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HA N DP. U OH
DER THEORIE DER
CYLINDERFUNKTIONEN
VON
Db NIELS NIELSEN
PRIVATDOCENT AN DER UNIVEKSITÄT K OPF.NHAtiEN, IMSPEKTOR DES MATHEMATISCHEN UNTERBICHTS AN DEN GYMNASIEN DÄNEMARK».
LEIPZIG, DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.
1904.
^08
AliLE HECHTE, ErNSCHLIESZLICH DES ÜBERSETZITNGSRECHTS, VORBEHALTEN.
HERRN
Professor Dr. C. NEHMANN
IN LEIPZIG
IN GRÖSSTER HOCHACHTUNG UND VEREHRUNG
GEWIDMET
VOM VERFASSER.
Vo 1- wor t,
Die in diesem llandbuche entwickelte Theorie der Cylinder- funktionen weicht von früher gegebenen beträchtlich ab; in der Tat ist sie mit Ausnahme der Kapitel Vll, XI, XXVI und XXVII zum gr()ßten Teile das Ergebnis eigener Untersuchungen. Natürlich ist trotzdem ein großer Teil der gewonnenen Sätze und Formeln, jedenfalls in etwas speziellerer Form, altl)ekannt.
Es ist überall mein Hauptbestreben gewesen, die Ergebnisse in ra(")glichst allgemeiner Form und nach möglichst allgemeinen Prin- zipien herzuleiten. Daher kommt es, daß ich im ersten Teile die Funktion TT''''U'') von Lommel und die ähnliche Funktion O'' ?(./;) so ausführlich behandelt habe; denn ohne eine eingehendere Theorie dieser Funktionen ist ja in der Tat die systematische Darstellung der Theorie der bestimmten Integrale mit Cylinderfunktionen sowie der Nullentwicklungen in den Schlömilchschen Reihen so gut wie unmöglich. Überdies ist zu bemerken, daß die Lomme Ische Funktion schöne Anwendungen der Fourierschen Reihen nach Cylinderfunktionen erlaubt.
Die im zweiten Teile gegebene Theorie der bestimmten Integrale mit Cylinderfunktionen scheint ganz und gar neu zu sein und wird hier zum ersten Male veröffentlicht. Über die Anwendung der all- gemeinen Prinzipien dieser Theorie habe ich noch zu bemerken, daß man die dort vorkommenden allgemeinen bestimmten Integrale mit Cylinderfunktionen durch die partikulären Integrale der all- gemeinen Differentialgleichungen hätte ausdrücken können, so daß es nicht nötig gewesen wäre, jedesmal, wie es im Buche geschieht, eine besondere Konstantenbestiramung zu geben.
Indessen habe ich doch vorgezogen, dieser allgemeinen Methode nicht zu folgen, weil ich dann eine große Menge allgemeinerer Funktionen hätte einführen müssen, um sie schließlich doch nur für Spezialisierungen der Parameter zu brauchen. Dazu kommt aber noch, daß in diesem Falle die allgemeinen Konstantenbestimmungen, wie es scheint, überaus große Schwierigkeiten darbieten.
VI Vorwort.
Was die Bezeiclinungen betrifft, so schien es mir ratsam, den noch recht häufig gebrauchten Namen „Besselsche Funktionen" über- haupt fallen zu lassen; denn erstens hat Bessel nur J''(x) und nur für ganze Werte des Parameters v untersucht, und zweitens haben Daniel BernouUi, Euler, Laplace, Parseval, Carlini, Fourier und Poisson diese Fimktion jedenfalls vor der Veröffentlichung der Be SS eischen Abhandlung gekannt; man darf hier wohl auch auf die analogen Bezeichnungen wie elliptische und Kugelfunltionen hinweisen. Indessen hat doch eben Bessel zuerst die Grundzüge einer wirklichen Theorie der /-Funktion gegeben; daher schlage ich vor, die Funktion J''{x) als die Besselsche Cylinderfimldion zu be- zeichnen, während ich Y^'{x) die Neumann sehe Cy linder funktion nenne, weil Neumanu zuerst die Funktion Y"(x) für willkürliche ganze Werte des Parameters n aufgestellt hat.
Die Cy lind erfunktionen dritter Art oder die Hankeischen Cylinder- funktionen H/(x) und H^^'ix) scheinen hier zum ersten Male syste- matisch eingeführt zu werden, und doch sind gerade sie ihrer asymptotischen Ausdrücke wegen von fundamentaler Bedeutung.
Die Bezeichnung .,Besselsche Funktionen der ziveiten Ärf für die Funktionen 0^[x), S"{x), T"(x) und U"(x) scheint mir ganz und gar unrichtig; denn erstens genügen diese Funktionen nicht den Fundamentalgleichungen der Cylinderfunktionen, und zweitens habe ich die Existenz ganzer Funktionenklasseu, die diese Be- zeichnung ebensogut verdienen, außer allen Zweifel gesetzt; so findet man in meinem Buche ein solches System in £)'"{pc), ©"(a;) und
Da mein Handbuch nur die Theorie und die analytischen An- wendungen der Cylinderfunktionen bietet, die physikalischen Anwen- dungen aber gar nicht berührt, habe ich mit großer Sorgfalt ein, wie ich hoffe, ziemlich vollständiges Verzeichnis der gesamten Lite- ratur über Theorie und Anwendungen der Cylinderfunktionen über- haupt geboten, so daß auch derjenige Leser, der die Anwendungen sucht, hier eine erste Orientierung finden dürfte.
Im Anhange findet man die im Texte gebrauchten Formeln und Lehrsätze aus andern in den Lehrbüchern gewöhnlich nicht behandelten Teilen der Analysis übersichtlich zusammengestellt und hier und da mit Beweisen versehen. Ein solcher Anhang empfahl sich besonders deshalb, damit die betreffenden Formeln im Texte nicht immer und immer wieder ausdrücklich niedergeschrieben zu werden brauchten.
Vorwort. VII
Ich oilüul)»' mir bei dieser (jlelig«Mibt'it »laruiii' aul'merksain /u iiiacluni, dab der letzte Abschnitt des Anhanj^es eiiii»^e Zusätze und BeriehtijTuugen zum Texte gibt.
Möchte nun mein llaiidlnicli eine uaclibaltige Anregung dazu geben, die Theorie der Cylinderfunktionen, indem man Mängel der jetzigen Theorie verbessert ujul etwaige Lücken ausfüllt, noch weiter auszul)auen, damit diese Funktionen in Zukunft im Systeme der bekannten speziellen Funktionen wegen ihrer Einfachheit und Wich- tigkeit unmittelbar nach den Kreisfunktiouen eingeordnet werden können; die volle Berechtigung dazu gewährt ihre analytische Natur und ihre reiche Anwendbarkeit sowohl in der Aiialysis als in der mathematischen Phy.sik.
Mit der Vollendung meines Handbuches der Theorie der Cylinder- funktionen einen wichtigen Abschnitt meiner Jugenduntersuchungen — vielleicht für immer — verlassend, empfinde ich es als teuere Pflicht, mehreren älteren Fachgenosseu hier meinen herzlichsten Dank auszusprechen: den beiden gi'oßen Meistern Herrn Geheimrat Pro- fessor Dr. (J. Neu mann in Leipzig und Herrn Senator Professor Dr. U. Dini in Pisa, deren Schüler ich leider nur durch ihre Publi- kationen gewesen bin, die aber nicht nur meinen hierher gehörigen Untersuchungen, sondern meinen mathematischen Arbeiten über- haupt stets mit freundlichem Interesse gefolgt sind; den beiden aus- gezeichneten dänischen Mathematikern S. Excelleuz Herrn Kriegs- minister V. H. 0. Madsen, Generalmajor der Artillerie, und Herrn Dr. J. P. Gram, Direktor der Versicherungsanstalten „Hafnia" und „Skjold", die — ohne Vorlesungen zu halten — durch ihre Auf- munterung unter schwierigen Verhältnissen, durch ihre Ratschläge und durch ihre Kritik auf meine mathematische Entwicklung einen großen Einfluß gehabt haben; meinem Freunde Herrn Professor Dr. J. H. Graf in Bern für unsem schriftlichen und mündlichen Gedankenaustausch und Herrn Professor Dr. A. Wangerin in Halle für die ebenso wohlwollenden als gründlichen Besprechungen, die er im Jahrhuch über die Fortschritte der Mathematik meinen zahl- reichen Abhandlungen hat angedeihen lassen und die mir unter der Last der Arbeit eine starke Aufmunterung gewährt haben.
Endlich muß ich vor allem noch der Verlagsbuchhandlung für ihr freundliches Entgegenkommen und für die schöne Ausstattung des Buches meinen besten Dank aussprechen.
Kopenhagen, den 1. November 1903.
Dr. Niels Nielsen.
Inhalt.
Erster Teil. Fnndameiitaleigeiischafteii der CyliiKlerfiiiiktionen.
Kapitel I. Die vier spezieUen t'jlinderfiiuktioiieii. ^^.^^
§ 1. Definition. Einführung von J''(x) 3
5? 2. Fundamentaleigenschaften der Funktion J''(.r) g
§ 3. Die Cylinderfunktion zweiter Art Y''{x) . " lo
§ 4. Die Cylinderfunktionen dritter Art II/(x) und 11," (x) . . . . . iq
§ 5. Umlaufsrelationen der vier speziellen Cylinderfunktionen ig
§ 6. Über das Produkt r'{ax)J^{ßx) . . 20
§ 7. Fundamentalformel von Lommel 22
§ 8. Verallgemeinerungen einiger Formeln von Bessel .......'. 24
Kapitel II. Eigen Schäften der willkürlichen Cyliuderfnuktionen.
§ 9. Bestimmung der allgemeinen Cylinderfunktionen .... 25
§ 10. Differential eigenschaften der Cylinderfunktionen ......... 27
§11. Reduktionsformel für C'±"(a:). Bestimmung von J" + i (.t) .... 29
§ 12. Fundamentaleigenschaften des Lommelschen Polynomes 32
§13. Differentialeigenschaften des Lommelschen Polynomes . . . . . 35
§ 14. Ketteubruchentwicklungen und ähnliche Darstellungen 37
§ 15. Die Funktion B^.C'\x) für ganze v 40
§ 16. Andere Beweise der Lommelschen Fundamen talformel . . . ' ." . ' 42
Kapitel III. Elementare Integraldarstelluugen mid Verallgemeinerimeeu der Besselschen Cylinderfunktion.
§ 17. Erstes Integral von Bessel und die Funktionen V" (.-r) , Q"(x) und T"(x) Ai
§ 18. Zweites Integral von Bessel und die Funktion Z''(x) ... 51
§ 19. Das Integral von Hansen und die Funktionen 0'(.r), A''{x) und 'v'(x) 56
§ 20. Zwei Integralklassen. Formeltafeln. Die Funktion M"{x) . . . 59
n+v n—v
§ 21. Integralausdrücke für das Produkt f^(x).f^(x), n ganz 63
! o!' ^""ff Entwicklungen, die nach Cylinderfunktionen fortschreiten 65
^ 2.-i. Die Besselsche Auflösung der Keplerschen Gleichung 69 § 24. Die Funktionen li e-- (;.(x), S,{x) und die Integrale von Kramp und Fresnel .
71
Kapitel IV. Unbestimmte Integrale und unendliche Reihen mit Cylinder-
funktionen.
§ 25. Verallgemeinerung der Fundamentalgleichungen der Cvlinder-
iunktionen . „, 75
§26. Reduktion von B'±"(a;). Anwendung auf i2'''"(.-r) 78
§ 27. Unbestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen • • • • ^^
§ 28. Herleitung eines Integrales mit zwei Cylinderfunktionen ' ' ' ' 83
§ |
29 |
§ |
3ü. |
8 |
31. |
§ |
32. |
§ |
33. |
§ |
31. |
Inhalt. IX
Kapitel V l>ic l.oiiinulMhe Funktion n''^'(x). ''•'""
Fuudameataleigeuöchat'ten von TT*''^'(a-) 86
Spezialfälle der Loiumelschen Funktion 8'J
I>it' nitl't'ri'uti:il|^'k'irluin>; für TT'''-'m) '.H
Kleuientare Integrulilarstellunf^on für n''"(.r) <j.l
Anwendungen von TT''^'(^') 'i^f Heilu-n und Integrale 96
Anwendungen auf die Funktionen li r""^, Ci {x) und Si{a:),K{x), Fi{x)
und i*o(a-) 100
Kapitel VI. Die Funktionen <i>'''-! x) und n'-^^C^;).
§ 35. Fundamentale Eigenschaften von <i>'''-'(.r) 103
§ 36. Spezialfälle von <t>'''"{x) 105
§ 37. Anwendungen von <t>''''i'x) auf Reihen und Integrale 107
§ 38. Fundamentale Eigenschaften der Funktion TT'''"'"(a-) lOH
§ 39. Ueihcnentwicklungeu für TT'''''''(x-) 111
§ 40. Spezialfälle der Funktion TT'''^''''(x) 113
Kapitel VII. Allgemeine lutegraldarstelluugcu von SchläQi und Sonin.
§ 41. Allgemeine Methode von Sonin 114
§ 42. Diskussion von f/, . Integrale von Schläfli und Soniu 116
t) 43. Diskussion des Integrales U^' 120
§ 44. Diskussion der Integrale U^ und LL^ 123
§ 45. Diskussion des Integrales U^ 124
§ 46. Integraldarstellungen von Y"(x), S"{x), 0''{x), ©"(«) und D"ix) . 127
Kapitel VIII. Lineare Diflferentialgleicliungcn für die Cylinderfunktionen.
§ 47. Transformation der Besselschcu Gleichung 129
§ 48. Integration der Riccatischen Gleichung 131
§ 49. Difterentialgleichung für a;"e±''^^^C'(ßx>') 132
§ 50. DiflCerentialgleichungen dritter Ordnung 133
§ 51. Differentialgleichungen vierter Ordnving 137
§ 52. Diffei'entialgleichuugen willkürlicher Ordnung 139
§ 53. Einige Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen 141
Kapitel IX. Lineare Differentialgleichungen für das Produkt C''(a;)(7/'(a;),
§ 54. Herleitung einiger Spezialfälle 144
§ 55. Die Differentialgleichung cbitter Ordnung für C '' (x) Cj *' (x) 146
§ 56. Die Differentialgleichung vierter Ordnung für C^{x)C^^{x) 148
Kapitel X. Angenäherte Darstellungen einer Cylinderfunktion.
§ 57. Die Hankeischen Integrale 149
§ 58. Asymptotische Reihen für H^^{x) und H,/{x) 153
§ 59. Asymptotische Entwicklungen für ./''(«) und Y''(^) 1^^
§ 60. Numerische Tafeln für Cylinderfunktionen 157
Kapitel XL Nullstellen. Untersuchungen von Hurwitz.
§ 61. Allgemeine Sätze über die Nullstellen einer Cylinderfunktion . . . 159
§ 62. J^'{x) als gleichmäßige Grenze der Lommelschen Polynome .... 163
§ 63. Die Funktionen „(^a;) bilden eine Sturmsche Kette 166
§ 64. Über die Nullstellen von (/„(.i?) 168
X Inhalt.
Seite
§ 65. Satz von Hurwitz über clio Nullstellen von J^{x) 170
§ 66. Angenäherte Lage der Nullstellen. Sätze von Schafheitlin .... 172 § 67. Sätze von Schafheitlin über die Nullstellen von Y'"{x) 175
Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cyliiiderfunktionen.
Kapitel XII. Integralbestiiiimungen durch Reihenentwickluugeu.
§ 68. Anwendungen des ersten Eulerschen Integrales 179
§ 69. Integrale von Gegenbauer 181
§ 70. Anwendungen des zweiten Eulerschen Integrales 183
CO
§ 71. Bestimmung von f e~'^T {tx)i^dt 187
0
§ 72. Bestimmung des Weberschen Fundamentalintegrales 188
Kapitel XIII. Integraldarstellungen der hypergeouietrischen Funktion.
§ 73. Allgemeine Formeln 191
§ 74. Integrale mit einer trigonometrischen Funktion 195
§ 75. Diskontinuierliche Faktoren von Dirichlet und Weber 198
§ 76. Integraldarstellungen der Kugelfunktionen 200
Kapitel XIV. Über die Integrale der DiflFerentialgleichung von Malmsten.
§ 77. Erste Methode 203
§ 78. Zweite Methode 206
§ 79. Dritte Methode 208
§ 80. Vierte und fünfte Methode 209
Kapitel XV. Anwendungen der ersten Methode.
§ 81. über das Integral C C {tx)t^ {t'-\- y^f dt 211
0
§ 82. Erster Fall: Integraldarstellungen für C {x) C^'' {x) 213
§ 83. Zweiter Fall: Weitere Integralausdrücke für C''(a;)C/(a?) 216
§ 84. Dritter Fall: Integralausdrücke für TT'''^(«) 218
§ 85. Vierter Fall: Verallgemeinerung eines Integrales von Sonin .... 220
§ 86. Verallgemeinerung zweier Integrale von Weber und Mehler .... 221
§ 87. Verallgemeinerung eines Integrales von Meissel und Weber .... 224
§ 88. Asymptotische Ausdrücke für die Lommelsche Funktion 227
Kapitel XVI. Weitere Anwendungen der ersten und zweiten Methode.
CO
§ 89. über das Integral f C {tx)C^''{tx){t^-\- y^ft^dt 231
0
§ 90. Integraldarstellungen für die Poissou-Angersche Funktion 232
§ 91. Integraldarstellungen für die Funktion Z*'{x) 234
CO
§ 92. Über das Integral C C\tx){t-\-yft^dt 237
0
Inhalt. XI
Kapitel XMl Auwoudiiugcii «lor drittoii und vierten Methude.
§ «J3. über die luicgrAlv J e~ "' C* {tx)t^ {t-\- y)" dt und
0 » y
j\"'--ic\tx)t^-\n -240
0
§ 94. Verallgemeinerung eines Integrales von Sonin *241
4) yö. Asymptotische Darstellung der Funktion (J>''"(.i-j 242
§ Ü6. Integralauridrücko für die Hankelscben Cylindert'unktionen 244
§ 97. Vt'rallgemeinening eines Doppelintegrales von Meissel 245
Kapitel XVIII. Diskontinuicrliehe Faktoren.
tj 98. Anwendungen der Residuenrcchnung 247
§ 99. Spezialisicniiigen der allgemeinen Forni<'lu 250
§ 100. Verallgemeinerungen eines FundameutalintegriileH von Sonin . . . 252
§ 101. Verallgemeinerungen anderer Integrale von Sonin 257
Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen nach Cylinderfunktionen.
Kapitel XIX. Kutwicklung einer Fakultäteurelbe. Die Reihe Ir/„.r",7' +"(.i).
§ 102. Allgemeine Prinzipien 261
§ 103. Entwicklung einer Fakultätenreihe mit dem Argumente v . . . . 262 § 104. Anwendungen. Die Besselsche Additionsformel 265
— ) /'"'""(.t) 266
§ IOC. Entwicklungen von J^{x). Reduktionsformel für R''''"{x) .... 268
Kapitel XX. Die Neuuiauuscheu Keiheu erster Art.
§ 107. Allgemeine Formeln 270
§ 108. Anwendungen. Entwicklung von 273
y -^
§ 109. Entwicklung von ,J'^'{ax). Die Reihe e+'-^If7„J'' + "(a;) 275
§ 110. Entwicklungen von cos(aa;), sin (ora;) und J" ~ T (.-c sin ö) 277
§ 111. Formeln von Neumann, Clebsch und Gegenbauer 278
§ 112. Entwicklung einer Funktion von der Form f{y — x) 281
§ 113. Die Funktionen 0"(i/) und S"(2/), D^'Cy) und &' {y) 284
§ 114. Allgemeine Additionsformel von Sonin 286
§ 115. Verallgemeinerungen von Ä'*''"(x). Die Differentialgleichung § 31, (7) 288
Kapitel XXI. Die Neumannschen Reiheu zweiter Art.
§ IIG. Allgemeine Formeln 292
8 117. Anwendungen. Entwicklung von 294
y-x
§ 118. Andere Entwicklungen nach Produkten zweier Cylinderfunktionen 297 § 119. Über die Reihe Ia„J'' + "(a;),7^-''(a;) 298
Kapitel XXII. Die Kapteynschen Reihen erster und zweiter Art.
§ 120. Formale Entwicklung von x^ in eine Reihe der ersten Art .... 300
§ 121. Unbedingte Konvergenz der Entwicklung für «'' 302
§ 122. Die allgemeine Kapteynsche Reihe der ersten Art 304
§ 123. Die Kapteynschen Reihen der zweiten Art 306
Xn Inhalt.
Seite
Kapitel XXIII Analogrien zwischen den >enniannschen und den
Kapteynschen Reihen.
§ 124. Entwicklungen ein und derselben Funktion f(ax) 309
§ 125. Kapteynsche Reihen für die Funktion 313
y—x
§ 120. Neue Herleitung einiger Reihen der zweiten Art 316
Vierter Teil. Darstellniigen willkürlicher Funktionen durch Cylinderfunktionen.
Kapitel XXIV. Allgemeine Funklionentypeu mit einem Invariahilitäts-
bereiche.
§ 127. Verallgemeinerung der Kreis- und Cylinderfunktionen 323
§ 128. Summation einiger Reihen, welche nach F{ci^ x) und '^{a, x) fort- schreiten 326
§ 129. Neue Auflösungen der Keplerschen Gleichung 330
§ 130. Anwendung der Funktion f(a,x) = co-x 334
Kapitel XXV. Nullontwicklungen in den Sehlöniilchschen Reihen.
§ 131. Allgemeine Summenformeln 337
§ 132. Anwendungen der Lommelschen Funktion 342
§ 133. Anwendungen von Produkten zweier /-Funktionen 345
§ 134. Die Schlömilchschen Reihen gestatten sämtlich eine Nullentwicklung 347
Kapitel XXVI. Theorie der Fouriersehen Reihen nach Dini.
§ 135. Sätze von Dini 352
§ 136. Entwicklung von TT''''?(«). Die Produktdarstellung von .r'{x). . . 355
§ 137. Reziproke Potenzsummen der Wurzeln or„'' nach Graf 358
Kapitel XXVII. Integraldarstellungen nach Neumann und Hankel.
§ 138. Das dreifache Integral von Neumann 360
§ 139. Herleitung einiger Grenzwerte 364
§ 140. Das Hankeleche Umkehrproblem 366
Anhang. — Hilfsformeln und Zusätze.
A. Die Gammafunktion 371
B. Die hypergeometrische Funktion 375
C. Die Kugelfunktionen 377
D. Zwei Inte<?ralidentitäten 379
"o-^
E. Trigonometrische Reihen 381
*o
F. Zusätze und Berichtigungen 387
Literaturverzeichnis 389
Alphahetisches Register . . . 405
ERSTER TEIL.
FUNDAMENTÄLEIGENSCHAFTEN DEE CYLINDEREUNKTIONEN.
Nielsen, Cylinderfunktionen.
Kapitel I. Die vier speziellen ('\iiii(lerfiiiiktioiieii.
§ 1. Definition. Einführung von J*'(x).
Wir bezeiclmen als Cylinderfuiiktiou mit dem Argumente x und dum Piirameter v eine willkürliche Lösung folgender zwei Funktional- gleichungen
(1) C^-\x)-C^^\x)=^2D^C^Xx),
(2) C^-\x) + C^^\x)=^^^^C^{x),
die wir der Kürze halber häufig als erste, beziehungsweise zweite Funktionalgleichuug der Cylinderf'unktioneu bezeichnen werden. Durch Addition oder Subtraktion von (1) und (2) erhält man folgendes andere System von Gleichungen
(3) I)..C^ix)^-^C^{x)-i-C^-'(x),
(4) D^C^ix)=^^C^ix)-C^'^\x),
die man statt (1) und (2) als Definition der Cylinderfunktionen nehmen kann; denn diese beiden Systeme von Gleichungen sind oflFenbar miteinander identisch.
Um nun den Ausdruck für die allgemeine Cylinderfuuktion zu finden, beweisen wir zuerst, daß die Gleichungen (1) und (2) oder, was dasselbe ist, (3) und (4) eine Lösung besitzen, welche, vom Faktor rr'' abgesehen, eine ganze transcendente Funktion der zwei Veränderlichen x und v ist. Wir betrachten daher vorläufig nur solche Cylinderfunktionen, für welche eine der drei Derivierten
(5) DJC^'i^), D.C^-\^), Dß^'^\x)
existiert; denn die Gleichungen (3) und (4) zeigen unmittelbar, daß, falls man nur eine von diesen Funktionen bilden kann, die beiden anderen gleichfalls existieren müssen.
4 Erster Teil. Fundamentaleigenscliaften der Cylinderfunktionen.
Unter diesen Voraussetzungen findet man aus (4)
X'- ^ ' X
nimmt man nun wieder aus (4) die Funktion D^C^{x), während man D^G^-^'^ix) aus (3), für v -\- \ statt v, entnimmt, so findet man
^/^"(^) = {^. - l) C'i.^) + ^ C^^K^) - ^ G\x) ;
addiert man endlich zu dieser Formel die mit x dividierte Glei- chung (4), so findet man für die oben erwähnten spezielleren Cylin- derfunktionen folgende lineare Differentialgleichung der zweiten Ordnung
(6) y^'' + \ y^'^ + {^-$)y- 0;
die man häufig als die Besselsche Differentialgleichung bezeichnet. Hieraus geht hervor, daß sich die Cylinderfunktionen, für welche eine der Derivierten (5) existiert, in der ganzen a;-Ebene, die zwei singulären Stellen x = 0 und a; = oo ausgeschlossen, regulär ver- halten, weil sie immer der Differentialgleichung (6) Genüge leisten müssen.
Versucht man nunmehr die Gleichung (6) durch eine Reihe von der Form
« = 00
n = 0
ZU integrieren, wo die Koeffizienten a von x unabhängig sind, so erhält man zur successiven Bestimmung dieser Koeffizienten un- mittelbar die allgemeine Rekursionsformel
(7) (p - V + W)(? + ^ + ^)«« + %-2 = 0; während der Anfangsexponent q sich durch die Gleichung
(8) {Q-v)iQ + v) = 0
bestimmen läßt.
Betrachtet man zuerst die Wurzel ^ = -f v und setzt man
_ 1
^0 — 2''r(i'-f 1) '
so findet man aus (7) unmittelbar, daß
sein müssen, so daß sich ein partikuläres Integi-al von (6) durch die Entwicklung
Kapitel I Die vier speziellen Cylinderfunktionen. § 1.
r + 'in
-^m
(9) ».-./'W = 2'„,r,, + „ + .,
tlarsteÜL'H lilbt, wo die willkürliclie Potenz x' auf «geeignete Weise deHuiert worden niuB. W't'iin v keine rationale Zahl bedeutet, so ist die t/Funktion unendlich vieldeutig, weil sie dann im Punkte x = 0 einen Verzweigungspunkt hat, der durch Umlaufen der Variabein x unendlich viele Werte der Funktion hervorbringen kann. Wir haben diese Verhältnisse später in § 5 zu untersuchen.
Es ist auBer allem Zweifel, daß die Funktion J*'(x) ein parti- kuläres Integral von (ü) ist; dagegen ist es nicht sicher, ob sie auch den Funktioualgleichungen (1) und (2) genügt, d. h. ob sie wirklich eine Cylinderfunktion mit dem Argumente x und dem Parameter v ist. Difterentiiert man aber die zwei Produkte x-*'J''{x), so gibt die Reihenentwicklung (9) die folgenden zwei Formeln
(10) D^(x'J''{x)) = x''J''-^ix), D^(x-''J'(x)) = -x-'J'' + \x),
die nach Ausführung der Differentiationen in (3) und (4j übergehen, womit wir bewiesen haben, daß J^'{x) wirklich eine Cylinderfunk- tion mit dem Argumente x und dem Parameter v sein muß.
Diese Funldion J^(x) nennen ivir immer die Cylinderfimldion erster Art oder auch die Besselsclw Cylinderfimldion.
Die zweite Wurzel der determinierenden Gleichung (8) gibt mittels (7) ohne weiteres die Funktion
(11) y, = J-\x)
als zweites partikuläres Integral von (6).
Diese Funktion kann indessen keine Cylinderfunktion mit dem Arcjumente x und dem Parameter v darstellen-
Setzen wir voraus, daß 2v eine ganze Zahl ist, so bilden die beiden Wurzeln der determinierenden Gleichung (8) eine Gruppe, so daß wir in diesem Falle die zwei Integrale (9) und (11) miteinander zu vergleichen haben. Falls v die Hälfte einer imgeraden ganzen Zahl bedeutet, so bleiben diese beiden Integrale voneinander stets linear unabhängig; wenn dagegen v eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, so hat man die Identität
(12) J-«(:c) = (-l)V(a;);
denn in diesem Falle verschwinden wegen der Gammafunktionen im
Nenner immer die n ersten Glieder der Reihenentwicklung für J~''(x).
Aus den hier angegebenen zwei Gründen brauchen wir J~^'{x)
niemals als independente Funktion, so daß wir ein anderes partiku-
G Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
läres Integral von (6) zn suchen haben, das immer von J''{x) linear unabhängig ist.
Sicher hat Daniel Bernoulli^) in seiner Untersuchung über die schwingende Saite zum ersten Male die Gleichung (6) und die Reihe (9) für v = 0 gefunden. Später hat wieder Euler^) diese spezielle Gleichung uud Reihe untersucht; er hat auch die allgemeine Funktion V{v -\- l)J^'{xY) eingeführt, ohne jedoch die Funktional- gleichungen (1) und (2) zu bemerken. Carlini^) hat einen asympto- tischen Ausdruck für p\JP{pe) für ein positives, ganzes und sehr großes p gegeben, während Fourier^) J^(x) als Entwicklungs- funktion benutzt, Poisson*') aber die Funktionen J'\x) und J"-+2{x) eingeführt hat, wo n eine ganze und nicht negative Zahl bedeutet.
BesseF) hat zuerst die Fundamentalgleichungen (1) imd (2) für J"(jx), n positiv und ganz vorausgesetzt, gefunden und übrigens die ersten Fundamente zu einer wirklichen Theorie dieser Funktion geliefert; eine solche Theorie ist von Neumann ^) systematisch auso-ebildet worden, wähi-end offenbar LomnieP) zum ersten Male einen willkürlichen Parameter v systematisch verwendet hat.
§ 2. Fundamentaleigenschaften der Funktion J^'(x).
Ehe wii' das zweite partikuläre Integi-al von (6) in § 1 auf- suchen, scheint es uns angemessen, einige einfache Fimdamental- eigenschaften der Besselschen Cylinderfunktiou mitzuteilen, weil sie sich als unmittelbare Folgen der Definition (^9) in § 1 ergeben:
1. x~^J^'{x) ist eine ganze transcendcnte Funldion ihrer sivei Variahein x und v.
2. x~''J^'(x) ist, als Funldion von x^ hetraclitd, vom Genre Null. Bezeichnen wir also durch «^,«2,0:3,... die Nullstelleu von
x~^J^'(x) mit nicht negativem reellen Teile, und ordnen wir sie so.
1) Commentarü Acadeniiae Petropolitanae Bd. 6, p. 116, 118; 1732 — 33, Bd. 7, p. 171, 172; 1734—35.
2) Acta Academiae Petropolitanae 1781, p. 167 — 176, p. 185 — 190.
3) Novi Commentarü Academiae Petropolitanae Bd. 10, p. 256; 1764.
4) Ricerche sulla convergenza della serie etc. Milano 1817. Astronom. Nachr. Bd. 30, col. 227, 240; 1849.
5) Theorie de la chaleur. 1822.
6) Journal de l'Ec. Pol. cahier 19, p. 300, 340; 1823.
7) Abhandl. der Akademie. Berlin 1824.
8) Theorie der Besselschen Funktionen. 1867.
9) Studien über die Besselschen Funktionen. 1868.
Kiipitel I. Die vier speziellen Cylinderfuuktioncn. § 2. 7
tlaU immer |«,4.il^|«, | ist, so gewinnt man eine Pruduktentwick- lun«r von folgender Form:
W ^- = rMr)(i-i;)('-^-)('-$) ■•
Diese Formel ist die unmittelbare Folge eines allgemeinen Satzes von Iladamard'j; indessen wollen wir sie später in § 13G noch direkt Ijeweisen.
3. Benutzt man die Formel (fi)-) für r(2c3), so ergeben sich ohne weiteres folgende zwei wichtige Formeln:
(2) «^^(^) = v—- • si" ^ ) J~^{x) = 1/ cos a;.
4. Falls I V I selir (jroß ist, ohne daß es eine ganze negative Zahl bedeutet, ivlüircnd \ x \ endlich bleibt, findet man den asymptotisehen Ausdruck:
x"
— 1
Mau findet nämlich unmittelbar:
^ >' ^ ^ s ! (v -f- 1) (v + 2) ■ • ■ (v + s) '
SO daß es einleuchtet, daß die einzelnen Glieder in der Reihenent- wicklung für die in (3) angegebene höhere Grenze von |£| immer größer sind als die absoluten Beträge der entsprechenden Glieder rechter Hand in (4), selbst in dem ungünstigsten Falle, daß ^^(v) negativ und numerisch sehr groß angenommen wird, während die imaginäre Komponente von v endlich bleibt.
Für den Fall, daß 9fl(v) > 0 angenommen wird, geben wir später in § 103 eine viel genauere Bestimmung von \e\.
5. Die Cylinderfiinlction der ersten Art läßt sieh als Grenzfall der KugelfunJctionen darstellen^ bedeuten nämlich v und x willJcürliche endliche Größen, so hat 7nan die Formel:
(5) lim i-Jß+^}^^ . K'.' (cos ^)) - xi- V'-^W,
^ ^ „ = 00 Vl/2^-r(2j; + w) \ '*// ^ ^
ivo e gleich 0 oder 1 zu nehmen ist, je nachdem n gerade oder un- gerade vorausgesetzt wird.
1) Journal des Mathematiques (4) Bd. 9, p. 209; 1893.
2) So eitlere ich immer der Kürze halber im Texte die Formeln der ver- schiedenen Abschnitte des Anhanges.
8 Erster Teil. Fimdamentaleigenschaftcn der Cylinderfunktionen.
Wir bemerken zunächst, daß sich die Funktion unter dem Limes-Zeichen, die wir mit Q^ bezeichnen wollen, mittels der For- mehi (Kg) und (Kg) folgendermaßen schreiben läßt:
(6)
^ (—ifn] (2y-f OT)(2y-|-w+l)---(2y + OT + s— 1) / . x \2*
es ist dann nicht schwer zu beweisen, daß Q^ für ein unendlich wachsendes n eine ganze transcendente Funktion von x und von v darstellen muß.
Erstens sei darauf hingewiesen, daß man für hinlänglich große n immer
setzen darf, wo
(7a) I^K^-^^"^
ist. Beachtet man nun weiter, daß die Binomialformel für einen positiven ganzen Exponenten immer die Ungleichheit:
(8) (1 + «)^<1 -f-2*£^, 0<a^l
liefert, so bekommt man für den absoluten Betrag des Gliedes Ä^ unter dem Summenzeichen rechter Hand in (6) folgende Ungleichheit:
I \ - / sin 2 ■r{2r -\- n)
wo r eine solche positive ganze Zahl bedeutet, daß
r — 1 < |i/| ^ r; denn man hat offenbar:
^^=(l_l)(i_l)...(i_lz:i)<l.
(n — s)\n* \ ^*/ V *»/ \ n / ^
Benutzt man noch die Stirlingsche Formel (fg), so erhält man weiter :
wo K^ eine endliche positive Zahl bedeutet. Nun ist aber: und man bekommt somit endlich:
Kapitel I. Die vier spezirllon rylinderfunktionen. § tl.
\AA<-
woraus erhellt, ilalJ:
"1 = q „ .
(9) 2'l^l..J<A'2^t
m -0 1/1-0
sein muß, wo q eine willkürliche positive ganze Zahl bedeutet, wäh- rend K der Maximalwert von if,, K^^i, . . ., Ä, + , ist.
Auf ähnliche Weise behandelt man die nach x oder v genom- mene Derivierte von Q„, und somit ist unsere Behauptung über diese Funktion bewiesen.
Wir nehmen nun vorläufig an, daß v und x beide positiv sind, und teilen die Summe rechter Hand in (6) in zwei andere, die erste von s = 0 bis 6' = S, die zweite von s = S -]- 1 bis s = n, wo S eine sehr große positive ganze Zahl bedeutet, die mit n über alle Grenzen wächst. Die Ungleichheit (9) zeigt dann unmittelbar, daß der absolute Betrag der letzteren der erwähnten Summen imter jede angebbare Größe herabsinkt, wenn n groß genug genommen wird, d. h. daß er kleiner als 0,, angenommen werden kann,' wo 0„ eine kleine positive Größe bedeutet, die mit 1 : n der Grenze Null zustrebt.
Um die erste der beiden Summen zu behandeln, setzen wir:
beachtet man nun weiter, daß
/i , 2v + r\ /. Si' + s — r\ _^ 4i; + s , (2r + r) (2y + s-r)
n sein muß, so findet man:
die Ungleichheit (8) ergibt dann weiter, daß
(10) B,<l + tl^^l+e,
ist, wo s' die Hälfte von s oder s + 1 bedeutet, je nachdem s ge- rade oder ungerade ist; wir haben demnach mittels (7) bewiesen, daß
sein muß, wo
10 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
ist, wäkrend
iEj<0.+2'4+±fi)(f)
^ ^ S!r(j;+S+1)
bedeutet.
Unsere Formel (5) ist also auch in dem oben erwähnten spe- ziellen Falle bewiesen und somit allgemein gültig, weil ihre beiden Seiten ganze transcendente Funktionen in x und v darstellen.
Für V = \ ist die Formel (5) von Hehler^), kurz nachher aber von allgemeineren Gesichtspunkten aus von Heine ^) gefunden worden. Später hat Lord Rayleigh^) die Formel aufs neue bewiesen und mit ihr einige Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen aus denen der Kugelfunktionen hergeleitet, während S h a r p e ^) die Funktion linker Hand in (5) nach fallenden Potenzen von n zu entwickeln versucht hat. Für t» = 0, v = 1 wird die Grenzformel (5) vermöge (K^g) und (K^g) eine formale Identität.
6. P. A. Hansen^) hat noch folgenden Grenzwert angegeben:
wo F die gewöhnliche hypergeometrische Reihe bedeutet, und wo X und X über alle Grenzen wachsen. Der Beweis für diese Formel ist nur eine leichte Abänderung des vorigen, so daß wir ihn hier übergehen dürfen.
§ 3. Die Cylinderfunktion zweiter Art Y^'{oc).
Wenn wir das am Schlüsse des § 1 erwähnte zweite partikuläre Integral der Besselschen Gleichung suchen, so haben wir es derart zu bestimmen, daß es erstens immer von J^'{cc) linear unabhängig ist und zweitens eine Cylinderfunktion mit dem Argumente x und dem Parameter v darstellt. Wählt man nun aber zwei Funktionen
1) Journal für Math. Bd. 68, p. 140; 1868.
2) Journal für Math. Bd. 69; 1869. Handbuch der Kugelfunktionen Bd. I, p. 184; Berlin 1878.
3) Proceedings of London Math. Soc. Bd. 9, p. 61—64; 1878.
4) Quarterly Journal Bd. 24, p. 383—386; 1890.
5) Leipziger Abhandlungen Bd. 2, p. 252; 1855.
Kapitel I. Di« vier speziellen Cylinderlunktionen. § 3. H
a{v) und b(v), die beide von x imabliäiigig sind uud außerdem den Bcdini^imj^en
a(v -j-l)^a{v), h{v -{- 1) = - h(v)
genügen, während C*'{x) eine Cylinderfunktion mit dem Argumente X und dem Parameter v bezeichnet, so haben die folgenden vier Funktionen
(1) aiv)C-'{-x), a{v)C'ix), h{v)C-\x), h{v)C^{-x) ofi'enl)ar wieder dieselbe Eigenschaft, d. h. sie leisten, wie eine ein- fache Keclinung unmittelbar darlegt, den beiden Funktioualgleichungen
(1) und (2) des § 1 Genüge.
Nach diesen Überlegungen ist es sehr leicht, von J*(.r) aus- gehend, noch viele andere Cylinderfunktioneu zu bilden, die immer von J\x) linear unabhängig sind. Eine der einfachsten unter allen diesen neuen Funktionen ist ofienbar die folgende:
(2) Y^ix) = ^ (cos v:tJ^x) - J-^{x)),
welche sich für ganze v als Grenzwert darstellt.
Wir nennen immer die Funldion Y^{oc) die Cylinderfunldion ziceiter Art oder auch die Neu mann sehe Cylinderfunldion.
Die Formel (2) gibt ohne Mühe die zwei anderen:
(3) J~*(^) = <^os V7tj''{x) — sin vnY\x),
(4) Y- '■ (x) = sin V Ä J' {x) + cos v ;c Y" {x) ,
von denen die erste eine Verallgemeinerung von (12) in § 1 ist, während die zweite die ähnliche Formel
(5) r-»(a;)==(- iyY"{x)
liefert, in der n eine ganze Zahl bedeutet. Aus (3) findet man weiterhin die neue Formel
(6) Y'^-^ix) = (- ly-'j-^'-^ix),
in welcher n immer eine ganze Zahl bedeutet; somit gibt (2) in § 2 folgende ähnliche Fonneln:
(7) r^(^) = - ]/A . cos ^, r-%) = ]/Ä.sin^.
Setzt mau noch voraus, daß \v\ sehr groß ist, ohne daß es eine negative ganze Zahl ist, während \x\ endlich bleibt, so gibt (3) in § 2 mittels der Eulerschen Formel (fg) folgenden asymptotischen Ausdruck: i
(8) Y^{x)=-'-^il + s), |.|<^
4
— 1
nx I»'— 1
12 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Wir wenden uns nunmehr zur Bestimmung des Grenzwertes der rechten Seite in (2), wenn v eine ganze Zahl bedeutet, und dürfen dann, wie die Formel (5) deutlich zeigt, die negativen Werte von V ausschließen. Die gewöhnliche Methode gibt ohne Mühe, wenn man die Formel (f^) auf die ersten n Glieder anwendet, für die Neumann sehe Cylinderfunktion den Ausdruck:
(9)
4 = 0
«=« — 1
Aus (2) und (9) ergibt sich, daß die Neumann sehe Cylinder- funktion immer, auch für ganze n, unendlich vieldeutig sein muß; wir wollen auf diese Frage später in § 5 näher eingehen.
Heine^) hat auch für die Neumannsche Cylinderfunktion eine zu § 2, (5) analoge Grenzformel angegeben, in welcher die Kugel- funktion der zweiten Art vorkommt; wir können indessen nicht näher auf diese Formel eingehen.
In früheren Zeiten, wo die allgemeinen Integraldarstellungen der Cylinderfimktionen noch nicht bekannt waren, teilte man den oben gegebenen Ausdruck für die Funktion Y^\x) in mehrere Sum- men, die man als neue Funktionen einführte und durch bestimmte Integrale ausdrückte. Da diese Funktionen noch immer in der Theorie der Cylinderfunktionen eine nicht unwichtige Rolle spielen, wollen wir hier die oben angegebene Teilung der rechten Seite in (9), indem wir Schläfli^) folgen, mitteilen.
Wir setzen also:
«-1
'^'2
(10) s«(.)^2:^^^=^(i)"""
« = 0
und führen, indem
'^(^) = T + T + i- + --- + T' ^(0) = 0 bedeuten soll, noch folgende zwei neue Funktionen ein:
1) Journal für Mathematik Bd. 69, p. 131; 1869. Handbuch der Kugel- funktionen Bd. I, p. 185; 1878.
2) Mathematische Annalen Bd. 3; 1871,
Kapitel I. Die vier speziellen C^linderfunktionon. § 3. 13
11-8
»i-2«-2
• (11)
^"W--2'<;r:r^(f)
(« — s — 1) 1 n + 2t
« = 0 ^ '
(12) u'(^)=;^ , ;;^ x(n+s).
Wir finden also ans (9), mit Hilfe der Formeln (fji) und (fu) für die G au ß sehe Funktion ^{x), noch folgende andere Darstellung der Neu mann sehen Cylinderfunktion :
(13) 7c . yix) = 2J"(x)(^C + log fj — S"(x) + T"{x) - 2 U"{x),
wo C die Eulersche Konstante bedeutet.
Wir bemerken, daß S eine rationale Funktion ist, während T und U ganze transcendente Funktionen in x und zwar mit ratio- nalen Zahlenkoeffizienten bedeuten. Übrigens finden wir für die Funktion
S"(:r) = (2),J'(:r)X.„-J"(^)log(|) den Ausdruck:
(14) ^«{x) = -2; -TTTT+'n)!- -"^is + n + l);
'^^-'^if)
s = 0
aus (12) ergibt sich also unmittelbar, daß
(15) U"{x)^CJ"{x)-^''{x)
sein muß, wo C wie gewöhnlich die Eulersche Konstante bedeutet. Wir bemerken noch, daß die Definition (2) für Y"{x) unmittelbar noch diese anderen Ausdrücke ergibt:
^ ^ U • Y"(x) = 2{DJ^\x)\^„ + T\x) - S"{x).
Die Funktionen S, T, ü werden häufig Besselsche Funktionen zweiter Art genannt, eine Bezeichnung, die nicht zutreffend ist; denn erstens genügen diese Funktionen nicht den Fundamentalfor- meln der Cylinderfonktionen, aber wohl ähnlichen Gleichungen, und zweitens kann dieser Name mit ebensoviel Recht auf ganze Klassen solcher Funktionen übertragen werden; wir selbst geben in § G ein
14 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
neues System dieser Funktionen und deuten in § 40 wenigstens an, wie jedenfalls noch ein Funktionen System dieser Art zu bilden ist. Es scheint uns daher ratsamer, diesen Namen ganz fallen zu lassen. Über die Formel (9) haben wir noch zu bemerken, daß die Koeffizienten in der unendlichen Reihe rechter Hand nicht rationale Zahlen sind; um dies zu erreichen, muß man statt Y^ix) die andere Funktion : (17) 7t-Y''{x)-2CJ"{x)
einführen, wo C die Eulersche Konstante bedeutet. Die Funktion
(17) ist gewiß eine Cylinderfunktion mit dem Argumente x und dem Parameter w, sie wird indessen die Formeln (3) und (4) um- gestalten, und dasselbe gilt noch mehr für eine große Reihe anderer Formeln, wie unsere Untersuchungen über asymptotische Darstel- lungen und bestimmte Integrale späterhin zeigen werden.
Die Funktion J~'^'(x), die, wie wir schon in § 1 bemerkt haben, keine Cylinderfunktion mit dem Argumente x und dem Parameter v sein kann, ist bei den älteren Autoren, wenn v nicht ganz ist, fast ausschließlich als zweites partikuläres Integral der Be sseischen Gleichung benutzt worden. Dies ist ein ernstlicher Ubelstand, weil dann eine große Menge von Formeln ihren einheitlichen Charakter verlieren, indem sie in zwei verschiedenen Formen dargestellt werden müssen, je nachdem v ganz ist oder nicht; man vergleiche zum Beispiel die Arbeiten von Lommel^) und Sonin^). Diesem Übel- stande entgeht man bei einem systematischen Gebrauche der Funk- tion Y^'(x), auch wenn v nicht ganz ist. Was J~'''{x) betrifft, so muß sie, als independente Funktion, aus der Theorie der Cylinder- funktionen verbannt werden; ihre Existenzberechtigung ist ausschließ- lich die einer Hilfsfunktion für den Übergang von der Bess eischen zur Neumannschen Cylinderfunktion.
Es leuchtet ein, daß die beiden Funktionen J und Y uns immer erlauben, die Besselsche Differentialgleichung vollständig zu inte- grieren; man findet nämlich als vollständiges Integral die Funktion:
(18) y^aiv)J\x)^b{v)Y^(x),
wo a(v) und h{v) arbiträre Funktionen von v bedeuten, die aber unabhängig von x sind. Es läßt sich auch über diese willkürlichen Funktionen sehr leicht so verfügen, daß (18) den Gleichungen (1)
1) Mathematische Annalen Bd. 14 u. 16.
2) Mathematische Annalen Bd. 16.
Kapitel I. Die vier speziellen Cylinderfunktionen. § 3. 15
und (2) des § 1 Genüge leistet, d. h. so, diiü // eiue Cylinderfunk- tion wird. Indessen läßt diese Methode eine Auflösung der oben erwiihuten Gleichungen nur unter der Vorausset/Aing 7ai, daß die Funktionen (5) in i^ 1 existieren. Wir haben daher andere Methoden zu suchen, die uns die allgemeinste L(tsung liefern können.
Zur Geschichte der Neu mann sehen Cylinderfunktion bemerken wir, daß unsere Definition (2) mit kleinen Abänderungen zuerst von IlankeP) und von Schläfli^) gebraucht worden ist; nur wird die llankelsehe Definition unbrauchbar, wenn v die Hälfte einer ungeraden ganzen Zahl bedeutet. Für v = 0 ist die Reihe (9) als zweites Integral der entsprechenden Be sseischen Gleichung von Euler^), Riemaun*) und Meissel^') eingeführt. Vielleicht wurde diese Reihenentwicklung gefunden, indem man die allgemeine Bessel- sche Gleichung nach v ditterentiierte und dann v = 0 setzte; jeden- falls gibt diese Methode genau die Funktion Y'^{x), wird aber für andere ganzzahlige Werte von v unbrauchbar.
Wie wir später in den §§ IG, 18 zeigen wollen, haben Euler'') und Poisson'') Integralausdrücke für Y^{x) gefunden; indessen ist es zuerst C. Neumann") gelungen, für Y"{x) einen allgemeinen Ausdruck zu finden. Die I^-Funktion, die Lommel^) eingeführt hat, ist allerdings, wie schon V. A. Julius^'') und Schafheitlin^^) bemerkt haben, keine Cylinderfunktion, sondern nur ein partikuläres Integral der B es s eischen Gleichung.
Die wirkliche Bestimmung von Y''(x) bot also für eine Zeit bedeutende Schwierigkeiten dar, in welcher die allgemeine Theorie der linearen Differentialgleichungen noch wenig bekannt war. Wie Ette^') neuerdings in seiner dänischen Ausgabe der Fundamental-
1) Mathematische Annalen Bd. 1, p. 472; 1869.
2) Matheinatische Annalen Bd. 3, p. 135; 1871.
3) Acta Academiae Petropolitanae 1781, p. 189 — 190.
4) PoggendorfF Annalen Bd. 95; 1855. Mathematische Werke 2. Aufl. p. 57—60.
5) Gewerbeschulprogramm Iserlohn 1862.
6) Institutiones calculi integralis Bd. 2, p. 235; 1769.
7) Journal de TEcole Polytechnique cahier 19, p. 476; 1823.
8) Theorie der Besselschen Funktionen p. 52; 1867.
9) Studien über die Besselschen Funktionen p. 86; 1868.
10) Archives Ne'erlandaises Bd. 28, p. 221—225; 1895.
11) Journal für Mathematik Bd. 114, p. 38; 1895.
12) G. Frobenius: Om Integration af linesere Ditferentialligninger ved Rfekkeudv-iklinger p. 23. Kopenhagen 1903.
16 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
abhandlung von Frobenius^) gezeigt hat, gibt diese scböne Me- thode ohne Mühe als zweites partikuläres Integral der Bessel sehen Gleichung Funktionen, die mit Y"{x) übereinstimmen.
§ 4. Die Cylinderfunktionen dritter Art Hi'ipc) und H^^{x).
Wie unsere Einführung der Cylinderfunktion erster Art deut- lich zeigt, ist diese Funktion offenbar diejenige, die sich am ein- fachsten von den Fundamentalgleichungen aus darbietet; ebenso zeigt die Definition der Cylinderfunktion der zweiten Art, daß sie jeden- falls unter allen übrigen, welche in unendlicher Anzahl auftreten, eine der einfachsten ist. Sicher sind diese zwei Funktionen auch die einfachsten für die Ausbildung der systematischen Theorie der Cylinderfunktionen; indessen ist es nicht außer allem Zweifel, daß sie auch für die zahlreichen Anwendungen der Cylinderfunktionen am vorteilhaftesten zu Grunde gelegt werden können.
Zum Beispiel sind die Formeln (3) und (4) des § 3 für J~'^'(x) und Y~'^(x) für die Anwendungen nicht sehr bequem; da diese Re- duktion recht häufig vorkommt, fordern eben die oben erwähnten Formeln zur Aufsuchung anderer Cylinderfimktionen auf, für welche diese Reduktion einfacher wird. Unter solchen Funktionen scheinen folgende zwei
'O"
(1) H,'{x) = J'{x)i-iY'{x), H^\x) = J\x)-iY\x),
die ja auch immer linear unabhängig sind, die bequemsten zu sein; für sie bekommt man nämlich die zwei einfachen Reduktionsformeln:
(2) H{- »' (x) = e''^ ■ H,\x) , Hf '■{x) = e-"""' ■ H^''{x) .
Dazu kommt erstens noch, daß auch die Umlaufsrelationen dieser Funktionen sehr einfach sind, zweitens, daß sie am häufigsten als Werte bestimmter Integrale auftreten, viel häufiger als J und Y, drittens aber, daß sich die Ä- Funktionen für äußerst große Werte von \x\ wie eine Exponentialfunktion verhalten.
Aus diesen Gründen scheint es uns angemessen, die H-FunMionen neben J und Y als Cylinderfunktionen dritter Art oder Hankeische Cylinderfunktionen einzuführen.
In der Tat spielen diese Funktionen eine Hauptrolle in der Untersuchung von HankeF) über die asymptotische Darstellung
1) Journal für Mathematik Bd. 76.
2) Mathematische Annalen Bd. 1, p. 491; 1869.
Kapitel I. Die vier speziellen Cjlinderl'unktionen. § 4. 17
der Cylinderfuiiktionen; überdies hat IlankeP) in seiner Unter- suchung über bestimnito Integrah! mit ('yündurl'unktionen gelegent- licli //, benutzt, ohne doch ihre Eigenschaften und fundamentale iiedeutung recht erkannt zu haben. Sjtäter hat 11. \V'('l)er-) die l''uuktion //, wieder l)enutzt, und in den letzten Jahren haben DougalPj und Aldis') die Funktion //, statt Y neben J ein- gefülirt, während Graf und Gubler'') Funktionen einführen, die sehr nahe mit H^{cc) und H/(x) verwandt sind, ohne doch davon syste- matischen Gebrauch zu machen.
Die Definitionen der Hankeischen Cylindcrfunktionen sind in- dessen viel komplizierter als die der Funktionen J und Y; dazu kommt noch, daß die //-Fuiiktioiicii mit reellem Argumente und Parameter immer imaginär sein müssoii, während die Funktionen der ersten und zweiten Art so definiert werden können, daß sie reell sind, wenn der Parameter reell und das Argument positiv voraus- gesetzt wird.
Dagegen sind die Ilankelschen Cylindcrfunktionen, von einem einfachen Faktor abgesehen, für gewisse rein imaginäre Werte des Argumentes reell, vorausgesetzt, daß der Parameter reell ist. Führt man nämlich in der Definition der //-Funktionen statt Y den Aus- druck (2) des § 3 ein, so findet man:
(3) H.^Xx) = ^ (e— 'J^Cx) - J-^ix)) ,
(4) E,^{x) = ^ (e-'J'(^) - J-(.:)) ;
unter diesen Formen treten die //-Funktionen und dann insbeson- dere //j in den älteren Arbeiten über bestimmte Integrale mit Cy- lindcrfunktionen am häufigsten auf Erinnert man sich aber, daß die Funktion
_ V
+ - e
"j'Ge"")
so definiert werden kann, daß sie für positive x und reelle v reell ist, so findet man aus (3) und (4) das bemerkenswerte Resultat:
1) Mathematische Annalen Bd. 8, p. 458; 1875.
2) Mathematische Annalen Bd. 6, p. 147; 1873.
3) Pi-oceedingä of the Royal Society of London Bd. 66, p. 32—42; 1900.
4) Proceedings of the Math. Soc. Edinbg. Bd. 18, p. 37—83; 1900.
5) Einleitung in die Theorie der Besselschen Funktionen Heft I, p. 42; Bern 1898.
Nielsen, Cylinderfunktionen. 2
18 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfanktionen.
Wenn x positiv und v reell vorausgesetzt ivird, so Jiönnen die zwei Fmiktioncn
(5) e' H^\xe"), e ' H^\xe V
so definiert uerden, daß sie heide reell sind.
Es ist nämlicli offenbar, daß die Hankeischen Cylinderfunk- tionen immer in x = 0 einen Verzweiguugspunkt Laben, so daß sie unendlich vieldeutig sind; wir wollen im folgenden Paragraphen dies Verhältnis näher auseinander setzen. Hier haben wir noch zu er- wähnen, daß die Formeln (2) des § 2 und (7) des § 3 folgende vier anderen liefern:
(6) fiAx) = - i|^ ■ e- J3T*W = l/^ ■-''■';
(7) Hj^\x)-iy%-c-", H-^i^) = y^^-e-".
§ 5. Umlaufsrelationen der vier speziellen Cylinderfunktionen.
Wir haben schon ausdrücklich bemerkt, daß die vier speziellen Cylinderfunktionen, die Besselsche mit ganzem Parameter allein ausgenommen, in a: = 0 eine singulare Stelle haben. Um die ent- sprechenden Umlaufsrelationen zu finden, bezeichnen wir mit 2^ eine willkürliche ganze Zahl und erhalten somit für die t7- Funktion die Formel
(1) J''(xeP''') = eP'^'J'Xx),
so daß die Verzweigung für die Besselsche Cylinderfunktion eine rein multiplikative ist, während sie für die drei anderen Funktionen sowohl eine multiplikative wie eine additive sein muß.
Für die Neumann sehe Cylinderfunktion findet mau nämlich:
(2) Y^{xe^^') = e-^-'- r>(^) + ^i^-^(--)^^iP--) . j.(^)
^ / ^ / \ / I sin(v7r) ^ '''
und für die Hanke Ischen Funktionen:
H/{xeP''') = cos {pv7t)Hj^'Xx) + i sin (j)v%)K{{x)
(3)
(4)
_ 2cos(y?r)sin(j)y7r) j-,./^\
K/(xeP''') = cos {pv'ji)H^^'{x) + i sin {pvn)H^'{x)
2cos(r7r)sin(_pt;7r) ^^. ^
Kapitel I. Die vier speziellen Cylinderfunktionon. § 5. 19
Ut'deutt't mm j> eine gerade Zahl, so «^ebeii diese vier Formeln unmittell)ar die gesuchten Umhmfsrelationeu. Bedeutet außerdem v eine ganze Zahl, so werden die Umlaufsreliitionen für Y und für die zwei //-Funktionen ganz ähnlich; wenn i' dagegen dit^ Hälfte einer ganzen ungeraden Zahl bedeutet, sind alle vier Formeln einander ähnlich.
Wir setzen nun im allgemeinen
(ö) x=\x\&®,
wo 0 einen reellen Winkel bedeutet; es ist dann otfenl)ar, daß die vier speziellen Cylinderfunktionen vermöge der oben gegebenen For- meln vollständig bekannt sind, falls man sie nur für a<0^a + n: kennt, wo a einen ganz willkürlichen reellen AV'inkel bedeutet. Die asymptotischen Reihen, welche wir in § 58 für die Cylinderfunk-
tionen zu entwickeln haben, zeigen, daß es natürlich ist, a = ^
zu setzen; daher wollen wir immer von folgender Definition Gebrauch machen :
Falls der Winkel Q in (5) so (jewühlt ivird, daß — „ < 0 ^ -f ^ ist, nennen ivir den zugehöri<jcn Wert einer CylinderfunMion ihren Hauptiart, so daß also dieser Haupttvert für J und Y immer reell sein muß, wenn das Argument x positiv und der Parameter v reell voratisgesctzt ivird.
Der Begriff des Hauptwertes einer Cylinderfunktion ist wohl zuerst von Schaf heitlin^) eingeführt worden und zwar für die Y-Fuuktion. Setzt man noch in (3) und (4) p = 1, beziehungsweise p = — 1, so findet man:
(6) H^^xe^') = - E,f\x) = e-(' + i)'"£2'(^),
(7) H^'ixe-'"'') = - H^-'{x) =*e^"+'^'"H,"(x),
Formeln, die keine Analogien für die 1^-Funktion haben und in der Tat höchst merkwürdig sind.
Greifen wir noch auf die Formeln (2) des § 4 zurück, so sehen wir, daß die ^-Funktionen für den Zeichenwechsel des Parameters und des Argumentes dieselben einfachen Eigenschaften wie die e^-Funktion für den Zeichenwechsel des Argumentes besitzen. Diese Eigenschaft der Hankeischen Cylinderfunktionen, welche sie viel geschmeidiger macht als die zwei anderen, wird uns späterhin von großem Nutzen sein.
1) Archiv der Mathematik und Physik (3) Bd. 1, p. 133; 1901.
2*
20 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
§ 6. Über das Produkt J''{ax)J^{ßx).
Nachdem wir im vorhergehenden die Fundamentaleigenschaften der vier speziellen Cylinderfunktionen dargelegt haben, wenden wir uns nunmehr zu einer Produktformel, welche auch in die Theorie dieser Funktionen tief eingreift. Zu diesem Zwecke wenden wir die Regel von Cauchy für die Multiplikation zweier unendlichen Reihen an und erhalten somit ohne Schwierigkeit die Formel:
(1) J'{ax)J^{ßx) = a'ß^ ■ 2 (- l>'^''?'''(a, ß) (f )
r + p + 2s
s = ü
wo wir der Kürze halber
^^) ^ p\ (n—p)\ V{v-\-n — p-\- 1) r(? +iJ + 1) ^ ''^'"(«, / )
oder noch einfacher
(3) .r, I ."rT-i rr. ■ Fi- v-n,- n, q -\- l, '^^) = ^"•?'"(«, ß)
^ ' w! r(e -|- 1) r(v -]- OT-)- 1) \ ' '^ ' a^/ v "/
gesetzt haben, während F die gewöhnliche hypergeometrische Reihe bedeutet.
Beschränken wir uns auf den einfachen Fall a = /3 = 1 , so finden wir mittels (Fg) und (fg) die einfache Formel:
die in ihrer vollen Allgemeinheit von Schönholzer^) gegeben wor- den ist, und aus welcher man eine große Menge anderer Formeln herleiten kann.
Setzt man zuerst in (4) () = ± \, so erhält man mittels (f^) und (2) in § 2 folgende zwei Entwicklungen:
iS\ J" ix\ cos :r = ^' . y (-irr(. + 2^^ + i) .2X2.
n -
(bj d {x) sin ä; - ^_ -^^ ^^^ ^ i), r(2^ + 2« + 2) ^^^^
1) Über die Auswertung bestimmter Integrale mit Hilfe von Verände- rungen des Integrationsweges p. 15; Bern 1877.
Kapitel I. Die vier speziellen Cylinderfunktionen. § 6. 21
welche für v = 0 schon von Bessel') gegeben worden sind, wiihreiid Loniniel-) wohl zuerst die sillgemoineu Formeln bewiesen hat.
Addiert oder subtrahiert man die Gleichungen (ö) und (6), nachdem man sie mit cos x, respektive sin x oder umgekehrt mul- tipliziert hat, so findet man zwei neue Formeln; aus (ö) und (G) erhält man auch immittelbar die andere:
n = 00
Oflenbar gelten ähnliche Formeln auch für die Produkte J"{x) Y^'{x) und Y"{x)Y*'{x^y wo n und v ganze Zahlen bedeuten. Man findet zum Beispiel folgende einfache Entwicklung dieser Art:
\%J^{x)Y^{x) = ^{J\x)Y log (f ) +
(8)
n = 00
Übrigens bemerken wir, daß sich diese Formeln mittels der Methode von Frobenius^) mimittelbar aus den linearen Differentialgleichungen des Kapitel IX herleiten lassen.
Wir kehren nun zur Formel (7) zurück, um eine neue Dar- stellung der Neumannschen Cylinderfunktion zu erhalten. Wir be- schränken uns auf das obere Zeichen von i und finden dann mittels (16) in § 3 für die Y-Funktion ohne Mühe folgenden andern Ausdruck:
(9) it . Y\x) = 2(i), J'(a;)),_ -f- %\x) - <B\x) ,
wo wir der Kürze halber
(10)
und
2(2a;f
2_^y^\-l)-r(.+|(n-.-l)! ^
s=n— 1
2]^ y i2n-s-l)l / 1 \"-- _ g„, . ^^^) ^ix j^ sW(n-s-\-i)\2xi) ^W
gesetzt haben.
e , = 0
1) Abhandlungen der Berliner Akademie 1824, p. 39.
2) Studien über die Besselschen Funktionen 1868, p. 17.
3) Journal für Mathematik Bd. 76.
22 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Diese zwei neuen Funktionen @ und % sind, wie wir später zeio-en wollen, zu den altbekannten S und T überall analog; sie verdienen also in der Tat ebenso gut wie diese als Besselsche Funktionen zweiter Art bezeichnet zu werden, wenn es nicht besser wäre, diese Bezeiclmung für immer fallen zu lassen.
Vergleicht man nun die Formel (9) mit (16) in § 3, so findet man, daß
(12) T« (x) - /S" {x) = X« {x) - & (x)
sein muß; aus dieser Identität leitet man nun sehr leicht die zwei anderen ab:
(13) %"{x) - (- iy%"{- x) = &{x) - (- 1)"©"(- x) ,
(14) %"(^x)-^{-iy'%"i-x)-2T^'ix) = &ix) + {-iy'B\-x)-2S\x).
Nun zeio-en in der Tat diese Identitäten, daß die zwei Funktionen rechter Hand ganze transcendeute Funktionen sein müssen; für sie haben wir späterhin in den §§ 19, 20 einfache Integralausdrücke her- zuleiten.
§ 7. Fimdamentalformel von Lommel.
Die allgemeine Produktformel (4) des § 6 scheint recht unbe- achtet geblieben zu sein und doch erlaubt sie, den vorteilhaftesten Beweis einer der wichtigsten Formeln in der ganzen Theorie der Cylinderfunktionen herzuleiten. Setzt man nämlich in der oben er- wähnten Formel q = — v — p — 1, wo p eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, und zerlegt man die Summe rechter Hand in zwei andere, von welchen die erste von n = 0 bis n = f>, die zweite von ji = jtj -|- 1 bis n = <X) geht, so bekommt man:
J [X)J W — ^ r(i'-f «+l)r(n— i) — r)
(1)
/t = U
4- (- 1V+ ^ y in-fp-fiju;
-r V -l; j^ r(«-}-i — lOrcH-fp + i + r)
n = 0
Nun ist es aber einleuchtend, daß die letzte dieser Summen nichts anderes ist als das Produkt:
(- \y^^j-^'{x)j"^p+\x);
was die erste Summe betrifft, so verschwinden die Binomialkoeffi- zienten, wenn 2«^j)-f 1 ist. Für die vorhergehenden Terme findet man dagegen allgemein:
Kapitel I. Die vier speziellen Cylinderfunktionen. § 7. 8. 23
^ ^ \ » ' .^( .x^Ci»-/; -l)(2n-p- 2) ■•■(«- j>)
r^r+H+l) r(n— p — v) \ ^^ n!
(n — j) — y) (n — p 4- 1 — ») • • ■ (— n — 1 — y)
r(v + 7»-|-i)r(— n — v) '
wendet man nun die Formel (fj) auf das Produkt im letzten Neuner rechter Hand an, so iiudet mau Iblgeudeu elegauten Ausdruck:
r_lV' + '^ + i ^'°'"' iP — n)Uv-\-p-n\ ^ ^ n Ji! \ jp — 2n /
Führt man als(» die in x uud v rationale Funktion :
s = 0
(2) ^■■'w-^^=i4F^r;_^r)a)
ein, für welche wir den Namen Lommdschcs Polynom vorschlagen, 80 gibt (1) die elegante Formel:
( J'{x)J-''-p-\x) + (- \y>J-'\x)J"+p+\x) =
die Lommel') auf ganz andere Weise gefunden hat. Führt man nun mittels (3) in § 3 die Y-Funktiou ein, so findet man die noch einfachere Formel:
(4) Y\x)J'+'' + \x) - Y'+J' + \x)J\x) = ~ • R''P{x),
die ebenfalls von LommeP) gefunden worden ist.
Setzt man noch in (3j und (4) p = 0 und v — i für v, so findet man die spezielleren Formeln:
(5) J\x)J-^'^\x) + J^-\x)J-\x) = ^^,
(6) Y^-\x)J\x) - Y\x)J^-\x) = ^,
welche LommeP) zum Ausgangspunkt für seinen Beweis der all- gemeinen Formeln genommen hat.
Wir haben noch zu bemerken, daß Weber*) beinahe zu gleicher Zeit wie Lommel die Formel (6) fand, und daß HankeP) dieselbe
1) Mathematische Annalen Bd. 4, p. lO'J; 1871.
2) loc. cit. p. 111. 3) loc. cit. p. 105.
4) Journal für Mathematik Bd. 76, p. 10; 1873.
5) Mathematische Annalen Bd. 8, p. 458; 1875.
24 Erster Teil. Funtlamentaleigenscliaften der Cylinderfunktionen.
Formel schon einige Jahre vorher gefunden hatte, ohne sie aber zu veröffentlichen.
Hankel und Weber beweisen die Formel (6) durch Zuhilfe- nahme eines Satzes von AbeP) über die aus J und Y gebildete Funktionaldeterminante, welcher von Fuchs^) verallgemeinert worden ist. Man findet dadurch, daß
/dx
oder vermöge (3) des § 1
sein muß, wo die Konstante Ä bestimmt werden kann, wenn man nach ausgeführter Multiplikation durch x diese Variabele gleich
Null setzt.
Wir werden später in § 16 noch mehrere Beweise für die Formel (6) herleiten; jedoch ist der erste hier mitgeteilte der vor- teilhafteste von allen, weil er uns sogleich die allgemeinere Formel (4) gibt.
§ 8. Verallgemeinerungen einiger Formeln von Bessel.
Wir haben noch eine andere Anwendung der allgemeinen Pro- duktformel (1) des § 6 zu geben, indem Avir die oben gegebenen Besselschen Reihenentwicklungen noch weiter verallgemeinern. Zu diesem Zwecke betrachten wir das Polynom:
in welchem wir die einzelnen Glieder nach der Binomialformel ent- wickeln und dann nach steigenden Potenzen von ß ordnen. Auf diese Weise finden wir als Koeffizienten des Terms a'^''~^^ß^% 0 ^ s ^ 4l^, den Ausdruck:
>2r
«2.=
^ rl (n — rj] (s — r)\ (2 n — s — r)[ r(p -f r -f 1) r(r -f w — r + 1) '
r = 0
wendet man nun auf die Gammafunktion im Zähler die Formel (fj an, so findet man, nachdem man Q = — ^ gesetzt,
"^^^^ -77^ ,!r, , ,,v- ■ ^^~ "■' ~ -' + ''' ■" + ^' 1)'
nl(2n — s) ! r (v -J- l)y jr
1) Citat von Hankel; loc. cit. p. 457.
2) Journal für Mathematik Bd. 66.
Ka|titol II. Die willkürlichen Cylindorfunktionen. § 9. 25
80 (laß die G au ß sehe Formel (F^) uurnittelbai' ck-ii cinfaclicreu Aus- druck gibt:
«^,=
2'" rcv-fas-fi)
n\ (271 -sV.y^ r(v-f s+l)r(v + l + 2n-8)' man findet so die bemerkt-uswerte Formel:
(1) Ä'-h''i2ccß, cc'-\-ß^)=^"'^^''±i^i±^ . ^^^3»(«, ß), während man auf ähnliche Weise die analoge Formel findet:
(2) (aH/3")^'4-"(2a/3,«H/3^=''^'"^''"^'';J:^""^^^- Ä^'^''" + \tt, ß).
y 1t
Erinnert man sich noch der Formeln (2) des § 2, so findet man die drei Entwicklungen:
(3) J' (f ) cos ("-!±i'.) - i^ . 5'fc^ . r(. + 25+ 1)^^^-(«,,^).-,
i = 0
Ä = 00
(4) J-m sin («-I±£-V) = ("^-^)' .^^T^' ■ r(.+25+2)4-.-(«,ft:.-^',
(5) J^i^? ^'-'L («??)■■ f r(. + .+ l)Ä:'.'(.,ß){±f);
« = ()
welche sehr eigentümlich sind, wenn man sie mit der allgemeinen Produktformel (1) des § 6 vergleicht; setzt man a== ß, so ergeben sich die in § 6 mitgeteilten verallgemeinerten Be sseischen Ent- wicklungen (5), (6) und (7).
Kai3itel II. Eigenscliaften der willkürlicheu Cyliiiderfiuiktioueu.
§ 9. Bestimmung der allgemeinen Cylinderfunktionen.
Die Eigenschaften der vier speziellen Cylinderfunktionen, welche wir im vorigen Kapitel entwickelt haben, erlauben ims nun, ohne Schwierigkeit die zwei Funktionalgleichungen (1) und (2) des § 1 vollständig aufzulösen, d. h. die allgemeinen Cylinderfunktionen zu bestimmen. Zu diesem Zwecke betrachten wir zuerst die letzte dieser Gleich imgen: ^
26 Erster Teil. Fundainentaleigenschaften der Cylinderfunktionen,
(1) F^-\x) + F^' + \x) = ^ F\x),
die in Bezug auf v eine lineare homogene DiffercnzengleicJmng der zweiten Ordnung ist.
Wir setzen voraus, daß F^^'{x) und F^^{x) zwei verschiedene Lösungen dieser Gleichung bedeuten, die so beschaifen sind, daß die sechs Funktionswerte, welche in (1) vorkommen, wirklich existieren; sonst machen wir über diese Lösungen gar keine Voraussetzungen.
In Übereinstimmung mit der in § 7 gegebenen Lo mm eischen Fundamentalformel betrachten wir hier die Funktion
(2) r{x) = F,^'F./-\x) - F,^'-\x)Fi{x),
welche, wie (1) unmittelbar zeigt, ungeändert bleibt, wenn man V -\~ 1 für V einführt, so daß f^x) eine periodisclie Funktion in v mit der additiven Periode -\- 1 sein muß.
Diese Bemerkung reicht aber für die vollständige Auflösung der Differenzengleichung (1) aus; bezeichnet man nämlich die all- gemeinste Lösung dieser Gleichung mit F {pc) und setzt man noch
(3) J" + 1 {x) F' {x) - J' (x) F' + \x) = — &^' (x), 1' + ' (x) = l^' (x)
7tX
(4) - Y" + \x)F"{x) + Y"(x)F'' + \x) = ^^a"(x), a' + \x) =a'(x),
so gibt die L omni el sehe Fundamentalformel unmittelbar den Satz: Die allgemeinste Lösung von (1), idjer zvelche icir nur voraus- setzen, daß die drei in (1) vorkommenden Funktionswerte wirklich existieren, läßt sich immer, wie folgt, darstellen:
(5) F' (x) = a" (x) J" (x) + &^ (x) F" (x) ; a" + ^ (x) = a" (x) ,b'' + \x) = b" (x) .
Die sonst ivillkürlichen Funktionen a und h lassen sich bestimmen, wenn man den Wert der Funktion F''{x) für 9ft(v) = + oo kennt.
Mit Hilfe dieses Satzes ist es aber sehr leicht, die allgemeinste Cylinderfunktion zu bestimmen; man muß nämlich nur so über die willkürlichen Funktionen a''(x) und b'''(x) verfügen, daß F"[x) auch der ersten Funktionalgieichuug der Cylinderfunktionen genügt. Eine direkte Einsetzung gibt:
F'-\x) - F" + \x) = 2D^F'{x) - 2J\x)D^a^\x) - 2 Y'{x)DJo\x), so daß man identisch
J\x)D,a\x) + Y\x)DJb\x) = 0 hat. Wenn nun die beiden Funktionen a und b von x nicht un- abhängig sind, so läßt sich diese Bedingung auch so schreiben:
Kupitcl II. Diu willkürlichen Cylinderfunktionen. § lU. 27
so tlali tlor ßrueli linker Ihuul oiiic in v [iL-rioiliM-hc l-'nnktioii dar-
st»'llt'n iniilite; dies ist aber unmöglich, denn die Lonimelsche
Fundanientaliorniel gibt:
J'(x) _ J*-^x) -J ^
y^x) ~ y-Var^ "^ 2«xr''(a;)y*'-i(x)'
also müssen die beiden Funktionen a und b von x unabhängig sein; damit haben wir folgenden zweiten Satz bewiesen:
Die allgoHcinc Cyl'uukrfunldion mit (lern Argumente x und dem Pammctcr v läßt sieh immer, wie folgt, darstellen:
C'(^x) = a{v)J'{x) + b{v) Y^{x); «(i/+ 1) = a{v), h{v+i) = h{v),
wo a und h von x unalihängig sind. Diese Cylindcrfunldion ist also eine in x analytische Funktion, die ztvei singulären Stellen x = 0 mid X = (x> ausgeschlossen.
Es ist also einleuchtend, daß diese allgemeine Cylinderfunktion kein besonderes funktiouenthcoretisches Interesse darbietet, weil sie bekannt ist, sobald mau nur zwei linear unabhängige Cylinder- funktionen gefunden hat. Für eine systematische Theorie ist diese allgemeine Cylinderfunktion C^{x) indessen von großem Nutzen, weil man durch sie diejenigen Formeln, welche für alle Cyliuder- funktionen gelten, auf einmal allgemeingültig herleiten kann, statt diese Formeln zuerst für J und dann noch einmal für Y zu be- weisen, wie die frühereu Autoren es häufig gemacht haben. Beweist man dagegen die Formeln für C^'{x), so ist offenbar, daß sie sowohl für Y als auch für J gelten müssen.
Wir haben also in diesem Paragraphen die allgemeine Lösung der zweiten Fundamentalgleichung der Cylinderfuuktionen gegeben; was die erste Fundamentalgleichung für diese Funktionen betriift, so ist sie viel schwieriger; ja, man darf wohl sagen, daß es beinahe immöglich scheint, die allgemeine Form der Lösungen dieser Gleichung zu finden. In der Tat findet man im nächsten Kapitel sowohl rationale Funktionen wie ganze transcendente Funktionen, die sämtlich Lösungen darstellen, und zudem geben wir noch im Kapitel XXIV sehr all- gemeine Integraldarstellungen, welche dieselbe Eigenschaft besitzen.
§ 10. Differentialeigenschaften der Cylinderfunktionen.
Als erste Anwendung der allgemeinen Cylinderfunktion wollen wir einige Differentialeigenschaften derselben herleiten. Wir haben
28 Erster Teil. Fundamentaleigenscliaften der Cylinderfunktionen.
schon in § 1 darauf aufmerksam gemaclit, daß die zwei Fundamental- gleichungen der Cylinderfunktionen durch die zwei anderen ersetzt werden können :
(1) D^C^ix) = -^C^(x) + C^-\x), D,C^'{x) = ^C^{x)-C^ + \xy,
von diesen Formeln ausgehend, findet man nun olme Mühe folgende zwei anderen:
(2) B^ix" C''{ax))==ax''C''-Hax),
(3) D^ (x- " C'' (a x)) = -a x- '' C" + Hccx),
welche wir schon in § 1 für die Besselsche Cylinderfunktion her- geleitet haben.
Die Formeln (1) geben noch die weiteren:
(4) D,
{x'ciYax)) = y^-x^ • C'-KVax),
(5) dXx 'C^iVax)) = -yi-x ' -C^' + 'iYax),
welche viel eigentümlicher als die vorhergehenden sind. Setzt man nämlich:
V V
f'(x) = (ixfc (Y^), ff{x) = sin v% ■ (^)~ ' C/'' (y^),
so findet man aus (4) und (5) folgende merkwürdige Formeln:
(6) D,/-"(^) = r-\x), B^(f{x) = f^\x),
von welchen die erste auch die Bernoullischen Funktionen^) als Lösungen hat.
Bemerkt man nun weiter, daß sich C'(^) in der ganzen a;- Ebene, mit Ausnahme der zwei singulären Stellen x = 0 und x = oo, regulär verhält, so geben die Formeln (4) und (5) die zwei Taylorschen Reihenentwicklungen :
«= CD
(7) {y^^Thj'ciV^ + /O = ^^ <^^'-<i^)^
s = 00
(8) iY^rc'ivi^.) = vt^-.^^:^,
s = ü
die anwendbar sind, falls | /i | < | ^ | und 0 < | :r | vorausgesetzt wird.
. = 0 ^ 2
1) Man vergleiche zum Beispiel die Inauguraldissertation von ßenfer; Bern 1900, p. 37.
Kapitel II. Die willkQrliilion f'yliiulftrfnnktioneu. § 11.
29
Wenn die Cylindnfunktion von der ersten Art ist, so können diese Redin<(iin^on für (H) wegj^elassen werden, weil dann die Funk- tion linktT Hiind in dieser Formel eine gan/c tninscendente Funktion in ./■ darstellen muß.
Unter Weglassung der lutegrationskonstanto findet man aus (2) und (;i):
(9) Jx^C'-\x)dx = x'C'{x), Jx-*C'^\x) = - x-'C\x),
während (4) und (5) auf dieselbe Weise ergeben:
a:' C*-'{yx)dx=2x'' C'{Y^),
Jx'^'^c^^'iY^) = -2x"^ciyx).
Die Formel (4), in welcher v eine positive ganze Zahl bedeutet, während die Cylinderfunktion von der ersten Art ist, hat schon Bessel') gekannt; Neumann") hat dieselbe Formel auch für die 1"- Funktion gegeben und eben dadurch den expliciten Ausdruck für diese Funktion gefunden. Bei Lommel findet man für die J- Funktion alle vier Differentialformeln ^) und die Taylor sehe Reihe (8)*).
(10)
§11. Reduktionsformel für C''±"{x). Bestimmung von J" + ^(x).
Der Ausdruck § 9, (5) für die allgemeine Lösung der zweiten Fundamentalgleichung der Cylinderfunktionen erlaubt uns, für diese Funktionen eine Analogie der Lommelschen Fundamentalformel zu bilden. Es seien:
F,'{x)=a^'{x)J'{x)-\-b,-{x) Y'{x), R/{x)=^a,'(x)J'{x)-\-h/{x) Y'{x) zwei solche Funktionen, so gibt die Regel für die Multiplikation zweier Determinanten die Formel:
i^/+"(a;) F^'(x) F/+"{x) F^\x)
Wx) h/{x)
J^+''{x) J\x) Y'+''{x) Y\x)
so daß die allgemeine Lommel sehe Formel unmittelbar die andere
ergibt:
(1) F,^^\x)F,\x) - F,^{x)F/+-{x) = 4 • A • R^'--\x),
1) Abhandlungen der Berliner Akademie 1824, p. 34.
2) Theorie der Besselschen Funktionen p. 54; 1867.
3) Studien über die Besselschen Funktionen, p. 6—9; 1868.
4) loc. cit. p. 11.
30 Erster Teil. Fundamentaleigenschaftea der Cylinderfunktionen.
WO A die erste Determinante rechter Hand in der vorigen Gleiclinng bedeutet. Wenn a und h von x unabhängig sind, werden F^ und Fo gewöhnliche Cylinderfunktionen, und somit haben wir in (1) die zusfeh()rige allgemeine Lommelsche Fundamentalformel gegeben.
Von der Formel (1) ausgehend, haben wir nun einige sehr wichtige Reduktionsformeln für die i^- Funktionen und somit auch für die allgemeinen Cylinderfunktionen herzuleiten. Zu diesem Zwecke schreiben wir die Fundamentalgleichung folgendermaßen:
(2) F'' + \x) = ^ F'(x) - F'-\x) ;
setzen wir hier v -\- 1, v -{- 2, v + 3, ••• statt v, so ist oö'enbar daß wir dadurch eine allgemeine Formel von folgender Gestalt finden müssen:
(3) F^'+'^i^x) = A^''\x)F\x) - B''^^{x)F'-\x),
wo A und B rationale Funktionen der zwei Variabein v und x bedeuten; n ist natürlich eine positive ganze Zalü.
Man kann diese Funktionen A und B durch vollständige In- duktion bestimmen, wie LommeP) es wirklich getan hat; die fol- gende Methode ist aber viel einfacher.
Führt man nämlich in (1) den Ausdruck (3) ein, so findet man
unmittelbar :
B''''{x) = B'-'"-\x)',
setzt man nun weiter in (1) v — 1 für v und n -{- 1 für n, so liefert eine neue Anwendung von (3) das weitere Resultat:
A'''''{x) = R'-'^'''{x), und somit haben wir folgende allgemeine Reduktionsformel gefunden:
(4) F'+'>{x) = R'-'''"{x)F'{x) - Il''''-\x)F'-\x).
Um die ähnliche Formel für den Parameter v — w zu finden, setzen wir in (4) cos v7cF~''^'{x) statt F'\x), was offenbar erlaubt ist, weil auch diese Funktion eine Lösung der Fundamentalgleichung (2) sein muß. Unterdrückt man nun in der so erhaltenen Formel
(4) den gemeinsamen Faktor cos v^ und setzt man noch 1 —v statt V, so findet man die erwähnte Formel:
(5) (- iy'-^F^-"{x) = R^-''^-\x)F'{x) + B-''''-\x)F'-\x)',
man kann auch in der so modifizierten Formel (4) — v für v ein- führen, wodurch man folgende Formel findet:
1) Studien über die Besselsclien Funktionen p. 3; 1868.
Kapitel LI. Die willkürlichen Cylimlerfunktioni'ii. § 11. 31
(6) (- l)"F''-»(a:) = 72-'-'."(a:)F'(a:) + R- '•" - \x) F' + \x) , oder auch, wenii man v + n für v einsetzt,
(7) {-\)''F'{x) = li-'-"-''"(,i:)F' + "{x) + Ii-'-''-"-'{x)F' + " + '{x);
die letztere Formel wird uns in den Untersufhun^en über die Null- stellen einer Cylinderfunktiou sehr nützlich sein.
Im allgemeinen haben wir durch die Formeln (4) und (5) den Satz bewiesen:
Um die Fimldionen F*'{x) in der ganzen v- Ebene zu lennoi, hraucht man nur diejenigen Werte zu lennen, für tvdche — 1 < 91 (v) £ 4- 1 ist
Die Formel (4) ist für die t/-Funktion von Lommel explicite gefunden, während Bessel') sie schon für v = 1 gekannt hat; doch gibt er nicht die direkten Ausdrücke der Funktionen R, sondern definiert sie als Zähler und Nenner der Annäheningsbrüche des Kc'ttenbruches, den wir in § 14 näher zu betrachten haben. Für
V = 1 hat Christoffel-) den entwickelten Ausdruck für die R- Funktionen cjefunden.
Es ist offenbar, daß die allgemeinen Formeln (4) und (5) uns erlauben, die Cylinderfunktionen zu bestimmen, deren Parameter die Hälfte einer ungeraden ganzen Zahl ist. Setzt man nämlich in (4)
V = .V, so findet man mittelst § 2, (2) die folgende erste Formel:
(8) J" + -}{x) = (— 1)" Y-"-i{x) = Ä"{x) sin x — B''{x) cos x, während (5) für v == ^ und n -\- 1 statt n die analoge Formel gibt:
(9) (— 1)" J- " - 2- (a:) = — r« + 1 (x) = Ä" (x) cos x + B" (aj) sin x,
wo sich die Koeffizienten Ä und B mittelst der Formel (^4) fol- gendermaßen darstellen lassen:
s = 0
Für die Ä"-Funktionen findet man nun ohne Mühe aus (8) und (9) die Ausdrücke:
1) Abhandlungen der Berliner Akademie 1824, p. 32.
2) Journal für Mathematik ßd. 58, p. 90—92; 1861.
32 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
■ n + 4- ,
H^^^^ix) = — e-'^ (^'^ (ic) — iA"" {X)) ; aus denselben Formeln findet man noch die interessante Identität:
(13) (J"^^(^))' + (r«+^-(;r))' =(^"(x))'+ {B»{x)y,
die zuerst von LommeP) angegeben worden ist. Die Quadrat- summe linker Hand in (13) ist also, vom Divisor 7t abgesehen, eine rationale Funktion in x, die zudem rationale Koeffizienten hat.
Die Cylinderfunktionen (8) und (9), die übrigens von Poisson^) eingeführt sind, lassen sich auch als Diiferentialquotienten von tri- gonometrischen Funktionen darstellen; die allgemeine Formel § 10, (5) gibt nämlich unmittelbar die beiden Ausdrücke:
J-i(x) = (-i)».<^.i)v(^),
j/jr
(14)
man hat für dieselben Formeln auch direkte Beweise mittelst der zugehörigen B es sei sehen Differentialgleichung; der einfachste unter diesen ist neuerdings vom Kriegsminister Madsen^) gegeben worden. Wendet man dagegen die allgemeine Formel § 10, (4) an, so lassen sich die Poissonschen Cylinderfunktionen durch mehrfache Integi-ale aus trigonometrischen Funktionen darstellen; eine noch allgemeinere Formel dieser Art ist schon von Liouville^) gefunden worden.
§12. rundamentaleigenschaften des L o mm el seilen Pol5aiomes.
Die Lommelsche Fundamentalformel und die Rekursionsformelu des vorigen Paragraphen zeigen deutlich, daß das Polynom B, in der Theorie der Cylinderfunktionen eine sehr wichtige Rolle spielt. Dies hat schon Lommel richtig erkannt, indem er eine Reihe von Fundamentaleigenschaften dieses Polynomes entwickelt hat, die denen der Cylinderfunktionen ganz analog sind. Später haben Graf und
1) Mathematische Annalen Bd. 2, p. 631; 1870.
2) Journal de l'Ecole Polytechnique cahier 19, p. 300; 1823. Theorie mathematique de la chaleur, Chap. VI; Paris 1835.
3) Nyt Tidsskrift for Mathematik, Bd. 13 B, p. 22; 1902.
4) Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 24, p. 58; 1835.
«I
Kapitel II. Die willkiirlichen Cvlinderfunktioueu. § l'J. 33
Crelier die Lommelschen Formebi wieJergel'undeii und außiMdeui neue Eigeusclmften des Polyuomes 11 entdeckt.
liier woUeu wir die wichtigsten dieser Eigenschaften nehst einigen anderen mit Zuhilfenahme der Keduktionsformehi des i^ 1 1 herleiten.
Wir gehen also von der Formel ij 11, (1):
(1) F,^^"(x)IY{x) - F,^{x)F,^^''{x) = ^ • A • Ii-"-\x)
aus; nehmen wir noch aus § 11, (5) die beiden Funktionen i^j''~"(a;), F^*~"{x), so finden wir folgende mit (1) analoge Formel:
(2) Fr"{x)Fi(x) - F:{x)Fr\x) = (- 1)" ^ ■ A . li-^'"-\x).
Nun ist es offenbar, daß (2) sich aus (1) bilden läßt, wenn man nur V — n für v einsetzt; man findet alsdann:
(3) R-^^"-\x) = (- lY-''R-'''^-\x),
eine Formel, welche sich auch mittelst der Definition für i? § 7, (2) direkt beweisen läßt. Es ist übrigens offenbar, daß (2) sich auch aus (1) herleiten läßt, wenn man das Zeichen von n ändert; man findet so folgende andere Formel:
(4) R'-''-\x) = (- iyR-''''-\x) = - JR"-"'"-^^),
die von Graf^) herrührt.
Die Formel (4) gilt als Definition der Funktion R, für welcJie der letzte Index negativ ist
Bedeutet mm weiter p eine ganze Zahl, und setzt man in (1) V -\- 2^ für V und gleichzeitig w — jo für n, so findet man:
(ö) F^'-^"{x)F^''+P{x) - F^'+P(x)F/+'' = A . A • R'+P'^-p-^x),
denn die Determinante A ist ja in v eine periodische Funktion. Drückt man nun wieder jede der vier i^- Funktionen linker Hand in (5) mittelst der allgemeinen Reduktionsformel § 11, (4) aus, so findet man unter Anwendung von (1):
(6) R'''-\x)R'-^'P(x) - R^'P-\x)R'-^'''{x) = R'+p^''-p-\x),
woraus man durch die Annahme n = p -\- 1 die merkwürdige Formel findet:
1) Annali di Matematica (2) Bd. 23, p. 56; 1895.
Nielsen, Cylinderfunktionen.
34 Erster Teil. Pundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
(7) E'''P {x) R' - ^'P{x) - R'P - 1 (rr) R -^'P+\x)^1^
die, ebenso wie (6), von LonimeP) gefunden worden ist.
Die Formel (6) ist offenbar in der Theorie der _R- Funktionen sehr fundamental 5 in der Tat kann man durch sie eine große Menge anderer herleiten. Erstens findet man zum Beispiel ohne Mühe folgende noch allgemeinere:
(^) j =R^'P{x)R'+'> + ^''-''-\x),
die von Crelier^) gefunden worden ist; zweitens gibt (6) für jj=l die elegante Formel:
(9) R-^'''{x) + R'+'''"-\x) = ~ R'^^-\x),
während drittens die Hypothese n=\, wenn man noch v—p für V schreibt, gibt:
R-p-hv{x) - R''-P{x) = ^^"'^^ R-P'P-\x)-
setzt man in dieser Formel noch — v für v und j) + 1 für p, so findet man mittelst (3) und (4) die weitere elegante Formel:
(10) R''P-\x) + R''P+\x) = ^^''+P+'^^ R'P{x);
(9) und (10) sind ebenfalls von LommeP) gefunden worden.
Mit Zuhilfenahme der zwei letzten Lommelschen Formeln be- weist man nun auch ohne Schwierigkeit die andere:
(11)
in der Tat braucht man nur mittelst (9) die zwei Funktionen linker Hand auszudrücken imd dann wieder die Formel (10) anzuwenden. Die Analogie zwischen den Formeln von (9) bis (11) und der zweiten Fundamentalformel der Cylinderfunktionen ist offenbar. Die Ursache dieser Analogie ist in der folgenden Grenzformel zu suchen:
r + n — 1
('') ,1!?Ai4t^^'"''"(^V--^'-'(^)'
1) Mathematische Annalen, Bd. 4, p. 115; 1871.
2) Annali di Matematica (2) Bd. 24, p. 141; 1896.
3) loc. cit. p. 114.
Kapitel II. Die willkürlichen Cyliuderfunktiouen. § 13. 35
welche zuerst vou Ilurwitz^) gegeben worden ist; wir kehren später in § &2 zur Formel (12) zurück.
Aus der Formel (10) ergibt sich ohne Mühe, daß die Funktion
(13) F''(x) = R'-''"-\x)
der zweiten Fundamentalgleichun«^ der Cylinderfunktionen mit dem Parameter ;/ t^enügt, vorausgesetzt, daß k eine ganze Zahl bedeutet; diese Funktion (13) läßt sich also vermöge § 9, (5) folgendermaßen darstellen:
(14) R''-''"-'(x) = aixyix) + h{x) Y\x),
wo a{x) und h{x) von n unabhängig sein müssen; setzt man in der Tat
a{x) = ^ Y>^-\x), b{x) = - ^^ J'^-\x),
so zeigt die Lommelsche Fundamentalformel unmittelbar die Richtig- keit von (14).
§ 13. Dififerentialeigenschaften des Lommelsehen Polynomes.
Die Analogie zwischen den Cylinderfunktionen und den ratio- nalen Funktionen 12*'"(a;) läßt sich auch auf die Differentialeigen- schaften übertragen. Um dies zu beweisen, brauchen wir den fol- genden Hilfssatz:
Bedeuten in der Formel
n = p' m = q'
^^^ 2r+''(a;)J"^+«(a;) = ^ f+^^ix^+^ix)
p und jp', q und q endliche ganze Zahlen, und sind die Funk- tionen f und g sämtlich in x rational, während sie in v willkürlich angenommen werden dürfen, so reduziert sich die Formel (1) auf fol- gende Identität mit den B,- Funktionen:
n=p' m = q
(2) ^p+-{x)R'-''"{x) =^g' + ^{x)R'--'''^{x)
n=p m=q
und ist somit für jede willkürliche Lösung der zweiten Fundamental- gleichung der Cylinderfunktionen anwendbar.
1) Mathematische Annalen Bd. 33, p. 252; 1889.
36 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Der Beweis dieses Hilfssatzes ist sekr einfach; in der Tat läßt sich (1) mittelst der allgemeinen Rekursionsformeln (4) und (5) in § 11 folgendermaßen schreiben:
(3) Ä{x)J'{x) == B{x)J'-\x),
wo A(x) und B(x) in x rationale Funktionen bedeuten; nun be- weisen wir später in Kapitel XI, daß die beiden transcendenten Gleichungen :
(|-)>(^) = o, (§)'-■/'->(*) = 0
unendlich viele verschiedene Wurzeln haben, darunter aber keine gemeinsamen, so daß die Gleichung (3) dann und nur dann möglich sein kann, wenn sie sich in eine formale Identität verwandelt, wenn also A(x) und B(x) beide identisch gleich Null sind. Rechnet man nun wirklich mittelst der obenerwähnten Reduktionsformeln die Funktion A(x) aus, so findet man die Gleichung (2), und somit ist der Satz bewiesen.
Differentiiert man nun nach x die Formel § 11, (4)
J-+^(x) = R-^'''{x)J'{x) - B'''''-\x)J''-\x),
so findet man mittelst der DifFerentiationsformeln (3) und (4) in § 1 folgende Formeln:
(4) D^B'~''"{x) = - ^ R-'''''{x) + B'--''''-\x) - R'''-\x\
(5) D^B'-^'^{x) = ^^^^ R'-''^(x) - R-''^+\x) - R^^-\x),
die beide von LommeP) gefunden worden sind.
Eliminiert man nun aus (5) mittelst § 12, (9) die Funktion:
2v — 2
X
B'-'''''(x)
und setzt man noch in (4) und in der so erhaltenen neuen Formel
(5) V -\- 1 für V, so findet man für die JS- Funktionen die weiteren Differentialformeln :
(6) D^B^'^^ix) = "^-^ B''»{x) + B'-'''''+\x) - B''^+\x),
(7) B^R''''{x) = - ^ B^^^(x) + R^'^'-^x) - B'+''^^-\x), welche sich noch in anderer Weise schreiben lassen. Setzt man
1) Mathematische Annalen, Bd. 4, p. 114; 1871.
Kapitel U Die willkürlichen Cylinderfunktionen. § 14 37
nämlich in i7) r — 1 für v und m -|- 2 für n, so findet man durch Anwendung von (^6):
(8) 1>, (^/^•'•(x) - R-'^" + \x)) = "^ (^IV'''{x) + /^-»''•+»(a;)) ;
setzt mau in dieser Formel noch v -\- l statt v und » — 2 statt >/, so läßt sich dieselbe auch folgenderniaUen schreiben:
(9) /), (7?*-"(.r) - /^• + '."--(^-)) = - -^ (/?* "Cr) + 72' + '-''-2(^)) .
Setzt man nun wieder in dieser Formel i' -f 1 statt ;-, n — 2 statt )i und fährt man so fort, bis man, je nachdem n gerade oder ungerade ist, eine J?-Fimktion mit dem letzten Index 0 oder — 1 erreicht, die ja beide von ./• unabhängig sind, so gibt eine Addition aller so erhalteneu Gleichungen durch Anwendung von (7) folgende Rekursionsformel:
n
(10) R^''''-\x) - R^"-\x) = ~ ^{n -2s+ l)R + ''"-"{x).
Indem wir uns übrigens vorbehalten, in den §§ 26, 106 andere und bequemere Rekursionsformeln für die JR- Funktionen zu geben, bemerken wir hier noch, daß die Definition § 1, (2) mittelst der Elemente der Diff'erenzem-echnuug folgende Formel liefert:
^'D f;ÖT^— "•(-) = (I)"
§ 14. Kettenbruchentwicklungen und ähnliche Darstellungen.
Nachdem wir das Lommelsche Polynom untersucht haben, ist es sehr leicht, eine Kettenbruchentwicklung der allgemeinen Lösung der zweiten Fundamentalgleichung der Cylinderfunktionen zu dis- kutieren.
Zu diesem Zwecke schreiben wir die obenerwähnte Gleichung folgendermaßen :
F'-'^ix) 2v 1
F^ix) ^
-■\xy
ViT' + vW
durch Wiederholung dieses Prozesses findet man ohne Mühe den folgenden Kettenbruch:
38 Erster Teil. Fnndamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
F''-'^(x) 2v
F\x) ^ 2(y + l)
(1)
WO wir der Kürze halber
X 2(v + 2)
X
2{v-\-'yt)
X '
F' + "{x)
gesetzt haben; wir haben somit eine neue Eigenschaft für die all- gemeine Lösung der obenerwähnten Fundamentalgleichung gefunden, während man sonst im allgemeinen nur für die Besselsche Cylinder- funktion eine solche Eigenschaft bemerkt zu haben scheint.
Sucht man nun die Bedingung dafür, daß der Kettenbruch (1) unbegrenzt fortgesetzt werden darf, so ist offenbar, daß
lim -R„ = 0
7J = + CO
sein muß, eine Bedingung, die sowohl notwendig als hinreichend ist. Nun zeigt aber die Form der allgemeinen Lösung § 9, (5) in Ver- bindung mit den asymptotischen Ausdrücken § 2, (3) und § 3, (8), daß diese Bedingung nur für die Besselsche Cylinderfunktion er- füllt werden kann, und somit haben wir die altbekannte Formel:
(2)
r-\x) |
2v X |
1 |
|
J\x) |
2(t' + l) |
1 |
|
X |
2(1; + 2) |
X
in aller Strenge bewiesen.
Es ist nun leicht einzusehen, daß die Zähler Y/~^ und Nenner Z^~^ der Annäherungsbrüche in (1) oder (2) Lommelsche Poly- nome sein müssen. Bildet man nämlich diese Annäherungsbrüche, so bekommt man direkt:
während die Definition selbst für die Annäherungsbrüche folgende
Rekursionsformel ergibt:
Y/-^ 2v r/_V
-"■r-l ^r-1
oder, was dasselbe ist,
Y"-! _1_ yi' + i = l^ yi- r>2
J-r -T -^r-2 X r-lf ' ^^y
während man außerdem noch findet:
Kapitel II. Die willkürlichen Cylinderlunktionen. § 14. 39
80 daß man unmittelbar aus § 12, (9) folgende Formel erhält:
(3) Y/-' = R-''-{x).
Die zweite Fundaiiieutalgleichun^ der Cylinderlunktionen läßt sich indessen auch folgendermaßen darstellen:
^ F'ix) X F\x) '
80 daß der Bnich linker Hand mittels (1) und (2) in einen Ketten- bruch entwickelt werden kann; man findet so die zweite Ketten- bruchentwicklung, die LommeP) angegeben hat.
Sicher hat Lambert-) zum ersten Male in seinen Untersuchungen über die Irrationalität von jr einen Kettenl)rueh von der Form (2) und zwar den Spezialfall v = ^, x = i gebraucht; später hat Le- gendre^) den allgemeinen Kettenbruch (2) betrachtet. Indessen hat zuerst B es sei*) erkannt, daß der obenerwähnte Kettenbruch für ganze v in Verbindung mit «/' (.r) steht; mit der Definition (3) für die 7i-Funktionen hat Bessel auch seinen Spezialfall der allgemeinen Reduktionsformel § II, (4) gegeben.
Die Formel § 9, (2):
F^{x)F,^-\x) - F'-\x)F,'(x) = f\x),
wo F und F^ zwei verschiedene Lösungen der zweiten Fundamental- gleichung der Cylinderfunktionen bedeuten, läßt sich auch folgender- maßen schreiben:
. i:-\x) _f:\x) rix)
F''-\x) F^ix) F''-\x)F''(x)^
beachtet man nun, daß f^'{x) in v periodisch ist, so findet man ohne Schwierigkeit folgende zwei allgemeinen Formeln, in denen n eine positive ganze Zahl bedeutet:
(Q\ F/(x) _ F,' + "{x) y' rix)
^^ F\x) F^' + ^'ix) -f^ F' + \x)F^^'^\xy
Fl^ _ F/-^^) _ y' rix)
F\x) F'-»ix) f^ F'-\x)F'-'-\x)'
(7)
1) Studien über die Besselschen Funktionen p. 5 ; 1868.
2) Memoires de l'Academie des Sciences de Berlin 1761, p. 265.
3) Elements de Geometrie p. 288. 11. Ausgabe, Paris 1817.
4) Abhandlungen der Berliner Akademie 1824, p. 31—33.
40 Erster Teil. Fimdamentaleigenscliaften der Cylinderfunktionen.
Setzt man in (6) v = 0, F = J, F^ = Y, so findet man eine Formel, die Sonin^) gegeben hat. Nimmt man für F eine passende Lösung der obenerwähnten Fundamentalgleichung, so darf man in (6) und (7) n unbegrenzt wachsen lassen.
§ 15. Die Funktion D^C^(x) für ganze v.
In den vorhergehenden Paragraphen haben wir eine Reihe von Eigenschaften für die allgemeine Cylinderfunktion aufgestellt, sofern sie als Funktion des Argumentes x betrachtet wird. Betrachtet man dagegen den Parameter v als die eigentliche Variable der Cylinder- funktion, so scheint sie eine viel schwierigere Funktion zu sein. Außer den zwei allgemeinen Reduktionsformeln (4) und (5) des § 11 haben wir in der Tat über diese Funktion nur einen einzigen neuen Satz hinzuzufügen und zwar einen Satz über die nach dem Para- meter V genommene Derivierte.
Zu diesem Zwecke setzen wir im allgemeinen:
(1) A- ^" (^) = e" (x) + C^ (x) log (I) ,
so daß die zu J gehörige Funktion ^^'{x) logarithmenfrei ist; aus dieser Definition (1) folgen für fS,^(x) unmittelbar folgende zwei Fundamentalgleichungen :
(2) (S'-X^) - S'-'X^) = 21>,e'(a;) + |- C'{x),
(3) e-X^) + e" + n^) = ^S^(^) + I <^^(^).
und daß dieselbe Funktion ein partikuläres Integral der nicht homo- genen Differentialgleichung:
(4) y^'^ + ^ y^'^ + (i - ^^y = | C^'^\x)
sein muß.
Für die Funktion ^^(x) haben wir früher den Ausdruck § 3, (14) gegeben:
s = 0
weiter folgt aus der Formel (16) des § 3 die andere:
(6) S"(:^) + (- iy^-"{x) = - 2J-{x) log (f ) + 7t Y\x),
1) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 33; 1880.
Kapitel II I>ie willkürlichen Cylinderfunktionen. § 15. 41
wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, so daß eine besou dere Untersuchung der Funktion 3>~"(J^) übertlüssig ist.
Um nun dii' /u y'\x) gehörige Funktion fj^i^^ zu finden, mul- tiplizieren wir die Detinition i? 8, (2) für die Neumannsche Cylin dertunktion mit sin vir, so daU eine Differentiation nach v unmittell)ar die Formel ergibt:
pi)'(.r) sin r.T = cos v:i^'{x) + ^-'(x) + 2J-'{a') log (y) ^ [ — %J*ix) sin V7t — n Y^'{x) cos vn ,
die jedoch für ganze v keine direkte Bestimmung von ?} mehr ge- stattet. Setzt mau indessen in (1) — v für v und drückt man das dabei eingeführte Y'^^x) mittels § 3, (4) aus, so findet mau:
^"(a;) -}- ?)-H^) cos vn = — 2Y''{x) log ( J) — ^ cos vnJ-'{x)
-f sin vn{'^~^'{x) — n qo^vti Y\x) — % sin i/;rJ''(.z;)j ,
woraus, falls n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, die mit (6) analoge Formel folgt:
(8) %\x^ + (- l)"?)-"!^) = - 2 Y\x) log (I) - %J\x) .
Die Formeln (6) und (8) geben nun für w = 0 unmittelbar die Ausdrücke:
(S°(:r)=-J»(a;)log(-^)+|-ro(;r),
\W{x)=-Y\x)\o^[^)-\j\xy,
für n = 1 muß man noch die Formel (3) für v = 0 zu Hilfe neh- men, so daß man in diesem Falle findet:
3X^) = - ^H^) log (f ) + f Y\x:) -f \ J\x\ ^\x) = - r^:^) log (I) - f JH^) + i Y» ■
Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns nunmehr zur all- gemeinen Cylinderfunktiou:
(11) C'{x) = a(v)J'Xx) -f h(v) Y''(x) ,
wo also a{v) und h{v) differentiable Funktionen bedeuten müssen, und finden für die entsprechende S-Funktion den Ausdruck:
(12) ^'(x) = a{v)^'(x) + h(v)^^{x) + a('\v)J'Xx) + U'\v)Y^(x), so daß (9) und (10) unmittelbar ergeben:
(10)
(13)
(15)
wo
42 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen. e»(a;)=-C°(a;)log(f) + 0,°(:r),
^\x) = - C\x) log (I) + 1 C\x) + C,\x),
wo wir der Kürze halber gesetzt haben:
(14) C,"(x) = (a' - Y^)j"ix) + (h' + y«) r"(a;),
wo wiederum a und &, a' und h' die von dem gauzzahligen Argu- mente n unabhängigen Werte von a(v) und h{v), a^^\v) und U^^v) bedeuten, so daß C^^(x) wieder eine Cylinderfunktion mit dem Argu- mente X und dem Parameter n bezeichnet.
Differentiieren Avir nun die allgemeine Reduktionsformel § 11, (4) nach v und setzen wir darauf v = 1 und u — 1 für n^ so finden wir folgende allgemeine Formel:
{^n(x) = - C"{x) log (^) - ^ E«'«-Xä;) C\x)
+ W^"-\x)C\x) - W'"-\x) C\x) + C^^ix),
während die Formeln (6) und (8) unmittelbar ergeben:
(16) e"(Ä:) + (-l)«6-"(^) = -2C"'(^)log(-|)-f2C/(^)
Wir haben somit den allgemeinen Satz bewiesen: Wenn n mie ganze Zahl bedeutet, so läßt sich die Berivierte ^"{x) immer unter endlicher Form mittels CylinderfunJctionen und der elementaren Funktionen darstellen.
Wir bemerken noch, daß die einfachste Lösung der Fundamental- gleichungen (2) und (3) sich so darstellen läßt:
(17) a{v)^'{x) + hiv)^^{x),
so daß sie immer existiert, unabhängig von der Differentiierbarkeit der periodischen Funktionen a{v) und h(y).
§ 16. Andere Beweise der Lommelsclien Fundamentalformel.
Wir haben schon in § 7 zwei verschiedene Beweise der Lom- m eischen Fundamentalformel: (1) Y^-\x:)J^{x) - Y\x)J^-\x) = ^
gegeben. Dieselbe Formel läßt sich indessen noch auf verschiedene
Kapitel LI. Die willkürlichen Cjlinclertuuktionen. § 16. 43
andere Weisen herleiten, die nicht ohne Interesse sind; wir wollen deshalb hier noch zwei andere Beweise für dieselbe Formel mitteilen.
Dritter Bcuris. Wir hal)en i? 1) im Anfang darauf aufmerksam gemacht, daB die Funktion linker Hand in (I) periodisch in v sein muB; setzt man daher v -\- n für v, wo n eine positive ganze Zahl bedeutet und läßt man n imbegrenzt wachsen, so führen die asympto- tischen Ausdrücke ij 2, (3) und § 3, (8) sehr leicht zur Bestimmung dieser periodischen Funktion, und somit ist auch (1) bewiesen.
VierUr liviveis. Multipliziert man die allgemeine Reduktions- formel :
y^\x) = R--''>"{x) Y\x) - R^^-^x) Y*-\x) mit
X
80 braucht man nur die positive ganze Zahl n unbegrenzt wachsen zu lassen; die Formeln § 3, (8) und § 12, (12) führen dann im- mittelbar zum Ziele.
Der Lommelsche Beweis. Lommel hat die obenerwähnte Formel dadurch gefunden, daß er das zweite partikuläre Integral der Bessel- schen Gleichung:
durch die Substitution:
y = zJ"{x)
zu bestimmen suchte. Die Bestimmung der unbekannten Funktion z wird nun dadurch ermittelt, daß sie folgender linearer Gleichung:
V« r{x) )
genügen muß; dieser Bemerkung entsprechend findet man dann für das partikuläre Integral unmittelbar den Ausdruck:
^-"^'(^)/^(iw'
d. h. es ist möglich, über die von x unabhängige, willkürliche Inte- grationskonstante so zu verfügen, daß
dx
H
^^,^b(v)Y'(x) x{j\x))\ ^ ^ ^ ^
wird.
Bemerkt man nun, daß für hinlänglich kleine Werte von \x\ die Funktion linker Hand eine Entwicklung von der Form:
— 2''-ir(v)a;-'(l +rt,Ä; + ---)
44 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfanktionen.
gestattet, so bestimmt die Definition der Y-Funktion unmittelbar die unbekannte Funktion h(;v), so daß man endlich die Formel gewinnt:
die von LommeP) gefunden worden ist. Für v = 0 hat aber schon Euler') die Funktion linker Hand als zweites partikuläres Integral der B es s eischen Gleichung benutzt. Lommel hat nun weiter die Formel (1) durch J^'(x) dividiert; eine Differentiation nach X gibt dann leicht die gesuchte Fundamentalformel. Dieser Beweis ist also nur eine kompliziertere Form des von Hankel und Weber gelieferten, den wir schon in § 7 mitgeteilt haben.
Kapitel III.
Elementare Integraldarstellniigeii niid A erallgemeinerungen der
Besselsclien Oylinderfunktion.
§ 17. Erstes Integral von Bessel und die Funktionen W^'{x), Q^'(x)
und T"{x).
Die wohlbekannten Integralausdrücke für die Gammafunktion erlauben ims ohne Mühe eine Reihe von einfachen Integraldarstel- lungen für die Besselsche Cylinderfunktion herzuleiten; und eben- diese Integrale spielen in den Anwendungen eine so wichtige Rolle, daß es uns angemessen erscheint, diese Darstellungen hier zu dis- kutieren, obgleich wir später in Kapitel VII viel allgemeinere Inte- grale zu untersuchen haben.
Ehe wir zur wirklichen Herleitung der betreffenden Formeln schreiten, scheint es uns nützlich, einige allgemeine Formeln von Cauchy vorauszuschicken. Zu diesem Zwecke bezeichnen wir mit f{(p) eine von ^ = 0 bis (p = it integrierbare Funktion, welche außer- dem der Bedingung genügt:
f{n-(p)^f{cp).
Wir führen nun folgende beiden in v ganzen transcendenten Funktionen ein:
1) Mathematische Annalen Bd. 4, p. 103; 1871.
2) Institutiones calculi integralis Bd. 2, p. 235; 1769.
Kapitel III. Veralljfomeiiierunj»eu der Cylimlerfunktiun J\x). § 17. 4ö (1) F{v) = ff{<p) cos (v(p)(i(p, r;(i') = ff{q>) sin (v(p)d(p
0 0
und setzen
7t
0 ü _«
weiter transformieren wir diese zwei neuen Intetjjrale, indem wir
-r (p, bezw. — -{- (p für cp setzen, und finden somit folgende zwei
anderen Integriildurstellungen der Funktionen (1):
T
F{y) = 2 cos ~ • J /"(l - (p^ cos {y(p) d(p,
(2)
ft T
G(v) = 2 sin ^ • J /'(y — (jd) cos {ycp)(}(p.
Es sei nun wieder /7(9) eine von (p = 0 bis g? = tt integrierbare Funktion, welche der Bedingung genügt:
9{jt-(p)=^-g{(p);
dann findet man auf ähnliche Weise für die Funktionen:
7t
(3) %{v) =f9{(p) cos {vcp) dtp, (3{v) =fg{(p) sin (vcp) dtp
die zwei weiteren Formeln:
w
%{v) = 2 sin"^ ■ J (j (~ - cp^ sin (1/9)) f/g?,
TT
Y
@ (v) = — 2 COS— ■ J g[^~(p^ sin (1/9) (^95
Die neuen Integraldarstellungen unserer vier ganzen transcen- denten Funktionen liefern nun ohne Mühe folgende bemerkenswerten Formeln:
(5)
G{v)=tg'-}.F{v); (ä(v) = ~cot'^.^(v).
46 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
die zuerst von Cauchy^) angegeben worden sind und zu denen wir in den §§ 73, 99 noch eigentümliche Analogien zu entwickeln haben. Bedeutet speziell n eine ganze Zahl, so findet man aus (2) und (4) die Werte: (6) F(2n + 1) = @(2w + 1) = 0, G{2n) = %{2n) = 0.
Nach diesen allgemeinen Erörterungen liefern die Formeln (fgi) und (fag), wenn wir in den beiden folgenden Integralen für cos [x sin cp) und sin (x sin cp) die gewöhnlichen Potenzreihen ein- setzen und dann gliedweise integrieren, was offenbar erlaubt ist, folgende zwei Integraldarstellungen:
7t
J^^ix) = — / cos {x sin (p) cos (2n)(pdcp,
(7)
J2" + ^(a;) = — /sin {x sin g?) sin {2n -{- l)q)dq),
0
wo n eine ganze Zahl bedeuten muß. Die Integralausdrücke (7) lassen sich indessen auch auf eine gemeinsame Form bringen, indem wir sowohl für gerade wie für ungerade n folgende allgemeine Form herleiten können:
Tt
(8) J''(x) = — / cos (x Bin q) — n(p) d(p,
0
denn die Additionsformel für cos {x sin (p — ncp) führt uns immer mittelst (6) auf (7) zurück, und wir haben somit das erste Integi-al von BesseP) gefunden, das also nur anwendbar ist, falls n eine ganze Zahl bedeutet.
Wenn dagegen n keine ganze Zahl ist, so kann das Integral rechter Hand in (8) niemals eine Cylinderfunktion darstellen. Setzt man nämlich:
(9) ^'^{x) = — / cos (x sin cp — vtp) dq),
0
so findet man die zwei Fundamentalgleichungen:
(10) Y^-^a,-) - W' + \x) = 2D^'V\x)
(10a) ^^-\x) + V'+X^) = ^ • ^^(^) - ^^.
1) Comptes rendus Bd. 39, p. 131; 1854.
2) Abhandlungen der Berliner Akademie 1824, p. 22.
Kapitel III. Vorall)femeiuerunj»en iler Lylinilcrfunktion J^{x). § 1". 47
die sich am eiiifachston hfrleiten lassen, indem 111:111 die zwei- gliedrigen Ausdrückt' linker Hand mittelst (9) als Integrale schreibt und dann für (H^a) die partielle Integration anwendet. Die Formel (10a) fällt indessen mit der zweiten Fiindamcntalformel der Cylinder funktiouen dann iiiid niii- dann zusammen, wenn v eine ganze Zahl bedeutet.
Benutzt man nun dieselbe Methode, die uns in § 1 zur Bessel- scheu Diö'ereutialgk'ichung geführt hat, so findet man, daß die Y- Fimktiou ein partikuläres Integral der nicht homogenen Differential- gleichung:
(11) ^■>+ - t/(^) + (1 - p) y = -^ ^^^
sein muß.
Sicher ist die Y- Funktion der erste Versuch, den man gemacht hat, um die t7-B\mktiou mit ganzem Parameter zu verallgemeinern; sie ist zuerst von Poisson^) eingeführt worden, während später Anger^), Lommel'^) und H. F. Web er- Zürich*) unabhängig von- einander dieselbe Funktion untersucht haben.
Es ist oflFenbar, daß Y' (a;) eine ganze transcendente Funktion der zwei Variabein x imd v ist; um ihre Potenzreihe in x zu bilden, ist es bequem, die zwei anderen Funktionen:
7t
(12) W(x) = Y h'(x) + V-'(a;)) = ^ /cos {x sin (p) cos (vcp) d(p,
0 jt
(13) X"(a:) = ~ (^''(x) - V-''(x')) = ~ Tsin {x sin cp) sin {v(p)d(p
0
zu benutzen, so daß man mittelst der Formeln (2) auch:
2 --^- / c
2 cos
(12a) TT'(a;) = :;,~~ ■ / cos {x cos ^) cos {vq)) dcp,
0
"^ /
• / S]
TT t/
2 sin — (13a) X''(a;) = • / sin (o; cos tp) cos (vqo) d(p
1) Connaissances des temps 1833. Citat von Burkhardt: Jahresbericht d. Deutsch. Math.-Ver. Bd. 10, p. 101 ; 1901.
2) Neueste Schriften d. Naturf.-Gesellschaft Danzig Bd. ö, p. 14; 1855.
3) Mathematische Annalen Bd 16, p. 183; 1880.
4) Vierteljahrsschrift d. Naturf.-Gesellschaft Zürich Bd. 24, p. 46; 1879.
48 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
setzen kann-, die Formel (fjg) liefert also folgende Potenzreilien:
VTt
(-!)■' (ir
V
(14) n^(^) = cos 2 ^ ,
s =
X = CO ' - . . -
(15) X'(.) = sin^.V ^'^
.=0 r(.s+--jr(.+ -^)
die unmittelbar zeigen:
Wenn v eine ganze Zahl ist, so wird eine der FunMionen Y\^(x) und X^{x) immer gleich Null, die andere mit der J- Funktion identisch.
Wir gewinnen auch leicht die folgenden Fundamentalformeln:
(16) r\"-\x)-~T]" + \x)==2D^X'{x), T]''\x) + T\' + \x) = ^X'{x)
(1'^) I \/., 1/ N , \/.,j.i/ N 2v_r„/ X 2 sin vjr ^ ^ X''-^(x)+ X' + ^(x) = — W(x) — ,
während die Differentialgleichung (11) für TT, bezw. X ergibt:
(18) !/''' + I !/<■' + (1 - ^) . = - ^^
(19) ,., + l,« + (l_^),.=i^.
Es ist offenbar, daß die andere in x und v ganze transcendente Funktion :
7t
(20) ^^{x) = — I 8m{x sin g) — v(p) d(p ,
0
die gleichzeitig von LommeP) und H. F. Web er- Zürich^) ein- geführt worden ist, mit der ¥- Funktion sehr nahe zusammenhängen muß. Setzt man in (9) — v für v und darauf ti — cp für qp, so findet man in der Tat ohne Mühe die Formel:
die also mit derjenigen ganz analog ist, welche von J nach Y führt. In dem speziellen Falle, in welchem v eine ganze Zahl bedeutet, haben wir noch den Grenzwert rechter Hand in (21) zu bestimmen.
1) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 187; 1880.
2) Vierteljahrsschrift d. Naturf.-Gesellschaft Zürich Bd. 24, p. 47; 1879.
Kapitel III. Verallgemeinerungen tler Cy linderfunkt ion J'f.r). § 17. 49
Um dies durchführen /u kthinen, bemerken wir, daß sich (21) auch folgendermabeu schreibou läBt:
(21 a) Q^ix) = cot ^ X^(^) - tg ^ U^ix),
so daß die Eutwickluugen (14) und (lä) unmittelbar die Poteuzreihen:
(22) Q^^ix) = (- 1 )" . ^ 3^^^^ ,
(22a) Q2'' + X^) = (-l)
(_l)»py'
geben, wo n also eine ganze Zahl bedeuten muß.
Die Formel (21) ist explicite von H. F. Weber-Zürich^) ge- geben worden, während die damit identische (21a) nur ein Spezial- fall der allgemeinen Formel (2) von Cauchy ist. Die Funktionen
(22) und (22 a) spielen eine nicht unwichtige Rolle in der mathe- matischen Physik, wie Arbeiten von Lord Rayleigh^) und Struve^) zeigen. — H. F. Weber^) hat die ß- Funktion für v = ^ benutzt.
Für die Funktion Q^ix) findet man aus (20) die P'undamental- form ein:
(23) Q'-\x) - Q''^\x) = 2D^Q'{x),
4 sin* —
(23a) Q^-^{x) + Q^'^\x) = ^ Q^(x) + ^^
und die nicht homogene lineare Differentialgleichung:
^ VTt „ . . VTt
»2 cos* — 2v sm" —
(24) ,<3.+±,<.,+(i-^:),=-_^+___^.
Wenn n eine ganze Zahl bedeutet, so liefert die Formel (21a) noch die anderen:
(25) Q'^{x) = l{D,.X^ix)X^,^, ß^"^^(^) = ^-(^.n^(^)U2. + x5 unter derselben Voraussetzung über v findet man dagegen:
(26) T'"{x)=^-2(p^mx)X=,n, ^'''+H^) = -2(D.X>'(a;)),=2„+i,
1) loc. cit. p. 48.
2) Theory of Sound Bd. II, p. 164—168; 1896.
3) Wiedemann Annalen Bd. 17, p. 1011; 1882.
4) loc. cit. p. 52 ff.
Nielsen, CylinderfunktiODeu. 4
50 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
wo T'^ix) die in § 3, (11) definierte Funktion bedeutet; faßt man noch die zwei Formelgruppen (25) und (26) zusammen, so findet man allgemein, daß:
(27) 2(7),Y''(a;)),^„ = n ■ Q\x) - T\x)
sein muß, wo n eine willkürliche ganze positive oder negative Zahl bedeutet, so daß man unmittelbar aus (9) und (20) folgende Integral- darstellung findet:
rt
(28) T'^{x) = — 1 sin (ic sin g) — ncp) (y — qA d(p,
0
die auf ganz andere Weise schon von Schläfli^) gefunden worden ist. Die Formeln (26) liefern für T'"{x) noch ohne weiteres die wohlbekannten Fundamentalformeln :
(29) T^-\x) - T^ + \x) = 2D^T\x),
4 cos'' —
(29a) T-\x) + T" + X^) = ^ T\x) - ^ J^{x) + -^
und die Differentialgleichung:
2WC0S''— — 2 sm^ — — 4w -^„. X . 2 . 2
(30) ^(^) + -i ^(^) + (l -1,) ?/ = - ^ J''(rr) + ^. +
a;
Wir bemerken noch, daß aus der Formel (27) mittels § 3, (16) die andere:
(31) 2 (D, J" {x) - i),Y''(:r)),^„ = :;r • Y-{x) -%-9.\x)-^ S\x)
folgt, wo n eine ganze Zahl bedeutet und S'"{x) die in § 3, (10) definierte rationale Funktion von Schlaf li ist, so daß wir für das Schläflische Polynom die Fundamentalformeln:
(32) S''-\x) - S^^ + 'ix) = 2D^S^(x),
4 cos^ -—
(32a) S"-\x) + S^ + \x) = ^ S-(^) + -^-^
und die Differentialgleichung:
2 sin*-— 2« cos''-—
(33) 'y"+ij''"+(i-y!'--^+
finden, drei Formeln, welche schon von Schläfli^) gefunden worden sind.
1) Mathematische Annalen Bd. 3, p. 147; 1871.
2) loc. cit. p. 139.
Kapitel III. VfrallfjorueiuiTungcn tler Cylimlorrunktion J* (x). § 18. (){
§ 18. Zweites Integral von Bessol und die Funktion X'(x),
Dio im vorigen l'nragriiplu^n gogebonen Integraldiirsti-lliiiigen der J-Fuiiktiou haben den U beistand, nur für «fanzzaliliire \\'(M-te des l*aranieters brauchbar zu Bein, so daB wir andere elementare Integraldarstellungen zu suchen haben, welche mit diesem Mangel nicht behaltet sind. Zu diesem Zwecke nehmen wir das erste Eulersche Integi-al zum Ausgangspunkte und tinden dann mit Zu- hilfenahme der Formel (^^) ohne Mühe folgende andere Darstellung:
(^) '^"(^) = ,/- r7 ■ iT" ßos{x sin cp)( cos cpY-'dcp, ^{v)>-i,
0
eine Formel, die für ganze v ebenfalls von B es sei') als Ausdruck für '7*'{x) gegeben worden ist. Sonst bemerken wir, daß Integrale dieser Form, wenn man die Gammafunktion rechter Hand weg- nimmt, als Lösung der Besselschen Differentialgleichung schon von Euler-) und für ganze v von Poisson"^) angewandt worden sind; Poisson^) betrachtet noch den Fall, wo v die Hälfte einer ungeraden ganzen Zahl bedeutet. In einer anderen Abhandlung führt Poisson^') gleichzeitig die Funktionen J'^~^(x) und J^~'''{x) als Integrale der zugehörigen Besselschen Gleichung ein.
Setzt man in (1) ~ — cp für (p, so läßt sich diese Formel auch
folgendermaßen schreiben :
(la) J'{x) = ~- y^ • ( cos (x cos cp) {sin (ff ^dcp, ^{^v)>-^-
beachtet man noch, daß das ähnliche Integi-al mit sin (x cos g)) statt cos {x cos q)) gleich NuU sein muß, so findet man auch die weitere Integraldarstelluug :
(2) J' {X) = \'' . /.'•- -^sin ^y"(h, ^ {v) > - i,
die also nur formell von (1) verschieden ist.
1) Abhandlungen der Berliner Akademie 1824, p. 36.
2) Institutiones calculi integralis Bd. 2, p. 298; 1769.
3) Journal de l'Ecole Polytechnique cahier 19, p. 300; 1823.
4) loc. cit. p. 299.
5) Journal de l'Ecole Polytechnique cahier 19, p. 475; 1823.
4*
52 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Nachdem wir diese neue Integral darstellung der e7- Funktion gewonnen haben, ist es sehr leicht, die folgende Formel von Bessel^):
n
(3) -^ / e'^'^o« V cos («/ sin 9?) d^) = J^ (]/^M^)
0 zu beweisen. Wir brauchen nämlich nur statt cos (ij sin <p) die ge- wöhnliche Potenzreihe einzusetzen; die Integi-ation der einzelnen Glieder läßt sich dann unmittelbar mittelst (2) ausführen. Wenden wir noch (f^) an, so gibt die Taylor sehe Reihe § 10, (8) un- mittelbar die gesuchte Formel (3).
Differeutiiert man nun das Besselsche Integral (1) nach v, so erhält man für v = 0 mittelst § 3, (16):
7t
(4) 7cY^{x)~2{C-{-\og 2) J^ {x) = — /cos {x cos cp) log {x sin- 90) d (p ;
0 das Integral rechter Hand in dieser Formel, mit welchem sich Neumann-) eingehend beschäftigt hat, ist schon von Poisson^) als zweites Integral der Be sseischen Gleichung für v = 0 angegeben worden.
Wir haben hier noch eine andere interessante Anwendung des zweiten Besselschen Integi-ales (1) zu erwähnen. Die allgemeine Methode für die Entwicklung in eine Fouriersche Reihe, welche im Intervalle von — jr bis +jr anwendbar ist, gibt nämlich mittelst (1) die Formel:
wo £(,==1, aber s^= 2 für s > 0 zu setzen ist; für v = 0 ist diese Formel von Cinelli*) gefunden. Die Reihe rechter Hand hat für X = + jt und 9i(v) > 4^ die Summe Null; wir haben in den Kapiteln XXIV, XXV Näheres über solche Entwicklungen der Null mitzu- teilen. Wenden wir noch auf (5) das Besselsche Integral (1) an, so erhalten wir eine eigentümliche Pai-tialbru chent wickln ng der (/-Funktion, welche wir indessen in § 22 in viel allgemeinerer Form zu geben haben.
1) Abhandlungen der Berliner Akademie 1824, p. 37.
2) Theorie der Besselschen Funktionen p. 46 — 48; 1867.
3) Journal de l'Ecole Polytechnique cahier 19 p. 476; 1823.
4) Nuovo Cimento (4) Bd. 1; 1895.
Kapitel III. Vcrallfjeincincnmpen der Cylinderfunktion J*'(x). »5 18. 53
Es ist zu bemerken, diitJ sich für i> = \ die Formel (f)) auf eine formale Identität reduziert; dies li:ln«^t damit zusamnieu, daß eine Kcmstaute nicht in eine gleichmäliif^ konver^'nte Fourier- sche Reihe, die in einem IntervaUc von der ({r(i|ic 'Ire anwciidhar ist, entwickelt werden kann.
Setzen wir nun v als gajize Zahl voraus, so wird die Formel (1) in Vergleichung mit § 17, (7) sehr interessant. Jacobi') hat eine eigentümliche allgemeine Methode angegeben, welche uns direkt von den letztgenannten Formeln aus zu (1) führt. Es ist oöeubar, daß diese zwei Formelkhissen interessante Identitäten zwischen den «7- Funktionen ergeben müssen.
Erinnert mau sich nämlich der Formel:
n
(6) (2 cos co)" = 2 ^ ' (',!) cos (« - 2s)(o,
wo n eine positive ganze Zahl bedeutet, der Accent nach dem Summenzeichen aber besagen soll, daß, falls n gerade ist, das letzte Glied, für 2s = n, zu halbieren ist, so findet man unter Anwendung von (1) und § 17, (7):
n
während die andere elementare Formel:
(8) (- \y cos {2nco) = n-^ ^~'\?^nZl7'^' (2 cos c)^'
auf ähnliche Weise die zu (7) umgekehrte Formel gibt:
Anger hat auf diese Weise versucht, das zweite Besselsche Integral unmittelbar aus dem ersten herzuleiten; er stellt die Formel (7)^) auf, ohne sie aber direkt zu beweisen; darauf kommt es ja aber hier gerade an. Unsere allgemeinen Untersuchungen über Reihenentwicklungen nach Cylinderfunktionen werden uns später in
1) Journal für Mathematik Bd. 15; 1836.
2) Neueste Schriften der Naturforschenden Gesellschaft in Danzig Bd. 5.
54 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
§ 109 Formel (4) und in § 106 Formel (7) ermöglichen, beziehungs- weise (7) und (9) direkt und voneinander unabhängig zu verall- gemeinern.
Wir betrachten nun das (1) sehr ähnliche Integral:
(10) Z"ix) = ^-^^J^ ,s ■ ß^ (^ cos cp) (sin ^y^'d<p, m(v)>-^ und finden auf dieselbe Weise die Reihenentwicklung:
(-)'(l)'
(11) ■^'W=.Sr(s + |)r(s + '' + |)'
s = 0
welche uns die Funktion Z^(x) für aUe Werte von v definiert; für ganzzahlige v ist diese Funktion von P. Siemon^) untersucht worden. Es leuchtet ein, daß die Formel (2) hier bei Z* (x) kein Analogon hat; dagegen findet man einen anderen Integralausdruck:
2
m
n
(12) JUx) + iZ''{x) = ^ ' / e'^''o^<?'(sin9)2"fZ^,
yTtV{v-\-\) ^^
^{v) >
-h
von welchem der Spezialfall v = 0 von Lord Rayleigh^) erörtert worden ist.
Um die Fundamentalformeln für Z^'{x) zu finden, gehen wir von der Reihenentwicklung (11) aus und finden ohne Mühe:
(13) B^(x'Z-{x)) = x"Z'-\x),
(13a) D,(^-Z"(^)) = - x-^Z^'^\x) + l ;
man erhält schließlich daraus die Fundamentalformelu :
(14) Z^'-\x) -Z^^\x)^ ^D^Z^x) - ^/^Jy^^^ ,
(14a) Z'-\x)^ Z' + \x)=~Z'X^) +
X y„r{v-\-^)'
1) Programm der Luisenschule, Berlin 1890.
2) Theory of Sound, Bd. 11 p. 163; 1896.
Kapitel III. Verallgemeinerungen der Cylimlerfunktion J*{x). § 18. 55 aus deneu man wiederum die Diä'erentialgleichuiig :
(15) ,... + ^,.., + (l--), = ^g_
herleitet.
Setzt man uuu v = — n — ^, wo ii ein»' «^anzo, nicht nej^ative Zahl bedeutet, so wird diese Gleichun<; (15) ein Spezialfidl der Besselschen Gleichun«^, und mau findet so, wie auch die Reihe (11) bestätigt, daß:
(16) z-"-^{x)^{-irr'-^x)
' sein muß; mit derselben Bedeutung von n gibt (11) nach einer ein- fachen Anwendung von (Ty) weiterhin die analoge Formel:
(16a) rH(,)_(_i)..v-'-*(x)+i.^:(!^i±i'(;)"-="*.
« = ü
Man bemerke, daß die letzte Funktion rechter Hand in dieser Formel eine gewisse Ähnlichkeit mit dem Schläfli sehen Polynome S"{x) darbietet.
Im anderen Spezialfälle, wo v eine positive ganze Zahl n be- deutet, findet man dagegen:
«-1 ^-y- . .. /j;\"-2.»-i
(17) Z'(.) = Q»(^) -2 ra-^rl-.+^'
s = 0
n -1
X\-n + 2s-\-l 2/
(17a) Z-^(x) = i-iyQ^(x)+^ 1^
für n = 0 aber:
(17b) Z%x) = Q%x).
Wir erwähnen noch, daß die elementaren Formeln (6) und (8) die zwei Identitäten
/xy j^ *■ ! (2 n — s) !
(18) ^ = 2 -2
ni[— T^
(19) ü^-(.)^..f'-'r(^-r'"(D'->-w
s = 0
ergeben.
56 Erster Teil. Fundamentaleigenscliaften der Cylinderfunktionen.
§ 19. Das Integral von Hansen und die Funktionen 0'^(ir), A"(a;)
und %"{x).
Die Integralausdrücke § 17, (7) geben unter Anwendung der allgemeinen Formeln von Cauchy folgende andere Integraldarstellung:
jt
(1) J" (x) = -^^ • A'^co« v COS {n (p)d(p,
0
welche von Hansen^) herrührt, und in der wiederum n eine ganze Zahl sein muß. Diese Formel ist offenbar mit § 18, (2) durch die allgemeine Transformation von Jacob i verbunden.
Bedeutet im Integrale rechter Hand in (1) u keine ganze Zahl, so definiert dies Integral immer eine neue Funktion, welche eine ganze Transcendente der beiden Variabein sein muß. Setzt man
(2) <t>'(ic) = A; • f e''"'°^f cos {v(p)d(p,
0
so gewinnt man für diese Funktion ohne Mühe die folgenden Funda- mentalgleichungen:
(3) <^'-\x) - 0-+X^) = 2D^ct)''(;z,-),
(3a) (^"-^{x) + ct)''+i(ic) = — <t>^'{x) ■
und die nicht homogene lineare Differentialgleichung:
(4) !/^')+--2/^'^ + v-^^}y^ ^' —
Die Potenzreihe in x für <i>''(x) selbst ist etwas komphziert, weil man die Koeffizienten im allgemeinen nicht durch eingliedrige Aus- drücke darstellen kann; dagegen wird die Potenzreihe sehr einfach, wenn man sie mit c~'^ multipliziert. Betrachtet man nämlich die Funktion:
Ä 7t 2
e'-^(D>'(^) = J_ . /g2'-^cos^- 1 cos(v9))d9) = ^ • / e2ia;co8^rp ^^g (2v(p)d<p
Tft t/ Tri' t/
0 0
und ersetzt man im letzten Integrale die Exponentialfunktion durch ihre Potenzreihe, so liefern die Formeln (f^y) und (fj folgende elegante Entwicklung:
1) Memoire sur la determination des perturbations absolue, p. 105; Paris 1845. Deutsch 1843.
Kapitel III. Verallgemeinerungen der Cylinderfunktion J\.r). § ll>. 57
f = »
die zu der in sj <> Formel (7) für J''{x) gegebenen analog ist. Wir haben noch die mit 0*^(0:) analoge Funktion:
n
(6) A*'(j;) = — ^- I ef''">"Psm{v(p)d(p
0
zu betrachten, in welcher der Exponent von i im Nenner geändert ist, um die Funktion reell zu machen, falls x reell ist, während v eine ganze Zahl bedeutet. Um die A Funktion auf ct)-Funktionen zu reduzieren, setzt man in (2) — x für x und x — (p für (p und findet dann ohne Mühe:
eine Formel, welche mit § 3, (2) für Y'{x) und § 17, (21) für Q'(a;) ganz analog ist. Wenn v eine ganze Zahl bedeutet, so reduziert sich f\''{x) auf elementare Funktionen; den so erhaltenen Ausdruck,
welcher mit demjenigen für J- '^\x) ähnlich ist, findet man am Schlüsse dieses Paragraphen.
Für die A-Funktion erhält man die Fundameutalformeln :
(8) A'' - 1 {x) - A" + 1 {;x) = 2 D^K' {x), (8a) N-\x) + A' + i(x) = ^ N^x) - und die Differentialgleichung:
(9) 2/^^^ + i!/^^^ + (l-S)y = -
Wir haben noch zu beweisen, daß uns unsere 0-Funktion zu der in § 6, (10) definierten Funktion %'\x) führt, ebenso wie uns '^\x) zu T"{pc) geführt hat. Bedeutet nämlich n eine ganze Zahl, so finden wir, daß
(10) - 2 (2)„0'(a;))„=„ = %\x) + niJ\x)
sein muß, woraus wir dann weiter den mit dem für T"(x) in § 17, (28) gegebenen analogen Integralausdruck:
2(e''^ |
_^-,x |
cos V ä) |
•V — TtXl |
• 1 |
|
v(e'^ |
_^-.x |
cos Vä) |
Ttx^i"' |
1 |
(11) Z"{x) = ~ ■ /V^cosr^ sm(n(p) ■ cpd(p
n^ J
58 Erster Teil. Fundamentaleigenscliaften der Cylinderfanktionen.
herleiten. Aus (10) finden wir weiter für 'Z'"(x) ohne Mühe die Fundamentalformeln :
(12) %»-\x) - Z" + \x) = 2B^Z"(x),
(12a) V'-\x) + V'^\x) = -~%^(x) - -:- J"(^)+ ^
»X/ tX/ ijt/
imd die Differentialgleichung:
(13) ?/'='+ i:/'"+(i-::) 2/= -^j'w+^^,
Formeln, welche ganz analog mit den in § 17 für T"(x) ge- gebenen sind.
Kombiniert man noch (10) mit § 6, (9), so findet man die mit § 17, (31) analoge Formel:
(14) 2 (D^.J'(x) - D^0'(x))r=n = 7t Y\x) + 7iiJ\x) + &{x), aus der sich für &{x) die Fundamentalformeln:
(15) (5^-i(^) - @" + i(a;) = 2B^&{x),
(15a) &-\x) + &+\x) = ?^@-(a;) + i^^
und die nicht homogene Differentialgleichung:
(16) ^^'^+|-^^'^ + (l-S)^
o,^ ^— *a: .-w
ergeben.
Der oben gefundene Integralausdruck für %'"{x) erlaubt uns, ohne Mühe den expliziten Ausdruck für die A- Funktion zu gewinnen. Die Formel (11) gibt nämlich:
rt
(- lY-'^V{~x) = -^ • /(^ — 95)e''='=°''^sin(7^9))f7g),
0
woraus unter Anwendung von (11) und (6):
(17) V'ix) - (- \y%\- x) = - 2niN'{x) und mit Hilfe von § 6, (13) folgt, daß
(18) %N'{x) = y (©"(a;) - (- iy&(-x)J
sein muß. Führt man nun der Kürze halber die beiden rationalen Funktionen;
(19)
Kapiti'l III. Verallgemeinerungen der Cylinderfunktiuu J* {xj. § 20. 59
«- 1
®l W -^Y^t ^ (2«)!r(H-2*-|-i) l2x/
n
®2 W-^y» ^ (2s+l)!r(«-2s-i)l2.rj
j = 0
ein, so findet mun:
(20) 'B"{x) = Bi"{x)cosx-\-^^''{x)s\nx -\- i{B.;P{x)cosx — ^^'*{x)s\nx)-^ also läßt sich die Formel (18) auch folgeudermaßcu darstellen:
(21) ;rA"(^) = B^''{x) smx — ©/'(a;) coso;.
Aus (18) findet man nun durch Zuhilfenahme von (6) den ersten der in § fi erwähnten Integralausdrücke.
§ 20. Zwei Integralklassen. Formeltafeln, Die Funktion [A"{x). Es ist sehr leicht einzusehen, daß sich die acht Integrale
(1)
- . C^^^ ^ xi ^^^ ^\ ] ^^^ ^^ ^^ dw ^ ^7 sin i \sm(pj jsm (vcp) ^'
wenn v keine ganze Zahl ist, als lineare homogene Funktionen von ^'(±-^') und 0'\±.i') darstellen lassen. Dies ist aber nicht mehr der Fall, wenn v gleich einer ganzen Zahl n angenommen wird; dann treten nämlich außer J"(x) auch die zwei anderen Funktionen Q»(x) und A"(x) auf.
Da eben diese Integrale sehr häufig in den Anwendungen auf- treten, scheint es uns angemessen, hier eine Tafel ihrer Werte mit- zuteilen :
(2)
7t
J^"{x) = — f cos (x sin 9?) cos (2wg)) d(p
(3)
J^^ix) = '^ — ■ I cos (x cos (p) cos {2n(p)d(p,
0
Tt
j2n + i^£^ = — • I Bm{xBm(p) sin(2M + V)(pd(p
0
n
(_ 1)" r
rP" + ^(x) =- -' I sin(a;cos9)) cos (2« -f \)(pd(p,
60
(4)
Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
it Q^"(a;) = -- • / sin {x sin ff) cos {2ntp) d(p
0
Q2«+i^^-) = — — • / COS (:r sin g?) sin (2m +1)9? dcp, 0
h^'^^x) = - — ^ / sin(a; cos cp) sin (2ncp) dq)
(5)
0
3t
A2«+i(;j.) = *- ^^ . I cos (ic cos 90) sin (2w + 1) 9) dtp.
Diese Formeln lassen sich leicht aus den allgemeinen Formeln von
Cauchy in § 17 herleiten; ebenso ist es offenbar, daß die acht
übrigen Integrale von derselben Form immer gleich Null sein müssen.
Betrachtet man nun die acht anderen mit (1) analogen Integrale:
TT
y
(6)
— • 1'^^^ f x(^?^ ^^ ] ^^^ ^^^^ dw nj sin| \sin 9?/ jsin (vqp) ^
genauer, so erheUt offenbar, daß sich dieselben, auch wenn v keine ganze Zahl bedeutet, als eine lineare homogene Funktion von Y(+ x) und 0' (+ x) darstellen lassen, wie dies unmittelbar aus den oben- erwähnten Formeln von Cauchy hervorgeht. Um diese neue Integral- klasse auch in dem Falle zu bestimmen, in welchem v eine ganze Zahl bedeutet, geben wir hier eine weitere Tafel von Integralformeln, welche gleichfalls sehr häufig gebraucht werden:
(7)
7t
J^"{x) = —• I coä(x sin go) cos (2n(p) d(p
n
J^"(x) = ■ / cos (x cos q}) cos {2nq)) d(p ,
(8)
7t
j2n + 1 (^£^ = — ■ I ä'm (x SIR (f) sin (2n -f 1) cpdq)
3t
J'2« + i(ic) = ^——^ • /sin {x cos (p) cos (2n -\-l)(pd<p,
Kapitel III. Verallgemeinerungen der Cylimlerfunktion J\j:). § 20. Ol
(9)
(10)
(11)
(12)
2 /*
Qä'«(a;) = — . I sin (./sin cp) cos (2 h 9)// 9)
0
«
^'"(0:) = ^= — -^— ^ • I sin (x cos (p) cos (2Mg)) d<p,
n T
Q^"+^{x) = —^- I cos{x aintp) sin(2>2 + i)(p<l(p
n T
Q-" + '(aj) =^^ -• I cos(j; cos 9)) cos (2m + l)(pd(p,
T
A^''(a;) = — / sin {x sin 9p) sin (ßiicp) dcp
n Y
A""(a;) = '^ — • 1 sin (x cos qp) sin {2nq)) dcp,
n
A^'' + ^(a?) = —• I cos{x sin 9p) cos(2»i + \)(pd(p
(— 1)" 2 /* A-" + '(a:) = ^ 1 cos {x cos qp) sin (2m + \)(pd(p.
Es leuchtet also ein, daß unsere drei Funktionen noch nicht ausreichen, um alle Integrale von der Form (6) zu bestimmen; man muß in der Tat noch die vierte:
(13)
Y
M^" (^) = — • / cos {x sin qp) sin (2m qp) d(p
n Y
M^"(^) = i / cos {x cos (f) sin (2vi(p) dcp,
62 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
(14)
n
W^^'^ix) = / sm(;r sin 9)) cos (2w -f X)(fd(f
0
n
2!
W'^'^^ix) = - — / sin (;r cos 9) sin(2w + l)q)d(p
zu Hilfe nehmen. Diese ganze transcendente Funktion ist /V[x) sehr ähnlich^ und ihr expliziter Ausdruck läßt sich denn auch auf ähnliche Weise mittelst der Integralausdrücke für die Funktionen T"{x) und X"(a;) bestimmen. Man findet nämlich aus § 19, (11):
n
2
X" (x) + (— 1)" X"(— :r) = I cp cos (x sin (p — ^j sin n fy — (p\ dcp
und aus § 17, {2S):
it
2T"{x) = ~ * / (y ~ '?') ^^^ (^ ^^^ 9^ 2) ^^^ *^ (t ~ ^) ^^'
0
daraus folgt mittelst (13) und (14):
(15) Z'^ix) + (- iyV'{-x) - 2T^(x) = 2;rM"(ic); gemäß § 6, (14) ergibt dies wieder die weitere Formel:
(16) jiW["{x) = l {(B^ix) + (- iy&(- x)) - S"{x)',
also haben wir auch den zweiten der in § 6 erwähnten Integral- ausdrücke gefunden. Führt man noch die in § 19, (19) definierten rationalen Funktionen ein, so erhält man aus (16) den einfacheren Ausdruck :
(17) TcM^^ix) = (Bj"{x) cos X + 'B^'^ix) sin x - 8''{x).
Vergleicht man diese Formel mit der analogen § 19, (21), so gewinnt man die Identität:
(18) [7tA-{x)Y + {7tN\\x) + s^{x)y = (<B,"{x)y + (@2"(^))^
welche der Lom meischen P'ormel § 11, (13) analog ist.
Für die M-Funktion findet man die Fundamentalformeln:
(19) M"-\x)-N\" + \x) = 2D^fA''(x),
(19a) M"-\x) + M« + i(x) = ^M"(Ä;) + ^[cos(:r-*^)-cos2*^]
Kapitel IIJ. Verallj^emeinoruii^^cii der Cyliinlerfuiiktion J'(.r). § 'Jl G3
und die Differentialt^loichiiug:
'* Hiu»
nx
(20) .<•.+ :- ,...+ (1 - ^y = ;^[c„,(.- 7)-eo«'":]— ,-^.
Wir bemerken noch, daß die letzte Formeltafel folj^eiide zwei interessante Identitäten liefert:
(21) '^"i^) + A"(a;) = " • / cos {x sin qo — mp) d(p,
0
ff
(22) Q"{x) - M" (x)=^- 1 sin (>; sin (p -n(p)(i(p;
0
aus (17) und § 19, (21) ergibt sich weiter, daß:
(23) 7t M" (x) -TfiA" (x) = <B" (x) - S" (x)
sein muß, so daß die obenerwähnte Formeltafel noch die Integral- relation ergibt:
(24) <B"(x) - S"{x) = -!7 • / e-''"'°'"P sin (titp) d(p.
n +v n — v
§ 21. Integralausdrücke für das Produkt J ^ (x)J ^ (x),ng&nz.
Dieselbe Formel (Hj^), welche wir schon häufig angewandt haben, gibt mittels § G, (4) auch die einfache Formel:
7t
n + V n — v ^
(1) J ^ (x)J ^ (x) = -^ • j J"(2x cos(p) C08(vg))dq),
0
wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet; mittelst der Cauchy- schen Formeln § 17, (2) läßt sich (1) auch folgendermaßen schreiben:
n+ V n— V J^
(2) cos ^" • J ^ {x)J ^ {x) = — -jj"(2x cos cp) cos{v(p) dcp,
0
n + V n— V ^
n + V n— V "
(3) sin — ■ J ^ (x)J ^ (^) = — • / J"(2x cos 9p) s'm^vcp) dtp.
(4)
64 Erster Teil. Fundameutaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Neumann ^) hat diese Formel (1) für gerades n und v = 0 gefunden, während Schläfli-) die etwas allgemeinere Formel (1) gegeben hat, in der auch v eine ganze Zahl ist, so daß n + v gerade Zahlen sind.
Führt man noch in (1) die Ausdrücke § 20, (7) und (8) ein, so findet man folgende Doppelintegrale von ganz elementarer Form:
n it "2" 2
n^i- n-- 4 r r
J ^{x)J ^{x) = —^-j j cos (2 X cos cp sin ijj) cos {v(p) cos (2 nij)d<pd xIj,
0 0
1 + r 1 - r
7t n
~ — /^ /*
(5)J ^ ix)J ^{^) = ~~i'l I siyi(2xcos(psmf)cos{v(p)sm(2n+l)^d(pdip.
0 0
Hier kann die Integrationsfolge offenbar willkürlich vertauscht werden; integi-iei-t man zuerst nach z/;, so findet man die Formel (1) wieder, während die Integration, zuerst nach (p genommen, mittelst § 17, (12a) und (13a) die zwei anderen Formehi gibt:
7t
- n-- r
(6) cos^ • J^ ' {x) J \x) = --\ Wi2x sin ^) cos(2wt^) di>,
n Y
(7) sin ^ • / ' ix) J ' (^) = ^ • / X^(2a: sin^) sin (2w + l)tdt.
0
Setzt man weiter in (6) und (7) voraus, daß v eine ungerade, respektive eine gerade ganze Zahl ist, so findet man:
n (8) (- 1)^+1 J"+^+^X-^) J^'^'^ix) = ^ ■fQ'P^ \2x sin cp) cos (2n(p) dtp,
it
(9) (-l)^J"+^ + ^(a;)J""^ + ^"(a:)-^- rQ2'^(2xsin9)sin(2«+l)9)(fg);
0
daraus ergeben sich für w = ^^ = 0 die bemerkenswerten Formeln:
1) Theorie der Besselschen Funktionen p. 70; 1867.
2) Mathematische Annalen Bd. 3, p. 142; 1871.
Kapitel III. Verallgemeinerungen der Cylinderfunktion J*'(x). § 22. G5
n T
(10) '^^-fQ\2xB\n<p)d<p,
n T
(11) ^-^= fQ\2x sin (p)am(p(l(p.
0
§ 22. Einige Entwicklungen, die nach Cylinderfunktionen
fortschreiten.
Die Integralformeln, welche wir soeben gefunden haben, er- lauben uns, sehr leicht einige merkwürdige Fouriersche Reihen- entwicklungen zu bilden. Erstens findet man aus dem ersten Bessel- schen Integrale folgende Formeln:
( = 00
(1) cos(a; sin 9)) =^ €^,J'^'(x) cos(2sqp),
s = 0
(2) sin (a; sin 9?) =^^ £2,^1 J^' + ^(a;) sin(2s-f l)^?,
wo f, im allgemeinen gleich 2 zu nehmen ist, außer wenn s = 0, wo man f 0 ^ ^ ^^ setzen hat; diese Reihen sind von Jacobi^) gegeben.
Der asymptotische Ausdruck § 2, (3) zeigt, daß die Formeln (1) und (2) auch für imaginäre Werte von q) anwendbar sind; setzt
man nun — — <p für 9, so findet man:
( = 00
(3) eixcosy =^ f^ j*(a;) cos (scp),
3 = 0 *
so daß die Annahme:
e'f^t, 2cos{s(p) = f + t-' zu folgender Entwicklung führt:
(4) e^ '""' = J\x) +^ i-'J\x) {f -f- 1-'),
s = l
von welcher Hansen^) und Schlömilch^) Gebrauch gemacht haben.
1) Journal für Mathematik, Bd. 15, p. 12; 1836.
2) Memoire sur la determination des perturbations absolues, p. 100, 107.
3) Zeitschrift für Math, und Physik, Bd. 2, p. 138; 1857.
Nielsen, Cylinderfunktionen. 5
(?> l^'^&^J^iX),
_efart:
s=rr 1 — w 1 — •
(9^X"^r ?zi r = i_i ^ ^ c..^, J- * ^jff\J ^ '- =:- "?^^!>(
1
.^Lr^W^
^ = 0, sc ^ ■ _ ^- I ?■•
?3 ^m^ -' |
|
r = C' Le v:- Ei2--i . . |
~ |
ill) 1 =^ i,. .7' r '- |
|
3 |
|
s = a » - |
Z |
= 1 |
1—» ■an» —.: |
Kapitel HI. Verallgemeinenmgeo der CylindeTfanktion X'ix). § SS. 67
während die Annahme (f = — Entwicklungen für TT*(2j) und X*(2x)
h'efert. Wenn v eine ganze gerade, bez. ungerade Zahl bedeutet, so gewinnt man aus (12) und (13) eigentümliche Entwicklungen für Bes sei sehe Cylinderfunktionen mit ganzem Parameter, während die Annahme eines ungeraden, bez. geraden v ähnliche Entwicklungen für die Q -Funktionen ergibt.
Andere Reihenentwicklungen, welche nach Cylinderfunktionen fortschreiten, lassen sich mittelst derselben Integralformeln herleiten, wenn wir Ton den Fourierschen Reihen (T5) und (T^):
(14) cos(v^j = ^ • (^v +2' l- 1 '' [vh + ^) ^' ^'"f"^) '
(15) 8in(v<f:) = ^-^(-lV(^-^)sin(s9)
1 = 1
Gebrauch machen: sie sind beide im Intervall ron — x bis -{- x an- wendbar, diese Grenzen selbst für die letzte Reihe ausgeschlossen; V bedeutet eine willkürliche, endliche Größe.
Aus den Formeln (14) und (15) findet man sehr leicht folgende drei Entwicklungen nach Cylinderfunktionen:
(16) n- (.) . ü^' |i j^ (.) + ^ (-^^ ^ -^) ^.(x)) ,
,17, X-(x)-=^'.'f (,^i^-,^J^)^.-(x),
(18)
<,.(x) = f^.(^i^(x)^f,-.(-^H-^)/Hx>),
welche in der ganzen J- Ebene anwendbar sind.
Für die Funktionen Q und A findet man nun ohne Mühe mittelst § IT, {2d) und § 19, [1 \ folgende Entwicklungen:
(19) Q-^x) = i- . '2u-^-.„"^-^'(^' (21) A^.,x)=->"^-.f-tif^S,
t = 0
68 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfimktionen.
s==l
während die Formeln § 17, (26) und § 19, (10) folgende Entwick- lungen für die Funktionen T und % liefern:
• »=00
(23) r«(:r) =^lf J'" + 2*(;r) - J^-'^ix)),
(24) %^ix) =^ ^~- (j^-^-^ix) - (- lyj^-^x)) ,
von welchen die erste von Schläfli^) herrührt.
Die entsprechenden Entwicklungen für die Funktion M lassen sich nicht so unmittelbar durch diese Methode herleiten; indessen werden unsere allgemeinen Untersuchungen über die Neumann- schen Reihen auch diese Formeln leicht ergeben.
Wir gehen hier nicht näher auf die ähnlichen Entwicklungen nach den Funktionen Q, A und M ein, sondern kehren zu den Formeln (14) und (15) zurück, um noch einige Entwicklungen nach Produkten zweier Cylinderfunktionen herzuleiten.
Die Formel § 21, (1) gibt eine erste Reihe dieser Art:
(25) J^{x)J-^{x) = ^ \\r\x)) + 21.2 ■^^^.J'^ {^)J'^ {x)\ ,
s = l
während (2) und (3) in demselben Paragraphen die folgenden im Vergleiche zu (25) sehr eigentümlichen Entwicklungen ergeben:
'Hz "LH 2sin— r/ n; \2 s=a. n^^^ n^_^ -
(26) J\x)j'(x)^--^{j^(£))^-^v^y,-^^,r {x)r (X)
TtV
n+v n—v 1 COS s — co n + 1 n — 1
2 N^ 2s+l 7-~l~^' ^^-«
s = 0
(27) j ^ {x)j ' {x)—^'Zi2s+TY-v^j ^"^y (^)
Für V = 1, w =■ 0, bez. v = 0, »i = 1 liefern (26) und (27) interes- sante Entwicklungen.
Nachdem wir diese ersten Beispiele der Neumann sehen Reihen erster und zweiter Ai-t gegeben haben, wenden wir uns nunmehr zu anderen Anwendungen derselben Formeln (14) und (15), indem wir
1) Mathematische Annalen, Bd. 3, p. 146; 1871.
Kapitel III. Verallgemeinerunf,'en der Cylinderfunktion ./'(a). § 2;i 69
(i für V und x sin (p für (p schreiben. Durcli tliese Substitutionen ergibt sieh aus dem zweiten Besselschen Integrale ohne Mühe:
(28) ^.(.,) = «^'(.^.^^;_._+|(_ .y^^^^^.-l^^^
i = l
und somit haben wir die in § 18 erwähnte Partialbruchzerleguug gegeben.
Die IntegraUlefinitionen der Funktionen TT und X liefern noch folgende Entwickhingen:
(30) n.(«.)^?'-:^=i'(ln.(0)+f (- !)'(„;,+ „l,)n'(,.)),
(31) X. («X) = t- IV D' (^, - ^-1 .,) X' (-),
SO daß die Lntegralformeln des §21 folgende anderen geben müssen: /^H«.r)/-^(„x)_™5»[l/-i(0)j'-5(0) +
(32)
»=1
1 + v
, xr. 1-V
(33)
.v = l
Durch die sechs letzten Formeki haben wir ebensoviele Bei- spiele der Schlömilchschen Reihen der ersten, zweiten und dritten Art gegeben; indem wir uns vorbehalten, später solche Reihen näher zu betrachten, verzichten wir hier auf etwaige andere spezielle Ent- wicklungen dieser Art.
§ 23. Die Besselsehe Auflösung der Keplerschen Gleichung.
Als letzte Anwendung der elementaren Integraldarstellungen für die «/-Funktion wollen wir noch die Besselsehe Auflösung der Keplerschen Gleichung mitteilen, weil ebendiese Auflösung in der Geschichte der Cjlinderfunktionen eine Hauptrolle spielt; ja, man
70 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
darf wohl sagen, daß sie den Anstoß 7aiy Ausbildung einer systema- tischen Theorie dieser Fimktionen gegeben hat. Wir betrachten also die Gleichung:
M) G) — e sin a = q),
wo c? und <p reell sein sollen und 0 < c < 1 vorausgesetzt wird, und suchen den unbekannten Winkel (o durch eine Fouriersche Reihe mit dem Argumente cp darzustellen, so daß wir zuerst zu beweisen haben, daß eine solche Entwicklung wirklich möglich ist.
Zu diesem Zwecke betrachten wir die reelle Lösung o als Funktion von (p und finden dann an ihr folgende Eigenschaften:
1) 03 ist eine eindeutige Fimldion von cp , tvettn — :t ^cp ^-\- x vorausgesetzt tvird.
Sollten nämlich die zwei verschiedenen Werte w^ und g?2 für dasselbe cp beide der Gleichung (1) Genüge leisten, so findet man unmittelbar, daß auch
Mj -|- cöj . cöj — a^
9iu, —r- uJa v^i v„2 —ecos-J— ^ — ^ • sm
2 . Nlll
2
sein müßte; dies ist aber unmöglich, weil e ein echter Bruch ist.
2) cj ist eine ühcrall endliclie, JcontinuierlicJie und differentiierhare Fimldion in tp , wenn — n ^q) <-\- ^ vorausgesetzt tvird.
Setzt man in der Tat:
(o -\- k — e sin (cd -|- ä:) = qp + k, so findet man mittelst (1): (2) k — 2e cos (o + — ) sin — = h,
(^) 1™(t)
dop ^
^ =1—6 cos OJ .
ao3
3) a hat im dbenenvälmten Intervall iveder Maxima noch Minima, muß aber immer beständig zu- oder beständig abnehmen.
Die Gleichung (2) zeigt nämlich, daß h und k immer dasselbe Vorzeichen haben müssen. Außerdem zeigt (1), daß
4) 03 eine ungerade Funktion in (p ist. Setzt man nun:
«= CO
03 = ^, ffj sin (59?), — n "^fp ^-\- ^,
s = l
eine Entwicklung also, die in der Tat möglich ist, so hat man be- kanntlich für a^ den Ausdruck:
Kapitel III. Verall^'emeinpnmpen der Cylinderfunktion </'(x). § 24. 71
rt
fl, = ^- I CO -ain {s<p)d(p,
0
so daß eine partielle lutegration mittelst (3) unniittell)ar erj^ibt:
also findet man mittelst (Tg) folgende Entwicklung
» = 00
(4) ra = qp 4- 2 • ^ — J'{se) sin (sqp), — »r < g) < + ä,
eine F'ormel, welche von BesseP) gefunden worden ist.
Für die in (.'}) gegebene abgeleitete Funktion findet man in ähnlicher Weise die Entwicklung:
^^) l-/c08a, = 1 + 2 .^ J'(se) cos (Stp), -7t^(p<-\-Jl,
s = l
so daß die Annahme (p = 0 die weitere Formel:
(6) rb = ^ + 2-2'^'(^^)'
s = l
ergibt, welche sicher anwendbar ist, falls — 1 < e < + 1 angenom- men wird, wie es unmittelbar aus den vorhergehenden Bedingungen ersichtlich ist. Füre^ 1 bleibt die Formel (6) nicht mehr anwendbar, weil dann J'{sc) mit s über jede Grenze hinaus wachsen muß^).
Diese Entwicklung scheint zuerst von Todhunter"') bemerkt zu sein, jedenfalls hat Todhunters Hinweis, wie Kapteyn'*) selbst hervorhebt, Veranlassung zu dessen Verallgemeinerungen gegeben, welche wir später zu untersuchen haben.
§ 24. Die Funktionen lie~*, C^(ä;), Si(x) und die Integrale von
Eramp und Fresnel.
Indem wir mit C, wie gewöhnlich, die Euler sehe Konstante bezeichnen, definieren wir den Integrallogarithmus li e~% den Integral- cosinus Ci{x) und den Integralsinus Si(x) folgendermaßen:
1) Abhandlungen der Berliner Akademie 1824, p. 21.
2) Graf und Gubler: Einleitung in die Theorie der Besselschen Funktionen, Heft I, p. 104; Bern 1898.
3) An elementary Treatise on Lame's, Laplace's and Bessel's functions, p. 342; London 187.5.
4) Annales de l'ficole Nonnale (3) Bd. 10, p. 96; 1893.
72 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cjlinderfunktionen.
5= 00
(1) li e- _ log :r - C = 2 ^-=yf • x%
(2) G,ix)-logx-C==2^^
s = l
S = 00
(2s)! 2s '
(3)
Si{x) = ^
{-ir
s = Q
(2s + l)!(2s+l)
• X^^'^^
und finden dann aus § 2, (2) und § 4, (6) folgende Integralausdrücke:
0 0
.T X
(5) C.(x)-loga,- C=/5^d.;=/|/^(j-^W-j/Ä)<?^,
0 0
X X
{x)=j''-^dx=jy^.j^ {x)dx.
(6) S,{x)=J''-^dx =
0 0
Nahe verwandt mit den vorhergelienden Transcendenten sind die Integrale von Krampf) K{pc) und von FresneP) F^{x) und F^{cc), für Avelche wir folgende Definitionen anwenden:
X
2«+l
J
(8)
(9)
(2s)!(4s+ 1)
^2 (•*) = f sin (a;') dx=^^ (2s+^l)!0
n s = 0
aJ'
,4« + l
r
(4s + 3)
X'
,4« + 3
Durch Cylinderfunktionen lassen sich diese drei Transcendenten folgendermaßen darstellen:
K{yx) = i' ]/y füi ' iix)dx,
(10)
0
X
F, {Vx) =Y^Jj~'^ (x) dx, F, (Yx) = Y^^Jj^ (^) dx,
1) Memoires de rAcademie des Sciences de Paris, Bd. 5, p. 434, man vergleiche auch pp. 406, 412, 433; 1826.
2) Analyse des refractions astronomiques et terrestres; 1798.
Kapitel III. Verallgemeinerungen der Cylinderfunktion J*'(x). § 24. 73
Die drei letzten Funktionen la.ssen sich auch sehr einfach (hirch
<t)2^(j:), TT^(j') und X2^(a;) ausdrücken; um dies für K{x) einzusehen, setzen wir in (U'ui Inte^ale:
0^ (x) = — £ • / «'"-"'""^cos ^ (p d(p
Ttt^ 0
/ . . 2 dt
y2xi ■ sin \ q) = t, cos ^ qp (J(p =
y^xi
und finden so unmittelbar die Formel:
(U) ct>^(:r)=]/I.^^.^(]/2^:),
so daß wir aus § 22, (18) folgende Entwicklung nach Cylinder- funktionen erhalten:
(12) ^^'=j»(-i;)-f i^,^'(S)-
*= 1
Aus den Definitionen § 17, (12a) und (13a) finden wir nun weiter:
■ T
TT^ (x) = — (cos X I cos (2x sin^ | tp) cos ^ (pdq) -\-
n
+ sin ^ / sin {2x sin^ ^ 9p) cos ^ 9 rfqp j , 0
n T
X 2" (a;) = — ( sin a; 1 cos (2.r sin^^^ 9?) cos |- qp d^)
0
cos,
0
\x I sin (2x sin^ 4" 9') cos ^ 9) c?^) ) ,
so daß die Substitution:
y2x ■ am ^(p = tf cos ^ rp drp =y — • dt folgende Formeln ergibt:
(13) n^ {x) = -4- . /cos X F. {Yx) + sin x K
nyx \ '
(14) X^ (x) = -^ • ^sin X Fl (Yx) - cos x F^ {Vx)\ ,
X I l y
74 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
woraus mittelst § 22, (16) und (17) folgende Entwicklungen nach Cylinderfunktionen hervorgehen:
(15)
(16)
1 F, (x) = cos (x^) i^J^ix^) - 2 2^ ^^1 j +
J^«(xO-2^S^i
s = l
, „. '"V (4s +2) ja* + «(•«') — cos {x") > ^ ' ^ ^ ''
« = o
(4s + 2)^
Aus den Formeln (11), (13) imd (14) können wir weitere Ent- wicklungen für die drei Funktionen K{pc), F^{x) und F^{x) her- leiten; wir ziehen es indessen vor, hier auf diese Frage nicht näher einzugehen, da wir später in § 34 dieselben Entwicklungen wieder- finden werden und zwar durch eine Methode, die uns erlaubt, ähn- liche Formeln für lie~^, C^{x) und Si{x) zu geben.
Wir wollen am Schlüsse noch eine andere Anwendung der Formel (11) geben; beachten wir nämlich, daß:
n
(17) i'^ ^ 0"^^ {£) -f i'~^ 0"" 2 {x)=^ I e'^'^^^f cos (v(p) cos ^(pd(p
0
ist, und daß man unmittelbar die andere Formel:
(18) jßixcosip cos I (p ^^ _ _?£!_ xlsin -|- • y2xi\ 0 "
gewinnt oder, was dasselbe ist:
D^^(sin-| . y2^i) = ^ e'-o«^ cos f , so liefert eine partielle Integration folgende neue Formel:
TT
^J K(sml- ■ y2xij sm (v<p) dcp = ^^ -' +
0
setzt man noch x^ :2i für x, so gibt (19) folgende Entwicklung in eine Fouriersche Reihe:
(19)
Kapitel IV. Integral'- iimi Reiben mit CylinderfunktioiuMi. § 25. 75
s — 1
WO man voraussetzen niuB, daß — ä ^ qp ^ + Jf ist. Die anilere Formel:
rt
9 '
0
gibt auf ähnliche Weise folgende neue Entwicklung:
(2i)/f(.cos|)-|c-f Ji:ii(0'-5(f;)-,<.-m:))c„,M.
j=i
welche gültig ist, falls — ä < 9? < + :rr.
Für die beiden Entwicklungen (20) und (21) gilt noch der folgende bemerkenswerte Satz, den wir in § 26 allgemein beweisen werden:
Die Koeffizienten der zwei Fouri er sehen Reilien (20) utid (21) lassen sich sehr einfach durch die Funktion K{x) selbst darstellen.
Kapitel IV.
Unbestimmte Integrale und unendliche Reihen mit Cylinderfunktionen.
§ 25. Verallgemeinerung der Fundamentalgleichungen der
Cylinderfunktionen.
Es ist offenbar, daß alle diejenigen Funktionen, die wir im vorigen Kapitel untersucht haben, sehr einfache Spezialfälle der Lösungen folgender allgemeinen Fundamentalgleichungen sind:
(1) B^-\x) - B^+\x) = 2B,B\x) + ^f\x),
(2) B^-\x) + B^^\x) = ^ B^{x) + \ f{x\
wo f^ix) und g^'ix') gegebene Funktionen in x und v bedeuten. Die auffallende Form dieser bekannten Funktionen f und g wird sich durch die folgende Formel (8) rechtfertigen.
76 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Bedeutet nun B''(x) eine willJiürlicJie Lösung des Systemes (1), (2), so beweist man ohne Mühe die folgenden Sätze:
1) Die allgemeinste Lösung von (1), (2) läßt sich immer fol- gendermaßen darstellen:
R'(x) + C"{^), wo C^{x) die allgemeine Cylinderfunldion mit dem Argumente x und dem Parameter v bedeutet.
2) Bie Fmiktion B~'^{—x) ist die Lösung eines Systemes, das man aus (1), (2) erhält, wenn man /"~^(— x) und g~^{— x) für f''{x) und g^{x) einsetzt.
3) Wenn daher gleiehzeitig f {x) —f- *' {x) = 0 undg" {x)+g-'' (x) = 0, so ist die Differenz B''{x) — J5~^'(— x) immer eine Cylinderfmiktion mit dem Argumente x und dem Parameter v.
4) Bedeutet a(v) eine Fmiktion, so daß a{v -\- 1) = — a(v) ist, so ivird a{v)B~'''{x) eine Lösung des Systemes (1), (2), wenn nur P'{x) und g''(x) durch a{y)f~''ix) und — a{v)g-^{x) ersetzt werden; für die Funktion a{v)B^{— x) muß man dagegen a{v)p'(— x) und — a{v)g''{— x) statt p'(x) und g''{x) setzen.
5) Die Funktion B^''^^{ccx), wo a und q ivillkürliche endliche Größen bedeuten, genügt einem System, das man aus (1), (2) erhält, ivenn man für P'{x), bez. g^'(x) folgende Ausdrücke setzt:
i- /-'^^ M + :. (^ - l) D,5»' + ^M,
1 f + ^iax) + (^ - v) B^^^{ax).
Nach diesen allgemeinen Bemerkungen haben wir die Möglich- keit der Auflösung des Systemes (1), (2) näher zu untersuchen. Durch Addition und Subtraktion der beiden ursprünglichen Glei- chungen findet man beziehentlich:
(3) D^B\x) = - -J B\x) + B^'-\x) - \ [f\x) + f{x)) ,
(4) D,B\x) = ^ B^'ix) - B^'^\x) - I (t^^x) - g\x)) ,
Formeln, die wir ebensogut wie (1) und (2) als Definitionen der Funktionen B^(x) annehmen können; denn beide Systeme sind ja äquivalent.
Behandelt man nun weiter (3) und (4) nach der Methode, welche uns in § 1 zur B es s eischen Differentialgleichung für die Cylinderfunktionen geführt hat, so findet man hier für die jB- Funk- tionen folgende lineare, nicht homogene Gleichung:
Kapitel IV. Integrale und Reihen mit Cylinderfunktioneu. § 20. 77
(5) ^«) + A,/l)+(l_^)y = !«.(;,),
in der man für die Funktion ""^(j) folgende beide Ausdrücke gewinnt:
(6) G>'(a-) = -^ (f-(x)+g^(x))-D,(pix)+fix))'-(f^-Hx) - (f-'(x^),
(7) Gi\x) = -^{f\x)-(f{x))-D^{f'{x)-g\x)) + {f'^\x)^-g'^\x)),
je nachdem man von (H) oder (4) ausgeht.
Die Foraieln (6) und (7) zeigen aber, daß die Funktionen Pix) und g^ix) nicht ganz willkürlich gegeben sein dürfen; denn, falls die Fundamentalgleichungen (l)und(2) wirklich Lösungen haben können, müssen jedenfalls die beiden Ausdrücke (6) und (7) identisch sein, d. h. /' und g müssen folgender BedingTing Genüge leisten:
(8) g^-\x)-f^\x)-2D^g^\x) = r-\x)-\-r^\x)-''-^r{x).
Die Übereinstimmung der Ausdrücke, die in dieser Formel auf- treten, mit denjenigen in den Fundamentalgleichungen der Cylinder- funktionen ist offenbar; um sie aufrecht erhalten zu können, haben wir eben die etwas auffallende Form der gegebenen Funktionen in
(1) und (2) gewählt.
Im allgemeinen ist diese noüvendige Bedingung (8) auch lihi- reichend für die Möglichkeit einer Auflösung der Gleichungen (1) und (2); ein Zweifel kann überhaupt nur dann eintreten, wenn sich die Funktionen f und g in Reihen entwickeln lassen, die beide von folgender Form sind:
Diese Frage interessiert uns indessen hier nicht, weil wir nur voraussetzen wollen, daß die Funktion cf'{x) gegeben ist, so daß wir die Funktionen JB, f und g nur so zu bestimmen haben, daß die Gleichungen (1) und (2) durch sie befriedigt werden. Zu die- sem Zwecke bemerken wir zuerst, daß man einen Ausdruck für die ^-Funktionen finden kann, indem man in (5):
y = zJ'{x) substituiert. Wendet man nämlich die Lommelsche Formel § 16,
(2) an, so findet man folgende Funktion:
(9) 2/ = Y T" {x) j a" {x) J' (x) dx — ~ J' {x) / o" (x) Y' {x) dx als partikuläres Integral von (5).
78 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Um die Bestimmung von f^'{x) und (fix) durchzuführen, setzen wir:
(10) 2/v-i = 7'- (r'(^) + ^^(^0) , ^.+1 = ~ (r(^) - cf{x)) ,
so daß die Gleichungen (6) und (7) sich auch folgendermaßen schreiben lassen:
»"(^') -{v- l)2/r-i - ^D^y^-i - ^^v, co^(x) = - (v + l)2^,+^-xD^2^^^ + xp^..
Dieselbe Methode, durch welche wir die Gleichung (5) aus (1) und (2) hergeleitet haben, gibt hier folgende zu (5) analoge Differential- gleichungen:
(11) 2/;^^4-^2/.^^)+(l-^)2/.=|(-^«^ + X-^)-^.«^'"X^) + «^'(4
(12) ^,(^) + 1 0 W + (1 -^) ^. =^(~ co^-\^) -DX-\^)-^'{^)) ■
Setzt man noch
B'{x) = a{v)J'{x) + h{v) r*'(:r),
wo a(v) und h{v) ganz willkürliche Funktionen in v bedeuten, so findet man für die zugehörigen Funktionen ?/,, und 0^,, wie un- mittelbar aus (11) und (12) erheUt, genau die Besselsche Diffe- rentialgleichung; damit haben wir folgenden Satz bewiesen:
Set0t man voraus, daß die Funktion C3^'{x) gegeben ist, so wird ein willkürliches Integral von (5) immer einem Systeme wie (1), (2) genügen, falls nur die zugehörigen Funktionen f und g aus passenden Integralen der Gleichungen (11) und (12) gebildet werden.
Dieser Satz, den wir in den zwei folgenden Kapiteln anwenden wollen, ist fundamental für die Untersuchungen über unbestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
§ 26. Reduktion von 5^±"(a;). Anwendung auf J2"'"(rr).
Es sei nun B''{x) eine willkürliche Lösung der Gleichungen (1) und (2) des § 25; dann muß die Funktion:
G\x) = C'-\x)B'+^{ax) - C'{x)B'' + Q-\ax), wo die C Cylinderfunktionen bezeichnen, während a und q endliche Größen bedeuten, dem Satze 5) des § 25 zufolge folgender Bedingung genügen:
(1) (?^+^(a:) = ö^(^) + [(^^-'^)£^ + ^(c.^)4-^^^-^K«^)]C^(^);
Kapitel TV Intejjrali' und Reihen mit Cylinderfunktionen, § 2G 79
setzt man also q — v für q und y für ux, so findet man durch Wiederholung der Formel (1) die allgemeinere:
t = ii-i
* = ü ■
wo also n eine positive ganze Zahl hedeutet.
Betrachtet man nun die zwei Formeln, die aus (2) entstehen, wenn man J und dann Y für C einsetzt, so liefert die allgemeine Lommelsche Fundamentallormel § 7, (4) folgende allgemeine Ueduk- tionsformel:
(3)
y
« = 0 ^
deren Form wegen der vier Variabein sehr merkwürdig ist, und aus welcher man viele andere herleiten kann, wie die folgenden vier Spezialfälle andeuten mögen.
1) X = y, p = V. Man findet hier die eigentliche Reduktions- formel:
(4)
B- + "{x) = R'-''''{x)B''{x) - R''"-\x)B'-\x) +
» = n— 1
-^^•29''-'{x)R^+^'"-*-\x),
» = 0
welche uns unmittelbar erlaubt, den in § 24 erwähnten Satz über die Koeffizienten der Fourier sehen Reihenentwicklung für das Kramp sehe Integral K(x) zu beweisen. Es handelt sich nämlich
dort um die Bestimmung von <t>^'^'^{x), wo s eine positive ganze Zahl bedeutet; erinnert man sich aber nun, daß:
<i>~~(x) = i- 0'"'" (x) ist, so gibt (4) mittelst § 19, (3a) die Rekursionsformel:
p = s— 1
2e~'* 'V'. ^P+h'-P-'^
(5) (p*^^{x)=(R-^'\x)-iR^"~\x))(i>\x)-^-^-Zji''I^
und damit ist vermöge § 24, (11) der Satz vollständig bewiesen.
H
80
Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
2) x = <x>. Die Definition § 1, (2) für das Lommelsche Polynom ergibt weiter, daß:
i?''."(oo)=cos'-^
64
(6)
sein muß; man findet also aus (3) folgende weitere Formel: 'B^^-{ij) = cos '^ B^{y) - sin ^ B^-^i^j) +
s = 0
3) Setzt man in (3) v = 1 und n — \ für w, so findet man den Satz:
Bas allgemeine Integral der nicht homogenen linearen Bifferenzen- gleichung:
(7) B'^-^x) + B-^\x) = ^-^B^ix)+lg^ix),
wo n eine ganze Zahl bedeutet, ivird durch die Funktion:
B"{x) = A{x)B^^''-\x) - B{x)B^'^-\x) +
(8)
Ä = 7J — 2
1. V.^ + :
+ i--Z>*'''(^)^""'''
7?-»-2
{X)
« = 0
dargestellt, wo A{x) und B{x) in x willkürliche Funktionen bedeuten. Betrachtet man zum Beispiel das Schläflische Polynom S"{x), so hat man:
A{x) = S\x)=^, B{x)==S\x)=^0, ^«(:r) = 2cos^^; also ergibt sich die Formel:
s = n-2
(9) S^{x)=lB''^'-\x)-^^-2sin^'^.R'^^'"-^-\x),
welche auch durch andere Methoden, so von Graf^), gewonnen worden ist. Auf ähnliche Weise findet man die analoge Formel:
a = w-2
(10) e'^(B"{x) = ^R'''''-\x)+^-^i'R'+'''''-'-\x).
s = 0
4) B^{y) = C^{y)- Der allgemeine Satz, den wir in § 13 be- wiesen haben, läßt sich dann auf den so erhaltenen Spezialfall von (3) anwenden; man findet so die merkwürdige Formel:
1) Einleitung in die Theorie der ßesselschen Funktionen, Heft 11, p. 41 ; 1900.
Kapitel IV. Integrale und Reihen mit Cylinderfunktionen. § 27. 81
» = o ^
aus welcher man eine große Menge anderer herleiten kann.
Wir beschränken uns hier auf die beiden Annahmen x = oo, y = cx) und finden demnach für das Loni nie Ische Polynom folgende Reduktionsformeln :
$ =H - 1
(12) 2?^"(y) = co8*4'' + |.^(p + s+l)co8'^-.i2^ + ' + v.-.-i(y),
3 = n — 1
(13) R'-{x) = co8^" + |-2(v-f s+ 1) sin '^:fR''{x),
während die Annahme y = — x noch die weitere Formel liefert: ■ !{'.',» (x)-(-iyR'"{x) =
(14)
3 = n —l
= - 1- •2(- l)''-'(v + 9 + 2s + 2)R''*{x) m + '+''"-'-'{x).
3 = 0
§ 27. Unbestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
Nach diesen allgemeinen Eröi-terungeu gehen wir nunmehr zur Anwendung unserer jö-Funktionen auf Cylinderfunktionen über. Als erste Anwendung setzen wir in der allgemeinen Formel § 26, (1) 9 = 0, a = 1 und finden so für die Funktion:
(1) G'{x) = 1- {R-\x) C'ix) - Rix)C'-\x))
die Formeln:
(2) G^{x)==G^' + \x)+g^{x)C^'{x),
.1 = n
(3) G'(x) = G'+''+\x) +^g"+\x) 0'+'{x),
3=0
wo n eine positive ganze Zahl bedeuten muß. Setzt man nun voraus, daß der Grenzwert:
(4) F'i^x) = lim G'+\x)
71= + 00
existiert und eine bestimmte, endliche, in v periodische Funktion darstellt, so findet mau aus (3), wenn man n unbegrenzt wachsen läßt, folgende Reihenentwicklung nach Cylinderfunktionen:
»=00
(5) y (B'-Hx) C^'ix) - B'{x) C'- \x)) =^(f+>{x) C'+'(x) + F' (x).
3 = 0
Nielsen, Cylinderfunktionen. 6
82 Erster Teil. Fundaraentaleigenscliaften der Cylinderfunktionen.
Es leuchtet ein, daß man in dieser Formel (5) statt der Cylinder funktion eine willkürliche Lösung ihrer zweiten Fundamentalgleichung setzen darf, und es ist dann möglich, diese Lösung so zu wählen, daß die Funktion F^'{x) verschwindet.
Will man umgekehrt die Reihe rechter Hand in (5) für eine gegebene Funktion g^'ix) summieren, so muß man die Differenzen- gleichung § 25, (2) auflösen, um die Funktion B linker Hand in (5) zu bestimmen. Indessen ist es gegenwärtig noch nicht bekannt, unter welchen Bedingungen diese nicht homogene lineare Differenzen- gleichung wirklich eine Lösung hat, und wir können hier nicht auf eine nähere Untersuchung dieser Frage eingehen.
Differentiiert man aber die Funktion G^{x) nach x und drückt man mittelst § 1, (3), (4) und § 25, (3), (4) die Differentialquotienten der Funktionen JB und G so aus, daß man nur die Parameter v und V — 1 einführt, so findet man:
2I>^G'{x) = C'-\x) {p{x) + g'\x)) - C\x) (f'-Hx) - g''-\x)),
eine Formel, welche sich mittelst der Identität:
G^-\x) = ^C\x)-\-Bß\x)
auch, wie folgt, schreiben läßt:
'^D^G^x) = [(^ {p{:x) + g^{x)) - {r-Hx) - f-\x)))\ C\x) +
-\-{r{x)+g^{x))D^C\x), so daß die Formel § 25, (6) endlich:
2D,G^(x) = (o^ix) C^(x) + B,[C\x){r{x) + g^{x)))
gibt, und man so die einfache Formel:
jco"{x)C\x)dx =
= x{C\x)B'-^ {x) - C" - 1 {x) B' {x)) - [f {x) + f {x)) C" (x)
findet, wo die Integrationskonstante, die eine arbiträre Funktion von V sein muß, weggelassen ist.
Lommel^) hat schon einige Spezialfälle der Formel (6) gegeben.
Will man das Integral linker Hand in (6) allein durch die Funktionen B und C ausdrücken, so kann man mittelst § 25, (3) die Funktionen /" und g eliminieren; wendet man außerdem die
1) Mathematisclie Annalen Bd. 14; 1879.
(6)
Kapitel IV. Integrale und Reihen mit Cylinilerfimktionen § 28. 83
zweite Fundamentalformel der Cyliuderfunktioueu au, so erhält mau folgende Formel:
(7) fa^ix) 0(x)dx - xC' + \x)RXx) + xO'{x)D,R{x),
die in etwas anderer Form von Soniu') gegeben worden ist.
Nimmt man nun weiter an, dnß die Formel (5) anwendbar ist, so findet man aus (6) folgende Reihenentwickluug nach Cyliuder- funktionen:
(S)fei'(x) C'{x)dx=2F'{x)+2^g^+'(x) C^+*(x)-(f^{x)+g^ix)) C^{x),
« = 0
eine Formel, von welcher schon Lommel-) einige Spezialfälle an- gegeben hat.
Der Weg, den wir zu folgen haben, um das Integral linker Hand in (6) und (7) zu bestimmen, wenn die ra-Funktion gegeben ist, ist durch die Entwicklungen des § 25 bezeichnet.
§ 28. Herleitung eines Integrales mit zwei Cylinderfunktionen.
Ehe wir zu allgemeineren Anwendungen der im vorhergehenden Paragi-aphen gefundenen Formeln schreiten, wollen wir noch ein spezielles Integi-al herleiten, welches in der Theorie der Nullstellen einer Cylinderfunktion eine sehr wichtige Rolle spielt und gewöhnlich nach anderen Methoden dargestellt wird.
Zu diesem Zwecke bemerken wir, daß die Funktion Ci'^^'ißx), wo Ci eine willkürliche Cylinderfunktion ist, während q und ß end- liche Größen bedeuten, einem Gleichungssystem von der Form § 25, (1), (2) Genüge leisten muß, in dem man:
rix) = :. (1 - 1) D, o'^^m, <f{x) -i^-^-v) o'^^ißx),
'(x) = ((1 - ß') X + ^^+^j:~^) c^^^ißx)
o"'
zu setzen hat; der Ausdi-uck für die w -Funktion läßt sich am ein- fachsten mittelst der Besselschen Differentialgleichung herleiten. Setzt man nun q — v für q, ax für x und ß : a für ß, so findet man aus § 27, (6) die speziellere Formel:
1) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 30; 1880.
2) Mathematische Annalen Bd. 16; 1880.
6*
84 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
I f{{a' -ß')x- '^-~^) C^<^{ßx) C'{ax) dx =
W j =ßxC\ax)C^^-\ßx)-axC"-^{ax)C^^(^ßx)-
l -{Q-v)C\ax)C^^{ßx),
die von LommeP) gefunden worden ist und aus welcher wir eine Reihe anderer Formeln herzuleiten haben: 1) Q = V] man findet:
(2) 1*^''' ~ ß')fxC/(ßx)C'{ax) dx = l =ßxC'{ax)C^^-H
^{ßx) - axC'-\ax)C^^{ßx),
eine Formel, die jedoch für ß = + a nicht anwendbar ist; differen- tiiert man sie aber nach cc und setzt man noch ß = a, C^ = C, so findet man ohne Mühe, daß:
(3) JxC'{ax)C\ax)dx='^{C\ax)G"{ax) - C'-\ax)C'^\ax)\
sein muß.
2) a = ß\ man findet hier:
(4) (^Q^-v^)j91!^^^^^1^3dx = ax(C\ax^C^^-\ax)-C^'^
eine Formel, die hinwiederum für Q = ±v unbrauchbar wird. Diiferentiiert man sie aber nach q und setzt man dann q = v, so findet man mittelst § 15, (1) und § 11, (1), daß
(5) .2vJ^^^"''^^''^'''''^dx = ax{C^{ax)^,^-\ax)-C'-\ax)^^^{ax))-
— 2 A log o; — 0*' (« ic) C/ (a ;r)
sein muß, so daß man noch den Spezialfall i^ = 0 zu untersuchen hat.
Wendet man den Satz des § 15 an, so findet man folgenden neuen Satz:
Bas Integral UnJcer Hand in (5), wo v eine positive ganze ZaJd bedeutet, läßt sich unter endlicher Form durch Cylinderfimlitionen und elementare Funktionen ausdrücken.
Dies ist für v = 0 offenbar nicht mehr zutreffend, weil die dann notwendige Differentiation nach v zu neuen Funktionen führen muß.
Wir kehren nun zu den Formeln (2) und (3) zurück, um die dort vorkommenden Integrale zwischen den Grenzen 0 und 1 zu berechnen. Falls keine der Cylinderfunktionen
1) Matliematisclie Annalen Bd. 14, p. 523; 1879.
Kapitel IV. Integrale und Reihen mit Cylinderfunktionen. § 28. 85
C\x) = a{v)J\x) + h{v) Y\x)
von der ersten Art ist, so erfordert die Konvergenz des Integrales an der unteren Grenze, daß 1 > iK(i') > — 1 ist; ist dagegen wenig- stens eine dieser Funktionen von der ersten Art, so ist es hinläng- lich, daß 3^(1») > — 1 ist. Eine direkte Ausrechnung und eine ein- fache Umformung der Formel (2) liefert dann ohne Schwierigkeit die andere:
(a'--ß--)J xC'(ax)CY(ßx)dx - a6" + '(a)C/(/3)-/3C'(a)Ci'+'(/5) (6)1 ° +°^{a(v)b,iv)i-l-)'-a,i,v)b{v){fy')-
. -^w^wl^((7)'-(y)"')'
und die Annahme v = 0 ergibt dann weiter:
+
(7)
(8)
(9)
X
{a^-ß^)JxC\ax)C^\ßx)dx = aC\a)C,\(i)-ßC\a)C^\ß)
Aus der Formel (3) findet man in ähnlicher Weise: fxC'Xccx) C''(ccx)dx = ^ {C'io^) 0'{a) - C-^cc) C' + \a)\
n
4:va(v)b(v) 2(b{v)) vcosvn
+
nu'
1
JxC\ax)C\ccx)dx = -i {{C\a)y-{- (cK«))')
Diese Formeln werden uns in den Untersuchungen über die Nullstellen der Cylinderfunktionen sehr nützlich sein; für C=C^= Y oder C = J, C^= Y ist die Formel (7) von Schafheitlin^) auf- gestellt worden.
Die Formel (6) läßt sich leicht generalisieren, indem man zu wiederholten Malen nach a^ differentiiert und die allgemeine Diffe- rentiationsformel § 10, (5) anwendet; die so erhaltene allgemeine Formel wird indes so lang, daß wir es vorziehen, sie hier nicht niederzuschreiben.
1) Archiv der Mathematik und Physik (3) Bd. 1, p. 135; 1901.
86 Erster Teil. Funclamentaleigenscliaften der Cylinderfunktionen.
Kapitel Y. Die Lommelsche Funktion m?(a;).
§ 29. Fundamentaleigenseliafteii von TT''?(a;).
Für die Anwendung der in § 25 gegebenen Theorie ist es not- wendig zu bemerken, daß, wenn man die gegebene co-Funktion mit einem Faktor multipliziert, welcher von x unabhängig, aber eine Funktion von v ist, die gesuchte 5- Funktion offenbar mit dem- selben Faktor multipliziert wird, so daß die zwei Fundamental- gleichungen, welchen diese Funktion genügen muß, gänzlich ge- ändert werden. Es ist also in jedem Falle, wenn die «-Funktion gegeben ist, eine Hauptsache, einen solchen Faktor zu bestimmen, daß die Fundamentalgleichungen die möglichst einfache Form er- halten.
Nach diesen allgemeinen Bemerkungen wollen wir diejenige 5-Funktion suchen, für welche die zugehörige co-Funktion eine einzelne Potenz von x ist; wenn der Exponent dieser Potenz gleich ^ — 1 angenommen wird, wollen wir die einfachste der zugehörigen jB- Funktionen mit W^^(x) bezeichnen.
Um die bequemste Form dieser ra- Funktion zu bestimmen, be- merken wir, daß:
(1) A,.((f)>4^.^(frv(i-/
sein muß, wo wir der Kürze halber:
gesetzt haben; nun veranlaßt uns (1) offenbar, natürlich:
2 cos — (*■ — p) p_i
(2) cj" (x) = ^ , \ r (^) = aj".?(^)
zu setzen, denn die oben erwähnte Formel gibt daim unmittelbar:
so daß wir für die TT -Funktion als erste Fundamentaleigenschaft finden:
(3) n'>? + 2(;r) = T\'^^{^x)^-(o''^-^\x),
Kapitel V. Die Lomnielsche Funktion T]*'^(x). § 29. 87
oder, noch allgemeiner, wenn ii eine positive ganze Zahl bedeutet:
»= 1
setzt man weiterhin in dieser Formel q — 2n für p, so findet man die analoge Kednktionsformel:
(5) W'^-^\x) = W'<i{x)- ^ •^cD'.('-2'(a;),
80 daß man, weuu n eine ganze Zahl bedeutet, immer eine Formel von folgender Form findet:
(6) 7T'''? + 2''(a;) = rT'.C'(x-) + vl'''C-"(a:),
wo die ^-Funktion eine endliche Reihe bedeutet, welche man un- mittelbar aus (4) und (5) bilden kann.
Die Formel (4j erlaubt uns noch, den expliziten Ausdruck für TT'''?(a:) zu finden; um ihn zu gewinnen, braucht man nämlich nur die positive ganze Zahl n über alle Grenzen hinaus wachsen zu lassen; die dadurch erhaltene unendliche Reihe rechter Hand wird für alle endliclien Werte von x, v und q, vielleicht nur x = 0 ausgeschlossen, unbedingt konvergent, und wir finden somit:
(7) mn^) = cos f (. - ,) -^ ^, '""/,-. V ,
denn diese Funktion muß offenbar gegen die Null konvergieren, wenn ^{q) unbegrenzt wächst und positiv ist.
Um nun die zugehörigen Funktionen f und g zu bestimmen, berechnet man die Ausdrücke rechter Hand in den Formeln (11) und (12) des § 25 und findet dann als partikuläre Integi-ale dieser Differentialgleichungen die Funktionen:
(8) -^ (f^{x)-g''{x)^ = W^^^^-\x) - n'' + ^>c(^),
(8a) ^ {f'{x) + g'ix)) = n»-i'?(a:) - W-^^^-\x),
so daß die Fundamentalformeln § 25, (1), (2), wenn man vorerst noch p + 1 für q gesetzt hat, hier ergeben:
(9) n"-i'C(a;) - n" + ^'?(;z;) = 2DJ\''^^^(x), (9a) W-^'^{x) + T\' + ^'Q{x) = — mP+i(a;);
denn diese Formeln zeigen deutlich, daß die Ausdrücke (8), (8 a)
88 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
nicht durch Hinzufügung gewisser Cylinderfunktionen modifiziert werden dürfen.
Setzt man nunmehr in (9), (9 a) noch einmal () + 1 für q, so findet man mittels (3) folgende weiteren Fundamentalgleichungen:
(10) W-'''<^ + \x) - W + ''Q + \x) = 2D^W'<^{x) + ^ a)'''Q + \x), 10a) W-''Q + \x) + -n'+''^ + \x) = ^n-?(a;) + |J (o'''Q + \xy,
führt man nun noch die Funktion:
(11) ^"'Q(x) = W'^(x) + W'<^ + \x)
ein, so findet man für dieselbe aus (9) und (10) folgende einfache Fundamentalformeln von derselben Form wie (1) und (2) in § 25:
(12) Y*-i.c(a;) - Y'^ + i'?(^) = 2D^Y''?(;r) -\- |f (o'''^ + \x),
(12a) V^-i'K^) + T'^''<^(x) = ^ Y".?(^) + ^ cö''.? + X4
Weiter ist zu bemerken, daß die Funktion TT'>" + ^(ä;) Formeln von derselben Form wie (12) genügt; man findet nämlich aus (9) mit Zuhilfenahme von (3), daß:
= 2D^n''^+?(:r) -- ö»' + i' '■ + ? + ! (a:;),
(13)
(13a)
TT"-i." + c-i(;r) + W + ^''+^ + \x) =
= ^J^ T]'''+Q{x) + - a3^ + i.^+? + i(a;)
sein muß.
Die Funktion TT''^(:r) ist, von einem von x unabhängigen Faktor abgesehen, von LommeP) eingeführt worden; man findet nämlich mit der Lo mm eischen Bezeichnung:
cos Y (f — e)
nun ist es aber offenbar, daß dieser von x unabhängige Faktor den Fundamentalformeln unserer Fimktion ihre einfache Gestalt ver- liehen hat; es ist daher auch nicht zu verwundern, wenn Lommel diese Formeln nicht gekannt hat.
1) Mathematische Annalen Bd. 9, p. 435; 1876.
Kapitel V. Die LommeUche Funktion n*''P(x). §30. 89
§ 30. Spezialfälle der Lommelschon Funktion.
Es ist offenbar, daß TT'''t'(a:) eine große Monge der früher be- trachteten Funktionen als Spezialfälle i'iitlialtcn muß, von denen wir hier die wichtigsten mitteilen wollen.
1) ()= + v — 2m, wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet; man findet:
(1) W''-^"{x) = J'(x), W'-*-^"{x) = cosv7t-J-''(xy,
wenn nämlich n größer als Null vorausgesetzt wird, verschwinden die n ersten Terme der Reihe § 29, (7) vermöge der Gaminatunktion im Nenner, und für )i == 0 sind die beiden Formeln einleuchtend. Weiter findet man aus § 29, (6):
I n'''+-''(^) = J'(ic) - Ä''"{x), ^^^ \ n- ■ - '■ + 2 " (a:) = cos V :r ( J- '• (a;) - Ä' '> " (x)) ,
wo wir der Kürze halber:
(3) Ä-.'(x)=-^ .,r(.V» + i)
4=0
gesetzt haben, so daß diese ^.-Funktion nichts anderes ist als die Summe der n ersten Terme der Reihenentwicklung für J^ix).
2) 9 = 0, () = 1; man findet hier die Funktionen von Poisson und Anger, nämlich:
(4) n' ■ 0 {x) = W {x) , n»' 1 {x) = X" {x).
3) Q = 2n -\-l + v, wo n eine ganze Zahl bedeutet; man findet zunächst:
(5) W^'^-''{x) = ^mv%- Z-^ix),
während man allgemeiner folgende neue Funktion einführt:
(6) TT'>2« + i-*'(a;) = sin V7t ■ Z-^'"(x).
Für Q = 2n -^ 1 -{- V verschwindet die Funktion TT'''<?(a:) immer; da- gegen findet man:
und allgemeiner:
(8) _ A (D^n*.?(^))„.,^,„^, = z^'"{x).
Für die Funktion Z''"{x) findet man aus § 29, (2) die Differential- gleichung:
(9) ;/<') + |y) + (l-g)y-r(„^.)%'>;„ + ^)(f )"'•"'■
90 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
4) Um auch Verallgemeinerungen der Neumann sehen Cylinder- funktion zu finden, setzen wir der Kürze halber:
(10) L\x) = 2 (2),n''^(:r))^_, 2 {D,T\^'^{x)\^^ = m{x)
und allgemeiner, wenn n eine positive, ganze Zahl bedeutet:
so daß wir ohne Schwierigkeit finden:
(12) L\x)^2J^\x)\o^^-^-^^^^-j^^
s = 0
(13) ^'W — ;f iTrti. + i) fr(^ + ^+l)-'^G- + l)).
4 = 0
und noch allgemeiner mittels (f^) und § 29, (5):
(14) D>"(x) = L''{x) — P'-'^^ix), N'''"{x) = N'Xx)i- P''"(x), wo wir der Kürze halber:
gesetzt haben, und erhalten somit folgende elegante Formel:
(16) L'''''(x) + N^'^'ix) = 2B^J"{x),
während wir für L^'"(x) und N^''"(x) die Difi'erentialgleichungen:
(18) 2/« + ij/"' + (l-ä)!/ = S-'''W-r(f"^(C
gewinnen, die mit (16) in Einklang stehen.
Bezeichnet n immer eine ganze, nicht negative Zahl, so findet man weiter, daß:
(19) 2 (l>pTT'''?(3;))p^_,,_2„ = 7t sin V7t • J-' (x) + cos v:t ■ X-»''"(a;),
(20) 2ll)^,T\''('(x))^^_^^,„=-7tsmQ7r-J-Q{x) + cosQ^-N-^ + ^'''''{x)
sein muß.
Die erste Formel (14) zeigt deutlich, daß L^''"(x) wirklich eine Verallgemeinerung der Neumannschen Cylinderfunktion darstellt; setzt man nämlich speziell v = p, wo p eine ganze Zahl bedeutet, so findet man:
1'- 2w-2
Kapitel V. Die Lommelbche Funktion n''''(xj. § 31. 91
(21) L'''''(x) = 7c-YP{x), p^n,
während man für p'>n die andere Formel:
(22) £-(.) = , . r (X) rf ' '-^^^jp^ (.;)'" ^
findet, aus der sich folgende bemerkenswerte Spezialfälle ergeben:
(23) L'"^\x)=7i-Y-''{x) + S"'(x), IJ"+''''{x)=n'Y'"+\x)-^S-"+'{x),
wo *S' das in § 3, (10) definierte Schlüflische Polynom bedeutet, während man für das damit nahe verwandte Polynom von Neumann^):
(24) o"w="'f^^^-^^(iy-='^'
die ähnlichen Ausdrücke:
(25) 2x
findet.
Weiter erhält man:
(26) N^'' + ^'"(x) = - T^" + \x), N^'''"(x) = - ^'"{x),
und somit gibt (16) in Verbindung mit (23) und (26) die in § 3 mitgeteilte Formel (16) für die Neumannsche Cylinderfunktion, so daß wir für diese Teilung des Ausdruckes von Y"(x) eine natürliche Begiiindung gegeben haben.
§ 31. Die Differentialgleichung für n''"(a;).
Untersuchungen mathematischer und physikalischer Art führen bisweilen zu der nicht homogenen linearen Differentialgleichung:
(1) y^''i-^y^'^ + {^-pjy = ^''-\
so daß es uns nicht unangemessen erscheint, die verschiedenen Formen eines partikulären Integrales 33'' ^(a;) dieser Gleichung mittelst der im vorigen Paragraphen gegebenen Formeln zu diskutieren. Im allgemeinen findet man ja:
(2) 93^'?(a:) = ^ ^ ^ W'^(x),
cos Y (v — e)
1) Theorie der Besselschen Funktionen, p. 13; 1867.
92 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
ein Ausdruck, welcher indessen in den folgenden Spezialfällen zu modifizieren ist.
1) Q = + v -\- 2n, wo n eine positive ganze Zahl bedeutet; die Formeln § 30, (2) geben hier:
(3) S3»''±''+2«(:i;) = (-l)«-i(w-l)!r(±v + w)2+»' + 2'»-2.^±v.«(^>)^
ein Ausdruck, der immer, auch wenn +v-\-n Null oder negativ ganz ist, anwendbar bleibt.
2)() = + v + 2w-fl, wo n eine ganze Zahl bedeutet; hier gibt § 30, (9) unmittelbar:
(4) 93''±"+2« + i(;r) = (-l)"r(w+|) r(+i^ + j« + i)2±''+2«-i-Z±»'"(:r),
wo indessen + v + w + ^- nicht gleich Null oder einer ganzen nega- tiven Zahl sein darf, ein Spezialfall, der sich ohne Mühe nach 3) behandeln läßt.
3) () = + V — 2w, wo n eine ganze, nicht negative Zahl be- deutet; man findet hier mittelst § 30, (17) den allgemeinen Ausdruck:
(6) «'■±'-"'(.^)-if||4^^-i±-W
und hieraus den oben erwähnten Spezialfall von (4), wenn man + 1^ + ^ + 4= — P setzt. Wenn dagegen -^v — n = — p, wo ^ eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, muß man die Formel (5) noch modifizieren.
4) ±_v — n = — p. Differentiiert man die Differentialgleichung § 30, (17) nach v und setzt man darauf -^v — n = — p, so findet man vermöge § 30, (21):
(6) «"-^'— ^(^■) = ^^7^;^SrT • (A-i"'"(^)-^.i^^(^)).=„-p.
Hiermit ist die Diskussion des oben erwähnten partikulären Integrales SQi^'^{oo) vollständig durchgeführt; man kennt also immer das voll- ständige Integral der Differentialgleichung (1).
Wir bemerken noch, daß die Lomraelsche Funktion uns er- laubt, folgende allgemeinere Differentialgleichung mittels einer un- endlichen Reihe zu integrieren:
(T) 2'-+ij/<'>+(i-^:)j'=(ir^l\(i)'
wo die Koeffizienten a^ von x unabhängig sind.
Es ist nämlich leicht zu sehen, daß stets die asymptotische Gleichheit statthaben muß:
Kapitel V. Die Lommelache Funktion TT'- ^(x). § ai. 93
cos -^ [v — Q — s\
wo s eine sehr große positive Zahl bedeutet, und also ist es oifen- bar, daß ein partikuläres Integral von (7) sich durch folgende un- endliche Reihe darstellen läßt:
(9) y^^ ^ \/ ^ \ ^ • «. • n^^^'Co:) .
, = 0 cos — (v — p — sj
Denn erstens ist es offenbar, daß diese Reihe und die zwei anderen, die man daraus durch ein- oder zweimalige Differentiation nach X herleitet, alle im Inneren des Konvergenzkreises der Reihe rechter Hand in (7) konvergieren müssen, und zweitens genügt die Reihe (9) formell der Differentialgleichung (7).
In den im Anfange dieses Paragraphen betrachteten Spezialfällen muß auch (9) modifiziert werden; hierauf gehen wir jedoch nicht näher ein, sondern betrachten den Fall, in welchem «2* + ! "= ^ ^^^ und die unendliche Reihe:
(10) Fi., ,) = f ^--"L . r (4^ + .) r (^ + .) «,.
7^ cos -^[v — QJ
konvergiert, und finden dann aus (9) und § 29, (6) für unser Integral den Ausdruck:
(11)
(y = F(v, q)W'9{x)-\-
TT C08
das heißt also, daß sich y, von der einzigen TT -Funktion abgesehen, in einer Reihe entwickeln läßt, die nach den ^-Funktionen fort- schreitet.
Setzt man zum Beispiel:
2,
(ir2^«4i)=a) •"-(-)'
» = 0
so findet man leicht folgende Entwicklung:
94 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
(12)^ = j(^(4')-^(^)V'^(-)
V
A''^'\x)
wo M^ die G au ß sehe Funktion bedeutet.
Wir haben noch später (in § 39) eine andere spezielle Ent- wicklung dieser Art zu geben, während wir in § 115 die Differential- gleichung (7) von einem anderen Gesichtspunkte aus betrachten wollen.
§ 32. Elementare Integraldarstellungen von TT*''?(a;).
Das erste Eulersche Integi-al ermöglicht uns, sehr leicht ele- mentare Integraldarstellungen der Lomm eischen Funktion zu finden; wendet man in der Tat die Formel (r^g) an, so bekommt man durch gliedweise Intesration unmittelbar die Formel:
(1) f^ • r^"(^ cos 9')
(sin qp)
2ß-l
-^'iv^f
<-)'(!)
a+2«
(cosg))"-^ ' ;-^ i(s + «+l)r(s-f ß + 1)'
wo 9fi(/3) > 0 vorausgesetzt werden muß; setzt man aber in (1):
a =
Q + V
, ß =
Q-\-V
2 ' f 2 '
so findet man folgende erste Integraldarstellung der TT -Funktion:
(2)
2 cos
T[''(^(x)
y(^-^)
m
(f)
Tt
(sin qj)
? + »'-!
•J'j ' (a;cosg)) ^^^_^
0 (cos qp)
Ili^SP;
WO also Ü? (() + 1^) > 0 vorausgesetzt werden muß.
Setzt man speziell q = v — 2w, wo w eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, so erhält man die einfache Formel:
(3)
(f)
n
2
2v-2«-l
die sich in eleganterer Form darbietet, wenn man w = 0 oder v = m -f 1
Kapitel V. Die Lommelsche Funktion TT'''^(a;). § 32.
95
setzt; die andere Annahme p = — v — 2w gibt eine Formel, welche man ans (ii) herleitet, indem man nnr das Zeichen von v ändert.
Führt man noch in (3) statt J das zweite Besselsche Integi-al § 18, (1) ein, so findet man für TT das Doppelintef^ral:
«
n''P(3-) =
7t n 2 2
• / 1 cos (a; cos qp cos 1^) (sin !/')? + '■"* cos i^ (sin 9))?±*'(^j/>fZ 9?,
0 u
wo man also voraussetzen muß, daß:
9t(,o + i.)>0, g?(p + v)>_i
ist. Das Doppeliutegi-al (4) führt uns leicht zu dem Integi-ale § 18, (10) für Z*'(x)', dagegen scheint es weit schwieriger, die Integrale in § 17, (12), (13) für T]'(x) und X''{x) aus (4) herzuleiten.
Es ist sehr bemerkenswert, daß genau dieselbe Methode mittels § 18, (11) folgende andere Integraldarstelluug:
2 sin — Iv — q\
2
m
(5)
2 Q+V
■ fz-^(.co.^).(^^'p->ll';_la^,
(cos qp)
gibt, wo man ebenfalls 9fl (() q: v) > 0 voraussetzen muß. Ebenso findet man die mit (3) analoge Formel:
(6)
(I)'
7t
"2
Z'' (x) = "ffY • I Z^(x cos cp) (sin qo)^ '' ~ ^ cos (p dcp ,
^ iy) > 0,
während die Integraldarstelluug § 18, (10) das zu (4) ganz analoge Doppelintegral liefert:
96
Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
l 4 sin ^ (i; - p) . (y)
(7)
r(^±i^)r(4^)
2 2
• 1 / siii(a:cos9) cos?/')(sin9)?±''(sin^)^-' + ''~^cos^c?95f/^, 0 6 welches unter denselben Bedingungen anwendbar ist.
Diese Integraldarstellungen für die Lomme Ische Funktion werden uns später in Kapitel XXV bei unseren Untersuchungen über Nullentwicklungen sehr nützlich sein.
§ 33. Anwendungen von W^'^{x) auf Reihen und Integrale.
Die Lommelsche Funktion gestattet, wie deutlich aus § 29, (12 a), (13 a) hervorgeht, zwei verschiedene Reihenentwicklungen nach Cylinderfunktionen zu bilden. Gehen wir nämlich von (12 a) aus, so finden wir nach einer Anwendung von {T^ folgende Ent- wicklung:
(1)
sjn,,^) . ^"(_ j^
4 = 0
= (4) (Y''^(^)^"- '(^) - Y"- ''^(:r) /"(a;)),
die in der ganzen a;- Ebene gültig ist, während die entsprechenden Reihen mit anderen Cylinderfunktionen divergieren müssen.
Ändert man nun in (1) das Zeichen von x und multipliziert man mit e^^\ so findet man durch Addition und Subtraktion dieser Gleichungen die weiteren Entwicklungen:
(2)
Bin n{v — q) •sr\ ' ^ \ 2 ) j^ + 2* /^\
(-|)'"'(n'.i'(ä:) j'-'(x) - n'-'.f+'(^)J'(«)), (. + 2. + i)r(?::=|+i+.)
(3)
sin TT (f — p) •^^
« = 0
(L±l+i+.)
\x)
(^ ^{^'-^^^{x)J'{x) - W'^'^\x)J'-\x^ ,
Kapitel V. Die Lommelsche Funktion TT'''P(x). § 33.
97
die ebenfalls in der gjinzen a-Ebene gültig sind. Für (j = 0 nehmen diese Formeln beide eine sehr einlache Gestalt an. Setzt man noch Q = — V, so gibt (2) mittelst § 30, ( 1) und der Lom meischen Funda- mentallormel § 7, (5) folgende Entwicklung:
w
» = 0
die wir später in § 108 nach einer anderen Methode herleiten wollen; bemerkt man, daß sich für v = 0 das erste Glied rechter Hand in (4) auf J^{x) reduzieren muß, so findet man aus (4) die Formel § 22, (5) wieder.
Geht man dagegen von § 29, (13a) aus, so findet man, wenn man noch q — v l'ür q setzt, die andere zu (2) und (3) analoge Entwickluns:
(5)
J {X)
die gleichfalls in der ganzen a;-Ebene gültig ist. Die Annahme Q = — V gibt hier die mit (4) analoge Entwicklung :
(6)
(f)" ^"(1)'
r{v-^l)~ ^ \l ' '^"^'(^);
die wir ebenfalls nach einer anderen Methode in § 104 herleiten werden.
Für das entsprechende Integral findet man aus § 29, (8 a) und § 27, (6) den Ausdruck:
O)
2 C03~—lv — q\ o_i
dx
= X (C\x)T\'-''^'^-\x) - C'-\x)W^^{x)) und somit aus (5) die Entwicklung:
(8) 1 ^/.n«-^.,.^.,^. '-v K^)
f*\x)
t-^+.+o'
setzt man weiterhin in (7) 9 + 1 für p, so liefert (3) die andere Entwicklung :
Nielsen, Cyliaderfunktionen. 7
98 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
fV—Q-\-l)
(9)
Indem wir vorläufig von den Fällen absehen, in denen die vorhergehenden allgemeinen Formeln durch eine Difi"erentiation nach Q oder V modifiziert werden, wollen wir einen eigentümhchen Satz über die dort vorkommenden unendlichen Reihen und unbestimmten Integrale beweisen. Zu diesem Zwecke betrachten wir zuerst die Reihe (2) und setzen der Kürze halber die Summe dieser Reihe
gleich (—] (?'''? (o;); dann gibt § 29, (6) unmittelbar die Identität:
(10) (j''.? + 2"(:r)=y(j^-i(a;)^^'?'''(a;)-J'(a;)J.'-i'? + ^>''(a;)W(?'''?(:r),
wo n eine ganze Zahl bedeutet; ähnliche Formeln gelten offenbar für die Reihen (3), (5) und für das Integral (7).
Für Q = 0 hat Lommel^) die Formel (10) auf ganz andere Weise hergeleitet.
Weiter finden wir, daß, wenn q = + v -}- 2n ist, wo n eine positive ganze Zahl bedeutet, das Integi-al (7) und die Reihensummen (2) und (5) sich unter endlicher Form durch Cylinderfunktionen ausdrücken lassen.
Für () = 0 ergibt (9) die elegante Formel:
(11) / J'{x)dx = 2-y^J' + ''+\x),
die ebenfalls LommeP) angehört. Setzt man in (11) v = ±^^, so findet mau folgende Entwicklungen für die zwei Fr esn eischen IntegTale:
(12) F,{Y^)=Y\.^J^'^H^),
s=Q
«=00
(13) F,{Vx)^y^-2j^^^Hx),
« = 0
1) Studien über die Besselschen Funktionen, p. 37; 1868.
2) loc. cit. p. 45.
Kapitel V. Die Lommelsche Funktion TT^'^Cx). § 33. 99
die ebenfalls vou LorameP) gefunden worden sind; für dieselben Transcendenten findet man aus (8) folgende Entwicklungen:
(15) ^(v^)=yig/^^''z;a>-
Für den Integralsinus findet mau aus (8) und (9), indem man V = \, beziehentlich () = ± i^ einsetzt, folgende Entwicklungen:
(16) s,{x) - yi ■ 2^ i-jr^'' (,! + .) j-^ ' (^) ,
j = 0
Um die entsprechenden Formeln für den Integralcosinus zu finden, differentiieren wir die Formeln (8), (9) nach p und setzen darnach V = — ^, beziehentlich Q = ±^, so daß (4) und (6) leicht ergeben:
(18) c,(x) = log . - }/| . Jf"!^ (I)" V-i w,
«=0
» = 00
(19) C,(x) = log . - l/| • 2" '''+^^^'^ + " f (« + 1)«^"' ^ (-) •
» = 0
Wenn () = v — 2w, wo n eine ganze, nicht negative Zahl be- deutet, so muß man zuerst die Formeln (7) und (2) nach q diffe- rentiieren, ehe man den obenerwähnten speziellen Wert einführt; dadurch findet man:
-i-J V{v-\-s — n-\-l) ^ ^
(21)
s = 0 2 \v-2n- 1
_ [L^j' " (j'^-i(a;)Z"'«(Ä;) - J^'{x)L'-^^\x))
Setzt man nun weiter in (20) v = 2n -\- 1 , v = 2n -{- 2 , so findet man aus § 30, (23) und (24) und mit Zuhilfenahme der Lom mei- schen Fundamentalformel:
1) Abhandlungen der Leipziger Akademie Bd. 15, p. 507; 1886.
7*
100 Erster Teil. Fundaraentaleigenscliafteu der Cylinderfiinktioneu.
(22) fc'-''+\x)dx = y (C2«(a;)52«+i(a;) - C''^ + \x)S^\x)) ,
(23) \JxC'^{x)dx = ^[^^C^'^-\x)0'\x)-^^0'^-\xW^{x)),
wobei wir in der letzten Formel n — 1 für n gesetzt haben; die Formel (23) ist von LommeP) gefunden worden. Für V = 2n gibt (21) auf dieselbe Weise:
2-^X'^ + '-\x) = y (r-'' + \x)S^\x) - T^''{x)S''''^\x)) + 1;
s= 1
wendet man nun die durch (4) gegebene Entwicklung für die Ein- heit an, so findet man für den Ausdruck linker Hand eine endliche Reihe, so daß man also hier vermöge des Satzes in § 13 für J eine willkürliche Cylinderfunktion einführen darf; beachtet man noch die
Identität: C'^x) ^ {- \yC-{x),
so findet man endlich folgende bemerkenswerte Formel:
(24) ^ (C'"{x)S'" + \x) - C'^+\x)S'''{x)) = 2 C\x).
=-2«
§ 34. Anwendung auf die Funktionen li e ^, C^{x) und S-(x),
K{x), F^ix) und F,{x).
Die allgemeine Integralformel § (33), (7) erlaubt uns, speziellere Entwicklungen zu geben, durch die wir unmittelbar einige elemen- tare Integrale imd neue Darstellungen der schon in § 24 betrach- teten Transcendenten bestimmen wollen. Um diese Formeln in möglichst einfacher Gestalt zu geben, führen wir folgende VeraU- gemeinerungeu der trigonometrischen und der Exponentialfunktion ein:
(1)
«"C^) = ,^ r(i; + s 4- 1) ^
so daß wir unmittelbar finden:
(2) y^ipc) = cos X, G^{x) = sin x, s^{x) = e^-,
übrigens erhalten wir für die Funktionen (1) folgende Fundamental- formeln:
1) Mathematische Annalen Bd. 9, p. 442; 1876.
Kapitel V. Die Lommelsche Funktion TT''"(.r). § 34. 101
(3) 6* (x) = i- ^ (f (ix) - i<r(ia^) = /- (y (- ix) + ia^ (- ix)) ,
.»-1
-v-l
(4) /),/(x) = ^-(r(x), D^6^(x)=^r{x), D^a^(x) = ''^^^+s^{x),
welche iminittelbar die bekannten Eigenschaften der entsprechenden elementaren Funktionen geben, wenn man nur v = 0 setzt. Weiter bemerken wir, daß die Formel § 29, (7) folgende Identitäten liefert:
(5)
wir erhalten also aus § 33, (7) folgende elementare Integralformeln:
(6) =-T-T • I u;'-^ cos xdx = cos a; • y''(x) + sin o; • g''{x),
(7) ^rj-r • I X' ~^ s'm X dx = ßia X • y" (x) — cosa: • 6''{x),
(8) ^- I x'-^e-''dx = e-'' ■ s'(x).
Für V gleich einer positiven ganzen Zahl findet man hieraus drei bekannte Integralformeln, während die Annahme v = ^ wieder die Formeln § 24, (13), (14) gibt. Führt man dagegen die Reihen- entwicklungen (1) ein imd setzt man noch x^ für x, so erhält man folgende neue Darstellungen für die Integrale von Kramp und Fresnel:
(9)
K(x)=e-
2'x"+'-
2L 1.3.5..(2s+1)
« = o
(10)
F, ix) = cos (X^) -2 /.3.5..(4.+ l) +
3=0
(4S + 1)
Ä = OD
+ Sin (x^) .^ t
3-5--(4s-f3y'
s = 0
(11)
F, ix) = sin (x^) -2 1^3.5. .(4. + !)
- cos (x') '2 TTf:
5 • • (4s + 3) '
s = 0
von denen die erste neu zu sein scheint, während die zwei letzten
102 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
niclits anderes sind als die bekannten Reilien von Knochenliauer^); die drei letzten Formeln stehen mit der Identität:
im Einklänge.
Wenn v einer ganzen, nicht positiven Zahl gleich ist, so werden die Formeln (6), (7), (8) unbrauchbar, so daß sie zuerst nach v differentiiert werden müssen. Auf diese Weise findet man für v = 0 folgende Darstellungen:
(13)
Ol
S,{x) = oosx-2^-=^^X{2s+l)
(14)
s = l ^ ''
S = 00
C,{x) = C+ log :r - sin ^ -^ \^I^7)x ^ (^^ + 1)
s = l
— cosä;
■2
s = l
(-i)V
(2 s)!
A(2s),
(15)
S= 00
li e-^ = C + log x - e-'^-^f] A(s),
«=i
von denen die zwei ersten von LommeP) gefunden worden sind, während (15) vielleicht neu ist; diese drei Formeln stimmen mit der Identität:
ni-.
Ttt.
(16) C,(a: • e^ ) + ^^. (^ . e2 ) _ li g-. _|. !1!
überein.
Kehren wir zu den Formeln (6), (7) zurück, so finden wir mittelst (5) die weiteren Darstellungen:
(17) ^.{x) =]/^ i^mx-L-^ix) - cos:r-Z^(a;)),
(18) C,{x) =")/"g* (^o%x-L-^i{x) + sina;-X^(:r)),
wo l/''(a;) die in § 30, (12) definierte Funktion bedeutet; die Formeln (17), (18) werden uns später in § 88 für die asymptotischen Dar- stellungen der Funktionen >S'^(^) und C^ix) sehr nützlich sein.
1) Poggendorff Annalen Bd. 41, p. 104; 1837.
2) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 204; 1880.
Kapitel VI. Die Funktionen (t>*'<^\x) und T['''^'"{x). § 35. 103
Ubor die in (1 ) gegebenen Verallgomeiiiernngen der elementaren Transcendenten haben wir noch zu bemerken, daß sich die vier unbestimmten Integrale:
(19)
/ cos {ax) • y*'{ßx) clx, j sin (ax) • y'{ßx) dx, I cos (ax) • a''(ßx) dx, j sin (ax) ■ <f*(ßx) dx
(20)
sehr leicht durch dieselben Funktionen darstellen lassen. Man kann dies durch eine partielle Integration und darauf folgende Anwendung der Formeln (6), (7) nachweisen; dagegen führt folgende andere Methode unmittelbar zum Ziele: Wendet man nämlich auf die Lommelsche Funktion den Satz § 25, 5 an, so gibt die allgemeLne Integralformel § 27, (6) in Verbindung mit § 33, (7) folgende andere:
/ ({a'-ß')x + '^^^^W'Q(ßx)Cf'(ax)dx =
= ßxCf(ax)'n''-^'^-\ßx) — axC^'-\ax)T]''<^(ßx) —
-(v-^)W'^(ßx)C^'(ax)-axm'^ ^ £ . AJ_^V_J_i
• (Cf'(ttx)'nf-'^'9-\ax) — C^'-'^(ax)W^^(ax) ,
welche eine Verallgemeinerung der Formel § 28, (1) ist. Um nun die Integrale (19) hieraus zu erhalten, braucht man nur ^ = ±i\ imd V = + ?> anzunehmen.
Kapitel YI. Die Funktionen <\>'''^(x) und W'^'"(x).
§ 35. Fundamentale Eigenschaften von 0''?(^).
Es ist klar, daß sich die Lommelsche Funktion als eine natür- liche Verallgemeinerung der Reihen § 1, (9) für die Besselsche Cylinderfunktion und § 17, (14), (15) für die Funktionen T\''(x) und X''(a;) darstellt. Wir haben daher noch die entsprechende Verall- gemeinerung der Reihen § 6, (7) für J''(x) und § 19, (5) für <^^'(x) zu suchen, und dies um so mehr, da die so erhaltene Funktion in
104 Erster Teil. Fundamentaleigenscliaften der Cylinderfunktionen.
der Theorie der Cylinderfunktionen eine ähnliche Rolle spielt wie die Lomme Ische Funktion.
Um diese neue Funktion zu finden, bemerken wir, daß die Identität :
uns ganz natürlich dazu führt:
zu setzen; denn die Formel (1) gibt dann unmittelbar:
(3) A. i^^i "'"*' W) = I (-■"(-) - -"'\-)) ;
also finden wir für die gesuchte Funktion 0'''?(;r) folgende erste Fundamentalformel :
(4) 0".?+X^O = ^''^C^) - (^-frfi «'•'^+'(^),
oder, noch allgemeiner, wenn n eine positive ganze Zahl bedeutet:
(5) 0'..^»W = <t.M(^) - J; j^^^^^,;
Ä = l
setzen wir in dieser Formel noch q — n für q, so ergibt sich: (6) *•..-» W - *'..« + _f (..üÜ^il,),-
Der explizite Ausdruck der 0 -Funktion wird aus (5) erhalten, wenn man die dort vorkommende positive ganze Zahl n über alle Grenzen hinaus wachsen läßt; dadurch findet man:
Diese Definition wird jedoch unbrauchbar, wenn q die Hälfte einer ungeraden negativen ganzen Zahl ist, weil dann die ersten Glieder der Reihe, wie auch a'^'^ix) selbst unbegrenzt wachsen. Um eine Lösung der entsprechenden Differentialgleichung zu finden, kann man in (7) durch V{q -\- \) dividieren und dann den obenerwähnten speziellen Wert von q einführen. Wir gehen indessen nicht näher darauf ein, sehen vielmehr in den folgenden Untersuchungen von diesem Spezialfälle ganz ab.
Sucht man die Differentialgleichungen der zugehörigen Funktionen y^ und 3^ auf, so findet man leicht:
105
Kapitel VI. Die Funktionen (t>*'^(x) und Tl''^''" (x). § 36. und somit erliält man aus § 25, (10) für die 0- Funktion folgende
Fundamentalgleichungen ;
2p
(8) (t>'-''Q{x) - 0' + i.e(a;) = 2/),0'.e(x) - -5^ c>»'.?(a;),
(9) 0"- »'('(j-) + O' + »-^(a;) = — 0*'P(a:) - -j^'^ ü'''?(a;).
Wir gehen nicht näher auf die Funktion 0''*' + C'(.r) ein, sondern betrachten noch einige Spezialfälle der allgemeinen 0- Funktion.
§ 36. SpezialfäUe von 0''C(a;).
Es leuchtet ein, daß die 0-Funktion durch Spezialisierung der Parameter eine Reihe von spezielleren Funktionen geben wird, die zu den aus der Lom nie Ischen Funktion hergeleiteten analog sind. Zunächst findet man tatsächlich folgende Formeln:
(1) (P''\x) = 0'(a;),
(2) 0''.''-«(a;) = J'{x), 0"'-''-"(a;) = c"»''^' • J-"{x),
wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet.
Wenden wir uns nunmehr zu den nach v oder q genommenen DiflFerentialquotienten von 0'>'(:r), so finden wir ähnliche Funktionen wie L und iV in § 30; um die Analogie der Bezeichnungen voll- ständig durchzuführen, setzen wir:
(3) 2 (i>,0"'^(a;))^ = , = Sl^ix), 2 (D,0''^(:r)).., = ^^(x) und allgemeiner, indem n eine positive ganze Zahl bedeutet:
(4) 2(D^0'.e(^))^^,_„^ß^-(^), 2(D,0".?(^)),^^^, = ^?+«.''(a;),
so daß § 35, (7) ohne Schwierigkeit:
£^(a;) = 2J"(^)log(2Ä;i) +
_i|/(2z; + s + l)-Y(s+l)), • 9fj''(^) = _ jtWix) +
(5)
f|/%
+
' Ä = 0
106 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
und noch allgemeiner mit Zuhilfenahme von § 35, (5):
(7) £"'"(i') = £"(^) - ^"'"(^), 9fi''"(^) = ^^'{x) + '^'■'"(x)
liefert, wo wir der Kürze halber:
(8)
vW„„-ex *=JLZ^ .V*
' 4 = 0
gesetzt haben.
Aus (5), (6) und (7) ergibt sich demnach die zu § 30, (16) analoge Formel:
(9) £*''" (x) + m^''' (x) = 22), J' (x) ;
zugleich findet man die zu § 30, (19), (20) analogen Formeln:
(10) 2 (D,ct)v,?(^))^_,_„ = e— • . Q-^>n^x),
(11) 2 (D,, 0"'?(rK)),^_^^„ == e-?'^' • 9fi-? + «>'» (a;).
Setzt man nun weiter für v die ganze Zahl p, so findet man hier:
(12) QP'''{x) = niJp(x) + 7iYp{x), p£~ und für 2p > w :
■ 2i',''(ic) = 7ciJp{x) + ^ r^(.^) +
(13) • (— l)^2e~'"' ^^^~ V (s — p + 4-) (2i? — s — 1)! /J_\^~*
"•" y^ ■ ^ i*s! Xix) >
SO erhält man noch die zu § 30, (23), (25) analogen Formeln:
(14) S"'''(:r) = niJ^'ix) + n Y''{x) + ^"{x),
(15) 2«'Xa;) = :r^J■«(^) + n Y''{x) + ^ • D''(^), wo die neue Funktion:
4 = 0 ^ '
in der Theorie der Neumannschen Reihen erster Art eine ganz ähnliche Rolle spielt wie die rationale Funktion 0"(x) von Neu- mann.
Beachtet man noch, daß (6) die weitere Formel:
(17) m^^'^^ix) = - jtiJ'^ix) - X^'ix)
liefert, so findet man endlich die natürliche Begründung der schon in § 6, (9) gegebenen Teilung des Ausdruckes für die Neumann- sche Cylinderfunktion.
Kapitel VI. Die Funktionen O'^-^Cx) und -n"'^'" (x). § 37.
107
(1)
§ 37. Anwondungon von 0''i'(a^^) auf Reihen und Integrale.
Die in den zwei vorhergelienden Paraj^raphen dargelegte Ana- logie zwischen den Funktionen T[''^'{x) und 0 '-"(.<■) läßt sich auch auf Reihen und Integrale ül)ertragen, wie wir kurz andeuten wollen.
Aus den allgemeinen Formeln des § 27 finden wir:
__^ni±M l\2xiy-'e-''C'(x)dx =
''-Wnr(Q + v)r(Q-v) J^ ^ ^ ^
(2)
(3)
= x[C'' (x) 0"-^'^ {x) - C'-^ (x) 0''C (x)) +-^«''?(a:) C'ix),
rr ■ fr/ -^• ß^^-' 6-'=" J'{x) dx =
a^J^ix)
2 x^ sin TT (v — p)
r(9 + ^)r(9-t' + i)
n
Wendet man nun die Formeln § 35, (5), (6) an, so leuchtet ein, daß für die eben betrachteten Reihen und Integrale der durch § 33, (10) ausgedrückte Satz gültig ist.
Wir betrachten ferner einige Spezialfälle unserer drei Formeln und bemerken zuerst, daß die Reihen (1) und (3) für ^ == 0 eine sehr einfache Form annehmen, während (1) für Q = 0, v = ^ mittelst § 24, (11) für das Integral von Kramp folgende neue Entwicklung liefert:
(4) e"^ K{x)=y^ •2'*"'^'^"'M~?)'
s = 0
Setzt man weiter in (1) ^ = — v, so findet man durch An- wendung der L o m m e 1 sehen Fimdamentalformel die weitere zu § 33, (4) analoge Entwicklung:
(5)
^"(2-r- Ä ■f^^^^^±4f2^^ /-(.),
s = 0
woraus sich für i/ = 0 die in § 22, (6), (7) gefundenen Reihen für cos X und sin x ergeben; die Formel (5) werden wir später in § 109 noch durch eine andere Methode herleiten.
108 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Differentiiert man die Formel (1) nach q und setzt man Q = P — 11^ SO findet man mittelst § 36, (14):
.S = CO
« = ?i + 1 also durch Zuhilfenahme von (5) die zu § 33, (24) analoge Formel:
s= +w
(7) ~(C''(x)(B''+\x)-C'' + \x)<B''{xfj = e-'^-^ i'Cix),
s= — n
WO C eine willkürliche Cylinderfunktion bedeutet.
Hier brechen wir diese Untersuchungen ab, um noch eine etwas allgemeinere Anwendung der 5- Funktionen zu erwähnen.
§ 38. Fundamentale Eigenschaften der Funktion 'n^''"''^{x).
Die Funktionen TT und 0, welche wir in den vorhergehenden Paragraphen als Anwendungen der allgemeinen ^-I'unktionen unter- sucht haben, sind so einfach, daß man ihre Fundamentaleigensehaften bequem direkt herleiten kann, falls man die Funktionen durch die unendlichen Reihen definiert. Wir wollen nunmehr dieselben all- gemeinen Formeln auf einen anderen Fall anwenden, in welchem die gesuchte Funktion und ihre unbekannten Fundamentalgleichungen etwas komplizierter sind.
Zu diesem Zwecke suchen wh' diejenige j5- Funktion, für welche die entsprechende oj- Funktion in folgender Form gegeben ist:
(1) y = {ffc''{x),
wo C eine willkürliche Cylinderfunktion mit dem Argumente x und dem Parameter ö bezeichnet. Um diese co- Funktion näher zu be- stimmen, bemerken wir zunächst, daß (1) folgender Differential- gleichung Genüge leistet:
2/''' + ^^^J/"> + (l + ^')2/ = 0,
d. h., daß:
A / \ 2p ,,. , ö^ — v^ — p*
^Äy) = -^y^'^ + — ^-^y
sein muß. Drückt man nun die Derivierte y^^'> durch § 1, (3), (4) aus, so findet man weiter:
(2)
(3)
Kapitel VI. Die Funktionen <t)''?(x) und n'-^'^Cx). § 38. 109
A,((-^yc»w) = ^. ((f ^-w) =
2 2
man kauu also oöenbar mit Vorteil: 03" (x) = co'>?>''(a;) =
W
2r(p)co8|-(v-e + (T)C»(|)
^-1
setzen; die Formebi (2), (3) geben dann:
Bezeicknet man nun mit TT'''''''(a;) die zu (4) gehörige J5- Funk- tion, so erhält man aus (5), (6) die folgenden zwei Fundamental- formeln:
(8) n''?.''(a;)-n'>?+i''^+^(ic)
a^,9 + ^.<^(x);
beachtet man noch, daß:
(9)
CO
2qx
^ ^ (p -|- V — 1)*— ö* ^ ^
2$a;
jjjr + l,p,cr(^^^
ist, so kann man die Formeln (7), (8) auch auf folgende Form bringen:
Q -\- 6 — V
(10) ^'^'"{x) — TT''?+^'^-i(rr) = —
2Q{Q--a-\-v)
c3''-1'^ + 1''^(ä;),
(11) n^'^.'^(^) - n'.^+i-'^+H^) = 2f(,-T^ • ^''-'''^''''(^)'
Subtrahiert man jetzt die Formeln (7), (8) und setzt man Q — l für Q, (? 4- 1 für 6, so findet man die erste Reduktions- formel:
(12) W'^^^ix) - W'^'^'^ + 'ix) = ^-i^ • fo»>? + i.'^+i(a:) .
110 Erster Teil. Fundamentaleigenscliaften der Cylinderfunktionen.
Um eine äknliclie Reduktion von q zu erhalten, setzt man in (11) p + 1 für Q und 6—1 für ö; addiert man nun die so erhaltene Formel zu (10), so erhält man:
W'^'^ix) — TT"'? + ^>''(ic) =
Die eigentlichen Fundamentalgleichungen lassen sich nun auch bequem herleiten; sucht man zuerst die Funktion 0^, so findet man aus § 1, (4):
CO
p — V — 6 — 1 ^^ Q — V — 6 — 1 ^^'
wendet man noch (11) und (9) an, so bekommt man, nachdem man V -\~ 1 für V gesetzt hat:
1 (/•r(^) _ ^v^^^J _ Tfr + l,^-l,<7(^^^) _ J]v + li,,o ^^^^ _ __!__ co"''^'" (x) .
Zur Bestimmung der Funktion y^ dient die aus § 1, (3) gewonnene Formel:
2-2e „v.o-l.a/^^ , e-v-0-1
p + v + ö — 1 ^-''p + v + ö — 1 ^-^
somit ergeben dieselben Formeln, wie vorher:
Bildet man nun die zugehörigen Fundamentalformeln § 25, (1), (2), so findet man, nachdem man noch 9 + 1 für q gesetzt:
(14) n^-i'?'''(^) - T['+''^^'''(x) = 2D^n''? + ^''^(x) - - . (ö''.?+^''^(a;),
2v X
(15) n"-^'?'''(ic) + n»'+i'C'''^(a:) =— n^'?+i''^(:r),
Formeln, welche in der Tat ganz analog zu denjenigen sind, welche wir früher für die Lommelsche Funktion gefunden haben.
Man findet nun ohne Mühe auch die entsprechenden Fundamental- gleichungen für folgende drei Funktionen:
(16) n"'?>^(.'r) + n"'? + ^''^(a'), n'''? + ^'^(a;), W'^'^ + ^ix)',
wir gehen indessen auf diese FormeLa nicht näher ein.
Kapitel VI. Die Funktionen 0''>P(x) und Tl''^''" (x). % 30.
111
§ 39. Reihenentwicklimgon für T\*'^'''(x).
Die Fundamentalformeln, welche wir soeben entwickelt haben, gestatten uns, für TT''t'>"(j') mehrere verschiedene Reiheuentwick- luntren zu bilden. Wir gehen zuerst von § 38, (8) aus und haben also vor allem folgenden Grenzwert zu bestimmen:
lim rT»'-? + "''' + ''(jc);
n = OD
nun ergeben § 3, (8) und (^fn,) ohne weiteres, daß:
lim cj'.? + ".'' + ''(a:) = — ^ sein muß, falls wir
2 cos I (v — p + ff)
(^±I^X^^I^°)
=^(f)
g — a— 1
Cix) = a{6)J''{x) + h{6) Y''{x) setzen; also finden wir:
(1) lim n''? + ''>^ + ''(a-) = -^-^W'^-^ipc).
n= + OD
■Jt
Dieser Grenzwert stellt also eine Lommelsche Funktion dar, und § 38, (8) liefert somit folgende Entwicklung:
(2)
cos
— Iv — p -|" ^)
n^e.'^fa;) = -^-^W^'^-'^ix) + j — ^A — ; r
n
S=<X>
{9 + s)C'^\x)[fj'
0 +>
die in der ganzen ::i- Ebene gültig ist.
Geht man dagegen von § 38, (13) aus, so findet man folgende Entwicklung:
(3)
0 + 2«
I
« = 0
n'.S.»(:r) = C«(x)._2^,(f)' +
Q + 2S+1
» = 0
die ebenso in der ganzen a:- Ebene anwendbar ist, und in welcher man der Kürze halber:
112 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
n
(4)
r(p + 2s) cos — (v — p-f <' + 2s)
r(Q-\-G-\-V
H)r(i±|^+.)r(-:|+-%»+i) r(^^f:f +,+ .)
-2i>
(5)
4(e + 2s)^,, _ .
(p4-ff4-2s)* — v* 2.+1 gesetzt hat. Die Entwicklung (3) ist derjenigen von 0'''?(a;) selir ähnlich. Setzt man wirklich voraus, daß die Cylinderfunktion H^ ist, und setzt man weiter ö = — ^, q -\- \ für q, so findet man auch, daß:
5t
n''^^+i'-i(a;) =
sin — (v— p)
TT'J
,;?-"
(t)''?(a;)
(6)
sein muß.
Die Entwicklungen (2), (3) sind beide anwendbar, wenn C'^{x) eine willkürliche Cylinderfunktion mit dem Argumente x und dem Parameter 6 bedeutet; wenn diese Funktion dagegen speziell von der ersten Art ist, so findet man aus § 38, (12) folgende Ent- wicklung:
r(.)(|f
n-'^'O^ = — ^
p-1
(7)
sm
TT
(
6 — V — q) sin 7i{y — Q-\- 6)
2(-iy(<? + 2s+l)x
« = 0
(^);
2 ' ' / V 2
die gleichfalls in der ganzen a;-Ebene anwendbar ist.
Die speziellere Funktion TT''?''^(ic), welche in (7) auftritt, läßt sich endlich auch durch die Methode des § 31 entwickeln; mit Zu- hilfenahme der G au ß sehen Formel (Fg) findet man:
■ T\"'<^''''(x)
(8)
TT sin 7t (v — e -f- o)
sin Q TT sin 7t (v — q — (?)
T]''^ + ''(x) +
+
a
",?,<T(a;)
X
s=l
(^);
sir{a + s-i-l) eine Formel, welche wiederum in der ganzen ic- Ebene anwendbar ist
Kapitel V\. Die Funktionen <t>*'^{x und TT''-''" {x). §40. 113
§ 40. SpezialfäUe der Funktion U''^'''{x). Die a- Funktion § 38, (4) muB otienbar verschwiiuleii, falls man
(1) Q = ±v ±0 — 2n
voraussetzt, wo w eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, il. h. die zugehörige Funktion T[*''^'''(x) muß der Besselschen Differential- gleichung Genüge leisten oder, was dasselbe ist:
(2) n ' - ^'. "{x)=pJ' (.r) + q Y' (x)
sein, wo p und 7 noch unbekannte Funktionen von v und a be- deuten, die aber von x unabhängig sein müssen.
Wir haben nun jeden der vier in (1) angegebenen Spezialfälle für sich zu untersuchen.
1) Q = v-\-a — 2)r^ die Formel § 39, (2) ergibt unmittelbar:
(3) T]''^^''{x) = ~^-^J'{x).
2) Q = V — 6 -\- 2n. Die Entwicklung rechter Hand in § 39, (2) teilt sich in zwei verschiedene Reihen, von welchen sich die erste als eine Reihe von positiven ganzen Potenzen von x, mit x^ multi- pliziert, darstellt, während die andere eine Reihe von ganzen Potenzen von x, mit x*'^" multipliziert, sein muß. Nun ist offenbar, daß die Gleichung (2) dann und nur dann bestehen karm, wenn der letzte Ausdruck verschwindet; man findet also für n = 0 die Entwicklung:
(4) U^>^-^<'{x) = r(l -f 0) cos 6:t .^ ^4\%i)-J-"-(4
Berücksichtigt man noch die erste der oben erwähnten Reihen, so findet man durch eine Vergleichung mit (2), daß:
(5) T[^'<^^'"{x) ^^^^ («((?) + h{6) cot7t(j) J\x)
sein muß; also erhält man folgende neue Entwicklung:
(6) j>(^) = r(i+«).2'-r(.+;;.;(l) -^"^-w,
.1 = 0
die demnach gleichfalls in der ganzen ;r-Ebene gültig ist und die wir später in § 106 durch eine ganz andere Methode herleiten und näher diskutieren werden.
3) Q == — V — 6 — 2w; man findet hier auf dieselbe Weise, daß:
Nielsen, Cylinderfunktionen. 8
V — a + »
114 Erster Teil. Fundamentaleigenscliaften der Cylinderfunktionen.
(7) n "' ?' '' (x) = — -^— (a ((?) + 1) ((?) cot Ä (?) COS TT (i^ + (?) J- '' (x)
sein muß, und außerdem zwei zu (4) und (G) analoge Entwick- lungen.
4) Q = — V -{- 6 -— 2n] man findet leicht:
(8) T]''^'''{x) = --^^cos V7i J-\x).
Differentiiert man nun die Funktion '[\^''^''^{x) nach v, q oder (? und führt man nachher die Werte (1) ein, so findet man Funktionen- Systeme, die ganz analog sind mit den aus L, N und £, '^ gebildeten. Auf diese Weise gewinnt man auch neue Darstellungen der Neu- mannschen Cylinderfunktion. Indessen ist diese Darstellungsweise so mannigfaltig, daß ihre detaillierte Diskussion uns hier zu weit führen würde. Hierzu kommt noch, daß die Funktion T\^'^'"(x) in unseren allgemeinen Untersuchungen über bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen überhaupt nicht auftritt. Wir müssen uns daher auf diese Andeutungen über die Analogie zwischen TT''?''^(a;) und den vorhergehenden Funktionen T\^''^(x) und 0'''?(a:) beschränken; es geht ja doch hieraus deutlich genug hervor, daß die altbekannten Funktionen 0''{x), S"(x), T"(x) und die analogen £)''{x), (B"{x), %"(x) nur vereinzelte Repräsentanten ganzer Funktionensysteme sein können, welche eine ähnliche Teilung des Ausdruckes für Y^(x) ge- statten; somit ist die Bezeichnung „Besselsche Funktionen der zweiten Art" auch für diese Funktionen durchaus hinfällig geworden.
Wii- erwähnen noch, daß die Anwendungen der Funktion T\ ''<"'" (x) auf Reihen und Integrale auf der Hand liegen; durch Spezialisie- rungen der so erhaltenen Reihen findet man zum Beispiel die zwei Fundamentalreihen § 117, (6) und § 118, (1).
Kapitel YII. Allgemeine Integraldarstellungen von Scliläfli und Sonin.
§ 41. Allgemeine Methode von Sonin.
Schon in § 25 Satz 1 haben wir darauf aufmerksam gemacht, daß die Differenz zweier Lösungen des dort aufgestellten Systemes von Fundamentalgleichungen (1), (2) immer eine Cylinderfunktion mit dem Argumente x und dem Parameter v sein muß. Es ist in
Kapitel VII. Intcgraldarstellun<,'en \«n Schläfli und Sonin. § 11 1 1 f)
der Tat sehr bemerkenswert, daß sich die allgemeinsten Integral- darstellungen mit elementaren Funktionen, welche man noch bisher für die Funktion J^ioc) gefunden hat, immer als eine solche Differenz darstellen.
Sonin hat zuerst vorteiUiafte, allgemeine Methoden zur Her- leitung solcher Iiitegraldarstellungen gefunden'); seine Methode tritt aber durch folgende Bemerkung noch deutlicher hervor. Wir denken uns, die gegebenen Funktionen f*'{x) und (/''(x) in § 25, (1), (2) ent- hielten außer den zwei eigentlichen Variabein x und v noch einen Parameter t; dasselbe wird dann im allgemeinen auch mit der zu- gehörigen Funktion B^'{x) der Fall sein. A\ ir setzen daher:
(1) B^-\x, t) - B^'^\x, t) = 2D,B\x, t)+y\x, t),
(2) B^-\x, t) + B^'^\x, t)=^B^(x, t) -h l- r{x, t);
denken wir uns nun weiter, daß es möglich sei, einen lutegrations- weg zwischen den Punkten a und h so zu bestimmen, daß:
b b
(3) ff"i^? t)dt = 0, f(r{x, t)dt = 0
a a
ist, so finden wir offenbar aus (1) und (2):
(4) jB\x,t)dt^C\x),
a
WO C^{x) eine Cylinderfunktiou mit dem Argumente x und dem Parameter v bezeichnet.
Diese neue Anwendung der 5- Funktionen in der Theorie der Cyliuderfunktionen zeigt aber deutlich die systematische Uulösbar- keit des Problemes der Integi*aldarstellung von Cylinderfunktionen; es kommt ausschließlich darauf an, die einfachsten derjenigen B- Funktionen zu bestimmen, welche den Bedingungen (3) genügen.
Als den einfachsten Fall betrachten wir mit S o n i n ^) die Funktion:
X
(5) B\x,t)==e^^'~'~'^ 't—''; wir finden dann aus (1) und (2):
1) Denn die Integraldarstellungen von Hankel in Math. Ann. Bd. 1 leiden an dem Übelstand, im allgemeinen nicht geradlinig und mit reellem In- tegrationswege genommen werden zu können.
2) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 10; 1880.
8*
116 Erster Teil. Fuudamentaleigenschaften der Cylinderfunktioneu.
so daß die Bedingungen (3) sich auf die folgende eine reduzieren:
(7)
- (t-t-i)
eine Bedingung, welcher man in den folgenden vier Fällen zu ge- nügen weiß; bezeichnet man nämlich durch a und ß solche Größen, daß sowohl 9i(a;r) < 0 als auch ^(ßx)<.0 ist, so findet man:
1) a = <x> ■ a , b = oo ■ ß ,
o\ 0,0
2) « = --; ^ = -p
3) « = --, J) = oo-ß,
4) ^{axi) = ± oo , ^(hxi) = ± oo , 'Si{v) > 0,
während in den drei ersten Fällen v eine willkürliche endliche Größe bedeuten darf.
Wir bezeichnen die zu den oben gegebenen Grenzen gehörigen Integrale beziehentlich mit U^, U^, U^, U^ und haben also nun diese vier Integrale nacheinander zu diskutieren; bei dieser Diskussion folgen wir, mit Genehmigung des Verfassers, beinahe wortgetreu der Darstellung von Sonin; dagegen verzichten wir darauf, mit dem großen russischen Mathematiker die gefundenen Resultate zur Her- leitung von Formeln und Fundamentaleigenschaften für die Cylinder- funktionen zu verwerten, weil eine solche Herleitung weder eigent- lich systematisch noch recht einfach ist.
Das Integral U^ wird sich als das interessanteste und das fruchtbarste der obenerwähnten vier Integrale erweisen.
§ 42. Diskussion von f/^. Integrale von Schläfli und Sonin.
Um das Integi-al U^ näher diskutieren zu können, haben wir zuerst den Integrationsweg genauer festzustellen; wir denken uns denselben ohne Schleifen und so beschaffen, daß die Punkte a ■ oo und ß • oo durch eine unendlich ferne Linie verbunden sind, so daß für sämtliche Punkte dieser Linie ^(xt) = — oc ist; weiter müssen wir annehmen, daß sich der Punkt ^ = 0 im Innern der so erhaltenen geschlossenen Kurve befindet; sonst wird das Integi-al dem Cauchy- schen Satze zufolge immer gleich Null.
Kapitel VLI. Integraldarstellungen von Scbläfli und Sonin. §42. 117
Um nun das so erhaltene Integral in eine Potenzreihe in x ent- wickeln zu können, setzen wir tx = 2u und finden so:
^. = (»)'/
(1) »■>-(»)■/ '''"'"•;f!>-.' 9i(''')<0, 9i(«<0;
das so erhaltene neue Integral verdient für sich untersucht zu werden; wir bezeichnen es daher mit f/,' und wollen es im folgenden Para- graphen näher diskutieren.
Führt man nun in (1) statt e ^" die gewölmliche Potenzreihe ein, so findet man ohne Mühe, daß fTj ein Produkt aus J^'{x) und einer periodischen Funktion von v darstellen muß; denn das Integi-al genügt erstens den beiden Fundamentalgleichungen der Cylinder- fuuktionen und läßt sich zweitens durch eine mit x^' multiplizierte Reihe von geraden positiven Potenzen von x darstellen. Nun wird offenbar die direkte Bestimmung dieser periodischen Funktion von v ziemlich schwierig; wir benutzen daher lieber das Integral (J^^ von Weierstraß und finden dann leicht folgende fundamentale Formel:
^.mj ''
(2) J'X^) = ^,- I ^'-'"'-t-^-'dt,
vorausgesetzt, daß der Integrationsweg den oben gestellten Be- dingungen genügt.
Nachdem wir also den Wert von U^ gefunden haben, müssen wir das Integral noch so umformen, daß der Integrationsweg reell angenommen werden darf. Um dies zu erreichen; setzen wir:
a = ß = e'^'
und konstruieren einen Kreis mit dem Radius 1 und mit dem Zen- trum im Anfangspunkte; weiter bezeichnen wir mit A den Schnitt- punkt dieses Kreises mit dem Strahl von dem Anfangspunkte nach dem Punkte e^^ auf der Kreisperipherie, während Q. den unendlich fernen Punkt dieses Strahles bezeichnet; dann läßt sich die Formel (2) auch folgendermaßen schreiben:
Ä n
(3) 27ciJ''{^) = e^'""'- J -\- f + f,
Si {A,Ä) A
WO der Integrationsweg (Ä,Ä) die von Ä bis Ä positiv, von (p = rjj — 27t bis (f = xl), genommene Kreisperipherie bezeichnet.
118 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Nach diesen Überlegungen setzen wir im ersten und im zweiten Integrale rechter Hand in (3):
und im zweiten Integrale cp = ip — :t -\- 6- reduzieren wir noch die Grrenzen dieses letzten Integrales auf 0 und 7t, so finden wir schließlich:
(4)
gV(Ä-T^)i
JrM =
n
Jg-ixsinyjcoBo . cos (a; cos t/; s'm ö -{- V g) dö —
0
» -fpO + ^^i _ -e-y^i)
wo man also voraussetzen muß, daß 'SKxe^') < 0 ist.
Diese allgemeine Formel (4) von Sonin^) hat den großen Vorteil, daß man, wenn x gegeben ist, so über ^ disponieren kann, daß (4) anwendbar wird; x darf jedoch nicht gleich Null sein. Sieht man aber von dieser großen Allgemeinheit der obenerwähnten Formel ab, so kann man viel elegantere Darstellungen finden, wenn man i^ passende spezielle Werte gibt. Setzt man zum Beispiel ^ = 71, SO findet man folgende schöne Formel:
(5) j^{x) = ^\x)-^^~- Ce-^^^^e-^'^dd, m{x)>0,
0
welche von Schläfli^) gefunden worden ist; sie ist wohl als die erste allgemeine Integraldarstellung der t7- Funktion anzusehen, die man überhaupt kenneu lernte; die Funktion Y rechter Hand ist die in § 17 eingeführte, während fin d den Hyperbelsinus bedeutet:
Wenn v eine ganze Zahl bedeutet, so geht die Formel (5) in das erste Besselsche Integral über.
Nimmt man in (4) '^(x) <C0 an, so darf man i) = 0 setzen und findet dadurch die Formel (5), wenn man nur das Zeichen von X ändert. In dem Falle, daß x eine rein imaginäre Größe mit
negativem reellen Faktor bedeutet, darf man in (4) t^ = -^ annehmen
und findet dann folgende Formel:
1) loc. cit. p. 14.
2) Annali di Matematica (2) Bd. 1, p. 237; 1868, Mathematische Annalen Bd. 3, p. 143; 1871.
Kapitel VII. Integralilarf^k'IIungen von Schläfli und Sonin. § 42. HO
0
ilie zwar direkt mir für ilou Fall l)o\viesou ist, daß ix positiv ist; sie muß indessen auch in deui viel allgemeineren Falle anwendbar sein, in welchem nur 9i(iÄ*) > 0 vorausgesetzt wird. In der Tat sind ja die Funktionen heider Seiten in (6) holomorph in rr, wenn die obenerwähnte Bedingung erfüllt ist; diese Funktionen sind also identisch, wenn 9^(/x) positiv ist. Die Funktion CO» 0 bedeutet wie gewöhnlich den Iljperbelcosinus:
Die Formel (6) ist der Schläfli sehen ganz analog; sie ist von Sonin ^) gefunden worden; .setzt man v als ganze Zahl voraus, so gewinnt man aus (6) das Hansensche Integral wieder.
Die Formeln (5), (6) zeigen noch einmal die Analogie der Funktionen Y und O. Wir kehren nun zur allgemeinen Formel (2) zurück und setzen:
a = e ^- ' , ß = e^^ ^ ;
weiter denken wir uns, der Integrationsweg sei aus zwei geraden Linien von a • oo bis a und von /3 • co bis /3 und einem Kreis- bogen C zusammengesetzt, der die Punkte a und /3 verbindet und sein Zentrum im Anfangspunkte hat; aus (2) finden wir dann:
hS4
2niJ''{x) =
Wir setzen weiterhin in dem ersten und dritten der so erhaltenen Integrale t = a- u und t = ß ■ u, während wir im zweiten Integrale
t = ef' setzen und die Grenzen auf 0 und y + « reduzieren; da- durch finden wir folgende allgemeine Formel:
- + C0
J^'(x) = — I cos {x sin cp — vcp) dq) +
0
CO ^ T 1
ni J IP ^ P a e j^^,^,,
1
1) loc. cit. p. 17.
(7)
'^27rj
120 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
die also anwendbar ist, falls SR{ax)<0 und '^{ßx) <0 voraus- gesetzt werden.
Offenbar ist diese Formel (7) wegen des letzten Integrales etwas kompliziert; es scheint nur einfacber zu werden, wenn, man X als reell voraussetzt; in diesem Falle darf man 03 = 0 annehmen, und die Transformation ^1 = 6-" gibt dann die Formel:
2 00
(8) J''(^) = ^- JGOs{xsbi(p — v(p)d(p-i-^-lsm(xco^6 — '^je-''''d(3,
0 0
die anwendbar ist, falls 9x (v) > 0 vorausgesetzt wird. Setzt man v speziell gleich der ganzen Zahl n, so findet man aus § 20, (21) die einfachere Formel:
00
(9) J^ix) = A''(ic) + — • I s'm\x co§ ö - -^-j e-^'^'dö.
§ 43. Diskussion des Integrales Z7/.
Wir haben im vorhergehenden Paragraphen bei unserer Her- leitung der Formel (2) bemerkt, daß das dort auftretende Integi-al üi besondere Aufmerksamkeit verdient; in der Tat ist dies Integral von einer ähnlichen Bedeutung wie U^ selbst. Um nun wirklich die Diskussion von Z7/ durchführen zu können, setzen wir voraus, daß sich der Integrationsweg in einen Kreisbogen mit dem Zentrum
in M = 0 und mit dem Radius — und in eine Doppellinie y e('^-V)' zerlegt, wo man also — y < ^ < + y voraussetzen muß, weil ja ^(e(^ -'/')'•) <0 sein muß. Wir setzen außerdem:
und finden somit aus § 42, (2):
(1) j-(x) ^'^
reduzieren wir nun die Grenzen des ersten Integrales rechter Hand auf 0 und 7t, während wir im zweiten Integrale:
Kapitel VII. Integraldarstellungen von Schläfli und Sonin. § 4;{ 121 setzen, so finden wir nach einigen Reduktionen:
(2)
(3)
(4)
eine Formel, welche von sehr großer Allgemeinheit ist.
Setzt man zum Beispiel x = h, so findet man die Formel von Schläfli in § 42, (5), während die Annahme Ji = xi die Soninsche Formel in § 42, (6) gibt. Setzt man:
^^ = «. T-!-. ^{o + b)>0,
SO erhält man aus (2) folgende Formel:
• ( f (^""^v cos{a sm(p — v(p)d<p — smv7t • / e-«rin(A«)-öcoä(Ä«)g-v*^^.J ^
0 0
so daß die Annahme v = 0 die Besselsche Formel § 18, (3) liefert.
Dividiert man in (2) durch (x : h)'' und setzt man x = 0 und 2h für h, so findet man folgende neue Formel:
7t Ot>
0 0
«R(Ä)>0.
Setzt man weiter in (2) 9fl(v)>0 voraus, so darf A rein imaginär sein, ohne daß die Formel ihre Anwendbarkeit einbüßt. Indem man
X =y—2ah annimmt, multipliziert man mit /^^; setzt man dann Ä = 0 und wieder h für a, so findet man:
7t OD
(5) 0 = ^i I e^''°^vcos(hsm(p-\-v(p)dcp — 8mv7t- I e-'"~'-''dsj .
0 0
Addiert und subtrahiert man nun die Formeln (4) und (5), so er- hält man beziehentlich:
122 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
it
(6)
r(t/ + i)
— \ & "^^f cos (/i sin gp) cos (vqo) f^g?
0
CO
(7)
3t
. . = -^ I ßh cos tp gj^ ^^ gjjj ^^ gjjj ^^tfp-J (Jfp
0
00
wo man voraussetzen muß, daß 'ifi(v) > 0, 'SiQi) > 0 ist. Bedeutet V eine ganze Zahl, so gehören die Formebi (6), (7) Poisson^) an. Wir kehren nun zur Formel § 42, (2) zurück. Indem wir:
(f
+ w] i
if + "')
« = e \^ / , ß' = e' setzen, denken wir uns, daß sich der Integrationsweg aus einem Kreisbogen C mit dem Radius — und dem Zentram im Anfangs-
. • C OC C ß
punkte und aus den zwei geraden Linien -^ und -|- zusammensetze. Dieselben Rechnungen wie in § 42 ergeben dann:
2" "•" '" /«' <» a' 00
2
ca
also auch für os = 0 folgende neue Integraldarstellung;
(8)
0
oo
+/sin(.
2c
sm (je
- vcp\ d(p +
wo man voraussetzen muß, daß ^^(r^) > 0 ist, und daß x^ eine reeUe Größe bedeutet. Die Formel (8) ist zu § 42, (8) analog.
Setzt man in (8) — xi für x, so gewinnt man, wenn v gleich der positiven ganzen Zahl n gesetzt wird, folgende weitere Formel:
1) Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 19, p. 493; 1823.
Kapitel VII. Intcgraldarbtellungen von Schläfli und Sonin. § 41 123
(9)
T
0
+ 1 sin (x \u\ (hs) — ~j e~'"ds) ;
somit gibt die lliinsensclie IntegraKorinel § ID, (1) folgende be- merkenswerte Identität von Sonin^):
(10) I e"=''"P cos {ncp) dtp = j sin (x fin (hs) — ^^^\e-"'ds,
n T
welche übrigens Gubler') neuerdings direkt abgeleitet hat.
Setzt man endlich in (8) 2c für c und dividiert man durch {x : 2c)*, so findet man für o; = 0 die neue Formel:
(11)
n
T
-fr-, — :— T = — / e^co8(p ßQa (c sin OD — vw) dcp + V(y-\-l) nj ^
0
OD
H /sin (ce* — ^je~'*(?s,
welche zu (4) analog ist.
§ 44. Diskussion der Integrale U^ Tind C/g.
Die Diskussion der zwei Integrale U^ und U^ wird sehr er- leichtert, wenn man folgendermaßen über den Integi-ationsweg disponiert:
Wir konstruieren mit dem Zentrum im Anfangspunkte imd mit dem Radius 1 einen Kreis und bezeichnen den Schnittpunkt dieses Kreises mit der negativen reellen Achse mit A, mit der negativen imaginären Achse mit B, mit der positiven reellen Achse mit C und mit der positiven imaginären Achse mit D, während S den unendlich fernen Punkt der negativen reellen Achse bedeuten mag.
1) loc. cit. p. 19.
2) Mathematische Annalen Bd. 49, p. 584; 1897.
124 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Bezeichnet noch Q einen willkürlichen Integrationsweg, so setzen wir immer der Kürze halber:
S2
Mit diesen Bezeichnungen findet man also zum Beispiel:
U^ = J\x) = ^{S ABCBAS) und daraus:
(1) C/i = ^{CBÄ) - ^(CAB) + (1 - e2v^'-)^(^5). Setzt man ferner:
U^ = ^(OCBABCO), U^ = ^(OCBAS), wo 0 den Ursprung bezeichnet, so findet man leicht;
(2) U, = {1- e-^'"')'^{OC) + '^{GBA) - e-'''^'^{CBÄ),
(3) U, = S(OC) + S(Ci)^) + S(^Ä), woraus unmittelbar folgende Identität hervorgeht:
(4) U^ = e-2'-^' C^i + (1 - e-2>'^') f/3.
Setzt man weiterhin in dem oben gegebenen Integrale für J~'''{x) statt t den Ausdruck — e~^' : t, so findet man:
so daß man endlich zu folgenden Formeln gelangt:
(5) U2 = e-'^^'J-^ix),
(6) ^3 = ^^^^4S^— -|-^i"(-),
wo H^^(x) die erste Hanke Ische Cylinderfunktion bedeutet.
Doch sind diese Formeln von keinem besonderen Interesse, weil die Integrationswege sehr kompliziert sind. In unseren Unter- suchungen über die asymptotische Darstellung einer Cylinderfunktion werden wir daher noch andere weit bequemere Integraldarstellungen der Hank eischen Funktionen geben.
§ 45. Diskussion des Integrales ü^.
Das vierte und letzte der in § 41 eingeführten Integrale, U^, läßt sich in folgender Form:
1 + aai
(1) xj^^^^- e'-Tu.u-'-Hu, ^(v)>0
A- + 00 f
Kapitel VII. Integraldarstellungen von Schlilfli und Sonin. § 45. 121)
darstellen, wo oo in den beiden Grenzen mit demselben Zeichen zu nehmen ist; wir nehmen stets das positive. Wir setzen nun in (1) des § 42 a = ß^ = i und beachten, daß:
0 + 30 I i- + X I
sein muß, weil die Integrationswege u = 0 nicht einschlieBeu. Ad- dieren wir nun aber zu ij 41, (1) die Summe der beiden Integrale (2), so linden wir:
l+wi 0-+-ce I
l + coi
(3) J'{x) = ^ I e"-ru-u-^-'du, miv)>0
i + 001
oder mit anderen Worten:
(4) U, = J^ix).
Wir setzen weiterhin in § 42, (1) a = ß' = — i und addieren zu der so erhalteneu Formel die Summe folgender beiden Integrale:
0 — IX i l + oi i
(5)
2nt f 2^11 J
k— cci 0 + oc i'
und finden so die weitere Formel:
(6) J'(x) = -^- / e"-i^ . u-'-'du, 9t(v) > 0.
A- — 00 i
Es ist wohl zu beachten, daß die Integrationswege in (3) und (6) die reelle positive Achse schneiden müssen, weil, wenn dies nicht der Fall wäre, die beiden Integrale offenbar gleich Null sein müßten.
Wir betrachten die Formel (6) näher und setzen l = A-, so daß ?R(Ä-)>0 sein muß; dann darf nämlich das Integral längs einer geraden Linie genommen werden, welche vom Punkte k ausgeht und mit der imaginären Achse parallel läuft. Bezeichnen wir außer- dem durch a eine reelle und zwar positive Konstante und setzen wir hierüber 2u = a(k -{- ri)j so finden wir:
126 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfuuktionen.
(7) j'v(^) = i«_Z- / e-^'^'''^-2^^)-(Jc + ri)-^-hh', ^{v)>0.
Transformiert man auf ähnliche Weise das analoge Integral, für welches der geradlinige Integrationsweg mit der imaginären Achse parallel läuft, aber vom Punkte — Ä: ausgeht, so findet man dagegen folgende Formel:
+ <»
(8) 0 = re-|^'-*-''^-'^^(rrF?) . (k + ri)—hJr, '3i(v) > 0,
welche in Sonins^) Untersuchungen über bestimmte Integrale mit Cylinderfunktiouen eine wichtige Rolle spielt.
Dividiert man jetzt die Formel (7) durch .r*' und setzt man X = 0, so erhält man aus (7), (8):
+ 00
(9) -^ = ^ feJ^''-'''^ . (Je + ri)-^-hIr, ^(v) > 0,
— 00 + 00
(10) 0 = ^fe'^^''"''^ ■ (1c + ri)-^-'dr, m(v) > 0
— QO
zwei Formeln, die schon von Cauchy^) gefunden worden sind; die erste ist also in der Tat eine Integi*aldarstellung des reziproken Wertes der Gammafunktion.
Es ist Ijemerkenswert, daß uns imsere allgemeinen Integral- darstellungen für die Cylinderfunktion mit Leichtigkeit auf das erste Besselsche Integral fühi-ten; dagegen scheint der Übergang zum zweiten B es s eischen Integrale etwas schwieriger zu sein. Um aber auch diesen Übergang bewerkstelligen zu können, gehen wh- von der bekannten Formel:
(11) Je-^'\os{ty)dt = y^-e~^, üi(^)>0
0
aus, welche wir unmittelbar herleiten können, wenn wir statt cos (yt) die gewöhnliche Potenzreihe einführen und dann gliedweise integrieren, was offenbar erlaubt ist. Wir werden übrigens später in § 70, (7) die Formel (11) noch verallgemeinern.
1) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 38; 1880.
2) Citat von Souiu, loc. cit. p. 26.
Kapitel VII. lutt'graldarHtcllungen von SchliUii und Soniii. § 4G. li>7
Setzt man nun in (11) x für xj und - {k -\- ri) für x und
führt man das so erhaltono Intepral in (7") an Stelle der Exponen- tialfunktion ein, so erhält man nach einer sicherlich gestatteten Um- kehruug der Integrationsfolge folgende neue Formel:
(12)
OD +00
• Jcos CrO (2-,/^^ (^-'')(*+-) . (A;+rO--* ä^ dt-,
wendet mau weiterhin die Formel (10) an, so erhellt, daß das zu- erst zu bestimmende Integral gleich Null sein muß, falls /- > 1 ist, so daß sich die obere Integrationsgrenze für t auf + 1 reduziert. Das so erhaltene Integral läßt sich aber unmittelbar aus (9) be- stimmen, und somit ist auch der zweite Besselsche Integralaus- druck für die Cylinderfunktion J'(x) gefunden.
§ 46. IntegraldarsteUungen von Y^x), S"{x), 0''{x), <B''{x)
und £)"{x).
Die zwei allgemeinen Integraldarstellungen des § 42, (5) und (6) ermöglichen uns für die fünf oben genannten Funktionen unschwer ähnliche Formeln zu finden. Wir gehen zunächst von § 42, (5) aus, bringen die einander sehr ähnlichen Formeln § 3, (2) für Y^(x) und § 17, (21) für Q''(x) in Anwendung und finden somit für die Neumannsche Cylinderfunktion ohne weiteres folgende Integral- darstellung:
oe
(1) Y'{x) = Q"{x) - je-^ f'"» (e"» + cos v:i • e""«) dB, ^(x) > 0,
0
die für ganze v von Schläfli^) gefunden wurde.
Ziehen wir jetzt § 42, (6) in Betracht und erinnern wir uns
der Identität:
cD-'(ic) = e'«^' . 0"{x),
so finden wir nach einer einfachen Rechnung folgende von Heine^) für ganzzahlige v gefundene Integraldarstellung:
1) Mathematische Amialen Bd. 3, p. 147; 1871.
2) Journal für Mathematik Bd. 69, p. 140; 1869.
128 Erster Teil. Fundamentaleigenscliaften der Cylinderfunktionen.
00
(2) T" (x) ^iJ^\x)^-~. je- '-^ "« ö • co§ (v ö) (? ö , gt {x'i) > 0
0
und bemerken, daß sich diese Formel (2) auch folgendermaßen schreiben läßt:
00
(3) H^\x) = ^-^ ■ Te-'-^coge . co§ {yd) de, gt {xi) > 0,
0
wo H^^ix) die zweite Hankeische Cylinderfunktion bedeutet.
Differentiieren wir nun die Formel § 42, (5) nach v und setzen dann v gleich der ganzen Zahl n, so gewinnen wir mittelst § 17, (27) die Formel:
00
2(D^,J''(ä;))„^^ + T''{x) = Q"(^) - (- 1)"2 ./e-^f'»öe-'^ödö;
0
mit Zuhilfenahme von § 3, (16) liefert demnach (1) folgende neue Integral darstellung; :
QO
(4) S"" {x) =/e-^ f'" ^{f^ - (- 1)" e-"o)de, 'tR{x)>0',
0
sie ist zuerst von Schläfli^) aufgestellt worden.
Gehen wir jetzt von § 42, (6) aus, so finden wir auf dieselbe Weise durch Benutzung von § 19, (10):
00
0
so daß sich aus (2) mittelst § 6, (9) die zu (4) analoge Darstellung ergibt:
00
(5) @ « (^) = 2 • i^Je- '^ "« ö jiu (w e)dd, 9^ {x i) > 0 .
0
Nun ist es auch sehr leicht, Integralausdriicke für die Funk- tionen 0"{x) und £)'^{x') zu gewinnen; in der Tat ergeben sich aus den Definitionen dieser Funktionen § oO, (24) und § 36, (16) ohne weiteres folgende zwei Identitäten:
(6) S''-\x) + S^^\x) = A.O''{xy, (S''-^(.^) + ©'' + X^) = 4D''(^), welche wir übrigens später in § 112 durch eine allgemeine Methode herleiten werden. Eine Anwendung von (6) liefert inzwischen mittelst (4) und (5) die folgenden Formeln:
1) Mathematische Annalen Bd. 3, p. 146; 1871.
Kapitel VIII. Lineare Ditfereutial^leichungen für r" (jV § 47. 129
aa
(7) 0''(z) = ^-jc-'f"ine(e"fl^. (_ i)»e-«e)toöO(/(y, !JR(j) > 0
0
OB
(8) 0''{x) = /" + »-/e-''"»»cog(«ö) • \inOclO, ^:R(xi) > 0.
0
Die Formel (7) ist ohne Beweis von Neumann') angegeben; Sonin-) hat sie durch andere Methoden bewiesen.
Wir bemerken beiläufig, daß die Formelpaare (4) und (5), (7) und (8) die Analogie zwischen den beiden Funktionenpaaren S"{x) und ()"(x), 2"(u) und C"(a') beträchtlich verstärken; aber erst in tj 112 wird diese Analogie durch unsere allgemeinen Untersuchungen über die Neumannschen Reihen erster Art völlig klargelegt werden.
Kapitel YIII. Lineare Differeiitialgleiehungeii für die Cyliiiderfuiiktionen.
§ 47. Transformationen der Besselschen Gleichung.
Nachdem wir unsere Untersuchungen über die Fundamental- gleichungen der Cylinderfunktionen mit der Aufstellung allgemein gültiger Integralausdrücke für diese Funktionen abgeschlossen haben, wenden wir uns nunmehr zu denjenigen linearen Differentialglei- chungen, welche sich mittelst Cylinderfunktionen integrieren lassen.
Wir setzen voraus, daß
y = F(x)
ein Integi'al der nicht homogenen linearen Differentialgleichung:
(1) y^^ + ^ y^'^ + (i - ^) 1/ = f{x)
sei, in welcher f{x) eine gegebene Funktion bedeutet. Dui'ch eine einfache Transformation der unabhängigen Variabein finden wir dann leicht, daß:
0 = F{ßxy)
folgender Gleichung genügen muß:
1) Theorie der Besselschen Funktionen p. 16; 1867.
2) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 7; 1880.
Nielsen, Cylinderfanktionen
130 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Setzen wir außerdem:
z = x-"t,
so finden wir schließlich, daß die Funktion: (3) t = x"F{ßxy)
ein Integral der allgemeineren Gleichung:
(4) 0 + '-^ ■ H + {ßV^''-' + ^^^) i = ßV^-'-'y-'-nßxy)
sein muß.
Betrachten wir nun speziell die zu (4) gehörige homogene Gleichung, so sehen wir, daß sich ihr allgemeines Integral durch folg-ende Formel darstellen läßt:
(5) y^x'^ [c, J^ (ßxy) + c, Y^ (ßxy)) ,
wo q und Cg von x unabhängig sein müssen, sonst aber ganz willkürlich angenommen werden dürfen, ein Resultat, das wohl LommeP) angehört.
Wir erkennen demnach, daß die Funktion:
(6) y=-YxC'{ßxy)
einer homogenen linearen Differentialgleichung von der Form (4), aber ohne ^/^^^ genügen muß.
Wir betrachten ferner speziell die Gleichung:
(7) 2/(2) 4- hx'^y = 0
und finden aus (4), (5), daß ihr allgemeines Integral durch folgende Formel dargestellt wird:
X 2
m -\- 2
ein Resultat, das man gleichfalls LommeP) verdankt; wir setzen natürlich in (6) voraus, daß m + 2 =4= 0 ist, denn in diesem Falle wird ja (8) illusorisch; die entsprechende Gleichung läßt sich aber durch ganz elementare Methoden integrieren.
Wir spezialisieren noch die Gleichung (7), indem wir & = 2, m = 1 annehmen, so daß sie, wie folgt, lautet:
(9) 2/(2) + 2xy = 0,
1) Mathematische Annalen Bd. 3, p. 478; 1871.
2) Studien über die Besselschen Funktionen p. 113; 1868.
Kapitel VIII. Lineare DifFerentialgleichungen für ^"(.r). § 48. 131 während sich ihr allgemeines Integral folgendornmßeu darstellen läßt:
(10) y = |/^(,^ji(AV:L.^') + ,^yJ(_^.J)).
In seinen Untersuchungen über die numerische Berechnung der Cylinderfunktion der ersten Art hat Meiss«;!') die Gleichung (9) gefunden, ohne jedoch zu bemerken, daß sich ihr Integral so einfach durch Cylinderfunktiouen ausdrücken läßt, und daß es also auch überflüssig ist, ihre zwei partikulären Integrale einer näheren Unter- suc"hung zu unterwerfen. Indessen erhöht ebendiese Form der oben- erwähnten Integrale das Interesse an den von Meissel gefundenen Resultaten wesentlich.
§ 48. Integration der Riccatisclien Gleichung.
Wir haben noch nachzuweisen, daß die Formeln § 47, (7), (8) uns gestatten, die Gleichung von Riccati-), d. h. folgende nicht lineare Gleichung erster Ordnung:
(1) «/(i) + ^?/2 = aa;'"
zu integrieren. Zu diesem Zwecke nehmen wir vorerst an, daß /3 = 1 sei, und setzen dann weiter mit Euler^):
(2) y=~'
so daß wir für die neue Unbekannte z die Gleichung:
(3) ^(2) - ax'''z = 0,
also mittelst § 47, (8) als ihr allgemeines Integral den Ausdruck:
bekommen. Wenden wir weiterhin die Differentialformel § 1, (3) an, so ergibt eine einfache Rechnung:
(1 / , m+l2\ 1 / ,
7n + 2^
(5) .« = 1/^(^0,7"« [^^J^ ■ X ^ ) + c.Y"-^ (^^_i_r.^.j
so daß wir nun unmittelbar durch (2) das allgemeine Integral von (1) für /3 = 1 finden; offenbar kann dieses allgemeine Integral nur
1) Jahresbericht der Oberrealschule in Kiel, 189-2, \i. 8.
2) Acta eruditorum suppl. Bd. 8, p. 66.
3) Citat von Duhamel: Elements de calcul infinitesimal, Bd. ü, p. 266. 4. Aufl.; Paris 1887.
9*
132 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
eine willkürliche Konstante, c^ : c^, enthalten. Um die allgemeine Gleichung (1) zu integrieren, brauchen wir nur in dem eben ge- fundenen Integrale x : ß für x zu setzen.
In dem Spezialfälle m = — 2, wo die vorhergehende Methode hinfällig wird, braucht man nur z = xy zu setzen; (1) wird dann eine in y lineare Gleichung erster Ordnung.
Nachdem wir also die Ricca tische Gleichung integriert haben, ist leicht einzusehen, daß sich das allgemeine Integral dieser Glei- chung durch elementare Funktionen ausdrücken läßt, wenn man:
(6) i;rX2=^ + T' »^ = -
w^-f 2 -^ ' 2 ' 2^+1
setzt, wo p eine willkürliche ganze Zahl bedeutet. In diesem Falle werden ja in der Tat die im allgemeinen Integrale auftretenden Cylinderfunktionen immer unter endlicher Form durch cos x und sin X ausdrückbar. Umgekehrt ist es nicht schwierig zu beweisen, daß sich das allgemeine Integral der Gleichung (1) in dieser Form nur darstellen läßt, wenn m der Bedingung (6) genügt. Die Formeln §11, (8), (9) ermöglichen 'uns also, diesen bei den älteren Autoren^) sehr beliebten Spezialfall unmittelbar zu erledigen.
Sicher hat Schläfli^) zum ersten Male die Auflösung der Riccatischen Gleichung mittelst Cylinderfunktionen gegeben; indessen hat doch LommeP) beinahe zu gleicher Zeit und offenbar, ohne Schläflis Arbeit zu kennen, eine ähnliche Lösung gefunden.
Wir haben indessen zu bemerken, daß schon Euler*) und später Raabe^), also noch zwanzig Jahre vor Schläfli und Lommel, die Gleichung § 47, (4) durch bestimmte Integrale integriert haben.
§ 49. Differentialgleieliung für a;«e±''^-"^ • C^ßx^). Wir kehren nun zu der Gleichung § 47, (4) zurück und setzen: (1) y = e^'^U,
so daß wir also für y folgende lineare Gleichung finden:
1) Z. B. Lacroix: Traite du calcul differential et integral, Bd. 3, p. 537,
2. Aufl. ; Paris 1819. Duhamel: Elements de calcul infinitesimal, Bd. 2, p. 267.
2) Annali di Matematica (2) Bd. 1; 1868.
3) Studien über die Besselschen Funktionen p. 112; 1868.
4) Institutiones calculi integralis Bd. 2, p. 298; 1769.
6) Differential- und Integralrechnung Bd. 3, p. 260 ff. Zürich 1847.
(2)
(5)
Kapitel VIII Lineare Differentialgleichungen für C'\x). § 49. m. 133
die Form dieser Gleichunt:^ zeij^ft deutlich, daß sie sich sehr verein- fachen muß, wenn wir:
(3) Q = ±ßh <^ = y
setzen; denn in diesem Falle finden wir mit der in § 47 angewen- deten Bezeichnung, daß die Funktion:
(4) y = x"-e±^>-*'^-F(ßxy) ein Integral der nicht homogenen Gleichung:
sein muß, so daß sich das allgemeine Integral der entsprechenden homogenen Gleich img folgendermaßen darstellen läßt:
(6) y = x"'e± '-^^^ • (q J' (ßxy) -f Cg F" (ßxy)) .
Wir betrachten folgende zwei Spezialfälle der eben erwähnten homogenen Gleichung:
(7) !/'=' + y'" + i^^ y = 0,
und finden somit für ihi- vollständiges Integral die Ausdrücke:
(9) y = y^(q/»(^) + ^,r^(¥))
(10) y = ^-''(q^" (-2-) + c,Y^' {—)) ■ CT ,
die uns späterhin in § 57 sehr nützlich sein werden.
§ 50. Differentialgleichungen dritter Ordnung.
Wir differentiiereu jetzt die in § 47 für die Funktion x^C^'^ßx^) erhaltene Differentialgleichung nach x:
X
kx
134 Erster Teil. Fimdamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
und finden so, daß sicli stets zwei partikuläre Integi-ale dieser Glei- chung von der dritten Ordnung:
(2) ^^ + Any) = 0,
WO A eine in x durchaus willkürliche Funktion bedeutet, durch die obenerwähnte Funktion herstellen lassen.
Was nun die willkürliche Funktion A anbetrifft, so kann man sie entweder so bestimmen, daß rechter Hand in (2) einer der Koeffizienten von y'^'\ y^^\ y einen gegebenen Wert annimmt, oder man verfügt über diese Funktion so, daß das dritte partikuläre Integral von (2) einer vorgegebenen Fimktion von x gleich wird; denn man erhält aus (2):
(3) ^ = -D,logF(^),
so daß man A unmittelbar bestimmen kann, wenn man nur rechter Hand in (3) für y das gegebene partikuläre Integral einführt.
Wenn umgekehrt A gegeben ist, also das di-itte partikuläre Integi-al von (2) gesucht wird, so findet man aus (3), daß dieses Integral auch folgender nicht homogener Gleichung von derselben Form wie § 47, (4) genügen muß:
Setzt man zum Beispiel voraus, daß das dritte partikuläre Inte- gral von (2) gleich c^ sein soll, so bestimmt man die Funktion A unmittelbar aus (3); der allgemeine Ausdruck für diese Funktion wird etwas kompliziert, dagegen findet man in folgenden Spezial- fällen elegantere Resultate:
1) y = l^ «^=1' ^ = ^ ^ = ¥~^5 die Difi'erentialgleichung:
hat dann das vollständige Integi-al:
(6) y = c^(f + Yx [c^J'ixi) + Cg Y'\xi)) .
2) a==v, ß = i, A = ^-l; wir finden hier die Differentialgleichung:
m '/- + (-^ - 1) ^- + (-^ - 1) 'r> + (1 - ^) j' = 0
Kapitel VIll. Lineare Ditferentialgleicliuugeu für C*'{x). § 50. 13ö mit dem vollstäudi^en lutcgralo: (8) y = c^e'-\-x' (c.J'ixi) + Cj Y'ixi)) .
3) « = -:-, /3 = 2)/v~^n[, y=A, A = -l; setzen wir noch v -f- 1 für v, so fintlt'ii wir, daß die Funktion:
(9) y = c^(f-\- x'T (r, ./• + ' (2 y^) + fj r- + 1(2 y^))
das vollständit^e Intot^ral folgender Gleichung sein muß:
(10) ,.'.-(n-^),/=. + (i;+^:)y..-(-;.+|.), = o.
Die in § 49 für die Funktion:
y = x"e±'!^'^-C'{ßxy)
erhaltene Differentialgleichung:
U{y) = 0
läßt sich auf dieselbe Weise behandeln; wir beschränken uns indessen hier auf die Bestimmung der willkürlichen Funktion A in der Art, daß die Gleichung:
(11) '-^+ÄU{y) = 0
als drittes partikuläres Integral den Wert (f erhält. Wir finden dann, daß die zwei speziellen Gleichungen:
(12) y». + (-1 - 2) ,f> + (1^' _ 1 + 1) y. + ^J , = 0,
(13) ,<3. + f-^^ - 1) ,<« - (iil^) ,a. + '-^y = 0
ZU vollständigen Integralen folgende Funktionen haben müssen:
(14) y = q e- + y^(c,J^ (^) + c, Y^ (f)) e-i,
(15) y=^c,e^ + x^[c,J^' (f ) + c, F" (f )) e"? •
Wir haben außerdem noch einen spezielleren Fall näher zu be- trachten, weil derselbe in unseren Untersuchungen über bestimmte Integi-ale mit Cylinderfunktiouen eine wichtige Rolle spielt. Der Kürze halber setzen wir zu diesem Zwecke:
(16) A„,^,^ ^ yi^) + '-^ y(i) + (/3^ + ^^) y
136 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen. und finden:
(1^)
dx ic "'/
= ,/3)_l 1-20^ + « (2),
X
+ (/3^ + -
y* + (a-l)(l-2a)
a;'
) ^^^^ +
«ß« (a — 2)(a2
+ (?+
aj-
y
Setzen wir weiter voraus, daß a eine von x unabhängige Kon- stante bedeutet, so erkennen wir, daß sich das vollständige Integral folgender linearen homogenen Differentialgleichung dritter Ordnung:
(18)
aA
im allgemeinen folgendermaßen darstellen läßt:
(19) y = x-[c,Jr{ßx) + c^ r>'(^a;) + c,W''^\ßx)) ,
wo TT die Lommelsche Funktion bedeutet; mittelst § 31, (1), (2) und § 47, (4) erhalten wii- für den neuen Parameter Ö folgenden Ausdrack:
(20) 8 = 2 — u-a.
Wir setzen femer:
(21) A;,,,^.y. + (i^-2^;)y.> + (^-ii!-M^^),
und finden;
(22)
+ M^-y' + («--l)(l-2a) _ l-2a + 2a ^ A ^^^^ _^
+ (
(a — 2)(a*-y*) (« — 1) (1 — 2a)^i'
die lineare homogene DifiFerentialgleichung dritter Ordnung:
)!/;
(23)
aA'
«.^.y
hhl _i_ _ A'
a: ' a; «'-^-y'
= 0,
wo a eine von x unabhängige Konstante bedeutet, muß also das vollständige Integral:
(24) y = a;« e' <^ ^ (q J>' (/3 a;) + Cg T^" (/3 ^) + Cg O^' \ßx))
haben, wo der neue Parameter 8 immer aus (20) zu entnehmen ist.
Kapitel Vm. Lineare Differentialgleichungen für C'(x). §51 137
§ 51. Differentialgleichungon vierter Ordnung. Wir haben hier die Gleichung:
(1) ^Jl^ + A?2^ + Byiy)-Q,
ZU betrachten, wo V(y) die in ij 50 Formel (1) definierte Funktion bedeutet, während ^-1 und B in x willkürliche Funktionen darstellen. Offenbar lassen sich dann zwei der partikulären Litegrale von (1) aus der Funktion:
bestimmen; um die beiden anderen zu finden, haben wir die homo- gene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:
(2) e^')-{- Az^'^-\- Bz = ()
zu integrieren; wenn dies ausgeführt ist, finden wir die obener- wähnten partikulären Integrale durch Integration folgender nicht homogenen Gleichungen:
(3) V{y) = z,, V(:y) = ,,,
die ganz dieselbe Form haben wie § 50, (4) und in denen z^ und z^ zwei partikuläre Integrale von (2) bedeuten.
Sind umgekehrt die beiden letzten partikulären Integrale y^ und ?/o von (1) gegeben, so kann man die beiden Koeffizienten Ä und B durch folgende zwei Gleichungen ersten Grades:
(4)
bestimmen; denn die Determinante dieses Gleichungssystemes kann niemals verschwinden, wenn y^ und y^ wirklich von den Cylinder- funktionen und voneinander linear unabhängig sind.
Nach diesen allgemeinen Erörterungen wollen wir denjenigen Spezialfall näher untersuchen, in welchem sich y^ und y.^ aus der Funktion:
x^C'Xißxy)
bilden lassen. Bezeichnen wir der Kürze halber durch V^^y) die Funktion, welche wir aus Vi^y) herleiten, indem wir ßi für ß setzen, so haben wir demnach die Koeffizienten A, B, A^ und B^ so zu bestimmen, daß wir die identische Gleichung:
138 Erster Teil. Fundamentaleigenscliaften der Cylinderfunktionen.
erhalten; eine einfache Rechnung gibt nun:
5 — 2« — 4y
Ä B
A-
X
^V + 4(y-l)(y + C.-l) .2^2^2y-2
rc"
ß^y^x^
so daß sich die gesuchte Gleichung folgendermaßen schreiben läßt:
WO wir der Kürze halber:
a^==2{a'~v'y')-^4:(y-l){y + a-l)-\-(l-2a)(ß-2a--iy), a,^2(a'-v'y')(l-a-2y)+(l-2a){l-2y){l-2a-2y)> a, = (a^-v'y^)(6-2Ä-{-B-{-ß'y'x'y-')
gesetzt haben.
Diese allgemeineren Koeffizienten lassen sich beträchtlich ver- einfachen, wenn man über die Parameter speziellere Voraussetzungen
1 V . ■
macht; so findet man zum Beispiel für y = -^, ^ = ^ ^^^ einfache Gleichung:
2
16p
0)
mit dem vollständigen Integrale:
(8) y^xi{c,J'iyhx) + c, Y'iybx) + c,J^'{y^-l^) + c^Y'(y^^^)) .
In den Spezialfällen v == 0, 1,2 gewinnt man aus (7) folgende bemerkenswerten Gleichungen :
(9) (10)
(11)
16xhß^ + 64xiß^ + 32^(2) _ ^2^ _ 0, 16icV'^ + 32;r?/(3)-622/ = 0,
Wir setzen ferner in (6) g: = Y' ^ ^ 2~ Gleichung:
und finden so die
(2) _ . ^ V
(12) ,.. + i^%/3. + (1..4<l^, ^^„.
mit ihrem vollständigen Integrale:
y = Y^ q J"(l/& • x'^) + c, r'(-)/& • x^)\
?/=o
(13)
+
+ c,
Jv (yZ:^ . a; 2r.) ^_ c^ p' (|/3& . a; 2 v)
(14)
Kapitel VIII Lineare Differentialgleichungen für C*\x\ § 5-'. 139
für V \ erhalten wir hieraus wieder die GkMchung (10), die von Ostenfeld') aufj^estellt worden ist.
Aus § öO, (17) tinden wir folgende Gleichung vierter Ordnung:
dx* ^ X dx ^ X* "«.^r -y ^ X J ^
Setzen wir weiter voraus, daß <i und h zwei von o? unal)hängige Konstanten ))edeuten, so zeigt (2), daß sich das vollständige Integral dieser Gleichung vierter Ordnung:
(15) ?^^ + ^ ^^ + -\ A„ , = 0 ^ ^ dx* X dx X* "'P-y
folgendermaßen darstellen läßt:
(16) y = x"{c,Jy{ßx) + q Yy{ßx) + c.Ur'^ißx) + c,m'^(ßx)) ■
die zwei neuen Parameter d und s lassen sich demnach durch die Wurzeln Aj und A, der aus (2) erhaltenen Gleichung:
(17) A(A-l) + «A + & = 0 folgendermaßen bestimmen:
(18) ö=2 + Ai-«, £ = 2 + ^2-«;
auch dieses Resultat ist für unsere Untersuchung über bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen von großem Nutzen. Wir verzichten dagegen auf die zu (14) analoge Formel für A'„,^ , weil wir von dieser Formel keinen Gebrauch zu machen haben.
§ 52. Differentialgleichungen willkürlicher Ordnung.
Es leuchtet ein, daß die Methoden, welche wir in den beiden vorhergehenden Paragraphen auseinandergesetzt haben, auch auf Differentialgleichungen höherer Ordnung ausgedehnt werden können; wir beschränken uns indessen auf die Untersuchung eines bemerkenswerten Spezialfalles. Zu diesem Zwecke setzen wir wie in § 50:
1) Bei seinen theoretischen Untersuchungen über die Schwingpartie der neuen Brücke „Langebro", welche Kopenhagen mit der Vorstadt Christianshavn verbindet.
140 Erster Teil. Fundamentaleigenscliaften der Cylinderfunktionen.
(1) Viy) ^ tß) + ^^ y^'' + {ß'v'x'^-' + ^.^) y und außerdem:
(2) 2S(«/) = F(^) - /3C)/2a;« + y?-2^
so daß die Funktion a;"TT*''?(/3a;>'), mit einem passenden, von x un- abhängigen Faktor multipliziert, ein partikuläres Integral der nicht homogenen Gleichung:
(3) 35(^) = 0
sein muß.
Differentiiert man nun die Gleichung (3) wiederholt nach x, so findet man, daß:
^"J X ^^" X
s=0 s=0
sein muß, wo die Koeffizienten a^ von x unabhängig sind und wir der Kürze halber:
(5) Gih) = a^ + ^a„_, - Jc(h-1) ■ • • (Jc-s + l)
gesetzt haben. Es ist nun nicht schwer, folgenden Satz zu be- weisen:
Im allgemeinen läßt sich die GUichung (4) durch zwei Cylinder- funktionen und n -\- 1 Lommelsche Funktionell vollständig integrieren.
Daß ein partikuläres Integral von (4), von einem von x un- abhängigen Faktor abgesehen, im allgemeinen eine Lommelsche Funktion sein muß, haben wir ja schon oben bemerkt. Nun ist ferner offenbar, daß die determinierende Gleichung für die zu (4) gehörige homogene DiflFerentialgleichung genau:
(6) G{k) = 0
sein muß; denken wir uns also, daß die Wurzeln dieser Gleichung:
(7) «1, «2, ••-,«„
sind, unter denen sich nicht zwei gleiche finden mögen, so wird das vollständige Integral von (4) durch die Funktion:
y = Ä- x^W'^ißxy) + X" (c^J'Xßxy) -\- Cg Y'ißxy)) +
(8) ^" . .
l s = l
dargestellt, wo wir der Kürze halber:
Kapitel VIII. Lineare Ditfereutialgleicbungen für C*{x). §53. 141
gesetzt haben.
Sinti zwei oder mehrere der Wurzehi (7) einander gleich, so treten in (8) auch nach ^ genounneiu' DiÜ'erentiaUjuotienten der Lomnielschen Funktion auf; dasselbe findet statt, wenn (J, = ±v — 2p, wo p eine ganze, nicht negative Zahl ]>edeutet.
Wir setzen weiter voraus, daü:
wo die 2\ ganze Zahlen bedeuten, und daß übrigens:
a, — a + 9
d
= ± V + m
ist, wo ni eine positive ganze Zahl bedeutet; dann lassen sich die w letzten in (8) vorkommenden Lommelschen Funktionen nach § 30, (2) sämtlich durch endliche Reihen ersetzen.
In dem Spezialfälle a^ = 0, p^= 1, d ^ l findet man folgenden bemerkenswerten Satz:
Diff'crcntiicrt man die für die Funldion:
+ -^ - m + 2
erhaltene Besselsche Differentialgleichung n-mal nach x, so wird durch die zwei Cylindcrfunktionen und durch n endliche Reihen ein Fun- damentalsystem von Intcgnden der so erhaltenen homogenen linearen Differentialgleichung (n + 2)'*'" Ordnung dargestellt.
§ 53. Einige Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen.
Indem wir mit v eine entlliche, aber sonst ganz willkürliche Konstante bezeichnen, suchen wir mit Neumann^) für folgende partielle Differentialgleichung:
wo
(2) r'^^{x-x,y + {y-y,f
gesetzt wird, ein Integi-al, das eine Funktion von r allein ist.
1) Theorie der Besselschen Funktionen p. 59; 1867. Neumann betrachtet den Fall v = 0.
142 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen. Mittelst (2) finden wir unmittelbar:
d^ti
dx'
du du X — x^ |
|||
dx dr r ' |
|||
d^u |
{x—x^Y 1 du r* r dr |
du |
{x—x^Y |
dr^ |
dr |
^3 |
und äkaliche Ausdrücke für die partiellen Ableitungen nach ?/; dem- nacli erhalten wir aus (1) für das gesuchte Integral die Besselsche Gleichuno::
r^ r dr \ r^J '
d^u . 1 du
d aus der sich für das obenerwähnte spezielle Integral ergibt:
(3) u = c,J\r) + c,Y^{r),
wo q und c^ willkürliche Konstanten bedeuten.
Der Neumannsche Fall v = 0 ist später von Poincare^) uud Picard^) untersucht worden.
Wir denken uns im allgemeinen die vier Koordinaten x, y, x^ und y^ reeU, somit ergeben die Formeln des § 59 über asymptotische Darstellungen von J''{x) und F*(a;) folgenden Satz:
Die partielle Differentialgleichung (1) hat als Integral eine FunJition von r allein, und dieses Integral ist in der ganzen reellen Ebene, auch in den sehr entfernten Punkten, immer endlich.
Um ein zweites Beispiel zu geben, suchen wir mit Poisson^) von folgender partiellen Differentialgleichung:
/-\ d^u . 1 du 1 d^u v^
^ ^ dx^ x dx a^ dy^ x^
ein Integral von der Form:
fxy
(5) u\x,y)=-J^^-—-' j F(ay+x(iOBcp){^mq>Yulcp, '^{y)>—\,
0
wo F{x) eine willkürliche Funktion bedeutet, für welche jedoch F^^\x) und F^^\x) beide existieren müssen.
Wir finden nämlich aus (5) ohne Schwierigkeit:
1) Comptes rendus Bd. 117, p. 1027—1032; 1893.
2) Comptes rendus Bd. 118, p. IG— 17; 1894.
3) Journal de l'Ecole Polytechnique cahier 19, p. 224; 1823.
Kapitel VIII. Lineare I>itferentialj?leichuugeu für C*[^x). § 53. 143
(ir
/,is du V
^V{v + \)
yF^^Haifi-x
cos (p) (sin (py ' cos (pdq>'.,
beachten wir, daß eine partielle Integration ohne weiteres die folgende Formel: n
j F^^'>{ay -\- X cos (p) (sin cp)'* cos q) dcp =
0
liefert, so finden wir aus (6) leicht:
n
xV 1
2*M v(v — 1)
dx* X*
V2 X /
u ;^ / i^('^(rt!/+a:cos9))(sin9))^'cos9)(79p-|-
m
+
(f)
F^'^\ay 4- ic cos 9) (sin 9)-*' (^qp;
erinnern wir uns nun weiter, daß
(8)
^ ■ ^* ^ V^r(. + ^) 7^^'^^«^ + ^ '^^ 9') (sin 9)^" ä^
sein muß, so ersehen wir aus (6) und (7), daß (5) wirklich ein Integral von (4) darstellt.
Bedenkt man, daß, wenn iC'ix, y) ein Litegral von (4) ist, das- selbe auch mit den zwei anderen Funktionen:
u'
'^^' ^)' S^^ (^^^ ^"^ ■ ^"*^^' ?/) -^*"'(^7 «/))
der Fall sein muß, so gewinnt man für 1/ = 0, außer u^{x, y\ noch das anderere partikuläre Integral:
(9)
v^{x, y) = f F{ay -f x cos cp) log (a: sin^ fp)d(p,
wie schon Poisson^) gezeigt hat; es ist offenbar, daß v^(x, y) zu m°(ä;, ?/) in demselben Verhältnisse steht wie Y°(a;) zu J^(x).
1) loc. cit. p. 227,
144 Erster Teil. Fundameutaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Wir denken uns nun weiter, daß F(q)) im Intervall von — tc bis + 7t durch die Fouriersche Reihe:
Ä= 00
F((p) = i% + ^ (a, cos (scp) + J)^ sin {s(p))
4=1
darstellbar sei, wo also:
— TT
sein müssen; die Formeln des § 18 ergeben dann mittelst (5), wenn — :jt <, ay + x <i -{■ ^ , für unser partikuläres Integral ohne Mühe folgende eigentümliche Entwicklung:
I I «=00
J^(saj)
s=l
Ähnliche Auflösungen gewisser partieller Differentialgleichungen sind in der mathematischen Physik von größter Wichtigkeit; es würde uns indessen hier viel zu weit führen, näher auf diese Unter- suchungen einzugehen.
Kapitel IX. Lineare Differentialgleiehuiigeii für das Produkt C''(x)C^^^(x).
§ 54. Herleitung einiger Spezialfälle.
Eine Untersuchung von Poincare^) zeigt, daß das Produkt zweier Cylinderfunktionen mit demselben Argumente im allgemeinen einer linearen homogenen Differentialgleichung vierter Ordnung Ge- nüge leisten muß. Die allgemeine Methode von Poincare ist in- dessen sehr weitläufig, so daß wir hier vorziehen, eine mehr indirekte Methode anzuwenden.
Um zuerst die Form der obenerwähnten Differentialgleichung zu bestimmen, gehen wir von der in § 21, (1) bewiesenen Formel aus:
71 1
n+v n—v y'
(1) J~^ (x) J^^ (x) = ^ ■ I J» (2 xcoa (p) COS {v(p)d(p,
1) Acta Mathematica Bd. 8, p. 329 ff.; 1886.
Kapitel IX. Lineare Differentialfjleichungen für C* (x)C,^(x). §54. 145
WO n also eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet; die Bessclsche Gleichung liefert diinn für die Funktidn:
n+v n—y
y = J~ (u-) J"^ {x) die nicht homogene lijieare Gleichung:
a
(2) y^'^ + lv^'^~^fy = -l ■ fj-i^x coHcp) cos{vq>) {2 co3(pyd<p.
0
Führt man nun in dieser Gleichung für die Cylinderfuuktion unter dem Integralzeichen die gewöhnliche Reihenentwicklung ein, so ergibt enie gliedweise Integration, mittelst (f^y), für die Funktion rechter Hand in (2) den Ausdruck:
_ . '^ ^ ^\ s }\2) (M-_2s -f 1) (n -\-28j-^
wendet man endlich die Identität:
a(a-l) _ 1 , e-1 . _J g+1 . 1
a*— 9* '' 2 ' a — Q 2 'a-\-Q
an, so läßt sich (2) auch folgendermaßen schreiben:
(3) ^^) + l y^'^ + (4 - "■ ) y = 2iv + l) u-^{x) -2(1.-1) u^{x), wo wir der Kürze halber:
(4) «'(x)-V ' U M-J
,-^r(,,+i+'4-y(s+i+^^') "+"+2-"
gesetzt haben.
Für diese neue Funktion finden wir nun ohne Mühe, daß:
(5) i>.((f )"•-' W) = I • [yV ■ '''^i-)^'^i'')
sein muß. Multiplizieren wir also (3) mit (a;:2)^~'', so erhalten wir durch Differentiation nach x mittelst (5) die folgende Gleichung:
,„^ , 3 — V ,„, , /. , 1 — w* — 1^-\ ,l^ , /4— 4v , n^v\
(6)
Nielsen, Cyliuderfanktioaeu. 10
^v{v+ l)ir\x).
346 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen. In dem Spezialfälle v = 0 ergibt sich also für die Funktion:
folgende lineare Differentialgleichung dritter Ordnung: (7) 2,(3) 4- A ,ß) + (l + ^) ^(1) + ^y = 0,
die für n = 0 schon von Meissel^) gefunden wurde.
Im allgemeineren Falle setzen wir in (5) — ^' für v und finden so aus (6) die Gleichung vierter Ordnung:
und damit haben wir den vorgelegten Spezialfall vollständig erledigt.
(8)
§ 55. Die Differentialgleichung dritter Ordnung für C'Xx)C^''{^)-
Die Gleichung § 54, (7) leitet ganz natürlich dazu, daß wir für die Funktionen:
{j"{x)y, j\x)j-^{x)
eine Gleichung dritter Ordnung von folgender Form suchen:
(1) y''^ + ~ y''^ + (« + -J} y''' + (| + ^s) 2/ = O;
um die fünf noch unbekannten Koeffizienten zu bestimmen, führen wir in (1) die Reihenentwicklungen für die zwei obenerwähnten Funktionen ein und finden so die Bedinemno;:
4(ö - 1) [c3 (ca - 1) (cj — 2) + « w (« - 1) + &Ö + c] =
wo wir a — 2v -^ 2s oder cj = 2s gesetzt haben.
Die Gleichung (2) muß also für unendlich viele Werte von a richtig sein, d. h. sie muß eine formelle Identität sein; ordnen wir sie also nach fallenden Potenzen von «, so müssen die einzelnen Koeffizienten für sich verschwinden. Bemerkt man noch, daß der Ausdruck rechter Hand in (2) für o = + 2v, a = 0 verschwindet, so muß die gesuchte Gleichung offenbar folgendermaßen lauten:
(3) y^'^ + ~ 2/(^) + (4 + ^^) 2/(^) + 1^ = 0.
1) Gewerbeschulprogramm Iserlohn 1862,
(2)
Kapitel IX. Lineare Differentialgleichungen für C''(a:)C,^(.T). §66.66. 147
Beachtet man ferner, daß (3) nngeiindert bleibt, wenn v sein Zeichen wechselt, so erhellt, daß sich das vollständige Integral dieser Gleichung durch folgende Funktion darstcllfii läßt:
(4)
y = c, {J^{x)y + c, J'{x) Y^{x) + c, ( Y^(x)y.
Durch eine Transtbrinatiou der unabhängigen Variabcin lindt-t man für die Funktion:
(5) ^ = C^ißxr) C^ißxr)
die Gleichung:
(6) ^(3) + A ^(2)+ (4^2y2^2y-2_,_LZLA^*\ ^(1) 4. 4 ß^'y-X^r - ^ 2 = 0 ',
setzt man hierin:
z = x-"ij,
so erhält man für die noch alltjemeinere öleichuns::
(T)
ys) _^
3(1 -a)
X
y
(2) + (.
1 — 4v*y- + 3a(a— 1)
a;=
-^4ß'f'x'-y--^y^'^ +
+ ("
a(4v*y* — a*)
a;'
+ 4/3V^(j'-«)a;->'-')y = 0
das vollständige Integral:
(8) y = x" (c, {j'{ßxr)Y + c, J" (/3a:>') 7^ (^a:'') + C3 [Y^ßx^))') .
Es ist also offenbar, daß in (7) die Derivierte y^'^ wegfallen muß, -wenn man «=1 annimmt; setzt man ferner ß = y = 1, so ergibt sich die einfache Gleichung:
1 — 4v^ ,n , iv^—1
(9)
y
(3)
, /. , 1 — 4v='\ ,.^ . iv^—l f.
-— ergeben außerdem die weitere
2y ^
die Annahmen a = 1, v = ß
Gleichung:
(10) ?/(3) + a;2y-27/{i) + {y-l)x'"y-hj = 0
mit dem vollständigen Integrale:
(11)
1
, = .(., {.A [0 + c,J'-r Q Y^\ Q +
Von (10) verdienen die Spezialfälle y = \, |, 2 hervorgehoben zu
werden.
10*
148 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
§ 56. Die Differentialgleichung vierter Ordnung für C^'(x)C-^^(oc).
Von der Gleichung § 54, (8) ausgehend, suchen wir für die Funktion J^'(x)J^(x) eine Differentialgleichung von der Form:
(1) '/'^ + I J/'" + (4 + ^) V^'> + (-^ + ^) !/'■' + (^ + ^) ^^ = 0;
WO die noch unbekannten Koeffizienten a, h, c von x unabhängio- sind; um diese Koeffizienten zu bestimmen, führen wir in (1) die obenerwähnte Funktion ein und finden so, daß die Gleichung:
( cö((o — 1) ((ö — 2) ((0 + 3) + aw (c3 — 1) + 5ca + c =
wo a = V -\- Q -{- 2s gesetzt ist, für alle Werte von co gültig sein muß, so daß sich die drei Koeffizienten leicht bestimmen lassen. Bedenkt man, daß die Größe rechter Hand in (2) für a = + q + v verschwinden muß, so findet mau demnach die Differentialgleichung:
(3)
+ (f+^-^S-^>'" + (^ + ^^-^> = o
da in 'dieser Gleichung nur die Quadrate der zwei Parameter v und Q vorkommen, so kann man das Zeichen dieser Parameter ganz willkürlich nehmen; also wird das vollständige Integral von (3) gleich:
(4) ^ = Cj J' (x) JQ (x) + Cg J' (x) YQ (x) + f 3 Y''{x) Ja {x) + c^ Y' {x) Y^ {x).
Hier muß man jedoch voraussetzen, daß v nicht gleich + q sei, denn in diesem Falle sind die vier in (4) eingehenden partikulären Integrale nicht mehr linear unabhängig. Dieser Fall interessiert uns indessen hier nicht weiter, weil wir im vorhergehenden Para- gi-aphen eine Differentialgleichung dritter Ordnung für die zuge- hörigen Cylinderfunktionen gegeben haben. Das vierte partikuläre Integral von (3) läßt sich übrigens ohne Mühe bilden.
Die gewöhnlichen Transformationen liefern für die Funktion:
(5) «/ = a;" C"(/3a;>') C^^i^x^) die allgemeinere Differentialgleichung:
(6)
+ [Uß'y'x^^y-^ + ^'"~'^') y^'^ + (4^/3VV/-^ +^) y = 0,
(7)
Kapitel X. Angenilhertc Darstellungen von C*{x). % 67. 140
wo wir der Kürze halber:
a = ^{a-iy -2y^{v^ -^ Q^, i = 2y-2a+l,
c = 2y«(i.» + p»)-2«(«-l)-l, rf = («-y)(a-2y), e = (^vy-{-QyJ^a){y'y-\-Qy — a){vy — Qy + tt){vy — Qy — a) gesetzt haben.
Es leuchtet also ein, daß für « = .3 die Derivierte i/^'> nicht in (6) vorkommen kann.
Wir betrachten noch besonders den Spezialfall q = v -\- n -{- \, wo II eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet; die allgemeine Lommelsche Fundamentalformel § 7, (4) zeigt dann, daß die Funktion:
(8) ij = x''-^R''''{ßxy)
ein partikuläres Integral der entsprechenden Gleichung (6) sein muß. Damit haben wir für das Lommelsche Polynom diejenige lineare Diflerentialgleichung vierter Ordnung gefunden, welche Hurwitz^) ohne Beweis mitgeteilt hat.
Kapitel X. Angenäherte Darstellnngen einer Cylinderfunktion.
§ 57. Die Hankeischen Integrale.
Wir haben in den vorhergehenden Kapiteln die Fundamental- eigenschaften der Cylinderfunktionen kennen gelernt, indem wir dabei annahmen, daß das Argument stets eine endliche Größe bedeute. Um die Cylinderfunktionen indessen vollständig zu beherrschen, reicht dies nicht aus; wir müssen vielmehr noch ihr Verhalten für sehr große Werte des absoluten Betrages des Argumentes unter- suchen, d. h. wir müssen sie in einer asymptotischen Reihe zu ent- wickeln suchen.
Zu diesem Zwecke betrachten wir im Anschluß an die älteren Methoden folgendes bestimmte Integral, für welches der Integrations- weg mit der Achse der positiven Zahlen zusammenfällt:
OD
(1) V = fe-'''{t-\-yytQdt;
1) Mathematische Annalen, Bd. 33, p. 251 Note; 1889.
150 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
dies Integral ist eigentlich der einfachste Spezialfall derjenigen all- gemeineren Integrale, die wir in Kapitel XIV noch näher zu unter- suchen haben. Indem wir den allgemeinen Methoden folgen, wollen wir hier den Wert von V direkt bestimmen, was ohne Schwierig- keit geschehen kann.
Das Integral (1) konvergiert unbedingt, wenn:
(2) 9^(^)>0, m{Q)>-l
ist, und wenn y nicht gleich Null oder einer negativen reellen Größe angenommen wird. Wenn die erste dieser Bedingungen nicht er- füllt ist, kann das Integral jedenfalls nicht immer unbedingt konver- gieren; man findet hier die Bedingungen:
(3) m(x) = 0, x + O, ^(q)>-1, 'dl{Q + 0)<O.
In dem ganz speziellen Falle, wo x = 0 ist, müssen wir voraus- setzen, daß:
(4) ^ = 0, m{Q)>-l, 3?(?-fö)<-l
ist. Wenn y reell und negativ ist, müssen wir zu den vorstehenden Bedingungen noch die weitere hinzufügen:
(5) ^i0)>-l, während ^ = 0 noch die Bedingung:
(6) 91(^-f-(?)>-l,
erfordert, so daß der Fall x = y = 0 ausgeschlossen bleiben muß.
Wir setzen nun einstweilen x als positiv voraus; die Substitu- tion tx = r ergibt dann:
(7) V=x-'"'^(xy), co = Q + a -^1, wo demnach:
CO
(8) ^{xij) =^Je-*^{txyifi-'"(t -f yydt
0
gesetzt wird und eine Funktion des Produktes xy bedeutet. Die Gleichung (7) ist indessen nur bewiesen, wenn x eine positive Größe bedeutet; einem bekannten Satze ^) zufolge ist sie aber überall da anwendbar, wo das Integi-al V eine in x analytische Funktion dar- stellt. Von einem einfachen Faktor abgesehen, ist V also eine Funktion des Argumentes xy^ die Form (1) dieses Integrales scheint also unnötig kompliziert zu sein, denn theoretisch ist es ja nicht
1) Neumann: Vorlesungen über Kiemanns Theorie der Abelschen Integrale. Leipzig 1884, p. 35.
Kapitel X. Angenäherte Darstellungen von ^(x). § 57. 151
all^'emeinor als dasjenige von derselben Form, wo y= 1 angenoinmeu wird. Wir bemerken hierzu nur, daß diese neue Variable y sowohl bei der Herleitung des Wertes des Integrales als für seine Anwen- dungen eine wichtige Rolle spielt.
Um nun den Wert des Integrales 35 zu bestimmen, beiuitzen wir zunächst die Differentialgleichung:
und differentiiereu in (f^) unter dem Integralzeichen nach x, was unter der Bedingung {'2) offeubjir erlaubt ist; die Identität t=it-^ij) — y ergibt dann für ^ die Gleichung:
00
(9) yW\xtj) -{~-\-y) ^i^y) = -Je-'^{txYt^—{t + yY + 'dt,
u wo wir der Kürze halber:
SS<..(.,) = «
gesetzt haben. Differentiiereu wir nun die Gleichung (9) abermals nach y, so finden wir, nach einer Division durch xy, für ^(x) fol- gende homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:
(10) WKx) + (^^ - l) WKx) + -^ 58 ix) = 0,
welche wir mit der in § 49, (5) für x''e~'>^''^C^{ßxy) gefundenen Differentialgleichung zu vergleichen haben.
Nun ist es klar, daß diese beiden Gleichungen dann und nur dann identisch sein können, wenn:
i 1
tt=v, /3 = Y, 2« = « = p + ö + 1, a — Y = (5, 7 = 1
also wenn
a=v, Q = a=v — -^, /3=27 w = 2i/, y = l
angenommen wird, so daß man für das entsprechende Integral fol- genden Ausdruck:
00
(11) /e-"r ä («+y)-i-,«=(|)'.^(o,/' (4) + ., F'ff ))
findet; außerdem haben wir gesehen, daß das Integral linker Hand in (11) das einzige von der Form (1) ist, welches sich direkt durch Cylinderfunktionen ausdrücken läßt.
152 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfanktionen.
Der Faktor if rechter Hand in (11) ist eingefülirt worden, weil ja das Integi-al linker Hand, mit x^" multipliziei-t, eine Funktion des Argumentes xy darstellen soll, so daß nun die beiden noch unbekannten Koeffizienten q und Cg sowohl von x als von y unab- hängig sein müssen und also nur Funktionen von v allein sein können; diese Funktionen müssen aber überall dieselben sein, wo das Integral linker Hand überhaupt einen Sinn hat.
Um nun die Koeffizienten c^ und Cg zu bestimmen, greifen wir zunächst auf die Bedingung (4) zurück; das Integral linker Hand in (11) läßt sich dann mittelst (f^^) berechnen, während die von Y^'{x) herrührende Funktion J~'(a;) rechter Hand verschwindet; also finden wir folgende erste Gleichung:
(^+i>
VTti
(12) q sin vtc -\- c^cos,v7t = — ^T\v + ^Je ^
die somit überall gültig bleibt, wo das Integral einen Sinn hat. Zweitens ziehen wir die Bedingung (6) in Betracht, setzen also ?/ = 0 ; das Integral läßt sich dann mittelst (f^^) bestimmen, während die Funktion J^'{x) rechter Hand verschwindet, so daß wir die zweite Gleichung: ^^^
(13) c, = -^v{v + :^)e-^-'
erhalten, die ebenfalls überall gültig bleibt, wo das Integral einen Sinn hat. Somit finden wir endlich die Formel:
0
Setzen wir ferner in (14) — y = ye"' für y, so ergibt sich mittelst § 5, (6) folgende ganz analoge Formel:
0
die mithin unter denselben Bedingungen gültig ist wie (14).
Sind X und y beide positiv und v reell, so werden die beiden Ausdrücke in (14) wegen § 4, (5) reell, während das Integral (15) reell wird für y negativ.
Hankel^) hat die Formeln (14), (15) für y = — 2i gefunden; später hat Dini^) dieselben Formeln durch eine Änderimg des Integrationsweges aus dem zweiten Bess eischen Integrale hergeleitet.
1) Mathematisclie Annalen Bd. 1, p. 491; 1869.
2) Serie di Fourier, p. 234; Pisa 1880.
Kapitel X. Angenäherte Darstellungen von C*'(x). § 58. 153
§ 58. Asymptotische Reihen für ///(x) und H^^ix). Wir setzeu:
und führen in § 57, (14), (15) ;• für ./ ein; wir erhalten dann die zwei Formeln:
0
OD
(2) fc-'{l-'{e-")" ' t'-idt-y'^-'^-^^-ji"-'- ") . H,'{x). 0 r t
Weiter setzen wir:
(i+ 2 ^""y~^^9fi(o+*s(o,
wo ^(t) lind 3(0 reelle Funktionen der reellen Variabein t be- deuten, und finden so die folgende Taylor sehe Reihenentwicklung:
s= n
(3) ^(t) + im = 2{''~s^) (y)^^-"'' + ^n(o,
wo wir der Kürze halber:
gesetzt haben, während s und a zwei Größen zwischen 0 und 1 bedeuten.
Wir führen nun in (1) die Reihenentwicklung (3) ein und er- halten, "wenn f(x) das Integral linker Hand bedeutet, somit:
OD
(5) fix) = "^^ (P„(^) + iQ.i^)) +fc-n^-^R^{t)dt,
r 'S" ."q
wo wir folgende Abkürzungen eingeführt haben:
(6) P,(^)_i+ytJ'.l^ — iJ\ — ti-^^i L^,
V ^ n\ J I ^ (2s)! (2a;)^'
»=1
2
,. (-4^)(-i')- e-^^^^)
(^) ^-(^^^^iMn-
154 Erster Teil. FandamentaleigensGtiaften der CTlinderfonktionen.
Es ist sonach offenbar, daß die Reilieii P^ui) und Q,(j:) im aUgemeinen for n =-= ex: divergent sein müssen; nur in dem Spezial- fälle, in welchem r die Hälfte einer ungeraden ganzen Zahl bedeutet, brechen diese Reihen von selbst ab, und wir hnden dann srenau die in ^ 11 für die Poissonschen Cvlinderfimktionen gegebenen Ausdrücke.
SoU nun aber die Formel (5) wirklich die asymptotische Reihe für f{jc) liefern, so muß es nach der Definition von Poincare^) möglich sein, einen hinlänglich großen Wert X von j: zu bestim- men, so daß. wenn ' :c > X vorausgesetzt wird.
v-/
f 3fBJ l^\jf fe-'^f-^B^ [f' dt <6
ist, wo ö eine vorgegebene positive Größe von beliebiger Kleinheit bedeutet. Xun findet man leicht, daß:
(9)
0
sein muß. wo K eine endliche Größe bedeutet, und wo wir der Kürze halber '^[y) = v gesetzt haben; die letzte Ungleichheit (9) ermbt aber unmittelbar S .
Die Formel (2) läßt sich auf dieselbe Weise behandeln; somit haben wir bewiesen, daß die Entwicklung (5i und die zu ihr analoge aus (2) erhaltene wirklich die asymptotischen Reihen für die zwei in (1) und (2) auftretenden Integrale liefern, wenn nur:
vorausgesetzt wird; demnach finden wir:
(10) r'('""'^') H.^ix^^y'J-^iPM + iQ^{x)),
(11) e i:-'-^^) . m^ix) ^ ]/^ (p^(^) _ i ^^(,;;,) ,
wo das Zeichen ~ eine asymptotische Gleichheit im Sinne Poin- cares bezeichnet.
1) Acta Maüiematica Bd. 8, p. 297; 1886.
Kapitel X. Angenäherte Darstellungen von C*(x). § 58. 155
Setzt man weiter in (1) 0 = —, so ist einleuchtend, daß die
Formel (10) auch in diesem Falle noch ihre Gültigkeit behält, während (2) direkt keine asymptotische Darstellung mehr liefern kann. Setzt man indessen in § 57, (15) xe^' für x und y = 2c~"f,
wo — s" < 9' < + V vorausgesetzt wird, so findet man, nach einer
Division durch t/'~l, die Formel:
und das so erhaltene Integral läßt sich ohne Mühe nach der oben gegebenen Methode entwickeln, so daß die Formel (11) auch hier gültig bleibt.
In den vorhergehenden Untersuchungen haben wir immer 9H(v) > — ^ voraussetzen müssen; wenn diese Bedingung nicht er- füllt ist, kann man das Zeichen von v unter Anwendimg der For- meln § 4, (2) wechseln, so daß die asymptotischen Gleichheiten (10), (11) auch in diesem Falle gültig bleiben.
Wir haben so den allgemeinen Satz bewiesen:
Wenn v ehie imllkürlklie endlkhe Größe bedeutet ^ und x = re"*
ist, wo — ^ < ö < 4- IT vorausgesetzt icird, so sind die beiden asijmpto-
tischen Eeilwn (10) und (11) in der ganzen so bestimmten Halbebene amcendbar.
Dieser Satz ist in der Tat höchst merkwürdig und zum Bei- spiel in der Theorie der Fakultätenreihen von großem Interesse.
Wemi der Winkel ß der oben gestellten Bedingung nicht ge- nügt, so kann man die Formeln § 5, (6), (7) anwenden und findet dann die höchst wichtige Folgerung des obenerwähnten Satzes:
Wenn v eine iciUkürlicJie endliche Größe bedeutet, so sind die Grenzwerte:
(12) ,]^^^ (v^e-'-'S,' (x)) , ]i^^ {Vxe'-^E,^{x))
stets zugleich endlich mid von Null verschieden.
Eben diese Grenzwerte sind es, welche die gi'oße Anwendbar- keit der Hank eischen Cylinderfunktioneu im Gebiete der bestimmten Integrale bedingen.
Die Formeln (10), (11) sind zuerst von HankeP^ aufgestellt
1) Mathematische Annalen Bd 1, p. 494; 1869.
156 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
worden; wie Hurwitz^) bemerkt hat, beurteilt er indessen die Trag- weite seiner Resultate falsch. Später hat H. Weber^) die Formel (11) entwickelt, während Dini^) wieder beide Formeln gab.
§ 59. Asymptotische Entwicklungen für J'''{x) und Y^'{x).
Multipliziert man in § 56, (10), (11) mit den Exponential- funktionen, so erhält man nach einer Addition und Subtraktion der beiden so gewonnenen Formeln folgende asymptotische Dar- stellungen :
(1) J" (x) - 1/^ (cos (x - ^^ 7c) P„ (x) - sin (x - ^-^ 7t) Q, (x)^ ,
(2) Y^{x) ~l/^(siB {x - ^-^ Tc) P„{x) + cos {x-'-^ TC) QJx)),
wo X als positiv anzunehmen ist. Ist dies nicht der FaU, oder bleibt wenigstens die imaginäre Komponente von x nicht endlich, so können die Formeln (1) und (2) die beiden Cylinderfunktionen nicht im Sinne Poincares asymptotisch darstellen.
Doch sind auch in diesem Falle die beiden Formeln (1) und (2) noch sehr nützlich, da sie uns immer über das Verhalten der Funktionen J und Y für große Werte von | x \ Auskunft geben. Betrachten wir zum Beispiel den Fall, in welchem das Argument in der Form xi gegeben ist, wo x eine positive Größe bedeutet, so finden wir aus (1), (2) folgende asymptotische Darstellimgen:
^ -^ ^ ^ 1/2 jta; y27tx
^ -^ ^ ^ y^-zx y27tx '
Formeln, die uns späterhin sehr nützlich sein werden.
Sicher hat Poisson*) zum ersten Male die Formel (1) für V = 0 gegeben, während Hansen^) dieselbe Formel für v = 1 an- gibt und Jacob i^) unsere Formel für einen willkürlichen ganzen
1) Mathematische Annalen Bd. 33, p. 246; 1889. 2) Ebenda Bd. 6,
p. 148; 1873.
3) Serie di Fourier p. 234, Pisa 1880.
4) Journal de l'Ecole Polytechnique, cahier 19, p. 350; 1823.
5) Memoire sur la determination des perturbations absolues p. 113 — 117; Paris 1845. (Deutsch erschienen 1843.)
6) Astronomische Nachrichten Bd- 25, col. 94; 1849.
Kapitel X. Angenäherte Darstellungen von C*{x). § 69. 60. 157
Wert von v ohne Beweis mitteilt. Der erste Beweis für diese allgemeinere Formel scheint von Plana 'j gegeben oder wenigstens klar angedeutet zu sein; Anger-) behandelt ausführlicher die Ent- wicklungen von Jacobi. Schliimilch') und Lipschitz*) geben wie Hansen unsere Formel für r = 0 und v = l, während sie zugleich darauf hinweisen, wie es möglich sei, dieselbe Formel für ganze Werte von v zu finden.
Lommel^) gibt ohne Beweis die beiden allgemeinen Formeln (1) und (2) an; in den letzten Jahren hat Weber'') eine neue Her- leitung der beiden Formeln (1) und (2) für ganze v geliefert, wäh- rend Stiltjes') dieselben Formeln sehr eingehend für v = 0 unter- sucht hat.
In den Paragraphen 2 und 3 haben wir asymptotische Aus- drücke für die Cylinderfunktionen erster und zweiter Art unter der Voraussetzung gegeben, diiB | a; | endlich bleibt und \v\ sehr groß ist; hier haben wir also den umgekehrten Fall auseinandergesetzt. Es wäre sehr wünschenswert, auch den Fall l)emeistern zu können, in welchem sowohl \x\ als \v\ sehr groß, doch aber so angenommen werden, daß ihr Verhältnis endlich bleibt. Dieser Fall scheint indessen große Schwierigkeiten zu bieten. Vollständig kennt man bisher, wenn ich nicht irre, nur den einfachsten Fall, in welchem x und v beide als positiv angenommen werden^). Der von Cauchy®) gegebene Ausdruck ist in der Tat gar nicht asymptotisch, sondern nur als ein sehr ungenauer Majorantwert anzusehen; wir werden später (§ 122) die Formel von Cauchy verallgemeinem.
§ 60, Numerische Tafeln für Cylinderfunktionen.
Obgleich die numerische Berechnung der Cylinderfunktionen noch andere Methoden in Anspruch nimmt als diejenige, welche wir in den vorhergehenden Paragraphen entwickelt haben, scheint es
1) Memoria delF Accademia di Torino serie 2* Bd. 10, p. 283; 1849.
2) Neueste Schriften der Naturforschenden Gesellschaft Danzig Bd. 5, p. 18; 1855.
3) Zeitschrift für Mathematik und Physik Bd. 2, p. 147—153; 1857.
4) Journal für Mathematik Bd. 56, p. 193—196; 1859.
5) Studien über die Besselschen Funktionen p. 57 — 65; 1868.
6) Mathematische Annalen Bd. 37; 1890.
7) Anuales de l'Ecole Normale (3) Bd. 3, p. 233 ff.; 1886.
8) Graf und Gubler: Einleitung in die Theorie der Besselschen Funk- tionen Heft I, p. 96.
9) Comptes rendus Bd. 13, p. 687, p. 854; 1841.
158 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
uns doch angemessen, hier eine Übersicht über die wichtigsten Tafeln für diese Funktionen mitzuteilen. Der Kürze halber be- zeichnen wir das Intervall der Tafel mit d, während die Zahl p der Decimalstellen, welche die betreffende Tafel mitteilt, einfach mit p Dec. bezeichnet werden soll.
1) Die Tafel von BesseV) gibt die Werte von J^{x) und J'^ix) von X = 0,00 bis x = 3,10 mit 10 Dec. und für d = 0,01.
2) Die Tafel von Airy-) gibt die Werte von J'^{x) von x = 0,0 bis 10,0 mit 4 Dec. und für fZ = 0,2; von dieser kleinen Tafel hat Knochenhau er ^) in seineu optischen Untersuchungen Gebrauch gemacht.
3) Die Tafeln von Hansen^): die erste gibt die Werte von J^{x) und J^{x) von x = 0 bis a; = 10,0 mit 6 Dec. und für f7 = 0,l; die zweite bietet mit 7 Dec. eine Reihe von Werten von J"(x), wo 71 und X einander ziemlich gleich sind. Diese Tafel ist offenbar mit Rücksicht auf die Besselsche Auflösung der Kepler sehen Gleichung berechnet worden.
Es ist indessen daran zu erinnern, daß Hansen immer J"(2x) in Betracht zieht; Schlömilch^) druckt die Hansenschen Tafeln ungeändert ab, während LommeP) sie mit dem gewöhnlichen Argu- mente angibt.
4) Die Tafel von MeisseV) liefert die Werte von J^(x) und J^{x) von X = 0,00 bis x = 15,50 für d = 0,01 und mit 12 Dec.
5) Die Tafel im Report of tlie meeting of tlie British Association for tlie advancement of science 1889 gibt die Werte von J"{pc) für w = 0, 1, 2, . . . , 1 1 von X = 0,0 bis x = 0,6 für d = 0,2 und durch- gehends mit 12 Dec.
6) Die Tafel im Report of the British Association 1893 liefert für d = 0,001 und mit 9 Dec. die Werte von J\x) von x = 0,000
bis X = 6,000 und für d = 0,2 die Werte von J^^iiYx) für x = 0,0 bis X = 6,0.
7) Die Tafel im Report of the British Association 1896 gibt die Werte /^a;) von ic = 0,000 bis ic = 5,1000 für (?= 0,0001 und mit 9 Dec.
1) Abhandlungen der Berliner Akademie 1824, p. 46 — 52.
2) PoggendorflFs Annalen Bd. 45, p. 95; 1838.
3) Undulationstheorie des Lichts. Berlin 1839.
4) Memoire sur la determination des jDerturbations absolues. Paris 1845 (1843).
5) Zeitschrift für Mathematik und Physik Bd. 2, p. 158—165; 1857.
6) Studien über die Besselschen Funktionen, 1868.
7) Abhandlungen der Berliner Akademie 1888.
Kapitel XI. Nullstellen. Untersuchungen von Hurwitz. § ül. 159
Die vier letzten Tafeln sind in dem Buche von Gray und Matthews'') abgedruckt. Weit spärlicher scheint die Berechnung von Tafeln für die Neuniannsche Cylinderfuuktion erfolgt zu sein; für sie ist mir in der Tat nur eine einzige Tal'el Ijekaimt:
8) Die Tafel voti Smit/i^), welche die Werte von Y^{x) und Y^{x) von a;= 1,00 bis x = 10,20 für (/ = 0,01 und mit 4Dee. angibt.
Für die Cylinderfuuktion der ersten Art mit nicht ganzem Parameter kennt man nur eine Tafel von LommeF), welche für ganze Argumente die Werte der Poissonschen Cylinderfuuktion mit dem Parameter w + {, n ganz, bietet.
Kapitel XI. Nullstellen. Untersucliuiigeii von Hnrwitz.
§ 61. Allgemeine Sätze über die Nullstellen einer Cylinder-
funktion.
Die Eigenschaften der Cylinderfuuktionen, welche wir iu den vorhergehenden Kapiteln ermittelt haben, erlauben uns, unmittelbar eine Reihe von Sätzen über die Nullstellen solcher Funktionen her- zuleiten. Wir wollen deshalb hier an der Spitze unserer Theorie der Nullstellen die wichtigsten dieser Sätze vorausschicken, obgleich wir die Existenz dieser Nullstellen noch nicht allgemein bewiesen haben.
Die asymptotischen Entwicklungen, welche wir in dem vorigen Kapitel gegeben haben, zeigen ohne weiteres die Richtigkeit des folgenden Satzes:
I. Wenn v endlich ist, so haben die Funktionen J^{x) und Y^ix) unendlich viele Nullstellen, die sich, je größer und größer ihre ab- soluten Beträge iverden, mehr und mehr den Ausdrücken
(1) {li-^~)7C + ~^%, küi^-f-^
nähern, wo k eine ganze Zahl von überaus großem absolutem Betrage bedeutet.
1) Bessel functions, London 1895.
2) Messenger (2) Bd. 26, p. 98—101; 1896.
3) Abhandlungen der Münchener Akademie Bd. 15, p. 644—647; 1886.
160 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Bemerkt man nämlich, daß die imaginären Komponenten der Zahlen (1) stets endlich bleiben, so sind die Reihen § 59, (1), (2) offenbar wirklich asymptotische Reihen im Sinne Poincares; der Satz ist somit einleuchtend. Wir wissen aber nicht, ob diese Cylinder- funktion außer den Zahlen (1) nicht noch sehr ferne Nullstellen besitzen.
Die Hankeischen Cylinderfunktionen scheinen in Bezug auf ihre Nullstellen recht eigentümliche Verhältnisse zu haben; so er- geben zum Beispiel die Formeln (12) des § 11 unschwer:
II. Wenn n eine positive ganze Zahl bedeutet, so haben die beiden Funktionen ]I^"'^y(x) und H^'''^-\{x) im endlichen Gebiete der x- Ebene genau n NidJstellen, verschivinden aber sonst nur mit e-' .
Wenden wir uns nunmehr zu den Fundamentalformeln für Cylinderfunktionen, so finden wir weiterhin:
in. Die Cylinderfunktion C''{x) kann außer Nidl keine mehr- fache Nidlstelle haben.
Denn eine mehrfache Nullstelle von C^'(x) müßte zufolge Formel
(1) in § 4 zugleich eine Nullstelle von C' + ^(.r) sein; dies ist aber unangängig, wie deutlich aus der Lommelscheu Fundamentalformel § 7, (5) hervorgeht. Diese letztere Formel ergibt außerdem noch:
IV. Zwei verschiedene Cylinderfunktionen mit demselben Para- meter C^(x) und C^^{x) können keine gemeinsame NullsteUe haben.
Die zweite Fundamentalformel für Cylinderfunktionen zeigt ferner :
V. Wenn a eine von Null verschiedene Nullstelle von C''(x) be- deutet, ist immer
(2) C"-\a) = -C' + \a).
Die allgemeine Formel § 11, (1) liefert noch folgenden Satz:
VI. Wenn n eine ganze Zahl bedeutet, so können die Cylinder- funktionen C^'{x) und C^' + "{x) außer Null jedenfalls keine andere Nullstelle gemeinsam haben als die Wurzeln der algebraischen Gleichung:
(3) E^'«-Xa^) = 0.
Wahrscheinlich haben diese Cylinderfunktionen außer Null über- haupt keine gemeinsamen NuUsteUen. Bourget^) behauptet bewiesen zu haben, daß J"(x) und J^+p^x), wo n und j> ganze Zahlen sind, außer Null keine gemeinsamen Nullstellen haben können; indessen hat er nur so viel bewiesen, daß diese Funktionen außer NuU keine mehrfachen Nullstellen haben können.
1) Annales de l'ficole Normale Bd. 3, 1866.
Kapitel XI. Nullstellen. Untersuchmif^en von Hnrwitz. § Gl \{]\
Die Integrallbrmehi § 28, (6), (7) führeu weiterhin zu folgen- dem Satze:
VII. Wnin '3i(v) > — 1 vorausgesetzt uird uml u und ß von Null verschiedene Nullstellcn von J'(2') bedeuten, so ist: 1
u Setzt man in (4) v = + \, so findet man als Spezialfall die be- kannten Formeln für die trigonometrischen Funktionen.
Über die Kealität der Nullstellen von (^.j J''{ji) erhalten wir
aus (4) noch den Satz:
Vni. Wenn v reell und größer als — 1 vorausgesetzt wird, so hat die Funldion J*'{x) nur lauter reelle Nidlstellen.
Erstens ist es offenbar, daß fP{x) keine rein imaginären Null- stellen besitzen kann, denn (—rj J''{xi) muß ja für reelle x immer
positiv sein. Wäre nun weiter p -\- q_i eine komplexe Nullstelle der- selben Funktion, so müßte sie nach einem bekannten Satze von Schwarz^; auch die konjugierte Nullstelle ^ — gi haben. Nun sind
aber nach demselben Satze «7"' (^(p + gO) und f7*'(a:(2) — ^-i) , w^o x als positiv anzusehen ist, wieder konjugierte komplexe Größen, ihr Produkt also immer positiv, und somit kann das Integral linker Hand in (4) nicht verschwinden.
Schon Euler^) hat bemerkt, daß J^{x) lauter reelle Nullstellen haben muß; neuerdings hat Bocher^) einen elementaren Beweis desselben Satzes gegeben. Steru^) hat den obenerwähnten Satz für ganze Werte von v bewiesen, "svährend zuerst Schlaf li") den all- gemeinen Satz mittelst des oben gegebenen Beweises hergeleitet hat; dieses Beweisverfahren ist übrigens nach einer Bemerkung von Sturm^) Poisson'') zuzuschreiben.
Obgleich wir hier noch gar nicht allgemein bewiesen haben, daß es wirklich solche reelle Nullstellen von J''{x) gibt, wollen wir
1) Mathematische Abhandlungen Bd. 2, p. 66 ff.
2) Acta Academiae Petropolitanae 1781, p. 174 iF.
3) BuUetin of the American Math. Sog. (2) Bd. 5, p. 385—388; 1899.
4) Journal für Mathematik Bd. 22; 1841.
5) Mathematische Annalen Bd. 10, p. 137; 1876.
6) Joiu-nal de Mathematiques Bd. 1, p. 384; 1836.
7) Bulletin de la Socie'te philomatique 1828. Theorie mathe'matique de la chaleur p. 178. Paris 1835.
Nielsen, Cylinderfunktionen. 1 1
162 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
doch, indem wir den Satz für den Augenblick als bewiesen vor- aussetzen, um den Zusammenhang nicht zu unterbrechen, hier noch folgenden Satz mitteilen:
IX. Wenn v reell ist, so verteilen sich die reellevi Nullstellen a von J*'{x) und ß von J''+^(x) gegenseitig so, daß zwischen je zivei aufeinanderfolgenden a immer ein und nur ein ß und umgeJiehrt zivi- scJien je zwei aufeinanderfolgenden ß immer ein und nur ein a liegt.
Dieser Satz ist eine einfache Folge der zwei Differentialformeln
(4) und (5) des § 10; denn eine Anwendung von (5) zeigt dem Roll eschen Satze zufolge, daß mindestens ein ß zwischen je zwei aufeinanderfolgenden a liegen muß, während (4) unmittelbar ergibt, daß auch zwischen je zwei aufeinanderfolgenden ß mindestens ein a liegen muß. Dieser Satz ist neuerdings auf ganz andere Weise von Gegenbauer ^), van Vleck ^), Hobson^), Porter*) und Bocher^) bewiesen worden.
Wir bemerken, daß die Nullstellen von C^{x) offenbar eine im allgemeinen unendlich vieldeutige Funktion des Parameters v sein müssen; differentiieren wir aber nun die Identität:
C»'(«) = 0,
wo CO die obenerwähnte Funktion bedeutet, so finden wir folgenden Satz:
X. Die Nidlstellen der CylinderfunMion C^{x) sind als die ver- schiedenen Ztveige einer unendlich vieldeutigen Funktion «(v) des Parameters v anzusehen; für diese Funhtion finden wir folgende Diffe- rentialgleichung erster Ordnung:
(5) C'^'(a>)^ = e'(a).
Nach diesen allgemeinen Erörterungen wenden wir uns nun- mehr zu den schönen Untersuchungen von Hurwitz^), indem wir seine Darstellung möglichst genau, hier und da fast wortgetreu folgen.
1) Monatshefte für Mathematik und Physik Bd. 8, p. 383—384; 1897.
2) American Journal of Mathematics Bd. 19; 1897.
3) Proceedings of the Math. See. London, Bd. 28; 1897.
4) American Journal of Mathematics Bd. 20; 1898.
5) Bulletin of the American Math. Soc. (2) Bd. 5, p. 205—213; 1897.
6) Mathematische Annalen Bd. 33; 1889.
Kajfitel XI. NullHtellen. Untersuchunffen von Ilurwitz. § 62. 1G3
§ 62. J*{x) als gleichmäßige Grenze der Lo mmol sehen Polynome.
Für die Uiitersuchiingen über die Nullstellea der H es sei scheu Cylinderfuuktioii ist die «gewöhnliche Keihcueutwickliuig für fP{x) nicht recht bequem; wir setzen dnher:
(1) /•»=2'..r(.+.+i)' j'(2'yi) - ('y^)Y.w,
so daß sich die Reduktionslbrmel § 11, (7) in folgender Form dar- bietet :
wo wir der Kürze halber:
(3)
2
9n{^)=2j-^^\ n-2s r
gesetzt haben.
Nun läßt sich die Lommelsche Fundamentalformel § ", (3) auch folgendermaßen schreiben:
J^-\x)J-^-"{x) + (- lYJ-^ + '{x)J^^"{x) = ^^^R-^-"'"(x), also findet man aus (2), (3):
Führt man weiter in (4) für /'_,,_„(x) und f,.^„{x) die aus (1) er- haltenen Reihenentwicklungen ein, so erhält man mit Zuhilfenahme der Formel (fg):
(5)
sin vTtViv -{-n)r{v -\-n-\-l)\ 'v-fw-fl"'" /
Wir schließen der Einfachheit halber den Fall eines ganz- zahligen V aus; denn, wenn v ganz ist, kann, wie Satz VIII des vorigen Paragraphen zeigt, J''(x) nur lauter reelle Nullstellen haben; unter dieser Voraussetzung ergibt (5) unmittelbar den Satz:
Ist G ein heliebig großes, aber endliches Gebiet der x-Ebene, so
kann man N so groß annehmen, daß sich, für jede Stelle des Gebietes
G, g„ioc:) : r (v i- n) um weniger als eine beliebig vorgegebene Größe
11*
164 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
von f^,_i{x) unterscJieidet, sobald n^N angenommen wird] also ist /"r-i(^) *'** ^ ^^"^ gleiclmiäßige Grenze von g„(x) : r(v + n).
Nacli diesen Überlegungen beweisen wir nunmebr den all- gemeinen Satz:
Im Innern und auf dem Hände R eines einfacli zusammen- hängenden Bereiches G seien die Funltionen f(x) und g{x) eindeutig und stetig. In jedem PunJcte des Eandes R mögen ferner f(x) und g(x) von Null verschieden, soivie
1 f{^) - 9{^) 1 < 1 n^) I
sein; dann verschivindet die Funldion f{x) im Innern des Bereiches B genau so oft wie die Funktion g{x). Setzt man nämlicb:
f{x) - g{x) = fix) ■ u, g{x) = (1 - u)fix),
so findet man:
(6) ^iß log »(*) - ^iß '°g /■ W + i^.ß »°g (1 - «) '
Ji M H
WO die Integrale längs des Randes jR genommen werden müssen. Nun ist das letzte dieser Integrale gleicb Null; wenn nämlicb x den ßand R durcbläuft, bescbreibt der Punkt 1 — u einen Weg, welcber zufolge der Ungleicbbeit | m j < 1 die Nullstelle u = 1 aus- scbließt; daber kann sieb log (1 — u) nacb Durcblaufuug dieses Weges nicbt geändert baben, und somit ist vermöge (6) der Satz bewiesen.
Wir nebmen nun an, daß jede einzelne der Funktionen:
g^{x), g^{x), g^{x), . . ., g^{x), ...
ebenso wie f{x) im Innern eines Gebietes G den Cbarakter einer ganzen rationalen Funktion besitzt. Weiter setzen wir voraus, daß gleicbmäßig für die Umgebung einer beliebigen Stelle des Gebietes G
limg„{x)=f{x)
71 = a::
ist. Es sei dann a eine Stelle des Gebietes G, an welcber f(x) von der r*^" Ordnung verscbwindet. Um diese Stelle berum grenzen wir ein kleines, ganz im Innern von G liegendes Gebiet G' ab, innerhalb dessen, einscbließlicb des Randes, die Funktion f(x) nicht verscbwindet, außer an der Stelle a. Dann ist längs des Randes von G' beständig j f(x) | < £, wo £ eine positive, von Null ver- schiedene Zahl bedeutet. Nun kann man aber nach der Voraus- setzung .A^ so groß wählen, daß für aUe Stellen des Bereiches G'
Kapitel XI. Nullbtellen. Untersuchungen von Hurwitz. § 6'2. 165
\nx)-g„{x)\<B
angenommen werden kann, sobald nur n > N ist. Also verseliwiudet nach dem vorhergehenden Hilfssutze von «=iVan jede Fnuktion //„(x) ebenso oft wie f(x), also r-mal im Innern von (r'. Hierbei ist noch zu bemerken, daß der Bereich G' beliebig verkleinert werden kann, so daß die r Nullsteilen von //„(./) mit unendlich wachsendem n der Stelle d unendlich nahe rücken.
Liegen umgekehrt in jeder noch so kleinen Umgebung von X = a unendlich viele Wurzeln der Gleichuntren:
*o^
80 ist <i notwendig eine Nullstelle von f'{x). Andernfalls würde man nämlich um x = a einen kleinen Bereich abgrenzen können, innerhalb dessen I /'(.r) ' > s wäre, wo e eine positive, von Null ver- schiedene Größe bezeichnet. Da andererseits ii so groß gewählt werden kann, daß erstens g„{x) für einen Punkt x ^ Xq jenes Be- reiches verschwindet und zweitens \f(x) — 9„(x) \ <£ ist, so ergibt sich für die Stelle Xq der Widerspruch, daß gleichzeitig | /"(a^o) I > ^ und I /'(Xq) I < s ist. Daher ist die Annahme, f(x) sei für x = a von Null verschieden, unzulässig.
Unter den oben gegebenen Voraussetzungen haben wir also folgenden Satz bewiesen:
Im Innern von G sind die Nullstellen der Funktion f{x) identisch mit denjenigen Stellen, an welchen sich die Wurzeln der Gleichungen
g,(x) = 0, g^(x) = 0, . . ., g^(x) = 0, ...
verdichten; und mvar liegen in einer beliebig Meinen Umgebung der Stelle a, welche eine r- fache Nullstelle von f(x) ist, genau r Wurzeln der Gleichung g^i^) = 0, sobald n eine bestimmte, von der Größe jener Umgebung abhängende Zahl überschreitet.
Die Anwendung auf denjenigen Fall, in welchem f{x) eine Potenzreihe bedeutet, gn{x) aber die Summe ihrer n ersten Glieder ist, ist klar. Wir finden außerdem folgendes CoroUar:
Man kann die Nullstellen von /i,_i(^) init beliebiger Genauigkeit durch Auflösung der Gleichung g„{x) = 0, wo g„{x) das transformierte Lommelsche Polynom bedeutet, für ein hinlänglich großes n finden.
(2)
166 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
§ 63. Die Punktionen g„{x) bilden eine Sturmsclie Kette.
Um nunmehr die Nullstellen des Lommelschen Polynomes näher zu untersuchen, bemerken wir zuerst, daß die Formel (9) des § 12 für — V — w + 1 statt v mittelst der Definition § 62, (3) folgende Rekursionsformel gibt:
(1) 9n(^) = {v-\-n- l)g„_^ix) + xg^_^{x).
Setzen wir in dieser Formel wieder n -\- 1 und n -\- 2 für n, so finden wir durch Elimination von g^^-^ und g^-i aus den so erhal- tenen drei Gleichungen folgende weitere Formel:
' ={v + n) (iy + ny - 1 + 2x)g^{x) - {y ^ n + \)x'g^^_,{x).
Denkt man sich nun v reell und führt man in (2) für n die positiven, ganzen und geraden Zahlen, von 2 an gerechnet, ein, so findet man eine Kette ganzer rationaler Funktionen:
welche folgende Eigenschaften besitzen und somit ganz analog sind zu einer Sturm sehen Funktionenkette ^) :
1) Der Grad von V^^ ist genau gleich q, und der Koeffizient der q^^^ Potenz von x ist eine positive Größe, insbesondere ist Vq eine positive Konstante.
2) Wenn für einen reellen Wert von x die Funktion V , wo p =^ q anzunehmen ist, verschwindet, besitzen die benachbarten Funktionen Vg^t und V ^ nichtverschwindende Werte von ent- gegengesetztem Vorzeichen. Die Funktion V besitzt dagegen die ausgezeichnete Eigenschaft, daß, wenn V^ für einen reellen Wert von X verschwindet, K, + i und V .^ nichtverschwindende Werte von demselben Vorzeichen haben.
3) Wenn x die reellen Werte von — oo bis + c» durchläuft, so geht der Quotient F„, : F,„_i überall, wo er verschwindet, von negativen zu positiven Werten über.
4) Die Gleichung F^ = 0 hat keine mehrfachen reellen Wurzeln. Wir haben nun nachzuweisen, daß die Funktionen Vg^g^qi^)
wirklich diesen Bedingungen genügen.
Die Bedingung 1) ist eine direkte Folge der § 62, (3) für g„{x) gegebenen Definition, während 2) unmittelbar aus Formel (2) her-
1) H. Weber: Lehrbuch der Algebra Bd. I, p. 271; Braunschweig 1895.
Kapitel XI. Nullstellen. Untersuchungen von Ilurwitz § 6a. 167
vorgeht, weuu p eine solche positive ganze Zahl bedeutet, daß V + 2/) + 1 > 0 ist, während r + 2/) — 1 < 0 uugenoninien werden kann.
Die Bedingungen 3) und 4) sind offenbar dann und nur dann möglich, weim die Funktionaldetenninante A»,,, wobei man:
(3) K-9.-, (-^O^i/^ (^) - 9% {x)9„ {x)
setzt, für jede reelle Nullstelle von (J.i,„{x) einen positiven, nicht- verschwindenden Wert besitzt; denn man hat offenbar für hinläng- lich kleine Werte von |/i| folgende Taylor sehe Reihenentwicklung:
•'Jn ^ ' •' ''in ^ ' t in
+ 7 ^^^Tö • -:- +
9in-2{x-\-h) Oin-ii^) {92n-2ix)y 1!
Wir finden aber aus (1), daß:
(4) A,„ = (ri,„_,(x)y + (v + 2«- 1) A„„_,
ist, und wollen nun beweisen, daß A2„_i von einem gewissen Wert von n ab für jeden reellen Wert von x positiv ist, woraus dann dasselbe unmittelbar für A^^ selbst folgt. Zu diesem Zweck be- nutzen wir den Ausdruck § 62, (4) und finden demnach aus (3), daß:
(^) ^« = (^)' (f>:=V+^2))' (/"v-iC^))' (^7+^ + • ••) + •••
ist, wo die durch Punkte angedeuteten Terme gegen die berück- sichtigten mit unendlich wachsendem n verschwinden. Wenn aber x einen Wert annimmt, für welchen f^,_l{x) = 0 ist, so haben wir dafür folgenden Ausdruck zu setzen:
(6) A (^JL\\_;jcy-i^...,
Aus diesen Formeln schließt man unschwer, daß man iV so groß wählen kann, daß A2„_i, wenn x irgend ein endliches reelles Intervall durchläuft, immer positiv bleibt, wenn nur 7^ > iV an- genommen wird. Weiter findet man aus § 62, (1) und (3) die folgenden Ausdrücke:
(7) A2„_,=^^^"-^^^^+V'^^'"^''~'H^^^'+^^^(^-^)-^)^'""'+-^
(8) A„^2 = (^ + »0(^.(^))' + ^^A„,
wo in (7) wieder die durch Punkte angedeuteten Terme gegen die berücksichtigten mit unendlich wachsendem n verschwinden. Aus diesen Formeln erhellt aber, daß A2„_i für unendlich große Werte von X positiv ist, wenn nur n eine gewisse Zahl überschreitet, und
168 Erster Teil. Fimdamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
daß Ag^^i nocli für die eventuellen äußersten Nullstellen von Ag^.^ positiv sein muß, also nur zwischen diesen Nullstellen negativ werden könnte; es gilt also:
Die FunMionaldeterminantc \n-i ^^^ Z**^ jeden reellen Wert von X positiv, sobald nur n eine gewisse Zahl überschreitet.
Derselbe Satz gilt demnach auch für Ag^, wenn f,._i(x) für keinen positiven Wert von x verschwindet, denn dann ist (5) immer anwendbar. Für die Umgebung einer positiven Nullstelle von f^_i{x) besitzt hingegen Ag,, bei genügend großen Werten von n das nega- tive Zeichen, wie dies aus (6) ersichtlich ist.
Also bilden die rationalen Funktionen g^{x) eine Sturm sehe Funktionenkette.
§ 64. Über die Nullstellen von g„(x). Wir betrachten jetzt die Funktionenreihe:
(1) ''^pj ^p-17 ■ • ■} ^ly *'^0-
Offenbar besitzt sie p Zeichenwechsel für v = — oo und p Zeichen- folgen für ic = -(- oo. Da man nun nach dem Sturm sehen Satze ^) nur dadurch einen Zeichenwechsel verlieren kann, daß x eine Wurzel der Gleichung F^ = 0 passiert und dabei zugleich F^ : F^.^ von negativen zu positiven Werten übergeht, so folgt:
Die Wurzeln der Gleichung F^ = 0 sind sämtlich reell und von- einander verschieden j und der Quotient V^: F^_i geht, tvenn x eine Wurzel der Gleichung F^ = 0 überschreitet, stets von einem negativen zu einem positiven Werte über.
Hieraus folgt, daß die Anzahl der Wurzeln von F^ = 0, welche zwischen x = a und x = ß liegen, genau gleich der Anzahl der Zeichenwechsel ist, welche die Reihe (1) verliert, während x von a bis ß wächst, wenn a K ß vorausgesetzt wird.
Wenden wir uns nun zu den ganzen rationalen Funktionen g^{x), so finden wir dementsprechend den spezielleren Satz:
Wenn v > — 1 ist, so sind die Wurzeln der Gleichungen:
sämtlich reell.
Um die Anzahl der positiven Wurzeln der Gleichung g2n{^) = 0 zu finden, betrachten wir zunächst die Reihe:
1) H. Weber: Lehrbuch der Algebra Bd. I, p. 273.
Kapitel XL Nullstellen. Untersuchungen von Ilurwitz. § 61. \Q[)
^2„ + 2(0) = (»' + 2«)(v + 2n4-l)/73„(<>)- Ist i' > 0, so tindt'U wir hier keineu Zeichonwecbsel; wenn ila- gegen 0>v>— 1 ist, so finden wir nur einen; da nun immer g„{+ oo) = + oo ist, so folgt:
Die Gleichung ff3„(x) == 0 hat eine positive und n — l negative ^yu^•zeln, wenn 0 > r > — 1 ist-^ dagegen sind für v > 0 alle Wurzeln jener Gleichung negativ.
Nun betrachten wir die ganze Funktionenkette:
i^) V V V V V V V '
sie verliert, wenn x von — cx> bis + cc wächst, ni Zeichenwechsel. Der Verlust eines Zeichenwechsels kann erstens nur eintreten beim Überschreiten einer Nullstelle von F,,, und zweitens beim Über- schreiten einer Nullstelle von F^, und zwar gehen in letzterem Falle immer zugleich zwei Zeichenwechsel verloren. Denn da der Quotient F^ : F^_i kurz vor einer Nullstelle von V negativ ist, so erhalten die Funktionen F^_^i, F^, Vp_^ kurz vor, respektive kurz
nach dem Überschreiten einer Nullstelle die Zeichen -\ 1- oder
1 , respektive + + + oder ; also haben, wir folgenden
zweiten Satz:
Die Gleichung F„, = 0 hat 2p imaginäre und m ~ 2p reelle Wurzeln.
Um die Zahl r^o der reellen Wurzeln von F,„ == 0 zu be- stimmen, welche zwischen x = u und x = ß, für « < /3, liegen, be- zeichne man mit Ä die Zahl der Zeichenwechsel, welche die Reihe (2), mit A' die Zahl der Zeichen Wechsel, welche die Reihe (1) verliert, wenn x von cc bis ß wächst; wenn also r'^^ die Zahl der in den Grenzen x = a und x = ß liegenden reellen Wurzeln von F^ = 0 bezeichnet, so findet man:
'^aß + 2/„^ = A, r\^ = A\
woraus sich für die gesuchte Anzahl der reellen Wurzeln von F„j = 0, welche zwisclien x = a und x = ß liegen,
ergibt.
Als CoroUar finden wir demnach für unsere ^-Funktionen fol- genden Satz:
Wenn p eine positive ganze Zahl bedeutet und
-2p-l<v<-2pi-l
170 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
ist, SO hat die Gleichung g^^nix) = 0 genau 2p imaginäre Wurzeln, falls n eine gewisse Zahl N üherschreitet. Zugleich ist von den reellen Wurzeln dieser Gleichung eine oder keine positiv, je nachdem
— 2p—l<v< — 2p oder — 2p < v < — 2p -\- 1 ist.
Nach diesen Erörterungen gehen wir nunmehr zur Untersuchung der Nullstellen von J''(x) selbst über.
§ 65. Satz von Hurwitz über die Nullstellen von J^'(x).
Da die Nullstellen von f^,_i{x) vermöge § 62 mit den Verdich- tungsstellen der Wurzeln von:
g.^(x) = 0, g^(x) = 0, '■', g^^{x) = 0
übereinstimmen, so ergibt sich aus den Resultaten des § 64, wenn man nur v -\- 1 für v setzt, ohne weiteres:
Die Wurzeln der Gleichung fX^) = 0 sind sämtlich reell, falls 1^ > — 2 ist; die Wurzeln sind für v > — 1 sämtlich negativ; da- gegen ist eine derselben positiv und sind die übrigen negativ, wenn — 2<v< — l ist.
Der Fall, wo v < — 2 ist, erfordert indessen noch weitere Ent- wicklungen, weil die Verdichtungsstellen eines Systemes imaginärer Werte nicht notwendig imaginär sind. Wir betrachten daher zu- nächst die Gleichung:
(1) ö'2«(^) + ^ö'2« + l(^) = 0,
in welcher X eine reelle Konstante bezeichnet. Ist A = 0 und hat n einen genügend großen Wert, während — 2p — 1 < v < — 2^ -f 1 ist, so besitzt diese Gleichung genau 2p imaginäre Wurzeln. Wenn nun A von Null bis zu irgend einem Werte Xq variiert, so kann sich die Zahl der imaginären Wurzeln nur dann verändern, wenn A einen Wert passiert, für welchen (1) eine Doppel wurzel erhält. Ist aber a ein solcher Wert, so hat man aus (1):
und somit wird mittelst § 63, (3) für diesen Wert von x:
was nach dem vorigen Paragraphen nicht angeht; also gilt:
Die Gleichung (1) hat für jeden reellen Wert von A genau 2p imaginäre Wurzeln.
Kapitel XI. Nullstellen. Unterauchungen von Ilunvitz. §(55. 171
Wenn daher A von — c» bis -f cc variiert, so (lurclilaufeu die imaginären Wurzeln der Gleichung (1) eine Kurve, welche aus 2p getrennten Zweigen besteht. Sei nun: (2) x = ^-\- irj, a;'= I - />;,
so ist die Gleichung der genannten Kurve:
und die Glieder höchster Dimension von qp„(|, '>?) lauten:
n (n + 1) (v -f »0 {v -\-n— 1) /,, o , t, , o\
c = — — ■ — — — -^-^ — ' 1271-+ 2vn -\-v — 2y
Die Kurve <p„{i,, ■>;) = 0 ist also von der (2w — 2)'®" Ordnung und trifft die unendlich ferne Gerade nur in den imaginären Kreis- punkten, welche (« — 1) fache Punkte der Kurve sind.
Die 2p Zweige der Kurve (3) sind daher ganz im Emllichen liegende Ovale.
Da für ^; = 0, also x = x, die Funktion ^„(1, t;) in Agn^i übergeht (wenn man nämlich in (3) zuerst im Zähler und Nenner nach X differentiiert und dann x = x setzt), so treffen die Ovale nicht die Achse der reellen Zahlen, und es geht 9„(^7''?); wenn sich der Punkt x = % -{■ i\] von einem reellen Werte aus so bewegt, daß er eines der Ovale überschreitet, von positiven zu negativen Werten über. Nun findet man aber mit Hilfe von § 63, (1):
(4) <Pn^X^l n) = i}' + 2« + l)5'2n + l(^)^2« + l(^') + ^^' ^>n^> n)\
9„ , j ist also noch positiv, wenn tf^ verschwindet, abgesehen von denjenigen Punkten von x = ^ -{- irj, welche die Gleichung 9^2 « + i ^ ^ befriedigen und gleichzeitig auf den Kurven 9?„^i = 0 und cp^^ = 0 liegen.
Hieraus geht hervor, daß jedes Oval der Kurve (p^n+i^^ j® ein Oval der Kurve cp^^ = 0 in einem Punkte, für welchen ^J'gn + i ^ ^ ist, von innen berührt. Die 2p Ovale werden sich ferner mit wachsendem n immer mehr verkleinern, bis sie sich für n = 00 auf 2p Punkte zusammengezogen haben. Da nämlich die Grenzstellen der Punkte eines Ovales Nullstellen von f^_i{x) sind und letztere diskret über die Ebene verteilt sind, so kann die Grenze jedes Ovales nur ein Punkt sein. Auf demselben Grunde beruht die Richtigkeit der stillschweigend gemachten Annahme, daß die 2p Ovale der Kurve 9P„ = 0 sämtlich auseinander liegen.
Aus diesen Betrachtungen ergibt sich nun der Satz:
172 Erster Teil. Funclamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Die Gleichung f^,{x) = 0 hat für negative, zwischen —2p — 2 und — 2p liegende Werte von v genau 2p paarweise konjugierte ima- ginäre und übrigens unendlich viele reelle Wurzeln. Zur näheren Bestimmung der imaginären Wurzeln hat man eine unendliche Reihe algebraischer Kurven:
von denen jede einzelne aus 2p im Endlichen und auseinander liegen- den Ovalen bestellt. Das einzelne Oval der Kurve cp^^ = 0 berührt und umschließt je ein Oval der nächstfolgenden Kurve und enthält in seinem Innern je eine imaginäre Nullstelle von f\, {x). Auf diese Nullstelle zieht sich das Oval mit ivachsendem n immer mehr und mehr zusammen. Wir bemerken, daß, wenn v kontinuierlich in einen ganzzahligen negativen Wert übergeht, die imaginären Wurzeln sämtlich unendlich klein werden.
Über die reellen Wurzeln folgt noch nach § 64: Von den reellen Wurzeln der Gleichung fX^) = 0 ^^*^f^ entweder alle oder alle bis auf eine negativ, je nachdem
— 2p—l<v< — 2p oder — 2p — 2 < v < — 2p — 1 ist.
Kehren wir nun zur Be sseischen Cylinderfunktion zurück, so haben wir also — x^ : 2 für x zu setzen und bekommen so fol- genden Satz:
XI. Wenn v reell und größer als — 1 ist, sind sämtliche Nidl- stellen Yon J^(x) reell; dagegen hat diese FunJition unendlich viele reelle Nidlstellen und dazu genau 2p paariveise konjugierte imaginäre, wenn — 2j9 + l>v> — 2j) — 1 vorausgesetzt wird, wo p eine positive ganze Zahl bedeutet.
Hier brechen wir unsere Darstellung der schönen Untersuchungen von Hurwitz ab, weU seine weiteren Resultate nicht denselben all- gemeinen Charakter haben, und wenden uns nunmehr zur näherungs- weisen Bestimmung der Lage dieser reellen NuUstellen.
§ 66. Angenäherte Lage der Nullstellen. Sätze von Schafheitlin.
Schon Euler ^) hat bemerkt, daß J°(2]/.'r) unendlich viele posi- tive Nullstellen besitzt und die drei ersten dieser Nullstellen be- ziehentlich * bis auf sechs, vier und zwei Decimalstellen berechnet. Später hat Poisson^) einige Nullstellen von J'^{x) berechnet; seine
1) Acta Academiae Petropolitanae 1781.
2) Memoires de l'Academie des Sciences Paris, Bd. 8, p. 485, 506, 522; 1829.
Kapitel XI. Nullstellen. Untersuchnnpen von Hurwitz § 0(j 173
Resultate sind indessen, wie Stern') hervorhobt, durchgehends un- genau. Abgesehen von den Ergebnissen, welche die allgemein»» Tafel für di»- Besselsche Cyliuderfunktiou über die Nullstellen dieser Funktion liefert, hat dann Meissel-) die zehn ersten Null- stellen von J^{j:) berechnet, während neuerdings Wilson und Peirce^j die vierzig ersten dieser Nullstellen ausgerechnet haben.
Allgemeinere Methoden zur Berechnung dieser Nullstellen sind von Meissel^) angegeben worden, während Mac Mahon^) noch iülgemeinere Entwicklungen geliefert hat. Indessen sind diese Ent- wicklungen vorläufig nur von durchweg praktischer Bedeutung, weil keine Untersuchungen über die zugehörigen Kestglieder vorliegen, so daß daraus allgemeine Schlüsse über die Lage der Nullstellen nicht gezotjen werden können.
Wenn wir uns nunmehr zu denjenigen allgemeinen Resultaten wenden, welche man bisher über die näheruno-sweise Lage der Null- stellen gefunden hat, so bemerken wir zunächst, daß schon Bessel'') eine Abschätzung für die Nullstellen von J^(x) angegeben hat. Rudski") hat den Fall betrachtet, in welchem der Parameter v von J'{x) die Hälfte einer ungeraden ganzen Zahl ist; seine Resultate über die Lage der zugehörigen Nullstellen sind allerdings, wie Schafheitlin bemerkt hat, für die ersten dieser Nullstellen nicht zutreffend. Schafheitlin**) hat vielmehi- gezeigt, daß das Litervall zweier aufeinander folgender Nullstellen von J^(x) kleiner als n: sein muß, während Böcher^) später für dasselbe Intervall eine weniger gute Annäherung fand. Das Resultat von Schafheitlin ist, freilich ohne Beweis, schon von dem großen englischen Mathe- matiker Hamilton'") angegeben worden.
Neuerdings hat Schafheitlin'') seine Untersuchungen wieder aufgenommen und weitergeführt, so daß er, außer vielen neuen, alle bisher bekannten Resultate in verallgemeinerter Form gefunden hat.
1) Journal für Mathematik Bd. 22, p. 35, 39; 1841.
2) Abhandlungen der Berliner Akademie 1888.
3) Bulletin of the American Math. Soc. (2) Bd. 3, p. 153—155; 1897.
4) Programm der Oberrealschule in Kiel; 1890.
5) Annais of Mathematics Bd. 9, p 23—30; 1894.
6) Abhandlungen der Berliner Akademie 1824, p. 40.
7) Memoires de la Societö Royale de Liege (2) Bd. 18; 1895.
8) Journal für Mathematik Bd. 114; 1894.
9) Bulletin of the American Math. Soc. (2) Bd. 5; 1899.
10) Transactions of the Royal Msh Academy Bd. 19 11 p. 309; 1843.
11) Journal für Mathematik Bd. 122; 1900.
174 Erster Teil. Fundamentaleigenschaften der Cylinderfunktionen.
Wir können seine Beweise hier nicht mitteilen, sondern bemerken nur, daß er ihnen folgendes von ihm selbst früher gefundene^) In- tegral zu Grunde gelegt hat:
2^ + ^^^ /
/nr{v-\-\)'J
tt Y
_j . / 1v — \
(cos CO) ^•sml.'T
G)
^ ^ ^ ^ l/7rr(f + i) / (siii(a)^' + ^ '
0
wo ^{x) im allgemeinen als positiv anzunehmen ist.
Schafheitlin hat für die Lage der Nullstellen von J^'{x) fol- gende Abschätzungen gefunden:
I. Die erste NtiUstelle von J^'(x) liegt sivischen ]/v(v-|- 2) und
]/2 (?^ -1- 1) (y -f 3); falls 2v > 7 ist, findet man die einfachere obere
Grenze: y2 (v + 1) (v + 2) .
Für die zweite und die nächstfolgenden Nullstellen ist es ihm, falls V ein größerer Wert beigelegt wird, nicht gelungen, so ein- fache Grenzen festzustellen. Dagegen findet man für die ferneren Nullstellen, wenn n eine ganze und nicht negative Zahl bedeutet:
II. Ist x> (4:(n -}- 2y — l) : üi, so liegen die Nidlstellen von J"(x) innerhalb der Intervalle (]c-\-^)7C bis (Ä;-f f):7r, bes. kjt bis (Je -\- ^)7t, je nachdem n gerade oder ungerade ist; Je bedeutet hierbei eine ganze Zahl.
ni. Ist ic > (4(w H- 3)^— Ij : :r, so liegen die Maxima und Minima von J'^{x) innerhalb der Intervalle h% bis (k-]-^)n, bez. (k -\- ^)7t bis Qc -f f ) 7C , je nachdem n gerade oder ungerade ist.
IV. Wenn x ^ (4: (n -\- 3y — l) : 7t ist, muß die Differenz ziveier aufeinander folgender Nullstellen von J"(x) zwischen — und — liegen.
V. Sämtliche Nullstellen von J^{x) liegen zwischen (k -\- Dn und (Ji + l)7t, wo Je alle positiven ganzen ZaJüen mit EinscJduß der Null zu durcJdaufen Jiat.
Hamilton^) gibt für diese Nullstellen als Intervall JvTt bis (k -{- ^)7t an.
VI. SämtlicJie Nidlstellen von J^(x) liegen zwiscJien (k -\- ^)x und (k -f- ^)jr, ivo k alle positiven ganzen Werte mit ÄusscJüiiß der Null anneJimen Jcann.
Für die Poissonschen Cylinderfunktionen findet man außerdem den Satz:
1) Journal für Mathematik Bd. 114, p. 40; 1894. 2) loc. cit. p. 309.
Kapitel XI. Nullstellen. Unteriiuchungen von Huiwitz. § IJ7. 175
VII. Ist 2- > (4(n -f 'iY— l) :7Cy so ließen die Nitllstrlleti von J" + i (a:) innerhalb der Intervcdlr {k -\- \)n bis k:x. bez. (Je ■{■ \)n bis {k + i)«, jß nachdem n (jeradc oder ungerade ist.
Diese Amiiiherungsresultate zeigen also, daß die Verteilung der reellen Nullstellen von J*'{x) ziemlich regelmäßig sein muß.
§ 67. Sätze von Schaf heitlin über die Nullstellon von Y^{x).
Ehe wir die Integndt'orniehi des § 28 für die Nullstellen des Hauptwertes von 1' («t-) anwenden dürfen, hahen wir zuvor zu be- weisen, daß dieser Ilauptwert, wenn — 1 < v < -f 1 vorausgesetzt wird, keine rein imaginären Nullstellen haben kann.
Für Y^{x) ist dies einleuchtend, weil hier imaginäre Werte einzig aus dem Logarithmus herrühren könnten und t/"(a) für einen solchen Wert von x immer positiv sein muß. Im allgemeineren Falle setzen wir der Kürze halber: „
A, = m' J' (xi) - y -rr^^m ,
« = ü so daß A^, für reelle x und — l<i/<-|- 1, immer positiv sein muß. Wäre nun xi eine rein imaginäre Nullstelle von Y^'{x), so müßte zufolge der Definition dieser Funktion folgende Gleichung gelten:
cos vnA^ — e + *""Ä_^ = 0 oder, was dasselbe ist, J.,, == 4_,, ^ 0 sein; dies ist aber, wie wir soeben gesehen haben, unmöglich. Setzt man weiterhin:
(1) cc = QC^', ß = pe-V',
so muß, falls « eine Nullstelle des Hauptwertes von Y^'(x) ist, ß gleichfalls eine sein; bei dieser Bedeutung von cc und ß ergibt aber § 28, (6):
(2) fxY'{ax)Y'(ßx)dx = 0, v + 0,
0
während man aus § 28, (7) das weitere Resultat erhält:
TT^p^ sin 2q)
(3) fx Y%ax) Y%ßx) dx = - ^^
Die Gleichung (2) ist aber unmöglich, und dasselbe ist für (3) der
Fall, weil ja für den Hauptwert ^ < 9^ ^ + V ^^^^ muß; wir
haben so folgenden Satz bewiesen:
I. /&/ — 1 > V > + 1, so hat der Hauptwert von Y^(x) keine kom;plexen Nullstellen.
176 Erster Teil. Fundamentaleigenscbaften der Cylinderfunktionen.
Für V = 0 ist dieser Satz von Schafheitlin^) gefunden worden.
Durch die am Schlüsse des § 28 angegebene Methode gelangt Schaf hei tlin-) dann zu der weiteren Formel:
S2ccß
32.p / « X
wo a und ß verschiedene Nullstellen von Y^(x) bedeuten. Stellt man nun diese Nullstellen unter der Form (1) dar, so findet man sehr leicht einen zweiten Satz, der ebenfalls Schafheitlin^) angehört:
IL Der Haupkvert von Y^(x) kann keine komplexen Null- stellen haben.
Durch Anwendung des zu § 66, (1) analogen Integrales*):
7t
(cos a») ^ • cos I X CO I
(5) Y^ (x) ^ -S^-^^ ■ ' ., "' '-e-'-^-'-dco,
0
wo ^(x) im allgemeinen als positiv anzunehmen ist, gelangte dann Schafheitlin^) über die angenäherte Lage der Nullstellen von Y"(x) noch zu folgenden Resultaten:
III. Sämtliche Nullstellen von Y^(x) liegen zivischen (k + |);r und (Ä; + |):nc, ivo k alle ganzen, nicht negativen Zahlen zu durch- laufen hat.
IV. Die erste Nullstclle von Y^ (x) liegt zwischen n : 2 und ?>7i:2, tvährend die übrigen für k^l zwischen (k -\- ^)7t und (k -\- f)7t liegen inüssen.
V. Ist X > U: (n + 2y — Lj : 7t, so liegen die Nullstellen von Y"(x) innerhalb der Intervalle kn bis (k -|- ^)jr, bez. {k + |-):;t bis {k + |-)jr, je nachdem n gerade oder ungerade ist.
Die Verteilung der Nullstellen von Y"(x) ist also gleichfalls ziemlich regelmäßig.
1) Archiv für Mathematik und Physik (1) Bd. 1, p. 135; 1901.
2) loc. cit. p. 136.
3) loc. cit. p. 136.
4) Journal für Mathematik Bd. 114, p. 40; 1894.
5) Journal für Mathematik Bd. 122, p. 314; 1900.
ZWEITER TEIL.
BESTIMMTE INTEGRALE MIT CYLTNDEPtFüNKTIONEN.
Nielsen, Cylinderfunktionen. 12
Kapitel XIL Iiite£:rall)('stiiiimuii2;eii durcli licilHMiciitAvIcklniig;.
§ G8. Anwendungen des ersten Eulerschen Integrales.
Schon in Kapitel III haben wir gezeigt, wie sich uns das erste Eulersche Integral als ein leichtes Mittel zur Herleitung elemen- tarer Integraldarstellimgen der Besselscheu Cylinderfunktion und analoger Funktionen darbietet. Als Einleitung zu unseren allge- meinen Untersuchungen über bestimmte Integrale mit Cyliuder- funktionen wollen wir hier noch einige ähnliche Formeln ableiten, welche früher nicht Platz gefunden haben.
1) Bei Einführung der unendlichen Reihe an Stelle der L omni ei- schen Funktion findet man durch gliedweise Integration mittelst (r^ß) folgende Formel:
(1)
fT[''-^-'{xsin (p) (sin 9)1-'' (cos (p)-'--<^-Ul(p = j
_ x^~T{v — q)C0S7i{v — q) j^. .
WO man
(la) l>m{v-Q)>0
voraussetzen muß. Setzt man in dieser Formel — v für v und Q = 0, so erhält man die speziellere:
it T
(2) f J'(x sin (p) {sin <py + ' (cos (p)-''-hl(p = ^^^^1^ • (^fjj^x), 0
die anwendbar ist, sobald:
(2a) 0>miiv)>-l
vorausgesetzt wird.
12*
180 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
2) Dasselbe Verfahren liefert ohne weiteres die Formel:
V
wo die Reihe linker Hand mittelst (r4) reduziert werden kann. Setzt man ferner Ax'i für x und t = sm^^cp, so findet man:
(3)
I e-^sin> . (\)^,i^(ix^sm-(p) (tg y) ' sin (pdcp = -^
^r
(-ir(a;-|/2)2? + 2*+i
(p + s + l)(2p + 2s+l)'
WO man voraussetzen muß, daß:
(3a) 9^(9±v)>-l
ist. Setzt man speziell Q = 0, so gewinnt man die weitere Formel:
n
g-:r^sin> . (jjv (^^^2 ^^2 ^^) ^^g -|) ' sin cp d(p =- ^ • ^(ä;]/2),
0
wo K{x) das Kramp sehe Integral bezeichnet, und wo man:
(4a) 1 > m{v) > - 1
annehmen muß. Die Annahmen v = 0, v = ^- ergeben weiterhin beziehentlich :
7t
(5)
/ g-x^sin> J0A,;^^2 sjjj2 ^N gjj-, cpd(p = ~^- K{xy2) ,
0
(6) / e-^'8i"> . K{ix sin 9)) tg -^- fpdfp =^^ • -^(a;).
0
3) Wenden wir uns nunmehr zu der allgemeinen Produktformel § 6, (1), so finden wir ohne Mühe, daß:
it
J*AM.«(2/cos9P,^sin9p)(cos9p)2^ + H*^m9>)'^^'f?gP = ^7^^,r^^
«+2)
ist, was zu der neuen Formel:
0)
Kapitel Xil. Integralliestinunuugen dunJi Reihen. §69 IS]
/ J''{xi/ COS (p)J^'{xz sin (p) (cos qpV"*"^ (sin rpy^^ dtp =
führt, wo man voraussetzen niuB, daß:
(7a) 9i(j,)>_l, s)i(-p)>_l
ist. Dieselbe Formel (7) ist auf ganz andere Weise von Soniu') gefunden worden.
Die Sui)stitution x cos g> = | erlaubt uns, das Integral linker Hand in (7) zu transformieren; auf diese Transformation, die sich ja leicht durchführen läßt, gehen wir indessen hier nicht näher ein. Dividiert man dagegen die Formel (7) durch ^, so findet man für z = 0 und y = 1 die interessante Formel:
tt
(«) 2, r r + 1) :/ '^' ^-^^ ''''' ^^ ^''''^ <py^'{sm g>y^^' = j'+c+^(^),
•(.+i)„
die Ulis bald sehr nützlich sein wird.
§ 69. Integrale von Gegenbauer.
Wie Sonin^) gezeigt hat, bietet uns die Formel § 68, (7) ein einfaches Mittel dar, um einige interessante Formeln von Gegen- bauer abzuleiten. Setzt man nämlich in der obenerwähnten Formel V = — \ und hinwiederum v — \ für q, so erhält man unmittelbar die speziellere Formel:
(1)
Y 1 cos {xy cos 90) J'' ^{xz sin cp) (sin 9))'"'"^ clq) =
wo man also 9? (1^) > — ^ voraussetzen muß.
Beachtet mau nun weiter, daß das Integral, welches man aus (1) erhält, wenn man sin (xy cos qo) für cos (xy cos cp) setzt, gleich Null sein muß, so findet man, daß sich die Formel (1) auch fol- gendermaßen schreiben läßt:
1) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 36; 1880.
2) loc. cit. p. 37.
182 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
(2)
_L / Qixyw5(pjy-\(^xz sin (p) (sin (py^^d(p =
eine Formel, aus welcher wir mehrere interessante Resultate her- leiten können.
Zu diesem Zwecke setzen wir in (2) y = a — h cos co, ^ = & sin (a und finden so:
(3)
n
= 1/ X — - • (h sin oY ^ ,
wo wir der Kürze halber:
(4) Q = ]/a2 _ <2a}) cos co + ft^
gesetzt haben. Ersetzen wir nun in dem Integrale (3) die dort vor- kommende Cylinderfunktion durch das zweite Besselsche Integral § 18, (la), so ergibt sich ohne Schwierigkeit das Doppelintegral von Gegenbauer^):
n n
Q" TT r(i/)2'' fJ J
^ ' U 0
wo wir zur Abkürzung:
(6) cos Y = cos 9? cos (o — sin qp sin oj cos i>
gesetzt haben.
Die Analogie zwischen den Ausdrücken Q und cos V und den gewöhnlichen Ausdrücken für eine Seite des ebenen, bez. sphärischen Dreiecks ist offenbar.
Gegenbauer hat noch eine andere Formel angegeben, welche sich als die reziproke zu (5) auffassen läßt, und welche wir folgender- maßen herleiten können: Wir multiplizieren in (3) mit (sin af^^da und integrieren von 0 bis % nach o; vertauschen wir nun die In- tegrationsfolge, was offenbar erlaubt ist, so läßt sich die Integration nach « unmittelbar mittelst (2) ausführen, indem wir in dieser letzten Formel y = h cos (p, z = 1) sin (p setzen. Die Integi'ation
1) Citat von Sonin: Mathematische Annalen Bd. 16, p. 37; 1880.
Kapitel XU. Integral IjCistinimun^'cn durch Reihen. § 70. 183
nach q) läßt sich dauii weiter ohne Mühe mittelst § 18, (2) aus- führen; wir finden somit folgende Formel:
n
(7) J'{ax)J^(hx) = ,.. "J'^f Z^- (^^^ ^)'^ ^^"> n{v)>-^,
die nichts anderes ist als die zweite Formel von Gegenbauer.')
Die Formel (7) ist später unrichtig von Struve^) angegeben worden; es haben nämlich in Struves Formel rechter Hand x und Q nur die Exponenten 1; Gray und Matthews^) drucken die Formel nach Struve ab, ohne den Exponenten von Q zu be- richtigen.
§ 70. Anwendungen des zweiten Eulerschen Integrales.
Es ist offenbar, daß das zweite Eulersche Integral (fu) eine Reihe von Anwendungen darbieten muß, die zu den in § 68 von Cte) gegebenen analog sind. In der Tat liefert uns dieses Integral denn auch eine ganze Klasse von bestimmten Integralen mit Cylinder- funktionen, welche für unsere folgenden Untersuchungen unentbehr- lich sind; wir leiten sie hier folgendermaßen her:
1) Aus Formel § 6, (1) findet man:
(1) J\tx)J\ty)e-''^-={xyy -^ (- l)M".M(^,y)e-''^ (|)""''';
.« = 0
nimmt man i als eine Größe an, welche von 0 bis -{- oo variieren soll, während 9^1 (^') > 0 angenommen wird, so hat die unendliche Reihe rechter Hand in (1) folgende drei Eigenschaften:
a) Die Reihe ist gleichmäßig konvergent, falls 0 < ^ < -f oo ist.
b) Die einzelnen Glieder der Reihe sind von ^ = 0 bis t = -\- oo integrabel, falls 3't(i') > — \ ist.
c) Die Reihe, welche man durch gliedweise Integration von ^ = 0 bis t = -\- oo erhält, ist ebenfalls gleichmäßig konvergent.
Nach diesen Erörterungen erhellt, daß die gliedweise Integration unserer Reihe von ^ = 0 bis t = -\- oo einem bekannten Satze*) zu-
1) Citat von Sonin loc. cit. p. 38.
2) Wiedemann Annalen Bd. 17, p. 1014; 1882.
3) Bessel Functions, p. 238; 1895.
4) U. Dini: Grundlagen für eine Theorie der Funktionen einer veränder- lichen reellen Größe, p. 523; 1892.
184 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
folge gestattet ist, iind wir finden also mittelst der verallgemeinerten Besselschen Formel § 8, (5) folgende interessante Formel:
(2) \j\tx)J^{ty)er^-^^t-dt = ' '\^ ' • J" ("|^') ,
0
wo wir also:
(2a) 9i(^)>0, 3t(v)>-l
voraussetzen müssen. Für ganze v ist (2) schon von Hankel') gefunden worden, während Sonin") die allgemeine Formel ge- geben hat.
2) Eine Anwendung der Formel (fj auf § 6, (4) liefert un- mittelbar folgende speziellere Produktformel:
auf dieselbe Weise findet man dann die weitere Formel:
3?- VTti
(3) / /•■ {tx) J- '■ (tx) e-*'y.t.dt= ^^ . 0^ (^) ,
wo man demnach 9?(?/) > 0 voraussetzen muß.
Setzt man nun in (2) y = x und hinwiederum y für s, so er- gibt sich aus (3) zufolge der Definition § 3, (2) für die Neumann- sche Cylinderfunktion folgende neue Formel:
(4)
fj'itx) Y'itx) e-'"-Hdt =
X* VTti.
2y 2~
22/
welche anwendbar ist, falls: (4a) ^{v)>-l, ^(y)>0
vorausgesetzt wird.
In dem ganz speziellen Falle, in welchem v gleich einer ganzen, nicht negativen Zahl ist, wird der Ausdruck rechter Hand in (4)
1) Mathematische Annalen Bd. 8, p. 470; 1875. 2) Ebenda Bd. 16,
p. 40; 1880.
Kapitel XII. Intr^ralliostiuimunf,'en tlurch Kcilicn § 70.
185
unbestimmt; eine Anwendung der Formeln § 10, (10) und § i\ (9) liefert uns indessen ohne Schwierigkeit die folgende Formel:
(5)
OD
4^(^."(9+^®"{f))
Vertauscht man weiterhin in (2) für y = x das Zeichen von »/, 80 kann man auch das zu (4) amiloge Integral mit zwei Neu- m annscheu Cylinderfuuktioneu bestimmen; doch wird dasselbe, auch für V = 0, den einzig möglichen ganzen Wert des Parameters, sehr kompliziert.
3) Setzt man 3i(?/) > 0 und 9? (v + ())>— 1 voraus, so führt dieselbe Methode noch zu folgender Formel:
(6)
I J*{tx)t<!
e-'"-^(U =
X
,v + l
y
y
+ Q + 1 ^J — 5 » = 0
\iy) '
sir{v-\-s-\- 1)
von der aus mau durch die Annahme q = 0 zu der weiteren Formel:
x^ int
(7) J^J^{tx)e--m=Y^^/^ Q^"^'^'
0
gelangt, aus der man wiederum ohne Mühe die folgende herleitet:
CO
(8) jY\tx)e-''dt =i-.y|. ir,« Q.-
«* ni
"87"!"
die in etwas anderer Form von Basset^) aufgestellt worden ist. Die zweite Annahme q =^ v -\- 1 gibt die wohlbekannte Formel:
(9)
fj'{tx)c-
^'H'+^dt =
X
i^y)
v + l
. e
4y .
4) Dasselbe Verfahren liefert endlich noch die Formel:
(10)
00
J ^ ' ,/ + ? + ! 2*.r(j;
^(
g+1) :
y ■ < ■ - -j- • I (v + 1) v + e + i i; + e + 2
, ^+1,
■:)'
1) Citat von Gray und Matthews: Bessel Functions, p. 227; 1895.
186 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
welche von HankeP) herrührt und in der man im allgemeinen:
(10a) ^(q-^v)>-1, yi{y±ix)>0, \x\<\y\
voraussetzen muß. Aus (10) läßt sich eine große Menge von spezielleren Formeln herleiten; setzt man zum Beispiel Q = v, so findet man:
(11) fj^itx)e--H^dt = ^-^^ . —^^, während die Annahme q = v -{- \ folgende Formel ergibt:
(12) fj\tx)G-^yp'^'dt = ^^^^ . -^^^^-^
letztere Formel kann man auch aus (11) herleiten, wenn man nur nach y differentiiert; ebenso ist es offenbar, daß man durch wieder- holte Differentiation nach y aus derselben Formel dasjenige Integral herleiten kann, in welchem t den Exponenten v -}- ii hat, wo ti eine positive, ganze Zahl bedeutet.
Die Formeln (11), (12) sind von Gegenbauer^) gefunden; der Spezialfall v = 0 von (11) war schon von Lipschitz^) erörtert worden, und dieses bestimmte Integi-al mit einer Cylinderfunktion ist wohl das erste, welches man überhaupt kennen lernte.
Setzt man ferner in (10) p = 0, so findet man mittelst der Kumm ersehen Formel (F^) die folgende:
(13) ßxt.)e-'m~^y4^f^,
eine Formel, welche zuerst von Heine*) aufgestellt worden ist, während sie später Pincherle^) durch eine sehr elegante Methode hergeleitet hat; für v = 0 findet man aus (13) die Lipschitzsche Formel wieder. Differentiiert man endlich die Formel (13) nach v, so erhält man für v = 0 folgende Formel:
CO
(14) jVo((x).-'.<^^=j™.iog(|/rT{f)'-f).
1) Mathematische Annalen Bd. 8, p. 467; 1875.
2) Sitzungsberichte der Wiener Akademie Bd. 70 II, p, 439; 1874.
3) Journal für Mathematik Bd. 56, p. 190; 1859.
4) Handbuch der Kugelfunktionen Bd. I, p. 243; 1878.
5) Memorie dell' Istituto di Bologna, serie 4% Bd. 8, p. 21; 1887.
Kapitel XII. Integralbestimmungen durch Reihen. § 71. 187
§ 71. Bestimmung von fr-"^J*'{tx)tf!dt.
0
In gewissen Fälh-n kann man dif allgemeinen Bedingungen ij 70, (i<*{i) etwas moililizieren und so aus (10) einige speziellere Formeln herleiten, welche uns bald sehr nützlich sein werden. Zuerst setzen wir y = xi, wo x als reell und positiv anzunehmen ist; die asymptotische Reihe § 59, (3) zeigt dann, daß sich für sehr große Werte von t die Funktion unter dem Integralzeichen wie ^•"1 verhält, d. h. iliiß 'JH(()) < — ^ sein muß, während die untere Integrationsgrenze die weitere Bedingung 9i (i^ + p) > — 1 erfordert. Daß die obenerwähnte Formel (10) auch hier richtig bleibt, folgt aus dem gewöhnlichen Fundamentalsatz \) der Theorie der analy- tischen Funktionen.
Wenn y = xi gesetzt wird, läßt sich die hypergeometrische Reihe rechter Hand in (10) mittelst der G au ß sehen Formel (Fg) summieren; man erhält so nach einer Anwendung von (fg) die ein- fachere Formel:
(1)
fj\tx)c^^-if^dt = r(,-f.-fi)r(g-.-f.i)r(-;-,)
c ^ ■ sin ;r(v — ()),
welche also anwendbar ist, falls man gleichzeitig: (la) a;>0, 9i(^ + i.)>-l, 9^(p)<-_^
voraussetzt.
Die ähnliche Formel für die Neumannsche Cylinderfunktion läßt sich ohne Mühe mittelst der Definition derselben bilden; man findet:
(2)
00
^/'p(<a;)e+'^'>(^^ = r(^-|-i/-f-l)r(()-v+l) r(-^-())
_ (' + V + 1 .
-[- -i: m
(2 cos v% cos ^:;r + i sin :r (o + v)\ ,
wo man:
(2a) x>0, ^{q±v)>-\, 9R(9)<_4-
voraussetzen muß. Aus den Formeln (1) und (2) gewinnt man
sehr leicht vier andere, in denen die Exponentialfunktion durch
trigonometrische Funktionen ersetzt worden ist.
1) C. Neumann: Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abelschen Inte- grale, p. 35; 1884.
188 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
Nun lassen sich auch ohne Mühe die entsprechenden Formeln bilden, welche die Hankeischen Cylinderfunktionen enthalten, nämlich :
+ 1)
e
-=^ V-Q
7
(4) I R/{tx)e-'-'"ti!dt =
• G " ,
Formeln, die demnach bewiesen sind, falls:
x>0, '^{±v)>-\, 9?(^)<--t
vorausgesetzt wird. Es ist indessen oJBFenbar, daß die beiden Seiten von (3) und (4) analytische Funktionen von x darstellen müssen, falls nur: (5) 'Si{Q±v)>-l, 'Si {ix) > 0 resp. "^{ix) < 0
vorausgesetzt wird; also müssen, dem bekannten Fundamentalsatze zufolge, die Formeln (3) und (4) auch unter diesen weiteren Be- dingungen gültig bleiben. Dieselben Formeln lassen sich auch ohne Schwierigkeit folgendermaßen schreiben :
(6) fa(M6-^-^^^=^'"^^+"+^^'^^-:+^^6"'^"^ ,
wo also "Si^x) im allgemeinen positiv sein muß; die Formeln (6), (7) bestätigen vollkommen den Satz des § 4 über die Realität der Hank eischen Cylinderfunktionen.
§ 72. Bestimmung des Webersclien Fundamentalintegrales.
Mit HankeP) wollen wir noch die Formel § 70, (10) mittelst der Eni er sehen Formel (Fg) umformen; wir finden dann leicht:
(1)
■4
i'j; -|- p -|- 1 v — Q . X^
^ \ 2 ' 2 ' ^ ^ ^ ' a;* + «V '
1) Mathematische Annalen ßd. 8, p. 468; 1875.
Kapitel XH. Intogralbestimmungen «lurch Reihen. § 72. 189
setzen wir nun t/ = 0, so führt die Gnußsche Formel (F,) nach einer leichten Umformuii«; mittelst (f^) zu folgender wichtiger Formel:
(2) yj.(,.)^rf, = A... V|y^
0
wo man also:
(2a) x>0, ^(v + Q)>-l, ^{q)<^
voraussetzen muß. Für ein ganzzahliges v ist (2) von Weber*) gefunden worden , während schon Lipschitz-) den Fall v = 0 kannte.
Für die Cylinderfunktion zweiter Art ergibt die Definition der- selben nach einer einfachen Rechnung folgende Formel:
(3) fr'it.),ät - _^;,, . r(-h|±i) r(^-.^) sin |(, - .),
u wo man demnach:
(3a) a;>0, <iRiQ±v)>-l, ^(())<i
voraussetzen muß. Die Formel (2) läßt sich ohne Mühe in folgender
(3) sehr ähnlicher Form sclu'eiben:
(4) fj'(t.) Mt - -^ . r(^±^) r(-l|±i) eos | (, - .)•
0
Für den Üljergang zu den Cylinderfunktionen dritter Art ist diese letzte Form der Web ersehen Formel sehr bequem; man findet in der Tat aus (3) und (4) unmittelbar:
(5) y^,(,.).<«=?!^;.r(^±|+i)r(^^|±i),
0
(6) y*^,.(..).v« = ^'.r(?+|+i)r(^^|±l),
0
Formeln, die also richtig bleiben, wenn nur:
^{Q±y)>-'^, '^(xi) > 0 resp. m{xi) < 0,
1) Journal für Mathematik Bd. 69, p. 231; 1869. 2) Ebenda Bd. 56,
p. 192; 18.39.
190 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
vorausgesetzt wird: man kann dieselben Fonneln auch folcrender- maßen umformen:
fH,x-t..:)<^,t = ^ . r(^±|±i)r(-^),
CO
0
CO r + 1
I oC^^
(8)
0
wo der reelle Teil von x sonacb im allgemeinen als positiv voraus- gesetzt werden muß.
Diese Verallgemeinerungen der Web er sehen Formel werden uns bei unseren weiteren Untersuchungen über bestimmte Integi'ale mit Cvlinderfunktionen häufig von gi'oßem Nutzen sein.
Wir wenden uns noch einmal zu den Formehi (2) und (3). eine Differentiation nach q ergibt ohne Mühe, nachdem wir p = 0 gesetzt haben:
(9) p\tx) log t dt = -i(Y C^^) + log (I)),
u
00
(10) y p (te) log w< = ^ - ^ (2 log (I) + V (i±?:) + v (1^
daraus findet man für y = 0 und .r = 1 die folgenden bemerkens- werten Formeln, wo C die Euler sehe Konstante bedeutet:
(11) fj\t) log tdt = -{C + log 2),
0
00
(12) Jy\t)\ogtdt=^-
u Aus (3) finden wir weiterhin für p = v die interessante Formel:
(13) fY\tx)Pdt=^0,
0 wo wir also:
x>0, i>9?(i/)>-i
voraussetzen müssen.
Kapitel Xin. Integraldarstellungen von F(a, ß, y, x). § 7.S. l'Jl
Kapitel XIII. Inte;i;i'al(larsl<'IIiin,i;«'ii der liy|K'r;;('ometri.sclit'ii Funktion.
§ 73. Allgemeine Formeln.
Die asymptotischen Darstellungen der Ilankelschen Cylinder- fiinktionen zeigen unmittelbar, daß sich die in § 70 angewendete Methode ohne weiteres auf diejenigen Integrale übertragen läßt, welche wir aus denjenigen in § 70, 4) erhalten, wenn wir die dort vorkommende Exponentialfunktion durch Hankeische Cyliuder- funktionen ersetzen. Die gliedweise Integration läßt sich dann mit- telst § 72, (5) und (6) ausführen, so daß diese Woberschen In- tegrale hier an Stelle des zweiten Eulerschen Integrales für die Gammafunktion treten.
Wir betrachten erstens das Integral:
ao 0
welches konvergent ist, wenn im allgemeinen:
(1) m(iy±ix)<0, ^{6-\-^±v)>-l oder im besondern:
(2) "Sliiy ± ix) = 0, ^{(S + Q±v)>-1, 9i((5) < 1 vorausgesetzt wird. Wir denken uns nim, die Bedingungen (1) seien erfüllt, und führen in dem oben erwähnten Integrale statt der «/"-Funktion ihre Reihenentwicklung ein. Soll nun die durch die gliedweise Integration erhaltene Reihe wirklich gleichmäßig konver- gieren, so muß außerdem | a; | < | ?/ | sein. Unter diesen Voraus- setzungen ergibt § 72, (5) unmittelbar die gesuchte Formel:
(3) j\{ty)J^(tx)t^dt = e-^'''- F,,^^ (|) ,
0
wo wir der Kürze halber: F (-)
(4)
2"a;'^
r /g + g + ^^ + 1\ . r /Q + a-v + iy
yJ Tty^^"^^ r(9 + i)
^\ 2 ' 2 ' ^ + 1' f-)
gesetzt haben. Die Formel (3) ist also anwendbar, wenn die Be- dingungen (1) oder (2) erfüllt sind und zudem | a; ] < ] «/ | ist.
192 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
Ganz auf dieselbe Weise beliaudelt mau mittelst § 72^ (6) das älinliclie Integral mit der Funktion H^-^ der Wert dieses Integrales läßt sich aus (3) herleiten, wenn man nur in der Exponentialfunk- tion rechter Hand — i für i einführt. Wir erhalten nämlich:
CO
(5) jH,\ty)J^{tx)1fdt = e-'-^^""' • F,.^^ (|) ,
0
eine Formel, die demnach im allgemeinen anwendbar ist, falls:
(6) ^{iy±ix)>0, '^{q + 6±v)>-1, \x\<\y\
ist, oder im besondern, falls die Bedingungen (2) erfüllt sind und zudem | ^ | < | ^ | ist.
Greifen wir nun auf die in § 4 gegebenen Definitionen für H^ und H^ zurück, so gewinnen wir aus (3) und (5) die noch all- gemeineren Formeln:
a—v—Q+i . 2 jti
0 2 }
■ »■ - ^ + 1
-5 7t 1
(7) fHAty)mt^)^dt^ '-'^"L.^"'
0 0
welche sonach anwendbar sind, falls im allgemeinen:
(9) 'tR{ix + iy)§0, ^ia±v±Q)>-l, 1^|<|^| oder im besondern:
(10) m{ix + iy) = 0, ^(6±v±q)>-1, 9i((5)<l, |^|<|?/|
vorausgesetzt wird. Die zwei ersten Ungleichungen in der Bedingung (9) gelten natürlich beziehungsweise für die Formehi (7) und (8).
Wir bemerken, daß die Integrale, welche zwei verschiedene Hankeische Cylinderfunktionen enthalten, viel komplizierter sind; wir bemerken ferner, daß sich die Formeln (7) und (8) offenbar gegenseitig ausschließen, so daß sie im aUgemeinen nicht gleich- zeitig bestehen können; dies tritt dann und nur dann ein, wenn die spezielleren Bedingungen (10) erfüllt sind.
Denken wir ims nun x und y als verschieden, so reichen die Formeln (7), (8) offenbar aus, um die hypergeometrische Funktion für alle möglichen Kombinationen endlicher Werte von x und y darzustellen. Denn man kann, falls | ^ | > | ?/ 1 angenommen wird, in diesen Formeln x mit y vertauschen, wenn mau nur auch gleich-
Kapitel XIIT. Intc<,'ralclar8tellungen von F(a, ß, y, x). § 73. 193
zeitig V mit p vertauscht. Diese Vertauschungeu zeigen aber deut- lich, daß die Integrale linker Hand in (7) und (H) sehr eigentüm- liche Verhältnisse darbieten. Es ist in der Tat außer allem Zweifel, daß diese Integrale unter den Bedingungen (9) und (10) kontinuier- liche Funktionen darstellen, die indessen verschieden sind, je nach- dem I -1^ 1 ^ I y I vorausgesetzt wird, aber identisch werden beim Grenzübergange x = y, falls sie dabei kontinuierlich bleiben. Wir werden später nachweisen, daß diese Integrale Verallgemeinerungen des berühmten diskontinuierlichen Faktors von Dirichlet sind.
Dir Ursache der Diskont'niu'üät der ohenerivähnten Integrale ist natürlich darin zu suchen, daß die hypergeometrische Funldion inx=l eine singulare Stelle hat.
Kehren wir nun zu den Formeln (3) und (5) zurück und setzen wir voraus, daß sie beide anwendbar sind, so finden wir durch Ad- dition, bez. Subtraktion folgende zwei weiteren Formeln:
cc
(11) Jj\ty)j9{tx)tPdt = i^„,^ (^-) • cos I {q + 6-v),
0
wo man voraussetzen muß, daß:
(IIa) y>x>0, 9t(„ + p + (?)>-!, m{6)<l
ist, und:
(12) fY^{ty)j9(tx)t"dt = F,.^^ {^) .sm^{Q + 6-v),
0
eine Formel, welche gültig ist, wenn man:
(12a) y>x>0, 'iR{Q + 6±v)>-\, 3?(ö)<l
voraussetzt.
Denkt man sich weiterhin die Bedingungen (10) erfüllt, so führen die Formeln (7), (8) mittelst (11), (12) zu den folgenden:
00
(13) fj\ty)Y^{tx)tf'dt =
cos -—iv-\-Q — Ol
= coiQTC . cos^ (() -f (? - v\F,(-) ^-^ '-F^, (-),
^ 1 y / *'^\y/ sin OTT ^>~^\yJ'
00
(14) fY\ty)Y^{tx)tPdt =
sm
cot^Tt . sin -J(p + ö - v\F^.A-)^—^X--^—LF,,_i-), wo man also:
Nielsen, Cylinderfunktionen. 13
194 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
(13a) y>x>0, 9fv(v + ö± ?)>-!, 9i(ö)< 1,
beziehentlich :
(14a) y>x>0, ^{± v ± q + 6 > - 1, 9i(ö) < 1
annehmen muß.
Die Formeln von (11) bis (14) erlauben uns, die hypergeome- trische Funktion für reelle und verschiedene Werte von x und y stets durch bestimmte Integrale darzustellen. Eben diese spezielleren Formeln lassen deutlich erkennen, weshalb der Spezialfall y = x eine besondere Bedingung erfordert; denn, vs^ährend die Produkte der beiden Cylinderfunktionen, welche in diesen Integralen vorkommen, für x^y bei sehr gi-oßen Werten von t ihr Vorzeichen ebenso wech- seln wie die Exponentialfunktion mit dem Exponenten {■±:ix + iy)t, kommen in dem Spezialfälle y = x immer Glieder mit invariabeln Vorzeichen vor, so daß hier 9i((?) < 0 angenommen werden muß, um die Konvergenz der Integrale an der oberen Grenze zu sichern.
Betrachten wir speziell die Formel (11) für x = y, so finden wir mittelst der Gauß sehen Formel (Fg) folgende Formel:
J J''(tx)J^(tx)t''dt=^
(15) i ,a.^-.-i.r(i + ^ + pJi^^r(-<T)
l] r A — ^^ + 9 — c\ p /i + ^ + g -^ '
wo wir im allgemeinen:
(15a) x>0, 9?(v + ^ + (?)>-l, 9?((?)<0
annehmen müssen. Doch kann man die Bedingung für 6 dahin modifizieren, daß man 6 = 0 setzen darf, wenn zugleich q^v — l—2n angenommen wird, wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet; die Formel (11) gibt nämlich, nachdem man zuerst (fg) anwendet:
00
(16) Jjv(t)jv-2.-i^i^^i^tzJ^^ ^(v)>n.
0
Die Formeln (11) und (15) sind von Schafheitlin^) auf ganz andere Weise hergeleitet worden; (11) kommt jedoch schon bei Sonin^) vor. Später hat Gubler^) die Formel (11) durch Änderung des Integrationsweges diskutiert. Unsere Herleitung und die all- gemeinen Formeln scheinen dagegen neu zu sein.
r /'L+ZJZ ^~''\ r/1 — '^ + 9 — ''\ r/l + ^ + P \ 2
1) Mathematische Annalen Bd. 30, p. 168, 169; 1887. 2) Ebenda
Bd. 16, p. 51; 1880. 3) Bd. 48, p. 31—48; 1896.
Kapitel XÜI Tiite^rnildarstellungen von F{ct, ß, y, .t). § 74. 195
§ 74. Integrale mit einer trigonometrischon Funktion.
Die Gaubscheii Formeln von (V^) bis (Ff.) erlauben uns, unsere Funktion t\ in den Spezialfällen () = ± ^, tf = ± i unmittelbar durch elementare Funktionen aus'/udrüeken, während uns die Kum- mersche Formel (h\) «bestattet, die Fälle v= J, p = ± i auf ähn- liche Weise zu vereinfachen. Durch Anweudun«^ dieser Formeln erhält man eine Keihe von äußerst einfachen und interessanten Formelu, welche wir nunmehr entwickeln wollen.
Setzt man in i? 73, ( 1 1) y^l, q = ö = ^, so ergibt sich aus (F^):
(1)
Ol
/j'(/)sin(^a:)J< = ^^^^^^^|^, 9?(v)>-2, 0<:r<l;
um dasselbe Integral auch für a- > 1 zu erhalten, setzen wir in der obenerwähnten allgemeinen Formel ?/ = (?= .V, x = 1 und hin- wiederum a: für y und v für 9; dann ergibt (F^,) unmittelbar:
vn cos
J^{t) sin (tx) dt = , J_ ' (x - Vx'--lJ, x>l, 9i(v)>-2;
u '
ist in dieser Formel v gleich einer ganzen ungeraden Zahl, so ver- schwindet demnach das Integral linker Hand.
Die Annahmen ^ = — .V, (? = + ^ liefern in derselben Weise die zwei analogen Formeln:
(3) fj^{t)cos{tx)dt=^-^'^^^^^^, 0<x<l, m(v)>-l, 0 '
(4) jJ'{t)(tos{tx)dt = —=^\x-yx'--\j, x>\, 9t(i/)>-l; 0 '
wenn v hier eine ganze gerade Zahl bedeutet, verschwindet das letztere Integral immer.
Aus den Formeln § 73, (12) und (13) erhalten wir ebenso die zu (1) und (2) analogen Integraldarstellungen:
00 .v%
r ^^^^
(5) / i^*'(0 sin {tx)dt = • sin (y arc sin x), 0 '
0<2<1, 2>^(t.)>-2,
13*
196 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
00
fr^Xt) sin (tx) dt =^
( i/^ — 1\*' 4. (« — V«^— i)'
yx —yx^—l\ Q,oiv7i — ~ * ^
(6)
cos
VTl
Sin vjt
x>l, 2>^{v)>-2.
In diesen Formeln darf v also nur die ganzen Werte 0 und 1 an- nehmen; wir finden in diesen speziellen Fällen:
00
(7) fY\t)Binitx)di = ^-'^^^, 0<^<1,
(8)
00
fY^t) sm(tx)dt = — • ^.^SJ^-V^"-}) ^ > 1
(9) fy^t) sin (tx) dt = 0,
0<:r<l,
(10)
00
( Y\t) sin (tx) dt = - ^ ^ , x> 1
Geht man nun auf die Formel § 70, (14) zurück, so findet man auf ganz dieselbe Weise:
oo , Vif
r ^T
(11) / Y^if) cos {tx)dt = cos (v arc sina;), 0 < ^ < 1,
0 '^
(12) Jr^(0 cos {tx)dt = -^ ( coti.;r (^->/p3i)^+ ^""£1"'-
a;> 1,
wobei man noch 1 > 9i(v) > — 1 annehmen muß; für den einzig möglichen ganzen Wert r = 0 erhält man folgende Formehi:
(13)
(14)
f Y\t) cos (tx) dt = 0,
0<:r< 1,
00
I Y^{t) COS (tx)dt = -^^, x>l
Kapitt'l XIII Intoj,'ral(larstc'llungcn von F(a, /?, y. -^O- §7-1. 107
Die Diskontiuuität <ler vier/ehu Intf^nile, wolcln« wir hier tMit- wickelt haben, ist otli'iibftr. Wie sowohl dif iusyiiiptotisrheii AuB- drücke tilr ilie C'yliiidert'unktionea als auch die ^eriuidfiieii Wi-rte der obenerwähiitt'ii liitt'ifiali' di-utiich /»'i^i'u, darf .r niemnls j^leieh 1 aii^enonimen werden. Von diesen Formeln hat W'fher'j (1) his (4) für f = 0 gefunden, wähn-nd die ühri^tMi wn /,u sein Hcheinen.
Wir kehren nun zu ij 7)^ ill) zurück und finden für q — \, <y = — ^ die schöne Formel:
OD
(15) y>,^-^^.:imi^,^^^Bin(.arc.iux)^ ()<x<l, 9](V)>-1,
u wiilirend die Annahme v = l, ö = — l die entsprechende Formel:
(113) Jj'(t).'-^dt = —;^(x-Vx'-iy, x>\, '^l(v)>-l
0
liefert; das letztere Integral verschwindet also für positive ganze gerade Werte von v.
Setzt man ferner in § 73, (13) Q = l, 6 = — \ und in § 73, (12) V = ^, ^ ^ ~ ^j ^o erhält mau die weiteren Formeln:
CO
/i-N Crvu\ C08(fa;) ,, cos (v arc sin x) ^. ^ . o3/\-^a
(10 J J\t)-—j—cU = '—^ -', 0<a;^l, 9t(i/)>0,
0
00 VTC
jr^t) . c_2!p cU= —^ (x - Vx' - l)^ x^l, 9i {v) > 0, ö
in denen das letzte Integral für ganze ungerade Werte von v ver- schwinden muß.
Die Formel § 73, (14) ergibt in ähnlicher Weise:
00 VTT
/IXT Yy(ßy^2^^fll^_lA.sm{vdrGsmx), 0<x^ 1,
0
(20) /y. (0 .^Mädt=-;iLt V. . {.-^/W^x)• - ^-^S-t),
wobei man für den Parameter v noch voraussetzen muß, daß
1) Journal für Mathematik ßcl. 75, p. 77; 1873.
198 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen .
1 > 9^ (v) > — 1 ist. Von ganzen Werten von v ist sonacli Null der einzig mögliche; man findet in diesem Falle:
r sin (tx) ( ^ , 0 < ^ < 1
Es ist demnach offenbar, daß die zu (17) und (18) analogen Integrale mit der Neumannschen Cylinderfunktion immer divergent sein müssen.
Die Formeln von (15) bis (18) sind von Schafheitlin^) ge- funden worden, während Kapteyu^) später dieselben Formeln für ganze v hergeleitet hat. Die Formeln von (19) bis (21) bestätigen vollständig die Vermutung von Kapteyn^), daß die Neumannsche Cylinderfunktion auch wirklich derartige Formeln zuläßt.
§ 75. Diskontinuierliche Faktoren von Dirichlet und Weber.
Es ist klar, daß sich die in § 73 eingeführte hypergeometrische Reihe in den beiden Fällen, in denen ö = q ± v -\- 1 vorausgesetzt wird, durch die Binomialformel summieren läßt. Wir wollen uns hier indes auf diejenigen Integrale beschränken, welche sich durch eine einzige Potenz ausdrücken lassen.
Wenn x <1 und ö = q — v -\- 1 angenommen wird, so ergibt sich aus § 73, (11) unmittelbar die Formel:
(1)
jj^it)j'^itx)P-^^^dt = ;^ . ^^_;^,-.,.,
0<^<l, ^(9)>-l; um nun den Fall a; > 1 zu untersuchen , wenden wir, nachdem wir y und Q, X und y vertauscht haben, wieder die Formel § 73, (11) an und finden so:
(2) J>(t)jQ(tx)P!-' + ^di = 0, x>l, ^{q)>-1.
0
Ganz in derselben Weise liefert § 73, (12) das analoge Resultat:
(3) fY^m^itx),-^^ät = ^ . f^^^.,
0<^<l, m{Q)>-l, ^(y-Q)<l,
1) Mathematische Annalen Bd. 30, p. 171, 172; 1887.
2) Archives Neerlandaises 1901, p. 114, 115. 3) loc. cit. p. 116.
Kapitel Xlll. IntegraldurstelluiiKen von F{ct, ß, y, x). § 75. 199
während der Fall ./; > 1 eine Anwendung von § 73, (13) erfordert; mau findet hier:
(4) /r'(OJc((x)(o— .rf( = -?!r:il^^i±i).__^,
x> 1.
Die andere Annahme 6 = q -\- v -{- 1 läßt sich nun ohne Mühe mit Zuhilfenahme der vorigen Formeln hehandeln. Vertauscht man nämlich in diesen Formein das Zeichen von i^ und führt man weiter mittelst § 3, (3), (4) Cylindorfuuktioncn mit dem Parameter v ein, so gewinnt man nach einer einfachen Rechnung folgende zwei Formelgruppen:
OS
(5) fj\t)J<^{tx)t^^^^^dt = _ !i^ . r(x> + p + i)2-^j^^a;c
0 ^ '
0<x<\,
(6) fj\t)J<^\tx)t^'^^^Ult = - ^i^ . ^^^^j^i^J)^llll^
x> 1, wo man noch 91 (V + ())> — 1 voraussetzen muß,
(7) rV(ü/c.((^)(..c..rii= S2ii- . rc+^+of;;'-^,
0 ^ ^
0<x<\,
0
x>\,
wo man noch 9i(p) > — 1 und 9i(f + (>)> — 1 voraussetzen muß.
Setzt man in den vier letzten Formeln v oder 9 gleich der Hälfte 'einer ganzen Zahl, so verschwinden immer zwei der ent- sprechenden Integrale.
Die Formeln (1) und (2) sind von Schafheitlin^) aufgestellt worden.
Setzt man ferner in (1) und (2) q = v—\, so erhält man, unter Anwendung von § 73, (16), die merkwürdige Formel:
1) Mathematische Annalen Bd. 30, p. 172; 1887.
200 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfmiktionen.
00
(9) Cr(t)J''-\tx)cU =
x'-^ 0<a;<l,
i r = 1
0 , a^> 1;
man muß für sie außerdem 9?(v) > 0 annehmen. Durcli die Sub- stitution V = ^ ergibt sieb aus (9) der berühmte diskontinuierliche Faktor von Dirichlet, während v=l denjenigen von Weber^) liefert.
Wir setzen endlich in § 73, (11) p = v, 0 = — 1 und erhalten dann die bemerkenswerte Formel:
a;"
(10) fj''(t)J'(i^)-T = \ h ^ ^ = 1.
0 1
wobei wir jedoch 9^ (v) > 0 voraussetzen müssen.
x>l,
§ 76. Integraldarstellungen der Kugelfunktionen.
Die FormeLi, mittelst welcher wir im Anhange die Kugel- funktionen als hypergeometrische Reihen dargestellt haben, erlauben uns, für diese Funktionen drei verschiedene Formen von einfachen Integraldarstellungen zu geben. Wir bemerken jedoch hier ein für allemal, daß unsere Integrale kein besonderes Interesse darbieten, wenn a: > 1 angenommen wird; die entsprechenden Ausdrücke lassen sich übrigens ohne Mühe aus den allgemeinen Formeln herleiten. Wir beschränken uns daher immer auf den Fall x ^ 1[.
Zuerst setzen wir, der Formel (KJ gemäß, in § 73, (11) v -\-2n für Vy Q = — \, 6 = V — ^, wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet-, eliminieren wir sodann mittelst (fg) die Funktion
cos — (() + (? — !'), so erhalten wir folgende Integraldarstellung:
CO
(1) fj''^^"{t) cos (tx)r -''dt = (- iy2''-'r{v)K"'^"{x),
0
wo also — 1 < :r < + 1 und f > 9f{(v) > — n anzunehmen ist.
Das Integral linker Hand in (1) ist ein diskontinuierlicher Faktor, denn für a; = 1 findet man aus § 73, (15):
1) Journal für Mathematik Bd. 75, p. 80; 1873.
Kapitel XIII. Intogmidarstellungen von F{a, ß, y, x). § 76. 201
WO mau also ^^9^(i')> — " aimehmeu muß, weil sich die Cylinder- lunktiou für v = ^ asymptotisch wie (sin /) : yt verhält; lur a; > 1 stellt das Integral (1) keine Kugelfimktiou dar, es verschwindet für V ^ \.
Auf ähnliche Weise ergibt (Kr,), wenn mau in § 73, (11) V + 2w + 1 för V , Q = ^, G =^ V — \ setzt, die analoge lutogral- darstelluuir:
0
wo man sonach — 1 < .r < 1 und .} > 9? (v) > — « — 1 annehmen muß; für o; = 1 erhält man:
i^9i(v)>-Ji- 1;
für j; > 1 stellt das Integral keine Kugelfunktion dar; auch es ver- schwindet für V = ^.
HankeP) hat für v = ^ die Formeln (1) und (3) gefunden; für denselben Wert dieses Parameters gibt Schafheitliu') alle vier Formeln an.
Wendet man nun die Formel CK^^ an, so muß man in § 73, (11) V -\- 2n für V, <3 = — \, q = v — ^ setzen und gewinnt so die Formel:
00
(5) />^^"(0^--i(^sing)4^,^l/^/^^^'^;^ + ^^^""'^^"^^-.^"(cosö),
0
wo man ^ < ö < + v ^^^ 9^(i^)> — >i annehmen muß; dagegen
findet man:
(6) /r....(o..-i(o^ = ]/f^(j^Ij^>^;
für sin ö > 1 stellt das Integral (5) keine Kugelfunktion dar.
1) Mathematische Annalen Bd. 8, p. 468; 1875. 2) Ebenda Bd. 30,
p. 173, 174; 1887.
202 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
Auf ähnliche Weise führt (K^) mittelst § 73, (11) zu der analogen Integraldarstellung:
CD
(7) fj^ + "' + \t)J^' + ^(t smd)~ =
0 ^
Y % cosö Y{y + n + ^)
WO, wie gewöhnlich, — i^ < ö < + — und ^{y)'> — n — — voraus- gesetzt werden muß; man findet ferner:
CO
(8) /....^...(o..-i(o .^ = -yi . ,^4^xkti\;^y
das Integral (7) kann für ^>1 keine Kugelfunktion darstellen.
Um die Formel (Kg) anwenden zu können, muß man in § 73, (11) 2v + 4w für v^ Q = 6 =^ V — \ setzen; man erhält sodann:
r a r(2,-)(2sin|-)""'2
(9) \J^^"^^-{S)J'-\{t^m^t^-\dt = 1 ' •^•■.2« (cosö),
0 V 2"7
WO man also — :nr < ö < + ^ und | > 9fl(v) > — n voraussetzen muß; für x =\ findet man dagegen:
"O^CJ^
oo
(10) jj'^'^'\^J-'^iS)i-'^ät^^^^^^^
für a; > 1 stellt auch das Integral (9) keine Kugelfunktion dar; es verschwindet für v = \.
Die Formel (Kg) ergibt in ähnlicher Weise:
00
(11) fj^'+^'' + \t)J'-^i{tsm^y'-^dt =
8
r(2t;+l)(2sin|-y"^"
= r(. + i) •^'■'--^(-^)>
wo man also — Jt -C d <C -\- tt und f > 9?(x') > — >i — |^ annehmen muß; weiter findet man:
(12) fj^^+^-^\t)J^-^{t)P'-^^ät=- "~^~yf\t^\
Kapitel XIV Die Differcnti;ilf?lcichung von Malmeten. § 77. 203
während das entsprechende lutej^ral für ./; > 1 keine Kugeli'uuktiou darstellen kann; auch es verschwindet wieder für v = ^.
Für v = ^ hat Schafhoitlin ^) die vier letzten Formeln gefunden.
Oäeubar müssen die ähnlichen Integrale mit der Neumann- schen Cylinderfunktiou entweder, außer für n = 0, divergent sein oder können keine Kngelfunktionen darstellen. Wir brechen daher diese Untersuchungen über diskontinuierliche Faktoren hier ab, in- dem wir uns vorbehalten, später in Kapitel XVllI dasselbe Problem von allgemeLueren Gesichtspunkten aus zu betrachten.
Kapitel XIY. Über die Integrale der Differentialgleichung von Malnisten.
§ 77. Erste Methode.
In den beiden vorhergehenden Kapiteln haben wir zur Be- stimmung der Werte bestimmter Integrale ausschließlich die alt- bekannte Methode der gliedweisen Integration unendlicher Reihen benutzt. Wir wenden uns nunmehr zu dem anderen klassischen Verfahren, zu der Herleitung der Werte solcher Integrale mittelst gewisser Differentialgleichungen. Zu diesem Zwecke beweisen wir eine Reihe von allgemeinen und bemerkenswerten Sätzen über die Integrale gewisser linearer Differentialgleichungen, welche mit der- jenigen Gleichung identisch oder wenigstens nahe verwandt sind, die zuerst von Malmsten-), später von Frobenius^) untersucht worden ist. Wir bemerken zugleich, daß uns diese Methode zur Herleitung bestimmter Integrale, die übrigens mit der sogenannten La place sehen Transformation sehr nahe verwandt ist, erlaubt, alle diejenigen Integrale von gewissen gegebenen Formen zu finden, welche Cylinderfunktionen oder sonst Lösungen gewisser gegebener linearer Differentialgleichungen überhaupt darstellen können.
Wir gehen zunächst von folgender linearen homogenen Diffe- rentialgleichung aus:
1) Mathematische Annalen Bd. 30, p. 173, 174; 1887.
2) Journal für Mathematik Bd. 39, p. 99—107; 1850. 3) Ebenda Bd. 76, p. 228—230; 1873.
204 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
O^ /VI
s = 0 ""^ "^
in der die Koeffizienten o^ und &, sämtlich von x unabhängig sein sollen. Es ist sonach offenbar, daß diese Gleichung (1) eine Ver- allgemeinerung derjenigen ist, welche wir früher für die Cylinder- funktionen und die Produkte zweier solcher Funktionen hergeleitet haben.
Wir nehmen nun an, die Funktion:
(2) g{x)=f{x)x'^
sei ein Integral der Gleichung (1), und betrachten folgendes be- stimmte Integral:
(3) S = ff{tx)t9{f + frdt,
0
wo X im allgemeinen eine reelle und positive Größe darstellt, während der Integrationsweg mit der Achse der positiven Zahlen zusammenfällt. Offenbar kann man, wie die folgende Entwicklung zeigt, als Integrationsweg auch eine Schleife von 0 bis 0, von 0 bis oo oder von oo bis oo benutzen. Da wir indessen immer den Integrationsweg als reell anzunehmen haben, gehen wir auf diese Schleifen nicht näher ein. Natürlich nehmen wir weiter an, daß unser Integral wirklich die folgenden Operationen erlaubt.
Nach diesen allgemeinen Bemerkungen setzen wir in (3) t' = tx und finden:
(4) S = x-'"<B{xtj), ö = ()-f 2(? + 1,
wo 'B{xij) eine Funktion des Argumentes (xy) bezeichnet und wo:
00
(5) (B{xy)=fg{ix)i^-'"(f + fydt, g(t) = f(t)ir
0
gesetzt ist. Nun ergibt aber die Gleichung (1) folgende andere Identität :
s= n
und wir erhalten somit aus (5):
CO
s = n .1 = 71 /^
(6) ^ ~if'-'<B^"-'^ = -^ -^- / g^"-'\tx)t^-'"+\e^-\-i/ydt,
0
wo die Ableitungen ©^'"^ und (j'^''^ in Bezug auf x zu nehmen sind.
Kapitel XIV. Die Differentialgleichung von Malrasten. § 77.
205
Wendet man nun uut' die Integrale rechter lluiul in (0) folgende Identität:
an, so erhält man weiter:
m
2 ^'ß"~'K^'^)^~'"(^'-^ry^''^f^
s = 0
X
so daß eine Differentiation nach y und eine darauffolgende Division durch {xy") den Satz ergeben:
I. Die Fimldhn ©(a) ist ein Integral foJgemJcr in der Fmm mit (1) ühcreinstinmienden linearen homogenen Gleichung {n + 1)'"" Ordnung:
s = n + l
(8)
wobei man für die Koeffizienten A^ und B^ folgende Äusdriicl'e hat:
(9) ^, = fl, + (n-s+l)a,_„ B, = h^ + {n-s-20-\-l)h,_,,
in denen die a und h mit den Indices — 1 und w + 1 natürlich gleich Ntdl anzunehmen sind.
In dem Spezialfälle ö = — 1 liefert die Formel (7) für die zu- gehörige ©-Funktion die nicht homogene Gleichung:
CO
(10) ^(-f-^^)©^''-'^(^)=— ^•J?^'. f\ß->\t)t^-'^hlt.
0
Denkt man sich weiter, die Funktion g{x) sei das Integral folgender nicht homogener Gleichung:
(11)
\ Jir Jb '
s = 0
WO fp{x) eine gegebene Funktion von x bedeutet, so findet man für die entsprechende Funktion ©(a?) die zu (8) analoge, aber nicht homogene Gleichung:
(12)
« = 0
Ji, ■j\{()r-'-
-2ff-l//2
{t'^x'^y-uu,
206
Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
für welche die Koeffizienten Ä^ und JB^ aus (9) zu ent- nehmen sind.
Diese Resultate reichen für unsere weiteren Untersuchungen vollkommen aus; denken wir uns nun aber umgekehrt die Glei- chung (8) gegeben, so erlauben uns die Formeln (9) immer, die Koeffizienten a^ und h^ mittelst Ä.^ und jB, eindeutig zu bestimmen, vorausgesetzt, daß Ä^_^^ = 0 ist. Wenn dies wirklich der Fall ist, so stellt auch umgekehrt das Integral (5) eine Lösung von (8) dar, falls nur g{x) der so bestimmten Gleichung (1) genügt. Das be- stimmte Integral (5) ermöglicht uns also, in diesem Falle den Grad der Gleichung (8) um eine Einheit zu erniedrigen. Dies ist aber für unsere Untersuchung über bestimmte Integrale mit Cylinder- funktionen ganz ohne Bedeutung, so daß wir in den folgenden Kapiteln auf diese Urakehrung nicht eingehen wollen.
§ 78. Zweite Methode.
Wir setzen auch hier voraus, daß g(x) der Differentialgleichung §77 (1) genügt und betrachten nunmehr das bestimmte Integral:
cc
(1) T = Jt\tx)i^{t^yydt = x-'"%{xy), cj = p + (j-fl,
0
wo %{x'ii) eine Funktion des Argumentes {xy) bezeichnet, nämlich:
(2) %{xy) =fg(tx)t^--{t + yYdt-
0
wenden wir hier die Identität:
an, so finden wir folgende zu § 77, 7 analoge Gleichung:
(3)
(3
_^ ^lL\jn-s<l{n-s)
X
g(''-'\tx)t<^-'^{t + yy^""dt-\-
s = ü
aus der sich durch eine Differentiation nach y ohne Mühe;
(4)
Kapitel XIV. Die Differentialgleichung von Malmsten. § 78. 207
OD
. f=n+l , J = 0
= — (J
ergibt, wo die Koeffizieuteu Ä^ und 7^^ aus i? 77, (9) zu entueliinen sind. Differeutiiereu wir die Gleichung (4) nun wieder nacli //, so erhalten wir nach einer Division durch {x^y") folgenden weiteren Satz: II. Bit' Funktion 'Z(x) ist ein Inüyral fohp-mlcr in dir Form mit § 77, (1) ührcinstimnmidcr Gleichung (n + 2)''"'" Onlnum/:
(5)
» = n +
2
i = 0
I + '2
wo wir der Kürze hallxr:
(6) ^; = a, + 2(n-s + l)a,_i + («-s4-l)(w-s + 2)a,_2,
(7) b; = h^ + 2(w-s-e + 2)&,_i + (n-s-6+2) (w-s-(?+3)&,_2
gesetzt haben, wohei die Koeffizienten a^ und h^ mit den Indices — 2, — 1, w + 1 und M + 2 natürlich gleich Null zu setzen sind.
Der Spezialfall (? = — 1 ergibt die zu § 77, (10) analoge Gleichung:
(8)
»=7l
2
(5-+.-^)^"'""(^)-
c s = n /"•
g(n-')(t)t"-''+'dt +
s = 0
während die nicht homogene Gleichung § 77, (11) für die zuge- hörige Funktion X(x) die nicht homogene Gleichung:
(9)
liefert.
2
\ X^ X "/
'^^- f'q>{ty-<'-\t + xy
-2
dt
208 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
§ 79. Dritte Methode.
Als Verallgerneinerung der Differentialgleichungen für C^{yx) , c~'^C^{x) und G^'\\/oß) C'i'(]/a:) betrachten wir jetzt folgende homogene lineare Gleichung:
s = n
(1) 2'fe + :;:ÄT)5'^^-%) = o.
4 = 0 "^ ^
Setzen wir auch hier:
(2) g{x)^f{x)x-,
so gelangen wir für das bestimmte Integral:
(3) U=ff(tx)i^{t-{-yydt
0
zu der Identität:
(4) ü^x-'"]X{xy), 0 = Q-\- 6 -\-l,
wo Vi{x'y) eine Funktion des Argumentes (xy) ist und also:
(5) U{xy) ^fgitx)tQ-^{t + yydt
0
zu setzen ist; das gewöhnliche Verfahren führt uns leicht zu dem folgenden dritten Satze:
III. Die Funktion Vi(x) ist ein Integral folgender in der Form mit (1) iibereinstimmender homogenen linearen Differentialgleichung (n + !)"''■ Ordnung:
s = n + l
.9=0
tvo wir der Kürze halber:
(7) A^ = a^-^{n-s+l)a^_„ B^ = h^ ^ {n-s-ö -{-l)h^_,
gesetzt haben, während a^ und b^ mit den Indices — 1 und n -\- 1 gleich Null anzunehmen sind.
Der Spezialfall (j = — 1 ergibt hier für die entsprechende Funktion Vi{x) die nicht homogene Gleichung von derselben Form wie (1):
00
= n
0
während die nicht homogene Gleichung:
s = w
Kapitel XIV. Die Differentialgleichung? von Malmsten. § 80. 209
wo <p(x) eine gegebene Funktion bedeutet, für die zugeh()rige Funk- tion ll{cc) folgende zu (6) analoge, aber nicht homogene Differential- gleichung liefert:
QC
0
wo die Koeffizienten A^ und B^ aus (7) zu entnehmen sind.
§ 80. Vierte und fünfte Methode.
Der Satz II führt uns ganz natürlich dazu, folgendes die Funktion § 79, (2) enthaltende Integral:
ff{tx)t^{f+i/ydt
0
zu untersuchen; es scheint im allgemeinen allerdings nicht eben die Eigenschaften zu besitzen wie die vorigen Integrale, so daß wir es vorziehen, statt seiner das andere Integral:
(1) V= I e'^f(tx)t'"-^clt
0
in Betracht zu ziehen. Wir finden, wie gewöhnlich, die Formel:
(2) V = x-'"^{xy),
wo SS(iC?/) eine Funktion des Produktes (xy) ist, so daß also:
(3) ^ixy)=Je~'g{tx).^'
0
t
sein muß. Die gewöhnliche Methode führt nun ohne Mühe zu dem vierten Satze:
IV. Die Funktion Sß{x) ist ein Integral folgender in der Form mit § 79, (1) übereinstimmender linearen homogenen Gleichung (n -\- 1)'"" Ordnung:
(4) ^^V«.+ (n-. + l)a.-i _ ^U(«4-i-.)(^) ^ 0,
wo die Koeffizienten a^ und h^ mit den Indices — 1 und n -\- 1 gleich Null zu setzen sind.
Nielsen, CylindeTfunktionen. 14
210 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen. '
Es ist offenbar, daß der in jedem der drei vorhergehenden Paragraphen erörterte Spezialfall (S = — 1 hier kein Analogon findet. Gehen wir aber von der nicht homogenen Gleichung § 79, (9) aus, so finden wir für die entsprechende Funktion '^(x) folgende zu (4) analoge, aber nicht homogene Gleichung:
s = n + 1
/\ > SC tC /
(5)
s = 0
-1
dt.
0
Der Vollständigkeit halber wollen wir noch das weitere die Funktion § 79, (2) enthaltende Integral:
t
(6) W= I e yf{tx)V"-^dt
0
betrachten. Wir erhalten hier:
(7) W^x-^'^ixij),
wo sich die Funktion '^{xy) des Produktes (xy) folgendermaßen darstellen läßt: oo
(8) m{xy)=^ jf'yg{tx)-^-l-
0
dieselbe Methode wie vorher ergibt so den folgenden fünften Satz: V. Die Funktion SS(a:') ist ein Integral folgender in der Form mit § 79, (1) iibereinstimmender linearen homogenen Differential- gleichung (n -\- 1 )''''■ Ordnung:
tüo die Koeffkienten a^ und h^ mit den Indices — 1 tmd n -\- \ weg- ztdassen sind. Wenn aber &, = 0 ist, so finden ivir folgende Glei- chung n^"'' Ordnung:
s = n
(10) ^ (v + ^-^L^^^-^-A m^-^Kx) = 0.
g_^) \x X /
Von dieser Methode, welche ja mit einem Spezialfälle der Laplace sehen Transformation zusammenfällt, machen wir in den folgenden Untersuchungen keinen Gebrauch. Wir bemerken nur vorübergehend, daß sich die Formebi § 70, (2), (3) nach dieser Methode herleiten lassen.
Kapitel XV. Anwendungen der ersten Methode. § 81. 211
Kapitel XV. Anwe]i<lnii2:eii der ersten MellKule.
OD
§ ^\. Über das Integral fC'{tx)t^'{t' + i/y dt.
u
Als erstes Beispiel für die Theorien des vorigen Kapitels be- trachten wir hier das Integral:
(1) <B{xy) =fC'{tx){txyt^-"(t^ + t/y(U, CO ^Q + 26+1,
0
wo C*'(f) eine willkürliche Cyliuderfunktion mit dem Argumente t und dem Parameter v bezeichnet. Eine formnJc Anwendung des Satzes § 77, I liefert mittelst § 50, (16) die homogene lineare DiflFe- rentialgleichung dritter Ordnung:
(2) ©(3)(a-) + i^ @(^)(a;) +((" - ^J;- ^' - 1) B^^Hx) + ^^©(o;) = 0.
Die formale Herleitung dieser Gleichung und der daraus folgende Ausdruck für das Integral Q{xy) bedürfen indessen weiterer Über- legung. In der Tat erfordert ja die Herleitung der Gleichung (2) erstens Differentiationen unter dem Integralzeichen in (1) und zwar zweimal nach x und einmal nach y. Wenn nun die betreffende Cyliuderfunktion nicht eine Hanke Ische ist, darf x nur als reell angenommen werden; nehmen wir nun aber an, daß:
(3) 9^(p±^,)>_i, 9i(^ + 2(?)<--|
ist, so muß das Integi-al ^(xy), dem asymptotischen Werte der Cylinderfunktioneu gemäß, unbedingt konvergent sein. Die zwei- malige Differentiation nach x unter dem Integi-alzeichen ist also erlaubt; denn jede Differentiation gibt ja nur wieder Cylinderfunk- tioneu, die allerdings mit t multipliziert sind, und somit müssen auch die zwei Derivierten nach x unbedingt konvergente Integi-ale sein. Die nachfolgende Differentiation nach y kann aber die Kon- vergenz des betreffenden Integrales nur verstärken; also ist die Gleichung (2) jedenfalls unter den Bedingungen (3) gültig, und somit finden wir für das Integral (1) einen Ausdruck von folgender Form :
(4) @ (xy) = cj, {xy) + qf^ {xy) + cj^i^y),
wo fyipc), f'iix) und f^(x) voneinander linear unabhängige partikuläre
14*
212 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfanktionen.
Integrale der Differentialgleichung (2) bedeuten und die Koeffizienten Cj, Cg und Cg sowohl von x als auch von y unabhängig sein müssen.
Weiter ist offenbar, daß die Gleichung (2) nur die zwei singu- lären Stellen x = ^ und a; = oo haben kann, so daß die drei Inte- grale /i(a;), i\{x) und f^ix) für willkürliche endliche Werte von v, q und 6 in der ganzen a;- Ebene mit Ausnahme von .x = 0 und X = <X) analytische Funktionen sein müssen. Fassen wir also drei der vier Variabein rr, v, q und 6 als gegebene feste Konstanten auf, so sind die drei partikulären Integrale demnach immer analy- tische Funktionen der vierten Variabein.
Nun ist das Integral (1) offenbar konvergent, falls:
(5) '^(q±v)>-1, m{Q + 26)<-l
vorausgesetzt wird. Gibt man also q und v ganz willkürliche, aber endliche und feste Werte, welche der ersten Bedingung (5) ge- nügen, so besthnmt die zweite dieser Bedingungen offenbar eine Halbebene E, in welche 6 fallen muß, um das Integral konvergent zu machen, und es leuchtet ein, daß die Konvergenz des Integrales dann eine gleiclimäßige sein muß; die Integrale, welche man aus (1) durch wiederholte Differentiation nach 6 herleiten kann, haben offen- bar alle dieselbe Eigenschaft.
Teilt man nun das Integrationsiutervall in unendlich viele end- liche Stücke, so wird das ursprüngliche Integi-al '^{xy) als Summe einer unendlichen Reihe dargestellt. Die einzelnen Glieder dieser Reihe sind analytische Funktionen von <?, während die Reihe selbst und diejenigen anderen Reihen, welche man daraus durch gliedweise Differentiationen nach 6 herleiten kann, sämtlich in der Halbebene E gleichmäßig konvergent sind. Einem bekannten Satze ^) zufolge sind also die Summen dieser neuen Reihen genau die nach 6 genom- menen Ableitungen des Integrales ^{xy).
Da nun 'B{xy) als Funktion von 6 betrachtet, emdeutig und stetig und zudem willkürlich oft differentiierbar ist, und da diese Ab- leitungen von der Richtung, in welcher sie genommen werden, un- abhängig sind, so ist ^(xy) eine analytische Funktion von 6, falls nur die Bedingungen (5) erfüllt sind.
Denkt man sich also die Koeffizienten q, Cg und c^ in (4) den Bedingungen (3) entsprechend bestimmt, Bedingungen, welche jedenfalls die Existenz der Formel (4) sichern, so müssen diese Koeffizienten ja analytische Funktionen von 6 darstellen, und daher
1) U. Dini: Grundlagen etc. p. 524; Leipzig 1892.
Kupitel XV. Anwendungen der ersten Methode. § 82. 213
muß, einem Fimdamentiilsatze') der Theorie der analytischen Funk- tionen zufolge, auch die Formel (4) unter den weiteren Bedingungen (5) gültig bleiben.
Wir haben hier die Herleitung der Formel (4) so ausführlich besprochen, damit wir späterhin die ganz ähnlichen Entwicklungen weglassen dürfen.
Nach diesen allgemeinen Erörterungen baben wir nun über die drei Parameter v, ^ und ö so zu verfügen, daß sich das Integral @(j7/) durch Cylinderfunktioneu oder Lommelsche Funktionen aus- drücken läßt.
Wir vergleichen zuerst (2) mit § 55, (7) für x"Cy{ßx)Cj(ßx) und finden, daß diese zwei Gleichungen dann und nur dann identisch sein können, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
so daß wir folgende zwei Fälle näher zu untersuchen haben:
1) a = () = ö = 0, v = 2y, 6 = — ^,
2) V ^ Q = y, a = 2y, a = ^y, 6 = y — '}.
Zweitens vergleichen wir (2) mit § 50, (17); beide Gleichungen sind identisch, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1 - 2« + a = 3 - 2(0, ß= i, a = -26,
a'- - y- -\- {a - 1) {l-2a) = ((o- If - v\
{a-2){a'-f) = 0,
so daß wir die zwei weiteren Fälle zii untersuchen haben:
3) rt = 2, (9 = — 1, a = (o, y = v, d = — C3, p willkürlich,
4) a = y = v-\-6~\-l, (o = y -\- 6 -{- 1, q = v-\-1, d = l—v-\-ö, 6 willkürlich.
§ 82. Erster Fall: Integraldarstellungen für C''{x)C^''{x).
Beim ersten Spezialfälle betrachten wir zunächst das Integral, in welchem die Cylinderfunktion von der ersten Art ist, imd finden so eine Formel von der Form:
CK
(1) / ~-^,dt = c,[j^{xyi)Y + c,J\xyi)Y\xyi)^c,{Y^{xyi))\ 0
1) C. Neumann: Vorlesungen über Riemanns Theorie der Abdachen In- tegrale, p. 35; Leipzig 1884.
214 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
eine Formel, welche gültig ist, solange a; > 0 und 9^(v) > — ^^ vorausgesetzt wird, oder spezieller, solange x = 0, '3{{v)^0 oder endlich y =" 0, 9i(i^) > 0 ist. Um die drei Koeffizienten zu be- stimmen, setzen wir erstens ^ = 0; dann wird das letzte Glied rechter Hand unendlich, also muß C3 = 0 sein; wenden wir nun weiter die Web er sehe Formel § 72, (2) an, so finden wir:
^2 = ~ Y 5
um auch c^ zu bestimmen, multiplizieren wir in (1) mit x~^^ und setzen danach x = 0, so daß die Formel (f^g) unmittelbar folgende Gleichung gibt:
q sin V7t + Cg ^^^ V7t = — ^e~*"',
und somit haben wir die elegante Formel:
gefunden, in der wir im allgemeinen x^O, ?/ + 0, 9l(v) > — ^ oder spezieller x = 0, 9t (i») > 0 oder y == 0, 9t (i^) > 0 voraus- setzen müssen.
Ändert man nun in (2) das Vorzeichen von v und führt man linker Hand mittelst der Definition § 3, (2) die Funktion Y^^{x) ein, während man rechter Hand mit Zuhilfenahme von § 3, (3), (4) wieder Cylinderfunktionen mit dem Parameter v einführt, so findet man die weitere Formel:
CD
(3) ^J^^^^^ = {H:\xyi)y- i tg vnH:{xyi)H,\xyi),
0
wo man also ^^ > 9t(f) > — 2- voraussetzen muß, während y nicht gleich Null angenommen werden darf; die Null ist also der einzig mögliche ganze Wert von r; die entsprechende Formel (3) wird dann sehr elegant.
Wir setzen nun weiter in (2) — yi für y und denken uns für einen Augenblick x und y reell und positiv, während wir das Inte- grationsintervall in zwei andere, nämlich von ^ = 0 bis t =' y und von t = y bis ^ = 00 , teilen. Setzen wir in der so erhaltenen Formel (2) die reellen und die imaginären Komponenten der beiden Seiten einander gleich, so finden wir folgende zwei Formeln:
Kapitel XV Anwendungen der ersten Methode. § 82. 215
n T
(4) ~Jj^''{2x cos <p)d(p = (J'(^))', 'iR[v)>- h ^ willkürlich,
0
Od
(5) - / -y/. --^ = - ^"i'^y) ^'(-^-V), ^ > 0, V willkürlich.
y
Die Formel (4) läßt sich auch sehr leicht durch «^'liedweise Integration direkt herleiten; sie ist übrigens eine neue Verallgemei- nerung der in § 22 erwähnten Formel von Neumann'), welche man aus (4) findet, wenn v eine ganze Zahl bedeutet.
In (;')) darf y auch als komplex angenommen werden, wenn nur die sehr entfernten Teile des Integrationsweges mit der Achse der positiven Zahlen zusammenfallen.
Die Definition der Neumannschen Cylinderfunktion gibt weiter ohne Mühe mittelst (4) die analoge Formel:
n
T
(6) ^fY'"(2x cos (p) d(p = 2J'{x) Y'{x) - tg v%H,'{x) H/(x) ,
0
wo x eine willkürliche endliche Größe bezeichnet, während
sein muß. Durch diese Formel findet man wieder aus (3), wenn man dort — yi für y setzt, die weitere Formel:
wo die Bedingungen dieselben sind wie in (5).
Führt man endlich die Hankeischen Cylinderfunktionen ein, so findet man aus (5) und (7) folgende Formeln:
(8)
(9)
00
y
1) Theorie der Besselschen Funktionen, p. 70; 1867.
216 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
In den zwei letzten Formeln ist es nicht notwendig, daß der Integrationsweg mit der Achse der positiven Zahlen zusammenfällt; nur muß für die sehr entfernten Teile dieses Weges '^(txi)>0, bez. '?fi(txi) ^0 angenommen werden.
§ 83. Zweiter Fall: Weitere Integralausdrücke für C^{x)C^*(x).
In dem zweiten Falle des § 81 findet man eine Fonnel von folgender Form:
(1)
CO
fC'X2tx){t^-\-i/y~h'dt =
0
-~{<^i (J'{xyi)y+c,j^{xyi) Y-{xyi) + c,(Y^{xyi)Y),
wo man im allgemeinen a; > 0 und -|^ > 9? (v) > — ^ voraussetzen muß. Wenn die willkürliche Cylinderfunktion unter der Form:
C'(x) = aJ'{x) + hY^{x)
gegeben ist, suchen wir nunmehr die drei in (1) vorkommenden Koeffizienten zu bestimmen; erstens setzen wir y = 0, so daß vor- läufig 'Si{v)>0 sein muß. Die Weberschen Formehi § 12, (3), (4) ergeben dann ohne weiteres:
(2) C3 = ^''"^'' + ^^ {a sin v:t-J) cos v:i) e^"',
eine Formel, die also überall gültig bleibt, wo das Integral (1) überhaupt einen Sinn hat; dasselbe gilt von der andern Gleichung:
q sin^ Vit -f Cg sin v% cos vti -\- c^ cos* vn =
= - ^'''"^; + ^^ {a sin v:r + &COS i/;r)e-^«',
(3)
4
welche man durch Anwendung von (J^^ aus (1) findet, nachdem man durch a;' dividiert und dann .r = 0 gesetzt hat; man muß also hier einstweilen 9ft(v) < 0 annehmen.
Um eine dritte Gleichung zwischen den Koeffizienten zu finden, dividiert man die Gleichung (1) durch if^~^ und setzt dann y = -{- <x>-^ die linke Seite von (1) behält dami einen endlichen Wert, falls ^>9f?(v)> — -^ angenommen wii-d; führt man aber rechter Hand die Ausdrücke (3), (4) des § 59 ein, so muß die Exponential- funktion e^y wegfallen, und man findet schließlich nach einer An- Wendung der Weberschen Fundamentalformeln des § 72 folgende zwei Formeln:
(4) (5)
Kapitel XV. Anwomlungen der ersten Methode. § 83. c, + ., = >/:rr(r+i)-^'.
217
Die Formeln (2), (4) und (5) j^estatten nun eine Bestimmun«^ der drei Kueftizienton, wälirond (3) eine Kontrolle der gefundenen Werte ermöglicht; man findet so endlich die Formel:
(6)
CO
0
WO j:; > 0 und \ > 'Si{v) '> — ^ sein muß, und wo wir der Kürze
halber:
A = h cos vTi -\- a sin V7t + '^cbi cos vn,
(7) J5 = 2&i cos v:nr — 2a cos v:nr,
C = a sin vn — h cos v;r
gesetzt haben.
Setzen wir nun in (6) — iy für y und denken wir uns x und y positiv und v reell, so finden wir durch Teilung des Integrations- intervalles in zwei andere, nämlich von ^ = 0 bis t = y und von t = y bis ^ = 00 , und durch Identifizierung der reellen und der imaginären Komponenten folgende zwei Formeln:
(8)
7t
fC*(2x cos q)) (cos cp sin cpydtp = 0
WO 9ft(v) > — ^ vorausgesetzt werden muß, und:
OD
fc'{2tx){t^-tfy~Uuu =
y _
= ^"'^^+/^^'^ [A,[j\xy)Y+B,J^'{xy) Y^{xy)^C,[Y\xy)Y\
(9)
wo wir der Kürze halber:
Ay = h cos v% — a sin V7t, B-^^ ~ 2{b sin vä + a cos vn),
Ci = a sin vn — h cos v:nr
gesetzt haben; hier muß a; > 0 und ^>9l(v)> — 4" angenommen werden.
(10)
218
Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
Aus (9) findet man weiterhin für die Hankel sehen Cylinder- funktionen folgende zwei eleganten Formeln:
(11)
00
fH/(2tx) {t^-i/y^ P'dt == y
^V^n^+^ ^(Ä,•(.^.))^
(12)
CO
fK/(2tx) if - i/y~h'dt = y
4«"
{W(^y)y,
wo man im allgemeinen 9i(v) > — -^ und 9fi(a;i) > 0, bez. ^(xi) <iO voraussetzen muß; in dem Spezialfälle '?R(^xi) = 0 muß noch ^ > 9? (v) > — 4- angenommen werden.
Die Formeln (11) und (12) erlauben uns noch eine ganze Reihe von neuen, zu den vorigen analogen Formeln zu entwickeln. Zu diesem Zwecke setzen wir in (11), (12) — v für v und reduzieren mittelst § 4, (2) die Cylinderfunktionen mit dem Parameter — v; auf diese Weise finden wir:
(13)
(14)
n^''{2tx)(lt ynr{\ — v)x'''i
fr-y')
*+*
91
y
{H,"{xy)Y,
fi
n/{2tx)dt y^r{i-v)x''
t"{t\-y')
^+^
2y^'-i
(H^i^yif,
wo wir '^{y)<i^ und 91(0;?') > 0, bez. 9?(:r«')<0 voraussetzen müssen; in dem Spezialfälle '^{xi) = 0 muß ^ > 9^(v) > — ^ an- genommen werden. Durch Addition, bez. Subtraktion der Formeln (13), (14) findet man zwei zu (9) analoge Formeln.
§ 84. Dritter Tall: Integralausdrücke für W'^{x).
Beim dritten Falle beschränken wir uns auf die Untersuchung des Integrales mit einer Cylinderfunktion der ersten Art und finden
eine Formel von folgender Form:
00
(1) f^^^dt = if-'(c,J^{xyi) + c,Y^{xyi) + c,TJ^''''^{xyi)),
Kapitel XV. Aiiwerulungou der ersten Methode. § 84. 211)
WO a; > 0, Oil^ + p) > — 1, l!R(p) < i st-'in muß, währond y nicht rein iniaj^inilr iuii^enoinmen werden darf.
Setzt mau in (1) y = 0, so muß man für den Augeni)lick 9l(v + p) > 1 voraussetzen, und c^ läßt sich unmittelbar mittelst der Weberschen Formel § 72, (2) bestimmen. Dividiert man ferner mit X* in (1) und setzt man x == 0, so muß man einstweilen — l<?R(v+p)<l annehmen, und somit l)estinimt (fja) c^, während Cj verschwinden muß; um dies einzusehen, braucht man nur 9?(v) > 0 anzunehmen. Mau findet so die Formel:
(2)
0
In dem Spezialfälle, in welchem q -\- v eine ganze ungerade Zahl bedeutet, stellt sich der Ausdruck rechter Hand in (2) unter unbestimmter Form dar, läßt sich aber unmittelbar durch die ge- wöhnlichen Methoden bestimmeu. Setzt man noch spezieller v = 2^, Q = l, bez. V = 2n -{• \, q =^0, so findet man mittelst § 17, (2G):
oc
(3) ßy^ljf' = i i^H,^" i^yi) + iS'"ixyi)) ,
0
0
Setzt man dagegen v = 2n, p = 0, bez. v = 2n -\- \, Q = ^, so erhält man mittelst § 17, (25):
00
'• -"Jw + l
(6) j '-^^^^^^ = '^{j''''\xyi) + iQ^'^^^^xyi)).
0
Wir setzen ferner in (2) q = v -\- 2n -\- \, wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, und finden dann die Formel:
0
wo man — 2n + f > fR(v) > — n — 1 voraussetzen muß, so daß n nur die Werte 0, 1 oder 2 annehmen darf.
220 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen
§ 85. Vierter Fall: Verallgemeinerung eines Integrales von Sonin.
Eine einfache Änderung der Bezeichnungen des vierten Falles in § 81 erlaubt uns die entsprechende Formel folgendermaßen zu schreiben:
(1)
/;
, (t'+yr-
dt^
+ 1
das Integral linker Hand hat einen Sinn, wenn:
x>0, 9?(29) + f >9?(i;)>-4-
vorausgesetzt wird; wenn y rein imaginär ist, kommt noch die neue Bedingung 9f?(p) < 0 hinzu.
Um die Koeffizienten zu bestimmen, denken wir ims die Cylinder- funktion folgendermaßen gegeben:
C'(x) = aJ'(x) + hY'{x).
Setzen wir dann zuerst y = 0, so müssen wir für den Augenblick ^{v-q)>0, 9?(())<0 annehmen; die Formeln § 70, (3), (4) geben dann ohne Schwierigkeit:
(2) Cc, = —TT (— a — & cot o;r) ;
multiplizieren wir ferner mit x~^, so ergibt die Annahme x = 0, vorläufig unter den Voraussetzungen 9i(i/ — ^)>0, 9fi(9) < 0, mittelst der Formel (r^g):
q sin m; (v — q) -\- Co cos 7t(v — q) =
(3)
Endlich multiplizieren wir mit ic" und setzen wieder x = 0', eine Kon- stantenbestimmung ist dami möglich, falls vorläufig füiv) > 0, 9(t(^ — z')>0 angenommen wird. Wir finden mittelst (Fig):
(4) c, = -. r— - —
^ ■' "* sin TT Q sm 2,jr v
und erhalten somit endlich die Formel:
'"^ (a + & cot i/7r)e'^ (?-'■)',
(5)
OD
J (t^
^'^^'""'dt =
Kapitel XV. Anwendungen der ersten Methode. § 85. 86. 221
wo wir der Kürze halber:
A { 1 J 1. N • , 6 C08 « (V — p)
^ = (a -f 6 cot vn) i H — . - -\-— ^ ,
^ ' )i\XiVX 8in p« '
(6) I B = — {a-\-h cot Q -x) ,
sin 2 V TT sin p TT gesetzt haben.
Die allgemeine Formel (5) ist ja etwas kompliziert, indessen liefert sie durch Spezialisierimgen der Parameter v und q oder der willkürlichen Funktionen a und h eine große Menge eleganter Formeln, welche man sonst auf andere Weise und von verschiedenen Prin- zipien ausgehend herzuleiten pflegt; von diesen spezielleren Formeln wollen wir nun die wichtigsten mitteilen.
Wenn 1v oder q ganze Werte annehmen, wird der Ausdrack rechter Hand unbestimmt, läßt sich aber ohne Mühe durch die ge- wöhnlichen Methoden behandeln: wir gehen vorläuficr nicht näher darauf ein, sondern betrachten hier nur den Spezialfall, in welchem die im Integi-ale vorkommende Cyliuderfunktion von der ersten Art ist; wir haben dann & = 0 zu setzen und finden so die Formel:
welche von Sonin^) gefunden worden ist.
§ 86. Verallgemeinerung zweier Integrale von Weber und Mehler.
Um die Formel § 85, (5) besser anwenden zu können, setzen wir in ihr — iy für ^, wo das neue \j eine positive Größe bedeutet; sind nun weiter v und q reell und setzen wir außerdem:
(1) p„„^^(..)r^- ^„„^rV(,.)r^-^^
während F'>^ das entsprechende Integral (5) bezeichnet, so finden wir:
(2) F''-? = — e^"' [/'■'? 4- W"'^.
Setzen wir jetzt die reellen und die imaginären Komponenten der beiden Seiten in (2) einander gleich, so erhalten wir sehr leicht die beiden neuen Integrale U und W. Wir bemerken, daß U und W in dem obenerwähnten Spezialfälle nur reell sein können, wenn
1) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 50; 1880.
222 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
wir für die Potenz ( — 1)? + * den Wert rechter Hand in (2) nehmen. Auf diese Weise finden wir:
(3)
n
T
fC^'{x sin qp) (sin 9?)' + ^ (cos (py(!~'^d(p I 0
2^-?x?
{{a + h cot v7t)J^+^{x)-^^^^T]^ + ^'-^'-^^{x)),
00
y wo wir der Kürze halber:
(5) Ä = h sin Q7t -\- a cos ^tt, B = h cos Qn — a sin ():?r
gesetzt haben.
Die Formel (3) ist für willkürliche endliche Werte von x anwend- bar, falls nur 9?(()) > 0, 9fl(v) > — 1 angenommen wird. In dem Falle, daß V eine ganze Zahl ist, läßt sich der Ausdruck rechter Hand ohne Mühe bestimmen. Setzt man ferner v = — ^ und () + 4- für q, so gewinnt man die in § 18 gegebenen Integralaus di-ücke für J^(x) und Z^{x).
Die Formel (4) ist viel interessanter; sie erfordert übrigens die Bedingungen a; > 0, ?/ > 0, ^(q)>0 und 9?(2() + v) < f. Die Annahme a = 1, & = i ergibt, wenn man p — 1 für q setzt und mittelst § 4, (2) das Vorzeichen von v ändert, die Formel:
y
Von den übrigen Spezialfällen von (4) beschränken wir uns auf die folgenden:
1) Q = n -\- \, wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet; wir finden hier die merkwürdige Formel:
(7) (_ 1)^ + 1 Cc\tx) {t'-y'Y-t'+'dt = —^"fj"''' C'+" + \xy),
y wo wir 9i(v + 2w) < — -^- voraussetzen müssen; für w = 0 ist diese Formel in der Hauptsache mit § 10, (2) identisch.
2) Q = n -\- ^-, wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet; hier erhalten wir die Formel:
(8)
Kapitel XV Anwendungen der ersten Methode. § 86. 223
OD
(- 1)" Je ((!)((' -»*)""*• (•*'(/( =
WO 9l(v + 2«)<^ angeuonimen werden muß.
Bezeichnen wir nun mit Hji^xij) für gj = 1, 2 die zwei Hankeischen Cylinderfunktionen, so finden wir aus (8) die neue Formel :
(9)
OB
y ,
2i-"rr" + ^
{^y)-
3) V = n — 1", wo w eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet; setzen wir hier — () + ^ für q, so ergibt eine Anwendung der Formeln § 3, (3), (4) unmittelbar:
(10)
{tx)t
l+i
dt =
1 - n
wo wir — > ^ ((>)> — Y
2? + i 1
(hJ(.'-"{x7j) + a F?-''(a'?/)) ,
annehmen müssen. Führen wir die
Hank eischen Cylindei-funktionen ein, so erhalten wir eine zu (9) analoge Formel, während die Annahme w = 0 folgende zwei be- merkenswerten Formeln liefert:
(11)
jQ{xy) =
(12)
YQ{xy) =
-|/«ra-e)
Bin(^^^
cos (tx) , , ^ dt,
wo ^- > 9? {q) > — -} angenommen werden muß.
Für Q = 0 hat Hehler^) die Formel (11) gefunden; indes hat Weber^) beinahe gleichzeitig denselben Spezialfall von (11) sowie
1) Mathematische Annalen Bd. 5, p. 144; 1872.
2) Journal für Mathematik Bd. 75, p. 81; 1873.
(1)'
224 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
von (12) gegeben, während die beiden allgemeinen Formeln zuerst von Sonin^) bewiesen worden sind. Neuerdings bat Web er ^) abermals die beiden Formeln für ^ = 0, aber auf ganz andere Weise hergeleitet. Es ist bemerkenswert, daß uns unsere späteren Unter- suchungen in § 89 direkt zu den allgemeineren Formeln (11) und (12) führen.
§ 87. Verallgemeinerung eines Integrales von Meissel und Weber.
W^ir kehren nun zu der allgemeinen Formel § 85, (5) zurück und führen die Funktion H^ ein. Setzen wir noch — ix für x, so finden wir folgende Formel:
/
H,'{-txi)e^^ ^^
+1
= ^S^rTZ^— (- ^^^"""J"-' i^y) + Y"-' (^y) + ^i^ TT "-e. — c (xy)),
2 r (p-j-l) sinpTT \ sm ^vn /
welche anwendbar ist, falls 9?(a') > 0 und 9t (v) > — 1 vorausgesetzt wird; wenn y rein imaginär ist, muß man außerdem 9t(()) < 0 an- nehmen. Die entsprechende Formel mit H^ läßt sich unmittelbar aus (1) herleiten, wenn man nur überall das Zeichen von i wechselt. Wir bemerken, daß die Annahmen q = — v oder q = — v — 1 die Funktionen T\'^^' (x) und X^''+^(.^) in (1) einführen müssen. Wir betrachten den anderen Spezialfall v = — ^^ näher, der viel interessanter ist. Setzen wir nämlich ^ — v für q, so erhalten wir die bemerkenswerte Formel:
00
(2) fe-^^(f + fr^dt=^'''^ß^ [Z\xy) - Y\xy)) ,
0
wo man im allgemeinen 9t(vC)>0 oder spezieller ^{x) = 0, 9J(v) < 0 annehmen muß.
Setzt man in (2) v = 0 und führt man für Z^{xtj) ihre Reihen- entwicklung aus § 18, (11) ein, so gewinnt man eine Formel von Meissel ^); führt man dagegen für Z''(xy) ihren Integralausdruck aus § 18, (10) ein, so findet man die Formel:
1) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 39; 1880.
2) Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen Physik Bd. 1, p. 175; 1900.
3) Gewerbeschulprogramm Iserlohn 1862. Citat von Meissel: Jahresbericht der Oberrealschule Kiel, 1890.
Kapitel XV. Anwendungen der ersten Methode. § 87. 225
2(0)' (3) Y'(x) -= -^-— I / sinU-co8(i)(siua)j
{/■
welche für ^'auze Werte von v von Weber*) gefunden worden ist.
Die Formel (2) gestattet uns femer, wie ich neuerdings gezeigt habe*), die Funktion rechter Hand in eine Fakultäteureihe zu ent- wickeln. Wir bemerken noch, daß uns dieselbe Formel leicht zu den Formeln § 8G, (11), (12) führt; um dies zu erreichen, brauchen wir in der Tat nur längs der Peripherie eines von den positiven Achsen der reellen und der imaginären Zahlen begrenzten Kreis- viertels von unendlichem Radius und mit dem Zentrum im Anfangs- punkte zu integrieren.
Setzen wir ferner in (1) q = — n — 1, wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, und außerdem xi für x, so finden wir mittelst § 30, (1), (2) und § 3, (3), (4) die Formel:
(4) (- lY -fn.^itx) {i' + fyp^uu = - ^ ^"^ -^"-"(^y) ,
0
wo wir der Kürze halber:
s = 0
gesetzt haben. Es ist in der Tat höchst merkwürdig, daß der Wert des Integrales (5) für positive x und y und für ein reelles V rein imaginär ist. Doch darf man im allgemeinen ja nicht die reelle und die imaginäre Komponente linker Hand trennen, weil die so erhaltenen Integi'ale mit den Funktionen J und Y im all- gemeinen beide divergieren.
Betrachten wir jetzt die ganze transcendente Funktion:
(6) f{x) = «0 + «1^ + «2^^ H H «n^"" H ,
wo die Koeffizienten a^ so beschaffen sein sollen, daß, wenn A eine endliche Zahl bedeutet:
(7) lim ^^/ = 0
n"-
wird, und setzen wir in dem IntegTale:
1) Journal für Mathematik Bd. 76, p. 10; 1873.
2) Comptes rendus Bd. 134; 1902
Kielaen, CylinderfunktioneB. 15
226 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
I=j\^'itx)P'^'f[z{f + f))dt
0
für f die Reihe (6) ein, so finden wir durch formale gliedweise Integration :
(8) 7^-,.f(-')--'f/:--v.«,g,..(,,),
eine Formel, welche einem bekannten Satze ^) zufolge anwendbar ist, wenn nur die Reihe rechter Hand konvergiert. Beachtet man in- dessen, daß (5) für ein sehr großes s die asymptotische Gleichheit:
liefert, so folgt aus (7), daß die Reihe rechter Hand in (8) kon- vergiert, wenn:
(9) \4.z\<\x\'
ist; in diesem Falle ist die Formel (8) also wirklich gültig.
Darf man nun in dem Integrale I die reelle und die imaginäre Komponente trennen, so findet man folgende zwei Formeln:
CO
(10) fj'itx)f[z{f+if)) P + 'dt = 0,
0
CO
/' *=°o 4- J- 1
Y^{tx)fU(f^+y')) P^'dt =^(- iys\a,2' - '^ y]^[ B^''^{xy)- s = 0 ^
0
Die Formel (8) zeigt also, daß sich unser Integral / für hin- länglich kleine Werte von | z \ nach positiven ganzen Potenzen dieser Variabein entwickeln läßt. Führen wir nunmehr statt B den Ausdruck (5) ein und ordnen wir nach Potenzen von x, so erhalten wir die Formel:
»=00 8 = 0 *
wo wir der Kürze halber:
p = 00
^.W = (-l)'2'^»»+.2'' gesetzt haben, so daß also:
^X2/) = (-i)Y«(2/)
1) U. Dini: Grundlagen etc. p. 524; Leipzig 1892.
Kapitel XV. Anwendungen der ersten Methode. § 88. 227
sein niub; ilainit haben wir folgende merkwürdige Formel bewiesen:
00
u
»=00
(12)
* = 0
Von Funktionen f{x), web^he der Bedingung (7) genügen, nennen wir J^'{x), cos (]/a;), sin (j/ic).
§ 88. Asymptotische Ausdrücke für die Lommelsche Funktion.
Wir haben noch eine wichtige Anwendung der allgemeinen Formel § 87, (1) zu zeigen, durch die wir eine asymptotische Dar- stellung der L omni eischen Funktion zu geben vermögen. Zu diesem Zwecke multiplizieren wir in der erwähnten Formel mit ^2^ + 2 ^jjj betrachten sonach das bestimmte Integral:
00
(1) f(.^)-r'?~Tl'lT^t,
wo wir also:
(2) 9^(2.) >-l, 'S{{x)>0, 'Si{iy)^0
annehmen müssen.
Wir betrachten ferner folgende Taylor sehe Reihe:
(B) ('+^r*=|rro(7r+^-
wo das Restglied R^ ein Ausdruck von derselben Form wie -R„(0 in § 58 bedeutet. Führen wir nun die Entwicklung (3) in (1) ein, so liefert die Web ersehe Formel § 72, (8) ohne weiteres die Ent- wicklung:
s = 0
Erinnert man sich aber, daß sich die Hankeische Funktion H^^X—xi) für große Werte von \x\ wie e~^ verhält, so ergibt die- selbe Methode wie in § 58: (5) lim \x'-R^\ = 0, ^(x)>0;
das heißt aber, daß die Formel (4) iiir y = 1 und '^(x)>0 eine
15*
228 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit CylinderfunktioneD.
asymptotische Reihe im Sinne Poincares^) darstellt. Setzt mau weiter xy = ri, wo r eine positive Größe bedeutet, so muß man
dagegen in (4) x = re'^, y = ie~'> annehmen, wo — > 95 > -
sein muß; die Formel (5) bleibt dann noch immer gültig.
Nach diesen Erörterungen setzen wir in (4) v und q für V — Q, bez. — V — Q und finden mittelst § 87, (1) folgenden allge- meinen Satz:
Setzt man voraus, daß:
(6) m{v-Q)>-2
ist, so wird die asymptotische ReihenentivicMung :
( 2TT'''?(a;) + sin 7t{v-Q) Y'{x) - 2 cos^ ^(v — q) J'{x) ~
(7)
sin — (v -{- q) sm % {v — q)
_
■2'(-i)'r(^+^+i)r(-4^+. + i)(|f
« = o in der ganzen Ebene anwendbar, wo:
(8) x = \x\e'\ 0<d£27i.
Es ist bemerkenswert, daß der Ausdruck rechter Hand in (7) mit der Formel:
(9) TT'>?(a;e''0 = e?'^''n»'?(a;)
übereinstimmt, während dies nicht mit den letzten Gliedern linker Hand der Fall ist. Was die Bedingung (6) anbetrifft, so denken wir uns 0^9^(v — ())> — 2; bezeichnet dann 2^ ^üi^ positive ganze Zahl, so ergibt § 29, (4):
T\'''Q+'-p{x) =
==n".?(^)-cos-J(a/-^).V ^-^
(10)
^
' r(^+. + i)r(^ + . + iy
und nun läßt sich die Lommelsche Funktion rechter Hand mittelst (7) entwickeln.
Die Formel (7) ist von fundamentaler Bedeutung; denn aus ihr kann man durch einfache Spezialisierungen der Parameter q und V unmittelbar eine gi-oße Menge von spezielleren Formeln herleiten.
1) Acta Mathematica Bd. 8, p. 297; 1886.
Kapitel XV. Anwendungen der erston Methode. § 88. 229
welche man sonst jede einzeln für sich und nach verschiedenen Prinzipien zu entwickeln pflegt. Wir betrachten nun die wichtigsten dieser Spezialfälle näher.
1) Q = 0, bez. ()= 1; wir finden unmittelbar:
(11) TJ^ix) - cos- "," J*(x) + 4-8in v:tY*ix) r^ -'-^^A^ix),
M M TT
(12) \^{x) - 8in^-7 J'(a:) - i-sin vz Y^{x) ^ '^pB„'{x), wo wir der Kürze halber:
(13) A„'(.) = i, +f -'--^'»-'-tT -'-•-"'' ,
» = 1 ^
(14) B:ix) = 1+2 '- ^^ Ij^^—^ ^
,=1 ^
gesetzt haben; wir müssen also in (11) und (12) 9'?(i')> — 2, bez. 9li(r) > — 1 annehmen. Führen wir nun mittelst der Formeln des §17 die Funktionen V und Q ein, so erhalten wir die weiteren asymptotischen Reihen:
(15) ^\x) - J^ix) ~ ^ (B^ix) - A"(^)) ,
2 cos* -^ 2 sin* -;—
(16) Q^Xx) - Y^ix) ^ B:{x) + — ^ A:{x),
wo also 9?(v) > — 1 angenommen werden muß. Führen wir in diese Formel noch die aus § 59, (1), (2) für J und Y erhaltenen asymptotischen Reihen ein, so finden wir zwei Formeln, welche H. F. Weber-Zürich^) ohne Beweis mitgeteilt hat.
Aus (11) und (12) erhalten wir ferner mittelst § 24, (13), (14) für die Integrale von Fresuel die asymptotischen Reihen:
(17)
(18)
F,{yx)-~y^r^
'^ — YxBJ{x) sin ^ - Y V^ ^„^ (^) cos a;,
f F,{yx)-^y^<^
~ - — |/^ BJ {x) cos a; - — Yx AJ {x) sin
JU •
1) Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich Bd. 24, p. 48; 1879.
230 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
die zuerst von Cauchy^) aufgestellt worden sind; eine Anwendung der Formel § 34, (12) ergibt nun auch ohne Mühe die asymptotische Reihe für das Integral von Kramp; wir werden diese Formel in- dessen später, in § 95, durch andere Methoden direkt herleiten.
2) Q = V — 2p, wo p eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet; wir finden nach § 30, (11) die neue Entwicklung:
(19)
T- / s TT- / \ ( — 1)^ sin Vit
Tt
4=0
setzen wir wiederum in dieser Formel p = 0, v = + ^, so erhalten wir mittelst (fj:
(20) lH.) + ]/f cos . ~ -|/Ä .f (_ 1). J-^,
4 = 0 '*'
(21) £-i(.)-yf.n.^--)/Ä.f(_l).(!tt')!,
s = Q ^
so daß die Formeln § 34, (17), (18) für den Integralcosinus und Integralsinus folgende Entwicklungen liefern:
(22) C,{x) = sin o; • ^ (- 1)^ -^^ - cos x -^ (- ly ^/i,
s = (i ^ « = 0 ^
(23) S,ix) = ^-oosx.^(- ly -?^ - sin x ^^ (- 1)-' ^^-^ ;
s=U ^ s=0 *
wenden wir weiterhin die Formel (16) des § 34 an, so gewinnen wir, falls :r > 0 ist, die analoge Entwicklung für den Integral- logarithmus:
»=«
(24) li^-^'-'^-^^^=:§^
3=0 ^
3) ^ = V — 2^) -f 1, wo 2> eine ganze, nicht negative Zahl be- deutet; die Formel § 30, (8) gibt die neue asymptotische Ent- wicklung:
1) Comptes rendus Bd. 15, p. 554—556; 1842.
Kapitel XM. Weitere Anwendungen der ersten und zweiten Methode. § 89. 231
( — ly C0& Vit
(25)
Z^'-P{x) - Y\x)
n'
-V(_,).r(.+^ + i)r(-.+;,+. + l)(ip"^'"-.
diese Formel ist für p = 0, v = 0, v=i von Struve') und Lord Rayleigh^) gefunden worden, während P. Siemon') den etwas allgemeineren Fall angegeben bat, in welchem j) = 0 und v ganz, aber nicht negativ ist.
(2)
Kapitel XYI. Weitere Anwendungen der ersten und zweiten Methode.
OD
§ 89. Über das Integral f C'{tx)C^'{tx)(f + i/yt^dt.
u
Wir haben die erste Methode noch auf das folgende Integral anzuwenden:
(1) <Bixy) =fO-(tx) C^\tx){t^ 4- y^yt^-'"dt.
0
Der Satz § 77, I ergibt ohne Mühe folgende Differentialgleichung
vierter Ordnung:
6(.)(^)+^6W(^)+(-4+' + '<''-'»r~"~'-) &" (x) +
Wir bemerken zuerst, daß eine Vergleichung zAvischen (2) und § 56, (6) kein Resultat liefert; dagegen werden (2) und § 51, (14) identisch, wenn:
ß = 2i, a = 2 — CO — 2ö, & = 2ö(o — 2(?, a = a — a
iL
2 7
^2 _ y2 ^ 4^,2 _ (p3 _ 2^)(„ _ 2(? - 5) + 7, (2(j + 3)(a2 _ y2^^ = (c _ 2(7 - 2)(« - 2(? - 3), (ö + l)(a4-l)(«'-y^) = 0.
Um nun diese Gleichungen aufzulösen, gehen wir von der letzten aus und finden dann ohne Mühe folgende fünf verschiedenen Systeme
1) Wiedemann Annalen Bd 17, p. 1012; 1882.
2) Theory of Sound, Bd. 2, p. 168; 1896.
3) Programm der Luisenschule Berlin, p. 13; 1890.
232 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
von Werten der Parameter, wo d^ und d.^ aus § 51; (13) zu nehmen sind:
1)(J= — 1, y = v = ^, a = (0 — ^, ^ = K> + |, di=|— 03,
^2 = 1-,
2) 'y==v, a = — v — l, ö = v — ?^, q = 1—2v, ü3 = —1,
3) y = 2v, ci; = — 1, Q = ^, <^ = — f? « = —1, ^'^ = 0,
^2=1/
4) y^a = ö + ^, Q = l, v = i, co^26 + 2, di = (? + f,
5) j;^(, = (? + |, Q = 2, v = ^j, ö = 2<5 + 3, ^i = (? + i,
0^2 = (?-!- f.
Nun ist offenbar, daß der Fall 1) kein besonderes Interesse darbietet; weiter sehen wir, daß die Fälle 4) und 5) genau auf die allgemeinen Integralformeln von Weber und Hehler, (11) und (12) des § 86, fühi-en; wir gehen indessen nicht näher auf diesen neuen Beweis der zwei interessanten Formeln ein und haben somit nur die beiden FäUe 2) und 3) näher zu diskutieren.
§ 90. Integraldarstellungen für die Poisson-Angersche Funktion.
Im Falle 3) betrachten wir zuerst das Integral, in welchem die Cylinderfunktionen beide von der ersten Art sind; wir finden eine Formel von folgender Form:
CO
J («' + '/> -^ ^ '
0
wo man a; > 0, 9ft(r')>— 1 voraussetzen muß, während y nicht rein imaginär sein darf. Unter der Voraussetzung 0 < 9? (v) < 4- muß sich das Integral linker Hand für kleine Werte von x wie die Potenz x'^'^ verhalten, also mit x gegen Null konvergieren; dies kann aber mit dem Ausdrucke rechter Hand nur der Fall sein, wenn es nicht die Funktionen Y'^'^i^xyi) und TT^''(2a;7/i) enthält; also ist die Form der Formel (1) sichergestellt.
Nach diesen Erörterungen dividieren wir die beiden Seiten von (1) durch x^'^, so daß die Annahme ^' = 0 ohne weiteres gibt:
Ci =
cos v% '
Kapitel XYl. Weitere Anwendungen der ersten und zweiten Methode. § 90. 233
während die Auiuihme y = 0 unter Anwendung der Schafheitlin- schen Formel § 73, (15) folgende Bestimmung von c.^ liefert:
»■
^ COB v:t • sin V7t '
80 daß wir schließlich foltjende Formel finden:
(2) fiJlMflfät^
0
y cos vn \ ^ '^ ■' sm vn ^ if JJ i
wenn n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, muß (2) die Funk- tion Q^''(2xyi) enthalten; diese speziellere Formel wird den in § 84, (5), (6) ganz ähnlich. Im Falle v = « -j- ^ linden wir dagegen die zu § 84, (3), (4) analoge Formel:
(3) 7 ^"""y l'^rr' =■ 7 {S"'\^^y') - ^iH,''*'(2xy{}) ,
0
wo S wie gewöhnlich die rationale Funktion von Schläfli bedeutet. Wir betrachten weiterhin die zu (1) analoge Formel:
OS
0
wo a; > 0 ist und y nicht rein imaginär sein darf. Beachten wir näm- lich, daß das Integral linker Hand für a; = 0 einen bestimmten Wert haben muß, so ist es einleuchtend, daß die Funktionen J^''(2xyi) und Y-'(2xyi) nicht in dem Ausdrucke rechter Hand auftreten dürfen.
Die Annahme x == 0 ergibt unmittelbar:
Ci =
^ cos V7t '
während die Bestimmung von Cg etwas schwieriger ist; sie läßt sich offenbar am einfachsten durch ZuhiLfenahme der asymptotischen Ausdrücke des § 88 durchführen. Wir setzen also x als sehr groß und positiv voraus, während y als positiv angenommen wird. Das Integral muß also einen endlichen Wert haben; führen wir aber rechter Hand die Ausdi'ücke § 88, (11), (12) ein, so zeigen die
234 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
Formeln in § 59, daß der so erhaltene Ausdruck dann und nur dann endlich werden kann, wenn:
i
^2 =
Sin V7C
ist, und somit finden wir die Formel:
(8)
00
-^ ^— =. ± (_i__ T['v(2xyi) + -r^- X 2- (2 xyi)] .
(i^ I ^2W y \cosvTt ^ ^ ^ ' smvTt ^ ^ V
Die Spezialfälle v = n, v = n -\- \, wo n eine ganze Zahl be- deutet, lassen sich ohne Mühe behandeln, so daß wir dieselben ohne weiteres übergehen dürfen. Führen wir nun weiter in (5) für J~'^(tx) den Ausdruck § 3, (3) ein, so finden wir mittelst (2) die neue Formel:
(6)
a
f
r{tx)Y'(tx)tdt
y \ cos vn ■ sin V7t \ j jj i
-2 _ T2rvo„...-\ tt2v/
y \
wenn v hier eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, so entsteht eine zu (3) ganz analoge Formel. Andern wir ferner in (6) das Zeichen von v und führen wir mittelst § 3, (3), (4) wieder Cylinder- funktionen mit dem Parameter 2v ein, so erhalten wir das ent- sprechende Integral, welches das Quadrat von P'(^x') enthält; es wird indessen ziemlich kompliziert.
§ 91. Integraldarstellung für die Funktion Z^(x).
Im zweiten Falle führen die gewöhnlichen Überlegungen zu einer Formel von der Form:
^^^ J {t'Wf-' ^^ = ^Wr(^i^^''"(^^^0 + c,Z\2xyi)),
0
wo a; > 0 sein muß, während y nicht rein imaginär vorausgesetzt werden darf, außer wenn SR (v) > -^ ist.
Um die Koeffizienten zu bestimmen, multiplizieren wir zuerst in (1) mit x~^^'^ die Annahme x = 0 gibt dann unmittelbar mit- telst (fig):
Kapitel XVI. Weitere Anwendungen der erfiten und zweiten Methode. §91. 235
— 3 » Ä »
^1 a-./~ >
lyn cos v-x
während t/ = 0 mit Zuhilfenahme von § 73, (15) folgenden Ausdruck
_.T(v-^)e'"^.
für fj liefert:
^2 = -TT- ,
'l^n
somit haben wir folgende Formel bewiesen:
-3rni
",,»'+ 1 \ COSVJt
+ ^■e•'«■■Z♦•(2:r?/^) I .
Setzen wir nun weiter — iy für y, wo das neue y positiv ist, und teilen wir das Integrationsintervall in zwei andere, nämlich von ^ = 0 bis t = y und von t = y bis ^ = oo, so finden wir durch das gewöhnliche Verfahren die zwei bemerkenswerten Formeln:
2y^cosv7ra;^/ + ^ P {r {tx)ft^-^'' dt
(3) m3v(2.y)^^>^---^ J ^^^_^^^
(4) z^(2.,) = Ly^^\y(^
!-v '
2]/7r a;>^ + ' /* {r\tx))h^-"^' dt y
wo man also 9i(r) > ^ annehmen muß; für v = 1 erhält man aus (4) eine spezielle Formel, welche von Struve^) gefunden worden ist. Auf ganz dieselbe Weise findet man eine Formel von folgender Form:
CO
rrm£Jßxyt^ ^^ _ 1^ / j.^2xyi) + c,ZH2xyi)) ,
wo man a; > 0 und 9? (v) < 1 voraussetzen muß ; wenn y rein imaginär ist, muß außerdem noch fR(v)>^ sein. Die Annahme X = 0 ergibt mittelst (f^g) :
VTti
— V^ g ^ . ^1 ~ 2 r (f — v) '
1) Wiedemann Annalen Bd. 17, p. 1011; 1882.
236 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
für die Bestimmung von c^ muß man dagegen x selir groß und positiv annehmen, während zugleich y als positiv vorausgesetzt wird; die Formeln § 88, (25) und § 59, (3) und (4) geben dami c^ = ic^, so daß man endlich folgende Formel erhält:
y jti
0
Setzt man hier — iy für y, wo das neue y positiv vorausgesetzt wird, so findet man durch die gewöhnliche Methode die weitere Formel:
J'(2x) =
(6)
3t
T
^ _ ^, / J"*'(^cos9)) J'~*(^cos9p)(cos9))^"^*'(sin9))^''~2f79),
während das übriggebliebene IntegTal mit den Grenzen y und co etwas komplizierter wird; in (6) muß man l>Üi(i')>^ voraus- setzen.
Statt das ähnliche Integral mit dem Quadrate \J'~'^{x)) zu untersuchen, betrachten wir das folgende:
c
/
\-^-J—^^dt = x^f {c,J^'(2xyi) + c,Z-^i2xyi)) ;
it'-\-y')
die Koeffizienten lassen sich auch hier ohne Mühe bestimmen, so daß man schließlich zu der Formel gelangt:
m
c
/
\2 .2v+l
(r{tx)Yt'
{t'+y'Y''^
of.X+l) (^"^^^ ^"^^^^^^ + iZ-ri2xyi)) ,
welche anwendbar ist, falls 9i(v) > — 4- angenommen wird; in dieser Formel darf y daher nicht rein imaginär angenommen werden.
Kapitel XVl. Weitere Anwendungen der erbten und zweiten Methode. § 92. 237
§ 92. Über das Intogral J'C''{tx){t + yy t^' dt.
0
Um auch eine Anwendung der zweiten Methode zu geben, be- trachten wir das Intcirral:
n
OD
(1) %{xy) =fC'(tx)(txyt<^-'"{t + yYdt,
u mit Bezug auf welches die transformierte Besselsche Gleichung § 47, (4) für y = 1 die andere ergibt:
(2)
%^'Kx) + ^-^-%^'Kx) + (l +^"~'j,'~')X(^)(a:) +
+ i(l^X(^)(^) + ^-^=:l)x(^) = 0,
welche wir mit § 51, (14) zu vergleichen haben. Die Identität beider Gleichungen erfordert, daß:
tt = co — 6—l, a = 2 — 26, h = 6-—6, /3=1,
ö((?+l)(l -2«) -2((?+ !)(«'-?'') = 0,
(^+l)((j + 2)(i;2-y2) = o
ist. Die letzte dieser Gleichungen erfordert dann wieder die Unter- suchunt; folgender drei verschiedener Fälle:
2) 6 = — 2, a = Q = V, (o = y == u — 1, d^ = — q,
3) V = 7 = ± -i, a = Q= l, (o = G -{■ l, 0^= 6 -\- f ,
von welchen der letzte zu § 89, 1) analog ist und daher kein be- sonderes Interesse darbietet, so daß wir uns auf die zwei ersten be- schränken dürfen.
Im ersten Falle betrachten wir nur das Integi*al mit der B es s ei- schen Cylinderfunktiou und finden eine Formel von folgender Form:
oc
(1) f'^^Tl'y^' = y (^i^"(^2/) + c,TJ^'-^ixy) -h c,U^''-^(xy)) ,
0
wo wir 9^(2/ + 9) > — 1 und 9^(^) < | annehmen müssen, während y nicht negativ sein darf. Um nun die Koeffizienten zu be-
238 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
stimmen, setzen wir erstens y = 0, so daß die Webersche Formel § 72, (2) unmittelbar ergibt:
TT
2 sin n{v-\- q)''
weiter dividieren wir in (1) durch x^ und setzen dann x = 0- die Formel (r^^) liefert dann obne weiteres Ci = — Cg. Um endlich auch Cg zu bestimmen, multiplizieren wir in (1) mit y und denken uns y sehr groß und positiv; die gewöhnlichen asymptotischen Entwick- lungen der §§ 59 und 88 geben dann mittelst § 72, (2) Cg = Cg, und wir finden so folgende einfache Formel:
(2) /
J'mt^,, ^y1
?fF-''« = si^+i)(n--n»^j/)+n'.'-n*y)-'^'(*</))
welche einige elegante Spezialfälle darbietet. Erstens setzen wir ^ = 0 und finden:
CO
(3) /^^ = 3i^("l"(^J')-J'(^2/)), 9!W>-1,
0
wo ^^'(x) die Poisson-Angersche Funktion bedeutet; nimmt man V gleich einer ganzen, nicht negativen Zahl n, so erhält man mittelst § 17, (27) die speziellere Formel:
00
(4) (- iyj~^ = f [^\xy) + S^xy) - Y\xy)) ,
ü
wo S^{x) die rationale Funktion von Schlaf li bedeutet.
Wir setzen ferner in (2) q = v und finden, vorausgesetzt, daß — -^- < 9ft (i/) < 1 ist, die weitere Formel:
(5) ß~
J''{tx)f dt
t + y
= 2^^ (^-''(^^) - «i^ ^^ ^^(^2/)) - ^ y\xy) ;
für w = 0, bez. v = 0 werden die Formeln (4) und (5) identisch.
Der dritte Spezialfall von (2), wo v -[- q eine ganze Zahl be- deutet, läßt sich nach der gewöhnlichen Methode behandeln; wir finden so Formeln, die zu § 84, (5), (6) analog sind.
Im Falle 2) erhalten wir eine Formel von folgender Form:
OD
i^Q)J'^-lM^^^y^(c,J^-i^xy) + c,Y^~\xy)+c,T\^-^--\xy)),
Kapitel XVI. Weitere Anwendungen der ersten und zweiten Methode. § 'J2. 239
WO z > 0 und I > 9i (i') > — ^ vorausgesetzt werden muß, während y nicht reell und negativ sein darf. Wir bemerken, daß die übrigen Integrale von der Form (_(.>) auch die Derivierte der Lo nun eischen Funktion, nach dem Parameter q genommen, enthalten müssen.
Die Annahme y = 0 ergibt mittelst der Weberschen Formel § 72, (2) ohne weiteres:
C') ^8 = — sintifTT '
setzen wir femer a; = 0, nachdem wir zunächst mit x^ dividiert haben, so ergibt (Hj^):
(8) c, + Co cot vn = ^—z — ;
multiidiziereu wir endlich mit y'^ und setzen wir y als sehr groß und positiv voraus, so ergeben die gewöhnlichen asymptotischen Ausdrücke der §§ 59 und 88:
(9) ^ = |-^ c, =|-tgv:r,
ein Ergebnis, das sehr gut mit (8) übereinstimmt, und wir finden demnach endUch:
(10)
/
^ritx)f ^^^
{t + yf
0
ixxy" ' TT.'-i,-v,
2 cos V
■jt\ V ^/ I \ / smvn /
der Spezialfall v = 0 verdient besonders hervorgehoben zu werden ; unter dieser Annahme finden wir nämlich die elegante Formel:
00
(2)
240 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylindei-fimktionen.
Kapitel XYII. Anwendnnsieii der dritten irnd vierten Methode.
00
§ 93. Über die Integvsile Je' ^'^'C'itx) t^ {t + y)" dt und
00 0
0
Als Anwendung der di-itten Methode betracliten wir das Integral:
oc
(1) Uixij) ^fe-''='C^(tx)(txyi9-'"{t + yydt,
0
in Bezuor auf welches der allo-emeine Satz § 79, III mittelst der Differentialgleichung § 49, (5) auf die andere führt:
w\x) + [^^-2i)m{x)-{-
eine G-leichung, welche wir mit § 50, (22) zu vergleichen haben. Beide Gleichungen werden identisch, wenn:
a = — 26, cc = co — 6 — l, ß==l,
(a- 1) (1 - 2a) = 6 {2co - 1), «' - y' + (a - 1) (1 - 2a) = (cj - ly - v\ {a-2){a^-y^) = 0 ist, so daß wir hier zwei Fälle zu imtersuchen haben:
1) a = 2, 6 = — 1, a = Q = CO, y = v, d = — q,
2) « = y = p = 0 4- i, 1/ = 4-, d = a -\- .|-
Nun führt uns der zweite Fall offenbar zu dem Hank eischen Integrale des § 57, so daß wir nur den ersten Fall näher zu unter- suchen haben.
Als Anwendung der vierten Methode betrachten wir das Integral:
(3) ^(xy) =/V""^ C^ (tx) {txy . y ,
0
in Bezug auf welches der allgemeine Satz § 80, IV mittelst § 49, (5) die Gleichuno; liefert:
(4)
a5(3)(^) + 1^ W\x) + f^ "'];"" + fj WKx) +
Kapitel XVII. Anwendungen der dritten und vierten Methode. § 93. 94. 241
welche wir mit der aus § 50, (17) für .r"Cy(Yß'f) erhalteneu Ditfe-
rentialgleifhunt,'
ideutisch. wenn:
rentialgleifhunt,' vergleieheu wollen. Beide Gleichungen werden
1) Q = (( = --, y = 2u, d = l,
von welchen Fällen der letztere kein besonderes Interesse bietet.
Wir haben unsere Gleichung (4) endlich noch mit § 55, (7) für x"C*{yßx)C^'{yßx) zu vergleichen; die Identität dieser beiden Gleichungen erfordert die Bedingungen:
3) a = p = 0, ß = 2i, y = v.
§ 94. Verallgemeinerung eines Integrales von Sonin.
Wir betrachten znnäclist das Integral § 03, (1); es ist klar, daß wir uns auf denjenigen Fall beschränken können, in welchem die unter dem Integralzeichen vorkommende Cylinderfunktion von der ersten Art ist; denn sobald dies Integral gefunden ist, führt eine Änderung des Zeichens von v ohne Mühe zu dem allgemeinsten Integrale dieser Art. Wir haben also nur die noch unbekannten Koeffizienten in folgender Formel zu bestimmen:
u
Beachtet man, daß die Funktion e'''^' J''{tx) für große Werte von tx ein Glied mit unveränderlichem Zeichen enthalten muß, so erfordert die Konvergenz des Integrales offenbar, daß 9^(())<i-, 9i(() + v) > — 1, also 9i(i/) > — 1 ist, während y nicht reell und negativ sein darf.
Um die Koeffizienten zu bestimmen, setzen wir erstens y = 0;
die Formel § 71, (1) gibt dann ohne Schwierigkeit:
n ^ sin « (v -|- p) '
nach einer Division durch x^' ergibt die Annahme x = 0 mittelst (fj^) Cj = — Cg, und somit finden wir die elegante Formel:
(2) j r+Y^— = sin.(.+,) [^''-'{^y)-J' (^?/)) ,
0
welche für p = 0 noch bemerkenswerter wird.
Nielsen, Cj-linderfunktionen. 16
242
Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinclerfunktionen.
Setzt man ferner q = v -\- n, wo w eine ganze ZaM bedeutet, die also nur gleich 0 oder 1 sein darf, so findet man aus § 36, (2), daß sich das entsprechende Integral allein durch Cylinderfunktionen darstellen läßt. Der Fall n = 1 bietet kein besonderes Interesse, dagegen gewinnt man für n = 0 die Formel von Sonin^):
(3) re-^('+y)^r-(tx)f
dt 7ty e ^ -' 2 cos vn
H,\xy), ^^>^{y):>-^.
Die ähnliche Annahme q = — v -\- n, wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, liefert mittelst § 36, (4), (14) die andere, speziellere Formel:
(4) (- 1)'' + ^ •/^"'^t+7'^'^' =T {^\^yH^iIl.\xy)) ;
0
für V = 0, bez. n = 0 werden die beiden Formeln (3) und (4) identisch.
§ 95. Asymptotische Darstellung der Funktion 0'''?(a:).
Die Formeln, welche wir im vorhergehenden Paragraphen ent- wickelt haben, ermöglichen uns, die asymptotische Reihe für 0'>?(a;) aufzustellen. Um dies zu erreichen, ist es bequem, in § 94, (2) das Zeichen von v zu ändern; die Definition § 4, (4) gibt dann nach einer einfachen Rechnung folgende allgemeinere Formel:
0
(1) { = . ""y \ . .(2coso;rcD>.-?(a:y)-
sin w (9 -j- r) sm TT (p — v)\ ^ \ ^/
— (cos^^r-f cos-V7ie~^^ + ''^''') J''{xy) -{- -\- e-'"' sin 7t (v + q) Y''(xy)\ ,
wo man also 9f?(a;i) > 0 und 9i(^ + v)> — 1 voraussetzen muß. Wendet man nun die Identität:
i+y
1
r
+
(_l)«-lf-l (-Iff
H « r
y
/(« + 2/)
1) Mathematische Annalen ßd. 16, p. 65; 1880.
Kai)itel XVIT. Anwendungen der dritten und vierton Methode. § 95. 243
an uiul bozolchnet miin mit /" ihis Intogr.il linker llaud in (^1), so (iiulet man mittelst § 71, (4):
v + l
(2) L =
2y^e '
"' 'v>\-i/r(e+r + /?+i)r(e-v+-''-+i) , 7?
* = 0
wo man der Kürze hall)er:
(3)
^ (- 1)" ///,'■ (Lr)e-^-Wg + " (- 1)"
gesetzt hat.
Nimmt man nun an, daß r eine solir große und po.sitive Zahl
bedeutet, während — ^" < 9^ ^ + T ist, so darf man in (2) x = rieff'
und y = — ?c(®~v)' setzen; transformiert man endlich das Integral in
(3) mittelst der Substitution rt für f, so erkennt man, daß:
lim {r"R„) = 0
r = + CO
sein muß. Damit ist aber folgender allgemeine Satz bewiesen: Die asymptotische Reihencntivicklimy :
2 cos ();r ct)»'«/(a;) — (cos q% + cos vn) e^^"')'"' «/"(a;) +
+ e-''^' sin jr(i; — 9) Y''{x)^ ~
(4) •' ^ 2e~^ • ^^" ^ (^^ — e) sin 7g (^^ + g)
w< für 9i(^±i') < 1 m ^er f7i«rc/i die Formeln: (5) a; = re'«, 0^ö^2;r
definierten ganzen Ebene amvendhar.
Wenn v und q der vorhergehenden Bedingung nicht genügen, kann man immer eine positive ganze Zahl p so bestimmen, daß ?R(() ± V— ^9) < 1 ist, und dann die Reduktionsformel § 35, (C) anwenden.
Im ganzen ist die Entwicklung (4) eine ziemlich allgemeine; setzt man z. B. Q == p -\- 2-, wo p eine positive ganze Zahl be- deutet, so erhält man, falls n^p ist, die schon in § 58 gegebene asymptotische Reihe für H^^'{x). Setzt man weiter in (4) ^ = 0,
16*
244
Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
V = + ^- und — ix^ für x, so findet man für das Integral von Kramp folgende asymptotische Reihe:
(6)
00
e'' I e-^' dx
s = n — 1
y, (-1/(25)!
.^ s!(2.T) welche von Weber^) gefunden worden ist.
§ 96. Integralausdrücke für die Hankelschen Cylinderfunktionen.
Wir wenden uns nunmehr zu dem Integrale § 93, (3) und finden im ersten Falle eine Formel von der Art:
00
0 ' ^
denn es ist offenbar, daß der Ausdruck rechter Hand nicht eine Cylinderfunktion der zweiten Art enthalten kann; übrigens ist das Integral im allgemeinen konvergent, wenn .t > 0 und 9ft(?/) > 0 vorausgesetzt wird; in dem Spezialfälle M(j/) = 0 muß man noch 9i (v) > -^- annehmen.
Die zwei Koeffizienten c^ und c^ lassen sich auf die gewöhn- liche Weise bestimmen, so daß wir endlich folgende Formel ge- winnen : (
e ' J\tx)t 'dt =
(2)
y%
V7tt
2
j/y cos V TC
J^'\2y2xyi)
SVO-VIt ^ ' -^ / / '
setzt man nun hier v gleich der positiven ganzen Zahl n, so findet man aus § 17, (25) die speziellere Formel:
(3)
CO
/txi ■
l _3
' J''(tx)t ^dt =
= '^^ (J2n (2/2^) + /• Q2"(2-)/2:r^0) ,
1) Partielle Differeutialgleicliungen der mathematischen Physik Bd. I, p. 60; Braunschweig 1900.
Kapitel XVII. Anwendungen dur dritten und vierten Methode. § ittj. 07. 245
während die Auuahine v = ti + }^ mittelst § 17, (26) die ähnliche Formel liefert:
(4)
= ^"' (S2" + '(2>/2^-) + ^>'"' + '(2t/2^.vO)-
Um das (2) entsprechende Integral mit der allgemeinen Cylin- derfunktion /u bestimmen, hat man nur in (2) das Zeichen von v zu ändern; auf diese Weise findet man zum Beispiel die bemerkens- werte Formel:
(5) 2e~Äi^' (2)/2.r7/) = ]/^ lc"'~^'H,^{tx)f^dt,
0
wo X nur der allgemeineren Bedingimg '^{xi) <.^ genügen muß. Eine Anwendung von § b, (6) gibt ohne Mühe die ähnliche Formel mit H^^ix).
§ 97. Verallgemeinerung eines Doppelintegrales von Meissel.
Wenden wir uns endlich zum dritten Falle, so finden wir eine Formel von folcrender Gestalt:
/
""'^'•-T^.,/. N dt
e 'C'{tx)-^ =
t
= c, {j^{V2xyi)f + c,J^ (V2xyi) Y^(Y2^) + c, (r»'(]/2^-))';
wo im allgemeinen die Bedingungen 'Si{xi) < 0, 9i (?/) > 0 be- friedigt werden müssen; y darf im allgemeinen nicht rein imaginär angenommen werden.
Wir betrachten zuerst den Fall, in welchem die im Integrale vorkommende Cylinderfunktion von der ersten Art ist; die Annahme y = 0 ergibt dann mittelst § 71, (1) unmittelbar:
Cg^O, c.2 = — Tce '^ y
während sich q durch Division mit x^ für x = 0 bestimmen läßt. Wir finden somit die Formel:
246
Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
Ändern wir nun weiter das Zeichen von v, so erhalten wir ver- möge § 3, (3) und § 4, (2) die allgemeine Formel:
r + l
(2) fe"' ' C^'itx) • y = Tre 2 ^' ^v {y2xyi) ü/' (l/2^i),
0
die in der Tat höchst merkwürdig ist.
Wir betrachten speziell den Fall, in welchem die im Integrale (2) vorkommende Cylinderfunktion H^'Xx) ist, und finden dann, nachdem wir zuerst — xi : 2 für x gesetzt haben, folgende elegante Formel :
(3) le-'-'H,'
(-^) . !^ = .ß'"({Hy^j)f+ {Y^iv^'),
so daß eine Anwendung des in § 57, Formel (15) gegebenen Inte- gralausdruckes für H^^'(x) folgendes einfache Doppelintegral liefert:
(4)
' {j'(yx,j)f+{Y'{yx,j)'j- =
CC 00
0 0
wo wir 9fl(:r) > 0, 9f?(^) > 0, 9^(i') > — T^- annehmen müssen.
In dem speziellen Falle v = 0 finden wir das Doppelintegral von MeisseP), welches sicher die erste analytische Darstellung von dem Produkte zweier Cylinderfunktionen ist.
Wenden wir nun wieder die gewöhnliche Methode für die Ent- wicklung in eine asymptotische Reihe an, so gewinnen wir ohne Mühe mittelst (f^J die Formel:
(5)
n yxy
^ _^ yi' 1 ■ 3 • 5 • • • (2 s - 1)
s=l
2 • 4 • 6 ■ • • (2s)
(-(l)')(--(l)')-(-(^))'
{^yr
1) Gewerbeschulprogramm Iserlohn 1862; Citat von Meissel: Jahresbericht der Oberrealschule Kiel, 1890, p. 1.
Kapitel XVIII Diskontinuierliche Faktoren. 8 98. 247
die also jedenfalls auwendl)ar ist, weim die oben gestellten Be- dingungen erfüllt sind. Einem Satze von Poineare*) /Aifolge kann aber die asymptotische Reihe (5) auch unmittelbar durch eine ein- fache Multiplikation der beiden asymptotischen Keihen § 58, (10), (11) gefunden werden; da außerdem die Entwicklung in eine asym- ptotische Reihe immer eindeutig sein muß, gibt (5) uns ein einfaches Mittel zur Bestimmung der neuen Koeffizienten. Wir haben somit den Satz bewiesen:
Die üsijmptotische Bcihc:
■ 3 . 6 ... (2 s — 1) 2-4-6--2S
f2s—l
(6)
(-(4)')(-(l)")-(-(^
X
ist für jeden endlichen Wert von v und in der ganzen durch die Bedimjüng:
x=\x\e^^, 0<0<2n
für X bestimmten Ebene amvendbar.
Wir bemerken noch, daß die Formeln § 3, (3), (4) deutlich zeigen, daß die Funktion linker Hand in (6) eine in v gerade Funktion sein muß.
Kapitel XYIII. Diskontiiiiiierliclie Faktoren.
§ 98. Anwendungen der Residuenrechnung.
Schon HankeP) hat einige sehr einfache Anwendungen der Residuenrechnung von Cauchy auf gewisse bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen gegeben. Indem wir uns auf die vorher- gehende Theorie dieser Funktionen stützen, werden wir hier ähn- liche Untersuchungen, aber in weit allgemeinerem Sinne aufnehmen
1) Acta Mathematica Bd. 8, p. 298; 1886.
2) Mathematische Annalen Bd. 8, p. 458'fF.; 1875.
248 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
und ihre Anwendimgen auf die Theorie der diskontinuierlichen Fak- toren im allgemeinen wenigstens andeuten, in gewissen Fällen aber vollständig durchführen, indem wir die Ergebnisse des Kapitel XIII verallgemeinern.
Zu diesem Zwecke betrachten wir eine Funktion f{t), welche die folgenden Eigenschaften besitzt:
1) In der Halbebene oberhalb der reellen Achse hat /'(/) von endlichen singulären Stellen nur diskrete Pole von endlicher Ord- nung, deren Residuen sämtlich gleich Null sind.
2) Auf der reellen Achse selbst darf f{t) wohl singulare Stellen besitzen, aber nur solche, daß das Integral:
(1) jfm^dt,
a
wo a und h willkürliche reelle endliche Größen bedeuten, konvergiert oder divergiert, je nachdem:
(2) 3^((>)§>--l
vorausgesetzt wird, wo r eine reelle und endliche Größe bedeutet.
3) Was endlich die Werte von sehr gi-oßem absolutem Betrage und mit nicht negativen imaginären Komponenten betriift, so hat man immer einen asymptotischen Ausdruck von folgender Form:
(3) e-'y' ■ f{t) ~ r {K + Le-2'2"),
wo CO und y, K und L reelle endliche Größen bezeichnen, von welchen y positiv angenommen werden muß.
Wir konstruieren nun mit dem Ursprung als Zentrum und mit dem sehr großen Radius B, einen oberhalb der reellen Achse be- legenen Halbkreis, welcher keinen der obenerwähnten Pole von f{f), falls solche existieren, passieren darf. Hat f{t) noch reelle singu- lare Stellen, so schneiden wir diese durch sehr kleine Halbkreise mit den betreffenden Punkten als Mittelpunkten aus; auf solche Weise verfahren wir jedenfalls immer mit dem Ursprung. Die in positiver Richtung durchlaufene Begrenzungslinie des so definierten Bereiches bezeichnen wir der Kürze halber mit 21.
Bedeutet nun weiter x eine positive endliche Größe und u eine komplexe Zahl, die innerhalb der Begi-enzungslinie % abgebildet wird, ohne mit einem der eventuellen Pole von f{t) zusammen- zufallen, so hat man der Cauchyschen Fundamentalformel zufolge die Identität:
Kapitel Will. DiskontinuitM-liche Faktoren. § 98. 2411
« j(;'-^s^'rf'=-A")/v(.".)«-,
{lenn t = u ist ja der einzige im Innern von ?( sich beiindeude Pol, welcher ein Uesiduum bosit/i. Setzt man nun weiter:
(5) '}i{Q±v-r)>{}
voraus, so darf man die kleinen Halbkreise mit dem Mittelpunkte in der reellen Achse ganz we<jflassen, und das Integral linker lluiul läßt sich also folgendermaßen schreiben:
(6) J -irr^— ^^^ + '^^ J li^T^z::^ de,
-R 0
WO der erste Integrationsweg also mit einem Teile der reellen Achse zusammenfällt.
Läßt nuiu nun 11 unbegrenzt wachsen, so konvergiert das erste Integral in (5) der Bedingung (3) zufolge im allgemeinen, wenn:
(7) x>y, 9iX9 + «)<i^
oder im besondern:
(7 a) x==y, 9?(p + «)<!;
unter denselben Bedingungen (7) und (7 a) verschwindet das zweite Integral (6), also findet man aus (4), wenn man iu für u einführt, die Formel:
— oc
Entfernt man iu diesem Integrale den Nenner t^ + ii}, so findet man durch dieselben Überlegungen die weitere Formel:
4-00
(9) SS =ff{t) ^/ (tx) t^' dt = 0,
— OD
welche anwendbar ist, wenn im allgemeinen:
(10) x>y, 'Si(Q + co)<l- oder im besondern:
(10a) x = y, gfJ(^ + 03)<-J^
vorausgesetzt wird, während übrigens noch die Bedingung (5) er- füllt sein muß.
250 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
Es leuclitet ein, daß man auf ganz ähnliche Weise diejenigen Integrale behandeln kann, welche ans (8) durch Hinzufügung mehrerer Faktoren :
t' + ih\ t' + u,', •••
im Nenner gebildet werden.
Wie sich aber die zwei Integrale (8) und (9) verhalten, wenn X <Cy vorausgesetzt wird, wissen wir nicht; im allgemeinen können Avir nur sagen, daß sie in diesem Falle ganz andere Funktionen darstellen, wenn sie überhaupt einen Simi haben, und daß diese Funktionen sicher viel komplizierter sind; zu ihrer Bestimmung be- sitzen wir aber im allgemeinen hier kein Mittel. Unsere zwei In- tegrale stellen also im allgemeinen diskontinuierliche Faktoren im Sinne Dirichlets dar.
Setzen wir ferner voraus, daß eine zweimalige Differentiation nach X unter dem Integralzeichen in (8) erlaubt ist, so finden wir für V die Differentialgleichung:
so daß wir den Satz bewiesen haben:
Falls die obenerwähnte zweimalige Differentiation erlaubt ist, stellt
das Integral V immer einen dislcontinuicrlicJten Faldor dar, wenn dies mit Sß der Fall ist.
§ 99. Spezialisierungen der allgemeinen Formeln.
Ehe wir zur wirklichen Anwendung der Formeln § 98, (8), (9) schreiten, woUen wir über die Funktion f{t) eine neue Voraussetzung machen, welche uns bemerkenswerte Umformungen der obenerwähnten Formeln erlaubt. Nehmen wir an, daß:
(1) f{te''') = e^-'"f{t)
ist, und setzen wir in den obenerwähnten Formeln:
+ 00
(2) /-/-/-
— 00 0
so läßt sich das letzte der neuen Integrale durch die Substitution te"^' für t mittelst (1) und § 5, (5) umformen, so daß § 98, (8)
folgende Formel liefert:
(3)
81U
Kajtitel XVIII. Dirtkoiitimiifrliche Faktoren. § 99.
ü - cos V (A - V + ()) • J --f,-_|:'„,- ^< =
251
■X (v-i + l)-
= T«
f(Hi)H^Uxuf)u(^'-'-
Die Formel § 98, (9) ergibt iliigegeu die bemerkenswerte Identität :
(4)
in y (A - V + Q)Jf{t) J'' (tx) t<!dt =
00
= cos y {X-v+Q) ' ff{t) y (<a:) ^ dt,
welche zu den C au chy sehen Identitäten in § 17 und den Formeln § 73, (11), (12) ganz analog ist.
Von diesen allgemeinen Formeln (3) und (4) betrachten wir noch folgende zwei Spezialfälle näher:
1) Q — V — l -\- 2n -\- \ , wo n eine ganze Zahl bedeutet; wir finden :
0
OD
(6) ff{t)J'{tx)t^'-' + '^'' + 'dt = 0,
0
für welche Formeln sich die Bedingung § 98, (5) so schreiben läßt:
(7) m(2v-l-r)>-2n- 1.
2) () = v — A + 2m; man findet hier:
(8)
(9)
00
rti
l* = (-l)«-i.|../' ''''^'^f{ui)H,Xxui)ie-'-+"'-\
00
ff(t) y (tx) t'-'-+^" dt = 0.
Die vier letzten spezielleren Formeln lassen sich unmittelbar auf den Fall:
(10)
f(t) = J' (ty), also ö = -4-, r = -A-l
252 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
anwenden. Die so ans (6) und (9) erhaltenen Formeln sind offen- bar eine unmittelbare Folge von § 73, (11), (12). Die zwei ent- sprechenden Integrale für y ^ x lassen sich mittelst § 73, (11), (13) durch hypergeometrische Funktionen darstellen. Eine Anwendung des Satzes in § 98 liefert dann unmittelbar das speziellere Resultat:
Unter der ÄnnaJmie von (10) stellen auch die Integrale (5) tind (8) diskontinuierliche Faläoren dar, inde^n sie verschiedene Funldionen darstellen müssen, je nachdem x^y oder x <Cy an- genommen ivird.
Nach diesen allgemeineren Erörterungen wenden wir uns nun- mehr zu den direkten Anwendungen unserer gewonneneu Resultate, indem wir einige interessante Formeln von Sonin zu verallgemei- nern suchen.
§ 100. Verallgemeinerungen eines Fundamentalintegrales
von Sonin.
Offenbar ist die Annahme:
WO p eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, erlaubt und gibt folgende spezielleren Werte der Konstanten A, r und co: (2) A = r = 0, co = -{6-2p-^^),
so daß die Formel § 99, (6) ergibt:
(3)
'^'^y'^^''^-^j''{tx)p'+^^^uu = o,
eine Formel, welche also anwendbar ist, falls im allgemeinen:
(4) x>y, ^{y + n)>-l, '^{p-v)> 2n + 2p oder im besonderen:
(4a) x = y, '^{y-^n)>-l, "${{6 -v)> 2n + 2p -\- l
vorausgesetzt wird.
Ganz auf dieselbe Weise führt § 99, (9) zu folgender ähnlichen Formel :
00
(5) I J" (yVt' + ^') Yv^tx)t^^'-dt=-0,
Kapitel XVITT Diskontinuiorliche Faktoren. § lon. 253
wo man im all «gemeinen:
(G) x>ii, ^Ji(v + w)>-l, ')\{G — v)>2n-{-2p-\, n>0
oder im besonderu:
(Ga) x = y, 9i(j/-f «)> - 1, ')\{o - v)> 2n + 2p, n^O
annehmen muß.
Setzt man speziell in (3) n = 2^ — ^> ^^ erhält man eine Formel, welche von S o n i n \) durch eine «^anz andere Methode «gefunden worden ist.
Sucht man nun weiter das Litegral:
00
(«' + 2')
0
zu bestimmen, wo ?/ > .r vorausgesetzt wird, so empfiehlt es sich sehr, mit Soniu") folgende Transformation:
t = yt^^ - ^2
anzuwenden; 2 wird als reell und positiv vorausgesetzt. Das Inte- gi-al U läßt sich dann folgendermaßen schreiben:
00
so daß die Formel § 86, (ß) uns natürlich dazu führt, in diesem Integrale:
Ci^x) = H,"{x), C,'(x) = J'(a;), j? = 0
zu setzen. Substituiert man nun in dem so erhaltenen Integrale für J''{x) ihre gewöhnliche Reihenentwicklung, so ist die gliedweise Integration erlaubt, falls die dadurch erhaltene Reihe wieder gleich- mäßig konvergent ist.^) Nun liefert die obenerwähnte Formel fol- gende Reihenentwicklung:
^ -I- Jf ^ ' "
■'=0 ._ -2—+* — r-+*
.s!r(v-|-s4- l)-2 -^ -y
welche in der Tat, wie die Taylor sehen Reihen des § 10 deutlich zeigen, unbedingt konvergiert, falls nur y^x vorausgesetzt wird.
1) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 38; 1880. 2) loc. cit. p. 38.
3) ü. Dini: Grundlagen etc. p. 524; Leipzig 1892.
254
Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
Denkt man sich mm für den Augenblick x, y und 2 positiv, während v, q und 6 nur reell zu sein brauchen, so müssen die reellen und die imaginären Komponenten der beiden Seiten in (7) einander gleich sein; also darf man in dieser Formel statt der H a n k e 1 sehen Cylinderfunktion eine willkürliche C jlinderfunk- tion mit dem Argumente x und dem Parameter a einführen und findet somit folgende allgemeinere Formel:
(8)
Q-l
^-M . j- {xYF^') {f - z') ^^ dt
« = QO
» = 0
(-i)T('
9 + ^ + 1
1
X ^ z
v+e + 1
+ s— a
v + p + 1
s!r(i' + s+l)2 ^ y 2
c
' (y^)-
Weiter ist offenbar, daß sich die unendliche Reihe rechter Hand in (8) unter endlicher Form summieren läßt, wenn man V -{- 1 = Q einführt; die Formel § 10, (7) ergibt nämlich in diesem Falle unmittelbar:
l^f- ■ j^{xyf--z'){f-2'y dt =
\ c""-^{syif-x''),
x^ /y2/2_^2^^-.'-i
(9)
wo man:
(9a) y>x, m{v)>-l, 'S{{6-v)>0
annehmen muß.
Aus der allgemeinen Formel (9) läßt sich nun sehr leicht eine große Menge anderer herleiten. Denkt man sich zum Beispiel die willkürliche Cylinderfunktion mit dem Parameter 6 durch H^^ity) ersetzt und ändert man das Vorzeichen von 6, so erhält man aus § 4, (2) die neue Integralforrael:
(10)
CO
jH.'^ity)
= X
i/^+^j"{xyf-z^){f-sy dt =
die also anwendbar ist, falls:
(10a) y>x, m(v + a)<0, 9i(v) > - 1
angenommen wird.
Kapitel XVIII. Diskontinuiorliebe Faktoren. § 100.
255
Setzt man mm wieder in «leii l'()rin«'lii (8) und (9) t = yt^'-\-^z, so findet man:
(11
^
•A5(-i)'r(?+fti+,)^v+2.
v + p + l ,
i + «— o
« = 0
(12)
s!r(v + .>?+ 1)2
)
y
(««+0
J''{tx)i'+'(U =
= 2:(V&£l)"-'c"->-.(.y,-^T«).
Vergloicht mau nun weiter in (10) die reellen und die ima- ginären Komponenten der beiden Seiten, so ergibt dieselbe Sub- stitution die zwei weiteren Formeln:
(13)
(14)
00
/ J" {yyl^+J') if + z'^y J'\tx) ^"+1 dt =
0
= x'f (-=4==^\^'^ ' (sin v:t p + ^ + i (^y^"^2) _
- cos 1/ ;r J" + "^ + ^ (^y«?^"^)) ,
00
jY^{yyF+?) {f-\-z^yjHx)V^''dt =
0
-f sin V ;r J* + -^ + 1 (^ j/^^T^)) .
Setzt man ferner in (11) C°{x) = J"{x), q = v -\- 2n -{- 1, so gewinnt mau aus (3) für ^) = 0 folgenden Satz: Bas Integrcd:
256
Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
ist ein disliontinuierlidier Faldor im Sinne Biriclüets; denn, falls im
allgemeinen:
x>y, '^{g)>'^{v)>-1
oder im hesonderen:
x = y, '^{a-l)>^{y)>-l
vorausgesetzt ivird, ist das Integral glcieJi Null, während für y'>x sein von Nidl verscliiedener Wert aus der zugehörigen Formel (11) zu hestimmen ist.
Dies Resultat ist für w = 0 von Sonin^) gefunden worden. Betrachten wir nun diesen Spezialfall näher, so finden wir für 0 = 0 die Formeln § 75, (1), (2) wieder, während die weitere An- nahmt (? = V + 1 auf § 75, (9) führt, so daß der diskontinuier- liche Faktor von Sonin eine sehr weitreichende Verallgemeinerung desjenigen von Dirichlet und Weber darstellt.
Aus (9) finden wir weiter für x = 0, nachdem man .-r'' weg- genommen und ^ = + Y gesetzt hat, die Formeln § 86, (11), (12) von Mehler und Weber.
Die Formel (10) liefert in ähnlicher Weise, wenn wir 6 = + l, iy für y und v — -|-, bez. v — -| für v setzen, die weiteren Formeln:
(15)
2v-l — 2-\ i~
fj'--4xyf-z')(^-^-^) " e-y'dt =
(16)
jS'-!(.l/^^^)(^y
2r-3
e-y'tdt =
Y^.^l^Jtf^H,^iizy^-^^)e^'^-y
von welchen Sonin") die erstere auf ganz andere Weise gefunden hat. Setzen wir noch in diesen Formeln x = 0, so erhalten wir zwei neue Integraldarstellungen für die erste Hankeische Cylinder- funktion H^^'{yzi).
1) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 38; 1890.
2) loc. cit. p. 55.
Kapitel XVllI. Diskoütiuuierliche Faktoren. § 101.
257
§ VI. Vorallgomoinorungen anderer Integrale von Sonin.
Wir li:il)t'n noch dir allgi-meiueren Formeln § üi), (äj, (^S) in Übereiustinunung mit unserer im vorigen l'aragiiii)heu gemacliteii Annalnno über f\t) zn moditiziiTfii und linden ohne Schwierigkeit die zwei Formeln:
(1)
/
-p
(2)
/
CO
e ^
(i^ + 2*)
T'-P
<« + u^-
dt
= (_ i)«-i - . ^"(yy^^^O . H,^'^xui)ie^''"-' ■ e^"',
a
von welchen die erste für n = j> = 0 durch andere Methoden von Sonin ^) gefunden worden ist. I
Setzen wir nun in (1) und (2) u = 0, was offenbar erlaubt ist, wenn nur die übrigen ßedingimgen erfüllt sind, so finden wir in den beiden Formeln rechter Hand den Ausdruck Null, falls 2? > 0 angenommen ward; für p = 0 bekommen wir dagegen die zwei neuen Formeln :
(3)
GO
a v + 2n
v + i
(- lY — J^^ H,'(x2i) c - ,
-(0+1)
jr{yyt^ + z^) |
|
(4) . |
0 |
1) Nie) |
loc. cit. p. 59; 1880 s e n , Cyliuderfuuktioneu. |
= (-1)
2''+2r((7 + i)
I +1
H^'ixzi) c -
Ät
17
258 Zweiter Teil. Bestimmte Integrale mit Cylinderfunktionen.
von welchen die erste für w = 0 ebenfalls von Sonin^) gefunden worden ist.
Wir haben noch einen anderen Spezialfall von (1) und (2) zu untersuchen, den wir erhalten, indem wir u = 0 setzen; wenn m > 0 und 9?(i') > — n, bez. 9fi(v) > — w — -|-, so haben die zwei neuen Integi-ale beide den Wert Null; für w = 0 erhalten wir dagegen aus (1):
CO
0
eine Formel, welche gleichfalls von Sonin^) aufgestellt worden ist. Das letztere Resultat kann nicht mittelst der allgemeinen Formeln hergeleitet werden, denn das entsprechende Integral mit der Haukei- schen Cylinderfunktion statt J^'{toc) muß immer divergieren.
Wir dürfen also in den Formeln von (1) bis (5) niemals y größer als x annehmen; der allgemeine Satz des § 99 ergibt in- dessen unter Anwendung des Satzes in § 100 den folgenden:
Bas Integral (1) ist für p = 0 ein diskontinuierlicher Faktor, weil er für x^y und für x <iy swei verschiedene Funktionen darstellt.
Wir bemerken noch, daß sich das Integral (3) für n = 0 sehr leicht bestimmen läßt, wenn x^y vorausgesetzt wird; um dies zu erreichen, braucht man nur die Formel (12) des § 100 nach 0 zu differentiieren; die Differentiationsformel § 10, (5) liefert dann ohne Mühe diese andere Integralformel:
(6)
^°(yVi'+^}^j.(^t.)f^.ät.
C' + z')"
a — v—l
in der man nach ausgeführter Differentiation ö — 1 für 6 gesetzt hat; wenn die Cylinderfunktion C°(x) von der ersten Art ist, wird der entsprechende Ausdi-uck (6) vollständig von dem in (3) ge- gebenen verschieden.
1) loc. cit. p. 50. 2) loc. cit. p. 49.
DRITTER TEIL.
ENTWICKLUNGEN
ANALYTISCHER FUNKTIONEN NACH
CYLINDERFUNKTIONEN.
17'
Kapitel XIX.
Entwii'kliiii,:; «'iiicr Fakiillätenreihe. Die Reihe Ta^x''J'+"{x).
§ 102. Allgemoino Prinzipien. Wir setzen der Kürze halber:
(1) ».=«,(f)-./-w, ".'i^.^.
wo die Koeffizienten «„ für endliche n auch endliche Größen be- deuten. Denken wir uns auch x endlich, so ergibt der asymptotische Ausdruck § 2, (3) unmittelbar, daß die beiden Reihen mit positiven Gliedern:
zu gleicher Zeit konvergent oder divergent sein müssen. Weiter setzen wir:
A==Tu u^^ = (~ ^f"n^" !
2^ ^^j! r(l' -|- )i -j-i^ + 1)
und führen nun in A für jede Cylinderfunktion ihre Reihenentwick- lung ein; die einfache Reihe A verwandelt sich dann in eine Doppel- reihe, indem wir bekommen:
f + «0^'^ + V'^ + <'^ + • • • + Wo^"^ + • • •
-f Mi(») + Mi^l) + Wi(2) + . . . + W^(«) + . . . + ?(/) + i<2^1) H- ^2(2) 4- . . . + u^^n) _^ . . .
(3)
(4)
A = {
+ «*„("^ + w„('^ + K^'^ +■■■ + wj") 4-
wo wir der Definition von A gemäß zuerst die horizontalen Reihen zu summieren und dann wieder die Summe dieser Summen zu bilden haben. Setzen wir indessen voraus, daß die Reihe X | v„ | konvergent ist, so wird dasselbe auch mit Z | i/„ | der Fall sein, also konver- gieren die einzelnen horizontalen und vertikalen Reihen in (4) alle unbedingt, und wir können somit die Doppelreihe (4) summieren, indem wir ihre Glieder ganz willkürlich anordnen.
262 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
Durch diese Bemerkung ist ein allgemeines Prinzip angedeutet, nach welchem man für dieselbe analytische Funktion verschiedene Entwicklungen bilden kann, die nach Cylinderfuuktionen fortschreiten. Pincherle^) hat wohl zuerst systematisch die Theorie der Doppel- reihen mit solchen Entwicklungen in Verbindung gebracht.
Wir bemerken noch vorübergehend, daß sich die Reihe Z u^ sehr leicht als bestimmtes Integral darstellen läßt; um dies zu er- reichen, schreiben wir die Formel 68, (8) unter der Form:
(5) \lL_.j J-'(ä;]/c)(1 - c)"c2 de = J^+^'+^x), 'Siiv) > - 2,
0
wo u eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet.
Die vorhergehende Bemerkung über die Reihen (2) zeigt aber, daß die Potenzreihe:
(6) «-) = Th (f)"
n = 0
überall konvergent sein muß, wo dies mit Zi<„ selbst der Fall ist, und somit finden wir aus (5) die Formel:
(7) 2a„^'+""*"'(^) = y- / J'ixYc)f{x-cx)c^ de,
welche demnach überall anwendbar ist, wo die Reihe linker Hand konvergiert.
§ 103. Entwicklung einer Fakultätenreihe mit dem Argumente v.
Wir ordnen nun zuerst die Glieder der Doppelreihe A in § 102 so, daß wir aUe diejenigen, welche im Nenner dieselbe Gamma- funktion haben, als ein einziges Glied ansehen. Auf diese Weise finden wir eine Identität von der Form:
wo wir:
(1) 2^»y'^-w = (!)'■ 2; r(.+:+i)
(2) ^.=2'^«.-.(fr
gesetzt haben.
1) Memorie dell' Istituto di Bologna (4) Bd. 3; 1881.
Kapitel XIX. Entwicklung einer Fakultätcnreiho. § 102. 103. 263
Die Gleichungen (2) gestatten nus, die Koeffizienten h^^ zu be- stimmen, falls nur die a^ gegeben sind; umgekehrt ist es aber auch möglieh, mittelst dieser Gleichungen die a, zu bestimmen, falls die ^n g<>gebeu sind und .r nicht gleich Null angenommen wird. Durch unvollständige Induktion finden wir nämlich nach einer direkten Auflösung der ersten dieser Gleichungen, daß:
j = 0
ist, eine Formel, die wir nun durch vollständige Induktion in aller Strenge zu beweisen haben. Zu dem Ende setzen wir in (2) n -\- \ für n und suchen «„ + i, indem wir für die Koeffizienten «q, a^, . . ., a^ die aus (3) erhaltenen Ausdrücke einführen. Auf diese Weise finden wir aus dem Ausdrucke für ff„ + i, daß der zu h^ gehörige Koeffizient folgendermaßen bestimmt wird:
\2/ ^ s\{n—s)\ n\ -^ ^ ^ \s) n\ '
« = 1 » = 1
die zu h,,b„,... gehörigen Koeffizienten lassen sich auf dieselbe Weise bestimmen, und somit ist die Formel (3) vollständig bewiesen. Durch diese Formel (3) haben wir also die formale Entwicklung der Fakultäteni-eihe rechter Hand in (1) gegeben; es bleibt indessen noch übrig, diese Entwicklung in aller Strenge zu begi'ünden. Zu dem Ende denken wir uns, daß die Fakultätenreihe:
konvergiert, falls 9l(i') > /l angenommen wird, und setzen der
Kürze halber:
. ^ b„
« ~ r (r -f w + 1) '
weiter bemerken wir, daß die gewöhnliche Reihe für J*''^"(x) in Verbindung mit § 102, (1) folgende Identität liefert:
(P) '^n = **n + 4(^^^j_|_i) ^« + (^ ^ n-\- ly '
wo k^ überall endlich bleibt, wo dies mit w„ der Fall ist, und wir erhalten somit aus Formel (3) die andere:
s = n ^
(6) v„ = t„ + ^ gj22* ■ (v + n){v-{-n — l)- ■■ (v-\-n — s-\-l) '
264 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
während die Formel (2) in ähnliclier Weise ergibt:
„2s
(7)
L
V_^
^ ..-o'-^^
« = 0
{v -\- n){v -\-n — !)■ ■ ■ {v -\-n — s -)- 1)
Nun zeigen die Formeln (6) und (7) aber deutlich, daß j t^ \ und I v^ I zu gleicher Zeit endlich bleiben, so daß dasselbe gemäß (5) auch mit | t^ \ und | ii^ \ der Fall sein muß. Bleibt also einer der absoluten Beträge \ L\, 1 i(„ 1 oder I r„ 1 mit unendlich wachsen- dem n endlich, so findet man aus (5) und (G) die weitere Formel:
(8)
w„ = t„ +
x^
L
a;=
— t + —-'"»
1) « ^ (v
wo L^ eine bei unendlich Avachsendem n endlich bleibende Größe bezeichnet. Setzen wir nun in (8) n -\- 1, n -\- 2, • - ■, n -\- p für n, so finden wir durch Addition:
(9)
s = l
\% + s ~ ^n + s) —
4 (v -f « + 1) " - 1 4 (v + w + i> + 1) » +P "^ ^ (y + « + sY
«=l
Da nun die letzte Summe rechter Hand in (9) das Restglied einer unbedingt konvergenten Reihe darstellt, haben wir bewiesen, daß für die positive ganze Zahl n ein hinlänglich großer Wert iV gefunden werden kann^ so daß:
(10)
<f,
n>iV^
wird, wo £ eine vorgegebene positive Größe von willkürlicher Klein- heit bedeutet; mit andern Worten, wir haben bewiesen, daß die Fakultätenreihe (4) und die durch (1) und (3) bestimmte Cylinder- funktionenreihe denselben Konvergenzbereich haben müssen.
Definiert man nun mittelst (3) die Koeffizienten a^, so muß die Reihe linker Hand in (1) überall konvergent sein, wo dies mit der Fakultätenreihe f{y) der Fall ist, und diese Cylinderfunktionenreihe gibt umgekehrt mittelst (2) genau die gegebene Fakultätenreihe fiv)^ so daß wir also den Satz bewiesen haben:
I. Wenn das Argument x eine von Null verschiedene endliche Größe bedeutet, Icann die Fakultätenreihe:
/ W = jZj V(v-\-n4-l)
/i =0
Kapit«! XIX Entwickluii}; einer Fakultätonreihc. § int 26f)
nach CylimhrfunldiuucH cntivkUcU ncrden, so daß:
» = so
n = 0
ist, wo sich dir Korffiziniten a, diirrh folgende Formel bestimmen lassen :
«.(f)"=f¥(ir-
i = 0
Diese Entaieldung ist tiur auf eine einzige Weise möglieh; die CijlinderftinJitionenreihe hat denselben Konvergenzbereieh ivic die Fakul- tätcnreihe f{i') selbst, und die Konvergenz der beiden lleihen ist immer von derselben Natur: unbedingt oder bedingt, aber immer gleichmäßig. Wenn außerdem die Glieder einer dieser beiden Ileihen immer endlich bleiben, nie groß ihr Index auch sein mag, so sind diese Beihcn zu gleicher Zeit divergent oder oscillierend zwiselmi endlichen oder un- endlichen Grenzen.
Es kann demnach vorkommen, daß die beiden obenerwähnten Reihen auf einem Parallelstreifen der v-Ebene von endlicher Breite, welche jedoch nicht größer als 1 sein darf, dessen Ränder auf der reellen Achse senkrecht stehen, nur bedingt, aber gleichmäßig konvergieren und doch eine analytische Funktion von v darstellen^).
§ 104. Anwendungen. Die Besselsche Additionsformel.
Um einige Anwendungen des allgemeinen Satzes I zu geben
setzen wir:
b^= l und Z>„ = 0, «4= s,
und finden so die einfache Formel:
71 = 00
(Y) ^ = >'__£: J'' + "(x)-
für s = 0 gibt diese Formel § 33, (6) wieder. Weiter setzen wir:
f{v)^J'(z), i„ = L_^_ und erhalten so unmittelbar die Entwicklung:
1) Man vergleiche meine Abhandlung in Annales de l'Ecole Normale (3) Bd. 19, p. 42'J; 1902.
266 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
w =0
(2) J..(,) = ^^).2,'^^^^-/-W,
w =0
welclie viele speziellere Formeln liefert, die man sonst auf andere Weise und nacli recht weitläufigen Methoden herzuleiten pflegt.
Setzt man zum Beispiel z = x -{- y, so findet man folgende Formel für die Addition der Ar(?umente:
(3) j. (. + ,) . (1 + D' •2' ^i (1 + Ä)v-(.),
welche für alle endlichen Werte von x und y anwendbar ist. Für V gleich einer positiven ganzen Zahl hat BesseP) die Formel (3) gefunden; er hat sie dann bei seiner Berechnung der Tafeln für die «7- Funktion angewendet.
Die Annahme z = x y2 in (2) gibt weiter die im Vergleich zu (1) für s = 0 sehr merkwürdige Formel:
(4) J.(^l/2) = (^2)'.2'^^'^'*'(^).
2 • <?'
welche von LommeP) gefunden worden ist; dasselbe gilt auch für diejenigen Formeln, welche man durch Addition, bez. Subtraktion von (4) und dem eben genannten Spezialfälle von (1) erhält.
Die Formel § 104, (1) liefert für s = 0 eine neue Entwicklung der willkürlichen Potenz x" nach Cylinderfunktionen; um die all- gemeinen Reihen von dieser Form näher zu untersuchen, setzen wir in § 102, (1) a^x'":2" für a„ oder, mit andern Worten, wir setzen hier:
(1) u = a^ l^y ~ ' J-' + " (x) , « = -, — "^ .
Weiter nehmen wir an, daß eine der Reihen mit positiven Gliedern Z | u^ \ oder ^\v^\ konvergent ist; dann ist es erlaubt, die Glieder der aus A in § 1 02 gebildeten Doppelreihe in solcher Weise zu ordnen, daß wir diejenigen, welche dieselbe Potenz von x ent- halten, zusammenfassen, und wir finden somit die Identität:
1) Abhandlungen der Berliner Akademie 1824, p. 35.
2) Studien über die Besselschen Funktionen p. 21; 1868.
Kai.itel XIX. Kiitwicklung einer Fakultütoureihe. § 105. 267
11 = 0 n = 0 ;
wo wir:
«=71
(3) riv + n-^l)b„=^tl}^
t =0
gesetzt haben, so daß v offenbar nicht gleich einer negativen ganzen Zahl angenommen werden darf'.
Setzt man umgekehrt voraus, daß in (3) die Koeffizienten h^ gegeben sind, so ist es auch möglich, und /war auf Grund des- selben Beweises wie in § 103, die Koeffizienten a„ eindeutig zu be- stimmen; man findet in der Tat:
S — 7t
j = 0
Wir bilden nun mittelst (4) die Reihe X«„ und haben dann zu beweisen, daß diese Reihe und die Potenzreihe rechter Hand in (2) gleichzeitig konvergieren oder divergieren müssen. Zu dem Ende setzen wir:
und gewinnen so aus (3), bez. (4):
t =v + y ti)'^ 'j^
somit ist es offenbar, daß dasselbe Verfahren wie in § 103 zu fol- gendem Satze führen muß:
II. Wenn der Parameter v nicht gleich einer negativen ganzen Zahl angenommen zvird, Icann die Potenzreihe mit lauter geraden Potenzen:
m -2 k {-)'
2n n = 0
eindeutig in eine Cylinderfunldionenreilie verwandelt werden, nämlich:
«-)-(l)'-2'''.(f)"-^-w.
s = 0
268 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
WO sich die Koeffizienten «„ durch die Formel hestimmen lassen:
s = n
" ^ (n — s)\ *■ s = o ^ ^
Die neue Beilie hat denselben Konvergenzhereich wie f{x) selbst, und die Konvergenz der beiden JReihen ist überall von derselben Natur: unbedingt oder bedingt, gleiclimäßig oder nicht. Wenn außerdem die Glieder einer der beiden Reihen, ivie groß auch ihr Index angenommen ivird, endlich bleiben, so sind die beiden Reihen gleichzeitig divergent oder oscillierend zivischen endlichen oder unendlichen Grenzen.
Will man eine Reihe mit lauter ungeraden Potenzen entwickeln, so kann man in den vorhergehenden Formeln v -\- \ für v setzen oder auch die oben gegebene Entwicklung mit x : 2 multiplizieren. Setzt mau ferner in der Entwicklung von x^' nacheinander v — 1, V — 2, V — Z, ■ • • für V , so findet man, falls v nicht eine ganze Zahl ist, eine ähnliche Entwicklung einer Reihe mit negativen ganzen Potenzen von x.
Wir gehen indessen nicht näher auf dies Problem ein^).
§ 106. Entwicklung von J^{x). Reduktionsformel für i?''"(a;).
Um eine Anwendung des allgemeinen Satzes II zu geben, setzen wir:
(- if .
f{x)=={^^J'^{x), b^
w!r(p + « + !)' eine einfache Rechnung ergibt dann für rt„ den Ausdruck:
so daß die Gaußsche Formel (Fg) die einfache Entwicklung:
7! = 0
liefert, welche also in der ganzen 2' -Ebene anwendbar ist.
Aus dieser allgemeineren Formel kann man durch Speziali- sierungen der beiden Parameter v und q eine ganze Reihe anderer herleiten. Setzt man zum Beispiel Q = v -\- "p, wo ji eine ganze Zahl bedeutet, oder p = + 2"> so findet man solche Spezialfälle, welche
1) Man vergleiche meine Abhandlung in Nyt Tidsskriffc for Mathematik Bd. 9B, p. 83; 1898.
Kapit«! XIX. Entwicklung einer Fakultätenreihe. § IOC. 209
sich sehr leicht behiiiuaiu lassen. Wir setzen ferner q = v — 2> und fiudeu nach einer einfachen Reduktion folgende endliche Reihe:
(2) (-fyj>-.(x)=r(.+ i)-f r,„^;U(:)>^'w-
Wenden wir nun den allgemeinen Satz des § 13 an, so ist es erlaubt, in (2) für J''{x) die andere Cylinderfunktion cos vnJ~*ix) zu setzen; schatten wir dann den gemeinsamen Faktor cos vn weg und setzen wir in der so erhaltenen Formel — v -[■ p für v, Huden wir: , ,
(l)V'W . r^- . + ;, + 1) . 2 r(-HTTT) i^''"--^^
ändern wir nun hier mittelst der Eul er sehen Formel (fg) jede der vorkommenden Gammafunktionen und schreiben wir die Glieder rechter Ilaud in umgekehrter Ordnung, so finden wir schließlich:
{-iyv{v-i>)J\x) =
(3)
ii=p
» = 0
eine Formel, die uns später in § 111 sehr nützlich sein wird. Der Spezialfall v = 2p führt uns unmittelbar zu der mittelst der zwei B es s eischen Integrale für die Cylinderfunktion erster Art gefun- denen Formel § 18, (9), während die allgemeine Formel (1) mit § 40, (6) identisch ist.
Die Formel (3) läßt sich nach einer einfachen Rechnung auch folgendermaßen schreiben :
setzt man hier v + w^ für v, wo m eine positive ganze Zahl be- deutet, so ergibt eine Anwendung der allgemeinen Formel § 13, (2) die merkwürdige Rekursionsformel für das Lommelsche Polynom:
» = 0
indem man zuerst v -\-l für v setzen muß. Die Spezialfälle 7n = 2p, m = 2p -{- 1 liefern sehr elegante Formeln.
Diese Rekursionsformel (5) zeigt am deutlichsten die außer- ordentlich große Biegsamkeit des Lo mm eischen Polynomes, welche noch größer zu sein scheint als diejenige der BernouUischen Zahlen.
270 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
Kapitel XX. Die Xenmaunsclieu Reihen erster Art.
§ 107. Allgemeine Formeln.
Wir gellen wieder von der Doppelreihe A in § 102 ans und ordnen ihre Glieder nach steigenden Potenzen von x, so daß wir eine Gleichuno- von folgender Form finden:
^_ ,mdpT
m {l)'-2'v-w-i:^(l)".
wo wir:
n
(2) r{v + n + l)b„=^{-iyC + ')a„_,^
6 = 0
gesetzt haben. Nehmen wir zum Beispiel:
an, so erhalten wir aus (1^ und (2) die Entwicklung:
7i= 30
(3) f • J"' -' (:r) = ^(- 1)" {v + '2n) J> +-'"(a:),
71 = 0
welche von LommeP) angegeben worden ist. Setzen wir ferner:
so gewinnen wir nach einer Anwendung der Formel A, (ß) im Anhange die weitere Entwicklung:
n = 3c
(4) J'(^) J-H^) =!/;! ■2'(- !)"( „V''"(-^)'
« = 0
welche ebenso wie (3) in der ganzen a;- Ebene anwendbar ist.
Kehren wir nun zur Gleichung (2) zurück, so ist ofi"enbar, daß uns diese Formel ermöglicht, die Koeffizienten a„ eindeutig durch die Koeffizienten h^^ zu bestimmen, falls v nicht einer nega- tiven ganzen Zahl gleich ist. Die formale Auflösimg dieses Glei- chungssvstems läßt sich am einfachsten durch vollständige Induktion und mittelst der Prinzipien der Dififerenzenrechmmg durchführen.
1) Studien über die Besselschen Funktionen, p. 40; 1868.
Kapitel XX. Neiunannsche Reihen erster Art. § 107. 271
Wir beweisen zuerst die Hilfsibniiel:
p = m
(5) 2(- !)'(';:) üTT^h ■ '■(*' + -'•- '" ->'^ = °' '" > > •
das alltjemeine Glied unter dem Summenzeicheu linker Hand läUt sich auch folgendermaßen schreiben:
(-l/'("')(r + 2r-2i;)
{v-\-2r—p){v-\-2r—p—l)- ■ ■ {v-]-2r — p — m)
{v-\-2r — p — 1) • • • {v-\-2r — p — in) {v-\-2r—p) ■ ■ ■ {v-\-2r—p — m) Bezeichnen wir nun wie gewöhnlich mit A' die Differenz der s'*° Ordnung, so läßt sieh die Summe linker Hand in (5) mittelst der eben gegebenen Umformung folgendermaßen schreiben:
(— 1)'" A'" (^ (Tqr 2 r — m — 1) ■ • ■ {v -^ 2r — 1)) ~
_ (_ IV» ni ^rn-l ( 1 \
\ "■) '"" \(v^2r — wi — l)-.(i; + 2r)/'
und die Formel (ö) ist eine unmittelbare Folge der Ausdrücke für diese beiden Differenzen.
Die vollständige Induktion gibt nun sebr leicht mittelst (5) für die allgemeine Lösung des Gleichungssystems (2) den Ausdruck:
n
(6) «.=(^+.o-2""'^;~°'^-^.-
s = 0
Nacb dieser formalen Bestimmung der Koeffizienten linker Hand in (1), die möglich ist, falls die Potenzreihe rechter Hand gegeben ist, müssen wir noch in aller Strenge die wirkliche Existenz der so erhaltenen Cylinderfunktionenreihe nachweisen und ihren Konvergenzbereich bestimmen. Setzen wir nun:
so erhalten wir aus (2) und (6) die Identitäten:
-2
t
'„ = ^n+2
r = l
r ! {v -\- n — r -\- 1) {v -\- n — r -{- 2) ■ ■ ■ {v -\- n)'
r ! {v -\- n — r -\- 1 f
V 1
'— (1)
{v -{- n — r) {v -}- 71 — r -\- 1) ■ • ■ (v -{- n — 1 ) '
r = l
272 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
so daß dieselbe Methode wie in § 103 den allgemeinen Satz liefert:
III. Wenn der Parameter v nicld gleleh einer ganzen negativen Zahl angenommen tvird, lann eine ivillldlrliche Potenzreihe eindeutig nach Cylinderfanldionen enttvicJcelt werden, nämlich:
M = CC
s=0 n=0
WO sich die Koeffizienten aus folgender Formel bestimmen lassen.
n
<-:r
^n - iv + n) ■ ^ 6„_2,-
4 = 0
Die so erhcdtene Cylinderfunhtionenreihe ist im Innern des Konver- genzJireises der Potenzreihe unbedingt Iconvergent; auf der Kreis- peripherie selbst sind die beiden Reihen gleiclizeitig unbedingt oder bedingt, gleichmäßig oder ungleichmäßig konvergent, oder sie sind, wenn die Glieder einer der Reihen sämtlich endlich bleiben, ivie groß ihr Index auch angenommen ivird, gleichzeitig divergent oder oscil- lierend zwischen endlichen oder unendlichen Grenzen.
Wenn der Parameter v nicht eine ganze Zahl bedeutet, ist es auch möglich, eine Reihe mit ganzen negativen Potenzen zu ent- wickeln; wir gehen indessen nicht näher darauf ein.^)
Für ganze, nicht negative Werte von v hat Neumann^) zuerst den Satz II bewiesen, während den allgemeinen Fall zuerst Sonin^) betrachtet hat; beinahe zu gleicher Zeit hat auch Gegenbauer^), offenbar ohne die russisch erschienene Arbeit Sonins zu kennen, den allgemeinen Satz bewiesen. Später sind die Neumannschen Reihen erster Art von König^), Heine-), Gram'), Pincherle^) und Kapteyn^) untersucht worden.
1) Man vergleiche meine Abhandlung in Nyt Tidsskrift for Mathematik, Bd. 9B, p. 83; 1898.
2) Theorie der Besselschen Funktionen 1867.
3) Journal de la Societe mathematique de Moscou 1871. Math. Ann. Bd. 16, p. 77; 1880.
4) Sitzungsberichte der Wiener Akademie Bd. 74, II. p. 12G; 1876.
5) Mathematische Annalen, Bd. 5; 1872.
6) Handbuch der Kugelfunktionen Bd. I; 1878.
7) Doktordissertation, p. 44; Kopenhagen 1879.
8) Memorie dell' Istituto Lombardo (4) Bd. 3; 1881.
9) Anuales de l'Ecole Normale (3) Bd. 10; 1893.
Kai)itd XX. Neuniannsche Reiheu erbter Art. § 108. 273
§ 108. Anwoudungon. Entwicklung von •
Zum Behufe einer ersten Anwenduu«^ der allgemeiiieii Formeln setzen wir Iq = 1 und, für n > 0, 6„ = 0 und finden dadurch die Formel § 33, (4) wieder, nämlich:
für V = 0 finden wir die in § 22 gegehene Formel (ö) von Jacobi'), während die Formel (1) für ein ganzes positives v von Schlö- milch*) gefunden worden ist. Schlömilclr^) hat noch andere ähnliche Formeln augegeben, die wir aus (1) folgendermaßen her- leiten:
Aus folgenden zwei rein fonnalen Identitäten:
(3) '^^^^ -'/7'((3« + 2^ + 1)^ - i^P + 1)0
p = 0
finden wir mittelst (1) durch vollständige Induktion, daß die Summe der unendlichen Reihe:
»=00
(4) s, = 2(2s + .)V^^+^(^),
wo n eine positive ganze Zahl bedeutet, während £=1,2 anzu- nehmen ist, je nachdem ii ungerade oder gerade ist, einem ganzen Polynome w*®" Grades in x gleich sein muß.
Benutzen wir nämlich die Identitäten (2), (3), so ersehen wir, daß sich die aus (1) für v = n erhaltene Reihe als eine homogene lineare Funktion derjenigen Reihen darstellen läßt, welche man aus s„, s„_2, s„_^, . . . durch Weglassung der ersten Glieder erhält. Nun zeigen aber die Formeln (2), (3), daß die Hinzufügung dieser Glieder auf die obenerwähnte homogene lineare Funktion keinen Einfluß haben kann, weil die beiden Seiten von (2), (3) für ganze negative Werte von s verschwinden müssen.
1) Journal für Mathematik Bd. 15, p. 12; 1836.
2) Zeitschrift für Mathematik und Physik Bd. 2, p. 141; 18.'>7.
3) loc. cit. p. 141.
Nielsen, Cylinderfunktionen. 18
274 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
Nachdem man so die Form der durch 5^ definierten Funktion gefunden^ bestimmt man die noch unbekannten Koeffizienten des obenerwähnten Polynoms sehr leicht, indem man die Reihe rechter Hand in (4) mittelst der allgemeinen Formeln § 107, (1), (2) als eine Potenzreihe in x schreibt; auf diese Weise findet man die ge- suchte Formel:
g —
wo der Kürze halber:
n < p
(6) ^.'-"=ii^'. -2 i-ir{''-"'){n-2p-2sr
s = Q
gesetzt worden ist.
Zum Zwecke einer zweiten Anwendung setzen wir:
b..= '
n yU + l
und finden so eine Entwicklung von folgender Form:
S= oo
(7) ^a^ = {ij-2's0^'<y)^'^'(^)^ \^\<\y\,
WO wir der Kürze halber:
n
(8) o.,»w=4=.2't^^F-^(7y'. «■•»w=^
gesetzt haben, während im allgemeinen «^ gleich 2 zu nehmen ist, außer für s = 0, wo f o = 1 sein muß. Für v = 0 finden wir dem- nach, daß: (9) O'^-iij) = 0-{,j)
sein muß, wo 0"(?/) das in § 30 Formel (24) eingeführte Neu- mannsche Polynom bedeutet.
Die Formel (7) hat in der Geschichte der Neumannschen Reihen erster Art eine wichtige Rolle gespielt; in der Tat haben Neumann, Sonin und Gegenbauer durch sie unter Anwendung des C au chy sehen Fundamentalintegrales ebendiese Reihen entwickelt.
Wir setzen ferner:
&^ = -^ für s > 0 und h^ = 0,
Kapitel XX. Ncuraannsche Reihen erster Art. § 109. 275
80 daß die ullgemeiuen Formeln folgende Entwicklung liefern:
(10) ^=(iy^('^+^)'S'''(y)'^'-^'(^).
wo:
(11) «..(,) ^ 2" ^^^^^^'(D""^'
» = o ■ •'
gesetzt worden ist, so daß wir auch hier für v = 0 die Identität:
(12) S'-^i^j) = >S"(y)
gewinnen, in der S^iy) das in § 3 Formel (1(J) eingeführte Schläflische Polynom bedeutet.
Für die Eutwickhmgen von der Form (7), (10) hat Piucherle^) einen interessanten allgemeinen Satz bewiesen.
§ 109. Entwicklung von J^{ax). Die Reihe c + '^Ia„ J''+''(a;).
Als weitere Anwendung der allgemeinen N e u m a n n sehen Reihen suchen wir die Entwicklung von J^'(ccx), wo u und q end- liche Größen bedeuten; die allgemeinen Formeln geben hier:
«= CO
8 = 0
wo wir der Kürze halber:
gesetzt haben.
Aus der allgemeineren Formel (1) kann man eine große Menge anderer herleiten; so findet man z. B. mittelst der Gau ß sehen Formel (Fg) die speziellere Entwicklung:
4 = 00
« = 0 wenn q = v -{- r angenommen wird, wo r eine positive ganze Zahl bedeutet, wird die Reihe rechter Hand endlich, und man erhält:
s = 0
1; Rendiconti dell" Istituto Reale Lombardo (2) Bd. 15 p. 225; 1882.
18*
276 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
setzt man darin v = 0, so gelangt man zu der durch die zwei B es s eischen Integrale für die Cylinderfunktion der ersten Art be- wiesenen Formel § 18, (7); man muß jedoch darauf hinweisen, daß für s = 0 der Zähler rechter Hand in (4) V(v -j- 1), für v = 0 also gleich 1 wird.
Differentiiert man ferner die Formel (3) nach q und setzt man darnach Q = v, so findet man für die in § 15, (5) eingeführte Funktion ^'^(x) folgende Entwicklung:
«=00
(5) S"(^) = -^iv + l) J^ix) -^ (- 1)^ (-f + ^^) J^'^^'ix),
s = l
so daß man für die in § 3, Formel (15) eingeführte Funktion V^^x) die weitere Entwicklung:
S= CO
(6) p»(..) = (i + 1 + . . . + 1) .!'(,) + 2;(- i)'(f + 4-,)^"n^)
s = 1
gewinnt; eine Anwendung der Formeln § 3, (13) und § 22, (23) liefert nun ohne Schwierigkeit für die Neumannsche Cylinder- funktion den Ausdruck, durch welchen Neumann ^) diese Funktion definiert hat.
Setzt man weiter in (3) Q = + l-, so erhält man mittelst (f^) die Entwicklung:
(7) (2^)-a±- =pl^ .2"(± ,■)■<" + '>^r + 'V>^-(.),
^ s = 0
welche nichts anders ist als die Formel § 37, (5).
Setzt man endlich in (7) v + 1, i^ + 2, v -f 3, • • • für v, so gewinnt man durch Addition den allgemeinen Satz:
IV. Wenn v nicht einer ganzen negativen Zahl gleich ist, kann eine Potenzreihe mit ganzen, nicht negativen Exponenten eindeutig in eine Eeihe von folgender Form entivichelt iverden:
s= oc . n= oc
(8) ^Ki^xY = ^l§^ -^aj^-\x),
4 = 0 \^^) n = 0
u'o der Kürze halber:
gesetzt ist, und diese neue Eeihe hat genau dieselben Eigenschaften tvie die allgemeine Neumannsche Eeihe der ersten Art.
1) Theorie der Besselschen Funktionen p. 52; 1867.
Kapitel XX. Neumannschc Reihen erster Art. § 110. 277
Als Beispiel dieser Entwicklungen betrachten wir den Fall, in welchem:
n 2" 1/" + *
ist; wir gelangen dann zu folgender Entwicklung:
m '-^=(2:r)-.2^C-''(a;)/'+"(a:), \x\<\y\,
n = 0
WO wir:
(11)
O'.o(y)
"l/jr r(2v-t-l) 1
gesetzt haben. Ganz auf dieselbe Weise finden wir die ähnliche
Formel
y — x
(12) ^^^==(2^)-"-2(i^ + 5) ©•■•%) J^v + ^(:r),
s = 0
wo:
(^x^y ^ Kyj ^i,j j^ V{v-\-s-^r\){n — s)\\2yi)
gesetzt ist. In dem Spezialfälle v = 0 erhalten wir auch hier :
(14) Do."(2/) = ü^y), ©°."(y) = &{y),
wo D"(y) und ©«(?/) die in § 36, (16) und § 6, (11) definierten Funktionen bedeuten; somit haben wir eine neue Analogie zwischen diesen Funktionen und den altbekannten analogen Funktionen 0"(y) und >S"(?/) nachgewiesen.
§ 110. Entwicklungen von cos {ax), sin (ax) und J^~^{x sin &).
Wir kehren nun zu der Formel § 109, (1) zurück und setzen darin p = ± 1; eine Anwendung von (K^) und (Kg) ergibt dann unschwer die zwei anderen Entwicklungen:
S= CO
(1) cos {ax) = -^)- .^(- \y{v + 2s)K^'^''{a).P^^^{x),
«-0
(2) sin (ax) = ^^^^ -^ (" 1>'(«' + 2s+ l)5:''2* + ^(«)/'' + 2* + i(a;),
(f)'
s=0
276
Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
setzt man darin v = 0, so gelangt man zu der durch die zwei B es s eischen Integrale für die Cylinderfunktion der ersten Art be- wiesenen Formel § 18, (7); man muß jedoch darauf hinweisen, daß für 5 = 0 der Zähler rechter Hand in (4) r(v -f 1); für v = 0 also gleich 1 wird.
Differentiiert man ferner die Formel (3) nach q und setzt man darnach Q = v, so findet man für die in § 15, (5) eingeführte Funktion S^(^) folgende Entwicklung:
(5) 3'« = -'V(v + l)J'(x) -2,' (- l)'(f + :^-y'^"(.^),
-2
s = l
SO daß man für die in § 3, Formel (15) eingeführte Funktion U"{x) die weitere Entwicklung:
S= 00
(6) u'{x) = (1 + ± + . . . + i) j'(,) + 2;(- i)-(i + ~)'^"n^)
s = 1
gewinnt; eine Anwendung der Formeln § 3, (13) und § 22, (23) liefert nun ohne Schwierigkeit für die Neu mann sehe Cylinder- funktion den Ausdruck, durch welchen Neumann^) diese Funktion definiert hat.
Setzt man weiter in (3) Q = + l-, so erhält man mittelst (fj die Entwicklung:
(7) (2.)'e±.-.' -^ .2"(± ,)> + ^)rC2. + ^)j„..(^)^
s = 0
welche nichts anders ist als die Formel § 37, (5).
Setzt man endlich in (7) v -f 1, v -\- 2, v + 3, • • • für v, so gewinnt man durch Addition den allgemeinen Satz:
IV. Wenn v nicht einer ganzen negativen Zahl gleich ist, kann eine Potenzreihe mit ganzen, nicht negativen Exponenten eindeutig in eine Reihe von folgender Form entwickelt werden:
(8)
V
2j ^ni^^^r =
^yä
_ . n= 00
, + ix
V
4 = 0
{2xy
.^a„J^ + "(^),
71 = 0
ivo der Kürze halber:
^^^ ^'« - V^ + ^^) Z^ rCx- + s -f 4) {n -s)\ ^^
4 = 0
gesetzt ist, und diese neue Reihe hat genau dieselben Eigenschaften wie die allgemeine Neumannsche Reihe der ersten Art.
1) Theorie der Besselschen Funktionen p. 52; 1861
t
> \ " " '
it'.i
J^
J:--
Kapitel XX. Xfumannschc Reihen erster Art. § 110.
277
Als Beispiel dieser Entwicklungen betrachten wir den Full, in welchem:
,-'»
2" !/" ist; wir gelangen dann zu folgender Entwicklung:
(10)
y — x
= {2x)-^.^e„C*'^{x)J^^«ix), \x\<\y\,
n = 0
WO wir:
(11)
s:';n(^y) = (^ + ^),-n + l|/^. V_QlMlM:i)
„-"J
^ r(v + s + i)(n-s)! (2yir + »'
gesetzt haben. Ganz auf dieselbe Weise finden wir die ähnliche Formel:
(12) ^^^ = {2x)-^.^ {v + s)Q^''»{y)J^^'(x),
y — x
s-O
wo: (13)
2y^i" ^ r(2y-f w + s)
1 V
^ ^•^^ g'!/ ^ r(i' + ,s + i)(» — s)! \2i/z7
gesetzt ist. In dem Spezialfälle v = 0 erhalten wir auch hier: (14) D°."(y) = D"(y), (SV'(y) = (B"(^y),
wo 0"(?/) und ©"(?/) die in § 36, (16) und § 6, (11) definierten Funktionen bedeuten; somit haben wir eine neue Analogie zwischen diesen Funktionen und den altbekannten analogen Funktionen 0"(y) und S"{y) nachgewiesen.
§ 110. Entwicklungen von cos (ccx), sin (ax) und J^'^^x sin 6).
Wir kehren nun zu der Formel § 109, (1) zurück und setzen darin p = ± 4"; ^i^^ Anwendung von (K^) und (Kg) ergibt dann unschwer die zwei anderen Entwicklungen:
(1) cos (ux) = -!^^ -^ (- !)• (v + 2s) K'."(cc) J'*"(x),
(I) ■="
(2) sin (ccx) =^-^^^'^{-iyiv-h2s-{-l)K^''' + '(a)J^ + " + \x),
m
.s=0
278 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
WO K^''^(ci) die im Anhange erwäknte Kugelfunktion bedeutet. Setzt man v = y, so werden diese Kugelfunktionen mit den Legen dre- sclien identisch; die so erhaltenen Formeln sind zuerst von Bauer^) gefimden \^orden, während Gegenbauer^) die allgemeinen Formeln (1), (2) aufgestellt hat. Für v = 0 werden unsere Formeln mittelst (K^o) und (Kji) mit den in § 22 hergeleiteten Jacob ischen Formeln (1), (2) identisch.
Wir kehren noch einmal zu der allgemeinen Formel § 109, (1) zurück; die Form der hypergeometrischen Reihe § 109, (2) führt uns mittelst (Kg) dazu, Q = v — ^, a = sin Ö zu setzen, und wir finden so die allgemeine Formel:
welche unbekannt zu sein scheint. Für v = p + 1, wo p eine ganze Zahl bedeutet, hat Bauer^) die Formel (3) gefunden; Hobson^) hat später den Fall v = ^ betrachtet, offenbar ohne die Abhandlung von Bauer zu kemien. Für v = 0 findet man die Formel § 22, (1) von Jacobi; Hobson^) betrachtet noch den Fall v = 1, ohne zu bemerken, daß sich die so gefundene Formel unmittelbar in die zweite Jacobi sehe § 22, (2) überführen läßt, und merkwürdiger- weise haben auch Gray und Matthews'') dies nicht bemerkt.
Offenbar müssen uns die Formeln (1), (2), (3) eine Menge von Entwicklungen gewisser Funktionen nach Cylinder- oder Kugel- funktionen, sowie von bestimmten Integralen liefern, die Cylinder- oder Kugelfunktionen enthalten. Wir gehen indessen nicht näher auf diese Probleme ein.
§ 111. Formeln von Neumann, Clebsch und Gegenbauer. Bedeutet 6 einen reellen Winkel, so ist offenbar, daß die Funktion:
r
(E2 - 2 Er cos ö + r')"^ ■ C" (YB'-- 2 Rr cos 6 +r^), wo C^ix) eine willkürliche Cylinderfunktion mit dem Argumente x und dem Parameter v bedeutet, nach steigenden Potenzen von r ent-
1) Journal für Mathematik Bd. 56, p. 104, 106; 1859.
2) Sitzungsberichte der Wiener Akademie Bd. 72, II, p. 127; 1876.
3) Sitzungsberichte der Münchener Akademie 1875, p. 265.
4) 5) Proceedings of the London Math. Soc. Bd. 25, p. 69, p. 68; 1894. 6) Bessel Functions, p. 240; 1895.
Kapitel XX. Nenmannscbe Reihen erster Art § 111. 279
wickelt werden kann, falls noch 7i > r augenommeu wird; in dem sj)ezielleu Falle, daß dio Cylindorfnnktion voii der ersten Art ist, kiuin man diese Bedingung fallen lassen. Wir setzen nun der Kürze halber:
(1) a(r) = R^- 2 Rr cos 0-\-r\ (o(0) = R^,
schreiben aber häutig nur co für co()'), wenn diese Abkürzung kein Mißverständnis veranlassen kann; wir gewinnen so eine Entwicklung von der Form:
wo:
h, = R-^C>{R), «!Z>„==D;'(«"^C"()/«)Lo sein muß.
Wendet mau mm, um die Koeffizienten h^ näher zu bestimmen, die Formel:
an, so ergibt eine allgemeine Formel für die Bildung höherer DifFereutialquotienten von zusammengesetzten Funktionen^) folgenden Ausdruck:
wo man der Kürze halber:
r." = 2)^"[(« ((,) - « (0))*]^^^ = D;[^*(? - 2E cos ö)']^^^
gesetzt hat; man findet so endlich für den allgemeinen Koeffizienten den Ausdruck:
n
^ ^ " -f^ ^ ^ 2*-s!(»-2s)! 2?" + ''-*
W^ir suchen nunmehr die so erhaltene Potenzreihe in eine Neumannsche Reihe der ersten Art zu entwickeln; eine Anwen- dung der allgemeinen Formeln zeigt dann, daß in dieser Neumann- schen Reihe der Koeffizient a^^ ein Polynom vom n^'^^ Grade in cos 6 werden muß; eine einfache Ausführung der Rechnungen liefert für den zur Potenz (cos ö)"~-^' gehörigen Koeffizienten den Ausdruck:
1) Man vergleiche z. B. Schlömilch, Kompendium Bd. II, p. 5.
280 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
oder nach einer Anwendung von § 106, (4):
plin — ^py.R" ^ ''
nach dieser Reduktion findet man weiter ohne Mühe:
a^ = {y + n) rO-') • .^»■." (cos 6) C'+"(E) B-% und erhält somit schließlich die interessante Entwicklung:
(3) «"^"C^d/«) = -^ -y (T^ + 5)C" + ^(i?)J" + ^(r)Z'.^(cosö);
in dem Spezialfälle v = 0 findet man mittelst (Kg) folgende elegante Formel:
(4) Oo(yi22-2Ercosö + r2)=(70(i2)J«(/') + 2-^C*(i?)JX>")cos(sg)),
s = l
welche von Neumann^) gefunden worden ist; Neumann^) be- trachtet auch den Fall v = ^-, ohne zu bemerken, daß schon früher Clebsch^) die entsprechende Formel aufgestellt hatte. Die allge- meine Formel (3) ist zuerst von Gegenbauer*) bewiesen worden; sein Beweis ist indessen etwas kompliziert, was auch mit demjenigen von Sonin"'') der FaU ist. Beltrami^) hat einen schönen Beweis für die Neumannsche Formel (4) gegeben, allerdings unter der Voraussetzung, daß die Cylinderfuuktion von der ersten Art ist. Später hat Graf^) mit Zuhilfenahme der Integralausdrücke für J^'iy^) und F*'(ya)) die allgemeine Formel (3) bewiesen.
Durch die Annahme cp = 7t gewinnt man aus (3) die Additions- formel:
G''{B-\-r) 2]/^
(5)
■^(-^^^(-+;,^^^^^+'^^o---(E)j-^-(.), i.i<|i2|,
s-0
1) Theorie der Besselschen Funktionen, p. 65; 1867.
2) Sitzungsberichte der Leipziger Akademie 1886, p. 75—82.
3) Journal für Mathematik Bd. 61, p. 227; 1863.
4) Wiener Sitzungsberichte Bd. 70 II, p. 13, 14; 1874.
5) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 22, 23; 1880.
6) Atti deir Accademia di Torino, Bd. 16, p. 201—205; 1881.
7) Mathematische Annalen Bd. 43, p. 143, 144; 1893.
Kapitel XX. Noumannscho Reihen erster Art. § 112. 2^1
welche ebeafalls von Gogenbauer*) gefunden worden ist. Setzen wir weiter in (3) C^^x) = J^i^) und R = r = x, was erlaubt ist, so finden wir die weitere, ebenfalls von Gegenbauer*) gegebene Formel:
f = <»
welche im Vergleich zu § IIU, (o) in der Tat höchst merkwürdig ist. Durch die Annahme v = --, 6 = tc erhält man aus (6) die von LommeP) gefundene speziellere Formel:
(7) sin (2x) = :t.^{- l)'(2s + 1) (J^ + H^O)',
» = o
welche sonach in der ganzen a:-Ebene anwendbar ist. Die An- nahme r = — -, 6 = n führt dagegen wegen des Faktors '"(^ + ^) ) im Nenner rechter Hand in (5) nur zu einer formalen Identität.
§ 112. Entwicklung einer Funktion von der Form f(ij — x).
Man kann die Neumannschen Reihen der ersten Art einfachen Transformationen unterwerfen, welche für die Theorie dieser Reihen von großer Bedeutung sind; wendet man in der Tut auf die ein- zelnen Glieder rechter Hand in der Formel:
n = CO
(1) /•(^)=(iy-2'«»^"'^(^)
?i = 0
die zweite Fundamentalformel der Cylinderfanktionen an, nämlich: so findet man für v ^0:
ra = 1
und in dem Spezialfälle v = 0:
«=00
(3) I/-W -(}^+ «,) /»w + 1' j'{x) +2 {^\ + ^\) j-i'^y,
(2)
4 = 2
1) 2) loc. cit. p. 14.
3) Mathematische Annalen Bd. 2, p. 633; 1876.
282 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
durcli Zuhilfenahme der Formel (2) hat Lommel seinen Spezialfall unserer allgemeinen Formel § 33, (10) gefunden.
Durch Anwendung der ersten Fundamentalformel:
erhält man dagegen aus (1):
M = GO
re = 0
eliminiert man nun mittelst der zweiten Fundamentalformel die Funktion J^'^'"{x) aus dem allgemeinen Gliede rechter Hand in dieser Formel, so findet man:
(4) 2/<'>(:.) = (I)' .§"(-J^„.^, - 'il+^a,_).P»{.),
w = 0
eine Formel, welche auch für v = 0 anwendbar ist, wenn die zu den Funktionen J'^{x) und J^{x) gehörigen Koeffizienten gleich a^, bez. »2 — % angenommen werden.
Die Formeln (2) und (3) sind übrigens für eine willkürliche Reihe anwendbar, welche nach Cyliuderfunktionen fortschreitet, während (4) natürlich erfordert, daß die Koeffizienten a^ sämtlich von X unabhängig sind.
Die allgemeinen Formeln, welche wir soeben entwickelt haben, finden eine unmittelbare Anwendung auf folgende Neumannsche Reihet:
(5) f{y -x) = (1)^ . 2 e^AyW^'ix),
s = 0
WO f{y — x) in eine Taylor sehe Reihe entwickelbar sein muß. Differentiiert man nämlich die Formel (5) erstens nach x und zweitens nach y, so erhält man mittelst (4) die Identitäten:
Umgekehrt reichen offenbar die Formeln (6) auch aus, um zu beweisen, daß die Neumannsche Reihe rechter Hand in (5), falls sie überhaupt konvergiert, eine Funktion vom Argumente y — x darstellen muß.
(6)
1) Hier und in den folgenden Formeln bedeutet f„ den gewöhnlichen Koeffizienten, welcher im allgemeinen gleich 2 ist, außer für n = 0, wo man
£q = 1 zu nehmen hat.
Kapitel XX. NeumannBchf Iicihen erster Art. § lli' 2>>!)
In ilt-iii speziellen l'alle v = 0 Kchreiheu wir einf'iirh a"i //i l'ür ü^{y) iiMil ;.^owiiinen so siu.s (<j) den Siitz:
WiHH V 0 (itninwmmni tvin/, siiid die Kucffizicnfoi (i"(ii) der NrHmnunschni Itrihe für fiij — x) i»n)i< r L'6snu(jcn dir rrslrn Fim- damrnfalfornul der ( 'ylitKlrrfiadcfioncn.
Wenn die Reihe (f)) wiiklieli exi.stieit, ho eiliiilt iiiaii uiicli di"' zwei anderen Neu ni an n. sehen lu'iiien:
» = ao
(7) -^^'f(y-a-)={l)' ■^(v + s)B:(y)J^'^"{x),
j = 1
und eine Anwendung der Formel (5) ergiht dann unniittelhar zwischen den Koeffizienten folc^ende Bczieliung:
(9) ^yA,"{y) = (v + n) B^"(y) -+ 2a -(y) ,
wo man B^°(y) == 0 zu setzen hat. Transformiert man mittelst (2) auch die Reihe (5), so findet man weiter die Formeln:
^ ^ \ B,Hy)-^2Ä,!^(y).
Man kann nun auch sehr leicht aus (9) und (10) sowohl Ä"(y) als Bj*{y) für sich eliminieren und findet beziehentlich:
(11) B; - ^ (2/) + B: ^\y)=^ ^^^ B; iy) + ^ «/ (y) ,
( 9 4 -M - y^"-^'(y)-^."-^'(y) , yÄr\y)-<-\v) „ ^ q
(12) M^^^^^- M-ir+T + 7+17^1 ' "-^^
l yA\y)=<{y)-
Bemerkt man noch, daß die Formel (6) auch für ^,,"0/) n^'i^^ig ist, so findet man nach einer Differentiation nach y und darauf folgender Anwendung von (10) diese Fundamentalgleichung:
(13) 2B,^B:^{y)==''{-^-^Br\y) - ^-^B^Hy).
Wh' haben noch nachzuweisen, daß die Funktionen A und B beide einer linearen, nicht homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung genügen müssen. Um die Gleichung für B zu finden, muß man aus (11) und (13) Bj'~^{y) und dann J3," + ^(^) eliminieren; differentiiert man dann ferner die so erhaltenen Gleichungen nach y, so erhält man für z = B^^iy) die Differentialgleichung:
284 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen
y \ y^ )
(14)
(15)
SO daß eine Anwendung von (9) für z = Aj^ijj) die ähnliche Gleichung:
^=) + tll_%(.) + (l _(n-l)(»-H-.)N ^
!/ V y' I
ergibt.
§ 113. Die Funktionen 0''(i/) und /S'"(i/), D"(^) und ©"(?/).
Wir haben schon bemerkt, daß die beiden Funktionen a^{y) und A^{y) für v = 0 der ersten Fundamentalgleichung der Cylinder- funktionen genügen müssen; aus § 112, (13) ergibt sich, daß das- selbe auch mit S'^{y) der Fall sein muß, während man für dieselbe Funktion aus (11) die andere Fundamentalgleichung:
(1) B^-^y) -f B^'^\y) = ^f B\y) + | a\y)
gewinnt; um diese Formel und die ähnlichen für Ä"(y) und d"{y) auch für negative ganze Werte von n aufrecht erhalten zu können, setzen wir:
iB-''(y) = {-iy-'B^{y), a-'(^) = (- l)«a«(^),
^ ^ l Ä-{y) = (- lyA^iy)
und brauchen diese Gleichungen als Definitionen der betreffenden Funktionen mit negativem ganzem Parameter.
Wir betrachten nun den einfachsten Fall, wo f(x) = 1 an- genommen wird, und finden:
(3) «'''(2/) = l, «^«+n^) = 0,
(4) Ä^{y)==0"{y), B"{y)^S"iy)',
diese Eigenschaft als Entwicklungskoeffizient für das Schläflische Polynom S"{y) scheint bisher unbeachtet geblieben zu sein.
Für die Funktion 0"(y) hat zuerst Neumann^) die aus § 112, (12) und (15) erhaltene spezielle Formel gegeben, während Schläfli^)
1) Theorie der Besselschen Funktionen p. 13, 21; 1867.
2) Mathematische Annalen Bd. 3, p. 137, 139; 1871.
Kapitel XX. Nenmannsche Reihen erster Art. § 113. 285
die Formeln (6), (10), (11) gefunden hat; beinahe zu gleicher Zeit und offenbar, ohne die Abhimdhiug Scliläflis zu kennen, hat Gegenbauer') dieselben Formeln hergeleitet. Wir l)emerken noch, daß Crelier') neuerdings durch eine Anwendung von Integral- ausdrücken dieselben Formeln entwickelt hat.
Setzt nuin nunmehr f{x) = c~'^, so findet man:
(5) o"(t/) = »"c"'!',
(6) A\y) = 0"{ii), 2?"(y) = ©"(?/),
so daß wir hier eine neue Analogie zwischen diesen zwei Funktionen- paaren gefunden haben.
Wir bemerken noch, daß wir für z = 0"{y), bez. z = £)"{y) folgende Diöerentialgleichungen erhalten:
,M« . .«TT
(7) .<.+ l^..+ (i_!L^). = __^+_^,
(8) ^(») + i.,ra+(l_!^J), = ip.e-.>.
Wir kehren nun zu den Formeln des § 112 zurück, um die eigentliche Ursache für die für v = 0 erhaltene große Einfachheit dieser Formeln aufzusuchen. Eine direkte Ausrechnung ergibt für diese Entwicklungskoeffizienten folgende Ausdrücke:
n
(9) a'(y) - (- 1)'«! ^J ^"~^,~"' ' £S ^'"""(^)'
p = 0
p = n
(10) Ä"(y) = 2' ^S^' • o/{y)n"-^Ky)>
p = 0 ^ '^''
p = n
(11) B\y) ^ ^ ^".flj"' • S;{y)f^"-PKy),
p = 0
wo wir der Kürze halber:
-y
- 2
s— 1)! /2\i'-2s+l
(13) 0/(,)-2'<'^^^^'(|)
1) Sitzungsberichte der Wiener Akademie Bd. 65 IT, p. 35; 1872.
2) Coniptes rendu.s Bd. 125, p. 421—423. p. 860—863; 1897.
286 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
gesetzt haben, so daß wir identisch finden:
(14) S:^{y)-S\y), 0:^{y)==0\y),
während die allgemeineren Funktionen (12), (13) die Summen der
ersten Glieder von S"{y) und 0'"{y), mit einer passenden Potenz von
y multipliziert, darstellen.
Führt man nim in den allgemeinen Formeln des vorhergehenden Paragraphen die aus (9), (10), (11) gewonnenen Ausdrücke ein und ordnet man die so erhaltene Gleichung nach den Differential quo- tienten von f{y), so werden die einzelnen Koeffizienten rationale und von f{y) unabhängige Funktionen von y, so daß sie offenbar identisch verschwinden müssen; denn es gibt ja unendlich viele Funktionen f(y), welche nicht Lösungen von linearen Differential- gleichungen endlicher Ordnung und mit rationalen Koeffizienten sein können; man braucht zum Beispiel nur f{jj) = e^'-' zu setzen und zu beachten, daß n eine transcendente Zahl ist.
Auf diese Weise finden wir folgende Fundamentalformeln:
(ir,) 0;{y)^^s;{,j)-^
n\ \n — ^j COS'' ^
p \jj 2y i» w^ ' riP , A ^y
^(f + 0
(IG) S;zl(y) + S;il{y) = AO;{y)
(17) F;zl{y) - F;Xl(:y) = 2i)^F/(v/) - (n - p)FU,{y),
wo in der letzten Gleichung Fp(y) sowohl Op(jj) als Sp(y) bedeuten kann; die Annahme p = n ergibt unmittelbar die für 0"(y) und S"{y) bekannten Formeln.
§ 114. Allgemeine Additionsformel von Sonin.
Wir setzen nunmehr voraus, daß F^{x) eine willkürliche Lösung der ersten Fundamentalgleichung der Cylinderfunktioneu bedeute, daß also:
(1) F'~\x) - F''^\x) = 2I)^F'{x)
ist; unter der weiteren Annahme, daß F''(y — x) in eine Taylor- sche Reihe nach steigenden Potenzen von x entwickelbar ist, suchen wir diese Funktion jetzt in eine Neumannsche Reihe erster Art zu entwickeln, wo die Parameter sämtlich ganze Zahlen bedeuten.
Da die Koeffizienten dieser Neumannschen Reihe, dem Satze des § 112 zufolge, auch der Gleichung (1) genügen müssen, er- halten wir:
Kapitel XX. Neumannsche Reihen erster Art. § 114. 287
und daraus durch voUstiiiulige luduktion folgendou ullgemeiiieu Ausdruck :
2a-(y) = F^^^ii/) + (- 1)"F' ""(y),
80 daB wir nach einer Änderung des Vorzeichens von x die Neu- mannsche Reihe:
(2) F'(y + x) = F\y)J'(x) + ^ {F^-'{y) + (- iyF^-^'{y)) J'(x)
$ = i
finden, die also überall anwendbar ist, wo die Funktion F^'(y-\-x) nach steigenden Potenzen von x entwickelt werden kann.
Setzen wir weiter voraus, daß sich F''(x) in der Umgebung von X = 0 regulär verhält, so dürfen wir in (2) y = 0 annehmen und gelangen so zu der einfacheren Entwicklung:
(3) F'{x) = F^{0)J\x) + 2 (^'"'(0) + (- l)'F^+'(0))j'{x).
Umgekehrt haben wir in § 112 bewiesen, daß die Formel (2) auch ausreicht, um die Funktionalgleichung (1) herzuleiten; damit haben wir folgenden allgemeinen Satz von Sonin^) bewiesen:
Die notwendigen und liinreicUendcn Bedingungen dafür, daß die FunJition F''{x) eine Additionsformel von der Form (2) besitze, sind erstens, daß F''{x) der Gleichung (1) genügt, und zweitens, daß sich F' (y -\- x) nach steigenden Potenzen von x entwicJceln läßt.
Wir betrachten folgende Beispiele solcher Entwicklungen etwas näher:
1) Die CylinderfunJitionen seihst] hier muß im allgemeinen \ 3c\ <.\ y \ vorausgesetzt icerden, und nur, ivenn die Fimldion von der ersten Art ist und zudem einen ganzzahligen Parameter hesitzt, kann diese Bedingung wegfallen.
Die Additionsformel für J^(x -{- y) ist von Neuraann^) ge- funden worden, während LommeP) die entsprechende Formel für J"{x -f- y) bei positivem ganzem n gegeben hat; Schläfli^) hat zu- erst die ähnliche P'ormel für einen willkürlichen Parameter bewiesen.
2) Die Entwicklung slioeffizienten A"(y) und B"(y) des § 113,
1) Mathematisclie Aimalen Bd. 16, p. 4; 1880.
2) Theorie der Besselschen Funktionen p. 40; 1867.
3) Studien über die Besselschen Funktionen p. 27; 1868.
4) Mathematische Annalen Bd. 3, p. 136; 1871.
288 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
Schläfli^) hat die Formeln für 0''{x -^ y) und S'^ix ^- y) an- gegeben; in fliesen Fällen muß | a: | < | ^ | angenommen werden; die Entwicklungen für 0"(x -\- y) und ^{^-{-y) erfordern dieselbe Bedingung.
3) Die Funktionen Y'(ic), ü'{x), ^\x), N'ix), WV{x), T"{x) und %"(x); hier dürfen x und y tvillkürliche endliche Größen sein.
Die Beispiele 1) und 2) gestatten im allgemeinen keine Ent- wicklung von der Form (3); dies ist dagegen immer für 3) möglich. Schon in § 22 haben wir diese Entwicklungen für die genannten Funktionen mit Ausnahme von M"(a;) gegeben; für diese Funktion liefert aber (3) vermöge § 20, (13), (14) folgende Entwicklungen:
sm* ^^ — sin^
(4) M-(*) = A.^^_± +_j^lj-W,
2
n -\- s
« = » / . „ (w — s)n . , (n -\- s)Tt\ "^ l sin^ ^ T-^— sin*
damit haben wir die in § 22 versprochenen Formeln hergeleitet.
§ 115. Verallgemeinerung von K^'^^{x). Die Differentialgleiclmng
§ 31, (7).
Wir haben noch nachzuweisen, daß die Neumannschen Reihen auch zu eigentümlichen Verallgemeinerungen der Kugelfunktionen Veranlassung geben. Zu dem Ende gehen wir von der Potenzreihe:
fix) = «0 -f a^x + a^x^ -\ h a^x'' H
aus und finden so eine Neu mann sehe Reihe von der Form:
?( = CO
(1) fixyi) = (I)" r (i.) • ^ i^'(v + n)Ä^''"{y)J^-+" (x),
n = 0
wo wir der Kürze halber:
n
gesetzt haben; die Polynome Ä werden sonach mit den Kugelfunk- tionen in dem speziellen Falle identisch, daß f(x) die Exponential- funktion bedeutet.
1) loc. cit. p. 138, 141.
Kapitel XX. Neumannsche Reiben erster Art. § 115. 289
Wir haben nun naohzuweisen, daß diese Polynome A für alle /" eine einfacli»' Fundanientalf^leiciiung befriedigen müssen. Um dies einzusehen, ditVerentiicreu wir die Formel (1) nach y und erhalten 80 mit Zuhilfenalime von i? 112, (2) die Identität:
(3) 2ir'Kxyi) = r{v) (I)' {D^Ä'-<^(:y)J^-\x) + iD^Ä^^\y)) J^\x) +
» = i
diiferentiieren wir nun die Formel (1) nach x, so liefert eine An- wendung von § 112, (4) mittelst (3) die gesuchte Fundamental- gleichung, nämlich :
iyI)^A^'-^\y)-yD,jA^'^-'{y) =
(4)| =(m + 1)^'>'' + X?/) + (2v + w-1)^*'''-H«/), n>\
\yD,^A^^{y) = A^-\y).
Umgekehrt reichen diese Formeln auch aus, um zu beweisen, daß die Neumannsche Reihe (1), falls sie konvergent ist, eine Funktion des Argumentes {xyi) darstellen muß. Wir bemerken noch ausdrücklich, daß (4) sonach eine der Fundamentalgleichungen der Kugelfunktionen sein muß, da sie ja für alle A gültig ist.
Um endlich die Polynome A^''"{y) als Entwicklungsfunktionen anzuwenden, suchen wir in (l) auf beiden Seiten den Koeffizienten der Potenz x" auf und finden so unmittelbar:
n
(5) (2y)"«. = 2'.,r(:t«-'Vi)--^""'"(y)i
spezialisieren wir hier den Koeffizienten a^ linker Hand, so erhalten wir die bekannte Entwicklung nach Kugelfunktionen. Durch An- wendung dieser Formel (5) läßt sich sehr leicht die formale Ent- wicklung einer Potenzreihe in y nach den -4 -Funktionen darstellen; der strenge Nachweis der Konvergenz und die Bestimmung des Konvergenzbereiches bieten dagegen im allgemeinen große Schwierig- keiten dar, wie dies ja auch zu erwarten war, denn dieser Bereich hängt natürlich vom Bildungsgesetze der Koeffizienten a^ ab.
Setzt man f{x) = c' und v = ^-, so hat C. Neumann^) be- kanntlich bewiesen, daß die obenerwähnten Konvergenzbereiche
1) Über die Entwicklung einer Funktion mit imaginärem Argument nach den Kugelfunktionen erster und zweiter Art. Halle 18G2.
Kielaen, Cylinderfiinktionen. 19
290 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
Ellipsen mit den Brennpunkten (+1, 0) sind; betrachtet man nun weiter den Fall v = 0, so findet man leiclit:
y — x ^
« = o
y — x ^ \y
'r'{j)-i^"{i)' \^\<\y\
n= 1
Ist nun die Potenzreihe:
f(x) = «0 + ^'1^ + %^^ + '^s^^ + • • • konvergent, wenn | ic | < () ist, und bedeutet C einen mit | ^ | = () konzentrischen Kreis, dessen Radius eine beliebig kleine Größe, kleiner als q, ist, so führt der Integralsatz von Cauchy zu folgen- den zwei Entwicklungen:
«= CO
(6) fw=2^-o"(i)- /■w-2'^"-«"(i)'
71 = 0 n = l
wo wir der Kürze halber:
gesetzt haben; die Reihen (6) sind also anwendbar, falls | a; | < ^ vorausgesetzt wird.
Wir betrachten nunmehr den Spezialfall, in welchem die zu entwickelnde Funktion f^{x) ein Integral folgender nicht homogener Gleichung ist:
(7) y'''-V^y^'^ + {i-'^)y = ^.9^{x),
wo für hinreichend kleine Werte von ] x \ die Reihenentwicklung:
(8) ^w=2^«,(iy'"
s = 0
gültig ist. Setzt man voraus, daß v ^q nicht einer ganzen negativen Zahl gleich ist, so findet man auch für f^{x) eine mit (8) analoge Entwicklung; somit ist also die Existenz folgender zwei Neu- mann sehen Reihen der ersten Art sicher:
71 = 00
(9) ^? {ax) = a^-^{Q^ n) &?> " {a) J^ ^''{x),
n = 0
72 = 00
(10) f^{ax) = a? . ^ (^ + n)B^'''{a)J^ + ''{x),
Kapitel XX. Neumannsche Reihen erster Art. § llö. 291
die beide für hiuläni^lich kleine Werte von |a:| anwendbar sind und in denen die Koeffizienten fj^jinze Polynome in u sein nuisseu.
Fübrt niiin nun die Entwicklung (10) in (7) ein, so ergibt die Besselscbe Differentialgleichung für J? + *'(a;) die Identität:
w = »
(11) «^^((> + n)5('.''(«)[l-a^+^-^±^=^']j?+''(^) = ^.^(a:),
n = 0
aus der mittelst (9) und (10) die neue Formel:
n = oe
(12) x'ßix) = a'^'^ (^, [{{q + ny - v')R''"{a)-U'^^'{u)]jQ+"{x)
n=0
hervorgeht; nun findet man aus (7) die weitere Differentialgleicbung: ^?lIl(-^ + L^J^-^J,(^ux) = -x^f^{ax) + \rß(axy,
führt man hier die Reihe (10) ein, so gelangt man schließlich mit Zuhilfenahme von (9) und (12) für ^-"(a) zu der nicht homogenen Gleichung:
(13)
«-(1 - «■) g^» + (2() + 1) a(l - «-) g^' +
welche als eine Verallgemeinerung derjenigen für die Kugelfunk- tionen anzusehen ist; der Formel § 35, (1) zufolge braucht man in der Tat nur f^(x) = a^e'^ anzunehmen, um aus (13) die Differential- gleichung der KugeLfunktionen herzuleiten.
Es ist noch zu bemerken, daß (13) für a = 1 folgende be- merkenswerte Formel liefert:
eine Formel, welche uns ein eigentümliches Korrespondenzprinzip für die Entwicklung der Funktionen g^{x) und p{x) in eine Neu- mannsche Reihe bietet. So liefern zum Beispiel die Entwicklungen § 108, (1) und § 109, (7) in Verbindung mit den Differentialglei- chungen für '^'^(x) und 0'''?(;r) folgende neue Entwicklungen:
s = 0
(16) <^'-(^-rw^^;n^-Zs:i^:;^i:+,-^''-^'
19'
^:2 Drildter Teil Eiiitwidklnii^«& äiiiaJljtijs(chec FuuMioueit.
ler gsjixeiL ac-Ebene anwendbar süidj ifur 9 = 0 erhält
§ ^, (16), (18) wieder. Sefest man uocli in (15) 9 = r Hh 1, so ünddt mau mittelst § 30, (7) fblg^eude andere Ent- wicklang:
die fBr eir _: -t?« und uiekt negatires 1» von P. Siem ' befanden <:. A;:' ' -4be Weise gewinnt man aus ^ I " die
u.^.o-
Kapitel XXI.
lue NoiiiUMiinlit'ii lu'ilieu zwoiier An.
§ llttv Alicemeine FormoLu, Wir .. v:...^..-.. xi: ..... ....l^.v.Iv^^o Kcihe:
(ly ^ :J ' J
iu der die Koeffizio' ' • »^ von .; • . V.iüigig sein sollen; faiireu wir in diese Reihe ui je^ies Produo.; ^loeier Cyliiidexfanktioiieu die Reihe § 6, (4) ein, so erhalten wir eine Doppelreihe, die auiüog zu A in § 102 ist Wir ordnen nun die Glieder dieser Doppelreihe nach steigenden Potenien von x und finden etae Gleichung vou der Form:
«=(j «5=0
wo wir der Kurve halber:
'^ 'ir^^^)'('' +
»=i
gesetzt haben.
1) Prograiuiu der Lukenschole, BerUu ISdO.
Kftpitel XXJ. Keuxumiuch« Ueibm zveiter Art | 116. ^3
Wir Hctz^^n beispielsweiBe zunächst öy, — 1> «j, + i "- 0 und ge- langen Bo zu der eleganten Fonnel:
aus der lur r = p = J folgende EntwickJung für den InWgraifiUJUB:
« = -jt (5) S,{2x) = ^.^(.r\{x))'
• = 0
hervorgeht, die auf andre Weise Ton Lommel') gefunden worden ißt Weiter »etzen wir:
)'y\ «»,+. = 0
P-I/-1, «,^ = (-1/
und erhalten §o mitteL^t (rj die bemerkenswert« Fonnel:
(6) J'^i2x) =l/f -^ (- l/f'^)r'^*(^)*^'^'-i(r),
welche als die umgekehrte Formel zu § 107, (4) angesehen werden kann.
Kehren wir nun zur allgemeinen Gleichung {?>) zurück, so ist ofiFenbar, daß sie genau von derselben Y()Tm wie § 107, (2) ist; wir finden also mittelst § 107, (6) für a^ den allgemeinen Ausdruck:
^ ^ ik *!r(^l^ + n-2*+l)
vorauwgesetzt allerdings, daß keine der drei Zahlen -^ , ^, ^—[--
negativ ganz ist. Diese Bestimmung von a, ist also eindeutig, und die gewöhnliche Methode führt somit zu folgendem allgemeinen Satze:
V. ^VcMn heiivß der drd ZfjhUn —, -|-, — |-^ n&jativ (janz ist,
kann eine Pofenzreihe immer eindeutig in eine Heilve entwicf:elt vcerden, tceldie juieh Produkten zweier CylimlerßmktUjrten fortachraitet:
n-tti
1 = 9 11 = 0
1) Abhandlangen der Münchener Akademie Bd. 14, p. 550; 1884.
294 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
in der sich die Koeffizienten a„ aus der Formel:
-Tr(4^ + »-.)rf-±-»-s + >)r(4l'-« + .)
/v + e , \ -ST ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ i.
« = 0
s!r(^ + «-2s+l)
hestimmen lassen. Diese Neumann sehe Reihe zweiter Art hat genau dieselben Eigenschaften wie diejenige der ersten Art.
Für den Fall, daß v = q = 0 oder v = (> = -|- und sonst alle Parameter der Cylinderfunktionen ganze Zahlen sind, ist dieser Satz zuerst von Naumann^) aufgestellt worden, während LommeP) einzelne Potenzen von x in eine solche Reihe entwickelt hat. Gegenbau er ^) gibt den allgemeineren Fall v = q, während Kap- teyn^) den Fall mit lauter ganzen Parametern von einem all- gemeineren Gesichtspunkte aus untersucht hat.
§ 117. Anwendungen. Entwicklung von
y—x
Obgleich die Neumann sehen Reihen zweiter Art in der Theorie der Cylinderfunktionen nicht eine so wichtige Rolle zu spielen scheinen wie diejenigen der ersten Art, so gestatten sie doch einige interessante Anwendungen.
So gewinnen wir zum Beispiel folgende zwei Entwicklungen:
(1)
(2)
X- ^Jx^ (/'' - ^ {x) J' (x) + Jf (x) J' - 1 (x)) dx =
- rf±P)-,§ r(»+x+-t|±.) -'^"-W'^'-Wi
1) Sitzungsberichte der Leipziger Akademie 1869, p. 221 — 256. Mathe- matische Annalen Bd. 2, p. 192; Bd. 3, p. 581—610.
2) Studien über die Besselschen Funktionen p. 48; 1868.
3) Sitzungsberichte der Wiener Akademie Bd. 75 II, p. 216—222; 1877.
4) Annales de TEcole Normale (3) Bd. 10; 1893.
Kapitel XXI. Neumannsche Ueihea zweiter Art. ^117. 295
für () = 1, /* = i, V = — i, liefert (1) die speziellere Formel:
Auf ähnliche Weise erhalten wir:
f =: OD
(4) cos2x = ^[/'(x)J~\x)-^^(~ l)'4sf^^(.i^j"^{x)),
1 = 1
1 = 00
(5) sin 2x = 2x- 2%x ■ ^ j'^ ' i^)j' ''(^);
diese fünf Formeln sind also in der ganzen a:-Ebene anwendbar. Für eine einzige Potenz erhalten wir die Entwicklung:
/xy + Q « = »
(6) rr iVn mu= ^ "^^J^C ^ ''^ ') J'''i^)J'"(^y.
^ l {V -\- l) r {Q -\- 1) , = 0 V -\- Q -\-S \ S / ^ ■' ^ ^'
für V imd p gleich der Hälfte einer positivei; ungeraden Zahl ist diese Formel zuerst von LommeP) angegeben worden.
Setzen wir weiter in (6) v -\- q = 0 oder v -{- q = 1, so ge- langen wir durch die in § 108 angewendete Methode beziehentlich zu folgenden zwei Formeln:
(2py.^ll-'p .^s2p
rrw4-14-v)rr;;4-l — j'U 2 /
« = 00 p = n
(7) 2 (2^)"./- w j- w -'2w+:+.;u,+r-.) (f )'
in denen die Koeffizienten % dieselben wie in § 108 sind. Beide Formeln sind ja der Schlömilchschen Entwicklung § 108, (5) ganz ähnlich, sie bieten aber größere Eigentümlichkeiten dar, indem wir wegen der letzten Gammafunktionen im Nenner rechter Hand folgenden Satz finden:
Wenn v gleich einer ganzen Zahl und größer als n, hez. n + 1 angenommen ivird, haben die unendlicJien Reihen linher Hand in (7), (8) beide die Summe Null.
Es ist indessen offenbar, daß diese Nullentwicklungen nur formale Identitäten sein können, weil sich ja beide unendliche Reihen als Fotenzreihen schreiben lassen.
1) Mathematische Annalen Bd. 2, p. 633; 1870.
296 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
Wir betrachten ferner die Neumannsche Reihe zweiter Art
'' 71 = 0
WO «0=1, f „ = 2 für n > 0 anzunehmen ist, und wo man: y -|- p -j- 2w
(10)
U'.c.''(i/) =
+ .)r(
p = 0
V -\- ^ -\- In — 2^
P
■(l + ')^(l + >)
gesetzt hat. Im allgemeinen genügt diese in y rationale Funktion VC'^''^{y) einer linearen, nicht homogenen Differentialgleichimg der vierten Ordnung, in welcher der DifFerentialausdruck linker Hand zu dem in § 112, 15 analog ist. In dem Spezialfälle q = v erhält man für die Funktion:
(11) ^ = U'''''"(y) = U'."(?/)
folgende Gleichung dritter Ordnung: 4 — 2v ,2^
(12)
: P^ +
y
^(2) +
wo man der Kürze halber:
8 — 4v , («+l)(n — 1— i')(l+j')'
2/
)^ = ^„(!/);
(13)
V -\- n \ n / ^ \y J
V -|- 2« +
1 vi 2 j; /i; + n + l
(13a) ^2„+i(2/) = -^ 2 1. + « +
gesetzt hat. Für v = 0 nimmt (12) die elegante Form:
n"+r')(7)'
4 cos^
, WTf
(14) ^3,+ i,«+(4 + l^')„.,+ (| + ?ü_^),_ ^.
an, und damit haben wir eine neue Analogie zwischen den Neu- mann sehen Reihen der ersten und der zweiten Art nachgewiesen.
Ist keine der drei Zahlen -- 4r, T ^ eine ganze Zahl, so ist
es auch möglich, eine sogenannte Laurentsche Reihe im ganzen
0 Kapitel XXI. Neumannsche U<«ihen zweiter Art. § HS. 297
Kreisringe der Koiivergen/, nuch l'rudukten /.weier Cylinderfunktiom'ii zu entwickeln'), wir «(clien indessen auf diese Frage hier nicht näher ein.
Hier brechen wir unsere Untersucliungen ül)er die Neu man n- schen Heiheu ab. Die zwei folgenden Entwickhuigen sind ja in der Tat nicht eigentliche Neumannsche Reihen; gleichwohl ziehen wir es vor, sie in diesem Kapitel hier einzufügen.
§ 118. Andere Entwicklungen nach Produkten zweier
Cylinderfunktionen.
Wir gehen noch einmal von der Formel § 109, (3) aus, indem wir sie folgendermaßen schreiben:
(1) (f)'^v-.(.) = 2'-rif?^'r r o^'-^'W'
»i = U
und setzen nun in dieser Formel nacheinander v-\-l, v-{-2, •■ für V, so daß wir leicht folgende allgemeine Entwicklung finden:
n= 00
(2) J-W-^^.(f)"-(|)"^-^«,J-"W,
n=0 n=0
in der wir der Kürze halber:
n
s = 0
gesetzt haben.
Sehen wir von dem speziellen Falle ab, in welchem die durch die Potenzreihe linker Hand in (2) dargestellte Funktion in den Nullstellen von J-c{x) Pole erster Ordnung hat, sonst aber keine endliche singulare Stelle besitzt, so hat die Entwicklung rechter Hand in (2) die gewöhnlichen Eigenschaften einer Neumannschen Reihe; denn die Multiplikation mit der Cylinderfunktion linker Hand kann ja in diesem Falle die Konvergenz oder Divergenz der Potenz- reihe gar nicht ändern.
Setzen wir weiter in (2) ^ — 1 für q, v + 1 für v, so gelangen wir zu folgender ähnlicher Formel:
(4) J-.-w '^K (y)" = iT" -T^J-'-^i-)'
n = 0 n = 0
1) Man vergleiche meine Abhandlung in Mathematische Annalen Bd. 52.
298 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen,
in welcher:
n
(5) <=(v+n+i).^J(;+;-^+'^{~^-^-''+y„_,,
gesetzt ist. Multiplizieren wir nun die Formel (4) mit J^{x), die Formel (2) aber mit J^-'^{x), so gewinnen wir durch Anwendung der Lommelschen Fundamentalformel für die gegebene Potenzreihe die neue Entwicklung:
S = CO
(6)
\ n=0 w=0 /
Sin TtQ
damit haben wir folgenden Satz bewiesen:
VI. Wenn q Jceine ganze Zahl ist und v nicht negativ ganz angenommen wird, so läßt sich eine Potenzreihe mittelst der Formel (6) entivickeln, und die so erhaltene CylinderfimMionenreihe hat genau dieselben Eigenschaften ivie eine gewöhnliche JSfeumannsche Beihe.
Die Entwicklungskoeffizienten dieser neuen Reihe sind indessen recht kompliziert; noch schlimmer wird die Sache, wenn q eine ganze Zahl bedeutet, denn in diesem Falle wird der Ausdruck rechter Hand in (6) unbestimmt, und die notwendige Differentiation nach Q macht die Koeffizienten sehr zusammengesetzt.
§ 119. Über die Reihe Ta^J'' + ''{x)jQ-''{x). Wir gehen endlich von der Formel § 6, (4) aus und finden
(1)
nach einer leichten Umformung die Potenzreihe:
/a;y + e + 2«
-i-s-\-l){v-^s-\-2)---{v-\-s-\-n) r(i; + s+l)r(p + s+l
« = 0
weiter bezeichnen wir mit a^, n^, «2? • • • willkürliche Koeffizienten, welche nur so beschaffen sein müssen, daß die Reihe:
(2) f(.,.)^«,+l«..;'v-'>-+t"^
5=1
Kapitel XXI. Noumann.scho Keihen zweiter Art. § 119. 299
unbedingt konvergeat ist, falls 9i(f)>Q') voniusgesetzt wird; wir erhalten so ohne Schwierigkeit aus (1) die Entwicklung
■'i-
(3)
' p = OD
.^(_„.(- + »^+^«)(0-'--
die anwendbar ist, wenn nur 9i(i/) > ß angenommen wird; denn in diesem Falle wird die Reihe rechter Hand unbedingt konvergent.
Setzt man zum Beispiel a^ = (— 1)', so findet man mittelst einer Stirlingschen Formel:
F(v,9) = ^, 9?(^ + (>)>0;
mithin ergibt (3) in dem speziellen Falle q = v folgende bemerkens- werte Formel:
;) = ®
p = l
Führt man ferner in der folgenden Reihe für jedes Produkt zweier J-Fimktionen die entsprechende Reihe (1) ein und setzt man außerdem | « | < 1 voraus, so findet man:
p=-x s = 0
mm ist in dieser Formel die Reihe rechter Hand offenbar nichts anderes als eine Cylinderfunktion; dies führt zu der merkwürdigen Formel:
(5) ^' H + f) = ^ a-'-'PJ'+P{x)J-P{x), \a\<l.
P——IX
Setzt man hier endlich x für ax und y für —, so gewinnt man
X
a folgende neue Additionsformel:
(6) J^{x + y) = ^[fi-'-^-J^'^p{y^j)J-p{yxy), \x\<\y\,
p= — CK
welche nicht mit den vorhergehenden in den §§ 104, 111, 114 gegebenen Additionsformeln zusammenfällt.
1) Man vergleiche meine Abhandlung über die Fakultätenreihen in An- nales de TEcole Normale (3) Bd. 19; 1902.
300 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
Nimmt man in (5) v gleich der ganzen, nicht negativen Zahl n an, so kann die Bedingung | a | < 1 wegfallen, und die Formel wird für jeden endlichen Wert von a anwendbar.
Die Annahme a = e'^ führt zum Beispiel mittelst (5) zu den in § 2'2, (8) und (9) für ganze v gegebenen Fourier sehen Reihen, welche zuerst von Schlaf li gefunden worden sind.
Kapitel XXII. Die Kapteyiischen Reihen erster und zweiter Art.
§ 120. rormale Entwicklung von x^' in eine Reihe der ersten Art.
In den letzten Jahren hat W. Kapteyn^) eine neue Entwicklung einer Potenzreihe nach Cylinderfunktionen gegeben, welche wir hier zu verallgemeinern haben. Zu dem Ende setzen wir für den Augen- blick voraus, daß es möglich sei, die Potenz x^' in eine Reihe von folgender Form zu entwickeln:
7! =0
und daß es weiterhin möglich sei, diese Reihe dadurch in eine Potenzreihe umzuformen, daß wir für jede Cylinderfunktion rechter Hand die gewöhnliche Entwicklung einführen. Eine solche Um- formung der Reihe liefert aber zur Bestimmung der noch unbekannten Koeffizienten al« die Gleichungen:
V
V
und allgemeiner, wenn n eine positive ganze Zahl bedeutet:
s= n
/QN 0 = V (-1) (^ + 2g)
^ (« — s)! r(v -f » -f s -f 1)
«2
«•
s = 0
Ans diesen Gleichungen findet man durch vollständige Induktion für die Koeffizienten « den allgemeinen Ausdruck:
y*) «2 n =
V
n\ (v + 2n/ + ^'
1) Annales de r:ßcole Normale (3) Bd. 10; 1893
Kapitel XXII. Kapteynsche Reihen erster und zweiter Art. § 120. 301
in der Tat leuchtet ja ein, daß wir für kleine Werte von n wirklich Ausdrücke von der Form (4) erhalten. Setzen wir nun voraus, daß (4) für Uq^, Ot*, . . ., «sn-a richtig sei, so haben wir aus (3) den Koeffizienten «i,, zu bestininien. Führen wir in diese Formel wirk- lich die Ausdrücke für die vorhergehenden Koeftizienten ein, so kommt es ofl'enbar darauf jin, die Gleichheit:
^^ fri 'r(v + n-f;/-fl) \ii)
nachzuweisen; denn dann und nur dann erhalten wir für ««n den Ausdruck (4).
Die Formel (ö) läßt sich aber ohne Mühe durch vollständiore Induktion beweisen; um dies zu erreichen, setzen wir der Kürze halber:
;f^ rci' + n + p + i) \i,)
und finden dann durch eine einfache Reduktion:
p = 0
da sich die Gleichung (5) für kleine Werte von n leicht beweisen läßt und wir sie für w — 1 als gültig annehmen ; addiert man nun aber diesen Ausdi-uck für 4nX^'lJ zu X,", so erhalten wir:
X; = (. + 2,0' f ^,^^'^-1^' (;) = (.+ 2,0'X,-S
p = 0
woraus durch Wiederholung dieses Prozesses die allgemeinere Formel :
X„" = (v + 2w)2"-2Xi
hervorgeht; nun findet man aber für X,/ folgenden anderen Aus- druck :
p—n
riv-\-p)
p — O
p = 0
die Prinzipien der Differenzenrechnung ergeben dann ohne weiteres, daß XI und somit auch X« gleich Null sein muß; also ist (4j all-
gemein bewiesen.
302
Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
Es erhellt, daß unser Beweis hinfällig wird, sobald v gleich Null oder einer ganzen negativen Zahl angenommen wird; im ersten Falle hat man:
während im zweiten Falle die Gleichungen (2) und (3) nicht mehr die Koeffizienten «L bestimmen.
(1)
§121. Unbedingte Konvergenz der Entwicklung für x^
Wir haben nun zu beweisen, daß die unendliche Reihe:
unbedingt konvergiert, falls | x \ eine gewisse Grenze nicht über- schreitet. Zu diesem Zwecke wenden wir die aus § 2, (3) erhaltene
Ungleichheit:
J'"(i) <
— 1
4cu
l2-||r(« + i)|
an, wo ^(co) als positiv und sehr groß anzunehmen ist. Bezeichnet nun weiter ii^ das allgemeine Glied unter dem Summenzeichen in (1), so finden wir:
(1)1
l«J<
\v-\-2n\^"-''e
nl\v -\- n\ ■ \v -{- n-{- 1\ ■ ■ ■ \v -\-2n\ so daß die Stirlingsche Formel (fg) zu der weiteren Ungleichheit:
1 +
M<K^
-2n
führt, wo K eine endliche positive Größe bedeutet; der zuletzt ge- fundene Ausdruck ist einem von Cauchy^) gegebenen sehr ähnlich. Diese Überlegungen zeigen uns aber, daß die Reihe (l) wie eine Potenzreihe konvergiert, falls |ir| < Q(l) angenommen wird, wo Q(l) die positive Wurzel der transcendenten Gleichung:
(2)
r 1 + —
bedeutet oder nach Kapteyn^) näherungs weise: (3) Q(l) = 0,659.-.
1) Comptes rentlus Bd. 13, p. 687; 1841.
2) Annales de l'ficole Normale (3) Bd. 10, p. 120; 1893.
Kapitel XXIT. Kapteynsche Reihen erster und zweiter Art. § 121. 303
ist. Als Corollar zu dem vorhergehendeii Resultate erhalten wir also den Satz, daß die Summe der Reihe:
r, . \\ 1/»'+'-« V"^*"'^*''
(4) 2"
pA "!i'!|(v + 2n)'' + ^||r(^ + 2n + p)|
mit unendlich wachsendem n der Grenze Null zustreht, wenn nur |a;| < Ö(l) ist, ein Resultat, das uns bald sehr nützlich sein Avird.
Nach diesen Erörterungen schreiben wir die Reihe (1) als Doppelreihe, indem wir für jede Cylinderfunktion die entsprechende Reihenentwicklung einführen, und zwar schreiben wir sie so, daß die Glieder, welche dieselbe Potenz von x enthalten, die Vertikal- reihen bilden. Nun haben wir soeben bewiesen, daß die Horizoutal- reihen allesamt unbedingt konvergieren, wenn nur |a;|<Q(l) voraus- gesetzt wird. Die Vertikalreihen haben, von der ersten abgesehen, sämtlich die Summe Null, wie deutlich aus § 120, (5) hervorgeht, während die erste Vertikalreihe die Summe x^' : (2''v^) besitzt; damit haben wir aber folgenden Hilfssatz bewiesen:
W(ynn V eine endliche Größe bedeutet, ivelche Jceme ganze negative Zahl ist, sonst aber ganz ivillkürlich sein kann, ist die Entwicklung:
i= cc
(5) m-^'-^^T^^^-'-n^^^^)^)
jedenfalls unhcdingt konvergent, tvenn nur \x\<iQ.{\) vorausgesetzt tvird, und diese Entwickhing ist nur auf eine Weise möglicli.
Wenn v gleich Nidl ist, reduziert sich (5) auf die Identität 1 = 1.
Setzen wir v als positiv und ganz voraus, so finden wir nach der in § 108 angewendeten Methode folgende elegante Formel:
wo p eine positive ganze Zahl bedeutet, während e gleich 1 oder 2 zu setzen ist, und wo wir der Kürze halber:
gesetzt haben; die Zahlen 33, für welche r^2^ ist, müssen dem- nach verschwinden.
Die Formel (6) hat Ähnlichkeit mit § 108, (5).
304 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
§ 122. Die allgemeine Kapteynsche Reihe der ersten Art.
Wir betrachten nunmehr die Potenzreihe:
(1) fix) = «0 + «1 (I) + «^2 (y)" + «^3 (y) + • • •
mit dem Konvergenzradius ^; die einzelnen Glieder dieser Reihe können nun mittelst § 121, (5) in eine Kapteynsche Reihe ver- wandelt werden, wenn wir nur in der obenerwähnten Formel v-f-1, V -\- 2, i^-f-3, ••• für V setzen und dann durch x^' : 2" divi- dieren. Auf diese Weise erhalten wir eine Doppelreihe, deren Horizontalreihen von den obenerwähnten Kapteynschen Reihen gebildet werden; wir denken uns sie so geschrieben, daß die Glieder mit derselben Cylinderfunktion die Vertikalreihen unserer Doppel- reihe bilden.
Es ist dann offenbar, daß die Horizontalreihen sämtlich un- bedingt konvergieren, wenn erstens l^r] < Q(l) und zweitens |^| < ^ ang-enommen wird. Wenden wir uns nun zu den Vertikalreihen unserer Doppelreihe, so finden wir im allgemeinen:
n
f9\ Q r + "(^v + n)x) ^(v^n-2p)mv-\-n-p)
^^^ ''«" (v + nY^^ '^, p!(.-f<-^- •^«-^^'
wir haben daher noch die Bedingungen dafür zu finden, daß auch die aus (2) mit unendlich wachsendem n erhaltene unendliche Reihe unbedingt konvergiert. Offenbar dürfen wir uns dann darauf be- schränken, n als gerade Zahl anzunehmen, denn der Fall, wo n un- gerade ist, läßt sich auf ganz dieselbe Weise behandeln. Wir setzen also:
wo der Kürze halber:
{v -\- n) [v -\- n -{- 1) ■ ■ ■ [v -\- n -\- x> — !)■«(« — 1) • • • (« — P -|- 1)
gesetzt worden ist; außerdem führen wir der Bequemlichkeit wegen folgende Bezeichnung ein:
_ ''^2p + 2 ^ {v-\-n-\- p) {n — y)
Nun finden wir für endliche, aber hinreichend große Werte von n, daß sich \v \ mit wachsendem n mehr und mehr dem Werte
Kapitel XXII. Kapteynsche Reihen erster und zweiter Art. § 122. 305
1:4 nähert; hierüber behaupte ich, daß N'p' > h';, + i ! «^^'i'i i'ii'li, falls mir u und /) liinlänglich ffcoQ augeuuunneu werden; es leuchtet nämlich ein, dab dann :
in-p)in+2y+\v\)<{2n-\v\y sein niuB. \N'ir bezeichnen ferner mit A den größten Wert, welchen
überhaupt annehmen kann, und finden somit durch Zuhilfenahme der Formeln des vorhergehenden Paragraphen, daß:
\S,^\<nÄ-\v-\-2n\\[l\e U I)
Bein muß, so daß die Vertikalreiheu S„ jedenfalls unbedingt kon- vergieren, wenn zugleich |a;| < Q(l) und ja:j < Q(()) angenommen wird, wo ß(p) die positive Wui-zel der transcendentcn Gleichung:
(3) ^.e ^ =Q
bedeutet; damit haben wir folgenden allgemeinen Satz bewiesen:
VII. Wenn v eine endliche Größe hedeutct, die jedoch keiner ganzen negcdivcn Zahl gleich sein darf, läßt sich die Potenzreihe:
/'(^)=2«n(Y)"
n-0
mit dem Konvergensradius q in eine Kapteynschc Reihe der ersten Art:
(4) fix) = (!)• '2 ^^ • j-"((- + «) x)
entivicMn, wo sich die Koeffizienten h^ aus der Formel:
n < —
- 2
(5) K = ^
a„
berechnen lassen. Die EntivicTdung (4) ist eindeutig hestimmt, und die so erhaltene CylinderfunMionenreihe ist jedenfalls unbedingt kon- vergent, falls |a;| < Q(l) und \x\<iQ{Q) angenommen wird; tvenn V = 0 ist, reduziert sich das erste Glied rechter Hand in (4) auf a^.
Kapteyn^) hat diesen Satz für den Fall v = 0 und ^ ^ 1 bewiesen.
Wir haben also die Existenz der Kapteynschen Reihe in aller Strenge nachgewiesen; wir wissen aber nicht, ob der obenerwähnte
1) Annales de l'Ecole Normale (3) Bd. 10, p. 120; 1893.
Nielsen, Cylinderfunktionen. 20
306 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
Kreis, in dessen Innern die Reihe sicher nnbedingt konrergiert, wirklich mit dem vollständigen Bereiche der imbedingten Konver- genz dieser Reihe zusammenfällt; daß dieser Kreis jedenfalls mit dem Bereiche der Konvergenz einer Kap tevn sehen Reihe über- haupt nicht zusammenfällt, ist außer allem Zweifel, wie die aus der Kepler sehen Gleichung hergeleitete Formel § 2'd, (^6) deut- lich zeigt.
Im allcfemeinen scheinen die Bereiche der unbedino-ten und der bedingten Konvergenz einer Kap teyn sehen Reihe nicht identisch zu sein, so daß es einen endlichen Bereich der a;-Ebene geben muß, in welchem die Kap teyn sehe Reihe nur bedingt konvergiert und doch eine analytische Funktion von .r darstellen muß, ein Verhältnis, welches ich schon bei gewissen Fakultätenreihen nachgewiesen habe^).
Indessen scheint die allo-emeiue Beantwortimo- der Frage nach dem Kouvergenzbereich einer Kap teyn sehen Reihe recht schwierig zu sein; man muß nämlich zuerst den asymptotischen Wert von e7'(v.r) bestimmen, wenn 3^(v) äußerst groß und positiv angenommen wird, während | x | eine endliche Größe bedeutet. Bisher hat man aber nur den Fall bemeistern können -\ in welchem r positiv und x reell angenommen werden, imd selbst dieser spezielle Fall bietet noch g-roße Schwierigkeiten dar.
§ 123. Die Kapteynsclien Reihen der zweiten Art.
Die Neu mann sehen Reihen der zweiten Art veranlassen uns ganz natürlich dazu, eine Reihe von folgender Form zu untersuchen:
(1) 2''y^((:-p-+">y~^{H^+")')-^
für eine solche Reihe schlagen wir die Bezeichnimg Kapfeynsclw Reihe der siceiten Art vor.
Um die Existenz einer solchen Entwicklung nachzuweisen, haben wir die Methode der §§ 120, 121 auf die vorläufig rein hypothetische Entwicklimo- :
(2) [^y = ^ a^J^-^r. ((^ _^ ^ ^ 2n)x) J^^" {i,v -f q + 2n),j
n = 0
1) Annales de l'Ecole Normale (3) Bd. 19, p. 429; 1902.
2) Graf und Gubler: Einleitung in die Theorie der Besselschen Funktionen Heft I, p. 96—107.
Kapitel XXII. Kapteynsche Reihen erster und zweiter Art. § 1'23. 307
anzuwenileu; wir erhalten so für die Bestimmung der imbekannten Koeffizienten folgendes Gleichuugssystem:
W i -r(i + v)r(i + p)-"o
und allgemeiner:
(4) 0 = 5"(-iy('' + ^ + '")(z, + (, + 2n + 2i,)^ + ^ + «".«„_^.
Für die ersten Koeffizienten «„ finden wir sonach Ausdrücke, welche mittelst unvollständiger Induktion dazu führen:
C5^ « (v + e)r(i + v)r(i + e) r(v + e + n)
^ ^ " n\V{v-\-Q) (v + e + 2n)'' + «' + ^
anzunehmen. Um nun die vollständige Induktion durchführen zu können, müssen wir erst die Identität:
(6) 5'(-i)'C+'!::;""')r+'+'")(''+?+2»-2pr-'-o
p = 0
beweisen; drücken wir indessen die in dieser Gleichung vorkommen- den Binom ialkoeffizienten durch Gammafunktioneu aus, so erhellt, daß (6) nichts andres ist als § 120, (5), so daß der Ausdruck (5) wirklich richtig ist; somit haben wir hier eine Analogie zwischen den Neu mann sehen und den Kap teyu sehen Reihen gefunden.
Wenden wir nun weiter die Methode des § 121 an, so erhalten wir folgenden Hilfssatz:
Vorausgesetzt, daß Jceine der drei Grüßen v, q und v -\- q eine ganze negative Zahl ist, erhält man eindeutig folgende EntivicMung in eine Kajyteynsche Reihe ziveiter Art:
(1)""' = (^ + ^)'"(i + ^)r (! + (>) •
tveJche jedenfalls unhedingt Jconvergiert, ivenn \x\K-\Q{\) ist. Für V -\- Q = 0 reduziert sich die Formel (7) auf die Identität 1 = 1.
Bedienen wir uns abermals der Methode der §§ 108, 121, so führt (7) unmittelbar zu folgenden zwei anderen Formeln:
^^^ ^ (2„)2P ^ r{r-{-l-\-v)r{r+l-v)'\2) '
20*
0)
n = oc
308 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
(9)
^IJ" + ^'((2 w + 1) a;) J^ + ^ ~ ^' ((2 n + l)x) ^ .4 {2n + lf^
n = 0
r = p — l
V {2r+l)l'!8l^^, /xY-r+i
/xyr+i
r = 0
WO die Koeffizienten 33 die durch § 121, (7) definierten Zahlen bedeuten.
Die Formeln (8), (9) sind zu § 116, (5), (6) ganz analog; denkt man sich noch v = q, wo q^ p eine ganze Zahl bedeutet, so haben die beiden Reihen linker Hand in (8), (9) die Summe Null; diese Nullentwicklungen können also auch nur formale Identitäten sein.
Um eine Potenzreihe in eine Kapteynsche Reihe zu ent- wickebi, setzen wir in (7) v : 2 und q : 2 für v und q- eine An- wendung der Methode des vorigen Paragraphen ergibt dann un- schwer den allgemeinen Satz:
VIII. Wenn keine der Größen v, q und v -{- q eine ganse, nega- tive und gerade ZaJd ist, läßt sich die Potenzredie:
W = 00
(10) F{x)-^K(^y
w = 0
mit dem Konvergenzradius q eindeutig folgendermaßen in eine Kapteyn- sche Reihe der zweiten Art entwickeln:
(11) F(.) = (1)'-^. S" «../"^(f-i^ + s) .) J^Y(^ + s)X ivo sich die Koeffizienten a^ aus folgender Formel hestimmen lassen:
s
(!±i+.-.,)r(-+-/^+^)rf+-/^+^) r-p+s-,-^
0-2) a^ — ^ r+o \ p /-s-2p-
Die so erhaltene CylinderfunJctionenreihe ist jedenfalls unbedingt kon- vergent, tvenn \x\<.\Q(l) wmc? zugleich \x\ <^^Q(q) vorausgesetzt tvird. In dem Spezialfälle v -\- q = 0 reduziert sich das erste Glied rechter Hand in (11) auf h^.
Unsere Kenntnis des Konvergenzbereiches der Kapteyn sehen Reihen zweiter Art zeigt natürlich dieselben Lücken, auf welche wir in § 122 für die Reihen der ersten Art aufmerksam gemacht haben.
Kiipitcl XXJII. Ncumannsche uud Kaptcynscho Keihen. § 121 HUU
Kapitel XXIII.
Analogien zwisclicn den X«Minianns<'lion und den KaptcvnsclH'n llcilicn.
§ 124. Entwicklungen ein und derselben Funktion f{ccx).
Die Entwicklun«?en ein und derselben Poteuzreihe in eine Neumannsche oder in eine Kapteynsche Reihe zeigen sehr innige Verwandtschaften; um diese näher nachzuweisen, betrachten wir zuerst die Reihen der ersten Art; wir finden für die Potenzreihe:
(1) f(^ = T"M
n = 0
folgende Entwicklungen, in denen a eine willkürlicho endliche Kon- stante bedeutet:
(2) fiax) = (I)" • 2" (^ + n)Ä^'"{a)J^'^'^{x) ,
n = U
mit den Koeffizientenbestimmungen:
n
(4) 4'.-W=2'^^F^-«.-..-''"-^
p = 0 ^
n
/-\ ar,.«/ \ '^ (v-l-w — 2«)*r(v + w — «) „ ,
(O) 3I'."(«) =2^^—- ^^^r^ ^•«n-2p-«"-'
■2p
Ijl "n-Zp "
p = 0
Für die Reihen der zweiten Art erhalten wir auf ähnliche Weise:
(6) f{ax) = (1)'^' • ^ ("4^ + ^*) £"'?'"(«) J^'\x) j'''\x) ,
7i=0
(7)
2
310 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen,
mit den Koeffizientenbestimmungen:
n
(8)
« = 0
(9)
n
— g
-f « — S -
«»-2. •«''-'*•
Bezeiclinet man nun mit Y eine der Funktionen Ä oder B, während 5) das entsprechende 51 oder 33 bedeuten mag, so findet man leicht folgende Differentialgleichung:
(10) ,,20+(2c. + l)a|^^+«^r=2),
wo 03 gleich v oder gleich (v -{- q) : 2 zu setzen ist, je nachdem die zugehörigen Reihen von der ersten oder der zweiten Art sind. Dieses Resultat läßt sich auch, wie folgt, als Satz aussprechen:
Wenn die KapteynscJie Reihe (3) oder (7) gegeben ist, so erhält man für die Funktion :
(11) «^^^ + (2«+ 1)«^ + a^'fiax)
Netimmmsche Reihen mit denselben EntivickhingsJcoeffizienten 5t*'' "(cc) und 33 '''^'"(a) ivie die gegebene Kapteynsche Reihe von derselben Art. Dieses allgemeine Ergebnis läßt sich mit Vorteil auf denjenigen spezielleren Fall anwenden, in welchem f(x) ein gewisses partiku- läres Integral von der in den §§ 31, 115 untersuchten linearen, nicht homogenen Differentialgleichung:
(12) y^'^-\-^y^'^ + {i-^)y--^9^{^)
ist, in der man für hinreichend kleine Werte von [ x \ folgende Ent- wicklung hat:
(13) 9^w=2'«.(fy'"-
71=0
Kai)itel XXIII. Neumannscbc uuil Kapleynschc Reihen. § l'J4. 311
Gehen wir nun von der für f{x) erhaltenen Kapteynsehen Keihe der ersten Art aus:
(14) f{ax) = «^ • ^ "i^r'ö^^' "^^ ' " (^^ "^ "^ "■) '
80 ergibt eine Kombination der Gleichungen (10) und i? 115, (13) für den Koeffizienten 'ii den bemerkenswerten Ausdruck:
(15) S(^"(«) = ^W + (-'-(^frtn.-)B^.'W _
aus welchem man für a = unmittelbar die Entwicklung von
/"(a;) herleiten kann, wenn nur q + n nicht gleich 1 wird; für a = 1 wird nämlich der Ausdruck linker Hand in (15) unbestimmt, und sucht man dessen Wert, so findet man genau den aus (10) er- haltenen Ausdruck. Im allgemeinen können wir also behaupten:
Die Koptcijnschc Reihe erster Art für die Funldion f{ax) läßt sich bilden, ohne andere Koeffizienten zu Hilfe zu nehmen als die- jenigeti, ivelche schon in den Neumannschen Reihen erster Art für g"{ccx) und f{ccx) vorliommen.
In dem Spezialfälle ^ = 0, a = v folgt aus (15) die Kapteyn- sche Reihe:
S = OD
(16) f{vx) =-%+Z s^^ • ^' (f) • ^*(^^) '
welche sehr merkwürdig ist, wenn man beachtet, daß sich aus § 115, (14) folgende Neumannsche Reihe ergibt:
«=00
(17) n^)=-2^^^J'(^)-
5 = 0
Auf diese Weise findet man zum Beispiel folgende bemerkens- werten Kapteynsehen Reihen:
.»=05
2«,
(18) W^{yx) = -^^ ;^ • 2, 47^^^^'
s = \
nn\ w/ \ o • VJ^' + ^((2s4-l)x)
(19) X'{vx) = 2v sm V7t - ^ -(öS l\y^ - ^,^- >
(2S+1)-
312 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
die beide anwendbar sind, falls nur |a;|<Q(l) vorausgesetzt wird, während v eine endliche Größe bedeutet. Aus diesen beiden Formeln ergibt sich weiter:
(= oo
(20) Y'M = ?^(l-2.'.2ia^,VM),
^ • 9 ^"f 0-^-9(^4- S)«
2 iv 'ST] 2
(21) Q^'ivx) = - —^ + V • Z .3_,. • J'ißx),
s = l
SO daß (21) für V = 1 folgende § 22, (20) sehr ähnliche Entwick- lung liefert: •
(22) ;rQ^(^) = - 2 + 4 • ^ ^^ • J'\2sx) .
Durch Entwicklungen der einzelnen Koeffizienten rechter Hand in (18), (19) nach steigenden Potenzen von v gewinnen wir die eigentümlichen Formeln :
« = 00
(23) ^\vx) = '^[l-2.^f,,{x).v^-), \v\<2,
s = 1
«= CO
(24) y^''{vx) = ^-^ •^g,X^)-v'^-\ \v\<\,
s = \
wo f^si^) '^'^^ 92s(.^) geii^-^^ fliö durch die Formel § 121, (6) defi- nierten ganzen Polynome von x bedeuten.
Wenden wir weiter die Formeln (6), (7) des § 21 an, so er- halten wir aus (18), (19) unter Anwendung von § 21, (1) folgende neuen Formeln:
v_ _v_ 2 sin — •'.^ j
(25) J^ (vx) J- ^ iyx) = -^ (1 - 2 -^ j^^ (J'i^sx))') ,
»=i
(26)
l+v l-v
J 2 (vx) J 2 (vx) ==
V n 4 cos -— t^^
= -ir^ •2'757T^1^'^'((2. + 1)^) J-'((25+ 1)0.),
(2s +
8 = 0 ^ '
Kapitel XXIII. Neumannschc unil Kapteynscbc Reihen. § 125. 313
wo wir (lemnarh |a;j<^Q(l) annehmen müssen; für 1^=1 führt (25) zu der bemerkenswerten Entwicklung:
(27) ^=i--^-2'47^i(^'i^"^'))% l^l<ß(i);
1=1
ferner erhalten wir folgende (23), (24) ähulichen Entwicklungen: 1. -— 2 Bin— *-'*
(28) /^(i'a:)j"H^^)=-7;r^(i-2-2,22,(-^)-'^i, I^K^,
1 + V 1 - V 4 cos
*=1
(29) J' (vx)J ^ {vx) = -^.2q,,^,{x)-v''^\ \v\<l,
< = 0
wo die Funktionen q genau die durch die Formeln § 123, (8), (9) definierten ganzen Polynome von x bedeuten. Aus (28) gewinnen wir endlich die eigentümliche Entwicklung:
(30) J'(f)/-'(|) = ^^(l-2j '/.,(-^)(2.)-), |x|<l.
4=1
Die Potenzreihen in (23), (24) und (28), (29), (30) sind den- jenigen sehr ähnlich, welche MeisseP) für die Fmiktion v~^-J''(vx) aufzustellen versucht hat.
§ 125. Kapteynsche Reihen für die Funktion
y — x
Um die Analogie zwischen den N e u m a n n sehen und den Kapteyn sehen Reihen noch weiterzuführen, setzen wir:
(1) i7^ - (I)' • 2^. y-' ((- + »)^-) j"'" ((" + »)-) .
y — x \xj ^ ^+k
(2){ (-F + ")
a5.c." ((^i + n) y) j'^d'-^ + n)x) J^{{^ + n)x),
1) Jahresbericht über die Ober-Realschule Kiel 1892.
314 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
WO wie gewöhnlich Sq = 1, f „ = 2 für m > 0 anzunehmen ist, und wo wir der Kürze halber für >z > 1 :
(3) Fv W = I ■ 2" " + "~T"' + "~'^ (I)"
(4)
n <; —
" 2
$8'',('>''(y) ==
i. . ^ C-i^ + „ _ 2.) rC-iii' - . + 1) r(45 - 2.)
6 = 0
~^ + « — s— 1 \ /2y'-2Ä + i
0(v)'
gesetzt haben ; für 11=^0 sind diese Ausdrücke dagegen mit 2 zu multiplizieren.
Eine Vergleichuug der FormeLi (3), (4) mit § 109, (11), bez. § 117, (10) für 0''''(y) und U '-?'''(?/) ergibt unmittelbar folgende Diif erentialgleichuug :
(5) Ni'^ + '-=^^^ m + ^^^ N=^^K, \ ^ '2/ y y '
wo N die Neu mann sehen Funktionen 0 oder U und K die zu- gehörigen Kapteynschen V oder 35 bedeuten, während co = v oder = (v + (>) : 2 anzunehmen ist; die Gleichung (5) kann natürlich auch sehr leicht mittelst § 124, (10) hergeleitet werden.
Wendet man ferner die aus § 112, (15) erhaltene Differential- gleichung für 0^'>"(y) an, so ergibt sich aus (5) für die Funktion V der Ausdruck:
(6) F''.«(^) = ^'-f-y' . 0'V'(2/) + ^ • cos^ ^ + sin^^ und für v = 0 folgende Formel von Kapteyn^):
(7) V-{ny) = nil - f) 0-{ny) + y cos^ '^ + sin^ '-^- ■
setzt man weiterhin ?/ = 1, so erhält man hieraus mittelst (1) schließ- lich die in § 23, Formel (6) gegebene Entwicklung. Was die Funktion:
SB '■. »^ (y) = SS '■.'',» (y)
1) Anuales de l'Ecole Normale (3) Bd. 10, p. 117; 1893.
Kapitel XXIII. Neumannsche und KapU'ynsche Reihen. § 125. 315
angeht, so zeigt (5), daß sie einer Gleichuug dritter Ordnung ge- nügen muß, die zu § 117, (11) analog ist.
Nach diesen allgemeinen Erörterungen haben wir noch die Formel § 124, (11) auf ein Beispiel anzuwenden. In der Tat er- gibt sich aus (1) ohne Mühe die entsprechende Neumannsche Reihe :
(8)
+ -
(2 v + l)x
2x^
'" -I rz =
y—x ' (y — ar)' ' (y — a-)*
= (1)' •^^.('^ + ")" + ^^'-(!/)^"^"(^), \x\ < \y\,
H = ü
welche für v = 0 recht elegant wird; die erlaubte Annahme y = 2x führt zu folgender andren Formel:
(9) (!1+1^ = (ly .^. „(. + «)■■ + ^ F'.''(2a:)J^ + "(^).
X
H-ü
Eine Anwendung von § 124, (3), (5) liefert ebenso leicht die zu (8) analoge P'ormel:
( n = Xi
'S
(10)
V
X
n = »
±i! (' + '•)'
in dem speziellen Falle v = 0 werden die beiden Seiten von (10) imendlich; durch eine Subtraktion von 1 : (y^y) gelangen wir in- dessen unmittelbar zu folgender andern Formel:
(11)
'V ^ a;" _ ^ -^ 0"{ny) j„. . xH
n=l
y
n = i.
für y = l ist die Reihe linker Hand in (11) die bekannte Funktion, an welcher Legendre^), Abel^), Schaeffers^) und Kapteyn'*) interessante Eigenschaften aufgezeigt haben. Setzt man ferner in
1) Exercices de Calcul integral, Bd. I, p. 244.
2) Oeuvres completes, Bd. ET, p. 189.
3) Journal für Mathematik, Bd. 30.
4) Nieuw Archief (2) Bd. 3, p. 225—229; 1897.
316 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
(10) y = 2x, was ja erlaubt ist, so findet man die zu (9) analoge Formel:
(12)
/( = 0
• 0"'" ((2i^ + 2n)x) J'' + " ((v + n)x) , während sich durch dieselbe Annahme aus (11) ergibt:
(13) 4^ ( 12 - Y (l^S 2) ) = Z -\-^ ^ l^^) - y .
?l = 1
denn die entsprechende numerische Reihe linker Hand läßt sich mittelst einer Formel von Legendre^) summieren.
Es ist offenbar, daß man ähnliche Reihen der zweiten Art her- leiten kann; da die Entwicklung indessen zu der oben gegebenen durchaus analog ist, gehen wir hier nicht näher auf diese Frage ein.
§ 126. Neue Herleitung einiger Keilien der zweiten Art.
Die im Anhange gegebene Integralidentität (I^):
7t Tt
2 1
(1) ^x \ I f{x sin 2(0 COS q))x sin 2 CO COS (v(p) (ig ayd ad (p=Yf(^)
0 0
gestattet uns, unter Anwendung des Integralausdruckes für
n+v n—r
J- 2 (x)J^ {X)
in § 21, (1) aus den entsprechenden Reihen der ersten Art für v = 0 unmittelbar diejenigen Neumann sehen und Kapteynschen Reihen der zweiten Art herzuleiten, für welche q = — v ist, und umgekehrt, so daß diese Reihen der ersten und zweiten Art in der Tat als identisch anzusehen sind.
Zu diesem Zwecke setzen wir in den Reihen:
w = CO ra = 00
(2) f{ax) = 2 A''{a)J\x) = ^ %"{a) J^{nx)
7i = 0 • re = U
1) loc. cit.
Kapitel XXIII. Xeuraannsche und Kapteynsche Reiben. § 126. 317
2x cos (p für X und ^^- sin 'Ja für u, so dali die ubrnerwäluitcn Forraoln unmittelbar folgende Reilien der /weiten Art:
(3)
n+v n—y
n = ü
n + r
f{ax)'=^B'>\u)J - {x)j'^ {x) =
= ^33''"(«) J '^ (:nx)J ^' (nx)
71 = 0
ergeben; für die neuen Koeffizienten erlialten wir:
2
(4) i?'-"(«) = D^(^~J yl"(|- sin 2(o^ (tg üj)^siu 2cöd(o^
u
und einen ganz analogen Ausdruck für 93 ''"(a).
Gehen wir umgekehrt von den Entwicklungen (3) aus und setzen wir dort 2u cos (p für a und ^ sin 2 a für x, so finden wir die Entwicklungen (2) wieder, so daß wir umgekehrt die Formel:
(5)
-4"(a) = — / ^'•"(2a cos (p) cos (vg?) dq)
und aus 93 ''"(«) die analoge für 21" (a) gewinnen. Setzen wir weiter der Kürze halber:
so ergeben sich aus den Entwicklungen für 1 : (y — x) folgende
Identitäten :
n
(6)
9^
2
(7) 0^iy)=--- f^^'^i^^^^^^dcp
^ ^ ^•'^ "Jt J \2 cos qp/ cos qp ~
und zwei analoge, welche die Funktionen W''"{^j) und F"(?/) ent- halten.
318
Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
Kaptevn^') hat die Formel (6) für v = 0 angegeben; bemerken wir noch, daß Xeumann-) durch Anwendung von § 21, (1) eine einzehie, ganze und nicht negative Potenz Ton :c m eüie Reihe der zweiten Art der CvLinderfimktionen mit ganzem Parameter entwickelt hat. so läßt sich imsere hier dargestellte Methode als eine Kombination der Formeln von Xeumann und Kapteyn ansehen.
Um einige Anwendungen der oben gewonnenen Integralformeln zu geben, gehen wir zunächst Ton den Xeumann sehen und Kapteynschen Reihen der ersten Ai't für l:[^y — x) aus und finden dann mittelst § 21, (^1) und (T^q) folgende Entwicklungen:
(8)
V^
n+v
]^nO''iy)J' (^)J ' uO
1 ^ \ -2 ) \ 2 ) {2xr
(9)
r.-r
Sm "^ ^ n + v n — v
^ -f 2 ^" ^" y) J^^Cn x) J~^(n x) =
K= 1
TT y i/
(^) ^m
1 yi \ -2 / \ -1 I (2£r
Setzt man ferner in (ß) v = 0, i- = — 1, so gewinnt man, nachdem man — x für x gesetzt, durch Addition und Subtraktion
die eleganten Fonneln:
(10)
n = X
e,,0'-'(y)(j-i.)y---=L=,
Vy'—i-
(11)
2 0"-'(y)J'{x)J'-'{T) - jL (^^=^^ _ i),
während sich aus (9) mittelst § 125, (6) in ähnlicher Weise ergibt:
1) Annales de l'Ecole Normale (3) Bd. 10. p. 111; 1S93.
2) Theorie der Besselachen Funktionen, p. 70; 1867.
Kapitel XXIII Neninann»che und Kaptejfwche Reihen. § 12« 319
(12)
n ^ 1
woraus für v = 0, v = —l die (lOj, (llj ähnJichen spezielleren Formeln :
(13J
l+2.^(.7"(2„x;;'=^,
folgen, die auch zu § 23, (Gj große Analogie besitzen.
Die Entwicklungen (lOj, (11) ermöglichen uns, das elliptische Integral erster Art in eine Neumannsche Reihe der zweiten Art zu entwickeln. Zu dem Ende setzen wir y = 2 : »in (p und inte- grieren von 0 bis 9; alsdann finden wir, nachdem wir noch k statt x gesetzt haben:
f - f
(15; f'--=d^=-^ = 2.yeJj''(k)Y . A^"(^) -4^,
y
(^''/?r^ls^=''+^'^-5-'""'>^""^'-^:/^^'"'(^)'''^>
die analogen Kapteynschen Reihen, welche wir in ähnlicher Weise aus iVl) herleiten können, sind etwas komplizierter.
Gehen wir jetzt von der PVjrmel fG) aus, so gewinnen wir, mittelst der Neumann. sehen Reihe erster Art für die Funktion 1 -iy — x), folgende andere Entwicklungen:
1« = » (nj2'^.,5R^-fi,)J««(x) = -^.f(H-r,l-.,i-,;^,),
n = 0
320 Dritter Teil. Entwicklungen analytischer Funktionen.
n = 0
WO F die gewöhnliclie hypergeometrisclie Reihe bedeutet; diese Formeln sind als die umgekehrten zu (10), (11) anzusehen.
Offenbar erhält man für dieselben hypergeometrischen Reihen zwei (17), (18) ganz ähnliche Kapteynsche Reihen der ersten Art.
VIERTER TEIL.
DARSTELLUNGEN
WILLKÜRLICHER FUNKTIONEN
DURCH CYLINDERFUNKTIONEN.
Nielsen, Cylinderftinktioneii. 21
Kapitel XXIY. Alli^rmciiic Fimktioiu'iilyiM'ii mit ciucm liivaiiahilitülsbcreklu'.
§ 127. Verallgemeinerungen der Kreis- und Cylinderfunktionen.
Es ist bisher uocli uicht jjrilunjicen, eine trigonometrische Reib von cUt Form:
(1) Oq + 2 (a„ cos (itx) -f &„ sin {nx})
7.U finden, welche in einem Intervalle von der Größe 2^1 dieselbe Konstante darstellte, in welcher aber die Koeffizienten «^ und h^ für *i > 1 nicht sämtlich Null sein dürften. Vielleicht hängt dies damit zusammen, daß die Reihe:
(2) 4" ~" cos X + cos 2x — cos 3x + cos 4a; — • •,
welche analog zu den Fourierschen Reihen für die Bernoullischen Funktionen die Null darstellen sollte, zwischen endlichen Grenzen oscilliert, wenn x nicht ein ungerades Multiplum von jc bedeutet; denn in diesem Falle ist die obenerwähnte Reihe sicher divergent. Die Frage nach der Existenz einer solchen Konstantenentwicklung und also auch nach der Eindeutigkeit der Entwicklung einer Funk- tion in eine trigonometrische Reihe ist noch eine offene; man weiß nur, daß eine solche Entwicklung nicht eine gleichmäßig konvergente oder bloß eine gliedweise integrable Reihe sein kann.
Es ist indessen sehr leicht, allgemeinere Entwicklungsfunktionen zu bilden, für welche die (2) entsprechende Reihe konvergiert, so daß man durch solche Funktionen Konstantenentwicklungen erhalten kann. Da diese Frage für die Schlö milch sehen Reihen von der größten Bedeutung ist, wollen wir hier den Fall betrachten, in welchem die Entwicklungsfunktionen sehr weitgehende Generali- sationen der Cylinderfunktionen und der damit verwandten Funk- tionen sind.
21*
324 Vierter Teil. Darstellungen willkürliclier Funktionen.
Wir betrachten dalier eine Funktion f{c3, x) der zwei unab- hängigen reellen Variabein co und x, von welchen die erste das endliche Intervall a ^ co ^ 6 kontinuierlich durchlaufen soll; ein solches Intervall bezeichnen wir immer der Kürze halber mit {a, V), wobei die Endwerte a und h immer als mitinbegriifen anzusehen sind. Was die Variable x betrifft, so darf sie folgende Werte an- nehmen: (ö) x = x^, x^j x^, • ■ •, x^, • • •;
die Zahlen (3) können in endlicher oder unendlicher Anzahl vor- kommen; sie können, um die beiden Extreme zu nennen, diskret liegen oder ein Intervall kontinuierlich ausfüllen; darüber machen wir gar keine Voraussetzungen. Weiter soll die Funktion f{co , x) noch folgenden zwei Bedingungen genügen:
1) f{co, x) soll für die oben angegebenen Werte von a und x immer endlich, überdies aber in co kontinuierlich und differentiierbar sein. Wir setzen für x = x^ demnach:
(4) a,^f{p,x;)^^^, a^oj^h,
wo also Kj. und ß^. endliche Größen bedeuten.
2) Die Gleichung:
(5) fi^,^r) = h C^r<^£ßr
soll, nach a aufgelöst, einen und nur einen in dem Intervalle (a, h) sich befindenden reellen Wert:
(6) « = 9(p^r, ^)
liefern.
Diese zweite Voraussetzung reicht hin, um zu beweisen, daß
/■(ö, .r^), wenn oj das Intervall (a, h) durclüäuft, entweder immer
wachsen oder immer abnehmen muß; wäre nämlich:
(7) f{c}, X) = f(co', X), 03 + 0)',
so könnte die Gleichung (6) a in dem Intervalle (a, h) nicht als eindeutige Funktion von | bestimmen. Weiter sieht man ein, daß die nach a genommene partielle Ableitung von /"(ra, x) im oben- erwähnten Intei*valle (a, h) niemals verschwinden kann; denn dann würde ja die Gleichung (5) für | g» — w' | l)eliebig klein möglich sein. Nach diesen Uberleguno;en betrachten wir eine Funktion:
(8) (J)(ö) = c!)^((d) + /02(co),
wo <l^i(«) und 03(09) reelle Funktionen von co bedeuten; wird nun 0(co) im Intervalle (a,h) als integrabel vorausgesetzt, so definieren die folgeuden zwei bestimmten Integrale:
Kapitel XXIV. Funktionen mit Invariiil)ilität»bereioh. § l'H. 'S'Jb
b
(9)
7''(a, x) = I cos (ccf(a, xjj <t>{a) dco,
a 6
5(«, x) = f sin {«f(a, xj\ <^i(o)dio
jjranze transceudente Fimktionen von a. Um das einzusehen, hat man in der Tat nur für cos und 5m die gewöhnlichen Potenzreihen einzusetzen und dann <^liedweise zu integrieren, was ja uöeuhar er- laubt ist, da a und h endliche Größen bedeuten. Auf diese Weise finden wir die Potenzreihen:
(10) F{a,x) = «0 - a^cc + a,«^ + (- 1)"«^««'" + • • • = ^I«,,,,
(11) %{a,x) = a,a-a,a^-^a,a'---- + {-lYa,,^y^"^'+--=^
wo wir der Kürze halber: 2n + u
6
(12) a„ = ^J(/'(co,^-))"0(co).?«
a
gesetzt haben.
Es ist mm nachzuweisen, daß uns die Funktionen Ficc, x) und %{a, oc) ein einfaches Mittel bieten, um bemerkenswerte Reihen- entwicklungen zu bilden. Erstens betrachten wir den spezielleren Fall, in welchem immer ß,.^^ und a^ ^ — 7t ist; dann geben die Fourierschen Reihen für die Bernoullischen Funktionen (T^) und (Tg) folgende Formeln:
* = 00 .? = n
(^^) ^^"2! + ! • l^C^'^; ^) == 2<?2«-2. • ^2, + ,,
« = 1 * .f = 0
wo (5^ die in E, {ß) definierte numerische Reihe bedeutet; die Formeln (13), (14) sind sonach als bemerkenswerte Verallgemeinerungen der Formeln (Tg) anzusehen.
Wir betrachten weiter die Reihen (Tg) und (Tg) für cos (ax) und sin (ccx) und finden:
(15) f (., .) ^ £^ . (i . F„ + f (- 1). (-1- ^ -L.^ F(s, .)) ,
s = l
« = l
326 Vierter Teil. Darstellungen willkürliclier Funktionen.
wo a eine willkürliclie endliclie Größe bedeutet und F^ eine Ab- kürzung für die von x unabhängige Größe jP(0, x) ist.
Bezeiclinet man ferner mit (^snC^); <?2« + i(^) ^^^ Reihen linker Hand in (13), (14) für a = l, während ^o = i-^o zu nehmen ist, so erhält man aus (13), (14), falls \x\<\ vorausgesetzt wird, fol- gende andere Entwicklungen:
(17) F{a, X) = ^-^^ {ao{x) - ö,{x)a^ + a,{x)a^ -■•),
(18) %{a, ^)=1^^ (^^(^)« - 6,{x)a'+6,{x)^'-- • •) ;
führt man in diesen Formeln rechter Hand die gewöhnliche Potenz- reihe für sin (a:t) ein, so ist offenbar, daß sich (17), (18) als ein- fache Folgerungen aus (13), (14) darbieten.
§ 128. Summation einiger Reihen, welche nach F{cc, x) und '^{a,x) fortschreiten.
Wir kehren jetzt zu dem allgemeinen Falle zurück und wenden folgende elementare Formel:
^ — cos cj 4- cos 2o3 — cos 3aj -f ••• + (— 1)" cos na =
(- \f cos [^-^ «j
(A)
an, aus der wir unmittelbar die andere
2 cos —
(1) ^{-^y^.F{s,x)^{-\r.l — ^-| -L.^{^)d
cos \-^ f{(o , x)j
/2« + l \
finden, wo wie gewöhnlich Sq = 1, £, = 2 für s > 0 anzunehmen ist. Transformieren wir nun mittelst § 127, (5) das Integral linker Hand in (1) und setzen wir außerdem ^ = 7t -{- tj, so gewinnen wir für das obenerwähnte Integral den Ausdruck:
(2) 1=1 \ : , -•^^^-" + ^^^.?,
«r — lt
wo Gix^j"^ und ^i(^r, i) diejenigen Ausdrücke bedeuten, welche man aus (t>(cj) und cf{G),x) : da erhält, wenn man für a die Funk- tion g(x^, I) § 127, (6) einführt.
Ka[)itel XXIV. Funktionen mit Invariabilitütabereich. § 128. 327
Wir setzen weiter:
G{x^, ar + 7;) = Gi(j„ 7r + rj) + iCr^(x^, % + n),
wo G^{x^j7i -\- ri) und G^ix^^n •\- ti) reell t* Funktionen bedeuten, welche in dem Intervalle (a^ — :r, ß^ — ;r) abteilungsweise stetig und kontinuierlich sind; endlich setzen wir voraus, daß die Funktionen:
in dem obenerwähnten Intervalle nicht imendlich viele Maxima und Minima besitzen. Wir bezeichnen ferner mit:
2p:t, {2p + 2)7t, ■ ■ •, (2p + 2q)^
diejenigen Multipla von 27t, welche in demselben Intervalle liegen, so daß also:
(2) {2p-2)n<a^-n<2p:i, {2p-\-2q)7t<ß^-:t<{2p-\-2q+2)jt
sein muß, und zerlegen unser Intervall [a^ — 7t,bj. — 7t) in verschie- dene andere, welche sich in zwei Klassen einteilen lassen, erstens:
{u^-:t, 2pn - 8^), {2p7i + a^, 2{p -f l)n; - d^^,), ■ • -,
{2(p + q)K + s^^,^, ß^-:t)
und zweitens:
{2p7C-d^,2p:t+s^), [2(p+\)7t-d^^„2{p + l)7t+6^^,), •••,
(2(p + q):t-8^^^, 2(p-^q):t + 8^^^)-
hier bedeuten die d und s sehr kleine positive, aber endliche Größen.
Betrachten wir nun zuerst das Intervall (2s7t — d^, 2sä -f gj so läßt sich das entsprechende Integral:
w
(5)
2sn + es
2« + 1
sin (+7,) g,ix„^ + ri)
mittelst der Transformation r] = 2s:t -}- ^ folgendermaßen schreiben:
(Q) 1=1 ''" (~2~ V G{x„2sn + n-{-^) ^^
^ ^ ' J ^i^(i^) g,{x„2sn + ^ + ^)
-äs Zweitens haben wir das Intervall (2s7i: -{- s^, 2(s -\- l)7t — d^_^_A zu
328 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Eunktionen.
untersuclien; das entsprecliende Integral läßt sich durch dieselbe Transformation wie oben folgendermaßen umformen:
o
2s4-l
sm
0
n\ TT = V 2 V 6'(a;^,2s:r + 7r + |) g
Nach diesen Erörterungen werden wir die positive ganze Zahl n über jede Grenze hinaus wachsen, die Zahlen d und s aber unbe- gi'enzt abnehmen lassen, jedoch so, daß die Produkte nö und ns sämtlich mit n unendlich groß werden; dann ergibt der Satz Ton Dirichlet (Tg) unmittelbar die zwei Grenzwerte:
(8) lim /, = 2;r . ^^^^-'-'~'-^+"\
« = <x gr^ (71^,28 TT +7r)
(9) lim H^ = 0.
Hier muß jedoch bemerkt werden, daß in (8) der Mittelwert zwischen den zwei Funktionswerten zu nehmen ist, falls die Funk- tion rechter Hand in dem betrachteten Punkte 2s:i -{- it eine Sprung- steUe hat, und daß der Ausdruck rechter Hand in (8) zu halbieren ist, falls die Gleichheit a^ = {2s -\- V)7C oder ß^ = {2s -\- 1)% eintritt und das entsprechende Integral (6) sonach die Null als untere oder obere Grenze hat.
Auf ganz dieselbe Weise lassen sich die übrigen Integrale mit den InteiTallen (4), (5) behandeln; somit erhalten wir schließlich folsfende bemerkenswerte Formel:
O"
S = p+q
(10) 2(_1).,,F(.,.,) = 2..^' ^^,
6 = 0
ivo ci^= g{x^,2s7i -\- 7i), und wo im Nenner, ivenn man die Diffe- rentiation nach a ausgeführt hat, diese Variable durch co^ m ersetzen ist; der Accent nach dem Summenzeichen zeigt an, daß das ent- sprechende Glied nach den vorhergehenden Vorschriften zu hehandeln ist, fcdls eine der dort hesprochetien EigentümlichJ^eiten eintritt.
Es ist noch zu bemerken, daß die ganzen Zahlen p und g von Xj. abhängig sind.
(B)
Kapitol XXIV. Funktionen mit Invariabilitiitäbercich. § 12« 829
Wir gehen jetzt von der elementaren Formel:
f 2 cos üj -f 2 cos 2(0 + 2 cos 3w -f- • • • + - cos no =
Hin
sin {\ (o)
aus; setzen wir:
(11) ('2p-2)7t < «, ^ 2p7C, (2i> + 2q)7i < /3, < (2;) + 2q + 2);r,
so finden wir nach derselben Methode folgende zu (10) analoge Formel:
wo co/ = g(x^, 2s%) gesetzt ist, und ivo der Accent nach dem Summen- zeichen soivie das Symbol im Nenner dieselbe Bedeutung wie in (10) haben.
Gehen wir endlich von der dritten elementaren Formel:
(C)
sin CO — sin 3(0 + sin 5w — ••• + ( — 1)" sin {2n-{- l)(o =
= (_ 1> sin(2n+2)a)
2 cos (o aus und setzen wir:
(13)
[ (2^-l)-f-<a,^(2p+l)f,
I (2^ + 22 + 1) I- ^ ^, < (22) + 2^ + 3) I ,
so erhalten wir durch dieselbe Methode folgende zu (10), (12) ana- loge Formel:
Ä=Cß 8 = p-\-q
\ dco },
tvo Gi" = g\x^, {s -\- \)7t\ gesetzt ist, während der Accent nach dem Summenzeichen und das Symbol im Nenner dieselbe Bedeutung haben ivie vorher.
Nach diesen allgemeinen Erörterungen wenden wir uns nun- mehr zu einigen bemerkenswerten Anwendungen, welche uns später- hin sehr nützlich sein werden.
330 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
§ 129. Neue Auflösungen der Keplerschen Gleichung.
Zum Zwecke einer ersten Anwendung unserer allgemeinen Formeln setzen wir: *
(1) f{c3, x) = v(o — oc sin. 03, l^l^l^I;
wo V und X reell sein müssen-, die Funktion /"(oj, x) genügt dann, wie deutlich aus unseren Bemerkungen in § 23 hervorgeht, den Be- dingungen 1) und 2) des § 127. Wir nehmen hier als Integrations- grenzen a = 0, h = Tt und setzen:
n
F^'ix) = — • / COS (vco — X sin co) 0(w) da,
(2)
0
7t
%^{x) = — • 1 sin (i' 03 — ii; sin co) 4>(o) da,
0
SO daß diese Funktionen als Verallgemeinerungen von Y'(x) und Q'(ä;) anzusehen sind; sie genügen übrigens, was man leicht nach- weisen kann, der zweiten Fundamentalgleichung der Cylinderfunk- tionen, besitzen also das in § 114 gegebene Additionstheorem und lassen sich endlich nach der Soninschen Formel in Neumannsche Reihen der ersten Art entwickeln.
Die allgemeinen Formeln des vorhergehenden Paragraphen liefern noch folgende spezielleren:
(3) l(-l)'^,^"(-)-|Vf'-^-'
4 = 0 ' ' s = 0 1 cos CO,
wo die positive ganze Zahl j) so zu bestimmen ist, daß:
(4) 2^ + 1 ^_ 1 V 1< 2^; + 3
ist, während cö^ die reelle Wurzel folgender Keplerschen Gleichung bedeutet^):
(5) va^ — X sin a^ = sgn v • (2s + X)%.
Weiter finden wir:
(6) I^.^"(-)=^-f'-1^^.
« = 0 ' ' s = 0 1 COS CO,
V
wo:
(7) 2^ ^ 1 1/ 1 < 2^9 -f 2 , val — X sin o/ = sgn v ■2s7C
zu nehmen ist.
1) Das Zeichen sgna; (signum) bedeutet das Vorzeichen von x.
(«)
Kapitel XXIV. Funktionen mit Invariabilitätsbereich. § J29. 331 Endlich erhalttMi wir iiucli folgeiule dritte Formol:
f (- i)-^.,..s (i^s + 1).) = X tiq*>;:>,
t~o ' fri V - X coa CO,
WO wir:
(9) 2p + 1 < \2v\ < 2p + 3, 7-0)/'- .r sin w/' = sgn v • ^^^ nr
zu setzen haben.
Der Accent nach dem Sumnienzeichen hat auch hier die ge- wöhnliche Bedeutung; außerdem ist wohl zu ])emprken, daß in (6) das zu 5 = 0 gehörige Glied immer zu lialbiercn ist. Nehmen wir in (3) und (8) | v | < 1 , bez. | v | < ^ an , so fallen die Summen rechter Hand aus, und wir «xelangen so zu dem bemerkenswerten Satz:
Die durch die uncndlicJien Bcihcn (3) und (8) definierten Funk- tionen haben int Intervalle — 1 < v < + 1, bß^- — ^ < v < + ^ einen Invariahilitätshcreich, in tcelchem die betreff ende Funldion die Summe Null besitzt.
Übrigens stellen die unendlichen Reihen in (3), (6), (8) in den durch (4), (7), (9) bestimmten Intervallen infolge der verschiedenen Werte von p verschiedene Funktionen dar, welche in den Grenz- punkteu zweier aufeinander folgender Intervalle identisch sind.
Die Annahme 0(m) = 1 führt zu den in § 17 eingeführten Poisson-Angerschen Funktionen; man findet folgende einfache Formeln:
s = p
1
(10) '2{-iys,'V>^{sx) = 2^gnv^'
« = 0
(11) 2f,M^-(s:r) = 2sgni..^'
, = 0 » = 0 V — iCCOSö),
(12) ^(-l)^.,,,,Q^- + ''((2s + l)r.) =^'-J=i)^; die weitere Annahme:
0 (o)) = 1 — — • cos 03
führt dagegen zu den Formeln (T,), (T^i) und (T12) für w = 0.
Setzt man nun in (10), (11), (12) v = n, wo n eine positive ganze Zahl bedeutet, welche in der letzten Formel überdies ungerade sein muß, und weiterhin nx für x, so erhält man gewisse Kapteyn- sche Reihen der ersten Art, welche sich jedoch unmittelbar aus den Reihenentwicklungen § 23, (5), (6) herleiten lassen.
332
Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
Die allgemeinen Formeln (3), (6), (8) lassen sich indessen in gewissen Fällen noch auf eine andere Form bringen; nimmt man nämlich die Funktion <P{(a) als dilFerentiabel an und setzt man ferner:
0(fa) = M — — cos cj] H{(o),
so ergibt eine partielle Integration:
(13)
F\x)
sin V 7t
Vit
Hi^)--^G'ix),
Vit
wo man:
(14)
n
G''{x) = — /sin (va — x sin fo) H'^^^cj) da,
n
"(a:) = — . f cos {yo — x sin w) H'^^\c})da
@
gesetzt hat.
Führt man nun in den betreffenden allgemeinen Formeln die Ausdrücke (13) ein, so gewinnt man nach einer Anwendung von (Tg), (Tu) und (T^o) folgende weiteren Formeln:
(15)
s = 0
(-1)
s-1
G'\sx) = ^ • I {va — xsm a) H^^^ (w) dco +
2
0
+ ^sgnv.^' (HM- H(:t)),
s = l
(16)
^T" • G'^Xsx) = - Y • 1 (vco-x sin a) H('){co)da
s = l
s = p
3t • sgn r. • 2 (^:f(ö/) -H(x)) ,
s = 0
(17)
«=00
2|^-(5i^-' + ^((2s + l)^) =
« = 0
»- = p
^(;r) - if(0)) =f . 2'(- l)-^(^(0 - fi^(;r))
s = l
Kapitel XXIV. Funktionen mit Invariabilitiitsbereich. § 129. 33!i
Durch die Annahme //(oj) = a gelangen wir dann zu folgenden spezielleren Formeln:
(18) ^ ^=^ • Q-{sx) = ^-^-a: + n- sgn , • S^'i^s " ^^.
(19) ^y-Q-(sx) = a:-^'-:r.S5,m..2''(";-^), 1=1 «=o
»=0 ^ 1=1
Die durch die letzte Reihe definierte Funktion hat also in dem Intervalle — y ^ ^ "^ ~^ Y ®^®^^ Invariabilitiitsbereich.
Die Entwicklungen (15) und (18) ermöglichen uns außerdem neue Auflösungen der Kepler sehen Gleichung:
CO — e sin a = (p
durch unendliche Reihen. Zu diesem Zwecke bemerken wir vorerst, daß wir uns auf denjenigen Fall beschränken können, in welchem
TT
0 ^ q) ^— vorausgesetzt wird. Denken wir uns nämlich (jp so ge- geben, daß die obengenannten Ungleichheiten wirklich stattfinden, und bezeichnen wir mit oj((p,e) die reelle Lösung der vorgelegten Kepler sehen Gleichung, so finden wir ohne Mühe folgende drei Formeln:
foi—<p, e) = — (o{(p, e); aicp+pn, e) =p7t-\-co((p, (— Vfe)] co{jc — (p,e) = a — co[(p, e),
und damit ist unsere Behauptung ja bewiesen.
Die Annahmen v = — , x = — , also 1 < v < 2, liefern nun
q) ' (p ' '
unmittelbar folgende Entwicklungen:
Ä
(21)
H{m) = H(%)--^- I (o-<:sme)Hm{a)d6 +
. '-VC-')'-' -
s= 1
(22) „.. + ^>i.f(^L:!ö'f(»^^);
334 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
femer führen die Annahmen v = -r— , x = -r— , also 4 < ^^ < 1> zu folgenden anderen Entwicklungen:
(23) ff(c) = 3ffW - ff (0) - 4 ^ ^ ■ ®^ (^ »t.) ,
s = o
Es ist sehr bemerkenswert, daß uns die Poisson-Angerschen Funktionen erlauben, die beiden unabhängigen Veränderlichen e und (p in eine einzige Funktion hineinzubringen, während sie bei der Besselschen Auflösung getrennt vorkommen, nämlich (p in dem Cosinus und e in den Cylinderfunktionen, welche als Koeffizienten in der Fourierschen Reihe auftreten. Die praktische Anwendbar- keit dieser zwei neuen Formeln scheint indessen eine ziemlich ge- ringe zu sein.
Wir bemerken noch vorübergehend, daß die Formeln § 127, (13), (14), auf die Funktionen Y'(ä;) und Q'' (."/;) angewendet, die in § 124 auf ganz andere Weise hergeleiteten Formeln von (18) bis
(24) wiedergeben, während uns § 127, (11), (12) hinwiederum die Kapteynschen Reihen § 121, (G) liefern.
§ 130. Anwendung der Punktion f((o,x) = co-x.
Zu einer noch schöneren Anwendung der in den §§ 127, 128 ffcffebenen allgemeinen Formeln führen die Annahmen:
/*(«, x) = CO • X, « = 0;
die Variable x hat hier ein Intervall kontinuierlich zu durchlaufen, während wir für die entsprechenden Funktionen F(x) und %(x) folgende Formeln finden:
(1) F(a, x) = F{ci ■ x), %{a, x) = %{a' x),
so daß wir mittelst der allgemeinen Entwicklungen des § 128 fol- gende Formeln erhalten:
(2) J;V i)v,F(..) - ^ • J' * (2^) ,
WO die positive ganze Zahl der Bedingung:
(2a) {2 p - l)3r < 1 hx \<{2p-\- l);t
Kapitt;! XXIV. Funktionen mit InvariabiliUltiiberfich § 13(i 33;")
genügt, uiul:
mit tlt'ii Htnlini^ngon: .
(3a) 2pn <\bx\< {2 p + 2):r;
eudlich gewinnt man folgenilc dritte Furniel:
(4) f (- vy^^2s + i)x) = ,; . ^V i).-<. ('--;")
mit (ItMi Htnlintrnn^on:
(4a) {2p - 1).T < 1 2hx I < {2p + l):r.
In dem spezielleren l'alle p -- U ergeben die Formeln (2) und (4) unmittelbar den Satz:
Die durch die nncndUchoi Beihcn (2) mid (4) definierten Funl-
iioucn hahcH in den Intervallen — r- < a- < + ^ , /^^^r. — .77; < *^ < + t>^
e/«/*w Invariahditätshcreich , in welchem die hctrcff'mdc Funktion den hmstnnten Wert Nidl hat.
Übrigens stellen die drei oben angegebenen unendlielieu Reihen in den durch die verschiedenen Werte von h aus (2a), (3a), (4a) l)estimmten Intervallen verschiedene Funktionen von x dar, welche in den Greuzpunkten der Intervalle identisch sind.
Die zu den hier betrachteten Funktionen F(x) und %(x) ge- höricren Verallf^emeineruni^en der Bernoullischen Funktionen lassen sich ohne Mühe bilden, so daß wir unmittelbar zu den direkten Anwendungen ü))ergehen dürfen.
Zuerst betrachten Avir die Poisson-Angerschen Funktionen TT'(a;) und X'(a'j; wir haben hier: /^v ^/ \ cos (v arc cos co)
zu setzen, woraus sich mittelst § 17, (12a), (13a):
(6) Fix) = -^^-W{x), ^(^) = -^.X '■(:.)
2 cos — 2 sin -—
ergibt, so daß wir in diesem Falle folgende Formeln erhalten:
i = CK 2 cos - - .« = p , .
(7) ^ (- i)...n. (..) - -^ . 2'n^^^^
s=0
336
Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
s = p
(8) ^s^Ti^{sx) = 2cos^-Bgnx-2 y^^=^^
s = 0
s = 0
(9)
^ (- 1^2.4-1 X^ ((2^+1)^) =
s = 0
s = p
= sm— -sgna;-^
' (— l)*-^sin(i'Cü;')
f^ 1/40;* — (2 s— 1)* TT*'
wo wir beziehentlich:
(10) {2p-l)7C<\x\<(2p-\-l)7t, 2p^^\x\<{2p-\-2)7r, {2p-l):c^\2x\<{2p+ l)n
annehmen müssen, und wo die Größen co^ , co/, a" folgendermaßen zu bestimmen sind:
,^^ x (2s— l)« , "isx ,, (2s— 1)«
(10a) cosco^ = ^^ — \ — H^— , coso), =n — r, cos«. =
X
X
2x
Aus diesen Formeln läßt sich eine große Menge anderer her- leiten. Erstens finden wir zum Beispiel, wenn n eine positive ganze Zahl bedeutet:
(11) 2(- ly-^j'-isx) = (- ir-^2 .^' —
«=1 s=l V^
cos (2«caJ
J ^x- — {2s — lYn^'
s = p
(12) ^r-'isx) = i-iy2.^
' cos(2«a3/)
-^ l/^ä — 4s-7t^ und, wenn w nur eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet:
s=. p
(13) >; j"-"' ((2^ + 1)^) = -~ '?'"" ■^' '" T ' "''^'"' ^ ""•"-■
f^ \^ ^ -^ / 2 ^ l/4a;« — (2s— 1)*Ä* 5
in dem in (11), (12) ausgeschlossenen speziellen FaUe r* = 0 finden wir endlich:
4' = CO S =p
(IIa) ^{-\y^ß\^x) = ^.^' ,
s = 0
(12a)
^ -j/a;*- (2s — l)*3r^'
s = p
Zweitens liefern die Formeln § 17, (25), (27) analoge Reihen, welche die Funktionen Q'(a;) und T''\x) enthalten; die zugehörigen Formeln lassen sich ohne Mühe herleiten, so daß wir sie übergehen
Kapitel XXV. Nullentwicklungen in den Schlömilcbscheu Reihen. § 131. 337
dürfen. Wir bemerken noch, diili die zugehörigen Verallgenioiue- rungeu der Beruou 11 i sehen Funktionen hier zu folgenden Nullent- wickluniren führen:
»=00
(13a) ^''^'^ -'"("■) = 0, 2'-<-^-^"'(-'^) = Ö'
,=l * «=1
welche in dem Intervalle — :t < x < -\- n anwendbar sind, und in denen p eine positive ganze Zahl > n bedeutet.
Um noch das zweite Besselsche Integral für J''{oc) anwenden zu können, haben wir zu setzen:
/•(«) = (l-a,^)^-T, 6=1; wir gewinnen so unschwer folgende Formeln:
3 = 0 ^ — *■
S=CC S = p
(15) (l)'-2';;-^'M = r^'^^-I (''-/)"-'
d«) (1)' • T ^^f" ■ ^' ((^»'+ 1)-) = röM!)^ f ' (- D- ' (^" <y'- '
s = 0 - .1 = 1
wo die Winkel a^, co/, «/' aus (10a) zu entnehmen sind, und wo 91 (v) > — l vorausgesetzt werden muß.
Wir können nun auch sehr leicht Entwicklungen bilden, welche nach den Funktionen ^"{x) und W^x) fortschreiten-, wir gehen indessen auf diese Frage nicht näher ein, sondern wenden uns nunmehr zur Verallgemeinerung der in (13 a) gegebenen Null- entwicklungen.
Kapitel XXY. Nulleiitwickluiigeii in den Sclilömilclisclien Reihen.
§ 131. Allgemeine Sununenformeln.
Die Betrachtungen der §§ 127, 128 lassen sich ohne Schwierig- keit auf die durch mehrfache Integrale definierten, zu F(x) und ^{x) analoo-en Funktionen übertragen. Wir beschränken uns auf den Fall eines Doppelintegrales und setzen:
Nielsen, Cylinderfunktionen. 22
338
Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
(1)
Jt 7t
G(x) = J J cos(i(; cos 9? sin a)f((p, a) dtp da,
0 0
it jt Y T
^ip) =" J J sin(a; cos 9? ^mü3)f{cp, (o)dq)dco,
0 0
wo die Funktion f(q), a) so beschaffen sein muß, daß G{0) eine bestimmte und endlicbe Größe ist. Die Funktionen G(x) und &(x) sind somit auch in x ganze transcendente Funktionen, auf welche sich die Formebi § 128, (14) bis (18) ohne weiteres übertragen lassen. Weiter führt eine Anwendung der elementaren Formel (A) in § 128, wenn man das dort erhaltene Integral mittelst der durch die Gleichung: ^ cos ^ sin m = «
definierten neuen Variabelen reduziert, auf folgende andere Formel:
(2)
2(-
s = 0
iysMsx) =
7t
Y
xcosc
= (- 1)'
/ ( OD , arc sin 1 cos ( — ' — a 1
' \^ ' a; cos 9)/ \ 2 /
cos (I a)
dfpda,
Yx^ cos* qp — a*
so daß wir also den Wert des Doppelintegrales rechter Hand für
unendlich wachsende n zu bestimmen haben.
Zu diesem Behufe zeichnen wir einen Zus; der Kurve mit fol-
gender Gleichung:
a = X cos (p,
wo q) als Abscisse, a als Ordinate anzusehen ist. Wir bezeichnen mit 0 den Ursprung, mit A und B die Schnittpunkte der Kurve mit den positiven Richtungen der Abscissen-, bez. Ordinatenachse; es handelt sich dann darum, den Wert unseres über den Bereich AOB genommenen Doppelintegrales zu berechnen^). Zu diesem Zwecke setzen wir:
(3) (22;-l):r<^<(2j, + l);r,
wo p eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, und bestimmen auf
dem Bogen AB die Punkte G^ mit den Koordinaten:
(4)
%
arc cos
(2^ — l)7r
X
%-
{2q— 1)«
X
q=l, 2, 3, ..., p.
1) A ist derjenige Schnittpunkt, der die kleinste positive Abscisse hat.
KapiUl XXV Nullentwicklongen in den Schlömilchschen Reihen. § 131 339
Wir scliiieiilfii mm durch schnmlc K;müle, dtTiii Kämlcr mit (l.r AKsoisseuachsr piiriill«-! laiitVn, ilii« Punkte (4) aus diMu Bi-rcicho ^lojl aus, so dab die Ränder d.-s /u (' gehörigen Kanales fdgeude Gleichungen haben:
(5) «'=''^'^.:^^)!^^, a " =. (llulüHiiy ,
V / 7 X ' ' X '
WO d und f, sehr kleine, aber endlicjie positive (ir()ßen bedeuten. Durch die mittelst if)) defiuiert«'n Kanäle /erteilen wir den Bereich AOli in mehrere andere, nämlich 1) ilie Bereiche /y, , welche von den Geraden a' und u" und dem Bogen AB begrenzt werden; 2) die Bereiche r/ welciie zwischen den a^" und a.'.i_^^ liegen, jedoch so, daß r/, /wischen der Abscissenachse und u^\ u aljer zwischen u " und dem letzten Stück des Bozens AU liejrt. Es ist darnach
p OD
offenbar, daß die Punkte (4) sämtlich in die Bereiche 6 fallen müssen. Wir bezeichnen nun \veiter durch 7/, bez. /, den Wert des obenerwähnten über den Bereich a bez. h erstreckten Doppel- integrales.
Nach diesen Überlegungen lassen wir nun die positive ganze Zahl n unbegi-en/t wachsen, während ö,^ und £ sämtlich der Null zustreben, aber so, daß die Produkte n6 und «£ allesamt unbegrenzt wachsen; dann liefert das Theorem von Dirichlet, falls die Funktion:
fla), aresin '- — )
' \^' X cos (pj
die gewöhnlichen Bedingungen erfüllt, folgende Ergebnisse: lim 11^ = 0,
n = 00
arc cos
/f\cp, arcsi "j/a;* cos* qp -
{2q — l)n\
cos qp / n=oo ' X t/ "j/a;* COS* qp — (2 g — l)*jr
, , ^ , sin
5ä I ' V X
lim i, = / h=^ dw'
0
setzen wir weiter der Kürze halber
^ = arc sin (/.•/), /,^ = ]/l _ i^^-iÜ!^, f=HK,ß), so finden wir:
(6) lim 7=2^ r ^ik,,ß) _ ^^_
n = » * a; J y(l-ß^)(l-Vß')
0
Wir haben noch den speziellen Fall a; = (2|) — l);r zu unter- suchen; hier ist der Gipfelpunkt B des Kurvenzuges selbst ein
22*
340 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
kritischer Punkt von dem Charakter (4). Um das entsprechende Integral J, mit den Grenzen a = x — e bis u = x und cp = 0 bis
(p =arccos(l ) zu bestimmen, wo e eine sehr kleine, aber
endliche positive Größe bedeutet, setzen wir:
a = X — y, 9) = arc cos (A/3), /j = 1/ 1 — f 1 — — j
und finden alsdann, falls f{(p, co) in der Umgebung von (p = 0, 03 = — kontinuierlich ist, für das Integral folgenden Ausdruck:
liml=^flö,^). f^M=,
also genau die Hälfte von dem aus (6) für g=p gefundenen Integrale. Führen wir nun im allgemeinen folgende Bezeichnungen ein:
^(A, s) == f[arc sin (A^), arc sin "|/^^_~^a^gj ,
so daß A' den zu A komplementären Modul darstellt, falls elliptische Integrale in Frage kommen, so finden wir ohne Mühe die allgemeine Formel:
1
s = p
wo wir für Ä'^ und für den komplementären Modul /./ die Ausdrücke:
(8) i, =. -i/IZÜEEW, i-;=e^f^
\ / * r x^ ' ^ \ x\
erhalten, während die ganze Zahl ^; so zu bestimmen ist, daß:
(9) {2p-l)7t£\x\<{2p-\-l)7t-
falls bei der unteren Grenze in (9) die Gleichheit eintritt, ist das zu s = p gehörige Glied zu halbieren.
Wenn — n <i x <i -\- it vorausgesetzt wird, verschwindet die Summe rechter Hand in (7), weil dann kein kritischer Punkt vom Charakter (4) mehr vorhanden ist; wir müssen aber doch bemerken, daß für X == 0 die Reihe linker Hand in (7) im allgemeinen keine bestimmte Summe besitzt; denn diese Summe ist entweder gleich + 2'G^(0) oder gleich —-\G{Q)), je nachdem die Anzahl der Glieder als imgerade oder gerade angenommen wird.
Kapitel XXV. Nullentwicklungon in den Schlömilchsciien Reihen. § 131. 341
Die elementare Formel (C) in § 128 führt auf dieselbe Weise zu der andern:
/ »= OD
(10)
wo:
3-0
* = p
' Y 4x- ' * 1 2a;
sein muß, während: (12) (2^) - 1).^ < I 2a: |< (2^) + l)%
vorauszusetzen ist; der Accent nach dem Sumraenzeichen hat dieselbe Bedeutung wie vorher; für — :r<2a;< + :nr verschwindet die Summe rechter Hand in (10), und für a; = 0 hat unsere Reihe hier die Summe Null.
Wenden wir uns nunmehr zu der elementaren Formel (B) in § 128, so ist es sehr bemerkenswert, daß die entsprechende Reihe nur dann konvergiert, wenn das Integral:
(13) S'^'^-^
0
einen Sinn hat; in diesem Falle finden wir: J=o^ »=p * .
(14) 2''.g(^^) = w\ ■ ZJ v(^-Vw-«m'^''
«=0 «=0
wo:
(15) m = y\--^, '''^=w\
gesetzt worden ist, und wo die ganze, nicht negative Zahl p so zu bestimmen ist, daß:
(16) 2pn<^\x\<(2p + 2)7C
ist; der Accent nach dem Summenzeichen bedeutet hier, daß das Glied für s = 0 stets zu halbieren ist, und daß dies auch für s = p der Fall sein muß, falls in (16) bei der unteren Grenze die Gleichheit stattfindet. Für a; = 0 ist unsere unendliche Reihe im allgemeinen divergent.
342
Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
Wir haben somit folgenden Satz bewiesen:
Die durch die unendlichen Reihen (7) und (10) definierten Func- tionen haben in den Intervallen —7i<x<C-\-7t, hez. —:r<.2x<C-\-jr einen Invaridbilitätsbereich, in ivelchem der Tionstante Wert der be- treffenden Funktion immer gleich Nidl ist.
Übrigens stellen die unendlichen Reihen (7), (10), (14) in den durch die verschiedenen Werte von p aus (9), (^12), (16) bestimmten Intervallen verschiedene Funktionen dar, welche im allgemeinen an den Grenzen identisch sind.
§ 132. Anwendungen der Lommelschen Funktion.
Für eine erste Anwendung der allgemeinen Formeln setzen
wir hier:
f{(pj to) = (sin 9)? + *-^ cos q) (cos co)?±%
so daß sich die entsprechenden Funktionen G(x) und ®{x) mittelst §32, (4), (7) durch Lommelsche Funktionen ausdrücken lassen; wir setzen ferner der Kürze halber:
(1)
und finden:
{^y&^^(x) =
r(e + i)
TT
2 y« cos — (v — q)
TT
2 y^ sin y (v — e)
7/,(i,2)
|/(l — z^) (1 — Vz")
(i + v-1
q-Vv ''
so daß sich das betreffende Integral vermittelst (Fjg) durch hyper- geometrische Reihen ausdrücken läßt. Wir gewinnen in der Tat ohne Mühe folgende Formeln:
« = OD
(2)
(iy-2^-«-(-)-
s-ü
(3)
Kapitel XXV. NuUentwicklungcn in den ScblömilchHchen Ueihcii. § 132. 343
(,;rJ^-«-(-)=
1 = 0
w
j-O
f = 00
(ir-2,^c-®-((2^-+')^)=
5=0
i = p
* = i
in den zwei ersten Formeln muß nuiu natürlich für 6 = 0 den leicht zn bestimmenden Grenzwert benutzen. Die Formeln (2), (4) sind sonach anwendbar, falls:
(5) ?R(9=Fv)>0, 9?(()±i/)>-l vorausgesetzt wird, während (3) die etwas engeren Bedingimgeu:
(6) ^{q + v)>0, '3iiQ±v)>0
erfordert.
Zum Zweck einer ersten Spezialisierung der so gewonnenen Formeln setzen wir in (2), (3) q = v — 2n, in (4) q = v — 2n — 1, wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet; weiter setzen wir V + 2«, bez. V -\- 2n -j- 1 für v und erhalten so mittelst der Formel (Kg) folgende bemerkenswerten Entwicklungen:
(7)
4 = 00
(- 1)* s,
(■A.)'-2'^-^'-'"(-) =
s
a = Q
{—l)"2(2n)\r(v) \x\ ■ r(2j; + 2M)
s = p
V'a-2.-1^v,2« /(^S-l)7t\
s-1
(8)
(^)"-2'v-'''""(^^)-
S » = 0
(— l)"2(2w)!r(v)
s=p
(9)
\x\T(2v-\-2n-^l) ^ ^s ^ \x)>
s-O
»=o ^ ' ^
_ s=p (-l)"2>/7r
»=i
344 Vierter Teil. Darstellungen willkürliclier Funktionen.
so daß sich die betreffenden Reihen (7) und (8) unter endlicher Form mittelst der Kugelfunktionen summieren lassen.
Für n = 0 finden wir die Formeln § 130, (14), (15) wieder, während die Annahme v = 0 die Formeln (11) bis (13) desselben Paragraphen ergibt.
Über die drei letzten Formeln bemerken wir noch, daß sie vorläufig unter den aus (5) und (6) erhaltenen Bedingungen bewiesen sind; indessen können wir ohne Mühe diese Bedingungen sehr er- weitern. Wenden wir in der Tat die gewöhnlichen asymptotischen Ausdi-ücke für die Cjlinderfunktionen der ersten Art an, so ist offenbar, daß sich die sehr entfernten Glieder der betreffenden Reihen,
von dem gemeinsamen Faktor ( — 1)" [/— ; abgesehen, wie: ^~^N • cos Isx- (v + v) v)>
V
S
71 ■ <=os (s^ - (" + y) f ) >
'-'>; -sin ((25+1) x-(. + 1)1)
(2s+l) 2
verhalten. Diese Reihen müssen also dem Satze (T^J zufolge ana- lytische Funktionen von v definieren, falls x nicht gleich einem ungeraden Multiplum von 7t, bez. 7t: 2 vorausgesetzt wird. Dasselbe gilt für die Funktionen rechter Hand in (7), (8), (9), somit sind die obenerwähnten Formeln anwendbar, falls nur 9ft(v)> — |- ist.
Setzt man weiter in (2), (3), (4) ^ = 0, so erhält man wieder die Formeln § 130, (7), (8), (9), während sich durch die Annahme 9 = 1 aus (2), (3) folgende weiteren Entwicklungen ergeben:
(10) ^^ -^■Y.''{sx)=Bgnx ^] sin(varcsinZ;j),
„ . VTt
(11) ^ -^ • X " (s2;) = sgn X — — ^] sin {v arc sin m J ,
welche für jeden endlichen Wert von v anwendbar sind; für v = 1 findet man folgende spezielleren Formeln:
(12) ^t:^.jx^sx)=^^^nx-^'l-^,
i =0 «=i
Kapitel XXV. Nullentwicklungen in den Sihlömilchschen Uoihcn. § 133. 345
(13)
^-/ • J^{s^) = 4 sgn 2- -^ ni„
» = 0 * - 0
währoiul die Aunalune v = 0 zu eleu ähnlichen Formeln:
(14) y* ^~^J '' • Q\sx) = 4 s^m 1- • ^ ' arc sin /.•„
» = ao j = ;j
(15) ^ — •Q°(sx) = 4 sgn x ■ ^ arc sin 7)i^
$=0 «=ü
führt.
Hier brechen wir unsere Untersuchungen über die Anwendungen der alltremeinen Formeln mit den Lommelschen Funktionen al) und wenden uns nunmehr zu den ähnlichen Entwicklungen, welche nach Produkten zweier Cyliuderfunktionen fortschreiten.
§ 133. Anwendungen von Produkten zweier t7-Funktionen.
Die Annahme: f(<p, a) = cos (vcp) cos (2nco), f{(p, od) = cos {vcp) sin (2w + 1)(d, wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, ergibt mittelst § 21, (4), (5) folgende Werte für die entsprechenden Funktionen G{x) und (^(x):
1+v
(1)
T
l-r
m = '^-r' ' (|)/'~(y),
so daß sich aus den allgemeinen Formeln § 131, (7), (10):
(2)
« = 0
1
I f = y=
(3)
2(-l)'^.../^^ (^*) f*~^ (^^) -
.» = 0
1
346 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen,
ergibt, wo wir der Kürze halber:
(4) ^^^{K ^) = cos(varcsiii A^) • sin(2w arc sin"!/ ~.^ A,
(5) qo^" + ^(A, z) = cos (v arc sin A^) -sinf (2w + l) arc sin 1/ _ ^ J
gesetzt haben.
Die aus § 131, (14) erhaltene spezielle Reihe wird hier immer divergent, wenn v nicht die Hälfte einer ungeraden ganzen Zahl bedeutet; denn erstens wird sonst das Integral § 131, (13) logarith- misch unendlich, und zweitens zeigt der asymptotische Ausdruck für die e7-Funktion, daß die obenerwähnte Reihe wie die harmonische Reihe divergiert. Die für ganze ungerade Werte des Parameters v erhaltene konvergente Reihe ist ohne besonderes Interesse, weil sie nur eine Folge der Formeln (T^^) und (T^J ist.
Wenden wir uns daher wieder zu den Reihen (2), (3), so finden wir an ihnen folgende Eigenschaften:
1) Die Beulen (2), (3) Jiahen in den Intervallen — n <C x <i -\- 7t, hez. — 71 <i2x <,-\- n einen InvariabiUtätsbereicli, in welchem die Summe der Reihe itnmer gleich Nidl ist, außer für x = 0, wo (2) bisweilen oscillierend wird.
2) Wenn v eine ganze Zahl ist, welche ungerade, hez. gerade vorausgesetzt wird, werden die BeiJien (2), (3) mit bekannten trigono- metrischen Reihen identisch.
Es ist dies eine unmittelbare Folge von den in § 11, (8), (9) gegebenen Ausdrücken für die Poissonschen Cylinderfunktionen. Weiter erhalten wir folgenden merkwürdigen Satz:
3) Bedeutet v eine ganze Zahl, ivelche gerade, hez. ungerade sein muß, so lassen sich die Summen der unendlichen Reihen (2), (3) als lineare FunMionen einer endlichen Anzahl von vollständigen elliptischen Integralen darstellen.
Die Funktionen cp reduzieren sich dann nämlich auf rationale Funktionen der Größe 1 — l^z'^, und der Satz ist sonach eine direkte Folge des bekannten Satzes über die Reduktion solcher Integrale. Setzen wir zum Beispiel w = 0 und v =^ 0, bez. v = 1, so gewinnen wir die schönen Formeln:
*=0 «=1
Kapitel XXV. Nullcntwickluugcn in den Schlömilcbschen Reihen. § 134. 347
m
1 = 0
•=p
= iv2''(-i)'"''-'^'(^'')'
j=i
wo Fi ., , Aj das vollstäudige elliptische Integral der ersten Art mit
dem Modul A bedeutet, während ?.' wie gewöhnlich der zu A komple- mentäre Modul ist.
In dem Falle n = 0, v = 2, bez. j/ = 3 findet man in den Summen der zwei Reihen (6), (7) auch Integrale der zweiten Art, während die Annahme w = 1, v = 2, bez. v = ?> schon auf Integrale der dritten Art führt.
Endlich erhalten wir noch folgenden Satz:
4) Bedeutet v einen irreduzihlcn Bruch }) : q, so lassen sich die Summen der unendlichen Beihen (2), (3) als lineare Funldionen einer endlichen Anzahl von hyperellipti sehen Integralen darstellen, in icelchen die Polynome unter den Badilalen vom Grade 2+2, hez. 2+1 sind, je nachdem p gerade oder ungerade ist.
Um diesen Satz zu beweisen, setzen wir:
Xg = sin 7j und finden so:
nn SJ COS p-^^i r (cos 7])
2
dr},
y{i — z') (i — x^z^) ycos^Tj — r
wo f(x) eine rationale Funktion von x bedeutet. Setzen wir nmi weiter : , .
80 erhalten wir:
dy = ,— :
damit ist der Satz bewiesen.
In den Spezialfällen v = \, v = ^ reduzieren sich die oben- genannten hyperelliptischen Integrale auf nicht vollständige elliptische.
§ 134. Die Schlömilchschen Reihen gestatten sämtlich eine
Nullentwicklung.
Die in den beiden vorhergehenden Paragraphen gegebenen spezielleren Reihen spielen eine wichtige Rolle in der Theorie der Schlömilchschen Reihen, indem sie zeigen, daß diese Reihen sämt- lich unendlich vieldeutig sein müssen.
348 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
Die Theorie der Sclilömilchsclien Reihen ist im allgemeinen noch fast ganz miausgebildet. Da zudem die eben erwähnte un- endliche Vieldeutigkeit ihr Interesse beträchtlich vermindert, wollen wir hier eine solche allgemeine Theorie gar nicht zu geben ver- suchen, sondern uns auf einen engeren P^'all beschränken, welcher gleichwohl so allgemein ist, daß es außer allem Zweifel gesetzt wird, daß solche Entwicklungen, auch außer den ganz einfachen Spezialfällen, wirklich existieren.
Zu diesem Zwecke betrachten wir eine Funktion f{x\ welche so beschaifen ist, daß f^^'^ {x) existiert und daß außerdem die Funktion f{ax) + axf^^\ax) in eine Fouriersche Reihe:
S= CO
s = 0
entwickelt werden kann, eine Reihe, welche für — 1 ^ a ^ + 1 und — jr < a; < + jr gleichmäßig konvergiert. Folglich dürfen wir unmittelbar die Integralidentitäten (Ijj) und (IJ auf (1) anwenden. Um die Identität (IJ:
(2)
7t n T T
/ / F^'^'i {x sin (p sin cj) x sin 03 (tg co)^'' (cos cpy^dcp dm =
0 Ü
auf (1) anwenden zu können, setzen wir in dieser Formel a sin a für a, x ^m. cp für gp, und die gliedweise Anwendung von (2), welche ja erlaubt ist, liefert nun unmittelbar folgende Entwicklung in eine Schlömildische Reihe der ersten Art:
s = iy>
(3) fia^) = (I)" -^{"^ J'(.x) + & Z'isx)),
.5 = 0
wo wir der Kürze halber:
7t
(3a) ü;(a) = ^^Q"^'" . ja^ (ß, sin a) sin co (tg a^' da,
0
7t
(3b) 6/(a) = !^''''''' • A, (« sin a) sin « (tg ay^' da
0
gesetzt haben; die Reihe (3) ist demnach jedenfalls anwendbar, falls — ^ < 9^ (v) < + ^ und außerdem — n <.x < +^ vorausgesetzt wird.
Kapitel XXV. Nullentwicklungen in den Schlömilchschen Reihen. § 134. 349 Die Identität (L):
8 2
(4) f fF<'\xcoH(ps[n2oj)xsm2(o{i^aycoü{v(p)<I(pdco = y (F(x)-F(O))
0 0
ergibt i» ähnlicher Weise folgende Entwicklung in eine Schlömilchschr lieihe der zweiten Art:
» = OD
(5) f{ax) =^ (?l;(«)n'(6-x) + 93;(a)X'(.s-:r)
3 = 0
mit den Koeffizientenbestimmungeu:
7t
T (5 a) 51; (a) = —^ / a, (x sin 2 w) sin 2 o (tg oj)" d a ,
0
8
(5b) S5;(ß) = — ^^ / bXx sin 2«) sin 2a (tg w)'' • da-,
28m —
0
die Reihe (5) ist mithin jedenfalls anwendbar, falls — 2 < 9l?(v) < + 2 und — 7C <. X <C -\- 7t vorausgesetzt wird.
In den Spezialfällen v = 0, bez. v = 1 erhalten wir aus (f)) folgende Entwicklungen:
«=00
(6) fiax) = 2 (5t,«(«) J\sx) + 23,»(a) Q«(sa:)) ,
» = o
* = OD
(7) /-(«o:) =^(^/(a)QXsa;) + 95,n«)^n^^)),
a = 0
von welchen die erste auch aus (3) für v == 0 hergeleitet werden kann, während dies mit (7) nicht der Fall ist.
Wir denken uns nun weiter, daß f(x) eine solche Funktion bedeutet, daß sich f{ax) + axf^^^ax) mittelst (5) entwickeln läßt; alsdann finden wir unmittelbar diese zwei Erklärungen:
f{ax) + axp\ttx) + /■(- ax) - axP\- ax) = 2 -^g/ia) U'{sx),
s = 0
S = 00
f{ax) + axfW(cix)-f{- ax) + uxf^'^{- ax) = 2 • ^ h;{a)X''{sx)-
» = i
350 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
sonach führt uns die Identität (4) für v = 0 unter Anwendung von § 21, (4), (5) zu folgender Entwicklung in eine Scldömilchsche ReiJie der dritten Art: f{ax) =
= 2 (^/ w ^^ (?) ^~ ^ (¥) + ^.' («) -r"^ (?) ^"^ (¥))
4 = 0 ^ '
mit folgenden Koeffizientenbestimmungen:
(8)
Ä
(8 a) -^/C«) = "J" • / .^// (" ^^^ 2") ^"^ ^" ^^"^
0
n
(8 b) ^/(<^) = J- • /v (a sin 2co) sin 2« ^(o;
0
die Reihe (8) ist also anwendbar, wenn — l^ß^+1, — 2<9i(v)< + 2, — it<ix<i^'K vorausgesetzt wird; dieselbe Reihe (8) kann auch aus (3) für r = 0 unter Anwendung der allgemeinen Formel (4) her- geleitet werden. Die speziellen Fälle v = 0, bez. v -=\ von (8) ver- dienen besonders hervorgehoben zu werden, weil man dann Mischungen der gewöhnlichen Fourier sehen und Schlömilch sehen Reihen bekommt.
Schlömilch^) hat die formale Entwicklung nach J^{sx) an- gegeben und zwar mittelst der Identität (4), eine nochmalige An- wendung derselben Identität hätte ihn also auch auf die Entwicklung nach den Quadraten derselben Funktionen geführt. Lommel^) hat eine Verallgemeinerung der von Schlömilch aufgestellten Reihe versucht; allein seine Entwicklungen sind im allgemeinen divergent. Später hat Beltrami^) über die Reihen der ersten Art schöne Unter- suchungen angestellt. Wir erwähnen noch, daß Coates^) ähnliche Entwicklungen, die nach Y^{sx) fortschreiten, erörtert hat; ich kann aber nicht sehen, daß es ihm gelungen ist, die allgemeine Existenz solcher Reihen in aller Strenge zu erweisen.
Um Beispiele für die drei Schlömilchschen Reihen zu erhalten, kann man die Fourier sehen Reihen für die Berno uliischen Funk-
1) Zeitschrift für Mathematik und Physik Bd. 2, p. 155—158.
2) Studien über die Besselschen Funktionen p. 59 — 72; 1868.
3) Rendiconti dell' Istituto Lombardo (2) Bd. 13; 1880.
4) Quarterly Journal of Mathematics Bd. 21, p. 180—190; 1886.
Kapitel XXV. Nullentwicklungen in den Schlümilchschen Reihen. § 134. 3ol
tionen oder für cos (^vx) und sin (vx) anwenden. Wir gehen indessen auf diese spezielleren Formeln nicht näher ein, sondern wenden uns nunmehr zu der Frage nach der Eindeutigkeit der Entwicklungen in eine Schlömilchsche Reihe.
Zunächst bemerken wir noch einmal, daß unsere vorhergehende Entwicklungsmethode nur eine sehr spezielle ist; es muß daher m(")<dich sein, erstens die Bedingun<'on für die zu entwickelnden Funktionen wesentlich zu verallgeraeiuern und zweitens die Grenzen für 9i(v) beträclitlicli zu erweitern. Die speziellen Schlömilchschen Reihen in den vorhergehenden Paragraphen zeigen ja in der Tat, daß die obenerwähnten Bedingungen für f{x) gar nicht notwendig sind. Wie sich das nun auch verhalten mag, jedenfalls ist es sehr leicht, für die allgemeinsten Schlömilchschen Reihen folgenden Satz zu beweisen:
Falls eine Funktion in eine Schlömilchsche Beihe entivicJielbar ist, muß diese Enfwichhinfj immer eine unendlich vieldeutige sein.
Wir haben ja in der Tat folgende drei Nulleutwicklungen:
« = 0 ^^ ^
J= 00
(10) o=^{-iy8,wisx),
» = 0
(11) o=2(-i)'^j"'^(?)^"" = {?)'
wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, und wo wie gewöhn- lich «0=1, f „ = 2 für w > 0 zu nehmen ist. Diese Entwicklungen sind sämtlich in dem Intervalle —n<ix<C-\-n anwendbar, höchstens mit Ausnahme von x = 0, wo die betreffende Reihe vielleicht oscillierend werden kann.
In früheren Arbeiten^) habe ich nur diejenigen Schlömilch- schen Reihen betrachtet, welche kein von x unabhängiges Glied ent- halten; für diese Reihen müssen die drei vorstehenden NuUentwick- luncren in ähnlicher Weise modifiziert werden; eine solche Definition einer Schlömilchschen Reihe ist indessen als hinfällig anzusehen.
1) Bulletin de TAcademie de Danemark 1899, 1900. Mathematische Annalen Bd. 52; 1899. Annali di Matematica (3) Bd. G; 1901.
352 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
Kapitel XXYI. Theorie der Fouriersclien Reihen nach Dini.
§ 135. Sätze von Dini.
Schon in § Gl haben wir auf eine merkwürdige Analogie zwischen den Kreis- und Cylinderfunktionen aufmerksam gemacht, indem wir die Formel (4):
aufstellten, in der ay und /S" Wurzeln der transcendenten Gleichung:
(2) (l)'^^(^) = 0
sind und außerdem 9? (v) > — 1 vorausgesetzt werden muß.
Diese Analogie war für v = 0 schon Fourier^) bekannt; er hat davon einen ähnlichen Gebrauch gemacht wie von den ent- sprechenden Euler sehen Formeln mit Kreisfunktionen. Denkt man sich nämlich eine Entwicklung von folgender Form gegeben:
(3) fix) = a^J\a^x) + a^J''{a/x) + «3 J^C^rr) -f • • •,
wo a^^, a^, 0:3", • • • die Wurzeln der Gleichung (2) bedeuten, so geordnet, daß stets Ia/+i|^|a/j ist, so ergibt die Formel (1) für den allgemeinen Koeffizienten a^ den Ausdruck:
1
(4) a„ = (.r+i(a,;))2 j ^ /"(^) ^' («» ^^ ;
^ " ^ 0
falls die nach der Multiplikation mit xJ^'{a^x) folgende gliedweise Integration der unendlichen Reihe rechter Hand in (3) erlaubt ist; für V = ±^^ erhält man daraus genau die bekannte Bestimmung der Koeffizienten einer Fouri ersehen Reihe nach Kreisfunktionen.
Diese Herleitung der Reihe (3) ist in dem Falle v = 0 von Fouri er benutzt worden; sie ist indes nur eine ganz formale, da er ja die wirkliche Existenz der Reihe und die Berechtigung der gliedweisen Integration gar nicht bewiesen hat.
Viele Mathematiker haben seit Fouri er eine strenge Herleitung der Formel (3) versucht; indessen ist es im allgemeinen nicht ge-
1) Theorie analytique de la chaleur, chap. VI; Paris 1822.
Kapitel XXVI. Theorie der Fourierschen Reihen nach Dini. § 135. 353
lungen, die damit verbundenen, überaus j^roßeu Schwierigkeiten zu überwinden. So sind vAim Beispiel die Beweise von Hankel*)) Harnack-), Gegenbauer^j und Sheppard') nicht genau; über- haupt ist es, soviel ich weiß, nur Dini'j geglückt, einen wirklich strengen Beweis für die Existenz der obenerwähnten Entwicklung zu geben.
Der ffroße italienische Mathematiker hat noch weit allgemeinere Entwicklungen als (3) untersucht; sein Beweis für diese speziellere Formel ist indessen so eng mit seinen allgemeinen Resultaten ver- bunden, daß es uns hier viel zu weit führen würde, ihn wiederzu- geben; indem wir also den Leser auf das Dini sehe Werk selbst verweisen, beschränken wir uns hier auf die bluße Citation seiner Sätze:
I. Die Entivicklung (3) mit der Koeffizientenhestinmmng (4) ist für die ziciscJien 0 und 1 iviUkürlich gegeboie reelle Funktion f{x) amvcndhar, falls v als reell uml größer als — ^ vorausgesetzt wird und falls f{x) übrigens folgenden Bedingungen Genüge leistet:
1) Das von 0 bis 1 genommene Integral von x ~^ -fix), wo jß die größte der zwei Zahlen v und ^ bedeutet, muß unbedingt konvergent sein; außerdem muß in jedem Punkte des Intervalles (0, 1) sowohl f{x-\-0) als f{x — 0) bestimmt und endlich sein.
2) In keinem Punkte des Intervalles (0, 1) darf f{x) unendlich viele Schwankungen besitzen, oder wenigstens muß dies der Fall sein, nachdem man zu f{x) eine passende Funktion ersten Grades adjungiert hat.
3) Für jeden Punkt x des Intervalles (0, 1) muß eine beliebig kleine Umgebung gefunden werden können, welche nicht im Punkte x selbst enden darf, so daß die Summe der entsprechenden Schwankungen von f{x) willkürlich klein gemacht werden kann.
4) In jedem Punkte des Intervalles (0, 1) muß fix) eine Ab- leitung oder wenigstens eine solche größte Schwankung besitzen, daß I f{x) I integrabel ist.
5) Das Verhältnis:
f{x±t)-f{x±Q) t
1) Mathematische Annalen Bd. 8.
2) Sitzungsberichte der Leipziger Akademie 1887; Mathematische Annalen Bd. 35; 1889.
3) Sitzungsberichte der Wiener Akademie Bd. 88 11, p. 975—1003; 1883.
4) Quarterly Journal of Mathematics Bd. 23; 1888.
5) Serie di Fourier Bd. I, p. 246—269, Pisa 1880.
Nielsen, Cylinderfunktionen. 23
354 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
muß, als Funktion von t betrachtet, endlich oder mindestens, absolut genommen, integrabel sein.
6) Wenn x einen innern Punkt des Intervalles (0, 1) bedeutet, wird die Summe der so gebildeten Reihe (3) gleich f{x) oder
^iifip -\- ^) -\- f{^ ~ ^))} jö nachdem f{x) im Punkte x kontinuier- lich ist oder nicht; im Punkte x =1 wird die Summe dagegen immer gleich Null.
Dini hat noch andere Reihenentwicklungen nach Cylinder- funktionen angegeben; bedeuten nämlich cc^^^ die Wurzeln der- jenigen Gleichung, welche man aus (2) erhält, wenn man v -\- 1 für V setzt, so erhält man folgende Entwicklung:
1
f{x)x^''+'dx + ^ a;j'\(x; + 'x)
s = l 0
mit den Koeffizientenbestimmungen:
(6) a' = 7 ^- ^- fxf(x)J''(aJ + ^x)dx.
0
Bedeutet nun 1% eine willkürliche, von Null verschiedene reelle Konstante und sind /S^'', /Sg'', /Sg', ... die reellen Wurzeln folgender anderen transcendenten Gleichung:
(7) xJ'^^{x)^'li-J\x) = ^,
so gelangt Dini schließlich zu folgender Entwicklung:
«= CO
s = l
mit der Koeffizientenbestimmung:
0
für beide Entwicklungen gilt der Satz:
n. Die EntwicMungen (5) und (8) sind unter den oben ange- gebenen Bedingungen im Intervalle (0 , 1) anwendbar, denn diese ReiJien haben für x = 1 die Summe f{l — 0).
Die Entwicklung (8) ist des Parameters 7i wegen sehr allgemein. Setzt man zum Beispiel h = — 2v, so reduziert sich (7) auf die
Gleichung:
-x-J'-\x) = 0,
Kapitel XXVI. Theorie der Fouriei-schen Reihen uach Dini. § 136. 355
uuil man findet somit /i„* =«„*"S ^^^^ ^^^ (^) ^^^ speziellere Ent- wicklung:
f = OB
(10) . nx)=^2arj^{ar'^)
s= 1
mit der Koeffizientenbestimmung:
0
Die Keihe (10) bat also nacb dem zweiten Diuiscben Satze für a: = 1 die Summe /(l — 0), eine Bemerkung, die uns bald sehr nützlich sein wird.
Wir bemerken noch, daß die Koeffizientenbestimmungeu (4), (6), (9), (11) offenbar in sehr naher Verbindung mit unseren in Kapitel IV gegebenen Untersuchungen stehen. Betrachten wir näm- lich die lineare, nicht homogene Gleichung:
wo a eine endliche Konstante bedeutet, und bezeichnen wir mit B*'{a, x) ein Integi-al dieser Gleichung, so erhalten wir aus § 27, (7):
(12) fxfix)J^K'x)dx = -^-J^' + \aj)B^'(-^, <),
0
vorausgesetzt allerdings, daß:
lim \xJ^ia„^x)D,B^' (-^, a,;x\] = 0 ist; die Formel (4) liefert dann für a„ unmittelbar den Ausdruck:
(13) ».-.„' Am ■^'{■^'<)'
es ist klar, daß wir die drei andern Koeffizienten in ähnlicher Weise ausdrücken können.
§ 136. Entwicklung von TT''?(a;). Die Produktdarstellung von J''(x).
Als Beispiel für die allgemeinen Dini sehen Entwicklungen setzen wir:
wo f eine willkürliche endliche reelle Größe bedeutet, so daß wir:
od(3r:
23*
356 Vierter Teil. Darstellungen willkürliclier Funktionen.
voraussetzen müssen. Die Integralformel § 34, (20) führt uns un- mittelbar zu folgender Entwicklimg:
aus welcher eine große Menge anderer Formeln entwickelt werden kann. Durch Spezialisierungen des Parameters q gewinnt man z. B. die drei neuen Entwicklungen:
S= 00
Dividiert man ferner in (1) mit P, so erhält man für ^ = 0 nach einer Anwendung der Rekursionsformel § 29, (3) folgende andere spezielle Entwicklung:
welche man ja mittelst § 33, (7)- auch direkt herleiten kann; für Q = V ergibt sich weiter aus (5) wegen § 29, (3) folgende be- merkenswerte Formel:
(5)
« = 00
(6) ^--2^i.^:K4>,
während die Annahme q = 0 des weitern:
(7) 1 = y — 1^— - . (i - -^-^ n '' «')) J' i<^)
ergibt; daraus erhalten wir mittelst § 17, (25), (26) die spezielleren Formeln:
(9)
Kapitel XXVI. Theorie der Fourierschen Reihen nach Dini. § 136. 357
wo n eine ganze Zalil bedeutet; für n = 0 gibt (8) ferner die merk- würdige Formel:
* = i
Diese Fourierschen Bcihen nach Cyl indcrfioiltionen erhuhcn also Konstantcncuiivi<MHngen, tcdchc in dem ganzen Intervalle 0 ^ a; < 1 dieselbe Konstante darstellen. Da die allgemeitie Reihe § 135, (3) aber kein Konstantes Glied entliält, können diese KonstanfenenttvicJc- lungcn nicht die unendliche Vieldeutigkeit der Reihe (3) 7nit sich führen.
Wir bemerken noch, daß die Formel (5) durch Differentiation nach Q und dami für q = 0 eine Entwicklung für den Logarithmus liefert; die so erhaltene Formel wird indessen so kompliziert, daß wir es bei dieser Andeutung bleiben lassen, um wieder zu der all- gemeineren Formel (1) zurückzukehren. Setzen wir in dieser Formel Q = V, so erhalten wir durch Anwendung von (6) folgende weitere Entwicklunor:
* = 00
^ ^ r{t) •^,;((,;)2_^.)- ^v+i(^^v) ,
nun ist die Reihe rechter Hand in dieser Formel, als Funktion von X betrachtet, offenbar gliedweise differentiierbar, weil sie un- bedingt konvergent ist; die gliedweise Differentiation nach x führt indessen mittelst § 10, (5) zu der neuen Formel:
(12-) ^.lllM^2'y — ^— ^^^^""^^
^ ^ r{t) ^ «)'-<* j'+^(«/) '
Die so erhaltene Entwicklung ist nun genau von derselben Form wie § 135, (10) und kann natürlich auch mittelst der allgemeinen Methode hergeleitet werden. Es ist also allerdings erlaubt, in (12) a; = 1 zu setzen; führt man darauf wieder x statt t ein, so findet man, daß:
*=i
ist, und hieraus erhält man unmittelbar die Produktdarstellunsf von J''(x). Diese Darstellimg ist ja gewiß nur für ein reelles v be- wiesen, das größer als —1 ist, während 0 ^ a; < 1 sein muß; sie muß aber allgemein gültig sein, weil sowohl das unendliche Produkt
358 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
als auch J^'ix) durcli x~''' multipliziert für alle endlichen Werte- paare von X und v ganze transcendente Funktionen dieser Yariabeln darstellen.
Sicher hat HankeP) zuerst ein solches Beweisverfahren für die Produktdarstellung versucht; später hat Beltrami^) die speziellen Fälle V = 0, V = 1 erörtert, während neuerdings Graf^) auf den allgemeinen Fall zurückgekommen ist. Diese Beweise sind indessen nicht genau, weil der Übergang von (12) nach (13) erst infolge des zweiten Satzes von Dini als legitim angesehen werden darf.
§ 137. Reziproke Potenzsummen der "Wurzeln a^' nach, Graf.
Um die Analogie zwischen den Kreis- und den Cylinderfunk- tionen noch weiterzuführen, wollen wir kurz andeuten, was wir hier unter den BernouUi sehen Zahlen zu verstehen haben. Zu dem Ende gehen wir von der Froduktdarstellung:
aus, welche sich auch als unmittelbare Folge des allgemeinen Satzes von Hadamard^) darbietet. Die logarithmische Differentiation von (1) führt, wie man sieht, unmittelbar zu § 136, (13) zurück. Wir setzen nun der Kürze halber:
S — a>
(2) ^L-y,
4=1 ^
wo n eine positive ganze Zahl bedeutet, und finden so aus § 136, (13), falls |^l<C|ß^i''| vorausgesetzt wird, folgende Formel:
(3) S,^x + S:x' + S.^'x' + •■■ = ^^ •
Für V = 0 hat Euler ^) versucht, die Funktion rechter Hand nach steigenden Potenzen von x zu entwickeln; später ist Jacobi^)
1) Mathematische Annalen Bd. 8, p. 494; 1875.
2) Rendiconti dell' Istituto Lombardo (2) Bd. 13, p. 336; 1880.
3) Einleitung in die Theorie der Besselschen Funktionen Heft I, p. 130; Bern 1898.
4) Journal de Mathematiques (4) Bd. 9, p. 209; 1893.
5) Acta Academiae Petropolitanae 1781, p. 172, 173.
6) Journal für Mathematik Bd. 15, p. 26; 1836. Astronomische Nach- richten Bd. 28, col. 93—94; 1849.
Kajtitel XXVI. Theorie clor Fouriciächcn Ueiheii narli I>iiii. § 137. 359
zweimal auf die allgomeiuere Aufgalie, iu welcher v eine ganze Ziilil bedeutet, zurückgekommen; er hat die ersten Glieder einer solchen Entwicklung angegeben. Wie aus Formel (3) deutlich hervorgeht, füllt das Problem mit dem tblgcuden zusammen: die Summen der reziproken Potenzen S^^ der Nullstellen «/ als Funktion von v zu bestimmen.
Multipliziert man in (3) mit 'P'{x) und entwickelt man die beiden Seiten der so erhaltenen Formel nach steigenden Potenzen von X, 80 erhält man für die successive Bestimmung der Summen /Sj^j leicht folgende Rekursionsformel:
^(j3 — 1)! r(v + n — p+l) (n — l)!r(v + n+ 1)'
eine Formel, die nichts anderes ist als ein Analogen zur Newton- schen Formel für die Potenzsummen der Wurzeln einer algebraischen Gleichung.
Durch vollständige Induktion ergibt sich nun aus (4) der all- gemeine Satz:
Wenn v eine tvüJMrlicJie, endliche Größe bedeutet, die jedoch nicht eine ganze negative Zahl sein darf, ist die Summe S^^ immer eine rationale Funldion von v, und das überdies mit lauter rationalen Koeffizienten.
Es ist hier wohl zu beachten, daß wir von den Summen:
«=0D
in denen n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, im Grunde nichts wissen. Dasselbe gilt übrigens für die Summen:
y = °° ^
(6) ^2n + l =" y-, 27,+ ! >
über deren Natur noch gar nichts bekannt ist; es ist ja auch wohl- bekannt, daß man sogar noch bei den elliptischen Funktionen ähn- lichen Verhältnissen begegnet.^)
Der allgemeine Ausdruck für S^^ scheint allerdings äußerst kompliziert zu sein; für kleinere Werte von n findet man indessen ohne Mühe folgende Formeln:
1) Man vergleiche Tanner y und Molk: Elements de la theorie des fonctions elliptiques, Bd. I, p. 176; Paris 1893.
360 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
^2
S/
V+1'
2-*
4 (^ + 1)2(^ + 2)'
S/
2-^-2
6 (i, + l)3(t,_|_2) (v+S)»
^/
2-^(51/4-11)
8 (^+i)4(^_^2r(t;+3)(t; + 4)'
'10
(v + 1)5 {v + 2)* (i; + 3) (i; + 4) (v + 5) '
welche zuerst von Graf^) aufgestellt worden sind; wie Graf be- merkt, findet man hieraus für v = 4" "^i^ ^^^f ersten B er noulli sehen Zahlen.
Kapitel XXYII. Integraldarstellungeii nacli Neumaiin und Hankel.
§ 138. Das dreifache Integral von Neumann.
Bekanntlich hat zur Darstellung der „willkürlichen" Funktion f{x) einer reellen Variabein zuerst Fourier^) folgende allgemeine Integralformel:
00 +00
(1) Jd^ffij/) cos 2{'y — x)dij = %f{x)
angegeben, während Hamilton^) später aufs neue und, ohne die Arbeit Fouriers zu kennen, dieselbe Formel hergeleitet hat.
Fourier'^) hat ähnliche Darstellungen und zwar durch ein vier- faches Integral auch für eine Funktion zweier reellen Variabein an- gegeben. Beide Darstellungen sind von du Bois Reymond^) streng bewiesen und wesentlich verallgemeinert worden.
1) Einleitung in die Theorie der Besselschen Funktionen, Heft I, p. 190; Bern 1898.
2) Citat von du Bois Keymond : Journal für Mathematik Bd. 69, p. 65; 1869.
3) Transactions of the Royal Irish Academy Bd. 19 11; 1843.
4) Citat von du Bois Reymond : Mathematische Annalen Bd. 4, j). 367; 1871.
5) Mathematische Annalen Bd. 4.
Kapitel XXVII, IntcgraUlarstellungen nach Neumann und llankel. § 138. 361
Hamilton*) bat als Aualoj^nn der Formel (1) eine ähnliche Integraldarstollung augegeben, in welcher die Kreisfunktion durch eine spezielle Cylinderfunktion ersetzt ist, eine Formel, welche llankeF) später, offenbar ohne die Arbeit Hamiltons zu kennen, verallgemeinert hat.
Als Analogon des vierfachen Fourierschen Integrales mit Kreis- funktionen kann man ein dreifaches Integral von Neumann^) mit der Cylinderfunktion tP{x) ansehen; diese Neumannsche Formel ist dann in aller Strenge auch von du Bois Keymond') bewiesen worden, während die späteren Beweise von Mehler^) und Ermakoff') nicht genau sind.
Hier wollen wir die Neumannsche Formel in ihrer möglichst allgemeinen Gestalt herleiten, indem wir von folgendem allgemeinen Satze du Bois Reymonds") ausgehen:
Falls die Fimldion f{r, v) der sicei reellen und unahhänfjigen Variahein r uml v so heschaff'en ist, daß das zweifache Integral:
oe 2«
(2) Jrdrjf{r,v)dv
0 0
unhcdingt konvergiert, und falls (p{x) eine solche Funläion bedeutet, daß das einfache Integral:
X
(3) f^dx, <Pix)=fcp{x)dc
, ^ , ix
Ö 0
eirmi Sinn Jmt, dann gilt die allgemeine Formel.
(4)
0 0
/ zd^ I rdr I f{r, v) tp (z^(r^ + (>^ — Srqp cos {v — 6)) dv =
1) loc. cit. p. 309.
2) Mathematische Annalen Bd. 8; 1875.
3) Allgemeine Lösung des Problems über den stationäreüi Temperatur- zustand eines homogenen Körpers, welcher von zwei nicht konzentrischen Kugel- flächen begrenzt wird, p. 149; Halle 1862.
4) Mathematische Annalen Bd. 4, p. 390; 1871.
5) Mathematische Annalen Bd. 5, p. 135—140; 1872.
6) Mathematische Annalen Bd. 5, p. 639—640; 1872.
7) loc. cit. p. 386.
362 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
Um diesen Satz anwenden zu können, müssen wir vor allem die Funktion ^(x) als passende Cylinderfunktion bestimmen; wir setzen daher zunächst:
v-l
(5) (p{x) = x~^ 'C'--'{yx)
und finden so mittelst § 10, (4) für (l)(x) den Ausdruck:
(6) <t>{x) = 2x^ • C'(Y^) , ^(v) > 0;
das Integral (3) läßt sich also mittelst des Web er sehen Funda- mentalintegrales in § 72 herleiten, hat aber nur einen Sinn, wenn die Cylinderfunktion von der ersten Art ist und wenn zudem:
(7) 0<m{v)<i
vorausgesetzt wird. In diesem Falle findet man durch die Sub- stitution X = z^ und unter Anwendung von § 72, (2) unschwer:
00 00
(8) /^2 .J^{yx)dx = 2 I z''--'J\d)dt = ^;
0 0
daraus ergibt sich folgende erste allgemeine Darstellung:
OD 00 in
^^) f(9,(^) = ^^f^^yßdBfrdrffir,v){zQy-'J^'-\zQ)dv,
0 0 0
wo wir der Kürze halber:
(10) Q = 1/^2 _|. ^2 _ 2^^ cos {v - 6)
gesetzt haben, und wo die Bedingung (7) erfüllt sein muß.
Für V = 1 erhält man aus (9) die obenerwähnte Formel von Neumann.
Die Annahme:
1-1
(11) cp{x) = x 2 .c'--^{yx)
scheitert für alle Cylinderfunktiouen daran, daß das entsprechende Integral (3) immer divergieren muß. Weiter setzen wir:
(12) cp{x) = x^-C'-\x)
und finden so mittelst der allgemeinen Differentialformel § 10, (2):
(13) ^{x) = x^'C\x), 9fl(i^)>0;
Kapitel XXVII. IntegraUlarstellungen nach Neumann und Hankol. § 138. 363
das zugeh(>rig<' Integral {))) kauii uulIi hier nur konvergieren, falls die Cylinderfunktiou vun der ersten Art und falls außerdem:
(14) 0<^{v)<i
vorausgesetzt wird. Die Weborsche Fuudanientalfornu'l führt dann ohne Mühe zu folgender andern allgemeinen Integraldarstellung:
Sit
(15) /-((>, 0) = ^^ -fzclzfrärffir^v) izQy^J^-\z^Q')dv',
0 0 u
setzt man hier v = ^, so erhält man eine Formel von du Bois Raymond.^)
Die Annahme:
(16) <p{x) = x-'-C'-\x)
ist gleichfalls für alle Cylinderfunktiou en unzulässig, weil das Inte- gral (3) auch hier immer divergieren muß.
Die Formeln (9) und (15) stellen so die überhaupt durch (4) möglichen Verallgemeineningen der Neumannschen Formel dar: die Ergebnisse sind ohne Beweis und ohne diesen Hinweis von Gegen- bau er ^) veröffentlicht worden.
Setzt man in der Neumannschen Formel (9) für v = 1 die Funktion f(r, v) als von v unabhängig voraus, so findet man mittelst der Gegenbauerschen Integralformel § 69, (7) für v = 0 die be- merkenswerte Identität :
00 CO
(17) /■(()) =^JzdzJ^(Qz)JrdrJ\rz)f{r),
0 0
welche nichts andres ist als ein Spezialfall des merkwürdigen Hankeischen Umkehrproblems. Die allgemeine Lösung dieses Pro- blems scheint indessen unter ausschließhcher Anwendung der ver- allgemeinei-ten Neumannschen Formel (9) nicht möglich, so daß wir einen andern Weg zu gehen haben, indem wir uns ziemlich nahe an Hankel selbst halten.
1) Mathematische Annalen Bd. 4, p. 388; 1871.
2) Sitzungsberichte der Wiener Akademie Bd. 95 II, p, 409—410; 1887.
364 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
§ 139. Herleitung einiger Grenzwerte.
Um das am Schlüsse des vorhergelienden Paragraphen erwähnte Hankeische Umkehrprohlem in seiner vollsten Allgemeinheit zu lösen, betrachten wir mit HankeP) folgendes bestimmte Integral:
to
(1) Y^(«, /3, (o)=ftC^(ta)C,^{tß)dt,
0
wo im allgemeinen 1 > 9fi (v) > — 1 vorauszusetzen ist und wo wir außerdem a, ß und co als positiv annehmen. Setzen wir:
(2) C'ix) = aJ^'i^) + ^ ^'(^); (^i^i^) = o^i^"(^) + \Y''(^),
so erhalten wir aus § 28, (6) nach einer einfachen Umformung für die Funktion ^ den Ausdruck:
wo wir der Kürze halber:
(3)
(4)
2&&jCOSv7i; ( ( ^y ( ^\~^\
gesetzt haben; diese Funktion ist also von c? ganz unabhängig.
Es seien nun weiter p und q zwei reelle, nicht negative Größen und q^Pj wir suchen dann folgenden Grenzwert zu bestimmen:
9
(5) lim fT'{a,ß,(a)dcc.
p Falls |) > 0 angenommen wird, ist es erlaubt, in (3) für die dort vorkommenden Cylinderfunktionen die in § 59 gefundenen asymptotischen Ausdrücke einzuführen-, wir setzen also:
^i^'(^«) -^ y^ («1 ^«« {^^ - (^ + i) f ) -
-&,sin(/3«-(t.+ i)f)), C^ + ^(««) ^]/^(a sin {aco - (,.+ ^)|) +
+ & cos ^«03 — (v + i) y) j
1) Mathematische Annalen Bd. 8, p. 476; 1875.
Kapitel XXVII. Integraldarstellungen nach Neumaun und Ilankel. § 139. 365
und gewinnen sd uuch einer einfachen Rechnung aus (^) für T fol- genden Ausdruck:
, , , V cos (a — ß) CO , , , V cos ((a -f ß) CO — vtt)
, . , , ,v sin ((ot -4-/3) «0 — VJrU ^ , ^k + {a\ + a,Z>) - ;T.' /- -) + -^ («' /^)'
(a + P) y a /
80 daß die Bestimmung des Grenzwertes (5) auf die Ermittlung von: (6) lim i'^-^^^^^da
P
und von drei anderen Integralen hinausläuft, welche indessen nach den Formeln (Tg) und (TJ von Dirichlet sämtlich gleich Null sein müssen. Um den Grenzwert (6) zu bestimmen, setzen wir cj (a — /3) = | und finden so:
q (9-i*)tu
lim /*^"-^^=4^ ^c = lim r^A==dl,
im / ^—J^ — PZi? ci(^ = lim + 00 / {cc — ^) ya tu = + oc
(p-/?)cu
so daß dieser Grenzwert gemäß (T3) im allgemeinen gleich n '. Yß oder gleich Null sein muß, je nachdem p <i ß <iq oder p^ ß oder q <. ß vorausgesetzt wird; füllt speziell ß mit p oder q zusammen, so wird der Grenzwert dagegen :r : 2]//3.
Dieses Ergebnis läßt sich auch noch aufrecht erhalten, wenn die untere Grenze jj des Integrales (5) dem Werte Null zustrebt; denn die asymptotischen Ausdrücke für die Cylinderfunktionen bleiben ja noch anwendbar, falls man j) gegen die Null konvergieren und a ohne Grenze wachsen läßt, wenn nur das Produkt a ■ p gleichzeitig mit C3 unbegrenzt wächst.
Wir haben damit folgenden allgemeinen Satz bewiesen:
Wenn q^ ß'> p ist und p^O vorausgesetzt wird, ist immer:
(7) lim r^^(a, ß, co)da = ''h±^yj^ 1 . C F\a, ß)da-
p p
366 Vierter Teil. Darstellungen willkürlicher Funktionen.
wenn dagegen ß> q oder p'> ß ist, finden ivir den Grenzivert:
(8) Um C^'{a,ß,G3)da^^- CF\a,ß)da;
p p
ivenn endlich ß mit einer der Grenzen p oder q msammenfälU, ist:
9 1
(9) J_im^ J^^ia, ß, oy)da = ^-^i^ +- • J F^\a, ß)da,
p p
ivo wir demnach immer /3 > 0 annehmen müssen.
Zwei verschiedene spezielle Fälle dieses allgemeinen Satzes ver- dienen besonders hervorgehoben zu werden.
Der erste Fall tritt bei den Hankeischen Cylinderfunktionen Hi^(x) und H^^^x) ein; denn für sie verschwindet der Ausdruck aa^ -\-hh^ immer, so daß, wenn:
C\x) = Cy'ix) = H^\x) oder C'{x) = C^\x) = H^^x)
ist, die Formeln (7) und (9) mit (8) identisch werden müssen. Der zweite Fall tritt nur bei der Annahme:
C^'{x) = C\x) = J\x)
ein; denn dann und nur dann verschwindet die Funktion F^'(a, ß), so daß der zugehörige Grenzwert (5) sowohl von 2^ ^Is von q un- abhängig wird, eine Eigenschaft, die diesen speziellen Fall vor allen andern besonders auszeichnet, so daß wir ihn in dem folgenden Paragraphen ausschließlich betrachten wollen.
§ 140. Das Hankelsche Umkehrproblem.
Wir betrachten nunmehr eine Funktion f(x), welche in dem Intervalle p ^x ^q willkürlich gegeben ist, jedoch so, daß sie in diesem Intervalle nicht unendlich viele Maxima und Minima besitzt und außerdem abteilungsweise stetig und kontinuierlich ist und zwar so, daß das Integral:
(1) Jxf{x)dx
p
^J unbedingt konvergiert. Unter diesen Voraussetzungen betrachten
wir das Integral:
(2) • jaf{a)^^{a,ß,a>)da,
Kapitel XX^TI. Intepraldarstellungen nach Neumann und Hankel. § 140. 367
wo also die beiden auftretenden Cylinderfuuktionen von der ersten Art sein sollen.
Vorläufig setzen wir voraus, daß «/'(«) im ganzen Integratious- intervalle entweder immer zu- odt>r abnimmt, und erhalten somit aus dem bekannten Mittelwertsatze'):
(3)
f f<xf{a)^'{a,ß,co)du =
WO p^c-^q vorauszusetzen ist. In dem Falle ß <.p oder /3 > ^ gewinnen wir so aus dem Satze des vorigen Paragraphen folgendes Ergebnis:
(4) lim faf{a)T(u,ß,a)da = 0.
p
Weiter ergibt der Mittelwertsatz:
p
faf{a)T{a,ß,a)da =
= ßmf^^{a, ß, CO) da + {pf{p) - ßf{ß))f^\a, ß, co) da,
fi c'
wo also ß^c ^p zu nehmen ist; also findet man aus § 139, (9):
lim faf{a)^"'(a, ß, co) da =
01= + » e/
= -lf(ß) + lim (pfip) - ßf{ß))J^\a, ß, «) da;
tU = + CO ^ g.
daraus folgt nach Addition von (4):
lim jaf{a)^'{a, ß, co) da = = ^fiß) + lim (pf{p) - ßfiß)) /V(a, ß, «) da
0) = +»
1) du Bois Raymond, im Journal für Math. Bd. 69, p. 82.
368 Vierter Teil. Darstellungen willkürliclier Funktionen.
und sonach mittelst § 139, (7), (8):
Nun ist das Integral linker Hand ojffenbar von dem Mittel- werte p ganz unabhängig; folglich ist die Annahme c' = /3 unzu- lässig, so daß Avir schließlich zu dem Ergebnis gelangen:
9
(5) lim fafia)T{a, ß, a>) da = -lf{ß).
p Ganz auf dieselbe Weise finden wir das ähnliche Resultat:
(6) lim iaf{a)T{a,ß,(o)da = iaß)-
tu = + oo j/ P
also erhalten Avir durch Addition von (5) und (6) die allgemeine Formel:
(7) lim faf{a)T{u, ß, co) du =
um,
0,
je nachdem ß zwischen die Grenzen p und q fällt, mit einer dieser Grenzen selbst zusammenfällt oder überhaupt nicht auf dem Inter- vall {p, q) liegt.
Denkt man sich nun das Intervall {p, q) in mehrere andre zer- legt, so daß in jedem dieser neuen Intervalle «/"(«) entweder immer zu- oder abnimmt, so leuchtet ein, daß das Ergebnis (7) noch richtig bleibt. Ist ß eine Spruugstelle zwischen p und q, so hat das Inte- gral natürlich den Wert ^ {fXß + 0) -f f{ß - 0)) .
Wir haben ferner den speziellen Fall /3 = 0 zu untersuchen; ist 9?(v) > 0, so verschwindet die Funktion V ofi'enbar, während die Annahme — 1 < 9i(v) < 0 dieselbe Funktion unendlich macht. Wir haben also nur den Fall 3ft(v) = 0 zu betrachten; ist die imaginäre Komponente von v nicht auch gleich Null, so wird Y im allge- meinen ganz und gar unbestimmt, so daß uns nur die Annahme V = 0 übrig bleibt. Wir finden in diesem Falle:
Kapitel XXVII. Integraldarütellungen nach Neumann und Ilankel. § 140. 3G9 woraus sich mittelst § 10, (4):
J^\a, 0, CO) da = coJJl^^^dcc = (j^(pco) - e7«(^«)) p p
ergibt; dieselbe Methode wie vorher liefert dann folgendes Resultat (8) lim taf(a)'V\a, 0, o) da = [ ^' ^^ ^ ^'
Bemerken wir weiter, daß uns die Annahme über die unbe- dingte Konvergenz des Integrales (1) gestattet, in dem Doppel-
integrale :
q CO
j af{a) i f ßJ'(aß)J'(ßa)dßj da
die Integrationsfolge umzukehren, so haben wir folgenden allgemeinen Satz bewiesen:
Falls 3l(v) > — 1 ist und f{x) den oben gestellten Bedingungen genügt, ist:
(9)
CO q
f ßJ^Xßx) (Jaf{a)J\aß)da\ dß =
f{x), q>x>p>0, = \ ^f{x), X = q oder x = p^ 0, 0, x'^ q oder x <Cp\
in dem speziellen Falle x = 0 ist (9) nur für v = 0 anwendbar.
Ist es erlaubt, 2) = 0, q = <x> anzunehmen, so ergibt sich aus
(9) für a; > 0 die merkwürdige Umkehrformel von HankeP), die sich in folgendem Satze ausdrücken läßt:
Setzt man:
00
(10) 9(^)= / af{a)J\ax)da,
u
so ist auch unigeJceJirt :
1) Mathematische Annalen Bd. 8, p. 482; 1875.
Nielsen, Cylinderfunktionen.
24
370 Vierter Teil. Darstellungen willkürliclier Funktionen.
00
(11) f{x) = / a(p{a)J"{ax)da;
0
diese Formeln sind also nur für die CylinderfunMon der ersten Art
anivendhar.
Dieser merkwürdige Satz ist später, aber nicht streng, von SoninO hergeleitet worden; der große russische Mathematiker hat aber eben durch diesen Satz viele seiner interessanten bestimmten Integrale gefunden.
1) Mathematisclie Annalen, Bd. 16, p. 47; 1880.
Anhang. — Hilfsformeln und Zusätze.
A. Die Gammafunktion ^).
Gauß-) hat zuerst die allgemeiue Gammafunktioii als uiieud- liches Produkt dargestellt, und zwar durch den Grenzwert:
(r.) r(x) = i,m ^(,^^...(,^,._.);
aus dieser Definition lassen sich ohne Mühe viele fundamentale Eigenschaften der Gamniafunktiou herleiten ; wir heben insbesondere folgende drei hervor:
(r.o) r{x-\-i) = x-r{x),
(r,) v{x)v{i-x) = ^^,
(Q V{x)V{x + i) = V(2x) .>^- 2-2-+S
welche schon Eni er bekannt waren; die letzte ist ein spezieller Fall einer viel allgemeineren Formel von Gauß^).
Für sehr große Werte der positiven ganzen Zahl n hat schon Stirling^) die asymptotische Formel:
angegeben, wo £„ eine positive Größe bedeutet, welche mit wachsen- dem n der Grenze Null zustrebt.
Weierstraß hat gezeigt, daß 1 :V{pc) eine ganze transcendente Funktion vom Genre 1 ist, indem er das Gauß sehe Produkt (fj folgendermaßen schrieb :
Ä = 1
1) Die Foi-meln dieses Abschnittes werden im Texte immer als (rj, (fg) u. s. w. citiert.
2) Disquisitiones generales circa seriem infinitam § 20; Werke Bd. 3.
3) loc. cit. § 26.
4) Man vergleiche zum Beispiel Serret: Calcul integral p. 217; Paris 1894.
24*
372 Anhang. — Hilfsformeln und Zusätze.
wo C wie gewöhnlicli die Eulersche Konstante bedeutet. Die durch (Fe) definierte ganze transeendeute Funktion hat also in 0 und in den negativen ganzen Zahlen Nullstellen der ersten Ordnung; be- deutet n eine ganze, nicht negative Zahl, so findet man eine Potenz- reihe von folgender Form:
welche sonach in der ganzen a;- Ebene anwendbar ist. Der allgemeine Binomialkoeffizient:
X -\- n — 1\ x{x — 1) ■ ■ • {x — H + 1)
w (:)-(-i)'r^r~^)
1 • 2 • 3 • • w
läßt sich mittelst (Fg), nachdem man Zähler und Nenner mit
r(x — n -\- 1) multipliziert hat, durch Granimafunktionen, wie folgt,
ausdrücken:
(r\ /a;\ r(a:-f-l)
^9^ \n) nir{x — n-{-l)'
Bedeutet n eine positive ganze Zahl, während a -\- b = c -{- d angenommen wird, so erhält man den Grenzwert:
setzt man nämlich der Kürze halber, wenn n eine positive ganze endliche Zahl bedeutet:
r { \ — 1 • 2 ■ 3 ■ (w — 1) ■ n^ so ergibt sich durch wiederholte Anwendung von (fg):
wendet man aber dieselbe Formel auf r(& + w), \'{c-\-n) und r{d + n) an, so liefert (T^) unmittelbar den gewünschten Grenzwert. Die Formel (T^q) läßt sich natürlich leicht verallgemeinern^). Gauß") hat auch die weitere Funktion:
(r„) T w - Djog r w = :;;!> = - c - J (^^ - ^) ,
eingeführt, wo C immer die Eulersche Konstante bedeutet; für
1) Man vergleiche meine Note in Le Matematiche Bd. II.
2) loc. cit. § 30.
A. Die Garamafnnktion. 373
diese neue Funktion erhält man aus (fj) und (fg) folgende Funda- mentalformeln:
(r,8) V(a; + 1) = ^ + ^'{x), V(l -x)- V(.f) = 7t cotjTx.
Weierstraß*) hat zuerst für die ganze transcendente Funktion 1 : r(j!f) den allgemein gültigen Lntegralausdruck:
angegeben, wo x eine willkürliche endliche Größe ist, während © eine Schleife bedeutet, welche im negativen Unendlichen boffinnt, sich unterhalb der Achse der negativen reellen Zahlen hinzieht, dann den Nullpunkt umgeht und sich wieder oberhalb der negativen Achse ins negative Unendliche verläuft.
Aus dem von Euler gegebenen elementaren Integralausdrucke ergibt sich ohne Mühe folgende andere Integraldarstellung:
0 -^
hier fällt der Integrationsweg mit der Achse der positiven reellen Zahlen zusammen.
Für das sogenannte erste Eni er sehe Integral erhält man zu- nächst den Ausdruck: 1
(r.5) A'(l-<>(Z< = gf++'+t)"' 3iW>-l, m(9)>-l;
0
setzt man hier ^ = sin^qp, so findet man nach einer kleinen Änderung der Bezeichnungen die weitere Formel:
"2 r/^ + Ap/g + n
(rj f{sincpyicoBcpyd<p = ^.-^J_^ \', ^{v)>-l, 9?((>)>-l;
die Substitution tg^g) = t ergibt nun nach einer abermaligen Änderung der Bezeichnungen:
1) Citat von Schläfli in Math. Ann. Bd. 3, p. 148. Man vergleiche J. H. Graf: Einleitung in die Theorie der Gammafunktion und der Eulerschen Integrale p. 9; Bern 1894.
374 Anhang. — Hilfsformeln und Zusätze.
Wir bedienen uns femer noch einer Formel, welche wh* aus (r^^) durch die Substitution t = z'-' herleiten, nämlich :
(r.) /
oo
V
f
. ^(^)^(^^^^)
^t-T- rL " -^ ^iy)>-\, ^{2^-v)>\,
(1 + tH 2 r(9)
0
wo V und q natürlich nicht dieselben sind wie in der vorigen Formel. Wir gehen schließlich von folgender elementaren Formel:
^ In
(2 COS ffY = ^ r j cos (n — 2s) 9?
s = 0
aus, WO n eine positive ganze Zahl bedeutet, und finden unschwer:
n
{a) 2« + ^ . / (cos g))« cos {y^)dcp = sin ^ (v + w) • ^ ^ , ,, ' *,
wenden wir jetzt folgende aus der Difi'erenzenrechnung wohlbekannte Formel:
s = 0
an, die sich ohne Mühe auch durch Zerlegung oder sogar in völlig elementarer Weise durch vollständige Induktion herleiten läßt, so erhalten wir aus («) die weitere Formel:
(r) } (_l)««!sin^(i;+«)
2«+l . I (cOSa)VcOS(vqp)f^0P =— j ; j r ; — , ^.
Betrachten wir nunmehr die zwei FäUe, in denen n als gerade oder ungerade vorausgesetzt wird, für sich, so finden wir aus (fg) und (fg) die allgemeine Formel:
n.
T
(•"lo) ■ / (coscpy'cos(va))(Zm = -- — j — ^- -,
eine Formel, die sich auch mittelst (fj folgendermaßen schreiben läßt:
it
2 r /'* + 1\ r /** + 2
^('vym
2 /* ■ i ~2~; v~2~;
('""o'* ^* / (cOSOp)"COs(vOD)rfm = --
B. Die hyiiergeometrische Funktion. 375
Die Formel (f^y) liefeii ohne Schwierigkeit noch folgende zwei;
, /? (2n)!co8^ X21) - • / (cos (py cos {vcp)dcp = — — -—
(2n4- 1)! sin^
(r«) i ■ / (sin ^)- - .in (.^).^,p = ,.„.,,(,.^3j:>)r(
man braucht ja in der Tat nur die allgemeinen Formeln § 17, (2) von Cauchy anzuwenden.
"+^)'
B. Die hypergeometrische Funktion^). Mit Gauß^) setzen wir:
(F.) F(„,^,,,.) = l + |.i.+ «4±i).m.' + ..,
SO daß diese Potenzreihe den Konvergenzradius 1 besitzt. Für x=l bleibt die Reihe noch konvergent, wenn ^{y)^0, 9^(y — a — /3)>0 vorausgesetzt wird; wir gewinnen unter diesen Bedingungen folgende Formel von Gauß^):
(F.) F(., ß, y, 1) = ['fX^^l
Als spezielle Fälle der allgemeinen hypergeometrischen Funktion heben wir mit Gauß*) die folgenden hervor: , . „ /l + V 1 — V 3 2\ sin {v arc sin x)
(^3) ^\^' "~2~' y ^j = -
vx '
/T, \ TT /. ■ ^ -. V 3 c,\ sin (v arc sin x)
(F5) f{^, -y, y, rc^^ =cos(varcsina;),
/pN 7?/^ + ^ 1 — '^ 1 ^2\ COS (y arc sin x) _
weiter führen wir die andere spezielle Formel an:
Von den vielen Transformationsformeln für die hypergeometrische Reihe benutzen wir vor allem diejenige von Euler^):
1) Die Formeln dieses Abschnittes werden im Texte immer als (F^), (F^) u. s. w. citiert.
2) loc. cit. 3) loc. cit. § 24. 4) loc. cit. § 5.
5) Citat von Hankel: Mathematische Annalen Bd. 8, p. 468; 1875.
(Fo)
g-yg Anhang. — Hilfsformeln und Zusätze.
(Fg) F{a, ß, y, x) = {l- x)-^F[ß, y-a,r, ^)
und diejenige von Kummer^)
F{a, ß, Y, x) = 22«(1 +yi^^=^)"'"'
setzen wir in der Kumm ersehen Formel speziell a = ß -\- ^, so liefert uns (F^) die einfache Formel:
(F..) F{ß + i, ß, 2ß, .) = ^ irrw^f •
In dem folgenden Abschnitte über die Kugelfunktionen bedienen wir uns noch folgender zwei Formeln von Gauß^):
(Fu)
\F{a,ß,y,l-x) = Ä-F{a,ß,a + ß-y-hl,x)-i-
\ -^Bxy-''-l^{l-x)y-F{l-a,l-ß,y-a-ß-\-l,x)
mit den Koeffizientenbestimmungen:
Ä =
r(y)r(7-«-ß)
B =
r(y) r(a + ß - y)
und:
(Fl,)
^(2^., 2/3, « + ^ + 4-, ^^') ^ A-^(^, ^, Y, ^) +
-^B,yx-F{a-^^,ß + ^,^,x), wo wir der Kürze halber:
gesetzt haben.
Die hypergeometrische Reihe läßt sich auch sehr einfach als bestimmtes Integral darstellen; man findet folgende Formel: 1
(F13) ft^-\l-t)y-^-'(l-txy"dt = ^^^^ [l~ ^^ ■ F{a, ß, y, x), 0
wo man:
I^|<1, m{ß)>0, m(y-ß)>0
voraussetzen muß. Die Formel (F^g) läßt sich in der Tat durch gliedweise Integration herleiten, nachdem man die Funktion unter dem Integralzeichen mittelst der Binomialformel nach steigenden
1) Journal für Mathematik Bd. 15, p. 77; 1836.
2) loc. cit. § 43, § 56.
C. Die Kugelfunktionen. 377
Potenzen von ./' entwickelt bat. Für x = 1 tindct raun hieraus un- mittelbar die Gaußscbe Formel (F^) wieder, denn die bier erbaltenen engeren Bedingungen lassen sieb modifizieren, so daß die Formel überall richtig bleibt, wo beide Seiten analytische Funktionen, z. B. von y, darstellen. Dieser Beweis ist zuerst von Kummer^) gegeben worden.
Wir haben noch zu bemerken, daß y = F(a, ß, y, x) das eine partikuläre Integral folgender homogenen linearen Differentialglei- chung, der G au ß sehen Gleichimg, sein muß:
(FJ x{l-x)tß^^ (y-{a + ß + l)x)yW-aßy = 0;
das andere partikuläre Integral dieser Gleichung wird im allgemeinen
in der Umgebung von x = 0 durch:
(FJ x'-y-F{u+l-y, ß+l-y, 2-y, x)
dargestellt.
C. Die Kugelfunktionen -).
Wir definieren die allgemeinen Kugelfunktionen der ersten Art durch die Identität:
(Kl) {l-2ux + x^)-'' = 1 +^K''^'{a)x% v + 0,
und erhalten so durch direkte Ausrechnung für K^' "(a) den Ausdruck :
^^
2
die Annahme v = l- führt zu den gewöhnlichen Legendreschen Kugelfuuktionen ; also ist:
(K3) Z^-(«) = P''(a).
Die sowohl in 1/ als in a ganze rationale Funktion K^''*(cc) läßt sich sehr leicht auch als hypergeometrische Funktion darstellen; wir erhalten, je nachdem s gerade oder ungerade ist:
(K,) K:^'(u) =ti^^.F(. + «,-«,i,«^),
1) loc. cit.
2) Die Formeln dieses Abschnittes werden im Texte immer als (Kj), (Kj) usw. citiert.
378 Anhang. — Hilfsformeln und Zusätze.
Die Gauß sehen Transformationsformeln des vorliergehenden Abschnittes gestatten bemerkenswerte Umformungen der KugeKunk- tionen. Setzen wir in der Tat in (F^^) ß = — n, wo n eine ganze, nicht negative Zahl bedeutet, so verschwindet der Koeffizient B, und wir gewinnen aus (K^) und (Kg) folgende zwei anderen Formeln:
(K,) Ä->- (cos <p) ='^^yF{v + n, -n, a.+ |, sin^ 9,),
^-■^" + ^rcos(pW ''(a.+^n+i)
A' lCOS9'^-(2w + l)!r(2j;+l)
' F(v-\-71-^ 1, —n, v-\-~ , sin^g)] • cosqp, während sich aus Formel (Fjg) unschwer ergibt:
(K3) ^'■'-(cos^)) ='^l+^yF[2v^2n,-2n,v + \,.m^fl,
(Ke)
[g-.^- + ^rcos(p-)= r(2^+2^ + i)
A' (,COS()Pj (2„4-l)!r(2i'+l)
F{2v-\-2n^-l,-2n-\,v + \,sm^\)
Für V = 0 ist die Definition (K^) der Kugelfunktionen demnach unanwendbar: gehen wir dagegen von (K^) und (K5) aus, so finden wir unter Anwendung von (F5) und (Fg), indem wir zugleich x = ^va.(p setzen: (Kio) Hm [w r {v) K"^ 2« (sin g,)] = (_ l)« cos (2 n cp) ,
(K,i) (2w + l)^°>2« + i (^si^ ^>) _ (^_1)« si^ (2>i+l)9J5
setzen wir in diesen Formeln -^ — fp für 9), so erhalten wir weiter:
(K12) lim [n r (v) .AT'' 2 " (cos qp)] = cos (2 n (p) ,
r = 0
(KJ {2n + l)^o,2«+i (cos g)) = cos {2n + l)(p.
Ähnliche Grenzformeln ergeben sich, wenn wir in der Definition (K J V = 1 annehmen ; die weitere Annahme a = cos g) gibt dann
identisch:
1 — a; cos qo 1 / 1 . 1 \
1 — 2a; cos cp -\- x^ ~ Y (^i_a;e'> 1 — a;e"'>/ ' woraus die Entwicklung:
- — — ^ cos qp — = 1 _|- N" COS (ncp) • X*" 1 — 2a;cos qp + o;* ' .^ ^ ^^
»1 = 0
folgt, so daß:
(KiJ ^^'" (cos 9)) — cos 9 • ^^'"-^(cos (p) = cos (ng))
D. Zwei Integralidentitiiten. 379
sein muß. Führen wir in diese Formel für die Kugelfunktioiicn die Ausdrücke (Ky) und (Kg) ein, so erhalten wir die hekannte Dar- stellung von Qos(nq)) als Polynom von cos qp, und dieser Beweis ist für die obenerwähnte elementare Formel vielleicht der einfachst mögliche.
Wir bemerken schließlich noch, daß wir aus (Fj^) für y = K^'^{x) die lineare Differentialgleichung:
gewinnen.
D. Zwei Integralidentitäten ^).
Die Formeln mit der Gammafunktion, welche wir vorausgeschickt haben, gestatten uns unmittelbar, einen spezielleren Fall zweier merkwürdiger Integralidentitäten herzuleiten. Aus (P^g) erhalten wir in der Tat die speziellere Formel:
7t
ß
(sin 2 «)» + ' ■ (tg »)' rf» - ^ („;.; ^
0
so daß eine Multiplikation mit Formel (r^c,) unmittelbar ergibt:
7t 7t
(ß) j (sin 2 oj)" + 1 (tg coy da • j (cos tpY cos {v(p)dcp = ^ ^^ _^ ^^ ,
0 0
gehen wir also von folgender Potenzreihe mit dem Konvergenz- radius q:
aus, so finden wir aus («), vorausgesetzt, daß:
\x\<Q und 2>3fl(i/)>-2
ist:
7t 7t
Y Y
/ / f{xün2ojQ.oBcp)(igay x^iri2a 0,0^ {y(p)d CO dq) == ^-^^ ~"XT
0 0 ^ s=0
1) Die Formeln dieses Abschnittes werden im Texte immer als (IJ, (I^) usw. citiert.
380 Anhang. — Hilfsformeln und Zusätze.
oder, was dasselbe ist, folgende merkwürdige Integralidentität:
n n
(Ij) D^\ I f(^x sin 2 (OGOS (p){tgG)yxsin.2 C3 cos {vcp)d ad q)=-Y'f(^) >
0 0
welche sich auch folgendermaßen schreiben läßt:
n jt
/T N I / I f^^\x SIR 2 a COS (p) (ig cjy X s'm 2 (xt COS (vqi)d ad q) =
[ ° =1 (/-w-fco)).
Die Integralformel (T^q) gibt weiter folgendes andere Produkt:
Y Y
(y) I {smaY + \tgayda- / (sm(py{cos(pydq)^ — ^',^^1'
0 0
wo l>tR(v)> — 1 vorausgesetzt werden muß; somit finden wir für dieselbe Potenzreihe (ß) noch folgende weiteren Identitäten:
(I3)
7t 7t
IT Y
D^ f f f(x sin 03 sin 9) tg «)*' x sin a (cos cpy da dcp =
VTt
2 cos-—
(I4)
Ä 7t
Y Y
f j f"^^ {x sin a sin 9) (tg (0)'' a; sin a (cos 9))" da drp =
= -^-(/(^)-rtO)).
2 cos —
9
Unsere vier Integralidentitäten sind also vorläufig auf jede Funktion anwendbar, welche sich in der Umgehung von x == 0 regulär verhält. Sucht man nun diese Formeln zu verallgemeinern, so scheint es am geratensten, die Formeln (I^) und (I3) zu Grunde zu legen, weil man dann vielleicht nicht notwendig die Differentiierbarkeit von f{x) vorauszusetzen braucht. Wir können indessen auf eine solche Verallgemeinerung hier nicht näher eingehen, müssen uns vielmehr auf einen speziellen Fall beschränken, indem wir den Satz beweisen:
E. Trigonometrische Reihen. 381
Lk Operationen (I,) und (I.,) sind für die Funklion F{x) erlaubt, wenn eine Reihenentwicklung von folgender Form:
(d) F^'^x) = «iPi(a-) + a,2h{x) + o^rÄ^) + ■■■
existiert, wo sich die Entwich! nndsfunldionen p„{x) sämtlich in der UmychüUd von rc = 0 rc(/nlär vcriialtcn, und wenn aiißcrdcm die Reihe (ö) für 0 ^x ^ q f/lrichmäßig konvergiert.
Die Eutwickluugsfuuktioueu />„(a:) gestiittcn ja in der Tat sämt- lich l)eicle Operationen, und vermöge der gleichmäßigen Konvergenz sind diese Operationen auf die Reihe (d) gliedweise anwendbar.
Wir bemerken, daß die Formeln (IJ und (I3), (Ig) und (I,) für V = 0 identisch sein müssen; setzen wir nämlich in (Ij) oder (Ig) ^w für 03, so findet man die Grenzen 0 und :t, und die Formel § 17, (2) von Cauchy führt dann unmittelbar zum Ziele. Dieser Spezialfall von (I^) war schon AbeP) bekannt; ein einfacher, aber nicht strenger Beweis ist von Schlöm ilch") geliefert worden. Sonin^) hat die allgemeine Formel (Ij) mittelst Cylinderfunktionen, aber nicht in aller Strenge hergeleitet; denn seine Herleitung ergibt keine Bedingung, welcher die Funktion f{x) unterworfen werden muß.
E. Trigonometrische Reihen*).
Von den trigonometrischen Reihen betrachten wir nur die- jenigen, welche in einem Intervalle von der Größe 2% anwendbar sind und zudem noch Fouriersche Reihen sind, d. h. deren Koef- fizienten sämtlich durch gewisse bestimmte Integrale dargestellt werden können.
Wir betrachten insbesondere Reihen, welche in dem Intervall (—TT, + n;) anwendbar sind, die beiden Grenzen jedoch möglicher- weise ausgeschlossen; wir setzen demnach:
« = 00 (Ti) fix) = Y «0 + ^ («« cos (nx) + \ cos {nx))
1) Oeuvres completes Bd. IL
2) Zeitschrift für Mathematik und Physik Bd. 2, p. 155; 1857.
3) Mathematische Annalen Bd. 16, p. 48; 18s0.
4) Die Formeln dieses Abschnittes werden im Text immer als (TJ, (T^) usw. citiert.
382 Anhang. — Hilfsformeln und Zusätze.
mit den Koeffizientenbestimmungen:
(Tg) a^^^'J f{x) cos {nx)dx, b„ = ~.Jf{x) sin (nx)dx.
— n
Die hinreichende und notwendige Bedingung, welcher die Funk- tion fipc) unterworfen sein muß, um in eine Reihe von der Form (T^) entwickelbar zu sein, kennen wir nicht.
Für unsere Anwendungen der Fouri er sehen Reihen reichen aber die von Dirichlet^) gegebenen Bedingungen hin:
1) fix) muß iu dem Intervalle (— ä, -{-n) abteilungsweise stetig und kontinuierlich und zudem eindeutig und integrabel sein.
2) fix) darf in demselben Intervalle nicht unendlich viele Maxima oder Minima besitzen.
3) Ist a eine Sprungstelle, so hat die Reihe die Summe:
-\ (/■(« + 0) + fia - 0)) ; für ic = ± 3t wird die Summe immer gleich:
Dirichlet hat seine Untersuchungen mittelst der sogenannten Dirichl et sehen Integi-ale durchgeführt; es sind dies Integralsätze von folgender Form:
Wenn f{x) den vorhergehenden Bedingungen genügt und n eine positive ganze Zahl bedeutet, so findet man:
0 , J}>a>0 oder &<a<0 ^([O), h>0, a<0
^f{0), &>0, a = 0 oder & = 0, a<0;
6
(T3) lim f^^fix)dx
M = CO
a
unter denselben Bedingungen ergibt sich dagegen stets:
h
(T,) lim f'-^f(x)dx = 0,
a
wobei jedoch das Integrationsintervall die Null nicht enthalten darf. Integralsätze von dieser Form sind später von du Bois Rey- mond^) wesentlich verallgemeinert worden.
1) Journal für Mathematik Bd. 4; Werke Bd. I, p. 127, 128.
2) Journal für Mathematik Bd. 69; Mathematische Annalen Bd. 4.
E. Trigonometrische Reihen. 383
Von den zahlreichen Arbeiten über Fouriersehe Reihen citieren wir die Abhandlimf^en von Kiemann^), Heine^, Cantor'), du Bois Reyniond^), Harnack^), Holder^) und vor allen von Dini").
Als Beispiel l)etraehteu wir die Funktion cos (ax), wo a eine willkürliche endliche Gniße bedeutet; da diese Fimktion eine gerade ist, müssen die Koeffizienten h^ sämtlich verschwinden; wir finden dann ohne Mühe folgende Entwickhmg:
(T,) cos («.) - '^ (i +2 (- 1)' C-^ + ^h) <="' ^"^) •■
für die Funktion sin (ax) erhalten wir in ähnlicher Weise folgende Sinusreihe:
(T.) sin (..) = ^) . 2 (- !)■ (^ - ^) - (-)■
Wir brauchen noch einige elementare Fouriersehe Reihen, welche wir indessen einfacher durch eine speziellere Methode herleiten können. Die gewöhnliehe Potenzreihe:
log(l-^) = T~ Y + ¥
ist ja auch für x = e'f, — n < cp < -\- n^ anwendbar; vergleicht man die imaginären Komponenten der beiden Seiten in der so erhaltenen Formel, so ersehen wir, daß:
, V qp sin qp sin 2 w , sin 3 qp ^ ^ ,
(«) 2=-T^-^^ + -T^ ' -^<<p< + 7t',
führen wir weiter folgende Bezeichnungen ein:
so erhalten wir aus (a) durch wiederholte gliedweise Integration, welche offenbar erlaubt ist, weil ja die Reihe, außer in den Grenzen + n, gleichmäßig konvergent ist, die zwei allgemeineren Formeln:
1) Mathematische Werke, p. 227—265; Leipzig 1892.
2) Journal für Mathematik Bd. 71.
3) Journal für Mathematik Bd. 72, Bd. 73. Mathematische Annalen Bd. 4, Bd. 5. Acta Mathematica Bd. 2.
4) Abhandlungen der Münchener Akademie Bd. 12.
5) Mathematische Annalen Bd. 19.
6) Mathematische Annalen Bd. 24.
7) Serie di Fourier, Bd. I; Pisa 1880.
384
Anhanof. — Hilfsformeln und Zusätze.
V tlT! . cos {S<p) = >; (- ir ^2.-2. •
{(p—2pny
s = l
X/ V ^J ^"in-ir (2r).' '
/• = 0
\»-l
(qo— 2p3r)
2r+l
(Ts) 2^ y^^ • '^^ ^'^^ =2 ^~ ^r^^n-.r ■ —(27+1)^-'
s = l
r = 0
WO p eiiie solche ganze Zahl bedeutet, daß (2^9 — l)3t^g)^(2^ + l)jr ist. Für ^> = 0 gestatten die Ausdrücke rechter Hand in diesen Formeln eine bemerkenswerte Umformung; setzen wir in der Tat:
?«<,
11 > %»• + !""
i-lfcp"-'-'
'■2r (2r)! ' ""S'^ + i " (2r + l)! '
SO gewinnen wir für die Summen der trigonometrischen Reihen folgende Ausdrücke:
r= n
X I ^2n-2r''^2r) Xi ^2n-2r "^2r + 1 >
r=0 r=0
wo die u,j. die ersten Glieder der Potenzreihen für cos x und sin x bedeuten.
Setzen wir weiter in (a) tc — g) für (p, so ergibt sich:
(y) ~2~^~r""' 2 ' 3 ' ' ^<(p<^^,
woraus folgende allgemeinen Formeln:
(T,o)
Ä= CO
s=l
4;-cos(s9J) = y'(- ^y^2n-
2r
r = 0
(qp-2j)7r) (2r)!
2r
+
+
(-
! \ (2«— 1)! (2«)! J'
(Tu)
2r+l
J^ s2n +
..sinM^^^-l)^^— -'^4^ +
r = 0
+
(- 1)^' (%(<p-2pnr _{cp-2p
2 \ (2«)!
-1)! y
(2«)! {2n-{-
hervorgehen, in denen 2^ eine solche ganze Zahl bedeutet, daß
2p7t^(p£{22)-{-2)7t ist und s,. die Summe der numerischen Reihe:
bezeichnet.
r>2
E. Trigonometrische Reihen. 385
Addieren wir nneli (a) und (y) und setzen wir in der erhaltenen
Tt
Formel - — (p l'ür qp, so gelangen wir zu iojgender wi-itcri'n l"'nrniel:
2
/.,. « COS qp cosSqp C08 5(p ^ ^ ^ , ^
(Ö) Y = ~ 3~ H f, f — \^ <<P<+ ./ ;
aus der sich die allgemeineren:
ergeben, wo j; eine solche ganze Zahl bedeutet, daß:
{p-^)n£cp£{p + ^)ji ist, und wo r,. ilie Summe der numerischen Keihe:
^^ r 3'- "^ 5'- 7'- "^ " ■
bedeutet. Formeln von dieser Art sind zuerst von Euler^) ange- geben worden; die Reihen (Tj,,) und (T^^) stehen für p = 0 mit den Jacob B ern ou 11 i sehen Funktionen in sehr naher Verwandtschaft; Kaabe-) hat diese Funktionen durch die obenerwähnten Reihen definiert, indessen ist es ratsamer, diese Definition etwas zu modi- fizieren, wie es meines Wissens zuerst Schläfli^) getan hat.
Setzen wir in (Tj^) (p = tc, so gewinnen wir durch vollständige Induktion für die numerische Reihe Sg« den Ausdruck:
n2n-l 2« ^ .2 n T>
(2«)!
WO B^n-i ®*^^ rationale Zahl, die B ern o uliische Zahl vom Range 2n — 1, bedeutet. Ähnliche Ausdrücke finden wir für die Summen ffg« und T2„^i, während wir über die Natur der Reihen s^^^^, ^2n + i) ^2n ^ichts wisscn.
Wir haben noch betreffs folgender speziellen Reihe:
«= CO
(Tu) m = 2 ^^^^ ' ^'^^ (^« + «) '
s = l *
wo u eine endliche, reelle oder komplexe Konstante, a einen reellen Winkel bedeutet, folgenden Satz zu beweisen:
1) Introductio in Analysin infinitorum. 2) Journal für Mathematik Bd. 42. 3) Man vergleiche die Dissertation von Renfer: Definitionen derBernouUi- schen Funktion, p. 37; Bern 1900.
Kiel 86 n, Cylinderfunktionen. 25
386 Anhang. - — Hilfsformeln und Zusätze.
fix) ist in der durch die Bedingung 9f^(a;) > 1 bestimmten Halh- ebme immer eine in x analytische Funldion; dasselbe gilt auch in dem durch die Bedingungen 0 <.^{x) <,1 bestimmten Parallelstreifen der X- Ebene, falls a nicht ein ungerades Multiplum von n bedeutet.
Der erste Teil dieses Satzes ist einleuchtend^ weil dann die betreffende Reihe unbedingt konvergent ist; um auch den letzten Teil zu beweisen, setzen wir:
s = p
"^ (_ 1)* + " - ^ ,
I^n,p{^) = ^ ^J^^^^, • cos ((S + m)c3 + C^)
und finden so aus der elementaren Formel:
2 cos Y • cos (so + a) = cos US + -^j CO + a j + cos ( (•5 — y) « + « )
für 2 Rn^p(x) cos— folgenden andern Ausdruck:
(- 1)" cos ((w- 4) CO + «) (- If +^-^ cos {{n + p ^y)x-\-a) (« + lf {n-j-pf
s = p
+ 2'(-lV^-((,^„'^y-(^)cos((. + » + 4-)o. + .);
« = 1
nun ist aber nach der Binomialformel:
1 1 X x{x-\-l)
+
somit ist für '3i{x) > 0 und a =[= (2q -\- 1)^, wo q eine ganze Zahl bedeutet, das Restglied Rn,p{x) als Restglied einer unbedingt kon- vergenten Reihe anzusehen.
Durch Multiplikation mit 2 sin — beweisen wir einen ähnlichen Satz für die Reihe:
4 = 00
(Tis) i/(^) = ^ 4- • cos (so + a),
» = i *
wo 03 für 0 < '3i(x) < 1 kein gerades Multiplum von 7t bedeuten darf; setzen wir ferner in den beiden Reihen (T^i) und (T^r,) a — — für a, so ergeben sich daraus ähnliche Sätze für die beiden analogen Sinusreihen.
Diese Methode für die Verstärkung der Konvergenz einer trigonometrischen Reihe ist nach Julius Petersen^) Malmsten zuzuschreiben.
1) Vorlesungen über Funktionentheorie p. 141.
F. ZuHÜtze nn<l Berichtigungen. .*i,S7
F. Zusätze und Berichtigungen.
Seite (5. Es ist 7,11 bemerken, daß auch Liij)la('e') und Parseval-) die ('vliiiderl'unktion J"(jr) gekannt haben. Seite 27. Die erste Fundamentalgleichung der Cyliuderfunktionen:
2D^FHx) = F'-\x) - F'^\x)
ist eigentlich mit Zuhilfenahme der Additionsformel in § 114, (2) von Sonin durch eine Neumannsche Reihe der ersten Art aufgelöst. Setzt man nämlich voraus, daß sich F*(x) im Punkte x = u regulär verliält, und setzt iuan noch: F\a) = a{y),
wo a.{y) eine arbiträre Funktion von v bedeutet, so findet man folgende Entwicklung:
' = tf.
F'{x + «) = aiy)J\x) + ^ [aiy - h) + (- l)'a(v + s) J'{x),
> = 1
wo die willkürliche Funktion nur so zu bestimmen ist, daß diese Reihe konvergiert. Diese Neumannsche Reihe definiert uns also alle analytisclien Lösungen der oben- erwähnten Fundamentalgleichung.
Seite 32. Kapteyn^) hat später einen mit demjenigen vom Kriegs- minister Madsen gegebenen sehr ähnlichen Beweis für die Formel (14) publiziert.
Seite 5C. Parseval*) hat das Hansensche Integral für n ■= 0 entwickelt.
Seite 84. Die Formel (4) ist unrichtig; es fehlt rechter Hand das
Glied -{q-v) 6"(«x) C,^{ax) .
Seite 155. Die in (10), (11) gegebenen asymptotischen Entwick- lungen sind beide zugleich in derselben willkürlichen Halbebene anwendbar, wie man unmittelbar beweist, in- dem man in (1), (2) desselben Paragraphen
x = re"^^ y = — 2ie^^~i'^', xy =- ^
setzt, wo immer — 5- < 9^ < + v ^^^^ muß. Man vergleiche übrigens die ähnlichen Beweise pp. 227, 242.
1) Histoire de rAcademie de Paris 1779, p. 277.
2) Memoires des savants etrangers, Bd. 1 ; 1806. Citat von Burkhardt im .Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 10, p. 401; 1903.
3) Monatshefte für Mathematik und Physik, Bd. 14, p. 275 tf.; 1903.
4) loc. cit. Citat von Burkhardt loc. cit. p. 401.
25*
388 Anhang. — Hilfsformeln und Zusätze.
Seite 230. Die asymptotische Reihe für den Integrallogarithmus ist zuerst von Mascheroni^) gegeben, später von Söldner^), Bretschneider^) und insbesondere von Stiltjes'*) untersucht worden.
Seite 247. Die asymptotische Entwicklung (6) ist in der Tat höchst merkwürdig, indem sie uns unmittelbar folgenden Satz gibt:
Die Quadratsumme (j''(x)Y-\- {Y^{x)Y ist in der ganzen unendlichen x-Ehene, außer in x = 0, immer endlich.
Damit ist aber eine neue merkwürdige Analogie zwischen den Cylinderfunktionen und den Kreisfunktionen dargelegt; für ** = ± 1 gewinnt man natürlich aus der obenerwähnten Formel die entsprechende spezielle Identität:
cos^ X + sin^ X = 1.
Seite 274. Kapteyn^) hat neuerdings eine neue Herleitung der
Neumann sehen Reihe erster Ai-t für gegeben.
y — X ° '^
Seite 353. Die Bedingung 1) ist im Dinischen Buche durch einen Druckfehler verunstaltet; es steht nämlich dort irrtüm- licherweise x''-P^\-f{x) statt x^-P-f(x).
Nach einer mündlichen Mitteilung^) vonProfessor Dini bleibt sein Satz I noch gültig, wenn man — ^ > v > — 1 (statt V > — ^) annimmt, vorausgesetzt, daß man in der Bedingung 1) x~~2-f{x) (statt x^~p • f{xj) einführt, während die übrigen Bedingungen ungeändert bleiben.
1) Citat von Bretschneider im Journal für Mathematik Bd. 17, p. 260; 1837.
2) Theorie et tables d'une nouvelle fonction transcendante , p. 14; Mün- chen 1809.
3) loc. cit.; Grunert Archiv Bd. 29, p. 240; Programm des Realgymnasiums Gotha, 1859.
4) Man vergleiche das Büchlein von ßorel: Le9ons sur les söries diver- gentes, chap. 2; Paris 1901.
5) Nieuw Archief; 1903.
6) Im Sommer 1903.
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4) Über die Konvergenz der Entwicklung einer arbiträren Funktion f{x) Nielsen, Cylinderfunktionen. 26
402 Literaturverzeichnis.
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Alphabetisches Register.
Aiitorcnnamon in Vorl)inrlunsen wie z. B. NeumannRche Cylindeifnnktion, Neumannschc Ueihon wonlon hier im Register nicht für sich zitiert. Unter „Funktion" findet man die spezielleren Funktionen aufgezeichnet,
welche im Buche vorkommen.
Abel, N.H. 24. 315. 381. Additionsformel 2'.t9.
— von Bessel 266.
— von Gegenbauer 2H0.
— von Sonin 286. 287. 288. 330. 387.
Airy, A. G. 158. Aldis, W. St. 17. Anger, C. T. 47. 53. 89.
157. Argument einer Cylinder-
funktion 3. Asymptotische Reihen
155. 156. 228. 229. 230.
231. 243. 244. 247. 388.
Basset, A. B. 185. Bauer, G. 278. Beltrami, E. 280. 350. 358. Bernoulli, D. 6. BemouUische Funktionen
28. 323. 325. 335. 337.
350. 385.
— Zahlen 269. 358. 360. 385.
Bessel, F.W. 6.14.21.24.
25. 29. 31. 39. 46. 51.
52. 53. 65. 69. 71. 95.
118. 121. 126. 127. 152.
158. 173. 182. 184. 266.
269. 276. 334. 337. Besselsche Cylinderfunk-
tion s. J'*'{x).
Besselsche Differential- gleichung 4. 10. 14. 15. 16. 43. 44. 47. 51. 52. 55. 76. 78. 83. 113. 129 ff. 142. 145. 237. 291.
— ,, Funktionen zweiter Art'' 13. 22. 114.
Böcher, M. 161. 162. 173. du Bois Reymond, P. 360. 361. 363. 367. 382. 383. Borel, E. 388. Bourget, J. 160. Bretschneider, C. A. 388. Burkhardt, H. 47. 387.
Cantor, G. 383.
Carlini, F. 6.
Cauchy, A. L. 20. 44. 46. 49. 60. 63. 116. 126. 157.230.247.248.251. 274.290.302.375.381.
Christoffel, E. B. 31.
CinelH, M. 52.
Clebsch, A. 280.
Coates, C. V. 350.
Greller, L. 33. 34. 285.
Cylinderfunktion, allge- meine s. C^'{x).
— erster Art s. J^{x).
— zweiter Art s. Y'^'{x).
— dritter Art s. H^*'(x) und H^^'{x).
Differenzengleichungen
26. 80. Differenzenrechnung 37.
270. 271. 301. Dini, U. 152. 156. 183.
212. 226. 253. 353 ff.
383. .388. Dirichlet, P. G. Lejeune
250. 328. 339. 365. 382. Diskontinuierlicher Fak- tor 193. 200. 247 ff. 2.58. von Dirichlet 193.
200. 256.
— — von Sonin 256. von H. Weber 200.
256.
Doppelintegrale 64. 95. 96. 246. 338 ff. 360. 8. übrigens Integraliden- titäten.
Doppelreihen 261. 266. 270. 292. 304. 305.
Dougall, J. 17.
Duhamel, J. M. C. 131. 132.
Elliptische Funktionen 359.
— Integrale 319.346.347. Ermakoff, W. 361. Ette, C. R. 15.
Euler, L. 6. 11. 15. 44. 51. 131. 132. 161. 172.
406
Alphabetisches Register.
179. 183. 188. 269. 352.
358. 371. 373. 375. 385. Eulersche Integrale 94.
179. 191. 373. 374. — Konstante 13. 14. 52.
71. 190. 371. 372.
Fakultätenreihen 155.225.
262 ff. 299. 306. Fourier, J. B. J. 6. 352.
360. Fouriersche Integrale 360.
— Reihen mit Cylinder- funktionen 352 ff.
— Reihen mit Kreisfunk- tionen 52. 53. 65. 67. 70. 74. 75. 79. 144. 300. 323. 325. 334. 348. 350. 352. 381 ff.
Fresnelsche Integrale 72.
73. 74. 98. 99. 101. 102.
229. Frobenius, G. 15. 16. 21.
203. Fuchs, L. 24. Fundamentalgleichungen
der Cylinderfunktio-
nen 3. 26. 26. 27. 28.
30. 35. 284. 387. Funktion :
^''(x) 40. 41. 42. 84. ^^'(x) 13. 40. 41. 42.
276. 337. Q^ix) 105. 114. W{x) 105. 114. 0"(ic) 106. 114. 128.
129. 277. 285. 288. S"(a?) 21. 22. 58. 59. 62. 63. 80. 106. 108. 114. 128. 129. 185. 242.
277. 285. 288. Z'^ix) 21. 22. 56. 57.
62. 68. 106. 114. 128.
288. W{x) 41. 42. Cix) (Definition) 27. Ci{x) s. Integralcosinus.
Fj (x) und F^ (x) s. Fres- nelsche Integrale.
Si'(a-) und iy.'Xa;) (De- finition) 16.
/'■(.x) (Definition) 5.
K{x) s. Krampsches Integral.
K'''"(x) s. Kugelfunk- tionen.
L''{x) 90. 91. 92. 99. 102. 114. 230.
lie~^ s. Integralloga- rithmus.
N\x) 90. 114.
0"(x) s. Neumannsches Polynom.
R^'"{x) s. Lommelsches Polynom.
S"(x) s. Schläflisches Polynom.
S/Xx) s. Integralsinus.
T"{x) 13. 22. 44. 49. 50. 56. 62. 68. 91. 114. 128. 288. 336. 356.
^■"(a;) 13. 276. 337.
Y^ix) (Definition) 11 ff.
Z"(.r) 51 ff. 69. 89. 92. 95. 224. 231. 234. 235. 236. 238. 292. 337. 348. 356.
Z'''-"{x) 89.
A"{x) 56 ff. 67. 68. 120. 288.
M"(ic) 61 ff. 68. 288.
TT'(.r) 47 ff. 64. 66. 67. 69. 73. 89. 95. 101. 103. 224.229. 232.234.311. 312. 335. 336. 349. 356.
TT'''^(.'k) s. Lommelsche
Fimktion.
n"'^'''(a;) 108 ff.
0'(ic) 56 ff. 59. 60. 67. 73. 74. 75. 79. 103. 105. 119. 127. 180. 184. 288.
0'''?(a;) 103 ff. 114. 136. 180. 241. 242. 243. 291.
X''(x) 47 ff. 64. 66. 67. 69. 73. 89. 95. 103. 224.
232. 233. 234. 244. 311. 312. 335. 336. 344. 349.
356. ^{x) s. Gaußsche Funk- tion. ^"(0;) 46 ff. 59. 60. 118.
229. 233. 238. 244. 248.
288. 312. 330. 331. 333.
334. 336. 345. 349. 356. Y''^{x) 88. 96. Q''ix) 44 ff. 55. 59 ff.
64. 65. 67. 68. 127. 128.
219. 229. 238. 239. 244.
248. 288. 312. 330. 331.
333. 334. 336. 345. 349.
356.
Gauß, C. F. 13. 25. 112.
187. 189. 194. 195. 275.
371. 372. 375. 376. 377.
378. GaußscheFunktionl2. 13.
21. 40. 90. 94. 99. 105.
190. 276. 372. 373. Gegenbauer, L. 162. 181.
182. 183. 186. 272. 274.
278. 280. 281. 285. 294.
353. 363. Graf, J. H. 17. 32. 34. 71.
80. 157. 280. 306. 358.
360. 373. Gram, J. P. 272. Gray 159. 183. 185. 278. Gubler, E. 17. 71. 123.
157. 194. 306.
Hadamard, J. 7. 358. Hamilton, W. R. 173. 174.
360. 361. Hankel, H. 15. 16. 17. 23.
24. 44. 114. 115. 152.
155. 184. 186. 188. 201.
240. 247.353.358.361.
363. 364. 369. 375. Hankeische Cylinderfunk-
tionen s. S^' («) und
H,'\x). — s^ Umkehrproblem 363.
369.
Alpliabetischeri Register.
40'
Hansen, 1'. A. 10. 56. Gö.
66. 119. 123. 156. 157.
168. 387. Harmonische Reihe 34G. Hanmck, A 353 383. Hau])t\vert einer Cylint-lor-
funktion li>. 175. Heine, E. 10. V2 127.
1^<6. 272. 3H3. Hobaon, E. W. 162. 278. Holder, 0. 383. Hun\it2, A. 36. 149. 156.
162. 172. Hyperbelcosiuus 119 iF Hyperbelsinus 118 ff. Hypcrelliptische Integrale
347. Hypergeometrische Funk- tionen (Reihe) 10. 20.
185. 191 ff. 268. 275.
319. 320. 342. 843.
375 ff.
Integralcosinus 71. 72. 74.
99. 102. 230. Integralidentitüten 316.
348 ff. 379. Integrallogarithmus 71.
72. 74. 102. 230. 388. Integralsinus 71. 72. 74.
99. 102. 230. 293. 295. Invariabilit;ltsbereich331.
333. 335. 342.
Jacobi, C. G. J. 53. 56.
65. 156. 157. 273. 278.
358. Julius, V. A. 15.
Kapteyn, \V. 71. 198. 272. 294. 300. 302. 305. 315. 318. 387. 388.
Kapteynsche Reihen er- ster Art 300 ff. 309 ff. 331. 334.
— Reihen zweiter Art 306 ff.
Keplersche Gleichung 69.
158. 306 ff. 309 tF. 33(1.
333. Kettenbruchentwicklung
37 ff Kuoiiu'uliauer 102. 158. König, .1. 272. Krampsches Integral 72.
73. 74. 75. 79. 101. 102.
107. 180. 230. 244. Kreispunkte 171. Kugell'uuktionen 7 ff. 12.
200 ff. 277. 278. 280.
281. 288. 289.290. 291.
343. 377 ff. Kummer, E. E. 186. 195.
376. 377.
Lacroix, S. F. 132. Lambert, .1. H. 39. de Laplace, P. S. 387. Laplaceschc Transforma- tion 203. 210. Laurentsche Reihe 296. Legendre, A. M. 39. 278.
315. 316. 377. Liouville, J. 32. Lipschitz, R. 157. 186.
189. V. Lommel, E. 6. 14. 15.
21. 23. 29. 30. 31. 32.
33. 34. 36. 37. 39. 43.
44. 47. 48. 62. 77. 82.
83. 84. 88. 98. 99. 100.
102. 130. 132. 157. 158.
159.266. 270. 281.287.
293. 294. 295. S.'jü. Lommelsche Fundamen- talformel 23 ff. 29. 30.
32. 35. 42ff. 79. 97. 99.
107. 149. 160. 163. 298.
— Funktion 86 ff. 104. 111. 113. 114. 136.139. 140. 141.179.213.218. 219. 222. 224. 227 ff. 234. 235. 237. 238. 239.
291. 342. 343. 344. 355. 356.
— 8 Polynom 23. 30. 31.
32 ff. 42. 79. 80. 81.
149. 163 ff. 269. Mao Mahon, .1. 173. Madaen, V. H. 0., Kriogs-
luinister 32 387. .Malmsten, t" .1. 203. 386. Mascheroni 388. [278. Matthews 159. 183. 185. Mehler, F. G. 10. 223.
232. 256. 361. Meissel, E. 15. 131. 146.
158. 173. 224. 246. 313. Mittelwertsatz 367. Molk, .1. 3.')9.
Neumann, C. 6. 14. 15.
29. 52. 64. 91. 106.
129. 141. 160. 187. 213.
215. 272. 274. 276. 280.
284. 286. 289. 294. 318.
361. 362.363. Neumannsclie Cylinder-
funktion s. Y*{x).
— s Integral 360 ff".
— s Polynom 91. 100. 106. 114. 128. 129. 274. 277. 284. 285. 286. 288. 290.314.315.317.318. 319.
— Reihen erster Art 66 ff. 106. 129. 270 ff". 309 ff. 387. 388.
— Reihen zweiter Art 68. 292 ff. 309 ff. 330.
Newtonsche Formel 359.
Nullentwicklungen 335.
337. 340. 341. 342.
— (identische) in eine Kapteynsche Reihe 308.
— (identische) in eine Neumannsche Reihe 295.
— in eineSchlömilchsche Reihe 331. 350. 351.
Nullstellen einer Cylinder- funktion 7. 36. 83. 85. 159 ff. 352 ff.
408
Alphabetisches Register.
Ostenfeld, A. S. 139.
Parameter einer Cylinder-
funktion 3. Parseval 387. Partielle Differentialglei- chungen 141 ff. Peirce 173. Petersen, J. 386. Picard, E. 142. Pincherle, S. 186. 262.
272. 275. Plana, J. 157. Poincare,H. 142. 144.154.
160. 228. 247. Poisson, S. D. 6. 15. 32.
47.51.52.89. 122. 142.
143. 154. 156. 159. 161.
172. Poissonsche Cylinder-
funktion s. J^ + ^^r). Poisson-Angersche Funk- tionen s. ¥*(a;), W{x)
und X'Xx). Porter, M. B. 162. Produkt zweier Cylinder-
funktionen 20 ff. 32.
63ff. 07. 68. 69. 141 ff.
144ff.181.183.184.185.
191ff. 213ff.23lff.241.
245ff. 270. 292fl'. 345ff. Produktentwicklung von
J\x) 7. 358.
Raabe, J. 132. 385. Lord Rayleigh, J.W. Strutt
10. 49. 54. 231. Renfer, H. 28. 385. Residuenrechnung 247 ff.
RiccatischeGleichungl31 .
132. Riemann, B. 15. 383. Rollescher Satz 162. Rudski, P. 173.
Schaeffers 315. Schafheitlin, P. 15. 19.
85. 173. 174. 176. 194.
198. 199. 201. 203. 233. Schlüfli, L. 12. 15. 50. 64.
68. 114. 116. 118. 119.
121. 127. 128. 132. 161.
284. 285. 287. 288. 300.
373. 385. SchläüischesPolynom 12ff.
22. 50. 55. 62. 63. 80.
91. 100. 114. 128.
129. 219. 233. 238. 244.
275. 277. 284. 286. 288.
290. Schlömilch, 0. 65. 157.
158.273.279.295. 350.
381. Schlömilchsche Reihen 69.
323. 347 ft: Schönholzer, J. J. 20. Schwarz, H. A. 161. Serret, J. A. 371. sgn X 330 ff'. Sharpe, H. J. 10. Sheppard, W. F. 353. Siemon, P. 54. 231. 292. Soldner, J. 388. de Sonin, N. 14. 40. 83.
114. 115.116.118.119.
121. 123. 126. 129. 181.
184. 194. 221. 224. 242.
252. 253. 256. 257. 258.
272. 274. 280. 287. 330
370. 381. 387. Stern, M. A. 161. 173. Stiltjes, T. J. 157. 388. Stirling 299. Stirlingsche Formel 8. 302
371. Struve, H. 49. 183. 231
234. Sturm, C. 161. Sturmsche Funktionen
kette 168. Sturmscher Satz 168.
Tannery, J. 359. Taylorsche Reihe 28. 29
52. 153. 227. 253. 282
286. Todhunter, J. 71.
Umlaufsrelationen einei Cylinderfunktion 18 19.
van Vleck, E. B. 162.
Weber, H. (Straßburg) 17 23. 24. 44. 156. 157 166. 168. 189. 197. 223 224. 225. 232. 244. 256
Webersches Fundamen talintegral 190. 191 214. 216. 219. 227. 238 239. 362. 363.
Weber, H. F. (Zürich) 47 48. 49. 228. [373
Weierstraß, K. 117. 371
Wilson 173.
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177
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