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e VON: °1919*UND MIT UNTERSTÜTZUNG DER, VIDENSKAPSAKADEMI ZU OSLO“UND.

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-SOPHUSLIE. en SAMMELTE ABHANDLUN GEN

"AUF GRUND EINER BEWILLIGUN G AUS DEM NOBWEGISCHEN FORSCHUNGSFON DS =

ER

DER"AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU LEIPZIG » HERAUSGEGEBEN VON DEM NORWEGISCHEN: MATHEMATISCHEN VEREIN DURCH

_ FRIEDRICH ENGEL POUL HEEGAARD

PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT PROFESSOR AN DER UNIVERSITÄT GIESSEN OSLO

ANMERKUNGEN ZUM VIERTENB

HERAUSGEGEBEN VON

FRIEDRICH ENGEL

3. TEUBNER-

LEIPZIG. rn. 108008

E , 2

SOPHUSLIE GESAMMELTE ABHANDLUNGEN

ANMERKUNGEN ZUM VIERTEN BANDE

Die Abweichungen dieser Ausgabe von

den ersten Drucken.')

8

S.1,2.11v.u. (215, 2.11 v.u.): „äl- teren‘.

9:8,2.18 @17; 2. Ir): solche Untersuchungen sich‘.

8.38, 2.8, 2v. u. IT, E86 Y7.9): „daß es bei... sich darum‘.

8.5, 2.18 v. u., 6, 2. 5f., 2.12 (219, 2.23, 29; 220, Z. 7): „die sich berühren“.

5:8, 2:7,6.v.u. 219, 2.7,6v.u.): „veröffentlichte, schrieb mir gelegent- lich Darboux“.

S.7,2.11 (221, 2.4): „F und ® nicht z enthalten“. a.

8.7, 2.17,19 (221, 2.9,11): I.

k=1 k=n

8.10, Z.12 v.u.(224, 2.11): I Xdz;.

k=1

9,42, 2300 28, 21V WW) „gegenseitigen“.

S.13, Z.15f£., 18 (227, 2.1, 3): „‚de- terminirten“ und: ‚indeterminirten“ sind vertauscht.

S.14, 2.9; 15, 2.12; 16, 2.16 (227, 2.22; 228, 2.21; 229, 2.19) fehlt: „von“.

8.37, 20, WW ZBT 5): „Iheorem I‘, während in Lies Hand- schrift richtig II steht.

8.18, 2.20 (281, 2.18): sind‘.

S.19, 2.9, 11 (232, 2. 6, 8): „daß die Gleichung ... sich befriedigen“.

„gestalten

„definirt

[ up Por, mat S.19, 2.12 v. u. (232, 2.19): „Die besprochenen‘. 8.20, 2.19 (288, 2,15): (X, P,),-.-- Ann). 8.20, 2.1v.u. (233, 2.6v.u.): po Ye: 00 0F'o®' ). ( Ip -5 0% ER ep, 2 zi

also entgegen der Festsetzung auf S.7 (221). Dieselbe Abweichung von dieser Festsetzung findet sich auch im folgen- den durchweg und hat an sehr vielen Stellen Änderungen der Formeln nötig

gemacht.

S.21, 2.8, 10, 11, 18 (234, 2.3, 5, 6, 13): (P}) 2, Statt: (Pi%)ep- S.21, 2.4 v. u. (234, 2.14 v. u.):

&,P,)= 4A 8.21, 2.2 v.u. (234, 2.12 v.u.) fehlt: „von“.

8.22, 2.1 (234, 2.10 v.u.): TT statt: Y.

S.22, 2.9, 11 (234, 2.2 v. u.; 235, 2,1): (X,TT,) und: (X,.P,).

S.23, 2.13£. (235, 2.3, 2 v. u): „als diese Gleichungen wesentlich die“.

S.23, 2.20, 28 (236, 2.5, 13): (X,P,) >44 mi IB SS BIS - [X Pal

8.23, 2.7 v.u. (236, 2.14): „und da-

‚ rum nicht‘‘.

S.25, 2.14 v. u. (238, 2.4): „bezüg- lich“. S.26,2.9 (238, 2.9 v.u.): „geben“.

1) Die eingeklammerten Seitenzahlen beziehen sich auf den ersten Druck, da- hinter folgt dessen Lesart. Unmittelbar ersichtliche Druck- und Sprachfehler sind

nur in einzelnen Fällen berücksichtigt.

29*

14863

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S.26, Z.14 (238, 2.4 v. u.) fehlt: |

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‘ + ‘

„von“.

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|

S. 26, 2.20,26v.o.,1v.u. (239, 2.3, |

10, 22): (X, P,) statt: (P,X,).

|

Abweichungen von den ersten Drucken

S.43, 2.10 v. u. (255, 2.3): „daß:

| 4,10), ...; A,(U) sich‘.

8.45, 2.2 (256, 2.12): „von“ statt:

| “s ' „unter.

3.26, 2.6 v. u. (289, Z.16): „Deri- ı &P)-

virte‘“. S.30, 2.15, 18 (242, 2.7, 4v. u): „Aus der“ und: ‚die vollständige‘.

S. 30, 2.23 (243, Z. 3): „ein Problem, |

mit dem“.

8.31, 2.5 v. u. (244, 2.6): „der er- |

steren‘“.

8.35, 2.7 (247, Z.11): „alle solche“. S.35, 2.17 (247, 2.20) fehlt: „von“. |

S.35, Z.24 (247, Z.10 v. u.): „Sind | 5 ' „indem“ statt: ‚weil‘.

nun

um können‘.

8.35, 2.1v.u.;36, 2.3 (248, 2.3, 6): of BF

X; dx. statt: X; da;

8.35, Z.4 v.u. (7, 2.2 v.u.): „Dar- |

S.47, 2.16 v. u. (258, 2.17 v. u.):

8.48, 2. 7—9. (259, Z.9£.): ‚so wird OB, S.48, 2.12 (259, Z. 13): „‚TT eine bloße Funktion von X, ,1-- - Xg4m sein“. 9.48, 2.14 (259, 2.15): (X,P,). 8, AH Vu 2: KAP)=(WP;). 8.48, 4.10 v.u. (259, 2.18 v. u):

5.49, 2.8 (260, 2.5): (X, P,). 8.49, 2.14 v.u,4v. u. (260, Z. 21

| VRSEIM WEIN I

8.49, 2.11 v. u. (260, 2.18 v. u.):

| „Offenbar nämlich ist“.

8.36, 2.18 (248, 2.14 v.u.): (X,P,).

S.36,2.5v.u. (248, 2.2 v.u.): „jedes (u,u,) sich als‘“.

S.37, 2.4 (249, 2.5f£.): „drückt da- bei jedes (u,u,.) sich‘.

8.37, 2.5,3 v.u. (249, 2.5,3v.u.): „daß die Gleichungen‘, „sich nach‘.

S. 38, 2.3 (250, 2. 2): „(X,P,)“.

S. 38,2. 5£. (250, Z. 4£.): „drückt jedes (u,u,) sich“.

S.38,2.9,7v.u. (250,2.15,13 v.u.): „jede r-gliedrige Gruppe sich“, „Soll eine r-gliedrige Gruppe sich‘.

S. 39, 2.6 (250, 2.2 v.u.): (X,P,).

S. 40, 2.8£. (251, 2.11,10v.u.): „Nun sagt das... jedes (v,v,) eine solche ge- meinsame Lösung‘.

S.40, 2.17 (252, 2.7): „gehören“.

S.40, 2. 21, 23 (252, 2.11,13): „zwei- ten‘ statt: „andern“.

8.40, 2.3,2 v.u. (252, 2.3,2v.u.): „ordnen auch ... Beziehungen sich‘.

8.49, 2.7 v. u. (260, 2.14 v. u.): »Xg.,.ı nicht der Gruppe (A)“.

8.50, 2.497, u 861, 2.16 v. u): (X, P)). Ä

S.51, 2.1 v.u.; 52, Z.1f. (262, 2.14, 13 v. u.): „und ihre Untergruppe‘.

S. 53, 2. 4f. (263, 2.14 v.u.): „X, ,.--, Xp; Pı,..., P, annehmen.“

8.53, 2.17 (263, 2.2 v. u.) fehlen: Xoyı und P,+ı-

8.53, 2.7 v. u. (264, 2.10): (X,Pı;).

S.54, 2.5, 4 v. u. (265, 2.10f.). Im ersten Drucke sind die beiden Zeilen ver- tauscht.

S.55, 2.16 (265, 2.7 v. u.): „vom Theorem“.

S.55, 2.10 v. u. (266, 2.4): „Funk- tionen beider Gruppen“.

S.56, 2.3 (266, 2.16): „verlangt ihre‘.

S. 56, 2.18f. (266, 2.7,6 v. u.). Im ersten Drucke sind die beiden Zeilen

' vertauscht.

8.41, Z.11 (252, 2.7 v. u.): „rezi- |

proken“.

8.42, 2.2,1v.u. (254, 2. 20£.): „daß

die Zahl... Funktionen sich in‘“.

S.43, 2.14, 13 v.u. (254, 2.2,1v.u.):

„müssen unsere r Gleichungen sich“.

| | | | | | |

8.60, Z.12 (270, Z.12): „keine an-

' dere‘‘.

8,09, 2.10 7. 4, R%, 213 v. u.):

| „Jedes (FiF% ey sich“.

8.61, 2.9, 11 (271, 2.6, 8): (X, P,), (X PY).

Abhandlung I—II

S. 61, 2.12 (271, Z. 9): „Nun sind“.

8.61, 2.15 v. u. (271, 2.18): „über- führt“.

8. 62, 2.10 (272, 2.3): r+ o statt: r—+k.

S.62, 2.11 (272, 2.4): „daß F,,x sich‘.

S.62, 2.13, 12 v. u. (272, 2.14£.): „muß nach ... jedes (Fy'F,') sich in“.

8.62, Z.4 v. u. (272, 2.14 v. u.): |

„transformiert‘“.

S. 63, 2.9 (272, 2.2 v.u.): „daß kein F,;x sich“.

S. 63, 2. 16f. (273, Z. 6f.): „muß jedes ... Gruppe sich‘.

S.68, 2.12 v. u. (273, 2.13): „der- artige‘“.

S. 65, 2.13 v. u. (275, Z. 2): „des Sy- stems“.

S.66, 2.10, 9 v.u. (276, Z.1£.): „daß häufig ... sich erreichen.“

8.69, 2.5 (278, Z. 2£.): „brauche ich nicht meine neue Theorie‘.

S.71, 2.1 (279, 2.10 v. u.): „ausge- zeichnete‘‘.

8.71, 2.5 v. u. (280, 2.16): „‚weite- ren‘, S.72, 2.9 (280, 2.8 v. u.): „in dem letzten“.

5.72, 2.14 v. u. (281, 2.8): „ver- schiedene gemeinsame Lösung‘.

S. 73, 2.16 (281,2.5v.u.):XVlstatt: XVI.

S.73,2.14 v.u. (282, 2.3): ,_„ und Pn—m Statt: ,_m4ı und PR _m+ı:

S.73,2.8,7 v.u. (282, 2. 10f.): „daß jedes ... celeste sich durch“.

8.16, 2.10 v. 0. 286 2:5 9. u: ($ 15., 33).

S. 77, 2.15 (285, Z. 21) fehlt: ‚von‘.

S. 77, 2.17 (285, Z. 23): „Integration das... Körper sich‘.

8:77, 2:19: (285,2. 26): neue“,

S. 77,2.12,11v.u. (285, 2.7,6v.u.): „daß die...sich ohne“, i=n

S. 78, 2.16 (286, Z.16): (a: GB

vr 02; EP:

„unsere

|

451

8.79, 2.8, 10 (287, Z.11): „daß je- des‘, „sich durch‘.

8.80, 2.4 v. u. (288, 2.5 v. u.): — sH statt: = sH.

S. 82, 2.15, 12 v. u. (290, 2.16, 19): „Ich stelle auf das vollständige System“.

S. 84, 2.16 (292, Z. 9): „brauche ich‘.

S.86, 2.12 (293, 2.3 v. u.): (X, P,).

S.86,2.7 v.u. (294, 2.14): ‚als mög- lich“.

S. 88, 2. 1f. (295, Z. 21£.): „Nach dem zweiten Satze ... enthält unsere Polar- gruppe daher“.

S.88, 2.4 (295, 2.24): (X 41 Pa+ı)-

S.90, 2.4—2 v. u. (298, 2.9—11): „entscheiden, ob r gegebene AR H,'...H,' sich überführen“.

S.94, 2.7—5 v. u. (301, Z. 12—10 v. u.): „ich über die durch eine... be- stimmte homogene Gruppe und ebenso über die durch mehrere ... bestimmte homogene Gruppe“.

S.95, 2.14 (302, 2.10): „Konsequenz vom vorangehenden‘.

S.96, 2.8 (303, Z.1). Die Bezeich- nung Nr. 55 ist neu.

S.96, Z2.10—12 (303, Z.3f.): „daß jedes (H,H,) sich als lineare Funktion mit konstanten Koeffizienten der H aus- drückt“.

II.

S. 97, Z.12f. (245, 2.11): „und Ja- nuar 1875“.

S.98, 2.6 (246, Z.3): „ihren Nach- folgern‘“.

S.98, 2.12 (246, Z.8f.): „unter die- ser erweiterten‘.

S. 98, Z. 18f., 20£. (246, Z. 15£., 17£.): „gleichzeitig durch einen ganz anderen Weg‘; „mehrerer eleganten und prä- zisen analytischen‘.

S.98, 2.24 (246, Z.21): „wesentlich im Folgenden‘.

S. 98, 2.6,5 v.u. (246, 2.13,12v.u.): „die Berechtigung auch auf diesem Ge- biete der... Methode zur“.

S. 99, 2.6, 7 (247, Z. 2, 3) fehlt: = 0.

452

8.100, 2.10f., 13 (248, 2.5£., 8): „Ausdruck, worin A (B(f) — B(A(f)). & ...%, sich umwandelt‘“.

8.100, 2.7 v.u. (248, 2.16):

S.101, 2.5 (248, 2.5 v. u.): bloße Funktionen von &,',..-, ie ;

5.101, 2.2 v. u., 102, 2. 6 (249, 2.14 v.u,7v.u.)fehlt: ‚von‘.

8.102, 2.4,.8 (249, 2.9,5 v. u): „giebt“; ‚geben‘.

S.102, 2.12f. (250, an diesem Orte auf“.

S.102, 2.12 v. u. (250, Z. 12). Die Be- zeichnung Nr. 1 fehlt.

S.102, 2.7 v. u. (250, 2.17) fehlt: BR 02 og

S.103, 2.13 (250, Z.6 v. u.): „‚weg- sehen‘.

S.108, 2.6 v. u. (251, Z.11) fehlt: „von“.

S.104, Z. 4 (251, 2.13 v. u.) fehlt: BR N 3 GR

8.104, 2.5 (251, 2.12 v.u.):p, =

S.104, 2.8 (251, 2.9 v. u.): „ein an- scheinend noch“.

S. 104, 2.14 (251, 2.2 v.u.): „geben“.

8.105, 2.3 (252, 2.17) fehlt: „von“.

8.105, 2.8 (252, 2.12 v.u.):p, = -

S.105, 2.16,15 v. u. (252, 2.2,1v. u.): „Symbol, welches wir sogleich defi- nieren, einführen“.

S.106, 2.11 (253, 2.15 v. u.) fehlt: „aus“,

S. 107, 2. 3£. (254, Z. 13f.): „Schaaren der verlangten‘; „solche Schaaren‘“.

S.107, 2.16 (254, 2.15 v. u.) fehlt: Aue,

8.107, 2.1 v.u. (255, 2.6): einer q-fach ausgedehnten“.

S.108, 2.6 (255, 2.12): „Ich brauche das‘.

S.108, 2.17 v. u. (255, 2.14 v. u.) fehlt: ‚von

S.109, Z.1 (256, 2.4): Problem sich“.

8.109, 2.14 (256, Z.16f.): „uns dar- um im‘.

U - :

2.2): „ich nicht

„irgend-

„dem unser

Abweichungen von den ersten Drucken

8.109, 2.17 v. u. (256, 2.16 v. u): fehlt die Bezeichnung: ‚‚Hilfsproblem 1“.

8.110, 2.2 (257, 2.4): „noch meh- rere‘‘. |

8.110, Z.14 (257, 2.18):

Se

— AT, APa APa Aa 8.110, 2,8 7. W387. 2,8 2, u:

(F,®,).

8.111, 2.18 v. - h dr; statt: Pr Pe; 8.111, 2.10 v. u. (858, 2.2-v. u.): (F,D,). 8.112, Z.1 (259, 2.9): „zusammen

mit ihren Differentialgleichungen‘“.

8.112, 2.7 (259, 2. Rn fehlt: „von“.

8.112, 2.181. (259, 2 en IB wu „Werte a” der Parameter a,‘“.

8.112, 2.21 (259, 2.12 v. u.): „des zweiten Paragraphen‘.

8.3132, 2.9 u = 98, 2.9.v.u): dH 0, PT

S.113, Z. 4 (260, Z. 4) fehlt bei F der Index 1. |

8.113, 2.14, 19 60, 2.14, 19): „so ordnen die‘; „zusammengeordnet‘'.

8.118, 2.2 v; 5260, 2.59, u): (F,F)=0.

S.114, 2.1 (260, 2.3 v. u.): „Lassen die Elemente... F=a sich in“.

S. 114, 2.5, 7 (261, 2.3, 5): „daß die

„X; zn

Elemente... sich immer“.

8.114, 2.6 (261, 2.4): =0 statt: ==d.

8.115, 2.1 (261, 2.5 v. u.) fehlt: „von“.

5.318; 2.0: 998.2: 8: V. u): M,._ı statt: M,_»-

S.116, 2.6 (263, 2.3) fehlt: „von“.

8.116, 2.7 (263, 2.4) fehlt: (k=1,

Be 5

8.116, 2.10, 9 v.u. (263, 2.12 v.u.): „so ist es klar‘.

8.117, 27.1268, 2.9 v. u.): sammenordnen‘“.

„ZzU-

Abhandlung II

8.117, Z.3 (263, Z.7 v. u.) fehlt: „von“.

8.117, 2. 6 (268, Z.4 v. u.): M, statt: MM...

S. 117, 2.15 (264, 2. 9): (F,®,).

8.117, 2.13, 12 v. u. (264, 2. 16f.): „daß zu einer... F sich weitere“.

S.117, Z.9 v. u. (264, 2.21): statt: 295.

8:117, 2:2 v. u.(@6, 2.11 v.u):

d dH

EM < Kovagiii m

S.118, 2.4 (264, 2.6v.u.):„F=a“.

S.119, Z.14f., 16 (265, 2.4 v. u, 2 v. u.): „ist bestimmt nachgewiesen“ ; „auch die von P’ noch“.

8. 119, Z. 20 (266, Z. 3): „„Differential- quotienten des ©“.

$.119, 2.5 v. u. (266, 2.16): „Wir brauchen die‘.

248

=V.

8.120, 2.13f. (266, 2.8, 2 v. u.): „Fall dreier oder noch mehrerer Glei- chungen“.

S. 120, Z. 18 (267, Z. 3): „ein Integral- M„

8. 120, Z.11v.u. (267, 2.9):2n statt: 2n —1.

8.120,Z.10v.u. (267, 2.11): „2; — Sin SEHR Pi Pk 7 0

8.121,2. 10 (267, 2.7 v.u.): a, statt: An-ı°

S.121, Z. 13 (267, Z. 4 v.u.): „welche bez. A, und A’ mit M„_ı“.

S.121, 2.14 (267, 2.3 v. u.): „als angehörig M,„_ı“.

S.121, 2.13—11 v. u. (268, 2.10 bis 12): „Möglichkeiten, daß die P, die ...., und daß sie es nicht sind, zu berücksich- tigen. Im ersten‘.

8.122, 2.9 (268, 2.6 v. u.) fehlt: „von“.

8.128, 2.158. (268, 2. 18.): sitzen; gleichzeitig ... stimmung“.

S. 1, 2.8 v. u. (269, 2. 19). fehlt: „uns“,

„be- zu ihrer Be-

453

S.123, 2.2 (269, Z.18 v. u.): „so ord- nen die“.

8.1288, 2.2, 1 v. u. (270, 2. 18f.): „ordnen sich in ... Elementen, zusam- men“.

8.124, Z.11f. (270, 2.15, 14 v. u.): „die charakteristischen Streifen‘.

8.124, 2.12f. (270, 2.13 v. u): „e derselben den‘.

S. 124, Z. 15 (270, Z.11 v.u.): „E die- ser Streifen‘“.

8.124, 2.%0 (270, 2.5 v. u.): menten der E’“.

8.124, Z.1 v. u. (271, 2.14): ‚Diese oor7° M,".

S.125, 2.3 (271, 2.18): „nuroo! M,“.

8.125, Z.13—16 (271, 2.15—12 v. u.): „solche Funktionen f(2ı,.--, 2,) gibt, . Koordinaten der Gleichung

„Ple-

' f= 0 genügen“. S.119, Z.1 v. u. (266, 2.20) fehlt: |

S.125, 2.17£f. (271, 2.12, 11 v. u.):

„Mannigfaltigkeit f = 0 gelegenen“. .8.125, 2. 22f.; 25£. (271, 2.6 v. u,

3 v. u.): „Lagen auf f—= 0 annehmen”; „schneidet f = 0 jedenfalls“.

8.135, 2.11 v. u. (271, 2.2 v.u.) fehlt: „von“.

S.125,2.9,8v.u.(272, 2.1, 2):

&pıt ‘+ %uPı >= H(p,. ..

ILqg-k = dp.

RE RE An_2)»

Par Carıı +++» dH

ELLE Saab d re

k g4+ “ S.125,2.6v.u. (272, 2.4): „Pı» ---Pg a, und‘. 8.126, Z.15 v. u. (272, 2.9 v. u.):

„System ordnet die‘.

S.127, Z.11 (273, 2.18). fehlt: „von‘.

8.127, 2.13 (273, 2. 20): P.+m Statt: Pa+m+1:

8.127, 2.17 (273, 2.13 v. u.): „zu ihrer Bestimmung“.

S.127, 2.2 v. u. (274, Z.1) fehlt: Bi;

S.128, 2. 3 (274, Z.5) fehlt der Nen- ner p,-

8.128, Z.5f. (174, 2. 7f.): nun insbesondere ... Pıs» + +» Pn Variabeln‘“.

„werden 2n+1

454 3.1288, 29 u 8:84; 29-90): dFd® dFd» FIT I map, Apdz

S.128, 2.5 v. u. (274, 2.6v.u): ® statt: F.

S.128, 2. 3—1 v. u.; 129, 2. 4,5 (274, 2.4—2 v. u.; 275, Z.3, 4) hat die linke Seite der ersten Gleichung und überdies jede Summe das entgegengesetzte Vor- zeichen.

8.129, 2.12 (275, 2.11): P.+m Statt:

Pa+m+1° 8.129, 2. 14 (275, 2.13): %,_x = Po statt: &,_R — Po

S.129, 2.17 (275, 2.17): pP); m Statt: Pqg+m+ı, und es fehlt: = 0.

S.129, 2.18 (275, 2.18): „Und es handelt sich“. S.130, 2.1 (275, 2.5 v. u.): „die

Größen 2, ,..., kommen‘.

S.130, 2.6 (276, 2.2): p,,ı statt: Pa+mz+ı, und es fehlt: = 0.

8.130, 2.15 (276, 2.11): p,;m Statt: Pa+mz+ı, und es fehlt: = 0.

S.130, 2.18f. (276, 2.15): ‚„Involu- tionssystem der Form p, —h,=0 auf- zustellen‘‘.

S.130, 2.6 v. u. fehlt: „von“.

8.131, 2.11 v. u. (277, 2.17): „und dabei die Größen 2, - - - &, sich ais“.

3.181:2.0, 5.8, 11V. W112, 2.17, 16, 14,12 v. u.): q statt: qg — m.

3.181, 2.3 u u, 2.14 8: u): „man sie‘.

9.1382, 2,8 1271,.2.7 9003: 2 9%

S.132, 2.7,9 (277, 2.5,3 v.u.):q statt g— m.

S.132, 2.13 (278, 2.2) fehlt: „von“.

S.132, 2.21 (278, 2.10): x qa+m+1’°

S.132, 2.1v.u. (278, 2.1v.u.): „In- tegral-M,,““

5.138, 2. 2,6,9,18 (279, 2.18,10,7, 3 v. u.) fehlt: ‚‚v

S.183, 2.8 a6 SR FE Rn unser Problem sich‘.

S.133, 2.16 (279, Z. 3) fehlt: „von“.

7 nicht in den H vor-

(276, Z.11v. u.)

arm LT

„läßt

statt:

ı

Abweichungen von den ersten Drucken

5.133, 2.6 v. u. (279, 2.15): $10 statt: $9.

S.133, 2.4 v.u., 134, 2.2 (279, 2.18, 22) fehlt: ‚von

S.135, 2.5 (280, Z. 20): „‚Fortschrei- tungsrichtung binnen der M,“.

S.135, 2.10 (280, Z.12 v. u.) fehlt: „von“.

8.185, 2.181. (280, 2.9, 8 v. „Ausnahmswerthe‘“.

2.185, 2. 16f, (280, 2.6.5 v. ü.): „daß die Elemente... M, sich in zwei“.

8.136, 2.2 v.o.,14v.u. (281, 2.15 v.0.,5v. u.) fehlt: ‚von‘.

S.136, 2.4 (281, 2.17): „Als Punkt- koordinaten‘‘.

3.790, 2.70. wer 211 ©. „Sprachweise einen Büschel“.

S.136, 2.20 (281, 2.7 v. u.): „einen Büschel‘“.

8.196, 2.21 (281, 2.6 v. u.): charakteristische M,“.

S.136, 2.23 (281, 2.4 v.u):z=c statt: = 0.

u.

„Die

S.136, 2.6 v. u. (282, 2.4): „ange- hörten“.

8.136, 2.5 v.u. (282, 2.5):$ 12 statt: 810.

8.137, 2.7 v. u. (283, Z. 4): „Auf sie führen“.

T $.137, Z.4 v.u. (283, Z.7 (2 —) d | S dxg+ı

Br

S. 188, 2.3 (283, Z. 12): „geben“.

S.138, 2.7 (283, Z.16): „eben sagt‘.

S.139, 2.9 (284, Z.15). Die Summe hat entgegengesetztes Vorzeichen.

S.189, Z.10f. (284, 2.16f.): „die q zu k=1,...,q entsprechenden Glei- chungen“.

S.139, 2.5 v.u. (285,

zweite Gleichung: GE == 0, S.139, 2.2 v. u. (285, 2.3) fehlt:

„von“.

S.140, 2.12 (285, 2.15): „Paragraph 5,

S.140, 2.13, 12, 9,9 v. u. (285, 2.9, 8,5,4v.u.):pstatt: P.

Z.1) lautet die

Abhandlung II

S.141, 2.4 (286, 2. 8): Satz 6.

8.141, 2.5 (286, 2.9): = c statt: 2 = 0;

S.141, 2.9 (286, Z2.13f.): metern c, 0,417 ++ +6n -

S.141, 2.16 (286, Kar,..o

S.141, 2.9 v. u. (286, „geben“.

9.141, 2.7 v. u. (286, 2.7 v. u): In dem 2, rechts steht c für 0 und: p? für p®.

8.141, 2.3 v. u. (286, 2.3 v. u.): In W „steht ce zwischen x, und c,,;-

8.142, 2.6 v.u Q9, 2.7 vu

£ dN ee ee S.142, 2.1 v. u. (287, 2.2 v. u.):

= (fıfe)- = afı S. 143, 2.2 (288, 2.1): — — da, da,

+ (ho).

8.143, 2.5, 6 (288, 2.4,5): pı —fı statt: pı — f.

S.143, 2.14 v. u. (288, 2.17): „Dif- ferentialquotient‘‘.

8.148 2.20% u X, m —f).

8.143, 2.9,8 v.u. (288, 2.12 v.u.): „Pn gar nicht in der transformierten Gleichung von“.

8.143, 2.6 v.u. (288, Z.10 v. u.) fehlt: ‚von

8.144, 2.1 (288, Z.4 v. u.): „N eine bloße Funktion der x, so“.

„Para- 2.21) fehlt:

2.9 v. u.):

(288, 2.21):

8.144, 2.5 (289, Z.1): „Größen Pır Da 8.144,2.20 (299, 2.16):,0%, „enziu,

n Pn

S.144,2.7,3 v.u. (289, 2.11,7v.u.): p(® — f®) und: pi) — fi,

8.145, 2. 1f. (288, 2.5—83 v.u.): „Da nach Theorem 8 ... Differentialglei- chung sich reduzieren läßt“.

8.145, 2.6; 147, 2.2; 149, Z. 8; 150, 2.12 v. u. (290, 2.2; 291, 2.7 v. u; 293, 2.2 v. u.; 295, Z.12): Die Num- mern 22—25 sind neu hinzugefügt.

S.145, 2.11 (290, Z. 8): „Darum kön- nen‘,

| |

455

S.145, Z.11—13. (290, Z. 9f.): „daß die... Gleichungen sich immer“.

S.145, 2.13, 25, 30, 32 (290, 2.11, 21, 25, 27) fehlt: ‚von‘.

S.145, 2.15f. (290, 2.12, 13):

2, = h(lu41:- , %,) i=l...,G, Pr hr (%arı> „or, Ins Patm+ir +5 Pn): k=q+1,...,,9q+m-+1.

S.145, 2.19, 20, 23 (290, Z.15, 16, 19): „Ist q> 1"; „Istqg= 1"; „endlich

| a0,

8.145, 2.24 (290, Z.20) fehlt: k=1,...09).

8.145, 2.5 v. u. (290, Z.11 v. u.): (Satz 25).

S.145,2.1v.u. (290, 2.7 v. u.) fehlt: egyır-

8.146, 2.5 (290, 2.2 v. u.): Pgrı statt! p,4;-

8.146, 2.9, 22, 24 (291, 2.3, 16, 18) fehlt: „von“.

S.146, Z.20 (291, Z.14): „mehrere Elemente‘.

8.146, 2.6 v. u. (291, 2.14 v. u.): Die Nr. 35 fehlt.

8.146, 2.3 v. u. (291, Z.11 v. u.): „Die diesen Elementen zugehörigen“.

S.146,Z2.1v.u. (291,2. 9 v.u.): „eine Mk—I ““

ei

8.147, 2.12 (292, Z. 4): „giebt“.

8.148, 2.6 (292, 2.2 v. u.):

Ww >. — 0 m —h)=0. k S. 148, 2. 16 (293, Z. 9): (W, Su Prr—h)=0 S. 148, Z. 20 (293, 2.13): (Q, P-ZIrhi) — 0.

S.148, 2.6 v. u. (293, 2.16 v. u.): „man sie durch‘.

S.148,2.3,2 v.u. (293, 2.13,12v.u.): „indeß nicht an diesem Orte näher‘.

8.149, 2.17, 25; 150, Z.1, 10, 20 (294, 2.8, 16, 24, 33; 295, 2.7): Die Nrn. 36—40 fehlen.

S.149, Z. 21 (294, 2.12): (F,®,).

S.150, 2.2—5 (294, 2.12—9 v. u.): „(F,F,)= 0 geben, so lassen die... sich zu Integral-M

‘rs n—1

456

S.150, Z.11 (294, 2.3 v. u.): „eines speziellen Involutionssystems“.

S.150, 2.16 (295, 2.3): „muß ich doch“.

S.150, 2.24 (295, 2.11): „6 und 7“.

S.151, 2.8 (295, 2.6 v. u.): „Ist sie geleistet‘.

S. 151, 2.11 (295, 2.3 v.u.): „geben“.

S.151,2.15 296, 2.3): Fur.» 9 9n-ı, Dr

IIa.

8.151, 2.5 v. u.; 152, 2.2 (225, 2.5 v.u.; 226, 2.2) fehlt: ‚von‘.

S.152, 2.1 (226, 2.1): „jedes solches“.

S.152, 2.15, 21 (226, Z. 15, 22) fehlt: „aus“ und ‚mit‘.

S.152, 2.3 v. u. (227, 2.3): „weite- ren‘. 8.152, 2.3 v. u. (227, Z.3): „solche weiteren‘.

8.152, 2.2 v.u.;153, 2.8 v. u. (227, 2.4 v.o.,2v. u.) fehlt: „von“.

S.153, 2.5 (227, 2.11): „Ist zuerst“.

S.153, 2.11 (227, 2.16): (F,9,).

S.153, 2.4 v. u. (228, 2.3): „solche weiteren‘.

S.154, 2.6 (228, 2.13) fehlt: ‚von‘.

8.154, 2.8 (228, 2.15): P,+m Statt:

Pa+m+1:

S.154,2.9v.u. (228, 2.2 v.u.) fehlt:

NE PER; 9 .155, 2.6 (229, 2.15) fehlt: „von‘“. .155, 2.14 (229, 2.9v.u.): o statt:o. .155, 2.2 v.u. (230, 2.7):®,:®,_ı- .156, 2.2 (230, Z.11) fehlt: „von‘“. .156, 2.10 (230, 2.19): o statt: o. .156,2.9 v. u. (231, 2.1): „geben“. .157, 2.5£. (231, 2.15): „Substitu- tn nn =,

8.157, 2.8 v. u. (28, Z.6) fehlt: „mit“.

S.158,2.8v.0.,,3v.u.(29,2.12v.o., 2 v. u.) fehlt: „von“.

8.158, 2.19 (29, 2.13 v. u.): (F,9,).

S.158, 2.1 v. u.(80, 2.2):

P— hr (Earı >.» EnPı +“ Pape G=4..0)

NN

u B)

Abweichungen von den ersten Drucken

S.159, 2.3, 6 (30, 2.5, 8): „daß der Ausdruck ... sich auf eine“.

8.159, 2.9; 160, 2:6. v. u..(80, 2.11; 31, 2.11 v. u.) fehlt: „von“.

8.160, 2,1: u, @L ZIG :u.): REED "Pn-ar“

S.161, 2.2 (32, 2. 2): „Gleichung und es kommt“.

8.162, 2.1 (82, 2.2,1v.u.). Es fehlt: „von (7). — „Substitution 2, = Q,,.- -, Lq = ,

S. 162, 2.9 v. u. (83, 2.8 v.u.): „Ist sie integriert‘‘.

+» Pn-a-ı

IH. S. 169, 2. 1 84, 2.20): „Bd. V, p. 466“. 8.165, 2.6 v. u. (466, 2.6 v. u.): (hF}) —=1. > 106: 8:6 8, u. (387, 2.1 8. U:

et #7 = 0 HF) +2% WARE

8.166, 2.3 v. u. (468, 2.3): u, (hıF,)-

S. 167, 2.2 (468, 2.8): 1= (fıF}).

S. 167, Z.7 (468, Z.11) haben beide Summen das Minuszeichen.

8. 167.: 2.18. 1468, :2.16 v.. u): In ERRERE ARE gemeinsame Lösungen.“

S.168,2.5v.o.,4v.u. (469, 2.7v.o. 6 v. u.) fehlt: „von“.

8.168, 2.9 (469, 2.12): „nur gewiß“.

8. 169,.2.7 v. u. (470, 2.11 v. u.): „die größte der“.

S.170, 2.9 (471, 2.6): „gegenseiti- gen“. S.170, 2.19 (471, 2.16): „Mehr über- raschend ist es“.

8.171, 2.18: (494, 2-38, J4 vw. u.): „so, daß die... Theorems sich mit‘.

$.171, 2.15 v.u, (472, 2.19) fehlt: „OR“,

9.172, 2.1:472%.2.4 v. u): „Sy- stem‘. .

S.172, 2.19 (473, 2. 15) fehlt: „von“.

S.173, 2.18 (474, Z.9): „Funktio- nen“. 8:178,:2.2 v. un. 74, 2.2 v. u): „S'heorem'‘.

‘

Abhandlung II—III

S. 174, 2.18, 21 (475, 2.7, 9): „jeden- falls‘‘ statt: ‚‚mindestens‘“.

S.174, 2.3 v.u. (475, 2.3 v. u.) fehlt: Xatur+t

8.176, Z.2 (476, 2.13 v. u.): „bei ihrer Bestimmung“.

S. 176, 2.12 (476, Z.3 v. u.): „Fehlen insbesondere‘.

S. 176, 2.7 v. u. (477, 2.13): „keine ausgezeichnete‘.

=, 2.118 (49629 v. u): „8 fehlende als 2 fehlende Lösungen zu be- stimmen“.

8.177, 2.14, 18 v. u. (477, 2.5, 4 v. u.): „keine ausgezeichnete Funktion, 2 ausgezeichnete Funktionen‘.

8.178, 2.15 (478, 2.14 v. u): f, statt: fg.

S.179, 2.2 (479, Z.11): „indem“ statt: ‚weil‘.

8.179, 2.15 (479, 2.11 v. u.) fehlt: „von“.

S.180, 2.8 (480, 2.17 v. u.): „gibt“.

S.180, 2.12f. (480, 2.12 v. u.): „nicht in V vorkommen“.

S.182, 2.7, 9 (482, 2.12, 14) fehlt: „von‘“.

S.183, 2.3 (483, 2.4): „in $ 2“.

S.184, 2.19 (484, Z. 17): „‚diesen Vor- aussetzungen‘“.

8.185, 2.4, 24 (484, 2.3 v. u., 485, 2.18): „System“.

8.185, 2.5 v. u. (485, 2.21) fehlt: Katmz+ı:

9.380,...86L (485, 2,8, 2 v. u): »N1>,...,N,,H bloße Funktionen ... P, sind“.

S.186, 2. 10 (486, 2. 2): „System“.

S.186, 2.11 (486, Z.3) fehlt: „von‘“.

S.186, 2.17£. (486, 2. 9£.): „als bloße Funktion ... und ®, notwendig“.

S.187,Z2.1v.u., 188, 2.1 (487, 2.12 bis 10 v. u.): „deren Grad ein Divisor des Grades ... Gleichung ist, zurückge- führt werden kann. Diese Gleichungen“.

9.488, 2.311: ww (488, 2.°14):

= 2(p).

S.190, Z.16f. (490, Z.1): „Haupt-

resultate des vorangehenden“.

457

S.190, Z. 20, 27 (490, Z. 20, 26): „‚sol- cher infinitesimalen‘“, „solcher algebra- ischen‘“.

S.191, Z.14 v. u. (491, Z.3) fehlt: „von“.

8.191, 2.8 v. u. (491, 2. 9f.): „wenn das Integral‘.

S.192, 2.9 (491, 2.10 v. u.): „in ihr statt“.

8.193, 2.5, 4 v.u. (493, Z.5): „man darnach zwei‘.

S.195, 2.12 (494, Z. 17) fehlt: „‚von‘“.

S.195, Z. 14 (494, 2.19): ‚„‚Es sagt da- her‘‘.

8.196, 2.6 v.u. (495, 2.10 v. u.) lau- tet der Index k statt 7.

8.186, 2.5 v. u. (48, 2.9-x. u.): „eine gemeinsame Lösung“.

S.197, 2.13; 198, 2.2 (496, 2.10 v.o., sv; u.) Zeblt: (km },.:..,#%)

S.197, 2.20 (496, Z.16) fehlt:

Re 3}

S.197, 2.23 (496, Z.19): „indem“ statt: ‚weil‘.

8.198, 2.8 (497, 2.4): „so daß die Gleichungen (5) und (6) sich in genau“.

S.198, 2.13, 15, 16 (497, 2.10, 12, 38) 1ehlea = 1, „rn, k—1,.:.,0) und: „von“.

8.199, 2. 4£. (498, (A,(B,„B;.)) sich linear“.

8.199, 2.17 (498, 2.12): „indem“ statt: „da“.

8.199, 2.12 v. u. (498, Z. 21): „gibt wegen‘, „Relation der Form‘.

8.199, 2.7 v. u. (498, Z.11 v. u.): „indem“ statt: ‚weil‘.

S.199, 2.6 v. u. (495, 2.10, 9 v.u.): „die 5 gemeinsame Lösungen“.

S.200, 2.6 (499, Z.2): „keine weitere‘.

8.200, 2.18 (499, 2.14): TI,,... 5 BR

S. 200, 2.22, 25 (499, 2.18, 21) feh- en: G=1,...,r) und:(k=1,...,q).

S.200, 2.23 (499, Z.19): „während seine inf. Trff. B,(f) sich in“.

8:00, 25 vs u. (499, 2.9 v. u):

4.43%: „0aB

' „so gilt dasselbe auch“.

458

S. 201, Z.1f. (499, 2.4, 3 v.u.): „von jetzt an annehmen ... die Multiplika- tion y“.

S. 201, 2.5 (500, Z. 1) fehlt:

Ve Re

S.201, 2.17 (500, 2.13): ‚indem‘ statt: „weil“.

S.201, 2.25 (500, 2.20f.): ‚‚die n’ — r — g’’ gemeinsamen Lösungen“.

9.202, 2.14 (501, 2.11): =1,.. .‚n).

S. 203, 2.13 v.u. (502, 2.18,17 v.u.):

„daß M sich‘, ‚neuer unabhängigen“. ' ı n—r= 5 verlangt“. Lie selbst hat1884

8.205, Z. 9 (504, Z. 1) fehlt (— 1-1.

S.205, 2.9, 12 (504, Z.1, 4) hat

X7;ı den oberen Index k+1 und X, keinen oberen Index.

S.205, 2.11 v. u. (504, 2.14) fehlt: (=1,...,r) und bei Y,. der obere In- dex i.

S. 206, Z2.13—15 (505, Z. 4—6) fehlt: (— IH

S. 206, 2.21 (505, 2.12): „‚der Jacobi- sche Multiplikator. Unsere‘.

S.209, 2.16—18 (508, 2.2—4): — statt: —.

S.209, 2.20 (508, 2.6, fehlt: ‚von‘.

8.209, 2.9 v. u. (508, 2.12): 22 statt: 23.

8. 212, 4,2 v7.1,.,218, 45 81, 2 14). Das ‚folgt‘ steht erst an der zwei- ten Stelle, vor: ‚‚womit unser Satz‘.

S. 213, 2.12 (511, Z. 21): „gibt“.

8.213, 2.2 v. u. (512, 2.8) fehlt: „von“.

S.215,2.9v.u. (513, 2.3 v. u.) fehlt: un,

S. 216, 2.14 (514, 2.15 v. u.): „und also auch“.

S. 216, 2.3,2 v.u. (515, 2. 4f.): „den Integrabilitätsfaktor der‘.

S.217, 2.8 (515, 2.14): „Transfor- mation By; die gemeinsame Lösung‘.

S.218, 2.8 (516, 2.14): „Konstante oder keine‘.

S. 218, 2. 18f. (516, 2.10 v. u.): „den Integrabilitätsfaktor von A’()= 0".

S.218, Z2.8v.u. (516, 2.4 v. u.) fehlt: |

„von“.

Abweichungen von den ersten Drucken

58.218, 2.4 v. u. (517, 2.2): ‚„spe- ziellen‘“.

S. 219, 2.11 (517, 2. 17) fehlt: ‚‚von‘.

S. 219, 2.5 v.u. (517, 2.2 v.u.): „30. Es bestehen jetzt Relationen der Form‘.

5.220, 2.2f. (518, Z.4f.): „Integra- tionsgeschäft vermöge n — r successiver Quadraturen zu erledigen“.

5.220, 2.12 (8.518, 2.14): dreimal k statt: ı.

S. 221, 2.5 (S. 519, Z. 3) fehlt: ‚von‘.

S.221, 2.16 (8.519, 2.15): „Fall

die Zahl 5 berichtigt, s. Bd. V d. Ausg. Abh. XV, 8.429, 2.10,9v.u. 8.221, 2.4 v. W 819, 2.794); „Quadraturen‘“. 5:28. 2,8 vw, u,4821; 2.12 v. u.) „Integrabilitätsfaktor von A (f) = 0 ist.“ 8.225, 2.5 (522, 2.9 v. u.): „Zuerst sollen wir‘. 3.225, 2.17; 226, 2.2 (523, 2.4, 22) fehlt: „von“. S.225, Z.7v.u.;226, Z.4 (523,2.14, 24): „sollen“ statt: „müssen“. S.225, 2.2, 1 v. u. (528, 2.19, 20) fehlt: (k=1,...,.g9) und: k=g-+]1, ER | S.226, 2.19 (524, Z.4): „durch sie aus’. S.226, 2.10 v. u. (524, 2.11) fehlt: „von'. S. 226, 2.7 v.u. (524, 2.14): „sollen“ statt: ‚„‚müssen‘“. S. 226, 2.5 v. u. (524, 2.16): „eine gemeinsame Lösung‘. 8.227, 2.4 v.u. (525, 2.9): „daß die (2,9) sich“. 3.227, 2.3, 2 v.u.; 228, 2.2 (525, 2.10,11,14): Da, A,(p)und: „die az‘. S. 228, 2. 4,5 (525, Z. 16—18): „einer- seits, daß die infinitesimalen Transfor- mationen C,(p) von einander unabhän- gig sind, andererseits, daß diese Größen sich linear‘‘. S.228, 2.7 (538,2.13 v.u.):

+ Br Ar (P)-

Abhandlung III

S. 228, Z.16 (525, Z.4 v. u.) fehlt: |

Kiel, Q):

S. 228, 2.18 (525, Z.2 v. u.): dreimal |

q statt: u.

I I

8.228, Z.2 v. u. (526, Z.7) fehlt:

q+ m.

| I

S. 229, 2.10,9v.u. (526,2.2,1v.u.): |

„die gemeinsamen Lösungen“. S.229, 2.3 v.u. (527, 2.6):

20 DER 20. + SP

S. 230, Z. 2 (527, 2.10) fehlt: B(®).

S.230, 2.9 (527, 2.16) fehlen: X, .ı und X ,;m-

8.230, Z.12 (527, Z.19) hat IP, das entgegengesetzte Vorzeichen.

8.230, 2.7,6 v. u. (527,23, 1v.u.): „gegenseitigen“, ‚Größen der zweiten Reihe‘.

S. 231, 2.2 (528, Z. 7): „so findet man die‘.

S.231,2.9v.u. (528, 2.7 v. u.) fehlt: B(®).

S.232, Z.4f. (529, 2.6): „Hiernach sollen wir ... Kombination der B,(®) die allgemeinste‘“.

8.233, 2.3 (530, 2.6): „eines an- scheinend‘“.

S. 234, 2.1 (531, Z.1): „Jahre 1818“.

S. 234, 2.4—2v.u. (531, 2.6,5v.u.): „als Cauchys Methode“; „übrigens, daß häufig mehrere Integrationsopera- tionen bei der Jacobischen Methode wegfallen‘.

S. 236, 2.13f. (533, 2.13): „gelegent- lich eintreffen“.

S. 237, 2.9 (534, Z. 4): „stelle dann“.

S. 237,2. 13f. (534, 2. 8f.). Die Worte: „(das heißt, ... q Gleichungen‘ fehlen im ersten Drucke, weil A. Mayer sie ge- strichen hat.

S. 237, 2.19f. (534, 2. 12—14): „daß auch nicht die ... 1.0. eine ausführ- bare“.

8.237, 2.13 v. u. (534, 2.19): „eine gemeinsame Lösung‘.

S. 237, 2.8, 7 v. u. (534, 2.16, 15 v. u.): „daß keine allgemeine Integrations- methode sich mit‘.

0» op,

459

S.238, 2.14 (535, Z. 7): „also formu- lieren‘“. S.238, 2.8 v. u. (535, Z. 20): (z,;+4,öt,p,+ B;öt) =1. 8.239, 2.3 (535, Z.5 v. u.) fehlt:

üel,...n).

S.239, 2.10 (536, Z. 3): „geben“.

S. 239, 2.12 v.u.; 240, Z. 4 (536, 2.18 v.0.,9v.u.) fehlt: „von“.

S.240, 2.10 (536, 2.3 v.u.):

; o% pe Rs (X,) F P, >

S. 240, 2. 22, 23 (537, Z. 11, 12) fehlt: „von‘‘ zweimal.

S.241, 2.8—11 (537, 2.6—4 v. u.): „gegenseitigen“, „ein Problem der zwei- ten Kategorie“.

8.242, 2.1 (538, 2.18 v. u.): „als die‘,

8.242, 2.13f. (5388, 2.6, 5 v. u.): „daß auch nicht die...1. O. allgemein‘.

S. 242, 2.10 v. u. (539, 2. 7): „Zuerst soll man“.

S.243, 2.1, 8 (539, 2.17, 23): „be- handeln sie in“, „behandeln sie nach“.

S. 248, 2. 7£. (539, Z. 23). Die Worte: „zwischen einer geringeren Anzahl von Variabeln“ standen ursprünglich im Manuskripte, waren aber, vermutlich von Lie selber, gestrichen und fehlen daher in dem ersten Drucke.

S. 243, 2.15—18 (539, 2.11, 10 v.u., 540, Z.1): „daß die Integration ... sich nicht“.

8.243, 2.25f. (540, 2.8f.): „daß keine ....1. 0. sich mit“.

S. 244, 2.13 (540, 2.15 v. u.) fehlt die Bezeichnung: (1).

S. 244, 2.17 (540, Z.11 v. u.) fehlen: Kar Ag ri

S. 244, 2.18 (540, Z.10 v. u.): „Pa- ragraph 3°.

S. 244, 2.21 (540, 2.7 v. u.): „daß keine Methode sich“.

S.244, 2.12 v. u. (540, 2.4 v. u): „sie auf“,

S. 244, 2.4 v.u., 245, 2.14 v.o, 8 v.u. (541, 2.5v.0.,15,2v. u.) fehlt: „von‘‘ vor der‘.

460

S.245, 2.14 v. u. (541, 2.8 v. u.) Johlt: (ea 3... W):

S. 246, 2.7 (542, 2.12) fehlt: „von“.

S. 246, 2.13 (542, 2.18 v. u.) hat die rechte Seite das entgegengesetzte Vor- zeichen.

S. 246, 2.4 v.u., 247, 2.11 (543, 2. 2, 17) fehlt: ‚von‘.

8.247, 2.1, 2 (543, 2. 6f.): „ander- seits‘, „Systems bloße Funktionen von X, und P, seien“,

8.247, 2.2 v.u. (544, 2.2): „sie in“.

S.248, 2.14 (544, Z.17) fehlen: Xg+1 Xyıı

S. 248, 2.7 v.u. (544, 2.9 v. u.) feh- ER BE SFR ER

8.248, 2.1 v. u. (544, 2.3 v. u.): „Paragraphs“.

S. 249, 2.3 (545, 2.1): „Involutions- system (nicht eben von “.

3.249, 2.7 (545, 2.5) fehlen: Y,;ı; d+1' |

S. 249, 2.14 v. u. (545, Z. 17) fehlen: Xarı Xyrı

8.249, 2.5 v. u. (545, Z.11 v. u.) fehlen: X 41, Xy +1, Par-

S. 250—261 (546—556): Die Eintei- lung in die Nrn. 48—56 ist neu.

S.250, 2.5,4 v. u. (546, 2.13 v. u.): „Bd. IX, p. 264, Satz 11“.

S. 251, 2.17 (547, Z. 8) fehlt: „von“.

S. 251, 2.24 (547, 2.15): (2, p,)=1.

S. 252, 4. 8—10 (547, 2.3—1 v. u.): „(2) und (3) nicht die x,,p; als Funk- tionen‘; „Relationen der Form‘.

S.252, 2.14 (548, 2.4): „Ausnahm- fall“.

8.252, 2.17 (548, 2.7): „als zwi- schen‘,

S. 252, 2. 21 (548, 2. 11) fehlt: (k =1, il

8.258, 2.81. (648, 2,8,,7::w7..1u)5 „zwischen &,,p;“.

8.253, 2.5 (548, 2.6 v. u.) fehlt (k=1,...,n) und bei S' das Minus- zeichen.

S. 253, 2.12 (549, 2.2): „Dies gibt‘.

Abweichungen von

4

den ersten Drucken

8.253, 2.13 (549, 2.3) hat der Satz keine Nr.

8.253, 2.15 (549, 2.5) fehlt (k=1,

...n) und bei dem zweiten S das

Minuszeichen.

8.258, 4,7. v. u. (549, 2,19 v, u.) Jah. (N 1... m),

3.253, 2.5 vu.u 69, I ER rer BODPH ,

8.254, 2. 3f. (549, 2.11 v. u.): „daß dieses Involutionssystem sich“.

S. 254, 2. 10f. (549, 2.5,4v.u.): „daß

diem... Relationen sich auf“. 58.255, 2.4 (550, Z.14 v. u.) fehlt: G=1,...,n— m).

S. 255, 2. 12—15 (550, 2.6—3 v. u.): „und daß daher... sich hinsichtlich“.

S. 255, 2.17 (550, Z.1 v. u.): „geben können‘.

S. 255, 2.14 v. u. (551, 2.4): (F,®,) =,

58.255, 2.8 v. u. (551, 2.9) fehlt: KL...

8.256, 2.10 (6551, Z.12 v. u.): (F,®,)=1.

8. 257, Z.4 (652, Z.15) eind ;° und

0x

’ en vertauscht.

0 ”. 258, 2.5, 18 (553, 2.15 v.0,8v. u.): „unter sich‘.

S.258, 2.10£. (553, 2.20): „als 2-Achse‘‘.

8.258, 2.3 v. u. (554, Z.4) fehlt: a

S.259, 2.1 (554, 2.7): „ist es klar“.

S. 259, 2.7 (554, 2.13): „Tangente zu der hindurchgehenden“.

8.259, 2.4 v.u. (554, 2.4v.u.): „daß diese Bemerkung sich“.

8.260, 2.7 v. u. (555, 2.3 v.u.) lautet die zweite Gleichung: X’dy’ — Y’dx’ =,

S.261, 2.8 (556, Z.11): ‚„vermöge zwei‘.

8.961, 2.13 V.:u:1(586, & 38 v. u.) fehlt: „von“.

S. 261, 2.9 v. u. (556, 2.8 v. u.) fehlt:

dz=pdz-+ qdy.

Abhandlung III—IV

lIla.

S. 262, Z.8 v. u. (67, 2.4 v.u.) fehlt:

[zZ

„von“. S. 263, 2.3 (68, Z.3): „wobei doch“.

8.263, Z.16, 14, 14 v. u. (68, 2.22, |

24, 25): 2m+1,2m, m=0 statt: 21+1,21, 3=0.

S. 263, 2.5 v. u. (68, 2.6 v.u.): „von |

‘“s .

vorn

IV.

Lie hatte die Abhandlung in 13 Num- mern eingeteilt. Es erschien mir zweck- mäßig, diese Nummern als Paragraphen zu bezeichnen und eine neue Unter- teilung in die Nummern 1—36 vorzu- nehmen.

S. 265, 2.7 v.u. (537, 2.5 v.u.): „und 1. Mai 1872“.

S. 266, 2.13 v. u. (538, 2.12 v. u.): „aus ihnen durch“.

S. 266, 2.6 v.u. (538, 2.2 v.u.): „fol- genden über Gleichungssysteme‘.

S. 267, 2.7 (539, Z. 4): „zu ihnen kön- nen“.

S. 267, 2.4 v.u. (539, 2.4 v.u.): „der anscheinend“.

S.268, 2.12—9 v. u. (540, 2.11—8 v. u.): „verschwindet ebenfalls der Aus- druck .... vermöge‘“.

I I 1}

I I

| | | | ! |

| Z.1v.u.,545,

$.269, Z.9 (541, Z.10): „Gleichung |

ET 1 S. 269, 2.12 v.u. (541, 2.7 v. u.) fehlt die Bezeichnung: (5). S. 269, 2.7 v.u. (541, 2.3 v. u.): „Es frägt““. S. 269, 2.6 v.u. (541, 2.2 v. u.): (6) statt: (5). 8.270, 2.1 (542, 2.5): „ist es leicht“. S. 270, 2.17 (542, 2.22): „daß unsere Gleichungen sich“. S.270, 2.19, 22 (542, 2.25, 28): (6) statt: (5*). 8.271, 2.5 (543, 2.9): a, statt: n+1' S. 272, 2.13 v. u. (544, 2.9 v.u.). Die Bezeichnung (7*) ist neu. 8.272, 2.9, 8 v.u. (544, 2.5 v.u.): „ist es von“.

a

|

|

461

a2, 2 BD, 0 (84 2 I, u (7) statt: (7*).

S. 272, 2.4, 2 v.u., 273, 2.2, 3 (544, 2.2,5,6): Pstatt:o.

5.218, 222 v9.0.1589, 21V.) Bd. IX statt: Bd. XI.

S. 274, 2.2 (546, 2.7) fehlt: ‚‚von‘“.

8.275, 2.18 (547, 2.7 v. u): „und ihre Ableitungen‘.

5.270, 49.9.0 (88, 28 vu) „Stellen nun n + 1“.

S.276, 2.3,1v. u. (549, Z.4, 6) fehlt:

oF k=]1,...,n) und: —— —p, =. Or, k

S. 277, 2.10 v. u. (549, 2.3 v. u.): „Dabei sollen‘.

8.277, 4.9,8 v. u. (849, 2.2, 1v. u) fehlen: W =1,..,g)und:(k=q-+J1,...,n), und es steht: A

0 Tr 8.278, 2.3 v. u. (550, 2.3 v..u.): „so

können nicht die Größen 99, P1> - - -, In alle“.

S. 280, 2.1 (552, Z. 8): „indem“ statt: Rn.

S. 280, 2.5 (552, 2.12): „so gäbe“.

8.280, 2.18 (552, 2.10 v. u.): „wir nun die“.

S.280, 2.5 v.u. (553, 2.3) fehlt: ‚‚ein‘“.

S.282, 2.12, 11 v. u.(854, 2.4,3 v. u.): „infinitesimalen‘“.

S.283, 2.4 v. u. (556, 2.6): „Bd. 9, (1884).

S.286, 2.6f. (558, Z.11): „Ihre In- varianten‘“.

S. 286, 2. 16 (558, 2.18) fehlt: (k =1, ER

3.286, 2.20 (558, Z. 22): „in ihnen‘.

S. 287, 2.5 (559, 2.7): „Das früher“.

S. 287,2.15v.u. (560, 2. 8): „bilden“.

S. 288, 2. 15£. (560, 2.16 v. u.): „daß alle diese Elemente sich zu‘.

5.288, 2.3 v. u. (561, Z.2): „der- selben‘‘.

S. 289, 2.12 (561, 2.14) fehlt: (k =1,

.,r—2). 3.290, 2.3 (562, Z.5): „„könnten‘. S.290, 2.4 (562, Z.6): „Ich werde

| jetzt“.

462 Fe

Die Einteilung in die Nrn. 1—26 ist |

neu.

S. 291, 2.8 v.u. (253, 2.6 v. u.): „so viel als“.

S. 293, 2.14, 13, 9 v. u. (255, 2.6, 5, vu se. res „Funktionen fı (2), ‚In (2) ; „von Yır-++s Yn -

S. 293, 2.13, 12 v. u. (255, 2.5 v.u.): „und ihre Ableitungen‘.

S.294, 2.8 (256, 2.14 v.u.): „viel als“.

S. 294, 2.13, 12 v. u. (257, 2. 6): „In- tegrationsproblem“.

S.295, 2.10 (257, 2.4 v. u.): „von ihnen sofort“.

8.297,2.2,1 v.u. (261, 2.4f.): „wenn |

sie sich überhaupt schneiden, schneiden sie sich daher sicher‘.

8.298, 2.17 (261, 2.23): „wird nun unsere“.

8.298, 2.5, 4 v. u., 299, Z.1f. (262, 2.3,9): „sie sich im allgemeinen“; „und sich demnach“.

8.299, 2.2 v.u. (263, 2.11):G, statt: s. 303, 2. 6 (266, 2.4 v.u.): „Integra- tionsproblem“.

S.305, 2.9 (269, 2.7): „ausnahms- los‘

16)

S. 305, Z. 13f., 21 (269, Z. 12f., 208.): |

„Tangentialkegel‘“.

VI.

Die Einteilung in die Nrn. 1—12 ist neu.

BB GN u 080 2 Vi „Normale 1892‘,

S. 307, 2.5 v. u. (342, 2.1): „Herr Guldbergs“.

S.308, 2.5 v. u. (343, 2.2): „Sy- stem“.

S.309, 2.10 (343, 2.14): „ich nicht hier“.

S. 310, 2.11 (344, 2.18): „viel“.

S.810, 2.14, 18 v.o., 1 v.u. (344, 2.11,7 v.u., 345, 2.9): &,f statt: &,f.

8. 811,.:2.17: 9.2.8 vV. :u.): :{1) statt: (3).

' |

|

Abweichungen von den ersten Drucken

S. 312, 2.4 (346, 2. 14): i statt: 7.

S. 312, 2.18 (346, 2.2 v. u.): „soll die“,

8. 312, 2. 22 (347, 2. 2): „der y, und z von z unabhängig“.

8.313, 2.5 (347, 2.12 v. u.): „ge- nießen daher“.

S. 313, 2.10 (347, 2.7 v. u.): „ausge- drückt werden“.

Vo

Die Einteilung in die Nrn. 1—7 ist. neu.

S. 315, 2.13 (1234, Z.9): dreimal m statt: 1.

S. 316, 2.2 (1234, 2.2 v. u.): „parti- ceuliere x’ etz“.

VIH.

S. 317, 2.7 v.u. (V,2.6v.u.): „und deren‘.

S.318, Z.11£. (VI, Z.14): „daß die Er- ledigung ... Problems sich mit“.

R.

S.320, 2.7 (53, 2.4): „am 11. Ok- tober‘“.

Die Einteilung in die Nrn. 1—95 ist neu.

S. 320, 2.7 v.u. (53, 2.8 v. u.): „be- merkt haben“.

8.321, 2.14 (54, 2. 20f.): „Gravita-

| tionsgesetz‘.

8.322, 2.18 (55, Z.11 v. u.): „im Kapitel I“.

S.322, 2.23 (56, 2.4): „in der nor- wegischen‘“.

9.923, 2.11 (56, 2.7 v. u.): „ver- schiedenen“.

S. 324, 2.2 (57, 2.15 v. u.): Der Hin- weis auf die Anmerkung unter dem Texte fehlt, und es heißt: ‚ebensowenig in Fuchs’ älteren Arbeiten“.

S. 324, 2.6 (57, 2.10 v. u.): „anderer- seits Fuchs’ Verwertung‘.

S. 824, 2.8£. (57, 2.8 v. u.): „daß diese Resultate sich“.

S. 324, 2.10,9 v.u. (57, 2.3,2v.u.): „Integrale gar nicht Galois zitiert, ...

gerade darauf, daß‘.

Abhandlung V—IX 8. 324, 2.3 v.u. (58, 2.3v.u.): „daß | ..

Klein sich“. 8.825, 2.17 v.u. (59, 2.14): „Fall". 8.825, 2.9 v. u. (59, 2.18 v. u.): Yı=yo(e). | S.326, 2.13 v. u. (60, 2.14 v. u.): | „kritischen Bemerkungen“. |

| | | |

S. 327, 2.9 (61, Z.2f.): „von gruppen- theoretischem Standpunkte zu“.

8. 327, 2.15, 14 v. u. (61, 2.17, 16v. u.): „die sich in“, „und sich überdies‘. |

8.327, 2.10 v.u. (61, 2.12,11 v.u.): „daß durch ... ist, sich nur“.

S. 327, Z.2 v. u. (61, 2.3, 2 „der Imaginären‘.

S. 328, 2.14 v.u. (62, Z.11v.u.). Die Bezeichnung (1) fehlt.

8.328, 2.10, 4 v. u. (62, 2.7 v.u; 63, 2.1): (1) statt: (1).

8.329, 2.16 v. u. (68, Z.8 v. u.): „unter ihnen alle‘‘.

S.329,7.7v.u. (64, 2. 3): „geben“.

8.330, Z.13, 14, 16, 17, 18 (64, 2.8, 5,4 v. u.). Siebenmal t statt: r.

S.330, 2.14 (64, Z.8 v. u.): „längs ihr eine“,

8.330, 2.19 (64, Z.2 v. u.): „sodann sucht man‘.

S.331, Z.5—7 (65, Z.19—21): „‚wäh- rend sie bei... alle beide sich ändern‘‘.

8.331, 2.17 (66, Z.1): „längs ihr eine‘,

8.881, 2.2 v. u. (66, Z.17 v. u.): „Ausnahmefall‘“.

5.332, 2. 5f. (66, 2.10, 9 v. u.): daß auch ...v(z,...,t)sich längs“.

S. 332, 2.5 v. u. (67, Z. 20): oof statt: og.

8.333, 2.7 (67, 2.4 v. tielle“.

S. 333, 2.17,16 v. u. (68, Z. 13—15): „gemeinsame Integralflächen, die sich in...oskulieren, sich immer“.

8.333, 2.4 v. u. (68, Z.13 v. u.): „müßte‘‘,

S. 334, 2.5 (68, 2.6 v. u.): „längs ihr eine“,

S. 335, Z. 20—22 (70, Z. 16—18): „die sich oskulieren‘“; „alle gemeinsame

v.u%s

u.): „par-

Sophus Lie: Gesammelte Abhandlungen. Bd. IV

463

.‚„‚ die sich in ... oskulieren, sich längs“. 8.385, 2.9 v. u. (70, 2.12 v. n.): „Ideen nicht vollständig von Levy“. S.336, 2.4, 13f. (71, Z.1, 11) beide Male: ‚‚wenn sie gemeinsame‘. S.336, 2.14, 13 v. u. (71, 2.17—15

v.u.): „daß unter den... Systemen sich

' mehrere .. .. finden‘.

8.987, 2.18 v. u. (72, 2.10 v. u): „in V’s Differentialquotienten homo- gen“.

8.339, 2.8,7 v. u. (75, Z. 10£.): ‚‚die eine bestimmte partielle‘.

S. 340, 2.19 (76, 2.12): „Konstante“.

3. 342, 2.3,4 (78, 2.3,4):f,, f, statt: P,q.

S. 342, 2.12 (78, 2.12): „ist es un- sere‘.

8. 342, 2.12 v. u. (78, 2.8 v.u.): (8) statt: (7).

8.343, 2.4, 8 (79, 2.8f., 14): (9) statt: (6).

S. 343, 2.14 (79, Z. 20): „‚(8) und (9)‘ statt: ‚(7) und (6)“.

S.344, 2.6 (80, Z.14): „ist es be- kannt“.

S. 344, 2.10 (80, 2.18): „eines Strei- fen‘.

S. 344, 2.16 (80, Z. 23f.): „auch nicht DW „BR 7A Be 9 1 aa

8.344, 2.19—21 (80, 2.12, 11 v.u.): „und daß die Zahl aller... als 2— 0 erfüllen‘‘.

S. 344, 2.10,9 v.u. (80, Z.1v.u., 81, 2.1£.): „und sieben ... denenzwei... Konstanten sich ableiten‘.

S. 344,2.4v.u. (81, Z. 6): „gehören‘‘.

S.346, Z.1 (82, Z.11): „folgt es un- mittelbar‘. ;

S.347, Z.1 (83, Z.19): „„Geben nun 1=h,a2=p".

S. 348, Z.11f. (85, 2. 1£.): „Q = Ohat somit zwar im vierfachen Raume 0°“,

S. 348, Z. 14 (85, 2. 4) fehlt: ‚von‘.

5.348, 2.2 v.u. (85, Z.9v.u.): „daß die Regelfläche sich auf“.

3.349, 2.5 (85, Z.2 v. u.): „berührt sie in‘,

*“s

30

464

S.349, Z.4 v. u. (87, 2.3): „Glei- | ; weisung auf die Anmerkung 1) unterm

chung“.

S. 350, Z. 6 (87, 2.12) fehlt: V,„,-

8.350, 2.16 v.u. (87, 2.6 v.u.)£ehlt: —0(i=l,...,.n).

S. 350, 2.15,14v.u. (87,2.5,4v.u.): „ein semilineares System .. ., für welche

4 [zZ

in“.

S. 851, 2.5 (88, 2.17) fehlt: V,,-

8.251.:2,..118.:488, 2.10, B:- vi): „ausgedehnt, indem derartige Gleichun- gen sich immer“.

S. 351, 2.16 (88, 2.4 v. u.): P, statt: F,. S. 351, 2.21 (89, 2.3): Q, statt: Q,; V„, fehlt.

S. 351, 2.10 v. u. (89, 2. 9): „Hierzu ist nun zunächst‘.

S. 351, 2.9 v.u., 352, 2.2,9 (89, 2.11, 16, 24): 2, = 0 statt: 2, =.

S. 351, 2.7 v. u. (89, 2.13): „findet“.

9.352, 2.13£. (89, 2.6 v, u): „Er- niedrigung in der Ordnung“.

8.353, Z.1 (90, Z.7 v. u.): „Liegt andererseits eine‘. -

S.353, 2.17£. (91, Z.11f.): „daß o sich für... x, y, 2, p, q allgemeiner“.

S.858, 2.19 (91, 2.13): „Auf diese‘.

S. 353, 2.6,5 v. u. (91, 2.9,8v.u.): „man jedenfalls das... Transformatio- nen dazu‘.

S. 354, 2.4 (92, Z.1f.): „viel weiter- gehenderer Weise‘.

S.354, 2.19 (92, 2.11 v. u.): „sagt nun‘.

S.354, Z.5 v. u. (93, 2.3): „Daher finden‘.

S. 355, 2.17£. (93, 2.7,6 v. u.): „wir sodann @ .... Konstante, so“.

8.355, 2.9 v. u. (94, Z.2). Die Be- zeichnung: Satz fehlt.

S. 356, 2.14 (94, 2.4 v.u.):

Hs= 1, W(.:;).

S.356, 2.12 v. u. (9, 2.8): =W statt: = — W.

S.356, 2.11 v. u. (95, 2.9): „den Schluß“.

8.357, 2.16 v. u. (96, 2.13): „und seinen Nachfolgern‘.

Abweichungen von den ersten Drucken

S. 357, 2.12 v. u. (96, Z. 17). Die Ver-

Texte fehlt.

S.358, 2.6, 7£. (96, 2.5, 4 v.u.): „an- dere Principien‘ ; „Gesichtspunkte zu“.

3.888, 2.12, 11 v.u. (0, 2, 11 v. u.): „infinitesimale Transformation‘.

8.359, 2.71. 178: (98, 2. 81., 3: „welche nicht allein W, sondern auch F sich regulär verhalten‘.

S. 359, 2.9 (98, 2.10): „doch aber‘.

8.859, .2.4 v.u. (98, 2.4 v.u.): „finden sich“.

S. 360, 2.3f. (99, 2.4£.): „und zu- gleich Schraubenflächen, die Minimal- flächen sind“.

3.8360, 2,18 (99, 2.14, 38 v. u.): „mich seinerseits‘.

S:360, 2.14 7.:.9:.19,2.6, > Vu): „wir zunächst durch fast wortlautende‘.

8.361, 2.11; 18 (100,:2.17, 15 v.u.): „oo"" linearen ; oo’ +*“*.

S. 361, 2.19, 25 (100, 2.8, 3 v.u.): „unter sich vertauscht‘.

S. 862, 2.8, 11 (101, 2.18, 10 v.u.): neun statt: elf; elf statt: dreizehn.

S. 362, 2.19 (101, Z.1 v. u.): „eine partielle‘.

S. 363, Z. 1—4 (102, Z. 19—22): „denn sie könnte ... die von uns bestimmten ... können. Es erübrigt also“.

S. 363, 2.7 (102, 2.12 v.u.): „indem“ statt: ‚da‘.

S. 363, 2.13, 14, 15 (102, 2.6,5,4 v. u.): „finden sich“, „gradlinigen“.

S. 364, 2.4 v.u. (104, 2.7 v.u.): „die gesuchten“.

S. 365, Z.7 (105, Z. 6) fehlt: p, -

EEE ri 4

S. 365, Z.11 v.u. (105, 2.8v.u.): da 2

S. 366, Z.11 (106, 2.16): „ist F frei

von &ı...

S. 366, 2.13 (106, 2. 18) fehlt: dz,.

S. 366, 2.9 v. u. (107, 2.1): statt des letzten = steht: ...

8.966, 2.6, 5 v.:u. (407, 2.5, 6): 4, statt: y,_ı-

S.366, 2.2,1 v.u.(107, 2.9): „02, -- -» zZ (m > 2) eine.“

Abhandlung IX

5,.309,°2.16: vw. u..:88.::2.10): | Pa * + + Pn. Unter ihnen gibt“.

3: 887, 2.18 v2. 6196 2, 181.) „Schaar genießen die“.

S. 367, 2.10 v. u. (108, 2.17 v.u.): | „bei der endlichen‘.

S.368, 2.7f. (109, 2.2£.): „sobald zwei bestimmte benachbarte‘.

S. 368, 2.6 —4 v. u. (109, 2.6—4v. u.): „daß die charakteristischen ... . Ord- nung sich immer.

8.369, 2.9 (110, 2.11): £, statt: £; n,stattin.; 08, statt Er.

S. 369, 2.9, 8 v.u. (111, Z. 1£.): „sie sich nicht‘ ; „Ordnung, deren‘.

S. 370,2.5 (111, 2.17 v.u.): „bilden“.

5.370, Z.16f. (111, 2.5—3 v. u.): | „wenn alle Elemente des ... Integral-V,, angehören“.

8. 370, 2.19, 20 (111, 2.1 v. u.; 112, 2.1): „wenn jede Integral-V, des Glei- chungssystems allgemeiner Lage in‘.

8.370, Z.11 v. u. (112, 2.6): „und ihren“,

8.370, Z.4 v. u. (112, Z.15) fehlt: „von“,

S. 371, 2.14 (113, Z.5): „so geben die“.

8.371, Z.18 (113, Z.11f.): „Vorteil von dem“.

S. 371, 2.2 v.u. (113, 2.2 v. u.) fehlt in der Klammer: + :»»»,

S. 372, 2.1,2 (114, 2.1, 2): „Wünscht man daher, ..., so bildet man“.

8.372, 2.3 (114, Z.4) fehlt = 0 hinter

= ot S. 372, 2.6 (114, 2.7): „Unter ihren

Lösungen finden‘.

S. 372, 2.16 (114, 2.8v.u.): „und den successiven‘.

8.372, 2.5 v. u. (115, Z.4): „so müßte‘,

S. 373, 2.12 (115, 2.8 v. u.): „geben

“ |

den“. 8. 373, 2.15 v.u. (116, 2.1): my) | = | S. 373, 2.12 v. u. (116, Z.4): r statt: (0f: 02). |

465

S.374, 2.2 u.): ög= E'gör.

S.374, 2.12 (117, Z.1) fehlt das dritte: = 0.

S. 374, 2.15 (117, Z.4, 5): a statt: a und ß statt: v.

S. 375, 2. 8£. (117, 2.2,1v.u.): „daß alle... Ordnung sich durch“.

8.375, 2.10, 16, 18 (118, 2.1, 7, 9):

(116, Z.11 v.

' a,ß statt: u, v.

8.375, Z. 16f. (118, Z. 7#.): „erfüllen,

so... Fläche wählen“.

8. 375, 2.7,6v. u. (118, 2.12, 11 v. u.): „nach und nach in allen möglichen ... unendlich viel‘.

S. 377, 2.8, 10 (120, 2. 6, 8):

da= (—4Ea— 6E'r — 4EWdz)ÖT, = (2ey— Et)Ör.

8.377, 2.9 v. u. (120, Z.11 v. u.) fehlt: —= 0.

S. 377, 2.7—5 v. u. (120, 2.9—6 v. u.): „besteht, indem die ... ergibt sich andererseits, daß jede... Ordnung sich als eine‘‘.

S. 378; 2.9 (121, Z.9): „nach frühe- ren“, S. 378, 2.15 (121, Z. 15): „berechnen sodann die“,

8.378, 2.11 v. u. (121, 2.9 v. u.):

‘“;

„indem“ statt: „da“.

S. 379, 2.5 (122, 2.7): „(vgl. S.1 bis 81)“.

S.380, Z.1 (123, Z.9): „Wäre nur“.

S. 380, 2.6 (123, 2.14): „müssen so- dann“.

S. 380, 2.10 (123, Z.18£.): „von v er- setzt man‘.

S.380, 2.19 (123, Z.2 v. u.): ‚als

' Klasse‘.

S.380, 2.7 v. u. (124, 2.8): „so ge- ben“.

S. 381, 2.3 (124, 2.18): &(z)p — E’zr.

S.381, 2.7f. (124, Z. 22f.): „Gruppe

Z(e)r gestattet‘.

8. 381, 2. 8—11 (124, Z. 23—26): „nur der spezielle Fall... und ebenfalls auf“. S. 381, 2.17 (124, 2.4 v. u.):

E(z)p + n(y)a. 30*

466

S. 382, 2.1 (125, 2.11): „Hier geben“. |

S.382, 2.13 v.u. (126, 2.8£.): „Ist sie integriert“.

S.382, 2.6 v.u. (126, 2.16): „E(z)p und n(y)q“-

8. 382, 2.4 v. u. (126, 2,.18t.): „in zwei verschiedenen Weisen‘.

S. 383, 2.6 (126, 2.3 v.u.):

„EP HnWIq“- 8.383, Z.11 (127, 2.4):

SEP HE HT)“. S. 383, 2.12 (127, 2.5): „gestattet“. S.388, 2.15 (127, 2.8):

sep +nW)a+ dr“.

S.383, Z.21 (127, 2.14): „auf den“.

5.888, 2.8 v0 027. 2.1 0): „rational“.

5.383, 2.2 v. „auch nicht darüber die‘.

S. 384, 2.4 (128, 2. 3): „weiteren“.

8.384, 2.6 (128, Z.4): „wahrschein- licherweise“.

8.384, 2.7 (128, 2.5£.): „Jarlonski- sche“.

8.384, 2.8 (128, Z.6): „gerichtet hat“.

3.984, 2.3, 2 v.0.(138,2.239.u)% „unterdrückten einfachen .. ., auf eigener Hand“.

X.

Die Einteilung in die Nrn. 1—3 ist neu.

8.885, 2.7 v.u. (1,2.6 v.u.): „Wir wählen‘.

S.386, 2.7 (2, 2.8) fehlt das Minus- zeichen.

8.386, 2.4 v.u. (2, 2.4 v.u.): „Li- nienelement‘‘.

8.886, 2.2 v.u. (2, 2.2 v.u.): „Zu jedem Linienelement einer‘.

XI Die Einteilung in die Nrn. 1—90 ist neu. S. 387, 2.10—8 v. u. (113, 2.9—7 v. u.): „liegt es in erster Linie darin, daß ... inspäteren Jahren“.

u. (197, Z4v. u):

Abweichungen von den ersten Drucken

8.888: 2.7, 8 IR 2.7, 8): „die oor+l“ mit oor+2“,

S.388, 2.19 (114, 2.19): „zurück- führen lassen“.

8.388, 2.9 v. u (114, 238 9. u): „n-dimensionalen“.

8.988, Zz8 vu [1lb, 2.1): ana ebenfalls‘“.

S. 389, 2.15 (114, Z. 21): „als n sein“.

8.9391, Z.5f. (117, 2.13£.): „Da die Gleichungen: 9,(2, X) = 0 sich nach“.

S.391, 2.7 v. u. (118, 2.2): „darge- stellt werden, sich in“.

8.391, 2.4 v. u. (118, 2.5) fehlt: Eee, 2 58

S.392, 2.7 (118, 2.16): „benach- barten“.

3.392 2.16 vn a IB ZN, 119, Z.4): „sich“ statt: „einander“.

S.393, 2.15 (119, 2.8-v. u.): „sich immer“,

$. 398, Z.11 v.u. (120, 2.9): an 8.393, 2. 5v.u. (120, Z. 16): „genießt

offenbar“.

8.394, 2.4 (120, 2.9 v. u.): „Linien- element‘.

S.394, 2.18, 22, 23, 26 (121, 2. 8,13, 14,18): „daß zu zwei‘ ; „daßzu Kurven“; „Linienelement 1“; „und großen‘.

8.395, 2.4£.. (121, 2.4—2 v. u.): „Wäre nämlich dies nicht... X allgemei- ner“.

8.395, 2.19—21 (122, Z. 15—17): „Linienelement‘‘, zweimal; ‚Ergebnisse zu dem“.

8.395, Z.1v.u. (122, 2.1 v.u.)fehlt: n—1.

8.896, 2.2 (192, 2.7 v. u.) fehlt: di.

3.896, 2.17--19 (123, 2.15—17): „erzeugen ebenfalls eine ... Raume X gehört“.

. 8.397, 2.5 (124, 2.3): „aber in Al- lem“.

S. 397,2. 12,14 (124, 2. 10,13): „‚kön- nen ebenfalls“ ; „‚definiert sein‘.

8.398, 2.1921 (125, Z2.18—16 v. u.): „daß zwei benachbarte ... M, sich

Abhandlung IX—XI

immer schneiden‘.; ‚daß alle M, sich als“.

8.398, 2.1 v. u. (126, 2.5): „so krie- gen wir“.

8.899, 2.5f., 98. (126, 2.10f., 15): „zwei sich schneidenden‘, „be- nachbarten sich schneidenden‘“.

8. 400, 2,4, ST. (197, 2,10, 152.): „gehören“; „E,, die an irgend einen Streifen R, gehören, anscheinend gleich‘.

S. 401, 2.17 (128, 2.15,14 v.u.): „M, gehören“.

S.401, 2.9 v.u. (129, 2.1): „erfüllen aber‘.

S. 402, 2.3 (129, Z. 11): „sich immer“.

S.403, 2.20, 23 (130, 2.5,2 v.u.): „Punkt p‘“; „Punkt P’“.

8.403, 2.10 v. u. (131, 2.4): „P ge- hören“.

S. 404, 2. 6 (131, Z. 20): „nun an der“.

8.404, 2.12f. (131, 2.13, 12 v. u.): „II’ nicht das Linienelement L enthalten kann, indem das‘.

8.404, 2.17, 32 (181, 2.7 v. u; 182, 2.1): „daß zu drei‘.

8.404, 2.9,8 v.u. (132, 2.9): „allen Elementen E,, die ein Linienele- ment L enthalten“.

5.405, Z.1,6 (132, Z.16,21): „schnei- den sich, wenn‘; „benachbarten, sich schneidenden“.

8.405, 2.17 (132, 2.6 v. u.): „und ebenfalls‘.

8.405, 2.3 v. u. (133, 2.15): „sich schneidenden‘“,

S. 406, 2.11 (133, 2.11 v. u.): „indem zwei‘.

8.406, 2.17, 19 (188, 2.5—2 v. u.): „I; = 0 befriedigen“. „Kurve K schnei- den“,

S.407, 2.8 (134, Z.12 v. u.): „es ebenfalls‘.

S. 408, 2.7,6 v. u. (136, 2.16, 17): „Darum ist‘; „gehören“.

8.408, 2.1 v.u.,409, 2.3 (136, 2.14, 11 v.u.): Überall x statt: X.

S. 409, Z.12£. (136, 2.2,1 v.u.): „als von 00? dimensionalen ... zugleich als Ort von‘,

467

S. 409, 2.5 v.u. (137, 2.16,15 v. 4:)° „indem alle M, von oo“.

8.409, 2.3,2 v. u. (137, 2.13 v. u.): „Iheorem‘‘.

S.411, Z.1 (138, 2.13 v. u.): „Wäre nämlich dies‘‘,

S. 411, 2.10 (138, 2.3, 2 v .u.): „Ele- menten E„_ı; M; statt: M,“.

8.411, 2.19 (139, 2. 8£.): „(nm — 1)- gliedriges“.

8.412, 2.8 (139, 2.3 v. u.): „K un- serer Integralgebilde‘.

S. 412, 2.14,17,21 v.o., 2 v.u. (140, 2.5,7,10v.o.11lv.u.): „sich“ statt: „einander‘‘.

S.412, 2. 20 (140, 2. 9): M, statt:M ..

8.412, Z.3 v. u. (140, Z.12 v. u.) fehlt: ‚‚je‘“.

S.413, 2.6 (140, 2.4 v. u.): „Den soeben‘.

S.413, 2.23 (141, Z.15): „Form be- sitzen‘.

8.413, 2.9 v. u. (141, 2.15 v. u.): „finden sich‘“.

8.414, 2.17, 19 (142, 2.10, 12): „Systeme alle beide‘‘, „Satz wollen‘.

S. 415, 2. 3,6 (142, 2.5,2v.u.)lauten die letzten Gleichungen: dp„_ı — p„dz =0Ound:dP, ,—P,dX=0.

8.415, 2.4f. (142, 2.4, 3 v. u): „geben, während durch ... Buchstaben sich das‘.

S. 415, 2.13 (143, Z. 7): „für Oktober 1872.

8.415, 2.17f. (148, Z.12f.): „Pro- bleme in den‘‘.

S. 416, Z. 9—12 (144, Z. 4—7): „‚denk- bar, daß unter den Gleichungen f; = 0 sich einige finden, ... ., so finden sich“.

8.417, Z.15 (145, Z.11): „Pfaff- schen‘,

8.417, 2.17 (145, Z.18£.): Die Be- zeichnung (1) fehlt.

8.417, 2.6 v. u., 418, Z.1 (145, Z.6 v.u.,146, 2.1): (1) statt: (1).

S.418, 2.4 v. u. (147, Z.2): „indem die“.

S.419, 2. 8,9 (147, Z. 13£.): Die o und die o haben keine Striche.

468

S.419, 2.15 (147, 2.20): „Ertheilt man dabei‘.

S.419, 2.3 v.u. (148, 2.6): „liegt an der‘.

S.420, Z.6f. (148, Z.15£.): „u, v, w, y, e durch eine und nur durch eine Re- lation verbunden werden, die“.

S. 420, Z. 12—14 (148, Z. 22f.): ‚Falle die Mongesche Gleichung: W = OÖ be- friedigen muß“.

S.420, 2.8 v. u. (149, 2.1): „Kon- stante“.

S. 422, 2.2 (150, Z. 13): herein“.

9.422, 21 vw; u, 433, 41, 2051; Z. 14—17): „zweier beliebigen Monge- schen ... wird. Darum können“.

S.423, 2.13 v. u. (152, 2.7): „un- notwendig‘.

S.423,2.9,8v.u. (152, 2. 12£.): ‚von ihm unberücksichtigten ... sind; eben- falls schöne“.

8.423, 2.3 v. u. (152, 2.18f.): (2) statt: (1).

S.423, 2.1 v.u. (152, 2. 21): Die Be- zeichnung (2) fehlt.

S. 424, 2. 12—10 v. u. (153, 2. 9—11): „daß die acht... . sich als‘.

S. 424, 2.9 v.u., 425, 2.13 v.u. (153, 2.15; 154, 2.16): D, statt: %a.

S. 425, 2.2, 4 (153, 2.11,8 v.u.): (2) statt: (1).

8.426, 2.12 v. u. (155, 2.15 v. u.): „Punkt,

S. 427, 2.16, 15 v. u. (156, 2.16, 15 v. u.): „auch nicht die Integration . Systems (6) durch‘.

S. 428, 2.3 (157, 2.4): V statt: U.

S.428, 2.4 v. u. (158, 2.6): „indem die‘.

8.429, 2.19:(158, 2.5 v. u.): „Sy- stem“.

S.429, 2.22 (158, 2.2 v. u.): „Kon- stanten Qa,, dg,...,0,_2-

8.429, 2.9 v. u. (159, 2.2): 2n — 2 statt: an — 93.

8.429, :2..3 v. u. (159, 2.9): ‚nun

zwei‘.

„vorne-

Abweichungen von den ersten Drucken

S.430, 2.3 v. u. (160, Z.14) fehlt: be e . N —2).

5.430, Z.1 v. u., 431, 2.1, 3 (160, 2.16, 17, 19): „System (8); „System (10) ; „„Linienelement“.

8.431, 2.10 v. u. (161, 2.10): „Li- nienelement‘‘.

8.432, 2.2 (161, 2.13 v. u.): „Theo- rem‘.

S. 432, 2.10, 9 v. u. (162, 2.13, 14): „sich schneiden‘ ; „sich berühren“.

8.433, 2.14 (163, 2.2): „hierbei sind“.

8.433, 2.20, 21 (163, 2.8, 9): „Sy- stem‘ ; „„Theorem“.

8.433, Z.11 v. u. (163, 2.20 v. u.) fehlt: (= 1,...,n — 3).

8.433, 2.6 v. u. (163, 2.14 v. u.) fehlt: (k=1,...,n —2):

S.434, 2.8, 10, 13 (164, Z.1, 3, 6) fehlt: - „uns "k=1,..., 7 —3); G—=1,...,0—2)

S.434, 2.19, 21 (164, 2.12f., 15): „besteht. Zu jeder‘; „und zu jeder‘.

8:494, 2.11 vi u. 164; 2.20): „Raum (y)“.

S. 434, 2.6,5 v. u. (164, 2.13, 12 v. u.): „Kurven x sich berühren, so schnei- den sich die beiden ... Raumes (x), und‘.

8.434, 2.2, 1v.u. (164, 2.7 v.u.): „sich berühren‘.

S. 435, 2.10 (165, 2.5) fehlt: (k=1, N —2).

8.435, 2.16 (165, Z.11£.): „für Be- rührung ... benachbarten“.

S. 435, 2.10 v. u. (165, Z. 21) fehlt die Bezeichnung (12).

8.435, 2.9 v. u. (165, Z. 22): „unter ihren‘.

8.435, 2.1 v.u. (165, 2.5 v. u.): y, statt: 97.

S.436, 2.16, 17 (166, 2.13—15): „sich berühren“; „sich oskulieren‘“.

S. 436, 2.19 (166, Z. 16). Der Satz hat keine Nr.

S. 436, 2.10,8 v. u. (166, 2.14, 12 v. u.): „man sodann‘ ; „Raum“.

Abhandlung XI

8.497, 2.14, 13 v. u. (167, 2.14 v. |

u.): „trivial, indem jede‘. S. 438, 2.10 v. u. (168, 2.7 v. u.). Der Satz hat keine Nr. S.439, Z.13 (169, G=1,....wmB2) S.440, Z2.1,3 (170, 2.12, 14): „Li- nienelement‘‘ ; „Element“.

7.18) fehlt:

469

8.442, 2.19, 20 (172, 2.2 v. u.): „Mannigfaltigkeit Mo:

S.442, 2. 24 (173, Z. 4): „einander im betreffenden“.

8.442, 2.9 v. u. (173, 2.12): „Sy-

stem“.

S.440, Z.12, 18, 21 (170, 2.22, 29, |

32): „„Linienelement‘“ ; ‚Element‘; „Li- nienelement‘‘.

barter“.

S.440, 2.23 (170, 2.6 v. u.): „ein ein-eindeutiges‘“.

8.440, 2.8 v. u. (171, 2.5): ‚über, das in“.

S.442,2.2v.u. (173, 2.19). Der Satz hat keine Nr. — Es fehlt: ‚‚von‘“.

S.443, 2.4 (173, 2. 24f.): „berühren jedesmal einander“.

8.443, 2.8,10,15 (173, 2.9,8,2v.u.):

| „gehört“ ; „gehören‘ ; „gehören“. S.440, 2.17 (170, 2.27): „benach- | | ooN—2%,

S. 440, 2.3 v. u. (171, 2.10): „Punkt-

gebiet‘‘. S.441, 2.3 (171, Z.14£.): „jetzt an

‘+

der‘‘.

oo, 8.441, 2.3, 2 v. u. (172, 2.14): „je- dem Punkt gehört‘‘.

S. 442, 7.4 (172, 2.19£.): „‚,haben, sich nach“.

S.441,2.18 (171,2.8v.u.):oo®statt: |

8.442, 2.9 (172, 2.13 v.u.): „Kurve |

zen S. 442, 2.12 (172, 2.10 v.u.): „Eben- falls greifen‘“.

|

} )

S.443, 2.18 (174, 2.2) steht bloß:

8.443, Z.11 v. u. (174, 2.10£.): „in- dem ihre“.

S. 443. 2.3, 2 v. u. (174, Z. 18£.): „Integral-Mannigfaltigkeiten f“.

S. 444, 2.17 (175, 2.5): (2) statt: (1).

S.444, 2.20 (175, Z.9) fehlt die Be- zeichnung (2).

S. 445, 2.7 (176, 2.2): „Punkt“.

S. 446, 2.12,16 v.o., 10,9 v.u. (177, 2.11,15v.0.,9v.u.): „Element“.

S.446, 2.15 (177, 2.14): e’, e’’ sind ohne Index 2.

S. 446, 2.13, 12 v.u. (177, 2.13 v.u.): „im festen Elemente‘.

8.446, 26 vu 17.25 vu): „Theorem‘“.

S.447,2.3 v.u. (179, 2.4): „Es gibt“.

5.448, 2. 10:V. 0 (178; Zi ve u) OX, statt: OX,.

Anmerkungen. Zu Abhandlung I, S. 1—96,.

Schon bei Abfassung der Abhandlungen VII und VIII in Bd. III d. Ausg. dachte Lie daran, diese Untersuchungen auch in den Mathematischen Annalen zu veröffentlichen. In einem Briefe an A. Mayer vom März 1873 eh es hinter der in Bd. III, S. 592, 2. 10—1 v. u. abgedruckten Stelle:

„Meine erste Abhandlung sollnach dem Versprechen des Buchdruckers in dieser und den folgenden Wochen gedruckt werden. Eine zweite Abhandlung folgt un- mittelbar. Es war mein Wunsch, diese Arbeiten, wie auch meine späteren, in den Math. Annalen in umgearbeiteter Form drucken zu lassen. Ich mache darauf Rech- nung, daß Sie mir recht viele Bemerkungen zu dieser Umarbeitung machen werden. Es ist mein aufrichtiger Wunsch, ernstlich kritisiert zu werden, insbesondere auch hinsichtlich meiner gewiß oft unkorrekten Zitate von Ihren Arbeiten.“

Hieran schließt sich unmittelbar das in Band III d. Ausg. S. 655, Z. 13—10 v. u. Abgedruckte.

In einem Briefe, den Mayer am 13.6.1873 beantwortet. hat, schreibt Lie: „Es hat gar keine Eile mit Ihren Bemerkungen über meine Arbeiten. Es war auch mein Wunsch, daß Sie warten, bis die Arbeit über Berührungstransformationen!) erschienen ist. Zur Zeit denke ich mir die Sache etwa so: Ich veröffentliche zwei grö- ßere Arbeiten in den Math. Annalen; die erste soll etwa aus 1. meiner Theorie der Berührungstransformationen, 2. meiner Invariantentheorie der Gleichungen F(&,,...,P„) = 0, 3. einem Anhange über das Problem der drei Körper bestehen.

„Die zweite Abhandlung soll enthalten; 1. meine Invariantentheorie der Glei- chungen F(z,&,.--,P„) = 0. 2. Invariantentheorie und Integrationstheorie der Gleichungen 2. ©. mit intermediären Integralen.“

Hierauf folgt dann das Bd. IIId. Ausg., S. 655, 2. 8—5 v. u. Abgedruckte.

Endlich heißt es in einem Briefe, den Mayer am 12. 11. 1873 erhalten hat:

„Im übrigen habe ich mich noch nicht verheiratet, das wird erst im Februar geschehen. Daß ich in so langer Zeit keinen Brief an Sie oder an Klein schrieb, liegt daran, daß ich im Laufe des Sommers, da meine Verlobte in der Nähe war, nichts Wissenschaftliches machte; und später habe ich kein Glück gehabt. Ich habe mehrere schwere Sachen angegriffen, aber größtenteils ist es mit Illusionen be- endigt. Nur meine Sachen über infinitesimale Transformationen und verschiedene damit in Zusammenhang stehende Multiplikator- und Integrabilitätsfaktor- theorien interessieren mich. Im September redigierte ich zwei Abhandlungen über das Pfaffsche Problem, die jetzt gedruckt werden.?) Im übrigen weiß ich nicht, in welcher Ordnung ich meine Sachen in den Math. Annalen publiziere.

„Schreiben Sie mir doch gelegentlich, in welcher Ausdehnung Sie die Theorie der Berührungstransformationen als eine Jacobische betrachten. Ich wurde auf

1) Bd. IlId. Ausg. Abh. IX. (A.d.H.) 2) Wirklich gedruckt worden ist bloß die erste, Bd. IIId. Ausg., Abh. XI, die zweite liegt nur handschriftlich im Nachlaß vor. (A. d. H.)

Vorgeschichte von Abh. I 471

diese Theorie durch die Verfolgung einer Plückerschen Idee geführt: Das Studium der Gleichung: F (z,, Yı, &3, Y) = 0 in der Ebene. Ich halte es für äußerst wahr- scheinlich, daß auch Jacobi seinen Ausgangspunkt bei Plücker genommen hat.‘

Einige Zeilen später folgt, was Bd. III d. Ausg., S. 656, 2.23 bis 8.657, 2.2 ab- gedruckt ist.

Lies Pläne über Abhandlungen in den Math. Annalen treten nunmehr ganz in den Hintergrund, weil er durch die Theorie der Transformationsgruppen vollständig in Anspruch genommen wurde (s. Bd.V d. Ausg., S.583f.). Einer AnregungA.Mayers ist es zu verdanken, daß diese Pläne 1874 wieder aufgenommen wurden und zur Aus- führung gelangten.

In einem Briefe vom 14. 2. 1874 schreibt A. Mayer an Lie:

„Wen so wie Sie immer neue fruchtbare Gedanken treiben), dem wird es wohl schwer und unbequem, ältere Untersuchungen noch einmal zu überarbeiten, um sie in neuer, präziserer Form der Öffentlichkeit zu übergeben. Wünschenswert erscheint es mir aber doch im höchsten Grade, daß Ihre Abhandlungen über Berührungs- transformation, partielle Differentialgleichungen 1. O. und das Pfaffsche Problem baldmöglichst in den Annalen erscheinen. Solange dieselben nur in den Verhand- lungen der Akademie zu Christiania stecken, sind dieselben im Grunde doch immer nur wenigen zugänglich; dem großen Publikum bleiben sie doch fremd. Ich möchte da- her diesen Brief nicht schließen, ohne Ihnen den Wunsch ausgesprochen zu haben, daß Sie über den neuen wichtigen Ideen, die Sie beschäftigen, die Klarlegung der alten nicht ganz vergessen möchten.“

In seiner Antwort, die Mayer am 19.4. 1874 erhalten hat, schreibt Lie:

„Die schreckliche Arbeit mit den Transformationsgruppen hat mich ganz von meinen alten Sachen weggezogen.?) Es ist übrigens meine bestimmte Absicht, in dieser Zeit eine große Arbeit für die Math. Annalen fertig zu machen. Dieselbe zer- fällt in drei Partien.

„1. Theorie der Berührungstransformationen. Hier kommt als neu die Form der infinitesimalen Berührungstransformationen, wodurch das Integrationsproblem

von N (21, ..., 2932, Pıs + Pn) = 0 darauf hinauskommt, alle infinitesimalen Be- rührungstransformationen der Gleichung zu finden.

„2. Invariantentheorie der Gleichung F(z,,..., 24; Pıs--:,Pn) = a. Hier kommt als neu mein Fundamentaltheorem, welches angibt, wann F,,...,F :

bezüglich in fı,...,f, übergeführt werden können. Ein paar Worte über das Problem der drei Körper.?) Ein besonderes Kapitel über das Poisson- Jacobische Theorem.

‚3. Invariantentheorie der homogenen Funktionen. Neu ein Kapitel über Glei- chungen zweiter Ordnung mit intermediären Integralen. Die Monge- Ampe&resche Gleichung läßt sich z. B. sehr viel besser machen. Hat:

rtt— ®+4Ar+Bs+C0t+D=0 intermediäre Integrale: “— 0), w— p(d)=0,

1) Mayer denkt dabei besonders an die Theorie der Transformationsgruppen, über die ihm Lie in ausführlichen Briefen berichtet hatte. Vgl. Bd. V d. Ausg., S.584—595. (A. d. H.)

2) Diese Zeilen sind schon in Bd. V d. Ausg., S. 599 abgedruckt. (A.d. H.)

3) „Einmal in Zukunft wünschte ich überhaupt über die partiellen Differential- gleichungen der Mechanik und ihre bekannten Integrale zu sprechen. Alles liegt dar- in, daß eine jede infinitesimale Bewegung des Raumes die Distanzen nicht ändert. Darum läßt sich in einem nichteuklidischen Raume auch die Mechanik fertig machen, was wohl bekannt ist.‘

472 Anmerkungen zu Abhandlung I

so kann ich das definitive Integral durch die möglichst einfachen Integrationen auf- stellen. Bemerkenswert ist insbesondere, daß in meinen Hilfsgleichungen nie arbi- träre Funktionen auftreten.‘‘*)

In Mayers Antwort vom 13. 5. 1874 liest man:

„Auf die Annalenabhandlungen, namentlich auf die neuen Kapitel freue ich mich sehr. Auf der andern Seite, indem mir doch die fundamentale Wichtigkeit Ihrer Transformationsgruppen trotz mancher Unklarheit immer klarer wird, reut es mich fast, Sie durch die wiederholte Mahnung an die Annalen von diesem neuen Gegenstande abzuziehen. Aber ich meine doch, daß es vor allem nötig ist, Ihre älteren Untersuchungen durch eine zusammenhängende Reproduktion dem großen Publi- kum zugänglich zu machen. Ist es Ihnen recht,‘ wenn ich die Korrektur übernehme ? Über irgendwelche wichtigere Punkte würde ich Sie erst brieflich befragen. Der Druck wird aber viel schneller vorwärts gehen können, wenn die Korrekturbogen nicht erst nach Christiania hin und zurück müssen.“

In Lies Antwort vom Juni 1874 heißt es nach dem Anfange, der Bd. V d. Ausg., S. 605, 2.17, 16 v. u. abgedruckt ist:

„Ich schreibe jeden Tag an der Annalenabhandlung, die ich in den drei bis vier ersten Tagen vom Juli an Sie schicken werde. Ich füge einige neue Sachen hinzu, wie früher gesagt. Leider bin ich immer unfähig zur Redaktion. Ich wünschte die Ab- handlung möglichst bald gedruckt.“

In dem ‚alten Briefe‘, der dem Briefe vom 28. 6. 1874 beilag (s. Bd. V d. Ausg., S. 607, 2.15, 14 v. u.) heißt es nach den a.a.O. S.609, 4. 9—11 abgedruckten Zeilen:

„Ich arbeite jeden Tag an meiner großen Annalenabhandlung: Begründung einer Invariantentheorie der Berührungstransformationen. Es ist mir sehr lieb, daß Sie Ihre schöne direkte Behandlung?) der Theorie der Berührungstransformatio- nen, die dem Wesen der Sache entspricht, dessen fühle ich mich jedenfalls überzeugt, veröffentlichen wollen. Ich zweifle übrigens nicht, daß Ihre Theorie sehr mit meiner ursprünglichen synthetischen Behandlung verwandt ist. Wenn ich nur redigieren könnte, so würde ich eine sehr umfangreiche synthetische Theorie aller meiner Theo- rien veröffentlichen. Oder noch besser wäre es, wie Monge, alles gleichzeitig syn- thetisch, begrifflich und analytisch elegant darzustellen. Doch das muß ein anderer machen. Ich rechne es mir zum Verdienst, daß ich die Welt aufgefordert habe, die Mongesche Methode wieder aufzunehmen.

„Im übrigen ist es erst in den zehn letzten Tagen, seit ich definitiv die Theorie der Ebene beendigt habe®), daß ich ernstlich an der Annalenabhandlung arbeite. Es darf als entschieden sicher betrachtet werden, daß ich sie spätestens den 3.—4. Juli an Sie schicke. Dies ist sicher, wenn nicht Hinderungen, die sich nicht voraussehen lassen, dazwischen kommen.

„Es ist klar, daß ich Ihnen ganz außerordentlich gern die Korrektur überlassen werde. Sie können natürlich sehr gern Redaktionsänderungen machen. Wenn Sie Meinungsänderungen zu machen wünschen, so könnten Sie es als Noten im eigenen Namen machen.

„Mir würde es sehr angenehm sein, wenn meine Arbeit möglichst bald gedruckt würde. Insbesondere würde es schön sein, wenn sie schon im September oder Ok- tober, während meines Aufenthaltes in Paris, erscheinen könnte. Doch das ist wohl unmöglich.

1) Hieran schließt sich Bd. V d. Ausg., 8.599, 2.23 — 8. 605, Z. 32. Das Kapitel über partielle Differentialgleichungen 2. O. ist schließlich unterblieben und erst 1877 als besondere Abhandlung erschienen; s. Bd. III d. Ausg., Abh. XIX, 8. 287—293. (A. d. H.)

2) Mayer hatte diese bereits in einem Briefe vom 2. 12. 1873 Lie mitgeteilt.

3) S. Bd. V d. Ausg., S. 605ff. (A.d. H.)

‘

Vorgeschichte von Abh. I 4753

„Ich würde mich auch sehr glücklich fühlen, wenn Sie Ihre Theorie der Be- rührungstransformationen ausführlich in den Mathematischen Annalen, gleichzeitig mit meiner Arbeit veröffentlichten. Wenn Sie dies nicht machen wollen, so schreiben Sie es mir gelegentlich.“

Hieran schließt sich unmittelbar, was Bd. V d. Ausg., S. 609, Z.13—22 ab- gedruckt ist.

Am 6.7.1874 schreibt Lie:

„Ich empfange eben die klassisch schöne Note, die Sie den Berührungstrans- formationen gewidmet haben.!) Zunächst meinen Dank für die Anerkennung von der Wichtigkeit der Theorie, die Sie aussprechen. Weiter gebe ich unbedingt zu, nicht allein, daß Ihre Begründung viel besser als meine analytische, sondern auch als meine urspüngliche, insofern es sich um den Beweis der sämtlichen Rela-

tionen: 2X] = [X X] = & Pıl=[P;Pıl=0,

[ZP;] ER P,[X,P;]

handelt. Dagegen glaube ich, daß meine synthetische Begründung der Rela- tionen: ZX%]= [X X,]= 0,

wie auch von meiner Verallgemeinerung der Integrationsmethode, so einfach und stringent wie möglich ist. Eines Tags werde ich wohl auf die synthetische Seite ein- gehen; doch wird es wohl viele Jahre dauern, ehe ich dazu komme. —

„In meiner Annalenabhandlung, die in drei bis vier Tagen abgeschickt wird, beantworte ich Ihre alte Bemerkung über die Clebschesche Determinante und das Verschwinden derselben?)

„Indem ich schließe, wiederhole ich meine Bitte, daß Sie in den Mathematischen Annalen Ihre so vollkommene Behandlung der Theorie der Berührungstransforma- tionen veröffentlichen. Könnte Ihre Abhandlung gleichzeitig mit meiner kommen, so wäre es mir am liebsten, oder, wenn Sie dieselbe fertig haben, dann auch sehr gern früher als meine.‘

Im weiteren Verlaufe des Juli 1874 machte Lie eine Fußreise und schreibt auf dieser:

„Meine Abhandlung für die Math. Ann. schickte ich den 8-ten; es nimmt indes wohl eine Woche, ehe sie kommt.“

‚Wir hatten eine starke Hitze, und ich war überhaupt wenig disponiert bei dem endlichen Abschreiben. Das wird sich wohl insbesondere bei den neuen Partien zeigen.

„In einigen Punkten bin ich mir gewisser Lücken bewußt. Auch kann ich mir die Einwendung denken, daß ich mehr verspreche, als ich halte. Jedenfalls hoffe ich, einmal alles auszuführen, was ich versprochen habe. Meine Einleitung ist arrogant: doch möchte ich sie, jedenfalls im wesentlichen, beibehalten. Es ist in der Tat mein Glaube, daß die große Bewunderung, die man für Jacobi gehegt hat, zum Teil die Entwickelung der Wissenschaft gehemmt hat.

„Ich habe geglaubt, den Ausdruck Involutionssystem als etwas Allgemeineres als Jacobisches System einführen zu müssen. Übrigens ist es ein Fehler, daß ich nicht definiere, was es heißt: ein Involutionssystem zu integrieren. Das schadet indes wenig, und ich komme doch später darauf.“

1) Gemeint ist die Arbeit Mayersin den Göttinger Nachrichten, die in Bd. III d. Ausg., S. 587 unter VIII angeführt ist. 2) Vgl. S. 33—36 und meine Anm. dazu. (A.d.H.)

474 Anmerkungen zu Abhandlung I

Am 15.7.1874 schreibt Mayer:

„Ich schreibe heute nur, um Ihnen den Empfang Ihres Manuskripts anzuzeigen, das wohlbehalten angekommen ist... Wegen des Druckes habe ich schon mit Neumann gesprochen. Er wird jedoch wohl kaum vor dem September beginnen können...

„Es freut mich sehr, daß Sie mir die Korrektur überlassen wollen. Sie können sicher sein, daß ich sie nach besten Kräften besorgen werde. Ihrem freundlichen Wunsche, meine Theorie der B. T. ausführlicher in den Annalen zu veröffentlichen, werde ich gern nachkommen. Nur muß ich zunächst sehen, wie Sie in der Abhand- lung die Sache machen, um zu wissen, wie ich diese Theorie am besten anknüpfen kann.‘‘!)

Aus diesen Tagen liegt noch ein Brief von Lie vor, in dem es heißt:

„Ich mache in dieser Zeit gar keine Mathematik, da ich nämlich auf einer Fuß- reise bin. Es fällt mir aber ein, daß folgendes eigentlich seinen Platz in meiner Ab- handlung hätte.

Et:

Fil2, Ir: , u Ps ae

vorgelegt, und H,,..., H, solche Funktionen, daß immer [H,H,] verschwindet, so soll das Gleichungssystem: 2 SE FE RB

eine vollständige Lösung der vorgelegten Gleichung heißen.

„Diese Definition ist allgemeiner als die gewöhnliche, die außerdem verlangt, daß die Elimination aller p zwischen den n—+ 1 Gleichungen nur eine Relation zwischen 2, 2,,.. ., 2 09; &ı, - + +, @, Ribt.

„Nach dieser Definition zeigen meine Theorien, daß immer eine vollständige Lösung in eine vollständige Lösung durch Berührungstransformation übergeführt wird. Dies, ob nun H, in eine neue Funktion oder in sich selbst transformiert wird.

„Bei dieser Gelegenheit könnte ich dann hervorheben, daß die entsprechende Theorie mit der alten Definition von Ihnen gegeben war. Denken Sie doch daran, wie ich es mache.

„Sie sehen leicht, daß meine jetzige Definition sich mit derjenigen deckt, die ich in den Göttinger Nachrichten?) gab.

„Seinun:

H,=% vorgelegt, und: 2 O—E RRLOR > Pe

eine solche Lösung, die durch eine Gleichung: Ki ee D repräsentiert wird. Ich führe eine Berührungstransformation aus und erhalte: j H, —=4 mit der vollständigen Lösung: Hi ea... ur

Wir werden jetzt voraussetzen, daß diese Lösung durch mehrere Relationen:

n°

I ’ ; I en Pr, ne ns N (k=1,...,9)

1) Mayer hat dann unmittelbar hinter Lies Abhandlung, auf S. 304—312 von Bd. VIII der Math. Ann., seine „Direkte Begründung der Theorie der Berührungs- formationen‘ einrücken lassen. Diese ist ein nur wenig veränderter Wiederabdruck seiner vorhin erwähnten Göttinger Note.

2) D. Ausg. Bd. III, Abh. IV (1872), S.21.(A.d.H.)

Vorgeschichte von Abh. I 475

repräsentiert wird. Alsdann kann man folgendermaßen vorwärts gehen. Zuerst sucht man nach meiner Methode alle Lösungen K von:

IH, KI= UV,

sodann findet man nach Ihrer Theorie eine vollständige Lösung von : H’, = a, im alten Sinne des Wortes.

„Diese Betrachtungen, die ich in meiner Göttinger Note angedeutet habe, sind doch in Ordnung.“

In seiner Antwort vom 1.8.1874 schreibt Mayer:

„Ich bin jetzt mit Ihrer Abhandlung fertig und äußerst befriedigt von der- selben. Die Bemerkung in Ihrem letzten Briefe muß aber jedenfalls noch hinein. Ohne Ihnen irgendwie vorgreifen zu wollen, würde ich dieselbe vor Nr.18 und nach Ihrer allgemeinen Formulierung der Jacobi-Mayerschen Methode einschieben, und zwar etwa in folgender Form :“

Es folgt jetzt im wesentlichen der Wortlaut der Einschaltung, die Mayer in Nr. 17 der Lieschen Abhandlung gemacht hat, hier S. 30, 2.13 bis S. 31, 2.4 v. u. Sodann heißt es:

„Was das rein Sprachliche in Ihrer Abhandlung anbetrifft, so habe ich mich darin ganz frei gehen lassen. Ich lege Ihnen im folgenden nur einige sachliche Ände- rungen zur Genehmigung vor. Sind Sie mit irgendwelchen von denselben nicht zu- frieden, so werde ich natürlich sofort wieder den alten Text herstellen.‘

Es ist nieht nötig, die Vorschläge, die Mayer macht, mitzuteilen. Da nämlich die ursprüngliche Fassung der Abhandlung in Lies Handschrift erhalten ist, so kann man überall feststellen, wo die gedruckte Fassung von der ursprünglichen abweicht, und es wird zweckmäßiger sein, das bei den nachfolgenden Erläuterungen zu der Abhandlung anzugeben. Hier wird es genügen, wenn ich Lies Antwort abdrucke, die in den letzten Tagen des August geschrieben ist:

„Als ich Ihren liebenswürdigen Brief mit dem Vorschlag zu Änderungen in meiner Arbeit empfing, schrieb ich Ihnen ein paar Worte.!) Ebenso als ich Ihren Brief?) in Hamburg empfing. Dies letztere habe ich indes Grund zu fürchten, nicht in Ihre Hände gekommen ist.!) Darum heute ein paar Worte. Ich bin in allen Ände- rungen einig. Ihre Redaktion der Bemerkung hinsichtlich der vollständigen Lö- sung einer transformierten Gleichung paßt mir auch vollständig. Überhaupt meinen besten Dank für Ihre Mühe mit meiner Arbeit.

„Seit einigen Tagen bin ich mit meiner jungen Frau in Paris.’) Ich werde Ihnen baldigst mehr schreiben.‘

Die nächsten Briefe Lies beziehen sich hauptsächlich auf die Abelausgabe und auf den Plan eines Zusammentreffens mit F. Klein und Mayer, das im Oktober in Düsseldorf wirklich stattgefunden hat. Vgl. Bd. V d. Ausg., S. 615. Die Abhand- lung wird höchstens kurz erwähnt. Im ersten, den Mayer am 13. September erhalten hat, heißt es:

„Ich bin Ihnen außerordentlich dankbar für Ihre Mühe mit meinem Manu- skript. Sie werden leicht sehen, daß ich damals herzlich müde und ziemlich nervös war. Für diesen Winter habe ich mir alles viel besser eingerichtet. Denn vorigen Winter hatte ich schändlich viel zu machen.“

Im zweiten, den Mayer am 5. Oktober erhalten hat:

„Ich habe Sie noch nicht gefragt, ob Sie die Weise, in welcher ich im Anfange meiner Arbeit über Jacobi spreche, für unpassend halten. Auch möchte ich wissen, ob Ihnen die Überschrift: ‚Begründung einer Invariantentheorie der Berührungs- transformationen‘ zu anmaßend erscheint.‘

1) Keine dieser beiden Zuschriften ist erhalten. (A. d. H.) 2) Brief Mayers aus Elster vom 10. 8. 1874. (A.d. H.) . 3) Er wohnte dort: 8 Rue Bagneux (Vaugirard).

476 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 1—4

Vielleicht hat sich Mayer in Düsseldorf über diese Dinge ausgesprochen, denn in seinen Briefen geht er nicht darauf ein.

S.1, 2.7—1 v. u. Die Abhandlungen, auf die Lie hier anspielt, findet man an- geführt in Bd. III d. Ausg. Vgl. da S. 587, Pfaff; 585, Cauchy; 586, Jacobi III; 587, Mayer 1; 586, Jacobi VI.

Auf Z2.4,3 v. u. hatte Lie ursprünglich geschrieben: „und nicht die Cauchy- Jacobische‘“. Die Fassung des ersten Drucks stammt, wie im folgenden überall, von A. Mayer.

S.1, 2.10—11. Ursprünglich stand: ‚Die Auffassung begann sich nämlich zu verbreiten, daß Jacobi diesem Gebiet seine definitive Gestalt gegeben hätte.‘

S.2, Z2.19f. Diese Erweiterung besteht darin, daß die Cauchysche Methode in der Fassung, die sie durch Lie erhalten hatte, auf Involutionssysteme ausgedehnt wird. Vgl. Bd. III d. Ausg., Abh. IV (1872), S.25, III 1, Abh. XII (1874), S. 168 bis 172; Bd. IV, Abh. II, S. 122—127. IIa, S.155f., 160£.

S. 2, Z.1v.u. Vgl. Bd. Ill d. Ausg. S. 587, Mayer IV, III und 8. 628—630.

S.2, 2. 9—7 v. u. Vgl. hier S. 28£f., $ 7.

S.3, 2.5,4v.u. Bd. Illd. Ausg. S. 587, Mayer VI, VII, Vla.

S.3, 2.19—16 v. u. Diese rationelle Behandlung wird hier S. 63—71, 91—93 auseinandergesetzt.

S.3, 2. 13—6 v. u., S.4, Z.1, 2. Siehe hier S. 73—77.

S.4, 2.5—3 v.u. Am Sahllsse eines Briefes vom 11.1.1873 schreibt Lie an Mayer:

„Im Herbst 1872, auf der Rückreise von Deutschland, bemerkte ich, daß unsere Arbeiten vom Frühlinge 1872 die Preisaufgabe der französischen Akademie über das Problem der drei Körper beantworten. Dies Problem war auf eine Gleichung: F(x1,..., Pa) = 0 reduziert. Aber unsere Theorien vereinfachen dies Problem, was eben die Forderung war. Ich habe wahrscheinlich vergessen, hierüber zu schreiben. Sie werden es ohne Zweifel bemerkt haben.

In Mayers Antwort vom 19.1.1873 heißt es:

„Die Pariser Preisaufgabe über das Problem der drei Körper habe ich erst vor kurzem zu Gesicht bekommen, wobei mir gleich unsere Resultate einfielen. Soweit ich mich erinnere, hat nur leider die Akademie diese Preisaufgabe, für welche der 1. Juni 1872 der Einlieferungstermin war, nicht wieder erneuert oder prolongiert; sonst könnten wir uns wohl mit unserer Reduktion des Problems auf die Auffindung eines Integrals von 6, 4, 2 gewöhnlichen Differentialgleichungen um den Preis be- werben.

„Können Sie mir vielleicht sagen, wo man die Zurückführung des Problems der drei Kan auf eine Gleichung F(&,.. ., 24, Pı- - - -, Pa) = 0 direkt ausgesprochen findet? Ich kenne dieselbe eigentlich indirekt erst aus dem Heft!) von Clebsch, der aus den Flächensätzen und den Schwerpunktsintegralen 5 involutorische Lö- sungen der Gleichung (H, f) = 0 zusammensetzt, woraus dann durch Ihre Methode sofort jene Reduktion auf eine partielle Differentialgleichung mit nur noch 4 un- abhängigen Variabeln folgt. Es war mir aber explicite nur die Jacobische Zurück- führung des Problems der n Körper auf eine partielle Differentialgleichung mit 3(n — 1) unabhängigen Variablen bekannt, und ich dachte daher schon daran, jene weitere Reduktion in einer kurzen Note auseinanderzusetzen, als ein schönes und einfaches Beispiel für die Leistungen unserer Methoden, was jedoch überflüssig wird, wenn diese Reduktion bereits bekannt ist.“

Darauf schreibt Lie am 26. 1. 1873:

„Heute ein paar lose Bemerkungen. Der Deutsche Radau, der lange Zeit in Paris zugebracht hat, ist es, wenn ich nicht irre, der das Problem der drei Körper

1) Gemeint sind Clebschs Aufzeichnungen für eine von ihm gehaltene Vorlesung. (A. d. H.)

Reduktion des Problems der drei Körper 477

auf F(z,,..., 24, Pıs - - -, Pa) = 0 reduziert hat, was eine schöne Leistung ist. Seine Arbeiten finden sich in den Mathematischen Annalen, Liouvilles Journal (mög- licherweise auch Comptes Rendus) etwa Jahr 1870. Auch finden Sie hierüber etwas in Darbouxs Bulletin, erster oder zweiter Band.

„Sie sagen, daß Clebsch aus den Flächensätzen: u, = Const., u, = Üonst., u, —= Const. und den Schwerpunktsintegralen: u, = (, u, = C, ug, = © fünf invo- lutorisch gelegene Integrale: 9, = (,...,9; = C zusammensetzt — die p sind F (u],..., %5, Ug) —, WO: (9,95) = 0. So habe ich Sie verstanden. Ich glaube indes, mit Sicherheit behaupten zu können, daß hier ein Fehler bei Clebsch steckt. Es existieren nur vier Funktionen der besprochenen Art.

„Die Radausche Reduktion mache ich in folgender Weise. Zuerst reduziere ich das Problem wie gewöhnlich auf die Bewegung zweier Körper, die einander an- ziehen und überdies von einem festen Punkte angezogen sind. Es gelten die drei Flächensätze. Aus denselben bilde ich zwei involutorische Integrale: 9, =(, Pa = C. Durch mein Theorem ist dann die Reduktion fertig.‘

Hieran schließt sich Bd. III, S. 655, Z. 21—35.

Mayer antwortet am 1.2.1873:

„Für Ihre Mitteilungen über die Zurückführung des Problems der drei Körper bin ich Ihnen sehr dankbar. Die Radausche Arbeit in den Math. Annalen war mir bekannt, nur kann ich in derselben die Reduktion auf eine partielle Differential- gleichung mit 4 unabhängigen Variabeln wenigstens nicht direkt angegeben finden. Vielleicht ist dieselbe in den ausführlicheren Abhandlungen im Liouville enthalten. Die Art der Reduktion, die Sie angeben, ist wohl die einfachste. Man kann aber auch in der Ölebschschen Weise direkt verfahren und geradezu die partielle Differential- gleichung mit 9 unabhängigen Variabeln: H = T— U=h zurückführen auf eine mit nur noch 4.

„Clebsch nämlich benutzt nicht bloß die Flächensätze und die ersten 3 Schwerpunktsintegrale, sondern auch noch die drei zweiten Schwerpunktsintegrale und leitet aus ihnen 5 involutorische Integrale auf folgende Weise ab:

„Es sind beim Problem der n Körper die 6 Schwerpunktsintegrale:

| # =Im v=DIa. "=D; h n E” (1) ! "= Dman—tdm vV"=Ddmm tan; n h 7 h y” =, ?n — t>'rn . 7 n

Aus diesen 6 Integralen bildet Clebsch die 3 folgenden, von t freien:

| A y'y' — vr, , Sk; % 9’— xp, ae p' y'’ — o'’y,

2 [270 (2) "= Im (a — re Yı), ki

zwischen denen und den Integralen (1) allerdings die Identität besteht: p' op" + y'y + RE A Sn 0. Diese Integrale werden nun kombiniert mit den 3 Flächenintegralen:

9=- — I (um am): y=—- ap — ara): h h

(8) = - I nm —Ynpn) 7

478 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 4 indem man, Zm„ = M gesetzt, bildet: A

1 1 [Z 1 [220 (4) BEREITEN ER TI

Man hat dann, wenn #=F(®,YW,X):

HP)—=0, @M=0, YF)=0,F)=0 und: RI— 3, DR SE, folglich, wenn man: u=rdD+-)Y+uX

setzt, wo x, }, u Konstanten: Er 2 oF eF ; (UF)—i 5 u PAR) +2 XD) + ADD),

also (uF)=0frf =8® + MX? „Demnach, wenn o, und 9, irgend zwei der 6 Funktionen:

H,o,w,y, «D+4/VY/+uX, ® + We ıX?:

sind, so ist stets (9,95) = 0. Diese 6 Funktionen sind überdies unabhängig in bezug auf die partiellen Differentialquotienten p,, q;, r;-

„Die partielle Differentialgleichung mit 3n Variabeln H = h ist somit zurück- geführt auf ein Jacobisches System von 6 partiellen Differentialgleichungen, hängt also nach Ihrer Theorie nur noch ab von der Integration einer partiellen Differentiai- gleichung mit 3n — 5 unabhängigen Variabeln.

„Ich glaube nicht, daß im Vorhergehenden ein Fehler enthalten ist.“

Lie antwortet am 13, 14. Februar 1873:

„Ihre Bemerkungen über das Problem der drei Körper sind natürlich korrekt. Können Sie es glauben: ich hatte nur an 6 Integrale (außer der lebendigen Kraft) ge- dacht. Drei Flächensätze und drei betreffend konstante Geschwindigkeit des Schwerpunkts. Darum wußte ich nicht, das Problem direkt anzugreifen.“

Stücke aus demselben Briefe stehen Bd. III, S. 592, Z. 18—12 v. u, $. 788, 2. 16—12 v. u. (Im Neudrucke S. 789, Z. 19—15 v. u.).

Am 9.5.1873 schreibt Mayer aus Leipzig:

„Soeben erhalte ich Ihren Brief, dessen Kuvert!) mir den Vorschlag zu einem gemeinschaftlichen Schreiben an die Pariser Preiskommision bringt. Ich bin damit ganz einverstanden. Nur müßten Sie die Güte haben, das Schreiben zunächst auf- zusetzen. Da ich nämlich die Bestimmungen für die Preisbewerbung nicht kenne und namentlich nicht weiß, was die Kommision, nachdem doch der Einlieferungstermin längst abgelaufen, und die Aufgabe meines Wissens nicht erneuert worden ist, jetzt noch tun könnte, so habe ich keine rechte Idee, wie eigentlich das ganze Schreiben zu halten wäre. Von irgendwelchen Ansprüchen an den Preis kann doch wohl keine Rede mehr sein. Wir würden, denke ich, nur eine gewisse Anerkennung unserer Ar- beiten beanspruchen können.

„Wenn Sie denken, daß es uns nützlich sein kann, so bitte also, machen Sie immer einen Entwurf und lassen Sie mir denselben dann zugehen.‘

Lies Antwort lautet:

„Die Preisaufgabe für 1872 war die folgende:

«Perfectionner en quelque point essentiel la theorie du mouvement de trois corps qui s’attirent mutuellement, suivant la lois de la nature, soit en ajoutant quelque integrale nouvelle ä celles dejä connues, soit en reduisant d’une maniere quelconque les difficult&s que presente la solution complete du probleme.»

1) Ich kenne nur den Lieschen Brief, nicht aber, was auf dem Kuvert gestanden hat. (A.d.H.)

Prioritätsreklamation bei der Pariser Akademie 479

„Es war bestimmt, daß nur Arbeiten, die bis Juni oder Juli 1872 eingeliefert wären, konkurrieren könnten.

„Im Januar 1873 wählte die Akademie eine Kommission, bestehend aus:

Bertrand, Serret, Liouville, Puiseux, Hermite .. charg6e de juger le concours du grand prix des Sciences mathömatiques pour 1872 (question relative & la theorie du mouvement de trois corps .. .).

„Bei früheren Gelegenheiten hat eine solehe Kommision ihr Urteil am 11. Juli ausgesprochen. — Jedenfalls müssen wir eilen.

„Um den Preis können wir nicht konkurrieren. Wir wünschen nur, daß die Kommission unsere Arbeiten bespricht. Unser Brief, der wohl französisch geschrieben werden muß (ich glaube, es wird gefordert), fängt wohl etwa so an:

„Für 1872 war die und die Preisaufgabe gestellt zur Konkurrenz um „‚le grand prix des Sciences math&matiques‘‘. Wir glauben, daß gewisse Arbeiten!) von uns den Forderungen der Aufgabe genügen. Wir wissen, daß wir um den Preis nicht kon- kurrieren können. Wenn wir die Sache besprechen, so ist es, um die Aufmerksam- keit der Kommission auf unsere Arbeiten zu lenken.

„Sodann sagen Sie: Das Problem war zurückgeführt auf die Integration einer Be Fi: red,

was die Operationen: 6, 4, 4, 2, 2 verlangte. Unsere Arbeiten zeigen, daß nur die Operationen 6, 4, 2 erforderlich sind.

„(Endlich resümieren Sie vielleicht mit einigen Worten den Kern in Ihren und meinen alten Arbeiten ?)

„Es wäre vielleicht gut, ausdrücklich zu sagen, daß unsere Arbeiten völlig von einander unabhängig und verschieden sind.“

„Es erscheint notwendig, Exemplare jedenfalls von den wichtigsten Arbeiten von uns beiden beizulegen. Können Sie ein Exemplar von Ihren beiden Annalen- arbeiten beilegen, diejenige über Ihre und diejenige über meine Sachen ?

„Meine Göttinger Notiz schicke ich an Sie, damit sie nach Paris geht. Dagegen nicht meine Christianianote, die ja den Analysten unverständlich ist.

„Hier haben Sie in groben Umrissen, wie ich es mir gedacht habe. Machen Sie es, wie es Ihnen gut scheint. Wir gehen wohl nicht darauf ein, das Verhältnis unserer Arbeiten auseinanderzusetzen. Nur, daß sie sehr verschieden sind, muß wohl gesagt werden.

„Lech weiß nicht, an wen Sie den Brief adressieren; vielleicht:

L’Acade&mie des Sciences. Commission charg6e de juger le concours au grand prix desMath&matiques pour 1872.

„Sie können den Brief sogleich nach Paris schicken. Ich brauche ihn nicht zu lesen. Sie können meinen Namen unterschreiben.‘

Darauf antwortet Mayer am 24.5. 1873:

„Ich habe gestern den Brief an die Pariser Akademie, dessen Konzept beiliegt, abgehen lassen, Sie werden wohl noch einige Fehler und Germanismen darin ent- decken. Im ganzen aber denke ich, ist er verständlich, und da es doch einmal Eile hatte, so wollte ich nicht noch mehr Zeit mit dem Ausfeilen versäumen. Ich habe sämtliche zitierte Abhandlungen und Noten mitgeschickt, auch Ihre Christianiasche Note, weil diese mir ein klareres Bild Ihrer Betrachtungsweise zu geben scheint, als die Göttinger Mitteilung ..

„Sachlich habe ich nur gegen eine Stelle des Schreibens Bedenken gehabt, näm- lich gegen die, wo behauptet wird, daß das Problem der drei Körper zurückgeführt war auf eine Gleichung:

F(q,-.-.,9 Pr» -»D)=0.

1) „Hier Zitat Ihrer Göttinger Note und Abhandlung in den Math. Annalen, meiner Christianianote, Göttinger Note und Ihrer Arbeiten über meine Sachen.“ Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. IV 31

480 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 4

„Sie schrieben, daß Radau diese Zurückführung bewirkt habe. Bis jetzt habe ich aber dieselbe in den Radauschen Abhandlungen noch nicht explicite auffinden können, und bin ich daher nicht sicher, ob Radau wirklich die Aufgabe so weit ge- bracht, das heißt also zurückgeführt hat auf ein kanonisches System von sechs Differentialgleichungen, oder ob sich das nur implicite aus den Radauschen Unter- suchungen folgern läßt. Mir selbst ist nur klar diejenige Ableitung dieser Reduktion, welche aus den Resultaten, die ich Ihnen aus der Clebschschen Vorlesung mit- teilte, unmittelbar durch die Liesche Methode hervorgeht. Ich weiß daher nicht, ob die Pariser diese Reduktion als bekannt zugeben können, und hätte gern nähere Er- läuterungen hinzugefügt, wenn ich nur irgend etwas Positives aus den Rada uschen Arbeiten hätte anführen können.“

Das erwähnte Konzept lautet, unter Weglassung unwesentlicher Teile, wie folgt:

«Nous savons tres bien que, le terme de rigueur pour l’envoi des m&moires etant passe depuis longtemps, nos travaux ne peuvent plus &tre admis au concours. Mais comme nous croyons que nos recherches sur les &quations aux derivees par- tielles du premier ordre, en simplifiant essentiellement leur integration, ont bien avance aussi la question proposee, nous voudrions au moyen essayer d’attirer votre attention sur les m&moires ci- joints.

„Qu’il nous soit donc permis de vous indiquer rapidement leurs principaux re- sultats et le perfectionnement qui en d&coule particulierement pour le probleme des trois corps.

„En designant par une operation (m) la decouverte d’une integrale d’un systeme de m &quations differentielles ordinaires du premier ordre, on sait!) que l’int&gration d’une &quation aux derivees partielles du premier ordre de la forme:

2 0 0 (1) Ptg,, 3, “0, Ans: Pı; Pa» de 4 Pr) = 0 [Far 89, ) £ h

exigeait jusqu’a presant les 2n — 3 op6rations successives : (Zn — 2) (2n —4), (2n — 4) (An —6), (2n — 6)

(4), (4) (2), (2). Maintenant le probleme des trois corps ayant &t& ramene a une @quation de la forme: F(q, ++, Pı> -- ., Pa) = 0

l’etat de la question proposee &tait tel que la solution complete demandait encore les 5 operations:

(6) (4), (4) 2), 2)

Cependant au printemps 1872 chacun des noux deux arriva, par des procedes tres differents, et sans savoir rien l’un de l’autre, ä& une methode generale qui reduit l’intögration des &quations de la forme (1) aux n — 1 operations:

(2n —2), (@n—4), (@n-—6),...(4), ().

1) Voir Clebsch, Journal de M. Borchardt T. LXV, p. 263—265.

Prioritätsreklamation bei der Pariser Akademie 481

Ainsi par nos methodes le probleme des trois corps est arrive aA ce point qu’iln’y a plus qu’a executer les trois operations:

(6), (), (2),

pour parvenir ä la solution complete; et nous pensons que voiläa bien un perfectionne- ment essentiel de la theorie de ce fameux probleme.

„Vous trouverez l’exposition de nos methodes dans les m&moires ajoutes A cette lettre.

„„Seulement pour mieux relever la difference qui existe entre nos deux methodes nous enoncerons encore les theoremes fondamentaux de chacune d’elle.

„L’une!) s’occupant surtout de l’integration des systemes d’equations lin&aires aux derivees partielles, auxquels Jacobi a ramene& les &quations non lin&aires, repose sur le theoreme suivant:

h=n 1) DD ;0 „si 0-4 Dat. : h=m+1

les coöfficients etant des fonctions donnees de &,, &g,. . ., &,. St les expressions:

AM AT Am)

satisfont identiquement aux conditions

4,(4.M) — ArlA NM) =,

la determination d’une solution commune des m equations

AN=09,AN=0,..,4,N)= 0

ne depend que de la decowverte d’une integrale quelconque d’un systeme de n — m equa- tions simultanees aux differences ordinavres.

„Par contre le theoreme fondamental de methode?) qui est tout & fait independante de la methode de Jacobi peut s’enoncer comme il suit:

„L’integration d’une equation differentielle partielle du premier ordre de la forme (1) peut Etre ramenee au moyen d’une integrale quelconque d’un systeme de 2n— 2 equations differentielles ordinaires a l’integration d’une equation de la m&me forme, mais qui ne contient plus que n — 1 variables independantes.

„Tandis que le premier theoreme ne conduit ä la reduction enoncee plus haut que si on le joint & la methode de Jacobi, iln’y a qu’ä r&peter le second, pour reconnaitre sur le champs qu’en effet l’integration d’une &quation aux derivees partielles de la forme (1) n’exige que les n — 1 op6rations:

(2n — 2), (An — 4), (2n —6),..., (4), (2).

May 1873.

SophusLlie, AdolphMapyer, Christiania. Leipzig.»

Lie antwortet erst im Juni 1873 und schreibt:

„Ihr Brief nach Paris scheint mir auch in allen Beziehungen sehr gut. Es ist kein Zweifel, glaube ich, darüber, daß man in Paris schon weiß, daß das Problem der drei Körper auf eine Piz,,..., u = () reduziert war.

„Es ist sehr kuriös, daß die soei6te philomathique mir eben die Ehre macht, mich zum Korrespondenten zu wählen. Ich kenne in Paris nur Darboux und Jor- dan, und diese Beziehungen habe ich sehr vernachlässigt.“

1) Hier werden genannt die Abh., die Bd. III d. Ausg., S. 587 unter Mayer III, IV stehen. (A.d. H.)

2) Hier wird auf die Lieschen Abh. Bd. III d. Ausg., Abh. II, III verwiesen und auf die ebenda S. 587 unter Mayer VI, VIa genannten. (A.d. H.)

31*

482 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 4—8

Hieran schließt sich das S. #70, Z. 17—25 Abgedruckte.

In einem Briefe, den er im Oktober 1874 aus Paris geschrieben hat, liest man;

„Puiseux, den ich gestern bei Chasles traf, erzählte, daß der Preis wegen des Problems dreier Körper nicht ausgeteilt werden würde. Was unsere Arbeiten beträfe, so behandelten sie nicht direkt das betreffende Problem; daß sie zu spät gekommen wären und daß sie gedruckt wären, daß die Verfasser bekannt wären, wäre alles gegen das Reglement.“

Endlich in einem Briefe aus Christiania, den Mayer am 4.5.1875 erhalten hat:

„Haben Sie Puiseuxs Bericht über das Problem dreier Körper gelesen? Es ist ganz lächerlich. Wenn das, was die Herren so lange wünschten, gemacht wird, so ignorieren sie es fast.‘

Zu den vorstehenden Briefstellen habe ich noch folgendes zu bemerken.

Die von Lie erwähnte Kommission war von der Pariser Akademie in der Sitzung vom 27. Januar 1873 gewählt worden, s.C.R. Bd.76 (1873), S. 215.

Aus dem Rapport lu et adopte dans la seance du 30 novembre 1874 [C.R. Bd. 79 (1874), S. 1535—1537] geht hervor, daß der 1. Juni 1873 der Zeitpunkt war, bis zu dem die Preisarbeiten eingeliefert werden mußten, und daß Mayers Schrei- ben noch vorher eingegangen war. Es erhielt, wie wir wissen, keiner der Bewerber den Preis. Insbesondere liest man über Lie und A. Mayer, deren Namen freilich nicht genannt werden:

„Les brochures, aussi en allemand, dont la r&union compose 5 n® 3, renferment l’exposition d’une methode remarquable pour lintegration des &equations aux de- rivees partielles du premier ordre. Mais, outre que ces travaux ne r&pondent pas directement au programme propos£, la circonstance qu’ils sont imprimes et portent les noms de leur auteurs ne permet pas de les comprendre dans le Concours.“

Jean Charles Rodolphe Radau, geboren 22. November 1835 zu Angerburg i. Ostpr., studierte 1854— 57 in Königsberg und ging 1858 nach Paris, wo er sich naturalisieren ließ und Mitglied des Instituts sowie des Bureau des longitudes wurde. Die nachstehenden Arbeiten von ihm kommen hier in Betracht:

Sur l’elimination directe du n@ud dans le probleme des trois corps. C.R. Bd. 67 (1868), S. 841—843.

Sur une transformation des @quations differentielles de la dynamique. Ann. de l’Ecole Norm., I. Serie, Bd. V (1868), S. 311—375.

Sur une transformation des coordonne&es de trois corps dans laquelle figurent les moments d’inertie. ©. R. Bd. 68 (1869), S. 1465—68.

Sur une propriete des systemes qui ont un plan invariable. Liouvilles Journal, II. Serie, Bd. XIV (1869), S. 167—229.

Über gewisse Eigenschaften der Differentialgleichungen der Dynamik. Math. Annalen, Bd. II (1870), S. 167—181.

Radau führt das Problem auf eines in der Ebene zurück, das durch eine partielle Differentialgleichung 1. O. in 8 kanonischen Veränderlichen: z,, Yı, &2, Ya, Pı> 91, Pa, 9, ausgedrückt wird. Er betont, daß jetzt nur noch die Integration eines Systems von 6 Gleichungen 1. O. erforderlich ist. Die Zurückführung auf ein solches System habe allerdings schon Jacobi angegeben, bei ihm habe aber dieses System noch nicht die kanonische Form.

S.4, Z.8—21. Siehe $ 26, S. 93—96.

S.4,2.2,1v.u. Die Worte: „Vgl. auch...‘ hat Mayer während des Druckes hinzugefügt. Gemeint ist die Bd. III d. Ausg., S.587, als Nr. IX angeführte Abhand- lung von Mayer, eine Umarbeitung von Nr. VIII.

S.5—26, $ 1—5 sind eine Umarbeitung von Bd. III d. Ausg., Abh. IX (1873).

S.5—7, $1, entsprechen Bd. III d. Ausg., S. 96—98.

S.5, 2.12—15. Vgl. Bd. IIId. Ausg., S. 651, 2.13f.; 630, 2. 23—30.

S.5, 2.12—8 v. u. Vgl. Bd. III d. Ausg. S. 96, 2.6—1 v.u. Der zweite Satz hat jetzt eine deutlichere Fassung erhalten. Lie denkt vermutlich daran, daß diese

Puiseuxs Bericht. Radau. Berührungstransformationen 483

seine Auffassung des Begriffs Berührungstransformation unmittelbar erkennen läßt, daß jede partielle Differentialgleichung 1. ©. durch B. T. in jede andere überführbar ist. Ist nämlich eine von pı,.. ., P„ nicht freie partielle Differentialgleichung 1.0. in 2, &1,..., 2, vorgelegt, und denkt man sich eine vollständige Lösung im Sinne von Lagrange gegeben, also eine Schar von 00” n-fach ausgedehnten Mannig- faltigkeiten, die dieser Gleichung, sonst aber keiner partiellen Differentialgleichung 1. ©. genügt, so kann man immer eine Schar von oo"*! n-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten herstellen, die diese Schar von 00” umfaßt, aber die vorgelegte Diffgl. nicht erfüllt, die also überhaupt keine part. Diffgl. 1. O. befriedigt. Die neue Schar bestimmt eine B. T., bei der sie in den Inbegriff aller 0o0”+! Punkte übergeführt wird, während jene 00” Mannigfaltigkeiten in eine Schar von oo” Punkten übergehen. Die vorgelegte Differentialgleichung geht dabei in eine von Pıs ==, Pn freie Gleichung zwischen z, x,,..., 2, allein über, die ihrerseits durch Punkttransformation z.B. die Form z2=0 erhalten kann. Man darf wohl an- nehmen, daß Lie durch derartige Betrachtungen darauf aufmerksam geworden ist, welches mächtige Hilfsmittel die Berührungstransformationen für die Theorie der partiellen Differentialgleichungen 1. ©. werden können.

S,5, Z2.7—1 v. u. Über Darboux vgl. auch die Abh. „Über Komplexe“, Math. Ann. Bd. V, S.256 (Bd. II d. Ausg., Abh. I am Schlusse, März 1872), sowie Bd. III d. Ausg., Abh.IV (1872), 8.18, 2.3, 2 v. u. Den Titel des Buches von Du Bois-Reymond s. ebd. S. 628, Z.18f. Lie hatte geschrieben: „Die Resultate ..., sind jedenfalls unvollständig.“

S. 6, Z. 10—16. Vgl. Bd. III d. Ausg., Abh. IX, S. 97, Z. 20—26. In dem Satze „Insbesondere ...‘, der neu hinzugekommen ist, müßte es eigentlich heißen: 00% Flächen oder 00°? Kurven, die .. .“

S.6, Z. 20. Zu den Bd. III d. Ausg., S. 651, Z. 18f. angeführten Stellen ist noch hinzuzufügen: „Over en Classe geometriske transformationer“, Christ. Forh. 1871, S.83f. (d. Ausg. Bd. I, Abh. XI, $ 6, Nr. 16).

S.6, 2. 9—6 v. u. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 651, Z. 20—22.

S.6,2.5,4v.u. Lie hatte wie Bd. III d. Ausg., S. 98, Z.3f. geschrieben: „nach meiner Auffassung dem Wesen der Sache entspricht‘.

S.6, 2.3 v. u. bis 7, 2.7. Lie hatte geschrieben: ‚solche Funktionen von 2, Liyee., Ems Pıs +++» Pn, daß die Gleichung (1) identisch stattfindet, so...‘ Im Gegensatze zu Bd. III, S. 98, Z.5—15 wird jetzt ausdrücklich hervorgehoben, daß das Bestehen von (1) zur Folge hat, daß (2) eine Transformation ist.

In der Tat, bestände zwischen Z,X,,...X, Pı,..., P„ eine Relation, so könnte die linke Seite von (1) nach der Theorie des Pfaffschen Problems (S.7, 2.16—20) auf eine n-gliedrige Form Z'F,df,; gebracht werden. Man erhielte daher durch Division mit o eine Identität von der Form:

n

3: ER, dz— Ipd = N B;df,. k ;

Aber das Bestehen einer solchen Identität ist unmöglich, weil die Pfaffsche Glei- chung: dz— £p,dxz, = 0 nicht durch ein System von n Gleichungen integriert werden kann.

S.7, 2.8—12. So steht buchstabengetreu auch in der Lieschen Handschrift. Trotzdem verfällt Lie nachher fortwährend in seine alte Gewohnheit zurück, unter den Klammerausdrücken [F®] und (F®) die mit dem entgegengesetzten Vorzeichen versehenen Summen zu verstehen. Infolgedessen haben im folgenden die Formeln an sehr vielen Stellen geändert werden müssen.

S.7,2.12—8 v.u. Vgl. Bd. IIId. Ausg., S. 651, 2.27 v.o.bisilv.u.

S.7,2.7v.u.bis 9, 2.10 v. u. entsprechen Bd. III d. Ausg., S. 991.

8.8, Z.4f. Die Änderung des Wortlautes gegenüber Bd. III d. Ausg., S. 99, Z2.12f. rührt von Mayer her.

484 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 8-11

S. 8, Z.5—7. Das ist nicht ganz richtig, denn Natani hatte schon 1861 den von Pfaff gewählten Weg verfolgt, ebenso Graßmann in seiner Ausdehnungslehre von 1862. Vgl. Bd. III d. Ausg., S.587 und 658, Z. 10—1 v.u., sowie S. 322, 2.5,4v.u., S. 716.

S.8,2.19—8 v. u. Man stellt also die Gleichung (3) in der Form:

AI + Adlın + ---+ Ad, = 0

dar, in der sie offenbar durch: 7, = 0, I, =0,..., II, = 0 befriedigt wird.

S.9, Z.17—20. Dabei wird vorausgesetzt, daß diese Gleichungen nach’, x, ,p,’ auflösbar sind. Den Fall, daß diese Voraussetzung nicht erfüllt ist, behandelt Lie Bd. III d. Ausg., Abh. XVII (1876) und Bd. IV, Abh. III (1877), S. 251—256.

S. 9, Z2.16—10 v. u. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 100, 2. 11—1 v. u., 8. 630, 2.17 bis 10 v. u., S. 651, 2.2 v.u. bis 652, 2.8.

S.9, Z.9—1 v. u. Diese Anm. hat Lie erst bei der Umarbeitung hinzugefügt. Vgl. hier Abh. XI (1898), S. 415.

S. 10—12 entsprechen Bd. III d. Ausg., S. 101—104, 2. 12.

S. 10, Z. 2—$. Die hier auftretende Klassifikation beruht darauf, daß die Punkte des R,+1,2; 21, - ‚2, als ausgezeichnet erscheinen. Jede Schar von oo”? +! m-fach ausgedehnten Punktmannigfaltigkeiten (m —=1,2,...,n), die keine partielle Dif- ferentialgleichung 1. O. befriedigt, würde ebenso eine ihr eigentümliche Klassifi- kation der Berührungstransformationen bedingen. Jede solche Schar kann nämlich durch eine B.T.: —=Z, x',= X,,p; = P, in die Schar aller Punkte übergeführt werden, und aus den Gleichungen einer beliebigen Berührungstransformation:

(A) 3= 3(, 2,9), u = &(@, 2,9), 9, = %:@, 2, pP)

ergibt sich dann eine ganz bestimmte Anzahl von Relationen, in denen nur die Funk- tionen: Z(2,2,P),X,(2,%,Pp) @=1,:..,n)

und: Zu: P), Kl P) M=h..un

vorkommen, und aus denen die Gleichungen (A) durch Differentiation und Elimina- tion abgeleitet werden können.

S. 11, 2. 7—25. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 652, Z. 9—16. Leider hatte ich damals unterlassen, die Gleichungen auf Z. 20 wirklich aus den Clebschschen Gleichungen auf Z. 17 abzuleiten. Da ich mich inzwischen überzeugt habe, daß das keineswegs so ganz einfach ist, hole ich jetzt das früher Versäumte nach. Ich benutze aber dabei, zu größerer Bequemlichkeit, den Umstand, daß die zweite der Clebschschen Glei- chungen ($. 35, Z.1 v. u.) aus der bilinearen Kovariante:

1...2n E,San

D>6X;de, —dX,Ö6 x;) PH ATEREN i ik

des Pfaffschen Ausdrucks £ X,dx, (s. 8.34) erhalten wird, wenn man zu dieser bilinearen Form in Punktkoordinaten dz,,öx, die kovariante bilineare Form in Ebenenkoordinaten, das heißt, in den Ableitungen zweier Funktionen f., fs bildet. Die erste Clebschsche Gleichung geht dann aus der zweiten hervor, wenn man die Ableitungen der einen Funktion durch die Koeffizienten X, des Pfaffschen Aus- drucks ersetzt.

Die bilineare Kovariante des Pfaffschen Ausdruckes S. 11, Z. 13 lautet:

1..n—1 DI (dprd 2. —da,öpr) + dfdan —sfdan. k

Berührungstransformationen und Pfaffsches Problem 485

Setzen wir diese gleich dem Differentialöy einer Funktiony von 21, ...,27,2, Pı» Pn_ı, 80 kommt:

..y

dp, fig fx,;d% 7 —dı, — 9,4% Br Xp; df — fa, 4 En a? 19T — In = X: Diese Gleichungen lösen wir auf:

1 ni a Xz» du = — %,% gm z

In, . 3 /Fa fi, 1 ana e de > ( ee Pi %o, f. Kz = f. Kvı f. Kay f. en

und setzen die gefundenen Werte in das Differential dp einer zweiten Funktion @. Der entstehende Ausdruck:

.n—1 > (P2,%2;— P2,%»,) 2, (9220, — %z99,) — D I. a f», 1 ag > | % (Pz X, — X2P«,) + & (PzXz,, ar X" Px,) i

ist die linke Seite der zweiten Clebschschen Gleichung, während die linke Seite der ersten erhalten wird, wenn man p, durch 1,9, durch —p,, 9, durch — f und die P», durch Null ersetzt:

.n—1i ; 1. ae (U) Saat "Xp, nr (ka; HDi) + 5, (Ka, + 1%).

Der Ausdruck = ist nun nichts anderes als:

tel,

wenn man, nach Bildung des Klammerausdruckes, p, durch f ersetzt. Der Ausdruck (I) aber kann so geschrieben werden:

er1+ 7 [Pan — 4 Im—hrl.

Damit ist Lies Behauptung bewiesen, allerdings auch zunächst nur unter der Vor- aussetzung, daß f nicht frei von z ist. Über diesen Punkt vgl. $ 8, S. 33—36.

S.11, 2.3—1 v. u. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 102, Z.3—1 v. u. Warum Lie den dort gemachten Zusatz: „des indeterminierten Falles‘ jetzt weggelassen hat,

ist nicht zu ersehen. Die Bemerkung bezieht sich offenbar eben auf Clebschs Be- handlung der Gleichung:

(III) Kdtı ++ Aynzıdla nz ı = 0

für den Fall, daß die Zahl der Differentiale nicht unter n—+ 1 herabgedrückt werden kann. Die ‚neue formale Behandlung‘ beruht darauf, daß ebenso, wie aus den Glei- chungen 11, Z.14v.u. die Gleichungen Z.7 v. u. hervorgehen, aus den Gleichungen S.10, Z.2 v.u. zwischen den @,* gewisse Gleichungen zwischen @, 91, - : -, 91 ab- geleitet werden können. In seinem Briefe an Mayer vom 6. 7. 1874 spricht sich Lie ausführlicher darüber aus. Die betreffende Stelle des Briefs, die auf S. 473 noch nicht mit abgedruckt ist, steht zwischen den dortigen Zeilen 24 u. 26 und lautet so:

486 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 11

„Ich werde versuchen, Ihnen etwas über das Pfaffsche Problem zu schreiben. Nach meiner Ansicht sollen die analytischen Entwickelungen Ihrer letzten Note ein erstes (oder richtiger ein zweites [das erste fehlt noch]) Kapitel in der Theorie des Pfaffschen Problems bilden.

„Es ist nämlich möglich, in dieser Weise die Clebschsche und eine noch all- gemeinere Theorie des Pfaffschen Problems einfach zu begründen.

„Sei Yıdyy +++ Yan+ıdYan.,ı ein Pfaffsches Problem mit einer (n + 1)- gliedrigen kanonischen Form:

Yıdayı ++ Yanzı@Yan+ı = dld2 — Pıdzı —*— PndE,);

WO 2, %ı15: 2.5 Ems» Pıs +: -, P„ Funktionen von Yyı,..., Yan; Sind. Ich verlange nun allgemein: 5 |

D'Yday= o(dX — P,dX,— :--— P,dX,). Führe ich nun statt %,..-, Yn+ı die Größen 2, 2,,..., In, Pır--+,P,n als Variabeln ein, so sind X,X,,..., X, einzig den Relationen unterworfen: KX]=0.

Führe ich nun wieder yı,...,Ygn+ı als unabhängige Variabeln ein, so sind X, Xj,..., X, durch ein neues simultanes System:

[[X, X] —=0

definiert. Diese Gleichungen sind fortwährend symmetrisch hinsichtlich X, und X; betrachtet man etwa X, als gegeben, so ist X, durch eine lineare partielle Glei- chung definiert. Ehe ich zeige, wie man die Form des Ausdrucks [[X,X.]] bestimmen könnte, zeige ich, daß die Clebschesche Theorie der Ausdrücke:

X,dtı + + Kondian ohne Beschränkung hinsichtlich Determinanten aus dem obenstehenden folgt.

„Sei Yıdy + ***—+ Y,ndY., ein Pfaffsches Problem mit einer n gliedrigen kanonischen Form ZY,dy,=F,dfi+ "+ F„df„. Ich führe eine neue Variable ein, Yan .;ı, und betrachte:

Panzı = MYyn+ıt Yıdyıt + YondYın- Die Reduktion: Pan+ı = 0(dX — PadX, —---— P,AX,) beruht auf der Befriedigung des simultanten Systems: IS] = 0.5

Ich wähle nun ein X beliebig, etwa %,„.,ı. Zur Bestimmung der übrigen habe ich dann: yen+ıX]= 0, [IK Xu] 9,

was eben das Clebschesche System ist.

„Wünscht man nun die allgemeine Form von [[X,X,.]] zu bestimmen (es han- delt sich wieder um einen (2n + 1)-gliedrigen Ausdruck), so weiß ich, der analytisch unbeholfen ist, nur folgenden hg

„Sei vorgelegt Yıdyı ++ Ya, +14Yon „ı. Ich wähle eine arbiträre Funk- tion Xo(Yyıs - - -» Yany+ı) und BR

0X, Aut: u oy dy=0 und denke mir y,,+1; dYen..ı aus 2 Ydy weggeschafft. Dadurch kommt: Yrayı-+ En = Yıdyn:

Red. der Gl.: X,d2, +++ XonzıdZan4ı = 0 auf n +1 Glieder 487

Ich stelle auf das dem Ausdrucke X Y;'dy, zugehörige erste Pfaffsche System, oder, was auf dasselbe hinauskommt, die entsprechende lineare Gleichung:

IX%,})=0;

im Ausdrucke derselben gehen a und X, ein. Schafft man nun wieder a weg, so ist die erhaltene ‚Gleichung nach dem Vorangehenden symmetrisch hinsichtlich X, und X, und zwar ist es eben die verlangte Relation:

[[X,X,]] = 0, die wir erhalten haben.

„Sie verstehen wahrscheinlich nicht, was ich meine; indes darf ich behaupten, daß es Interesse hat.“

Diesen von Lie angegebenen Weg wirklich zu benutzen, würde ziemlich um- ständlich und mühsam sein. Schon in dem vorhin besprochenen besonderen Falle erfordert die Herstellung der endgültigen Formeln immerhin eine kleine Anstrengung. Im allgemeinen Falle würde die Ableitung der symmetrischen Formeln aus den zu- nächst sich darbietenden unsymmetrischen wesentlich größere Schwierigkeiten machen. Es kann und muß daher genügen, wenn ich die ‚‚neue formale Behandlung‘, auf die Lie anspielt, auf andere Weise begründe.

Wir betrachten einen Pfaffschen Ausdruck :

Kıds ++ K,nzıdlanıı der auf die Form:

1...2n+1 0... (IV) DxXd =D 9,dp, K r

gebracht werden kann, nicht aber auf eine Form mit weniger als n+ 1 Differentialen. Wir setzen dabei als bekannt voraus, daß folgendes dazu notwendig und hinreichend ist. Bildet man:

1...2n+1 1...2n+1 1...2n+1

(V) > (6X,d2,— dX,60r,) = > (5) da,öz, = Xpjdrrör,, 0 %; 0 T% »2 k kj kj die zu dem Ausdrucke gehörige bilineare Kovariante, so ist die Determinante: Kr X | (VI) ah: | nicht identisch null.

| (kr=1,..,2n+1) |

Aus (IV) folgt:

1.580 +1 DR (VP) DXr;d2,ö2,; =D (60, dp, — dB,5p,). kj v

Sind daher dz,,öx, zwei Wertsysteme, die die Gleichungen dp, =0,69,=0(v=0, 1,...,n) befriedigen, so sind nicht bloß die Ausdrücke E X,.dz,, 2 X,öx, beide gleich Null, sondern es verschwindet auch die bilineare Kovariante (V). Ist andererseits P(Zı,-+*, Zgnzı) eine ganz beliebige Funktion, und wählt man die dx, so, daß ZX,dz, = (0 und dp = 0, so sind die drei Gleichungen:

1...2n+1 1...2n+1

je (D’x,..dar)öe,=0, k

v

| 1...2n+1 DX,62,—=0,

1...2n+1

9,8 2, = 0 v

(vII)

488 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 11

im allgemeinen von einander unabhängig. Nur wenn Relationen von der Form:

1...2n+1 Y (vIY) DI Xr,dıy = 0X, + 09,, Fe1,...,2n+1) E

bestehen, reduzieren sie sich auf zwei von einander unabhängige. Wir setzen: Xr, = (kw), X, = (k0)= — (Ok),

so daß allgemein: (kv) + (vk) = 0 ist. Wir definieren ferner, wenn k,,...,k,m

Zahlen aus der Reihe 0,1,...,2n + 1sind, das Jacobische Symbol (k,,.. ., ky]) durch die Rekursionsformel:

(m) =D (ak) (ka... Kam):

wo Y andeuten soll, daß die Summe der 2m —1 Ausdrücke zu bilden ist, die aus dem hingeschriebenen durch zyklische Permutation von k,,...,ky„ hervorgehen. End- lich setzen wir:

(0,1,..,2a+1)=A4

und bemerken, daß A? nichts anderes ist als die Determinante (VI), daß ferner A für jedes k in der Form: VD: ti

A— I (kr) Ar

darstellbar ist, und daß Relationen von der Form:

0...2n+1 An +AH=0, Dkv)A;,—=enA

1

bestehen, wo &,,=0fürk#jund=1fürk =j. Aus (VIV‘) ergibt sich demnach, wenn man & (k0)dx, = 0 hinzunimmt:

1...2n+1 Adı,=o Apr Pa, v

1...2n+1 AQg—=0D4Ag,P;,; V

so daß wir setzen können: 1.2 +1 (VII) ds; = DI 4A;,9,,- dt (=1,..,2n+1),

v

unter dt eine unendlich kleine Konstante verstanden.

Die hierdurch definierte Fortschreitungsrichtung dz,):---:d&3„,..ı wollen wir als die charakteristische Fortschreitungsrichtung bezeichnen, die die Pfaffsche Gleichung 2 X,dz,=0 dem Punkte z, der Mannigfaltigkeit g = const. zuordnet. Wir bemerken überdies, daß die Gleichungen (VII) für alle dxz,, die 2X,dz,.—=0 und dp=0 machen, immer erfüllt sind, wenn man für die öx, die charak- teristische Fortschreitungsrichtung einsetzt.

Sindnund,.z, (u =1,...,m)m linear unabhängige Fortschreitungsrichtungen, die den Gleichungen d,g — 0 genügen, die ferner zu je zweien die bilineare Ko- variante (V) zum Verschwinden bringen, aus denen aber die charakteıistische Fort- schreitungsrichtung (VIII) nicht linear ableitbar ist, so sind diem + 2 Gleichungen: _

Red. der Gl.: X,d2, +++ XonzıdZangı =0 auf n+1 Glieder 489

1:.2n +1 1...2n+1

Bi (IXurdu 2.) 6x, =(, («=1,...,m)

v 1...2n+1

(IX) | Fe

1. .23n+1

D'p, 82, — 0

von einander unabhängig. Diese Gleichungen besitzen daher 2n — 1 — m linear un- abhängige Lösungssysteme, von denen m bereits bekannt sind, nämlich diese: ör,—=d,z,, während unter den übrigen insbesondere die charakteristische Fort- schreitungsrichtung enthalten ist.

Es ist klar, daß die ganze Zahl m höchstens = n — 1 sein kann, und daß für m—=n— 1 zu den n— 1 bekannten Lösungssystemen von (IX) nur noch ein neues hinzukommt, als welches die charakteristische Fortschreitungsrichtung dienen kann.

Nun definieren aber die Gleichungen do =0,dp, =0,...,dp„= On linear unabhängige Systeme d,z,(u=1,...,n), die den Gleichungen £ X,dız,—=0 und d,9,;= 0 genügen und die paarweise die bilineare Kovariante (V) zum Verschw inden bringen. Demnach können wir schließen, daß die zu einem beliebigen p, — const. gehörige charakteristische Fortschreitungsrichtung:

5 ER | da; = > 4;,3— dt (j=1,...,2n+1) - Or, alle Gleichungen dp, = 0 Er daß also: .2n+1 3 5 { Pi IPE _ (X) * Age =

st fürs, k=d;1,:..,n +1:

Das Bestehen der Gleichungen (X) ist somit notwendig für das Bestehen einer Gleichung von der Form (IV).

Es seien jetzt umgekehrt: 9,9ı,...,9, unabhängige Funktionen, die den Gleichungen (X) genügen. Setzen wir:

„SEN, 1...2n+1 (XD) da,— > di > Aue as (=1,...,32+1), ; 0%,

so sind die Gleichungen: dp, = 0(k = 0,1,...,n) für alle Werte der 4, erfüllt; es lassen sich also aus (XI) mindestens n + 1% von den ).; freie Gleichungen ableiten. Setzen wir noch:

N .2n+i

(XI) ala Augen. dt,

so folgt aus (XI) und (XII): ‚2n+l

Danaz, 7 zei. dt (k=1,...2n+l). Tr

Unter diesen Gleichungen lassen sichn + 1, wegen der Unabhängigkeit der p,, nach },, Phys, 4, auflösen. Demnach können aus (XI) sicher auch nicht mehr als n+ 1

490 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 11—27

von den /, freie Gleichungen folgen. Hierin liegt, daß die Ausdrücke (XT) das all- gemeinste Wertsystem dx, darstellen, das die n+ 1 Gleichungen dp,—=0 be- friedigt. Da andrerseits die Gleichungen (XI) offenbar diese:

1...2n +1 1:..2024

DxX,de,=— OD (0v)de,—0

nach sich ziehen, so ist diese Gleichung unter den gemachten Voraussetzungen eine Folge der n+ 1 Gleichungen do, = 0, das heißt, es besteht eine Identität von der Form: 1...3r.+1 0. 2 Xıda, >3 B,dy-.

wo die ®, durch Auflösung linearer Gleichungen gefunden werden, sobald die p, be- kannt sind.

Das Bestehen der Identitäten (X) ist daher notwendig und hin- reichend, wenn eine Identität von der Form (IV) bestehen soll.

Aus dem Gesagten geht hervor, daß die Gleichungen (XI) nicht 00”, sondern bloß oo”! verschiedene Fortschreitungsrichtungen darstellen. Darin liegt aber, daß in der Matrix:

| 1...2n+1 (XI) |

| | 2) : 2 en (=0,1,...,0; r=1,...,2n+1) | j |

alle (n+1)-reihigen Determinanten identisch verschwinden, nicht aber alle n-reihigen.

Die eben durchgeführten Betrachtungen lassen sich noch etwas verallgemeinern. Sollen nämlich: = 0,91 =0,..., 9, = 0 unabhängige Gleichungen sein, die die Gleichung EZX,dz,—= 0 nach sich ziehen, so ist notwendig und hinreichend, daß die Gleichungen (X) eine Folge dern + 1 Gleichungen 9, = O sind. Der Beweis läßt sich fast genau in derselben Weise führen, wie in dem vorhin betrachteten Falle eines Gleichungssystems 9, = const.

Dieser Satz ist die Verallgemeinerung des Satzes, den Lie 1888 in Abh. IV als Satz 14 aufgestellt hat (hier S. 277). Es unterliegt keinem Zweifel, daß auch diese Verallgemeinerung Lie bekannt war.

S.11, 2.6 v.u. Hier hätte vor ‚Funktionen‘ hinzugesetzt werden en „n—+1 unabhängige‘.

S. 12, 2.1—4. Vgl. Bd. IIId. Ausg., 8. 652, 2. 17f.

S.12, 2.5—7. Außerdem müssen sie natürlich von einander unabhängig sein.

S.12, Z.12—6 v.u. Vgl. Bd. III d. Ausg., 8. 652, Z. 19—7 v. u. Hier und im folgenden ist zu beachten, daß Lie, wenn er von einem System von Gleichungen sagt, es bilde ein vollständiges System, dabei immer voraussetzt, daß die Gleichungen des Systems von einander unabhängig sind.

S.12,2.5—1v.u., 13, 2. 8—1 v. u. Diese Anmerkung hat Lie neu hinzugefügt. Die Arbeiten, auf die darin Bezug genommen wird, sind: Bd. III d. Ausg., S. 585, Bour Nr. II, Clebsch Nr. IV. 8.587, A.Mayer Nr. II, III. Wegen Bour vgl. a.a. 0. 8.645, 2.2—8.

S.13—18, $3, entsprechen Bd. III d. Ausg., S. 104—109.

S.13, Z. 15f., 18. An der ersten Stelle stand in Lies Handschrift ursprünglich „indeterminierten‘‘ und das ‚‚in‘ ist gestrichen, ob von Lie selbst, oder von Mayer ist ungewiß;; jedenfalls hat der erste Druck ‚‚determinierten‘‘. An der zweiten Stelle hat sowohl die Handschrift, wie der erste Druck ‚‚indeterminierten‘“. Vgl. jedoch Bd. III d. Ausg., S. 652, 2.5 v. u. bis 653, 2.7.

S. 13, 2.17—9 v. u.; S. 14, Z. 1—5 lauteten in Lies Handschrift so:

Die Gl.: X,da, +++ Xonzıd£gn+ı = 0. B.T. in den z, p 491

[4

„=. Wir setzen voraus, daß q+ 1 Gleichungen zwischen 2’, #°,,...,2,, 2, £1> ++, 2, welche z und z’ nur in der Kombination 2 — Az (A ist eine Kon- stante) enthalten, eine Berührungstransformation bestimmen. Bringen wir nun un- sere Gleichungen auf die Form:

u Ne la... 2m ltr. er ind I el T,@y.. 3) 0, cell ol RE IRRE a Ka Miet ae A finden wir: P, dr} r , Pi da, + Diese 2n Gleichungen zusammen mit II, =0,...,II,= 0 zeigen, daß x’, und p‘, sich durch z,,.. ., 23s Pı> - - -, P)n ausdrücken lassen. Setzt man endlich die gefun-

denen Werte in 2’ — Az = II ein, findet man eine Relation von der Form: ge Ast Flair S.14,2.2v.u. Setzt man: k [X9]= 0,0, +45 = VO),

so ist nach Bd, III, S. 652: U,(U,(®)) — U, (U, @)= 0,

weil [X,X,]= 0 und weil ®,, ®, von z frei sind. Ferner ergibt sich aus Bd. III, S. 653, 2.8—12, daß V (®) = 0 von den übrigen Gleichungen unabhängig ist, und daß U,(V (®)) —- V(U,(®)=0.

S.18—23, $4, entsprechen Bd. III d. Ausg., S. 110—116.

S. 22, Z2.1—4. Vgl. S. 15, Satz 6.

S. 23, Satz 13. Diesen Satz hatte Lie auch schon Bd. III d. Ausg., S. 116 ohne Beweis ausgesprochen. Vgl. dort S. 653, Z. 16— 25.

S. 23—26, $ 5, entsprechen Bd. III d. Ausg., S. 116—119.

S. 24, Z2.5—7. In der Th. d. Trfgr. Bd. II (1890), S. 139—142 ist das näher aus- geführt.

S. 24, 2.17. Das Wort „Beweis“ hat Mayer hinzugefügt.

S.25, 2.1 Das ‚jetzt‘ ist von Mayer zugefügt.

S. 26, Z. 1—7. Ausführung von Bd. III d. Ausg., S. 119, Z. 1£.

S.26f.,$6. Von Lie bei der Umarbeitung der Abh. IX von Bd. III d. Ausg. hinzugefügt.

8.26, 2.4,3 v. u. Vgl. S. 96.

8.27, 2.6—3 v. u. Ersetzt man z durch x,,, und jedes p, durch — p; : Panx1, so erhält die Gleichung f(z, x, p) = const. die Form:

Hlurı ..., In; a 4 | : Pn+1> oe; u ’ Pa+ı) = = (ri Piss, Paz) = const,, und die Integration der Gleichung f = const. kommt hinaus auf die Bestimmung aller Lösungen F der Gleichung: (9F)) = 0, die in p,,.... ., P„n..ı homogen von nullter Ordnung sind. Soll andererseits die inf. hom. B. T.: 2; —= H,öt,öp, = —H,„öt Ge1l,...,r+1), wo H homogen von 1.0. in P1, +: +; Pan+ı ist, die Gleichung @ = const. invariant

lassen, so ist notwendig und hinreichend, daß öp = (Hp) ötidentisch verschwindet. Kennt man nun alle inf. hom. B. T. dieser Art, das heißt, kennt man alle Lösungen F der Gleichung (pF) = 0, die homogen von 1.0. in den p sind, so liefern die Quo- tienten aus je zwei Lösungen alle Lösungen, die homogen von nullter O. sind.

492 Anmerkungen zu Abhandlung I, 8. 27—34

Kennt man umgekehrt alle Lösungen F von (pF)=0, die homogen von nullter O. sind, so ist nur eine Quadratur erforderlich, um eine Lösung F zu finden, die homogen von 1.0. ist. Dann aber kennt man alle homogenen Lösungen 1.O. und damit alle inf. hom. B.T., die = const. invariant lassen.

S. 283—33, $ 7. Ein, allerdings zum Teil veränderter, Wiederabdruck von Bd. III d. Ausg., Abh. X (1873).

8.28, 2.3—11. Vgl. a.a.O., S. 653, 2.12—10 v. u.

S.28, 2.2, 19. Die beiden Anm., die er a.a.0. 8.120, 2.9—1 v. u., 121, 2.7—1 v. u. hinzugefügt hatte, hat Lie jetzt weggelassen.

S.28, 2.20—32. Auf 2.23 sind die Worte: ‚in determinierter Weise‘ weg- gelassen. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 585, Clebsch, Abh. III, Crelle 61, S. 150, 153 u. Bd. III d. Ausg., S. 651, 2. 27—39; 653, 2.6 v. u. bis 654, 2.3.

S.29, Z. 2—4. Vgl. S.11, Z. 18—20 und die Anm. dazu, S. 484f.

S.29, Z. 9f. Diese Fassung ist etwas deutlicher als in Bd. III d. Ausg., S. 121, 2.10—8 v.u.

S.29, 2.12. Vgl. Bd. IIId. Ausg., S.122, 2.1—5. Den Hinweis auf die Cauchy- sche Methode hat Lie neu hinzugefügt.

S.29, 2.7, 6 v. u. Der Zusatz: ‚Angewandt wird dabei das Mayersche Theo- rem‘ (Bd. III d. Ausg., S. 122, 2.10 v. u.) stand ursprünglich wieder in Lies Hand- schrift, ist aber von Mayer gestrichen.

S.29, 2.3 v.u. „verschiedene‘“ soll hier ‚unabhängige‘ bedeuten.

S.30,2.4,3 v.u. Von Mayer zugesetzt.

S.30, 2.13 v.0.—5 v.u.,2,1v.u.,8.31,2.1v.o.bis4v. u. Diesen ganzen Ab- schnitt hat A. Mayer hinzugefügt. Vgl. die auf S. 475 angeführte Briefstelle.

S.30, 2.15, 18. Mayer hatte geschrieben: ‚Aus der vollständigen‘ und ‚‚die vollständige“.

S.31, Z2.13f. und 15. Der Ausdruck „vollständige Lösung‘ wird beide Male in einer Weise gebraucht, die zu Mißverständnissen Anlaß geben kann. Es müßte heißen: „Nach Satz 17... Operationen die transformierte Gleichung H’, = vollständig integrieren“ und: „Da die vollständige Integration der partiellen .. .“ Satz 17 enthält ja keine Vorschrift, nach der man für die Gleichung H’, = a, eine vollständige Lösung im Sinne von Lagrange (S. 30, 2.10—5 v.u., S. 31, Z.1) her- stellen kann, sondern er sagt aus, daß die Integration dieser Gleichung auf Grund der Cauchyschen Methode erledigt ist.

S.32, Z.1f. Ich hätte ebenso wie Bd. III d. Ausg., S.123, 2.13 hinzufügen sollen: ‚unabhängige‘.

S. 32, 2. 8—12. Lie hatte den Bd. III d. Ausg., S. 123, Z. 12—4 v. u. geführten Beweis ohne wesentliche Änderung wiederholt, aber Mayer hat diesen Beweis durch den hier abgedruckten ersetzt.

S. 32, 2.13. Auch hier hätte ich, wie in Bd. III, S. 123, 2.3, 2 v. u. hinzufügen sollen: ‚unabhängige‘.

S. 33, 2.6,5v.u.Esist die Abh. IX von Bd. III. d. Ausg., die im Vorhergehenden in umgearbeiteter Fassung wiedergegeben ist.

S.34, Z2.1—5. Mayers „Einwendung‘ richtete sich zunächst nicht gegen Abh. IX von Bd. III d. Ausg., die ihm damals noch gar nicht vorlag, sondern gegen die Art, wie Lie bei seiner Verbesserung der Jacobi-Mayerschen Methode die Clebschsche Theorie verwendete. In einem Briefe von Anfang Juni 1873, aus dem schon in Bd. III d. Ausg., 8. 650, 2.2 v. u.— 651, Z.2 und 655, Z2.8—1 v. u. und hier 8.470, 2.17ff., 481, Z. 10—5 v. u. einige Sätze abgedruckt sind, hatte Lie seine Verbesserung mitgeteilt. Dort heißt es nach der ersten dieser Stellen:

„Um jedenfalls etwas zu schreiben, lassen Sie mich Ihnen erklären, wie ich die neue Jacobische Methode modifiziere, so daß es gleichgültig ist, ob gewisse Rela- tionen I/(H,, .. ., Ay» 21, - : -, 2.) = 0 stattfinden.

Lies Verbesserung der Jacobi-Mayerschen Methode 493

„Sei vorgelegt: p —f(2, Tıs -- Zn» Pıs- +» Pn-)= 0; die integriert werden soll. Die Cauchysche Methode reduziert dies darauf, alle Lö- sungen von: (A) [pn —,HJ)=0

zu finden. Die neue Jacobische Methode, die bis jetzt zuweilen illusorisch wurde, verlangte die Integration von:

[Pn—hHıl=0,

(B) [Pr —hH,)=0, [H,H,)=0, A =(, [A,H,] > 9;.: BE: PER U —=(, Ich werde beweisen, daß, wenn n beliebige Funktionen H,,..., H, gefunden sind,

welche (B) genügen, daß dann (A) immer fertig ist. „Zu diesem Zwecke stütze ich mich auf die Clebschesche Theorie des Pfaff- schen Problems.

„Soll: dz — pıdz, — ***— Pn_1ıd2,_ı — fdr, = 0 auf die Form: K,dH,+:---+ K„dH,= 0

gebracht werden, so müssen nach Clebsch gewisse Relationen stattfinden, die in unserem Fall die Form (B) annehmen:

[fr —FH,)=0, [H, HJ) =. Seien gefunden H,,..., H,„. Ich schreibe: K,dH, +++ K„dH, = o(d2 — pıda, — ** — Pndt,) und bestimme K,,...,K, in der gewöhnlichen Weise. Alsdann sind bekanntlich: 5 PO RN SE OBERE . FAR: €

’ u n alle Lösungen von [p, — f, H] = 0. — Hiermit ist p, — f = 0 vermöge der Cauchy- schen Methode integriert.

„Dies scheint mir ein sehr einfacher Beweis.‘

Es ist das also die Theorie, die Lie noch in demselben Jahre hat drucken lassen (s. Abh. X von Bd. III d. Ausg. auf S. 121£.) und die hier auf S. 28f. wiederholt ist.

In seiner Antwort vom 13. 6. 1873 sagt Mayer:

„Was Sie über die Beseitigung des Mangels der Jacobischen Methode schrei- ben, ist wunderhübsch und vorzüglich einfach. Nur ist mir dabei noch nicht klar, wie Sie es machen in dem Fall einer Gleichung p, = f(&ı, - - -, &n» Pıs - +» Pn —ı) Ohne, wo also die Jacobischen Systeme:

(„fh H)=0, (H,H, = 0 auftreten.“

Da Lie hierauf zunächst nicht antwortete, setzte Mayer am 3.11.1873 seine Bedenken ausführlicher auseinander und hob hervor, daß bei dem speziellen Pro- bleme:

1...n—1 s

de Zpdn— fe, 2... Zu Pi, . 4 Da) =V

die Clebschsche Theorie dann und nur dann anwendbar ist, wenn f die Veränder- liche z wirklich enthält. Nunmehr erhielt er am 12. 11. 1873 einen Brief, in dem Lie die hier auf S. 34—36 abgedruckten Betrachtungen in etwas anderer Form ent- wickelte. Nach der S. 470, Z2.28—471, Z.3 abgedruckten Stelle heißt es da: „Auf dem beigelegten Bogen habe ich Ihre berechtigte Einwendung beant- wortet. Ich hatte geglaubt, daß die Clebscheschen Beweise allgemeingültig gehalten wären. Ich wußte längst, daß das Verschwinden von R unwesentlich war.‘

494 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 34, 35

Hierauf folgt Bd. III d. Ausg. S. 656, 2.23 bis 657, Z.2. Auf dem „beige- legten Bogen“ liest man dann:

„Sei: Xıdz, ++ X,„dz,„ ein Pfaffsches Problem, dessen kanonische Form n Glieder besitzt:

1:2 1... @) rd, = ZI Frdfr. k k Sei nun M eine beliebige Funktion von 2,,.. ., 2y„; alsdann gilt offenbar auch: .2n 1. @) VIK an = MIT, |

wo F und f dieselben Größen wie in (1) sind. Lassen wir M unbestimmt, so kann nach unserer Voraussetzung die Determinante R bei Clebsch nicht identisch verschwin- den. Dagegen ist:

RIMR;,:.., MR.

eine lineare partielle Differentialgleichung.!) Setzen wir vorläufig voraus, daß M derselben nicht genügt.

„Für diesen Fall hat Clebsch bewiesen, daß f},.. 2 durch die Relationen: 1 ER ]=0=5 > BD = (in), of, : (MM) d=0= 2 PERF DE a FE (fu)

definiert sind. Oder, indem ich R SR kann ich auch sagen, daß die f durch das

System: ()=0, (hd) 09

definiert sind. Nun zeigt die Vergleichung der Formeln (1) und (2), daß es bei der Be- stimmung der Größen fı, . . .,/„nur auf die Verhältnisse der Größen X,,...,X

ankommt. Bringen wir also ((f)) und ((f;f„)) beziehungsweise auf die Form: r (PH) = ua (; a +4, er + As sn), (+),

so hängen die Koeffizienten A und B nur von den Verhältnissen zwischen den X ab.

„Wünscht man also die Koeffizienten A und B zu berechnen, so kann man in dem Ausdrucke M&X,„dx, dem M einen jeden Wert beilegen, der nicht R(M) = 0 gibt. Man erhält immer dieselbe Bestimmung der Koeffizienten A und B. Nun sind aber die Formeln, nach welchen A und B berechnet werden, algebraisch, also er- hält man dasselbe Resultat, ob man auch M einen Wert gibt, der R(M) = 0 gibt.

„In dieser Weise läßt es sich stringent beweisen, daß, wenn man die Clebscheschen Gleichungen:

1 ı m=t zu)

durch die einfacheren: (N) 0; (fr) = 0 ersetzt, so ist die Theorie allgemeingültig und umfaßt auch den Fall R(M) =0.

1) „Anscheinend ist diese Differentialgleichung nicht linear, was sie indes nach der Natur der Sache sein muß.‘

Die Pfaffschen Ausdrücke: M(X,dz, +++ X,„d2,,) 495

„Es ist im übrigen überhaupt bemerkenswert, daß alles, was Clebsch über die Operationen: | 1 1 N=z,M, Uhl 5 (lm)

bewiesen hat, auch für die einfacheren Operationen:

NM=0, (if) = 0

wahr ist. Insbesondere gelten auch die von ihm aufgestellten Operationsrelationen. Für die Richtigkeit dieser letzten Behauptung, die sich mir in diesem Augenblicke darbietet, werde ich doch nicht garantieren.

„Es fällt mir folgendes ein: Bei meiner Integrationsmethode des Pfaffschen Problems ist es ganz unwesentlich, daß die simultanen Systeme ((f,)) = 0, ((;fx)) = 0, denen die Integrale genügen, sich ohne Integration aufstellen lassen. Ich brauche nur das erste Pfaffsche System aufstellen zu können.“

8.35, Z.16—19. Vgl. Crelle Bd. 60, S. 217—220.

S. 35, 2.14—5 v. u. Setzen wir:

Lau 1:28 za 0 DI X.da, =D E,da; k k

0X: 0X, _ 0 05_z PR? 7. kj> PERF a) 2 N 00 00 so ıst: Are he Fa PR

wofür wir nach dem Vorbilde von $. 488 schreiben: dr olki 9, 0028 PR REN RO UND, »

während (k 0)’ = g(k 0) zu setzen ist. Wir führen ferner die Bezeichnungen ein: 1...2%

(1,2,..,2n)=A= (kr) A;,,, v 1,.:8% wo: Ay t+A=0, Dkr)d,— 4. v

Endlich wird noch der Ausdruck:

1...2n

RN Nr 0 By RE Es BEE PER: PB

v

Verwendung finden, \ Die zu EX,dz, gehörige Clebschsche Gleichung [px] = 0 erhalten wir,

indem wir die Gleichungen: 1...Yn R 0x > ki)da, = —- - ( 7 k PL?

...gn nach den dx, auflösen: A.dı, => Ay; 2% - = 3... 3 und den Ausdruck: A.dp - > Aus 5 vj ug

Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. IV. 32

496 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 35—51

ER ; i Ay; 09 0x bilden. Es ist dann: [px] -5; Aa Andererseits ergibt sich die Gleichung [x] = 0, wenn wir: VEN I Tan A > 0042, = >) (v0)4,,2% v vj . 2 ER RB 2 bilden. Ea wird nämlich! [= > rrt- x - A 0%,

J Um für EZ,dx, die entsprechenden Gleichungen zu bekommen, müssen wir die Gleichungen:

1..20n we do' ne @ = | ok) + 10) SE + OD gr ge

in derselben Weise behandeln. Durch ce mit A, „und Summation nach j finden wir:

2 I. an (II) oA .de, N (kO)dzy. S AS 2, + Bode = oo r j ) 1. an en Aber esist: _(v0)B,,— Sea 10) m

3.2

Eon Bo

— (001. N

ee: also kommt: Senanfer Taufe = Saust;

es ist mithin, wenn wir die Abkürzung:

IR 00 N=o4A Bot =A inführen : 0 +2, = A(e+[e) einführen (da) N.Ewo)d,—N.kl=A.W.

Nunmehr nimmt (II) die Form an: .2n

gAN.da,+Aly)- Sani HNEnde= N en

folglich wird: gANdp-+ Aslx][pel+ AN[plde = ANIpx] und insbesondere: gANde+ AN[e]de = N’de = AN[ex],

mithin: oAN dp+ A:lxl[pel+ A’Lpllex] = ANLPx]-

Demnach erhalten wir schließlich:

(IV) oN[px) = N[px]-+ Alelixel — AlzlIpe)-

Die Clebschsehen Gleich. für: o (X,dae, +++ + X,„d2z,) 497

Hierdurch ist der Zusammenhang zwischen den beiden Systemen 8.35, 2.11 u.9.v.u. vollständig entwickelt. Es stellt sich allerdings heraus, daß er nicht ganz so einfach ist, wie ihn Lie Z. 7,6 v. u. beschreibt.

Multipliziert man den Pfaffschen Ausdruck EX,dx, mit einer Funktion o, die der Differentialgleichung:

‚EN P j 3

genügt, so erhält man offenbar einen Pfaffschen Ausdruck FE,dz,, für den das zugehörige A, also auch die zugehörige Determinante R verschwindet. Die Lösungen von (V)sind daher als Multiplikatoren oder Integrabilitätsfaktoren von FX,.d x, auf- zufassen (8.36, Z. 8f.). Es ist leicht zu sehen, daß (V) eben die lineare Differential- gleichung ist, die Lie in dem Briefe an A. Mayer, 8.494, 2.2,1 v.u. erwähnt.

Man vergleiche hierzu die in Bd. III d. Ausg. auf S. 656 abgedruckten Brief- stellen.

S.36, Z.1—7. An den Rand des Manuskripts hatte Lie geschrieben: ‚‚Bemer- kung für Mayer! Hier fehlt eigentlich eine kleine Grenzbetrachtung; dann aber scheint mir alles in Ordnung.“

S. 36, Z. 11. Diese Überschrift hat Mayer hinzugefügt.

Die $$ 9—13, 15, 17—19 des zweiten Abschnitts sind eine Umarbeitung der Abh. VII (1873) in Bd. IIId. Ausg. Andererseits sind $ 9—13, 15, 16 ihrerseits wieder umgearbeitet in Bd, III der Th. d. Trfsgr. Kap. 8, 9, 10.

Die $$ 9, 10, S. 36—40 entsprechen Bd. III d. Ausg., S. 34—39.

S.36, 2.2,1v. u., 37, Z.1f., S. 37, 2.8, 7 v. u. Von Mayer zugefügt.

S. 38, 2.14—10 v. u. In Bd. IIId. Ausg., S. 36 hat Lie diese scharfe Formulie- rung des Problems noch nicht. -

S.38, 2.8 v. u. Die Worte: ‚‚die keine als r ist‘ hat Lie am Rande hinzuge- fügt, aber übersehen, daß er dadurch die r-gliedrigen Involutionssysteme ausschließt. Es müßte heißen: ‚die < r ist“.

S. 39, Z. 1—7. Das Problem II wird in Abh. VII von Bd. IIId. Ausg. überhaupt noch nicht erwähnt.

8.39, 2.7—4 v. u. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 36, 2.16—12 v. u., S. 638—644.

S.39, 2.3—1 v. u. Vgl. Bd. III, S. 37, 2.12—8 v. u., 8. 645, 2.9.

S. 40, Z.4—1 v.u. Vgl. Bd. III, S. 38, Anm. 2., S. 644, S. 645, Z. 10—13. Den Hinweis auf die Poncelet-Gergonnesche Reziprozitätstheorie hat Lie jetzt weg- gelassen.

$ 11, S. 40—45 entspricht Bd. III, S. 39 —41.

$ 12, S. 45—49 entspricht Bd. III, S. 42—47.

S.46,2.3v.u.—47, 2.4. Zu u,, u, gehört eine (An — 2)-gliedrige Polargruppe Wis... Wgn_,, und nach Theorem VII besteht zwischen u,,u, und den w, keine Relation. Da nun u,',...,w’,_, der Gruppe der w, angehören, so kann auch zwi- schen u,, Ua, Wj,-. .,W,„_, keine Relation bestehen.

S. 47, 2.7. Eigentlich müßte es heißen: ‚eine zweigliedrige, die kein Involutions- system ist, und .. .‘“. Dieselbe Bemerkung hätte schon zu Bd. III, S. 44, Z. 2 gemacht werden sollen. Erwähnt sei noch, daß Satz 34 nur ein besonderer Fall eines all- gemeineren Satzes ist, der später bewiesen wird (Satz 43, S. 52, Z. 10—14).

$ 13, S. 49—51 entspricht Bd. III, S. 47—50.

8.50, 2.12—14. Die Gruppe X,,...,X,, Pı,..., P, enthält ja keine aus- gezeichnete Funktion.

8.51, 2.19—15 v. u. Vgl. Bd. III, S. 646, Z. 24—33.

S.51,2.11v.u. Siehe $. 38, Satz 23 und $. 41, 2. 5—9.

Die Sätze des $ 14, S. 51—56 besaß Lie offenbar schon 1873, aber er hat damals nur den ersten Teil des Satzes 43, S. 52 mitgeteilt. Siehe Bd. III, S. 50.

32*

498 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 52

S.52, Satz 43. Der zweite Teil des Satzes (Z. 10—14) ist eine Verallgemeine- rung des Satzes 34, S. 47.

Der Liesche Beweis für den ersten Teil des Satzes ist zwar etwas ausführlicher als in Bd. III, S. 50, aber ebenso wenig befriedigend.!) In der Tat, es ist nicht richtig, daß eine jede Relation zwischen den u und v die angegebene Form F(u) = ®(v) besitzt, sondern nur, daß jede solche Relation eine von der Form F(u)—= ®(v) nach sich zieht, und daß zwischen den «u und den v gerade so viele unabhängige Rela- tionen von der Form F(u) = ®(v) bestehen, wie es überhaupt unabhängige Rela- tionen zwischen ihnen gibt. Es ist aber sehr gut denkbar, daß aus diesen Relationen: F(u) = ®(v) durch Elimination von ug+1,..., u, Relationen zwischen: ü,,...,%o, De ra 20 Ve FOREN,

Um alles ganz klar zu machen, stellen wir folgende Betrachtungen an:

Die ausgezeichneten Funktionen der Gruppe u,,...,u, werden durch Glei- chungen von der Form:

1...E 1...02=0 £ U oU AU) == D Isla u) H+ D Teoruln ug 0, s ' 7 o+u 1...0 Hd), Fe} © Ag+r( )=(Uo+r )= for, > FT J 1...r—0 > oU + le) et = fo+» e+a\1 ? Oug ru \ Kein, o;v=l,...,r—0_)

bestimmt. Besitzen diese Gleichungen gerade m unabhängige Lösungen: U, ,... U; so gibt es unter ihnen gerade r— m von einander unabhängige, die ein (r — m)-glied- riges vollständiges System bilden. Nun aber ist (U, U)= 0 für u=1,...,m, also bestehen zwischen den A,(U) die m linear unabhängigen Relationen:

7

(2) Dr 4,0) =0 (wel,..4n), k

our

und es ist klar, daß jede lineare homogene Relation, die überhaupt zwischen den A,„(U) besteht, aus (2) folgt. Unter der auf S. 52, 7. 6f. gemachten Voraussetzung läßt sich keine Funktion

von U,,...,U„ durch u,,...,%, allein ausdrücken. Dagegen ist es sehr wohl denkbar, daBU,,...,Un,Us. +», ug durch Relationen verknüpft sind. Diese können wir in der Form:

(3) U, = 9% (Unrı:+: Ums Us» > 3 Up) (k=1,...,h) annehmen, wo Uy,1>::., Ums%y,...,ü, von einander unabhängig sind. Auch wenn wir dabei zunächst von der Voraussetzung $.52, Z. 6f. absehen, wird og h sein, und die Gleichungen (3) werden sich nach h von den Größen u,,...,%, auflösen

lassen. Nun bestehen o Relationen von der Form:

1

SE (u,U,))=0= .

Du, sun, BEE ug) (i=1,..,0)

s

1) Die Anm., die ich ebd. 8. 646, 2.19, 18 v. u. dazu gemacht habe, ist auch noch nicht genügend.

Inv. Bezieh. zwischen einer Gr. u. einer Untergr. 499

und hier müssen die Ausdrücke rechts offenbar identisch verschwinden. Hat da- her die Gruppe ,,...,4%, gerade I unabhängige ausgezeichnete Funktionen: Ba: as BO enthalten die 9, die Größen u,,...,%, nur in den Verbindungen: Ur. .,U;; die Gleichungen (3) lassen sich somit auf die Form:

(3°) ee Os sr) (k=1,...,A) bringen, wo 1> h und wo (3) nach h von den Größen U,,...,U, auflösbar ist: (4) = Urn: 4 IERFHEF sr (k=1,...,h). In diesen Gleich., aus denen alle zwischen u,,...,u, und U,,..., U, bestehenden Relationen folgen, sind die I— h-+ m Argumente der y; unabhängige Funktionen.

Da U,,...,U, Unyıs---, U„ durch keine Relation verknüpft sind, können wir Kßehmen daß (5) er ((e1,...,.D U +19 ++ +, Ug,

Up 4 + Ur mtr U-m+n43 = Un4z Ü=henm-n)

eine Form der Gruppe: %,,...,4u, ist. Die m Relationen (2) zwischen den (u,U)= A,(U) erscheinen dann in der Gestalt:

Ar- mar U)= 0 U=1,..„m-h), (6) Si (U)—0 km=1,.-.,A).

Hier enthält die zweite Zeile offenbar die einzigen linearen homogenen Relationen, die zwischen: A,(U),...., Ag(U) bestehen. Die Zahl der von einander unabhän- gigen unter diesen Relationen ist daher gerade gleich h.

Es liegt auf der Hand, daß auch umgekehrt, sobald A,(U),..., 4,(U) durch gerade h unabhängige Relationen verknüpft sind, BEI u, ar Ms, UNE Uj,:..., U„ gerade h und nicht mehr unabhängige Relationen bestehen. Wir wollen jedoch auch das noch besonders beweisen.

Die Untergruppe u,,...,u, enthalte gerade l unabhängige ausgezeichnete Funktionen. Setzen wir:

(7) A,.(U) = 2 (Up) 5 sr EN

so werden diese durch die Gleichungen: A,(U)=0,...,A, „(U) = (0 bestimmt, unter denen es gerade o — ! von einander unabhängige gibt, die ein (e — ])- „gliedriges vollständiges System bilden. Wir können daher annehmen, daß die Gleichungen: A, +1(U)=0,..., A,(U) =( von ae unabhängig sind.

Bestehen nun zwischen: A,(U),...,4,(U) las 8 von einander unabhängige lineare homogene Relationen, so sind: j; +1(U),...,4,(U) sicher durch keine solche Relation Es ist daher h<SI, und. wir können annehmen, daß zwischen A,,1(U),...,4.(U) keine solche Relation besteht, während A,(U),... A,„(U) in der Form:

| 1,.+0—h (8) A(U)= Zuü,,nr.(%, a U,)An+u(U) (r=1,...%) Mu

darstellbar sind. Dau,,...., u, eine Funktionengruppe bilden, ist überdies klar, daß: Anzı(U)=0,...,A,(U)= 0 ein (o — h)-gliedriges vollständiges System ist.

500 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 52

Nun ist aber die Matrix der Koeffizienten der o Ausdrücke: A,(U),... ‚A,(U) offenbar identisch mit der Matrix der Koeffizienten der r Ausdrücke: A,(U),..., A,(U). Demnach lassen sich diese r Ausdrücke so darstellen:

RR 153 u 2 ) pur > I oU (9) Ax(U) ve (Ur Un +4) Du, fr Pnhtudg, k=l,..„r) mr h+u - Ur Da außerdem: 4,,1(0),...,A,(U) durch keine lineare homogene Relation ver-

knüpft sind, so verschwinden in der Matrix der (u,u,,.) sicher nicht alle (0 — h)- reihigen Determinanten.

Enthält die Gruppe: u,,...,u, gerade m unabhängige ausgezeichnete Funk- tionen, so gibt es unter den r Gleichungen A,(U) = 0 gerade r — m von einander unabhängige, die ein (r — m)-gliedriges vollständiges System bilden. Erinnern wir uns der Gleichungen (8) und (9), so erkennen wir, dd m >hundr— m>2o—h ist, und daß dieses ne System die Form erhalten kann:

(10) + ee au SER: CHE) =D,

(u=1,..,„ge-h;j=1l,..„r-m-o+th),

wo die B.{U), C,(U) nur die Ableitungen von U nach u, 1, .- ., u, enthalten. Hier bilden die r — m —o-+ h Gleichungen C,(U) = 0 offenbar für sich ein (r — m — o-+- h)-gliedriges vollständiges System, das außer den o Lösungen

U,...,%p noch m — h von einander und von u,,...,u, unabhängige Lösungen: Varız- +: Vm besitzt. Die Lösungen des Systems (10) sind daher Funktionen von Us...,%os Varıs., V„, und zwar sind sie unabhängig in bezug auf u,,...,U,, Vyr1>---, Vm. Wählen wir irgend m — h Lösungen ‚U,;1,- - :, Um von (10) aus, die unabhängig sind in bezug auf V,,1,-:--, V„, so sind die übrigen Lösungen U4,.2::, 0, ın der Form:

U,= 9,(Uyrı,- +: Ums Urs.» %o) (Tel, 0) darstellbar, wo ®,,...,®, unabhängig sind in bezug auf u,,...,4%,, und wo Unyis::, Um; Urs: --,u, durch keine Relation verknüpft sind. Da U,,..., Un unabhängige ausgezeichnete Funktionen der Gruppe u,,...,u, sind, folgt jetzt wieder, wie auf S. 499, daß jedes U, die Form:

(11) > Bl, Er (=1,...,h) besitzt, wo U,,...,U, unabhängige ausgezeichnete Funktionen der Gruppe Us... Up sind. 308 endlich Una: Um» Ur, --- U,-offenbar von einander unab-

hängig sind, so sind diese h Gleichungen die einzigen Relationen, die zwischen den ausgezeichneten Funktionen beider Gruppen bestehen.

Wir können daher den Satz aussprechen:

Satz. Ist u,,...,u, eine g-gliedrige Untergruppe der r-guiedrigen Gruppe: Us. +,U,, so bestehen sibischen den ausgezeichneten Funktionen beider Gruppen gerade so viele von einander unabhängige Relationen, wie von einander unabhängige lineare homogene Relationen zwischen den o Ausdrücken:

EI > I oU (u,U)= A,U)= (u;u,) Du, | =)... 0)- Bestehen zwischen A,(U),..., A,(U) gerade h unabhängige lineare homogene

Relationen, so sind U,,..., U„, Ur, . ., U, durch gerade h unabhängige Relationen verknüpft. Man kann dann noch fragen, wie viele Relationen von der Form

Inv. Bezieh. zwischen einer Gr. u. einer Untergr. 501

p(U)= x(U) bestehen, das heißt, wie viele unabhängige ausgezeichnete Funktionen die beiden Gruppen gemein haben. Obwohl Lie nachher (8.55, 2.7 v.u. — 8.56, 7.3) diese Frage behandelt, wollen wir doch erwähnen, daß die Zahl dieser Relationen gleich ist der Zahl der von einander unabhängigen Lösungen der Gleichungen:

| au > Bu_,, U _, (10°) |" vArun —— UV, ET

(u=l,.,0-h;j=l,.„r-g).

Weiß man andererseits, daß die ausgezeichneten Funktionen der beiden Gruppen durch gerade h bekannte unabhängige Relationen (11) verknüpft sind so ist erwünscht, feststellen zu können, ob die beiden Funktionengruppen gemein same ausgezeichnete Funktionen haben und wie viele unabhängige Funktionen dieser Art es gibt.

Da die Funktionen U,,..., U„,Uı,...,U, paarweise in Involution liegen, so können die Relationen (11) offenbar jede beliebige Form haben, nur müssen sie nach h von den Funktionen U,,...,U, auflösbar sein. Unsere Frage kommt nun- mehr auf die andere hinaus, wie viele von einander unabhängige Funktionen:

PiB...,:,05 1,0) es gibt, die Funktionen vonlU,,.. ., U, allein sind. Aber die allgemeinste Funktion F dieser Argumente ist die allgemeinste Lösung des (l — h)-gliedrigen vollständigen Systems in den Veränderlichen U,,...,U;, Uy,,ı,:--, U„, das man durch Null-

setzen aller (k + 1)-reihigen Determinanten der Funktionalmatrix: | 2 RR ‚oDn oF | | ak=h.uD |

erhält. Man hat also nur zu diesem a Systeme die Gleichungen:

” oF oF eu... u hinzuzufügen und zu ermitteln, wieviele unabhängige Lösungen das System der entstehenden 1 + m — 2h Gleichungen besitzt.

Aus Satz I folgt insbesondere, daß die o Gleichungen: (u, U)—=0,..., (u, U) —0 dann und nur dann von einander unabhängig sind und ein o-gliedriges vollständiges System bilden, wenn zwischen den ausgezeichneten Funktionen der Gruppe U,...,4, und denen der Untergruppe %,,...,u, keine Relation besteht. Da- gegen ist "die auf S.52, 2.6. gemachte Voraussetzung, daß die beiden Gruppen keine ausgezeichnete Funktion gemein haben sollen, nicht ausreichend, um die Unabhängigkeit der Gleichungen: (u, U)=0,..., (u, U) = 0 zu sichern. Es können nämlich, wenn m und I beide >1 sind, sehr gut Relationen von der Form (3’) be- stehen, ohne daß daraus eine Relation folgt, die aussagt, daß die beiden Funktionen- gruppen eine ausgezeichnete Funktion gemein haben.

Ein Beispiel wird das deutlich zeigen. Die fünfgliedrige Gruppe:

7, Te, T3, Las Pa

mit den drei ausgezeichneten Funktionen: r,, z,, z, enthält die zweigliedrige Unter-

gruppe: La — Lı% wer. ıTa 2

mit den beiden ausgezeichneten Funktionen: u,, %s. Diese Gruppen haben offenbar keine ausgezeichnete Funktion gemein, wohl aber besteht zwischen ihren ausge-

502 Anmerkungen zu Abhandlung I, 8. 52—54 zeichneten Funktionen die Relation: % = Lu + Laua.

Versteht man unter U eine Funktion der fünfgliedrigen Gruppe, so ist:

RER 2m OU Nenn: WO also sind die beiden Gleichungen: (u, U) = 0, (u, U) = 0 nicht von einander unab-

hängig.

Es stellt sich demnach heraus, daß der erste Teil des Satzes 43, S.52 in der Lieschen Fassung unrichtig ist. Dieser erste Teil muß vielmehr so lauten:

se... der letzten Gruppe. Besteht zwischen den ausgezeichneten Funktionen beider Gruppen keine Relation, so bilden...“

oder allgemeiner:

»,. . . der letzten Gruppe. Bestehen zwischen den ausgezeichneten Funktionen beider Gruppen gerade h unabhängige Relationen, so bilden die unabhängigen unter den Glei- chungen: (WÜU)=0,...,(WÜ)=0 ein (eg — h)-gliedriges vollständiges System mit r —0-+ h unabhängigen Lösungen: wı,...,Wr—g+n, die eine neue Gruppe bilden.“

Dieselben Bemerkungen sind zu Abh. VII, Bd. III d. Ausg., S.50, Satz 8 und zu dem Korollare ebd. zu machen.

Hier möge noch ein allgemeiner Satz mitgeteilt werden, den Lie sicher auch gekannt hat, obwohl er es unterlassen hat, ihn aufzustellen:

Satz II. Liegt die r-gliedrige Gruppe u,,..., u, mit der s-gliedrigen: v1,...,%; in Involution, sind also alle (w,v,) identisch Null, so bestehen zwischen u1,...,U,, %,...,d, genau so viele unabhängige Relationen wie zwischen den ausgezeichneten Funktionen der beiden Gruppen.

Der Beweis ist sehr einfach. Es seien u,, . . ., U, %1, . - :,d,_7 von einander un-

abhängig, während v,_,;1,---,ö, durch die ersten r+ s—h Funktionen aus- drückbar sind: r Dinın = Del UT De) (k=1,...,h. De 700 Dann ist: (Und) =0= Zar, Yutr) (w=l,...,r;k=1,...,h), y v und hier müssen die rechten Seiten identisch verschwinden, weil zwischen u,,.. .,u,, %,...,ds_7 allein keine Relation besteht. Hat daher die Gruppe u,,... ., u, gerade

l unabhängige ausgezeichnete Funktionen U,,...,U,, so sind die w, als Funk- tionen von U,,..., Uy,dj,.. .,d,_, darstellbar. Es ist überdies 1> h, und die Glei- chungen sind nach h von den U, auflösbar. Hat nun die Gruppe v,,...,v, gerade m unabhängige ausgezeichnete Funktionen V,,...,V„, so st mh und die h Relationen zwischen den u und den v können offenbar durch Gleichungen von der Form:

BLAU, +, Dee (k=1,...,%)

ersetzt werden, die sowohl nach h von den U als nach h von den V auflösbar sind.

.Mehr kann man im allgemeinen nicht aussagen. Weiß man aber, daß die eine der beiden Gruppen keine ausgezeichnete Funktion enthält, so ist sicher, daß U... 4, 4,...,d, von einander unabhängig sind. Weiß man andererseits, daß zwischen den u und den v so viele unabhängige Relationen bestehen, wie etwa die Gruppe ü,,...,u, unabhängige ausgezeichnete Funktionen enthält, so sagen die Relationen zwischen den u und den v weiter nichts aus, als daß alle ausgezeichneten Funktionen der Gruppe u,,...,u, auch ausgezeichnete Funktionen der Gruppe 015: +, d, Bind.

Inv. Bezieh. zwischen einer Gr. u. einer Untergr. 503

Auch 8. 52, Z.6—2 v. u. sind unbefriedigend, da Theorem VII nur anwendbar wäre, wenn 4U,...,4, und w,,...,%,_o Zwei reziproke Gruppen wären. Merk- würdigerweise läßt sich aber der Beweis für diesen zweiten Teil des Satzes 43 viel einfacher führen, wenn man von dem ersten Teile des Satzes ganz absieht und bloß die Gleichungen (1) benutzt.

Enthält nämlich die Gruppe: “,,...,%, keine ausgezeichnete Funktion, so ist die Determinante der o? Funktionen f,; (u, - - -,%,) nicht gleich Null. Hieraus folgt, daß die o Gleichungen A,(U)=0,..., A, (U) = O nach den Ableitungen von U nach u,,..., 4, auflösbar sind, und daß ihre gemeinsamen Lösungen w,, .. .,w,_y von %ı,...,%, unabhängig sind.

S.53,2.1,2. Der zweite Teil von Satz 43 ist also eine bemerkenswerte Ver- allgemeinerung des Satzes 34 auf S.47.

S.53, Satz 45. Der Beweis dieses Satzes stützt sich darauf, daß zwischen X,,...X, und den Funktionen der Polargruppe von G keine Relation bestehe. Das aber folgt, wie wir wissen, keineswegs aus der in dem Satze gemachten Voraus- setzung, daß keine Funktion der X, ausgezeichnete Funktion von @ ist. Bewiesen ist der Satz daher nur, wenn er so gefaßt wird:

„+. ., und besteht zwischen den X und den ausgezeichneten Funktionen von G keine Relation, so kann .. .“

Bestehen zwischen X,, ...., X, und den ausgezeichneten Funktionen U,,..., U, von @ gerade o — h Relationen:

Xn+k = le Bi et U) (k=1,..,0—h),

wo X,,...,X7, Ujs..., U,„, von einander unabhängig sind, so sind diese Relationen

notwendig nach o—h von dem U, auflösbar. Dann kann der berichtigte Satz 45. auf das Involutionssystem X,,..., X, angewandt werden, und es ist:

8, = X, (T=1,...,h), &xyrr AR Kriar Kntatu B— 12, TEE MOSE pi Pır-- + Br» Prrır + > Para eine kanonische Form von G. Das Involutionssystem X,,..., X, aber erhält in

den kanonischen Veränderlichen %,, ®, die Gestalt:

A FE Pr (Eis En Knyarın > Kntatm) (k=1,...,0-h).

Insbesondere ergibt sich noch, daß Satz I auch so gefaßt werden kann:

Satz III. Ist u,,...,u, eine o-gliedrige Untergruppe der r-gliedrigen Gruppe Uye.+,%,, und ist U, ..., dgn_, die Polargruppe der letzteren, so bestehen zwischen User, Up und d%ı,...,dgn_, genau so viele unabhängige Relationen, wie unabhängige lineare homogene Relationen zwischen den Ausdrücken:

BEN (1.0) = Ar(U) = D) (wu) ZI @=h...n)

S.53, 2.16 v. u. Das „nämlich“ hat Mayer hinzugefügt.

S. 54, 2.17. Man denke sich hinzugefügt: „und die keine ausgezeichnete Funk- tion enthält.‘

S.54, Z2.14,13 v.u. Die Untergruppe u,,...,“, enthält gerade + ß unab- hängige ausgezeichnete Funktionen: X,,..., X, Xöta+1,---, X5+u+5 und ge- rade & unabhängige: X,,...,Xo, die @ angehören. Demnach ist Na+a+1s: - > Xöo+.«4+ ein Involutionssystem, das @ angehört, aber keine ausgezeichnete Funktion von @ enthält. Nun kommen in @” offenbar alle ausgezeichneten Funktionen von G vor, und andererseits liegt jede ausgezeichnete Funktion von G” mit den Funk-

504 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 54, 55

tionen von G’ in Involution, ist daher zugleich eine ausgezeichnete Funktion von G. Demnach gehört das Involutionssystem Na+«@+1,:--, X5+a@+2z der Gruppe@’” an, enthält aber keine ausgezeichnete Funktion von G’”.

S.54, 2.13—10 v. u. Der Satz 45 wäre, wie wir wissen, nur anwendbar, wenn Xötatls:-,,AXo+a+g und die ausgezeichneten Funktionen von G” durch keine Relation verknüpft wären. Daß aber das der Fall ist, folgt aus dem eben Bewie- senen keineswegs. Demnach ist Satz 46 in der Fassung, die ihm Lie gegeben hat, nicht bewiesen. Dagegen erhält man einen richtigen Satz, wenn man auf Z.9 zwi- schen ‚gemein hat‘ und: ‚Ist‘ folgende Worte einschaltet:

„dabei vorausgesetzt, daß zwischen den ausgezeichneten Funktionen von G und denen der Untergruppe uj,.. .,U, nicht mehr als & von einander unabhängige Re- lationen bestehen.“

Dieselbe Einschränkung ist bei dem nachher folgenden Korollare hinzuzu- fügen. Ebenso in Bd.II der Th. d. Trfsgr. (1890), S. 206, wo der Satz 46 in etwas anderer Fassung, aber ohne Beweis, ausgesprochen wird.

S.54, 2.5, 4 v. u. In dem Abdrucke in den Math. Ann. hat Mayer die Reihenfolge der beiden Gruppen umgekehrt, was keinen Sinn hat, da ja zuerst die Untergruppe auf ihre kanonische Form gebracht wird. Ich habe daher Lies ursprüng- liche Anordnung wiederhergestellt, bei der die Untergruppe an erster Stelle steht. Zu bemerken ist noch, daß Lie jetzt für © + a ß einfach ß schreibt.

S.55, Theorem XI. Dieses Theorem ist offenbar nur bewiesen, wenn man auf Z.6 hinter ‚gemein haben‘‘ hinzufügt:

„und es mögen die ausgezeichneten Funktionen von G mit denen von g, ebenso wie die ausgezeichneten Funktionen von G’ mit denen von g’, auch nicht durch mehr als © von einander unabhängige Relationen verknüpft sein.“

Es fragt sich nun, wie das Theorem XI zu ergänzen ist, wenn mehr als & unab- hängige Relationen zwischen den ausgezeichneten Funktionen. von G und g be- stehen. Erinnert man sich der vorhin (8.503, Z.13ff.) gemachten Bemerkung zu Satz 45, so erkennt man zunächst, daß der folgende Satz gilt:

Theorem XI*. Es seien G und G’ zwei Gruppen, die beziehungsweise die Unter- gruppen g und g’ enthalten. Soll es dann eine Berührungstransformation in den x, p geben, bei der G ın G’ und gleichzeitig g in g’ übergeht, so ist folgendes notwendig und hinreichend: Erstens müssen G und G’ gleich viele, etwa m, und ebenso g und g’ gleich viele, etwa 1, unabhängige, ausgezeichnete Funktionen enthalten. Zweitens müssen, wenn die ausgezeichneten Funktionen von G und g durch gerade h unabhängige Rela- tionen verknüpft sind, auch die von G’ und g’ durch gerade h unabhängige Relationen verknüpft sein. Drittens muß es möglich sein, die | ausgezeichneten Funktionen von g’ und die m von G’ so zu wählen, daß zwischen ihnen genau dieselben Relationen bestehen, wie zwischen 1 ausgezeichneten Funktionen von g und m von G.

Es kommt mit anderen Worten alles hinaus auf die Betrachtung des Systems, das aus sämtlichen ausgezeichneten Funktionen von g und aus sämtlichen ausge- zeichneten Funktionen von G besteht, und auf die invarianten Eigenschaften, die dieses System gegenüber allen Berührungstransformationen in den x, p besitzt. Oder noch allgemeiner gefaßt:

Vorgelegt sind 1 unabhängige Funktionen u,,...,u; und m unabhängige Funk- tionen v1, ..., 0, für die alle Ausdrücke (u,u,), (u;v.), (v,v,) identisch verschwinden. Vorgelegt sind ferner 1 unabhängige Funktionen u],...,u; und m unabhängige Funktionen v,,...,v/,, die dieselben Eigenschaften haben. Wann gibt es eine Berüh- rungstransformation in den x, p, bei der jedes u, in eine Funktion von ur... .,U übergeht, und gleichzeitig jedes v, in eine Funktion von v,.. ., Um?

Sind die + m Funktionen u,,...,%, %ı,.- .,d,, von einander unabhängig, so müssen selbstverständlich auch u/,...,u/, v/,,.-,v,, von einander unabhängig sein, und dann liegt es auf der Hand, daß es immer eine Berührungstransformation

Inv. Bezieh. zwischen zwei involut. Involutionssyst. 505

von der verlangten Beschaffenheit gibt. Es gibt sogar eine, die die Gleichungen:

„eu, ud @=1,...,1: u=1,...,m). befriedigt. Sind andererseits u,,...,%7,1,...,t,, durch gerade h unabhängige Re- lationen: (I) U Pltnrıs => Ups Urs. +, U) (=1,...,h)

verknüpft, so muß selbstverständlich h S ! und S m sein, und diese Gleichungen müssen nach h von den v, auflösbar sein. Dann müssen zwischen den uw’, v’ eben- falls gerade h unabhängige Relationen bestehen, etwa:

(II) ab al a 0,3 ie (@=1,...,h),

und die verlangte Überführung ist dann und nur dann möglich, wenn es eine Punkt- transformation:

(um | Ey 1% ( "DERIERRRE "7 79 | = Bl, ... Um) ker Fat, Mm) gibt, bei der das System (I) die Form (II) annimmt.

Dieses Transformationsproblem kann nach den Lieschen Grundsätzen er- ledigt werden (vgl. meine Vorrede zu Bd. VI d. Ausg., S. IX). Dabei brauchen wir aber nur den Fall: hR<I, h< m zu betrachten.

Zunächst muß man feststellen, ob das System (I) infinitesimale Transformatio- nen in den u allein und infinitesimale Transformationen in den v allein gestattet.

Die zweite dieser beiden Fragen kommt darauf hinaus, ob @,,...,g, eine lineare partielle Error aan, 1:0.: “Mm of (IV) 2, Br mg

in den v allein befriedigen. un sie zu beantworten, bildet man (s. Th.d. Trfsgr., Bd.I (1888), S.13£.) die h eng

‚Mm

(V) 4A; - 3:

u nn zwischen 71... .,27m und ersetzt a Unis -,u; durch ein beliebiges Wert- system us} ,,.- -,u”, was die Gleichungen: (2,) AP =0 (@=1,...,h)

liefern möge. Dann gibt es stets eine endliche positive ganze Zahl r< m der- art, daß für r<r das System: (Q,),...,(2,), (2,,ı) immer mindestens eine unabhängige Gleichung mehr enthält, als das System (Q2,),...,(2,), während für rZr das erste System genau so viele unabhängige Gleichungen enthält, wie das zweite für r=r. Enthält das System: (2,),..., (2,) gerade m unabhängige Gleichungen, so folgt: n,= 0,...,2m = 0, und das System (I) gestattet keine infinitesimale Transformation in den v allein. Enthält es gerade m’ < m unabhän- gige Gleichungen, so folgen daraus m’ unabhängige lineare homogene Relationen zwischen 71, .,7]m), deren Koeffizienten Funktionen von v,,...,t,, allein sind. Diese m’ Relationen ziehen die Gleichungen (V) bei beliebigen u,,ı,.. -,4, nach sich und bestimmen ein (m —- m’)-gliedriges vollständiges System von Gleichungen von der Form (IV), das größte Be System in v,,..., d,, allein, das 9, ,..., 9m zu Lösungen hat. Ist Yıf==0,..., Yn_m f> 0 dieses vollständige System, so ist

m nm

"DIae, NETT,

506 Anmerkungen zu Abhandlung I, $S. 55—58

mit den willkürlichen Funktionen #, die allgemeinste infinitesimale Transformation in den v allein, die (I) invariant läßt. Dabei ist m’ stets S h, denn ,,.., 9, Sind in bezug auf Rh von den v von einander unabhängig.

Sind V,,...,V;n, die Hauptlösungen des eben definierten vollständigen Systems in bezug auf: v,, 5 = Yun K=b- mn‘), so sind die 9, in der Form; VD alnın 54:0.)

u 0 0 - = wre a I Van rt) Bash) darstellbar.

Will man die infinitesimalen Transformationen in den u allein bestimmen,

die (I) invariant lassen, so löst man erst (I) nach k von den v auf:

(V’) Y= Plinrız: +: Om Urs sh) ee

und verfährt in entsprechender Weise.

Man erhält auf diese Weise zwei zu (I) gehörige vollständige Systeme, ein (m — m’)-gliedriges (m’ SZ h) in den v allein und ein (I —T’)-gliedrigs SZ h) in den u allein. Es ist klar, daß die verlangte Überführung von (I) in (II) nur dann möglich sein kann, wenn sich zu (II) auf entsprechende Weise ein (m — m’)- gliedriges vollständiges System in den v’ allein und ein (1 — !’)-gliedriges in den u’ allein ergibt.

Ist diese notwendige Bedingung erfüllt, so können wir durch Einführung der Hauptlösungen der betreffenden vollständigen Systeme, also ohne Integration, die Gleichungssysteme (I) und (II) umgestalten. Wir kommen so zu zwei Systemen:

(19) U,= PAUL. 24, 0 ws es Var RER) und: (II*) BRUNS ES ER

von denen das erste weder eine infinitesimale Transformation in den V allein, noch eine in den U allein gestattet, während das zweite von entsprechender Beschaffen- heit ist. Es fragt sich jetzt, ob (I*) in (II*) durch eine Punkttransformation:

U‘ = A,(U,, oo. U,) (= 1, ... 2),

III* | Vu es: Bu (Vi Te Van) I li!

überführbar ist. Gibt es eine solche Transformation, so braucht man zu dieser nur Gleichungen von der Form:

(VI) se ee ee (k=1,..,1-0),

vu 45 M;(V5:. 5 Vom, Um’ +19 + Um) G=l..„m- m’) hinzuzufügen, die nach den u,, 4% Um, „; auflösbar sind, und hat eine Trans- mation (III), die die ursprünglich verlangte Überführung leistet.

Da das System (I*) bei keiner kontinuierlichen Gruppe von Transformationen von der Form (III*) invariant bleibt, und da von (II*) dasselbe gilt, kann die Über- führung von (I*) in (II*) ohne Integration geleistet werden, wenn sie überhaupt möglich ist. Ob sie aber möglich ist, kann jederzeit ohne Integration entschieden werden.

In der Tat, man betrachte in (I*) bloß die U als veränderlich, die V aber als Parameter. Dann ergibt sich aus (I*) durch Differentiation nach U,,ı,-- - UYy und Elimination der V ein ganz bestimmtes System von partiellen Differential- gleichungen, dessen allgemeinstes Lösungssystem eben die Form (I*) besitzt und das sicher keine infinitesimale Transformation in den U allein gestattet. Ebenso ergibt sich aus (II*) ein System von partiellen Differentialgleichungen, dessen all- gemeinste Lösung eben (II*) mit den willkürlichen Konstanten V’ ist. Gibt es

Inv. Bezieh. zwischen zwei involut. Involutionssyst. 507

eine Transformation (III*), die die verlangte Überführung leistet, so führt die Transformation:

(VII) U= I EEE F U,) as, ...:00)

das erste der eben erwähnten Systeme von partiellen Differentialgleichungen in das zweite über.

Aber man kann stets durch ausführbare Operationen entscheiden, ob es eine Transformation (VII) gibt, die das eine System in das andere überführt. Überdies kann man in dem vorliegenden Falle diese Transformation ohne Integration auf- stellen, wenn es wirklich eine gibt. Hat man diese Transformation (VII) gefunden, so erhält man, indem man sie ausführt, aus (I*) notwendig die allgemeine Lösung des zweiten der beiden Systeme von partiellen Differentialgleichungen, also ein Gleichungssystem von der Form (II*), wo V/,..., V,,. ganz bestimmte Funktionen von Vı,.. .,V/m’ sind. Man erhält also eine Transformation (III*), bei der (I*) in (II*) übergeht.

Das auf S.505 aufgestellte Transformationsproblem ist hiermit erledigt. Es ist bewiesen, daß man immer durch ausführbare Operationen entscheiden kann, ob die Überführung möglich ist oder nicht. Ist sie möglich, so erfordert die wirk- liche Aufstellung einer Transformation, die (I) in (II) überführt, offenbar nur die Integration der vier vollständigen Systeme, die zu (I) und (II) gehören.

Es ist wohl nicht nötig, noch auseinanderzusetzen, wie das allgemeine Trans- formationsproblem zu behandeln ist, das in Theorem XI nur unter gewissen Ein- schränkungen erledigt ist. Dagegen wollen wir nicht unterlassen, die Fassung des Korollars auf S. 55 zu berichtigen. Dieses muß etwa so lauten:

Korollar. Alle invarianten Beziehungen zwischen einer Gruppe und einer in dieser enthaltenen Untergruppe werden bestimmt durch die Gliederzahlen der beiden Gruppen, durch die Zahlen der in jeder von beiden enthaltenen unabhängigen ausge- zeichneten Funktionen und durch die Relationen, die zwischen den ausgezeichneten Funktionen beider Gruppen bestehen.

S.56, Z.7, 11. Hier hätte beide Male vor & hinzugefügt werden sollen: ‚„‚ge- rade“.

S.56, Satz 48. Der Liesche Beweis dieses Satzes ist nur dann stichhaltig, wenn man hinter Z.11 einschaltet:

„Außerdem mögen zwischen den ausgezeichneten Funktionen beider Gruppen nicht mehr als & unabhängige Relationen bestehen.“

Man kann aber auch Z. 11 so fassen:

„Untergruppe derselben, und es mögen zwischen den ausgezeichneten Funktionen beider Gruppen gerade & unabhängige Relationen bestehen.‘

Dann folgt der Satz unmittelbar aus Satz I, S. 500.

S.56, Z.18f. Auch hier habe ich Lies ursprüngliche Anordnung der beiden Gruppen wiederhergestellt, die Mayer ganz unnötigerweise geändert hatte. Zu be- merken ist noch, daß Lie wieder zur Schreibweise von S. 54, Z. 10, 18 zurückkehrt.

S. 56, 2. 23f. Es ist ja:

e=ö+a+ra+pß, r=y+d—ö, mithin: PRRETERNT RETTET UT OO PB), was die Zahl der Funktionen auf Z. 21 ist.

$ 15, 8. 56—60, entspricht Bd. III d. Ausg., S. 51—54.

S. 57, 2. 2—6. Man erinnere sich der Entwickelungen auf S. 491.

S.58f. Nr. 33. Hier führt Lie näher aus, was er Bd. III d. Ausg., S. 53, Z.5—9 nur angedeutet hatte. Dagegen hat er die Anm. a.a.O. Z.4—1 v. u. jetzt wegge- lassen. In meiner Anmerkung zu dieser Stelle (a. a. O., 8. 646, 2.5—3 v. u., 647, Z.1—4) habe ich die Frage offen gelassen, was Lie damit gemeint hat. Da ich in-

508 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 58

zwischen Klarheit darüber gewonnen habe, will ich das damals Versäumte jetzt nachholen.

Wenn man berücksichtigt, was Lie 1896 gesagt hat (s. Bd. VId. Ausg., S. 637), so erkennt man sofort, daß für ihn die Reduktion einer vorgelegten Funktionen- gruppe uU,,...,u, auf ihre kanonische Form in gewissem Sinne gleichbedeutend war mit der Reduktion eines Pfaffschen Ausdrucks auf eine kanonische Form. Die Schwierigkeit ist nur, festzustellen, welchen Pfaffschen Ausdruck er gemeint hat.

Jedenfalls muß zu der gegebenen Form u,,..., u, der Funktionengruppe ein Pfaffscher Ausdruck gefunden werden, der beim Übergange zu einer neuen Form der Funktionengruppe in den zu der neuen Form gehörigen Pfaffschen Ausdruck übergeht, also mit anderen Worten: ein Pfaffscher Ausdruck, der kovariant ist gegenüber allen Punkttransformationen in u,,...,u,.

Nun gehört insbesondere zu jeder 2n-gliedrigen kanonischen Funktionen- .gruppe X,,..., X Pı>- - -, P„ ein Pfaffscher Ausdruck, der bis auf ein additives willkürliches vollständiges Differential eindeutig bestimmt und der sicher bei allen Punkttransformationen in den 2n Veränderlichen X,, P, zu dem Systeme der 2n Funktionen X,, P, kovariant ist. In der Abhandlung: ‚Die Störungstheorie und die Berührungstransformationen‘“ (1877, d. Ausg. Bd. III, Abh. XX) zeigt nämlich Lie auf S. 298—300, daß der Ausdruck:

0.2 nt > P,dX;+d2(X,P),

wo a eine willkürliche Konstante bezeichnet und Q2 eine willkürliche Funktion, der allgemeinste Pfaffsche Ausdruck ist, der bei jeder infinitesimalen Transformation

von der Form: 1.9

ud, (®,, a

ı

das heißt, bei der unendlichen Gruppe aller Berührungstransformationen in den X, P nur um ein vollständiges Differential geändert wird.

Betrachten wir andererseits eine r gliedrige Funktionengruppe u,,..., u, in nd eu DR (I) (u;u,)x,p = 0;% (U, sie 0 u,) (3, En ot

und aus der Jacobischen Identität zwischen u,,

u,, u; folgt, daß die Gleichungen:

= dwr; 005; 0w; : i (II) > (ai. BL + ou u +9, u En) —0 (,kjel,..sn)

identisch erfüllt sind. Unsere Funktionengruppe bestimmt nun in den Veränder- lichen u,,..., u, eine Schar von infinitesimalen Transformationen, nämlich diese:

n ENESRE > > op 6 (IIH) Pl: 2 Fee BE 5 RR kj

oUr ou;

unter g eine willkürliche Funktion verstanden. Der Inbegriff dieser infinitesimalen Transformationen erzeugt überdies eine unendliche kontinuierliche Gruppe (vgl. Bd. VI d. Ausg., S.112, Z.11—4 v. u., 8.794, 2.6, 5 v. u.). Demnach liegt es nahe, nach dem allgemeinsten Pfaffschen Ausdrucke in den Veränderlichen U],..., u, zu fragen, der bei jeder infinitesimalen Transformation von der Form (Ill) nur um ein vollständiges Differential geändert wird.

Pfaffsches Probl. u. Red. einer Gr. auf kanon. Form 509

Hier zeigt sich nun sogleich, daß die ausgezeichneten Funktionen der Gruppe U, ., u, eine besondere Rolle spielen. Diese sind ja (vgl. hier S. 43) die gemein- samen Lösungen der Gleichungen:

2 E 2 [7 Or; (Us .:», w);=0 kel,...rN), ; 9 J

sie sind also die Invarianten der unendlichen Gruppe (III). Ist daher U eine ausge- zeichnete Funktion, so ist auch das vollständige Differential d U bei allen infinitesi- malen Transformationen (III) invariant.

Es sei r = 2m + I, und die Gruppe habe gerade ! unabhängige ausgezeichnete Funktionen, die wir uns durch die Operationen 1,1 —1,...,2,1 bestimmt denken (vgl. S.57). Wir denken uns ferner u,,..., u, so gewählt, daß gerade u, +1: - - U,m.,.ı ausgezeichnete Funktionen sind. Dann erscheinen die infinitesimalen Tran- formationen (III) in der Gestalt:

1...2m ‚ . op 6 U (pa, fa), = > on, a SL af kj hg wo die &,; den Gleichungen: OT 5,7 m \ = 00; ©; (IP) (ou Zn +® Ku 2: Pr a In en) == (4, k,j=1,..., 2m)

u genügen, und wo außerdem jetzt die Determinante der &;,., nicht identisch verschwin- det. Wir können daher nunmehr u, n+1> + + > Ugm-.ı als Konstanten betrachten und in den Veränderlichen u,,... ., %,„, den allgemeinsten Pfaffschen Ausdruck:

1.2.3 m

Da, (Us... Ugm) AU, au

aufsuchen, der bei jeder infinitesimalen Transformation (IIT’) nur um ein vollstän- diges Differential geändert wird.

Wir finden: Fr 1...2m 2 2 1..2m > p dau > ep ar weRs a,du, = 4 = —— du a,d (o ER) öt uaWu kj Ou.Cu, u 21 zu j 3 Our au Er k,j .2m = S x; au ? du, +d > a k,j, u wo: Ö au ca; (IV) eu, ou, us

gesetzt ist. Also muß dieser Ausdruck für jedes p ein vollständiges Differential werden, was offenbar nur möglich ist, wenn die erste Summe die Form w&dg be- sitzt, wo» von p unabhängig und also eine Konstante ist, die wir =1 setzen können. Zur Bestimmung der a,, ergeben sich daher nur die folgenden Gleichungen:

1...2m m Sor50u5= Er (k,u=1,...,2m), J

wo &,,, die bekannte Bedeutung hat. Denken wir uns nun die a,, durch (V) bestimmt und berücksichtigen wir die Gleichungen (II’), so ergibt sich durch eine Rechnung,

510 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 58 die bereits Clebsch ausgeführt hat!), daß die a,; die Gleichungen:

0a; x%

Ar; , 09; 0 Kkj 24.1: Dat We 1,..,2m) u

eu; eur

(vD

identisch befriedigen. Umgekehrt aber werden, sobald die a,,; die Gleichungen (VI) befriedigen und ihre Determinante von Null verschieden ist, die aus (V) hervorgehen- den Ausdrücke o,, die Gleichungen (IT’) erfüllen.

Unter den hier gemachten Voraussetzungen sind daher die Ausdrücke a,, ein- deutig bestimmt. Andererseits gibt es wegen (VI) immer solche Funktionen a,,..., @,7, die den Gleichungen (IV) genügen, und zwar können diese Funktionen durch Quadratur gefunden werden. Der gesuchte Pfaffsche Ausdruck: Xa. du. ist daher bis auf ein additives willkürliches vollständiges Differential eindeutig bestimmt.

Setzen wir: 0%; = (ki) 1.372 und: (1,2,.. „2m)=2= Ik), © J so ist: S (Ur; = Eur, folglich: (VII Or; u e 2 (kjal,..., 2m). Nehmen wir überdies an, daß sich die o,, für: u, =0,..., Um = 0 regulär ver-

halten und daß zugleich ihre Determinante, also auch 2, einen von Null verschiede- nen Wert annimmt, so gilt von den a,, dasselbe, und man kann die Aufstellung des Pfaffschen Ausdruckes: Ya,du, auf eine einzige Quadratur zurückführen.?)

In der Tat, wir suchen den allgemeinsten Pfaffschen Ausdruck Za.du,, der eine gegebene bilineare Kovariante:

1.220 Dar ;dupöu, k,j hat. Ersetzen wir jedes u„ durch tu. und deuten wir diese Substitution durch eine

eckige Klammer an, so muß der Ausdruck: Z[a.](tdu„—+ u„dt) die bilineare Ko-

variante: a u

2 [ar] [tdu,su,; + iu,dan öt + tu, öu; dt)

haben, was die Beziehungen:

1.2.23 M boss am

d 0 2 la gr Mad=t Z urlanı

1) Clebsch, Über das Pfaffsche Problem. II. Abh. Crelle Bd.61 (1863), S. 161—163.

2) Das im folgenden benutzte Verfahren ist vollständig analog dem du Bois- Reymond- Mayerschen Verfahren zur Zurückführung eines vollständigen Sy- stems auf eine einzige lineare partielle Differentialgleichung (Bd. III d. Ausg., S.628f.). Es ist zum ersten Male angewandt worden von Cartan: C.R. Bd. 182 (1926), S. 956—958: Sur certains systömes diff6rentiels, dont les inconnues sont de formes de Pfaff.

Pfaffsches Probl. u. Red. einer Gr. auf kanon. Form 5ll

; 1 liefert. Setzen wir nun: 1:,.,,.:0

(vII) t > u[la,]=[U (üı; .--, Um)} wo U eine willkürliche Potenzreihe ist, die nur der Bedingung genügen muß, für AR a Fe verschwinden. Dann erhalten wir:

4,20

d > Fr t;)= du, [UJ+ > ur[a;r]

und somit unter Berücksichtigung von Ne

3m ER t °

(IX) Stontan oan I ftane win tafl -[Ujdt.

kjo0 Dabei wird wegen Sen

Ze la) —z, aD) = = 2t[9,,]+ > (ce (a;1] Bene .) — 2t[a,,]+ Su; [au] =), elayu), Ali, n [a] 2-10, 1=ay,)

wie es sein muß.

Den gesuchten Pfaffschen Ausdruck, der zu der Funktionengruppe u,,..., U, m..ı mit den ausgezeichneten Funktionen 4, 141, ++ + Um. Kovariant ist, haben wir damit gefunden. Es ist auch klar, daß es eben der Pfaffsche Ausdruck ist, an den Lie gedacht hat. Zu seiner Aufstellung hat Lie sicher ungefähr den hier einge- schlagenen Weg benutzt. Er konnte ja der Abhandlung von Clebsch entnehmen, daß aus den Gleichungen (II’) und (V), sobald die Determinante der &,, nicht ver- schwindet, die Gleichungen (VI) folgen, und daß umgekehrt aus (V) und (VI) die Gleichungen (IT) folgen. Dazu kam eine neue Bemerkung, die er gemacht hatte: Ist Za,du, ein Pfaffscher Ausdruck, für den die Determinante der a,, nicht ver- schwindet, und bestimmt man die &,; aus den Gleichungen (V), so stellen dieClebsch- schen Ausdrücke (III’) eine Schar von infinitesimalen Transformationen dar, bei denen Za,.du;, stets nur um ein vollständiges Differential geändert wird. Er brauchte daher nur noch zu zeigen, daß umgekehrt der Pfaffsche Ausdruck Za,du, ver- möge dieser Eigenschaft durch die Schar der infinitesimalen Transformationen (III’) bis auf ein willkürliches vollständiges Differential bestimmt ist.

Daß zur wirklichen Aufstellung des Pfaffschen Ausdrucks gewisse Quadra- turen erforderlich sind, kommt nicht in Betracht, da Quadraturen gewöhnlich von Lie als ausführbare Operationen angesehen werden.

Die Aufgabe, die Funktionengruppe “,,..., 4,7 mit den bekannten aus- gezeichneten Funktionen U,+ıs ++, Ugm+7 auf ihre kanonische Form zu redu- zieren, ist nun en mit der folgenden: Der Pfaffsche Ausdruck:

De, or, Ugms Uam+ir ++ Um+ı)du, u

Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. IV 33

512 Anmerkungen zu Abhandlung I, 8. 58—63

mit den 2m Veränderlichen u,,...,4%,„ und den ! Parametern u, „, +, soll auf die Form: 22.038 (X Dq.dy,+d® u gebracht werden, wo die 4, ,q. unabhängige Funktionen von u,,... m und ®

eine Funktion der y,,Qu-

In der Tat, die infinitesimalen Transformationen IT’ ), die Za.du, nur um ein vollständiges Differential ändern, müssen beim Übergange zu der kanonischen Form (X) in die infinitesimalen Transformationen in den %y., q, übergehen, die (X) nur um ein vollständiges Differential ändern. Nach S. 238f. muß daher werden:

ER (Men Pu 2 en = za:

Daraus aber folgt: (Yu Yr)ap = |Yayı 'u=0,

(Fu Yr)zp a Qu Yv = Eur, (da @)z» = \Uup iu —=0.

Das heißt: %ı,. . :,Ym» U»: + > Am» Uamzir ++, Ugm;+ı 1St eine kanonische Form

der Funktionengruppe: %,,..., Umıı Will man die Reduktion auf die Form (X) wirklich ausführen, so hat man den

Pfaffschen Ausdruck:

1.22 (XD) Da,du,+dv u in den 2m + 1 Veränderlichen: u,,...,%, 7, ® zu betrachten und den auf eine Normalform: 2 ET

Squdyu + dw + 9)

u zu bringen. Dabei kann man die Methode benutzen, die Lie 1877 in Abh. XXI von Bd. III d. Ausg. auf S. 345—350 angegeben hat und die nach Theorem VIII, a.a.0. 8.350 die Integrationsoperationen: 2m, 2m — 2,...,2 erfordert. In dem vorliegenden Falle tritt aber eine Vereinfachung ein, weil die Operation 2m weg- fällt. In dem Pfaffschen Ausdrucke (XI) sind ja die a, von v frei, und die beliebige Funktion von Y,..., Yms Is * : > Jm, deren Bestimmung zuerst geschehen soll, ist daher eine beliebige Funktion von u,,...,%,„,, das heißt, sie ist von vornherein bekannt.

Die Reduktion der vorgelegten Funktionengruppe auf ihre kanonische Form erfordert daher auf dem hier besc'ıriebenen Wege erstens die Bestimmung der I! aus- gezeichneten Funktionen durch die Operationen !,1—1,...,1 und dann noch die Operationen 2m — 2,2m —4,...,2, also wirklich genau dieselben Operationen wie die Bestimmung eines größten in der Gruppe enthaltenen Involutionssystems.

Es ergibt sich hier zugleich, daß die letztere Aufgabe gleichbedeutend ist mit der Reduktion der Gruppe auf ihre kanonische Form. Lie hebt das nicht ausdrück- lich hervor, es ist aber auch unmittelbar einzusehen. Kennt man nämlich ein größtes in der Gruppe enthaltenes Involutionssystem, bestehend aus den ausgezeichneten

Funktionen U, 415 + + +, Um. und aus m weiteren Funktionen: ®,,. . ., U, SO kann man setzen: y. =vu(u=1,...,m), findet dann durch eine Quadratur die Funk- tion ®D und endlich durch Auflösung linearer Gleichungen noch: 91,::-, Im

(vgl. Abh. III (1877), S. 164#.).

Pfaffsches Probl. u. Red. einer Gr. auf kanon. Form 513

Damit ist die Liesche Bemerkung, Bd. IIId. Ausg., S.53, Z.4—1 v. u. voll- ständig aufgeklärt. Nur über die Erwähnung des Mayerschen Theorems ist vielleicht noch etwas zu sagen.

In Bd. III, S. 52, Nr. 10 und ebenso hier S. 56—58, Nr. 32 wird das Mayersche Theorem benutzt, denn es wird immer so verfahren, daß man sich von einem voll- ständigen Systeme eine einzelne Lösung bestimmt denkt. Das aber geschieht in der Weise, daß man das vollständige System auf eine einzige lineare partielle Differen- tialgleichung zurückführt und, sobald man von dieser eine Lösung gefunden hat, vermöge des Mayerschen Theorems eine Lösung des vollständigen Systems angeben kann. Die Liesche Methode zur Reduktion eines Pfaffschen Ausdrucks auf seine Normalform benutzt dagegen das Mayersche T'heorem nicht, da sie darauf hinaus- kommt, von einer Reihe von einzelnen linearen partiellen Differentialgleichungen je eine Lösung zu bestimmen, während sie von vollständigen Systemen gar keinen Ge- brauch macht.

Man könnte nun gegen die von mir gegebene Darstellung den Einwand erheben, daß ich mir zuerst die ausgezeichneten Funktionen der Gruppe bestimmt denke, und daß dabei das Mayersche Theorem benutzt wird. Es lohnt sich aber offenbar nicht, sich den Kopf darüber zu zerbrechen, wie sich Lie in der bewußten Anmerkung die Bestimmung der ausgezeichneten Funktionen gedacht hat. Ich begnüge mich daher zu erwähnen, daß man den zu einer gegebenen Funktionengruppe kovarianten Pfaffschen Ausdruck auch definieren kann, ohne sich vorher die ausgezeichneten Funktionen bestimmt zu denken. Ausgeführt findet man das in der Greifswalder Dissertation von R. Palm: Zur Invariantentheorie eines Pfaffschen Ausdrucks, 1914, S. 49—57.

S. 60, Theorem XIII. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 647, Z2.5—16.

$ 16, S. 60—63 hat Lie ganz neu hinzugefügt. In umgearbeiteter Fassung bildet der Paragraph das 10. Kapitel von Bd. II der Th. d. Trfsgr. (1890). Die hier ent- wickelte Theorie hat Lie aber schon 1873 gefunden. In einem Briefe, den Mayer am 10. 11. 1873 erhalten hat, schreibt Lie:

„Ich habe die folgende, in meiner Invariantentheorie höchst wichtige Aufgabe gelöst:

„Seien vorgelegt q Funktionen von &,.. , Ins Pıs = + +» Pn! 2 FREE und q Funktionen von &,,..., CP 1---»Pn: Kimusfe

Es soll entschieden werden, ob es eine Berührungstransformation gibt, welche jede F,, in die entsprechende f, überführt. Wenn eine solche existiert, soll sie gefunden werden.“

Er führt das dann vollständig aus, indem er sich allerdings auf den Fall: q = 2 beschränkt.

S.63, 2.15—11 v. u. Diese allgemeine Invariantentheorie der unendlichen Gruppe aller Berührungstransformationen in den x, p dehnt Lie später (S.90f.) auf die Gruppe der homogenen Berührungstransformationen aus und damit auf die un- endliche Gruppe aller Berührungstransformationen. Aus der Zeit seit 1873 ist, außer den von Lie herrührenden, nur noch eine Invariantentheorie von solcher Allge- meinheit zu nennen, Cartans Invariantentheorie eines Systems von Pfaffschen Gleichungen gegenüber der unendlichen Gruppe aller Punkttransformationen. In dieser Cartanschen Theorie spielt die bilineare Kovariante eines Pfaffschen Aus- drucks dieselbe Rolle wie der Klammerausdruck in der von Lie.

$ 17, S. 63—69 entspricht Bd. III d. Ausg., S. 54—59.

S.63, 2.8—3 v. u. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 647, 2.17f. Die Aufgabe, die Kenntnis der Funktionen ®,,...,®, möglichst zu verwerten, ist ein besonderer Fall einer allgemeineren Aufgabe aus der Theorie des Pfaffschen Problems. Lie

33*

514 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 63—75

spricht sich darüber in einem in Paris geschriebenen Briefe vom Oktober 1874 folgen- dermaßen aus:

„Lieber Mayer!

„Meinen herzlichsten Dank für Ihren Brief, aus dem ich sehe, daß Sie noch an eine Zusammenkunft denken.!) Ich bedaure sehr, daß ich, wie ich eben schrieb, nicht daran denken kann, nach Leipzig zu kommen, wesentlich wegen der großen Kosten, aber auch wegen meiner Frau, die schon ohnedies zu lange langweilige Eisen- bahnfahrten machen muß. Ich würde Ihnen nicht vorgeschlagen haben, eine lange Reise zu machen, um mit mir fünf Tage zusammen zu sein (ich könnte wohl übrigens auch den 21.in Köln bleiben), wenn ich nicht die Überzeugung gehegt hätte, daß durch unsere Arbeiten ein wichtiges Forschungsgebiet in eine wesentlich neue Lage gekommen war, und andererseits, daß wir in den wenigen Tagen beiderseits Anregung zur weiteren Verwertung der gemachten Entdeckungen erhalten würden.

„Insbesondere über das Pfaffsche Problem würde es mich interessieren, mit Ihnen zu sprechen. Es wäre doch wünschenswert, daß dieses Problem einmal in seiner wahren Einfachheit dargestellt würde. Mir scheint dies sowohl in Ihrer, wie in meiner Weise möglich zu sein. Auch muß man die mehreren Integrale der auf- tretenden simultanen Systeme, die gleichzeitig gefunden werden mögen, in vorteil- haftester Weise verwerten lehren, was eine interessante Theorie ist.

„Hier tritt übrigens folgender kurioser Umstand ein. Seien vorgelegt bei der Behandlung des Pfaffschen Problems die linearen Gleichungen:

A(F)=0,...,4,(F)=0,

unter deren q gemeinsamen Lösungen eine gesucht wird. Findet man q — k Lösun- gen, so vereinfacht dies immer das Problem mehr als nur eine bekannte Lösung, ausgenommen nur den Fall,daßk= ist. Aus q bekannten Lösungen kann man (und das entspricht dem Wesen der Sache) gar keinen weiteren Vorteil, als aus einer solchen ziehen.

„Ich habe noch nicht in meiner Weise durchgedacht, warum, wie Pfaff an- fängt, immer eine Gleichung von der Form:

2n 2n-1l DI Xrdy = od Yrdyr; Fer on a) 1 1

stattfindet. Hat man das zuerst klar verstanden, so ist das weitere selbstverständ- lich. Das Prinzip der Jacobi-Clebscheschen Integrationsmethode ist einfach. Die

Gleichungen: (H,))=0, (H,H,)) —=0

lassen sich in einfacher Weise herleiten. Nur wünschte ich, daß es möglich wäre, Ihr Theorem in einer Weise zu beweisen, die nicht allein analytisch, sondern auch syn- thetisch-begrifflich einfacher wäre. Das scheint jedoch unmöglich. Ich möchte sehr irren, wenn nicht Ihre Beweismethode eben die naturgemäße ist.

„Ihr Theorem hat für meine Auffasssung das gemein mit dem Poisson- Jacobischen, daß es auf einer komplizierten Vorstellung beruht. Was ich hier schreibe, kann ich auch so ausdrücken, daß ich Ihr Theorem fortwährend als ebenso schwierig zu entdecken, wie fundamental betrachte.

„Doch wir haben ja hinlänglich viel Stoff zur Diskussion.“

S.64, Z2.4f. und S. 66, Theorem XV. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 647, 2.19 —21 und überdies hier Abh. III (1877), S. 171—175.

S. 64, 2. 9—11. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 647, Z. 22—24.

S.64, 2.3 v.u. bis 65, 2.2. Vgl. Bd. III d. Ausg. $. 647, 2. 25—29.

1) Mayers Brief war vom 6. Oktober, aus Leipzig. Über die Zusammenkunft, die in Düsseldorf stattgefunden hat, vgl. Bd. V d. Ausg., 8. 615.

Verwert. bek. Lös. von: (F,®) =0,..., (F,®) = 0, wenn: (F,F))=0 515

S. 66, Theorem XV. Nachdem man die m ausgezeichneten Funktionen bestimmt hat, muß man, um Satz 52 anwenden zu können, in diesem Satze m durch q + m und q durch v ersetzen. — Die Jacobische Methode würde nur eine der Funktionen ®,, verwenden, etwa ®,, und zunächst eine Lösung des (g+ 1)-gliedrigen vollständigen

Systems (FR,D)—=0,...,(F,®)=0, (®,0)=0 mit q-+ 1 bekannten Lösungen suchen, was die Operation 2" — 2q — 2 erfordert, dann die Operation 2n — 29 —4, a

S. 66, Z.12—8 v. u. Diese Zeilen hat Lie neu hinzugefügt.

S. 68, 2. 19—21. Vgl. hier S. 33.

S.68, 2.3 v. u. Dabei soll wieder » > 0 sein, also v—=1 und m = 0. Dann läßt sich aus F,®,, ®, nur ein zweigliedriges Involutionssystem ausscheiden.

S.69, Z.1—3. Vgl. Bd. III, Abh. XVIII (1876), S. 275—277 und Bd. IV, Abh. III (1877), S. 175—178.

S. 69, Theorem XVI. Auch in dem Ausnahmefalle hat Lie später die Integra- tionsschwierigkeiten vereinfacht. Vgl. die in der vorhergehenden Anm. angeführten Stellen.

$ 19, S. 71—73. Die Andeutungen in Bd. III d. Ausg., S. 61f., Nr. 17 sind hier näher ausgeführt und systematischer gestaltet.

Neu hinzugefügt hat Lie das Theorem XVII!) auf S. 73. Man vgl. dazu Bd. III d. Ausg., Abh. XV (1875), S. 219, Z.19—23, 2.5—2 v. u. In der Anm. a.a.O., in der auch XVI statt XVII steht, vervollständigt Lie das Theorem noch in gewisser Beziehung. Was er meint, wäre jedoch klarer geworden, wenn er gesagt hätte: „daß die Gruppe f, 91, - - -, ?,, von f abgesehen, ebenso viele ausgezeichnete Funktionen enthält, wie die Gruppe der F und ®, von den F abgesehen.‘ Wir werden in einer späteren Anmerkung auf diese Vervollständigung des Theorems XVII zurück- kommen (s. 8. 530—536).

Die ‚andere Form‘, die die Theorien erhalten könnten (hier S.73, 2.13), be- steht darin, daß die Gliederzahl der zu betrachtenden Funktionengruppe F},...,F,, ®D,,...,®, (8. 63f.) und die Zahl ihrer ausgezeichneten Funktionen beide um g—1 verkleinert werden.

Auf das Theorem XVII beruft sich Lie auch in der hier folgenden Abhand- lung II (1875), S. 150, doch enthält der dort ausgesprochene Satz 40 nur einen Teil der Aussage von Theorem XVII.

S.73, 2.16—11 v. u. hatte Lie ursprünglich geschrieben: ‚„Alsdann kann man eine Gleichung der Form f(z,,: . ., Cu _ms Pıs == +» Pn_m) = Const. und q Lösungen P1s +++, 9, von (fp) = 0 aufstellen, so zwar, daß die Integration der neuen Gleichung diejenige des Involutionssystems nach sich zieht.‘ Der jetzige Wortlaut stammt von Mayer. Lies Schreibfehler, n — m statt n — m + 1, den Mayer stehen gelassen hatte, habe ich berichtigt.

$ 20, S. 73—77, ist von Lie neu hinzugefügt. Bisher hatte er das Problem der drei Körper nur einmal kurz erwähnt, s. Bd. III d. Ausg., Abh. V (1872), S. 28.

S.74, 2.14. F,,F,,F, haben im wesentlichen dieselbe Form, wie die nachher mit 9, 9, 9, bezeichneten Größen.

S.75, 2.2—5. Vgl. Bd. III d. Ausg. Abh. XV (1875), S. 211—219 und Bd. IV, Abh. II (1875), S. 136—145. Man könnte sich aber auch auf Satz 52, hier S. 65 be- rufen. Für das zweigliedrige Involutionssystem:

Hz=o,9=0 in den 12 Veränderlichen z,, y;, 2;, P;; 5, r; @= 1,2) kennt man ja zwei Lösungen:

F,,F, der Gleichungen: (HF) —=0,(®F) = 0. Es ist also:ın=6,m—=2,q=1 und: 2n — 29 — 2m = 6 die Ordnung der ersten Integrationsoperation.

= 1) In den Math. Ann. Bd. VIII, S. 281 hat es infolge eines Druckfehlers die r. XVI.

516 Anmerkungen zu Abhandlung I, $. 75—78 S. 75, Nr. 48. Esist: M= Zm, =m, + m; + ms, ferner: 91 =2p: pR=!n M=LrN, Min —YMird)seee, MP—=m Mm; — PLMiYis---

und demnach unter anderm:

(Pa9ı) = 0, (9192) = Ps, (PP) = — Pa, (PaP5) = Ps (9596) = Pa (Ps 94) = 95» (991) = 0, (992) = MP9s, (993)= — Mp:, (919) = 0, (99) = — Ps, (PP) = Ps»

(9:98) = M Ps; (9895) = MP, (95 9:) = M ps.

S. 77, 2.9, 8, v. u. Vgl. die auf S. 476, 477f. mitgeteilten Stellen aus Briefen von A. Mayer.

S. 77, 2. 14—18. Natürlich kommt noch die Gleichung: H = a hinzu, so daß man ein sechsgliedriges Involutionssystem hat, das nach Theorem XVII auf eine Gleichung in 2(9 —6—+ 1)= 2-4 Veränderlichen zurückkommt. Um diese aufzu- stellen, hat man das Involutionssystem aufzulösen und dann nach Bd. III d. Ausg,., Abh. XV (1875), S. 211—216; Bd. IV, Abh. II (1875), S. 136—142 zu verfahren.

Man kann sich aber auch auf Theorem XV, 8.66 berufen. Es ist: q9=1, 2» m=8,m—=2,v=3, also hat die erste erforderliche Integrationsoperation die Ordnung: 2n — 2q— 2v—2m=18 —2 —6 —4=6.

S. 77, 2.19—13 v. u. Vgl. die auf S. 478—482 abgedruckten Mitteilungen über die Prioritätsreklamation, die Lie und Mayer 1873 an die Pariser Akademie ge- richtet haben.

S. 77, 2.4,3 v. u. Dieses allgemeine Prinzip besteht darin, daß jede bekannte infinitesimale Berührungstransformation, bei der das System der Differentialglei- chungen des mechanischen Problems invariant bleibt, ein Integral liefert. Vgl. Bd. III d. Ausg., Abh. XVIII (1876), S. 269£., Nr.9 und Bd. IV, Abh. III (1877), S. 224f., Nr. 35.

Die Anwendung des allgemeinen Prinzips auf das Problem der drei Körper er- scheint allerdings bei Lie insofern noch nicht in vollkommener Form, als Lie nur die infinitesimalen Euklidischen Bewegungen benutzt, die das System der Differential- gleichungen des Problems invariant lassen. Diese liefern nämlich nur die Flächeninte- grale und die ersten Schwerpunktsintegrale, während die zweiten Schwerpunkts- integrale auf diesem Wege nicht herauskommen. Erst wenn man sich auch die Zeit mit transformiert denkt, gelangt man zu einer zehngliedrigen Gruppe, bei der das System der Differentialgleichungen des Problems invariant bleibt, zu der sogenann- ten Lorentzschen Gruppe, und diese liefert auf Grund des Lieschen Prinzipes außer jenen sechs Integralen nicht bloß die zweiten Schwerpunktsintegrale, sondern auch das Integral der lebendigen Kraft. Auf Veranlassung von F. Klein habe ich das näher ausgeführt in der Arbeit: „Über die zehn allgemeinen Integrale der klassischen Mechanik‘‘, Gött. Nachr., 11. November 1916, $S. 240—245. Vgl. auch: „Nochmals die allgemeinen Integrale der klassischen Mechanik‘, ebd. 17. März 1917, S.189—198.

Der größte Teil des dritten Abschnitts, $. 78—93 ist eine ganz wesentlich ver- einfachte Umarbeitung von Abh. VIII (1873) in Bd. III d. Ausg. Eine Umarbeitung des III. Abschnitts enthalten die Kapitel 11 u. 12 von Bd. II der Th.d. Trisgr. (1890).

S. 78, 2.2. Diese Überschrift hat Mayer hinzugefügt.

S. 78, 2. 6—9. Siehe S. 90£f., Nr. 51.

Problem der 3 Körper. — Homogene Funktionengruppen 517

$ 21, 22, S.78—84 entsprechen Bd.III d. Ausg., 5. 66—86. Die dortigen, recht umständlichen Entwickelungen auf S.66—71 sind, so weit sie nicht ganz ent- behrt werden können, zum Teil in den jetzigen $ 22 aufgenommen.

In $22 fällt die Vereinfachung der Beweise ganz besonders in die Augen. Der neue, so kurze Beweis für den Satz, daß die Polargruppe einer homogenen Gruppe wieder homogen ist (hier $. 80f.), findet sich zum ersten Male in einem Briefe, den Mayer am 8. 11. 1873 erhalten hat und den ich schon in Bd. III d. Ausg. auf 8.649, 2.5—8; 656, 2.2; 676, Z.13—677, 7.4 benutzt habe. Lie schreibt da:

„Es ist mir gelungen, das Fundamentaltheorem meiner Invariantentheorie der homogenen Funktionen in einfacher Weise zu begründen. Dasselbe besteht be- kanntlich darin, daß die Polargruppe einer homogenen Gruppe selbst homogen ist.

5 „Wie früher definiere ich den Begriff homogene Funktion und zeige weiter, daß zwei homogene Funktionen h,, h, immer eine homogene Gruppe erzeugen. „Ich beweise ferner wie früher, $ 1, Satz 1'), daß, wenn H eine homogene Funk- tion ist, und ich setze:

un=AN, Dr;/=B0, so gilt die Gleichung: A(B(f)) — B(AN)= AAN).

„Korollar. Ist girgend eine Lösung von (Hf) = 0, wo H eine gegebene ho- mogene Funktion ist, so ist B(gp) auch eine Lösung von (Hf) =. „Beweis. Setzen wir in der identischen Gleichung:

A(B(p)) — B(A(y)) = AA (P)

ein: (Hp) = A(p) = 0, so kommt: A(B(g)) = 0, was meinen Satz beweist. „Satz. Unter den Lösungen der Gleichung (Hf) =0 ist es immer möglich, 2n — 1 von einander unabhängige homogene zu finden. „Es seien nämlich fı, .. -, fan _.ı ein System Lösungen. Nach dem Vorangehen- den sind dann auch B(f,),. . ., B(f,„_ı) Lösungen, das heißt, B(f,) läßt sich als Funktion von den f ausdrücken:

B(f)= P.(ı» .. sn

Dies vorausgesetzt versuchen wir, eine Funktion F(fj,..., fen _.ı) zu finden, welche homogen, etwa von erster Dimension ist. Nach dem Theoreme der homogenen Funk- tionen muß dann F folgender Gleichung genügen: B(F) = F oder entwickelt:

oF eF >| en ee er. ofı (fi) R BJ ARE (fan 1) Durch Einsetzung von B(f,) = B;(fıs - - fan) kommt also: OF öF Inh RR LTE Di vecher m 37.22, Pın-ılf--.) u welche Gleichung bekanntlich 2n — 1 Lösungen besitzt: F,,...,F,„_ı- Eine jede

derselben ist homogen und genügt (Hf) = 0, welche Gleichung also 2n — 1 homo- gene Lösungen besitzt.

„Hauptsatz. Die Polargruppe einer homogenen Gruppe ist homogen.

„Sei h,,...,h, eine homogene Gruppe. Ich setze:

nee Dr 5 — Bf).

1) Bd. III d. Ausg., S. 66. (A.d. H.)

518 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 78—84 Alsdann ist: AN=0,..,4,N)=0

ein vollständiges System mit 2n — r Lösungen fj, . :., fan _r. Ich bemerke hier zu- nächst, daß immer B(f,) eine Lösung unseres vollständigen Systems ist. Also:

B(f)= D,.(hı; .. >lancr)

Dies vorausgesetzt, versuchen wir, eine Funktion F(fj, -.., fan _r) zu finden, welche homogen etwa von erster Dimension ist. F muß dann folgender Gleichung genügen: B(F) = F, oder entwickelt:

durch Einsetzung von es —=6®, n = ns kommt also: cF D,lfı, > Far : ee —F, of Ofen-r

welche Gleichung bekanntlich 2n — r Lösungen besitzt. Wir sehen also, daß die Polargruppe von (h,,...,h,) 2n —r homogene Funktionen enthält, das heißt, sie ist homogen.

„Mein Ausgangspunkt ist gewissermaßen eine Ausdehnung des Poisson- Jacobischen Theorems.

„Laß mich z. B. die Gleichung der Mechanik betrachten:

pı+'"+9, > ER E

Dieselbe ist homogen, und zwar sowohl hinsichtlich p,,.. ., Pa3„, wie hinsichtlich der x. Kennt man also ein beliebiges Integral y(x,,..., p) des betreffenden kanoni-

schen Systems, so sind: 0Y 0Y 32 Öpr und: PX? dx,

auch Integrale. Man kann offenbar in dieser Weise aus einem Integral unter Um- ständen alle herleiten.‘

Hier schließt sich an, was Bd. III d. Ausg., S. 676, 2. 13££. abgedruckt ist.

Der neue Beweis beruht also auf der Bemerkung, daß einerseits jede homogene Funktionengruppe die infinitesimale Transformation B(f) gestattet und durch diese Eigenschaft als homogene Funktionengruppe gekennzeichnet ist!), und daß andrer- seits jede Gleichung (Hf) = 0, wo H homogen in den p ist, ebenfalls B(f) gestattet. Daraus folgt ja, daß auch das vollständige System, das die reziproke Gruppe defi- niert, die infinitesimale Transformation B(f) gestattet (vgl. hier Abh. III, S. 195 bis 197). |

In einem Briefe, den Mayer am 19. 4. 1874 erhalten hat, erwähnt Lie, daß sich hieraus sofort eine Verallgemeinerung des Begriffshomogene Funktionen- gruppe ergibt:

‚Meine Invariantentheorie der homogenen Funktionen läßt sich unter folgen- dem Gesichtspünkt verallgemeinern: Eine homogene Gruppe (h,,...,h,) ist da-

1) Man beachte, daß in der Abh. VIII von Bd. III noch nirgends der Satz aus- gesprochen ist, daß eine homogene r gliedrige Funktionengruppe als homogen da- durch gekennzeichnet ist, daß, wenn u,,..., u, unabhängige Funktionen der Gruppe sind, stets auch die Funktionen:

Wale. k=l,... >'p ap ( r)

der Gruppe angehören. (A. d. H.)

Homogene Funktionengruppen 519

durch charakterisiert, daß sie eine gewisse infinitesimale Transformation gestattet; alsdann gestattet die Polargruppe auch dieselbe.

„Man kann nun überhaupt eine gewisse Zahl infinitesimaler Transformationen zu Grunde legen und sich auf solche Berührungstransformationen beschränken, welche die Eigenschaft besitzen, die betreffende infinitesimale Transformation in- variant zu lassen ... doch dies wird wohl unklar.‘‘!)

S. 80, Z.17f. Eigentlich müßte es heißen: „Die Polargruppe einer homogenen Gruppe und die von den ausgezeichneten Funktionen gebildete Gruppe sind beide homogen.“

S.80, 2.5 v.u.bis 81, Z.5. Lies ursprünglicher Beweis, den Mayer geändert hat, lautete so:

„Denn setze ich: W.= H —BHfCa,,.-., Du) und betrachte dabei W als Funktion von H,z,,...,P„, So nehmen unsere Glei- chungen die Form an?): Beh oW aAm=(kkKEM=0, Bm De B- sig” 0. k=1 Pr

Demzufolge gilt auch die Gleichung:

mn oder durch Ausführung: ( W, > Pk er ) = 0, k

welche Gleichung offenbar mit:

kn N H, > Pr Kae —=( äquivalent ist.‘ _ OPr

In der Tat ist:

1... 1...” SI5K 3W @K 0W ®K 0W A(B(W)) — =— ara a TRETEN. weh am, Apr x (Gp, Op 02, 02,0pr 27.)

RIES (Iinse, w) + (KW).

S.81, 2.7. Das Wort: „Beweis“ hat Mayer zugefügt.

8.82, 2.15 v.u.bislv.u. Vgl. Bd. IIId. Ausg. $S.74, Nr.5. 8.648, Z.1v.u. Durch die Verwendung des Begriffes vollständige Lösung (hier $. 31) wird jetzt alles etwas klarer.

S.83, 2.5. Das „nämlich“ hat Mayer zugefügt.

S.83, 2.14 v. u. Ebenso hier das Wort: „Beweis“.

S. 84, 2.1-—3. Vgl. dazu Abh. II, S. 98—102.

S.84, 2.3—8. Es kommt offenbar alles an auf das Verhalten der Determinante:

(NN)... (NIN,) (N,H)

|... (NN, (NH) | (HN)) ... (HN,) (HH) |

1) Was Lie meint, findet man in Bd. II d. Th.d. Trfsgr. (1890) in Kap. 16 aus- einandergesetzt. Aus demselben Briefe: S. 471, Z. 24ff., Bd. V, S. 599—605. 2) Lie schreibt: A(W) = (WK). (A.d. H.)

520 Anmerkungen zu Abhandlung I, S. 84—93

und der Matrix, die aus deren r ersten Spalten besteht. Hat die Determinante den Rang r+ 1— m, so gibt es gerade m unabhängige ausgezeichnete Funktionen. Diese sind alle von nullter Ordnung oder nicht alle, je nachdem die Matrix den Rang r—m oder den Rangr + 1 — m hat.

S. 84, Z.10f. Es verdient erwähnt zu werden, daß man durch eine Quadratur erreichen kann, daß diese ausgezeichnete Funktion homogen von erster Ordnung wird.

$ 23, S. 84—87 entspricht Bd. III d. Ausg., S. 86—89.

S.85, 2.1—5. Verschwinden alle f,, so erhält man eine endliche Gleichung für N.

S. 86, 2.7. Das Wort: ‚Beweis‘ hat Mayer zugefügt.

S.86, 2.7 v. u. Lie hatte geschrieben: ‚‚wie möglich‘, wofür Mayer: ‚als möglich‘ gesetzt hat.

$ 24, Nr. 49, 50, S. 87—90 entsprechen Bd. III d. Ausg., S. 89—92.

S.88,2.8v.u. Das Wort „Beweis“ ist von Mayer zugefügt.

S. 90£., Nr. 51 hat Lie jetzt neu hinzugefügt.

S. 90, 2.14—8v.u. Da die Sätze des $14 nur mit gewissen Einschränkungen richtig sind, gilt das selbstverständlich auch von diesen Behauptungen.

S. 90, Z2.7—5 v. u. Bei der Bestimmung der ausgezeichneten Funktionen kann eine Erniedrigung der Integrationsoperationen eintreten, braucht es aber nicht (S. 84). Hat man aber die ausgezeichneten Funktionen bestimmt, und wendet man nun das Verfahren $. 57, 2.6 v.u. bis 58, 7.14 an, so kann man die dort auftretenden Funktionen w,, w,,.... homogen von nullter Ordnung wählen und erreicht dadurch jedesmal eine Erniedrigung der erforderlichen Integrationsoperation um eine Ein- heit. Man braucht also nur noch die Operationen: 2q— 3,29 —5,...,3,1.

Dabei braucht nicht vorausgesetzt zu werden, daß die ursprünglich vorgelegte Form der Gruppe aus lauter homogenen Funktionen besteht. Man könnte sich daher die Frage vorlegen, wie man in diesem allgemeinen Falle verfahren muß, um ein möglichst großes Involutionssystem auszuscheiden, das aus lauter homogenen Funk- tionen besteht. Wir wollen aber darauf nicht eingehen, weil sich Lie nachher (S. 91, Z7.13—10 v. u.) doch auf den Fall beschränkt, wo die Funktionengruppe von vorn- herein durch lauter homogene Funktionen bestimmt ist.

S. 90, Z.8—11. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 649, 2.16 v.o. bis 9v. u.

S.90, 2.4 v. u.—91, Z. 13. Ausführlicher in Bd.II der Th. d. Trfsgr., Kap. 12, S. 227—232. Dort wird auch auf $. 232f. auseinandergesetzt, inwiefern durch diese Entwickelungen die hier auf S. 78, Z2.6—9 aufgestellte Behauptung zu Recht be- steht.

$ 25, S. 91—93 entspricht Bd. III d. Ausg., S. 93—95. Man vergleiche übrigens auch S. 64 ebd.

S. 92, Z2.1—3, 11f. Lie hat später erkannt, daß die Bestimmung der ausge- zeichneten Funktionen gar nicht nötig ist. Vgl. Bd. III d. Ausg., Abh. XVIII (1877), S. 230—284 und hier Abh. III (1877), S. 178—187.

S. 92, Z.4—6. Vgl. Bd. III d. Ausg., 8. 649, 2.2 v.u. bis 650, 2. 10. Dabei ist noch zu bemerken, daß die Lösungen N N . nicht homogen von nullter Ordnung zu sein brauchen.

S. 92, 2.16. Lie setzt stillschweigend voraus, daß H,,...,‚H,_m» Na+ıı ::» ga+m von einander unabhängig sind.

S. 92, 2.18 bis93, Z.11. Vgl.Bd.III d. Ausg., S. 94, B und S. 650, Z.13—20. Der Fall, daß die letzte der Gleichungen (A) eine Folge der übrigen ist, wird in Bd. III a.a. O. nicht erwähnt, worauf ich leider auch in meiner Anmerkung auf S. 650 nicht

hingewiesen habe. Erwähnt sei noch, daß die Zahl q’, S.650, 2.17, selbstverständ- lich =4 (r — m) ist.

a+m>qa+m+1*°*

N

Hom. Gruppen. — Verallg. des Poisson- Jacobischen Theorems 592]

Das in Bd. HI d. Ausg., S.94, 2.2 v.u.bis 95, Z.4 Gesagte (vgl. ebd. S. 650, 7.21—29) hat Lie jetzt unterdrückt.

$ 26, S.93— 9%. Ausführliche Darstellung der Entwickelungen in Bd. III d. Ausg., Abh. VII (1873), 8. 62f., Nr.18 und der Andeutung ebd., Abh. VIII (1873), S. 95, 2.2, 1v.u.

Am 11.3.1873 schrieb A. Mayer aus Leipzig an Lie, er sei durch Referate für das Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik längere Zeit vom Schreiben abgehalten worden. Er habe sich mit einer ganzen Anzahl ihm noch unbekannter Abhandlungen beschäftigen müssen. „Unter diesen Abhandlungen nun fand ich eine, die mich trotz ihrer Kürze doch mehrere Tage in Anspruch genommen hat, weil ich, die betreffende Rechnung nicht verstehend, mir zuerst gar nicht klar wer- den konnte, ob der aufgestellte Satz richtig sei oder nicht. Der Satz selbst aber ist höchst interessant und wird auch Sie interessieren, daher teile ich Ihnen denselben hier mit, nachdem ich mich von der Richtigkeit des Satzes überzeugt habe. Er ist gewissermaßen eine Ausdehnung des Poisson-Jacobischen Satzes und läßt sich so aussprechen:

„Wenn a, = const.,... .,4,, = const.2k Integrale sind der 2n Differential- gleichungen: dp _ 26H dm_ _ öH dt a BER om

so ist vmmer auch (vorausgesetzt natürlich, daß man nicht identisch eine Kon- stante erhält): (1) > Ba Hl En RE aa} 09,094, 09, 0Ppı, OP, ein Integral dieser Differentialgleichung.

„Sie finden denselben inH. Laurent, Liouville J. II. serie, t. XVII, p. 422 bis 425.1) Laurent beweist den Satz selbst ausführlich nur für k — 2. Dieser Be- weis aber scheint mir, falls er nicht durch sehr grobe Druckfehler entstellt ist, fehlerhaft zu sein, und ich meinte daher zuerst, daß der Satz selbst falsch wäre. Angewandt ergaben sich aber immer richtige Resultate, und ich fand auch bald durch Abänderung einiger mir bei Laurent unverständlicher Schlüsse den ein- fachen Beweis.

„Für den Fall k = 1 geht der Satz in den Poisson- Jacobischen über. Ich vermute, daß derselbe überhaupt eine Folge des letzteren ist, das heißt, daß man durch ihn immer nur ein Integral erhält, welches man auch durch die Kombination der Integrale (a,a,) = const. erhalten kann. Dann aber müßte derselbe wieder ganz interessante Determinantensätze enthalten, es müßte sich nämlich zeigen lassen, daß die Determinantensumme (1) sich darstellen läßt als eine bloße Funktion der Elemente (a,a,).“

Gegen seine sonstige Gewohnheit beantwortete Lie diese Mitteilung sofort:

„Ich empfange eben Ihren Brief, der mir, wie immer, sehr willkommen ge- wesen Ist.

„Ihre Vermutung hinsichtlich des Laurentschen Satzes ist richtig. Meine Theorie der Gruppen gibt nämlich folgenden allgemeinen Satz:

„Satz. Seien vorgelegt drei Funktionen u, ‚Us, v von (214. ., Pn)- Wenn eine jede Funktion f, die: (uf) Trug 0, (usf) = 0 genügt, zugleich: (vf) = 0

befriedigt, so gehört v der von u, , u, bestimmten Gruppe an.

1) Die Arbeit hat den Titel: «Sur un thöor&me de Poissony und ist 1872 er- schienen. (A.d. H.)

522 Anmerkungen zu: Abhandlung I, II, S. 933—97

„Denn bestimmen u,, u, die Gruppe u, Us,..., u, so ziehen ja (uf) =:0, (u,f) = 0 das vollständige System:

WI, N 0,..., N 0

nach sich. Nun sollen alle Lösungen dieses Systems zugleich (vf) = 0 befriedigen. Alsdann muß (vF‘) eine lineare Funktion von (u,F'), (u,F),... ., (u,F') sein. Aber dies verlangt, daß eine Reihe Determinanten verschwinden, was geradezu sagt, daß zwischen u,,...,u,,v eine Relation stattfindet, das heißt, daß v der Gruppe U], ., u, angehört.

„Korollar. Kennt man zwei Funktionen u, , Us, welche:

(fu) —=0, (fu,) —=0

genügen, und findet man dann durch wrgendwelche!) Operationen, 2. B. Differentiation, Integration, weitere Funktionen v,,...,dy, welche (fv) = 0 geben, so gehören diese Funktionen derjenigen Gruppe an, die vermöge des Poisson-Jacobischen Theorems aus U, , U, hergeleitet wird.

„Das Poisson-Jacobische Theorem leisiet also alles mögliche hinsichtlich Gler- chungen f(&ı, - - - Pa) = 0.

„Enthält die Gleichung die unbekannte Funktion 2, so ist dagegen nicht diese Theorie früher völlig fertig. Meine zweite Abhandlung in Christiania, die ich eben redigiere?), beabsichtigt, eben diese Lücke auszufüllen.

„Ich zweifle im übrigen nicht, daß der Laurentsche Satz eine sehr einfache Konsequenz meiner Theorie vollständiger Systeme ist.“

Mayer erwiderte am 4. 4. 1873:

„Was den Laurentschen Satz betrifft, so weiß ich doch nicht, ob die Sache sich ganz so einfach verhält, als Sie meinen. Wenn allerdings die vier Lösungen Gı,Q@g,Q,, a, einer und derselben Gruppe angehören, dann ist wohl klar, daß auch

die Laurentsche Lösung: > Bar 0a, Ga, 00 — — 09 09x Opi OPr

derselben Gruppe angehören muß. Aber die Frage ist vielmehr die: Wenn a,, as, @;, a, nicht Glieder derselben Gruppe sind, ist dann notwendig die Laurentsche Lösung stets eine bloße Kombination der Lösungen: a,, @g, Ay, 44, (Aida), . . ., oder kann sie unter Umständen auch etwas anderes liefern, als der Poisson- Jacobische Satz angewandt auf die vier Lösungen a,, Ga, 43,04?"

Lie antwortete um den 7.—10. April 1873°):

„Was zuerst die Laurentsche Sache usw. betrifft, so ist ohne Zweifel meine Theorie darüber korrekt. Sie findet sich angedeutet als Note?) zu meiner Abhand- lung, freilich noch in partikulärer Form. Die Verallgemeinerung geht von sich selbst. Es ist nur Gedankenlosigkeit, daß ich es nicht sogleich in allgemeinster Form ge- geben habe.

Zuerst: Sind a|,Q,,...,a, vorgelegte beliebige Funktionen, so erzeugen die- selben offenbar immer eine ganz bestimmte Gruppe: 41,49, . ++, Ag, dgzyıs +;

1) „Nur müssen diese Operationen sich selbstverständlicherweise nur auf u, und u, beziehen.‘

2) Bd. III d. Ausg., Abh. VIII. (A.d. H.)

3) Vorher geht das Bd. III d. Ausg., S.648, Z.7—10 Abgedruckte. (A.d.H.)

4) Bd. III d. Ausg., Abh. VII, S. 62f. (A.d. H.)

Verallgem. des Poisson-Jacobischen Theorems 523

Gg+r, welcher a,,...,0, angehören. Hier sind:

Gg+0 = (a;a,), eZr, iZg, kzq!)

Im übrigen geht alles, wie in meiner Note.‘ ?)

S. 93, Z.14—10 v. u. Lie hatte Levy statt Laurent geschrieben und es Mayer überlassen, den Satz zu formulieren. Die Zeilen 13—10 v. u. hat daher Mayer hinzugefügt.

S.94. Theorem XXIII. Es soll also für jedes F, das den Gleichungen: (F®,)=0,..., (F®,) = 0 genügt, auch (FIT) = 0 sein.

S. 94, 2.10—7 v. u. Die Worte: „und (Satz 55) ... ausdrücken läßt‘ hat Mayer hinzugefügt.

S. 95f. Theorem XXIV. Es soll also für jede homogene Funktion F', die den Gleichungen (F®,)=0,..., (F®,) = 0 genügt, auch (FIT) = 0 sein.

S.9%, Z.3—7. Sind nämlich N,,..., N, Funktionen nullter Ordnung in den Beziehungen (N,N,) = 0, und kennt man ! Funktionen H,,...,H,, die den Glei- chungen (N,H,.) = 0 genügen, so gehört jede Lösung von (N, F)=0,...,(N,F) —=0, die man finden kann und die von der besonderen Form von N,,..., N, unabhängig ist, der homogenen Funktionsgruppe: N, ,...,N,, Hı,..,,H,, H,,,,..-,H, an, die durch: N,,...,N,, Hı,...,H, bestimmt ist. Die einzigen invarianten Eigenschaften dieser Funktionengruppe sind aber: die Zahl ihrer ausgezeichneten Funktionen und die Zahl ihrer ausgezeichneten Funktionen nullter Ordnung.

S.96, Nr.55. Vgl. S.26, 2.5—3 v. u. Die Transformationsgruppe ist eine a-gliedrige Gruppe von homogenen Berührungstransformationen. Vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. II (1890), Kap. 20.

Der Umstand, daß Lie von vornherein Gruppen von Berührungstransforma- tionen betrachtete und sich nicht auf Gruppen von Punkttransformationen be- schränkte, ist von der allergrößten Bedeutung. Eben dadurch wurde Lie zu der Er- kenntnis geführt, daß die Zahl der Typen von Transformationsgruppen begrenzt ist. Vgl. Bd. V d. Ausg., S. 586, 2. 6—9 und mein Vorwort zu Bd. VI, S. XIILf.

Zu Abhandlung II, S. 97 bis 151.

Im Dezember 1874?) schreibt Lie an A. Mayer:

„Der Kellner in Düsseldorf behauptete, er hatte mich geweckt; ich bemerkte es jedenfalls nicht. Darum kam ich nicht zum Bahnhofe. Als ich hier ankam, war ich vierzehn Tage fortwährend mit der Einrichtung meines Hauses beschäftigt. Ich habe fortwährend daran gedacht, zu schreiben und Ihnen für die Zusammenkunft zu danken. Für mich ist diese Zusammenkunft in mehreren Punkten hinsichtlich meiner Arbeiten bestimmend gewesen. So zum Beispiel werden Sie in einer Arbeit, die ich eben drucke*), bemerken, daß ich versucht habe, meine alten Theorien synthetisch, wie ich sie fand, auseinanderzusetzen. Ich gebe eigentlich diesmal nur die verallge- meinerte Formulierung des Integrationsproblems, die Erledigung desselben und die erweiterte Cauchysche Methode, wie ich sie 1872 in den Göttinger Nachrichten) andeutete.

1) Die richtige Formulierung findet man hier auf S. 62. (A.d. H.)

2) Es folgt das Bd. III d. Ausg., S.704, 2.21 bis S. 705, 2.17 Abgedruckte und 8.648, Z.10—12, 12—16. (Anm. d. H.)

3) Es ist das der erste Brief nach der Düsseldorfer Zusammenkunft (hier S. 475 und Bd. V, S. 615).

4) D. Ausg. Bd. III, Abh. XII (1874). (A.d. H.)

5) Ebd. Abh. III, S.15 und IV, S. 25, III1 (1872). (A.d. H.)

524 Anmerkungen zu Abhandlung II, S. 97—108

‚Sie erinnern sich vielleicht, daß ich im Herbst 1873 daran dachte, meine Sachen von 1872 Frühling zu einer großen Abhandlung für die Math. Annalen zu machen.t) Da kamen die Transformationsgruppen. Nun aber kehre ich zu meinem alten Plane zurück. Ich denke also, zuerst sukzessiv 3—4 kleinere Arbeiten ın Christiania zu drucken und so alles zu einer Abhandlung für die Math. Annalen zusammenzu- fassen. Es ist noch mein Plan, alles gleichzeitig analytisch und synthetisch zu ent- wickeln (heute ist die Synthese überwiegend). Dadurch wird es mir leichter sein, die Beziehungen zu Ihren Arbeiten auseinanderzusetzen.

„Wenn Sie meine alten geometrischen Arbeiten durchblättern, werden Sie hoffentlich den Eindruck erhalten, daß ich gern zitiere. Gegenüber Ihnen habe ich ein schlechtes Gewissen. Das liegt aber daran, daß die verschiedenartige Form mich so sehr geniert. Doch fühle ich mich sicher, daß Sie einmal in der Zukunft auch in dieser Beziehung mit mir zufrieden werden.

„Unter anderem denke ich daran, in zwei bis drei Jahren ein Buch über partielle Differentialgleichungen zu schreiben.?) Hier kann ich ohne Kosten drucken. Mein Buch wird natürlicherweise schlecht redigiert; doch wird es in der Weise für andere möglich, meine Untersuchungen zu verstehen. Es ist etwas Verkehrtes, daß bei meiner Publikation jede Arbeit Sachen gibt, die in einer früher publizierten als be- kannt vorausgesetzt werden.

„Ich bitte Sie, zu versuchen, meine jetzige Arbeit zu lesen und zu kritisieren; freilich geht es noch langsam mit dem Druck.“

In den Briefen an Mayer ist von der geplanten Annalenabhandlung nicht weiter die Rede. Dagegen schreibt F. Klein am 9.6.1875 aus München an Lie:

„Aus Deinem Briefe®), den ich heute morgen erhielt, sah ich mit Vergnügen, daß Du bald mit der Annalenabhandlung fertig bist. Ich möchte Dich mit diesen Zeilen noch etwas antreiben, sie zu beschleunigen. Ich bin nämlich nicht nur gern bereit, sondern wünsche sogar, sie vor dem Druck etwas durchzusehen, und das kann ich, wenn ich sie bis Mitte Juli bekomme, noch vor meiner Hochzeit zu Ende führen (ich habe da gerade gute Zeit).

Ferner am 8.7.1875:

„Heute kam Deine Arbeit. Sie kommt mir soweit recht, als ich alles andere zur Zeit abgeschlossen habe. Schlimm ist nur, daß ich abgearbeitet bin und von Ge- danken keine Spur besitze. Ich bin im allgemeinen bereit, eine Note über Konnexe zu schreiben, sogar darüber eine Arbeit zu machen, wenn mir vernünftige Probleme aufgehen. Inzwischen habe ich eben Deine Arbeit durchlesen und bin eigentlich nicht sehr entzückt. Ich finde Deine Analyse (bei der ich an jeder Stelle den synthe- tischen Grundgedanken durchfühle) nach Vorgang Mayers zu unsymmetrisch. Doch scheint mir die Arbeit in sich so fertig, daß ich, abgesehen von einigen stili- schenWendungen, nichts ändern mag. Das sind so Anfangsansichten, vielleicht ändern sie sich noch.“

Sodann am 20.7.1875:

„Ich habe inzwischen den ersten Abschnitt Deiner Arbeit etwas durchstudiert. Ich hätte dazu im einzelnen sehr viel zu sagen. Hier einige Bemerkungen, wie man diese Dinge bei homogener Behandlungsweise darzustellen hat. Ich möchte Dich fragen, ob es der Mühe wert ist, dergleichen als Anhang zu Deiner Arbeit zu drucken, namentlich, ob es einen Fortschritt auch über Mayers Darstellung impliziert.

Es folgen Auseinandersetzungen über die Darstellung der Elemente, der Ele- mentmannigfaltigkeiten, der charakteristischen Streifen usw. in den homogenen

1) Vgl. die S. 470£. abgedruckten Briefstellen. (A. d. H.)

2) Vgl. Bd. III, S.694, 2.1—9; 8. 714, 2Z.20f.v.o., 2.10 v.u.— 8.715, 2.22, (A.d.H.)

3) Die Lieschen Briefe aus jener Zeit sind leider nicht erhalten. (A.d. H.)

Vorgeschichte von Abh. II 525

Konnexkoordinaten 2, ,..., Znz+ıs Us++-,4n 4,7, diean die Gleichung Zu,2,—0 ge- bunden sind.

Am 10. 10. 1875 schreibt Klein:

„Ich will... einmal wirklich versuchen, den oft beredeten Artikel über par- tielle Differentialgleichungen zu schreiben. Originell wird er nicht und soll er nicht sein, wenn er nur instruktiv ist. Ich bitte Dich, mir meinen letzten Brief mit den Formeln, wenn Du ihn noch hast, umgehend zurückzuschicken, ich muß die sonst noch einmal machen. Übrigens fühle ich mich unsicher, wie weit ich mit der Redak- tion komme; es gibt so sehr viele Sachen, die bestrebt sind, mich abzuziehen. Deine Arbeit ist jetzt beinah fertig gedruckt (drei Bogen sind fertig).

Offenbar hat Lie damals jenen Kleinschen Brief nicht zurückgeschickt. Am 27.1. 1876 schreibt dann Klein schließlich:

„Meine nächste Veranlassung, Dir zu schreiben, ist, daß Lindemann in der Ausarbeitung seines Buches!) jetzt an die Konnexe kommt. Wir wollen da, was ich im Laufe der Zeit über Berührungstransformation und gew. Differentialgleichungen zusammenschrieb, einfügen. Wird so aus diesen Sachen keine Arbeit von mir, wozu jetzt in der Tat kaum Aussicht ist, so werden sie doch der Welt zugänglich gemacht, und ich kann ruhiger an sie denken.“

Freilich fiel gerade die Darstellung der Berührungstransformationen in Linde- manns Buche sehr wenig zu Lies Zufriedenheit aus. Vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. III (1893), S. 530—532.

S.98, 2.5f. Nur Natani und Grassmann bilden in dieser Beziehung eine Ausnahme. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 658, 716.

S. 98, Z.14f. Mayer. Bd. III d. Ausg., S.587, Nr. I, S.435f.

S. 98, Z.17—21. Siehe die in Bd. III d. Ausg. auf S. 587 angeführte Abh. von Mayer: Nr. VI, VIa, VII, VIII, IX, X.

S. 99f. Den Beweis von Satz 2 hat Lie in dieser Weise geführt, weil er glaubte, so den Wünschen der Analytiker entgegenzukommen. Es ist aber eigentlich nicht ein- zusehen, warum er sich nicht darauf berief, daß 4A’(B’(f)) = A(Bif)) wird und B’(4’(f)) = B(A(f)), woraus die zu beweisende Gleichung viel kürzer und schließ- lich auch für die Analytiker befriedigender folgt.

S.99, 2.2,1 v.u. Bd. III d. Ausg., S.585, Bour Nr. II. Worauf sich die Er- wähnung von Cayley bezieht, habe ich nicht ausfindig machen können.

S.101, 2.11, 10 v.u. Jacobi, Abh. Nr. VI, Clebsch, Abh. Nr. IV, Bd. III d. Ausg. 8.586, 585. Aus Crelle Bd.60, S.35—39, 23—28, Werke Bd. V,S.39—43, 26—32 kann man den Satz herauslesen, der hier Jacobi zugeschrieben wird. Wirk- lich ausgesprochen ist er nicht.

S. 102, Z. 12—14. Vgl. Bd. III, Abh. IV (1872), S. 16f. und 628—630.

$1, S.102—108 entspricht Bd. III d. Ausg., Abh. XII (1874), S. 150—155.

S.102, 2.10, 9 v. u. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 670, 2. 26f.

S.103, Z.12f. Ebenso von jedem Systeme, das die Gleichungen p, =0,..., Pn = 0 umfaßt.

S.103, 2.3—1 v. u. Eigentlich müßte hinzugefügt werden, daß die ‚weiteren Gleichungen“ auch keine Relation zwischen z, 1; - - -, 2, liefern dürfen.

S.106, Z. 14f. Eigentlich wird nachher nicht das allgemeine Problem für den Fall n = 3 ausgesprochen, sondern die Zahl m (S. 102, 2.6 v. u.), die nicht kleiner als n sein kann, wird von vornherein auf den Wert: m—=n= 3 beschränkt. Die- selbe Bemerkung ist S. 107, Z. 19f. zu machen.

S. 108, 2.3. Das Wort Elementmannigfaltigkeit hat Lie später auf meinen Vorschlag durch den bezeichnenderen Ausdruck: Verein von Elementen oder kurz: Verein ersetzt. Vgl. übrigens Bd. III d. Ausg., S. 670, Z2.17—12 v.u.

1) Gemeint sind die Clebschschen Vorlesungen über Geometrie. (A. d. H.)

526 Anmerkungen zu Abhandlung II, 8. 108—114

S.108, 2.10—13. Hier hätte erwähnt werden sollen, daß jede M* in der M% _, enthalten ist, die sich an die zu ihr gehörige k-fach ausgedehnte Punktmannig- faltigkeit anschließt.

$ 2, S. 108—110 entspricht Bd. III d. Ausg., S. 155—157.

S. 108, Z.17f. Die Worte: „erster Ordnung‘, die in Bd. III d. Ausg., S. 155, Z.11 v. u. hinzugefügt sind, hat Lie wohl nur aus Versehen beim Abschreiben weg- gelassen.

S.108, Z. 21. Eigentlich brauchte man bloß zu verlangen, daß die Fin den p homogen sind (vgl. S.109, 2.4, 3 v. u.). Die Voraussetzung, daß sie homogen von nullter Ordnung sein sollen, wirdnur deswegen gemacht, weilspäter häufig Gleichungen von der Form: F'. = a, betrachtet werden.

S. 109, Z.4—1 v. u. Diese Anm. hat Lie neu hinzugefügt.

S. 109, 2.6,5 v. u. Auf S. 130—133 wird das allgemeine Problem auf die Inte- gration eines g’-gliedrigen Involutionssystems: p —hı = 0,...,Ppy — hy = 0 zu- rückgeführt, und dessen Integral-M,_, lassen sich auf Grund von Satz 21, S. 126 aus den Integral-M,,_„'_ı herstellen.

Von $3 ist der erste Teil, S. 110—112 fast ganz neu. Offenbar war Lie nicht zufrieden mit der Art, wie er in Bd. III d. Ausg., S. 157—160, die charakteristischen Streifen eingeführt hatte, er schlägt daher jetzt einen anderen Weg ein.

S.110, 2.8. Vgl. die S.101 angeführte Abhandlung von Jacobi, Crelle Bd.60, S.19, Werke Bd.V, $. 22.

S. 110, 2. 8—17. Es handelt sich hier natürlich um eine vollständige Lösung im Lagrangeschen Sinne. Die Elimination der p muß also eine Gleichung x, =

© (&1,...,%n_ı1, dis» »,@,„) liefern, die eine Lösung der Gleichung F', = a, mit den n —1 willkürlichen Konstanten: a,,...,0_1,441,-:--,@, darstellt, so daß die Gleichung F', = a, bei der Substitution:

ce» -o»

n=b, P=—Pny, er Pant n

identisch erfüllt wird, und zwar für jedes = 1,2,...,n. Diese n Gleichungen müssen also die Auflösungen der Gleichungen S.110, Z.11 sein.

S. 110, 2.7 v. u.—111, 2.9 v. u. Es ist eine Eigentümlichkeit von Lie, daß er manchmal andern Mathematikern mehr zuschreibt, als sie im Grunde geleistet haben. Dafür haben wir hier ein deutliches Beispiel.!)

In seiner direkten Begründung der Theorie der Berührungstransformationen (Bd. III d. Ausg., S. 587 unter Nr. VIII und IX) hat A. Mayer die notwendigen und hinreichenden Bedingungen entwickelt, denen die Funktionen Z,X,, P, von 2, Eis. 0, Ins Pıs +» -» Pn genügen müssen, wenn eine Gleichung von der Form:

ı VAR \ Luc® d2— DP.dX, = ol Spas)

D

bestehen soll. Was Lie hier macht, ist allerdings nur eine Anwendung des Mayer- schen Verfahrens auf den besonderen Fall, dß oe=1,Z=z und daß die X,, P, von 2 frei sind. Trotzdem ist es nicht richtig, zu sagen, daß hier nur der Mayersche Beweis reproduziert werde; denn Mayer hat eben diese besondere Anwendung nicht ausgeführt. Er hat allem Anscheine nach nicht bemerkt, daß erst hierdurch der Grundgedanke des Verfahrens in seiner wahren Einfachheit und Eleganz hervor- tritt. Bei ihm wird die Symmetrie und Übersichtlichkeit durch das Auftreten von 2 ganz wesentlich beeinträchtigt, was hier bei Lie fortfällt.

1) Ein anderes findet man in Bd. III d. Ausg., S. 220, Z. 5f., vgl. ebd. S. 685, Z.14—11 v. u., ferner hier S. 528, Z. 11—9 v. u.

Verallgemeinerung eines Jacobischen Satzes 527

Die einfachste Form der Darstellung hat freilich auch Lie noch nicht erreicht. Zu dieser gelangt man erst mit Hilfe der bilinearen Kovariante des Pfaffschen Aus- drucks: Z’p,dx,, die damals allerdings schon vor einigen Jahren von Lipschitz aufgestellt worden war, die aber erst 1877 von Frobenius für das Pfaffsche Pro- blem verwertet worden ist (s. Bd. IlId. Ausg., S.603). Benutzt man diese Kovariante, so kann man die n(2n — 1) Gleichungen S. 111, 2. 8f. in die eine:

1..% 1..®

(D >= (d®,öF,— dF,60,) —_ (dp.d2, — dz.öpr)

zusammenfassen.!) Ersetzt man ferner die wilkürlichen Größen öz,, öp, durch die Ausdrücke:

62. = U,,dt, 6p = — 0,88, wo U eine willkürliche Funktion ist, so kommt: 1.8 (II) SD [(UF,)d6,— (Ub,)dF,)=dU.

Hieraus geht zunächst hervor, daß die 2n Funktionen &,,/", von einander unab- hängig sind, und sodann folgen die Relationen:

Er (F,F,)=0,(&F,)=&,,(09,)=0,

wenn man U durch F,„ und &, ersetzt. Damit aber ist Satz 6 bewiesen.

S.112, Nr.6. Die Definition einer vollständigen Lösung einer Gleichung: F=0, die Lie auf S.163 von Bd. III d. Ausg. gibt, ist etwas anders gefaßt. Sie verdient im Grunde den Vorzug vor der jetzigen, weil sie in erschöpfender Weise feststellt, was unter einer vollständigen Lösung zu verstehen ist. Bei der jetzt ge- wählten Darstellung wird leider nicht ausdrücklich hervorgehoben, daß jede voll- ständige Lösung der Gleichung: F (z,,. . ., &n> Pıs - - -» Pn) = 0 die 00?" 2 Elemente dieser Gleichung in 00"! Elementmannigfaltigen von je 00°! Elementen zerlegt.

S.113, 2.1, 10. Der Ausdruck: „Integral des simultanen Systems‘ kann leicht zu Mißverständnissen Anlaß geben. Lie hat ihn später (s. Th. d. Trfsgr., Bd. I (1888), Kap. 5) durch ‚‚Integralfunktion‘ ersetzt.

$4, S. 114—117 entspricht Bd. III d. Ausg., S. 160, Nr. 6 bis S. 164, 2.5.

S.114, 2.3—1v.u. Diese Anmerkung hat Lie neu hinzugefügt. Die (2n — 1)- gliedrige Form, von der darin die Rede ist, muß eigentlich noch genauer beschrieben werden, sie hat nämlich die Gestalt:

1...2n—1

oldıs Yun) Yıldı ..., Yan-ı)dYrs k

WO %Ysa„ nur in dem gemeinsamen Faktor o, der Koeffizienten der dy, auftritt. Um uns klar : zu machen, was Lie meint, stellen wir folgende Betrachtungen an:

1) nn ist eigentlich auffallend, daß Lie die Gleichungen $.111, Z.11, genau wie Mayer, mit an sich gleichgültigen Größen: %,,2x,4;,,v, hinschreibt. Es hätte doch, wie übrigens auch schon bei Mayer, sehr nahe gelegen, für die y, und z,

zu setzen dx, und dp,., So Kuss die Gleichungen:

dF, -S) (dan + am). =.

die 2n folgenden nach sich zogen: 1.0.0 } VRR

EU ge an, I lar, 2% ai) a BAUT —40,5,,,) dan, (arg — a0) =— An.

Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd.IV. 34

528 Anmerkungen zu Abhandlung II, S. 114—127

Die Gleichung: F= a enthält 00??? Elemente: z,,..., &n> Pı!Pa:*** : Pn- Der Ausdruck: (2p,dx,): p, wird daher für die Elemente der Gleichung ein Pfaff- scher Ausdruck in 2n — 2 Veränderlichen. Nun können wir die 00?” 3 charakteri- stischen Streifen von: F = a durch Gleichungen von der Form:

DEN Te Be I DEE a a en

darstellen, wo r die unabhängige Veränderliche ist, die c, Parameter sind und 4 ein willkürlicher Proportionalitätsfaktor. Als Koordinaten für die Elemente von f = «a können wir daher die Größen: T,c1,...,C;3„_,s benutzen. In diesen Koordinaten wird:

..o.o.—

Shan ua > ne Cjyene, Cgn_s3)Ack,

weil das Glied mit dr verschwindet. Betrachten wir andererseits die c, als beliebige Funktionen von t, so geht aus S.114f. hervor, daß / Zy,dc, nur von t abhängt, nicht von tr. Demnach sind die Funktionen y, offenbar alle von r frei, und es wird:

1 1...2n—3 > ee ee Je rYnlan ee ander,

ee

eine Gleichung, die den Sinn der Lieschen Andeutung ins Licht setzt. | S. 116, 2.6—4 v. u. Der Schluß wird nur dann hinfällig, wenn für jedes Ele- ment der M,„_. alle Ableitungen F,»F5; verschwinden.

S.116, 2.7. Eigentlich müßte es heißen p,. = /(dW : dx), unter / einen be- liebigen Proportionalitätsfaktor verstanden.

S.116, Z.9. Das Wort ‚Charakteristik wird hier ganz unvermittelt ange- wendet, um den Ort der Punkte der Elemente eines charakteristischen Streifens zu bezeichnen, oder, wie sich Lie später ausdrückte, den ‚‚Punktort eines Streifens‘“.

S. 116, Z2.10f. Man erinnere sich, daß F homogen von nullter Ordnung in den p ist. In Bd. III d. Ausg., S.162, Z.16f. betrachtet Lie die Gleichung F=0, denkt sich aber auch da F als eine homogene Funktion nullter Ordnung.

S. 116, Z. 17£f. Hier müßte nach „enthält“ noch hinzugefügt werden: ‚die nicht von charakteristischen Streifen erzeugt ist.‘

S. 116, 2.10—7 v. u., 117, 2.1—8. Eigentlich ist die Darstellung in Bd. III d. Ausg., 8.163, 2.17 bis 164, 2.5 besser als die jetzige.

S.117, 2.12—27. Entspricht Bd. III d. Ausg., S.167, 2.9 bis168, 2.3. Zu ben merken ist, daß Mayer genau genommen diesen Satz ebenso wenig unmittelbar bewiesen hat, wie den Satz 6, S.110 (vgl. S.526). Der Satz ergibt sich aber sehr ein- fach, wenn man auf die Entwickelungen S.110f. zurückgreift. Die Gleichungen S.111, 2.10 v.u. zeigen nämlich, daß die Gleichungen 2.13 v.u. die Gleichungen 2.15 v.u. nach sich ziehen, daß also die Funktionaldeterminante der F,, ®, in Bezug auf die &;, pP; Sicher nicht verschwindet. Setzt man ferner:

dF; A > 00 Pr, Br= >05 k ! day Pk k Fr

so ergibt sich vermöge der Gl. $S. 111, 2.10 v. u.:

2 EURE | I..,9

> dF, z dF', B >> dF',

- a er Pr Gpy’ 1... 2a

> ber, 4 dd, B ) Zu > d®, p 7) j di dpr

Die charakt. Streifen. — Vollst. Lös. — Invsyst. 529

wo die rechten Seiten verschwinden, wenn die F, homogen von nullter Ordnung in den p sind und die ®&, homogen von erster Ordnung. Daraus folgt aber sofort das Verschwinden aller A, und B, und somit das Bestehen der Gleichung Eo,dF', = Zp,de,.

$. 117, Z.10—8 v. u. Lie denkt an die Sätze 64—66, 8. 87f. Aus diesen geht hervor, daß es zu F, ein ®, gibt, das homogen von erster Ordnung ist und die Glei- chung (®,F,)=1 erfüllt; dann ein F,, homogen von nullter Ordnung, das (F,F,) — (®,F,) = 0 macht, und so weiter.

$ 5, 8. 117—122 entspricht Bd. III d. Ausg., S. 164—167. In dem Abdrucke der Abhandlung, den mir Lie 1884 gab, hat er am Rande bemerkt: ‚Dieser Para- graph hat wohl nicht ganz die wahre Präzision. Dieser Paragraph ist mehr eine Skizze.‘‘ Man vergleiche meine Anm. zu Bd. III, S. 164, ebd. S. 672—674.

S.121, 2. 13—16. Eigentlich müßte es heißen: „und sind daher so beschaffen, daß die n—1 Gleichungen ... durch geeignete Wahl der 7 befriedigt werden können.“

S.121, 2.24, 25, 27f., 30, 32f., S. 122, Z.3 müßte überall „charakteristische Streifen‘ gesetzt werden. |

$ 6,7, 8.122 —130 sind eine sehr erweiterte und vervollständigte Umarbeitung von Bd. III d. Ausg., S. 168—172. Die Unterscheidung zwischen den speziellen In- volutionssystemen, die keine Relationen zwischen den z allein liefern, und den all- gemeinen, die das tun, wird jetzt streng durchgeführt, während a.a. O. in Bd. III der Ausdruck ‚spezielles Involutionssystem‘‘ noch gar nicht vorkommt, und nur auf S.172 plötzlich von ‚allgemeinen‘ gesprochen wird. Auch in Abh. XV (1875) von Bd. III steht die Terminologie noch nicht fest, und auf S. 219 wird in ganz anderm Sinne von allgemeinen und von speziellen Involutionssystemen gesprochen.

S. 122, 2.10—6 v. u. Vgl. Bd. III d. Ausg., Abh. VIII (1873), S. 66.

S.124, 2.3 v.u.bis125, 2.6. Die Darstellung ist im Vergleich mit Bd. III, S. 170, Z. 14—25 wesentlich verbessert.

S. 125, 2. 13—26. Vgl. S. 116, Z. 10—7 v. u., 117, 2.1—8.

S.125, Z.11—6 v. u. Ohne sich um die Form p, —h, =0, pa —h,=0 des Involutionssystems zu kümmern, um dessen vollständige Lösung es sich handelt, schreibt Lie die vollständige Lösung so:

&Ppı + e- &.Pı = Hp: eg Pa: Fa+ı> . .,„ Zn, 4ı> e. 0, 055

ELLE wo H homogen von erster Ordnung hinsichtlich p,,...,P,. Ich habe die vollstän-

dige Lösung so geschrieben, daß zwei ihrer Gleichungen nach p,, p, aufgelöst sind. Die Zahl q ist selbstverständlich S 2. Genau ebenso sorglos verfährt Lie in Bd. III d. Ausg., $.171, Z.1—4, vgl. ebd. S. 675, 2.14.

S. 126f., Nr.13. In Bd. III, S. 171f. begnügt sich Lie damit, diese Sätze für q = 3 auszusprechen.

$ 7, 8.127—130. In Bd. III, S. 172, Z.8—15 beruft sich Lie auf die Möglich- keit, das (q9-+ m)-gliedrige allgemeine Involutionssystem durch eine Eulersche Berührungstransformation von der Bd. III, S.159 betrachteten Form auf ein (q + m)- gliedriges spezielles zurückzuführen, also auf ein solches, das nach g+ m von den Größen p,,.:.,P„ aufgelöst ist. Jetzt benutzt er die Berührungstransformation S.129, 2.14, die eine erweiterte Punkttransformation ist und bei der die von den p freien Gleichungen: 2, — 9, = 0 die einfache Form: #’,=0,...,2”,—0 an- nehmen. Das transformierte System wird dadurch von p’,,...,p’, frei und seine Integration kommt auf die eines m-gliedrigen speziellen Involutionssystems in bloß n — q Veränderlichen hinaus ($. 129f.). Er zeigt also hier, daß die Integration eines allgemeinen Integrationssystems einfacher ist als die eines speziellen von der- selben Gliederzahl.

34*

530 Anmerkungen zu Abhandlung II, $. 128—136

S.128, 2.15 bis S.129, 2.8. Wesentlich bequemer wäre es gewesen, wenn sich Lie auf die Abhandlung in Bd. VIII der Annalen, hier S. 21, Satz 11 berufen hätte.

S, 129, Z. 2. Hier ist U eine beliebige Funktion von x/,... ., x), allein.

S. 129, 2.17. Man bekommt eigentlich:

1..9 Ar 9, 0=p =>y Be ie g+tu ® x gta j OL, ru ’ ’ ’ oo, nen TEEN Tn»Pı> “3 a yatm+l1

$ 8, S. 130—133 entspricht Bd. III d. Ausg., S. 172—174.

S.130, 2.8—1v. u. Vgl. hier Abh. I, S.13, 2.5—1v.u. und Bd. III, Abh. VII (1873), 8. 36, 2.2, 1 v. u., 37, 2.15—13 v. u., 8.645, 2. 28.

S.131, Satz 24. Vgl. Bd. III, S. 675, 2. 13—27.

S.131, Z2.14—16. Vgl. Bd. III, S.172, 2.2—1.v. u. und $.596, 604ff. Er- wähnt sei noch, daß die singulären Elemente einer Gleichung F = 0, die in den p homogen ist, durch die Gleichungen:

F =0,..,#,, = F,,:°:Fo, > Pi:!**"!Pn definiert sind. Für eine singuläre Integral-M,_, der Gleichung: F, = 0 reduziert sich daher die Gleichung: (F,F,) = 0 auf:

Sr ni

und ist somit immer erfüllt, auch wenn die Integral-M,_, die Gleichung F, = 0 nicht befriedigt.

S.132, 2.2, 1 v. u. Diese Anm. hat Lie neu hinzugefügt. Vermutlich hat er sagen wollen: „also haben auch die vorgelegten Gleichungen keine gemeinsame Integral-M,,_,, wenigstens in dem früher definierten Sinne, das heißt, wenn man von dem Falle absieht, daß eine singuläre Integral-M,, _, einer der Gleichungen zu- fällig die übrigen befriedigt.‘

S.133, Z. 16—14 v. u. Die Integration des Involutionssystems ist auf S. 126f. auf die Integration des (9 + 1)-gliedrigen vollständigen Systems zurückgeführt, das die charakteristischen M,„ bestimmt. Die Integration dieses vollständigen Systems aber läßt sich nach S. 100f. dadurch bewerkstelligen, daß man nach ein- ander gewisse lineare partielle Differentialgleichungen 1. O., also gewisse simultane Systeme integriert.

$ 9, S. 133—136 entspricht Bd. III d. Ausg., Abh. XV (1875), S. 208—210.

S.134, 2. 11—16. Vgl. ebd. S. 684, Z. 9—28.

S.135, 2.1 v. u. Vgl. ebd. S. 684, 2.16, 15 v. u. und hier S. 108.

S. 136, Z. 9—6 v. u. Für q = 2 hat man hier einen besonderen Fall von S. 125, 2. 13—16.

$ 10, S.136—142 entspricht Bd. III d. Ausg., S. 211—216. Vgl. auch ebd. Abh. XXI (1877), 8. 332—835. In meinen Anmerkungen, Bd. III, S. 684f., habe ich mich begnügt, einzelne Punkte der Lieschen Darstellung zu erläutern. Jetzt aber glaube ich, in der Lage zu sein, die begrifflichen Gedanken vollständig deutlich zu machen, die der Lieschen Zurückführung eines Involutionssystems auf eine Gleichung zu Grunde liegen.

Es sei:

(1) Ye Tel Bu Dis ee RR RR,

ein g-gliedriges Involutionssystem von der hier betrachteten Art; die f,, also homo-

Zurückführ. eines Involsyst. auf eine Gleichung 531

gen von1.0.in py+1> - » Pn, und die Größen z,, p, die Koordinaten des Elementes, das aus dem Punkte z,,..., 2, und aus der hindurchgehenden E,„_;:

Dec

Ip — z,)=0

y

besteht. Wir können und wollen dabei voraussetzen, daß sich die f,. in einer gewissen

Umgebung des Wertsystems: x°,..., 20, p%4ı, - - -, PA regulär verhalten, wo PP1,-. », p% nicht sämtlich verschwinden. Das Involutionssystem (1) ordnet jedem Punkte z,,.. ., 2,00"9-1 Elemente

zu, deren E„_, durch den Punkt gehen. Denken wir uns durch den Punkt eine E„_g,;,ı von allgemeiner Lage gelegt, so werden auf dieser von den eben erwähnten oor=4-1FE, _,ebensoviele E, _ ausgeschnitten. Betrachten wir daher eine (n—q-+1)- fach ausgedehnte Punktmannigfaltigkeit M„_,,;. und in jedem ihrer Punkte die berührende E„_..1; 30 bekommen wir, wenigstens im allgemeinen, jedem Punkte der M„_g.1 °0"”9=! hindurchgehende E,„_, zugeordnet, die zusammen mit dem Punkte ebenso viele Elemente des (n — q + 1)-fach ausgedehnten Raumes M,

n—qa+l bestimmen.t) Unser Involutionssystem liefert somit in diesem Raume im ganzen:

ooN-a+tı+n -q4-1 — oo2{N—-Q

Elemente, die offenbar eine partielle Differentialgleichung 1. O. in diesem Raume darstellen, und zwar eine Differentialgleichung im gewöhnlichen Sinne, also eine Gleichung, die nicht bloß die n—q-+- 1 Punktkoordinaten des Raumes M,„_a+ı enthält.

Um diese begrifflichen Überlegungen in Formeln umzusetzen, denken wir uns die Ma; unter Einführung einer Hilfsveränderlichen z durch Gleichungen von der Form:

(2) LE = Prl%,2arır +, 2) (k=1,...,9 dargestellt, wo sich die f, in einer gewissen Umgebung des Wertsystems: s=0,.,.h1 = Un. ni,

regulär verhalten. Wir können dann z, 2,41; - : -, 2, als Punktkoordinaten auf der M„_a,+, benutzen, und, wenn wir die Bedingung der vereinigten Lage für die Ele- mente der M„_a3ı So schreiben: pdz+ p,,ıdz, 514 "+ Pp)dz,= 0, werden die Größen 2,%441> + + +, Zn» Ps Pa+ı> +: -» Pm die Koordinaten dieser Elemente. Nun wird vermöge (1), (2):

n 1. ..Nn—q

1.43 q 1 pda, = DIfrldpr + I pa+sd2a43, i J

k

wo die Substitution (2) durch [ ] angedeutet ist. Setzen wir daher:

1...9 1:9

} O px EPx 3 - > en, = ; Be en j=1,..,n0—09), (3) p - fr] pr Pa+s5=Pe+i tr - res U=1 9) so kommt:

l...Q 1.127 (4) Spdz=pda+ I parsdrars,

i j

1) Als Element eines beliebigen r-fach ausgedehnten Raumes, der eben oder auch krumm sein kann, bezeichnen wir mit Lie die Figur, die bestimmt ist durch einen Punkt dieses Raumes und durch eine ebene Mannigfaltigkeit von 00”? unend- lich benachbarten Punkten.

532 Anmerkungen zu Abhandlung II, S. 136—142

und durch Elimination von p,.1,-- -, P„ erhalten wir aus (3) auf der M,„_-a;ı eine partielle Differentialgleichung 1.0. von der Form: p=F(z, 2,11: ::, 2%» Paris +» Pn), woF offenbar homogen von 1. O.in den p, ‚;ist.!) Unser Involutions- system (1) liefert also wirklich auf jeder M„_„,. von der Form (2) eine partielle Differentialgleichung 1. O. im gewöhnlichen Sinne des Worts. Die Elemente dieser Differentialgleichung sind innerhalb eines gewissen Gebietes eindeutig umkehrbar bezogen auf alle die Elemente des Involutionssystems (1), deren Punkte auf der Ma; Hegen.

Zwei unendlich benachbarte vereinigt liegende Elemente des Involutionssystems, deren Punkte auf der M,_... liegen, liefern augenscheinlich zwei unendlich benach- barte vereinigt liegende Elemente der M,„_,„;.-. Hat man einen beliebigen Integral- verein?) des Involutionssystems, und enthält dieser Verein eine kontinuierliche Schar von Elementen, deren Punkte auf der M„_,.. liegen, so bildet der Inbegriff dieser Elemente auch einen Integralverein, dem augenscheinlich ein Integralverein der Gleichung: p = F entspricht.

Insbesondere werden die charakteristischen M, des Involutionssystems er- halten, wenn man das (qg + 1)-gliedrige vollständige System:

3...0209 eo 1 —h,P)=0 R=1..,9 > ee) (1’) (Pr — fr; ®) Pen

in den 2n—q Veränderlichen z,,...,%>Pa+ı»-:-,Pn bildet und dessen 2n —2q —1 Lösungen gleich willkürlichen Konstanten setzt. Aber dieses voll- ständige System ist nach ®, ,...,®,, auflösbar, und seine Lösungen sind infolge-

dessen unabhängig in bezug auf @,,1;---,2„, und n— q—.1 unter den Größen Paris: ++»Pm: Demnach enthält jede charakteristische M, im allgemeinen oo! Ele- mente, deren Punkte auf der M„_... liegen; sie liefert mithin einen Integralverein M, von oo! Elementen der Gleichung: p =F.

Endlich erinnern wir uns, daß zwei unendlich benachbarte charakteristische M,, die durch zwei unendlich benachbarte vereinigt liegende Elemente des Involutions- systems gehen, die Eigenschaft haben, daß jedes Element der einen mit jedem un- endlich benachbarten der andern vereinigt liegt (Satz 20, S. 126). Legen wir daher diese beiden M, durch zwei unendlich benachbarte vereinigt liegende Elemente, deren Punkte der M„_,... angehören, so erhalten wir auf dieser M,„_,;. zwei un- endlich benachbarte Integralvereine M, der Gleichung: p = F‘, bei denen jedes Ele- ment des einen mit jedem unendlich benachbarten Element des anderen vereinigt liegt. Daraus geht aber hervor, daß den 00?” ?9-1 charakteristischen M, des In- volutionssystems die 0o0??=?2-1 charakteristischen Streifen der Gleichung: p = F entsprechen.

Bei diesem Schlusse wird allerdings benutzt, daß die charakteristischen Streifen durch die eben erwähnte Eigenschaft als solche gekennzeichnet sind, was Lie hier nicht ausdrücklich beweist. Jedoch läßt sich das hier leicht analytisch begründen, ebenso wie die nachher gemachten begrifflichen Betrachtungen. Vgl. übrigens Bd. III d. Ausg., S. 598.

Es leuchtet ferner ein, daß jeder Integral-M,_, des Involutionssystems, die von 00”4-1 charakteristischen M,„ erzeugt ist, eine Integral-M,_, der Gleichung p = F entspricht?) und jeder vollständigen Lösung des Involutionssystems eine vollständige Lösung dieser Gleichung.

1) Wir setzen dabei voraus, daß die p, .,;füre=0, 2,15 = Mqa+3 Pax; = Pati nicht alle verschwinden, was immer erreicht werden kann.

2) Der Bequemlichkeit und Deutlichkeit wegen benutze ich diesen Ausdruck.

3) Man vgl. hierzu die Anm. S. 137, Z.1 v. u., die Lie neu hinzugefügt hat.

Zurückführ. eines Involsyst. auf eine Gleichung 533

Nun liefert uns jede M„_, auf der M„_,.ı eine vollständige Lösung des In- volutionssystems. Jeder Punkt der M,„_. enthält nämlich 00” "2-1 Elemente des Involutiosnsystems, die einen Verein bilden, und durch jedes Element dieses Ver- eins geht nur eine charakteristische M,„. Legen wir daher durch alle Elemente des Vereins die hindurchgehenden charakteristischen M,„, so finden wir eine Integral- M,„_.ı des Involutionssystems, und wenn wir das für jeden Punkt der M,_, machen, bekommen wir 00” Integral-M,, _, , die alle charakteristischen M, des Involutions- systems umfassen und daher eine vollständige Lösung dieses Systems bilden. Die entsprechende vollständige Lösung der Gleichung: p = F erhalten wir, wenn wir in jedem Punkte der M„_, alle hindurchgehenden 00” "271 Elemente auf M„_.:ı suchen, die der Gleichung: p = F genügen, und jedesmal durch alle diese Elemente die hindurchgehenden charakteristischen Streifen von: p = F legen.

Statt der einen M„_,y.;., die wir bisher benutzt haben, nehmen wir jetzt eine ganze Schar von oo®=1M,_,.. und setzen voraus, daß diese M„_,., alle durch die vorhin betrachtete M„_, gehen und den Raum z,,..., 2, ausfüllen, so daß inner- halb eines gewissen Gebietes jeder Punkt dieses Raumes einer und nur einer unserer M,„_.a.., angehört. Dann erhalten wir auf jeder der M„_,.. eine partielle Differen- tialgleichung: p = F. Die 00?" 2-1 Elemente des Involutionssystems werden inner- halb eines gewissen Gebietes eindeutig umkehrbar bezogen auf die oo@=1+2n 24 Elemente dieser 00%! Differentialgleichungen. Jeder Integral-M,_, des Involu- tionssystems, die durch einen Punkt der M„_. bestimmt wird, entspricht in jeder M„_.a. eine Integral-M,,_, der darin entstehenden Differentialgleichung und zwar die Integral-M,„_,, die auf der betreffenden M„_,;, durch denselben Punkt der M„_.. bestimmt wird.

Denken wir uns daher die Differentialgleichung: p = F integriert, die außer den Veränderlichen &, 2,;1; - - -, 2, noch g— 1 Parameter enthält, so können wir für jede der 00°! Differentialgleichungen die Integral-M,,_, aufstellen, die durch einen beliebigen Punkt der M„_, bestimmt wird. Die Elemente des Involutions- systems, die den 007=1+" 4 Elementen dieser 00°”! Integral-M,,_, entsprechen, bil- den eine Integral-M,_, des Involutionssystems. Führen wir das für alle Punkte der M„_. aus, so erhalten wir eine vollständige Lösung des Involutionssystems, dessen Integration hiermit auf die einer einzigen partiellen Differentialgleichung 1. ©. zu- rückgeführt ist mit n — q—+ 1 Veränderlichen und qg — 1 Parametern.

Um eine Schar von 0o0°"1M,_...ı von der verlangten Art zu erhalten, wählen wir zunächst eine M,„_, von der Form:

2%. = XrlFarı5 : - + Zu) (k=1,...,9)

und denken uns auf jeder M„_.,1 außer den Koordinaten 2, ,1;-- -, 2, noch eine Koordinate x, die so beschaffen ist, daß x = 0 die M,,_, liefert. Dann können wir die M„_g +1 zum Beispiel in der Form:

(5) = aller HF YrlR ri ins er N) ke.)

annehmen. Wir müssen nur dafür sorgen, daß diese Gleichungen nach z, c1, . - »,C,_ı auflösbar und daß die früher gemachten Voraussetzungen erfüllt sind.

Wir wollen jetzt noch die vorhin begrifflich abgeleiteten Sätze analytisch be- weisen und in gewisser Beziehung vervollständigen.

Die Gleichungen (5) können wir als eine Punkttransformation auffassen, bei der 2441, +, 2, ungeändert bleiben, während z,,...,2, durch z2,c1,...,6,_ı ersetzt werden. Diese Punkttransformation erweitern wir durch Hinzunahme der Veränderlichen: p,7,,...,%4_1> Paxıs +++,P, 50, daß eine Transformation ent- steht, vermöge deren:

1...8 1...9—1 1...n—q (6) Zpdn=pde+2 der +2 Parsdzgry

534 Anmerkungen zu Abhandlung II, S. 136—142

wird, also mit anderen Worten: eine homogene Berührungstransformation. Wir haben mithin zu (5) die Gleichungen:

f 2 BR, p= DaValla ir. .n On ar a); k 1.20 (5) 4 = OYr 7, EN a > 1% 6 7 Pa+st (a Er +, 9e (j=l,...,n-9) "Dr

hinzuzufügen, die unter den gemachten Voraussetzungen sicher nach pı,...,Pn auflösbar sind.

Setzen wir in (5’) p, = f;, so erhalten wir Gleichungen, die angeben, wie die Elemente des Involutionssystems (1) bei unserer Berührungstransformation trans- formiert werden. Eliminieren wir dann noch p,,1;:-:--;P„ und vermöge (5) auch %1s +. +, &., SO bekommen wir die neue Form, die das Involutionssystem (1) in den neuen Veränderlichen annimmt:

PESRTE 0... Reed

url, 0 aan rer ar a) et),

und es ist nach Abh.I, S. 21, Satz 11 klar, daß die Gleichungen (7) ebenfalls ein q-gliedriges Involutionssystem bilden. Insbesondere ist offenbar:

(8) p —E 469 Cı; 0.9, ir Mas eg Ins Parı> eig 27;

wenn man C1,...,C,_ı als Parameter auffaßt, diejenige partielle Differential- gleichung 1. O. auf der M„_a,+ı (5), die in dem früher erklärten Sinne dem Involu- tionssysteme (1) entspricht. Als Koordinaten der Elemente auf dieser M,_.+ı dienen dabei die Größen: &, 2,41,» Ins P» Parıs »--»Pn. Deuten wir die Sub- stitution (5) durch das Zeichen [] an, so bestimmen die Gleichungen:

2 p = him,

Pa+j ul Ex en)

O8 +;

(7)

[

(9) \

(j=1,..,n—9) zusammen mit (5) die in einem gewissen Gebiete eindeutig umkehrbare Beziehung, die zwischen den Elementen der Gleichung (8) und allen den Elementen des Involu- tionssystems (1) besteht, deren Punkte auf der M„_a+ı (5) liegen. Vermöge unserer Berührungstransformation (5), (5°) wird augenscheinlich:

1... Ze Mu=h—F,

wo man sich links die y, durch z,&,,...,2, ausgedrückt zu denken hat. Nach S. 21, Satz 11 kommt daher:

1.9 (10) (Sinti (2% —%x)» 0). „Fı@w—F, 9),

Zurückführ. eines Involsyst. auf eine Gleichung 535

wo der Klammerausdruck rechts in bezug auf die Veränderlichen z, c,, 2,459, 7%; p,.; zu bilden ist. Die Funktion & soll dabei bloß von 27, .. ., Zn, Pa+ır > Pn abhängen, sie ist also, ausgedrückt durch die neuen Veränderlichen, von p frei. Schreiben wir dann die letzten Gleichungen (5’) folgendermaßen:

1:20 >’ OR eWEN- =Pa+j3— - (Pr Der nr Re) Par; so erkennen wir, daß die p, ,; so darstellbar sind: Pa+3 = ®g+3 (8 C13 ++ +» Cg- 19 Tg+ı9 > Uno Fe AN

daß also ® die Form:

Dia 0,0000 een ee PR

erhalten kann. Nun aber ist offenbar immer:

1.9 1.320 (Sri Pr» S0,-19,) M

gleich einem Ausdruck von der Form: X (p. — f,)e,; beschränken wir uns daher auf solche Wertsysteme z,, p;, die dem Involutionssysteme (1) genügen, so wird:

We Be ED er ae ers) und: 1.0 Ye (11) (Ir (TR — X)» 0) =z(p—F, ®).»; k ©,»

wo der Klammerausdruck rechts nur in bezug auf die Veränderlichen &, 2,21: -» Zn» Ps Parıs +» Pm gebildet zu werden braucht. Die z, kommen ja nämlich weder in F noch in ® vor, und die c,. spielen deshalb die Rolle von Konstanten.

Die Gleichung (11) zeigt, daß immer, wenn & eine Lösung des (g—+ 1)-gliedrigen

vollständigen Systems (1’) ist, @ eine Lösung des zweigliedrigen vollständigen Systems:

..n—gQ

1 a3) BD Drerıgen=0 : a+

wird. Da nun der Übergang von ® zu ® in der Weise zustande kommt, daß man einem Elemente des Involutionssystems (1), dessen Punkt auf der M,„_... (5) liegt, das ent- sprechende Element der Gleichung (8) zuordnet, und da dieses Entsprechen ein- deutig umkehrbar ist, so folgt, daß zwei unabhängigen Lösungen ®, X von (1’) stets auch zwei unabhängige Lösungen von (12) entsprechen. Hierin aber liegt, daß zwi- schen den charakteristischen M, des Involutionssystems (1) und den charakteristi- schen Streifen der Gleichung (8) insofern eine eindeutig umkehrbare Beziehung be- steht, als allen den Elementen einer charakteristischen M,, deren Punkte auf der M„_a.ı (5) liegen, ein bestimmter charakteristischer Streifen von (8) entspricht und umgekehrt. Daraus ergibt sich noch, daß jeder von charakteristischen M, erzeugten Integral-M,,_ı des Involutionssystems (1) eine ganz bestimmte Integral-M,_, der

536 Anmerkungen zu Abhandlung II, S. 136—142

Gleichung (8) entspricht!), deren Elemente den Elementen der Integral-M,,_, zu- geordnet sind, die ihre Punkte auf der M,„_,..ı haben. Ist & eine Lösung des vollständigen Systems:

(1”) (Pr fr; $)= 0 (k=1...,9)

die (1’) nicht zu befriedigen braucht, so ist selbstverständlich ® eine Lösung der Gleichung:

(8) P—F,N., =.

Sind ferner ®, X zwei Lösungen von (1’’), so ist der Jacobischen Identität zufolge auch (®X) eine Lösung von (1), und aus dieser ergibt sich in der bekannten Weise eine Lösung von (8’). Wenn wir uns wieder auf Elemente des Involutionssystems be- schränken, wird offenbar: ©

PX) = (PA.,p

Es seien nun U,,..., U„, unabhängige Funktionen von &,,..., Zn» Pa+ı> > Bn» die (1’’) befriedigen und aus denen durch Klammeroperation keine neue Lösung von (1) hervorgeht, so daß Relationen von der Form:

(U, U ,)2,» = Dur(Ur; BE Du Ks 0 an) bestehen und U,,..., U,, eine m-gliedrige Funktionengruppe bestimmen. Dann sind U,,..., U„, unabhängige Lösungen von (8°) und stehen in Beziehungen von der Form:

(U, Ur), N) = Dun (D, EEE ER MV N D),

bestimmen also eine m-gliedrige Funktionengruppe, die insbesondere genau so viele unabhängige ausgezeichnete Funktionen enthält, wie die Funktionengruppe RE Ep |

Durch das Vorstehende ist die Vervollständigung des Theorems XVIlin Abh. I, S.73 bewiesen, die Lie in Abh. XV von Bd.III d. Ausg., S. 219, Anm. 1 ge- geben hat.

Wir haben hier in voller Allgemeinheit die eigentlichen Gedanken entwickelt, die der Lieschen Zurückführung eines Involutionssystems auf eine Gleichung zu Grunde liegen. Jetzt wollen wir noch etwas genauer auf die besondere analytische Form eingehen, die Lie seiner Zurückführung gibt. Es wird sich zeigen, daß die Lieschen Betrachtungen noch etwas erweitert werden können. Diese Erweiterung hätte allerdings auch an die vorhin durchgeführte analytische Darstellung geknüpft werden können, doch erscheint es zweckmäßiger, sie hier zu bringen, weil auf diese Weise die Beziehung zu den Entwickelungen Mayers deutlicher herauskommt.

Lie setzt:

(13) = AT 75% k=1,...9)

wo die a, feste Konstanten sind. Er verwertet diese Substitution, um die q Veränder- lichen &,,..., x, durch die eine Veränderliche x und die Parameter r,,..., T, zu ersetzen. Wir können sie aber auch so auffassen, daß wir die Veränderlichen z,,..., 2, durch g+ 1 neue Veränderliche: x, r,,..., 7, ersetzen, von denen eine überzäh- lig ist.?)

1) In der von Lie neu hinzugefügten Anmerkung 8.137, Z.1 v. u. steckt dieser Satz.

2) Man könnte diese überzählige Veränderliche vermeiden, würde aber dann den Anschluß an die Liesche Darstellung verlieren, die ja auch zu übersichtlicheren Formeln führt.

Zurückführ. eines Involsyst. auf eine Gleichung 537

In der Tat, es wird: .n—q

Y..2 Dr.ds = Spetnüzt sand t+ Iparsdzer. i

was, wenn wir setzen:

1..:0 (14) Drrtn=p, p;t=n; G=1,...,9) k übergeht in: WR 1...Q l..n-q (15) Indu=pdz+ Imdnt Spasdzess

Nunmehr liefert das Involutionssystem (1) die A

| nr fl, + 98 .-,ag + Tat, Zar ZmPazıı + Pn)= If =l...g). (1 6) 1 .-|. q7

| 28 I E, 7

u und zwar stellt sich heraus, daß diese Gleichungen in den neuen Veränderlichen ein (q+ 1)-gliedriges Involutionssystem bilden. Es ist nämlich, wenn man in bezug auf die neuen Veränderlichen 2, p,T,,7%, &4+5>Pa,; den Klammerausdruck bildet: n? of, 7

(17) (r—ıfı; n,—2f,)= i Aunaar: DE Half JapZ0 (A,r=1,...,9),

und ebenso:

1... 1.9 7 r 6 p- 34,6. mal) >, + A pr

2

(18) 4

| +2 u +s 2, dan =0, u

womit unsere Behauptung bewiesen ist.

Die Integration des Involutionssystems (1) ist nun, wenn man für den Augen- blick von der Homogeneität in bezug auf die p, absieht, gleichbedeutend mit der des q-gliedrigen vollständigen Systems:

(1”) (Pr — Tr; Dr, = 0 (k=1,...,9)

während die des Involutionssystems (16) auf die des (g + 1)-gliedrigen vollständigen Systems:

I (19) (r— af, ®)=0 @=1,.. 9), p- 34,1.0) =0

hinauskommt. Aber diese beiden vollständigen Systeme stehen zu einander genau in derselben Beziehung, wie in Bd. III d. Ausg., S. 628f. die beiden vollständigen Systeme (2) und (2’). Aus den dortigen Entwickelungen geht daher unmittelbar her- vor, daß die Integration von (19) und damit auch die von (1’’) auf die der einen Glei- chung:

1..Q (20) (» -Ith 0) =D u

hinauskommt. Die Hauptlösungen von (20) in bezug auf x — 0: (21) ae Eures se Pas

538 Anmerkungen zu Abhandlung II, S. 136—142

die sich für £—= 0 der Reihe nach auf Vqrısı+ +, En» Pati +++» Pr reduzieren, sind zugleich die Hauptlösungen von (19) in bezug auf = 0,n =T},...,„= 7) und liefern unmittelbar die Hauptlösungen von (1’’) in bezug SE RW U . Zugleich gilt das Mayersche Theorem, daß aus jeder Lösung von (20) mindestens eine Lösung von (19) und also auch eine von (1’’) hergeleitet werden kann.

Da die Integration von (20) ihrerseits mit der der partiellen Differentialglei- chung 1. 0.:

12.29 (22) P— Dr,n=0 u

gleichbedeutend ist, so haben wir hiermit das Involutionssystem (1) auf die eine Gleichung (22) zurückgeführt. Diese ist frei von z,,...,rz,, man kann daher in ihr die Grössen T,,..., r, als konstant ansehen und sie mit Lie als eine partielle Diffe- rentialgleichung des Raumes &, 2,1; - - -, 2, auffassen, in der die 7, die Rolle von Parametern spielen.

Es muß jetzt noch berücksichtigt werden, daß die p, in (1) als homogene Größen betrachtet werden, und daß natürlich von p, r,,P,;; in (16) dasselbe gilt, außer- dem aber auch, daß in (16) eine der Veränderlichen r,. überzählig ist.

Die erste Voraussetzung kommt darauf hinaus, daß die Integration des Invo- lutionssystems (16) nicht die Integration des g-gliedrigen vollständigen Systems (1”) sondern nur die des (9 1)-gliedrigen (1’) erfordert. Dementsprechend erfordert das Involutionssystem (18) nur die Integration des vollständigen Systems, das aus den Gleichungen (19) und:

FE; 1.- 0 6 0 (23) AN—p + ga t Di Barızg=0 k 3

besteht, und ebenso braucht nicht die Gleichung (20), sondern nur das zweigliedrige vollständige System (20), (23) integriert zu werden. Die Überzähligkeit einer der Veränderlichen 7, kommt darin zum Ausdruck,

daß 2,T,,...,7,nur in den Verbindungen r,%,..., T,x auftreten, die als Lösungen der linearen partiellen Differentialgleichung:

Sa of 0;

ee ee definiert werden können. Die linke Seite dieser Gleichung ist eine infinitesimale Punkttransformation in den Veränderlichen 2, T,,..., 79, Zgzı,:: +, %- Er-

weitert man diese durch Hinzunahme von p, 7%, ..., 79» Pa+ır ++» Pn 80, daß der Pfaffsche Ausdruck auf der rechten Seite von (15) invariant bleibt, so erhält man die infinitesimale homogene Berührungstransformation (s. Abh. I, S. 26f.):

2

7 ee Per ae Be 2 e 2

k

die offenbar das Involutionssystem (16), ja sogar jede einzelne Gleichung dieses Systems, also auch die Gleichung (22) invariant läßt. Ebenso läßt B(f) die Gleichung (23) invariant, wie, nebenbei bemerkt, auch aus der Beziehung: A(B(f}))— B(A(f) = hervorgeht.

Man kann B(f) so schreiben:

an Bf)= (27 Immt).

Zurückführ. eines Involsyst. auf eine Gleichung 539 Die charakteristische Funktion, durch die B(f) bestimmt ist, hat daher die Form:

1...9 17.9 2 RAT, =” T pP — Iartı Re (p- 3,5) — Iran — 2f), k u [3

und man findet leicht:

(29 >, De e> =n,.—ıf,,

es BB, (»»— 3 In, ‚T, >; :)- -e- 3,8), u u

was von neuem zeigt, daß B(f) jede einzelne Gleichung (16) invariant läßt.

Unter Berücksichtigung des früher Gesagten, können wir nunmehr das Integra- tionsproblem des Involutionssystems (16) dahin bestimmen, daß es sich darum han- delt, alle Lösungen des vollständigen Systems (19) zu bestimmen, die auch die Glei- chungen: A (f) = 0, B(f) = 0 befriedigen, oder, was dasselbe ist, eg soll das (7 + 3)- gliedrige vollständige System integriert werden, das die Gleichungen (19) und: A(f)=0,B(f)= 0 umfaßt. Ebenso erfordert die Integration der Gleichung (22) die des dreigliedrigen vollständigen Systems: (20), A()=0,B(f)=0. Es stellt sich aber heraus, daß die geforderten Integrationen mit Hilfe der vorhin benutzten Hauptlösungen (21) sehr einfach geleistet werden können.

Da die Gleichung (20) die infinitesimalen Transformationen A(f) und Bf) gestattet, so liefern die Operationen A (f) und B(f) auf die Größen (21) angewendet lauter Lösungen von (20), also lauter Ausdrücke, die als Funktionen von T,,...,T, und den Größen (21) selber darstellbar sind. Denken wir uns in den so entstehenden Gleichungen die Substitution z = 0 ausgeführt, so erhalten wir rechts Funktionen VON Ty,..2., Tgs Egyıse re, Uns Parır > Pn, Während andererseits links die Aus- drücke A(X,+x), BX,ır), B(P4;r) für 2= 0 alle verschwinden und jedes A(P,+x) = Pa, r Wird. Hieraus geht hervor, daß die Funktionen:

(25) 2.0 € Farı 1 In-ı +1> ’ e ’ P, ’ ’ P„

sämtlich die beiden Gleichungen: A(f) = 0, B(f) = 0 befriedigen und gerade die erforderliche Anzahl von unabhängigen Lösungen des vollständigen Systems: (19), A(f) = 0, B(f) = 0 liefern. Diese Funktionen enthalten 7,,...,7, und x nur in den Verbindungen 7,2,...,r,x2 und stellen daher in den alten Veränderlichen X;, p; geschrieben ebensoviele unabhängige Lösungen des vollständigen Systems (1’) dar. Setzt man die Größen (25) gleich willkürlichen Konstanten, so hat man die cha- rakteristischen M, des Involutionssystems (1).

Erwähnt sei schließlich noch, daß man selbstverständlich aus jeder Lösung des vollständigen Systems: (20), A(f)=0,B(f)=0, die nicht von 2, 2,41»: In» Pa+ıs*::»Pn frei ist, mindestens eine Lösung des vollständigen Systems (19), A N=0,B(f)=0 ableiten kann, daß sich also das Mayersche Theorem auch auf unseren besonderen Fall übertragen läßt.

Nach den vorstehenden Entwickelungen kann das Liesche Verfahren zur Re- duktion des Involutionssystems (1) auf die eine Gleichung (22) geradezu aufgefaßt werden als eine Verallgemeinerung des du Bois-Reymond-Mayerschen Ver- fahrens zur Reduktion eines vollständigen Systems auf eine lineare partielle Diffe- rentialgleichung, nämlich als die Verallgemeinerung auf den Fall eines nicht linearen Involutionssystems. In der besonderen Form, die Lie bei der analytischen Dar- stellung seinesVerfahrens gewählt hat, wird sogar das mit dem Involutionssysteme (1) äquivalente vollständige System:

in} (Pr — Tr, )= 0 (k=1,...,9)

540 Anmerkungen zu Abhandlung II, S. 136—145

auf genau dieselbe lineare partielle Differentialgleichung (20) reduziert, wie bei Mayer.!) Hierdurch wird erst wirklich verständlich, was Lie in Bd. III d. Ausg., Abh. IV (1872), S.17, 2. 4f. sagt, daß sich bei ihm derselbe Ausgangspunkt findet wie bei Mayer, nämlich die Reduktion eines unbeschränkt integrabeln totalen Sy- stems, oder, was gleichbedeutend ist, die Reduktion eines vollständigen Systems auf eine einzelne lineare partielle Differentialgleichung 1. O.

Obwohl nun Lie und Mayer beide im Grunde genau dieselbe Reduktion be- nutzen, so sind doch die Ziele, die sie damit verfolgen, vollständig verschieden.

Mayer kannte Anfang 1872 die Liesche Erweiterung der Cauchyschen Me- thode nicht, er wußte nicht, daß die Integration des Involutionssystems (1) und die des vollständigen Systems (1’’) äquivalente Probleme sind. Sein Ziel war, die Jacobi- sche Methode zu verbessern, und es kam ihm nur darauf an, durch möglichst niedrige Integrationsoperationen eine Lösung des vollständigen Systems (1’”) zu finden. Das erreichte er durch die Reduktion des vollständigen Systems (1’’) auf die eine Gleichung (20) und durch sein Theorem, das ihm erlaubte, aus jeder Lösung von (20) eine Lösung von (1’”) abzuleiten. Deshalb übersah er oder beachtete er jedenfalls nicht, daß das mit (20) äquivalente simultane System die kanonische Form hat, daß also die Integration von (20) mit der der nichtlinearen partiellen Differential- gleichung 1.0. (22) äquivalent ist.

Lie dagegen kam es darauf an, die Integration des q-gliedrigen Involutions- systems (1) in n Veränderlichen auf die einer einzigen partiellen Differentialgleichung 1.0. (22) n n— q-+ 1 Veränderlichen zurückzuführen (Bd. III d. Ausg., S.17, Z.13—17), wobei das vollständige System (1’’) und die Gleichung (20) nur als an- dere Formulierungen dieser Integrationsprobleme erschienen. Er hatte daher gar nicht das Bedürfnis, die Frage zu behandeln, die durch das Mayersche Theorem erledigt wird (a. a. O., S.17, 2. 8£.). Jedenfalls beruht das Verfahren von Lie auf einer viel tieferen Einsicht in das Wesen der partiellen Differentialgleichungen 1. O. als das von Mayer (a.a.O., S. 17,2.17—15 v.u.).

S. 137, 2.13, 17. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 684, 2.12,11v.u.

S.137, 2.1v.u. Vgl. S. 535, 2.2 v. u. — 536, 2. 2, 8. 536, 2.5, 4 v.u.

S.138, 2.12f. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 684, 2.10—8 v. u.

S.139, 2.3 v. u.—140, Z. 12. Vgl. ebd. S. 684, 2.6 v. u. bis 685, 2.2.

S.140, Z.14—19. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 685, Z.5—10. Es ist nur zuletzt das Verfahren hier S. 138 zu benutzen.

S. 140, 2. 21, 23—25, 27, 33, 36. Hier schreibt Lie plötzlich und ohne jede Er- läuterung M? statt M,. Er tut das, weil die charakteristischen M, auch als Punkt- gebilde m-fach ausgedehnt sind. In Bd. III d. Ausg. auf S. 214f. hatte Lie auch von S. 214, 2.12 v. u. ab M® statt M, geschrieben. Dort habe ich überall M? durch M,„ ersetzt.

S.141, 2.13 v.u.bis 142, 2.3. Es wäre besser zu sagen: „man sucht Funktionen Q Von 2, 2grıs ++, Sn Parı: Prs =» + Pn-ı:Pn , denn p ist ja von vornherein an die Bedingung: p—= Xr,f, gebunden, und die Einführung der Integrationskonstan- ten p® ist ganz überflüssig. Funktionen 2 der betreffenden Art gibt es 2n —2q —1 unabhängige, die überdies noch von r,,..., r, abhängen, Man hat daher die 2n — — 2q —1 Gleichungen:

ö re 29 Be ED Be Da Da an Das ME He are) zu bilden, die nach zD,,,...,20,p0,,:p0,...,p%_ı:p auflösbar sind. Durch

diese Auflösung erhält man offenbar die Lösungen der Gleichung (p — I r,f,,2)=0,

1) Vgl. Bd.V d. Math. Ann. (1872), S.466f. Von der Homogeneität in den p, wollen wir hier und im nächstfolgenden absehen, da sie für die Vergleichung der Lieschen Methode mit der Mayerschen unwesentlich ist. Vgl. auch Bd. IIId. Ausg,, Abh. XXI (1877), S. 334f., Nr. 12.

Lie und Mayer. Vollst. Lös. von M7=! 541

die sich für 2=0 auf 2,,1,: - -, 2n> Pa+ı: Pn> ++» Pn-ı:P„ reduzieren. Diese Lösungen enthalten nach S.538f. die Veränderlichen z,7,,...,7, nur in den Ver- bindungen 7,2,...,7,2. Durch Elimination der Größen p,,5:Pn:P? ,;:p% be- kommt man eine vollständige Lösung der Gleichung: p — &r,f; = 0, und es ist klar, daß bei der Substitution 7, —= (2, — a,):x die Veränderliche z mit heraus- fällt. Hierdurch ist das Bd. III d. Ausg., S. 685, Z. 11—14 Gesagte zu ergänzen.

S.142, 2.4. Die Paragraphennummern 11 und 12 fehlen. In dem ersten Drucke haben die jetzigen $$9 (8.133) und 10 (8.136) die Nummern 10 und 12. Ich hätte daher für $13 setzen sollen $ 11.

$ 13, S. 142—145 entspricht Bd. III d. Ausg., S. 216—218, während der Inhalt von 8. 219 ebd. jetzt in die Note 3, hier S. 149 bis 151 übergegangen ist.

S.142, 2. 5f. Vgl. Nr. VI der in Bd. III d. Ausg., S. 586 angeführten Abh. von Jacobi. Crelle, Bd. 60, Werke Bd. V. Ich habe nochmals versucht, zu erraten, wo Lie bei Jacobi eine allgemeinere Fassung der Sätze 32, 33 herausgelesen hat. Es ist mir nicht gelungen. Vgl. Bd. III, S. 685, Z. 18£,

S.143, 2.2. Vgl. Bd. III, S. 685, Z. 20.

Die Noten 1—3, S. 145—151 hat Lie neu hinzugefügt.

S. 145, 2. 6—9. Siehe Math. Ann., Bd. IV (1871), S. 88—94.

S.145, 2.3 v.u.bis146, 2.23. Früher (S. 136, Satz 28) stellte Lie eine vollstän- dige Lösung des Involutionssystems her, indem er die 00% Punkte der Achse: 2%) =4y,...,2,—4, benutzte. Jeder dieser Punkte enthält 0o0”2-1 Elemente des Involutionssystems, die eine Integral-M,_„_ı des Systems bilden (S. 109, Hilfs- problem 2). Die durch diese Elemente gehenden charakteristischen M, bilden jedes- mal eine Integral-M,_, (S.126, Satz 21), man erhält also o0”-@ Integral-M,_,, die eine vollständige Lösung bilden.

Jetzt benutzt er statt der Punkte die 00% -@ BET,

4 =d,.., lg ds %grı = Cgrı tt Car2larat + mins

die auf der Achse liegen. Als Element-M,_, wird jede solche E„_a_ı dargestellt, wenn man noch die Gleichungen:

Para + Ca+2 Pa+ı = 0; .. Pant nPası = 0

hinzufügt ; sie liefert die Integral-M,_„_,(A) des Involutionssystems. Nun werden die 00?” 29-1 charakteristischen M, des Involutionssystems dar- gestellt durch Gleichungen von der Form:

Pr — hr = 0 (k=1,...,9, 243 > Parsl&u - - + gr dann Dana ı) Gm3ii:...n—n: Pa+u= Pa+1° RE RR FR PR PERF (u=2,..,n-9),

die nach bi,...,Den_ag_, auflösbar sind. Wollen wir daher durch alle Elemente der Integral-M,„_„_, (A) die hindurchgehenden charakteristischen M „ legen, so müssen wir die n — q Gleichungen befriedigen:

(B) e% la dir m dan-aa-1) = Ca+ı + Ca+2Pa+2(ab) ++ CnPn(a b), Xg+u (0 b)+c,,,=0 v=2,..,n-9),

dien —q—1 unter den b willkürlich lassen. Demnach gehen durch die Elemente von (A) 00” 2-1 verschiedene charakteristische M q, die eine Integral-M,, _, erzeugen. Da die Gleichungen (B) nach Cq+1> ++ +,C, auflösbar sind, liefern unsre 00% Integral-M,,_,_ı(A) ebensoviele Integral-M,„_,, die alle charakteristischen M ri umfassen und also eine vollständige Lösung bilden.

542 Anmerkungen zu Abhandlung II, S. 145—148

Die n — q Gleichungen: z,,;= %,.;; bestimmen zusammen mit den Glei- chungen (B) die Punktmannigfaltigkeiten, die zu den gefundenen Integral-M,_ı gehören. Da aber die Gleichungen 2,,; = Y9a+3 Xarzu + € q+. — 0, nach den b auf- lösbar sind, so erhält man durch Elimination der b nur eine Gleichung zwischen Zi, +, ns dis.» .,@,; also sind die Integral-M,_, der gefundenen vollständigen Lösung auch als Punktmannigfaltigkeiten (n — 1)-ach ausgedehnt.

Es ist also nicht nötig, wie es Lie auf S. 146, Z. 15—23 tut, ein indirektes Be- weisverfahren anzuwenden.

S.146, 2.3—1 v. u. Eine Integral-M,,_, bilden sie dann und nur dann, wenn die Integral-M,,_„_ı, die von der M, 7"! geliefert wird, mit jeder charakteristischen M„, die durch eines ihrer Elemente geht, im allgemeinen nur eine diskrete Anzahl von Elementen gemein hat.

S. 147, 2.15f. Eigentlich muß also statt der einen Gleichung auf Z. 11 das drei- gliedrige vollständige System:

; a 32 0 ers

Pa+5 =_3,,32- TRG ru ntegriert werden.

S. 148, 2. 8—10. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 645, 2.9. S. 148, Z.14—21. Bei dieser Substitution wird:

Aug

(W, 07 ER a,) (Pi Be h,))= ET Was a;) Sur (% ER a;) (Wh,) 3 2 75574 a i

also ist:

T 5 die neue Lösung der Gleichung für Q. Alle die Betrachtungen auf S.147f. werden wesentlich durchsichtiger, wenn man, wie wir es auf 8. 536f. getan haben, nicht bloß die Gleichung: p — Zr,.hi = 0 betrachtet, sondern außerdem das (g+ 1)-gliedrige Involutionssystem:

PR, 72, — chi = 0 (k=1,...,9), DD — BA ud u in den Veränderlichen:

te Far a de

Dann sieht man nämlich auf Grund der Jacobischen Identität sofort, daß immer, wenn Q eine Lösung der Gleichung:

1:,Q A) p-I,,,1)- ist, auch jedes: T T diese Gleichung befriedigt. i Es ist merkwürdig, daß Lie nicht von hier aus dazu gekommen ist, das Mayer-

sche Thheorem in einer seiner Denkweise gemäßen Art zu beweisen, was ihm eigentlich so nahe gelegen hätte.

Verallgem. des Ma yerschen Theorems 543

:* In:der Tat, die Funktionen: x, — xzh/, stellen für ihn infinitesimale homogene Berührungstransformationen dar, die die Gleichung: p — £r,hl,—=0 und also auch die Gleichung (I) invariant lassen. Diese infinitesimalen Transformationen vertau- schen alle Lösungen von (I) unter einander, insbesondere aber auch die von vorn- herein bekannten Lösungen 7,,...,7,. Kennt man nun eine Anzahl unabhängige Lösungen von (I), aus denen sich keine Funktion von T,,..., 7, allein zusammen- setzen läßt:

Qul&, Tre. +, Tg Zgrı9 + + Em Parıs - - 2) (v=l,..,D,

so erhält man auf Grund der Jacobischen Identität neue Lösungen von (I) erstens durch Bildung der Ausdrücke (2,2,), zweitens durch Bildung der Ausdrücke (p; — zh}, Q,). Dieses Verfahren kann man fortsetzen, bis nur solche neue Lösungen

* herauskommen, die sich durch die schon bekannten und durch r,, ...., 7, ausdrücken lassen. Man kann also annehmen, daß man m q von einander unabhängige Lö- sungen:

(II) SRH, oe VER

von (I) kennt, unter denen die ersten m in Bezug auf m von den Veränderlichen: Dayıses es Ins Pa+ıs ++» Pm Von einander unabhängig sind und aus denen sich durch unsere Operationen keine neuen Lösungen ableiten lassen. Mit anderen Worten: die Lösungen (II) bilden eine (m + g)-gliedrige Funktionengruppe, in der jedenfalls Tj,.. ., 7, ausgezeichnete Funktionen sind, und dieser Funktionengruppe gehören alle Funktionen (x, — ch}, 2,) an, das heißt, die Funktionengruppe bleibt bei den infinitesimalen Transformationen: zz, — ch, invariant. Die Gleichungen:

(n. — zhi, Au)= Yru (9: - +, Ams Tree, Tg): die wir bilden können, zusammen mit: g (r — ch, WW) = Eyı

geben an, wie die Funktionen, die der invarianten Funktionengruppe (II) angehören, von den infinitesimalen Transformationen unter einander vertauscht werden.

Setzen wir die Funktionen (II) gleich willkürlichen Konstanten, so erhalten wir in dem Raume z, p, T,, 2, %a+3> Pa+; eine Schar von 00%+”" Mannigfaltigkeiten, die bei unsern infinitesimalen Transformationen invariant bleibt. Diese Schar kön- nen wir in der Form:

2, Er, ....0 Tgs Ta+1ı> ...,y In» Pa-+ı> .eo..y Pn) = Bi 0 0. 29 0.90 0 Be 2,0, Tea u Wen Ds Pure n pP), zn Ba ei.) darstellen. Da aber die 2, in Bezug auf m von den Größen &,,;; Py.,; unabhängig sind, können wir die ersten m Gleichungen nach m unter den Größen z) ,1,-:-, EA SAFE . p? auflösen und also, wenn wir unter €, .. .,Cyn_..g eine geeignete Anordnung dieser Größen verstehen, die Gleichungen der Schar in der Form:

| ©, =.,%08 A Tı> er: To; Cn+1 eo Om — ie) = Pur

(HD g-=n Mkal,..,; mikmly.., 9)

schreiben. Nun werden die Mannigfaltigkeiten unserer Schar von jeder infinitesimalen Transformation: zz, — xfj offenbar genau so unter einander vertauscht, wie die Wertsysteme: =0, ., et, 247 = a) +35» Pa+5 = Pl, „, durch die sie bestimmt

sind. Das Symbol: Ür — fi»)

Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. IV 35

544 Anmerkungen zu Abhandlung II, Ila, S. 148—160

der infinitesimalen Transformation zeigt aber, daß x den Beirsche Null bekommt und daß für x = 0 alle Größen 7, , 2,45; Pa. ; ebenfalls die Zuwachse Null bekom- men, mit alleiniger Ausnahme von r,., dessen Zuwachs gleich öt ist. Die Invarianz der Schar (III) kommt demnach darauf hinaus, daß das Gleichungssystem (III) in den Veränderlichen &,T7,, &,15> Paz» %» 2,5, Pl ,; die infinitesimalen Trans- formationen:

of

(ar af + a0

r?

k

gestattet, daß also die w,, die die Gleichung (I) befriedigen, auch allen Gleichungen: (r — 2, D->0 ee

genügen, und zwar für beliebige Werte der Konstanten c„,1, ++ +» Cgn_.ag-

Damit ist der Beweis des Mayerschen Theorems ganz im Lieschen Geiste durchgeführt, auf Grund von Betrachtungen, die vollständig dem Lieschen Ge- dankenkreise angehören. Ich habe dabei gleich die Liesche Verallgemeinerung auf den Fall nicht linearer partieller Differentialgleichungen 1.0. zu Grunde gelegt (vgl. S. 536ff.), man kann aber selbstverständlich auch den von Mayer betrachteten Fall vollständiger Systeme ebenso behandeln und also die ausdrückliche Einführung der Hauptlösungen von (I) (vgl. Bd. III d. Ausg., S. 629£.) vermeiden.

S.149, 2.4—6. Vgl. Bd. III, S.25, 2.11—5 v. u. bis 26, 2.5 und 8.635, Z.15ff.

S. 149—151. Diese Note 3 ist eine ausführlichere Darstellung des Inhaltes von Bd. III, S. 219.

S.149, 2.12, 11 v. u. Noch früher Bd. III d. Ausg., Abh. VIII (1873), S. 89.

S.149, 2.4,3 v. u. Vgl. das auf S. 526, 2.18—3 v.u. Gesagte.

S.150, Z.14f. Das vorgelegte Involutionssystem besitzt vollständige Lösungen, und die Integral-M,_ı jeder solchen befriedigen alle aus dem Involutionssysteme folgenden Gleichungen, aber keine weiteren. Hierin liegt nach S. 131, Satz 24, daß die Gleichungen: (2, — f;, Pk — hr) = 0, (Pr — hr» P; — h,) = 0 keine neuen Glei- chungen sein können, sondern Identitäten sein müssen.

S.150, 2.16—19. Mayer beweist den Satz in der bereits genannten Abhand- lung, Math. Ann. Bd. VIII (1875), S. 313—318, und zwar auf S. 317. Das ‚‚früher‘ heißt hier ‚früher als Mayer‘, denn das Theorem XVII, hier S. 73, steht Ann. VIII, S. 281, also vor dem Mayerschen Satze, und ist auch früher erschienen, schon 1874.

S.150, Z.1v. u. Nämlich Satz 37 in Bd. III d. Ausg., Abh. IX (1873), S. 119. Dagegen hat Lie Satz 38 wohl nirgends früher ausdrücklich aufgestellt. Der Satz steckt aber z. B. schon in Bd. III, Abh. IV (1872), S. 25, III1.

S. 150, Satz 40. Dieser Satz gibt nicht den ganzen Inhalt von Theorem XVII, S. 73. Deshalb wird auch die Vervollständigung dieses Theorems, die in Bd. III, S. 219, Anm. 1 mitgeteilt ist, nicht erwähnt. Über diese Vervollständigung vgl. hier 8.536.

Man beachte, daß Satz 40 und ebenso Theorem XVII, S. 73 nicht, wie Theo- rem 8, S. 141, voraussetzt, daß das Involutionssystem nach q von den Größen p;

auflösbar ist.

S.151, 2.2f. Mayer führt das vorgelegte (g + m)-gliedrige Involutionssystem durch eine Berührungstransformation auf ein solches zurück, das nach g+ m der Größen p’,,...,Pp’„ auflösbar ist. Dieses neue Involutionssystem kann nach Lie (hier S. 141, Theorem 8) auf eine einzige Gleichung inn—q—m-+ 1 Veränder- lichen zurückgeführt werden, deren Integration eine vollständige Lösung des trans- formierten Involutionssystems liefert. Mit Hilfe der benutzten Berührungstransfor- mation findet man dann eine vollständige Lösung des ursprünglich vorgelegten In- volutionssystems, und die ist dann zugleich eine vollständige Lösung des Involutions- systems FR = a,,...,‚F,=4,..

Verallg. des Mayerschen Theorems. — Integr. von p„—h„=0 545

%

Zu den Selbstanzeigen von Abhandlung II, S. 151—162.

Lie begnügt sich in diesen Selbstanzeigen nicht mit einer einfachen Inhalts- angabe, sondern formuliert und begründet seine Theorien zum Teil in ganz neuer Weise, indem er die Beziehung zum Pfaffschen Probleme deutlich zum Ausdruck bringt. Erst hier gibt er eine analytische Darstellung der Cauchyschen Methode in ihrer wahren allgemeinen Form (5.155 und 159f.) und ebenso eine analytische Darstellung seiner Erweiterung der Cauchyschen Methode (S.155f. und $. 160f.). Diese Auseinandersetzungen bilden daher eine höchst wertvolle Ergänzung der Ab- handlung, in der diese Dinge synthetisch dargestellt sind (S. 114—130).

S.154, 2.3 v. u.—155, 2.18; 5.159, 2.8 v. u.—160, Z. 12. Um diese Behaup- tungen auf möglichst einfache Weise zu begründen, bemerken wir, daß nach Abh. I, S. 27 die infinitesimale homogene Berührungstransformation:

Of On Oh ST Oh OF. Dh Ar‘ n n n Bi DT de Don 2 rn a)

den Pfaffschen Ausdruck: p,da), + +--—+ p„dz, invariant läßt. Daraus aber folgt, wie man sich auch leicht unmittelbar überzeugt, daß die verkürzte infini-

tesimale Transformation: 1

AN=;, B IE a,

op 0%; 0%Cp

den Pfaffschen Ausdruck V invariant läßt. Ersetzen wir überdies in V die Differen- tiale durch die Zuwachse, die die Veränderlichen bei der infinitesimalen Transfor-

mation A (f) erhalten, so kommt: ..Nn—]

1 > eh Ppösr ++ Pn-dm-ı tn = — re ee n T

eine Beziehung, die bei Einführung neuer Veränderlicher bestehen bleibt, da die Zu- wachse, die die Veränderlichen bei A(f) erhalten, bei Einführung neuer Veränder- licher genau so transformiert werden, wie die Differentiale der Veränderlichen.

Führt man nun z, nebst 2n — 2 unabhängigen Lösungen z,,...,2,,_, von A(f) = 0 als neue Veränderliche ein, so erhält A (f) die einfache Form:

9 Nr OL während V gleichzeitig die Form:

1...2n —2

v= DIy$)dar +yl@)dan k

annehmen muß, da es ja bei A (f) invariant bleibt. Ersetzt man aber hier die Differen- tiale durch ihre Zuwachse: öz, = 0, öx, = öt, so muß Null herauskommen, also isty = 0 und V wird ganz von x, frei.

Andrerseits ergibt die infinitesimale Transformation:

1..n—1 Bi %] Bf)= Pi 2 / r p augenscheinlich: B(V) = a =,y/,

35*

546 Anmerkungen zu Abhandlung IIa, III, S. 154—160

während V wieder verschwindet, wenn man die Differentiale durch die zu B(f) ge- hörigen Zuwachse ersetzt. Nun ist nach Bd. III d. Ausg., Abh. VIII, S. 66:

ABN)-BAN=O

also sind alle B(z,) Lösungen von A(f) = 0, und es bestehen Relationen von der Form:

Ba)=9.(5;,:.:., 03) (ki: an), Die Gleichungen: A (f) = 0, B(f) = 0 besitzen daher 2n — 3 unabhängige gemein- same Lösungen: ®1,...,®ga1)_3. Führen wir diese nebst etwa z, als neue Veränder- liche ein, so behält A (f) seine Form, während sich ergibt: of

Bi=9{s,, RE 28,’

wo ® sicher nicht verschwindet. Die neue Form, die V in den Veränderlichen: 15. ++, ®nm_3, 2, erhält, muß Null ergeben, wenn man die Differentiale durch ds Zuwachse bei B(f) ersetzt, sie ist also von dz, frei:

1...2n —3

= SI.fa,, on, Oon—3> 2) dog. k

Aus B(V)=V ergibt sich überdies:

9.0 C

== IF; (k=1,..,2n-3), 21

mithin sind die Verhältnisse der //, von 2, frei, und man hat: g 1...2n —3

FB rar Ban a) > 2r(o; a 7 k

wie Lie Ba Wählt man hier die ®, nach Lies Vorschrift, so kommt:

si ni "Imaz, -.[32, (21. 2n 1» Pı:Pr-1>-»Pn-2:Pn-ı)dr,+ 1.003 p a en | » u das heißt: Da, (=0, 2,(0:2,_1ı@)=%@,_ır, P=lh.,n—2).

S.155, 2.8 v. u.—156, 2.15 und: S. 160, Z. 14—161, Z.6. Der Beweis wird ganz in derselben Weise geführt, wie eben, nur treten an Stelle der einen infinitesi-

malen a Af deren q, nämlich: A ı(f)»- .‚A,(f), die in den Bezie- hungen: 4,(A,.(f)) — A,(A;(f})) = 0 stehen. S.158, 2.8 8—20. Diese Betrachtungen sind im Grunde von den auf 8.153,

2.8 v. u.—154, 2.5 angestellten nicht verschieden. Will man nämlich die Gleichung 8.153, 2.1v.u., also jetzt:

n=4

... 1...n Sin-marı Ier,d Fo = Dpidz; i

befriedigen,so hat man zunächst F, ,..., E aus den folgenden Differentialgleichungen:

1..n.4% oF, B—h F)=aw (FR)=0 397,0 i i

(kl... Eu

Die Gl. p„ — h„n = 0. Involutionssysteme. — Vorgeschichte von Abh. III 547

zu bestimmen, was immer möglich ist, wenn man F},,...,F, als Funktionen von Es: 00, Ems Pati +» Pn allein wählt. Die ®, ,, findet man dann durch Auflösung linearer Gleichungen und braucht schließlich nur die Substitution: p,—=h, zu machen, um eine Gleichung von der Form S. 158, 2.13, 15 zu erhalten.

S.158, 2.3 v.u.—159, Z.9. Das ist im Grunde nur eine andere Darstellung des auf S.154, Z2.6—16 Gesagten; was jetzt g’ ist, ist dort 9+ m. Will man näm- lich die Gleichung:

I: 1...m > 9,42, — Pr) oe: hu) rat k u

0; Be Fl / |

+20 ER, Fn+n+» > = Sn.dz,

befriedigen, so hat man zunächst F' F, aus den Differentialgleichungen:

BE (u — 9 Para) (Puyu—Ryrur Porn) Sun,

3.9.7 oF qy+Tr \_ > a (Fu+afy+ı = Pi öp, 0 Ti B Rz, ke... m a Vel,..,n0)

zu bestimmen und kann dabei dieF',,„ als Funktionen von 2, ,1> + +, In» Pı» -- +» Da»

Pa+m+i1s::+»Pn allein wählen. Die ®, und die ®,,„.;, findet man dann durch Auflösung linearer Gleichungen und braucht schließlich nur noch die Substitution: TE = Pk» Paru = Ragr+u zu machen, um den Pfaffschen Ausdruck 8.159, 2. 4f. auf eine (n — q — m)-gliedrige Form zu bringen.

Zu Abhandlung III, S. 163— 262.

In einem Briefe, der wohl aus dem Sommer 1876 stammt und den ich in Bd. III d. Ausg., S. 691f. abgedruckt habe, schreibt Lie (a. a. O. S. 692, 2. 20£.):

„Ich bereite zur Zeit eine große Abh. für die Annalen vor: Allg. Theorie d. p. Dgl. II. Eigentlich sollte meine Invariantentheorie Teil II und dies Teil III sein.“

Dann heißt es in einem Briefe, den Mayer am 12.7. 1876 erhalten hat und der größtenteils schon in Bd. III d. Ausg. S. 693f. abgedruckt ist:

„Meine Abhandlung für die Annalen kann erst im Schluß September fertig sein‘ und in einem, den Mayer am 14. 10. 1876 erhalten hat:

„Ich schreibe fleißig an meiner Annalenabhandlung, die in 5—6 Tagen ge- schickt wird. Die Arbeit zerfällt in drei Abschnitte und mehrere Noten. Der erste Abschnitt gibt eine möglichst direkte Darstellung meiner letzten Integrations- theorien. Der zweite gibt eine Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen Transformationen. Indem ich die entwickelte Theorie

auf das System: AD=h:., KD=5 A)

mit mehreren bekannten Lös. anwende, finde ichsämtliche Resultate des ersten Abschnitts in neuer Weise wieder. Der dritte Abschnitt beweist, daß die gegebenen Theorien das Größtmögliche leisten. Diese Theorie wird sehr viel besser und kürzer als früher in meiner Diskussion!) gegeben. Eine Note wird die geometrische Inter- pretation des Integrabilitätsfaktors mit Anwendungen behandeln. Die zweite gibt meine letzte Vervollständigung der Theorie der Berührungstr. Eine dritte Note sollte eigentlich eine Andeutung geben zu einer allgemeinen Theorie solcher partieller

1) Bd. III d. Ausg., Abh. XVI (1875). Anm. d. H.

548 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 163—165

Differentialgleichungen 1.O., die eine (oder mehrere) vollständige Lösungen be- sitzen, welche durch mehrere Gleichungen zwischen den x bestimmt [werden]. Doch fürchte ich, daß ich diese letzte Note verschieben muß.‘‘t)

Am 24.10.1876 berichtete Mayer auf einer Postkarte, daß die Arbeit eben wohlbehalten in Leipzig eingetroffen sei, und am 29.10.1876 erhielt er einen Brief, aus dem hier folgendes mitgeteilt sei:

„Ich fühle sehr gut, so im allgemeinen, daß der synthetische Ursprung meiner Theorien bei der Übersetzung in analytische Form so leicht Lakunen ver- anlaßt. In jedem einzelnen Falle ist es mir aber häufig schwer, die betreffende Lakune zu bemerken, indem ich unbewußt die Synthese zu Hilfe nehme. Alle derartigen Be- merkungen von Ihnen werde ich bei der definitiven Redaktion meiner Theorien zu verwerten suchen.

„Sie müssen sehr gern meine Sätze umstellen. Doch müßte ich wohl für meine sogenannten Theoreme, wenn die Änderungen eingreifend wären, Unterricht er- halten. Wäre es möglich, so würde es mir angenehm sein, wenn mir eine Korrektur zugeschickt würde. Doch wäre es keineswegs notwendig, das Zurückschicken meiner Korrekturabzuwarten. Dies ist nur eine Frage. Es war nicht der Zweck, Ihre Änderungen zu kontrollieren, denn Sie behandeln meine Arbeiten ge- wissenhafter, als sie es verdienen. Es wäre aber denkbar, daß ich selbst kleine Änderungen zu machen wünschte. Ich erhalte immer einen klareren Eindruck von einer gedruckten als von einer geschriebenen Redaktion.

„Ich hege die Hoffnung, daß Sie die Berechtigung des Hervorhebens der Theorie der infinitesimalen Transformationen zugeben werden. Es ist in der Tat diese Theorie, die mich nicht allein zu Theorem I meines Rösume&s, sondern auch zu Theorem II, wie auch zu den Theorien des Paragraphen 6 geführt hat. Insbesondere würde ich kaum die p. 365 gegebene Theorie in anderer Weise gefunden haben.‘‘?)

In seiner Antwort vom 2.11.1876 schreibt Mayer: ‚Sie können ganz sicher sein, daß ich irgendwelche eingreifende Änderungen ganz gewiß nicht ohne Ihre Zu- stimmung machen werde. Übrigens wüßte ich im 1. Abschnitte in betreff der Anord- nung des Stoffes auch gar nicht, wo etwas besser zu machen wäre. Aber, da die Ar- beit doch nicht gleich gedruckt werden kann, so sehe ich auch gar nicht ein, warum ich, außer bei rein sprachlichen Änderungen, auch in Kleinigkeiten mich nicht zuvor mit Ihnen besprechen sollte, ehe ich hierin etwas ändere. Eine Korrektur lasse ich Ihnen übrigens sicher zuschicken, und, wenn der Druck bis dahin nicht beträchtlich rascher geht wie Jetzt, so können wir ganz gut auf Ihre Korrektur warten.“ Er macht sodann einige Änderungsvorschläge und setzt das in Briefen vom 9., 12. und 30. Nov. fort. Lie antwortete ausführlich und ging auf alle die einzelnen Punkte ein, die Mayer zur Sprache gebracht hatte. Dann schreibt Mayer am 17.12. 1876: „Ihren Brief habe ich gestern erhalten und werde nun in den nächsten Tagen so- gleich an die definitive Redaktion Ihrer Arbeit gehen. Sie können sicher sein, daß ich mich vollständig nach den von Ihnen ausgesprochenen Wünschen richten werde.“ Auch dieser Brief Mayers, ebenso wie einer vom 30.12., enthält noch Vorschläge über einzelne Änderungen und Zusätze.

Da die ursprüngliche Fassung der Abhandlung erhalten ist, die Lie im Oktober 1876 nach Leipzig geschickt hat, so können wir genau feststellen, an welchen Stellen der Abdruck in Bd. XI der Math. Ann. von dieser Fassung abweicht. Es ist mithin nicht nötig, die Briefe Mayers und Lies Antworten abzudrucken. Nur hie und da werde ich im folgenden einzelnes daraus mitteilen.

1) Sie ist in der Tat damals nicht geschrieben worden, und erst 1895 und 1898 (Abh. IX und XI des vorliegenden Bandes) ist Lie näher auf diese Dinge einge- gangen. Anm. d.H.

2) Alles das bezieht sich auf Arch. for Math. Bd. I (1876), S.335—366, Abh. XVIII von Bd. III d. Ausg., s. dort 8. 265, 274, 280—284, 283f., Nr. 22.

Vorgeschichte von Abh. III. — Lies neuer Fundamentalsatz 549

S.163, 2.4 hat Mayer hinzugefügt.

S.163, 2.5—1 v. u. Man soll also zuerst Abh. II hier lesen, dann Abh. I und schließlich Abh. III. In Abh. II wird das Mayersche Theorem nicht benutzt, dafür aber in Abh. I und III fortwährend.

S.163, 2.11—13; 8.164, 2.1—3. Vgl. Bd. III d. Ausg., S.587, Mayer, Abh. III und IV, sowie $S. 628—630. Über das Mayersche Theorem vgl. auch noch hier 8. 539f., 542—544.

Abschnitt I, S. 164—187 ist eine Neubearbeitung von Abh. XVIII (1876) in Bd. III d. Ausg. Nur $ 3, S. 269— 272 und $5,S. 278—280 ebd. sind hier nicht mit aufgenommen, sondern erst in Abschnitt II, S. 224ff. und in Abschnitt III, S. 232 ff.

S.164, 2.7f. Mayer hatte in einem Briefe vom 9. 11. 1876 gefragt:

„Warum nennen Sie vollständige Systeme: A,(f)=0,...,4,(f)=0, bei denen A,(A,(f)) — A,(A,(f)) = 0 ist, nicht einfach Involutionssysteme ? Sie sind Ja doch lineare Involutionssysteme, und es findet gegen die allgemeinen Involu- tionssysteme: H, = a,,...,‚H,= a,, (H,H,)=0 eigentlich nur der Unterschied statt, daß die rechten Seiten O0 und keine unbestimmten Konstanten sind.‘

Lie erwiderte darauf:

„Wenn ich zuweilen das Wort Involutionssystem vermeide, so geschieht dies nur, weil ich überhaupt neue Worte womöglich zu vermeiden wünsche. Halten Sie es für unbedingt gut, den Begriff Involutionssystem explicite einzuführen ? Das Wort: Lineares Involutionssystem entspricht übrigens vollständig der vorliegenden Sache.“

Offenbar war es nurLies Scheu, neueAusdrücke einzuführen, die ihn abgehalten hatte, jedes System von r unabhängigen Gleichungen:

ET AR U RO (k=1,...,r) als ein r-gliedriges Involutionssystem zu bezeichnen, sobald alle (F,F,) vermöge: FR,=0,...,F,= 0 verschwinden. Dann würde freilich jedes r-gliedrige voll-

ständige System: A,(f) = 0 als ein r-gliedriges lineares Involutionssystem zu be- trachten sein, mögen nun die A,(A,(f)) — A,(A;(f)) alle identisch verschwinden oder nicht.

S. 164, Z. 6—15. Man vgl. hierzu die Auseinandersetzungen in Bd. III d. Ausg., S. 260f., ferner die ebd. S. 691—698 abgedruckten Briefe.

S. 164, 2. 10—13. Siehe $. 178, Satz 7.

$ 1,8. 164—169 ist eine Umarbeitung von Bd. III d. Ausg., Abh. XVIII (1876), 8. 263— 267.

S.164, 2.13 v. u.—165, Z.11 v. u. entspricht ohne wesentliche Änderungen Bd. III, S. 263f., Nr. 1.

S. 164, Satz 1. Als Merkwürdigkeit muß ich doch erwähnen, daß N. Saltykow geglaubt hat, diesen Lieschen Satz als unrichtig hinstellen zu können. Es wird ge- nügen, die Arbeiten zu nennen, in denen er das tut:

Sur l’integrale gen6rale des characteristiques, Note presentse par Goursat, 22. 2.1926, C. R. Bd. 182, S. 510.

Application des &l&ments intögrables A l’integration des &quations differen- tielles, pr6sent6e par Th. de Donder, Ac. Roy. de Belgique, Bull. de la Classe des Sc., Seance du 6.2.1926, V. Serie, Bd. XII, S. 138-146.

S. 165, Z.11—18. Wählt man das Integral in der Formel für F, so, daß es für: u=Uu),...,%4n_r = u),_, verschwindet, und fügt man als Integrationskonstante ®,(fı,...,f,) hinzu, so muß FE P,df, ein vollständiges Differential werden. Er- wähnt sei auch die Formel:

eF, u 02, vr Of: 0 of, ot; 0, 0f,/’ die aus (3) folgt und die zu demselben Ergebnisse führt.

550 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 165—172

S.165, Z. 10 v. u.—167, Z.12. Diesen ganzen Abschnitt hat Lie neu hinzu- gefügt; in Bd. III, Abh. XVIII findet sich davon noch nichts.

In Satz 2 hätte hinzugefügt werden sollen, daß f,,...,f, als von einander un- abhängig vorausgesetzt werden. Auf S.166, 2.2 v. u. wird das nämlich benutzt. Zu dem hier geführten Beweise des Satzes ist Lie offenbar durch das Verfahren an- geregt worden, das Mayer in seiner Begründung der Theorie der Berührungstrans- formationen angewendet und das Lie schon einmal (hier Abh. II, S. 110£.) bei der Behandlung eines einfacheren Falles benutzt hat. Die auf S. 526f. gemachten Bemer- kungen sind daher auch hier am Platze; insbesondere wird alles ungemein kürzer und durchsichtiger, wenn man die bilinearen Kovarianten der beiden Pfaffschen Ausdrücke in (1) zuzieht.

S. 167, Z.1. „an sich‘, das heißt: „in den u,“‘. Lie hatte geschrieben: ‚so müssen in (9) die Koeffizienten der u, sämtlich verschwinden.‘ Die gedruckte Fas- sung stammt von Mayer.

S. 167, Satz 3. Dieser Satz entspricht dem Theoreme I auf S. 265 von Bd. III, er ist aber etwas anders gefaßt, und außerdem ist jetzt der Schluß des Theorems weggelassen, nämlich die Ausdrücke für die Lösung U von (11) und für die fehlenden Lösungen von (10). Es hätte, und das gilt auch von jenem Theoreme I, ausdrücklich erwähnt werden sollen, daß: fi, ..,fq> - - -‚ /, als von einander unabhängig voraus- gesetzt werden. :

Auch der Beweis von Satz 3 ist anders als der von Theorem I, Bd. III, S. 265. Lie war genötigt, einen andern Beweis zu geben, weil er den Satz 2, ebd. S. 264, jetzt als Satz 4 erst nach Satz 3 eingereiht hat.

S. 167, 2.12—10 v. u. Das folgt z. B. aus Bd. III d. Ausg., Abh. XXI (1877), S. 322, Theorem I.

S.168, Theorem I wird in Bd. III d. Ausg., Abh. XVIII, S. 262, Z2.5—12 in etwas anderer Fassung ausgesprochen. Über den begrifflichen-Sinn des Theorems vgl. S. 250£., Note 1 und S. 587.

S. 168, Satz 4. Die neue Anordnung der Sätze, die Lie gewählt hat (vgl. die Anm. zu Satz 3), ist deshalb zweckmäßiger als die in Bd. III, Abh. XVIII, weil jetzt die beiden zusammengehörigen Sätze 4 und 5 unmittelbar auf einander folgen.

Satz 4 ist etwas anders gefaßt als der Satz 2, Bd. III, S. 264 und sein Beweis ist wesentlich kürzer als der dort gegebene.

S.168, 2.11—8 v. u. Lie hatte ursprünglich geschrieben: ‚so können die feh- lenden Lösungen durch ausführbare Operationen aufgestellt werden.“

S.168, 2.2,1v.u. Nur das zweite Zitat stammt von Lie, das erste hat Mayer hinzugefügt.

S.169, Z.4f. Lie hatte geschrieben: ‚und also kann die Integration unseres Involutionssystems geleistet werden.“

S.169, Satz 5 entspricht Bd. III d. Ausg., S. 266, Satz 3, doch ist die dort auf 2.19—21 gemachte Vorbemerkung jetzt weggelassen.

S.169, Z2.10f. Es wird also nur vorausgesetzt, daß die Gruppe: X,,...,X,; P,,..., Ps die von fı,..., f, erzeugte Gruppe umfaßt, nicht, wie Bd. III, S. 266, 2.9—7 v.u., daß beide Gruppen zusammenfallen.

$2, S.169—171 entspricht Bd. III d. Ausg., S. 267—269, doch ist die auf S. 268, 2.3 v. u.—269, Z.5 gemachte Bemerkung weggelassen, und Lie ist nirgends darauf zurückgekommen.

8.169, 2.4 v. u.—170, Z. 6. Vgl. Bd. III d. Ausg., $S. 699, 2. 24f.

S.170, Z2.7—15. Vgl. ebd. Z.26—82. Dort hätte auch noch auf Bd. III, Abh. IX, S. 103, 106 verwiesen werden sollen.

S. 170, Z.11—13. Die Worte: „so daß... besteht‘‘ hat Mayer eingefügt.

S.170, Z2.10—1 v.u. Lie hatte auf Z.15—13 v.u., übereinstimmend mit Bd. III, S. 268, Z.4f., geschrieben: ‚aufzustellen, so bilden die f, eine Gruppe, welche die kanonische Form X,,..., X, Pı,:-., P„_, besitzt und daher n-glie-

Lies neuer Fundamentalsatz. — Fktgr. und ihre ausgez. Fkt. 551

drige“‘. Da Mayer diese Behauptung begründet zu sehen wünschte, teilte ihm Lie daraufhin brieflich die jetzige Anmerkung mit und ordnete zugleich die Änderung des Textes an.

S.171, Z.13—18. Der Absatz Bd. III, S.268, 2. 19-23 ist hier etwas ge-

ändert. S. 171, 2.12, 11 v.u. Die Worte: ‚es ist leicht .... Fall ist‘ hat Lie neu hinzu-

gefügt. Ist zum Beispiel: fi = p, und setzt man K ...,fn+ı der Reihe nach = 195: 2m, PaPa, 80 bilden fı, fa, -- +» /n+ı Keine Gruppe, während die Iden- tität:

>

3 RE Dprdr = — zdpı + Dr,at, +0.dfn+ı + d(zıPı) k 2

besteht.

S. 171, 2.10 v. u. Hier hätte ich, wie in Bd.III, S.268, 2.8 v. u., vor „einige“ einschalten sollen: [eine oder].

$3, S. 171—175. In Bd. III d. Ausg. "Abh. XVIII findet man vor diesem Paragraphen auf $. 269—272, einen andern: „Neue Begründung des aufgestellten Theorems‘‘, der jetzt erst im zweiten Abschnitte, in $ 14, auf S. 224—229 erscheint. Der jetzige $ 3 bringt den Inhalt von Bd. III, S.273—275, aber in sehr veränderter Fassung. Die dortigen Entwickelungen S. 273f., Nr. 14, die an ein spezielles Integrationsproblem geknüpft werden, sind jetzt von diesem zufälligen Ursprunge befreit und erscheinen in Satz 6, S. 171£. als eine Untersuchung über die ausgezeich- neten Funktionen einer beliebigen Funktionengruppe.

Die Betrachtungen auf S. 172 können auch folgendermaßen dargestellt werden. Die Gleichungen (2,f) = 0 haben die Eigenschaft, von allen r Funktionen f = fı,.. -, f, befriedigt zu werden; andererseits besitzen sie die Form:

ER 5 2, > 7 h=0 ah k Ti

gehören also dem r-gliedrigen vollständigen Systeme: (f,.f)=0 an. Wenn man nun in dieses vollständige System die neuen Veränderlichen f,,, vu, einführt und dann die Ableitungen nach f,,.... ., f, eliminiert, so kommt das darauf hinaus, alle dem voll- ständigen Systeme angehörigen Gleichungen aufzustellen, die fj,...,f, zu Lö- sungen haben. Dabei versteht es sich von selbst, daß die Gleichungen, die man durch diese Elimination findet, wieder ein vollständiges System bilden. Der Umstand end- lich, daß man dabei gerade m unabhängige Gleichungen findet, beweist, daß man ein mit dem Systeme: (2,f) = 0 äquivalentes System bekommt.

Diese andere Darstellung des Inhalts von S. 172 wird uns später von Nutzen sein. :

In Bd. III, S. 700, 2.18 v.o.—1 v.u. habe ich gezeigt, daß es möglich ist, ein mit dem Systeme: (Q,f)=0,...,(2,f) = 0 äquivalentes vollständiges Sy- stem aufzustellen, ohne daß man nötig hat, erst neue Veränderliche einzuführen. Ich werde das jetzt auf einem anderen, einfacheren Wege zeigen, der sogar erlaubt, dieses vollständige System wirklich hinzuschreiben.!)

Es sei u,, ...., u, eine r-gliedrige Funktionengruppe, die gerade m unabhängige ausgezeichnete Funktionen enthält. Bestehen dann die Relationen:

(1) (u,u;.) = O;% (U, 0.7 u,) wWi=h..;r),

1) Das im folgenden auseinandergesetzte Verfahren hat bereits E. Goursat angegeben, allerdings ohne die hier auftretenden unendlichen kontinuierlichen Grup- pen zu erwähnen. Vgl. seine Lecons sur l’integration des &quations aux derivees partielles du premier ordre. Paris 1891, $S. 312f. und die deutsche Übersetzung von Maser, Leipzig 1893, S. 304.

552 Anmerkungen zu Abhandlung III, 8. 12—175°

so verschwinden in der Determinante der o;, alle (r — m + 1)-reihigen Determi- nanten, nicht aber alle (r — m)-reihigen, und dabei ist r— m eine gerade Zahl (s. Abh. I, S.42f., Nr. 25, S. 48, Satz 38).

Zu unserer Funktionengruppe gehören nun mehrere unendliche kontinuier- liche Gruppen in den Veränderlichen z,,..., &n» Pıs - - -» Pn-

Zunächst bestimmen alle der Funktionengruppe angehörigen Funktionen U (u,,...,u,) eine unendliche Gruppe von Berührungstransformationen in den ı,p, deren infinitesimale Transformationen die Form:

@) (UN= Ss N) Zu,

besitzen. (Th. d. Trfsgr., Bd. II (1888), S. 289£.) Erinnert man sich sodann, daß die r Gleichungen:

(3) WM... 0

ein r-gliedriges vollständiges System bilden (Abh. I, S. 39, Satz 24), so erkennt man, daß auch die Schar aller infinitesimalen Transformationen von der Form:

, 1i..% (4) RE u Bes Bis = Deus P) k

aus den infinitesimalen Transformationen einer unendlichen kontinuierlichen Gruppe besteht. Zwei infinitesimale Transformationen von der Form (4) liefern nämlich durch Klammeroperation stets wieder eine infinitesimale Transformation von der- selben Form.

Endlich bestimmt auch die Schar aller infinitesimalen Transformationen von der Form:

1 RR (5) Pr, 54.) (Urf)

eine ae kontinuierliche Gruppe.

Die infinitesimalen Transformationen (4) sind im Ale an keine ‚Berüh- rungstransformationen in den z, p; die Funktionengruppe u,,..., u, lassen sie nicht invariant, dafür aber das vollständige System (3).

Die infinitesimalen Transformationen (5) lassen sowohl die Funktionengruppe: U,...,4u, als das vollständige System (3) invariant. Auch sie sind im allgemeinen keine Berührungstransformationen in den z, p, aber sie transformieren die Elemente x,p jeder Mannigfaltigkeit: u, —= const.,..., u, = const. genau so, wie gewisse infinitesimale Berührungstransformationen i in . den x,p.

Es ist nun ganz der Denkweise Lies gemäß!), bei jeder dieser Gruppen nach allen ihren infinitesimalen Transformationen zu fragen, die alle Funktionen: U,...,u, unsrer Funktionengruppe invariant lassen. So führt die Frage nach allen infinitesimalen Transformationen (2), die v,,..., u, invariant lassen, sofort zu den ausgezeichneten Funktionen der Funktionengruppe, und es ist das auch wohl eben der Weg, auf dem Lie zu dem Begriffe der ausgezeichneten Funktionen gekommen ist. Andrerseits liegt jene Frage hier bei der Gruppe (4) besonders nahe. Sind näm- lich 2,,..., 2, unabhängige ausgezeichnete Funktionen unsrer Funktionengruppe, so ist:

1...m (6) DC EL, u

1) Vgl. mein Vorwort zu Bd. VId. Ausg., S. IX.

Das vollst. Syst. (2.f) = 0, wenn die 2. die ausgez. Fkt.e. Fktgr. 553

bei beliebiger Wahl der #, stets eine infinitesimale Transformation von der Form (4), die u,,.. ., u, invariant läßt.

Um alle infinitesimalen Transformationen (4) zu finden, die u,,...,u, in- variant lassen, müssen wir X,,..., X, in allgemeinster Weise so bestimmen, daß der Ausdruck (4) für f= u,,...,u, verschwindet. Für m=r sind nun alle o,, = 0,

und unsre Forderung ist für beliebige X, erfüllt. Wir brauchen daher bloß den Fall: m < r zu betrachten und erhalten die Bedingungen:

ER (7) IR,0,.0,:..,) 0 y=1,...,n. k Nehmen wir aber, wie offenbar erlaubt ist, an, daß die Determinante der o,, (i,k=1,...,r—m) nicht verschwindet, so bestehen Identitäten von der Form: rm (8) ®,_n+Jrv = Sn, (Un, -.., % r) ®, gal.ssM;vel,..,r),

wo die ,. ganz bestimmte Funktionen sind, die wir mit Benutzung von Determi- nanten oder noch besser von Jacobischen Symbolen sofort hinschreiben können. Hieraus folgt zunächst, wenn wir uns der Identität: ®&,,+ ®;;=0 erinnern, daß die Gleichungen (7), die den Wertenv»=r—m-+1,...,r entsprechen, eine Folge der übrigen sind und daher weggelassen werden können. Ferner ergibt sich, daß die r — m ersten Gleichungen (7) die Form:

l...r— m |

Sa + 29%, m+]@r—0 #=1,...,r—m) k 3

erhalten, wo offenbar die Koeffizienten der &,, verschwinden müssen. Es bleiben demnach m von den X willkürlich, und die allgemeinste infinitesimale Transfor- mation (4) von der verlangten Beschaffenheit hat die Gestalt:

2.40, 9 .r—- m

(9) Senn = IPyala... dr) (wn); J

Da andrerseits unter diesen infinitesimalen Transformationen alle von der Form (6) enthalten sein müssen, so können wir schließen, daß die beiden Scharen (6) und (9) zusammenfallen, daß also das m-gliedrige vollständige System: (2,f) = 0 mit dem Gleichungssysteme:

l...r—m

(10) mM — pr lan) ur 0 (=1...,m) k

äquivalent ist.

S. 173, 2.1—12. Vgl. hierzu S. 175, Z.1—11. In Bd. III, S. 273 wird die Zahl der2n —q—r fehlenden Lösungen des vollständigen Systems: (,f)=0,.. ., (f,)=0 mit m + 21 bezeichnet, es ist also: n—t— ga — m=n—r+t=!I. Die Zahl 2’ m, hier Abh.I, S.66, ist jetzt = r—.q.

8.173, 2.5—1 v.u., 8.174, Z2.6—1 v.u. Auf Grund einer Frage, die Mayer gestellt hatte, hat ihm Lie den Wortlaut dieser Anmerkungen brieflich mitgeteilt.

8.174, 2. 8—19. Die Betrachtungen Bd. III, S. 274, Z.15—10 v. u. sind hier etwas näher ausgeführt. Man beachte, daß die Differenz und also auch die Summe der beiden Zahlen r + s und g-+ m + m’ gerade ist.

S. 174, Z.15—7 v. u., 175, S. 1—11 sind neu hinzugefügt.

S. 174, 2.6—1 v. u., siehe die Anm. zu $. 173, 2.5—1v.u.

8.175, 2.9 v.u. Ist m + 21 die Zahl der fehlenden Lösungen, so ist:

2n —q—s—m=2l.

554 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 175—187

$ 4, S. 175—178 entspricht Bd. III, S. 275—277.

S.176, 2.2—12. Der ganze Satz: „Hierbei ... hat‘ ist von Mayer hinzu- gefügt. Lie hatte ihm, wohl im November 1876, auf seine Anfrage erwidert:

„Ich erinnere die Stelle nicht vollständig. Doch bin ich überzeugt, daß Ihr Vorschlag, gegen den ich jedenfalls nichts einzuwenden habe, ein Fortschritt ist. Also fügen TG ohne weiteres zu, was Sie für gut halten.‘

S. 176, 2.13, 12 v.u. Merkwürdigerweise unterläßt es Lie auch hier wieder, die jetzt erforderlichen Integrationsoperationen mit denen zu vergleichen, die er in Abh. VII von Bd. III (S. 56, Satz 1) und in Abh. I des vorliegenden Bandes (S. 66, Theorem XV) brauchte. Man erinnere sich aber, daß die Bestimmung der ausgezeich- neten Funktionen, die damals noch erforderlich war, jetzt nicht mehr nötig ist.

S. 177, 2.6. Diese Zeile hat Mayer hinzugefügt.

S. 177, 2.3 v. u.—178, Z.1. Lie hatte ursprünglich geschrieben:

„Also verlangt die Integration unseres Involutionssystems gleich viele und schwierige Integrationen, wenn 4 und wenn 5 Lösungen fehlen.

„Hier möge noch der folgende allgemeine Satz, der unmittelbar aus Theorem II hervorgeht, seinen Platz finden.“

S. 178, Satz 7. Man vgl. S. 164, Z. 10—13. Vielleicht wird der Sinn des Satzes deutlicher, wenn man etwas mehr auf die Einzelheiten eingeht, etwa so:

Fehlen von den Lösungen des Systems:

(hf) =0,..., AM)= 0, wo: (Fıfr) =0,

noch gerade r, und ist m die Anzahl der unabhängigen ausgezeichneten Funktionen, die die Gruppe der bekannten Lösungen außer: fi, - - -, f„ enthält, so str Z m und die Differenz r — m ist stets gerade. Die Bestimmung der fehlenden Lösungen erfordert dann im ungünstigsten Falle die Operationen: r —m,r — m —2,...,4,2, sie hängt also nicht von der Zahl r, sondern nur von der Differenzr — m ab. Mag daherr = 2r'+1 oder = 2r’ sein, so hat die erste erforderliche Operation stets eine der Ordnungen: Zr’, ’ — 2, ...,2,0,

Die allzu knappe Fassung des Satzes 7 ist nur zu geeignet, die falsche Vorstel- lung zu erwecken, als ob, wenn die Zahl der fehlenden Lösungen ungerade ist, die Auffindung einer neuen Lösung keine Vereinfachung mit sich brächte.

S.178, Nr.9. Vgl. Abh. I, S.3f., 73—77 und meine Anmerkungen 8. 476 bis 480. Siehe auch Bd. III d. Ausg., S. 701, Z. 23—20 v.u.

$ 5, S. 178—187 ist eine wesentlich vervollständigte Umarbeitung von Bd. III, S. 230-284, während der Inhalt von Bd. III, S. 278—280 erst im dritten Abschnitt, S. 232ff. verwertet wird.

S. 179, Satz 8. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 701, 2.8—6 v. u.

S.179, Satz 9 entspricht dem Satze 5, Bd. III, S.281. Den damaligen unzu- reichenden Beweis (s. a.a. O. S. 702) hat Lie jetzt durch einen einwandfreien er- setzt.

S. 180. Der Hilfssatz ist neu hinzugefügt.

S.181, Satz 10 entspricht Bd. III, S. 282, Satz 6. Der dort gegebene unzu- reichende Beweis (s. a.a.O. S. 702, Z.14—9 v. u.) ist jetzt durch einen einwand- freien ersetzt.

S.181, 2.11. Die Verweisung auf Satz 1 hat Mayer hinzugefügt.

S.182, Z.20f. Lie hatte geschrieben: ‚‚wissen wir, daß die K die fehlenden“ und: „die Verhältnisse der K‘“.

S.182, 2. 23—25. Diese Lösungen nullter Ordnung liefern gleich willkürlichen Konstanten gesetzt die charakteristischen M,„ des Involutionssystems: N, = a,,

‚N,=0:

S. 1821. Korollar. Im ersten Falle stützt man sich auf Satz 8, S. 179 und auf Theorem III. Wie man im zweiten Falle verfahren kann, ist Bd. III d. Ausg., 8.702, 2.3 v.u.—703, 2.18 v. u. auseinandergesetzt.

Gleichungen, die in den p homogen sind 555

S. 183—187 geben eine ausführliche Darstellung dessen, was in Bd. III, S. 283f., Nr. 22 nur ganz kurz angedeutet ist.

Da nach $S.183, 2.3—5 die Theorien von $ 3, S.171—175 auf den vorliegenden Fall übertragen werden sollen — und da diese Theorien auf dem Satze 6, S. 171f. beruhen, so wird es zweckmäßig sein, sich zunächst klar zu machen, welche Besonder- heiten dieser Satz darbietet, wenn die darin betrachtete Funktionengruppe homogen ist. Wir gestalten zu diesem Zwecke die auf S. 55lff. in den Anmerkungen zu $3 gemachten Entwickelungen so um, wie es der Fall einer homogenen Gruppe erfordert.

Ist die r-gliedrige Funktionengruppe: u,,.... ., u, homogen, so kommen zu den Gleichungen: (1) (uUr) = @;p(Uı,. - -, ur) (yk=1,...,r) noch solche von der Form:

EN eu;

(2) SP, 5, = Wi ltr...) =1,°.:,,7) v P,

hinzu.

Hat die Gruppe gerade m unabhängige ausgezeichnete Funktionen, ist also der Rang der Determinante der w,, gleich r — m, so sind zwei Fälle denkbar, je nachdem die Matrix:

| | | BaAF,:..,r) |

den Rangr —m--1 oder ebenfalls den Rang r — m hat. Im ersten Falle enthält die Gruppe gerade m — 1 unabhängige ausgezeichnete Funktionen nullter Ordnung und eine davon unabhängige ausgezeichnete Funktion, die man von der ersten Ord- nung wählen kann. Im zweiten Falle sind alle ausgezeichneten Funktionen solche von nullter Ordnung (Abh. I, S. 83f.).

Setzen wir, wie auf $S. 553, voraus, daß m< r ist und daß die Determinante der @;; (i,k=1,...,r—m) nicht verschwindet, so bestehen in beiden Fällen Rela- tionen von der Form:

l...r—ıu

8) mr DS Pu (Uır..,%,)@,, Uel.,mirzl..6sT). £ u

Zu diesen kommen im zweiten Falle noch gewisse Relationen:

en

(4) o,= Ip, (u, ..,%,) ©), (r=1,...,r) u

Im ersten Falle aber können wir annehmen, daß die Determinante: | Diiyr+e, rm di | (i=1,.,r-n+])

nicht verschwindet, und sind dabei sicher, daß keine Relationen von der Form (4) bestehen. Hier können wir übrigens nachträglich die Beschränkung m < r fallen lassen. Für m = r sind nämlich alle ®,, = 0, und im zweiten Falle auch alle ©;.

Unsere Funktionengruppe gestattet, wie wir wissen, alle infinitesimalen Trans- formationen von der Form:

Lur I Pr) uf), k und das r-gliedrige vollständige System: (5) Wf)=0,...,wf)=0

556 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 183—187

‚gestattet sogar alle infinitesimalen Transformationen:

, KERPEN: (6) Klar m Par Pf).

Es ergibt sich ferner, genau wie auf 8.553, daß die allgemeinste infinitesimale Transformation (6), die u,,....., u, alle einzeln invariant läßt, in der Form:

1..r—m

Ber (7) BP -m+5(2;P) (u-_m+:ND — DI Pr (u) (urf) 3 k

enthalten ist, und zwar gilt das, mag nun der erste oder der zweite der vorhin unter- schiedenen beiden Fälle vorliegen. Wir wissen außerdem, nach S. 553, daß die in- finitesimalen Transformationen (7) gleich Null gesetzt ein m-gliedriges vollständiges System liefern.

Infolge ihrer Homogeneität gestattet aber unsre Funktionengruppe auch noch die infinitesimale Transformation:

AN BP

Es ist klar, daß das vollständige System (5) und die Schar der infinitesimalen Trans- formationen (6) ebenfalls die Eigenschaft haben, bei der infinitesimalen Transfor- mation A (f) invariant zu bleiben, wie überdies auch aus der Beziehung:

(8) Auf) — (u, AM) = (A (u;) — ur, f) = (@E — Urs f)

(s. Bd. III, S. 66) hervorgeht. Ja wir können sogar behaupten, daß auch die Schar der infinitesimalen Transformationen (7) bei A (f) invariant bleibt. Es folgt das ein- fach daraus, daß die Schar (7) aus allen Transformationen der Schar (6) besteht, die jede Funktion von u,,..., u, invariant lassen, während A (f) die Schar (6) invariant läßt und die Funktionen von u,,..., u, unter einander vertauscht.

Dabei bleibt noch die Frage offen, ob A(f) eine neue infinitesimale Transfor- mation oder schon in der Schar (6) enthalten ist. Wir müssen daher untersuchen, wann das eine und wann das andere eintritt.

Soll A(f) der Schar (6) angehören, so ist notwendig und hinreichend, daß eine Identität von der Form:

.r—m . m 1..r—-m (9) DES TAG p) (urf) + 3% m +5 (% P) (ums pre) (un!

besteht. Setzt man aber darin: f = u,, so ergeben sich die Bedingungen:

tum

10) en, xy (v=1,...,r),

die nach dem früheren nur in dem zweiten unserer beiden Fälle erfüllbar sind und Y.= 9,(u) liefern, während sie in dem ersten Falle niemals erfüllt sein können. Besteht andererseits im zweiten Falle wirklich eine Identität (9), so sind die Funk- tionen: %,...,%„_, der reziproken Funktionengruppe alle von nullter Ordnung und liegen paarweise in Involution. Die reziproke Gruppe besteht daher aus lauter ausgezeichneten Funktionen und fällt mit dem Inbegriffe aller ausgezeichneten Funktionen der Gruppe: “,,..., u, zusammen. Es ist demnach: m = 2n —r, und, dam<ris,r>n.

Umgekehrt : folgt aus m = 2n —r, daß die reziproke Gruppe aus den ausge- zeichneten Funktionen der Gruppe: u,,..., u, besteht. Sind daher alle ausgezeich-

Homogene Fktgr. u. ihre ausgez. Fkt. D57T

neten Funktionen von nullter Ordnung, so zieht das vollständige System (5), das die reziproke Gruppe definiert, die Gleichung A(f) = 0 nach sich, und es besteht eine Identität von der Form (9). In dieser ist P,(z, p) = p,(W) (k=1,...,r— ın),

und dadurch ist (9) für f=w,,...,u, identisch erfüllt. Um die m Funktionen Y,_m4+; zu finden, wähleman 2n —r — m Funktionen: w,,...,w,, der z,p, die von %,...,u, unabhängig sind. Für f=w,,..., w,, erhält man dann aus (9)

m lineare Gleichungen, die die X, _„,..; bestimmen.

Sind also die ausgezeichneten Funktionen der homogenen Funktionengruppe: Urs.» .,u, nicht alle von nullter Ordnung, so gehört die infinitesimale Transformation A(f) niemals der Schar (6) an. Sind sie alle von nullter Ordnung, so gehört A(f) der Schar (6) dann und nur dann an, wennr Zn ist, und die Funktionengruppe: u,,...,U, gerade Zn — r unabhängige ausgezeichnete Funktionen enthält.

Sehen wir jetzt von dem Falle ab, daß m = 2n —r, und daß alle ausgezeich- neten Funktionen von nullter Ordnung sind, so ist:

no (10) X(2,p)AN)+ Kl, p)(urf)

eine von (6) verschiedene Schar von infinitesimalen Transformationen, die das voll- ständige System (5) invariant läßt. Es ist auch klar, daß diese infinitesimalen Trans- formationen (10) eine unendliche kontinuierliche Gruppe erzeugen; denn zwei infini- tesimale Transformationen (10) liefern durch Klammeroperation stets wieder eine von der Form (10). Außerdem versteht es sich von selbst, daß die Schar der infinitesi- malen Transformationen (10) bei der infinitesimalen Transformation A (f) invariant bleibt.

Geradeso wie auf S. 553 fragen wir nun nach allen infinitesimalen Transfor- mationen (10), bei denen u,,...,u, invariant bleiben. Dabei ist von vornherein klar, daß der Inbegriff der so definierten infinitesimalen Transformationen bei der in- finitesimalen Transformation A(f) invariant bleibt und daß er gleich Null gesetzt ein vollständiges System liefert.

Da alle infinitesimalen Transformationen von der Form (7) schon die verlangte Eigenschaft besitzen, so können wir in (10) alle X,_ „+35 = 0 setzen und brauchen bloß die Gleichungen:

1...r—-m

Xo,+ I X,0,,=0 (vel,..,r) k

zu befriedigen. Das ist aber in dem ersten der früher unterschiedenen beiden Fälle unmöglich, während in dem zweiten Falle: X, = — 9,X sein muß.

Enthält daher die homogene Gruppe u,,..., u, nicht lauter ausgezeichnete Funk- tionen nullter Ordnung, so sind die infinitesimalen Transformationen (7) die einzigen von der Form (10), die u,,..., u, alle einzeln invariant lassen. Sind dagegen alle aus- gezeichneten Funktionen von nullter Ordnung und ist ihre Zahl m < 2n —r, so läßt, außer den infinitesimalen Transformationen (7), auch noch jede von der Form:

1..r—-m (11) X (2, p) (4 N — Ip (u) D) k

die Funktionen u,,.. .,u, einzeln invariant, und diese infinitesimalen Transforma- tionen gehören nicht der Schar (7) an. Ist endlich im zweiten Falle m =2n —r, so gehören die infinitesimalen Transformationen (11) alle der Schar (7) an.

Sind nun: Q,,...,@2, unabhängige ausgezeichnete Funktionen der Gruppe: U),...,%,,80o kann man das m-gliedrige vollständige System:

(12) | AN I EN,

558 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 183—187

ohne diese ausgezeichneten Funktionen selber zu kennen, in der Form:

kaufm

(13) (u,_m +34 — DI 9) (urf) = 0 BERN k

hinschreiben und kennt von dem Systeme (13) die r unabhängigen Lösungen: Us. +, %,. Ist insbesondere m = 2n — r, so kennt man alle Lösungen des Systems (13). Sind die ausgezeichneten Funktionen nicht alle von nullter Ordnung, so läßt sich nichts weiter aussagen. Sind sie dagegen alle von nullter Ordnung, so befriedigen U,...,u, außer den Gleichungen (13) auch noch diese:

as) re Px(u) (ur) = 0.

Ist überdies m < 2n — r, so bildet (14) mit (13) zusammen ein (m + 1)-gliedriges vollständiges System mit den bekannten Lösungen: u,,..., u,. Ist aber m = 2n—r, so gehört die Gleichung (14) dem vollständigen Systeme (13) an.

In dem letzten Falle, wo m = 2n—r ist und alle ausgezeichneten Funktionen von nullter Ordnung sind, ist r = 2(n — m) + m, also hat die Gruppe: u,,..., u, die kanonische Form:

Be. PER BNRE. CURSE RER ER. EN: FOREN PERETOT: 26

und enthält n-gliedrige Involutionssysteme nullter Ordnung.

Erinnert sei noch daran, daß r — m gerade, also etwa =2l undm+I<n (Abh. I, S. 48, Satz 38 und S.59). Sind nun alle ausgezeichneten Funktionen von nullter Ordnung und ist 2n —r> m, so ist (13), (14) ein (m + 1)-gliedriges voll- ständiges System, von dessen Lösungen r bekannt sind. Unbekannt sind daher: 2n — m —r—1=2(n — m —I)—1, also eine ungerade Zahl und immer min- destens eine.

Da jedes der vollständigen Systeme (13) und (13), (14) die infinitesimale Transformation A(f) gestattet, so liefert jedes durch Hinzufügung der Gleichung A(f)=0 ein vollständiges System, dessen Gliederzahl um 1 größer ist. Aber diese vollständigen Systeme kommen hier nicht in Betracht, da sie nur dann alle r Funk- tionen uU,,...,u, zu Lösungen haben, wenn u,,...,u, alle von nullter Ordnung sind und also die Gruppe u,,...,u, ein Involutionssystem ist. Dagegen zeigt die Eigenschaft von A (f), daß immer, wenn v eine Lösung eines der beiden vollständigen Systeme ist, auch A (v) das betreffende vollständige System befriedigt.

Aus dem Umstande endlich, daß das vollständige System (13) in der Form (12) darstellbar ist, können wir schließen, daß immer, wenn v und w zwei Lösungen von (13) sind, auch (vw) eine Lösung ist. Sind dagegen v und w zwei Lösungen des vollständigen Systems (13), (14), so kann man mit Sicherheit nur behaupten, daß (vw) eine Lösung von (13) ist.

S.183, Z.7£. Hierin liegt, daß r + 1 — g’ gerade ist, r — q’ ungerade.

S.183, 2.22. Lie hatte geschrieben: „mit r unabhängigen Variabeln g’ ge- meinsame‘,

S. 183, 2.19—832. Da (N,N,.) homogen von (— 1)-ter, (N,H) von nullter Ord- nung ist, so bestehen Relationen von der Form:

(N,N,)= 9r.(N1,:.,N,):H, N H)=9(WNh,...,N,).

Die r—+ 1 Gleichungen auf Z.21 müssen nun, wenn man U als Funktion von N,,...,N,, H betrachtet, gerade g’ unabhängige Lösungen gemein haben, die nur von N,,..., N, abhängen; sie bestimmen also in N,,...,N,,‚Hein(r—dQ’-+1)- gliedriges vollständiges System, das die Gleichung 9U:9H = 0 nach sich zieht, und in N,,...,N, allein ein (r — q’)-gliedriges vollständiges System. Demnach hat

Homogene Fktgr. u. ihre ausgez. Fkt. 559

die Matrix V den Rang r — g’, die Determinante, die aus den r + 1 ersten Reihen von M besteht, und die Matrix M selber haben den Rangr —d’ +1. S.184, 7.2—4. Die im Satze 11 eingeführte Zahl g’ ist also in unserem Falle

4m. S. 184, Z. 5ff. Ursprünglich hatte Lie hier geschrieben: „Ich stelle das vollständige System):

+ 0 ® (18) (N,®d)—=0,..., (N,®8)=0, (H®)—0, 5-0 auf und führe anstatt z,,.. ., 2,» Pıs - - -, P„ neue unabhängige Variabeln ein, .. .“ Dabei verband er, wie er gewöhnt war (vgl. S. 490), mit der Aussage, daß diese r-- 2 Gleichungen: ein vollständiges System bilden, die Voraussetzung, daß die Gleichungen von einander unabhängig sind. Mayer machte in seinem Briefe vom 2. 11. 1876 auf diesen Punkt aufmerksam: „Das System (13) ist vollständig doch deshalb, weil andernfalls die Gruppe

N,,...,N,, H, die nach Voraussetzung m + q ausgezeichnete Funktionen enthält, n-gliedrige Involutionssysteme enthalten müßte (indem 2n — (r+1) dann = m -+- q wäre) und daher das Involutionssystem: N, = a,,..., N, = a, nach Satz 4

vermöge einer Quadratur integrierbar wäre ?“

Lie erwiderte:

„Fügen Sie zu, was Sie wünschenswert finden,‘ und auf Grund dieser Ermächtigung schaltete Mayer die jetzigen Zeilen 5—21 ein, während er das, was jetzt auf $S. 184, 7. 21—185, Z. 22 steht, ohne wesentliche Ände- rung, nach Lies Manuskript abdruckte.

S.185, 2.14 v. u. Diese Zahl ist ungerade, dajar +1 — ’ =r+1-— (g+m) gerade ist.

S.185, 2.13—11 v. u. Das ‚wiederum‘ hat Mayer hinzugefügt. Lie stützt sich auf S. 173, Z.15—25.

S.185, 2.9 v. u.—187, Z.11. Gegen die ursprüngliche Fassung dieses ganzen Absatzes hatte Mayer in seinem Briefe allerhand Bedenken geäußert und Änderungs- vorschläge gemacht. Lie schickte ihm daher eine neue Fassung für einen Teil des Absatzes, indem er hinzufügte:

„Den Schluß dieser Theorie mögen Sie nach Ihrem Vorschlage ändern. Bei die- sem Punkte ist indes noch eine kleine sachliche Lakune.“

Lies neue Fassung hat Mayer für den Druck umgearbeitet. Seine Um- arbeitung steht jetzt S. 185, 2.9 v. u.—186, 2.9 v.u.

S.186, 2.8—1 v.u. hat Mayer neu hinzugefügt und S. 187, Z.1—11 hat er nach Lies Manuskript ohne wesentliche Änderungen abgedruckt.

Ich teile im folgenden alles mit, was in Lies ursprünglicher Fassung zwischen 5.185, 2.10 v.u. und $. 187, Z.1 des jetzigen Abdruckes gestanden hat:

„Um dies nachzuweisen, wenden wir die folgende Überlegung an:

„Führten wir in die Gleichungen:

e® (13) }) (N,®)=0,...,(N,®)=0, (HO)=0, Ip a statt 2,,..., Zn» Pıs + +, P„) nicht die Größen:

Ns D. Hi 0....,

1) Im Drucke haben diese Gleichungen die Nr. (14) erhalten; ursprünglich hatten sie die Nr. (13). Lie schreibt darüber an Mayer:

„Ich komme darauf zu denken, daß die Numerierung der Formeln Ihnen wohl wegen der Änderungen Schwierigkeiten macht. Aber einerseits gibt es bei mir häufig unnötige Nummern, andererseits kann man jedenfalls so viele Nummern, wie man will, ausschalten. Also handeln Sie nach Gutdünken.“

Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. IV 36

560 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 185—187

sondern etwa: N,; 1 a .0.*

als unabhängige Variabeln ein, so würden wir, indem wir im übrigen wie soeben ver- fahren, g+ m + 1 Gleichungen der Form:

o® = I WlNn N. H,0,0n..) 2 = erhalten. Drücken wir nun wieder hier die v, als Funktionen von N,,...,N,,H, U),Ug,... aus und behandeln dabei die N, und H als Konstanten, so erhalten wir wieder die alten Gleichungen B,® —=0.

„Dies vorausgesetzt, sei X,,..., u. IE ER ONE ET ET die kanonische Form der Gruppe N,,.. u H, so daß die Gleichungen (13) = Form:

a, 2a, a 2.2, er Pe > annehmen, und laß uns ein System kanonischer Variabeln: BI IN

als neue Variabeln einführen. Eliminieren wir sodann die Differentialquotienten von

® hinsichtlich X,,...,Xg, Patmz+1>:::, Py, So erhalten wir als Gleichungen C,‚D=0dieg+m 4 1 folgenden: ken

od od od

5 =0, » 93T =(, r av. =(,

oP, ÖPa+m "or,

k=y+l deren allgemeine Lösung die Form: Pils RR: (:) Mn un ne » ) Pn Pn

besitzt. Folglich besitzt auch die allgemeine Lösung der Gleichungen B,® = 0 diese Form. Sei ®, eine solche Lösung, die mit BIN RE 4

a» Parmın:» P

eine Gruppe bildet. Diese Gruppe enthält dann offenbar (Math. Ann. Bd. VIII, p. 263, Satz 44 [hier S. 53]) eine Funktion der Form:

’ P, P w(X, en Kam Ben = n die eben eine ausgezeichnete Funktion nullter Ordnung der neuen Gruppe ist.

„Gehen wir nun weiter nach den Regeln der Nummer 7, so ist es klar, daß die Ordnung der nächsten Integrationsoperation um zwei Einheiten geringer als die- jenige der ersten Operation sein wird.‘

Mayer hatte in seinem Briefe vom 2. 11. 1876 folgendes gegen diese Fassung eingewandt:

„Hier verstehe ich nicht eigentlich den Zweck jener Überlegung, wo Sie in die Gleichungen (13) statt der z,p nicht N,,...,N,,H,u,,U,,..., sondern andere Größen: N,,...,N,,H,v,,d,,... als unabhängige Variable einführen. Sie be- nutzen ja beim Beweis nicht, daß man zum selben Resultate gelangen muß, wenn man in den Gleichungen (13) selbst andere Variable statt der u einführt, sondern Sie ersetzen vorher noch die r + 1 ersten Gleichungen (13) durch die äquivalenten:

&K9)=0,...,X,8)=0,(P md) =0,...,(Py®)=0,

a’

Die Fktgr. der bek. Lös. enthält nur ausgez. Fkt. nullter O. 561

die übrigens doch erst nach Einführung der kanonischen Variabeln X,,...,P, die Form:

oe _)

a annehmen.‘

Mayer erklärt ferner, er könne nicht einsehen, wie die Form Y jener Funktion herauskomme, und endlich meint er, wenn man eine Lösung ®, der Gleichung B,(®) = 0 gefunden habe, die mit N,,...,N,, H eine Gruppe bildet, dürfe man doch nicht nach den Regeln von Nr. 7 weitergehen, wenn man die nächste Integra- tionsoperation um 2 Ordnungen niedriger haben wolle als die erste, sondern man müsse zu diesem Zwecke nur dasselbe Verfahren wie beim ursprünglichen Probleme nun- mehr auf das durch den Übergang von r undminr-+ 1 und m- 1 reduzierte Problem anwenden.

Man kann nicht leugnen, daß Mayers erster Einwand die Mängel von Lies ursprünglicher Darstellung treffend hervorhebt. Er hat ja auch bewirkt, daß Lie eine wesentlich abgerundetere und lesbarere Darstellung gegeben hat. Ebenso trifft der dritte Einwand zu, da in Nr. 7 die Vereinfachung, die in dem vorliegenden Falle eintritt, noch gar nicht berücksichtigt ist, die Vereinfachung nämlich, daß man eine Lösung ®, sucht, die nicht bloß die Gleichungen (16), sondern noch eine Gleichung mehr befriedigt.

Dagegen ist Mayers zweiter Einwand nur der Form nach berechtigt, trifft aber das Wesen der Sache nicht. Lie hat nämlich einfach vergessen, in Y die Argu- mente: X, 41, + + -, X, hinzuzufügen. Tut man das, so ist alles in Ordnung.

Es ist sogar zu bedauern, daß Lie durch Mayers Einwand veranlaßt worden ist, auf die Benutzung des Satzes 44, S.53 zu verzichten. Gerade die Verwertung dieses Satzes oder noch. besser des Satzes 43, S. 52, Z. 10—14 ist für Lies Ge- dankengang von Bedeutung. Man wird das noch besser erkennen, wenn man die nachfolgenden Ausführungen von Lie liest, die ursprünglich in seinem Manuskripte zwischen den auf S. 560 abgedruckten Zeilen 13 und 12v.u. standen, die aber, wie es scheint, schon von Lie selber, nicht von Mayer gestrichen worden sind:

„Bilden: X,,...,Xg, Parm+ı> - - - P, und ®, keine Gruppe, so sei:

(-) a ED

die durch jene Größen bestimmte Gruppe, in der auch ®,,...,®, die Form (:) be- sitzen. Diese neue Gruppe zerlege ich nach der in meiner Invariantentheorie der Be- rührungstransformationen (Satz 43) angegebenen Regel in zwei involutorische Grup- pen. Zu diesem Zwecke setze ich, indem ich mit W eine beliebige Funktion der Gruppe (-) bezeichne:

KormıW)=0,..., KW) = 0, (Prima M)=0,...,(P-W)=0.

Diese Gleichungen haben g+ m + s Lösungen: W,,...,W,:m.s der Form: Wwix X X x Przı en u ee De ER IE u 20 ‚

die nach meinem soeben zitierten alten Satze eine Gruppe bilden, die mit der Gruppe:

DEN LI. GORE =,

RT ge

in Involution liegt. Nun aber sind die Größen W sämtlich von nullter Ordnung; daher bilden sie ein Involutionssystem und sind andrerseits sämtlich ausgezeichnete Funktionen der Gruppe (.).“

Daß Lie diese Entwickelungen wieder gestrichen hat, kommt jedenfalls daher, daß sie nur in ganz besonderen Fällen richtig sind, dann nämlich, wenn die An- wendung des Poisson- Jacobischen Theorems auf die Funktionen N,,...,N

., r» 36*

562 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 184—186

H,®, zufällig eine Gruppe: N,,...,N,,H,®,,...,®, liefert, deren Funktionen alle die Gleichungen (15) befriedigen. Im allgemeinen ist man ja nur sicher, daß ®,,...,®, die Gleichungen (16) erfüllen (vgl. S. 558, Z. 16—12 v. u.

S.184, 2.13 v. u.—185, 2.18. Hat man die neuen Veränderlichen N,,...,N,, H,u,,4,,.. . eingeführt und eliminiert man dann die Ableitungen 8.185, 2.3 aus den Gleichungen S.185, Z.9, so findet man alle diesem (r + 1)-gliedrigen voll- ständigen Systeme angehörigen Gleichungen, die die Lösungen N,,...,N,,H be- sitzen, und der Inbegriff der so erhaltenen Gleichungen ist mit dem (m + q)- gliedri- gen vollständigen Systeme (16) äquivalent (vgl. S. 173 und S. 551).

Geradeso erhält man nach Einführung der neuen Veränderlichen durch Elimi- nation der Ableitungen 8.185, 2.3 aus dem (r + 2)-gliedrigen vollständigen Sy- steme (14) alle diesem vollständigen Systeme (14) angehörigen Gleichungen, die die Lösungen N,,...,N,,H besitzen. Der Inbegriff der so erhaltenen Gleichungen bildet selbstverständlich ein vollständiges System, und die Gliederzahl dieses voll- ständigen Systems ist um eins größer als die des vorhin gefundenen (m + q)-gliedrigen.

Nach S. 555—558 können wir sowohl das (m + g)-gliedrige als das (m + q—+ 1)- gliedrige vollständige System in den ursprünglichen Veränderlichen &,,...,2,; P1s =: +, Pn hinschreiben und brauchen dazu nur.die Relationen:

1 (D Po Heiss; Tr), (HN) = @ +1, N. --»N7) (k=1,...,r) nebst den Gleichungen: (II) A(N,)=0 “=1...n, A(H)=NH. Setzen wir ©, „41 = — ®y+1,7%, 80 hat unter den hier gemachten Voraussetzungen die Determinante der ®,;, (,k=1,...,r+1) den Rang r+1—m—-q, der gerade ist, und die Matrix: (III) u ala

k=4,.:, 9)

hat den Rang r — m — q. Da überdies die ®,..ı,, Sicher nicht alle verschwinden,

kann man schließen, daß die Determinante der w;,. @,k=1,...,r) den geraden Rang r— 1—m—. ghat. Wir dürfen annehmen, daß die Determinante w,, (i,k=g+m+1,...,r+1) von

Null verschieden ist, und finden dann, daß Relationen von der Form:

4 8

(IV) WE > Yen Nr kei. .,gatm; kei,.,rti) #

bestehen, wor +1—q—m=s gesetzt ist, und außerdem Relationen von der Form: ( n ER: s = Pa+m +5 (N)@g+m+3,k (k=1,...,r) Se Er 1= >9rm4 N ıatirer

J

Hieraus folgt, daß das vollständige System 8.185, Nr. (16) in der folgenden Form geschrieben werden kann:

1...s—1

(VD H(ND—H Doia+m+3 Nasm+N — Pirıı (HN =0 J

G=1,..,9+ m),

Die Fktgr. der bek. Lös. enthält nur ausgez. Fkt. nullter O. 563

während das (m + q + 1)-gliedrige vollständige System (15), geschrieben in den £,, pı, außer den letzten Gleichungen noch diese enthält:

1..R 1..8—1

wm Ir, nn —H Iran N) Nermed —9r N AN =.

Dabei ist nach $. 557 vorausgesetzt, daß 2rn (r+l)>m+ga

ist. Von dem vollständigen Systeme (VI), (VII), das 2n — (g+ m + 1) unabhängige Lösungen besitzt, kennt man bereits r + 1, nämlich: N,,...,N,, H. Die Bestim- mung einer neuen Lösung erfordert daher in der Tat (S. 185, 'z. 14 v. u.) eine Ope-

ration: rn —(g+m+)—(r+1).

Da (r + 1) — (g+ m) gerade ist, fällt die Ordnung dieser Operation ungerade aus. Andrerseits fehlen von den Lösungen des vollständigen Systems: (N,f)=0,..., (N, = 0 noch:

2n —q—r—1=2(n —q—m)—(r+1—qa—m)+m —=21+4m.

Demnach hat die erste erforderliche Integrationsoperation die Ordnung 21 — 1, wie nachher in Theorem IV angegeben ist. Ist andrerseits: m—(r+)=m+gq,

so gehört nach $. 557 die Gleichung (VII) dem vollständigen Systeme (VI) an, das: 2n — (m + q)=r-+ 1 unabhängige Lösungen hat. Da N,,..., N,, H unabhängige Lösungen von (VI) sind, so sind alle Lösungen des Systems bekannt. Andrerseits - aber enthält die Gruppe: N,,..., N,, H nach 8. 558 n-gliedrige Involutionssysteme nullter Ordnung und die Integration des Involutionssystems: N, = %,...,N,=a, wird durch das Korollar S. 182 geleistet (S. 184, 2. 5—18).

S.185,2.13v.u.—186, Z.9 v.u. Auffallend ist, daß Lie gar nicht erwähnt, daß nicht bloß das System (16), hier (VI), sondern auch das System (15), hier (VI), (VII), die infinitesimale Transformation:

AD- 3%. 5

gestattet. Ebenso merkwürdig ist es, daß er gar nicht erwähnt, daß die (r + 2)- gliedrige Funktionengruppe wieder homogen ist. Daß sie das ist, folgt ja daraus, daß sie, wie Lie zeigt, eine neue ausgezeichnete Funktion von nullter Ordnung enthält.

Diese beiden Tatsachen, daß die neue Funktionengruppe wieder homogen ist und daß die hinzukommende ausgezeichnete Funktion wieder von nullter Ordnung ist, treten nun nicht bloß bei der Funktionengruppe des hier betrachteten Integra- tionsproblems ein, sondern sie sind die Folge eines allgemeinen Satzes über homo- gene Funktionengruppen. Es wird, glaube ich, zur Klärung des Ganzen beitragen, wenn ich hier diesen Satz aufstelle und beweise. Es unterliegt wohl keinem Zweifel, daß Lie den Satz auch in dieser allgemeinen Fassung gekannt hat.

Satz. Es sei u,,...,u, eine homogene Funktionengruppe, die gerade m unab- hängige ausgezeichnete Funktionen enthält, sämtlich von nullter Ordnung, und es sei überdies: 2n —r> m. Ist dann ® eine von u,,...,u, unabhängige Lösung des auf

564 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 185—187 S. 558 definierten (m + 1)-gliedrigen vollständigen Systems:

r PORT A.

1 (Ur-m+3N — I Pr (u) (urf) = 0 (=l...,m) (vIH) } 1.00 2 es Ir, 5. — In mD=0,

\ und bilden: ur, . » -,uU,, D eine (r + 1)-gliedrige Funktionengruppe, so ist diese Gruppe wieder homogen und enthält gerade m + 1 unabhängige ausgezeichnete Funktionen, die ebenfalls alle von nullter Ordnung sind.

Bilden nämlich u,,...,u,,® eine (r + 1)-gliedrige Funktionengruppe, so sind die (u,®) Funktionen von u,,...,u,, ® allein. Dann aber zeigt die letzte Glei- chung (VIII), daß von 2p,®,, dasselbe gilt, daß also die neue Gruppe wieder homogen ist.

Es sei ferner:

(IX) EN

wo m+2l=r und m+1<n eine kanonische Form der Gruppe: u,,...,4,. Dann hat das r-gliedrige vollständige System: (u,f) = 0 die Form:

3 Fr (v„=1,...,m+)2), DE Ber... und das System (VIII) diese: 1...n—-m-—I of of of

x = =0,..., —-=0, in —— —|. ( ) op, EP Paris gpn Es wird ja:

1; of > f

Pure DD? - AP 0

und das System (VIII) muß in seiner neuen Form die Größen (IX) zu Lösungen haben. Demnach hat ® die Gestalt:

Parts Beamer al. Da die Gruppe: Xn4ı» A m+ıı Pm+ls : > Pm,+ Keine ausgezeichnete Funk- tion enthält, so bilden nach Satz 43, S. 52, Z. 10—14 die Gleichungen: (XI) Rn) ii (Parrı)=0 (=1,...,)

in den r + 1 Veränderlichen (IX) und ® ein 21-gliedriges vollständiges System, das r+1—2l=m-+1 von einander und von Xn+1 + Am+ı Pm+2-; Pmiı unabhängige Lösungen besitzt. Diese Lösungen bilden eine (m + 1)-gliedrige Unter- gruppe der (r + 1)-gliedrigen, die auf diese Weise in zwei reziproke Untergruppen von 21 und von m + 1 Gliedern zerlegt wird. Außer den von vornherein bekannten Lösungen: X,,...,X,, hat aber das vollständige System (XI) noch eine Lösung, die ® wirklich enthält. Diese Lösung kann nur die in ® vorkommenden Größen ent- halten, muß aber wegen (XI) von Pu+1,. +, Pm+l Am+1r:* Äm,+ı frei sein und hat daher die Gestalt:

6 Eee « EPE&D,).

ER ER FRE ENTE er

Folglich wird die Gruppe: u,,...,4u,, ® auch dadurch erhalten, daß man zu den Funktionen (IX) noch eine Funktion von der Form Y hinzufügt. Hier aber ist Y eine von X,,..., X, unabhängige ausgezeichnete Funktion nullter Ordnung.

Hom. Fktgr. mit lauter ausgez. Fkt. nullter O. 565

Damit ist der Satz bewiesen. Die Anwendung auf den vorliegenden Fall, S. 185f. liegt auf der Hand.

S. 186, Z. 3—5. Die Gleichungen (17) entstehen ja aus den Gleichungen S. 186, 7.2 durch Elimination der Ableitungen:

°® 86 0 ö® 0X, ...y 0Xı’” PR, eh ar:

die jetzt an die Stelle der Ableitungen $. 185, Z. 3 getreten sind. S. 187, Z2.1—9. Lie hat vergessen, zu erwähnen, daß man außer durch den Poisson-Jacobischen Satz auch durch Anwendung der Operation:

1l..n AU=In,57

Lösungen von (16) erhält, daß also die Gruppe, zu der man gelangt, stets als homogen vorausgesetzt werden kann.

Ist nun s> 1 und gerade = 2h, so kommt zu den ursprünglich vorhandenen q-+- m ausgezeichneten Funktionen eine gerade Anzahl von neuen hinzu, etwa 2e, wo 0<Se<h. Sind diese alle von nullter Ordnung, so ist (vgl. S. 563) die Ordnung der nächsten erforderlichen Integrationsoperation:

On —(r +H1+ 23h) — (d+m+2e+1)=2l—h—e))—1.

Sind sie nicht alle von nullter Ordnung, was nur für e> 0 eintreten kann, so ist eine Operation:

2n —(r+1+2h)— (g+m+2e)=2(—h— e) erforderlich.

Ist s> 1 und ungerade —= 2h + 1, so kommt eine ungerade Anzahl von neuen ausgezeichneten Funktionen hinzu, etwa 2e+1,wo0<Se<h. Sind diese alle von nullter Ordnung, so braucht man eine Operation:

2n — (r+1+2h+1)— (d+m+2e+1+1)=2(1—h—e—1)—1,

sind sie nicht alle von nullter Ordnung, so ist eine Operation:

2(l—h—e—]) erforderlich. Die Ordnung jeder Integrationsoperation ist daher stets um mindestens zwei kleiner als die der vorhergehenden. S. 187, Theorem IV. Wegen der Zahl 21 + m, die hier ohne nähere Erläuterung eingeführt wird, vgl. S. 563. Ganz allgemein kann man sagen, daß immer gewisse Operationen:

1 RT ER RR ya ©

erforderlich sind, wok,,ı S k;+ 2 und wo k, einen der beiden Werte 21— 1 oder 21 — 2 hat. Dabei ist immer im ersten Falle k, = 1, im zweiten k, = 0. Ist die letzte erforderliche Integrationsoperation von der Ordnung 1, so ist keine Quadratur mehr erforderlich, ist sie von der Ordnung 2, so ist noch eine Quadratur nötig.

Man sieht hier von neuem, wie zweckmäßig es ist, die Quadratur als eine Operation Null zu bezeichnen.

Abschnitt II, S. 187—232 bringt in umgearbeiteter und erweiterter Fassung den Inhalt von Bd. III d. Ausg., Abh. XIII, XIV (1874) und von $3, S. 269—272 : der Abh. XVIII (1876).

Die Einleitung zu Abschnitt II, S. 187—190 ist zum größten Teile neu (vgl. Bd. III, S. 176£.).

566 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 187—202

7

S.187, 2.6 v.u. „Memoire sur une classe particuliere d’&quations rösolubles algebriquement‘ Crelle Bd. IV (1829), Oeuvres, 2. Ausg. Bd. I, S. 478—507.

S.188, Z.1 v.u. Es ist die Abhandlung: „Über diejenigen ebenen Kurven, welche durch ein geschlossenes System von einfach unendlich vielen vertauschbaren linearen Transformationen in sich übergehen.‘‘ Ann. IV (1871), S. 50—84. Auch ab- gedruckt in F. Kleins Ges. math. Abh. Bd. I, S. 424—459. Man vgl. die Einleitung und den letzten, $ 7, dieser Abh. (diese Ausgabe, Bd.I, Abh. XIV).

S.190, Z.10. Nämlich in $ 14, S. 224.

S.190, Z. 19—25. Gemeint sind die beiden gemeinsamen Noten in den Ü.R. von 1870: „Sur une certaine famille de courbes et de surfaces“ (d. Ausg. Bd.I, Abh. VI; F. Klein, Ges. Abh. Bd. I, S. 416—423) und die früher angeführte Abh. in Bd. IV der Math. Ann.

S.190, 2. 26—28. Vgl. Bd. VI d. Ausg., Abh. III (1885), $S.139, Z.11—21, S.797, 2.10 v. u. Das dort Gesagte ist also in der Beziehung zu vervollständigen, daß Klein auch auf die Analogie der beiden Probleme hingewiesen hat.

S.190, 2.13—11 v. u. Siehe Bd. III d. Ausg., Abh. I und V, 1872.

S.190, 2.7—1 v.u., 191, 2.4—1 v.u. Vgl. Bd. VI d. Ausg., Abh. III (1885), S. 140, Anm., S. 798; Bd. IV, Abh. IV (1888), S. 288; Abh. IX (1895), S. 352—371.

$ 6, S. 191—195 entspricht Bd. III, Abh. XIII (1874), $1, Nr. 1—3, S. 177 bis 182, während die dort auf S. 182—184 behandelten Beispiele und die geometrische Deutung des Integrabilitätsfaktors (S. 184—186) jetzt erst in Note 3, S. 256—261 kommen.

S.191, 2.15. Für ‚Integral‘ sagt Lie später „Integralfunktion‘“. Vgl. Th.d. Trfrgr. Bd. I (1888), S. 92.

S.193, Z.2 und 4. Der Übergang von der ersten Gleichung zu der zweiten ist etwas mühsam, und es ist geradezu undenkbar, daß Lie diese neue Form der ersten Gleichung gefunden haben sollte, ohne schon zu wissen, daß 1: (Xn — Y£) ein Integrabilitätsfaktor ist. Auch der Beweis, den Lie auf S. 194 dafür liefert, ist nicht schön. Es ist merkwürdig, daß Lie damals noch nicht bemerkt zu haben scheint, daß die Gleichung 8.191, 2.13 v.u.:

ER a A BEER in Verbindung mit 8.192, 2.11: ep 09 X-—-+Y-=0 0% 0y

sofort zu dem Satze führt, wenn man ef (dp: 2(p)] als neue Unbekannte einführt (vgl. Bd. VI, S. 842£.).

$ 7,8.195—198 entspricht Bd. III, Abh. XIV (1874), S. 188—191.

S.196, Z.9. Die Worte: ‚durch diese Transformation“ und: ‚des Systems wiederum‘ hat Mayer eingeschaltet.

S.197, 2.3 v. u.—198, Z.2. Nachher, S.198, Z.1 v.u., bezeichnet Lie den Ausdruck B(f) als das Symbol der infinitesimalen Transformation. In Abh. XIV (1876) von Bd. III d. Ausg. kommt das Wort Symbol noch nicht vor. Im Druck dürfte es Lie zum ersten Male 1876 benutzt haben, s. Bd. V d. Ausg., Abh. III, S.45.

$ 8, S. 198—202 entspricht Bd. III d. Ausg. S. 191—194. Eine dritte Darstel- lung dieser Theorie findet man in Bd. VId. Ausg., Abh. III (1895), S. 146—150.

Ä S. 198, Gl. (7). Über die Abkürzung: (4, B,.), die hier stillschweigend eingeführt wird, vgl. Bd. III, S. 677, 2.13—9 v.u.

S.198, 2.9, 8v.u. Die Worte: „und daßq—+r = n ist“ hat Mayer mit Lies Einverständnis hinzugefügt.

S.199, 2.4 v. u.—200, Z. 2. Diese Bemerkung hat Lie neu hinzugefügt.

Vollst. Syst. mit bek. inf. Trff. 567

S. 200, Z.3—11. Die Darstellung ist gegenüber Bd. III, S.193, 2. 3—11 ver- bessert, und die beiden letzten Zeilen sind neu hinzugefügt.

S. 200, Z.18— 201, Z.18. Hier hat Mayer den ursprünglichen Text Lies an ziemlich vielen Stellen geändert, nachdem er sich vorher des Einverständnisses von Lie versichert hatte. Es erscheint daher nicht nötig, alle Einzelheiten mitzuteilen.

Nur das sei erwähnt, daß Mayer nötig gefunden hatte, daß Lie über den Fall, wo es keine B//(f) gibt, noch etwas hinzufügte. Darauf hatte Lie zunächst geant- wortet:

„Auf den Fall, daß es keine B}/(f) gibt, werde ich nicht eingehen. Ich glaube sicher zu sein, daß sich in diesem Falle nichts Allgemeines machen läßt. Ich glaube dies streng bewiesen zu haben. — Meine Worte müssen so formuliert sein, daß ich nicht ausdrücklich behaupte, daß sich in dem betreffenden Falle nichts machen läßt.“

Etwas später teilte er dann Mayer eine Anmerkung mit, die unter der Seite angebracht werden sollte und die Mayer mit einer kleinen Änderung hat abdrucken lassen (s. S. 201, 2.4—1v.u.):

„Bei einer anderen Gelegenheit werde ich beweisen, daß man wirklich den- selben Vorteil aus den B}/(f) wie aus den B,(f) ziehen kann, daß man also im all- gemeinen gar nichts machen kann, wenn es keine B/ (f) gibt.“

Er fügte hinzu:

„Es würde mich zu weit führen, in meiner Abhandlung näher auf diesen Punkt einzugehen. Mein Beweis wird streng sein, dagegen bin ich mit seiner jetzigen Form nicht zufrieden.‘

In der großen Arbeit Bd. VI d. Ausg., Abh. III (1885), S. 148f. erwähnt Lie die Sache gar nicht. Erst viel später ist er noch einmal, wenigstens kurz darauf ein- gegangen, Ss. Bd. VI, Abh. XXIII (1895), S. 612—614.

S.201, 2.16 v.u. Lie hatte geschrieben: ‚in den folgenden Paragraphen“. Dafür hat Mayer gesetzt: ‚in $ 10“.

S. 201, 2.8—5 v. u., 202, Z.1—9. Auch hier hat Mayer mit Lies Zustimmung die ursprüngliche Fassung geändert. Insbesondere hat er die Bezeichnung B;” (f) eingeführt, während Lie ebenso wie in Bd. III, S. 194, Z. 9—6 v. u. C,(f) geschrieben hatte.

S. 200—202, Nr. 17. Es ist wohl nicht überflüssig, zu bemerken, daß man die Einführung neuer Veränderlicher, die hier sogar zweimal vorgenommen wird, ver- meiden oder jedenfalls bis zum Schlusse der Untersuchung aufschieben kann.

In der Tat, man braucht nur unter den infinitesimalen Transformationen $. 200, 2.8 alle diejenigen aufzusuchen, bei denen alle bekannten Lösungen I/T,,...,II, invariant bleiben, für die also wird:

3 RR Sy MB.) = 0 Gehen k Da Relationen von der Form: B.(T;) = 8x: (MT, . .., TT,) bestehen, wo die w;; bekannt sind, hat man die Gleichungen:

l..y Dy. Mo, (T) = 0 G=1..," k

in allgemeinster Weise zu befriedigen. Geht das, ohne daß die y, alle verschwinden, und lassen sich diese Gleichungen etwa nach yyr,1,.- -, y,’ auflösen, so erhält man q infinitesimale Transformationen von der Form:

1... —gq"”

(I) CG.N=B.M+ 29m) Ber; (N) (k=1,..,7% j

D68 Anmerkungen zu Abhandlung III, $. 200-206

wo die ®,, bekannt sind. Aus diesen läßt sich die allgemeinste infinitesimale Trans- formation von der verlangten Beschaffenheit zusammensetzen und zwar so:

Er it EEE oN= IaM NM + DIGHAMN, k i

mit q’ willkürlichen Funktionen y,(TT), während die © wie vorher willkürliche Funktionen von &,,..., 2, Sind.

Es versteht sich hier von selbst, daß zwei infinitesimale Transformationen C (f) durch Klammeroperation stets wieder eine infinitesimale Transformation C(f) liefern. Demnach bestehen Relationen von der Form:

’

3°...::0° 1...T (II) (4,0) = D'Yirs (M) AN) + Fön) A: N) (yk=l,...,9”),

wo die y,;, und ö, „, bekannte Funktionen sind. Überdies besteht sicher keine lineare Relation zwischen den A,(f) und C,.(f). Nunmehr bilden die Gleichungen:

(111) AN=09,..,4,N=0, GNM=09,..,0rNM=0

ein (r + q’’)-gliedriges vollständiges System in den Veränderlichen &,,..., x,, und von diesem Systeme sind » unabhängige Lösungen bekannt. Ist dahern — r —q’ >», so denken wir uns dieses vollständige System integriert und führen dadurch unser Problem auf den Fall: n —r — q’ = v zurück. Wenn man will, kann man jetzt die n —r— q’ bekannten Lösungen von (III) nebst r + q’’ geeigneten von den x als neue Veränderliche einführen und dann die Lösungen von (III) als Konstanten an- sehen. Man hat dann in r + q’ Veränderlichen ein r-gliedriges vollständiges Sy- stem: A, (fJ)=0,...,A,(f)= 0, das q’’ bekannte infinitesimale Transformationen: C,(f),...,Cy”(f) gestattet. Dabei bestehen Relationen von der Form (II), wo die Yirs Konstanten sind, dagegen sind die A,„(f), C,(f) durch keine lineare homogene Relation verknüpft.

Man kann aber auch die Einführung der neuen Veränderlichen ganz vermeiden. Hat man nämlich alle Lösungen des vollständigen Systems (III) bestimmt, so kommt die Erledigung des vorgelegten Integrationsproblems auf die Lösung gewisser Resol- venten zurück, nämlich auf die Integration gewisser vollständiger Systeme von der Form:

(IV) AN=0,.. „A,f)= 0, DN=®,..., De" = 0,

[ZZ

wog’ <g und wo:

„

1.00 DH >20, (k=1,..,9”") J

Dabei sind die e,,; Konstanten, in deren Matrix nicht alle q’’-reihigen Determinanten verschwinden, und es bestehen Relationen von der Form:

72

2.0 3 TERN (DD) = IhirsDN + Im AN) (yk=1,...,1”) 8 j

wo die h,.,s Konstanten sind. Hier hat jedes der zu integrierenden vollständigen Systeme die Eigenschaft, daß man von vornherein n —r—q” unabhängige Lösungen des Systems kennt, eben die Lösungen des Systems (III).

S. 201, 2.7—5 v. u., 202, Z. 1—8. In der großen Abh. Bd. VId. Ausg., Abh. III (1885), S. 150£f., Nr. 3, 4 entwickelt Lie noch eine formelle Vereinfachung, die er in Bd. III d. Ausg., Abh. XIV (1874), S. 194 schon angedeutet hatte (vgl. ebd. S. 677,

Vollst. Syst. m. inf. Trff. — Multipl. eines vollst. Syst. 569

7.86 v. u., 678, Z.1—3). In der jetzigen Abhandlung erwähnt er diese formelle Vereinfachung überhaupt nicht.

S. 202—206, Nr. 18, 19 entsprechen Bd. III d. Ausg., S.195—198. Man vgl. dazu ebd. S. 6781.

Am einfachsten und elegantesten gelangt man zu dem Begriffe und den Eigen- schaften des Lieschen Multiplikators folgendermaßen: Man betrachte die Aus- drücke A,(f) auf $. 202 als infinitesimale Transformationen, die jedem x, die Zu- wachse:

(1) 6,2, = Xröt (=1,...,r)

erteilen. Man beachte ferner, daß die Differentiale dz,,...,dz, bei Einführung neuer Veränderlicher genau so transformiert werden, wie die Zuwachseöz,,...,02,, die &,.. ., 2, bei einer infinitesimalen Transformation erhalten. Man denke sich daher zu jenen r Systemen von Zuwachsen noch n — r Systeme von Differentialen:

(2) Re LT 5 =1,:..,2er

hinzugefügt, die nur der Beschränkung unterworfen sind, daß die Determinante

aus den Größen (1) und (2) nicht verschwinden darf. Dann stellt sich heraus, daß der Quotient:

w B.4

4, 41T 22. de 4 nr

(3)

|

= |

4, ;» . ER a | |

|

On Tı . . . d, In

ganz von der Wahl der Differentiale (2) unabhängig ist, und darin liegt offenbar die auf S. 202f. bewiesene erste Eigenschaft des Multiplikators M.

Um die Unabhängigkeit des Ausdrucks (3) von der Wahl des Systems (2) zu beweisen, denken wir uns n — r infinitesimale Transformationen:

2

I..n Bu = Dat

G=1,..,n-r)

ganz beliebig, aber fest und zwar so gewählt, daß zwischen den A,(f), B,,;(f) keine lineare homogene Relation besteht. Dann können wir das allgemeinste System (2) in der Form:

....r L..ner . r+7T de = Sr rs ft+ Ders reit k T (=1,..,025,j=1l,..,n—r)

darstellen, wo die p und y ganz willkürlich bleiben, nur darf die Determinante der y nicht verschwinden. In unserm Ausdrucke (3) wird dabei der Zähler zu der Deter- minante:

I 1..n—r

| Sfr r+1r+1Br+:(ll)

T | (,e=1,..,0—r)

und der Nenner wird: | l..n—r 1..r—-r

| Be ee. 2, I T ° |

(m 1,:..,9) |

570 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 202—206

Hier sondert sich aber sowohl im Zähler wie im Nenner die Determinante der Xr+i, r.z ab. Demnach ist (3) gleich dem Determinantenquotienten:

Built), 1ER. Mt,

. t . | |

EST NR | Vehen,n) |

der von den willkürlichen Bestandteilen der d,,,x, gar nicht abhängt. Das heißt, (3) hat einen ganz bestimmten Wert, wie man auch die Größen (2) wählen möge.

Lie sagt in einem an Mayer gerichteten Briefe von 1876 (s. Bd. III d. Ausg., S.677):

„Für mich ist der Multiplikator sinnlich, ebenso wie ich den Integrabilitäts- faktor von Xdy — Ydz = als einen Flächenraum auffasse. Z. B. der Multiplikator vonde:X=dy:Y=daz:Z ist ein Volumen.“

Ich glaube nun behaupten zu dürfen, daß die vorhin durchgeführten Betrach- tungen geradezu die wahre analytische Einkleidung der synthetischen Betrach- tungen sind, die Lie zu seinem Multiplikator geführt haben. Ja ich möchte glauben, daß ich Lies ursprünglichen Gedankengang wiederherstellen kann.

Wie gewöhnlich wird er zuerst die Koordinaten speziell gewählt haben, näm- lich so, daß das vollständige System A,„(f) = 0 die Lösungen £,,1,-- -, 2, bekam, wodurch alle X, „ gleich Null wurden. Zu den r Fortschreitungsrichtungen, die die infinitesimalen Transformationen A,(f) einem Punkte &,,...,&, zuordnen, fügte er nun n — r voneinander und von jenen r unabhängige Fortschreitungsrichtungen (2) hinzu und bildete das durch alle n Fortschreitungsrichtungen bestimmte Vo- lumen:

Br X1

”

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du 2,224 Andy sie du tn

Dieses zerfiel offenbar in ein Produkt zweier Determinanten und leferte daher durch Division mit der Determinante:

d, 1%, 41 BT

einen Ausdruck, der von der Wahl der n— r hinzugefügten Fortschreitungsrich- tungen unabhängig war. Führte er nun neue Veränderliche y,,..., y„ ein durch eine Substitution:

(4) Ir — 9%. (Yı; Heley Yn) r=l,..,n),

so wurde D gleich der Funktionaldeterminante der x in bezug auf die y, multipli- ziert mit einem Ausdrucke, der aus den transformierten Ausdrücken A,,(f) zusammen mit den Differentialen d,, „y, genau ebenso gebildet ist, wie D aus den ursprüng- lichen A,(f) und aus den Differentialen (2). Andererseits aber geht E bei Einführung der neuen Veränderlichen einfach über in:

D+ d. 141 Op:

WO @,115 ++ +, 9m die Lösungen des transformierten vollständigen Systems: A,(f) =0 sind. Demnach kann man für jedes beliebige r-gliedrige vollständige System: A,(f) = 0 mit den Lösungen TT,,...,TT,_, den Ausdruck (3) bilden, der von der Wahl der Differentiale (2) unabhängig ist. Führt man neue Veränderliche y ein ver- möge einer Substitution (4), so verwandelt sich (3) in den für das transformierte voll- ständige System in entsprechender Weise gebildeten Ausdruck, diesen aber noch dividiert durch die Funktionaldeterminante der x in bezug auf die y, oder, was das-

selbe ist, multipliziert mit der Funktionaldeterminante der y in bezug auf die x.

Der Multiplikator eines vollst. Systems 57i

Hiermit ist bereits die dritte, S. 203, 2.13 v. u.—204, Z. 1 v. u. bewiesene Eigen- schaft des Multiplikators auf die denkbar einfachste Weise gewonnen, während die zweite Figenschaft, S. 203, Z. 13—20 ebenfalls unmittelbar einleuchtet.

Daß Lie mit einer solchen Darstellung des Multiplikators operiert hat, wie sie in (3) gegeben ist, geht auch aus dem Theoreme VIII, S. 208 hervor. Sind nämlich die B,(f) ebd. infinitesimale Transformationen, die das vollständige System: A,(f) = 0 invariant lassen, so bestehen Relationen von der Form:

BO) alten) (k,j=l,..,n-n. Setzt man daher: d,;x2, = en so wird: d, „1; = B,T,) = ©0r,;(M),

das heißt, der Zähler von (3) wird eine Funktion der Lösungen allein, und das Theo- rem VIII wird geradezu selbstverständlich. Man kann wohl nicht zweifeln, daß Lie es gerade auf diesem Wege gefunden hat.

S. 206—208, Nr. 20, 21 hat Lie neu hinzugefügt.

Es ist merkwürdig, daß Lie keinen Satz aufgestellt hat, der feststellt, wie sich der Multiplikator eines vollständigen Systems ändert, wenn man die r Gleichungen: A,„(f) = 0 des vollständigen Systems durch r andere unabhängige Gleichungen des Systems ersetzt, wenn man also die Basis des vollständigen Systems wechselt. Durch die Aufstellung eines solchen Satzes würde alles an Klarheit gewonnen haben, und Lie würde vor gewissen Versehen, die er hier begeht, bewahrt geblieben sein.

Es seien: 1...0 of BN= I Yan 20.0 (k=1,...,7) irgendwelche unabhängige Gleichungen des vollständigen Systems. Dann ist: 120% B,M= Ders -- JAN) (k=1,..,r), J wo die Determinante der o,.,; nicht identisch verschwindet. Man hat also: 123,7 Be = Sas:! kei... mean. J

Ersetzt man aber in (3) die X% durch die Y*, so erhält man offenbar den alten Aus- druck (3) wieder, nur dividiert durch die Determinante der o,.,. Mit andern Worten:

Hat das r-gliedrige vollständige System: A,(f)=0,...,A,(f) = 0 den Multi- plikator M, und setzt man:

1.8 Bf) = Dar, aA Bin J

wo die Determinante der o,; nicht identisch verschwindet, so hat das r-gliedrige voll- ständige System: B,(fJ)=0,..., B,(f) = 0 den Multiplikator:

N=M: DE A: --Or-

S.206, 2.13 v. u. Lie hatte geschrieben: ‚der Jacobische Multiplikator‘‘, was Mayer beibehalten hat. In Wahrheit ist es der Jacobische Multiplikator nur, wenn man die Gleichung als eine Gleichung in z,, 2,;1, + -, 2, allein auffaßt. Faßt man sie aber als eine Gleichung in z,,.. ., 2,, 2,419 + + +, Z,, so sind auch 2,,.. ., 2k_ı» Tg +1, +++, %, Lösungen. Der allgemeinste Jacobische Multiplikator wird daher er-

572 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 206, 207 halten, wenn man den Zähler des Bruches auf Z. 14 v. u. durch:

a ®,., a Eis: 0.0, Ik_15 IR +1> ee In

ersetzt, wo ®,,...,®,_ı beliebige unabhängige Funktionen von &,,...,2,_1> Lpxise ss 2%, Mi,...,TT,_, sind, unter den IT, ein bestimmtes System von Lö- sungen des vollständigen Systems verstanden.

S. 206, 2.12, 11 v. u. Das ist nicht richtig; der Multiplikator des vollständigen Systems in der neuen Form ist vielmehr:

& RER . Dr,

REN

wenn D die Determinante: + X1,...,X‘; bezeichnet. Man erkennt das sofort aus der Lieschen Definition auf S. 202, es folgt aber auch unmittelbar aus dem vor- hin aufgestellten Satze. Die Determinante der o,; wird ja hier = D’-1. Erst wenn man die Gleichungen S. 206, 2.14 v. u. alle mit D dividiert, erhält man r Gleichungen mit dem gemeinsamen Jacobischen Multiplikator:

[2 AA

Lpr+1r:- In

der zugleich ein Multiplikator des von den Gleichungen gebildeten vollständigen Systems ist.

S. 206, 2.10—8 v. u. Lie hatte geschrieben: ‚Nun aber hat Jacobi die Defi- nitionsgleichung des Multiplikators einer linearen partiellen Differentialgleichung aufgestellt.‘ Mayer hat das ganz ohne Not geändert. Der ursprüngliche Wortlaut verdient aber festgehalten zu werden wegen des Ausdrucks ‚Definitionsgleichung‘, der später in der Theorie der Transformationsgruppen und in den Anwendungen die- ser Theorie eine so große Rolle spielen sollte.

S. 206, 2. 8—3 v. u. Benutzt man das zu Z. 12, 11 v. u. Gesagte, so kann man sofort ein System von Differentialgleichungen hinschreiben, das den Multiplikator des vollständigen Systems definiert, wenn man dieses in einer nach r Ableitungen von f aufgelösten Form zugrunde legt. Stützt man sich auf den vorhin bewiesenen Satz, so kann man auch für den Multiplikator des Systems $S. 206, Z. 13—16 die Differentialgleichungen aufstellen und ebenso für den Multiplikator des ursprüng- lichen Systems: A,(f) = 0. Freilich erscheinen diese Differentialgleichungen nicht in einer Form, mit der man sich zufrieden geben kann.

Eine direkte Ableitung der Differentialgleichungen für den Multiplikator eines beliebigen vollständigen Systems habe ich Bd. III d. Ausg., S. 678—682 gegeben.

S.206f., Satz 14. Die unrichtige.. Behauptung über das vollständige System 2.13 wird hier, ohne jede Begründung, sogar noch verallgemeinert, indem die Fak- toren F,,..., F, von einander verschieden angesetzt werden. Satz 14 ist daher auch unrichtig.

Setzt man:

so ist unter den Voraussetzungen des Satzes: B(BP)— Be(B:P) =, also haben die r Gleichungen: B, (f)=0,..., B,(f) = 0 den gemeinsamen Jacobi-

schen Multiplikator: N=( IL: na x

ee

Der Multiplikator eines vollst. Systems 513

der zugleich der Multiplikator des von ihnen gebildeten r-gliedrigen vollständigen Systems ist. Dabei sind II,,..., /I„_, beliebige unabhängige Lösungen dieses voll- ständigen Systems.

Dieser Multiplikator N befriedigt die r Gleichungen:

NFi+ —=( kei... Eupen Fi ) s ii

und ist durch diese Gleichungen erstens als gemeinsamer Multiplikator der r Glei- chungen: A,(f) = 0 und zweitens als Multiplikator des von ihnen gebildeten voll- ständigen Systems definiert. Der Multiplikator des vollständigen Systems: A,(f) = 0 hat dann, wie man sofort sieht, die Form:

M=N:0S7,.::#55

seine Differentialgleichungen können daher ohne weiteres hingeschrieben werden. S. 207, Satz 15. Der Beweis dieses Satzes läßt sich wesentlich abkürzen, wenn man sich auf den Begriff der Erweiterung einer infinitesimalen Transformation

stützt. Ist nämlich AN= > 2,51

eine beliebige infinitesimale Transformation und do=!2—+d,z,...d,r, das Volumenelement des Raumes &,,..., 2,, 8o ist:

4> ödıo 19x, = Ao)= 2 a

Setzt man nın A=1:dw, so kann man die infinitesimale Transformation A(f) durch Hinzunahme von A erweitern, indem man den Zuwachs von A so bestimmt, daß die Gleichung: A. do = 1 invariant bleibt. Man findet:

> BR öA TaX, FT 0x, e

und erhält also die erweiterte ee Transformation:

AN=AN—A Ser Ar.

Sind jetzt C,(f) und C,.(f) zwei solche erweiterte infinitesimale Transformationen, so läßt auch die infinitesimale Transformation:

C;(CHH) — CH; N) = AAN) — Ar Ar) + Yir un

die Gleichung: A. do = 1 invariant und entsteht daher aus A4,(A,(fJ)) — A,(4; (f)) durch dieselbe Erweiterung, wie C (f) aus A (f). Ist daher 4,(A,()) — A,(A;(f)) = 0, so verschwindet auch: C,(C,(fJ}) — C,(C; (f)) identisch.

In derselben Weise kann man übrigens auch die Entwickelungen in Bd. III, 8.681, 2.2 v.u.—682, 2.10 v. u. vereinfachen. Der Multiplikator M befriedigt näm- lich nach S. 681 a. a. O. Gl. (11) alle a von der Form:

Samt ud) „(3 22 Pun)=0,

574 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 207—211

unter 0,,..., 0, Willkürliche Funktionen der x verstanden. Erweitert man nun die infinitesimale Transformation & 0,4,(f) durch Hinzunahme einer Größe N und be- stimmt man den Zuwachs von N so, daß die Gleichung: M.. N = 1 invariant bleibt, so erhält man die erweiterte infinitesimale Transformation: 2 0,A,(f), wo:

AD = Au N >> en ae

Die infinitesimale Transformation: 0) Aula — Ana) = ArlAu)—AnlAd) + Yın a

läßt aber auch die Gleichung: NM =1 invarlant und entsteht daher wegen der Gleichungen (5), a. a. O. S. 679 aus:

1... ZYirsAsl)

durch unsere Erweiterung. Demnach ergibt sich:

1,3.% KAM) — AAN) =D PirsAslt)-

Die Rechnungen auf S. 682 a. a. O. lassen sich also vermeiden.

$ 10, S. 208—214. Auch dieser Paragraph ist neu hinzugefügt.

S.208f. Theorem VIII. Vgl. S. 571, Z. 4—15.

8. 209—211, Satz 16. Der Satz gilt in der allgemeinen Form, in der ihn Lie ausspricht. Bewiesen wird er allerdings nachher nur unter der besonderen Voraus- setzung, daß alle A,(A,()) — A,(A,(f))= 0 sind. Einen Beweis, bei dem diese Voraussetzung nicht "gemacht wird, habe ich in Bd. III d. Ausg., S. 682 gegeben. Man kann aber auch aus der hier von Lie bewiesenen eingeschränkten Form des Satzes dessen unbeschränkte Gültigkeit ableiten.

In der Tat, es sei:

Ad) Sa =1,.n, wo die Determinante P der o,, nicht verschwindet. Dann ist: (BY) = 221 B4) +2 Bl) .A;N = I 1 Zehn t B(0:4)}Ar(M) = MN) ee Suse) A)

also: B()= I (uij0)R — Qishsr). j Nun ist nach dem auf $. 571 bewiesenen Satze N —= M : P ein Multiplikator des voll- ständigen Systems: U,.(f) = 0, und es wird:

B (log N) = B(log M) — B(logP).

Vollst. Syst., von dem man e. Mult. u. e. inf. Trf. kennt 575

Bezeichnen wir die zu o,, adjungierte Unterdeterminante von P mit P,,, so kommt:

1; > ER u

. o.e B(P)= DI P;,B(0:%) — Pr (us — QsAsr) ik ikj

a OT u r ERRN =2mP—23 AgrP- ı

Demnach finden wir:

| 1...8 l..r GE, © = BllogM) + I 5 + 2 har, v q k

womit die Allgemeingültigkeit des Satzes bewiesen ist.

Entdeckt hat Lie den Satz schon Anfang November 1873, wie aus der in Bd. IIl d. Ausg. auf S. 676f. abgedruckten Briefstelle hervorgeht. Veröffentlicht hat er ihn hier zum ersten Male. Über die weitere Geschichte des Satzes, den Lie 1882 noch ver- vollständigt hat, vgl. Bd. III d. Ausg., S. 683; Bd. V, Abh. XVI (1884), S. 432—440, S. 740; Bd. VI, Abh. XX (1895), S. 585—591, 893.

S. 210, 2. 8—1 v. u. In einem Briefe vom 30. 11. 1876 hatte Mayer darauf hin- gewiesen, daß Lie den Satz 16 in allgemeinerer Form ausgesprochen habe, als er ihn nachher beweise. Die Formel S. 210, 2.16 v. u. sei ja nur für den gemeinsamen Jacobischen Multiplikator der Gleichungen: A,(f) = 0 bewiesen, falls diese in den Beziehungen: A,(A;.(f)) — A,(4,;(f)) = 0 stehen. Andrerseits habe er sich allerdings davon überzeugt, daß in diesem Falle die beiden Begriffe: gemeinsamer Jacobischer Multiplikator der r Gleichungen: A,.(f) = 0 und Multiplikator des r-gliedrigen voll- ständigen Systems identisch sind, und habe das auch, schon vor länger als einem Jahre, Lie geschrieben; er sehe aber nicht, wie man das auf dem hier von Lie ein- genommenen Standpunkte ohne große Rechnungen oder ohne längere Überlegung nachweisen könne.

Lie erwiderte darauf:

„Ich erinnere mich nicht mehr, weder, wie die Sätze 16, 17, 18 ausgesprochen sind, noch, wie sie bewiesen sind. Nach Ihrem Briefe kann ich nicht zweifeln, daß Satz 16 unrichtig bewiesen ist. Nichtsdestoweniger glaube ich, von vornherein sicher zu sein, daß alle diese Sätze, die ich synthetisch fand, richtig sind.

„Können Sie nicht als einen Satz von Ihnen einschalten (am liebsten unter der Seite), daß für ein Involutionssystem die beiden Begriffe identisch sind ? Wenn ich dies wirklich unbewußt angewandt habe, so muß das daran liegen, daß ich diese Identität vermutet habe. Gewußt habe ich es nie, und ich glaube, daß Ihr alter Brief nur Involutionssysteme, die aufgelöst waren, hinsichtlich p,,...,p, be- handelte. Ich werde dies noch überdenken. Ich werde Ihren alten Brief suchen. Viel- leicht haben Sie meine Antwort. Es ist möglich, daß mein Gedächtnis mich irren läßt.“

In demselben Briefe folgt nachher die Bd. III d. Ausg., S. 706, Z.5—8 abge- druckte Stelle, und dann heißt es:

„Frage: Können wir nicht zu Satz 16 oder 17 unter der Seite eine Hinweisung auf eine Note am Schlusse der Abhandlung machen ? Unterdes erhalte ich die Kor- rekturbogen zu Satz 16 und kann mich wieder orientieren. Die Bemerkung unter der Seite könnte etwa so lauten:

„Mayer macht mich während des Druckes darauf aufmerksam, daß meine Be- weisführung an diesem Punkte unvollkommen ist. Siehe Note .. .“

Sophlus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. IV 37

576 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 210—219

Mit der Vermutung, die Lie über Mayers alten Brief ausspricht, ist er im Irr- tum. Mayer hatte nämlich am 15. 6. 1875 geschrieben:

„Sehr hübsch finde ich Ihre Verallgemeinerung des Jacobischen Multiplika- tors.!) Von den beiden Definitionen des Jacobischen Multiplikators verallgemeinern Sie nur die eine. Es ist mir sehr auffallend, daß die andere, welche den Multiplikator definiert als Lösung einer partiellen Differentialgleichung, sich nicht direkt aus- dehnen läßt auf vollständige Systeme, während sie sich ganz unmittelbar und fast ohne Rechnung auf Involutionssysteme überträgt.

„Als wesentlich neu tritt dann nur der Satz auf:

„L. Wenn die r Gleichungen:

28 @ AD= I Ky=0 h

ein Involutionssystem bilden, so bilden die r Gleichungen:

In i MX) _

0 0%

(2)

h

ein Jacobisches System. Jede Lösung M des Systems (2) heiße ein Multiplika- tor des Involutionssystems (1).

„Wenn dagegen die r Gleichungen (1) nur ein vollständiges, aber kein Involu- tionssystem bilden, so haben im allgemeinen die Gleichungen (2) gar keine gemein- same Lösung.

„Aus diesem Satze und dieser Definition ergeben sich nach den Sätzen von Ja- cobi unmittelbar die folgenden Sätze:

„2. Das Verhältnis zweier Multiplikatoren eines Involutionssystems ist eine Lösung des Systems.

„3. Aus dem Multiplikator M eines gegebenen Involutionssystems erhält man einen Multiphikator M’ des transformierten Systems, wenn man M dividiert durch die Determinante der Substitutionen, welche die Transformation bewirken.

„Durch eine sehr kurze und einfache Rechnung ergibt sich hieraus:

„4. Der allgemeine Wert des Multiplikators M des Involutionssystems (1) ist, wenn fy413 ++, fn dien — r Lösungen desselben sind:

I drrı.. An

f ) O&r +1 >00, “ ’I/n " S+XIX...X

Von Lies Antwort auf diesen Brief ist nur ein Bruchstück erhalten, und zwar in Mayers Antwort vom 17.12.1876 auf die vorhin abgedruckten Äußerungen von Lie. Mayer schreibt da nach dem 8.548, Z.15—13 v. u. Abgedruckten:

„Bei Satz 16 unter der Seite auf eine Note am Schluß hinzuweisen, wird ent- schieden das Beste sein. Daß für ein Involutionssystem gemeinsamer Jacobischer Multiplikator der einzelnen Gleichungen und Multiplikator des Systems identische Begriffe sind, ist ganz sicher, und, wenn Sie nicht einen Beweis finden, der sich enger an Ihre Begründung der Multiplikatortheorie anschließt, so können wir immer noch meine alte Ableitung wenigstens im Auszug geben. Ich finde in Ihrer Antwort auf meinen damaligen Brief hierüber nur folgende Stelle:

„„Nachdem ich meine Abhandlung gedruckt hatte, bemerkte auch ich die Sätze über den Multiplikator eines Involutionssystems. Da nun nach Ihnen jedes

M=Flfyys.-:-

1) Dies bezieht sich auf Bd. III d. Ausg., Abh. XIV. (A.d. H.)

Multipl. eines Invsyst. — Vollst. Syst. mit inf. Trff. 577

vollständige System auf ein Involutionssystem gebracht werden kann, so hat man wohl hier die beste Begründung meiner neuen Theorie.‘ ‘

Mayer hat dann schließlich die Anmerkung S. 210, Z. 8—1 v. u. hinzugefügt, und Lie schrieb ihm im März 1877:

„Meinen herzlichsten Dank für alle Ihre Mühe mit meiner Abhandlung. Ich kann Sie nicht hinlänglich rühmen für die Sorgfalt, mit welcher Sie die sprachlichen Änderungen machen, ohne den Sinn zu ändern. Mit der jetzigen Form der Anmerkung bin ich natürlich sehr zufrieden. Es würde mir angenehm sein, wenn Sie einmal im nächsten Bande eine Note über den betreffenden Satz machten.!) Wie gesagt, ich habe nicht gewußt, daß der gemeinsame Jacobische Multiplikator der Gleichungen eines Involutionssystems zugleich Multiplikator des vollständigen Systems ist. Und mir persönlich scheint es wohl der Mühe wert, dies zu beweisen.

„Ist das vernünftig von mir, wie ich pflege, meine Untersuchungen in größeren Parteien zu veröffentlichen? Oder wäre es besser, mehrere kleinere Arbeiten zu machen ? Meine letzte Arbeit zerfällt doch eigentlich in drei distinkte Parteien.“

Hieran schließt sich an, was Bd. III, S. 728, Z. 19—33 und S. 712, 2.27 v. u.— 713, 2.7, 8.709, 2.11,10 v. u., 8. 713, 2.9 v. 0.—17 v. u. abgedruckt ist.

S. 211, Satz 17. Hier bilden die Gleichungen: A,(f) = 0 ein n-gliedriges voll- ständiges System, das freilich nur die Lösung: f = const. hat. Eben deshalb kann man aber 1: A entsprechend der Definition auf S. 202 als einen Multiplikator dieses vollständigen Systems auffassen. Das stimmt damit, daß die Differentialgleichun- gen $. 211, 2.1 v. u. ein besonderer Fall der Differentialgleichungen des Multiplika- tors eines beliebigen vollständigen Systems sind, die wir Bd. III d. Ausg., S. 681 aufgestellt haben. i

S.213, 2.7. Mayer hat zugesetzt: „und (4,4,) = 0“, weil Satz 16 hier nu unter dieser Voraussetzung bewiesen ist. Der Zusatz kann aber weggelassen werden, da Satz 16, wie wir wissen, für jedes beliebige vollständige System gilt.

S. 213, 2.13. Lie hatte geschrieben: ‚„‚bestimmen könnte“.

S. 214, Z2.10f. Vgl. Math. Ann. Bd. XX (1882), S. 431—439 (diese Ausg. Bd. II, Abh. IV, Note 2). Ferner Bd. V dieser Ausg. Abh. XVI (1884), S. 432—440. Bd. VI, Abh. XX (1895), 8.584—591.

$ 11, S. 214—218. Entspricht Bd. III d. Ausg. Abh. XIV, S. 200—204.

S. 215, 2.16—6 v.u. entsprechen Bd. III, S.201, Z.4f. Dafür ist nachher, S. 218, 2. 2—5 die Anm. Bd. III, S. 203, Z. 7—1 v. u. weggelassen.

S. 216, 2.3,2 v.u. Vgl. S. 203f.

S. 218. Der Satz 19 ist neu hinzugefügt.

$ 12, S. 218—221 entspricht Bd. III, S. 204, 205. Vgl. dazu Bd. VI, Abh. V (1888), S. 234f. und S. 842f., 854.

S.219, 2.4—6. Eigentlich hätte nach ‚‚erfüllen“ hinzugefügt werden sollen: ‚‚wohl aber Relationen von der Form:

1...n—r (BB)= Dar Bft + Dvirs(le) AN),

wo die c,,, Konstanten sind“.

S. 219, Nr. 29. Hier werden die 00” r-fach ausgedehnten Integralmannig- faltigkeiten des vollständigen Systems: A,(f) = 0 bei den infinitesimalen Trans- formationen B,(f) durch eine Gruppe von vertauschbaren Transformationen unter einander vertauscht.

S.219f., Nr. 30. Hier, vertauschen B,(f),..., B„_,(f) die Integralmannig- faltigkeiten des vollständigen Systems durch eine (n — r)-gliedrige Gruppe derart,

1) Mayer hat das getan in der Abhandlung, die in Bd. III dieser Ausgabe auf S. 587 als Nr. XII angeführt ist. Lie nimmt auf diese Abhandlung Bezug Bd. V d. Ausg., Abh. XIX (1884), S. 462.

37*+

A78 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 219—224

daß immer die durch: B,(f),..., B„(f) bestimmte m-gliedrige Gruppe von Ver- tauschungen eine invariante Untergruppe der durch: B,(f), .. ., Bn..1ı(f) bestimm- ten (m + 1)-gliedrigen Gruppe ist. Die (n — r)-gliedrige Gruppe ist nach Lies späterer Bezeichnung integrabel. Vgl. 8.577, 2.15, 14 v.u.

S. 220f., Nr. 31. Diese Nr. hat Lie neu hinzugefügt.

S. 220, 2. 8,7 v.u. Vgl. Bd. VId. Ausg. Abh. III (1885), S. 157159.

S. 220, 2.6—3 v. u. Vgl. Bd. III, Abh. IX, X, XI, XIV (1883).

S. 220, 2.2 v. u.—221, 2.7. Vgl. Th.d. Trisgr. Bd. III (1893), S. 715f., Theo- rem 64. In der dortigen Gruppe (43) denke man sich 3 X,f durch X,f ersetzt.

S.221, Z.16. Hier hatte Lie versehentlich: n—r=5 geschrieben, und so steht auch in den Math. Ann. Bd. XI, S. 519 gedruckt. Er hat dieses Versehen bei einer späteren Gelegenheit berichtigt, s. Bd. V d. Ausg., Abh. XV (1884), 8.429, 2.10,9v.u.

$ 13, S. 221—223 ist neu hinzugefügt.

S. 221, 2.7,6v.u. Vgl. 8.171, 2.6—12.

S. 222, 2. 8—11. Hierin liegt, daß fı,.. ., fan _.2 eine (2n — 2)-gliedrige Funk- tionengruppe bilden, in der f, ausgezeichnete Funktion ist. Die Gruppe enthält daher nach Abh. I, S. 48, Satz 38 mindestens zwei ausgezeichnete Funktionen. Nach S. 59, Z2.5—1 v. u. kann sie aber auch nicht mehr als n — (n — 2) = 2 solche Funktionen enthalten, also hat sie die kanonische Form:

2, PETE VRR FB EERORN ED. WERT = FRRERTEERE A

und die Determinante der (f,f,) hat infolgedessen den Rang 2n — 4. Daraus geht hervor, daß die Determinante S. 223, Z.12—14 auch den Rang 2n — 4 besitzt, daß also die Gleichungen S. 223, Z. 6—9 nicht nur, wie Lie zeigt, befriedigt werden können, sondern daß sie die Verhältnisse der p, bestimmen.

Setzen wir etwa voraus, daß die Determinante aller (Fıfr) Bed, 2n — 2) von Null verschieden ist, so bleibt p, willkürlich, und wir können co) in

der Form: 3...2n—2

(1) eN= (ef) +2 Ten CN

annehmen, wo die x, bekannte Funktionen sind, und wo wir gar nicht nötig haben statt der &,, p, die neuen Veränderlichen f,., u, , u, einzuführen. Bezeichnen wir mit 2 die zweite noch unbekannte ausgezeichnete Funktion unsrer Funktionengruppe, so ist nach 8. 553:

(11) AN=hHhN=I CN!

ein zweigliedriges vollständiges System, das mit dem vollständigen Systeme:

AMN=0, EN=0 äquivalent ist. Überdies ergibt sich, weil alle (f,f,) verschwinden:

3..2n—2)

(III) ACH)— CAM) = She =0,

Demnach gestattet die Gleichung A (f) = 0 die infinitesimale Transformation C(f). Führt man jetzt die neuen Veränderlichen f,., ,, u, ein, so gestaltet sich alles wie S.223, 2.14—1 v.u. Man kann aber auch, ohne die neuen Veränderlichen einzu- führen, die fehlende Lösung von A (f) = 0 durch die Gleichungen:

(IV) AN=0, CN)=1

Die Bestimmung der letzten Lösung 579

bestimmen. Da man 2n — 2 unabhängige Lösungen: fı,.. ‚fan. und somit alle Lösungen des vollständigen Systems (II) kennt, findet man eine Lösung von (IV) durch eine Quadratur (vgl. Bd. III d. Ausg., Abh. X (1873), 5. 123, Satz 5).

Da man alle Lösungen von (II) kennt, so kann man ohne weiteres den allge- meinsten Multiplikator dieses vollständigen Systems angeben. Wegen (III) ist nun dieser Multiplikator (vgl. 8.5721.) zugleich der allgemeinste gemeinsame Jacobische Multiplikator der beiden Gleichungen (II). Da A(f) = 0 den Multiplikator 1 hat, könnte man auf den Gedanken kommen, daß sich auf diese Weise die fehlende Lösung von A(f) = 0 ergibt. Es stellt sich aber heraus, daß man nur die schon be- kannten Lösungen von A (f) = 0 wiederfindet.

In der Tat, C (f) hat notwendig die Form:

ceH=elı,--„hn-JhN+ Ylı,-- „fen-)(AP)-

Nun aber ist:

& 3? (v9) 32 (von.

also hat C’(f) auch den Multiplikator 1, und der allgemeinste Multiplikator von (II) ist eine willkürliche Funktion von fi, . . -, fan _.. Man findet also keine neue Lösung von: A(f)=d.

Daß C(f) den Multiplikator 1 hat, läßt sich auch ohne Benutzung der unbe- kannten Funktion 2 beweisen. Nach (I) und (V) braucht man nämlich nur zu zeigen, daß der Ausdruck:

3...2n—2 (vn) tem) verschwindet. ö Nach der Definition von C(f) gelten die Gleichungen: i 8...2n—2 ki)+ Zt) 0 Gel..,20-2h wo man überdies f; durch eine beliebige Funktion von fı, . . :, fan _., ersetzen kann.

Wegen der Jacobischen Identität ist aber: (ah) Id) kr hr),

also kommt augenscheinlich:

8...92n—2 5...3a-2 (vI) Zt kt) — rt) eh) = 0. k Beschränken wir hier j und A auf die Werte 3,...,2n — 2 und bezeichnen wir die

nicht verschwindende Determinante der (f, f;) mit A und die zu (f; f,) adjungierte Unterdeterminante mit A; ,, so ist: A}, + A,; = 0 und wir erhalten aus (VII) durch Multiplikation mit A,, und Summation nach j und }:

3...2n—2 3...2n—2 Ay) + Aut) =0, n j

was zu beweisen war.

S. 224—229, Nr.34, 35 entsprechen Bd.III d. Ausg. Abh. XVIII (1876), S. 269— 272. |

S.224, 2.6—10. Diese Mitteilung ist eine äußerst wertvolle Ergänzung der kurzen Andeutung in Bd. III, S. 269, Z.9—11.

S.224,2.13,12v.u. Die Worte: „von... unabhängige‘ hat Mayer hinzugefügt.

580 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 225—232

S.225,2.11,10 v.u. Es ist also: fı, . . -, fa» Pa+1> + - -, 9, eine s-gliedrige Funk- tionengruppe, von der man q ausgezeichnete Funktionen, nämlich f},..., f,, kennt.

S.225, 2.7 v.u.—226, Z.9 v.u. Die Einführung der neuen Veränderlichen kann man vermeiden, vgl. S. 567f. Die allgemeinste infinitesimale Transformation C(p) ist im Wesentlichen nichts anderes als die allgemeinste infinitesimale Trans- formation:

2:..M BIER eerfen Parıs*- ,9)(2,9) u

und kann nach Satz 6, S. 171 aufgestellt werden, ohne daß man Q2,,...,Q2,, kennt. Vgl. auch 8. 5521.

S.226, 2.10 v. u. Das Wort ‚unabhängige‘ soll hier ausdrücken, daß die Gleichungen: C,()=0,...,C, (9) = 0 von einander unabhängig sind.

S. 226, 2.8 v. u.— 227, 2. 8. Diesen Absatz hat Lie neu hinzugefügt. In Bd. III, S. 271, Z. 7—10 betrachtet er bloß den Fall, daß die Gruppe: fi, . . ., fg» Parıs Ps von vornherein n-gliedrige Involutionssysteme enthält.

Zu 8.227, Z.2—4 ist noch zu bemerken, daß diese Operationen nur im un- günstigsten Falle erforderlich sind. Vgl. S. 174f.

S. 227, 2.13£. Daraus folgt zugleich, daß die Gruppe n-gliedrige Involutions- systeme enthält und also die kanonische Form: X,,..., X, Patm+ıs > Pn be- sitzt.

S. 227, 2. 8—6 v. u. Diese Eigenschaft besitzen selbstverständlich auch die in- finitesimalen Transformationen C,(@),...,C„(gp) auf S. 226, und es wäre zweck- mäßiger gewesen, das schon dort zu beweisen.

S. 228, 2.6, 7. Die Worte: „und die A,(p)‘, sowie das Glied: & ß,,4,(g) hat Mayer hinzugefügt.

8. 228, 7.7 v.u.—229, Z. 11. Bequemer ist es, die Gleichung C „(p) = 1 hinzu- zufügen; dann sind die Ableitungen von p bestimmt, und man erhält @ durch dieselbe Quadratur wie L, (vgl. Bd. VI d. Ausg., S. 842f.).

S. 229, 2.14. Auf die S. 224, am Schlusse von Nr. 34 berührte Frage nach den erforderlichen Quadraturen kommt Lie nicht wieder zurück. Er erwähnt auch nicht, daß nach Ausführung der m Quadraturen, also nach Auffindung aller Lösungen des Systems: A,(p) = 0 doch noch eine Quadratur erforderlich ist, um die charakteri- stischen M, des Involutionssystems: fi = &, - . :,f„, = a, bestimmen und eine voll- ständige Lösung aufstellen zu können.

Die charakteristischen M, des Involutionssystems werden nämlich eigentlich durch das vollständige System:

(fı9] = 0,2. [f,9] = 0

bestimmt, das außer 2n —q von 2 freien Lösungen: fı,.. fg Ygzıs +: +» Um_g noch eine in z lineare Lösung: 2 — w(x,p) besitzt (vgl. Bd. Im d. Ausg. Abh. IX (1873), S. 105f., Hilfssatz). Da die Elemente jeder charakteristischen M, die Glei- chung: dz — 2 p,da, ==. d Ka so besteht eine Identität von der Form:

.2n—2g

1: Span, Iran Zu dug4;+ de — 0),

also auch eine von der Form:

.n .2n—29

Spas, -Sruar, +30, ds ed.

Nach $ 1 kann daher, wenn die u, ,,; bekannt na o& durch eine Quadratur gefunden werden, worauf sich die F', und U, durch Auflösung linearer Gleichungen ergeben.

Neue Begründung der Integrationsth. von $1, 3, 5 581

In unserem Falle sind: fı, - - ., fq» Pa+ı> +» Pan-a-m» Dis: - -, Zm die Lö- sungen des ee (fr £ —= 0. Es besteht daher eine Identität von der Form: “N 1...2n— 29 —m T,

Syaz, Shan +2 9,d944; + m, dL,+do.

Hier kann & (nach $1) durch eine Kuhn gefunden werden, und erst damit ist das Integrationsproblem vollständig erledigt.

Erinnert man sich andererseits, daß die Gruppe: fi, - - +» fg» Pa+ıs +: +» Pan-a—m n-gliedrige Involutionssysteme enthält, so erkennt man nach $ 1, S.168, Beweis von Satz 4, das Bestehen einer Relation:

.N .2n—24—m

Spas, - Shan +2 Opa +d2,

wo (2 durch eine Quadratur gefunden wird, ar nachher die P.; ®, durch Auf- lösung linearer Gleichungen erhalten werden. Dabei sind die ®, die fehlenden Lö- sungen des Systems (f.p) = 0, und 2 befriedigt nach Satz 3, S. 167 die qg Gleichungen: [fk; 2 — 2] = 0. Demnach ist hier durch eine einzige Quadratur alles erledigt.

Es verdiente entschieden, untersucht zu werden, in welchen Beziehungen die m -- 1 auf dem einen Wege nötigen Quadraturen zu der einen Quadratur stehen, mit der man auf dem zweiten Wege auskommt.

S. 229—232, Nr. 36, 37 sind neu. Vgl. 8. 555—558.

S. 230, 2. 10—5 v. u. Das folgt daraus, daß X ,1,. : :, Xn> Patm+ıs::-» P Funktionen von N,,...,N,,H H sind, und insbesondere unab- hängige Funktionen der H,,x-

S.231, 2.9—6 v.u. Lie hatte ursprünglich geschrieben: „Und wenn wir die Voraussetzung machen, daß die Gruppe N,,...,N,, Hy41, Hg+s,- - -, H, keine Involutionssysteme nullter Ordnung enthält, und daß daher die Größen der Polar- gruppe nicht sämtlich von nullter Ordnung sind, so bilden...“

Mayer machte darauf aufmerksam, daß es heißen müsse: ‚„‚keine n-gliedrigen Involutionssysteme‘“. Lie ermächtigte ihn, die Stelle zu ändern, was dann die jetzt gedruckte Fassung ergeben hat.

Abschnitt III, S. 232—250 behandelt eine Frage, mit der sich Lie schon 1875 in der Abh. XVI von Bd. III d. Ausg. eingehend beschäftigt hatte, die Frage näm- lich nach den einfachsten Integrationsoperationen, vermöge deren ein vorgelegtes q-gliedriges Involutionssystem: X, = @,,...,X,= a, erledigt werden kann, ins- besondere auch unter der Voraussetzung, daß man schon eine Anzahl von X,,..., X unabhängige Lösungen des q-gliedrigen vollständigen Systems: (X,f)=0,..., (X,f) = 0 kennt. Später bemerkte Lie, daß seine damalige Behandlung der Frage noch nicht erschöpfend war, weil er es unterlassen hatte, festzustellen, wann das be- treffende Integrationsproblem überhaupt keine Integrationsoperation mehr er- fordert (Bd. III d. Ausg., Abh. XVIII, S. 261, Z. 1—14). Nun aber war das in Rede stehende Integrationsproblem nur ein besonderer Fall seines allgemeinen Problems, ein vollständiges System von linearen homogenen partiellen Differentialgleichungen 1. ©. zu integrieren, das gewisse bekannte infinitesimale Transformationen gestattet. Indem er seine Theorie dieses allgemeinen Problems (Bd. III d. Ausg., Abh. XIV (1874), Bd. IV, Abh. III, S. 198—202) auf den vorliegenden besonderen Fall an- wandte, konnte er die Fälle ermitteln, in denen keine Integrationsoperation mehr er- forderlich war (s. hier $. 224—229), und war nun imstande, die Behandlung jener Frage zum endgültigen Abschluß zu bringen. Er macht das jetzt wesentlich kürzer und einfacher als in Abh. XVI von Bd. III. Nur ein ganz kleiner Teil der Entwicke- lungen dieser Abhandlung wird hier verwendet; alles übrige ist, wenigstens für den hier vorliegenden Zweck, entbehrlich. Das Folgende ist eine Ausführung der An- deutungen in Bd. III d. Ausg., Abh. XVIII (1876), S. 278—280.

q+19 +» Sl2n—-qa—m

582 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 232—250

Die ganze Fragestellung: Welches sind die einfachsten Integrationsoperationen, vermöge deren ein vorgelegtes Integrationsproblem erledigt werden kann? ist für Lie eigentümlich und tritt bei ihm schon sehr früh auf.

In einem Briefe, den Mayer am 3. 2.1874 erhalten hat und der zum größten Teil schon in Bd. V d. Ausg., S. 585£. mitgeteilt ist, lautet ein dort nicht abgedrucktes Stück, das zwischen Zeile 29 und 31 von S. 586 gehört, folgendermaßen:

„Hier eine Andeutung:

„Sei vorgelegt F(z,,...,P„) = a. Ich suche eine Funktion ®(x,p), so daß (F®) = 0. Außer F gibt es, weiß man, 2n — 2 verschiedene Funktionen ®. Also ist es möglich, eine ® durch eine Operation 2n — 2 zu bestimmen. Wir stellen die Frage, ob es möglich ist, eine ® durch eine einfachere Operation 2n — 2 — q zu finden:

An... M=0.

Soll es möglich sein, diese Gleichung A = 0 a priori aufzustellen, so muß dieselbe durch jede analytische Umformung ungeändert bleiben, bei welcher F in sich über- geführt wird, d. h. durch jede Berührungstransformation, die F in sich transformiert. Sei nun " eine Lösung von A = 0 und ®® eine ganz beliebige Lösung von (F®) — 0. „Wir wissen: FI,

Also gibt es nach meinen Theorien eine Berührungstransformation, welche F und Y° beziehungsweise in F und ®° überführt. Hierbei geht A (7°) = 0 in A (®°) — 0 über. Also: eine jede Lösung von (F®)—=0 genügt zugleich A(Y) = 0. Unsere Voraussetzung ist unmöglich.

„Eine andere Bemerkung:

„Sei vorgelegt F(z,p)= a und eine bekannte Funktion ®, wo (F®) — 0. Ich behaupte, daß es a priori klar ist, daß eine größere Reduktion in dem Integra- tionsgeschäft, als die Reduktion auf eine äquivalente Gleichung: f(z,,...,&,_ı> Pı> + - +» Pan _ı) = 0 undenkbar ist.

„In der Tat, sei überhaupt vorgelegt eine Gleichung:

Ola, Br DH RR

Man fasse dieselbe als Gleichung zwischen 2,,..., &n> Pıs---,P„ auf. Alsdann kennt man eine Funktion, etwa p,„, wo (9p„) = 0. Es ist aber klar, daß in diesem Falle eine größere Reduktion undenkbar ist. usw.‘

Am 5. Juli 1874 schreibt Lie ferner:

„Ich erledige eben ein Problem, welches bei meinen Untersuchungen sehr wich- tig ist, das folgende nämlich:

„Problem. Sei F eine Funktion von &,,..., p„ und ebenso ®,,...,®, solche Funktionen. Ich setze voraus, daß die Funktionen ® in solcher Weise gewählt sind, daß jede Berührungstransformation zwischen x, p, welche F in sich selbst transfor- miert, jede Größe ®, in eine Funktion von ®,,..., ®, überführt.) Welches ist der Minimumswert von r?

„Durch höchst einfache synthetische Betrachtungen, die ich gelegentlich in analytischer Form Ihnen mitteilen werde, habe ich bewiesen, daß dieser Minimums- wert der Zahl r eben 2n — 1 ist. Die ® sind die Lösungen der bekannten Gleichung: (F®) — 0.

„Dieses Problem hat für meine Theorien dieselbe Rolle, wie in der Theorie der allgemeinen algebraischen Gleichungen folgendes:

„r Größen &,,..., z, sind vorgelegt; man sucht eine Funktion dieser Größen, die durch alle möglichen Vertauschungen der x q Werte annimmt. Man sucht die

1) „Bemerke wohl, daß die ® keinen weiteren Beschränkungen a priori unter- worfen sind.‘

Die Frage nach den besten Integrationsmethoden 583

verschiedenen Werte der Zahl... (es ist ein bischen unklar geschrieben), insbesondere die Minimumswerte. „Laß mich eine Anwendung andeuten. Sei vorgelegt die Gleichung:

Pia; .: +. 85 Dıs + + :, Pu) = Const.,

die integriert werden soll. Unter den verschiedenen Weisen, in welchen man das Inte- grationsproblem angreifen kann, beschränke ich mich auf solche, deren erster Schritt darin besteht, daß man eine gewisse Funktion ® (z,,..., p„) sucht, die als ein Integral eines simultanen Systems bestimmt wird.

„Es liegt nun in der Natur der Sache, wenn die betreffende Methode eine all- gemeine sein soll, daß der Inbegriff der Integrale:

®,,...,9

des betreffenden simultanen Systems die Eigenschaft besitzen muß, daß eine B.-Trf., welche F invariant läßt, jede ® in eine Funktion der ® überführen muß.

„Soll nun die betreffende Methode nach dem Lagrange-Jacobischen Maß- stabe einfacher als die bekannten sein, so muß

oeZz2n—l1,

und überdies, wenn o = 2n — 1, muß F selbst sich durch die ® ausdrücken lassen. „Dies führt aber nach dem Obenstehenden darauf, daß die ® Lösungen von:

(F$)—= 0 sein müssen.

„Also die betreffende Methode muß jedenfalls hinsichtlich des ersten Schrittes mit allen bisherigen übereinstimmen.

„Hier läßt sich nun weiter räsonnieren. ... Ist es nicht schön ?

„In der Tat: die Invariantentheorie der Berührungstransformationen be- herrscht die Integrationstheorie der partiellen Differentialgleichungen erster Ord- nung im selben Sinne, wie die Substitutionstheorie beherrscht die Theorie der alge- braischen Gleichungen!!!“

Endlich liest man in einem Briefe, den A. Mayer am 6. 5. 1875 erhalten hat:

„Was würden Sie zu einer Note für die Göttinger Nachrichten, etwa des fol- genden Inhalts, sagen ?

„Die von Mayer und mir in den letzten Jahren gegebenen neuen Integrations- theorien der partiellen Differentialgleichungen 1. O. veranlassen die Frage, ob noch einfachere Integrationsmethoden überhaupt denkbar sind.

„Es ist mir gelungen, indem ich gewisse einfache Forderungssätze als Axiome feststellte, diese Frage mit Nein zu beantworten. Hierdurch ist die Erledigung des aufgestellten Problems auf die Untersuchung der betreffenden Forderungssätze reduziert.

„Als ersten Forderungssatz stelle ich auf, daß die Integration der allgemeinen Gleichung F(z, y, dy: de)=0 sich nicht auf ausführbare Operationen redu- zieren läßt.

„Forderungssatz2. Die Operation 2n ist als schwieriger anzusehen als der Inbegriff der Operationen 2n —1,2n —3,...,5,3,1.

„Forderungssatz 3. Die einfachste Integrationsmethode einer Gleichung:

Pier as Die, Da) se Const: fängt mit der Aufsuchung einer Lösung eines vollständigen Systems: Al=0,...,4,/7=0

zwischen z,,..., p„ an, das zu F in invarianter Beziehung steht. (Man könnte sogar auch verlangen, daß die unabhängigen Variabeln nur z,,...,p,„ zusammen mit höheren Differentialquotienten wären.)

584 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 232—241

„Dies vorausgeschickt habe ich bewiesen, daß eine allgemeine Integrations- methode eines beliebigen Gleichungssystems:

%2,9)=L9,::, 02,0

sich nicht mit einfacheren Operationen als nach unseren Methoden begnügen kann.

‚„ Diejenigen neuen Integrationstheorien, die ich 1873 entwickelte), sind in ent- sprechendem Sinne so gut, wie möglich. (An einem einzigen Punkte eine Verbesserung möglich vermöge des Jacobischen Multiplikators.)‘

Die Note in den Göttinger Nachrichten ist nicht geschrieben worden. Abh. XVI in Bd. IIId. Ausg. war damals schon gedruckt.

Die eben mitgeteilten Briefstücke hätten ja auch in den Anmerkungen zu Bd. III untergebracht werden können. Ich habe es aber vorgezogen, sie hier abzu- drucken, als Zeugnisse für die Vorgeschichte der Theorie, die in dem Abschnitte III der vorliegenden Abhandlung ihre endgültige Gestalt erhalten hat.

S. 232, Z.13f. Diese Überschrift, die Mayer hinzugefügt hat, bezeichnet Lie in einem Briefe als ‚gut‘.

S. 233—236. Welche Abhandlungen von Pfaff, Cauchy, Jacobi, .... hier in Betracht kommen, kann man aus Bd. III d. Ausg., S. 585—588 ersehen.

S.236, 2.1 v.u. Die Stelle befindet sich in der nachgelassenen Abhandlung: „Über diejenigen Probleme der Mechanik, in welchen eine Kräftefunktion existiert, und über die Theorie der Störungen‘, Dynamik (1866), S. 304, Ges. Werke, Bd. V (1890), S. 220. Es heißt da:

„Man hat diese Theorie?) mit Unrecht bisher durch die Arbeiten von Lagrange und Pfaff für abgetan erachtet, während sie noch einen großen Spielraum für Unter- suchungen darbietet, welche ebensoviel neue und wichtige Resultate für die Mechanik versprechen; die Theoreme Hamiltons selbst tragen auf bedeutende und uner- wartete Weise zur Vervollkommnung dieser Theorie bei, obgleich der Verf. dieses rein analytische Interesse nicht hervorgehoben hat.

S. 237, Z. 1f. Lie hatte geschrieben: ‚diese Disziplin fertig wäre“.

S. 237, Z2.13f. Das Eingeklammerte stand in Lies Manuskript, ist aber von Mayer gestrichen worden.

S. 237, 2.16 v. u. Lie hatte geschrieben: ‚bei allen bisherigen“.

S. 238, 2. 2—9. Hier weicht Lie von der in Bd. III d. Ausg., Abh. XVI (1876), S. 224f. getroffenen Festsetzung ab. Auf Mayers Frage, warum er das getan habe, antwortet er, Ende 1876:

„Es ist als Fortschritt zu betrachten, wenn ich nun sage, daß IT die Transfor- mation Bf gestattet, wenn BIT — 0 ist. Auf diese Weise hat nämlich der Forderungs- satz II (und III) einen geringeren Umfang. Ich supponiere ja nämlich, daß das erste System:

Ast, ..,4,18 ER

bei allen infinitesimalen Transformationen invariant bleibt, die die vorgelegte Glei- chung invariant lassen. Früher beschränkte ich aber das System von vornherein mehr als jetzt.‘

S. 239, 2. 8f. Die Berechtigung dieser Bezeiehnung folgt aus Abh. I, Satz 11, 8.21.

S.239, Z.15, 14 v. u. Die Worte: „wobei ... bezeichnen‘ hat Mayer zu- gefügt.

S. 239, Satz 23. Man beachte, daß X,,..., X, Pa; -‚ P„ eine (2n —1)- gliedrige Funktionengruppe bilden, und daß daher (vgl. S. 552) alle inf. B. T. von der angegebenen Form eine unendliche kontinierliche Gruppe von B. T. erzeugen. Das

1) D. Ausg. Bd. III, Abh. VII, VIII. (A.d. H.) 2) Der partiellen Differentialgleichungen 1. ©. (A.d. H.)

Die besten Integrationsmethoden 585

Wesentliche ist nun, daß X, keine ausgezeichnete Funktion der Funktionengruppe ist. In einem allgemeineren Satze, den Lie Bd. III d. Ausg., Abh. XVI (1875), S.231, Satz 9 bewiesen hat, wird das auch ausdrücklich hervorgehoben. Daß sich dieser Satz auf homogene Funktionengruppen bezieht, tut nichts zur Sache. Es gilt allgemein der Satz:

Man habe eine r-gliedrige Funktionengruppe: u,,...,u, und ein vollständiges System, das alle inf. B. T. von der Form: F (u,,..., u,) gestattet. Ist dann eine nicht- ausgezeichnete Funktion p(u,,...,u,) der Funktionengruppe eine Lösung des voll- ständigen Systems, so ist überhaupt jede Funktion von u,,...,u, eine Lösung.

Um diesen Satz zu beweisen, setze man g = X, und denke sich die Funktionen- gruppe nach Abh. I, 5. 45—48 auf die kanonische Form: X,,..., Xy 4m» Pıs-:-P, (2q+m=r) gebracht. Dann kann man das beim Beweise von Satz 23 benutzte Verfahren anwenden.

S.239, Satz 24. Diesen Satz hatte Lie in Abh. XVI von Bd. III d. Ausg. als Satz 10 (a.a. ©. S. 232) aufgestellt. In der jetzigen Abhandlung hatte er ihn unter- drückt. Da aber Mayer das bedauerte, gab er seine Zustimmung zur Wiederein- führung des Satzes.

S.241, 2.15—242, 2.5. In Lies Handschrift stand hier ursprünglich fol- gendes:

„Satz 26. Die Integration der Gleichung:

X,(&, ...; In» Pı> oo. Pu) = &ı

kann, nachdem eine von X, verschiedene Lösung der Gleichung: (X,®) = 0 gefunden ist, darauf reduziert werden, eine Gleichung zwischen n — 1 Variabeln:

TAPETE REP EEE BERN. zu integrieren. „Dies ist ja der Fundamentalsatz der neuen Integrationsmethode, die ich 1872 veröffentlichte. (Siehe ersten Teil dieser Abhandlung [hier Abh. II]). „Satz 27. Die Integration der Gleichung:

fi; ...;, In_-1,Pı>- - Pie

kann immer darauf reduziert werden, eine Gleichung von der Form:

Pt a. Bar an Dad 6

mit einer bekannten Lösung der Gleichung: (F®) = 0 zu integrieren.

„Beweis. Faßt man fals Funktion von &,,..., 22» Pıs---,Pn auf, so ist x, eine bekannte Lösung von (f®) = 0. Sei f = b, aufgefaßt in dieser Weise, integriert. Alsdann kennt man 2n — 1 Funktionen Q,,.. ., Pan _ı VON Z1, :.., Ins Pıs ++ Pro die einer Gleichung: (fp) = 0 genügen. Machen wir in den p,. die Substitution:

%, = Const.,

so erhalten wir die allgemeinste Funktion von &,,..., 2% _1>Pıs +++, Pn_ı, die (fp) = 0 befriedigt. Hiermit ist unser Satz bewiesen. „Theorem X. Die einfachste Integrationsmethode der Gleichung:

hen, ip) = 14,

mit einer bekannten Lösung der Gleichung: (X®) — 0, braucht genau so viele und so hohe Integrationsoperationen, wie die einfachste Integrationsmethode der allgemeinen partiellen Differentialgleichung 1.0. zwischen &,. . ., Zu_ı» Pıs ==» Pn_ır

„Dieses wichtige Theorem ist eine direkte Konsequenz von den früheren Sätzen dieser Nummer.“

586 Anmerkungen zu Abhandlung III, S. 241 —250

Mayer bemerkte hierzu, daß er den Beweis von Satz 27 nicht verstehe. Nament- lich störe ihn, daß die Gleichung (f®) = 0 zwei bekannte Lösungen, x, und p,; erhalte. Er fährt dann fort (Brief vom 12.11.1876):

„Es liegt, meine ich, die Unklarheit oder besser das Unbefriedigende lediglich in der Fassung der beiden Sätze 26 und 27, und sie würde ganz verschwinden, wenn man diese Sätze vielleicht so ausspräche:

„Satz 26. Die Integration der Gleichung: X, (%1, -- -, Pn) = Qı läßt sich, nachdem man irgend eine von X, verschiedene Lösung X, der Gleichung: (X,®) = 0 gefunden hat, zurückführen auf die Integration des Involutionssystems: X] = Gı, X, = q,, und diese wiederum läßt sich zurückführen auf die Integration einer Gleichung zwischen n — 1 Variabeln: f(z1,-:., ._, Pr: sm )=d.

„Satz 27. Umgekehrt kann daher die Integration der Gleichung: f(zı, ..., &n_ı> Pıs == +, Pn_ı) = b immer zurückgeführt werden auf die Integration des Involutions- systems mit n unabhängigen Varvabeln:

=b, =, = 4, (oder: 2. 3):

„Doch gefällt mir auch diese Fassung nicht ganz.“ Lie erwiderte hierauf (November oder Dezember 1876): „Zu Ihrer Einwendung gegen Satz 27. Sei vorgelegt:

Ban .. a et

und seien F,,F,,...,F,„_ı die Lösungen von: (F,F) = 0. Mache ich nun in diesen Lösungen die Substitution: F,„_ı = Const. (vermöge dieser Gleichung eliminiere ich etwa p,„), so sind die hervorgehenden Größen: Fi”""',F3""',...,P33Z;

wiederum Lösungen von (FF) = 0.t) „Dies wende ich an auf:

I(zı; a a In-1> Pı> a Pa-i) b.

Seien F},...,Fy„_ı die allgemeinsten Funktionen von &,.. :, ns Pıs + + +» Pn, die Fer befriedigen. Hier kann ich ohne weiteres: F,„_a = % , Fan _ı = P„ voraus- setzen. Setze ich also in F},...,Fs,_s:

x, = Gonst., p, = bonst.;

so erhalte ich 2n — 3 Funktionen. von 2,,...,%,_1> Pı> --Pn_ı, die (F)=0 befriedigen. Und hiermit ist die Integration von: f = b, aufgefaßtals Gleichung zwischen 2,,.. ., &n_.1, Bir: 5 Pr „1. geleistet.

„Mein Beweis ist also insofern unrichtig gewesen, wie es heißen muß: ‚, ‚die Sub- stitution: x, — a, — Const., p, = b„ = Const.‘“““ Mein Gedanke ist übrigens gewiß unklar ausgedrückt. Doch wird er wohl richtig und scharf sein. Ich sende im nächsten Briefe (in zwei Tagen) eine neue Redaktion des Beweises.“

Dieser nächste Brief ist nicht vorhanden. Nach der Fassung, die schließlich gedruckt worden ist, muß man annehmen, daß Lie bei seiner neuen Redaktion die Vorschläge Mayers verwertet hat.

S. 243, 2.6—8. Vgl. Abh. II, S. 136—142.

S. 244f., Nr. 44. Vgl. hierzu Bd. III, Abh. XVIII (1876), S. 278—280.

S. 244, 7. 18—21. Vgl. Theorem II, 8. 175. Es ist jetzt: s=2qQ"— qQ,m=d’—q,

also:q +m+s=2q".

1) „Ebenso erhalte ich, wenn ich in Fj,.. Ne gleichzeitig die Substitu- tion: Fy„_, = Const., F,„_z = Const. mache, 2n — 3 Lösungen: un, F° “

2n—3°

Die besten Integrmeth. — Die Elem. einer Gl. in Vereine zerlegt 587

S. 245, Z.1—3. Das Involutionssystem kommt zurück auf eine Gleichung in n — q’ + 1 Veränderlichen. Die erste erforderliche Integrationsoperation hat daher die Ordnung: 2n — +1) —2.

S. 245, 2.4. Die Bezeichnung: ‚‚Theorem XII“ hat Mayer hinzugefügt.

$ 18, S. 245—250. Ausführung des Versprechens in Bd.III d. Ausg., Abh. XVIII (1876), S. 284, 2.6—3 v.u.

S. 245, 2.7 v.u. Lie hatte geschrieben: ‚eine allgemeine Funktion“.

S. 245, Satz 30. Ein noch allgemeinerer Satz ist Bd. III d. Ausg., Abh. XVI (1875), S. 231, Satz 8.

S.248, Z2.15—18. Vgl. Theorem IV, 8.187. Jetzt ist: r+1=2g4"—d, m=d—g ?!++m=2n —qa—r—1=2n—q’)+gJ—g, also: I=n—d". Hier ist nach Erledigung der letzten Operation 1 keine Quadratur erforderlich.

8.2488, 2.9—2 v.u. Hier ist: r+1=2d"— +1, m=gd—g-+l1, 2 +m=2nr —g— r—1=2n — d’)+@—-d—1=2n —d’”)—2+m, also: Z=n — q’’—1. Nach Erledigung der letzten Operation 2 ist noch eine Qua- dratur erforderlich.

S. 248, 2.12 v.u., S.249, 2.9 v.u. „Im allgemeinen‘, das heißt, wenn von allen besonderen Fällen abgesehen wird. Solche können eintreten, wenn man eine neue Lösung gefunden hat, und die Anwendung des Poisson- Jacobischen Theorems ergibt noch eine oder mehrere weitere Lösungen. Dann können einzelne der im all- gemeinen erforderlichen Operationen wegfallen. Man kann sogar unter Umständen von dem einen der beiden unterschiedenen Fälle auf den andern geführt werden; jedenfalls ist aber der Unterschied zwischen den Ordnungen zweier auf einander fol- gender Operationen stets mindestens gleich zwei (vgl. S. 565).

S. 250, Z. 11. Siehe S. 224ff.

S. 250, Z.16—21. Daß die N, Lösungen nullter Ordnung von (N, ®) — 0 sind, kommt darauf hinaus, daß die 00?” -* Elemente der Gleichung: N, = a, durch die _ Gleichungen:

N... Ne bomst., N; = Const,

in oo"! Mannigfaltigkeiten von je 00°?*-"-1 Elementen zerlegt sind, deren jede von 00?" ?2 charakteristischen Streifen der Gleichung: N, = a, erzeugt ist. Diese oo'’-1 Mannigfaltigkeiten sollen nun hier außerdem sämtlich Vereine sein, was auf das Bestehen einer Identität von der Form:

Li l.r Dip.dz, 2 M,.dN; i

hinauskommt.

Da Lie hier bloß eine Gleichung betrachtet, die von nullter Ordnung in den p ist, so beziehen sich seine Auseinandersetzungen eigentlich nicht auf das allgemeine Theorem I, S.168, in dem von Homogeneität noch gar nicht die Rede ist. Auf diesen allgemeinen Fall ist er offenbar deswegen nicht eingegangen, weil er keine Teermino- logie entwickelt hatte, die ihm erlaubte, die betreffenden Verhältnisse bequem aus- zudrücken.

Lie betrachtet die Gleichungen zwischen &,,...,2,,;Pı>---,P„ immer als Gleichungen, in denen die unbekannte Funktion z nicht vorkommt. Die Veränder- liche z spielt daher bei ihm immer im Hintergrunde mit, nur daß er sie sehr selten ausdrücklich berücksichtigt. Es ist nun aber viel bequemer, z ganz bei Seite zu lassen und bloß von Gleichungen in &,,.. ., 21» Pıs - - -, Pn Zu sprechen.

Man bezeichne zu diesem Zwecke jedes Wertsystem &,,..., Zn» Pıs +» Pn als ein Element und jede Mannigfaltigkeit von Elementen als einen Verein, sobald auf ihr der Ausdruck: E’p,dz, ein vollständiges Differential ist. Daraus folgt dann insbesondere, daß jede Mannigfaltigkeit von o0! Elementen ein Verein ist. Die Integration einer Gleichung: F(x,p)= 0 kommt jetzt darauf hinaus, alle Inte-

5883 Anmerkungen zu Abhandlung III, Illa, IV, S. 250—265

gralvereine der Gleichung zu finden, die je ©0* Elemente enthalten. Durch die Glei- chung (Ff) = 0 oder das äquivalente simultane System:

Re ar

werden die 0o0?*-1 Elemente in 00??? charakteristische Vereine von je oo! Ele- menten zerlegt, und im allgemeinen ist jeder Integralverein von 00” Elementen von oo”-1solchen charakteristischen Vereinen erzeugt.

Benutzt man diese Ausdrucksweise, so kommt das Theorem I, S. 168 für den Fall g=1 auf folgendes hinaus: Sind die 0o0?*-1 Elemente jeder Gleichung: F,= a, in oo"! Mannigfaltigkeiten von je 00?*-" Elementen zerlegt und sind diese Mannigfaltigkeiten erstens alle von chärakteristischen Vereinen erzeugt und zweitens alle Vereine, so kann man durch eine Quadratur alle charakteristischen Vereine jeder Gleichung: F, = a, finden. Den allgemeinen Fall eines beliebigem q kann man selbstverständlich in ähnlicher Weise aussprechen.

Note 2, S. 251—256 ist eine Umarbeitung von Bd. III, Abh. XVII (1876), S. 252—259. Von Konnexkoordinaten (a. a. O. S. 253, 2.11—8 v. u.) ist allerdings jetzt nicht mehr die Rede. Man vgl. meine Anmerkungen zu jener Abhandlung, ebd. S. 688—690, überdies auch ebd. Abh. XXI (1877), S. 350£.

S.252, Z2.3—1 v.u. Das Verschwinden bedeutet selbstverständlich: ver- schwinden vermöge: &, —=0,...,0,=0.

S. 253, 2.2 v. u. Das Zitat hat Mayer hinzugefügt.

S. 254, 7. 10—14. Selbstverständlich ist es eine neue Beschränkung, daß auch dieses Involutionssystem als auflösbar nach m von den p’ vorausgesetzt wird.

S. 254, 2.8—2 v.u. Vgl. Abh. IIa, S. 158 und S$. 160.

S. 256, Z.13—16. Jedes Gleichungssystem: 2, (2, )=0,...,2,(8, &) = 0 bestimmt also entweder eine Berührungstransformation des ganzen n-fach ausge- dehnten Raumes oder eine Berührungstransformation zwischen den Elementen zweier Involutionssysteme von gleicher Gliederzahl.

Note 3, S. 256—261. Im wesentlichen eine Umarbeitung von Bd. III d. Ausg., Abh. XIII (1874), S. 182—186.

S.259, 2.4,3v.u. Es sei H(&,,..., 24: Pı> - - -, P„) eine infinitesimale homo- gene Berührungstransformation (s. Abh. I, S. 26f.), bei der die Gleichung: X X,dr; — (0 invariant bleibt, so daß eine Identität von der Form:

RR

RER 1 2 Ka =) a e an Di nal - I x

besteht. Setzt man darin p,—= X, und deutet man diese Substitution durch das. Zeichen [ ] an, so wird:

1., r: 2 [2.18 + 2x, end de,,

das heißt, die Gleichung: & X,dx, = 0 bleibt auch bei der infinitesimalen Punkt- transformation:

invarlant. S. 259, Nr. 54. Vgl. S. 5691.

Gleich. in x, p. — Eulerscher Mult. — Die char. Streifen 589

S. 260, Z.17. Merkwürdigerweise ist es Lie entgangen, daß diese Quadratur ausführbar ist. Man hat ja:

0) 2:0 A 0 6 — = — Va ! 7,08 M 9 3,108 (X + Y?) er 0 2 1 2 2 72 e2 _. se Wie +Y ur arctg \ und somit: 0? $% 0° Y Pr arcig „ + FIT, arctg u das heißt:

4 ; : arctg = Platiy)tg)z—iy). Demnach kommt: Adz+ Bdy=— $dlog(2? + y2) —i(P — Y)dc + (+ x )dy —= — 4 dlog(2? + y?) —idp + idy.

Auch in Lies Vorlesungen über Diffgl., bearbeitet von Scheffers, Leipzig 1891, S.156f. wird diese Bemerkung nicht ausdrücklich gemacht.

S. 261, 2.4—18. Vgl. ebd. S. 150—187.

Note 4, S. 261f. ist ganz neu.

S.261, 2.2 v. u.—262, Z.1. Durch Berührungstransformation kann die Glei- chung: f(z, x, y, p, q) = 0 die Form: p = 0 erhalten, die ihrerseits bei allen infini- tesimalen Berührungstransformationen des Raumes invariant bleibt, deren charak- teristische Funktionen!) die Form: W (y,z,gq) haben. Die von diesen inf. B. T. er- zeugte unendliche Gruppe läßt die Gleichung: dz2 — qdy — 0 invariant und trans- formiert daher y,z,q durch die unendliche Gruppe aller B. T. der Ebene y,z. Das einzige bei dieser Gruppe invariante simultane System isst:d2e=0,d2=0,dy—=0, das die charakteristischen Streifen der Gleichung: p = 0 bestimmt.

S.262, 2.4—1 v. u. In der Abhandlung: ‚Über Flächentransformationen‘“, Math. Ann. Bd. IX (1876), S.297—8320 hat A. V. Bäcklund bewiesen, daß jede Transformation, bei der Berührung n-ter Ordnung (n> 1) erhalten bleibt, eine er- weiterte Berührungstransformation ist. Vgl. hier Abh. XI (1898), S. 414.

Zu Abhandlung Illa, S. 262—264.

S. 263, Z. 3f. Siehe $S. 170f.

S. 263, Z.5—7. Siehe $. 1691.

S.263, 2.19—21. Es sind noch 2n — q— s Lösungen unbekannt. Die Zahl s— (q+ m), als Differenz zwischen der Gliederzahl der Gruppe und der Zahl der ausgezeichneten Funktionen, ist gerade.

S. 263, Z. 22—26. Vgl. S.178 und 554.

Zu Abhandlung IV, S. 265—290.

Der erste Druck trägt außer den Seitenzahlen des Bandes der Leipz. Abh. auch noch die Seitenzahlen 3—28.

Die Entwickelungen der vorliegenden Abhandlung sind zum Teil in die Kap. 4 bis 6 von Bd. II d. Th. d. Trfsgr. (1890) eingearbeitet worden.

S.265, Z.3 v.u. „Über ein neues Grundgebilde der analytischen Geometrie der Ebene“, wiederabgedruckt in den Math. Ann. Bd. VI (1873), S. 203—215.

1) S. hier Abh. IV (1888), S.274f. Theorie der Trfsgr. Bd. II (1890), S. 253.

590 Anmerkungen zu Abhandlung IV, S. 266—287

"8. 266, Z2.6—1 v.u. In der Th.d. Trfgr. Bd. I (1888), S. 1071. sind diese Voraus- setzungen noch etwas schärfer ausgedrückt, aber doch noch nicht ganz befriedigend. Man muß verlangen, daß es ein Wertsystem y',...,y, gibt, für das sich die ®, alle regulär verhalten und alle verschwinden, während in der Matrix ihrer Ablei- tungen nicht alle m-reihigen Determinanten Null werden. Man muß sich dann auf eine gewisse Umgebung dieses Wertsystems beschränken.

S. 267, 2. 7f. Es sind das selbstverständlich Gleichungen zwischen: p,,.. ., Pa; EN

S. 267, 7. 5—2 v.u. Während sich Lie früher äußerst anerkennend über Graßmanns Leistungen für das Pfaffsche Problem ausgesprochen hatte (s. Bd. III d. Ausg., S. 320, 322, 329, 352, 354), urteilt er hier über eine Stelle in den Graßmannschen Entwickelungen mit geradezu auffallender und, wir müssen sagen, ganz unnötiger Schärfe. Vgl. Hermann Graßmanns ges. math. u. physik. Werke, Bd. I, 2. Teil (1896), S. 346f. Auf S. 472—474 ebd. habe ich auseinandergesetzt, inwiefern die Liesche Kritik berechtigt ist.

S. 267, 2.13. Daß ein Gleichungssystem ‚‚mit der Gleichung: ® = 0 verträg- lich‘ ist, soll heißen, daß es die Gleichung: ® = 0 nach sich zieht. Diese Rede- weise, die Lie in der vorliegenden Abhandlung fortwährend anwendet, drückt in keiner Weise das aus, was damit gemeint wird. Man kann sie daher sicher nicht emp- fehlen, ebensowenig wie den Ausdruck: „algebraisch vereinbar‘, den Lie früher in ähnlichem Sinne benutzt hat (d. Ausg. Bd. III, Abh. XII (1874), 8.158, 2.4; 160, 2. 7). Die Benutzung dieses letzteren Ausdrucks ist übrigens um so bedenklicher, als ihn Lie ebd. S. 151, 2.13 und auch Bd. IV, Abh. II (1875), 8.103, 2.2 v.u.in einem ganz anderen Sinne verwendet.

S. 267, 2.13—11 v.u. Lie konnte sich damals noch nicht entschließen, den schon 1884 von mir vorgeschlagenen Ausdruck: ‚„Elementverein‘‘ oder kurz: „Verein“ zu benutzen. Selbst im II. Bde. der Th. d. Trfsgr. (1890) bequemte er sich nicht dazu.

S. 268, 2.8,7 v. u. Der „längst bekannte‘ Satz, den Lie meint, kann doch wohl nur der selbstverständliche Satz sein, daß immer, wenn & bei der Substitution: 2=F,p, = 0F:0r, identisch verschwindet, auch die vollständigen Ableitungen von ® nach &,,..., 2, diese Eigenschaft haben.

S. 269, 2. 14—18. Vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. I (1888), S. 109—111.

S. 270, Satz 3. Dieser Satz steckt allerdings in den Entwickelungen Bd. III d. Ausg., Abh. XII (1874), S. 172—174, Bd. IV, Abh. II (1875), S. 130—133, aber in einer gedruckten Abhandlung hat Lie den Satz zum ersten Male hier ausgesprochen. Wenigstens kann ich keine frühere Stelle finden.

S. 270, 2.2,1v.u. Vgl. Bd. III d. Ausg., S. 267 und $. 699, 2. 24.

S. 274, Z2.6—9. Vgl. Bd. III d. Ausg., Abh. XII (1874), S. 159, 174 und 8.622, 2.3—1lv.u.

S. 277, Satz 14. Von diesem Satze gilt dasselbe, was ich vorhin zu Satz 3, S. 270 bemerkt habe.

S.278, Z.2v.u. „an der zitierten Stelle‘, nämlich Bd. III d. Ausg., S.102, 2.5. Dort ist allerdings nicht ausdrücklich gesagt, daß z in H, vorkommen soll.

S. 281, Z.12—14. Nur daß [P,X,] gerade = o ist, und [P,Z) = eP,, ist dort noch nicht erwähnt.

S. 282, 2.4—8. Vgl. Th.d. Trfsgr. Bd. ni (1890), S. 278—280.

S. 282, Z. 20. Vgl. Bd. III d. Ausg., 8. 652. Man erhält diese Deutung der Maye rachen Identität, wenn man beachtet, wie sich der Klammerausdruck [UV] bei einer endlichen B.T. in z, x,, p, verhält (Th. d. Trfsgr. Bd. II, S. 123), und dann die betreffende Gleichung auf den Fall einer inf. B.T. anwendet (ebd. 8. 250—252). Man hat nur zu berücksichtigen, daß

5 [UV]=[U,V]+[UV,] ist.

Berührungstrsf. u. part. Diffgl. 1. O. 591

S. 282f., Nr. 19. Vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. II, S. 275, 276f., 287— 2%.

S. 283, Nr. 20. Vgl. ebd. S. 371f.

S. 283, Nr. 21. Veröffentlicht hat Lie darüber nichts. Jedenfalls hatte er nicht bemerkt, daß unter diesen Gruppen eine vierzehngliedrige einfache enthalten ist (vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. III (1893), S. 763). Siehe auch Bd. VI d. Ausg., 5.885, 2. 10—24.

S. 283f., Nr. 22. Die Bestimmung dieser Gruppen von Punkttransformationen hat de Tannenberg auf Lies Veranlassung durchgeführt in seiner These: Sur les &quations aux derivees partielles du premier ordre & deux variables independantes, qui admettent un groupe continu de transformations. Paris 1891, Abdruck aus den Annales de Toulouse V B, S. 1—148.

Ich vermag nicht zu sagen, worauf die Behauptungen auf S. 284, Z.4—8 be- ruhen.

S. 284, Nr. 23. Diese Untersuchung hat G. Scheffers auf Lies Veranlassung durchgeführt, s. Bd. VI dd. Ausg., 5. 885, Z. 10—17.

S. 284, Nr. 24. Vgl. Bd. V d. Ausg., Abh. V (1878), S. 191—197, Th. d. Trfsgr. Bd. II (1890), S. 437—443.

S. 284—286, $ 10. Vgl. Th.d. Trfsgr. Bd. II, Kap. 22.

S.287, Z.7f. Man erinnere sich, was damit gemeint ist, daß nämlich das Gleichungssystem der Element-M,, die Gleichung: W = 0 nach sich ziehen, daß also die Element-M,, ein Integralverein der Gleichung: W = 0 sein soll.

S. 287, Z.9—11. Die infinitesimale B. T. W erteilt den z,z,p die Zuwachse S. 275, (11). Soll sie nun einen Verein von 00” Elementen: 8, —=0,...,®0,,1ı=0 invariant lassen, so muß sie jedes Element des Vereins in ein unendlich benachbartes vereinigt liegendes Element überführen. Aber die einzigen Elemente, die dieser Forderung genügen, sind durch die Gleichung:

öz 1... 6; Pa

INT definiert; also müssen alle Elemente des Vereins diese Gleichung befriedigen, das heißt, der Verein muß ein Integralverein von W = 0 sein. |

Andrerseits läßt die infinitesimale B. T. W offenbar die Gleichung: W = 0 in-

variant und führt jedes Element dieser Gleichung, das sie nicht invariant läßt, das also nicht die 2n Gleichungen: (A) w„=0, W,+2W,=0 Gehen befriedigt, auf dem hindurchgehenden charakteristischen Streifen von: W=0 fort. Die endlichen Transformationen der von ihr erzeugten eingliedrigen Gruppe führen daher zwei unendlich benachbarte vereinigt liegende Elemente von W=0 in die beiden hindurchgehenden charakteristischen Streifen über, und diese Streifen, die ja selbst Vereine sind, stehen in der Beziehung zu einander, daß jedes Element des einen mit jedem unendlich benachbarten des anderen vereinigt liegt. Man erhält also das Theorem III, Bd. III d. Ausg., Abh. XII (1874), S. 160 (Bd. IV, Abh. II, S.114, Satz 11) und zwar höchst wahrscheinlich im wesentlichen auf dem Wege, auf dem Lie es zuerst gefunden hat.

Legt man durch alle Elemente eines m-fach ausgedehnten Vereins, der W = 0 befriedigt, der aber nicht von charakteristischen Streifen erzeugt ist, die hindurch- gehenden charakteristischen Streifen, so erhält man einen Verein von o0”+1 Ele- menten, der W = 0 befriedigt. Da nun ein Verein nie mehr als 00” Elemente ent- hält, so kann man schließen, daß jeder Integralverein von W = 0, der 00” Elemente enthält, entweder von charakteristischen Streifen erzeugt ist oder aus lauter singu- lären Elementen besteht, die die Gleichungen (A) erfüllen (vgl. Bd. III d. Ausg., S.598, Z. 1—10), Mit anderen Worten:

Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. IV 38

592 Anmerkungen zu Abhandlung V, S. 287—295

Die einzigen Vereine von oo” Elementen, die bei der infinitesimalen Berührungs- transformation W invariant bleiben, sind die Integralvereine der Gleichung: W = 0, was eben der Satz 20 des Textes ist.

Die Tatsache, daß es keine Vereine von 00**+1 Elementen gibt, führt hier auf die denkbar einfachste Weise zu dem Ergebnisse, daß jeder nicht singuläre Integral- verein von 00” Elementen von charakteristischen Streifen erzeugt ist. Merkwürdiger- weise macht Lie in seinen Veröffentlichungen von diesem einfachen und eigentlich so naheliegenden Schlusse keinen Gebrauch. Es hat daher fast den Anschein, als ob ihm dieser Schluß entgangen wäre. Wenigstens ist sonst gar nicht einzusehen, warum er so schwierige Betrachtungen wie Bd. III d. Ausg., S.165f., Nr.8 und Bd. IV, S. 121f. braucht, um diese Eigenschaft der nicht singulären Integralvereine von 00” Elementen zu beweisen.

S. 287, 2.20, 19 v. u. Lie hat vergessen hinzuzufügen, daß die Element-M,_; der Gleichung: W = 0 genügen soll.

S.288, Nr. 30, 31. Lie hat das näher ausgeführt in Abh. IX (1895), Kap. III, S. 352—371. Zu Nr. 31 vgl. man auch Bd. VId. Ausg., Abh. III (1885), S.140, Anm.

S. 289, Nr. 32. Über die Definitionsgleichungen vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. I (1888), Kap. 11, ferner Bd. VI d. Ausg. S. 847—819.

S. 289, Nr. 33. Die Jacobische Identität:

(XIV) H(KNZ) + lYZI Xp) = 0

zeigt, daß jedes ((Z,X,)Y) aus X, f,..., X,_ıf, also jedes (Z,X,) aus Zıf, - - ‚Zr _af allein linear ableitbar ist.

Man vgl. übrigens Bd. VI d. Ausg., Abh. III (1885), S. 206 und Th. d. Trfsgr. Bd. III (1893), S. 686—688, wo ein Satz bewiesen wird, in dem der hier aufgestellte mit enthalten ist, wenn es auch nicht ausdrücklich ausgesprochen wird.

S. 289, Nr. 34,35. Vgl. Bd. VI d. Ausg., Abh. III (1885), S. 205ff. Die ebenda , S. 207, 2.8—6 v.u., 208, Z. 1f. ausgesprochene Vermutung hatte Lie inzwischen als unrichtig erkannt. Daß es wirklich keine einfache neungliedrige Gruppe gibt, ist durch Killings Bestimmung aller Zusammensetzungen von einfachen Gruppen bestätigt worden.

S. 290, Z.4—8. Vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. III (1893), S. 711.

Zu Abhandlung V, S. 291—306.

Als Lie bei Beginn des Wintersemesters 1889—90 an der starken psychischen Depression litt, die ihn nötigte, eine Nervenheilanstalt aufzusuchen, vertraute er mir zwei Schriftstücke an, die ihm besonders am Herzen lagen. Das eine war eine Darstellung seiner Erweiterung der Cauchyschen Methode; er wünschte, daß sie als Schlußkapitel in den zweiten Band der Theorie der Transformationsgruppen auf- genommen würde. Das andere behandelte die linearen Differentialgleichungen; ich sollte es zu einer Abhandlung ausarbeiten, falls er etwa nicht wieder käme. Ich fand nachher, als ich jenen Band abschloß, daß ein solches Schlußkapitel aus dem Rahmen des Bandes herausfallen würde, und ließ daher den Band ohne dieses Kapitel er- scheinen. Lie hat später selbst das Schriftstück einer Neubearbeitung unterzogen, aber diese ist ungedruckt geblieben und wird in Bd. VII der Gesammelten Abhand- lungen erscheinen. Das andre Schriftstück habe ich, als Lie wieder nach Leipzig zurückgekehrt war, ausgearbeitet, und so ist die vorliegende Abhandlung entstanden.

Lie hatte die neue Darstellung seiner Theorie niedergeschrieben, weil er selbst fand, daß seine erste Darstellung (d. Ausg. Bd. V, Abh. XXI (1885), S. 503—505) zu knapp geraten war (vgl. hier S. 304, Z. 8—10). Er hat dann später noch eine an- dere Darstellung gegeben (d. Ausg. Bd. VI, Abh. XXV (1896), S. 623—628). Was ihn vermutlich dazu veranlaßt hat, werden wir nachher sehen.

Lin. hom. gew. Diffgl. mit bek. Rel. zwischen partik. Lös. 593

S.291, Z.15—20. Hier wird also nur vorausgesetzt, daß es gewisse partiku- läre Lösungen %o, Yıs + + +» Yn_ı gibt, die den gegebenen Gleichungen (4) genügen. Es ist erst noch festzustellen, ob sich aus diesem Umstande das Bestehen weiterer Relationen zwischen z, Yo, Yıs - - -; Yn _ı erschließen läßt. Von diesen Voraussetzun- gen unterscheiden sich wesentlich die, welche Lie in Bd. V d. Ausg., Abh. XXI (1885), S. 503, Z. 12—9 v. u. macht, und zwar liegt der Unterschied in dem dort zu- gefügten Wörtchen ‚gerade‘. Wir werden das später genauer begründen.

Ausdrücklich erwähnt sei noch, daß sich selbstverständlich aus (4) keine lineare homogene Relation mit konstanten Koeffizienten zwischen %, Yı, + - +; Yn_ı allein ergeben darf.

$ 1,8. 291—293. Bequemer und deutlicher wäre es gewesen, wenn die infinitesi- male Transformation Xf auf S. 293 gleich im Anfange des Paragraphen eingeführt worden wäre, um die vollständige Differentiation nach z auszudrücken.

S. 294, Nr. 7. Da das Gleichungssystem (5) aus (4) durch wiederholte Anwendung der Operation Xf hervorgeht, und da (8) alle aus (5) folgenden Relationen zwischen T, Yo» Yıs = = +» Yn_ı liefert, so ist klar, daß auch (8) bei wiederholter Anwendung von Xf ein mit (5) äquivalentes Gleichungensystem liefert. Aus (8) läßt sich daher durch Differentiation nach z und Anwendung von (1) keine neue Relation zwischen 2, Yo» Yıs - +» % —ı allein ableiten.

S. 295, Nr. 9. Man sieht zwar hier unmittelbar, daß die Transformationen der Gruppe (10) die o0”*” Integralkurven unter einander vertauschen; aber der wahre innere Grund dafür tritt nicht hervor. Dieser liegt darin, daß die mit allen infinitesi-

malen Transformationen: .n—1

(U) 4,f/= x | Po (,i=0,..,n—1)

der Gruppe (10) vertauschbare infinitesimale Transformation Xf im Grunde nur ein besonderer Fall ist der infinitesimalen Transformationen von der allgemeinen

Form: vi-3L Due SD: yr

wo die infinitesimalen Transformationen:

0...n—1 of V Bi = > yo) - (vi=0,1,...,n-1) ( ) if - Yy% ey ”

eine Gruppe erzeugen, nämlich die zu (A) gehörige reziproke einfach transitive Gruppe (vgl. Bd. VId. Ausg., Abh. XXV (1896), S. 623—625). Das hier behandelte Integrationsproblem ist daher nur ein besonderer Fall des allgemeinen Problems, das Lie in Abh. III von Bd. VId. Ausg., S. 195ff. behandelt hat.

Daß die infinitesimalen Transformationen (U) mit den Transformationen (V) vertauschbar sind, hat zur Folge, daß die Gleichung Yf= 0 die infinitesimalen Transformationen (U) gestattet. Darin aber liegt, daß jedes Gleichungssystem, das die infinitesimale Transformation Yf gestattet, bei jeder Transformation der Gruppe (10) in ein Gleichungssystem derselben Art übergeht. Hiermit ist im Einklange, daß die Ausdrücke (U), wenn man sie in der Form:

0...n—1 26 Ar: er 2 Y, ay®

schreibt, einfach solche Differentialinvarianten der Gruppe (V) sind, wie sie in Bd.VI d. Ausg. auf S. 196 eingeführt werden.

38*

594 Anmerkungen zu Abhandlung V, 8. 295—302

Alle diese Zusammenhänge treten in der hier gewählten Darstellung nicht zu Tage. Das ist es jedenfalls, was Lie veranlaßt hat, seine Theorie in jener Abhand- lung XXV von Bd. VI noch einmal in andrer Weise zu entwickeln.

S.298, Nr. 13. Man übersieht sofort, daß die Determinante der Koeffizienten der nn infinitesimalen Transformationen A, ‚f nichts andres ist als die n-te Potenz der Determinante:

Yo Yyı Yn-ı | Yo Yyı Wu

1). sa ta Yo RER

die für Punkte von allgemeiner Lage auf unsrer M,,, sicher nicht verschwindet. Bezeichnen wir daher die q-gliedrige Untergruppe der Gruppe (U), bei der M,,ı invariant bleibt, mit G,, so können die q-reihigen Determinanten in der Matrix, die zu den infinitesimalen Transformationen von G, gehört, nur dann alle verschwinden, wenn A das tut. Auf der M,_,, verschwinden sie daher sicher nicht alle. Sind also Ugtis+ ++, Um unabhängige Invarianten der G,, so können die Gleichungen der M, ,ı immer auf eine solche Form gebracht werden, daß sie nn — s Relationen zwi- schen z und den Invarianten u, ,,; darstellen, die nach ebensovielen u, , auflösbar sind (vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. I (1888), S. 232—238). Wir können also die M, ,, etwa ' auf die Form: (W) Ugr4 > Ol, Ugrıs +, U) (=1,...,nn-s) bringen.

Da q< s ist, werden die Punkte der M, ,, bei G, intransitiv transformiert, und die M,,ı zerfällt in 00°” (g+ 1)-fach augedehnte, beiG, invariante Mannigfaltig- keiten:

(Z) Ur nr Ur FR 0 0) Ua).

Statt nun, wie in Nr. 13, die 00** Transformationen der Gruppe (10) auf die M,,ı auszuführen, denkt man sich diese ©0** Transformationen besser auf jede der 00°” Mannigfaltigkeiten (Z) ausgeführt. Dann erhält man 00°” Zerlegungen des R,„.ı in je oo”? =9(gq + 1)-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten. Da jede dieser Zerlegun- gen in jedem Punkte P des R,„„..ı eine hindurchgehende (g-+ 1)-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit bestimmt, so bekommt man hierdurch in jedem Punkte P 00° hindurchgehende Mannipgfaltigkeiten dieser Art.

Allerdings ist hier zu bemerken, daß die 00°”? vorhin definierten Zerlegungen in dem Falle, wo die G@, in einer größeren kontinuirlichen Untergruppe der Gruppe (10) als invariante Untergruppe steckt, nicht alle von einander verschieden sind. Dement- sprechend kann auch die Zahl der jedem Punkte P zugeordneten, durch ihn gehen- _ den (g-- 1)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten kleiner als 00° sein.

S.298f., Nr.14, 15. Noch einfacher kann man die P zugeordnete Mannig- faltigkeit M,,ı als die größte Mannigfaltigkeit definieren, die alle die 00°” vorhin besprochenen, durch P gehenden, (q-++ 1)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten ge- mein haben. Da jede dieser (9+ 1)-fach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten bei einer q-gliedrigen Untergruppe der Gruppe (10) invariant bleibt, die innerhalb dieser Gruppe mit G, gleichberechtigt ist, so ist die Gruppe ®, die größte Untergruppe, die alle diese 00° gleichberechtigten Untergruppen mit einander gemein haben.

Ein andrer Weg, um zu der Untergruppe ©, zu gelangen, ist folgender. Man wählt einen beliebigen Punkt P des R,„.;ı, der auf der M,,, liegt, und bestimmt alle die 00° Transformationen der Gruppe (10), bei denen P auf der M,,, bleibt. Diese 00° Transformationen gehören einer gewissen kleinsten Untergruppe G, Z sg) der Gruppe (10) an. Man stellt G, und die durch P gehende, bei G, invariante (t + 1)-fach ausgedehnte Mannigfaltigkeit M,,ı auf. Dann ist M,,, die kleinste durch M, , ı gehende Mannigfaltigkeit, die bei Ausführung aller 00” Trans-

Lin. hom. gew. Diffgl. mit bek. Rel. zwischen partik. Lös. 595

formationen (10) eine Zerlegung des R,„..ı liefert. Andrerseits ist G, die kleinste Untergruppe von (10), der alle die vorhin erwähnten 00° mit G, gleichberechtigten Untergruppen angehören. Endlich ist ©, die größte in G, enthaltene invariante

Untergruppe von G@,.

S.299, Z.13—7 v.u. Das Zweckmäßigste ist selbstverständlich, diese M, ,, unter denen auszuwählen, die auf der M,,, liegen. Dann sind u,,1,-- -, %,„ In- varianten der ©,, die außerdem noch qg — p neue Invarianten: u, 1, - - -, u, besitzt, und das Gleichungssystem (14) kann immer die Form:

(14’) U,4;— A,(e) G=1,...,nn-p) erhalten.

Erst wenn man das System (14) gefunden und die daraus folgenden Relationen zwischen &, Yo, Yıs + + > Yn _ı allein aufgestellt hat, ist man auf den Standpunkt ge-

langt, den Lie in Bd. V d. Ausg., Abh. XXI (1885), S. 503, Z. 14—1 v. u. von vorn- herein einnimmt.

In der Tat, das Wörtehen „gerade“, a.a.O. 2.12 v.u. zeigt an, daß sich aus den bekannten Relationen: F,.(z, %ı,- - :; 4n)= 0 keine neuen Relationen dieser Art durch Differentiation und Benutzung der Differentialgleichung n-ter Ordnung ableiten lassen. Dieser Voraussetzung genügt allerdings das hier in $ 1 auf S. 294 auf- gestellte System (8), aber es genügt nicht den Voraussetzungen, die in Bd. V, S. 503, 27.7—1v. u. stecken. Dort wird ja nämlich angenommen, daß die allgemeinste Trans- formation (A), die das System: F'. = 0 invariant läßt, zugleich aus einem partiku- lären Lösungssysteme, das die Gleichungen: F,= 0 befriedigt, das allgemeinste Lösungssystem dieser Art hervorgehen läßt. Diese Annahme wird aber von dem Systeme (8) nur dann erfüllt, wenn die so definierte Gruppe von Transformationen (A) die partikulären Lösungssysteme, die den Gleichungen: F,, = 0 genügen, transi- tiv transformiert. Bedenken wir nun, daß die Gruppe (10), die von den infinitesi- malen Transformationen (U) erzeugt wird, aus der nn-gliedrigen Gruppe:

ef (i=1 n) Yr 5, s=l,...,

durch Erweiterung entsteht, so erkennen wir, daß die größte, in der letzten Gruppe enthaltene Untergruppe, die das Gleichungssystem (8) invariant läßt, durch Er- weiterung die größte Untergruppe der Gruppe (10) liefert, die das System (5), also unsere M, ,ı, invariant läßt. Diese von uns mit G, bezeichnete Untergruppe trans- formiert aber die partikulären Lösungssysteme, die (8) und also auch (5) befriedigen, dann und nur dann transitiv, wenn q = s ist. Im Falle g<’ s muß man daher erst das System (14) und die daraus folgenden Relationen zwischen x, Yo, Yıs + + +, Yn_ı allein aufstellen, will man ein Gleichungssystem: F,, = 0 haben, wie es Lie in Bd. V d. Ausg., S. 503 voraussetzt. S. 300, Z. 6. Hier hätte besser:

.n—1 ..n—1

Yır= SauS) y Ir geschrieben werden sollen.

S.301f., Nr. 19. Vgl. hierzu Th. d. Trfsgr. Bd. I, Kap. 14, besonders S. 232 bis 238.

S. 302, 2. 18—20. Vgl. Bd. VId. Ausg., Abh. V (1888), S. 234.

S. 302, 2.6 v.u.—303, 2.18. Zu den schon in Bd. V d. Ausg. auf S. 746 an- geführten Abhandlungen von Halphen ist noch nachzutragen:

Sur un probleme concernant les &quations difförentielles lineaires. Liouvilles ‚Journal, IV. Serie, Bd. I (1885), 8. 11—85. Sur les formes quadratiques dans la theorie des &quations difförentielles lindaires. C. R. Bd. 101 (1885), S. 664—666.

596 Anmerkungen zu Abhandlung V, VI, S. 302—311

In der zweiten dieser Arbeiten behandelt Halphen den Fall, daß eine gegebene ganze homogene Funktion zweiten Grades von %9, Yıs +» +; Yn_ı mit konstanten Koeffizienten gleich einer bekannten Funktion von x ist, und gelangt zu den von Lie besprochenen Ergebnissen.

S.303, 2.7—3 v.u. Hermann Werner, Bestimmung der größten Unter- gruppen derjenigen projektiven Gruppe, welche eine Gleichung zweiten Grades in n Veränderlichen invariant läßt. Leipziger Diss. 1889, Math. Ann. Bd. XXXV (1889), S.113—160. W. Killing, Bestimmung der größten Untergruppen von end- lichen Transformationsgruppen. Ebd. Bd. XXXVI (1890), S. 239—254. Dort wird bewiesen, daß die 4m (m + 1)-gliedrige projektive Gruppe einer nicht ausgearteten Mannigfaltigkeit F', zweiten Grades in einem Raume von m Dimensionen für m — 4 und m> 5 keine Untergruppe mit mehr als $m(m — 1) + 1 Parametern enthält. Für m = 6 und m > 7 enthält sie jedesmal nur einen Typus von Untergruppen mit Jm(m —1) +1 Gliedern, nämlich die Untergruppen, bei denen je ein Punkt der F, in Ruhe bleibt. Für m = 4 und m = 7 kommt noch ein zweiter Typus von solchen größten Untergruppen hinzu, nämlich die Untergruppe irgend einer größten ebenen Mannigfaltigkeit auf der F,. Für m—=3 und m=5 dagegen haben die größten Untergruppen 4m (m — 1) + 2 Parameter und werden bestimmt durch die größten ebenen Mannigfaltigkeiten der F,.

S. 303, 2.2 v. u.— 304, 2.5. Das beruht auf Th.d. Trfsgr. Bd. I (1888), Theorem 79, 8.443 und Theorem 81, S. 446f. Die kontinuierliche projektive Gruppe einer nicht ausgearteten F, im R,, läßt sich für m—=5 und m = 7 derart holoedrisch iso- morph auf sich selber beziehen, daß die größten Untergruppen des einen Typus denen des andern Typus entsprechen. Für m = 5 ist nämlich die Gruppe gleichzusammen- gesetzt mit der allgemeinen projektiven Gruppe des R,, und die betreffende holo- edrisch isomorphe Beziehung wird durch irgend eine dualistische Transformation des R; hergestellt. Für m = 7 denken wir uns die F', in homogenen Koord. auf die Form:

2ıYı t ZaYya + %3Ys + Layı = 0

gebracht. Dann können, wie man sich leicht überzeugt, die 00° dreifach ausgedehnten ebenen Mannigfaltigkeiten der F, durch ein System von linearen homogenen Glei- chungen dargestellt werden, in dem acht Parameter u,., v, linear und homogen auf- treten, die ihrerseits durch die Gleichung:

Udı + Ugdg + Usd; + U0, = 0

verknüpft sind. Dieses Gleichungssystem liefert jede jener 00° Mannigfaltigkeiten und zwar ohne Ausnahme und jede nur einmal. Demnach läßt sich die Gruppe der F, derart holoedrisch isomorph auf sich selbst beziehen, daß der Untergruppe eines Punktes auf der F, die Untergruppe einer dreifach ausgedehnten ebenen Mannig- faltigkeit der F, entspricht. —

Die „schriftliche Mitteilung“ F. Kleins, von der Lie spricht, war wohl in einem Manuskripte enthalten, das über die Mannigfaltigkeiten zweiten Grades in höheren Räumen Handelte. Ich erinnere mich deutlich, daß Lie ein Manuskript dieses Inhalts aus Kleins Feder in Händen gehabt hat. In Kleins Briefen an Lie kann ich keine Bemerkung finden, die sich auf die F, des R, bezieht.

S. 304, Z.16f. „Sur les equ. diff. lin.“ C.R. Bd. 112 (1891), S. 778—780.

Zu Abhandlung VI, S. 307—313.

S. 307, Z2.6—17, Z.1 v.u. E. Vessiot, ‚Sur une classe d’&quations differen- tielles.‘“ Ann. de l’Ecole Normale, III. Serie, Bd. 10 (1893), S. 53—64. ‚‚Sur certaines equations differentielles du premier ordre‘“, C. R. Bd. 116 (1893), S. 427—429.

S.307, 2.18—23. E. Vessiot, „Sur une classe d’&quations differentielles, C. R. Bd. 116 (1893), S. 959—961. A. Guldberg, ‚Sur les &quations differentielles

Simultane Systeme mit Fundamentalintegralen 597

ordinaires, qui possedent un systeme fondamental d’integrales‘‘, ebd. S. 964—965, ebenfalls am 1. Mai 1893 vorgelegt. Ferner sind hier folgende Abhandlungen zu nennen, die erst später erschienen sind: Guldberg, „Sur une certaine classe d’&quations diff6rentielles ordinaires‘, Christiania Videnskabs-Selskabs Forhandlinger for 1893, Nr. 18 (6 Seiten, vorgelegt am 26. 5. 1893). „Om differentialligninger, der besidder förste fundamental-integraler‘‘, ebd. 1894, Nr.1 (39 Seiten, vorgelegt am 3.11.1893). Vessiot, „Sur les systemes d’&quations diff6rentielles du premier ordre qui ont des systömes fondamentaux d’integrales“‘, Annales de Toulouse Bd. VIII (1894), H, S. 1—33.

S. 310, Nr. 6. Vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. I (1888), S. 66, 156f., 219f., ferner Bd. VI d. Ausg., Abh. VII (1889), S.258 Anm. und Th. d. Trfsgr. Bd. III (1893), S. 297, 2.8—3 v.u.

S. 310, Nr.7. Es ist offenbar: r = mn. Die Gl. auf Z. 22 stellen nach Th. d. Trfsgr. Bd. I (1888), Theorem 23, S. 154f. eine Gruppe mit der identischen Trans- formation dar, wenn J,,...,.J,„ die Hauptlösungen der Gleichungen auf Z. 18 sind, also die Lösungen, die sich für ein spezielles Wertsystem z/',..., 2" der z,/,..., 2," der Reihe nach auf r,,.... ., £, reduzieren.

Man kann sich aber auch auf die Entwickelungen in Bd.VI d. Ausg., Abh. IX (1890), S. 276ff. stützen, um die Gruppeneigenschaft der Gl. auf Z. 22 zu beweisen, und dieser Weg ist hier vorzuziehen, weil er auch in Nr. 8 benutzbar ist.

In der Tat, sind:

(I) = Elksss as inr O5 > ı 4 6.) (i=1,...,n)

die endlichen Transformationen der r-gliedrigen Gruppe: Xıf,...,%,f, So ver- wandeln sich die Gleichungen:

(II) a et Erd Dr Da Aı-.0) bei der Substitution (I) und: (111) | y=F(,eo;..;3% =F;,(e”, ee)

in lauter Identitäten. Führt man daher auf (II) bloß die Substitution (III) aus, so erhält man ein Gleichungssystem, das die endlichen Transformationen der Gruppe (I) darstellt, welche Werte auch die x/,.., 2” haben mögen. Bedenkt man noch, daß die Gleichungen (III) eine einfach 'transitive Gruppe darstellen und daher nach €, +. +, , auflösbar sind, so erkennt man, daß die Gleichungen (II), wenn man die &,,...,20 fest wählt und die y,,...,4/ als Parameter betrachtet, nur eine andre Darstellung der Gruppe (I) liefern. Wählt man insbesondere: x = x/,..., x, = 2", so ergibt sich, daß die Gleichungen: = Jılyı,--- hi ie Yır++- Yy„) (ka 1,...,9) mit den Parametern y’,... wirklich eine Gruppe darstellen. S.311, Z. 6—12. Hier ist: r= mn — w. Bezeichnen wir die mn Größen

Be 2; in geeigneter Anordnung mit %,,. . -, %,n, So können wir die U, und J, als die Hauptlösungen des r- Tenedrigen vollständigen Systems S. 310, 2.1 v. u. defi- nieren, die sich für u,4, = U, 41 - - +» Umn = U der Reihe nach auf u,,.. ., U,»

Is «+ -, Z„ reduzieren. Die Glkiianen (III) können wir jetzt so schreiben:

(IT) v=d,lı,... Ummı is +++, Er) (u=1,...,mn). Führen wir diese Substitution aus, so verwandeln sich die Gleichungen:

(IV) U Uhse ea en. nn Oman) | (v=1,...,0) in lauter Identitäten, während die Gleichungen:

(V) Jı(ltıs..» TER ve een Yan de) Amina)

598 Anmerkungen zu Abhandlung VI, S. 311, 312

die endlichen Transformationen der Gruppe (I) liefern, welches Wertsystem man auch für die u, setzen möge.

Nun sind die Gleichungen (IV) offenbar nach u,,....., u., auflösbar und andrer- seits die einzigen von e,,...,e, freien Gleichungen, die aus (III) folgen. Demnach kann man vermöge (III) die Größen eı,...,&%,,%,...,u, durch v%,..., On» Uoris +, Umn ausdrücken:

er. = Pr(vı> ., Umn Un+i1,:- lee) (k=1,...,r), U= ld, .--sYmnı Yatir-- en) f=1,...,0).

. Hierin liegt, daß die Gleichungen:

J.Xı > Se Xw> Uy+ı1? ER + Umn: Lı> es A SL Umn: Ds», y,)

bei der Substitution: D; =F,(h; u‘, In Yıs++e, Pr)

zu Identitäten werden. Setzt man daher schließlich: u, = Ul,;r (k=1,...,r) so ist: ve Il, U Kl.)

nur eine andere Form der Gruppe (I), und zwar treten die mn Parameter v, nur in den r Verbindungen:

0 0 ne IE TERN RUE EEE. 0 5 (k=41,...,7)

auf, es sind also = mn — r unter ihnen überzählig.

S. 311, Z.16f. Soll das simultane System (1) auf S. 308 die dort in Nr. 3 an- gegebene Eigenschaft haben, so müssen die Gleichungen (2) nach a,,..., a, auflös- bar sein, und es müssen daher m + 1 beliebige partikuläre Lösungensysteme durch n Gleichungen von der Form:

RAR 3

4

+1) N PER a OR a IR (kreisa)

verknüpft sein, wo die a, beliebige konstante Werte haben können und wo die J, in bezug auf a{"+tD,..., Seal von einander unabhängig sind. Setzen wir daher:

Sm”. re ER re vr und:

1...7 2-2, u

so müssen die Gleichungen: Q”+V .J, = 0 identisch bestehen, weil sie für m +1 ganz beliebig wählbare Lösungssysteme erfüllt sein müssen.

Hierin liegt, daß die Gleichung: 2°” f = 0, wenn man sich für 2 alle möglichen Werte eingesetzt denkt, ein System S, von linearen partiellen Differentialgleichungen in den Veränderlichen: (L;) DR RR 26 (=1,...,n) liefern muß, das für *S m+-1 stets n in bezug auf x”, ...., 2/” unabhängige Lösun- gen besitzt, während dahingestellt bleibt, ob es für r < m überhaupt Lösungen hat. Bezeichnet man daher die Anzahl der von einander unabhängigen Gleichungen des Systems S, mit L,, so ist für TS m-+1 stets 1, Snr—n(t— m), das heißt: l, SZ nm, eine Ungleichheit, die offenbar auch für r < m gilt.

Nun liefert jedes Y“f, wenn man für z verschiedene Zahlenwerte einsetzt,

gewisse infinitesimale Transformationen in den Veränderlichen: x”,..., 2°.

Alle sim. Systeme mit m Fundamentalsyst. von Lös. 599

Nehmen wir an, daß r bestimmte, von einander verschiedene Werte 2,,...,2, von 2 gerade r unabhängige en Transformationen:

S 0 Yf= _ NR, ... ee 2;) rn (=l,...,r)

ergeben, so sind nach Th. d. Trfsgr. Bd. I, S. 66 die r Gleichungen:

1...7 WPi=ärp=0

jedenfalls für = r von einander unabhängig. Überdies wissen wir, daß die Glei- chung &?f = 0, wenn man für 2 alle möglichen Werte setzt, ein System S, von höch- stens nm unabhängigen Gleichungen liefert. Demnach ist r S mn und der Inbegriff aller infinitesimalen Transformationen Y“’f, die sich für alle möglichen Werte von z ergeben, ist aus höchstens mn unabhängigen infinitesimalen Transformationen in den Veränderlichen z{"’,..., x‘ linear ableitbar. Damit ist bewiesen, daß:

ER | x >) [2 Yr- Mes... 2) k

k die Form hat:

1...p Y=232).X;f, J

wo die infinitesimalen Transformationen:

Ei 3 € Xf= 2 Elan (=tT5...,P) k

von einander unabhängig sind, und wo p<S mn ist. DieZ, sind Funktionen von z allein, von denen wir voraussetzen können, daß sie durch keine lineare homogene Relation mit konstanten Koeffizienten verknüpft sind.

Schließlich müssen wir noch berücksichtigen, daß die J,, die der Gleichung: Qm+DF—0 genügen, auch jede Gleichung: Wj"*""f=0(j=1,2,...) befrie- digen und infolgedessen auch jede Gleichung: (W5"*"Wi«*»)— 0. Hieraus folgt, daß aus den infinitesimalen Transformationen: X,f,...,X,f bei Hinzu- fügung der Klammerausdrücke: (X,X 7), ((X;,X7,)X5) , - - . ein System von infinitesi- malen Transformationen hervorgeht, das höchstens mn unabhängige infinitesimale Transformationen enthält. Mit andern Worten, X,f,..., X, gehören einer end- lichen kontinuierlichen Gruppe an, deren Gliederzahl S mn ist.

Die Liesche Behauptung ist hiermit bewiesen.

S. 312, Z. 1—4. Vgl. Bd. VI d. Ausg., Abh.I (1880), S. 22; Abh. VII (1889), S. 250, Nr.2, oder Th. d. Trfsgr. Bd. I (1888), S. 33f., 81, 270— 275.

S. 312, 2. 5—10. Setzt man:

l...r 2 Al= +2 Zu) Kt, so ergibt sich:

1.4 ey;db Au=2 br Fe +D a0. XeYi

>> ROPROEL u) 3 ROIRON

600 Anmerkungen zu Abhandlung VI, VII, S. 312—316

man erhält also die Differentialgleichungen:

2 ER IE db (M) | > Y,;.(b) Ze > 2,(@) 0,,(b) = 0 G=1;...,r) k K

zur Bestimmung der b,..

Ein andres Verfahren zur Bestimmung der b,. als Funktionen von z findet man Bd. VId. Ausg., S. 823.

S. 313, Z2.11—15. Die Gleichungen: W,= 0 sind die Definitionsgleichungen der endlichen Transformationen der Gruppe: X,f,...,X,f, Bd. VI, Abh. XI (1891), S. 301, 304, Nr. 6.

S.313, 2.6—3 v.u. Nämlich auf Grund von Bd. VI, Abh. III (1885), S. 186 bis 190.

S.313, 2.2, 1 v.u. Auf diesem Wege kommt man überdies viel leichter zum Ziele. Ist nämlich b,—= b,(z) ein beliebiges Lösungssystem der Gleichungen (M),

und setzt man: = Fils...» &%,d1@),.- -,d,(2)) = hWYı,:: + ms Cıs Cr);

wo die c,. beliebige Konstanten sind, so ergibt sich nach Nr. 11:

D; FE, ni2,, wo.) &n: Pı (2); .. ..Br(2));

wo b, = ß,„(2) das allgemeinste Lösungssystem von (M) ist. Erinnert man sich, daß die Gleichungen: | z; = f;(2, u), = fı(@',; v)

die folgenden nach sich ziehen: „ 7 T; = fi(,W), wo: 4 %, = 9,7. 2,0, 04,4 55,02) k=1,..,r)

und wo diese Gleichungen, wenn man die u, w’ als Veränderliche, die v als Parameter auffaßt, die erste Parametergruppe der Gruppe: X,f,...,X,f darstellen (Th. d. Trfsgr. Bd. I (1888), Kap. 21), so erkennt man, daß das simultane System (M) diese erste Parametergruppe gestattet, die man sich natürlich in den Veränderlichen b,,...,b, geschrieben denken muß.

Nun haben die infinitesimalen Transformationen der ersten Parametergruppe die Form:

n SPRR . 0 (N) Bıf - > a eye (k=1,...r), ae

ob; wo die a,,(b) zu den y,,(b) auf S. 312, Z.3 in den Beziehungen:

1+,,t PU U (zj=1,...,r)

stehen. Andrerseits kann das simultane System (M) durch eine lineare partielle Differentialgleichung von der Form:

RR > (P) | 27-24 > Zu) 0 k

ersetzt werden, wo die C,f gewisse infinitesimale Transformationen in b,,...,b, sind. Diese Gleichung (P) muß immer, welche Funktionen auch die Z,(z) sein mögen,

Die Gl. & + 22, X,f=0 zurückgef. auf das Normalproblem 601 die infinitesimalen Transformationen (N) gestatten. Das aber ist offenbar nur mög- lich, wenn alle (B,C,) = 0 sind, wenn also C,f,..., C,f die infinitesimalen Trans- formationen der zweiten Parametergruppe sind.

Damit haben wir den

Satz. Die Integration der Gleichung:

12.9 0 (8) 4-14 zaKt=0, k wo Xjf, - :, X,f eine r-gliedrige Gruppe in den Veränderlichen z,,..., 2, erzeugen,

deren endliche Transformationen bekannt sind, ist gleichbedeutend mit der der Gleichung (P), wo die C„f die infinitesimalen Transformationen der zweiten Parametergruppe

sind, die zu der Gruppe: Xyf,. . ., X,„f gehört. Diese Differentialgleichung (P) gestattet die infinitesimalen Transformationen (N) der ersten Parametergruppe. Da zwischen 2f und B,f,..., B,f offenbar keine lineare homogene Relation

besteht, so ist hierdurch die Integration der Gleichung Af = 0 auf das Normal- problem (P) zurückgeführt, wo die Bahnkurven der infinitesimalen Transformation 2f von den bekannten infinitesimalen Transformationen B,f,..., B,f durch eine einfach transitive Gruppe unter einander vertauscht werden (vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. III, S.708; Bd. VId. Ausg., Vorwort, S. XIII und S.934, Sp.2, 2.21—17 v.u.).

Zu Abhandlung VII, S. 314—316.

S. 315, Z. 12—15. Lie hatte auf Z. 13 geschrieben: m, m + 1,m + 2, da aber dieses m mit dem in Nr. 2 und 4 auftretenden nichts zu tun hat, habe ich vorgezogen, es durch ! zu ersetzen.

Über die vier Klassen von einfachen Gruppen vgl. Bd. VId. Ausg., Abh. VIII (1889), S. 265, wo allerdings nur drei Klassen unterschieden werden, weil bei der Gruppe einer Mannigfaltigkeit zweiten Grades kein Gewicht darauf gelegt wird, ob die Dimensionenzahl des betreffenden Raumes gerade ist oder ungerade.

Über die Zurückführung auf lineare Hilfsgleichungen s. ebd. Abh. III (1885), S. 211—219 und Bd. IV, Abh. V (1891), S. 303f.,

S. 315, Z. 16—19. Vgl. hier Abh. VI, S. 307—311.

S. 315, Z.15, 14 v. u. Siehe Bd. VId. Ausg., S. 896, 2.2,1v.u.

S. 315, 2.2 v. u. Der Ausdruck „Lösungen“ ist unzweckmäßig. Es handelt sich um Lösungen der zugehörigen linearen partiellen Differentialgleichung, also um „Integralfunktionen‘‘ des simultanen Systems.

S. 316, Z2.4—9. Die Gleichungen:

(A) s=f, =Fle,x,0)

stellen eine Schar von oo! Transformationen dar, die'die Gleichung: dx = p(z, z)dz invariant lassen. Aus dieser Schar kann man im allgemeinen nach Th. d. Trfsgr. Bd. III, S. 546f. sogar zwei verschiedene Scharen von je oo! infinitesimalen Trans- formationen ableiten, die dieselbe Eigenschaft haben. Nach Abh. III (1877), 5. 193, Theorem V findet man dann mindestens einen Integrabilitätsfaktor und braucht somit höchstens eine Quadratur zur Integration der Differentialgleichung. Dieses Verfahren kann auch nicht versagen; denn die Transformationen (A) lassen zwar die oo! Kurven z=const. einzeln invariant, aber diese sind keine Integral- kurven der Gleichung dx = pda.

S. 316, Z.3—1 v. u. In Abh. VI, S. 311, S. 16f. drückt sich Lie viel bestimm- ter aus. Vgl. S. 598.

602 Anmerkungen zu Abhandlung VIII, IX, S. 318—333

Zu Abhandlung VIII, 8. 317—319.

Dieses Begleitwort ist von mir nach einem Entwurfe von Lie ausgearbeitet worden.

S.318, Z2.16—18. Ich vermag nicht anzugeben, welche Arbeiten dieser drei Lie im Auge hat.

S.319, Z.15f. Vgl. Bd. III d. Ausg., Abh. II (1872), Abh. IV (1872), S. 16f., Abh. XV (1875), S. 211—218, Abh. XXI (1877), S.331— 8335, $4.

Das ‚Wenn auch‘ auf Z. 16 bezieht sich offenbar nicht bloß auf Z. 15f., sondern auf Z. 3—16. Es hätte daher hier ein Absatz angebracht werden sollen.

S.319, Z.10 v.u. Dieses ‚fast allen‘ ist entschieden etwas übertrieben.

Zu Abhandlung IX, S. 320-384.

S. 320, 2. 6f. In dem Protokolle über die Sitzung vom 16.10.1893 heißt es: „Vorträge von Herrn Lie: Gruppentheoretische Untersuchungen, für die Berichte, nach Fertigstellung des Manuskripts. In dem Abdrucke, Leipz. Ber. 1895, 8.53 steht irrtümlich der 11. Oktober, und die Sonderabdrucke der Abhandlung tragen auf dem Umschlage die Bezeichnung: ‚Sitzung vom 11. Oktober 1893.“

Eine polnische Übersetzung der Arbeit hat K. Zorawski mit Lies Genehmi- gung veröffentlicht: ‚„Przycezynek do ogölnej teoryi rownah rözniczkowych czastkowych dowolnego rzedu.‘‘ Prace matematyczno-fizyene. Bd.7, S. 69—136, Warschau 1896.

S. 320, 2.7,6 v. u. Es unterliegt wohl keinem Zweifel, daß Newton das früher bemerkt hat als Leibniz. Andrerseits ist Leibniz wohl der erste, der es öffent- lich ausgesprochen hat, daß Differentiation und Integration in dieser Beziehung stehen. Lie hat also die Frage falsch gestellt. Nur darüber kann man streiten, ob Leibniz ganz unabhängig von Newton zu dieser Erkenntnis gelangt ist. oder ob briefliche oder mündliche Mitteilungen zu ihm gelangt sind, die ihn angeregt haben. Etwas Sicheres wird sich über diese Frage schwerlich ausmachen lassen. Aber selbst, wer Leibnizens Unabhängigkeit in dieser Beziehung leugnet, wird anerkennen müssen, daß Leibniz der erste gewesen ist, der die Infinitesimalrechnung in päd- agogisch brauchbarer Form dargestellt hat. Namentlich ist seine Einführung der Differentiale eine Leistung, mit der in der ganzen bisherigen Geschichte der Mathe- matik schlechterdings nichts verglichen werden kann. Man denke nur an die Varia- tionsrechnung und an die Theorie der partiellen Differentialgleichungen erster und höherer Ordnung. Es ist erstaunlich, wie sich die Differentiale immer wieder als das geschmeidigste Werkzeug für die Behandlung auch ganz neuer Probleme erwiesen haben, und die Gebiete, in denen sie Verwendung finden und unschätzbare Dienste leisten können, sind sicher auch heute noch lange nicht erschöpft.

S. 320, 2. 4—1 v. u. Man vgl. Nr. V und VI der ‚‚Notes sur l’histoire des mathe- matiques‘“, die unter den Überschriften: ‚Sur le fondement math$matique de Y’invention du caleul infinitesimal‘“ und: ‚Sur quelques critiques faites de nos jours & Newton‘ 1895 im Bulletin der Kopenhagener Akademie erschienen sind, S.193—256 und 257—278. .

S. 321, Z.11—9 v. u. Die Analogie besteht darin, daß die einfachsten Integra- tionsprobleme, die nicht durch Quadratur lösbar sind, auf Riecatische Differential- gleichungen zurückgeführt werden können (Bd. VI d. Ausg., Abh. III (1885), S. 212— 214).

S. 322, 2.6—1 v.u. Vgl. Bd. VId. Ausg., Abh. XVI (1894), S. 384f., 8.879.

S. 324, 2.3—6. C. Jordan, Sur une application, de la th&orie des substitu- tions aux &quations differentielles lin&aires. C. R. Bd. 78 (1874), S. 741—743.

Zur Geschichte der Theorie der Diffgl. 603

8.324, Z.6—8. L. Fuchs, Über die linearen Differentialgleichungen 2. O., welche algebraische Integrale besitzen, und eine neue Anwendung der Invarianten- theorie. Gött. Nachr. 1875, S. 568—581, 612—613; Crelle, Bd. 81 (1876), S. 97—142; Werke Bd. II (1906), S. 1—9, 11—61.

S.324, 7.12. Vgl. F. Klein, „Über lineare Differentialgleichungen‘“, erster Aufsatz, Sitzungsberichte der physik.-mediz. Societät zu Erlangen vom 26. 6. 1876, abgedruckt in den Math. Ann. Bd. XI (1876), S.115—118; zweiter Aufsatz: Ann. Bd. XII (1877), S. 167—179. Gesammelte math. Abhandl. Bd. II (1922), S. 302 bis 306, 307— 320.

S. 324, Z.3—1 v. u. In diesem Briefe schreibt Klein:

„Ich möchte versuchen, Dir eine Idee von einem Beweise zu geben, vermöge dessen ich zeigen will, daß die elliptischen Funktionen in gewissem Sinne das Funk- tionsgebiet binärer Variablen erschöpfen, dessen Glieder zweifach unendlich viele Transformationen in sich selbst haben.‘

Am Schlusse des Briefes heißt es dann:

„Ich halte mich für ziemlich sicher, daß alle endlichen Gruppen linearer Transformationen, welche es überhaupt gibt, durch die Bewegungen repräsentiert werden, welche einen regulären Körper in sich überführen.“

S. 325, Z2.13—11 v.u. Vgl. Bd. VI d. Ausg., S. 795, 2.20—16 v.u., Bd.V, S. 746. Zu bemerken ist, daß Halphens Preisarbeit über die linearen Differential- gleichungen 1881 gekrönt worden ist, aber erst Ende 1882 erschien.

S. 326, Z. 6—1 v. u. Vgl. hier Abh. V (1891), S. 302f., 8. 595, 2.5 v. u.— 596, 2.4.

S. 326, Z. 3—6. Vgl. Bd. VI d. Ausg., Abh. XVIII (1895), S. 397, 2.7,6v.u. und $. 884, 2. 2—13 v.u.

S. 326, 2. 7—9. Vgl. Bd. VI, Abh. II (1884), S. 104, 794; Bd. IV, Abh. V (1891), S. 304, 596.

S.326, 2.17 v.u. Darboux, Memoire sur les &equations differentielles alg6- briques du premier ordre et du premier degre. Bulletin des Sciences math. II. Serie, Bd. II (1878), S. 60—96, 123—144, 151—200.

S. 326, 2.16 v.u. Bruns, Über die Integrale des Vielkörper-Problems I, II, Leipz. Ber. 1887, S. 1—39, 55—82. Acta Math. Bd. XI (1887), S. 25—96.

S. 327, Z. 1f. Das ist nicht geschehen.

S. 327, 2. 15—17. Es ist das die Arbeit Bd. VId. Ausg., Abh. XX (1895).

S. 328, Z.12—15. Vgl. S. 331f., Nr. 23.

S. 328, Z2.12—7 v. u. Vgl. Bd. HI, S.587, Monge II, III, S. 585; AmpereI, II und S. 619.

S. 329, 2.4,3 v.u. Vgl. ebd. S.621, 2.6 v.u. — 622, 2.10.

8.330, 2. 9—1 v.u. Vgl. z.B. E. Goursat, Lecons sur l’integration des equations aux derivees partielles du second ordre N deux variables önpendenien, Bd. I, Paris 1896, S. 171—174.

S. 331, Z.1—4. Vgl. Darboux, Sur les &quations aux derivees partielles du second ordre. Ann. de l’Ec. Normale, I. Ser., Bd. 7 (1870), S. 168.

S. 332, Z2.13—19. Da die Kurve, durch die die Integralfläche gelegt werden soll, keine Charakteristik ist, so sind « und v auf der Kurve sicher nicht beide kon- stant, und es besteht daher längs der Kurve nur eine Relation zwischen u und v, eben: v = p(u). Daraus aber folgt, daß es nur eine Relation zwischen u und v geben kann, die auf der ganzen Fläche erfüllt ist, und da eine solche Relation sicher be- steht, muß sie mit v = p(u) zusammenfallen.

S. 332, Z.19f. Nämlich in Nr. 27, S. 334.

S. 332, Nr. 24. Vgl. Darbouxa.a.O. 8. 171.

S. 333, Z. 8f. Was darunter zu verstehen ist, erklärt Ampere auf S.558 der Abh., die in Bd. III d. Ausg. auf S.585 als Nr. I angeführt ist. Der ersten Klasse ge- hören die „integrales primitives‘ an, in denen nur willkürliche Funktionen und die

604 Anmerkungen zu Abhandlung IX, 8. 333—338

aus diesen durch Differentiation oder durch nicht partielle Integration abgeleiteten Funktionen vorkommen. |

S. 333, Z.1 v. u. Siehe Bd. III d. Ausg., S. 586, Levy, Abh.I.

S. 333, 2.3 v.u.— 834, Z.1. In einem Briefe aus Paris, den Mayeram5.10.1874 erhalten und beantwortet hat, schreibt Lie:

„Hier in Paris sind die meisten noch weggereist. Eine interessante Bekannt- schaft habe ich doch gemacht, nämlich Levy, der über verschiedene Sachen, ins- besondere auch über partielle Differentialgleichungen 2. O. eine merkwürdige Note in den Comptes Rendus 1872 (November) geschrieben hat. Freilich ist der Inhalt derselben zum Teil nicht sicher. Es ist mir gelungen, an seiner Integrationstheorie, die viel weiter als alle bisherigen geht, eine Vereinfachung auszuführen, welche der Cauchyschen Vereinfachung der Pfaffschen Theorie sehr ähnlich ist. Überhaupt möchte ich Ihre Aufmerksamkeit auf die schönen Untersuchungen von Darboux, Levy und Moutard, die sämtlich sehr scharfsinnig sind, richten.“

Die erste öffentliche Mitteilung darüber hat Lie an der S.334, 2.2,1 v.u. angeführten Stelle gemacht.

S. 334, Z2.13—11v. u. Vgl. $S. 335, Z. 13—23 und meine Anm. dazu.

S. 334, Z2.4,3 v. u., 335, Z.1—12. Die Gleichungen:

dz=pdx+ gqdy, dp=rdı+ sdy, dgq=sdzc-+ tdy ergeben durch Benutzung von:

Fahr +F,s+F,+pFf,=0, F,s+FitF,+ 4, > I

die folgenden: | F,dap= (F,dy—F,de)s— (F5.+ pF,)dz,

Fdq = — (F,dy — F,de)s — (F,+ qF,)dy,

aus denen hervorgeht, daß alle Integralflächen von F=0, die das Element: 2,y,2,p,q gemein haben, auch das unendlich benachbarte Element gemein haben, das durch die Gleichungen:

dz=pdxs-+ gdy, F,dy—F,de=0, F,dp+ (F,+pF,)de=0, Fdgq+ (F,+ qF,)dy= 0

bestimmt ist. Ich sehe nicht, warum Lie hier die Dupinsche Indikatrix einführt und was er sich dabei gedacht hat. S.335, 2. 13—23. Setzen wir zur Abkürzung:

d d’

elst pt tot ste Gt t alt stot ofen so haben wir die Gleichungen:

dr=adzs+ Pdy, ds=Pdzs+ ydy, di=ydz+ödy

! d’f dat Pls re er

und:

a = y=-7+Bp =? 4,9 da ar - dy gi

wozu noch: f,9,= 1 kommt. Hieraus folgt:

ap dr da Tay

N)

Die Gl. F (2, y,2,p,)=0. Das Involsyst.:r+R=0,t+T=0 605

und es fällt eine der letzten vier Gleichungen ganz weg. Die übrigen drei ergeben: — d dr= 1424 (7 + vh)(dy+tsde), 4 | ds= Au de + y(dy-+Tsde),

Ber dti= dy dz+y(pdy+de),

das heißt: Jede Integralfläche, der das Element 2.0. x, y,2,p,g,r,s,t angehört, enthält zugleich das unendlich benachbarte Element 2. O., das durch die Gleichungen:

dy+ f,de=0, dz=pdz-+ qdy, dp=rde+sdy, dq=sdı-+tdy,

af af ag dr = „42 MR Fr MR dz bestimmt ist. Dieses simultane System bestimmt die charakteristischen Streifen des Systems: r— f=0,s—g9=0, deren Vorhandensein L&vy bemerkt hatte. Auch hier weiß ich nicht zu sagen, inwiefern diese Verhältnisse durch Einführung der Indikatrixkurven 3. O. anschaulicher werden.

S.337, 2.2,1 v.u. Ist das Gleichungssystem nicht nach r und t auflösbar, so kann es in der Form:

8: p(z, Y,2,P; N); I= x(z, Y»2,P5 q, r)

angenommen werden und geht, wenn @ = 0, bei der Berührungstransformation:

=p, Y=y, !=2—ıp, p=—ı, Y=g, oc v2 RR * ® r

in ein nach r’ und t’ auflösbares System über.

S. 338, 2. 7—9. Da die Gleichungen $. 337, Z. 6—3 v. u. keine neue Gleichung 2. oder 1.0. liefern dürfen, so muß eine dieser Gleichungen eine Folge der drei übrigen und der Gleichungen: r+ R=0,t+T=0sein. Da andrerseits die erste, dritte und vierte nach a, y, ö auflösbar sind, so muß eine Relation von der Form:

dF, —

dy bestehen. Hieraus geht hervor, daß von den durch (n — 2)-malige Differentiation erhaltenen Gleichungen nur die folgenden:

EL RT dan-ı => galdyk

ur nt .

—=( ((+k=n—?2)

berücksichtigt zu werden brauchen, und daß die Gleichungen n-ter Ordnung (n'Z 2), die unser System liefert, nach den Ableitungen:

0" u ER [Au onz gar’ dar-2dy2’ dan-rdye’” Oöyn auflösbar sind, dagegen: neun dan-ı9dy

unbestimmt lassen,

606 Anmerkungen zu Abhandlung IX, S. 338—345

S. 338, 2.10 v.u. Eigentlich müßte es heißen: ‚nicht sämtlich oder sämtlich identisch verschwinden‘.

S. 339, 2. 17£. Das S. 340, 2. 5—10 Gesagte hätte besser schon hier angebracht werden sollen.

S.339, 2. 9—7 v.u. Hat das System: F, = 0, F, = 0 00* Integralflächen, so gibt es nach Nr. 30, S. 336f. unendlich viele partielle Differentialgleichungen 1. O., deren jede von oo? Integralflächen des Systems erfüllt wird. Andrerseits müssen alle etwaigen Integralflächen des Systems, die eine Gleichung: V (x, y,2,p,q) = 0 er- füllen, die Gleichungen S.338, Z.11f. befriedigen. Im allgemeinen sind daher r,s,t bestimmt, so daß höchstens oo? solche Integralflächen vorhanden sind. Der einzige Ausnahmefall ist der in Nr. 32 besprochene, wo ein intermediäres Integral: W(2,y,2,p,qQ)= e auftritt. Die Gleichung: YV= 0 muß dann mit einer der oo! Gleichungen: W = c äquivalent sein, wenn sie oo? Integralflächen des Systems ent- halten soll. Dann aber sind alle ihre Integralflächen zugleich solche des Systems, so daß dieser Fall hier ausgeschlossen ist.

S.340, Z.1,2. Eigentlich müßte es heißen: „Können diese baden Gleichungen durch geeignete Wahl von V befriedigt werden, welchen Wert auch s haben mag, so liegt der erste Fall vor.“

S. 340, Z. 11. Hierher gehört also auch der, immerhin denkbare, Fall, daß R, T die Form auf 7. 4 besitzen, während die Gleichungen auf Z. 6 kein voll- ständiges System bilden.

8.341, 2.11. Es ist, so vielich sehe, das erste Mal, daß Lie in einer gedruckten Veröffentlichung die Bezeichnung semilinear benutzt. Vgl. S. 348, 349, sowie Abh. XI (1898), S. 387, 409—412, 434, 436 f., 442 —448, wo auch noch die Bezeich- nungen: quasilinear und pseudolinear eingeführt werden. Vgl. auch die Abh. „Linien- geometrie und B. T.“, Leipz. Ber. 1897, 5.706, 722f. (d. Ausg. Bd. II, Abh. XV, $ 2). An der zweiten dieser beiden Stellen wird ausdrücklich gesagt, daß eine part. Diffgl. 1. ©. des R,, die gerade oo” charakteristische Kurven besitzt, semi- linear ist.

S. 341, 2.4,3 v. u. Die Bezeichnung:

Pl, Y, A, B, I [®(z, Y; a,b,c)],

die Lie später (s. S. 350) benutzt, ist entschieden vorzuziehen.

S. 342, 2.3, 4. Im ersten Drucke stehen: V KR und: V =. an Stelle von: V,p und: V,q, was entschieden vorzuziehen ist, namentlich im Hinblick darauf, daß

nachher f,.,f. HERR f. y, aus (6) und (7) eliminiert werden.

S. 342, 2.12 —15. Man vergesse nicht, daß das Auftreten eines intermediären Integrals nach S.341 ausgeschlossen ist. Deshalb ergeben (6) und (7) nur eine Gleichung von der Form: 2 = 0.

S. 342, 2.12 v. u. Lie gibt diesen Gleichungen, obgleich sie mit denen 2.7 v.o. übereinstimmen, die Nr. (8).

S. 343, 2. 4. Lie gibt diesen Gleichungen die Nr. (9), weil sie von den Gleichun- gen (6), S. 342, 7. 3,4, wie er sie geschrieben hatte, verschieden sind. Meine Ände- rung in der Schreibweise von (6) hat die Einführung der Nr. (9) unnötig gemacht.

S. 343, 7.2,1v. u., 344, Z.1,2. Auch hier wird das Auftreten eines intermediä- ren Integrals von vornherein ausgeschlossen.

S.345, Z.3—6. Lie stützt sich hier augenscheinlich auf einen allgemeinen Satz über die zweidimensionalen Integralgebilde einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung 1. O. im R,(n > 3). Da ich aber nicht weiß, welche Fassung er diesem Satze gegeben hat, so muß ich mich damit begnügen, einen Satz zu be- weisen, der die hier von Lie aufgestellte Behauptung umfaßt.

Die nichtlineare Gleichung: 2 — 0 hat 00?*-3 charakteristische Streifen, und die Zahl ihrer charakteristischen Kurven sei oo?*R-3-R, w0 sShsn—.3. Diese

Part. Diffgl. 1. ©. mit 00” zweidimens. Integralgebilden 607

charakteristischen Kurven befriedigen ein, sicher nicht lineares, Mongesches Sy- stem von mindestens 2n — 2 — (2?n — 3 —h)=h-+ 1 und von höchstens n — 2 Gleichungen. Wir können annehmen, daß das System h-+ 1-+ k Gleichungen ent- hält, wO Sksn — 3 —.h. Dann ist jede charakteristische Kurve der Träger von oo? charakteristischen Streifen. Andrerseits gehen durch jedes Linienelement, das dem Mongeschen Systeme genügt, gerade oo® charakteristische Kurven, zu denen oo*+h charakteristische Streifen gehören, nämlich die Streifen durch die oo*+h Elemente von 2 = 0, welche das Linienelement enthalten.

Jedes etwaige zweidimensionale Integralgebilde von 2 = 0 ist erzeugt von 00"? charakteristischen Streifen, denen gerade o0* charakteristische Kurven ent- sprechen mögen. Dann ist jede dieser o0* charakteristischen Kurven der Träger von 0o0*?4 charakteristischen Streifen, es ist mithin: n— 2 — A<h, das heißt: Zn — 2 —.h, woraus folgt, daß der FallA = I nurfürkh = n — 3 eintreten kann, was k —= (0) nach sich zieht. Andrerseits gehen für 4 > 1 durch jedes der 00% Linien- elemente des Integralgebildes 00%? charakteristische Kurven, die ganz auf dem In- tegralgebilde liegen. Demnach ist: — 2 Sksn—3—.h, so daß wir haben:

n—2? — hs/isk+2sn—1—h. Es ist also entweder:

ken—4—h, i=-n—2—ıh, oder: k=n—3—h, A=n—?2—h ode: =n—1-—h,

und, je nachdem, hR<&n— 4oder<£n—3.

Ist A Z 2, so genügt jede auf dem zweidimensionalen Integralgebilde gezogene Kurve dem Mongeschen Systeme. Das Integralgebilde muß dann folgendermaßen erhalten werden. Man nimmt eine beliebige auf dem Integralgebilde liegende Kurve, die keine charakteristische Kurve ist, sucht unter den 00”! Elementen, die diese Kurve als Verein des R, betrachtet enthält, die o0””?, die der Gleichung: 2 = 0 genügen, und legt durch jedes dieser Elemente den hindurchgehenden charakteri- stischen Streifen. Dabei erhält man durch jedes Linienelement der Kurve 00" 3 Elemente von 2= 0"), unter denen insbesondere alle die oo** ?* enthalten sind, die den oo* durch das Linienelement gehenden charakteristischen Kurven entsprechen. Unser zweidimensionales Integralgebilde enthält daher zu jedem seiner 00% Linien- elemente auch die oo* hindurchgehenden charakteristischen Kurven. Ist k > 0, so ist das Integralgebilde, weil es zweidimensional ist, schon durch die 00% charak- teristischen Kurven bestimmt, die durch irgendeines seiner Linienelemente gehen. Ist aber k = 0, so wird es erhalten, wenn man in irgend einem seiner Punkte das ebene Büschel der oo! Linienelemente des Integralgebildes nimmt und durch jedes die hindurchgehende charakteristische Kurve legt.

Fragt man daher nach allen zweidimensionalen Integralgebilden von 2 = 0, die je oo? oder noch mehr charakteristische Kurven enthalten, so ergibt sich folgendes: Im Falle k > 0 gehen durch jeden Punkt des R, höchstens so viele zweidimensionale Integralgebilde, wie Linienelemente des Mongeschen Systems, also höchstens oo”=2-R-k, das heißt höchstens oo? oder oo!. Im Falle k = 0 gehen durch jeden Punkt des R, höchstens so viele, wie das Mongesche System dem Punkte ebene Büschel von oo! Linienelementen zuordnet.

1) Diese 00”? Elemente gehören alle dem zweidimensionalen Integralgebilde an. Da dieses nämlich 00”! Elemente von 2 =0 enthält, so gehören zu jedem seiner Punkte 00”"3 Elemente von 2—=0. Diese enthalten das dem Punkte zu- geordnete zweidimensionale Element des Integralgebildes und also auch das dem Punkte zugeordnete Linienelement jeder Kurve, die durch den Punkt geht und auf dem Integralgebilde liegt.

Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. IV 39

608 Anmerkungen zu Abhandlung IX, S. 345

Hiermit ist bewiesen, daß die Gleichung 2 —= 0 niemals 00“ zweidimensionale Integralgebilde besitzt, auf deren jedem oo? oder noch mehr charakteristische Kurven liegen. Soll sie 00° zweidimensionale Integralgebilde haben, so muß jedes von diesen gerade oo! charakteristische Kurven enthalten, also muß A —=1 sein.

Der Fall, auf den wir hierdurch geführt worden sind, tritt nur ein, wenn h=n—3 und also k= 0 ist, das heißt, wenn die Zahl der charakteristischen Kurven den kleinsten Wert 00” besitzt, der bei einer nicht linearen Differential- gleichung vorkommt, während gleichzeitig die Gliederzahl des Mongeschen Sy- stems den einzigen dann möglichen Wert n — 2 hat, also den größten Wert, der bei einer nicht linearen Gleichung 2 = 0 vorkommt.

Liegt dieser Fall vor, so erhält man offenbar 00% zweidimensionale Integral- gebilde, indem man eine beliebige Integralkurve des Mongeschen Systems nimmt, die keine charakteristische Kurve ist, und durch jedes ihrer Linienelemente die hin- durchgehende charakteristische Kurve legt. Zu den Integralkurven des Monge- schen Systems, die keine charakteristischen Kurven sind, hat man insbesondere auch die Punkte des R,, zu rechnen, deren jeder der Träger von oo! Linienelementen des Mongeschen Systems ist.

Schließlich kann man beweisen, daß man auf diese Weise alle zweidimensionalen Integralgebilde von @ — 0 erhält.

In der Tat, es sei:

(1) | an la...., za) (k=8,...,0) 1

das (n — 2)-gliedrige Mongesche System, dem die charakteristischen Kurven ge- nügen. Setzen wir dz,:dz, —= x), , so wird die partielle Differentialgleichung 2 = 0 aus den beiden Gleichungen:

=

3..n (2) pı + P22} +2 pro: — 0,

durch Elimination von 2 erhalten. Wir können daher die Größen:

r Lye ee, Ins Los P3:***: Pr

als Koordinaten der Elemente von 2 — 0 benutzen, und die Bedingung für die ver- einigte Lage zweier Elemente der Gleichung erhält in diesen Koordinaten die Form:

(8) Span --5 Dr (dr, —a,da,) = p.(d2,— o,da,)=0.

Durch jedes Linienelement &,,..., &,, &, des Mongeschen Systems (1) geht nun eine ganz bestimmte charakteristische Kurve, und jedes der 00”-® Wert- systeme p3:-+-:p, liefert ein durch das Linienelement gehendes Element der Gleichung: 2= 0, dessen zugehöriger charakteristischer Streifen diese charakte- ristische Kurve zum Punktorte hat.

Sollen zwei unendlich benachbarte charakteristische Kurven einem zwei- dimensionalen Integralgebilde angehören, das oo! charakteristische Kurven ent- hält, so muß jedes Element der Gleichung 2 = 0, das der einen Kurve angehört, mit jedem unendlich benachbarten Elemente von 2 —=0, das der andern Kurve angehört, vereinigt liegen. Demnach müssen die beiden unendlich benachbarten Linienelemente «,, &, und 2,+ öxz,, z2/+ öx,, die die charakteristischen Kurven bestimmen, die Bedingung (3) der vereinigten Imae für beliebige P;,...,P„ er- füllen, es muß also sein:

(4) O2, — and — OR (da, — 232,)=0 | (k=3,...,n) 2

Part. Diffgl. 1. O. mit 00” zweidimens. Integralgebilden 609

das heißt, der Punkt z,—+ öz, muß in der Tangentialebene des Mongeschen Kegels liegen, die zu dem Linienelemente z,,..., 2,» x, gehört. Stellen die Gleichungen:

(5) x, = 9 (01, 6) (i=2,...,n)

oo! charakteristische Kurven dar, die ein zweidimensionales Integralgebilde von 2 — 0 liefern, so ist (4) für je zwei unendlich benachbarte Kurven der Schar (5) erfüllt; die Gleichungen: 09: __ dan Oyı _ Du Ba dr werden also bei der Substitution

0 (k=3,...,n),

ee = 9 (&ı,€) (d=2,...,n),, , = > zu Identitäten. Dann aber gibt es für jeden allgemeinen Wert von c ein solches z,, daß 09, :0c und also überhaupt jedes 09, :0c gleich Null wird. Für dieses x, gelten dann die Gleichungen:

62, —ıör, —=0, Ör.— w,ör, = 0 (k=3,...,n)

das heißt: auf jeder Kurve c gibt es ein Linienelement &,,...,&%,, z,, das mit allen unendlich benachbarten Linienelementen der Kurve c + dc vereinigt liegt.

Der Inbegriff der hierdurch definierten Linienelemente bildet einen Verein von Linienelementen, der das Mongesche System befriedigt; er ist daher entweder eine Integralkurve des Mongeschen Systems oder ein Punkt. Demnach sind alle zwei- dimensionalen Integralgebilde von 2 —= 0 solche von der früher angegebenen Art.

Wir haben im vorstehenden gesehen, daß eine partielle Differentialgleichung 1.O. dann und nur dann o0* zweidimensionale Integralgebilde besitzt, wenn sie gerade 00” charakteristische Kurven hat, die ein nicht lineares (n — 2)- gliedriges Mongesches System befriedigen. Jedes der 00% zweidimensionalen Integralgebilde ist von oo! charakteristischen Kurven erzeugt. Damit ist die S. 345, Z. 3—6 auf- gestellte Behauptung vollständig bewiesen und zugleich noch schärfer gefaßt.

Es ist nunmehr leicht, dieses Ergebnis nach gewissen Richtungen hin zu ver- allgemeinern,

Wir fragen zunächst, wann eine nicht lineare partielle Differentialgleichung 2=0 des R, eine vollständige Lösung von 00”! m-dimensionalen Integral- gebilden (1 <m<n —.1) besitzt, auf deren jedem durch jeden Punkt nur eine charakteristische Kurve geht. Da jedes dieser Integralgebilde gerade 00’* =! charak- teristische Kurven enthält, so muß jede von diesen der Träger von oo? -?-(m=1) = 0079-1 charakteristischen Streifen sein. Da ferner durch jeden Punkt des R,, gerade 00"! Integralgebilde der vollständigen Lösung gehen, so gehen auch gerade 00” 1 charakteristische Kurven hindurch, und es gibt im ganzen oo” +"? solche; die früher erklärte Zahl h ist also nicht > n — m — 1, sondern gnau=n — m —1. Enndlich liefert jede der 00”! charakteristischen Kurven, die durch einen Punkt P gehen, 00”="-1 Elemente von 2 = 0, die P zum Punkte haben. Der Inbegriff aller dieser Kurven muß alle 00”? Elemente von 2 — 0 liefern, die P zum Punkte haben. Das tritt ein, wenn die o0”%-1 Kurven in P 00” -1 verschiedene Linien- elemente haben. Das Mongesche System, dem die charakteristischen Kurven ge- nügen, enthält dann gerade n— m=h-+-1 Gleichungen, und die früher definierte Zahl k ist gleich Null.

Soll also eine nichtlineare Gleichung 2 = 0 eine vollständige Lösung haben, die aus m-dimensionalen Integralgebilden besteht, und soll jedes dieser Integral- gebilde gerade 00”! charakteristische Kurven enthalten, so muß die Gleichung gerade o0*"+M-2 charakteristische Kurven haben. Hinreichend dazu ist jedenfalls, daß die Gliederzahl des, sicher nicht linearen, Mongeschen Systems, dem diese Kurven genügen, den kleinsten möglichen Wert n — m besitzt.

39*

610 Anmerkungen zu Abhandlung IX, S. 345

Erfüllt nun eine Gleichung 2 = 0 wirklich diese Forderungen, so fragt es sich noch, wie man alle ihre m -dimensionalen Integralgebilde von der hier angenommenen Beschaffenheit findet. Es sei:

dx dz dz Y’ AIm+k _ ( RE a) en

( ) da, Om+k\Tı> » In» da,’ ’ da, (k=1,...,n— m) das Mongesche System, dem die charakteristischen Kurven genügen. Dann wird die Gleichung 2 = 0 erhalten, indem man x), ... x, aus den Gleichungen:

[ .Mmı .n— m

Pı +I%, pr + Somsrpn ee aa 0, (6) 15.8 2

| 0) Pu + ne Pas d Re N) Pr u

eliminiert. Man kann daher z,,..., 2. 25 + : +, Zus Dn +1: *+:7p, als Koordinaten

der Elemente von 2 = 0 benutzen, und die Bedingung für die vereinigte Lage zweier unendlich benachbarter Elemente der Gleichung erscheint in der Form:

1...n—m I ..M

> 0 3 (7) De CEmrE (deu — auda,), — U}

Nun geht durch jedes Linienelement &,,..., 2, 25,...,2%1 des Mongeschen Systems eine ganz bestimmte charakteristische Kurve. Sollen zwei unendlich be- nachbarte Linienelemente zwei charakteristische Kurven liefern, die einem m-dimen- sionalen Integralgebilde von der hier betrachteten Art angehören, so müssen sie

offenbar die Gleichungen: 2: MM

(8) ALlm+k— Om+kILı — > mtk (da — zdn)=0 (k=1,...,n—n) 4 u :

befriedigen, das heißt, der Punkt x,+ dx, muß auf der m-fach ausgedehnten Tan- gentialebene liegen, die der Mongesche Kegel des Punktes z,,.. , 2, in dem Linien-

elemente 2, ., Lns Las ee... 2m. Desität, Es sei: BEER, ! ’ 5 (9) ver Be (i=2,...,n) die charakteristische Kurve, die durch das Linienelement: &,,..., 2% 855. . -, m

des Mongeschen Systems geht. Wollen wir das allgemeinste m-dimensionale Inte- gralgebilde haben, das von 00'” =! charakteristischen Kurven erzeugt ist, so müssen WIT 21,222, Ins Eyy ++, %, In allgemeinster Weise so als Funktionen von m—1 un- abhängigen Veränderlichen u,,..., 4, _ı bestimmen, daß eine Mannigfaltigkeit von ooM-1 Linienelementen entsteht, die nicht von 00”? charakteristischen Kurven erzeugt ist und die das System (8) befriedigt. Um das Integralgebilde selbst zu er- halten, brauchen wir nur durch die jeweiligen 00”! Linienelemente die hindurch- gehenden charakteristischen Kurven zu legen. Da aber die Gleichungen (9), wenig- stens für ein gewisses Gebiet des R,, alle hindurchgehenden charakteristischen Kurven schon dann liefern, wenn wir dem z, einen festen Zahlenwert erteilen, so können wir in (8) die Größe x, als konstant betrachten und brauchen nur in dem

nm 2: Bayer, Ins Egy es Cm Alle (m — 1)-fach ausgedehnten Integralmannig- faltigkeiten des Pfaffschen Systems:

RR, (10) Aim+k— S at &u=0 (k=1,...,n—- m) u u

Part. Diffgl. 1. ©. mit e. vollst. Lös. von m-dimens. Punktmann. 611

aufzusuchen, was auf die Integration eines Systems von (n — m)(m — 1) partiellen Differentialgliederungen 1. OÖ. mit n — 1 abhängigen Veränderlichen z,, 1, : +» Zn» &,,...,2.„ und m —1 unabhängigen Veränderlichen z,,..., z,, hinauskommt. Für m = 2 haben wir den früher betrachteten Fall, und man erkennt da von neuem, daß es dann o0* zweidimensionale Integralgebilde der hier betrachteten Art gibt. Ob sich das auch für m > 2 immer so verhält, muß dahingestellt bleiben.

Besitzt die Gleichung 2 = 0 keine vollständige Lösung von m-dimensionalen Integralgebilden der hier betrachteten Art, so kann sie doch eine vollständige Lösung von m-dimensionalen Integralgebilden besitzen, deren jedes von oo” +4 charakteristischen Kurven erzeugt ist, unter 4 eine Zahl >20 und £<n—m—2 verstanden. Hat sie dann keine vollständige Lösung von Integralgebilden, deren Dimension < m ist, so erfordert die Bestimmung aller ihrer m-dimensionalen Integralgebilde jedenfalls nur die Integration eines Systems von partiellen Diffe- rentialgleichungen erster Ordnung mit m — 1 unabhängigen Veränderlichen, wäh- rend die Zahl der abhängigen Z n ist, entsprechend dem Umstande, daß die Zahl der charakteristischen Kurven mindestens oo" +91 ist.

Ob in dem jetzigen Falle die Anzahl der m-fach ausgedehnten Integralgebilde oo“ sein kann, bleibt unentschieden.

S.345, Z. 8—16. Nehmen wir das System: F, = 0,F, = 0 wie auf $. 339 in der Form an: r+ R=0,:+ T=0, so erhalten wir die partielle Differential- gleichung 1.0.2 —=0 des R,:z,y,2,p,q durch Elimination von s aus den Glei-

chungen: (I) er 2P+VrR— Vs; v„=-V,qa—-V,s +VıT. Wir können daher als Koordinaten der Elemente der Gleichung 2 = 0 geradezu

die Größen: 8,48: 0,0,.8, 7,53 V2:V,

benutzen, so daß für die Elemente dieser Gleichung die Bedingung der vereinigten Lage in der Form: — (V,p—V,R+V,)dz — (V,a+ V,s — V,T)ay+ + V,d2+V,dp+ V,dq=0 erscheint, oder anders geschrieben, in der Form: (II) V,(dze— pdz — qdy)+ V„(dp+ Rdx — sdy) + + /,(dqa— sdz+ Tay)=0.

Um sodann die Differentialgleichungen für die charakteristischen Streifen von 2 = 0 zu bekommen, bemerken wir, daß 2 bei der Substitution (I) identisch ver- schwindet, daß also vermöge (I) Gleichungen von der Form:

eQ2 02 Dei a 1 u Zus Ve T)=0,

02 02 EEE rei N Ana

02 02 02 2& tw, VoRetzy,Pelo= 0...

bestehen. Da nun die gesuchten Differentialgleichungen in den Koordinaten: %,...,9, Va» +. ., V, die Form: a ra er ..

u er Tr

612 Anmerkungen zu Abhandlung IX, 8. 345, 346

haben, und da R,T,=1 ist, so finden wir in den neuen Elementkoordinaten zu- nächst die Differentialgleichung:

(III) dy= R,de,

sodann:

(IV) dp=—Rdx-+sdy, dg=sdx— Tdy, dz=pdx + qgdy, dV,= R,Vpdz+ T,Vody,

(V) 2 dV„=(R,Vya—V,)de+ T,Vady, dV,= RaVpdxz + (TV. — V.)dy

und endlich aus (T): ds=— (R,+qaR,+sR,— TR, )dz = —- (IT, ru, - RT, +sTo)dy, wo die nach S$. 604, Z. 9—1 v. u. bestehende Relation: T,+rT,— RT,+sT,= (R,+qaR,+sR,— TR)T;,

(VI) |

benutzt ist. Aus den Gleichungen (III), (IV), (VI) erkennen wir unmittelbar, daß zu den oo? charakteristischen Streifen der Gleichung: @2=0in dem R,:x2,y,2,p,g bloß oo charakteristische Kurven gehören. Die Gleichungen dieser Kurven liefern durch Elimination von p, q die Gleichungen der 00° auf S. 344 erwähnten Kurven des Raumes x, y,2z. Andrerseits erhalten wir aus (III), (IV) durch Elimination von s ein System von drei Mongeschen Gleichungen: (VII) 9,(2,Yy,2,P, 9, dx:---:dq=0 (k=1,2,3)

Dieses System enthält eine lineare Gleichung, nämlich: de — pdz — qdy=0, sonst aber im Allgemeinen keine lineare Gleichung. Eine solche könnte nämlich die

Form: adz+ Bdy-+ Adp+ ndg— 0

erhalten, wo a,ß,/,u Funktionen von x, y,2,p,g wären. Bei der Substitution (III), (IV) müßte sie zu einer Identität werden, also wäre:

a+ PB, + AB, — RB) tue ZR)=0 B+As—uNR,=0.

und somit:

Ist hier R,, # 0, so folgt:

Ist aber R,=0, so ist auch (III) eine lineare Gleichung, während die beiden ersten Gleichungen (IV) eine Mongesche Gleichung zweiten Grades liefern. Das Mongesche System (VII) enthält 0% Linienelemente des R,: 2, y,2,P,9; die sich auf die 00% charakteristischen Kurven der Gleichung: 2 = 0 verteilen. Die Gleichungen (III), (IV) zeigen, daß zu jedem dieser Linienelemente ein bestimmter Wert von s gehört, während V,: V„: V„ unbestimmt bleiben. Demnach gehen durch jedes dieser Linienelemente oo? Elemente von 2=0. Jede Integralkurve von (VII) liefert daher einen aus o0® Elementen von 2 — 0 bestehenden Integralverein dieser Gleichung. Ist die Integralkurve kein charakteristischer Verein, so bilden die durch diese o0® Elemente gehenden charakteristischen Vereine einen Integralverein von oo* Elementen. Aber der Punktort dieses Integralvereins besteht offenbar aus den oo! charakteristischen Kurven, die durch die oo! Linienelemente unserer Integral- kurve gehen; er stellt daher im Raume x, y,z einen Verein von oo? Elementen x, y,z,p,gq dar. Dieser Verein wird von oo! Kurven des Raumes z, y, 2 gebildet,

Die Systeme: r+ R=0, t+ T=0 mit 00” Integralflächen 613

er ist also eine Fläche und zwar, wie aus (IV) hervorgeht, eine Integralfläche des Systems: r+ R=0,t+ T=0. Aus den Entwickelungen auf S. 608f. geht hervor, daß man auf dem angegebenen Wege alle zweidimensionalen Integralgebilde von 2 = 0 findet, die von je oo! charakteristischen Kurven erzeugt sind.

Zur Bestimmung aller Integralflächen des Systems: r+ R=0,1+ T=0 ist daher erforderlich: Erstens die Integration des simultanen Systems, das aus den Gleichungen (III), (IV), (VI) besteht und das die charakteristischen Kurven der Gleichung: 2 = 0 definiert. Zweitens die Bestimmung der allgemeinsten Integral- kurve des Mongeschen Systems (VII). Lie geht nicht auf die Frage ein, ob die zweite Integrationsoperation auf die Integration von simultanen Systemen zurückführ- bar ist.

Es ist angebracht, hier noch einmal an die Entwickelungen von Nr. 27, S.333f. zu erinnern. Dort betrachtet Lie eine partielle Differentialgleichung 2. O., die die von Levy gemachten Voraussetzungen erfüllt. Indem er nach der Integralfläche von F = 0 fragt, die durch eine gegebene Kurve geht, wird er zu dem Systeme: F=0,v — p(u) = 0 geführt, das ein besonderer Fall der hier behandelten Systeme von der Form: r+ R=0,t+T = 0 ist. Dabei handelt es sich aber nicht um alle Integralflächen dieses Systems, sondern nur um die eine, die durch die gegebene Kurve geht. Deshalb ist die Aufgabe erledigt, sobald man die charakteristischen Strei- fen des Systems bestimmt hat. Es ist nämlich nur die Aufstellung der Integralfläche erforderlich, die durch eine ganz bestimmte Integralkurve des Mongeschen Sy- stems (VII) geht, und diese Integralkurve ist durch die Bedingungen der Aufgabe von vornherein gegeben als der Elementarstreifen S. 334, 2.7.

S. 345, Z2.3—1 v. u. Man erinnere sich an das auf S. 336 Gesagte. Die hier aus- gesprochene Absicht hat Lie nicht ausgeführt. Nur eine schärfere Definition des Begriffs Involutionssystem gibt er noch in der vorliegenden Abhandlung, hier S. 370.

S. 346, Z.10f. In der Bezeichnung ‚‚Involutionssystem‘ liegt, daß das System mehr als 00° Lösungssysteme haben soll. Führen wir daher eine Hilfsgröße u ein und ersetzen das System durch eines von vier Gleichungen:

(1) pı = Pı(2, Y, 21, 22,4), ı=Qı 2 =P; G9=Q;

setzen wir ferner

lau, W=Te+ Pıla + Pıfs,,

d’ a, Y,21,2,,U4) = fr +Qılz, + Qt,» so dürfen die Gleichungen:

er it 8 au - A Es En

=, x Br m pl ur 7 Ug

ai >

weder die Ableitungen von u bestimmen, noch eine Gleichung für w allein nach sich ziehen. Ist also:

(2) en, nn ou dy ‘7m’ so muß auch: RS 09 _,0Pı d’P, _d’Q,_ Os ou Zu’ dy 302 du

sein, unter o und o Funktionen von z, %, 2,, 2,, u verstanden. S. 346, Z. 20f. Man hat also u aus den beiden Gleichungen:

(8) .=—-V,A-V, Pr y=—V,Qa—V9

614 Anmerkungen zu Abhandlung IX, S. 346—351

zu eliminieren. Wäre nun die eben definierte Funktion o frei von u, so wäre:

Q,=oPı+ K,(2, Y, 2; 2); Q,= eP,+ K,(z,y,2,,2,),

und man erhielte durch Elimination von u die lineare homogene partielle Differential- gleichung 1. O.: v„—-eoV.+ K,V,+ R;V,, U.

Diese hätte sogar bloß oo? charakteristische Kurven, und die von je oo! solchen charakteristischen Kurven erzeugten zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten wären die allgemeinsten Integralmannigfaltigkeiten des Systems (1). Demnach kön- nen wir uns im folgenden auf den Fall beschränken, daß o die Veränderliche u wirklich enthält.

S. 347, Z. 7—9. Besser wäre das so gefaßt worden: ‚erster Ordnung, von denen die 00°..., % — 0 Lösungen darstellen, sobald sie als Elementvereine des Raumes TC, Y,2ı, 2, aufgefaßt werden.“

S. 348, 2. 3—5. Vgl. die Anm. zu $. 345, 2. 3—6, 8. 606 ff.

S.348, Z.7f. Hinter ‚somit‘ denke man sich hinzugefügt: ‚„aufgefaßt als Elementverein des R,: &, Y, 21, 22-

S. 348, Nr. 46. Die Gleichung 2 = 0 wird aus (3) durch Elimination von u er- halten und verwandelt sich daher bei der Substitution (3) in eine Identität. Wir können demnach:

2, 9,2,,2, 4, N: v,

als Koordinaten für ihre 00% Elemente benutzen. Bedenken wir ferner, daß Glei- chungen von der Form:

82 mr + ( VESErT, 0,

eV, 22 du 7 09u 02 02 02 oVv, DV, Pı — rn

bestehen, und erinnern wir uns der Gleichungen (2), (27), so erhalten wir folgende Differentialgleichungen für die charakteristischen Streifen von: 2 = 0:

°P öP 00 5 e av, + (Vet Va n)ds+ CA De au =0, oP, oP, 9, 09; RE dv,+(V ler 2)aw+(V er +7,52) dy=0, (6) du+ody=0.

Hier enthält die erste Gleichung (4) die Veränderliche u, also ergibt sich aus (4) durch Elimination von u das System der zwei Mongeschen Gleichungen: 8, = 0,9, =.

S. 348, 7.13. Die Gleichungen (4) und (6) zusammengenommen bestimmen die oo# charakteristischen Kurven der Gleichung: 2 —= 0.

8.348, Nr. 47. Man vgl. besonders Bd. III d. Ausg., 8.23, 2.3 v.u., 9.24, 2. 15—8. 25, Z.8. Unter einer semilinearen Differentialgleichung in vier Ver- änderlichen versteht Lie hier eine, die jedenfalls eine vollständige Lösung be- sitzt, die aus oo? zweifach ausgedehnten Punktmannigfaltigkeiten besteht. Nach Bd. III, 8. 633 entsteht jede solche Gleichung aus zwei linearen homogenen Glei- chungen, die einen Parameter A enthalten, also etwa aus:

Pa = P(tı, %r; Ir; us APıt XP2, Pı = ypı + ®p:

Dreigl. Involsyst. 1. O. im R,. Involsyst. 1.0. im Ruın 615

durch Elimination dieses Parameters A. Deutet man hier die p, als Ebenenkoordinaten in einem R,, so hat man eine Schar von oo! Geraden, die Erzeugenden einer Regel- fläche. In dem von uns betrachteten Falle haben nun diese Gleichungen die Form (3), und aus (2), (2’) geht hervor, daß je zwei unendlich benachbarte Erzeugende der Regelfläche einander schneiden, daß also die durch (3) bestimmten oo! nr die Tangentialebenen einer Raumkurve sind.

S. 349, Nr. 48. Das Mongesche System: ®, = 0, ®, = 0 bestimmt 00° Linien- elemente, deren jedes oo! von den 00° Elementen der Gleichung 2 = 0 enthält. Jede Integralkurve des Mongeschen Systems enthält daher 00? Elemente der Glei- chung 2 = 0, die einen Integralverein bilden. Ist die Integralkurve keine charak- teristische Kurve, so bilden die oo? charakteristischen Streifen, die durch diese oo? Elemente gehen, einen Integralverein von 00° Elementen, dessen Punktort von den oo! charakteristischen Kurven gebildet wird, die die benutzte Integralkurve be- rühren. Nach $. 608f. erhält man auf diese Weise alle zweidimensionalen Integral- vereine von 2 — 0), die von je oo! charakteristischen Kurven erzeugt sind.

Die Integration des Involutionssystems: %ı=0, % = 0, %= 0 erfordert demnach: Erstens die Integration des simultanen Systems (4), (6), das die charak- teristischen Kurven der Gleichung 2 —= 0 definiert. Zweitens die Bestimmung aller Integralkurven des Mongeschen Systems: d&, = 0,0,= 0. Ob diese zweite Integrationsoperation auf simultane Systeme zurückführbar ist, bleibt dahinge- stellt.

S. 349—352, Nr. 49—53. Vgl. Bd. III d. Ausg., Abh. XXVII (1880), S. 395f., Nr. 3 und einen aus dem Jahre 1877 stammenden Brief an A. Mayer, ebd. 8.729, 2. 1—22, S. 730, 2.1—10.

S.351, 2.2—8. Da qg< mn und die Zahl o der Gleichungen 2, = 0 sicher <nist, hat manga +n— mn <sSco<.n. Nun besitzt das unbeschränkt integrable System (a) sicher ein Lösungssystem:

(I) BY Ce re ae) (k=1,...,m)

das m + mn — q wesentliche willkürliche Konstanten c, enthält und das in dem Sinne ein vollständiges Lösungssystem von (a) darstellt, daß sich aus den Gleichun- gen 2, — 9, bei einmaliger Differentiation und Elimination der c, nur das System (a) ergibt. Aus den Gleichungen (I) und:

© m (II) Vz, + Vz, Be + ...+-V A —=( (i=1,...,n)

zusammengenommen erhalten wir somit durch Elimination der ce, nur die ao Glei- chungen 2,= 0. Das System (I), (II) stellt daher in dem R„4n:21> +: -» 2m» %1,...,%, eine Schar von oo” +mn-4, Integralvereinen der a Gleichungen 2, = 0 dar. Jeder dieser Integralvereine enthält 00” +” 1 Elemente, und der Inbegriff aller Elemente dieser Integralvereine erfüllt keine andern partiellen Differentialgleichun- gen erster Ordnung als eben die Gleichungen 2,= 0. Hierin liegt, daß die Glei- chungen 2.= 0 die größtmögliche Zahl von gg Integralvereinen be- sitzen, daß sie also ein o-gliedriges Involutionssystem des R,,.;„ bilden.

Ist g+n— mn gerade — 0, so stellt das System (I), (II) selber eine voll- ständige Lösung des Involutionssystems dar. Ist +-n— mn<o, so gehört jedes Element des Involutionssystems 0o0’=@-r+mn verschiedenen Integralvereinen (1), (II) an, man kann daher unter den Integralvereinen (T), (II)oo” +” solche aus- wählen, die eine vollständige Lösung des Involutionssystems bilden. Unter allen Umständen besitzt demnach das Involutionssystem 2, = 0 eine vollständige Lö- sung, die aus n-dimensionalen Integralgebilden besteht.

Andererseits ist das Involutionssystem offenbar nach o von den Ableitungen V,„, auflösbar, nach Abh. II, S.126f. sind folglich seine charakteristischen M,

616 Anmerkungen zu Abhandlung IX, 8. 351—-358

auch als Punktmannigfaltigkeiten gerade o-fach ausgedehnt. Demnach werden die n-dimensionalen Integralgebilde (I) des Involutionssystems, die zugleich Integral- mannigfaltigkeiten des unbeschränkt integrabeln Systems (a) sind, sämtlich von den o-dimensionalen charakteristischen Mannigfaltigkeiten des Involutionssystems Q2,= 0 erzeugt.

S.351, 2.10—6 v.u. Man hat ja nur die charakteristischen o -fach ausgedehnten Punktmannigfaltigkeiten des Involutionssystems zu bestimmen, was nach Abh. II, S.126, Satz 18, 19 im allgemeinen die Integration eines (o + 1)-gliedrigen voll- ständigen Systems in 2n + 2m — co Veränderlichen erfordert, oder nach S. 136 bis 142 ebd. die Integration eines zweigliedrigen vollständigen Systems in 2n + 2m — 20 + 1 Veränderlichen, das auf eine einzige lineare partielle Gleichung erster Ordnung in 2n + 2m — 20 Veränderlichen hinauskommt. Dabei kann sich die Ordnung der erforderlichen Integrationen noch erniedrigen, wenn die Zahl der co-fach ausgedehnten charakteristischen Punktmannigfaltigkeiten des Involutions- systems kleiner ist als die Zahl o0?*+?m=-1-20 der charakteristischen M,„ des Systems.

S.351, 2.5—1 v.u., 352, Z.1—6. Die wichtige Bemerkung, die Lie in der Abhandlung von 1880 nicht gemacht hat, steht bereits in seinem 1877 geschriebenen Briefe an A. Mayer, s. Bd. III d. Ausg. 8.730, Z. 3—6.

Denkt man sich das o-gliedrige Involutionssystem Q,=0 des R,,;m nach Abh. II, S.136—142 auf eine einzige nichtlineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung des R,,m_..+1 zurückgeführt, so liefert die bekannte vollständige Lösung des Involutionssystems, die aus n„-dimensionalen Integralgebilden besteht, für die Gleichung des R,, | m _ „.,.ı eine vollständige Lösung, die aus (n—o+-1)-dimen- sionalen Integralgebilden besteht. Dabei entsprechen den charakteristischen M, des Involutionssystems die charakteristischen Streifen der reduzierten Gleichung und zwar so, daß zwei charakteristische Streifen dann und nur dann zu derselben charakteristischen Kurve gehören, wenn die beiden entsprechenden charakteri- stischen M,„ des Involutionssystems zu derselben charakteristischen o-fach aus- gedehnten Punktmannigfaltigkeit gehören.

Die Aufgabe, alle n-dimensionalen Integralgebilde des Involutionssystems zu bestimmen, kommt daher hinaus auf die Bestimmung aller (n — o + 1)-dimensio- nalen Integralgebilde der reduzierten Gleichung. Diese letztere Aufgabe aber er- fordert, wie wir auf $S. 610f. gesehen haben, die Integration eines Systems von Diffe- rentialgleichungen mit n — co unabhängigen Veränderlichen. In dem vorliegenden Falle sind nun die n-dimensionalen Integralgebilde des Involutionssystems zugleich die n-fach ausgedehnten Integralmannigfaltigkeiten des unbeschränkt integrabeln Systems (a). Es ist daher klar, daß das System mit n — o unabhängigen Veränder- lichen, zu dem man gelangt, seinerseits unbeschränkt integrabel ist. In dem auf S. 610f. betrachteten allgemeinen Falle braucht es das keineswegs zu sein.

Die Zahl v, die Lie auf 8.352, 7.4 ohne nähere Erklärung einführt, ist also gleich der Gliederzahl o des Involutionssystems.

S. 352ff. Kapitel III. Hier führt Lie gewisse früher von ihm bei verschiedenen Gelegenheiten gemachte Andeutungen näher aus. Vgl. z.B. hier Abh. III (1877), 5.190 Anm.2, Bd. VI d. Ausg. Abh. III (1885), S.140 Anm. und hier Abh. IV (1888), 8. 288.

S.353, 2.18, 17 v.u. Es hätte hinzugefügt werden sollen: ‚mit einer unbe- kannten Funktion“.

8.353, 2.3—1 v.u. Vgl. hier Abh. IV (1888), S. 286f. Dort wird nämlich ge- zeigt, daß die Integralvereine der Gleichung: W (2, x, p) = 0 die einzigen Vereine sind, die bei der infinitesimalen Berührungstransformation mit der charakte- ristischen Funktion W in sich verschoben werden. Aus diesem Satze zieht Lie jetzt nur eine neue Folgerung.

8.355, Z.11—13. Vgl. z.B. Abh. III (1877), 8. 196f.

Involsyst. 1.0. im Ryn+n. Part. Diffgl. 1. ©. mit bek. inf. B.T. 617

S. 356, Z.1—16. Vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. II (1890), Kap. 15.

S. 357, 2.19, 18 v. u. Wieder ist zu ergänzen: ‚mit einer unbekannten Funk- tion“.

S.358, Z2.6—9. Die Sache ist die: während in Kap. III bloß die Integral- gebilde der invarianten Differentialgleichung betrachtet werden, die bei den be- kannten infinitesimalen Transformationen invariant bleiben, werden in Kap. IV die invarianten Scharen von Integralgebilden verwertet.

S.358, 2.19 bis 359, 2.3. Es ist sehr gut möglich, daß dieser Beweis gerade den Weg wiedergibt, auf dem Lie den hier behandelten Satz und auch den all- gemeinen Satz S. 360, Nr. 65 gefunden hat. Er verfuhr ja gewöhnlich so: die bekann- ten infinitesimalen Transformationen, die ein vorgelegtes System von Differential- gleichungen invariant lassen, dachte er sich auf eine kanonische Form gebracht und zog daraus Schlüsse auf die Eigenschaften des Systems. Immerhin muß man sagen, daß der hier geführte Beweis im Grunde nicht befriedigend ist. Die Zurück- führung der infinitesimalen Berührungstransformation auf die kanonische Form 0f:0x' erfordert ja nämlich im allgemeinen Integration. Es ist daher erwünscht, einen Beweis zu haben, bei dem diese Zurückführung nicht erforderlich ist. Dabei müssen wir allerdings die beiden Fälle, daß W wenigstens eine der Größen p, q ent- hält und daß es von p,gq frei ist, gesondert behandeln.

Wir setzen voraus, daß F = 0 in einer solchen Form vorliegt, daß es nach einer der Ableitungen r, s, t aufgelöst ist, und daß sich F regulär verhält für ein Wert- system z, y,2,p,q von allgemeiner Lage, das W = 0 erfüllt (S. 359, 2.5—8). Ist dann W nicht frei von p und q, so befriedigen die gemeinsamen Integralflächen von W=0, F=0 auch die beiden Gleichungen 2. Ordnung:

d N =WtrpW.+rW,+sW. =D,

d erh.

(I)

Es kann nun sein, daß die Gleichungen W = 0 und (I) die Gleichung: F = 0 nach sich ziehen; dann liegt der S. 359, Z.2,1 v. u. erwähnte Fall vor, daß alle Integral- flächen von W = 0 auch F = 0 befriedigen. Tritt dieser Fall nicht ein, so sind die drei Gleichungen F=0, (I) nach r, s, t auflösbar, und es bleibt nur zu beweisen, daß alle vier Gleichungen ein unbeschränkt integrables System bilden. Die Integra- tion dieses Systems bringt ja nämlich dann offenbar gerade zwei willkürliche Kon- stanten mit sich.

Da es sich nur um Integralflächen von W = 0 handelt, so können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit die Gleichung W = 0 durch ihre Auflösung, etwa durch: g— w(2,y,2,p)=0 ersetzen, denn die infinitesimale Berührungstrans- formation: cm) [a — 0,11 al transformiert die nicht singulären Integralflächen von W = 0 genau so, wie die ursprünglich gegebene infinitesimale Berührungstransformation.

Die vier Gleichungen: F =0, W = 0 und (I) bilden ein System, das auf die Form:

(111) q=w(z, y,2,P), r=a(2,y,2,p, s=fß, ti=y

gebracht werden kann. Dieses gestattet die gegebene infinitesimale Transformation W und, weil alle seine etwaigen Integralflächen W = 0 befriedigen, gestattet es auch die infinitesimale Transformation (II) oder genauer ausgedrückt, die Transfor- mation, die erhalten wird, wenn man (II) durch Hinzunahme von r, s, t erweitert.

618 Anmerkungen zu Abhandlung IX, S. 358—360

Da diese erweiterte infinitesimale Transformation das System der Pfaffschen Gleichungen:

dze— pde— qdy=0, dp—rds—sdy=0, dq—sde—tdy=0

invariant läßt, so erhält man aus ihr durch Weglassung der Ableitungen von f nach q,r,s,t und durch die Substitution: q= w eine verkürzte infinitesimale Trans- formation in den Veränderlichen z, y,2,p:

EL: ; of of £ — Un; Ba Ru Tan u va, SR (IP) ut + ww) + wet pw)

bei der das System der beiden Pfaffschen Gleichungen: (IV) dz— pdze— wdy=0, dp—adıe— Pdy=0

invariant bleibt. Es ist zugleich klar, daß das System (III) dann und nur dann unbeschränkt integrabel ist, wenn das Pfaffsche System (IV) diese Eigenschaft besitzt.

Da die infinitesimale Berührungstransformation (II) jede Integralfläche von: q—w= 0 invariant läßt und somit jedes Element von beliebiger Ordnung auf einer solchen Integralfläche in ein unendlich benachbartes damit vereinigt liegendes Element überführt, so erteilt sie den Größen z, y,2.P,q,r,s,t solche Zuwachse öX,...,öt, daß für jede Integralfläche von: g — w= 0 die Gleichungen:

62 — pöz— göy=0, dp—röoz—söy=0, Ödgy—sör—töy—=0

erfüllt sind.!) Demnach werden auch die Zuwachse öx,...,öp bei der verkürzten infinitesimalen Transformation (II’) die Gleichungen: (V) oz — pöz— wöoy=0, 6d6p—aöz — Pöy=O

befriedigen. Denkt man sich daher die Invarianten X,Z, P der infinitesimalen Transformation (II’) bestimmt, die für y = y, der Reihe nach in x, z, p übergehen, und denkt man sich diese nebst y als neue Veränderliche in (IV) eingeführt, so erhält (II’) die Form Of:dy, während die neue Form von (IV) befriedigt sein muß,

1) Rein analytisch gelangt man zu demselben Ergebnisse, wenn man beachtet, daß die Gleichungen:

ö62=W,Ö6T,.., dg=—(W,+ qaW,)dr der infinitesimalen Berührungstransformation diese nach sich ziehen:

ö2— pdoz — gqöy= —W.ör, und daß hieraus wegen: döz = ödz—= öpdz + Öögdy—+ pdöxr + qdöy folgt: öpdxz + ögqdy— dpöxz — dgöy= —dW.öÖr, das heißt: d ne Ben

d A She er File Ebenso wird: ördz + ösdy—dröz—dsöy=—dL-W.ör, und so weiter.

Part. Diffgl. 2. O. mit bek. inf. B. T. 619

wenn man dX =dZ=dP=(0 setzt. Hierin liegt, daß die neue Form von (IV) nur die Differentiale dX, dZ,dP enthalten kann, dagegen von dy frei ist. Da sie überdies die infinitesimale Transformation Of:dy gestattet, so enthält sie auch y höchstens scheinbar. Endlich ist klar, daß (IV) bei der Substitution: y = y, gerade das Pfaffsche System liefern muß, das man aus der neuen Form von (IV) durch diese Substitution erhält. Somit können wir schließen, daß das System (IV) in der Form:

(IV’) dz—PdX=0, dP—a(X,y,2,P)dX = 0

darstellbar, daß es also ein simultanes System in den drei Veränderlichen X,Z, P und folglich in der Tat unbeschränkt integrabel ist.

Damit ist die unbeschränkte Integrabilität des Systems (III) bewiesen. Hat man die Gleichung W = 0 bereits integriert, so kennt man deren charakteristische Streifen und also drei unabhängige Invarianten der infinitesimalen Transformation (II’), man kann daher durch ausführbare Operationen X,Z, P finden und dann sofort das simultane System in X,Z, P angeben, auf das (III) zurückkommt. Hat man W= 0 noch nicht integriert, so kann man das unbeschränkte integrable System (IV) nach dem Du Bois-Reymond-Mayerschen Verfahren auf ein simultanes System in drei Veränderlichen zurückführen (vgl. Bd. III d. Ausg., S.628f.). Der Parameter, den dieses simultane System enthält, wird vermieden, wenn W = 0 schon integriert ist (vgl. hier S. 361, Z.1, 2).

Ist die infinitesimale Berührungstransformation W eine Punkttransformation, so ist W linear in p und q, also wird w linear in p. Dann werden X und Z offenbar frei von p, und das simultane System (IV’) kommt auf eine gewöhnliche Diffe- rentialgleichung zweiter Ordnung zwischen X und Z hinaus, deren allgemeine In- tegralgleichung: I/(X,Z,a,b)—= 0 die gemeinsamen Integralflächen von F= 0 und W=0 darstellt.

Noch bleibt der Fall zu betrachten, daß W von p und q frei ist. Dann haben die Gleichungen: F=0, W=0 keine Integralflächen gemein, aber gewisse In- tegralvereine, deren Punktörter Kurven auf der Fläche W = 0 sind. Führt man durch eine Punkttransformation W als neues x ein, so wird:

RE ER}. N a 3 pn

Bei dieser infinitesimalen Transformation erhalten r,s,t verschwindende Zu- wachse, so daß die invariante Gleichung F = 0 die Form

F(x,y,2— 29,9,r,8,)=0

erhält. Die gemeinsamen Integralvereine von F = 0, W = 0 sind notwendig Kurven von der Form: 2=0, z2= p(y) und werden durch die gewöhnliche Differential- gleichung zweiter Ordnung:

dz d?z r(0,9,2,5.. 0, 0,5) —=0 bestimmt.

8.360, Z.1f. Jede der 00° infinitesimalen Bewegungen liefert ja mindestens oo? Integralflächen.

S. 360, Z.18—20. Vgl. „Klassifikation der Flächen nach der Transformations- gruppe ihrer geodätischen Kurven“, Kristiania 1879, 8.10 (d. Ausg. Bd. I, Abh.XXIV, Schluß von $2). Ferner: „Beiträge zur Theorie der Minimalflächen, II“, Math. Ann. Bd. XV (1879), 8. 503f. (d. Ausg. Bd. II, Abh. III, Note 3 am Schluß).

S. 360f., Nr. 65. Für, die gemeinsamen Integralflächen von F=0 und q— w(z, Yy,2,p) = 0 erhält man ein System von partiellen Differentialgleichungen,

620 Anmerkungen zu Abhandlung IX, S. 360, 361 bei dem die Ableitungen:

Oz OU +? A & Zgm day +rsm,v>0)

alle durch die Ableitungen: okz da: Pr (k=1,...,m-—1)

ausgedrückt sind. Es muß bewiesen werden, daß dieses System, oder was auf das- selbe hinauskommt, daß das entsprechende Pfaffsche System:

dz=p,de-+ wdy, (VI) | dp = Pr+ıda + Pr(®, Y,2,Pıs +++» Pr)dy (k=1,...,m—2) dpm-ı ae Am-ı(T, Y,2,Pı>-- +‚Pm-ı)dz + Bm-ıdy unbeschränkt integrabel ist.

Man erkennt wie auf S.617f., daß das Pfaffsche System (VI) die infinitesimale Transformation gestattet, die man aus (II’) durch Erweiterung erhält, indem man die Ableitungen p3,.. ., Pm_ı hinzunimmt. Ferner, daß die Gleichungen (VI) iden- tisch erfüllt werden, wenn man alle Differentiale durch die Zuwachse ersetzt, die die Veränderlichen bei der erweiterten infinitesimalen Transformation erhalten. Sind daher X,Z, P,,..., P7„_ı die Invarianten der: erweiterten infinitesimalen Trans-

formation, die für y= % in 2,2, Pıs---,Pm—ı übergehen, so ist das System (VI) mit dem simultanen Systeme:

dZ=P,dX,dP,.=Py;zıdX (k=1,...,m—2) dPm-ı Som Am-ı(X, Yo,2; 2; wur Pm-ıJ)dX aequivalent und daher unbeschränkt integrabel.

Hat man die Gleichung: q — w = 0 integriert, so kennt man den charakte- ristischen Streifen, der durch ein beliebiges Element z,, Yo, 20; Po der Gleichung geht:

(VII) zs=X(y,%;,Y;»% PM), ?=Z, p=P. Setzt man hier:

(VF)

= Pli), Po = PR) und betrachtet man y und x, als unabhängige Veränderliche, y, aber als fest, so

erhält man bei beliebiger Wahl von @ eine Integralfläche von: g — w= 0 und be- kommt auf dieser Integralfläche zur Bestimmung von r die Gleichung:

Pat Pape + Po, Pa) tr IXa, + Kr, Po + °P’ (%)}; die für y= y, liefert: r = 9” (x,). Setzt man 9” (x,) = r,, so wird: a Pa, t Pz,Po + Popro 2 Kat Az, Pot Xp, ro

Die Gleichungen (VII) und (VIII) stellen daher die Lösungen des simultanen Systems dar, das der infinitesimalen Transformation entspricht, die aus (IT’) durch Hinzunahme von r=p, entsteht. Da diese Lösungen für y= y, die Werte %9, 20; Po,r, annehmen, so erhält man aus (VII), (VIII) durch Auflösung nach %o, 20» Po, ro die vorhin mit X,Z, P,, P, bezeichneten Invarianten. Zugleich ist. klar, daß man im Falle m > 3 ganz ebenso die Invarianten P,,..., P fin- den kann.

Ist also die Gleichung: g— w= 0 integriert, so kann man das simultane- System (VI’) durch ausführbare Operationen aufstellen und findet durch dessen Integration die gemeinsamen Integralflächen von F=0 undg—w=0. Andern--

(vi) | r

u

Part. Diffgl. m-ter O. mit bek. inf. B. T. Die Translationsfl. 621

falls muß man das unbeschränkt integrable System (VI) aufstellen und dieses nach dem Verfahren von A. Mayer auf ein simultanes System in m -+ 1 Veränder- lichen zurückführen. Dieses simultane System enthält einen Parameter, der bei der vorher gemachten Voraussetzung vermieden wird.

Auf 8. 361, Z. 1f. müßte es also eigentlich heißen: „enthält eine arbiträre Kon- stante, die in Wegfall kommt, wenn‘.

S.361, 2.9—11. Auch in der Abhandlung ‚Die Theorie der Translations- flächen und das A belsche Theorem‘, Leipz. Ber. 1896 (d. Ausg. Bd. II, Abh. XIII) spricht Lie auf 8.169 (im Eingange von Kap. V) von der partiellen Differential- gleichung vierter Ordnung, die alle Translationsflächen definiert, und beschäftigt sich auf $. 171—174 (Schluß des Kap. V) mit intermediären Integralgleichungen dieser Differentialgleichung. In Lie-Scheffers, Geom. d. B. T. (1896) stellt er auf S.384 ohne Beweis dieselbe Behauptung auf.

Es hat sich aber ergeben, daß diese Behauptung unrichtig ist. In der Arbeit: „Die Differentialgleichung der Schiebflächen‘‘, Abh. aus dem Math. Seminar der Hamburgischen Universität, Bd. I (1922), S. 127—138 hat sich K. Reidemeister mit der Frage beschäftigt und hat zwei Differentialgleichungen aufgestellt, durch die alle Translationsflächen !) definiert sind. Die Betrachtungen, die ihn dazu führen, sind einfach und naturgemäß. Er hat nur übersehen, daß die Differentialgleichungen, die er aufstellt und bei denen er die Haupttangentenkurven als Parameterlinien benutzt, eigentlich bloß von vierter Ordnung sind, und daß es noch einer besonderen Betrachtung bedarf, um sich davon zu überzeugen, daß sie als Differentialglei- chungen zwischen z, y,z von fünfter Ordnung sind.

Wir wollen hier auf einem anderen Wege zeigen, daß die allgemeinste Trans- lationsfläche:

(1) s=U,+V, y=U+VJV, 2=U,+VJ;,

wo die U, Funktionen von u allein sind und die V„ Funktionen von v allein, keine Differentialgleichung von niedrigerer als fünfter Ordnung zwischen x, y, 2 befriedigt, und daß sie durch zwei Differentialgleichungen fünfter Ordnung definiert wird.

Es handelt sich darum, durch Differentiation aus (1) die sechs willkürlichen Funktionen U,, V, zu eliminieren. Schließen wir dabei die Flächen aus, bei denen die Kurven u = const. oder die Kurven v = const. oder beide Scharen in parallelen Ebenen liegen, die zur z-Achse parallel sind, so ist weder y,:®,, noch y,:x, konstant, und wir können daher u und v so wählen, daß die Gleichungen:

(2) Yu = UL, Y=v’ı

bestehen. Setzen wir

(3) 24%, = a (U), 2,:2%,= Bio),

so wird wegen (2) offenbar:

(4) ptug=aw, ptva=Pßb),

und daraus folgt durch Differentiation nach u und v:

(5) vr em FE Re a a 9 Du .

(6) r+ (u+v)s + uv=0.

1) Dieser Name ist gewiß unschön, aber er drückt wenigstens die wesentliche Eigenschaft der Flächen aus, daß sie nämlich durch Translation entstehen. Das deutsche Wort für Translation ist aber Schiebung, daher ist zweifellos ‚„‚Schiebungs- flächen“ die deutsche Bezeichnung, die das Wesen der Sache am besten trifft. Das Wort „Schiebfläche“ ist zu verwerfen. In dieser Beziehung muß ich G. Scheffers beistimmen; s. dessen „Bemerkungen“ a.a.O., S. 138.

622 Anmerkungen zu Abhandlung IX, S. 361

Hier enthält Gleichung (6) wegen (2) den Lieschen Satz, daß die Kurven: u = const. und ® — const. konjugierte Kurven auf der Translationsfläche sind. Aus (5) und (6) erhalten wir durch Differentiation nach u und v:

erh 4 2 Wer

Zee t 3U2gayt 3Ur2geyy + Ur2yyy = Mi Br" cr Tuu> M a 3(s vt er '— Zee t IY2aay t BU 2gyy + VZyyy > nn . CV © D) v (8) [ 4 = 2a + 2Uut Va tr uU MW)zeyy t WV2yyy = — (SH VE): Ey,

\Bezeat (ut 22V), +7 Aut Vom tur = — (st ul):zy.

Dabei ist klar, daß die neun Gleichungen (4), ..., (8) die neun Ableitungen erster bis dritter Ordnung von z als Funktionen der zwölf Größen:

(9) uU, v, Q, ß; a; ß, &, P.3 Ds Ip, Luu> Tov

bestimmen und andererseits nach a, ß, a’, B’, a’, ß”, x, x, und etwa v auflösbar sind.

Differentiiert man die erste Gleichung (7) nach u, die zweite nach v und die Gleichungen (8) nach u und v, so erhält man fünf neue Gleichungen und kann die vierzehn Ableitungen erster bis vierter Ordnung von z durch die sechzehn Größen (9) und a’”’,ß”", Zyuu> u», ausdrücken.

Löst man die Gleichungen (8) nach 1:x, und 1:x, auf und differentiiert sie dann nach u und v, so erhält man drei Gleichungen, von denen zwei erlauben, Zuus &,» Aurch u,v und die Ableitungen zweiter bis vierter Ordnung von 2 auszu-

drücken, während die dritte, nach Elimination von x, und x,, in der Form:

2exaa t 2(uU + V)2geevt+ [(u + dv)? + 2uv } u

+ 2(u + V)UVv2gyyY fr WO Zyyyy—

(10) __ Beexaut 2U2eyy + Wyyy) _ Alßaaut 22a + Vyon) a st ut st vt ABt 4

GEBEN

erscheint und also außer den Ableitungen von z nur die Größen u, v enthält und zwar offenbar symmetrisch.

Nun sind die Gleichungen (6) und (10) sicher nach u, v auflösbar. Demnach erkennen wir, daß die vierzehn Gleichungen für die vierzehn Ableitungen erster bis vierter Ordnung nach den vierzehn Größen (9) und a’’’, #'"’ auflösbar sind. Dabei erscheinen diese vierzehn Größen als Funktionen der vierzehn Ableitungen von 2 und der Größen & Lyon, Aber Zyuu, un» Kommen nur in den Aus- drücken für a’, #”’ vor.

Hieraus folgt zunächst, daß die Translationsflächen sicher keine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung befriedigen. Erinnert man sich ferner, daß Zyu> %,,» durch u, v und durch die Ableitungen von 2 bis zur vierten Ordnung aus- drückbar sind, so erkennt man, daß a’’’, ß’’’ durch u, v und die Ableitungen von 2 bis zur fünften Ordnung ausdrückbar sind. Überhaupt gilt von den Ableitungen n-ter Ordnung von z und a nach u und den Ableitungen n-ter Ordnung von x und ß nach v, daß sie sich durch u, v und die Ableitungen von z bis zur (n + 2)-ten Ord- nung ausdrücken lassen. Die Funktionen, durch die sie dargestellt werden, sind alle eindeutig.

Unter den fünf Gleichungen, die die fünf Ableitungen vierter Ordnung von 2 bestimmen, sind vier vorhanden, die nach a”’,P’”", zu; &,, auflösbar sind; die fünfte aber ist die Gleichung (10), die nur vw, v enthält. Andererseits waren unter

UUUu?

Die Differentialgleichungen der Translationsflächen 623

den neun Gleichungen, die die Ableitungen erster bis dritter Ordnung von 2 be- stimmen, acht nach a, ß, a’, ß’,a’”,ß", x,, x, auflösbar, und dazu kam als neunte die Gleichung (6), die auch nur u und v enthält. Es liegt daher auf der Hand, daß unter allen diesen Gleichungen nur die Gleichungen (6) und (10) und die aus (10) durch Differentiation folgenden Gleichungen Differentialgleichungen liefern können, denen die Translationsflächen genügen. Nun ergeben sich aus (10) durch Differen- tiation nach u und v und nachherige Benutzung von (8) zwei Gleichungen, in denen außer den Ableitungen von z bis zur fünften Ordnung nur u und v vorkommen. Wir erhalten daher, wenn wir u, v aus (6), (10) und diesen zwei neuen Gleichungen eliminieren, zwei partielle Differentialgleichungen fünfter Ordnung als die einzigen, denen alle Translationsflächen genügen. In entsprechender Weise erkennt man, daß sie gerade drei Differentialgleichungen sechster Ordnung befriedigen, gerade vier von siebenter Ordnung, allgemein gerade n — 3 von n-ter Ordnung für n > 4.

Es ist klar, daß alle diese Differentialgleichungen sechster und höherer Ord- nung keine anderen sein können als die, die aus den beiden Differentialgleichungen fünfter Ordnung durch Differentiation nach x und y hervorgehen.

Will man die Differentialgleichungen fünfter Ordnung der Translations- flächen wirklich aufstellen, so ist es nicht zweckmäßig, die Gleichung (10) zu be- nutzen, die recht lang und von ziemlich hohem Grade in u, v ist. Wir können nämlich (10) durch eine wesentlich einfachere Gleichung ersetzen. Zu diesem Zwecke diffe- rentiieren wir die erste Gleichung (8) nicht, wie sie dasteht, nach v, sondern gestalten sie erst um, indem wir überall vo auf Grund von (6) durch u ausdrücken. Wir er- halten so die Gleichung:

aı) | 22005 — 2x + Uleaat + 22208 — 222u UT) + + WW (22gayb — Zaun — Zyuur) + U lZeunt — Zyuus) = (rt — 8): 2,»

die wir folgendermaßen abkürzen:

{1} a+tau — Bu bu? —=1:r,. Die Differentiation nach v ergibt dann: (12) Ag + au — Bau? — bzu? + (a, + ayu — B,u? — b,u?)v = 0,

und da diese Gleichung eine Folge von (6) und (10) sein muß, so ist klar, daß auch die durch Vertauschung von u mit v hervorgehende Gleichung gilt. Nunmehr setzen wir:

(13) utv=4, Un,

dann erscheint Gleichung (6) in der Form:

(6) r+s/+tu=0,

während sich (12) wegen (13) und wegen der Identitäten: (14) u—=u/l—u, u —= ul)? — u) — Au

in eine in u lineare Gleichung verwandelt. Diese ihrerseits muß bestehen bleiben, wenn man u mit v vertauscht, und zieht daher die beiden Gleichungen:

a + ayA+ (a +Pß)utbiut+bu=0, ay— ag +PaA+ (By — be)u + daR? + byAu=0 nach sich. Dabei muß aber, wie aus dem vorhin Gesagten hervorgeht, die eine der beiden Gleichungen (15) eine Folge von (6’) und von der anderen sein. Wirklich erhalten wir auch aus (15) durch Multiplikation mit t und s und durch Addition, bei Benutzung von (6’), die Gleichung: Ast + (ay— a,)s+ [ayt+ Bes — ber) + (ay+ Po)t+ (By — b2)s — byr) u=0, die sich von (6’) nur durch einen Faktor unterscheidet.

Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. IV 40

(15)

624 Anmerkungen zu Abhandlung IX, S. 361

Wir brauchen demnach nur eine der Gleichungen (15), etwa die erste beizu- behalten. Differentiieren wir diese nach u und v, so erhalten wir zwei Gleichungen von der Form:

(157) | A+8®v+ L+MWn=0,

\A+8u+(L+Mn=0,

wo W,8 linear in A, u sind, L, M aber vom zweiten Grade. Die erste verwandelt sich wegen (11’) in

(U+Bv)(a +au— Bu? — bw) + L+Mu=0.

Hieraus ergibt sich durch Benutzung von (14) eine in u lineare Gleichung, die sich sofort in zwei Gleichungen zerlegt, welche zusammen die Gleichungen (15’) ersetzen. Die erhaltenen Gleichungen sind zunächst vom dritten Grade in A, u, aber man über- zeugt sich leicht, daß alle Glieder dritten Grades durch Benutzung von (15) ent- fernt werden können. Demnach bleiben schließlich nur zwei Gleichungen vom zweiten Grade in /, u übrig, die in den Ableitungen von z bis zur fünften Ordnung an- steigen. Diese müssen zu (6’) und zu der ersten Gleichung (15) hinzugefügt werden. Wir haben jetzt eine in A, u lineare Gleichung und drei vom zweiten Grade. Sollen diese vier Gleichungen ein Lösungssystem A, u gemeinsam haben, so müssen zwei Bedingungen: (16) A ae

erfüllt sein. Das sind die beiden Differentialgleichungen fünfter Ordnung, denen alle Translationsflächen genügen.!) Vermöge dieser Bedingungen ergeben sich aus un- seren vier Gleichungen eindeutig bestimmte Ausdrücke für 2, u:

(17) »=A, u=M,

wo A,M von den Ableitungen von z bis zur fünften Ordnung abhängen. Dabei ist offenbar die Gleichung:

(18) r+As+Mt=0

eine Folge von (16). Ferner ergibt sich aus (17) durch Differentiation nach u und v:

1=(4,+ uA,), = (A, + 04A,)% v=(M„+tuM,), w=(M,„+tvM,)% also kommt:

M,„+uM,=(4,+u4,), M,„+ vM,= (A,.+ vA,)Uu

und somit:

(19) A,+M,=0, M,=44,+M4A,.

Diese Gleichungen werden sicher auch von jeder Translationsfläche erfüllt; sie sind daher nach dem früher Gesagten eine Folge der Gleichungen (16) und der daraus durch Differentiation hervorgehenden Gleichungen.

Es sei jetzt umgekehrt eine Fläche: z = f(x, y) vorgelegt, die den Gleichungen (16) und also auch den Gleichungen (19) genügt. Wir machen in (17) die Substi- tution: 2= f(x, y) und erhalten für A, M gewisse Funktionen von x, y. Setzen wir daher: (20) u+v=4A, uw=M,

1) Auf dem von Reidemeister eingeschlagenen Wege gelangt man allerdings zu eleganteren Formeln. Es bleibt aber noch festzustellen, wie sich diese Formeln gestalten, wenn man allgemeine Parameterlinien zugrundelegt, statt der von Reide- meister benutzten Haupttangentenkurven.

Die Differentialgleichungen der Translationsflächen 625

so sind im allgemeinen auch z, y und damit zugleich z bestimmte Funktionen von u,v. Aus (20) ergibt sich aber:

1=4A,,+ AyYu rag A,T, if AyyYys v= M,%,+ MW: u= M,„z,+ MW» mithin wird: M,— v4, Azv—M,

en A,M, 03, M,„Ay' eur AsM, — M,A,y'

also wegen (19) und (20): y, = un. Ebenso ergibt sich: y, = vx,. Nunmehr folgt sofort: &,, = Yyy, = 0. Aus:

u,=p+tUug:, ,=e+tvde,

zur +u+rVs+ uv)z2u%;

was wegen (18) auch verschwindet.

Damit ist bewiesen, daß jede Fläche: z= f(z, y), die den Differentialgleichun- gen (16) genügt, eine Translationsfläche ist. Die Gleichungen (20), die auf der Fläche u und v als Funktionen von x, y bestimmen, liefern die beiden Kurvenscharen, durch deren Translation die Fläche erzeugt wird.

Die Translationsflächen werden demnach durch das System der beiden Dif- ferentialgleichungen fünfter Ordnung (16) definiert. Dieses System ist nicht bloß unbeschränkt integrabel, sondern es ist nach Lies Definition ein Involutions- system. Da die Zahl der Differentialgleichungen fünfter Ordnung des Systems zwei ist, und da die Zahl dieser Differentialgleichungen bei jeder Differentiation nur um eins wächst, so ist das Involutionssystem von der Klasse vier (vgl. S. 336, 380).

Stellt man die Bedingungen dafür auf, daß die lineare Gleichung (6’) mit den drei Gleichungen zweiten Grades zwei Lösungssysteme 7, u gemein hat, so erhält man die Differentialgleichungen der Flächen, die auf zwei verschiedene Arten als Translationsflächen aufgefaßt werden können.

Verlangt man endlich, daß etwa die erste der Gleichungen (15) eine Folge von (6’) sein soll, so erhält man ein System von Differentialgleichungen vierter Ord- nung:

1) |

ergibt sich aber

ray, —5s0,=0, sb,—tb,=0, rb,— s(a, +Pß.)+ ta,—0

das alle Flächen definiert, die unendlich viele Translationserzeugungen gestatten (vgl. 8.363, Z2.1—3 und meine Anmerkung dazu, S. 627, Z. 2—4).

S. 8361, 2.11—15. Da die Translationsflächen nicht durch eine Differential- gleichung vierter Ordnung definiert werden, sondern erst durch zwei solche Glei- chungen fünfter Ordnung, so ist der Satz von Nr. 65 nicht anwendbar. Erst auf S. 369 in Nr. 76 spricht Lie einen Satz aus, durch den seine hier aufgestellte Be- hauptung über die Translationsflächen bewiesen wird. Wir werden dort auf die Sache zurückkommen (s. S. 632, Z. 13—4 v. u.).

An der jetzigen Stelle ist es nicht von Belang, daß Lie den Satz unberech- tigter Weise anwendet. Er zeigt nämlich auf einem ganz anderen Wege, daß zu jeder linearen infinitesimalen Transformation:

1,2,8 1,2,3 (D Zap; +a,2,P i y

die nicht alle unendlich fernen Punkte in Ruhe läßt, gerade oo* invariante Trans- lationsflächen gehören, und gibt einen Weg an, diese Flächen wirklich aufzustellen.

40*

626 Anmerkungen zu Abhandlung IX, S. 361—368

Es ist aber bemerkenswert, daß man, von den allgemeinen Gleichungen einer Translationsfläche ausgehend, durch sehr einfache Betrachtungen zu dem Ergeb- nisse gelangt, daß (I) gerade oo? Translationsflächen invariant läßt.

In der Tat, die Translationsfläche:

(II) 2; Be U, F v, @=1,2,3)

geht bei der infinitesimalen Transformation (I) in eine unendlich benachbarte über, für die zu U, und V, die Zuwachse:

1,2,3 EEE (I) 30, (u+Ia,0,) öt, 6V,= Da, ,;V,.öt v v

gehören. Bleibt nun die Fläche bei (I) invariant und betrachten wir nur den Fall, daß auch jede der Kurvenscharen: u = const. und: v® = const. invariant bleibt (vgl. S. 362, 7.3 v. u. bis 363, 2. 3), so muß es zwei Funktionen a (u), P(v) von der Art geben, daß die Gleichungen:

1,2,3 42,3 | +Da,U,=aw)U;, Da,V,=Bw)V; (=1,2,3) V v erfüllt sind (vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. I (1888), S. 467). Wählen wir hier, wie auf S. 621, u und v so, daß (V) Us=ul,; r,=0r,,

so erhalten wir zwischen U,, U,, U;, V,, V;, V; zwei endliche Gleichungen:

| PREBEAUNRIBE ( +Da,, 0») u, V v | Da, =Da,,V,.v. v v

Diese ermöglichen es, zwei Größen U,,V, zu eliminieren, und für die übrigen vier erhält man ein simultanes System, dessen Integration vier willkürliche Kon- stanten mit sich bringt.

Wendet man das eben auseinandergesetzte Verfahren auf die infinitesimale

Transformation: > AgrkTrPr

an, so erhält man die Gleichungen:

(IV)

(VD

De -Hut,, nV, WPF Pr) aus denen wegen (V) folgt: (Agg — Ayı)U U, =4uU0;, (Ag — a1) Vi = AııVı-

Durch eine einfache Integration findet man die gesuchten Flächen und überzeugt sich leicht, daß es keine anderen sind als die von Lie auf S. 364, Z2.7—5 v. u. an- gegebenen.

8.361, 2.6—1 v.u. Vgl. „Untersuchungen über Translationsflächen. I.“, Leipz. Ber. 1892, S. 455—457 (d. Ausg. Bd. II, Abh. XI, $3). Man hat danach nur die Gleichungen:

o(u,p+tug=4a, ow,p+tvg)=@, zu der Gleichung (6), S. 621 hinzuzufügen und u, v zu eliminieren. Auf 2.3 v.u. hieße es besser: „deren Integralflächen die Translationsflächen

sind“. Daß sie die allgemeinsten Translationsflächen dieser Art sind, wird nämlich S. 362, Z.12—14 benutzt.

Bestimm. gewisser Translationsfl. Part. Diffgl. mit bek. inf.B.T. 627

S. 362, 2.15—23. Vgl. S. 619, Z. 21—26.

S.368, Z.1—3. Vgl. „Bestimmung aller Flächen, die in mehrfacher Weise durch Translationsbewegung einer Kurve erzeugt werden‘, Archiv für Math. Bd. VII (1882), S.174 (d. Ausg. Bd. I, Abh. XXVII, Schluß von $2).

S. 363, 2. 7—9. Die eine dieser beiden Transformationen ist die infinitesimale Translation, bei der die Kurve in die unendlich benachbarte übergeht.

S.363, 2.19f. Vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. III (1893), S. 119.

S. 364, 2. 7—5 v. u. Es sind das wirklich gerade oo* Flächen. Die Gleichungen der Fläche enthalten nämlich zwar sechs Parameter: z,, Yo; 20; I, m, n, aber jede Fläche, die durch ein solches Wertsystem geliefert wird, erhält man auch, wenn man den Punkt x,, Yo, 2, durch einen beliebigen anderen Punkt der Fläche ersetzt.

S. 364f., Nr. 70. Vgl. Bd. III d. Ausg. Abh. I (1872), 8.2, 2.5—3 v.u., wo Lie zum ersten Male einen besonderen Fall des hier bewiesenen Satzes ausspricht, und Bd. VI, Abh. III (1885), S. 140, Anm., wo er den Beweis des Satzes sogar für ein System von partiellen Differentialgleichungen andeutet, allerdings unter Be- nutzung homogener Elementkoordinaten.

S. 365, Z2.5—7 und 8.367, Z.11—14. Schreibt man die infinitesimalen Be- rührungstransformationen B,f in homogenen Elementkoordinaten: &,,..., Znzı> Pıs +++» Pn+ı (vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. II (1890), S. 273f., Satz 10), so werden ihre charakteristischen Funktionen X,,..., X, homogen von erster Ordnung in den p, und sind durch keine Relation verknüpft.

S.365, Z2.14—20. Vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. II (1890), S. 323 und Kap. 12.

S.365, 2.2,1 v. u. Eigentlich ist nämlich nur die Integration des g-gliedrigen Involutionssystems: W, =0,..., W,„=0 erforderlich. Wir werden darauf bei der Betrachtung des allgemeinen Falles, der in Nr. 72—76 besprochen wird, genauer eingehen. Die Bestimmung der kanonischen Veränderlichen Z, X,, P,, von der Lie hier Gebrauch macht, erfordert wesentlich mehr Integrationen, die somit ent- behrlich sind.

5.367, Z.4—6. Man erhält ja sowohl im Falle von Nr. 70, wie im Falle von Nr. 71 eine einzige partielle Differentialgleichung, die unter den gemeinsamen. Lö- sungen von W, =0 und W, = 0 alle die ausscheidet, welche auch die Gleichung F=0 befriedigen.

S.367, 2.11—14. Vgl. die Anm. zu 8.365, 2.5—7..

S. 367, 2.12, 11 v.u. Das heißt, das Element wird so verschoben, dass der Punkt des Elementes auf der Ebene des Elementes bleibt, oder, was auf dasselbe hinauskommt, jedes Element, das die Gleichungen: W, =0,....,W,=0 be- friedigt, wird in ein unendlich benachbartes, mit ihm vereinigt liegendes Element derselben Art verschoben.

S. 367£., Nr. 73. Lie deutet nachher in Nr. 74 selbst an, auf welchen be- grifflichen Überlegungen das alles beruht. Es ist daher das beste, wenn ich meine Erläuterungen bei Nr. 74 gebe.

S. 368, Z2.15—22. Vgl. Th. d. Trfsgr. Bd. II, S. 321.

5.368, 2.22—27. Schreibt man die charakteristischen Funktionen W, in homogenen Elementkoordinaten: 2,,-.., Zntıs Pıs +++» Pn+ı, 80 erhalten sie die Form: H,,...,H, und stehen in Beziehungen von der Form:

(H,H,) — N ejpsHs s

(a.a. 0. 8.321, 273f. 300). Daß zwischen W,,...,W, keine homogene Relation besteht (hier S. 367, Z. 11—14) kommt jetzt darauf hinaus, daß H,,..., H, un- abhängige Funktionen sind.

Das Gleichungssystem: H, = (0,..., H,= 0 stellt eine Schar von Elementen dar, die im allgemeinen in mehrere kontinuierliche Scharen von Elementen zer- fällt, und unter diesen kontinuierlichen Scharen gibt es stets mindestens eine, die

628 Anmerkungen zu Abhandlung IX, $. 368

gerade 0o0?”+ 17 @ Elemente enthält. Jede dieser kontinuierlichen Scharen bleibt bei allen infinitesimalen Transformationen H,j,..., H, invariant. Da nun die infini- tesimale Berührungstransformation H, jeden Verein von oo” Elementen, der H, = 0 befriedigt, invariant läßt, so bleibt bei der Gruppe H,,..., H,„ jeder etwaige Verein von 00” Elementen invariant, der alle Gleichungen: H,=0,...,H,=0 befriedigt.

Unsere Aufgabe ist nun, festzustellen, welche Vereine von oo” Elementen es gibt, die sowohl die Gleichungen: H, = 0,..., H, = 0 als die vorgelegte invariante partielle Differentialgleichung m-ter Ordnung F —= 0 befriedigen.

Demnach kommen für uns von den erwähnten kontinuierlichen Scharen von Elementen nur diejenigen in Betracht, die mindestens oo” Elemente enthalten. Wir wählen unter diesen irgend eine aus, die gerade o0?*+1-@+® Elemente enthält (—eSn-+1). Diese wird durch gerade g— e unter den Gleichungen X, = 0 bestimmt werden, etwa durch die Gleichungen: H, =0,..., H,_. =. Ist dann x;, p} ein Element von allgemeiner Lage, das der betreffenden Schar angehört, so wird das Gleichungssystem: H, —=0,...,H,_.=0 in der Umgebung dieses Elementes eine Auflösung nach qg— e unter den z,,p, gestatten und diese Auf- lösung wird H„_2+1; - - -, H, und infolgedessen auch alle (H,H,) zum Verschwinden bringen. Das Gleichungssystem: H, =0,...,H,_.= 0, das unsere Schar in der Umgebung von 2;,p; bestimmt, wird daher die Eigenschaft haben, daß alle die (H,H,) (‚k=1,...,g-:) vermöge des Gleichungssystems verschwinden. Nach Abh. IV (1888), 5.270, Satz 3 aber kommt diese Eigenschaft auch jedem äqui- valenten Gleichungssysteme zu, insbesondere auch der Auflösung des Gleichungs- systems. Die aufgelösten Gleichungen werden daher nach Abh. II (1875), S. 131f. etwa die folgende Form haben:

%k— Pr(&n+ı: nr )=0,

(D Prn+53 7% (Pı; .. +, Pr» Pa-e+17**»Pn+1> TR+tıy > %n+ı) —0 (kl. Jh. ano;

wo jetzt die Klammerausdrücke aus den linken Seiten identisch verschwinden.

Jede der für uns in Betracht kommenden kontinuierlichen Scharen von Ele- menten wird daher durch ein (g — e)-gliedriges Involutionssystem (I) dargestellt (vgl. Abh. II, S. 122—130), wwq—e Sn 1 ist. Dabei bleibt dieses Involutions- system nicht bloß selber bei den infinitesimalen Transformationen H,,...,H, invariant, sondern auch jeder seiner Integralvereine von o0* Elementen. Außerdem befriedigen alle diese Integralvereine alle q Gleichungen: H,=0,...,H, =.

Unsere ursprüngliche Aufgabe ist hierdurch in eine Reihe von einzelnen Problemen zerlegt, deren jedes darauf hinauskommt, zu ermitteln, welche Integral- vereine eines Involutionssystems (I) die invariante Differentialgleichung m-ter Ord- nung F=0 befriedigen.

Ist g—e gerade =n--1, so stellt (I) überhaupt nur einen Verein dar, von dem man leicht feststellen kann, ob er die Gleichung F = 0 befriedigt oder nicht. Ist —e<Sn, so kehren wir zu den nichthomogenen Elementkoordinaten 2, 2,,P;, zurück, indem wir z,,, = 2und p„ +, = — 1 setzen. Ist dann h > 0, so führen wir durch eine Punkttransformation 2, — 91, - - -, &, — 9, als neue 2,,..., 2, ein und ersetzen dann mit Hilfe einer Eulerschen Berührungstransformation (Bd. III d. Ausg., Abh. XII (1874), 8.159; Bd. IV, Abh. IV (1888), S. 274) &,,...,%,

durch P,,..., pP). Auf diese Weise erkennen wir, daß wir das Involutionssystem (I) für den Fallg—e<n immer in der Form: (I) PER @x(Pa- +15: +» Pn»2, Li, -r +, n) (k=1,...,9—8)

annehmen können. Dabei verschwinden vermöge (II) alle W,, es sind also alle Integralvereine von o0*% Elementen des Involutionssystems (II) zugleich Integral-

Part. Diffgl. m-ter ©. mit e. bek. q-gl. Gr. v. B.T. 629

vereine von W,—=0,...,W,= 0. Es bleibt daher, wie schon erwähnt, bei den gin- finitesimalen Berührungstransformationen W, das Involutionssystem (II) und jeder seiner Integralvereine von 00” Elementen invariant. Aber nicht nur das. Wir können noch hinzufügen, daß die infinitesimalen Transformationen: W,,.. WW. überdies auch die charakteristischen M,„_, des Involutionssystems (II) invariant lassen.

Da bei W,,..., W, die partielle Differentialgleichung m-ter Ordnung F = 0 invariant bleibt, so bleibt auch das System invariant, das aus (II) durch Hinzu- fügung von F=0 entsteht. Dasselbe gilt auch dann, wenn wir zu (II) noch alle die Gleichungen hinzunehmen, die aus (II) durch ein-, zwei-,...., (m — 1)-malige Differentiation nach z,,..., 2, hervorgehen. Wir können diese Gleichungen be- nutzen, um aus F — 0 alle die Ableitungen von z zu entfernen, bei denen nach einer der Veränderlichen &,,...,&,_. differentiiert wird. Auf diese Weise erhalten wir ein bei W,,...,W, invariantes System von Differentialgleichungen, das eine Gleichung von der Form:

(III ) F - f ) a Rn ne.» x er we 9 | nm 8 0 ZZ, #1 ’ n»Pa e+1l> Pr» a3 x br "AR

enthält und außerdem das System aller der Gleichungen:

| Pı = Wı,...,Pa-s = Wg- 5

SE N =1 n) (III b) 1 Dada, reden en), omz

die sich ergeben, wenn man zu (II) sämtliche Ableitungen erster bis (m — 1)-ter Ordnung von (II) hinzufügt.

Verschwände hier F identisch, so wären alle Integralvereine von oo” Elementen des Systems (II) zugleich Lösungen von F = 0. Diesen Fall schließen wir aus und nehmen überdies von jetzt ab an, daß g—e <{n ist, weil für g — e = n höchstens ein Integralverein von (II) die Gleichung: F = 0 befriedigen kann.

Es sei nunmehr:

(Iv) | 2 Da a ir AD):

%g- 042 Äg- +83 Pge-+a = Po-e4r Ksheun-g+e)

die charakteristische M,_, des Involutionssystems (II), die durch ein beliebiges Element 2%, 21,...,20,P9_,41>---,P,, des Systems geht. Dann können wir, wenn wir wollen, z},...,2)_, fest wählen und erhalten doch, sobald wir 29,00 _4419 ++ 2 PQ_e+17 +: -,P%, als Parameter betrachten, innerhalb eines ge- wissen Gebietes alle charakteristischen M,_, von (II). Erwähnt sei noch, daß nach Abh. II, S. 150, Satz 40 die Bestimmung der charakteristischen M,_, nur die Integration einer linearen partiellen Differentialgleichung erster Ordnung in 2n —2q-+ 2e-+-1 Veränderlichen erfordert.

Wir denken uns zwei unendlich benachbarte Elemente: 2°, Men, Pr .n0.,0 win, p%, + dp), des Involutionssystems (II), die vereinigt liegen; dabei setzen wir aber da’,..., dx}_, alle = 0, weil wir &,...,%_, als fest betrachten, sodaß die Bedingung der vereinigten Lage die Gestalt:

1...n—g+e

1%) dv = p-mndel=0

630 Anmerkungen zu Abhandlung IX, S. 368

annimmt. Legen wir dann durch diese beiden Elemente die hindurchgehenden charakteristischen M,_;, so liegt jedes Element der einen mit jedem unendlich be- nachbarten Elemente der anderen vereinigt (Abh. II, S.126, Satz 20). Demnach lassen sich die 00?”?4@+2®+1 charakteristischen M,_, des Involutionssystems der- art auf. die Elemente 2°, ©,_,13 Py-.4, R=l,...n-g+re) eines R,_ 04.41 abbilden, daß zwei unendlich benachbarte charakteristische M,_,, die in der eben beschriebenen Beziehung stehen, durch zwei unendlich benachbarte vereinigt lie- gende Elemente dieses Raumes abgebildet werden (s. hier Nr. 75, S. 368£.). Die Integralvereine von je oo” Elementen des Involutionssystems werden dabei durch die Vereine von je o0o”=@+® Elementen dieses neuen Raumes vertreten.

Nun sind die charakteristischen M,„_, Vereine des Raumes 2, 2,,..., 2, e8 wird also vermöge (IV), wenn man %ı,...,2,_, als Veränderliche betrachtet:

ee,

de Ipıdn=0.

Dieselbe GSERUDE ist vermöge (IV) erfüllt, wenn man seh PP FIT 36 P}_2+1>: +, P%, als veränderlich betrachtet und die Bedingung (V) a Sicht man daher alle in (IV) vorkommenden Größen außer &,,...,2,_, und 2) Ku,

als veränderlich an, so besteht eine Identität von der Form:

1...n—g+e 1...n—-g+3: dz— 2 PR ect Du a). k k 2’

das heißt, die Gleichungen (IV) stellen bei beliebigen x, RE N eine POTIELTIOBAUEDRIIE FIRE zwischen den Veränderlichen LEE SER TOR und 2,0... B. „Ber. i ER Diese Berührungstransformation können wir erweitern, indem wir die Ab- leitungen zweiter bis m-ter Ordnung von z nach den &,_,,, und von z’ nach den

0 . . Ro hinzunehmen: 0?2 0? 20 (IV”) — Ts (a. Peg 3 €, u I n» ... } A EN. [ O8g- + 0 19-845 Omrerı

Da die Auflösungen der Gleichungen (IV) nach 2°, &)_,44> Pd _.,, erhalten werden, indem man die Größen ohne Index 0 mit den Größen mit Index O0 vertauscht, so gilt dasselbe auch von den Gleichungen (IV), (IV’)..

Setzen wir in (IV):

cp

nt (k=1,..,n-g+0e), 0 O8 -+k

(VD I—=Ppll-2+19:..., 209)» Pi- +: so ist (V) identisch erfüllt. Die Gleichungen (IV) stellen daher, wenn man Eye -., 0g_65 %_ar19 +, ©, als unabhängige Veränderliche auffaßt, einen Verein von oo” Elementen dar, der ein Integralverein des Involutionssystems (II) ist. Nehmen wir zu (IV) noch die Gleichungen (IV’) und die Gleichungen (IIIb) hinzu, so haben wir alle Elemente dieses Vereins bis zur m-ten Ordnung.

Nun bleibt jeder solche Integralverein bei den infinitesimalen Berührungs- transformationen W, invariant. Demnach gestattet das System der Gleichungen (IV), (IV’), (IIIb) die q infinitesimalen Transformationen Bf, die aus den Buf= [Wu — Wed! durch Hinzunahme aller Ableitungen von z bis zur m-ten Ordnung entstehen. Lassen wir daher aus B/””f alle Ableitungen von f weg, die nach den Größen auf den linken Seiten von (IIIb) genommen sind, und machen wir in den Koeffizienten der übrigen

Part. Diffgl. m-ter O. mit e. bek. q-gl. Gr. v. B. T. 631

Ableitungen von f die Substitution (IIIb), so erhalten wir gewisse verkürzte in- finitesimale Transformationen 1 pi fin z,,...,2,,2 und in den Ableitungen von z nach den z,_,;,. Die Bj" f Be das System (IV), (IV ) invariant. Denken wir uns dann noch das System (IV), (IV’) nach 2°, 2)_,4, Pg_,,, und nach den Ab- leitungen von z° aufgelöst, so sind die rechten Seiten dieser Gleichungen notwendig Invarianten der infinitesimalen Transformationen B}””f.

Aber unter den gemachten Voraussetzungen sind einerseits die Gleichungen W„= 0 alle eine Folge von (II), während andererseits jedenfalls gewisse q — e unter den Gleichungen W,= 0 das System (II) nach sich ziehen. Demnach gibt es unter den Gleichungen B,f = 0 und also auch unter den B{””f = 0 sicher g — & solche, die nach

auflösbar sind. Beachtet man daher, welche Veränderliche überhaupt in den Bf vorkommen, und vergleicht man damit die von einander unabhängigen Invarianten, deren Vorhandensein wir erkannt haben, so sieht man, daß dies die einzigen In- varianten der B{””f sind.

Hieraus folgt zunächst, daß unter den q Gleichungen B{”’f = 0 gerade g — & von einander unabhängige vorhanden sind, die ein (g — e)-gliedriges vollständiges System bilden. Die besprochenen Invarianten sind nichts anderes als die Haupt- lösungen dieses vollständigen Systems in bezug auf: 2, = 2,...,%,_,=%_,- Ferner folgt eine wichtige Eigenschaft jedes bei den infinitesimalen Berührungs- transformationen W, invarianten Systems von partiellen Differentialgleichungen m-ter Ordnung, das das Involutionssystem (II) umfaßt. Jedes solche System ent- hält nämlich außer den Gleichungen (IIIb) nur noch eine Anzahl von Relationen zwischen jenen Invarianten.

Nunmehr können wir schließen, daß insbesondere die Gleichung (Illa) als eine, von &,,... %,_ freie, Relation zwischen jenen InYarianten darstellbar sein muß. Machen Kr in dieser Relation die Substitution: z, = 2‘ 64 Dan, la > so verwandeln sich die Invarianten der Reihe nach in:

DR

027? er.

bu a 2, Ug-gr17 77 Uns Pu-etir +» Da»

Da aber 2, 2,_,41>+- +» 2,» . bei der gemachten Substitution auch gerade in diese Größen übergehen, so ist klar, daß jene Relation zwischen den Invarianten erhalten wird, wenn man in (Illa) 2, = x!,...,2,_,= 2)_, setzt und an die Stelle von 2, Eg_g4 17 +++, 2,5... der Reihe nach die entsprechenden Invarianten treten läßt.

Damit haben wir alle Hilfsmittel beisammen, um unter den durch (VI) de- finierten Integralvereinen des Involutionssystems (IT) diejenigen auszuwählen, die der vorgelegten Differentialgleichung m-ter Ordnung genügen. Wir brauchen näm-

lich nur 2° in allgemeinster Weise als eine Lösung der Differentialgleichung m-ter Ordnung:

i om z0 0 0 0 0 0 0 RER (VID F(z Users Dogs Üg-gri19 re, Un» PY-e+1 9» So) —0 n zu bestimmen. In der Tat, ersetzen wir in:

F > eMmz A a Er ee it 1 RS ee Re Fer I, die Größen 2, &,_,,,,-- ‚2, durch die entsprechenden Invarianten, so haben wir

den Ausdruck, der durch geeignete Wahl des Integralvereins von (II) zum Verschwin- den gebracht werden muß. Machen wir aber in diesem Ausdrucke die Substitution

632 Anmerkungen zu Abhandlung IX, $..368—370

(IV), (IV’), so verwandeln sich alle Invarianten in die Größen, in die sie bei der

Substitution: 2, = X',..., %,_,= %_ ‚ übergehen. Unser Ausdruck geht also in die linke Seite von (VII) über und verschwindet identisch, wenn 2° der Gleichung (VII) genügt.

Wir sind damit zu dem folgenden Ergebnisse gelangt:

Die partielle Differentialgleichung m-ter Ordnung F = 0 gestatte die infinitesi- malen Berührungstransformationen: W;,..., W,, die eine q-gliedrige Gruppe er- zeugen, und es sei (II) eines der Involutionssysteme, die durch die Gleichungen: W,=0,....W,=0 bestimmt werden. Ist dann g—e<n und sind nicht alle n-fach ausgedehnten Punktmannigfaltigkeiten, die (IL) befriedigen, zugleich Lösungen von F-—= 0, so ist die Menge der n-fach ausgedehnten Punktmannigfaltigkeiten, die (II) und F=0 gleichzeitig befriedigen, gerade so groß, wie die Menge der Lösungen einer partiellen Differentialgleichung m-ter Ordnung mit n — q—+ e unabhängigen Veränderlichen. Diese neue Gleichung m-ter Ordnung kann man aufstellen, ohne das Involutionssystem (II) integriert zu haben. Ist sie integriert und kennt man die charakteristischen M_,_, des Involutionssystems (II), so kann man alle n-fach ausge- dehnten Punktmannigfaltigkeiten angeben, die gemeinsame Lösungen von (IL) und F=0 sind.

Die auf S. 367, Z.11—14 gemachte Voraussetzung zieht, wie wir erwähnt haben, nach sich, daß H,,..., H, unabhängige Funktionen sind. Gibt es dann überhaupt ein Wertsystem z,,p,, das alle H, zum Verschwinden bringt und wo Pi» +++, Pn..ı Nicht alle null sind, so gibt es immer 00?* +14 Elemente, die den q Glei- chungen H,„ = 0 genügen, und wenn q< n ist, bestimmen die Gleichungen H, = 0 stets wenigstens ein q-gliedriges Involutionssystem, auf das die vorstehenden Ent- wickelungen passen. Läßt man die erwähnte Voraussetzung fallen (vgl. S. 368, 27.9—7 v.u.), so kann es sein, daß die Gleichungen H,. — 0 einander widersprechen (S. 369, Z.9,8 v.u.). Tritt das nicht ein, so muß man untersuchen, ob sie ein In- volutionssystem wie (II) bestimmen.

S.369, Satz in Nr.76. Daß das System F,„= 0 unbeschränkt integrabel ist, bedeutet, daß sich aus seinen Gleichungen auch bei beliebig oft wiederholter Dif- ferentiation keine Gleichung m-ter oder niedrigerer Ordnung ableiten. läßt, die nicht schon ohne Differentiation aus den Gleichungen F', = 0 folgt. Bestimmt dann das Gleichungssystem: W,= 0 ein Involutionssystem von der Form (II), wo q—e<n ist, so daß also mindestens 00° charakteristische M,„_, vorhanden sind, so erhält man offenbar wieder ein unbeschränkt integrables System, wenn man zu den F„=0 die Gleichungen W,=0 und die durch einmalige, ..., (m — 1)- malige Differentiation nach x,,..., x, entstehenden Gleichungen hinzufügt. Das vorhin auseinandergesetzte Verfahren liefert dann ein unbeschränkt integrables

System in den Veränderlichen 2°, 23_,+1,---, 2), das die Lösungen des Systems F,=0 definiert, die auch dem Systeme (II) und also den Gleichungen W, = 0 genügen.

Nehmen wir zum Beispiel das System der beiden Differentialgleichungen fünfter Ordnung, das alle Translationsflächen definiert. Dieses System gestattet jede lineare infinitesimale Transformation m z,y,2. Die Translationsflächen, die bei dieser infinitesimalen Transformation invariant bleiben, werden durch ein un- beschränkt integrables System von zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen fünfter Ordnung definiert. Mit anderen Worten, dieses letztere System kann ersetzt werden durch eine gewöhnliche Differentialgleichung vierter Ordnung und durch eine von fünfter Ordnung, die aus der Gleichung vierter Ordnung und der durch Differentiation entstehenden Gleichung folgt. Es ergibt sich also auch auf diesem Wege, daß die infinitesimale lineare Transformation gerade o0* Translationsflächen invariant läßt.

S. 370£., Nr. 78. Ein Element erster Ordnung erfüllt die Gleichungen S. 370, 2.1 v.u. dann und nur dann, wenn es bei jeder infinitesimalen Transformation der Gruppe U,„f in ein unendlich benachbartes vereinigt liegendes Element übergeht.

Syst. v. part. Diffgl. mit bek. Gr. von B. T. oder P. T. 633

Da andererseits jede infinitesimale Transformation U,.f zwei unendlich benachbarte vereinigt liegende Elemente erster Ordnung in zwei Elemente derselben Art über- führt, so ist klar, daß der Inbegriff aller Elemente erster Ordnung, der durch die Gleichungen $. 370, Z.1 v.u. definiert wird, die Gruppe U,„f gestattet.

Man kann sich davon auch durch Rechnung überzeugen. Nimmt man nämlich die p® hinzu, so erhält man aus U,f eine erweiterte infinitesimale Transformation, U/Vf, bei der der Zuwachs von p}” durch:

“Mm

= ” + Dam = pen (Or +35 Ipie Str)

bestimmt ist. Setzt man dann noch:

> SARTE | (1) Wa=lu— Dre, (k=1,...,r;i=1,...,m), 4 so findet man: (1)W en

(2) U; Wu= Sa wur er Win wo die Beziehungen:

rer (8) (U) =Ia0t

8

benutzt sind, in denen die U,f stehen.

Die Gruppe U,.f zerlegt nun die invariante Elementmannigfaltigkeit, die durch dier.m Gleichungen W,,;,= 0 definiert wird, in gewisse kleinste invariante Teil- gebiete, die alle transitiv transformiert werden und infolgedessen offenbar Element- vereine sind, so daß keines von ihnen mehr als 00” Elemente enthält. Machen wir daher, wie im Texte, die Voraussetzung, daß in der Matrix der U,f nicht alle r-reihigen Determinanten identisch verschwinden, so ist sicher r< n. Wir können überdies, nötigenfalls durch Änderung der Bezeichnung der x und z erreichen, daß gerade in der Matrix der &,, nicht alle r-reihigen Determinanten verschwinden. Die r.m Gleichungen W,,= 0 werden dann etwa in der folgenden Weise:

FE, Gut 3 (4) p® = Ia,.00, (@=1,...,r;i=1,...,m)

auflösbar sein.

Die Gleichungen (4) bilden ein unbeschränkt integrables System, dessen In- tegral-V„ wir durch Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen finden können.

Als Koordinaten für die Elemente von (4) können wir nämlich die Größen:

(5) rs EZ G=1,...,n—r; i=1,...,m)

benutzen. Da nun das System (4) die infinitesimalen Transformationen U{f ge- stattet, so können wir gewisse verkürzte infinitesimale Transformationen U/Pf in den Veränderlichen (5) bilden, die wir erhalten, wenn wir aus den U} falle Ablei- tungen von f nach den linken Seiten von (4) weglassen und in den Koeffizienten der anderen Ableitungen von f überall die Substitution (4) machen. Diese ver- kürzten infinitesimalen Transformationen stehen in den Beziehungen:

> RT. pe

(3) (DT) = 0; uf

und liefern daher gleich Null gesetzt ein r-gliedriges vollständiges System, das nach

634 Anmerkungen zu Abhandlung IX, S. 370—384 of:0x1,...,0f:Cx, auflösbar ist und daher m + (n—r)(m + 1) Hauptlösungen:

Z, RE GR MmEJel,..,n—-r) R s . FH reg RT; > B (0 besitzt, die sich für: 2, = r},...,2,= x) der Reihe nach auf: z,, %.4j> 2, ; re- duzieren. Setzen wir dann: 0) @ (6) 4 =2, ES Az X,rj SE an Rz 2 @=1..,3nm;Jj=1,...,n—r),

so stellen die Gleichungen (4), (6) die kleinste bei der Gruppe U}'finvariante Ele- mentmannigfaltigkeit dar, die durch das Element:

0 0 ; (7) Aare 05 REREFE. PER

des Systems (4) geht und das System (4) befriedigt. Diese Elementmannigfaltigkeit ist, wie wir wissen, ein Elementverein und zwar eine Element-V.. Denken wir uns daher die Gleichungen (6) aufgelöst:

(8) ,—Z,, ® @

Er Pl

was wir bewirken, indem wir in (6) die Größen (7) der Reihe nach mit den Größen (5) vertauschen, so erhalten wir eine andere ee dieser Element-M,. In (8) und (4) sind daher die Größen 2, Ep +jr p\® solche Funktionen von &,...,% welche die Gleichungen:

fr

r N (9) ds--Dp®de,—0 TE 5

identisch befriedigen. Wäre r = n, so hätten wir schon alle Integral-V,, des Systems (4). Wir nehmen daher r<n an und betrachten zwei unendlich benachbarte Elemente: (7) und

(7) tan, ar, td td rar, des Systems (4), die vereinigt liegen, die also die Gleichungen

N and z

(10) d3, Iopar Di ar.= a

befriedigen, wo die p/” aus (4) für das a (7) zu entnehmen sind. Durch diese beiden Elemente gehen zwei unendlich benachbarte Element-V, von der Form (8). Die durch das Element (7’) gehende enthält dabei alle die oo"”! unendlich benach- barten Elemente, die aus (7’) durch die infinitesimalen Transformationen der Gruppe U‘ hervorgehen. Diese aber liegen alle, ebenso wie (7’) selbst, mit dem Elemente (7) vereinigt. Erinnern wir uns daher, daß unsere Gruppe zwei unendlich benachbarte, vereinigt liegende Elemente stets in zwei Elemente derselben Art überführt, so erkennen wir, daß die beiden unendlich benachbarten Element-V,, die durch (7) ünd (7’) gehen, in der folgenden Beziehung zu einander stehen: jedes Element der einen liegt mit jedem unendlich benachbarten Elemente der anderen vereinigt.

Betrachten wir in (8) alle vorkommenden Größen als veränderlich und unter- werfen wir die Differentiale der Größen (7) den Bedingungen (10), so sind nach dem eben Gesagten die Gleichungen (9) identisch erfüllt. Lassen wir daher insbesondere 2°,..., 2. fest, so daß dx?,..., dx" alle verschwinden, so ziehen die Gleichungen (8) die folgenden nach sich:

De ui 2 7 NR (11) in Ip = Sl} 2 (a — Sritsatr..) (=1,.HW).

Hieraus geht a daß wir im Falle r <n unbegrenzt viele Integral-V, des

Ein Syst. v. part. Diffgl. 1. O. mit e. bek. Gr. v. P. T. 635 Systems (4) erhalten, wenn wir in (8) die Substitution ausführen:

0 (12) = %&,rı yon L.); Me — a (k=1,...,m; j=1,...,n—r), unter den p, willkürliche Funktionen verstanden.

Das System (4) oder, was auf dasselbe hinauskommt, das System S, 270, 2.1 v.u. ist somit wirklich unbeschränkt integrabel. Durch Hinzufügung des In- volutionssystems: F},=0, F,=(0,... erhalten wir nun, wenn r<n ist, wieder ein unbeschränkt integrables System, Dieses bleibt bei der Gruppe X/Vf invariant und umfaßt das System (4), es muß also aus (4) durch Hinzufügung gewisser Re- lationen zwischen den Lösungen Z,,X,,,, Pf), des vollständigen Systems U»f=0 entstehen. Wir können diese Relationen sogar angeben. Machen wir nämlich in den Gleichungen: F, = 0,... die Substitution (4) und setzen wir dann: un... =, u, =lıp 43 PÜ,,;=Pp®,,, so erhalten wir gewisse Gleichungen zwischen z°,..., 2, Ypyjr dir PR, z, die bei der Substitution (6) die gewünschten Relationen liefern.

Die eben erwähnten Relationen zwischen den x,,;,3, Pf;,; stellen ein un- beschränkt integrables System erster Ordnung mit m Unbekannten und n —r un- abhängigen Veränderlichen x, , dar. Die Integration des Systems 8.370, Z.2,1v.u. ist durch die vorstehenden Entwicklungen zerlegt in die Integration des vollstän- digen Systems Ulf = 0 und in die des neuen Systems mit den unabhängigen Ver- änderlichen r,;,.

S. 371, 2. 15f. Weil nämlich jede der 00®% infinitesimalen Transformationen der Gruppe solche Integralgebilde liefert.

8.371, 2.13—11 v.u. Vgl. Bd. VI d. Ausg., Abh. XII (1891), S. 354, 870; Abh. XX (1895), 8.558.

5.373, 2.2,1 v.u. Die a.a.O. abgeleitete Form der Gruppe: &(z)p+ &q geht in die hier benutzte über, wenn man 2= e”Y setzt. In Bd. VI d. Ausg., Abh. XVIII (1895), S. 421 findet man die Gruppe: &p+ (€ y-+ xE’”’ y?)g, die für »=0 und y=1:z die hier angegebene Form erhält.

S.380, Nr.89. Über den Begriff Involutionssystem vgl. 8.336 und 370.

S.381, Z.13f. Ist nicht geschehen.

8.382, Z2.1—3. Die invariante Untergruppe: &(z)(0f:0x) hat nämlich die Differentialinvarianten: y,2,q. Die Gleichung 8.381, Z.2 v.u. läßt sich daher schreiben:

10q 62 qgda pP) 32’ und so weiter.

8.383, 2.16,15 v.u. Am Schlusse kann man hinzufügen: ‚und ihrer invarianten Untergruppen‘.

S.383, 2.6—2 v. u. Gemeint ist die Abh. XX, S.539#f. von Bd. VId. Ausg., die 1895, nach der vorliegenden, erschienen ist, über deren Inhalt aber Lie schon am 5. Februar 1894 der Leipziger Gesellschaft der Wissenschaften berichtet hatte.

S.384, 2.5. Über Beudon vgl. Abh. XI, 8.413, Z.17f. und meine Anmer- kung dazu (S. 648). Aus der Arbeit von Williams ist nichts geworden.

8.384, 2.6—8. Im März 1890 hatte die Jablonowskische Gesellschaft ein Preisausschreiben erlassen, in dem sie es als wünschenswert bezeichnete, ‚daß die Invariantenbestimmung einer ausgedehnteren Kategorie zunächst von gewöhn- lichen Differentialgleichungen auf Grund der Lieschen Begriffsbestimmungen und Methoden in Angriff genommen werde‘. Dieses Ausschreiben hat die Preisarbeit von A. Tresse veranlaßt, s. Bd. V d. Ausg., 8.733, 2. 9f.

S. 384, 2. 9—11. Es ist die Abh. XIX, S. 494ff. von Bd. VId. Ausg., die auch 1895 erschienen ist.

S.384, Z.1 v.u. Th. d. Trfsgr. Bd. III, Kap. 9.

636 Anmerkungen zu Abhandlung X, XI, S..385—394

Zu Abhandlung \, S. 3851.

S. 386, 2.7,6 v.u. Da das identische Verschwinden von &'f,x’ ausgeschlossen ist, so werden diese Ausnahmefälle von den Linienelementen x’: y’:z’ geliefert, die &f,„x’ oder Zf» zum Verschwinden bringen. Dazu kommt noch der Fall: ZERZN,

/u Abhandlung XI, S. 357—448.

Diese Abhandlung ist die letzte, die Lie überhaupt veröffentlicht hat. Sie ist zum Teil eine Fortsetzung und Verallgemeinerung der Entwickelungen, die Lie in $2 der Abhandlung ‚Liniengeometrie und Berührungstransformationen“ ge- geben hat (Leipz. Ber. 1897, S. 687— 740, s. insbesondere S. 704—726). Die letztere Abhandlung wird in Bd. IId. Ausg. als Abh. XV erscheinen. Zum Glück ist die gegen- wärtige Abhandlung für sich verständlich, doch wird ihr Verständnis allerdings er- leichtert, wenn man $2 der Abhandlung von 1897 vorher liest. Daß diese in einem anderen Bande erscheint, ist kein Schade, weil man später beide Abhandlungen neben einander wird lesen können.

S.387, Z2.1v.u. Hier ist unbedingt noch hinzuzufügen Abh. IV von Bd. III, die allerdings nicht in den Christ. Forh. erscheinen ist.

S.387, 2.14f. Der Ausdruck ‚‚semilinear‘‘ kommt in den Abhandlungen von 1872 noch nicht vor. In einer gedruckten Arbeit benutzt ihn Lie, soviel ich sehe, zum ersten Male hier Abh. IX (1895), S. 341, 346, 348f., und dann wieder in der vorhin angeführten Abhandlung Leipz. Ber. 1897, S. 706, 722£. (d. Ausg. Bd. II, Abh. XV, 82).

S. 388, Z. 10£. Leider erklärt Lie nirgends mit voller Schärfe, in welchem Sinne er die Wörter: semilinear und quasilinear benutzt. Nach $. 409 ist quasilinear der engere Begriff. Es scheint daher, daß er eine nichtlineare partielle Differential- gleichung 1.0. des R, dann als semilinear bezeichnet, wenn sie eine vollständige Lösung besitzt, die aus q-fach ausgedehnten Punktmannigfaltigkeiten 1<q<n— 1) besteht. Quasilinear heißt die Gleichung insbesondere jedenfalls dann, wenn sie bloß oo” charakteristische Kurven besitzt. Das stimmt mit Abh. IX (1895), 5. 348. Auch die vorhin angeführte Stelle Leipz. Ber. 1897, S. 722 steht dazu nicht in Widerspruch, denn dort ist nicht gesagt, daß eine semilineare partielle Differential- gleichung 1. O. des R, nicht mehr als 00” charakteristische Kurven haben kann.

S.388, Z.13f. Leider hat Lie nirgends näher ausgeführt, wie das ‚deckt sich“ zu verstehen ist.

S.388, 2.15—19. Wirklich bewiesen hat das Lie allerdings nur für solche Systeme, die gewisse Voraussetzungen erfüllen, s. Bd. III d. Ausg., Abh. XXVII (1880) und hier Abh. IX (1895), S. 349—352.

S. 388, 2. 20—23. In den Protokollen der Leipz. Ges. d. Wiss. findet sich unterm Januar 1898 keine hierauf bezügliche Bemerkung. Es ist aber wohl zu vermuten, daß Lie bei Gelegenheit der Vorlegung von Abh. X, hier S. 385f., am 10.1.1898, eine Mitteilung über den Satz gemacht hat. Bei der „1895 angekündigten Klassi- fikation‘ denkt Lie wohl an die Andeutungen, die erin Abh. IX hier auf S. 336, 370 und 380 gemacht hat.

S.389, Z.13—1 v.u. Einfacher ist es eigentlich, so zu schließen: Stellen die Gleichungen (1) im Raume (X) bloß 00”! Kurven dar, so treten die z, in den Auflösungen:

Ze, (k=2,...,n)

nur in n— 1Verbindungen: 9,(2),..., Pn_ı(*) auf:

X, = u (KW, ae) (k=2,...,n).

Semi-, quasi-, pseudolinear. Die Gl. p,(2, ,...,2n X1>---,X,„)=0 637 Diese Gleichungen aber müssen nach 9,,..., „_, auflösbar sein: la.) PD, (Xr,:.- .,X,) (Wwl,...,1—1)

womit der Beweis geliefert wird. S.390, Z.16—18. Vgl. Bd. III d. Ausg., Abh. XVII (1876), S. 252—259;

Abh. XXI (1877), S. 350f., Note; Bd. IV, Abh. III (1877), S. 251—256; endlich die vorhin angeführte Stelle Leipz. Ber. 1897, S. 706. Lie erwähnt da, daß diese Betrachtungen auch so aufgefaßt werden können, daß sie Beziehungen zwischen zwei Räumen von verschiedenen Dimensionen liefern. Vgl. hier $. 4371.

S.392, 2.15—13 v.u. Diese Umhüllungskurve kann auch auf einen Punkt zusammenschrumpfen, daher sind die Punkte zu den Integralkurven des Monge- schen Systems (4) hinzuzurechnen. Das stimmt damit, daß jeder Punkt oo! Linien- elemente / enthält, die einen Verein bilden.

S. 392, 2. 6—4 v. u. Je zwei unendlich benachbarte dieser o0! Kurven K schnei- den ja einander.

S.394f., Nr.9, 10. Wir können annehmen, daß die Gleichungen: g,= 0

gerade nach z,,..., x, und nach X,,..., X, auflösbar sind. Es sei:

(I) % = %(4,X1,::,X,) (k=2,...,n) die eine Auflösung und: |

(II) A, = 2,.(X,, Lyss. 0; &n) (k=2,...,n)

die andere. Differentiieren wir (I) nach x,, indem wir die X als konstant ansehen,

so erhalten wir: 007 (1’) 4= 77 (k=3, ...y n). 1

Machen wir hier die Substitution (II), so können die rechten Seiten nicht alle von X, frei werden, sonst befriedigten die x, in (I) als Funktionen von x, ein simultanes System, dessen allgemeinste Lösungen bloß n — 1 wesentliche, willkürliche Kon- stanten enthielten, und (I) stellte daher gegen die Voraussetzung nicht oo" Kurven des Raumes (z) dar, sondern bloß 00””!. Nehmen wir daher an, daß gerade dw,: x, bei der Substitution (II) nicht frei von X, wird, so können wir die Gleichungen (I) und (I’) oder, was dasselbe ist, (II) und (T’) durch solche von der Form:

(III) X, = Pl, :..,0,%) =1,...,n), (IV) nr mhläisei. u, 0) (=1,...,n--2)

ersetzen, wo (IV) eben das Mongesche System (4) ist. Bilden wir andererseits aus (II) die Gleichungen:

‚_0% 2,0

und nehmen wir an, daß #02,:0 X, bei der Substitution (I) nicht frei von x, wird, so können wir die Gleichungen (II), (II’) oder, was dasselbe ist, die Gleichungen (D), (IT’) durch solche von der Form:

(V) I, = Wilde eu X.) (v=1,...,%), (VI) >, AR ER, X) j=1,..,0—2)

ersetzen, wo (VI) eben das Mongesche System (5) ist.

Mit dem Systeme der 3n—3 Gleichungen (I), (I’), (II’) ist demnach das der Gleichungen (III), (IV), (II’) gleichwertig, und dabei können wir die n — 2 letzten der Gleichungen (II’) durch (VI) ersetzen, während die erste uns wegen (III) eine Relation:

(VII) R=Hla,...,2.,%)

(IV) > (k=2,...,n)

638 Anmerkungen zu Abhandlung XI, 8. 394—397

liefert. Mit dem äquivalenten Gleichungssysteme (II), (IT’), (T’) ist ebenso das der Gleichungen (V), (VI), (1) gleichwertig, und dabei können wir von den Gleichungen (T’) dien — 2 letzten durch (IV) ersetzen, während die erste wegen (V) eine Relation:

(VIII) 2, = nl...) ‚liefert,

Die beiden äquivalenten Gleichungssysteme (I), (T’), (IT) und (II), (IT), (T’) können demnach sowohl auf die Form: (III), (VII), (VI), (IV) als auf die Form (V), (VIII), (IV), (VI) gebracht werden, das heißt, sie stellen eine innerhalb gewisser Gebiete eindeutig umkehrbare Transformation zwischen den Linienelementen der beiden Mongeschen Systeme (IV), (VI) oder (4), (5) dar. Es bleibt noch zu zeigen, daß diese Transformation eine Berührungstransformation ist, bei der zwei unendlich benachbarte, vereinigt liegende Linienelemente stets in ebensolche übergehen.

Denkt man sich aus der ersten der Gleichungen (III) x, bestimmt, was nach dem Früheren sicher möglich ist, und setzt man den gefundenen Wert in die übrigen Gleichungen (III) ein, so erhält man die Gleichungen (II) wieder. Es ist mithin vermöge (III):

In DE TH 02) :- 0X, 292

nn} | (k=2,..,n),

also kommt bei Benutzung von (IT’)

FE 00 R dX,— X,dX, — Se - I a) . Ken Andererseits folgt aus (III), wenn man die X, als konstant betrachtet: Bi er a 2,7 —0 v=l.,n);

wir können daher die en Gleichungen auch so schreiben:

2.0 ri ed ’ owv. 62 op, (IX) are Kae A a T

:) (da, — 2;da) a

Diese Gleichungen werden zu Identitäten, wenn man links die Substitution (VI), rechts die Substitution (IV) macht und dann X,,...X,„,X, vermöge (III), (VI) durch &,,...,2,, 2) ausdrückt; sie sind überdies olfanbax EN den da, — z,da, auflösbar. Aus ihnen geht hervor, daß unsere Tinienslemniskrausiormetion wirklich eine Berührungstransformation ist zwischen den Integralkurven der beiden Monge- schen Systeme: (4) oder (IV) und (5) oder (VI).

S. 396, 2.7,6 v. u. Nämlich in Nr. 17, S. 400£., noch spezieller in Nr. 14 u. 18.

S. 397, 8. 6—8. Enthält nämlich jedes zweidimensionale Element einer Mannig- faltigkeit m, ein Linienelement 1, so ist dadurch auf der m, eine gewöhnliche Diffe- rentialgleichung 1.0. bestimmt, deren Integralkurven das Mongesche System: f; = 0 befriedigen. Auf der m, liegen daher oo! Kurven ce.

S. 397, 2.11—3 v. u. Es sei:

6 (X) Ep, 2. u De Es (k=1,..,n-1)

eine (n — 1)-dimensionale Punktmannigfaltigkeit, aufgefaßt als Verein von (n — 1)-

dimensionalen Elementen. Die Gleichung: 3...n—1

(X) lan na) tm + Drıkr k

Die Linienelementtrf. best. e. B. T. im gewöhnl. Sinne 639

bestimmt die Linienelemente !, die in dem (n— 1)-dimensionalen Elemente x, p ent- halten sind. Innerhalb eines gewissen Gebietes wird hier x) eine eindeutige Funktion VON Lis:. 5 Ems Pıs + +» Pn—ı, das heißt, jedem Elemente z, p ist innerhalb dieses Gebietes ein bestimmtes Linienelement ! zugeordnet. Vermöge der Gleichungen (III), (VI), (VII) unserer Linienelementtransformation werden nun X,,...,Xn, X, ,...,X, Funktionen von 2,,..., Zn, Pır +++» Pn-15 den oo"-1 Elementen von (X) entsprechen daher 00”! Linienelemente L, deren Punkte im Allge- meinen eine (n — 1)- dimensionale Mannigfaltigkeit: X,= D(X,,..., Xn_-ı) bilden. Es wird sich zeigen, daß der Übergang von x, = p zu X„= ® eine Berüh- rungstransformation des R, im gewöhnlichen Sinne ist. Setzen wir: P.= BB: 0X, so bestimmt die Gleichung:

2...n—1

zusammen mit (VI) die Linienelemente L, die in dem (n — 1)-dimensionalen Ele- mente X, P enthalten sind. Nun ergibt sich aber aus (XII), (IX) und (II):

1...n—1 .n—1

dAX„— DP,daX,=dX„—X,dX, - Irax.— — X,dX,)= R

2...

2.4.0 n—1 ee EP EL oVy,. ‚oP, Pause ’ = m (Ger ar 08, Ir; mr, "dx )) Ss sau,

führen wir daher die Abkürzung ein:

ow, ; RZ 2...n—1 e w, 2 a a we „I -— — — Per IF Wi O8, X 6x, —. 0%, Kr 0%, e i so kommt: l...n—1 1...n—1 (XII) dX„— IPıdX,=W, (@ 2, — Dpıd ) v v wenn P,,..., P„_ı die Gleichungen (XII) und: > Br W.=—-WuP: (23 ..u40-1), > Win Wer: k befriedigen, von denen die letzte offenbar auf (XI) hinauskommt. Da X},...,X, Funktionen von 2,,...,2n>»Pıs+--,Pn_ı Sind, so werden offenbar auch P,,::., P„_ı und W, Funktionen dieser Größen. Die Gleichung (XIII) zeigt dann,

daß wir es mit einer Berührungstransformation der (n — 1)-dimensionalen Elemente des R,„ zu tun haben.

Wir haben hier die Gleichungen dieser Berührungstransformation aus der Linienelement-Berührungstransformation (III), (VII), (VI), (IV) abgeleitet. Be- quemer ist es natürlich, sie unmittelbar aus den Gleichungen 9,(2ı,..., Zn» Xj,...,X,) = 0 abzuleiten, wie in Bd. III d. Ausg., Abh. IX (1873), S.100 oder hier Abh.I (1874), S.9. An diese Entwickelungen denkt Lie hier S.397, 2.2,1v.u

Nach S. 397, 2.6—4 v. u. hat Lie offenbar auf synthetischem Wege unmittel- bar, ohne Rechnung, eingesehen, daß die Linienelement-Berührungstransformation eine Berührungstransformation der (n — 1)-dimensionalen Punktmannigfaltigkeiten liefert. Wie er das gemacht haben mag, kann man aus gewissen Betrachtungen er- raten, die er später, S.403, Nr.20 über die Linienelementtransformation anstellt.

Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. IV 41

640 Anmerkungen zu Abhandlung XI, S. 397—400

Wir haben ja gesehen, daß jedem Elemente &,, ..., 2, Pıs ---, Pn_, ein Linien- element I: &1,..., Zn» 25, . + ., ©, zugeordnet ist, das durch die Gleichung: (XIV) re u ER

in Verbindung mit (IV) bestimmt ist. Jede (n — 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit, der das Element x, p angehört, enthält nun 00%”? unendliche benachbarte Elemente, die der Gleichung:

.n—1

(XV) 1 Iprda, = a

genügen und also die dem Punkte x unendlich benachbarten Punkte auf der Ebene des Elementes 2, p zu Punkten haben. Diesen Elementen sind 00-2 zu I unendlich benachbarte Linienelemente !’ zugeordnet, die genau dieselben Punkte haben. Unsere Linienelementtransformation verwandelt nun I in ein Linienelement L mit dem Punkte (III) und die 00%”? Linienelemente /’ in 00%”? Linienelemente L’, die zul unendlich benachbart sind und deren Punkte X, + dX, durch:

1...n—1 oP, OP, : RE (xD) = I (tm)an + tar, ee v n 2

bestimmt sind, wo dx} aus (XIV) zu berechnen ist. Der Punkt von L und diese unendlich benachbarten Punkte gehören also der transformierten (n — 1)-dimensio- nalen Mannigfaltigkeit an.

Unter den zu ! unendlich benachbarten und damit vereinigt liegenden Linien- elementen: 2,+ dz,,2,+ dz,, die den Gleichungen:

4, = u40,:: da, ade, und wegen (XIV) auch der Gleichung (XV) genügen, gibt es aber eines, das auf der

durch ! gehenden Kurve k liegt. Längs dieser Kurve k sind X,,..., X, konstant, und das betreffende dr) genügt daher den n Gleichungen:

(+tmz Pıaz, an + 3 oo

Es gibt demnach ein Wertsystem dz,,...,dx„,_ı,dx,;, das die dX, in (XVI) zum Verschwinden bringt, ohne daß dx, verschwindet. Hieraus folgt, daß die Deter- minante der Koeffizienten auf den rechten Seiten von (XVI) verschwindet, und daß zwischen den dX, eine lineare homogene Relation:

op, u ei an +, dal.

1... (XVII) DT,daX,=0 v

besteht, welche Werte auch dz,,...,d&„_,,dx, haben mögen. Dabei hängen die Koeffizienten T, nur von &,, . . ., Zn» Pıs = +» Pn_ı ab.

Nehmen wir daher eine ganz beliebige (n — 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit, die das Element z,p enthält, so verwandelt sich diese bei unserer Linienelement- transformation in eine (n — 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit, die den Punkt des Linienelementes L enthält und deren unendlich benachbarte Punkte eine Gleichung (XVII) erfüllen, die nur von dem Elemente x, p abhängt. Das Element X, P der transformierten Mannigfaltigkeit in dem Punkte X des Linienelementes L ist daher für alle Mannigfaltigkeiten, die das Element x,p enthalten, dasselbe. Wir haben es also wirklich mit einer Berührungstransformation der (n — 1)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten zu tun.

Die Linienelementtrf. best. e. B. T. — Streifen von zweidim. Elem. 641

Damit ist die synthetische Begründung, auf die Lie S.397, 2.6—4 v.u. anspielt, gegeben. Für den Fall n= 3 entwickelt Lie den Gedankengang seines Beweises in der auf S. 636 angeführten Abhandlung Leipz. Ber. 1897, s. da S. 715£. (d. Ausg. Bd. II, Abh. XV, $ 2).

S. 398, Z.7£. Nämlich in Nr. 23, S. 405; Nr. 35, S. 413.

S.398, Z. 13—10 v.u. Vgl. S.408, 2.16—12 v.u. und $. 412.

S.398, 2.9—83 v. u. Sind, wie nachher in Nr. 16, X,Y,Z,,...,Z,_s die Punktkoordinaten des Raumes und:

Y=g_(X), = 9X), Y=p&X+n&Nöt, = Kr Most

die beiden unendlich benachbarten Kurven, ist ferner X,Y,Z,, P,, @, ein Element E, einer durch beide Kurven gehenden Fläche, so hat man in den Gleichungen:

zu Setzen:

dY= Y(KAX+nK)öt, dZ,— P,(XK)AX + Lu (Kt

und findet, daß der Streifen von Elementen E, durch die Gleichungen:

Y=pX), Z=nlk), r=n- tt, = dargestellt wird. Schneiden die beiden unendlich benachbarten Kurven einander in dem Punkte: X= X,, so ist für X—= X, der Quotient Z,:n durch £/: n zu er- setzen.

S.399, Z2.15—19. Nämlich auf S. 406.

8.399, 2.5 v.u. Vgl. hier Abh. IX (1895), S. 370.

S. 400, Z.3f. Besser: ‚wenn es eine zweidimensionale Punktmannigfaltigkeit gibt, der die beiden benachbarten Elemente angehören.‘

S.400, Z.11—13. Ist nämlich:

You 9(2,.0,..,0.), Zr Yal, ds en 0 Qi) (k=1,...,n—2)

die Kurvenschar, so wird die Kurve a, in jedem Punkte X von einer ganz bestimm- ten Kurve a,—+ da, geschnitten, wo die Verhältnisse der da, den Gleichungen:

Se EL: - da, — 0 SO gu —0 (&=1,..,n-3) ) da, bee =I,..y

genügen. Eine beliebige unendlich benachbarte Kurve a,—+ öa, erzeugt nun mit der Kurve a, einen Streifen, dessen Element E, im Punkte X bestimmt ist durch die zugehörige Tangente der Kurve a, und durch die Fortschreitungsrichtung von dem Punkte X der Kurve nach dem unendlich benachbarten Punkte mit den Koordinaten:

X, + Sie „dar, zur SUR öay.

Aber dieser Punkt ändert sich offenbar nicht, wenn man die da, durch da,-+ Ada, ersetzt, wo A beliebig ist, und die da, die vorher erklärte Bedeutung haben. Zu jeder unendlich benachbarten Kurve a,-+ da, gehören also oo! andere, die im Punkte X der Kurve a, dasselbe Element E, bestimmen, wie die Kurve a,+ öa,.

S. 400, Z.4—1 v. u. Man könnte am Schlusse hinzufügen: „‚daß sie also Mannig- faltigkeiten M, sind.“

S. 400, 2. 8—6 v. u., 401, Z.1—8. Vgl. E. Goursat, Lecons sur l’intögration des &quations aux derivees partielles du second ordre A deux variables ind&pen-

41*

642 Anmerkungen zu Abhandlung XI, 8. 400-403

dantes. Tome I. Paris 1896, S. 2—4. Noch kürzer gelangt man zum Ziele, wenn man bedenkt, daß die Kurvenschar durch zwei gewöhnliche Differentialgleichungen von der Form:

!’=0(%,9,2,Y), Ya, 9,2, Y)

definiert wird. Die beiden Gleichungen:

o=p+qy, @,+ Yo,+oo,+doy=r+2sy+ty°+ q

liefern dann nämlich durch Elimination von y’ eine partielle Differentialgleichung 2.0., welche die notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, daß auf einer Fläche oo! Kurven der Schar liegen.

Ebenso wird im R, eine Schar von oo* Kurven, die den Raum ausfüllt, durch ein System von n —1 gewöhnlichen Differentialgleichungen:

, ’ 2, = @x (8, Yılızan nr er (k=1,...,n—2),

EHE ELLE

definiert. Aus den n — 2 Gleichungen:

x —=Pprt I. Y (k=1,...,n- 2)

ergeben sich durch Elimination von y’ gerade n — 3 partielle Differentialgleichungen 1.0. Aus den n — 2 Gleichungen:

.n—2

A va + Su + tt ++

0x

erhält man dann noch n — 2 partielle Differentialgleichungen 2. O., die alle erfüllt sein müssen, wenn eine Fläche oo! Kurven der Schar enthalten soll. Durch Betrach- tung des besonderen Falles: &,—= 0, 9 —= 0 kann man sich noch davon überzeugen, daß die gefundenen partiellen Differentialgleichungen 2. O. keineswegs aus den n—3 von 1.0. durch Differentiation hervorgehen.

S.401, 2.15f. Siehe S. 399.

S. 402, 2.8—5 v.u. Siehe $. 405—407.

8.403, Z2.6f. Siehe S. 412.

S. 403, Nr. 20. Diese Betrachtungen, auf die ich schon vorhin (S. 639) verwiesen habe, bedürfen einer näheren Erläuterung. Namentlich ist die Redeweise auf Z. 22 ungewöhnlich, und es muß schärfer bestimmt werden, was damit gemeint ist.

Wir erinnern an die Formeln (III), (VII), (VI), (IV), S. 637, die den Übergang von den Linienelementen / zu den Linienelementen L darstellen. Ferner bemerken

wir, daß als Koordinaten für die Linienelemente I die Größen: &,,..., 2%, %) dienen können, und als Koordinaten für die Linienelemente L die Größen: X,, RE. SE

Unter den dem Linienelemente I unendlich benachbarten und damit vereinigt liegenden Linienelementen gibt es ein ausgezeichnetes, das nämlich auf der durch I gehenden Kurve k. Wird I durch die Linienelementtransformation in L übergeführt, so geht dieses ausgezeichnete Linienelement, wie schon auf $. 640 erwähnt, in eines über, das L unendlich benachbart ist, aber denselben Punkt hat wie L. Für dieses ausgezeichnete, ! unendlich benachbarte, Linienelement gelten daher die Glei- chungen:

da,= udn, dr. Elm; 20,0 a (k=1,...,n-2) und:

BE: ‚oP, ev, ER ar e (+ gern +38 Er a eur? v=l,..„n).

Flächen erzeugt von oo! Kurven k. Die Linienelementtrf. 643 Die letzten n Gleichungen, die miteinander verträglich sind, liefern etwa: (IV*) ad = ale... 2, )dn,,

wo (IV) und (IV*) zusammengenommen die Differentialgleichungen sind, durch die die Kurven k definiert werden.

Wie nun dem einen zu x, unendlich benachbarten Punkte z,—+ dz,, der dem Linienelemente 1 angehört, das zu I benachbarte Linienelement: 2,—+ de,, x, + ad, zugeordnet ist, so können wir einem beliebigen zu x, unendlich benach- barten Punkte z,+ öx, oder p’ das zu l unendlich benachbarte Linienelement:

(4 ’ + 62,...,2, 4 62,,2,+ 62%, zuordnen, wo: [4 ’ 62, = a(2ı,..., 29, 2,)0%ı

ist und wo öx) bis auf unendlich kleine Größen 2. O. bestimmt ist. Auf S.403, Z. 20 bis 22 müßte es also heißen: ‚so können wir jedem Punkte p’ dieses infinitesimalen Gebietes ein ganz bestimmtes zu I benachbartes Linienelement !’ zuordnen, wohl- bemerkt, wenn ... abgesehen wird‘.

Die den Punkten p’ entsprechenden Punkte P’ werden nunmehr durch die Gleichungen:

RD, A MroR, ” (XVII) X; (5 ta 2) 82,+ 85,08 RER v

bestimmt. Diese Zuordnung ist aber nicht eindeutig umkehrbar, denn für: (XIX) ou, = x,62,, Öd,,: > &,6%, (k=1,...,n—2)

verschwinden alle öX,, identisch. Die Gleichungen (XVIII) können daher auch so geschrieben werden:

By, ie vum = nd + Izmir) ehem 2 er 2+r7

Erinnern wir uns nun der Gleichungen (IX), die, (IV) und (VI) als erfüllt voraus- gesetzt, aus (III) und (VII) für beliebige Werte von &,, ..., x,, x, folgen, so erkennen wir, daß aus (XVII) die Gleichungen:

Uns (IX’) 8X, — KK, — I ( (x, — x,.6%,) (k=2,...,")

da, folgen, in denen man sich aber links die Substitution (VI) und rechts die Substitu- tion (IV) ausgeführt zu denken hat. Da diese Gleichungen (IX’) nach den ö2,— x), ö 2, auflösbar sind, so kann aus (XVIIT’) durch Elimination der öz, nur eine lineare homogene Relation: ZA,öX,—= 0 zwischen den öX, abgeleitet werden. Überdies ist klar, daß diese Relation keine Folge der n— 1 Gleichungen:

6X, — X,6X, = 0 (k=2,...,n)

sein kann, da deren linke Seiten sicher nicht durch eine lineare homogene Relation verknüpft sind. Fügen wir daher zu (XVIIT’) eine beliebige Relation: X7,62, — 0 hinzu, die keine Folge von (XIX) ist, so erhalten wir eine eindeutig umkehrbare Beziehung zwischen den öz,, die £I,ö2,—= 0 befriedigen, und den öX,, die 2ZA,0X,= 0 erfüllen.

Dies ist der Inhalt von S.404, Z.1—14 in analytischer Einkleidung.

Deuten wir die öx, und die öX, als homogene Koordinaten in zwei Räumen "„_ı und R„_,, so wird durch (XVIII’‘) jedem Punkte des r,_, ein Punkt des R,_ı

644 Anmerkungen zu Abhandlung XI, S, 404 zugeordnet. Dabei spielen aber der Punkt (XIX) des r,_, und der Punkt:

(XIX’) öX, at X,6X,, ÖX,,% = =,0X} (k=1,..,n—2)

des R,„_, eine ausgezeichnete Rolle. Allen Punkten jeder Geraden des r„_,, die durch (XIX) geht, wird nämlich im R,_, ein und derselbe Punkt auf der ebenen Mannig- faltigkeit: 2A4,ÖX,— 0 zugeordnet, die nicht durch (XIX’) geht.

S.404, Z.18f. ist so zu verstehen, daß der Punkt p’” von !”” auf der zwei- dimensionalen Ebene liegt, die durch das Linienelement ! und durch den Punkt p’ von !’ bestimmt ist. Dabei sind jedoch !’ und !”’ nicht beliebige, I unendlich benach- barte Linienelemente, sondern es sind die bestimmten zu p’ und p’” gehörigen, zu I unendlich benachbarten Linienelemente, die wir vorhin definiert haben.

Wir können aber den Inhalt des ganzen Absatzes S. 404, 2.15 v.o.—8 v.u. leichter verständlich machen, wenn wir uns die vorhin gemachten Auseinander- setzungen zunutze machen.

Die Zuordnung (XVIIT') zwischen den den Punkten x, und X, unendlich be- nachbarten Punkten versagt für den Punkt (XIX), weil da die öX, alle verschwin- den. Dagegen ist jedem der Linienelemente, die nach S. 643 den Punkten 2,—+ öe, zugeordnet sind, ein ganz bestimmtes Linienelement des Raumes (X) zugeordnet. Insbesondere ist dem Linienelem., das durch (XIX) und ö25,= aöz, bestimmt wird, ein Linienelement zugeordnet, das den Punkt X, zum Punkte hat und das dem durch (XIX’) definierten Linienelemente dieses Punktes unendlich benachbart ist, das also, von unendlich kleinen Größen 2. O. abgesehen, durch (XIX’) dargestellt wird. Wir können daher die durch (XVIIT) dargestellte Zuordnung zwischen den Punkten 2,+ öz, und X,+ öX, vervollständigen, indem wir dem Punkte (XIX) den Punkt (XIX’) zuordnen. Die Beziehung zwischen den beiden Räumen r„_ı und R,„_ı, die wir vorhin besprochen haben, gestaltet sich dann so, daß jeder Ge- raden des r„_,, die durch (XIX) geht, eine bestimmte Gerade des R,_.ı zugeordnet ist, die durch (XIX’) geht. Da nun aber jede Gerade des r„_, ein zweidimensionales Element e, bestimmt, das z,,...,&, zum Punkte hat, so wird hierdurch jedem zweidimensionalen Elemente e,, das ein Linienelement I enthält, ein zweidimensio- nales Element E, zugeordnet, das das l entsprechende Linienelement L enthält.

Bedenkt man schließlich, daß die n — 1 Größen: dx, — x/,öx, geradezu als homogene Koordinaten eines zweidimensionalen Elementes e, aufgefaßt werden können, das durch das Linienelement &,,..., 22, 22',..., 2, geht, so erkennt man, daß die eben besprochene Zuordnung zwischen den Elementen e, durch ! und den Elementen E, durch L ihre analytische Darstellung in den Gleichungen (IX’) findet, wenn man diese ausführlicher so schreibt:

( n 0%, X0X,= (SI —X, 5) (2, — 2/02) + Tz 1...n—2 op, N. ‚A >= vr a) Or 600), (XX) r oY ‚oY. ‚ Kun iR, = (Rz) Om) + 1...n— 2 PR'G 3YV 2+k _ 1 +2 (Ge nr Or ) On 502) \ Bel, rM. Halten wir hier Di, 2 ++, Zn fest und betrachten blos x, als veränderlich, so ist jedem

Werte von x, ein Bündel von 00%-2 zweidimensionalen Elementen e, durch das Linienelement Eis ..., 2m, &y zugeordnet, und diese oo! Bündel werden durch (XX)

Entsprechen zwischen den e, dch. ein ! u. den E, dch. ein L 645

auf oo! Bündel von Elementen E, im Punkte X,,..., X, bezogen, derart, daß jedes Bündel von e, auf ein Bündel von E, eindeutig umkehrbar abgebildet wird.

Auf diese Weise ist jedem e, des Punktes z,,..., 2,, das ein Linienelement I enthält, ein und im allgemeinen nur ein E, des Punktes X,,..., X, zugeordnet. Den e,, die zwei oder mehrere diskrete Linienelemente I enthalten, sind zwei oder mehrere E, zugeordnet. Ist insbesondere das Mongesche System (IV) linear, also ein Pfaffsches System, so bestimmt es ein e,, das oo! Linienelemente I enthält, und dem daher oo! E, entsprechen.

Analytisch gestaltet sich die Sache so: Ist (IV) ein Pfaffsches System:

%.,, = &.= a, (21, ns %n)+ Pr (21, m 2u)T; (k=1,...,n-2), so bestimmt es ein e,, dem alle oo! durch: (XXI) ÖL, 6 + Pröre (k=1,...,n—2)

bestimmten Linienelemente ! angehören. Macht man nun in (XX) die Substitution (XXI), so kommen Gleichungen von der Form: 02 enge 2. öX,] = U (öx, Fee 2. Ös,),

(XXI) ÖXg,x — 2,6X, = U .„(ö er aan: T,6 &)»

wo U und die U, gewisse Funktionen von &,,..., 2,, 2, sind. Dem zu dem Punkte Xi. ., 2, gehörigen e, (XXI) sind daher oo! E, zugeordnet, die durch die Glei- chungen:

(XXIII) U(6X,,% — 36Xı) — Ur (6X, — X,6X,)= 0 (k=1,...,n—2)

dargestellt werden. Betrachtet man z,,..., 2, als fest und x) als einen Parameter, so gehört zu jedem der oo! Punkte:

(III) | BE (k=1,...,n)

ein ganz bestimmtes E, (XXIII). Die oo! Punkte (III) bilden nun die Kurve K:

(II) DE U A re (k=2,...,n), die dem Punkte z,,...., x, zugeordnet ist. Dem einen Elemente e, (XXI) des Punktes %,...,%, entspricht demnach ein ganzer Streifen von Elementen E, längs der Kurve (II).

Da die Gleichung X, —= Y, nach 8.637 nicht von x) frei ist, so liefert uns (III) für jeden Wert von x) einen ganz bestimmten Punkt X, der Kurve (II), und zu diesem Punkte gehört das E, (XXIII). Dieses E, enthält offenbar das Linien- element L, das in dem Punkte X, durch die zugehörige Tangente der Kurve (II) bestimmt wird, denn aus (II) folgt, wenn dX,:dX,=X, gesetzt wird: 4X,,,:4X,=3S;.

Erteilen wir andererseits in (II) den Größen z,,..., 2, solche Zuwachse öz,, daß die Gleichungen (XXI) erfüllt sind, so erhalten wir eine der Kurve (II) unend- lich benachbarte Kurve, von der die Kurve (II) geschnitten wird. Da wir aber die Kurve (II) auch durch die Gleichungen (III) darstellen können, indem wir x, als unabhängige Veränderliche auffassen, so können wir zur Darstellung dieser unend- lich benachbarten Kurve auch die Gleichungen:

ae Pla,..n zn, %)+ D Frl W=1,...,n) ı

benutzen, wo die öx, natürlich an (XXI) gebunden sind. Die Fortschreitungs- richtung von dem Punkte X, der Kurve (II) oder, was dasselbe ist, von dem Punkte

646 Anmerkungen zu Abhandlung XI, S. 404—411

x. der Kurve (III) nach einem beliebigen unendlich benachbarten Punkte x, + 6: der unendlich benachbarten Kurve wird dann durch:

6 Prs 0 Pr x eg S PET 77

bestimmt. Diese Ausdrücke befriedigen aber, wie wir wissen, bei beliebigem ö«,, 6, die Gleichungen (XX), in unserem Falle mithin, wo (XXI) erfüllt ist, die Glei- chungen (XXII), folglich auch die Gleichungen (XXIII). Das dem Punkte X, der Kurve (II) zugeordnete E, (XXIII) enthält daher alle Linienelemente von diesem Punkte nach den unendlich benachbarten Punkten einer beliebigen, der Kurve (II) unendlich benachbarten Kurve K, die die Kurve (II) schneidet. Mit dem durch (XXIII) dargestellten Streifen von Elementen E, fallen infolgedessen alle die Elementstreifen zusammen, welche die der Kurve (II) unendlich benachbarten, . (IT) schneidenden Kurven K mit dieser Kurve bestimmen.

Damit haben wir bereits die Ergebnisse gewonnen, zu denen Lie in Nr. 22—24 durch synthetische Betrachtungen gelangt.

Aber auch der Inhalt von Nr. 25 ergibt sich leicht. Wir betrachten nämlich die KurveK, die dem Punkte &,,...,z, entspricht, also die Kurve (III), wo x, die unabhängige Veränderliche ist. Dazu nehmen wir unter den oo! unendlich benach- barten, schneidenden Kurven K’ diejenige, die dem Punkte 2,+ öz, entspricht, so

daß die Gleichungen: Ödyr, & (2... & se) ee =c& 19: n?» öx wi „:,n—2)

erfüllt sind. Diese Kurve bestimmt im Punkte x’, der Kurve (III) ein E,, das alle oo! Linienelemente enthält, die von dem Punkte x) der Kurve (III) nach den unendlich benachbarten Punkten X,-+ öX, der unendlich benachbarten Kurve gehen. Als Koordinaten dieses E, können wir nach $S. 644 die Größen:

6X, — X;6X,, ÖX,,5 — =40Xı benutzen, und zwar besitzt zum Beispiel die erste dieser Koordinaten die Form:

0%, — X,0%, = (6 x45 ar 5) On 00) + 2

.ın—? a 0 ÖR, +3 Fr ( (2, a a 1 9 ne, (m. In 2.)) da.

Im allgemeinen bekommen wir so in dem Punkte x, der Kurve (III) oo! verschiedene E,, entsprechend den oo! Werten von ö2,:ö62,. Sollen aber die oo! unendlich benach- barten Kurven K’ alle mit (III) zusammen denselben Streifen bestimmen, so müssen die oo! E,, die den oo! Werten von 62,:6x, entsprechen, zusammenfallen, die Ver- hältnisse ihrer Koordinaten müssen also von öx,:öx, unabhängig sein. Da die Glei- chungen (XX) nach den dr, — 2/62, Ö2,,, — &,0x, auflösbar sind, ist hierzu notwendig und hinreichend, daß die Quotienten:

Ela... 000,62) a 62,:00%, — 8,

von ö2,:6x, und also auch von x/ unabhängig sind, was nur eintritt, wenn £&, die Form:

&,(% Eu In» 2,)= a,(&ı, ET Rn m B,(&:; ee £u)Z,

hat, wenn also das Mongesche System (IV) linear ist. Zu 8. 406—408 ist jetzt nur noch wenig zu bemerken.

Das eine Mongesche System ist linear 647

S. 406, Z. 21—23 dürfen selbstverständlich pp’ und pp” nicht mit dem Linien- elemente l zusammenfallen.

S. 407, 2. 1f. Das ist schon auf S. 402, Z. 8—2 v. u., S. 403, Z.1 angekündigt.

S. 407, Z2.20—22. Jedem Punkte von K ordnen ja die beiden Streifen KK’ und KK’, weil sie zusammenfallen, dasselbe Element E, zu.

S. 408, Z.14—17. Hier wird also der Fall, daß dieses Pfaffsche System inte- grabel ist, nicht ausgeschlossen. Vgl. dagegen S. 411, Theorem IV.

S.408, Z.17—25. Man erinnere sich an Nr. 14, 8.398. Dort ist auch diese besondere Eigenschaft der M, bereits angekündigt, die erst auf S. 412 wirklich be- wiesen wird.

S.410, 2.8—5 v.u. Die Differentialgleichung: W = 0 hat o0?"-® charak- teristische Streifen, aber bloß 00” charakteristische Kurven; jede charakteristische Kurve ist daher Träger von 00" charakteristischen Streifen. Daraus folgt, daß jedes Linienelement einer charakteristischen Kurve und also auch jedes Linienele- ment, das die n — 2 Mongeschen Gleichungen: F,—= 0 befriedigt, der Träger von oo”"3 Elementen E„_, der Gleichung: W = 0 ist. Demnach enthält jede Integral- kurve der Mongeschen Gleichungen 00%”? Elemente E,_, von W = 0 und stellt daher einen Integralverein von W = 0 dar, der 00”? Elemente E,_, der Gleichung enthält und sicher nicht von charakteristischen Streifen erzeugt ist, wenn die In- tegralkurve keine charakteristische Kurve ist. Legt man nun durch die 00"? Ele- mente E,„_, der Kurve die hindurchgehenden charakteristischen Streifen, so erhält man einen Integralverein von W = 0, der 00%”! Elemente umfaßt. Der Punktort dieses Integralvereins besteht dann aus den oo! charakteristischen Kurven durch die oo! Linienelemente der Integralkurve.

S. 411, Theorem IV. Lie fügt hier ohne weiteres die Voraussetzung hinzu, daß das Pfaffsche System: Za,,dz,—= 0 nicht integrabel sein soll. Genauer gesagt, es soll nicht unbeschränkt integrabel sein. Wäre es das nämlich, so könnte man die Veränderlichen &,,...,&, so wählen, daß es die Form: da, —=0,...,daı,_,= 0 erhielte, und dann wären:

u =0,.:., mn -ı = n- nm =Plin-1 n-ı, Un)

oo" Integralkurven des Systems, die den Raum (x) ausfüllen. Die o0* Kurven:

(A) G=X,,:.:.,_-3= X,_, =9_1, Xn-ı, Xn) des Raumes (X) befriedigten dann das unbeschränkt integrable Pfaffsche System: dX,=0,...,dX,„=0, dessen Integralmannigfaltigkeiten: X,= const.,... X„_2= const. die charakteristischen M, des zweigliedrigen vollständigen Systems: rl RE OXn-ı 0X,

wären. Die 00” Kurven (A) wären daher sicher nicht die charakteristischen Kurven einer partiellen Differentialgleichung 1.0. des Raumes (X). Das Mongesche System, dem die charakteristischen Kurven einer solchen Gleichung genügen, besteht ja dann und nur dann aus lauter Pfaffschen Gleichungen, wenn die Gleichung linear ist, dann aber aus n—2 Pfaffschen Gleichungen.

Nicht auszuschließen ist dagegen der Fall, daß das Pfaffsche System: 2a;,dz,—= 0 beschränkt integrabel ist, daß also das zugehörige zweigliedrige System von linearen homogenen partiellen Differentialgleichungen 1. O. eine oder mehrere Lösungen hat; nur darf es nicht n— 2 unabhängige Lösungen haben, also kein zweigliedriges vollständiges System sein. Diese Möglichkeit erwähnt Lie selbst später auf S. 416.

S. 411, 2.6—4 v. u. Lie geht nicht auf die Frage ein, welche Kriterien erfüllt sein müssen, damit eine vorgelegte nicht lineare partielle Differentialgleichung

648 Anmerkungen zu Abhandlung XI, S. 411—414

1.0. in n Veränderlichen gerade oo” charakteristische Kurven hat. Ich habe diese Kriterien entwickelt in der Abhandlung: ‚Eine neue Methode in der Invarianten- theorie der Differentialgleichungen‘‘, Leipz. Ber. 1905, siehe dort $. 220—232.

S.412, Z2.11—14. Wir wissen, daß zu jeder charakteristischen Kurve ein Streifen von oo! zweidimensionalen Elementen gehört, den sie zusammen mit jeder beliebigen unendlich benachbarten, sie schneidenden charakteristischen Kurve bestimmt. Jedes zweidimensionale Element dieses Streifens enthält ein Linien- element L der charakteristischen Kurve und zugleich das Linienelement der durch den Punkt von L gehenden, unendlich benachbarten charakteristischen Kurve. Bedenken wir daher, daß die oo! Linienelemente der durch einen Punkt gehenden charakteristischen Kurven einen zweidimensionalen Kegel bestimmen, so erkennen wir, daß das zu dem Punkte gehörige zweidimensionale Element des Streifens diesen Kegel berührt und daß es in allen den 0o0”"® durch das Linienelement L gehenden (n — 1)-dimensionalen Elementen der Gleichung W —= 0 enthalten ist, denn diese berühren ja den erwähnten Kegel ebenfalls. Liegt daher eine charakteristische Kurve K auf einem zweidimensionalen Integralgebilde, so muß der zu der Kurve gehörige Streifen von zweidimensionalen Elementen eben der sein, den dieses Integralgebilde längs der Kurve bestimmt. Die unendlich benachbarte charakteristische Kurve, die auf dem Integralgebilde liegt, muß nun mit K denselben Streifen liefern, das heißt, sie muß zu denen gehören, die K schneiden.

S. 412, 2.15—11 v. u. Die 2n — 5 Differentialgleichungen 1. O. scheiden unter den 00%?” zweidimensionalen Elementen E, geradeoo"+1laus, deren jedesnach $.409 auf 00%=3 Elementen E„_ı liegt. Hierdurch werden die 00??? Elemente E,„_, der Gleichung W = 0 gerade erschöpft. Jede Integralmannigfaltigkeit der 2n —5 Gleichungen enthält oo? unter diesen o0”+! Elementen E, und infolgedessen oo"! Elemente E,_, von W=0, sie ist mithin ein zweidimensionaler Integralverein von W = 0. Die einzigen zweidimensionalen Integralvereine von W = 0 sind aber die Mannigfaltigkeiten M,.

S.413, 2.6—9. Vgl. Abh. IX, S. 336, 370, 380.

S. 413, 2.10—13. Abh. IX, S. 380, Nr. 89.

5.413, 2.13—15. Ausführlicher dargestellt sind sie in Abh. IX, 8. 335—352.

S. 413, Z.17—20. Gemeint ist der in Abh. IX (1895), S. 384 genannte Jules Beudon, von dessen Arbeiten hier die folgenden in Betracht kommen: ‚Sur les systemes d’equations aux derivees partielles dont les caracteristiques dependent d’un nombre fini de parametres‘‘, These, Paris 1896, erschienen in den Ann. de l’Ee. Normale, III. Serie, Bd. XIII, Suppl., 8.3—51 und: „Sur l’integration des systemes d’&quations aux derivees partielles du premier ordre A plusieurs fonctions inconnues“, C.R. Bd.125 (1897), S. 156—159.

In der Thöse sagt Beudon auf S.5: „Un cas particulier du probleme que j’ai traite a &te r&solu par M. Lie, par une methode toute differente‘‘ und verweist auf die hier als Nr. IX abgedruckte Abhandlung. Der Leser kann hieraus nicht er- kennen, daß der Fall, den Beudon im zweiten Teile seiner These, auf S. 19—42 betrachtet, als besonderer Fall in dem allgemeinen Probleme enthalten ist, das Lie in Abh. IX, S. 349—8352 bespricht. Andererseits behandelt Beudons Note von 1897 dasselbe Problem, das Lie in Abh. IX auf $S.345—8349 erledigt. Obwohl Beudon auch hier einen ganz anderen Weg einschlägt als Lie, hätte er doch un- bedingt auf Lie verweisen müssen, was er merkwürdigerweise nicht tut.

Mißtrauisch wie Lie in den letzten Jahren seines Lebens war, selbst gegen seine besten Freunde, witterte er hinter diesen allerdings auffallenden Unterlassungen Beudons gleich eine böse Absicht. Ich bin jedoch überzeugt, daß eine solche Beudon vollständig fern gelegen hat.

Beudon war im Winter 1893—94 in Leipzig. A. Tresse erinnert sich, daß ihm Beudon nach seiner Rückkehr erzählt hat, er habe Lie auseinandergesetzt, er beabsichtige, die Theorie der Charakteristiken zu verallgemeinern. Lie aber habe

Part. Diffgl. 1.0. — Beudon. — B.T. höherer O. 649

ihm lebhaft davon abgeraten, indem er erklärt habe, eine solche Verallgemeinerung sei unmöglich, oder er sei wenigstens von ihrer Unmöglichkeit überzeugt.

Nun wissen wir aus Abh. IX, S. 384, daß Beudon in Leipzig bei Lie eine Vor- lesung gehört hat, in der die Theorien des III. Kapitels von Abh. IX, S. 352—384 behandelt wurden. Hätte Lie damals auch seine Vervollständigung der Monge- schen Charakteristikentheorie vorgetragen, die den Inhalt des II. Kapitels von Abh. IX, S. 335—352 bildet, so hätte er das sicher auch erwähnt. Daher ist es sehr gut möglich, daß Lies Behauptung, Beudon habe diese Theorie bei ihm gehört, auf Irrtum beruht.

Wir dürfen daher doch wohl annehmen, daß Beudon während seines Aufent- haltes in Leipzig die Liesche Vervollständigung der Charakteristikentheorie nicht kennen gelernt hat. Mittelbar wird das auch durch die Erinnerungen von Tresse bestätigt. Aus diesen scheint mir hervorzugehen, daß Beudons Ideen damals, als er sie Lie mitteilte, noch nicht so weit entwickelt waren, daß er sie vollständig klar darstellen konnte. Andernfalls hätte ihm Lie sofort erwidert: was Sie da machen wollen, habe ich ja zum Teil selbst schon längst auf anderem Wege gemacht.

Es erscheint hiernach zweifellos, daß Beudon die Theorien seiner These selbständig und ohne Kenntnis der betreffenden Lieschen Theorien gefunden hat. Der Vorwurf aber kann ihm nicht erspart werden, daß er es verabsäumt hat, in seiner T'höse von 1896 und in seiner Note von 1897 hervorzuheben, was alles be- reits in der 1895 erschienenen Abhandlung IX von Lie enthalten war.

S.413, 2.18—16 v.u. In den beiden Abhandlungen, die in den Christiania Forh. von 1871 erschienen sind (Bd. Id. Ausg., Abh. XI und XII) kann ich keine Stelle finden, wo der Satz angekündigt ist. Die auf 2.2 v.u. angeführte Stelle der Math. Ann. Bd. V ist dort neu hinzugefügt und in der Fassung aus dem Jahre 1871 noch nicht enthalten.

S. 414, Z.4—2 v.u. Hierin liegt, daß nicht schon die Elemente (n — 1)-ter O. unter sich transformiert werden sollen, daß also die Ausdrücke für X, Y, P,,..., Pa -ı nicht alle von p,„ frei sein dürfen.

S.414, Z2.2v.u. bis 415, Z.10. Vgl. A. V.Bäcklund, Über Flächentrans- formationen. Math. Ann. Bd. IX (1876), S. 302.

Zunächst müßten aus (w) Relationen von der Form:

1.1

dY— PdX=e(dy— pıda) + Nor(dpr — Pr+1dz) k

1..n—1

dP,— P,,,dX = o,(dy— pıda) + Do;n(dpr—Pr+1de) k ((=1,..,0—1)

folgen, wo die o, o Funktionen von z, %, Pıs+--, Pn, und diese Gleichungen müßten nach dy— pıdz, dp. — Pr xıdz (k=1,....n—ı) auflösbar sein. Eliminiert man nun aus (») die Größen P, und p„, so erhält man ein System von n Gleichungen:

(2) D,.(X,Y, rear a Pr Pa a) 0 (kal,..,n),

das bei konstanten z, y, p, die Gleichungen S.415, Z.6 nach sich ziehen müßte und bei konstanten X, Y, P,. die Gleichungen $. 415, Z. 3. Diese beiden Pfaffschen Systeme treten immer auf, wenn n > 1 ist, und sind dann immer nicht integrabel. Demnach wird durch Theorem VI die Möglichkeit n> 1 ausgeschlossen, und es bleibt bloß der Fall n—= 1 übrig, der auf die gewöhnlichen B. T. führt.

Hier sei noch erwähnt, daß Lie in der Abhandlung: ‚Das Abelsche Theorem und die Translationsmannigfaltigkeiten‘, Leipz. Ber. 1897, S. 247f. (d. Ausg. Bd. II, Abh. XIV am Schlusse) eine Bemerkung über die Oskulationstransformationen der

650 Anmerkungen zu Abhandlung XI, S. 414—425

Ebene macht. Ebenso in der Abh.: „‚Liniengeometrie und Berührungstransformatio- nen“, ebda. S.723f. (a.a.O., Abh. XV, $2, hinter Theorem III).

S. 415, 2.16—14 v. u. ‚„‚Einiges über Kurven- und Flächen-Transformationen.““ Acta Universitatis Lundensis Bd. X, Land, 1873—74 Sept. 1874, 12 S. 4°,

S.415, 2.14—12 v. u. Ich kann nicht sagen, wo er das gezeigt hat. Ausdrück- lich ausgesprochen hat er es, soviel ich sehe, sonst nirgends. Es ist daher anzunehmen, daß er es aus gewissen Enntwickelungen, die er irgendwo gemacht hat, herausge- lesen hat. Am nächsten liegt es da, an die ‚„Vervollständigung der Theorie der Be- rührungstransformationen“, Bd. III d. Ausg., Abh. XVII (1876) zu denken, die umgearbeitet in den Math. Ann. Bd. XI (hier Abh. III (1877), S. 251ff.) wieder ab- gedruckt ist. Aber bis jetzt ist es mir nicht gelungen, zu erraten, wie sich Lie die Sache gedacht haben mag.

S.415, a 11—8 v.u. S. Bd. III d. Ausg., Abh. XX VIII (1880), S. 398—402.

S.415, Z.7—5 v.u. Lie denkt an die Bäcklundsche Abhandlung: ‚Zur Theorie der Flächentransformationen‘‘, Math. Ann. Bd. XIX (1882), S. 387—422, in der Bäcklund unter anderem die Lie- Bianchische unendlich deutige Trans- formation der Flächen konstanter Krümmung verallgemeinert (vgl. Bd. IIId. Ausg., S.765£.).

416, Z2.9—15. Enthält das System: f;—= 0 gerade m unabhängige Pfaffsche Gleichungen, aus denen ein gerade I-gliedriges unbeschränkt integrables System folgt, so kann man &,,...,&, so wählen, daß dieses letztere System die Form: dt, —=0,...,dz,= Oerhält. Das System: p,(x, X) = 0 enthält dann ! Gleichungen von der Form:

2, = 4 &ı:::-,X,) Velsad

und das System: F,= 0 umfaßt daher das l-gliedrige, unbeschränkt integrable System: du =0,..,d; = 0.

Ss. 416ff. Kapitel I. Auf dem hier von Lie eingeschlagenen Wege gelangt man zwar zu einer großen Menge wichtiger Sätze über einzelne Klassen von Systemen Pfaffscher Gleichungen, nicht aber zu einer allgemeinen Theorie dieser Systeme. Eine solche Theorie hat seitdem Cartan entwickelt. ‚Sur l’integration des systemes d’öquations aux difförentielles totales‘“, Ann. del’Ec. Normale, III. Serie, Bd. XVII (1901), S. 241—311. Er verwertet dabei systematisch die Lipschitz-Frobenius- sche bilineare Kovariante eines Pfaffschen Ausdrucks, die Lie leider immer zu benutzen verschmäht hat.

S.416, Z.2,1 v. u. Leider hat Lie diese Absicht nicht ausführen können. Die vorliegende Abhandlung ist ja die letzte, die er veröffentlicht hat, und auch der Nachlaß enthält keine Fortsetzung der hier abgedruckten Untersuchungen.

S. 419, Z. 13—15. Wir können annehmen, daß ®,T3 — 7,0, nicht verschwindet. Wäre dann U unabhängig von u, v, w, y, e, so wären dV,dW durch du, dv, dw, dU ausdrückbar, und also V, W Funktionen von u, v, w, U allein. Ersetzte man daher U durch eine Konstante, so wäre: V — const., W = const. eine zweigliedrige voll- ständige Lösung, was ausgeschlossen ist. Demnach sind U, V,W alle drei Funk- tionen von u, v, w, y, e allein, und zwar selbstverständlich unabhängige Funktionen, woraus sofort folgt, daß auch die &,, r, Funktionen von u,v, w,y, e allein sind.

S. 419, 2.3—1v.u. Schreibt man das Pfaffsche System in der Form:

.n—2 .n—?2

= Dada, Pa. 2 Se — -3n, dt,

und betrachtet x, &,_ı, £„_z als Funktionen von &,,..., &,_3, $o erhält man durch Bildung der Integrabilitätsbedingungen ein System, das die Ableitungen 1. O. von ns In-ı1, In_, nach T,,...,&,_s als Funktionen von z,,...,&, bestimmen und unbeschränkt integrabel sein muß. Dieses System aber kommt auf ein simultanes

Zweigliedrige Pfaffsche Systeme 651

System in vier Veränderlichen, also auf eine gewöhnliche Differentialgleichung 3.0. hinaus.

S. 421, Z.14—16. Den inneren Grund hierfür deutet Lie nachher in Nr. 48, S. 422f. an.

S. 422, Z.2v.u. bis 423, Z. 6. Diese seinen alte Theorien hat Lie am ausführ- lichsten dargestellt in der Abh.: ‚„‚Liniengeometrie und Berührungstransformationen“, Leipz. Ber. 1897, S. 704—726 (d. Ausg. Bd. II, Abh. XV, $2).

S. 423, Z.10—13. Schreibt man das System in der Form:

dy— ydı=0, dy—ydı=!,

so erkennt man sofort, daß es bei allen Berührungstransformationen der Ebene z, y invariant bleibt, die durch Hinzunahme von 4’ erweitert sind. Damit sind, wie man sich leicht überzeugt, überhaupt alle Transformationen in z, y, y', y gefunden, die das System invariant lassen.

8.423, Z. 4—27. Vgl. S. 415, 649.

S. 423, Z.27f. Siehe Engel, ‚Zur Invariantentheorie der Systeme von Pfaff- schen Gleichungen“, Leipz. Ber. 1889, S. 170—176.

S.423, Z2.28—32. Lie denkt wohl an die beiden Noten von Koenigs: „Sur une classe de formes de differentielles et sur la theorie des systemes d’elements.‘ C.R. Bd.104 (1887), S. 673—675, 842—844; ferner an H. Duport, ‚„Me&moire sur les &quations differentielles“, Journal de Math., V. Serie, Bd. III (1897), S. 17 bis 80, wo Systeme von zwei Pfaffschen Gleichungen in 6 Veränderlichen be- trachtet werden; endlich an de Tannenberg, ‚Sur la theorie des equations aux derivees partielles“‘, C. R.120 (1895), S. 674—676.

S. 424, 2.13—8v.u. Wären U, V nicht durch u,v,..., 9, allein darstellbar, so wären entweder W,, W, durch u,v,..., 9, und U, V ausdrückbar oder V, W,,W, durch u,v,...,9, und U. Im ersten Falle wäre dann: W, = const., W, = const. bei konstanten U, V eine zweigliedrige vollständige Lösung, im zweiten Falle hätte man bei konstantem U eine dreigliedrige. Demnach sind U, V Funktionen von

U, d,..., 9, allein, und dasselbe gilt dann offenbar auch von W,,W,;.

S.425, 2.15—11v.u. Da eine der Größen u,v,...,9, durch die übrigen ausdrückbar ist, so besteht offenbar auch zwischen U,V,...,F, eine und nur eine Relation:

DU, 7, W,.....,.P,)=0.

Genau genommen hat man daher nur eine Transformation der 00° Elemente: U,0,...., sg, die der Gleichung: 2 —= 0 genügen. Diese Transformation führt die 00° Elemente: 2 —= 0 in die 00° Elemente: U,V,...,F, über, die 2 = 0 befrie- digen, und zwar so, daß jeder Elementverein, der 2 = 0 erfüllt, in einen Element- verein übergeht, der 2= 0 erfüllt.

S. 425, Z2.11—6 v.u. An und für sich ist jeder Punkt des R, ein vierdimensio- naler Elementverein, enthält aber nur 00? Elemente, die 2@= 0 befriedigen. Anderer- seits ist jede Kurve des R, ein dreidimensionaler Elementverein, jede zweifach aus- gedehnte Punktmannigfaltigkeit ein zweidimensionaler Verein, und damit sind alle Elementvereine der hier betrachteten Art aufgezählt, die es im R, gibt.

S.425, 2.6 v.u. bis 426, 2.9. Bezeichnen wir die Punktkoordinaten des R, mit &, y,2,,2, und schreiben wir die Bedingungen für die vereinigte Lage von zwei unendlich benachbarten zweidimensionalen Elementen in der Form:

da, — pıdze — qdy=0, ds, —pde— gdy=)0, so können wir die Gleichung 2 = 0 in der Form:

(1) pR=w(t, Y, 21, 22, Pı > Qı » 9)

652 Anmerkungen zu Abhandlung XI, 8. 425—434

annehmen. Sind nun y, 2,,2; Funktionen von x, so haben wir eine Kurve, deren 00% zweidimensionale Elemente durch:

32 Ya 2, — qY, nd u — 9Y

bestimmt sind. Sollen alle diese Elemente die Gleichung 2= 0 befriedigen, so. muß die Gleichung:

(II) 2, — GY = @(8, Y,21,22.,21 — ıY, 9: %)

für beliebige q,, g, erfüllt sein. In dem vorliegenden Falle muß es nun oo? solche Kurven geben, die offenbar ein System von zwei Mongeschen Gleichungen:

(III) ana yn Dee un.zy)

befriedigen. Demnach darf die Gleichung (II), wenn man gq,,q, als willkürlich be- trachtet, nur zwei Gleichungen von der Form (III) zwischen x, y, 21,22, 9,21, nach sich ziehen, es muß also die Gleichung:

BP— aY = o(%, Y, 21,22, — QıY; 1» 92)

eine Identität sein. Mit anderen Worten: die Gleichung (I) geht aus den beiden: Gleichungen:

(IV) nt ay=aß,y,2,2,%) Pt 9Yy =Plr,y 2,%,%)

durch Elimination von y’ hervor.

Jede Schar von oo? Kurven, die das Mongesche System (III) befriedigt und die den R, ausfüllt, bestimmt eine Berührungstransformation des R, von der auf S. 426, Z.3—9 besprochenen Art.

S. 426, Z. 10—16. Drückt man p,, p, vermöge (IV) durch x, %, 21, 22, 91: 9; Y aus, so erscheint die kanonische Form des Pfaffschen Systems in der Gestalt:

[da — ade — q(dy— yYda)=0,

w da, — Bde — gldy— ydao)=0.

Hier sind x, y, 21, 2,, y als Funktionen der ursprünglichen Veränderlichen x; ,..., &,. die Lösungen eines (n — 5)-gliedrigen vollständigen Systems, das man aufstellen kann und dessen Integration auf eine gewöhnliche Differentialgleichung 5. O. hinauskommt. Sind u,,...,u, Lösungen dieses vollständigen Systems, so kann das Pfaffsche System die Form:

1...3 1.8 k k

erhalten, wo die @,, x, Funktionen von u,,..., u, und denn — 5 übrigen Veränder- lichen &,,..., x, sind. Vergleicht man hiermit die Normalform (V), in der £, Y, 21,22, Y Funktionen von u,,..., u,sind und umgekehrt u,,... ., 4, Funktionen von 2, Y,21,2,, , so erkennt man, daß (VI) die Form:

D,=oD,, D=oD,

besitzt, wo D,,D,,D, Pfaffsche Ausdrücke in u,,...,u, allein sind, während X, ., 2%, nur in o und oa vorkommen. Wählt man nun eine beliebige Relation: 9(u,,...,u,) = const., so liefern die Gleichungen: 2=-0,. DD, = 0, Di =

Zweigliedr. Pfaffsche Syst. — Mongesche u. Pfaffsche Syst. 653

ein simultanes System in vier Veränderlichen, das auf eine gewöhnliche Differen- tialgleichung 3. ©. hinauskommt. Hat man diese integriert, so kennt man eine viergliedrige vollständige Lösung und damit zugleich eine kanonische Form des vor- gelegten Pfaffschen Systems.

Auf die S. 426, Z. 14—16 berührte Frage hat Lie leider nicht wieder zurück- kommen können.

S. 428, Z.15—18. Die oo* Charakteristiken sind die Bahnkurven einer infini- tesimalen Transformation Af in fünf Veränderlichen, nämlich in u, v, w,, w,, wozu noch eine der Größen: &,, 91, &, 9 kommt. Diese infinitesimale Transformation läßt alle zweidimensionalen Integralmannigfaltigkeiten des Pfaffschen Systems und also auch das Pfaffsche System selbst invariant. Andererseits aber sind die Charakteristiken offenbar Integralkurven des Pfaffschen Systems. Dieses System wird daher befriedigt, wenn man die Differentiale durch die Zuwachse ersetzt, die die Veränderlichen bei der infinitesimalen Transformation Af erhalten. Hierin liegt, daß das Pfaffsche System eine solche Form erhalten kann, daß nur die vier Invarianten von Af als Veränderliche auftreten.

S.428,2.1v.u. Die Jahreszahl 1893 erklärt sich durch $. 320, 2. 6f., 602.

S.433£., Nr. 62. In Theorem IV, S. 411 wird von einer Schar von oo” Kurven des R,„ ausgegangen, die den Raum ausfüllt und einnicht integrables (n — 2)-gliedriges Pfaffsches System befriedigt. Die jetzigen Entwickelungen eröffnen einen Weg, alle derartigen Kurvenscharen aufzustellen. Nach Theorem VIII läßt sich ja jedes nicht integrable (n — 2)-gliedrige Pfaffsche System des R, mit seinen Integral- kurven auf ein (n — 3)-gliedriges Mongesches System des R,_., mit dessen Integral- kurven abbilden, während umgekehrt jedes (n — 3)-gliedrige Mongesche System des R„_ı mit seinen Integralkurven auf ein (n — 2)-gliedriges Pfaffsches System des R, mit dessen Integralkurven abbildbar ist.

Man habe nun eine Schar von oo” Kurven des R,„_,, die diesen Raum ausfüllt und die besondere Eigenschaft besitzt, ein (n — 3)-gliedriges Mongesches System zu erfüllen. Bildet man dieses Mongesche System des R,„_, mit seinen Integral- kurven auf ein (n — 2)-gliedriges Pfaffsches System des R, mit dessen Integral- kurven ab, so erhält man als Bild jener Schar von oo” Kurven des R,„_, eine Schar von oo” Kurven des R,, die ein (n — 2)-gliedriges Pfaffsches System befriedigt. Dabei ist klar, daß man alle derartigen Kurvenscharen des R, erhält, wenn man die Kurvenschar des R,_, in allgemeinster Weise wählt.

S.434, 2.3—1 v.u. Es sei:

(A) Y X (Yı» Kıs +. X) (k=2,...,n—1) die Schar von oo” Kurven des R„_,, und bei Hinzunahme von:

&=2,..,2-1)

möge sich durch Elimination von X,,...,X, das Mongesche System:

(B) Yy= 9lYyır ++ Yn-ı Y,) (j=3,...,n—1)

ergeben. Aus den Gleichungen: 1... 2 (C) I 5x4, =0 Kuh.

ergibt sich dann durch Elimination von y, ein (n — 3)-gliedriges Mongesches System:

(D) Q,(K-3 AAXr2++:dX, )= 0 u=1,..,n-3), das die Bedingungen dafür darstellt, daß zwei unendlich benachbarte Kurven

654 Anmerkungen zu Abhandlung XI, S. 434—-438

(A) einander schneiden. Fügt man zu (C) noch die Gleichungen:

> ie Si a (E) = InöX, dX,= k=3,..,n-

hinzu und eliminiert y,, so erhält man die Bedingungen für die Berührung zwischen zwei unendlich benachbarten Kurven (A). Nun aber ist:

[24 43 oyı oyı

also erkennt man sofort, daß die Gleichungen (C) und die erste der Gleichungen (E) alle übrigen Gleichungen (E) nach sich ziehen. Es kommt daher durch Elimination von y, aus (C) und (E) nur noch eine neue Mongesche Gleichung:

(F) ER De a

= (n. X35 „+3 An—ır Yarsyrr sn —L);

zu den Gleichungen (D) hinzu. Die vereinigten Gleichungen (D) und (F) bilden dann das (n — 2)-gliedrige Mongesche System, das Lie auf S. 434 in der Form: F,—= 0 schreibt.

S. 435, 2.12 v. u. bis 436, 2.1. Man beachte, daß Lie hier gleich zu dem Raume X, ::., X, übergeht, ohne die Abbildung auf den Raum z,,..., x, einzuschalten. Schreibt man die Kurvenschar (13) in der Form (A) und benutzt man ein beliebiges

Linienelement y?,...,y%_,, y,’ des Mongeschen Systems (12) oder (B), so kann man die Gleichungen 9, = 0, 8.435, Z.1 v.u. so darstellen: | TR IE OR. (k=3,..,n-1), (9) | y = 0%.(Y (y,X er X,) ie ? oy

Es ist klar, daß die hierdurch bestimmten oo" Kurven des Raumes (X) dasMongesche System F, —= 0 befriedigen, das die Bedingungen für die Berührung zweier unendlich benachbarter Kurven der Schar (13) oder (A) des Raumes (y) darstellt. Die Größen Y°,..., Ya_ı, Y,° vertreten jetzt die Stelle der früheren &,,..., 2,

S.436, 2.13—17. Nach 8. 422f., Nr.48 (vgl. S.651, 2.5—7) kann man die Linien- elemente jeder nichtlinearen Mongeschen Gleichung und jeder nichtintegrabeln Pfaffschen Gleichung des R, eindeutig umkehrbar auf die Linienelemente der Pfaffschen Gleichung: dy— ydz= 0 des Raumes z,y,y so abbilden, daß zwei unendlich benachbarte vereinigt liegende Linienelemente durch vereinigt liegende Linienelemente abgebildet werden. Jedem Punkte des R, entspricht bei dieser Abbildung ein Linienelement x, y, y’ der Ebene x, y und jedem Linienelemente der Mongeschen Gleichung entsprechen zwei unendlich benachbarte Linienelemente z,y, y und&+ d2e,y-+ dy,y + dy' der Ebene, die die Gleichung: dy — y’ da=0 erfüllen, die also vereinigt liegen. Bestimmt man y” ausder Gleichung: dy’ — y” dz—0, so erkennt man, daß jedem Linienelemente der Mongeschen Gleichung ein Element 2.0. 2,y,y,y' der Ebene entspricht.

Man kann sich aber auch darauf berufen, daß das Pfaffsche System:

dz—o(2,y,23,y)de=0, dy—ydı=0, das nach 8.431 für n=4 der Mongeschen Gleichung: 2 = o(z,y,2,Y) zugeordnet ist, immer dann, wenn es nur durch drei Gleichungen integriert werden kann, in die kanonische Form: dyy—ydı=0, dy —ydı=0 überführbar ist (S. 423).

Mongesche u. Pfaffsche Syst. — Quasilin. part. Dgl. 1. O. 655

Merkwürdigerweise übergeht Lie den Fall, daß W = 0 eine integrable Pfaff- sche Gleichung ist, sowohl hier als in Satz 4 mit Stillschweigen, obwohl auch dieser partielle Differentialgleichungen 1.0. des R, mit oo* Charakteristiken liefert.!)

In der Tat, denken wir uns in diesem Falle die Gleichung W — 0 auf die Form: dz= 0 gebracht und nehmen wir eine beliebige Schar:

(I) = X,, y-= (2, X,,..., X) von oo* Integralkurven dieser Gleichung, so stellen die Gleichungen: (II) =‘, y=9 yY=9

oo# Kurven des Raumes X,,..., X, dar. Diese Kurven befriedigen ein zweigliedriges Mongesches System, das aus:

sn 2.4 08 72 7%, dX.—=0, 23 EFFBG ———dX,=0

durch Elimination von x entsteht und das die Form: aA, = e; ax, = aX,0(X,,...,X,,d4X,:4X,) besitzt. Die zugehörige partielle Differentialgleichung 1.0. ergibt sich aus:

00 0X; durch Elimination von X, . Es fragt sich jetzt nur noch, ob diese Differentialglei- chung wirklich gerade 008 charakteristische Kurven hat.

Als Koordinaten für die Elemente der Differentialgleichung kann man die Größen: X,,...,X4, Pı, X, benutzen und erhält ähnlich wie auf $. 614 die Diffe- rentialgleichungen der charakteristischen Streifen in der Form:

(II) ED I AD RE A I ra

f aX, ER AR y ee re era: dX, ‚ (IV) er ra Se ii Sue Persian 66 Fan a 0 aid? 96 A @P, | ax, ®xn + Pıoy,

Hieraus ist zu ersehen, daß die Zahl der charakteristischen Kurven wirklich immer gleich oo# ist. Dabei wird selbstverständlich vorausgesetzt, daß & nicht linear in X} ist, sonst enthielten ja die Gleichungen (III) X/ nur scheinbar. S. 438, Nr. 71. Wir denken uns die Gleichungen 9%, = VO nach n — 1 von den X aufgelöst: Kr = Du(Xı, 2: -, Zurı) (k=2,...,n).

Dann haben wir oo"+! verschiedene Kurven des Raumes (X), wenn es keine lineare partielle Differentialgleichung 1.0. in z,,...,z,,, allein gibt, die von allen Funk- tionen ®,,..., ®, befriedigt wird, eine Forderung, die mit dem 8.438, Z.2,1v.u. Gesagten gleichbedeutend ist. Denken wir uns andererseits die Gleichungen nach n — 1 von den x aufgelöst:

= %lıı, 24, X1,.-..,X,) (j=8,...,*r+]1)

1) Erwähnt ist das schon in der Dissertation von W. Steingräber: ‚Über partielle Differentialgleichungen 1.0. im R,“. Greifswald 1906, s. da $. 28.

Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Bd. IV 42

656 Anmerkungen zu Abhandlung XI, S. 438—439

und nehmen wir an, daß in dem Raume (z) bloß 00%! Flächen f auftreten, so ent- halten x3,.. .,Xn+ı die X bloß in » — 1 Verbindungen P,,..., P,_,:

era RE) d=3,...,n+1) und diese Gleichungen müssen nach %,,..., Y„_, auflösbar sein: PAR AT en) (w=1,...,n-1)

Darin aber liegt, daß im Raume (X) sogar nur oo*=-! Kurven auftreten.

S. 439, Z. 10—14. An und für sich ist auch der Fall denkbar, daß die Kurven K n — 2 unabhängige Mongesche Gleichungen erfüllen. Diesen Fall schließt Lie stillschweigend aus, indem er (S. 439, 2. 10—7 v. u.) ausdrücklich voraussetzt, daß die oo*+*1 Kurven K oo”*+? verschiedene Linienelemente enthalten.

S.489f,, Nr. 74. Für X,,...,X, schreiben wir: X, Y,, Y,,2,,--.;2,_, und

deuten die Ableitungen nach X durch Akzente an. Für z,,...,%,;,, Schreiben wir: 2, %, 215 -- +, &_ı Und setzen: 02: de BER

Dr Pi» oy i-

Nehmen wir dann mit Lie an, daß die o0o**! Kurven des Raumes (X) bloß n — 3 und nicht mehr Mongesche Gleichungen befriedigen, so können wir dieses Monge- sche System in der Form:

(I) 2 — DIR, 2 Val een EEE R=1.u2, 03)

schreiben. Andererseits erfüllen die oo” Flächen f des Raumes (x) unter allen Um- ständen ein System von 2n — 3 und nicht mehr partiellen Differentialgleichungen 1.O., das wir in der Form:

(IT) | P, = 0,(%, Y, ERDE SEELE 8 @=2,...,n—1)

= P,(®, FE SE, Geis, nm

annehmen können. Dabei sind X, Y},Y3, Z1,...,‚Zu_3> Yı, Y; die Koordinaten der oo*+2 Linienelemente L, und &, 9,21, .. -,242_1, Pı die Koordinaten der oo"? zweidimensionalen Elemente e,. Wir bemerken noch, daß die Gleichungen 9, = 0 sowohl die Form:

Y, Fe D,(X, %,Y; 219» en N

(III) | Y, BE D,(X, L, Y, Zjiy ee, 2. VA RU PCR 7 PER TER (k=1,...,n—3),

als die Form: (IV) 2,— nt, y,X, Y,, EEE ARE v=1,..,n-1) erhalten können.

Differentiiert man (III) bei konstanten X, Y,Z nach x, y, so erhält man 2n — 2 Gleichungen und aus denen erstens durch Elimination von X die 2n — 3 Gleichungen (IL), zweitens eine Gleichung von der Form:

(V) X=6©(z, Yard

Differentiiert man (IV) bei konstanten x, y,2 nach X, so erhält man n — 1 Glei- chungen und aus denen, erstens durch Elimination von x, y die n — 3 Gleichungen (I), zweitens zwei Gleichungen von der Form:

| ze (X, Ki Y,,2ı 8 er K ’ RER

(VI) ya I Ve ZELLEN.

Beziehung zwischen den Linienel. L des R, u. den El. e, des r„;ı 657 Aus (V) ergibt sich dann mit Hilfe von (IV) und (VI) eine Gleichung: (VII) a 79 Me oe EU A PR: ET 4 und aus (VI) mit Hilfe von (II), (V) folgen zwei Gleichungen: | BEWERTE, U Ben Di);

’ vyz= 98, 9,5,:::,24_, Pı)-

(VII)

Die eindeutig umkehrbare Beziehung zwischen den Linienelementen L und den zweidimensionalen Elementen e, wird mithin durch die Gleichungen (IV), (VI), (VII), (I), (II) dargestellt, oder durch deren Auflösungen: (III), (V), (VIII), (I), (II).

Differentiiert man nunmehr die Gleichungen (IV), indem man alle darin vor- kommenden Größen als veränderlich betrachtet, so erkennt man, daß Gleichungen von der Form:

f on, n on, 2 d2z,— pıdz — q,dy = ey, (d Y, ha so, YıdX) + oY, (dY,— Y,dX) == 1...n—3 (IX) 4 In, a + a 57, 4x—2,.dX) k

(r=1,..,n—1)

bestehen. Das heißt, die Gleichungen (IX) werden zu Identitäten, wenn man zuerst die Substitutionen (II), (I) macht und nachher x, y, 2,,...,2,_ı, Pı vermöge (IV), (VI), (VII) durch X, Y,, Y3,Z1,.. .,‚Zn_3> Yı », Ys ausdrückt. In entsprechender Weise ergeben sich aus (III) Relationen von der Form:

f 1...n—1 By Vodich 92 mr (d,—p,de— q,dy), v y (X) } nn DE en RR d2,-- 274% BET (d,— pda ad)

t u=1,2;j=1l,..,0—9),

die zu Identitäten werden, wenn man die Substitutionen (T), (II) macht und nachher

2, 4,20, 81,2. 8%, 3, vermsge (LIT), (V), (VIEL) durch 2, y,#,...;

2n-1,Pı ausdrückt. Vereinigte Lage bleibt daher erhalten (S. 445, Z. 10—14). Differentiieren wir die Gleichungen (VI) bei konstanten z, y nach X, so er-

halten wir zwei gewöhnliche Differentialgleichungen 2. O.:

(XI) Yu Eu (X, 2; Y,,Z,, ee Fe Z x, ’ X (m =1,2),

Ang)

die zusammen mit (I) die o0**! Kurven des Raumes (X) definieren. Ebenso erhalten wir, wenn wir (V) bei konstantem X nach x und y und die Gleichung: q = ßı des Systems (II) nach y differentiieren, drei Gleichungen von der Form:

(XII) H=Uu8,y,2,:.:-,_,Pı) 1 = h=u,

die zusammen mit (II) die oo” Flächen f des Raumes (x) definieren.

. Hierin liegt, daß durch unser Gleichungssystem (III) jedem Linienelemente L ein ganz bestimmtes unendlich benachbartes mit ihm vereinigt liegendes Linien- element L’ zugeordnet ist, nämlich das durch:

dY„= YıdX, dZ,— Q,dX, dY;— oudX

definierte unendlich benachbarte Linienelement der durch I gehenden Kurve (III). 42*

653 Anmerkungen zu Abhandlung XI, S. 439—442

Betrachten wir andererseits ein zweidimensionales Element e: 2, y,21,..., 2n_1,Pı, So gehört zu jedem dem Punkte 2, %y,2,,...,2,_, unendlich benach- barten Punkte, der in der Ebene von e, enthalten ist, der also die Gleichungen:

dz, — pıde — Pdy=0, ds, —a,ade— Bzdy=0 G=2,..,n—1) erfüllt, ein ganz bestimmtes unendlich benachbartes Element e,, das durch: dp, = udz d definiert ist. n aaa

S. 440f., Nr. 75, 76. Man vergleiche die Betrachtungen auf S. 403f., die einen ganz ähnlichen Charakter haben, sowie meine Anmerkungen dazu, $. 642f.

Ist X, Y,, Y3, Z1,-- -»Zn_3> Yı, X, ein beliebiges Linienelement L, so ist jedem dem Punkte P von L unendlich benachbarten Punkte P:X-+dX, Zu+ X, Z,+ dZ, ein unendlich benachbartes Linienelement L’ zugeordnet, das bis auf unendlich kleine Größen zweiter Ordnung bestimmt ist. Wir erhalten L’, wenn wir

setzen: ; ; aY,=adX, daY,=odX.

Diesem Linienelemente L’ und also auch dem Punkte P’ ist nun vermöge (IV), (VI) ein gewisser dem Punkte p unendlich benachbarter Punkt zugeordnet, der aber unbestimmt wird, wenn P’ dem Linienelemente L selbst angehört, wenn also die Ausdrücke:

daYı -— YıaX, dY,— Y,dX, dZ,— Q,4X VE RE ER N

verschwinden. Dann werden nämlich die zugehörigen Ausdrücke dx,dy,dz, sämtlich gleich Null.

Einfacher und zugleich schärfer lassen sich diese Beziehungen darstellen, wenn man sich der Gleichungen (IX) erinnert, die ja auch in der aufgelösten Form (X) geschrieben werden können. In diesen liegt eine wichtige Eigenschaft der eindeutig umkehrbaren Zuordnung, die zwischen den Linienelementen L des Raumes (X) und den zweidimensionalen Elementen e, des Raumes (x) hergestellt ist. Denkt man sich nämlich alle dem Linienelemente L unendlich benachbarten Elemente L, deren Punkte einem solchen zweidimensionalen Elemente &, des Raumes (X) an- gehören, das das Linienelement L enthält, so zeigen die Gleichungen (IX), daß die Punkte p’ der entsprechenden Elemente e,, alle einem solchen dreidimensionalen Elemente e, des Raumes (x) angehören, das das Element e, enthält. Da nun die Gleichungen (IX) auflösbar sind, so ist hierdurch ein eindeutig umkehrbares Ent- sprechen hergestellt zwischen den zweidimensionalen Elementen €, des Raumes (X), die das Linienelement L enthalten, und den dreidimensionalen Elementen e, des Raumes (x), die e, enthalten. Damit aber besteht zugleich ein eindeutig umkehr- bares Entsprechen zwischen den w-dimensionalen Elementen E, @So<n) des Raumes (X), die L enthalten, und den (®-- 1)-dimensionalen Elementen e,,,ı des Raumes (x), die e, enthalten.

Das ist der wahre Sinn der Auseinandersetzungen von Lie S. 441, 2. 10—16. Deren Verständnis wird dadurch erschwert, daß Lie unterlassen hat, hervorzuheben, daß das (» + 1)-dimensionale Element des Raumes (z), auf dessen Ebene die Punkte

der Elemente e/,e/,...,e‘’ liegen, das ganze Element e, enthalten soll, und daß das w-dimensionale Element des Raumes (X), auf dessen Ebene die Punkte der Linienelemente L’,L’’,..., L'® liegen, das ganze Linienelement L enthalten soll.

S. 442, Nr.79,80. Daß das Linienelement auf Z.15 mit L, bezeichnet wird, ist nicht ganz glücklich, denn man kommt unwillkürlich auf den Gedanken, daß L, das zu P, gehörige Linienelement von K, sein soll, was aber nicht der Fall ist.

Die Betrachtungen der Nr.79, 80 lassen sich etwas einfacher darstellen, wenn man beachtet, daß die Gleichungen:

nl, PR CHR ar NE Eye da = (k=1,..,n-1)

Beziehung zwischen den Linienel. L des R, u. den El. e, des r„+ı 659

durch Elimination der X ein (n — 2)-gliedriges Mongesches System liefern, das die Bedingungen ausdrückt, unter denen zwei unendlich benachbarte Kurven K ein- ander schneiden. Bei den hier gemachten Voraussetzungen enthält dieses (n — 2)- gliedrige Mongesche System das (n — 3)-gliedrige Pfaffsche System (1), S. 441, das von den oo" Flächen f des Raumes (z) befriedigt wird. Dieses Pfaffsche System ordnet jedem Punkte p des Raumes (x) ein vierdimensionales Element e, zu, in dem offenbar alle die oo! zweidimensionalen Elemente e, enthalten sind, die zu p gehören (S.439, 2.21f.). Die Gleichung, die mit (1) zusammen das (n — 2)-gliedrige Mongesche System bestimmt, stellt dann in diesem e, die dreidimensionale kegel- artige Mannigfaltigkeit dar, die von den Ebenen dieser oo! Elemente e, gebildet wird. Wir erwähnen noch, daß jeder p unendlich benachbarte Punkt p’, der auf der Ebene eines der oo! Elemente e, liegt, das Bild ist einer Kurve K’, die der Bild- kurve K von p unendlich benachbart ist und diese schneidet.

Haben wir nun zwei unendlich benachbarte Kurven K und K’, die durch die Wertsysteme x, und z,—+ de, bestimmt sind, und schneiden diese Kurven einander, so ist stets das Pfaffsche System (1) erfüllt. Sind daher L und L’ zwei unendlich benachbarte Linienelemente, die beziehungsweise diesen einander schneidenden Kurven angehören, so entsprechen denen im Raume (x) zwei unendlich benachbarte zweidimensionale Elemente e, und e,, deren Punkte p und p’ eben die Punkte x, und z,+ de, sind. Da hier das Pfaffsche System (1) erfüllt ist, liegt der Punkt p’ immer auf dem durch den Punkt p gehenden vierdimensionalen Elemente e,, das (1) dem Punkte p zuordnet. Überdies ist das Element e, ganz in dem Elemente e, enthalten.

Wir nehmen jetzt eine beliebige Kurve K, und legen durch den Punkt P, auf dieser die o0® hindurchgehenden Kurven K. Wir erhalten so eine dreifach ausge- dehnte Mannigfaltigkeit M,, und es handelt sich darum, in einem beliebigen Punkte P von K, das dreidimensionale Element E, zu bestimmen, das zu M, gehört. Da M;, eine kegelartige Mannigfaltigkeit ist, auf der P, die Rolle der Spitze spielt, so wird E, in P, selber unbestimmt, oder, genauer gesagt, M, ordnet dem Punkte P, oo? verschiedene E, zu, derart, daß zu jeder durch P, gehenden Kurve K ein ganz bestimmtes E, gehört. Nehmen wir aber P von P, verschieden an, so ordnet M, dem Punkte P ein ganz bestimmtes E, zu, dessen Ebene durch die zu P unendlich benachbarten Punkte von M, bestimmt wird. Ist L das zu P gehörige Linienelement von K,, so erhalten wir die zu P unendlich benachbarten Punkte von M,, indem wir auf jeder der oo! durch P, gehenden, zu K, unendlich benachbarten Kurven K’ ein zu L unendlich benachbartes Linienelement L’ auswählen und zu den Punkten P’ dieser Linienelemente den P unendlich benachbarten Punkt von L hinzunehmen. Das zu P gehörige Element E, von M, enthält daher jedenfalls, was allerdings von vornherein klar ist, das Linienelement L. Diesem Linienelemente L entspricht nun im Raume (X) ein Element e,, dessen Punkt der Punkt p, ist, der der Kurve K, entspricht, und dieses Element e, ist in dem p, durch (1) zugeordneten Elemente e‘ enthalten. Andererseits entsprechen den unendlich benachbarten Linienelementen L’, die ja alle auch auf M, liegen, lauter Elemente e/ des Raumes (x), deren Punkte wie wir vorhin gesehen haben, auf der Ebene des Elementes e° liegen. Dem drei- dimensionalen Elemente E,, das das Linienelement L enthält, ist nun nach dem Früheren ein ganz bestimmtes vierdimensionales Element e, zugeordnet, in dem das L entsprechende zweidimensionale Element e, enthalten ist. Dieses Element e, ist aber, wie aus dem eben Gesagten hervorgeht, kein anderes als das Element e?, das nur von dem Punkte p,, das heißt von der Kurve K, abhängt, nicht aber von der Wahl des Punktes P, auf K,. Demnach hängt auch das Element E, im Punkte P nicht von P, ab, sondern nur von der Kurve K,, mit anderen Worten: Die oo! dreidimensionalen M,, die durch die oo! Punkte P, von K, geliefert werden, be- sitzen in jedem Punkte von K, dasselbe dreidimensionale Element E,, sie berühren einander längs der Kurve K,.

660 Anmerkungen zu Abhandlung XI, $S. 442—447

Es bedarf wohl kaum der Erwähnung, daß auch dem von uns benutzten Punkte P, von K, ein ganz bestimmtes E, zugeordnet ist, das unter den oo! vorhin erwähnten E, enthalten ist, die die durch P, bestimmte M, im Punkte P, besitzt. Dieses E, ist offenbar bestimmt durch die zu P, gehörigen Linienelemente der oo! durch P, gehenden, zu K, unendlich benachbarten Kurven K.

S. 444, 2.10—8 v. u. Es ist das die allgemeinste partielle Differentialgleichung 1.0. des R, mit 00° charakteristischen Kurven, die bloß eine Mongesche Gleichung

erfüllen. Ersetzt man die Flächenschar (2) durch eine Schar von oo® Kurven:

(2) y Pi: re ABl. 500)

und fügt die Gleichung: (8) %,=Pp+ 4%,

hinzu, so hat man ebenfalls oo* Integralvereine von (1). Erfüllen nun diese keine partielle Differentialgleichung 1. O., lassen sich also a,,...,a, nicht eliminieren, so stellt das System (2’), (3°) ebenfalls die 00° Charakteristiken einer partiellen Differentialgleichung 1. O. des R, dar. Aber die so erhaltenen Differentialgleichungen stecken schon unter denen, die die Systeme von der Form (2), (3) liefern. Man kann ja jede Schar von oo! Kurven (2) durch eine Berührungstransformation des Raumes 2, y,2 in eine Schar von oo? Flächen überführen; das aber heißt: jede Schar (2), (3°) von 005 Kurven des R, kann durch geeignete Wahl der Parameter z, y, 2, p,q die Form (2), (3) erhalten.

S. 446, Nr. 86. Jedem Punkte P der Charakteristik Ko ist nach dem Vorher- gehenden ein dreidimensionales Element E, zugeordnet, in dem das zu P gehörige Linienelement L von K® enthalten ist. Legen wir andererseits durch einen be- liebigen anderen Punkt PP von K® die hindurchgehenden Charakteristiken, so er- halten wir eine dreidimensionale Integralmannigfaltigkeit M?, die K° enthält, und auf der zu P ebenfalls das Element E, gehört, wie auch P® gewählt werden mag. Diesem Elemente E, entspricht nun eindeutig umkehrbar ein vierdimensionales Element e, des Raumes (x), und zwar ist der Punkt von e, der Punkt p®, der der Charakteristik K° entspricht, während e, überdies das dem Linienelemente L ent- sprechende Element e? mit dem Punkte p° enthält. Die Ebene von E, enthält nun offenbar jeden P unendlich benachbarten Punkt P’, der auf einer zu K® unendlich benachbarten, K® schneidenden Charakteristik K’ liegt. Ist L’ das zu P’ gehörige Linienelement von K’, so entspricht L’ im Raume (x) ein zweidimensionales Ele- ment e/, dessen Punkt p’ auf der Ebene von e, liegt. Nun aber sind p,, p’ die Bilder von zwei unendlich benachbarten, einander schneidenden Charakteristiken, dem- nach liegt p’ auf der Ebene eines der oo! zu p® gehörigen Elemente e,. Anderer- seits ist K’ eine beliebige zu K° unendlich benachbarte und K® schneidende Charakte- ristik. Folglich können wir schließen, daß alle die oo! zu p® gehörigen Elemente e, in dem Elemente e, enthalten sind.

Hiermit ist bewiesen, daß die oo” Flächen f des Raumes (x) unter der von Lie gemachten Voraussetzung ein (n — 3)-gliedriges Pfaffsches System erfüllen.

S.446, Theorem XI. Nach S. 656, Z. 7—10 müßte hier eigentlich hinzuge- fügt werden, daß diese charakteristischen Kurven nur die kleinste mögliche Zahl, das heißt, nur n— 3 Mongesche Gleichungen erfüllen.

In meiner auf S.648 angeführten Abhandlung habe ich ganz allgemein die Kriterien angegeben, an denen man erkennen kann, daß eine vorgelegte partielle Differentialgleichung 1.0. des R, gerade oo”+” charakteristische Kurven besitzt, (dabei vorausgesetzt, daß die Zahl der Mongeschen Gleichungen, denen diese Kurven genügen, den kleinsten möglichen Wert n — m — 2 hat.

8.447, 2.7—12. Für X,,...,X, schreiben wir: X,X,,...,X,_2,Z2 und geben der Bedingung für die vereinigte Lage von zwei unendlich benachbarten

EA a en

Part. Dgl. 1.0. des R,„ mit oo®*+! Charakteristiken 661

(n — 1)-dimensionalen Elementen des R, die Gestalt: 1...n—2

Die partielle Differentialgleichung 1. O0. W = 0 können wir dann in der Form:

(2) BEI Aa a Pr Pad 9

annehmen, und die Differentialgleichungen der charakteristischen Streifen werden: 3) X=F,, Z= —F+23P,F,, P= —Fu,— Pf, G=i...,.-2.

Aus den n—1 ersten Gleichungen (3) ergeben sich in unserem Falle gerade n — 3 Mongesche Gleichungen, etwa:

| EP ey FR

4 “ EZ RMAR.. A LE R..8.). Aus der Gleichung: 1...n—4 (5) Q=P+PXi+P,X:+ IP, % k in Verbindung mit: 02% (6 ö 28 we f >23, P ee (u=1,2) ) I & > ArROXT,

ergibt sich dann durch Elimination von X/, X} die Gleichung (2) wieder. Die ersten beiden der Gleichungen (3) sind nichts anderes als die Auflösung der Gleichungen (6) nach X), X].

Die charakteristischen Kurven von (2) sind definiert durch (4) und zwei hinzu- tretende Gleichungen:

(7) Ku en Ou (X, Al, ee u, Z, X, ’ X,) (u=1,2),

die erhalten werden, wenn man die beiden ersten Gleichungen (3) nach X differen- tiiert und dann P,, P, vermöge (6) eliminiert, wobei P;,..., P„_, von selbst heraus- fallen. Bei Benutzung der Anfangswerte von X,,...,X,_2»2, X,, X, für X= X können wir diese charakteristischen Kurven in der Form:

sans DARK AR AK AR) =1,..,n-9),

8 Z= X, Ey RE Ei N a: a

darstellen, oder, wenn wir die beiden ersten Gleichungen (3) für X —= X® benutzen, in der Form:

(8*) Kr a AIR AN E Z ei Pa Yeaiiii,a-,

Z= Z(X, B 4 re ur Pi u Bach

wo allerdings n — 4 von den Parametern P} überzählig sind.

Die charakteristischen Streifen von (2) erhalten wir, wenn wir zu (8*) gewisse Gleichungen: (9) PR, =D. A, 00 42, PP, Ber...

hinzufügen. Hier können wir aber, wenn wir wollen, indem wir (6) für X— X® benutzen, 6 Größen P?, P} durch 29, 2°... , 2, X. X®, P%,...,P3_, ausdrücken und haben dann die Gleichungen (8) hinzuzufügen, um die charakte- ristischen Streifen zu bekommen.

662 - Anmerkungen zu Abhandlung XI, S. 447, 448

Wir erinnern nun an einen wichtigen Satz von Lie (s. Abh. II, S. 114, Satz 11). Hat man nämlich zwei unendlich benachbarte charakteristische Streifen, die durch zwei unendlich benachbarte vereinigt liegende Elemente von (2) gehen, so liegt jedes Element des einen mit jedem unendlich benachbarten Elemente des anderen vereinigt. Dieser Satz findet seinen analytischen Ausdruck darin, daß die Gleichungen (2), (8*), (9), wenn man alle darin vorkommenden Größen als veränderlich betrachtet

d: En PD _ 7X 3, m, mr ...0B setzt, die folgende Relation nach sich ziehen: 1...n —2 1...n—2 (10) dZ — PdX— I P,dX,=o (a0 — max— Iruaxt), v v

wo rechts die Veränderliche X nur in dem Faktor o vorkommt. Statt der bisherigen benutzen wir nunmehr als Koordinaten für die Elemente der Gleichung (2) die von einander unabhängigen Größen:

2 RE CEIRINED.EE ER T FERT

indem wir P, P,, P, vermöge (5), (6) durch die neuen Veränderlichen ausdrücken. Dann nimmt (10) die Gestalt an:

2

d2 — QdX — >}, 2 (dXu — KudX) —

DRG (10°) | l...n—4 240 = IPırr Gert x-$ oX. aX.—XıaX)) --

\ = o(dZ _WaXe—...),

wo unter X, die Ausdrücke: Du

(11) a = EN zu verstehen sind, während: (12) Br ee. near

aus (9) durch Verbindung mit (6) erhalten wird.

Der Bequemlichkeit wegen wollen wir von jetzt ab X® als fest betrachten und demnach dX° —= 0 setzen. Dann stellen die Gleichungen (8) mit den n-+ 1 Para- metern: X°,..., X/° alle o0”+! charakteristischen Kurven von (2) dar, und die Gleichungen (8), ai), (12) stellen, wenn man P,,..., P„_. als Parameter auffaßt, die 00% 4 charakteristischen Streifen dar, die zu einer beliebigen charakteristischen Kurve gehören.

Betrachten wir in (8), (11), (12) X als konstant, X, P},..., P}_, als veränder- lich und setzen wir für X°%,...,X%_,,2., X7°, X, Br Funktionen zweier Ver- änderlicher u, v, daß die n — 3 Pfaffschen Gleichungen:

1,2 ’ 00° I ae u (13) ar dAX} ER — Sn arı=0 (k=1,...,n-4) u u

identisch erfüllt sind, so verschwindet die linke Seite von (10’) bei der Substitution (8), (11), (12) identisch, das heißt, die Gleichungen (8), (11), (12) stellen einen Inte-

Part. Dgl. 1. O. des R„ mit oo**1! Charakt. 663

gralverein der Gleichung (2) dar, der als Punktgebilde betrachtet von oo? charak- teristischen Kurven erzeugt ist und 0o0”"”! Elemente enthält.

Wir bemerken noch, daß die Gleichung (10°), wenn man dX, = 0 setzt und die Glieder mit dX wegläßt, die Form:

20 (14) 12 Ir..1(0x..r- > 3x.) =euz—. 3

annimmt, wo sich die Operation ö bloß auf die Größen X%,..., X7_2,2°, X]°, X bezieht. Da P} ,„nurin den P,,, vorkommt, zerlegt sich (14) in n—3 Gleichungen, in denen rechts die linken Seiten von (13) stehen, während die linken Seiten linear und homogen aus den Ausdrücken: 6Z,6X,,...,0X„_, abgeleitet sind. Hieraus geht hervor, daß die Gleichungen (13) die n— 3 Pfaffschen Gleichungen sind, die (vgl. S. 659) erfüllt sein müssen, wenn zwei unendlich benachbarte charakte- ristische Kurven einander schneiden sollen, oder, was auf dasselbe hinauskommt: Das Pfaffsche System (13) wird von den Gleichungen (8) mit den n willkürlichen Konstanten X,X,,...,X„_3;Z identisch befriedigt.

Die von Lie auf $S. 447, Z. 7—12 aufgestellte Behauptung ist hiermit bewiesen.

Ähnliche Theorien lassen sich für die partiellen Differentialgleichungen 1.0. des R, entwickeln, die o0*"*” verschiedene charakteristische Kurven haben, welche gerade n — m — 2 und nicht mehr Mongesche Gleichungen befriedigen. In meiner auf S.648 angeführten Abhandlung habe ich gezeigt, daß dann unter den Bedin- gungen für das Schneiden zweier unendlich benachbarter Charakteristiken gerade n—m-—2 Pfaffsche Gleichungen enthalten sind. Dieses Pfaffsche System spielt dabei dieselbe Rolle, wie hier das System (1), S. 441. Seine (m + 1)-fach ausgedehnten Integralmannigfaltigkeiten liefern solche Integralvereine der betref- fenden partiellen Differentialgleichung, die, als Punktmannigfaltigkeiten (m + 2)- fach ausgedehnt, von je o0'”"*+! charakteristischen Kurven erzeugt sind.

S.448, 2.4,3v.u. Unter ‚Integration‘ ist hier die Bestimmung aller der Integralvereine zu verstehen, die als Punktmannigfaltigkeiten dreifach ausgedehnt sind. Kennt man die 00% Charakteristiken, so kommt die Aufgabe hinaus auf die Bestimmung aller zweifach ausgedehnten Integralmannigfaltigkeiten eines zwei- gliedrigen Pfaffschen Systems in sechs Veränderlichen. Dieses System besitzt viergliedrige vollständige Lösungen und gehört daher zu der auf S. 426f., in Nr. 53, 54 behandelten Kategorie.

S.448,2.2,1v.u. Leider nicht geschehen.

Verzeichnis der Briefe, aus denen Stellen abgedruckt sind oder auf die Bezug genommen wird.

I. Lie an A. Mayer.')

11.1.1873: S. 476, Z. 23—28.

26.1.1873: 8.476,: 2.4,3 v.u.; #7, 2.1—15.

13., 14. 2.1873: S. 478, 2. 20—23.

März 1873: 8.470, 2.7—13; 8.521, 2.11—3 v. u., 8.522, 2.1—21, 2. 5, 4 v.u.

Um den 7.—10. April 1873: 2.12—6 v.u., 8.523, 2.1—3.

Mai 1873: 8.478, 2.7—3 v. u., 8.479, 2.1—39, 2.2,1v.u.

Beantw. 13.6.1873: 8.481, 2.10—5 v.u.; 8.470, 2.17—25; 8.492, 2.3 v.u. bis S. 493, 2.20 v.u.

Erh. 8.11.1873: 8.517, 2.9 bis S.518, 2.20 v.u.

Erh. 10.11.1873: 8.513, 2.23—16 v.u.

Erh. 12.11.1873: 98.470, 2. 28—39J, S.471, 2.1—3; 8.493, 2.3—l v. u., S.494, 2.3 bis S. 495, 2.12.

Erh. 3.2.1874: 8.582, 2.7 v. oo. bis 19 v,

Erh. 19.4.1874: S.518, 2.8, 7 v.u; S.519, 2.1—6; 8.471, Z. 24—42 v.o., 5—1 v. u.; 8.472, 2.1—3.

Juni 1874: S. 472, 2.17 —20.

Ein alter Brief, der einem Briefe vom 28.6.1874 beigelegt war: 98.472, 2.24 v,o. bis S. 473, 2.4.

5.7.1874: 8.582, 2.17 v.u. bis S. 583, 2.27.

6.7.1874: S.473, 2.8 v. 0.—2l v. u; S. 486, Z.1 bis S. 487, 2.9.

Juli 1874: S. 473, 2.18—4 v. u.

Juli 1874: S. 474, 2.13 bis 8.475, 2.7.

Ende August 1874: 8.475, 2. 27—35.

Erh. 13.9.1874: S.475, 2.12 —9 v. u.

8.522,

Erh. 5.10.1874: 5.604, 2.6—14; 8.475, 2.7—4 v.u.

Okt. 1874: S. 514, 2.3v.0.—7v.u.

Okt. 1874: 8. 182, 7. 3—T7.

Dez. 1874: 8.523, 2.18—8 v.u.; 8.524, 2.1—21.

Erh. 4.5.1875: S. 482, 2.9—11.

Erh. 6.5.1875: 8.583, 2.21 v.u. bis 8.584, 2.T.

Antwort auf Mayers Brief vom 16. 6. 1875: 8.576, 2.3,2 v.u.; 8.577, 2.1,2.

Sommer 1876: 8.457, 2.22, 21 v. u.

Erh. 12.7.1876: S.547, 2.18, 17 v. u.

Erh. 14. 10. 1876: S. 547, 2.15—2 v.u.;

8.548, 2.1—3. -

Erh. 29.10.1876: 8.548, 2.7—26.

Nov. 1876: 8.554, 2.4—6; 8.559, 2.19; 8.549, 2.18—22; S.567, 2.9—13.

Nov. 1876: 3.589, Z2.31L; 8.567,

2.17—19, 21—23; 8.575, 4. 20—9 v. u.; 8.575, 2.6—1 v. u.; 8.559, 2.4—1v.u.

Nov. od. Dez. 1876: S. 570, 2. 9—11; S.584, 2.17—10 v. u.; 8.586, Z. 18 v.o.—11v.u.,3—lv.u.

März 1877: 8.577, 2.5—15.

II. A. Mayer an Lie.

19.1.1873: S. 476, Z.30 v. 0.—6 v. u.

1.2.1873: S.477, 2.18 bis S.478, 2.18.

11.3.1873: S. 521, 2.6 v.o.—13 v.u.

4.4.1873: S. 522, 2. 23—832.

9.5.1873: 8.478, 2.20—9 v.u.

24.5.1873: 8.479, 2.13—3 v.u., 8. 480, 72.1—11; S.480, Z.14 bis S.481, 2.12 v. u. (Die Prioritätsrekl.)

13. 6.1873: S. 493, 2.16—12 v. u.

1)Da Lie nur selten den Tag angibt, an dem er den Brief geschrieben hat, muß oft der Tag aushelfen, an dem A. Mayer den Brief erhalten oder beantwortet

hat.

Verzeichnis der Briefe, aus denen Stellen abgedruckt sind

8.11.1873: S. 493, 2.11—6 v. u.

2.12.1873: 8. 472, 2.2 v. u.

14. 2.1874: S. 471, Z. 12 —22.

13.5.1874: S 472, 2.5—14.

15. 7.1874: S. 474, 2.2—11.

1.8.1874: S. 475, 7. 9—13, 17—20.

10. 8. 1874: S. 475, 2.2v.u.

6. 10. 1874: S. 514, 2.2 v.u.

15. 6. 1875: 8.576, 2.3 v.o0.—14v.u.

24.10.1876 (Postkarte): S.548, 2.4.

2.11.1876: 8.548, 2.27—35; 8.560, 7.7 v.u. bis 8.561, 2.12; 8.589, 2.13—17, 27—29.

9.11.1876: S. 549, Z. 12—16.

12. 11.1876: 8.586, 2.1—16.

30.11.1876: 8.575, Z. 13—23.

17.12.1876: 8.548, Z2.15—13 v. u.; S.576, 2.10—2 v.u., 8.577, 2.1, 2.

III. Lie an F. Klein. Dez. 1885: Vorwort S. X, Z. 16—21.

IV. F. Klein an Lie. 9.6.1875: S. 524, 2. 24—29. 8.7.1875: S. 524, Z.31—40. 20.7.1875: 8.524, 2.11—7v.u. 10.10.1875: S. 525, 2.4—10. 27.1.1876: S. 525, 2. 13—18. 12.4. u.4.5.1880: S. 684.

V. Aus der ursprünglichen Fassung von Abhandlung I und III in Lies Handschrift.

8.476, 2.6—8; 9£.

669

S.490, 2.6—3 v.u.,Z.1v.u.; $S. 491, Z.1—11.

.491, 2. 26f.

‚492, Z.18—20, 22, 23£., 17’—15 v.u. 497, 2. 14—16, 17, 22, 25£.

:503, 2.9 v.u.

504, Z.16—19.

507, 4.14,13 v.u.

515, 2.19—16 v. u.

516, 2.2v.u.

519, Z. 10—20, 24, 28, 29.

020, 4.14, 188., 35,

523, 4. 4—6, 9.

.929, 2. 9—12.

549, 2.1.

550, 7. 12—14, 34£., 36f., 38f.,4v.u. 550, 2.3 v.u.— 551, 2.3.

553, 2.9, 8 v.u.

854, 2. 2£., 12, 13—17, 9—7 v. u. 558, 2.10,9 v.u.

559, 2. 5—8, 20—22,25,35f.,6,5v.u. 559, 4.13—7 v. u.; 8.560, Z2.1—30. 561, 2.18 —4 v.u.

566, 2.14,13 v.u.,,3,2v.u.

567, 4. 3—5, 27£., 29—32.

571, 2.5,4v.u.

572, Z. 20—25.

877, 4. 8T., 25, 28.

579, 2.1v.u.

580, 7.231.

‚581, 2. 21—27.

964.141, 28. 291.91. 2.76 v.u. .985, 4. 14—17,18 v.0.—1v.u.

8.482, 2.8,7v.u. .587, 2.4, 7. 8.483, 2. 21£., 30f., 32f., 2.2,1v.u. .588, 2.20. Sachregister.'‘)

Abelsche Gleichungen III, 187f. Ihre Analogiem.solchen Diffgl.,dieeine bek. inf. Trf. gestatten 190, 566, Z.13—15.

Äquivalenzproblem VIII, 319.

Allgemeine Invariantentheorie s.Diff.- Gl., part. 1.0. Allg. Lösung, nach Lagrange VIII, 317. Allg. Integral s. Ampere. Allg. Involutionssysteme 529, s. Diffgl. III.

Amperes allgemeines Integral 1. Klasse IX, 333, 603.

Angehören. Eine Fkt. gehört einer Gruppe an I, 36.

Ausfüllen s. Kurvenscharen.

Ausgezeichnete Funktionen s. Grup- pe von Fkt.

Axiome (Forderungssätze) III, 237.

Berührungstransformationen. Schon Euler benutzt sie I,5. Ja- cobi hat ihre allg. Theorie vorbereitet ebd., VIII, 318. B.-T. als Wechsel des

N, Die kursiv gesetzten Seitenzahlen beziehen sich auf die Anmerkungen. Stichwörter, die nur in den Anmerkungen vorkommen, sind mit einem * versehen.

666

Raumelements 1,5. Frühere Defini- tion 6. Scharfe Def. 6f. D. Best. aller B.-T. gleichbed. mit der Überführ. des

Ausdr. de— Zp,dz, in eine belieb.

neue kanon. Form 8f., 11, 2.1—5. Erste Bestimmung aller B.-T. in 2.x,p aus Gl. zwischen 2, 2,,2', &, 8£f., IV, 272—274. Klassifikation der B.-T. I,10, 484. Zweite Best. durch Fkt.7Z, X, in den Bezieh. [ZX,]= 0, [X,X,]= 0 I, 10—12. Die Gl. [v1 ®;] — (0) bleibt bei B.-T. bestehen 191. Analyt. Kennzeichen der B.-T. in 2,2, p I, 23; IV, 278—281. Inf. B.-T. in 2, x, p 275. B.-T. in x, p I, 14. Erste Best. 13f. Zweite Best. 14f. Man er- hält so alle B.-T. in z,p 16—18. Die B.-T. in z,p abgeleitet aus den Gl. 2’ =X,, pf = P, 18f. Analyt. Kennzeichen der B.-T.in x, p 20—23. Inf. B.-T. in x, p IV, 281f. Homogene B.-T. I, 23—26; IV, 281. Inf. hom. B.-T. I, 26f. Die inf. hom. B.-T. (Pa — hn;f) läßt den Ausdr. pıdz, + ...4+P,_1dr„_ı+ h,de, inv., u. dies. Ausdr. verschwind., wenn man die dx, durch die Zuwachse öz, ersetzt 545. Probleme der Invth. der B.-T. in 2, p 38f., 5lf. Wann ist eine r-gl. Fktgr.dch. B.-T. in x, p in eine andere überführbar? 60f. Wann r Fkt. in r andere ? 61—63. Wann eine r-gl. hom. Fktgr. dch. hom. B.-T. in eine andere ? 90. Wann r hom. Fkt. in r andere? 90f. Ein Glsyst. Q,(x, &)= 0, das keine B.-T. des R,, liefert, bestimmt eine B.-T. zwischen den Elementen zweier Involutionssysteme III, 251 bis 256. Mayers Begründung der Theorie und Lies ursprüngliche Begr. 473. Unendliche Gruppe von B.-T. in x, p IV, 283. Erweiterung einer B.-T. in z,x2,p 284—286. B.-T. zweiter u. höherer O. XI, 387. B.-T. zwischen den Integralkurven zweier (n — 1)-gl. Mongescher Systeme des R, 396. B.-T. n-ter O. gibt es in der Ebene nur für n=1 414f. Eine p. D. höh. ©. oder ein Syst. von solchen gestattet keine endlichdeutige B.-T. höherer O. 415, 650. Unendlichdeutige B.-T. 415, 650. Vgl. Diffgl., part. 1.0.

Beweglichkeit, freie, bei einer reellen Gr. des R, V, 304f.

Sachregister

Bewegungsgleichungen. Ihre Inte- gration vermöge eines allgemeinen Prinzips I, 77, 516.

Bianchis Konstruktion v. Fl. konst. Kr. als unendlichdeutige B.-T. XI, 415, 650.

Bilineare Kovariante eines Pfaff- schen Ausdrucks 484, 510, 513, 527, 650.

Cauchys Methode zur Integr. part. Diflol:+3.0, 131; 13,234; IV, 288: VIII, 318. Ihre wahre allg. Form Ila, 155, 159f. Lies Erweiterung I, 60, 513, 2. 25; Ila, 156, 1601.

Cayleysche Invth. s. d.

Charakteristiken nach Monge ], 2; VIE, 3375 D£, 5823; 8327, Ch. al Punktörter von charakt. Streifen II, 116, 528.

Charakteristische Fkt. einer inf. B.-T. in 2, x, p IV, 275. Ch. Fkt. von X,X,f—X,X,f, wenn X,f, X, d. ch. Fkt. W,,W, haben 282. Verhalten der ch. Fkt. bei endl. B.-T. 282£.

Charakteristische Fortschreitungs- richt.,d.d. Pfaffsche GLFX,.d2z,—=0 dem Punkte x, von 9 = const. zuord- net 488.

Charakteristische Streifen s. Diffgl., part. 1.0. — Char. Str. erster, zwei- ter, »...,.0. 185880: Ne har. Str. einer part. Dgl. 1.0. das einzige, was bei B.-T. inv. III, 261£.

Charakteristische Vereine in den nichthom. Elementkoord. z,,p; 588.

Clebschsche Methode bei part. Diffgl. 1.0. III, 235. Cl. Gl. beim Pfaff- schen Probleme I, 7, 10, 28, 34, 484£., 486f£f., 49488.

Darbouxsche Systeme Diffgl., part. höh. O. Definitionsgleichungen einer endl.

kont. Gruppe IV, 289, 592. VI, 307. Des Jacobischen Multiplikators 572. Determinierter Fall des Pfaffschen Problems I, 13, 490. Differentialgleichungen. Ihre Theo- rie die wichtigste math. Disziplin IX, 320. Geschichtliches, die verschiedenen Richtungen in d. Theorie 320 bis 327. I. Gewöhnliche Diffgl. 1. O., die eine bekannte inf. P.-T. oder B.-T. ge-

IX, 336, s.

Berührungstrsf. bis

statten, erfordern nur Quadratur III, 191—195, 258f. Beispiele 256—258. Diffgl. mit isothermen Integralk. 259, 589. Diffgl. 1. u. 2. O., deren allg. Lös. aus m partik. zusammensetzbar VI, 307; Gl. 1.0O., deren allg. Lös. aus einer partik.herleitbarVII,315f., Nr.6, 601. Simultane Syst. mit m Fundamen- tallös. Warum A. Guldberg u. Ves- siot nicht alle finden VI, 308f., VII, 316. Jede endl. kont. Gr. liefert ein sim. Syst. mit Fund.-Lös. VI, 309f.; VII, 314f. Der Guldbergsche Fall, wo die allg. Lös. durch m partik. nur in einer Weise ausdrückbar 310. Allge- meiner Fall 310f. Man erhält so alle sim. Syst. mit Fund.-Lös. 311, 316, 597—599. Lies Integratth. einer Gl. 0f:92+2Z,@)X,f=0, wo die X,f eine r-gl. Gr. mit bek. endl. Trff. er- zeugen 311—313. Reduktion auf ein vollst. Syst. mit bek. endl. Gruppe 313, 599—601.

I. Gewöhnliche lin. hom. Diff.- Gl. n-terO. Problem: Man kennt I Rel. zwischen z und n unbek. partik. bös.: cl, Yale: W291,:7898. Durch Diff. erhält man e. Glsyst. in T,Yys Yayre. Yyl9)), das eine inf. Trf. Xf gestattet 291—294. Geom. Deu- tung, Integralk., Gruppe, die die Inte- gralk. vertauscht 294—297, 593. Der Ruan,;ı wird in kleinste bekannte Mann. zerlegt, die v. Integrk. erzeugt 297—300, 594f. Das Problem ein bes. Fall der Aufg., ein vollst. Syst. zu integr., dessen Integralmann. bei einer bek. Gr. einfach transitiv transf. wer- den 300—302. Ableitung u. Vervoll- ständ. der Ergebn. Halphens 302 bis 304, 5951.

III. Partielle Diffgl. 1. O. mit einer unbek. Fkt.

A. Verschiedenes. Eine lineare homogene II, 97. Die gemeins. Lös. von zwei solchen 99. Vollständige Systeme 100—102. Beliebige G.1. O., Geschichte der Theorie I, 1f. Pfaffs Fassung des Integrprobl. 2. Lie- sche Verallg. des Integrpr. IV, 267. Rationelle Behandl. d. Gl. 1.0. L,3. Fundamentalbegriffe II, 97. Einfache Begründ. der Th. der p. D.1.0O. im R, IX, 334f., 604. Verbesserung der

Differentialgl. III, C 667

Jacobi-Mayerschen Meth. für Gl. in z,2,p I, 28—30, 492f., für Gl. in x, p 31—33. Einwand von Mayer 34, 493, dessen Erledigung 34—36, 4931. Vollst. Lös. im Sinne von Lagrange 30. Erweiterung des Begriffs 31, 492. D. Integr. von N (z, z, p) = 0 kommt hinaus auf d. Best. aller inf. B.-T. der Gl. 27, 471, 491.

B. Allgemeine Theorie. Die Glsyst., die Zp,dz,—= 0 machen II, 102—105. Äquivalente Wertsyst. z,p 105. Mann. M,, von oo® Wertsyst., die Zp,dz;,—=0 machen 105. Das allge- meinste Problem d. Theorie 108. Fall, der keine Integr. erfordert 109. Die Integral-M „_, einer Gl. in x,p und die Integral-M,_,_ı von q Gl. 109. Satz von Jacobi über nach den p, auflösbare Glsyst.: FR =a,,...,F, = 4a,„, die Zp,dx, zu einem vollst. Diff. machen 110, 526. Aus der Gl. Z®,dF,= &p,de, folgen Bezieh. zw. den ®,,F, 110f., 526f. Wann d. Gl. F\=a,...,F,„= a, Element-M,_ı darstellen 111f. Vollst. Lös. F, = a,?, Faa:..,Fi= 0,derG.F, =a, 112, Jede Gl.F,= a, eine Integralgl. des sim. Syst., das d. char. Streifen von F,= a,® definiert 112f. Die char. Str. von F, = a, 113. Die 00”! Integral- M „_, einer vollst. Lös. sind von char. Str. erzeugt 114. Beziehung zwischen 2 char. Str. deh. 2 unendl. ben. ver- einigt lieg. El. der Gl. 114. Das ist ein bes. Fall eines Pfaffschen Fund.- Satzes 114, Anm., 527f. Jede Integral- M,„_., d. nicht v. char. Str. erzeugt, liefert eine Integral-M,„_, 115f. Konstr. von Integral-M? 7 116. Jede Gl. hat vollst. Lös. 116f. Analyt. Be- weis 117, 528f. Die char. Str. von F(z,,...,2„)=a 116 Anm. Ablei- tung aller Integral-M „_, aus e. vollst. Lös. 117—121. Jede nichtsinguläre Integral-M„_, v. char. Str. erzeugt 121f., 5911.

C.Involutionssysteme. Jedes 2-gl. spez. Involsyst. best. ein 2-gl. vollst. Syst. in z,p 122. Dessen Lös. bestimmen die 00?*-5 charakt. M, des Invsyst. 123f. Jede allg. Integral- M„_ı des Invsyst. ist von char. M, erzeugt 124. Bezieh. zwischen zwei

668

char. M, deh. 2 unendl. ben. verein. El. des Invsyst. 124. Im allg. liefert jede Integral-M„_s eine Integral- M„_ı 124. Beweis, daß es vollst. Lös. gibt 125.Ableit.aller Integral-M „_,aus e. vollst. Lös. 125f. Ausdehn. auf qg-gl. spez. Invsysteme 126f. Allgemeine Invsyst., dieg Gl. zwischen &,,..., %, allein enth. 127. Ausführ. einer hom. B.-T., die eine erweiterte P.-T. 128. Beweis, daß sich (F®) bei jeder P.-T. als Invariante verhält 128f. Durch eine geeign. P.-T. wird das Invs. auf ein spezielles in n — q Veränd. zurück- geführt 129f. Jedes allg. Invs. hat vollst. Lös. 130.

Die gemeins. Integral-M,„_, von FRÄ,=0,F,=0 erfüllen (F,F,) = 0 131. Haben q Gl. gemeinsame In- tegral-M „_ı, so sind sie auflösbar nach gewissen z und p 131. Die Be- stimm. der gemeins. Integral-M ,_ı kommt hinaus auf ein allg. Invs. 132f.

D.Involutionssystem zurück- geführt auf1 Gl. Neue Behandl. der spez. Invs. 133—142, 530—540. Die char. M, eines spez. Invs. p,— fr und die Elemente der Er: %=G,:-..,%,=4,134f. Das Invs. u. die 009-1 Er-q+1 dch. E"-@ als Achse 136f. Die Punkte der Achse best. e. vollst. Lös. d. Invs. 136, Satz 28. In jeder Er- @+1 eine part. D.1.O. Die Er-4+1 schneiden die Integral- M"71 des Invs. in Integral-M,_, dieser Gl. 136f., und die char. M, des

Invsyst. in char. Str. der G1. 138—140..

Zurückf. des q-gl. Invsyst. des R, auf eine Gl. des R„_,;ı mit g—1 Par. 1, 73, 515, 2.19—26, 536, 2. 24—26; II, 140—142. Gl. pp —f=0 de R, mit bek. Lös. N von (p, —f, N) =0 zurückgeführt auf e. Gl. des R,„_ı 142—144. Lies neue Methode von 1872 144f. Bestimm. der gemeins. In- tegral-M% 7} von vorgel. Gl. 145f., ö41f. Die part. Diffgl. des R,_.+1> auf d. ein q-gl. spez. Invsyst. zurück- gef. ist 147—149, 542—544. Beweis, daß d.Gl.F,=a;,, wenn (F,F,)=0, d. größte mögl. Zahl gemeinsamer Integral-M „_, haben 149f., 544. Das Inv. FR =a,..,F,=4, ist nach q von den p, auflösbar, und F, = a,,...,

Sachregister

Fo +m = %q+m Ist e. Invs., das m von den p, freie Gl. liefert. Zurückf. des q-gl. Syst. aufe. GL.inn —q—m-+1 Ver. 150f., 544.

Wann d. Gl. FR, =a,,..,F,=0, bei Hinzufügung von F 1 = 4,11 .,fn=4,„ die Gl.Zp,dx,= 0 befrie- digen Ila, 152f. Jedes spez. Invs. hat vollst. Lös. 153f., 158, 546, ebenso jedes allg. Invs. 154, 158f. 547. Man findet eine vollst. Lös. dch. Aufsuch. je einer Lös. mehrerer vollst. Systeme. Einfachere Meth. f. eine Gl.: die wahre Form der Cauchyschen Meth. 154f., 159f., 545f. Lies Erweiterung auf spez. Invsyst. 155f., 160£., 546. Red. e. spez. Invs. auf eine G1.156f., 161f. Lies Meth. v. 1872 157, 162. Nicht- homogene Gl. in den x,, p; aufgefaßt als Diffgl. in den x,, p, allein 587f.

Nichthomogene Gl. in den 2,,P; aufgefaßt als Diffgl. in den 2,,P; allein: 587f.

E. Integrationsvereinfachun- gen dch. Verwertung der bei der In- tegration eintretenden besonderen Umstände I, 36.

Nichthomogene Gl. Das Invsyst. FR =0,..,F,=C, it zu inte grieren u. man kennt eine (r+ g)-gl. Erter. RP, D,..,0,, WO alle (F,®,) = 0. 1, 63f. Enthält die Fktgr. g+ u ausgez. Fkt., so ist r— u gerade. Man bestimmt die u unbek. ausgez. Fkt. dch. d. Oper. u, u—1, ...,1, 164 und hat ein Probl. v. d. urspr. Form, nur ist jetzt !=q+ 1%, !—=r—u undw=0,r’ gerade. Man sucht e. nicht ausgez. Fkt. der (2n —q’ —r')-gl. Polargr. dch. e. Oper. 2n —2q’ —r'—2n—2q— (r+ u) und hat das urspr. Probl. für" =q+1,r"'=[r, w’ = 0. Die Ordn. der nächsten er- ford. Op. ist um 2 kleiner, usf. Nach n—q —u— %(r—u) Schrit- ten kommt man auf den Fall, wo

—0,r gerad, q+4r=n, der nach Lies erweiterter Cauchy scher Meth. nur noch eine Quadr. erfordert I, 64—66. Schematische Beispiele 69 bis 71. Jedesmal, wenn man bei An- wendung des Mayerschen Theorems mehr als eine Fkt. der Polargr. findet, treten weitere Vereinfachungen ein 72f.

Differentialgleichungen III, C—G 669

Homogene Gl. Jetzt sei das Invs. nullter O. N, = (,,.:..,N,= 0, zu integrieren u.man kennt eine (q + r)- gl. homogene Fktgr. N,,..., N,» H,,...,H,, wo alle (N,H,)= 0 91. Enthält die Gr. g+ m ausgez. Fkt., nicht alle von nullter O., so findet man die unbek. ausgez. Ft. dch. d. Oper. m—1,...,2,1, 1, sonst wie früher 92, 520,2.10-8v.u. Enthält sie g-+ m aus- gez. Fkt., alle von nullter O., so Oper. m,m—1,...,1. Dann sucht man e. Fkt. nullter ©. der Polargr. Die im nichthom. Falle erford. Oper. werden alle um 1 kleiner. Zuletzt kommt man auf den Fall, daß die Polargr. lauter Fkt. nullter O. enthält, d. bek.. sind. Dann nicht einmal mehr Quadr. er- forderlich 92£.

F. Weitere Vereinfachungen. Nichthomogene Gl. Besteht e. Gl. Zp,da,=F,dfh+*--+F,df,+dU, wo die f; bekannt, so findet man U durch Quadr., die F, deh. Diff. III, 164f. Wenn f,,...,f, mit f, in Inv.,

sind F,,...,F,, z—U die fehl. Lös. von [fif}=0 165—167. Wenn fı»:.., fe pastw. “in Inv. und 45 ER EN. mit fir

sind F,+1>:.+.,F,,2—U d.fehl. Lös. v. Yıl= ,...,[f,fl= 0 167f. Wann aus den bek. Lös. von (fıf) =(,...,%N=09, w (hfi)=0 alle dch. e. Quadr. ableitbar sind 168f., IIIa, 262. Die dch. d. bek. Lös. bestimmte Fktgr. III,169. Diese Theorie umfaßt zwei Jacobische Sätze als besondere Fälle 169—171. Begrifflicher Inhalt der Theorie 250, 587.

Ist fi,...,f, eine r-gl. Fktgr. mit m unbek. ausgez. Fkt. Q,..., An» so kann man ein m-gl. vollst. Syst. aufstellen, dem die Gl. (Q,f)= 0 angehören. Dieses besteht aus allen Gl. ZX, (,Nd= 9, die fu,...,f, zu Lösungen haben 171f., 551—553. Da- durch wird die Abh. I, $. 64-66 er- forderliche Best. der Q, überflüssig. It ı =@,,...,f,=.a, ein Invs. u. Er est. dm von (ıf)

uD=0, Wihrinsle eine rl. Fktgr. mit noch m unbek. ausgez. Fkt. Q,,..., 2, so sucht

man nicht eine Fkt. der Polargr. von fis-- +, fr, sondern eine Fkt. y, der Polargr, von frs- aan has Ss nA Das erfordert e. Oper. 2?n —r —q—m, also, da das r auf S.64 jetzt durch r — q ersetzt ist, e. Oper. von dersel- ben OÖ. wie damals 173. Es kommt jetzt auf die dch. fı,.. ‚fr, yı best. Fktgr. an. Die nächste erford. Oper. ist um eine gerade Zahl kleiner, und von den damals erford. Oper. können einige wegfallen 173—175; Illa, 263. Schematische Beispiele III, 175—177. Die Best. v. 2m — 1 fehlenden Lös. verlangt im allg. keine höheren Oper. als die von 2m fehl. 178, 554.

Homogene Gl. Wann für eine hom. Fktgr. N,,..., N, H eine Gl. Zp,da,=ZK,dN,+ dU besteht 179£. Ist Zp,da, = ZK,dN,+ dU, so U willk. Fkt. der N, 181. Wann ein Involsyst. nullter O. N.= a, mit bek. Integr. nullter OÖ. nur Diff. u. Elim. erfordert 182f.

Ist u,,...., u, eine r-gl. hom. Fktgr. mit gerade m unbek. ausgez. Fkt. Rı,...,Q, die alle von nullter O., deren Polargr. aber nicht aus Fkt. nullter O. besteht, so befriedigen U,...,u, außer dem m-gl. vollst. Systeme (Af= — (0), das man auf- stellen kann, noch ein (m + 1)-gl., mit einer hinzukommenden Gl. Zp,f + FXı(uf) = 0 555—558. Das Invsyst. nullter ©. N, = a,,...», N,= a, ist zu integr. u. man kennt r—q Lös. nullter ©. N,,1»:-- N; der Gl. (N,f)=0,..,(N,D= 0, die eine hom. Fktgr. N,,...,N,,H be- stimmen mit noch m ausgez. Fkt., sämtlich von nullter O. 183f. Besteht die Polargr. aus lauter Fkt. nullter O., so keine Integr. mehr erford. 184. Ist das nicht der Fall, so bildet man ein (4 + m + 1)-gl. vollst. Syst. in 2,p mit denr+ 1 bek. Lös. N,,...,N„,H. Durch eine Op. von der ungeraden O. 2n— (r+1)—(ga+m+1) findet man eine neue Lös. ©, von (ND)=0,...,(N,f)=0184f. Die O. der nächsten erf. Op. ist mindestens um 2 kleiner 185—187, 558—563.

G. Neue Begründung der Theo- rien von F. Die bek. Lös. des vollst.

670

Syt. AN=09,:..;:kND=0, wo (f;fz) = 0, aufgefaßt als inf. Trff. des vollst. Syst. 224 (vgl. vollst. Syst.). Ableitung neuer Lös. u. neuer inf. Trff. 225. Zurückführung des Problems auf das Normalproblem 226. Man kommt auf die frühere Meth. 226f. Fall, wo das Probl. nur Quadr. erf. 227£., 580£. Dasselbe für Invs. nullter 0. 229— 232.

H. Gibt es noch einfachere In- tegrationsmeth.? 236f., 581—584. Jede bekannte Meth. beginnt mit der Aufsuch. e. Lös. eines bei B.-T. kovar. vollst. Syst. 237. Sätze üb. vollst. Syst., die alle inf. B.-T. von best. Form gestatten 239f. Ein zweigl. Invs. des R, u. eine Gl. des R,„_ı haben dasselbe Min. v. erford. Integr.- Oper. 241f. Die einfachste Integrmeth. einer Gl. f(x,p)=a 243; Illa, 264. Größtmögl. Nutzen aus bek. Integra- len 245, 248f. Die einfachste Integral- meth. einer Gl. nullter O., eines Invsyst. nullter ©. 247—249.

J. Quasilineare, semilineare, pseudolineare part. Diffgl. 1. ©. XI, 387f. Aufstellung aller quasilinea- ren Diffgl. (mit oo” char. Kurven) inn Ver. 411, 435f£., aller pseudolin. Diffgl. (mit oo*+! char. Kurven) in n Ver. 446. Vgl. Kurvenscharen u. die folg. Abt. IV. Nichtlin. p. D. 1.0. des R,, mit einer vollst. Lös. von lauter m- dimens. Integralgebilden: für m = 2 606—609, für belieb. m 609—611.

IV. Partielle Diffgl. höherer O. Monges Defin. der Charakteristiken einer p. D. 2.0. IX, 328. Wann eine Kurve keine Char. ist 328. Die Mon- ge-Ampe6reschen Gl. 3238—330, 4711. Die Integralfl., d. längs einer geg. Kurve geg. Tangentialeb. hat 330. Die char. Str. 2.0. einer belieb. Gl. 2.0.F = 0 definiert deh. 6 totale Gl. 330. Darboux’ Theorie, wenn jedes der beiden totalen Systeme 2 Integrale hat 331—333. Integralfl. dch. e. geg. Str. von El. 1.0. 331. Levy betrach- tet e. Gl. 2. O., die mit e. Gl. 2. oder höh. O. o0* Integralfl. gemein hat. Er erkennt die Existenz von char. Str. und braucht daher nur voraus-

Sachregister

zusetzen, daß eines der beiden totalen Syst. 2 Integrale hat 333. Statt dreier sim. Syst., die Levy braucht, sind nur zwei erford. 333£. Die Integralfl. dch. e. geg. Elementstr. 1. O. werden dch. e. p. D. 2.0. definiert, d. mit der geg. 00” Integralfl. gemein hat 334. Man braucht nur noch d. char. Str. des so entstehenden Syst. von 2 Gl. zu bestimmen 334. Defin. d. char. Str. zweier Gl. 2.0. mit 00” gemeins. Integralfl. 335, 604. Un- beschr. int. Syst. von part. D. m-ter O. 336. Darbouxsches Syst., In- volutionssystem 336, 345. Unbeschr. int. Syst.v.2 G1.2.0.F,=0,F,—=0 des R, 336. Zurückführung auf ein nach r,t auflösbares Syst. 605. Die Gl.V(x2,y,2,p,g)= c, die von min- destens 00? Integralfl. des Syst., be- fried. werden, sind dch.eine oder 2 part. Diffgl. 1.0. 2=0 des R, definiert

337. Wann das Syst. ein Darboux-

sches (hier zugleich ein Involsyst.) ist 338. Das Syst. hat ein intermed. Int. 1.0. 338f. Unterscheidung der drei mögl. Fälle 339£. Ist das Syst. un- beschr. int., hat aber kein intermed. Int. 1.0O., so erhält man nur 1 Gl. 2=0, die semilinear ist; deren zweidim. Integralgebilde sind die In- tegralfl. des Systems 341—343. Das System hat nur oo? Integralfl. 343. Es hat oo” Integralfl. 343f. Die Gl. 2 — 0 des R, hat dann 00° char. Str., aber nur 00° char. Kurven 344f., 611f. D. char. K. erfüllen 3 Mongesche Gl. 345, 612. Jede Integralk. dieses Mongeschen Syst. liefert eine Inte- gralfl. von F\ = 0,F, = 0, 345, 6121. V. Systeme von part. Diffgl. Drei Gl. 1.0. mit 2 abh. und 2 un- abh. Ver. IX, 345. Hat das Syst. ge- rade 00% Integralfl., so bilden die e. vollst. Lös. e. semilin. p. D. 1. O. des R, 346. Ist es ein Invols., so befried. seine oo” Integralfl. ebenfalls eine semil. Gl. 1.0. Q2=0 des R, 346f., 613. Die Integralfl. des Invs. sind von Charakt. erzeugt 347f. Die Gl. 2 = 0 hat 00° char. Str. aber nur oo? char. Kurven 348, 614. Zu ihr ge- hören 2 Mongesche Gl. 348f. Die Integration des Invs. 349, 615.

Differentialgl. III, G bis Eulerscher Mult.

Unbeschr. integr. Syst. von G1.1.0. mit m abh. und n unabh. Ver. 349. Alle seine Integral-M, erfüllen u. Umst. ein semil. Syst. von p. D.1.0. 349—351, 615f. Das urspr. Syst. dch. gew. Diffgl. zurückführbar auf eines mit weniger als n unabh. Ver. 351f., 616.

Syst. v. part. Diffgl. m-ter O. zu- rückführbar auf pseudolin. D. 1.0. mit 1 unbek. Fkt. XI, 388.

VI. Part. Diffgl., die bek. inf. P.-T. od. B.-T. gestatten. Allge- meine Sätze III, 190; IV, 288. Ein- fache Beispiele von inf. Trff., die jedes Integralgebilde inv. lassen IX, 352f. Inf. Trf., die e. Diffgl. inv. läßt, nicht aber jedes Integralgeb. 354f. Part. Gl. 1.O. im R, inv. bei inf. B.-T. 356f. Jede inf. B.-T. einer part. D. 2.0. läßt oo? Integralfl. inv., die dch. e. gew. D. 2.0. bestimmt sind 358f., 617—619. Part. D. 2.0., die alle inf. Beweg. gestatten 359f. Part. Gl. m-ter O. des R, mit bek. inf. B.-T. 360f. 619—621. Part. Gl. m-ter O. mit 1 unbek. Fkt. gest. q vert. inf. B.-T. 364f., 627. Die Gl. gest. e. 2-gl. Gr. mit nicht vert. Trff. 366f., eine q-gl. Gr. v. B.-T. 367—369, 627—632. Unbeschr. int. Syst. v. p. D. m-ter O. mit q-gl. Gr. v. B.-T. 369.

Invols. v. part. D. 1.0. mit m abh. und n unabh. Ver. 369f. Gest. es eine Gr. von P.-T., so gibt es u. Umst. eine inv. Mann. v. Elem. 1. O., die in inv. Integralvereine von je oo” EI. (rn) zerlegt wird. Diese können dch. Integr. eines unbeschr. int. Syst. zu Integral-M,, zusammengefaßt wer- den 370f., 632—635.

VU. Part. Diffgl., d. eine un- endl. Gr. gestatten. Das Probl. wird zerlegt, indem man Diffinv. als neue Ver. einführt 371. Diffgl. inv. b. d. Gr. Z(e)r 371—373, b. d. Gr. &(2)p — € (z)zr 373—879. Die inv. Gl. 2. O. 378f., inv. Invols. 3. O. 3791. Ein Invols. w-ter Klasse, das b. d. Gr. inv, bleibt, kommt zurück auf eines von (» —1)-ter u. eines von 1. K1.381. Die unendl. Gr. &(z)p + n(y)q 3811. Eine inv. Gl. 3.0. kommt zurück auf e. Gl. 1.0. u. ein Invols. 3. O,,

671

2. Kl. und das letzt. auf e. Invsyst. 1. Kl., also auf gew. Diffgl. 382. Ein Inv. n-ter Kl. erf. ein Inv. (n — 2)-ter Kl. u. gew. Diffgl. 383. Zwei andere Gr. 383. Invs., das eine unbek. Gr. von B.-T. gest. 383. Differentialinvarianten einer Gr. von B.-T. als Invarianten der erwei- terten Gr. IV, 286. Einf. von D.en als neuen Ver. IX, 371f., 374, 375, 378, 379, 380, 381f. Differentiation u. Integration in- verse Oper. IX, 320. Dilatation des R,„,ı IV, 274. Diskontinuierliche proj. Gr. IX, 324. Dualistische Trf. I, 6, besonderer Fall der Eulerschen B.-T. IV, 274, geht bis auf Clairaut zurück IX, 321. Dupinsche Indikatrix IX, 335.

Einfache Gruppen IV, 289.

Einfach transitive Gruppen, zwei reziproke 593.

Element &,,p;:p„ des R,„ II, 107. Die &%;,p; als nichthom. Elementkoord. 587. El. 2,2,,p, des R„+ı IV, 265. El. (n-dimensionales) im R,;m IX, 370. Zweidimensionales El. des R, XI, 399. El. eines beliebigen Raumes 531.

Elementmannigfaltigkeit.

M„_, M}_,, M." im R, II, 108. Alle Element-M, im R,„z+ı IV, 266f. Ei- genschaften der E.2=F,p,=F,, 269. Wann ein nach 2, Pı, . - -, P„ auf- lösbares Glsyst.®,=0,...,®,,ı=0 eine Element-M,, 270. Allgemeine Ele- ment-M,, ee, > Dn+1= 0 2768. Wann eine Element-M „ die inf. B.-T. W gestattet 286f. Element-M,,r<n, die W gestattet, ist von charakt. Strei- fen von W = 0 erzeugt 287.

Elementverein IX, 370, XI, 419, 424; 590. El. ver. in den nichthom. Koord. X; , pP; 87.

Erweiterung einer B.-T. IV, 284—286, einer P.-T. 529.

Euklidischer Raum III, 178.

Eulerscher Mult. einer gew. Diffgl. 1.0. mit bek. inf. Trf. III, 193. Ein Spezialfall des Mult. eines vollst. Systems 205. Eulersche B.-T. IV, 274, lassen [Wf] inv. 276, angewendet auf allg. Invsyst. 529.

Sophus Lie, Gesammelte Abhandlungen. Rd. IV 43

672

Fläche als Gebilde von Flächenelemen- ten II, 106; Ila, 152. Fl. mit oo? perm. lin. Trff. III,190; IX, 326. Fl., die eine kont. proj. Gr. gest. 384. Fl. konst. Kr. XI, 415. Fl. = zweidimen- sionale Mann. 438.

Flächenelement im R, Il, 106. Flä- chen, Kurven u. Punkte bestimmen Scharen von je oo? Flächenel. 106; Ila, 152.

Flächensätze I, 74f., 476£; IIL, 178.

Flächenschar. Schar von oo” Fl. im Ya+ı, der im R, eine Schar von oo”"+1 Kurven zugeordnet ist XI, 438. Flsch., die ein Syst. v.n — 3 Pfaff- schen Gl. befr. 441. Vgl. Kurven- schar.

Forderungssätze III, 242, 247.

Form einer Gr. s. Gruppe.

Freie Beweglichkeit s. d.

Fundamentalintegrale s. Diffgl. I.

Funktion s. charakteristische.

Funktionaldeterminanten VIII, 318. Funktionengruppe IV,283; VIII,

319, s. Gruppe.

Gestatten. Eine gew. Diffgl. 1. O., ein vollst. Syst., eine Fkt. gest. e. inf. Trf. III, 191, 195—197, 238, 584.

Getrennte Linienelemente XI, 404.

Gleichungssysteme, m-gl. in n Ver. IV, 266 Anm., 590. Glsyst.®d, —=0,.., D „= 0, das alle inf. Trff. [®,f] ge- stattet 269£.

Gruppe von Fkt. (Funktionengr.) I, 36; IV,283. r Fkt. gehören einer (r — q)- gl. Gr. an I, 37. Verschiedene Formen einer Gr. 37. Verhalten der Gr. bei B.-T. in x, p 38. Problem i. B. auf r-gl. Gr. gegenüber B.-T. in x, p 38. Jede r-gl. Gr. bestimmt ein r-gl. vollst. Syst. 39. Zu jeder r-gl. Gr. gehört e. (2n — r)-gl. reziproke Gr. (Polargr.) 40. Ausgezeichnete Fkt. einer r-gl. Gr. 41. Zwei rez. Gr.en haben soviele unabh. Fkt. gemein, wie Rel. zwischen ihren Fkt. best. 41. Die ausgez. Fkt. sind die Fkt. der Gr., d. auch der rez. Gr. angehören 41f. Die Rel. zwischen d. Fkt. zweier rez. Gr. 42. Best. der Zahl der unabh. ausgez. Fkt. 43. Best. d. Fkt. selber 44f. Eine r-gl. Gr., d. kein Involsyst., hat nie mehr als

Sachregister

r — 2 ausgez. Fkt. 45. Zerlegung einer Gr., die kein Invsyst. ist 45—47. Red. d. Gr. auf eine kanonische Form 47f. Die ausgez. Fkt. bei der kan. Form 48, Satz 36. Die Gliederzahl einer kan. Gr. 48, Satz 37. Die Differenz zw. d. Gliederzahl u. d. Zahl d. ausgez. Fkt.ist gerade 48. Ergänzungeinerr-gl. kan. Gr. zu einer 2n-gl. kan. Gr. 49f. Jede 2n-gl. kan. Gr. bestimmt eine B.-T. in x, p 51. Inv. Eig. e. r-gl. Gr. gegenüber B.-T. in x, p 51. Jede o-gl. Untergr. einer r-gl. u,,..., u, liefert ein vollst. System in u,,...,u, 52, 7.4—10, dessen Gliederzahl abhängt von der Zahl der Relat. zwischen den ausgez. Fkt. beider Gr.en 498—500. Enthält d. Untergr. keine ausgez. Fkt., so zerfällt die r-gl. Gr. in zwei involut. Gr. von o und r — o Glie- dern 52, 2.10—14; 503, 2.1—10. Kan. Form einer r-gl. Gr. mit einer Untergr. ohne ausgez. Fkt.53, Satz 44. r-gl. Gr., die ein Involsyst. enthält 53, Satz 45, 503. Simultane Redukt. einer r-gl. Gr. u. ein. Untergr. auf kan. Form 54, 503£. Alle inv. Beziehungen zwi- schen einer r-gl. Gr. u. einer Untergr. gegenüber B.-T. in x, p 55, 504—507. Die gemeins. ausgez. Fkt. einer Gr. u. einer Untergr. 55f. Bestimmung der größten Involsyst., d. e. r-gl. Gr. ent- hält 56—59. Maximumswert der Zahl der ausgez. Fkt. einer r-gl. Gr., wenn r>n59. Vgl. Pfaffscher Ausdruck. Gruppe, homogene. Defin. der r-gl. hom. Gr. 78f. Eine Gr. mit lauter hom. Fkt. nullter O. ist e. Involsyst. 79. Form einer hom. Gr. 80. Die Polargr. einer hom. Gr. ist hom. 81, 517f. Zu jeder r-gl. hom. Gr. gehört ein vollst. Syst., das (r + 1)-gl. oder r-gl. ist. 81f. Der zweite Fall tritt nur ein, wenn d. Polargr. ein Invols. nullter O. Dann muß rn sein 82. D. ausgez. Fkt. einer hom. Gr. bilden eine hom. Gr. 83. Best. der ausgez. Fkt., wenn diese nicht alle von nullter O.83f. Zer- legung einer hom. Gr., die kein Invsyst. ist 84—86. Kanonische Form einer hom. Gr. 86f. Ergänzung einer kan. hom. Gr. zu einer 2n-gl. kan. hom. Gr. 87—89. Inv. Eigensch. einer hom. Gr. bei hom. B. T. 90. Inv. Be-

Fläche bis Involutorische Gruppen

zieh. zw. einer hom. Gr. u. e. hom. Untergr. 90, 520, Z2.17f. Verallgem. des Begriffs hom. Gr. 518f. Vgl. Diffgl. III, F.

Gruppen von P.-T. des R, mit inv. nichtlin. part. Diffgl. 1.0. IV, 283£.,591. Endl. kont. Gr. v. B.-T.d. R,, die im R, primitiv. 283. Reelle G, von P.-T. des R, mit inv. Monge- scher G]. 2. Grades V, 304—306. Un- endliche Gr. mit inv. Diffgl. IX, 371—383.

Hamilton-Jacobische Methode VIII, 318.

Hauptelement IV, 266.

Hauptkrümmungshalbmesser. Je- de Rel. zwischen R,, R, e. part. Diffgl. 2.0., die alle Beweg. gestattet. Er- mittelung spezieller Integralfl. IX, 359£.

Haupttangentenkurven einer Mini- malfl. III, 261.

Homogene Fkt. I, 24. Hom. Gl. u. Fkt. II, 109. Siehe Gruppe und B.-T.

Identischer Konnex IV, 265. Indeterminierter Fall des Pfaff- schen Problems I, 13, 485, 490. Indikatrix, Dupinsche, Indikatrix- kurven 3.0. IX, 335. Infinitesimale Trff., ihre allg. Theo- rie III, 163. Inf. P.-T., d. eine gew. Diffgl. 1.0. inv. läßt 188f. Symbol 198. Die n inf. Trff. EX? (0f:6x,) ausgeführt auf d. Det. der X 211f. Inf. B.-T. des R„,. IV, 275. Inf. Trf. [Df] 269. Inf. B.-T. in x, p III, 2381. Inf. hom. B.-T. I, 26f.; III, 245. Be- deutung der inf. Trff. f. d. Theorie der part. D. 1.0. VIII, 319. Eine inf. B.-T. läßt nie alle Integralgeb. inv., d. eine part. D. 2. oder höherer O. be- sitzt IX, 353, 616, 2.6—2 v.u. Integrabel, unbeschränkt IX, 336, s. Diffgl. IV, V. Integrabilitätsfaktor s. kator. *Integrable Gruppe 578. Integral-M,„_, von q Gl. des IL, 108. Integral-M*!, ebd. Integration u. Differentiation, inverse Oper. IX, 320.

Multipli-

673

Integrationsprobleme mit demsel- ben Minimum erford. Integrationsop. III, 241.

Integrationstheorien. Die Lieschen I. stellen fest, welche Reduktion mög- lich ist IX, 325.

Intermediäre Integrale IX, 330, 339, 341, 606.

Invariante Eigenschaften u. Beziehun- gen s. B.-T. und Gruppen.

Invariante Untergruppen. Jede G, mit nicht inv. G,_, enthält eine in der G,_ı inv.G,_z IV, 289. Die Rolle der inv. U. bei Integrationsprobl. IX, 382f. R

Invariantentheorie, Cayleysche, verwertet für lin. Diffgl. IX, 324. Lies I.en unendlicher Gruppen 325. Seine I. der B.-T. I, 49—51, 51—56, 498 bis 807, 60—63, 87—91. Cartans I. von Syst. von Pfaffschen Gleich. 513, 650.

Involutionssystem. Das Wort 549. I. in x,p bei Jacobi I, 37. Das I. D, =0,...,®,_: > 4,_, kann inte- griert werden, wenn ®©,,...,®,_, die einzigen ausgez. Fkt. einer be- kannten Gr. u,,...,U„);7; Sind, bei der d. Zahl d. ausgez. Fkt. den Maxi- mumswert hat 60. Ein I. zu integrie- ren, wenn Integrale bekannt sind, die eine Gr. bilden 63—66. Vergleichung mit der von Lie erweiterten Cauchy- schen Meth. 66—69. Schematische Beispiele 69— 71. Weitere Vereinf. dch d. Mayersche Theorem 72f. Zurück- führung eines m-gl. I.s in n Ver. auf eine Gl. in n—m-+1 Ver. 73. Ein homog. I. nullter OÖ. zu integrieren, wenn Integrale bek. sind, d. eine hom. Gr. bilden. Nicht alle ausgez. Fkt. von nullter O. 91f., alle von nullter O. 92£.

I. von partiellen Diffgl., allgemeiner Begriff IX, 336, 370. I. von 3 Gl. 1.O. mit 2 abh. u. 2 unabh. Ver. 345ff., 613—615. Charakt. Zahlen ei- nes I.s. 380. I. von der Klasse 0 oder 1 auf gew. Diffgl. zurückführbar 380. Bestimmung der unbek. Gr. eines I.s. 383. Ein I. von 2n—5 p. D. 1. O. mit n— 2 abh. u. 2 unabh. Ver. XI, 413. Vgl. Diffgl. III, IV.

Involutorische Gruppen I, 37.

43*

674 Sachregister

Irreduzible Gr. von B.-T. IV, 283, in der Ebene 284, im R, 284, 591, Z. 14f. Isotherme Flächen mit bek. inf. konf. Trf. IX, 361. Ie. Kurven III, 259, 589.

*Jacobi-Clebschsche Methode 514.

Jacobi-Hamiltonsche Meth. I, 1; VIII, 318.

Jacobische Unters. üb. part. D. 1.0. I,1. Die erste J.sche Meth. nur eine neue Formulierung der Cauchyschen ebd. J.sche Systeme von lin. part. D. 1. O. zurückgeführt auf 1 Gl. II, 101. Ein J.scher Satz III, 169f. Die zweite J.sche Meth. III, 234; IV, 270. J.sche Identität VIII, 319; ihre Deutung IV, 282. J.scher Mult. VIII, 318f. als bes. Fall des Mult. eines vollst. Syst. III, 205. Geom. Deutung III, 259, 570. J.s Best. der letzten Lös. von (ıf)==0 221—223, 5781.

Kanonisch s. Gruppe. K.e Form eines Pfaffschen Ausdrucks I, 8.

Keplersche Gesetze IX, 321.

' Klammerausdrücke [F®] und (F®) Far

Klasse eines Involsyst. IX, 380,

Konforme Gr., Mann. des R,, die e. konf. Gr. gest. IV, 284, 591, 2. 12£.

Konnex, identischer IV, 265.

Kontinuierliche Gruppen u. Lies In- tegrationstheorien IX, 324f.

Koordinaten, homogene eines Ele- ments des R,, II, 107, nichthom. eines El.s des R„,ı IV, 265.

Kovariantes. bilinear.

Krümmungslinien einer Schrauben- fl. III, 258, e. Minimalfl. 261.

Krümmungsmaß. Raum v. konst. Kr. III, 178.

Kurve als Gebilde von Flächenelem. 11,106; IIa, 152. K. mit oo! perm. lin. Trff. III, 190; IX, 326.

Kurvenscharen. Zu jeder Schar von 00" Kurven K des R,, gehört im r„ der Param. eine Schar von oo# Kurven k XI, 388—890, 636f. Die Schar des R, füllt den Raum aus 395, 2.5—3 v. u. Zwei unendl. ben. Kurven K bestimmen e. Streifen R, von zweidim. El. E,; wenn sie ein. schneiden, e. Str. S, 398f., 641. Es

gibt 00?" -! Str. R, und oo"+t! od. oo” Str. S, 399. Die 00?”-1 Str. R, enth. oo?”-1 El. E, 400, 641. Part. Diftgl. 1.0. für die Mann. M,, die oo! Kur- ven K enth. 400f., 641f. Die Mann.M,, d. den Kurven k entsprechen, enth. oo! Kurven K mit Umhüllungsgeb., also auch oo! Str. S, u. befried. An — 6 od. 2n —5 part. Diffgl. 1.0. 401f. Ist n—= 3 u. die Kurven K befriedigen e. Pfaffsche Gl., so sind die M, d. Inte- gralfl. einer p. D. 1.0. 402. Nur, wenn die Kurven k ein Syst.v.n — 2 Pfaffschen Gl. erfüllen, gehört zu jeder K bloß ein Str. S, 406-408. Dann erfüllen die M, 2n —5 part. Diffgl. 1.0., dch. d. sie definiert sind, u. sind zugl. d. zweidim. Integralgeb. einer quasilin. p. D. 1.0. des R, 408—413. Vgl. Mongesche Gl.

Schar v.oo*t! Kurven K des R,, die in dem r„;ı der Parameter e.

. Schar von oo” Flächen f bestimmt

437f. Den Punkten des R, entspr. d. Fl. f, denen des r„,ı d. Kurven K 438f. Eindeut. Bezieh. zw. d. Linienel. L der K u. den-El. e, der f. Verein. Lage bleibt erhalten 439£., 656£. Je- dem E, dch. ein L des R,, entspr. im "„,ı ein e,; dch. das L zugeordn. e, 440—442, 658. Erfüllen d. Flächen f ein (n — 3)-gl. Pfaffsches Syst., so entspr. jeder Fl. f eine M, des R, er- zeugt von den oo? Kurven K dch. den f entspr. Punkt P, 441. Die oo! M,, die eine K gemein haben, be- rühren einander längs der K, sie ent- halten daher nur oo*t? E, 442f. Die oo*r+1 K sind d. char. Kurven einer pseudol. p. D. 1.0., die die M, zu Integralgebilden hat 443f. Der Fall n — 4 444, 660. Hat umgek. e.p. D. 1.0. des R„ oo"*t! char. Kurven, so erhält man im r,,, , der Parameter oo” Flächen f,, d. ein (n — 3)-gl. Pfaff- sches System erfüllen 445f., 660—663. Damit sind alle pseudol. p. D. 1.0. des R„ mit oo**! char. Kurven ge- funden 446. Es kann noch andre drei- dimens. Integralmann. der Diffgl. ge- ben 447. 00% Integralfl. einer p. D. 2.0. des R, befried. e. pseudol. p. D. 1. O. des R, mit 00° char. Kurven 447. oo? Integralfl. eines Systems von zwei

Irreduzible Gr. bis Mongesche Gl. 675

p. D.1.0. mit 2 abh. u. 2 unabh. Ver. befr. e. pseudol. Gl. des R, mit 00% char. Kurven 448.

Lagranges Meth. zur Integr. d. p. D. 1.0. des R, III, 232; VIII, 317; IX, 327, 334f.

Laurentscher Satz I, 93, umfaßt den Poisson-Jacobischen als besond. Fall 521—523.

Letzter Multiplikator, s. d. Jacobis Satz als Folge von Lies Integrations- th. eines vollst. Systems mit bek. inf. Trff. III, 221—223, 5781.

Lie. In welcher Reihenfolge man seine Annalenabh. üb. p. D. 1. ©. lesen soll III, 163. Seine neue Methode von 1872 II, 144f.; Ila, 156f., 161f. Vor- geschichte von Abh. I 470—475, von Abh. II 523—525, von Abh. III 547f., 559f., 561, 567, 575, 577, 585%.

Linienelemente s. Mongesche Gl.

Linienkoordinaten treten schon bei Clairaut auf IX, 321.

Lösungen einer lin. p. D. 1. O©. II, 97.

Mayersche Identität. Ihre Deutung IV, 282, 590.

Mayersches Theorem I,2, 44, 72; III, 163, 173, 235, 514, ausgedehnt auf nichtlin. Gl. II, 147f., 542—544.

Mechanik einer Mann. konst. Krüm- mungsmaßes I, 77 Anm. Mechanische Probl. ausdrückbar dch. kan. Diffgl. II, 98.

Meusnierscher Satz übertragen auf d. Integralk. einer Mongeschen Gl., d. ein Linienel. gemein haben X, 385f.

Minimalflächen, ihre Krümmungsl. u. Hpttgk. III,261. M., die Rota- tionsfl. od. Schraubenfl. od. Spiralfl. IX, 360.

Monge. Seine gleichz. synth. u. analyt. Meth. 1, 2; IX, 327.

Monge-Ampöresche Gl. s. Diffgl. IV.

Mongesche Gleichungen. Geom. ei- ner M.schen. Gl. X, 385. oo” Kurven k des r„ als Integralk. eines Syst. v. n—?2 M.schen Gl. f,=0 XI, 390f. Das Syst. f,=0 als die Schnitt- bedingungen für 2 unendl. ben. Kur- ven K im R,„ der Parameter X 391. D. Integralk. des M.schen Syst. f,; = 0 als Umhüllungsgeb. von jeoo! Kurven

k 392. Entsprechen zwischen d. Inte- gralk. d. beiden M.schen Syst. f;—= 0 u. F, = 0 392f., als eine Trf. zwischen d. Linienel. L und I beider Syst. 394f., 637 £. Diese Trf. ist eine B.-T. zwischen den Integralk. beider Syst. 396, 638. Bezieh. zw. d. q-dim. Mann., d. von Integralk. der beiden M.schen Syst. erzeugt sind 396. Die zweidim. Mann. Ma, die von je oo! Integralk. des M.schen Syst. f;—=0 erzeugt sind, definiert dch. n — 3 part. Diffgl. 1. O. mit n — 2 abh. u. 2 unabh. Ver. 396f. Die B.-T. der Linienel. aufgefaßt als Trf. zwischen zwei solchen Syst. p. D. 1.0. 397. Sie bestimmt e. B.-T. zwi- schen den (n — 1)-dim. Mann. beider Räume 397, 638—641. Die Mann. M,, d. den Integralk. des M.schen Syst. f; = 0 entspr. 398. Vgl. Kurvenscha- ren. Das Entspr. zwischen den Linien- el. L u. I liefert ein Entspr. zwischen den E, durch ein L und den e, dch. das zugeordn. I 403f., 642—645. Jede K bestimmt m. jed. unendl. ben. schneid. K’ einen Streifen S, von oo! El. E, 399. Den oo! E, eines Str. S, entspr. i. Allg. oo! e, 405. Nur, wenn f;=0 ein Pfaffsches Syst., fallen diese oo! e, zusammen 405f. Ist f;—=0 ein Pfaffsches Syst., so fallen die oo! Str. S,, d. zu einer K gehören, zu- sammen 406, und das tritt nur ein, wenn f; = 0 e. Pfaffsches Syst. 407f. 644—646. Ist f,=0 ein Pfaff- sches Syst., so sind die M,, die dessen Integralk. entspr., Integralmann. ei- ner semilin. p. D. 1.0. des R,, 408f. Diese Diffgl. ist quasilinear 409. Man erhält so alle quasil. D. des R,, mit 00" char. Kurven 410f. Die M, sind defi- niert dch. 2n —5 p. D. 1.0. mit n — 2 abh. u. 2 unabh. Ver. u. sind d. einz. zweidim. Integralmann. der quasilin. D. 412. Haben f;=0 u. F,= 0 beide d. Pfaffsche Form, so sind sie beide unbeschr. integrabel 413f. Enthält jedes der beiden Syst. Pfaffsche Gl., so enth. sie gleichviele integrable Pfaffsche Gl. 416, 650. Bildet man die oo” Linienel. eines (n — 3)-gl. Mongeschen Syst. W, —=0 des R„_ı (y) auf die Punkte eines r„ (x) ab, so erhält man in dem r,, ein

676 (n — 2)-gl. Pfaffsches Syst. als Be- dingung für die verein. Lage von 2 unendl. ben. Linienel. des Monge- schen Syst. 431. Hat man 00” Inte- gralk. des Pfaffschen Systems, so erhält man im R,, (X) der Param. oo” Integralk. eines (n — 2)-gl. Monge- schen Syst. F, —= 0, die die char. Kur- ven einer quasilin. p. D. 1.0. des R„(X) sind 433f. Den Punkten des R, (X) sind 00” Integralk. k des Pfaffschen Syst. zugeordnet u. diesen oo” Integralk. x von W,=0. Das Syst. F,= 0 enthält die Berührungs- bedingungen für zwei unendl. ben. Kurven x 434. Hat man 00” Inte- gralk. «x eines (n—3)-gl. Monge- schen Syst. des R,„_ı, so gehen durch jedes der 00” Linienel. dies. Syst. oo! Kurven x. Im R, der Parameter X entspr. daher den 00” Linienel. oo” Kurven K, die char. Kurven einer quasilin. p. D. 1.0. des R,. Jede quasilin. D. des R,„ mit 00” char. Kurv. wird so erhalten 435f. Anwen- dung auf den R, 436, 654—656. Eine Klasse quasilin. D. des R, 436f. Abbil- dung der Integralk. einer Monge- schen Gl. des R, auf die Kurven der Ebene, wobei berührenden Integralk. oskulierende K.d. E. entspr. 436, 654.

Multiplikator eines vollst. Syst. III, 202. Seine Eigenschaften 202—204, 569—571. Er umfaßt den Euler- u. den Jacobischen M. 205. Geom. Deutung des M.s 570, bei der Gl. Xdy— Ydz= 0 259. Änderung des M.s, wenn man die Basis des vollst. Syst. ändert 571. Diffgl. d. M.s 206, 572—574. Gemeins. Jacobischer M. mehrerer Gl. 206—208, 571—573. M. eines PfaffschenAusdrucks TI, 36,495f.

Normalform eines Pfaffschen Aus- drucks I, 8.

*Normalproblem s. vollst. Systeme.

Operation m I, 30; III, 233. Eine Op.q ist schwieriger als eine Op. q — 1 237.

Orthogonalsysteme III, 190£.

*Oskulationstransformation 649.

Paralleltransformation des R,„;ı IV, 274.

Sachregister

Permutable Trff. III, 188, 190.

Pfaffscher Ausdruck, der zu einer Fktgr. kovariant ist 507—513.

Pfaffs Formulierung des Integralprobl. der 9. D.1.0. 1, 2, 7f.s HL 3B2£.

Pfaffsche Gleichung. Glsyst., d. d. Pf. Gl. Zp,dx,= 0 befr., s. Diftgl. III, B. Ebenso d. Gl. dze— Zp,de,—=0 IV, 266f. Wann e. Gl. de— Zp,de, —=n,dpi +++ 7,dp, besteht 271. Falg=n-+ 1 272.

Pfaffsches Problem. Seine Bedeu- tung VIII, 317f. Der Ausdr.: Xdtı ++ X,„IT,, Kann i. alle. d. Form: F,dfi + ---+ F,„df, er- halten. Olebschsche Gl. für die f; 1,7, 28. Aus der kanon. Form dz — Zp,dx, kann man beliebig viele kan. For- men finden. Erstes Verfahren I, 8. Zweites Verfahren als Anwendung der Red. eines (2n + 1)-gl. Ausdrucks 2X,dx, auf einen (n+1)-gl. 10. Wirkl. Ausf. für den Ausdr. dz — Zp,dx, unter Benutz. einer bel. BL 9 5 MR 9,25, 0, 0 li 28f., 484f., 493. Erledigung von Mayers Einwand 33—36, 493—497. Neue formale Behandl. des Pf. Pr.s 11, 485—490. Eigenschaften eines Pf. Ausdrucks, die bei Multipl. mit einem Faktor erhalten bleiben oder verloren gehen 34—36, 494—497.

Pfaffsche Systeme. S. auch Monge- sche Gl. Pf. S. u. quasilin. p. D.1.0O. XI, 388. Zweigl. Pf. Syst. mit dreigl. vollst. Lös., aber keiner zweigl. 418. Einfachere Form: dv— ydu=0, dw— edu=0, wenn man e. dreigl. v.L. kennt 418. I. Zwisch. u,v,w,y, & keine Rel. Die vollst. Lös. ist einzig, ihre Aufst. erf. e. gew. Diffgl. 4. 0.419, 650£. II. Eine Rel. Es gibt 0o0* vollst. Lös. 420. Aus einer findet man alle dch. Integr. einer Mongeschen Gl. des R, 421. Kennt man keine, so Integrpr., das zu der unendl. Gr. aller B.-T. der Ebene gehört 421, 422f., Nr. 48. IH. Zwei Rel. Liefert nichts, da es dann e. zweigl. vollst. Lös. gibt 421f. Hat das Pf. S. unendl. viele dreigl. vollst. Lös., so kann es d. Normalform dv—a du=0, da— Pdu —0 erh. 422f, Zweigl. Pf. S. des R, 423, 651.

Mongesche Gl. bis Schraubenflächen 677

Zweigl. Pf. S. mit 4-gl. vollst. Lös. aber keiner 3-gl. 423f. Zurückf. auf d.8 Koord. der zweidim. Elem. F, des R, 424. I. 00% El. E,. Die vollst. Lös. ist einzig. Gew. Dgl. 4.0. 424f. II. 00° El. E,. B.-T. des R,, die Punkte in Kurven überf. Erford. gew. Diffgl. 5.0. u. 3. O. 425f., 651—653. III. 00% El. E,. B.-T. des R,, die Punkte in M, überf. Gew. Diffgl. 6. O. und Syst. v. 2 Gl.1. O. mit 2 abh. u. 2 unabh. Ver. 426f. IV.o0° El. E,, liefert nichts, da es dann e. dreigl. vollst. Lös. gibt. Das Probl. kommt hinaus auf das in Abh. IX, 8. 345—349 betr. 4271.

Zweigl. Pf. S. mit 5-gl. vollst. Lös., aber keiner 4-gl. 428f. Kurven 443—446. Jedes System part. D. m-ter O. in gewissem Sinne zurück-

(n — 2)-gl. nicht int. Pf. S. des R a i 429. Einfache Form des $.s, wenn fr AUBEDAr au PReueblin. Dglon. 988. Vgl. Kurvenscharen.

oo”! Integrk. kennt, d. d. R, aus- ö : \

füllen 429f. Entsprechen zwischen d. | "Funktort eines Streifens 528. Integrk. des $.s und d. Integrk. eines | Punktmannigfaltigkeit des R, als Mongeschen (n— 3)-gl. Syst. des Elementmann. v. 0o0*-1 El. II, 107. R,„-ı 430f. Die Punkte des R,, sind

*Poncelet-Gergonnesche Rezipro- zität 497.

*Prioritätsreklamation von Lie u. A.Mayer bei der Pariser Akademie 476—482.

Prioritätsstreit zwischen Newtonu. Leibniz IX, 320, 602.

Problem der 3 Körper I, 3f., wenn einer fest ist 74f. Allg. Fall 75—77 ; III, 178; 471, 476—482, 5151.

' Projektiv. Mann. des R,,d.e. pr. Gr. gestatten IV, 284,591, 2.12. D. größte proj. Gr. einer F, im R,, 59.

Pseudokugeln V, 3051.

Pseudolineare p. D. 1.0. XI, 388, 437, Ps. D. des R, mit oo"+1 char.

Quasilineare p. D. 1.0. XI, 388. Sie

die Bilder der Linienel. des Monge- schen S.s. Das Pf. S. liefert d. Bed. f. d. verein. Lage zweier unendl. ben. Linienel. des Mongeschen 431. Daher kann umgek. jedem (n—3)-gl. M.schen S. des R„_ı ein nm —.2)-gl. Pf. des R,„ zugeordnet werden 431-433. Falln= 3: Abbild. der Linienel. der Ebene auf die Punkte des R,. Fall n= 4: Entspr. zwisch. e. M.schen Gl. des R,u.e. 2-gl. Pf. S. des R,. 433.

Jede Schar von oo Integralk. eines (n — 2)-gl. Pf. S. des R,„, die den R,, ausfüllt, liefert im R,, der Parameter

sind ein bes. Fall der semilinearen 409. Eine qu. D.1. O. des R,, hat 00” char. Kurven 409f. Bestimm. aller qu. Diffgl. des R,„ mit 00” char. Kurven 410f. Qu. Gl. im R, 428. Das allgemeinste Mongesche System d. R,„, das die oo” char. Kurven einer qu. D. 1.0. erfüllen 434. Andre Bestimm.aller p.D. 1.O.des R, mitoo” char. Kurven 435f. Alle p. D. 1.0. des R, mit oot char. Kurven 436, 654f. Gewisse qu. p. D. 1.O.des R,436f. Die Theorie der qu. D.1. 0. deckt sich gewissermaßen mit

die 69% Shan. en einer quasilin. der der Pfaffschen Systeme 388.

p- D. 1.0. 411. Ableit. e. solch. Kur- vensch. aus oo” belieb. Integrk. eines bel. (n — 3)-gl. M.schen $.s des R,_ı 4331.

Reduzible Gruppe von B.-T. IV, 283, 591, 2.2.

Reziproke Gruppe I, 40, s. Gr.

Reziprozitätstheorie bei Fktgrup- pen I, 40.

Rotationsflächen, die Minimalfl. sind od. konst. Kr. haben IX, 360.

Poisson - Jacobisches Theorem VIII, 319; I,2,4, 39 Anm. (Beweis), 40, 63; III, 170£.,514. Vervollst. d. Th.s I, 93f. Jedes Verfahren, das aus bek. Lös. d. Gl. (F®) = 0 neue liefert und das v.d. besond. Form von F unabh. ist, liefert nur Fkt. der Fktgr., die d. bek. Lös. bestimmen 94. Übertragung auf hom. Gl. 94—96.

Polargruppe I, 40 s. Gruppe.

Schneidungsprozesse II, 135—142, 530—540; VIIL, 319.

Schraubenflächen s. Krümmungs- linien. Schr., die Minimalfl. od. Fl. konst. Kr. sind IX,360. Schr. als Translationsfl. 363.

678

Schwerpunktsintegrale I,75; II, 178; 476—478, 516.

Semilineare p. D. 1. O. XI, 387. S.D. des R, IX, 341, 606, des R, 346— 348, 614. Die dort betracht. Gl. hat beson- dere Beschaff. 348. Semil. System v. p. D.1. O. 349f. Die s. p. D.1. O. um- fassen die quasilinearen 409.

Simultane Systeme s. Diffgl. I.

: Singuläre Integral-M,„_, II, 120, 122, 126, 131; sing. Integral-M,, IV, 287. Spezielle Involsyst. 529, s. Diffgl. III,

C,D.

Spiralflächen für die @(R,,R,)=0 IX, 360.

Streifen, charakteristische s. Diffgl. III, IV. Str. von zweidim. Elem. des R,„, bestimmt deh. zwei unendl. ben. Kurven XI,398, 641; s. Kurven- scharen.

Symbol einer inf. Trf. III, 198.

Synthetische Methode I,2; II, 98; XI, 387, 548.

Totale Gl.,d.e. bek. inf. B.-T. gestattet III, 259 Anm., 588.

Transformationen, b. denen Berühr. höh. O. inv. I, 9; XI, 414f.

Transformationsgruppe erzeugt v. inf. hom. B. T. I, 96.

Translationsflächen. Die Diffgl. 4. O. der Tr. IX, 361. In Wirkl. sind 2 Diffgl. 5.0. erford. 621—625. Be- stimm. aller Tr., d. eine geg. lin. inf. Trf. gestatten 361£. Wirkliche Durchf. der Integr. 362—364, 625—627. Ein Beispiel 364, 626f. Geradl. Tr., die nicht Zylinder sind 363.

Umformungen part. Diffgl. höh. O. 1.95: X1,415.

Unbeschränkt integrabel IX, 336, 370. 8. Diffgl. IV, V.

Unendliche Gr. von Trff., d. zu einer Fktgr. gehören IV, 283; 551—553, 359595 —558.

Ungünstigster Fallder Jacobischen Meth. II, 149, 544, 2.18.

Untergruppe einer Gr. v. Fkt. I, 36f.

Variation der Konstanten II, 117, 146. Verein (Elementverein) 590, 2. 23—27.

Sachregister

Vereinbar, algebraisch II, 103, 590.

Vereinigte Lage zweier unendl. ben. Flel. des R, II,106, im R, 107, bei n-dim. El. des Rn IX, 370.

Verträglich IV, 267, 590.

Volles System v. Diffinv. IX, 371.

Vollständige Lösungeinerp.D.1.0. bei Lagrange VIII, 317, 526, bei Lie. 1,2; 308... 474; 11,97, 112, 114—117, 125, 127, 130. Herstellung einer vollst. Lös. eines spez. Invsyst. auf zwei verschiedenen Wegen II, 136, 145f£., 541. Vollst. Lös. eines zweigl. Pfaffschen Syst. XI, 417.

Vollständiges Differential FDd,du,, wo die ®, hom. v. nullter O. III, 180.

Vollständiges System 490, 2.15—12 v.u.; I,12 Anm.; II, 98ff. Wann e.v. S. eine inf. P.-T. gestattet III, 1961. Problem. Bekannte inf. Trff. eines v. S.s zu verwerten 198; Illa, 263. Ein v. S. A,f=0, das d. inf. Trf. Bf gest., gest. jede inf. Trf. v. d. Ferm c. Bf+ 2X,4A,f 1, 215. Redukt. des Prs. Ableitung neuer inf. Trff. aus den bekannten 198f. Die Relat. zwischen den bek. inf. Trff. B,f und den A,f können ohne Integr. Lös. liefern 199. Aus den bek. Lös. u. inf. Trff. können neue Lös. folgen 1991. Zurückführ. d. Prs. auf das Normalpr. Ein r-gl. vollst. Syst. des R,:A,f=0 gest. n—r inf. Trff. B,f. Zwischen den A,f und B,f besteht keine lin. hom. Rel. und es ist (B,B,) — Z0 Bf + Z9, A,f, wo die 0, Konstanten 200—202. Die Einführ. neuer Ver., die Lie benutzt, kann vermieden werden 567f. Anwendung auf n=3 214—218. Fälle des Nor- malprs., d. deh. Quadr. erledigt wer- den können 219. D. Fällen —r =3, 4, 6 220f. Die Ordnungszahlen der Hilfsgl. des Problems IV, 290.

Multiplikator eines v.$.ss. Mult. Vollst. S., dessen Gl. e. gemeins. Jac. M. haben III, 206f, 572f. Ableit. e. M.s. eines r-gl. v. S.s. des R, ausn —r bek. inf. Trff. 208£. 571. Ein Mult. u. e. inf. Trf. eines v. $.s liefern i. allg. e. Lös. 209—211, 5741.

Vollst. S., das bei allen B. T.in 2,p kovariant zu einer Fkt. X, 240f. Das-

Schwerpunktsint. bis Zweidim. — Namenregister

selbe bei hom. B.-T., wenn X, hom. v. nullter O. 246.

Weilersche Methode III, 235; 584, 2.16f.

Zerlegung des Raumes, d. bei einer Gr. inv. bleibt V, 298f., 594.

679

Zusammensetzung einer endl. kont. Trfsgr. bestimmbar aus den Defingl. d. Gr. IV, 289, 592, 2. 17.

Zweidimensionale Integralmann. ei- ner nichtlin. p. D. 1.0. des R,. Es gibt nur dann 00”, wenn jede von oo! char. Kurven erzeugt ist IX, 345, 606—609.

Namenregister.')

Abel, N. H., III, 187, 188, 190; IX, 322 bis 324; 621, 649.

d’Alembert, J. le R., IX, 322.

Ampöre, A. M., VIII, 318; IX, 322, 323, 3238—330, 333, 335, 471, 603.

Appell, P., IX, 324.

Archimedes, IX, 320.

Bäcklund, A. V., III, 262; IV, 266; XI, 414, 415, 423; 589, 6491.

Bernoulli, Jacob, IX, 321.

Bernoulli, Johann, IX, 321.

*Bertrand, J., 479.

Beudon, J., IX, 384; 635, 648, 649.

Bianchi, L., XI, 415, 650.

du Bois-Reymond, P., 1,5; 483, 510, 539, 619.

Bouquet, J. C., IX, 326.

Bour, E., I,13; II, 99, 130; III, 234; IX, 355; 490, 525, 6811.

Bourlet, C., VIII, 319.

Briot, Ch., IX, 326.

Bruns, H., IX, 326 ; 603.

*Cartan, E., 510, 513, 650.

Cauchy, A.,I,1,2,7, 29, 60, 65f., 68f.; II, 97£., 118; IIa, 155£., 160£.; III, 168, 176, 234, 236; IV, 288; VIII, 318; IX, 322f., 331f.; 476, 4921., 523, 540, 545, 584, 592, 604.

Cavalieri, B., IX, 320.

Cayley, A., II, 99; IX, 324; 525.

*Chasles, M., 482, 681.

Clairaut, A. C., IX, 321.

Glebsch, A, 1,8, 6, 7. 10-18 36 34—36, 77; II, 97—99, 101, 110, 149; Ila, 151; III, 234£., 237; IV, 265; 473, 476f., 480, 484—486, 490, 4921, 494f., 510f., 514, 525, 682.

Cockle, J., IX, 324, 326.

Darboux, G., 1,5; IV, 266, 287; IX, 323, 326, 331—8336, 338, 345; 481, 483, 603£. Vorw. S. VIII.

Descartes, R., IX, 320.

*de Donder, A., 549.

*Donkin, W.F., 681.

Dupin, Ch., IX, 335; 604.

Duport, H., XI, 423; 651.

Engel, F., V, 304; XI, 423; 648, 651. Euler, L., I,5; III, 163, 193, 205, 232; IV, 274—276, 287; IX, 322f.; 529,628.

Fermat, P., IX, 320.

Fourier, J.B. J., IX, 322. Frobenius, G., IX, 324; 527, 650. Fuchs, L., IX, 323f., 326; 603.

Galois, E., IV, 290; IX, 323.

Gauß,K. F., IX, 822f., 375.

*Gergonne, J.D., 497.

Goursat, E., VIII, 317, 319; 549, 551, 603, 641. Vorw. S. VIII.

Graßmann, H., IV, 267; 484, 525, 590.

Guldberg, Alf, VI, 307—311; VII, 315f.; 596f. Vorw. S. VII.

Halphen, G., V, 302f.; IX, 324—326; 595f., 603.

Hamilton, W.R.,I,1, 3, 73; III, 178; VIII, 318; IX, 323; 584.

Helmholtz, H., V, 304; 306.

Hermite, Ch., IX, 324; 479.

Hertz, H., IX, 322.

Huygens, Ch., VIII, 318.

Jablonowskische Ges. d. Wiss., IX, 384.

Jacobi, C. G. J., I, 1—5, 7, 9, 28—80, 33, 36f., 39f., 52, 63, 66, 68—73, 77, 91, 93, 95; II, 97—99 101, 110, 142,

1) Namen, die nur in den Anmerkungen vorkommen, sind mit einem * versehen.

680

148f.; IIa, 151, 162; III, 163f., 168 bis 171, 174, 176, 178, 187, 202, 205 bis 208, 210f., 216, 221f., 225£., 234, 235£., 259; IIla, 263; IV, 267, 270, 282; VIII, 318£.; IX, 322f., 355, 357; 4701.,473, 4751.,478,481f.;488,492E., 508, 514f., 518, 521f., 525£., 536, 540 bis 543, 553, 561, 565, 571f., 575—577, 579, 583f., 587, 592, 681.

Jordan, C., IV, 266, 290; IX, 324, 326; 481, 602.

Kepler, J., IX, 320f.

Killing, W., V, 303; 592, 596.

Klein, F.,I,3; III, 188—190; V, 303£.; IX, 324; 470, 475, 516, 524f., 566, 596, 603, 684. Vorw. S.X.

Koenigs, G., XI, 423; 651.

Koenigsberger,L., Ila, 157.

*Lafon, A., 681.

Lagrange, L., III, 232, 235£.; VIII, 3171.; IX, 3221., 327, 835,.357;,.X], 402; 483, 492, 526, 5831.

Laguerre, E. IX, 324—326.

*Lam6, G., 681.

Laplace, P. S., IX, 322f.

Laurent, H., I, 93; 521—523.

Legendre, A. M., VIII, 318.

Leibniz, G. W., IX, 320£.; 602.

Levy,M., IX, 333—836, 345; 523, 6041. Vorw. S. VIII.

Lindemann, F., IV, 265; 525.

*Liouville, J., 477,479, 521,595, 681f.

Lipschitz, R., VIII, 318; 527, 650.

*Lorentz, H. A., 516.

Mansion, P., IV, 266.

Maser, H., VIII, 317, 319, 551. Vorw. S. VIII.

Mayer, A.,I, 1—5, 13, 23—80, 33f., 44, 71£.,75,77,82, 93; II, 97—99,102,110, 117, 130,133, 145, 148—151; Ila, 157, 162; III, 163£., 173, 178, 210, 2351., 243f.; IIIa, 264; IV, 282; VIII, 319; IX, 323; 470-479, 481 bis 483, 485, 490-493, 497, 503%., 507,510, 513 bis 528,536, 538—540,542,544,547—551, 553f., 559—561, 566f., 570—572, 575 bis 577, 579, 581—588, 590, 604, 616, 619, 621. Vorw. S. VII, X.

Meray, Ch., IX, 323.

Meusnier, J.B., IX, 385.

Namenregister

Monge; ®, TL 2,4; -VIIL, 317; IX, 322f., 327—8331, 335;-XI, 402; 471, 472, 603.

*Moutard, Th., 604.

*Natani, L., 484, 525.

Neumann, C., IX, 323, 474.

Newton, J., VIII, 318; IX, 320—322; 602.

Ostwald, W., IX, 322.

Painleve, P., IX, 324.

* Palm, R., 513.

Pfaff, J. Fr.,1,1,2,5,8; II, 98, 233 bis 236; VIII, 317—819; IX, 3221.; 476, 484, 495, 514, 584, 604.

Picard, E., IX, 328£., 326.

Plücker, J., L,1,5; II, 98; VIIL, 3188; 471.

:Poincare, H., IX, 323f., 326.

Poisson, $8. D., I, 2, 4, 39f., 52, 63, 66, 68, 71, 91, 93, 95; III, 168, 170£., 174, 187, 222,.2251.,; VHL>319; IX, 3656; 471, 514, 518. 521f., 561, 565, 587.

Poncelet, J. V., VIII, 319; 497.

*Puiseux, V., 479, 482.

*Radau, J. R., 476f., 480, 482. *Reidemeister, K., 621, 624. Riccati, J., IX, 321, 602.

Riemann, B., V,304; IX, 322—324.

*Saltykow, N., 549, 681. *Scheffers, G., 589. 591, 621. Schwarz, H. A., IX, 323{. *Serret,-J. A., 279. *Steingräber, W., 655.

‚Pait, P., VII, 818:

de Tannenberg, W., XI, 423; 591, 651. Teubner,B.G. Vorw.8.X, XI. Thome, W., IX, 324.

Thomson, W., VIII, 318.

*T'resse, A., 635, 6481.

Vessiot, E., V,304; VI, 307; VII, 315f.; IX, 324, 326: 596f. Vorw. S. VII.

Wallis, J., IX, 320.

Weierstrass, K., IX, 323.

Weiler, A., I, 28, 77; III, 2335—237. Werner, H., V, 303£.: 596. Williams, C.B., IX, 384; 635.

Zeuner, G., Ila, 157. Zeuthen, H., IX, 320.

*Zorawski, K., 602.

Druckfehler, Berichtigungen und Zusätze.

Zu Band IV.

S.1, 2.5 v.u. lies: Math. Anm. Bd. III. Daß Lie auf Bd. IV verweist, beruht auf einem Versehen.

Zu Abh. II, S. 110, Z2.8—19, S.111, Theorem 2, Abh. III, S.169f., Nr. 2. Vgl. auch Bd. III d. Ausg. Abh. IX, S.106; Abh.X, S.124; Abh. XVIII, S. 267, Nr.5.

N. Saltykow hat ungezählte Arbeiten über die Theorie der partiellen Dif- ferentialgleichungen 1. O. veröffentlicht. Es kann hier selbstverständlich nicht untersucht werden, ob er wirklich, wie er behauptet, etwas geleistet hat, was über Lie hinausgeht. Tatsache ist jedenfalls, daß er einmal Lie einen Irrtum vorwirft, wo der Irrtum ganz auf seiner Seite ist (vgl. S. 549, Z. 14—7 v. u.). Immerhin muß ich bekennen, daß ich Unrecht daran getan habe, eine Bemerkung unbeachtet ge- lassen zu haben, die Saltykow schon 1903 gemacht hat. In der Note

„Sur le rapport des travaux de S. Lie & ceux de Liouville“, C.R.

Bd. 137 (1903), S. 403—405 macht nämlich Saltykow auf eine bis dahin ganz vergessene Mitteilung von J. Liouville aufmerksam:

„Note sur Yintögration des &quations differentielles de la Dynamique, presentee au Bureau des Longitudes le 29 juin 1853°, Liouvilles Journal,

I. Serie, Bd. XX (1855), S. 137f£.

Vor dieser Note steht auf S.135f. ein Abdruck des Berichtes, den Lame&, Chasles und Liouville über eine Arbeit von Bour erstattet haben (C. R. Bd. 40 [1855], S. 661f.). Auf S. 185—200 folgt dann ein Auszug aus der Arbeit von Bour!), zu dem Liouville auf S. 201f. noch eine Bemerkung hinzufügt.

Hiernach unterliegt es keinem Zweifel, daß die Verallgemeinerung eines Jacobischen Satzes, die Lie an den auf Z2.5—7 angeführten Stellen für sich in Anspruch nimmt, bereits im Jahre 1853 von J. Liouville nicht bloß ausgesprochen, sondern auch bewiesen worden ist. Saltykow hat sich entschieden ein Verdienst erworben, indem er das bekannt gemacht und Liouvilles vollständig in Ver- gessenheit gerathene Leistung wieder ans Licht gezogen hat.

Liouville gibt an (a.a. O. S. 138), daß er diese Theorien schon 1853 in seinen Vorlesungen am College de France ausführlich vorgetragen habe, und auf $. 136 erwähnt er, daß Adrien Lafon in seiner These:

„Integration des &quations differentielles de la me&canique. Theorie du

dernier multiplicateur et probleme de 3 corps‘‘, Paris 1854 einen eignen Beweis des Liouvilleschen Satzes gegeben und daß W. F.Donkin denselben Satz 1854 bewiesen habe. Man vgl. dessen am 23. 2. 1854 eingereichte Abhandlung:

1) Diese findet man unter dem Titel: „M&moire sur l’intögration des &quations differentielles de la mecanique analytique‘‘ in den M&m. prös. pas divers savants, Sc. math. et phys., Bd. 14 (1856), S. 792—812, present& le 5. 3. 1855.

682 Druckfehler, Berichtigungen und Zusätze

On a class of differential equations including those which occur in dynamical problems. Part I. Phil. Transact., London, Bd. 144 (1854), 8.71 bis 113, s. insbesondere S$. 85f.

Lie hat augenscheinlich keine dieser Arbeiten zu Gesicht bekommen. Deshalb hat er auch nicht beachtet, daß Bour schon in der Abhandlung von 1855 versucht, aus bekannten Integralen möglichst großen Nutzen zu ziehen. Er würde sonst sicher Liouvilles Priorität anerkannt und auch jene Bestrebungen Bours er-

wähnt haben.

S.142, Z.4 hätte für $13 gesetzt werden sollen: $11. Dementsprechend ist im Kopfe von 8.143 zu lesen: $ 10,11 und im Kopfe von 8.145: $11.

3.225, WB vu beckke, 2,01

9.249, 4.5 v.u. Bes: Pouss cun Das Pia :

S. 319, Z. 16 hätte bei ‚Wenn‘ ein Absatz gemacht werden sollen.

S. 340, 2. 3,4 hätte S, wie Lie versehentlich geschrieben hat, durch T ersetzt werden sollen.

S.434, 2.2 v.u. lies: „Mongesche‘“.

Zu 8.514, 7. 20—27. Die Integration eines m- gliedrigen Involutionssystems: F=09.:5fmn m 1 8: -,&p Pıs -- -;Pm Ist geleistet, wenn man n — m von einander und von F,,...,F,, unabhängige Funktiorren F„.1,-- -,F„ kennt, die unter einander und mit F,,...,F,„ in Involution liegen (vgl. Abh. I, 8.15, Satz 6). Kennt man nun r—m Lösungen Fyr4ı,...‚f, der Gleichungen: (F&$D)—=0,...,(F)®)= 0, die mit F,,...,F,, zusammen eine r-gliedrige Funk- tionengruppe bilden, so kann man, sobald r— m>1 ist, im Allgemeinen das Verfahren von Abh.I, $17, S. 63—66 anwenden. Dieses beginnt damit, daß man zuerst die noch unbekannten ausgezeichneten Funktionen der Gruppe F,,...,F, aufsucht und sodann eine nicht ausgezeichnete Funktion der zu F},...,F', ge- hörigen Polargruppe bestimmt. Die Integrationsoperationen, die man dabei aus- zuführen hat, sind immer niedriger als die im Falle r— m=1 erforderlichen. Es gibt jedoch einen Fall, wo dieses Verfahren nicht anwendbar ist. Ist nämlich r—=2n— m, kennt man also alle Lösungen der Gleichungen (F,d)=0,..., (F„)®)= 0, so sind F,,...,F„ die einzigen ausgezeichneten Funktionen der Gruppe F,,...,Fgn_m und bilden zugleich die zu dieser gehörige Polargruppe, von der also keine Funktion mehr unbekannt ist. In diesem Falle ist aber das Inte- grationsproblem aus einem anderen Grunde erledigt, weil man nämlich die charak- teristischen M,„, des Involutionssystems kennt (vgl. Abh. II, S. 126f.).

Die Theorie des Pfaffschen Problems führt zu einer Verallgemeinerung des hier betrachteten Integrationsproblems. Es sei X,da, +++ Xa„d2, ein Pfaff- scher Ausdruck, dessen Normalform n Glieder und 2n unabhängige Funktionen enthält (Bd. III d. Ausg., Abh. XXI, S. 321—327). Dann kann man sich die Auf- gabe stellen, den Pfaffschen Ausdruck de — ZX,dx, in allgemeinster Weise auf die Normalform: d(<— 2) — B,dF,—---—D,„dF', zu bringen, und muß zu diesem Zwecke n unabhängige Funktionen F,,...,F, aufsuchen, die paarweise in den Clebschschen Beziehungen [F,F,] = 0 stehen (S.495f.). Dabei erfüllt das Olebsch- sche Symbol [px], wie schon Clebsch selber gezeigt hat, die verallgemeinerte Jacobische Identität:

[I[pxlyl+[lkvlel+[lypk] =. Hat man nun schon m Funktionen F},,...,F,, gefunden, die paarweise [F,.F',] = 0 ergeben und kennt man r — m > 1 von einander und von F,,...,F„, unabhängige Lösungen ®,;1,...,®, der Gleichungen: [F,9]=0,...,[F„®]= 0, die mit F,,...,F,„ eine verallgemeinerte r-gliedrige Funktionengruppe bilden, die also in Beziehungen von der Form:

[Dn+rDm+3) > Un (Fir. ms Pmsi +» Pr) stehen, so kann man ebenfalls das Verfahren von Abh.I, $17 anwenden. Dabei

Druckfehler, Berichtigungen und Zusätze 683

erhält man im Allgemeinen stets eine Vereinfachung gegenüber dem Faller —m=1. Die einzige Ausnahme bildet der Fallr = 2n — m, in dem das Verfahren wieder versagt.

Hier zeigt übrigens das verallgemeinerte Problem ein wesentlich andres Ver- halten als der besondere Fall der partiellen Differentialgleichungen 1.0. Während in diesem besonderen Falle das Integrationsproblem gerade für r—= 2n — m voll- ständig erledigt ist, gilt das für das verallgemeinerte Problem keineswegs. Der innere Grund dafür ist, daß es sich in dem besonderen Falle nur darum handelt, den Pfaffschen Ausdruck: dz— &p,d«,, der schon die Normalform hat, auf eine andere Normalform: d(z< — 2) — ZP,dF, zu bringen, während im allgemeinen Falle der Ausdruck dze— EX ,dz,, der oh nicht die Normalform hat, auf eine Normalform zurückzuführen ist.

Zu Band III?).

S.44, Z.2 ist hinter „Gruppe“ hinzuzufügen: ‚die kein Involutionssystem ist“. Vgl. überdies Bd. IV, S. 497, 2.11—8 v. u.

S. 50. Zu Satz 8 und dem Korollare und zu S. 646, Z2.19—13 v. u. vgl. Bd. IV, S.498—503.

8.161, 2.7 v.u. lies: „mit [je] zwei.‘

S. 214, 7.9,8,5,4 v. u. hätte überall p durch P ersetzt werden sollen.

S. 218, 2.18 v. u. lies: p, statt p,. Z.10,6 v. u. lies: p,® und p,'®.

S.218, Z.4 v.u. hätte ebenso wie auf 8.215, Z.15 gesetzt werden sollen: Satz 6a.

S. 219, 2.5 v.u. Die Nr. XVIa.a.O. ist ein Druckfehler. In Bd. IV d. Paue 2 S. 73 hat daher das Theorem die Nr. XVII erhalten.

S.219, 2.3,2 v. u. müßten eigentlich so lauten: „daß die Gruppe f, 91,---, $%. [, von f abgesehen,] ebensoviele ausgezeichnete Funktionen enthält, wie die Gruppe der F und ® [von den F abgesehen ].‘

S. 284, 2.2 v.u. lies: „besonders $5, S. 479—481 und $ 18, S. 541—545.

S.472, Z.1v.u., S. 473, 2.3,5 sind im ersten Drucke bei den Summen keine Grenzen angegeben. Die untere Grenze muß an der ersten Stelle 1 sein, an der dritten k.

S.473, Z.1.lies: 8,

S. 534. Hier hätte bemerkt werden sollen, daß die Funktion W in Gleichung (12) im allgemeinen eine komplexe Funktion ihrer Argumente ist. Dieser Umstand hat offenbar Einfluß auf die Form der Gleichung (13).

S.646, 2.5 v. u.—647, 2.4. Vgl. Bd. IV, S. 507—512.

.677, 2. 8 lies: „‚Integrabilitätsfaktor von Xdy — Ydı= O als.“ .699, 2.22 v. u. füge hinzu: Vgl. Abh. IX (1873), S. 103, 106. .729, 2.12 v.u.lies:r >1.

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Zu Band V, . 602, 2.12 lies: = a®E. . 690, Z. 12—24. Vgl. Bd. IV, S. 498—507. . 711, Z. 11 ist der Punkt am Schlusse an eine falsche Stelle geraten. . 746, 2.12—5 v. u. Vgl. Bd. IV, S. 593—595. . 761, Sp. 1, 2. 12 lies: 502, 605. . 774, 2.24 v.u. lies: „rechten Seiten“.

.776, 2.19 lies: iV1 + @*.

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1) Ein Teil dieser Berichtigungen ist schon auf 8. 787—790 des eben er- schienenen Nachdrucks von Bd. III (vgl. S. XI des Vorworts von Bd. IV) mitgeteilt oder dort im Texte ausgeführt.

684 Druckfehler, Berichtigungen und Zusätze

Zu Band VI.

Zu Abh. XV (1893), S.376ff. und Abh. XXVI (1896), S. 639ff. vgl. auch den Schluß der Abh.: „Untersuchungen über Translationsflächen II. Leipz. Ber. 1892, S. 577 bis 579 (d. Ausg. Bd. II, Abh. XII).

S.771, Z. 15f. Abgedruckt in den (Euvres, II. Serie, Bd. VI, S. 252—255; Bd. VII, S. 40—54, 255 —266.

Zu 8.90—93. An der Fassung, in der diese Auseinandersetzungen beim Abdruck in den Annalen erschienen sind, hat F. Klein einen gewissen Anteil. Das geht aus einem Briefe hervor, den er am 12.4.1880 aus München an Lie ge- richtet und dem er Änderungsvorschläge beigefügt hat. Leider sind von diesen Änderungsvorschlägen nur die erhalten, die Lie ziemlich unberücksichtigt gelassen hat. Gewisse andere hat Lie aus dem Kleinschen Briefe ausgeschnitten und an Klein zurückgeschickt. Er hat später auf dem erhaltenen Teile des Kleinschen Briefes bemerkt: ‚Soweit ich erinnere, nahm ich ziemlich (oder vollständig) wort- lautend, was Klein hier geschrieben hatte.‘‘ Allem Anscheine nach bezog sich das auf die Fassung der jetzigen Nr. 65 auf S. 92.

Am 4. 5. 1880 schreibt F. Klein: „‚Meinerseits bin ich nun wieder mit Deiner Korrektur nicht ganz einverstanden; aber es versteht sich von selbst, daß schließ- lich die Meinung des Autors maßgebend ist, und so habe ich gestern Deine Fassung nach Leipzig geschickt.‘ ... „Nur die eine Änderung habe ich mir gestattet und bitte jetzt um Indemnität, daß ich nämlich bei meiner Programmschrift das Epi- theton ‚gedankenreiche‘ weggelassen habe. Dir kann, so dachte ich, an dem Epi- theton nichts liegen, und mir ist es immer unangenehm, wenn ich in den Annalen, die ja ohnehin meinen Namen immer stark in den Vordergrund rücken, auch noch sozusagen Reklame für mich machen lassen soll.“

S.797, Z2.3,2 v.u. Vgl. Bd. IV, Abh. III (1877), S. 190, “Anm.1 und 8.566, 2.13—15.

S. 834 im Kopfe lies: III, S. 197.

S.848, 2.8 v..u. lies: &,,-

S. 938, 7.20 füge hinzu: „und die Anm. dazu, S. 674f.“.

S. 938, 2.4 v. u. lies: 5. 7. 1874.

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