé cét ouvrâgé, de T'isione perfecta, etc. ,eten 1687, letomeÏT du même ouvrage, sonsce titre : LaV'ision parfaite, où la Vice disinète. WA. Effets le La Jorce de lacontiguritedu corps, par desqitels on repond aux expériences dela crainte du ride et à celle deTa pesanteur de l'air, Paris, 1650, im-r12. L'auteur, dit I P. Ber- nard de Bologne, biographé dés capucins, parlé dans cet ouvrage d’une machine telesgrapliique, à Yaide dé laquelle il dessinait les objets éloignés; et ils’y plaint que le Journal des savans eût mentionné avec éloge les nucroscopes de Hooke, inférieurs à ceux qu'il avait établis. IV, L'expérience justifiée pour l'élévation des eaux par un nouveau moyen, à telle hauteur ét en telle quantité que ce soit, Paris, 1681, in-19. V. Disserta- tion en laquelle sont résolues quelques difficultés pré- tendues au sujet de l'invention du binoclé, in-13; sans date. Le P. Chérubin a encore publié divers -ouvrages sur l’impénétrabilité du verre , sur le télescope ét le mi- croscope binocle; sur la nature et la construction du té- lescope; enfin, sur ka machine qu’il appélle felesgra- phique, espèce de pantographe à dessinèr la pérspectivé; mais le Père Berrard né donne que les titres de ces écrits, sans rapporter aucuns détails relatifs à leur publication, lation de Pégase. CHEVALET DU PEINTRÉ (455.1. Uné dés cofis- tellations boréales formées par La Caïlle : elle renferme 25 étoiles, dont la plus brillante, marquée #, n’est qué de la cinquième grandeur. CHEVELURE pe BÉRENICE ( 4str.}. Ancienne constellation boréale, formée par le mathématicien Conon, en l'honneur de la reine Bérénice. Les historiens racontent que Bérénice, femme de Ptolémée Evergète, roi d'Égypte ,avant fait le vœu de couper ses cheveux si son mari revenait vainqueur de l’Asie, les consacra en effet dans le temple de Vénus, et qu’ils disparurent le lendemain. Ptolémée avant manifesté un grand regret de cette perte, Conon lui montra sept étoiles qui n’ap- partenaient à aucune des constellations alors existantes, en lui disant: c’est la chevelure de Bérénice.Gette cons- tellation renferme aujourd'hui 43 étoiles dans le cata- loguebritannique. CHÈVRE (Méc.). Machine qui sert à lever des far- deaux. Elle se compose de trois pièces de bois (PL. XII, fig. 4), AR, BR, CR, écartées par en bas, et réuniés par le haut, où se trouve une poulie suspendue.Sur la poulie passe une corde dont une extrémité soutient le fardeau à lever M, et dont l’autre s'enveloppe sur un cylindre T qu'on fait tourner à l’aide des leviers LT. CHÈVRE (4s4r.). Nom d'une brillante étoile de pre- mière grandeur, située dans la constellation du Cocher CH On Janomme aussi Capra, Hircus, Cabrilla, Amalthea. Les Arabes l'appelaient AZ Æyoug. Cette étoile est la plus belle de celles qui ne se couchent pas à Paris, Sa déclinaison moyenne sera, au premier janvier 1835, de 45° 49° 46”,7 et son ascension droite de 36° 7° 40”,05. CHEVREAUX (Astr.). La constellation du Cocher renferme aussi les Chevreaux : ils sont formés par trois étoiles s, & et n qui font un triangle isocèle,dont l'angle du sommet est très-aigu. Ce triangle est placé à trois degrés au midi de la Chèvre, et sert à distinguer cette étoile des autres de première grandeur. CHIENS (Astr.). Constellations au nombre de trois dont deux anciennes, méridionales, et une nouvelle, septentrionale. Le cravp Cuir, Canis major, contient 31 étoiles, au nombre desquelles on remarque $%rius, la plus brillante de toutes les étoiles de première grandeur. Le »erir Curew, canis minor, contient 14 étoiles, dont une de la première grandeur, nommée Procyon, Les CuiEns DE CHASSE, canes venalici, contient 25 étoiles. Cette dernière, introduite par Hévélius, se nomme aussi Asterio et Chara. CHILIADE (Arith.). Assemblage de plusieurs choses semblables qu’on compte par mille. C’est ainsi que dans les tables de logarithmes on nomme première chiliade les logarithmes des mille premiers nombres naturels. Une chiliade ou un mille sont la même chose. CHILIOGONE (Géom.).Polygone régulier de mille côtés. Quoiqu'il ne soit pas possible à nos sens de dis- tinguer un polygone de 1000 côtés d’un autre de9g9g ou de 1001, nous n’en avons pas moins une idée claire dans l’esprit, et jamais notre intelligence ne pourra les confondre. Nous savons que la somme de ses angles est égale à 1996 droits (voy. Porxcowes), et nous pouvons trouver avec facilité le rapport de son périmètre avec celui du cercle inscrit ou circonscrit. Cette certitude qui accompagne toutes les constructions géométriques, même celles qu’on ne peut réaliser dans l’espace et dont il est par conséquent impossible d'acquérir la sensation ou l'expérience, aurait dù faire remarquer plutôt la grande différence qui existe entre les sciences physiques etles sciences mathématiques; les premières, comme cela n’est pas contesté, ne peuvent s'élever, sans le secours des secondes, qu’à une certitude conditionnelle, ou à posteriori; tandis que les dernières sont éminem- ment douces de la certitude rationnelle ou 4 priori; ce qui doit faire chercher leur origine et leurs lois hors du domaine de l’observation. Foy. PniLosovute pes ma- THÉMATIQUES. CHOC (Meécanique.). Rencontre de deux corps qui se heurtent. Le choc peut être direct ou oblique. Le choc direct est celui où 12 point de contact des CH 323 corps se trouve sur la droite supposée menée par leurs centres de gravité, Le choc oblique est celui qui se fait de toute autre ma- nière. Les corps qui se rencontrent peuvent être tous deux en mouvement, ou l’un de ces corps peut être en repos. Dans le premier cas, on a deux considérations diffé- rentes, savoir : lorsque les mouvemens s'effectuent dans le même sens, ou lorsqu'ils ont lieu dans un sens opposé. Quoiqu'il n’y ait point dans la mature de corps par- faitement élastiques, ni de corps parfaitement durs ou sans ressorts, nous sommes obligés, pour établir les lois du choc, de considérer les phénomènes qui peuvent ré- sulter de la rencontre de tels corps; nous supposerons, de plus, que les mouvemens n'éprouvent aucune alté- ration du milieu dans lequel ils s'opèrent. 1. Choc des corps sans ressort. Lorsque deux tels corps, dont les mouvemens ont lieu dans le même sens, yiennent à se rencontrer, la quantité de mouvement qui se trouve dans les deux corps se distribue de manière qu'il en résulte la même vitesse pour tous deux après le choc ; car celui qui va le plus vite agit sur l’autre, seu- lement jusqu'à ce que celui-ci ayant acquis autant de vi- tesse qu’il en reste au premier, ne fait plus obstacle au mouvement. Soient À et a deux corps saus ressorts qui vont du même côté, a étant le premier, et soient V et » leurs vitesses respectives. Si À va plus vite que a, ou que V soit plus grand que v, il l'atteindra nécessairement, et alors les mobiles se comprimeront réciproquement jus- qu’à ce qu’ils soient animés d’une vitesse commune. Désignons par F et f'les forces qui ont communiqué aux mobiles À, a, les vitesses V, 2 ; comme ces forces peuvent être représentées par la quantité de mouvement qu’elles produisent, et que la quantité de mouvement {voy. ce mot.) d'un mobile est égale au produit de sa masse par sa vitesse, nous aurons F= AV, f= av. Mais d’après le principe de la composition des forces (voy. ce mot), celles qui s’exercent dans la même direc- tion doivent s'ajouter, ainsi (1) F+f = AV + av. Pour obtenir une autre expression de la somme des forces F + f', désignons par x la vitesse commune après le choc, alors nous pouvons considérer À Æ a comme un seul corps, et cette vitesse x comme le résultat del'apz plication de la force F+#+/: Nous aurons donc encore (2) F + f = æ(A +a), des équations (1) et (2), nous tirerons æ(A + a) = AV + av 324 CH et par conséquent (3) AV + av Ata? expression générale de la vitesse finale. 2. Si les corps se meuvent dans un sens opposé, ou vont à la rencontre l’un de l’autre, on doit considérer + comme négatif, et l'expression (3) devient (4) AV — av A+a TL= 3. Si le corps a était en repos lorsque A vient le cho- quer on aurait —o et la formule deviendrait (5) ue AV 7 Ata Les trois expressions (3), (4) , (3), renferment toute la théorie du choc des corps sans ressort. 4. Maupertuis parvient à ces formules par une appli- cation élégante de son fameux principe de la moindre action (/ex parcimoniæ ); nous croyons devoir l’ex- poser ici, en rappelant qu'on désigne, d’après ce géo- mètre, par le nom de quantité d'action, le produit de la masse d’un corps par sa vitesse et l’espace parcouru. Conservant les désignations données ci-dessus aux let- tres À, V, a, v, x, nous aurons pour la vitesse perdue par À au moment du choc V— x, et pour celle gagnée par a ZX —v. Les espaces parcourus en temps égaux par ces vitesses, étant entre eux comme ces vitesses, la quantité d’action employée par le corps À sera comme A (V—zx}, et la quantité d'action gagnée par le corps & sera comme a (x —v}; La quantité totale d’action est donc comme A (V—x} + a(x—v}, et cette quantité doit être un minimum d’après la loi de Maupertuis. Différentions donc cette expression , nous aurons A[—2Vdx + oxdx] + a[2xdx — 2vdx]=0 divisant par dx , et dégageant x, nous obtiendrons __AV + av 7 A+a? ce qui nous apprend, comme ci-dessus (1), que la vitesse commune, après le choc, est égale à la somme des CH ÿ- quantités de mouvement divisée par la somme des masses. 5. Choc des corps élastiques. Lorsque des corps par- faitement élastiques se reucontrent, pendant qu'ils se choquent, le choc est employé à plier leurs parties, à tendre leur ressort, et ces corps ne demeurent appli- qués l’un contre l’autre que jusqu’à ce que leur ressort les sépare ense débandant, et les fasse éloigner avec au- tant de vitesse qu’ils s’approchaient : car la vitesse res- pective étant la seule cause qui ait bandé leur ressort, la réaction de ce ressort doit reproduire la même vitesse respective qui avait lieu auparavant. Soient À et « deux corps élastiques que nous suppo- serons d’abord se mouvoir dans le même sens avec les vitesses V et v. Ces corps devant se choquer, si a est d’a- bord le plus avancé, il faut que l’on ait V > v. Cela posé, désignons par x la vitesse du corps A, et par x’ celle du corps 4, après le choc. La vitesse perdue par À sera donc V—x, et la vitesse gagnée par a sera x'—v, et la quantité d'action em- ployée dans le changement qui résulte du choc, sera A (V—zx} + a (x'—v}, cette quantité devant être un rxinimum, nous aurons en différentiant (a) A [—2Vdx + 2xdx]— a [2x'dx'—2vdx'"]=0. Mais dans les corps parfaitement élastiques, la vitesse respective étant la même avant et après le choc, nous avons V—v=z'—x, ou x'=V—-v+x, ce qui donne dx' = dx, En substituant ces valeurs de &' et de dx' dans (a), nous obtiendrons (71) AV— aV + sav ET TE et ensuite par la substitution de x —=x'—V+v et de dx= dzx' dans la méme expression, nous trouverons (x) à l’aide des deux expressions (2) et (x), nous pouvons examiner toutes les particularités du choc de deux corps élastiques. 6. Supposons d’abord les masses égales, ou faisons A=a , (m) et (n) se réduisent à -2AY 2A =Y TL= CH LA 2AV {Far =, ce qui nous apprend que dans ce cas les mobiles chan- gent de vitesse après le choc. 7- Si les deux corps se meuvent en sens opposé, ou vont à la rencontre l’un de l’autre, il faut faire v négatif, et les expressions (2) et(n) deviennent (p) AV —aV — 2av L= —— PRE A+a ,_ Av — av +2AV n Aa ? dans ce cas, lorsque A=«, on a z=—v,et z'=V, c’est à-dire que les mobiles changeront de vitesse et s’é- carteront ensuite. 8. Siles corps qui vont à la rencontre l’un de l’autre ont des vitesses égales, en faisant V=v, les équations (p) donnent PACE - 3a) V V FA Ha a _(3—a) V RUA ET. d’où il résulte que si la masse du corps A est triple de celle de a, sa vitesse après le choc est o, c’est-à-dire que ce corps s'arrêtera tandis que le corps & aura obtenu une vitesse double de la vitesse primitive de A ; car en faisaut A=—3a, on obtient Z=0, x'=92 Vi. . Si l’un des mobiles était en repos, a, par exemple 9 P , ‘on aurait v—0o. Substituant cette valeur dans (m) et (7), l ces équations deviennent __ AV —aV A+a _ (A—a)V Aa. Lorsque les deux mobiles sont égaux, on a Aa, et ces valeurs se réduisent à LOL —V,, c’est-à-dire que dans ce cas la mobile A perd sa vitesse , et la donne à 4. 10. Par d’autres suppositions sur la grandeur des quan- tités qui entrent daus les équations générales (mn) et (n), on trouverait de la même manière les résultats du choc dans les cas particuliers de ces hypothèses : c’est ainsi, par exemple, que nous apprenqns que : 1° Si deux corps élastiques égaux se choquent direc- CH 325 tement en sens contraire avec des vitesses égales, ils se réfléchiront après le choc, chacun avec la Yiese qu'il avait, et dans la même ligne. 2° Si les vitesses des deux mêmes corps sont en raison inverse de leurs masses, ils rejailliront chacun de son côté avec la même vitesse qu'ils avaient avant le choc, 11. Le principe de la conservation des forces vives (voy. ce mot) dans le choc des corps élastiques, dont la découverte est due à Huygens , fait l'objet de la loi sui- vante : Lorsque deux corps élastiques se rencontrent, la somme des forces vives est la méme avant ou après le choc. En conservant les mêmes significations pour À, V, x, dy V, T's est la somme des forces vives, avant le choc, AV: Han, et celle des forces vives après le choc est Az + ax; on doit donc avoir. en vertu de la loi énoncée AV: + av — Az? + ax. En effet , reprenons les deux équations (2) et (x) AV — aV + sav FRE ,_ av— Av oAV = A+a À et donnons-leur la forme [AV + av] MER , 2[AV + a] SR AS En faisant, pour plus de simplicité, la quantité com- TL mune AV VE av 7 Aa ces expressions deviendront shorts: (P),s T= 29 —V L'= 29 —v nous aurons donc Ax Lac? =A(2@—V} + ap—v}. Développant le second nombre de cette égalité, nous aurons 4A gp? — KAQV + AV? + ap — hagv + av? ou, ce qui est la même chose, AV: + an + ip[Agp + ap —AV— av]; 526 CH mais letroisième terme de cette expression se réduit à0, car l'égalité (r) donne Ag + g @= AV + av, donc nous avons définitivement Axt + ax? = AVitan, ce qui est le principe de Huygens. 12. Lorsque les corps ne sont point parfaitement élas- tiques , la loi dela conservation des forces vives n’a plus lieu, et la perte de ces forces est d'autant plus grande, que l’élasticité est plus imparfaite. Pour les corps par- faitement durs, la déperdition des forces vives, ou la diÿ* Jerence entre ces forces avant et après le choc, se trouve égale à la somme des forces vives qu'auraient les masses animées des vitesses perdues ou gagnées. Ce théorème, découvert par Carnot , se démontre aisément à l’aide de formules données pour le choc des corps sans ressort. 13. Les corps parfaitement durs d’une part et les corps parfaitement élastiques de l’autre, forment les limites entre lesquelles tous les autres sont compris. On voit que les formules précédentes ne peuvent être considérées que comme des apnroximatious, lorsqu'il s’agit de les appliquer aux phénomènes physiques et que les résultats du calcul se rapprocheront d'autant plus de la réalité des faits, que les corps seront eux-mêmes plus près de l’état dur ou élastique expressément sous-entendu dans ces formules. Pour embrasser les divers degrés d’élasticité qui peuvent se manifester dans les corps, on donne aux formules (m) et (n) l'expression plus générale . è T— rest alors un coefficient constant qui dépend du plus ou moins d’élasticité des corps. Lorsque ? = 1, on a æ=x',etces formules se réduisent à l'égalité (3) : c’est le cas des corps durs ; lorsque 7 —2, on obtient les ex- pressions {m7) et (x) : c’est le cas des corps élastiques. entre ces deux valeurs 1 et 2, sont compris tous les cas intermédiaires, et il faut alors donner à » les valeurs trouvées par des expériences sur la nature des corps qu’on veut considérer. 14. Le choc oblique présente un grand nombre de variations, dont l'examen ne peut trouver place ici. Nous considérerons seulement un cas particulier très- important, en ce qu'il sert à démontrer la loi fonda- mentale de la catoptrique. (Joy. Carorthique I.) Soit une boule élastique P qui vient frapper une surface résistante MN, sous une direction oblique MN. En prenant la ligne AC pour représenter la force du choc, on pourra décomposer cette force en deux autres, CH dont l’une NC est parallèke à la s:rface, et dont l'autre DC lui est perpendiculaire. Or, si la force DC agissait seule, son effet serait de faire rebondir le corps A, P avec une force égale et opposée en direction CD, tandis que si la force NC agissait seule, le corps A serait poussé dans la direction CM. Après le choc, le corps est donc sollicité par deux forces, dont l’une le pousse dans la direction CD, et l’autre dans ja direction CM. Il suivra conséquemment la diagonale CB, c’est-à-dire, que l’an- gle d'incidence ACD sera égal à l'angle deréflexion BCD. Les molécules lumineuses agissant comme des corps par- faitement élastiques, cette démonstration s'applique aux phénomènes de la réflexion opérée par les miroirs. On peut, en décomposant de la même manière tous les cas du choc oblique, les ramener aux lois du choc direct. Voy. Percussion. CHRONOLOGIE{de xpéres, le tempset x67es, raison, discours). Science dela mesureoudeladivision du temps ; elle se partage en deux branches spéciales, qui sont Ja chronologie théorique etla chronologie appliquée. La pre- mière est une déduction de l'astronomie , car elle est le résultat de l'observation des phénomènes célestes, dont cette science explique les lois; la seconde est une appli- cation aux événemens humains de cette déduction de la science astronomique : comme telle, elle forme la base essentielle de l’histoire , mais nous n'avons point à Ja considérer sous ce dernier point de vue. Les annales authentiques de toutes les nations sont nécessairement postérieures aux premières observations de l'as'ronomie, qui durent avoir pour objet la division du temps en périodes déterminées. Ainsi, par exemple, avant qu’on eût caleulé la durée de l'annee suivant le cours apparent du soleil, ou les phases de la lune, qu'on eût ensuite divisé l’année en 105$, et partagé les mois en certains nombres de jours , il paraît difficile que les hommes aient pu conserver d'une manière exacte le souvenir des choses passées. Ce travail a dû commencer par la détermination des périodes les moins longues. Ainsi, le terme qui s'écoule du lever ou coucher da soleil àunautre lever ou coucher, a, vraisemblablement, servi d’étalon pour la fixation des périodes plus longues. On peut logiquement diviser en temps incertains ct en temps historiques ceux qui ont précédé ou suivi les pre- miers produits de la science. Néanmoivs, en adoptant même ce point de départ, nne grande incertitude règne aujourd'hui dans la chronologie; les dissidences dont CI elle est la cause , les aberrations monstruenses qu’elle a enfantées , proviennent à la füis de la diversité des mé- thodes qu’adoptèrent les nations les plus ânciennement civilisées, et del’impossibilité où nous sommes, de déter- mineravec certitude le véritable sens des expressions dont elles se servaient pour exprimer les périodes que nous appelons années, mois et jours. Le but que doit se pro- poser la science, maintenant qu’elle esten possession de la connaissance certaine de quelques grands événemens, qui, combinés avec des observations astronomiques pré- cises, peuvent déterminer d'une manière invariable les époques principales , est évidemment d'établir une con- cordance mathématique entre les chronologies de tous les peuples.Malgré dénombreux et d’estimables travaux, cette œuvre est à peine commencée. On a expostailleurs (voy. Année et Cazenprien) l’his- toire et la théorie des élémens de la chronologie; il nous reste à faire connaître diverses parties de cette science , quine devaient point entrer dans les considérations prin- cipales , qui ont fait l’objet de ces articles ; elles seront successivement traitées dans le cours de cet ouvrage. Voyez Ênxs des Arméniens , chrétiennes, de Constanti- nople, d'Espagne, de l'Hégtre, de Nabonassar, etc. Juor, Mois, Orymrianr, PERIODES. CHRONOMÈTRE ( de yes, temps, et de wsrpor, mesure). Nom générique des instrumens qui servent à mesurer le temps. Il est plus particulièrement consacré à une espèce de montre construite avec une assez grande précision, pour donner exactement des subdivisions d’une seconde. On s’en sert en mer pour trouver les longitudes. Foy. ce mot. CHUTE(YMec.). Espace parcouru par un corps pesant qui s'approche du centre dela terre. Nous avons donné aux articles ACCÉLÉRATION €t ACCÉ- LERE, l’histoire de la découverte, faite par Galilée, des véritablés lois de la chuté des graves, ainsi que la dé- duction mathématique de ces lois. CIEL (4su.). Voûte sphérique concave, lieu app- rent des astres. CIRCONFÉRENCE (Géom.). Ligne courbe qui ren- ferme un cercle (voy. Cence). Ce mot vient de circum, autour , et de fero, je porte. On dorine quelquefois ce nom, par extension, au Contour d’une courbe quel- conque. CIRCOMPOLAIRES (Astr.). On nomme etoiles cir- compolaires les étoiles situées près de notre pôle bo- réal, et qui tournent autour, sans jamais s’abaisser au- dessous denotre horizon, Plus le pôle est élevé au-dessus del’horizon d’unlieu, et pluslenombredes étoilescircom- polaires est grand pour ce lieu. A Paris, var exemple, où le pôle estélevé de 48° 50° 14" au-dessus de l'horizon, si l'ob finagine an cercle parallèle à l'équateur, et situé à ectte même distance du pôle, la zone comprise æntne CI 527 le pôle et ce cercle renfermera toutes les étoiles qui ne se couchent jamais pour Paris. CIRCONSCRIRE (Géom.). Décrire une figure autour d’un cercle ou de toute autre fgure courbe, de manière que tous ses côtés soient des tangentes à la circonfé- rence. Les polygones réguliers, quel que soit le nombre de leurs côtés, peuvent tous être circonscrits au cercle. f’oy. CERCLE, n° 15. ; On se sert encore de ce terme pour exprimer la des- cription d’un cercle autour d’un polygone. Le cercle est alors cérconscrit au polygone, ou plutôtle polygone est inscrit dansle cercle. Nous renverrons aux mots CarRÉ, Hexacone, Penracone, Trianëre, etc., les procédés géométriques au moyen desquels on inscrit et circonscrit ces figures. CIRCONVOLUTION (Géom.). On emploie quelque: fois ce mot à la place de révolution. C'est ainsi qu’on dit, par exemple, qu'un cône est formé par la circon- volution où par la révolution d’un triangle rectangle au- tour de l’un des côtés de son angle droit. CIRCUIT (Gcom.). Contour ou périmètre d’une figure. CIRCULAIRE (Geom. et Astr.). Tout ce qui a rap- port au cercle. C’est ainsi qu’on appelle arc circulaire, un arc ou portion de la circonférence d’un cercle; secteur circulaire, une partie d’un cercle comprise entre deux rayous et l'arc intercepté; mouvement circut- laire, le mouvement d’un corps autour d’un cerclé, etc. Ou donnait anciennement le nom de nombres cireu- laires à ceux dont toutes les paissances se terminent par le chiffre qui les exprime : ainsi 5 et 6 étaient des nombres circulaires, parce que toutes leurs puissances 25,125, 625, etc., 36, 216, 1296, etc. se terminent par ces nombres mêmes. CISSOIDE (Géom.). Nom d’une courbe inventée par le géomètre grec Dioclés, pour résoudre le problème, alors celèbre, de la construction de deux movennes pro- portionnelles entre deux lignes données. ( Foy. Cusr.) Voici la génération de cette courbe. B 277 Soit un ceréle quelconque AZBM ; si dé l'extrémité A du diamètre AB, on mène une infinité de droites Aya tous les points de la droite By, tangente à l’autre extré - 528 CI mité B de ce diamètre, et que l’on prenne sur chacune de ces lignes, la partie xy égale à la corde correspon- dante Ad, la courbe qui passera par tous les points x est la céssotde. Pour trouver l'équation de cette courbe, désignons AB pour a,et PM par 2, AP =2x, et l'ordonnée Pr 7, et menons le diamètre Méd et la corde AM. L'angle dAM étant droit (ANGLES, faisons de plus l’abscisse P n° 19), le triangle xAM est rectangle, et comme AP est perpendiculaire sur la base xM, on a ( voy. RECTANGLE) Pzx : AP :: AP : PM ou Vi TL: Be Cette proportion donne Lt —=Yredse (1) Mais en menant la corde BM, on a un autre triangle ABM, qui donne AP : PM::PM:PB, c'est-à-dire, T'2::72:a4—X. Ainsi 2 —=ax—a,etz = # V/az — 2? Substituant cette valeur de z dans (1), on obtient Li EY Var —2?,; ce qui devient, en élevant au carré et dégageant y 2? = Han: (2). . Telle est l'équation de la cissoïde. Il résulte de cette équation que, pour chaque valeur de x, ilexiste deux valeurs de y égales et de signes con- traires. Ainsi la courbe se compose de deux branches parfaitement semblables , situées l’une à droite et l’autre à gauche de l'axe. , Si l’on fait x—a les valeurs de y deviennent Eve — 0 C'est-à-dire que 1a courbe ne rencontre la droite By qu'a des distances infinies du point B, ou que cette droite est une asymptote (voy. ce mot), par rapport aux deux branches de la cissoïde, Une des propriétés remarquables de cette courbe, c'est que l’espace asymptotique indéfini, compris entre l’asymptote et les deux branches de læ cissoïde , est un espace fini égal à trois fois la surface du cercle généra- teur AdBr2. Pour le démontrer il ne faut que substituer la valeur de y, donnée par l'équation (2), dans l’expres- sion générale Sydx, CL qui représente la surface renfermée entre une portion quelconque de courbe et les coordonnées x et y (vor. QuapraTuRE) : l'intégrale demandée est doncici 3 x* dx æ © RCE (a—x)" PRE ; ; : 1 en multipliant lenumérateur etle dénominateur par x?) Intégrale dont la valeur, prise depuis x=o jusqu'ax=a, est a?r. Or, cette quantité est la moitié de l’espace asympto- 3 4 tique ; donc cet espace entier est égal à ? 47, ou à trois fois la surface du cercle dont 44 est le rayon, ou a le diamètre, La cissoïde résoudrait directement le problème des deux moyennes proportionnelles , s’il était possible de la coustruire géométriquement; car en prenant le rayon CB pour une des lignes données, et élevant du point C la droite Cg perpendiculaire à l'axe; si l’on prend Co égale à l’autreligne et que du pointe, où la droite indéfinie Bo passant par les points B et o, coupe la courbe, on mène à l’origine À, Ja ligne Ae prolongée jusqu'à ce qu’elle coupe Cgen A, Ch sera la première des deux moyennes cherchées. Onaen effet ch=—hf, par la nature de la courbe, et c’est atrouver le point h, capable de donner cette égalité, que Pappus a ramené la solution du problème. Foy. PROPORTIONNELLE, Newton a indiqué le moven de décrire la cissoïde par un mouvement continu, ce que Dioclès n'avait pas trouvé. CITADELLE (Fortification). Lieu particulier d’une place de guerre fortifiée de manière à commander sur la place et sur la campagne. On place ordinairement les citadelles sur l'enceinte, de manière qu’une partie est enclavée dans la ville et l’autre saillante sur Ja campagne. Voy. la fig. 1°, PL. IL, et l’article FoxtiFricaTION. CLAIRAUT (Azexis-CLaube), l'un des plus celèbres géomètres du dernier siècle, naquit à Paris, le 7 mai 1513. Les utiles et importans travaux auxquelsil a attaché son nom, lui ont sans doute acquis dans la science un rang où l’on ne parvient qu’à l’aide du génie; mais quelque re- marquables qu'ils soient, ils ne sont peut-être pas tels qu'on aurait pu les attendre de lui, d’après la renom- mée qui le préceda dans le monde. Clairaut' fut dès son enfance uu rare exemple de précocité, et parvint à l'in- telligence des combinaisons les plus élevées en mathé- matiques, à un âge où les esprits, doués des plus heu- reuses dispositions, commencent à peine àrévéler vague- ment leur supériorité. Il faisait à dix ans sa lecture ha- bituelle des Sections coniques du marquis de l'Hopital, et cet ouyrage, l’un des plus importans que possédait = CL alors la science sur l'application de l'algèbre à la géo- métrie et sur la théorie des courbes, ne lui présentait, dit-on , aucune difficulté sérieuse. Il ne tarda pas à lire avec le même intérêt et à l’expliquer avec autant de fa- cilitéle Traité des infiniment petits de cet illustre géo- mètre. L'époque où vivait Clairaut est trop peuéloignée de lanôtre, et les témoignages en faveur de cette particu- larité de sa vie sont trop nombreux et trop res- pectables pour qu’il soit permis d’en douter. Jean- Baptiste Clairaut son père, professeur de mathématiques distingué et associé à l’Académie de Berbin, l'initia de bonne heure aux élémens de la science; il suça pour ainsi dire la géométrie avec le lait, suivant l'expression d’un historien qui a été son ami ; mais ces circonstances qui ont été communes à un grand nombre d'hommes n’expliquent pas entièrement l'aptitude prodigieuse que lejeune Clairaut montra pour lesmathématiques à un âge aussi tendre. Quoi qu'il en soit, en 1726, le jeune Clairaut qui n’avait encore que douze ans ethuit mois, soumit à l'Académie des sciences de Paris, un mémoire sur quatre courbes douées de propriétés remarquables. Ce corps savant pensa d’abord que la main de quelque maitre habile avait passé sur l’œuvre de l'enfant qui se présen- tait à son jugement. Mais cet enfant subit un examen sé- vère, et répondit avec tant de clarté et de précision aux questions qui lui furent adressées, qu’il fut impossible de douter de la loyauté de son travail et de sa prodigieuse ca- pacité. Fontenelle délivra au jeune Clairaut, au nom de l'Académie, un certificat qui attestait l'authenticité de ces faits. Ce certificat et le mémoire qui l'avait motivé sont imprimés dans le tome [V des Miscellanea-Berolinensia à la suite d’un écrit de Jean-Baptiste Clairaut. Le jeune géomètre qui venait de débuter avec tant &’éclat, ne laissa pas à la renommée le temps de l'oublier; il n’avait que seize ans, lorsqu'il fit paraître ses recherches sur les courbes à double courbure. Cet ouvrage eut un tel succès , que l’Académie songea à ouvrir ses portes à l’auteur ; mais ce candidat n'avait que dix-huit ans, et des ordres spéciaux du roi étaient nécessaires pour qu'on pût l’admettre au sein de cette compagnie, malgré les réglemens d'autant plus respectés qu’ils paraissent cho- quans. Que fait l’âge pour la science et le talent? d’ail- leurs, le cas exceptionnel dans lequel se trouvait le jeune Clairaut, ne se présente que trop rarement ; il fut admis à l'Académie des sciences avec l’agrément du roi, qu’on n'a jamais eu depuis l’occasion desolliciter pour le même motif. Le nouvel académicien ne parut point, malgré sa jeunesse, embarrassé de la gloire qui couron- nait sespremiers travaux. Il eut le courage de supporter avec une noble modestie l'accueil empressé qu’il reçut dans fe monde. C’est qu'il avait été préparé de bonne heure à mériter les honneurs qui venaient à lui dès ses premiers pas dans la carrière. Il avait reçu une éduca- , CL 329 tion distinguée; son père avait voulu qu’il fit marcher de front avec l’étude des mathématiques, celle des langues et des belles lettres. Ses premières dispositions semblaient l’entrainer vers l’état militaire. En 1722, un camp avait été formé à Montreuil près de Paris, pour l’instruc-, tion de Louis XV, encore enfant; Clairaut qui n'avait alors que neuf ans, savait déjà assez de fortifications pour comprendre et développer scientifiquement les opérations d’un simulacre de siége qu'on y exécuta. Il montra depuis un vif désir de se destiner au service, et les promesses de son père, à cet égard, furent un vif stimulant pour son jeune élève, qui se livra avec plus d’ardeur à l'étude des mathématiques. Il avait grandi au milieu des savanset desartistes, dans la société desquels, à l’âge de treize ans, il était en état de tenir sa place. Aussi à dix-huit ans, la distinction honorable dont il était l’objet, ne fit-elle qu’augmenter son ardeur pour le tra- vail. Il assistait avec ponctualité aux séances de l’Aca- démie, et il y lisait de nombreux mémoires sur diverses branches de la science, dans lesquels on remarque le dé- veloppement successif de cette noble intelligence. Nous avons pensé qu’on ne trouverait pas sans intérêt, dans cet ouvrage, des détails sur l’enfance de Clairaut; nous reviendrons plus tard sur quelques circonstances de sa vie, dont nous allons d’abord exposer succinctement les plus remarquables travaux. Clairaut fut du nombre desacadémiciens qui, en 1736 allèrent en Laponie pour mesurer un degré du méridien. La question de la figure de la terre occupait alors tous les savans d'Europe et en particulier l'Académie de Paris : Clairaut se livra avec l’ardeur qui lui était natu- relle, aux recherches qu’occasionna cet important pro- blême. On sait qu’il résulta des trois mesures du mé- ridien, en France, en Laponie et au Pérou, la consé- quence certaine que la terre est un sphéroïde aplati vers les pôles. Le premier degré du méridien à partir de l'équateur, fut trouvé de 56750 toises; celui de France, par une latitude de 43°23, futtrouvé de 57075 toises ; celui de Laponie de 47438 toises : d’où il résulte évidemment que la valeur du degré augmente considé- ‘ablement en allant de l’équateur en France et en La- ponie; ce qui confirma les admirables théories de Newtou et d'Huygens. (Foy. Bouquer, La Caizre, Cassini DE Taury.) La part que prit Clairaut à la discussion qui s’éleva ensuite sur quelques points de la théorie de la terre, et qui dura long-temps, est indiquée par son ouvrage in- titulé : Figure dela terre tirée des lois de l'hydrosta- tique, qu'il publia en 1740. Dans cet ouvrage, Clairaut résout les problèmes qui avaient alors été posés par Bouguer et Maupertuis (voy. ce nom), et à cette occasion, il fait voir qu'il existe une infinité d’hypothèses de pesanteur, où le 42 330 CL fluide ne demeure pas én équilibre, quand même les deux principes de Huygens et de Newton seraient observés À la fois. Clairaut donne ensuite les caractères généraux pour reconnaître les hypothèses qui admet- tent l’équilibre, et pour détermiuet la figure que le fluide doit prendre ; il applique sa théorie à divers phé- nomènes, et entre autres à celui des vaisseaux capillaires. C’est alors qu'il aborde le véritable objet de la question, c’est-à-dire, la recherche de la figure de la terre, en supposant que ses particules s'attirent en raison inverse des carrés des distances, et qu’elletourne autour de son axe. Il commence par le cas de lhomogéuéité de la masse fluide; et sur ce point, il abandonne sa propre inéthode pour suivre et adopter celle de Maclaurin, qui trouvait que les deux axes de ce sphéroïde sont entre eux comme 330 et 229, ainsi que Newton l'avait conclu de ses principes. Sans plus rien emprunter de personne , Clairaut se livre ensuite à d’autres recherches très profondes; il explique, par exemple, la ma- nière de reconnaître les variations de la pesanteur de- puis l'équateur jusqu’au pôle, dans un sphéroïde com- posé de couches, dont les densités et les ellipticités sui- vent une loi donnée, du centre à la surface ; il détermine la figure que la terre aurait, si, en la supposant d’ail- leurs entièrement fluide, elle était un assemblage de couches de différentes densités; enfin, il compare sa théorie avec les observations, et dans cette comparaison, il examine les erreurs qu’il faudrait attribuer aux obser- vations , afin que les dimensions du sphéroïde terrestre fussent à peu près telles que la théorie le demande. Ces vues utiles et nouvelles ajoutèrent aux découvertes de Newton, et l'ouvrage de Clairaut doit être comme une des productions les plus remarquables, et qui ho- norent le plus les travaux scientifiques du dernier siècle. En 1752, un mémoire sur la théorie de la lune, de Clairaut , remporta le prix proposé par l’Académie de Saint-Pétersbourg. Il tira les principales raisons de cette théorie du problème des trois corps, dont la solution fut, quelques années après, l’occasion d’un vif ressenti- ment entre lui et d’Alembert. Le mémoire couronné était un résumé des nombreuses et difficiles recherches auxquelles Clairaut s'était livré sur ce sujet. Il ÿ consi- dère la lune comme soumise à l’action de quatre forces, dont la première et la principale est sa tendance vers la terre , les trois autres sont des forces perturbatrices qui proviennent de l'action du soleil. Clairaut donneles for- mules qui expriment les mouvemens provenant de l’ac- tion de ces diverses forces, etilentire la détermina- tion de la latitude de la lune. D’après sa méthode, on à finalement le lieu de la lune dans le ciel, pour un instant quelconque ; ce qui était l’objet du problème des mouvemeps de la lune, CL Une circotistance importante, et que nous ne pouvons passer sous silence , se rattache à fa production de cette ihéoïie. Dans Îes nombreux et difficiles calculs des iné- galités de ja lune que Clairaut fut obligé d'entreprendre, il s'était d'abord mépris sur lé mouvement de l'apogée : il ne l'avait trouvé qu'environ la moitié de ce qu'il est réellement éuivant les observations. Ce résultat dont il se croyait bien sûr, et qu'ilse hâta frop d'annoncer dans Vassemblée publique de l'Académie des sciences du 14 novembre 1747, aflligea beaucoup les partisans de Newton, et réjouit d’autant ceux dé Descäries, cär à cette époque les savansétaient encore mcertains entre les théories de ces deux grands hommes. Aussitôt les carté- siens firent retentir les journaux de ce qu'ils appelatent la découverte de Clairaut. Ils éspéraient que le $Ystème Newtonien, convaincu de faux dans un point essentiel, ne résisterait pas à un nouvel examen, et disparaîtrait entièrement. Leurs espérances et leur trioraphe ne furent pas de longue durée. Clairaut ayant revu ses cäl- culs avec sévérité, s’aperçut qu'il n'avait pas poussé assez loin l’'approximation de la série qui devait don- ner le mouvement de l'apogée; il corrigea donc son erreur , et il trouva la totalité de ce mouvement, sans rien ajouter ni rien changer à la loi de là théorie new- tonienne. Clairaut donna dans cette circonstance une preuve nouvelle de sa loyauté et de son ambur exclusif pourla science, indépendamment des intérêts de l’amour- propre, que bien des hommes ont placés avant. Îl ré- tracta publiquement et avec franchise son ässertion pré- cipitée. Ainsi, dès ce moment, la loi de Newton reçut une éclatante confirmation. Au mémoire qu’il envova au concours à Saint-Pétersbourg sur cet important sujet, Clairaut avait joint des fables qui se trouvèrent un pêu défectueuses, soit par quelques erreurs dans les For- mules analytiques , soit par l’inexactitude des observa- tions qui leur servaient de base. Mais en 1765 et peu de temps avant sa mort, il donna une nouvelle édition de cet ouvrage avec des additions théoriques et de nou- velles tables, qui satisfirent les astronomes, et jouissent encore d’une grand réputation. En 1997, Clairaut lut à J'Académie un mémoire sur l'orbite apparente du soleil autour de la terre, en ayant égard aux perturbations produites par la lune etpar les planètes principales. Ce mémoire, imprimé par antici- pation dans un volume de l'Académie, pour 1754, est une nouvelle application de la méthode que l’auteur aYait employée dans la théorie de la lune; il est remar- quable par laclarté avec laquelle sont exposées les ques- tions qui y sont traitées. Le célèbre Halley avait annoncé le retour de la co- mète de 1682 pour 1759 ; ce grand astronome avait re- connu que ce corps céleste, en vertu de l'attraction de Jupiter , avait dû mettre un peu plus de temps à faire CL sa révolution de 1607 à 1682, qu'elle n’en mettrait à faire la révolution suivante; mais son calcul ne pouvait pas avoir l'exactitude de ceux qu'on devait obtenir à l'aide des méthodes plus modernes. De plus, Halley avait négligé l'attraction de Saturne, dont la masse est d'environ le tiers de la masse de Jupiter, ce qui devait aussi produire un dérangement sensible dans Ja marche de la comète. Quant aux attractions de la Terre et des autres planètes, comme elles sont très-petites, on croyait pouvoirdes négliger. Clairaut fut le premier géomètre qui entreprit de dé- tecmiyer les inégalités de cette comète, en ayant égard aux attractions de Jupiter et de Saturne. On doit re- marquer que ce problème, quoique semblable dens le fond à celui qui a pour objet la détermination des iné- galités des planètes, en diffère cependant en deux points essentiels. Dans le mouvement des planètes, les orbites sont peu excentriques les unes par rapport aux autres. Dans le mouvement des comètes, les rayons vec- teurs changent considérablement, et l'orbite de la co- mète peut décrire un très-grand angle avec lorbite de Ja planète. perturbatrice. Or, ces différences changent nécessairement la nature ou le choix des moyens qu'il faut employer dans ces deux cas, pour parvenir à des séries convergentes. Clairaut selivra avec ardeur à ce nouveau travail; et avec le secours de quelques disciples qui l’aidaient à convertir en nombres les formules ana- lytiques, il se trouva en état d'annoncer dans l'assemblée publique de l’Académie des sciences, du 14 novem- bre 1758, que la comète paraîtrait au commencement de 1759, et qu’elle passerait à son périhélie vers le 15 avril suivant. Cette annonce que Clairaut présenta avec réservé et modestie, fit une profonde sensation dans le monde savant, car, de sa réalisation, dépendait la con- firmation d'une importante théorie, et la solution d’un des plus beaux probièmes astronomiques. La comète fut aperçue en Saxe, en 1758, et fut observée à Paris, le 4 janvier 19959. Clairaut en retira une grande renommée, son nom fut proclamé avec des éloges, dont on ne com® prend plus l'enthousiasme aujourd’hui, que les plus belles découvertes de la sciencesont accueillies avec une si déplorable indifférence. Mais il faut convenir que les amis de Clairaut dépassèrent dans cette circonstance toutes les bornes d’une juste admiration, et qu'ils ou blièrent beaucoup trople graud Halley, dont le nom fut à peine prononcé. (l’oyez Apran et HaLLey.) La théorie du mouvement des comètes, que Clairaut publia en 1:60, devint l’occasion, comme nous l’avons dit plus haut, d’une vive discussion entre lui et d’Alem- bert, dans laquelle il parait qu’il n'eut pas toujours rai- son. On trouvera les détails de cette lutte fâcheuse entre deux hommes de génie, qui avaient chacun un mérite paruculier, dans le Journal des savans des mois CL 531 d'août 1759, décembre 1760, et janvier 1761. Nous nous bornerons à dire ici que le public saisissant avec plus de facilité les travaux d’application de Clairaut, que les recherches théoriques et abstraites de d’Alembert, donna raison au premier ; les savans ne furent pas en- tièrement de l'avis du public. Nous nous contenterons d'indiquer les autres travaux de Clairaut, par le titre des ouvrages où ils sont ex- posés. La vie de ce célèbre géomètre a été bien remplie, et son nom sera honoré aussi long-temps que la science tiendra le premier rang parmi les hautes productions de l'intelligence humaine. Voici le jugement que porte sur lui un de ses contemporains qui avait vécu dans son in- timité : Il avait le faible de tous les grands hommes : il aimait un peu trop la célébrité. Adroit à saisir tous les moyens de s’attirer des applaudissemens, il dirigeait ordinairement ses recherches vers des objets dont un grand nombre de personnes pouvaient apprécier, sinon la théorie , au moins les résultats. Il travaillait ses ou- vrages avec un extrême soin, et presque toujours il] leur donnait la perfection dont ils étaient susceptibles. Ses élémens de géométrie et d’algèbre Jui firent des partisans nombreux et zélés, parmi les jeunes étudians de ces sciences , flattés d’avoir pour guide un géomètre d’une aussi grande célébrité. Un caractère doux et hant, une grande politesse, une attention scrupuleuse à ne blesser l’amour-propre d’autrui, lui donnèrent daus le grand monde une existence, une considération, que le talent seul n’aurait pas obtenues. Par malheur pour les sciences, il se livra trop à l’empressement général qu’on avait de le connaître et de le posséder. Eutrainé par la dissipation du grand monde , et voulant allier Le plaisir à ses travaux ordinaires, il perdit le repos et la santé, quoique son excellente constitution physique parüt lui promettre une longue carrière. Clairaut fut enlevé aux sciences et à l'amitié, le 17 mai 1765, ägé seulement de cinquante-deux ans, On lit dans l'éloge académique de cet illustre géomètre, que son père eutle malheur de lui survivre ; il ne fut jamais marié, etle roi, en considération de son nom et de son mérite, fit une pension de 1,200 1. à sa sœur, qui resta seule d’une fa- mille de vingtenfans qu'avaiteus Jeax:-Baptiste Clairaut, leur père. Un frère puîné d’Alexis Clairaut avait éga- lement faiten mathématiques des progrès assez rapides, pour être en état, à l’âge de quatorze ans, de lire à l'A- cadémie des sciences un mémoire de sa composition. Les espérances que donnait cet enfant ne purent mal- heureusement pas se réaliser, la petite vérole l'emporta en deux jours, à l’âge de seize ans, un an après qu’il eut publié un Traité des quadratures circulaires et hyper- boliques, qui parut revêtu de l'approbation et des éloges de l’Académie. Voici la liste des principaux ouvrages de l’académicien célèbre dont nous venons d’esquisser les CL travaux. I. Recherches sur les courbes à double cour- 592 bure; Paris, 1731, in-4°. IL. Elémens de géométrie; Paris, 1741, 1765 ,in-8. III. Théorie de la figure de da terre; Paris, 1743, in-b°; réimprimé en 1800. IV. Éiémens d’algèbre; Paris, 1753, in-8°. La troisième édition de cetouvrage, revue par Clairaut, paruten 1760; elle est encore fort estimée. En 1797, il en parut unenouvelle édition avec des additions tirées en partie des lecons données à l’école normale, par La Grange et La Place, et précédée d'un traité élémentaire d'arith- métique ; 2 vol. in-8°. V. Théorie de la lune déduite du seul principe de l'attraction; in-4°. Pièce couronnée par l’Académie de Saint-Pétersbourg, en 1752; elle a eu une seconde édition à Paris, en 1565, accompagnée des tables de la lune, rectifiée par l’auteur. VI. Théorie du mouvement des comètes; Paris, 1760, in-8°. Un grand nombre de mémoires de Clairaut sur l’algèbre , la me- canique et l'optique se trouvent dans le Journal des savans , et dansle Recueil de l'académie des sciences ; ils n’ont jamais été, malgré la célébrité de leur auteur, nirecueillis, ni imprimés à part. CLAVIUS (Cunisropne), savant et célèbre mathéma- ticien du XVI° siècle, naquit à Bamberg, en 1537. Il entra chez les Jésuites, dont il prit l’habit; il ne tarda pas à s’acquérir une grande réputation de savoir mathé- matique; les chefs de son ordre l’envoyèrent à Rome, où il fut employé par Grégoire XIII, en 1581, à la réformation du calendrier. Il parait qu’il fit tous les calculs nécessaires à l'exécution de cette entreprise qu’il fui ensuite spécialement chargé de justifier contre les at- taques des protestans et contre celle des géomètres du temps , qui prirent cette utile réforme comme un texte de critique. I] eut à réfuter Viète, Meæstlin, Lydiat et le fameux Scaliger. Sa dispute avec ce polygraphe, qui avait la manie pédantesque de tout savoir, peut donner une idée de l’urbanité dont on usait dans la cri- tique littéraire de ce temps. À défaut de bonnes raisons, Scaliger écrivit de grossières injures contre son adver- saire. Voici, par exemple, comment il jugeait le savant Clavius. « C’est une bête, disait-il, un gros ventru d’Al- lemaud; c’est un âne que ce Clavius, qui ne sait rien que son Euclide, asinus est iste Clavius, qui præter Eucliden nihil seit; et il ajoutait avec la grâce parti- culière qui caractérise ses écrits : C’est ün esprit lourd et patient, et c'est ainsi que doivent être les mathématiciens; un grand mathématicien ne saurait être doué d’un esprit élevé : et tales debent esse mathemativi ; præclarum in- geniurm non polest esse magnus mathematicus. Scaliger, on le voit, avait un profond mépris pour les mathémati- ciens, parce qu'ils opposaient trop souvent à sa faconde doctorale des raisons péremptoires; il ne regardait pas les mathématiques comme unescience, parce qu’il ne les sac vait pas. Aujourd'hui, les utiles travaux du père Clavius CL sont justement appréciés, tandis que les nombreux 1n-fo io de Scaliger sont à peine connus par leurs titres de quelques patiens bibliographes. Gérard-Jean Vossius, juge plus éclairé que l’insolentScaliger du méritemodeste de Clavius, en parle autrementque lui dans son livre de Scientiis mathematicis , où il le considère comme l’au- teur du calendrier grégorien. {1 a reçu des éloges aussi exagérés que les critiques de Scaliger, car il est appelé dans quelques ouvrages l'Euclide de son siècle. Le P. Clavius mourut à Rome, le 6 février 1612. On a de lui de nombreux ouvrages dont nous citerons seulement les principaux. 1. Æuclidis elementorum libri AVI, cum scholüs; 1574. Malgré la longueur des commen- taires qu’il contient, cet ouvrage fort estimé a souvent été réimprimé. IT. Calendarii romani gregoriani expli- catio, jussu Clementis VF IIT; Rome, 1600. C’est sur cet ouvrage qu'est fondée la réputation de Clavins; il est peut être le meilleur écrit qui ait été publié sur le ca- lendrier romain, malgré Ja prolixité des détails dans lesquels l’auteur est entré. : Indépendamment des écrits importans, on trouve dans le Recueil des œuvres de Clavius, imprimé à Mayence, en 1612, en 5 vol. in-fol., plusieurs traités de géométrie, d’algèbre, d'astronomie, ét surtout de gnomonique, branche de science à laquelle Clavius avait consacré, en 1581, un énorme in-fol. Parmi les pièces que contient ce vaste recueil , aujourd’hui peu consulté, celle intitulée : Castigatio castigationis Josephi Scali- gert, dans laquelle le pédant adversaire de la réforma- tion du calendrier est rigoureusement traité , mérite de fixer l'attention. CLEPSYDRE (de xxumrs, Je cache, et de vdwp, eau). Instrument ou horloge d’eau, dont les anciens se servaient pour mesurer le temps. Perrault, dans ses remarques sur Vitruve, expose les diverses formes que l'on donnait à ces horloges, dont il existait un grand nombre d'espèces, toutes cependant fondées sur le même principe, savoir : l'abaissement pro- gressif de la surface d’une colonne d’eau renfermée dans un vase, et s’écoulant par un petit orifice situé à la parüe inférieure du vase.Les clepsydres les plus simples consistaient en un large tube de verre, portant une échelle divisée de manière à ce que le niveau de l’eau, en s'abaissant, indiquait les heures par sa correspon- danceavecles divisions. L'usage de cetinstrument est très- ancien, Il fut inventé, à ce que l’on croit, en Egyptesous les Ptolémées. Le peu de précision dontil est susceptible l'a bien vite fait abandonner, dès qu’on eut inventé des moyens plus certains de mesurer le temps. On trouve dans le premier volume des Machines approuvées par l'Académie des sciences, la description de nouvelles clepsydres supérieures à celles des anciens. Nous y renverrons nos lecteurs, ainsi qu’au vol. XLIF des OÙ Transactions philosophiques, ou se trouvent également des renseignemens précieux sur la théorie et la pratique de ces instrumens. CLIMAT (Géom.) (de xxiwa«, inclinaison). Terme employé dans la géométrie ancienne, pour désigner les parties ou zones du globe terrestre comprises entre deux cercles parallèles à l'équateur, et distinguées les unes des . autres, par la durée de leur plus long jour d’été. Les anciens se servaient des climats pour déterminer la si- tuation des lieux sur la surface de la terre, avant qu’on eût imaginé d'employer les latitudes. La largeur de chaque climat est déterminée demanière qu'il y ait un accroissement d’une demi-heure entre le plus long jour du parallèle qui termine l’un d’eux et le plus long jour du parallèle qui termine le suivant, en allant de l'équateur vers le pôle. Ainsi, le premier climat est celui à l’extrémité duquel le plus long jour est de 12 heures +, le second, celui où il est de 13 heures, et ainsi de suite. On compte, par conséquent, 24 climats, depuis l’équateur jusqu’au cercle polaire, parce qu’à l'équateur, le jour est constamment de 12 heures, tan- dis que sur les cercles polaires , le plus long jour est de 24 heures, c'est-à-dire, de 12 heures, plus 24 demi- heures. On a donc pu diviser cet espace en 24 parties, croissant successivement d’une demi-heure. Passé le cercle polaire, on ne compte plus que six climats pour aller au pôle, mais le plus long jour de chacun de ces climats surpasse d’un mois celui du précédent jusqu’au dernier , qui se termine au pôle, où il n’y a qu’un seul jour de six mois, et une nuit également de six mois. Cette division a lieu pour l’un et l’autre hémisphère; ainsi, il y a trente climats dans l’hémisphère septentrio- nal, ettrente dans l'hémisphère méridional, savoir : 24 climats d'heures et6 climats de mois. Quelques géo- graphes comptent les premiers climats de quart d’heure en quart d'heure, et les seconds, de 15 en 15 jours. Ils forment ainsi 60 climats différens. Les climats , soit d'heures, soit de mois, n'ont pas la même largeur. Les premiers sont d’autant plus larges, qu'ils sont plus près de l'équateur, tandis que les se- conds, au contraire, vont en s’élargissant vers les pôles. Cette différence vient de ce que les climats d’heures dépendent de la grandeur de l’arc du tropique voisin qui est sur l’horizon, au lieu que les climats de mois dé- pendent de l'arc de l’écliptique, lequel reste toujours sur l’horizon, pendant que la sphère fait sa révolution diurne. En examinant la situation de l’écliptique sur une sphère armillaire, on se rendra facilement compte de toutes les variations des climats. La table suivante indique le cercle de latitude auquel se termine chaque climat, ainsi que l'étendue de sa lar- geur. 355 le PEUS LONG , ‘JOUR. CLIMATS. LATITUDE, |. LARGEURe AN æ m 0 D On CGR M 4 4 3 2 2 2 I I I I Oo o o o o Oo o o o o 2 3 5 5 F Lorsqu’on connait Le plus long Jour d’un lieu, on peut trouver immédiatement le climat dans lequel il est situé, et réciproquement. Par exemple, ce jour étant pour Paris de 16 heures, on ôte 12 de 16, et il reste 4 heures ou 8 demi-heures; Paris est dans le huitième climat, puisqu’il y a 8 demi-heures de différence entre le plus long jour de Paris, et celui de l’équateur. Si l’on savait au contraire que Paris est dans le huitième climat, et qu’on voulût trouver son plus long jour, il suffirait d’a- jouter à 12 heures, 8 demi-heures, ce qui donnérait 16 heures. Quant aux climats de mois, l’opération s’exé- cuterait en ajoutant ou retranchant un mois par climat, en partant du premier. Les anciens géographes qui ne connaissaient qu’une bien petite partie de la terre, et qui croyaient le reste inhabitable , ou du moins inhabité, n'avaient établi que sept climats, dont le premier avait 13 heures. Ilsles dési- gnaient par les noms des lieux les plus remarquables qui y sont situés: ainsi, le premicr était celui de Meroe; le second, celui de Syène; le troisième, celui d’Ælexan- drie; le quatrième, celui de Rhodes; le cinquième, celui de Rome ; le sixième, celui du Pont-Euxin; et le sep- tième, celui de l’embouchure du Borysthène. À ces climats , Ptolémée en ajouta plus tard sept autres, éga- lementseptentrionaux, etlorsque les progrès de la science eurent fait connaître les diverses contrées de la terre, les géographes complétèrent cette subdivision, beaucoup 354 co trop vague, du globe, qu'ils auraient mieux fait d'aban- donner. CO.CHEOU-KING, l'un des plus célèbres astronpmes chinois, naquit à Chun-te-Fou, ville de la province de Pé-Tché-Li, Khan, que les Chinois ont appelé Ghi-Tson, le cinquième vers le milieu du XIII siècle. Koublai- successeur de Gengis-Khan, et le fondateur de la dy- nastie des Yven, en 1271, fit refleurir les sciences à la Chine, et favorisa particulièrement l'astronomie. La ré- putatipn de savoir et d’habileté que s'était attirée Co- Cheoy-King le fitappeler par ce prince dans la capitale de l'empire, et nommer chef de l'antique et célèbre tri- bunal des mathématiques. Ce grand obseryateur fit construire des instramens beaucoup plus exacts que ceux dont on avait fait usage jusqu'alors. Le plus pré- cieux de tous était ua gnomon de quarante pieds chi- nois, terminé par yne plaque de cuivre yerticaleet percée par un trou du diamètre d'une aiguille. C’est du centre de cette ouverture que Co-Cheou- King comptait la hauteur du gnomon : il mesurait l'ombre jusqu’au centre de l’image du soleil. « Jusqu'ici, dit-il dans un écrit rapporté par le P. Gaubil (ist. de l'astronomie chinoïse), on n’obseryait quele bord supérieur du soleil, et on avait de la peine à distinguer leterme del’ombre : d’ailleurs, le gaomon de huit pieds, dont on s’est cons- tamment servi, est trop court. Ces motifs m'ont porté à faire usage de gnomon de quarante pieds, et à prendre le centre de l’image. » En comparant les ombres méri- diennes d’une longue suite de jours avant le solstice, avec une pareille suite d'observations faites après le solstice, il détermina que le solstice d'hiver était arrivé à Péking , en 1280, le 13 décembre, à 1 heure 36! 24/ après minuit, C’est de ce jour que date d’ère nouvelle de l’astronomie chinoise, à laquelle les travaux de Co- Cheou-King apportèrent de nombreux et importans changemens, D’après le P. Gaubil, cet astrenome dé- termine, pour ce moment , le lieu du soléjl dans Îes constellations , le mouyement d’anemalie et de latitude de la lune, et lelieu de chaque planète; il marque aussi pour ce moment l'épacte et tousdes autres élémens du calcul astronomique. Co - Cheou -King conclut encore de ces observations, que la plus grande déclinaison du soleil était de 23° 38 40" 17 ou 18”. L'abbé de La Caille verifia cette ancienne détermination de l'obliquité de l'écliptique, qui lui parut un fait très-intéressant pour l'astronomie. En calculant d’après la longueur des ombres méridieuues observées par Co- Cheou- -King, et ayant égard à la réfraction et à la parallaxe, l’astro- nome français trouva que l’obliquité de l’écliptique avait été, eu 1270, de 23° 32' 11 ou 12”; puis, com- parant ensuite cette obliquité ayec celle qu’il avait déjà déterminée pour l’année 1950, de 23° 18° 43”, il en conclut que la diminution réelle de l’obliquité, a été de ‘a 565 jours 5 heures 49° 12 CO 3° 43" en 471 ans, c'est-à-dire de 47" 3 par siècle. Ce qui confirme la détermination obtenue par Euler, d'après sa théorie physique. A la suite de l'observation de quatre autres solstices, rapportée par le P. Gaubil, et en les comprenant avec celui qu'avait observé, en 460, l'habile Co- Chcou-King détermina la quantité de l’année solaire, l’ancien astronome Tchou-Tsong, »", C’est en partie d’après ces anciennes observations chinoises , que l'abbé de La Caille détermina la durée de l'année solaire à 365 jours 5 heures 48° 49”. On regarde co nmunément, à la Chine, Co-Cheou-King commele premier mathématicien de ce pays, qui ait fait usage de la trigonométrie sphérique. C'est sans doute pour exécuter des opérations sur cette base, que Co-Cheou King , comnie chef du tribunal des mathématiques, envoya divers membres de ce tribunal dans différentes provinces de la Chine, dans la Tar- tarie et la Corée. Le P. Gaubil a rapporté les observa- tions qu'ils firent de la hauteur du pôle; mais il ne paraît pas qu’il ait pu retrouver d’autres détails de leurs travaux astronomiques. Co-Cheou-King ayant examiné les instrumens confectionnés sous les dynasties précédentes, les trouva défectueux, ct les fit construire de nouveau; mais comme, après lui, l'astronomie fut derechef négligée à la Chine, jusqu’à l'avènement de la dynastie de Ming, qui succéda à celle des Yven, ces instrumens , qui avaient passé pour être d'une grande précision , furent déposés à Péking, dans une salle basse du tribunal des mathématiques, où il ne fut plus pos- sible de les voir, et dont par conséquent on ne fait plus usage. On ignore la date de la mort de Eo-Cheou- King , le plus habile astronome qu'ait eu la Chine, et dontdes observations, précieuses parleurexactitude, m'ont pas été inutiles aux progrès de l'astronomie moderne. COCHER (Astr.). Nom d’une constellation boréale, composée de 66 étoiles dans le catalogue de Flamstead. L'étoile la plus brillante de cette constellationse nomme la Chèvre (voy. ce mot). Le cocher est situé au-dessus du Taureau;entre Persée etles Gémeaux (voy PL. IX). On lui donne-ençoreles noms de Æwriga, Aurigator, Agi- taior Currüs, Arator, Héniochus, Habenifer, Erich- thonius, Qrus, Phaeton, Bellérophon, Trochikus, Absyrthe, Lustos Caprarum, Ænomaus , Hippolytus. GOEFFICIENT (4/g:). Quantité par laquelle une autre quantité «st multipliée. Ainsi dans 3a, Ax, (aHn)æ? ,etc., 3 est le coefficient de a, A celui dexet mn celui de x? Lorsqu'une lettre n’est précédée d'aucun nombre, elle est toujours censée avoir 1 pour coefficient , parce qu’en général M est la même chose que 1 XM. Dans une équation quelconque ar + Am! Æ Bxr-? L Cri Hetc...+ Z =0o, Grdonnée par rapport aux puissances décroissantes de x, co le coefficient du second terme est égal à la somme de toutes les racines de l'équation prise avec un signe con- traire. Le coefficient du troisième terme est égal à la somme des produits deux à deux des racines. Le coefficient du quatrième terme est égal à la somme des produits trois à& tros des racines prise avec un signe contraire. Et ainsi de suite jusqu’au dernier Z, lequel est consi- déré comme le coefficient de x° et qui est égal au pro- duit de toutes les racines: Par exemple, soit l'équation du troisième degré x + Ai +Bx +C— 0, dont les racines sont à, b, ce, nous aurons A=— (a+ b+c) B— ab ac + bc C —= abc. V'oy. Equariox. MÉTnoODE DES COEFFIGIENS INDÉTERMINES. Cette mé- thode, l'une des plus fécondes de la science des nombres, fut entrevue par Viète, mais c’est à Descartes qu'on en doit le développement et la première ap- plication importante ; depuis on Pa employée avec succès dans les parties les plus élevées de la sciénce, soit coimmé moyen de démonstration, soit comme moyen de découverte. Elle consiste généralement à supposer une équation avec des coefficiens indétermi- nés dont on fixe ensuite là valeur par la comparaison de ses termes avec ceux d’üné autre équation qui lui doit être égale. C’est ainsi que Descartes est arrivé à la solu- tion f équations du quatrième degré. Voy. Biqua- DRATIQUE. La méthode des Coefficiens indéterminés est d'un graud usage dans la génération des quantités par le moyen des séries. Nous allons examiner ici divers cas particuliers afin de rendré plus sénsibles et la méthode elle-même et les divers procédés dont elle se sert. I. Supposons d’abord qu'il s'agisse de développer en a b+x quelconque, ou, comme on le dit, uñe quantité variable. série la quantité , dans laquelle æ est un nombre Nous poserons l'égalité (a) re =A + Bx + Ca + Ca Dot HE Letc.... et A, B, GC, D, etc., seront donc les coefficiens dont il faut déterminer la valeur, Avant de poursuivre, nous devons faire observer que la forme de l'égalité (a) n’est point arbitraire, mais qu’elle est fondée sur la proposition suivante dont nous donncrons ailleurs la démonstration. CO 355 Une fonction quelconque d'une quantité variable x peut toujours étre développée en série procédant sui- vant les puissances progressives de x, c'est-à-dire @x étant une fonction quelconque de x etA,, A,, A, etc. des quantités indépendantes de x, maïs déterminées par la nature de La fonction, on a (2) pr =Aÿ+A,x+A,x + ATH Ari Letc... Oéti posé ; et la forme de l'égalité (a) ainsi légitimée (voy. Foxcrio x), multiplions les deux membres de cette égalité par b+x, et faisant passer ensuite a dans le se- cond membre , nous aurons (b) 0 = Ab + Bbx + Cbx? + Dbx3 + Ebxi— etc. —a + Ax + Bz + Cri + Dri + etc. L’éfalité (a) devant subsister quellé que soit le valeur de x, il en est nécessairement de méme de cette dur. nière ; mais lorsqu'on fait x=—6 elle devient Ab—a—o, d’où l’on tire a À = nm . donc cette valeur de A dit restér la ième pour toute autre valeur de x, ét pair conséquent Ie preltiiér coëf- ficieut Se trouve ainsi déterminé: Rétrañchatt dans (D) les quantités Ab; et==a qui se détruisent, cetté équation se réduit à: 0 — Bbx + Cha? + Dr + Ebri + Fbx L etc. + Ax + Baf L Cr + Dai + Ex + etc., ou , divisant par æ, à (c) o — Bb + Chr À Dh + Fr À TEA ele : + A + Br + Cr + Dr + Exf etc Cetté équation deVant encore Subäicter pour toute valeur de x, faisons x—o et nous aurons Be + À O0, D'où À B— = pa et enfin a B=— Re 7e en substituant À fa place de À, sa Valeur Ÿ trouvée ci- » dessus. Retranchant B5-HA=0 de (ec) ct divisant par æ, il nous restera (d) = Cb + Dbx + Eba? + Fbaxÿ + Gbzf — etc. + B + Cx + Dar + Ex + Fri + etc. 336 Co faisant de nouveau x—0 , nous aurons Cb + B= o d'où B,A4& C—=— 3 =5 - , a en substituant à la place de B sa valeur — -—. b? Il est évident qu’en continuant de la même manière nous tomberions sur les égalités Dr +C—=0o Eb + D —=o Fb+E —o etc. = etc. à l’aide desquelles les coefficiens D, E, F, etc., se trou- xent déterminés. Remplaçant dans (a), À, B, C, D, etc, par leurs valeurs, nous aurons définitivement (71) «a a a [74 sb ut pe — 57 a + etc... ce qui est le développement demandé. En se reportant à l'équation (b), on voit aisément que la marche que nous venons de suivre se réduit à éga- ler séparément à zéro les quantités qui multiplient une même puissance de x; et, en effet, il faut nécessaire- ment que ces quantités soient toutes o pour que cette équation puisse subsister daus toute sa généralité, c’est- à-dire x étant une quantité quelconque. Si dans l'expression (m)nous faisonsa=1 , elle devien- I ; ee dra, pus étant la même chose que (b4+x) o —{ ï TZ “2 x° x4 G+x) Rp pal pe lp els) ce que nous obtiendrions également en développant G+x) ainsi qu’on arrive aux mêmes résultats par des procédés ‘ par la formule de Newton (v0y. Binome). C’est pien différens, et que se manifeste la certitude de la science. IT. Appliquons maintenant la méthode des coefficiens indéterminés à des questions plus importantes, et com- mençons par la détermination des quantités À,, À,,A,, A,, etc., qui entrent dans le développement général (z) de toute fonction en série ; soit donc (1) px—=A,+ A,;x + A,at + A;xi LA ri etc... si, dans cette expression nous faisons x—o, nous aurons CO le point placé sur x indiquant qu'il faut faire æ=o dans la fonction gx pour obtenir la valeur de A. Prenant ensuite la différeutielle des deux meinbres de l'égalité (1), nous obtiendrons dx = Aidx + 2A,xdx +3A,x'de + 4A aux + etc. et, divisant par dx, (2) d _ = A:+2A,x+3A;x + 4A,t + etc. cette égalité devant aussi avoir lieu quel que soit x, on a, en faisant x=0, Différentiant de nouveau les deux membres de l’éga- lité (2) et divisant ensuite par dx, nous aurons (3) d PT OA, pasle 3. (A mé At Det dx? ce qui donne , en faisant x—0, do 2dx* Aa Différentiant encore les deux membres de (3) et di- visant par dx, nous trouverons aussi dx és = 2.3A5+2.3.4A4x+3.4.5A x etc. d’où nous tirerons, en faisant x—0, Do Às 2.342 Il est évident qu’en poursuivant de la même manière nous obtiendrons successivement d'gx = 2.3.4dxt? too PATENT LA etc. etc., et en général, # étant un indice quelconque, Fe d'où Fo .23.4. (1). pe dE” substituant ces valeurs dans (1), nous avons enfin (n) Le æ qu=qu+ HET, a de 1.2 dx x “da 1.2. mie dont la loi est manifeste, ainsi, ilsuffit de savoir prendre les différentielles successives d’une fonction quelconque pour obtenir son développement en série. Soit, pour fixer les idées, x—(a+x)", nous aurons (voy. DirFÉRENTIEL) co ee = m(a+zx}r-1, LCR ca = m(m—1)(a 4x): LORD nms)(m—)(a+a—, CL. etc. faisant dans toutes ces expressions x—0o, et substituant dans (7) en observant que gi =(a+ à)" =a, nous aurons (a + x)r — am + man—1 2 + a am—222 m(m—1)(m—)2) 129 + am—3x3 + etc..., c’est-à-dire le binome de Newton. Or, comme les expressions précédentes sont indépen- dantes de toute valeur particulière de #2, le binome de Newton se trouve ainsi démontré pour un exposant quelconque. La loi générale (7), dont nous venors de donner une déduction, est connue sous le nom de théorème de Ma- claurin, nous verrons ailleurs en exposant le ‘hcorème de Taylor{voy. ce mot), qu’elle n’est qu’un cas particu- lier de ce dernier. II. Une fonction quelconque d’une variable æ pou- vant être encore développée en série, procédant suivant les factorielles progressives xl, x?*, x3l:, etc., de la variable, cherchons maintenant la loi des coefficiens de ce développement. Nous poserons donc (1) dx =A,+A,xtls+ A als HA ,xsls E Aile etc. Prenant les différences successives des deux membres de cette égalité, en prenant = pour l’accroissement de la variable # (voy. Dirrérence), nous aurons les égalités Aÿx —7A;—+923A,xti + 3zA ,x21:Letc.... Mr = 27%À,+4 9.37" Arts 3./4zA,xtl: E etc. Apr = 2.37/À, + 2.3.425A xls + + 3.4.5 A xl: L etc. ... Afpx — 2.3.47AÀ, + 2.3.4.5z4A ils + 3.4.5.623A xl Letc.. etc. CO faisant dans toutes ces égalités, à commencer par (1), x=0, nous obtiendrons A5 =#@?, CO 331, Aie 27? Az me 2:32 etc. , etc. , et en généra', 72 étant un indice quelconque 2 q q ? ArQX DDR LT mm le point placé sur x indiquant, comme ci-dessus, qu’il faut faire æ—0o après avoir pris les différences. La loi demandée est donc (2) k Apt xl | A als TT = TX se —— —— # ? EH FA I 2? 1.2 Aÿx al: ——. —; etc LA z4 1:23 sr Lorsque l'accroissement z est infiniment petit, les factorielles deviennent de simples puissances et le déve- loppement (2) se réduit à celui de Maclaurin qu'il em- braste ainsi comme un cas très-particulier, quoiqu’ilne soit lui-même que le cas le plus simple de la for- mule donnée par M. Wronski, pour le développement des fonctions en séries (voy. Facurrés et Séries). Nous nous contenterons ici d'appliquer cette loi au binome des factorielles , soit donc gx = (a+). Quelles que soient les quantités a, x, m, =, nous avons, # étant un nombre entier quelconque, (voy. Dirré- RENCE) Aa) = m(m—i)...(m—u+i)atc)-#zs, et, par conséquent »P ; gi = a"t, Aÿx = — mails, A°Dx és = m(m—1)a"—21, _ etc., etc. substituant dans (1) nous aurons donc (a + Cyr = al: + man—1l: œil: + + DATE) am-als, xls, etc... 1:2 etle binome des factorielles se trouve ainsi généralement démontré. Nous donnerons dans plusieurs articles d’autres appli- cations de la méthode des coefficiens indcterminés (voy. FRACTIONS CONTINUES , SERIES RÉCURRENTES); Ce qui pré- 43 sres) CO cède est suffisant pour montrer la haute utilité de cette méthode, qu’on peut appliquer à la recherche des lois les plus générales de la science. COEUR pu on, où RecuLus (Astr.). Étoile de la première grandeur , dans la constellation du Lion. Foy. RecuLus. COEUR 5e ’uspre (Astr.). Étoile de la seconde grandeur, dans la constéllation de l’Æydre. PVoy. ce mot. : COIHÉSION (Mec). Force qui unitles parties des corps, les retient ensemble etles constitue en une même masse. COIN {Héc.). Prisme triangulaire de fer que l’on fait entrer par uue de ses arètes dans la fente d’un corps pour en augmenter Pouverture. L'arète qui pé- nètre Je corps se nomme le tranchant du coin, la face opposée en est la téte, etes deux autres faces quadran- gulaires er sont les cotes. Le coin étant frappé sur sa tête (voy. PL. XVII, fig.) reçoit une impulsion que nous supposerons perpendieu- laire, où agissant suivant la droite BE. Cette impulsion tendant à écarter les côtés de la fente re put être con- trebalancée que par l'adhérence mutuelle des particules qui composent le corps; mais comme cette adhérence n’est pas la même dans toutes les substances, il devient impossible d'évaluer en général le rapport de la puis- sance à la résistance dans cette machine, que l’on compte parmi les six puissances mécaniques élémen- taives. Nous pouvons seulement chercher le rapport de la puissance aux pressions exercées sur les côtés du coin. Soit donc A BC le profil du coin ; représeutons par la droite arbitraire DO la force qui tend à le faire pénétrer, et ayant mené sur fes côtés AC, BC, les perpeudiculaires DE et DFE, achevons le parallé- Jlogramime IDHO , en re- présentant par DI et Dit ies pressions exercées sur C les côtés. Nommous donc F la force et P et P' ces pres- sions; les triangles semblables ABC , IDO , nous don- nerGnt DO : DI :10 :: AB : AC : BC où , en remarquant que IO—DH, : F:P:P':: AB :AG:RC, nous aurons donc aussi, H étant un nombre quelconque, F:P:P'::H X AB:HX AG:}H X BG, mais si H représente la largeur du coin, H % AB sera CO la surface de la tête, ét H X AB, H % BC les surfaces des côtés; ainsi la puissance F etles efforts P et P', qui agissent sur les côtés du coin, sont preportionnels à sa tête et à ses cotés. Il suit de cette théorie que plus le coin deviendra tranchant et plis a mênre puissance acquerra d'avantage sur les résistances, et plus, par conséquent, le coin trouvera de facilité à s’enfoncer. Nous avons supposé que la force agissait perpendicu- lairement à la tête, et il suffit en effet &e considérer ce cas ; car lorsque la force agit obliquement on peut la dé- composer en deux autres, lune perpendiculaire à la tête du coin et l'autre dirigée dans son plan : or, comme cette dernière force ne tend qu’à faire glisser la puissance sur le plan de la tête, elle demeure sans action sur la résistance. COÏNCIDER (Gcom.). Lorsque deux lignes ou deux surfaces appliquées l’une sur l'autre se confondent de manière à ne former qu’une seule ligne ou qu’une seule surface , on dit qu’elles coëncident. La coincidence désigne donc une égalité parfaite dans les figures ; et tous les géomètres, d'après Euclide, dé: montrent la plupart des propositions élénrentaires par le seul principe de Ix coïncidence ou superposition. COLLIMATION {Opr.) (de colimo, je vise). Nom dela ligne optique, supposée passer par les deux pinules d'un graphomètre lorsqu'on vise un objet. Dans une lu- nette, c’est l’axe optique, ou la ligne qui passe par le centre des verres. COLLINS (Jean), géomètre anglais, né à Wood- Laton , près d'Oxford, en 1624. Il avait des connais- sances étendues dans les diverses branches des mathéma- tiques et passa surtout pour un des plus habiles calcula- teurs qui eüt jamais existé. Ces connaissances et la publication de quelques ouvrages sur des sujets de ma- thématiques 1e firent admettre, en 1€67, dans la société royale de Londres. Les relations qu’il établit alors entre les savans , par ses correspondances avec eux , l’ont fait surnommer le Jersène anglais, et comme le Françaisil servit utilement la science par l’émulation qu'il excita entre ceux qui les cultivaient. Les papiers de Collins, tombés vingt-cinq'ans après sa mort entre les mains du savaut William Jones, ont jeté du jour sur plusieurs questions controyersées et qui intéressent l’histoire des sciences mathématiques. Ils ont fourni la plupart des pièces d’après lesquelles quelques savans anglais ont voulu attribuer à Newton seul l'invention des calculs différentiel et intégral, dant Leïbnitz doit au mots par- tager l'honneur avec lui. (Foy. Prrrérenrrez.) Ces pièces ont été publiées sous ce titre : Comnrercium epis- tolicum D. Johannis Collins et aliorum de analysæ promotd, jussu societatis regiæ in lucem editum, Londres, 1912, in-4° et 1725 in-8°. — Jean Collins, Co savant modeste, dont la vie fut marquée par peu d’événemens, est mort le 16 novembre 1683. Outre plusieurs dissertations curieuses dont il est l’auteur, et qu'on trouve dans les Transactions philosophiques , voici les principaux ouvrages qu’il publia : 1. Zntroduc- tion à la tenue des livres , 1652, in-f° et 1665, avec un supplément. IL. The Sector on aquadrant, 1658, in-4°. Cet ouvrage contient la description et l'usage de quatre sortes de cadrans. IT. Za gnomonique géométrique, 1659 , in-4°, COLLISION (Mec.), (de collisio, choc}. C’est la même chose que Cnoc. Foyez ce mot. COLOMBE ( 4str.). Nom d’une constellation méri- dionale placée près du tropique du Cancer, au-dessus du Lièvre et à côté du Grand Chien (voy. Pr. X). Elle ne contient que 10 étoiles dans le catalogue de Flamstead ; mais La Caille en à considérablement augmenté le nombre, dans la description qu’il en a donnée, AMém. de l’'Acad. des Sc., 1752. La plus brillante étoile de cette constellation, marquée #, est de la seconde gran- deur ; elle est visible en Europe, puisqu'elle est au mné- ridien près de 7° au-dessus de l'horizon de Paris. COLURES ( Astr.). On donne ce nom à deux grands cercles qui passent par les pôles du monde : l’un par les équinoxes, et l’autre par les solstices. Foy. ArmirraIRe. COMBINAISON (4/g.). Réunion de plusieurs objets en groupes composés d’un nombre quelconque de ces objets. Par exemple, les cinq lettres a, b, e, d, e, étant données, les groupes ab, be, ed, de, ac, etc., formés par la réunion de ces lettres deux à deux, ou les groupes abc, abd, cbd, etc., formés par la réunion de ces mêmes lettres trois à trois, et ainsi de suite, sont les combinaisons des cinq lettres a, b,c, d,e. Lorsqu'il s’agit de nombres représentés par des let: tres; comme les produits sont les mêmes , quel que soit l'ordre des facteurs, on ne donne proprement le nom de combinaison qu'aux groupes qui expriment des pro- duits différens : ainsi les trois quantités À , B, C, admet- tent bien six arrangemens en les combinant deux à deux, savoir : AB, BA, AC, CA, BC, CB; mais dans ces six arrangemens il n’y en a que trois : AB, AC, BC. qui donnent des produits différens; et. c’est seulement ces trois derniers qu'on désigne sous le nom des combi- naisons deux à deux des trois quantités À, B, C. Par la même raison, quoique les arrangemens des quatre lettres À, B, GC, D, combinées trois à trois, puissent former 24 groupes, leurs combinaisons où pro- duits différens ue sont qu’au nombre de quatre : ABC, ABD, BCD, ACD. co Si l’on considère que dans le nombre total des arran- 239 gemens possibles, chaque produit doit se trouver répété autant de fois que les lettres qui le composent admettent de changement de situation , on verra facilement que le problème de déterminer le nombre des combinaisons de plusieurs quantités se réduit à celui de déterminer le nombre des arrangemens, et à diviser.ce dernier par le nombre qui exprime tous les changemens de situation des divers facteurs d'un groupe. En effet, pour éclaircir ceci par un exemple, dans les six arrangemens deux à deux AB, AC, CB BA , CA, BG des trois lettres À, B,C, chaque produit différent se trouve répété deux fois : AB, BA; AC, CA ; CB, BC, parce que deux lettres admettent deux changemens de situations. ainsi, dans ce cas, le nombre des produits ou des combi- naisons est la z2ort1é de celui des arangemens. De même dans les 24 arrangemens 3 à 3 des quatre lettres À, B, C, D, chaque produit ABC, ABD, BCD, ACP se trouve répeté G fois, parce que trois lettres présentent six changemens de situation ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Le nombre des combinaisons est donc la sixième partie du nombre des arrangemens. En général, si M exprime le nombre total des arran- gemens de 7» lettres en groupes de » lettres, et si N ex- prime le nombre des changemens de situation qne peu- M vent admettre » lettres, — sera le nombre des combi- N naisons » à 7 des 71 lettres. On donne le nom de permutations aux changemens de situation des lettres entre elles , ainsi AB, PA, sont les permutations des deux lettres À et B, ABC, ACB, DAC, BCA, CAB, CBA sont les permutations des trois lettres A, B, C; ct ainsi de suite. Il s’agit donc préalablemeut de déterminer le nombre total des arrangemens que peuvent présenter plusieurs lettres, en les réunissant deux à deux, trois à trois, etc. Or, pour former les arrangemens de trois lettres deux à deux. il est évident qu’à côté de chacune d’elles il faut écrire les deux autres; de cette manière, &, b, © , étant ces lettres, on a al ic} ou ab, ac 1 ac | ou ba, be 540 CO c| a, b Lou ca , cb | S'il s'agissait de quatre lettres «4, b, C, 4, arrangées deux à deux, ontrouverait de même al b,r, a} ...ab, ac, ad b{a, cd |...ba, be, bd cla,b, d| ...ca, cb ,cd d\a, b, c} da, db, de Pour trouver les arrangemens #rois à trois, on voit aisément que devant chaque lettre il faut écrire tous les arrangemens deux à deux de toutes les autres lettres: ainsi pour quatre lettres, par exemple, on aurait albe, cb, bd, db, cd, de b{ac, ca, ad, da, cd, de) c{ab, ba, ad, da, id, db} d\a, ba, ac, ca, bc, cb} et, en réunissant les groupes, abc, acb, abd, adb, acd, adc bac, bca, bad, bda, bcd, bde cab, cha, cad, cda, cbd, cdb dab, dba, dac, dca, dbc, dcb En général, il est évident que pour former tous les ar- rangemens d’un nombre quelconque de lettresen groupes de n lettres , il faut écrire devant chaque lettre tous les arrangemens #7—1 à »—1 dont toutes les autres sont susceptibles. Si nous désignons doncpar An) le nombre des arrangemens de » lettres en groupes de » lettres, et par A{n—4,m—1) le nombre des arrangemens de m—1 lettres en groupe de 2—1 , nous aurons Ajnm) = M. Â{n=1, m—1) Mais cette relation ayant nécessairement Keu, quels que soient les nombres 77 et n, n étant d’ailleurs plus petit que 7, nous aurons aussi A(n—1, mt) = (m—1) Ans, m3) Aqn—i,ms) — (1—92) Âfn_3,m—3) A(u—3, m3) = (M—3) A(n—$, mi) etc. .. etc. A(ns,my) = (N—p) Afin i,m—u1); CO substituant successivement ces valeurs l’une dans l’autre nous obtiendrons {1) Afn,m) = Nm—1)m—2)....(m—p) Â(n-pu-1,m-;1) expression dans laquelle tout sera connu si nous pouvons déterminer la valeur de A(n=u 1,mu—1) correspondante à une valeur du nombre arbitraire ge. Or, si nous faisons &—n—2, cette quantité devient A1, mnt 1) c’est-à-dire le nombre des arrangemens une à une de m—n+:1 lettres, mais un nombre quelconque de lettres admet autant d’arrangemens une à une qu'il y a de lettres, ainsi Ann) = MR, donnant donc, dans (1), la valeur 7—2 à la quantité arbitraire # nous aurons définitivement pour le nombre total des arrangemens » à » de "1 lettres, l'expression (b) An, m) =m{m—i\m—2)....(m—n+4+2)\m—n+1). Dans le cas de m—4 , n—3, nous avons A(3,4) = É5902— 24% comme nous l’avons trouvé ci-dessus. Le nombre des arrangemens étant ainsi exprimé , il ne s’agit plus, pour déterminer celui des combinaisons, que de connaître le nombre des permutations de chaque groupe formant un produit distinct; c'est ce que nous al- lons exposer. Les permutations d’un groupe de deux lettres se for- ment en écrivant chacune de ces lettres devant l’autre, comme il suit ab, ba. Celles d’un groupe de trois lettres , en écrivant devant chacune d’elle les permutations des deux autres { | LE cb: a . abc; acb bac, ca} .. bac, bca c\ab, ba ...cab, cha On trouvera de la même manière les permut tions d'un groupe de quatre lettres, c’est-à-dire qu'on écrira a bed, bdc, cbd , cdb , de, deb) blacd, adc, cad, eda, dac, dea| CO c{abd, adb, bad, bda, dab, dba) d\abe, acb, bac, bca , cab, cha et, en réunissant abcd , abde , acbd , acdb, adbc , adcb bacd, bade , bead , boda, bdca , bdca cabd, cadb, chad, cbda, cdab, cdba dabe, dacb, dbac, dbca , dacb, dcba. Ainsi le nombre des permutations de trois lettres est égal à trois fois celui de deux lettres ; le nombre des permutations de quatre lettres est égal à quatre fois celui de trois lettres, et ainsi de suite. » étant un nombre en- tier quelconque si nous exprimons, CN général , par pes le nombre des permutations de # lettres, nous aurons la suite d’égalités P; — 3P: P; = 4P3 Ps —5P4 Ps — 6GPs etc. etc. Piu = (n—1)Piee Le —= nP,-1 substituant chacune de ces valeurs dans celle qui la suit, nous obtiendrons P,= n(n—in—2).....6.5.4.3.P:, mais Ps—9, car deux lettres n’admettent que deux per- mutations: ainsi cette dernière expression devient (2) P,,—=2.3.4.5.6.5.... (71) 7. c'est-à-dire que le nombre des permutations de » lettres est égal au produit de tousles nombres naturels depuis 1 jusqu’à 7. Si l’on demandait combien dix objets peuvent ad- mettre de variations de positions , ou de permutations “il suffirait donc de faire 7—10 dans (3) et l’on aurait P, = 2.3.4.5.6.7.8.9.10 — 3628800. Ceci posé, comme le nombre des combinaisons de m lettres 7 à n se trouve en divisant le nombre total des arrangemens 7 à n, par celui des permutations des groupes de » lettres, si nous désignons ce nombre de combinai- sons par C{um), NOUS aurons (4) m(m—\)\m—92)....(m—n+#1) SNA SE Te = C(nm) = En faisant successivement, dans cette expression géné- rale, n=1,n—2,n—3, etc., on trouve mm—1) mm—i)(m—0) m(m—i)(m—2)\m—3) 2 NET ——B; désignant par Q lequotient de À divisé par B, par R le reste de cette division, et par D tout diviseur- commun de A etdeB, de À PB = Q, resteR. Nous tirons l'égalité A—BQHR, et, en divisant les deux membres par D, A Bou D 264 ; EL AE A Or, D étant parhypothèse diviseur de A, == estun nom- B R , Se l'est aussi nécessaire- bre entier, et son égal D 2B ment; His ÈQ D tu nombre entier, puisque B,et par conséquent, BQ est divisible par D; il faut donc que : soit aussi un nombre entier, ou que R soit divisible par D. Ainsi, tout diviseur-commun de À et de B est en même temps commun-diviseur de A, Bet R. Mais en vertu de la même loi, si l'on désigne par R'le reste de Ja division de Bpar R, tout commun-diviseur de B et de R doit aussi diviser exactement R'. Ainsi ÀA,B,R et R' auront le même commun-diviseur. En désignant par R", R", etc., les restes successifs des divisions de R par R', R'par R”, etc. on voit facilement que tout com- mun diviseur des nombres À et B est aussi commun- diviseur des restes successifs R, R', R”, etc. Ceci pesé, lorsqu'on est arrivé à un reste égal à o, le reste pré- cédent, qui a servi de dernier diviseur, est le plus grand commun-diviseur entre À et B; car le plus grand com- mun-diviseur de A etde B, devant également diviser tous les restes des divisions successives, doit pouvoir di- viser le dernier reste; ilne peutdonc pas être plus grand; et comme le dernier reste divise lui-même A et B, ce reste est lui-même le plus grand commun-diviseur cher- ché. En effet, la suite d'opérations = Q,resteR = Q', reste R'. Him tl? + co R L - Fe "resté R”. R : Fr= Q", reste R”. etc. — etc. nous donne les égalités A=BQ +R, B— RQ +R, R=RQ'+R", R=RQ+R", etc. = elc. Etil ne sâgit que de supposer un reste quelconque égal à zéro pour reconnaitre que le diviseur correspon- dantest le plus grand commun-diviseur des nombres A et B. Soit d'abord R = o. L'opération se termine à la première division, et l’on a À B er Cf Le Le plus petit des deux nombres est alors le plus grand commun-diviseur. Soit maintenant R'=0, on a deux divisions successives qui donnent A—BQ+R B—kQ’, ou, en substituant la valeur de B dans celle de À, AZ RQQ+HR B=RQ" À et B sont donc divisibles par R; et comme tout divi- seur de A et B doit aussi diviser R, R est donc le plus grand commun-diviseur. Si lopération ne se terminait qu’à la troisième di- vision, c’est-à-dire, si l’on avait R” = 0, les trois égalités A=BQ+LR B—RQ'+R" R=R'Q" -donneraient par lasubstitution de la valeur de R dans celle de B, et de ces deux dernières dans celle de A, AZ R'X(QQ'Q'+Q+40") B=R'X (QQ'+1), c'est-à-dire, que R'est diviseur exact de A et B;il est donc en même temps le plus grand commun-diviseur , puisque d’après ce qui précède ce dernier doit diviser A;B,RetR'. En continuant de la même manière, il devient évi- dent que, quel que soit le sombre des divisions succes- sives, lorsqu'on est parvenu à trouver o pour reste, le co sAY dernier diviseur est le plus grand commun-diviseur des deux nombres sur lesquels on opère. Les applications de la théorie du plus grand commun- diviseur , ne sout pas moins importantes dans l'algèbre que dans l’arithmetique. Nous allons les indiquer. Deux polynomes étant ordonnés par rapport aux puis- sances d’une même lettre, tels que (4 ai—5a+bartix—6 (2)....x—109x+30, on désigne sous le nom de leur plus grand commun-divi- seur, le polynomele plus grand, sous le rapport des puis- sances de cette lettre, qui les divise l’un et l’autre exacte- ment.L'opérations’exécute d’ailleurs delamème manière que pourles nombres entiers ; seulement il faut avoir le soin, à chaque division, deretrancher les facteurs numé- riquesouautresquinesetrouventpasen même temps dans le dividende, et dans le diviseur : ces facteurs ne pouvant faire partie d'aucun diviseur commun ; c’est ainsi qu'en divisant (1) par (2), nous aurons pour premier reste (3)....24x—1907+ 144, polynome dont tous les termes sont multiples de 24. Or, comme 24 est un facteur qui n'entre pas dans (2), il faut le retrancher; ce qui réduit (3) à (4) æ—5x +6 ; opérant la seconde division, c’est-à-dire celle de (2) per (4), on obtient zéro pour reste, et l’on en conclut con- séquemment, que x?—5x4-6 estle plus grand commun diviseur des deux polynomes proposés. Nous avons en effet at—523+ 5x4 5x —6—(x—5x+6) (x7—1). 23—19x430—(x°—5x+4-6) (x+45). Le retranchement des facteurs communs à tous les termes d’un polynome, et qui ne se trouvent pas dans l'autre, est l’objet de plusieurs règles particulières qui ne sont que des conséquences de la règle générale. Elles sont exposées dans tous les traités d’algèbre. Nous verrons plus loin quelques usages importans du plus grand commun-diviseur. Foy. Eiminariox , Racixis ÉGALES. L2 COMMUNICATION pu mouvemenT (/éc.). Action par laquelle un corps met en mouvement un autre corps. Voy. Cuoc et Mouvemenr. COMMUTATION (Ast.). L’angle de commutation est celui qui est formé au centre du soleil par le ravon vecteur de la terre et celui d’une autre planète, Où peut encore définir la commutation : là distance entre la terre et lé lieu d’une planète 1 éduit à l'écliptique. COMPAGNIE, rèGrx DE comeaGnis (4ruh.), Opc- 348 CO ration qui a pour but de partager le gain ou la perte d’une association entre tous les intéressés, proportion- nellement à la mise de chacun. Cette règle n’est qu’une application des propriétés des rapports géométriques (voy. ce mot); car la mise de chaque associé doit être à sa part de gain ou de perte comme la mise totale est au gain total ou à la perte. Il s’agit donc seulement de faire autant de règles de trois {voy. ce mot) qu'ily à ‘d’associés. Un exemple suffit pour faire comprendre la Marche de l'opération. Exemple. Trois négocians ont fait un fonds de 120000 fr., avec lequel ils ont gagné 24000 fr. Com- bien revient-il au premier dont la mise est de 20000 fr.; au second dont la mise est de 40000 fr. ; et au troisième dont la mise est 60000 fr. ? Comme le rapport de la mise totale au gain total doit être le même que celui de chaque mise particulière au gain correspondant, nous aurons, en désignant par Li, 2, , &, les parts demandées, les trois proportions. 120000 : 24000 :: 20000 : Lr 120000 : 24000 :: 40000 : æ, 120000 : 24000 :: 60000 : x; D'où nous conclurons, en effectuant les calculs PE — 4000 x, = 8000 Ts = 12000. La somme des gains particuliers devant être égale au gain total, il suffit de les additionner pour vérifier la justesse de tous les calculs précédens. Nous avons supposé, dans ce qui précède, que les fonds mis en commun avaient été employés pendant le même temps et devaient alors rapporter proportion- nellement les uns autant que les autres, mais ce n’est là que le cas le plus simple de la règle de compagnie. Les associations commerciales peuvent présenter un grand nombre de circonstances particulières, et quelquefois le partage des bénéfices entraînerait des calculs très-com- - pliqués si l’on exigeait une solution mathématique rigou- reuse, Examinons, par exemple, le cas suivant, qui est un de ceux qui se rencontrent le plus communément. Deux particuliers se sont associés pour une opération trois ans ; qui a duré ils ont mis d’abord : le premier une somme 72, et le second une somme 7. A la fin de la première année le second, a mis de plus une somme n',etle premier a ajouté une autre somme 772! à la fin de ta seconde année. Que revient-il à chacun sur le bé- uéfice réalisé à la fin de la troisième année. Pour résoudre cette question , il faut considérer cha- que sonime mise dans la société comme un fonds qui travaille pendant tout le temps que cette.somme y de- meure, c’est-i-dire, depuis le jour de son versement co jusqu’à celui du partage; ce qui revient à l’envisager comme de l'argent placé à un certain intérêt dontle taux dépend du bénéfice total , mais doit être le même pour tous les intéressés. Ainsi, désignant par æ cetaux pour une année, comme on sait qu’en général une somme quelconque A devient A(1+x}r, en p année, et que, par conséquent le bénéfice qu’elle produit est (voy. InTé- RÊT.) A(1+x} — À — A[ti+ey 1] : les sommes m» et r ayant travaillé pendant trois ans, 1 urs produits seront m [ar — | 2 [+ — | , tandis que ceux des sommes 1! ct n! seront mx, n [u+ar — 1] ; puisque la première n’a travaillé qu’un an et la seconde deux. Le bénéfice du premier intéressé sera donc mm [ua — | + mx et celui du second n [+a 1] +» [o+er 1]: Quantités qui seraient faciles à calculer si l’on connaissait la valeur de +. Mais la somme des gains partiels doit être égale au gain total ; nous aurons donc, en désignant le gain total par g, l'équation (min) Lo: | + nt — ‘| _ m'x—g, à Paide de laquelle on pourra déterminer cette valeur. Où voit que la qnestion très-simple qui nous occupe nous conduit à une équation du troisième degré, et qu’en supposant une durée de société plus grande, le degré de l'équation finale serait égal à cette durée. On ue peut donc résoudre les questions de ce genre que par approximation ; mais dans le commerce on ne tient pas compte de l'intérêt des intérêts et les calculs deviennent plus faciles. Par exemple , le taux étant toujours x pour un an, les produits des sommes »2 et n sont 3mx et 3nx, pour trois ans, et ceux des sommes 72’ et »' sont m'x et an'x, la première pour un an et la seconde pour deux. Le bénéfice du premier intéressé est donc alors 4 . 3mx + m'x; celui du second, | 4 3nx+on'x, FF CO et l’on a, pour déterminer x, l'équation 3mx + m'x+ 3x +onx=g de laquelle on tire pese un pen 3m + m'+3n+2m Substituant cette valeur dans les expressions précé- dentes , on a définitivement pour la part du premier, (Gm+ m").g 3mm'+3n+2m et pour celle du second, Gn+on)g 3m + 3n + om" Si l’on examine la forme de ces valeurs , on voit aisé- ment qu’en les désignant par x etæa, elles donnent les proportions (Bm+m'+3n+on) : g::(3m—bm) :x (3m+m'+3n+on):g::(3n4on") : Ls c’est-à-dire que la somme totale des mises, multipliée chacune par le temps pendant lequel elle a été employée, est au gain total, comme les mises particulières de chaque associé, multipliées par le temps correspondant , sont à la part de gain de cet associé. Cette règle serait la même pour un nombre quelconque d’intéressés. On la nomme, règle de compagnie à temps Soit, pour en montrer l'application, la question sui- vante : 5642 fr. ont été gagnés en 25 mois par une com- pagnie de trois régocians dontle premier a fourni2436f., le second 3542 fr., et le troisième 4848. Mais le second seul a fait travailler ses fonds pendant les 25 mois, ceux du premier n’ont travaillé que pendant 15 mois, et ceux du troisième que pendant les 7 derniers mois de l’asso- ciation. Il s'agit de déterminer la part de chacun. Mul- tiplions chaque somme par son temps , nous trouverons d’abord 104... 124360 10 — 36540, du... 03542005 — 88550, SU 4BASIX. 7—133036, et la somme de ces produits étant 159026, nous aurons les trois proportions 159026 : 5642 :: 36540 : x, 159026 : 5642 :: 88550 : x,,, 159026 : 5462 :: 33936 : x,, d’où nous tirerons Lr=11206, x, — 3142, x, —= 1204. Telles seront les parts demandées. CO 349 COMPAS (Géom.). Instrument composé de deux branches s’ouvrant à charnière, dont on se sert pour décrire des cercles, mesurer des lignes, etc. L'invention du compas ordinaire remonte aux temps fabuleux de l'antiquité, les poètes grecs l’attribuent à Talaüs, neveu de Dédale. Il est certain que l’idée de cet instrument a dû venir avecles premières conceptions géométriques, car la ligne droite et le cercle sont les fondemens de toute la géométrie élémentaire. Aujour- d’hui, nous avons des compas de différentes espèces : les uns ont leurs pointes droites, d’autres les ont courbes ; ceux-ci ont diverses pointes que l’on peut ôter et re- mettre selon le besoin; quelques-uns ont trois branches : ils servent à prendre trois points à la fois. Enfin, on a varié Ja construction et la forme du compas de manière à satisfaire aux besoins des arts graphiques. Mais nous croyons qu’il est inutile de donner la description d’ins- trumens qui se trouvent entre les mains de tout le monde, et dont l'usage est trop simple pour présenter aucune difficulté. Compas DE ProporTION. Instrument dont l'invention a été disputée à Galilée par Balthasar Capra, un de ses élèves. Il consiste en deux règles de cuivre fixées l’une à l’autre par une extrémité, et pouvant s'ouvrir angu- lairement comme le compas ordinaire. Sur ces règles, sont tracées plusieurs échelles , dont les principales sont celles des parties égales, des cordes, des polygones, des plans, des solides, etc. La figure 7 et 8 de la planche XXV représente le compas de proportion vu de ses deux faces. Cet instrument , fondé sur les propriétés des triangles semblables, sert dans l’arpentage , lorsqu'on n’a pas be- soin d’une exactitude rigoureuse. Nous allons indiquer quelques-uns de ses usages. Pour diviser une ligne droite en plusieurs parties, en 11, par exemple, après avoir pris, avec un compas ordinaire la longueur de cette ligne, on ouvrira l’ins- trument du côté des parties égales, jusqu’à ce que l’une des pointes du compas ordinaire, étant placée sur un multiple de 11, tel que 110, prissur la ligne des parties égales, l’autre pointe tombe exactement sur le point 110 correspondant de la double ligne des parties égales. Le compas de proportion étantainsi ouvert, on prendraavec le compas ordinaire la distance du point 10 au point 10 des deux lignes des parties égales, et cette distance sera la onzième partie de la ligne qn’on voulait diviser. En effet, il est facile de voir qu’on a formé deux triangles isocèles semblables, dont les côtés du premier sont à ceux du second comme 110:.10, Où COMMEIT: TI. La ligne des cordes, ainsi nommée parce qu’elle com- prend les cordes de tous les degrés du demi-cercle qui a pour diamètre la longueur de cette ligne, sert à me- surer les angles tracés sur le papier; à diviser un angle 350 co Ju un arc donné en parties égales, etc. Pour mesurer un augle, après avoir de son sommet décrit un are de cercle avec un rayon quelconque, on porte ce rayon sur le compas de proportion ouvert de manière que l’une despoiutes du compas ordinaire étant placée sur le point Go de la ligne des cordes, l’autre pointe torabe sur Go de la double ligne des cordes. On prend ensuite la gran- deur de la curde de l'angle donné, et on cherche à la faire correspondre aux mêmes points du compas de pro- portion : le nombre de cette correspondance indique celui des degrés de l’angle proposé. Si lon voulait, au contraire, tracer sur le papier un angle d’un nombre de degrés donné, il faudrait chercher sa corde en prenant pour rayon une distance arbitraire des deux points Go de la ligue des cordes, et à l’aide de cette corde et du rayon , on pourrait construire l'angle. Les lignes des polygones , des plans, des solides, ser. vérit à inscrire des polygones dans le cércle, à construive des figures dans un rapport donné avec d’autres figures, à trouver les côtés de solides multiples lesuns des autres, etc., etc. Nous ne pouvoris qu’'indiquer ici les divers emplois du compas de proportion; ils ont fourni la ma- tière d’un volume à Ozanam ; et cet ouvrage, intitulé : Usage du compas de proportion, doit être consulté par tous les dessinateurs de cartes et de plans; ils y trou- verout beaucoup de constructions qui peuvent leur être très-utiles pour abréger leur travail. Le professeur Garnier, auquel on doit plusieurs ouvrages éstimables ; a donné une nouvelle édition revue et corrigée du Treilé d'Ozonam: I ya un autre compas de proportion, que les Anglais nomment secteur, sûr lequel sont marquées les lignes des sinus, sécantes, tangentes ; etc. On peut résoudre graphiquement par son moyen tous les problèmes de la trigonométrie rectiligne. Compas DE MER. V’oy. BoussoLe: Compas DE VariATION. Il re diffère de la boussole que parce que la boîte extérieure est garnie de deux pinuules par lesquelles on vise aux objets dont on veut connaître le fisement, c'est-à-dire l'air de vent auquel ils répondent. Compas AzimuriL. Boussole surmontée d’un cercle di- visé en degrés, et portant un index mobile; avec une féfite pour viser les objets, au-devant de laquelle est un fil tendu ducentre de l'instrument au sonimet de l'index. (Pe. VITE, fig. 5.) Pour preudre la direction du séleil ou d’une étoile près de Fhorizoi, on tourne l'index jusqu'à ce qué l'ombre du fil, s’il s’agit du soleil, tombe sur la fente de l'index, ou jusqu’à ce que ce fil coupe l'étoile vue au travers de la fente, s’il s'agit d’une étoile. Lé cercle divisé fait connaître l’angle entre la direction de l'aiguille aimantée et celle dé l’astre, c'est-à-dire, l'azimut ma- guctique de l’astre; ce qui fait connaître la variation de CO l'aiguille, en comparant cet azimut avec l’azimut réel. Voy. Azimur. COMPAS (Astr.). Constellation. méridionale placée entre le centaure et le triangle austral. Elle fait partie des constellations formées par l'abbé de La Caille. Sa plus belle étoile n’est que de la quatrième grandeur. COMPLEMENT. Se dit en général de toute partie qui ajoutée à une autre forme une unité naturelle ou artificielle. C'est ainsi que l’angle droit étant pris pour unité et l'arc qui le mesure étant divisé en go degrés, d’après la division sexagésimale, deux angles dont lès mesures font ensemble 90 degrés, ou dont la somme épale un angle droit, sont dits complémens Vun de l’autre. Par exemple, le complément d’un angle ou d’un arc de 60° est un angle ou un arc de 30°, parce que 60°+30°=90"; et ainsi dés autres. Le sinus du complément d’un arc se nomme le co- sinus de cetarc; c'est-à-dire, que le sinus de 30° est ia même chose que le cosinus de Go°. 11 en est de même des cotangentes et des cosécantes , qui ne sont que les tangentés et sécantes du corrpléméit. Voy. ces divers mots. ComPLEMENT Artrumérique. Noñibre dont un autre diffère de l’unité de l’ordre immédiateéinent su dessus. Par exemple, 4 ést le complément dé 6, parce que 10 où l'unité du second ordr2 est immédiatement au-dessus de 6, et que 4+6—10; 373 estle complément de 63, parce que 37 +63=7100, et que 100 est l'unité du tror- sième ordre au-dessus de 63; 3545 est le complément de 6455, parce que 3545 + 6455 — 10000; et aiusi d' suite. Pour avoir Le complément arithmétique d’un nombre, il suffit de prendre pour chacun des chiffres qui le com. posent ce qui lui manque pour égaler 9, sauf pour le chiffre des unités, dont il faut prendre ce qui ini manque pout égaler 10. Ainsi le nombre 55056432, par exemple étant donné; on écrit comme il suit, pour former toujours 9, 87056432 12943568 ï au-dessous de 8, 2 au-déssous de 7 ;ÿ âu-déssous de 0, 4 au-dessous de 5 ; 3au-dessous de6, 5 au-dessous de 4, 6 au-dessous de 3; et enfin arrivé au chiffre 2. des uuités; on écrit 8 au-dessous pour former 10, et de cette ma- nière, on a effectivement formé le complément du nombre proposé car Ja somme totale ést 100000000, unité de l’ordre immédiatement au-dessusde 85056432. La facilité de former les complémens aritlimétiques, les font employer avecavantage pour changer les sous- tractions en additions. ce qui est particuliérement utile dans les calculs où l’on emploie des logarithmes: En effet, À étant un nombre quelcoique qu'il s'agit de CO soustraire d’un autre nombre B, si, au lieu d'effectuer directement la soustraction B—A, on prend le complément arithmétique de À, ce com- plément sera m— À m désignant le nombre des chiffres de A. Or, ajoutant ce complément à B, on a B+( résultat qui ne diffère de B—A que par une unité de l’ordre 72. Il suffit donc de retrancher cette unité pour 10®— À) —=B—A+10", avoir le reste de la soustraction proposée. Soit, par exemple 5678124 à soustraire de 7005432, le complé- ment de 5678124 étant 4321856, on opérera l'addition suivante 7005432 _4321876 11327308 Retranchant l'unité la plus élevée, 1326308 est le reste de la soustraction ou la différence des nombres 7005432 et 5678124. Les logarithmes étant des nombres composés d’une partie entière, et d’une partie fractionnaire, leurs com- plémens sont également composés d’une partie entière et d'une partie fractionnaire; mais on les forme comme si tout était entier, et la virgule seule indique la sépa- ration des chiffres entiers et des chiffres fractionnaires. Ainsi le complément de 4,5451710 logarithme de 36089, est 5,4548290. Lorsqu'on fait entrer plusieurs complémens dans un calcul , il faut avoir le soin de retraucher du résultat autant d'unités de l’ordre le plus élevé qu’on a employé de complémens. Nous allons terminer par un exemple qui éclaircira toutes les difficultés. Supposons qu'il s'agisse de trouver un nombre x dt- pendant de plusieurs rapports, tels que 5o : 85 :: 40: y 89 8014: y: 3 63:26) 5 calculer y par la première pro- 35X 40 portion qui donne y — NN ainsi, il faut d'abord c substituer cette va- leur aans sa seconde qui devient alors 35 X fo, 39 : 80 :: —— : z { 50 4 CO O1 ras pe et de laquelle on tire 35 X 40 X 80 7 boX37 à etenfin, remplaçant 3, par sa valeur, dans la troisième proportiou , on a GS at ue 0) LR CRE ESS 2 d’où l'on couclut __ 35X40X80X 28 5 ) X37 X63 n En opérant par logarithmes, on a æ = log. 35 + log. 40 + log. 80 + log. 28 — log.50 — log.37 — log. 63. ce qui se réduit à l'addition suivante, en substituant aux logarithmes qu’on doit soustraire leurs complémens arithmétiques. log. 35 = 1,5440680 log. 40 — 1,6020600 log. 80 — 1,9030900 log. 28 = 1,4471580 comp. log, 50 — 8,3010300 compl.log. 57 = 8,4317983 compl.log. 63 — Comme on a employé trois complémens, 11 faut re- trancher trois unités du plus haut ordre dans le résultat, qui devient alors 429864 Ce logarithme étant celui du nombre, 2,6906... ,ona donc définitivement x = 2,6906... COMPLEXE (449). Une quantité complexe est celle qui est composée de plusieurs telles A+B—C; Ax+y°—P, etc. Dans l’arithmétique, qui sont formées parties que on nomme quantités complexes celles d’entiers et de fractions. Par exemple 8 À est un nombre complexe ; Gri 8pe-; 3fr 55; 30° 20’, etc. , en sont égale- ment. COMPOSÉ (Arith.). Un nombre composé est celui qui est formé par la multiplication de plusieurs autres: ainsi 12; 1, 20, etc.,sont des nombres composées, parce qu'on a 19—IN 4, 103X 0,204 XD, etc. On les nomme ainsi par opposition aux nombres pre- miers (voy. ce mot), qui ne peuvent être formés par le produit d’aucuns autres, tels que 7, 11, 13, 19, etc. Raison composée. C’est le rapport formé par le pro- CO duit des antécédens et par celui des conséquens de deux 992 ou de plusieurs rapports. Par exemple, 18 : 36 en raison composée de 3 : 4 et de 6 : 9. Foy. ProPorTION. Pexpuze comrosé ( Méc.). C’est celui qui consiste en plusieurs poids conservant constamment la même posi- tion entr’eux et oscillant autour d’un centre commun de mouvement. Tous les pendules sont composés, car chaque particule matérielle, soit de la verge, soit du corps qu’elle tient suspendu, peut être considérée comme un poids particulier. Voyez CENTRE d’osciLLaTION et PeNDULE. Mouvemenr composé (Méc.). Mouvement qui résulte de l’action simultanée de plusieurs forces. Foy. Comro- sir1oN et MOUVEMENT. COMPOSITION pu mouvement (Mec.). Réduction de plusieurs mouvemens à un seul. Cette composition a lieu lorsqu'un corps est poussé ou tiré par plusieurs puissances à la fois. Comme ces ditfé- rentes puissances peuvent agir en suivant une même di- rection ou des directions différentes, il en résulte plu- sieurs lois fondamentales que nous allons exposer. 1. Si un mobile, quise meut en ligne droite, est poussé par plusieurs puissances dans la direction de son mouvement, sa vitesse seule changera, c’est-à-dire augmentera ou diminuera selon le rapport des forces impulsives ; mais le mobile parcourra toujours la même ligne droite. >. Si les mouvemens composans, ou, ce qui est la même chose, les puissances qui les produisent n’ont pas une même direction, le mouvementcomposé ne pourra s'effectuer dans aucune de leurs directions particulières, mais prendra une direction moyenne qui sera une ligne droite ou courbe, selon la nature des mouvemens com- posans. 3. En ne considérant que deux mouvemens compo- sans, on trouve, 1° que si ces mouvemens sont toujours uniformes eutr’eux, et font unangle quelconque, laligne du mouvement composé sera une ligne droite comprise dans cet angle. Il en sera encore de même si les deux mouvemens sont accélérés ou retardés en même pro- portion, pourvu qu’ils fassent toujours le même angle; 2° que si l’un des mouvemens est uniforme et l’autre accéléré, ou s’ils sont tous deux variés dans des propor- tions différentes, le mouvement composé s'effectuera dans une ligne courbe. | 4. Les lois du mouvement composé sont liées à celles de la composition des forces; et leurs démonstrations, qui ont été l’objet d’un grand nombre de travaux des mathématiciens du dernier siècle, ont été ramenées par les modernes aux principes de l’équilibre en suivant la carrière ouverte par d’Alembert, dans son Traïtéde dy- nanuque. Nous donnerons ces principes avec tous leurs co développemens aux mots Force, MouvemenT et Sr4- TIQUE. COMPOSITION pe raprorts (4rith.). Dans une pro- portion quelconaue , AB: G2D, on sait que la somme des deux premiers termes est au second comme la somme des deux derniers est au der- nier, C'est-à-dire, qu’on à A+B:B::C+D:D; c'est ce qu’on appelle composition de rapports ou de raisons. Ainsi de Liassr6: 6, on tire par composilion 6:2::94: 8. PVoy. PrororTioN. COMPRESSION (Méc.). Action de presser un corps pour lui faire occuper un moindre volume. Voyez Presse. COMPUT sccrzsrAsTiQue (A4rith.). Ensemble des calculs qui ont pour but de régler les fêtes mobiles. Voy. Carexnrien. CONCAVE (Géom. et Opt.). Surface concave, c’est la surface courbe intérieure d’un corps creux. Cette ex- pression s'applique particulièrement aux miroirs et aux verres d'optique. Foy. Lenrizze et Mrrorr. CONCENTRIQUE (Géom.). Ce qui a le même centre. Deux cercles ou deux courbes quelconques qui ont un même centre (voy. ce mot), se nomment concentriques. Voy. Cercre, Pozycone, Courses. CONCHOÏDE (Géom.) (de Kéyzm ns, conque). Courbe inventée par le géomètre grec Nicomède , pour résoudre les problèmes de la duplication du cube et de la trisection de l'angle. Voici sa construction. Du point À, pris au dehors d’une droite indéfinie MN, ayant mené les droites AB, Aa, Ab, Ac, Ad, etc. Si l’on prend les parties CB, fa, gb, he, id, etc., toutes égales entre elles ; la courbe Babcde, qui passe par les CO extrémités B, a, c, d,e, etc., est la conchoide. Comme on peut effectuer cette construction tout aussi bien au- dessous dela droite MN qu’au-dessus, on a deux espèces de conchoïdes. La première EBe se nomme conchoïde uliérieure , et la seconde RFO, conchoïde citérieure. La droite MN est une asymptote pour l’une et l’autre con- choïde. Ces deux courbes peuvent étre facilement décrites par un mouvement continu , en faisant tourner AB au- tour du point À, de manière que CD ou CF soient tou- jours les mêmes, alors le point B tracera la conchoïde ultérieure, et le point E la conchoïde citérieure. Pour trouver l’équation de la conchoïde, prenons AB pour l’axe des abscisses , et faisons AC=a, AD=—x, ED=—y, CB—QE—+ et CD—AD—AC—x—4. Le triangle rectangle AED donne AË —AD +ED ou AVE Fe Mais les triangles AQC, AED, sont semblables: on a donc AE: QE:: AD: CD, c’est-à-dire, VÆ+r : b::x:(x—a) et en élevant au carré (x?+y?) : D? :: x? : (x —aY. De cette dernière proportion on tire (22H72 : a? 15 br (x — a : (x—a. d’où x? [2 — (x— ay | 2 — a — Va (x—a} équation qui convient également à la conchoïde cité- rieure, en prenant CF—BC—#. Cette dernière peut avoir des formes différentes, d’après le rapport de CF à AC, F'étant le point décrivant, comme nous le verrons ailleurs. /’oy. NoruD , Poinr conJuGur. L'équation polaire de la conchoïde est beaucoup plus simple que l’équation à coordonnées rectangulaires ; on l’obtient directement par la seule considération du triangle rectangle variable ACQ, car désignant par @ l'angle variable BAE, et par z la droite variable AE ou AR, nous aurons Par CO d09 Mais AE = AQ + CB et AR = AQ — CF; ainsi on a Le signe +, servant pour la conchoïide ultérieure, et le signe — pour la conchoïde citérieure, Nous verrons aux mots Durzicarion et Trisecrion l’usage que les anciens faisaient de ces courbes dont quelques géomètres du siècle dernier se sont aussi occupés. Voyez Mem. de l’Acad. des sc. 1708, 1733, 17934 et 1735. Newton, Arith. universelle. CONCOURANTES (cc). On nomme puissances concourantes celles dont les directions ne sont pas pa- rallèles, ou concourent à produire un effet. On les dis- tingue ainsi des puissances opposées qui tendent à pro- duire des effets contraires, et qu’on appelle puissances conspirantes. Voy. Forces. CONCOURIR (Géom.). Deux lignes ou deux plans concourent lorsqu'ils sé coupent, ou que, sans se couper, ils sont tels qu’ils peuvent se rencontrer étant suffisam- ment prolongés. CONCOURS (Géom.). Le point de concours de plu- sieurs lignes est celui où elles se coupenteffectivement, ou bien celui où elles se couperaient toutes, si elles étaient suffisaaiment prolongées. Le centre d’un cercle est le point de concours de tous ses rayons. CONCRET (4rüh.). Un nombre concret est celui qui est considéré comme représentant ‘une collection d'objets déterminés. Ainsi 5 mètres, 8 litres, 60 degrés, etc.,sont des nombres concrets , parce que 5,8 et 6o n'ex- priment point ici des unités abstraites, mais des objets conventionnels; savoir: des mètres, des litres et des degres. Voy. ARITHMÉTIQUE, 6. CONDAMINE (Cnarzes-Manie La), membre de l’A- cadémie des sciences, de l’Académie française, de la Société royale de Londres, des Académies de Berlin et de Pétersbourg, naquit à Paris le 28 janvier 1901. Quoiqu’on ne puisse le citer ni comme savant, ni comme littérateur , La Condamine a eu dans le monde les plus brillans succès , et a joui de toute la gloire qui s'attache à la science et au talent. On disait de lui qu’à l’Académie française , il était regardé comme un savant, et à l’Aca- démie des sciences comme un homme très-spirituel. La vérité est que La Condamine, doué d’un esprit vif et pénétrant, et surtout inspiré par un irrésistible sentiment de curiosité, était naturellement disposé à s'occuper de tout ce qui peut exciter l’émulation du savoir ou la har- diesse de l'intelligence. Jeune, ilse fit militaire, comme il se fit savant plus tard par curiosité. Il faillit se faire tuer au siége de Roses, où, durant un assaut, il exami- nait fort tranquillement, à l’aide d’une lunette, le ser- vice d’une batterie et la direction des boulets. {1 était (5 554 CO incapable d’une méditation sérieuse; mais son étrange curiosité lui tenait lieu d’une plus noble ardeur pour l'étude : aussi n’a-t-il fait qu'effleurer les matières dont il s'est tour à tour occupé. Son nom ne se trouverait point ici cependant, si La Condamine, en 1756, n'eut partagé les travaux de Godin et du savant Bouguer, chargés par l'Académie des sciences de mesurer un degré du méri- dien au Pérou, dans le voisinage de l'équateur. Son in- fluence ne fut pas étrangère à la décision du ministre Maurepas, qui approuva ce vovage scientifique, et fournit les moyens de lexécuter On sait que cette expé- dition dura dix ans. I est de la justice de dire que si La Condamine était inférieur à ses collègues sous le rapport du savoir, il les aida activement dans tous les moyens secondaires sans lesquels leur opération n'aurait pu avoir lieu. La Condamine, d’ailleurs, habitué à la vice des salons et à toutes les jouissances du monde, supporta ayec un courage et une résignation dignes d'éloges, les dangers et les fatigues d’une utile entreprise à laquelle il s'était volontairement associé. Son intarissable gaité fit souvent oublier à ses collègues les chagrins d’un long exil, et les privations auxquelles ils furent en proie, dans un pays où même aujourd'hui la civilisation a fait si peu de progrès. À leur retour en Europe, Bouguer et La Condamine publièrent la relation de leur voyage. Le public accueillit avec une faveur marquée le travail du dernier; et Bougucr, qui se voyait privé d’une gloire si laboricusement acquise, attaqua avec humeur son spi- rituel compagnon, qui luirépondit avec gaité. Le public, incapable de juger le fond de la discussion, donna en- core raison à La Condamine. Le{ février 1774, Charles- Marie de La Condamine mourut comme il avait vécu, pour s'être livré imprudemment à son penchant à la curiosité, en faisant faire sur lui l'essai d’une opération chirurgicale nouvelle, aux suites de laquelle il suc- comba. Le Recueil de l’Académie, le Mercure de France, et les divers journaux du temps contiennent de nombreux mémoires de La Condamine sur toutes sortes de sujets. Ses principaux écrits scientifiques sont : 1. The distance of the tropicks, 1738, in-8°. IL. La fi- gure de la terre détermince par les observations de MM. de La Condamine et Bouguer, Paris, 1749, in-4°. I. Mesure des trois premiers degrés du méridien dans l'hémisphère austral, Paris, 1751, in-4° , etc. £ CONDORCET (Marie-Jean-AnrToine Nicoras Cari- A FAT, Mmarquisde), membre célèbre de l’Académie des scien- ces et de l'Académie française, naquit, en 1743, à Ribe- mont, près de Saint-Quentin, en Picardie. Il fitsesétudes _ au collége de Navarre, où avait fait entrer l’évêque de Lizieux, son oncle. Ses parens crurent remarquer en lui une aptitude particulière pour les mathématiques, et ils dirigèrent en conséquence ses études vers cette science, sur laquelle il soutint, à seize aus, une thèse CO qui recut les applaudissemens de D’Alembert, de Clai- raut et de Fontaine, devant lesquels elle fut pronon- cée, Ce succès décida de son sort, et il prit dès-lors la résolution de se livrer tout entier à l’étude d’une science, où l’approbation de savans aussi distingués dexait, en effet, lui paraître d’un favorable augure. Malheureuse- ment Condorcet ne se borna pas à accomplir cette ré- solution: il envia une gloire plus brillante peut-être, mais moins durable, et il se jeta avec ardeur dans une carrière où il succomba, victime des principes désastreux qu'il avait contribué à faire triompher. Au sortir du collége, Condorcet, qui vint se fixer à Paris, où la pro- tection du duc de La Rochefoucault lui procura les moyens de se produire honorablement dans le monde , se lia avec les plus célèbres géomètres de lépoque , et particulièrement avec Fontaine. 1 débuta par un essai sur le calcul intégral, qui fut publié en 1765; eten 1767 il donna un mémoire sur le Problème des trois corps. Ces deux ouvrages, que l’Académie des sciences avait jugés dignes d’entrer dans la collection des travaux des savans étrangers , lui méritèrent honneur d’y être admis en 1769.Ce fut alorsque Condorcet se lia plus intimement avec les principaux membres dela secte encyclopédique, dont il devint bientôt un des adeptesles plus passionnés. I était assez jeune pour recueillir l'héritage de ses maîtres, qui, plus heureux que lui, ne virent pas les orages que la popularité malheureuse de leur philoso- phie appela sur la France. Condorcet fut effectivement le dernier écrivain de quelque valeur intellectuelle, que l’empirisme philosophique du X VITE" siècle ait conservé à l’Acadéniie dessciences. Son esprit, sans doute, n’y est pas mort avec lui: if y compte encore aujourd’hui de nombreux partisans; mais leur impuissante colère pro- tège mal contre les progrès toujours croissans de la rai- son, uné philosophie désolante dont la funeste mission est heureusement accomplie. Sur les ruines qu’elle avait amoncelées autour d’elle, l'esprit humain jette aujour- d'huiles bases d’un monument plus durable. Son travail sera peut-être long et pénible, et ceux qui apportent à ce grand labeur la part de leur talent et de leur généreuse conviction, doivent connaître d'avance les difficultés de l'œuvre à laquelle ils se sont voués. En effet, la philo- sophie du XVII siècle, qui, en prétendant seulement exercer l'autorité de ses préceptes contre l'ignorance et les préjugés, a flétri les croyances les plus respectables, confondu les principes de toutes choses et jeté l'huma- nité dans une fausse voie, n’a plus aujourd’hui de refuge que dans l'ignorance et les préjugés. Les travaux scientifiques de Condorcet sont peu im- portans : il s’estsurtout exercé danslesdiverses branches du calcul intégral; mais, ainsi que le dit avec raison un de ses contemporains, ses vues ont pu être nouvelles sans produire aucune découverte; car il s'est borné CO presque entièrement à des généralités qui ont elles- mêmes gfand besoin d’être dévéloppées. Condorcet s’est surtout acquis de la célébrité par les éloges des acadé- miciens, qu'il a composés , et par d’autres travaux de lit- tératute et d'économie politique dont nous w’avons point à nous occuper. Où sait quelle fat la fin déplorable de Condorcet. Ses crreürs fureñt expiées trop cruellement par ses in- fortunes, pour qu’on puisse lui refusér des regrets. Doué d’un esprit vif et pénétrant, d’une instruction profonde, d’une facilité de travail remarquable, il était appelé, par les plus heureuses dispositions; à occuper parmi les géomètres un rang plus distingué que celui où il est parvenu. Sesécrits scientifiques sont :[. Æssai d'analyse, Paris 17368, in-4° : ce recueil comprend le traité du Calcul intégral et celui du Problème des trois corps; qui déjà avaient été pübliés séparément. IL. Æ/oges desaca-, démiciens de l'Académie royale des sciences, morts depuis 1666 jusqu'en 1699; Paris 1993, in-19. IIL, Æs- sai sur L'applicution de l'analyse à la probabilité des de- cisions rendues à la pliralüté des voix, Paris ; 1785, in-4°, IV. Ælémens du calcul des probabilités, ete., 1804, in-8°. V.Moyen d'apprendre à compter sürement el avec facilité, Paris , an vir (1709), in 12. Ila en outre consa- cré un grand nombred’articles mathématiques à l’Eney- clopédie , et l’on trouve dans le recueil de l’Académie des stiences plusieurs mémoires sur des questions qui se rattachent aux diverses branches de lascience, tels qu'un Essai sur la théorie des comètes , sur la résistance des guides, etc. Ces divers écrits n’ont point été publiés sé- parément. CONE (Géom.). L'un des trois corps ronds dont s’oc- cupe la géométrie élémentaire. l’oyez Norions PRÉ- LM. 54. On défiñit le cône droit, le solide formé par la révolu- tion d’un triangle rectangle ABC (PL. XIX, fig. 4) au- tour d’un de ses côtés, tel que AG Dans cette révolution, le côté CB décrit un cercle BDE, qui est la base du cône, et l'hypothénuse AB en décrit la surface convexe. Pour étendre cette définition au cône obliqué, on 1a généralise en disant : un cône quelconque est produit par la révolution d’une droite assujétie à passer par un point fixe A (Jig. 3 et 4), en glissant autour d’un cercle BDE. Si l’on conçoit cette droite indéfiniment prolongée, elle décrira dans son mouvement deux surfaces convexes opposées par le sommet, comme dans la fig. 1. 1. Il résulte immédiatement de la construction du cône droit que toutesles sections faites par des plans parallèles à la base, sont des cercles dont les rayons décroissent de- puis la base jusqu'au sommet, dans Ie rapport même de leurs distances à ce sommet. 2. Toutes les sections faites suivant l'axe AC sont des CO J9Ù triangles isocèles, tels que BAE, doubles du triangle générateur. 3. Toutes les sections faites dans le cône par des plans qui ne sont ni parallèles à la base, ni suivant l'axe, sont des lignes courbes connues sous le nom de SEcrions co- NIQUES. Ÿ’oy. ce mot. : 4. On nomme cône tronqué une portion de cône dont on a retranché la partie supérieure, en le coupant par un plan parallèle à la base. ACDÉ, fig. 8, est un cône tronqué. On peut le concevoir comme formé par la révolution du trapèze AFCG autour de son côté FG.. 5. Un cercle devant être considéré comme un poly- gone régulier d’un nombre infini de côtés, toutes les propriétés des cônes peuvent se déduire de celles des pyramides ; et c’est même la seule manière directe d’ar- river à la connäissance de ces propriétés: car les sup- poser d’äbord, comme on 16 fait dans les ouvrages élé- mêéntaires, puis les déiiontrer pit une contlüsion à l'ab- surde (boy. AnsurpE), n'indique En aucuñe manière la génération d'idées qui a pu amener à les découvrir. Ce serait peut-être ici l’occasion de signaler les défauts des Élémens de Géométrie adoptés en France pour l’ensei- gnement pnblic, défauts dont le plus essentiel est de retenir constamment l'esprit des élèves enchaîné dans les mêmes formes de raisonnement, de sorte que lé. tude de cette science, Join de concourir à développer l'intelligence, arrête son essor , et paralyse ses facultés. La plupart des géomètres, entièrementétrangers à toute idée philosophique, ont cru donner une grande r'gueur à Icurs démonstrations, en écartant avec soin les consi- dérations de l’énfinr, et en les remplaçant par un échafau- dage d’argumens et de constructions qui cependant n'auraient aucune siguification sans cet infeni qu'ils s’ef- forcent si maladroitement de bannir. Quelques auteurs élémentaires se sont imaginé de démontrer les axiornes, sans s’apercevoir que leurs argumens étaient beaucoup moins évidens que les objets en discussion; et il en est même de très-estimables du reste, qui, après avoir passé une grande partie deleur vie à faire età défaire la théorie des parallèles, ont présenté ensuite comme une belle dé- couverte une prétendue démonstration de l'égalité des trois angles d’un triangle à deux angles droits, fondée sur une construction successive de triangles, dont le dernier doitavoir deux angles infiniment petits! (Voyez Géométrie de Legendre, 19° édition, pag. 0 et 277.) Mais nous reviendrons autre part sur toutes ces ques- tions qui réclament une réforme complète. 7 oy. GÉo- te ét Pitôsopni£ prs Maru. G. Théorème. La surface convexe du cône droit est égale à la moitié du produit de la circonférence de sa base par le côté du cône. Où nomme cèté du cône toute droite menée sur Ja surface convexe du sommet à la base. 556 CO Lasurface d’une pyramide régulière (voy. ce mot) est, sans y comprendre sa base, égale à la moitié du produit du périmètre de la base par l’apothème. Or, plus la py- ramide a de côtés, et plus la différence entre son arête et son apothème devient petit; et lorsque le nombre de ces côtés est infiniment grand, cas où la pyramide devient'un cône, l’arête et l’'apothème se confondent , et deviennent l’une et l’autre le côté du cône : donc la surface convexe du cône est aussi égale au demi-pro- duit du périmètre ou de la circonférence de sa base par son côté. Si nous désignons par r le rayon de la base d’un cône droit, et par k la hauteur de ce cône, son côté sera VFEF car, dans le triangle générateur (fig. 4) ABC, nous avons AB'—BC’+AC*. Si donc 7 exprime la demi-cir- conférence dont le rayon est l'unité, 27r sera la circon- férence dont le rayon est r, ou la circonférence de la base du cône, et VE HET sera sa surface convexe. La surface convexe du cône oblique est l’objet d’un problème très-difficile qui réclame les secours du calcul différentiel. Foy. QuapraTurE. 7- Théorème. La surface convexe da cône tronqué ACDB (fig. 8) est égale au produit de son côté AC par la demi-somme des circonférences des deux bases, En effet , la surface convexe du cône entier AEB est, d’après ce qui précède , égale à Lcir. AFXAE, cir. AF désignant la circonférence, dont AF est le rayon, Ou la circonférence de la base. De même la sur- face convexe du cône retranché CED est égale à L'cir. CG X CE. Donc la surface convexe du cône tronqué ACDE, dif- férence entre la surface convexe du cône entier et celle du cône retranché , est égale à Lcir. AFXAE — 1 ir. CGXCE. Or, AE—AC+HCE, nous pouvons donc mettre cette dernière expression sous la forme (1) Loir. AFXACHZTcir. AF—cir. CG] X CE; mais nous avons, à cause des triangles semblables AFE, CGE, AF : CG:: AE : CE ct par conséquent, cir. AF : cir. CG :: AE : CE, CO proportion d'où l'on tire cir. AF—cir. CG : cir. CG :: AE—CE : CE, ct, par suite [cir. AF—cir. CGT X CE = cir. CGX AC Substituant cette valeur dans (1), nous aurons pour fa surface convexe du cône tronqué l’expression +[cir. AF— cir. CG] X AC. donc, etc. 8. Théorème. Le volume du cône est égal au tiers du produit de sa base par sa hauteur. Voyez Pyra- MIDE. Désignant, comme ci-dessus, par 7 le rayon de la base, et par A sa hauteur, qui, dans le cône droit est la même que l'axe, nous aurons, V étant le volume, V=3rrh. 9. Corollaire. Le volume d’un cylindre étant égal au produit de sa base par sa hauteur (voy. CYLiNDRE), un cône est le tiers du cylindre de même base et de même hauteur. 10. Tuéorime. R étant le rayon de la base inférieure d’un cône tronqué, r le rayon de la base supérieure et H la hauteur du tronc, le volume du cône tronqué est égal à | 3 rH[R + ERXr], car, si À désigne la hauteur du cône total, —H sera celle du cône retranché, et les volumes de ces cônes seront 37rRh , 377 (h—H,. Ainsi le volume du cône tronqué, étant la différence de ces deux volumes, sera ï 1 . 3 Re — 1 re (h—H), ou (2) 3 (rRA — rh + 7H]; mais les circonférences des bases sont entre elles comme les hauteurs des cônes ; nousavons donc rR:rr::h:h—H, proportion qui nous donne rrh = rRh — rRH, et par suite RH = Rh — rh. Substituant dans (2), à la place de #r°h, la quantité rRrh — rRrH, qui lui est égale, et réduisant , on ob- CO tient 37 [r Eh — rh) + RrH + rH| F ou Le [run +RrH +] ce qui est la même chose que la proposition énoncée. 10. Il résulte encore des théorèmes précédens : 1° Que les cônes de même base sont entre eux comme leurs hauteurs ; 2° Que les cônes de même hauteur sont entre eux comme leurs bases. 11. On nomme cônes semblables, les cônes dont les axes sont entre eux comme les diamètres de leurs bases. Les volumes de deux cônes semblables sont dans le même rapport que les cubes de leurs hauteurs, ou que les cubes des diamètres de leurs bases. CONFIGURATION {Astr.). Situation des planètes les unes par rapport aux autres. Joy. AsPecr. On applique principalement ce mot aux satellites de Jupiter que l’on ne pourrait distinguerles uns des autres, sans le secours d’une figure où leurs positions respec- tives sont indiquées. La connaissance des temps con- tient les configurations des satellites de Jupiter pour chaque jour de l’année. On se servait jadis d’un instrument nommé jovilabe ( voy. ce mot) pour trouver ces configurations; mais Delambre a donné dans la connaissance des temps de 1808 des tables qui dispensent de son usage. Lalande a imaginé un instrument semblable au jovi- labe pour la configuration des satellites de Saturne; ou le trouve décrit et gravé dansson Traité d’ Astronomie. CONGRUENCE ({4lg ). Nom donné par Gauss à la relation de deux nombres inégaux, dont la différence est multiple d’un nombre entier. Les nombres com- parés se nomment congrus, et le nombre entier qui divise exactement leur différence se nomme le module. Ainsi, 11 et 21 sont congrus par rapport au module 5, parce que la différence 21— 11, ou 10, est un multiple de 5. Ils sont au contraire incongrus par rapport à un autre module 7. Chacun des nombres comparés prend le nom de résidu par rapport à l’autre, lorsque ces nombres sont congrus, et de non-résidu dans le cas contraire: par exemple, 11 est résidu de 21 par rapport au module 5, et il est non- résidu par rapport au module 7. Le signe de la congruence se compose de trois traits horizontaux =; ainsi A = B signifie que À est congruent avec B, ou que la différence de ces nombres, A—B, est multiple d'un module sous- CO 367 entendu que nous désignerons par M. Si donc cette différence est M, nr étant un nombreentier quelconque, la congruence précédente revient à l'égalité A—B=—nM ; en ajoutant toutefois la condition expresse que les quatre nombres À, B,7, M sont des nombres entiers, condition que le signe — renferme. Les nombres comparés, toujours entiers, peuvent être positifs ou négatifs; mais le module doit être pris d'une manière absolue, c’est-à-dire sans signe. Lorsque cela est nécessaire, on écrit entre deux pa- renthèses le module à côté de la congruence, de cette manière A=B (mod.M). Nous allons exposer les principes fondamentaux des congruences, principes sur lesquels repose toute la T'hcorie des nombres. Foy. ce mot. 1. Deux nombres différens et congruens à la fois à un troisième nombre, sont congrus entre eux, le module étant toujours le même. En effet les deux congruences A=C, B=C sont la même chose que les égalités A—C—nM,B—C—mM, n et m étant des nombres entiers; mais en retranchant la seconde de la première, on a A —B—{(n—1m) M et par conséquent A=B puisque n—m est nécessairement un nombre entier. 2. Le module étant supposé le même, si on a plu- sieurs congruences A=B, C=D, E=F, etc. leur somme sera également une congruence; c’est-à- dire qu’on aura A+C+E+etc =B+D<+EF + etc. ce qui se démontre facilement. On aura de même A—C=B—D A—C—E—etc—B—D—F— etc. 3. Lorsqu'on multiplie les deux termes d’une con- gruence par un même nombre entier, les produits sont encore congrus. Ainsi, p étant un nombre entier quel- 358 conque, la congruence co A=B donne une autre congruence pa= pB; suivant ié même module. 4. Si l'on multiplie terme par terme plusieurs con- gruences, les produits seront congrus. Soient A=B, C=D, on aura A XC=BXD. En effet, désignant par m2 ét n les facteurs qui donnent | A—B=—mM, C—D=—2M, on à A=B+iM, C=D+M, et en multipliant, A XC=—(B<+ »M)(DÆ+7M), ou AXC=B XD +B2M+DmM + mnMM. Cette dernière égalité donne AXD—BX D=[Br+ par conséquent, concourent à produire un effet. Foy. Force et MouvEmEnT. CONSTANTE (A4!g.). Nom que l’on donne à toute quantité qui ne varie pas par rapport à d’autres quantités qui varient et qu’on nomme variables. Lorsqu'on différentie une expression algébrique dans laquelle il se trouvedes constantes isolées, ces constantes disparaissent. En effet, la différentielle de Ax + B est (voy. DirréreNTIEL) Adx + dB ou simplement Adx, puisque, B étant invariable, dB—o. Ainsi, lorsqu'une différentielle est donnée, telle que Adx, on ne peut savoir immédiatement si elle est le résultat de la diffé- rentiation de la seule quantité Ax ou de Ax + B. Il faut donc toutes les fois qu'on prend l'intégrale d’une quantité différentielle, ajouter une constante qui peut bien être nulle, mais dont il faut savoir déterminer la valeur d’après la nature de la question. On exprime ordinairement cette constante par la lettre GC : par exemple , gx étant l'intégrale de dgx, on pose J'ux=ex+0. Pour déterminer cette constante on donne ordinaire- ment à Ja variable , ou aux variables qui entrent dans l'intégrale, des valeurs particulières, telles qu’il en résulte pour cette intégrale une valeur connug. Par exemple, si l’on sait qu’en faisant æ—0 on obtient, pour f'dgx,; une quantité quelconque que nous désignerons par M, où écrira gx +C=M, le point placé sur la variable, indiquant la valeur 0 qu’elle doit avoir dans cette équation. On a donc C= ex +M et l'intégrale complète est px-gx+M. Pour fixer les idées, supposons qu'il s'agisse de prendre l'intégrale de 364 CO la quantité dxV/x--a, qui est 3 J'ave=a = i(i—a) +- CG. et supposons aussi que lorsque x — 0, cette intégrale doit être zéro; nous aurons alors pour déterminer la coustante l’équation 4—a) +C=0 D'où 3 3 C = 34°, ainsi, dans ce cas, l'intégrale cherchée est 3 2 3 Java = j(x—a) + za. Voyez INTÉGRAL. CONSTELLATION (Astr.). Assemblage ou système d'étoiles exprimé et représenté sous le nom et la figure d’un homme, d’un animal , ou de tout autre emblème. La méthode de partager le ciel en plusieurs parties ou constellations paraît aussi ancienne que l’astronomie elle-même ; et la seule manière, en effet, de ne pas se perdre dans cette multitude innombrable d'étoiles qui peuplent le firmament, était d’en former des groupes et de les distinguer les uns des autres par des noms et des figures propres à aider la mémoire. Tel a dû être le pre- mier travail des premiers observateurs. Les écrivains les plus anciens dont les ouvrages nous sont parvenus , connaissaient cette division des cieux. Dans le livre de Job, on trouve, chap. 1x, verset: « C’est lui qui a créé les étoiles de l'Ourse, d'Orion, des Hyades, et celles qui sont plus proches du midi.» Plus loin, chap. xxxvinr, dans la sublime énumération qu’il place dans la bouche du.Seigneur , l’auteur sacré en fait une autre mention : « Pourrais-tu joindre ensemble les étoiles brillantes des Pléiades, et détourner l’'Ourse de son cours? » Nous trouvons dans la prophétie d’Amos l’exhortation suivante (chap. v, verset 8): « Cherchez celui qui a créé les étoiles de l'Ourse et celles d'Orion, qui fait succéder aux ténèbres de la nuit la clarté du ‘matin, et la nuit au jour, qui appelle les eaux de la mer et les répand sur la surface de la terre, son nom est le Seigneur. » Dans ce passage remarquable les étoiles de l’Ourse et d'Orion sont citées comme bien connues, et par Amos, qui était un simple berger, et parle peuple auquel il s’adressait. D'où l’on peut conjecturer qu’à cette époque, c’est-à-dire environ 800 ans avant Jésus- Christ, ces constellations étaient déjà inventées depuis long-temps. Plusieurs constellations se trouvent aussi mentionnées par Hésiode et Homère environ 900 ans avant Jésus-Christ. CO Aratus de Tarse, le poète astronome qui vivait 274 ans avant l’ère vulgaire nous a laissé un traité de toutes lesconstellations connues de son temps. Ce traité contient leur situation les unes par rapport aux autres , ainsi que leurs positions par rapport aux principaux cercles de la sphère. Le célèbre Hipparque a montré qu’Aratus n’a- vait fait que suivre la description d’Eudoxe, plus ancien que lui de près d’un siècle, et il esttrès-probable que les astronomes successeurs d’Hipparque continuèrent d’user des mêmes figures de constellations jusqu’au temps de Ptolémée, sauf quelques additions ou variations. L’Al- mageste de Ptolémée a été l’objet d’une si grande vé- nération , parmi les astronomes, que presque tous ceux qui ont écrit depuis son temps ont adopté les figures de ses constellations, et se sont efforcés autant que pos- sible de les faire correspondre avec ses descriptions ; ce qui du reste était bien nécessaire pour pouvoir compa- rer les nouvelles observations aux anciennes. La division des anciens avait lieu seulement dans la partie du ciel qui leur était visible; elle se composait de 48 constellations distribuées comme il suit: douze for- maient le zodiaque , vingt-une étaient disposées dans la partie nord et seize dans la partie sud. On trouvera leurs noms plus loin. Les étoiles non comprises dans ces constellations, et qui cependant étaient visibles à l’œil nu , étaient appelées 2nformes; plusieurs d’entre elles ont servi aux astronomes modernes pour former de nou- veaux groupes ou de nouvelles constellations. C’est ainsi qu'Hévélius a placé le Petit-Lion entre le Lion et la Grande-Ourse, le Lynx entre la Petite- Ourse et Auri- ga, etc., etc. Pour ne pas nous étendre inutilement, nous passe- rons sous silence les tentatives faites sans succès pour remplacer les anciennes fgures des constellations par d’autres tirées soit de l'Ecriture-Sainte, soit des Ar- moiries des princes de l'Europe; et nous empruntons à Delambre le tableau suivant de toutes lesconstellations, tant anciennes que modernes. Elles font l’objet de plu- sieurs atlas dont le plus complet et le plus détaillé est celui que Bodea publié à Berlin. TABLEAU DES CONSTELLATIONS ANCIENNES ET MODERNES. Les constellations de Ptolémée sont au nombre de 48. 1. Petite-Onrse ou Cynosure queue-du-Chien. 2. Grande-Ourse. 3. Dragon. 4. Céphée. . Le Bouvier. . L'Agenouillé (Hercule ). . La Lyre. 9. La Poule on le Cygne. 10. Cassiépée ( Cassiopée ). LS ur. Persée. 5 6. La Couronne boréale. 7 8 CO CO 365 12. Le Cocher. = É $. Le Paon. 13. Ophiuchus, ou le Serpentaire: 6. L'Oisean indien ou sans pied. TIR 14. Le Serpent, AL 7. La Mouche. 15. La Flèche (et le Renard). 8. Le Caméléon. 16. L'Aigle et Antinous, Sans compter le Cœur de Charles II, qu'il a placé sur 19. Le Dauphin. le Collier de Chara, l'un des Chiens d'Hévélius: 18. Section antérieure du Cheval ( Petit-Cheval ). 19. Le Cheval Pégase. Conitellations australes de Bayer. 20. Androméde, 1. L'Indien. 21. Le Triangle. 2. La Grue. Toutes ces constellations sont au nord ; les suivantes sont dans 3. Le Phénix. le zodiaque. 4. L'Abeille ou la Mouche. 5. Le Triangle austral. 22. Le Belier ( et la Mouche ). 6. L'Oiseau de Paradis, 23. Le Taureau. 7. Le Paon. 24. Les Gémeaux. 8. Le Toucan. 25. Le Cancer ou l'Écrevisse. 9. L'Hydre mäle. 26. Le Lion (auquel il a joint quelques étoiles de la Cheve- 10. La Dorade. , lare de Bérénice). 11. Le Poisson volant. 27. La Vierge. 12. Le Caméléon. 28. Les Serres (la Balance ). 29. Le Scorpion. Constellations australes de La Caille, 30. Le Sagittaire. Ù 31. Le Capricorne. 1. L'Atelier du Sculpteur. 32. Le Verseau. imi 2. Le Fourncau chimique. 30, Pes Poison 3. L'Horloge astronomique. 4. Le Réticule rhomboiïde. Conitellations australes. 5. Le Burin du Graveur. 34. La Baleine, 6. Le Chevalet du Peintre. 35. Orion. 7. La Boussole. 36. Le Fleuve (l'Éridan ). 8. La Machine pneumatique. ! 37. Le Lièvre. 9. L'Octant. 38. Le Chien. 10. Le Compas et le Cercle, 39. Procyon,, ou le Chien précurseur, 11. L'Équerre et la Règle. ) N 40. Argo. 12. Le Telescope. 41. L'Hydre. 13. Le Microscope. 42. La Coupe. da 14. La Montagne de la Table, 43. Le Corbeau. 15. Grand et petit Nuages. 44. Le Centaure: 16, La Croix. Royer. 45. La Bète ( le Loup). 46. L'Autel. Autres conxellations modernes, 47. La Couronne australe. 48. Le Poisson austral. Le Repne, Lemonnier, Le Solitaire, Idem. Les constellations ajoutées par Hévélius sont : Le Messier, Lalande. Le Taureau de Poniatowski, Poczobat. 1. Antinous, au-dessons de l'Aigle. Les Honneurs de Frédéric, Bode, 2. Le mont Ménale, auprès du Bouvier. Le Sceptre de Brandebourg. Idem. 3. Les Chiens de chasse Astérion et Chara, Le Télescope de Herschel, . Idem. 4. La Giraffe, Le Globe aérostatique. Idem. 5. Cerbere entre les mains d'Hercule, Le Quart de cercle mural, Idem. 6. La Chevelure de Béréaice. Le Chat, Idem. 7. Le Leézard. Le Loch, Idem, 8. Le Lynx. La Harpe de George, Hell. 9- L'Écu de Sobieski. 10. Le Sextant d'Uranie. 11. Le petit Triangle. 12, Le petit Lion. CONSTRUCTION pes ÉquarTIoNs (4/g. appl.). Pro- cédés pour trouver les racines des équations par des opérations graphiques, c'est-à-dire par des constructions Les constellations ajontéesger Malar;dues la partis éométriques effectuées à l’aide de la règle et du com- australe, sont : & q pas, ou par des descriptions de lignes courbes. 1. La Colombe, L . A re Rerlohus de Chates IL. Equations du premier degré. La forme générale de 3. La Grue. ( Voyez Payer.) | ces équations étant Ax—B ouAx=1 XB, il suffit decher- 4. Le Phénix. cher une quatrième proportionnelle aux lignes 1, AetB. 366 co On prend donc une droite arbitraire pour unité; avec cette unité on construit deux autres droites égales à A ct B, puis on cherche la quatrième proportionnelle par l’un des procédés donnés dans Particle AppricarioN Î, n° 8. Cette quatrième proportionnelle est l’inconnue demandée. Equations du second degré. X’équation générale du second degré est + pr +q—0; petg pouvant être des quantités quelcopqnes, positives, négatives ou zéro. Prenant une droite arbitraire pour unité, construisons les droites p et g et ensuite deux autres droites A et B, telles que l’on ait A—:p, B— 9x 1; ce qui se fait en prenant pour À la moitié de p et pour B la moyenne preportionnelle entre B et 1 (voy. Arrz. I, n° 9.)Ces quantités étant ainsi déterminées nous pou- vons donner à l’équation la forme tout aussi géné- rale x? + 2Ax + B: — 0. Les racines de cette dernière sont (voy. HÉQuarions) 2= A+ VAE, 2eme VAT valeurs qu'on peut construire aisément à l’aide du cercle. En effet,avec un rayon AC—A ayant dé- crit un demi-cercleADB, prenons CE—B, et du point E élevons la per- En ED qui À Le CE coupe la circonférence en D, cette perpendiculaire sera pendiculaire égale à1/A°—B?, car en menant le rayon CD nous ayons le tri:pgle rectangle CDE qui donne CÔ* — CE? + ED° ou A2— B° +- ED? donc ED — V/a°—B: Si nous désignons ED par C, les deux vacines de- viennent Le x —A+C,x=——A—C, ou ce qui est la même chose, x = (A—C,r=—(A+0 Ainsi abstraction faite du signe—, les deux racines sont la somme et la différence des deux lignes A et C. Si le terme B* était négatif, les racines seraient CO 2=—A4 VAE, x=—A VAE et l’on construirait C— VA +Ben formant un triangle rectangle dont l’hypothénuse serait = C, les deux côtés de l’angle droit étant pris égaux à A et B. Lorsque À est négatif, les deux racines deviennent æ=A+C,x—A—C. Elles sont donc, comme ci-dessus, la somme et la diffé- rencg des ligues A et C. Dans le cas où B serait négatif et plus grand que A, la quantité v'A°—B: ne pourrait être construite :les ra- cines sont alors imaginaires. Equation du troisième et du quatrième degré. Les racines de ces équations peuvent toujours être déter- minées par les intersec- tions de deux sections co- niques; mais la construc- tion la plus simple est celle qu’on effectue par le cercle et la parabole. Soit yy"Ay"y" une parabole dont l'axe est AB et © Un a JET MN le centre est C et le rayon 72 un cercle dont Dal Cy, coupant la parabole dans les quatre points : 3Y,Y",; y'. De ces points, menons les ordonnées xy, x y", x'y", æ'y"; menons en outre CD perpendicu- laire à l'axe et CE perpendiculaire sur TV. Faisons AD—a, CD—b, Ax—x, xy—y, ctdésignons par p le paramètre de ja parabole, et par r le rayon Ey du cercle. Ceci posé, l'équation de la parabole est F° = PT) et nous avons en outre = CE + Er ou Cy=(Ax—AD) +(xy—CD} C'est-à-dire = (2—a) + (y by, ce qui donne, en développant, l'équation x—2ax + a'+y--2b5 + —r. - P'cais Substituant pour æ la valeur æ=—°—, prise dansl'équa- P tion }°=pæ, et ordounint par rapport puissances de y, nousavons D ERP np = 0 Equation du quatrième degré dont les racines sont Fi—(2pa—p?) y —01 CO æÿ, à", "y", x"y". I suffit donc, pour construire tte équition du quatrième degré, de la faire coïncider dVéc cette dernière. Or, la forme générale de cès équations est, après avoir fait disparaître lé second térme (voyez BIQUADRATIQUE), æxi + Aa +Bx+C=o; faisons donc À = — 9pa + p° B — — 2bp* C=(&+b—7p . et déterminons à l’aide de ces égalités les quantités &, b; p;, r avec lesquelles nous construirons le cercle et la parabole. Pour cet effet, prenons une droite arbitraire pour unité, et choisissons en même temps cette unité pour le paramètre de la parabole, c’est-à-dire, faisons p—13 les coefficiens A, B, © étant ensuite construits avec cette unité; nous aurons quatre droites connues p, À, B, G. Mais les égalités ci-dessus donnent Ar en 2p 2p B sn 2 FEV [ee]. Ainsi la Valeur de a se constrüira en prenant la somtié ÿ ) : 44 = D ent de deux droites dont la première e ou P est la moitié A 10 2 F de p, et dont laseconde est la moitié de À à cause de p=1 : la valeur de b est simplement la moitié de B ; puisque p°=—1 ; quant à la valeur de r; où construira d’äbord une droite auxiliaire m2 puis on aurd PV Var qui se construit sans difficulté. Quant à la droite auxiliaire »2, puisque p—1, on rend son expression homogène en posant m=\ Le Pa | m=—= ve — Cp| Ce qui revient à Cette droite se construit en cherchant préalablement une moyenne proportionnelle aux deux droites C et p; car en désignant cette movenne parz,ona n'=Cp co 367 ét par conséquent , ce qui ramène 72 à être le troisième côté d’un triangle rectangle dont b est l’hypothénuse, et » le second côté. Voy. A»pLicarion I, n. 2. Les valeurs de a, b et r étant ainsi construites , après avoir décrit une parabole dont le paramètre soit 1 ou p, on prend sur l’axe, AD—a; du point D, on élève la per- pendiculaire DC=b , et du point C comme centre, avec un rayon —r, on décrit un cercle : les ordonnées des intersections du cercle et de la parabole sont les racines de l’équation ai Az +Br+C—0. En discutänt les équations précédentes, on trouvera facilement le cas où toutes les racines sont réelles, celui où elles soût toutes imaginaires, et enfin celui où deux rcinés sont réelles, ét deux imagibiaires. La construction des équations du troisième degré ne diffère de celle du quatrième, que parce qu’une des in- tersections du cercle et de la parabole se trouve à l’ori- gine de l'axe, alors une des ordonnées s'évanouit, etles trois autres sont déterminées par une équation à trois dimensions ou du troisième degré, avec laquelle il suffit de faire coïncider une équation quelconque proposée du troisième degré pour constr üire géométriquement ses racines. Vièté, Getaldus et Descätes ont donhé la construc- tion des équations simples du prémier ét Ua second degré. Ge dernier ainsi que Baker, dans sa Georetrical Key, ont montré en outre comment on pouvait résoudré les équations du troisième et du qduätrième degré par un cerclè et une parabole; mais l'idée première de leurs constructions est due à Sluzé . l'avait exposée dans son ouvrage, Mesolabium , part. »: Newton, dans son Ærithmetique universelle, traite cètte question en employant ion seulement les sections coniques, mais en- core la conchoïde et la eissoïde qui se décrivent avec attant de facilité que ces dernières. Haileg , le marquis de L’Hôpital et Maclaurin se sont égalemeat oceupés de ces constructiüns, qui orit aussi fourni à Lähire le sujet d’un petit traité intitulé : La construction des équations , ainsi ahalytiques. Nous renvetrons à leurs ouvrages qu'aux traités plus récens d’äpplitation de l’algèbre à la géométrie; pour Loutes les constructions des équa- tions supérieures au quatrième degré, les découvertes moderries sur Ja solution algébrique de ces équations aÿant rendu les constructions géométriques plus curieuses que véritablement utiles. CONTACT (Gomi.). Lé poñit de contact est celui 368 CO dans lequel une ligne droite touche une ligne courbe ou celui dans lequel deux lignes courbes se touchent. Angle de contact. Voy. CoNriINcEN ce. CONTENU (Géom.). Terme communément employé pour désigner le volume d’un corps : ainsi trouver le contenu d'un corps est la même chose que trouver sa solidité. Par exemple le contenu d’un parallélipipède rec- tangle de 3 mètres de côté, est 27 mètres cubes, c’est-à- dire que ce parallélipipède est renfermé dans un espace de 7 mètres cubes, ou que son volume a 27 mètres cubes. CONTIGU (Géom.).Les angles contigus sont ceux qui ont un côté commun, et dont les autres côtés sont en ligne droite : on les nomme aussi angles adjacens. Voy. ce mot. Onnomme corps contigus, ceux qui sont en contact absolu. CONTINGENCE (Géom.). On nomme angle de contingence, un angle mixtiligne, tel que l'angle BA» formé par un arc de cercle An et la tangente AB au point A. On sait que la droite BC perpendiculaire à l’extré- mité À du rayon, touche le cercle en un seul point, et qu’on ne peut tirer ancune ligne droite entre le cercle ct cette tangente (voy. Tancenre) et, par conséquent, que l'angle de contingence est plus petit qu’un angle rec- tiligne quelque petit qu’on puisse le supposer. La nature de cet angle a été l’ob- jet de grandes disputes Dion à parmi les des siècles derniers. Pelletier du Mans, Oza- narm et Wallis pré- tendirent que l'angle géomètres mm, de contingence n’était point un angle vérita- ble, et qu'il n’existait pas. Clavius, au con- traire, soutenait que cet angle était réel, mais d’une nature hétérogène à celle de l'angle rectiligne. Toute cette dispute ne reposait que sur un malentendu ; car l'idée d’un angle en général, telle qu’elle résulte de la considération de deux droites qui se coupent, est inapplicable sans modification à celui de contin- gence; les lignes droites sont des lignes dont toutes les parties ont une seule et même direction , et un angle rectiligne n’est que la différence des directions de deux droites. Îln’en est pas de mêmé de l'angle de contingence; la différence des directions de ses côtés varie à chaque point de son côté curviligne, puisque la nature de toute ligne courbe, en la considérant comme formée d’une infi- nité de lignes droites infiniment petitesconsiste principa- lementen cequelesdirections de deux partiesquelconques co qui se suivent immédiatement ne sont pas les mêmes. Il faut donc reconnaitre que ce qu'on nomme angle de contingence est une grandeur d'uue pature entièrement différente de l'angle rectiligne , et qui ne peut lui être comparée. Nous disons que l'angle de contingence est une grandeur, parce qu’il peut exister de tels angles plus grands ou plus petitsles uns que les autres, et par- faitement comparables entre eux. En effet quoiqu’on ne puisse faire passer une ligne droite entre l'arc Anet la tangente AB, on peut néanmoins faire passer une infi- nité d’autres cercles tels que AE, formant chacun un angle de contingence différent. Newton a démontré que le rapport de deux angles de contingence comme BAm, BA était l’inverse de celui des racines carrées des dia- mètres, c'est-à-dire qu’on a Angle BA : angle BAn :: VAD: VAE D'où il suit que ces angles peuvent être divisés en un nombre quelconque de parties égales ou proportion- pekes, en décrivant des cercles qui passent par le point de contact. L’angle de contingence ne se considère pas seulement par rapport au cercle : on nomme encore ainsi l'angle formé par un arc quelconque de courbe et la tangente à l'extrémité de cet arc. l’oy. pour plus de détails le premier livre des Principes, de Newton. CONTINU (de continuus, qui ne cesse pas)se dit de toutes les grandeurs dont les parties s’entre-tiennent et ne sont pas divisées les unes des autres : surface con- tinue , courbe continue, etc. Foy. ConrTinuiTé. Fracrions conrinurs(A/g.).Espèce particulière de frac- tion dont le dénominateur est composé d’un nombre en- tier et d’une autre fraction qui a également pour dénomi- nateur un nombre entier et unefraction, et ainsi de suite, L'importance des fractions continues, surtout dans l’état de généralité où elles ont été portées récemment, en font une des parties les plus importantes de la science des nombres ; nous allons donc en exposer là théorie avec quelques détails, en commençant par les plus simples de ces fractions; puis nous les considérerons comme mode particulier de génération d’une fonction quel- conque d’une quantité variable; nous donnerons alors leurs lois générales, et nous terminerons par quelques applications intéressantes , en jetant un coup d’œil sur l'histoire de leur introduction dans la science. N M’ telle que N soit plus grand que M. Si l’on divise N par M et que l’on désigne le quotient par a, et le reste par N; on aura 1. Soit une quantité fractionnaire quelconque ou, ce qui est la même chose CO N N:; Meet : . N: N, étant nécessairement plus petit que M, mr une fraction plus petite que l'unité; et si on la compare à l'unité, on trouve N, M N, M— N, = As FN. désignant par a, le quotient de la division de M par N;, et par N; le reste de la division. N, devant être aussi plus petit que N;, opérons sur N, : N, N. comme nous venons de le faire sur M vons de la même manière sur les restes suivans ; nous , et poursui- obtiendrons cette suite de transformations , &,, 4;, a;, etc. exprimant les quotiens et N,, N4, N;, etc. les restes suc- cessifs. PEN N ST, ÉD nS E ae N = N, = 45 + \ etc. etc. etc. D = SE — On continuera les transformations jusqu’à ce qu’on soit parvenu à un reste N,—o, comme s'il s'agissait de trou+ ver le plus grand commun diviseur des deux nombres N et M (voy. Commun-niviseur), opération qui est identiquement la même que la précédente. Des égalités ci-dessus on tire les suivantes : Ne, enr Le as + V N, né 1 hE a + . None, DE as + . etc etc. Ny=—, fn. I Ne ONE dont la dernière est simplement Non I Nn—2 Wan à cause de Ny=0, CO 369 Substituant ces valeurs les unes dans les autres, à : ; ! 6. UN Ne partir de l’expression primitive NW = + M° * ob- tient définitivement N I ——=4«4 —— M ’ + a+ I a+ a;+x a;+etc. +1 Ami 1 Am et telle sera la génération de la quantité fractionnaire ns énération qu’on désigne sous le nom de fraction M ? ÿ G q G S continue. 2. On nomme fractions intégrantes les fractions : I I . > simples —, — etc., quientrent dans la composition As «3 de la fraction continue. Ces fractions donnent le moyen d'obtenir des valeurs approximatives d’une quantité fractionnaire quel N : effécti la génér ractionnalre que conque M’ effectivement la gene a tion de cette quantité étant si l’on s'arrête succcessivement à la première, seconde troisième , etc. , fraction intégrante, on a les quantités (mr) I I FN RE At SAR : ai etc. ai qui approchent d’autant plus près de la véritable valeur des qu’on prend un plus grand nombre de fractions intégrantes. Il est évident d’ailleurs que cette véritable valeur n’est donnée que par toutes ces fractions. 3. Les quantités (#1) que l’on obtient en s’arrêtant successivement à la première, seconde, etc. fraction in- tégrante, sont alternativement plus grandes et plus pe- tites que la quantité ni Fe Pa M” car , en s’arrêtant d’abord à la première fraction —; onnéglige la partie jointe au dé- Aa nominateur @,,et on rend par conséqnent ce dénomina- = t Pne © ar z- »P 47 teur plus petit qu’il ne devrait être ; d’où CO et en opérant de même pour Ja suite des valeurs appro- 310 CO suite &i + _ plus grand, ainsi LA + —. da =l2 : ; 1 En sarrêtant à la seconde fraction FR: comnime cette 3 fraction devient plus grande, püisqu'on néglige la partie qui devrait être jointe à son dénomirateur, il nr 1 : + s'ensuit que 4 +— est plus grand qu'il ne devrait être, [Le I r suite — plus petit, d'où et pa A: Plw I] ; @3 No I M pe MEET a; Par les mêmes raisons, en s’arrêtant à la troisième N fraction, on obtient une valeur plus grande que TE et À une valeur plus petite en s’arrêtant à la quatrième: ainsi de suite. On auradonc,en s'arrétant successivement à chaque frac- Les ; j N tion intégrante, une suite de valeurs approchées de M dont les unes, dans lesquelles lé nombre des fractions Rs : ; N intégrantes est impair, sont plüs grandes que M’ etdont les autres, dans lesquelles le nombre des fractions inté- grantes est pair, sont plus petites. Ainsi, comme on doit approcher d'autant plus près de la véritable valeur des que l'on prend plus de fractions intégrantes, les premières valeurs approchées (les plus grandes) doivent être de plus en plus petites; et les secondes, au contraire, de plus en plus grandes. 4. Lorsqu'une fraction continue est donnée, on trouve la quantité qu’elle exprime en additionnant successive- ment la partie entière etla partie fractionnaire de chaque dénominateur en commençant par le dernier. C’est ainsi qu’on‘trouve, par exemple 1 I a Re = PR + CCE “a ait a+ sai LA &s I ï = 4 —- = 4 —— «5 a, + ai a + a,aa;+a,+as Ni ter” asayi asashi aa = d; + in = ame +a, LL Mt, + a+ it aasayLa+a, ia chées d hées de ' M , On trouverait pour ces valeurs aa, +3 @ : a + 1 de 5. En examinant la forme de ces valeurs successives approchées de —, il est facile de voir qu’en désignant N M par A;, A:, A3, etc. , B:, B:,B;, etc., des quantités dont la généralion soit A ,—=@ B,=1: À,—@A:1 B,—a, A3—a3A:+ A, B:=—aB:+41 Ai=ua;A;+A, B,=4,B:+8B, A,=a;A;+A; B:—a,B,+B: etc. etc. etc. etc. on aura A . À, _aa+H1 À; @aaa;+a, Le Be CU 2 D) æmapu Don Re 7 ASIA : C'est-à-dire queles quantités pp ‘seront les va- leurs successives de la fraction continue qui repré- sente | M ! Nous conserverons aux fonctions A, B le nom de me- i diateurs qui leur a été donné par Kramp (voy. ARITH- MÉTIQUE UNIVERSELLE), nous réservant d’en généraliser plus loin la conception. Nous allons appliquer ce qui précède à un cas particulier. 6. Problème premier. Réduire la fraction JE en frac- tion continue. On a d’abord 381 115 266 ? 266? : , 11) dar net opérant sur 566 comme il a été indiqué (1), on trouve 115 266 36 1526 ns Th 36 __ 115 7 | ET | 2.763,50 0 | 15 56 = = —=5+ | Te = 1 à PRE Er par conséquent 381 I 266 D'IPRES 7. Problème second. Trouver les-valeurs successives de la fraction continue On construira les 2édiateurs suivans , en donnantaux quantités &r, &:, &3, etc., les valeurs 1, 2, 3, etc. Ait B:=1 A0, 1—= -3 B:—2 A;=3A:1tA;— 10 B:=3B,+B— 7 Ai=4Aï+A,;—= 43 B;=4B:+B;— 30 As=5Ai+A3— 2925 A6—GA:5+Ai—13093 Ay=7A;+A5=0976 B:=5B,+B:= 157 Bc—6B:+4B:= 972 B,—9B;+B:—6c67, et on aura par conséquent pour les valeurs successives demandées De sr 08006 ?2 7° 30° 157° 972’ 6961 ? dont la dernière est celle de la fraction continue entière. 8. Les médiateurs formant la partie principale de la théorie des fractions continues, et se trouvant étre d'un usage majeur dans une autre branche de l'algèbre, nous allons , ainsi que nous l’avons annoncé, généraliser la conception de ces fonctions en adoptant la notation qui a été proposée par M. Wronski, dans son Zntroduction à la Philosophie des mathématiques. Soient a, a, a, ete. des quantités quelconques auxquelles nous donneronsle nom debases. En prenant * lune de ces quantités ax pour former le premier mé- diateur, etsuccessivement lessuivantes &n41, 4m +2, @tC. prises ainsi dans un ordre direct, pour former les autres, nous désignerons ces médiateurs par la notation sui- [an | = An [ «| —= Ami [ «| +1 a 2 1 [< n | = in j-, [« » | + [an] = 3 a : : vante : CO [< ».] = Gin+3 [ar] + [a] 4 3 2 etc. [| nt [en] + «| n H— I n—, Mais on peut également former ces médiateurs, en pre- 74 GLC: nant les bases dans un ordre rétrograde, c’est-à-dire, en partant de la base a», et remontant aux basesam, m2, €ic.; pour exprimer cette circonstance, nous joindrons le signe — à l'indice de la première base dans chaque médiateur, et nous aurons ainsi [ | Gin L [ « m— | = mise | an 2 [ Am | — Un, [ con 3 An — | — Am—3 Am— 4 etcs l l l | Am— | =amnt] Am— | + [an] n : ni n—2 D'après cette manière d'exprimer les médiateurs, on voit que nous sous-entendons le signe 4- après l'indice de la première base, dans les médiateurs directs, 9. Étant donné un nombre # de bases &n, @m4r, etc... Amyn—1. Si on forme une suite de médiateurs tant dans l’ordre direct que dans l’ordre inverse de ces bases, le dernier médiateur direct, c'est-à-dire celui dans la composition duquel entreront toutes les bases, sera égal au dernier médiateur indirect, et on aura [ «| — [avr — | nm 112 IL est d’abord facile de voir que cela a lieu effective- ment pour deux, trois, quatre, étc. bases, car faisant n— 1,92, 3,4, etc., et construisant les médiateurs cor- respondans , on a [| — An ‘ [ar | —= nt Am 1 à Lan] = (ln Has int in An +3 Am etc. etc. din — | = mn t CO [emo — | — Un «Am +33 3 [amra- | —Am «+ Am Am +3 Am Un +3 3 etc. etc. Ainsi, on peut déjà conclure que [=] = [en | ; [ | —= [awrn- |] ; = [ ] —= [ A(m+2)— ] etc. 3 3 Il s’agit donc seulement de prouver que cela a lieu pour un nombre quelconque n de bases. Pour cela , sup- posons que ce soit démontré jusqu'à un nombre n—+, c’est-à-dire qu’on ait [on | = [rain ] , [an | — ps T1 2 = [amer] etc, etc. A3 D'après la construction des médiateurs, on a [e.| = Ann: [an] - [an] n Ni Hs Substituant dans cette égalité les médiateurs inverses aux médiateurs directs correspondans, elle devient (x) [er] =antr| Am+n—3)— | + [atmins | n n—i U—3 Mais d’après la formation des médiateurs inverses, nous ayons aussi [ Afm+n—2)— js —Am [ A(n+n—2)— ] + N—a2 + | A(n+n—2)— [ an | —=Gn | A(m+n—3)— n—a + | aura | n=—=$ Substituant ces valeurs dans l’égalité (7), on a (p) [| = Am 11m Ï An+n—;)— | + n N—2 + Am+n—. [ ana | n—3 [ A{n+n—3)— | + [cer 2 + am CL) Or, comme nous avons supposé que l'égalité entre les médiateurs directs et inverses était démontrée jusqu’à un nombre 7—1 de bases, on a | anim | —= [an + ] A3 A2 [ a . —= [ nv n—3 n—3 [ « mins | —= [ms '] n—3 n—3 Am+n—3)— | = [ar Bi, n— n—4 Valeurs qui, substituées dans l'expression (p) la change en (g) [rw] —=in+n—; me | Am +x amtn—; Am+3 7e n—+a n—3 + C7 | ans | + [em+. | n— n—4 ou (7) [an], == Am Am+n—i. [an + | :+ Lam. ja) + +amyn-s] an. | + [an+:] n—3 n Or, nous avons mn. | am | + [an+ | = [an+:] A—2 n—3 Ds Annie [am | + [am ] = [am+. | , H—3 U— n—3 ct par conséquent (s) [an] = an | am+ | + [am] n Ji—3 Ts expression qui, en substituant aux médiateurs directs [an+.] : [+] , les médiateurs inverses cor- —3 N—3 respondans | An+n— - | 3 [awinn- | , de- P— 1] n—32 vient [| — an] aurn-1 ] + | ann ] 72 H—; Ds Mais Ami [ A{n+n—:)— el + [ann | = — [ Ann) — 1. co Donc ona définitivement CES) Ainsi, il suffit que la proposition soit démontrée jusqu’à un nombre #—1 de bases pour qu’on puisse en conclure qu’elle est également vraie pour un nombre ». Or, nous avons vu plus haut qu’elle était vraie pour une, deux et trois bases ; elle l’est donc pour 4, 5, etc., etc., et par conséquent pour un nombre quelconque de bases. 10. L'égalité (s) nous fait voir qu’on peut encore cons- truire les médiateurs de la manière suivante : [an] = am = An] am + | +1 an[ an+], + [a+ an[ an+s], +[an+] etc. DÉRONEESR Nous aurons occasion de nous servir plus loin de cette construction qui modifie notre forme générale pente) 4e 11. Un médiateur [an] formé par p bases am, P m4 se Am+p— est toujours égal au produit des deux médiateurs qu’on obtient en partageant ses bases en deux d’une manière quelconque [an] < [mn on n p+n étant un nombre entier quelconque depuis 1 jusqu'à p inclusivement, plus le produit des deux médiateurs [ «| ; [amint. | qu’on obtient des deux n—1 P—n— précédens en supprimant la dernière base de l’un et la première de l’autre, c’est-à-dire qu’on a [] = [an] . [an | + p n p—n + [an] | ann | : UE à pP=—"n—; En effet , nous avons ÉRACRECR co [ee] amie), +[ee). Substituant la seconde égalité dans la première, elle donne [am] = Am+p—1e Am+p—se [an] + p p—s PORC ESC Li [er] famtpnantps se ou Expression qui, à cause de Am+p—ie Am+p—2 + 1 =| Am+p—> I Hd ee] par sa se change en (1) Si dans cette dernière on remplace [an] valeur an+p[ ar] + Len] on a = p—4 [ | = Am+p—1 [an + p p—3 + Lam+r, |: Am+p—s Le]. + [en] _ PR Per ee + [en]: [amir- 1 Mais d’après la loi de formation Am+p—1 + mp3. [ em+r- fl = Amtp1 + Am+p—3e Am+p—s: Am+p—1 + Am+p—1 = = [ An+ |, d’où substituant (2), ESS + [en] | A: | remplaçant également dns cette expression [ «| Jp—s par sa valeur an+p— [ a | + [an] elle de- pP—4 P—s 314 vient ÉCART HF] Een] }e Ha] Leo]. Or, en vertu de la loi (n° 10), ona CO - ou el Am+p—s [ Am+p—3 l+ | dm ps l= [ Am+p—k ] à F 4 donc, substituant, (3) ee) are fal fau] Continuant ce système de transformations , on voit fa- cilement que le médiateur [er] prendra suecessive- Jp ment les formes suivantes : meta ete le] : [em] _[ Gin p—s É +[ 0 LE dites I. Pre) RESTE) et en général Œ [er], | di l+ [er], fetes Si dans cette expression générale, on fait p — q =n, elle dourera (4) [a] . [ ana | + n p—n% [an] —= P + [an] . [ann | n n—1 jp—n—x Ce qui est le théorème énoncé. 12. Lethéorème précédent nous fait voir que suivant la loi de continuité de la formation des médiateurs, fer [= car en faisant »— p dans l'expression (4), elle donne on a (Ne [| = [a] : [er] + cu] . [am | P P o k—: — égalité qui ne peut évidemment avoir lieu qu'en sup: posant [am] =TI;, [ami ] ou en général CONCIES On peut en conclure de même [ a Y'a Am— = 0 o —! 13. Il existe toujours entre quatre médiateurs qui se suivent, tels que [a] , [a] nm D —1: [+] ‘ [an+. ] Ju—1 L n—3 la relation suivante {Lee Lee LT feel) En effet, nous avons | Am ] —= mn] cn] + [a] nm Ti 1 1—32 [et] — antn[am:] + [a] n—1 n— à n— 3 d’où nous tirerons DS ne = 0 =(—> = Am+n—1. [a] [su] + n— ï 3 + [a] . [an +] n—2 n—2 = Ann [on] Lo] + n—2 N—1 + Ï ans] . [] n—3 n—1 et, par suite, [a] . [ an +] > [a] + au +] — n n—2 n—1 n—s = [an] . [ans] = [em] . [ Am +] n—2 2 HT n—3 Par une semblable transformation on trouverait [ar : | am | — [an] an +1 | TT Ua H— 3 N— 1 1—3 ÉRIC Di 7) [e[e) = | Gn | Ami — [ar . an + | . : H—3 n—\ n—3 n—3 et ainsi de suite on trouverait Eee abirsler nn a RESTE = [ue] [me] [fe] [es]. = Le TES EEE Le et en général {ble fe] fee 11 Ainsi toutes les différencesde ces produits étant égales entre elles, mais alternativement positives et négatives, ilreste simplement à connaître ce qu’est cette différénce dans un des cas : or, en faisant p—n—3; on 19 [Ton] [amis ] [es] Lans |] ou en développant 3. (Am+1.AmAm+1Am+s Ham+iamt,+ C1ÿ- Am 14m) — (Am 43m + mt rtm À + An +,@m +1 Amam+ #)| ce qui se réduit à Xi = (if: (ye y. Donc, on a définitivement [en] Jam ] — [am] [ mx] = (—1) Q n—2 n—=: A1 La différence est donc =1 lorsque le nombre » des bases est impair, et 1 lorsque ce nombre est pair, propriété très-rémarquablé dés médiatéurs, dont nous ferons plus haut des applications importantes. Ce théorème n’est qu'ün cas particulier du suivant. 14. Éntre quatre médiateurs [ cn [a tn | q q—n [a] [ in + «| q —j! J—p—n _ CO STS tels que les bases des deux seconds soient entièrement comprises, et de la méme manière , entre celles des deux premiers il existe toujours la relation suivanté. He = (—1)7+P+7 [an] [entr] LE p= I En vertu du n° El, [fe]. + + [am] _. ['amtnt. Le ee], + H[ef [ete], multipliant la première de ces égalités parfa w| 110na Eur es, on en tire (a) —n [am] L'am+r] — [an] L'amtn] = 7 g—pin ÿ— g=n = [an] | envi] : 'aménss ] = Ni g—b—n | de Dé nn + [ann] : [ Gmat | | g—n gep=h— j mais d’après le mêmenuméro 71 [amn | À [ant] | auto | Ed ne gen —p P + [ons] . [ Am+qg—p+ | g=n—ps L ps: [ Ann: ] —= [ Am+n+: ] | any | +À- MR 7 PE r F5 + Gin +s | Laxr-r+e] ra Jon p et la seconde par | ann] --Substituant ces valeurs dans le sécond membre de l'é- galité (a), ce second membre devient (b) [an]: [ Am+q—p+ is X à | [eme]. fee. mm = ['an+r] . [ ann | 7—p—nr! J7—pn—s Or, en fäisant mn=u, q—p—n—"; dans la quantité-comprise entré les! aceolalles , elle se 376 CO change en [eus]. Le] —[e] [a+] etse réduit à (—1}», d'après le théorème (13) ;substituant donc (—1})>, ou plutôt (—1)7-?-—" à la place de cette quantité, dans le second membre de l'égalité (a) et observant que (—1)9—p—n = (—1)7+P+n à cause de (—1)2n+2p = 1 on aura définitivement [| . [an +» ] — |] + [am | = F4 JG Chan 4 gen = (—1)7+2+P . [em] . [am+y-r+s ] Ni Vtl | ce qui estle théorème en question. 15. Les médiateurs simples que nous avons désignés par les lettres À,, A, etc., B:, B,, etc. seront, en suivant notre notation etc. etc. etc. etc. t squent les fractions 2, À? , etc. qui expr et par conséquent les fractions B° B° etc., qui expri- 2 ment les valeurs successives de la fraction continue dont les dénominateurs des fractions iutégrantes sont &, a, &, etc., seront dorénavant sous les formes (e) r Mae ? » EE PE PL 1 1 L Le. ] [ se ] [ % k o 1 et c’est ainsi que nous allons les examiner. 16. Il suit du théorème du numéro 13, que si on multiplie en croix les termes des fractions voisines dans etc.... la suite des valeurs (c) d’une fraction continue, la dif- férence des produits sera toujours l'unité positive ou négative, c’est-à-dire qu’on aura en général [elle]. Le] {el = et en particulier DICO Il résulte de cette propriété que les fractions REA el 2! etc, sont irréductibles, ou qu’elles be sont déjà à leur plus simple expression car si =— Le] par exemple, avait un diviseur-commun à ses deux termes autre que l'unité, il s’en suivrait que le nombre entier] a, | [ ,] [.] [e.] serait aussi divisible par ce même diviseur, ce qui ne se peut à cause de Lel{a]- [1 7. La différence qu'il y a entre deux fractions con- sécutives (c) est la plus petite possible, c’est-à-dire, qu'entre ces mêmes fractions , il ne saurait tomber au- cune autre fraction quelconque, à moins qu’elle n’ait un dénominateur plus grand que ceux de ces frac- tions. Car prenons, par exemple, les deux fractions («1 , leur différence est ou Le], Le Puisque le numérateur se réduit à l'unité. nr dre A : Or, s'il existait une fraction ÿ dontla valeur tombât entre celles de ces deux fractions, et dont le dénomi- nateur fût moindre que [a 'h ou que [a L il faudrait A Le Ï que la différence entre et El qui est ee: ] a, I fut plus petite que B a], DER mais il est. évident a. | " que cette différence ne saurait être plus petite que 1 ment plus grande que , donc si B [ a], elle sera nécessaire- ; de même, la dif- I [<.] | «| î 3 [æ]. férence entre et =" el sera nécessairement plus grande que ne pouvant être plus petite . iB< |]. 18. D’après ce qui précède , on voit que la diffé- rence entre deux fractions consécutives quelconques est toujours égale à l’unité divisée par le produit des déno- minateurs de ces fractions, résultat qui est négatif, lorsque le médiateur qui forme le numérateur de Ja dernière fraction a un indice pair, et négatif dans le ças contraire. En effet, on a = (ie —— Mel : PEN; ne 19. Un nombre fractionnaire NI étant réduit en frac- h tion continue , on peut, d’après ce qui précède , déter- miner toujours d’une manière rigoureuse la différence qui existe entre cette qnantité et les fractions consécu- (], [el tives qui en sont des approximations. Soit tO 371 la dernière fraction consécutive, c'est-à-dire celle qui ; , N ; ; est exactement égale à ==, p étant un nombre entict quelconque plus petit que =, une fraction consécutive quelconque sera représentée par [1 Êe et la différence entre cette fraction etla quantité Ni par ou par LE oi PA FOIE mais d’après le théorème du n° 14 le numérateur de cette dernière fraction se réduit à en | an-p+.] Nous avons donc définitivement, en faisant »m —p=—n (alles expression qui sera encore plus facile à calculer, si à la on substitue M—Nn— 1 place du médiateur direct [ant ] le médiateur inversel an] équivalent, parce M—n—i1 qu’il ne faudra alors que calculer les trois suites de mé- diateurs [a] : [a] , Lan} Suivant cette der- E ; À : N À nière substitution la quantité =—=- ouest successi- [ ] M &o k - [=—=—— vement égale à 378 An MN — 1 Hit | &, a, Mi NY égalités au moyen desquelles on peut cannaître facile- ment le degré d’approximation que donne une des frac- tions consécutives quelconque. 1733 —?—- en frac- 18. Exemple. Soit proposé de réduire 21E 142 tion continue et de.déterminer le degré d’approxima- tion de toutes les fractions consécutives. Les divisions successives donnent a =3,a =1, M m8, 4x9, 87 d—=8 et on a par conséquent 1733 _ I TRUE] 8+1 25 LE 8 Li Il c 8 — I Il ER EE Len à a œ Il © Lea ER SN À a Eh Il © 1733 Le]. = 445 3 4 35 74 553 1733 Fr 9197 142? 445 etona 1733 398 nl = 3 TE NT —’» Le 47 FL) 45X1 2e ; 929 22 = » + TAFÈS 9 4 X9 — 7 Bat 19 445X 719 -23à } 142 445X 142 74 anisi à fraction “=, 19 9 3 F , 445X 19 par exemple, est plus grande que ; 53 . la proposée de et la fraction F2 plus petite 1 à - x“ . . . de ————. On connait donc ainsi avec exactitude le 445 X 142 degré d’approximation que donne chaque fraction con- sécutive. 22. Dans tout ce qui précède, nous n’avons considéré les fractions continues que dans leur acception arithmé- tique, et comme donnant la génération d’une quantité fractionnaire déterminée; il nous reste maintenant à les examiner dans leur acception générale, c'est-à-dire comme mode particulier de génération de toute quan- tité quelconque, on de toute fonction. d’une variable. Avant tout, nous devons indiquer au moins la dif- férence qui existe entre la génération d'une quantité donnée par l’un des modes primitifs et élémentaires de génération, et celle qui est donnée par un mode uni- versel, tel que les fractions continues. Nous avons vu (Acc. 48) qu'il v’existe que trois modes élémentaires pour la construction des nombres, représentés par les formes générales. A+HB—C, AXB=C, A5 =C, ; Or, la construction d’une quantité par un de ces modes de génération est ce qui nous donne la nature particulière de cette quantité; par exemple, le côté d’un carré, étant l'unité, sa diagonale est égale à V/2, et cette expression ou cenombre \/2 nous fait connaître Ja nature de la diagonale dont la grandeur est incom- mensurable par rapport à l'unité. Mais si nous voulons évaluer cette grandeur, c’est-à-dire, si nous voulons la mesurer par la quantité prise pour unité, nous pouvons, soit par l'opération arithmétique de l'extraction des ra- cines, soit en développant V2 en série par le binome de Newton, ou par tout autre procédé, trouver des nombres dont la grandeur ne diffère de celle de V2 que d’une quantité aussi petite que nous le voudrons ; ce qui nous permettra ainsi d'évaluer V/2, sinon .exac- tement du moins dans des limites aussi rapprochées que nous pourrons le désirer. En examinant les diverses manières d'évaluer \/2, on voit aisément que l'opération de l'extraction des racines tout en nous faisant connaître des valeurs qui diffèrent de moins en moins dela véritable, selon qu’on prolonge co davantage l'opération, ne nous apprend rien sur la /oë elle-même de cette évaluation; car ces Valeurs sont isolées les unes par rapport aux autres , et ne sont d’ail- leurs quele résultat d’un tâtonnement de calcul, dont l'ensemble ne peut être déterminé. Ainsi, en se bornant successivement à 1,2, 3, etc. décimales , on obtient SA. ne LA ee 1,4145., 1,4149.. évaluations dont les térmes ne sont liés par aucune loi. 11 n’en est point ainsi de la génération de ceite même quantité obtenue par un procédé général de déve- loppement, car cette génération est, en employant , par exemple , le binome de Newton V1 +-Eete.. c'est-h-dne une série dont l'ensemble est donnè par son terme general; elle nous offre conséquemment une évaluation soumise à des lois fixes et déterminées. Il est donc essentiel de distinguer dans la génération des quantités deux points de vue parfaitement distincts dont l’un porte sur la zature, et l’autre sur la mesure des quantités, M. W ronski est le premier qui ait établi cette distinction importante, et partagé la science des nombres en deux branches, dont la preinière sous de nom de THÉORIE, a pour objet les modes primitifs et in- dépendans de la géreration et de la comparaison des quantités, et dont la seconde, sous celui de rEcuntE, a pour objet les modes universels de cette generation et de cette comparaison (voy. Philosoph. de la Technie). Les fractions continues nous offrent précisément un mode de génération technique universelle, et de là dérive lextrème importance de ces fractions; impor- tance que les géomètres modernes ne paraissent pas encore avoir complétement entrevue. Nous allons es- sayer de la mettre dans tout son jour. 23. Soit F(x), une fonction quelconque d’une quantité variable x, dont il s’agit d’obtenir l'évaluation ou la génération technique, en prenant pour 7»72esure une autré fonction 4x de la même variable. Décomposons d’abord la fonction proposée en deux autres A, et fx telles que l’on ait d’abord (1) Fa) = fe et qu'ensuite f& $0it toujours comparable avec la me- sure px, où que le rapport de ces deux fonctions ne deviénne pas énfini , quelque valeur qu'on donne à +. Ainsi fix doit devenir zéro, lorsque @x devient zéro, et comme on à cPYWHE & F(x)—fox=A, CO 379 si nous désignons par un point placé sur z la valeur que prend la fonction F{x), lorsque x = 0, nous aurons F(à)= A, A, peut donc toujours être déterminé , et la décompo- sition (1) peut avoir lieu dans tous les cas. Mais fx devant toujours être comparable à #z, le rapport ex - x ou son inverse ox Je sera une nouvelle fonction de gr, que nous exprime- rons par F, (x), et que nous décomposerons de même en F(z)=A:tfir; fix étant une fonction comparable à gx et qui devient zéro lorsque $x=—0. Exprimant de nouveau le rapport par F, (x), nous aurons pour troisième transformation F{2)=A + fr et, continuant de la même manière, nous trouverons en rassemblant les résultats, F (x) = À + fx d'où F (*)=A F;(x) = A: + fix F, (à) = A F,(x) = A, + fx F, (à) =A, F, (x) = A5 + fix F, (+) = Às etc. etc. etc. etc. $X _r# , _ _?? ré Fi(x) d'où fx — F(&) PÆ,. pu: _ fa © F® FE Ex) _ = F:(xi Jx—= Fa) etc. etc. etc. etc. D'où, substituant ces valeurs les unes dans les autres (z) F()=A+ Dre A,+@x A:+@r A-etc. Telle sera donc la forme de la génération technique de la fonction Fr, en employant la fonction gx pour me- sure,et en ne considérant que les rapports inverses de cette 580 ée mesure. Si, au lieu de prendre +< repports inverses de ox avec chacune des fonctions suc essives fa fiT, fat etc., nous nous étions servis des rapports directs, nous cussions obtenu une autre génération technique dont nous n'avons point à nous occuper ici. Ÿoy. SÉRIES. 24. Pour mieux fixer les idées, supposons que la fonction F(x) soit W/{a+x), et que la mesure gx soit simplement x. En exécutant les opérations indiquées ci- dessus nous trouverons, en partant de F{x) = V/{a+x) . À = Vlati) = Va ce qui nous donnera d’abord x LUE Ve) — = V/a à cause de F(a)— As = fr et de T = — F(x) En faisant x—0 dans la valeur de F;x, nous devons obtenir celle de A;, mais comme cette valeur devient 0 : ; Te —, dans ce cas, il faut chercher préalablement à lui donner o une autre forme. Or, en multipliant les deux termes de F;(x) par V/(a+x)+v'a, nous obtenons ports (a z)}—a ce qui devient , en faisant x=o, F, (æ) = À, =°2V/a Passant de ces valeurs à celles de fix et de F;(x), nous aurons, à cause de’, fix =F(x)—A;, fe = Wa+z)+ = {a+ +x)— Ex) Me=Ave ; d’où , BE) = are Ce qui nous donnera encore, en multipliant les deux termes par V/(a+x)—V/a L)— V{a+x) Va et Erfæ) — A, = 2V/a En continuant de la même manière, on voit aisément qu’on obtiendrait à l'infini, A3=2V/a, Ai=2\/a, etc., etc. , et que la génération de V/a+x), est CO Va ae Ver 2V/a+etc. fraction continue dont le nombre des termes est in- défini. Si nous faisons a — 1 etæ=—1, cette expression devient V{a+x) = v2= a 21 24: 2+1 2+1 2+4-etc. Elle nous donne alors l'évaluation générale de la quan- tité V2 fraction continue (15) pour obtenir les fractions succes- ,etil suffit de construire les médiateurs de cette sives alternativement plus petites et plus grandes que V2. 25. Après avoir reconnu la forme (z) de la généra- tion technique de toute fonction en fraction continue, il nous reste à donner la détermination générale des quantités À, , A;, A,, etc. , qui entrent dans cette frac- tion. C’est ce que nous allons faire, en nous servant de la méthode des coefficiens indéterminés (voy. Corrri- CIENS ) pour donner un nouvel exemple de la fécondité de cette méthode. F(z) étant une fonction quelconque de x, et x une autre fonction également quelconque prise pour me- sure ; nous avons généralement, As, A, À,, etc. étant des coefficiens dont les valeurs sont connues (voyez SÉRIES , F(a) = Ao+AigzA,pa+A:9ztAipzi-tetc. Mais nous pouvons faire successivement, À, A;', A, ete , A7, A7, A", etc, A", A";, A", etc., étant des coefficiens indéterminés (b) Agx + À rt + Apxi + etc. — : oz ss 7 AH A"pr+A' pr? +A "pr + etc. A'px + A',gx? L Apr +etc. = er pz — A" HA"px+A" px ÆA "pri etc. A',gx + A" ox? + A" x etc. = = Fe 7 A"+A",pxA",pat + A"spx$ + etc. etc. etc. Ces expressions substituées les unes dans Jes autres, nous donnent (c) co F(x) = = a+ Fgz Apr A",-betc. Ainsi, il s’agit d'obtenir les valeurs des quantités indé- terminées À, , A’, A", etc. Or, en divisant la première égalité par @x, et ren- versant les rapports, nous avons Fe RE ON ie Sr à A o+A :.ÿx+A 3PT +etc— A: + A, pr + A39x? + etc. et, cette égalité étant indépendante de toute valeur par- ticulière de +, en donnant à x la valeur qui rend $r=u, nous aurons A'o—= — o À, et par suite, I 1 AHAgr-fetc. A: À,@r+-A:@r + Apr +etc. 7 AA, HA A g7+A Ar +etc, Substituant cette valeur dans la seconde égalité, après A'px—+A' pr? + etc. == l'avoir préalablement divisée par gx, nous obtiendrons A", + Az + Az? b etc. — su __AïAi+ AA,gz + A;A3@x? + etc. A, + Apr — A,dxt + etc. et cette dernière devant subsister également quelles que soient les valeurs de x, nous ferons comme ci-dessus @x=0o, et nous trouverons La valeur de A”, étant ainsi déterminée, en la retran- chant des deux membres de la dernière égalité, nous aurons POP DE en Le me 1À,Qx A,+Asgz + Le re [aa apr (AAA om Le ] 7 AA HA,Aipx + A.Aigr A A6 + etc. ce que nous pouvons mettre sous la forme A,B:0z A, Bigz? + etc. A';gx+A",pabetc. = — AR ee en faisant pour abréger (d) AA, —A,A;3 — B: A,43 —A,;A —B, A, A4 — AA: = B: etc. etc. A.An—;— A:Ân — B; CO 381 Si nous substituons cette dernière valeur dans la troi- sième des égalités (b), après l'avoir divisée par gx, uous trouverons AAA Aigr-A Aigr-etc A,B3+A,B;gz—+A,B:pr—betc. ce qui nous donnera en faisant gx—0 A"oHA";Dx+etc. = — A. —— AA, : AB, continuant comme ci-dessus , nous aurons encore À ,A,+HA,A,dr+etc. AiB:+A,B;pr+etc. A A Sa AGE 1=— 2 — A"ipr+A" gr TE A, [A:B—A B)er+(AB—A.B) ex+ ee. | 7 A,B;B;+8B,B,B;pz+AB;B:@z+etc. ou A,C+A, C:pr+etc. RP TE DEA F A. B:B;gx + etc. en faisant également pour abréger (d) BAS ABC, BA —AB:s = Cs B;A, —AB, —C, etc. etc. B3An—1— A,Bn — Cn à l’aide de cette valeur , nous trouverons, en procédant toujours de la même manière ABB, XG, AU =— Enfin, continuant la même opération, et faisant sac- cessivement (d) CB, —B;G = D: CB, —B,Cc = D, CB... —B,C; =D, etc. etc. CB, BC =D; D,C; —CiDs — Es D:C —CD, =E, DC, —CD: —E etc. etc. D,Ci—:— C,DA = E, etc. etc. nous trouverons | 2 A,C;C A, — a . À,B:D, #s A,B,D;Ds 382 CO avi — A CEE ° ” A,B;:D:F, etc. etc, En examinant les expressions des quantités A", A5, A" , etc., on voit aisément qu’en prenant leurs produits deux à deux, à l'exception toutefois de la première, Ces produits ont une loi remarquable de formation ae a he As" A!" = _— ANS . : FT = etc. PIC La construction de ces quantités nous montre évi- demment que la forme la plus simple de la fraction continue qui donne la génération de F{x) serait celle où les coefficiens A’, , A”; , etc. entréraient ainsi deux à deux ; mais si nous divisons successivement chaque frac- tion intégrante par Son dénominateur, l'expression (c) deviendra EX) A, dar x 1 + A! er px TA 1 + etc, ou simplement (e) Mgz M LM oz 1+M, px 1+Mgx r + etc. Les coefficiens M, M;, M,, etc. étant donnés par les expressions (f) FE) = M, — À, : M, = A: À; à M, = — A B; . M= AA — E C DL AB; D: M: = BG Es M: — CD: etc. etc. CO Ainsi connaissant les coefficiens du développement en série d’une fonction quelconque , on peut toujours, à l'aide des formules précédentes, développer cette même fonction en F action continue, ce qui donne une génération entièrement différente de la série et toujours plus convergente. 26. Pour obtenir les valeurs successives de la fonc- tion F(x) qui résultent de la somme de un, deux, trois, etc. termes de Ja fraction continue il faut:nécessairement modifier Ja forme des médiateurs {1 r)} faisant donc Po =M QE: PP +-b le facteur æ—4 devenant positif, la première valeur de y est positive et la seconde négative; c’est-à-dire que la branche de courbe qui se trouvait au-dessous de l’axe des X est passée au-dessus, et que celle qui était au- dessus est passée au-dessous. * SFR LE 1 Enfin, pour x=—a le facteur Va? — x? devenantzéro, y=0 et les deux branches de la courbe passent par le point C. Pour toutes valeurs de x plus grandes que a, le facteur V/a— x? devenant imaginaire , il n’y a pus de CO point de la courbe au-delà du point C. Le point B ; par lequel passent les deux branches de la courbe, s'appelle point multiple (voyez Poixr murripre); et la partie BdCsB est un nœud. Foyez Nour. Si maintenant nous donnons àæ des valeurs négatives, la valeur de y devient L'inue _ V'a— x? pour æ—0 , =, par conséquent l'axe des Y est en- core asymptote des deux branches de la courbe. A me- sure que la valeur de x augmente, a valeur de y di- minue ; enfin pour x—4, y=0, et en ce point les deux branches de la courbe coupent l’axe des X. Pour x>a le facteur VË—x devenant imaginaire, il n’y a pas de point de la courbe au-delà du point D. Pour savoir s’il y a un point de rebroussement en D, il faudrait différentier la valeur de y en regardant x comme variable indépendante, et faire ensuite x=& dans la valeur de y’. Or, on trouverait que dans ce cas J'= ®, et par conséquent la courbe, en ce point, est tangente à l’axe des Y. J'oyez Tancenres. Si dans l'équation de la courbe on avait a=b, alors il y aurait un point de rebroussement en B. Si a 137; 147 ; 140 101; 103, 109; 197, 100: 161 163/;: 165., 167% 169; 191, 173 , 199; 177 Ô 179, 181, 183, 185 , 187, 189 , 191, 193 195 , 197; 199 » MOTS EC: Or, pour exclure tous les nombres qui ont 3 pour diviseur, on voit facilement que chaque nombre , dans cette suite, surpassant de 2 unités celui qui le précède, le premier nombre, après 3, égale 342; le second, 3+2X 2; le troisième, 34+3X2; ce troisième nombre sera donc divisible par 3 et il en sera de même, en con- tinuant, de trois en troisnombres. Ainsi il y a toujours, dans la suite ci-dessus, un multiple de 3 après deux nom- bres qui ne le sont pas, et on peut aisément les exclure en marquant d’un trait tous les troisièmes nombres de la suite après 3. Prenant maintenant 5 pour diviseur, tous les nom- bres divisibles par 5 seront situés de manière qu'il y en aura quatre entre les deux voisins qui ne seront pas di- CR visibles par 5 ; c'est encore une conséquence de l’accrois- sement constant 2 des nombres qui se suivent. On mar- quera donc tousles cinquièmes nombres après 5, comme 15, 2h, 35, etc. ; En prenant ensuite 7 pour diviseur, on aura 6 inter- médiaires non divisibles par 7, ainsi en marquant tous les septièmes nombres après 7, on exclura tous les nom: bres divisibles par 7. Arrivé à 0, il est inutile de faire la même opération, puisque 9 étant déjà marqué, tous les neuvièmesnombres après lui le sont nécessairement aussi; on continuera donc par le diviseur r1,et on marquera tous les on- zièmes nombres, après lui, qui sont ses multiples. On voit , en suivant l'opération, que tous les nom- bres qui précèdent celui auquel on arrive comme der- nier diviseur et qui ne sont pas marqués, sont des nombres premiers. C’est de cette manière que nous trouvous que les nombres premiers , au-dessous de 201, sont : 1, 33 53 75 T1) 10, 17; 19; 29,20; 013 97, 413 4O3 47? 53, 59, Gr, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131; 137; 130; 149, 157, 163, 167, 173, 179; 181,191; 193; 197; 109- Cette méthode est encore une des plus expéditives qui aient été trouvées jusqu’à ce jour pour la détermi- nation des nombres premiers. #oyez Nomeres PRE- MIERS. CRIC. — Machine fort employée dans tout ce quia rapport au soulèvement des fardeaux. Le cric simple se compose d’une barre de fer formant crémaillère d’un côté, et dans laquelle s’engrène un pignon que l’on fait tourner sur son axe au moyen d’une manivelle. Le haut de la crémaillère, appelé tête du cric porte une pièce de fer qui a la forme d’un crois- sant, et qui est mobile. La partie inférieure est recourbée à angle droit, et forme une saillie à l'aide de laquelle on peut soulever un fardeau sans l’élever préalable- ment. Dans cette machine. la résistance Q dans le sens de la la barre, et à la puissance P agissant sur la manivelle comme le rayon R de la manivelle ;‘est au rayon 7 du pignon; desorte qu’on a pour l'équation de l'équilibre : P.R—Or. Dans le cric composé, le pignon de la manivelle agit sur une roue dentée dont le pignon s’engrène avec la cremaillère; et si Rest le rayon de la roue, etr' celui de son pignon, l'équation d'équilibre devient P.R.R'=Qrr", CT CROISSANTE (44g.). Une quantité est dite crois- sante lorsqu'elle augmente à l'infini ou jusqu’à un cer- tain terme, par opposition à une quantité constante (voy. Constant), ou à une quantité décroissante. C'est ainsi que daus l'équation du cercle rapportée au centre, l'ordonnee est croissante pendant que l’abscisse est dé- croissante et vice Versa. CROISSANT (Astr.). Nom que l’on donne à la lune nouvelle ou en décours, qui nous montre une petite partie de sa surface terminée par des pointes. Ces pointes prennent le nom de cornes. CROIX (Astr.). Nom donné quelquefois à la constel- lation du Cygne. CROIX ausrraze (4str.). Constellation méridionale, qui contient 17 étoiles, dans le cœur australe stellife- rum de la Caïlle. C’est parle moyen de quatre des étoiles de cette con:tellation que les navigateurs trouvent le pôle Sud. Elle a été formée par Royer. Foy. ConsreL- LATION. CRUSIFORME (Géom.). L'hyperbole crusiforme est une ligne du troisième ordre, ainsi appelée par Newton parce qu’elle est forméede deux branches qui se coupent en croix. F’oyez HyrErnoLE. CTÉSIBIUS, mécanicien célèbre, d'Alexandrie, mais vraisemblablement d'origine grecque, vivait en Égypte sous le règne de Piolémée Evergète IT, vers la 164° olympiade (124 ans, environ, avant J.-C.). Il était le fils d’un barbier, dont il dut exercer la profession. C’est dans cette condition obscure , qui semblait devoir lui fermer l'accès de la science, que Ctésibius trouva dans son génie les moyens de mériter la célébrité qui s'attache au talent. On croit d’après Vitruve, qui nous a conservé beaucoup de particularités relatives à cet homme extraordinaire , qu’en s’occupant un jour, dans la maison de son père, des devoirs de son état , il re- marqua , en abaissant un miroir mobile, que les contre- poids, en glissant dans le tube qui les contenaient, occa- sionnaient un son prolongé par la pression de l’air. Ctésibius en conçut l’idée de l'orgue hydraulique, dont l'usage s’est conservé long-temps. Il construisit d’après ce principe, une sorte de vase, en forme de trompe, où l'eau qu'on y lançait rendait un son éclatant. Cet instrument parut si merveilleux que ses concitoyens le consacrèreut dans le temple de Vénus-Zéphyrides, Il se livra ensuite à un grand nombre d’inventions. Parmi les ingénicuses productions mécaniques de Ctésibius, dont Vitruve nous a laissé la description, on citesurtout une clepsydre, ou plutôt une horloge mécanique, fort re- marquable et fort compliquée, qui montrait les heures de nuitet de jour par un index mobile sur une colonne. CÜ 405 On lui attribue aussi l'invention de la pompe aspirante et foulante, qui d’ailleurs porte encore son nom. On sait que cette machine est composée de deux pistons qui se meuvent alternativement, de façon que tandis que l’un d’eux monte et aspire, l’autre descend en refoulant l'eau , et la fait pénétrer dans un tube commun. Le che- valier Morland , célèbre mécanicien du dernier siècle, et à qui l’on doit d'importantes recherches sur l’éléva- tion des eaux, s’est beaucoup attaché à perfectionner cette pompe, dont le mécanisme fort simple peut néan- moius produire de grands avantages. Un autre écrivain de l'antiquité, Philon de Bysance, attribue encore à Ctésibius l'invention, non moins ingénieuse, d’un ins- trument assez semblable au fusil à vent. Le traité qu’il parait avoir composé sur les machines hydrauliques ne nous est pas parvenu. Ctésibius avait une femme nom- mée Thaïs, qui avait aussi des connaissances remar- quables dans cette branche de la mécanique. Vitruve, Pline, Athénée et d’autres écrivains célèbres de l’anti- quité, parlent des talens et des ouvrages de Ctésibius avec la plus grande admiration. Il a été égalé, si non surpassé, par Héron l’ancien , qui fut son fils suivant quelques biographes , mais qui bien certainement a été son disciple. CUBATURE DES SOLIDES ( Géom. ). Méthode pour mesurer le volume des corps. Lorsque les corps proposés sont des solides de révolu- tion, c'est-à-dire, lorsqu'on peut les concevoir comme cugendrés par la révolution d’une surface plane autour d’un axe, le problème de déterminer leur volume dé- pend d’une formule différentielle, très-simple , dont la déduction ne présente aucune difficulté. Soit en effet un solide »CDy formé par la révolution de l'aire mixtiligne MAxy, autour de la d roite BX ;s l’abscisse Ax—x reçoit un accroissement ær'=2, cette abscisse deviendra æ+:, et le solide de révolution mCDy s'accroitra du corps engendré par la révolution du trapèze mixtiligne x)y'x' autour du même axe BX. ne 406 CU Maintenant si nous concevons z comme nfiniment petit, ou comme la différentielle de x, alors l'arc infiniment petityy" sera l'élément dela courbe my, letrapèze xyÿ'x" sera l'élément de l'aire mAxy, etle solide 7y'ED , l’élé- ment du corps mCDy. C’est ce dernier élément dont il s’agit de trouver l'expression. Or, le trapèze xÿy x peut être considéré comme un rectangle dont la révo- lution produit un cylindre d’une hauteur dx et d’une base qui a pour rayon l'ordonnée xy=—y ; le volume de ce cylindre sera donc (oyez CxLINDRE) ry°dx # exprimant le nombre 3,1415926... ou le rapport durayon à la demi-circonférence. Voyez Cercue: Mais cette quantité représentant l'élément ou la diffé- réntielle du solide, son intégrale sera le volume cherclié et l’on aura, V désignant ce volume , (Prec Ve fiat Nous n’avont poin employé, pour arriver à cette expression, les procédés du calcul des limiies, qu’on prétend encore maintenant substituer au calcul diffe- rentiel, comme plus rigoureux ; quoiqu'il ne $6it qu’une méthode indirecte que nous apprécierohs ailleurs, et dont nous avons évité avec soin de nous servir dans nos articles précédens. Nous nous attendons bien que ce sera une nouvelle occasion , de la part d'un grand géo- mètre , de nous accuser de n'être pas à la hauteur dés mathématiques modernes; mais, si nous avonslé malheu dene pas connaître les découvertes dont M. Poncelét à, sans doute, enrichi la science, et qui lui ont mérité 16 titre demembre de l'institut, découvertes que nous nous serions empressés de consigner dans notre dictionnaire siles recherches que nous en avons faites avaient été plus fructueuses, àous ne profiterons pas de cette cir- constance pour lui renvoyer son rnnocente accusation, ce qui d’ailleurs serait trop facile aujourd’hui pour eu espérer la moindre gloire ; nous préférons attendre les travaux futurs de cet académicien qu'aucun ressentiment ne pourra nous empêcher de placer à côté des Euler et des La Grange, s’il veut bien nous en fournir l’occasion. Nous lui demandons seulement d’user de la même gé- nérosité envers nous ét de suspéndre son jugement sur notre ouvragejusqu'à ce qu'il soit terminé. Quant à nos lecteurs, les motifs de notre préférence des procédés simples, directs ctrigonrenx du eileul différentiel, pro- prénient dit, aux procédés compliqués ét indirects Aù calcul des limites , leur seront suffisimment dévoilés aux articles CALCUL DIFFÉRÉNTIEL et CALGUL DES LIMITES. Reprenons la formule (1) et appliquons-la à quelques cas particuliers : CU I. Déterminer le volume de lellipsoïde alonge. Ce solide étant formé par la révolution d’une demi-ellipse autour de son grand axe, l’équation'de la courbe géné- ratrice, rapportée au centre, est Y* = (@— x) a étant le demi grand axe, et ble demi petit axe. Substituant cette valeur de ÿ*, dans (1), on ob- tiendra ba Væ PE (@—2)dx , et, enintégrant, Var E (ax 7 )+c. F Pour déterminer la constante C, nous remarquerons que l'intégrale est nulle pour la valeur x=—a puisque la courbe se réduit alors à un seul point, nous aurons donc bo C=7 —.- ai a 3 et, par suite; Si dans cette expression, nous faisons æ=a pour avoir Fintégrale définie comprise entre les limites x= —a et æ=a, nous trouverons = an 4 à Venise : 6ü, cé qui ést là méme chose, V— Sat tel est le volume de l’ellipsoïde allongé. Si on avait a=b, l'ellipse deviendrait un cercle, et ce volume serait celui de la sphère, Dans ce cas, on a V— fa D'ou l’on voit que le volume de la sphère est égal aux 3 de celui du cylindre circonscrit, puisque le volume d’un cylindre qui a pour rayon de sa base 4, et pour hauteur 24 est ra X2a—Ara CU IT. Déterminer le volume du paraboloide de révo- lution. L’équation de la parabole rapportée vu sommet étant Y?—=2px dans laquelle »p est le paramètre; si nous substituons dans (1), nous aurons J V— fe r2pxdx dont l'intégrale est V=—rpzx+C Le volume étant nul au sommet, où l’on a æ=o, nous avons, pour déterminer la constante, l'équation o—04-C d’où C—o, ainsi, l'intégrale complète est V=xpr?. Nous pouvons mettre cette expression sous la forme æ V=orpa.— ou x V=ry en remplacant 2px par sa valeur y”. Mais xy? est l'aire d’ua cercle dont y est le ravon(voy. Cerce, n°31), et par conséquent r}°.x représente le yolume du cylindre, ayant ry° pour base, et x pour hauteur, c’est à-dire, du cylindre circonscrit; ainsi le paraboloïde de révo- lution ést égal en volume à la moiëé du cylindre cir- conscrit. La cubature du paraboloïde trouve son application dans le calcul de lexcavation produite par le jet des mines. Pour les solides qui ne sont pas de révolution. Foy. VoLumE, CUBE (Géom.). Corps solide régulier, terminé par six faces carrées égales entre elles. Voy. Hexarnre. CUBIQUE (A4rüh.). Un nombre cubique est un nombre formé par l'élévation d’un autre nombre à la troisième puissance, par exemple 8 est un nombre cu- "bique , parce que 8—2*. Puissance CUuBIQUE, c’est la même chose que troisième puissance ; comme racine cubique, et racine troisième sont des expressions synonymes. Une ÉQUATION GUBIQUE est également une équation du troisième degré, Voyez pour ja formation des puis- CU 407 sances cubiques le mot puissANcE, et pour l'extraction - des racines cubiques, celui EXTRACTION DES RACINES. Nous ne nous occuperons ici que des équations cubiques quoique l’épithète cubique, pour désigner les équations du troisième degré ait beaucoup vieilli. ÉQUATION CuBiQUE ( A{g.). Les équations cubiques où du troisième degré, sont des équations dans lesquelles la plus haute puissance de l’inconnue est du troisième degré. Leur forme générale est xHAx+Br+C—0o que l’on peut ramener à (1) z'+px+q=0 eu faisant disparaître le second terme, Foy, Transror- MATION. Pour résoudre cette équation, faisons x=y+4-3, y et z étant deux nouvelles inconnues dont la détermination nous conduira à celle de x; élevant au cube, nous aurons Li (y +2) = 437224 3y28-hat = + À +3y{y+2) =yt 2 +3yar ou 2—3yzx—y—2—0 Pour que cette équation soit identique avec (1), il fau qu'on ait = — 372 g = —y—<" d'où l'on tire 9) one (2)... 72= —3 (3)... += — q Telles sont les conditions que les valeurs de y et de z doivent remplir afin queleur somme donne une valeur de x capable de satisfaire à l'équation (1). Or, énélevant (2) au cube, on a 3 EE 0 F'r= 27 d’où P° = TF2 408 qui se réduit à iquation du sixième degré qu’on peut abaisser au second, 3 en faisant 2°=1, ce qui donne 3 3 Por = L+at 27— Les racines de cette équation qu’on nomme la réduite , sont les valeurs de y? et de 2°, parce que ces valeurs sont symétriques, et qu’en prenant dans (2) la valeur de 2° pour la substituer dans (3), on serait parvenu à une équation identique avec cette dernière. En la résolvant ,voy. second degré), on a | VÉ: pi =—+ À Ta et, par conséquent, on en conclut, à cause dex=y+z VE cette expression est nommée la formule de Cardan.V'oy. À ALGÈBRE, CarDax et CAs IRRÉDUCTIBLE. La formule de Cardan semblerait ne donner qu'une seule valeur pour x, mais on peut facilement la ramener à lui faire exprimer les trois racines. Pour cet effet, re- marquons qu’en général, w étant une quantité quelcon- que, on a non-seulement 5 V8 =u mais encore 1,2, 8 désignant Îes trois racines cubiques de l’unité. Ainsi, représevtant par M et N les quantités comprises sous les radicaux cubiques, les valeurs de y et de z sont 8M. = EN. CU valeurs qui, étant combinées deux à deux pour former —=}+7 donneront toutes les racines de la proposée. Il est important de faire observer que parmi ces com- binaisons , celles qui ne remplissent par la condition (2) ? : 4 : , 3 = — P doivent être rejetées, et qu'il nereste que les trois suivantes x M+ N x = aM + BN x = 6M + 2N ce qu'on peut aisément vérifier. Les trois racines cubiques de l'unité étant (voyez Ra- CINES). mn 2 em 0] 1; VS 2 celles de l'équation (1) sont définitivement avt -4v(047)]+ Ame Col sV[-1+(f+0)]x nn e=v[-2 + (P+2)]x er 1H RE Pour examiner la nature des racines données par ces +1 expressions , ilsuffit de considérer le radical carré Ver qui sera réel ou #aaginaire , selon que la quantité sous le signe sera positive où négative. Or, nous pouvons avoir CE LA OR EL ES 24 4 97 0; 4 27 707 + 27 Daus le premier cas la quantité sous le signe étant posi- tive, le radical est une quantité réelle, et par consé- D] Eve) quent les deux expressions 3 2 VIT VÉEE 5 Ve CU sont elles-mêmes des quantités réelles ; ainsi la première racine, qui se compose seulement de la somme de ces quantités, est réelle. Quant aux deux autres racines, elles sont évidemment #7aginaires , puisque le produit des quantités réelles par des quantités 2maginatres ne peut être qu’imnaginatre. Dans le second cas le radical carré devenant zéro, les deux radicaux cubes sont réels, et la première ra- cine seule est encore réelle. y Dans le troisième cas na — da étant négatif, ce qui tarriver qu'autant create old ne peu arrivel qu autan UT DRE etp us gran que, 4 cubes sont des quantités compliquées d’imaginaires ; ce le radical carré, et par suite, les deux radicaux qui donne aux trois racines une forme imaginaire; ce cas singulier a été examiné à l’article Cas 1RRÉDUCTIBLE. Lorsqu'il n’y a qu’une seule racine réelle, on peut en- corese servir des fonctions trigonométriques avec succès, pour calculer sa valeur plus promptement qu’en réali- santlesextractions de racines indiquées dans les formules. Eu effet , nous pouvons poser en général pe 7 — À. tang @ À étant une quantité quelconque et @ un arc déterminé par la relation Ainsi, pour rendre la quantité sous le radical carré un carré parfait , il suffit de faire car alors cette quantité devient D'ELLES se 2 2 ; pus 2 HT uré ’ ce qu'on peut mettre sous la forme q° L qq sin@ 4 4 cos” @ ou q° cos ?@ + q° sin °@ 4 cos 2® | sin? : SN?® : 1 . , en remplaçant ang ‘@ pour cos? qui lui est égal, Le radical carré devient donc CU 409 V É ee 21] = V/cos#+sin@} ES! 7 2co5® , à cause de cos °9 +sin?9 = 71. Ainsi la première racine prend la forme z=v|— 140] Ale me Mais la relation p° q° — = —<- tang? in di donne p° 9 Vois i= D tang ? Substituant cette valeur dans celle de x, on obtient, après les réductions, T= —92 cot2a.1/ À l'arc w étant donné par la relation 3 tang w — \/tang 19 et l’angle & par la relation 2 p° tang P —= q 27 Si 4 était négatif, la valeur de x deviendrait positive et l’on aurait æ= 2 cot241/Ë Dans le cas de p négatif, ou de l'équation 23 — px +q =0 une marche semblable à celle que nous venons de suivre nous conduirait aux trois équations tang o — V'tanpg +? T=— =VË sin 2 w dont la troisième devient T VE lorsque g est négatif, il est bien entendu que dans ces "sind & dernières expressions on a PP q° 27 4 410 CÜ Eclairassons par un exemple l'emploi decesformules. Soit L—2X—5—=0 l'équation proposée; en comparant avec la forme pé- nérale L—pr—ÿ=0 x nous aurons p—2, 4=5 et la valeur de x dépendra des trois expressions 2V/ £ (x). ZX CT 5 e nr (2)... tango = y tang1® 2 = (3)... sne=2Ver EP va /P * 7 5 78 VS; En substituant les valeurs de p et de g dans ces expres- sions , nous aurons Cp} ‘ 2 sin ® — 15 XV/3 et, opérant par logarithmes, Log 2 — 0,3010300 Log 3 = 0,4771213 9,8239088 Log = 9,1195544 Log 2 — 0,3010300 2 Log V3 — 0,2120944 Log 2 := 0,3010300 4 Log 15= 1,1760912 Log sin & — 9,3350232 Ce qui donne g==12° 34! 33”,2. Prenant la moitié de ?, et cherchant dans les tableslelogarithme de tangr®, on aura Log. tang (6° 17" 16”,6) = 9,0421341 dont le tiers est 3 — Log Vang ?, Ou (2) tang w — 9,0807114 Ce dernier logarithme fait connaître #25 36" 49",5 et20 = 510 13! 30" CÙÜ Substituant dans (1) les valeurs de p et de 2, ou à Ps sin{bivi Ainsi, prenant dans les calculs précédensle logarithme, déjà trouvé, du numérateur de cette dernitre expres- sion, la valeur de æ est donnée par la simple ad dition 2 Log. V3 — 0,2120844 Log. sin (51° 13° 30") — 9,8918933 de Log. x — 0,3210g911 d’où l’on conclut æ = 2,0945514. Nous avons dans un autre article (voy. AprRoxIMA- TON) traité l'équation z—22x—5—0, par des procédés bien différens , et l’on peut s'assurer , en comparant les calculs, de la supériorité de cette dernière méthode, sous le rapport de la promptitude. Trouvé d'abord par Bombelli, généralisé ensuite par Viète, puis étendu par Albert Girard au cas irréductible, ce mode de résolu- tion des équations cubiques ne présenté d'autre difficult que le soin qu'il faut apporter dans le calcul des carac- téristiques des logarithmes pour lequel il ne faut pas s'écarter des règles exposées aux mots ExTRAGTION DES RACINES et LocaniTumEs. Construction des équations curiques. Voyez Con- STRUCTION. Parabole curiqun. Voyez Paranore. Hyperbole cusiqur. Voyez HxrERBOLE. Cuser un solide. Voyez Cuparüre. CULTELLATION (Géom.) (de cultello, mettre à- plomb, unir au cordeau). Expression dont quelques au- teurs se sont servis pour désigner lamesure d’un terrain projeté sur le plan de l'horizon. Voyez Torsé. CULMINANT {Astr.). Le point culminant d’un astre est celui où il est à sa plus grande hauteur au-dessus de l'horizon ; ce qui arrive lorsque l’astre est au méri- dien. CULMINATION (4sur.). Moment du passage d’un astre au méridien. CUNETTE. — Petit fossé creusé suivant la ligne milieu du fossé d’un ouvrage de fortifications, et destiné à l'écoulement des eaux pluviales. CUNITZ (Marre), femme savante, que ses connais- sances en astronomie rendirent célèbre en Allemagne, naquit, dans les premières années du XVIT siècle, à Schweidnitz, en Silésie. Elle apprit dans sa jeunesse, avec une grande facilité, plusieurs langues anciennes et modernes, et étudia avec le même succès l’histoire, CY la médecine et les mathématiques ; elle s’occupa égale- ment de peinture, mais ses goûts la portèrent plus par- ticülièrement à cultiver l'astronomie, que suivant les préjugés de son siècle, elle confondit quelquefois avec les pratiques de l'astrologie judiciaire. Vers l'an 1630, elle épousa son professeur de mathématiques, médecin, suivant quelques biographes, gentilhomme silésien, suivant d’autres, et qui se nommait Élias-a-Lewen. Ce- pendant, malgré son mariage, elle continua à porter son nom de famille, et le titre de demoiselle. Elle est l’auteur d’un abrégé des tables rudolphines, qu'elle fit paraître, en 1650, sous ce titre : Urania propilia, seu tabulæ astronomicæ mire faciles , vin hypothesium plhy- sicarum Kepleri complexæ ; etc. ; Oels, in-fol. Une se- conde édition de cet ouvrage fut publiée à Francfort, en 1351, avec une dédicace à l’empereur Ferdinand HT, et précédéed’une introduction en latin et en allemand, Marie Cunitz et Lewen s'étaient servis pour leurs cal- culs des tables danoises de Longomontanus; mais ils s’aperçurent qu’elles ne répondaient point à leurs ob- servations, et ils adoptèrent les tables rudolphines de Kepler, beaucoup plus exactes. L'usage de ces der- nières était néanmoins difficile, à cause du fréquent emploi des logarithmes , qu’il fallait souvent corriger : lès époux astronomes cherchèrent les moyens de les rendre plus commodes dans la pratique. M‘ Cunitz commença cet important travail, qui fut interrompu par les événemens de la guerre de trente ans. Elle fut obligée de se réfugier avec son époux en Pologne où ils reçurent l'hospitalité dans un couvent de femmes; ce fut là que l’Urania propüia fut achevée. Plusieurs ma- thématiciens , et notamment Wolf, font l'éloge de cet ouvrage, où cependant les hypothèses de Kepler sont trop souvent altérées. Suivant Lalande, Marie Cunitz mourut à Pitscher , le 22 août 1664. CUR VILIGNE (Geom.). Les figures curvilignes sont des ares renfermées par des lignes courbes, comme le cercle, l’ellipse, le triangle sphérique, etc. Voyez Fi- GURE. ANGLE cuRVILIGNE. C’est un angle formé par des lignes courbes. f’oyez SPnire. CYCLE (de xvxnes cercle ). Période ou révolution toujours égale d’un certain nombre d’années, pendant laquelle les mêmes phénomènes se reproduisent con- stamment et dans le même ordre. CY JA ration , sans reconnaitre même qu’elle füt une courbe particulière. C’est Galilée qui, le premier, la signala vers 1615. Roberval, en 1634, détermina son aire; quelques années plus tard , Descartes et Fermat lui me- nèrent des tangentes, et en 1644 Roberval trouva le vo- lume des solides engendrés par sa révolution autour de sa base et de son axe. En 1658, Pascal, sous le nom de À. Dettouville, proposa aux mathématiciens une série de problèmes qui avaient rapport à la recherche de la quadrature de certains espaces; à la détermination du centre de gravité de la courbe et de certains segmens, ainsi qu’à celle du volume de solides engendrés par la révolution de certaines parties. Wallis réclama en vain le prix qui avait été attaché à Ja solution de ces pro- blèmes ; les commissaires reconnurent qu’il n'avait pas atteint le but. En 1650, Pascal publia ses solutions Huygens démontra que la développée de la cycloïde était une cycloïde égale, placée en sens contraire. Leib- nitzet Jean Bernouilli y découvrirent certains espaces quarrables, et ce dernier fit voir qu'un arc de cycloïde était la courbe de la plus vite descente. Cette courbe est engendrée par un point fixe d’un cercle roulant sur une droite. Chaque point d’une roue en mouvement décrit une cycloïde. D’après la génération de cette courbe, il est évident que l'arc DP' est égal à la droite AD , et qu’ainsi la base AG est égale à la circonference du cercle générateur. Désignons donc AQ par x, PQ par y, ct par rle rayon du cercle générateur. On aura x=AD—QD=arc PD—QD mais ; f} Les principaux cycles sont le cYcLe LüunaImE (voyez arc PD= arc sin PC —="arc [sin = Var) | CatenDrier, n° 25), 16 cYCLE SOLAIRE (voy. CALEX TT 27) > CYCLE SOL E . ALENDRIE ?) k É Mg ee DRIER, QD—PC=V/CD X EB = V/y (27 —7) n° 29) et le cYGLE D'inpicriox. Voyez Inprcriow. 6 : “ : l'équation de la cycloïde sera donc CYCLOIDE (Gégm.) (de xvxaos, cercle) où trochôide (dé Teogos, roue). La découverte de cette conrbe a LE ave[sin NF ET—T) cé LES attribuée ‘au Cardinal Cusa, et à Charles dé Bôvlle ) mais ces mathématiciens u'out fait qu'entrevoir hu J La droite BP est tangente à la courbe au point P, Er 412 CY effet, si l'on différentie l'équation de la cycloïde. en re- gardant x comme Ja variable indépendante;on aura pour 1 la valeur de la tangente trigonométrique de l'angie de Ja tangente avec l'axe des x, T désignant cette tangente, Voy. TANcENTEs. Or, dans le triangle BPC, on a BC tang BPC—SE expression qui devient, en multipliant les deux termes par y, eten supprimant le facteur commun \/y{(2r—7), tang Bpe=V? Er) valeur trouvee ci-dessus pour la tangente trigonomé- trique de l'angle de la tangente à la courbe avec l'axe des x. On déduit de là un moyen bien simple pour mener à la courbe une tangente en un point quelconque P. 11 suffit pour cela de mener la droite PH parallèle à la base, jusqu’à la rencontre de l'axe de la cycloïde; de joindre par une droite le point K, où elle coupe le cercle générateur, avec le point F, sommet de la courbe, et de mener PB parallèle à cette droite KF. L’aire de la courbe entière AFG est égale à trois fois la surface du cercle générateur. Les principales propriétés de cette courbe justement cèlèbre appartenant à la mécanique, c’est aux différens articles sur cette branche des sciences mathéinatiques qu'il faut recourir pour pouvoir en apprécier toute l’im- portance. Joy. BRACHYSTOCHRÔNE, QUADRATURE. CYGNE (4sur.). Constellation boréale qui renferme 81 étoiles dans le catalogue de Flanistead, Elle et située entie Céphée , la Lyreetle Renard. Foy. Pr IX, 11 y a dans cette constellation une étoile CHANGE ANTE. > Voyez ce mot. | CYLINDRE (Géom.). Solide terminé par trois sur- faces, dont deux sont planes et parallèles entre elles, et dont la troisième est convexe et circulaire. On nomme cylindre droit {1) celui dans le- quel la droite AB, qui joint les centres des A. deux cerclesest perpen- diculaire aux plans de ces cercles. Dans tous les autres cas (2) on le - nomme cylindre oblique. CY Un peut concevoir la génération du cylindre droiten le considérant comme produit par la révolution d’un rectangle ABCD autour du côté immobile AB. Dans ce mouvementles côtes AG et BD décrivent les deux cercles et le côté DC la surface convexe. La droite immobile AB pu prend le nom d’axe du cy- | dindre. Les deux cercles se nomment les bases du ey- lindre. On noinme hauteur du cylindre la perpendiculaire | abaissée de Fun des points d’une de ses bases sur le plan de l’autre base; dans le cylin- LV PER dre droit la hauteur est égale DS à l'axe. Un cylindre droit ou oblique peut être considéré comme un prisme (voy. ce mot) dont les bases sont des polygones d’un nombre infini de côtés, puisque le cercle n'est qu'un tel polygone (voyez au mot Cône ce que nous avons dit à ce sujet) ; ainsi toutes les propriétés des cylindres peuvent se déduire de celles des prismes, et nous pouvons établir les propositions suivantes. 1. Théorème. La surface convexe d’un cylindre droit est égale au produit de la circonférence de sa base par l'axe du cylindre ou par sa hauteur. Si nous désignons donc par R le rayon de la base, et par H la hauteur; # étant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est 1 , ou le nombre 5,1415296...., cette surface convexe aura pour expression 2rRH. En effet, la surface d'un prisme droit est, sans y comprendre les deux bases, égale au produit du péri- mètre de sa base par sa hauteur. Or, le périmètre est ici la circonférence de la base; donc, etc. Quant à la surface convexe du cylindre oblique, elle ne peut être obtenue par les propositions de la géométrie élémentaire. /’oyez QUADRATURE. >. Théorème. Le volume du cylindre droit ou oblique est égal an produit de sa base par sa hauteur. Voyez Prismr. Ce volume aura donc pour expression rx RH en conservant les mêmes désignations que ci-dessus. Dansle cylindre droit, H sera la méme chose que l'axe; dans le cylindre oblique IX sera la hauteur AC, fig. 2 ci-dessus. : 3. Théorème. Deux cylindres sont entre eux dans le rapport des produits de leurs bases par leurs hau- teurs. CY En effet C et C' désignant deux cylindres quelconques dent les bases sont B et B'et les hauteurs H et H', puisqu'on a , d’après le théorème précédent, C=BH;;:C;=8.H; on a aussi C:,C':5 BH: BH. Or, si B=B', cette proportion se réduit à GC: CRU TH, c'est-à-dire que les cylindres de méme base sont entre eux comme leurs hauteurs. On en tirerait de même que Les cylindres de méme hauteur sont entre eux comine leurs bases. 4. On nomme cylindres semblables ceux dans lesquels les axes ont le même rapport que les diamètres des bases. 5. Il résulte de la construction du cylindre que toute CY 413 section faite par un plan, parallèlement à la base, est un cercle égal à la base. Toute section faite par un plan parallèle à l'axe est un parallélogramme. Dans le cylindre droit, ce paral- lélogramme est toujours rectangle; et lorsque le plan coupant passe par J’axe, la section est un rectangle double du rectangle générateur. Les sections formées dans le cylindre droit par des plans inclinés à l'axe , sont des ellipses. La même chose a lieu généralement dans le cylindre oblique; mais dans certains cas ces sections sont des cercles. CYLINDRIQUE (Gcom.). Ce qui a rapport au cy- lindre, ou ce qui ena la forme. CYLINDROIDE (Gcom.). Solide ressemblant au cy- lindre ordinaire, mais dont les bases sont des ellipses au lieu d’être des cercies. CYNOSURE (Astr.). Nom que lesGrecs donnaient à la constellation de la Petite-Ourse. Ce mot , formé de oupa et xvuv, signifie queue de chien. D. DA D'ALEMBERT. Poy. ALEmserr. DANTE (Prrecrixo), plus connu sous le nom de P. Ecxazio , qu'il prit en entrant dans l’ordre des Do- minicains, appartenait à une famille qui avait déjà pro- duit plusieurs mathématiciens distingués, mais il les surpassa tous en talent et en réputation. Egnazio, naquit à Pérouse, en 1537; il cultiva dès l’enfance les mathématiques avec succès, et ne cessa pas de s’y ap- pliquer dans la vie religieuse qu’il embrassa de bonne heure. Il professa, jeune encore, la science à Bologne, et s’acquit une renommée assez brillante, pour que Cosme I® de Médicis manifestât le désir d’entendre ses leçons, et lefit venir à Florence. Grégoire XIII et Sixte V lui firent le même honneur, et l’appelèrent auprès de leur personne, Le premier de ces souverains pontifes employa le P. Egnazio Dante à lever le plan de différentes places de l'état pontifical, et le promut, en 1583, à l'évêché d’Alatri. Le P. Egnazio est surtout célèbre par le service qu'il rendit à l’astro- nomie moderne, en faisant construire le premier un gnomon assez considérable pour fixer les équinoxes et les solstices. Celui qu'il établit, en 1573 dans l’église DA Sainte-Pétrone de Bologne, n'avait pas cependant toute la perfection désirable, il déclinait du méridien de quelques degrés. Il ne se proposa au surplus dans la construction de cet instrument, que de montrer par une observation pour ainsi dire populaire, combien l’'équinoxe du printemps s'écartait du 21 mars, auquel il était censé arriver, et sous ce rapport, il n'avait pas besoin d’une plus grande précision. C’est ce gnomon qui servit de base à celui que construisit, en 1653, dans la même église, Jean-Dominique Cassini. Le P. Dante Egnazio a laissé un assez grand nombre d'ouvrages parmi lesquels nous citerons surtout : 1. Traité de la construction et de l'usage de l'astrolabe; Florence, 1583, in 4°,2° édit., 1578, avec la description de plu- sieurs nouveaux instrumens astronomiques. IL. 7raduc- tion italienne de la Sphère de Proclus; Florence, 1573, iu-4°. III. Commentario alle regole della prospettiva di Jacobo Barozzi; Rome, 1583, in 4°. Cet ouvrage ren- ferme des démonstrations mathématiques des règles de la perspective, dont Vignole n'avait donné que la pra- tique, IV. Le scienze matematiche redott in tavole, Bologne, 1577. Cet ouvrage se compose de quarante- M4 DA cinq tableaux synoptiques, dont la composition suppose une grande érudition; on peur le consulter comme un monumént curieux de l’état de la seience vers la fin du XVI siècle, V. La prospettiva di Euclide, tradotta , con alcui annotazioni, insiame la prospectiva di elio- dora; Florence, 1573, in-4°. Dante Egnazio mourut le 19 octobre 1586, au moment où il allait quitter Alatri pour serendre auxdesirs deSixte V. Nous croyons devoir indiquericilesautres mathématiciens dunom de Dante.— Pierre-Vincenr-pr-Rainazni, gentilhomme de Pérouse, qui vivait dans lequinzième siècle, et quimouruten1 DE2; eut une grande réputation comme mathématicien et comme architecte. Ce savant, qui s’éccupait aussi de poésie, s’imagina que ses compositions atteignaiént la - sublimité de celles du Dante, pour lesqueltes il profes- sait au resté une admiratiôn enthousiaste; il prit le nom de ce grand homme, et ses descendans continuèrent à Le porter. Il est auteur d’un commentaire italien sur la Sphère de Sacro Bosco, imprimé à Pérouse; en 1544— 1574. — Juces Dante son fils, se rendit également cé- lèbre par ses connaissances en mathématiques et en ar- chitecture. C’est lui qui construisit la magnifique église de saint François-d’Assise. Il estle père d'Egnazio Dante. — Tuéonpora Danre, sœur de Jules, futle premier pro- fesseur d'Egnazio, son neveu; elle fut aussi célèbre en Italie par les grâces de son esprit que par ses talens éñ mathématiques. — Danre (Jeax-Baprisre), autre ma- thématicien de Pérouse, mais qui n’était probablement pas de la même famille, acquit de la célébrité vers la fin du XV° siècle, par une expérience de mécanique qui mérite d’être rapportée. Au moyen de deux grandes ailes de son invention, ilosa s’élancer de la tour la plus élevée de la ville de Pérouse, il traversa la place et se balanca quelque temps en l'air, aux acclamations de la multitude. Malheureusement l'un des ressorts en fer de son aile gauche se rompit tout à coup, et le hardi mé- canicien tomba sur le faite d’une église voisine, et se cassa la jambe. Après sa guérison , Jean-Baptiste Dante, fut professeur de mathématiques à Venise, où il mourut dans un âge peu avancé. DASYPODIUS (Conan), mathématicien célèbre du XVI° siècle, né à Strasbourg; il était fils de Pierre Raucaruss, savant helléniste, de Frauenfeld , en Suisse, qui avait changé son nom allemand (Pied velu), contre le nom grec de Dasypodius, qui a la mêmesignification. Conrad Dasypodius professa les mathématiques à Stras- bourg ; il s'adonna spécialement à l’étude des géomètres grecs, etil a publié des commentaires sur les six premiers livres d'Euclide, à la suite d’un travail commencé par Herlinus, qui l'avait précédé dans sa chaire, Cet ouvrage intitulé : Analyses gometr. sex librorum Euclidi, etc. Argent., 1566, in-f°, n’est qu'un travail pédantesque, dans lequel les propositions du célèbre géomètre ancien ü ; DA sont présentées sous la forme de syliogisines d'une éten- due disproportionnée, qui eu obscurcissent les démons- trations. Le premier et le cinquième livre sont de Her- linus, les quatre autres seulement sout l'ouvrage de Dasypodius. Ce mâthématicién à rendu néanmoins de grands services à la science, par la publication en grec et en latin de plusieurs livres d'Euclide, et par la tra- duction de son optique et de sa catoptrique. On lui at- tribue aussi la traduction des sphériques de Théodose. C’est sur les dessins de Dasypodius que fut faite, en 1580, la fameuse horloge de la cathédrale de Strasbourg qui a long-temps passé pour la plus belle de l'Europe. Il en à donné la description dans son Æ/eron mathematicus ; Argent.; 1580. Il se proposait de réunir et de publieren un seul eorps d'ouvrage tous les mathématiciens grecs, mais il ne put exécuter ce dessein. La mort le surprit le 26 avril 1600, à l’âge de 68 ans. DAUPHIN ({str.). Constellation boréale située près de l'équateur céleste (voy. PL. 9): l’une des 48 de Pto- lémée. Elle renferme 18 étoiles dans le catalogue bri- tannique. DÉCADE (Arith.). Ce mot a été employée par d’an- ciens auteurs pour désigner ce que nous nommons une dixaine. Les auteurs du calendrier républicain lavait adopté dans leur terminologie, et leurs trois pé- riodes de dix jours dans lesquelles ils divisaient le mois, portaient le nom de décades. DÉCAGONE (Géom.) (de déve, angle). Figure plane qui a dix côtés et dix angles. dix et de yovia Lorsque les angles sont égaux entre eux, ainsi que les côtés, le décagone est dit régulier. H peut être alors in- scrit et circonscrit au cercle. ay. Cencre , n°° 15 et 15. La somme des angles d’un décagone étant égale à 8 fois 2 droits (voy. Porycone), ou à 16 droits, l'angle du décagone régulier est équivalent à :$ d'angle droit. Cet angle est donc de 144° sexagésimaux. Si l'on désigne parr le rayon du cercle circonscrit à un décagone régulier; le côté de ce décagone sera donné par l'expression ; RS a 2 cdésignant ce côté. Cette relation peut Servir à déter- miner lé rayon du cercle circonscrit lorsque le côté est connu ; pour cet effet, on lui donne la forme 2C mvieT Le Elle résulte de la division en moyenne et extréme raison du rayon du cercle circonscrit; le côté du dé- cagone régulier étant égal au plus grand des deux segments. Foy. ExXAGONE. DE Ainsi, zJour inscrire un décagone régulier dans un cercle donné, il faut diviser son rayon en moyenne et extrèmeraison (v0y. APPLICATION DE L'ALGÈBRE, N° 14), et le plus grand segment est le côté du décagone. La surface d’un polygone régulier quelconque étant égale à la moitié du produit de son périmètre par son apothème, comme le périmètre du décagone est égal à 10 fois son côté, sa surface sera S—5c.h S désignant la surface, et À l'apothème. Mais l’apothème étant l’un des côtés de l'angle droit du triangle rec- tangle qui a le rayon du cercle circonscrit pour hypothé- nuse et le demi-côté du décagone pour troisième côté, nous avons cV/(4r7—0c?) Pour avoir cette surface seulement en fonction du côté, ou seulement en fonction du rayon, il suffit de substituer dans cette dernière égalité, la valeur deren €, ou celle de e en 7, et l’on obtient br S = — D °% VA4a—2V/5 En calculant les coefficiens de c’ et de r?, ces deux ? expressions se réduisent à S— 7,694209 X c? S — 2,938927 X r? ce qui est suffisant pour la pratique. On donne quelquefois le nom de DécacoNE à un ou- vrage de fortification composé de dix bastions. Foyez FonririCATIoN. . DÉCAGRAMME. Mesure de pesanteur égale à dix grammes, DÉCALITRE Mesure de capacité égale à dix litres. DÉCAMÈTRE. Mesure de longueur égale à dix mètres. l’oy. Mrsune. DÉCAN (As4r.). Nom donné par les anciens astro- nomes à l'arc de 10 degrés, où au tiers d'un signe. Voy. SIGNE. DÉCEMBRE {Calendrier). Nom du dixième mois de l’année romaine. C'est le douzième de Ja nôtre depuis l’édit de Charles IX , en 1564. Be soktice d'hiver à licu DE 445 vers le 21 de ce mois; le soleil entre alors dans le signe du capricorne. DÉCHARGE (Méc.). On appelle tuyaux de décharge ceux qui, dans les machines hydrauliques sont destinés à faire écouler le superflu des eaux. La détermination de l’airede leur section étant, dans beaucoup de cas, une question importante , elle sera traitée à l’article Écou- LEMENT. DÉCIL ou DEXTIL, (4str.). Vieux terme d'astro- nomie ou plutôt d’astrologie sous lequel on désignait l'aspect (voy. ce mot) de deux planètes éloignées l’une de l’autre de 36° ou de la dixième partie du zodiaque. DÉCIMALE. La division décimale est celle qui a lieu de dix eu dix; ainsi notre échelle de numération est une échelle décimale, parce que la valeur des chiffres augmente de dix en dix suivant la place qu’ils occupent. Voy. NumMÉRATION. Fracrioxs DÉcImaALESs. Ce sont des fractions qui ont pour dénominateurs des puissances entières de dix, telles que À, L 1) 108? 1000? etc. D’après la nature de notre système de numération, on peut les exprimer, en faisant abstraction de leurs déuominateurs, seulement par la place qu’on fait occuper aux chiffres de leurs dénomi- pateurs. En effet, étant convenu de donner à un chiffre une valeur dix fois plus grande lorsqu'il est placé à la gauche d’un autre, que celle qu'il exprime isolément, si l'on adopte ceîte règle dans toute sa généralité, il est évident que la valeur relative de plusieurs chiffres écrits les uns à côté des autres, doit diminucr de dix en dix en allant de gauche à droite; ainsi dans la quantité repré- sentée par 5555, le second chiffre vaut 10 fois moins que le premier,le troisième dix fois moins que le second, ou cent fois moins que le premier, et le quatrième dix fois moins quele troisième, ou cent fois moins que le second, et mille fois moins que le premier. Si donc le premier exprime 5 unités absolues, le second exprimera 5, le troisième 55, et le quatrième 5. On indique cette circonstance par une virgule placée aprèsle chiffre des unités, c'est-à-dire que dans le cas en question on écrit 5,555, alors, les chiffres à la gauche de la virgule sont les chiffres entiers et ceux à la droite sont les chiffres dé- cimaux; de cette manière, l’échelle compléte de numé- ration est ClCesssogee LOL TS ET I TT CT Oo eo SERRE Lozes ZE X D EE k À 0 4 © 5 — © @ &. = à El co E ET 2 D: En, D D EE E CC. soso 2 5 © ITR = À : REP ne & : * ® OO G-#=: ë pe ee 5 & Lorsqu'il n’y a point d’entiers, on remplace par o le _s+ 100 chiffre des unités; ainsi o,1 désigne :+, 0,54 désigne 0,002 désigne 2, etainsi de suite. Cette manière d'écrire les fractions désimass, mtro- 416 LÉ duite par le géomètre anglais Oughtred , facilite extré- mement les calculs, et on peut voir aux articles ADDITION, SOUSTAACTION |; MULTIPLICATION, DIVISION, EXTRACTION DES RACINES , @L ÉLÉVATION AUX PUISSANCES Qu'On exécute sur ces fractions toutes les opérations de l’arithmétique avec autant de facilité que sur les nombres entiers. On réduit une fraction ordinaire en fraction décimale, en divisant son numérateur par son dénominateur, après avoir ajouté préalablement autant de zéro: à la gauche des chiffres du numérateur qu'il en est besoin pour que l'opération se fasse exactement, ou pour ob- teuir une approximation suffisante, si la fraction ordi- naire ne peut s'exprimer exactement par une fraction décimale. Pour réduire #, par exemple, en fraction dé- cimale, il faut ajouter deux zéros, et l’on a 200 55 alors le dividende ayant été rendu cent fois plus grand, le quotient est également cent fois trop grand; ainsi, au lieu d’exprimer 95 unités, il ne doit exprimer qu’une quantité cent fois plus petite, c’est-à-dire 75 F. Too OU 0,79; on a donc S'il s'agissait de la fraction ordinaire $, quel que soit le nombre des zéros qu’on ajoutât à 5, il serait impos- sible d’effectuer exactement la division par 7,et dans ce cas, on ne peut obtenir qu’une fraction décimale ap- proximative ; ainsi, en ajoutant 1, 2, 3,4, 5, etc., zéro, et divisant sans tenir compte du dernier reste, on a 5o Gi = 7 de be 5oo Su =7I Ou-—0,71 5000 5 —714 ou-— 0,71 7 7 = »714 a Led F = Tifrou == 07142 Ce que l’on pourrait continuer à l'infini, parce qu'après avoir trouvé 6 chiffres au quotieut, le dernier reste est de nouveau 5, et la même période de 6 chiffres re- commence; de sorte que l’on a 5 — 0,714285 7149285 714285 etc... à l'infini. La fraction décimale prend alors le nom de fraction périodique. Foy. PÉRIODIQUE. Le problème de réduire une fraction ordinaire en fraction décimale, peut être généralisé de la manière suivante, DE 4N ; hi. Soit une fraction ordivaire quelconque, et soient a, b, c, d,e,etc., les chiffres décimaux qui dounent N M = 10—1+b.10—"4e.10—+d.10—1Letc. nous avons NM, et il s’agit de déterminer a,b,c, d', etc. | Multipliant les deux membres de cette égalité par 10, elle devient de =a+b.10—1+c.10o—+d.10—+ etc. Alors a exprime des entiers, et b devient le premier chiffre décimal ou le chiffre des dixièmes. Nous avons donc, en désignant par N'le reste de la division de N.10 par M — =D, reste N’ c’est-à-dire, et par conséquent, . =b10—14+c.10—+d.10—3+etc. Multipliant de nouveau les deux membres de cette éga- lité par 10, elle devient LS =b+c.10-1Æd.10—24e.10—$+etc. ou se —b , reste N° en désignant par N”, le reste de la division de N'.10 pour M. On a donc aussi N'.10 N’ TM TM et " =c.i10—1d.10—7+e.10— etc... M et ainsi de suite; d’où il est facile de conclure la règle suivante : Multipliez le numérateur par 10, et divisez le produit par le dénominateur, Je quotient sera le premier chiffre décimal oule chiffre des divièmes; mul- tipliez ensuite par 10 le reste de la division, et divisez ce second produit par le dénominateur, le quotient sera le second chiffre décimal ou le-chiffre des certièmes; multipliez de nouveau par 10,lesecond reste, et di- DE visez le produit par le dénominateur, le quotient sera le troisième chiffre décimal ou le chiffre des rnillièmes ; multipliez encore le dernier reste par 10, et continuez toujours de la même manière, jusqu’à ce que vous ayez pour reste, zéro, ou un nombre déjà trouvé : Dans le premier cas, l'opération est terminée; dans le second, la période est trouvée. Si après avoir multiplié un des restes par 10, le produit était plus petit que le déno- mivateur , la division ne pourrait s'effectuer ; alors, le chiffre décimal correspondant serait zéro , et il faudrait considérer ce preduit comme un reste, ct le multiplier par 10 pour obtenir le chiffre décimal suivant. SysrèmEe pÉcIMAL. La division de dix en dix, faisant le fondement de l’arithmétique, on a cru qu'il était na- turel de l’adopter dans les poids et mesures, quoiqu’elle ne soit pas la plus commode, et maintenant notre sys- tème métrique est décimal. Nous l’exposerons au mot Mesure. DÉCLIN de la lune. Voyez Décours. DÉCLINAISON (Astr.). La déclinaison d’un astre est sa distance à l'équateur céleste, mesurée sur larc du grand cercle qui passe par lastre et par les pôles de la sphère. Elle est, par rapport aux corps célestes, ce qu'est la latitude par rapport aux lieux terrestres. La déclinaison est boréale ou australe, selon que l'astre se trouve dans l’hémisphère boréal ou dans l'hé- misphère austral. Pour trouver la déclinaison d’un astre, on observe préalablement la hauteur du pôleau-dessus de l'horizon . ou la latitude du lieu de l'observation (voy. Larirune), et on mesure ensuite la hauteur de l’astre au moment de son passage au méridien ou sa distance auzénith, qui est le complément de la hauteur. Lorsque la distance de l’astré au zénith, qu’on nomme boréale si l’astre est dans l'hémisphère boréal, et australe si Vastre est dans l'hé- misphère austral, est de même désignation que la la- titude, ieur somme est la déclinaison, laquelle est de méme désignation que la latitude; lorsqu'au contraire la distance au zénith est d’une désignation opposée à la latitude , leur différence est la déclinaison , dont la dé- signation est la même que celle de la plus grande des deux quantités. Cette règle est assez évidente pour se passer de démonstration. Par exemple, l'élévation du pôle nord étant de 47° 20", on a trouvé la hauteur du soleil , lors de son pas- sage au méridien, égale à 33° 25'; et par conséquent, sa distance au zénith égale à 56° 35"; cette distance est australe. Les désignations étant différentes, la difference entre 56° 35" et 47° 20’ ou 0° 15’ est la déclinaison cher- chée , laquelle est australe, parce que la distance aus- trale est plus grande que la latitude boréale. Les déclinaisons servent de concours avec les ascen- DE AT sions droites pour fixer la position des astres sur la voûte céleste. Le mouvement propre des astres et la précession des équinoxes (v0y. ce mot), faisant varier continuellement leurs ascensions droites et leurs déclinaisons, on trouve ces quantités calculées à l'avance dans la Connaissance des temps de chaque année pour les besoins de l’astrono- mie et de la navigation. ’oyez Cararocue. CERCLES DE DÉCLIN AISON. Grands cercles de la sphère qui passent par les pôles du monde, et sur lesquels la déclinaison est mesurée. ParaLLÈLEsS DE DÉCLINAISON. Pêtits cercles dela sphère, parallèles à l'équateur. PARALLAXE DE DÉCLINAISON. Arc du cercle de décli- naison, qui mesure la quantité dont la déclinaison d’un ästre est augmentée ou diminuée par la parallaxe de hauteur. Voyez ce mot. RÉFRACTION DE DÉCLINAISON. Arc du cercle de décli- naison, qui mesure la quantité dont la déclinaison aug- mente ou diminue par l'effet de la réfraction. DÉcriNAISON DU PLAN vErricaL (Gnom.). Arc de l'horizon , compris entre le premier vertical et la sec- tion du plan du cadran avec l'horizon. Voyez Décr- NANT. Décrinaisox de l’aiguilie aimantée ou de la boussole, Voyez VARIATION. DÉCLINANT (Gnom.). Les cadrans declinans sont ceux dont la section avec l'horizon fait un angle avec le premier vertical. Voyez GNoOmoniQuE. DÉCLINATEUR ou DÉCLINATOIRE (Gnom.). Instrument qui sert à déterminer l'inclinaison ou la dé- clinaison des plans sur lesquels on veut trouver des ca- drans solaires. Voyez GNomoniQuE. DÉCOMPOSITION DES FORCES (Mec.). On peut toujours remplacer une force par deux ou plusieurs autres, agissant dans des directions différentes, et dont elle serait la résultante. Ceite décomposition, dont la possibilité repose sur les mêmes principes que ceux de la compPosiTION DES FORGES est d’un grand usage dans la imécanique. Ÿ’oyez Force. DÉCOMPOSITION DES ÉQUATIONS (4/g.). Pour résoudre une équation on la décompose souveat en plu- sieurs autres qui sontses facteurs; c’est ainsi que Descartes est parvenu à la solution des équations du quatrième degré en décomposant l'équation générale xi+Ax +Br+C=o, en facteurs du second degré a?+ax+b , x +cr+d 53 418 DE ou en posant l'égalité hypothétique diHAxÆBr4C — (a+ax+4b) (x + cx+d). Voyez BIQUADRATIQUE. DÉCOURS (4str.). On nomme décours la diminu- tion de la lumière de la lune, depuis la pleine lune jusqu’au moment de la nouvelle lune suivante. Cette désignation est l’opposée de celle de croissant, qui s’ap- plique à la figure dela lune, depuis lemomentou elle est nouvelle jusqu’à celui où elle est pleine ; passé cette der- nière époque la lune est en décours. DÉCRIRE (Géom.). Action d’engendrerune étendue par le mouvement d’un point, d’uneligne ou d’une swr- face : ainsi un point qui se meut est dit décrire une ligme droite ou courbe; une ligne, décrire une surface; et une surface, décrire un solide. f’ayez GÉNÉRATION. DÉCUPLE. Terme d’arithmétique qu’on emploie pour désigner une quantité dix fois plus grande qu'une autre. Par exemple, 40 est décrple de 4; 100 est de- cuple de 10, etc., etc. DÉCUPL#. On nomme rapport décuplé celui qui existe entre les racines dirièmes de deux nombres. Ainsi act b sont eu rapport décuple de a1° et b1; en géné- [l ral, M et N étant deux nombres quelconques, M NN est le rapport décuple de M à N. Il est important de ne pas confondre decrplé et décuple. DÉCUSSATION (Opr.). Le point de décussation est celui où plusieurs rayons se coupent , tel que le foyer d’un miroir, d’une lentille, etc. DÉE (Jzan), mathématicien anglais, né à Londresle 13 juillet 1527, de parens obscurs. 11 s’adonna de bonne heure, avec ardeur, à l'étude des mathématiques et de l’astronomie, et ne tarda pas à acquérir de la célébrité par ses connaissances étendues dans les diverses branches de ces sciences. Ce fut probablement cette renommée exagéréc de son savoir qui plongea Dée dans de graves erreurs, et donna à ses travaux scientifiques une direc- tion malheureuse. Sa réputation le suivit sur le conti- nent, oùil vint en 1548. À Louvain, il fut consulté comme un oracle, et à Paris, où il donna des leçons de géométrie et commenta publiquement Euclide, il fut accueilli avec autant d’empressement. De retour dans sa : patrie, il donna dans toutes les erreurs de l'astrologie - judiciaire, et fut employé en cette qualité par la reine Élisabeth. Il quitta de nouveau l'Angleterre et se livra entièrement à des pratiques peu dignes de la science; nous nele suivrons pas dans ces diverses phases de sa vie qui fut triste, agitée par de vaines espérances, et usée par des travaux sans résultats. La reine Élisabeth, ayant la connaissance de la profonde détresse dans laquelle cet homme célèbre était tombé, le rappela à Londres, où il mourut en 1607. Malgré l’état de misère où il DE vécut long-temps, Dée était parvenu à se former une très-belle bibliothèque et un cabinet de curiosités fort remarquable. Parmi les ouvrages qu’il a publiés et qui sont tous plus où moins empreints des idées qui le ren- dirent malheureux , nous citerons seulement : I. Jonas lieroglyphica, mathematicè, magicè, cabalisticè et analogicè explicata ; Anvers, 1564, in-4°, 1584 : Franc- fort, 1691, in-8°. IL. Propædeumata aphoristica de præstantioribus quibusdam naturæ virtutibus; Londres, 1556-1558-1568 , in-4°, etc. DÉFECTIF (Arith.). Un nombre défectif est la même chose qu'un nombre déficient. Foy. ce mot. Dérecrir (Gcom.). Newion à donné le nom d’Ayper- boles défectives à des courbes du troisième ordre, qui n'ont qu'une seule asymptote. Foy. HyrErzoux. DÉFICIENT (Arith.). Lorsque la somme des parties aliquotes d’un nombre est plus petite que ce nombre, on le nomme deficient, par opposition avec le nombre AtONDANr, dans lequel le contraire a lieu. 10, par exemple , est un nombre déficient, parce que la somme de ses parties aliquotes 1,2, 5, est plus petite que ce nombre lui-même. DÉFILEMENT (Fort). On appeMe plan de défile- ment celui qui contient les crêtes intérieures d’un ou- vrage de fortification. Après avoir fait le tracé d’un ou- vrage ou d’un ensemble d'ouvrages , il faut déterminer le relief de ses différentes parties, c’est-à-dire les hau- teurs dont elles doivent s'élever au-dessus du terrain sur lequel elles sont assises, pour abriter les défenseurs des vues de la campagne. Remplir ces conditions, c’est défi- ler un ouvrage. On y parvient en tenant les crêtes inté- rieures des différens ouvrages dans des plans laissant au-dessous d'eux tout le terrain environnant. La solution complète de ce problème étant une des parties les plus difficiies de la science de la fortification , nous allons en traiter avec quelques détails. La première opération à faire est de tracer les limites entre lesquelles sont compris les points d'où l’ennemi peut prendre des vues sur l’ouvrage et tirer des coups dangereux. L'expérience a fixé entre 1200 et 1400 mètres la distance au-delà de laquelle les coups de l’en- nemi ne sont plus à craindre, Si l'ouvrage à défiler est isolé, de tous ses saillans, comme centre etavec unrayon égal à 1400", on décrit des arcs de cercle qui, par leurs rencontres , déterminent toute la partie du terrain dont on a à se défiler. Si l'ouvrage fait partie d’un système, alors des ouvrages environnans peuvent intercepter une partie des coups , et il faut déterminer avec soin la di- rection des coups extrêmes , puisque c’est elle qui fixera la limite du terrain dont on devra se défiler. Cette dé- termination, qui souvent offre de grandes difficultés, se fait ordinairement par tâtonnemens; cependant on peut « arriver d’une manière rigoureuse. En effet, si, ; DE par le saillant de l'ouvrage à défiler et par la partie su- périeuré de l’ouvrage couvrant, on fait passer une surface cotiique dofit on cherchera l'intersection avec une sur- face paralléle au terrain et suffisamment élevée au-dessus de lui, tous les points compris entre cette intersection etl’obstacle , et qui, par conséquent, sont au-dessous du cône, ne peuvent diriger sur l'ouvrage que des coups intercéptés. Alors la dernière direction des coups dan- gereux, est laligneextrêéme menée vers cette intersection, das à partie comprise entre l'obstacle et l'arc de cercle tracé à 14007. Ces différentes opérations préliminaires, pour la fixa- tion dés limites , présentant une foule de particularités, nous ne pouvons entrer dans les détails qui les concer- nent; seulement nous ferons observer que cette déter- mination étant ordinairement faite avant que le saillant de l’ouvrage à couvrir et même la crête couvrante soient définitivement arrêtés, il est nécessaire, après que le tracé et le relief sont fixés, de vérifier si ces Innites sont bien telles qu’elles doivent être. Afin de nous occuper d’abord des cas les plus simples, nous supposerons que l’ouvrage à défiler soit compléte- tement tracé et quele relief de ses crêtes intérieures soit fixé; que de plus, il ne se compose que de deux faces formant un angle. Imaginons que le plan de ses deux crêtes intérieures soit indéfiniment prolongé au-dessus de tout le terrain dont on a à se défiler, terrain que nous supposerons relevé de 1",40, quantité dont le plan de défilement doit passer au-dessus de lui, pour être au- dessus des ouvrages que peut construire l’assiégeant. Nous releverons ainsi le terrain, en diminuant de 1,40 les côtés des courbes horizontales équidistantes qui ser- vent à le déterminer. Ou ce plan laissera tout le terrain relevé au-dessous de lui, ou il le coupera. Dans le pre- mier cas le terre-plein de l'ouvrage, étant maintenu pa- - ralléle au plan des crêtes et à 2,50 au-dessous de lui, sera évidemment défilé. Dans le second cas, l'ouvrage ne sera pas défilé, puisque des pærties du terrain relevé, situé au-dessus du plan des crêtes , l'ennemi plongerait dans l'ouvrage. Imaginons alors la crête d’une des faces de l'ouvrage indéfiniment prolongée , et trois cas pour- ront s’en suivre : ou toute la partie du terrain située au- dessus du plan des crêtes sera en avant de cette droite, ou ellesera percée par elle, ou elle sera en-arrière, Examinons d’abord le premier cas. Si par cette crête prolongée on fait passer un plan tangent à la partie du terrain relevé située au-dessus du plan des crêtes, et qu’on lui tienne parallèle et à 2w,56 au-dessous , le plan du terre-plein , celui-ci sera défilé. Si la même circon- Stance se présente pour l’autre face, on la défilera de la même mänière. Alors les deux terre-pleins se couperont suivant une droite passant par le saillant ct formant gouttière. Si l’inclinaison des deux plans de défilement DE 419 était très-grande, les déblais à faire pour obtenir les terre-pleins seraient très-considérables. Afin d'éviter ce grand remuement de terres, on ne prolonge pas les plans de terre-plein jusqu’à leur intersection. Eu effet, si on joint par des droites les deux points de tangence des plans de défilement et le saillant de l'ouvrage, ces deux droites, prolongées dans l’intérieur de l'ouvrage, comprendront entre elles un angle, dont l’intérieur ne pourra être vu, par-dessus le saillant ; que de la portion de surface du terrain comprise entre les deux plans de défilement, partie qui est au-dessous des plans de défile- ment. Si donc par le saillant on imagine un cône tan- gent au terrain , la nappe dans l’intérieur de l'ouvrage se raccordera avec les deux plans de terre-plein, et on pourra, en satisfaisant aux conditions de défilement, te- nir le terre plein tangent à cette surface. Cette manière de défiler un ouvrage s'appelle défilement par le terre- plein (Pr. XXIX , fig. 1). Si la crête intérieure prolon- gée fichait dans la partie du terrain relevé qui se trouve au-dessus du plan de crête, il serait impossible de défiler sans changer Le côté dela crête, à moins qu’on n’élevâtau sailant une bonnette ou massif de terre, moyen qui est toujours mauvais. Si la crête prolongée laisse derrière elle une partie du terrain relevé, situé au-dessus du plan des crûtes, il faudranécessairement élever dans l’ouvrage unetraverse, car le plan tangent du terrain relevé passant par la pre- mière crête, laissera au-dessous de lui la seconde, qui alors serait prise de revers. Cette traverse devra être assez élevée pour atteindre le plan tangent. Pour lui don- ner ce minimum de relief, il faudra le faire passer par le saillant; mais comme cette disposition est génante pour la défense, il vaudra mieux la rapprocher de la seconde face; et lui donner un peu plus de relief. Si la seconde face de l'ouvrage se trouve daus le même cas, il faudra construire une seconde traverse pour empêcher la pre- mière face d’être prise de revers. Mais si on dirige une traverse suivant l'intersection des deux plans tangens passant par les crêtes, elle suffira. Il arrivera souvent qu’on sera obligé de briser cette traverse, afin de bais- ser le saillant libre de manière à ce qu’on puisse y établir uuc batterie à barbette. D’autres fois il faudra nécessai- rement construire plusieurs traverses. Ce sont là des cas particuliers qu’il est impossible de préciser à l'avance, et qui ne peuvent se déterminer que suivant les localités et en combinant entre eux les élémens de la facilité de la défense, de l'abri qu'elles offrent et de la dépense qu’elles oecasionnent (PL. XXIX , fig. 2). Supposons maintenant que le tracé et la ligne de feux soient à peu près déterminés, mais que le relief ne lesoit pas entièrement, Alors trois cas encore peuvent se pré- senter. 1° Le rclief est conou par deux points de l’ou- virage mème. @ù par deux points d’un ouvrage cullaté- 420 DE ral par lesquels le plan de défilement doit passer; 2° le plan de défilement n’est assujéti à passer que par un seu point; 3° le plan de défilement peut n'être assujéti qu’à donner un relief compris entre certaines limites. Dans le premier cas le plan de défilement étant déjà assujétia deux conditions, il suffit, pour le déterminer, de le rendre tangent au terrain relevé compris entre les lignes assignées précédemment. Quand il sera possible d'y satisfaire, ce probléme n'offrira aucune difficulté, et la géométrie des échelles de pente fournira tout ce qui est nécessaire pour le résoudre (roy. ÉCnELLE DE PENTE). Mais il arrivera souvent que les points culminans du terrain seront tellement élevés qu'on ne pourra, par la droite donnée, mener un plan qui les laisse tous au- dessous de lui ; ou bien , cette condition étant remplie, le plan de défilement sera tellement raide qu’il donne- rait au saillant un relief excessif, et à la gorge une han- teur qui ne serait pas suffisante. Dans ce cas on prolon- gera les deux crêtes des faces à défiler, ce qui partagera le terrain en trois parties: les deux latérales et ceile comprise entre ces deux droites. Si alors, par une des faces, on peut mener un plan tangent aux hauteurs latérales, ou le considérera comme le plan des crêtes , et on défilera chaque face des hauteurs comprises dans l'angle des faces , à l’aide de son terre-plein. Si la droite donnée coupait le terrain latéral relevé, il ne serait plus possible de défiler sans traverses. Alors on emploicrait un plan particulier pour chaque face , et ces plans de défilement ne seraient plus assujétis qu'à passer par un point déterminé, circonstance que nous allons exa- miner. Si le plan de défilement était trop raide et que la rai- deur fût due aux hauteurs comprises dans l’angle des faces, on se défilerait des hauteurs latérales, ce qui di- minuerait le relief du saillant , et on défilerait les faces par leur terre-plein. Afin de diminuer la raideur de celui-ci, au lieu de le tenir parallèle aux plans de défi- lement, onle ferait perdre vers les saillans; ce qui ne ferait qu'alonger les talus de banquette. Si le plan de défilement n’est assujéti qu'à passer par un point déterminé, on pourra le rendre tangent au serrain relevé en deux points ; ou Lien en un seul point autour duquel on le fera tourner de manière à satisfaire le plus convenablement aux conditions exigées. Examinons maintenant le cas où le tracé seul est donné, circonstance la plus ordinaire, car il est rare que les hauteurs des crètes intérieures soient tellement fixées, qu’il ne soit pas possible de les faire varier. On essayera d’abord de déterminer un plan tangent au ter- rain dont on a à craindre. Si dans ce terrain il ne se trouve que deux points dangereux, on appuiera le plan sur ces deux points , et on le fera monter ou descendre, en le faisant tourner sur une surface développable, tan- DE gente au terrain, jusqu'à ce qu'il donne un relief con- venable. D’autres fois on relèvera le plan au-dessus de l’un des points de contact , en l’assujétissant seulement à étre tangent au terrain dans l’autre point. Alors on joindra par une droite le point de tangence et le point donné de l’ouvrage; et, les divisant de mètre en mètre, on aura les points par lesquels doivent passer les hori- zontales du plan cherché, horizontales que l’on devra diriger de manière à satisfaire aux conditions exigées. On arrivera ainsi, à l’aide de tâtonnemens, à trouver le plan qui donne les reliefs les plus convenables. Lorsqu'on a à défiler un ouvrage d’une certaine étendue, il est rarement avantageux de n’employer qu'un seul plan. Du reste le nombre des plans de défile- ment auxquels on devra avoir recours, ne peut pas se déterminer d'avance, et cette détermination doit résulter d’une étude approfondie du terrain qui environne la fortification que l’on doit défiler. Indépendamment du défilement des ouvrages qui est indispensable pour que les défenseurs soient à couvert, l'ingénieur est encore astreint à la condition de défiler les maçonneries des vues de l’assiégeant. La distance de laquelle on doit se défiler est fixée à 800". Le problème icise simplifie beaucoup, car au lieu d’une surface on n’a qu'une ligne à mettre à l'abri. Trois cas sout encore à considérer ; la hauteur de la maçonnerie peut être fixée, la hauteur de la crête de l'ouvrage couvrant étant indéterminée; la hauteur de la crête de ia Imasse cou- vrante peut être donnée, celle de la maçonnerie étant arbitraire; enfin, la hauteur de la crête de l’ouvrage couvrant et celle de la maçonnerie peuvent être indé- terminées. Dans le premier cas on mène par la ligne terminant la maçonnerie , un plan tangent aux hauteurs dont on a à craindre, et la crête de Fouvrage couvrant ne doit pas être au-dessous de ce plan, ce qui fournitune condition de plus à considérer dans la détermination de cette crête. Dans le second cas Qu fait passer le plan tangent parla crête de la masse couvrante , et la ligne suivant laquelle elle coupe le revêtement, détermine la limite au-delà de laquelle la maçonnerie ne doit point s'élever. Dans le troisième cas, enfin, une grande latitude est donnée, et alors ce n’estque par tâätonnement qu’on peut arriver à trouver le plan qui, avec un relief convenable pour la crête, donne pour la maçonnerie, une hauteur satis- faisant aux autres conditions exigées pour un revête- ment. D'après cet exposé rapide des principaux moyens employés pour défiler les ouvrages de fortification , on doit être convaincu que le problème à résoudre, ren- fermant en général plus de données qu’il n’est néces- saire, on ne peut arriver à sa solution que par un grand nombre de tâtonnemens, ce qui nécessite des dessins DE longs et pénibles. Pour obvier à cet inconvénient, le colonel Bellonet a inventé la machine à défiler, que nous croyons devoir décrire pour compléter la théorie que nous avons présentée. Sur un chässis composé de quatre règles en bois réunies par des boulons autour desquels elles peuvent tourner de manière à former un parallélogramme quel- conque, sont fixés des fils équidistans, parallèles entre eux et à deux côtés du chässis. Découvrant plus ou moins le chässis, on fait varier l’écartement des fils, sans que pour cela ils cessent d’être parallèles à leur pre- mière direction. Ces fils représentant les horizontales du plan déterminé par ce châssis , à mesure que leur écar- tement diminue, le plan qui les contient devient plus raide, et si on laisse un des fils invariable, alors le plan tourne autour de jui comme une charnière. Si l’écarte- ment des fils ne variant pas, on change leur direction, le plan alors restera également incliné. Supposons maintenant qu'a l’aide de cette machine nous voulions défiler une face de bastion , dont les côtés extrêmes de la crête intérieure sont 21,50 et 22",50. Afin d’avoir immédiatement le plan du terre-plein, nous abaisserons ces côtes de 2",50, ce qui donnera 23" et 24" pour les côtés extrêmes de la droite par laquelle devra passer le plan tangent au terrain environnant, que nous releverons de 1°,40. Plaçant les fils cotés 23 et 24 sur la machine, de manière qu’ils passent par les points de la crête qui ont même cote, nous examinerons si les horizontales du plan ainsi déterminé coupent ou laissent au-dessous d'elles les horizontales du terrain relevé qui ont même cote. Dans le second cas, le plan du châssis sera le plan de défilement ; et en menant une perpendiculaire à ses herizontales, on obtiendra immé- diatement son échelle de pente. Dans le premier cas , on fera varier la distance entre les horizontales, en assujé- tissanc toujours celles cotées 23 et 24 à passer par les points correspondans de la crête, de manière qu’elles laissent au-dessous d’elles les courbes du terrain ayant même cote. On arrivera ainsi au bout d’un temps très- court, à trouver la position indiquée par la figure, et en menant par le point coté 23" ou 24° une perpendicu- laire à la direction de ces horizontales , on aura l’échelle du plan de défilement cherché, qui ainsi se trouvera complètement déterminé, (PL. XXX). Voyez Mémo- rial de lofficier du génie , n° 6 et n° 10. DÉFINITION. C’est en général la spécification des caractères qui distinguent un objet, ou l’énumération des idées simples qui forment une idée composée. Les logiciens reconnaissent deux espèces de défini- tions : celles des nos et celles des choses. Les premières ont pour but d'expliquer le sens où la signification d’un mot; les secondes, celui de Zarter un objet pour le dis- tinguer de tous les autres, Les définitions mathéma- DE 421 tiques , quoi qu’en ait prétendu d’Alembert dans l’encv- clopédie, ne sont pas de simples définitions de noms; elles ont même un caractère essentiellement distinct des définitions purement physiques, car en physique. l'objet est donné et précède sa définition, tandis qu'en mathé- matiques l’objet est construit par sa définitiou même, En effet, définir en mathématiques, c’est opérer une synthèse intellectuelle dont le résultat est un objet éga- lement intellectuel, réalisable à la vérité dans l'espace ou dans le £emps, mais qui n'existait pas avant cette svn- thèse. Ainsi, lorsque nous définissons le rR1ANGLE : une étendue plane limitée par trois droites qui se coupent deux à deux, non seulement nous fixons le sens du mot (riangle, mais encore nous construisons intellec- tuellement l'étendue particulière que nous désignerons dorénavant par ce nom. Or, ce triangle, ce n'est ni un triangle rectangle, ni un triangle 1socèle, ni uv triangle équilatéral, ce west eufin aucun triangle particulier | c’est le triangle en général, le triangle type, dont tous ceux que nous pouvons décrire physiquement ne sout que des images grossières , des cas particuliers. Pourra- t-on nous dire ici, que nous nous sommes élevés par abstraction à l'idée générale de triangle, après avoir observé des triangles de diverses espèces , lorsque ce n’est au contraire que par des nouvelles limitations ou de nouvelles synthèses que de l’idée générale nous descen- drons aux idées particulières de triangle rectangle, iso- cèle, équilatéral, etc.? Le caractère distincuf de la de- finition mathématique est donc de créer les objets de la science dont la marche est ainsi douée du plus haut degré de certitude, parce qu’elle n’opère que sur ses propres constructions eL que dans toutes ses propositions la syn- thèse a toujours précédé l'analyse. DEGRÉ (4lg.). Terme employé pour désigner les équations d’après la plus haute puissance de l'inconnue qu’elles renferment. Ainsi, une équation du cinquième degré, par exemple, est celle dans laquelle x est à la cinquième puissance , ou qui contient æ°. Foy. Équa- TIONS, Drcré (Geéom.). C’est la 360° partie de la circonfe- rence d’un cercle suivant la division sexagésimale ou la 400° suivant la division centésimale. Toute circonférence de cercle étant supposée divisée en degrés, on désigne la grandeur, d'un angle par le nombre de degrés et de fractions de degré que ren- ferme l’arc qui lui sert de mesure. Ainsi, un angle de 30° sexagésimaux est un angle qui, placé au centre d’un cercle, intercepte entre ses côtés un arc dont la rapport avec la circonférence entière est le même que celui de 30 à 360. Joy. AxGce, n° 15. Decré de latitude. Foy. LaTiTuDE. Dseré de longitude. Foy. Lonçrrune. £ 422 DE Decré terrestre. Si la terre était une sphère exacte, un degré terrestre serait la 360° partie de sa circonfé. rence (division sexagésimale); tous les degrés seraient égaux, et les angles au seritre de la terre intércepteraient entre leurs côtés des arcs qui leur seraient proportionnels. Mais la terre est loin d’être parfaitement sphérique, et conséquemment , les angles égaux au centre ne détér- minent pas des aïcs égaux à la surface. Ce qu’on nomme | degré terrestre est la portion d’un arc tertestre qui cor- respond à un degré céleste ; ainsi, un degré nicsuré de cette manière est un angle qui n’a pas son Sommet àäu contre de la terre, mais au point de concours des vérti- ales tirées des deux extrémités du degré céleste per- peudiculairement à la terre. Un degré terrestre est donc l'espace qu'il faut parcourir sur la terre pour que là ligne verticaléaitchangé d’un degré.Cet espace étantd'au- tant plus grand que lacourburcest plus petite, si laterre est aplatie vers les pôles , les degrés terrestres mesurés sur le méridien doivent être d’autant plus grands qu'ils sont plus près du pôle, où la courbure est la plus grande, et c’est ce que l’expérience a confirmé. #’oy Mesure DELA TERRE. DELAMBRE (Jean-Baptiste-Joseph le Chevalier), l’un des plus célèbres astronomes de ce siècle, naquit à Amiens, le 19 septembre 1549. Les dispositions qu’il manifesta dans le cours de ses premières études, n’an- noûçaient point le rang qu'il devait prendre un jour dans la science. Il suivit les leçons de Delille , et l'affec- tion particulière que lui voua cet ingénieux écrivain, semblait, d'accord avec ses goûts, l’exciter à suivre la carrière des lettres. Ce fut, en effet, seulement à l’âge de treute-six ansans que Delambrecommencça à s'occuper d'astronomie. Il est probable qu’il avait néanmoins déjà des connaissances étendues en mathématiques, et qu’il ue fit alors que se livrer plus spécialement à l'étude de cette branche de la science. La Lande professait l’as- tronomie au collége de France, Delambre devint son élève de prédilection, etenfin son ami. Cet astro- nome se plaisait à dire que Delambre était son meilleur ouvrage;ilne tarda pas à Passocier à ses travaux, et pour ainsi dire à sa renommée. Le grand travail de La Flace sur les satellites de Jupiter servit de base à De- Jambre pour calculer avec une précision remarquable les tables de ces astres, qui parurent dans l'édition de 1792 de l’Astronomie de La Lande. Cet ouvrage ouvrit à Delambre les portes de l’Académie des sciences , où il fut reçu au mois de février de la même année. Il fut im- médiatement chargé avec Méchain, membre comme lui de ce corps savant, de la mesure de la méridienne de la France. On pensa à cette époque que la perfection qu'on était parvenu à donner aux instrumens, pourrait conduire à des résultats précis, en mesurant ua plus graud arc du méridien qu'ou ne l'avait encore essavé. DE Outre cet avantage que n'avaient pu avoir lés trataux dorit elle avait été précédemment l'objet (voy. Cassinr et LA Caïrce) , cette grande opération trigonométrique devait avoir celui de fixer d’unemanière trés-éxacte une unité fondämentale pour toutes les mesures d’éténdue. L’arc du méridien, que‘Delambre et Méchain furent chargés de mesurer, s'étend depuis Duñkerque jusqu’à Barcelonne, et comprend environ neufdegrés; étendue |, plus grande qu’aucune de cellesqu’on avait déterminées. Delambre fut chargé dela partie boréale, à partir de Dunkerque, et poursuivit jusqu'a Rhodés les opéra- tions géodésiques et astronomiques de cette belle en- teprise. On sait que l’Académie des sciences avait été dissoute en 1793, Delambre n’en continua pas moins, malgré les désordres de ce temps, et les difficultés phy- siquesqu'il eut à surmonter, etavecun zèle etune persis- tance qui l’honorent, l'important travail qui lui avait été confié : il n’a été complétement terminé qu’en 1799 (voy. Mérinrexne). Depuis lors, Delambre a en- core mesuré par des procédés nouveaux, et avec une grande précision, deux autres bases de 6000 toises, l’une près de Melun, et l’autre près de Perpignan. En 1505, Delambre fut nommé membre de la classe des sciences de l'institut, et presqu'en même temps, mémbre du bureau de longitude. En 1810 , l'Académie des sciences, à l’occasion des prix décénnaux, couronna l’ouvräge de Delambre où sont exposés les élémens ét les résultats de la grande opération qu’il avait exécutée avée son collègue Méchain, et quia pour titre : Base du système métrique. Delambre a exercé avec distinction dé hautes Fonctions publiques, la plupart de ses ouvrages, qui manquent peut être de clarté et de méthode, séront long-temps estimés, et lui ont mérité une réputa- tion distinguée parmi les astronomes et les géomètres modernes. Chevalier et ensuite officier de la Légion- d'Honneur , chevalier de l’ordre de Saint-Michel, ho- ncré de l’estime générale, Delambre fut enlevé à la science et à ses nombreux amis, dans lemois d’août 1822. Voiciles titres de ses principaux ouvrages : I. Tables du soleil, de Jupiter, de Saturne, d'Uranus et des sa- tellites de Jupiter ; 1592 (insérée dans l'astronomie de La Lande). II. Mcthode analytique pour la détermina- tion d’un arc du méridien ; 1 vo}. in-4°, 1590. IT. Base du système métrique cu mesure de l'arc dix méridien de Dunkerque à Barcelonne ; 3 vol. in 4°, 1806 — 1814 ; formant suite aux Mémotres de L'Institut. IV. Nouv lles tables du soleil, in-4° 1806. V. Rapport historique sur les progrès des sciences mathematiques; depuis l'an 1789, lu au conseil-d'État, le G février 1808; in-4°, 1810. VI. Abrégé d Astronomie; 1 vol. in-8°, 1613. VII. Traité complet d'astronomie thCorique et pra- tique; 3 vol.in-f° , 1814. VIIL histoire de l'astrono- mie ancienne ; 2 vol. in-4°, 1817. IX: Zistourr de l'as- DE tronomie du moyen dge; 1 vol. in-4°, 1819. Histoire ide l'astronomie moderne ; 2 vol. in-4°, 1821 , etc. DEMÉTRIUS , mathématicien de l'École d’Alexan- drie, cité‘par Pappus, dans ses Collectiones mathema- icæ, où il lui attribue un traité des courbes, intitulé : Lineares aggressiones. Cet ouvrage ne nous est pas par- venu, mais la mention qu’en fait Pappus, peut fortifier cette conjecture, que les anciens avaient sur ce sujet im- portant des connaissances et une théorie plus étendue qu’on ne le pense communément. On croit que Démé- tius vivait durant le II siècle de notre ère. DÉMOCRITE, l’un des plus célèbres et des plus il- lustres philosophes de l'antiquité, naquit, suivant l’o- pinion le plus généralement adoptée par les chronolo- gistes, à Abdère, ville de la Thrace, dans la 3° année de la 77° olympiade (450 avant J.-C). Pour donnerune idée de ja fortune et de l'illustration de sa famille, Diogène Laërce prétend, probablement d’après des annalistes plus anciens, que son pére offrit l'hospitalité au fastueux Xercès et à sa nombreuse suite. Suivant cette tradition, le roi, touché des soins généreux dont il avait été l’objet, laissa des Chaldéens et des Mages auprès de son hôte pour qu'ils fissent l'éducation de son fils. Ce serait à cette circonstance que Démocrite aurait dû les connaissances morales et scientifiques qu'il répandit bientôt après dans la Grèce étonnée. Malheureusement ce fait est difficile à accorder avec l'invasion des Perses qui n’eut lieu qu'environ dix aus après l'époque où l’on croit pouvoir placer Ja naissance de Démocrite, Quoi qu'il ea soit, après la mort de son père, le philosophe abdéritain se tronya maître d’une fortune immense dont il abandonua la plus grande partie à ses deux frères ; il nese réserya que lFargent comptant, qui se montait, dit-on, à cent talents, somme qui équivaut à un peu plus d’un denu million de notre monnaie, et, inspiré par l'amour des sciences , jl se mit à parcourir le monde civilisé, l'Égypte , la Perse et l'Inde, IL vint ensuite dans la Grèce, où il écouta les philosophes Leucippe, Socrate et Anaxagore, De retour dans sa patrie, il éluda la loi qui privait des honneurs de la sépulture quiconque avait dissipé son patrimoine, en lisant à ses concitoyens son Traité sur le grand monde. Le peuple, charmé de la beauté de cet ouvrage, décerna à Démocrite les plus grauds honneurs, et décida que ses funérailles seraient faites aux frais du trésor public. Nous ne suiyrons pas ce philosophe dans toutes les phases de sa vie, et il nous suffira d'exposer ici quelques parties de son système qui mériterait un examen approfondi et détaillé, La plupart de ses idées sur le monde physique et moral appartien- nent à l’école de Pythagore et à la secte Eléatique, dans laquelle on enseignait le système des atomes et du vide, Socrate disait de Démocrite, qu'il était digne d’être comparé à ceux qui remportaient Ja palme dans les cinq DE 425 espèces de combats des jeux olympiques. M faisait ainsi allusion à l’étendue et à l’éclat de ses connaissances. Suivant Cicéron, son style avait toute l’éloquence et toute la beauté de celui de Platon; ainsi, à ia puissance de la pensée, Démocrite joignait la puissance de l’ex- pression. En parcourant la liste de ses ouvrages, dont les titres nous ont été conservés par Diogène Laërce, on voit que l'histoire naturelle , l'anatomie, la médecine, la morale, les lettres , les arts, la géométrie et la phy- sique occupèrent tour à tour les méditations de cet esprit supérieur. Sous ces derniers rapports, les opinions et les travaux de Démocrite appartiennent essentielle- ment à l’histoire de la science. La géométrie fut un des principaux sujets des études de Démocrite; on conjecture, d’après les titres de quelques-uns de ses écrits, qu’il exposa l’un des premiers Ja doctrine élémentaire sur les contacts des cercles et des sphères, sur les lignes irrationnelles et les solides. Vitruve l’associe à Anaxagore, dans l'invention de la perspective et de l'optique, dont il démontra les prin- cipes dans un traité intitulé : Actinographia, ete. Aucun des ouvrages de Démocrite sur l'astronomie physique et mathématique n’a malheureusement résisté aux ravages du temps, et nous sommes obligés de nous en tenir à des conjectures d’après les titres des ouvrages qu'il con- sacra à cette science. Il paraît avoir proposé un nouvel arrangement du calendrier grec, il a publié des éphé- mérides et une uranographie, et on lui attribue une hypothèse heureuse sur la constitution de la voie lactée: son éclat, disait-il, n’est autre chose que la clarté réunie d’une multitude de petites étoiles, dont chacune en par- ticulier échappe à notre vue, Nous avons plus de ren- sejgnemens sur son système physique de l'univers, sys- tème remarquable où l’on rencontre un grand nombre d'idées reproduites plus tard par l'illustre Descartes. Dé- mocrite attribuait le mouvement et la formation des corps célestes à des tourbillons d’atomes, qui ayant adhéré Jes uns aux autres, dans des circonstances par- ticulières, avaient formé des concrétions sphériques. Il pensait que le mouvement propre des planètes d'occi- denten orient n'était qu’une apparence, qu'il n’y en avait qu'un seul dont la direction était d’orient en occi- dent; majs que Les planètes les plus voisines de notre globe, étant les plus éloignées du premier mobile, obéissaient moins à son mouvement et restaient en ar- rière, d’où naissait leur mouvement apparent vers lorient. Les idées fondamentales de Démocrite ont été assez heureusement réduites dans les propositions sui- vantes ; — Le savoir de l’homme n’est que le sentiment de ses propres affections. — Rien ne se fait de rien, et ne peut se résoudre en ce qui n’est pas; donc tout ce qui est, est composé de principes subsistant par eux-mêmes. Ces principes sont les atomes et le yide, — Dans tout ce 4224 DE qui existe il n’y a de véel que ces deux principes. Les atomes sont infinis en nombre, comme le vide l’est en capacité. — Le mouvement des atomes n’a point eu de commencement, il est de toute éternité : par lui les atomes s’attirent, se vepoussent, s'uuissent, se séparent, et de ces unions , de ces séparations résultent la compo- sition et la décomposition de tous les cerps.—Les corps ue diffèrent entre eux que par le nombre, la figuie et la disposition réciproque des atomes dont ilsse composent. —Les mondes eux-mêmes disséminés n'ont pas une autre ‘origine et sont soumis aux mêmes variations. Le mouve- ment rapide des atomes est la seule ame qui pénètre ces mondes avec l’activité du feu, etc. On croit que Démocrite mourut dans un âge très- avancé. DEMI. C'est la moitié d’un tout; ainsi, on dit un demi-cercle, pour la moitié d'un cercle, un demi-dia- mètre pour la moitié d'un diamètre, etc., etc. DEMI-LUNE. Ouvrage en forme de flèche, qui a pour. capitale la droite perpendiculaire sur le milieu de la courtine. Dans son intérieur est construit un ouvrage semblable qui porte le uom de réduit de la demi-lune. Ces deux ouvrages, qui sont séparés de l'enceinte par le fossé du corps de place, font partie des dehors, et ont pour but de donner de la force au système. Woyez FoRrTiFICATION. | DÉMONSTRATION. Raisonnement par lequel on établit la vérité d’une proposition. Démontrer, c'est décomposer la proposition énoncée pour la ramener à ses élémens et la faire dépendre d'une autre proposition déja démontrée ou évidente par elle- inème. Toute démonstration suppose donc l'existence de certaines propositions dont la vérité ne peut êwe mise en doute, ou plutôt toute démonstration postule un criterium de la vérité qui lui sert de base ; car sans un tel criterium , il serait impossible de s'élever à au- cune certitude ; or, il existe trois criterium logiques, et conséquemment, trois modes différens de démonstra- tions; ce sont 1° LE PRINCIPE DE CONTRADICTION ET D'IDENTITÉ; 2° LE PRINCIPE D'EXCLUSION ; 3° LE PRINCIPE DE RAISON SUFFISANTE, Sur ces trois principes reposent les trois propositions générales suivantes qui sont les fondemens de toutes nos connaissances. 15 deux objets sont identiques, tout ce que l’on peut affirmer de l'un peut étre cgalement affirmé de l'autre. — Lorsqu'on ne peut affirmer d'un objet tout ce que l’on peut affirmer d'un autre; ces deux objets ne sont voint identiques. 2° L'eix objets quis’excluent mutuellement ne peu- vent exist2r ensemble. 3°Une proposition dont la conséquence est fausse, est DE nécessairement fausse. — Une proposition dont toutes les conséquences sont vraies est nécessairement vraie. Les démonstrations mathématiques reposent en gé néral surle principe de contradiction DENDROMÈTRE (Géom.)(de divdper, arbre, et de æsrper, mesure). Instrument pour mesurer le diamètre et la hauteur des arbres. DENEB (4str.). Mot arabe qui signifie queue, et dont les astronomes se sont servis pour désigner quelques étoiles comme Deneb adigege, la Queue du Cygne, Deneb algedi, la Queue du Capricorne. DÉNOMINATEUR (Arith.). Celui des deux nombres d’une fraction qui indique en combien de parties l'unité est divisée ; on l'écrit au-dessous de l’autre nombre, en les séparant par un trait. Par exemple, dans la fraction 3 5 trois quarts, 4 est dénominaleur, et indique que l'unité est divisée en 4 parties. Foy. ALGÈbrEe, n° 12 et Fracrion. DENSITÉ (Phys). Rapport de la masse d’un corps à son volume ou quantité de matière que contient un corps sous un volume déterminé. De deux corps égaux en volumes, tels qu’un centimètre cubed’or el un centi- mètre cube de bois de chêne, le plus dense est celui qui est le plus pesant, et par conséquent qui contient le plus de matière ou qui a la plus grande masse. La masse est toujours proportionnelle au poids. Les densités de deux corps quelconques qui ont un même volume sont donc en rapport direct des masses; et les densités de deux corps qui ont la même masse sont en raison inverse des volumes. En combinant ces deux propositions on en déduit la proposition générale suivante, d’où découle toute la théorie de la densité : Les densités de deux corps sont en raison composée du rapport direct des masses el du rapport inverse des volumes. Désignant donc par D et D' les densités de deux corps dont les masses sont M et M'et les volumes V et V', nous aurons M M' (TN SD D PES Vo Les masses étant proportionnelles aux poids, nous pou- vons poser cette autre proportion (2) La DiD'Hg: E P et P' représentant les poids. Pour comparer les densités de plusieurs corps, il suffit donc de connaître leurs poids et leurs volumes; car si par exemple on sait qu'un premier corps, dont le vo- lume est de 3 centimètres cubes, pèse 4 grammes, et qu'un second corps, dont.le volume estde 5 ceutunètres cubes , pèse 7 grammes, on a d’où l’on conclut que la densité du premier corps est à celle du second comme 20 : 21. Les densités relatives des corps prenennt le nom de pesanteurs spécifiques, lorsqu’en les comparant sous des volumes égaux, on prend l’une de ces densités pour unité ou pour terme de comparaison, Ainsi ayant trouvé que 5oo centinrètres cubes d’or pèsent 9750 grammes, que 500 centimètres cubes d'argent pèsent 5237 gram- mes et que oo centimètres cubes d’eau distillée pèsent 500 grammes, et sachant d’après (2) qu'à volume égal les densités sont comme les poids, on en conclut que les densités de l’eau, de l’or et de l'argent sont entre elles comme les nombres 500, 0750, 5237. Or, en divisant ces trois nombres par 500, pour rendre le premier terme égal à l’unité, leurs rapports ne changent pas : donc ces densités sont encore entre elles comme 1: 19.5 : 10,474; C'est-à-dire que la densité de l’eau étant prise pour unité, celles d’un méme volume d’or et d'argent, ou, ce qui est la même chose, les pesan- teurs spécifiques de l'or et de l’argent sont représentées par 19,5 et 10,474. Si l’on pouvait mesurer avec exactitude le volume des corps solides, il suffirait d’une balance pour déterminer leur densité; mais, dans le plus grand nombre des cas, il est impossible d'obtenir cette mesure géométriquement, et, dans tous, il est beaucoup plus prompt et plus exact d’avoir recours aux moyens fournis par l'hydrostatique. On sait qu’un corps solide plongé dans un liquide y perd une partie de son poids égale à celui du volume d’eau qu’il déplace; ainsi en pesant dans l’eau plusieurs corps qui ont un même poids dans l'air, c’est-à-dire, en pe- sant, par exemple, dans l’eau un kilogramme d’or et un kilogramme d'argent, les pertes éprouvées en poids seront les poids respectifs des volumes d’eau déplacés par l'or et l'argent, volumes nécessairement égaux à ceux des kilogrammes d’or et d'argent et dont le rap- port est le même. Mais d’après (1) et (2), lorsque les inasses ou les poids sont les mêmes, les densités sont en raison inverse des volumes; ainsi, ces volumes étant dans le rapport du poids des quantités d’eau déplacées, il s’en suit que les densités sont en raison inverse de ces mêmes poids et que l’on parvient de cette manière à déterminer les densités sans avoir besoin de connaître le volume des corps. C'est pour cet objet qu'on a inventé la BALANCE XV , jig. 3. Sous chaque bassin se trouve un crochet, à l'un desquels on HYDROSTATIQUE, l'eprésentée PL. attache avec un crin où un fil très-délié l’objet dont on veut connaître la densité. On met des poids dans l’autre bassin, pour connaitre le poids absolu de cet objet, DE 425 qu’ensuite on plonge dans l’eau : l'équilibre se rompt; pour le rétablir, on met des poids sur le bassin du côté du corps, et ces poids font connaître celui du volume d’eau déplacé. Il n’est pas même besoin que les corps dont on veut connaitre la densité relative aient le même poids ab- solu , car P et P' étant les poids absolus de deux corps, et pet p'les poids qu’ils perdent lorsqu'on les pèse dans ! l’eau, les rapports + 5 réduits au même dénomina- : p P' JP se teur deviennent > : D; on peut considérer PP" comme le poids commun, et pP', p'P comme les poids perdus. Pour déterminer la densité relative des liquides, où se sert encore de la balance hydrostatique, ou d’instrumens nommés aréomètres (voy. ce mot). Quant aux corps gazeux on évalue leur densité par la différence entre le poids d’un ballon de verre rempli d’un gaz et le poids du même ballon dans lequel on a fait le vide. Nous em- prunterons à l’Ænnuaire du bureau des longitudes la table suivante des pesanteurs spécifiques d’un grand nombre de substances: c’est la plus exacte et la plus complète qui existe. Pesanteurs spécifiques des gaz, celle de l'air étant prise pour unité. ee . Noms Densités Densités Noms des gaz. trouvées, calculées, des observateurs, ILES à cute ments en LOO0DD ere con eee scores Gazhydriodique.. 4,443 4,340 Gay-Lussac. Gaz fluo-silicique.. 3,573 ...... John Davy. Gaz chloro-borique 3,420 .....: Dumas. Gaz chloroxi-carbo- DIQUE are ee + +0 0! ose DID ee CRC Hydrog.arseniqué. 2,695 2,695 Dumas. { Gay-Lussac et ÜÙ Thénerd. Oxide de chlore... ..:..."2:315 ‘..5..: Chlorer:-....../2/7014,2,420 Acide fluo-borique. 2,3 John Davv. Acide sulfureux.. 2,234 : Thénard. Cyanogène....... 1,806 1,619 * Gay-Lussac. Hydrog.phosphoré 1,761 ...... Dumas. Protoxide d'azote. 1,520 1,527 Colin. Acide carbonique... 1,5245 .. Berzélius, Dulong. Acide hydro -chlo- TIQUE Te. see . Biot et Arago. Hydrogène proto- phosphoré ..... 1 Dumas. Acide hydro-sulfu:} { Gay-Lussac et 1O12 = sheet 1,101 | TIQUE ER ere Thénard. OxXIPenC re etre MIAIODO Set . Berzélius, Dulong. 6 2? 2 54 426 DE DE Son dés gi: Densité _Demsités Noms Lait. cr ado taire Se 1,09 è d observateurs, Eau distillée.. .., D re nacre ; 1,0000 Deutoxide d’azote. 1,0388 1,0364 Bérard. Vin de Bordeaux. .......... rise 0:0939 Hydrog.bi-carbon. 00700 ec. Th. de Saussure. Viu de DOUTROBNE.. css seen RS 0,9915 AZOLE - fo se 10070 ot Berzélius, Dulong. Huile d’olive........ des esmoee 0,9153 Oxide decarbone.. 0,957 0,967 Cruikshanck. Ether MUTIALIQUESS see asie » » eee De 0e ae 0,874 Ammoniaque..... 0,5967 0,5910 Biot et Arago. Huile essentielle de térébenthine. ...... 0,8697 Hydrog. carb. des Bitume liquide dit raphte............. 0,8475 marais......... 0,555 0,559 Thomson. AICOOL ABSOÏUS Een te serre ere 0,792 Hydrogène. ...... 0,0688 ...... Berzélius, Dulong. Ethel SUIIUrIQUe: - saone sata: 0,7155 Pesanteurs spécifiques des vapeurs, celle de l'air étant Solides. prise pour unité, et les vapeurs élant ramenées par le be caleul à 0 et 0,76. | nd DORE Die ++. 22,06090 Platine pue klafilière ss. ent 21,04 cv AIRE dei de ec dé se 1 0000 ae a lee Sole e De Pa D Bi-chlorure d’étain.... 9,199 8,993 Dumas. Leg ES MNT TE Hi Vapeur d’iode........ BIG 0 us id Or P : Les RUN ETS eh DR Vapeur de mercure... 6,976 ..... id (OCT tornrees Ne 19,258r Vapeur de soufre. .... 6 E1 0 MSI 7 2 er op 5) D OR Eee SOU : g Proto-chlorured’arsenic 6,300 6,297 id. Ploinb fnduss NS RE eu era Chlorure de silicium... 5,939 5,959 id, . RU LEONE DT EURE Pas Ether hydriodique. .. ,4749 ..….… Gay-Lussac. ee CARTE D LT EL 5,8 Camphre ordinaire... 5,468 5,314 Dumas. Rhodium....1.....-.. CPE tn EE LE A 3 # | PE e 5éog 5,241 D. et Boullay. Argent fondu . :. 2. sossdossosessése 10,4743 Ethér oxaliqhes 5428, 8,087 5,081 id. Re fondu: sue stérile eds pe : 9,822 Proto-chlor. dephosph. 4,875 4,807 Dumas. PA énfils essais. PEER ET CEE Don ES ace de terchenthine 45163 4,765 id. CEA Ionge fondu ss sois site als s 5: 87880 Chlorurejaunedesoufre 4,730 ...... id. ee susitidle crues has Le Naphtaline........... 4,528 4,492 id. trs a LUDO A S CR sa Vapeur dephosphore.. 4,355 4,325 1 ickel' fondu asstéese égntlant nt 5270 ; Ufranés. 4h 48 se She eee 8 dir Chlorurerougedesoufre 3,700 ...... id. d Liqueur des Hollandais. 5,443 ...... Gay-Lussac. NP AGREE ARS RE SDS nue Re Lu Cobalt fondu....... Mes Le SE Sen “. _7,8119 Acide hypo-nitrique... 3,180 ...... Dulong. ” bari du Ether acétique....... 3,067 3,066 D. et Boullay. a a a RE Lis) ” Sulfure de carbone.... 2,644 ...... Gay-Lussac. nn CES * 779 : Fer fondu......:....r4ie... 5355, © | 9,2070 Ether hyponitreux.... 2,626 92,606 Dum. et Boul. ne : ne Zinc'fondu:53%32: 8300000 EE A 6,867 Ether sulfurique. ..... 2 060 - ce Gay-Lussac. AE 6 Éther hydro-chlorique. 2,212 eee Thénid. Antimoine fondu..,....,.... CSP ETAPE ;712 ; A | Fellure:::45s 12e es CE 6,115 Chlorure de cyanogène. 2,111 2,112 Gay-Lussac. É : Eco É Ghronie MERS ee MN ea enL 5,9 (Esprit pyro-acétique... 2,019 2,020 Dumas. Fu ais Alcool... 10188... Gay-Lussac. mi “ IDE are RU pre |Acide hydro-cyaniqne.. 09476 0,9360 id. path pesant..... ECC PR D AMC LE k e : Jargon de Céylans see. cote 4,416r Eau..........:....., 0,6235 0,624 id. ss Rubis oriental........ A CE 4,2833 His j iPesanteurs spécifiques des liquides et des solides ,; celle Sap us PER NES FE L Fa de l'eau ctant 1 à 18° centigrades. Saphir du'Bresilir. ect en renee É 1307 Topase orientale...,.,,..... RS arte 4,0106 ACIDE SULUTIQUE.. secs sos e 0 0 1,8409 Topase\de Saxe... 17e: ENS :50 70 ACIdeMITEUR see asec ose o se 1,550 Bénil'oriental.. 25m 2 RES Mess emes 3,5489 Eau de la mer Morte....,......,.,.. 1,2403 Diamans les plus lourds (légèrement co- AGUE HILTIQUE. <>. esecese LA IONÉS en TOSC) ep eRerrereecce 3,5310 PA 0e A Mélsrsss secs me ese cc 1 0209 — les plus légers. .... SDS ONE CE + 3,5010 La. DE Flint-glass (anglais). . .5.....4 0 3,3203 Spath fluor (rouge)................:. 3,1911 Mauemäline(vente)..e, sise sie einen e ol 0 3T0DD A BhEste RAM eee ns eenmensrlemen ce1ts »2,0008 Marbre de Paros (chaux carbonatée la- mellaire) nero eme 120070 Quartz-jaspeonyx................... 2,8160 Emeraude verte. ........s.......s.e 2,7705 Perles. eee ds ass dense cesse 27000 Chaux carbonatée cristallisée......... 2,7102 Quartz-jaspe....................... 2,701 Cnrail uemuos tion, eee 3: 72,660 Cristal de roche pur................. 2,6530 Quartzagathe..................0... 2,615 Feld-spath limpide.................. 2,5644 Verve de Saint-Gobain.....,......... ,4882 2 Porcelaine de la Chine.....,......... 2,3847 3 Chauxsulfatée cristallisée. ............ - 2,3117 Porcelaine de Sèvres................ 2,1457 SOnrena tisse ee se sages tee sons see 0 1230990 Ivoire ......oessessosvessesesssesse 139170 AIDALTES cos coment echec else til 150740 Anthraciteñadetnhatn les se deniers 1, 8 Mansion dessein s Tin sn 110,720 Houille compactes. ......s.ssecssees, 1,3 JAVEL ee CR oem ee oo emo ces à D 1,209 SUCCIN s4e es etes se se eee es Eh ee Sodinmedereneht es dec ans esters 00720 Glace mem Aie ermrembs eme 03000 POtASS Me eee er eeects eee t LO;O0DI Boisderhétres sas sde. Eréner che scusemerte etes HP net ecoles dem eseceseee#% 0007: Bois diOrme: ets eme esesc esse 10000 Pommier. 1.440 2810 Ja ER Ron 33 Bois d'oranger... ....eseses sosonese 0,709 Sapinijaunessse seseomeneeessossses 03007 EURE RE RE Se Less aen oise see 1 0004 Bois de ayprès 252000. 00,500 Boisde dresse. 2.0. 1.020 /0,)07 Peuplier: blanc.d’'Espagne........... 0,529 Bois deshssalpass 2 ds rare uace 0,402 Peuplienordinaire es 204 see. 0,383 Liège Hire PR T lee a 200; 240 Pour établir une liaison entre les tables de pesanteurs spécifiques qui précèdent, nousajouterons que, d’après les recherches de MM. Biot et Arago, le poids de l'air atmosphérique sec, à la température de la glace fon- dante , et sous la pression de 0”,76 est, à volume égal, nie de celui de l’eau distillée. 770 Par une moyenne entre un grand nombre de pesées, on atrouvé qu'à zèro de température et sous la pression DE 2427 de 0»,76, le rapport du poids de l’air à celui du mercure, est de 1 à 10466. Ces tables, dont l'usage est si important en physique, donnent la solution d’un problème intéressant; elles ser- vent à déterminer le poids absolu d’un corpsäl’aidedeson volume et réciproquement. Par exemple, on veut savoir ce que pèse un morceau de fer fondu dont le volume est de 125 décimètres cubes; cherchant, dans la table des solides , la pesanteur spécifique du fer fondu, on trouve le nombre 7,207 qui nous apprend que les densi- tés de l’eau et du fer sont comme 1 : 7,207; il suffit donc desavoir ce que pèsent 125 décimètrescubes d’eau, et de multiplier ce poids par 7,207 pour connaître le poids de 125 décimètres cubes de fer. Or, la base de notre système de poids est que i centimètre cube d’eau distillée pèse un gramme; conséquemment 1 décimètre cube, qui vaut 1000 centimètres cubes, pèse 1000 grammes ou 1 kilogramme. 125 décimètres cubes d’eau pèsent donc 125 kil., et 125 décimètres cubes de fer fondu pèsent 125 X 7,207 ou 898 kil. , 875. Si au contraire on demandait le volume d’un mor- ceau d'ivoire pesant 255 grammes , la pesanteur spécifi- que del’ivoire, 1,917, donnée par la table, nous apprend que le poids d’un centimètre cube d’eau étant r gramme celui du centimètre cube d’ivoire est 1 8,g17: ainsi divi- sant 255 grammes par 18,917, on aura le nombre de centimètres cubes contenus dans le morceau d'ivoire ou son volume. Ce volume est donc égal à 133 centimètres cubes, plus -525. La densité des corps n’est pas toujours la mêmé, car l’action de la chaleur qui les dilate plus ou moins aug- mentant leur volume sans augmenter leur quantité de matière, fait varier la densité, il est donc essentiel lorsqu'on veut faire des expériences de ramener les corps à la même température, et c’est au manque de ce soin que sont dues les différences qui existent entre les tables de pesanteurs spécifiques données par plusieurs physiciens. Densité pe LA TERRE. La détermination de la densité de la terre, comparée à celle de Veau où d’un autre corps connu, a vivement excité l'intérêt des mathé- maticiens; et quoiqu'il paraisse au premier aspect que la solution d’un tel problème est impossible, la science, cependant, est arrivée à des résultats qui, s'ils ne sont pas entièrement exacts, ont du moins le mérite d’une approximation assez élevée. La densité de la terre est une densité moyenne résul- tante des densités de tous les corps qui la composent, et il est évident que chaque partie isolée de la terre pos- sède une densité particulière; ainsi, par cette expression, nous entendons la densité movenne de la masse entière 298 DE dela terre, 2n un mot le rapport qui existe entre s0# poids et celui d’un égal volume d'eau, puisque nous avons pris l’eau pour terme de comparaison. La première idée de déterminer la densité de la terre est due à Bouguer, elle lui fut suggérée par la déviation du fil d’aplomb de ses instrumens ; occasionnée par l’at- traction du mont Chimboraco, pendant qu'il était oc- cupé à mesurer un degré du méridien près Quito, dans le Pérou. La quantité de cette déviation ne fat pas exactement déterminée ; mais trente-quatre ans après, le célèbre as- tronome anglais, Maskeline, mesura avecle plus grand soin la déviation du fil à plomb produit par l'attraction de la montagne Schchallien en Ecosse, et il devint dès lors possible de comparer la force attractive de la mon- tagne à la force attractive de la terre entière, et con- séquemment la densité de la montagne à celle de la terre. Hutton, après des calculs immenses, évalua cette densité à 4 +, celle de l’eau étant 1, mais il avait pris pour base une approximation de la pesanteur spé- cifique de la montagne au-dessous de celle qu’elle devait avoir, et depuis, de concours avec le professeur Playfair, il recommeuca ses calculs et fixa la densité à 5. À l’aide de semblables principes, mais en employant des procédés entièrement différens, Cavendish a établi que la densité de la terre est à celle de l’eau, comme 5,48:71. Ainsi, prenant une moyenne entre ces divers rapports ; nous avons celui de 5,24 : 1 qui est probable- meuttrès approché. Dexsiré Des PLanÈTEs. Les densités des corps étant daos le rapport composé du rapport direct des masses et du rapport inverse des volumes (1), lorsque deux de ces choses sont données, il est facile d’en conclure la troi- sième : ainsi, le problème singulier de déterminer la densité des planètes se réduit à celui de déterminer leurs masses (voy. PLanÈres). Ces masses, obtenues à l’aide des lois de l'attraction générale, donnent pour les densités, celle de la terre étant prise pour unité, Terres... Soleil::ttee Mercure... 1,00000 0,25226 2,58330 1,02400 0,65630 0,20093 0,10349 0,21055 Vénus...... Mars. 55e Jupiter..... Saturne ..., Uranus..... Voy. Masse et PLanères. DENTS (Meéc.). Aspérités dont on arme la circonfé- rence d’une roue pour transmettre le mouvement qui lui est imprimé. Foy. EnGrenace. DÉRIVATION (Alg.). Opération par laquelle des DE quantités sont produites par d’autres en employant un procédé uniforme. Par exemple, gx étant une fonction quelconque de la variable +, on nomme dérivée diffé. rentielle de gx, la différentielle de cette fonction divisée ; … dÿx par celle de la variable, ou la quantité Te 3 par suite af] dx dati nr dp x se est la dérivée de x °u la dérivée seconde de gx. [e Lorsque x est une variable indépendante, cette secoude 2 3 A A RU € = x dérivée s'écrit simplement PTS De même ETES est dx ax dx dx , Ou la seconde de la première dérivée de dx? dx , ou enfin la troisièmie de $r; et ainsi de suite. En gé- néral est la dérivée de l’ordre 72 de la fonction @x. Pourreudre ces dérivations plus sensibles soit gx =", dx" la première dérivée de æ" est ou maæm—1 (poy. dx DrrrérenTiez) ; la seconde est dima) ; dxm NEO , u — — 1] me, dx dx É d la troisième est dim(m—1)xm-2] dx» CE t =m{m—1)\m—2)2m—3 dx dx? a X ) généralement la dérivée de l’ordre nest diam dan On voit queles dérivées successives de +, = m(m—1) (m—2).....(m—n+4i)xn-n AI m(m—1) xm—2 m(m—1) (m—2) x"—3 m(m—1) (m—2) (m—3) x—4 es. nu ee . m(m—1) (m—2)...(m—n+4x) æn-n sont formées en déduisant chacune d'elle de celle qui la précède par le même procédé de dérivation ,savoir en la multipliant par l’exposant de +, et en diminuant ensuite cet exposant d’une unité. Cazcus pes pÉrivarions. Calcul fondé sur la dépen- dance réciproque des coefficiens des séries et présenté par Arbogast comme devant remplacer le calcul diffé- rentiel, et rendre inutile la considération de l'infini. DE . Lorsque l’ouvrage d’Arbogast parut en 1800, Îles principes matérialistes de lasecte encyclopédique étaient alors si généralement adoptés que les mathématiciens crurent y trouver lemoven, depuislong-temps cherché, d’écarter de leur science tout ce qui s'y trouvait en- core de trop intellectuel; et ceux que la méthode des limites (voy. ce mot) ne satisfaisait pas entièrement s'empressèrent de proclamer la supériorité du point de vue métaphysique du calcul des dérivations, calcul plus général que celui des fonctions analytiques (voy. ce mot) déjà proposé par Lagrange pour remplacer et ex- pliquer le calcul différentiel. Montucla, dans son Æis- toire des mathématiques, où plutôt son continuateur, ne craint pas de présenter le nouveau calcul d’Arbo- gast comme le point le plus élevé de Ja science des nomkres, d’en faire dépendre les progrès futurs de la science, et de rabaisser le calcul différentiel à n'être qu'un de ses cas particuliers. Un géomètre moderne a fait justice de ces étranges prétentions , et il est aujour- d'hui prouvé que le calcul des dérivations n’est qu’une méthode indirecte qui peut bien à la vérité, dans les applications, remplacer le calcul différentiel, mais qui loin de l'expliquer, ne peut être conçu, et n’a absolu- ment aucune signification sans ce calcul lui-même (voy. Philosophie de l'infini). Quant au petit nombre de résultats vraiment importaus auxquels sont parvenus Arbogast et ensuite Kramp à l’aide des dérivations, il est facile de les obtenir d’une manière directe et beaucoup plus simple par les procédés, d’ailleurs bien moins compliqués du calcul différentiel. Foy. Dir- FÉRENTIEL , POLYNOME, Puissance et RETOUR DES SUITE. DESARGUES (GEranrb), géomètre distingué, né à Lyon, en 1503. Il appartenait à une famille ancienne et pour obéir à d’honorables préjugés, il embrassa d’abord la profession des armes. Il se trouva au siége de La Rochelle où il connut Descartes; des goûts com- muns les rapprochèrent, et ils se lièrent ensuite d’une amitié solide et sincère. Désargues s’étant retiré du ser- vice vint à Paris, oùil entra dans la société de Chantereau Lefévre qui réunissait chez lui une sorte d’Académie de mathématiciens. Il y connut Gassendi, Bouillau, Roberval, Carcavi et Pascal ; quand Descartes eut pu- blié son livre des Principes, qui jeta les fondemens de sa réputation, Désargues prit chaleureusement sa défense contre Fermat et le P. Bourdin qui avaient attaqué quelques-unes de ses opinions. Il publia à peu près à cette époque, un traité sur les Sections coniques qui lui donna une place parmi les mathématiciens les plus re- marquables de cette époque. Sa réputation était telleque lorsque Pascal publia son traité sur le même sujet, Des- cartes l’attribua à Desargues, qu’il regardaiteommeleseul mathématicien en état de produire un semblable ou- vrage. Désargues quitta ensuite Paris, et revint à Lvon DE 429 où n se livra entièrement à ses goûts pour l'étude et où il s’adonna surtout à la coupe des pierres; il se plaisait même à faire aux ouvriers, dont il était entouré, des leçons sur cette partie toute géométrique de l’architec- ture. Désargues écrivait avec pureté, mais soit timidité ou modestie, if confia à Abraham Bosse le soin de ré- diger ses ouvrages, et c’est à cette ficheuse circonstance qu'il faut attribuer l'obscurité dans laquelle ils sont tombés. Désargues mourut à Lyon en 1662, on a delui; —I. Traité de la perspective ; 1636 , in-f°. IT. Traite des sections coniques ; 1630, in-8°. HI. Ouvrages rédigés par Bosse.—La manière universelle pour poser l'essieu. — La pratique du trait à preuve pour la coupe des pierres. — La manière de graver en taille douce et à l’eau forte. — La manière universelle pour pratiquer la perspective. : DESCARTES (Rëwé). Ces hommes d’un génie rare et puissant qui semblent appelés par la Providence à imprimer un grand mouvement à la marche inteliec- tuelle du monde , n’appartiennent point au pays où ils sont nés, mais à l'humanité tout entière. Cependant le sentiment intime et profond de la nationalité ne consent point à se perdre dans la sainte fraternité des sociétés humaines , il aime à s’isoler et à s’enorgueillir d'une fraternité plus restreinte. L’italie se prévaut avec fierté du génie de Galilée , l'Allemagne de celui de Leibnitz, l'Angleterre de celui de Newton , la France a le droit de grandir son illustration de celui de Descartes. Tous ces esprits forts et hardis , qui ouvrent à l'humanité des voies nouvelles et qui la précèdent dans l'avenir, n’ap- paraissent qu’à de longs intervalles. Les grandes pen- sées ne viennent pas toujours à une époque assez bien préparée pour les accueillir. Trop souvent la parole par qui se révèle l’œuvre du génie, va parcourir un monde qui n’a point d’écho pour elle. Mais cette parole ne meurt pas et elle attend, brillante et féconde , dans le sanctuaire de la vérité, qu'ilse lève un jour favorable, où son retentissement sera immense , où tous les esprits pourront la comprendre. Ce jour semble arrivé pour l’immortel auteur du Discours de læ Méthode et de tant de brillantes découvertes dans les parties les plus élevées du savoir, dans les plus nobles spéculations de Ja pensée, La France intellectuelle et savante, si long- temps entrainée hors de la voie des grandes découvertes par un philosophisme sans autorité , renaît enfin aux clartés d’une philosophie plus digne de la sagacité mer- veilleuse dont elle est douée. Déjà elle contemple, dans une profonde douleur pour son long aveuglement, les statues qu'elle æélevées aux dieux usés de la secte ency- clopédique, dieux menteurs dont les autels sont ense- velis sous les ruines amoncelées par leurs funestes doctrines. Déja, dans un grand nombre d’écrits nouveaux inspirés par une fécoude pensée de rénovation et d’a- 430 DE venir, le nom glorieux de Descartes est rappelé aux respects et à l'admiration de tous les hommes éclairés. Et nous qui venons apporter notre part de pensées au mouvement philosophiqueet progressifde notre temps, nous ne craindrons pas, dans cette rapide analyse de la vieet des travaux de Descartes, de proclamer hautement notre admiration profonde ponr cette noble et pure intelligence. Réné Descartes naquit à la Have, petite ville de la Touraine, le 31 mars 1506. Sa famille, originaire de la Bretagne, était noble , mais peu favorisée du côté de la fortune. Comme Newton , comme d’autres hommes de génie, À était d’une constitution maladive et débile qui causa, dans son enfance , de vives craintes a ses pa- rens. Cependant il fut envoyé de boune heuré à La Flèche pour y faire ses études, sous la direction des jésuites nouvellement alors établis daas ce collége, Il résulte des observations dont il fat l’objet de lu part de ses maîtres qu'il ne se distingua d’abord des autres élèves, ses condisciples,que parsonapplication plus vive à l'étude et par son goût pour l'isolement et la solitude ; on attri- buait ces peuchans méditatifs à la faiblesse de son organi- sation, qui le rendait triste et mélancolique. Mais déjà il vivait de pensées, déjà cet esprit fer et indépendant avait sondé l’abime de la philosophie scholastique, il avait apprécié la haute importance des mathéma- tiques et il cherchait dans sa raison un principe de vé- rité que ses études classiques ne lui avaient point révélé. Voici comment il nous initie lui-même à ces premiers élans de son génie : « J'ai été nourri’aux lettres dès mon » enfance; et parce qu’on me persuadait que par leur » moyen on pouvait acquérir une connaissance éclairée » et assurée de tout ce qui‘est utile à la vie, j'avais un » extrême désir de les apprendre. Mais sitôt que j'eus » achevé ce cours d’études au bout duquel on à cou- » tume d'être reçu au rang des doctes, je changeai en- » tiérement d'opinion, car je me trouvai embarrassé » de tant de doutes et d'erreurs, qu'il me semblait » w'avoir fait aucun profit en tâchant de m'instruire , » sinon que j'avais découvert de plus en plus moù » ignorance... Je crus que pour toutes les opinions » que j'avais reçues jusqu'alors en ma créance, je ne » pouvais mieux faire que d'entreprendre une bonne » fois de les en ôter, afin d'y en remettre par après, » ou d’autres meilleures, ou bien les mêmes lorsque » je les aurais ajustées au niveau de ma raison. » Nous reviendrons plus tard sur ces principes dont tous les travaux de Descartes ne sont en effet que des déduc- tions plus ou moins heureuses : achevons de jeter un coup d’œil rapide sur les événemens de sa vie. Au sortir du collége , à peine âgé de 19 ans, Descartes résolut de voyager, pour mettre en pratique ses nouvelles idées, tout voir par lui-même et chercher la vérité « dans le DE -. grand livre du monde.» Il prit le parti des armes, et servit successivement en qualité de volontaire dans les troupes de la Hollande et dans celles du duc de Bavière. « J'employai, dit-il , le reste de ma jeunesse à voyager, à voir des cours et des armées, à fréquenter des gens de diverses humeurs et conditions. » Mais Descartes était doué d’une raison trop supérieure pour prendre réelle- ment parti dans les querelles sanglantes au milieu des- quelles il se trouvait. Le guerrier ne cessait pas d’être philosophe sur les champs de bataille; ils w’étaient pour lui qu'une grande scène ouverte à son observation. Ce mélange d'hommes de divers pays, avec toutes les pas- sions qui honorent ou affligent l'humanité, ces mouve- mens imprévus qui naissent des chances de la guerre, présentaient à cet esprit, calme au sein de l'agitation, solitaire parmi la foule, tous les moyens de vé- rifier par l'expérience les questions qu'il s'était posées; il continuait ainsi sur un plan vaste et nouveau les études les plus importantes, en appliquant aux faits et aux accidens dont il était le témoin les principes des sciences mathématiques et philosophiques, objets con- stans de ses méditations et de ses uavaux. On rapporte que se trouvant en garnison à Breda, il vit un jour un grand nombre de personnes rassemblées devant une affiche écrite en langue flamande ; c'était l'énoncé d’un problème mathématique , que suivant l’usage du temps, un géomètre inconnu proposait aux mathématiciens. Descartes n'avait pas jugé à propos d'apprendre le fla- mand et il pria un des spectateurs de lui traduire la proposition exposée ainsi à un concours public. Le ha- sard voulut que la personne à laquelle le jeune officier étranger s'adressa fût uu professeur du collège de Dort, nommé Bekman. Cedernier prit avec le militaire le ton de supériorité d’un pédant qui doute qu’un autre puisse s'élever à l'intelligence de ce qu'il ne comprend pas lui-même. Mais le lendemain Descartes lui apporta la solation complète du problème. Après avoir assisté à Ja bataille de Prague en 1620 et avoir été témoin des re- vers militaires dont la Hongrie fut ensuite le théätre, Descartes quitta la profession des armes et continua ses voyages, Il parcourut successivement la Hellande, la France, l'Italie, la Suisse et le Tyrol, il fit un assez long séjour à Venise et à Rome, toujours inspiré par le désir d'acquérir des connaissances nouvelles et de vé- vifier celles qu'il avait acquises. La plupart de ses bio- graphes s’étonnent avec raison que, durant son voyage en Italie, Descartes n’ait pas visité l'illustre Galilée, alors en possession de ses principales découvertes, et persécuté pour avoir produit quelques vérités sublimes. Descartes ne s’est jamais expliqué à cet égard, et l'on a remarqué que dans un âge plus ayancé il n'avait mari- festé aucune admiration pour le génie de Galilée. C'est qu’alors tout son système cosmo-physique était conçu DE dans sa raison et qu'il n'aurait pu , sans s’exposer à une évidente contradiction, louer des doctrines qui n'étaient point en harmonie avec les siennes. Mais ou sent que cette considération est bien faible : il vaut mieux re- noncer à expliquer une circonstauce inconcevable, dont la cause est demeurée cachée dans le profoud mystère de la pensée humaine. Au retour de ses voyages, Des- cartes voulut se livrer tout entier à la seule occupation qui lui parut convenir à un philosophe, celle de cultiver sa raison. Il pensa qu'il ne trouverait pas en France cette tranquillité dont il avait besoin, ce procul nego- ciis sans lequel les hommes d'intelligence se perdent daus la foule, et enfin cette liberté qui convenait sur- tout à la fière indépendance de son esprit. Il se retira en Hollande après avoir vendu une partie de son patrimoine. Ce fut sur cette terre étrangère que Descartes écrivit le plus grand nombre de ses ouvrages et qu'il élabora dans une laborieuse solitude les hautes pensées qui devaient le signaler au monde comme l’un des plus beaux génies qui aient jamais captivé son admi- ration. Mais ce fut là aussi, et quand une immense renommée accueillit ses travaux, que Descartes eut à lutter contre l'envie basse et cruelle qui s'attache aux succès les plus mérités et aux œuvres les plus éclatantes du génie, Nousne pouvons passer sous silence cette par- ticularité si importante de sa vie. Gisbert Voët ou Voëtius, premier professeur de théologie à l’université d'Utrecht, se distingua parmi les ennemis de la gloire de Descartes par un zèle frénétique , dont nous ne pou- vous plus nous faire une juste idée , dans l’état actuel de ros mœurs e& des relations sociales. Cet homme, abusant de l'influence que lui donnaient les fonctions dont il était chargé et de la réputation que lui avait acquise lhypocrite austérité de ses formes et de ses mœurs , fit d'abord combattre la doctrine de Descartes dans des thèses publiques, où l’on osait insinuer contre lui l'absurde accusation d’athéisme. Descartes athée ! lui dont toutes les spéculations philosophiques avaient eu pour but de démontrer l'existence de Dieu et l'immor- talité de l'ame ! Mais dans l’aveuglement de sa haine, le théologien protestant ne pouvait tenir compte des admirables propositions où l’illustre auteur des Hédi- tations s'élève souvent à la perfection la plus claire de ces augustes vérités. Voët eut l'audace d’écrire au père Mersenne pour l’engager asévir contreson ennemi en pre- nant en main la défense dela religion catholique , qu’il prétendait attaquée par la métaphysique de Descartes. Mais le père Mersenne était l'ami le plus cher du phi- losophe; de doux souvenirs se rattachaient à leur liaison qui avait commencé au collége de La Flèche. Le sa- vant religieux adressa à son ami sa réponse tout oùverte ct Descartes la fit parvenir à Voët, sans daigner y ajouter un seul mot, lui qui avait été si cruellement DE 431 Outragé par son lâche adversaire. Voët ne perdit pas courage, il continua de déclamer contre la métaphy- sique de Descartes et de l’attaquer comme contraire à la religion : on sait que par une manœuvre infme, il parvint à faire condamner ses doctrines philosophiques par les bourgmestres d’'Utrecht, étrangesjuges , il faut Pavouer , dans des questions de ce genre! Ces persécu- tions aggravées par des calomnies de tout genre , par les accusationsles plus atroces, compromirent un moment la tranquillité de Descartes , qui , retiré alors dans une charmante solitude des environsde La Haye, accueilli et aimé de la princesse palatine Elisabeth, n’attachait au- cune importance à ces misérables attaques, et ne faisait rien par conséquent pour en prévenir l'effet. Mais quand sur l’odieux libelle , pour lequel Voët avait eu la lächeté d'emprunter un nom étranger, sa condam- mation eut été prononcée, le philosophe sortit de la réserve dans Jaquelle il s'était enfermé. Il n'eut qu’à paraitre pour déjouer la vile machination inventée pour le perdre ; mais alors il éprouva un profond découra- gement, et redoutant pour l'avenir les nouveaux cha- grins que pouvait Jui susciter la haine que sa magna- nimité ni ses talens n'avaient pu vaincre , il s’éloigna d’un pays qui avait été le théâtre de sa gloire et celui des plus étranges persécutions; il accepta alors l’asile que la célèbre Christine, reine de Suède, offrait à son génie. Les attaques de Voët firent de Descartes le chef d’une nouvelle école philosophique qui eut ses adhérens et ses adversaires; mais quel que soit le jugement dont ses doctrines ont pu être l'objet. l'infânre nom de son persé- cuteur est condamné à subir leur immortalité. On considère en général sous trois points de vue spéciaux le vaste génie de Descartes, et, séparant sa philosophie de ses découvertes en physique et en mathé. matiques, on a trop long-temps avancé que sous ce der- nier rapport seulement sa gloire était incontestable. Ainsi sa physique et sa philosophie n'auraient été que de sublimes erreurs pour lesquelles ses travaux mathé- matiques lui feraient trouver grâce. Nous ne pouvons admettre ces distinctions aussi injustes qu'arbitraires; et sans disconveuir que quelques-unes de ses hypothèses cosmo-physiques ne sauraient être admises, nous consi- dérons les doctrines de Descartes, dans toutes les bran- ches du savoir, comme un majestueux ensemble qu’on ne peut diviser; comme un tout dont les parties liées entre elles par la même pensée et déduites du même principe, ne sauraient être logiquement distraites les unes des autres: telle fat du moins l'opinion de son siècle , qui donna le nom de cartésianisme à l'ensemble admirable de ses doctrines. Descartes pensa par lui-même, il brisa le vieux joug de laphilosophie péripatéticienne, et m'admit de règles dans les choses de la raison que la raison elle-même, À52 DE Cette doctrine forma un grand nombre de penseurs. En invitant chaque homme à rentrer en lui-même et à partir de sa propre conviction , Descartes offrait un moven de ne pas même s’égarer avec lui, dans lasuppo- sition qu'il fût tombé dans quelques erreurs. Le service qu'ilrendit ainsi à la philosophie est immense; ilréforma la spéculation comme Coperric avait réformé l’astrono- mie, En brisant l'esclavage de la pensée il suscita uu mode actif de philosopher qui ruina le mode passif et historique en usage avant lui, et il ne suffit plus de jurer par la parole du maître pour triompher de toute idée raison- nable aux applaudissemens de l’école pédantesque de la philosophie aristotélique. La raison recouvra ainsi par lui sa féconde et puissante autonomie. Déjà, sans doute, le dogmatisme scholastique avait été attaqué, avant Descartes, par des hommes tels que Rabelais, Ramus, Sanchez, Montaigne et Charron, qui tous, dans les formes spéciales de leur talent et de leur caractère, l'avaient tour à tour poursuivi de leurs rail- leries cyniques, de leurs sarcasmes, de leurs graves ob- jections. Mais ils n'avaient pu Jui substituer qu'un scepticisme exagéré, qui n’était réellement que la né- gauon de toute science philosophique. Aussi, à peu près à la même époque, des hommes de foi comme Erasme et Mélanchthon , effrayés du néant que le pyr- rhonisme amenait dans la spéculation, prétèrent-ils à la scholastique l'appui de leur chaleureuse éloquence. Il ne faut pas s'imaginer d’ailleurs que la scholastique fût en elle-même une chose puérile, Les Thomas et les Scot n'étaient point des esprits superficiels ou grossiers. Ces hommes remarquables par l'étendue de leurs connais- sances et la subtilité de leur dialectique avaient du moins montré, dans toute son étendue , l'emploi que l'esprit humain pouvait faire de l'instrument logique. Ils avaient fait plus encore en purifiant , en intellectualisant l’idée de l'être suprème. Ainsi la scholastique mettait l'esprit humain sur le chemin d'une métaphysique rationnelle, et par cela même valait toujours mieux que l’empirisme et que le scepticisme. Telle fut l’œuvre de Descartes qui réalisa, par l'émancipation de la raison, cet inappré- ciable bienfait. La devise de l’école cartésienne fut celle - ci : « Pense par toi-même , et ne juge de rien sur parole. » Elle renferme l’une des règles les plus importantes pour l'esprit philosophique, et n’admet le doute que comme une préparation à l'examen. Cette école célèbre illustra la France etia fit comprendre parmi les nations les plus éclairées. Le cartésianisme fut successivement adopté par les esprits les plus forts, les plus élevés, les plus indépendans du siècle de Louis XIV , par les Bossuet, les Fénelon, les Mallebranche , par les principaux mem- bres de l'illustre congrégation de l'Oratoire, par les écrivains si distingués de la grande et célèbre école de DE Port-Royal, et enfin par une institution religieuse, au- jourd’hui déchue, qu'on n’a du moins jamais accusée d'ignorance. Si ces illustres adhésions ne suffisaient pas pour établir la profonde influence que le cartésianisme exerça sur son siècle et en même temps sa haute direc- tion, les sarcasmes de Voltaire et de son école prouve- raient assez qu'il était, pour l’empirisme du dernier siècle, un principe fort et vivant qui condamnait ses dé- plorables erreurs. Ainsi la philosophie de Descartes n’est pas tellement une faible conception qu’on n’en doive parler que pour mémoire, et, n’eüt-il point d’autres titres à l’admira- tion de la postérité, sa gloire serait encore immor- telle. Le principe rationnel que Descartes avait apporté dans la métaphysique, il dut l'appliquer aussi à la physique. Malgré la hardiesse et peut-être l’invraisemblance de quelques-unes de ses hypothèses, on est frappé de la fé- condité et de l'étendue de son génie en examinant l’en- semble de son système. Néanmoins son ingénieuse idée des tourbillons est presque la seule qu’on lui attribue généralement , comme s’il était possible d'arriver à une telle conception, quelle que soit, au reste, sa valeur scientifique, sans avoir parcouru un cercle immense de pensées et de recherches! mais que de sublimes décou- vertes n’a-t-il pas réalisées daus cesystème, etdecombien d’autres conquêtes scientifiques ce système n'a-t-il pas été la source ! aussi un écrivaio moderne a-t-il pu dire, avec raison: s’il s’est trompé sur les lois du mouvement il a du moins deviné le premier qu’il devait y en avoir. Ne serait-ce point aussi en soumettant à l'examen de sa haute raison les idées de Descartes, que le grand Newton s’est trouvé naturellement dans la voie de ses immor- telles découvertes? Lorsque Descartes écrivit son discours sur la diop- trique, la réfrangibilité inégale des divers rayons de la lumière n’était pas connue; cependant, outre une foule d'applications ingénieuses de la géométrie à cette science, son traité renferme une exposition de la véri- table loi de la réflexion , découverte immense que Huy- gens a voulu vainement contester à Descartes. Dans le traité des météores il a donné la véritable théorie de larc- en-ciel. Ainsi, comme sa philosophie, la physique de Descartes est empreinte de la pensée d’un génie puissant; et si, dans son système du moude et dans l'explication de quelques phénomènes naturels , il n’a pas aussi heu- reusement rencontré la vérité, est-ce sous ce rapport seulement que doivent être envisagés ses immenses tra- vaux, et à quelle hauteur ne faut-il pas être placé soi- même pour se prononcer sur les erreurs d'un tel homme? Les travaux géométriques de Descartes, qui doivent maintenant nous occuper, lui assignent à jamais je rang DE le plus élevé ÿa mi les hommes de génie qui ont déter- miné les progrès de la science. Ses droits, à cet égard, furent reconnus même par ses plus cruels ennemis ; et les théologiens hollandais, dont ileutà subirles attaques, rendirent hommage à la beauté et à l'importance de ses découvertes mathématiques. Mais nous avons eu raison de dire que la haute aptitude de Descartes, dans cette branche du savoir, découlait aussi du principe supérieur sur lequel il fonda sa philosophie. Cette idée n’est point nouvelle, et l'illustre Fontenelle avait dit avant nous, en établissant un parallèle entre Descartes et Newton : « Tous deux, géomètres excellens, ont vu la néces- sité de transporter la géométrie dans la physique; tous deux ont fondé leur physique sur une géométrie qu’ils ne tenaient presque que de leurs propres lumières. » Ce fut en effet par une faculté spontanée de sa raison que Descartes opéra dans les mathématiques une révolution heureuse; et, en effet, ses idées, exposées presque sans ordre et surtout sans développemens , sont produites dans sa géométrie sous la forme de principes que son génie se contente de dévoiler, sans daigner s’astreindre à en faire l'application. Le traité de géométrie de Descartes parut à la suite de la méthode , non pas comme on l’a dit, parce qu'il n’at- tachait aucun prix à des méthodes dont il était l’inven- teur et dont sa gloire devait cependant tirer le plus d’é- clat, mais parce qu’il avait été amené par le raisonne- ment, ou si l’on veut par la spéculation métaphysique, à la découverte de ses plus beaux théorèmes. La science doit à Descartes la connaissance de la na- ture et de l'usage des racines négatives , et il est le premier qui les ait introduites dans la géométrie; il a donné une régle pour déterminer par la seule inspec- tion des signes le nombre des racines positives et néga- tives, et il a ainsi enrichi la théorie d’'Harriot, d’une découverte que les injustes critiques de Wallis n’ont pu dépouiller de son caractère d'originalité et d'utilité aux yeux de tous les géomètres. On sait que la limita- tion de cette règle consiste en ce qu'il faut que l’équa- tion wait aucune racine imaginaire, Descartes , comme l'ont prétendu Wallis et Roberval, n’a point ignoré cette limitation , puisqu'il l'annonce lui-mème dans un autre passage de géométrie, en disant que ces racines tant positives quenégatives, ne sont pas toujours réelles, mais quelquefois seulement imaginaires. Wallis a refusé à Descartes , dans le même esprit d’injustice , une dé- “couverte fort importante dans l'algèbre c’est la mc- thode des coefficiens indéterminés, qui consistex supposer une équation avec des cocfficiens indéterminés, dont on fixe ensuite la valeur par Ia comparaison de ses termes avec ceux d’une autre équation qui lui doit être égale. Nous ne pouvons donner ici que l'énoncé des décou- * vertes et des tarvaux de Descartes dans la géométrie cet DE l'algèbre ; elles sont exposées au mot qui les concerne, 455 daus tous leurs développemens , c’est pourquoi nous passons sous silence les diverses querelles scientifiques auxquelles ces découvertes ont pu donner lieu, soit du : temps même de Descartes , soit après lui. L'application de l'algèbre à la géométrie est sans con- tredit une des plus belles découvertes de Descartes. Il est le véritable fondateur de cette science aujour- d’hui si féconde, désignée sous le nom inexact de Géo- métrie analytique. On avait bien avant lui appliqué l'algèbre aux problèmes de la géométrie, mais c’est à Descartes qu’est due entièrement cette méthode de con- struire l’étendue à l’aide des relations de deux quantités variables, Il est ainsi bien certain que ces découvertes dans la science, antérieures à Descartes, ne sont pour ainsi dire qu’élémentaires relativement aux siennes; et c’est réellement à ce qu'il y a ajouté qu'il faut fixer l’époque d’une révolution qui a si énergiquement favorisé les progrès de la géométrie. La méthode des tangentes que donna ensuite Descartes, doit tenir un rang distingué parmi ses découvertes , quoique depuis lui on soit parvenu à en imaginer d’une expression plus simple et plus commode. Il parle lui-même de sa mc- thode avec une sorte d'enthousiasme : « De tous les pro- blèmes, dit-il, que j'ai découverts en géométrie, il n’en est aucun qui soit plus utile et plus général, et c’est de tous celui dont j'ai davantage désiré la solution. » Plus tard Descartes proposa dans sa correspondance une autre méthode pour les tangentes, mais toutes deux sont fondées d’ailleurs sur les mêmes principes. Ainsi Descartes n’a abordé aucune des branches éle- vées du savoir sans leur imprimer lamarque de son génie. En mathématiques on lui doit d'importantes décou- vertes dans toutes les parties de l'algèbre et principale- ment dans la théorie des équations; l'application de l'algèbre à la géométrie et une ingénieuse méthode pour mener les tangentes aux courbes. Dans la physique ma- thématique, la théorie de l’arc-en-ciel, la loi de Ja réfraction et la démonstration du principe fondamental de la mécanique sont des découvertes inappréciables que la science doit à Descartes. On voit dans une des lettres de ce grand homme, écrite en 1631, qu'il avait reconnu ayant Torricelli la pesanteur de l'air et son action pour soutenir l’eau dans les pompes et les tuyaux fermés à une extrémité, puisqu'il y explique le phéno- mène de la suspension du mercure dans un tube fermé par le haut, en l’attribuant au poids de la colonne d’air élevée jusqu’au dela des nues. Il a enfin déterminé , par le principe rationnelqu'il a mis dans la philosophie, le grand mouvement intellectuel qui continue às’opérer dans l'esprit humain. Nousavons vu plus haut que l'illustre Descartes, pro- fondément affligé des injust:s persécutions que ses opi- 55 454 DE nions lui attiraient en Hollande, avait accepté l'asile que la reine Christine lui offrit à sa cour. Ce ne fat point cependant alors que la France se montra indifférente à la gloire de cet homme prodigieux. Ses doctrines y firent de rapides progrès, et le roi Louis XIIT lui fit en vain offrir ses faveurs. Il accepta plus tard du cardinal Mazarin une pension de 3,000 livres, qui lui fut exacte- ment payée, malgré les troubles politiques qui agitaient alors le pays. Il est vrai que l’année suivante le brevet d’une pension plus considérable lui fut adressé et que, quand il eut payé le: droits d'usage, il n’en entendit plusparler. Mais qu'étaicnt-ce en cffet que ces tristes et faibles rémunérations envers un homme comme Des- cartes , tandis qu’une foule de poètes et de comédiens, honorés dans sa patrie, y recevaient les récompenses qui ne sont dues qu’au génie? Le changement de vie que sa nouvelle position auprès dela reine Christine imposa à Descartes, altérèrent bien- tôt sa santé, qui avait toujours eu besoin des plus grands ménagemens. Le froid climat de la Suède et la tyrannie des habitudes de courtisan , qu'il fut obligé de prendre, abrégèrent sa vie, Atteint d’une fluxion de poitrine, il souffrit durant quelques jours et mourut à Stockholm le 11 février 1650, à peine âgé de 54 ans. La reine de Suède donna des larmes à la mort de Descartes, elle voulut le faire enterrer dans le tombeau des rois, mais la Frauce réclama, par son ambassadeur, sa dépouille mortelle, qui néanmoin: ne fut transférée, de Stockholm à Paris, que dix-huit : ns après le doulou- reux événement qui avait privé le monde savant des vives lumières de son génie, et la France du plus grand homme qui ait jamais reçu le jour dans son sein. Les restes de Descartes furent déposés dans l’église de Sainte-Geneviève , et l'on inscrivit sur son tombeau l'épitaphe suivante quioffre un remarquable résumé de sa vie et de ses illustres travaux. D. ©. M. RENATUS DESCARTES, Vir supra titulos omnium retro philosophorum Nobilis genere, armoricus gente, turonicus origine [n Gallia Flexiæ studuit , In Pannonia miles meruit, In Batavia philosophus delituit, In Suecia r'ocatus occubuit. Tanté viré pretiosas reliquias Galliarum percelebris tune legatus, Petrus Chanut, Christinæ, sapientissimæ reginæ, sapientium amatrici Invidere non potuit, nec vindicare patriæ Sed quibus licuit cumulatas honoribus Peregrinæ terræ mandavit invitus, Anno 1650, mense fébruario , ætatis 54. Tundem post septem et decem annos Ingratiam Christianissimti regis Ludovici decimé queiti : DE Pirerum fns'gnium cultoris ct remunatorts Procurante Petro d'Albert Sepulchri p'o et amico violatore Patrie reddite sunt, Ein isto urbis et artium culmine positæ , Ut qui vivus apud exteros otum et famam quæsierat Mortuus apud suos cum laude quiesceret, Suis et exteris in exemplum et documentum futurus. I aunc viator , Et divinitatis, immortalis que animæ Maximum et clarum assertorem Aut jam credefèlicem: aut precibus redde. Nous ne croyons pas devoir ajouter ici la notice bi- bliographique des œuvres de Descartes, réimprimées plusieurs fois et sous tous les formats, elles sont connues de tout le moude. Il x avait daus le caractère de ce grand homme un mélange de douceur et de noble fierté qui annonçaient à la fois la pureté de son ame et l’élé- vation de son esprit. Il se laissa néanmoins emporter quelquefois par la vivacité de son imagination dans des querelles scientifiques où la raison n’était pas toujours de son côté; mais ce sont là de ces taches, comme celles du soleil, qu'on ne peut apercevoir qu'a l'aide de puis- sans instrumeus et qui n’altèrent pas plus la beauté de son géniequ'’elles n’obscurcissent l'éclat de cet astre. Du reste , tous les témoignages contemporains attestent la bonté du cœur, la générosité et la piété éclairée de Descartes, dont un apologiste a dit avec raison : « On peut avoir été plus loin que lui, mais c’est dans la route qu'il a tracée; on peut Fètre élevé plus haut , mais c’est en partant du point d’élévation où il a porté les esprits; on peut enfin l'avoir combattu lui-méme avec succès, mais c’est en se servant des armes qu'il a fournies. » Qu'il nous soit permis , en terminant cette rapide no- tice sur notre grand et illustre Descartes, d'émettre ici un vœu qui sera compris de la France éclairée. Notre pays a élevé des monumens et des statues à la mémoire de quelques écrivains peu digues de l'enthousiasme aveugle qu’ils ont excité et dont les travaux ort ébranlé la morale et retardé la marche de l'humanité. Que la mémoire de Descartes soit enfin honorée et que la sta- tue de Voltaire ne fasse plus remarquer, dans le temple même de la science, l’ingratitude de la France envers l'illustre restaurateur de la philosophie rationnelle. DESCENDANT | Asu.). Les signes descendans sont ceux dans lesquels le seleil descend vers le pôle abaissé, c'est-à-dire, du 3° au g° pour notre hémisphère boréal. DESCENSION (Asur.). La descension d’un astre est, comme son ascension (voy. ce mot), DROITE OU OBLIQUE, selon qu’on la rapporte à la sphère droite ou à la sphère oblique ; c’est en général la distance entre le point équi- noxial et le point de l'équateur qui descend sous l’ho; rizon en mème temps que l'astre. On nesesert plus au- DE jourd’hui que des ascensions droites pour déterminer la position des astres. DESCENTE Méc.). Les lois de la descente des corps forment une branche importante de la mécani- que ; elles sont exposées dans plusieurs articles. Voyez ACCÉLÉRATION, PLAN INCLINÉ, RÉSISTANCE. Lorsqu'un corps tombe librement, à la surface de la terre , en vertu de sa seule pesanteur , le mouvement de rotation de la terre le fait dévier de la verticale d’une manière assez sensible, pour que ce mouvement si long- temps contesté puisse être démontré par l'expérience. Poy. Dévrarion. DESCHALES (le P. François Milliet), religieux de l’ordre de Jésus, a mérité le titre de savant et d'habile géomètre durant le XVII siècle, si prodigieusement fertile en grands maîtres dans les sciences mathémati- ques. Il naquit à Chambéry, en 1611, et se distingua par son savoir dans l'ordre religieux dont il avait pris l'habit. I est l’auteur d’un cours de mathématiques qui à pour titre : Cursus seu mundus mathematicus, etc.; Lyon, 1693—1691, in-f°. Aux leçons d’arithmétique et de géométrie qui forment le fond de cet ouvrage, le P. Deschales ajouta un traité sur la perspective et un autre sur la gnomonique. On place au nombre des meil- leurs ouvrages d'hydrographie qui aient été publiés de son temps un autre écrit du P. Deschales intitulé : L'art de naviguer démontré par principes, etc. ; Paris, 1677, in-4°. Quoiqu'il fût entaché de quelques-uns des préjugés qui animaient alors l'Église romaine contre le système de Copernic, le P. Deschales eut le courage, sinon de prendre la défense de ce système, du moins de prouver la grossière ignorance en mathématique et en physique de quelques-uns de ses détracteurs. Le mé- rite particulier des ouvrages du P. Deschales est la clarté avec laquelle il y expose les propositions les plus com- pliquées. Il mourut à l’âge de 67 ans, en 1678, à Turin, où il occupait encore une chaire de mathématiques. DESCRIPTION ( Gcom.). Action de tracer une figure, ou construction d’une figure; c’est ainsi qu'on dit décrire un cercle, une parabole, etc. DESCRIPTIVE. Géoméenxe pescmprivx. Une des branches de la sance pe L’Érevnur. 'oy. Géomévne. L'objet de la géométrie descriptive est la construction ou la génération universelle de l'étendue par le moyen des projections. 1. On nomme projection la trace déterminée, sûr un plan donné de position, par les intersections des per- peüdiculaines abaissées de tous les points d’une ligne ou ‘d’une surface situées hors de ce plan d'une manière quelconque.Par exemple, si de touslespoints de ladroite AB:on mène des perpendiculaires sur le plan MN, la trace CD formée par les intersections de ces perpendi- DE 235 culaires sera la projection de AB, et en , le particulier point G sera la projection du point A, et le point D la projection du point B. 2. La position de la droite AB dans l’espace sera donc entièrement céte:minée si, connaissant d’ailleurs celle du plan MN, aiusi que la projection CD , on conuaît de plus la longueur des perpendiculaires AC et BD. 3. Cette position sera également déterminée par les projections de la droite AB sur deux plans différens donnés de position et perpendiculaires entre eux, tels que les plans MN et MP ; car ab et a'b' étant ces ob- jections, si l’on fait passer par la première un plan aB perpendiculaire à MP , et par la seconde un plan A, perpendiculaire à MN, l'intersection de ces deux plans sera évidemment la droite AB. 4. Si du point « on abaisse la perpendiculaire 4x sur l'intersection commune MQ, cette perpendiculaire e M sera également à la droite aA (»07.PLax), et par consé- quent on pourra faire passer par les droites ax, aA, Aa un plan perpendiculaire au plan MN, et dont l’inter- section avec MN sera la droite a'x = aA. On a de plus ax = Aa’, Ainsi, lorsqu'on connait les deux projections «et a, d'un point À sur les plans rectangulaires MN ct MP , si de ces projections on abaisse des perpendicu- hüres ax et ax à l'intersection commune MQ, ces per- pendiculaires se rencontreront en un même point x, et seront respectives égales aux perpendiculaires me- nées du point À à chacun des plans, ou aux perpendicu- laires détérminant les projections æet 4". 5. Pouf se conformer aux usages habituels dela ligne de niveau et du fil à plomb, on est convenu de suppo- ser l’un des doux plans hor’=soztal et l'autre vertical 456 Di Nous donnes ousie nom de base à la droite MG intersec- tion commune des deux plans. 6. Le but des projections est de représenter par des figures faites sur un seul plan, et n'ayant par conséquent que deux dimensions, tout ce qui concerne l'étendue ayant deux ou trois dimensions. Pour cet effet, on con- sidère le plan vertical comme ne faisant qu’un avec le plan horizoutal, en supposant que le vertical , tournant autour de la base comme charnière, ait fait un quart de conversion pour ne plus former qu’un seul plan avec l'horizontal. En vertu de ce mouvement, toute droite située sur le plan vertical et perpendiculaire à la base, restera perpendiculaire à cette base après que la conver- sion aura été achevée, ct la projection verticale d’un point quelconque se trouvera sur le prolongement de la perpendiculaire menée de sa projection horizontale à la base, car le plan MP prenant la position MF", les perpendiculaires Ex et Fx ne font plus qu’une seule et même droite perpendiculaire à la base MQ. Ceci posé, nous allons donner les propositions fonda- mentales de la géométrie descriptive. 7. Onnomme traces d’un plan quelconque lesdeuxin- tersections qu’it fait avec les deux plans fixes, lorsqu'on le prolonge suffisamment pour qu'il les rencontre, On nomme de même {races d’une ligne les points O et I (/ig. ci-dessus) , où cette ligue, prolongée s’il est besoin, rencontre les plans fixes. 8. Les deux projections d'une droite étant données, déterminer ses rraces sur les deux plans Jixes, c’est-à- dire, les points où elle traverse le plan horizontal et le plan vertical. ee re. Soit ab la projection verticale, et a’ la projection DE horizontale. Prolongez ces projections jusqu’à cequ’elles rencontrent la base, la première en E et la seconde en C, et de ces points menez les perpendiculaires ED et CO à la base, dont la première rencontre en D le prolonge- ment de la projection &’b', ct dont la seconde rencontre en O le prolongement de la projection ab, Les points D et O, ainsi déterminés, seront les traces demandées. En effet, CD et EO sont les projections d’une droite OD, qui contient comme une de ses parties la droite dont ab, a'b' sont les projections. Or, cette ligne OD devant se trouver sur l'intersection de deux plans dif- férens , l'un OCD mené par CD, et perpendiculaire au plan horizontal, et l’autre OED, mené par OE, et per- pendiculaire au plan vertical, passe nécessairement d’un côté par l'intersection des droites CO et CE, et de l’autre par l'intersection des droites ED et OE; puis- que CD perpendiculaire à CO, se trouve sur le plan perpendiculaire mené selon CO, et que ED perpendi« culaire à OE se trouve sur le plan perpendiculaire mené selon OË; ainsi ces intersections, ou les points O et D, sont les traces de la droite OD, et conséquemment de la droite dont ab ct a'b'sont les projections. 9. Si la droite OD était parallèle au plan horizontal, sa projection horizontale CD pourrait bien faire avec la base MQ un angle quelconque. Mais sa projection verticale serait alors parallèle à la base, et il n’y aurait point de trace horizontale D. On déterminerait comme ci-dessus la trace verticale O. | 10. Réciproquement, si la droite OD était parallèle au plan vertical, il n’y aurait point’ de trace verticale ; sa projection horizontale serait parallèle à la base, et l’on déterminerait seulement le trace horizontale D, 11. Les projections d'une droite étant ‘données, dé- terminer les projections d'un autre droite parallèle à la première , et assujélie à passer par un point dont les projections sont également données. Les projections horizontales de la droite donnée et de la droite cherchée, doiventêtre parallèles entre elles, puisqu'elles sont les intersections de deux plans per- pendiculaires au plan horizontal, et par conséquent parallèles entre eux.Par la même raison ; les projections verticales doivent être aussi parallèles entre elles. Donc en menant par les projections du point, des lignes pa- rallèles anx projections de la droite donnée, ces paral- lèles seront les projections demandées. 12. Déterminer la longueur d'une droite dont les pro- jections sont connues. Si la droite est parallèle à l’un des plans, ce que l’on connait lorsque sa projection sur ce plan est parallèle à la base , elle est égale à cette projection. Si elle n’est parallèle à aucun des deux plans, elle est plus grande que chacune de ses projections. Dans ce dernier cas, le menant du point À (fig. du n° 4 ci-dessus) la droite DE AD parallèle à la projection horizontale a'b' ou, ce qui est la même chose, perpendiculaire sur Bb", on aura un triangle rectangle ABD dont la droite AB est l’hypothénuse, et dont les deux autres côtés sontAD=—a'b" et BD—B?'—Aa', mais la projection ad de AD sur Île plan vertical détermine bd=BD, et cette projection s'obtient en menant ad parallèle à la base ; ainsi les deux côtés de l'angle droit du triangle rectangle ABD sont donnés par les projections, et il suffit de construire ce triangle pour obtenir l’hypothénuse ou la longueur de- mandée de la droite AB. Ainsi ab, a'b' étant les projections données, du point a on abaissera sur bb’ la perpendiculaire ac sur laquelle on prendra de cen o, co=a'b', on mènera bo et cette droite sera égale à celle dont les projections sont ab et a'b'. 13. Connaissant les projections d’une droite, trouver les angles qu'elle fait avec chacun des deux plans fixes. slaere | PS de S ï PRE "5 D C: DA 0 ni D Pat i A Ed pe ; pet ! &. : 3 | * f ail i a H A Z Cd Ÿ vb” Si ab et a" sont les projections données, on déter- minera (8) les traces o et d, et alors l'angle odC sera l'angle fait par la droite avec le plan horizontal, et l’angle dE, l'angle fait par ta même droite avec le plan vertical. Ces angles appartiennent aux triangles rectangles oCd et dEo que l’on peut supposer entiè- rement connus, puisqu'on a leurs bases Co et dE, et DE. 437 leuvs hauteurs Cd et 0Ë. Il suffit donc de construire ces triangles pour obtenirlesangles demandés. Ainsi, prenant ED — Ed et CO = Ca, on mènera les droites oD et dO dont la première fera connaître l'angle CO4 égal à l'angle de la droite avec le plan horizontal et la se- conde , l'angle oDE égal à l'angle de la droite avec le plan vertical. 14. Connaïssant les projections de trois points quel- conques , trouver les traces du plan qui passe par ces trois points. Soient a, b, cles projections verticales, et,a', b', c’, les projections horizontales données; menons les droites a'b', b'c', ab et ac; et prolongeons-les jusqu’à leurs points de rencontre respectifs 72, n, 0, p avec la base; des points o et p élevons, à la base, des perpendicu- laires oA et pB jusqu'aux points À et B où elles rencontrent les droites ab et be; élevons de même des points » et m les perpendiculaires rC et mD jusqu'aux points C et D où elles rencontrent les droites a'b' et b'c’ ; les droites AB et CD seront les traces de- mandées, lesquelles, prolongées, auront un point com- mun E d’intersection où le plan proposé coupe la base. Eneffet, ab et a'b! sont les projections d’une droite menée dans le plan proposé par les points dont a et 4, bet b', sont les projections, et d’après la construction A et D sont les traces de cette droite; de même be et b'e’ sont les projections d’une seconde droite menée dans le plan proposé par les points dont bet b', « et ec’ sont les projections, et également d’aprèsla construction C etB sont les traces de cette seconde droite. Or, le plan pro- posé coupe donc le plan horizontal aux points À et B et le plan vertical aux points C et D; ses intersections avec cesplans ont donc lieu suivant les droites AB et CD, et par conséquent AB et CD sont ses traces. 15. Les traces d'un plan ctant données ainsi que les projections d'un point situé hors de ce plan, trouver les traces d’un second plan parallèle au premier, et qui passe par ce point. Soient MN et NP , les traces du plan, eta et a' les projections du point. Par le point a menons aÀ paral- lèle à Ja base , et aB parallèle à la trace verticale MN, jusqu’à sa rencontre en B avec la base. Par le point a’, 438 DE menons également a'C parallèle à la base, et a'D paral- lèle à la trace horizontale NP. Aux deux points B et D, élevons les perpendiculaires à la base BG et DA jusqu’à la rencontre des parallèles aA et 4'G, et par les points A et C, menons les droites AO et CO parallèles aux races données, ces parallèles seront les traces de- mandées. R | Lessobnsnemuve nn # 4 | | En effet ;les points A et G sont les traces d’unedroite dont la projection verticale est aB.et dont la projection horizontale est «'C. Or, cette droite est parallèle au plan donné, puisque sa projeètion verticale aB est parallèle à la trace verticale de ce plan ,et par conséquent, elle est contenue dans le plan cherché puisqu'elle passe par de point dont les projections sont à et a’, Ainsi ce plan coupe le plan vertical au point À et le plan-horizontal au point C, et ces points sont situés sur ses traces; mais les traces de deux plans parallèles sont nécessaire- ment parallèlés. Ainsi, il suffit de connaître un :seul point de chaque trace du second plan pour les dé- terminer, et ces traces sont les droites AO+t CO qui, par la natüre du problème , doivent se couper. à la base ‘én'un/même point O. XGÉ tant données, les traces PB et:BC d'un planet les projections a et «' d'un point ; construire 1°.les pra- jections'de la’ttroite äbaïssée /perpendioulatrement du point sure plan ; 2° Les projections du:point de: ren- contreide le droite et duplan. Dés points & et a menons les perpendiculaires am et a'n sur les traces BP et BC; ces perpendiculaires seront 1és projections de la droite-demandée. Car si l’on con- çoit un plan vertical mené par cette droite, ‘ce plan -coupera le plan donné et le plan horizontal en deux droites qui seront l’une et l’autre perpendiculaires à la DE commune intersection BC de ces plans, et dont la pre- micre sera la projection du plan vertical, et en même temps la projection de la droite; ainsi cette projection devant passer par le point a et être perpendiculaire à BC, sera a'n. On démontre de la même manière que am est la projection verticale. Pour déterminer le point de rencontre, on doit re- marquer que ce point se trouve nécessairement sur l’in- tersection du plan donné par le plan vertical mené sui- vant la droite cherchée, intersection dont 4'g estla pro- jection horizontale, Or, si l'on avait la projection verti- cale Pr de cette intersection, elle contiendrait celle du point demandé, et comme de plus, ce point doit aussi se trouver projeté sur la perpendiculaire @x, il serait au point de rencontre r, de P£ et de am. Mais l'intersec- tion dont il s’agit, rencontre le plan horizontal en n», dont on aura la projection verticale { , en menant xt per- pendiculaire à la base; et comme elle rencontre le plan vertical de projection en un poiut dont la projection ho- nizontale.est g,rencontre de la base avec a’ prolongée, s'il est nécessaire, et dont la projection verticale doit se trouver en même temps sur la perpendiculaire gP et, sur la trade PB, c’est-à-dire au point de rencontre P de ces droites, on aura donc la projection verticale de l'in- tersection en joignant par une droite les points P et £. Cette projection étant connue, il suffit de prolonger &x jusqu’à pour obtenir la projection verticale demandée du point.de rencontre; quant à la projection horizon- tale du même point, comme’elle doit se trouver en même temps sur le prolongement de la perpendicu- laire menée de r à la base et sur a'g, en abaissant cette perpendiculaire, on la déterminera en s. 195 Étant données les projections d'une droite et celles d’un point, construire les traces d'un plan mené par Le point perpendiculairement à la droite. Soient AB, ab les projections de la droite et D, d'célle du point. Par le point d, menons la droite indéfinie dG parallèle à la base, et par le point D, la droite DH, perpendiculaire à la projection horizontale AB, jusqu’a ce qu’elle coupe la base en H. Au point H, élevons à DE la base la perpendiculaire HG, et du point G, où cette perpendiculaire rencontre la droite dG,menons GE per- peudiculaire à la projection ab; du point C, où GC ren contre la basé, menons également CE perpeñdiculaire à la projection AB.GC,et CEseront les traces demandées. Où sait déjà par ce qui précède que les traces de- mandées doivent être perpendiculaires aux projections données de la droite, et qu’elles se coupent en un même point de la base; ainsi, il suffit d’unsecond point trouvé sur l'une ou autre de ces traces pour les déter- miner entièrement. Or, si parle point cherché, on con- çoit une droite parallèle an plan horizontal de projec- tion, et prolongée jusqu’à sa rencontre avec le plan ver- tical, cette rencontre sera la trace de la parallèle, et se trouvera*ur la trace du plan; mais les projections d'une telle droite doivent être, la verticale, parallèle à la base; et l'horizontale, perpendiculaire à AB; elles sont donc les droites G et DH ; ainsi, d’après la construction, la trace verticale de cette droite est au point G, et ce point G fait également partie de la trace verticale du plan demandé. 18. Les traces de deux plans étant données construire les projections de leur commune intersection. Soient AB, Ab lestraces du premier plan, et CD, Cd les traces du second, Du point», intersection de AB et de CD, abaissons zum" perpendiculaire à la base ; abais- sons de même den’, intersection de Ab et de Gd, lt per- DE 435 pendiculaire »’#; menons ensuite les droites mn, m'r', ces droites seront les projections demandées. En effet, tous les points des traces AB et CD se trou- vant sur les plans proposés leur point de rencontre »2 se trouve en même temps sur ces deux plans, et fait con- séquemment partie de leur intersection; il en est abso- Jament de même du point 7, commun aux deux traces Abet Cd; ainsi l'intersection des deux plans rencontre le plan verticale en "1, etle plan horizontal en w. Or, m' est la projection horizontale de 2, et n la projection vertical de »', donc zx est la projection verticale de l'intersection des plans donnés et 'n" sa projection ho- rizontale. rg: Construire l'angle formé par deux plans qui se coupent , et donton connaît les traces. LU Soient AB ct CD , les traces verticales des plans, cet Ab, Cdles traces horizontales. Construisons d’abord par ce qui précède la projection horizontale E/ de l'inter- section des deux plaus et d'un, point [ pris à volonté, menons la droite GH perpendiculaire à Ef! Prenons fo égale à Efet f à égale à JT ; menons eo; et du pointé, abaissons sur cette droite la perpendiculaire £k ; portons tk de Ten K, et eufin du point K, ainsi déterminé, me- nons les droites KG et KH, l'angle GKH sera l'angle demandé. On peut considérer la droite GI menée par le point arbitraire comme la trace d'un plan perpendiculaire à l'intersection des plans proposés, et par conséquent per- pendiculaire à ces plans eux-mêmes. Ainsi l'angle formé par les intersections de ce troisième plan avec les pro- posés, sera le même que angle de ces plans; et ces in- tersections formeront avec GH, comme base, un triangle dont l'angle au sommet sera l'angle demandé. Mais si l'an conçoit le plan de ce angle abattu sur le plan ho- rizontal, après avoir tourné autour de sa base GH, son sommet tombera nécessairement sur Ef, et deviendra l'un des points de cette droite; il suffit donc de déter- miuer ce point, où la hauteur du triangle, pour pouvoir \ 440 DE construire ce triangle, et conséquemment pour connaître l'angle cherché.Or, la hauteur du triangle est la perpen- diculaire abaissée du point I sur l'intersection des plans proposés et elle est comprise dans le plan vertical mené par E/. Si l’on conçoit donc que ce plan vertical soit abattu sur le plan vertical de projection après avoir tourné autour de fe, et quel’on prenne f I—fiet E/=fo, le point I se trouvera en £, le point E en o, et l’inter- section en eo. Ainsi du point ?, menant sur eo , la per- pendiculaire 7, elle sera la hauteur du triangle; il suffit donc de porter cette hauteur de I en K pour achever ce triangleet construire l’angle demandé GKH. 20. Les projections de deux droites qui se coupent dans l'espace étant données , construire l'angle qu’elles forment. nan an ma me mens Soient AC et AB les projections horizontales et ac et ab les projections verticales. Par le procédé du n°8, déterminons d’abord les traces horizontales E et D des deux droites et menons DE. Cette droite sera la base d’un triangle dont les parties des droites proposées com- prises entre leurs traces et leur point de rencontre, seront les autres côtés. Il ne s’agit donc que de déter- miner les longueurs de ces parties , pour pouvoir cons- truire le triangle et conséquemment résoudre le pro- blème. Or, il se présente un moyen plus simple pour arriver à cette solution : du point À menons sur ED la perpendiculaire indéfinie AF ; joignons les points a et A, et portons AF de G en f'; tirons la droite af, et prenons FH=4af. Da point H, menons enfin HD et HE; l’angle EHD sera l'angle demandé. En effet, la droite aA est perpendiculaire à la base, püusqueles droites proposées devant se couper, le point & est la projection verticale de leur point de rencontre etle point A la projection horizontale de cemême point(5).Or, AF est la projection horizontale de la hauteur du triangle dont ED est la base, et dont les deux autres côtés sont les portions des droites proposées, comprises entre DE leur point de rencontre et leurs traces E et D, car si lon conçoit un plan vertical mené par la perpendicu- laire abaissée du sommet de ce triangle sur sa base, ce plan passera nécessairement par le point À, et sa trace sera AF. Mais A est la projection horizontale de cette hauteur, dont une des extrémités est F, et dont l’autre se trouve élevée au-dessus du plan horizontal d’une hauteur verticale égale à 4G; elle est donc égale à l’hy- pothénuse d’un triangle rectangle aGf ayant aG et Gf=AF pour côtés de l'angle droit. De plus, la hau- teur du triangle, si l’on suppose son plan abattu sur le plan horizontal, en tournant autour de ED, devant prendre la direction de AF, il faut donc prendre sur cette direction FH=—af, et le triangle se trouve construit en menant HE et HD. 21. Connaissant les projections d'une droite et les traces d’un plan, construire l'angle que la droite forme avec le plan. Cette question se ramène facilement à la précédente, car si l’on imagine que par un point quelconque de la droite , on abaisse une perpendiculaire au plan, l'angle de cette droite avec la perpendiculaire sera le complé- ment de l’angle cherché, et il suffira de le construire pour résoudre le problème. Mais d’après le n° 16, si l’on prend deux points sur les projections données qui soient sur la même perpendiculaire à la base et que de ces points, on élève des perpendiculaires aux traces res- pectives du plan donné, on aura les projections hori- zontales et verticales de la perpendiculaire au plan, et il nes’agira plus que de construire l’angle formé par deux droites dont on connait les projections, ce qui s’exécutera par les procédés du numéro précédent. 22. Étant donné l'angle de deux droites qui se coupent dans l’espace ainsi que les angles qu’elles for- ment l’une et l'autre avec le plan horizontal, construire la projection horizontale du premier de ces angles. a gr De À vi /8 ! / ! }/ TA # ‘1 #2 /, #1 # Fr é po) ent À la projection horizontale du sommet de + DE l'angle des deux droites, et AB la projection de ;a pre- muère de ces droites. Du point À, élevons sur AB la perpendiculaire indéfinie Aa, et d’un point arbitraire d, pris sur Aa, menonsles droites dB et dC dont la pre- mière fasse avec AB un angle dBA égal à l'angle donné, que fait la première droite avec le plan horizontal, et dont la seconde fasse l'angle dCA égal à celui de la se- conde droite avec le même plan; menons de plus dD, faisant avec dB l'angle DB égal à celui des droites; prenons dD—dC, menons DB; et enfin des points À et B comme centres, et avec ACet BD commerayons, décri- vons deux arcs de cercle; du point E où ces arcs se coupent, menons AE; l’angle BAE sera l'angle de- mandé. En effet, si nous supposons que le plan vertical de projection passe par AB, ou que cette droite soit la base ; la projection verticale du sommet de l'angle des deux droites sera l’un des points de la perpendiculae Aa; considérant le point d comme cette projection, et Cd comme la projection verticale de la seconde droite; il est évident que cette seconde droite ne pourra ren- contrer le plan horizontal que dans l’un des ponts de la curconférence du cercle décrit du point À comme centre avec AC pour rayon, puisque cette seconde droite fait avec ce plan un angle égal à dCA. I ne s’agit donc plus que de déterminer celui des points de la cir- conférence qui satisfait aux autres conditions du pro- blème, et pour cet effet, il suffit de trouver sa distance à quelqu’autre point fixe tel que B. Or, l’angle B4D étant égal à l'angle des deux droites, le point D, déter- miné par l'arc de cercle CD décrit du point 4 comme centre avec dC pour rayon , se trouvera à la même dis- tance du point B que le point cherché; ainsi, menant BD et portant cette longueur de Ben E, ce point E sera le point cherché, et par conséquent CAE l'angle de- mandé. | Ce problème connu sous le nom de réduction d'un angle au plan de l'horizon, trouve une application fré- quente dans la levée des plans. Foy. Pran. 23. Telles sont les propositions élémentaires de la géo- métrie descriptive. Les limites de ce dictionnaire nous forcent à passer sous silence les applications curieuses et importantes qu'elles offrent en foule, et pour lesquelles nous ren- verrons nos lecteurs aux ouyrages de Monge, créateur pour ainsi dire de cette branche de la géométrie (voy. GÉomÉrtE), à ceux de Lacroix , et particulièrement au Traité de géométrie descriptive de A1. F’allée.Les parties plus élevées de cette science sont traitées dans notredic tionnaire aux mots : NonmaLes, PLANS ranGENs, Pro- JECTION ; SURFACES COURRES ; VOyYEZ aussi: ÉCHELLE pEs cures, Epunes et TRANSVERSALE. DÉTERMINÉ (Alg.).Les problèmes déterminés sont DE 221 ceux qui »’admettent qu’un nombre déterminé de s6- lutions. On les nomme ainsi, par opposition aux pro- blèmes indéterminés dans lesquels le nombre des solu- tions est indéfini. ’oy. INDÉTERMINÉE. DÉTURBATRICE (4str.). On nomme force detur- batrice celle qui est perpendiculaire au plan de la pla- nète troublée. Foy. PErrurgaTioN. DEUCALION (4str.). Nom donné par quelques au- teurs à la constellation du VERSEAU. DÉVELOPPANTE (Géom.). Courbe décrite par le déroulement d’un fil enroulé sur sa développée. Voyez Dévecorrée. DÉVELOPPÉE (Géom.). Courbe lieu de tous les points de rencontre des normales infiniment voisines menées à une courbe donnée, Ces courbes ont été dé- couvertes par Huygens. Si l’on imagine qu'une courbe AB soit entourée d’un fil flexible, infiniment délié et tout à fait inextensible, à mesure que ce fil abandonnera la courbe à partir du point À , sans cesser d’être enroulé sur elle, son extré- mité décrira une nouvelle courbe, dont la première sera sa développée. La courbe décrite OG sera la dévelop- pante. Il est évident d’après ce mode de génération, qu’en chaque point de la développante, le fil qui la dé- crit lui est perpendiculaire; car si on considère la dé- veloppée comme un polygone d’une infinité de côtés, l'extrémité du fil décrira un arc infiniment petit de sec- teur circulaire qui se confondra avec l'élément de la courbe décrite. Le rayon de cet arcest le rayon de la dé- veloppée, et comme il est tangent à cette courbe, on peut la considérer comme le lieu du concours de toutes les normales infiniment rapprochées de la développante. En effet, si ces perpendiculaires sont à une distance finie, elles formeront par leur rencontre un polygone circonscrit à la développée, et quand on les supposera infiniment proches, les côtés de ce polygone devien ; dront infiniment petits et se confondront avec la déve- * loppée. De ce que chaque portion infiniment petite de la courbe se confond avee un arc du secteur circulaire dont le centre est sur la développée, il suit que sa courbure en chacun de ses points est la même que celle du cercle 56 PE t du rayon de Ja déveleppée; aussi ce rayon a-t-l recu Je nom de rayon de courbure, ct le cercle celui de cercle de courbure, ou cercle osculateur, Cherchons maintenaut comment pour chaque point d’une courbe nous pourrons déterminer son cercle 10s- culateur, et partant le lieu de tous leurs centres, Si uous comparons le cercle dont l'équation générale est ay =p avec une courbe y=fx, pour exprimer que ces deux courbes ont un point commun, il faudra que dans l’une et dans l’autre les coordonnées de ce point soient les mêmes , ce qui donnera l'équation, AA En égalant les valeurs de y', première dérivée de y, daus les équations des deux courbes , nous exprimerons qu'elles ont une tangente commune au point x, y, et nous aurous les relations Voyez Foxcrions. De ces deux équations on tire pour les valeurs de « et de 5 en fonction de x, y, y" etp: ! 0Y . p RD y en (6 or y 608 (r=y?) sl Si le rayon p était donné, le cercle dont les coor- données du centre seraient « et 8, serait tel qu’entre lui et la courbe, on ne pourrait faire passer au- cun autre cercle du même rayon; car pour déter- iniuer les coordonaées 1 et £ du centre de ce nouveau cercle, on aurait les mêmes relations que celles qui ont servi à déterminer « et £ Le cercle dont le rayon estp, étant tangent à la courbe au point æ,,y indépendamment de toute valeur de p, si on suppose le rayon indéterminé, et qu’on l’élimine entre les valeurs de «et £, on aura la relation. L (4 ER) Y J B=Yy + qui est l'équation d’une droite, laquelle sera par consé- quent‘le lieu des centres de tous les cercles tangens à la courbe au point æ, y,et qui alors sera normale à la courbe en ce point. Simaintenant nous exprimons que y” est le même dans le cercle et dans la courbe, nous obtiendrons la re- ation = — À (ea) DE qui permettra de déterminer «, £ etp en fonction de x, y," et y". Le cercle sera alors complétement déter- miné, etil sera tel qu'aucun autre cercle ne pourra passer entre lui et la courbe au point x,y. En effet, pour déterminer les coordonnés » et £ du centre de ce nouveau cercle , et son rayon R, il faudrait exprimer que dans ce nouveau cercle et dans la courbe, y,7' et 7” sont les mêmes, ce qui donnerait les mêmes équations que celles qui ont servi à déterminer «, B etp. Le cercle que nous venons de déterminer a un con- tact du second crdre au point x ,y avec la courbe. C’est le cercle osculateur de cette courbe; et le lieu des centres de tous ces cercles est la développée. Cherchons en effet la courbe qui, en chacun de ses points aura un contact du second ordre avec le cercle dont l'équation est +0 bep, et dont les élémens du contact «, B et p ont entre eux la relation @ (x, £, p}=0. Pour y parvenir, on pourrait substituer dans cette dernière équation les valeurs de «, £, p trouvées ci- dessus, et à l’aide de l’équation du second ordre ob- tenue, on remonterait à l'équation primitive. Mais si on suppose les quantités #, 8 et p constantes, ce qui re- donnera l'équation au cercle , on aura l'équation primi- tive complète; et si on fait varier «, B, p, de manière que les équations primes et secondes de l'équation du cercle, soient les mêmes que si ces quantités étaient re- gardées comme constantes, ou aura une équation pri- mitive qui sera celle de la courbe enveloppant tous les cercles représentés par lamême équation. On obtiendra cette équation en éliminant les quan- 6 + =, entre les équations tités c, B,pet—,, g. & “ (jee. (aa + (y—pf=p (2)... æ—a+(y—fy'=0 (3)..... @(x, B, p)j—=0 et les équations primes de celles-ci prises relativement aux seules variables «, B et p, et qui sont f Ge (eat (pet £' (b}.... I à J'=0 (6)s css @f ar ? BE + Ê, @' p=0 ® à Lnéral Mais les valeurs de æ et de y se présentent géncrale- meut ainsi sous une forme compliquée, il est plus simple de chercher à Les déterminer à l’aide d'une troi- sième variable. e DE Étiminons d’abord y’ au moyen des équations (2) ct (5), noûs aurons at ee £' qui; combinée avec (1) donne immédiatement pas va°+6" En substituant ces valeurs dans (4), on obtient : p'=V a EE équation qui, combinée avec #{x, 8, p)}=0, donnée par LEA F=B + Va+ p'* le problème servira à déterminer z et 8 en fonction de p, et par conséquent aussi æ et y. Or, la relation p'=V/Tp" existant quelleque soit lPéquation de la courbe lieu des éentres des cercles qui ot un contact du second ordre avec la courhe cher- chée, on voit que la courbe demandée est telle que le rayon p est égal à l'arc de la courbe des centres. De plus ce rayon est tangent à la courbe des centres. En cffct, la tangente à cette courbe a pour tangente d'incli- Là . H : 1 naison La mais le rayon p est normal à la courbe dont œ les coordonnées sont x ety, et la tangente de l’angle I e qu'il fait avec l'axe des x est pr Or de la relation Eh tete Ra tes 1 + r=0 On tire Vo donc le rayon p est tangent à la courbe des centres. Le rayon des cercles qui ont un contact du second ordre avecune courbe étant toujours tangent à la courbe lieu des centres de tous ces cercles, et en même temps égal à l'arc de cette courbe; il suit qu’une courbe quel ‘conque peut être considérée comme engendrée par le développement de celle qui est le lieu des centres de tous les cerclés qui ont avec elle un contact du second ordre. Cette dernière courbe est donc la développée de la première; le cercle qui a un contact du second ordre avec la courbe donnée est son cercle osculateur , et son rayon est le rayon de courbure de cette courbe. Appliquons mainténant cette théorie à quelques éxémples. Proposons-nous de trouver la développée de la parabole dont l'équation est (1). +» Y°=PL: En prenant les dérivées , on a d'où DE ce qui donne pour les valeurs de x et de y G— - 1 LE nt) En substituant dans l'équation (1), on obtient P * P Si maintenant on pose &— 7 — 0; c'est-à-dire, si on > transporte l’origine des coordonnées à l’origine de la dé- veloppée, on aura pour l’équation de la développée, 169% 27p = Cette courbe aura deux branches, dont l’inféricure engendrera la branche supérieure de la parabole, et vice versé. On pourrait, en suivant la même méthode, trouver l'équation de la développée de la cycloïde, mais nous allons déterminer la nature de cette courbe à l’aide de considérations géométriques. Le rayon de courbure de la cycloïde est égal à deux fois la normale à la courbe (voyez RAYON DE COUREURE, ; or ; la valeur maximum dela normale est celle qui cor- respond à la position OD dans laquelle elle. est égale à 2r,r étant le rayon du cercle générateur, Donc le ravon 20D, et le point D' appartient à la développée. 'Le point M, de courbure a pour valeur maximum DD' =- qui est sur le prolongement de la normale MR, et tel que M'R=MR, est aussi, un point de la développée. Dé: terminons maintenant. la nature de cette courbe: Pons cela par le point D’ mesons D'E parallèle à AR; pro: longeons le diamètre RG, jusqu'à sa rencontre, cn !° avec cette droite, et menons FM!. Les deux triangles, MGR. et M'F étant égaux, l'angle en M'est dreit puis: que celui en M l’est aussi, ce qui prouve que le ecrele décrit sur RE passe parle point M', Les deux droites M'E et MG étant égales, les arcs qu'elles sous-tendleut sont égaux, et on en déduit 444 à DE arcM'E = arc RMG—arc RM—AO—AR=— RO FD’. Comme ces relations existent‘pour tout autre point de _la développée, il suit qu'elle est une evcloïde décrite par le mouvement du cercle RM'FR de même rayon que le cercle générateur de la première cycloïde, rou- Jant sur la droite D'F, de D’, qui est l’origine, sur F. A l’aide de considérations que nous allons rapidement exposer, Monge est parvenu à prouver qu'une courbe quelconque a toujours une infinité de développées. Suppo sons que BAC soit une courbe à double cour- bure quelconque, Par un point A de cette courbe menons ua plan MNOP perpendiculaire à la tangente en A ; ime- nons de même par le point A’, infiniment proche deA, un plan MNO'P'perpendiculaire à la tangente en A'. Ces deux plans se couperont suivant une droite OP qui sera l'axe du cercle dont on peut supp oser que l'élément AA de la courbe fait partie; de sorte que si on abaisse de ces points des perpendiculaires sur cette droite, elles seron égales entre elles et se rencontreront en un même point qui sera le centre de ce cercle, lequel sera le cercle oscula- teur de la courbe. Tous les autres points de cette droite seront chacun à égale distance de tous les points de l'arc infiniment petit AA’ et pourront par conséquent en être regardés comme les pôles ; cette droite sera donc le lieu géométrique des pôles de l'arc AA’. Si maintenant 6n agit de même pour les points infiniment voisins A”,A".... Fous les plans perpendiculaires aux tangentes à la courbe en ces points, se rencontreront deux à deux suivant des droites O'P', O"P”, OP”... qui seront les licux géo- métriques des pôles des arcs A'A”, AA"... et ainsi de suite; par conséquent, la surface courbe que ces droites forment par leur assemblage est le lieu géométrique des pôlesd e la courbe BAC. DE Menons maintenant par le point À et dans le plan MNOP une droite quelconque et prolongeons-la jasqu’à ce qu’elle rencontre PO en d; joignons A'et d par une droite que nous prolongerons jusqu’à ce qu’elle ren- contre O'P'en d',menons de même A"d'etainsi de suite; nous obtiendrons de cette manière une courbe passant par tous les points dd'd"d"... qui sera une développée de BAC’. En effet, toutes les droites Ad, A'd', A'd"... sont tangentes à la courbe d d'd"... puisqu'elles sont les prolongemens des élémens de cette courbe; de plus, si on conçoit que la première Ad tourne autour du point d pour venir s'appliquer sur la suivante A'd', elle n'aura pas cessé d’être tangente à la courbe 4 d'd", et son extrémité À, après avoir parcouru l'arc AA', se confondra avec l’extrémité A' de la seconde. Il en sera de même pour les autres droites A'd', A"d'.... La courbe d d'd" est donc telle que si on imagine qu’une de ses tangentes tourne autour de cette courbe sans cesser de lui être tangente, et sans avoir de mouvement dans le sens de sa longueur, un des points décrira la courbe BAC ; c'est donc une de ses développées. Mais nous avons supposé que la direction de Ad était arbitraire, par conséquent il en serait de même pour toute autre droite menée par le point À dansle plan normal MNOP; donc une courbe quelconque a une infinité de dévelop- pées toutes comprises sur la surface ; lieu des pôles de la courbe; cette surface, qui d’ailleurs est dévelop- pable , est donc le lieu géométrique de toutes les deve- loppées. Si du point A on abaisse sur OP la perpendiculaire AD , du point A’ sur O'P' la perpendiculaire A'D', du point A” sur O’P" la perpendiculaire AD” et ainsi de suite, les points D, D', D’seront les centres de cour- bure des élémens correspondans de la courbe BAC, et par conséquent la courbe passant parles points D, D', D”- sera le lieu géométrique de ces points. Cependant cette courbe ne sera une développée de la proposée, qu’au- tant que celle-ci sera plane. En effet lorsqu'une courbe est à double courbure, deux tangentes consécutives sont bien dans un même plan, mais trois tangentes prises de suite ne peuvent s’y trouver ; par conséquent trois plans consécutifs, chacun normal à la courbe , ne peuvent pas être perpendiculaires à un mème plan, et l'intersection du premier et du second ne peut être parallèle à celle du second et du troisième. Si donc la courbe BAC est à double courbure, les droites OP, O'P', OP’ ne sont pas parallèles, Il suit de là que la droite AD étant perpendiculaira à OP ainsi que la droite A'D, celle-ci prolongée jusqu'en A ne ren- contrera pas O'P' perpendiculairement ; les deux droi- tes AD et A'D' ne rencontreront donc pas la droite OP dans un même point. Mais ces deux droites, considé- rées dans des plans différens, ne peuveut se rencontrer DE que sur l'intersection des deux plans dans lesquels on les considère , par conséquent elles ne se coupent pas et ne sont pas situées dans un même plan. [l en est de même des droites A'D', AD”, A"D" prises deux à deux consé- cutivement; par conséquent elles ne peuvent être les tangentes consécutives d’une courbe. Il suit aussi de là que si, par deux points consécutifs D et D’, on conçoit une droite tangente à la courbe DD'D", elle ne passera pas par le point A'; mais én tant qu’elle est dans le se- cond plan normal elle ne pourrait couper la courbe BAC qu’en ce point A' où ce plan la coupe, donc la courbe DD'D' est telle qu'aucune de ses tangentes pro- longées ne rencontre la courbe BAC ; par conséquent elle ne peut être une de ses développées. Si la courbe BAC était plane, toutes les droites OP, OP", O’P” seraient perpendiculaires au plan de la courbe et par conséquent parallèles entre elles. Alors les droites AD, A’D', A"D” seraient toutes dans le plan de la courbe et se rencontreraient consécutivement dans la courbe DD'D” dont elles seraient les tangentes. Il est évident alors que cette courbe serait la développée de la courbe BAC etprécisément celle que l’on a l'habitude de considérer. On pourrait maintenant se proposer de déterminer l'équation de la surface développable, lieu géométrique de toutes les développées d’une courbe dont les équa- tions sont données ; et ensuite trouver l’équation d’une développée déterminée; mais ces considérations nous meneraient trop loin, et nous renvoyons ceux qui se- raient curieux d'étudier cette théorie dans tous ses dé- tails, à l'analyse appliquée à la géométrie de Monge. DÉVELOPPEMENT, C’est, en géométrie , l’action par laquelle on développe une courbe pour lui faire dé- crire une développante. Foy. ce mot. On se sert encore de cette expression pour indiquer la réunion sur un plan de plusieurs figures planes dont l’ensemble forme la surface d’un solide. En algèbre, on entend par développement la forma- tion de la série qui donne la génération d’une fonction. Par exemple (a+x)" étant une fonction de la variable æ, sa valeur, am + mam—ix + ee a—2x2 + m(m—1)\(m—02) — ©" "%{ qn-3 3 UE a T ete... + obtenue par le binome de Newton, est ce qu’on nomme son développement. Foy. Série. DÉVIATION (Astr.). Ecart de position. On se sert de ce terme pour exprimer la quantité dont une lunette méridienne ou un quart de cercle mural s’écartent du véritable plan du méridien, On trouve cette déviation DE 445 en comparant le passage du soleil, observé dans la lu- nette, avec le passage au méridien calculé par la mé- thode des hauteurs correspondantes. Par exemple, ayant calculé que le passage au méridien doit s’effec- tuer à oh 2" 10", ct ce passage s'étant effectué dans la lunette à o" 2° 6", on en conclut que la déviation de la lu- nette est de 4" vers l’est, puisque le soleil a passé dans la lunette avant de passer au méridien justement de cette quantité. Déviarion des corps dans leurchute libre. On nomme ainsi la quantité dont un corps tombant librement à la surface de la terre, s'écarte de la perpendiculaire menée de son point de départ à cette surface. Si la terre était immobile , il ne pourrait y avoir aucune espèce de dé viation, car la force qui fait tomber un corps agissant suivant la droite qui passe par le corps et par le centre de la terre, tant que cette force est supposée agir, seule, rien ne peut changer la direction du mouvement; mais la terre tournant en 24 heures autour de son axe, et toutes ses parties ayant une vitesse d'autant plus grande qu'elles sont plus éloignées de cet axe, il est évident que Île corps placé au-dessus de la surface et qui parti- cipe du mouvement commun tant qu’il n’est pas libre, décrit un cercle plus grand que celui décrit par le poin dela surface auquel il correspond perpendiculairement. Ainsi au moment de la chute, ou lorsque le corps de- vient libre , il se trouve sollicité par deux forces dont l’une le ferait tomber suivant la perpendiculaire et dont l'autre lui ferait parcourir un espace plus grand que l’espace parcouru par le pied de la perpendiculaire ; il en résulte que le corps doit tomber un peu plus à l’est que le pied de cette perpendiculaire, et cette déviation, calculée d’après la théorie et vérifiée par l'expérience devient ainsi une preuve de fait de la rotation de la terre sur son axe. La Place a donné la formule suivante pour calculer la grandeur de la déviation d’après la hauteur de la A=% nh sin A/?, 6 dans laquelle 4 désigne la déviation, À la hauteur de la chute chute, n l’angle de rotation de la terre pendant le temps de la chute, 9 le complément de la latitude du lieu et g l’espace parcouru par un corps pendant la pre- mière seconde de sa chute, savoir g— 4",9044 pour Paris. Voy. Bulletin des Sciences , n° 75. Cette déviation, observée par MM. Guglielmini et Benzemberg , a été trouvée par le premier, de 8 lignes pour un corps tombant d’unchauteur de 241 pieds, et par le second, de 5 lignes pour un cerps tombant de 260 pieds; mais de tels résultats ne peuvent être considérés que comme une vérification générale du phénomène. 426 DI DIACAUSTIQU (Geom.). Foy. CausrniQue. DIAGONALE (Géom.) (de die, travers, et de yovæ, angle). Droite menée du sommet de l'angle d’un paral- lélogramme au sommet de l'angle opposé. Foy. Panau- LÉLOGRAMME €t QUARRÉ. DIAMÈTRE (Géom.) (de di«, à travers, et de æerpoy mesure). Droite qui passe par le centre d’un cercle et qui se termine de part et d’autre à sa circonférence. Le diamètre d’un cercle est le double de son rayon. Woyez NorionspréLim. , 42, et CERCLE , 30. Le pramèrre d'une section conique est une droite qui coupe toutes les ordonnées en deux parties égales. Lors- que ce diamètre est perpendiculaire aux ordounées , il prend le nom d’axe. Foy. chacune de ces courbes en particulier. Le pramèrre-d'une sphère est la même chose que le diamètre du demi-cercle dont la révolution a engen- dré Ja sphère. On le nomme aussi l'axe de la sphère, Voyez SpuÈre. Diamèirres pes PLANÈTES (Astr). Ils sont ou réels ou apparens. Le diamètre apparent d'une planète est l’an- gle sous lequel elle apparait aux observateurs,en prenant pour rayon la distance de la planète à la terre. C’est-à- dire, en menant de l'œil des rayons visuels à deux points opposés du disque d’une planète, l’angle formé par ces rayons et dont le diamètre de la planète est la corde, forme ce qu'on appelle le d'amètre apparent. Cet angle étant très-petit, on peut considérer la corde comme confondue ayecl'arc ou comme étant sa mesure. Ainsi les diamètres apparens d’une même planète sont en rai- son inverse de ses distances à la terre, car il est évident que ces diamètres doivent paraitre d’autant plus grands que les distances sont plus petites. Le diamètre réèl d'une planète est sa véritable gran- deur mesurée à l’aide d’une grandeur connue telle que le mètre, ou comparée avec le diamètre de la terre. Les diamètres apparens servent à trouver les diamè- tres réelslorsque les distances sont connues. C’est ce que nous exposerons au mot Disrance. La distance des planètes à la terre variant à chaque instant par suite des mouvemens propres de ces corps , leurs diamètres apparens varient également , mais ces variations s'effectuent entre certaines limites dont voici la moyenne. Moyens diamètres apparens. Boleil 75 42. 8aint Mercure.,...... 11,8 Ménuss suce oo yo. 57,9 MAS heros 8,94 Jupiter see os 39 Saturne. ss... 1e 18 Uranus ere 3,54 lallunes. ee eo « DI Les diamètres réels sont, en prenant celui de la terre pour unie, Diam. réels, Soleil. ,..,.. 109,9300 Mercure,.... 0,3944 Vénus....... 0,9730 Marsa... 0,556 Jupiter...... 11,616 Saturne ..... 9,604 Uranus...... 4,2630 La lune,.... 0,2720 Il suffit donc de multiplier ces nombres par la valeur du diamètre de la terre exprimée eu lieues ou eu mètres pour connaître les diamètres des planètes expri- mées en mesures semblables. Le diamètre équatorial de la terre est de 12754863 mètres. DICHOTOMIE (Astr.), (dedis, deux fois, et repos partie). Terme dont se servent les astronomes pour exprimer la phase de la lune dans laquelle elle est cou- pée en deux, ou dans laquelle il n’y a exactement qu'une moitié de son disque éclairée. Le moment de la dichotomie de la lune a été em- ployé pour déterminer la distance du soleil à la terre par Aristarque de Samos, environ 260 ans avant l'ère vulgaire; cette méthode, extrêmement ingénieuse : mais peu susceptible d'exactitude par la difficulté de saisir l'instant où la lumière est terminée par une ligue droite, se trouve décritedansl’4stronomie de Lalande. Voyez aussi l'Astronomie de Delambre, ch. 25, DIFFÉRENCE (Arith., Alg.). Excès de grandeu d’une quautité sur une autre, ou ce qui reste lorsqu'on retranche une quantité d’une autre quantité, Par exem- ple, la différence entre 8 et 5 est 3; et en général la dif- férence entre a et b est a—b, quantité qui peut être positive ou négative selon que ba.. Voyez ALGËBRE. Carcuz Des DIFFÉRENCES. Une des branches fonda- mentales de la science générale des nombres. F'oyez MATBEÉMATIQUES. 1. Le calcul des différences , considéré dans toute sa généralité, c'est-à-dire comme embrassant le calcul différentiel, a pour objet les lois de la variation des quantités. , Par variation, nous entendons l'augmentation ou la diminution de grandeur qu'éprouve une fonction quel- conque de quantités variables lorsqu'on augmente où di- minue ces variables. 2. Pour fixer les idées, considérons ce que devient la fonction simple ax en faisant croître æ d'une quantité quelconque m ; on a alors alim) où ax + an , DI ainsi la fonction ax a reçu un accroissement arr par suite de l'augmentation éprouvée par æ. Si au contraire on avait diminué æ de la même quantité », ax serait devenue {x —m) où ax —an , et par conséquent la fonction ax aurait éprouvé ane diminution am correspondante à la diminution 72 de «. Or c'est cette variation am, en plus ouen moins, qu'ou nomme en géuéral prFFÉRENCE de la fonction ax. 3. De même, soit a-bx? une autre fonction de la variable æ; en la désignant par y, nous aurons l'expres- sion 7 =a+ bx etil est évident qu'en faisant varier æ, y éprouvera une variation correspondante. Désignons par y' ce que de- vient y lorsqu'on augmente æ d’une quantité #7, nous aurons J'=a+b(itn}), ° mais la variation subie par y pour devenir y", ou y'—y, est [eite+nr | — [a+ bx | c’est-à-dire, a+ ba? + bnx + bn — a—ba? = bnx + bre. Ainsi bar+br est l'accroissement ou la différence de la fonction y. 4. Généralement, gx étant une fonction quelconque de x, si noùs désignons par Ax l'accroissement qu’on fait subir à la variable + et par Agx l'accroissement qui en résulte pour la fonction gx, nous aurons Apx = f(x +Ax)—@x, et, si au lieu de faire varier æ en plus nous l’eussions fait varier en z20ins , nous aurions eu È APT = PL (x = AX). 5. px étant une fonction quelconque de la seule va- riable x, si nous Ja désignons par y, nous aurons l’ex- pression YE= x; et nous pourrons alors considérer y comme une autre variable , mais dont les variations dépendent de celles de æ. On dit alors que y est une variable dépendante , tandis qu’on nomme x une variable indépendante. G. Les accroissemens qu’on fait subir aux variables peuvent être considérés comme des quantités réelles ou idéales , c’est-à-dire, commé des quantités fuites ou in- AT DI fiuiment petites, dans le premier cas le calcul des diffe- rences prend le nom de CALCUL DES DIFFÉRENCES FINIES, et dans le second, celui de cazCUuL ptFFÉRENTIEL. Nous allons procéder à l'exposition des lois générales de ces: calculs et de leurs applications les plus importantes, puis nous jetterons un coup-d’œil sur l'histoire de leur introduction dans la science et sur les diverses considé- rations métaphysiques auxquelles ils out donné lieu. 7. CALCUL DES DIFFERENCES FINIES. La diffcrence d’une fonction étant la variation qu'elle éprouve lorsqu'on fait croître les quantités variables qu’elle contient, la règle générale pour trouver cette différence est donc de retrancher la fonction primitive dela fonction variée, et c’est ainsi que nous avons trouvé ci-dessus Apr = gix+Ax)—x, ou APX = px — p(x —Ax) en prenant l'accroissement négatif. Il résulte de cette construction, que pour obtenir la différence d’une quantité composée telle que ALBx, dans laquelle A et B sont des quantités constantes et æ une quantité variable, il suffit de faire varier le terme qui contient x, c'est-à-dire qu’on a A(A+Bx) — Ba, car la quantité À, ne recevant aucun accroissement, disparait lorsqu'on retranche la fonction primitive de la fonction variée ; en effet on a A(AHBzx) = (A+B(x+ax) — (ALBr) = A+Br+Bar—A—Bxr —= BAx On aurait par la même raison s[ A +Bx+ 07] — Bar +Caiy, et ainsi de suite dans tous les cas semblables. Il est facile de voir qu’en général la différence d’une suite de termes telle que ox +9 y + a+ ete., px, @y; g'z, désignant des fonctions quelconques des variables x, y, z, se trouve en prenant la différence de chaque terme, ou qu’on a sf ex+gve"sete. [sert +aospere, 8. Agx désignant toujours l'accroissement ou la dimi- nutiouépronvée par 4x, lorsqu'on augmenteou qu'on diminue la variable æ de la quantité A, on peut consi- 448 DI dérer cette quantité Ag comme une nouvelle fonction de x qui peut admettre aussi un accroissement corres- pondant à celui de la variable x. Ainsi, en supposant que x croisse encore de la même quantité Ax, on au- rait après l'accroissement Ag(x+aAx), et la variation correspondante de la fonction 4gzx , ou la différence de cette fonction serait A(ADX) = Aÿ(x+Ax)—Apx. La différence de Agx ou A(Agzx), s'exprime par 4@x, et c’est ce qu’on nomme la différence seconde dela fonc- tion x. 9. On a donc pour la différence seconde de gx, l'ex- pression A°@x = Ap(x+Ar)—Apr. Substituant la valeur de 4gx ou g{(x+Ax)—@x, cette expression devient A’Qx = Ap(x+Ax)—#(r+Ar)+ox, mais on à aussi, d’après l'expression générale du nu- méro 4 ; AP(x+Ar) = pr +24x)—p(x tar). Donc, la différence seconde est AT = (x +24r)—2p(x+Ar)+hr. 10. Considérant de nouveau A°@x, comme une nou- velle fonction de x, sa différence A{A@x) ou Agx sera la différence troisième de gx, et, d’après ce qui précède, on aura Agx A" p(x+Ax)—Apx Mais, d’après 9 Ap(x+Ax) = p(x+34r)—2p(x+24xrH#(x+ax) Apr = (x +24r)—-29(x+ar)+x, Ainsi, eu substituant , on trouvera Apr = p(x+34x)—39(x+24r) + 30(x+Ar)—pr. 11. En suivant la même marche.on trouverait, pour la différence quatrième de @x , l'expression Aigr = q(x+hax)—4p(x+34x)+69(x4+24x) — —he(x+ar)+ex 12. D'après ce qui précède , en remarquant que les coefficiens numériques de ces développemens sont les mêmes que ceux du binome de Néwton, on peut con DI | clure, par analogie , que la différence m ième de la fonc- tion gx doit avoir pour expression générale Apr = p(x+mAr) — mpix + (m—1)Ax) + Le (x (m—2)ax)— etc... .(—1)"px, +- le dernier terme gx ayant le signe lorsque 72 est pair et le signe — lorsqu'il est impair. En renversant cette expression on peut lui donner Ja forme plus commode AM DL —(— 1 ÿ# [eme (x+Ax) m(m—1) + —, f(r+2a7) m(m—1) (m—2) m—3) 12.94 Tr PF) ssmsssrte] 13. Pour donner une démonstration générale de + —etC....s.s cette loi, il suffit de prouver qu’elle est vraie pour la différence de l'ordre #21, en la supposant vraie pour la différence de l’ordre 7; car il est évident que puis- qu’elle se vérifie en faisant »m—4, il en résultera qu’elle est également vraie pour »#1—5, et par suite pour toutes les valeurs entières de 7». Or, en désignant, pour abréger, par à l'accroissement Az de la variable x , cette loi est (4). Am px —(—1)" Lex—mete-+5) + m(m—1) ATEN) e(c+ai—ete.….] —1 1.2 Prenant la différence des deux membres de cette éga- lité, ona A(AmDX)—=(— 1)" [acr+n—metr+an m(m— 1) — pr +3i)— etc. | 1.2 (0 {omete+D+ Late DETENTE PES ete... | 1.2 Ou , en effectuant l'addition des coefficiens des mê- mes fonctions, DI Am HiIpa= (1) +, Lc 1).p(x+i) + (me UD) expo … m (m—3) (pe 1209 m{(m—1) (m—2)m—3) LE 1:2:044 poses ete. | ce qui se réduit à (2) AM H1IPX = (1). 1 Lez—(nHr).e(2t) 4 CU gatod— CD Ch ete 1:253 Car, en nous servant pour abréger de la notation des factorielles, on a en général, # étant un nombre entier quelconque m(m—1) (m—2)... EE mhi—1 TDR uit m(m—) a dre (mike) _ mhtiITt T.2030%e (+) RENE TEST Mais, en réduisant au même dénominateur, mit EH IA (gehr)rat mA li PETER m7 til + A+ = (men (name 1#+ut ns HT 1 15 (mæ+r)e- tait == —— au+uit expression qui , en faisant successivement #—0 , m=1, #=—2, etc., donne les coefficie ns de (b), savoir : (m+1), EC RER Or, l'expression (b) est ce € que devient (a), lorsqu'on Cette loi qui, dans y faitm=m4#, ainsi il suffit que la loi (a) soit vraie 7) ete hi) ie SE (m+1 Den Fe DI 449 pour une valeur quelconque de m pour qu’elle soit vraie en général. 14. Lorsque l'accroissement de la variable est né- gatif, la loi ci-dessus devient 2e LA Les. DRE EtCusse AP = pen (ci) + ————° ce qu’on déduit sans difficulté. 15. Fr et fx étant deux fonctions différentes d'une même variable x, la différence de leur produit ou A(Fx.fx) se trouvera aisément par ce qui précède, car d’après la conception générale des différences, on a a(Fx.fx)=F(x+ax).f{x+ax)—Fr.fs or F(x+aAr)=Fr+AFr Jletax)= fr+afe ] et par conséquent F(x+ax).f(a+ax)=Fr fa+ fx. AFx+Fz.AFz+ +AFx Afr donc A(F 2.fr)=Fx.Afr+Afr.AFx+fr.AFz La différence seconde du même produit s’obtiendrait de la même manière. Cette différence est A (Ex fc) =Fx.Afx+24Fr.a fr + AFr.fr +24F x. A fx +24 Fz.Afr + 4Fzx.4'fx En général, # étant un indice quelconque, on a (c) AU(Fx fe) =F x. 48 fre Fr [ave afx | os are NS [arret 2Au—1 fr + Au | =E ele ee £ 2). AFx [a-petsae-re+ 4 3au—sfra fx I le cas des accroissemens neégatiff, devient 57 450. BI "1! AP fe) = Prdsfe L eATr | Ab fx — SEA 4 nhisyye 50 L'oeuf, + = à Fe [à H—2 fx —2ART fx Lai] (e—x)(e—2) vs nr LE PAST Vin AFx AHT AU fa + + 34r-ife A ofr | > etes. est la loi fondamentale de la théorie des différences. Sa démonstration générale peut s'effectuer en suivant la marche que nous avons employée au n° 13. 16. É nous serait facile maintenant de trouverles dif- férences de tous les ordres d’une quantité algébrique quelconque ,mais sans nous arrèter ici à des déductions particulières dont nous trouverons d’ailleurs plus loin des exemples, calcul des différenees n'a-pas seulement pour but de trouver les différences des quantités données, mais qu'il doit encore pouvoir remonter de ces différences aux dérivent, Cette distinction partage ce calcu}--én:deñixbrañches-dont fa première considère les difjérences directes, ou Les différences proprement dites, fonctions dout elles lorsque les premières seulement sont connues. et la seconde les différences inverses ou sommes. Ainsi, 4x étant la différence directe de ox, réci- proquement 9x est la différence inverse ou la somme de Apx. On désigne les différences inverses par la caractéris- tique >; de sorte que pour exprimer que er est la somme de A9x : on écrit px=2[ax| 17. Comme il y a des différences de plusieurs ordres, il y a également des sommes de plusieurs ordres, par exemple [ax] indique la somme seconde de 4x. En général Z# est Ja caractéristique de la somme de l’ordre m. i8. Pour remonter d’une différence quelconque à EE fonction primitive, il est évident qu'il faut prendre Ja somme du même ordre, et qu’on a 2[4"çx]=çx ‘19. Une fonction quelconque d’une variable étant donnée, si on considère cette fonction comme la diffé- rence d’une autré fonction inconnue , le problème de trouver cétte dernière est donc le but du calcul des différences inverses. Ainsi Fx étant la fonction donnés. c’est ici le cas de faire remarquer que le DI trouver la somme de Fx ou XFx c'esttrouver une autre fonction fx telle que Fon ait sa) Fx=4fe S'il est toujours facile de trouverles différences d’une quautité donnée, il n’en est pas de même des sommes, mais ce n’est point ici le Tieu de nous occuper deæce pro- blème, qui forme Je but général du calcul des différen- ces inverses, Où du CALCUL INTÉGRAL. 20. On considére encore les sommes comme des dif- Jérences d'un ordre négatif, c'est-à-dire qu'on attache la même signification aux caractéristiques 2” et A# ; de cette manière Z'ox et A—pox sont des expressions identiques, Si dans les lois (a) et (ce), on fait l'indice négatif, elles s'appliquent immédiatément aux sommes. La première, en ne considérant que les accroissemens négatifs, ce qui est Le cas le plus snnple, devient (4) mn mis) L'on qu + me(a—i) + ———— (2 — 2) + mi ae (+2) ne DL 5: FFE et la seconde (e) Sn(Ee fr) =F 2 > fem AFx [ Butife — Enfer | + AE PO LE Enr 2204-fx + è + por |-eic D 21. Nous allons montrer par quelques exemples l’ap- plication de ces formules . £ désignant toujours l’accrois- sement de la variable x, proposons-nous de trouver les différences successives de la quantité +, La première difference : ou Az” sera ax = (æ+i}— 2x" et en développant le bia: ome (æ+-i}" n(n— 1.2 A = RMI # Ê Cite D ni n(n—1)(r1 —2) 7 gn=—3j Let... 7 135330 + Pour obtenir la différe) ace seconde, puisque d’après la loi(a), ona = 9x = 9 gai) + ple+2) Aer = à = DI en faisant rx», on obtiendra aan = en — oo + (ao, ou, en développant les binomes, Acxn — x" .. N(7—1 $ — 20m NA D, LR) an? 2 etc, 1.2 n(n—1) an—2 Æ Ctc. han + onan tit mme: et en réduisant A7Xr — n(n—1 ini +6 al fren)h, spi etc. ce. on trouverait de mème pour la différence troisième Aa = nfr—i)(n—2)2r + Anti Brr$$ etc, en désignant, pour abréger, par À B C etc., les coefi- ciens des puissances ii, 2°, 1°, etc. “PP! . Tan En général, la différence m ième aura la forme ann n(n1) (n—2)...(n—m4#i)ar-nim + AE Mar-n-iimtitetc. Lorsque l’exposant » est entier et positif, le nombre des termes de 4” x, diminuant d’une unité lorsque 72 augmente d’une unité, on voit facilement que dans le cas de m—n,0ona Amd — n(n—1)(n—2)...1.ùt et que cette différence ne contient plus la variable x. Il suit de cette remarque, que les différences d’un ordre supérieur à 72 sont 0 , ou qu’on a en général Amxn = 0 toutes les fois que 72 est plus grand que ». En donnant des valeurs particulières à #7, nous au- rons A x? = 2x%ii AE? = 91° Aix? = 0 etc. etc. A x3 — 3xiLaxi + x = Grit6à A3 — 68 Aixi — 0 etc, etc. 29. Proposons:nous maintenant de trouver les diffé- rences successives de la factorielle æli en prenant pour DI 451 accroissement de lavariable l'accroissement £:dela facto- rielle , nous aurons ir AœnrÈ |, dr )nli jm ë : tbe ei Or, par la nature des factoriclles (ini = (ai) (am dan ii D. (a+ int lÈ Ainsi, opérant la soustraction (a+ ini ami (xp [+ + mi— | : donc Agmi = pri(atipne ii, En prenant les différences à accroissemens négatifs, cette expression devient plus simple, car on alors AZI — pm (x —i)r i = (24 (ni ri) ant (gr) pm ré = NU. xm—1 i, La différence seéonce étant: APXUEE = A(nris dm A à) NU VAT on obtient immédiatement , en vertu de l'expression précédente, AM = n(né ie am à, En continuant de la mème manière il ést facile de voir qu'on a en général Ang nm)... (mini). ir anni, Si au lieu de la simple factorielle æ#{ nous prenons le binome (a+-x)"i nous aurons, en considérant tou- jours les accroissemens comme négatifs, Aa)" à = (a-prné 8 (aan = (a+x + (n—r)à) (a+-x)n-ii —(ata—i\ aa) =nmiatrpenii, et, par suite An(a#x}rè m(m—x1)(m09) (nds) in (a+a)mni, Nous avons fait usage de ces différences à l'article Coxe FICIENS INDÉTERMINÉS, 23. Les accroissemens dela variable! fuenütis vor considérés comme égaux entre eux dins Tes différents successives, peuyént admettre, dinisique notslé véto: 452 DI ailleurs, des valeurs différentes. Mais avant d'aborder les applications du calcul des différences , procédons à l'exposition du cas des différences idéales qui forme la partie la plus importante de ce calcul. 24s Cazcuz DiFFÉReNTIEL. Lorsque les accroissemens des variables sont considérés comme infiniment petits, le ‘calcul des différences prend le nom de calcul différen- tiel. Alors la nature purement idéale des quantités sur lesquelles on opère apporte non-seulement des modifi- cations dans les procédés du calcul, mais jui donne en- core une signification particulière, qui, jusqu’à cette époque, ne paraît pas avoir été saisie par le plus grand nombre des mathématiciens. Nous allons essayer, autant que les limites de ce dictionnaire peuvent nous le per- mettre, d’éclaircir les difficultés qui , depuis l'invention du calcul différentiel, ont porté quelques géomètres cé- Jèbres à éluder l'idée de l'infini, en substituant aux pro- cédés, si éminemment simple de ce calcul, des procédés indirects et compliqués. Remarquons avant tout que l'intelligence de l’homme se compose de facultés différentes qui ont chacune leurs lois propres, et que toute connaissance est le produit de la double action, de l’objet de cette connaissance , sur les facultés intellectuelles et des facultés sur cet objet. C’est ainsi, par exemple, pour nous faire comprendre par une image sensible ; que dans les sensations de l’or- gane de la vue, la vision est le résultat composé de l’ac- tion d’un objet matériel sur l'œil et de la réaction de l'œil sur cet objet; de cette action réciproque nait la sensañon de la couleur; couleur dont on ne peut cher- cher exclusivement l’origine ni dans l’objet ni dans l’or- gane affecté, mais bien dans la réunion de leurs activités. Il en est de même pour les facultés de l'intelligence; chaque faculté est douée de dispositions primitives ou de lois particulières qui entrent comme parties consti- tuantes dans les connaissances auxquelles nous nous éle- vons par son moyen. Il est donc aussi essentiel de ne pas confondre les produits de ces diverses facultés que ces facultés elles-mêmes. Or, deux facultés opposées do- minent toute l'intelligence humaine, ce sont l’ENTEN- DEMENT et la RAISON, qui se neutralisent dans la faculté intermédiaire du sucxmenr. Les fonctions de l’entende- ment se rapportent aux objets sensibles, c’est-à-dire, aux objets réels qui existent dans l’espace et daus le temps. Cette-faculté agit en introduisant une unité intel- lectuelledansles intuitions que nous avons de ces objets; ses produits se nomment perceplions générales où con- ceptions. Les fonctions de la raison ne s’exercent pas sur les objets eux-mêmes ou sur leurs intuitions, mais bien sur les conceptions de l’entendement que cette fa- culté supérieure ramene à l’unité ; ses produits se nom- ment conceplions générales, ou idées, en prenant le ‘mot idée dans son acception philosophique. Les fonctions DI du jugement s'exercent alternativement sur les concep tions de l’entendement et sur les idées de la raison; cette faculté, dont les produits se nommert jugemens, agiten descendant des conceptions générales aux conceptious particulières, ou en remontant des secondes aux pre- mières. Ceci posé, il est évident que l’idée de l'infini est un produit de la raison et par conséquent un produit essen- tiellement différent de celui de l’entendement qui doune la conception d’une quantité finie. En effet la-concep- tion d’une quantité finie sert à lier les intuitions que nous avons des objets en les ramenant à l’unité, tandis que l’idée de l'infini est absolument inapplicable aux objets sensibles et ne peut se rapporter à aucune conpais- sance réalisable par l'expérience. Mais cette idée de l’in- fini, dernier terme de la raison, soumise à l'influence du jugement, se transforme en idée de l’indéfini et de- vient alors applicable aux conceptions de l’entendement dans lesquelles elle introduit la dernière unité intellec- tuelle. Ainsi la conception d’une quantité finie porte toujours sur des objets réels réalisables par l'expérience, et sert de loi constitutive à des relations possibles dans ces objets; tandis que l’idée d’une quantité indéfinie ne porte que sur les fonctions même de l'intelligence et sert de loi régulative ou de règle pour la géneration, non de la quantité elle-même, mais de sa connaïssance. Les quantités finies et les quantités indéfinies appar- tiennent donc à deux classes opposées de connaissances et conséquemment les lois des premières ne peuvent être les mêmes que les lois des secondes. C’est à la confusion de l’origine de ces deux espèces si différentes de quan- tités que sont dues toutes les controverses dont le calcul différentiel a été l’objet. La première loi de ce calcul est : Deux quantités quine diffèrent entre elles que d'une quantité indéfiniment plus petite, sont rigoureusement égales. C'est sur cette loi que les géomètres ont tant peine à comprendre que repose toute la question. Question pour lasolution de laquelleil faut, à la vérité, s'élever au-dessus de la niaise métaphysique de Condillac et de son grossier mécanisme des sensations. La plupart des mathémati- ciens modernes regardant encore la /angue des calculs et d’autres inepties semblables comme le plus sublime effort de l'intelligence, nous ne pouvons nous éton- ner que malgré la publication faite en 1814, par M. Wronski, d’un ouvrage intitulé Philosophie de l’in- fini, et dans lequel la loi du calcul différentiel se trouve démontrée de la manière Ja plus rigoureuse, ces mathé- maticiens ayent persisté dans leur savante prétention de bannir l'infini des mathématiques; mais nous ne pou- yons nous empêcher de déplorer la condition des jeuues DI gens auxquels on impose l'étude d'ouvrages qui ne se font remarquer que par l'absence totale d'idées philo- sophiques. La démonstration complète de la grande loi des quantités infinitésimales repose sur la distinction néces- saire qui existe entre les lois réelles des quantités finies et les lois idéales des quantités indéfinies; distinction dont nous n'avons pu ci-dessus que résumer les princi- pes et pour laquelle nous renverrons nos lecteurs à la Philosophie de l'infini, car c’est dans cet ouvrage seul qu'ils pourront l’approfondir et conséquemment appré- cier la démonstration dont elle est la base. Nous ne pouvons ici qu’affaiblir cette démonstration en la résu- mant comme il suit : Les lois des quantités indéfinies n'étant, comme comme nous l'avons dit plus haut, que des lois idéales qui ne peuvent servir de règle que pour la génération de la connaissance de Ja quantité , et non des lois réelles de la relation même des quantités, il est évident que deux quantités, A etB, quine different entre elles que d’une quantité indéfiniment plus petite GC, sont rigou- reusement égales. Car l’idée de la quantité indéfinie C n'étant qu'une règle pour la génération de la connais- sance des quantités de l'ordre de À et B, et ne pouvant avoir conséquemment aucune réalité dans la sphère de grandeur où se trouvent A et B, ne peut, par son in- fluence purement idéale, changer en rien la relation de ces dernières quantités considérée dans sa réalité. 25. On se sert de la caractéristique d pour désigner les différences infiniment petites ou les différentielles. Ainsi dr est la différentielle de x et dgx celle de @z. dx étant une quantité infiniment petite; dx? est une quantité infiniment petite du second ordre, ou une quantité infiniment petite par rapport à dx; de même dx est une quantité infiniment petite du troisième ordre, et ainsi de suite.Le produit de deux quantités in- finiment petites , telles que dx etdy, est aussi une quan- tité infiniment petite du second ordre; le produit de Lrois quantités infiniment petites dx , dy, dz est égale- ment une quantité iufiniment petite du troisième ordre, etc., etc. Foy. Inrini. La loi des quantités infinitésimales embrassant les dif- férens ordres de ces quantités, il est évident que les in- finiment petits d’un ordre quelconque n’ont aucune valeur à côté de ceux de l’ordre précédent, considérés comme donnant lieu à une relation réelle, c’est-à-dire que l'égalité A=B+C se réduit toujours à A—=D S1, quel que soit l’ordre de grandeur des quantités A ct DI 455 B, C est une quantité infiniment petite par rappoit à AetB. 26. Tout ce que nous avons ditsur lesdifférences peut actuellement s'appliquer sans difficulté aux, différen- elles. Par exemple la différence d'un produit de deux variables simples x et y étant (15) A(X.ÿ) = x Ay+Ax, Ay+yaz, Si l’on prend les différences infiniment petites, cette expression devient d(x.y)=xdy+dx.dy+ydx, ou simplement d(x.y) = xdy+ydx, en retranchant dx.dy qui est une quantité énfiniment petite du second ordre et qui n’a, par conséquent, au- cune valeur comparée avec celles du premier xdy et ydr. 27. La loi fondamentale (a) lorsqu'on change l'ac- croissement? en dx, se réduit à (e) dE. fe) = Fa.dhfr+u.dEz.du—1fz + en ŒFx.du—2fz 1 m(e—1) (#—2) 3 5 +; .dFzr.dr—2fx etc. etc. en négligeant les quantités qui se détruisent. Cette loi peut, comme le binome de Newton, avec lequel elle a une grande analogie, se transformer en développement de trois ou d’un nombre quelconque de facteurs. 28.Procédons maintenant à la déduction des différen- tielles des fonctions élémentaires. Soit d’abord (gx}" la fonction qu’il s’agit de différentier. Si m est un nombre entier quelconque, faisons m—=p+g, pet g étant eux-mêmes des nombres entiers , et nous aurons (gx) = (pxhp+7 = (px (ox)7. Mais d’après la loi précédente d (px). (ex) | — (gx). d(gi) + (ex. d(px)7. Ainsi , faisant p—1 et successivement 91, 3, 3, 4, etc. Di—1 , On à d(px) =29x .dex d(px)=3(ex) .dpx d(pc={\(ex). dx etc. elc. 454 DI ét généralement (f) dex}?=m(px)" dx Si m est un nombre fractionnaire , en le représentant P ar — d q tion inconnue ÿx de la variable x, et poser ST 54 nous pourrons cousidérer (gx), commeunce fonc- p (px)s = Ÿx d’où D... (gx = (dx) et [22] ee | (ex E d\(yay} ainsi, p et g étant des nombres entiers , on à d} (px)? | = p(ypc)—1.dpx a (Ja) | = gx) dr et, par conséquent, pexP—:.dex=q(br)—1. dx, on tire de cette égalité sos AVE — P . 4 Ÿ : Mais d’après l'égalité 1 F La dy = à {(xY | et CAES ETtP ave (ele (eu) ? substituant dans 4, on a P g\_P _GxpT a] Gx) | __q PI +P (ox) ? LE =? (+2) . dax. Ainsi l’expression {f)a lieu lorsque 72 est un nombre po- sitif entier ou fractionnaire. Lorsque m2: est un nombre négatif, entier ou fract:on- paire, nous pouvons poser > pr)" — J T d’où et par suite 1 (px), x Nous aurons donc aussi, à cause de d1=0, puisque x est une quantité constante , o=4l (px)m. ve F et d’après la lai (e) o= dépx}. Ve + (ex) dhe, c'est-à-dire «À mloxhn—:. dx. dx ——oxm,.déx, d'ou ‘ \m—1 \?PT ) d£ = —m — ,.dex.d4x Ÿ Gen Ÿ =—mlex)-1.dex 4x, mais dyæ=al (ox) | et Ve = (pr). Donc, en substituant ces valeurs dans la dernière éga- lité, on obtient définitivement diex)-n =—mipx)-"-1.dex, l'expression (f) se trouve ainsi démontrée pour toutes les valeurs entières et fractionnaires positives et négatives de l’exposant 71. serait facile, en employant un procédé semblable à celui dont nous nous sommes servis à l’article ANGLE, u° 13, d'étendre cette démonstration au cas de l’expo- sant irrationnel. 59. ILest facile à présent de trouver la différentielle é . Ç æ d’une expression fractionnaire telle que re ; Car on a px = = oX.(dTr)T! Ÿx x .(ÿæx) et par conséquent a Æ = pr (pe) (pa). dx = — 192.d($x)—2.dVx + (ÿx)-1dpe x. dex—eox.d x (E3E É DI 30. En substituant, dans ces expressions générales, des fonctions déterminées de x, on peut trouver facilement les différentielles de ces fonctions. C’est ce que nous allons éclaircir par les exemples suivans, Soit —(A+xt) ctn=+, on a d(A+z’h = (A+): d(A+æt), pes d(A+zx’)= dA+dx? = o+2xdx, donc d(AHathà = +. (A+a)-t.2xdx dx V(A+a) On trouverait de la méme manière pxr—*.dx d| V' {ar + x?] | = n/ Feu Fe à cause de 1—m——(m—i). Soit actuellement € (px) = (a+ bar, onaura Ka+ban)” = m(a+bar)#— Ke, d{a+bær) = m(a+bar)n— .nbaæn=\dx = mb (aber da. Prenons pour dernier exemple ere[e+ÿ6-5) nous aurons d’abord a [av 2) 1% = m [a+ Mais afa+v(i— D, A D [ afetv 6-5 | À 455 1-5) = —dcx—? = +pex-p1,dx pcdx xP+2 donc en substituant LH) LC 31.L’expression théorique du logarithme d’un nom- bre x, d’après la base &, élant log æ = cp (. = 7 gx =X(x 1) PE dans laquelle © représente un nombre infiniment grand et La le logarithme naturel de la base a (voy. Lo- GariTaMes). La différentielle est, d'après ce qui pré- cède, d loge = d] » x 1). Le) œ Lo” œ@ 1 nr æ* x a— dx < _i dæ 7 La.x Le à cause de 2°" =x—1 S'ils’agissait d’un logarithme naturel, on aurait La—1 et dx dLx = — On aurait de même, en général, 35. Cette derniéredifférentielle nous fournit le moyen d'obtenir facilement celle de fa fonction exponentielle a: Eu effet, faisons d: A) DI af +] — dy Mais en prenant les logarithmes naturels des deux 456 nous aurons Lo membres de la première égalité, nous avons ox.La=Lx ce qui nous donne en différentiant La.dpx —dly = # “ Ainsi dy=y.La.dyx et par conséquent, en substituant les valeurs ci-dessus de dy etdey, d [ur] = a;*.La.dyx 33.Pourobtenirles différentielles des fonctions trigo- aométriques sin æ et cos æ, nous pourrions partir des expressions théoriques de ces fonctions (voy. Sinus), mais il se présente un moyen plus simple de les obtenir immédiatement. Nous avons généralement (7) dex=g{x+dr)-9x Ainsi d'sinx— sin (x+dx)—sin x or sin(xÆdx)=sin x.cosdx+cosx.sindx donc d'sin x=sinx. cos dx +cosx.sinx Or, dx étant une quantité infiniment petite sin dx=sin x et cos dx 1 (voy. Sinus), par conséquent dsinx.=cosx.dx On trouverait dela même manière dcosxæ ——sinx. dx A l’aide des différentielles précédentes, on peut cou- struire sans aucune difficulté celles de toutes les fonctions composées, nous ne nous y arrèterons donc point, et nous passerons immédiatement aux applications les plus importantes du calcul des différences. 34. Le grand but du calcul des différences finies ou indéfinies+, étant d'obtenir la génération d’une fonction quelconque, par le moyen de ses accroissemens, dési- gnous par Fx unetelle fonction , etexaminons ce qu’elle devient lorsqu'on augmente successivement la variable DI z. Or, z étant considéré comme l'accroissement de x, nous avons en général æ d’une même quantité AFx=F(x+z)—Fxr d’où F(x+z)=Fx+aFx faisant successivement dans cette relation générale Lx +2, x =2x+#25, xx +3, etc., et substituant les unes dans les autres les valeurs que donne cette même relation , nous obtiendrons la suite d'expressions Fx+ 2)=Fr+aFx F(x+22)=F{(xtboz)+al(x+oz)=Fxr+o4Fr+a4Fx F(x+3z)=F{x+#02)+AF(x+402)=lr+3aFr+ +34 Fx+aFr etc. etc. etc. et en général (g) F(x+mz)=F 2maF + MU aFz x + m(m—1) (m—2) ,; + Ps po Fr+etc…. ce qu’on peut démontrer en suivant la marche employé pour la loi du numéro 13. Maintenant, y étant un multiple exact de z égal à 22, on a =?, et substituant cette valeur dans (g), on obtient (k) Fr +7. ME rUD, APE 4 Ya} (9—22) es de etc... AT AT Mais le nombre des termes de cette expression est d’au- tant plus grand que la quantité z qui est sous-multiple de y est plus petite; lors donc que cet accroissement est infiniment petit, et alors , il peut toujours être con- sidéré comme un sous-multiple exact de y, le nombre des termes de (k) devient infiniment grand. Dans ce cas, les différences deviennent des différentielles, z est simplement dx, et l’expression (4) devient (t) Le Fete pr +20 2, CEE 12 da? —— + Telle est la génération de la fonction F(x+7). C'est ce qu’on nomme le théorème de Taylor. 35. Pour appliquer ce théorème à la génération d'une DI fonction déterminée , on voit aisément qu'il suffit de savoir trouver les différentielles successives de cette fonction, ce qu’on peut toujours faire par les règles données ci-dessus. Soit en effet F(x+y)=(z47)", nous aurons Fx=—x”, et par conséquent d'Fx—d{[xr]=mam-dx dFx=d{rr]=dimen-dx]=m(m—1)x"-1dx? DEx=d{xm]=d\m(m—rx"—- dx] =m(m—1\m—2)x"-$dx elc. —=etc. = etc. la quantité dx étant considérée comme constante. Substituant toutes ces valeurs dans le théorème (4), on obtient. _— Gnome y me Mn 1)(ni—2) EVENE — xm—iy3 etc... ou la formule de Newton, qui se trouve ainsi démontrée pour un exposant quelconque 7. 36. Si dans le théorème(z),on fait x—0o,ona,en désignant cette circonstance par un point placé sur æ dans Fx, es LE + 2. 1.2 F(y)=Fà +7 CE es 33" NE Le etc... changeant y en x, on a définitivement (4) a &Fx æ dFx 2e Fa)= Fi + EE .2 dx? dFx 3 z Te -— etc... SU 1.2.3 formule connue sous le nom de thcorème de Maclaurin, et dont on a revendiqué dernièrement la propriété en faveur de Süurling. Nous avons déjà donné une déduction de cette for- mule par la méthode des coefficiens indétermines. 37. Éclaircissons Vusage de ces formules par quelques exemples. Soit Fx=L'i-x), la caractéristique L dési- goant le logarithme naturel de (14-x). Nous aurons les différentielles successives de L{14-x)en faisant d’abord, d’après (31) et ensuite DI died [LE tai Se 1+x)—1.dx dx? = —1.(1+x)-.d2x= TRE dUi4r)= a |- & | —=+(1+x)-3.d2 dx? = +rG dl ral=d] Le 3(14x)- 4 dut +T)= . el —2.3(1+x)-é.dx Tri NS te (1+x)t etc... etc. et en général drL(i+zx) =2.3.41. nr) (—i)a—1 faisant dans toutes ces expressions 4=0, et les substi- tuant ensuite dans (4) on obtient ri 5 n 2 3 L(i+x) — Li+® "+ — AE — etc... ou seulement % Ne D 2 L(i+x)=x— + MR: + CAT + etc... ° à cause de Li=o. Soit actuellement Fx=sin{a—x), nous trouverons pour les différentielles successives d sin(a+4-x)=cos(a+x),dx æsin{a+x)—d| cos(a+x).dx ]=—sin(a+x).dx Bsin(a+x)=d|—sin(a4-x)dx"]=—cos(a+x).dx disin(a+x)=d|—cos(a+-x)dx]=<+sin (ar). dx et ainsi de suite. Faisant dans ces valeurs x=0 et substituant dans (4) on à LR : æ k sin (ax) = sin a+ cos a.— — sin «. ee Lil 13 x — 3 + etc... .2.9 — cos &, 1 si l’on fait «—0, on à sin o—0, cos o—1, et le dévelop- pement devient PACE Es etc.. On trouverait de la même manière pour cos æ, l’ex- pression 458 ‘- DIT = 2” ot Rte r | etc CRT Slt Sie nt 00 Lo 38. Nous avons jusqu'ici considéré la variable x de la fonction générale 9x comme une variable indépen- dante, c’est-à-dire comme une variable qu’on peut dé- terminer à volonté; mais il peut se présenter le cas où cette quantité est elle-même fonction d’une autre va- riable, des accroissemens desquels les siens dépendent ; par exemple, æ peut être une fonction quelconque Ÿz dez, et l’on peut avoir besoin de connaitre immédia- tement l'accroissement de 9x correspondant à celui de z, ou la différentielle de #x en fonction immédiate de az. Pour mieux faire comprendre cette particularité, sup- posons gx ax? etz—=bz en éliminant x entre ces deux équations, on obtient gx—ab"z" dont la différentielle , en faisant varier z, est dox—2ab";dz Or, cette élimination peutsouvent devenir très: com- pliquée , et il est toujours facile d'obtenir immédiate- ment la différentielle de #x en fouction de la variable indépendante z. Pour cet effet, remarquons que la différentielle d’une fonction quelconque 9x est toujours de lg forme Mdx, c’est-à-dire qu’on a en général dox— Max æ étant considérée comme variable indépendante, et M étant une quantité dans laquelle x peut ou non se trouver, selon que dans +, ilentre ou n’entre pas des puissances de x. Or, en divisant l'équation précédente par dx, ona et M est ce qu'on nomme la dérivée différentielle de ar. Ainsi, dans le cas ou @x serait a + bx ca*, nous aurions dÿx = bdx + 2cxdx = (b + ocx)dx et, par conséquent, dx nn b+ ocx. b+ocx serait la dérivée différentielle de ox. de: , De même Je est la seconde dérwée différentielle de gx , et ainsi de suite. DI Or, lorsque la dérivée différentieite d'une fonction est connue, on obtient immédiatement sa différentielle, car de l'équation générale dmgzx _ X, dm on tire dméx = X.dxn, û Ayant donc la fonction 9x dans laquelle x=4Ÿz2, ce qui revient à gx = g(Y2) si nous parvenons à trouver la dérivée dé(Yr) , der ds ? dz nous aurons en même temps la différentielle de gx en fonction de la différentielle d3 de la variable indépen- dante z. Mais si nous désignons par M la dérivée de gx, et par N celle de 43, nous aurons d$xr dYz PR UN d’où Lz CNRC dx dz Or, à cause de ===, on a dx —d#2, retranchant donc le facteur commun aux deux termes de la fraction , il reste et conséquemment dgx =M.N.d, ce qui nous apprend que pour obtenir la différentielle de gx, par rapport à la vañable indépendante 2, il faut prendre le produit des dérivées de gx et Ÿz et le mul- tiplier par dz. Appliquons d’abord cette règle à l'exem- ple donné ci-dessus dans lequel gx = ar et x — bz ou à | dpx = 2ax dx, et dx = bdz d’où d L PE oax ; et —b dx dz ainsi dpx dpx dx eo de et définitivement DI dgx = 2abx dz, différentielle qui est identiquement la même que celle obtenue par l'élimination, en substituant à la place de x sa valeur bz. Soit pour second exemple px —a+bx*etæ—mz+n2, nous aurons dgx 2 _ Rie 3bx?, » = 74-07 et DE = 3bx(m+anz) de ou dpx = 3bx*(m+onz)dz. 39. Si la variable x de gx, dépendait d’une autre va- riable y, dépendant à son tour d’une troisième z, c’est- à-dire , si l’on avait x = Ÿy ety = 02, y et 63 étant des fonctions quelconques de y et dez, on obtiendrait la différentielle de gx, en fonction du seul accroissement dz, par le produit des trois dérivées dgxz dx dy. dx * dy &° c'est-à-dire qu'on aurait d$x dx dy, dpx = PES , dy me dz, ce qui est une conséquence de ce qui précède et peut s'étendre à un nombre quelconque d'équations auxi- liaires. 40. Ces formules peuvent être employées avec ayan- tage dans la différentiation des quantités compliquées; un seul exemple suffit pour enseigner leur emploi. Soit pas supposon b mas d her (1) et nous aurons gx=(a+\/y) l'équation (1) nous donnera .. (2). dy _ 2c dx x et l'équation (2) DI 459 dox (a y} dj _ 2Vyr nous aurons donc dex_ déx dy _ hat vy de. dy ‘dx axi,\/y ? d’où, en mettant pour y sa valeur, fr. Sans nous arrêter ici à la déduction des différen- tielles successives d’une fonction gx dans laquelle x est une variable dépendante, déduction qui ne présente aucune difficulté et dont ce qui va suivre offrira d’ail- leurs un exemple , appliquons les considérations précé- dentes à la génération de Ja fonction générale Fx, au moyen des accroissemens dy d’une variable indépen- dante y avec laquelle x est liée par l'équation x=4y. La fonction Fx est alors proprement F(4y). Or, en appliquant à cette dernière le théorème de Maclaurin (4), nous aurons (2) F(dn) = J dy F7 Le point placé sur y indiquant toujours qu'il faut faire yo après avoir pris les différentielles. Mais, d’après li formule du n° 38 , nous avons dEx dEx dx nous aurons évidemment dA: - dA; dx dy dx dy et par conséquent AA; … dFx dy — dy? désignons de nouveau cette seconde dérivée par À, , et poursuivant de la même manière, nous trouverong, en rassemblant les résultats, dEfdy) dFx dFx dx dEx tr Amel Ke 5 A4 = LL, — = = À, d) dæ dx dy dy 460 Di dy) dEx dA, dx dA; E Pr = = - . — — = A, dy dy? dx dy dy ŒF(Ÿy) _ d'Ex dA, dx dA, 3 — = T = -7.e = - = À; dy dy dx dy dy déE(Ÿy) _ diFx dA dx dA, —— — = — = - . =-— —=A, dy{ dy dx dy dy etc. etc. Substituant ces valeurs dans l'expression (/), elle de- viendra ed LL ÿ* _ ÿ Fe = Fit + A + he a etc... Le point indiquant qu'après lesdifférentiations il faut donner à la variable x la valeur qui résulte pour cette quantité de la relation y = 0 dans l'équation x = y. Mais si nous désignons par gx la fonction réciproque qui donne y=@x, nous aurons définitivement (72) Er Fèt, Pa EE pere. et alors le point indique qu’il faut donner à x, après les différentiations, la valeur qui rend gx=o. Ceite formule, qui donne la génération en série d’une fonction quelconque de la variable + au moyen des puis- sances progressives gx , (x) ,[(@x)* d’une autre fonc- tion arbitraire de la même variable, est appelée le {Aco- rème de Paoli, du nom du géomètre qui l’a décou- verte. 42. En examinant la formation des coefficiens A,, A, A, on peut les exprimer ainsi qu’il suit, en les rendant indépendans les uns des autres dFx d@ x x a; dE & AT px" +] à I 1 fx NT dx" ldgz"* ll . _ à I I 1 dx A ox‘ ldox'‘ (s " Al etc, À = » etc. Si nous divisons ces valeurs par les coefficiens numé- riques qui entrent dans l'expression (2) ou si nous fai- sons A2 RE Âs _ 1.2 “)1.2,3 7 Ha Nous pourrons lui donner la forme plus simple (x) Pare FA gr Ai(ge) A (pr) (ox) etc. DI et alors ces nouveaux coefficiens seront . dFx , dAï , AA, Ru A; dx” 37,3 dx" etc., etc. ou Az : .% dyx : I dE & A = 55 ge ae] ï e dE A, = 533: dy& dé . d mr | = di de fo * dex"" [do Ldox' &x |] etc. A4 = — 1:2:3:4 etc. 43. On peut encore obtenir d’autres expressions beau- coup plus simples de ces mêmes coefficiens. Pour cet effet, représentons par À, le terme Fx qui est une quan- üté constante , et considérons comme entièrement indé- terminés les coefficiens A4, A;, A, etc. de la série géné- rale Fr=Ac+A;ex+ÆA,ox+A:px LA ,pribetc. désignant en général par gx” la puissance », non de x mais de gx. En prenant les différentielles successives des deux membres de cette équation, nous aurons la suite d’é- galités d'Fx=A,d gx +A d ox? +Asd ex + A ,d pxi+etc. dEFx=A,dyx+A, dox+A,dox +Aid'yx+etc. DFx=A d'ox HA, dox +A dox+Aidyxi4etc. d'iFx:=A ,diyx + À d'ex + A diexi+A dipxibetc. etc. etc Or , si l’on fait ox—o, toutes les différentielles dans lesquelles l’exposant de #x est plus grand que celui dela caractéristique deviennent zéro, car il est facile de voir que dans la différentielle générale d' x lorsque »2 est plus grand que x, ox entre comme fac- teur. Désignant cette circonstance par un point placé sur æ, et observant de plus que lorsqu'on faityx=—0o, on a en général dexn = m(m—i\m—2) ... 3.2. (dpx)" nous aurons les équations Fr=A d Fx=A,dpt DI d'Fx=A,d'ex+421A (dpx) BFx=A,d'oex+Ad'ox+02.3.A (dpx) dFx=A,diet+A,digr?+A;dio x +0.3.4.Au(dex)t etc. etc. d’où nous tirerons (0) As== Fx 1.Â,— DE æ 1.2.Â,= - Da Hÿ [er X—A dy | LB (7 api d'Fe A Pot dy | IF > hop + in n2 1 4AS x diFi—A digä—A dei —A dpi] etc. etc. Expressions à l’aide desquelles il devient très-facile de calculer ces coefficiens les uns au moyen des autres. 44. Faisons de gx une fonction déterminée pour mon- trer l'usage de ces formules. Soit , par exemple, TI—n TT z+n ce qui nous donne æ+=n, dans le cas ae 9x =. Prenant les différentielles successives de ÿx ou de T—n : , nous obtiendrons ee d'ox:= ins d, dex= — 2 dyx — Dre dipx = —2.3.1. G ES .dx DC — T4 GE .dx° etc. etc. donnant à x, dans ces expressions, la valeur x, cui rénd gx=0 ; NOUS aurons : dx d'yx— D 4 dx? AN ?-Tonp DI etc. 7 d'ex=(—1)#+tr#li (2n)4 461 avec ces expressions il nous sera facile de construire les différentielles des puissances de 9x qui entrent dans les coefficiens (0). En effet, avons + ainsi dx} = qx.d'ex+ odex.dyx + dox.ox dt(?x) =dr PX.9X | = grdtyx + pdexdi—19x + 1) et, conséquemment en faisant 9x—0, æ(px) — dx (px) = 2dex.dox , 2dx? EDS nous trouverions de la même manière dx} = (gt) B(px) dx) etc. Substituant ces valeurs dans les coefficiens ( o viennent (p). A =Fx dE x A; — (an). Le dE à A,=(an). + (an 12. dx5 Gr} 72. dx (22) Gdx? (2n)$ 72 da (2n)t etc. d'oxdu—16x + etc. d'après la loi (e), nous ce qui nous donne, en substituant la valeur ci-dessus de ) ils de- 402 DI dFä dFi dF A = (on). pe AO Te ME Fx A, = (an). TE 3(an)- | 3(2n)—— LE + es + (2r)t - T-2534 F dat etc: etc. \ FX Au) EL (us Yon de nm A 1: 159:34dx (e—1Xe—2Yp—3), , _ dFä æ 1,250 MT 3.4.dxi + etc. et la série générale (7) prend la forme (g) ‘ x—n x—n\? X—n\ Fer) (EE) +) + dans laquelle » est une quäntité arbitraire. 45. Appliquons cette loï particulière de génération à quelques fonctionsélémentaires. Soit d’abord Fx=log.x, log. désignant le logarithme naturel. Construisons les différentielles successives de log. x, et nous trouverons dEx=d log. x= . L d 2 dEx=dlogaæ= 7 A | 3 SEx = log. «— a "4 diFx = dilog. a=s 3% elc, etc. Substituant ces valeurs dans les expressions (p), après avoir fait =, nous obtiendrons À,—2, À,—0, ÀA:—3, À,—0,Aï—", A:=o, A7 ét. et, par conséquent , Log. x — log. n +2 É ei (2 = +5 CE) +et DI ce qui devient en faisant #=1, d'où log. nr =log. 10 le développement connu Log as |(EE) +4) +5 (5) + lequel est convergent pour toutes les valeurs de x. Prenons pour second exemple Fx = (1+x)-1. Les différentielles successives de Fx sont, dans ce cas + etc. dEFx— — (14)? dx BFr— 2.(1-x)-$ dx? BEx =—1.2.3(14x) 4 dx dFx —1.2,3,4(1+x)—" dx etc. etc. Faisant x =», et substituant dans (p), nous aurons CRE A: = Re bu MER A AE etc. Frs et par suite 1 on fX—nR te me 14 Re —) on(n—1) fx—n? hr Len) >n( n—1) T—n _ (in) (© =) + etc. + série convergente pour toutes des valeurs de la quantité arbitraire ». Par exemple dans le cas de x=1, où le développement de (1x): donne, par la formule de Newton, l'expression singulière Cp CS À 0 à etc. vi cette série devient on(n=-1) [l ll DA LA [72 rem NS à Lee =) —elc. DI qui pour toute valeur de 7 est une série donnant {. convergente En faisant n==1, On a immédiatement I 1 2 141 La loi (g) peut ainsi, par des déterminations conve- 1 | nables de la quantité arbitraire 7, donner des généra- tions en séries toujours convergentes d’une fonction quelconque Fx, ce que ne peut faire le théorème de Taylor. Mais le développement des fonctions en séries fait l’objet d’un autre article, dans lequel nous verrons que le théorème de Paoli, duquel nous avons tiré la loi (q), n’est lui-même qu'un cas très-particulier d’an théorème général dont nous donnerons l'exposition. Voyez Série et Trcnnie. . 46. Nous verrons ailleurs comment on étend les déve- loppemens que nous avons obtenus pour des fonctions d’une seule variable aux fonctions qui en contiennent plusieurs, Quant 4ux applications du calcul différentiel elles s'étendent à toutes les parties des mathématiques et nous renverrons également aux articles dans lesquels il est employé. f'oyez particulièrement : AGCcÉLÉRÉ, AsymPeToTE, Cuoc, Cusarure , DÉVELOPPÉE |, Maxima, Nonmaze Et Sous-NormaLe, OsCULATRICE , Point sin- GULIER , QuADRATURE, RACINES ÉGALES , RECTIFIGATION, Tancente £r Sous-T'ancentre, Série, RETOUR DES sUITES, etc., etc. Nous allons terminer en exposant son emploi pour la détermination des vraies valeurs de certaines expressions qui deviennent 3 dans quelques cas particu- liers. 47. Toute quantité fractionnaire de la forme (a) A (a—ay" B'x— a)" dans laquelle on fait &—#«, devient ©, c’est-à-dire com- plètement indéterminée quoique sa véritable valeur soit dans ce cas (b') A B (x—-à) mi —n et qu’elle puisse être conséquemment finie ou indéfinie selon que 72=n7 où que 7» est plus grand ou plus petit que ». Si le facteur (x—a) était en évidence, la détermina- tion de la valeur de l'expression (4') n’offrirait sans doute aucune difficulté, mais il n’en est pas toujours ainsi, et C'est à ramener cette expression à la forme (4') que con- siste le problème. Soit, par exemple, la quantité a—ax+ax—« e à L'—@ DI 465 dont on veut connaître la valeur, dans le cas de#=a, en substituant & à la place de x, cette quantité devient et rien ne peut nous indiquer ainsi quelle est la valeur demandée ; mais si nous remarquons que le numérateur d—cex<+ar—a peut se mettre sous la forme (a —a)r+(x—da=(x—a)(x+a), et que le dénominateur est ou en rotranchant le facteur commun +=a. Or, si l’on fait dans cette dernière expression x=a , elle devient et l’on peut en conclure que q a—ax Lara ax X?— a? V9 lorsque #—a, Daus les expressions plus composées, où il serait im- possible de mettre ainsi les facteurs en évidence, on pourrait encore tenter de chercher le commun diviseur des deux termes (0y. ce mot); et une fois ce diviseur commun trouvé , il suffirait d’en diviser les termes pour le faire disparaitre. Mais ce moyen n’est pas toujours praticable, et il est dans tous les cas beaucoup plussimple d’avoir recours au procédé que nous allons exposer. Soit une quantité qui devient ? pour une valeur x particulière &, de la variable æ ; contenue dans chacune des fonctions X et X'; cette circonstance indiquant l’exis- tence d’un facteur æ—a commun à ces deux fonctions, nous pouvons faire Pet Q étant les deux autres facteurs. Or, en prenant les différentielles des deux membres de chacune de ces 464 DI expressions, d’après le numéro 26, nous avons dX — dP.(x—a)+P.dx dX' = dQ.(x—a)+Q.dx d’où dX _ dP.(x—a)+P.dx dX'7 dQ.(x—a)+Q.dx quantité qui se réduit à Pdx _P Qdx Q - orsqu'on fait x—a. Ainsi, en admettant que P et Q ne contiennent plus = le facteur (x—a), G sera la véritable valeur de , dans le cas de æ—a. Si au contiaire x—a entre encore dans PetQ , ou si nous avons P — P'{x—a) Q = Qx—4) “est que les fonctions X et X’ sont elles-mêmes X = P'(x—a) X'= Q'(x—a) et alors il faut prendre les différentieiles se£bndes po se débarrasser de ce double facteur; on a EX =dP'.(x—a)+4(x—a)dx.dP'+2dxl" dX'=d'Q'.(x—a) +4 (a—a)dx.dQ'+2deQ et lorsque x—a æX _odw.P' _P EXT 4m Q © X ; x Il est facile de voir que si le facteur x—a entrait trois fois dans X etX", il faudrait prendre les différentielles troisièmes pour le c'est-à-dire la véritable valeur de faire disparaître et ainsi de suite. Par exemple, pour la quantité ai—ax Lar—a X1—0 en prenant les différentielles premières du numérateur et du dénominateur , on a d | ai—ax +ax—® | 3x dx —2axdx+adx d(x—a’)—2xdx ce qui donne 3 ax ei . dix ax + ax æ| ile 27 da — & | DI et quand x=a 3a—0ax+ a 3a—2a+a 22 y 24 valeur que nous avons trouvée ci-dessus. Si le facteur (x—a) était contenu un plus grand nombre de fois dans un terme que dans l’autre, la va- X leur de x serait de la forme X _M.(x—a)" M, X N.{a—ar |_ N «(#—a) et pourrait être æors infiniment petite ou infiniment grande selon que »7 serait plus grande ou plus petite o N que ». car sim >n, cette quantité devient et si m, si nous développons par la loi (e) les différentielles d'X, d''X", nous aurons dX == dm | M (x— a)n | =drM.(x—a)" Æmdm—iM.d(x—a)" + a. dn—2M.d (x a)" + etc.... +M.dr(x—a)" drX'= dr | N(a—a)") = drN.(2—a)r. Æmdm—iN.d(x—a)" JU) nn (x a)" 1.2 +etc.... + N.dm(x—a)" Or, à cause de d{x—a)" = m{m—1)....2. 1dx" , si l'on fait æ—a dans ces expressions, la premiere se ré- duit à m(m—i)....2.1.M.dx"", et la seconde à 0.427; en supposant »<{n, on a donc dmX _ m(m—:1)...2.1.M dix o DI À. Perte Ce qui nous apprend que la valeur de x © infini- ment grande. On trouverait de même lorsque #7>n, en prenant les différences de l’ordre x, une expression de la forme d'X 0 deX KR qui nous ferait connaître la valeur infinimént petite dela Lx quantité x On peut conclure de ce qui précède la règle suivante : GX : Pour déterminer la vraie valeur d’une fraction x Ju devient ? par une valeur particulière de la variable x , différentiez séparément les deux termes X et X' et exa- minez si les résultats 7 se réduisent l’un et l’autre à o € par lu valeur hypothétique de la variable; si cela est, ; : : ŒX, PE différentiezune seconde fois elexaminez si zx se réduit encore à? ; continuez enfin à différentier jusqu'à ce que les deux termes de la fraction ou seulement un ne s’éva- nouissent pas par la valeur donnée à la variable , cette , ’ X dernière fraction sera la vraie valeur de x Cette va- leur sera finie dans le premier cas , nulle si le numéra- teur est 0 , et infinie si c’est le dénominateur. 48. Prenons pour exemple la fraction a —52+2 a— 62 +L8x—3 : o . cette fraction devenant ES lorsque x=—1.Prenant les dif- férentielies premières, nous aurons d a — 3x +2} 343 Se nn La—122L8 d di— 6x1 + 8x—3 | SE AE faisant x—1, cette nouvelle fraction se réduit encore à 0 ° 01e : . Différentiant de nouveau , nous trouverons 0 . ; FIOZ ; , à ce qui se réduit à S'en faisant x—1. Le dénominateur seul se réduisant À zéro, nous en conclurons que la quan- tité proposée est infinie dans le cas de x=1, Soit maintenant la fraction a—bx IE \ ES à DI 465 qui devient $, pour æ—o. Différentions séparément les deux termes, et nous aurons d(aï— bx) ar. loga.dx—bzlog b.dx dx dx = azloga—brlogh expression qui se réduit à log u — log b, en faisant æ=0. Lorsque le facteur commun , qui réduit la fonction fractionnaire à ?, est élevé à une puissance fractionnaire les différentiations ne peuvent le dégager, mais comme ilest toujours possible alors de l'isoler, on peut immé- diatement trouver la vraie valeur de la fonction. 49-Dans tout ce qui précède, nous avons considéré les différences successives dans l’ordre direct, c’est-à-dire en passant de la première à la seconde, de la seconde à la troisième et ainsi de suite, et nous avons formé ainsiune suite de fonctions dérivées gt où ex A gx d px ex d'ex Ac dx etc. etc. cette formation successive des différences dans l’ordre direct, entraîne comme nous l'avons déjà dit, la con- sidération opposée de leur formation dans l’ordre ir- verse; or, le problème de construire la différence 4’4x, parexemple, au moyen de la différence supérieure Az est l’objet général dn calcul integral. On nomme sntégrale où somme la différence prise dans l’ordre inverse. Ainsi, > étant la caractéristique de l'intégrale pour les différences finies, et J celle de l’in- tégrale pour les différentielles, on écrit ZA ox] —4’ox sf [dex]=dex 3[Atgx] =A pe sf [dgx]=d gx Aagr]= gx vi Ciqx]= 9x et, en continuant avec des indices négatifs, Mal=age fral=d-ige 2[A—1gx] —A—2ypx vi a 1ox]=d—sg0 Z[A—29x] —A—-Sox [td=2px)= d-3yx 99 466 DI on a de même 2|z [A°e x] las Z[A’ox] = Apx Je VA [dipx]] = f [de] — dyx ou Z'Alpx — Apx VE 2 Po —dyx en général 2a[Anex]— AN mo f mEdrox]=dr-mox Comme aussi les expressions Zn) ct Ame , a mod) et d=m(ox) sont équivalentes. 5o. En appliquant ces considérations à la loi fonda- mentale (ce), elle devient pour le cas des différentielles inverses ou des intégrales Fa m (Fxfx) = Fx. JS m fa — dFx. LÉ m+ifa ce frere OR ape, ftp + etc... en multipliant les deux nombres par dem. Les applications de cette loi , ainsi que tout ce qui re- garde le calcul des différences inverses, se trouveront à l'article CALCUL INTEGRAL. 5r. I nous resterait à examiner le cas où les fonctions que l’on veut différentier , contiennent plusieurs varia- bles, mais ce cas ne présente aucune difficulté, et l’on peut immédiatement conclure des principes précédens que la différence d’une fonction F(x ,y,2, etc.) d’an nombre quelconque de variables, reçoit par l’accroisse- ment particulier de chaque variable un accroissement ue ainsi désignant comme cest lusage par (3 —— =) ax, l'accroissement ou la différence de la fonc- tion F correspondante à l'accroissement Ax de la varia- AF _. , olezpar (A ).ar, la différence correspondante à l’ac- croisement Ay de la variable y, etc., la différence générale sera la somme de ces différences particulières, et nous aurons DI AF(x,7,2,etc...) = e ) Aa+ (©) Ay+ + (hache, et dans le cas des différentielles dF(x, y, z, etc...) (RE) (A )dr+ (9) dz+ etc... c'est-à-dire, que la différence totale se trouye en prenant la somme des différences prises pour chaque variable en particulier comme si toutes les autres étaient con- stantes. Soit par exemple F(x, y)=2+3xy+ory en différentiant d’abord comme si y était constante, nous aurons d’une part (A ar sad +62 Y.dx+9ytdx et, de l’autre, en différentiant comme si æ était cons- tante (ÉS En PV dy = Sedy+haydr d’où , nous aurons pour la différentielle générale (z) dE(x.y)=(32+6xy+427")dx+(3x+4xy)dy En effet, on a par la construction même des différences, Œ(xy)=F(x+dx , y+dy)—F(x,7) c’est-à-dire, dans l'exemple qui nous occupe, (ad) +3(a-da)" (y + dy) +a(atdn)(y + dr) — —2—3xy—2xy° ou, en développant les produits, a+3xdx+3x.dx +dx 3xy <+6Gxy.dx +3ydx +32" dy +6xdxdy +3dy.dx* +oxyt +2y’dx +ixrdy +hrdz.dy +oxdy* 4-dx.dy* —23—3xy—027x)" opérant les soustractions et retranchant toutes les quan- DI utés indéfiniment petites des ordres supérieurs au pre- mier , il reste 3 dx+62y.dx +29. de +32 dy +4xy.dy ce qui est identique avec (2). Nous verrons à l’article s£RIE comment ou peut éten- dre aux fonctions de plusieurs variables les théorèmes de Taylor, de Maciaurin, de Paoli, et d’autres encore plus généraux. Les équations de différences seront traitées au mot ÉQUATION. 52. La découverte du calcul différentiel a été l'objet d’une longue contestation, que nous aurons ailleurs l’occasion de rapporter (voy. Leisnirz et NEwrow), et quoiqu'il soit aujourd'hui démontré avec la dernière évidence que l’accusation de plagiat dont les Anglais ont voulu flétrir Leibnitz, ne repose sur aucun fonde- ment, nous ne nous servirons point des argumeus que les historiens français et allemand des mathématiques ont accumulés pour venger sa mémoire. Selon nous, la gloire de Leibnitz reste pure et inattaquable car non- seulement ce grand homme à, le premier , produit le calcul différentiel, mais il est encore le premier qui ait compris la nature abstraite de ce calcul ; et ses infini- ment petits des divers ordres, sont une conception phi- losophique d’un ordre bien supérieur à celle des fluxions de-Newton. En admettant donc ce qui parait assez pro- bable que chacun de ces géomètres soit arrivé par la seule force de son génie à la découverte d’une même méthode de calcul, c’est à Leibnitz qu'appartient l'hon- neur de s'être élévé jusqu'aux véritables principes méta- physiques de cette méthode, et de l'avoir ainsi consti tuée une des branches fondamentales de la science des nombres. Notre intention avait été d’abord d'examiner dans cet article les diverses méthodes que quelques géomètres ont voulu substituer au calcul différentiel, mais ces mé- thodes devant être l’objet d'articles particuliers, et celui- ci dépassant déjà les bornes qui nous sont prescrites, nous renverrons aux mots : FONCTIONS ANALYTIQUES, FLUxIONS, ÉvanouissanTes, Limires, Résipuezce. Voyez aussé, MaTuÉMATIQUES, pour ce qui regarde la découverte du calcul des différences finies. DIFFRACTION (Ope.). On donne ce nom à la pro- priété qu'ont les rayons de lumière de s'infléchir lors- qu'ils rasent en passant un corps opaque. Voyez In- FLEXION. DIGRESSION (454). Éloignement apparent des planètes inférieures au soleil. ’oy. ELoxcarion. DIMENSION (Géom.). Longueur, largeur ou épais- seur d’un corps. Nous concevons les Zignes comme v’ayant qu'une seule dimension, la longueur; les sur- faces comme ayant seulement deux dimensions, la on« DI 467 gueur et la largeur, et enfin les solides comme ayant trois dimensions longueur, largeur et épaisseur ou pro- Jondeur. Voy. Lace, Soutne, SuRrAcE. On se sert encore du mot dimension en algèbre , pour désigner le degré d’une puissance ou d’une équa- tion; ainsi l’inconnue x est dite avoir une, deux , trois etc. dimensions, selon qu’elle est élevée à la première, seconde, troisième, etc. , puissance. En général, une quantité a autant de dimensions qu'il entre de facteurs dans sa composition : 4, par exemple, est d’une seule di- mension, ab est de deux, abc de trois, abcd de quatre , etc. DINOCRATES , architecte et géomètre célèbre de l'antiquité. Alexandre, vainqueur de Darius, et maitre déjà d’une partie de l'Asie, entouré des chefs de son armée, donnait audience aux rois qu’il avait soumis , lorsqu'un étrange murmure s’éleva de la foule qui en- tourait sa tente royale, etsignala à l'attention du jeune conquérant un personnage extraordinaire, qui parais- sait désirer la faveur de lui parler. C'était un homme d’une taille élevée, d’une beauté mâle et brillante : ses noirs et longs cheveux tombaient arrondis en boucles sur son cou nerveux , son regard était fier ct haidi; à lex- ception d’une peau de lion jetée sur ses larges épaules, il était entièrement nu, et avait le corps oint comme un athlète; enfin sou front noble et élevé était ceim d’une couronne formée de branches de peupliers, et il s'appuyait sur une lourde massue. 1 dépassait de toute sa tête la foule des chefs et des courtisars qui s’écarta avec respect devant lui. Alexandre fut lui-même frappé d'admiration et d’étonnement à son aspect, et il lui fit signe d'approcher de son tribunal. — Qui que tu sois, lui dit-il, que veux-tu d'Alexandre? — Je m'appelle Dinocrates, répondit cet homme, et je suis architecte macédonien. Jet’appoitele projet d’un monumentdigne de ton grand nom et de ton génie. Parle, et je taillerai le mont Atlas en forme de statue humaine ; la main droite contiendra une ville immense, et dans sa gauche une vaste coupe recevra les caux des montagnes, et les déversera dans la mer. Il est probable qu'Alexandre admira laudace et le génie d’un artiste qui avait pu concevoir un pareil pro- jet, mais sa réponse prouve que ce grand homme m’ai- mait pas seulement la gloire qui s'attache à l'exécution des choses difficiles; le but civilisateur qu'il avait en vue le préoccupait davantage. Il se borna à demander à Dinocrates, comment s’opérerait l'approvisionnement d’une telle ville; l'artiste ne put résoudre cette difficulté, et Alexandre le retint auprès de sa personne, en lui pro: mettant d'appliquer bientôt ses talens à une œuvre plus utile que celle dont il avaitrèvé l’accomplissement dans son imagination. Effectivement , ce fut Dinocrates qui présida à tous les travaux de la fondation d'Alexandrie, 468 DI exécutée par ordre d'Alexandre durant la 112° olym- piade , environ 332 aus avant J.-C. On attribue à Di- nocrates le rétablissement du célèbre temple d'Éphèse, brulé par Érostrate. La mort le surprit sous le règne du premier Ptolémée, au moment où chargé par ce prince de construire un temple en l’honneur d’Arsinoé, il vou- lait y soutenir en l’air une statue de fer, au moyen d'une voüte d’aimant. L'inspiration de l'artiste ne peut seule aider à l’accomplissement des travaux exécutés ou mé- dités par Dinocrates; aussi les anciens Mnstoriens qui nous ont conservé son nom, en parlent-ils comme d’un géomètre habile. DINOSTRATE, géomètre grec de l’école de Platon, dont il fut l'ami, vivait par conséquent à Ja fin du IV® siècle avant J.-C. Il ne nous reste aucun de ses écrits, mais Proclus le cite avec son frère Menechare ‘Procl. iv. IT, chap. IF, Commentaire sur Euclide), comme ayant essentiellement contribué aux progrès de la géométrie. On sait que le problème de la trisection de l'angle a beaucoup exercé la patience des géomètres anciens. Suivant Pappus (Collections mathématiques , prop. 25), Dinostrate imagina une courbe qui aurait eu le double avantage de donner la trisection ou la multi- plication de l'angle, et la quadrature du cercle, si on eût pu la décrire d’un mouvement continu par la règle etle compas. C’est pour cette raison que le nom de quadratrice est demeuré attaché à cette ligne, qui est du nombre des courbes mécaniques et ne remplit ri- goureusement ni l’un ni l’autre des objets auxquels elle était destinée. Pappus ne dit pas positivement que Dinostrate fût l'inventeur de la quadratrice, mais il pa- rait certain que ce géomètre observa le premier la pro- priété remarquablede cette ligne; elle a d’ailleurs retenu son nom. Nous ne possédons aucun autre renseignement sur les travaux mathématiques de Dinostrate. DIOCLÉS, géomètre grec qu’on suppose avoir vécu durant le VI° siècle de notre ère, s'est rendu célèbre par plusieurs découvertes en géométrie, et spécialement par une ingénieuse solution du problème de la dupli- cation du cube, qui consiste, comme on le sait, à trouver deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données. Eutocius, l’un des commentateurs d’Archi- mède, est le premier des écrivains anciens qui fasse mention de cette solution que Dioclès obtint au moyen d’une courbe qui areçu le nom de cissoïpe (voy. ce mot). Le savant Pappus qui s’est beaucoup occupé des diffé- rentes manières derésoudre ce problème, ne parle point de celle qu’employa Dioclès, d’où l’on a tiré la juste conséquence que ce géomètre lui était postérieur. Eutocius attribue aussi à Dioclès une belle et savante solution du problème posé par Archimède, dans son livre de la Sphère et du cylindre, problème dont l’objet est de couper la sphère en deux segmens, qui soient DI entre eux daus un rapport donné. Ce grand géomètre avait promis derésoudreailleursce problème, et Eutocius qui en rapporte trois solutions, prétend que la pre- mière pourrait bien être d'Archimède; la seconde est de Dionysidore, la troisième est celle de Dioclès. C’est d’un ouvrage sur les machines à feu (De Pyrits) qu'Eu- tocius a extrait ces parties remarquables des travaux de Dioclès ; ces fragmens font regretter la perte de ce livre. On ignore s’il composa d’autres écrits , et l’époque de sa mort. DIONIS DU SÉJOUR (Acmize-Prerre), mathéma- ticien et astronome distingué, naquit à Parisle 1 1 janvier 1734. Destiné à la magistrature, il fut envoyé de bonne heure au collége des jésuites pour y faire ses études ; il y manifesta un penchant invincible et une heureuse apti- tude pour les mathématiques. Le hasard lui donna pour condisciple le jeune Goudin , destiné par ses parens à Ja même carrière que lui et dominé par les mêmes gouts. Ils se lièrent dès lors d’une amitié qui dura toute leur vie, et se livrèrent ensemble à leurs études favorites. Au sortir du collége Dionis et Goudin débutèrent dans le monde savant par la publication de deux ouvrages re- marquables, composés en commun. Le premier a pour titre : Traité des courbes algébriques, Paris, 1756, un vol. in-12, et lesecond: Recherches sur la gnomonique, les rétrogradations des planètes et les éclipses de soleil, Paris; 1 vol. in-8°, 1961. Ce dernier écrit attira l’atten- tion des savans sur les jeunes géomètres , et particuliè- rement sur Dionis qui parait en avoir composé la plus grande partie ; mais ce succès ne put rien changer aux vues de ses parens, et dans l'intervalle de la publication de ces deux ouvrages, Dionis prit siége au parlement de Paris, à la 4° chambre des enquêtes, en 1758, et à la grand'chambre en 1750.11 continua néanmoins à se livrer avec le même zèle à l’étude des sciences ; il suivit les cours de Clairault, qui le remarqua parmi ses dis- ciples, et qui , appréciant ses talens , contribua à le faire nommer, en 1765, associé libre de l'académie des sciences, dont il fut depuis associé ordinaire. Dioniss’est rendu célèbre comme savant et comme magistrat. Il était membre des académies de Stockholm, de Goët- tingue et de la société royale de Londres. Malgré les nombreuses correspondances qu'il entretenait avec les principaux savans de l'Europe et sa consciencieuse per- sévérance dans les recherches scientifiques auxquelles il se livrait, il n’en remplissait pas moins avec distinction ses fonctions de conseiller au parlement que les malheurs du temps commençaient à rendre difficiles. A cette époque la révolution éclata et Dionis fut membre de l’assemblée constituante , après avoir été député aux états-pénéraux pour l’ordre de lanoblesse. « Ilsoutint la cause d’une liberté sage, qui était dans ses principes, dit un de ses biographes, et fit rendre au célèbre La PE | DI Grange la pension qu’un décret général lui avait ravie. !lne se maria point et passa toute sa vie avec son père qui lui survécut de quelques années. Il étonnait ses con- frères par la quantité d’affaires qu'il expédiait, et dis- cutait les procès avec une précision et une impartialité rares. Sa vie de magistrat est remplie d'actions qui rap- pellent son humanité et son caractère bienfaisant en fa- veur des opprimés. Il ne connaissait que le sentiment de l'utilité, et c’est en le cultivant qu'il parvint à mériter les regrets dont on l’honore aujourd’hui comme géo- mètre et comme magistrat. » Tels sont les justes éloges que les amis nombreux de Dionis se sont accordés à donnér à sa vie privée; nous devons maintenant rapi- dement examiner sa vie scientifique. Dès son entrée à l'académie Dionis se livra à l’appli- cation de l'algèbre à l’astronomie. Les détails de ses études et de ses découvertes sont consignés dans les A6- moires de l'Académie des sciences , de 1761 à 1774. Sans aborder la solution des grands problèmes que pré- sente cette science , ses travaux n’en sont pas moins re- commandables et ne méritent pas moins d’être cités parmi ceux des géomètres du XVIIL siècle. Il traita diverses théories importantes, auxquelles il fit des ap- plications heureuses de ses formules, et l’on peut dire qu’il a enrichi la science d’une foule de résultats intéres- sans sur les éclipses , les comètes, les apparitions et les disparitions de l’anneau de Saturne. Dionis a étendu sa méthode aux passages de Vénus sur le soleil et il a an- noncé ceux qu’attendent les astronomes au 8 décembre 1874 etau 6 décembre 1882. On sait qu’en 1775, le bruit se répandit tout-à-coup que Lalande avait annoncé Je choc d’une comète et qu’il lui avait été défendu de lire à l'Académie le Mémoire dans lequel cet astronome, alors en possession d’une grande popularité, avait établi les conditions de ce phénomène. L’ignorance et la cré- dulité avaient tellement accrédité cette étrange décou- verte, que le chocde cette terrible comète faisait l’objet de tous les entretiens et excitait les plus vives craintes dans le public. Dionis entreprit de les faire cesser et il publia à cette occasion son Æssai sur les comètes en ge- néral, et particulièrement sur celles qui peuvent appro- cher de la terre. Cet écrit fut lu avec avidité. Dionis y siguala toutes les circonstances nécessaires pour amener le choc de la terre par une comète , et démontra la presque impossibilité de cette funeste rencontre. Quoique cet ouvrage fût surtout destiné à cette partie du public qui se préoccupe plus des résultats que des causes des phénomènes, l’auteur sut + faire parler à la science son langage rigoureux, sans diminuer en rien la ciarté de ses démonstrations. L'année suivante, Dionis publia son Æssai sur Les phénomènes relatifs aux dispositions de l'anneau de Saturne ; Paris, 1776, in-8°. L'ouvrage le plus important de ce géomètre est son Traité analy- DI 469 tique des mouvemens apparens des corps célestes, Paris, 2 vol. in-4°, 1785-1789. Cet écrit est la réunion de. nombreux traitês sur toutes les parties de l’astrono- mie, dont il avait enrichi les mémoires de l’Académie des sciences pendant vingt-quatre ans. Dionis les revit avec le plus grand soin et en forma un véritable cours d'astronomie analytique. Cette science n’occupait pas seule ses méditations , la résolution générale des équa- tions avait plasieurs fois appelé toute son attention. On trouve dans les Afeémoires de l'Académie des sciences de l'année 1772 les premiers résultats de ses recherches à cet égard. Il les avait étendues aux équations du cin- quième degré, et il se proposait de réunir en un corps d'ouvrage ses divers travaux sur cette partie impor- tante de l'algèbre , lorsqu'il fut atteint d’une maladie grave, à sa terre d’Angerville où il vivait dans la re- traite. Alors la révolution avait prisce caractère terrible qui l’entraina dans de funestes violences; Dionis en res- sentait une vive douleur que la perte de plusieurs de ses confrères au parlement, frappés par la faux révolution- naire, ne fit qu'augmenter. Ces chagrins hâtèrent les ravages de la maladie dont il était atteint et il mourut, regretté de tous ceux qui avaient su apprécier ses talens et son honorable caractère, le 22 août 1594, à l’âge de 60 ans. DIOPHANTE, d’Alexandrie. On ne saurait déter- miner d’une manière précise l’époque à laquelle vivait ce grand géomètre, si long-temps oublié, etdontles travaux n'ont été rendus à l'Europe qu'au XVI° siècle. Néan- moins la plupart des historiens des mathématiques qui se sont livrés à de nombreuses recherches sur cet objet, ont adopté l'opinion de l'arabe Al-bupharage qui , dans un passage de l'Histoire des dynasties, parle de Dio- phante et du philosophe Thémiste, comme ayant vécu du temps de l'empereur Julien, c'est-à-dire vers le mi- lieu du IV® siècle. Diophante est l'auteur du plus ancien traité qui nous soit parvenu sur l'algèbre. Des treize livres dont il était composé , six seulement nous sont parvenus sous le titre de: Arithmeticorum libri, avec un autre livre contenant les nombres multangulaires ou polygones, intitulé : De numeris multangulis. Nous avons exposé aiileurs l'idée générale qu'on peut se faire du travail de Diophante et de sa valeur scientifique (voy. ALGivne). Nous nous bornerons à ajouter ici quelques considérations particulières qui S'y rattachent et celles qui peuvent intéresser l'histoire lit- téraire de la science. Xilander, mathématicien d’un médiocresavoir, fut le premier traducteur de Diophante, son travail incomplet et rempli de fautes fut repris par Bachet de Meziriac(voy. ce mot), qui en donna, en 1621, une édition plus correcte, avec des commentaires qui sont encorc estimés, Plus tard le célèbre Fermat y ajouta 470 DI de savantes notés que son fils publit daws une édition nouvelle en 1630. Sans exantiner ici li question, fort peu importañte au reste, de savoir si Diophante doit être regardé comme l'inventeur de l'algèbre, on peut dire que ses premiers aperçus sur cétte science ont sin- gulièrement favorisé ses progrès. Elle était en effet restée à peu près stationnaire depuis Lucas Pacciolo qui l'avait transportée d'Orient en Italie. Et d'ailleurs, malgré l'opinion qui donne à l'algèbre l'Inde pour vé- ritable berceau , il est au moins probable que Diophante ne fut pas étranger à cette conquête scientifique des Âïabes. Les géomètres de cette nation conrurent cer- taiveinent l'ouvrage du muthématicien grec, et, si l'on peut espérer de retrouver un jour les parties qui en sont perdues, c'est dans une version arabe qui aurait échap: pé aù naufrage des temps et à l’auéantissement des sciences en Orient. Bachet de Meziriac raconte d’ailleurs dans la préface de son édition; que le cardinal Duper- ron lui assura avoir possédé un manuscrit complet de Diophante qui lui fut emprunté par Gosselin pour en préparer une nouvelle édition avec un commentaire, et que ce savant étant mort d’üné maladie pestilentielle, le manuscrit avait disparu. On peut donc espérer que quelque heureuse circonstance rendra un jour à la science l'important ouvrage de Diophante. Au nombre des écrits de la savante ct célèbre Hypatia, qui périt en 415, Suidas met un commentaire du géomètre grec. Ce travail est également perdu et il ne parait pas que les Arabes en aient eu connaissance. Nous n’aurions aucuns détails sur la vie de Diophante, si, parmi les épigrammes de l’anthologie grecque, il ne s'en était trouvé une, qui, sous la forme de l’énoncé d’un problème, contient quelques explications inté- ressantes. On ne peut penser que cette pièce soit, comme beaucoup d’autres de ce recueil, un jeu de l’es- prit, car elle expose des faits qu’on ne se serait pas donné la peine d'inventer et dont l’arrangement seul a dù sourire à l'imagination du poète. Bachet de Meziriac en a donné une traduction latine , nous nous bornerons à en rapporter limitation française, « Diophante passa » dans l’enfance le sixième du temps qu'il vécut, un » douzième dans l'adolescence, ensuite il se maria et » demeura dans cette union le septième de sa vie, aug- » menté de cinq ans, avant d'avoir un fils auquel il sur- » vécut de quatre ans, et qui n’atteignit que la moitié » de l’âge où son père est parvenu. Quel Âge avait Dio- » phante lorsqu'il mourut ? » Il résulte ainsi de la solu- tion de ce problème que ce géomètre a vécu quatre- vingt-quatre ans. Le traité de Diophante a souvent été réimprimé. mais voici les éditions de cet ouvrage qu’on regarde comme les meilleures et les plus complètes, excepté la première, Ï. Diophanti Alexandrini rerum artihmetica- DI run, libri sex, quarum prina duo adjecta habent scho- dia maximi (ut conjectura est) Planudis, item liber de nummeris polygonis seu multangulis, opus incomparabile, veræ artthmelicæ logisticæ perfectionem continens ; paucis adhuc visum, à Guillelmo Xilandro Augustano, éncredibili labore latinè redditum etcommentariis expla- natum , inque lucem editum ; Bas. 1575, in-fe. II. Dio- phanti Alexandrini, etc., nunc primum græce et latinè editi; atque absolutissimis commentariis illustrati, auctore C. G. Bacheto Meztriaco; Paris, 1621, in-F°. HT, Driophanti Alexandrini, etc., cum commentaris Bacheti et observationibus Petri de Fermat; Toulouse, 1670 , in-f°. L'édition allemande de Leipzig , 1810, est aussi fort estimée. DIOPTRIQUE (de d/«, à travers , et de ëxTomæ, je vois). Science de la propagation de la lumière par ré- fraction: G’ést une des branches de l’oprique. Foy. ce mot. Tout rayon lumineux qui , traversant un milieu quel- conque; en rencontre un autre de densité ou de nature différente, change de direction ; sil ne peut pénétrer cesecond milieu, il se réfléchit à sa surface; s’il peut le pénétrer, il se brise ou se rcfracte en y entrant. Les lois de la réflexion de la lumière forment l’objet de la CATOPTRIQUE (voy. ce mot), celles de la réfraction sont l'objet de la pioprriQuE. Cette science, dont les anciens n’ont eu qu'une con- naissance très imparfaite, et qui semble ne dater chez les modernes que de Snellins et de Descartes, a reçu tout récemment un accroissement prodigieux par les dé- couvertes de Fresnel, de Brewster, de Malus, du doe- teur Young, et par les belles expériences de MM. Biot, Arago et Herschel fils. Cependant, si la dioptrique s’est étendue sous le rapport des connaissances pratiques, le principe premier de cette science est encore demeuré inaccessible à tous les efforts des observateurs, et les deux hypothèses ou les deux systèmes de la propaga- tion de la lumière ; savoir : celui de l'émission et celui des ondulations (voy. GrriQue), qui divisent aujour- d'huiles physiciens , ne sont encore revêtus ni l’un ni l'autre d’un degré de certitude assez élevé pour pou- voir s'établir exclusivement. Mais l'examen de ces difficultés est entièrement du ressort de la physique. et nous n’avons à considérer ici que les résultats mathématiques de la science, ou du moins ceux de ses résultats qui subsistent indépendam- ment de toute hypothèse sur la nature de la lumière et son mode de propagation. Ces résultats sont de deux espèces, ils comprenuent 1° les propriétés générales de la lumière, lorsqu’elle traverse des corps transjarens, et 2° les phénomènes qui en résultent par rapport à la vision des objets. La première partie sera traitée au mot REFRACTION : DI la seconde sera le sujet de plusieurs articles. Foyez Lenvire, Menisque Verre; voy. aussi ‘TELEsCOPE et Micnoscore. DIRECT (454). On dit en astronomie que les pla- nètes sont “directes, lorsqu'elles paraissent se mouvoir d'occident en orient suivant l'ordre des signes du zodia- que. ’oy. PLanères. La combinaison du mouvement propre de la terre avec ceux des planètes donne à ces dernières diverses apparences qu'on désignent par les mots : directe, sta- tionnaire ct rétrograde ; ainsi, par opposition à planète directe , on nomme planète rétrograde, celle qui paraît se mouvoir dans l’ordre inverse des signes , ou d’orient en occident, et planète stationnaire, celle qui parait rester immobile au même point du ciel. DIRECT (4/g.). Lorsque deux quantités m et n dé- pendent de deux autres quantités M et N, et que le rap- port des premières est le même que celui des secondes, c'est-à-dire, lorsqu'on à min::M:N. on dit que »2 et » sont en rapport ou raison directe de M et N; tandis qu'on nomme rapport inverse Où réci- proque, celui qui aurait lieu, si on avait n:m::M:N Le premier soin qu’on doit avoir lorsqu'on veut éta- blir une proportion pour opérer la règle de trois, c'est d’examiner si les rapports sont directs ou inverses. Foy. RÈGLE DE TRo1s. DIRECTION (Yéc.). DroitesuivantJaquelle un corps se meut ou est censé se mouvoir. On nomme en particulier ligne de direction, celle qui passe par le centre de gravité d’un corps, et par le centre de la terre. Lorsque cette ligne ne passe pas em même temps par le point d'appui du corps, supposé élevé au-dessus de la surface de la terre, il faut néces- sairement qu’il tombe sur cette surface. L'angle de direction est l'angle compris entre les di- rections de deux puissances conspirantes. Foy. Puis- SANCE. Das la géométrie, on dit que trois points ont une même direction, ou sont dans la même direction lors- qu'ilsse trouvent sur une seule et même droite. DIRECTRICE (Gcom.). Droite le long de laquelle on fait couler une autre ligne ou une surface pour dé- crire une figure plane ou solide. Foy. GÉNÉrAmoN , et les diverses SECTIONS CONIQUES. DISCRÈTE (Arith.), Vieux mot par lequel on dé- signait une quantité &ont les parties ne sont point eon- - linues ou jointes ensemble. fo. Quanrrré. DI AA DISQUE (45t.). Corps d’un astre tel qu'il apparaît 4 nos yeux. La largeur du disque du soleil se divise en douze parties qu’on appelle doigts ; il en est de même de celui de la lune. C’est par le nombre des doigts qu’on . mesure la grandeur d’une éclipse. Poy. ÉcLipse. DISTANCE (Géom.). C'est proprement le plus court chemin d’un objet à un autre. Ainsi la distance d’un point à un autre est la ligne droite qui joint ces points ; ! et la distance d’un point à une ligne ou à une surface est la perpendiculaire menée du point à la ligne ou à la surface, On mesure les distances par le moyen de la chaîne ou du mètre. Foy. ARPENTAGE. Quand les distances sont inaccessibles , on forme des triangles au moyen desquels on peut les calculer. Voy. ArTIMÉTRIE, PLANCHETTE et GhaPhoMÈTRE. DISTANCE (454). Les distances des astres entre eux sont réelles ou proportionnelles, on les distingue encore en moyenne distance, distance aphélie, et distance péri- hélic. La pisrance aphélie des planètes est celle où elles sont à leur plus grand éloignement du soleil. La Disrance périhélie est celle au contraire où elles occupent le point de leur orbite le plus rapproché du soleil. La pisrancr moyenne des planètes est la moyenne entre leur plus grande et leur plus petite distance du soleil où la moyenne entre leurs distances aphélieet pé- rihélie. Les pisrAnGEs celles sont les distances de ces corps mesurées à l’aide de quelques mesures terrestres comme les licues, les milles, ete. Les nisrancrs proportionnelles sont les distances des planètes au soleil comparées avec l’une d’entre elles prise pour unité. Elles sont aisément déterminées à l’aide de la troisième loi de Kepler, savoir : les carrés des temps périodiques des révolutions de plusieurs corps autour d'un centre commun, sont comme les cubes des moyennes distances respectives. D’après cette loi, les temps des révolutions des planètes étant connus, on déduit les distances proportionnelles suivantes, celle de la terre étant prise pour unité : Distances proportionnelles moyennes. Mercure...... 0,3870981 Vénus..,..,., 0,7233323 La Terre,.... 1,0000000 Mais. ii 1,5230035 Wébta 1.544 2,2373000 Junon:: 4.4 44 2,0671630 GÉLCS LE... 2,7074060 Pallas. ...,.1. :2,9676920 Distances proportionnelles moyennes, Jupiter... 5,2025g911 Saturne....... 0,5357709 Uranus....... 19,1933050 Maintenant la distance moyenne réelle de la terre, ayant été déterminée par le passage de Vénus (voy. Pas- SAGE €t PanaLLAxE), à 39229 000 lieues de 2000 toises, il suffit de multiplier par ce nombre les distances pré- cédentes pour obtenir les distances moyennes réelles ex- primées en lieues de 2000 toises. On trouve ainsi Distances réelles moyenues, Mercure..... 15 185 465 lieues. 28 375 Goo 39 220 000 VéQUS.: 6.2 La Terre. .... NTarse 72e .. 59772 960 Vestai 419167767020 Junons 0 104 630 140 Cérés....... 108 562 550 Palläsir eee se Jupiter. .... ; 108 570 000 204 100 280 374 196 340 752 540 172 Saturne. . Uranus...... Quant à la distance de la lune et celle des autres pla- nètes secondaires, ’0y. SATELLITES. Nous verrons pour chaque planète en particulier comment on détermine ses distances aphélie et périhélie, ainsi que ses distances à la terre. C’est à laide de ces dernières qu’on calcule le diamètre réel d’une planète dont on connaît le diamètre apparent. La pisrance des étoiles fixes soit de la terre, soit du soleil , n’a pu encore être déterminée par aucun moyen, on sait seulement qu’elle est si grande, que le diamètre entier de l'orbite de la terre qui est d'à peu près 80 mil- lions de lieues , est comme un point par rapport à cette distance, et ne forme aucune mesure sensible qu’on puisse lui comparer. Disrance APPARENTE de deux astres; c’est l’angle formé par les rayons visuels qui vont de notre œil à chacun d'eux, il est mesuré par l'arc du grand cercle compris entre eux sur la sphère céleste. Disrance accourctE. C’est la distance d’une planète au soleil réduite au plan de l’écliptique, oula distance qui est entre le soleil et la projection de la planète sur le plan de l'écliptique. Les astronomes lui ont donné le nom de d'stantia curtata; parce qu’elle est toujours plus courte que la distance réelle. La différence entre ces deux distances s'appelle curtation où réduction de la distance. DITTON (Huwpurey), habile géomètre anglais, né DI à Salisbury, en 1675. Il avait annoncé dès l'enfance les plus heureuses dispositions pour l’étude des mathéma- tiques , à laquelle il fut obligé de se livrer en secret, car son père forca son inclination, en le consacrant à la car- rière ecclésiastique. I] exerçait les fonctions du ministère évangélique à Cambridge dans le comté de Kent, lors- que lesdocteurs Harris et Wisthon purent apprécier ses talens et lui fournirentles moyens de se livrer exclusi- vement à son goût pour les mathématiques. Le grand Newton lui-même le prit sous sa protection, et lui fit obtenir la chaire de mathématiques de l’école insti- tuée dans l'hôpital du Christ. I] ne jouit pas long-temps de cette faveur qui comblait toutes les espérances de son honorable et studieuse ambition. Il paraît que, con- jointement avec Wisthon , il avait proposé une méthode pour reconnaître la longitude en mer, et quoiqu’elle eët été approuvée par Newton, cette méthode n’eut aucun succès à l'expérience, Ditton en concçut un violent chagrin, et il mouruten 1515, âgé seulement de qua- rante ans. Parmi les nombreux ouvrages consacrés aux mathématiques, ec qu’a publiés Ditton, nous citerons : IL. Des tangentes des courbes. W. Traité de catoptrique sphérique. Le premier de ces écrits a été imprimé dans le 23° vol. Des transactions philosophiques, le second a été également publié dans ce recueil, en 1705, et réim- primé en 1707 dans les Acta eruditorum. NX. Lois ge- ncrales de la nature et du mouvement, in-8° 1705. IV. Méthode des fluxions , in-8, 1706. Cet ouvrage a été de nouveau publié, en 1726, avec des additions et des changemens par Clarke. V. Traité de perspective, 1712. VI. La nouvelle loi des fluides, 1714. DIVERGENT. On nomme divergent tout ce qui par- tant d’un point s’écarte ensuite de plus en plus de ma- nière à ne pouvoir plus se rencontrer. Ainsi deux lignes qui forment un angle sont divergentes du côté de l’ou- verture de cet angle; elles sont au contraire convergentes du côté du sommet. On nomme série divergente , en algèbre, celle dont les termes croissent continuellement, de sorte que la somme d’un nombre quelconque de termes, loin d’ap- procher d’autant plus de la valeur totale de la série que ce nombre est plus grand, s’en éloigne au contraire da- vantage. Poy. CONYERGENT. DIVIDENDE {Arith.). Nombre sur lequel on veut opérer une division. ’oy. Division. DIVISEUR (Arith.). Nombre par lequel on veut divi- ser un autre. Foy. Division et Commun DivisEuR. Diviseurs cOMMENSURABLES, Ÿ’oy. RACINES COMMENSU- RABLES. DIVISION (Arith. et Alg.). Opération qui a pour but de trouver l’un des facteurs d’un nombre donné lors- qu’on connaît l’autre facteur. Cette définition générale de la division est susceptible DI de deux modifications résultantes de cé qu’on peut con- sidérer le facteur cherché comme étant le multiplicande ou comme étant le maltiplicateur. Par exemple, 3 mul- tiplié par 4 donne 12; ici , 3 est le multiplicande et 4le multiplicateur. Si l’on se proposait donc de déter- miner 3 au moyen de 12 et de 4, ou ce qui est la mème chose de diviser 12 par 4, il est évident que l'opération consisterait à chercher la quatrième partie de 12, puis- qu’on sait que le.nombre demandé a dû être pris 4 fois pour former 12. Si l'an connaissait au contraire 12, et le multiplicande 3, et qu’on voulüt déterminer 4, on se proposerait de chercher combien 3 est contenu dans 12. Ces deux manières d'envisager la division se réunis- sent dans l’idée générale de cette opération, parce que, comme nous l'avons démontré (Ale. 7) les deux facteurs eutrent de la même manière dans la composition du produit et qu'il est, par conséquent, indifférent de prendre l’un quelconque de ces facteurs pour multi- plicande. Ainsi nous pouvons également dire, dans tous les cas , que diviser un nombre par un autre c’est cher- cher combien de fois le premier contient le second. En prenant pour exemple les nombres 12 et 3, le moyen qui s'offre d’abord pour trouver le facteur de- mandé est de retrancher 3 de 12 autant qu’il y est con- tenu, et de cette manière on aurait 192—3—0, 9—3—6, 6—3—3,3—3—0, d’où l’on pourrait conclure que 12 contient 4 fois3, puisqu'il a fallu exécuter 4 soustractions pour ne plus trouver de reste. Mais ces soustractions successives deviendraient im- praticables s’il s'agissait d'opérer sur de grands nombres et l’on sent la nécessité d’un procédé particulier qui soit à leur égard ce qu’est la multiplication par rapport aux additions successives d’une quantité avec elle-même. Or, ce procédé ne peut être que l'inverse de celui de la multiplication, et c’est en partant de ce dernier que nous allons faire comprendre son mécanisme. 1. Le nombre qu’on veut diviser prend le nom de dri- vidende ; le facteur connu , celui de diviseur, et le fac- teur cherché celui de quotient. Ainsi dans la division »2 est le dividende, 3 le diviseur, et 4 le quotient. 2. Pour diviser un nombre composé de deux chiffres par un nombre composé d’un seul chiffre, on se sert de la table des produits nommée table de Pythagore (voy. Muvriricarion). Par exemple, pour diviser 56 par 7, on cherche dans la septième colonne verticale lenombre 56 et l'ayant trouvé placé en face du 8 de Ja première i DI ATS colonne , on en conclut que 56—73X8, et par conséquent que le facteur cherché, ou le quotient, est 8. 3. Lorsque le dividende donné ne se trouve pas dans la table, c’est qu'il n’est point exactement le produit de deux facteurs. Dans ce cas la division laisse un reste; par exemple, 8ne divise pas 5o exactement, car 8X6—48 et 8X7—56, on dit alors que 50 divisé par 8 est égal à 6 avec un reste 2 ; ce qui donne l'égalité 50=8X6+0. 4. Pour effectuer la division des nombres composés de plus de deux chiffres, il faut prendre préalablement l'habitude d'exécuter de mémoire celle des nombres de deux chiffres, comme il faut savoir former les produits simples pour pouvoir opérer une multiplication Nous supposerons dorénavant qu’on sait trouver les quotiens simples. 5. Soit maintenant à diviser un nombre composé de plus de deux chiffres par un diviseur d’un seul chiffre. Pour rendre le procédé plus sensible , multiplions un nombre quelconque par un seul chiffre; par exemple, 6548 par 8, et prenons 8 pour multiplicateur afin de pou- voir mieux examiner la composition du produit ; nous aurons 6548 8 64 32 40 48 52384 Maintenant prenons 52384 pour dividende et 8 pour diviseur , et faisons l’opération suivante : 8 48 43 40 38 3 64 64 Oo Ayant écrit 8 à la droite de 52384, commençons par di- viser les deux derniers chiffres à gauche 52 par 8; cette division nous donne 6 pour quotient avec un reste 4 parce que GX8—48. Or, ce nombre 6 ainsi trouvé est le chiffre des plus hautes dixaines du quotient demandé; car d’après la formation de 52384, il est évident que les deux derniers chiffres 52 contiennent le produit 48 du dernier chiffre du multiplicande par8, plus les dixaines du produit précédent 40, ajoutées dans l'addition finale; donc 52 divisé par 8 doit donner pour quotient ce der- à 60 414 DI nier chiffre du multiplicande, avec un reste égal aux dixaines ajoutées. é Ayant retranché le produit de 6 par 8, ou 48, de 5», ! et écrit à côté du reste 4, le chiffre suivant 3 du divi- { dende, on voit que 43 est le produit de l’avant-der- : nier chiffre 5 du multiplicaude par 8, produit aug- menté des dixaines 3 du produit précédent. Raisonnant comme pour 52, ou trouvera quele diviseur 8 est con- tenu 5 fois dans 43, avecun reste 3; on écrira donc 5 au quotient, et à côté du reste 3, on abaissera le qua- trième chiffre 8 du dividende. 38 étant, par les mêmes raisons que ci-dessus, le produit du second chiffre à gauche du multiplicande, par le multiplicateur 6, aug- menté des dixaines du premier produit, on trouvera ce second chiffre en divisant 38 par 8, ce qui dounera 4 pour quotient, et 6 pour reste. Écrivant enfin, à côté de ce dernier reste, le dernier chiffre 4 du divi- dende, 64 sera le produit des unités du multiplicande, et en divisant 64 par 8, on obtiendra ces uuités 8, qu’on écrira au quotient. La division aura donc fait retrouver exactement le multiplicande 6548. 6. Sans nous appesantir sur d’autres décompositions semblables , nous poserons la règle suivante : Pour diviser un nombre de plusieurs chiffres par un nombre d’un seul chiffre, il faut : 1° Écrire le diviseur à côté du dividende, en les sé- parant par un trait. 2° Chercher combien le premier chiffre du dividende contient le diviseur , ou , si ce premier chiffre est plus petit que le diviseur, combien les deux premiers chif- fres du dividende contiennent le diviseur, et écrire ce uombre au quotient; 3° Retrancher de la partie employée du dividende, e produit du chiffre trouvé ; le produit du chiffre t ; 4° Écrire à côté du reste obtenu par cette soustraction le chiffre suivant du divideude, pour former un nou- veau dividende partiel sur lequel on opère comme sur le premier ; 5° Écrire le second quotient partiel à la droite du premier et retrancher son produit du second dividende partiel ; 6° A côté du reste de cette dernière soustraction, écrire le chiffre du dividende général qui suit le dernier employé, pour former un troisième dividende partiel ; 7° Continuer enfin de la méme manière jusqu’à ce qu’on ait employé tous les chiffres du dividende gé- néral, Quelques exemples suffiront pour rendre cette règle évidente, DI - 7- Soit à diviser 61605 par g. Après ayoir disposé comme il suit les nombres donnés on dira : en 61 combien de foisg? 6 fois pour 54.On écrira 6 au quotient , et on retranchera 6 fois 9 ou 54 de 61, ce qui donnera un reste 7, à côté duquel on écrira le chiffre 6 du dividende. Continuant l'opération, ou dira : en 76, combien de fois 9? 8 fois pour 72; on écrira 8 au quotient, et on retranchera 72 de 56, ce qui donnera 4 pour reste, à côté duquel on écrira le chiffre o du di- vidende. On dira de nouveau, en 4o combien de fois g? 4 fois pour 36 ; on écrira 4 au quotient et à côté du reste 4, obtenu en retranchant 36 de 40, on écrira le dernier chiffre 5 du dividende. On dira enfin, en 45 combien de fois 9 ? 5 fois exactement, et l’on terminera l’opéra- tion en écrivant 5 au quotient et o pour dernier reste, Le quotient demandé est donc 6845. 5. Proposons-nous de diviser 8437 par 9. Ici, il n’est pas besoin de prendre deux chiffres du dividende pour commencer l’opération, parce que le premier le con- tient déjà. On dira donc en 8 combien de fois 7 ? une fois avec un reste r, Abäis- sant le chiffre 4 , on continuera en disant en 14 combien de fois 7? 2 fois sans reste, On écrira donc o pour reste, et l’on abaissera le chiffre 3 du dividende ; ce qui don- nera 03 ou seulement 3 pour troisième dividende par- tiel; on dira donc en 3 combien de fois 3? La division ne pouvant s'effectuer, on écrira o au quotient, et con- sidérant 3 comme un reste, on écrira à côté le dernier chiffre 3 du dividende. On terminer# enfin en disant : 7? 5 fois avec un reste 2. en 37 combien de fois 7 Le quotient cherché est donc 1205; mais il y a un reste, ce qui prouve que 7 n’est pas facteur exact de 8437. 9. Une décomposition semblable à celle du numéro 5, va nous montrer la marche qu’il fant suivre lorsque le diviseur a plusieurs chiffres. Ayant multiplié 856 par 464, et trouvé comme ci-dessous 406464, proposons- nous le problème inverse de diviser 406464 par 876 : le DI quotient sera nécessairement 464; écrivons le diviseur à côté du dividende, et opérons comme il suit : 876 - 464 3504 5256 200. (816 D'après la composition du dividende, on voit que le produit du diviseur par le dernier chiffre 4 du quotient est contenu dans les quatre derniers chiffres 4064 du di- vidende, plus les dixaines provenant des autres produits partiels. Ainsi, ayant séparé ces quatre chiffres par un point, ilest évident que pour trouver le dernier chiffre 4 en question, il ne faut que chercher combien les chiffres ainsi séparés contiennent de fois le diviseur. Nousdirons donc en 4064 combien de fois 876? mais comme ici la table de multiplication est insuffisante, nous remarque- rons que 4064 étant le produit de 856 par le chiffre cherché , le premier chiffre 4, ou à son défaut, les deux premierschiffres 4o doivent contenir leproduit du chiffre cherché par le dernier chiffre 8 de876; la question se réduit donc à dire en 40 combien de fois 8? et comme il y est 4 fois, nous en conclurons que 4064 contient 4 fois876. Cela posé, 4064 contenant en outre les dixaines provenant des autres produits partiels, pour avoir ces dixaines , il ne faut que multiplier 876 par 4, et retran- cher le produit de 4064. Ayant donc écrit 4 au quotient multiplions le diviseur par ce nombre, portons le pro- duit 3504 sous 4064 , et retranchons-le de ce nombre, nous aurons 560 pour reste. Si à côté de ce reste , nous écrivons jes deux autres chiffres 64 du dividende, il est bien évident que le nombre qui en résulte 56064 ne contient plus que les produits de 8736 par les deux premiers chiffres 64 du quotient. Remarquons de nouveau que le produit de 876 par lavant-dernier chiffre 6 du quotient est contenu dans les quatre premiers chiffres 5606 de notre nouveau di- vidende plus les dixaines reportées du premier produit partiel. Ainsi, pour trouver ce chiffre 6, il faut encore chercher combien de fois 5606 contient 876, ou, comme ci-dessus, combien 56 contient 8. Mais ici 56 contient 8 7 fois et non G fois. On pourrait donc croire qu’il y a erreur dans Popération , si l’on ne se rappelait pas que DI 475 non-seulement 56 contient le produit deS par le chiffre cherché, mais qu’il contient encore de plus les dixaines provenant des produits des autres chiffres de 896, et cucore celles proveuantdu premier produit partiel 3504; il arrive donc souvent que la division des deux premiers chiffres du dividende par le premier chiffre du diviseur donne un nombre plus grand que celui qui est cherché ; et l’on ne peut regarder ce procédé que comme un ta- tonnement , puisque pour être sûr qne le chiffre trouvé n’est pas trop grand, il faut multiplier le diviseur entier pour savoir si le produit ne surpasse pas les chiffres sé- parés du dividende, car il ne faut pas perdre de vue que la véritable question est ici de savoir combien 5606 contient 876. Ainsi ayant trouvé 7, en disant : en 56 combien de fois 8? multiplions 876 par 7, et comme le produit 6132 est plus grand que 5606, concluons que 7 est trop fort; alors multiplions 876 par 6 , et comme le produit 5256 est contenu dans 5606, écrivons 6 au quotient et re- tranchons 5256 de 5606; nous aurons 350 pour reste, à côté duquel nous écrirons le dernier chiffre 4 du divi- dende. Or, il est évident que puisque nous avons retranché successivement du dividende général, les produits du diviseur par les centaines et les dixaines du quotient, le dernier reste 3504 ne doit plus contenir que le pro- duit du diviseur par le chiffre des unités du quotient, et qu’il doit être ce produit même, puisque le dividende proposé est exactement le produit du diviseur par le quotient. Ainsi, pour trouver ce chiffre des unités, nous dirons : en 3504 combien de fois 8,6? ou plus simplement, en 35 combien de fois 8? 4 fois. Multiplions donc 876 par 4 pour savoir sice chiffre n’est pas trop grand , et comme le produit est justement 3504, écri- vons { au quotient, eto pour dernier reste, ce qui de- vait être nécessairement , puisque nous n'avons fait que retrancher du dividende tous les produits partiels qui le composaient. 10. De là il est aisé de conclure la règle générale suivante : On prendra sur la gauche du dividende autant de chiffres qu'il est nécessaire pour contenir le diviseur. Cela posé, on cherchera combien {a partie prise du dividende contient de fois le diviseur, ce qui se fait en cherchant seulement combien de fois Le premier chiffre à gauche du diviseur est contenu daus le premier chiffre du dividende, ou dans les deux premiers si le premier ne suffit pas; on écrit le chiffre trouvé sous le diviseur. On multiplie tous les chiffresdu diviseur par ce quo- tient partiel, et on porte à mesure les chiffres du pro- duit sous les chiffres correspondans du dividende par- tiel. On fait la soustraction, et à côté du reste on abaisse 416° BI le chiffre suivant du dividende général, ce qui donne un second dividende partiel. Oa opère sur ce second dividende partiel comme sur yle premier , et on continue l'opération jusqu’à ce qu’on ‘ait abaissé tous les chiffres du dividende général. Quelques exemple éclairaront les cas embarassans. 17. Soit à diviser 3730438 par 5364; 37304.38 (7304 36820 (506 45438 k 4184 4254 Ayant séparé par un point les cinq derniers chiffres du dividende, parce que les quatre premiers sont in- suffisans pour contenir le diviseur ; je dis : en 37 com- bien de fois 7 ? 5 fois; j'écris 5 au quotient. Je multiplie 3364 par 5, et je porte le produit 36820 sous 37304 , duquel je le retranche; à côté du reste 454 j'abaisse le chiffre suivant 3 du dividende, et j'ai pour second dividende partiel 4543. Qr, comme ce second dividende est plus petit que le diviseur, j'agis comme dans le numéro 8, c'est-à- dire que j'écris o au quotient , et que j’abaisse le dernier chiffre 8 du dividende. Je dis, eu 48438 combien de fois 5364? ou, en 48 combien de fois 7? je trouve 6 fois que j'écris au quo- tient, je multiplie le diviseur par 6, et j'écris le produit 44184 sous le dividende 48438 duquel le retranchant, j'ai 4254 pour reste. Eu effet, en multipliant le diviseur par le quotient, on trouve pour produit 3526184 qui diffère du divi- / dende donné du nombre 42544. 12. Il s’agit de diviser 8988186 par 596. 8988186 596 596 15080 3028 2950 4318 4768 506 Je prends seulement les trois premiers chiffres du di- vidende parce qu’ils suffisent pour contenir le diviseur, et au lieu de dire en 895 combien de fois 596? je dis : en 8 combien de fois 5? je trouve 1 que j'écris au quo- tient. Jemultiplie 596 par 1, et je porte le produit 596 sous 895, je fais la soustraction, et à côté du reste 302, j'abaisse le chiffre 8 du dividende, et je continue en DI disant : en 30 combien de fois 5? G fois, mais en mul- tipliant le diviseur par 6, je trouve 3056 qui est plus grand que le dividende, je n’écris donc que 5 au quo- tuent. Je multiplie le diviseur par 5, j'écris le produit 2980 sous 30928, je fais la soustraction, et à côté du reste 48 j'abaisse le chiffre 1 du dividende. Mais comme 481 ne peut pas contenir le diviseur 506, je porte o au quo- tient, et j'abaisse à côté de 481 le chiffre suivant du dividende, ce qui donne 4818. Alors je dis : en 48 com- bien de fois 5? IL y va 9 fois, mais pour la même raison que ci-dessus , je ne pose que 8 au quotient. Je multiplie le diviseur par 8, et ayant retranché le produit 4768 de 4818 , j'ai pour reste 50 à côté duquel j'abaisse le dernier chiffre 6 du dividende. Or, 506 étant plus petit que le diviseur, j'écris o au quotient, et comme je w’ai plus de chiffres à abaisser, j'en conclus que 8988186 contient 15680 fois 506, plus un reste 506. 13.Ces exemplessuffisent pour montrer la marche qu’on doitsuivre dans tous les cas.Ïl nous reste à montrer com= ment on peut abréger les multiplications qu’on est obligé de faire pour savoir si le chiffre obtenu par la division des deux premiers chiffres du dividende par le premier chiffre du diviseur n’est pas trop grand. Par exemple, dans l'exemple ci-dessus , au troisième divi- dende partiel, nous avions : en 48 combien de fois 5? 9 fois, et nous n'avons mis que 8 au quotient, parce que le diviseur multiplié par 9, donne 5364 qui est plus grand que le dividende 4818. Or, nous aurions pu éviter cette multiplication en faisant la remarque suivante : Si 4818 contenait 9 fois 596, les derniers chiffres 48 devraient contenir Q fois 5 , plus un reste qui se com- poserait des dixaines provenant de la multiplication des autres chiffres du diviseur par O, retranchant donc 5 fois 9 ou 45 de 48, le reste 3 devrait être ces mêmes dixaines. Or, 318 qui reste après avoir Ôté 45 centaines de 4818, doit donc contenir les produits des deux au- tres chiffres, 96 du diviseur par 9, et particulièrement 31 doit contenir le produit du chiffre 9 des dixaines par 9; mais ce produit étant 81, et par conséquent plus grand que 31, il s'ensuit que 9 fois 596 est plus grand que 4818. Ainsi, sans être obligé de faire la multiplication et seulement à l’aide de la différence de 45 à 48, on reconnait que le chiffre 9 n’est point celui qu’on demande. Actuellement pour savoir si 8 n’est pas aussi trop grand, car il se présente des cas où le premier chiffre trouvé surpasse le chiffre cherché de deux unités; on dira de même 8 fois 5 font 40, ôté de 48 reste 8; joi- gnant 8 au troisième chiffre 1 de 4818, on dira : 8 fois 9 font 52 qui, ôté de81 , donne un reste 9 auquel on joint le dernier chiffre 8 de 4818, et comme 98 qui en ré- DI sulte , est plus grand que 8 fois 6, il s'ensuit que 596 est contenu 8 fois dans 4818. 4818 (596 4o_\8 Avec de l’habitude, on aperçoit facilement dèsle pre- mier reste, si le chiffre n’est pas trop grand; mais dans tous les cas, comme il est inutile d’écrire, ainsi que je lai fait ci-dessus, une opération qu’on exécute men- talement, on abrège considérablement l’opération gé- nérale. On doit aussi prendre l'habitude d’exécuter les sous- tractions des produits partiels sans écrire ces produits et à mesure qu’on les forme; c’est ce qu'on trouve ex- pliqué dans tous les traités d’arithmétique. 14. Division pes Fracriows. Diviser une fraction quel- conque £ par une autre fraction 7, c’est la même chose que multiplier £ par 7 renversé ou par 7. On a donc RE LES 9 6 916 1 Les raisons de cette règle sont exposées à l’article AL- GÈDRE, n° 18. 15. S'il s'agissait des fractions décimales, l'opération se simplifierait beaucoupen remarquant que le quotient de deux nombres ne change pas lorsqu'on multiplie ces deux nombres par un même facteur. En effet, soit 0,45 à diviser par 0,5; en multipliant ces deux fractions par 100, elles deviennent 45 et 50 dont le quotient est la fraction 45 50 qu’on peut réduire en fraction décimale par le procédé exposé au mot DécIMALE. On trouve ainsi 16. Si les nombres proposés étaient composés de par- ties entières et de parties décimales, il faudrait les multi- plier l’un et l’autre par un multiple de 10 , capable de faire disparaître à la fois les deux parties décimales, et opérer ensuite la division sur les nombres entiers résul- tans. Ainsi, pour diviser 54,35 par 7,005, il faut com- mencer par multiplier chaque nombre par 1000 ce qui les transforme en 543500 et 70025 dont le quotient est le mème que celui des nombres proposés. On peut ainsi poser la règle générale de cette opéra- tion : Ayant complétc par des zéros le nombre des dé- .— di DI cimales du dividende et du diviseur, on retranche la virgule de part et d'autre, et on opère comme st les nombres proposés étaient entiers. Par exemple, pour diviser 154,05 par 3,2552, ou écrira LA 154.0500|3.2552 et, en retranchant la virgule, on aura 1540500 Pa 238420 : +7 1056 Le quotient demandé est donc 47 plus un reste 20556. Ce reste, qu’il faudrait encore diviser par 32552, : : 6 £ fournit la fraction , etle quotient total est donc 1055 32552 FURE 10556 TT 3255 Si l’on ne voulait avoir que des fractions décimales, il faudrait continuer la division ci-dessus en écrivant suc- cessivement des o à côté de chaque reste, et l’on n’arré- terait l'opération qu'après avoir obtenu le degré d'ap- proximation dont on aurait besoin. En supposant, dans l'exemple précédent, qu’on r’ait besoin de connaitre le quotient qu’à un millième près, l'opération totale de- viendrait 32552 5405 = 1540500 RE 238420 105560 79040 109360 9152 Le quotient de 154,05, divisé par 3,2552, est donc 47,324 à un millième près. 17. Lorsqu'on a exécuté une division, le moyen le plus direct qui se présente pour la vérification du calcu ou pour faire ce que l’on nomme la PREUvE de l’opéra- tion, c’est de multiplier le diviseur par le quotient puisque ces deux quantités sont les facteurs du dividende. Ainsi cette multiplication doit reproduire exactement le dividende, si la division n'a pas laissé de reste, et s’il y a un reste le produit augmenté de ce reste doit être égal au dividende. Ilexiste encore une preuve deladivision qu’on nomme preuve par Q , elle est exposée au mot AnITHMÉTIQUE, dans le fragment d'Avicenne; nous verrons à l’article Facreur les principes sur lesquels elle est fondée. 18. Division comPLexE. On nomme divisioncomplexe celle qu'il's’agit d'effectuer sur des nombres composés d'entiers et de fractions. Il se présente trois cas : 1° Le dividende seul est complexe ; 2° le dividende et le divi- seur sont tous deux complexes; 3° le diviseur seul est complexe. Nous allons les examiner successivement. 4178 DI 1° Soit à diviser 345 20' 30" par 24 ; après avoir di- visé 345 par 24, ce qui donne 14 pour quotient et Q pour reste; on réduira ce reste g heures, en minutes, en multipliant 9 par 60, puisque une heure équivaut à Go minutes ; on augmentera le produit, 540, des 20” du di- vidende, et on aura ainsi un nouveau dividende par- tiel 560, qui , divisé par 24 , donnera 23 pour quotient et 8 pour reste; on réduira de nouveau ce second reste en secondes, en le multipliant par 60, et on ajoutera au produit, 480 , les 30” du dividende général, ce qui don- nera pour second dividende partiel 510; ce nombre, divisé enfin par 24, donnera pour quotient 21 et pour reste G. Le quotient général sera donc 14 heures, 23 minutes, 21 secondes , plus # de seconde. Voici les dé- tails de l’opération : 345 20 30]? 105 Reste d’heures.... 9 6o 540 20 560 80 Reste des minutes. 8 60 480 30 ne 510 30 Reste de secondes... 6 S'il s'agissait d’un dividende composé de fractious or- dinaires, on ramènerait l'opération à une division simple en se débarrassant des fractions comme il suit : Soit 5 à diviser par 49. Réduisant tout le divi- dende en fraction, c'est-à-dire opérant l'addition 56 + À ë SRE L'opération sera ramenée à la division de nc par 49. Mais en retranchant le dénominateur 57, ou rend Ja fraction 57 fois plus grande ; ainsi le quotient de 2097 par le diviseur proposé 49 serait 57 fois trop grand, il faut donc multiplier préalablement le diviseur par 57, et alors le quotient de 2097 par 49X 57 ou par 2693 sera le quotient demandé. Larègle générale est donc deréduire tout le dividende en une seule fraction, de multiplier ensuite le diviseur par le dénominateur de cette fraction, et de diviser seu- lement le numérateur par ce dernier produit. DI 2° Si le dividende et le diviseur sont tous deux com- plexes , on pourra se servir de plusieurs opérations pré- paratoires dont la plus simple est de rendre le diviseur incomplexe en le réduisant en unités de l’ordre le plus bas de celles qu’il contient. Soit par exemple : 48 livres sterling 16 shellings 6 pences à diviser par 350 toises 5 pieds 10 pouces. On réduira le diviseur en pouces, ce qui s’exécutera en multipliant d’abord 350 par 6, pour avoir le nombre de pieds contenus dans 350 toises, on ajoutera 5 à ce nombre 2100, puis on multi- pliera 2105 par 12, pour avoir le nombre de pouces eon- tenus dans 2105 , ajoutant 10 enfin à ce dernier nombre 25260, on saura que le diviseur proposé est équivalent à 25270 pouces. Or, une toise contenant 72 pouces, le nombre précédent, comparé à l’unité, est donc la frac- tion 25270 72 et c’est par cette fraction qu’il faut diviser 48! 16° Gr. Pour faire disparaitre le dénominateur 92, il ne s’agit donc plus que de multiplier le dividende et le diviseur par ce nombre, ce qui ne change pas le quotient; le se- cond devient alors simplement 25250, et le premier, en opérant lamultiplication, devient (voy. MuzrripLicaTioN) 3515! 8°. Voici les details de l'opération , pour laquelle il faut savoir que ia livre sterling vaut 20 schellings et le schelling 12 pences. 3515! 8° [2327 9 20 Lol 2° 9" schellings 70300 8 70308 19768 12 39536 19768. Ieste en schel. Pences. . .237216 Reste.... 9786 Le quotient demandé est donc 2 schellings 9 pences 86 plus oee de pence. 29270 Il faut observer dans toute division que le diviseur doit toujours être considéré comme un nombre abstrait, et que le quotient ne peut être d’une autre nature que le dividende. En effet , une division quelconque avant pour but de trouver le nombre qui , ajouté à lui-même un nombre de fois donné en produit un autre également donné, il est évident que le nombre cherché est de même nature que celui qu'il doit produire, ou que le di- vidende; tandis que le diviseur, exprimant seulement le nombre de fois que le quotient est contenu dans le di- DI vidende ; est essentiellement un nombre abstrait. Si donc l’on divise des livres sterlings par des toises, C’est qu'une telle division est Le résultat d’une question qui considère seulement le rapport des nombres entre eux indépendamment de leurs natures. Ainsi, par exemple, si l’on savait que 350 toises 5 pieds 10 pouces d'un cér- tain ouvrage de mäçonnefie ont coûté la somme de 48 livres 16 schellings 6 pences et qu’on voulüt connaitre , à l'aide dé ces nombres , quel est le prix de la toise , il s'agirait de savoir d’abord quel est le rapport entre une toise et le nombre en question, car si une toise est la centième, la deut=centière , ttc. partie de ce nombre son prix sera la centiènie païtie, la deux centième, etc. de la somme conntie; e’est-ä-dire, que pour obtenir ce prix il suffira de diviser cette somme par 100, ou 200, ou etc. Mais le rapport d’une toise à 350° 5r 10P , et ce nombre lui-même ; car en réduisant tout en pouces se rapport est le même que celui de 72 pouces à 25270 pouces; ou que le nombre abstrait 25270 72 C’est donc seulement pour abréger qu’on sous-entend la nature abstraite du diviseur et qu’on lui conserve les dé- nominations des nombres concrets dont ii est le rap- port. 3° Lorsque le diviseur seul est complexe , on ramène l'opération à une division simple en opérant sur lui comme dans le cas précédent. La division complexe, dans le cas des fractions déci- males, a été déjà exposée ci-dessus, n° 16. 19. Division aLGEBRIQUE. Nous avons Vu ALGÈBRE, n°10 , comment les signes du dividende et du diviseur déterminent ceux du quotient, nous rappellerons seule- ment ici, en désignant par À un dividende quelconque, par B le diviseur, et par C le quotient, qu’on a en gé- uéral : CR — 5-0 AT 20. La division d’un polynome paï un monome s’o- père en divisant chaque terme du polyÿnome en particu- lier. Il est évident que KABLESD ec. À B° CD Mon MM MN: Ja raison de cette règle est évidente. Di 419 Tant que les lettres du dividende et du diviseur sont différentes on ne peut opérer aucune réduction sur les résultats, mais lorsqu'il y a des lettres semblables, ou des coefficiens numériques, ces résultats peuvent être simplifiés. Soit par exemple 6a%b—4ac?+2b?c à diviser par 2ac; on a d'abord par la règle générale . 2b?c 2ac Ga?b— 4ac? + 2e 2ac 6æb . 4ac? 2ac 7 2ac {- . n D maté en examinant chaque terme du quotient on voit que les numérateurs et les dénominateurs ont des fac- teurs communs qui peuvent être conséquemment re- tranchés sans changer la valeur des termes ; ainsi Gaib 2ûc ., … 2ab se réduit à 7» en divisant les deux termes de cette fraction par le fac- teur commun 2a ; 4ac? 2ac se réduit à 2c en divisant les deux termes par 2ac ; et enfin ohe “abgracéi se réduit à — a 2ac en divisant les deux termes par 24: Le quotiet demandé est donc seulement Secondexemple.Lepolynome 1 5afbc6—3añen+5b8c7 divisé par 15 a°b7 devient 15ab3c® 3aÿc': 5b8c7 1 ab? 1 54°b7 15a°b7 et se réduit à a%c° eu be? bi 5ab7 3@ après le retranchement”des facteurs égaux des deux termes de chaque fraction. On peut encorë donnet à ce quotient la forme ; I : @b—icf — a —b—7en + aber L5] CS | en se servant d’exposans négatifs, puisqu'on a en géné- l b L ral — = —A-", Voy. ALGÈBRE , n° 24. 21. La méthode qu'on emploie pour diviser un poly- nome par un autre polvnome est à peu près semblable 480 DI à celle que nous avons donnée -dessus pour les nombres. On ordonne d’abord le dividende et le diviseur par rapport à une même lettre, commune à l’un et à l’autre, de manière que les puissances consécutives aillent en dé- croissant du premier terme au dernier. On divise en- suite le premier terme du dividende par le premier du diviseur, d’après les règles que nous venons d’exposer pour les monomes, le quotient qu'on obtient est le pre mier terme du quotient général demandé. Multipliant le diviseur par ce terme trouvé, et retranchant le pro- duit du dividende, on a un premier reste dont le pre- mier terme divisé par le premier terme du diviseur donne pour résultat le second terme du quotient. Opé- rant ensuite comme ci-dessus, on obtient un second reste lequel sert de la même manière à la détermination du troisième terme du quotient, et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on trouve o pour reste, ou un reste qui ne puisse plus être divisé. Exemple 1°. On demande le quotient de la division de 3a?+oga—5a—15 par 3a—5 3a—5 3 LE Fe Re Lu . 7 a +3 quotient 9æ@—15 premier reste. —9@ +15 o second reste — 0. Les produits de 3a—5 par aet par 3 sont 3a—5a et oa?—15, mais pour les soustraire il faut changer les signes et ils deviennent —3a+5a, —ga+15. Exemple 2°. On veut diviser 4a—17ab+2b; par a+2b —2b Re b3 F Le | ne JL en He 4aæ—8ab—b quotient —8ab—17ab? premicr reste —8abLi6ab? —ab?+2b3 second reste +ab—2bi o troisième reste. Exemple 3°. Diviser am—bm par a—b a—b PS mm pm rm a Lab aa an a etc. an bin —am—1b+am—2hs sa | Han—h— mt —an—3b + am—3p3 er —am 3h Lam—hpi Han—hbi pm etc. etc. L'opération ne pourra seterminer tant que l’exposant m restera ainsi général, mais il est facile de saisir la loi DI des termes du quotient; en effet , on voit que les puis- sances de a décroissent à mesure que celles de b devien- nent plus grandes, et on pourra conclure par analogie que le dernier terme de ce quotient général est abm—1 et que ce quotient lui-même est am E am—3h + am—3h3 Letc...... + @bm-3 LE abm—3 L bn ; pour s’en assurer il ne faut que le multiplier par «—b, ce qui donne . an E am—1ib L am—2h2 L etc. + dbm—3 Labs LL 'abm-1 —amTib—am—2h2 —etc.... —dbn—3 co bm—3abm 1h dont la somme est effectivement a—bm. Exemple 4°. Diviser a*—ab?+b5 par a4+b a—abpp fe —a—æb a—ab —æ@b—ab A ma FT Le quotient sera donc égal à &—ab plus la fraction b3 a+’ a, on ne peut continuer la division sans trouver des comme ici le numérateur ne contient plus la lettre termes fractionnaires, et alors dans ce dernier cas, lors- qu'on veut continuer la division, on peut la pousser à l'indéfini car il n’y a plus de raison pour s'arrêter à un terme plutôt qu’à un autre; le quotient pris donc en gé- néral est composé d’un nombre indéfini de termes dont chacun peut être déterminé par une loi très-simple au moyen de ceux qui le précèdent, comme nous allons le voir pour le cas dont il est question. a HP RE TE ——— RTE TA +etc. bi : . premier reste bi bd ++ b5 + _ second reste b5 b5 7 à —— 7 —— troisième reste a etc. La loi des termes du quotient est facile à saisir, leur bm+a Fr = - forme générale est —— et ils sont alternativement a DI positifs et négatifs. On peut encore exprimer cetie der- nière circonstance, en observant que (—1}"+1est positif toutes les fois que #1 estimpair, c’est-à-dire que 711,3, 5, 7, etc., et négatif lorsqu'il est pair, c’est-à-dire que m—2 , 4, 6,8, cetc.; en effet, lorsque 72 est impair, mx est pair, et (—i)tt = + 1; lorsque 72 est pair m + x est impair et (—1}"+1=— 1. Ainsi la forme absolument générale des termes de ce quotient est bn+2 ( —] }a+1 > a Connaissant ainsi cette forme générale, pour trouver un terme quelsonque, le quatrième par exemple, il faut y faire »m—4 et on obtient b5 lea pour ce terme, comme nous l’avons obtenu ci-dessus par la division. On appelle en général suite ou série une quantité composée, comme le quotient en question, d’un nombre indéfini de termes; et terme général de cette Ni — 2 suite une expression, telle que (—1}#+, dont on peut tirer tous les termes qui la composent. Les restes successifs de cette division sont aussi liés par une loi très simple ; en examinant leur génération bi b5 b5 b1 70 = DNS A Mt on voit avec facilité que leur forme générale est bm+3 an h (apr. Si on voulait terminer l'opération au premier, second, troisième reste, etc., pour compléter le quotient, il fau- drait alors lui ajouter une fraction dont le dernier reste serait le numérateur et le diviseur le dénominateur; c’est ainsi qu’on pourrait avoir DEDRAN D bi akb a a(a+b) b3 b5 bi b° a$b «a « au a (a+b) b3 b5 bi L5 ' Ad a+b ne Ua fe a a{a+b) etc. etc. Mais en considérant le quotient danstoute sa généralité, ; b5 cr + la fraction F2 est exprimée par la suite indéfinie bi b3 bi b° OR etc. a+b a a a ai ? DI 481 29. Nous aflons, avant de terminer cet article, exa- miner les différentes formes sous lesquelles les suites pro: duites par la division peuvent se présenter. La division de a« par a—b, donne, en suivant les principes exposés ci-dessus, a b b2 b3 bi —=1+—+ La tarpete Si dans cette égalité on fait a=b, elle deviendra _ = 14141 iii etc. Le second membre de cette égalité pris dans sa généra- lité est nécessairement infiniment grand, ainsi la division d’un nombre quelconque par o produit l'infini. EfFeti- vement si l'on considère ceque devient un quotient dont on diminue successivement le diviseur, on remarquera sa croissance rapide a a a a — = 1,5. =24,,-=4ha,;=8a,-— = 1604 a L — — 24 44 84 160 Donc, lorsque le diviseur devient infiniment petit, ou zéro, le quotient est infiniment grand; c'est ce que donne l'égalité en question. 23. En faisant dans la même fraction a NE a=I1 et b=+ on a ou 2 = DHEA do ete. Dans cette suite, les termes devenant de plus en plus petits, on voit facilement qu’on peut, en n’en prenant qu’une quantité déterminée obtenir des valeurs appro- chées du nombre 2, qui est ici la valeur totale de la suite; en effet on a ie iii es , 143 ititititie=isetc. ; à sr 7 LION OI et il est évident que les quantités 1, S'£ 80 diffè- rent d'autant moins de 2 qu’il entre dans leur composi- tion un plus grand nombre des termes de la suite. Les suites, dont les termes sont ainsi de plus en plus petits, se nomment convergentes à cause de leur pro- priété de pouvoir donner au moyen d’un nombre limité Gi 482 DI de leurs termes, des valeurs approchées de la valeur générale qu’elles expriment par la totalité de ces mêmes termes. L'usage de ces suites est d’un graud avantage dans l'algèbre pour obtenir les valeurs approximatives des quantités qui ne peuvent s'exprimer exactément bi par des nombres entiers, ni par des nombres fraction- 2 naires, tels que V/3, etc. 24. Faisant actuellement a = 1 et b——2, nous aurons LL £ _: Tous 1244 —8+16—32+64—0ctc. me Cette suite diffère essentiellement de la précédente, car en additionnant successivement deux, trois, quatre etc. de ses termes , on obtient les quantités 1,—1,+3,—5,<+11,etc., qui s'éloignent de plus en plus de la fraction 3, va- leur générale de la suite : ici quelque grand que soit le nombre des termesqu'on voudrait prendre, on ne pourrait rien en conclure sur la valeur qu'exprime cette suite, à laquelle onu donne pour cette raison le nom de divergente ; ce n’est, commenous le verrous en son lieu, qu’en les considérant dans le nombre indéfini de leurs termes que les suites divergentes ont une signification ou une valeur générale déterminée. Nous verrons aussi que les suites divergentes peuvent être, au moven de certains procédés, transformées en suites convergentes. #’oy. CoNvERGENT et SÉRIE. Division (Géom.). Diviser une ligne par une autre, c'est chercher combien de fois cette ligne contient l’au- tre , et alors on les compare toutes deux à une troisième ligne prise pour unité, ce qui donne le moyen de les ‘exprimer par des nombres. Par exemple, soit à divi- ser la ligne: A par la ligne B et soit Gl’unité de mesure; supposons de plus que A contient 72 unités, et B, nuni- tés; le quotient de »7 par x exprimera le nombre d’uni- jLés C que contientle quotient dela ligne A par laligne B. (Mais sans avoir besoin de recourir aux nombres, ce der- Fa quotient, ou la ligne qui le représente, peut toujours ètre obtenu par une construction géométrique. En effet, | À AN BB AXT ; à et —— se construit en prenant une quatrième propor- B tionnelle aux trois lignes À, B, et 1 ou C. Foy. Arpui- CATION , n° 8. On obtiendra le quotient d’un produit de ngnes droites a, b, c, d, etc. en nombre quelconque, par un autre produit d’autres lignes droites », 7, 0,p, etc. DI en nombre également quelconque, par des construc- tions successives de quatrièmes proportuonnelles. Si l’on avait par exemple aXbXc à diviser par mxn comme le quotient on chercherait d’abord la quatrième proportionnelleaux trois lignes a, b,m, et en la désignant par x, on au- rait construisant ensuite la quatrième proportionnelle aux trois lignes x, c, r, on aurait le quotient demandé. Tant que le nombre des dimensions du dividende surpasse d’une unité celui des dimensions du diviseur, on voit aisément qu’en agissant de la même manière on parviendra à trouver une dernière quatrième propor- tionnelle qui sera ie quotient général. Dans tous les autres cas il faudra connaître l’unité de mesure et ajou- ter cette unité comme facteur soit au dividende soit au diviseur, de manière que le nombre des facteurs du divi- dende surpasse d’une unité celui des facteurs du divi- seur. Par exemple on donnera au quotient de SRE min pig la forme deb: C-Lra m.n.p.q et au quotient de a.b.c.d la forme a.b.c.d m.1.l ce que l’on peut ensuite construire aisément par une suite de quatrièmes proportionnelles. Division pu cercLe. V’oy. PoLxGonE, CENTESIMALE et SEXAGÉSIMALE. DIURNE (Astr.). Ce qui a rapport au jour; par op- position à octurne ; ce qui a rapport à la nuit. Arc diurne. Arc décrit par un astre sur la sphère cé- leste, depuis le moment de son lever jusqu’à celui de son coucher. On nomme arc semi-diurne V'arc décrit par un astre depuis son lever jusqu’à son passage au méri= dien ou depuis son passage au méridien jusqu’àson cou- cher. : . Le cercle diurne est un cercle parallèle à l'équateur sur lequel un astre paraît se mouvoir par son mouve- ment diurne. DO On nomme mouvement diurne d’une planète, l'arc céleste qu’elle parcourt dans l’espace de 24 heures par son mouvement propre. Ainsi pour connaître le mouve- ment diurne d’une planète il faut préalablement con- naître le temps qu’elle emploie pour sa révolution en- tière ; par exemple, sachant que le soleil fait sa révolu- tion entièreen 365 jours et à peu près 6 heures ou 8766 heures, on posera la proportion 8366 : 24 :: 360° : & d’où l’on trouvera 360°X 24 — n° LA bn Pan so M Ainsi le mouvement diurne du soleil est d'environ 59 mi- nutes. (Division sexagésimale. ) Nous devons faire observer qu’une telle proportion ne donne que le mouvement diurne moyen, car le mou- vement diurne réel est variable Voy. PLanères. Le mouvement diurne de la terre est sa rotation autour de son axe, qui s'effectue en 24 heures et forme le jour naturel. DODÉCAËDRE (Géom.). (de dodexx, douze, et de e9pa , base). Un des cinq solides réguliers. Il est ter- miné par douze pentagones réguliers égaux. f’oy, So- LIDES REGULIERS. DODECAGONE (Geéom.). par douze droites qui se coupent deux à deux. Lorsque les douze côtés du dodécagone sont égaux Figure plane terminée entre eux, et qu'il en est de même des douze angles formés par les intersections de ces côtés, le dodécagone est dit régulier. Il est alors inscriptible et circonscrip- tible au cercle. Le problème d'inscrire un dodécagone régulier dans un cercle donné revient à celui de diviser la circonférence en douze parties égales , ce qui ne présente aucune dif- ficulté, car il s’agit d’abord de diviser cette circonfé- rence en six parties égales, par l'inscription d’un hexa- gone régulier (voy. ce mot), et ensuite de diviser, en deux également, chacun de ces six parties ; en menant une droite de chaque point de division à celui qui lesuit immédiatement , le dodécagone se trouve construit. La plupart des questions qu’on peut se proposer sur le dodécagone régulier exigeant la connaissance des rapports qui existent entre le côté de cette figure et les rayons des cercles insérits et circonscrits, nous allons faire connaître ces rapports. Soient BC (PL. XXXI, Jig. 2) le côté du dodécagone | régulier, AB le rayon du cercle circonscrit; si du point À on abaisse sur BC la perpendiculaire AF, cette droite sera lerayon du cercle inscrit. Le triangle BAC dont la surface est la douzième par- tie dé la surface du : dodécagone à pour mésure la moi- D9 483 tié du produit de sa base BC par sa hauteur AF , ou la moitié du produit de son autre base AC par sa hauteur BE, ainsi les deux quantités 4 BC X AF et AC X BE, sont équivalentes entre elles et représentent chacune la douzième partie de la surface totale du dodécagone. Mais BE est la moitié de BD, côté de l'hexagone égal au rayon AD ; ainsi désignant par R le rayon AB ou AC du cercle circonscrit, par 7 le rayon AF du cercle inscrit, par c le côté BC du dodécagone, et par S la surface de cette figure , nous aurons les deux expressions (m1) S = 12.1c,r = 6c.r S=1a.3ÎR x za] = 3R° et par conséquent 6c.r = 3R: u (7) B r LL à C—=-. , mais le triangle rectancle ABF donne =ÀF +BE c’est-à-dire R— 7 E (ich. Substituant dans {n) cette valeur de R? nous avons té | équation du second degré, dont la solution donne la 2 ces: valeur de c en fonction du rayon du cercle inscrit et ré- ciproquement; si, pour plus de simplicité , nous faisons ce côté égal à l'unité , nous trouverons =:f+ vil et en substituant cette valeur dans la première des expres- sions (72) , nous aurons =" [+V3] = 11,1001524 Or, les surfaces de deux figures semblables étant entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues, si nous désignons par S' la surface d’un dodécagone régu- lier dont le côté est C, nous aurons 484 DO d'où S'=CXxS et conséquemment s=3[2+ vlc = C.11,1961524, expression à l’aide de laquelle on obtient immédiate- ment la surface d’un dodécagone régulier dont on con- naît le côté. Toutes les autres relations du côté avec les rayons s’obtiennent sans difficulté des équations précé- dentes. La somme des angles d’un polygone étant égale à autant de fois deux angles droits qu'il a de côtés moins deux, les douze angles d’un dodécagone régulier font ensemble 2 X[12—2], ou 20 angles droits, ainsi chaque angle vaut en particulier = 1 + 3 angles droits, c’est- à-dire, go° 40'. Division sexagésimale. DODÉCATEMORIE (Aser.). (de dedixæ, douze, et de mspos, partie). Vieux terme employé jadis pour dé- signer la douzième partie d’un cercle. DOIGT (Astr.). Douzième partie du diamètre appa- rent du soleil ou de la lune. On évalue la grandeur des éclipses de ces astres par le nombre de doigts éclipsés qui prennent alors le nom de doigts écliptiques. DOLLOND (Jean), célèbre opticien, né à Londres de parens français, en juin 1706. Cet artiste que ses con- paissances en géométrie et en physique plaçaient déjà au-dessus des plus habiles constructeurs d’instrumens d'optique , acquit vers 1750 , une grande réputation, et même un rang distingué dans la science par sa décou- verte de certaines propriétés des corps réfringens ; qui le conduisit à établir des lunettes achromatiques. Dol- lond eut l'honneur à cette occasion d’entrer en discus- sion surles principes fondamentaux de son art, avec l’'illustre Euler. Tous deux déployèrent beaucoup de talent dans cette lutte scientifique, au milieu de laquelle un mémoire de Klingenstierna, célèbre géomètre et astronomesuédois, vintapporter des considérations nou- velles qui mirent Dollond sur les traces de la vérité. Nous avons eu l'occasion d'exposer ailleurs les princi- pales parties de cetteimportante discussion (voy. Acro- MATIQUE). Nous devons nous borner ici à rappeler ce qu’elle renferme de plus spécialement personnel pour 1Dollond; il est d’ailleurs impossible, dans un ouvrage comme le nôtre d’éviter quelques répétitions. Ce fur vers l’année 1747; qu'Euler entreprit de dé- truire l’aberration de réfrangibilité par la combinaison de plusieurs verres, entre lesquels on enfermerait de ’eau ou autre liqueur, et l’on sait qu’il appuvyait ce nouveau principe de coustruction des objectifs, sur l’imi- DO tation de la structure même de l’œil humain. Les cal- culs d’après lesqueis il détermina la forme de ces nou- veaux instrumens durent exciter l'attention de tous les opticiens, capables de comprendre les spéculations de ce génie créateur, Dollond fut celui qui s’empara avec le plus de puissance de cette idée générale; mais il crut devoir substituer les expériences de Newton aux hypo- thèses d'Euler , et c’est alors que commença la discus- sion dont nous venons de parler. Dollond cherchait con- sciencieusement la vérité; les objections de Klingens- tierna l'amenèrent à penser que Newton avait pu se tromper. On peut traduire ainsi la proposition expéri- mentale du grand géomètre : « Siles rayons de lumière traversent deux milieux contigusde différentes densités, comme l’eau et le verre, soit queles surfaces réfringen- tes soient parallèles, ou qu’elles soient inclinées, et que cependant la réfraction de l’une détruise la réfraction de l’autre, de manière que les rayons émergens soient parallèles aux rayons incidens : alors, la lumière sort toujours blanche. » (Newton, Opt. sive de reflexionibus 740.) Cette conclusion formait tout le nœud du différend et coloribus lucis, ete., Lond. et Laus.; entre Euler et Dollond ; ce dernier renouvela l’expé- rience de Newton, et c’est ainsi, suivant un historien des mathématiques, qu'il en rend compte lui-même, dans une lettre écrite, en 1757, au P. Pezenas, tra- ducteur de l'optique de Smith. « Près d’un petit trou d’environ un demi-pouce de diamètre, pratiqué à la fenêtre d’une chambre obscure, et destiné à introduire Ja lumière du soleil, Dollond plaça un priime de verre, dont la section était un triangle isocèle formant au sommet situé en haut, un angle de 8° 52". A la face la plus éloignée du trou, il adossa un second prisme creux posé en sens con- traire, c’est-à-dire, de manière que la base était en haut, Les faces de ce prisme qui devait contenir de l’eau, étaient de minces plaques de verre, et on pouvait ou- vrir plus ou moins l’angle de la pointe. Cela fait, en in- troduisant la lumière du soleil par le petit trou de la fenêtre , elle passait d’abord de l'air dans le prisme de verre, ensuite dans le prisme d’eau, et enfin de l’eau dans l'air; ainsi , elle éprouvait trois réfractions. Après plusieurs tentatives, Dollond parvint à faire en sorte que la direction de la lumière, au sortir du prisme d’eau, fût parallèle à la direction qu'elle avait à son entrée dans le prisme de verre; ce qui était le cas de la propo- sition de Newton, mais alors la couleur des rayons émergens ne fut point blanche comme Newton l'avait affirmé; au contraire, le bord inférieur du soleil était fortement teint de bleu , tandis que le bord supérieur était d’une couleur rougeätre. Ainsi, Dollond reconnut d’abord que l’eau ne disperse pas les couleurs autant que le verre, à réfractions égales; ensuite ayant varié DO l'angle au sommet du prisme d’eau, de telle manière que la dispersion des couleurs füt la même dans les deux cas , il trouva qu’alors les deux réfractions n’étaient pas ga es.» Toutes ces observations firent revenir Dollond au projet d'Euler , et il ne mit plus en doute la possibilité de son exécution , sinon avec l’eau et le verre, du moins avec d’autres matières transparentes de différentes den- sités. Néanmoins, il employa d’abord le verre et l’eau, comme l'avait proposé Euler ; mais il reconnut bientôt, d’après la formule du géomètre allemand , que les cour- bures à donner aux objectifs étaient trop considérables pour ne pas produire une aberration fort sensible dans l'ouverture des objectifs. Il est important de remarquer ici qu'Euler avait senti etannoncé lui-même que c’étaient là les seules et véritables difficultés que sa théorie püt éprouver dans la pratique. » Dollond, parfaitement versé dans la connaissance des différentes espèces de verres, et convaincu qu’il s’en devait trouver dont les pouvoirs réfractifs fussent fort différens, imagina d'employer deux sortes de verres connus en Angleterre sous le nom de fAntglass et de crownglass. Le premier est un verre très-blanc et fort transparent, qui donne lesiris les plus remarquables, et par conséquent, celui dans lequel la réfraction du rouge diffère le plus de celle du violet. Le second aunecouleur verdâtre, et ressemble beaucoup en qualité à notre verre commun , il donne la moindre différence entre la réfraction du rouge et du violet. Dollond mesura les rapports des réfrangibilités par le même moyen qu’il avait employé pour le verre ct l’eau; il trouva que le rapport des différences de réfrangibilités, dans les deux matières, était environ celui de 3 à 2. Avant fait cette substitution dans la formule d'Euler , il obtint d’abord des résultats qui n'étaient pas très-satisfaisans. Mais enfin , à force de tentatives et de combinaisons, soit dans le choix des matières d'excellente qualité, soit dans celui des sphères les plus propres, dans chaque cas, à réunir les foyers de toutes les couleurs, il parvint à construire des lunettes achromatiques, très-supérieures, en parité de circonstances aux lunettes ordinaires. Du reste, Dollond ne fit point connaître ses moyens, et la question était de les découvrir ou d’en proposer d’autres encore plus avantageux. » Dollond ne tarda pas à éprouver les chagrins et les attaques qui paraissent inséparables des grandes re- ‘nommées. Il eut plusieurs procès à soutenir, et on lui contesta jusqu'à la priorité de son ingénieuse décou- verte. Voici, au reste l’opinion de La Lande sur les di- verses circonstances qui se rattachent à la production des lunettes achromatiques et que Montucla considère comme l'expression de l’exacte vérité. » Ce fut, avance l’astronome français, Chestermouhall ‘DO 485 qui, vers 1750 , eut l'idée des lunettes achromatiques Il s’adressait à Ayscough qui faisait travailler Bass. Dol-* lond ayant eu besoin de Bass pour un verre que! demandait le duc d'Yorck, cet habile artiste lui montra du crownglass et du flintglass. Hall donna une lunette à Avyscough qui la fit voir à plusieurs personnes; il en donna Îa construction à Bird, qui n'en tint pas compte. Dollond en profita. Dans le procès qu’il y ent entre Dollond et Watkin, à la cour du banc du roi, ces faits furent prouvés; mais Dollond triompha de son adversaire, parce qu'il était réelle ment le premier qui eût fait connaitre les lunettes achre matiques. » Quelque réalité qu’il y ait au fond de ces allégations, il résulte des recherches consciencieuses de Dollond et de l’expositionscientifique qu'il en a donnée, soit pen- dant sa discussion avec Euler, soit après, que ce cé- lèbre et savant artiste n’a pu déduire sa découverte de quelques communications aussi incomplètes. Telle parait avoir été l'opinion de la société royale de Londres, qui s’honora , en 1761, en recevant Dollond au nombre de ses membres. Malheureusement, il ne jouit pas long- temps de cette juste récompense de ses travaux, il suc- comba à une attaque d’apoplexie le 30 novembre de la même année. Les divers mémoires de Dollond sur la branche de l'optique dont il s’est spécialement occupé, ont été recueillis dans les #ransactions philosophiques, de 1750 à 1558. DOMINICALE. Lettre dominicale. Voy. Caren- DRIER, N° 24. DOMINIS (Marc-Antoine de), célèbre pour avoir le premier abordé la véritable théorie de l’arc-en-ciel, naquit en 1566, à Arbe, capitale de l'ile de ce nom, située sur la côte de Dalmatie. Sa famille était ancienne et d’une grande illustration dans l’église à laquelle elle avait donné un pape et plusieurs prélats recomman- dables par leurs lumières et leurs vertus. Il montra dès l'enfance une grande aptitude pour les sciences, et par- ticulièrement pour les mathématiques. Les jésuites ses maitres, qui dirigeaient le collége des Ilyriens à Lorette, où il faisait ses études, furent frappés de ses dispositions et de ses jeunes talens ; ils ne négligérent rien pour l’at- tacher à leur ordre; Dominis y consentit et il alla achever ses études à la célèbre université de Padoue. Durant son noviciat , il professa avec le plns grand succès l’é- loquence, la philosophie et les mathématiques. Dominis était né avec un esprit inquiet et remuant, et les éloges que son zèle et ses travaux lui attirèrent de la part de ses supérieurs, développèrent dans son ame les germes d’une ambition ardente, qui fut la cause de ses malheurs. La vie paisible du cloître, les honorables mais obscurs travaux du professorat, né convenaient point à son ca- ractère, il sollicita et obtint sa sécuralisation, en même 486 DO temps qu'à la recominandation de l'empereur Rodolphe il fut promu à l’évéché de Sepni et deux ans après à l’archevèché de Spolatro. | Lorsque Dominis professait les mathématiques, il avait composé un ouvrage sur les propriétés de la lu- mière qui est aujourd'huison plus beau titre de gloire et dont nous devons spécialement nous occuper. Les causes de l’arc-en-cielavaient été entrevues, à cétte épo- que de progrès scientifique, par Maurolic, Porta et Kepler; Dominis les approfondit et les développa avec un. talent remarquable. On sait dans quelles circon- stances se manifeste ce phénomène. Déjà on avait com- paré les gouttes de pluie à de petites sphères de verre, et on avait cru que les sphères renuvoyaient par la ré- flexion les rayons solaires vers l'œil du spectateur ; mais cela n’expliquait point les couleurs de l’arc-en-ciel . car les rayons de lumière ne se séparent les uns des autres que par la réfraction. Domainis employa tout à la fois la réflexion et la réfraction, et parvint à rendre assez exactement raison de l’arc-en-ciet intérieur ; il fut moins heureux pour l’arc-en-ciel extérieur, mais ses erreurs à ce sujet viennent de l'ignorance générale où l’on était alors sur la diverse réfrangibilité des rayons et des lois de ce phénomène. L'illustre Newton, dans son traité d'optique, a donné les plus grands éloges à la méthode de Dominis; peut-être existe-t-il dans ces éloges assez d'affectation pour qu'on ait pu croire qu’ils aient été conçus dans le but de rabaisser notre Descartes. Bos- cowich et Tiraboschi, juges éclairés dans cette cause, n'hésitent pas à déclarer que Dominis, au talent duquel ils rendenthommage, a pu mettre Descartes sur la voie de sa découverte, mais que c’est lui qui doiten être re- gardé comme le véritable auteur. Quoi qu'il en soit, en lisant le traité de Dominis, on regrette que cet in- génieux auteur n’ait pas consacré toute sa vie à lascience pour laquelle il paraissait avoir un si véritable talent. L’archevèque de Spolatro entreprit de réformer les mœurs du clergé, mais il avança des opinions peu con- formes à celle de l'église. Il fut obligé de résigner son siége, etil seréfugia en Angleterre auprès de Jacques 1”, qui, en sa qualité de théologien, lui fit un accueil ho- norable et empressé. Sans adopter entièrement les prin- cipes de la réforme, Dominis combattit plusieurs pré- tentions du pape et accepta un bénéfice du roi d’Angle- terre. Cependant tourmenté par sa conscience, suivant quelques historiens ; mécontent des théologiens protes- tans suivant d’autres, Dominis tourna de nouveau ses regards vers Rome : le pape Grégoire XV le recüt en grâce, etil abjura publiquement dans un temple de Londres, les opinions qui l'avaient séparé de l'église. 11 jouit durant deux ans de quelque tranquillité, mais son protecteur étant mort et les disputes théologiques aux- quelles il se livra de nouveau offrant un prétexte à l'in- DR quisition qui le surveillait, il fut arrêté par 6rdré @ pape Urbain VIT, et enfermé au château Säint-Angé oùil mourut peu de temps après, énséptenibre 1634. Lin: quisition continua son procès , il fut déclaré hérétique; son corps fut exhumé, pendu et brûlé avec ses écrits. Nous ne citérons ici que célui qui intéresse la sciénce : De radis visus et lucis in vitris perspectivis et tride; Venise 1611, in-8°: Cet écrit qui est dévénü fort rare; fut publié par Jean Bartole, l’un des élèves de Dominis; long-temps après l'époque où il a été composé. DONNÉ. Terme général par lequel on désigne en mathématiques toute espèce de grandeur qu’on supposé connue, Ainsi, on dit un nombre donné, une ligne donnée, etc. Eu général les données d’un problème sont les quañ- iités connues au moyen desquelles il faut construire les quantités inconnues ou cherchées. Lorsque la position d’une figure géométrique est con- nue, on dit encore que cette figure est donnce de po- sttion. Par exemple, lorsqu'un cercle est réellement décrit sur un plan, son centre est donné dé position , sa circonférence est donnce de grandeur, et le cercle ést donné de position et donné de grandeur. DORADE (4sur.). Nom d’un poisson qu'on a donné à une constellation méridionale, nommée aussi Yiphias ét située entre Eridanet le Navire. La plus belle étoile de cette constellation, marquée «, est de la troisième präñe deur. DOUBLE. Une quantité est double d’une autre, lors- qu’elle la contient deux fois; elle esta contraire sois- double, lorsqu'elle en est la moitié. DOUBLÉ (Arith.). La raison ou le rapport doublé de deux quantités, ét Le rapport de leurs carrés; ainsi le rapport doublé de a à B est le rapport de a’ à b?; où dû carré de & au carré de D. Le rapport sous-doublé est celui des racines carrées; lors donc qu’on dit qu'une quantité est égäle au rap- port sous-doublé dea et deb,on entend que cette quañ- tité est égale à V/a : V/b. Il ne faut pas confondre double et doubie. DRACONTIQUE (Astr.). Mois dräcontique ; expres- sion qui n’est plus en usage et par laqnellé les âiciens äs- tronomes désignaient l'espace de temps employé par la lune pour revenir de son nœud ascendant appellé Capüt draconis , tête du dragon, au même point; où la révo- lution entière de la lune par rapport à son nœud. | DRAGON (Astr.). Constellation boréale composée de 8o étoiles daus le catalogue britannique; les anciens la nommaient encore : Serpens, Anguis, Hesperidurn cus- tos, Coluber arborum conscendens, Sidus Minervæ ét , Python. . La téte et la queue du Dragon, Bacchi, Esculapius DRAGON (As1r.) Caput et cauda draconis, sont lés nœuds ou les points æ DR É d’intersection de l'orbite de la lune avec l’écliptique. On les marque ordinairement par ces caractères :@, tête du dragon, et &, queue du dragon. Les astronomes ont abandonné ces dénominations, et ils nomment simplement nœud ascendant, celui par lequel la lune passe pour aller au nord de l’écliptique, dans la partie septentrionale de son orbite, et nœud des- cendant, celui par lequel elle rentre dans la partie méridionale de son orbite. Le nœud ascendant est la tête du dragon, et le nœud descendant la queue du dragon. DREBBEL (CogneiLze Van), né à Alckmaer en Hol- lande, à la fin du seizième siècle, célèbre par l'invention dumicroscope, qui lui est généralement attribuée. Cetin- strument a été pour la physique, ce que le télescope a été pour l’astrouomie, ct il n’est pas étonnant que l'hon- ueur d’une telle découverteait été vivementdisputé. Un grand nombre d'écrivains représentent Drebbel comme uu charlatan , qui , à l'aide d'un microscope, dontilsn’ex- pliquent pas la possession entre ses mains, montrait au public de Londres des curiosités dont il exagérait l’im- portance suivant l'usage des gens de cette profession. Ces critiques ajoutent que c'était un paysan de North- Hollande, sans éducation, et par conséquent sans au- cune Connaissance scientifique. La chronique d’Alckmaer, patrie de Drebbel, s'exprime autrement sur son compte. Suivant ce documeut dont on n’a aucune raison derévo- quer en doute la sincérité, Drebbel, au contraire, né de parens distingués , aurait reçu une brillante éduca- tion ; il aurait manifesté de bonne heure une aptitude remarquable pour les scicences; il aimait le merveilleux et se kvrait volontiers à la recherche des secrets natu- rels. Jeune encore, il alla en Angleterre, où il fut ac- cueilli avec distinction par Le roi Jacques I, prince assez éclairé et assez instruit pour n'être pas Ja dupe d’un paysan ignorant et d’un bâteleur. Tout porte donc à croire que Corneille Drebbel a été la victime d’une étrange calomnie, etil est d’ailleurs certain qu’il ex- posa à Londres vers 1618, le premier microscope qui eût paru. Il n’y a aucune raison de penser qu’il n’en était pas l’auteur. Néanmoins Pierre Borel, auteur de re- cherches fort curieuses sur l'invention du télescope, rapporte dans son ouvrage (De vero telescopit inven- tore, etc.) diverses circonstances qui tendent à priver Drebbel d’une grande partie de l'honneur que lui mé- riterait la découverte du microscope. Cet écrivain cite une lettre de l'envoyé des États-Unis en Angleterre, Guillaume Boreel, dans laquelle ce diplomate, qui s’oc- cupait de science, cite Zacharie Jans, lunetier de Middelbourg , microscope. [l ajoute qu'il a vu entre les mains de comme Je véritable inventeur du Corneille Drebbel, sor ami, le microscope que Za- charie et son père avaient présenté à l’archiduc Al- DU 487 bert, et que ce prince avait donné à Drebbel. Ainsi qu'il soit ou non l'inventeur de cet ingénieux instrument il est du moins hors de doute que Drebbel est le pre- mier qui l'ait fait connaître, et que cet homme à qui l'on attribue aussi l'invention du thermomètre, honoré de l'intérêt des souverains et de l’amitié d’un grand personnage de son pays n’a pu être un aventurier. Dreb- bel est mort à Londres, en 1634. Il n’a laissé que deux ouvrages, mais ils sont étrangers à l’objet pour lequel il figure dansce dictionnaire, ’oy. Microscore et Tnenr- MOMÈTRE. DROIT (Geom.). C'est en général l'opposé de courbe, c’est-à-dire tout ce qui ne fléchit pas ou ne s'incline pas; ainsi on nomme ligne droite , celle dont toutes les par- ties indéfiniment petites ont une seule et même direc- ton. L'angle droit est celui qui est formé par une ligne perpendiculjaire sur une autre, et qui, par conséquent ne s'incline d'aucun côté. Cône droit. Foy. Cône. Sinus droit {voy. Sinus). L'adjectif droit ne s'emploie ici que pour distinguer le sinus droit du sinus verse; et toutes les fois qu’on parle de sinus sans y ajouter le mot verse, on entend le sinus droit. DUPLICATION DU CUBE (Hist.). Ce problème est célèbre dans l’histoire de la science, et il se rattache d’ailleurs à ses premiers développemens. Il s'agissait de construire un cube double d'un cube donné er volume, et de faire cette construction saus employer d’autres ins- trumens que la règle et le compas. On sait que les au- ciens géomètres ne regardaient en effet comme géomé- triques que les opérations exécutées au moyen de ces instrumens et qu'ils appelaient mécaniques celles qui exigeaient l'emploi d’autres moyens. Ainsi posé, le problème de la duplication du cube, dont la solution est en effet impossible par le seul secours de la géomé- trie ordinaire, dut exercer long-temps la patience et la sagacité des géomètres. Ce fut surtout au temps de Platon qu'on occupa avec plus d’ardeur des recher- ches dont ce problème était l’objet, et c'est peut-être la difficulté dont sa solution est entourée, qui fit at- tribuer dans la suite son origine à des circonstances aussi étranges qu’elles paraissent peu probables. Suivant Philopponus, ce savant célèbre qui s’efforça vainement de sauver la bibliothèque d'Alexandrie de la fureur des Arabes, voici la tradition qui existait dan la Grèce, au sujet de ce problème : Une peste ravageait l'Attique, et l’oracle de Délos, consulté sur les moyens d’apaiser Apollon, à la colère duquel les Athéniens at- tribuaientle fléau dont ils étaient tourmentés, répondit : Doublez l'autel. On dut supposer que l'autel désigné 4838 DU par l’oracle était celui qu'Apollon avait à Athènes, et il était d’une forme exactement cubique. Il parut d’a- bord facile de satisfaire le Dieu ; on se borna à cons- truire un nouvel autel et à doubler les côtés de celui qui existait, mais On obtint ainsi un cube non pas dou- ble, mais octuple. Le fléau ne cessa pas, et l'oracle con- sulté de nouveau, répondit qu’on avait mal interprété sa réponse. On soupçonna dès lors qu'il s'agissait de la duplication géométrique de l'autel, et tousles géomeètres de la Grèce furent appelés à trouver la solution d’un problème que les moyens pratiques w’avaient pu donner. Valère Maxime ajoute à cette histoire mer- veilleuse une circonstance encore plus invraisemblable. Cet écrivain prétend que Platon, consulté sur cette im- portante question, désigna Euclide comme le seul géo- mètre.en état d'y répondre de manière à satisfaire le mystérieux oracle de Délos. Mais cette assertion est dé- nuée de fondement. Le géomètre Euclide est postérieur à Platon de près d’un siècle, et Euclide de Mégare, contemporain de ce grand homme, n’était qu’un sophiste sans talens, et entièrement dépourvu des connaissances géométriques que Platon au contraire possédait au plus haut degré. D'ailleurs, même en admettant qu’il y ait quelque réalité au fond de cette histoire merveilleuse, il est certain que le problème de la duplication du cube avait déjà occupé les géomètres, et que sa solution avait été presque aussitôt trouvée que cherchée. Hypo- crate de Chio l'avait réduit à la recherche de deux moyennes proportionnelles continues, c’est-à-dire à l’in- sertion de deux lignes moyennes proportionnelles géo- métriques entre le côté du cube donné et le double de ce côté, la première de ces deux lignes étant le côté du cube cerché. Ce futen se plaçant dans ce point de vue qu’on conserva l'espérance d'achever sa solution par la règle et le compas, car c’est en ce sens seulement que se révélait la difficulté du problème, et qu’elle oc- cupa les géomètres et particulièrement l’école Platoni- cienne. Platon lui-même en donna sous ce rapport une solution ingénieuse, mais où la difficulté n’était encore qu'éludée. Il y employa un instrument composé de deuxrègles, dont l'unes’éloigne parallèlement de l’autre, en glissant entre les rainures de deux montans perpen- diculaires à la première. Architas imagina une courbe DY décrite par un mouvement particulier, sur la surface d’un cylindre droit, et qui étant rencontrée par la surface d’un cône situé d’une certaine manière, déterminait l'une des moyennes. Cette solution ne pouvait être utile dans la pratique. Eudoxe en proposa une autre qu'il obtint au moyen de courbes de son invention. Menechme, Aristée, Dinostrates s’exercèrentégalement sur ce problème qu'ils abordèrent par les movens que leur présentèrent la théorie des sections coniques nou- vellement découverte. Les deux solutions proposées par Menechme, sont surtout remarquables; la quadra- trice de Dinostrate et le conchoïde de Nicomède sont également dues aux recherches qu'occasionna le pro- blème de la duplication du cube. Enfin Pappus, dans ses Collections mathématiques proposa une ingénieuse méthode pour trouver les deux moyennes proportion- nelles, méthode que perfectionna encore Dioclès au moyen de la Cissoïde, courbe qui porte son nom. Le problème dela duplication du cube, comme celui de la trisection de l’angle et de la quadrature du cercle a beaucoup occupé les géomètres anciens. La solution des difficultés qu'ils présentent est impossible par la règle et le compas, et il ne faut pas oublier que c'était surtout à obtenir ce résultat que tendaient tous les ef- forts de la géométrie ancienne. Mais les recherches dont ces problèmes ont été l’objet ont du moins donné nais- sances à d'importantes découvertes, et c’est sous ce rap- port surtout qu’elles intéressent vivement encore l’his- toire de la science. Foy. Cunique, HExAËDRE et Moyen- NES PROPORTIONNELLES. DYNAMIQUE (de dévœus, force). Partie de la mé- canique qui a pour objet les lois du mouvement des corps, ou les lois de l’action des forces motrices. Voy, MECANIQUE. DYNAMOMÈTRE (Méc.). Instrument pour mesurer l'intensité d’une force. C’est un peson à ressort muni d’un cadran sur lequel un index, mis en jeu par l’action de la force, marque les degrés de tension du ressort. Diverses formes ont été données à cet instrument pour le rendre propre à comparer entre elles les forces des hommes et celles des animaux. On voit à Paris dans tous les en- droits publics des dynamomètres destinés à mesurer la force des coups de poing. EC 489 ÉCHECS. Il existe au jeu des échecs un problème curieux qui a occupé les mathématiciens et que le cé- lèbre Euler n’a pas trouvé indigne de son attention; il consiste à faire parcourir successivement au cavalier les 64 cases de l’échiquier sans passer plus d’une fois sur la même case. Le cavalier est , comme chacun le sait, une pièce dont la marche oblique s'effectue de trois cases en trois cases, en sautant d’une case blanche sur une case noire. Nous allons rapporter ici la solution de ce pro- blème, teile qu’elle a été donnée par Euler dans les A/e- moires de l’Académie de Berlin , pour l’année 1750. En partant d’un des coins de l’échiquier, donnons à chaque case un numéro d'ordre pour les distinguer ; nous aurODs ainsi : 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | G2 | 63 | 64 go | 50 | 51 | 5 | 53 | 56 | 55 | 56 APP PAP FAO AE “33 | 34 | 35 | 26 | 3, | 38 30 4o 25 | 26 | 27 | 28 |.29.|:30:|; 3r1|:32 Ceci posé, si nous supposons que le cavalier est placé sur la case 1, et qu’on le fasse partir de cette case, on pourra d’abord le faire sauter indifféremment sur 11 ou sur 18, mais arrivé à l’une de ces deux cases l'embarras commence, puisque de chacune d’elles on peut le faire sauter sur trois autres. Voici l’ordre des cases à parcou- rir en partant de 1 sur 11: > = 1 » Si,aulieu denuméroter les cases de l’échiquier comme nous l'avons fait, nous les numérotons dans l’ordre ou elles sont parcourues , nous aurons donc la route sui- vante, où le cavalier part de 1 pour aller à 2, ensuite à 3, etc., de manière qu’en arrivant à 64, il a parcouru toutes les cases. On voit aisément qu’en prenant une marche symé- trique à celle-ci, on peut faire partir le cavalier des autres angles. Si l’on voulait partir de la case numérotée 64, en marchant dans l’ordre inverse des numéros, on irait à 63, de là à 6r et on parvicudrait à 1. Mais cette route n’est plus d’aucune utilité lorsqu'il s’agit de commencer par toute autre case , et le problème général consiste préci- sément à prendre un point de départ arbitraire. Euler fait observer qu'il s’agit seulement de trouver une route où la dernière case marquée 64 soit éloignée de la première d’un saut du cavalier, de manière qu’il puisse sauter de la dernière sur la première. Car cette route étant déterminée, on pourra partir d’une case quelconque et suivre l’ordre des numéros jusqu’à 64, de là sauter sur 1 et continuer la route jusqu’à celle dont on est parti. Une telle route qu'Euler nomme route rentrante en elle-méme, est beaucoup plus difficile à trouver que. celle que nous avons donnée ci-dessus, mais nous ne; pouvons que renvoyer au mémoire déjà cité ceux de nos lecteurs qui voudraient connaître la méthode ingé- nieuse employée par l'illustre géomètre. 62 490 EC Voici une route rentrante; elle suffit pour obtenir la solution complète du problème. Cette route étant bien fixée dans la mémoire, on pourfa faire partir le cavalier d'une case quelconque. S'agit-il par exemple de partir de la case 30, on le fera passer par les cases 31, 32, 33, etc., jusqu’à 64, d’où en passant ensuite par 1,2, 3, etc.: on lui fera pour- suivre sa route jusqu’à la case 29. Vandermonde s’est aussi occcupé de ce problème dans les Memoires de l'Académie des sciences pour 1771. ÉCHELLE (Géom.). Ligne droite divisée en parties égales ou inégales selon les usages auxquels on la des- .tine, En géographie et en topographie, uneéchelle est une ligne divisée en parties égales et placée au bas d’une carte, où d’un plan, pour servir de mesure. Ainsi, lorsqu'on veut trouver sur une carte la distance de deux points, on en prend l'intervalle avec un compas, et en appliquant cet intervalle sur l'échelle on évalue la dis- tance par le nombre dedivisions qu’il renferme. Ces di- visions représentent des lieues ou des mètres ou toute autre mesure de longueur. Avant de tracer un plan sur le papier on commence toujours par construire l'échelle d’après laquelle les par- ties qu’on 4 à représenter doivent être placées, les unes par rapport aux autres, comme elles le sont sur le ter- rain. Si l'on voulait, par exemple, que les objets fus- sent mille fois plus petits sur le plan que sur le terrain, on construirait une échelle de 100 mètres, ou plus sui- yant le besoin , en prenant pour unité la grandeur réelle d’un millimètre; cette grandeur représenterait un mètre sur l'échelle. Alors deux objets dont la distance sur le terrain est de vingt mètres doivent être placés sur le plan à une distance de vingt unités de l'échelle. Cette échelle, dont l'emploi est des plus fréquens, se uomme l'échelle des parties égales, et quand on la construit de manière à pouvoir trouver les parties déci- EC males de l’unité, on lui donne le nom d’echelle des dixmes. Nous allons donner la construction de cette dernière. ÉcueLLe DES DixMEs. On trace un droite indéfinie AM (Pi. XXXTI, fig. 1), et l’on porte sur cette droite, en partaït du point À, dix fois de suite üné même ouver- ture de compas AB, déterminée par la grandeut relative qu'on veut donner à l’échelle. On subdivise AB en dix parties égales qu’on numérote 1,2, 3,4, 5,6, etc, et de tous les points de division, A, B,C,etc., 1,2, 3, 4, etc. on mène des perpendiculaires à AM en faisant toutes ces perpendiculaires égales à AB. Après avoir di- visé AO, NO et BN comme on a divisé AB, où joint par des droites les points opposés de division, et l’on mène des transversales dont la première part de B et tombe sur le point de la première division de NO, la seconde du point 1 et tombe sur le point de la seconde division de NO, et ainsi de suite jusqu’à la dernière qui part du point 9 et tombe sur le point O. On riumérüte ensuite les divisions comme elles le sout dans la figure. Il est évident que le triangle rectangle BNa est coupé en parties proportionnelles dont la première vaut un dixième de Na, la seconde, deux dixièmes, etc., etc., de sorte que, si les parties 1, 2, 3, etc., représehtert des mètres, et que l’on veuille prendte sur cette échelle 10", 4, par exemple, ce sera la distance c'e qui repré- sentera cette quantité. De même, s’il s'agissait de 16,7, on prendrait la distance cg. Avec de l'habitude on peut subdiviser à l'œil les dis- tances0, 15 0,2; 0:9,-etc., el prendre conséquem- ment des centièmes, du moins approximativement. C'est ainsi que df représente 237,65. Comme les échelles sur le papier sont bientôt dégra dées par les pointes des compas, Où en cofistrüit en cuivre à l'usage des ingénieurs; on les nomme échelles de 1 à 1000, de 1 à 000, de 1 à 25000, etc., selon que l'unité de l'échelle est 1000, 2000, 25000, etc. , fois plus petite qu’un mètre. ÉcnELLE Locarirmmique. C’est une ligne droite divi- sée en parties inégales et qui représente les logarithmes des nombres ou ceux des sinus et des tangentes. Cette échelle, iuventée par Edmond Gunter,a donné naissance au cercle logarithmique. (Foy. Amramomèrre). Elle sert à faire des multiplications et des divisions. ÉCHELLE ARITHMÉTIQUE. On donne ce nom à la progression géométrique par laquelle se règle la va- leur relative des chiffres simples dans un système quel- conque de numération. Dans l’arithmétique actuelle on est convenu de n’em- ployer que dix caractères en donnant à chacun d'euxune valeur dix fois, cent fois, mille fois, etc. , plus grande selon qu'il occupe la seconde, troisième , etc. place à gauche du chiffre des unités (Foy. ARITHMÉTIQUE 10.) Ainsi lorsque plusieurs chiffres sont écrits les unsà côté des autres, si l’on écrit au-dessous la progression géomé- trique etc. 10°, 104, 1pf, 10°, 101, 10° en faisant correspondre 10° avec le chiffre des unités, la valeur relative de chaque chiffre est égale à sa valeur absolue multipliée par le terme correspondant de la pro- gression. Par exemple 3 à la quatrième place à gauche vaut 3X 10% ou 3 mille; 2 à ja troisième place vaut 2X 10? ou 2 cents, etc. Or, le choix de dix caractères est tout-à-fait arbitraire et l’on aurait pu tout aussi bien en prendre plus ou moins pour former un système de numération capable comme le nôtre de donner la con- struction de tous les nombres, Foy. Numérarion. Supposons en effet que nous n’ayons que cinq carac- tères o, 1,2,3, 4, et donnons-leur une valeur de cinq en cinq fois plus grande, selon qu'ils occupent des places plus reculées à la gauche du chiffre des unités 10 représente le nombre cinq. 100 le nombre vingt-cinq. 1000 le nombre cent vingt-cinq. etc. etc. c’est-à-dire qu'ayant comme ci-dessus plusieurs chiffres écrits les uns à côté des autres, si on leur fait correspondre la progression etc. (5), (5), (5), (5), (5), (5), leur valeur relative sera égale à leur valeur absolue multipliée par le terme correspondant de la progres- sion. x Nous devons faire observer que dans un tel système de numération le chiffre 5 n’existe pas, et que nous ne nous en seryons ici que pour réduire à notre système décimal les quantités exprimées dans ce système de cinq chiffres. En général m étant le nombre des chiffres d’un système de numération, la progression etc. om, mi, m, m°, m1, m° est l'échelle arithmétique de ce système; m2 est la base de l’échelle. On peut se proposer sur les échelles arithmétiques plusieurs problèmes dont nous allons exposer Jes plus inportans. 1. Une quantité A étant exprimée dans une échelle 7, L'ouver son expression dans une autre échelle x, Soit expression donnée (1) A = a.mp#Æb,mp—-i+c.mp-14ctc ec, nf, a, b, c, d, etc. , étant les chiffres de l'échelle mn. EC à 491 Désignons par a’, b’, c', d', etc. les chiffres qu’il s’a- git de trouver dans l'échelle x, et par 4 l’exposant du dernier terme de la progression, nous aurons (2) A=a'.n1+b'.n7—-1+c'ng—-1+etc...e!. mæf'.no et le problème se réduit à la détermination des chiffres a’, b', c', etc. au moyen des chiffres a, b, e, etc. Or, si l’on divise l'expression (1) par », le reste de cette division sera nécessairement plus petit que n ; ainsi désignant le reste par r, et le quotient par £, on aura a.mp+b.mp—14c.mpP—etc.. .—=t.n+r r sera donc le chiffre des unités de A dans l'échelle n. Divisant de nouveau le quotient { par », on obtien- dra un second quotient #, et un second reste 7,, et on. aura aussi t=t,.n+r, Divisant de même £, par 7», on aura encore b=ten+r, Poursuivant de la même manière jusqu’à ce que le dernier quotient soit plus petit que » et rassemblant les résultats, on aura At nr € —=t,n+r ti —t,.n+r, t,=6.n4rs etc. etc. tot Substituant successivement ces valeurs les unes dans les autres on formera l'expression A=tuntHete....rsn rer nr ce qui est évidemment l'expression de À dans l'échelle » puisque toutes les quantités 71, r:, 7;,, etc. sont plus pe- tites que x, et peuvent conséquemment être représen- tées par les chiffres de cette échelle. Ainsi, pour passer d'un système de numération à un autre, il faut diviser la quantité donnée par la base du système en question, le reste de cette première divi- sion est le chiffre des unités. Diviser ensuite le quotient de cette première division par la même base, ce qui donnera pou: reste lechiffre des dixaines. Une troisième division fera conuaître le chiffre des centaines, ete., ete. Mais pour pouvoir faire toutes ces divisions , il faut d'abord quela base dusvstème demandésoit exprimée en chiffres du svstème donné, ce qui est toujours possible, Troll du système donné, et » celle 2. ne Glant la } 492 EC du système demandé, si x est plus petit que m, il est alors un chiffre du système 72, et si le contraire a lieu, mn est un chiffre du système ». Daus ce dernier cas, di- visant 2 par »2, ic reste de Ja division fera connaître les unités de r exprimées dans le système 72; si le quotient est plus petit que »2, ilsera le chiffre des dixaines; s’il est plus grand , on continuera f'opération comme ci- . dessus. Exemple. La quantité 435321, exprimée dans l’é- chelle de 6 chiffres ou hexadique, étant donnée, on de- mande son expression dans l'échelle de huit chiffres ou octodique. La base de cette dernière étant plus grande que 6, G est un de ses chiffres, divisant donc 10 par 6, on a 2 pour reste et 1 pour quotient ; la base de l'échelle oc- todique exprimée en chiffres de l'échelle hexadique, est par conséquent 12. Opérant actuellement comme il est prescrit, on trou- vera ce qui suit. Premier reste.... OI Deuxième reste... Troisième reste.... 5 Quatrième reste.... 10 12 Cinquième reste... 0°! EC Le quatrième reste ou 10 qui est la base de l'échelle Lexadique, est exprimé par le chifire 6 du système ectodique. Si un des restes avait été 11, on voit avec la même facilité qu’il aurait répondu au chiffre 7. Les restes sont donc 1,4, 5,6,0, 1, et la quantité 435321 exprimée dans l’échelle octodique est 106541. On peut, pour vérifier de semblables calculs, faire repasser ensuite l'expression trouvée à celle donnée. Par exemple, ici la base de la première échelle étant égale au chiffre G de la seconde, on aura EC 106541 6 = 26 13020 45 14 Premierreste..... O1 - 13620 pue 56 1755 42 40 Deuxième reste... 2 DA É 17951 — 35 (247 55 Troisième reste..... 3 Quatrième reste..... 5 6 33! ue Cinquième reste...... 314 ROC AENS Les restes sont 1, 2,3,5, 3,4,on a donc aussi [106541]échelleoctodique=[435321]échellehexadique. On trouve au mot BiNAIRE un autre exemple de sem- blables calculs. * 2. Problème. L'expression d’un nombre étant donnée dans deux échelles différentes dont la base de l’une est inconnue , trouver cette base. Soit le nombre 4532 dans l'échelle ordinaire ou déci - male, dont on a l'expression 16134 selon une échelle inconnue. Si l’on désigne par zx la base cherchée, on aura 4532 = 1x4 62H rax2+aiL 3x ce qu’on peut mettre sous la forme Ti HGx +x+3x+3—4532—0 équation du quatrième degré de laquelle dépend la va- leur de x. Or, pour résoudre cette équation, qui se ré- duit à (a) DiHGx$ Hart L3x—/529—0 il fautremarquer que la base x cherchée, doit être plus petite que 10, car l'expression 16134 contient plus de chiffresque4532; et cependant plus grande que6,puisque 6 est un des chiffres de l'échelle inconnue. La base de- mandée ne peut donc être que 7, 8 ou 9. De plus, la valeur de + étant racine de l’équation (a), doit diviser exactement le dernierterme 4528 de cette équation (vo. Equarion ); ainsi, essayant successivement les nombres 7, 8, 9, on trouvera que le seul diviseur exact est 7, et EC par conséquent que l’on a x=#9. Voy. NUMÉRATION, pour les principes de la théorie des échelles arithmé- tiques. ÉCHELLE DE FRONT (Persp.). Droite parallèle àla ligne horizontale, et divisée en parties égales, qui représen- tent des mètres ou des subdivisions du mètre. ÉCHELLE FUYANTE (Persp.). Droite verticale divisée en parties inégales, qui représentent des mètres ou des subdivisions du mètre. loy. PERSPECTIVE. ÉCHELLES DE PENTE (Geom.). Géométrie des échelles de pente.Une des branches de la géométrie des- criptive. Dans la géométrie descriptive, on détermine la position des points dans l’espace à l’aide de leurs projections sur deux plans qui se coupent; et pour plus de simplicité, où suppose l’un de ces plans horizontal et l’autre verti- cal (Joy. GÉOMÉTRIE DEscriprIvE ). Cette méthode, qui est rigoureuse , et d’une application facile toutes les fois qu'il s’agit de surfaces dont la génération peut être ri- goureusement définie,se trouve en défaut lorsqu'on veut l'appliquer à des surfaces déterminées seulement par des conditions qui ne peuvent être exprimées par l’ana- lyse. Ce genre de questions se présentant fréquemment dans les applications, on a dù chercher un moyen de pouvoir ies résoudre, et on y est arrivé à l’aide des échelles de pente. Dans cette géométrie nouvelle, la po- sition des points dans l’espace, est déterminée par leur projection horizontale et par leur distance à un plan horizontal fixe de position, et passant au-dessus de tous les points que l’on considère. Ces distances comptées sur les verticales abaissées des points sur ce plan, sont exprimées en nombres. Il est évident d’a- près cela qu'une ligne droite sera complètement déter- minée lorsqu'on connaîtra sa projection horizontale et les cotes de deux de ses points. Supposons en effet que AB (P£. XXXIII, fig. 2 ) étant la projection horizon- tale d’une droite, «et 8 les cotes de ses points A et B, on demande la cote x d’un quelconque de ses points C. Aux points À, Bet Célevons des perpendiculaires au plan horizontal de projection. Soit MN l'intersection du plan horizontal, par rapport auquel sont comptées les cotes des points de la droite, et qui prend le nom de pian de comparaison, avec le plan projetant de la droite. Si à partir des points Det E, on porte des longueurs DA' et EB' égales à «et à 8, la droite A'B' sera la droite dans l’espace , et si nous menons par le point A! et dans le plan projetant l'horizontale AC", des deux triangles semblables A'B'B", A'C'C" on déduira la proportion. A'B" ou AB : A'C" ou AC :: B'B" : C'C” et, en désignant AB par a et AC par b, cette proportion deviendra aibi: B—u: x—u. EC 495 dans laquelle tout est connu excepté æ, et qui par con séquent suffira pour sa détermination. Si au contraire x était connu , et qu'on demandät la position du point qui lui correspond, la même proportion servirait à ré- soudre la question, et l’inconnue serait alors b. Un plan étant complétement déterminé lorsqu’on con- naît la position de trois de ces points, nous allons cher- cher comment nous pourrons déterminer les cotes d’un point quelconque d’un plan, lorsque nous connaissons la projection horizontale et les cotes de trois de ses points. Soient À, Bet C (PL. XXXIII, fig. 3) les projections de trois points d’un plan, et «, Bet y les cotes de ces trois points. On demande la cote x d’un point quelconque D situé dans ce plan. Nous supposerons a fB< 7. Joignonslestrois points À, BetC par des droites, et sur AC déterminons le point E qui a la même cote que le point B. La droite BEsera horizontale, et toutes les hori- zontales qu’on pourra mener dans le plan donné lui se- ront parallèles, puisque ce sont les intersections d’une suite de plans parallèles par un même plan. Menons par le point D une horizontale qui rencontre la droite AB en F, Ce point se trouvant sur la droite AB, on aura la pro- portion AB : AF :: B-—u : x—a et par conséquent, on pourra déterminer æ.Si du point À nous abaissons la droite AH perpendiculaire sur l’ho- rizontale BE, nous aurons encore la proportion AG: AI :: AB: AF ou AG : AT :: B—a : x—u qui nous servira également à déterminer x. Si maintenant nous déterminons le point L de ma- nière que la différence entre la cote du point A, et celle du point L soit de 1,00, en portant de L en M, la dis- tance AL, le point M aura une cote différant de 2"00 de celle du point A, puisque dans la proportion ci-dessus le deuxième antécédent étant le double du premier, la même relation devra exister entre les conséquens. On pourra donc avoir ainsi la position de tous les points du plan dont les cotes différent de celle du point A d’un nombre exact de mètres. En divisant la longueur AL en dix parties égales, on aura des points successifs dont les cotes ne différeront que de 0",10. Pour alors obtenir les cotes d’un point quelconque O du plan, il suffira d’abais- ser de ce point une perpendiculaire sur la droite AH et de lire sur la graduation. Cette droite qui sert ainsi à dé- terminer les cotes de tous les points d’un plan, s'appelle l'échelle de pente de ce plan, Toute droite menée par le 494 EC point A pourrait servir d'échelle de pente, mois il est beaucoup plus simple de lastreindre à être perpendicu- laire à la direction des horizontales du plan. Si le plan était vertical, il serait déterminé par sa trace et par les cotes de deux points de cette trace. S'il était horizontal, une seule cote suffirait pour le déter- miner. Lorsqu'une ligne courbe sera plane, elle sera com- plétement déterminée par sa projection horizontale, et par les cotes de trois de ses points ; car dans l’espace elle sera l'intersection du cylindre vertical qui la projette, par le plan qui la contient, et qui est complétement connue par les cotes de trois de ses points. Si on imagine qu'une surface courbe soit coupée par une suite de plans horizontaux équi-distans, et qu'on projette sur un même plan horizontal toutes les courbes d’intersection, cescourbes qui prennent le uom de courbes horizontales ou de niveau, suffiront avec leurs cotes pour déterminer complétement la surface. Supposons en effet qu'on veuille déterminer la cote d’un point situé entre deux courbes horizontales. Si par le point on fait passer un plan vertical normal à l’une des courbes qui l'avoisinent, il coupera la surface suivant une courbe, qui se projettera sur la trace horizontale du plan, trace qui sera perpendiculaire à la projection de la courbe à laquelle ce plan est normal dans l’espace. Si les courbes entre lesquelles le point de la surface est placé, sont très- rapprochées , on pourra concevoir que la courbe de sec- tion du plan normal se confond avec une droite passant par le point, et terminé aux deux courbes, et dont par conséquent les cotes des extrémités sont connues. Rien ne sera plus facile alors que d'obtenir la cote du point demandé. On conçoit alors que la surface donnée est remplacée par des portions de surfaces gauches engen- drées par le mouvement d’une droite qui s'appuie sur deux courbes consécutives, en étant astreinte à la con- dition d’être constamment normale à l’une d'elles. Ces préliminaires bien conçus, voyons comment nous pourrons résoudre les différentes questions traitées par la géométrie descriptive. I. Une droite étant donnée par sa projection et les cotes de deux de ses points , trouver la tangente de l'an- gle quelle fait avec l'horizon. Si par l’un des points connus de la droite, on mène une horizontale , et Que par l’autre on abaisse sur cette ligne, une perpendiculaire ; où formera un triangle rectangle, dont l’un des côtés de l'angle droit sera la longueur de la projection de la droite, et dont l'autre, opposé à l'angle dont on demande la tangente, sera égal à la différence entre les cotes des deux points. Par conséquent , la tangente de l’angle formé par une droite avec le plan horizontal est égale à la différence entre les EC cotes des deux points connus de cette droite, divisée par la distance qui les sépare. Si on demandait de faire passer par un point donné une droite, faisant avec l’horizon un angle donné, le problème serait indéterminé, puisque toutes les généra- trices d’un cône ayant pour sommet le poirit connu, et faisant avec l’horizon l'angle donné, conviendraient éga- lement, Cependant cette question étant d’un usage fré- queut, nous allons chercher comment on pourrait dé- termiuer la cote d’un point d’une telle droite. Imagi- nons sur le point une verticale d’un nombre exact de mètres et une horizontale ayant une longueur telle que le rapport entre ces deux longueurs soit égal à la tan- gente de l'angle donné, En joignant les extrémités de ces deux droites, nous aurons une des positions de la droite dans l’espace, et dans son mouvement, elle dé- crira dans l’espace une circonférence qui sera projetée par une circonférence ayant pour rayon la longueur de l'horizontale, et dont tous les points seront propres à donner la cote demandée. I. Déterminer le point d'intersection de deutc droites qui se coupent. Les projections horizontales de ces deux droites de- vant nécessairement se couper en un point qui est la projection du point d’intersection dans l'espace, on dé- terminera la cote de ce point à l'aide Ges notions pré- cédentes. Si les deux droites étaient dans un même plan vertical, leurs projections horizontales se confondraient et ce moyen ne serait plus praticable. Soient donc À et B (PL. XXXIIT, fig. 4 ) les deux poiuts de la première droite dont les cotes x et 8 sont connues , et C et D les points de la seconde dont les cotes sont 7 et 2. Si par les points A et B, nous menons des verticales jusqu’à leur rencontre en E et F, avec la droite CD, nous pourrons déterminer les cotes # et n de ces points, et à cause des triangles semblables B'OF et OA'E nous aurous la pro- portion EO:O0E:;:AE:BTE mais On à aussi EO : OE :: EH : HG, EG étant une droite horizontale; donc HS HC SUEDE d’où ŒH+LHG) ou EG=AB : EH :: A'E+B'F:A'E et si on désigne par æ la distance EH=AT et par a Ja longueur AB, on aura as mii(s—a)+(8—n): sx EC proportion qui suffit pour déterminer x. Le point I étart connu , on obtiendra facilement sa cote. II. Deux plans étant donnés, trouver leur inter- section. Ondéterminéra d’abord 168 échelles de pente des deux plans, et dans l’un et dans l’autre, on tracera des hori- Zonitalés à même cote. Les points d’intersection de ces droites apparténänt évidemment à l'intersection des deux plans suffront pour la déterminer. Si l’ün desplans était horizontal ; l’iiteiséction serait horizontale, et il sufürait de chercher parti les horizontales du second plan, celle qui est à la cote du premier. Si les horizontales des deux plans étaient parallèles, leur intersection serait aussi une horizontale parallèle à celle-ci. Pour li déterminer, il sufiira d'imaginer un troisième plan qui coupera les deux premiers suivant déux droites qui se couperont en ün point appartenant à l'intersection coimutie des deux plans. Poür trouver l'intersection d’une droite et d’un plan, of imaginera par elle un plan qui coupera le premier, süivait une droite contenant le point demandé, et qui, par conséquent , se trouvera à l’itersection de cette droite avec la droite donnée. { Pi. XX XII, Jig. 5.) IV. Par unpoint donné, abaïsser une perpendiculaire sur un plan. Cette droite aura évidemment sa projection perpen- diculaire aux horizontales du plan, ct, par conséquent, parallèle à son échelle de pente, il suffit donc de déter- miner la cote d’un autre de ses points. Imaginons par la droite un plan vertical, il coupera le plan suivant la ligne de plus grande pente, et soieut AB la droite, et BC la ligue de la plus grande pente du plan. (PLANGRE XXXII, fig. 6.) Par le point À menons l'horizontale AC ; ä partir du point C, portons sur cette droite une longueur DC expri- mée exactement en mètres et abaissons la verticale DE, dont la longueur sera égale à la différence entre les cotes des points Cet E. Si maintenant nous prenons AF égal à DE et que nous menions la verticale FG , elle sera égale à DC: Par conséquent, la différence entre la cote du point Get celle du point A sera égale à la longueur DC. Rien ne sera plus facile alors que de déterminer cette cote sans faire aucune construction. Soient en effet AB l'échelle de pente du plan (Pr. XXXIII, Jig. 7) ei CD la droite perpendiculaire à ce plan menée par le point. À partir du point I, qui a la même cote que le point C, nous porterons une longueur HI d’un nombre exact de mètres; et du point C nous porterons la lon- gueur CG égale à la différence entre les cotes des points H et I. La différence alors eutre la cote du pont G et celle du point GC sera égale à la longueur HE. iQ s\ 495 La détermination du point O, où cette droite ren- contre le plan, ne présente aucune difficulté. Au moyen de ce que nous venons de dire on pourra, par une droite donnée , mener ün plan perpendiculaire à un plan donné. V. Mener par un point donné un plan perpendiculaire à une droite donnee. L’échelle de pente du plan cherché devant être paral- lèle à la projection de la droite, si par la projection du point donné on mène üne perpendiculaire à là projec- tion dé la droite, cette ligne sera une horizontale du plän demandé, et en considérant la projection de la droite donnée comme l'échelle de pénte d’un plan au- quel la figure de plus grande pente du plan cherché de- vra être perpendiculaire, la question rentrera tout-à-fait dans la précédente. VI. Pärun point donné abaisser une perpendiculaire sur üné droite doñnce: On mènera par le point un plan perpendiculaire ä là droite donnée. On cherchera son point d’intersection avec celte droite, et en joignant ce point et le point don- né par une droite, le problème sera résolu. VIL Troiver la tangente de l'angle formé par deux droites. En menant de l’un des points d’une des droites une per- peéñdiculaire sur l’autre on formera uni triangle rectangle dätis lequel le rapport des detix côtés de l’atigle droit sera égal à la tangente déinandée. Si on voulait avoir l'angle d'une droite et d’un plah on abaisserait d’un des points de la droite une perpen- diculaire sur le plan donné, eten divisant la longueur de cette droite, par la distance de son pied aü point où la droite perce le plan, on aurait la valeur de la tani- gente de l'angle demandé, Pour trouver l'angle de deux plans on déterminerait d'abord leur intersection ; on lui mènerait un plan per- pendiculaire , dont on chercherait les intersections avec les deux plans donnés et l'angle de ces deux droites se- rait l'angle demandé. 0 VII Trouver la plus courte distance entre deux droites non situées dans un méme plan. Lasolütion de cette question se traitera par les moyens indiqués par là géométrie, séulément les différentes coistrüctions tiécessaires pour déterminer la droite de- mandée, se feront à laide des méthodes que nous ve- nons d'indiquer, { Pr. NXXIV, fig. 3:) IX. Tracer, à partir d'un point, sur une surjace courbe donnee par es horizontales, une courbe dont la M * . 0 + tangrnte fasse toujours le même angle avec l'horizon. 496 EC On regardera la distance verticale qui sépare deux courbes comme la hauteur de l'inclinaison de la tan- gente, ct si, à partir du point donné, on porte avec un compas une longueur égale à la base de cette inclinaison, de manière à ce que son extrémité rencontre la courbe suivante, cette droite sera la projection de la courbe demandée. Cette solution n’est rigoureuse que lorsqu'on suppose les courbes équi-distantes assez rapprochées pour qu’on puisse supposer que les parties de la surface occupées par la base de la pente soient planes. Pour qu’elle soit possible il faut que la base de la pente soit au moins égale à la plus courte distance entre deux courbes con- sécutives. Elle a de plus uneinfinité de solutions puisque pour chaque point il y aura deux directions qui y satis- feront. X. Trouver l'intersection d'une surface avec un plan donné. L'échelle de pente du plan étant déterminée, on mè- nera les horizontales à mêmes cotes que les courbes de la surface, et les points de rencontre avec lescourbes ap- partiendront à l’intersection demandée. Il pourra arri- ver, d’après la forme de la surface, qu'on ait plusieurs courbes d’intersection indépendantes les unes des autres. (PL. XXXV, /ig. 6.) On pourrait se demander de déterminer l'intersection d’un cône par un plan. Nous supposerons le cône droit, ayant son axe vertical; alors les courbes équi-distantes qui le déterminent sont des circonférences de cercle con- centriques , et la détermination de la courbe d’intersec- tion ne présente aucune espèce de difficultés. ( PLanxcue XXXII, fig. 9.) XI. Trouver l'intersection de deux surfaces données. Les points de cette intersection seront évidemment donnés par les points de rencontre des courbes ayant même cote, et ils feront partie d’une ou de plusieurs courbes suivant les formes des surfaces. (PL. XXXIII, fig. 7) XII. Par un point donné sur une surface lui mener un plan tangent. Ce plan contenant toutes lestangentes menées à la sur- face au point donné, passera par la tangente à la courbe horizontale passant par ce point , et cette droite sera une de ses horizontales. Si maintenant on conçoit par le poiut un plan vertical perpendiculaire à cette horizon- tale, il coupera la surface suivant une courbe dont l’é- lément devra se trouver dans le plan tangent. Mais cette courbe se projette suivant une droite perpendiculaire à la projection de la courbe horizontale passant par le point , et la cote de son extrémité est la même que celle de la courbe horizontale suivante ; par conséquent l’é- cheile de pente du plan demandé estcomplétement dé- EC terminée. Comme on peut considérer lacourbe horizon- tale supérieure à celle passant par le point donné, ou celle qui lui est inférieure , le problème est en général susceptible de deux solutions , qui se réduiront à une seule lorsque les courbes seront infiniment rapprochées, parce qu’alors les deux élémens de la courbe normale se confondront en direction et ne donneront qu’une tan- gente. Si on conçoit que l’un des deux plans tangens tourne autour de son horizontale de contact, en aban- donnant l’élément de contact , de manière à venir se rabattre sur l’autre plan , on aura une infinité de solu- tions limitées par les deux plans primitifs. XIII. Parune droite donnée mener un plan tangent à une surface donnée. Au point où ce plan touche la surface, son horizon- tale devra se confondre avec la tangente à la courbe ho- rizontale passant par ce point. Si donc nous marquons sur la droite les points ayant mêmes cotes que les courbes horizontales de la surface, et que par chacun de ces points nous menions une tangente à la courbe ayant même cote que lui, l’uue de ces tangentes devra être l'horizontale demandée. Mais le plan tangent passant par la droite donnée et par cette tangente, devra conte- nir l'élément de la surface perpendiculaire à latangente et passant par le point de contact, et par conséquent aussi la tangente à la surface à l'extrémité de cet élément; cette tangente devra donc être parallèle à la première. Parmi toutes les tangentes menées aux courbes horizontales par les points de la droite donnée ayant mêmes cotes, celle qui satisfera à la question sera telle que l'horizontale immédiatement inférieure ou supérieure, lui sera paral- lèle. Cette solution serait rigoureuse si les courbes étaient infiniment rapprochées , mais comme elles sont à une distance finie, il serait impossible de satisfaire à cette condition du parallélisme , quoique cependant le pro- blème füt soluble. On examinera alors les variations de l'angle que les tangentes menées aux courbeshorizontales font avec la droite donnée. Si cetangle, après avoir crü ou diminué d'une manière continue, commence à décroi- tre ouà croître d’une manière continue, il est évident qu’il y aura eu un maximum ou un minimum , etla tangente y donnant lieu sera celle qui devra être choisie. En ef- fet , en rétablissant la continuité de la surface et menant toutes les tangentes par la droite, les variations de l'angle deviendront infiniment petites , et elles ne pour- ront changer de signe sans passer par zéro. Par consé- quent dans le voisinage de ce point il y aura deux hori- zontales parallèles. (Pr. XXXIV, fig. 5.) Si la droite donnée était horizontale, elle serait elle- même une des horizontales du plan demandé, et par conséquent la tangente à la courbe horizontale pas- saut par le point de contact de la surface et du plan “EC devrait lui être parallèle. On mènera alors à chaque courbe des tangentes parallèles à la droite donnée, ct par un point de la projection de la droite on mènera une droite coupant les projections de ces tangentes. A partir du même point on portera sur la droite des parties pro- portionnelles aux distances verticales de cette droite au plan de chacune des courbes, on cotera ces points de division comme les courbes elles-mêmes et on les joindra par des droites avec les points d’intersection des tan- gentes aux courbes avec la droite passant par le point de départ. Lorsque deux de ces droites successives seront parallèles, elles correspondront à deux tangentes dont le plan passera par la droite donnée, et par conséquent aux deux tangentes de l’élément de contact. Cette cori- dition du parallélisme ne pouvant être remplie que lorsque les courbes sont infiniment voisines, on exami- néra la marche de l’angle de ces droites avec la droite donnée , et celle qui donnera lieu à un maximum ou à un minimum , satisfera évidemment à la question. (Pr. XXXIV , fig. r.) XIV. Mener à une surface donnée un plan tangent parallèle à un plan donné. La direction des horizontales du plan demandé est connue puisqu'elles doivent être parallèles à celle du plan, donné; et si à chaque courbe horizontale 6n mène une tangente parallèle à l'horizontale du plan donné, l'une d’elles devra se trouver dans le plan cherché. Dans le plan donné on mènera deux horizontales dont la dis- tance verticale soit égale à la distance qui sépare verti- .calement deux courbes consécutives, et on prendra une “ouverture de compas égale à la ligne qui mesure la dis- . tance entre les projections de ces horizontales. On por- _tera cette distance entre toutes les horizontales tangentes aux courbes, et, lorsqu'il y aura égalité, le plan tangent passera évidemment par ces deux tangentes. Si cet es- pace après avoir été plus grand devient plus petit, alors le plan tangent sera tangent à la courbe horizontale qui sépare les intervalles plus grands des intervalles plus petits. XV. Par unpoint donné mener un cône langent ä une surface donnée, et déterminer la courbe de contact. 4 Si par le point donné on fait passer une série de plans | verticaux, dont on déterminera l'intersection avec la sur- , face, et que par le même point on mène des tangentes à l ces courbes d’intersection, ces tangentes seront les géné- ‘ratrices du cône demandé, et leurs points de contact + appartiendront à la courbe de contact du cône et de la surface. On pourra, à l’aide de la méthode que nous venons d’exposer, résoudre toutes les questions qui pourront se présenter , et on se convaincra que souvent les moyens fournis seront beaucoup plus expéditifs que ceux de la EC 497 géométrie descriptive ordinaire , même dans le cas où il s’agit de surfaces analytiquement définies. (Poyezle n° 6 du Mémorial de l'officier du génie et la géométrie descriptive de M. Leroy). ÉCHO(Acoust.). Phénomène produit parla réflexion du son. Ce mot vient du grec #xos , son. ® Lorsqu'un son rencontre un corps solide, suivant cer- taines conditions, il est réfléchi ou renvoyé de manière qu'il se répète à l’oreille. Pour rendre raison de cet effet, il faut rappeler ici (voy. Sox) que le son est le ré- sultat d’un mouvement de vibration excité dans les corps sonores, etquisecommunique à l'air environnant en dé- terminantdesondulations, lesquelles de proche en proche parviennent jusqu’à l’air renfermé dans l'oreille et pro- duisent la sensation du son. Les ondes sonores, lorsqu'elles passent d’un milieu dans un autre, éprouvent une réflexion partielle qui devient totale quand elles rencontrent un obstacle fixe. Cette réflexion qu’elle soit partielle ou totale, s’accom- plit toujours dans une direction telle que l’angle de ré- flexion est égal à l’angle d'incidence. Ainsi lorsqu'un observateur placé de manière à pouvoir entendre un son se trouve de plus dans la direction de la réflexion, il entend successivement deux sons semblables, dont le second n’est que la répétition du premier. Si les ondes sonores vont tomber perpendiculaire- mert sur la surface réfléchissante, le son est renvoyé dans la même direction, et alors la personne qui le pro- duit reçoit à la même place la sensation du son et celle de l'écho. Pour que le son soit réfléchi dans la même direction, il faut donc que la surface réfléchissante, si elle est plane, soit perpendiculaire à la direction, ou, si elle est sphérique, que son centre soit le point même de départ. Si la surface réfléchissante est placée à 170 mètres de distance de celui qui parle, le temps qui s'écoule entre le premier son et le son réfléchi est d’uneseconde, parce que le son fait environ 340 mètres par secondes. Ainsi l'écho répétera toutes les syllabes qui auront été pro- noncées dans le temps d’une seconde, de manière que lorsque celui qui parle aura cessé de parler, l’écho pa- raîtra répéter toutes les paroles qu’on aura prononcées, et la première reviendra à l'observateur après une se- conde, c’est-à-dire, à l'instant où la dernière sera pro- noncée. À la distance de 340 mètres, un écho peut ré- péter 7 à 8 syllabes. Sila surface réfléchissante se trouve trop proche, l'écho ne répétera qu’une syllabe. On en cite qui répètent jusqu’à 15 syllabes. Les échos se produisent avec diverses circonstances. Par exemple , une surface plane, réfléchissanté, renvoie le son avec toute son intensité, et il n’éprouve de di- minution que celle produite par la distance. Une sur- 63 498 EC face convexe réfléchit le son avec moins d'intensité et de vitesse qu’une surface plane; tandis qu'une surface concaye renvoie un son plus fort que le son primitif. Il en est À peu près du son comme de la lumière : les mi- roirs plans rendent l'objet tel qu'il est, les convexés le diminuent et les concaves le grossisseut. Comme un son réfléchi peut se réfléchir de nouveau en rencontrant un second obstacle dans sa direction , il existe des échos doubles, triples, quadruples, etc. Ces échos qu’on nomme en général échos multiples se pro- duisent ordinairement daus les lieux où se trouvent des murs parallèles et éloignés. IL en existait jadis un cé- Ièbre près de Verdun qui répétait 12 à 13 fois le même mot ; il était formé par deux tours éloignées l’une de l’autre de 50 mètres. Dans la théorie des échos, on nomme centre-phonique le poiat où le son est produit, ct centre-phonocampui- que celui où il est réfléchi. Lorsque la réflexion du sou se produit dans des di- rectious différentes de celle de son incidence, il peut arriver que celui qui le produit n'ait pas la sensation de l'écho, tandis qu'un autre observateur entende l’écho sans. avoir eutendu le son primitif. Ce phénomène s’observe fréquemunent sousdes voûtes plus ou moins hautes, et il est une suite des propriétés de l’ellipse; en effet, si nous supposonsque la section d’une voûte par un plan soit une ellipse, les sons qui partiront d’un des foyers pour frapper la courbe, iront tous se réfléchir à l’autre foyer, de sorte que deux personnes, placées cha- cune à l’un des foyers, pourront s’entendre à la dis- tance de 12 mètres, et même de 30, en parlant à voix basse; tandis que des spectateurs intermédiaires ne pour- ront saisir aucun mot. Les arches de plusieurs ponts pré- sentent ce phénomène, qu'on peut observer dans une grande salle carrée du Conservatoire des arts et métiers. C'est d'après la propriété des surfaces réfléchissantes .qu’on a construit le cornet acoustique, dont la destina- tion est de renforcer le son. On donne à cet instrument une forme parabolique parce que le son en frappant sa paroi interne est réfléchi de toutes parts en un seul point ou foyer situé à l'extrémité qu’on place dans l'oreille. _Le porte-voix (voy. ce mot) est construit d’après les mêmes propriétés. ÉCLIPSE (A4str.). Disparition momentanée d’un astre -en tout ou en partie. ‘Les éclipses, si long-temps l’objet de la frayeur des «hommes, n’excitent plus aujourd’hui que leur intérêt .etleur curiosité; et ce qui parait le plus étonnant dans les phénomènes qu’elles présentent, pour les personnes étrangères aux principes de l'astronomie, c’est la certi- tude avec laquelle elles peuvent être prédites. Dans les temps Les plus reculés de l’antiquité, avant que la science eût répaudu sa lumière sur lemmonde, les apparences de * à EC cette espèce étaient regardées comme unealammante dé- viation des lois éternelles de la nature; les philosophes eux-mêmes partageaient en grande partie les idées su- perstitieuses du vulgaire; et ce ne fut qu'après delongues observations, et lorsque les mouyemens des corps cé- lestes commencèrent à être mieux connus, qu’on osa supposer que ces phénomènes effrayans dépendaient d'une cause régulière. r Anaxagore , contemporain de Périclès, parait être le premier qui ait écrit sans déguisement sur les diverses phases de la lune et sur ses éclipses ; mais ayant Hippar- que, les astronomes n’étaient guère en état de prédireles éclipses ; et s’il est vrai , comme le rapporte Hérodote, que Thalès ait annoncé une éclipse de soleil, ce ne peut être qu’à l’aide de la période de 18 ans et 11 jours dont nous parlerons plus loin, période qui ramène les éclipses à peu près à la même époque, et qui pouvait être con- nue de cet illustre fondateur de l’école ionienne. Néanmoins les tentatives de l’astronomie pour expli- quer ce phénomène et en prédire le retour, remontent à une époque fort antérieure dans l’histoire du monde. Mais il n’est pas inutile de remarquer que partout la découverte des véritables causes des éclipsés dè soleil parait avoir précédé la connaissance dé cellés dé lune. La marche de ce corps céleste esten effet facile à observer, ét son passage entre le soleil et la terré a dû de bonné heure être regardé comme la cause de l’obscurcissément mo- mentané de la lumière solaire. Il n’était pas aussi facile d'attribuer les éclipses de lune à l’ombre de Ja terre, et cette observation exigeait une connaissance plus ap- profondie de la forme et des mouvemens des astres: aussi dut-elle être l’œuvre d’une science plus avancée. La cause réelle des phénomènes ayant pu être trouvée par la simple observation, il restait à la science à com- pléter cette découverte, en démontrant sa réalité par le calcul rigoureux des époques oùles mêmes faits devaient se reproduire. C’est sous ce point de vue qu’il faut sur- tout admirer les ingénieuses méthodes qu’employèrent les premiers astronomes pour arriver à ce but; nous jouissons des travaux de l'intelligence des siècles passés sans reporter notre esprit vers les difficultés presqu'in- surmontables qui génèrent les premiers pas de la science. Les préjugés d'une religion toute matérielle, dont le vulgaire du moins prenait au sérieux le sens figuré ou allégorique, arrêtèrent long-temps , dans la Grèce sur- tout, la production de la vérité. Ce fut sans doute pour ! tromper l’aveugle instinct de la multitude et se ravir | aux persécutions qui ont frappé les auteurs des plus belles découvertes, que l’école pythagoricienne cacha ses nobles leçons sous le voile d’une poésie mystérieuse. Anaxagore tint long-temps secret son écrit sur les éclip- ses, mais la haine de l'ignorance s’attacha à lui dès le mo- ment où il osa professer ses opinions, et il expia dans | : Sl EC les fers le tort d’avoir expliqué l’un des grands phé- nomènes de la nature. : Un acte de sévérité, occasionné par des raïsons tout- xfaitopposées se rattache à la tradition d’une éclipse de soleil, qui sérait arrivée à la Chine vers l’an 2155 avant notre ère: Suivant les historiens , au moins fort suspects; de ce pays, il y eût eu cette annéé, düx appro- ches de l’équinoxe d’automne, sous le règne de Veni- pereur Tchong-Kang une éclipse de soleil et les astro- només Hô et Hi furent condamnés à mort pour ne l’a- voir point prévue, comme la lui leur en faisait un devoir. Ainsi, d’après cette histoire, non-seulement les éclipses étaient observées à la Chine plus de deux mille añs-dvant notré ère, mais encore les astronomes pouvaient en calculer le retour avec assez de précision pour qu'on y fit mourir ceux qui négligeaient d’an- noncer le prochain accomplissemént de ce phéno- mène. On sait que les missionuaires versés dans l’astro- nomie, et que d’autres astronomes ont prétendu véri- fier par des calculs, lexistence réelle de cette éclipse. Il est en effet possible qu’elle ait eu lieu ; mais il est com- plétement impossible que l’observation scientifique en ait été faite à la Chine à l’époque reculée où on la place, époque antérieure à toutes les certitudes historiques, et par conséquent à la civilisation avancée que suppose un pareil travail. En ne citant ce fait que pour ce qu’il vaut réellement, c’est-a-dire, pour une audacieuse interpo- lation des astronomès chinois entreprise dans le but de flatter l'orgueil d’une antiquité fabuleuse, qui domine leur nation, on doit convenir qu’il en résulte au moins la preuve que la connaissance de la cause des éclipses est fort ancienne dans l'astronomie chinoise; mais on ignore entièrement d’après quelle méthode elle pouvait les calculer. Les plus anciennes observations d’éclipses, rapportées par Ptolémée, sont trois éclipses de lune, observées à Babylone, dans les années 719 et 720 avant notre ère, et dont ce grand astronome a fait usage pour détermi- ner les mouvemens de la lune. Les observations anté- rieures à cette époque, et dont se vantaient les Chal- déens , ayant été rejetées par Hipparque et Ptolémée, probablement parce qu’elles manquaient de précision et d’exactitude, on aurait tort de les invoquer en garan- tie de la science des Chinois. Les observations d’éclipses des Indiens et des Persans offrent encore moins de cex- titude ; mais comme nous l'avons dit plus haut, quelque exagérées que soient les prétentions astronomiques des anciens peuples, onpeut du moins en tirer cette con- séquence que la connaissance des causes des éclipses a toujours vivement excité l’attention des hommes, et que. c’est le premier problème que l'astronomie ait eu _à résoudre. Mais la connaissance de ces causes et la méthode pour EC 499 calculer d’avance la production des phénomènes qui les accompagnent, furent long-temps encore regardées commeune des combinaisons les plus élevées dela science et n’ont été par conséquent le partage que d’un petit nombre d'hommes supérieurs. Les peuples regardaient tout ce qu’ils appelaient les prédictions des astronomes relativement aux éclipses comme des opérations qui te- naient du prodige. Plutarque rapporte qu'Hélicon de Gynique ayant annoncé une éclipse de soleil à Denys, tyran de Syracuse, et ce phénomène ayant eu lieu au jour et à Pheure qu’il avait fixés , reçut de ce prince un talent , où 5,406 fr. de notfe monnaie, eu récompense de son habileté, récompense dont l'importance prouve assez que les connaissances d'Hélicon n'étaient pas com- munes. (3 septembre, an 4or avant J.-C.) Le peuole romain, lorg-temps après, suivant Tite- Live (lib. 44), regarda encore comme une prodige inoui, lannonce d’une éclipse de lune , qui fut faite par Caius Sulpitius Gallus, le premier géomètre dé cette nation qui ait eu quelque connaissance étendue en astronomie. Ce phénomène devait avoir lieu durant la nuit qui pré- céda le jour où Paul-Emile défit Persée: Gallus l’an- nonça aux soldats romains, et leur en ayant expliqué les causes, il dissipa la frayeur que cet événement imprévu aurait jetée dans leur esprit. Suivant les calculs de Ric- cioli, cetté éclipsé arriva le malin du 4 septembre de Van 168 avant J.-C. Après la déstruction de l’école d’Alexandiié et durant le moyen-dge ; on sait que la science fat à peu près exilée de l'occident, et jusqu’à l’époque où ellé lui fut rendue par les Arabes, ün ne trouve quelques observations fort incomplètes d’éclipses de soleil et dé late que dans les annales du règne de Louis-le-Débüntfaire, écrites par un moine anonÿme. Ces observätioris comprennent le temps qui s’est écoulé dépuis l'an 865 jusqu’en 84. Les éclipses sont divisées, par rapport aux objets éclipsés, en {unaires et solaires. U y a aussi les éclipses des planètes secondaires où satellites , ét celles des étoiles et des planètes; ces dernières se nomment plüs particu- lièrement ocoultations. Nous allons les éxaniiner succes: sivément. r. Écuieses zunarnes. La terre étant un corps opaque éclairé par le soleil, projette au loin derrière elle une ombre dans l'espace. Quandialunetraverse cetteombre, cé qui arrive dans certaines circonstances, elle ne reçoit plus la lumière du soleil, et doit par conséquent dispa- raître pendant tout le témps qu'elle y démeure; car la lune, ainsi que toutes les planètes, est aussi un corps opaque qui n’apparaît à nos yeux. que lorsqu'elle est éclairée par les rdyons du soleil. La figure suivante fera concevoir aisément ce phénomène. SoitS le soleilet T la terre; si par les bords opposts du disque du soleil; oh contoit des lignes droitus AB et 500 EC BE qui rasent la surface terrestre ces lignes détermine- ront les limites de l'ombre, et comme le soleil est beau- At al 1 Me È j | | | LL dut coup plus gros que la terre, elles se croiseront derrière la terre en un point E, de sorte que l’ombre aura la fi- gure d’un cône circulaire ou elliptique selon que la terre est une sphère ou un ellipsoide. Ainsi, lorsque la lune L entre dans cette ombre, elle commence peu à peu à disparaitre , à mesure qu’elle s’y eugage; cesse entierement d’être visible, lorsqu'elle y est plongée tout entière; et reparaît dès qu’elle en sort de l’autre côté. Dans son passage à travers cette ombre, la lune présente donc une suite de phases décroissantes depuis l'instant où elle la touche jusqu’à celui où elle disparaît, et une suite de phases croissantes depuis l’in- stant où elle commence à sortir de l’ombre jusqu'a celui où elle en est entièrement dégagée. 2. La lune ne s’éclipse pas subitement ; lorsqu’elle ap- proche de l’ombre terrestre, sa lumière commence d’a- bord à s’affaiblir, et ce n’estqu’après avoir passé par plu- sieurs dégradations successives que l'obscurité estla plus intense. Pour concevoir ce phénomène, il faut observer qu’un corps opaque placé entre un objet et le soleil peut ne lui cacher cet astre qu’en partie, et qu’alors lob- jet est moins éclairé que s’il recevait toute la lumière du soleil, mais plus cependant que s’il en était entièrement privé. Il existe doncune limite intermédiaire entre la lumière et l’ambre pure; cette teinte se nomme la pen- ombre. Pour en trouver les limites, on conçoit deux droites AD et BC qui rasent aussi la surface du soleil et celle de la terre, mais qui se croisent entre ces deux corps. Les angles CBD et DAC déterminent l’espace compris par la pénombre; car d’un point situé au-delà de ces limites, on apercevrait le soleil tout entier, tandis que d’un point L qui leur serait intérieur, on ne verrait que la partie OB du disque de cet astre. Cette portion visible diminuant à mesure qu’on approche de* l'ombre, l'intensité de la pénombre va en croissant de- puis la première limite, où elle commence, jusqu'à l’en- droit où elle se confond avec l'ombre pure. De là, la progression d’obscurité que présente le disque de la lune lorsqu’elle s’éclipse. 3. Si l'orbite de la lune était parallèle à l’écliptique, il y aurait éclipse complète toutes les fois que la lune est pleine , car au moment de cette phase la terre se trouve exactement entre le soleil et la lune; mais l'orbite lu- BC nare estincliné d’un peu plus de 5° sur le plan de l’éclip- tique, et conséquemment la lunese trouve tantôt élevée au-dessus de ce plan et tantôt abaissée au-dessous ; il peut donc arriver, lorsqu'elle est pleine, qu’elle passe. tout-à-fait en-dehors de l’ombre de la terre, ou qu’elle l’effleure seulement par son bord, ou qu’enfin elle n’en- tre qu’en partie dans cette ombre. De ces deux derniers cas, le premier se nomme appulse, et le second éclipse partielle. On appelle éclipses totales, celles où la lune se plonge tout entière dans l’ombre, et éclipses :cen- trales , celles où son centre coïncide avec l’axe même du cône de l’ombre. 4. Ainsi, pour qu’une éclipse de lune puisse avoir lieu, il faut qu'au moment de l'opposition ou de la pleine lune , cet astre se trouve, sinon dans le‘ plan de l’éclip- tique, du moins près de ce plan. Or, comme dans sa ré- volution autour de la terre, la lune, en décrivant son orbite, passe deux fois dans le plau de l’écliptique, en des points diamétralement opposés qu’on nomme les nœuds, ce n’est donc que lorsqu'elle est dans ces nœuds où aux environs, qu’elle peut être éclipsée. 5. À l’aide de ces notions élémentaires il est facile de comprendre comment on peut calculer approximative- ment les éclipses lunaires d’une année proposée; car le problème se réduit à trouver les pleines lunes de cette an- née et à choisir celles qui arrivent lorsque la lune est près de ses nœuds. Si, au moment de l'opposition, la lunese trouve sur le nœud même, il v aura éclipse totale; si elle se trouve plus ou moins près il y aura éclipse par- tielle , et si son éloignement du nœud passe certaine li- mite on est sûr qu’il n’y aura point d’éclipse. Sinous supposons le cône d'ombre coupé par un plan suivant la ligne où il est traversé par la lune, sa sec- tion par ce plan sera un cercle, et alors au conmencement de l'éclipse la distance entre le centre de la June ct celui de l’ombre sera égale à la somme des demi-diamètres de la lune et de l'ombre; cette distance diminuera jus- qu’au milieu de l'éclipse et recommencera ensuite à croître , de manière que la lune sera entièrement déga- gée de l'ombre, lorsque la distance des deux centres sera redevenue plus grande que la somme des demi dia- niètres. On appelle temps de l'immersion, celui que la lune emploie à entrer dans l'ombre, et temps de l’émer- sion celui qu’elle emploie à s’en dégager entièrement. Si nous représentons par O (PL. XXXIV, fig.9) l'ombre de la terre, et par L, L', L”, diverses positions | de la lune sur son orbite inclinée, on voit effectivement qu’au commencement et à la fin de l’éclipse la distance des centres OL ou OL” est égale à la somme des demi- diamètres, et qu'entre ces distances extrêmes il existe une distance OL! perpendiculaire à l'orbite de la lune, et conséquemment la plus courte de toutes ; c’est cette dernière qui détermine le milieu de l’éclipse. EC . Au moment de la conjonction (PL: XXXIV, fig. 4) s. distance des centres est perpendiculaire à l’écliptique, et conséquemment égale à la latitude de la lune. 6. Ainsi, lorsqu'au moment de l'opposition ou de la pleine lune, la distance du centre de la lune à l’écliptique, c’est-à-dire sa latitude , sera plus grande que la somme de son demi-diamètre et du demi-diamètre de l'ombre, il ne pourra y avoir d’éclipse: Dans le cas contrairela lune sera nécessairement éclipsée, et l'éclipse sera totale lorsque sa latitude sera plus petite que l'excès du demi- diamètre de l'ombre sur le demi-diamètre de la lane. 7.!Il Eagits donc avant tout: de calculer le demi- dia- mètre du cône d'ombre à l'endroit où lalune letraverse, ce qui ne présente aucune difficulté; car, soit SA (PLan- cue XXXIIT, Ji Ja terre T' sous l’augle ATS ; soit CI un arc de l'orbite de la lune ; le centre de l'ombre est en L, et l'arc CL, qui ‘est sensiblement une ligne droite, est le demi-diamètre . 8) le démi-diamètre du soleilS, vu de de l'ombre. L’angle BAT est la parallaxe horizontale du soleil, l'angle BCT est la paralaxe horizontale de la lune, et l’angleCTD, extérieur par rapport au triangle CAT, est égal à la somme des deux angles intérieurs opposés (ANGLE, n° 9), ou à la somme des deux parallaxes. Mais l'angle CTD est aussi égal à la somme des deux angles CTL et LTD , on a donc CTL—CTD—LTD ou CTL—CTD—ATS à cause de LTD—ATS. Or, lorsqu'on connait l'angle CTL on connait l'arc CL qui lui sert de mesure et qui esten même temps le demi diamètre de l'ombre. Ainsi, e demi-diamètre du cône de l'ombre est égal à la somme des parallaxes horizon- tales du soleil et de La lune , diminuce du demi-diamè- tre apparent du soleil. 8. Nous allons éclaircir l'application de ces principes par un exemple. En cherchant dans la connaissance des temps les pleines lunes de l’année 1835, si nous choi- #ssons celle du mois de juin ;, nous voyons que l'instant de l'opposition a lieu le 10 à 10 heures 54 minutes 37 secondes du soir. Nous trouvons également qu’à cétte époque le demi-diamètre du soleil est égal à 15° 47", celui de la lune à 16° 34" et que la latitude de la lune est de 1° est de 8”,5 et celle de la lune de Go’ 16”. 0’ 30”. De plus, la parallaxe horizontale du soleil Nous aurons donc pour le demi-diamètre de l'ombre: 8,5 + Go'16" — 15/47" = LS 44/37",5 EC 504. et, pour la somme des demi-diamètres de l’ombre et de la lune | , 44137",5 HA 634 = han bas Cette somme étant plus grande que la latitude de la lune, 1° 0° 30”, uousen conclurons qu'il ÿ aura éclipse de lune le 10 juin 1835 à 10 h. b5' du soir. ; | [O Cette éclipse ne sera pas totale, car Den da den diamètre de l’ombre sur le demi-diamètre de la lune, ou 44'37",5 ss 1634" Lu 28'3",5 est plus petit que la latitude 1° 0° 30”. 9. Les données dont nous venons de faire usage sont encore suffisantes pour trouver la grandeur de l'éclipse au moment de Ja conjonction. Alors le,centre de da June est éloigné de l’axe du cône d'ombre d’une quantité égale à la latitude de cet astre, et par conséquent le bord su- périeur de son disque est distant de cet axe de la somme de Ja latitude et du rayon lunaire; si donc on retranche de cette somme le demi-diamètre du cône de l’ombre, le reste sera la grandeur de la partie non éclipsée de la lune, et il suffira de retrancher ce reste du diamètre lu: aaire pour connaître la grandeur de la REA éclipsée. Ainsi cette par tie éclipsée sera RE He ES [ 1°0/30” _ 16'34" — 4437", 5] — 4x" en ne tenant pas compte des dixièmes de secondes. 10. On évalue ordinairement la grandeur des éclipses en divisant le diamètre lunaire en douze parties qu'on nomme doigts,et ensubdivisant chaque doigt en soixante minutes. Pourramener à ces mesures ‘la quantité que nous venons de trouver, réduisôns ‘en secondes :cette quantité, ainsi que le diamètre lunaire # nous trouverons le diamètre égal à 1988” et la partie échpsée égale à 41”. 4x Ainsi le rapport de cette partie au diamètre est Tel il Où < Pour réduire cette fraction en. une autre dont le déno- minateur soit 12, pOsOns 12X 41 1988 grendére de! l'éclipse au moment de l’opposition. Lorsqu'on parle de la grandeur d'une éclipse sans et nous trouyerons x— — 0 doigts 15° pour la spécifier l'instant du phénomène, on entend toujours la grandeur totile, c'est-à-dire celle qui a lieu lorsque la distance des centres est la plus peute. 11. Procédons maintenant à l'exposition des moyens 502 * EC rigoureux que possède la Scietite pour détérminet toutes les circonstances d’une éclipse de lune. Représentons par la droite ES, l’écliptique, et par la droite CN l'orbite de la lune inclinée à l'écliptique- Supposons qu'au moment de la conjonction, Ô soit le centre de l'ombre terrestre et L 12 centre de la lune OL représentera la latitü dé de la lune. 12. En vertu du mouvement apparent du toleil dans l’écliptique, le centre de l'ombre, qui lui est toujours diamétralement opposé, se meut comme lui et avec là même vitesse d’orient en occident. Dans le même temps e centre de la lune $é meut aussi d’orient en occident, et les vitesses de cés deux mouvemens sont données par les tables astronomiques. Il S’agit donc de déterminer l'instant où la lune et l'ombre se rencontreront. Le mouvement propre de la lune faisant varier sa longitude et sa latitude, on nomme mouvement horaire en longituder;\a variation qui arrive dans la- longitude en une heure de témps par l'effet du mouvement Epropre, et mouvement horaire en latitude , la variation correspon- dante pour Ja latitude. Le mouvement horaire du soleil est toujours en longitude puisque cet astre parait se mouvoir sur l’échiptique, et que sa latitude est; tou- jours nulle. Désignons par » le mouvement horaire du soleil , et par æet» ceux de laluné , en longitude et en latitude, Si nous exprimons par T un temps quelconque compté en heures et pendant lequel nous supposerons que le centre de l’ombre soit parvenu de O en O'et celui de la lune deLen L', la distance OO" sera égale à 3XT, ouau mouvement du soleil en longitude pendant le temps T. Dans le même temps la longitude de la lune aura varié de la quantité OM, déterminée par la perpendicuiaire L'Mà EN, et sa latitude, de la différence entre L'M et LO. Nousaurons pour les valeurs de ces variations les expres- sions 2XT etr»XT. , Ceci posé, si nous représentons par D la distance OL’, des centres O' ct L’, d’ün triangle rectangle dont l'un des côtés MO'est égal à OM—00'=4T— HT; ct dont autre côté L'M—LO+YP ou à+YT , en désignant par À la latitude LO ; au mo- cette distance sera l'hypothénuse ment de l’opposition. Nous aurons donc D'={uT—1mT} $F [a+ T1 EC Si, pouf simplifier cette expression, nous brendiis un angle auxiliaire 4, déterminé par la relation tang au — ë Em eBe deviendra, en éliminant u—m , DTA O2 sin°z. T = (D'— 22) sin°« équation du second degré, qui, résolue en regardant T comme l’inconnue, donne (1) F= + er +! sine. V/[ D: — 2? cos? a] y y Substituant dans cette expression les différentes valeurs de D qui conviennent au commencement ou à la fin, ou à toute autre phase de l’éclipse, on trouvera toujours , si cette phase est possible, deux époques où elle aura lieu. Les valeurs négatives de T se rapporteront aux époques antérieures à la conjonction, laquelle est le point de départ. 13, Il nous reste donc à déterminer les valeurs de D pour Îles différentes phases de l'éclipse. Nômmons R le demi- diamètre apparent du soleil, r celui de la lune, P la parallaxe horizontale du soleil et p celle de la lune. Quand e disque de la lune entrera dans l'ombre, et s’en dégagera , la distance des centres sera égale à a EN somme des demi-diamètres de la lune et de Fombre , ce dernier étant égal à P+p—R, comme nous l'avons vu ci-des- sus; on aura donc alors (7) D=r+P-+p—R. C’est l'instant du commencement ou de la fin de l'é- clipse. En substituant cette valeur dans (mn) on obtient deux valeurs de T dontla première répond au commen- cement et la seconde à la fin de l'éclipse. s 14. Pour déterminer le milieu de l'éclipse, il suffit de remarquer que l'expression. (m1) ne doit donner dans ce cas qu’une seule valeur de T, ce qui ne peut arriver que lorsque le radical s'évanouit; ainsi pour le milieu de éclipse nous avons T = — Àisintx y et la distance des centres est alors D=—à1, cos x: Connaissant la plus courte distance des centres, il est facile de trouver l'étendue de la partie éclipsée à cet instant, étendae qu'on nomme la grandeur de l’éclipse; car , si à cette plus courte distance, A.COSæ, on ajoute le demi-dianiètre r de là lune, on aurd la distance du £ EC bord extérieur de la lune au centre del’ombre, et si de cette dernière onretranchele demi-diamètre de} ombre, le reste sera la portion du diamètre de la lune non éclip- sée; les opérations à faireicisont les mêmes que celles dont nous avons donné un exemple plus haut en prenant pour distance des centres la latitude de la lune. Ainsi la portion non éclipsée est égale à RHr+a.cosx—P—p, si cette quantité est positive, en la retranchant du dia- mètre appparent 27, nous aurons r—R—3.cos «HP+p pour la partie éclipsée du disque ;. si elléest nulle, cela indique que l'éclipse est totale au moment de la plus grande phasé; et si enfin cette expression est négative, cela indique que l'éclipse est plus que totale, c’est- à- dire, que lors même que le rayon de la lune séraît plus prnd, cer astre n’en serait pas moins plongé dans l'ombre. 15. Pour faciliter les-calculs, les astronomes sont dans l’usage de supposer l'ombre terrestre fixe ou sans mou- yement, eL pour cet effetil suffit d'imaginer quel la lune se meut dans une orbite relative ayec. un mouvement Horaire en longitude égal à la différence des mouvé- meps réels du soleil et de la lune, car As cette hypo- thèse les dispaces qe centres sont DE js mêmes gentre del ne et L . de la ane au moment de la conjonction, si après un temps quelconque Le , par l'effet des mouvemens réels, le centre de l'ombre est en O' et celui de la dune eu T;', le mouvement en longitude du soleil aura été OO, celui de la lune OM , et la diffé- rence de ces mouvemens MO'.Or, en supposant Oim- mobile, et Laffecté de deux mouvemens, l'uneu tongi- tude capable de lui faire parcourir O'Mdans le temps T, et l’autre en latitude tipable de li faire parcourir NL' dans le même temps, il est ASC PACE aus on — MO' et M'L’=ML, même que celle. entre Q'etL', et qu’ainsi les (Hé mènes seront exactement les mêmes , soit qu’on tienne compte du mouvement de l’ombresur l'éciptique OK, en considérant le mouvement de Ja lune sur son orbite réelle LE, soit q'on suppose l’ombre fixe en O, et qu’on ne tienne compté que du mouvemeüt relatif de la lune, sur son orbite relative L'L. 16. La position de l'orbite relative ou son inclinaison ur lécliptique est donnée par les mouvemens rela- uifs dé ri lune ; en. effet cette inclinaison est l'angle L'LN', dont la tangente dépend de la proportion. Foy. TniGoNoMÉTRE. LN' : ditang, L'LN' :: NA”, EC 505 Mais LN'—OM'est le mouvement relatif de la lune en longitude, et N'L' est son mouvement en latitude ; dé- | siguant donc le premier de ces mouvenmens paf mn ét Té second par », nous aurons y " r tang L'LN'——, d’où nous voyons que L'LN est la même chose que l'angle auxiliaire que nous avons désigné ci-dessus par a, puisque mm Em. Nous cantinuer ons à exprimer l’'inclinaison de l'orbite par la même lettre. . Soit OL=—à, la latitude de la lune en conjonc- tion ee KYXIV er: 7), en abaissant üne perpendi- culaire OL sur l'orbite relative EL, on aura un triangle LL'O dans lequel A LOL sera égal al angle d’ incli ñaison E Où 4, ce qui donnerd OL' = OL. cbsx ou OL’ —= à. COS.x Cette valeur est la plus petite stinee des centres. Nous É ayons obtenue, plus haut (14) par un procédé bien dif- férent. Le même triangle nous donne We — À.Sin & C’est la portion de l'orbite relative parcourue depuis le moment de la copjoncion jusqu'à celui du milieu de l'éclipse. Pour trouver le temps T pendant leche] cette RO tion d’ orbite Se PAreOus ue, si nOUS désignons, comme ee dessus, par n! F le mouvement horaire relatif en lon- gitude, nous aurons { } 1 En HT j Or, Ê tie LN LNI,, Por a { oxsllsisd ke 1 : HS : LL': NL, carBdie 1 “cos dt: ASitæ: MT, on tire de cette proportion À.8in &.Cc0s & T= FT me Ce temps T ,.qui exprime des heures où des fractions d'heure , étant la différence entre le temps de la con- jonction et celui du milieu de l'éclipsey fera connaître ce dernier. 504 EC 18. Pour avoir le temps du commencement et celui du milieu de l’éclipse, remarquons, ainsi que nous l’a- vons fait plus haut, que lecommencement a lieu lorsque la lune est en L sur l’orbiterelative (Pr. XXXIV, fig. 9), de manière que la distance des centres O et L est égale à la somme des demi-diamètres de l'ombre et de la lune, ou lorsqu’on a à OL p+PR+r P;P,R, et r conservant les désignations ci-dessus. Mais le triangle L'OL donne (L'L)=(L0}—{L'0}—(LO—L'0) (LO+L'O) ou LL} =(p+P—R+r—à cos a) (pH PR x, cos «) Connaissant d’après cette expression la valeur de LI’, on aura le temps T' pendant lequel cette portion d’or- bite aura été parcourue par la relation m' LL'.cos « T' = LL": COS x nv Ce temps T’, retranché du milieu de l’éclipse donnera le commencement; ajouté , il donnera la fin. 19. Nous allons montrer l'application de ces formules en prenant pour exemple l’éclipse du 10 juin 1835, dont nous nous sommes déjà occupés. Voici les élémens du calcul : Opposition, 10 juin 1835 à 108 54! 37" du soir. Latitude de la lune au mo- ment de l’opposition.... À = 1° o' 30" austr. Mouvement horaire relatif de la lune en longitude... 7»'— 34° 56" Mouvement horaire de la. lune en latitude...... UP — 130290 Parallaxe horizontale de la Î [Une EEE some sp —= 60'r6 Demi-diamètre apparent de RARE ce ee Tr — 1634" Parallaxe horizontale du so- léil. 5. Lac ae erle &° or E— 875 Demi-diamètre apparent du soleil. ........... sc Rio35lqti Déterminous d’abord l’inclinaison « de l'orbite rela- uve par la formule (16) :u y 3'23° 203" 94 = — — BA 3456" 2096" Nous trouverons, à l’aide des tables trigonométriques, a=5°31'54"8 EC Substituant cette valeur dans la formule du numéro 17, qui donne le temps entre la conjonction et le mi- lieu de l’éclipse , en observant que la latitude, étant aus: trale, doit être prise négativement, nous aurons 60’30”.sin(5°31'54",8).cos(5°31"54",8) Le TEE a non nono réduisant les facteurs numériques en secondes, et opé- rant par logarithmes , nous aurons L.sin(5°31/54",8) — 8,9840758 L.cos(5°31 54,5) = 9,9979746 L 3630 — 3,5599066 Compl. L 2096 — 6,6:86087 92203657 d’où T=—ot, 166175. Réduisant la fraction décimale en minutes et secondes, nous trouverons T=—9' 58" T étant négatif, il faut le retrancher du temps de l’op- position, 10b5437", pour avoir le temps du milieu de l'éclipse, et nous aurons milieu de l’éclipse à....10h44'30" du soir. Pour trouver maintenant le commencement et la fin de l'éclipse, prenons la formule du numéro 18 ŒL'P=(p+P—R+p—a.cos2)(p4+P—R +7 acos2) nous trouverons d’abord pour à cos x, la valeur 3613”, et comme nous avons, en réduisant tout en secondes p+P-R+r=3671",5 Nous en conclurons LL'=V/[58",5X7284",5] et, réalisant le calcul, L.58",5 — 1,7671559 L284,5 = 3,8623997 L(LL'}= 5,6295556 L(LL') — 2,8147778 Substituant cette valeur de LL' dans la formule #ous aurons, en achevaat le calcul, É EC L(LL')= 2,8147778 L cos « — 9,9979476 Compl.Lm' = 6,6786087 LT" —9,4913341 ce qui donne T'—oh, 30999—0h18'35". Ajoutant cette quantité au temps du milieu de l’é- clipse, et la retranchant, nous trouverons Commencement del’éclipse.. 10h 26" 4" 3 14 Fin de l'éclipse......1...,. 10 En remarquant que T'estla demi-durée de l’éclipse nous aurons immédiatement durée de l’éclipse... 3710" 20. Il nous reste à déterminer la grandeur de l’éclipse; observons pour cet effetque, quelleque soit la position de la lune dans l'ombre, la distance entre le centre de l'ombre et le bord supérieur de la lune, est égale à la distance des centres plus le demi-diamètre de la lune ; si de cette quantité, on retranche le demi diamètre de l'ombre, on aura pour reste la partie non éclipsée de la lune; ainsi pour connaître la partie éclipsée, il faudra retrancher cette dernière du diamètre de la lune. Nous avons donc en général, en désignant par p le demi-dia- mètre de l'ombre Partie éclipsée —2r —[ distance actuelle des centres+- +r—el Lorsque le calcul donne une valeur plus grande que or, C'est qu’alors la lune est entièrement dans l’ombre; l'excédent de 2r exprime la distance du bord de la lune au bord de l'ombre. Pour calculer la grandeur de l’éclipse du 10 juin, prenons pour distance des centres celle du milieu, c’est- 0 à-dire la quantité à cos à (n° 17), dont nous venons de irouver la valeur égale à 3613”, et comme p=p + PR = 2677", \ nous aurons partie éclipsée—10988"— [561 3"+09f"—2677"| —58" quantité qu’on exprimera en doigts enla multipliant par 12 * EC 505 On trouvera de la même manière toutes les autres circonstances de l’éclipse, comprises d’ailleurs dans la formule générale du n° 12. 21. Les mouvemens horaires du soleil'et de la lune ne sont pas constans ; et si l’éclipse est de longue durée, on ne peut regarder que comme une première approxi- mation les calculs faits en partant du mouvement ho- raire relatif à l’époque de la conjonction. Mais tous ces détails de calculs ne peuvent trouver place ici, et nous ferons seulement observer qu'on ne pousse ordinaire- ment l’exactitude qu’à + de minute près; ainsi nos ré- sultats sont : Commencement, 10 juin 1814, à 10h 26 soir je Fa Milieu, san. serusiel lo erstsiess do 107 44S 9 Fins le ememalten iisselTON 0e On est obligé aussi dans ces calculs d'augmenter le rayon de l'ombre terrestre d’environ +, ou de faire subir une augmentation correspondante à la parallaxe de la lune; sans cela les durées observées seraient plus longues que celles données par le calcul, car l’atmo- sphère de la terre fait autour de.ce corps une enveloppe assez épaisse pour empêcher la lumière de passer en quantité suflisante, et produire. l'effet d’une aug- mentation dans le rayon de Ja terre. Ce phénomène rend aussi, par conséquent, le cône de l’ombre plus grand ainsi que son demi-diamètre. 22. L’atmosphère terrestre produit encore une autre apparence remarquable, lorsque la lune,est complète- ment éclipsée; on ne la perd cependant pas tout-à-fait de vue,son disque est encore éclairé d’une lumière rougeâtre très faible, produite par les rayons solaires réfractés par notre atmosphère et infléchis derrière la terre.Sans l'absorption de cesrayons, dont la plus grande partie se trouve éteinte en traversant l'atmosphère, l’ef- fet de la lumière ainsi projetée vers la lune serait assez considérable pour l’éclairer entièrement. 22. ÉCLIPSES SOLAIRES. Les éclipses du soleil étant produites par l’interpositron de la lune entre cet astre et la terre , doivent se concevoir à peu près de la même manière que les éclipses de lune, c’est-à-dire , que Tag € qui donne d É 19 lorsque la terre entre dans le cone d'ombre projeté par 58" = o doigts 21” Ja lune, les points de sa surface qui sont plongés dans 19 cette ombre ne reçoivent plus les,rayons du soleil et se 6! 506 - EC trouvent dans une obscurité complète ; ce que la figure ci-dessus rendra sensible : S est Le soleil, EF la lune, et CD la terre. Cependant il existe une différence essentielle que nous . devons signaler : c’est que le soleil ne perdant pas réel- lement sa lumière, reste visible pour un observateur placé hors des limites de l'ombre et qui a le soleil au- dessus de son horizon, tandis que la lune devient réel- lement obscure et disparait pour tout l'hémisphère au- dessus duquel elle se trouve au moment de l'éclipse. 23. Si l’on imagiueun observateur placé dans la lune, du côté qui fait face à la terre, l’éclipse solaire sera pour lui une véritable éclipse de terre, et toutes les considé- rations relatives aux éclipses de lune, vues de la terre, pourront s’y appliquer également. cherche à faire La première re- est donc celle de la longueur du cône d'ombre projeté par la lune, pour savoir si ce cône s’é- tend toujours jusqu’à la terre et s’il est capable de la couvrir entièrement. 24. Soit S le centre du soleil, L celui de Ja lune, AB la tangente au soleil et à la lune qui forme la limite de l’ombre pure et LE la longueur du cône d'ombre. Pour déterminer cette longueur il suffit de connaître l’angle LEB au sommet du cône ; or, en menant la droite AL, on a l'angle ALS extérieur par rapport au triangle AEL égal à la somme des deux angles intérieurs opposés LAE, LEA ou LEB, d’où l’on tire LEB = ALS —LAE, mais ALS est le demi-diamètre apparent du soleil vu du centre de la lune, et LAE est la parallaxe horizontale du soleil par rapport à la lune. Désignant donc par R' ce demi-diamètre et par P' la parallaxe , nous aurons LEB — R'—P’. Maintenant si nous considérons letriangle rectangleELB, à \ 1 nous trouverons x : EL :: sin LEB : BL ou : 1: CL::sin(R'—P':p p étant le rayon BL de la lune. EC Cette dernière proportion donne RETRACE — sin{R'—P") Pour avoir les valeurs de R'et P' il faut observer : 1° Que le demi-diamètre apparent ‘du soleil, vü "de Ta lune, estégal au demi-diamètre apparent de cet astre yu de la terre et augmenté dans fe rapport des distances de la terre et de la lune au soleil ; 2° que la parallaxe du soleil pour lalune est égale à la Le du soleil pour laterre : augmentée dans le rapport des dir et dimi- nuée dans lerapport des rayons de la terre et delalune. Ainsi, désignant par D et d les distances de la terre au soleil et à la lune, par R le rayon apparent du soleil pour la terre, par r le rayon de la terre, et par P la parallaxe du soleil pour la terre, nous aurons 1" DER ; P 1) Rp À À PFDa et par conséquent pr [pr _p PI D R—P= [RP Mais P étant la parallaxe horizontale du soleil pour la terre, on a (v0y. PARALLAXE) ; r ; r sin P = --, d'où D - k - sin P' D De même en désignant par p la parallaxe horizontale de la lune, on a d= — sin p et, par suite, | De sin p D—d sin p—sin P ou, simplement, D "rer D—d p-P eu substituant les arcs aux sinus, ce qui n’entraine pas d'erreur sensible pour de si petits angles; nous aurons donc définitivement pour la longueur du cône d’ombré, l'expression ci = lp: "5-0 sin[R — P: Re, à 4 Cette longueur variant avec la distance de la lune au soleil, calculons seulement les deux-cas extrêmes , € “est à-dire celui dans lequel la lune se trouve le plus loin du soleil et le plus prèsde la terre, et celui où elle se trouve le plus près du soleil et le plus loin de la terre. En pre- EC nant le rayon de la terre pour unité et donnant aux quantités R, P et p les valeurs correspondantes à cha- cune de ces hypothèses , nous trouverons : Longueur Distance du de la lune cône. à la terre. Soleil apogée. Parallaxe maximum. 59,730 55,902 Soleil périgée. Parallaxe minimum. 57,760 63,862 Dans le premier cas l'ombre atteindra ét même dé- passera le centre de la terre; dans le second elle n’at- teindra même pas sa surface. Ainsi lors même que la lunese mouvrait dans le plan de l’écliptique, elle ne pro- duirait pas toujours, en passant devant le soleil, une obscurité totale sur quelque point de la surface de la terre. 25. Nous avons vu (n° 7) que le demi-diamètre du cône d’ombreterrestre, à l’endroit où il est traversé par la lune , est égal à la somme des parallaxes du soleil et de la lune diminuée du demi-diamètre apparent du so- leil : ainsi les données relatives étant les mêmes pour un observateur placé dans la lune, nous pouvons en con- clure que, pour cet observateur, le demi-diamètre de l'ombre lunaire, à l’endroit où elle est rencontrée par la terre, est égal à la somme des paärallaxes du soleil et de laterre, pour la lune, diminuée du demi-diamètre ap- parent du soleil vu de la lune. Or, Ja parallaxé de la terre est la même chose que le demi-diamètre apparent de la lune vu de la terre; ainsi, en désignant par O le demi-diamètre de l'ombre, par d celui de la lune, et en conservant les désignations ci-dessus, nous aurons O = dLP'—R ou 7e p D de D.R QE pr ce qui se réduit à = g4pP Pi pp CRU ER LP à cause de D P er Le à Mais en divisant le demi-diamètre apparent d’un astre par sa parallaxe horizontale on a le rapport de son rayon au rayon de la terre ; nous avons donc (voy. Pa- RALLAXE) k substituant cette valeur dans la dernière expressie a, et EC 507 réduisant , on trouve définitivement O=(5—R), LE. p—P Er négligeantla parallaxe P du soleil, ce qui ne pro- duit pas une différence d’une demi-seconde dans les ré- sultats, on peut poser : Le demi-diamètre de l'ombre lunaire est égal à l'excès du demi-diamètre apparent de la lune sur le demi-diamètre apparent du soleil. Si l’on veut connaitre quelle est la largeur de l’om- bre dans les circonstances les plus favorables à l’éclipse, c'est-à-dire lorsque le soleil estapogée etla lune périgée, il faut dans l'expression précédente donner aux quan- tés d, R,pet P les valeurs qui conviennent à ces si- tuations: ainsi à moins d’une seconde près ces valeurs étant d — 1005" R = 945” p = 3689" P 8" nous trouverons O—Go”, Mais le demi-diamètre appa- rent de la terre, vu de la lune , est la même chose que la parallaxe de la lune vue de la terre, 3689", ainsi la grandeur de l'ombre lunaire est à celle du disque de la terre comme Go : 3689, ou à peu près comme 1 : Gi; d’où il suit que cette ombre ne peut pas couvrir la Go° et qu'il n'y a jamais, dans toutes les autres circonstances partie de la largeur de lhémisphère terrestre, moins favorables, qu’une très-petite portion de cet hé- misphère plongée dansune obscurité complète. Lorsque 9—R, la pointe seule du cône de l'ombre atteint l'ob- servateur, et lorsque d.d'ies Poe | = N.d.ez 7È EL 7 5415 ce qu'on peut aussi exprimer par ï a, bn, pr, dr, d—1,e—2 N: ense servant d’exposans négatifs. 22 ” ‘ 3. Nous avons vu également (ALGÈBRE, n° 27) qu’une puissance quelconque 72 d'une quantité irrationnelle Li V/A pouvait s'exprimer par 1172 Fly VA" ou par À Si donc le nombre 72 était plus grand que » , le résul- tat pourrait se décomposer en deux facteurs dont l’un seulement couserverait la forme radicale, Par exemple, mn étant plus grand que », divisons 72 par # et nommons g le quotient de cette division et r le reste, nous aurons et par conséquent (ALGÈSRE, n° 20) ; ka à À —A = A7, À" — AY, Var Dans le cas de r=0, c’est-à-dire , dans le cas où la divi- sion de 72 par » se fait exactement, la puissance devient simplement Av. En appliquant cette règle aux puissances particulières LveL [we [ver on obtient les transformations suivantes Nous obtiendrons de la même manière les transforma- tions plus générales LIBAN UE L | . 4 24.1 [Vire] = [aw.cff=fass.c] ? =[ar.cT K [asc |’ : LIÉE —=A?,B4.C.1/A.B2,C ne: æbc1r æbBc FE æb3cT+rE [ 5 | ns [rer | an] F | 5 afb6c2 Ve “dics * ee 516 EL 4. Les puissances successives des quantités dites ima- ginaires présentent des particularités remarquables que nous allons examiner. Mais comme toutes ces quantités peuvent s'exprimer au moyen de la seule V— (vor. ImaciNAIRE), nous ne nous occuperons ici que de cette dernière. On a d’abord évidemment NES Cependant en se servant de la règle donnée pour la multiplication des quantités affectées de signes radicaux (ALGÈBRE, n° 29) on trouverait VENTES rene Ven ou (V=Y=V eV HI = + 1 et le signesupérieur + donnerait un résultatabsurde, car la seconde puissance d’une racine seconde ne peut être que la quantité primitive qui est sous le radical. Cette ambiguité du double signe # disparait lorsqu'on em- ploie les exposans fractionnaires, car (V—1> =(—1} = (—1): = — 1. On peut se rendre raison de l'espèce d'erreur qui se glisse dans l’application de la première règle en obser- vant que —1 étant multiplié par lui-même, introduit dans l'expression VE = V1, après la multiplication , une signification qui n’y était pas auparavant, celle de pouvoir avoir une racine posi- tive ou négative, et cela d’après la propriété générale 1} = + 1; Hi} = + 1; car après la multiplication de (—1) par (—1), le radical devenant y/+1 ne porte plus aucun caractère qui puisse lui faire attribuer exclusivement l’une ou l’autre de ces générations; on peut donc alors sans erreur les lui ‘ assigner indifféremment, tandis que sous la forme (y/—1} la génération du résultat est terminée et ce ré- sultat ne peut être que — 1. Or, en se servant du calcul des exposans fractionnaires on évite l’opération, qui peut induire en erreur parce qu’on n’opère quesur les ex- posans sans toucher à la base. Cette considération est essentielle pour former toutes les puissances paires de V/—1 , à cause (—1)" = (+1) EL 2 représentant un nombre pair quelconque. Ainsi par la règle des radicaux , on aurait encore (= = VE =V hi = ti tandis que par les exposans fractionnaires ou trouve ET 4 (V—1) =—ih=(—1)=+#i seul résultat satisfaisant | Nous conclurons donc que dans l’élévation aux puis- sances de la quantité imaginaire V/—1, il faut, pour éviter les erreurs, n’opérer que sur les exposans et ne toucher à la base (—1) qu'après avoir épuisé toutes les réductions. 5. En suivant ces principes on trouvera pour les puis- sances successives de la quantité V/—1, prise positive- ment et négativement, les résultats suivans : Pour la quantité Æ4/—1 HV: HV = Vi VE Ë = VE HE) () HV === etc. Pour la quantité — J/—1, où (—1). 1 VE: oi ne Gon os 0 s nons. V1) =). (1) = (1) = —1 etc. etc. En comparant les résultats Ver v=i)= EVER = Vi En MOMENT VV VV EL (CC Vs MM VV CV == V—iŸ=—1 etc. etc. On pourrait conclure par induction que les puissances de y—1 sont périodiques et doivent se reproduire à l'infini dans le même ordre, savoir : +1, +V—1, —1> —V—i , pour (HV), et +:, —V—1, 1 +V—1 ; pour V1. Cette propriété existe en effet , car soit 72 un. nombre quelconque plus grand que 3; en le divisant par 4, si nous désignons par » le quotient et par p le reste, nous aurons généralement m _ LP Ft; p pouvant être indifféremment l’un des nombres 0,1, 2, 3. De cette égalité, on tire m—=4n+#p ce qui nous donne Ja forme générale de tous les nom- bres plus grands que 3. Or (y —1}" pouvant représenter toutes les puis- sances de V/—1dont les exposans sont plus grardsque 3, nous aurons également pour toutes ces puissances l’ex- pression (Vaste Mais on a Re SEP, P P (it (i) ? =fi)nPeGih i) P P en) d’où l’on conclut OU (V—i}r= (= (V1) p étant le reste de la division de m3 par 4. Ainsi quel que soit le nombre x, le reste p ne pou- vant être que o, 1,2, 3, on retrouvera à l’indéfini les quatre premiers résultats trouvés ci-dessus, EL 517 6. En se rappelant que lorsque p est le reste de la di- vision de m par 4,ona VEN ER il suffit de connaître les quatre puissances à exposans 0, 1,2, 3 pour obtenir immédiatement une puissance quelconque m de V/—1. Par exemple s’il s'agissait de trouver la onzième puis. sance de V/—1, comme le reste de la division de 11 par 4 est 3, on poserait ==) et comme V—i}=-V—1 on conclurait (= =V—i On trouverait de la même manière nm mi (—V=n5=(— = 1 et ainsi de suite. 7. Il résulte encore de ce qui précède une cansé- quence très remarquable et que nous devons signaler. En prenant la racine quatrième des deux membres des égalités Ve V==ti nous avons ae fol +V=I=VH: — VV +: mais nous AVONG.AUSSI Vi Ïl s'ensuit donc que la racine quatrième de l'unité peut être indifféremment l’une des quatre quantités ist, Vs Vi et généralement que la racine quatrième d'un nombre quelconque a quatre valeurs différentes, car la généra- tion d’un nombre quelconque M au moyen de l'unité étant 1XM, on a en général De nn à. VM=ViXM=VMX Vi et par conséquent 518 EL VCD : ä (1) VIT HV) VA VAE On verra ailleurs (voy. ExTRAGTION DES RAGINES) qu’une racine quelconque admet autant de valeurs dif- férentes qu'il y a d'unités dans son exposant. Nous n’a- vons abordé cette question qui n’est pointicinotre objet que pour faire observer que l'égalité de deux puissances dont les exposans sont égaux n’eutraine pas nécessaire- ment celle des bases, ou que de l'égalité (A}n—(B" on ne peut généralement conclure A—B. 8. L'élévation des monomes à une puissance quel- conque pouvant toujours s'effectuer d’après les règles précédentes, nous allons passer à celle des polynomes. Considérons d’abord lé binome (a+), l'expression générale de sa puissance 72 étant donnée par la for- mule de Newton. (Woy. Bixome De Newrow) ma Piper) (aHb}n= a ht am BE —— am-spsL mimi) (1 — —2) es am—1h3+etc… + en substituant à la place de m la valeur numérique de cet exposant on obtiendra immédiatement la puis- - sance correspondante, ou le produit des binomes (a+-b).(a4b).{(a+b)...etc. Soit, par exemple, lé biiomé m+na? à élever à la quatrième puissance. Nous ferons m—À, ce qui nous donnera d’abord pour les coefficiens : m—< 4 m{Mm—1) 4. : RTE EP D 1.2 m(m—i)m—2). 4.3.0 RCE RLEEE L mn — A) m0 m3) 4: 319257 1 152.934 1.234 m(m—iYm—2\m—3 (m—{) 4.3.2.1.0 NE = = = 0 12 TES 1220340 Tous les autres coefficiens devenant o, à cause du facteur m—{—o qui entre dans chacun d’eux, nous vovons d’abord que le développement cherché s’arrête au cinquième terme; faisant donc a= et b=nx*, nous aurons (m+nx)=miz + (222) +hn(nx®)+ 6m (na?) +4 m(na)s EL ou (na) =mit {max +Gnr xt {mn bnéxs Nous avons donné au mot binome d’autres applica- tions de la formule de Newton. 9. Le développement de la puissance m» d’un trinome peut se déduire facilement de celui du binome. En effet soit a+-b+c un trinome quelconque, supposons a+b=p et nous aurons (a+b+c)n =(p+c)" mais d’après la formule de Newton nt (ni — I ) (p+c) M pr np ic + RTS pe L m(m—1)(n—2) 1:23 pci Letc... Reémettant dans ce développemeut ab à la place dep, il devient (#2) (eHbHc}r= {a+ bn matins ,c+ m2 (In —1) + ee (abbim—,c3Æ etc... 1.2 Or , en vertu de l’expression générale, on a mi (ni Le an—1l? etc... (a+ b}r=anLiman—:h + (a+ b}r—i= ani (ms )an + (ra 1) (rh=—5) 1.2 (a+ bn and (mo )ansb#+ + am—he + €tGr.e vr—9) (7 3) a an—ipr etc. = 1:29 : elc-s: elC...ss Substituant ces valeurs dans l'expression (»), et ordon- nant par rapport aux puissances de a, on aura pour le développement de la puissance 72 du trinome a4+b+c, l'expression générale (7) m(m—1) (a+b+cyr=antman—l + a m—2h?+ etc. H—1c (1 A manie Ln(m—i)an—bebetc.. ml fn — il = =) am—?c3+ etc... 12 etc. Pour donner un exemple de l'application de cette for: + mule, faisons »m—3, alors nous aurons mm). . m(m—i)(m—5) AP =23, in(m—1)=6, PATES ES OS: EL et par suite (a+b+c)—a5+3ab+3abt + b? +3ac+Gabc4-3b°e +3ac+3bc? + c 10. On pourrait, eu suivant la même marche, trouver le développement de la puissance d’un tétranome et gé- néralement celui d’un polynome quelconque; mais cette marche entrainerait de longs calculs et aurait en outre l'inconvénient de ne pas conduire à des expressions dont les termes puissent se déduire les uns des autres, ce que l'on voit déjà pour le trinome. Nous allons en consé- quence aborder la question dans toute sa généralité, et exposer la loi générale du développement de la puis- sance quelconque 7 d'un polynome quelconque. Théoréme. La puissance 7? d’un polynome a+b+c +d+eæ+etc..…., est égale à la somme des produits re- présentés par toutes les combinaisons 72 à #2 des lettres a, b,e,d, etc, avec permutations. Ce théorême est une conséquence de ce qui a été dé- montré pour la formation des puissances d’un binome. Voy. Binour. Or, ces combinaisons sont évidemment an, an—1b, an—al?, am—b5, etc. bn, bm—1e, bn—2e? etc: am—2be, am—3bc) an—ibc?, etc. an—bcde, a—b?cde, etc. ou plus généralement am. br CRdo.e, fe. art, b1,0: dre. fe. ereelC: CEE etc. 09.47.02 abri, cr. de, es, ft æ. bm—?, c'. d. e° fe: ..etc. CIC. am—2,b1.cx,.d°.e° an-3 ,b.c.dr. . LC, etc. @&. Dm +» CLC. " . CLCe se ÉC: @.bn—3,c,d1.e ER MERENEN 2 etc. etc. Désignant donc par », 0, p, q,r, s, etc. une suite de nombres tels qu’on ait m=n+4o+p+g+r+s+ete. la forme générale de ces combinaisons sera an.bo,cr,d1.er.ff...etc. EL 519 etcomme le nombre des permutations d’un pareil groupe est m(m—i)(m—2)(m—3)(m—4)(m—5).......... 1 n(n—1)..1X0(0—1)..1 Xp(p—1..1 Xg)qg—1).1 AE : on aura pour le terme général de la puissance 2 d'un polynome quelconque l'expression, mn(m—i)(m—92)(m—3)....1 n(n—1) .1X0(o—1).1 XpP(p—1)..1 Xetc. .a,bo.c,.dietc. au moyen de ce terme général, en donnant successive- meut aux quantités 2, 0, p, q, etc. les valeurs dont elles sont susceptibles, on formera tous les termes qui com- posent cette puissance. 11. Pour indiquer au moins par un exemple l’appli- cation de cette formule, supposons qu’il s'agisse d’éle- ver le trinome a+b+c à la quatrième puissance. Dans ce cas les quantités indéterminées », 0, p, q, etc. se ré- duisent à trois et le terme général devient m(m—i)(m—2){m—3)....1 n(n—1)...1 X0(0—1)...1 XRP=H...1 .an.bo,cr dans lequel #=n+0+4p On détermine 7, 0, p pour chaque cas particulier de la manière suivante =0+3+o 3—0+2+1 3—0+1+2 3=0+0+35 j DOI : —a,b°.e7—3ac? 359241 Las, bre =Gabe LÉ MO I 323.1 .c°= 3ab? a°.b°.c=c ai. b? d’où l’on conclura (a+b+c) za +3 b+3ab Hb +3ec+Gabc+3be Sac +3be +ci résultat identique avec celui du numéro 9. 520 EL 12. Onobtiendra l'expression générale de la puissance m d’une série indéfinie Ac A;x+,Ax+Asx +Aiæietc....à l'infini, en se servant des formules générales de développement données à l’article différentiel et notamment de celle qui porte le nom de Maclaurin. Lorsque le premier terme de la série est l'unité, sa puissance a une expression très-simple que nous allons faire connaître. Soit (1+ax+bx Lox+Hetc.)r = 14Ax+Bx+Cri+etc. les coefficiens A, B, C, etc., seront À — ma B — a+ mb GC DL — 3 bAnc —3 2m— Dee -h0 25h MEL md pe Le, aD+ ic + 23 4m + Fe —dA+me etc. etc. Appliquons ces formules à la série at + tait taf bpetc. et proposons-nous de l’élever à la quatrième puissance. Nous avons m4, a—1, b=1, c=1, etc. Les coeff- ciens A, B, C, etc. deviendront A —4 = TT jpinro C— = “2 4400 D at ro 35 etc. etc. et nous aurons (i+ax+a etc. à l'infini)f=1# 4x ox +202 +35x4 Hetc....à l'infini. En remarquant que la série proposée n’est autre chose que le développement de la puissance —1 du binome (1—x), car ou trouve par le binome de Newton ia ta tauitbrs etc, (1—x)-1= EL On voit que la quatrième puissance de cette série est aussi la quatrième puissance de (1—x)-1, Mais [ea] =0- , par la formule de Newton, (1—2) = 144 + etc. etc, =1+/4x+iox+oox +35xibetc. ce qui est identique avec ce que nous venons de trouver ci-dessus et montre l'accord parfait de toutes les lois de la science. . ELGEBAR (Astr.) Nom de la belle étoile située au pied d’Orion , plus communément appelée Rigel. ÉLIMINATION (Astr.). Opération dont le but est de faire disparaître toutes les inconnues, moins une, qui se trouvent dans une équation. Pour que cette opération soit possible, il faut avoir autant d'équations indépen- dantes que d’inconnues. Foy. ÉQUATION. 1. Soit d’abord les deux équations du premier degré à deux inconnues Ax+By=—C A'x+B'y=C' Le premier procédé qui se.présente naturellement c’est de résoudre chacune deces équations par rapport à +, comme si y était une quantité connue; la première donne — C-Br et la seconde _ CB = ru Or, ces deux valeurs de x devant être identiques, on en conclut C—By _C'—B'y D nu. équation qui ne contient plus quey , et que l’on nomme l'équation finale. En résolvant l'équation finale on obtient la valeur de yetil suffit ensuite de substituer cette valeur dans l'une ou l’autre des deux équations proposées pour obtenir une équation qui ue contient plus d’autre inconnue que æ et qui puisse servir conséquemment à la détermination complète de cette inconnue. 2. Si les coefficiens de l’une des inconnues ttaient les mêmes dans les deux équations, il est évident qu’il suf- EL firait de retrancher l’une de ces équations de l’autre pour obtenir immédiatement l'équation finale. Par exemple, étant données les deux équations Ax+By=C Ax+Dy=E en retranchant la première de la seconde, on aurait Ax+By—Ax—Dy=C—E ou (B—D}y=C—E équation débarrassée de x. Or, on peut toujours rendre égaux les coefficiens de la même inconnue , car, en pre- naut pour exemple les deux premières équations A x+By=C A'x+B'y—C' si l’on multiplie tous les termes de la première par A' et tous ceux de la seconde par À , À et A’ étant les coef- ficiens de l’inconnue qu’on veut faire disparaitre , ces équations deviendront A'Ax+A'By—A'C AA'x+AB'y—AC". c'est-à-dire que les cocfficiens de x seront les mêmes puisqu’ilssont composés du produit des mêmes facteurs. Opérant la soustraction, nous obtiendrons (A'B—AB')y=A'C—AC", équation finale en y , qui donne AC AC Y— A'B— AB Pour trouver la valeur de l’autre inconnue x, substi- tuant cette valeur de y dans la première des équations proposées, nous aurons A'C—AC"' Ax-+B AB AB = ce qui nous donnera A'C—AC' Er UE LL —_———_— et en réduisant ss C'B-- CB’ ARABE AB; Si on avait voulu trouver d’abord l’équation finale en æ, On aurait multiplié la première des équations pro- posées par B'et la seconde par B, on aurait obtenu EL AB'r+BB'y—CB A'Bx+B'By—C'B 521 et, en retranchant, (AB'—A'B)x=CB'—C'B ce qui donne immédiatement pour æ :CB'— CB TAB AB ou, ce qui est la même chose, en changeant les signes des deux termes de la fraction ce qui n’en change pas la valeur, ._ C'B—CB" 7 AB—A'B même valeur que ci-dessus, 3. On agirait d’une manière analogue pour un plus grand nombre d’équations et d’inconnues, Par exemple, soient les trois équations CI .. Ax +By +Cz =D .…. A'x+B'y+C'z=D' .….. A'x+B'y+C'z=D" & © En éliminant x entre 1 et 2 par le procédé ci-dessus, c’est-à-dire en multipliant 1 par A", et 2 par À, et pre- nant la différence des produits, on formera l'équation. 4e. (A'B—AB')}y+(A'C—AC')z— = A'D—AD' débarrassée de x. Éliminant ensuite de la même ma- nière x entre 2 et 3, on formera une seconde équation sans 5.., (A"B—A'B")y+(A"C'—A'C"}:= = À'D'—A'D" Éliminant enfin y entre 4 et 5, on trouvera pour l’é- quation finale en 3 [(A'C—AC')(A"B'—A'B")—(A"C'—A'C")(A'B—AB')] =(A'D—AD')(A'B'—A!B"}—(A"D'—A'D")(A'B—AB') et, par conséquent, pour la valeur de x (AD—AD") A"B'—A'B">—{(A"D'—A'D"(A'B— AB") F— (A G—ACYA"B—A'B")—(A"C—A'C') (A'B—AP) substituant cette valeur de 3 dans 1 et 2, on obtiendra des équations en x et. y qui fourniront par l'élimination de x une équation finale en y, d’où l'on tirera la valeur de y; et, enfin, substituant dans 1,ou?, ou 3, arbitraire- ment, les valeurs trouvées de y et de z, on aura une équation finale en x, qui fera connaitre la valeur de cette dernière inconnue. ” 6 522 EL En opéraut de la même manière, ïl est visible que quel que soit le nombre des équations et des inconnues, on arrivera à former l'équation finale peur chaque in- connue. 4. En examinant la forme symétrique des équations finales , on voit qu'il suffit de connaitre la forme géné- rale de la valeur d'une des inconnues pour trouver celles des autres inconnues, mais la résolution des équa- tions n’est point ici notre objet, ct cette question sera traitée en son lieu. Considérons maintenant les équations des degrés supérieurs. A, B,C, D, etc. A’, B', C', D'etc. représentant des fonctions quelconques de la variable x, soient les deux équations à deux inconnues d’un degré quelconque o=A +By +Cy +Dyi +HEyi +etc…. o=A'+B'y+C'y4D'y#E'yl#etc.::. preposons-nous d'obtenir l'équation finale entièrement débarrossée de y. 5. Si l’une des équations, la première par exemple, ne s'élève qu'au premier degré, le problème ne présente aucune difficulté, car de o—A-+By :. À on Urè Y=—— B et substituant cette valeur dans la seconde , à la place de y , on obtient une équation seu- lement en x. 6. Lorsqu'une des équations s'élève au seconil degré, l'autre étant d'un degré quelconque ; la question com- mence à se compliquer, Donnons à l'équation ds second degré la forme particulière y°—=a+by ce qui n’en diminue pas la généralité, et il nous de- viendra alors toujours possible de donner à toute autre puissance de y la forme d’un binome telle que P+Q y. En effet, de Pay on tire, en multipliant les deux membres par y, J'=ar+br et, remettant à la place de y? sa valeur a+by, on a P=ab+(bb+a)y Multipliant cette dernière égalité par y, on trouve 7'=aby (bb a} et, remettant à la place de y? sa valeur a+by, on a EL encore = (ab +) Baby Continuant de la même manière, on voit qu’il est tou- jours possible de donner à là puissance générale y"#, la forme d’un binome P+Qÿ, dont les coefficiens seront des fonctions ratiounelles et entières de & et de &. 7. En examinant la formation successive des puis- sances y, y#,7°, etc., et leur mode uniforme de géné- ration, on trouvera la 101 suivante : La seconde puissance y étant égale à a4by, toute autre puissance m de la méme variable, pourra étre représentée sous la forme d'in binome P LH Qy, les quantutés P et Q étant m—35 P = abm—: + abm—4+ Le afbm—6 + x (m—5){in—6)(n—;) Lrded + afbm—8 + etc. Q— bei — abn—$ + PURE a bm- + (m—4)(m—5) (m—6) 1.2.3 + a'bm—1Letc…. 8. Ayant formé d’après cette loi toutes ies expressions binomiales des puissances de y, si on les substitue dans la seconde équation proposée O—A+By+Cy+DY+E yi+etc… on pourra lui donner aussi la forme d’un binome o—M+Ny et éliminant y entre cette troisième équation, et la pre- mière y*=a+by, on obtiendra une équation finale M'—aN—bMN entièrement débarrassée de y. Cet ingénieux procédé d'élimination est dû à Kramp. Quoique l’une des deux équations ne doive pas sur- passer le second degré , il suffit aux besoinsde la science. On peut l'appliquer au cas de trois équations et dé trois inconnues. 9. Comme on emploie ordinairement dans les traités d’algèbre consacrés à l'instruction publique, la méthode du plus grand commun-diviseur pour former l’équation finale, nous ne croyons pas nécessaire de l’exposer ici ; elle demande d’ailleurs des détails dans lesquels il nou serait impossible d’entrer. L'élimination a été l’objet des travaux des plus grand mathématiciens. Cramer, dans son Analyse des lignes courbes, Bezout, dans sa Théorie générale des équations ; EL Vandermonde et La Place, dans les Ménoires de l'Acas demie pour 1772, ont traité avec plus ou moins de gé- néralité cette partie importante de la théorie des équa- tions qui est en outre redevable à Euler d’un procédé simple et élégant. | ELLIPSE (Géom.). Une des séctions coniques. Elle est engendrée par un plan qui coupe obliquement un cône droit de manière à ne pouvoir rencontrer la base du cône qué prolongée hors de ce solide. Telle est la courbe EQDFLE (Pr. XXI, fig. 8), formée par l’inter- section du cône BCA et du plan mené selon la droite FD qui rencontre en F, hors du cône, le plan de la base AB. Pour déterminer les propriétés de cette courbe, nous la considérerons dans le plan générateur; et nous cher- cherons son équatior en prenant pour axe des abscisses la droite AB, section du plan qui coupe le cône par un autre plan MCN mené par l’axe du cône, et conséquem- ment perpendiculaire à sa base. On nomme ce dernier plan principal. Nous snpposerons dans ce qui va suivre que le plan coupant est perpendiculaire au plan princi- pal. Par un point O quelconque de l’axe AB concevons un plan parallèle à celui de la base du cône, sa section avec le cône sera un cercle EHFG {voy. Cône, n° 1). La sec- tion dé ce nouveau plan par le plan principal sera le diamètre EF et sa section par le plan coupant la droite GH, perpendiculaire à EF, Menons par les points A et B, dans le plan principal, les droites AK et BI paral- lèles au diamètre FE, En prenant le point À pour sommet de l’axe des ab- scisses, désignons AO par x et l’ordonnée OH par y; faisons de plus AB—2a, Anñ—d, BI=c ceci posé, si nous considérons OH dans le cercle FHEGF nous aurons par a propriété du cercle (voy. Gercue, … EL 523 n° 18) OH°=FOXOE, ou y°=FOXOE mais les triangles semblables BAI et OAE donnent AB : AO::BI:O0E ou 2a:æ::0:0E de même les triangles semblables ABK et OBF don- nent AB: OB:: AK :FO ou 2a: (2a—x) :: d: FO Tirant de ces proportions les valeurs de OE et de FO, savoir : ; er _d(2a—x) OE— 0 FO NE TE et les substituant dans celle de OH ou de y, nous aurons pour l’équation de l’ellipse rapportée à l'axe AB, l’ex- pression cd P? mn (2ax—x*) Il suit de cette équation plusieurs particularités Te- marquables que nous allons d’abord examiner. 1. En prenant la racine carrée des deux membres de cette égalité, on a I a J=ÈE—V cdf2axz—x) 24a ce qui nous apprend d’abord qu’à chaque valeur de x correspondent deux valeurs dey égales et de s gne con- traire; d’où ilsuit que l'axe AB partage l’ellipse en deux parties égales. La grandeur de y dépendant de celle du facteur va- riable 2ax—x?, examinons ce quiarrive à ce facteur lorsqu'on fait croître x, en partant de x=o, Ce facteur étant la même chose que (2a—x).x on voit qu'il s'évanouit en faisant x—2a et qu'au-dessus de cette valeur de x il devient négatif, ce qui rend le radical imaginaire et indique par conséquent que la courbe se termine au point x = 24,7—0, comme elle commence au point æ=0, y—0. Ainsi en partant de æ=—=0, les valeurs de:y commencent à croître et après avoir atteint une certaine limite elles commencent à dé- croître pour revenir à 6 lorsque æ=5%a: La grandeur maximum de + correspond donc au cas où la valeur de æ est telle que le facteur (24—x)x est lui-même le Che 24 EL plus grand possible, ce qui arrive évidemment quand on faitæ=a, car il devient alors @ ; tandis qu’en don- ant à x une valeur quelconque plus grande ou plus pe- üte que a, a Em, par exemple, il devient [racastene) jam = —m , quantité plus petite que a’. Ainsi l’ordonnée qui passe par le milieu de l’axe est la plus grande de toutes. Sa valeur est Ï ERLRNS ES. = J = + Sa Vedea—#)=+11/cd 2. On voit aisément, d’après ce qui précède, que la droite menée perpendiculairement à l'axe AB par son milieu, partage aussi l'ellipse en deux parties égales. Cette propriété lui a fait donner le nom de petit axe , tandis qu’on a donné celui de grand axe à l'axe AB. Or, si nous désignons par 22 la grandeur de ce petit axe, nous aurons € TR b—1V/cd; ou b = | Substituant cette valeur dans l'équation de l’ellipse, nous la dégagerons des quantités auxiliaires c et d'etelle deviendra (1) b 2 —_ ,(9cx—7 Ni — = EeX L') ; , b? : 95 b étant plus petit que a; _ est une fraction : ainsi y? est plus petit que le produit (24a—x)x ; c’est-à-dire que dans l’ellipse le carré de l’ordonnée est toujours plus petit que le rectangle formé entre les deux parties cor- respondantes du grand axe. C’est cette propriété qui a fait donner le nom d’ellipse à cette courbe, d’raategue, défaut, parce que dans le cercle le carré de l’ordonnée est précisément égal au rectangle formé entre les deux parties du diamètre. 3. Si au lieu de prendre l’une des extrémités du grand axe pour origine des abscisses, on prend le point ‘de rencontre des deux axes, point quel’on nomme aussi le centre de la courbe, la relation entre ces nouvelles abscisses , désignées par x’, et les précédentes sera évi- demment x'=x—4a, d'où x=—x'+a en substituant cette valeur dans l’équation(r) elle deviendra EL Telle est l'équation de l’ellipse rapportée à ses deux axes. 4. En comparant les équations (1) et (2) avec les équa- tions du cercle. +. Y=2rX—2° Jo... Ds Dssocse VI —2? dont la première est rapportée à l'extrémité du diamètre et la seconde au centre (Woy. AppzicarTion , n° 34), on voit qu’il existe une grande analogie entre l’ellipse et le cercle ou que le cercle n’est qu’une ellipse dont les deux axes sont égaux, puisque , lorsque b=—a, les deux équa- tions (1) et (2) se réduisent à 1 et 2. Cette circonstance qui fait du cercle un cas particulier de l'ellipse doit nous faire rechercher si les propriétés connues du cercle existent pour l’ellipse, ou du moins commentelles sont modifiées en passant de l’une à l’autre figure. Or, dans un cercle toutes les cordes qui passent par le centre sont partagées au centre en deux parties égales et de plus sont toutes égales entre elles, voyons d'abord ce qui a lieu dans l’ellipse pour les droites qui passent par le centre etse terminent de part et d’autre au péri- G D mètre. Soit donc MN une telle droite, en prenant O pour origine des coordonnées, son équation sera (voyez Appuicarion IT, n°0) Y—=IMET m étant la tangente trigonométrique de l'angle NOB. Les points M et N appartenant à l’ellipse, on aura aussi pour les coordonnées de ces points la relation CT Nr (a?—x*) et, par conséquent , b mL (ax) d’où ab Van + b2 LR EL cette valeur substituée dans y=mx, donne Sn abm “4 ee — Va m+b les valeurs positives de x et de y seront les coordon- nées On et ñ»=N du point N, et les valeurs négatives, celles du point M, savoir Om et mM ; et comme ces va- leurs sont égales, indépendamment du signe, on a Om—On et mM=—nN. Ainsi les triangles rectangles MmO et NO sont égaux et l’on a MO—ON. Donc toute droite menée par lecentre se trouve partagée.à ce point en deux parties égales : ce qui est exactement la propriété du cercle, Le triangle ON, nous donne ON = On + Nr ou ON — 2 + substituant à la place de y? sa valeur prise dans l’équa- tion de l’ellipse , cette dernière égalité deviént x b ON = x? + (a—2°) ce qu'on peut mettre sous la forme Il résulte de cette égalité que la valeur de ON et con- séquemment celle de MN est variable et dépend de la grandeur de x. On aura donc la valeur de la plus petite ligne qui passe par le centre en faisant x=o et la valeur de la plus grande en faisant x—a, puisque telles sont les deux limites de l’abscisse. Or, lorsque x — 0, on trouve ON — ba et lorsque x—a ON — c’est-à-dire que le petit axe est la plus courte de toutes les droites qui passent par le centre de l’ellipse et que le grand axe est la plus longue. On nomme diamètre toute droite qui, passant au centre d’une ellipse, se termine de part et d’autre à son péri- mètre. 5, Si de l'extrémité du petit axe CD avec un rayon égal à la moitié du grand axe on décrit deux arcs de cercle qui coupent le grand axe en deux points fetF, ces points, ainsi déterminés, présenteront une des pro- riétés les plus remarquables de lellipse: c'est que la [ ( somme de leurs distances à un point quelconque de la courbe est une quantité constante, égale au grand axe. En effet, soit un point quelconque » dont l'abscisse æ=On et l’ordonnée y—mn, ses distances à F et f seront les droites »F et mf dont les valeurs, comme hypothé- nuses des triangles rectangles fin et mnF, sont (a) mE =Fr + mn mf = fn » + Fri mais fr =$0+On=fo+r, et Fn=OF—On—OF—x ; de plus, par construction, fO —OF , et l’on a dans le triangle rectangle fCO 0° =ÿC" __TO" ou JO = & —b Ainsi, en substituant, les égalités (a) deviennent à cause _—1 demn =, LA) re (Ver 2) + (a—x) 2 pee db mf = (Va—b+hr) +7 (a—x°) développant les carrés et réduisant, nous aurons a (a—x.V/a- —b} æœ — + 2@xV/a—b+(a—bhes fm = 2 _(w+ever} 526 EL ce qui donne, en prenant la racine carrée, a\/a—b? En 4 — ai Ace « L x va —b Jn=a a a donc Fra + fn = 24 ce qui est la propriété énoncée. Les points f'et F se nommeut les foyers de l'ellipse, et la distanceOfon OF du centre à ces points se nomme l'excentricité. Toutes les droites menées des fovers à la courbe prennent le nom de rayons vecteurs. 6. Quand on considère l’ellipse indé peadaniment ct: sa génération dans le cône, on la définit bar la propriété que nous venons de démontrer ; on dit alors que c'est une courbe dont la sontmeé dés distances de chacun de sespoints à deux points fixes, est égale à une ligne dounte, et en partant de cettè définition of-trouve son équation et l’on reconnait que la ligne donnée est le plus grawd des diamètres de la: courbe. Sans nous-arrêter à ces dé- ductions , que ce qui précède rend inutiles , proposons- nous de décrire une ellipse dont les deux axe: sont donnés. LA ee 02 us RLILEETP PIECE Avant mené sur le milieu du grand axe"AB use pér- pendiculaire OC égale à la moitié du petit, on com- mencera par déterrhinér. les fovers E et-f'en: décrivant du point C comme centre , avec un ravon égal à AO ou OB, un àrc de cer cle TE. Les_ foyers étañ£ trouvés, de l’un d’eux F avec un rayon arbitraire Fra, on décriraun arc de cercle ; et de l'aitre foyer fs avec un rayon égal à AB— Fm, on décrira un autre arc de cercle , le point de rencontre 7z# de ces deux ares sera un des points de l'ellipse. On déterminera de la mème manière autant de points que lon voudra, suffisamment rapprochés les uns - - 9; Le problème de mener .une tangente à J'ellipse des autres pour qu’on puisse les Joindre par une ligne continue ArCB qui sera la moitié de l’ellipse demandée. En opérant dé la même manière de l’autrecôté de AB, on décrira l’autre moitié de la courbe, 7- Ilest plus commode de. décrire l’ellipse par un Riouvement continu ainsi qu'il suit : EL , Les foyers F, f (PL. XXI, fig. 10), étant trouvés, fixez-y par le moyen de deux épingles les extrémités d'un fil, dont la longueur soit égale au grand axe AB, faites ensuite glisser un crayon qui tienne le fil toujours tendu. La courbe sera tracée lorsque le crayon aura fait deux demi-révolutions l’une au-dessus de AB ét l’autre äu-dessous. C'est de cette construction que le compas elliptique tire son origine. Foy. ELLIPTIQUE. 8. La double ordonnée qui passe par un des foyers se none le paramètre de l'ellipse; pour en trouver la valeur il faut, dans l'équation & es fem = (ax) fire =}, etl'on obtient, ” b3 ne L? nr ET Ai steu désignant le paramètre-par 2p , nons aurons d'où ä:b::b:p ce qui nous appprend-qué Ze paramètre estune troisième proportionnelle aux deux axes. - Eu divisæit par a lés deux inembres de li dèérnière “égalité; on obtient T- = . 133 ÿ £ On peut donc substituer = à laplace de . dans. les équations de l'ellipse, ti)'e (2) ; on a alors 14 2—=; (2ax—2° JS ) } f 5 ] A} P'; Li] F S 9 2—"- (a —27) J a: . On nomme ces dernières équations au paramètre. n’est qu’un cas particulier du problème géuéral de mener Jes tangentes aux courbes, et comme tel, nous pour- _rions le renvoyer au mot tangente, mais comme il eu ‘résulte quelques particularités importantes, nous allons ‘en indiquer ici la solution. EL Et 527 Soit le point où ilsagit de mener latargente, des paie de diamètres conjugués est sene au rectangle foyers f'et F, menons les droites fit, Frs, étprolongeoné coistruit entre legrand et Le petit axe ; j fin d'une quantité »m4d=F. Joignons les points F et 4 par une droite Fd, et du point g, miliea decette droite, menons ga, ce sera la tangente demandée, Eu effet; certe droite ne peut avoir que le seul point #2, commur avec la courbe, car pour tout autre point ñn, en menané fn,ndetnF,on a fn-+nd>fd, où, à cause de Frn=ré, fn+Fr>fd; or, par construction fé est égal au grana axe, donc la somme des distances fn et Fr du point n aux foyers est plus grande que le grand axe, et consé- quemment le point # est en-dehors de la courbe, Il résulte immédiatement de cette construction que les angles formes par la tangente et les. deux rayons | vecteurs menés au point de contact sont égaux; car le triangle dm étant isocèle (voy.ce mot) et mg passant par le milieu de Ja base, on a l'angle dng—l'angle Frg; mais drug =nmf comme opposés par le. sommet, donc Eyng=nmf. Ainsi, la lumièrese réfléchissant en faisant un angle de réflexion égal à l'angle d’ incidence (voy. Carorrri- Que), si de l’un des foyers de l’ellipse partent des rayon$ de lumière qui tombent sur la surface intérieure d' un miroir formé par la révolution de-cette ellipse autour de son grand axe, ces rayons seront tous réfléchis vers 4 autre foyer, re est cette propriété qui a fait donner le nom de foyers aux points FE. et. f. 10. On nomme diamètres conjugués , deux diamètres dont l’un est parallèle à la tangente menée à l'extrémité de l’autre, On reconnait facilement que toutes les cordes inenées dans l’ellipse parallèlement à un diamètre sont coupées en deux parties égales par son coxjugué, Les deux axes formentun système de diamètres coujngués, Eau prenant deux diamètres conjugués pour axes des abscisses et des ordonnées , les coordonnées ‘deviennent obliques, mais les équationsne changent pas de forme. (Foy. TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.) On trouve encore 1° que le parallélogramme circonserit à Pellipse et formé par Les tangentes meuces aux extrémités d'une 2° que la somme des carrés de deux dianètres conjugués est égale à la sormine des carrés des deux axes, 11. Si Jon décrit un cercle sur le grand axe d’une el- Jipse (PL. XIX, fig. 10), le rapport des ordonnées IM de l’ellipse et Pr du cercle ; correspondantes à la même abscisse CI sera égal à celui des axes de l’ellipse. En effet, en comptant les abscisses du centre, l'équation de l'ellipse est CS) Ja : =. et celle du cercle décrit sur 24, comme diamètre, est ) V? HAL, | désignant donc par # la talear &é l’ordonnée de l’el- lipse correspondante a l'abscisse «, et pa y la valeur de l'ordonnée du cercle correspondant à la même abscisse, nous aulons et par conséquent ) On conclut aisément de cette propriété-que la sur- face de l’ellipse est à celle du cércle décrit sur son grand axe comme le petit axe est au grand axé. Ainsi 477 rex présentant a surface du ceréle dont 4 st le ravon (vay. CERCLE, n° 31), grand axe et 2h pour petit axe, sera Ja surface de. l’ellipse qui a 24 pour CS . c : L X ar = abr o& = le nombre + étant 5,1415026...4 etc. (Poyez Quaprai TURE). d 12. La surface du cercle décrit sur le demi petit axe de l’ellipse comme diamètre étant dr, en comparant les trois quantités b?r, ab, «+, on Yoit aisément qu'on à la proportion Pr: abr:: abr: @r, c'est-à-dire que la surface de Pellipse est moyenne pro- portionnelle entre les surfaces des cercles décrits sur ses deux axes. ET. 13. Au lieu dé rapporter l’ellipse à des coordonnées alectangulhives où à des coordoinées parallèles oc paiu -eneore considérer, son équation par mmpport 4 baie 528 EL que font avec le grand axe les droites mêmes de l’un des foyers. Cette considération est surtout utile dans l'astronomie parce que les planètes décrivent autour du soleil des ellipses dont il occupe l’un des foyers. Choi- sissons donc f pour le foyer ou pour le p6£e d'où doivent partir les rayons vecteurs (figure ci-dessus du n° 5), et désignons par 9 l’angle 1fB formé par un rayon quel- conque fm et l’axe AB ; faisons toujours On=x, mn=y et représentons l’exceniricité Of par e et le rayon vec- teur fm parz; le triangle fnm donne 1:sin@::2:Y d’où y = 2.sin Ÿ Z =3.00s Ÿ—e ;' substituant ces valeurs dans l'équation de l’ellipse b? 2 2 NA = 7 (a tt ) elle devient 2*.sin 9 = _ .(a—(3.c059—e)") b = Aie + COS D 267. C0sD=—€?) ou az? sin °@+-b22? cos p—2bez cos DH be = ab1 mais sin 2 — 1 —C05 °® , substituant cette valeur de in *@, etremarquant ensuite que &’—b?=e?, on aura æz=(b1+ez, cos @} et, prenant la racine carrée, Haz=br+ez, cos g ce qui donne définitivement « ba a—e cos D — 3 = Telle est l'équation polaire de l’ellipse. Cette équation fournit pour chaque valeur de @ deux valeurs de 3 inégales et de signe contraire Mais, abstraction faite du signe, on voit que la seconde valeur se déduit de la première, en changeant cos @ en EL — cos @; ainsi cette première suffit pour donner tous les points de la courbe en faisant passer l'angle @ par tous les degrés de grandeurs depuis @=0° jusqu’à =—360°. En faisant p=0, nous aurons cos #1, et par suite a+e valeurs qui 1épondent aux deux points où la courbe coupe le grand axe, car on a évidemment &æ+e=—/fB et —(a—e)=Af. 14. Ce qui précède est suffisant pour trouver toutes les propriétés de l’ellipse dont nous pourrons avoir be- soin dans le cours de ce. dictionnaire. La nature de cet ouvrage, nous force à renvoyer pour les détails aux traités spéciaux. Voy. Le Traité des courbes du second degré, de Biot, la Géométrie analytique, de Garnier, et l’Application de l'algèbre à la géométrie, de Bourdon. PVoy. aussi les mots TancenTE, NORMALE, TrAnsron- MATION, QUADRATURE et RECTIFICATION. ELLIPSOÏDE (Géom.). Solide formé par la révo- lution d’une demi-ellipse autour de son axe. Voy. Spué- ROÏLE. ELLIPTIQUE. Ce qui appartient ou ce qui se rap- porte à l’ellipse ; tel que segment elliptique, arc ellip- tique, etc. Compas ELLIPTIQUE. Il se compose d’une règle DG (PL. XXV, fig. 2), portant trois curseurs, à l’un des- quels D est ajusté une pointe ou un crayon, les deux autres entrent dans les rainures de deux pièces en bois ou en cuivre, disposées à angle droit, comme on le voit dans la figure. En faisant tourner la règle DG, les deux curseurs L et G glissent dans les coulisses et la pointe D décrit une ellipse. Il suffit donc de donner à L et G une distance égale à celle des foyers de l’ellipse qu’on veut construire. Cette espèce de compas est si peu commode dans la pratique qu’on préfère décrire l'ellipse par points. V’oy. Ezzirse , n° 6. ÉL-MAMOUN(AsD-ALLan), vulgairement ALMAMON, vingt-septième Khalyfe de Bagdad, et le septième de la dynastie des Abassides , était le deuxième fils du célèbre Haroun-êl-Rachyd. Cet illustre protecteur des sciences, monta sur letrônele 25 du mois de Moharrem, an de de l'Hégire 198 (25 septembre de notre ère). Él-Mi- mounavait eu pour principal maître Jean Mesva, mé- decin chrétien, qui lui inspira de bonne heure le goût des sciences et des lettres. Parvenu au rang suprême, ce prince ne démentit point les espérances de sa jeunesse. Ce fut sous son règne que la nation arabe chercha dans l'étude des sciences une gloire plus pure et plus digne de l'admiration des hommes, que celle des armes. La protection généreuse que le Khalyfe leur acçorda, son EL exemple surtout, détermina ce mouvement de civilisa- tion qui s'était déja manifesté, parmi les Arabes, sous ses prédécesseurs El-Mansour surnommé Abou-Djafar , Haroun-él-Rachyd et Mohammed-él-Amyn. Il appela à lui etencouragea par seslibéralitésles savans de l'Orient, il se procura à tout prix les livres originaux que possé- dait la Grèce , et lorsqu'une grande victoire l’eût mis à même de dicter la paix à Michel HT, il exigea comme un tribut de la part de cet empereur l'envoi des ouvrages les plus rares qui existassent dans la Grèce. Ce fut ainsi que la nation arabe entra en possession de toutes les ri- chesses littéraires de l'antiquité. L’astronomie fut une des sciences quise ressentit le plus de la protection d'El-mämoun. Il en avait fait l’ob- jet le plus spécial de ses études, et il continuait à s’en occuper avec ardeur, sans négliger les soins multipliés qu’exigeait le gouvernement de son vaste empire. C’est par ses ordres et sous sa direction que fut faite la tra- duction arabe de l’Almageste de Ptolémée et des élé- mens d’'Euclide. Deux observations de l’obliquité de l’é- cliptique, qui ont dü être conservéesà cause de leur précision furent faites sous les auspices du Khalyfe, et suivant plusieurs auteurs avec sa coopération. Dans la première, la plus grande déclinaison de Fécliptique est déterminée à 23° 33’; dans la seconde qui fut opérée à l'aide d’un instrument d’une grande dimension, cons- truit par ordre du prince, cette déclinaison fut trouvée de 23° 33' 52”. Le Khalyfe indiqua aux savans dont il était entouré un grand nombre de travaux non moins utiles, et d’une exécution non moins difficile, parmi les- quels on ne doit point oublier la tentative faite pour ob- tenir une mesure de la terre plus exacte que celle des an- ciens, ni les tables astronomiques qui portent son nom, et qui sont un monument impérissable de sa gloire et de son génie. Les astronomes qui se distinguèrent le plus sous ce règne brillant, et qui réalisèrent avec plus de bonheur la pensée du Khalyfe furent Habech-él-Me- rouzy, l’un des auteurs des tables, Ahmed-ben-Kolhevr, surnommé Él-Fergäny, et par corruption Êl-Fragen F Abd-Allah-ben-Saleh, Mohammed-ben-Moussa et Mâchä- Allah-Él-Ychoudy. L'époque d’un progrès important dans les sciences renaissantes se rattache ainsi au règne d'Él-Mämoun ; la reconnaissance des hommes qui apprécient leur in- fluence sur la marche de l'esprit humain, a fondé une grande et durable renommée à cet illustre Khalyfe, qui mourutà Tarse, en Cilicie, l'an de l'hégire 210, . le 19° jour du mois regab (10 août de l’an 833 ‘de l'ère chrétienne.) ELONGATION (Astr.). Distance angulaire d’une planète au soleil. C’est l'angle formé entre les deux rayons visuels menés de l’œil à la planète et au soleil. Pour les planètes dites i/trieures la plus grande élon- EM 529 gation est en même temps la plus grande distance de la planète au soleil; celle de Vénus est de 47° 48", et celle de Mercure de 28° 20’, c'est-à-dire que la première de ces planètes ne s'éloigne jamais du soleil deplus de 48° et la seconde de plus de 28° 20". Quantaux autres planètes leur élongation peut aller à 180°, puisque la terre est située entre elles et le soleil. : EMBOLISMIQUE (Calendrier). Mois embolismique ou intercalaire; moisajouté parles chronologistes pour former le cycle lunaire de 19 ans. Woy. Carknprmen, n° 8. EMERSION (45t.). Réapparition d’un astre éclipsé. On se sert encore quelquefois de ce terme, lorsqu'un astre que le soleil empéchait d’apercevoir commence à devenir visible. Dans les éclipses de lune, on nomme minute ou scru- pule d'Emersion l'arc que le centre de la lune décrit depuisle moment où elle commence à sortir de l'ombre de la terre jusqu’à la fin de l’éclipse. EMPEDOCLES. Célèbre philosophe et géomètre de l'antiquité. Son père se nommait Buton et son grand- père Empedocles. Ce dernier avait remporté aux jeux olympiques le prix de la course du char, en la 71° olym- piade (environ l’an 496 avant J.-C.), et ce fut probable- ment en commémoration de cette illustration que son nom fut donné à son petit-fils, qui lui acquit par d’autres moyens une célébrité plus durable. Empédocles naquit à Agrigente, en Sicile, où sa famille occupait un rang distingué. On ignore sous quels maîtres il commença ses études , mais on ne peut douter qu’il appartint à la bril- lante école de Pythagore, dontil a été l’un des plus il- lustres représentans. Ses écrits ne nous sont parvenus que par fragmens. Le célèbreacadémicien Fréret a pré- tendu trouver dans quelques expressions de ce philo- sophe l’idée première du système newtonien de l’attrac- tion. Empédocles, comme la plupart des anciens, attri- buait l'harmonie du monde à une sympathie et une an- üpathie, dont ils ne s’expliquaieut pas bien la nature. Il y a sans doute bien loin de ces vagues aperçus aux immortelles découvertes de Newton. Aristote dans un de ses écrits ( De anima, lib. IT), nous apprend qu'Empédocles faisait consister la lumière dans un écoulement continu hors du corps lumineux. On objectait à cette opinion que si la lumière du soleil consistait dans une émission de corpuscules partant de cet astre, on nc le verrait jamais à sa vraie place, car il eu aurait changé dans l'intervalle de temps que le cor- puscule de lumière mettrait pour arriver à nous. Empé- docles, sansrecourir à l’instantanéité de cette émission de la lumière, ou à sa prodigieuse vélocité, répondait à cette objection d’unemanière assez ingénieuse, JI disait, en cffet, que cette argumentation serait vraie, si le soleil lui-même était eo mouyement; mais que la terre tour- 07 Bt) EN nant autour de son axe, venait au-devant du rayon, et voyait l’astre dans sa prolongation. L'ouvrage d'Em- pédo. les qui eut le plus de célébrité dans l'antiquité est un poëme intitulé Classica, c'est à-dire : De la allure et des principes des choses. H'admettait quatre élémens, le feu , l'eau, l'air et la terre, soumis à deux causes pri- mitives et principales qu'il appelait l'amour et la haine ou la sympathie et Vantipathie, dont l'uue unit les élé- meus et l’autre Jes divise. En donnant au feu le nom de Jupiter, à la terre le nom de Junon, à Pair celui de Pluton, à l'eau celui de Nestis, Empédocles est un dés premiers philosophes qui aieut allégorisé où du moins expliqué par des allégories, la grossière théogonie de ces temps reculés. C’est aussi dans cet ouvrage qu'Em- pédocles exposait Les principes de la métempsycose. Il disait que l'ame était d’origine divine, et d’une nature immatérielle, qu’elle avait été rc'éguée dans un corps en punition d’une faute antérieure, et qu’elle était con- damnée à passer successivement dans plusieurs, jusqu’à .ce qu'elle fût entièrement purifiée, Où voit qu'il ue se- ‘rait pas difficile d'accorder cette philosophie avec les “dogmes les plus sublimes et les plus moraux du christia- nisme. Empédocles qui exerça une grande influence dans la république oùilétaitué, et quiavait refusé la tyrannie, c'est-à-dire le pouvoir souverain, vivait encore lorsque la ville d'Agrigente fut prise et saccagée par les Cartha- ginois, l'an 403 avant J. C. A l’époque de ce désastre, il se retira dans le Péloponèse où il finit ses jours dans la solitude et l'obscurité. Timée, historien né en Sicile, d'après lequel Diogi ne Laërce rapporte ces circonstances relatives à Empédocles, s'élève avec force contre le bruit populaire d’après lequel ce philosophe se serait précipité dans l’un des cratères de l'Etna. Les fragmens desécrits d'Empedocles ont été imprimés de nôtre temps dans deux recueils. I. Æmpedoclis agr'gentint, de vit et philosophia ejus exposuit, carminurmn reliquias collegit, Fred., Guill., Sturg, Leipzig, 1305, in8°, a vol. II. Empedoclis et Parmenidis fra;menta, ex codice bibliothecæ taurinensis restituta ab Amedeco, Pevrou. ENGENDRER. On se sert de ce mot pour désigner en géométrie la génération d’une étendue à l’aide du mouvement d’une autre étendue. C’est ainsi qu’on dit, par exemple, qu’un cylindre droit est engendré par la rotation d’un rectangle autour d’un de ses côtés. ENGIN (Mec.). Nom générique que l’on donnait jadis à toutes les machines. Il est plus spécialement consacré aujourd’hui à désigner un appareil destiné à former un point de suspension pour élever les fardeaux. ENGRENAGE (Méc.). Système à l’aide duquel on transmet le mouvement d’une roue à une autre. Les roues pouvant engrener extérieurement ou inté- EN rieurement, il suit qu’il y a deux espèces d’engrenages; mais comme la première espèce est à peu près la seule employée, c'est aussi la seule que nous considérerons, Pour déterminer qu’elle est la meilleure forme à don- ner aux dents des roues qui engrènent les unes avec les autres ; il est d’abord nécessaire d'examiner le mouve: ment de rotation de deux cercles qui se touchent. Roues dont les axes sont parallèles. Supposons d’abord que les deux cercles sont dans un mème plan et qu'ils puissent prendre un mouvement de rotation autour de la droite, passant par leur centre perpendicülairement à leur plan. Si on suppose qu’à l’un des cercles on applique une force F dirigée suivant la tangente à l’un ou l’autre cercle, ils tourneront avec des vitesses égales, car , puisqu'ils roulent l'an sur l’au- tre, les arcs décrits dans le même temps par chacun des points de leur circonférence sont égaux et ces arcs sont la mesure des vitesses. Les momens de la force F, par rapport aux centres des deux cercles, sont proportion- nels à leur rayon, car ils ont pour expression FXR et FXR'’. Si nous considérons les cercles des rayons R et R', comme les bases de deux roues cylindriques, etleslignes qui terminent les dents comme les bases de deux cy- lindres, ces lignes devront se toucher dans toutes leurs positions, et la normale commune qui varie avec la po- sion des cercles devra passer par le point de coutact des deux cercles. Si nous nommons B et B'les perpen- diculaires abaissées des centres fixes sur la normale com- mune, et f la force qui est dirigée suivant la normale et dont le moment, par rapport au centre du cercle du rayon R, est égal au moment de la force F, nous aurons JXB=FXR, d’où RE = Le moment de cette force, par rapport au cercle dont le rayon est K', est f X B'; mais la normale passant par le point de contact des deux cercles, on à la propor- tion HR RE p-D; donc Par conséquent les momens, par rapport aux centres des cercles, n’ont pas changé , donc les deux cercles se meu- vent comme s'ils étaient conduits par une force unique F, dirigée suivant la tangente à l’un des deux cercles. Tuaginons un cercle d’un rayon AB (PL. XXXIT, EN fig. 3) tournant autour de la ligne des pôles projetée en À, c’est-à-dire de la droite passant par son centre per- pendiculairement à son plan, et cherchons comment il pourra transmettre son mouvement de rotation à un autre cercle d’un rayon CB, qui lui est tangent en B et qui est situé dans le même plan. Si nous décrivons un cercle sur CB comme diamètre, et que nous le fassions tourner sur la circonférence dont le rayon est AB, le point B décrira une épicycloïde plane; s’il tournait sur la circonférence dont le rayon est CB il engendrerait une droite CB (Foy. Éricxcuoïnr). Si on suppose que l’épi- cycloïde BP soit fixée au cercle AB et que la droite BC le soit aussi au cercle BC, cette épicycloïde conduira cette droite de manière que les vitesses de rotation se- ront égales et les momens constans. Supposons en effet que l'épicycloïde soit arrivée dans la position B'd'P', elle coupera alors le cercle du dia- mètre CB en un point d' tel qu'on aura arc Bd’ — arc BB'; car si on suppose que la position primitive du cercle soit telle qu’il touche en B'le cercle AB sur lequel il roule , on aura le point d' de la courbe parcourue eu faisant l’arc BB'— arc Bd!. La position correspondante du rayon CB passera aussi parle point d', puisque d’après la définition des épicy- cloïdes les arcs BB'; Bb', Bd', sont de même longueur. Mais Ja droite C£' est tangente à l'épicycloïde B'dP', donc la pression de cette épicycloïde contre le rayon Cb’ aura lieu suivant la normale dB qui passe par le point de contact B des deux cercles AB et BC: donc la force qui fait tourner l’un ou l’autre cercle, et le moment de cette force, sont constans. Soient maintenant AB et OB les rayons de deux cer- cles situés dans le même plan et tangeus l'un à l’autre au point B. Imaginons un troisième cercle décrit d’un rayon quelconque O'B et tangentaux deux premiers du même point À. S'ilse meut successivement sur les deux cercles AB et OB, un de ses points engendrera deux épicycloïdes BP et BQ. La première de ces épicycloïdes étant fixée sur le cercle AB et l’autre sur le cercle OB, dans leur rotation ;avec les cercles elles auront des vi- tesses égales: ec. les momens seront proportionnels aux rayous AB ct OB, Supposons en effet les épicycloïdes daus les positions B’P" et B’Q". Par construction elles aurout de commun le point d” situé sur la circonférence dont le rayon est O'B, par conséquent une tangente commune Cd"; et leur pression l’une, contre l’autre s'exercera suivant la normale Bd” qui passe nécessaire- ment par le point B. Il suivra.de là que le momerit d'une force appliquée à l’un des cercles étant constant , le moment d’une force appliquée à l’autre cercle le sera aussi. | EN Nous allons nous occuper de déterminer la forme de: dents de deux roues cylindriques de même épaisseur, 591 comprises entre deux plans parallèles et tournant autour de deux axes parallèles passant par leur centre, de ma- nière à ce qu’elles se meuvent comme deux cercles si- tués dans ie même plan et constamment tangens l’uu à l’autre. Soient À et B (PL. XXXII, fig. 2) les projections des deux axes parallèles autour desquels ces roues doivent tourner. Sur la droite qui joint ces deux points, prenons un point C qui ait sur l’une et l’autre roue la même vi- tesse de rotation, et des rayons AC ct BC, que nous nommerons rayons primitifs, traçons deux cercles qui seront tangens en C. Les circonférences de ces cercles sont dans le rapport de leurs rayons, qui est déterminé par le nombre des dents des roues: de sorte qu’il est tou- jours exprimé en nombres entiers. Les épaisseurs des dents, qui sont égales sur l’une et l'autre roue, se mesurent sur les circonférences des rayons primitifs ; l'intervalle qui les sépare et qui s’ap- pelie creux, est aussi le même pour les deux roues etse mesuresur les mêmes circonférences. {l est un peu plus grand que l’épaisseur des dents: On a soin de prendre les deux arcs déterminant l'épaisseur d’une dent et la largeur du creux dans + rapport tel que leur somme soit contenue un nombre exact de fois dans les deux cir- conférences. Supposons que FI soit l'épaisseur des dents de Ja première roue, dont le ravon est CB, et FH la longueur du creux, ct VOYONS comment nous détermi- nerons les courbes qui doivent servir de base aux sure faces cylindriques terminant les dents, Sur la droite AC, comme diamètre , nous déctirons un cercle dont nous supposerons la cireoriférénce tournant sur la circonfé- rence BC. Dans ce niouvement le point € décrira une épicycloïde CM. Si maintenant nous prenons l'are CN et que nous menions le rayon BNM, le point M où il coupe l’épicyeloïde CM sera le dernier point de la courbe qui doit servit de base à la surface cylindrique du plein de la dent. À cet arc CM, de la dent de la grande roue, corres- pond un flanc de la petite roue que nous allons déter- miner. Du point B comme centre et du rayon BM dé- crivons un arc de cercle MPL, Get are coupe la cir- conférence du rayon AG au point L, et la circonférence du diamètre AC au point P. En traçant une circonfé- rence du point À comme centre avéc le rayon AP, le point Q, où elle rencontre le rayon AC, déterminera la longueur CQ du flanc demandé. La portion d'épi- cycloïde CM, conduisant le flanc CQ de AC en AC, passe de la position CM à la position PP’, et alors elle a pour tangente le rayon APC’. Au-delà de cette posi- tion la deut glisserait cncore sur le flanc qw'elle pousse- t 24 532 EN rait au-delà de AC! jusqu'à ce que les deux extrémités de la dent et du flanc fussent réunies en L; maisalorsles conditions de mouvement ne seraient plus satisfaites. Aussi lorsque le flanc AC est arrivé en AC", il faut qu’une autre dent engrène avec un autre flanc et qu’elle communique à la roue du rayon primitif AC un mou- vement uniforme de rotation. Aussitôt que cet engre- nage aura lieu, le flanc CQ étant arrivé dans ia position APC', il cessera d’être passé par la dent et lorsque la dent sera parvenue en LL’ Ie flanc sera au-delà de AL. On fera absolument les mêmes constructions pour déterminer les dents de la petite roue et les flancs de la grande. Il reste maintenant à tracer la forme du creux qui sépare deux denis, car au point où nous sommes arrivés, le mouvement ne pourrait avoir lieu puisque les arcs d’épicycloïdes qui terminent le contour des dents ne pourraient se loger dans l'espace pratiqué entre les dents. L’intervalle entre deux dents dela petite roue est terminé par la courbe que décrit l'extrémité M de la dent CM de la grande roue sur le plan du cercle du rayon primitif AC. Or, en faisant tourner les deux cer- cles des rayons AC et BG autour de leur centre, le point C décrit, d’un mouvement rapporté au rayon AC comme axe fixe, une épicycloïde: partant, le point M décrit une épicycloïde ralongée (voy. Éprcyccoïnx). Mais tous les points du cercle qui a pour rayon BNM décrivent la même ligne. Si donc on prend Ca=MN, les points M et a décriront la même épicycloïde ralongée. Soit ab l'é- picycloïde ralongée décrite par ce point a. En décrivant du point À comme centre avec AM pour rayon un arc de cercle jusqu’à ce qu’il rencontre ba en 1, on con- struira la droite Aa’ faisant l’angle MAa'—mAa ; trans- portant la branche de courbe amb en a'Q ct en «' Md, Ma'Q sera la courbe décrite par le point M sur le plan du cercle primitif de la petite roue, en rapportant cette courbe à la droite Ad, considérée comme un axe fixe de coordonnées. En supposant la dent CM de la grande roue transpor- tée en PP’ où elle cesse de toucher le flanc de la petite roue, le creux Qa' aura pris la position PY ; l'extrémité de la dent CM et la naissance de la courbe de creux se confondront alors en un même point P. Les courbes PP' et PY ont encore en ce point la même normale CP, car le point P appartenant à l’épicycloïde ralongée, on a un triangle APB dans lequel PB — MB, d'ou il suit que la normale de cette épicycloïde passe par le point C. On doit conclure de là qu’au point Q la courbe de creux est tangente au rayon AQ. Cet exemple suffisant pour bien faire comprendre comment on peut tracer les dents des roues tournant au- tour d’axes parallèles entre eux, nous ne considérerons pas le cas où l’une des roues devient une lanterne, ni EN celui des lames et pilons, renvoyant pour cela au traité des machines de Hachette. Roues dont les axes se rencontrent. Imaginons mainteuant que deux cercles en contact ne sont pas dans un même plan et qu'ils soient mobiles au- tour deleurs centres. Dans ce cas une force F passant par leur point de contact, est équivalente à une autre force f dans un rapport déterminé avec elle et dirigée suivant la tangente commune aux deux cercles. En effet la force F, qui passe par le point de contact des deux cercles, peut se décomposer, par rapport au plan de chacun des deux cercles, en trois forces , l’une suivant la perpendi- culaire au plan , la seconde suivant un rayon du cerele situé dans ce plan , et la troisième fsuivant la tangente commune aux deux cercles. Les deux premières sont dé- truites par la résistance des axes fixes de rotation des deux cercles. Pour trouver le rapport entre f'et F, il suffit de remarquer qu’en décomposant, cette dernière en deux autres, l’une suivant la tangente commune aux deux cercles, etl’autre perpendiculaire à cette tangente, la première sera égale à f, et que par conséquent cette force fne dépend que de l'angle formé par la tangente commune aux deux cercles avec la direction de la force F. Par conséquent, la force f' est la même, soit qu’on dé- compose la force F par rapport au plan de l’un ou de l’autre cercle. Mais les momens de cette force f, par rapport aux centres des cercles, sont proportionnels aux rayons de ces cercles , donc quelle que soit la direc- tion de la force F, par rapport au plan des deux cercles, pourvu qu’elle passe par le point de contact de ces cer- cles , elle est équivalente à une force f dont les momens, par rapport aux centres des cercles, sont proportionnels à leurs rayons: proposition qui est encore vraie, si la force F est dans le plan de l’un des cercles. Si on nomme à l’angle de la force F avec la tangente commune aux deux cercles, le rapport entre F et f'sera déterminé par l'équation. J=F cos «; et les momens de la force f, par rapport aux centres des cercles des rayons R et R', seront RF cos «, R'F cos &. Ce rapport est donc celui de R à R', et il est indépen- dant de la grandeur et dela direction de F. Désignons par C et C' les deux cercles qui se touchent sans être dans un même plan, et éonsidérons-les comme les bases de deux cônes droits C et C’ qui ont pour som- met commun le point d’intersection de leur ligne des pôles. Dansie plan du cercle C' traçons un troisième cercle C” qui ait pour diamètre le rayon de ce cercle et qui lui soit tangent au point de contact qu’il a avec le cercle C. En faisant rouler le cône C' sur le cône C, un point EN quelconque du cercle C” décrira une épicycloïde sphé- rique dont l'origine sera sur le cercle C. Prenons cette épicycloïde pour base d’un troisième cône ayant même sommet que les deux premiers et qui soit fixe sur le cône C. Par la ligne des pôles du cercle C! menons un plan contenant le triangle formé par un rayon du cercle C', la ligne des pôles de ce cercle et une arête du cône C', etfixons ce triangle sur le cercle C’ qu’on veut faire tourner autour de la ligne des pôles comme axe. Une force quelconque faisant tourner le cône droit GC sur son axe, fera tourner en même temps le cône à base épicycloïdale fixé sur le cercle C. Le dernier cône pres- sera le plan du triangle fixé sur le cercle C' et obligera ce cercle à tourner. Mais le cône à base épicycloïdale est touché danstoutes ses positions par le plan du triangle suivant une arête ; etsi par cette arête on mène un plan normal au cône , ce plan passe par l’arête de contact des deux cônes droits Cet C', dont l’un est fixe et l’autre mobile (Foyez Épr- eYGLoÏDE spuÉrIQUE). Mais la force qui conduit le plan du triangle fixé au cercle C' est nécessairement perpen- diculaire à ce dernier plan, donc elle est dirigée dans le plan normal au cône épicycloïdal ; par conséquent elle passé par l’arête de contact des deux cônes droits. La force appliquée tangentiellement au cercle C, se change alors en uue autre force passant par le point de contact des deux cercles GC etC', et dirigée darsle plan du cercle C. Mais les momens de cette force, par rapport aux centres des cercles C et C', sont préportionnels aux rayons de ces cercles , donc les deux cercles se meuvent comme si le mouvement de l’un d'eux se transmettait à l’autre par leur élément commun. Siles deux cercles C et C' sont les bases de deux roues, la dent dela premièresera formée par un tronc du cône épicycioïdal, et elle conduira la seconde roue en tou- chant continuellement une portion du plan triangulaire qui est fixé au cercle C' et qui porte le nom de flanc. Soient AB le rayon du cercle fixe (PL. XXXIT, fig. 3) et AHlaligne des pôles ; le cercle mobile a pour rayon Ba et pour ligne des pôles Hd. L’angle 4BG est celui du plan des deux cercles. Sur Bd comme diamètre on décrit le cercle C”,qui, rabattu, prend la position BP4. Un point de ce cercle décrit une épicycloïdesphérique dont le centre est en O', point d’intersection de la ligne AH et de la droite OO" perpendiculaire sur le milieu de Bd, Lorsque les deux cônes GC et C', dont le sommet com- mun est en H, se tournent suivant l’arête BH, on sup- pose que le point générateur de lépicycloïde sphérique est projeté en EE’, sa vraie position étant en P. Alors le plan du flanc passe par les droites Pd et dIT: il est per- pendiculaire au plan BPd et touche le cône épicyeloïdal suivant une arête dont les projections sont AE, HE' et Pd, La position de cette arête, par rapport à la droite EN 533 Hd, varie en même temps que la position du cône épi- cycloïdal. Une force F appliquée tangentiellement au cercle Ge du rayon AB , et par conséquent au cercle C' du yo BO', se change en une autre force f qui est dirigée sui- vant BP; de sorte que plus le point P s'approche du point d, plus la force f'augmente, et par conséquent la pression de la dent contre le flanc. Le frottement crois- sant avec la pression, il est nécessaire, pour le rendre le plus faible possible , que la dent ne fasse tourner le flanc que d’un petit arc. La différence entre les deux droites dB et dP détermine la portion du flanc contre laquelle la dent a glissé pour faire tourner le cercle C' d’un arc égal à BP. Si on suppose que le cône épicycloïdal a pour base une portion déterminée d’épicycloïde , telle que celle dont la projection est 4Ë, dans cette position le cône est touché par ie plan du flanc passant par l’axe de ro- tation Hd suivant l’arête qui se projette en HE’ et en Pd. Lorsque le pointa, crigine de l’épicycloïde, était en B , le cône épicycloïdal touchait alors le plan du flanc passant par l'axe de rotation H4, suivant la droite HB qui se projette en Bd; d'où il suit, que tandis que le cône épicycloïdal tourne autour de l’axe AH d’un arc Ba, le plan du flanc tourne autour d’un arc égal à celui qui mesure l’angle P4B. Si donc du point d comme centre, avec dP pour rayon, on décrit un arc qui coupe la droite dB au point p, la portion du flanc passant par l’axe Hd, sur laquelle glisse la portion de cône épicy- cloïdal, est comprise entre les deux droites Hp et HB. L'angle de ces deux droites comprend la portion utile du flanc, qui correspond à la portion du cône épicy- cloïdal dont les arêtes extrêmes se projettent en Aa et AE. Ainsi, connaissant l'arc décrit par un point quel- conque du cône épicycloïdal autour du premier axe de rotation AH , on en conclut la grandeur de l'arc épicy- cloïdal qui lui sert de base, l'angle qui comprend le flanc; et l’arc décrit par un point quelconque de ce flanc autour du second axe de rotation Hd. Lorsque le cône épicycloïdal tourne autour de l'axe de rotation AH, chacun des points de l’épicycloïde sphé- rique qui lui sert de base, décrit un cercle autour de cet axe. Ainsi, le point extrême EE’ décrit un cercle qui a pour rayon AE, qui se projette en FE'e. Si donc on dé- crit l’arc de cercle E£ du point À comme centre avec AE pour rayon, et si on prend et—nE, eHF sera l’an- gle de l'axe AH avec l’arête extrême qui se projette en AE. Dans toutes les positions du cône épicycloïdal cette arête fait avec l'arc de rotation un angle constant, puis- que le cône tourne autour de cet axe. Connaissant cet angle , on peut en conclure la grandeur de l’arc que le cône épicycloïdal fait décrire à un point quelconque du flanc. En effet, soit FHe cet angle ramené dans le plan 554 EN des deux axes de rotation AH, H4 ; Te étant la longueur de l’arête extrême du cône épicycloïdal, la perpendis culaire eF, abaissée sur l'axe de rotation AH, est le rayon du cercle décrit par l'extrémité de cette arëte autour de cet axe; le plan de ce cercle coupe le plan du cercle gés nérateur de l’épicycloïde suivant PE’. Joignous donc P et d'par une droite, le flanc a d’abord pour trace Pd et ensuite Bd; il a donc tourné d’un augle égal a P4B. Nous allons déterminer la forme des deuts de deux roues d'angle en nous appuyant sur les considérations que uous venons d'établir. Nous considérerons d’abord la roue qui a pour axe de rotation la droite AC (PL. XXXI, fig, 1). Elle est ter+ minée extérieurement et intérieurement par deux troncs de cônes droits qui ont pour axe commun la droite AC, et pour génératrices l'un la droite LI et l'autre la droite L'T'. Ces troncs de cône ont pour base inférieure deux cercles dont les rayons sont {Let Z'L', etles centres en 2 et L' sur l’axe de rotation. La distance entre ces deux cercles est égale à l'épaisseur des pièces de bois qui for- ment l’enrayure de la roue. Les dimensions des cônes droits qui terminent l'extérieur et l’intérieur de la roue déterminent la portion de cône épicycloïdal qui formele plein d’une demident. Soient donc DE la projection de l’épicycloïde sphérique qui sert de base au cône épicy- cloïdal dela dent,sur un plan perpendiculaire l'axe AC, et DME' laprojection sur le même plau de l’intersection du cône épicycloïdal et du cône droit qui a pour géné- ratrice LI, Le cercle Mi, décrit du point O comme centre avec le rayon OM=HI, coupe la ligne DM au point M. Dai étant l'épaisseur d’une dent et la largeur d’uu creux, on divisera cet arcen deux parties Dn etnt, de telle sorte que rt soit plus grand que Dn d'environ >; on mènera ensuite la droite Oz' qui est la bissectrice de l’anglezOD, et qui déterminera Je milieu du plein de la dent. Sur le cercle du rayon OM on prendra l'arc M'x'=Me et, par cet arc Ma'M' et par le sommet du cône épicycloïdal on fera passer un cône droit qui terminera la dent, et en séparera les deux parties. Le tronc de cône droit qui forme l’intérieur de la roue estterminé au cercle qui a pour rayon Où = H'T', Sion mène les rayons OM et OM, ils intercepteront sur le cercle décrit du rayon Of’, l'arc mm" et la projection de la face conique qui sépare les deux parties d’une dent sera MM'm'm. Si maintenant on fait la courbe M'n égale à la courbe MD, et qu'on trace les courbes dr et pm' semblables aux courbes DM et M'r et semblablement placées par rapport à axe Ox!, on aura la projection du plein de la première roue. La seconde ayant pour axe de rotation A'C qui fait avec le premier l'angle ACA", on déterminera, de la même ma- mière, sur un plan perpendiculaire à son axe, la projec- tion du plein d’une deses dents. Mais les dimensions de . selte dent déterminant la longueur du flanc de la pre- EN : mière roue, il est nécessaire, pour déterminer ce flanc, de connaître le cercle MM' décrit du rayon A'4' et qui termine les dents de la seconde roue. Le cercle BaD décrit du rayon A'4—BA', contient les naissances de ces dents. Les deux cercles des rayons À'x, A'u' peuvent être considérés comme bases de deux cônes droits, ayant pour axe commun l’axe de rotation de la seconde roue, et pour sommet commun le point de rencontre des deux axes de rotation. Les extrémités et les naissances des dents de la première roue, sont sur les deux cercles décrits des rayons Ox' et Oz qu’on peut aussi considérer comme base de deux cônes droits, ayant pour axe commun l'axe derotation de la première roue, et pour sommet commun le point de rencontre des deux axes de rotation. Les arêtes de ces cônes conte- nues dans le plan qui passe par leur axe commun font entre elles un angle qui est pris pour mesure de la saillie de ladent; et c’est le rapport dessaillies des deux roues, qui détermine le cercle MM' qui limite les dents de la seconde roue. Dans le cas dont nous nous occupons, uous supposerons les saillies égales. La droite qui joint le point D etle point de rencon- tre des deux axes de rotation se projette parallèlement à elle-même en BC, Si on ramène le point Menz, et qu’on élève la perpendiculaire ëL à la droite OD, la mesure de la saillie de la dent de la première roue sera mesurée par l’angle BCI, puisque les deux droites BC et IC sont dans un plan passant par l'axe de rotation, et qu’ellesappartiennentaux deux cônes droitsqui ont pour base les cercles Dz et MM'. Menons maintenaut CQP, faisant avec BC un angle PCB.= BC ,1cet augle sera la mesure de lasaillie des dents de la seconde roue. Cette roue.est terminée extérieurement etintérieurement par deux troncs de cônes droits dont la section par le plan des deux axes de rotation, est composée de deux parties égales à celle qui a pour contour PBré£gp Q. Cette fi- gure en tournant autour de l'axe de rotation AC, en- geudre la surface, qui termine la seconde roue avant qu'on.ait taillé les dents. Si du point P, on abaisse la perpendiculaire PP' sur A'B, A'P' sera le rayon du .cercle terminant les dents de la seconde roue. Le cône épicyclaïdal formant une dem -dent de la se- .çonde roue a pour base l’épicycloïde sphérique qui a pour projection MD. Supposous que æ et7 soient les points milieux des droites AB et OD. La droite x per- pendicujaire à OD coupe l'axe de rotation AC en un point y, centre de la sphère sur laquelle est tracée l'6- picycloïde MD , yB étant le rayon de cette sphère. Si donc du point y comme centre et avec ce rayon on dé- crit un arc de cercle, on aura toutes les données néces- saires pour résoudre la question proposée. En effet, dé- crivons le cercle yD du point y comme centre; du point G intersection de la droite CP et de l'arc By, abaissons EN la pérpendiculaire £9 sur l'axe de rotation AC, et pro- jetons le point : où elle coupe la droite AB, sur le ctr- cle décritdu rayon yD.Ramenons ce point d’intersection » sur la droite AB en 8; joignons 0C, et le point €, où cette droite coupe la droite BL, projeté en #, déterminera le rayon Oy du cercle qui termine le flanc de la dent de la première roue. Le point €’, où la droite CÈ coupe la droite L'L', projeté en £”, déterminera de même l’autre extrémité de ce flanc, qui ainsi est projeté en pp'n'n. Dans l’espace, ce flanc a la forme d’un trapèze, dont les deux côtés parallèles appartiennent aux côtés des cônes intérieur et extérieur de la roue, et les deux autres côtés concourent au point d'intersection des deux axes de rotation. it 10. Déterminons maintenant la forme du creux qui doit exister entre deux dents, Lorsque.les deux roues tour- nent autour des axes AC et A'C, l'extrémité M de la dent de la secoude roue, décrit autour de son axe un cercle dont le rayon est A'M. Si on-rapporte le mouve- ment du point M aux droites AG et AB, considérées comme des axes fixes, le point décrit une épicycloïde sphérique ralongée. Le cône dout le sommet est au point de rencontre des deux axes de rotation, et qui a pour base l'épicycloïde raiougée décrite d’un mouve- meut relatif par Je point M, pénètre le solide sur lequel on a taillé les dents de la roue, ct c’est cette pénétration qui détermiue.le creux. Sa grandeur sur une roue dé- perd évidemment de la longueur des dents de l’autre, Le contour des creux de la première roue est en pro- jection composé des deux droites x'p',rg quiconcourent au point O, et des deux courbes n'q, rp' résultant de l'intersection des cônes droits intérieurs et extérieurs de la roue, et,du cône à base. d’épicycloïde sphérique ralongée. Les deux courbes sont tangentes à la droite np. La courbe g't'=q'u', intervalle qui les sépare, étant terminé par une portion de surface conique dont le sommet est au point C, et dont la base est l'arc gg’. Pour tracer les coutours du creux et du plein d’une dent, on développe les surfaces coniques droites qui ter- minent la roue extérieurement et intérieurement, Pour le détail des procédés pratiques employés pour le tracé des diverses sortes d’eugrenages , voyez les dessins de machines publiés par M, Leblanc. ENIF (4s1r.). Étoile de la troisième grandeur, située à la bouche de Pégase. Elle est marquée « dans les ca: tlogues. Où la nomme encore nf Alpheras. ENNEADECATERIDE (Calend.). Période de 19 ans qui ramène les nouvelles lunes aux mêmes jours du . x e mois. Foy. CarrNprier 7. ENNEFAGONE (Géom.) (de ervtaæ, neuf, ct. yorie y angle). Figure de neuf angles et de neuf côtés, Voy. Po- LYGONE. EP 535 ÉPACTE (Astr.). Nombre déjours et de fractions de jour dont les révolutions lunaires diffèrent dés solaires. Nous avons expliqué en détail au mot Cazenprier l'usage des épactes pour trouver les nouvelles lunes ecclésias- tiques, ainsi nous ne nous occuperons ici que de celles ‘qu’on nomme astronomiques , parce que jadis les astro- nomes s'en servaient pour préparer les calculs des éclipses. Les épactes astronomiques sont des nombres qui expriment l’âge de la lune au commencement dé l’année, ouletempsquis’est écoulé depuisla dernière conjonction moyenne del'année précédente jusqu’au commencement dé l'année actuelle, si elle est bissextile, ou à la veille, ‘si c'ést une annéé commune. Outre ces épactes , qu’on nomimeépactes d'années, on considère encore les épactes les Mois, qui sont, pour châqué mois en particulier l'âge qu'aurait la luné à son comméncement si la der- nière éonjonction de l’année écouléé avait eu lieu le 31 décembre à midi. Ainsi ; en ajoutant l’épacte de l’année à celle d’un mois quelconque on a l’âge réel dé la lune au commencement de ce mois ; et, couséquemment, en retranchant ensuite cet âge de la durée d’une révolution entière de la lune, le reste exprime le temps de la con- jonction moyenne qui doit avoir lieu dans le cours du mois. Par exemple, l'épacte d’une année étant égale à 14j 20b 44" 18", si l’on voulait connaître l’époque de la nouvelle lune du mois d’avrildont l’épacte est 19" 4752", on retrancherait la somme de ces nombres 16i 64 3210" de la durée d’une révolution lunaire , savoir de 29j 12" 44" S", et le reste 13j 6h 11° 53" indiquerait que la nou- velle lune cherchée aurait lieu le:13 avril à 6h 11! 33”. On trouve des tablés dés épactes astronomiques dans les ouvrages de Riccioli, de La Hire, de Cassini et dans l'astronomie de Lalande, mais l’état actuel de perfec- tion des tables solaires à fait renoncer à l'emploi de ces épactes. ÉPHÉMÉRIDES (Astr:). Tables qui donnent pour chaque jour d’une année l’état du ciel. Les astronomes des diverses nations publient des éphémérides dont les plus célèbres sont en France, la Connaissance des temps, en Angleterre, l'Almanach nautique et en Italie, les Ephémérides de Bologne. EPI DE LA VIERGE (A4str.). Brillante étoile de la première grandeur, située dans la constellation de la Vierge. ÉPICYCLE (des, sur, et de xvxaos, cercle). C'était, dans l’ancienne astronomie, une orbite circulaire subor= donnée dont le centre était supposé se mouvoir sur la circonférence d’un plus grand cercle appelé le déférent; on s’en servait pour ramener à des mouvemens réguliers lesirrépularités apparentes des mouvemens des planètes. La découverte du véritable système de l'univers rend 556 EP inutile la considération des épicycles dont l'invention toutefois est des plus ingénieuses. Foy. Révozurion. ÉPICYCLOÏDE (Géom.) (de #74, sur, et xvxaos, cercle). Courbe décrite par un point d’une circonfé- rence de cercle roulant sur une autre circonférence. Lorsque les deux cercles sont dans un même plan, l’é- spicycloïde est plane ; lorsqu'ils sont dans des plans dif- jférens l'épicycloïde est sphérique. Occupons-nous d’abord des épicycloïdes planes et supposons que l’épicycloïde soit extérieure, c’est-à-dire que le cercle mobile soit tangent extérieurement au cercle fixe. Soit À (Pr. XXXII, Jig. 1) le centre du cercle fixe dont AB est le rayon. Le rayon du cercle mo- bileest Ba. C'est le point de contact des deux cercles dans leur première position. Lorsque le cercle mobile arrive en BPD, le point C de ce cercle s’est transporté en P, de manière que l'arc BP=BC, et cette condition suffit pour déterminer tous les points de l’épicycloïde décrite par le point C. Pendant que le cercle mobile roule sur le cercle fixe, son centre décrit une circonférence dont le centre est en À et dont le rayon égale AB+ Ba. La première position de ce centre est en a’. Si on augmente ou si on diminue le rayon Ca’ du cercle mobile d’une quantité CO ou CO", les points O et O', mobiles avec le rayon Ca’, dé- criront des courbes dont la première a reçu le nom d’é- picycloïde ralongée , et la seconde d’épicycloïde racour- cie. Soit AP l’une des positions du rayon du cercle mo- bile, en portant sur cette droite la longueur Pp—CO, et Pp'— CO", le point p appartiendra à l’épicycloïde ralongée , et le point p' à l’épicycloïde racourcie. On se propose de déterminer au point P la tangente à l’épicycloïde, Le point P tend à décrire un cercle dont le point de contact B du cercle fixe et du cercle mobile, correspondant au point P, est le centre; par conséquent BP est normale à l’épicycloïde , et partant la droite PD est la tangente demandée. Les normales aux épicycloïdes ralongées et racourcies au points p et p' concourent aussi au point B, ce qui donne le moyen de déterminer leur tangente. Sile cerclemobile étaittangentintérieurementau cercle fixe, l’épicycloïde décrite serait intérieure, et on en déter- minerait les points d’après la condition que les arcs par- courus dans le même temps sont égaux dans l’un et l’autre cercle. Dans le cas où le cercle mobile a pour diamètre le rayon du cercle fixe, l’épicycloïde devient une ligne droite, qui est le rayon du cercle fixe passant par le point où il est touché par le cercle mobile consi- déré dans sa première position. Soit en effet B le point où le cercle mobile AEBF touche le cercle fixe GIBH dans sa première position, Dans une autre position quel- EP conque ACD , ii touche le cercle fixe en D , et en pre- nant l’arc DC=BD), le point C sera le point de la courbe décrite, Or, ce point C est nécessairement sur le rayon AB. Supposons en effet qu’il puisse être en C’ hors du rayon AB. L’angle BAD a pour mesure l'arc BD ou la moitié de l’arc CD; or, cet arc CD est décrit d’un rayon moitié de celui avec lequel est décrit l'arc BD , donc ces deux arcs sont égaux. Mais nous avons supposé que l'arc DC’ était égal à l'arc BD, donc les deux arcs DC et DC' sont égaux, ce qui serait absurde si le point C ne se confondait pas avec le point C. Comme il en sera de même pour toute autre position du cercle mobite, il suit que la ligne décrite est la droite AB. Imaginons que deux cônes droits ayant même sommet et étant tangents, sont coupés par une sphère ayant pour centre le sommet commun. Ils auront pour base sur cette sphère deux cercles dont les plans feront entre eux le même angle que les axes des cônes ; et si on conçoit que l’un de ces cônes roule sur l’autre, sans ces. ser de lui être tangent , un point quelconque de la base du cône mobile décrira dans l’espace une courbe qui porte le nom d’épicycloïde sphérique. Elle est en effet tracée sur une sphère ayant pour rayon la distance con- stante du point générateur au sommet commun des deux cônes. Le rapport connu de la circonférence à son rayon dé- terminera les longueurs absolues des circonférences du cercle fixe et du cercle dont l’un des points décrit l’épi- cycloïde. Divisant donc la longueur de la circonférence mobile en un certain nombre de parties égales , chaque partie correspondra à une partie égale sur le cercle fixe. Considérant le cercle mobile dans la première position, on abaissera de chacun de ses points deux perpendicu- laires, l’une sur sa tangente commune avec le cercle fixe, l’autre sur son diamètre perpendiculaire à cette tangente. Lorsque le point de contact changera, la tan- gente commune et le diamètre qui luiest perpendiculaire changeront aussi de position et deviendront des axes mobiles dont la position sera connue à chaque instant. Les projections des deux perpendiculaires abaissées d’un point du cercle mobile sur ces axes se couperont en un point qui apparticudra à la projection de l’épicycloïde. £P Au lieu de considérer chaque point du cercle mobile comme l'intersection dedeux coordonnéesrectangulaires, on pourrait les considérer comme l'intersection de l’une de ces coordonnées et d’un rayon du cercle mobile, alors ce serait la projection de ces deux droites qui détermi- nerait un point de l’épicycloïde. Soient AaB (PL. XX XII, fig. 1 )le cercle fixe, aa l'arc de cercle égal en longueur à la demi-circonférence «RS du cercle mobile »#M#, l'angle du plan des deux cercles ‘ mesuré dans un plan Mr perpendiculaire à leur intersec- “ tion aM. Ayant divisé la circonférence du cercle mobile en parties égales, soit L'un des points de division duquel on abaisse la perpendiculaire L'wsur le diamètre 4S qui correspond au point de contact a des deux cercles ; soit a'L unarc du cercle fixeégal en longueur à l’arcaL'. Lorsque les deux points L et L' se confondront, les coordonnées du point à, par rapport au rayon xL seront égales aux coordonnées L'u et ua du point L', par rapport au rayon ax. C’est à l’aide de ces considérations que nous allons construire le point L” de la projection de l’épi- cycloïde sphérique. Le centre x du cercle mobile et le point L’ de ce cercle se projettent sur la droite M» du plan Mn en des points £'et à' tels qu’on a MB'—ax et MA'=au. Sur le plan du cercle fixe ils se projettent en Aeten A. Si maintenant on prend La”-=aù et LA, le point L” sera le point cherché. On peut construire ce point de plusieurs manières , car les droites AA et AL' sont les rayons d'un même cercle, et letriangle rectangle aaA est égal au triangle rectangle L2"L,”. En même temps que le point « du cerclemobile décrit une épicycloïde sphérique, tous les points de son plan décrivent d'autres courbes, qui sont des épicycloïdes ralongées ou racourcies suivant qu’elles sont en dehors ou en dedans du cercle 4aRS. Cherchons maintenant comment nous pourrons me- ner une tangente en un point déterminé de l’épicycloïde sphérique ; au point I par exemple. BI" est la position du cercle mobile lorsque le point [” de ce cercle géné- rateur de l'épicycloïde se projette en I. Le point de contact des deux cercles est en B; et si par ce point et par les centres des deux cercles, on conçoitun plan ver- tical ABV, l'angle dBV sera égal à celui des plans des deux cercles. La verticale AO' et la droite OO perpen- diculaire sur le milieu du diamètre B4 du cercle mobile se rencontrent en un point O’, centre de la sphère du rayon O'B sur laquelle est tracée l'épicycloïde sphéri- que; d’où il suit que la tangente à cette courbe, en un point quelconque, est dans le plan tangent à la sphère O'B qui correspond au même point. Mais ce point 1”, gé- nérateur de l’épicycloïde, en passant de cette position à une position infiniment voisine, ne quitte pas la sphère dont le centre est en B, et le rayon BI’; par conséquent EP 557 le plan tangeut à cette sphère contient encore la tan- gente à l’épicycloïde au point 1”. Cette tangente est donc l'intersection de deux plans tangens à deux sphères dont Les centres et les rayons sont connus. Le plau tangent à la dernière sphère est perpendiculaire au rayon BI”, ou au rayon BD (le cercle BD4 étant le cercle mobile ra- battu autour de son diamètre). Ce plan tangent a donc pour traces la droite D et la droite H4V perpendicu- laire à Bd; par conséquent la tangente à l’épicycloïde sphérique rencontre la droite H4V qui est la perpendi- culaire au plan du cercle mobile mené par l'extrémité d de son diamètre B4 passant par son point de contact B avec le cercle fixe. Puisque cette tangente est dans le plan tangent à la sphère dont le centre est O", et dont le rayon est O'B, et qu’elle rencontre la droite HV , elle passe par l’inter- section de cette droite et du plan tangent. Tous les plans tangens à la sphère suivant le petit cercle BDd font le même angle avec le plan de ce cercle; mais le plan tangent en B fait avec le plan du cercle l'angle dBJ , BJ étant perpendiculaire à O'B; de plus, la droite d£ perpendiculaire à la tangente DE au cercle mobile au point D est égale à DF ou ['4: si donc on mène l'G parallèle à BJ, le point G appartiendra à la tangente à l’épicycloïde sphérique au point 1’. Projetant le point Gen G', la droite G'T sera la tangente demandée. L'invention des épicycloïdes est attribuée au célèbre astronome danois Roemer, auquel on doit la décou- verte du mouvement de la lumière. Ces courbes, qui furent l’objet d’un traité particulier publié par la Hire, en 1694, occupèrent les plus grands géomètres; Newton, Jean Bernouilli, Halley, Maupertuis, Nicole et Clai- rault ont successivement examiné leurs propriétés prin- cipales, ’oy.les Mémoires de l Académie des sciences, pour 1706, 1927 et 1932, et les transactions philoso- phiques, n° 218. ÉPOQUE. Terme nsité en chronologie pour fixer un point de départ dans la succession des temps, d’où les années sont ensuite comptées. Les diverses nations font usage de différentes époques. Les Chrétiens comptent les années à partir de la naissance ou de l’incarnation de Jésus-Christ; les Mahométans, de l’époque de l'Hé- gire ou de la fuite de Mahomet ; les Juifs, des époques hypothétiques de la création du monde et du déluge universel; les anciens Grecs les comptaient de la première olympiade; les Romains, de la fondation de Rome ; et les Persans et les Assyriens de l’époque de Nabonassar , etc. Trouver la concordance des années de deux époques différentes, ou quelle année d’une époque correspond à l’année donnée d’une autre époque, forme l’un des problèmes les plus importans de la chronologie ; on le résout facilement en rapportant toutes les époques con: 68 538 EQ nues à une période d'années dont lé commencemeit leur est antéricur, et qu'on nomme période julienne (voy. ce mot). Cette période, formée par la multipli- cation des trois cycles, solaire, lunaire et d’indiction, c’est-à-dire, des nombres 28, 19 et 15, embrasse un espace de 7980 années dans lequel il ne peut y avoir deux années qui aient les mêmes nombres pour les trois cycles, mais au bout duquel les trois cycles reviennent ensemble dans le même ordre, La première année de la période julienne étant celle qui a l'unité pour le nombre de chacun des trois cycles, elle se trouve avair commencé avant l’époque juive de la création du monde, et devient ainsi très-propre à servir d'échelle de comparaison entre toutes les époquespostérieures. Ayant donc détérininé les années de la période julienne aux- quelles correspondent les diverses époques, il ne faut plus qu'un calcul très-simple pour établir la concor- dancé des années comptées à parti de chacune de ces époques. Les principales époques rapportées à la période ju- lienne donnent les résultats suivans : Années de ja période julienne, Création du monde..... 706 Délupe. rss sense 2302 Première olympiade.... 3038 Fondation de Rome..... 3961 Êre de Nabonassar.…. 3967 re chrétienne... .... 4713 MÉPITEe senc decee set 00300 Pour plus de détails, voy. Êre. ÉPOQUE (4st.). On nomme époque des moyens mouvemens d’un astre , le lieu moyen de cet astre fixé pour un instant déterminé, afin de pouvoir ensuite , en partant de cet instant, trouver le lieu moyen de l’astre pour un autre instant quelconque. Dans les anciennes tables astronomiques les époques se rapportaient au 31 décembre, à midi, temps moyen, pour les années communes et au 31 janvier à midi pour : les années bissextiles; mais le bureau des longitudes, dans toutes les tables qu'il a publiées, a pris pour ori- gine le premier janvier de chaque année, à minuit moyen au méridien moyen de Paris. Voy. Tases. ÉQUANT (Astr.). Cercle dont le centre était celui des mouvemens réguliers dans l’ancienne astronomie. On n’en fait plus usage depuis que Kepler a démontré queles planètes se meuvent dans des orbes elliptiques dont le soleil occupe l’un des foyers. ÉQUATEUR (Astr.). Grand cercle de la sphère au- tour duquel s’effectue le mouvement diurne, et dont les pôles sont les pôles du monde, 74 0Y+ ARMILLAIRE, 12. EQ ÉQUATION {4/3.).On donne généralement ce nom à la relation d'égalité qui existe eutre deux générations différentes d'une même quantité. Par exemple, æ étant un nombre indéterminé, si l’on sait que quatre fois x plus 4, où 4x4, doit former le même nombre que deux fois la seconde puissance de x moins 2, ou 2x?» l'expression iati=or—, qui désigne cette circonstance, est une équation. Les quantités séparées par le signe de l'égalité = se nominent les »embres de l'équation, et particulière- ment, premier membre celle qui est à la gauche de ce signe, second membre celle qui est à la droite. Les dif- férentes parties dont les membres sont composés pren- nent le nom de termes; ainsi dans l'équation ci-dessus 4x et 4 sontles termes du premier membre, et 2x7? et 2 sont les £ermes du second membre. Résoudre une équation, c’est trouver la valeur de la quantité indéterminée et inconnue qui sy trouve liée aux quantités connues, valeur dont la substitution dans chaque membre, à la place de l’inconnue, doit rendre ces membres identiques, Cette valeur prend le nom de racine de l'équation. 3 , par exemple, est la racine de l'équation : Lx +220 parce qu’en substituant 3 à la place de x, ona 4.3+44=2.3—5 , où 16—16 Les équations forment une des parties les plus impor- tantes de Ja science des nombres, car la solution de tous les problèmes des mathématiques peut être ramenée à celui de la résolution d’une équation. Nous exposerons aux mots MarmémariQuEs et PuiLosopuie, l’origine de leur théorie, les principes supérieurs aui fixent leur rang dans la science, ainsi que les caractères qui les dis- tinguent des simples égalités ; ici, nous nous contente- rons de les examiner sous le rapport de leurs diverses propriétés, et sous celui des procédés qui peuvent con- duire à déterminer les valeurs de leurs racines. 1. En se rappelant les axiomes posés ALGÈBRE, n°5, on voit immédiatement que dans toute équation on est libre de faire passer un terme quelconque d’un membre dans l’autre en changeant le signe dont il est affecté. Par exemple, si l’on a l’équation 8xt—3x—7x ri on peut transporter —3x dans lé second membre, en changeant le signe — en +, et l'équation devient Bret 11432 EQ En:effet, lorsqu'on ajoute ou qu'on retranche une même quantité de deux quantités égales, les résultats restent égaux ; or, le transport de 3x du premier mem- bre au second, en changeant le signe, est identiquement la même chose que l'addition simultanée de +3x à cha- cun des membres ; car, par cette addition, l'équation devient Ba—3x+3x— 7x + 11432 ou. 8x=7x+rr+3x à cause de —37—+3x—0. 2. On peut donc transporter de la même manière tous les termes d’un membre dans l’autre, ct, après cette transposition , l’ensemble de tous les termes sera égal à zéro. Ainsi, l'équation précédente pourra se mettre sous la forme Ba—Bx—Tx—11—0 ou plus simplement 8x?—10%—11—0 en additionnant —7x et —3x. 3. Il suit encore de là qu'il est toujours permis de changer tous les signes des termes qui composent une équation quelconque en les remplaçant par des signes opposés. On peut donc écrire indifféremment Sx?—10x—11—0 ou —8x?+ 1024110 4. En partant toujours des mêmes principes, il est évident qu’on peut multiplier ou diviser les deux mem- bres d’une équation par le même nombre sans détruire l'égalité de ces membres. Donc, ayant l'équation On peut faire disparaître les fractions, car en réduisant d’abord tous les termes au même dénominateur on a 2.5.x.2æx 3.5. CRETE: 2 puis en multipliant les deux membres par le dénomina- teur commun 2.3.5.æ, cette équation devient h D LC - F 2.9.%.22%—3,.5%.(5—x)-=4,3 Dar 9 se 200 EQ LA ou, en exécutant les multiplications indiquées, : 4, 2027—752H15X2—120—18x° On peut encore donner à cette dernière la forme 2027—1752+H1527—120418x2—0 quise réduit à 532x?—75x—120=0 en opérant l'addition 20% 15x32 182x7 53m, Nous supposerons dorénavant que toute équation est ramenée à sa forme la plus simple, c’est-à-dire, qu’on a fait passer tous les termes dans le premier membre, et qu’on a opéré l'addition des coefficieus des mêmes puis- sances de l’inconnue. 5. On classe les équations d’après le degré de la plus haute puissance de l’inconnue : ainsi une équation est dite du premier degré, du second degré, du troisième degré, etc., selon que l’inconnue sy trouve à la pre- mière puissance, à la seconde, à la troisième , etc. La forme générale de ces équations est (voy. TransrormA- TION) : Équations du premier degré AoZ+A;=0 Fquations du second degré - Ao%7HA;x+A —=0 Equations du troisième degré A,@ LA ,2+A:xx+As—o Et en général, équation du degré »2 Aoxn A gmit,.....Am1t Am L’équation est complète quand toutes les puissances de l’inconnue x, depuis la plus élevée æ”, jusqu’à la puissance 0, æ° sous-entendue dans le terme absolu A», s'y trouvent; mais elle ne change pas de désignation lors même que plusieurs termes manquent. Pour plus de simplicité on peut faire disparaître le premier coefficient A, , en divisant toute l'équation par A. G. Si les équations contiennent plusieurs quantités in- "erminées ou inconnues, on les nomme encore du 510 * EQ premier degré, du second, etc., seen la plus haute puissance qui s’y trouve, ainsi Ax+By+C=o est une équation du premier degré à deux inconnues. Ax+Bzxy+Cy+Dx+Ey+4F=0 est une équation du second degré à deux inconnues, et ainsi de suite. Nous reviendrons sur ces classifications. 7. Déterminer la valeur des inconnues qui entrent dans une équation , est le problème le plus important de l'al- gèbre. S'il nous est impossible d'entrer dans tous les dé- tails que réclame une telle question, nous allons au moins essayer de l’exposer le plus simplement possible. ÉqQuarions pu PREMIER DEGRÉ. La résolution des équa- tions du premier degré à une seule inconnue ne pré- sente aucune difficulté, car la forme générale de ces équations étant (a) Aox+A,—=0 en faisant passer le second terme du premier membre dans le second membre, et divisant ensuite les deux membres par le coefficient de x, on a (b) > L= — F Il ne s’agit donc que de ramener une équation quel- conque à la forme générale (aj pour obtenir immédia- tement la racine (b). Un seul exemple estsuffisant pour indiquer la marche à suivre dans tous les cas. Soit l’é- quation 4x—8—5x=g—8x—11+ix en transportant tous les termes dans le premier membre on a 4x—8—5x—0+8x+ 11520 ou, en rassemblant tous les facteurs de x, 548) pri 8 0 opérant les réductions —9+#11—68=—6 l'équation devient at—0=0 ar EQ et, multipliant les deux termes par 3 pour faire dis- paraitre la fraction, on a définitivement 19x—18= comparant avec la forme générale (a), on a A—19 , À,= —18 D'où l’on tire de ; 13 : : Ainsi substituant le nombre —, dans l’équation pro- 19 posée, à la place de x , les deux membres de cette équa- tion doivent devenir identiques. On trouve en effet. 8 18 18 2 18 LT DÉS md DU et, en réduisant, PR LE D 19 19 : 8. Si dans une équation du premier degré à une seule inconnue la valeur de l’inconnue se trouve insnédiate- ment déterminée par celles des quantités connues qui entrent dans sa composition, il n’en est pas de même des équations à plusieurs inconnues: une seule équation est insuffisante pour déterminer la valeur des racines. Dans l'équation à deux inconnues, par exemple, Ax+By+C=—o Il est évident qu’on ne peut obtenir aucune détermina- tion pour æ et y à moins de décomposer le ombre GC en deux autres a et b capables de donner les deux équa- tions séparées Ax+a=o, By+b=o Or, la quantité C peut être décomposée en deux parties d’une infinité de manières différentes ; ainsi, tant qu’on n'a qu'une seule équation entre deux inconnues x ct y, ces inconnues restent complétement indéterminées. Mais si l’on a deux équations différentes entre fes deux mêmes inconnues, telles par exemple que Ax +By +C =o A'x+B'y+4C'=0o en remarquant que la valeur de x doit être telle que l'on ait —C—By À T= pour la premièreéquation , et équation par laquelle la valeur de y est déterminée, il en résulte que ces deux équations déterminent entière- ment lés inconnues. On verrait facilement qu’il faut trois équations si l'on a trois inconnues, et, en général, autant d'équations que d’inconnues. 9. Sachant qu'il faut deux équations différentes entre deux inconnues pour déterminer ces inconnues , propo- sous-nous de résoudre les deux équations générales. Ax +By +C—o A'x+B'r+C'=0o ou detrouver les valeurs de x et de y quiréduisent , en même temps, à zéro leurs premiers membres. La solution de ce problèmerepose sur l'élimination de l'une des inconnues , opération qui estexposée en détail au mot Éciminarion. Il suffit donc de multiplier la pre- mière équation par À’, et la seconde par À, elles de- viennent A'Ax+A'By+A'C—o AA'x+AB'y+AC'=0 et, prenant leur différence, on a (A'B—AB')}y+A'C—AC'—0 équation finale qui ne contient plus que y, et donne (c) ee 7 A'B—AB Pour trouver la valeur de x, on éliminera y entre les proposées en multipliant la première par B', et la seconde par B, elles deviendront AB'x+-B'By-+B'C—0o A'Bx+-B'By-+BC'=0 et leur différence (A'B—AB')r+BC'—B'C=0 , ra l’équation finale en x, dont la solution donne rs BC'—B'C RS EAP EQ 544 On suppose ordinairement que les termes absolus G et C' sont négatifs, alors leséquations générales sont (d) A x+B y—C —o A'x+B'yC'=0 et les valeurs des inconnues deviennent (e) Fed $— AB-AB __ A'C—AC" YTAB—AB ce qui dispense de Ja considération du signe — placé devant les valeurs précédentes. 10. Nous allons appliquer ces formules à quelques cas particuliers pour en faire mieux comprendre l'usage. Æxemple premier. Connaissant la somme et la diffé- rence de deux nombres, trouver ces nombres. Soient m la somme, et 7 la différence données ; dési- gnant par x et y les nombres cherchés, nous aurons, en considérant æ comme le plus grand , T+ÿy=m Où X+y—mz=0 F-Y=N OÙ X—y—N—0 Comparant avec (d), nous trouverons A=1,B=—1, Cm, A1, B——1, C'=n Substituant ces valeurs dans les expressions (e), elles fourniront D'où l’on conclut que Le plus grand des nombres cherches est égal à la moitie de La somme plus La moïtie de la différence, et que le plus petit est égal à la moitie de la somme moins la moitié de la différence. Sila somme dounée était 18 et la différence 6, on aurait donc Exemple 2. Partager un nombre donné p en deux parties telles qu’en les divisant respectivement par les deux nombres donnés » et x, la somme des quotiens soit égale au nombre également donné 4. Désignant les nombres cherchés par æ et y, on aura les deux équations CETTE NE L 542 EQ Pour faire disparaître les fractions de ia seconde équa- ; tion, on la multipliera parleproduit des dénominateurs met n (4), etelle deviendra ax my =mnq Ainsi, en rameuant ces équations aux formes géné- rales (d), on aura 2+y—p=0 nx+my—mrng=0 comparant avec (d),on a A:,Bz1: Cp A'zn, B'=m, ÇC'=nnq et, en substituant dans (e), n—m mnq—m = 7 P —r n—nm np— mnq = scans Ainsi, s'il s'agissait de diviser 17 en deux parties telles que Le tiers de la première ajouté au quart de la seconde fût égal à 5, on aurait m=3, n=4 , P=17 ;, 9=S et, par conséquent, Exemple 3°. Résoudre les deux équations 3x—2y+ 5=o 6y—g9x—15=0 Nous avons ici A3, B——2,C——5 A'=—9,B=6, C'—15 et par suite _,730o+30a _o — 18—18 0 45—45_o DT résultats singuliers qui ne peuvent rien nous apprendre sur les véritables valeurs de x et de y. EQ Examiuons d’où PCUL provenir ce cas remarquable. Les expressions ” BC'—B'C AB-TAR _: A'C—ACG AE A'B—AB' pe peuvent généralement donner de pareils résultats qu'autant que l'on a (»1) A'B—AB'=0o BC —B'C'=0 A'C—AC'=0 Or, l'une quelconque de ces égalités est une conséquence nécessaire des deux autres; car prenant, par exemple, la valeur de B' dans la première, valeur qui est p AB A et la substituant dans la seconde , on trouve HO. C=o D'où, multipliant par A, et divisant par B, AC'—A' C—0o Ce qui est la même chose que la dernière égalité, en changeant les signes. Ceci posé, prenant les valeurs de A’ et de B' données par les deux dernières égalités ; savoir : et les substituant dans l'équation générale A'x+B'y—C'=0 on a AC' | Die Eu ce qui devient en multipliant par C, et divisant par G's AxHBy—C=0o Ainsi dans l'hypothèse des trois égalités (m), la seconde équation n’est qu’une conséquence de la première, et au lieu d’avoir deux équations indépendantes, on n’en a réellement qu'une; c'est-à-dire qu'alors les valeurs de æ et de y sont indéterminées. Donc, lorsqu’après Jes ré- ductions faites, on trouvera les résultats o o LE Y—=— Fe 7. 5 EQ ot eh éénelura que les valeurs des inconnues sont in- détérminées etque des deux équations, dont-on est parti, l'une n'est qu'une transformation de l’autre, En effet, si ous examinons les proposées 3æ—27—+ b=0 Gy—9x—15=0 Nous verrons facilement qu'on obtient la seconde, en multipliant la première par le facteur —3. Exemple 4°. Soient les équations proposées 22437 5=0 4ax+67—15—0 Nous avons, eh comparant avec (d) et (e) . A=2,B=3,0=—=5 A4, B'=6, C'—15 d’où 45—30 15 12—12 O 20—30 10 ARE TES TI 0 valeurs infiniment grandes. Voy: Division, n4 22, Pour que de semblables valéurs soient dünnées par les expressions générales (d), il faut qu'on ait A'B—AB'— 0 Or, cette égalité donné RD À ss Re substituant cette valeur de A’ dans l'équation À'z+B'y—C'=0 nous aurons A æ+By=C = et en multipliant par B, 1 ...... AB'x+BB'y—BC'=0 Or, en multiplant par B', l’équation Ax+By—C=0, on aurait 2 44... AB'x+BB'y—B'C=o Ainsi, pour que les deux expressions 1 et 2 ne soient pas contradictoires, les premiers termes étant identiques, il faudrait que l’en eût BC'-B'C ou BC/— B'C—o EQ 543 Mais alors à cause de A'B--AB'=0, ou conclnrait, comme ci-dessus (exemple 3°) A'C—AC'=%,etilré: sulterait de ces égalités les valeurs L x [e) D — 2 SU nr | résultats qui ne sont pas ceux qu’on a obtenus. Ou ne peut donc avoir BC'=B'C, et la condition isolée A'B—AB'—0 indique que les deux équations dont on est parti sont contradictoires: En effet, multipliant la première équation par 2, elle donné 4x+6y=10 tandis que la seconde donne key 15 égalités qui né peuvent être satisfaites en même temps par aucunes valeurs finies de x et de y. M Les résultats généraux æ — [0] Pass A désignent 7 = 5 désignen doncune contradiction dans les équations proposées, ou une impossibilité d’assigner aux inconnues des valeurs finies. Cependant cètte contradiction n’est que relauve , car dans le problème que nous examinons, nous trou- vôns les Valeurs infinies æ22 @œ , y = 2% qui résolvent complétement la question, et il est important de distin- guer l'impossibilité relative de l'impossibilité absolue, c'est-à-dire de celle dônt'les totidilions ne peuvent être remplies, ni réellement; nt ééalement, Par exemple, si un problème fouraissait a Ia fois les trois équations 2230 AA 3700 2 +) —6—c (® des deux premièrés on Lirérait y = 5 et des deux se- LD ; À : coudes, y=—, résultat absurde qui montre évidunt- J 5 ment que le problème ne peut avoir aucune espèce de solution. 11. Nousavonsvu, EziminarTioN, n°3, que lorsqu'on a trois équations À (Fois inconnues 1... Ar + By Cr: a... A'4+ByCz—D"-n 34 A" B'y-HC'2-D', en éliminant æ d’abord entre 1 £t 2 et ensuite entre 2 et 844 EQ 3, on parvenait à deux équations à deux inconnues, y et z, à l’aide desquelles, par l’élimination de y, on trou- vait l’équation finale en z. [arc—acrarn a" (A'G—A"C"(AB—AB)] Z =(A'D—AD')(A"B'—A'B")>—(A"D'—A'D")(A'B—AB") et, par suite, pour la valeur de z (A'D—AD')(A "B'—A"B")—(A"D'—A'D")(A'B—APB") (A'C— AC) (A'B—A'B")—(4"C—AC'\A B—AP) ” A expression qui devient, en développant les produits, AB'D"—AD'B"+ DA'B"—BA'D"+BD'A"—DB'A" “AB'C'—AC'B'CA'B’—BA'C'LBC'A'—CB'À" * — D On trouverait de lamême manière, en formant les équa- tions finales en yetenz, __ AD'C"—ACD'HC A'D'"—DA'C"+DC'A"—CD'A" AB'C'—AC'B’+CA'B'—BAC"+BC'A"CB'A” ? DB'C'"—DC'B"+CD'B"— BD'C"+BC'D"—CB'D" ”__ ABC'—AC'RB'+CA'B'—BA'C"+BCA’—CB'AT" Si l’on examine ces valeurs on voit aisément que leur dénominateur commun AB'C"—AC'B"'ÆCA'B"—BA'C'+BC'A"—CB'A" est composé de tous les produits formés par les combi- naisons trois à trois des neuf quantités A, B;,,G ’ [4 A; BC " L:4 A7, B”, CG combinaisons qu’on peut réaliser de la manière suivante: Ayant écrit toutes les permutations du produit général ABC, savoir ABC, BAC, CBA ACB , BCA, CAB. On donne le signe + à tous les groupes dans lesquels les variations de l'ordre alphabétique sont nulles ou ea nombres pair, et le signe — à tous les groupes dont les variations sont en nombre #mpair, ce qui donne ABC—ACB+BCA—BAC-HCAB—CBA, puis on place les accens prime et seconde, sur les deux dernières lettres de chaque groupe et l’on obtient AB'C"—AC'B"+BC'A"—BA'C"+CA'B"—CB'A" 5 ce qui est le dénominateur en question. EQ Quant aux numérateurs , on forme celuide x en chan- geant dans ce dénominateur A en D ; celui de y, en chan- geant Ben D ; et enfin celui de z, en changeant Cen D. 12. La règle précédente, pour la formation des va- leurs de x, y,2, s’étend à un nombre quelconque d’é- quations et d’inconnues ; ainsi, revenant sur nos pas, si lou a deux équations A x+B y—C —o A'x+B'y—C'—0 en prenant les permutations du produit général AB, des coefficiens des inconnues, c’est-à-dire AB BA et donnant le signe —, au groupe dont le nombre des variations alphabétiques est impair, on a AB — PA, ce qui devient AB'—BA, en plaçant l’accent prime sur la dernière lettre de chaque groupe. Cette dernière quantité est le dénominateur commun des valeurs dexet de y. Pour former le numérateur de +, on change A en C, c’est-à-dire, le coefficient de x, en terme absolu, et pour former celui de y, on change B en C. On obtient ainsi _ CB—BC ET AP BA “AGEACA Y— AB BA valeurs qui, en changeant les signes des deux termes des fractions, sont identiques avec celles que nous avons trouvées ci-dessus n° 9. : 13. Pour appliquer cette règle au cas de quatre équa- tions et de quatre inconnues, soienties équations A x+B y+C +0 u—E — A'x+B'y+C'z+D'u—E'—0o A'"x+B'y+C'z+D'u—E"—o A'"x+B'y+C'24D'u—E"—o formons les permutations suivantes du produit général ABCD , ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADCB BDCA CDAB DCAB ADBC BDAC CDBA DCBA EQ donnons à tous les groupes dont les variations sont en nombre pair, le signe + et aux autres le signe —; placons ensuite l'accent prime sur la seconde lettre de chaque groupe, l’accent seconde sur la troisième et l’ac- cent tierce sur la quatrième , et nous aurons pour le dé- nominateur commun des valeurs de x, y, z et ul’expres- sion AB'C'D"—AB'D'C"+AD'B"C"—AD'C'B” +-AC'D'B"—AC'B'D"+BA'D'C"—BA'C'D" BC'A'D"—BCD”A"-+-BD'C'A"—BD'A"C" +-CA'D'B"—CA'B’D"--CB'D’A"—CB'A'D" 4-CD'A'B"—CD'B'A"-+DA'C'B"—DA'B"C" +-DB'A'C"—DB'C'A"--DC'B'A"—DC'A"B" En changeant successivement dans cette expressien À, B,CG,DenE, on formera les numérateurs des valeurs de æ, 7, et u. La démonstration de cette formation symétrique des valeurs des inconnues, qui rendinutiles les procédés d’é- limination, ne peut trouver place ici (voy. dans les imé- moires de l’Académie des Sciences pour 1772, 2° partie, un écrit de La Place sur cet objet), nous devons seule- ment ajouter , pour terminer tout ce qui concerne les équations du premier degré, que ce que nous avons dit exemple 3 et 4, peut s'appliquer à un nombre quel- conque d'équations et d’inconnués , c’est-à-dire, 1° que le problème est indéterminé lorsqu’on trouvedes valeurs 0 _ de la forme x=— - et 2° qu'il renferme des conditions Oo SE M contradictoires lorsqu'on en trouve de la forme si 14. Quoique les dénominations quarrée, cubique, et biquadratique données jadis aux équations des second, troisième et quatrième degrés aient beaucoup vieilli, nous les avons conservées dans notre dictionnaire afin de pouvoir renvoyer à chacun de ces mots en particulier la résolution de l’équation à laquelle il s'applique. Nous nous contenterons donc, dans le présent article, d’exami- ner les propriétés communes à toutes les équations supé- rieures au premier degré. 15. D'Alembert a démontré le premier qu’il existe tou- jours une quantité 4, rationnelle ou irrationnelle, réelle ou imaginaire telle qu’en la substituant à la place de x dans une équation d’un degré quelconque (p) am Aæm—i HA œm—2 etc. : Am —0 le premier terme se réduit à zéro, ou ce qui est la même chose, que cette équation à nécessairement une racine a. Voy. les Mémoires de Berlin 1346. Depuis, cette proposition importante a été démontrée de plusieurs manières (voy, Complément des élémens d'algèbre de EQ 545 Lacroix) et nous devons la considérer comme suffisam- ment établie pour pouvoir fonder ici sur elle la théorie des équations. Soit donc & la racine de l’équation générale (p), si l’on divise par le binome (x—a) le premier membre de cette équation, et que lon poursuive l'opération jusqu’à ce que l’on trouve un reste qui ne contienne plus x, en désignant le quotient par Q et ce reste par R, on aura am HA ,xm—1+etc. on A» ST (x—a)Q+R. Or, lorsqu'on fait x—a, le premier membre de cette égalité se réduit à zéro, il doit donc en être de même du second membre, et l’on a (a—a)Q+4R=0o ou R=o. Ainsi le reste de la division est nécessairement égal à géro , c'est-à-dire que lorsque a est racine de l'équation (p), le premier membre de cette équation estexactement divisible par le binome (x—a). On prouve aisément la réciproque de cette proposition , ou que a est racine de l’équation , lorsque le premier membre est exactement divisible par le binome (x—a). Ceci posé, d’après les règles de la division, le quotient Q étant de la forme (q) ami LBxm—3 EL Bum—2Letc...+Bn—, nous avons l'égalité (x) am A,xm—3 LA m2 etc, . =(x—a) ami + B,xm—:+etc.. Mais, en vertu de la proposition fondamentale, il existe aussi une quantité b réelle ou imaginaire, dont la sub- stitution à la place de x rend (g) égal à zéro, et par con- séquent , d’après ce qui vient d’être démontré, la quan- tité (g) est exactement divisible par le binome (x—b). Opérant la division nous aurons un quotient de la forme (s) am Can LC,aom—ibetc...+ Cm, et l'égalité (x), pourra être mise sous la forme aœm+A ami HA am betc...—(x—a)(x—b) [as + Ciem—S bete, .;., } 546 #10 Divisant de La même manière le second quotient (s) par Je binome (x—c » € étant le nombre qui réduit ce quo- tient à zéro, et poursuivant ainsi jusqu'à ce que ke der- nier quotieut soit du premier degré, nous trouverons évidemment {#) am 2 A ar Æ ete. = (xa)(x=b)(xc)... (22m) le nombre des binomes (x—a) , {æ—b) etc. étant 7. 16. H résulte de l’équivalence générale (® que, le pre- imnier membre étant nécessairement divisible par chacun des binomés, les quantités a, b,€, ete. sont toutes des racines de Féquation (p), et que cette équation est satis- faite en faisant indifféremment æ = a, ou x = b, ou æ=e, étc. Ainsi, ces quantités étant au nombre dé rm, né équation adinel autant de racines différentes qu'ily a d'unités dans le nombre qi marque son degré. Une considération très-simple prouve qu'il ne peut pas y enavoir davantage: en cffets'il existait un nombre pautré que a, b,e,ctce., capable de réduire ä zéro le premier membre de l'égalité (0 en Le substituant à æ, il faudrait aussi que la même substitution rendit Le second membre égal à zéro, où que l’on eût (p—a) (p—b)(p—c).:.(p=m)=0. Or, un tel produit ne peut devenir o qu’autant que l’un de ses facteurs (p—a) par exemple, ne devienne o; ais si p—a=0 on a pæ«, et ainsi de même pour tous les autres facteurs : donc ce produit ne peut devenir o, qu'en faisant p égal à l'une des quantités a, b, ©, d, etc. et ces quantités seules sont les racines de l'équation (p), 17. On sait qu’en formant le produit de #2 binomes (x—a), (x—b), (x—c), etc, (Foy. MurriPicaTioN) on obtient une expression de la forme am Agm—s LBan—2—Crr—i bete... (—1)7Z dans laquelle le premier cocfficient A est égai à la somme des seconds termes des binomes , savoir : A = a+b+cdLd+etc,..+m. Le second coefficient B est égal à la somme des produits deux à deux des mêmes seconds termes, savoir : B=abLac+ad+betc...+be+bd+4etc.., Letroisième coefficient € est égal à la somme des pro- duits trois à trois , des seconds termes, savoir : C = abc, abd, cbd, cbebetc.... et ainsi de suite jusqu’au dernier coefficient Z, qui est égal au produit de tous les seconds termes, savoir : Z=a.b.c.d... im. EQ Or, le produit des » binomes (x—a), (3—b), (x—v), etc., devant être identique avec le premier membre de l'égalité (£), nous avons Ay=——E étc.—= elc. D'où il résulte la proposition générale suivante : Dans une équation d'un degré quelconque ani HA œm—iRA qui? LA sam etc... HAm—=o. Le coefficient du second terme est égal à la somme des racines prise avec un signe contraire; celui du troi- sième, à la somme de leurs produits deux à deux; celui du quatrième, à la somme de leurs produits trois à trois pris avec un signe contraire, etc., etc., et enfin le der- uier coefficient est égal au produit de toutes les racines, pris avec le même signe si équation est de degré pair, et pris avec unsigne contraire, si l'équation est de degré impair. Par exemple , si nous désignons par x, 8, 7 les trois racines de l'équation du troisième degré LP +qgu+re0 , nous avons p=—(a+85+) gare tb PT T==— 407. 18. Nous avons déjà dit qu’on appelle résoudre une équation trouver les valeurs de ses racines; ainsi le pro- blème de la résolution des équations , pris dans toute sa généralité, consiste dans la détermination des quantités a,b,c, d, etc. , à l'aide des coefficiens A,, A2, A,, etc. Ce problème est encore au-dessus des forces de la science et toutes les tentatives des mathématiciens sont venues échouer contre les équations du cinquième degré. Ce- pendant si l’on ne peut obtenir une expression théorique générale des racines des équations d’un degré supérieur au quatrième, les divers procédés d’approximation ont été portés à une perfection telle qu'on peut considérer le problème comme suffisamment résolu pour tous les besoins de la science. Joy. ApProxImaTiON. Foy. aussi Racines. Eu 1819, M. Wronski a publié, sous /etitre de Reso- lution des équations de tous-les degrés, un opuscule contenant une solution de ce fameux problème, Dans :Q ses formules, que l’auteur donne sans démonstration, les racines de l'équation du degré m7 dépendent des ra- cines d’une autre équation dite la réduite, dout le degré, ainsi qu'il l’a annoncé depuis, peut être plus petit ou plus grand que» , ce qui rend la résolution possible ou impossible suivant les cas particuliers. Si ce géomètre complète et démontreun jour ses résultats, on counaitra du moins la condition de cette impossibilité qui jusqu’à présent a échappé à tous les analystes. 19. Jusqu'ici nous ne nous sommes occupés que des équations à une seule inconnue, mais la formation de ces équations conduit facilement à la formation de celles qui contiennent plusieurs inconnues ; ces dernières ré- sultent évidemment du produit de polynomes du pre- mier degré tels que (aæ+by+cez+etc...) (ax + b'y4Lc'z4etce...) (aa l'y +c'y+ete. 0) Ainsi une équation du second degré à deux inconnnes A,aÆA,xy LA: +LA,Z=0o entraine l'égalité correspondante = 0 (ax+by+0) (a'x+by+c) et, en général, une équation du degré à 7 inconnues est équivalente au produit de » facteurs de la forme ati+bx,+cxstdxibete....-Æparitq 13 XL y La EtC... .Æn, étant lesz variables et a, b, c, d, etc. des quantités constantes. Pour la résolution des équations à plusieurs inconnues voy. Écmnarion et Ix- DÉTERMINÉ. 20. ÉQUATIONS BINOMES. On donne ce nom à toute équation qui ne renferme qu’une seule puissance de l’in- connue, telle que AZ" A,=0. La solution de ces équations entraîne plusieurs particu- larités intéressantes que nous allons signaler. Ramenons d’abord l'équation précédente à la forme plus simple (A) ærEA= 0 en divisant ses deux membres par À, eten faisant en- À 5 : : —= A. Sous cette dernière forme, il est évident Àc qu’en dégageant x on a immédiatement suite EQ #47 Or, nous savons (ÉLÉVATION AUX PuISSANCES, n° 7) qu'une racine du degré »m admet »2 valeurs différentes parce que M ———— me VEA= y [= ; ave Xv'A et que l'unité positive ou négative a 7» racines diffé- rentes, dont une ou deux au plus peuvent étre réelles. En effet, si ze est impair, on a les racines réelles Vin ti, Vie + et les 72— 1 autres sont 2maginaïres , tandis que si 7» est pair On a pour +71, les deux racines réelles (voy. Arc, N 37) / n mais pour —1, toutes les racines sont imaginaires, Si nous déciguons doncpara, a, &,,#,, Ce, &m, LOS mn racines de l'unité positive et par x’, &',,4",,#',, etc. les ma racines de l'unité négative, les #2 valeurs de x qui satisfont à l'équation x A = 0 seront Pour À négatif. Pour À positif. on Le Ju &=a V/À x=a VA =, V/A =" V/A mt mn = VA —a\/À etc, etc. m Le —=umY/A = m V À Désignons doncen général par y les racines de l’unité, nous aurons æ —=yy/ À, et substituant dans (k), nous obtiendrons JAH A==0 d’où 3#1=0 équation binome la plus simple de toutes et de la solu- tion de laquelle dépend la détermination des »1 racines de l'unité positive ou négative. 21. Considérons d’abord le signe — , ou le cas de l&- quation Y"—1T0 et remarquons avant tout que si #2 est. un nombre com- posé de facteurs, c’est-à-dire si l'on a par exemple m=p.q, petg étant des nombres-entiers, la résolution 7 à 548 FO de l'équation proposée peut se ramener à celles des équations inférieures JP—1=0 j Y1—1=0. car si nous désignons par # une des racines de la pre- mière et par f une de celles de la seconde , nous aurons =, P7—=1 et, par suite, (@)1=19=1, (BI =1r7=1 d'où (ar)7.(B7)P == (x E)9 = x et, par conséquent, (a. f}n—1 = 0 donc le produit des racines « , B est une des racines de la proposée. 22. Appliquons cette remarqueà l'équation du sixième degré. y$—1=0 Comme nous avons 6—2.3, la résolution de cette équa- tion se réduit à celle des deux suivantes P—1=0, ÿ—1—0, Or, les racines dela première sont, à cause de y=#\/1 Y=+H1,Y=—1 Quant à celles de la seconde, l’une d’elles étant néces- sairement y—1 ,en divisant yŸ—1 par y—1 , le quotient F°+27 +1, égalé à zéro , donnera l’équation du second degré P+2Y+1=0 de laquelle dépendent les deux autres racines. La solution de cette dernière donne (v0y. QUARRÉE) Y = ŸY RÉ PS 2e 2 SE 2 ainsi , formant tous les produits de chacune des racines Se Le : JR ee) : % de y—1=0o par celles de y—1=0, nous trouverons pour les six racines de y°—1=—0 re — _— — ] HV HV 2 2 23. Il est facile de voir que si l’exposant m2 était dé- EQ < composable en plus de deux facteurs, la résolution de l'équation ÿ"—1=o dépendrait de celle d’autant d'é- quations que »2 contiendrait de facteurs, et qu’en sup- posant par exemple, m=p.q.r.s.t.,...etc., les équa- tions JP—I1=0 , Y1—1=0 , Yr—1—=0, YS—1—0 etc. fourniraient des racines dont les produits seraient les ra cines de la proposée. 24. Lorsque m1 est un nombre impair , et il est alors de la forme 2741, l'équation FATF =0 a toujours une racine réelle =7+, et conséquemment son premier membre est exactement divisible pary—1 (voy. ci-dessus, 15). Mais le quotient de ÿ?#+—1 par y—1 est (voy. Drvisiox , 21) gene genete 4 4. Ainsi les 22 autres racines de la proposée dépendent de l'équation pra yan—2betc. . . + +y+i=0 qui est du genre de celles qu’on nomme réciproques et dont on peut toujours abaisser le degré (voy. ci-après, n°39), En effet divisanttoutpar y” et rapprochant les termes également distaus des extrêmes, cette équation de- viendra q E 4 1 I pi Le Lynit 2 Hotc.. .Hy+ — — =0 PE do un ane et si nous faisons y Le = 3, d'où y?—:y+1=0 nous obtiendrons successivement + pr = 7—37 LI + = he + FR = 25523452 etc. — Met. 3 pr ann pans HE aus T7 j ‘ tu 2G = . ) Pr. EQ Substituant ces valeurs dans l'équation précédente on obtiendra évidemment une équation en z du degré » dont chaque racine mise à la place de cette variable dans PEU 0 fera connaître deux valeurs correspondantes de y, et, de cette manière , on déterminera les 22 valeurs de y qui, jointes à la première y = 1, formeront les 2741 racines de y27+1—1-=0. 25. Proposons-nous pour exemple de trouver les cinq racines cinquièmes de l'unité , ou les cinq racines de l’é- quation Cette équation, comme toutes les équations semblables de degré impair ayant une racine réelle y=1 , divisons J°—1 par ÿ—1, et nous obtiendrons pour quotient PHP I = 0 équation du quatrième degré dont dépendent les quatre autres racines. Divisant tout par y? et rapprochant les termes égale- ment distans des extrêmes , nous trouverons P+ titre faisant jé — = 53 da et substituant, cette dernière deviendra 2 Lz—1—=0o qui, résolue par la méthode du second degré (voyez QuarrÉE) nous donnera pour ses deux racines —1—\/5 2 145 2 , Mais l'équation auxiliaire Y += 2 Ou ÿ?—2y +1 = 0 traitée par la même méthode, fournit EQ 549 Substituant successivement dans ces valeurs celles de z, nous obtiendrons définitivement pour les cinqracines de la proposée les expressions 167 —d IV 5+V/(—r0o—2V/5) fA Dep — D 4 pri VE tea" des e2 n —1—V5—V/(—i0+92/5) Gas PS vu 26. D’après ce que nous venons de dire, on voit que lorsque l’exposant général » de l'équation binome peut être décomposé en facteurs simples ou premiers plus petit que 11, l’équation est toujours résoluble à l’aide des procédés connus pour les équations des second et troisième degrés; mais si cet exposant renfermait des facteurs égaux ou supérieurs à 11, la méthode de dé- composition dont nousvenons de faire usage deviendrait insuffisante, car pour le facteur 11, seulement, il faudrait résoudre l’équation partielle Y''—1 =—0 qui nous conduirait à l'équation réciproque du dixième degré dr dr Alu rdv ds ru 7° ds LES LA rm laquelle ne peut être abaissée qu'au cinquième degré. Mais s’il est impossible d'obtenir dans tous les cas l'expression théorique élémentaire des racines de l’é- quation F—1—0, on peut au moins les exprimer toujours d’une mamère générale à l’aide des fonctions circulaires (voy. Sinus) car, en vertu du théorème connu (cos DÆsing\/—1}"—cosmp+sinmpy/—1 m et ® étant des nombres quelconques , si lon fait ; on mp=a2nr, d'où —=— 7 m r désignant la demi-circonférence du cercle dont le rayon est 1 , On aura cos 2nr+- sin 227\/—1=1 tant que x sera un nombre entier positif, puisque dans ce cas EQ tOB2Nr= I , SN 2Hr—0 ; 550 on a donc aussi, dans le même cas, 2n . 2n ——\"# COS — 7 $in —7T —1 T1: ( mt he m V ) Substituant cette expression à la plaçe de l’unité dans l'équation binome, nons obtiendrons on . 20 7m ya ={c0s 7 sin FrV=i) et, conséquemment , (À) on on —- == cos —7 — sin —7\/—1, y ne T sio rV En faisant donc suecessivement n=0,n=1,n=9, etc., jusqu'à n=m—1, dans cette dernière expression nous aurons des 2 racines de l’unité. Si l'on prenait pour » des nombres plus grands que m—1 on retrouverait à l'infini les » premières valeurs, à cause de la périodicité des fonctions sinus et cosinus. 27. Il existe entre les racines de l’unité une relation importante que nous devons signaler, La première des racines imaginaires , correspondante à la valeur 7—=1, est, en la désignant par « 27% "DT ÿ = C0 +sin— V—1 = à or, d’après le théorème fondamental , on L IN = a 03 RU LAS _—_ sin — —1—= {| COS — SLIL —V/ — cos 7 + TV ( TE in = V % == Ainsi toutes les racines de unité pourront être repré- sentées par les puissances de cette première x, ou par la suite «at, a, «3, af, etc... am—3 Cette propriété des racines de l’unité rend plus facile l'évaluation de leurs valeurs puisqu'il suffit de trouver la première racine imaginaire en faisant n — 1 dans l’expression (k). S'il s'agissait par exemple de l'équation binome Y°—1=0 on aurait »m —6, et par conséquent la première racine imaginaire serait MERE RE J = cos gr +sin s"V—1 EQ mais SE ED 7 De nn cos 47 = sin (1r—}r) — sin car le sénus de 30° est égal à la moitié du rayon; on a donc, à cause de la relation générale cos’@+sin’® = 1, sin? Fr=—1—}, et sin 5r—=V/1—5—1y3 d’où YVES nn Telle est la première racine imaginaire. D’après cequi précède on aura donc pour les six racines de l’unité peer - ET sous [ST ue valeurs que nous avons déjà ebtenues, ci-dessus n° 22 par un procédé bien différent. 28. Examinons maintenant les racines de l'unité ne- galive , ou celle de l'équation binome PH 1—0 On sait (voy. Sinus) que (a—saxcos. —7 + æ) m Mais dans le cas de 7: nombre pair, parmi toutes les lignes menées du point O aux numéros pairs se trouve- ront les lignes OA et OB quirépondrontaux extrémités du diamètre et dont les valeurs sont OA=x—a, OB=x+a 4 et le produit OA XOB—22— a : ainsi dans ce même cas l’expression (p) devient axm—am=OAXOBKO> XO4 XO6 .…... KO)" Mais toutes les lignes O2, O4, O6, etc. Ofm—2) qui sont situées d’un même côté du diamètre ont leurs cor- respondantes O4, Od, etc., qui leur sont respective- ment égales, de sorte qu’on peut écrireO2X Ob à la place de O2, O4XO4 à la place de Of ‘etc. , etc. Nous au- rons donc définitivement am—am=OAKO2XO4etc... XOdXOBX etc. c’est-à-dire que la différence des puissances æ" et am est égale au produit de toutes les lignes menées aux nurmé- ros pairs. La méme chose a évidemment lieu dans le cas de m nombre impair, car On a alors OA—x—a et par suite zm—am=OAX O2" x Of > ET Of) =OAXO2XO4Xetc... XOZXObX etc EQ 555 En décomposant l'équation binome æ#-+a"—o en ses facteurs du second degré nous trouverons, en suivant la même marche, amtanm=O1 XO3KXOSX...KOaXOcKetc. et ainsi se trouvent démontrées les deux parties du théo- rème de Cotes. 35. Equarions rÉcrPROQUES. Toute équation d’un degré quelconque qui, ayant une racine =a, en a une I zu sue AT autre =) prend le nom d’équation réciproque. On démontre aisément qu’une équation ne peut être réciproque que dans les cas suivans : 1° quel que soit Le degré, pair ou impair, si les coefficiens des termes à cgale distance des extrêmes sont égaux et de mémes signes ; 2° lorsque le'degré est pair et que le terme du milieu manque, ou lorsque le degré est impair , si les coefficiens des termes à égale distance des extrémes son égaux e* de signes contraires Ces équations sont remarquables parce qu’on peut abaisser leur degré de moitié et qu'il devient ainsi pos- sible de résoudre celles des neuf premiers degrés à l’aide des procédés théoriques connus jusqu’à présent. 36 Soit, pour fixer les idées, l'équation réciproque du sixième degré (a) Axf+Bzx+Cri+DxLCr+Bxr+A — o. L 1 . I . Il est d’abord facile de s'assurer que 4 St racine de ns he ; I cette équation si a en est une, En effet substituons - à la place de x, nous aurons ï I Le I Le Li AH BT+ CE +DE+CT+B'+A=M en désignant par M la valeur inconnue que prend le se- cond nombre de l'équation par cette substitution. Or, en multipliant les deux membres de cette dernière par aÿ , nous obtiendrons (b) A+Ba-+Ca+ Da Cai+Ba5+A a — My, Mais a étant racine de la proposée et le premier membre de (b) étant précisément ce que devient (a) en y faisant x=a , nous ayous nécessairement Maï=o , ou M—o donc le premier membre de l'équation (a) se réduit PES | . I ñ L aussi à zéro en faisant æ = - , et par conséquent : est a racine de cette équation. On vérifierait de la méme manière le cas des expo- 556 EQ sans égaux et de signes contraires lorsque l’équation est de degré impair, ou lorsque, étant de degré pair, le terme du milieu manque, 37. Ea divisant tous les termes de l'équation (a) par le premier coefficient A, on peut donner à cette équation la forme (c) xiHax+bri+cxr Lbx Lax+i = 0. c’est-à-dire qu’on peut ramener toute équation réci- proque à avoir l'unité pour terme absolu. Nous suppo- serons, dans ce qui vasuivre, qu’on a opéré cette réduc- tion. 39. Comme il suffit de connaître la valeur d'une ra- cine pour obtenir immédiatement celle de sa réciproque, . I à cause de la relation a X a = #0npeut prendre pour inconoue auxiliaire la somme de deux telles racines, ou poser 1 et transformer en z l'équation en x, par le procédé sui- vant. Nous supposerons d’abord qu'il s’agit d’une équa- tion de degré pair et nous prendrons l'équation ci-des- sus (c) pour exemple. Divisons tous les termes par une puissance de æ, moitié de la plus élevée, c’est-à-dire, par x, dans le cas que nous examinons, et rassemblons les termes affectés des mêmes coefficiens; (c) deviendra (d) a+ + af +) U(e eo mais en faisant CA = —=Z 5 T nous aurons G+y=r x ou x?+2+ on et, par conséquent x? + ee = 229 de même (x + Ly = 2 x ou 3 Lara air +3 + EQ La ce qui est la même chose que a+ = six +) 3 = 2}—3; — * 32 Substituant donc ces valeurs de dans l'équation (d) elle deviendra (e) mHaz+(b—3):+c—2a—0 équation d’un degré sous-double dela proposée, dont la résolution fera connaître les six racines de cette der- nière , puisqu’en désignant par &, 8, y les trois racines de (c), chacune de ces quantités substituée à [a place de z dans l'équation 1 = X+ Zu X—2X +1 = 0 fera eonnaître deux valeurs de x, en résolvant cette équation. 4o. En examiuant les valeurs, en fonction de z, des it I 1 quantités x + . x 0 cetc., sur lesquelles repose cet akaissement des équations réciproques, il est facile d'arriver à l’expression générale (f). ml (m3), An RL — 24 1 7" ym—6 +2 + M A te 5) BL L ctc. 289 dont la démonstration ne présente aucune difficulté. 41 Considérons maintenant les équations réciproques de degré impair, et pre ons pour exemple l’équation du septième degré (g) x ax br +cxi+cxLbr+Hax+i = 0 On voit aisément que cette équation a une racine =—1, car, substituant —1 à la place de & , on a évidemment —i1+a—b+c—c+b—a+ti=o, ainsi le premier membre de (g par æ+1 (voy. vision On à pour quotient 2 + (a—i a + bat) L(o—b+a—i)xt +(b—a+i)x a +e—ne +1 équation réciproque du sixième degré de laquelle dé- t exactement divisible ci-dessus n° 15). Mais en opérant la di- pendent les six autres racines. EQ Ainsi après avoir divisé le premier membre de toute équation réciproque de degré impair par le binome æ+-1 on obtiendra une autre équation réciproque de degré pair qu’on résoudra par les procédés exposés ci-dessus. Quant à l'équation réciproque de degré impair dans laquelle les coefficiens des termes à égale distance des extrêmes sont égaux et de signes contraires, on voit aisément qu’eMe a une racine =1, et qu’il faut par con- séquent la diviser par x — 1, pour obtenir une équation réciproque de degré pair. 42. Si l'équation est de degré pair et que, son terme du milieu manquant , tes coefficiens des termes à égale distance soient égaux et de signes contraires, ellea une racine = 1, et en la divisant par le binome x—1, on obtient une équation de degré impair dont les coefficiens sont égaux et de mêmes signes, laquelle a, par consé- quent, une racine==— 1, et est divisible par x+1. Donc la proposée estdivisible par (x—1)\x+1)=2x—1, et le quotient est une équation d’un degré pair, moindre de deux unités, résoluble de la même manière que celle du numéro 41. 43. Nous avons déjà vu (n° 23) un exemple de réso- lution d’équation réciproque , nous nous contenterons donc ici d’appliquer les règles précédentes à l’équation A Lx Hoxi—2r—3r—1 = 0 Cette équation ayant une racine —1 , divisons son pre- mier membre par x—1 et nous obtiendrons pour quo- tient à°+/4xiLGxr+G6x+ix+r , lequel, égalé à zéro, nous donnera l’équation réciproque du cinquième degré 2° + 4x Gr +Gx Lx trio Cette dernière ayant une racine = — 1, divisons son premier nombre par æ+41, et nous obtiendrons défini tivement l'équation du quatrième degré diH3x +32 +3xtr = o qui nous fera connaître les quatre autres racines. Divisons donc tous les termes par x? et rassemblons ceux qui ont le même coefficient, nous aurons (k) m4 (et) = 0 faisons maintenant et substituons dans (4), cette équation deviendra 24351 = 0 EQ 557 dont les deux racines sont —3+ V5 nn —3\/5 . 2 Or, l'équation æ + mg = QU 257410, ré- solue par rapport à x, donne ” m2 — 2 RAS DNS Tu 2 Substituant successivement dans chacune de ces va- leurs les deux valeurs de z, et rassemblant tous les ré- sultats , nous aurons définitivement pour les six racines de la proposée les valeurs T—=I1 T=—I nd en em €) 4 —64+21/5—V/(—2— 6/5) 4 —6—2V5+1/(—2+6V5) PRE LE ZT av V2 +GVE) 4 44. Équarions TranscenpanrTes, Les diverses espèces d'équations que nous venons d’examiner,ainsi que toutes celles quine contiennent que des puissances entières des inconnues, se nomment généralement équations algc- briques , tandis qu’on donne le nom de transcendantes, aux équations qui renferment , soit des puissances irra: tionnelles telles que x", soit des exposans eux-mêmes indéterminés tel que ax, soit des fonctions dérivées des. variables telles que sin x ou log x etc., soit enfin des quantités infinitésimales, Ces équations se divisent en plusieurs classes que nous allons examiner rapidement. : Nous devons faire observer ici que les équations qui ; contiennent des exposans fractionnaires sont a/gebriques et non transcendantes parce qu'il est toujours possible de faire disparaitre ces exposans. ’oy. Transrorma- TION. 45. ÉQuarTioNs EXPONENTIELLES. Ce sont des équations dans lesquelles les exposans des puissances sont incon- nus, comme a*—b, xt=—m, etc. , etc. Lorsqu'elles sont ” 558 EQ simples, c'est-à-dire lorsque les exposans seuls sont in- déterminés, on les résout facilement à l’aide des loga- rithmes. : Soit en effet l'équation a? —=b en prenant les logarithmes des deux membres on a log. at = log.b mais d’après la propriété des logarithmes log.ar=x log a , on à donc aussi ee log.b x log.a= log.b, d'où x ne 0g.a et en cherchant dans les tables les logarithmes de b et de a, leur quotient fera connaître la valeur de #. Si l’on avait par exemple a—12 et b—20; ou l'équation 197 — 20 en prenant les logarithmes de 12 et de 20, on trouve- rait log.20 _1,3010300 LT = — log.12 1,0791812 — 1,200... Tr L’équation & —c peut encore se traiter de la même manière caren faisant br=% on a désignant par» le quotient des logarithmes ; mais &x=—z, donne alors b*=m, d’où c’est-à-dire L'équation x — a présente bien plus de difficultés; car en prenant les logarithmes on a x log x=a, expres- sion dont on ne peut dégager x que par des développe- mens en sérietrès-compliqués(voy. REsoLuTION et SERIE). Il est beaucoup plus simple et plus prompt de se servir ici de la règle de Fausse PosiriON (voy. ce mot), règle précieuse dans tous les cas où l’on ne peut aborder di- rectement l'évaluation des quantités. ÉqQuations DE DirrÉrENces. On les divise en équations aux différences finies et en ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. EQ Par exemple, À et B étant des fonctions quelconques des variables rety, A. Ar4+B,4y =0 est une équation aux différences finies, et ÀA.dzx + B. dy = 0 est une équation différentielle. Ces équations se classent d’après l'indice le plus élevé des différences qu'elles renferment; ainsi on nomme équations du premier ordre , celles qui ne contiennent que des différences simples, Ar où dæ; équations du second ordre, celles qui contiennent des différences se- condes , 4’x ou d’x , etc., etc. Lorsque les équations de différences renferment la différence complète de la fonction primitive, on leur donne le nom d'équations totales ; par exemple @ étant unc fonction quelconque des trois variables x, y, =, la différence totale de cette fonction prise en faisaut varier successivement x , y et z, est de la forme (voy. Carcur DES DIFFÉRENCES , N° D1) (EE jar (É9) a+ (Es -et l'équation A? AD Le +) pre (art Go) y+ (a) = 0 ; j ; 2st une ÉQUATION TOTALE DE DIFFÉRENCES. : De même l'équation (ae) a+ (Leo est une ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE TOTALE. Si l'équation ne renferme pas la différence complète de la fonction primitive, elle prend le nom d’ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES PARTIELLESs Enfin lorsqu'une imême équation contient en mème temps des différences finies et des différentielles, on la nomme ÉQUATION AUX DIFFÉRENCES MÉLÉES. Outre la classification de toutes ces équations par rap- port à l’ordre des différences, il en existe deux autres fondées sur le degré de puissance auquel $e trouvent les différences , et sur l’ordre d’indétermination des varia- bles. Ainsi une équation de différences d’un ordre que: conque est du premier degré, du second degré, ete., selon que les différences contenues dans cette équation sont au premier degré de puissance, au second de- gré, etc., et elle est du premier ordre d'indéterminaton, du second ordre, etc., selon qu’elle renferme un , deux, etc., quantités variables. FQ ® Résoudre nne équation de différences, c’est détermi- ner l'équation primitive qui exprime la relation des variables équivalente à celle qui est exprimée par la proposée. Cette résolution est l’objet du CALCUL INTÉ- GrAL. P’oy. ce mot. ÉQUATION (Astr.). On nomme généralement équa- tionen astronomie la différence qui existe entre l'élément vrai d’un corps céleste etson élément moyen; c’est-à-dire laquantité dontil fautaugmenter ou diminuer sa position, calculée dans l'hypothèse d'un mouvement moyen uni- forme, pour trouver sa véritablesituation résultante de son mouvement réel et inégal. Il y a plusieurs espèces d'équations astrononiques. Équariox pu remps. C’est la différence entre le temps vrai et inégal indiqué par le soleil , et le temps #0yen, marqué par une pendule bien réglée, Le jour solaire, pris pour base de la division du temps par tous les peuples, est l'intervalle entre deux passages consécutifs du soleil au méridien , ou entre deux midis vrais; c’est cet intervalle qui, divisé en 24 parties égales, détermine le grandeur de l’heure civile et par suite celle des subdivisions de cette dernière, Mais la durée du temps écoulé entre deux passages du soleil par le même méridien, n’est pas constamment uniforme, et, par conséquent , les jours solaires ne sont pas égaux entre eux, d’où il suit qu’en divisant chaque jour en 24 parties égales, ces parties n’ont pas tous les jours la même grandeur ; de sorte qu’une bonne pendule dont toutes les heures sont nécessairement uniformes et qui est réglée de manière à compter exactement 24 heures pendant la durée d’un jour solaire déterminé, en mar- quant 7nidi au moment du midi vrai, ne s'accorde plus les jours suivans avec le soleil , et marque midi un peu avant où un peu après midi vrai, selon les circonstances. Cette inégalité, dont l'importance est peu sensible pour les usages civils, exerce une grande influence sur les calculs astronomiques qui réclament une mesure de temps fixe et invariable. La différence de la grandeur des jours solaires est due à plusieurs causes que nous allons signaler. Dans sa course annuelle autour du soleil, la terre est animée de divers degrés de vitesse correspondant aux différentes distances où elle se trouve de cet astre. Cette vitesse est à son maximum dans la partie de l'orbite la plus rap- prochée du soleil ou au périhélie, tandis qu’à l’aphélie elle est au minimum. Comme nous transportons au soleil lui-même le mouvement de la terre, il nous paraît se mouvoir sur l’écliptique justementavec les vitesses va- riables de la terre, de sorte qu’à certaines époques de l’année il semble décrire en un jour un arc de 61" 11”, tandis qu’à d'autres cet arc n’est que de 57' 11". Mais la rotation de la terre autour de son axe, ou la rotation ri 5$9 apparente de la voûte céleste qui en est la conséquence, LOT s’effectuant toujours dans Je même intervalle de temps, et le soleil ne pouvani se retrouver au iméridien qu’a- près une révolution entière de la sphère plus une petite partie de révelution proportionnelle à l'arc qu'il a décrit dans l'intervalle, en sens inverse du mouvement diurne de la sphère, il est évident que la grandeur va- riable de cet arc devient une première cause d’iné- galité pour la grandeur du jour solaire, puisque la durée de ce jour se compose de la durée de la révo- Jution diurne de la sphère, plus, de la durée dela partie de révolution correspondante à cet arc. Mais cette cause n’est pas la seule; car, en supposant même le mou- vement apparent du soleil parfaitement uniforme sur l'écliptique, ce mouvement ne serait point égal par rapport au méridien, et les jours solaires, dont la durée est précisément l'intervalle de deux passages consécutifs du soleil au méridien, ne seraient point encore égaux. En effet, si lon partage l’écliptique en parties égales et qu’on fasse passer des méridiens par tous les points de ‘division, ces méridiens partageront l’équateur en parties inégales, et comme c’est autour de l’équateur que se comptent les heures, quelque régulier que fût le mou- vement du soleil sur l’écliptique, son mouvement, par rapport à l'équateur et conséquemment par rapport au méridien, pris pour terme de comparaison, serait toujours inégal. L'inégalité des jours solaires repose donc sur deux causes principales : l’obliquité de Pécliptique, et l'iné- galité du mouvement propre du soleil. Pour eu déter- miner les circonstances , il faut calculer les ares que le soleil décrit chaque jour sur l’écliptique; projeter ces ares sur l'équateur par des méridiens et prendre les dif- férences successives des angles horaires compris entre eux. Pour comparer les jours nrais et inépaux au jour moyen toujours égal, pris pour unité de mesure, on conçoit un soleil moyen et uniforme qui tourne dans Yéquateur et achève sa révolution sur ce cercle exacte- ment dans le même intervalle de temps que le soleil réel achève lasiennesur l'écliptique. De cette manière, en sup- posant que le soleil moyen parte de l’équinoxe du prin- temps en même temps que le soleil réel, on dit qu'il est midi moyen toutes les fois que ce soleil moyen passe par le méridien; et si, à cet instant, le soleil réel se trouve plus ou moins avancé, en sorte qu'il soit plus ou moins de rridi vrai, la différence forme l'ÉqQuariow pu TEMPS. L’équation du temps était déjà connue et employée a l’époque de Ptolémée, qui en parle dans son Almageste (iv. in, chap. x). Cependant jusqu’à Képler, les astro- nomes ne tinrent compte que de l'inégalité résultante de l'obliquité de l’écliptique ; ce grand homme, qu'on peu’! 360 EQ considérer comme le fondateur de l'astronomie mo- derne, calcula le premier l'effet de la variation du mou- vement propre du soleil. Depuis, on a reconnu que l'équation du temps était affectée par la Précession et la utation ( Voyez ces mots ). Quoique nos horloges publiques soient aujourd’hui réglées sur le temps moyen, nous n’entrerons pas dans de plus grands dé- tails sur ce sujet, l'annuaire du bureau des longitudes, etla plupart des almanachs donnant l'équation du temps pour chaque jour de l’année, ou du moins l’heure exacte que doit marquer une bonne pendule au midi vrai de chaque jour. Nous devons ajouter cependant que quatre fois dans l’année, savoir : vers le 14 avril, le 15 juin, le 30 août et le 23 septembre, l’équation du temps est nulle, et que sa plus grande valeur s'élève jusqu’à 16" 14", vers le 1° novembre. ÉQUATION DE L’ORuITE. Æquation du centre, prosta- phérèse. Différence entre le mouvement inégal d’une planète dans son orbite et le mouvement moyen, égal et uniforme qu’on lui suppose pour pouvoir calculer plus facilement son lieu vrai. Cette différence est égale à celle qui existe entre l'anomalie vraie et l’anomalie moyenne. Voy. ANOMALIE et ORBITE. ÉQUATION DES HAUTEURS CORKESPONDANTES. Correction qui doit être appliquée au temps de midi calculé par l'observation des hauteurs égales du soleil avant et après son passage au méridien, pour déterminer le temps vrai. 7. Haureur et PAssAce. EÉQUATORIAL (Astr.). Instrument qui sert à mesurer l'ascension droite et la déclinaison des astres, et à suivre toutes les circonstances de leur mouvement diurne. L’u sage de cet instrument , dérivé de la machine parallaci- que (7. ce mot), fut introduit en Angleterre par Short ; depuis, Nairne, Ramsden , Mégnié et Dollond le per- fectionnèrent successivement. Woy. Trans. phil. 1777. ÉQUERRE ( Astr.). Constellation méridionale in- troduite par La Caille. Voy. CONSTELLATION. ÉQUERRE ( Géom.). Instrument de bois ou de métal, composé de deux jambes fixes ajustées perpen- diculairement l’une à l'extrémité de l’autre , et qui sert à tracer des angles droits ou à tirer des perpendiculaires sur une ligne donnée. EQ On vérifie Ja justesse d’une équerre de la manière sui- vante: ayant décrit un demi-cercle sur un diamètre pris à volonté, on lui applique l’équerre de manière que l’un de ses bras touche une extrémité du diamètre tandis que son sommet touche un point quelconque de la ce r- conférence, comme dans la figure ci-jointe ; alors, si l'équerre est juste, il faut que l’autre bras touche l’autre extrémité du diamètre. En effet, dans cette situation, l'angle des deux bras de l’équerre a pour mesure la moitié de l’arc qu'ils comprennent, et conséquemment ne peut être un angle droit si cet arc n’est pas la demi- circonférence entière, c’est-à-dire, si les deux bras ne touchent pas les deux extrémités du diamètre. ÉQUERRE D’ARPENTEUR. Cercle épais de cuivre divisé en quatre parties égales par deux droites qui se coupent au centre à angles droits, et dont les extrémités sont garnies de pinnules. Cet instrument sert à tirer des perpendiculaires sur le terrain, et à prendre des aligne- mens. L'équerre d’arpenteur a récemment changé de forme, c’est aujourd’hui une espèce de prisme octogonal qui. an lieu de pinnules, a quatre fentes perpendiculaires ser- vant au même usage. On lui donne le nom d’éguerre octogone. On visse l’une et l’autre de ces équerres à l'extrémité arrondie d’un bâton dont l’autre bout est garni d'un fer pointu, de manière à pouvoir l’enfoncer dans la terre. Pour mener d’un point donné une perpendiculaire sur une droite, on opère de la manière suivante: soit AC (PL. V, fig. 6.), la droite tracée sur le terrain ou donnée par des alignemens de jalons; ayant planté ver- ticalement le bâton d’arpenteur au point où l’on veut élever la perpendiculaire, on visse l’équerre et on la tourne de manière que l'œil, placé successivement à deux pinnules opposées, aperçoive les jalons A et C plantés sur la droite AC; ceci fait, et l’instrument res- tant fixe, on regarde par les deux autres pinnules si l’on aperçoit le jalon qu’on a envoyé présenter par l’aide arpenteur dans la direction de ces pinnules, faisant signe à l’aide d’avancer ou de reculer jusqu’à ce que le jalon soit exactement en E ou en B sur le rayon visuel ; alors, au signal convenu, l’aide plante son jalon, et il ne s’agit plus que de mener une droite par le pied de l’équerre et par le pied du jalon, pour avoir la per- pendiculaire demandée. Tous les problèmes qu’on peut exécuter sur le ter- rain à l’aide de l’équerre d’arpenteur, ne sont que des modifications de celui-ci, et ne présentent pas plus de difficultés. Joy. Le nouveau traité de l’arpentage par A. Lefebvre. ÉQUIANGLE (Gcom.). On nomme figure équiangle toute figure dont les angles sont égaux, Ainsi un rec- mi EQ tangle est une figure équiangle. Un triangle équilatéral estaussi équiangle. En général tous les polygones régu- liers sont équiangles. On se sert encore de ce mot dans une autre acception: on dit, par exemple, que deux triangles sont équiangles entre eux, lorsque les angles du premier sont égaux chacun à chacun aux angles du second. Il est donc important de ne pas confondre un poly- gone équiangle tout seul , avec un polygone équiangle à un autre, puisque le premier est une figure dont tous les angles sont égaux entre eux, tandis que le second à seulement ses angles égaux à ceux d’un autre polygone. D’Alembert avait proposé, pour éviter l’équivoque, de n’employer ie mot équiangle que dans la dernière acception, et de le remplacer, dans la première, par le mot équiangulaire, mais l’usage a prévalu. ÉQUIDIFFÉRENCE. Égalité de deux rapports par différence. À, B, C, Détant quatre quantités quelconques, si la différence des deux premières est égale à la diffé- rence des deux secondes, la relation A—B—C—D sera une éqguidifférence. Ce mot a été introduit par Lacroix, pour remplacer celui de proportion arithmétique, par lequel on désigne généralement une telle relation. #oy. Rarporr et Pro- PORTION. ÉQUIDISTANT (Géom.). On dit que deux points sont équidistans par rapport à un troisième , lorsque leurs distances à ce dernier sont égales. Aïnsi tous les points de la circonference du cercle sont équidistans au centre. Méthode des coordonnées ÉqQuinisranTEs. C’est une méthode due à Hutton, pour trouver par approxima- tion l’aire d’une figure terminée d’un côté par une ligne droite et de l’autre par une ligne courbe. — Ayant mesuré un nombre impair d’ordonnées équidis- tantes, ou de perpendiculaires élevées sur la ligne droite et se terminant à la courbe , désignons par A la somme de la première et de la dernière, par B la somme de la seconde, de la quatrième, de la sixième, etc., par C la somme de toutes les autres, et par D la com- mune distance des ordonnées, nous aurons, à très peu près, | : L SEC D= aire de la figure. Voy. Hutton, Mensuration, pag. 374. ÉQUILATÉRAL ou ÉQUILATÈRE (Géom.) (De æquus égal, et de latus coté.) Nom que l’on donne EQ 5GI tout ce qui a les côtés égaux. Un ériangle équilatérai est un triangle dont tous les côtés ont la même gran deur. Tous les polygones réguliers et tous les corps régu liers sont RécuLiEr. On dit aussi que deux polygones sont équilatéraux entre eux, lorsqu'ils ont les côtés égaux chacun à cha- cun , et placés dans le même ordre. Le mot cquilatère ne s'applique généralement qu'à l’hyperbole. On nomme hyperbole équilaière celle dont les axes conjugués sont égaux. V’oy: HyrErsoze. ÉQUILIBRE (Meéc.). État d’un corps sollicité au mouvement par des forces opposées qui se détruisent; ou égalité parfaite de force entre deux corps qui agis- sent l’un contre l’autre ; une balance est eh équilibre lorsque son fléau se maintient dans une position pa- rallèle à l'horizon. C’est de cet instrument que le mot équilibre dérive , car il est formé d’æqguus égal, et de libra balance. Les lois de l'équilibre sont l’objet d’une branche de la mécanique nommé STATIQUE. Woy. ce mot. ÉQUIMULTIPLE ( Arith.). Les quantités équimul- tiples sont celles qui proviennent du produit d’autres quantités par un même facteur. Ainsi A et B étant des quantités quelconques, 4A et 4B sont les équimultiples de A et de B. De même 5A et 5B sont d’autres équimui- tiples de ces mêmes quantités. Le rapport de deux quantités équimultiples est tou- jours le même que celui des deux quantités primitives dont elles proviennent, car en genéral, 72 étant un facteur quelconque, mA Br ÉQUINOXE ( Astr.). Moment où le soleil, passant par l’un des points équinoxiaux , se trouve sur l’équa- teur. Les équinoxes ont lieu deux fois chaque année, savoir : vers le vingtième jour de mars etle vingt deuxième de septembre. À ces époques la révolution diurne du soleil lui faisant décrire l'équateur , les jours sont égaux aux nuits par toute la terre, sauf toutefois la petite diffé- rence qui résulte des réfractions, dont l’effetest de faire paraître le soieil au-dessus de l'horizon plus long-temps qu'il n’y est en réalité. Le mouvement propre du soleil étant inégal, il y a en- viron huit jours de plus de l’équinoxe de mars, ou du prin- temps, à celui de septembre, ou d'automne, quede l’équi- noxe d'automne à celui du printemps, parce que le soleil se meut avec plus de vitesse dans la partie sep- 74 n——. cquilatéraux. Voy. TRiANGLE, PoLyGone, : 562 ER tentrionale de l’écliptique que dans la partie méridig- nale. On a reconnu que les points équinoxiaux ne sont pas fixes, mais qu’ils ont un mouvement rétrograde, ou en sens inverse de l’ordre des signes, de sorte que le soleil ne passe pas deux années de suite sur le même point de l'équateur. C’est ce mouvement qu’on nomme préces- sion des équinoxes. Foy. ce mot. ÉQUINOXIAL (4str,). L'Équinoxial est la même chose que l'équateur. Foy. AnmiLLAIRE, 12. Ce mot se prend aussi adjectivement comme dans cadran équinoxial. Foy. GNomoniQuE. Ponrs ÉQuixoxIaux. Ce sont les points où l’écliptique coupe l'équateur. ÉQUIPAGE ({ Opt.). On donne ce nom à l’assem- blage des oculaires que l'on applique à un télescope. Un équipage est d'autant plus fort qu'il grossit davan- | tage les objets. ERATOSTHÈNES, fils d’Aglaüs, l’un des plus ce- lèbres savans de l'antiquité, naquit à Cyrène , colonie grecque située sur la côte septentrionale de l'Afrique, dans la première année de la 176° olympiade (256 ans avant J.-G.). Des maitres habiles, tels que le philosophe Ariston de Chio, Lysannias de Cyrène, Callimaque le grammairien et le poète, développèrent de bonne heure son intelligence et l’initièrent à toutes les connaissances, dont l'humanité était alors en possession. La réputation qu'Eratosthènes ne tarda pas à acquérir appela sur lui l'attention de Ptolémée Evergètes. Ce digne successeur de Lagus lui donna, en raison de son savoir encyclo- pédique, la direction de la bibliothèque d'Alexandrie, dont la célèbre école commençait à compter les plus grands hommes du temps parmi ses maîtres et ses dis- ciples. Les écrivains de l'antiquité ont parlé d’Eratos- thènes avec trop d’éloges et de respect, pour qu’on puisse douter de l’influence que ses travaux durent exercer sur les progrès généraux de la science. I fut à la fois, orateur, poète, antiquaire, philosophe, astro- nome et géomètre, mais c’est surtout à ces derniers titres qu’il s’éleva jusqu’au rang des Euclide, des Apol- lonius, des Aristée. Malheureusement les nombreux et importans ouvrages qui lui sont attribués sont perdus pour toujours et il deviendrait difficile d'apprécier la valeur des jugemens dont ils furent l’objet , si les savans mathématiciens, qui illustrèrent les derniers siècles de l’école d'Alexandrie, ne nousavaient conservé quelques- unes des recherches qui occupèrent sa longue et labo- rieuse vie. Eutocius, dans ses commentaires sur Archimède, a reproduit la solution qu'Eratosthènes donna du pro- blème de la duplication du cube. Nicomaque et Boëce CBoeui arih. 1. 2) rapportent aussi de lui une méthode ER pour trogyer les nombres premiers; il lui ayait donné le nom de #pxxivoy ou de crible, parce qu'au lieu de dé- méthode, il le faisait indirectement et en quelque sorte par exclusion, On trouve dans /es Transactions philo- sophiques de l'année 1772 un mémoire du géomètre an- glais Horsley où cette méthode est exposée, Foy. Cnisre. L’astronomie a diverses obligations importantes à Eratosthènes. Sa tentative pour mesurer la grandeur de Ja terre a de la célébrité, ce fut la première solution que la scienceait donnée de ce problème. On sait qu'il y parvint à l’aide de l'observation qu’il avait faite à Syène, où il existait un puits que le jour même du solstice d'été le soleil éclairait verticalement dans toute sa profon- deur. I] supposa que Syène se trouvait précisément sous la ligne du Cancer, et que cette ville et Alexandrie étaient l’une et l’autre sous le même méridien er fixa leur distance à 5000 stades. Pour obtenir d’après ces premiers élémens la solution complète du problème, il fit construire un instrument fort ingénieux dont il se servit à Alexandrie le jour du solstice à midi, moment où le soleil était absolument vertical à Syène. C'était une scaphé ou un hémisphère concave , sur le fond du- quel s'élevait un style vertical dont le sommet était le centre de courbure de l'hémisphère. Ce fut parce moyen qu'il mesura l'arc intercepté entre le soleil alors au zénith de Syène et le zénith d'Alexandrie. 11 trouva qu’il était de la cinquantième partie de la circonférence, d’où il crut pouvoir conclure que la grandeur du degré terrestre était de 250,000 stades. I est inutile de faire observer ici que cette méthode ne pouvait amener un résultat juste et que cette mesure du méridien s'éloigne considérablement de celle que nous possédons ; ii est difficile d’ailleurs de l’apprécier avec exactitude puisque nous ignorons la valeur du stade employé par Eratosthènes. Au reste cette intéres- sante question sera traitée avec tous les développemens scientifiques qu’elle comporte, dans un autre article de ce dictionnaire. Foy. MESURE DE LA TERRE. Onattribue à Eratosthènes une observation de l’obli- quité de l’écliptique ou de la distance des tropiques; sa célébrité n’est pas moindre que celle dont nous venons de parler. Il est vrai qu'aucun auteur ancien ne nous a transmis le procédé qu'il employa. On sait seulement qu'il trouva que la distance des tropiques était les 4 de la circonférence d’un grand cercle, c’est-à-dire de 47° 42' 27"; il détermina conséquemment l'inclinaison de l'écliptique à l'équateur à 23° 51° 13”. Ce fut Eratosthènes qui fit construire et placer sous le portique de l’école d'Alexandrie, ces grands instrumens pour l'observation des astres, qui sont devenus fameux sous le nom d’armilles (voy. ce mot) et qui ont été long-temps d’une si grande utilité pour l'étude de l'as- ER tronomie et les observations qui font l’objet de cette science: Nous avons dit plus haut que les ouvrages scientifiques attribués à Eratosthènes par l'antiquité avaient été perdus, un seul de ses livres a survécu au naufrage des temps, encore a-t-on de fortes raisons pour croire que si ce West point une de ces ingénieuses divinations du XVII siècle et qu’il soit réellement l’œuvre d’Eratos- thène, il a au moins subi de nombreuses altérations. C’est une description des astérismes ou constellations cé- lestes, qui fut publiée en 1630, par le P. Pétau, dans son uranologium. En 1672, Aratus, donna, à Oxford, une nouvelle et remarquable édition de ce précieux reste de la science antique ; il y ajouta plusieurs autres fragmens d’Ératosthènes, empruntés aux auteurs anciens qui les avaient conservés, Ératosthènes parvint à un âge très-avancé, quelques écrivains ont dit que ne pouvant plus supporter les in- firmités d’une lente vieillesse, il se laissa mourir de faim. Quoi qu'il en soit, on place généralement l’époque de sa mort vers la 7° ou la 9° année du règne de Pto- lémée Épiphanes, ÈRE (Chron: }. Il n'existe point d’étymologie satis- faisante de ce mot employé depuis long-temps en chro- nologie vour désigner spécialement une époque Histo- rique ou astronomique précise, d’où lon compte les années. Il ne faut point confondre l'ère avec la période ; les computistes les plus estimés sont souvent tombés dans cette grave erreur qui a produit une fâcheuse con- fusion dans les époques chronologiques et a rendu leur concordance fort difficile à établir. La période a expres- sément des élémens astronomiques ; on l’entend d’une succession d’années comprises dans l'intervalle d’une ré- volution sidérale donnée à une révolution semblable, et dont par conséquent la durée peut être variable. L'ère est au contraire un point fixe et déterminé dans le temps. Ainsi la période et l’ère Juliennes n’ont rien de commun, La période julienne est un comput arbitraire établi par Joseph Scaliger pour faciliter les calculs des concor- dances chronologiques ou servir d'échelle générale à la chronologie de l’histoire: elle a pour élémenit le cycle lunaire de 19 ans multipliés par le cycle solaire de 28 ans, dont le produit est encore multiplié par le cycle des indictions de 15 ans. L'ère julienne indique seulement l'époque de la réformation du calendrier romain par Jules-César. Joy. Cazrvbnienr, 12, 13, 14 et suivant, et PÉRIODE. Ces ères historiques ou astronomiques sont anterienres ou postérieures à l'ère chrétienne (12), qui peut servir à la fois entre elles de terme moyen et de terme de com- paraison. Elle est à peu près la seule qu’on emploie gé- néralement aujourd’hui sous la dénomination d’èrs VULGAIRE, Car à part les ères nationales, comme celle ER | | 563 de lhégyre, par exemple, les autres peuvent être re- gardées comme des ères savantes ou d’un usage pure- ment scientifique. Nous allons rapidement exposer les élémens des principales, et surtout de celles qui sont encore employées le plus souvent en astronomie et en chronologie. Pour éviter des répétitions sans objet, nous classerons sous les désignations générales d’ères anciennes ou d’ères modernes celles qui sont antérieures - ou postérieures à l’ère chrétienne. t Ênres ANCIENNES. 1. Êre mondaine. — Des Juif. — De la création du monde. Cette ère r’anticipe que d’une année sur l’ère vulgaire; les Juifs en placent ainsi le commencement 3761 ans avant J.-C., elle est réglée par le cycle lunaire de 19 ans, composé de douze années communes et de sept autres embolismiques. Les juifs modernes prétendent que cette ère de la création du monde a été connue de leur nation dès la plus haute antiquité. Cette assertion est révoquée en doute par quelques critiques qui se fondent surtout sur l’im- perfection des anciennes notions astronomiques du peuple hébreu , et ils ne pensent pas qu’on puisse faire remonter au-delà du onzième siècle de l’ère vulgaire; l'institution de l’ère mondaine. . Êre d'Abraham: Elle n’est qu’historiquement dé: terminée, mais cette détermination paraît du moins ré- sulter de l'unanimité des traditions qui ont, en Orient; une grande antiquité. Cette ère commence à la vocation du patriarche dont elle porte le nom et qu’on fixe au premier octobre de la 2015° année avant J.-C, mais il faut remarquer que la 2016° année commence avec ce même jour immédiatement antérieur au commencement: de l'ère chrétienne. Les computistes et les anciens écrivains chrétiens ont en général adopté l’ère d’A braham. 3. Êre de Nabonassar. Le commencement de cette dre est fixé à midi d’un mercredi qui était le 26 février de l'an 747 avant J.-C. , son élément astronomique est l’année vague de 365 jours, sans intercalation, telle qu'elle était réglée en Égypte: Son nom est celui d’un prince qu’on considère comme le fondateur du royaume de Babylone. Cette ère est très célèbre et a été généra- lement usitée dans les diverses supputations du temps. Elle a surtout été atile à l'astronomie. Ptolémée s’en est servi dans l’almageste, et a ramené à cette ère, en employant les mois égyptiens, la date des observations anciennes qu'il a recueillies. L’astronome Théon a imité cetexemple, et parmi les écrivains modernes, Boubliau, (As, philol.) emploie également l'ère de Nabonassar, afin d'exprimer par des termes uniformes l'époque des observations, même récentes, qui doivent être compa- rées avec les plus anciennes: On doit remarquer que par la natute de son année vague, l'ère de Nabonassar , rétrogradait d’un jour tous les quatre ans sur l’année ju- 564 ER lienne, ce qui forme une année dans la période de 1/60 années juliennes. Îl est encore un point essentiel à ob- server dans les tables de concordance qui ont été dres- sées d’après ces variations, c’est qu’il peut arriver que ; deux années de Nabonassar prennent leur commence- “ment dans la même année julienne. Cela est ainsi quand le premier jour de l’année de l’ère (1°° thot) tombe au premier janvier d’une année julienne bissextile; celle- ci ayant 366 jours, et l’année de Nabonassar n’en ayant que 365, ilest évident qu’elle finit avec le 30 décembre julien, et que l’année suivante de l'ère commence avec le lendemain 31 décembre de la même année. L'ère de Nabonassar qu’on trouve empioyée dans toutes les an- ciennes tables astronomiques, n’est plus en usage au- jourd’hui que pour les années qui ont précédé l'ère chrétienne, il faut avoir soin pour les concordances de tenir compte des inégalités que nous avons signalées. 4. Ére des olympiades. La connaissance de cette ère est d’une utilité indispensable pour l'étude de l'histoire, elle est la plus célèbre de toutes celles qui ont été en usage dans l’antiquité. Les romains et tous les peuples qui se trouvèrent en relation avec la Grèce, furent obligés de l’adopter pour s'entendre avec elle, et s’as- surer de l'exactitude de leurs propres supputations. C’est une ère historique dont l'élément astronomique est une révolution de quatre années. Quoique Timée écrivain Sicilien postérieur au règne d’Alexandre-le- Grand, paraisse être le premier des historiens Grecs qui ait introduit dans la chronologie l’emploi de cette ère, il est évident qu’elle était long-temps avant d’un usage national en Grèce. La même incertitude règne d’ailleurs sur l’époque de l'institution des jeux olympiques dans la Grèce. Leur origine fut rattachée lors de l’établissement de l’ère à l’époque où l’usage fut introduit d’ériger des statues aux vainqueurs des jeux. On remonta ainsi jusqu’à Cœrebus qui recut le premier cet honneur, et l'ère des olympiades a pour point initial cet événement qui est sans doute arrivé plusieurs siècles après institution même des jeux olympiques; il est fixé à l’an 776 avant J.-C., la première olympiade comprenait ainsi les an- nées 776, 775, 774 et 773 avant l’ère chrétienne. En additionnant le nombre des années qu’indiquent ces chiffres, on trouve que 194 olympiades entières font juste 776 ans, nombre qui forme l'intervalle entre le point initial de l’ère des olympiades et de l’ère chré- tienne. La première année de la 195° olvmpiade répond ainsi à la première année de l’ère chretienne. Mais il est important de remarquer que la concordance des années olympiques et des années de l'ère vulgaire ne peut être complète. Les années olympiques commencaient vers la pleine lune aprèsle solstice d’été, approximativement le premier juillet, tandis que les années vulgaires com- mençent au mois de janvier : il en résulte qu’une année ER olympique répond à la seconde moitié d’une année ju- lienne ct à la première moitié de l’année suivante. On cessa de se servir ‘des olympiades vers la fin du IV° siècle, époque où elles furent remplacées, dans toute la chrétienté du moins, par les indictions. Néan- moins un grand nombre d'écrivains continuèrent à em- ployer cet ancien comput, et mêlèrent l'esprit de sys- tème à une méthode chronologique qui ne paraissait pas devoir l’exciter jamais. La plupart des chronographes du moyen-âge , tels qu'Eustbe, St-Jérôme, l'historien Socrate, Jules Africain, George le Syncelle et beaucoup d'autres moins célèbres eurent leur manière de compter par olympiades. Mais l'errear la plus grave qui fut commise par quelques-uns de ces écrivains, a été de con- fondre l’année olympique avec l’année civile des Grecs et de les faire commencer l’une et l’autre au premier septembre. Ces observations et les véritables élémens des olympiades que nous venons d'exposer, suffiront pour trouver sûrement la concordance des années de cette ère avec celles de notre ère vulgaire. 5. Ëre d'Alexandre-le-Grand. — De Philippe. — Des Lagides. La première année de cette ère commence avec la 425° de l’ère de Nabonassar, et le 12 novembre de l’an 324 avant J.-C. La mort d'Alexandre en est le pointinitial, quoique cet événement ne se rapporte pas précisément à cette date. C’est que le 1°° thôt de l’an 425 de Nabonassar tomba cette année là au 12 novembre, et que les Égyptiens dataient toujours les années du règne de leurs princes, du commencement de leur année civile. Au surplus l'ère d'Alexandre instituée en l’honneur de ce conquérant , n’est en réalité qu’une transformation sous divers noms de l’ère de Nabonassar. 6. Êre des Séleucides. Cette ère qu’on a souvent con- fondue avec l’ère précédente, et qui porte aussi le nom d'Alexandre, a été long-temps et généralement em- ployée dans lorient. 11 est important d’en connaitre les élémens. L’avénement de Séleucus-Nicanor au trône de Babylone, après la défaite de Démétrius Poliorcète à Gaza, et la mort d'Alexandre, roi de Macédoine, est communément regardé comme la cause de son institu- tion. Son époque initiale, sur laquelle on est également d’accord , est la première année de la r17° olympiade, ou le mois de juillet de l’an 312 avant J.-C. Les modi- fications auxquelles cette ère a été arbitrairement sou- mise, soit par les auteurs, soit par les diverses nations orientales qui l’adoptèrent, sont nombreuses et exige- raient des détails que ne comportent point notre plan. Nous ferons seulement remarquer que la concordance des années séleucides avec les années juliennes exige la plus grande attention. 7. Êre de Tyr. Son époque inisiale est le 19 octobre de l’au 125 avant J.-C, Elle fut alors fondée par les ER Tyriens, en reconnaissance du droit d'autonomie qui leur fut accordé par Bala roi de Syrie. Elle est employée par quelques astronomes. 8. Êre césaréenne d'Antioche. Une basse flatterie d’un peuple déchu envers un grand homme est la cause de l'établissement de cette ère. Elle se rapporte à la victoire que Jules César remporta dans les plaines de Pharsale l'an 48 avant J.-C. C’est là son époque initiale. Elle fut momentanément adoptée en Grèce. 9. Êre julienne. Son époqueinitiale est la réforme du caleudrierromain de Jules César, c’est-à-direl'an 45 avant J.-C, Les chronologistes l’appellent ère Julienne prolep- tique lorsqu'ils l’'emploient pour calculer les années an- térieures à son institution. 10. Êre d'Espagne. Cette ère, long-temps en usage en Espagne , en Afrique et dans le midi de la France, a pour époque initiale le 1° janvier an 38 avant J.-C. Elle fut instituée en mémoire de la conquête de toute l'Espagne par Auguste, l'année précédente (de Rome 715, avant J.-C. 39). L'année julienne réglait l’année de l’ère d'Espagne; l’adoption générale de l’ère chré- tienne la fit successivement abolir dans la Catalogne en 1180, l’Aragon 1350, Valence 1358, dans la Castille en 1393 , dans le Portugal en 1422 seulement. Comme cette ère précède de trente-huit ans pleins l’ère chré- tienne il est facile de la faire concorder avec elle. 11. Êre actiaque. — Ëre des Augustes. On a sou- vent confondu ces deuxères, qui ne paraissent pas d’ail- leurs avoir été long-temps employées. La première fut instituée en Egypte à l’occasion de la bataille d’Actium et le point initial en fut placé au 1°° thot ou 30 août, jour immédiatement antérieur à celui de cet événement qui eut lieu le 2 septembre de l’an 30 avant J.-C., la 719° de Nabonassar.—L'ère des Augustes est également une époque commémorative, qu’on rattache générale- ment à l'établissement de l’année fixe en Egypte par Auguste. Son point initial est le 29 août Julien de l'an 25 avant J.-C. Telles sont les ères anciennes dont l’usage se retrouve le plus communément dans les chronographies, les ob- servations astronomiques, les médailles et lesmonumens de l’antiquité. On en compte en chronologie un grand nombre d’autres, qui , n'ayant été employées que peu de temps ou d’une manière toute spéciale, ne nous ont pas paru devoir être décrites dans cet ouvrage. Telles sont par exemple l’ère de Denys, de Ptolémée Phila- delphe, mondaine d’Antioche, etc. Ênes mopEnNes. 12. Ere vulgaire. — Chrétienne—de Jésus-Christ, de l'incarnation. La naissance de Jésus- Christ est le point initial de cette ère qui fut reçue ct approuyée par l’église latine et tous les peuples occi- : ER dentaux ; elley restera probablement long-tenps encore d’un usage universel. Durant le VI siècle de J.-C. De bn O0) nys le petit proposa cette ère en Italie, elle fut successi- vement adoptée depuislors en France eten Angléterre. ; Nous ne devons point entrer ici dansles longues discus- sions auxquelles a donné lieu la date précise du grand événemeut sur lequel repose l’établissement de l'ère chrétienne. L'époque où elle fut instituée permet de penser que le computiste à qui elle est due à commis une grave erreur et que, suivant les plus célèbres chro- nographes, c’est bien certainement à cinq ans plus tôt qu'on ne l'a fait que devrait être portée dans notre comput la première année de l’incarnation. L'usage l'a emporté sur les démonstrations de la science et nous sommes dans l’année 1835 de cette ère, au lieu de 1840 qu'on devrait compter. L'ère chrétienne se compose d’années juliennes de la réformation grégorienne. Foy. ANNÉE. 13. Êre de Constantinople. On commença seulement dès le VIL° siècle, dans les dates des conciles, à seservir de cette ère, qui a pour origine la création du monde suivant l’église grecque, qui compte 5508 ans avant la première année de l’ère chrétienne. La concordance de ces deux ères serait facile à établir, mais il faut remar- quer dans les calculs chronologiques, où elle entrerait comme élément, que l'ère de Constantinople n’a pas toujours employé la même année. 14. Êre de Dioclétien. — Des Martyrs. Cette tre fut instituée en Égyptedans le but de célébrer l’avénement de Dioclétien à l'empire. Son point initial est le 29 août de l’an 284. Leschrétiens lui donnèrentlenom d’ère des martyrs, à cause des persécutions qu’ils eurent à subir . sous le règne de ce prince. 15. Êre des Arméniens. L'institution de cette ère fut motivée sur la séparation de l’église arménienne de l’église latine, ensuite de la condamnation prononcée contre elle par le concile de Calcédoine. Elle a pour époque initiale le 9 juillet 532 de J.-C. Le nouveau ou premier jour de cette année fut fixé au 11 août julien. 16. Êre des Persans — d’Hiesdedger.— Melikéenne. — Gélaléenne. L'avénement d'Hiesdedger au trône de Perse, que l’on rapporte au 16 juin de l’an 632 de J.-C., est généralement considéré comme le véritable motif de l'institution de cette ère. Elle se régla long-temps sur l’année vague de 365 jours, mais Melik-Schah-Dgela- leddin voulut, en l’an 467 de l'Hégire (1075 de J.-C), que l’année de l’ère fût fixe à l’avenir. Ses astronomes déterminèrent l’ordre etle nombre des jours épagomènes que devait recevoir l’année, et fixèrent l’équinoxe du printemps au 14 mars Julien. Cette réforme s’exécuta dès l'an 471 de l'hégire (1079 de J.-C.) ; l'ère fat appelée mélikéenne ou gélaléenne du nom du réformateur, 566 ES L'année de l’ère persanne est de 365 j. 4h, 49! 15" 0" 48"". 17. Êre de l'Hégyre. On sait que l’époque initiale de cette ère et la cause de son institution, en Arabie , est la fuite de Mahomet de la Mecque à Médine. Cet événe- ment arriva le vendredi 16 juillet de l’an 622 de Jet Les années de l’hégyre sont lunaires et distribuées en cycle de30 ans, ce qui rend très-variablés leurs rapports avec les années grégoriennes. On ne doit pas oublier non plus que les années de l’hégyre commencent avec le coucher du soleil. Malgré les nombreuses variétés que présente cette ère et les difficultés qu’elles occa: sionnent pour la concordance, elle est d’un usage géné- ral dans tous les pays où l’on suit la religion dont Maho- met fut le prophète ou le fondateur. 18: Êre dé la république française. Son point initial est le 22 septembre de l’an 1792. Nous avons exposé ailleurs les divisions du calendrier qui furent la consé- quence de son adoption. La 14° année de cette ère com- mença le 23 septembre 1805 et finit le 31 décembre sui- vant qui répondait au 10 nivose an IV. Le calendrier grégorien fut rétabli avec l'ère chrétienne à compter du 1° janvier 1806 suivant. V’oy. ANNÉE, CALENDRIER, Périone , et pour les détails spéciaux la dissertation qui précède l’A4rt de vérifier les datès. ERIDAN (4s4r.). Constellation méridionale composée de 84 étoiles, dans le catalogue britannique, au nombre desquelles on remarque une belle étoile de la première grandeur nommée Achernar ou Acharnar ; l'Éridan est situé entre Orion et la Baleine. Foy. PL. X. ERREUR: C'est, ex arithmétique, la différence entre le résultat fautif d’un calcul et le résultat vrai de ce calcul. En astronomie c’est la différence entre le lieu d’un corps céleste déterminé par le calcul et ce même lieu trouvé par l'observation. Par exemple, l'erreur des tables lunaires est la quantité dont la longitude calculée diffère de la longitude observée. On marque ordinaire- ment cette quantité par les signes + ou—, selon qu’elle doit être ajoutée ou soustraite du résultat des tables. ESCOMPTE (4rith.). C'est la remise faite aù débi- teur qui paie un billet avant l'échéance, où l'intérêt payé au banquier qui, se chargeant d’un billet, se met à la place du créancier en le remboursant. Les calculs par lesquels on détermine la quotité de cetté rémise forment la RÈGLE D'ESCOMPTE. La règle d'escompte est l'inverse de celle d’intérét , et pour en bien comprendre les procédés il est nécessaire d’être familier avec ceux de cette dernière. L’intime liaison des deux règles ne nous permettrait pas de les traiter séparément sans faire un double emploi inutile | de définitions et de démonstrations ; nous rehverrons donc au mot Inrénér. ET ESPACE, Perception pure et invariable qui accom= pagne toutes nos intuitions des objets extérieurs ou matériels, et sans laquelle ces intuitions seraient impos- sibles: Les propriétés de l’espace sont toujours les mêmes pour nous; nous ne concevons qu’un seul espace sans bornes, s'étendant en tout sens autour de nous; et quand nous parlons de plusieurs espaces, nous ne les conce- yons que commie des parties inséparables de l’espace ur et infini qui embrasse tout , a trois dimensions , occupe toujours et tout entier la même place, etqui , par consé- quent est immobile. Tous les corps.nous apparaissent comme occupant un lieu dans l’espace ; ce lieu, portion limitée de l’espace sans limites, est ce qu'on nomme l'étendue des corps. Sans l’espace, aucun corps né pourrait exister ; mais lors même que tous les corps seraient anéantis, l’espace n’en demeurerait pas moins un, infini, immobile. En géométrie, le mot EspACE prend un sens particu- lier et restreint, il ne signifie plus que l'aire d’uné figure renfermée où bornée par les lignes droites ou courbes qui terminent cette figure. Ainsi, l'espace parabolique est celui qui est ren fermé par la parabole; de même l’espace elliptique, l’espace hÿperbolique , l'espace conchoïdal, ete. , sont ceux qui sont renfermés par lellipse, Fhyperbole, la conchoïde, etc. l’oy. ces mots et QuaprarTure. En mécanique, L'Espace est la ligne droite ou courbe que décrit un mobile en mouvement ESSIEU (Géom.). Vieux mot synonyme d'are dont où ne sert plus qu’én parlant des roués, pour &ésigher Ja ligne autour de laquelle elles tournent: ETABLISSEMENT du port. C'éstl'heure dé la pleine er dans un port lé jour de li nouvelle lune. Joy. Fiux et Manre. | ÉTÉ (Géog. et Astr.). Seconde saison de l’année, qui commence , dans les pays septentrionaux , le 22 juin, lorsque le soleil entre dans le signe du Cancer, et finit le 53 septémbre lorsqu'il entré dans celui dela Balance. Le prémiér jour de l'été, ou le jour du so/érice, ést le plus long de l’année. La durée de cette saison LA esl la plus longué des quatre, èst de 93 j. 21 h. -£ Poyez SAISON. SOLSTIcE D'ÉTÉ. Ÿ0y. SOLSTICÉ. ÉTENDUE. Partie déterminée de l’espace absolu (voy. Espace). On considère en géométrie trois espèces d’étendues : la Zigne, la surface et le solide. Foy ces mots. ÉTOILE (Astr.). Nom sous lequel on désignait jadis tous Les corps célestes, enles partageant én étoiles fixes et en éfoiles errantes ou planètes. Aujourd'hui on ne donne ET plus le nom d'étoile, qu'aux astres lumineux par eux- ménes et qui paraissentcomplètement étrangers à notre système solaire ; les autres sont désignés par leurs noms particuliers de planètes, comètes, satellites , etc. Voyez AnmiLLAIRE , n° 4, pour les divers mouvemens de tous ces corps, ainsi que Pnécession et Nurariow, Outre la manière de distinguer les étoiles les unes des autres en les séparant par groupes nommés constel- lations (voy. ce mot et GararocuE), les astronomes sonf dans l'usage de les classer par ordre de grandeur, d’après leur éclat apparent. Ainsi les étoiles les plus brillantes sont dites de première grandeur, et lesautres de seconde, troisième, etc. , selon que la lumière dont elles brillent a plus ou moins d'intensité, Cette classification ne com- prend pas plus de sept ordres de grandeur pour les étoiles vues à l'œil nu ; mais avec le secours du télescope elle s'étend jusqu'à la seizième grandeur, et on peut même dire qu’elle n’a de limites que celles des instru- mens, Car nous ne pouvons douter qu’un accroissement du pouvoir amplifiant des télescopes ne nous rende visibles une multitude d'étoiles trop éloignées de nous pour que nous puissions les apercevoir avec les moyens actuels. Quoiqu'il soit à peu près impossible d’assigner avec exactitude les limites où commencent ct finissent les ordres différens de grandeur ; on est cependant assez généralement d’accord de ne comprendre dans le pre- mier ordre que les2 étoiles principales suivantes : Noms des étoiles. Constellations dont elles font partie, Aldebaran. Le Taureau. Castor. Les Gémeaux. Répulus, Le Lion. L'Épi de la Vierge. La Vierge. Antarès. Le Scorpion. La Chèvre. Le Cocher. Arcturus. Le Bouvie, Vega. La Lyre. Altair. LAigle. Deueb Adigege. Le Cygue. Achernar. L’Eridan. Rigel. Orion. Betelgeuse. Orion. Canopus. Le Navire. Sirius. Le grand Chien, Procyon. Le petit Chien, Cœur de l'Hydre. L'Hydre. Fomalhaut. Le poisson austral. Le Pied de la Croix. La jambe du Centaure, La Croix australe. Le Centaure, Les 50 ou 6o étoiles qui viennent après sont de la se- conde grandeur. On en compte environ 200 dans la ET 567 troisième, et un bien plus grand nombre dans les autres. Herschel a trouvé qu’en désignant par 100 la quantité de lumière fournie par une étoile de première grandeur, les nombres suivans représentaient assez bien les rap- ports des divers ordres. | Lumière d’une étoile moyenne de 1°° grandeur — 100 2° — 09 8° = 12 4° = 6 LS = 2 6° = 1! Le fils de ce grand observateur a conclu de ses pro- pres expériences que la lumière de Sirius, la plus bril- lante des étoiles, égale environ 324 fois celle d’une étoile moyenne de sixième grandeur. Le nombre des étoiles paraît infini, car en observant au télescope ces petites tâches blanchâtres que l’on aper- çoit dans le ciel et que l’on nomme des nébuleuses , on y découvre une multitude d’étoiles très-rapprochées les unes des autres et dont la lumière, confondue par l'effet de l’irradiation, n’offre à l'œil nu qu'une faible lueur à peu près uniforme. Cette grande zone blanche et lu- miueuse qui traverse le ciel d’un pôle à l’autre et que l’on nomme la vote lactée , n’est qu’une nébaleuse de ee genre. Herschel, dont les télescopes, d’un pouvoir ambplifiant extraordinaire , ont analysé la voie lactée , a reconnu qu’elle était entièrement composée d'étoiles et il en a pu compter jusqu’à 50000 contenues dans un in- tervalle de deux degrés! Les opérations les plus délicates n’ont pu jusqu'ici déterminer la parullaxe (vay. ce mot) d'aucune étoile, et conséquemment la distance cù nous nous trouvons de ces corps nous est entièrement inconnue. Néanmoins, comme il est prouvé que cette parallaxe doit être moindre qu’une seconde sexagésimale pour les étoiles les plus proches de la terre, nous savons que nous en sommes séparés par une distance plus grande que 6 720 000 000 000 lieues de 25 au degré ; car en ad- mettant une parallaxe d'une seconde , l’étoile qui nous la présenterait serait située à une distance du soleil équivalente environ à 200 000 fois la distance de la terre au soleil ou à 4 800 000 000 demi-diamètres de la terre (vay. Parazuaxe). Nous avons donc une limite en moins; mais de combien était-elle surpassée? c’est ce que nous ignorerons probablement encore long-temps. Les étoiles paraissent en général conserver une posi- tion inyariable sur la voûte céleste, car depuis les pre- miers âges de l'astronomie les figures des constellations n'ont éprouvé aucun changement sens'ble. Aussi ces astres sont-ils les points fixes dans le ciel auxquels les astrouomes rapportent les mouvemens des plauètes pour 568 ET mesurer leurs révolutions. Cependant on a reconnu que plusieurs étoiles étaient animées d’un mouvement pro- pre, etilest extrêmement probable qu’il en est de même de toutes les autres. Nous ne voulons point ici parler de mouvemens apparens, comme ceux qui résultent de la précession, de la nutation , ou de V'aberration de la lumière, et qui affectent en même temps tous les corps célestes , mais bien de mouvemens réels dont l'effet est de changer la relation des distances. Par exemple, l’é- toile 61 du Cygne s’est déplacée sur le ciel de 4" 23" de- puis seulement 50 ans; tandis que d’autres ont demandé plusieurs siècles pour présenter des déplacemens bien moins considérables. Le mouvement propre des étoiles fut annoncé par Halley comme un des résultats de ses travaux sur la comparaison des lieux de ces corps donnés par les an- ciennes et les nouvelles observations. Cette circonstance remarquable, reconnue ensuite par Cassini et Le Mon- nier, fut enfin complétement confirmée par Tobie Mayer, qui compara les lieux de 8o étoiles déterminés par Roemer, avec ses propres observations, et trouva que la plus grande partie de ces astres avait éprouvé des variations de position. Il voulut expliquer ce phéno- mène en supposant que c'était une apparence due à un mouvement progressif du soleil et de tout le système solaire vers une partie de l’espace; mais comme le ré- sultat des observations n’était point entièrement d’accord avec cette théorie , il remarqua qu’on ne pouvait rien conclure des directions divergentes de quelques étoiles avant que plusieurssiècles n’eussent permis de les étudier avec plus de soin. IL est sans doute très-probable que le système solaire n’occupe pas constamment le même lieu dans l’espace; et il n’est pas plus difficile de concevoir le soleil tour- nant autour d’un centre d’attraction, en entraînant avec lui, dans son mouvement, toutesles planètes, que de concevoir Saturne tournant autour du soleil avec les sept satellites qui l’accompagnent. Or, d’après les lois de la perspective, si le soleil se meut dans une direc- tion quelconque , le résultat, pour nous, d’un pareil mouvement, doit être une tendance apparente du sys- tème entier des étoiles à semouvoir, en sens contraire de la direction réelle du soleil, vers le point de la sphère où convergent les lignes parallèles à cette direction, c'est-à-dire que toutes les étoiles doivent paraitre se rapprocher de ce point. = Quoique les directions apparentes des mouyemens propres des étoiles observés jusqu'ici soient trop diver- gentes pour qu’elles puissent indiquer une tendance commune vers un point du ciel plutôt que vers un autre, cependant Herschel a pensé qu’en faisant la part des déviations individuelles on pouvait apercevoir un mou- vement générai des principales étoiles, qui les entraine EU dans un point de la sphère céleste diamétralemen: op- posé à l’étoile marquée £ de la constellation d'Hercule. D'où il'résulterait que le soleil se meut lui-même dans la direction de cette étoile. Si les étoiles étaient fixes d’une manière absolue, il est hors de doute que le déplacement du soleil dans l’espace devrait leur donner un mouvement général apparent vers un même point, mais si ces COrps eux- mêmes ont des mouvemens réels comme il est impos- sible d’en douter, leur déplacement observé sur la voûte céleste devient le résultat de deux causes différentes ; et selon que ces causes concourent ou divergent, la di- rection des mouvemens doit se rapprocher ou séloi- gaer de la direction générale apparente Ainsi les obser- vations qui paraissent aujourd’hui contrarier l’hypo- thèse ingénieuse de Tobie Mayer, pourront peut-être qar la suite, lorsque les mouvemens réels des étoiles seront mieux connus, en devenir la confirmation. Jusqu'ici la science ne peut se prononcer d’une manière certaine. Les étoiles présentent encore des phénomènes très remarquables qui sont exposés dans d’autres articles. Voy. CuanceanTes, Murrieres et NÉBULEUSE. EUCLIDE. On ne sait point quelle fut la patrie de cet illustre géomètre et l’histoire a également gardé le silence sur les événemens de sa vie. Lorsque les Arabes traduisirent le livre célèbre qui a acquis à son nom une popularité que le cours de vingt siècles n’a point encore altérée, ils voulurent suppléer à ce bizarre oubli de la re- nommée. Ils firent Euclide natif de Tyr et fils d’un ha- bitant de Damas nommé Naucrates. Mais ces deux noms sont grecs et d’autre part l’assertion des écrivains arabes ne reposait sur aucun document historique digne d’at- tention. Il est certain seulement qu'Euclide habita la Grèce, dont il a dû fréquenter les écoles, mais comme ces fleuves dont on cherche vainement la source, on ne peut savoir sous quel maître il puisa les premières no- tions de la science, dont il était destiné à poser les priu- cipes d’une manière presqu’absolue. Il avait déjà une grande réputation lorsque l'accueil bienveillant que Ptolémée, fils de Lagus, faisait en Égypte aux savans de toutes les nations, l’attira, dit-on, à Alexandrie, où il ne tarda pas à prendre une place distinguée parmi les chefs de sa brillante école. Le savant Pappus (Collect. math. t. 7. Prœæm.) nous a laissé de lui un portrait qui nous fait vegretter plus vivement l'absence de tout ren- seignement biographique sur un tel homme. Laborieux, doux et modeste, suivant cet écrivain, il porta toujours une affection particulière à ceux qui pouvaient contri- buer aux progrès des mathématiques. Bien différent d'Apollonius, qui, ajoute Pappus, était un homme d'une insupportable vanité, et se faisait un plaisir de dépré- cier ses contemporains, on ne vit jamais Euclide jalouz d EU du succès desesémules et chercher, ens’emparant deleurs travaux, à leur ravir une partie de la gloire qu’ils pou- vaient mériter. À ces traits généraux il faut ajouter une noble réponse qui dessine avec vigueur le caractère de ce géomètre. Ptolémée-Philadelphe, fatigué de l'attention que réclamait de sa part l’étude des mathématiques, demanda un jour à Euclide s’il ne pouvait pas applanir la route en sa faveur, celui-ci lui répondit : «Non, prince, il n’y a point de chemin particulier pour les rois. » Dans les premiers temps de l’école d'Alexandrie les progrès de la science n’étaient constatés que par des ou- vrages spéciaux qu'aucune méthode ne reliait entr'eux. L'étude des mathématiques offrait ainsi des difficultés insurmontables et il devenait nécessaire , pour en apla- nir l'intelligence aux disciples, de classer toutes les con- naissances reçues dans un ordre méthodique où elles fussent successivement exposées de leur point de départ au degré qu’elles avaient pu atteindre. Tel paraît avoir été l’objet que se proposa Euclide en écrivant son livre des Élémens. Cet ouvrage, tel que l’auteur l’a laissé, est divisé en treize livres, dont les six premiers ainsi que le onzième, le douzième et le treizième appartiennent à la géométrie; les quatre autres traitent des proportions en général, et des principaux caractères des nombres commensurables et des nombres incommensurables, Un quatorzième et un quinzième livre suivent ordinaire- ment ceux-ci. Ils sont l’ouvrage d'Hypsicle, géomètre de l’école d'Alexandrie, et furent ajoutés à l'ouvrage d'Euclide, suivant toute apparence par Théon, l’un des maîtres de la même école, et qui le premier com- menta les élémens, y ajouta des notes et y fit même quelques changemens. Aucun livre de science n’a eu un succès comparable à celui des Élémens d’Euclide. X\s ont été enseignés exclu- sivement, pendant plusieurs siècles dans toutes les écoles de mathématiques et sont encore suivis en Angleterre comme un livre classique dans toutes les universités de ce pays. On a adressé divers reproches à cet ouvrage dont on ne peut néanmoins nicr l'excellence. On a trouvé que les démonstrations d'Euclide étaient quelquefoislongues, indirectes , compliquées et que les commençans avaient de la peine à les suivre. C’est peut-être là une consé- quence forcée de la méthode rigoureuse consacrée par l’assentiment unanime des anciens géomètres et à la- quelle Euclide s’est conformé. Sans doute on a eu raison danslestraitésélémentaires modernes de rendre la science plus accessible ; mais les géomètres n'hésitent point à accorder une grande supériorité sur tous ces ouvrages aux Élémens dEuclide. Une notice complète des commentaires et des éditions de cet immortel écrit, serait sans doute un des monu- mens les plus curieux et les plus intéressans de la biblio- LA EU 569 graphie mathématique, mais elle dépasscrait de beau- coup trop les bornes qui nous sont imposées, Théon et Proclus, dans l'antiquité, commencèrent à accompagner d’un commentaire le livre des Élémens , ils furent de- puis imités par les Arabes, les Juifs maures et les savans du moyen-äge ; si on ajoute àcestravaux ceux des géomètres d’une époque plus rapprochée de nous, on sera con- vaincu de l’importance des Élémens par l'immense quan- tité d’écrits dont ils ont été l’objet. Ce livre a en effet été traduit dans toutes les langues des peuples civilisés. Dans l’avant-dernier siècle les jésuites missionnaires de la Chine, en ont fait une traduction tartare pour l’em- pereur Kang-Hy, qui, dit-on, ne pouvait trop admirer l'exactitude des démonstrations qu’il renferme. La célébrité d'Euclide a sans doute pour principe le livre des Elémens, mais ce grand géomètre ne s’est point borné à frayer aux commençans les routes de la science, et à établir sur des bases indestructibles ses vérités fonda- mentales, il avait su également en reculer les bornes. Ïl a composé un traité des données (data) qui est parvenu jusqu’à nous et dont il existe un grand nombre d’éditions. Pappus parle de quatre livres d'Euclide sur Les sections coniques, de deux autres sur les Zieux à la surface et d’un traité divisé en troislivres intitulés : De Porisima- tibus. Ces écrits sont sans doute à jamais perdus pour la science, et nous n’en connaissons que quelques fragmens conservés par d’anciens commentateurs, fragmens qui rendent leur perte plus regrettable encore. On attribue à Euclide beaucoup d’autres ouvrages importans qui n’ont pas mieux résisté aux ravages des temps, il faut consulter, pour en prendre une idée, les Collections mathématiques de Pappus et de Proclus et surtout l’ouvrage du savant Bose de Wittemberg : De varüs Euclidis editionibus etc., Lipsiæ, 1734, in-4°. L'époque de la mort d'Euclide n’est pas mieux connue que celle de sa naissance. EUDOXE, astronome et géomètre célèbre de lanti- quité, naquit à Guide vers la fin du V° siècle avant J.-C. 11 fut l’un des disciples les plus distingués de l’école de Platon et prit une part active aux travaux géométriques qui l'ont illustré. Son nom se trouve cité plusieurs fois à l’occasion du fameux problème des moyennes propor- tionnelles, par les commentateurs et les mathématiciens d'Alexandrie. Eratosthènes, dans l’un des fragmens d’écrits qui sont venus jusqu’à nous, parle avec éloge de la solution de ce problème proposée par Eudoxe. Il est vrai que cette opinion est contredite par Eutocius, qui n’a pas cru devoir exposer l'opération qu'il critiquait , de façon que les élémens principaux nous manquent au- jourd’hui pour nous prononcer entre ces deux géomètres. 1] paraît néanmoins certain qu'Eudoxe doit être compté parmi les contemporains et les disciples de Platon qui 72 3 570 EU contribuërent le plus aux progrès de la géométrie, A1 cultiva la théorie des sections coniques avec assez de’ succès et d'éclat pour qu’on ait pu lui attribuer plus tärd l'invention mème de ces courbes ; dont il se seivit pour résoudre le problème de la duplication du cube: Enfin l’imposant témoigrage d’Archimède ne laissé au- cun doute sur l'importance et la valeur des travaux? géométriques d'Eudoxe. Dans son traité de Spherd et Cytindro, Yilustre mathématicien de Syracuse, désigne £Eadoxe comme l’auteur de la mesure de la pyramide et du cône. et le. présente comme s’étant spécialement oc- cupe de la contemplation des solides. Quelques écrivains et entr’autres Théon de Smyrne, lui font honneur de la théorié des proportions exposées dans le cinquième livre d'Euclide. Mais c’est surtout comme astronome et comme géographe qu'Eudoxe acquit une grande célé+ brité, Sénèque attribue à un long séjour que fit en Égypte le philosophe de Gnide les connaissances élevées qu'il montre dans cette science. Il suppose même qu'il en rapperta lathéorie des mouvemens des cinq planètes que les Grecs n'avaient point encore considérées à cette époque. Mais cette opiuion de Sénèque (Quæst. nal. t. 7.) paraîtra au moins erronée si lon considère que plusieurs siècles après, Hipparque manquait d’observa- tions pour établir cette théorie qui n'avait point encore été mème entrevuepar Jes Grecs. Eudoxe calcula pendant plusieurs années des éphémérides célestes, qui eurent de la renommée dans la Grèce et qu’on affichait dans leslieux de réunion les plus fréquentés tels que le prytanée d’A- thènes. On lui attribue également une hypothèse phy- sico-astronomique que les astronomes modernes se sont donné la peine de critiquer avec une minutieuse sévé- rité. Il avait construit unesphère dont les cercles étaient sans doute trop multipliés, et au moyen desquels il cherchait à rendre compte des apparences des planètes, Mais à une époque où le mouvement de la terre était inconnu, Eudoxe rendit un grand service à la science cn appliquant à l'astronomie les démonstrations phy- siques. Deux ouvrages d'Eudoxe, dont l’un était la description des constellations, et l’autre un traité de leurs levers et de leurs couchers, connus et cités par les anciens astronomes , sont entièrement perdus, il en est de même de ses travaux géographiques que Strabon rappelle souvent evec éloges et sur lesquels il s’'appuye pour donuer de l'autorité à ses propres opinions. Long- temps après Eudoxe on montrait aux étrangers qui visitaient Guide une tour qu’il avait fait construire pour y observer la marche des astres. IL mourut, vers l'an 350 avant J.-C., chargé de gloire et d’années, après avoir été le législateur de sa patrie. EULER (Léonanp). Le nom de cet illustre géomètre doit briller à jamais dans les fastes de la science auprès des uoms glorieux de Descartes, de Leibnitz, de Newton. EU Euler fat , en effet, un de ces hommes de génie que leur spontanéité appelle à mener Phumanité dans dé graides ét nouvelles voies , et qui sanctifient l'autorité du savoir par uné philosophie élevée et la pratique des plus nobles vertus. Ses ouvrages embrassent pour ainsi dire dans tout leur ensemble les diverses branches des inathématiquesetils marquentpourla plupartd’entrelles la production d'importantes découvertes où de quelque progrès remarquable ; nous en‘indiqueronsles caractères généraux. Sa vie, sans avoir étéagitée par les passions; sans'avoir été troublée par de grandes infortunes me fut cependant pas toujours paisibie; nous en rappellerons les principales circonstances. Ce fut à Bâle, le 15 avril 1707, que naquit Léonard Euler ; son père Paul Euler, ministre du saint évangile ét qui était devenu en 1708 pasteur de Riechen , fat son premier maitre. Il avait étudié lui-même les ma- thématiques sous Jacques Bernouilli, c’est-a-dire qu’il s’attacha à développer dans son jeuné élève les hauts principes de morale qui épurent la raison en même temps qu’il exerça son intelligence par l'étude d’une science sans laquelle il est impossible de s'élever à la connaissance réelle d’aucune vérité. Le jeune Euler était destiné par son père au ministère évangélique, mais il renonca à ce projet lorsqu’à l’université de Bâle, son fils se distingua par son application et ses heureuses dispositions qui lui acquirent de bonne heurel’arnitié de Daniel et de Nicolas Bernoulli, disciples ét déjà rivaux de Jean Bernouilli, leur illustre père. On sait qu'en 1727, à l’âge de 19 ans, Euler obtint un accessit pour un mémoire sur la mdture des vaisseaux , sujet d’un prix proposé par l'Académie des sciences. Ce prix fut obteuu par Bouguer, géomètre distingué de ce temps ct qui exercait depuis dix ans les fonctions de professeur d'hydrographie, dans une ville maritime. Cette pre- mière illustration de la vie scientifique d’Euler mérite d’être remarquée, car elle donne une idée de la direc- tion et de la force de son génie, Le jeune citoyen de Bäle, dépourvu de toute connaissance pratique dans la matière qu’il traitait, ne put lutter, en effet , qu’à l’aide de la science, contre son redoutable concurrent. Verscetteépoque, Euler futappeléàSaint-Pétersbourg par ses amis Daniel et Nicolas Bernouilli, dont il s'était séparé avec peine deux ans auparavant. À peine arri- vait-il en Russie qu'il apprit l'accident funeste arrivé à Nicolas Bernouilli et la mort de l’impératrice Cathe- rine I"°, circonstance ficheuse et qui mettait en question l'existence de l’Académie récemment fondée par cette princesse. Euler obtint le titre de professeur et suc- céda ; en 1733, à Daniel Bernouilli, qui revint alors dans leur commune patrie. Le sombre despotisme du gouvernement russe, sous le ministère, de Biren, dut influer sur le caractère d’un jeune homme naturellement mnt e grave et élevé dans une républiqué. Euler venait dés pouser Mile Gsell ; file d'un peintre | son compatriote, amené en Russie par Pierre KI se Hivra tout entier & l'étude et cacha sa vie dans le sanctuaire de la science et des affections privées. Si c’est à ceite circonstance qu'il dut l’opiniätreté pour le travail, dont il donna depuis tant de preuvés ; c'est aussi à élle qu'il faut attribuer cette tristéssé profonde et cette! vague inquiétude de Vavenir qu'on remärqua toujours-dans cet homme dé mœurs si donces etsi pures et doué de tant de bienveil- lancé: Cette impression fut si forte sur son esprit qu’en 1941, lorsqu Euler se rendit à Berlin , la reine de Prusse qui l’accueillit avec-une noble bonté ne put obiënir de lui que des monosylläbes, et comme elle s’étonnait de la timidité et de l'embarras d'un savant aussi distingué , Euler lui répondit naivement : — Madäme;, c’est que je viens d'un pays où; quand ôn parle on est pendu. Il re- tourna néanmoibs en 1766 dans ce pays, auquel il était d’ailleurs attaché par des lieris dificilés à briser , mais il ne fit à cette époque que déférer aux vœux-de l'impéra- t'ice Catherine IE, dont le règne brillant excitait alors Yadmiration de l’Europe. < Dès Yannée 1735 Euler avait été attéint: d’une ôphtalmie x assujetti, il perdit alors un œil et fut bientôt menacé la suite d’un travail forcé auquel il $était d’une cécité complète. Les craintes de ses amis et de sa famille ne furent que trop justifiées par l'évènement, il devintaÿeugle, mais il conserva cependant la faculté de distinguer de grands caractères tracés sur une ardoise avec de la craie. Cette douloureuse circonstance ne fit rien perdre à Euler de sou amour pour la scieyce et de son ardeur pour létude etl continua de se livrer aux trayaux multipliés qui ont illustré sa vie. Ses fils ou ses élèves copiaient ses calculs et écrivaient sous sa dictée le reste de ses mémoires; et si, dit Condorcet, on en juge par leurnombreetsouvent parle géniequ’on y rewouve, on pourrait croire que l’absence encore plus absolue de toute distraction ; et la nouvelle énergié que ce recueil- lement forcé donnait à toutes ses facultés, lui ont fait plus gagner que l’affaiblissement de sa vüe n’a pu lui faire perdre:dé facilité et dé moyens pour le travail. On a dit avec,raison qu'Euler, en succtdant à Nicolas Bernouilli, avait continué l'école de Heibnitz; cette expr ession caractér ise, en effe (er d’ une manièr € gé né rale les productions de cet illustre géomètre ; qui out exercé unesi gruide ufluëencé sir les progrès de la science, Nous w’entreprendrons point ici d'exposer même l'énoncé des immenses travaux d'Eûler; il faudrait, pour en présenter digrrement Je xésumé ; foriner un tableau méthodique des dhfféréntes branthes des sciences mathématiques, en marquant pour chacune les progrès, les changemens heureux qu'elle doit au génie d'Euler , cette méthode qui à èté suiyie oudu moins indiquée par Condorcet EU 571 dans l’élépe académique de l'homme célèbre qui fait le sujet décette notice, nous entraîncrait à d’inutiles répé- titions, püisque la théorie des diverses branches de la science qui ônt fait ne de ses travaux doit. être exposée tour à tour dans d’autres articles de ce-die- tionnaire, Euler paraît s'être attaché surtout à perfectionner la science du calcul , en écartant de plus en plus les consi- dérations de pure géométrie que l’école de Newton af- fectionnait. Génie profond , inventif, doué d'une émi- | nente sagacité , il étendit considérablement la théorie des suites ét créa le calcul algébrique dés fonctions cir- culaires. L'analyse indéterminée et la théorie des nom- bres, qui depuis Diophante n'avaient été cultivées avec quelque succès que par Bachet de Méziriac et Fermat, doivent à Euler de nombreux accroissemens, et le pre- mier il démontra les théorêmes dont l'illustre Fermat w’avait donné que l'énoncé. Il traita entièrement la mé- chanique par l'algèbre ct en augmentant ainsi l'étendue de cette science, il perfectionna beaucoup le calcul in- tégral et le calcul différentiel. Il sempara avec tout son génie du calcul intégral aux différentielles partiches, dont la pensée paraît appartenir à d’Alembert, mais dont le premier il a donné la notation. Il embrassa tour à tour dans des traités qui sont devenus célèbres, la science navale et ladioptrique. On lui doit des essais im- portans sur la théorie générale de la lumière ; sur celle du son, de l’aimant, de la cohésion des corps, des frot- temens, sur le calcul des probabilités, et sur l’arithmé- tique politique, Euler n’éprouva point ces douloureuses injustices, ces poiguantes déceptions qui troublent trop souvent la vie des hommes supérieurs, au contraireses talens furent noblement appréciés et son génie a reçu des hommages dignes de lui, En 156o les Russes , ayant pénétré dans la marche de Brandebourg ; Pillèrent une métairie qu'Euler possédait près de Charlottembourg. Mais le général Toltieben, qui les commandait, s'empressa de réparer la perte que lillustre géomètre avait pu essuyer ét l'impératrice Elisabeth, sa souveraine, ajouta un don considérable à l'indemnité genéreuse qui lui avait été Eù r77 tersbourg atteignirent la maison d'Euler aveugle et accordée: 1, les flammes qui dévoraient Pé- souffrant, Pierre Grimon, de Bâle, se dévoua pour le salut de son célèbre compatriote; il pénétra jusqu'à lui, le chargea sur ses épaules et le sauva au péi il de sa vie. Sa bibliothèque et ses meubles furent consumés, mais les soins empressés du comte Orloff sauvèrent ses manus- crits. Cette maison, qui était un des bienfaits de l'impé- ratrice , fut rétablie à ses frais : et, cette attention, au milieu du trouble et des horreurs d’un grand désastre , ajoute Condorcet, l'éloquent panégyriste d'Euler , est uu des hommages les plus vrais et les plus flatteurs que 572 EX jamais l'autorité ait rendu au génie des sciences. Voici comment cet écrivain raconte les derniers momens de l'illustre associé de l'Académie des sciences. Il avait con: servé, dit-il , toute sa facilité et en apparence toute sa force, Aucun changement n’annonçait que les sciences fussent menacées de le perdre. Le 7 septembre 1783, après s'être amusé à calculer sur une ardoise les lois du mouvement ascensionnel des machines aérostatiques, dontla découverterécente occupaitalors toute l'Europe, 1l dina avec M. Lexell et sa famille, parla de la planète d’'Herschell et des calculs qui en déterminent l'orbite; peu de temps après il fit venir son petit-fils, avec lequel il ba- dinait en prenant quelques tasses de thé, lorsque tout-à- coup la pipe qu’il tenait à la main lui échappa et il cessa de calculer et de vivre. Teile fut la fin d’un des hommes les plus grands et les plus extraordinaires que la nature ait jamais produits, dont le génie fut égale- ment capable des plus grands efforts et du travail le plus continu.... Euler avait alors quatre-vingt-cinq ans, il avait eu treize enfans et trente-huit petits-enfans. Ever (Jean-Albert), son fils aîné, à Saint-Pétersbourg en 1734 et mort dans la même ville en 1800 , a été un géomètre distingué. Eurer (Charles) et Euzer (Chris- tophe), son second et son troisième fils, avaient égale- ment des connaissances étendues en mathématiques, mais leurs talens ne peuvent soutenir le rapprochement de la gloire de leur père. La multiplicité des écrits d'Euler ne nous permet pas d’en donner ici laliste, qui formerait à elle seule une bibliographie considérable. Fuss, son élève, et le gendre d’un de ses fils, en a dressé une table générale à la fin de l'éloge qu'il a prononcé le 28 octobre 1783 à l’Aca- démie de Pétersbourg. On la trouvera à la fin de 2° vo- lume de l'édition des Znstitutions du calcul différentiel d’Euler, donnée à Pavie, en 1787, par Grégoire Fon- tana. Elle existe aussi dans le Dictionnaire de Mensel, EUTOCIUS , d’Ascalon, géomètre célèbre, vivait sous l’empereur Justinien vers l’an 540 de notre ère. Il ne nous reste de lui que ses commentaires sur Apollo- nius et sur quelques écrits d’Archimède. Ces travaux sont encore fort estimés des savans. On ignore absolu- ment l’époque de la naissance, celle de la mort d’Euto- cius et les événemens de sa vie. EVANOUIR (4{g.). faire évanouir une quantité est la même chose quela chasser ou la faire disparaître d’une expression. Ÿ’oy. ÉLrmiNArION et TransFORMATION. EVECTION (Astr.). Inégalité dansle mouvement de la lune produit par l'attraction du soleil sur ce corps et dont l'effet est de rapprocher ou d’éloigner la forme de son orbite de celle du cercle. Cette inégalité, découverte par Ptolémée, influe par- EX ticulièrement sur l'équation du centre (voy. ce mot) qu’elle diminue dans les sysigies et augmente dans les quadratures. Voy. Lune et PERTURBATION. EXCENTRICITÉ (Gcom.). Distance entre le centre et le foyer d’une ellipse. Voy. Ezzrrse. EXCENTRICITÉ (Astr.). Dans l’ancienne astrono- mie on désignait sous le nom d’excentricité la distance de la terre au centre de l'orbite d’une planète; mais depuis Képler ce mot n’est plus employé que pour exprimer la distance entre le centre de l’orbe elliptique d’une planète ou d’un satellite, et son foyer occupé par le soleil ou par la planète principale. Les observations fournissent plusieurs moyens pour déterminer l’excentricité d’une planète. Celle de la terre par exemple, ou, ce qui est la même chose, celle de l’orbite apparente du soleil, pourrait se conclure de la différence des diamètres apparens de cet astre. En effet le diamètre du soleil devant paraître d'autant plus petit que la distance réelle est plus grande, et d’autant plus grand que cette distance est plus petite , il suffit de connaître le plus grand et le plus petit diamètre appa- rens du soleil pour connaître le rapport entre la plus grande et la plus petite distance, puisque ce rapport est l'inverse de celui des diamètres apparens. Or, on sait que ces diamètres sont : Plus grand diamètre apparent = 32/35"’,6 — 1955'’,6 Plus petit diamètre apparent —3131* —41891" et, par conséquent que leur rapportest celui desnombres 1955,6 : 1891. Ainsi, désignant par D la distance moyenne de la terre au soleil , ou le demi grand axe de l'orbite solaire, et par e l’excentricité de cet orbite, D+e représentera le plus grand rayon vecteur , ou la plus grande distance, et D—e le plus petitrayon vecteur, ou la plus petite distance ; on aura donc D+e: D—e:: 1955,6 : 1891 et, par suite, =D 1955,6—1891 64,6 955,6 1891 — ‘3846,6 =D.(0,016794...). Ainsi, en prenant, comme c’est l’usage , le demi grand axe pour unité, l’excentricité de l'orbite solaire = 0,016794 : Lorsqu’on connaît l'équation du centre , on peut cal- culer approximativement l’excentricité par la propor- tion : 57° 17’ 44,8 {l'arc — rayon) est à la moitié de la plusgrande équation , comme le rayon =1, est à l’excentricitg EX la valeur résultante différera d'autant moins dela véri« table que l'excentricité sera plus petite. Par exemple, sachant quela plus grande équation du centre est pour le soleil de 1° 55" 26”, on tirera de cette proportion c— moi Ce = ee 016794 57°1744",8 206264",8 ? L'excentricité et la plus grande équation du centre sont deux quantités tellement liés entr’elles qu’on peut toujours calculer l’une au moyen de l’autre. Euler , qui s’est occupé de ce problème (voyez les Mémoires de l'Académie de Berlin, tome 2), a donné les deux sé- riessuivantes , dans lesquelles a désigne la plus grande équation et e l’excentricité : 20 1 Ù Le 599 - LE DEC RP AMEN VPN sde 11 587 der NUS fe ee Da an ee a doit être exprimée en parties du rayon dans la se- conde série, ce qui se fait en réduisant l'angle a en se- condes et en divisant ensuite par 206264",8, ou par le nombre de secondes que contient l’arc égal au rayon. Dans la première série a est donnée en parties du rayon el par une opération inverse de la précédente on peut la convertir en degrés. On voit que lorsque e est très-petit on peut négliger sans erreur sensible tous les termes qui suivent le pre- mier, et qu'on a alors 82 — UC a égalité identique avec la proportion ci-dessus, Les excentricités des planètes sont constamment va- riables, entre certaines limites, comme tous les autres élémens de ces corps (voy. OrmiTe et PLanères). Voici le résultat des calculs les plus exacts. Noms Ercentricités en parties des Planètes, du demi grand axe, Mercure....... 0,2055149 0,0068607 0,0167836 0,0933070 0,0891300 0,2578480 MÉQUS.. ss pie 4 La Terre... 24 Mars... VOSTR Se oees ele JUNOND. ms. GCÉT ES rose se PASS ee 0,0784390 0,2416480 Jupiter........ 0,0481621t Saturne........ 0,0961505 Uranus........ 0,0466794 Lalune.,.,.... 0,0548447 EX 573 Les données pour Vesta, Junon, Cérès et Pallas se rapportent au 1° janvier 1820, et pour les autres pla- nètes au 1°" janvier 18or. Variations séculaires de l'excentricité. Mercure...., Vénus....... La Terre...:. Mars... +-0,00000 3867 —0,00006 2711 —o,00004 1632 +-0,00009 0176 +0,00015 9350 —0,00031 2402 Jupiter... Saturne...... Uranus...... —0,00002 5072 Le signe + indique une augmentation et le signe — una diminution. EXCENTRIQUE ( Géom.). On donne le nom d’excentriques à deux cercles ou à deux-sphères qui, quoique renfermés l’un dans l’autre n’ont pas le même centre, par opposition aux concentriques qui ont un seul et même centre. P’oy. CONCENTRIQUE. EXCLUSION (4rith.). La méthode des exclusions , ainsi nommée par son auteur le mathématicien Frénicle qui vivait du temps de Descartes , a pour objet la solu- tion numérique des problèmes en procédant par voie d'exclusion, c’est-à-dire, en examinant quels sont les nombres qui ne peuvent satisfaire aux conditions de- mandées et en les excluant successivement jusqu’à ce qu’on trouveenfin celui qui résoud la question. Cette mé- thode, à l’aice de laquelle Frénicle-traitait avec succès les problèmes numériques les plus compliqués, excita jadis l'admiration de Fermat et de Descartes ; mais au- jourd’hui les progrès de la science ont fait abandonner son usage. Nous renverrons donc nos lecteurs, pour son exposition, aux Mémoires de l’Académie des sciences, 1693. EXÉGÈSE numerique. Ancien terme dont Viète s’est servi pour désigner la recherche des racines des équations. EXHAUSTION. Nom de la méthode dont les an- ciens faisaient usage pour la découverte et la démon- stration des vérités géométriques. P’oy. Mérnonr. EXPONENTIEL. Les quantités exponentielles, sont des puissances dont l’exposant est indéterminé ou va- riable, telles que ax ,x*, etc. Le calcul exponentiel est l'ensemble des procédés à l’aide desquels on trouve les différentielles et les inté- grales des quantités exponentielles. Poy. DiFFÉRENTIEL et INTEGRAL. Ou nomme équation exponentielle (voy. ce mot) équation dans laquelle 1 entre des quantités “onto > mt 514 EX exponentielle; comme on donne anssilenom de courbes exponentielles aux çourbes dont l'équation est Spor: nentielle. EXPOSANT (4{g.). Nombre qui désigne le degré d’une puissance ou d’une racine. Ÿ’oy. ALGÈBRE 19, et NOTIONS PRÉLIMINAIRES 7e On nommait jadis exposant d’une raison, le rapport de deux quantités (60y. Rapport), et exposant de rang le nombre ou l'érdice qui exprime la place qu'occupe un terme dans une suite quelconque. Aujourd'hui le mot exposant est consacré exclusivemént äux puissances. EXPRESSION (41/g qui représente la génération d’une quantité. Par exem- .). On donse ce nom à la formule ple dans les égalités Fe a PV La ar Den et 264627, ainsi la racine 351 n’est pas trop faible d’une unité. S'il s'agissait d’une seconde puissance, comme (ai) =æ+aatr, on aurait (abri) —a—aa+r. Le reste ne doit donc pas surpasser le double de la racine trouvée plus un. Pour une cinquième puissance on aurait (a+) —a = baiÆHroa+roa+5atr et en général pour une puissance quelconque 4 m{ri—1) (a+ in am = mans ù SRE VU am—2 + (m—1)(m1—2 1 DC Dans etc, et, 1.2, 578 CX expression dans laquelle en faisant 72 Cpaite, 20, DE 6, etc. , on obtient tous les cas particuliers. 10. Les propriétés des quantités radicales, peuvent servir à simplifier, dans certains cas, l'opération de l'extraction des racines. Si on voulait extraire par exemple la racine 6° d’une quantité À ,en observant que 6 5 + VA=V VA L'opération se réduirait à extraire d’abord Ja racine deuxième de À et ensuite la racine troisième de cette racine deuxième, ce qui simplifie beaucoup les calculs, car ces calculs deviennent déjà très longs pour les ra- cines du quatrième ordre. Comine on a È m0, P, Ty . noPq ve Ve Wa V'A = VA toutes Les fois que l’exposant d’une racine peut être dé- composé en facteurs l'opération devient donc plus facile. C’est ainsi que l'extraction de la racine huitième se réduit à trois extractions successives de racines deuxièmes, que l'extraction de la racine douzième se réduit à deux extractions successives de la racine deuxiè- me faites sur la racinetroisième de la quautité proposée. Parce que DXON2—S,2NX IN 3—12 et ainsi de suite. 11. Nous avons vu ( ALG. 22) que pour extraire la racine d’une fraction il fallait extraire celles de son nu- mérateur et de son dénominateur , et qu’on avait 2 vb Lorsque les deux termes de la fraction ne sont pas des puissances parfaites, on ne peut alors trouver que des valeurs approchées , mais la propriété que possèdent les fractions, de ne point changer de valeur lorsqu'on multiplie leurs deux termes par le même nombre fait qu'on peut simplifier cette opération, En effet, multi- pliantles deux termes de la fraction par b—2 on a abm-= V'abm—x V'abm-: V()= v( bhm—s RE nn — CNE ne , Etil est évident qu'il ne faut plus extraire que la ras cine du numérateur. Ainsi si l’on demandait la racine troisième de À on CHE EX multiplierait ses deux termes par 5° et la fraction de- venant sa racine serait La racine troisième de 100 étant entre 4 et5, on au- rait donc 5 Pour la racine demandée. Valeur qui ne Fe RRT la véritable que de peut différer de g tout au plus. En rendant le dénominateur plus grand on obtiendrait un plus haut degré d’approximation. Parexemple, sion voulait avoir la racine précédente à un cinq-centième d'unité près, on commencerait par multiplier les deux termes de la fraction proposée par 100, ce qui doune- rait multipliant ensuite les deux termes par la seconde puis- sance du dénominateur , on aurait dont la racine troisième __ V1000000 500 500* 3 (re) = 3 es 2 à moins est entre 85 (0) e. et.—, clleest donc égale à I sr A de -— d'unité près. 500 On pourrait employer cette méthode pour obtenir la racine d'une quantité quelconque à un dégré déterminé d'approximation, il ne faudrait pour cela que donner la forme fractionnaire à la quantité proposée. Par exemple, s’il s'agissait d'obtenir la racine troisième de 22 à moins d’un dixième d'unité près, on réduirait 22-en sp : .. 220 É : dixièmes, ce qui donnérait Fe dont la racine cherchée ; rite 29 comme ci-dessus, serait effectivement, ou2+— moins d’un dixième d’unité près. 19. Le moyen le plus prompt et le plus commode pour extraire la racine d’une quantité quelconque, à un degré d’approximation déterminé , consiste à convertir cette quantité en fraction décimale, en observant d’a- jouter autant de tranches de » Zéros, qu’on veut avoir EX de décimales à la racine. Par exemple, pour extraire la racine cinquième de 25 à moins d’un millième près, on converüra 5 en fraction décimale en lui ajoutant trois tranches de 5 zéros, puisqu'on demande trois chiffres décimaux à la racine. Et extrayaut ainsi la racine de 25,00000,00000,00000 le premier chiffre de cette racine sera seul entier et les autres seront décimaux. 13. La formule da binome offre encore le moyen d'extraire les racines avec très haut degré d’approxima- tion. L'exemple suivant est suffisant pour en indiquér la marche. Problème. Extraire la racine cinquième de 260. Faisant dans la formule du binome (voy. Bixome) l’exposant épala +, on aura Aie ei B anim afiri Berne LT en rs — 3 etc. GES APS] U+ + ou, en évaluant les coefficiens E _ à B 4B°, 36 B° 2 AL | Et ns (A5) 13 SAT 5oA: © 753 A3 _4o4 Bi 15000 Ai HIER La plus grande cinquième puissance contenue dans 260 étant 243—3°, on FRRRME 260 en 243417, et : B 17 faisant A—2/3 et B—1;, AË sera égal à 3 et —— —; VENT, 249 substituant ces valeurs dans la dernière formule, la ra- cine demandée sera exprimée par une suite convergente et par conséquent plus on prendra de termes , plus on approchera de la véritable valeur. Pour évaluer un cer- tain nombre de termes de cette suite, comme ces ter- mes sont fractionnaires on les convertira en fractions dé- cimales et ensuite on ajoutera d’une part, tous les termes positif, et de l’autre tous les termes négatifs, ’ la différence des deux sommes multipliée par À ou par 3, donnera la racine cherchée. Comme ici les ter- mes vont en décroissant rapidement et que le cinquième est déjà moindre que 0,0000009, en se bornant aux cinq premiers termes, on aura, tous calculs futs, 3,0408477 pour la racine cinquième de 260, ou seulement 3,040847 pour plus d’exactitude, parce que n’ayant employé que 7 décimales dans le calcul, la septième dans le résultat peut quelquefois être trop faible et qu'on ne peut rigou- veusement compter que sur l’exactitude des six pre- mières. I faut toujours observer , quand on emploie la for- x mule (A+-B)", ges B soit plus petit que À afin que EX + soit une fraction et que tous les termes devenant de plus en plus petits la suite soit convergente. Au lieu de prendre pour A la plus grande puissance contenue dans la quantité donnée, il peut-être quetque- fois avantageux de prendre la puissance immédiatement au-dessus de cette quantité. En effet s'il s'agissait de calculer la racine quatrième de 80, la plus grande puis- sance contenue dans 80 étant 16 on aurait A—16, B—G64 et alors ne serait pas une fraction plus petite que L l'unité. Mais la quatrième puissance immédiatement au- dessus étant 51 , si l’on faisait A=S1 , B—1, où aurait et on ferait alors B négatif dans le développement de la : puissance (A+B)* 34. L’extraction des racines des quantités algébriques est fondée sur les mêmes principes que nous avons dé- veloppés dans les numéros précédens, un exemple seul suffit encore ici pour indiquer la marche de ropé- ration. Soit à extraire la racine: quatrième de 167$ + 96422 + 216afixi + o16afx? + Srai. On commencera par disposer les termes en les or- donnant, comme ci-dessus, par rapportà une même lettre et par puissances décroïssantes. La quantité proposée étant donc ordonuée par rap- port à æ, son premier terme doit être la quatrième puissance du PES terme de la racine ordonaée de la même manière, Prenant donc là racine quatrième de16zx on a n 4 4 8 4 V162 = V16.V/a ox? est donc le premier terme de la racine. Retranchant la quatrième puissance de ox'où 16x, de la quantité proposée, le reste doit nécessairement commencer par le second terme du développement de la quatrième puissance des deux premiers termes de la racine , or dans l'expression (a4b)i = ai + 4aÿb + Gab? + ab + bi. + le second terme contient quatre fois la troisième puis- sance du premier terme de la racine, multiplié par le Li : PS second. Divisant donc ce terme par 4 & b pour quotient. [ci le second terme du développe- , on doit avoir ment est 96æx°; prenant quatre fois la troisième puissance de 24°, on à 32x° pour résultat; divisant 580 EX 96 æ& x par 324°, le quotient 34° est le second terme de la racine. Elevant 247434 à la quatrième puissance on à (ax 3e) 167409647204 216aixi+ 1 Ga°x?+8rai. Ainsi, le second membre de cette égalité étant la quantité proposée , 6x°+-34a? est la racine demandée. Si la racine avait eu plus de deux termes , en retran- chant de la quantité donnée, la quatrième puissance de 2x°+3a° , on aurait obtenu un reste qui aurait servi à déterminer les autres termes, en comparant avec (AB) + C|'=(A+ BH (A+B) Crete. Car après avoir retranché (AB), le reste devant com- mencer par 4 (A+4B)C*, en divisant ce premier terme par 4 (A+B) on a C pour quotient. Divisant donc le premier terme du reste par 4(2x*4+34°), on aurait obtenu le troisième terme de la racine, et ainsi de suite. 15. Lorsqu'il s’agit des nombres, les logarithmes offrentlemoyeninfaillible de déterminerimmédiatement une racine d’un degré quelconque sans avoir besoin des calculs prolixes que nous avons exposés ci-dessus ; il est bien rare que les géomètres ne se contentent pas de leur usage, car avec les tables ordinaires on peut obte- nir sept chiffres exacts ce qui est suffisant dans le plus grand nombre des cas. D'après la nature des logarithmes (voy. ce mot) on a Ainsi, le logarithme d’une racine s’obtient en divisant celui de la puissance par l’exposant, et il ne faut plus que chercher dans les tables le nombre qui correspond à ce dernier pour avoir la racine. Par exemple, soit proposé, comme au n° 5, d’ex- traire la racine cubique de 24389. On trouvera dans les tables de logarithmes. log. 24389 = 4, 3871940 et, en opérant la division de ce logarithme par 3, on aura 4,3871940 3 — 1,4623960. Ce quotient étant le logarithme de la racine demandée, on cherchera dans les tables le nombre correspondant et on trouvera que la racine est 20. Prenons pour second exemple le nombre 2, et propo- sons-nous d’extraire sa racine carrée approchée avec six décimales. Nous trouverons 0, 3010300 ROBE 10; 1909190 log. 2 — 0, 3010300, et Le quotient étant le logarithme de 1,414213, nous avons V2=1,414215 Pour plus de détails voy. LocanTamEs, EXTRADOS (4rch.). surface extérieure d’une voûte. EXTRÊME, On donne le nom d’extrémes au pre- mier et au dernier termes d’ane proportion. Les deux termes du milieu se nomment les moyens. Voy. Pro- PORTION. En gcométrie, on dit qu’une ligne est partagée en moyenne et extrémeraison lorsqu’elle est divisée en deux parties telles que la plus grande est moyenne propor- tionnelle entre la ligne entière et la plus petite. Foyez APPLICATION 14. l FIN DE LA LETTRE Ë EX DE LA PREMIÈRE PARTIE. TABLE DES MATIÈRES CONTENUES DANS LA PREMIÈRE PARTIE. L’initiale placée entre parenthèses après le mot indique l’auteur de l’article, savoir : (B) M. A. Barcixer, de Grenoble; (L) M de Lesrix ,. capitaine du génie. Les articles dont les noms ne sont pas suivis d’initiales sont de M. de MontFeRRier. Le premier nombre indique la page , le second la colonne. Introduction (5). Notion: préliminaires. Abaco (1. Abacus. Abaissenent. Abeille. Abenezra. Aberration Abondant. Abrachaleus Abraham-bei-Chija (5). Atraham Zadut (5). Abrévition. Abscisse. Abside. Absolu. Abstrait. Absurde. Acampte. Accélération. Accélération de la chue des corps (8). Accélération des étoile: des planètes. de la lune. Accéléré (mouvement). Accord. Accores. Accroissement. Acharnar. Achromatique (5). Aclaste. Acoustique. Acre. Acbronique. Action. Acutangle. Acutangulaire. Adar. Addition. Adéraimin. Adhésion. Adhil. Adigège. Adjacent. Aegoceros. Aérostation (3). Aérostatique. Affecté. Afection. Aflirmative. Age de la lune. Agent. Agnesi (»). Aigu. Aigle. Aile. Air. Air de vent. Aire. Aires proportionnelles. a © mm D D D D = mm D D DIS DO me me ee Det 2e b rs = ne NO DO 0e ee et DD De De on & & = 23 D SJ mmbemme DEEE mm DER DER REE EE m œ a » Alamak. Albatenius (3). Albegala. Albert le Grand. Albireo. Alcuin. Alcyon. Aldébaran. Aldhafera. Alembert (d”) (8). Alexandrie (école d”) (s). Algebar. Algèbre. Algébrique. Algedy. Algeneb. Algol. Algomeiza. Algorab. Algorithme. Algorithmie. Alhabor. Albaioth. Alhazen (3). Alhoot. Alidade. Alignement. Aliémini. Aliquante. Aliquote. Alkameluz. Alliage (règle d’}. Allongé. Almageste (r). Almamon (5). Almanach. Almerzamonnagied. Almicantarat. Almucédie. Alpberaz. Alpheta. diphonse X (s). “Jphonsines (tables) (5). Aramech. Aluccabah. Alta. Alterntion. Alterne Altimétrs. Ambigène. Amblygone, Amiable. Amontons (). Amplification. Amphora. Amplitude. Anabibazon. Auacamptique. Anachronisme. Anaclastique. Analemmatique. D D DD opt het me DD De pue Dé me pt ee ee Dé et ee DO NO OS me De et et Dee Dee et De LS DO et De Dee Dee me Du D KO DO me me ei D et DD DD 19 DO D DO me pe et et DO DD Dee De es Det Analemme. Analogie. Analyse. Analytique. Anamorphose. Anazxagoras (5). Anazimandre (»). Anazximène (8). Anderson. (8). Androïde (8). Andromède. Anelar: Anémomètre. Anémoscope. Anes. Angle. Angle optique. Anguinée. Angulaire. Anisocycle. Anneau de Saturne (5). Anneau astr. Année (8). Annuel. Annuité. Annulaire. Anomalie. Anomalistique. Anse de panier. Anses. Antarctique (8). Antarés. Antécanis. Antécédent. Antecedentia. Anthemius (8). Anti-logarithme. Antichtones (5). Antinous (x). Antipodes (5). Août. Aphélie. Apian (5). Apocatastase. Apogée. Apojove. Apollonienne. Apollonius (8). Apomécométrie Apothème. Apotome. Apparence. Apparent. Apparition. Applati. Application de l'algèbre à la géométrie. Application. Appliquée. Appliquer. Apollon. AIT EEE EE MOOD D D EN D pe me me pe mt 9 9 1 mm mt me D ND à À D D & OR Em pt mé et et Det Pet D 9 DO D et ee me DD D 10 M D mt D em D me D D 75 LE LE #82 Approcheségales (courbe aux). 112 Approches fortif. Approximation. Appui. Appulse. Appuyé. Apsides. Apus. Aquarius. Aqueduc. Arameh. Arbalète. Atbre, Arc. Arc-boutant, Arcas. Arc-en-ciel. Arche. Archimède (s). Architecture (3). Archytas (3). Arçon (3). Arctique. Arctophilax. Arcturus, Arctus, Are. Aréomètre. Aréométrie. Argetenar. Argo. Argument. Arided. Aries. Aristarque (3). Aristéc (8). Aristote (3). Avithmétique. Arithmomètre. Aïruillaire (sphère). Armille. Arpentage. Artificiel, Artillerie (8). Artimon. Arzachell (8). Ascendant, Ascendante.. Ascension. Aschémie. Aschère. Asciens (8). Aspect. Aspirante. Assurance (2). - Astaroth. Astéréomètre. Astério, Astérisme, Astéroïdes. Astérope. Astral. Astrée. Astres. Astrodictum. Astrognosie. Astrokion. Astrolabe. Astronomie (e), Astronomique. Astroscope. Astrothésie, : Asugia. Asymétrie. Asymptote. Asymptotique. Atair. Ataur. : : Atelier. ‘ Athénée (»). Atin. Atlantides. Atlas. Atnosphére, ms dé PRES a Œ © mmnmDE DD DD DE DD MD D DE D D D D D mm mm mn D D D D D D mm D D D ND mm D mom RO mt DS RO me me me me me RO DO KO me mt mm KO M 10 RS 1 5 1 RUN D D D à mm me de ee Re 118 118 118 TABLE ALPHABÉTIQUE, terrestre. des planètes. Atmosphérique. Attoucliemént, Attraction. Attrition, Aubes. Auges. Augmentation. Auriga. Aurore. Austral. Autel. Autolycus (8): Automate. Automne. Auzout (3). Avellan. Averroes (8). Avicenrre {8}. Avril. Axe. Axifuge. Axiome. Ayuk. Arelphage, Azimech. Azimut. Bachet (s). Bacon (3). Baculamétrie. Bailly (z). Baker (3). Balance (aser.). Palance (méc.). Balancement. Balancier. aleine. Balise. Baliste. Balistique. Bandes de Jupiter. Baromètre. ; Baroscope. arrow (s). Base, Pasilicus. Bassantin (3). Bastion. Batardeau. Batn-êl-Geyttors. Batn-él-Hoat. Bâton de Jacob. Batyn. Pattyat. Bayer (). Beaune (3). Bédos (»). Bégala. Belidor (r). Bélier. Bellatrix. Bellérophon. Benat-él-Naacb. Bérénice. Bernoulli (s). Berose (s). Beze. Bezout (5). Billion. Bimédial. Binaire (arih.). Binome. de Neyton. des fÆtorielle. Biquacratiques équations). Biquitile. Biss-clion, Bisextile. Bügrave (9: Flondel (s} el a PO De Det Dei De pe ND me ND D mt me me De met D) D D DEN ND D R BR EN [S A & D D D mm D D D D D D mm ND mm mm D D D D R D me RON = me me me 2161 D we LC 10 mem me me M em 10 NOR me mt et DD A 3 D D Boisseau. Borda (5). Boréal. Borell (5) Boscovich (8). Bossut (8). Bouc. Bouguer (5), Boulliau(s). Boussole. Bouvier. Brachystochrone. Bradley (4). Branche de courbe, Bras de levier. Prasse. Briggs (8) Prouette. Brounker (>). Purin. Byrsge(r). Cabestan. Cadmus. Cadran. Caïlle (Vabbé de La) (5). Calcul, Calendes. Calendrier. Calippe (3). Caméléon. Camus (8). Gancer. Canicule. Canon. GCanopus. Capable. Capacité. Capricorne. Caractère. Caractéristicie. Cardan (e). Cardinaux(points). Carnot (8) Carre (5) Carré, 07. Quarré, Cartes Cas iréductible. Cassir (3). Casinoiïide, Cosiopée. Qstelli (z). sastor. Castramétation. Catabibazon. Catacaustique. Catadioptrique. Gatalogue d’étoiles. Catapulte. athète. Catoptrique. Cauda lucida. Caus. Caustique. Cavalier (5). Céginus. Célérité. Céleste, Centaure. Centésimale. Central. Centrales (forces). Centre. d'attraction. de gravité. d’oscillation. Centrer. Centrifuge (force), Centripete (force), Centrobarique, Cüphée. ie re, D & CRC CCE CS CS DR N DU RTE ER EE CE RS SIN TN OR TC + COQ — &R-» E © DR CESR Co C0 D Ca ONE SI «I 2 & O9 O7 Crus de ue le Safe OS OT fe vis ve BE t EE & D D Ch Ë & DmmmN NN D = mm mm 10 1% “1 Le) 2 = mREER os L°22 ) D D moon me mt 9 ER BEEE LE QC © = & So 2 d CS CS CE CR CS EE PR __ PNR Cercle. Cérès. Ceulan (8). Ceva (3). Chaine. Chbainette. Chambre obscure. Champ. Chanzeantes (étoiles). Chapiteau. Chariot. Chène. Chercheur. Chérubin (se). Cheval. Chevalet. Chevelure. Chèvre. Chevreaux, Chiens. Chiliade. Chilioyone. Choc. Chronologie. (8) Chronomètre. Chute des corps. Ciel. Circompolaires. Circonférence. Circonscrire. Circonvolution. Circuit. Circulaire. Cissoide. Citadelle. Clairaut (8). Clavius (3). Clepsydre. Climat. Co-Cheou-King (8). Cocher. Coeflicient. Cœur. Cohésion. Coin. Coïncider. Collimation. Collins (3). Collision. Colombe. Colures. Combinaison. Comète. Commandin (5). Commensurable. Commun-diviseur, Communication. Commutation. Compagnie (règle de) Compas. Complément. Complexe. Composé. Composition Compression. Comput. Concave. Concentrique. Cunchoïde. Concourantes. Concourir. Concours, Concret. Condamine (8). Condo rcet(s). Cône. À Configuration. Congruence. Conique. Conjointe (règle). Conjonction. Conjugué. Conoiïde Conon (3). O5 G5 © N © LD & LS Le 9 C5 UD m KL D Om mm = mi mm DD DR NN NN D RD = D ND ND RD ND RD KR LD ND» HO me me mi me ND KO RO m4 mt me NID 0 08,89 + NO ND NN ND RD NO me meme pe Det NO ee mt © mt mi NN D D D D D N° D mm 0e 2e mt De DD et mn = D © DR U9 QU Us O9 O3 LU LS QU) Us Ce OU Us III SSSSS D © nt TABLE ALPHABÉTIQUE. Conséquent. Consequentia. Conspirantes. Constante. Constellation. Construction. Contact. Contenu. Contigu. Contingence. Continu. Continues (fraclions). Continuité (1). Contour. Contraction. Çontregarde (1). Contre-harmonique. Contremines (1). Contrescarpe (1). Conyergent. Converse. Gonyersion. Convexe. Coordonnées. Copernic (s). Corbeau. | Cordes (1). Cornet acoustique, Corallaire. Corps. Correspondantes (hauteurs). Costrante. Cosinns. Cosmolabe. Cossique (règle). Cotangente. Côté. Cotes (3). Couchant. Coucher. Coulomb (8). Coupe. Courbe (1). Courbure (r). Couronne. Courtine (1). Cousin (8). Craige (5). Cramer (8). Cratistus” (8), Crépusculaire. Crépuscule. Crible. Cric (1). Croissante, Croissant. Croix. Croix australe. Crusiforme. Cuesibius (»). Cubature. Cube. Cubique (équation). Caltellation. Culminant. Cunette (1). Cunitz (x). Gurviligne. Cycle. Cycloïde (L). Cygne. Cylindre. Cylindrique, Cylindroïde. Cynosure. D D’ Alembert (»). Dante (x). Dasypodius (»). Dauphin. Décade. Décagonc, 363 363 : 363 363 364 365 367 368 368 368 368 368 386 386 386 386 386 386 38 387 390 390 390 390 390 391 39x D D D pe me mt met me NO KO NO ee pt et NO ei me et Di ei et NO De ON RO 9 Det KO NO et me NO NO NO D cms met et Dei Det ei Di et es ef Ge es et NO NO Dee ei me ne ne mt 19 D D ND D æ D D = = D ND = D D RD E D D > = = Décagramme. Décalitre, Décamètre. Décan. Décembre. Décharge. Décil. Décimale. Déclin. Déclinaison. Déclinant (cadran). Décomposition des forces. des équations. Décours. Décrire. Décuple. Décuplé. Décussation. Dee (5). Défectif. Défcient. Défilement (1). Définition. Desré, Delambre (»). Demetrius (8). Déemocrite (8). Demi. Demi-lune (1). Démonstration. Dendromètre. Deneb. Dénominateur. Densité. Densité de la terre. Densité des planètes. Dento. Dérivation. Desargues (5). Descartes (2). Descendant. Descepsion. Descente. Deschales (s). Description. Descriptive (géométrie). Déterminé. Déturbatrice. Deucalion. Développante. Développée (1). Développement. Déviation. Diacaustique, Diagonale. Diamètre. Dichotomie. Différence. Calcul des différences. Calcul différentiel. Diffraction, Digression. Dimension. Dinocrates (x). Dinostrates (»). Dioclès (%). Dionis du Séjour (8). Diophante (3). Dioptrique. Dee : Direction. Directrice. Discrète. Disque. Distance. aphélie. périhélie. réelle. moyenne, proportionnelle. apparente. accourcie, Ditton (»). Divergent, ox we] [EL CRT SE mu De et Ve je Me de ee De ve Pepe Per h © On OÙ O0 CON NI SI SI NI Qi Cr Gr O1 OÙ O7 Er LE NO Om ne Di ee D ee Jet ei be RE EE EEE RE ES LD D N D D D p D DD %0 BOUT Eee bre Do eu À mt 2 C0 C0 DO mon NON ON m0 0 De me me 19 NO NS 09 ve met ee ne men Dee ND co eee er DO DO NO 89 ve pet 0e, me pit pes mes D ge DD DO pee Pen pes pet Dee et per DO DS DO 2e ee 20 D) D Pet en CEE © CHERS NT; EE EEE EE EE EE + QU 0 U> VI LS Lo D VO Om = me Or ee ss ee fe mes as of SR ON OOU er] HE EEE EE EE IS Pb ES ES D mew m D ND D D NN D me me m 19 à AIG IUTAIGQ PT NON, ANR Ro d RER RER IR RE ES 584 Dividende. Diviseur. Division. des fractions. complexe. alzébrique. Division Cén Diurne. Dodécaëdre. Dodécagone. Dodécatémorie. Doigt. Dotlond (s). Dominicale (lettre). Dominis (8). Donné. Dorade. Double. Doublé. Dracontique. Dragon. Drebbel(s). Droit. Duplication du cube (s). Dynamique. D'ynamomètre. Echecs. Echelle. des dixmes. logarithmique. arithmétique. Echelles de pente (1). Echo. Eclipse. lunaire. solaire. Scliptique. DDR DR D RE D D ND N De mt ot me me me em N NON ON DD D ND mm D D D em TABLE ALPHABÉTIQUE. Ecoulement. Lcrevisse. Ecu de Sobieski. Egal. Egalité. Eïimmart (s). Elasticité (8). Elastique (courbe). Elémens. du système solaire. Elévation Elévation aux puissances. Elgebar. Elimination. Ellipse. Ellipsoïde, Elliptique (compas). ÆEl-Mamoun (»). Elongation. Engendrer. Engin. Engrenage (1). Enif. Ennéadécaétéride. Ennéagone. Epacte. Ephémérides. Epi de la Vierge. Epicyole (1). Epoque. Equant Equateur. Equations (a/g.) binomes. trinomes. réciproques transcendantes. exponentielles. de différences. Equation (astr). du temps. FIN DE LA TABLE. Sir Sr 5rt Sri ST Six Sri 513 513 513 514 514 520 520 523 528 528 528 526 539 530 530 535 535 535 535 535 535 535 535 538 538 538 54 562 555 557 558 559 559 560 mem mm NN D mm ND mm ND D D D NO me me oi on mt on in NO ND NO = DD DO D = N° DD D NO me me ne mi ve de l'orbite. des hauteurs correspon- dantes. Equatorial. Equerre. Equiangle. Equidifférence; Equidistant. Equilatéral, Equilibre. Equinoxe, Equinoxial. Equipage. ÆEratosthènes (5). Fre (5). Eridan. Erreur. Escompte (règle d’). Espace. Essieu. Etablissement du port. Eté. Etoile. ÆEuclide (s). Eudoxe (r). Euler (»). ÆEutocius (»). Evanouir. Evection. Excentricite. Exclusion. Exégése. Excentrique. Exhaustion. Exponentiel. Exposant,. Expression. Externe. Extraction des racines, Extrados. Extrême. UT Ov Er En En En tn ! SISJINIIISI NI SI ES CREER © GS GG GE D KE ù DO D D mm mm D D ND D N° D we mm mm N D ND ND N° N° N° me 08 m8 ot ot me et NO NO NO me m8 NO om 28 CO NII SI SI I © En Er er En Un tn Cr ve ie re = = men m5 Eee LR NE ET Î ET PL pe Dental — nant Snase Vanne + < PR ie — ER ace D In | i { Dé (l É à F2 É à F ll | ! : et" | ii . i RP Le | + PL. 4 MI LL Te rm ha Î a] 729 Ÿ û | È D Ce Fe de LS : [ [ : V4 el 1 J = << , el 5 } «7 HS | KZz 2 À L St L PS à / co REY) | SR FTIA Q\Ù ÿy À \ VE Ve I 72 ; mr, ee Sp AY ré À SS ( q A SN e ” n ? / 4 £ , A \ S \ s , > À ; Ÿ - _ Ca LA AS (Ge À Ce es | NS A VHS ES < È LL a 4 AVS) LE SA = à / FES a Ve SX 1 SX (7 À . PL ZT LEZ a mp) F & mat IX X XI XI LL IT III +7 Go PLIA a 1476 > { D EE 1, À ! ; : . i EL Vus 2 D 1 4 LU é PR 2 4 is À y L î # 4 $ 7 " 5 À té su S ©" ARE mn ÉS. - méric n ECC 7 Nr i . : #: : Le mi L Lu à . i û #i ui Jr. LE | PR LL 4 “oËT d Fe Llerades * x Hielrer * * Jorison - M 1 L] n _—_— te — — : _ : à ue < L 3 L . ï L ï + CL. À É : D 1 à : 1 ‘ no 27 > { 5 a Lo ue : . ; EE ee l LL ST : a DJ n Ë PS La | > |] # € g pa j ES de U ai D mm L 19 & — : V0 20 e “ + INSEE OMIS CT 1" 21 Ve Pt Lo P a n « L. + je rt Lez Mg Le Je RS # Aoute apparente dela (omete de 2704. Aruchery Del et Sul the ?l.25 ans 20.26 Fauchery l'elet Se è ë À { ï : LA PE. 27. PL 28 Von LS" SR # LL D PO — \ LE a L LL , : \ “ 0 , : — = - E L » " PC - à = Sr b … : m "cs pe* ë * L J ‘ « L sé \ D Q ' + ' - . … A : de ' [l 1 + | Û : n # : 1 \ | ne | | 4 h} Re fr : re } | | | SR | il, ‘ . LL + L bu ‘ Li = , w 22.0 | (El à A _u : , h pra. “ . Pal | Te 2. ee PA | d ! one mr : pe —<, Le a … re ee EE 7 | =. Te ET ï | né Le. Me ven à au deu y En AE | k Re en EF FA TN LA SN er RHONE | É ‘ PR f L e 4, o ee ” L L 0 oo, = — : RE RE RE RSS ==) d E l 9 L | 1h 6 Missy, | Be k + Te. Echelle de 9 001 pour à metres pour 1 et 2 l À e LI : À N L fi 0 À jé { . / ’ ; ‘ # . 4 s , s st M “sr. ed l «. 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