on 1 RO 20 7 POS |; D EP ER © .$ s É Ê + o tds AE ne 5 5 SU NS D ES LIBRARY of the UNIVERSITY of TORONTO STILLMAN DRAKE 46h Fe HISTOIRE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES. ©" IMPRIMÉ CHEZ PAUL RENOUARD, RUE GARANCGIÈRE ; N. 5« LA HISTOIRE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES EN ITALIE, DEPUIS LA RENAISSANCE DES LETTRES JUSQU’A LA FIN DU DIX=SEPTIÈME SIÈCLE, PAB GUILLAUME LIBRI. TOME TROISIÈME. A PARIS. CHEZ JULES RENOUARD ET Ci, LIBRAIRES, RUE DE TOURNON, N° 6. 1840. - ri rs ” | Digitizec Je bi, A NY LUI À gr ee V7 - | K.: LAS D: * : L' RUE h À io! Pr - * * htip//www. archive.org/details/h istoi re Teresa tesecersoerecccsrscetccotcrete reteretateietsieisssicrs TABLE _ DES MATIÈRES CONTENUES DANS LE TROISIÈME VOLUME. ne Se, OS NRA NE TAG 0 | CORTE 1 ho 51 0 CNRS NS NE M LE 204 et de 24. . DR. | CORAN R 205 PRIE UM. LEUR 1, ANGES ER: 208 D MU) ENS ESS 27 TES 209 PS An une se ANT dan | 211 Et Ou Ma de 7 212 OO D TRE 213 Ds. 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Introduction, p.1. — Léonard de Vinci, p. 10. — Sa naissance, p. 12. — Ses succès précoces dans les arts, p. 13. — Prodigieuse variété de ses connaissances, p. 14. — Il est appelé comme musicien à la cour de Louis-le-More, p. 17. — Académie qu'il fonde à Milan, p. 20. — Sa détresse, p. 22. — Ses ouvrages sont détruits par des soldats, p.23.— Ii va successivement à Florence et à Rome, et vient finir ses jours en France, p.24. — N'est pas mort entre les bras de Francois I*°, p.25. — Ses manuscrits ont éié pour la plupart égarés , p. 27. — Gavardi en vole plusieurs, p- 34 — Arconati refuse 60,000 francs d’un de ces manuscrits, eten fait présent à la bibliothèque Ambroisienne, p. 35. — Mérite du traité d’hydraulique composé par Léonard , p. 37. — Ses travaux sur la mécanique rationnelle, p. 40.—I1 détermine le centre de gravité de la pyramide , p..4r. — Théorie du choc, frottement et dynamomètre , p. 42. — Gravité.de l’air; vibra- tion des surfaces élastiques; mouvement des ondes ,p. 43.— Dans l'optique, Léonard croyait au système des ondes, p. 43. —Ilétudie le vol des oiseaux , p.43.— Ses machines, p. 44.— Ses recherches aigébriques et géométriques , p. 46. — Ses tra- vaux hydrauliques, p. 49. — Colmate, p. 50. — Observa- tions sur les fossiles, p. 51. — Anatomie comparée, p. 52. — Physiologie botanique, p. 52. — Léonard a inventé l’hy- gromètre, p. 53. — Ses observations sur la scintillation des astres, sur la lumière cendrée de la lune, sur l’action capil- laire et la diffraction, p. 54.— Il a inventé la chambre ob- scure, p.54. — Sa philosophié, p. 55. — Son scepticisme, p. 57. — Colomb, p. 60. — Tableau des connaissances géo- graphiques des Européens au moyen âge, p. 61. — Doria et Vivalditentent , au xr11° siècle, d'aller aux Indes par l’occi- dent , p. 65.— Biographie de Colomb, p. 68.—Ses malheurs, sa fierté et sa mort, p. 81. — Effets de la découverte de l’A- mérique , p. 82. — Civilisation des Aztèques, p. 86. — Ves- puéci n’a pas découvert la terre ferme, p. 94. — IL a déter- miné les longitudes à l’aide des occultations des étoiles, p. 97. — Misère de sa Veuve, p. 97. — Astronomes italiens , p. 98. — Novara a été le maître de Copernic > P: 99. — Fracastoro, p. 100. — Universalité de ses Connaissances , p. 100. — At- traction, p. 100. — Les actions électriques, magnétiques et physiologiques ont pour cause, suivant Fracastoro , un prin- cipe impondérable, p.101.— Lunettes astronomiques, p. 101. — Mathématicien , p. 101. — Maurolycus, p. 102. — Sa vie, p. 104. — Ses travaux ontsurtout pour objetla géométrie des anciens , p. 106. — Centre de gravité du paraboloïde, p. 115. — Optique, p.116. — Commandin, p. 118. — Benedetti, p. 121. — Géométrie avec une seule ouverture de compas, p. 121. — Importance des travaux de Benedetti, p. 124. — Géométrie analytique, p. 124. — Force centrifuge et mouve- ment du centre de gravité, p. 125. — Ses découvertes sur la chute des graves, p.125.—Poids de l’air, et existence du vide, p- 126.—Variations annuelles de la température, p.128.—Les philosophes italiens attaquent Aristote, p. 131.— Pacioli, sa vie et sestravaux, p.155. —On trouve dans ses écrits plu- sieurs fragmens d'ouvrages de Fibonacci, qui sont à présent perdus, p. 139.—Ghaligaj et autres mathématiciens, p. 145.— Ferro résout les équations du troisième degré, et meurt sans publier sa découverte, p. 149.— Tartaglia retrouve cette so - Intion et la communique à Cardan, qui la publie, p. 150. — Discussion entre Cardan et Tartaglia, à ce sujet, p. 152. — Vie et malheurs de Tartaglia , p. 155. — On lui doit le déve- loppement du binôme et des recherches sur le calcul des probabilités, p. 158. — Balistique et autres recherches de ce géomètre, p. 160. — Gardan, p. 167. — Singularité de son caractère , p. 167.— Sa philosophie , p. 169. — En algèbre, il détermine le nombre des racines des équations , emploie les racines négatives, et découvre les quantités imaginaires, pages "5es théorèmes sur les équations, p. 171. — Géo- métrie analytique, p. 173. — Physique de Cardan, p. 174.— Il cherche à déterminer de deux manières différentes le poids de l'air, p. 175. — Température de l’espace , p. 177. — In- fluence de la couleur sur l’absorption des rayons calorifiques, p.177. — Ferrari découvre la résolution des équations du quatrième degré, et meurt à la fleur de l’âge, p. 180. — Bom- belli et son algèbre, p. 181. — Coup-d’œil sur l’ensemble des travaux des lialiens au xvi° siècle , p. 184. — Etat de l'Italie, p. 189. — Archives d’un cardinal, p. 193. — Influence de l'Eglise, p. 196. — Vers le milieu du xvi‘ siècle, les arts et lés lettres cèdent le sceptre aux sciences , p. 198. — On s'applique généralement à l'étude des mathématiques; le 'asse est professeur de géométrie, p. 201. — Galilée vient au monde le jour de lamort de Michel Ange, p- 201. HISTOIRE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES EN ITALIE. LIVRE SECOND. C'est une belle gloire pour l'Italie d’avoir pu, à chaque grand mouvement social ou intellec- tuel de l'Europe, se placer au premier rang. II n'est pas nécessaire de rappeler l'influence des Romains sur la civilisation de l’Occident : apres les invasions des barbares, les répu bliquesitaliennes, dont parfois le petit territoire échappe aux yeux, brillent comme ces astres dont on n'aperçoit que la lumière. A la chute de ces républiques, quand les grandes monarchies qui se forment en Eu- rope écrasent de leur poids l'Italie, elle envoie Colomb à la découverte de l'Amérique, les arts et les sciences à la conquête du Nord. Enfin. de nos jours , lorsqu'elle semblait devoir assister en esclave aux révolutions qui bouleversaient la IT. ! (ta) face du monde, elle a enfanté Napoléon pour leur redonner la victoire et, ce quiétait plusdif- ficile encore, pour les maitriser. 1ly eutun temps où, comme f'Italie, toutes les autres contrées de l'Europe étaient morcelées : mais leur organisation féodale en préparait de loin la réunion, tandis que lesrépubliques italiennes si acharnées dans leurs luttes s’affaiblirent sans pou- voir se constituer en un seul état, et se trouvérent dépourvues de défense lorsque des nations com- pactes et armées se présentèrent à la cime des Al- pes.Des historiens doués de beaucoup de sagacité, mais qui voyant les évènemens de trop près sem- blent avoir éprouvé une espece d’éblouissement, ont attribué principalement à la mort de Laurent de Médicis et à l'exaltation d'Alexandre VI}, les invasions des Français et la ruine de l'Italie (r). Mais l'indépendance d’une nation est bien chan- celante lorsqu’elle ne repose que sur la vie d’un petit tyran bourgeois, et sur la possibilité d’exclure du Vatican un homme corrompu. Mainte fois des princes étrangers, faibles suze- sains d'un grand état, avaient franchi les Alpes, (1) Voyez le premier livre de l’histoire de lItalie par Guicciardini. (3) et toujours ils avaient été repoussés par des répu- bliques, plus puissantes alors que les empereurs. Plus tard, lorsque l'heure où la monarchie devait domineren Europe fut arrivée, les peuples seser- rérent autour des rois, et les chefs subalternes furent étouffés; mais l'esprit municipal, les jalou- sies qui divisaient l'Italie ne permirent que l’élé- vation de quelques tyrans secondaires. D'ailleurs en lançant ses foudres contre quiconque aurait: osé lui faire craindre l'unité italienne, l'Eglise la rendait impossible. La mort de Laurent de Médicis , Pirruption de Charles VIII, ne furent que des faits isolés, sans influence sur les des- tinées de l'Italie. Peut-être son asservissement pouvait se retarder encore de quelques années, mais il devint inévitable le jour où François Ie et Charles V l’eurent choisie pour champ de bataille. Cette tendance des états européens à l'agglomération, l'impuissance où la démocratie était réduite , avaient frappé le génie pénétrant de Machiavel, qui destina son Prince à l’éduca- tion d'ur despote capable d’asservir mais de dé- fendre l'Italie (1). Désespérant désormais de la EE —__—__ ie (x) Plus on étudie, plus on se persuade qu’il n’y a pas I. (4) démocratie, il demandait à un tyran lindépen- dance de son pays : les tyrans arrivérent en foule, mais l'Italie attend encore son libérateur. Combats acharnés entre les familles qui se beaucoup d'ouvrages sérieux, même d'auteurs célèbres, qui soient lus en entier. On parcourt au hasard quelques pages, et puis on quitte le livre non sans porter souvent un jugement sévère sur l’écrivain et sur son œuvre. Ce jugement est répété mille fois par des gens qui n’ont jamais vu l’ou- vrage dont ils parlent; et voilà comment se font les fata libelli. C'est ce qui est arrivé à Machiavel. Sans étudier sa vie ni ses écrits, on l’a condamné d’après quelques pas- sages du Prince, qu'on ne lisait jamais en entier. Qu'on médite le dernier chapitre de cet ouvrage célèbre, et l’on verra si l’auteur aimait sa patrie et la liberté! En écrivant ce chapitre, qu'il a intitulé Exhortation a delivrer l'Italie des barbares, Vhistorien, inspiré par une noble passion, s’est abandonné aux mouvemens de la plus mâle éloquence. Machiavel est le chef de cette école politique qui croit tout permis pour la délivrance de la patrie. S'il était né au milieu d’une démocratie puissante, il aurait prèché l'insurrection, et de nouvelles Vèpres Siciliennes : venu dans des temps de décadence et de servitude, il a voulu confier à un chef hardi et astucieux les destinées de son pays. El ne s’est pas proposé de former un roi bon, mais un despote fort et pro- pre au combat ; et les hommes qui aiment le plus lItalie sont encore à se demander s’il leur reste d’autre espoir. Les maximes du Prince ont été souvent pratiquées par des gens qui ne voulaient pas affranchir leur pays : elles ont été con- damnées par des conspirateurs qui n’avaient pas eu, comme Machiavel , les membres brisés par la torture. disputaient les ruines de leur patrie, proscrips- tions , supplices , généreuses tentatives des amis de la liberté ; tout ce qu’on avait vu à la chute des anciennes républiques, se retrouve à la dé- cadence des républiques italiennes. Les chefs qui semparèrent alors du pouvoir ne furent pas, 94} a reproduit des dessins de Léonard, nous in- diquerons ce qu'ils contiennent de plus remar- quabie. Mais c'est principalement dans les ma- nuscrits inédits du grand artiste que nous puiserons, pour montrer combien il a fait pour les sciences. Les écrivains du seizième siècle disent qu'il fut savant en mathématiques ,en physique et en botanique, qu'il eréa l'anatomie comparée et qu il fut le premier mécanicien de son temps; ils parlent souvent des machines qu'il avait intro- duites dans les arts et dans les manufactures (1). Mais on ne pouvait faire connaitre son immense savoir qu’en publiant ce qu'il y avait de plus intéressant dans ses carnets. Or ces manuscrits n’ont Jamais été sérieusement étudiés : le travail que Pagave avait préparé sur ce sujet n’a pas vu le jour, et Venturi n’a fait paraitre qu’un mémoire destiné à servir d'introduction à un ouvrage qu'il n'a jamais composé. Les trop courts passa- ges qu'il a cités dans ce mémoire se rapportent principalement à l'architecture militaire, à l’op- tique, à la physique terrestre, à un petit nom- bre de propositions de mécanique et à quelques : Lx CN VS à { 4e ) préceptes de philosophie; mais queique impor- fans que soient ces fragmens, dont Venturi au reste n'a publié qu'une traduction, ils ne don- nent qu'une idée tres imparfaite de la prodi- gieuse fécondité de l'esprit de Léonard. Pour la faire connaître , il faudrait réunir et publier en entier tout ce qui nous reste de Jui; malheureu- sement une telle publication ne saurait avoir lieu dans cet ouvrage; et nous nous bornerons à si- gnaler les recherches, les théories, les faits les plus intéressans qu'une étude assidue de ses manuscrits nous a fait découvrir. Léonard était passionné pour la mécanique, qu'il appelait le paradis des sciences (1), etil s’en est occupé théoriquement et pratiquement. Il à laissé un grand nombre de propositions relatives au mouvement local. En les réunis- sant on parviendrait probablement à recom- poser, au moins en partie, le traité qu'il avait écrit sur cette matière (2). La théorie du 2 —— 2 ———û —— (r) « La meccanica è 1l paradiso delle scienze matematiche, perchè con quella si viene al fruito delle scienzà matema- tiche. » (MSS. de Leonard de Vinei, vol. E,#.8). (2) Pacioli, divina preportione, f. 1. — MSS. de Léonard ae Vinei, vol. À, #78. PCR { 41 } plan incliné s'y trouve exposée avec beaucoup de justesse, et il y indique le principe des vi- ,. tesses virtuelles (1). Léonard avait trouvé le centre de gravité de la pyramide : il a été par conséquent le premier parmi les modernes, qui se soit occupé du centre de gravité des soli- des (2). Mais le problème de la chute des graves (1) Venturi, essai, p. 17-18, — Léonard a dit, sans le dé- montrer cependant, que la descente se fait plus prompte- ment par l'arc que par la corde (Venturi, essai, p. 18). (2) Commandin et Maurolycus s'étaient, jusqu’à présent, disputé cette découverte. Nous errons plus loin qu’elle est due à Archimède , mais comme il ne reste qu’une vague in- dication des recherches faites sur ce sujet par le grand géo- “mètre de Syracuse, on n’en a jamais parlé, et les modernes s’en sont attribué l’honneur (Montucla, hist. des math. , 2° édit., tom. I, p.571). Le peintre toscan est le premier qui s’en soit occupé depuis la renaissance. Il y revient à plu- sieurs reprises : lorsqu'il s’agit d’un système de corps, il cherche d’abord le centre de gravité de chaque corps, pris séparément, et puis par le principe du levier, il combine ces corps deux à deux, et il trouve le centre des forces parallèles 1 quiest en même temps le centre de gra- vité du système {MSS, de Leonard de Vinci, vol. N, f. 52, 83, 85, vol: À, f. 33.eic.). Dans le volume F.(f. 51), il détermine, le centre de gravité de la pyramide, qu’il place, comme cela est en effet, au quart de la hauteur de Ja droite qui joint le sommet au centre de gravité de la base: la figure qui ac- compagne sa note prouve que Léonard décomposait les pyra- mides en plans parallèles à la hase, comme on le fait à présent. (4 n'y est qu'imparfaitement résolu (1). I avait écrit aussi un ouvrage sur le choc des corps, et il en reste des fragmens intéressans : dabord, une table synoptique de toutes les circonstances du choc (2), puis la théorie du bond, qu'il a vé- rifiée par l'observation. C’est lui qui a introduit en mécanique la considération du frottement, dont il a calculé l'effet par une suite d'expérien- ces ingénieuses (3). Il connut l'impossibilité du mouvement perpétuel(4). Pour calculer l'effet des machines, il inventa un dynamomèëtre , et il dé- termina le maximum de l'action des animaux en combinant leur poids avec la force mus- culaire (5). Il observa la résistance, la con- (1) Voyez la note V à la fin du volume. (2) MSS. de Léonard de Vinei, vol. N, f. 28, 47, 64, etc. — Léonard dit que le choc est proportionnel à la force, à la dureté des corps, et à la vitesse de la communication du mouvement. Il définit le choc : « Una potentia ridotta in piccol tempo. » Voyez la note VI à la fin du volume. (3) MSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f. 16, 71, 81, etc. (4) MSS. de Leonard, vol. À, f. 22. —Il a pensé aussi que la quadrature du cercle était impossible (WSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f. 137). Ces deux propositions négatives étaient _ biendifficilesà concevoir au commencement duseizièmesiècle. (5) Vénei, L. da, trattato della pittura, p.148,c. eoxxxIv. Voyez la note VII la fin du volume. (4 A \ \ L / densation et le poids de Fair (1) et il en dé- duisit l'explication de lascension des corps dans latmosphère et de la formation des nua- ges (2). Il semble avoir remarqué pour la pre- mière fois les mouvemens réguliers de la pous- sière placée sur des surfaces élastiques en vi- bration (3). Il étudia longuement le mouvement des animaux et le vol des oiseaux. Les recherches anatomiques et mécaniques d’un tel observateur (x) MSS. de Léonard de Vinci, vol. N,f. 70, et vol. X. (a) MSS. de Léonard de Vinri, vol. N, f. 28, 4x, 71, 107, 15g. — « Quanto l’aria fia più vicina all’acqua o alla terra, tanto si fa più grossa. Provasi per la 19, del secondo, che ‘ dice : Quella cosa meno si leva che arà in se maggior gra- vezza, seguita che la piü lieve pius’innalza che la grave » (Vin- ci, L. da, trattato della pittura, p.191, c. cccx1). (3) MSS. de Léonard de Vinci, vol. À, f, 791, — Une obser- vation plus importante et plus complète est celle des ondes circulaires qui semblent se croiser à la surface de l’eau, et que Léonard avait reconnu se reproduire en sens inverse après le choc. Il dit, à ce sujet : « Ogni parte dell onde che percote in un altera onda, riflette inverso le centri de’ loro cerchi » (MSS. de Leonard de Vinci, vol. N,f. 82).— Il en a parlé beaucoup plus longuement dans son hydraulique (Vinci, L. da, trattato’del moto dell'acqua, p. 320-321, 333, etc.). Léonard ne croyait pas au système de l’émission pour la lumière (MSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f. 133). Il consi- dérait le son et la lumière comme se propageant de Ja même manière (MSS. de Leonard de Vinci, vol. À. f. a). ( 449) sur un sujet si difficile et encore si peu connu, conservent toute leur importance. Léonard les avait entreprises pour essayer s’il serait possible de faire voler les hommes(r), et il avait composé un ouvrage spécial sur cette matière (2). Il avait inventé un nombre infini de machines applica- bles aux arts et à l’industrie : il semble s'être proposé de les substituer toujours à l’action de l’homme; plusieurs furent adoptées dans la pra- tique, et l'on en connaissait encore l'inventeur vers la fin du seizième siecle (3); mais son nom a été oublié depuis, et maintenant il faut recher- cher ses inventions dans ses manuscrits. Nous ci- terons particulièrement un odomeètre très ingé- nieux (4), plusieurs machines pour laminer le fer (b), pour faire des cylindres, des limes, des scies, ou des vis (6), pour tondre le drap (7), (1) MSS. de Leonard de Vine:, vol. N, f.2r. — il avait in- venté plusieurs appareils pour se soutenir sur l’eau, et pour la navigation sous-marine (Gerli, dessins, pl. 40-42.—M:SS. de Leonurd de Vinci, vol. N, f. 5 et 38r, et vol. B, £. »2), (2) Voyez la note VILL à la fin du véftièrés (3) Lomazzo, idea del tempio della piltura, 106, 662. (4) MSS. de Leonard de Vinei, vol. N, f. 2. (5) MSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f. 3 et 4. (6) MSS. de Leonard de Vinci, vol. N,f. 5,8 (3) MSSE. de Leonard de Vinci, vol. N,f. ro. | (49 ) pour raboter (1), pour dévider ; un pressoir mé- canique, un marteau pour les batteurs d’or (2), une machine pour creuser des fossés (3), une autre pour labourer la terre à laide du vent (4), des appareils de sondage, une roue adaptée aux bateaux pour les faire mouvoir (5), et une in- finité d’autres machines dont nous ne saurions faire ici l’'énumération. Il fit construire un grand nombre d'appareils ingénieux d'une utilité toute domestique, mais qui n'en sont pas moins di- gnes d'intérèt, parce qu'ils prouvent que peu de phénomènes physiques avaient échappé à son attention. Il avait imaginé un tourne-bro- che dont la rotations’effectue par le mouvement ascensionnel de Fair raréfié par le feu (6), des ” fourneaux qui chauffent par dessus et par des- sous (7), et des lampes à double courant d'air (8). (1) MSS. de Léonard de Vinei, vol. N, f. 37. (2) MSS. de Leonard de Vinei, vol. N, f. 10. (3) MSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f. 15. (4) MSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f. 25. (5) MSS. de Leonard de Viner, vol. B, f. 76. (6) MSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f. 6. (7) MSS. de Leonard de Vinci, vol. À, f. 8x, (8) MSS. de Léonard de Vinci, vol. N, f. 82, et vol. B, f. 15. — Il avait constaté l’action de l'air pour alimenter la com- bustion et la respiration. € 46 ) Léonard étuaiait la mécanique et la physique avec le secours de l'algèbre et de la géométrie. Dans ses recherches algébriques et dans les ap- plications, il se servait des lettres de l'alphabet, et il a inventé d’autres notations que l’on em- ploie encore à présent (1). Il s'occupa de géo- métrie , dont il semble avoir écrit un traité spé- cial (2) et il appliqua cette science à la mécani- (1) MSS.de Leonard de Vinci, vol. A, f. ro. — C’est lui qui a inventé les signes + et — que M. Chasles sembie attribuer à Stifels (MSS. de Leonard de Vinéi, vol. N, f. 180.— Chastes, aperçu, Bruxelles, 1837, in-4. p. 539). (2) « Essendo bonissimo geometra » (Vasari, vite, tom. VII, p- 37). — Les douze premiers feuillets du volume I des ma- nuscrits de Léonard sont remplis de recherches géométri- ques, dans lesquelles il cite plusieurs fois son traité de géo- _métrie. — Léonard a considéré les polygones étoilés (HSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f. 12 et 43), il a cherché une méthode générale pour étendre sur un plan les sur- faces courbes, et il a résolu des problèmes de géométrie avec une seule ouverture de compas, comme l'ont fait plus tard Tartaglia, Cardan, Benedetti et Ferrari (MSS. de Leonard de Vinci, vol. B, f. 27). {l'a remarqué les causti- ques (MSS. de Leéonurd de Vinci, vol. F, f. 28, et vol. N, f. 74), il a distingué les lignes à double courbure des cour- bes simples (MSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f:65), il a considéré les surfaces comme étant les limites des corps, et les lignes comme étant les limites des surfaces. Enfin il a inventé le tour ovale dont M. Ghasles a parfaitement fait sentir l’im- 47 ) que, à la perspective et à la théorie des ombres. En astronomie, il a soutenu, avant Copernic, la théorie du mouvement de la terre (1), et il s’est occupé de plusieurs grandes questions de phy- sique céleste (2). Nous avons déjà montré les progrès qu'il avait fait faire à la théorie de l'hy- draulique et à ses applications. Cette réunion de fragmens qu'on a publiés sous le nom de Mou- vement et mesure de l’eau, et qui, comme nous l'avons dit précédemment, diffère beaucoup du traité composé par Léonard sur cette matière, se refuse à l'analyse. Au reste le peintre de Florence ne s’était pas borné, comme le f- rent les plus célebres ingénieurs du siècle sui- vant, à ce qui pouvait être d’une application immédiate aux canaux, aux rivières et aux tor- rens ; il avait étudié la science dans toute la portance en géométrie (Chasles, aperçu, p.531). Il faut seule- ment remarquer que M. Chasles cite par inadvertance le traité de la peinture de Lomazzo, tandis que c’est dans l’Idea del tempio della pittura (p. 17), que Lomazzo parle de cette machine. | (1) Venturi, essai, p. 7-8. (2) Nous verrons plus loin qu’il s’est appliqué avec succès à expliquer la lumière cendrée de la lune, la scintillation des étoiles, les marées, etc., etc. ( 48 ) généralité que comportaient les moyens dont il pouvait disposer. Il fit des observations nom- breuses et répétées , et fut le premier à-poser les bases de la théorie des ondes (1), de celle des courans, et à observer ces formes si singulières des veines liquides qui, étudiées de nos jours par d’illustres physiciens, cnt donné naissance à tant de belles découvertes. | Léonard, comme nous l'avons déjà dit, avait voulu canaliser l’Arno, en lui faisant traver- ser la plaine de Prato et de Pistoia, et les marais du Valdarno inférieur que cette ri- vière aurait comblés par ses attérissemens. Ce projet offrait de grands avantages: on aurait évité par là cette longue gorge de la Gonfolina qui ralentit la vitesse du courant, et qui augmente em . (1) Non-seulement Léonard avait observé les circonstances les plus importantes du mouvement des ondes liquides, mais ilavait appliqué les mèmes principes àla propagation des’ ondes sonores. Il avait observé les ondes permanentes et les rides, ou ondes secondaires (Vèneé, H da, del moto e misura dell'ac- qua, p. 320-321, 324, 327-328, 519, etc.). C’est surtout dans les dessins qu’on a extraits des manuscrits de Léonard pour les publier dans ce traité , que se trouvent les observations les plus intéressantes sur les différentes figures des ondes et des veines liquides, sur les tourbiilons , sur les remous, ete., etc. S'Éme i E (49) le danger des inondations; tandis qu'en ména- geant à propos le limon apporté par la rivière dans ses crues, on aurait rehaussé le sol et rendu fertile une grande étendue de terrain qui depuis long-temps est perdue pour l’agricul- ture. Mais le ciel a voulu que le pays qui vit naître Léonard ne profitt d'aucune de ses gran- des conceptions, ne süt conserver aucun de ses grands ouvrages, ne possédât ni ses manuscrits ni ses cendres, et que la Lombardie et la France jouissent seules du fruit de ses découvertes. En effet, Léonard a dirigé les canaux les plus im- portans de la Lombardie, il en a fait creuser en France; et, bien qu'il ne soit pas l'inventeur des écluses, il les a perfectionnées, il en a ré- pandu l'usage, et c’est de lui surtout que datent les grands travaux hydrauliques modernes. (1) Un passage de Pline nous porte à croire que les Etrusques s'étaient servi du limon des rivières pour combler les marais; mais rien ne fait connaître leur procédé, dont, pendant plu- sieurs siècles, il n’est plus fait aucune mention. Depuis, Léonard est le premier qui ait donné a (1) Voyez ci-dessus, tom. IL, p. 230-231. — MSS. de Leo- nard de Vinci, vol. N, f. 43, etc. — Venturi, essai, p. 40. NOT 4 (50) des regles pour former les attérissemens ar- tificiels. Non-seulement il y employait les dé- pôts que pouvaient produire les eaux des ri- vières chargées naturellement de limon , mais il a montré aussi comment il fallait faire enlever par les eaux pluviales la terre végétale des mon- tagnes, pour la conduire par des canaux particu- liers dans les terrains inférieurs qu’on voulait féconder (1). Les travaux entrepris à différentes époques en Italie, et qui ont eu pour résultat de fertiliser des provinces entières, doivent, au moins sous le rapport théorique, être attribués à l'influence de Léonard. S'il n’a pas inventé les colmate, qui sont déjà mentionnés en Toscane dans des documens du douzième siècle (2), il a été le premier à les décrire exactement, et à montrer coniment il fallait les exécuter par les moyens que fournit la science. En creusant des canaux, Léonard fut amené naturellement à étudier les différentes couches terrestres, et à faire des observations géologiques. Nous avons déjà signalé quelques vers de l’Acerba (3), où il (1) Voyez la note IX à la fin du volume. (2) Targiont, ragionamento sulla Valdinievole, Firenze, 1761, 2 vol. in-4, tom. I, p.5, 6 et 57. | (3) Voyez ci-dessus , tom. IE, p. 199. (51) est parlé des fossiles : des indications analogues se trouvent dans d’autres anciens écrivains ; mais ces passages isolés, jetés au hasard dans des poèmes ou dans des chroniques (1), ne pro- duisaient aucun effet, et l’on s’obstinait à ne voir dans ces pétrifications que des jeux de la nature ou l'influence des astres. Léonard est le premier qui ait observé avec soin les plan- tes et les animaux fossiles ; qui les ait décrits en examinant en même temps les couches où on les trouve, et qui ait démontré long-temps avant Scilla (2) l'absurdité des hypothèses auxquelles on était conduit lorsqu'on ne voulait pas admet- tre les ossemens fossiles. C’est en traitant ce . 4 34 , 1 sujet , apres sétre occupe longuement d’a- (1) J’ai dit dans le second volume de cet ouvrage (p. 257) qu’il m'avait été impossible de retrouverle passage du Filo- copo, où Brocchi assurait qu’il était question des fossiles. La citation de Brocchi est inexacte : ce passage se trouve dans un ouvrage de Montibus, etc., composé également par Boccace. On peut voir, à ce sujet, la première partie de l’Hodæ- poricon, dans le dixième volume des Deliciæ eruditorum de Lami (Florentiæ, 1736 et suiv., 18 vol. in-8). Aux pages 43- 59 de ce volume, Lami a réuni un grand nombre d'extraits d'anciens auteurs qui parlent des fossiles et des eaux pétri- fiantes. ‘ (2) Scilla, la vana speculazione, Napoli, 1670, in-4. Voyez la note X à la fin du voiume. 4. (52) natomie (1), qu'il a émis une idée qui, re- produite dans ces derniers temps par quel- ques naturalistes, a suscité de vives discus- sions. En effet, le premier il a divisé les ani- maux en deux grandes classes : ceux qui ont les os ou le squelette en dedans, et ceux qui les ont en dehors (2). Il est probable que si l’on pos- sédait encore son traité de l'anatomie du che- val, on y trouverait d’autres idées non moins originales sur l'histoire naturelle et sur l’ana- tomie comparée. Il semble, d’après quelques-unes de ses notes, qu'il avait observé la circulation du sang (3); il s’occupa aussi de physiologie botanique, et l'on a inséré dans le Traité de la peinture un livre entier de ses recherches en ce gen- re (4). Il avait inventé un procédé ingénieux pour dessécher les plantes et pour en repro- duire facilement l’image (5) sur le papier. (1) Lomaz=o, trattato della pittura, p. 177 et 614.— Vasari, vite, tom. VII, p. 69. (2) Voyez la note X à la fin du volume. (3) MSS. de Leonard de Vinci, vol. G, f. r. (4) Vinci, L. da, trattato della pittura, p. Leu re hb. VI: Voyez la note XI à la fin du volume. (5) MSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f. 71. (55 ) Nous n'entreprendrons pas de citer toutes les observations et toutesles expériences de physique que cet homme extraordinaire a consignées dans ses écrits. Jamais il ne s’est laissé préoccuper par aucune idée systématique. Parfois il ne fait que décrire ce qu'il a observé; dans d’autres cas, il parle des conséquences auxquelles il est arrivé par le raisonnement; souvent il indique des dou- tes qu'il faut éclaircir ou vérifier par des expé- riences directes, et alors il trace la route à sui- vre et donne toujours un projet d'expériences. Le flux et reflux que les modernes ont appelé secondaire (1), les mouvemens de la foudre (qu’il supposait forcée de suivre une route déter- minée par la raréfaction ou la densité de Pair {2), et à propos de laquelle il a parlé du vide qui se forme dans (3) l'atmosphère), et ses effets dans quelques circonstances extraordinaires, avaient été observés par lui. Il savait que les coups de (1) Voyez la note XII à la fin du volume. (2) Léonard de Vinci s’est occupé beaucoup de météorolo- gie : c’est lui qui a inventé l’hygromètre (MSS. de Leonard de Vinei, vol. N, f. 8). (3) MSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f.58. Voyez la note XIE à la fin du volume. (54) canon peuvent dissiper les trombes (1): il fit des observations sur l’aimant, sujet qui lintéres- sait particulièrement (2), et il s’occupa de la scintillation des étoiles : phénomène singulier, si diffcile à expliquer dans toutes ses parties; et il avait déjà remarqué qu’il se produit dans l'œil et non pas dans l’astre (3). On lui doit l'explica- tion de la lumière cendrée de la lune (4), celle de plusieurs illusions d'optique fort curieuses (5), et une bonne théorie de la vision , à laquelle il avait appliqué la chambre obscure (6. Enfin, deux observations capitales, celle de l’action capillaire (7) et celle de la diffraction (8), dont jusqu'à présent on avait méconnu le véri- table auteur, sont dues également à ce brillant génie. (1) MSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f. 67. (2) MSS. de Leonard de Vinci, vol. F, f. 2. (3) Voyez la note XIV à la fin du volume. (4) Venturi, essai, p.1t. Voyez la note XV à la fin du volume. (5) Voyez la note XVI à la fin du volume. (6) Venturi, essai, p.5 et 23-24. Voyez la note XVII à la fin du volume. (7) MSS. de Léonard de Vinci, vol. N,f.11,67et 74. (8) Voyez la note X VIII à la fin du volume. (55) On serait dans l'erreur si l'on croyait que ces belles découvertes, cette énorme masse d’obser- vations , n'étaient dues qu'à l’activité d’un hom- me qui savait observer exactement ce qui s’offrait à ses yeux : le caractere. spécial de l'esprit de Léonard le portait au contraire à préparer et à mürir par de longues réflexions tous les su- jets dont il voulait s'occuper. Dans ses no- tes, qui reproduisent à chaque instant ses obser- vations, ses raisonnemens, ses projets, ce qui frappe surtout , c’est la méthode philosophique qu'il a constamment suivie. Un siècle avant Ga- lilée et Bacon, pendant qu'on se bornait gé- néralement à commenter les anciens, Léonard a porté le flambeau de la critique dans toutes les parties de la science, et il a donné les pré- ceptes les plus vrais, les plus justes, les plus philosophiques, pour parvenir à reconnaitre les causes des phénomènes naturels /1). Brisant le joug de l'autorité, combattant les qualités occultes, il proclama l'expérience comme le seul guide’ sûr, et il ne s’en écarta jamais. Il (x) Venturi, essai, p. 4 et 31-32. Voyez la note XIX à la fin du volume. (56 ) répète sans cesse que, pour parvenir à la con- naissance des phénomènes naturels et pour en tirer tout le fruit possible, on doit commencer par l’observation, passer à l'expérience, et à l’aide de celle-ci chercher à déterminer la cause, puis formuler une règle et la soumettre au cal- cul (1). Souvent il revient à ce précepte et il montre par de nombreuses applications tonte limportance de la philosophie des sciences. Dans les questions graves surtout, il ne manquait jamais de préparer et de rédiger d'avance un plan d’expériences à faire, de faits à constater, de doutes à résoudre. On en trouve plusieurs exemples dans ses écrits et l'on voit qu'il les modifiait et les perfectionnait sans cesse (2), pour leur donner une forme syllogistique. Ce sont des modéles que les esprits les plus philosophiques peuvent étudier avec fruit. On concoit qu’une telle méthode dans un homme qui y joignait une grande indépen- (1} Venturi, essai, p. 32. (2) Au feuillet 5 du volume À, Léonard, après avoir tenté différens moyens de résoudre une question, dit enfin qguesto e desso ! (7) dance en matière de religion (1), devait alors rencontrer beaucoup d'opposition; aussi ses ma- nuscrits offrent-ls la preuve de la vive polémi- (x) Vasari dit que, vers la fin de ses jours, Léonard voulut enfin s’instruire dansles choses de religion (Vasari, vite,tom. VII, p.67). Un fait qui n’a pas été remarqué par les bio- graphes, c’est que dans la première édition de l’ouvrage de Vasari on traite beaucoup plus librement des matières de religion que dans la seconde , publiée également par lau- teur, en 3 volumes in-4, en 1568. À une époque où l’on se préparait à mutiler le Decameron ; où les inquisiteurs effaçaient des ouvrages publiés en Allemagne tous les noms des protestans (mème celui des imprimeurs), et substi- tuaient le nom d’un consul romain ou d’un empereur quandil s'agissait de l’histoire scandaleuse d’un cardinal ou d’un pape, il est naturel que l’on voulût transformer les ar- ustes en saints et en anachorètes. De là est né ce préjugé que les grands artistes n’avaient si bien traité des sujets de dévotion, que parce qu’ils étaient eux-mêmes éminem- ment religieux. Quant à Léonard de Vinci, on trouve dans la première édition de Vasari (Vite, part. 32, vol. IT, p. 565 et 575) les deux passages suivans, dont le premier a disparu des éditions postérieures, pendant que l’autre était considéra- blement modifié : —« Perilchè fece ne l’animo un concetto si eretico che e” non si accostava à qualsivoglia religione, sti- mando per ayyentura assai piu lo esser filosofo , che chri- stiano. » — « Finalmente, venuto vecchio ; steite molti mesi ammalato, et vedendosi vicino alla morte, disputando delle cose cattoliche, ritornando neila via buona, si ridusse alla fede christiana.»—On doit remarquer aussi d’autres passages qui ne se trouvent plus dans la seconde édition; entre autres celui où il est dit, à propos de Léonard que « Il cielo ci (55) quequ'il eut àsoutenir avec les ennemis de cette nouvelle méthode de rechercher la vérité (1). Ce rapide exposé ne peut donner qu’une idée bien imparfaite des travaux du grand peintre. Ne possédant que quelques fragmens de ses ou- vrages et seulement une partie des notes qui avaient servi à les composer, nous sommes loin de connaître tout ce qu'il fit dans les sciences ; toutefois ces débris sont de nature à nous révéler l'intelligence la plus multiple, la plus variée, le génie le plus fécond, le plus vaste, qui peut- être ait Jamais existé. Pressé par le désir d’arracher au temps qui les dévore, quelques-unes des découvertes de Léonard, nous n’avons pas rigoureusement suivi l’ordre chronologique.Cependant d'autres noms appellent notre vénération, car il ne fut pas un fruit isolé dans une terre stérile : il vécut au milieu d’une génération immorteile d’historiens, d'artistes, de poëtes,qui pourraient paraitre étran- gers à la science, si, fortifier le caractère, épurer manda talora alcuni, che non rappresentano la umanita sola, ma la divinita stessa. » (Vasari, vite, part. 3*, vol. IE, p. 562.) Voyez la note XX à la fin du volume. (1) Voyez la note XXI à la fin du volume. (59) le goût, élever les sentimens de l’homme, ce n’était pas le perfectionner tout entier, et si les progrès des sciences ne suivaient pas tou- jours ceux de l'être qui lés cultive. D'ailleurs, ce n’est pas seulement par les chefs-d’œuvre qu’ils nous ont laissés que les hommes éminens agissent sur la société : c’est dans leur vie sur- tout que l’on doit trouver les plus belles le- çons. Car celui qui n'enseigne que du bout de sa plume ou de son pinceau n’est pas un grand homme. Et si l'exemple de Michel Ange, em- ployé d’abord par ses protecteurs à des jenx ri- dicules (1), plus tard servant de bouclier à sa patrie, et enfin, quoique abreuvé de dégoûts et d’amertumes (2), répondant à ses ennemis par le Moïse, le Jugement Dernier et la Cou- pole de Saint-Pierre, si cet exemple, pénétrant un jour dans une chaumiere, a fécondé le cœur généreux d’un jeune homme, qui s’est dit : Je fuirai les protecteurs, je défendrai mon pays, et je saurai travailler en méprisant la calomnie ; ——_—— (1) Voyez ci-dessus, tom. II, p. 281. (2) Dans sa vieillesse Michel Ange, calomnié et persécuté, disait dans une lettre: Zt chi mé ha tolta tutta la mia gtovinezza, et l'honore, ct La roba mi chiama ladro (Bonar- roti, lettera per giustificarsi, Firenze, 185:,1in-8, p. 7). ” ( 60 ) peu importe que ce jeune homme devienne plus tard artiste ou mathématicien, c’est Michel Ange et non pas Euclide qui aura été son vé- ritable maître. C’est'ainsi que tous les grands hommes servent'à l'avancement des sciences et concourent aux progrès de l'humanité. Mais nous devons résister au vif désir que nous éprouvons de célébrer dans cet ouvrage toutes les gloires de flItalie; nous sommes forcé de nous renfermer dans les sciences, et de ne parler que des hommes qui les ont per- fectionnées. Pendant que Léonard de Vinci se livrant en silence à des travaux si importans sem- blait dédaigner les suffrages du public, Chris- tophe Colomb, dominé par le besoin d’une gloire éclatante, poussé par l’immense énergie de son génie, s’élançait à travers l'Océan et faisait faire à la cosmographie des progrès inespérés. Préoccupée de son admiration pour cet im- mortel navigateur, la postérité n'a pas ren- du assez de justice à cette foule de hardis voyageurs italiens , qui avaient présidé ou concouru aux principales découvertes mariti- mes du quatorzième et du quinzième siècle. L'Europe moderne n'a eu en général pour maîtres dans les sciences que les Grecs, les Ro- # (61) mains et les Arabes; mais en géographie et en cosmographie, les sources ont été plus nombreu- ses. À une époque où les antipathies nationales étaient si profondes, les voyages si difficiles, cha- que peuple se bornaïit à la connaissance du sol où ilétait né, de celui qu'il avait conquis et arrosé de son sang : mais tant que les nations ne se mélérent pas, ces faits isolés restèrent stériles. Ce ne fut qu'après la chute de l'empire romain que quelques-uns des peuples qui sillonnaient l'Europe en tous sens y firent connaitre leur patrie. Les anciens nous avaient transmis des notions plus ou moins exactes sur l'empire ro- main et sur celui d'Alexandre, et il paraît que sous les empereurs l'étude de la géographie s'était beaucoup répandue (1). Au moyen âge (1) On exposait dans les écoles de grandes cartes géogra- phiques (qui étaient peut-être des fresques ou des mosaï- ques) pour l'instruction de la jeunesse (Panegyrici veteres ad usum Delphini, Paris., 1676, in-4, p. 159, Orat. Eumen, $ xx). Cet usage de peindre sur les murs des cartes géogra- phiques, qui avait été indiqué déjà par Varron, s’est con- servé après la chute de l’empire romain. Les invasions des barbares contribuèrent aux progrès de la géographie. L'anonyme de Ravenne, qui probablement écrivait au sep- tième siècle, cite un grand nombre de géographes, parmi lesquels il y a des Orientaux et des Goths (Anonymi Raven- | (62) les Scandinaves, les Saxons, les’ Normands fi- rent connaître l'Islande et la partie septen- trionale de notre continent (1). Plus tard les Arabes donnerent aux Chrétiens quelques ren- seignemens sur la configuration de l'Afrique et sur Madagascar, sur la mer des Indes et sur l’Asie-Orientale(2), mais ce n'étaient là que des notions imparfaites : l'étendue de l'ancien continent, les dimensions de notre globe, res- taient toujours ignorées. C’est à peine si quel- ques esprits hardis osaient parler des antipo- des. Par suite des anciens préjugés de la cos- mographie grecque on reculait encore à l'idée natis, geographia, Peris., 1688, in-8, p. 49, 6r, 99, 133, 161, etc. ). (1) L'ouvrage de Dicuil, les tabies géographiques en ar- gent, dont il est parlé dans le testament de Charlemagne, la traduction d’Orose (appelée l’Hormesta), par Alfred -le- Grand, sont les plus remarquables monumens de cette géo- graphie septentrionale. Voyez, à ce sujet, Letronne, recher- ches sur lelivre de Mensura orbis terræ, compose en islandais aucommencement du neuvième sicele par Dicuil, Paris, 1814, in-8, prolegom. — Humphredi Wanleii antiquæ litteraturæ septentrionalis liber alter, p.85, dans le Thesaurus lingua- rum septentrionalium Hickesii, Oxoniæ, 1705, 2 vol. in-fol. — Syelman, Aelfridi magni vila, Oxoni , 1658, in-fol., p. 205, elc., etc. | (2) Du temps de Gharlemagne , la géographie, si imparfaite 3 L ue (63) de traverser la ligne équinoxiale (1), et l’on ne soupçonnait même pas l'existence de l'Amérique. C'est à ce point que les Italiens trouvèrent la géo- graphie à la renaissance : elle n'était qu’unesimple énumération de villes ou de pays; et il n’y avait pas encore de système scientifique. A peine encore en Europe, était cultivée avec succès en Arabie. On sait qu'Al-Mamoun fit mesurer un degré du méridien (voyez sur cette mesure Zumboldt, examen critique de l’histoire de la géographie du nouveau continent, édition, in-fol:, p. 28 et 224), et l’on trouve une longue suite de géographes arabes dans Casiri et dans Abow’lfeda (Geographiæ scriptores mino- res, Oxoniæ, 1698, 4 vol. in-8°, tom. III, Abu’ lfed. passim). Au neuvième siècle , les marchands arabes trafiquaient dans tous les ports de l’Inde, et ce sont deux voyageurs de cette na- tion qui ont donné la première description de la Chine. C’est en Orient que l’on a d’abord appliqué la géographie à l’art nautique. Les cartes géographiques des Arabes, qui avaient l'astronomie pour base, surpassent infiniment tout ce qu’on faisait alors en Europe, où l’on ne cherchait qu’à représenter grossièrement les pays. Les cartes occidentales de cette épo- que ne sont que des espèces de portraits qui n’ont rien de scientifique. Leur forme actuelle est imitée des Arabes; l’in- tersection des méridiens avec les parallèles a été employée d’abord par les Orientaux (Barros, l'Asia, Venetia, 1562, 2 vol. in-4, tom. I, f. 71). (1) Dans la célèbre mappemonde de Turin, qui paraît avoir été exéculée en 787,on indique une quatrième partie du monde placée aux antipodes ; mais on ajoute: solis ardore incognita nobis est (Pasini, codèces manuse. hiblioth. tau- rinens., Taurin., 1749, 2 vol. in-fol., tom. IE, p.28). LA (64) avait-on déterminé astronomiquement un petit nombre de points de la surface terrestre, et les cartes géographiques dressées en Occident ne donnaient alors aucune idée des circonstances cosmographiques les plus essentielles. Maîtres de la navigation et du commerce de la Méditerranée, de l’Archipel et de la mer Noire, les Italiens avaient plusieurs fois tenté en vain d'établir directement des relations com- merciales avec l’inde, dont ils recevaient les pro- duits par l'entremise des Arabes ou par les cara- vanes de la Boukharie: ce fut l’irruption des Mon- gols qui, au treizième siècle, ouvrit la route aux missions des frères mineurs et aux pélerinages gi- gantesques de la famille Polo. À partir de cette époque, l’activité des voyageursitaliens ne connaît plus de bornes : et quelque immenses que soient les découvertes de Marco Polo, après la Chine et l’Asie-Centrale, il reste encore bien des contrées à découvrir. Marino Sanuto entreprend un voyage en Arménie et en Arabie, et rap- porte à Venise des cartes qui doivent ser- vir à réformer la géographie de l'Afrique (1). (1) Baldelli, il milione, Firenze, 1827, 2 vol. in-4, tom. I, p: CLIX. (65) . La LL 4 l'Arabie, la Perse et l'Inde sont dé- crites par Nicolas Conti (1) Barbaro (2) à Zeno (3). et Contarini (4) vont par le nord de l'Europe chercher en Perse des alliés à la répu - blique de Venise pour l'aider à combattre les Turcs. En- ‘méme temps de hardis navigateurs. franchissent le détroit de Gibraltar , les uns pour retrouver les Canaries (BY, ou‘ pour se perdre dans l'Océan 6), les autres Us ES a (n) Zurlæ, dissertaziont di Marco Polo, etc., Venezia, 1818, > vol. in- -4, tom. IT, p.187 et suiv. | _ (2) Zurla,.dissertaziont, tom. Il, p. 205 et suiv. (3) Zurin, dissertaziont, tom. IE, p: 199 et Suiv. - (4) Contarini, viazo, Venetiis, 1487, in-4, signat. a 2. 3 (5) °Ciæmpi, monumenti d'un manoscriito autografo di G: Boccaccio, Firenze, 1827, in-8, p. 64-67 et 90-103. ” (6) Dès la fin du treizième siècle , deux navigateurs génois, Doria et Vivaldi , sortirent-du détroit de Gibraltar pour aller aux. Indes par l'Occident; mais ils se perdirent et on n’en entendit plus parler, « Res quamvis privatis consiliis ten- >; quæ argumento est, quam vivida omnibus ætatibus fue- |: nostrorum bominum ingenia , nullo modo silentio nobis prétereunda fuit. hoc. n. anno td Tedisius Auria, et.Ugolinus Wivaldus, duabus triremibus privatim com- paratis, et imstructis, magnæ audaciæ animique immensa FPtante rem aggressi sunt ; maritimam viam ad eum diem am ad Indias arc a fretumque Herculeum egressi; Étsnin in occidentem direxerunt. Quorum hominum qui fuerunt casus, quique: vastorum con siliorum exitus, nulia ad nos gén fama : pervenit. » (Folietæ historiæ, Genuæ, 1, LR: 5 Se et. (66) quer avec les Anglais ou pour s'avancer, comme lès Zeni, jusqu'aux contrées les plus septen- trionales (u). Les Génois, les Florentins, $ les Vé- nitiens se rencontrent dans ces courses éloi- gnées; parfois la jalousie les divise, parfois aussi, plus sages, ils unissent leurs efforts, comme le firent Usodimare et Cadamosto, Ét - voyagent en commun (2). Les découvertes de ces deux habiles navigateurs sur les côtes occiden- tales de l'Afrique ont aplani le chemin aux Por- tugais, qui tentaient de parvenir au cap de Bonne-Espérance. | 1585, in-fol., f. 110, lib. v). — On parle aussi de ce fait re- marquable dans les Annales de Gênes, par Casoni (Genova, 1708, in-fol., p.28). Pierre d'Abano, médecin contemporain, dans le Conciliator (Veneuis, 1521, in-fo}, Diff. zxwur, f. 97, 6 P), fait mention de cette hardie tentative, sans dire cepen- dant par quelle route on voulait aller aux Indes. | (x) Les voyages des frères Zeni sont un mystère qui à tourmenté les plus habiles géographes, et qui west pas encore expliqué: Après aVoir lu attentivement la relation de leurs voyages, il m'a semblé que le fond en était Vrai, mais que l'éditeur plus moderne y avait probablement ajouté ce que lui avaient appris Jes découvertes faites de : son temps {Z“rla, dissertazione intorno viaggi dei frateti Zeni, Venezia, 1808, in-8. — Zurlia, (ipiastores tom. 15 pi7-94— Humboldt, examen critique; P p. 159 et suiv. — Commentarii dei viagqi dà \Caterino, Nicoo, e Antonio din, Venezia, 5558, in- -8,f245-58). PAS eo (2) Zurla, dissertazioni, tom. I, p- 142 ét suiv., (67. Ce n'est pas seulement par la partie que lon | pourrait appeler pratique de la géographie que les Italiens accélérérent les progrès de cette science. Après qu'Andalone de Negro eut appliqué Pastro- .nomie à la navigation, et que les Vénitiens y eurent introduit la trigonométrie et les fractions décimales (1), après surtout qu'on eut inventé et_perfectionné les’ principaux instrumens astro- nomiques et nautiques, il devint plus facile de ÿ dresser des cartes géographiques, et il se forma en Italie une école de cosmographes célèbres. Les cartes de Sanuto et de Pizigani furent suivies de celles de Bianco, de Cadamosto, de Benin- casa (2), et surtout de la fameuse mappemonde de fra Mauro, dont les Portugais voulurent . (r) Voyez ce que nous avons dit là-dessus, tom. IT, p. 202. (2) On peut voir sur ces cosmographes, et sur d’autres géo- graphes du quinzième siècle, Zurla, dissertazioni, tom. Il, p- 305-2 392.— Zurla, ilmappamondo di fra Mauro, Venezia, 1806, ins, p- 6-12; etc., etc. — Nous devons ajouter qu’on a fait, jusqu’à présent, une énumération incomplète desportu- lans. de Benincasa : il. en existe un plus grand nombre qu'onne l'avait cru d’abord, et il s’en est vendu plusieurs dans ces derniers temps (voyez Je catalogue de MM: Payne and Foss, libraires de Londres, pour Vannée 1837, et celui de M. Porrt deSienne, pour la même année). 3 (68 ) avoir une copie (1), et qui, sans doute, leur ser- vit de guide vers les Indes - Orientales. Si l'on y ajoute la grande géographie de Berlinghie- ri (>) et les deux éditions de Ptolémée, avec de nombreuses cartes, publiées presque en même temps en Italie (3), si lon se rappelle surtout que ce fut un cosmographe florentin, Tosca- nella , que Colomb consulta avant de traverser l'Atlantique , on sentira toute l'influence que ces géographes théoriciens ont eue sur les grandes découvertes maritimes de la fin du quinzième siècle, et l’on se persuadera que Colomb n'a été que le disciple le plus illustre d’une école déjà célèbre. AA ; On a beaucoup discuté pour connaître dans quelle ville de ltalie était né Christophe Co- Tomb; wais quoique plusieurs faits semblent prouver qu'il ait vu le jour à Génes ou dans les environs de cette ville (4), les érudits ne sont (1) Zurla, il mappamondo, p. 84-87. (2) Elle parut à Florence vers 1480, in-fol. (3) À Rome en 1478, et à Bologne, sous la date erronée de. 1462, avec des cartes en taille-douce. f (4) Codice diplomatieo Colombo-Americano, Genova, 1823, in-4, p- vii-xir — Tiraboschi, storia della lett. ital., Vene- zia, 1505, 16 vol. ;: in<8; vol. eux f 205 et suivi Navarréte, (69 ) - pas d'accord sur le lieu de sa naissance, et il est douteux qu'on parvienne jamais à le découvrir. puisqu'en écrivant Ja vie de son père, Ferdinand Colomb (1) a montré de l’incertitude Sur ce point (2). Ce voile, si difficile à lever, té- moigne de l'obscure origine du grand navigateur; et l’on dit en effet que son père était à-la-fois batelier et tisserand (3). Bien que cette date ne soit pas certaine, il parait probable qu'il est né vers 1447 (4). On ne sait rien de ses pre- mières années ; seulement les biographes disent, et les faits le constatent, qu'il s’appliqua à las- tronomie et à la cosmographie (5). IL quitta —————_— 7, colleccion de lus viages y descubrimientos que hicieron por mar los Espanoles desde fino del siglo XV, Madrid, 1825 et suiv., 5 vol. in-4, tom. À, p. Lxxvir et suiv. (1) Ferdinand, second fils de Colomb, écrivit cette vie en espagnol: plus tard, on voulut la faire paraître à Venise avec une traduction italienne, mais on ne publia que cette tra- duction (Voyez Colombo, F., historte,V enetia, 1571, in-8, à la Dédicace). (2) Colombo, F., historie, f. 2-4. (3) Codice diplomatico, p. x1. (4) Codice diplomatico, p. x1. — Bossi, vita di Colombo, Milano, 1818, in-8, p. 68-70. (5) « Studid in Pavia tanto che gli bastava per intendere i Cosmografi, aïla cui lettione fu molto affettionato, per lo qual rispetto ancora si diede all’ Astrologia, et alla Geometria { 787) Gênes de bonne heure, et, ‘après de Jongs Xoya- ges, il alla se fixer en Portugal, où lon S'oc- cupait : sans relâche de trouver un, passage pour se rendre aux Indes-Orientales, en doublant le ex- trémité australe de l’Afrique. Pendant son séjour à à Lisbonne il s’appliqua spécialement à la PP 4 | mographie et.dressa des cartes marines. Plus tard, il navigua sur PAtlantique, tantôt vers l'é- quateur, tantôt vers le Nord, jusqu’en Islande (2), observant toujours la direction des vents et des courans, et rassemblant tous les renseignemens que pouvaient lui fournir les navigateurs. D'après quelques passages de Sabellico et de Giustinia- ni,en a dit quil s'était fait corsaire, et que, vaincu par les Vénitiens et forcé de se sauver la nage, il avait été jeté tout nu sur la côte (3). Des ce moment Colomb se livra ex- (Colembo, F. , historie, {. 7). — Trivigiano, qui avait connu Colomb après son retour d'Amérique 2n grandissima seia- gura, in disgrazia di que’re e con pochi danart , dit qu’il était alors le seul à Grenade capable de tracer une carte géographi- que (Bossi, vita di Colombo, p. 237, (1) En 1507, il écrivait au roi d'Espagne qu’il voyageait depuis quarante ans (Colombo, F., historte, {. 8). (2) Colombo, F., historic, {. 8-9. (3) Colombo, F., historie, f. 10-15. CET Re clusivement à ses hardis projets. Coordonnant tous les faits qu'il avait recueillis (1), il-déter- mina (d'après les idées que lon avait alors sur les dimensions du globe terrestre et suivant l'é- tendue présumée de Asie, dont on avançait beau- coup trop (2) l'extrémité orientale) la largeur de la mer Atlantique, aui, à ce qu'il croyait, séparait seule l'Europe des contrées si riches et si puis- santes décrites par Marco. Polo. Aprés avoir long-temps müri son dessein, il voulut le sou- mettre à Paul Toscanella, Florentin, qui passait pour le premier cosmographe de son temps (3). il s'établit entre eux une correspondance dont Ferdinand Colomb nous a conservé quelques fragmens (4) : ces lettres montrent que Toscanella approuvait.en tous points le projet de Colomb, et que, pour l'encourager, il Jui envoya une mappemonde dans laquelle il avait représenté ancien continent se développant sur le globe (x) Colombo, F., historie, f. 11-12. — Colomb épousa en Portugal, une demoiselle Mogniz, dont le père avait été marin k@bil consulia le journal de ses voyages (ibid. f. 11). (2) M F. , historie, {. 13. (3) Colombo, F., Aistorte, f. 15. (4) Colombo, F., historie, {. 16. la (72) ‘errestre, depuis | le Portugal j jusqu’à la Chine, ‘avec. l'Atlantique au milieu, comme un Me canal qu'il serait facile de traverser. (1) x Après ce uiiee après tant de travaux pré- _sparatoires, Colomb voulut enfin réaliser son pro- “jet. Trop pauvre pour, équiper à ses frais les vaisseaux qui Jui étaient nécessaires, n’oubliant pas qu'il était né en Italie, il offrit d'abord à la république de Gênes (2) le Nouveau-Monde qu’ il allait découyrir ; mais on le traita comme un Visionnaire qui propose une folle entreprise : la tradition veut qu'il se soit adressé aussi aux Vénitiens, sans recevoir unaccueil pl us favorable. Il espéra davantagé des Portugais : ceux-ci, Mong- tempssourds à ses propositions, nommèrent 14 Én une commission qui, ayant reçu les papiers et les cartes géographiques de Colomb, abusa de sa confiance, et les remità un Pilote qui fut chargé par le gouvernement d’aller réa-. hser le projet du navigateur génois. Mäis mm scanella est datée de 1474. (1) Colombo, F., historie, {. 16-19.— Une des N à To- (2) Ramusio, viaggi, Venetia, 1606, 3 vol. in-fol., tom. III, MS D 1& (73) peu de jours apres, le pilote et léquipage, effrayés par les difficultés d’une telle entre- ” prise , retournérent en Portugal (1) et déclare- rent que l'exécution en était impossible. Colomb alors quitta un pays qui ne voulait que lui ravir sa gloire. Il envoya en Angleterre son frère Bar- thélemi (2) présenter son projet à Henri VII, et il alla lui-même en Espagne le soumettre à Fer- dinand-le-Catholique. Après cinq années de souf- frances (3), d’infructueuses tentatives et de dis- cussions dans lesquelles il était forcé de réputer ies objections les plus futiles et les plus ridi- culés (4) sur lPimpossibilité de l'existence des antipodes, on lui dit que la guerre contre les (1) Colombo, F., historte, f. 30-31. : (2) Colombo, F., historte, f. 31. (3) Oviédo dit que Colomb tomba alors dans le plus grand dénument. « Dove stette un tempo con molto bisogno et povertà senza essere inteso da coloro, che l’ascoltavano.…. Ma perchè egli portava la cappa spelata et povera, era te- nuto per ur cianciatore et favoloso di quanto diceva..…. Alfonso di Quintaniglia.….. faceva dare da mangiare..…… al Colombo; movendosi a compassione della sua poverià. » (Ramusio, viaggi, tom. IL, f. 66).— Sa misère était telle qu’il fut forcé de laisser son fils dans un couvent (Colombo, F., historie, f. 32). {4) Colombo , F., historic, {. 33. L F4) ; Mores ne permettait pas de songer à d’auires entreprises; en vain eut-il recours à la France; comme ailleurs il n'y trouva qu'incrédulité. In- quiet de ne recevoir aucune nouvelle deson frère, qui, dépouillé par des corsaires, vivait à Londres en faisant des cartes géographiques (1), il voulut aller le rejoindre, mais il fut retenu par Jean Perez, qui était gardien du couvent où la détresse l'avait forcé de laisser son fils (2), et quile recommandaæ. à la reine Isabelle. Cependant, repoussé de nou- veau, il songeait définitivement à quitter l'Espa- gne (3), lorsque la prise de Grenade vint relever son courage. Son plan fut enfin approuvé, et on lui donna, pour cette entreprise, trois petits vais- seaux avec lesquels maintenant on oserait à peine s'éloigner de la côte. Ils’embarqua le 3 août 1492, et se dirigea d’abord sur les îles Canaries, qu'il quitta le 6 septembre, pour aller braver un Océan inconnu. Nous ne raconterons pas les accidens de cette mémorable navigation, ou, pendant cinq semaines, Colomb dut seul lutter (1) Colombo, F., historie, f. 31 et 54. (2) Colombo, F., histortie, Î. 54. (3) Colombo, F., historte, f. 56. (4) Colombo, F., historie, f. 38. (7) contre les hommes et contre les élémens. Epou- vantés de rester si long-temps sans voir terre, les matelots menaçaient sans cesse d'abandonner l’en- treprise et de retourner en Espagne ; et comme Co- lombopposait à ces clameurs une inébranlable fer - meté, elles se changèrent en unesédition ouverte. Les uns parlaient de le forcer à renoncer à son voyage; les autres proposaient de jeter à la mer cet étranger qui avait voulu s'enrichir au péril de leurs vies (i). Enfin, l’ascendant du génie triompha de toutes les difficultés, et le 711 octobre on vit l'ile Guanahani : ses compa- gnons, le regardèrent alors comme un être sur- humain. Il découvrit ensuite les îles de Cuba et d'Haïti, et, le16 janvier 1493, il reprit le chemin de l'Espagne chargé des productions de ces nouvelles contrées. Son retour fut difficile : il eut à lutter contre d'épouvantables tempêtes et contre la mauvaise volonté des Portugais (2). Mais, plein (G) Colombo, F., historie, f. 45. (2) Colombo, F., historie, f. 7.— Barros, conseiller r roi de Portugal et historien contemporain, raconte que, lorsque poussé par la tempête, Colomb fut contraint de se réfugier dans le port de Lisbonne , quelques gentilshommes de Ja cour offrirent au roi de Portugal d’assassiner le grand na- (76%) de la grandeur de sa découverte, il était devenu insensible à tous les dangers. Un jour, la perte du vaisseau paraissait inévitable : les matelots fai- saient des vœux à la Vierge et maudissaient leur amiral : tout était confusion et désespoir. Colomb, seul calme dans le péril, ne songe qu’à faire con- naitre à l’Europe le chemin de l'Amérique. Un in- stan! sa pensée s’arrête aux deux enfans qu'ila lais- sés à Cordoue; puis il écrit rapidement une rela- tion de son voyage, et après l'avoir soigneuse- ment enfermée dans un baril vide, il la lance à la mer, à la vue de son équipage étonné, qui croit que l'amiral fait un sortilège pour apaiser les flots irrités (1). Enfin, il put arriver à Palos, et il se dirigea par terre (2) vers Barcelone, pour présen- ter à Ferdinand et à Isabelle les résultats de son voyage. Les populations laccueillirent avec en- thousiasme, et à la cour on lui prépara un vé- ritable triomphe (3); tant ce grand succes sem- blait inespéré. * vigateur afm que l'Espagne ne profitât pas de ses décou- vertes (Barros , l’Asia, tom. E, f.55). (1) Colombo, F., historie, {. 76. (2) Colombo, F., histortie, f. 84. (5) Colombo, F., historie, f. 84-85. (ste) Après le voyage de Colomb, plusieurs nations ont prétendu que l'Amérique avait été déjà dé- couverte. Indépendamment de ce que Piaton raconte de l’ancienne Atlantide, on a dit que les Normands et les Scandinaves (1) y étaient allés (1) Dans un ouvrage publié récemment à Copenhague par la Société des antiquités septentrionales, on a réuni un grand nombre de pièces originales qui semblent annoncer que les Scandinaves ont connu autrefois le Groënland. Cela ne pa- rait pas impossible lorsqu'on se rappelle avec quelle incon- cevable hardiesse ces hommes du Nord s’aventuraient sur de frèles embarcations pour aller porter au loin leurs ravages; et il n’y a pas plus loin de lIslande au Groënland, que de la Norwège à l'embouchure de la Seine. Mais du temps de Colomb, ces anciennes navigations étaient tout-à-fait ou- bliées, même dans le nord de l’Europe; et d’ailleurs il n'est nullement probable que si cet immortel navi teur eût pris pour modèle des voyages faits dans la zone glaciale, il eût cru devoir descendre jusqu'aux Canaries et se rappro- cher de Véquateur pour aller chercher les Indes. Ce sont Marco Polo et Toscanella qui ont inspiré Colomb; et les Scandinaves ne peuvent participer à la gloire de la décou- verte. Quant au monument du Massachusetts, on doit re- gretter beaucoup que l’Académie des antiquités septentrio- nales ait cru devoir y chercher une preuve à l’appui de son assertion ; ces signes informes, qui ont été copiés de différentes manières, semblent plutôt donner une idée de ces figures bizarres que les enfans iracent sur les murs, que devoir ser- vir à l'étude des origines américaines. Si l’on trouvait beau- coup d’autres inscriptions (ou pseudo-inscriplions) pareilles, onpourrait tâcher d'en déduire quelques conséquences eth- 78 ) | long-temps auparavant, et lon a cru que les Zeni y étaient aussi parvenus. On a parlé de vaisseaux poussés par les vents jusqu'au banc de Terre-Neuve (1). Enfin le nom d’Antilles, que l’on trouve dans plusieurs écrits géographi- ques du quinzième siècle, a fait supposer que ces îles étaient connues avant le navigateur gé-, nois. De savans écrivains ont expliqué ces dif- férens faits (2) :ils ont prouvé que l'hypothèse par laqueïle on prétendait dépouiller Colomb de sa gloire n'avait aucun fondement. Sans entrer ici dans de longues discussions, il est évident que si a CURE, l’on avait eu la moindre idée de l’existence du Nouvean-Monde, tous les états maritimes de l’Eu- ons ne se seraient pas accordés, pendant de MT Le > au S # | nographiques ; mais dans son isolement la pierre es Massa - chusetts ne peut servir de base à aucune recherche histori- que (Voyez Antiguilates americanæ, sive scriptlores septen- trionales rerum ante-columbianarum in America, Hafniæ, 1837, i in-4). (x) Le fils de Colomb a réfuté ces opinions dans les nt Z IX et X de ses Historie; mais il a fait connaître avec bean- coup de candeur tous les indices et téutes les traditions qui avaient concouru à former les convictions de l'amiral, ‘2) Bossi, vita di Colombo, p. 96-105.— Tiraboschi, storia della lett. ital., vol. VII, p. 218- re tes id: examen crè ip passim. Mn Lo. | (79 ) longues années, à regarder Colomb cemme un insensé ; les. matelots n'auraient pas songé à le jeter à la mer pendant la traversée, et les Portugais, qui voulaient s'approprier son projet, ne seraient pas retournés à Lisbonne en décla- rant qu'il était inexécutable. Enfin ces mêmes Portugais n'auraient pas formé le dessein de l’as- sassiner à son re (ah en Europe, pour lui déro- me : aché, et les Espagnols ne ber un secret si per U à 47 l'auraient pas reçu en triomphateur. Ces réclama- tions tardives doivent être classées parmi celles qui s'élèvent toujours à la à d'une grande découverte : elles ne font que > constater son im- portance sans en diminuer le mérite. On ne saurait tracer en quelques pages l'his- toire. des navigations de Christophe Colomb, ni dévelôpper toutes les. “questions qui S'y rat- tachent. Ce grand Folime, fit successivement qtre Von en Amérique, et seulement au troisième il découvrit la terre ferme (1). C'est alors que, calomnié par des Espa- - D qui il ne permettait pas d’opprimer à ” | (x) Voyez la lettrede Colomb insérée par Bossi dans la &- ta di Colombo, p. 232.— Colombo, F., historie pf. 166. 5 (809 à les Indiens Gr), il fut enchainé avec ses frères , et envoyé en Europe par un Juge que Ferdinand et Isabelle avaient investi de la suprême auto= rité (2). Malgré ce cruel affront, il fit encore un dernier voyage, qui fut pour lui un &urcroît de $ misères(3). À son retour Isabelle Mer et (1) Colombo, F., historie, f. 15 5. ELA æ » (2) Colombo, F. mhistorie > {172 =182. — La conduite de Colomb fut admirable de grandeur et de fierté. Le capitaine uel i avait été ER 72 voulüt lui ôter t; mais ‘il s’y refusa en disant du navire sur leque les fers qui l’enchat « Che poichè i regatoli . e 1 comandavano per leloro lettere, fosse comand egli l’havea messo in ferri, non volea che altri d° le istesse persone delle altezze loro facessero sopracid quel che più lor piacesse : et egli avea de TE ve salv Ty emio de’ suoi molti ser- cheegli eseguis deflo che dal Bovadiglia per nome loro gli ato, per da quale autorilà et _commissione. 4 ceppi per reliquie et memo P vit. »—Son fils ajoute : «Si come anco fece egli, p iocchè io gli vidi sempre in camera cotai ferri, i quali volle ch con le sue ossa fossero sepolti » (Colombo, historie R Ldor) — Navarrete a fait une apologie des rois catholiques :! livant lui, iln’y a que des révolutionnaires qui puissent prendre la défense de Colomb (Colleccion, tom. I > *p. XCITI-XCVIIT ). Pour pallier les torts .de Navarrete on ne eut dire qu'une seule chose : c’est qu'il'écrivait sous Ferdinand VII. (3) Il fait le récit de ses malheurs dans lettre qu'en 1503 ilécrivit de la Jamaïque à Ferdinand et à Isabel . En voici quelques passages. «Sette anni stetti io in corte di Vo- stre Maestà, che a quanti di questa impresa si parlava, tuttiad . E oo + ; Fe ( 8r ) le roi voulut le contraindre à renoncer aux droits qu'il s'était réservés avant son premier voyage (1). Abandonné de tout le monde,'il mourut dans la détresse à Valladolid en 1506. Avant d’ex- pirer, il ordonna que ses fers fussent ensevelis avec lui (2). Le roi lui fit faire une magnifique épitaphe. om una voce-diceano che eran ciance e Paieraggie…. fui preso e messo in un naviglio con due fratelli, caricato di ferro s nudo in corpo , con molto male trattamento , senza essere chiamato , nè ancora vinto per giustizia.… Îo venni a servire Vostre Maestà di tempo di anni 28, e adesso non ho capello che non sia canuto , il corpo debile e infermo e tuito dan- nato. Quanto io aveva portato con me, da costoro mi fu tolto ogni cosa a me e miei fratelli, fino il saio ; senza essere nè udito, nè visto.... La intenzione buona e sana , quale sem- pre ebbi al servire di Vostre Maestà > € il disonore e rimerito tanto diseguale , non dà luogo all anima che taccia.….…. Jo sono restato cosi perso et disfatto. Io ho pianto fin qui per altri, che Vostre Maestà gli abbiano misericordia. Pianga adesso il cielo , e pianga per me laterra nel temporale , che non ho sola una quattrina per far offerta in spirituale. To Sono restato qua nelle Indie... _isolato » In gran pena, e infermo , aspettando ogni di la morte … Pianga per me chi ha carità, verità o giustizia. Lo non venni à questo Viag - glo a navigare per guadagnare onore nè roba questo è certo, perchè la speranza era del tutto già persa » (Bossi, vil di Colombo, p. 234-256). + (x), Colombo, F., historie, f. 246. (2) Colombo, F; historie, {. 191. III, #7 6 (8) Ba découverte de l'Amérique, qui a eu tant d’in- fluence sur les destinées de l’Europe, aurait peut- être assuré l'indépendance de l'Italie, si Gênes et Venise eussent accepté les offres de Colomb. Ces républiques étaient. il est vrai, au moment de voir échapper de leurs mains le commerce del Orient, qui les avaient rendues si florissantes; mais leur marine, alors sinombreuse,leurauraitassuré,aussi bien qu'à l'Espagne, la possession des plus riches contrées du Nouveau-Monde. Ellesseraient parve- nues à ressaisir l'empire des mers et à se rendre, par le commerce et les colonies, riches et puissan- tes comme le devinrent le Portugal ét la Hollande. Toutefois ces deux pays étaient alors jeunes et vi- goureux; tandis que Gènes et Venise, déchues du rang élevé qu’elles avaient occupé, perdaient chaque jour cette énergie qui jadis leur avait fait affronter tous les dangers : elles se tinrent à l'écart, et d’autres peuples profitèrent des décou- vertes de Colomb. On ne saurait calculer las- cendant qu'auraient acquis ces républiques, si elles fussent arrivées les premières en Amérique. Placées comme deux bastions à l'entrée de la Pé- niñsule, elles auraient arrêté pendant long-temps les invasions des étrangers: mais le sort en avait décidé autrement : une découverte qui devait Frs sauver lItalie la rendit esclave de l'Espagne. Les conséquences de la découverte et de la conquête de l'Amérique ont été diversement appréciées. Les uns n'ont considéré que l’aug- mentation des richesses en Europe, la vail- lance des conquérans, la civilisation d’une im- mense contrée et le triomphe de la religion : les autres ont été frappés des millions de vic- times égorgées par les Européens, de la grande extension qu'a prise le commerce des esclaves aprés le dépeuplement de l'Amérique, et de l’af- faiblissement que leur semblait avoir produit en Espagne l'émigration de tous ceux qui allaient chercher les richesses du Potosi. Cette question si vaste est loin d’être résolue; il nous semble même qu'on ne l’a pas encore étudiée sous toutes ses faces. Il est hors de doute que le voyage de Colomb à eu de grands résultats scientifiques ; il a contribué puissamment aux progrès de la cosmographie , de l'astronomie, de la physique terrestre, de la navigation, de l’histoire naturelle. Le commerce, l’industrie ont pris un dévelop- pement inconnu jusqu'alors, et le bien-être ma- tériel a incontestablement augmenté en Europe. On doit ajouter ‘aussi que c’est mentir à l’his- toire que d'attribuer à la conquête du Nouveau- 6. ( 84) Monde l’affaiblissement de l'Espagne; car, même après la prise de Grenade, Ferdinand et Isabelle purent à peine disposer de la somme nécessaire à l'équipement des trois petits vaisseaux confiés à Colomb (1); et l’on voit au contraire, durant le seizième siècle, et tandis que la fièvre de l’émigration s'était emparée de tous les es- prits, l'Espagne, élevée par lor de l’Améri- que à une puissance inattendue, bouleverser les états voisins et porter au loim sa domi- nation (2). Mais ce ne sont là que les points secondaires de la question. Pour réhabiliter, aux yeux de Fhistoire, ce mémorable évènement, il faudrait prouver qu'en Europe et en Amérique il a été la cause d’un grand progres social. Or, nous ne saurions admettre qu'il y ait progrès lorsque la morale reçoit de profondes blessures ; et, certes, les horribles cruautés que l’on a com- mises en Amérique en la dépeuplant d'hommes rouges, celles non moins abominables que l'on RER RS PR RE TR Es 0 9 {x) Pour aplanir les difficultés qu’on lui opposait Co- lomb avait offert de contribuer pour un huitième dans les dépenses de l’armement Colombo, F., historie, £. 36). (2) Iserait plus juste d’attribuer la décadence de l'Espagne aux persécutions contre Los Moriseos et à l’inquisition. ” (85) a été forcé de commettre pour tenter de la re- peupler d'hommes noirs, ce vertige qui faisait abandonner si facilement l'ancienne patrie pour aller chercher un peu d’or au-delà des mers et au milieu des cadavres, cette soif du bien-être, cette ardeur pour les intérêts matériels, qui à présent règnent en maitres chez nous, et qui ont pris naissance dans le Nouveau - Monde, ne prouvent pas que la morale publique et privée se soient beaucoup perfectionnées en Europe, par suite de la découverte de lAmé:- rique. Quant à cette découverte, ilest vrai que ce n'est qu'après avoir été rattachée à l’ancien continent que l'Amérique a pu participer à la marche de la _civilisation.Mais d'abord,qu’a-t-onfait pour policer lesanciens habitans?On sembles’être proposéuni- quement d’extirper la barbarie dans le Nouveau- Monde, soit comme l'ont fait autrefois les Espa- gnols, en massacrant les peuples qu'ils y ont ren- contrés, soit comme le font à présent les républi- cains des États-Unis, en les refoulant dans des déserts stériles, pour les y laisser mourir de faim. Et d’ailleurs, c'est par un-préjiugé européen et par suite de notre ignorance que nous ne voyons dans les habitans du Nouveau-Monde que des ( 86 ) sauvages sans mœurs et sans lois, se dévorant entre eux ou disputant leur nourriture aux ani- maux. Dans ces immenses contrées vivaient sans doute L'EMEE PA de peuplades aussi peu avancées que les plus barbares de celles de Pancien continent; mais sans parler de l'Asie et de l'Afrique, vers la fin du quinzième siecle on rencontrait même en Europe des peuples dénués de toute civilisation. Depuis la Dalmatie jusqu’à Moscou, les peuples, appartenant à la famille slave , avaient alors peu de supériorité sur les Caraïbes et les Botocudes ; et il n’y avait pas long-temps qu’il avait fallu prêcher une croisade q " contre le nord de l'Allemagne pour rénverser les idoles et faire sortir les hommes des forêts. En arrivant en Amérique, les Espagnols ren- contrèrent deux puissantes nations, les Aztèques et les Péruviens, dont l'état social n était guère moins avancé que lé leur. Aussi dans-les rela- tions écrites par les premiers conquérans du Mexique et du Pérou, on voit percer partout leur étonnement de trouver des peuples si riches, si puissans, des lais régulières (1), une organisation (1) À 'Tlascala, il y avait des juges qui punissaient, suivant ‘ou ( 87.) politique si vaste et si compacte (1); des temples, des routes (2 , des ponts, des aqueducs(3), des les lois; les voleurs étaient condamnés à la prison. À Mexico, Cortez trouva, entre autres choses, un tribunal de com- merce, et des vérificateurs des poids et mesures. Après la cou- quête, l'administration de la justice devint un peu moins régulière ; le fait suivant va le démontrer. Deux familles indiennes se disputaient &es possessions considérables. Chacune d'elles produisait des plans topo- graphiques qui n'étaient pas d'accord : le licencié Zuazo , lieutenantde Cortez , fit lever de nouveaux plans par des amanteques Lac ture mexicains, ‘et comme leurs mesu- res différaient encore, il en fit choisir d’autres et les me- naça, s'ils ne s’accordaient pas , de Les faire dévorer par son chien, à qui il avait dejà donne a manger plus de deux cents Indiens. L’accommodement ne tarda pas à être conclu (Ramusio, viaggi, tom. II, f. 184). Les Espagnols, qui avaient de si bons chiens, n’avaient peut-être pas d’aussi bons ar- penteurs. (2) Le Mexique était un état féodal sous la suzeraineté de l’empereur, qui, dit Cortez , « envoyait des ordres à deux cents lieues à la ronde de du et tout le monde obéissait.» (Ramusio, viaggi, tom. HI, f. 20%). (2) Il y avait au Pérou , de Cusco à Quito, une magnifique chaussée de trois cents lieues avec des aqueducs, des ponts, et des auberges pour ies voyageurs (Ramusio , viaggi, tom. IE, f. 320). (3) Les Américains avaient des canaux d'irrigation même dans des contrées-presque sauvages ( Ramusio, viaggt , tom. LIL, f. 29): les aqueducs et les égouts gigantesques de Mexico n'avaient rien à envier aux plus magnifiques constructions faites en ce genre par les Romains (Ramusio, viaggi, tom. IIT, f, 200). ++ (466 | monumens publics (1) de tout genre, si grandio- ses, des villés nombreuses et très peuplées (2), (1) Ramusio, viaggi, tom. IT , f. 153, 189, 256, 258, etc. (2) Cortez raconte qu'avant d'entrer dans Tlascala, il trouva une ville où il y avait cinq mille maisons, tres bien bâties ; que le lendemain il brüla six villages de. cent maisons chacun, et le surlendemain dix villes, dans une desquelles il y avait trois mille maisons ( Ramusio, viaggi, tom. IL , f. 189-199). Quant à la ville de Tlascala, Cortez dit qu’elle était plus grande et plus forte que Grenade; plus remplie de beaux et riches monumens et plus peuplée que ne l’elait Grenade lorsqu'on la prit aux: Mores (Ramusio , vtaggt, f. 191). On sait que Tlascala était une république aristocratique, et que, pour ne pas être obligés aux Mexicains, les habitans de cette république se privaient de sel. Cortez décrit les mœurs, les lois, le commerce, les marchés, les monumens de cet état où il y avait, à ce qu’il assure, cent cinquante mille maisons. Mais tout cela n’était rien en comparaison de l'empire de Moniezuma. Cortez en parle avec une admiration inépui- sable. Ici, c’est une ville bâtie sur pilotis au milieu d’un lac avec un pont d’une liene pour y arriver: là est Iztapalapa avec ses quinze mille maisons, ses grands palais, ses jardins, ses portiques. Des routes pavées et une suite non interrom- pue de ponts fortifés et de villes florissantes conduisaient à Tlemistitan (Mexico), dont Cortez fait une descrip- tion qui ressemble à un conte de fées. Des bazars entourés de portiques remplis des plus riches marchandises, où se réunissaient soixante mille négocians; un temple fortifié qui pourrait contenir une ville, avec quarante tours de pierre dont la moindre est En comme le clocher de la cathédrale de Séville ; une ménagerie immense dans un palais de marbre et de jade, enfin une grandeur et une magni- ficence qu’on retrouve encore dans les ruines de Palenqué : \ | | | ( 89 ) les arts (1) et le commerce si développés, et, à la tète de l'empire, cette immense ville de Mexico, à laquelle même de nos jours aucune ville de l'Espagne ne saurait être comparée. Ce pays est mieux adminisiré que l'Espagne : cette ville est plus grande qu'aucune de nos villes; ce monument surpasse tous les nôtres : voilà com- ment s expriment Cortez et ses com pagnons. Al- varado, son lieutenant, s’avança jusqu’à quatre cents lieues de Mexico, traversant toujours des contrées fertiles et peuplées, où il y avait des villes de trente mille maisons (2). Que sont et qui rappellent les monumens de l’ancienne Egypte et les ruines de Palmyre (Ramusio, viaggr, f. 195, 199-201 256- 239, etc.). (1) Il ne faut pas juger des arts des Mexicains seulement d’après les débris des magots qu’on a rapportés en Eu- rope. Voici ce que dit à ce sujet Cortez : « Statues en or, en argent, en plumes , en pierres précieuses de tout genre. Les statues er or et en argent sont si bien sculptées qu'aucun sculpteur ne saurait mieux faire : il n’y a pas d'in- teiligence humaine qui puisse deviner avec quel insirument on à pu si parfaitement travailler celles qui sont en.pierres précieuses ; les figures en plumes'étaient telles qu'on ne pourrait en faire de plus merveilleuses ni en cire, ni brodées en soie » (Ramusio, viaggi, tom. ILE, £. 201). (2) Ramusio, viaggi, tom. IL, f. 250. — Voyez aussi.la re- lation du frère Marc de Nice (Ramusio, viaggt, tom, IT, f. 298). (9e ) devenus. ces monumens, ces villes, ces peuples ? Les Espagnols n’ont su que bouleverser, bapti- _ser et massacrer. Les Indiens du Mexique valent moins à présent que du temps de la conquête, et il faut.s’enfoncer dans les déserts pour chercher les ruines de Palenqué et de tant d’autres villes jadis si florissantes. Un seul fait, s’il était vrai, pourrait faire croire à la supériorité des envahisseurs : c’est la conquête du Mexique par Cortez ; à la tête de trois cents Espagnols ; mais ce n est qu’ une fable. Quoique les armes à feu et la éavalcrie manquas- sent aux Indiens, Cortez n’aurait jamais pu son- ger à soumettre cet empire, s’il n'avait su profi- ter des divisions qui l’agitaient, et se mettre à la tête des ennemis de Montezuma (1). Il a fait com - battre les Américains contre les Américains, et s’est trouvé à la tête d’armées innombrables : le siège seul de. la capitale a coûté la vie à plus de trente mille de ses auxiliaires. Ces faits, que Cortez avait cachés soigneusement, + POUr s’en- a, 7 & ; Ce , L (1) Cortez lui-même dit dans sa En relation : « Ayant vu les dissensions et les haines, jen ressentis une grande joie, car je reconmaissais que cela était fort utile à mes af- fairesket que j'aurais une voie tré aisée de les GPrSuee, » Ramusio, viaggi, tom. IE, £. 192). — Mais ensuite il parle à peine de ces auxiliaires. (91 ) iourer d'un grand prestige, ont été révélés par des écrivains espagnols, et sont prouvés jusqu’à l'évidence par plusieurs relations de la conquête, que les descendans des Aztèques ont composées (1); car non-seulement ces peuples, _ qu'on nous représente comme si barbares, con- naissaient les arts et formaient une puissante nation , mais ils avaient des chants natio- naux () et une peinture hiéroglyphique (3) .— (1) Nous citerons spécialement [a ireizième relation d'Ixililxochitl, descendant direct du rival de Montezuma. Cet écrit (extrait d’un ouvrage bien plus considérable sur l’histoire et les ori gines mexicain& , qu’il serait utile de pu- blier) a paru en 1829 à Mexico, et a été traduit récemment en français. Il est rempli de faits intéressans. On y voit quel aïeul de l'historien, subjugué par l” ascendant de Cortez, aida avec deux cent miile hommes les Espagnols à ruiner Mexico. Rien n est plus grand que le siège de cette ville infortunée, ou s’en- RE deux cent quarante mille Mexicains. Ixililxochitl, chargé des malédictions de ses concitoyens; et de celles de son propre frère, qui avait combattu pour Findépentause de la patrie, fut cruellement puni d’avoir aidé les étrangers (Jxtlilrochitl , 7. HN Paris, 1838, in-8, P- 82, 100, 10, 107, 185, 255, 236, etc.). Bien que très bon chrétien, l’au- teur est indigné de l’injustice de Cortez, qui nomme à peine des alliés auxquels il devait la victoire et la vie, et qui s’exposaient à tous les dangers, et enduraient pour lui des fatigues et des privations infinies. (2) Ixtlilxochitl, memoire, 302 (3) Ixtlilxochitl cite toujours les peintures coflge docu- mens historiques. (92) | pour perpétuer le souvenir des évènemens; et, après l’asservissement du Mexique , c’est encore chez les Indiens qu'il faut chercher les écrivains les plus distingués de l'Amérique espagnole. (1) : | Les mêmes faits se sont reproduits au Pérou; là, comme au Mexique, les Espagnols ont arrêté le développement d’une civilisation naissante (2), sans savoir substituer un nouveau systeme à l’ancien; et les Indiens, après avoir reçu le bap- tême, se sont trouvés, par le fait de la conquête, moins policés que lorsqu'ils adoraient le soleil. On se tromperait eependant si lon croyait que nous avons l'intention de comparer les Espagnols aux Tupinambas etaux Payaguas. Nous avons seu- (1) On sait que Garcilasso de Vega descendait‘des Incas par les femmes: [xtlilxochitl a été appelé Ze Cicéron mexicain. Niça, Tezozomoc, Ayala, Dona.Maria Bartola , Zapata, Cas- tillo , Chimalpaire , Camargo , Ponce, Tobar descendaiént, ainsi que beaucoup d’autres écrivains du Mexique, des an- ciens maîtres du pays. (2) A l’arrivée de Pizarro, le Pérou, couvert de villes bien bâties et fort peuplées, était beaucoup plus florissant qu'il n’a jamais été depuis (Ramusio, viaggi, tom. IE, £. 321-323). Cusco , avec son palais d’une demi-lieue de tour, surpassait en magnificence la plupart des villes de l’Europe (Ramusio, viaggi, tom. ILE, f. 33). ( 93.) lement voulu prouver que là où il y avait des peu- ples sauvages, les Européensles ont détruitsou lais- sés dans la barbarie, et que les restes des grandes nations qu'ils ont rencontrées dans le Nouveau- Monde n'ont fait que dégénérer après la con- quête. D'hommes capables de souffrir le mar- tyre comme Guatimozin (r) ou de combattre comme les Araucaniens (>), les Espagnols n’ont fait que des demi-sauvages abâtardis. Ils ont permis parfois à leurs sujets américains de se nourrir de chair humaine (3): parfois même, pour servir aux intérêts du commerce. des chré- tiens ont apporté en pature d’autres chrétiens aux anthropophages (4) : et lorsque émue par le cri (1) Toutle monde connaît la lecon sévère qu’il donna à un de ses courtisans qui, placé comme lui sur des charbons ar- dens pour qu'il découvrit l’endroit où étaient cachés les tré- sors de l’état, se lamentait.— Et moi, suis-je sur des roses ? dit l’ empereur. (2) Cette petite nation, moins civilisée que les Mexicains et les Péruviens , est la seule qui ait su résister aux Espa- gnols : elle a toujours combattu avec un si indomptable courage que ce pays mérita d’être appelé a Flandre amc- ricaine (Molina, storia del Chili, Bologna, 1787, in-8, p. 50- 37, 118 et Suiv.). | (3) Cabeca de Vaca, commentaires, Paris, 1857,in-8, p. 461. (4) Staden de Homberg, histoire d'un pays situe dans le Nouveau-Monde, Paris, 1837, in-8, p. 118 ét 208. ( 94) de tous les honnêtes gens et par le dépeuplement de ses colonies, la cour d’Espagne a voulu enfin: ” ex améliorer le sort des Indiens, le mal était sans remède et aucune loi n’en ras empécher le progres. Il serait inutile , à notre avis, de s’arrêter sur un point qui a été longuement discuté par les géographes et les érudits, savoir, qui de Co- lomb, Améric Vespuce ou Cabot a le premier découvert le continent américain. Pendant long-temps on a cru que Vespuce, qui a donné son nom au Nouveau-Monde, était arrivé avant tout autre à la terre ferme. Dans cette discus- sion, les Florentins ‘étaisfit pour Vespuce, les Vénitiens pour Cabot, comme si Florence et Venise n'avaient pas dù participer à la gloire italienne de Colomb. Maintenant ces mesquines querelles À municipales devraient .avoir perdu toute importance; mais il est prouvé de plus, d'apres les documens originaux, que les deux émules de Colomb n'ont aucun droit à cette dé- couverte (1). Quoi qu'il en hr, la mer Atlanti- que.une fois traversée, il était. facile de s’a- Eu —— _{n Dans son a Exaren crétèqire, M. de Humboldt a détruit les conjectures sur lesquelles on s’efforcait d’ appuyer lestitres de ( y ) vancer des Antilles jusqu’au continent, qui barrait le chemin , et tous ceux qui navi- guaient vers lOccident devaient le rencon- trer : la grande, l unique difficulté était d’ar- river à l'ile de Guanahani. Aussi , après le premier voyage de Colomb, tous les navires cin- glèrent vers l'Amérique, seulement parce qu’on savait quil était possible d'y arriver. (1) Outre son immortel voyage, Colomb a d’autres titres à l'admiration de la postérité; il fut le premier cosmographe de son temps. On lui doit de nom- breuses observations météorologiques (2),etilsut en déduire de nouvelles raisons de croire à l'exis- tence d’un grand continent situé à l’occident. Le premier il signala la variation de la décli- . Vespuce ; mais il a prouvé en même temps que le navigateur florentin n’avait jamais eu l'intention des’attribuer la décou- verte de la terre ferme (Humboldt, examen critique , p. 540 et suiv.). [ (1) Après le premier voyage de Colomb, son frère Barthé- lemi quitta l'Angleterre pour aller le rejoindre ; mais à son arrivée en Espagne, il le trouva déjà reparti pour le Nouveau- Monde, Cependant, sans avoir jamais fait le voyage, sachant seulement qu’il était possible de, traverser l’Atlantique, il s’embarqua et alla retrouver l’amiral en Anita lobe, F., historie, f. 120). À (2) Il * ses que Colomb asété le premier àtenir un jour = nal météorologique { (Colombo, F., historie, €. 38). « % ) naison de l'aiguille aimantée (1); l'effroi que ce phénomène inspira à tout l'équipage, l'explica- tion que Colomb en donna pour calmer.ses com- _ pagnons, prouvent qu’on le remarquait pour la première fois (2). Il fit des observations astro- nomiques, et dans une occasion décisive, il sut, par la prédiction d'une éclipse, imposer aux In- diens prêts à se révolter, et les faire rentrer dans l’obéissance en les menaçant d’ôter la lumiere à la lune (3). Il parait même qu'il avait écrit un ouvrage sur Fart nautique (4); mais on n’en est pas certain, car ses écrits, comme ceux d’autres grands hommes, ont été pour la plupart perdus ou négligés. | Vespuce aussi fut un habile astronome ; son . (r) Voyez ce que j'ai déjà dit à ce sujet, tom. Il, p.70-72. — Au reste ; Ferdinand Colomb assure que jusqu’alors per- sonne n’avait remarqué la déclinaison (Æistorie, f. 41). (2) La phrase du biographe n’est pas claire ,. mais on pourrait peut-être en conclure que Colomb avait observé les variations horaires de l’aiguille. Voici le texte italien : « Pa- rimente notù, che da prima notte le agucchie norvestavano per tutta una quarta, et, quando aggliornava , Stavano glus- tamente con la siella. » (Colombo, F., historie, f. 46). (3) Colombo, F., historie, f. 256. (4) Cet ouvrage avait pour ütre : De la racion de La tabla navigatoria ( Bossi, vita di Colombo, p. 77). Barros dit que Colomb était éloquent et bon latiniste (Barros, L Asia, tom. 1, (978 principal mérite est d’avoir déterminé, par des occultations d'étoiles, les longitudes des pays qu'il découvrait, (1). IF avait exposé cette méthode ( qu'il paraît avoir appliquée le premier d’une manière générale à la” géo- graphie et à la navigation) dans un ouvrage intitulé /es Quatre journées, où :il rendait compte de ses voyages, en y ajoutant des obser- vations astronomiques sur un grand nombre de constellations australes qu'il avait découvertes, et dont il avait déterminé la position et les mouve- mens (2). Cet ouvrage, perdu aujourd’hui, aurait été pour le voyagear florentin un plus beau titre de gloire que celui d’avoir, par hasard, donné son non au Nouveau-Monde. Vespuce ne fut ‘guère plus heureux que Colomb : sa veuve se vit réduite à mendier une pension de soixante francs pa an Ge | a —— ——— ———————— — pe £. 55). En effet, dans ses lettres on trouve des passages pleins d’éloquence. Voyez la note XXII à la fin du volume. (x) Consultez à ce sujet Aumboldt, examen critique, p- 475 et suiv. (2) Bandini, vita e Lettere di Amerigo Vespueci, Firenze, 1745, in-4, p.26, 53, 69-75. (3) Humboldt, examen critique , p.539. — Vespuce mou- rut en 15r2, à Séville. III, 7 LT q (98 ) À côté des astronomes voyageurs ; il y avait en Italie des astronomes théoriciens qui enseignaient dans les universités 3: la liste en serait fort longue , mais peu méritent d’être nommés. Plusieurs s’adonnerent à l’é- tude des astres pour cultiver l'astrologie : de ce nombre furent Manfredi, auteur du livre du Pourquoi (1), Bianchini, qui fut en cor- respondance avec Regiomontanus (2), et Lau- rent Buonincontri : on lés cite de préférence, parce que l'astrologie ne les empécha pas de se % “ f : . ES . livrer à de plus utiles travaux. Pontanus, si connu pour son érudition classique, fit preuve dans ses ouvrages d’une grande connaissance de l’ancienne C2 2, LA astronomie ; Toscanelia, dont nous: avons parlé , # PH Ts - — rt, (x) Manfrédi mourut en 1492. Son ouvrage intitulé De ho- mineet qu’on appelle communème il Libro del Perché, pa- rut pour la première fois. à Bologne en 1474. Fantuzzi s’est trompé en assignant à cette première édition la date de 1475 : je la possède et elle porte l’année 1474 (Fantuzzè, scritiorr bolognesi, Bologna , 1781, 9 vol. in-fol., tom. V, p. 197:— Manfredi, De homine, Bononiæ , 1474 , in-fol.). (2) Fantuzzi, scrittori bolognesi, tom. IF, p. 180-187. Ti- raboschi, storia della lett. ital., vol. VII, p. 366.—Bianchini avait écrit dix traités d’arithmétique , d’algèbre , de géomé- trie, qui n’ont pas été publiés , mais qui existaient manu- scrits en 1782 à la bibliothèque de Bologne (Faniuzzi, sorébtori bolognesi, tom. ÎL, p. 186). Ld | ( 99 ) plusieurs fois, forma des tables astronomiques et fit construire, dans le dôme de Florence, la plus grande méridienne qui existe au monde (1); Dominique Novara, professeur à Bologne, dé- termina de nouveau la position des étoiles qui se trouvent dans l'Almageste, et eut, presque en même temps qu'un Jurisconsulte napolitain, l'idéé d’un changement dans l'axe de rota- tion de la terre (2). Bien qu'erronée, cette hypthèse mérite d'être citée, parce qu’elle portait la discussion sur les élémens du sys- tème du monde, qu'on avait toujours suppo- sés mvariables. Mais Novara restera surtout dans l'histoire pour avoir été le maître de Copernic (3). car le grand astronome alla S'instruire en Italie et doit se rattacher à l’école italienne, comme Purbach, Regiomontanus et l’illustre Agricola. Sans doute le génie du fils du serf polonais n’a- vait pas besoin pour éclore des leçons du profes- seur de Bologne; mais FTtalie doit être fière de pouvoir le compter au nombre de ses disciples. D'ailleurs la théorie du mouvement de la terre, (1) Ximenes, dello Gnomone, Firenze, 1757, in-4y p. XX. (2) Montucla, hist. des math., tom. I. p. 549. (3) Tirabosrhi, storia della lett. ital., vol. VIE, p. 366-368. 7. re mme . (100) reproduite à la fin du quinzième siècle par Léo- nard de Vinci et par d’autres Italiens, n’a pas été peut-être sans influence sur l’admirable con- ception du philosophe de Thorn. Unseulnom, celui de Fracastoro, domine à pré- sent les noms de tous ces astronomesitaliens. Il fut célèbre par la profondeur et la variété de ses con- naissances. De Thou, qui, dans son histoire, en a fait un magnifique éloge, dit que Sannazar s’a- voua vaincu par les vers latins (1) du méfle cjn de Vérone. Il fut botaniste (2), philosophe (3) et mathématicien, et, cultivant des sciences si di- verses, il s'illustra dans toutes. En combattant les épicycles, il aplanit la route ausystème de Copernic. Il substitua l’action desatomes aux cau- ses occultes (4); il considéra tous les corps comme s’attirant mutuellement (5), et les actions élec- (1) Thuani historiæ , Londini 1735 , 7 vol. in-fol., tom. I, p. 450, lib. XII, Ç 15. (2) Voyez à ce sujet les lettres de Fracastoro insérées dans le recueil de Pini ( Sezelta di Lettere, Venet. , 1574, 4 vol. in-8 , tom. III, p. 399-436). (3) Fracastoro fut élève de Pomponace ; il composa un traité De anima, et un dialogue De intellectione (Fracastori opera, Venet., 1574, in-4, f. 121 et 140). (4) Fracastori opera, f. 5. (5) Fracastortr opera , f. 62. ( sut :) triques, magnétiques et physiologiques comme ayant pour cause un principe impondérable (1 ). Son livre de Sympathia et Antipathia est rempli d'observations intéressantes; ses Homocentres dé- cèlent le savant astronome; on lui doit peut- être la première idée des lunettes astronomi- ques (2). Il mourut à soixante-dix ans, en 1553. Vérone, sa patrie, lui fit ériger une statue. | Mais ce sont surtout les mathématiques pures qui furent à cette époque perfectionnées par les Italiens : leurs travaux doivent.se partager en deux classes. Quelques savans s’appliquèrent à bien connaitre les écrits des anciens, à les compléter , et à exposer, dans des traités spéciaux, l’ensemble des recherches déjà fai- tes; tandis que d’autres, plus hardis et plus heureux, s’occupèrent exclusivement de per- (1) Fracastori opera, f. 62. (2) Voici deux passages tirés des Homocentres où il est cer- tainement question de la combinaison des deux lentilles , et du grossissement des astres. « Per dua specillu ocularia si quis perspiciat, altero alteri superposito,majora mullo etpro- pinquioravidebit omnia.»—«Quin imo quædam specillaocu- laria fiunt tantæ densitatis,utsiper ea quis,aut lunam, aut aliudsiderum speclet, adeo propinqua illa indicet, utneturres ipsas excedant. » (Fracastori opera, f. 13 et 42. Homocentres, sect. 11, €. 8;et sect. III, C. 23). ( 102 ) fectionner lalgébre et de [ui donner un de- gré de généralité que les anciens n’avaient point connu, et qu'en plusieurs points les mo- dernes n’ont jamais pu surpasser. Plus loin nous analyserons des écrits de ces algébristes qui ont posé les limites de la résolution des équa- tions, mais nous commencerons par nous OC- cuper des continuateurs de l'antiquité. A leur tête brille François Maurolyeus de Messine, qui, sans négliger l'algèbre moderne, s'appliqua surtout à perfectionner les méthodes d'Archimède, d’Apollonius et de Diophante, et qui sut en déduire de nouveaux résultats. Il se montra le digne soutien des sciences dans le midi de l'Italie Depuis la mort de Frédéric I, les études avaient décliné dans le royaume de Sicile. Les malheurs de ses successeurs, l'invasion de Charles d'Anjou, la terrible vengeance (1) qui sépara la Sicile de Naples, et qui fit d’un royaume uni deux états mortellement ennemis, inter- rompirent dans ces contrées le progres des lumières. En vain le roi Robert protégea les savans : il en appela plusieurs de l'étranger, sans (1) On ne doit pas oublier, à ce propos, que Jean de Pro- cida fut un des plus savans médecins de son temps. ( 103 ) pouvoir ranimer les sciences dans ces contrées. Saint Thomas d'Aquin ne laissa aucun disciple di- gne d'un si grand maitre, et Barlaam de Seminara fut, au quatorzième siècle, le seul mathématicien napolitain dont l'histoire ait gardé le souvenir(r). Les sciences ne devaient pas se relever sous l’em- pire de deux reines dissolues, meurtrières cou- ronnées , dominées par des favoris insolens, et fuyant tour-à-tour devant les Hongrois et les Angevins. Enfin Naples se soumit aux mai- tres de la Sicile, et Alphonse encouragea de nouveau les études, Mais, Jérôme Tallavia, à qui on a voulu attribuer le mérite douteux (2) d'avoir, avant Copernic, enseigné le mouvement de la terre, et Pontanus, qui fut plutôt érudit que savant , ont pu seuls arriver à la pos- _ (1) Signorelli, vicende della coltura nelle due Sicilie, Na- poli, 1584, 5 vol. in-8 , tom. IIL, p. 41 et suiv. — Barlaam contribua beaucoup à répandre l’étude de la littérature grec- que en Italie. Il était né dans une province pour laquelle Frédéric avait rédigé en grec ses Constitutions. (2) Tiraboschi, storia della dett. ital., vol. VIE, p. 367. — Celio Calcagnini publia aussi un traité qui a pour ti- tre : Quod cœlum stet, terra autem moveatur; mais quoique cet ouvrage ait paru avant celui de Copernic , cependant l’auteur italien a pu avoir connaissance des opinions du grand réformateur de l'astronomie ( Tiraboschi, storia della lett. tal. , vol. XI ,p. 445). ( 104 ) térité. Ils furent éclipsés bientôt par Mauroly- cusseul Hs “qu'ait eu la Sicile depuis Archimede. Il naquit (+) à ER en dE d’une famille grecque que les Turcs avaient forcée à chercher un asile en Italie (2).Son père lui apprit le grec et astronomie (5). À vingt-sept ans il embrassa la carrière ecclésiastique, et poursoutenir ses frères, il devint, comme plus tard Newton, directeur (4) de la monnaie. Souvent il fut consulté sur des affaires d'état par Véga, qui, en qualité de vice- roi, gouvernait alors la Sicile pour Charles- Quint (5). Il entra en correspondance avec les (x) Le savant abbé Scinà de Palerme , dont la Sicile dé- plore la perte récente, a écrit un éloge historique de Mauro- lycus que nous suivrons ici pour les dates et pour les faits principaux. Îl a eu à sa disposition des ouvrages imprimés et manuscrits qui nous manquent, et il s’en est servi avec beau- coup de jugement. Nous croyons seulement que, n'ayant pas assez souvent comparé les travaux de Maurolycus avec ceux des autres géomètres de son âge, il leur a quelquefois attri- bué plus d'originalité et d'importance qu’ils n’en ont réelle- ment. L’éloge que nous citons a paru en 1808 à Palerme,in-8. (2) Foresta , Della, vita di F. Maurolico, Messima; 1615, in-4, p. rt: (3) Foresta, Della, vita, TR (4) Baluzte, miscellanea, Lucæ, 1761,4 vol. in-fol. …» P- 396. (5) Baluzii, miscellanea, tom. IV, p. 399.— Scènt, elogio, p: 100. à ( 105 ) hommes les plus célèbres de son temps (1), mais peu de ses lettres nous sont parvenues. On doit regretter surtout celle qu'il adressa au cardinal Bembo, et dans laquelle il décrivait une grande éruption de l’Etna {2). De toutes parts on avait re- - cours à lui: Clavius le consultait sur les mathéma- tiques, et don Juan d’Autriche lui demandait des instructions pour diriger la flotte qui fut victo- rieuse à Lépante (3). I fit élever les fortifications de Messine(4), et, malgré sa piété, il s’arma pour défendre cette ville contre des soldats espagnols qui menaçaient de la dévaster (5). Par lui laSicile opprimée reprit de l'éclat : non-seulement il l'illustra par sa science, mais il en fut aussi l’un des premiers historiens (6). Il mourut octogé- naire, en 1575, emportant dans le tombeau les (1) Seina, elogio, p. 6 et 109. (2) Scina, elogio, p. 103. (3) Foresta, Della, vita, p. 17. (4) Foresta, Della, vita, p. 6. (5) Il le dit lui-même dans la dédicace de sa Cosmographie au cardinal Bembo (Maurolyci cosmographia , Venetis”? 1543, in-4). (6) Il fut nommé historiographe par le sénat de Messine, qui lui assigna cent écus d’or de rente viagère pour qu’il püt terminer et publier son histoire et ses ouvrages de mathé- matiques (Baluzii miscellanea, tom. E, p. 399). ( 106 ) regrets des savans et la véitération de ses conci- toyens. Malgré des occupations si diverses, ét bien que livré à des recherches historiques et à des travaux d’érudition, Maurolycus composa tant d'ouvrages qu’ils semblent surpasser les for- ces d'un homme. Malheureusement, il ne publia presque aucun de ses écrits, très peu ont été im- primés depuis,et tout le reste a péri; mais nous en avons la liste dans sa Cosmographie et dans les Opuscules mathématiques, qui parurent à Venise peu de jours après sa mort (1}. On voit par le premier de ces ouvrages que déjà, en 1540, il avait composé une immense encyclo- pédie des mathématiques pures et appliquées, où se trouvaient réunis les ouvrages des géo- metres et des astronomes grecs et romains , avec les principales productions des astronomes arabes et des mathématiciens du moyen àge (2). Les auteurs grecs avaient été traduits par lui de loriginal, et devaient paraître’ presque tous (1) Maurodyci opuseula mathematica, Venetüs, 1575, in- 4. . Î (2) Dans cette collection il n’y avait rien de Fibonacci ; mais Maurolycus n’aimait pas l'algèbre. ( 107) pour la premiere fois. Il les avait enrichis d’un commentaire et de différens traités sur les prin- cipales branches des mathématiques. Sans parler des écrits d’autres auteurs, auxquels il a ajouté des recherches nouvelles ou dont il a perfectionné Ja rédaction, il'avait composé un traité d’arith- métique spéculative et des nombres polygones, un traité de perspective, une optique, un traité des mouvemens et de leur symétrie, un traité de musique théorique et pratique, une géomé- trie, une algebre, un traité de la sphere, une astronomie, une table des sinus, plusieurs trai- tés sur l’astrolabe, sur les horloges, sur la gno- monique, et une foule de recherches mathé- matiques sur différens sujets (1). À la fin des Opuscules mathématiques, on trouve un autre catalogue qui contient quatorze traductions ,avec ou sans commentaires, plus de trente ouvrages de mathématiques, l'histoire de la Sicile, un martyrologe, un livre d’hymnes ecclésiastiques, deux livres de poésies et d’épigrammes, la tra- + (1) Maurolycus s’est occupé aussi de philosophie; dans ses opuscules on trouve un triple arbre des connaissances humaines (Maurolyci opuseula, p. 3). Voyez la note XXIIT à la fin du volume. ( 108 ) duction, en vers latins, de Phocylide, la généa- logie des dieux, une vie de Jésus-Christ en vers italiens, des poésies en patois sicilien, une chro- nologie, un itinéraire syriaque, la description de l’éruption de l'Etna, deux ouvrages de théo- logie et une grammaire. (1) Un nombre si prodigieux d'ouvrages, sur les parties les plus élevées de la science (2), dut nécessairement frapper d’étonnement les con- temporains de Maurolycus. Cette fécondité lui valut le titre de second Ærchiméde (3), qu'il mérita plutôt par la variété des recherches que par l'originalité des méthodes où la nouveauté des résultats. Bien que la plupart de ses ouvrages L (x) La grammaire a été imprimée à Messine en 1528, in-4. Le Martyrologe, la Vie de Jésus-Christ en vers, l'Histoire de Sicile, la Constructian du Cadran horaire, les Sphériques de Théodose et la Cosmographie, parurent également du vivant de l’auteur. (2) Pour en compléter le catalogue il faudrait en ajouter d’autres dont parle Mongitore, qui a donné une longue liste des ouvrages de Maurolycus : on y remarque un fraëte des Poissons de la Sicile , les Lettres, un grand nombre de vies de saints et d'extraits divers (Mongètore, bibliotheca sicula, Panormi , 1707, 2 vol. in-fol., tom. E, p. 229: —Voyez aussi Floresta, Della, vita , p. 36-41). (3) Archimedis opera nonnulla cum commentariis .Com- mandint, Venet. , 1558, in-fol. , 42. (109 ) aiént péri, les titres qui nous restent ne semblent pas annoncer que l'on doive regretter quelque découverte importante en mathématiques. Ce- pendant il serait possible que ses écrits, surtout ceux qui concernent l'optique, la météorolo- gie (r) et la mécanique, eussent renfermé des faits curieux. En effet les fragmens sur ces matières, que nous connaissons du géomètre de Messine, contiennent des observations inté- ressantes et méritent d'être consultés. On doit regretter que ni les allocations spéciales de sa ville natale, ni les intentions généreuses de son ami Siméon Ventimiglia (2), n'aient pu suffire à nous conserver tous les écrits de cet homme célebre. Après ces pertes, il serait impossible de faire connaitre l’ensemble de ses travaux. Un extrait détaillé des ouvrages qui ont été publiés n’offri- (1) Sa météorologie , qu’il appelait Compendium judècia- r3@ 3.7 exclusis superstitionthus, était destinée aux agricul- teurs , aux médecins, aux marins et aux soldats. Si le manu- scrit existe encore dans quelque bibliothèque de la Sicile, il serait intéressant de l’étudier et d’en assurer la conserva- tion; car cet ouvrage contribuerait probablement à éclaircir quelques-unes des questions qui s’agitent maintenant entre les physiciens sur les températures terrestres. (2) Scena, elogio, p. 214-215. ( 110 ) rait pas un grand intérêt. Nous ne signalerens donc que les recherches les plus intéressantes, les faits les plus curieux qu'ils contiennent, en faisant remarquer cependant que la plupart de ces écrits ayant été imprimés après la mort de l'auteur, et lorsque déjà d'autres savans s'étaient occupés des mêmes questions, ils ont perdu, au moment de leur apparition , une grande partie de l'intérêt qu’ils méritaient d'exciter. (1) (1) En prenant pour base lannée de la mort de Mauroly- cus, on peut assigner une date certaine à ses écrits, qui ce- pendant avaient été tous composés depuis long-temps. Les manuscrits autographes portaient ordinairement, à la fin de chaque traité, des dates qui ont été reproduites parles éditeurs. Je ferai remarquer ici qu’il y a eu discussion entre les biogra- phessur l’époque à laquelle parut | Archëimede de Maurolycus. Montucla assigne la date de 1570 à la première publication de ce livre en ajoutant que toute édition a péri dans un nau- frage. Scina en reproduisant ce passage dit qu’il ne sait pas d’où Montuclaatiré ce fait, et il suppose que cette première édition avait pu paraître entre 1550 et 1560. Le fait rap- porté avec peu d’exactitude par Montucla, se trouve indiqué. dans les lettres de différens jésuites publiées dans les préli- minaires de l’Archimede de Maurolycus imprimé à Palerme en 1685; on y voit que la première édition avait été dirigée par Borelli, vers 1670 , et qu’elle resta inachevée parsuite des persécutions qu’on fit éprouver à l’éditeur (Montucla, hist. des math., tom. I, p.238.—Scina, elogio, p. 127.—Archime- dès monumenta ex traditione Maurolyci, Panormi, 1685, in-fol.). F rm Le traité d'algèbre de Maurolycus est égaré ; mais d’après l'idée qu’il en donne lui-même dans sa lettre à Bembo, on doit croire que cet ou- vrage ne renfermait que les premiers élémens. D'ailleurs, nourri de la lecture des classiques, l'auteur repoussait ce nom d'algébre, qu'il | appelle barbare (1), et qui devait contribuer à l’éloigner de cette science. Son arithmétique (2) contient des recherches curieuses sur la théorie des nombres; les propriétés des nombres polygo- nes y sont traitées d’une manière beaucoup plus complète qu'elles ne l'avaient été par Diophante dans le livre qu'il nous a laissé sur+le même sujet. On y considère plusieurs nouvelles séries des nombres composés de deux ou de trois fac- teurs, dont on fait connaitre le terme général et la somme. Cependant il faut remarquer que la somme des carrés des nombres naturels et celle des cubes (les plus difficiles parmi les résui- tats de ce genre obtenus par Maurolycus) étaient déjà connues. Archimède avait déterminé géo- (x) Maurolyci cosmographia, Dedic. (2) Elle à été publiée à la fin des Opuscula, avec une pa- gipation à part. (4 ver métriquement la somme des carrés et 1l avait Gé- montré la règle pour la trouver; cette somme, ainsi que celle des cubes, avait été publiée par Paciolo l’année même de la naissance de Mau- rolyeus (1). Toutefois le géomètre de Messine, qui ne cite pas l'ouvrage de Paciolo, y a ajouté des démonstrations simples et ingénieuses: (2) Les ouvrages d’Apollonius ne nous sont par- venus que mutilés, et plusieurs géomètres ont tenté, à différentes reprises, de les compléter. Maurolycus s'est appliqué le premier à cette espèce de divination (3); et bien que la décou- verte postérieure d’une partie d'Apollonius, tra- duit en arabe, ait prouvé que ce premier essai ne pouvait pas suppléer à l'original, cependant les recherches du savant sicilien sur les maxima et les minima des sections coniques, témoignent de la force et de la pénétration de son esprit. Ces courbes qui présentaient de grandes difficultés aux mathématiciens , et dont les modernes com- (1) Paciolo , summa de arithmetica geometria, Venetiis, 1494, 2 part., in-fol., part. [, f. 38 et 44, dist. II, tr. 5. — Ces deux règles appartiennent à Fibonacci. (2) Scinà, elogio, p. 163-174. (5) Scinà, elogio, p. 141-145. ( 213) mençaient à peine à s'occuper, avaient un grand attrait pour lui. Ïl composa un traité spécial sur cette matière, et il en fit une application ingé- nieuse aux intersections des lignes horaires et à la théorie des ombres. (1) Maurolycus s'occupa beaucoup d'astronomie : ilécrivit plusieurs ouvrages sur la cosmographie, sur la théorie et le mouvement des astres, et fit des observations astronomiques dont quelques- unes nous sont restées. Il proposa, pour la me- sure de la terre (2), une nouvelle méthode qui plus tard fut rappelée par Picard, lorsqu'il s'oc- cupa de la mesure du méridien. Il a décrit, dans un traité spécial, les principaux .instrumens as- tronomiques qu'on employait de son temps; et ‘comme il en a aussi tracé l’histoire, cet ouvrage a beaucoup d'intérêt pour nous (3). C'est à lui qu’il faut probablement attribuer la première ob- (1) Avant la publication de l'ouvrage de Maurolycus, Be- nedetti, dont nous devrons parler bientôt, publia des recher- ches analogues, mais moins générales ( Benedicti de gnomo- nium usu, August. Taurin., 1534, in-fol.). Cependant Mau- rolycus , qui mourut en 1575, a sans doute la priorité comme latteste Clavius ( Scina, elogio , p. 185). (2) Maurolyci cosmographie, f. 73. (3) Maurolycr opuscula , p. 48-79. LP 8 (4r4 ) servation de l'astre qui, en 1572,se montra tout- à-coup dans la constellation de Cassiopée (1), et dont l'apparition et la disparition produisirent une si vive impression. Tycho-Brahé ne semble avoir observé cet astre célebre que trois jours après Maurolycus. Archimède, qu’il faut toujours citer lorsqu'on veut remonter aux sources des principales décou- vertes en mathématiques, avait créé la statique par le principe du levier et par la détermination du centre de gravité des figures planes. Ilavait dé- terminé aussi celui de plusieurs solides, et l'on voit dans ses ouvrages qu'il connaissait la position du centre de gravité du paraboloïde de révolu- tion; mais les écrits dans lesquels il avait dü con- signer ces recherches ne sont pas arrivés jusqu à nous (2). Après ce grand géomètre , la mécani- que resta stationnaire jusqu'à Léonard de Vinci, (1) Scinà elogio, 181-184.— I] paraît même qu'à cette oc- casion il publia ua écrit dont on ne connaît à présent aucun exemplaire. (a) C’est Commandin qui a fait cette remarque, dans la Dédicace de son Liber de cenitro gravitatis solidorum qui se trouve à la suite de l'ouvrage intitulé: Arehèmedis de iis quæ vehuntur in aqua ; libri duo, a F. Commandino resti- tueti, Bononiæ, 1565, in-4. 115 ) qui, comme on l'a vu, détermina le centre de gravité de la pyramide; mais ses recherches, en- sevelies dans des manuscrits difficiles à lire, n’é- taient connues de personne. En 1548; Mauro- lycus détermina de nouveau le centre de gravité de la pyramide, du cône et du paraboloïde de révolution (1). Son travail n'ayant vu le jour que bien long-temps après sa mort, il a été pré- cédé par la publication de l'ouvrage sur /e cen- tre de gravité des solides, composé par Com- mandin. Il est probable que les deux géomètres se sont appliqués séparément au même sujet, et rien ne paraît devoir nous porter à rejeter la | (1) Ces résultats, qui n’ont paru que dans l’Archimède de. Maurolycus publié à Palerme en 1685 (p. 156-180), se trouvaient dès 1575 annoncés à la fin des Opuscula : dans les manuscrits de l’auteur ils portaient la date de 1548 (4rchimedis monumenta ex traditione Maurolyci, p. 180). Au reste Commandin lui-même dans la dédicace qui pré- cède son traité de centrogravitatis solidorum, reconnaît que Maurolycus s’é tait occupé de cette matière avant lui. Si M. Mamiani, qui a publié une vie fort intéressante de Com- mandin, avait pu lire cette dédicace, il n’aurait probablement pas dit que : « Archimède non avea tenuto proposito che di sole figure piane.. talchè primo in questa impresa ayanzd di gran lunga il Messinese Maurolico, che dello stesso argo- menio occupossi in appresso » (Mamiant , elogi storici, Pe- saro, 1828, in-12, p. 28). 8. ”” 18 ( 116 ) date des recherches de Maurolycus; date qu'on a trouvée dans ses manuscrits autographes; d’au- tant plus que Commandin lui-même parle des travaux de son émule, dont cependant il n’a pas eu communication. Il faudrait citer aussi le géomètre de Messine, pour avoir déterminé la surface des figures curvilignes à l’aide du centre de gravité. Mais cette méthode, qui a soulevé de vives discussions de priorité entre les mathéma- ticiens du dix-septième siècle, doit être attri- buée principalement à Pappus, qui l'a indiquée fort clairement dans son grand recueil. (1) C’est surtout dans ses recherches sur l'optique que Maurolycus a montré le plus de sagacité. L’explication de arc-en-ciel que frère Théodoric de Saxe (2) avait donnée au commencement du quatorzième siècle ayant été oubliée ou négli- gée, les physiciens s’occupérent souvent de cette question, qui ne fut éclaircie de nouveau que par Dominis. Le géomètre de Messine en fit aussi l’objet de ses recherches, et ii pensa d’'a- bord avec justesse qu'il fallait comparer ce (x) Montuclu, hist. des mathem., tom. I, p« 32g. (2) Venturi, storia dell ottica, Bologna, 1814, in-4, tom. I, p. Soet suiv. Gr) phénomène à celui de la réfraction produite par. des gouttes d’eau. Mais ensuite il abandonna cette analogie pour introduire dans son explica- tion la réflexion des rayons lumineux (1). Plus heureux dans la théorie de la vision, il n’osa cependant pas achever ce qu'il avait si bien commencé; car, après avoir déterminé et décrit convenablement les effets du cristallin (2), il fut effrayé de la conséquence à laquelle il arrivait nécessairement, et n’osant pas adopter le ren- versement de l’image sur la rétine, il s'arrêta (5). On a déjà vu (4) que Léonard de Vinci n'avait pas hésité à comparer l'œil à la chambre obscure; mais Maurolveus ne connaissait pas les manu- scrits inédits du grand peintre de Florence, etil s’appliqua surtout à décrire la réfraction opé- rée par le cristallin. On lui doit l'explication des effets produits par les bésicles sur les presbytes et sur les myopes (5), Les lentilles, les miroirs con- (1) Maurolyci de Lumine et umbra, Lugduni, 1613, ia &, p. 47, 56, 58, etc. (2) Maurolyci de Llumine et umbra, p. 85. (3) Maurolyci de Llumine et umbra, p. 84. (4) Ci-dessus, p. 54. (3) Voyez la note XXIV à la fin du volume. ( 118 ) caves et convexes, la marche des rayons lumi- neux, réfléchis ou réfractés, ont été étudiés avec soin par lui,-et il a expliqué les principaux phé- nomènes de la dioptrique et de la catoptrique. On trouve même dans son ouvrage des obser- vations sur la chaleur rayonnante, sur la photo- métrie (1), et la description des caustiques (2), courbes que l’on a toujours attribuées à Tschir- nausen, et que Léonard de Vinci avait déjà ob- servées. Cet ouvrage, rempli de faits curieux et de recherches ingénieuses, mérite, à tous égards , l'attention de la postérité. Maurolycus avait un émule qui ne lui survécut pas. Né à Urbin en 1509, Frédéric Commandin mourut en 1575, comme le savant Sicilien, après s'être comme lui livré surtout à l'étude des mathématiciens grecs. Archimède, Ptolémée, Apollonius, Pappus, Héron, Serenus, Euclide, Aristarque, l’occupèrent tour-à-tour. Il les tra- duisit de nouveau du grec, et les enrichit de sa- vans commentaires. Commandin se hâta de faire paraître ses travaux, et précéda par ses publi- (:) Maurolyci de bumine et umbra, p. 5 et 10-15. (2) Maurolyci de lumine et umbra, p. 47. ( 519 ) cations le géometre de Messine. La plupart des ouvrages des mathématiciens grecs étaient déjà connus par les traductions des Arabes. Ces ver- sions orientales, qu'il avait fallu traduire en latin, avaient pu faire connaitre généralement les mé- thodes et les résultats, mais ne suffisaient plus à une époque ou les progrès de la critique et de la philologie avaient rendu les esprits plus exigeans. La science y gagna : car en discutant les textes, on s'accoutuma à discuter aussi la rigueur des démonstrations. Pour traduire alors des ouvrages de géométrie d'apres des manuscrits souvent in- complets ou défectueux, pour rétablir une dé- monstration tronquée ou dénaturée, il fallait à-la-fois bien connaître et la langue et la scien- ce. Les Italiens, qui, pendant qu’ils faisaient de si importantes découvertes dans l'analyse algébrique, surent rendre sa rigoureuse pu- reté à la synthèse des anciens, ont été au sei- zième siècle les maitres en mathématiques de toute l'Europe. Leur influence se fera long- temps sentir : de nos jours encore, aucun géo- méêtre ne saurait résoudre un problème, sans profiter, souvent à son insu, des travaux de Maurolycus et de Commandin , des découvertes de Ferro, de Tartaglia, de Ferrari. (-220t) Command composa peu d'ouvrages origi- naux , et il consigna surtout ses recherches dans des commentaires. Un essai sur la gnomonique , et le traité sur le centre de gravité des corps solides que nous avons déjà cités, ont été pu- bliés par lui à la suite de deux ouvrages an- ciens (1). On a dit qu'il avait inventé avant Ga- lilée une espèce de compas de proportion (2); (r) Ptolemæi de analemmate cum F. Commandini de horologiorum descriplione, Romeæ, 1562, in-4.— Archimedis de iès quæ vehuntur in aqua libri duo a F. Commandino restituti. Tartaglia avait déjà publié, en 1549, ce traité à la fin d’une édition latine des ouvrages d’Archimède ; mais il ne s'était pas occupé du centre de gravité des so- lides. Le texte grec existait à cette époque, Commandin l’a- vait recu en manuscrit du cardinal Cervino, mais il a été perdu depuis (Mazzuchelli, vita d’'Archimede, Brescia , 1737, in-4, p. 101 et 112-113). Les recherches du géomètre d'Urbin sur le centre de gravité-des solides ont paru les premières, mais elles ne sont certainement pas les plus anciennes. Voyez ce que j'ai dit à ce sujet aux p. 41 etr14-113 de ce volume. Commandin s’est occupé aussi d’une question fort générale, savoir : de déterminer la courbe formée sur un plan par les rayons visuels tangens à une figure quelconque donnée (Mamiani, G., elogj storici, p. 22-23). (2) Mamiani, G., elogj storiei, p. 36-37.— L'ouvrage où l’on trouve celte indication pour la première fois, a paru à Milan presque trente ans après la publication du Compas de Galilée : au reste l’instrument dont parle l’auteur cité par M. Mamiani n’est pas un compas de proportion (Oddi, ( 127 ) mais cette assertion ne repose sur le témoignage d'aucun auteur contemporain : d’ailleurs lin- strument que lon attribue à Commandin ne pouvait servir qu'à diviser une droite en parties égales. C'était un compas double, à charnière mobile et à branches variables. Parmi les hommes qui, à cette époque, cul- tivèrent avec succès la synthèse , il faut citer surtout Jean-Baptiste Benedetti de Venise,.qui, à vingt-trois ans (1), avait publié un ouvrage fort ingénieux, intitulé : Résolution de tous les pro- blèmes d Euclide avec une seule ouverture de com- pas (2). Cette condition augmente de beaucoup fabbrica del compasso polimetro, Milano , 1633, in-4, p° 1=2). (1) Voyez la vie de Benedetti (Mazzuchelli, scrittori d'Ita- lia, Brescia, 1755, 2 tom. en 6 part.,in-fol., tom. II, pari. 2°, p- 817), où l’on trouve aussi la liste de ses ouvrages. Baldi, qui en parle dans sa Chronique des mathématiciens (Urbëno, 1707, in-4, p. 140), n’a pas su apprécier le mérite du géomètre vénitien. (2) Benedictis (J. B.) de resolutio omnium Euclidis proble- matum aliorumque.… una tantummodo cireuli data aper- tura, Venetiis, 1553, in-4. — Dans la dédicace à Gabriel de Guzman, Benedetti dit: « Scientiis eam (vitam) placuit a teneris unguiculis consecrare, aique huc usque progressus sum (Deo duce) sine monitore præceptoreque ullo, nullum gymnasium unquam, nullamque scholam frequentavi, neque (rar) la difficulté : lécrit dont nous parlons a pu donner à Mascheroni la première idée de sa Géo- métrie du compas. Léonard de Vinci, qu'on est si souvent forcé de citer lorsqu'il s’agit de quel- que nouvelle invention, s'était occupé le pre- mier de ce genre singulier de géométrie, mais ses travaux gisaient dans loubli. Cardan (1) et Ferrari paraissent l'avoir cultivé aussi avant Benedetti, mais les recherches de Ferrari n’ont jamais paru, et Cardan n’a donné que des indi- cations abrégées sans démonstration. Les mé- thodes et les solutions du géomètre de Venise décelent une grande sagacité (2). L'auteur, qui hæc studui, quod vulgus solet (sed absit verbo arrogantia), pro tempore in scholis transacto , eruditionem estimare, ac septennario finito finem studiis imponere, sed dum vivo, illa prosequi. » — (Cette‘dédicace est très importante; on y trouve pour la première fois la considération de la gravité proportionnelle à la masse, d’où l’auteur déduit que les corps de mème forme et de même nature tombent dans le même temps de la mème hauteur, quelle que soit leur masse, pourvu que la densité du milieu reste constante. Voyez la note XXV à la fin du volume. | (x): Cardani, de subtilitate, Lugduni, 1559, in-8, p- 526. _ Cette édition est postérieure à la publication de l’ouvrage de Benedetti ; mais on voit, par la Dédicace de Cardan, que le traité de subtilitate avait déjà paru en 1552. (2) Voyez la note XX VI à la fin du volume. ( 4232 n’avait étudié que les quaire premiers livres d'Eu- clide sous Tartaglia (1), à dix-huit ans, passait, non sans quelque raison, pour un prodige (2). On l'aurait admiré davantage si l’on avait compris, à cette époque, toute l'importance de sa théorie de la chute des graves, dont on n’a jamais parlé, et qui mérite cependant une place distinguée dans l’histoire des sciences. 11 devint plus tard mathématicien du duc de Savoie, et mourut en 1590 (3). Sa Gnomonique contient des re- cherches intéressantes; mais c’est dans les Spe- culations mathématiques et physiques qu'il a consigné les résultats les plus remarquables de ses travaux. (x) C’est l’auteur qui le dit dans la préface de l’ouvrage déjà cité : cette assertion insérée dans un livre qui parais- sait dans la patrie de Benedetti et sous les yeux de Tartaglia ne semble pas pouvoir être combattue. Voici le passage ori- ginal : « Cæterum quia cuiusque quod suum est reddi debet, nam et pium et iustum est, Nicolaus Tartalea, mihi quatuor primos libros solos Euclidis legit, reliqua omnia, privato et labore et studio investigavi, volenti namque scire, nihil est difficile. » — On voit, par cette préface, qu’à peine ägé de vingt-trois ans, il avait préparé un traité complet de ma- thématiques. (2) Mazzuchelli, scrittori d'Italia, tom. IE, part. 2°, p. 817. (3) Riccioli, chronologia reformata, Bononiæ, 1669, 3 vol. in-fol., tom. ILE, p. 246. (Œ.) Ce livre (1), qui est divisé en six parties, con- tient les Théorèmes arithmétiques, la Perspec- tive, la Mécanique, les Proportions , les Dispu- tes et des Lettres sur les mathématiques et sur la physique. Tant de matières différentes y sont traitées que l’on ne saurait en donner une ana- lyse détaillée. Nous nous bornerons à dire que, dans ses Théorèmes, il a construit et résolu géo- métriquement la plupart des théorèmes de la- rithmétique et de l'algèbre élémentaire, à-peu- près comme on le ferait aujourd’hui (2). Ces - premiers élémens de la géométrie analytique méritent d’être remarqués (3). Dans sa Méca- nique, il a su expliquer l’action de plusieurs machines (4); il a connu la force centrifuge, etil a dit que, laissés en liberté, les corps s’échap- {1) Benedicti (J. B.) patritit Veneti diversarum specula- tionum, Taurini, 1585, in-fol. (2) Ces Theéorèmes arithmétiques contiennent des recher- ches assez curieuses sur les nombres : l’auteur y donne la dé- monstration de l'équation abe— bae(Benedicti diversar. spe- culat., p. 57). On sait que Legendre a démontré des propc- sitions analogues dans sa Theorie des Nombres. (3) Voyez la note XX VII à la fin du volume. (4) Surtout le coin et la moufle, qu’il réduit au levier (Béhe- dicte diversar. speculat., p. 162-163). (Gear) pent par la tangente (1); l'équilibre du levier recourbé a été bien déterminé par lui (2). Il a réduit le mouvement d’un corps à celui de son centre de gravité, et il a expliqué par là pour- quoi les sphères et les cylindres, dont le centre de gravité ne monte pas lorsqu'on les fait tour- ner sur un plan horizontal, offrent moins d’ob- stacles au mouvement que les autres corps (3). Dans ses Disputes, il prend à partie Aristote et il combat avec raison plusieurs de ses assertions. Il reproduit ici ce qu'il avait dit ailleurs sur la chute des graves, et il prouve que dans le vide les corps de différente masse tombent avec la méme vitesse (4). Il dit qu'Aristote s’est trompé en voulant démontrer que le vide n'existe (1) Benedicti diversar. speculat., p. 160-161. (2) C’est en cherchant à résoudre cette question qui avait embarrassé tant de mathématiciens que Benedetti a donné le théorème fondamental de la théorie des momens, théorème qu’il énonce de la manière suivante : « Quod quantitas cuius- libet ponderis, aut virtus movens respectu alterius quantita- tis cognoscatur beneficio perpendicularium ductarum a cen- tro libræ ad lineam inclinationis » (Benedicti diversar. spe- culat., p.143). (3) Benedicti diversar. speculat., p. 155-150. (4) Voyez la note XXV à la fin du volume, C3 Re D) pas (1), et que ce n’est pas, comme le suppo- saient les péripatéticiens, l’air qui est dans une outre qui en augmente le poids dans l'air, mais que cette augmentation de poids est due à la condensation de Fair qu'on y a introduit par force (2). Cette distinction est ingénieuse et (1) « Quam sit inanis ab Aristotele suscepta demonstratio quod vacuum non detur » (Benedicti diversar. speculat., P- 179). (2) Voici ce que dit à cet égard Benedetti (Diversar. spe- culat., p. 185) : « Omne corpus esse in loco proprio grave, ut Aristoteli pla- cuit, non est admittendum. « Car. XXVI, Arist. 4 cap., lib. 4. de cœlo sic scribit. « Suo enim in loco gravitatem habent omnia præter ignem, signum cujus est utrem inflatum plus ponderis, quam va- cuum habere, etc. «Quoinloco, manifeste indicat se causam necgravitatis, nec levitatis corporum naluralium nosce, quæ est densitas aut ra- ritas corporis gravis, aut levis, maior densitate, aut raritate medij permeabilis, in quo reperitur. « Exemplum qui ipse de utre inflato proponit, debuisset sal- tem ei oculos ad veritatem, quæ clarissime fulget, inspicien- dum aperire, verissimum est, utrem inflatum plus ponderis habere quam vacuum, aut quando aer in eo non est per vim inclusus. « Ratio autem hujus rei est, quia quando inflatus est, ea quantitas aeris, in eum per vim iniecti, minorem occupat locum, quam si eidem libere vagari permitteretur, unde vio- lenter, quodammodo , condensata est, et quia corpus den- (127 ) vraie; elle prouve, avec ce qu'on lit plus loin sur lexplication des effets des ventouses, qu'il faut faire remonter au seizième siècle la décou- verte de la gravité et de l’élasticité de lair (1). sum, in minus denso, semper descendit, et minus densum in magis denso ascendit. Hanc ob causam uter inflatus plenus corpore magis denso,quam est medium quod eum circumdat, descendit, non quia aer in aere aut aqua in aqua sit gravis. » (x) « Qui autem asserunt cucurbitæ, quam apponunt chi- rurgi, effectum ex eo nasci, quod calidi sit attrahere, valde aberrant a vero, quia hoc, non nisi a raro, et a denso imme- diate, a calido et frigido causatis efficitur, quia aer in cucur- bita rarefactus a calore et per consequens dilatatus, statim ut a dicto calore deseritur, iterum condensatur et tanto citius, quanto aer ambiens frigidior existet, etquia eadem materia cum condensata fuerit minorem semper occupat locum, restringens igitur sese in cucurbita aer dum condensatur, necessario fit ne ulla, scilicet pars vacua, remaneat quod cum alius aer ingredi cucurbitam nequeat aliud corpus ingredia- tur. Idem cum amphora in qua nullum aliud, quam aerem sit corpus experiri possumus, si eam ad ignem primo calefac- tam , deinde cum ore in amplo aliquo cyatho, aut alio vase, vino aut aqua pleno ubi videbimus huiusmodi liquorem sta- tim sursum ferri, quia dum calefit amphora, rarefit quoque aer qui in ea continetur, et quia rarescit dilatatur, et quia dilatatur, egit maiore loco; et ideo magna pars eius foras exit; Cum vero ea aeris portio, quæ intus remanserit, iterum condensatur ob defectum caloris, restringitur minorique indiget loco. Quod cum ita se habeat, necessarium est, in alicuius locus vacuus remaneat, ut aliud quoddam corpus ingrediatur, cum ad ingrediendum aeri non patuerit aditus. (188: ) Nous verrons au reste bientôt que ces idées étaient alors généralement répandues parmi les savans italiens. Benedetti combat aussi lasser- tion d’Aristote, qui attribue la chaleur solaire au mouvement de cet astre (1); il explique les va- riations annuelles de la température par la dif- férente inclinaison des rayons qui se réfléchis- sent à la surface de la terre, et par l'inégale épaisseur des couches atmosphériques qu’ils doivent traverser suivant qu'ils arrivent plus ou Quod si corpus admodum non erit fluxile, aut humidum, ita ut ingredi amphoram possit ita amphoræ hærebit, ut non cito divelli possit, et eomodo sæpe cum admiratione videam fragile vas vitreum magnum et grave lapideum corpus ele- vare. Sed ut ad densum et ad rarum redeamus, mihi videtur frigidum esse consequentem qualitatem densi, et calidum rari, quia quævis res dum calefit, rarefit, et quælibet materia dum refrigeratur, simul condensatur. Qua ratione fit ut terra frigidior sit aqua, et ignis calidior fit aere. «Nec proprie locutus est Aristoteles 9 et ro capite primilib. et secundo secundi metheororum cum dixerit calorem solis eum esse, qui sursum humores, vaporesque evehat, quia sol nil alhud facit, quam caléfacere, cuius caloris ratione, ea ma- teria rarefit et ob rarefactionem levior facte ascendit, non quia sursum a sole feratur. » (1) « Non esse solis calorem a motu locali ipsius corporis solaris, Aristoteli placuit. » ( Benedicti diversar. specul. ). P- 187.) , 4 es 4 D Fe. cé (129 ) moins obliquement (1). Il y a là, comme on le voit, | beaucoup de saines idées de physique. La scintillation des étoiles est expliquée dans cet ouvrage par le mouvement des couches inter- posées (2), on y rejette l'incorruptibilité des cieux (3), et l'on y soutient la pluralité des mondes (4); on y parle des vapeurs qui peuvent réfléchir la lumière, et de leur condensation par fe froid (5). Enfin on y mentionne l'inflamma- (1) Cependant Benedetti s’est trompé en considérant la terre comme un miroir qui réfléchit les rayons calorifiques, de manière à faire l’angle d'incidence égal à celui de réflexion (Benedicti diversar: speculat., p. 188-189 et 350). _@ Bencedicti diversar. speculat., p. 186. AS) Benedicti diversar. speculat., p. 197. (4) Benedicti diversar. speculat., p. 195. (5) Bencdicti diversar. speculat., pP: 191, 412 et 416. — 4 ses lettre es, l’auteur applique ses principes à la suspen- sion des nuages de la manière suivante (p. 361): « De causa suspénsionis nubium in aere contra Antonium Bergam. — Clarissimo F: Francisco Venerio. « Ego enim non. tantum miror ea quæ mihi scripsisti de opinione Ortensij quantum quod Antouius Berga putat nu- * bes a sole ‘suspensas teneri, id plane falsum est, vera causa Mano € effectus, alia nulla est, nisi éarundem raritas, hoc est, cum rariores sint ‘ipso here subiecto, propierea supra ipsum natant et stant sub eo qui rarior ipsis est, eo quod corpora Trariora posita in medio nou tam raro, ascendunt, et densiora in medio minus denso descendunt. Nam si sol If. ; Q { 130 tion spontanée des matières en fermentation. (r) Dans sa correspondance, Benedetti traite une multitude de questions diverses. La correction du calendrier, l’art nautique, la géométrie (2), l'astronomie , l'hydrostatique, la musique, la physique , forment tour-à-tour le sujet de ses SE ipsas nubes suspensas in aere teneret, hoc inter diu tantum- modo foret, sed noctu cur non descendunt usque ad terram et in eodem loco semper manent? Sciendum igitur est nubes ascendere iu altum quousqueinveniant aerem eiusdem rari- tatis cuius ipsæ sunt. Raritas enim et Gensitas non suntres visibiles nisi per accidens, quemadmodum etiam levitas, et gravitas, opacitas vero et diaphaneitas magis compræhendun- tur; opacitas enim ex reflexione radiorum luminosorum, dia- phaneitas vero compræhenditur ex penetratione ipsorum ra- diorum ; opacitas autem nubis non,est densitas ,;, cumwalde diversa sit densitas ob opacitate , sicut raritas ab diaphanmei- tate, ut alias dixi. Ët quando dixit, quod sol calefaciendo aerem ipsam- nubem ambientem, rarefaciat eum magis quam ipsam nubem , respondeo, hoc verum non esse, propterea quod radius solis non multum calefacit ea corpora, que ipsi permittunt liberum transitum, unde corpora, ‘quan do magis diaphana sunt tanto minus ab ipso radio luminoso calefiunt, sed ea quæ magis opaca. sunt magis etiam calefiunt et RE consequens magis rarefiunt, Cum calidi sit per se rarefacere, et non attrahere, ut ipsi et fere ommes ali putant. FS (x) Benedicti diversar. speculat., p.190. #0 2 (2) Il a résolu le problème de déterminer un cer e dans lequel on puisse inscrire un quadrilatère donty les quatre côtés sont donnés (Benedicti diversar. speculat., P. 211). ù . ant ? à R f C-B6-r4) à à Ps LA 0 : x L Éd Ë —- ie 4 hs 5% - e 474 - _ 24 — "4 / Chasles À die tp étre é ” , it: « Les o à € ges dk > La Les e x + \ f upérie rs à celui deJ:-B -B. Bene ui » Né ). — Car si Be a a moins d'in- DT. RE ES Lyprend an ent Sa reyanche en ne É ue et en mécanique. M avfait Dge mérité * deu travaux dg me" vénitien (Montuele, hit des «re d | tom. np. er y v' Sa 9: , . L F L2 . e ! w : . à dé ‘ - ( 132 ) lutte a été engagée par Descartes, et on le pro- clame le législateur de la philosophie moderne. Mais, lorsqu'on examine des écrits scientifiques de Fracastoro, de Benedetti, de Cardan (1},et surtout ceux de Galilée; lorsqu'on voit de tous côtés s'élever des protestations énergiques con- tre le péripatétisme, on se demande ce qui res- tait à faire à l'inventeur des tourbillons pour abattre la philosophie naturelle d’Aristote. D’ail- leurs les mémorables travaux de lécole Cosen- tine (2), de Telesius, de Giordano Bruno, de Campanella; les écrits de Patrizj, qui fut bon géomètre aussi, de Nizolius , que Leibnitz esti- mait tant (3), et des autres métaphysiciens del (3 (x) Voyez à à ce sujet Téraboschi, storia della let. ital., vol. XL p: 429- k44. ? : A Er = _(2) Voyez sur l’école Cosentine, Spirit, » memorte degli scrittori Cosentint, Napoli, 1750, in-4,p. 23-29, 39- -46, 83 ; 93 etc. — Tiraboschi, storia della Lett. itat., vol. XL, P- 435 et suiv.— Zavarroni, Bibliotheca calabra, Neapol., .… 1753, in-4, p. 126-120. — Toppi biblioteca napolitana, Napoli, 1678, in-fol., p. 47. — Nicodemo, addizioni alla béblioteca napolitant, Napoli, 1683, in-fol. » P- 52-54. — Bruckeri, > historia philosophie, Lipsiæ, 17600 6 vol. in—#, tome, p. 12-62, etc etc. sË de (3) On sait que Leibnitz a fai AE. 0e le traité de Ni- zolius : De verts principiis et vera ratione, philosophandi, contr@ pseudo-philosophos , qui avait paru d’abord en 1553. # F7 155 ) même époque, prouvent que l'ancienne philoso- phie avait déjà perdu son empire au-delà des Alpes, lorsque Descartes se jeta sur des enne- mis en déroute. Le joug était secoué en Italie, et l'Europe entière n'avait qu'à suivre l'exemple, sans qu'il füt nécessaire de donner une nou- velle impulsion. Maïs il est temps de revenir à notre sujet. Des faits qui se lient et s'enchainent nécessairement nous ont forcé d'anticiper sur l'avenir et de citer des noms qui appartiennent à une époque plus récente. Nous allons maintenant retourner sur nos pas pour exposer rapidement les travaux et les découvertes algébriques des Italiens au seizième siècle, et nous commencerons par Luc Pacioli , dont l'immense compilation a servi de guide aux géomètres qui lui ont succédé. Ce moine de l’ordre des Mineurs naquit à Borgo San Sepolcro en Toscane, vers le milieu du quinzième siècle (1). On a très peu de rensei- (r) Dans la Summa arithmetica geometria, l’auteur se nomme seulement Frater Lucas de Borgo Sancti Sepulchri ; mais dans la première dédicace de Za Divina proportione, il s appelle Frater Lucas Patiolus Burgensis et dans la seconde Pacioli ; c'est le nom qui lui est resté. (184) gnemens sur sa vie. Îl en est à peine question dans les biographies religieuses (r);et Ton est réduit à chercher quelques détails dans les dédi- caces de ses Ouvrages et dans les registres des universités où il professa. Il enseigna successive- ment les mathématiques à Pérouse, à Rome, Naples , à Pise, à Venise (2). Il paraît même qu k rédigea plusieurs fois le texte de ses leçons ; mais il n'est pas certain qu ‘il ait publié. ces premiers ouvrages (3). Plus tard il alla se fixer à Milan, à la (1) Waddingus, scriptores ordènès minorum, Romæ, 1806, in-fol.,p. 162.— Wadding ne s’est pas même donné la peine d'indiquer exactement les ouvrages de. Pacioli, qu'il B parta- gés en autant de traités qu’ils contiennent de parties. (2) Baldi, cronica de matematici, Urbino, 1707, in-4, p.107. — Fabroni, historia academiæ Pisane, Pisis, 1791, 3. vol., in-4, tom. Ï, p, 392.— Renazzi, storia dell universila di Roma, Roma, 1805, 4 vol in-4, tom. I, p. "227. —Vermiglioli, : biografia degli scrittori Perugini, Perugia, 1828, 2 vol., in-4, tom. I, p. 214. — Vermigliolise plaint que féboschi, n'ait pas parlé de la chaire que Pacioli avait occupée à Pérouse, mais il se trompe, car Tiraboschi avait Le mn cette circon- stance dans le vol. NIL, p. 380, de, son Histoire de la littéra- ture italienne. " (3) C’est Pacioli lui- même qui Dous ft connaître ce fait : voici ce qu’il dit à ce su) jet «Per l’operare de DA ditta dal vulgo la regola de la cosa over Alghebra e amucabala servaremo noi in questo le qui da lato abreviature over carat- teri: si como ancora nelx altri nostr iquatro volumi de 2 (135. ) cour de Louis-le-More; il y travailla avec Léo- nard de Vinci, et à l’arrivée des Français, il quitta la Lombardie avec lui (1). Florence et Venise + ‘ simili discipline per noi compilati havemo usati : cioe in quello che ali gioyeni di Peroscia intitulai nel 1476. Nel quale nôn con tanta copiosità se tratto. E anche in quello che a Zara nel 1481 de casi piu sutili e forti componemmo. E arche in quello che nel 1470 derizammo alli nostri relevati disci- puli ser Bart”. et Francesco e Paulo fratelli de Ropiansi da la Zudeca , degni mercatanti in Vinegia : figlioli già de ser Antonio.Sotto la cui ombra paterna e fraterna in lor propria casa me relevai, E a simili scientie sotto la disciplina de miser MDomeneco Bragadino li in Vinegia da la excelsa signoria lectore de ogni scientia publico deputato. Qual fo immediate successore al perspicacissimo e Reverendo doctore, e di san Marco canonico maestro Paulo da la Pergola suo preceptiore. E ora a lui, al presente el magnifico et eximio doctore miser Antonio Cornaro nosiro condiscipulo , sotto la doctrina del detto Bragadino. E questo quando eravamo al secolo. Ma da poi che l’abito indegnamente del seraphyco san Francescoex | to pigliammo : per diversi paesi ç è convenuto andare peregrinando. E al presente qui in Peroscia per publico emolumento a satisfation comuna : a simili facoltà ci retro- viamo: E sempre per ordine de li nostri reverendi prelati: maxime del reverendissimo P. nostro generale presente maestro Francesco Sansone da Brescia : correndo gli anni del nostro Trucs Jesu Christo 1487. L’anno 4° del pontifi- cato de! sanctissimo in Christo P. Innocentio Ottavo » (Paciolr, summu de arithmetica geometria, part. I, f. 67, dist. V, tr. 1). — CË passage contient tout ce que nous avons de plus authentique sur la vie de Pacioli. (1) Pacioli, divina proportione , f. 1 et 28. ( 1369) : sont les villes où il parait avoir résidé dans les dernières années de sa vie. On ignore à quelle époque il mourut, mais ce fut probablement peu de temps après avoir dédié, en 1599, la Divina proportione à Pierre Soderini, gonfalonier per- pétuel de la république de Florence ; car depuis cette année on ne trouve son nom mentionné nulle part. | Pacioli a été souvent cité après sa mort, mais peu de ses contemporains parlent de lui. Daniel Gaetano, qui a publié son commentaire sur Eu- clide, assure qu’il fut très savant dans toutes les sciences, et loue beaucoup son talent d’orateur. Les personnes qui ont lu ses ouvrages pour- raient peut-être conserver quelques doutes sur ce dernier point, car ils sont écrits d’une ma- nière si barbare qu’ils semblent mériter le nom de Ceneraccio que leur donnait Annibal Caro (1, Mais ce Ceneraccio, comme ajoutait le célèbre traducteur de l’Enéide, renferme beaucoup d'or, et ce sont les ouvrages du moine toscan qui ont servi de base aux travaux de tous les mathé- maticiens du seizième siecle. Le Nb PS SE ARS 4 ee Vi Re, RE (1) Baldi, cronica de matematici, p. 107. (137) Il composa d’abord la Somme d’arithmetique et de géométrie, qui, pour la premiere fois, parut à Venise en 1494. Cet ouvrage est divisé en deux parties (1) : la première renferme l'arithméti- que et l'algèbre; la seconde contient la géomé- trie. On a déjà vu que Pacioli nous a conservé une portion du traité de Fibonacci sur les nom- bres carrés : c’est dans la première Distinction de la Somme d'arithmétique que sont exposées les recherches difficiles du géomètre de Pise sur la théorie des nombres. On y trouve la résolu- tion de plusieurs équations indéterminées du second et du quatrième degré, la somme de cer- taines, séries numériques et une table des nom- _bres parfaits (2). La seconde distinction con- tient les quatre règles avec tous les genres de multiplication et de division alors usités, avec les ygales du sept et du neuf; le calcul des radicaux les plus simples , la somme de la série des carrés et des cubes (3), et la résolution de quelques problèmes arithmétiques fort curieux. (x) Voyez l'extrait qu’en a donné M. Chasles ( Apercu, p- 533-538). (2) Pacs, summa de arithmetica halle part. I, f. 7, 26, etc. (5) Pacioli, summa de arithmetica gcometria , part. E, ( 158 _ Dans les deux distinctions suivantes, on en- seigne le calcul des fractions. La cinquième con- tient la règle de trois, ét se termine par Vexpo- sition des notations algébriques employées par l'autre (x). La sixième distinction est consacrée aux progressions en général. La règle d'Helca- taym, ou de fausse nosition, se trouve dans la septième, qui est terminée par un grand nombre de préceptes pour la résolution des problèmes de premier degré. La huitième contient l'algèbre et l'almucabale, autrement appelée l’art de la chose ou l’art majeur, où sont résolues les équations du second degré avec leurs dérivées du qua- trième et du sixième. Enfin dans la dernière dis- tinction on trouve des applications aux questions commerciales. La seconde partie renferme en huit distinctions un traité complet de géométrie théorique et pratique. En le comparant avec ls manuscrits de Fibonacci, on voit que le moine & f. 38, 44, 45, etc. — Dans la Ste sk huitième, Pacioli reprend le calcul des radicaux ; il donne les règles pour Îles multiplier, pour les diviser et pour extraire dans. certains cas la racine des binomes. :: JC E. : (1) Pacioli, summa de arithmetica ete » part. ts f. 67, ( 139 à de Sn a pris pour modele la Pratique de lGéométrie, dont nous avons donné précé- demment des extraits. Ce grandsrecueil se compose surtout de ma- tériaux tirés d'ouvrages dont nous avons déjà parlé. Quelques-uns des écrits de Fibonacci y sont reproduits presque en entier. C’est là qu’on trouve tout ce qui nous reste de ce Traité des nombres carrés * ) où sont résolues des ques- tions qui, même à à présent, offrent de grandes difficultés. Pacioli s’est tant servi des travaux de Léonard de Pise qu'après lavoir nommé fort souvent, il dit, pour abréger, que lorsqu'il me cite personne, c'est à Léonard quil a emprun- té (2). Il y a dans la Somme d’arithmétique une méthode fort ingénieuse pour la résolution de plusieurs équations indéterminées du second ou UT js 4 Sans être générale, elle è gr | 4 «< 4 px 44 " (r), Voyez ets tom. IE, p. 40. (2) « E perchè noi seguitiamo per la magior parte Leonardo Pisano, i io intendo dechiarire che quando si porrà alcuna es à senza autofe, quella fia di detto Leonardo. E quando d'altri a, qui SE l’autorità adiuta » (Pacioli, summa de arithmetica geometria, part. IE, f. 1, dist. L c. x). (5) Voici V'é énoncé de quelques-unes des questions d’ana- lyse indéterminée, résolues par Pacioli , « Provame un nu- (40) mérite d’être remarquée. On y trouve aussi, sans démonstration à la vérité, des règles pour déterminer la somme des carrés ou des cubes des nombres naturels (1). Outre la résolution des ee mero che trattone 5 resti quadrati e giontovi r2 faci qua- drato.— Troyvame un numero quadrato che giontovi 30 la summa simelmente sia quadrata, e trattone 30 ancora el re- manente sia numero quadrato. — Trovame un numero qua- drato che trattone 7 remanghi quadrato e giontoci 7 ancora la summa sia quadrata.— Troyvame un numero quadrato che giontovi.,5 facia quadrato, e trattone 5 ancora resti qua- drato. — Trovame un numero quadrato che giontovi 13 facia quadrato e trattone 13 remanga quadrato.— Trovame an numero quadrato che trattone le tre sue radiciresti qua- drato, e giontovi le 3 sue radici ancora facia quadrato. » (Pacioli, summa de arithmetica geometria, part. LE 27, 15 et 16, dist. E,tr.4.) . f;, Voyez la note XX VIII à la fin du volume. (1) Ges règles correspondent exactement aux formules que l’on emploie aujourd'hui pour le même objet (Pacioli, sum- ma de arithmetica geometria, part. E, f. 38, dist. IT, tr. 5, r. 10,etf. 44, dist. IT, tr. V, c. 30). Pacioli dit que la pre-. mière est due à Bbobaci etil y a lieu de penser que les | autres lui appartiennent aussi. «Le quali cose de raccoglier À detti numeri donde la forza di tali regole proceda, Leonardo Pisano in un tratato che lui fece de quadratis numeris probat geometrice omnia que usque non dicta sunt de collectione | maxima numerorum quadr atorum.» (Pacioli, summa arèth- melica geometria, part. I, f. 30, dist. LL, tr. 5, re 12). — On déduit de ce passage que Fibonacci avait donÿe les dé on- stations, et qu'elles étaient géométriques. ” (141) équations du second degré, qui est enseignée dans une petite pièce de vers (1), on ÿ voit la résolution des équations dérivées du second degré | (2), et celle de certaines équations expo- nentielles (3). Dans quelques problèmes relatifs à la règle des partis, le calcul des probabilitésse montre pour la premiere fois {4). Son calcul des (x) Pacioli , summa de arithmetica geometria, part.Ï, €. 244», dist. VII, tr. 5. — On verra plus join que Tartaglia a mis en vers les règles pour la résolution des équations du troisième degré. (2) Pacioli, summa de arithmetica geometria, part. T, f. 149, dist. VIE, tr. 8, art. 6.—Cardan dit qu’on ne connaît pas celui qui à résolu ces équations : cependant elles se irouvent déjà dans Fibonacci, dans l’algèbre d’AZibabraa que nous avons déjà citée et dans d’autres ouvrages (Cardani Ars magna, Nurembergiæ, 1545, in-fol., f. 3, cap. 74 — Voyez Ci- lessus us IL p. Big)Au reste, Pacioli s’est occupé des éq ations dérivatives de tous les se et il a résolu aussi : épis ane du à: quatrième degré. Ces soRons _summa Rd arithmetica geometria, f. 39. L, . 327 f #7 dist, I IX, tr. 7, Pre 8. — ; Pacioli résout ” 1058 É Véquation exponentielle. L4 F4 ‘4 . | Voyezl la note XXD à la fin du volume. L * (4) La première question que veut résoudre Pacioli est la suivante : « Ün&brigata gioca à vu a 60, el gioco e 1o per D * L 7 » + + _ le premier aura sep 2 - | ( k sen 1 & Re sens rx ce D lifications | ri R ne de algèbre ie Le mét étri à ) ‘ 2 h A ch one er Le | Ja posta. »— 1 it qu'i Re “ph Les AE en donner | différentes 80 Los A il ‘adop te LE r] résoudre, il a la pie des ès pubs: eut faire;1b rouve onze remi gi a cinq pue , vaut dix di ne à «1 t x > part. Il, f. 15 r La a .! ; .… s | ( 143 ) | i re le faits, relatifs à diverses Dre. s con issances : humaines et fort d'a aux *ersonnes qui veulent. 4 This des 6 iences (1 ). C'est, par exemp e, dans un traité insél <$ ns cette Somme (2), que emière nn: o tenue des a celle ? es Ré ur Dé tica geometréa, pa UE EL. ? - À s ST (1 (14 4 r 0 TE + 0 tire. La Valli on: du que Pa- Eee Fe à s ire, parc MERE 0! te un pla se q es son ouvyra PÉRRRR NRS ‘ eV à DR de 21 y is à cru que ce sa- 02 nme Alari Paris 1e A vol ins ans le catal Le FT oi il 4 Mon " » | ( 144.) faire servir de base à toutes les sciences une cer- taine proportion connue depuis long-temps des géomètres. Il en a déduit les principes de l’ar- chitecture, les proportions de la figure humaine, et même celles qu'il faut donner aux lettres de l'alphabet. C’est un traité systémati principal mérite consiste dans la coo Léonard de Vinci, qui a gravé(1 1)les figures etqui a probablement aussi dirigé la partie qui se rap- porte aux arts. Il y a quelques propositions de géométrie sur linscription des polyedres les uns dans les autres, qui doivent exciter l'atten- tion des personnés qui cultivent la synthèse. On y trouve aussi l'emploi des lettres:pour indiquer des quantités numériques (2). D'ailleurs, cet ou- vrage contient un grand nombre de £ faits biogra- phiques curieux qui en rendent. Ja lecture fort intéressante pour tous ceux qui s'occupent de + Leonardi manibus sculpta » (Pacioli, eine. vdi, . part. TI, signat. A. 11). o | (2) Pacioli, diviÂla proportione, part. T* Pré PAPIER _ « Sieno tre quantite de medesimo genere (che altramente non se intende essere fra loro proportione), la | prima sia. a. se per numero, la seconda sia. b. e sia. 6. la terza sia. c: eisia. Dico che fra loro sonno doi proportioni, luna dal. a. EL . Le À y y A Tr Fe \s Ca à 4 (1) « Tanto Stat é ut ae PUR sua Vinci nostri (145) l'histoire littéraire ou scientifique de lItalie. Un autre ouvrage publié peu de temps après la Divina proportione est encore plus intéressant pour l’histoire des sciences : c’est la Somme d’a- rithmétique que Francois Ghaligai dédia en 1521 au cardinal Jules de Médicis, plus connu depuis sous le nom de Clément VII. L'auteur était pro - bablement un des ancêtres de cette maréchale d’Ancre dont le nom rappelle le premier crime d’un prince cruel, qui trembla toute sa vie, et qui, n'ayant pas le courage de punir en roi, se fit chef d'assassins pour partager avec ses courtisans les dépouilles de la victime : de cette Eléonore Galigai, dont les enfans, non moins malheureux que les enfans du favori de Tibère, étaient for- cés de danser un menuet devant la cour, pen- dant que leur mère montait à l’échafaud! A Somme d’arithmétique, en treize livres, contient la résolution des équations déterminées des deux premiers degrés; celle de plusieurs équations in- déterminées assez difficiles (1), le calcul des ra- (x) C’est dans le livre VIII qu’on trouve ces recherches : l’auteur a aussi imité Fibonacci (Ghaligai, summa de arith- metica, Firenze , 1521, in-4, f. 60 et suiv. ). TI. 10 ( 146 ) dicaux les plus simples et quelques notations plus ou moins ingénieuses. Mais c'est surtout comme répertoire historique que cet ouvrage ac- quiert de l'importance (1). On y trouve des frag- mens considérables du traité des nombres carrés de Fibonacci; des extraits d’une algèbre traduite de l'arabe par ce Guillaume de Lunis que nous avons déjà cité (2): quelques recherches tirées des écrits de Jean del Sodo, qui avait été le mai- tre de Ghaligai (3), et des citations relatives à ce Benedetto, que Verino a tant célébré, et ‘dont nous ne connaissons pas les ouvrages. (4) L'ouvrage de Ghaligai, moins diffus que celui de Pacioli, a dû avoir plus d'influence sur l'étude des mathématiques. C’est un résumé fort bien fait de tout ce qu'on savait alors. Il se distingue sous ce rapport de tous les traités précédens , et il a dù être employé avec avantage comme, ou- vrage élémentaire. On pourrait citer aussi d’au- (1) Voyez la note XXX à la fin du volume. (2) Voyez ci-dessus, tom. IL, p. 46. k (3) Ghaligai, summa , Î. ». — Dans le livre X, Ghaligai a donné les notations algébriques de del Sodo. | (4) Voyez ci-dessus, tom. IE, p. 206.—Pocciaænti, catalogues scriptorum florentinonum, Florentiæ, 1589, in-4, p.27: / ( 147 ) mes Æbbachè de la même époque. Celui de Pel- los, écrit en patois de Nice à la fin du quinzième siècle (1); celui de Pierre de Burgo; qu’on a mal- à-propos attribué à Pacioli (2). L’arithmétique de Sfortunati de Sienne, dont le nom se trouve mêlé à la grande querelle entre Tartaglia et Cardan (5); celle d'Uberti, où l’on donne les règles’ et les figures pour calculer avec les doigts (4); le traité de Feliciano, intitulé Scala grimaldelli (5); un petit ouvrage composé par Verini (6), où se trouvent des jeux numériques; la Pratique des mathématiques par Catani de Sienne (7); enfin l'ouvrage d'Ortega, qui a été composé en Italie par un Espagnol et publié à ._Rome en 1515 (8). Mais ces divers écrits ne (1) Pellos, compendion de abacho, Thaurino. 1492, in-4. (2) Borgo, libro de abacho, Venetia, 1561,in:4. (3) Sfortunati, nuovo lume di arithmetica, Venetia, 1561, in-4. (4) Uberti, thesoro universale de abacho, Vinegia , 1548, in-8°. (5) Feliciano, libro di urithmetica e geometria, intitulato scala grimaldelli, Ninegia, 1550, in-4. (6) Verini, spechio del mercatante, Milano, 1542, in-8. (7) Catani , pratica delle due prime matematiche, Venetia, 1546, in-4. — Dans cet ouvrage on cite Fibonacci. (8) Ortega, summa de arithmetica, Roma, 1515, in-fol. Voyez la note XXXI à la fin du volume. ‘: IO. (148) contiennent que les premiers élémens : ils sont moins complets que ceux que nous venons d'a- nalyser, et ne méritent pas qu'on s’y arrête. Nous exposerons de préférence les travaux de ces analystes qui ont tant perfectionné une des prin- cipales branches de lalgèbre : la résolution lit- térale des équations. Jusqu'à la fin du quinzième siècle, les mathéma- ticiens n'avaient pu résoudre que les équations déterminées des deux premiers degrés, avec quelques-unes des équations dérivatives qui en dépendent : on n’avait jamais considéré les ra- cines négatives ni les imaginaires; et l’on s'était à peine aperçu , dans un cas spécial, de la mul- tiplicité des racines. Ce sont les algébristes ita- liens du seizième siecle qui , lorsque la science était encore dans l’enfance, ont inventé le calcul des imaginaires et.résolu les équations générales du troisième et du quatrième degré : ils ne se sont arrêtés qu'à une barrière que tous les ef- forts de Lagrange n’ont pu franchir, et que l’on considère à présent comme insurmontable. La résolution des équations du troisième de- gré fut une découverte remarquable : pour y parvenir , il fallait créer de nouvelles méthodes. Et, cependant, le nom de celui qui résolut le (149 ) premier ces équations ne nous est arrivé que par hasard : aucun historien du temps ne le cite, et sa méthode a péri avec lui. Cet homme , à qui l'algèbre doit un si notable progres, fut Scipion Ferro de Bologne, qui professa dans cette ville, depuis 1496 jusqu’en 1525 (1). Ayant résolu gé- néralement cette équation qu'on désignait alors par le nom de cubes et choses égales aux nom- bres, il mourut sans publier sa découverte; mais il avait confié sa formule à Antoine Fiore, qui s’en servit pour proposer des problèmes à différens géomètres, et entre autres, en 1535, à Tartaglia (2). Comme Fiore n’était qu'un calcu- lateur , le géomètre de Brescia ne crut pas d’a- (1) Fantuzzi, scrittori bolognesi, tom. ILE, p. 324. (2) Tartaglia, quesiti et inventions diverse, Venetia, 1554, in-4, f. 102, 106, 114, etc. — Tartaglia parle en plusieurs en- droits de l’année 1534; mais ensuite il dit: « Cioe del 1535 a di 12 di febraro (vero e che in Venetia veniva a essere del 1934), » — En 1530, un professeur de Brescia , nommé Jean de Tonini da Coi, avait proposé à Tartaglia deux problèmes du troisième degré; maisilne savait pas en trouverlasolution, et bien que Tartaglia crût un instant avoir résolu les équa- tions cubiques, il dit ailleurs qu’il ne fit cette découverte que huit jours avant de déposer chez un notaire les trente problèmes qu’il proposait à Fiore (Tartaglia, quesiti, f. 106, 104 et 114). ( a50 ) bord qu'il connut la solution des problèmes qu'il lui avait envoyés. Mais Fiore ayant ajouté que la méthode pour les résoudre lui avait été com- muniquée trente ans auparavant par un grand mathématicien, Tartaglia s’y appliqua, et en trouva la solution (1). On lit ce récit dans le neuvième livre des Quesiti et inventiont diverse; mais Ferro n’y est pas nommé : cependant Car- dan rappelle ces discussions dans le premier chapitre de l_4rs Magna, et il cite Scipion Ferro comme ayant communiqué à Fiore sa dé- couverte, qu'il appelle chose belle et admirable ; art qui surpasse toute subtilité humaine, toute excellence de l'intelligence des mortels; pierre de touche de la force d’esprit , telle que quicon- que y sera parvenu peut croire que rien ne lui échappera (2). Cet éloge magnifique , sorti de la (1) Tartaglia, quesiti, f. 106, — On ignore la méthode de Tartaglia, qui n’a jamais vu le jour. Lagrange regret- tait de ne pas connaître la première résolution de l’équa- tion du troisième degré ( Memoires de l’Académie de Berlin, année 1770, p: 36). Tartaglia dit seulement qu’il y est parve- nu à l’aide d’une consiruction géométrique qui donne le cube de la somme de deux droites (Tartaglia, general tratluto di sumeri e misure, Vinegia , 1556, 6 part. ;in-fol, part. TP, Î. 30-31, lib, IE, ce: 5). Juke 22 2) Cardani ars magna , f: 5,0. 1. 191 ) plume d'un homme qui a beaucoup contribué aux progrès de l'algèbre, doit prouver mieux que toute autre considération combien la dé- couverte de Ferro était belle et. inattendue. On voit même que les meilleurs mathématiciens la croyaient alors impossible, surtout parce que Pacioli Pavait déclarée telle (1). Ferro a donc bien mérité de la science, et son nom doit res- ter, non-seulement pour ce qu'il a fait, mais aussi parce que, ayant franchi le premier un obstacle qu'on s'était accoutumé à regarder comme insurmontable , il ouvrit le chemin à d'autres algébristes qui s’enbardirent à le sui- vre, et fécondèrent ses recherches. A voir tous ces problèmes du troisieme de- gré qu'on se proposait par des hérauts au com- mencement du seizième siècle, on comprend importance que l’on attachait alors aux décou- (1) Pacroli, summa de aritlhmetica geometria, part. 1,f. 149, dist. VILE, ir. 6,65. -— Cardant ars magna, Î. 3, c: 1. — Tartaglia, quesiti, f. 106.— Cossali a cru que Pacioli n’avait pas dit cela d’une manière absolue et générale. Cependant dans umendroit il les déclare impossibles, et ailleurs il sup- pose que la résolution ex est aussi difficile que la quadrature du cercle (Cossalé,storis dei! algebra , tom. IE, p. 96-97). L 4 (‘1920 verles algébriques. Il serait difficile de trouver dans l’histoire des sciences l'exemple d’un fait semblable. Les paris, les disputes publiques, les cartels, se succédaient sans interruption : toutes les classes de la société s’intéressaient à ces luttes scientifiques (1), comme dans l’antiquité on s’in- téressait aux défis des poètes et aux Jeux des athlètes. On paraissait pressentir la découverte, et la découverte ne se fit pas attendre. Cepen- dant, malgré cet enthousiasme universel, le nom du premier inventeur fut à peine prononcé. L’incident le plus remarquable de ces longues discussions fut la querelle qui s’éleva entre Cardan et Tartaglia. Après que celui-ci eut re- trouvé de son côté la résolution des équations que Ferro avait traitées, il résolut aussi dans tous les autres cas les équations du troisième degré (1). (1) Les qguesiti sont un recueil en neuf livres des réponses données par Tartaglia aux questions qui lui étaient adressées par des princes, des moines, des docteurs, des ambassa- deurs, des professeurs, des architectes, etc. Souvent ces questions renferment des problèmes du troisième degré. Benedetti aussi a publié un livre de lettres adressées à des personnes de toutes les conditions en réponse aux questions scientifiques qu’on lui avait faites. | (1) Tartaglia, quesiti, f.106-107.— Tartaglia ditque dès l’au- (155 ) Sa découverte, qu'il cachait soigneusement, fit du bruit. Jérôme Cardan, célèbre médecin mi- lanais, qui s'occupait d’algèbre, s’y intéressa vi- vement. À plusieurs reprises, il sollicita et fit solliciter Tartaglia pour qu'il lui communiqut sa méthode : après plusieurs refus (1), il en obtint une pièce de vers dans laquelle on expliquait la manière d’avoir une racine de toutes les équa- tions du troisième degré. Ceci se passait en 1539 (2) : Cardan découvrit la démonstration qu'on lui avait cachée; il forma des élèves, à la tête desquels il faut placer Ferrari , et les excita contre Tartaglia. Ferrari découvrit la résolution des équations du quatrième degré (3): on se proposa des problèmes; il y eut des défis et des née 1530 il avait trouvé à Vérone la résolution de l'équation x + a—bx?; on ne comprend pas comment, ayant ré- solu celle-ci, il a pu rester cinq ans sans résoudre l’équa- tion x° + ax — b. Mais peut-être, en 1530, Tartaglia n’avait traité que dans des cas particuliers l’équation dont il parle (Tartaglia , quesiti, f. 106-107). Dans la pièce de vers qu'il communiqua à Cardan , Tartaglia dit qu’il a trouvé en 1534, pendant son séjour à Venise, la résolution générale de l’é- quation du troisième degré ( Tartaglia, quesitr, f. 120). (1) Tartaglia, queséti, f. 113-125. (2) Tartaglia, quesiti, f. 113. (3) Cardani ars magna , f. 72, c. 3q. sg | ( 154) AE a ui: js à Milan (1). Ce qui avait piqué le plus Tartaglia, c'est que, malgré les promesses les plus solennelles (5), Cardan avait inséré dans son rs magna la résolution des équations du troisième degré. Le médecin mila- nais reconnaissait l’antériorité de Tartaglia (3), mais celui-ci fut blessé vivement de voir sa dé- couverte publiée pour la première fois dans ou- vrage d'un autre, et il s'en plaignit avec amer- tume. Il avait raison de se plaindre, car à cause de cette publication, la postérité s’est obstinée à appeler du nom de Cardañ la formule qui donne la résolution F7 équations du troisième degré. +1 (1) Tartaglia nous a conservé la plupart des questions qui furent proposées à cette époque (Tartaglia, general trattato, part. V, f. 71-90, lib." II). Cette discussion eut lieu en 1547 (Tartaglia, general trattato, part. V, f. 85, lib. ML. —Tarta- glia, ragionamenti sopra la sua travagliatæ inventione, Venetia, 155r,in-4, rag. 3, signat. E,ij.— Fantuzzi, scrittori bolognesi, iom. 1[L, p. 322). | DC (2) Qn voit par le récit de Tartaghia que Cardam avait dé- siré publier la découverte du géomètre de Brescia, maisque, sur son refus, il lui répondit : « Lo vi giuro, ad sacra Dei evangelia , et da real gentil’huomo, non solamente di non - publicar giammai tale vosira taiéntidses se me Îe insegnate, etc. » (Tartaglia, quesiti, f. 119). (3) Hujus (Scipionis Ferrei) emulatione Nicolans Partalea L ( F05° ) On à répété souvent que Nicolas Tartaglia était un esprit irritable (1) et chagrin : ce re- proche serait fondé que personne plus que lui waurait droit à notre indulgence. Né à Brescia, vérs le coiimencement du seizième siècle, il avait à peine six ans lorsqu'il perdit son pére, qui était un postillon. Il se trouva, avec deux fré- res , à la charge de sa mère, qui n'avait aucune fortune. Lors de cette cruelle boucherie que Gas- ton de Foix fit à Brescia, Nicolas, encore enfant, se réfugia avec sa famille dans la cathédrale. Mais quoiqu'il dût s’y croire en sureté , il fut blessé et mutilé horriblement par un soldat. Son crâne fut brisé en trois endroits, et le cerveau laissé à décou- vert. Il reçut à travers la figure un coup qui lui fendit les deux mäâchoires, et lui ouvrit le palais. Il ne pouvait plus ni parler, ni manger. Sa maison ayant été pillée, aucune ressource ne restait à sa pauvre mère : pour le soigner ele imitales chiens, EE —— — — —— —— _—_—— —————"—————…—….….…. _ .—..—— Brixellensis, amicus nosier, cum in certamen cum illius discipulo Antonio Maria Florido venisset , capitulum idem, ne vinceretur, invenit, qui mihiipsum multis precibus exo- ratus tradidit. »(Cardani ars magna, f. 3,0. 1.) (1) Voyez la préface de l'algèbre de Bombelli, où lauteur montre un peu de partialité pour son concitoyen Ferrari (Bomheili, algebra, Bologna, : 572, in-4). __… ( #56) qui étant blessés se querissent en se léchant. W guérit, mais comme il resta long-temps bègue, on l'appela Tartaglia ; et ne sachant pas le nom de son pére, il adopta ce sobriquet. Il se forma de lui-même : à cinq ans, on lui enseigna à lire; à quatorze , il commençait à écrire, mais hors d'état de payer le maître, il dut s'arrêter à la lettre K, et apprendre seul à former les autres lettres de l'alphabet (x). Depuis lors il n'eut ja- mais d'autre précepteur ; mais accompagné unti- quement par l’industrie, fille de la pauvreté, il s’exerça continuellement sur les œuvres des morts. Ce récit, qu'on lit au milieu dun de ses ouvrages de mathématiques, produit une pro- fonde émotion (2). Un orphelin mutilé par le fer d'un soldat, trop pauvre pour apprendre à écrire la premiere lettre de son nom (3), avait à trente (1) Montucla, avec son inexactitude ordinaire, dit qu’à cette époque Tartaglia fut obligé de voler son maître; mais dans le récit original de Tartaglia, il n’y a rien de sem- blable (Montucla, hist. des math., tom. I, p. 565. — Tarta- glia , quesiti, f. 69). (2) Voyez la note XXXII à la fin du volume. (3) C’est à lui que l’on doit la première traduction d’Ar- chimède, faite d'après le texte grec (Archëmedis opera, Venet., 1546, in-4). ( 157) ans dévoilé le secret de Ferro, et résolu généra- lement les équations du troisième degré, qui tourmentaient depuis quinze siècles les géome- tres. Ce fut, nous le répétons, une découverte importante : alors pour la première fois les mo - dernes l’emporterent en mathématiques sur les Grecs et sur les Orientaux. Tartaglia communi- qua sa découverte à Cardan, qui en recueillit tout le fruit : il se plaignit amèrement, mais qui ne l'aurait pas fait à sa place? Il fut malheureux dans sa famille : on l’appelait à Milan, à Venise, et puis on l’oubliait ; on voulut le ravoir à Bres- cia et on le délaissa. Tout le monde le vilipen- dait (1) : il retourna à Venise où il mourut en 1559 (2). Tel fut le sort d’un des hommes les plus éminens du seizième siècle. Tartaglia a composé de nombreux ouvrages, mais celui où il devait exposer la résolution des (1) Tariaglia, ragionamenti, rag. 3. — Rossi, elog? di Bresciani illustri, Brescia, 1620, in-4, p. 387. — Tartaglia, quesiti, f. 70. (2) Il n’y a que les deux premières parties du general trattato qui aient été publiées du vivant de Tartaglia : la troisième a paru en 1560, et dans la dédicace de l’imprimeur datée du 1° janvier 1560, on y parle de l’auteur comme n’existant déjà plus. ( 158 ) équations du troisième degré et donner ses autres recherches algébriques, n’est pas parvenu jus- qu’à nous (1). Son grand. Traité des nombres et mesures est un cours complet de mathématiques pures. L’arithmétique, l'algèbre, la géométrie, les sections coniques, y sont successivement en- seignées. Nous n'en donnerons pas une analyse détaillée, parce que, aujourd’hui;iln’ya que quel- ques résultats individuels qui conservent encore de l'intérêt. Nous citerons spécialement le déve- loppement du binôme pour le cas de Fexposant entier et positif : la formule est générale, et l’on doit s'étonner que d’autres géomètres modernes s'en soient attribué l'honneur (2). Tartaglia a repris les questions de probabilités que Paciohi avait tenté de résoudre; mais, bien qu'il ait changé les résultats, il n’en a pas obtenu la vé- (1) Dans la dédicace de la sixième partie du general trat- tato, Vimprimeur dit qu’il a pu trouver dans les manuscrits de Tartaglia tous les matériaux de son algèbre; mais cela est inexact, car cette sixième partie ne contient que le pre- mier livre, qui traite seulement des problèmes du second degré. 2 : C. I. Voyez la note XXXIHII à la fin du volume. (1} Tartaglia, gencral trattato , part. Il, f. 69-72; ib. IT, ( 159 ) ritable solution (1). Le calcul des radicaux a été perfectionné par Tartaglia : il s’est occupé, comme son élève Benedetti, de la résolution des problèmes de géométrie à l'aide d’une seule ou- verture de compas (2), et de la construction des équations algébriques. Cet ouvrage volumineux contient aussi des problèmes sur les maxima et minima des fonctions . algébriques, indépen- damment de toute considération géométrique (3). Au zeste, Tartaglia n'eut pas le temps de le ter- miner, et probablement il n'eut même pas le loisir d’en corriger la rédaction. Car plusieurs parties sont posthumes (4) et l'on y remarque du désordre. Cependant toutes intéressent l’his- $ L { (x) Tartaqglia, general trattatn, part. E, f. 265, lib. XVI, $ 206. — Montucla, hist, des math., tom. 1, p. 569. — On trouve aussi quelques problèmes du même genre dans l’arithmétique de Peverone , mais ils sont mal résolus (Peve- rone, aritmetica e geometria, Lione, 1581, in-4, p. 40-41). (2) Tartaglia , general trattato, part. V, f.63. (3) Un de ces problèmes avait été proposé à Tartaglia par Cardan, en voici l'énoncé : « diviser le nombre 8 en deux par- ties, telles que-le produit de l’une par l’autre et par leur dif- férence, soit un maximun. » (Tartaglia, general trattato, part. V, f. 88). (4) Voyez ci-dessus p.157. — Tartaglia voulait probable: ment réunir toutes ses découvertes dans l’x/gebra nova, qu’il ( 160 ) toire des sciences, par les faits curieux qu’on y trouve. Sa grande querelle avec Cardan et Ferrari y est racontée : et les questions propo- sées par les différens champions y sont presque toutes énoncées. Elles roulent principalement sur les équations du troisième degré et sur la géométrie. _ Tartaglia, s'est, à plusieurs reprises, occupé de balistique;, et il en a posé les premiers fon- demens. Dans la Science nouvelle, il est parvenu à ce résultat curieux, que l’on obtient le plus grand effet en tirant sous un angle de 45 de- grés (1). Cette proposition est vraie, mais sa dé- monstration est tout-à-fait incomplète, et tous les efforts qu'il a faits pour déterminer la tra- jectoire sont restés infructueux. Tartaglia a es- sayé de créer la mécanique, mais il n'a pu réus- sir : il a été arrêté surtout par d'anciennes défi- nitions et divisions qu'il n’a pas su abandonner. Cependant, il faut lui savoir gré d'avoir appliqué avait annoncée, mais qui n’a jamais paru (Tartaglia, gene- ral trattato, part. V, f. 88, lib. TT). (t) Tartaglia, scientia nova, Venetia, 1550, in-4, f. 18, lib. IL, c. 9. — On voit par la dédicace au duc d’Urbin que dès l’année 1532 Tartaglia avait trouvé cette curieuse pro- position. ( afzs ) le premier la géométrie à la détermination du mouvement curviligne et à la chute des graves. Malgré ses erreurs, il a su entrevoir quelques- uns des principes fondamentaux de la chute des corps (1); et l’on ne peut douter qu’en écrivant un siècle plus tard ses Scienze nuove, Galilée n'ait médité la Science nouvelle de Tartaglia. (2) Au reste cet ouvrage, qui devait avoir cinq li- vres, n'est pas achevé : les deux derniers man- quent. Le cinquième , que l’auteur annonce comme une espèce de manuel de chimie appli- quée à la fabrication de la poudre et des feux d'artifice en général, aurait pu nous faire con- naître beaucoup de faits intéressans’ sur l’his- toire de la pyrologie. Les Quesiti et inventioni diverse se compo- (1) Tartaglia, scientia nuova, f.5-4.— Voici l'énoncé de quelques-unes des propositions de Tartaglia : « Se corpi egualmente gravi, simili et eguali, veranno da egual aliezze sopra a resistenti simili di moto naturale, faranno in quegli eguali effetti. » — « Ogni corpo egualmente grave nel moto naturale quanto più el se andarà aluntanando dal suo prin- cipio , over appropinquande al suo fine, tanto piu andarà veloce. » (ibid) (2) Cependant, d’après ce que nous avons dit ci-dessus, c’est surtout dans Benedetti que Galilée a dû puiser les élé- mens de la mécanique. IIT. IT ( 162) sent d'un tres grand nombre de questions adres- sées au géomètre de Brescia, par plusieurs per- sonnes dont il donne les noms, avec ses répon- ses. Dans Îles trois premiers, il s'occupe encore de l'artillerie et de la balistique. On y trouve les dimensions des pièces dont on se servait alors, Jeur calibre et la manière d’en déterminer la ca- pacité intérieure, ainsi que différentes recettes pour faire la poudre : il parle de linflamma- tion successive de la poudre ; il explique par l’é- chauffement de la pièce, et par la raréfaction de l'air qui en dérive, l'absorption qu'on observe quelquefois; il fait entrer le déplacement (ou la résistance) de l'air dans la détermination de l’am- plitude du tir, et reconnaît que la trajectoire ne sera jamais une ligne droite. (1) Le cinquième livre des Quesiti contient lar- pentage et la levée des plans. On y trouve la description des instrumens dont on se servait alors, et la figure de la boussole que les arpen- teurs employaient déjà (2). Dans les autres li- (x) Tartaglia, quesiti, f. 11, 19, 21, 26, 27, 36, 38, 30, etc. (2) L'histoire des instrumens employés à différentes épo- ques par les navigateurs, les astronomes et les arpen- ( 768 ) vres, il y à des recherches sur les fortifica- tions, sur la statique, sur l'algèbre. Cemme teurs , serait très intéressante. Malheureusement il y a peu d'ouvrages où ils soient décrits avec exactitude. Au moyen âge on trouve une foule de traités De astrolabio, ou De qua- drante, qui se ressemblent tous, mais les nouveaux instru- mens , les méthodes pratiques plus modernes, y sont rare- ment décrits, et il faut les chercher dans des ouvrages où l’on ne s’attendrait pas à les trouver (Voyez ce que j'ai déjà dit à ce sujet tom. IL, p. 218-222). Le traité de Maurolycus, dont nous avons parlé précédemment, est fort incomplet. Pacioli a décrit quelques-uns de ces instrumens (Pacioli, summa de arithmetica geometria, part. Il, f. 50 et suiv., dist. VII). Onen trouve aussi dans le manuscrit de la bi- bliothèque ambroisienne de Milan, d’où Amoretti a tiré la relation du voyage de Pigafetta, et le traité de navigation dont il n’a malheureusement publié qu’un extrait (Pigafetta, prèmo viaggio, Milano, 1800, in-4, p. 207 et suiv.). C’est principalement sur les instrumens destinés à mésurer le temps quenous sommes dans l’ignorance, car on s’attachait de préférence à décrire le mouvement des automates des grandes horloges publiques, et l'on parlait à peine du mécanisme intérieur, dont peut-être les artistes faisaient un secret. J'ai déjà parlé (tom. If, p. 220) d’un traité de Dondi sur la construction des horloges ; qu'il serait fort important de connaître, si l’on était assez heureux pour re- trouver le manuscrit. Il y a quelques renseignemens sur ce point dans Cardan (De subtilitate , p. 22, 570- et 608, etc), et dans Maurolycus (Maurolyci problemata mechanien , Messanæ, 1615, in-4, p: 44). On faisait à cette époque de très petites montres qui pouvaient tenir dans une bague . Quant à la boussole, elle était employée par les arpenteurs 1I. ( 164 }) nous l'avons déjà dit, le neuvième livre est rem pli de questions relatives aux équations du troi- sième degré, et fait connaître un grand nombre de particularités sur les défis portés à Tartaglia par Fiore et par d’autres personnes. On y voit par quels moyens et par quelles promesses Car: \ dan était parvenu à se faire révéler la résolu- tion générale des équations du troisième äegré. On y voit aussi que, dès l’année 1541, Tartaglia avait reconnu la multiplicité des racines (1). Ce- pendant, il n'avait pas su en déterminer le nom- aès le commencement du seizième siècle (Vasari, vite, tom: XI, p.177). (1) « La causa è, che tutti tai capitoli ricéveno due diverse riposte et forse più » (Tartaglia, quesiti, f. 127). — On voit par les exemples qu’il a choisis, que Tartaglia évitait les raci- nes négatives même dans les équations dérivatives du second degré. Ce qui fait qu’excepté dans le cas signalé par Moham- med ben Musa, on n’avait pas encore constaté l’existence de deux racines dans les équations du second degré. Au reste, Tartaglia ajoute : « qu’il est presque certain qu’il y a quel- quefois plus de deux solutions, » en ne considérant toujours que les solutions réelles et positives (Tartaglia, quesiti, f. 127 et 228). Cependant Cossali a remarqué que Tartaglia s'était trompé dans les exemples qu’il avait choisis, et qu’il avait pris deux expressions différentes de la même quantité pour deux racines différentes. (Cossali, storia dell’algebra , tom. I, p. 125-125). ( 165 ) bre : il dit en effet que les équations du troi- sième degré ont toujours deux solutions et peut- être davantage. Tartaglia a traduit Euclide en italien, et on lui doit le traité de Insidentibus d'Archimède, dont il connaissait l'original grec, qui a été perdu depuis (1); de sorte qu’à présent sa traduction tient lieu de l'original. C’est probablement à ses méditations sur cet ouvrage que l'on doit ia Travagliata inventione, qui a pour but d’ensei- gner à soulever les vaisseaux submergés et dont (1) Ce traité parut en latin pour la première fois à la fin des œuvres d’Archimède, publiées par Tartaglia (Venetiis, * 1543, in-4); il fut ensuite traduit en italien et inséré dans les Ragionament: di Nicolo Tartaglia sopra la travagliata in- ventione (Venet., 1551, in-4)}. Le géomètre de Brescia avait publié sur cetie matière différens petits traités qu’on ren- contre fort difficilement et qui sont presque toujours in- complets, comme le sont les Quesiti, auxquels il manque d'ordinaire le neuvième livre. La Travagliata inventione et les deux premiers Ragionamenti ont été réunis et réimpri- més par Cartio Trajano à Venise, en 1562,in-4. On ne sait pas pourquoi cet éditeur négligent a omis le dernier Ragio- namento, qui contient des renseignemens si curieux sur Îa vie de Tartaglia, ni pourquoi il a daté de 1562 la lettre de Tartaglia à Landriano qui se trouve en tête du livre De insidentibus , tandis que Tartaglia qui, comme nous l’avons déjà vu, était mort avart 1560, avait dans la première édi- tion daté cette lettre de 1551. ( 166 } le troisieme livre est un petit traité de météoro- logie. Il reprit ensuite et étendit cette matiere, dans ses Ragionamenti , et il donna une table des pesanteurs spécifiques d’un grand nombre de corps, en prenant l’eau pour unité (1). Ces pesanteurs semblent en général un peu trop faibles; mais il faut remarquer que non-seule- ment Tartaglia, qui les déterminait en obser- vant combien un corps perdait de son poids lorsqu'on le plongeait dans l'eau, ne se servait pas d’eau distillée; mais que, de plus, faisant ses expériences à Venise, dans le dessein sur- tout de les appliquer au sauvetage des vaisseaux submergés , il employait peut-être l’eau de la mer pour unité. . Doué d’un esprit éminemment positif , le géo- mètre de Brescia ne s'occupa que des mathéma- tiques et de leurs applications. Ni les sciences occultes , si admirées de son temps, ni les Sys-. tèmes philosophiques qu’on enfantait sans re- lâche, n’eurent d’attrait pour lui. Impassible au milieu d’une admirable génération d'artistes et de poètes , il ne cultiva que lalgébre, et neut (1) Tartaglia, ragionamenti, lib. IL. - LE. (167) pas d'autre passion. L'Arioste et Michel-Ange passerent à côté de lui sans l’'émouvoir. Il laissa gronder la réforme, attaquer Aristote, et asser- vir l'Italie, sans paraitre y faire attention; mais il proposait ses problèmes avec pompe, en public, au son des fanfares, comme on marcherait au combat. Son rival, celui qui pendant long-témps lui déroba le suffrage de la postérité, était d'un ca- ractère tout différent. Une prodigieuse étendue d'esprit n’empêcha pas Cardan de tomber dans toutes les puérilités, d’être esclave de toutes les superstitions. S'il n'avait pas tracé sa vie lui- même (1), on ne pourraitecroire à tant de fai- . blesses et de contradictions. D’une inconcevable hardiesse en philosophie , il tremblait à tous les pronostics (2) et croyait avoir un démon fami- lier (3). Médecin célèbre, géomètre subtil et in- ventif, il avait foi dans les rêves (4) et s’'adonnait LÀ “en (1) Le livre De vita propria se trouve dans le premier volume des ouvrages de Cardan (Cardani opera, Lugduni, 1663, 10 vol. in-fol., tom. #, p. 1-54). (2) Cardant opera, tom. 1, p. 54-39, de vil. propr., c. 41-44. (3) Cardani opera , tom. 1, p. 44, de vit. propr., ce. 47. (4) Cardani opera, tom. I, p. 27, de vit. propr., ©. 37. ( 168 ) à la magie et aux sortilèges. Tantôt austère, tantôt dissolu, il vivait avec luxe, ou se cou- vrait de haillons. Il voulait tout savoir et jouir de tout. Insensible aux plus épouvantables mal-. beurs , il tomba dans une affreuse misère (1) et vit sans s’'émouvoir (2) décapiter un de ses fils (3). De Thou raconte que, pour ne pas faire mentir Une de ses prédictions, il se laissa mourir de faim à l’âge de soixante et quinze ans (4). D'origine milanaise, il avait été, par force, tiré du sein de sa mère (5) à Pavie, en 1507. Ses ou- vrages ont été publiés en dix volumes in-olio, (1) Cardani opera, tom.I, p. 16, de vit. prop} c. 25. (2) «Ïpse enim secus ferreus natura, ac omribus futurus eram adversis superior » (Cardani opera, tom. I, p. 17, de vit. propr., C: 26). À {3, Cardani opera, tom. I, p. 19, de vit. propr., c. 27. (4) Thuani historiæ, tom. IL, p. 462, lib. LXIL, 6 5, — Au reste, Tiraboschi a combattu cette assertion (7?raboschi, storia della lett. itat., vol. XI, p. 431). (5) Tiraboschi, storia della Lett. ital., vol. XI, p. 429. — Cardan avait été souvent malade dans son enfance : ses pa- rens le maltraitaient beaucoup; il raconte même que sa mère avait voulu accoucher avant le terme. « Tentatis, ut audivi, abortivis medicamentis frustra, ortus sum anno MDVIII » (Cardani opera, tom. I, p. 2, de vit. propr., c. 2). — Cette date est une faute d'impression, comme l’a prouvé Tira- boschi. (169 ) et ce recueil ne contient pas la moitié de ce qu'il avait écrit. (1) Philosophie, physique, médecine, mathéma- tiques, astronomie, histoire naturelle, rien ne lui a échappé. Il a cultivé toutes les sciences; il … les a toutes perfectionnées. Il osa seul secouer entièrement le joug, et déclara la guerre à toute l'antiquité. Telesius et Patrizj n'avaient fait qu'attaquer Aristote, sous la bannière de Parme- nide et de Platon : Cardan méconnut toute auto- rité, et ne voulut que sa propre intelligence pour guide. Il proclama trois principes univer- sels : la matière, la forme et l’âme (2); trois élé- mens : la terre, l’eau et l'air (3). Suivant lui, les’ astres sont phosphorescens en même temps qu'ils sont éclairés par le soleil (4). Les plantes ont des sens, et il n'y a qu'une seule âme pour l'homme et les animaux. Ce hardi réformateur . qu'aucune barrière n’arrêtait, croyait pouvoir obtenir tout ce qu'il demandait au ciel, le (x) Argelati, bibliotheca scrint. mediolanensium, Mediol., 1745, 2 tom. en 4 part., in-fol., tom. I, pars 2, col. 307-316. (2) Cardané, de subtilitate, p. 16, bb.T. (3) Cardani, de subtilitate, p. 44-45, bb. IL. (4) Cardani, de subtilitate, p. 138, lib. IL. (170 ) 1° avril de chaque année, à huit heures du matin. (1) | . S'il n'a pas résolu, comme on l'avait prétendu, les équations du troisième degré, il s’est mon- tré, dans ses recherches, analyste inventif et subtil. Il a reconnu la multiplicité des racines (2), et il a eu égard aux racines négatives, qu'on avait toujours évitées (3. Les racines imagi- naires se trouvent pour la première fois dans son rs magna (4), où les règles pour les multiplier entre elles sont exposées avec exac- titude (5). Le calcul des imaginaires, branche féconde de l'analyse, qui a fourni matière à des discussions animées parmi les géomètres du dix- huitième siècle , est une découverte mémorable de Cardan, qui avait déjà vu que, dans les équations, les racines imaginaires vont toujours Li) LEE AXFLSA (1) Cardani opera, tom. I, p. 28; de vit. propr., c. 37. (2) Cardani ars magna, f. 39, c. 18%et f. 5,c.1. (3) Cardani ars magna, f. 66, c. 37. — Cardan appelle moins pures les racines négatives dont il se sert quelquefois comme racines positives, et il désigne les quantités imagi- naires par le nom de racine de moins ou de moëns sophis- tique. (4) Cardani ars magna, £.66, c. 3m. (3) Cardant ars magna, f. 65-C6, c. 37. kéÿ di ai ais * (178) par couples (1). On lui doit aussi une méthode pour la résolution approchée des équations (2), fondée sur le changement du signe qui s’opère lorsqu'on substitue successivement, à la place de l'inconnue, deux nombres entre lesquels est comprise une racine. Il a trouvé plusieurs des relations qui lient les racines aux coefficiens des équations (3). Il a connu et traité les ra- cines égales (4) : il s'est même approché du (5) Voyez à ce sujet Cossali (Stor ia dell’ algebra, tom. IT, p. 337 et suiv.), qui a exposé avec détail les recherches de Cardan. | (2) Cardani ars magna , Î. 55, c. 30. — Cardani opera, tom. IV, p. 408. — Cossaté; storia dell’algebra, tom. IT, p- 326 et suiv. £a. (3) Les théorèmes connus M Cardan soni les suivans : 1° toute équation du troisième degré est divisible par l’in- connue diminuée de la racine; 2° le coefficient du second terme est égal à la somme des racines avec le signe changé (Car- dani àrs magna, f. 39, c. 18, et f. 4-6, c. 1.— Cossali, storia dell’algebra;, tom. IL, p. 525-328). (4) « Ita reliqua ficta, de qua diximus, in alio exemplo, aggregatur ex duabus veris, sed quia veræ sunt invicem æquales, ideo ficta semper dupla est veræ. » (Cardani ars magna , £. 4, ©. 1). — Cardan s’est occupé aussi de la trans- formation des FEES Voyez à ce sujet Cossali (Storia dell’algebra, tom. If, p. 159-166, 565 et suiv.), qui a montré comment le géomètre milanais faisait évanouir le second terme , et par quels moyens il opérait d’autres transtorma- tions analogues. (172) théorème de Descartes, sur les variations et les successions de signe; et l'on voit que s’il n’avait pas été arrêté par la méthode des Arabes, qui était suivie encore au seizième siècle, de ne pas éga- ler l'équation à zéro, mais de la partager en deux membres composés de termes tous posi- tifs (1), il aurait certainement découvert la plu- part des théorèmes qui constituent la théorie générale des équations. (2) Bien qu'il n’ait pas démontré généralement la réalité des trois racines de l'équation du troisième degré, dansle cas où elles se présentent toutessous la formé imaginaire , cependant Cardan a prouvé (1) Cossali a cependant remarqué un cas dans lequel Car- dan égale toute l’équation à zéro ; mais ce n’est qu’un acci- dent daus les procédés de calcul employés à cette époque (Cossali, storiu dell’algebra, tom. IE, p. 324). (2) On ne doit pas oublier que Cardan appliqua ses théo- rèmes sur la théorie des équations à la résolution d’une classe d'équations du sixième degré. Il s’est servi aussi des fonctions symétriques (Cardañi opera, tom. IV, p. 421- 422), et il a exposé une méthode très simple pour l’élimina- tion entre plusieurs équations homogènes et du même degré. Cette méthode, qu’il appelle regula de modo, lüi avait été enseignée par un certain maître Gabriel de Aratoribus, qui l’avait apprise de Pacioli (Cardani, opera, tom. IV, p- 79- 87). Cardan ajoute que c’est ce Maître Gabriel qui l’excita à composer son Arithmetique pratique. (195 ) leur réalité dans un grand nombre de cas (1), surtout en les déterminant géométriquement par les sections coniques (2). Les Arabes avaient déjà fait des recherches analogues; mais Cardan ignorait leurs travaux , et sa construction de l’é- quation générale du troisième degré mérite d’é- tre remarquée, car elle renferme la première idée de la représentation générale du rapport qui existe entre deux quantités, par les rapports (1) C’est dans son traité De regula aliza que Cardan s’est occupé de cette question : ce traité est obscur et difñcile à lire, Cossali en a extrait les recherches les plus intéressantes (Cardané opera, tom. IV, p. 377 et seq. — Cossali, storia * dell'algebra, tom. IE, p. 341-484). (2) Cardan: opera, tom. IV, p. 396, 411, 420, etc. — Car - dan appliqua l’algèbre à la géométrie en construisant les équations du troisième degré, et il appliqua la géométrie à l'algèbre, en démontrant par des constructions géométriques les formules propres à la résolution des équations cubiques. Tartaglia aussi avait démontré ses formules par des con- structions, et Bombelli en a reproduit de semblables dans son algèbre. C’est cela seulement qu’on doit appeler Resolu- tion géométrique des equations du troisieme degre ; quant aux constructions des Arabes, dont j'ai parlé précédemment (tom. I, p. 505, et tom. IL, p. 519), elles ne peuvent être appelées resolutions que par des personnes qui n’ont aucune connaissance de l’algèbre (Cardaai opera , tom. IV, p- 249 et seq., et 389-590. — Tartaglia. quesitr, f. 127. — Bombelli, algebra, {. 283). (Ent? qui lient les abscisses et les ordonnées dans une courbe quelconque. Cardan a rassemblé en différens ouvrages spé- ciaux ses recherches sur les mathématiques : quant à ses observations de physique, elles se trouvent disséminées dans tous ses écrits. L’Opus novum (1) contient des remarques judicieuses sur la mécanique (2). On y parle de la nécessité de tenir compte de la résistance du milieu (3) pour déterminer la vitesse des projectiles. Les mathé- matiques y sont appliquées à la médecine; et l’on discute cette question curieuse, savoir si les effets produits par les médicamens sont en pro- portion arithmétique ou géométrique de la dose des remèdes (4). Réciproquement, Cardan ap- RSC ER SERRE SR DCE RER ORS CRE CON SRE EoE en ) Cardaÿri opera, tom. IV, p. 463. (2) Cardlni opera , tam. IV, p. 483, 486, 487, 496, 499, 505, 509, 518-510, 523, 536, 572, et tom. IE, p. 185, 214 et suiv. — Cardan a essayé aussi de démontrer l'impossibilité du mouvement perpétuel (Gardani, de subtilitate, p. 6r0). (3) Cardant opera, tom. IV, p. 477, 489. — Dans ses Pa- ralipomenes, Cardan a donné pour la première fois le pa- rallélogramme des forces pour le cas où les composantes agissent à angle droit (Cardani opera, tom. X, p. 516). La- grange semble attribuer cette proposition à Stevin (Lagrange, mecanique analytique, Paris, 1811, 2 vol. in-4, tom. F, p- 9) SULE Se (4) Cardanti opera, tom. IV, p. 487-488. ( 175) plique les phénomènes physiologiques aux ma- thématiques, et se sert des battemens du pouls pour mesurer le temps. Il prend en moyenne quatre mille pulsations par.heure, et dit que dans les plus violens ouragans le vent ne par- court que cinquante pas par pulsation. Il cher- che à déterminer les rapports des densités de certains corps, tantôt par leur différente ré- fraction (1), tantôt par la résistance diverse qu'ils opposent aux projectiles qui les péne- trent (2) : en appliquant ces principes à l'air et à l'eau, il en déduit que le poids de l’eau est égal à cinquante fois le poids de l’air (3). Ce ré- sultat, que Cardan lui-même trouve inexact, est cependant digne d'attention. On a vu que les anciens avaient à peine soupçonné la gravité de l'air : le médecin de Milan est le premier qui a tenté de la déterminer par l'expérience. (4) (1) Cardani opera, tom. IV, p. 505. (2) Cardani opera, tom. IV, p. 478, 489, 490, 497, 505. (3) Cardani opera, tom. IV, p. 505. (4) L’Opus novum contient beaucoup d’autres faits cu- rieux qu’il nous est impossible de rapporter ici : il ya en- tre autres plusieurs chapitres sur la construction des hor- loges (Cardani opera, tom. IV, p- 486, 404, 540-543), et des recherches sur les combinaisons (Cardant opera, tom. IV, (176) Son traité de Subiilitate est une véritable en- cyclopédie scientifique, où toutes les connaïis- sances humaines sont successivement exposées. Cardan commence par les principes de toutes choses , la matière, la forme, les élémens, le ciel et la lumière : il considère ensuite les corps mixtes, les pierres, les plantes et les animaux : il arrive ainsi à l’homme. Il en discute la nature; il parle des sens, de l'intelligence , de l'âme. Puis il traite des objets sur lesquels l'âme exerce ses facultés, et par suite des sciences, des arts et des choses merveilleuses; enfin, il parvient aux démons, aux anges, à Dieu et à l'univers (x). Cet ouvrage, qui est original même dans sa forme , fut attaqué vivement par Scaliger ; mais Cardan répondit avec vigueur et terrassa le grand critique. Ce traité renferme des idées ingénieuses et des faits intéressans : l’auteur regarde He froid comme n'étant que l'absence de la chaleur (2). p- 467). Cardan a écrit un traité spécial de Ludo aleæ, où se trouvent résolues plusieurs questions d’analyse combinatoire (Cardani opera, tom. I, p. 263 et seq.). (1) La dédicace du traité de Subtilitate est datée de 1552 ; c’est problablement l’année où parut la première édition. * (2) « Frigué.… nihil esse nisi calorem illum exiguum » (2197. ll considere l’irradiation de tous lesastres comme concourant , avec les rayons solaires, à élever la température de l'atmosphère (1), et, plus loin, il attribue la scintillation des étoiles aux cou- rans atmosphériques qui paraissent faire trem- bler ces astres comme l’eau courante semble faire trembler les petites pierres sur lesquelles elle passe (2). Dans le Traité de la lumière , il revient sur la chaleur et il signale l'influence de la couleur sur l'absorption des rayons calo- rifiques (3); il analyse aussi les effets du prisme, (Cardani, de subtilitate, p. 68-69). — Dans le même livre, Cardan parle de l’air qui est nécessaire à la combustion, et des deux genres de fumée qu’elle produit ; il dit à ce sujet : « alter. oculos uritet suffocat, quidem in aerem non facile convertatur. Idem plerumque ex carbonibus pravis.… exci- tari solet » (Cardani, de subtilitate, p.51).—Il est difficile de ne pas voir ici le gaz acide carbonique. Un peu plus loin il parle d’un froid extraordinaire qui, en 1549, fit périr tous les citronniers de la Ligurie(Cardani, de subtilitate, p.88); il décrit plusieurs machines, parmi lesquelles il vante beau- coup un blutoir pour la farine (Cardani, de subtilitate, p.98), et il emploie les lettres de lalphabet pour exprimer des quanlités indéterminées (Cardani, de subtilitate, p. 90). (x) « Aeris vero temperiem facit radiorum multitudo solis, tum siderum, quos excipit, qui illum calefaciunt » (Cardani, de subtilitate, p. 69). ‘ (2) Cardani, de subtilitate, p. 139. (5) Cardani, de subtilitate, p. 149. — IL avait reconnu II5. 12 (ob) et ceux des divers miroirs (1). Dans la suite de cet ouvrage, on trouve des expériences intéres- santes sur l’aimant (2), la manière d'apprendre à écrire aux aveugles (3), une espèce de télégraphe de nuit (4), une encre sympathique (5) avec la description de plusieurs machines et instrumens dont quelques-uns ont été reproduits récem- ment comme des inventions modernes. (6) Cette courte exposition ne peut qu'imparfai- L tement faire connaître l'étendue prodigieuse de aussi que les rayons perpendiculaires sont les plus actifs (Cardani, de subtilitate, p.165). | (x) Cardani, de subtilitate, p. 166, 172, 174. (2) Cardan a signalé les différences de l’attraction magné- tique et de l'attraction électrique (Curdani, de subtilitate, p: 207). | d | (3) Cardani, de subtilitate, 615. (4) Cardani, de subtilitate, p. 596. (5) Cardani, de subtilitate, p- 584.7 (6) Par exemple, les serrures mécaniques qu’on ne peut ouvrir qu'en combinant d’une certaine mamière les lettres des alphabets que porte le cadenas (Cardani, de subtilitate, p- 606), une machine pour travailler les pierres précieuses (Cardant, de subtilitate, p. 607), etc., etc. On trouve aussi dans cet ouvrage des recherches sur la chimie : un composé qu'on allume en le mouillant, une recette pour diminuer l’action du feu sur la peau des animaux, la description de plusieurs opérations chimiques , etc. (Cardant, de subtilitate, p- 659, 586 et seq.). » (179 ) l'esprit de Cardan. S'il était possible d'analyser tous ses ouvrages (1), on trouverait dans chacun des éclairs de génie. La morale, l'histoire, la po- litique, la philosophie (2), la théologie, l’occupe- rent tour-à-tour, et il s’y appliqua avec tant de succès, que l'on aurait dit qu’il ne s’était Jamais occupé d'autre chose. 11 fut grand érudit, et on doit le placer parmi les hommes qui ont le mieux écrit en italien sur des matières philoso- phiques (3). On ne sait ce qui doit le plus éton- ner en lui, ou son esprit si supérieur, ou ses puériles et inconcevables faiblesses ! A (1) Deux surtout mériteraient d’être examinés avec soin : ce sont le traité De rerum varietate, et les Paralipoménes. Cardan y a consigné une foule de faits curieux et d’obserya- tions intéressantes ; mais il est impossible d’en faire l'extrait. (2).Ce qu’il dit sur les méthodes en géométrie mérite l'attention des philosophes (Cardani, de subtilitate, p.646.— Voyez aussi le traité de Inventione, dans le tome X ses œuvres, p. 90 et suiv.). (3) Je ne compte cependant pas parmi les écrits italiens de Cardan, les Operationi qu’on à insérées dans le quatrième volume de ses œuvres, et qui ne peuvent pas être de lui, puis- qu'on y cite Galilée à plusieurs reprises (Cardani opera, tom. [V, p. 608); mais le dialogue intitulé : « Se la qualità puè trapassare di subietto in subietto » et son « Discorso del vacuo » (Cardani opera , tom. LE, p. 368 et 713) lui assurent * un rang distingué parmi les écrivains italiens. F2. ent à ( 180 ) Cet homme extraordinaire forma plusieurs élèves : il les nomme et il les juge dans ses écrits (1). Le plus illustre de tous fut Louis Fer- rari de Bologne, qui mourut à la fleur de l’âge en 1565 (2). Dans sa courte carrière, il résolut généralement Îles équations du qua- ‘trième degré, découverte qui le place à la tête des algébristes de son temps. Suivant l’exem- ple äe Ferro et de Tartaglia, il ne publia pas sa méthode; mais elle se trouve indiquée dans l’Ars magna de Cardan (3), et exposée avec détail dans l'Algèbre de Bombelli (4). Cardan a fait de Ferrari un portrait peu flatteur : il avait, dit-il, aussi peu de conduite et de savoir-vivre que de talent et d’érudition en mathémati- ques (5). Il était surtout très irascible, et, à dix- sept ans, il avait perdu tous les doigts de la main droite dans une querelle (6). I fut professeur : à Milan et à Bologne : il mourut à quarante-trois (x) Cardani opera , tom. I, p. 26. — Cardani opera. tom. IX, p. 568. (2) Fantuzzi, scrittori Bolognesi, tom. ILI, p. 327. (3) Cardani, ars magna, f. 77, c. * 39: (4) Bombelli, algebra, p. 353. (5) Cardani opera, tom. IX, p. 569. (6) Cardani opera, tom.IX, p. 569. ( 18r ) ans, et l'on soupçonna sa sœur de l'avoir em- poisonné (1). On na imprimé de lui que des lettres insérées dans la relation de la grande que- relle qu’il eut avec Tartaglia (2). Son Traité de l'erreur que l’on commet dans la détermination du jour de Päques existait (3) encore inédit en 1731. Cardan nous apprend qu'il avait écrit aussi(4) sur la géométrie. Si des ouvrages de Fer- rari se conservent encore en manuscrit, ils méri- tent certainement d’être tirés de l'oubli où ils sont restés depuis trois siècles. Raphaël Bombelli ferme dignement cette série d'illustres algébristes. Comme Ferro et Ferrari, il naquit à Bologne, mais on ignore à quelle époque. On ne sait de lui que ce qu'il nous ap- prend dans la dédicace de son ouvrage à lé- vêque de Melfi. Il dit qu'il avait eu pour pré- cepteur Pierre - François Clementi (5) et qu'il avait travaillé au desséchement des Chiane en LE" Lee ÆrÈTRE SL EN PRE NT EEE Ne Le (1) Fantuzzi, serittori Bolognesi, tom. LIT, p. 5215 Car- dant opera, tom. IX, p. 568. (2) Fantuzzi, scrittori Bolognesi, tom. LIL, p. 322, (3) Fantuzzi, scrittori Bolognesi, tom. HE, p. 322. (4) Cardant, de subtilitale, p. 526. (5) Voyez aussi Fantuzzi, scrittori Bolognesi, tom. Il, p. 282. ( 182 ) Toscane. Cetévêque de Melfi semble avoir été son protecteur. Il l’avait employé, ainsi que son frère Hercule, comme ingénieur, et il l'avait chargé ensuite de composer cette algèbre : elle ne parut qu’en 1572; mais on voit que Bombelli l’a- vait préparée depuis quelque temps. Dans la préface, il fait succinctement l’histoire de l’al- gèbre, en commençant par Diophante et Mo- hammed ben Musa , et il paraît croire que cette science a été inventée par les Indiens (1). Il cite Léonard de Pise et Pacioli, et il bläme Tartaglia d'avoir tant maltraité Ferrari et Cardan. (x) Dans cette préface , Bombelli dit qu'il avait tra- duit avec Antoine Pazzi, professeur à Rome; les cinq pre- miers livres de Diophante, etil ajoute qu’on y cite souvent les Hindous. Tous ceux qui ont lu les ouvrages#du géo- mètre d'Alexandrie savent que les Hindous n’y sont jamais mentionnés ; je suppose donc que le manuscrit dont parle Bombelli était accompagné d’un core fait par quel- que auteur byzantin, et l’exemple de "Planude prouve que les Grecs du Bas- -Empire ont cité souvent les savans de l'Inde. Il existe à la bibliothèque Palatine de Florence une traduction italienne manuscrite de Diophante qui, après lavoir parcourue, m’a semblé antérieure à l’époque de _Bombelli. Au reste, cet auteur parle de l'ouvrage de Diophante comme ne l’ayant vu qu'incomplet ( Bombelli, algebra, p. 353). 183 ) - L’Algébre de Bombelli est divisée en trois li- vres. Le premier contient les élémens, le calcul des radicaux et celui des quantités imaginaires : le second renferme tout ce qui se rapporte à la résolution des équations (1) : et le troisième est un recueil de problèmes, parmi lesquels il y en a de fort difficiles sur analyse indé- terminée. Dans ce traité, sont exposées mé- thodiquement toutes les connaissances que l'on avait alors sur lalgebre; les démonstrations sont rigoureuses et complètes, et l’on voit la science prendre une forme systématique. On y trouve des notations qui permettent d'ef- fectuer facilement les calculs; et lon sait com- bien les notations ont eu d'influence sur les pro- grès de l'algèbre. Le calcul des radicaux y est complètement exposé (2), : ainsi que ‘la théorie gé- nérale des quantités imaginaires, dont l’auteur . —- _— (x) Voyez la note XXXIV à la fin du volume. (2) Cossali a exposé la méthode de Bombelli pour exiraire la racine cubique d’un binome réel ou imaginaire : elle mé- rite par son élégance l'attention des géomètres. Wallis l’a re- produite sans citer Bombelli, et il paraît avoir voulu se l’ap- proprier (Cossalr, storia dell’algebra, tom. LU, p. 291-296. — Wallis, opera, Oxoniæ , 1695, 3 vol. in-fol., tom. I, p. 187 et seq. . Voyez la note XXX V à la fin du volume. ( 184 fait une heureuse application 4 à ce que l’on ap- pelle ordinairement le cas irréductible. C’est en effet Bombelli le premier qui a généralement annoncé la réalité des trois racines d’une équa- tion du troisième degré, lorsqu'elles se présen- tené toutes trois sous la forme imaginaire. Dans un grand nombre de cas, il a vérifié son asser- tion par l'extraction directe de la racine des’deux binomes ‘1). Les géomètres précédens ne s’é- taient occupés que de résoudre de nouvelles questions. Bombelli perfectionna leurs démons- trations, et les rendit plus complètes et plus gé- nérales. Son ouvrage n’a pas peu contribué aux progrès des mathématiques. C’est là qu’on voit pour la première fois la rigueur de la synthèse appliquée aux démonstrations algébriques. Cette longue suite de biographies scientifiques, ces analyses répétéés d'ouvrages Ra 2 ont dü répandre une couleur sobre et sévète sur le tableau que nous venons de tracer de la marche des sciences en Italie; mais il était nécessaire d’en- trer dans ces détails pour démontrer que le sei- zième siècle n’a pas été seulement, comme on le 2 LS Le a —————_—_——_———_— ———é (3) Cossali, storie dell'algchra, tom, p. 484 et suiv. ( 185 ) répète sans cesse, le siècle des arts. Il est vrai que Léonard de Vinci, Michel-Ange, Raphaël, Cellini, le Titien, le Corrège,sont restés sans égaux, tandis que les travaux de Ferro, de Tartaglia, de Fer- rari, furent promptement éclipsés par ceux de leurs successeurs. Cela tient au développement continuel des sciences, et aux bornes que la nature semble avoir prescrites aux progres de l'esthétique et à la production du-beau dans les arts; mais il ne faut pas déduire de notre impuis- sance à surpasser les grands artistes du sei- zième siècle, que les savans de cet âge leur fus- sent de beaucoup inférieurs. C'est plutôt en comparant un siècle avec ceux qui l’ont précédé qu’on doit lui assigner un rang dans l'histoire. Or, en mettant les grands maitres que nous ve- nons de nommer en parallele avec Brunel. lesco, Donatello, Masaccio, Alberti, on ne trouve pas une distance supérieure à celle qui sépare les ouvrages de Tartaglia et de Cardan, des écrits de Canacci, de Dagomari, de Pa- cioli. Le développement de l'intelligence avait accompagné les progrès des arts; mais les ar- tistes s’arrétérent, tandis que, par l ascendant de Galilée et de l’Académie del Cimento, les scien- ces atteignirent, au dix-septièéme siècle, leur & Mk 6 à PT ue » 186 } apogée en Italie. Cependant on avait déjà beau- coup fait dans le siècle précédent : la grande réaction contre Aristote avait commencé ; l’ob- servation avait été proclamée la base des con- naissances humaines ; les sciences qui en dé- pendent, la physique, l’histoire naturelle , avaient pris naissance. Il fallait réunir tous ces élémens épars, extirper toutes les vieilles er- reurs. On attendait un dictateur , il parut : ce fut Galilée. Mais en admirant son vaste génie , il ne faut pas-être ingrat envers ses devanciers; il ne faut pas le charger de leur gloire ; elle lui est inutile ; ils la réclament. On doit surtout ne pas oublier que leurs travaux sur la résolution des équations n'ont Jamais été surpassés. (r) Cependant, ce n’est pas par les sciences qu’au seizieme siecle Fitalie exerçca son influence au dehors. Pendant qu'elle perdait sa nationalité, les œuvres de ses artistes se répandaient chez les nations voisines gt produisaient une révo- lution dans le$ arts. Alors, l'architecture go- # x (1) Voici comment Lagrange s’est exprimé à ce sujet : « Les premiers succès des Analystes italiens, dans cette matière, paraissent avoir été le terme des découvertes qu’on y pou- vait faire. » (Mem. de F Acad. de Berlin, annéé 1770, p. 135.) ( 187 ) thique, la peinture allemande, furent détro- nées , et l'école italienne domina dans toute l'Europe. Les autres peuples, ignorant ce qui avait été, fait depuis Arnolfo et Giotto, s’ima- ginèrent que les maîtres n'avaient existé que du jour où ils en étaient devenus les élèves, et ils fixèrent au seizième siecle la renais- sance des arts. Mais, depuis long-temps, elle s'était opérée en Italie, et l’on devrait enfin abandonner cette erreur qui retarde de deux siècles l'époque du développement des beaux arts Chez les modernes. “Es À Si nous devions tracer une histoire générale des progrès de l'esprit humain, nous cherche- rions à déterminer linfluencesque les arts, se répandant au loin et amenant à leur suite les let- tres et les sciences des Italiens , ont pu avoir sur Pavancement des sociétés modernes. Nous mon- trerions tout l'Occident, devenu subitement dis- ciple de l'Italie, imiter et traduire ce qu'on avait fait dans cette contrée; nous verrions la presse, non-seulement reproduire en original les œuvres de Dante et de Boccace, mais aussi les écrits des _ auteurs de second ordre; nous verrions des em- pereurs écrivant leurs lettres en italien, Lope de Véga et Cervantes étudiant l’Arioste, et Shak- { 168 ) speare imitant les contes de Porto, de Giraldi et -de Bandello. | Si l'histoire des arts entrait dans notre plan, leurs différentes origines et leur développement, le coloris et la richesse de l’école vénitienne, le dessin et la vigueur des peintres toscans, les grà- ces, la beauté des formes de l’école romaine, nous occuperaient tour-à-tour: Alors nous devrions considérer ‘aussi ce que les artistes ont fait pour les sciences, soit en les cultivant (r), soit en les amenant peu-à-peu sur la scène, et en les faisant participer aux largesses de quelques gouVérne- ‘ | um 4 ; | (1) Ce ne furent pas seulemênt Léonard de Vinei et Al- berti qui, parmi les artistes, cultivèrent les sciences, et nous aurons plus tard à nous occuper d’un peintre célèbre, Cigoli, qui fut l’un des disciples les plus illustres de Galilée. Au ‘seizième siècleles sculpteurs et les orfèvres, forcés de s’occu- per de tout ce qui a rapport à leur art;étaient aussi chimistes et mécaniciens, Les Due trattati de Gellini, que nous ayons déjà cités, contiennent des renseignemens précieux sur la chi- mie, sur la minéralogie et la métallurgie. J’y ai trouvé lindi- cation de la phosphorescence de certaines pierres (Cellini, due trattati, f. 10). Si je pouvais nr'arrèter sur la science des corps inorganiques, je donnerais un extrait de la Pirotech- nia di Biringuccio et du Speculuwm lapidum de Camille Leo- nardi de Pesaro, qu’on a quelquefois confondu mal-à-propos avec Léonard de Pise. Ces deux ouvrages méritent l’attention des naturalistes. ( 189 ) mens. Nous devrions rechercher surtout par quelles causes l'originalité s'étant affaiblie, la décadence se fit sentir en littérature, tandis que, malgré l'état déplorable où l'Italie était réduite, les sciences firent de rapides progrès, excitées par le principe de l’observation, qui est la base de tous les arts, et qu'au moment de leur plus grand développement ils avaient répandu dans la société. Mais nous ne pouvons pas nous lais- ser entrainer si loin : nous terminerons donc ce second. livre en jetant un coup-d’œil sur Pétat de l'Italie au seizième siecle. Après la bataille de Pavie, Charles V régna sans partage sur la péninsule : peu d'années lui suffirent pour se rendre maïtre du pape et pour achever la ruine de toutes les puissances muni- cipales. Il posséda Naples, la Sicile et le duché de Milan : tous les princesitaliens devinrent ses feu- dataires, et s’attachèrent à sa fortune par crainte de la France, qui avait toujours protégé les Guelphes et le parti républicain. Après des ex- ploits chevaleresques, François 1% se reposait au sein des arts, et, content d’avoir Léonard de Vinci et Cellini à sa cour, il oubliait que l'Italie pouvait lui donner plus que des artistes. Ne pro- tégeant les Florentins que par des promesses, il Pl 7 DT MT NT CP UNE PE LA ni à RÉ. is 27 2. _ ( 190 ) les précipita dans une lutte trop inégale contre l'empire, et ne fit rien pour les arrêtersur le bord de l’abime. Le siege de Florence couronne digne- ment les trois siècles d'existence d’une répu- blique illustre à tant de titres; et l’on devra tou- jours admirer cette poignée de marchands qui, abandonnés de toutes les puissances humaines, créerent Jésus-Christ chef de la république , et combattirent vaillamment contre celui qui avait tenu dans les fers le roi de France et le pape. Ils succombèrent après une longue résistance, et ne laissérent pas de postérité : car le plus grand reproche que l'on doive faire aux Médi- cis, c’est d’avoir éteint dans le peuple de Flo-_ rence cette noble ardeur qui autrefois le préci- pitait si souvent au milieu des dangers. Venise échappa seule à Charles V , et c’est un mérite dont on n'a pas tenu assez compte à une petite république déjà ébranlée par la ligue de Cambrai, et qui, obligée de se défendre à-la-fois contre Soliman et contre le puissant rival de Fran- çois I°°, aurait peut-être fini par succomber, si le maitre de tant d'états n’avait commis la faute irréparable de les partager entre son fils et son frère. L'Italie échut alors à l'Espagne, mais elle lui fut toujours enviée par l’Autriche, qui s’'ap- (gt ) pliqua sans cesse à diminuer l'influence de sa ri- vale. Durant cette lutte cachée, qui se continua jusqu’au moment où l'empereur fut admis à par- tager les dépouilles de Charles TT, et pendant les longues guerres de la France avec l'Espagne, les princes italiens auraient trouvé souvent l’occa- sion de recouvrer au moins en partie leur indé- pendance, s’il fût né parmi eux un seul homme doué de quelque hardiesse. Mais c’est un des plus grands malheurs de l'Italie, de n’avoir vu sur le trône, depuis trois siècles qu’elle gémit dans les fers, que des gens sans ambition et sans cœur. Le seul Emmanuel-Philibert, qui rentra dans ses états après avoir commandé l’armée espagnole à la bataille de Saint-Quentin , aurait pu tenter la délivrance de sa patrie s’il fut né dans des | temps plus propices; mais il dut commencer par recouvrer et organiser ses états, livrés depuis long -temps au pillage des armées ennemies. D'ailleurs, tout était à faire alors en Piémont, pays qui ne s’est développé que fort tard, mais où l'Italie peut trouver un jour son salut; car n’ayant pas été corrompu par une civilisation déjà vieil- lie, ilconserve encore quelques forces intactes et une certaine physionomie de rudesse. Emma- nuel-Philibert, comme Farnèse, comme Monte- (192) cuculli et le prince Eugène, gagna des batailles pour les étrangers. On attend encore le guerrier qui doit vaincre pour l'Italie. | Cependant, la maison de Savoie sut ressai- sir ses états, qui étaient devenus la proie des étrangers, et, se ménageant à propos des alliés, elle parvint à se créer une certaine importance. Mais les Farnèse , mais les Médicis, qu'on a tant célébrés, ne songeaient qu'à se garantir contre les tentatives de leurs sujets, et, pen- dant qu'ils ne reculaient devant aucun crime pour assurer leur domination, ils ne voyaient au dehors que des questions de préséance , et payaient des millions pour obtenir de l'Espagne l’'altesse au lieu de l'excellence. Ce furent de bien tristes familles et de bien cruels despo- tes! L’un, fils de pape, inventait, comme le disaient les protestans, de nouvelles manières de faire des martyrs ( 1), en attendant que Charles V le fit jeter par la fenêtre (2) : l’autre tuait ses (1) Varchi, storia fiorentina, Colonia, 1721, p. 640. (>) Casa, dans la Prima orazione per la lega, a peint avec de vives couleurs cette mort de Pier Luigi Farnese, qu'il attribue à Charles V. Voici ce qu’il dit à ce sujet : « Bruttarsi le mani nel sangue dellavolo de’ suoi nipeti; e il suvcero di ( 193 ) hls et déshonorait ses filles. Aux crimes commis pour se maintenir au pouvoir, avaient succédé les crimes de la débauche et du caprice. On ac- cusa Côme I“ davoir fait empoisonner deux il- lustres écrivains, Guicciardini et Berni, mais per- sonne ne put dire pourquoi. Dans ces gouverne- mens ténébreux, on cachait tout, excepté les forfaits dont on se glorifiait. Ces mœurs, ces violences, ne se rencontrent aujourd’hui que chez les oppresseurs de la Pologne. Le cardinal Hippolyte de Médicis ayant eu un jour une querelle avec un Orsini, lui arracha la barbe, et la déposa dans ses archives, avec une in- scription destinée à conserver la mémoire de cet exploit. Ce paquet existe encore à Floren- ce, dans lÆrchivio Mediceo , où sont ras- semblés des trésors historiques et littéraires de tout genre que l’on s’obstine, par une poli- tique mal entendue, à cacher au public. C’est au moins une maladresse, car aucun gouverne- ment ne saurait, dans notre siècle, vouloir imi- sua figliuola ucciso gittare a cani, e la stessa sua progenie innocente cacciare di stato, sono le sue tenere e parentevoli carezze. » LL. i ( 194 ) ter les Médicis, et leurs successeurs ne peuvent que gagner à les faire connaître. Maigré toutes ces horreurs, malgré des pro- scriptions qui dispersèrent au loin les hommes les plus distingués, l'Italie se couvrit , au seizième siècle, d’une nouvelle gloire. Et, parce que quel- ques artistes ou quelques poètes furent reçus à la cour de Léon X , ou à celle de Florence, on a voulu attribuer aux princes italiens Péclat de ce siècle. Mais on oubliait les plates plaisan- teries par lesquelles on accueillait l’immortel ouvrage de FVArioste (1), la misère où tomba Machiavel, et les persécutions contre le Tasse, dont, on retenait les vêtemens et les livres (2), à sa sortie de prison, pour le forcer à chanter (1) Dans le chant XXXV du Roland furieux, l’Arioste s’é- lève avec force contre les faveurs que l’on répandait sur des gens : ……. « Chiamati cortigian gentili, « Perchè sanno imitar l’asino a ’I ciacco. » On connaît ses vers sur les devoirs des grands envers les écrivains : « E ben convenne al mio lodato GCristo , etc. » (2) Voici ce que Le Tasse écrivait au duc de Mantoue, le 24 septembre 1588 : « E ora ardisco di scriverle, pregandola ‘che non si curi di ritenermi i libri , poichè non volle ritener ( 195 ) les louanges de ses oppresseurs. On oubliait sur- tout les honneurs extraordinaires rendus par tous les princes à l’Arétin (1). Nous le répétons encore, parce qu'il est nécessaire de détruire une vieille erreur qui sert d’excuse souvent à la paresse : les hommes illustres ne sont pas le fruit de la protection des princes. En les voyant naître sous Léon X comme du temps de Paul III et de son indigne fils; à Florence sous les Médicis, comme en Lombardie sous la domination des me stesso in prigione nè gli voglia quasi pegni, o quasi os- taggi della mia fede, temendo, che mentre sto lontano, non dica mal di lei, o non scriva, perchè niuno è più sicuro "ostaggio dell’affezioneintrinseca, e della benevolenza; e V. A. pu esser sicura, ch'o le sia affezionatissimo. S’amano, signor mio , le cose lodate e s’io non ho voluto di nuovo lodarla, come voleva il suo teologo, non l’ho ricusato di fare per odio, ma perche le preghiere deono andare avanti alla laude, e fra l'une, e l’altre interporsi le grazie» (Tasso, opere, Fi- renze, 1724, 6 vol. in-fol., tom. V, p. 109.— Voyez aussi la première édition , plus correcte , de cette lettre qui fut pu- bliée d’abord dans les Lettere non pit stampate, del Tasso, Bologna, 1606, in-4, p. 69). — [Le Tasse revient à plusieurs reprises sur ce sujet. Il écrit ailleurs : « Prego V. E. che non mi nieghi la comodità di queste robe, e non voglia consen- tire ch’io palisca freddo questo verno » (Tasso, opere, tom. V, p. *). - (x) Voyez entre autres Aretino, letlere, Parigi, 1609, 6 vol. in-8, tom. I, f. 64, etc. | hi . (190) étrangers, on serait plutôt conduit à conclure que la forme et l'action du gouvernement n'ont qu'une influence secondaire sur les développe- mens de l'esprit humain. Il reste à examiner si, comme on l’a prétendu, l'église, au seizièeme siècle, favorisa les progres de la civilisation. Sans doute le luxe des papes, les superbes édifices qu'ils firent élever con- tribuërent à multiplier les chefs - d'œuvre des grands artistes; mais cela ne profita qu’à la par- tie extérieure du culte, et les pontifes, se ber- cant au sein des plaisirs, étaient forcés de rendre plus active la vente des indulgences pour sub- venir à ces dépenses extraordinaires. Lorsque les peuples, indignés de tant d'abus, demandèrent enfin une réforme, l'église, qui en se mettant à la tête du progrès pouvait pré- venir une lutte acharnée et maitriser l'avenir, re- poussa toute innovation et ralluma ses büchers. Dans les temps qui précédérent la réforme, la ri- gueur s'était relâchée avec les mœurs : des pa- pes qui nommaient des cardinaux sur la recom- mandation du sultan de Constantinople ne de- vaient pas Se montrer sévères en fait de croyance. Mais, lorsqu'on vit les peuples se grouper au- tour de Luther, lorsqu'on vit surtout la diminu- ( 197 ) tion des offrandes, on renouvela les supplices, on rendit à linquisition sa première sévérité. Charles V fut lancé contre les luthériens : on osa remercier Dieu solennellement du massacre de la Saint-Barthélemi, et l'on sévit de nouveau contre les penseurs et les écrivains. Les germes de protestantisme qui se manifestérent en Ita- lie furent rigoureusement étouffés {1),et pendant que le pape , forcé d’assembler un concile, cé- dait à regret sur quelques points de discipline et laissait réformer les mœurs du clergé, il re- trempait ses armes ecclésiastiques, et donnait un pouvoir exorbitant aux inquisiteurs. Ce fut surtout depuis le concile de Trente que la cen- sure prit un si grand développement; c’est à (1) On à essayé plusieurs fois de décrire les tentatives qui ont été faites, en Italie, pour obtenir une réforme, mais ce sujet intéressant attend encore un historien véritable qui sache rapprocher Arnaud de Brescia, de Savonarole et de Sarpi , et qui nous raconte le martyre des Vaudois, la mort de Dominis et le supplice de Giordano Bruno. Au seizième etau dix-septième siècle, une foule d’Italiens illustres em- brassèrent la religion réformée, mais ils durent quitter leur patrie pour se soustraire au supplice. Plusieurs de leurs descendans , qui vivent encore dans les pays protestans, ont su s’illustrer dans les lettres et dans les sciences. (198 ) partir de cette époque que les persécutions contre les écrivains devinrent si fréquentes et les peines si acerbes. Croyant voir le fantôme de la réforme dans toute idée nouvelle, plus le monde marchait en avant, plus l’église se cram- ponnait au passé. C'est ainsi que les doctrines d’Aristote acquirent alors l'autorité d'articles de foi, et, qu'après avoir permis au cardinal de Cusa et à Copernic de soutenir le mouvement de la terre, on finit plus tard par condamner Galilée. Au quinzième siècle, tous les esprits s'étaient tournés vers l’érudition; puis, il y eut comme une nouvelle renaissance, moins énergique sans doute et moins spontanée que la première, mais plus polie , plus savante, plus régulière. Cependant, vers le milieu du seizième siècle, tous ces esprits, si poétiques, admirateurs si passionnés de la forme et du beau, se tournerent peu-à-peu vers les sciences. Il est inutile de rappeler les nomsde ces savans qui les cultivèrent exclusivement et dont nous avons déjà si longuement parlé, mais on ne saurait s'empêcher de remarquer cette foule d’illustres historiens, de poètes ; d'artistes célèbres, qui, obéissant à la tendance générale des esprits, s’'appliquérent aux scien- | ( 199 ) ces avec ardeur. Ici, nous voyons Rucellaï, élé- gant écrivain, qui, dans un poème sur les abeilles, rapporte des observations anatomiques faites à l’aide de miroirs grossissans (1) : là, c'est Varchi, historien courageux et profond éru- dit, qui traduit Euclide en italien (2) et qui étu- die avec soin la chute des graves (5). Caro, (1) Rucellaï, le api, V. 970 etsuiv. — Ge poème parut pour la première fois en 1539. (2) Varchi écrivit aussi un Traité des proportions, et un ouvrage de météorologie (Varchi, l’ercolano, Firenze, 1720, in-4, p. xxx1v-xxxv11). La traduction d'Euclide, si elle était publiée, enrichirait sans aucun doute le vocabulaire scienti- fique de la langue italienne. Dans sa lecon sur la chaleur, composée en 1544, Varchi parle de l’incubation artificielle et de l'influence de la couleur des surfaces sur l’absorption des rayons calorifiques (Varchi, lezziont, Fiorenza, 1590, in-4, p- 259). Suivant cet historien, les émissaires de Côme de Médicis se servaient en 1536 du télégraphe (Varchi, storia, p- 620). (3) Dans sa Questione sull'alchimia, qui est dirigée contre les alchimistes, Varchi se montre excellent observateur et combat l'autorité d’Aristote; voici le passage relatif à la chute des graves auquel je fais allusion , il fut écrit en 1544: «E sebbene il costume dei filosofi moderni è di creder sempre e non provar mai tutto quello che si trova scritto ne’ buoni autori, et massimamente in Aristotile, non è pero, che non fusse e piü sicuro, e più dilettevole fare altramenti, e discen- dere qualche volia alla sperienza in alcune cose, come verhi graliu nel movimento delle cose gravi, nella qual cosa e ? ( 209 ) Baldi (1), Buontalenti (2) suivirent ces exemples; et le Tasse lui-même, grand poète dont la vie Aristotile, e tutti li altri filosofi senza mai dubitarne hanno .creduto, e affermato, che quanto una cosa sia più grave, tanto piü tosto discenda, il che la prova dimostra non esser vero. E se io non temessi d’allontanarmi troppo dalla pro- posta materia, mi distenderei più lungamente in provare questa opinione, della quale ho trovati alcuni altri, e massi- mamente il Reverendo Padre, non men dotto Filosofo, che buon Teologo, Fra Francesco Beato Metafsico di Pisa, e Mess. Luca Ghini Medico e semplicista singularissimo, oltre la grande non solamente cognizione, ma pratica dei Minerali tutti quanti, secondo che a me parve quando gli udii da lui pubblicamente nello Studio di Bologna » (Varchi, questione sull’alchimia, Firenze, 1827, in-8, p.54). —- Ghini fut le maitre de Cesalpino, d’Aldovrandi, de Mattioli et d’Anguil- lara : Calvi et Targioni pensent qu’il fonda, en 1544, à Pise le premier jardin botanique destiné à l’enseignement ; mais Fantuzzi croit que celui de Padoue existait déjà (Calvi, com- ment. hist. Pisani vireti, Pisis, 1777,in-4, p.1-6.— Fantuzzr, scrittori Bolognesi, tom. IV, p. 135). | (1) On sait que Baldi, poète distingué, écrivit sur l’histoire des sciences, qu’il traduisit Héron et commenta Pappus; mais ce que l’on ne sait pas assez, c’est qu’il s’occupa de langues orientales et qu’il traduisit en italien la géographie d’Edrisi. Le manuscrit inédit de cette traduction, que l’on croyait perdu, se trouve à présent à la bibliothèque de Montpellier (A4ff, vita di B. Baldi, Parma, 1783,in-4, p. 211). (2) Baldinucci opera, Milano, 1808, 14 vol. in-8, tom. VIIL p- 11-77.—-Buontalenti , sauvé presque par miracle sous les débris d’une maison qui s'était écroulée, s’appliqua à l’ar- chitecture, et devint le premier mécanicien de son siècle. Il (ar) fut un drame continuel, étudia les mathémati- ques sous Commandin et fut professeur de’ géo- métrie (1). Au reste, la nature semblait vou- loir annoncer par un grand pronostic que les arts allaient céder le sceptre aux sciences; car Galilée venait au monde le jour où la mort frap- pait Michel Ange. (2) est impossible d’énumérer toutes les machines qu'il fit con- struire. Il inventa les grenades et la manière de charger les fusils par la culasse : il s’occupa aussi de physique et d’hy- draulique C'est probablement lui qui avait dirigé ies ma- chines de la monnaie de Florence, où tout alors était mu par un courant d’eau. Benvenuto della Volpaja, astronome ha- bile et célèbre fabricant d’instrumens de mathématiques, mérite aussi d'être mentionné parmi les artistes savaus du seizième siècle (Vasarr, vite, tom. XI, p. 356-177). (x) Serassi,vita di T. Tasso, Roma, 1785, in-4, p. 79 et 169. — Borselti, hist. gymn. Ferrariensis, Ferrariæ, 1735, 2 vol. in-4, tom. I, p. 198, 199.— Guarini, supplem. «ad hist. gymn. Ferrariensis, Bononiæ, 1740, 2 vol. in-4, tom. I}, A 62. (2) Galileï, opere, Firenze, B18, 3 vol. in-4, iom. 1,” p. XCI-XCNI. Le FIN DU. LIVRE SECOND. dge lo y ru Me AIO ee & ou :8 so: Lt. Fig ne qu mi gx F4 a” + LS : “ Pas Û Se M AA * déc “ sp 44 PTE, di * 1e » oh pé 1#t ts STEP F car does ! M 2 NOTES ET ADDITIONS. à Le 4 | ait | à. f y ( 3a5 ) NOTE... (PAGES 15 et 15 ) Voici cette lettre en entier, telle qu'Amoretti (1) l’a déjà publiée. Havendo, S* miolll., visto e considerato oramai ad sufficientia le prove di tutti quelli che si reputano maestri et compositori d’instrumenti bellici, et che le inventione et operatione de dicti instrumenti non sono niente alieni dal comune uso, mi exforserd, non derogando a nessuno altro, farmi intendere da Vostra Excellentia; aprendo a quello li secreti miei : et ap- presso offerendoli ad ogni suo piacimento in tempi opportuni sperardcum effecto circha tutte quelle cose, che sub brevità in presente saranno qui di sotto notate. 1. Ho modo di far punti ( ponti) leggerissimi ed acti ad portare facilissimamente, et cum quelli seguire et alcuna volta fuggire li inimici ; et altri securi et inof- fensibili da fuoco et battaglia : facili et commodi da levare et ponere. Et modi de ardere et disfare quelli de li nimia. 2. S0 in la obsidione de una terra toglier via l’aqua / ; , / (1) Amoretti, memorte, p. 24. { 206 ) de fossi et fare infiniti pontighatti a scale et altri in- strumenti pertinenti ad dicta expeditione. 3. [tem se per altezza de argne o per fortezza de loco et di sito non si potesse in la obsidione de una terra usare l'officio delle bombarce : ho modo di rui- nare ogni roccia o altra fortezza se già non fusse fon- data sul saxo. 4. Ho anchora modi de bombaide commodissime et facili ad portare : et cum quelk buttare minuti di tempesta ; et cum el fumo de quella dando grande spavento al inimico cum grave suo lanno et confusione. 5. Item ho modi per cave et ve strette e distorte facte senz’ alcuno strepito per venire ad uno certo... che bisognasse passare sotto fossi oalcuno fiume. 6. Item facio carri coperti sicuri et inoffensibili ; e quali entrando intra ne l’inimici cum sue artiglierie : non è si grande multitudine di gent: d’arme che non rompessino et dietro a questi poteranno séguire fan- terie assai inlesi e senza alchuno irmipedimento. 7. Item occorrendo di bisogno fard bombarde, mor- tari et passavolanti di bellissime e utili forme fora del comune uso. 8. Dove mancassi le operazione delle bombarde componerd briccole manghani, trabuchi ed altri in- strumenti di mirabile efficacia et fora del usato : et in somma secondo la varietà de casi componerd varie et infinite cosé da offendere. 9. Et quando accadesse essere in mare ho modi de’ molti instrumenti actissimi da offendere et defendere : et navili che faranno resistentia al trarre de omni grosissima bombarda : et polveri o fumi. ( 207 ) 10. In tempo di pace credo satisfare benissimo à paragone di omni altro in architettura in com posi- zione di edifici et publici et privati : et in conducere aqua da uno loco ad un altro. Item conducerd in sculptura de marmore di bronzo et di terra, similiter in pictura, cid che si possa fare ad paragone de omni altro et sia chi vole. Ancora si poterà dare opera al cavallo di bronzo che sarà gloria immortale et eterno onore della felice me- moria del S® vostro Padre, et de la inclyta Casa Sforzesca. Et se alchune de le sopra dicte cose ad alchuno paressino impossibili, et infactibili me ne offero pa- ratissimo ad farne experimento in el vostro parco, o in qual loco piacerà a Vostra Excellentia, ad la quale umilmente quanto più posso me raccommando, etc. ( 208 }) NOTE: IT. 1 2 ( PAGE 30 ) Ï tordi si rallegrarono forte vedendo che l’uomo prese la civetta e le tolse la libertà quella legando con forti legami ai suoi piedi la qual civetta fu poi me- diante il viscio chausa non di far perdere la libertà ai tordi ma la lor propria vita. Detta per quelle terre che si rallegrano di vedere perdere la libertà ai loro maggiori mediante i quali poi perdono 1l soccorso e r1- mangono legate in potentia del loro nemico, lasciando la libertà e spesse volte la vita (MSS. de Léonard de Vinci, vol. N, f. 198). Favola. Trovando la scimia uno nidio di picioli ucielli tutta allegra appressatasi.a quelli e quali essendo già da volare ne potè solo pigliare il minore; essendo piena d’alegreza chon eso i mano sen and al suo ricieto € chominciando a chonsiderare questo ucielletto, lo chomincid a baciare e per lo isviscerato amore tanto lo bacid e rivolse e strinse chella gli tolse la vita. Ë detta per quelli che per non gastigare i figholi capitano male (MSS. de Léonard de Fi inci, vol. N, f. 66). NOPESTIT F ( PAGE 30.) . Non si domanda ricchezza quella che si puù per- dere. La virtà è vero nostro bene ed è vero premio del suo possessore, lei non si pud perdere, lei non ai abbandona se prima la vita non ci lascia; le robe e le esterne divitie sempre le tieni sconte per timore e spesso lasciano con iscorno e sbeffato il suo possessore perdendo lor possessione (MSS. de Léonard de Vinci , vol. À, f. 114). Acquista chosa nella tua gioventù che recompensi il danno dalla tua vecchiezza, e se tu intendila vecchiezza aver per suo cibo la sapientia , adoperati in tal modo in gloventù che attal vecchiezza non manchi il nutri- mento (MSS. de Léonard de Vinci, vol. N, f. 117). La somma felicita sarà somma cagione delle infeli- cità, e la perfectione della sapienza sarà cagione della stultitia (MSS. de Léonard de Vinci, vol. N, f. 38). Sembpre le parole che non soddisfanno all’orecchio dell'uditore li danno tedio ovvero rincrescimento, in segnio di ciù vederai spesse volte tali uditori essere copiosi di sbavigli. Adunque tu che parli dinanti altrui di che tu cerchi benivolentia quando tu vedi tali prodigi di rincrescimento abbrevia il tuo parlare, e tu muta ragionamento, e se tu altrimenti farai allora AU. a r4 ( 210 ) in loco della desiderata gratia tu acquisterai odio e nimicCizia. E se voi vedere di quel che uno si diletta sanza udirlo parlare, parla a lui mutando diversi ragiona- menti, e quel dove tu lo vedi stare intento sanza sbavigliamenti o storcimenti di ciglia o altre varie azioni, si certo che quella cosa di che si parla è quella di che lui si deletta (MSS. de Léonard de Vinci, vol. G, f. 49). (211) NOTE IV. ( PAGE 32. ) Ordine del primo libro delle acque. Definisci prima che cosa è altezza e bassezza anzi come son situati h elementi l’un dentro all altro. # ” nn Q ‘ c . . Dipoi Hoi à grav tà densa e cosa & gravità liquida, ma prima che cosa è in se gravità e levità ; dipoi des- crivi perchè l'acqua si muove e perchè termina :1l moto suo, poi perchè ella si fa più tarda o veloce : oltre di questo come ella sempre discende essendo in confino d’aria più bassa di lei. Chome l’acqua si leva in aria mediante il chalore del sole e poi ricada in pioggia, anchora perchè l’acqua sorge dalle cime de monti e se l’acqua di nessuna vena più alta che loceano mare pud versare acqua più alta desso oceano: come tutta l’acqua che torna all'oceano è più alta che la spera dell’acque ; e come l’acqua delli mari equinotiali è più alta che le acque settentrionali, ed & più alta sotto il corpo del sole che in nessuna parte del circolo equi- notiali, chome si sperimenta sotto il calore dello stizzo infocato, l’acqua che mediante il calore di tale stizzo bolle e Pacqua circostante al centro di tal bollore sempre discende con onda circolare, et come l’acque settentrionali sono più basse che li altri mari e tanto più quando esse son più fredde in sin che si conver- tano in diaccio (WMSS. de Léonard de Vinci, vol. E f. 19). 14. ‘ PE EE NOTE V. ( PAGE 42. ) On voit cependant par le passage suivant que Léo- nard ayait compris que la gravité était une force ac- célérative constante. | a Per definire il discenso o inegualità delli intervalli delle ballotte dicho in prima per la 9° di questo chel discienso di ciascuna balotta dividendolo a gradi eguali per altezza che in ogni grado desso moto essa ballotta acquista un grado di velocità onde questa t tale propertione di gradi velocità fia proportione continua arithmetica per chè si proportiona insieme li eecessi o ver differentie delle velocità; onde concludo che tali spatii saranno eguali perchè sempre ecciedonoto ver superano l’un laltro con eguale accrescimente, e per questo l’acqua che versa da simile altezze fa il simile ; anchora fa il simile acquistando in ogni grado di moto un grado di velocità onde per proportione arithme- tica si va ecciedendo di grado in grado di suo des- censo € per questo è necessarlo che lacqua dove più si muove piùsi assottigli. Lasciando cadere acqua d’un vaso d’altezza di 30 braccia, el filo dell’acqua sarà lungho 30 braccia, si do- manda qual peserà più il 1° braccio o l’ultimo ? (MSS. de Léonard de Vinci, vol.N, f. 145). A” (218 ) NOTE VI. ( PAGE 42 ) _ Perché il martello rompe la pietra stante nella mano il falcino e taglia i ramicoli dei rami chessi tengono in mano. Questo è segno chel colpo sol più offende quel- la parte del corpo che più vicino allocho della percossa. Bisogna nella percossa considerare 4 cose : la po- tenza che vale il percussore, la natura desso percus- sore ella natura della cosa percossa e della cosa che sostiene esso corpo battuto. Assiomi varj e belli della forza della percossa. L’aria si farà più densa che da corpo di più véloce moto sarà percossa. (Del moto del fumo.) | Il cientro del moto fatto dal motor debbe essere nella médesima linçea col cientro della lunghezza della cosa percossà , de Léonard deWinci, vol. N, Fe ca », Le #4 eo” ( 214 ) » ” NOTE MEL ( PAGE 42. ) * - Della ar dell -uomo. $ * # : ë L’'uomo ürando uno peso. in bilancia con se non pud tirare se non tanto quanto pesa lui ,€s ’egli ë e a levare lo leverà tanto più che non pesa qnanto lui avanza la comune forza degli altri uomini. La maggior forza che possa far luomo con pari prestezza e move- mento si è quando lui fermerà i piedi sopra l’una delle teste delle bilancie, e punterà le sppllesi in qualche cosa stabile : questa leverà dell opposita testa della bilan- cla j2n10 peso aug Jui pesa e tanto PP quanto Jui a forza porta in su le spalle (MSS. de Lenog dk de incë, vol. À, f. A FE 4 RE T - ; # ‘s 6 “ s 3 à x LU | dé La * à : ++ 4 : D à . , ti “# x + . . + “a £. Ps s “ » s é + Es …° # # & L2 e s » (‘279 :) NOTE VIIL » ( PAGE 44.) Voici un fragment de cet ouvrage que j'ai tiré des manuscrits de Léonard. L’uccello che discende sopra o sotto al vento tiene V’alie strette per non essere sostenuto ompedito dall’ aria, tielle forti sopra del suo busto accid non sia dall impeto voltato sotto sopra. Quando l’uccello tiene stretti li omeri dellalie e largo le loro punte, esso fa più densa l’aria che non & l’altra dove esso non passa, e questo fa per ritardare il moto e non si sviar della Jinea di tal moto. Ma quando Puccello apre più l’homeri che le punte dalle alie, allora esso uccello vole ritardar il moto con maggior potentia. Quando le punte e li homeri dellalie sono d ’egual vicinità, allora l’uccello vol discendere sanza impedi- mento dell aria. Quando l’uccello rauna ovver batte l’alie indietro nél suo discenso, questo à manifesto segno che Jui au- menta la velocità del suo discenso. Qui per le cause della disposizione dell’uccello si noti la conseguenza delli effetti li quali l’uno allaltro insieme giunti mostran la volontà dell’uccello. L’alia distesa da una parte e raccolta dall altra mos- trano l’uccello dechinare con moto circonvolubile in- torno all alia raccolta. ( 216 ) ï Eu L’alie egualmente raccolte mostrano l’uccello volere discendere a drittura. Ma l’uccello sopra vento nel fine del moto represso terrà l’alie egualmente aperte per- chè sarebbe dal vento arrovesciato. Ma raccoglie a se quell alia intorno alla quale esso vol#fare il moto cir- convolubile , e drieto a quella discende & drieto a quella s’aggira quando si vole inalzare o discendere. Dice l’avversario che ha veduto le prove chome luc- cello stando collalie interamente aperte nôn pu di- scendere perpendiculare con sue danno o parte al- cuna di detrimento echonciede le prove che non pud cadere per taglio all’indietro perchè non pud negare le assegnate prove. ... non pué cadere col capo di sotto. Ma che dubita se si trovassi per la linea della lar- ghezza dell alie esser con quella perpendiculare alla terra che esso ‘uccello non descendessi per taglio gii per tal linea; a questa get risponde che qui la parte più grave del corpo non si farebbe guida del moto e tal moto sarebbe contro alla qoêr di quésto che fu “provato essere indefimito. " . : $ ph; Us timoni dell alie dell uccello son quell he; im- mediate mo l’uccello di sopra e di sotto allé... del vento e colloro pichol moto fendono + perqualun- que linea per la qualé apritura Pücéello poi confa- cilità pud penetrare. Mai l’uccello discenderà all in- dietro, perche il centro della sua gravità è più verso la * testa che verso la sua coda. Sempre l’uccello discénderà contutto o,parte del moto per quella linea dove il centro della sua gravità è più vicina alla stremità della latitudime desso uccello. ( à Le: À a, Futto inverso quella parte che sara più vicina alla sua gravità dissi accadere 1l descenso quando una sola parte fia vicina a tal centro di gravità e li estremi dell altre parti opposite restano a tal centro egualmente : distanti chome quando l’uccello racchoglie la testa presso al busto e lalie restano egualemente distanti dal mezo e la coda retta ellarghe, allora l’uccello des- cenderà colla testa innanzi e la persona colla sua linea centrale si drizzerà per taie moto. Ma quando in tal moto l’una dell alie si restringessi invérso il detto centro allora il discendere dell’uccello fia infra l’alia raccolta € la testa dell’ uccello. E se nel moto dell’alie egualemente aperte la coda si piega mverso l’una dellalie, allora il moto delluc- cello seguirà infra la testa dell uccello e la’sua oppo- sita alia. : E se solamente la testa si piega inverso l’una dell’ alie egualmente aperte allora il discenso obliquo pro- cederà infra la testa el’alia dove tal testa s’ayviene. Il notare sopra dell’acqua insegna ali huomini come fanno li uccelli sopra dell’ariat Convalida queste cose considerando un’ asse ca- dente della quale il centro di gravità sia in varij luo- ghi esecondo le figure di quella. * Questo scriver si distintamente del Nibio, par che sia mio destino perchè nelle prime ricordagioni della mia infantia e’ mi parea che un Nibio essendo io in culla venisse a me e mi aprisse la bocca colla sua coda e molte volte mi percotessi con {al coda dentro la bocca. Se l’uccello & in dispositione di discendere a po- PC PU UT TO (218 ) | _nente con sei gradi d’obliquità colla lunghezza del suo corpo e coila largezza delle sue alie aperte e im dispo- sitione di discendere a mezzodi con due gradi d’obli- quità chel suo retto discenso sarà amezzo infra libec- cio e ponente, provasi, sia la lungezza dell’uccello la linea ba. volta a ponente con b. e la linea c. ha la largezza dellalie volte a mezodi colla d, ora perchè la linea ab. a sei gradi d’obliquitàa a ponente e la linea cd. na 2. a mezodi, in somma sono 8 gradi che äbbraciano 2 | (44 8 quarte cioè 2. venti d. è mezzodi e c. libeccio, b. è punente chè tre venti- che inchiudono 2 spatj come # c. et ab, ora il resto moto sarà tanto più vicmo al b. che al d. quanto la potentia di b. è maggiore che la potentia di d. sicchè .essendo ©. 6, sia P. 2 che fa 8 togli un mezo proportionale di conversa proportione che divida 8 in tal modo (MSS. de Léonard de Vinci, vol. N, f. 65). — ( 219 ) NOTEF:IX, » (PAGES 30.) Dans le traité du mouvement des eaux, on trouve un chapitre qui a pour titre : & Come coll” acque cor- renti si deve condurre il terreno de monti nelle valli paludose, farle fertili, e sanar l’aria circos- tante.» (Vinci, L. da, del moto e misura dell’ acqua, p- 39 1). — Ce chapitre a dû être extrait du manuscrit F (f.14), où je l’ai retrouvé avec quelques légères variantes, qui prouvent que le copiste avait de la difficulté à lire l’écriture de Léonard. Voici mainte- nant d’autres passages relatifs aux Colmates, que j'ai tirés de ses manuscrits. æ EL " Dello atterramento de’ paduli. Li atterraménti de paduli saran fatti quando à essi paduli fien condotti li fiumi torbidi. Questo si prova-perchè dove il fiume corre di là leva il terreno e dove si ritarda qui lascia la sua tur- bolentia, e questo à perchè nei fiumi mai l’acqua si ritarda come ne’ paduli nelli quali l’acque son di moto insensibile. Ma in essi paduli il fume deve entrare per istorto loco basso e stricto e uscire per espatio largho e di pocha profondità, e questo à necessario perché V’acqua corrente del fume & più grossa di terrestri di ©, F7, qysiig E Æ 7" "5 ( 220 ) sotto che di sopra e l'acqua tarda de’ paduli ancora è il simile, ma molto è differente la levità superiore delli paludi alla gravità sua imferiore che nor & nelle correnti dei fiumi nélli quali la levità superiore poco si varia dalla gravità inferiore adunque è conchlusa che il padule s’atterrerà perchè di sotto riviene ‘acqua torba e di sopra sgorgha acqua chiara dall' opposita parte d’esso padule e per questo tal palude per neces- sità alzerà il suo fondo mediante il terreno che sopra di lui al chontinuo si scarica us de Léonard de Vi Lui vol. E, f. 4). s = L’acqua che scolasi della terra scoperta +. RS quando essa terra Ss’inalzasse assai sopra del mare ancora ch’ella fussi quasi piana comincerebbe à fare diversi rivi per la parte più bâssa d'esso piano € cosi cominciando a correre si farebbono ricettaculo delle altre acque circustanti ea questo. modo in ogni parte. della sua lungliezza acquistérebbono larghezza.e Ps fondità sempre crescendo TL sue aëque ins tañto che tutta tale acquæ scolerebbe e queste mn sarieno poi li corsi di, .torrenti che ricevono l’acque delle piove'e cosi' si ndesébbah consumando i lati « di tali fiumi insino a tanto che li tramezzi d’essi fiumi si farebbono acuti monti e cosi scalati tali colli co- mincerébbono a seccarsi e creare le pietre a falde maggiori o minori secondo la grossezza de’ fanghe che Bi fiumi portarono in tal mare per hi loro diluvi (MSS. de Leonard de Vinci, vol. F, f. 11). . L ( 221 , pe NOTE. X. { ( PAGES 51 et 52. ) J Degli animali che hanno l’ossa di fuori, come nicchi, chioccioli, ostriche, cappe, bovoli e si- mili, che sono di spezie innumerabili | De’ nicchi improntati e petrificati che non hanno la figura superfiziale dentro La loro scorz@). à Quando li diluvij de fiumi intorbidati di sotto il fango lo scaricavano sopra gli animali che anno vita sotto l’acque vicino alli liti marini, essi animali ri- maneano improntati da tal fango, e ritrovandosi as- sai sotto gran peso di fango era necessario morissino mancando loro gh animali di che essi nutrire si soleano e col tempo abbassandosi il mare, tal fango, scolati le acque salse si venne a convertirsi in pietra, e li gusei di tali nicchi, già consumati ji loro animali erano in loco di quelli riempiuti di fango , e cosi nella crea- zione di tutto il circonstante fango in pietra ancora esso_ fango che dentro alle scoïze de’ nicchi alquanto aperti era rimaso, essendo per tale apertura di nic- chi congiunto coll altro fango, si venne ancora lui a convertire in pietra, e cosi restarono tutte le scorze di tali nicchi infra le due pietre, cioë infra quella che lor serravano , e quella che li rinchiudeva loro, ee me me à te Cam le quali ancora im moltilochi si ritrovano. E quasi tuiti li nicchi petrificati nelli sassi de’ monti hanno ancora la scorza naturale intorno; e massime quelli ch’ erano invecchiati assai e che per la lor durezza s’eran conservati, e li giovani già caleinati in gran parte erano stati penetrati dal” umore viscioso e pe- trificati. Delle ossa de’ pesci che si trovano ne’ pesci petrificati. Tutti gli animali che hanno lossa di dentro alia lor pelle che sono stati coperti dalli fanghi de’ diluvj de’ fiumi, discosti alli ordinari letti di tali fiumi sono stati alla minuta improntati da tali fanghi i quah hanno consumato le loro carnosità e intestini, ‘e solo ci è restato l’ossa discomposte del loro ordine , e son cadute nel foudo della concavità della loro impronta, nella quale quando il fangho per la sua elevazione del _corso del fiumi s’è secco dell umido accorso , e’ piglia lumido viscioso, e fassi pietra rinchiudendo ciù che in lui si trova, e riempiendo ogni vacuità di se e trovando la concavità dell” impronta di tali animali si sottilmente penetra per le minute porosità della terra per le quali nel} aria che dentro occupava si fugge per le parti laterali perchè di sopra fuggire non pud, perchè tal porosità è occupata dall’umore che in tal vacuo discende, e di sotto non pu fuggire perché J’umore digià caduto ha rinserrata la porosità di sotto. Restano le parti laterali aperte donde tali aria con- densata e premuta dal umore che discende si fuggie colla medesima tardità qual & quella dell” umore che (ja) quivi discende e cosi risecca, tale umore si fa pietra, sanza granosità, e riserba ia medesima forma dell ani- male che quivi s’impronta e dentro a lui restano l’ossa. L2 * Nicchi e Loro necessaria figura (casa de’ nicchi). L'animale che abita nel nicchio si fa l’abitazione colle congiunture , commissure , coperchi e altre par- ticole siccome l’uomo fa alla casa dov’ esso abita, e questo animale cresce a gradi la casa e il coperchio secondo l’accrescimeuto del suo corpo, e ha la sua casa appiccata nelli lati di tal gusci : per la quale la tersità e delicatezza che han dentro tali gusci in tale appiccatura dell” animale che la vita rimane alquanto maculata, e con concavità ruvida atta a ritenere la congiunzione de’ muscoli con che tale animale si ritira dentro quando si vuole riserrare in casa. Quando la natura viene alla generazion delle pietre , eSsa genera una qualità d’umore viscoso il quale col suo seccarsi congela in se cid che dentro a lui si rinchiude, e non si converte in pietra ma si conserva dentro a se nelle forme cheli ha trovati e per questo le foglie son tro- vate intere dentro alli sossi voti nelle radici de monti con quella mistione di varie spezie siccome le lascia- rono li diluvj di fiami nati alli tempi ‘delli autumni dove poi h fanghi delle inondazioni succedenti le recopersonog e questi tali fanghi poi si collegaron del sopradetto umore e convertirsi in pietra faldata a gradi secondo li gradi d’esso fango. ( 224 }) De’ nicchi de’ monti. E se tu vorrai dire li nicchi esser prodotti dalla natura in essi monti, mediante la costellatione per qual via mostrerai tale costellazione fare de’ nicchi di varie grandezze è di diverse età e di varie spezie nel medesimo sito ? &., , | 4 (Giara) E come mi mostrerai lagiara congelata a gradi, in diverse altezze degli alti monti, perchè quivi a diverse ragioni giare , portate di diversi paesi dal corso de’ fiumi in tal sito? E la ghiara non è altro che pezzi di pietra che hanno persi gli angoli per la lunga revoluzione e diverse percussionise cadute che ..... mediante li corsa dell’ acqua che ir tal loco la condusse. | r _ 9 A (Delle foglie). Come proveraï il grandissimo numero di foglie congelate negli alti sassi de tal mont > e l’alga erba de’ mari stante a diacere con nicchi e rene; e cosi vedrai ogni cosa petrificala, insieme: con gran- chi marimi ridotti in pezzi. (MSS, de Léonard de Vinci, vol. F, f. 80). WT ) N'OSE 'XT (racer 92.) Léonard s’est occupé de rechercher l’action des poi- sons sur l'économie végétale. Voici un passage qui le prouve. Faciendo un bucho con un succhiello dentro un albusciello e chacciandovi arsenicho e risalghallo e sollimato stemperati con acqua arzente, a forza di fare e sua frutti velenosi o di farlo secchare. Ma vuole el detto foro essere grande e andare per infino al mi- dollo e vuole esser in sul maturare de frutti. E la detta acqua venelosa vuole esser messa in detto foro con uno ischizzatojo e tirare con forza l’acqua : puossi fare ancora el medesimo quando gli albuscielli sono in succo (MSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f. 11). Ba] VIT. I OPEL LD Li 2 7 ( 226 ) NOTE XII. ( PAGE 53. ) Il frusso e rifrusso e doppio n’un medesimo pelago, perchè esso sara molte volte nella bocca di tal pelago innanzi che sia el grande nel pelago grande, e questo accade che l’onde del primo frusso corron forte in- fra ’l pelago e nel tempo che tali onde seguita il suo impeto quella della bocca fa il suo rifrusso e avanti che l’onda che s’ingolfa senta il rifrusso di tal bocca di pelago già nasce il rifrusso in essa bocca e in quel tempo l’onda ingolfata si ferma allentando il suo im- peto quando la seconda ingolfatione della 2° onda rinanse e cosi se ne ingolfa tante d’esse onde che il pelago malzato le sue acque ritornano con impeto indreto il rifrusso che ritorna indreto in essa bocca non s’ingolfa più nella 3° o 4° insin a tanto che esea la prima acqua non & disgolfata (MSS. de Léonard de Vinci, vol. F,f.6). ( 225) NOTE XIII. ( PAGE 55. ) Della potentia del vacuo generato in istante. Vidi a Milano una saetta percotere la torre della credenza da quella parte che risguarda tramontana e discese con tardo moto per esso lato e immediate si divise da essa torre e portd con seco e svelse d’esso muro una spazio di 3 b* per ogni verso e profondo due, e quesio muro era grosso 4 braccia ed era murato di sottili e minuti mattoni antichi, e questo fu tirato dal vacuo che la fiamma delia saetta lascid di se (MSS. de Léonard de Vinci, vol. E, f. 2). 15. ( 228 ) NOTE XIV. ( PAGE 54 ) In prima definisci l’occhio, poi mostra come il battere d” alcuna stella viéne dall -occhio e perchè il battere d’ esse stelle u più nell’ une che nel} altra, e come li razzi delle stelle nascon dall occhio (MSS. de Leonard de Vinci, vol.'F, f. 25). Se guarderei le stelle senza razzi come si fa a vedérle per un piccolo foro fatto coll estrema punta d’una strema agucchia. . .. posto quasi a toccare l’occhio tu vederai esse stelle essere tanto minime che nulla cosa pare essere minore, e veramente la lunga distanzia da loro ragionevole diminuzione ancora che molte vi sono che sono moltissime volte maggiori che la stella, cioè la terra coll’acqua. Ora pensa quel che parrebbe essa nostra stella in tanta distanzia e considera poi quante stelle si metterebbe o per longitudine o latitudine in fra esse stelle le quali sono seminate per esso spazio tenebroso. Mai non posso fare ch’io non biasimi molti di quelli antichi le quali dicono che il sole non avea altra grandezza che questa che si mostra, fra quali fu Epicuro, e credo che cavassi tale ragione da un lume posto in questa nostra aria equidistante dal centro, chi lo vede nol vede mai diminuito de grandezza in nessuna distanza. E le ragioni della sua grandezza e ( 229 ) virtü le riservo nel X° libro; ma ben mi maraviglio che Socrate biasimasse questo tal corpo e che dicesse quello essere a similitudine di pietra rnfocata.... (MSS. de Leonard de Vinci, vol. F, f. 5). ( 230 ) NOTE XV. ( PAGE 54. ) Che cosa e la luna. La luna non è luminosa per se, ma bene è atta a ricie- vere la natura della luce assimilitudine dello spechio dellacqua o altro chorpo lucido e crescie nelloriente e occidente chome il sole e gli altri pianeti. E la ra- gione sie che ogni chorpo luminoso quanto più s’allon- tana più cresscie Chiaro si pud chomprendere che ogni pianeta esstella e più lontano da noi su el ponente che quando cie sopra: chapo circha 3500 per la pruova segniata da parte esse vedi spechiare il sole o luna nellacqua chetti sia vicina paratti in detta acqua della grandezza chetti pare in cielo. Essella lontanera uno miglio parerà magiore 100 volte esselo vederai spe- chiare in mare neltramontare il sole spechiato ti para grande piu di 10 miglia perche ochopera in detta spechiatione piu di 10 miglia di marina, essettu fussi dove la luna parebbeti esso sole spechiarsi in tanto mare in quanto egli n’alumina ala giornata ella tera ( 28r ) parebe infra detta acqua chome pare le machie solari chessono inella luna laqual stando in terra si demos- tra tale aglomini qual farebe alliomini che abitassino nella luna il nostro mondo apunto (MSS, de Léonard | de Vinci, vol. À, f. 64). Lip a NOTE XVI. ( PAGE 54. ) Quell' arculo dello splendore che pare che circondi i corpi luminosi non si muterà mutandosi essi corpi da lunghi a tondi. + La cagioni di questo si è che detto splendore nell oechio e non foria d’intorno al lume compare. (MSS. de Leonard de Vinci, vol, N. f. 80.) ( 233) NOTE X VIE ( rAGE 54. ) / 1° La pupilla dell occhio disminisce tanto la sua quantità quanto & erescie il luminoso che in lei s’im- prime. 2 Tanto crescie la pupilla dell occhio quanto di- minisce la chiarezza del giorno o d’altro lume che in lei s’imprime. 3° Tanto piu intensivamente vede o conoscie l’oc- chio le cose che li stanno per obbietto quanto la sua pupilla piü si dilata e questo proviamo mediante li animali notturni come nelle gatte e altri volatih, come il gufo e simili h quali la pupilla fa grandissima varia- zione de grande a piccola nelle tenebre o nellallu- minato. 4° L’occhio posto nell’aria alluminata vede tenebre dentro alle finestre delle abitazioni alluminate. 5 Tutti l: colori posti in lochi ombrosi pajono essere d’eguale oseurità in fra loro. 6e Ma tutti h colori poste in lochi luminosi non si varian mai della loro essenzia. (MSS. de Leonard de Vinci, vol. E, f. 17). ( 234 ) NOTE XVIIL ( PAGE 54. ) Lo spiraculo luminoso veduto di loco tenebroso, ancora ch’esso sia d’uniforma larghezza, e parrà forte ristringersi vicino qualunque obietto fia inter- posto infra l’occhio e tale spiraculo (MSS. de Léonard de Vinei, vol. F, f. 31. — - Voyez aussi i "vol. x d; 72» etc.) + ÿ a ES LI L j S ä Lies » “ £y - 4 sw AA: 2 € “# : ee À ne ‘ TT Pr _ dd mb (2355) NOTE XIX. ( PAGE 56. ) La isperientia non falla mai, ma sol fallano i vostri giuditi promettendosi di quella che in e vostri experi- menti chausati non sono (perchè dato un principio è necessario che ciù che seguita di quello e vero conse- quenze di tal principio se già non fussi impedito, e se pur seguita alcuno impedimento, l'effetto che doveva seguire del predetto principio participa tanto piu o meno del detto impedimento quanto esso impedi- mento è più o men potente del già detto principio. (MSS. de Leonard de Vinci, vol. N, f. 151.) Come le esperienze ingannano chi non conosce loro nâtura , perchè quelle che spesse volte pajono una medesima spesse volte son di gran varietà come qui si dimostra (MSS. de Léonard de Vinci, vol. I, f. 53). Sicchè voi speculatori non vi fidate delli autori che anno sol col immaginatione voluto farsi interpreti tra la natura e l’omo, ma sol di quelli che non coi cienni della natura ma cogli effetti delle sue esperienze anno esercitati i loro ingegni. (MSS. de Leonard de Vinci, vol. L, f. 54.) % TE ( 236 } NOTE XX. ( PAGE 58. } Les deux passages suivans, auxquels on pourrait en ajouter beaucoup d’autres , prouvent que Léonard avait des idées philosophiques très hardies. Ma io vorrei vocaboli che mi servessono a biasi- mare quelh che vollon laudare piu ladorare li omini che il sole. Non vedendo nell’universo corpo di mag- gior magnitudine e virtù di quello, e il suo lume allu- mina tutti li corpi celesti che per l’universo si compor- tano. Tutte l'anime descendon da lui perché il caldo ch’énellianimali vivi vien dall’anima enessunaltro ca!do nè lume ë& nel| universo come mostrerd nel 4° libro. £ certo costoro che hanno voluto adorare uomini per iddei come Giove, Saturno, Marte e simili han fatto grandissimo errore vedendo che ancora che l’omo fusse grande quanto il fostro mondo, che parrebbe simile a una minima stella la quale pare un punto nelluni- verso e ancora vedendo essi omini mortali e putridi e corrutübili nella lor sepoltura e molti fecer bottega con inganni e miraculi finti ingannando la stolta moltitudine , e se nessuno si scopria conoscitore de’ loro inganni essi li puniano. Forse Epicuro vide le ombre delle colonne ripercosse nelli antiposti muri essere eguali al diametro della colonna donde si partia tale ombra, essendo dunque il concorso delPombra (297 ) parallela dal suo nascimento al suo fine li parve giudicare il sole ancora lui fusse fronte di tal paralello e per consequenza non essere più grosso di tal colon- na , e non s’avvide che tal diminuzione d’ombra era insensibile per la lunga distanza del sole, se il sole fasse minore della terra, le stelle di gran parte del nostro emisperio sarebber sanza lume, come a Epicuro che &ice tanto è grande il sole quanto e’pare. (MSS, de Léonard de Vinci, vol. F, f.5). Non pu esser voce dove non ë movimento e per- cussione d’aria : non pud esser percussione d’essa aria dove non è strumento : non puè essere strumento in- corporeo. Essendo cosi uno spirito non pud avere nè voce, nè forma, nè forza, e se piglierà corpo non potrà penetrare nè entrare dove gli usci son serrati; e se alcuno dicesse per aria congregata e ristretta insieme lo spirito piglia i corpi di varie forme, e per quello strumento parla e MOVE con forza, a questo parte dico che dove non è nervi e ossa, non pud esser forza ope- rata in nessun movimento fatto dagl’immaginati spi- riti. (MSS, de Léonard de Vinci, vol. B, f. 4). (238) NOTE XXL. - ( Pace 58. ) Se bene come loro non sapessi allegare gli autori, molto maggiore e più degna cosa allegherd allegando la esperientia maestra ai loro maestri. Costoro vanno schonfiati e pomposi, vestiti e ornati non delle loro ma delle altrui fatiche, e le mie a me medesimo non concedono. Me inventore disprezzano ; quanto mag- giormente loro non inventore ma trombetti e recita- tori delle altrui opere dovranno essere biasimati ? Proemio. E da essere giudicati enon altrimente stimati li omini inventori e interpetri tralla natura e gli omim, à chomparatione de recitatori e trombetti delle altrui opere, quant’ è dalP obietto fori dello specchio alla similitudine dell obietto apparente nello specchio che lui non per se... niente; giente poco obligate alla natura perchè sono sol d’accidental vestiti e sanza il quale potrei acchompagnarli infra gli armenti delle bestie. (MSS. de Léonard de Vinci, vol. N, f. 198). ( 239 ) NOTE XXII. ( PAGE 97. ) Voici un fragment d’une lettre de Colomb, repro- duite par Morelli et insérée par Bossi dans la vie de Colomb (Bossi, vita, p. 219). Bien que ce ne soit qu’une traduction (1), on trouverait difficilement en italien un morceau plus éloquent. «Mio fratello e l’altra gente tutta era in una nave che era restata nel fiume; e io solo di fuora in tanto brava costa; con forte febbre, e tanta fatica, che la speranza di scampare era già morta. Pur come meglio potei, montai sul più alto della naye, chiamando con voce timorosa, e piangendo molto, li maestri del- la guerra di vostre maestä; e ancora chiamai tutti quattro i venti per soccorso , ma Mai mi risposero : stracco mi addormentai. Gemendo sentii una voce molto pietosa che diceva queste parole : O:stolto e tardo a credere e a servire il tuo Iddio e Iddio di tutti! Che fece egli più per Mosè e per David suo servo? Da poi che nascesti, ebbe di te sempre gran cura : quando ti vedde in età della quale fu contento , (x) Je me suis permis de corriger les fautes d'impression qui four- millent dans l'édition dont Morelli a donné une espece de fac-simile. ( 240 ) maravigliosamente fe sonare il tuo nome sulla terra. Le Indie, che sono parte del mondo cosi ricca, te le ha date per tue : tu le hai ripartite dove ti è piaciuto, e ti diè potenza di farlo. Dei ligamenti del mare oceano, che erano serrati con si forti catene, ti donà le chiavi; e fosti ubbidito in tante terre, e dai cristiani ottenesti cosi buona fama e onorevole. Qual cosa fece più al popolo di Israele, quando lo cavd di Egitto? nè ancora per David, che di pastore lo fè re di Giudea. Torna a lui e conosai lo error tuo, che sua misericordia è infinita. Tua vecchiezza non impedirà cose grandi : molte eredità grandissime sono in suo potere. Abraam passava anni cento quan- do ingenerà Isaac, nè anche Sara era giovine. Tu chiami soccorso incerto. Rispondimi, chi ti ha af- flitto tanto e tante volte; Dio, o il mondo? I privi- legii e le promesse che Dio dà, non gl infrange mai, nè mai dice dopo di aver ricevuto 1l servigio, che sua intenzione non era questa, e che s’ intenda in altra forma , nè damartoro per dar colore alla forza. Ei va in capo del testo : tutto ciù che promette at- tende con accrescimento ; questa è sua usanza. [o ti ho detto quanto il Creatore abbia fatto per te e fa con tutti. Adesso mi mostra il guiderdone e pagamento di tanti affanni e pericoli, che haï passati servendoad al- tri. E io cosi mezzo morto sentiva ogni cosa; ma mai non potei riavere la voce, per rispondere a parole cosi certe, salvo piangere per li miei errori. Costui forni di parlare, si fosse chi voglia , dicendo : Con- fidati e non temere , che le tribolazioni stanno scritte nel marmo, e non senza cagione, » FN D LES 1 CEE” La NOTE XXIII. ( rAGE+107. ) Voici le catalogue des ouvrages de Mauroiycus tel qu'il se trouve dans sa Cosmographie et dans ses Opuscules. Quin (r) et aliquot meas lucubratiunculas, præter hos dialogos , habeo. Sed mihil in lucem, nisi te fa- vente, prodibit : satis autem faveris, si prodire ius- seris. Porrd tam aliena, quam mea, modo locum aliquem mereantur , decreveram in quatuor sectiones distinguere , quorum indicem cum ipsorum operum ütulis, ac quasi argumentis exponam ante dialogos : ut inde, si maiores curæ cesserint : examines laborem meum. Sed ne pluribus quam opus sit, agam, eccum indicem ipsum. In prima sectione. Euchdis Elementa in libellos XV ita distincta, ut primi quatuor planorum, quintus ac sextus propor- üonum, septimus, octavus, nonus , arithmeticorum vocentur, decimus symmetriæ, quinque reliqui soli- (1) Maurolyci cosmographia , €p- ad Bembum, III. 16 : ( 242) dorum. Ex traditione Theone, ut istulit Zam- bertus : nec exclusis Campani additionibus quibus- dam. Adiectis præterea cireä regularia solida specula- tionibus complurimis : quæ ad plenam ipsorum soli- dorum, quoad perpendiculares , bases, superficies et corpulentias , collationem , erant necessariæ, ubi planè quivis animadvertet Zambertum quamvis græce peritum exemplaris tamen vitio deceptum peccasse, Campanum vero authoris alicubi terminos temere pervertisse. Theodosii Sphærica : quæ hactenus incorrecta ac neglecta iacuerunt : quasi non sint astronomiæ totius et præsertim sphæræ fundamenta. Apollonii Pergæi Conica emendatissima : ubi ma- nifestum erit, lo. Baptistam Memmium in eorum tralatione. pueriles errores admisisse Mathematicæ præsertim ignoratione deceptum. Sereni Cylindrica. Archimedis Syracusant de circuli dimensione li- bellus cum calculo nostro ad mensuram peripheriæ propius accedente. Eiusdem de sph#ra et cylindro ex traditione Eu- totii Ascalonitæ. | Eiusdem , de isoperimetris figuris tam planis, quam solidis : ubi planarum circulis, solidarum vero figurarum isoperimetrarum sphæra concluditur esse maxima. Menelai Sphærica cum Tebitij, nostrisque additio- nibus, üunde tota sphæralium triangulorum scientia scaturnit. De figuris planis, solidisque regularibus locum im- (245 ) plentibus hibellus noster : quanquam de hoc negocio Joannem a Regiomonte accuratissime scripsisse cer- tum sit : verum opus nondum , quod sciam, editum. Demonstramus autem in libello è solidis regularibus cubos per se : pyramides vero cum octahedris cum- pactas duntaxat implere locum , qua in re Averroem pueriliter errasse, manifestum erit. «+ Euclidis data ex traditione Pappi; tranlatio est *Zamberti. s Inventio duarum mediarum proportionalium ex traditione præstantissimorum authorum Platonis , Architæ Menæchmi, Heronis, Philonis Byzantüi, et Pappi. Modus secandi datam sphæram ad datam rationem ex Dionysodoro, quæ quamvis à Georgio Valla tralata sint : tamen vix intelligi poterant : tum quo fuerant obscure, ne dicam mala tradita : tum quo ad ea per- pendenda opus erat in Menechmo et Dyonisodoro qui- ‘busdam Apollonii et Archimedis locis. In secunda sectione. Bœtianæ Arithmeticæ compendium; lordani Arith- meticorum libelli decem ad miram tum facilitatem . tum brevitatem redacta. Eiusdem data arithmetica. Arithmetica nostra speculativa : in qua multa circa triangulos, quadratos, hexagonos , cubosque numeros et alias eorum species, ab aliis prætermissa acutissime demonstrantur , tum circa praxim arithmeticam tam rationalium , quam irrationalium.magnitudinum, quæ 16. (244) in decimo elementorum, præcepta cum minime ne- glhigenda, tum ad practicas quæstiones necessaria. Data arithmetica nostra, in quibus multa sunt a Jordano prætermissa. Euclidis Optica, in quibus agitur de his, quæ ad visum et visibilia pertinent. Eiusdem Catoptrica, hoc est specularia : in quibus de ïis quæ in speculis apparent. Ptolemæi specula: ubi optimis ipse argumentis refractiones ad angulos* æquales omnino fieri demonstrat. Archimedis libellus de speculis comburentibus : in quo docet ac ostendit, speculo, ut sit ad comburen- dum efficacissimum, formam dandam esse à parabola : quæ est una ex conicis sectionibus, quare negocium huiusmodi intelligere volenti opus esse notitia coni- corum elementorum. Photismi nostri, sive radiationes : in quibus de lumine et umbra , quo ad perspectivam spectat, satis agitur , tum Incem per quale cunque foramen admis- sam adipisci formam ad certum intervallum radianti corpori similem : et perinde solis radium in circula- rem formam, aut si deficiat in lunulam similem ve deficienti projici, demonstravimus, locum.scilicet non satis intellectum à Ioanne, vulgatæ perspectivæ au- thore. Diaphana nostra : in quibus ostendimus, ea, quæ per corpus aliquod perspicuum transparent, ma- gnitudine , numero, situ, formamque diversis spec- tari, iuxta formam perspicui corporis, tum-eliam multa super [ride discussimus. Toannis Petsan Perspectiva emendata Rogerii Bac- (245) chonis Perspectiva utilissima. De motibus et motuum Symmetria demonstrationes nostræ scitu incundæ. Archimedis de momentis æqualibus, sive de æqui- ponderantibus, libellus ex traditione Eutotij Asca- lonitæ. Eiïusdem hbellus de quadratura parabolæ acutissi- mus : quem inteligere volenti opus est conicorum et momentorum æqualium notitia. ‘Bœtianæ musicæ compendium. Musicæ speculativæ ac practicæ compendium ex Guidone alijsque authoribus : in quo vocum conso - pantium ac dissonantium ratio plene discutitur. Arithmeticæ quæstiones nostræ. Geometricæ quæstiones nostræ. Tetragonismus, sive quadratura circuli Hippocratis, Archimedis et aliorum. Positionum regulæ : quæ vulgo Algebra barbaro -nomine appellantur, cum demonstrationibus et exem- plis ad quatuor præcepta redactæ. În tertia sectione. Magnæ Ptolemaicæ constructionis compendium , cum demonstrationibus Tebitii circa ea, in quibus Ptolemæi demonstratio deficit : item cum quibusdam Albategnn, Georgij Peurbachij et Joannis de Regio- monte, aliquorumque additionibus, ubi quivis totam astrorum theoriam facile adipisei poterit. Sphæra nostra mobilis in octo capita, multasque conclusiones distincta. Georgij Peurbachij theoriæ cum scholiis nostris. (246 ) Procli sphæra. Campani sphæra. Theodosii de habitationibus. Eiusdem de noctibus et diebus libellus. Autolyci de ortu et occasu Syderum , sive Phæno- mena. : Euclidis Phænomena ad miram facilitatem redacta. Alphagran: compendium. ( Tebit Rudimenta. Eiusdem de motu octavæ spheræ. Albategnii et aliorum quorundam traditiones. Geographiæ ptolemaicæ compendium. Astronomica Problemata nostra : in quibus, totus astronomiæ caleulus, modusque ad tabulas emendan- das sive restituendas exponitur. - Tabella nostra sinus recti distincta per singulos quadrantis gradus , graduumque minutias, supponens sinum maximum, hoc est cireuh semidiametrum in millies mille pluresve particulas sectam : ac geometri- cæ astronomicæ que praxi perquam necessaria. In Alfonsi tabellas problemata. Nam canones qui moins. non ‘carént omnino mendis. In directionum tabulas Joannis de Monteregio, pro- blemata : in quibus nonnulla ab authore prætermissa ingeniose discutiuntur. | In tabulam magnam primi mobilis eiusdem autho- ris, brevissimi et ad omnia generales canones. In tabulas eclipsium Georgij Peurbachij canones. In diarium perpetuum canones : in quibus calcul ad eas tabulas pertinentis summa brevibüs exponitur. \ Q 247 ) In quarta sectione. Quadrati geometrici fabrica et usus cum demonstra- üonibus. Quadrantis fabrica et usus. Astrolabi fabrica et usus. Quadrati horarij fabrica et usus. Solariorum fabrica ad omnem horizontem. Vitruvianæ Architecturæ compendium : in quo complures loci enodantur. Aristotelis problemata mechanica. Trochilia nostra, in quibus rotarum contextus in horologiorum machinis exponitur. Heronis inventa spiritalia : ac nonnullæ machinæ- hydraulicæ à recentioribus inventæ. Speculationes mathematicæ nostreæ : : in quibus cii'Ca linearum symmetriam : Circa optica et catoptrica , circa determinationes maximarum æquationum in deferentibus planetarum , et alias quæstiones, multa discutiuntur. INDEX LUCUBRATIONUM. (1) Euclidis Elementa, discussis interpretum erroribus, tam Campani nimium sibi confidentis, quàm Zamberti professionem ignorantis. Cum additionibus quarum- (1) Maurolyci opuscula (ad cale). ( 248 ) dam propositionum, præsertim, ad regularia solida spectantium. Theodosij sphærica elementa libris tribus, astrono- miæ principiis necessaria. Menelai sphærica hbris. 3. malle demonstrationt- bus adaucta, ad scientiam sphæralium triargulorum perunentia. Apollonij Conica elementa libris 4.et demonstratio- nibus et lineamentis opportunis instaurata. Sereni Cylindrica libris 2. Archimedis opera, De dimensione Cireuli, De Sphera et Cylindro, De Isoperimetris, De Momentis æqualibus. De Quadratura Parabolæ. De Spheroïdi- bus et Conoidibus figuris. De Spiralibus. Cum addi- tione demonstrationum, facilius demonstrata. Tordani Arithemetica, et Data. : Theonis Data geometrica. Rogerii Bacconis , et Jo. Petsan Perspectivæ bre- viatæ cum adnotationibus errorum. Ptolemei Specula. Et de speculo ustorio libellus. Autolyei de Sphera quæ movetur. Theodosii de habitationibus. Euclidis Phænomena brevissimè demonstrata. Aristotelis problemata mechanica, cum additionibus complurimis, et iis quæ ad pyxidem nauticam, et quæ ad Iridem spectant. PROPRIA IPSIUS AUTHOR!S. Prologi, sive sermones quidam de divisione artium, de quantitate, de proportione, de mathematicæ au- thoribus, de sphæra, de cosmographia , de conicis, ( 249 ) de solidis regularibus, de operibus Archimedis , de quadratura cireuli, de instrumentis, de calculo, de perspectiva, de musica, de divinatione. Arithmetica speculativa libris duobus; in quorum primo multa de fofMis tam planis, quäm solidis numerorum a nemine hactenus -animadversa , in se-- cundo autem theoria et praxis ratioualium et irratio- nalum magnitudinum per numerarios ierminos cum multis novis, quæ ad decimum Euclidis faciunt ; demonstrationibus abunde tractatur. Arithmetica data libellis quattuor demonstrata. Positionum et rei demonstrationes ad quattuor præcepta vel capita redactæ. Sphæricorum libelli duo, in quibus multa a Mene- lao neglecta, vel omissa supplentur pro sphæralium scientia triangulorum. Sphera mobilis in octo capita pro circulis primi motus. Cosmographia de forma, situ, mumeroque, cælorum et elementorum olim Petro Bembo dicata. Conicorum elementorum quintus et sexius post quattuor Apollonii libros locandi. De compaginatione solidorum regularium. Que figuræ tamplanæ, quam solidæ locum impleant, ubi Averroes geometriam ignorasse indicatur. De momentis æqualibus bbri quattuor in quorum postremo de centris solidorum ab Archimede omissis agitur : et de centro solidi parabolici. De quadrati geometrici, quadrantis et astrolabi spe- culatione, fabrica, usuque. De lineis horariis hbris 3. In quibus tota huius- (2 ) modi linearum theoria, que ad situm, colligantiam et descriptionem ipsarum plene tractatur. Nam linecœ horariæ à meridie cœptæ, secant periferiam quandam in lis punctis in quibus eandem,tangunt lineæ hora- riæ ab occasu vel ortu extensæ "Balis autem periferia vel circulus est, vel ex conicis sectionibus aliqua , sci- licet Parabole, Ellipsis, vel Hyperbole. Photismi de lurmine, et umbra, ad perspectivam et radiorum incidenciam facientes. | Diaphana in. 3. libros divisa. In quorum primo de perspicuis corporibus; im 2. de iride ; in à. autem de organivisualis structura, et conspicillorum formis agitur. Quæstionum aritilntir at libelli 3. geometrica- rum libelli. 2. astronomicorum problematum tres : in quibus regulæ cum exemplis traduntur. Adnotationes omnimodæ in diversos mathematicæ locos. Canones tabularum Alfonsi, Blanchini Eclipsium directionum primi mobilis. Compendium mathematicæ brevissimum. Elementorum Euelidis epitome cum novis et artifi- ciosissimis in quintiumi, in arithmetica, in decimum, etin solidorum libros demonstrationibus. - | Conicorum Apollonii breviarium libris 3. facilius et directe demonstratum. Tabula sinus recti supponens sinum maximum sive circuli semidiametrum plurium, quam millies mille particularum, quod est totius geometrici, astronomici- que calculi necessarium instrumentum. Compendium magnæ constructionis Ptolomaicæ ( 251) omnium observationum astronomicarum seriem paucis comprehedens ex breviario Io. Regimontii. Compendium Boetianæ musicæ, cum optimis specu- lationibus et calculo ac modulatuum ratione et sys- tematum proportione. Sphera in compendium breviter omnia comprehen- dens, cum motuum secundorum theoria. Computus ecclesiasticus brevis et exactus. A dnotationes in Sphæram lo. Sacrobasti, etintheo- ricas planetarum. Quadrati, quadrantis, astrolabi, instrumenti ar- millaris et sphæræ solidæ demonstratio fabrica et usus, per novam, artificiosam, brevemque speculationem. De lineis horariis regulæ brevissimæ et theoria pro quocunque horizonte. Compendium Sicanicæ historiæ. Martyrologium Sanctorum correctum et instaura- tum. Cum topographia et aliis appendicibus. Hymnorum ecclesiasticorum liber unus. Carminum et epigrammatum bibelli duo. Poemata Phocylidis et Pythagoræ moralia latino metro. Genealogia Deorum, lo. Boccacii adaucta, cum multis illustrium virorum et principum carptim col- lectis prosapiis ad poesim et historiam necessariis. Rythmi vulgari seu vernacuilo sermone, in laudem S. Crucis: Chronologia ab Adamo protoplasto, Christi, prin- cipum , præsulum et notabilium rerum , brevissima. Itinerarium Syriacum cum historiis ad loca sacra pertinentibus. (:252 ) Ad Petrum Bembum. de Ætneo incendio. Ad Synodi Tridentini patres epistola. Breviaria. Platinæ de vitis Pontificum. Sex librorum de vitis Patrum. Decem librorum Laertn de vitis philosophorum. . Petri Criniti de vitis poetarum. Octo librorum Polydori de inventoribus rerum. Consiliorum Synodalium. Sex hbrorum Diodori Siculi. Grammaticarum institutionum libri sex. Quadrati horarii fabrica, et usus. Dermonstratio et praæis. Trium tabellarum sinus recti, beneficæ et fecundæ, ad scientiam et calculum triangulorum sphæralium utiles. | Compendium indiciariæ ex optimis quibusque au- thoribus decerptum, in quo de naturis signorum et domorum 12. septemque planetarum constellatio- num, aspectuum, directionum, profectionum, horo- scoporum, electionum, et quæstionum segulæ, præ- sertim ad agricolas, medicos, nautas et milites, et exclusis superstitionibus, directæ. Notandum qudd ex supra scriptis operibus, Theo- dosii, Menelai, Maurolyci spherica : item Autolici sphæra , Theodosii de habitationibus, Euclidis phæ- nomena. Demonstrato et praxis trium tabellarum sinus (23%) recti, fecundæ, ac beneficæ, compendium Mathe- maticæ brevissimum simul in unum volumen : Mæs- sanæ impressa fuerunt à Petro Spina filio, Georgu Spinæ Germani , anno saluti 1558. tem. Cosmographia olim Petro Bembo dedicata 3. lib. Impressa fuit Venetiis apud Junctas, anno salutis 1543. Etrursum Basileæ apud Jo. Opornimum. ltem. Quadrati horarii fabrica et usus d. Jo: XX dicata. Venetiis apud Nicolaum Bassanimum, anno sal. 1546. Îtem. Grammatica quædam rudimenta , Messanæ per eundem Georgii Spina filium, anno salutis 1528. Rythmi quoque materni de laude J. C. ibidem per eosdem, anno salutis 1552. Item. Martyrologium correctum ct instauratum reverend. domino M. Ant. Amulio card. dicatum cum apogra- phia cum multis appendicibus, anno salutis 1567, mense septembris. Venetiis apud Junctas impressum et iterum in forma parva forma mense Julio 1568. Ttem. Historiæ Sicanicæ compendium cum epistola simul ad patres Tridentinæ Synodi, Messanæ impressum per eundem Georgii Spinæ filium et nepotes, anno sal. 1562. ” & Ltem. K »° De vita Christi eiusque matris et gestis Apostoloram libelli octo senariis rythmis vulgaribus. Venitüis per Augustinum Bindonum, 1556. A la fin de la vie de Maurolycus, écrite par son neveu , le baron della Foresta (1), on trouve un ca- talogue des ouvrages du géomètre de Messine. Il est semblable à celui que nous donnons ici, et contient de plus l'indication des manuscrits suivans : De piscibus siculis brevis tractatus. \ Palephati de non credendis historiis epitome. Fulgentij mytalogiarum epitome. | ‘ Ciceronis de natura Deorum, et de divinatione epi- tome. | Scholia in Asinum aureum Lucij Apulei. Epitome de grammaticis Suetonii. . Tractatus de placitis philosophorum. Opus epistolarum ad diversos viros illustres. (1) Foresta, della , vita di F, Maurolico , p. 36-45. te (92852) : Quamplures epistolæ ad multos. Plurimorum sanctorum vitæ, videlicet : Sancti Pancratii Tauronimisanorum Pont. Historia sanctorum Alphi Pbiladelphii , et Cirini. Vita Aagtonis Liparitani. Vita sancti Angeli Carmelitæ. Vita sancti Alberti Carmelitæ. Vita Cononis Naxii viri sanctissimi mon. ord, sancti Baalu. Vita sancti Calogeri. Vita B. Gullielm. Vita sancti Philippi præsb. Argyritæ. Vita sancti Corradi Placentini. Vita Laurentii presb. qui floruit in villa Frazano. :Mita sanctæ Venneræ Siculæ. Vita sancti Nicandri Heremitæ , et sociorum ex qui- busdam græcis historiis decerpta. Vita B. Eustochii virginis Franciscanæ Mess. Et parmi les ouvrages qui ont été imprimés : De lineis horarus lb. tre. acutissimis Computus ecclesiasticus strictim collectus. Tract. Instrument. astronomicorum. Musieæ traditiones. Euclidis propo- sitiones elementoram tredecimim solidorum tertij. Regularium corporum primi. Arithmeticorum lib. duo subtilissimi. Photismi de umbra , etc. + (‘556::) NOTE X XI V. f ( PAGE 117. ) Superest ut solus axis radiosæ pyramidis perpen- diculariter ingrediatur, et exeat pupillam; cæteri verd omnes radij visuales tam in aditu, quàam in exitu frangantur. Sed quo pacto, qua lege frangen- tur, nisi ea quam diaphani figura postulat! Cum ergo in convexo utrinque diaphano tam incidentes, quam prodeuntes radii in ipsis incidentiarum , egres- sumque punctis frangantur ad axem medium acce- dentes; ut satis in prima parte huius operis demon- stratum est; iam et in pupilla, cui huius modi figu- ram natura comparavit, id idem facient visuales ra- dii : quibus talis organi forma, vel ob id commoda fuit, quod utrinque coadunandi fuerant : extrinsecus quidem, ut per exiguum uveæ foramen ingressuris ; intrinsecus autem, ut ad opticum neruum speciem rei visæ congregaturis : sed minus extrinsecus ne ni- miæ coadunatio non satis esset ad excipiendia latiora spatia , concursusque radiorum acceleratus visum breviaret. Proptereà igitur anteriorem faciem pu- pilla minus agglobatam sortita est maioris scilicet sphæræ portionem : sic enim ut dudum conclusimus protelatur concursus. Non ergo aliunde, quäm ex forma pupilla quærenda est visus diversarum quali- tatum ratio. Nam cüm perspicui forma variata , variet quoque fractionis angulum, iam hinc et visualium (257) radiorum situm diversificari, concursumque nunc anticipari, nunc differri necesse erit. Et quoniam qud minor est perspicuus globus, ed minus spatium coadu- uat radios : ideù et qui conglobatiorem sortiti sunt pupillam, breviore sunt visu præditi : in ïüis enim radi) visuales ad coincidentiam properantes minimè proveniunt ad remotiora dispicienda aut si dilatantur radij exteriores à re spectanda in pupillam cadentes : coarctari oportet nimium interiores à pupilla per vi- treum ad opticum nervum transmissos ; quæ coarcta- tio nimia confundit judicium ac distinctionem sensus. Hæc est ratio cur quidam brevissimum visum habent ; contra qui expansiorem pupillæ faciem, hoc est, de maiori sphæra sumptam habent, is expansiores radi) ad longius spectandum feruntur , concursu iam pro- telato : neque opus est hic dilatari radios, coarctari- que interiores (WMaurolycus, de lumine et umbra, p.85). IT. 77 258 Faite CT NOTE XX V. ( PAGES 122 et 195.) Scito igitur proportionem corporis ad corpus (den- tur modo homogenea et uniformia) ita se habere , si- cuti se habet virtus ad virtutem. Sint exempli causa , duo corpora plumbea et inæ- qualia a. et e. literis insignita, quorum, corpus &. te | gdc pe Ô ES D ik notatum , triplici quantitate superet e. atque jam in- fero, massam a. pondere triplici excessuram corpus e., notetur itaque pondus à. litera 4., et e. signatur f. et mente concipiatur corpus a. di visum esse in treis æquales partes c. d. g. videlicet, quarum par- tium pondera 2. i. k., iam manifestum est pro præsup- posito , singulas parteis c. d. g. æqualitate responsuras corpori e. ponderabitque per communem scientiam æqualiter /: Quod ni foret, unaquæque partium a. pro homogenea non reputaretur cum corpore e. et ita pugnaret cum præsupposito. Postquam igitur L. &. 4. insimul æquiparet b. soli, per communem scientiam , erit quoque , iuxta septima quinti Euclidis, propor- tio b. ad f. sicut . s. Æ. ad idem j. sed pondus . z, 4. ( 259 ) ad f triplum est, erit igitur et pondus à. triplum ad _. qua ratione patet institutum. Porrd suppono proportionem motus corporum si- milium , sed diversæ homogeneitatis, in eodem me- dio , atque æquali spatio esse, quæ est inter exces- sum (in ponderositate, inquam, vel levitate) supra il- lud medium , dummodo formam æqualem illis corpo- ribus sortitum fuerit. Et e converso, scilicet quod pro- portio existens inter excessus supra medium ut dic- tum est, eandem esse > quæ inter mGtus illorum cor- porum. Atque, hoc modo id patebit. Sit medium uni- forme 0. f. g. puta aqua, in qua intelligantur duo S k À corpora diversæ homogeneitatis , id est diversarum specierum. Verbi gratia , corpus d. e. c. sit plum- 17. ( 260 ) beum, corpus vero a. u. c. ligneum sedrutumque; eorum gravius sit Corpore aqueo sibi æquah, dentur etiam corpora illa, sphærica, atque aquee sint ». et n. centrum mundi imaginemur per s. terminus vero ad quem , sit in linea 4. o. x. k#. a quo, autem, sit m linea a. m. d. quæ quidistetæ lineæ 4. 0. x. k. et ambæ circulares supra centrum mundi s. tum ductis s. o. et s. x. usque ad jineam termini, a quo, erunt lineæ intersectæ ab illis terminis invicem æquales per tertiam conceptionem Euclidis (nam per definitionem eiusdem , omnes lineæ , a centro alicuius circulhi, ad circunferentiam rectæ protractæ, sunt invicem æqua- les) imaginemur etiam centrum corporis 4. u. £. posi- tum in puncto intersecationis lineæ s. 0. productæ, cum Jinea a. m. d. et corporis d. e. c. cum linea s. x. præterea, corpus aqueum æquale corpori a. u. £. sit ». reliquum vero æquale corpori d. e. c. sit n. sit etiam corpus d. e. c. octuplum in ponderositate cor- pori n. et corpus a. u. i. duplum corpori #2. Nunc igi- tur dico quod proportio motus corporis d. e. c. ad motum corporis a. u. i. (manente hypothesi) eadem est, quæ inter exubérantia corporum d. e. c. et a. u. i. supra corpora 7. et m. id est quod tempus in quo corpus a. u. à, movebitur, septuplum erit ad tempus in quo corpus d. e. c. nam manifestum est per ter- tiam propositionem libri de insidentibus aquæ Archi- medis, quod si corpora a. u. i. et d.e. ce. essent æque gravia corporibus "2. et n. unumquodque eorum suo æquali, nullo modo moverentur, nec sursum nec deorsum, et per septimam eiusdem quod corpora graviora medio, deorsum feruntur , corpora igitur a. ({ are ) u. & et c. e. d. deorsum ferentur , resistentia ergo hu- midi (hoc est aquæ) ad corpus 4. u. à. est proportionis subduplæ (quod patet per communem scientiam) ad corpus vero d. e. c. suboctuplæ : tempus igitur in quo centrum corporis d. e. c. transibit datum spa- tium , in septupla censebitur proportione (in longitu- dine) ad tempus in quo centrum corporis a. u. à. supradictum mensurabit (motu naturali dico, nam, per lineas breviores natura in omnibus agit, id est per lineas rectas, nisi quid impedierit) quia ut ex prædicto Archimedis libro colligere est, proportio- nem motus ad motum, non habere respectum ad proportionem gravitatis, quæ est inter a. u. ë. et d, e. c. sed ad proportionem quæ est inter gravitatem a. u. à. ad m. et d. e. c. ad n. conversum autem huius suppositionis satis patet, cum dicta clara sint. Modo dico quod si fuerint duo corpora, eiusdem formæ , eiusdemque speciei, æqualia invicem , vel inæqualia , per æquale spacium , in eodem medio, in æquali tempore ferentur. Hæc proposita manifestis- sima est, quia si non inæquali tempore moverentur, essent necessario diversarum specierum corpora illa, per conversum præmissæ suppositionis , aut medium non daretur uniforme, vel spacia essent inæqualia, quæ omnia pugnarent cum hypothesi. Sed ostentive, sint duo corpora g. et o. similia (sphærica) et homogenea , medium vero uniforme b. d, f. ineæ terminoïum æquidistantes circulares supra centro s. per terminum , a quo, transeat linea p. £, qg. per terminum vero ad quem 7. 2. 4. t. Nunc infero, corpora g. et 0. in æquali tempore moveri per dictun: ( 262 ) spatium, motu naturæ in prædicto medio; sit exempli gratia corpus 0. quadruplum in quantitate ad 2. patet quoque per supradicta quod, quadruplum etiam erit in ponderositate ad g. (nam si esset ei æquale in utro- que, tune nulli dubium esset, quin corpora illa, in- æquali moverentur tempore) dividam modo corpus o. imaginatione, in quatuor æquales partes, suo toto similes (sphericæ figuræ), sint itaque z. Æ. /. n. quarum centra ponam in linea p. q. ita quod distantia inter 4. et 4. eadem habeatur, quæ inter /. et z. lineam item k. LL. Dividam per æqualia per vigesimam-quintam primi huius, in puncto £. qui quidein erit centrum gra- vitatis corporum À. #. et /. n.per communem scientiam, coadiuvante tertia propositione libri de centris gra- vium, Archimedis, præterea, manifestum est quod ( 263%) unumquodque corporum . 4. /. n. in æquali tempore movebitur &. p. i. q. ad r. m. u. t. ei in quo g. (nam unumquodque eorum æquale et æque grave est cor- pori g. per conceptionem Euclidis) per primam con- ceptionem ergo, corpora omnia scilicet 4. #. L. n. Simul ab eodem instanti demissa, æqualiter move- buntur, hoc est in æquali tempore, et semper linea transiens per eorum centra æquidistabit lineær. m. u. t. Demum , si intelligatur linea ducta per centrum z. et corporis 0. divisa per æqualia per supradictam vige- simam-quintam primi huius , tunc punctus ille divi- sionis erit centrum ponderis L. À. /. n. et o. per su- pradicta, nunc vero, si linea illa intelligatur moveri vi corporum prædictorum, demissa a linea p.g-.velei æquidistans (quia tunc etiam esset æquidistans 72. 4,7. t. per communem scientiam semper erit æquidistans 7”. u. 7. £.) corpus ©. in æquali tempore, motu naturæ, movebitur per datum spatium , ei in quo corpora 4. k. L. n. eadem est quæ ad corpus o. per id quod su- pradictum est, coadiuvante decima sexta quinti Eu- clidis est enim idem pondus eademque species) sed idem est, in quo g. per communem scientiam quod est propositum. Possum quoque per hanc ostensionem, partem supradictæ suppositionis demonstrare, hoc est, quod si fuerint duo corpora, eiusdem figuræ, seddiversæ homogeneitatis , inæqualis etiam corporeitatis, et utrunque eorum, gravius medio, per quod feruntur , sit etiam minus eorum, gravioris speciei quam maius, sed maius, plus ponderet minori tune dico, quod sup- positio supradicta vera est. | ( 264 ) Sint exempli gratia duo corpora 7». et n. eiusdem figuræ, at, diversæ homogeneitatis, sint etiam in- æqualia (nam de æqualibus nulli dubium erit) quo- rum maior sit »2. sed species corporis 2. gravior sit specie corporis 72. esto etiam cOrpus 72. gravius Cor- pore x. et utrunque eorum, gravius corpore medio per quod feruntur. Dico nunc, quod suppositio vera est. Intelligatur primum corpus a. u. i. æqualis simi- lisque figuræ corpori 72. sed speciei corporis 7. tunc circa corpora a. u. t. et m. suppositio, clarissima est, sed per præmissam ostensionem, corpus z. in eodem tempore movetur, in quo corpus &, 4. L., quare con- stat propositum. Ex his liquet, motum magis velocem, non causari ab excessu , vel gravitatis, aut levitatis, corporis velo- cioris, collatione tardioris (datis corporibus similis figuræ), verum ex diflerentia speciei, alterius corporis ad alterum, gravitatis levitatisve respectu, quæ res non est ex mente ÂAristotelis aut alicuius suorum com- mentatorum, quos mihi quidem videre, et legere contigit, aut etiam contulisse cum eiusdem professo- ribus. (Benedicti resolutio, in dedicat.) Benedetti a repris ensuite le même sujet dans ses Diverses spéculations. Voici ce qu’il dit sur ce point. Quod in vacuo corpora etusdem materiæ æquali velo- cilate moverentur. CAP. X. Quèdd supradicta corpora in vacuo naturaliter pari velocitate moverentur, hac ratione assero. ( 265 ) Sint enim duo corpora o et . omogenea , et g. sit dimidia pars ipsius o. sint alia quoque duo corpora a. ete. omogenea primis, quorum quodlibet æquale sit ipsi g. et imaginatione comprehendamus ambo posita in extremitatibus alicuius lineæ, cuius medium sit z, (2 4 PA (2 CARS _O ge nr 7 clarum erit, tantum pondus , habiturum punctum £. quantum centrum ipsius 0. quod #. virtute corporis a. et e. in vacuo , eadem velocitate moveretur , qua cen- trum ipsius 0. : cum autem disiuncta essent dicta cor- pora a. ete. à dicta linea, non ideo aliquo modo suam velocitatem mutarent, quorum quodlibet esset quoque tam velox, quam est g. igitur g. tam velox esset quam o. (Benedicti divers. speculat. £. 174.) ( 266 ) NOTE XX VI. ( PAGE 122, }) Je crois que les amateurs des curiosités géométri- ques ne seront pas mécontens de trouver ici les cinq premiers problèmes résolus par Benedetti : il faut re- marquer que les citations se rapportent aux élémens d'Euclide. LIBER PRIMUS. PROBLEMA PRIMUM HUIUS, EUCLIDIS VERO SEXTUM PRIMI. Ab aliquo puncto datæ lineæ, cum data circini apertura, lineam, perpendicularem super datam lineam elevare. Esto linea a. 4. in qua datus sit punctus a. data etiam apertura @. f. iam ab ipso puncto a. lineam perpendicularem dutam ad lineam à. b. apertura air- cini a. f. mediante. Mox super centrum a. describo circulum f. e. d. c. per petitionem, deinde per primam propositionem primi Euclidis, super a. f. constituo triangulum /. e. a. æquilaterum atque æquiangulum : deinde protracta f. a. ad alteram circularis lineæ par- tem, puta c. (nam paret a. c. æqualem esse f. a. per definitionem circuli) nec non et super a. c. alium designo, per eandem cuius vertex d. cum vertice e. coniungatur per e. d. lineam : et quia angulus d. a. c. ( 267 ) per XXXIT ac quintam primi bis sumptam est tertia pars duorum rectorum prout et e. a. f. erit ergo an- gulus e. a. d. per XIII primi coadiuvante prima con- ceptione æqualis uniangulorum a. d. c. vel a. e. f. qua ratione per [IT primi e. d. æqualis a. c. et f. a. et angulus a. d. e. angulo 4. e. d. per V eiusdem. Cum a. d. æqualis sit a: e. per definitionem circuli, præterea angulus a. d. e. angulo d. a. c. æqualis est per primam conceptionem , propter hoc quia per XXXII primi angulus etiam e. d. a. tertia pars est duorum rectorum. Quare per XX VIT dicti c. d. est æquidistans f. c. Porro per primam primi constituam super e. d. triangulum æquilaterum, et à puncto autem a. ad punctum 2. ducam lineam a. g. Modo quia anguli g. d. e. et a. d. e. æquales invicem sunt : et similiter dico de angulis g. e. d. et d. e. a. quemadmodum ex XXXII primi una cum prima conceptione nec non prima primi ( 268 ) videre est, demum angulus a. d. g. æqualis est angulo a. €. g. per communem scientiam. Deinde per HIII primi angulus g. a. d. æqualis est angulo g. a. e. igitur per secundam conceptionem anguli g. a. c. et g. a. f. æquales invicem sunt, ergo per definitionem patet propositum. PROBLEMA II HUIUS. Datam lineam quæ minor sit data apertura in longum atque directum producere, itaque pars protracta æqua- lis sit priori parti date. Sit data linea o. a. et apertura a. /. quæ quidem maior sit data linea ducam modo 0. a. in longum directumque, ita ut pars producta æqualis sit datæ lineæ, scilicet o. a. nam in puncto a. ad lineam o. a. erigam perpendi- cularem lineam per præcedentem, quæ sit a. g. quam etiam protraham in alteram partem : deinde super centrum o. describo circunferentiam r. g. z. quæ ut patet secabit a. g. lineam in puncto q. cum o. 4, minor sit 0. z. per hypothesim. Præterea coniungo ( 269 ) puncia o. et g. per o. q. lineam, et super centrum q. depingam aliam cireumferentiæ partem quæ vocetur per æ. &. u. hæc enim secabit o. Z. in puncto z. ob id que cum g. o. maior a. q. per XVIIT primi q. x. maior etiam erit &. q. igitur per communem scientiam manifestum est quod dixi : demum ducam gq. &. cæte- rum quia 0. q. et g. . æquales invicem sunt per hy- pothesim, anguli quoque gq. o. ë. et q. à. o. invicem pares erunt per V primi : itemque anguli o. a. et a. g. per XXXII eiusdem ergo per [LIT primi o. a. æqualis est a. £. iuxta intentum, PROBLEMA III HUIUS. St data linea major fuerit data apertura , idem facere. Data sit linea a. e. apertura vero a. c. iam super centrum a. describam portionem circuli s. c. ita et in residuo 4. e. quousque perveniam ad partem lineæ a. e. minorem data apertura , quæ quidem pars sit c. e. aunc per supradictam producam c. e. usque ad o. ita quod e. 0. æqualis sit c. e. deinde 4. e. o. lineam. indefinite duco , ac in tot partes divido partem ultimo p rotractam, data apertura mediante (principio sumpto in puncto 0.) in quot divisi a. e. atque per definitio- nem circuli et hypothesim habebo propositum. (. 270 ) PROBLEMA IIIE HUIUS ET V PRIMI. Datam lineam per æqualia dividere. Data sit linea a. /. quam per æqualia dividam, hoc modo procedam, super centrum /. mediante data apertura describam portionem circuli £. p. similiter- que super centrum a. partem circuli 7. b. si portiones hæ circulorum non se intersecent, tunc super centrum k. et centrum 4. duas alias circulorum portiones desi- gnabo, et sint e. £. et c. n. quæ si iterum se non inter- re n secent, protraham alias duas quarum centra sint e. et c. sise invicem intersecent sint puncta intersecatio- num d. et g. cum per X. tertii non possint esse plura. Deinde ducantur c. d. d. e. e. q. q. c. et q. d. preterea c. d. d.e. q. et g. c. omnes invicem æquales sunt per definitionem circuli. Modo per VII primi tri- gona d. e. q. et d. c. q. xquiangula sunt, est etiam per ITIT eiusdem c. y. æqualis y. e. et a. y. y. L. per IT petitionem quod est problema. m PROBLEMA V HUIUS ET VII PRIMI, A dato puncto ad datam lineam ; perpendicularem protrahere. Sit punctus Z. unde ad lineam jf. c. oporteat per- _ pendicularem ducere. Mox ab extremitate lineæ f. c. per punctum datum duco lineam f. d. quam protraho quousque 4. a. æqualis sit /. d. per IL vel IT huius deinde ducam a. c. quam per æqualia divido per præ- missam in puncto 2. produca posteo d. b. quæ quidem æquidistans erit f. c. quemadmodum ex corcllario XXXIX primi videre est, denum ex puncto d. ad lineam d. b. extraho lineam qualiter prima huius docet , protractaque ad lineam f. c. ergo per XXIX primi et definitionem lineæ super lineam perpendicu- lariter erectæ patet d. c. perpendicularem esse ad da- tam lineam a puncto dato d. tunc ita patet problema. (272) NOTE XXVII. ( PAGE 124. ) Voici deux exemples de la méthode de Benedetti que M. Chasles avait déjà remarquée (1) : De producto conditionato. AD EUNDEM. Proponis demde mihi duas rectas lineas, uni qua rum vis ut aliam quandam directè coniugam, ita quod productum huius aggregati in lineam adiunctam æquale sit quadrato alterius. Ut exempli gratia si fuerint duæ lineæ e. d. ete. f. oporteretque nos ad lineam e. f. aliam lineam, puta 1. c. vel e. b. iungere, ita longam, ut productum totius compositi e. c. vel f. b. in f. c. vele. b. esset æquale quadrato ipsius e. d. : Hoc enim nullius esset difficultatis, eo quod quo- tiescumque e. d. coniuncta erit cum e. f. ad rectos, divisaque per medium à puncto a. à quo ducta a. d. (x) Benedicti divers, speculat., p. 368 et 81. — Chasles , apercu, P. 54%, EL] DCR U 273 } deinde secundum semidiametrum a. d. designato cir- culo 8. d. cet protracta e. f. à qua volueris parte : | k | pe (4 / PRE | & ae RM | Æ hs usque ad circunferentiam in puncto c. seu in puncto &. habebimus intentum, ed quod si producta fuerit e, . etiam ab alia parte, usque ad circunferentiam habe- bimus 2. e. æqualem 1psi f. c. ex communi conceptu .et productum e. c. in e. b. æqualem quadrato ipsius e. d. ex 34 tertu, cum ex 3. eiusdem e. d. medietas sit chordæ arcus dupli &. d. de lapsu vero lapidis versus mundi centrum, dum ipsum attingere , ac præterire posset, de quo me interrogas. Dico Nicolaum Tarta- leam, nec non Franciscum Maurolicum recté sensisse, malé verd Alexandrum Piccolhomineum, et exemplum Maurolici optimum esse, quod tamen si capere non potes, crede saltem authoritatibus talium virorum, qui tantum in ijs scientijs superant ipsum Alexandrum Piccolhomineum, quantum à sole cætera, superantur astra. Lapis 1gitur ille transiret centrum , reddiretque I. 18 ( 274) cum diminutione tamen motus impressi, eo fermè modo ut scribunt iudiciosissimi illi viri donec post multas redditiones sursum, deorsumque quiesceret circa centrum mundi. Lucidioris tamen intellhigentiæ gratia cogita filum illum (exempli adducti abillis doc- tissimis viris cui) pondus appensum est, æqualem esse axi orizontis, hoc est eius extremitatem immobilem esse in primo mobili, et in ipso zenit tui orizontis, tunc arcus motionis ipsius lapidis per tantum inter- vallum, quantum est diameter terræ, insensibiliter differret a linea recta, et cum lapis distans a centro mundi per semidiametrum terræ, iret rediretque; ut scis, ergo idem faceret si filum longius esset per dic- tum terræ semidiametrum, ita ut posset ipsum cen- trum attingere, nam differentia illa semidiametri te- ræ ferè nulla est respectu semidiametri ipsius primi mobilis. Theorema CXX. Supponunt etiam antiqui tres socios nummos ha- bere, quorum sumima primi et secundi cognita sit, item summa primi et tertii cognita et summa secundi et tertiiitem cognita, atque ex huiusmodi tribus ag- gregatis veniunt in cognitionem particularem unius- cuiusque illorum. Gemafrisius solvit hoc problema ex regula falsi. At ego tali ordine progredior, sit verbi gratia, summa primi cum secundo, 5o, et secundi cum tertio 70 êt primi cum tertio 60. harum trium summarum acci- piantur duæ quævis, ut puta 5o. et 70 quæ coniunc- (275 ) tæ simul dabunt 120, à qua summa detrahatur reliqua, ‘id'est So. et restabit nobis 6o. cuius medietas erit 30. hoc est numerus nummorum secundi socii, quo nu- mero detracto à 70. hoc est à summa secundi cum tertio remanebit 4o. hoc est numerus tertii socii , êt hic numerus desumptus à 60. residuus erit numerus primi socii. Pro cuius ratione consideremus triangulum hic subnotatum à. b. c. cuius unumquodque latus signi- ficet summam. Duorum sociorum, ut puta latus a. b. significet sammam primi cum secundo, latus vero b. c. summam secundi cum tertio, latus autem «. c. sum- mam primi cum tertio, et &. e. seu @. 0. sit numerus primi soci, et e. b. vel b. u. sit secundi socii, et c. w. seu c, o. sit tertii, cum autem 4. e. æqualissit «. o. et | EE er | / A Nes l/ \ D Î | | 2 IR | M a | 4. T7 Le, 4 ie b. e. æqualis b. u. et ©. u. æqualis c. 0. ex supposito si dempta fuerit summa seu latus 4. c. datum ex aggre- gato laterum a. #. cum #. c. reliquarum summarum, 16. on épées ( 276 ) relinquet nobis cognitum aggregatum ex Ÿ. e. cum b. u. Quare et eius medietas 2. e. sive b. u. nobis co- guita erit qua detracta ex summa ©. a. relinquetur nobis cognitus numerus a.e. detracto vero numero a. e. hoc est a. 0. ex a. c. summa seu latus aut à. u. ex à. c. remanebit 0. c. seu c. u. cognitus. ( #77 ) / NOTE XXVIIL ( PAGE 140. ) Le passage suivant, tiré de Pacioli, montre par quelle méthode Léonard avait résolu les équations in- déterminées du quatrième degré. De numertis CONSTUIS el eorum origine. — Articulus septimus. Oltra le date specie di numeri ancora bisogna per lo proposito nostro dé numeri quadrati asignarne un altra : quale chiamaremo numeri congrui : acio nel processo ci habiamo a intendere senza la cui notitia non porremo solvere casi simili proposti. Li quali numeri congrui ; hano certo debito ordine fra loro : e regularmente si creano: e di loro si da-p° 2° 30 4° e 5e, commo vederai. E a ciascun numero congruo : con- responde un suo proprio detto congruente quale e detto essere di quella numero congruo. E cosi quello mio congruo e ditto essere el congruo di quel tal con- gruente : commo intenderai. E chiamamo congrui : cioe ati over commodi a dare e recevere un altro nu- mero qual si chiama congruente. E fia quello che gionto al congruo la summa fa quadrata. E tratto del congruo: lo rimanente ancora e quadrato. Di che nota che a ogni numero congruo li responde uno eon- 278 ) gruente.E tali congruenti el piu de le volte non sonno quadrati ma li congrui ut plurimum sonno quadrati. E hano loro processo similmente in infinitum commo le altre serie e spetie numerali. Di quelli e! primo nu- mero congruente che sia diciamo 24. El numero qua- drato congruo a esso respondente sie 25. El secondo numero congruente ne 120. el suo proprio numero quadrato congruosie 169. El terzo numero congruente sie 336. El suo numero quadrato congruo ene 625. El quarto numero congruente ene 720. El suo quadrato congruo ene 168r. El quinto numero congruente ene 1320. El suo correspondente quadrato congruo ene 3721, etc. De ortu CONQTUENTIUM LUMETOT UN , articulus octavus. Nascono li ditti numeri congruenti in questo modo prima piglia el primo el quale nasci de 1. e 2. el se- condo da 2. e 3. el terzo da 3. e 4. el quarto da 4. e 5..el quinto da 5. e 6. el sexto da 6. e 7. el septimo da 7. e 8. loctavo da 8. e 9. el nono da ge 10. el decimo da 10.e 1r' € ‘similmente h loro' quadrati nascono dali médesimi numéri commo intenderai. Or comenza con lo primo congruente qual dico che nasce da 1.e 2: e trovase in questo modo : # cioe che prima se guigni x. € 2. insiémeé fanno 3. e questa summa sempre se redoppia : che fa 6! qual salva. E por se multiplica li doi numeri uno in l’altro : cioe 7. via 2. | fa 2, e ‘questa multiplicatione se multiplica poi via quello duplato ché serbasti : cioe via 6. e dirai 2: via ' + Æ x 2 J Pr 6. fa 19. eamcora questä ulüma multiplicatione : —.— ( 279 ) pure sempre se redoppia fara 24. et questo fia il nos- « tro numero congruente, E poi per trovare el suo qua- drato congruo si fa cosi. Che prima si quadrano li ditti doi numeri che hano dato lo numero congruente ognuno per se. E poi quelli doi quadrati sacozzarte insieme. E quella summa che faranno ancora si qua - dra quello che nascera di questultima quadratura tira el numero quadrato congruo di quel tal numero con- gruente. Verbi gratia: per lo primo da 1. e 2. pria dico che quadri 1. fa pur 1. et quadra 2. fa 4. quali dico che givnga insiemi : cioe 1. e 4. fa 5.e questa sum- ma quadra : cioe 5 via 5 fa 25 qual dico esser lo numero quadrato congruo primo del ditto congruente. Ora el secondo se formo cosi dal 2. e dal 3. cioe commo in lo primo hai fatto summa insiemi 2. e 3. fa 5. quale commo dissi sempre doppia fa 10 qual salva. Poi mul- tiphca 2. via 3. fa 6. e questa multiplicatione mo mul- tiplica contra el dopiato che salvasti : cioe dirai 6. via 10, fa 60. qual dico similmente che sempre aredoppi fara #20. E questo sira el secondo numero congruente. Poi a trovare el suo quadrato congruo a lui conres- pondente. Quadra ogiuuo di ditti numeri cioe 2. e 3. cioe dirai 2. via. 2. fa 4. e 3. via 3. fa 9. quali dico che sempre gionga insiemi fara 13. e questo congionto dico ancora che quadri e dirai 13. via 13. fa 169. € questo fia el numero quadrato congruo del secondo numero congruente cioe di 120 onde gionto 120. con 169.#a 289. qual € quadrato che la:sua radice e 17. E ancora caväto 120. de 169. restara 49. che similiter e quadrato : la cui radice e 9. Et se voli trovare el terzo prendi 3. e 4.e formaralo similiter : cioe commo ( 280 ) , D gia ditie dirai. 3 e 4. fa 7. qual doppia fa 14. poi multiplica 3. via 4. fa 12. e questo multiplica via quel dopiato : cioe via 14. fara 168. quale ancora doppia tara 336. et questo dico essere lo terzo numero con- gruente. Poi lo suo quadrato congruo trovarai cosi. Quadra 3. fa 9. quadra 4. fa 16. acozza insiemi 0. e 16. fa 25. Ora quadra questo 25. fara 625. per lo suo numero quadrato congruo. Onde a 625. gionto 336. fara 961. che bene quadrato la cui radice ene 31. ese de 625 ne cavi 336. restara 289. che similmentee ne quadrato : la cui radice ene 17. E cosi se vorai lo quar- to Bumrro congruente prenderai 4. e 5. e gioglih asiemti fara Q. qual dopia fa 18. qual salva. Poi mul- tiplica 4. via 5. fa 20. e questo 20. mo maltiplica via quel doppiato che serbasti : cive via 18. fa 360. quale encora doppia fara 720. e questo fia el quarto numero congruente. Poi a trovare el suo quadrato congruo. Quadra 4. e 5. harai 16. e 25. Acozzali asiemi : fara 41. e questo ora quadra : fara 168 r. e questo sira cl suo numero quadrato congruo : onde se de 1681. ne Caverai 720. restara 961. che e numéro quadrato : la cui radice ene 4r. e:se a 1681. Ni agiognerai 720. fara 2401. che ancora e quadrato : : la cui radice ene 49. e se tu vorai trovare lo quinto numero | congruente prenderaï 5. e 6. quali giogni asiemi fara 11. doppialo fa 22 qual salya. Poi Ne © li numeri uno contra laltro : cioe 5. via 6. fa 30. e poi questo multiplica + via quello dopiato de 17. che serbasti : e dirai 30. Via 22. fa 660. quale ancora doppia fa 1320. e quésto fie el quinto numero congruënte. Poi per trovare el suo qua- drato congruo quadra li doi numeri che prendesti : ‘y Fe (: 28% ) cioe 5. € 6. harai 25. e 36. per li doi quadrau : quali giogni insiemi faranno 6r. e questo ancora qua- dra dicendo 61. via 61. fa 3721, et questo fia el suo numero quadrato congruo. Onde se de 3721. sene cava 1320, restara. 2401. quale ene quadrato la cui radice ene 49. e se a 3721. se agiogni 1320. fara 5041. che quadrato; la cui radice ene aponto 71.commo aperta- mente apare. E cosi poi in infinitum procedere per la sex1o : séptimo octavo : e nono : e decio,.etc. Everatte sempre bene e mai falla che tu non trovi un numero € un quadrato del quale tratto e gionto el ditto numero sara ; e restara quadralo si commo neli exempli passati ai veduto; e quelli tal numeri che cosi al quadrato se agiongano e fanno quadrato; e del quadrato se tra- gano e remane quadralo chiamamo noi numeri con- gruenti, ma quelli che gionti a un numero quadrato : e tratti de un numero quadrato non facesse over non restasse numero quadrato; non siranno mai ditti con- gruenti secondo el senso nostro. E pero e da notare fra chi intende. Quando se dice questo e numero congruo vol dire chegli di e tal natura quadrato che dara e recevera un numero medesimo e sara : e res- tera quadrato. Ma sel dici questo numero non e con- gruo, vol dire che glie quadrato de tal natura che non da : ne anche receve aleun numero che gionto e tratto facia :, ne resti quadrato. La qual ecosa a giudieare te convine baver sa li in capo nanze che lo possi ben co- gnosceré e giudicarlo. Pero che molte volte a noi sirap- posto un numero, ét siremo domandati sel si possa trovare un quadrato che trattone el ditto numero resti quadralo : .e giontoli el ditto numero facia quadrato. ( 282 ) La qual resposta a darla fia difficillima si commo la ex- perientia praticando te mostrara. Di quali easi : qui seguente tene mittero alcuni accio per quelli similiter in gh altri te habi a regere e meglio anche habi ap- prendere le regole date. Le quali non lavemo date solo per quelli che per forza da se si trovano : ma per ado- perarle a quelli ch’a noi siranno dubij. Eppoi e da notare in solvere domande che ti fossero date che gionta e tratta una medesima quantita : resti e facia quadrato. E voler che tu trovi el numero ch’ancora sia quadrato : te convera fare a questo modo. Cioe che tu vadi cercando per li numeri congruenti se tu cenetrovi alcuno che partito per la quantita che tu voli giognere e trare nevenga numero quadro. Eppoi a te emistiero formartene bene asai de ditti congruenti e Speremen- tare a uno per uno partendoli per ditla quantita fin che tovi uno del qual partito ne venga numero qua- dro : cioe che habia radici discréta. E quando tu larai cosi trovato tu prenderai el numero quadrato con- gruo di quel tal numero congruente che partito per la quantita te.feci venire numero quadrato. E quello pareterai per questô avenimento quadrato : e quello- che venira sira el numero quadrato adimandato che giontosi e trattone la ditta quantita fae resta quadrato. Exemplum diro cosi. Troyvame un numero quadrato che giontoci 6. facia quadrato e trattone 6. ancora re- manghi quadrato. Dico che disposti li mumeri con- gruenti quanti piu tanto meglio : vada provando co- menzando dal primo : sevene véruno che partito per 6. nevenga numero quadrato. Unde tu sai che 24.51 primo congruente partito per 6. nevené 4. che’ene nu- ( 283 ) mero quadrato. Ora dico che tu tolga il numero qua- drato congruo di quel congruente che sai per le vie anteditte ene 25. Or questo dico che parta per quello avenimento : cioe per 4. nevene 6 +. e questo ene lo ademandato numero : cioe 6 =. quale e quadrato : che la sua radice ene 2 :. Gionto adonca 6. a. 6 =. fa 12 =. _ch’anche ene quadrato la cui radice e 3 <. e cava 6. de 6 =. resta =. ancor quadrato : che la sua radice e =. siche in questo modo {1) ti conven regerte a simili (Pacioli, summa di arithmetica geometria ; f. 14-15, dist. I, tr: 3, $$ 5 et 8). (1) D’après ce qu'on vient de lire, Pacioli appelle Congruenti les nombres de la forme 4 nr (n—L1)(27<+ 7x); les Quadrati congrui peuvent être représentés par l'expression (272 27 1)2; et l'on pourra résoudre l'équation x4 — D? — z2'en nombres rationnels, toutes gnrda)(ontn) les fois que l’on aura : — u?. On fera alors | 2n+-on— D, SE u et l'équation proposée sera résolue en nom- bres entiers, Par exemple, pour résoudre les deux équations simultanées x? + 6 & n{n 4x) (2 n+1) = )2,22— 6 — ?, on fera = 1, etl'on aura 6 24 — + x 2n2Lon—tzr 5 à 25135": 7} EE ZAR, I =: x ——; ——6=- G à u 2 ARE 4” pi + RE es TOME MRC 2. reg À { 284 ) J NOTE XXIX. ( PAGE 141. ) ri £ Je vais donner ici, d’après Pacioli, la résolution d’une équation complète du quatrième degré, et la résolution par approximation d’une équation expo- nentielle. Voici comment il traite (1) équation du quatrième degré : Poniamo che la spera terrena a de revolutione 20400 miglia e super lo equinotio da uno ponto e in ponto si muove dai ponti mobili lo primo va verso oriente el primo giorno un miglio lo secondo 2 lo terzo 3 ecc., lo secondo va verso occidente lo primo di un miglio lo secondo 8 e lo terzo 27 ecc. Adomando in quanti di si troveranno li dice movimenti in un sol ponto. Fa cosi poni che li si congiungan in 1 co. de di adunca sera andato lo primo in questo tempo + ce. e : co. E lo secondo sira adato in questo tempo = ce. ce. e £ cu. e+ ce. ora giogni tutti insiemi fara + ce. Ce + CU. = Questo (2) e eguale a 20400 miglia adonca sera 1 ce. (1) Pacioli, summa de arithmetica geometria, part.I, f. 44, dist, II, ir. , pA (2) nags le terme précédent , il manque © ce à censo — #4 mais ce nest qu'une faute d'impression, puisque ce terme se trouve rélabli immediatement après. out. ( 285 ) ce. 2 eu. 3 ce. 2 co. eguale a 81600, e per trarla à noticia sopra ciascuna parte giongni 1. adonca sera 1 ce. ce. 2 Cu. 3 ce. 2 co. 1. eguale a 81601 mo trazi le R. de ciascuna parte e sera 1 ce. 1 co. 1. eguale à la R. de 8:601 adonca e 1 co. egual a R 81601. m. 1. la cosa fo como se definisce per capitulum quartum _algebre R. 81601. ». = la R. del rimanente. ». = ein tanti giorni si trovarà li detti ponti in un ponto, ecc. Il faut remarquer d’abord ici, pour comprendre l'analyse de l’auteur, que, suivant les notations et les abréviations qu’il emploie, on a : co == cosa = x ce —= censo — 2? cu = cubo = 1° ce. ce. — cén$so Censo = zé R — radice — m = Mmen0 = — T I I Li I I — ce, e - Co. — — censo + - cosa — - 42 + -+ 2 2 2 2 2 I 1 I I 4 1 I - ce. ce. e — CU. € — ce, — - Censo censo — — cubo + — censo 2 4 .. 2 2 = Ron 2 af E =» etc., etc. Maintenant , si l’on veut écrire la solution de Pa- ciohi avec les notations actuelles, on aura : EE D) + Re — 20400. 24 + 2 &$L 3 x2 L 2 x — 81600. a+ ox Loz tr — 81601. miH2m+3atboztir = ee tr — V7 81607. I 3 LS = — eye bus 74 8160ot. etes. ss vtt ( 266 On voit, d’après cela, que sa méthode réussira chaque fois que l'on pourra rendre le premier mem- bre un carré parfait en y ajoutant un nombre donné. Actuellement, je vais reproduire ici les équations exponentielles résolues par Pacioli, parmi lesquelles il y en a de fort compliquées. Una (r) fa al quanti viaggi e quanti fa viaggi tanti 4. porta e a ogni viaggio chel fa sempre redoppia li soi d. e a la fine di soi viaggi si trovo in tutto due 30. Di- mando quanti viaggi fece e quanti duc. porto (2). Fa cosi prima vedi se vi sonno aponto viaggi sani che te servino a la domanda se non apozzate poi : ma prima fa che tu vada negotiando li viaggi sani exte. Or poi che facesse 2. viaggi e porto due 2. ora redoppia per la prima fa 4. duc. poi per lo secondo fa 8. duc. e noi voremmo 30. donca dirai che ditti viaggi foron piu che 2. ora aponiamo che fossero 4. redoppia per uno fa 8. duc. poi redoppia per lo secondo fa 16. poi redoppia per lo terzo fa 32. or non bisogna che tu vada piu altra pero che non foron 4. ma meno or tu sai che foron piu che 2. e meno che 4. or poni che fosser 3. redoppia.al primo fa 6. redoppia el secondo fa 12. redoppia el terzo fa 24. che non arriva a 30. e pero qui te ferma a fare la tua positione e poni che (x) Pacioli summa de arithmetica geometria, part. I. f. r87. Dist. 1x, tre 7, $ 8. (2) La question que Pacioli veut résoudre ici se réduit à la résolution T de l’équation + 2 = 30. ( 287 ) facesse 3. viaggi piu 1. co. perche in verita lui con- venne fare piu de 3. viaggi ma non sapian che parte del quartù e perv ponemo che facesse3. viaggi sanie 1. co : del quarto viaggio ora redoppia per uno fa6, piu 2 co. redoppia per le secondo questa quantita fara 12. piu 4. co. poi redoppia per lo terzo fara 24. piu 8 cose. Ora tu sai che se lui compisse : el quarto viaggio lui guadagnaria in lo quarto viaggio questo che si trovasse de capitale nel terzo perche redoppia : cioè fa altretanto donca el quarto viaggio guadagna- rebbe 24. piu 8 co. ma noi non volemo se non per 1 co. del ditto viaggio : e perd noi diremo se uno viaggio sano guadagna 24. piu 8. cose che guada- gnara 1, cosa de detto viaggio multiplica e parti e vi- ratte a dare 24. cose piu 8 ce. e questo guadagno si vol giongnere al capitale de ditto quarto viaggio : cioè con 24, più 8 co. fara 24, più 32 co. più 8 ce. e questo sera a 30. secondo el tema aguaglia le parti e areca a 1 ce. haraï in ultimis 1. ce. piu 4 co. equal a ? per numero segui el capitolo harai la cosa valere. R, 42 meno 2. donca giongnili tre viaggi sani harai in tutto tanti viaggi che fa. R. 4 = piu 1. sarane prova e viratte bene se bene prenderai ditto binomio facta. Se k vorai provare bene andarai a la rieto scompo- nendo el 30 che verra piu legiera. 9. Uno fa alquanti viaggi e quanti viaggi fa tanti duc. porta e a ogni viaggio guadagno 25. per cento e a la fine di soi viaggi si trovo haver guadagnato in tutto le + del suo capitale. Dimando con quanti se parti et quanti viaggi feci. Seguirai in questa commo in lantescripta : cioè che tu andarai negotiando per ( 288 ) li viaggi sani e poni da te che facesse 2. viaggi e porto ducati 2. Ora dici che guadagna per ogni viagsio 25. per cento che vol dire el quarto del suo capitale, donca al primo viaggio guadagnara el quarto de ducati 2. che val dire mezzo : e questo giongni con lo capitale fa 2 1 poi per lo secondo viaggio che guadagnara el : de 2 + cioè # de due. che gionti con lo guadagno primo cioè con + fa 1 + e tu vorresti le ? de 2 cioè + de duc. donca dirai che feci manco de 2. viaggi donca poni-che facesse uno viaggio e porto ducato uno che guadagno el quarto che fo + de due e tu vorresti + don- ca arguirai che feci piu de uno viaggio e men di 2. ora dirai che vi mise porte de secondo asaper mo quanto farai qui la tua positione e poni che facesse r. cosa del secondo viaggio ora per uno viaggio lui gua- dagno el quarto de 1. piu r. cosa perche porto anco tanti ducati che vol dir ditto. guadagno + piu + cosa d. due. qual giogni al primo capitale fara 1 = piu 1 © cosa : e questo converra esser el capitale del secondo viaggio ora vedi questo siria el guadagno del secondo piglia el quarto de 1 + piu 1 + cosa neven + piu cose : e tanto harebbe guadagnato el secondo viaggio a la ditta ragione ma noi volemo solo el guadagno de 1. cosa che e parte del secondo viaggio : e pero dir& se uno viaggio nuda de guadagno + piu = cose che me dara una cosa de viaggio che te virra adare © cose piu + ce. ora suma questi 2. guadagni insiemi : cioe quella del primo che fo + piu + cosa e questo de la cosa fara + piu 2 cose piu + ce. e questo sera equale ali = de 1. piu 1. cosa che fo el capitale": cioe a pru ; co. leva hi superflui e areca la equatione a I. ce. harai ( 289 ) \ 104 200 in ultimis 1. ce. piu + co. equali a 1? sequi el capi- 1369 2500 tolo harai la cosa valere. R. men + cioe -—e tal parti feci del secondo viaggio : e giongnili un viaggio sano fara 1 + e tanti viaggi feci e tanti ducati porto : 2 cioe ducato 1 -+, fanne prova e satisfara el tema be- nissimo. 10. Uno fa alquanti viaggi : e tanti viaggi quanti fa tanti duc. porta e a ogni viaggio guadagna a ragion de 20. per cento e a la fin de soi viaggi si trovo tanti ducati que fo el quadrato del suo capitale. Dimando quanti viaggi feci e quanti ducati porto con seco. Re- gite commo in le precedenti va negotiando date stesso quanti viaggi sani lui pote fare e poni che facesse 2. viaggi, ora tu sai che chi guadagna 20 per cento gua- dagna el quinto del suo capitale, per che 20. e el quinto de 100; donca el primo viaggio guadagno 2 de ducato che gionti con 2 ducati che prima porto fanno 2. + per lo primo viaggio , poi per lo secondo lui si guadagnara lo quinto de 2 +, che sara el capital del secondo viaggio che son =: de duc. che gionti con lo capitale fanno 2 2 in tutto, et noi dicemmo che a la fin si trovo li soi dinari multiplicati in se, donca vo- rebbono essere 4 perche 2 via 2. fa 4 che fo capitale; e tu vedi che lo quadrato del capital. passa : donca dirai che feci manco viaggi : perche quanti piu tu metesse magior quadrato te faria li so d. donca metti uno viaggio € lui fara in tutto 1 = e tu voresti uno per lo quadrato de uno duc. che vedi che non ariva : donca dirai che feci piu de uno e men de 2. or per saper quanto farai position che fesse uno piu 1. co. del secondo viaggio giongnili el quinto fa 1 + piu x <. IT, 19 ( 290 ) cosa questi sira capital del secondo viaggio; pero piglia el quinto desso neven £ piu + cose, e tanto sarebbe el guadagno del secondo viaggio quando lo fesse tutto; ma noi sapen che non la feci tutto pero volemo sa- PS di una cosa, e dirai se un viaggio guadagna 7 piu + cose che guadagnara 1. cosa segui la regola harai be guadagnara < co. Gus ce. e Lire nr gni con li altri fara in tutto 1. != co. piu £ ce. piu£. e questo convien esser equale al quai de 1. piu 1. co. per che porto ancho tanti ducati secondo el tema quadrato fa. r piu 2, cose. piu 1. ce. aguaglia le parti e areca a*r. ce. harai in ultimis +# cose piu. 1 Ce. equali ne sp numero sequi el capté la cosa cs varra : R. men —- cioe = donca dirai che feci un viaggio sano e li = s del pilote e si porto ducati 1 seco facta. E is per questa farai le simili. 11. Uno fa alquanti viaggi e tanti viaggi quanti fane tanti d. porta e a ogni viaggio guadagno 40. per cento e a la fine de soi viaggi si trovo haver fatto de ogni 1. d. Dimando quanti viaggi feci e con quanti d. si mosse. Farai commo le precedente. Examina li viaggi sani che lui po fare e trovarai che siranno piu de 5. e manco de 6. pero porrai che fesse 5. viaggi piu 1. co. de V’altro di questo prenderai li 4 per lo guadagno peroche chi guadagna 40. per cento gua- dagna li © de cio che si trova e verra 2. piu + cosa giongni lo sopra fa 7. piu 1 + cose : e tanto si tro- vara el primo viaggio fra guadagno e capitale. poi iterum per lo secondo precedi PRE similiter li+ de cl0 Fe si trova : cie de 7. piu 1 + cose neven 2 + piu + cose che gionti al edit suo Ps 9 + plui ÊT 291 ) cose e tanto si trovara in tutto facto el secondo viag- gio : poi cosi facendo sequirai tu per li 5. e poi farai per lo sexto viaggio, e si quello prenderai la rata de la cosa commo festi di sopra e viratte bene si che 2566 Jr25 opera € troverai a la fine in tutto que 9 cose 405 13625 ce. sonno equal ENS - per numero are- 625 piu 2 caral a T. ce. e sequirai el capitolo harai la cosa va- 1643489177 38573 77 mm. 2 7, giongnili 5. per bi lere. R. 7 viaggi sani sara in tutto. 3 + piu. R. 7 fier e tanti viaggi feci e con tanti ducati si mosse fatta aponto. 12. Uno fa alquanti viaggi e porta alquanti d. e fa doi contanti viaggi e 2. piu che non porta d. e ogni viaggio guadagno 50. per cento e finiti li ditti viaggi si trovo haver fatto de ogni 1. 30. Dimando con quanti se parti e quanti viaggi feci a modo ditto. Sequirai commo in la precedente : vedi prima quanti . foron li viaggi sani et troverai che foron piu de 3. e men de 4. cioe si mosse donca poni che si movesse con 3. piu 1 co. de d. e per che dici che fa doi co- tanti viaggi piu 2. che non porta d. donca fara 2. via 3. piu I. cOsa : cioe 6. piu 2. cose giontovi 2. piu fara 8 piu 2 co. e tanti dirai che fossero li viaggi. Ora per sequire el tema vedi prima per li 8 viaggi sani e per le 2. co. pigliarai del 0°. per regola del 3. commo festi ne precedenti e haverai in lultima equatione 3442 es 1 Cet piu co. equali a 8 per numero sequi HET 2157 el capitolo troverai che si té con duc. 3 e si 746 2167 feci viaggi 8 de viaggio fanne prova e verratte bene e habi amente i simili de reggerte ben per li guadagni, cioe pigliando sempre tal parte del capitale 19. (292) qual che dice guadagnare per cento commo in questa che dici che a ogni viaggio guadagna 5o per cento vol dir che sempre guadagna la meta del capitale, etc. 13. Uno a 13. d. e fa alquanti viaggi e ogni viag- gio redoppio e spende 14. e a la fine si trovo con nulla. Dimando quanti viaggi feci. Cerca da te per li viaggi sani cosi negotiando prima copia 13 fa 26. Spendi 14 resta 12. e dai gia uno viaggio poi doppia el ri- manente fa 24. spendi 14. resta 10. ed aï 2. viaggi e doi minutioni : cioe una minutione del primo che fo uno e 2. del secondo. Mo e da notare he tutte le minutioni sonno in la proportionalita continua com- mo in le domande del pescion de casa fo mostro de sopra nel tratta. 2° De questa pero se la minutione del secondo viaggio e doppia a la minutione del primo, hoc est 2 a 1 quella del terzo viaggio fia dop- pia a quella del secondo donca sira 4. la minutiône del terzo che finora hai 7. per le tre minutioni se volesse la quarta minutione sarebbe 8. ma non po minuire tanto che non a pero cava le 3. minutioni : cioe 7. de 13. resta 6. e questo 6. conven che si mi- nuesCa aponto acio resti nulla, donca trova tutta la debita minutione del quarto viaggio che 8. commo ditto : or vedi che parti sia de 8. che son li ?, donca convera fare + de un viaggio e in tutto feci 3 + viaggi facta. Ma per che pare i congruo parlare a dire 2 de viaggi pero questo mandare sic docemus, videlicet cum in viaggio faciat duplum ergo in uno viaggio de uno facit 2. quod unum lucratur alium, ergo in + ip- sius viagij de ipso uno lucratur © unius denarij ergo facit de 4. 7. et erunt quatuor viagia ex quibus in ( 293 ) primo et in secundo et in tertio facit duplum et ex- pendit 14. in quarto fecit de 4. 7. expendit + de 14. S. 10 —. cosi faresti se dicesse che havea 15. con la medesima conditione ma la fine si trovo 150. Alora non serieno le minutioni anzi serieno acrescimenti Bi quali ancora loro sono proportionali per regola del 3. si trovano ut per te potes. Nota per simili domande sequenti prendi questa degna R: commo a dire stu me da tal parte de tuoi de qual 3. e di mei io naro 5. tanti di te. Di cosi per che tu li trovi termine convensi saper el ponto del meno che po havere lo primo che dimanda. E po- niamo chel secondo havesse 1. quantita e die dar tal parte al primo de questa quantita che gliabba de questa cosa medesima 5. tanto de quel che reman al secondo quella parte convenesse = della quantita. 6 E pero acatta un numero che 3. ne sia li + quel nu- mero fo 3 +. E questo e men che po haver lo primo. La ragion perche sel fosse tanto o men 3. seria piu de li ? desso adonca a dar piu de li ? de una quantita ad un altro si li reman men del sexto : adonca pur de questa parte propria a lo primo piu de 5. tanto : e pero de necessita converra haver lo primo da 3 + in su. E pero sempre secondo la dimanda se conven sapere questo ponto. Or poni lo primo per cioche tu voli : or ponilo 6. per sapere quello che a l’altro di da 3 ? fin in 6. sie 2 = e perchel dici io naro 5. tanti de ti. E tu fa 5. via 2 2 e poi adu. 6. in se fa 56. lo qual parti per 12. che neven 3. siche sel primo have 6. lo secondo have 3. E cosi per lo averso po- nendo el primo haver una quantita per saver lo se- ( 294) condo che disse al primo stu me da tal parte di toi commo € 5. de li mei 10. havero 7. tanto de te : fa cosi poni lo primo per quel che tu voli e ponamolo per 8. mo di saper lo secondo multiplica 8. per 8. cioe per uno piu de tanti fa 64.e questo multiplica per 5. perchel disse tal parte commo 5. de li mei che fa 320. Mo multiplica 8. per 7. tanto perche desse che laveria : fa 56. mo tolti la mita de 56. che e 28. multiplica in se fa 784. et batti 320. resta 464. Siche lo secondo che domanda conven haver 28 men R. 464. Habiandolo primo 8. per tal modo ai faran le simili, ( 299 ) NOPEE X XX ( PAGE 146. ) Regoluze del maestro Pagholo astrolagho. Jai cité dans le second volume (p. 206 et 526) les Regoluze del maestro Paolo, dont parle Ghali- gai. Depuis, j'ai fait l’acquisition d’un manuscrit d'Abbaco, composé à Florence vers le milieu du quatorzième siècle , et jy ai trouvé à la fin ces Règles que je m’empresse de publier comme lun des plus anciens monumens algébriques de la langue italienne. Resterait ensuite à discuter la question de savoir si c’est un Paul de Pise (qu’on ne trouve mentionné que dans Ghaligai), ou Paul Dagomari, qui est l’auteur de ces Regoluze. I] règne beaucoup d'incertitude sur les auteurs appelés Paolo astrologo ou Paolo dell abbaco, etil est possible qu’il y en ait eu plusieurs qui ont por- té ce nom. Il faut cependant remarquer que, dans un manuscrit du quatorzième siècle que je possède, et qui commence ainsi : « /n questo libro tratteremo di piu maniere di Ragiont adatte a trafficho di mercha- tantia tratte de libri d'arismetricha et ridotte in vol- gare per lo excellente huomo maestro Pagolo de Da- gumari da Prato », il n’est nullement question de ces Regoluze , ce qui semble confirmer l’assertion de Gha- ligai. Au reste, voici ces règles : ( 296 ) 1. Se vuolgli rilevare molte figure e ongni tre farsi uno punto chominciando dalla parte ritta inverso la mancha eppoi dirai tante volte milgliaia quanti sono li punti dinanzi. 2. Se vuolgli mul. numeri chabino zeri mul. le loro figure e ponvi tutti quelgli zeri dinanzi. 3. Se mul. dicine per dicine fanno centinaia € dicine ne centinaia fanno milgliaia e centinaia ne centinaia fanno decine di migliaia. 4. Se vuolgli fare racholti di svariati numeri ponvi li numero luno sotto laltro sicche le figure venghino poi dari della mano diritta. 5. Se vuolgli subito mult. in ro poni un zero di- nanzi esse, per 20 mult. per 2 e poni il zero dinanzi esse, per 30 mult. per 3 e poni ii zero dinanzi. 6. Se vuolgli partire in 10. subito, leva la prima fi- gura e parti in 2, esse vuolgli partire in 30. leva la prima figura e parti in 3. e poni il zero dinanzi. 7. Se vuolgli partire le lib. in 100 sappi che del- luna lib. ne viene d. 2 e = e delle 2 ne viene d. 4 < e delle lib. 3, ne viene 7 +e delle Kb. 4. ne viene di 9 + et dongni bib. 5 ñe viene S. uno. 8. Se vuolgli partire m 100 parti tanti S. in 5.il rimanente quelle sono lib. 9. Se vuolgli rechare le lib. à S. radoppia quello numero € poni uno zero. 10. Se vuolgli rechare li S. a bib. mult. il numero della mano ritta per 5. 11. Sappi che ongni rotto si scrive chon 2 numeri il mynore sta sopra la verga e chiamasi dinominato, il maggiore sotto la vergha e chiämasi dinominante. (297) 12. Se vuolgli rilevare 2. rotti in filzati sapfi chel secundo € parte di... il primo e parte duna di quelle parte di... 13. Se vuolgli ragiungnere 2. rotü imfilzati mult. il dinominato del secundo per la dinominante del primo e giungni il dinominato del primo esservalo per dinominato eppoi mult. luno dinominante contro al altro esservalo per dinominante. 14. Se vuolgli fare pilgliamento de rotti mult. la quantita per lo dinominato e parte per lo dinomi- nante. 15. Se vuolghi mult. rotto vie rotto mult. li dino- minati luno chontro al altro elli dinominanti simil- mente. 16. Se vuolgli giungnere 2. rotti spartiti mult. il dinominato delluno chontro all dinominante dell- altro e giungni insieme e parte per la multiplicazione delluno dinominante contro alatro e da questa opera sidirivailtrarre e partire di due rotti. 17. Se vuolgli chalchulare cioe fare rag. di vendita o di chompera ponvi la materia dirinpetto al suo pregio ella simile sotto la simile eppoi mult. quelgli 2, numeri che stanno alla schisa e party per lo nu- mero che nel chanto senpre. 18. Se vuolgli sapere che toccha il di a chotante lib. lanno muit. per 2. e parti per 3. escene , ecc. 19. Se mult. li d. deldi per 3 e parti per 2. usce- ranno quante lib. toccha lanno. 20. Se mult. le lib. che vale il chonguo per 3. e parti per 9. uscijranno quanti d. toccha alla meta- della. ( 298 ) 28 Se mult. i d. che vale la metadella per 5. e parti per 3. usciranno le lib. che toccha il chongno. 22. Selh s. che vale il chongno mult. per 2 usci- ranno quanti d. toccha alla metadella. 23. Selli d. che vale la metadella parti in 2. usciranno f. che vale in chongno. 24. Selle lib. che vale la libr. mult. per 5. e parti per 6. usciranne i d. che toccha al danaro peso. | 25. Selli S. f. vuoli rechare a p. mult. per 9. e parti per 4. 26. Selli f. a. vuoli rechare a. f. mult. per 4. e parti per O. 27. Se parti per 5. le lib. che toccha lanno al. 100. usciranne li d. che toccha alla lib. il mese. 28. Selli d. che toccha alla lib. il mese mult. per 5. averai le lib. che toccha lanno al centinaio. 29. Se f. a. vuolgli rechare a. p. mult. per 10. e parti per 3. 30. Se f. a. vuolgli rechare a. p. mult. per 5. e parti per 10. 31. Sappi che tante lib. quante vale il 100 della lana tanti d. valgliono le 5. once e tanti s. per le 5 br. 32. Se mult. lanpieza dun cerchio per 22. e parti per 7. arai quanto gira intorno. 33. Se vuolgli ragiungnere gli numeri chessono da 1. insino innalchuno numero giungni 1. sopra esso e mult. per la + desso. 34. Selli s. che valesse lo staioro della terra par- tirai peri2. usciranne quanti toccha d. quadro. ( 299 ) 35. Sellanpieza dun pozo mult. per se medesimo epoi per la profondita eppoi per 4. uscirranne quanti baril tiene. 36. Se vuoi mult. alchuno numero + per se me- desimo mult. quello numero e giungni quello numero e anche senpre =. 37. Se vuolgli mult. ciaschuno numero sano per la dinominante del suo rotto e giungni il dinominato eppoi mult. luna somma chontra laltra e parti per hi dinominanti. 38. Se vuolgli partire alcuna quantita per numero sano e rotto mult. quello numero per lo dinominante e agiungmi il dinominato e sara il partitore eppoi mult. quella quantita nel dinominante. 39. Se vuolgli partire rotto per intero mult. lontero per la dinominante e acchoncialo chon quello dino- minato. 40. Se avessi a partire per alcuno numero chon- posto o numero riperegiante parti per le sue pieghe ella prima e quella chessi pone dallato ritto. 41. Se partirai 72 anni sara doppia ongni quantita a fare chapo danno. 42. Se vuolgli ritrovare in che feria entra chalendi I * somma parti in 7. e il rimanente sara la feria. di gennaio agiungni gli anni dominj la + parte alla 43. Selgh anni domini chon uno agiunto partirai in 10. il rimanente mult. per 11 e della soma gitterai le cientine avrai la patta di quellanno e sappi che ongni anno nesce II. 44. Selgli anni domini chon 3 agiunti partirai per ( 300 ) 15. il rimanente sara la indizione di quellanno e on- gnanno si muta a di 24 di settenbre. 45. Se giungni la patta el numero de mesi di marzo e quelli di del mese arai la etade della luna. 46. Se vuolgli trarre un numero dun altro alluogho il minore sotto il maggiore eppoi trai ciaschuna figura disotto di ciaschuno disopra chomminciando dalla parte dritta e quando la figura disotto e maggiore agiungni a quella di sopra una dicina e dalla figura disotto giungni uno. 47. Se vuolgli trovare la prossimana radice daluno numero trai il prossimano quadrato del detto numero e il rimanente parti per lo doppio della radice del quadrato. | 48. Se mult. ciascuno de lati della R quadra per se medesimo e agiungni insieme la radice della somma sära la chosa. 49. Se vuolgli sapere la capacita della botte pilglia la sua alteza e lungheza chonuno : di bra eppoi agiun- gni al alteza il = e mult. per se medesimo eppoi nella lunghezza eppoi per 8.e parti in 15. usceranne quanti quarti di vino tiene la botte e 10. qarti sono 1° barile. 50. Se vuolgli sapere in che di entra ciascuno mese piglia il suo rigolare e ponvi su il conchorrente del- lanno e del mese e in quello di entra quello mese chettu vuoi sapere. br. Se vuoi trovareil chonchorrente dellanno giun- gni sopra gli anni domini il quarto eppoi parte per sette e quello chetti rimane siene il suo chonchorrente. 52. Se vuolgli sapere qua sono 1 regolari echolgli qui e volglionsi inparare a mente. | (! 507) QT -marzO 5. lulglio 5.1 novenbre aprile 1. aghosto 5.4 dicenbre 7 maggio 3. settenbre 7.7 gennaio 3 glungno 6. ottobre 2 febraio 6 Le manuscrit d’où j'ai tiré ces Regoluze est ano- _nyme; mais, d’après plusieurs indications qu'il fournit, il semble avoir été composé vers 1340. AS 2 ( 302) NOTE XXXL. ( PAGE 147. ) Ïl serait impossible de donner ici une analyse des différens ouvrages dont il est parlé à la page 147, et d’ailleurs cette analyse n'aurait pas un grand intérêt. Je pense qu’il vaut mieux faire connaître les diverses tentatives qui avaient précédé les découvertes de Ferro et de Tartaglia sur les équations du troisième degré. On trouvera dans cette note des extraits de deux anciens manuscrits d’algèbre qui m’appartiennent, et qui prou- vent que depuis long-temps les géomètres avaient tenté de résoudre les équations des degrés supérieurs au second. Quando (1) li eubi sono equali al numero, se dei partire li numeri per li cubi e radice cuba , de quello che ne vene vale la cosa : trovare tre numeri che sia tal parte l’uno de: l’altro commo 2. de 3. e 3. de 4. che multiplicato il primo per lo secondo e quello che fa multiplica per lo terzo faccia 96. Poni che uno sia 2. cose, l’altro sia 3. cose, e’l terzo 4. cose : hora multiplica 2. via 3. cose fa 6. quadrati censi; multiplica per lo terzo che è 4. cose via 6. qua- (1) Ceci est tiré d’un manuscrit du xrv° siècle, in-4, qui semble avoir été écrit en Toscane. ( 303 ) drati censi fa 24. cubi, che sono equali ad 96; parti per li cubi, che sono 24. ne vene 4, e la radice cuba di 4. vale la cosa. Noi dicemmo che il primo numero fu 2. reca 2. a radice cuba, fa 8. multiplica radice cuba de 4. via radice cuba de 8. fa radice cuba de 32. Adunqua il primo numero fu radice cuba de 32. il secondo mectemmo 3; reca 3. a radice cuba, fa 31; multiplica radice cuba de 4. via radice cuba de 27. fa radice cuba de 108; e radice cuba de 108. fu il secondo numero : 1 Iterzo mectemno 4. reca a radice cuba fa 64. multiplica radice cuba de 4. via radice cuba de 64. fa radice cuba de 256; e radice cuba de 256. fu il terzo numero. Egle uno che a 4. bolognini e un altro a 6. pisani ; quello da li bolognini vuole cambiare à pisani, e quello dai pisani vuole cambiare a bolognini, e cam- bia a quella medessima ragione l’uno che l’altro; quando anne cambiato , quello da 6. pisani se trova avere tanti bolognini che sono radice dei pisani : do- mando che si trova quello ch’averva 4. bolognini e che valse il bolognino a’pisani. Metano che il bolognino valesse a pisani una cosa de pisano, 4. bolognini varano 4. cose de pisano : hora sappi quanto vagliano 6. pisani, cioè quanti bolognini, che in posto che il bolognino vale in cosa de pisano; adunqua multiplica una cosa via 6. fa 6 cose; tu ai che partire 6. cose per una ne de’ venire radice de 4. cose; debiamo recare 1. a radice fa 1. quadrato censo; hora multiplica 1. quadrato via 4. cose ; fa 4. cubi, et radice de 4. cubi sono equali a 6. reca 6. a radice, fa 36. parti per li cubi, che sono 4. ne vene 9. e radice cuba de 9. ( 304 ) vale la cosa. Noï ponemono che il bolognino valesse una cosa a pisani : adunqua varà il bolognino a pisani radice cuba de 9. Quando li cubi sono equali a radice de numero, se dei partire le radici de’ numeri per li cubi e la radice della radice cuba, de quello che ne vene varà la cosa. Trovame tre numeri che sieno in proportione insie- me commo 2. de 3. e 3. de 4.e multiplicato il primo per lo secondo, e la somma che fa multiplicata per lo terzo faccia radice de 12. Poni che il primo numero sia 2. cose, il secondo 3. il terzo 4. cose : hora de’ multiplicare 2. via 3. fa 6. quadrati censi ; e questo multiplica per lo terzo, che 4. cose via 6. quadrati fa 24. cubi, i quali sono equali a radice de 12. Abiamo a partire per li cubi : pero reca 12 576° 24. a radice, fa 576. parti 12 per 576. ne vene cioë —. e la radice de la radice cuba de + vale la cosa: e il primo numero fu 2. cose : reca 2. a radice de ra- dice cuba; multiplica 2. via 2. fa 4.e 4. via 4. fa 16. e 4. via 16. fa 64. Hora dei multiplicare 64. via =. fa Le 1 L. e la radice de la radice cuba de 1 : fu il primo numero ; o per lo secondo, che fu 3. reca 3. a radice de radice cuba, fa 729. multiplica 729. via. fa 15 =. e la radice de la radice cuba de 15 + fu il secondo numero ; per lo terzo, che fu 4. reca 4. a radici de radice cuba, fa 4096. multiplica 4096. via =. fa 85 =. e la radice de radice cuba fu il terzo. Quando li cubi sono equali a le cose, debiano partire le cose per li cubi , e la radice di quello che ne vene vale la cosa. | | Trovame doi numeri che sia tal parte l’uno de l’altro : 2 te TO ( 305 ) 4 €ommo 2. de 3. e multiplicato l’uno per sè medes- simo, poi per lo numero, faccia tanto quanto l’altro numero. Drche uno de quelli numeri sia 2. l’altro 3. cose : multiplica 2. via 2. fa 4. quadrati censi, e 2. cose via 4. quadrati fa 8 cubi, che sono equali a 3 cose ; parti 3. per 8 cubi, ne vene 2. e la radice de +. vale la cosa ; e noi ponemmo il primo numero 2. debbi recare 2. a radice fa 4. Hora multiplica 4. via £. fa 1 2. tanto il primo numero cioë de 1 =; il secondo ponemmo es- sere 3 cose, dei recare 3 a radice fa 9. multiplica 9 via 2. fa 3 £. et tanto fu il secondo numero. Quando li cubi sono equali a li censi, debiamo par- tire li censi per li cubi, e quello che ne vene tanto nu- mero varà la cosa. Trovame doi numeri che sia tal parte l’uno de Pal- tro commo è 3 de 4. e multiplicato l’uno per sè medes- simo, e la somma che fa multiplicata per lo numero faccia tanto quanto il secondo numero multiplicato per sè medessimo. Poni che il primo sia 3. cose, il secondo 4. cose, multiplica 3. cose in sè fa 9. quadrati censi, e. 3. cose via 9. quadrati fa 29. cubi. Hora debi multiplicare il secondo ch’è 4. cose via 4. cose fa 16. quadrati censi, li quali parti per li cubi, che sono 27. e partendo 16. per 27. ne vene +, tanto vale la cosa. Noiï ponemmo il primo numero 3. multiplica 3. via +. fa 1 2. e 1 Z. fu il primo numero; il secondo metemmo 4. multiplica 16 4. via +. fa 2 +. tanto fu il secondo. 27 Quando li cubi sono equali a le cose e a li censi, debiamo patire per li cubi, poi dimezzare li censi, e III. 20 306 ) quello dimezzamento multüiplicare in sè medessimo , e quello che fa ponere sopra le cose, e quello che farà la sua radice più il dimezzamento de’ censi varà la cosa. Trovame 3. numeri che sia tal parte il primo del secondo, commo 3. de 4. e il secondo del terzo commo 4. de 5. e multiplicato il primo per sè medessimo , e poi per lo numero faccia tanto quanto il secondo mul- üplicato per sè medessimo e gionto al terzo. Diche il primo sia 3. il secondo 4. il terzo 5. Hora muluüplica il primo 3. cose via 3. fa 9 quadrati censi e 9. quadrati censi via 3. cose fa 27. cubi : multiplica il secondo in sè, che è 4. cose via 4. fa 16. quadrati cen- si, agiogni 5. cose, fa 16. quadrati e 5, che sono equali ad 27. cubi; reduci ad 1. eubo, arai 1. cubo equale ad RE ++. censo Z. e =. de cosa; ismezza li censi, che sono -<. sirano =-. le ranitipliers >. Via farà = ; e 5 fa 3; ARNAS en cose, ne sono +, 1 9-9 7297? la radice de più il dimezzamento dei censi, vale la cosa, che fu + : e noi ponemmo il Am. numero 3 ; — 2 fa radice de raduci a radici fa 9; PR 9 via 2; multiplica 3 via + numero fa = numero. Dun- 2 729 ? qua il primo numero fa RAA de 2 ss. più > per nu- mero : e 1l secondo " 4 ; fa comme du primo, arai ra- dice de 4 2 più r = per numero; per lo terzo fa’il simile, arai radice de 6 = più 1 + per numero. Quando li cubi sono equali a is cose e al numero, se dei partire perli cubi e poi demezzare le cose, e quello dimezzamento multiplicare per sè medessimo, e quello che fa ponere sopra il numero, e la radice de quello, più il dimezzamento de le cose vale la cosa. Trovame doi numeri che sia tal parte l’uno de lal- ( 307 ) tro commo 2 de 3, che muitiplicato Puno per sè me- dessimo, e poi per lo numero faccia tanto quanto ra- gionti insiemei decti numeri, e poni su 16. Fa cosi : poni uno 2 cose e l’altro 3 cose; mulüiph- ca 2 via 2 cose, fa 4 quadrati censi; e 2 via 4 quadrati fa 8 cubi. Hora ragiungni tramendui 2 e 3 fa 5 cose; ponci suso 16, arai 8 cubi essere equale ad 5 cose; e 16 nu- mero reduci ad 1 cubo arei 1 cubo equale a + de cosa ; e 2 numero hora ismezza le cose sirano =; Haras avenue collo numero; che è 2, sirà cs in sè fa ==; più = che fu il dimez- par LE de le cose. .N oi ponemmo il bei numero 2 ; fa 8 = 2 via + fa +, per che numero multiplico PRE numero: + più $ per numero; il secundo numero poncne 3 ; reca a radi- reca 2 a radice fa 4; multiplica 4 via 2 22, 10 FAN il primo numero fu radice de 8 225 ci, fa 9; multiplica 9 via 2 ==, fa Mdic de 1 poi en 3 via - per numero, e radice a 18 23 più + per numero, fu il secondo numero. nds li cubi sono equali ai censi e al numero, debiamo partire per li euhi, poi dimezzare li censi e multiplicare in sè, e ponere sopra del numero e la ra- dice de la somma più il dimezzamento di censi val la cosa. Trovame doi numeri che sia tal parte l’uno de l’altro commo 2 de 3, e multiplicato il primo per sè medes- simo e poi per lo numero , faccia tanto quanto il se- condo numero multiplicato in sè medessimo e posto sopra 12. Ponamo il primo numero 2 cose, il secondo 3 cose : multiplica 2 via 2 cose fa 4 quadrati censi; e 2 cose 20. ( 308 }) via 4. quadrati censi fa 8 cubi. Hora multiplica il se- condo ch’è 3 cose via 3 fa 9 quadrati censi; ponci su 12, sirà 9 quadrati censi e 12, numero equale ad 8 cubi ; reduci ad 1 cubo arai 1 equale ad 1 quadrato censo + e 1 = numero; dimezza li censi, cioè 1 + sirà 2; multiplica in sè fa LE; agiognilo al numero ch’è 2. L, fa r 2 ;elaradice de r +, poi il dimezzamento de’censi, che fu = vale la cosa. Noiï ponemmo il primo numero 2; reca 2 a radici fa 4; e multiplica 4 via x 222 fa radice de 7 53 e 2 via fa: # per numero : Dis il primo numero fu radice de 7 + più 1 + per numero. Ilsecondo metemmo 3 : reca 3 a radice fa 9; multiplica 9 via 1 42 fa radice de 16 +; ee 256 mo il numero per 3 ch’è numero, cioè 3 via fa 1 numero : dunqua il secondo fu radice de 16 ## 1 -— per numero. Quando li cubi sono equali a li censi, a le cose e al numero, abiamo a ponare lo numero sopra le cose e farne numero, poi partire nelli cubi, poi dimezzare i censi, e multiplicare in sè, e ponare sopra il numero, e la radice di quella somma più il dimezzamento de” censi varà la cosa. | | | Troyame tre numeri che sieno in proportione l’uno de l’altro, commo 2 de 3, e 3 de 4, che multiplicato il primo in sè medessumo, e poi perlo numero facci tanto quanto il secondo multiplicato in sè e gionto collo terzo e con 12. Mecti il primo numero 2 cose , il secondo 3 cose, il terzo 4 cose ; multiplica il primo 2 cose via 2 fa 4 qua- drati censi, e 2 cose via 4 quadrati fa 8 cubi. Hora debbi multiplicare il secondo, 3 cose via 3 ( 309 ) cose fa 9 quadrati censi; giongni collo terzo, ch’è 4 cose e cum 12 farà 9 quadrati: 4 e 12 numero es- sere equale ad 8 cubi, seguita la regola, poni 4 sopra 12 numero, farà 16 numero; tu ai 8 cubi equale ‘ad 9 quadrati censi e 16 numero; ésnezza li censi, che sOnO Q, sirano.... ; raduci ad un cubo, arai 1 cubo equale a 6 op Le 2 numero; ismezza li censi ch’è 1 +, Sirà ——; re in sè fa 22 ; pollo sopra del nu- mero, che è 2, fa 2 =. La sua radice vale la cosa piu il dimezzamento de li censi; e noi ponemmo il ee numero 2: recalo a radice fa 4 ; RE HE 4 via2 <—, fa radice de 9; e 2 via = fa 1 + Spa numero : dun- qua il primo fu radice de KE +, piu r + per numero. Il onde mectemmo 3 : reca a DAS fa 9 ; multiplica 9 = fa 20 ;e3 Mes à i À pen QN dun- qua il PETRE fu radice de 20 = É 1 —— per numero. : terzo fu 4 : reca a radice, fa GE RTE 16 via > =, fa radice de 37 3 e 4 via - per numero fa 2 + adunqua il terzo fu radice de 37 -< piu 2 + per numero. Quando li cubi e li censi sono equali a le cose, de- biamo partire per li cubi, poi dimezzare 1 censi e multiplicare in se, e ponere sopra le cose, e la radice de la somma meno il dimezzamento de’censi varà la cosa. Trovame 3 numeri che sieno in proportione l’uno de l’altro, commo 2 de 3, e 3:de 4; e multiplicato il primo per sè medessimo, e poi per lo numero, e mul- tiplicato il secondo in sè, e quello che fa, gionto con la prima multiplicatione faccia tanto quanto :l terzo numero. Dr che il primo numero sia 2 cose, il secondo 3 il terzo 4 cose; multiplica il primo in sè'2 via 2 cose ( 310) fa 4 quadrati censi, e 2 cose via 4 quadrati fa 8 cubi : hora multiplica il secondo 3 cose via 5 cose fa 9 qua- drati censi; giongni co lo primo, arai 8 cubi e 9 qua- drati censi, e quale ad 4 cose; raduci ad 1 cubo, arai 1 cubo e 1 quadrato censo + equale = cosa; dimezza i SL; agiogniio a le censi Se = ; Eee in K Lu LE ; la cosa; e noi : e la radice d 5 6 mectemmo ï TRE numero Me reca 2 a radice fa 4; multiplica 4 via 2, fa radice de 3 +; dre il fa 1 = numero : dunqua il primo numero fu radice de numero , cioë, 2 via la meta de le cose ch'è =, 3 22 meno 1 + per numero. Il secondo fu 4; reca a Midites fa 9; multiples 9 via 22, fa radice de 7 <=; multiplica 3 via 2, fa 1 + numero : dunqua il se- condo fu radice de 7 2. meno 1 + per numero, Il terzo fu 4; reca a radice, fa 16; multiplica 16 via ‘12, fa radice de 13 =; e 4 numero via + fa 2 + nu- mero : dunqua il terzo fu radice de 13 = meno 2 + per numero. Quandoli cubi e le cose sono equali ai censi, abiamo a partire per li cubi , poi demezzare li censi e multi- plicare in sè, e de quello che fa trane le cose, e la radice de quello che rimane, più il dimezzamento de” censi vale la cosa. Trovame tre numeri che sieno in proportione uno de l’altro, commo 3 de 4, e 4 de 5; e multiplicato il primo numero per sè medessimo, e poi per lo numero, e quella somma posta sopra il secondo numero, faccia tanto quanto il terzo multiplicato per sè medessimo. Poniamo che il primo numero sia 3 cose, il se- eondo 4, il terzo 5 cose; e multiplica il primo 3 via TL DE) 3 cose fa 9 quadrati; e 3 cose via 9 quadrati fa 27 cubi ; agiognici il secondo , che à 4 cose, fa 27 cubi e 4 cose; multiplica il terzo, che è 5 cose via 5 cose, fa 25 quadrati censi ; tu ai 27 cubi e 4 cose equali ad 25 quadrati censi; reduci ad 1 cubo, arai 1 cubo < de at raie de censo ; dimezza i censi, che sono cavane le 193 2916 25 sirano <=; mltiplcal in sè, fa <=; cose, che sono <, resta =; e la radice . la cosa, più il dimezzamento de li censi, che fa =; e noi dicemmo il primo numero 3, reca a radice fa 9; eg via + fat; e3 via far Et Las : adun- a916 2916) 15 1:97 3 7 2916 qua il primo fu radice de più 1 -— per numero. Î] secondo metemmo 4; reca a AR fa Se multiplica 16 via fa radice de 1e Hora per lo terzo, Po fu 5. reca à Paie fa 25; e d fa té de 1 =; e 25 via 2916 29169 multiplica 25 via = numero, fa 2 7 : sicchè 1l terzo fu radice de 1 22 si 2 — per numero. Quando i censi di censi sono equali al numero, debiamo partire il numero per li censi di censi, e quello che ne vene la radice de la sua radice varà la cosa. Eglè uno scudo che a 3 facce equalie non so quanto sia per faccia, ma so che il dicto scudo è 100 bracci quadro : domando quanto sera lo scudo per faccia. Diponamo che sia per faccia 1 cosa per redurlo à quadro : dei glognare tucte tre le facce insieme, che sirano 3 cose; piglia hora il mezzo de queste 5 cose, sono 1 +; hora sappi quanto è da ciascuna faccia fine ad 5 cose À e = cosa; ora multiplica + cosa via 1 = fa 2 Le quadrato di censo ; hora multiplica À cosa + di censo fa 5 de cubo; e = cosa via À de cubo fa = de censo ( 3121) di censo, che sono equali ad 100 bracia; reca a ra- dice fa 10,000.— Debiamo partire per li censi di censi che sono + : gioè, reca ad x censo di censo sirà 1 censo di censo, equale 53,333 4; e la radice de la radice de 53,333 = vale la cosa che è per faccia. Quando li censi di censi sono equali a le cose, debiamo partire le cose per li censi di censi, e la ra- dice cuba de quello che vene varà la cosa. Trovame doi numeri che sia tal parte l’uno de l’altro commo 2 de 3, e multiplicato il primo per sè medessimo, e quello che fa multiplicato pure per sè medessimo , faccia tanto quanto il secondo numero. Mecti il primo numero 2 cose, il secondo 3 cose; multiplica il primo, ch’è 2 cose via 2 cose fa 4 qua- drati censi; hora multiplica 4 quadrati via 4 quadrati censi fa 16 censi di censi, che sono equali a 3 cose; tu ai a partire 3 per 16 censi di censi, ne vene +, e la radice cuba de # vale la cosa; e noi ponemmo il primo numero 2; reca 2 a radice cuba, cioè, 2 via 2 fa 4, e 2 via 4 fa 8; hora dei multiplicare 8 via < fa radice cuba de 1 =: tanto fu il primo numero, cioè, radice cuba de } +. Et il secondo metemmo 3; reca 3 a radice cuba; multiplica 3 in sè fa 9; e 3 via 9 fa 27; hora dei multiplicare 27 via © fa ++, che sono à +; e la radice cuba de 5 = fu il secondo nu- mero. - Quaado li censi di censi sono equali a h censi, dovemo partire per li censi di censi, e la radice de quello che ne vene varà la cosa. Trovame doi numeri che sia tal parte uno de fl'al- tro, commo 3 de 4; e multiplicato il primo per sè x CSS) medessimo, e quello che fa moltiplicato ancora per sè medessimo , faccia tanto quanto il secondo numero multiplicato per sè medessimo. Poni che il primo numero sia 3 cose, il secondo 4 cose ; hora multiplica il primo, ch’è 3 cose via 3 fa 9 quadrati censi ; e 9 quadrati via 9 quadrati censi fa 81 censo di censi; hora multiplica il secondo , cioë, 4 cose via 4 cose fa 16 quadrati censi; tu ai 81 censo di censo equali ad 16 quadrati censi; tu dei partire li censi per li censi di censi, cicè, 16 quadrati censi per 81 censo di censo : ne vene +; e la radice de :# fa + ch’è 17, e la radice de 1 7 fu il primo numero. Il seconde metemmo 4 : reca a mers fa 16, e 16 via < fa 3 =; e la radice de 3 fu il secondo nu- 81 & 1 mero. | Quando li censi di censi sono equali a li eubi, do- vemo partire li cubi per li censi di censi, e quello che ne vene vale la cosa. * Trovame doi numeri che sia tal parte l’uno de l’al- tro commo 4 de 5, e moltiplicato il primo per sè me- dessimo; e quello che fa moltiplicato per sè medessimo faccia tanto quanto il secondo multiplicato per sè stesso, e quello che fa multiplicato per lo numero. Dr che il primo numero sia 4 cose, e il secondo > cose; multiplica il primo, ch’è 4 via 4 cose fa 16 quadrati censi; e 16 via 16 quadrati censi fa 256 censi di censi : hora multiplica il secondo, 5 cose via 5 fa 25 quadrati; e 5 cose via 25 quadrati censi fa 125 cubi : hora tu dei partire li cubi per li censi 125 5% : tanto di censi; a partire 125 per 256, ne vene vale la cosa. Noi ponemmo il primo numero 4; mol- US tiplica 4 via + fa =, che è : tanto fu il primo 256 256 ? numero. Il secondo seras tal era 5; moltiphica 5 : tantofu il secondo numero. via == fa =, cheè 2: 256 256 256 Quando li censi sono equali al censo di censo e al numero , dovemo partire, nelli censi di censi , e poi dimezzare 1 censi, e multiplicare in sè, e de quello che fa cavarne 1l numero , e la radice de quello che ri- mane varà la cosa. Trovame doi numeri, che sia tal parte l’uno de l’altro commo 1 de 3, che multiplicato il primo per sè stesso , e quello che fa multiplicato per sè medes- simo, poi gionto con 20, faccia tanto quanto il secondo multiplicato per sè stesso. Ponamo che il primo numero sia 1 cosa, il secondo 3 cose; multiplicauna cosa via una cosa, fa un quadrato censo e 1 quadrato via, 1 quadrato censo fa 1 censo di censo, pollo sopra a 20fara 1 censo di censo e 20 nu- mero : multiplica hora il secondo, cioè 3 via 3 cose fa 9 quadrati censi; tu ai 9 quadrati , che sono equali ad 1 censo di censo e 20 numero a partire per li censi di censi, a quello medessimo; dimezza i censi, che sono 9, siran 4 + ch’è 20 , resta =; la radice de +, ch’ è +, tracta del ; multiplica in sè fa 20 = ; tranne il numero, dimezzamento di censi, che fuoro 4 +, tratone = re- mane 4 , e la radice de 4 vale la cosa ch’è 2, e 2 fu il primo e 6 il secondo. Quando li censi sono equali a radice de numero , dovemo recare i censi a radici , poi partire le radice del numero per quello recamento de li censi a radice ; e la radice de la radice de quello che ne vene varà la cosa. ( 535 ) Trovame doi numeri che sia tal parte l’uno de Valtro commo 2 de 3 ,e multiplicato l’uno per l’altro faccia radice de 576. Mecti il primo numero 2 cose , il secondo 3 cose ; multiplica 2 via 3 cose fa 6 quadrati censi, i quali sono equali a radice de 576. La regula dici che se richi i censia radice, che sono 6, farà 36 ; parti per 36 , ne vene 16 ; tanto vale la cosa , cioè -radice de radice de 16 : e noi ponemmo il primo numero 2 ; reca 2 a radice de radice fa 16; mulüipli- ca 16 via 16 fa 256; e la radice de la radice de 256 fu il primo numero ; e metemmo il secondo 3 , reca 3 a radice de radice fa 81 ; multiplica 81 via 16 fa 1296, e la radice de la radice de 1296 fu il secondo numero. Quando li censi sono equali al numero e a radice de numero , se vole partire lo numero per li censi e ser- vare , poi recare li censi a radice , e partire la radice del numero, e quello e la radice di quello che ne vene gionta collo numero che tu salvasti e la radice di quello varà la cosa, cioèla radice denumerce que tu salvasti, più la radice de la radiee di quello che venne partendo la radice del numéro per la radice de censi. Trovame doi numeri, che sia tal parte l’uno de l’altro commo 3 de 4 ; e multiplicato l’uno per l’altro faccia 10 e radice de 10. | Poni che il primo numero sia 3 cose e l’altro 4 cose ; multiplica 3 cose via 4 cose fa 12 quadrati censi, li quali sono equale a 10 e radice de 10. Hora , per se- guire la regula , abiamo a partire 10 per 12 quadrati censi ne vene ? cioè radice de ? ; hora parti radice de 10 per 12 ; reca 12 a radici fa 144 ; parti 10 per 144, 316 ) ne vene + , € la radice de ? più radice de + vale la. cosa. Noi opens il primo numero 3; reca + a radice fa 9 ;e 9 via e radice de = fa aies de 7 + e radice de radice de s 8; tanto fu * primo numero. Il secondo fu 4 ; reca 4 a radice fa 16 ; e 16 via © è radice de + fa radice de 13 + e radice di radice de 19 Z: e tanto fu il secondo numero. Quando le cose, Hi censi e h cubi sono equali al numero , dovemo partire prima per li cubi, poi partire le cose per li censi , e quello che ne vene recare a radice cuba e ponere sopra del numero e radice cuba di quella somma varà la cosa menoil partimento che venne de le cose partite ne’ censi. Uno presta ad un altro 100 Æ e in capo de 3 anni riebbe 150 £. À fare capo d’anno domando a che ra- gione fu prestata la :£ il mese. Poni che la lira fusse prestata il mese ad x cosa: adunque la £ guadagna l’anno 12 cose , e perchè 12 & x soldo , e il soldo = de #, M S piglaremo -= de cosa. Se la “ guadagna l’anno — de cosa, 100 Æ gua- sono 5 cose per lo primo anno. de FE lo ea 100 £ guadagnano altre 5 cose ; e 5 cose a quella ragione guadagnano lanno + di quadrato di censo; tu ai 100 Æ e 10 cose e + di quadrato di censo. Il terzo anno, 100 Æ guadagnano pure à cose , e 10 cose si guadagnano + quadrato cen- so , e + di quadrato di censo guadagna + di cubo. Tu ai ché in tre anni 100 £, 15 cose di censo, -- di cubo, li quali sono equali a 150 Æ: to’ via 100 À da onni parte , arai bo Æ equale ad 15 cose e + di censoe -= di cubo ; reduci ad r cubo, arai 1 be: e 1200 COS ; (317) e 6o censi equali ad 4000 £; e la regula dici che tu parta le cose, che sono 1200 , per li censi che sono 60, ne vene 20 , e questo 20 reca a radice cuba fa 8000 ; agiognilo collo numero che è 4000 , fa 12000; e la radice cuba de 12000 vale la cosa meno il partimento che venne de le cose ne’ censi, che fu 20; e noi dicemmo che la Æ£ fu prestata ad r cosa , e la cosa vale radice cuba de 12000 meno 20 per numero : adunque fu prestata la Æil mese a radice cuba de 12,000 , meno 20 per numero. Quandole cose e i censi e i cubie censi di censi sono equali al numero, se dei partire ne’censi di censi, e poi partire le cose per li cubi , e quello che ne vene recare a radice e ponere sopra del numero , e la radice de la radice di quella somma , meno la radice de le cose -che ne vene , partite per li cubi , tanto vale la cosa. Uno presta ad un altro 100 Æ per 4 anai, a fare capo d’anno ; e in capo de 4 anni gli rende , tra merito e capitale 160 £. Adimando a che ragione fu prestata la £ il mese. Ponamo che la Æ fusse prestata il mese ad 1 cosa, la £ guadagnara l’anno 12 cose; per le 12 cose pi- gla À di cosa perchè 12 et 1 soldo commo è& dicto 36 denanze. Se la £ guadagna l’anno de cosa, 100 £ gua- dagnarano ==, che sono 5 cose; 100 |. guadagnanoil primo anno 5 cose, il secondo 100 £ guadagnano altre 5 cose, e à cose guadagnano l’anno—< di quadrato, ch’ = di quadrato di censo ; giogni inseme , ai il secondo anno 100 £, 10 cose, + di quadrato di censo. Hora per lo terzo anno 100 Æ guadagnano 5 cose , Li . e 10 cose guadagnano + quadrato censo , e - di qua- ( 838) ‘ drato di censo guadagna lanno + di cubo; giogni i numeri fa 100 £ 15 cose © di a di censo + di çubo. Per lo quarto anno 100 £ dano 5 cose; e 15 cose dano so - di censo; e + di censo dano F cubo ; e = ide cubo dà l'aholee 5 —— tu ai il quarto anno 100 £e 20 cose 1 quadrato censo di censo di censo : A de censo di censo; e questo è I 7600 00 js ad 160 £; US le parti, to’ via da onni parte 100 |. remane 6o 1. equale ad 20. 1 quadrato M der dübéiez= 2 20 1600 censo di censo, arai 1: censo di censo, 32000 cose € de censo di censo, reduci ad : 24000 censi e 80 cubi equale ad 96000 numero; parti le cose per li cubi, cioë 32000 per 80 , ne vene 400; reca a radici, fa 160000; pollo sopra il nume- ro, che à 96000 , fa 256000 , e la radice de la radice de 256000 vale la cosa meno la radice del partimento che venne de le cose per li cubi, cioèl radice de 400 che è 20. Uno presta ad un altro 100 £, e in capo de l’anno li vole rendere , e quello li dici tiegli un altro anno a quella medessima ragione; e in capo de laltro anno; e quello si trova che la radice del merito è capitale del primo anno, multiplicato colla radice del merito é capitale del secondo anno fa 500. Domando a che ragione fu prestata la Æ il mese. Poni che li rendesse il primo anno 1 cosa tra me- rito e capitale : hora dÿ 100 Æ da x cosa, che darà 1 cosa ? multiplica x via 1 cosa fa t quadrato censo; partendolo per 100 ne vene —— di quadrato di censo ; tu ai che il primo anno fu, pes merito € capitale, 7 cosa ; 1l secondo, tra merito e capit ( 319) drato di censo. Hora multiplica radice de 1 cosa via L: Le radice de - di censo fa — di cubo, e questo à equale a 500; reca 500 a radice fa 250000; hora multiplica 100 via 250000 fa 2,500,000 ; e se tu vo- lesse sapere a cheragione fu prestata la Æ l’anno, parti radice cuba de 2,500,000 meno 100 per 100; reca 100 a radice cuba fa 1,000#000; hora parti radice cuba de 2,500,000 per radice cuba de 1,000,000 , ne vene radice cuba de 25 ; parti 100 m.in 100, ne vene 1; e cussi ai che la £ valse l’anno radice cuba de 25 meno 1 per numero : e se Volesse sapere a che ra- sione fu prestata la £ il mese, reca 12 a radice cuba, fa 1728; parti radice cuba de 25, meno x per nu- mero, per 1728, ne vene radice cuba de -2- £ meno + per numero de 1. Se voi recari a denari, reca 20 a radice cuba, fa 8000; e reca 12 a radice euba, fa 17928 ; multiplica 17928 via 8000, fa radice de 13,824,000; hora multiplica - meno -: per nu- mero via 13,824,000 fa radice cuba de 200000 meno 20 denari per numero : a tanto fu prestata la £ il mese. Uno presta ad un altro denari non so quanti, nè a che ragione la Æ il mese; ma so che quante £ gli prestù tanti mesi li tenne, e tanto merito; e so che li rende de merito 18 soldi. — Domando quante Æ li presti, e à che ragione la £ il mese. Hora recha 18 fa 324, eda radice cuba de 324, e la radice cuba de 324 fuoro le Æ che gli prestù, e tanto. li tenne e a tanto merito. Uno presta ad un altro denari non so quanti, nè a che ragione la £ il mese; e in capo dell anno li vole ( 3206 ) rendere il merito e il capitale; e quello dici tienli un altro anno a quella medesima ragione; e quando fu in capo de laltro anho; e quello li rende il merito e il capitale; il quale trova che il merito de l’ultimo anno multiplicato per sè medesimo fa 14 soldi più che il capitale. Domando che li prestù , e a que ra. gione fu prestata la £ il mese. Di che li prestasse 1 cosa a 20 denari il mese, si- rano l’anno 20 soldi; per 20 piglia 1, cioè 1 Æ : adunqua il primo anno fuoro 2 cose. Hora merita 2 cose per l’altro anno, che fanno de merito 2; multi- plica 2 cose via 2 cose fa 4 quadrati censi, e tu voi 1 cosa e 14 soldi più; reduci 1 soldi a denari, sirano 168; tuai r cosa e 168 numero equale a 4 quadrati censi; reduci ad 1 quadrato, arai r quadrato equale ad + di cosa e 42 numero; izmezzate le cose , sirano 2; multiplica in sè fa + Fo sopra il numero, fa 42 =, et la radice de de - più + per numero li prestù a ragione de 20 denari il mese. Uno presta ad un altro denari non so quanti , nè a che ragione la Æ£ il mese ; in capo de 2 anni se tro- va avere facto d’ onni r. 3; e tante e quante li prestd a tanti denari per Æ il mese fu meritata. Poni che li prestasse 1 cosa, e a 1 cosa de denari il mese valerà l’anno 12 cose; per le 12 pigla + di r, ch è - di censo. at ds per l’altro anno : pigla + de + de 20 onni denaro censo, Le RAA 1 via 3 fa 3, che sono eguali 1 cosa = di quadrato di censo se de cubo ; to’ via da onni parte 1, arai 2 COse equale di quadrato di censo —— de 400 30 raduci ad 1 Eds: arai 1 cubo 40 quadrati cen- (Fax?) si, equale à 800 cose; ismezza li censi, che sono 40, sirano 20; multiplica in sè, fa 400; agiogni colle cose, che sono 800, fa 1200. La sua Æ vale la cosa, meno 20 per numero, che fu il dimezzamento de’ censi : adunqua li prestù tante £ che fuoro radice de 1200 meno 20 numero, € a tanti denari il mese per Æ. Uno presta ad un altro denari non so quanti, nè a che ragione la Æ£ il mese; in capo de l’anno gli rende tra merito e capitale 100 Æ; poi le presta ad un al- tro, queste 100 £, a quella medesima ragione, e se trova che il guadagno de prima e quello de poi è 50 Æ. Domando quante £ fu il capitale de prima. Poni che li prestasse 1 cosa; il primo anno gua- dagna 100 £ meno 1 cosa; se 1 cosa me da 100, che me darà 100? multiplica 100 via 100 fa 10,000; a partire per 1 cosa, ne dei venire Do; trallo del gua- dagno de prima, ch’ & 100 meno 1, resta 50 meno multiplica 1 via 1 cosa fa 1 quadrato censo; e 1 cosa via 50 fa 5o cose; tu ai 1 quadrato. 5o equale ad 10,000 numero; ismezza le cose, sirano 25; multi- plicale in sè fa 625 ; giogni collo numero, farà 10625; la cosa vale radice de 10625 , meno il dimezzamento de le cose che fu 25; e noi dicemmo che li prestù 1 : dunqua li prestù radice de 10625 meno 25 per nu- mero. Uno presta ad un altro denari non so quanti, ma quanti denari li presta a tanti denari fu prestata la £li mese ; € in capo de 6 mesi, quello li rende tra merito e capitale 80 £. Domando quanti denari li prestà. Di che li prestasse 1 cosa; e 1 cosa de Æ il mese per li 6 mesi pigla 6 de denari; hora di 1 cosa via IT. 21 (en 6 cose fa 6 quadrati censi de denari; e tanto è il me- rito, e ’l capitale à r cosa ; reca 1 £ a denari fa 240 cose di denaro; agiogni 6 quadrati censi, arai tra merito e capitale 240 cose, et 6 quadrati censi equale ad 80 £; reca 80 £a denari, fa 19200; reca ad 1 quadrato censo , arai 1 quadrato 40 cose equali ad 3200; ismezza le cose, che sono 40, sirano 20; multiplicale in sè, fa 400; agiogni collo numero, fa 3600 ; la sua radice vale la cosa meno 20 che fu il dimezzamento de le cose : e noi dicemmo que prestù 1 cosa, e la cosa vale radice de 3600 meno 20 per numero. Adunqua li prestd radice de 3600, meno 20 per numero. Uno presta ad un altro denari non so quanti nè a che ragione la Æ il mese; ma il primo anno n° à 100 Æ, et l'altro anno gli merita a quella medesima ragione che il primo; in capo de doi anni si trova d’ onni 3 denari 4. Domando a che ragione fu prés- tata la Æ£ il mese e quello che li prestà. Metamo che li prestasse la Æ ad r cosa de £ l'an- no; adunqua onni € vale lanno , tra merito e capitale, 1 Æ I COsa; dunqua 100 £ saranno l'anno, tra merito e capitale, 100 £e 100 cose; e noi dicemmo che onni 3 denari fa 4 : adunqua pigla + de 100 £ e”*100 cose sono 75 £ e 75 cose, e questo de essere tanto quanto partito 100 € per 1 £; e 1 cosa; perd multiplica 1 e 1 cosa via 75 Æ et 95 cose , fa 75 quadrati censi e 150 cose e 75 numero, che sono equali ad 100 Æ; restora le parti; to” via da onni parte 75 numero, resta 25 numero, equale a 795 quadrati e 150; reduci ad 7 quadrato, arai 1 quadrato e 2, equale ad + numero ; 6 32% ) \ ismezza le cose, che sono 2 , sirà 1; multiplica in sé, fa 1; giogni cum lo numero, ch’ à +, fa 1 2, e la sua radice vale la cosa, meno il dimezzamento de le cose , che fu 1 per numero; e volendo sapere quello che li prestù, multiplica 100 in sè fa 16000; partilo per 1 =, ne vene 7500 , radice de 7500 £ li prestd; e per ve- dere a quanto fu prestata la £ il mese, multiplica 50 in sè, fa 400; hora multiplica radice de 400 via radice de 1 + fa radice de 533 =; e 20 via meno tr fa 20 meno , per chè tu averai a multiplicare radice de 1 ? meno 1 per numero per 20 , bisogna multiplicare ra- diceper radice e il numero per numero : perd ai facto de 20 radice per multiplicare radice de 1 2e meno 1, multiplicasti per 20 ch’ ë numero : diremo che la Æ fusse prestata il mese a radice de 533 = meno 20 per numero. Uno presta ad un altro 6 £; in capo de 2 anni gli . ne rende 20 £. Domando a che ragione fu prestata la Æ il mese. Fa cosi : multiplica 20 in sè, fa 400 Æ in per 2 anni, © parti quello che li rende per quello che li prestè ; parti 20 per 6, ne vene 3 =; multiplica 3 : via 400 fa 1333 = : adunqua fu prestata la Æ il mese a radice de 1333 : meno 20 p. numero. Uno presta ad un altro denari non so quanti, nè a che ragione la Æ il mese; ma so che il primo anno fuoro tra merito e capitale 100 Æ; poi li tenne per lo secondo anno a quella medessima ragione; poi li rendè , tra merito e capitale, tanti denari che la ra- dice del primo capitale. Domando che fu il suo primo capitale, e a che ragione fu prestata la £ il mese. 21. ( 524) Mecti che li prestasse 1 cosa ; il capo de lanno fu tra merito e capitale 100 Æ£ : adunqua 1 cosa da l'an- no 100 £; che därà 100 Æ per lo secondo anno? multiplica 100 via 106 fa 10000 ; tu aï che a partire 10,000 per 1 cosa ne de venire 1 quadrato censo; hora multiplica 4 cosa via 1 quadrato censo fa uno cubo, e questo & equale ad 10000 numero; partilo per 1 cubo ne vene radice cuba de 10000, e tanto vale la cosa. Noi dicemmo che li prestd 1, e la 1 vale radice cuba de 10000 : adunqua li prestù radice cuba de 10000. Se tu voi sapere a che ragione fu prestata la Æ il mese, parti 100.per radice cuba de 10000; prima reca 100 a radice cuba fa 1,000,000; parti 10000, ne vene radice cuba de 100. Hora se vole partire in 12, reca 12 a radice cuba fa 1528; parti radice cuba de 100 per radice cuba de 1728, ne vene radice cuba de °° de £; ma si vole recare a soldi poi a denari ; reca 20 a radice cuba fa 8000; multiplica radice cuba de 8,000 via radice cuba de 463 {_, fa radice cuba de 800000 de denari meno 1 £; a partire in 12 ne vene 20 denari meno,: adunqua li prestà radice cuba de 10000 £ e a ragione la Æ il mese de radice cuba de 800000, meno 20 denari per numero. Uno presta ad un altro denari non so quanti, nè a che ragione la Æ il mese; in capo de l’anno li rende tra merito e capitale 100 Æ; da poi li retene queste 100 £ per un altro anno a quella ragione, e 1 denaro più il mese per £. In capo del secondo anno, li rende i suoi denari duplicati. Domando quanti denari li prestù prima ,-e a che ragione la £ il mese. Poni che li prestasse r cosa, e in capo del primo (333) anno fusse ira merito e capitale 100 £: dunqua che te darà 100 £? multiplica 100 via 100 fa 10000 ; tu ai che a partire 10000 per 1 cosa ne dei venire 2 cose ; multiplica 1 via 2 fa 2 quadrati censi e per 1 denaro più che guadagna la Æ il mese 100 £ siranno 5 £; per le 5 £ piglia 5 cose : adunqua tu ai 2 quadrati censi equali a 5 e 10000 numero; reduci ad 1 qua- drato censo arai 1 quadrato equale a 2 cose + e 5000 & ; demezza le cose siranno 1 =, multiplicaie in sè fa 1 2; . sn il numero farà 5ooï = e radice de ES - più 1 +, che fu il dimezzamento de le cose, vale la cosa ; e noi mectemmo che li prestèg : dunqua li pre- stù radice de 5oo1 - più 1 +; e volendo sapere a che ragione furo prestate le Æ il mese, parti per 12 che dà radice de 5001 - piùr +; in su per fine t. 100, cioé, fa cosi : cava 1 + de 100, resta 98 +; multiplica in sè fa 9751 --: hora reca 12 a radice, fa 144; parti ra- dice de Are -- per radice de 144, ne vene radice de 67 =527; o parti 5oox per 144, ne vene radice de 2304 ? 34 252% : adunqua furo prestate le £ il mese a ragione de radice de 67 :7 de Æ meno radice de 34 2 de £. Uno presta ad un altro denari non so quanti nè à che ragione la Æ il mese, e tante Æ quante li prestd a tanti denari fu prestata la Æ il mese; in capo de V anno li rende 5o £. Domando, che li prestù e a che ragione la Æ il mese? Di che li prestasse 1e + di merito, che da © di quadrato di censo ; reduci ad 1 quadrato, arai 1 Hs drato censo 20 e 1000 numero , che 50 multiplicato per 20 fa 1000 ; ismezza le cose, s’erano 10; multi- ( 326 ) plica in sè, fa 100; giugnilo al numero , che è 1000, fa 1100, e la radice de 1100 vale la cosa meno 10 che fu il dimezzamento de le cose : adunqua li prestù ra- dice de 1100, e a tanti dinari il mese, cioë radice de 1100. Uno presta ad un altro denari non so quanti, a ra- gione de 2 denari per Æ il mese; e tante £ quante li prestù tanti anni li tenne; a fare capo d’anno e capo del tempo si trova facto ; tra merito e capitale, numero quadrato. Domando, quante Æ li preslo, e quanto tempo le tenne? Mecti che li pyestasse 1 e tenneli 1 cosa d’anno; e dunqua vale la £ 2 cose; per le 2 cose piglia = de cosa, che è — di quadrato di censo; hora tu ai 1 cosa e — di quadrato di censo, e tu voi numero quadrato ; piglia uno numero quadrato tps: te piaci, o voi 4 09: piglia {; tu ai che 1 cosa - di quadrato di censo è equale ad 4; reduci ad 1 matt censo, arai 1 quadrato 10 equale ad 40 numero ; ismezza le cose, sirano 5; multiplica in sè fa 25; pollo sopra del nu- mero, ch’è 40, fa 65, € la radice de 65 vale la cosa, meno 5 , che fu il dimezzamento de le cose; e noi me- temmo che li prestasse 1 cosa e ad 1 de tempo : adun- qua li prestù radice de 65 per numero, e tanto tempo li tenne. | Uno presta ad un altro denari non so quanti , a ra- gione de 8 denari per £il mese, e quello li rende il primo anno 12 £, e il secondo li rende 19 # , eil terzo li rende 28 À e remaseli 7 £. Domando, quanti de- _nari li presto? Fa’ cose : tu sai che a 8 denari il mese \ vale l'anno la £ 8 soldi, ch’è 2 de Æ; e perchè li re- ( 327) mase 7 £ se de’ ponere quelli +; cioè 2 sopra 7, che sirà + che se ne dei cavare onni anno; e perche il terzo anno rende 28 e 7 li remase, che fa 35 Æ, tranne =? che sono 10, remane 25 Æ e quello li rende il secondo anno, che furo 17 £, che con 25 fa 42 £; cavane?, che sono 12, remane 30 £; e 12 £ che rende il primo anno, gionte con 30 fa 42 Æ; tranne ?, che sono 12, restano 30 £ e 30 Æ£ li presto, perchè 30 ad 8 soldi per £ l’anno fanno 240 soidi, che sono 12 Æ che li rende ; e remasaro,pure 30, che guadagnaro il se- condo anno 12, che con 30 fu 42; tranne 17, che li rende, restano 25 Æ che guadagnaro il terzo anno 10 , che con 25 fa 35, e li rende 28, che li remase 7 commo dicemmo. Uno presta ad un altro denari non so quanti nè a che ragione la Æ il mese per doi anni : in capo del primo anno sitrova 100 £ e a quella medessima ra- gione in capo del secondo anno si trova avere facto d'onni 16 denari 25. Domando quanti denari li pres- tù e a che ragione fu prestata la Æ il mese ? Poni che li prestasse 1 £ a 1 : adunqua 100 £ si- rano l anno tra merito e capitale 100 Æ € 100 cose;e noi dicemo che 16 fa 25; adunqua cava de 100 , che sono 64, e cava de 100 cose -< serano 64 cose, e questo de’ esseré tanto quanto partito 100 Æ per 1 € 1 cose : perd multiplica 1 e 1 via C4 e 64 cose, fa 64 quadrati censi, e 128 cose e 64 numero equale ad 100. restarà le parti; to’via da onni parte 64 resta 36 equale a 64 quadrati e 128 cose; reduci ad 1 quadra- to, arai 1 quadrato e 2 Æ cose equale ad = numero; ismezza le cose, sirà 1; multiplica in sè, fa 1 ; giogmilo (528) al numero, fa 1 2: la sua radice vale la cosa meno il dimezzamento de le cose, che fu 1 per numero; et tu voi sapere quello che li prestù : multiplica 100 in sè fa 10,000; partilo per 1 -, ne vene radice de 6400 : tante Æ li prestù ; e volendo sapere a quanto fu pres- tata la Æ il mese, multiplica 20 in sè fa 400, e questo multiplica per 1 -- cioë radice de 1 2 via radice 400, fa radice de 625, e meno 1 per numero via 20 numero fa meno 20; e cosi ai che la € fu prestata il mese a radice de 625 meno 20 per numero. Doi homeni ano denari non so quanti, ma so che il primo dici al secondo : damme 10 dei tuoi, che n’ ard doi tanti di te. El secondo dici al primo : damme 10 dei tuoi , che n’ard doi tanti de tee più la radice dei . tuoi. Domando quello che avia per uno. Poni che il primo abbia 1 quadrato censo, il se- condo abbia + quadrato censo e 15 : se il secondo dà 10 al primo, li remane + quadrato e 5, e il primo arà x quadrato e 10, che n’arà doi tanti del secondo ; ma'se il primo dà 10 al secondo, li remane 1 quadrato meno 10 numero, e il secondo arà + quadrato censo e 25 numero ; e perchè dici d’avere doi tanti del primo più la radice de quelli del primo, perd multiplica 2 via 1 quadrato meno 10 fa 2 quadrati censi meno 20 numero ; agiogni la radice del primo, ch’è x, arei 2 quadrati censi meno 20 e 1, equale ad 25 e + quadra- to ; restora le parti, to’ via da onni parte 2 quadrato censo , e da ad onni parte 20, arai 1 quadrato censo + e 1, equale ad 45 ; reduci ad 1 quadrato + equale a 30 numero; ismezza le cose, sirà +: multiplica in sè fa +; gonilo sopra 30 fa 30 =, e la radice de 30 + vale la (329 ) cosa meno + de numero, che fu il dimezzamento de le cose : tanto vale la cosa, e il censo vale 30 + meno ra- dice de 13 = : tanto ebbe il primo; il secondo ebbe = 81 quadrato censo e 15 : mezzo censo vale 15 -= meno radice de 3 2; agiognici 15, fa 30 -— meno radice de 2 2? : tanto ave il secondo. Doi homini anno denari, il primo n’a una quan. tita e il secondo n’a doi tanti piu la radice del primo, e tucti doi anno 14. Domando , quanti denari anno per uno ? Di che il primo abbia 1 quadrato censo, e il se- condo 2 quadrati censi e 1 cosa ; agiongniinsieme, fa 3 quadrati censi 1 cosa; e questo è equale a 14; re- duci ad 1 quadrato arei 1 censo + di cosa e 4 ? nume- ro ; dimezza le cose , sirà +; multiplica in sè, fa —; re- CE x CEE 6 : . ne duci il numero a 36, che à 4 ©, sirà 2; giogniei fa ©; piglia la radice, ch’è 13 ; et piglia la radice de 36 ; che è 6; parti 13 per 6, ne vene 2 +; tranne il ? dimezzamento de le cose, che fu ?, résta 2 : tanto vale la cosa, che fu la radice del primo; multiplica in sè, fa 4 : tanto a il primo, il secoudo doi tanti, ch’ & 8 più 1 ch'è 2 fa 10 : tanto a il secondo. Doi anno denari; il primo dici al secondo : damme 10 de’ tuoi, che n’ard doi tanti dite; dici il secondo al primo : damme 10 dei tuoi, che n’ard doi tanti dite, più la radice di quello che te remane. Domando, quanti denari avia ciascheduno ? Ponamo che il primo abbia 1 quadrato e 10; il se- condo + quadrato censo e 20. Se il secondo dà ro al primo, li remane = quadrato e 10 , il primo arà 1 qua- drato e 20, che n'arà doi tanti dei secondo. Se il primo 4 ( 350 }) dà 10 al secondo, li remane un quadrato, e il secondo arà = quadrato censo e 30; e perchè dici avere doi tanti del primo e più la radice de quello che li remane, perd multiplica 2 via 1 quadrato censo fa 2 quadrati censi, e la radice de 1 quadrato è 1 cosa, gionto con 2 quadrati censi fa 2 quadrati e r equale ad + qua- drato censo e 30 numero; restora le parti, to’ via da onni parte + quadrato censo, restarà 1 quadrato censo Le I Cosa equale a 30; reduci ad 1 quadrato, erai 1 quadrato censo + de cosa equale a 20 ; dimezza le cose, che sono 2 sirà +; multiplica in sè, fa; giognilo col numero, ch’ è 20, fa 20+, e Ja radice de 20 +, meno 2 per numero, vale la cosa ; e per lo censo multiplica radice de 20 + meno = mie. radice de 20 + meno + fa 20 et = meno radice de 7 tanto vale 1 tenso: € noi “0 I 5 metemmo il primo che avesse 1 quadrato e 10, adun- ua avia 20 = meno radice de 7 < e più 10, che fa 30 q 9 7 81 Pp ? £: tanto ave il primo. Il secondo metemmo che avesse = quadrato censo e 20; e mezzo censo vale 10 + meno DÉS de r +2 e 20 più per nu- mero, che Fee ch’avia, fa 30 = meno radice de 1 2: : tanto ebbe il secondo. Led ch’abia 1 fiorino, e ebbene 26 grossi e 26 picio- hi, etant picioli vale il grosso quanti grossi vale il fiorino : domardo, quanti grossi vale il fiorino , e quanti picioli vale il grosso? | j Poni che il fiorino vaglia 1 a grossi, a picioli vale x quadrato; anne avuto 26 grossi e 26 piciohi; agionti insieme de fare 1 fiorino. Noi metemo. che il fiorino . vaglia 1 a grossi e a picioli un quadrato: dunque 26 grossi sono 26, e 26 picioli 26 quadrati; e 1 via 1 LA / - - F 367 ) quadrato fa : cubo, ch'è equale 26 ct 26 quadrati ; imezza i censi, sirano 13; multiplica in sè, fa 169; giognilo al numero, fa 195; la sua radice vale la cosa più il dimezzamento de’ censi , che fu 13 : tanto vale il fiorino ; agiogni radice de 195 più 13. Doi homini anno denari : dici 1l primo al secondo : . damme la metà de’ tuoi, che n’ard 6; dici il secondo al primo : damene = de li tuoi, che n’ ard 6 e piu la radiee del tuo remanente. Domando quello ch’ avia ciascuno. Mecti che il primo abia 6 meno 3 cose, il secondo arà 6 cose; se il secondo dà la = de’ suoi al primo gli darà 3 : adunqua il primo arà 6 commo disse; ma se’ | primo dà + de’suoi al secondo li darà 2 meno 1 : adun- qua il secondo arà 2 € 5 cose, che sono eauali a 6, e radice de 4 meno 2 cose che sono remase al primo; tra’ 2 de 6 resta 4 meno 5; che sono equali a radice de 4 meno 2 ; reca 4 meno à cose a radice fa 16 meno 40 più 25 quadrati censi, che sono equale a 4 meno 2 cose ; to’ via da onni parte 4e 2 cose, arai 25 quadrati censi equale a 38 e 12 numero; reduci ad 1 quadrato 38 ra arai 1 Ces te equale.a 38 e 2? numero ; dimezza le 25 2 5 cose sirano -— ; rt 3 in sè fa =; tranne :< resta <=.,e la radice de <= vale Ja cosa FU 12 per numero EE 625 che fu il dimezzamento de le cose ; e noi metemmo che il primo avesse 6 meno 3, e 3 vagliono 2 -: piu 549, radice de ?# ; cavalo de 6 resta 3 © meno radice de 2# : tanto ebbe il ue Il secondo d dicemmo che avia 6 che avagliono 4 =: tanto ebbe il secondo. Doi homini anno denari. Dici il primo al seconde : | © 592") se 10 multiplicasse li miei per loro medessimi, io n’a- ria tre tanti di te. Dici :l secondo al primo, se 10 mul- tiplicasse i miei per loro medessimi, io n° aria 4 cotanti di te. Domando quello clie a per uno. Poni che il primo abia tr e il secondo : quadrato di censo. Se il primo multiplica 1 via 1 fa 1 quadrato censo ; che n°’ a 3 tanti del secondo. Se il secondo mul- tiplica + quadrato via + quadrato di censo fa + di cen- so, che equala a 4 tanti; multiplica 4 via 1 fa 4; parti 4 per + di censo, ne vene radice cuba de 36, e tanto vale [a cosa e il censo ; multiplica 36 in sè fa 1296, e la radice cuba de 1296 vale il censo; piglia il terzo de radice cuba de 1296, cioë, reca 3 a radice cuba fa 27; parti 1296 per 27, ne vene radice cuba de 48, e tanto ebbe il secondo ;eil primo ave radice cuba de 36. Doi homiy anno denari. Dici il primo al secondo: Damme la metà de’ tuoi, che n’ard 6. Dici il.secondo al primo : Damme + de’ tuoi, che n’ard 6 e più radice di 6. Domando , quanti denari a ciascuno? Poni che il primo abia numero quadrato, cioë 9 quadrati censi ; il secondo convene avere 12 meno 18 quadrati censi, che se ne dà la metà al primo li darà 6 meno 9 quadrati, si che il primo arà 6. Ma se 1 pri mo dà + de’ suoi al secondo; li darà © quadrati, si che il secondo arà 12 meno 15 quadrati censi; e quesio de’ essere equale a 6 e radice de 9 quadrati ch’ è 3. Tu ai 3. 6 e 12 meno 15 quadrati censi; equaglia le parti; toli da onni parte 6, restarà 15 quadrati censi, e + 1. a 6; reduci ad 1 quadrato arai x quadrato a - numero; ismezza le cose, sirà + >; multi- bios con lo me “hic farà <=, e 55 es insè, +@ ( 359: ) zamento de le cose ; è a sapere quello che vale il censo, 4T multiplica me <= meno - per numero in sè fa =: P 00 10 P 5 meno radice de -<°- : tanto vale il censo; e noi di- 2500 cemmo il a avere 9 quadrati censi. Multiplica 9 via 22 fa 3 2° meno radice de 1 DU adunqua il pri- -MmO ei 3 2 meno radice de 1 2%; e 1l secondo di- cemmo che avia 12 meno 18 EE , € 18 quadrati vasque 7 meno radice de 5 — 7< ;trallo de 12, resta 4 3 più radice de 5 -*<- : tanto avia il secondo. Rairne de 10 do parti, che multiplicata una ner radice di 7 faccia tanto quanto l’altra multiplicata per radice de 6. / Reca 10 a radice fa 100,e da6aser, che ë tua partitore ; hora multiplica 6 via 100 fa 600 , e 7 via 600 fa 4200 ; hora di 6 via 600 fa 3600 ; la prima parte è radice de 4200 meno radice de 3660; hora per l’altra multiplica 7 via 100 fa 700, e 7 via 500 fa 4900, e 6 via 700 fa 4200; e l’altra parte fa radice de 4900 meno radice de 4200: adunqua una parte fu radice de 4200 meno radice de 3600 , e questa se multiplica per radice de; l'altra parte fu de 4900 meno radice de 4200 e questa multiplica per radice de 6. Se tu multipli- chi radice de 6 via radice de 4900 meno radice de 4200 fa radice de 29400 meno radice de 25200; e se multiplichi radice 7 via radice de 4200 meno radice de 3600, fa ra- dice de 29400 meno 25200 ch’è quello medesimo. Doi homini anno denari ; il primo n’a una quan- tità , U secondo n’a doi tanti, la radice di eid che anno tucti doi, e tucti doi anno 20. Domando , quanti denari anno per uno ? ( 354 ) Mecti che il primo abia 1 cosa , il secondo arà 2 tose e radice de 3 cose : adunqua anno tucti doi 3 cose e radice di 3 cose , che sono equale a 20; cava 3 de 20 resta 20 meno 3 cose , che sono equali a 3 cose; reca 20 meno 3 a radice, fa Q quadrati e 400 numero meno 120; restora le parti, dà a onni parte 120 , arai 123 cose equale a 9 quadrati censi e 400 numero; reduci ad 1 quadrato ,sirà 1 quadrato e 44 + numero, equale a 1373 ismezza le cose, siranno 6 +; multiplica in sè. fa 46 2°: cavane il numero, cheë £, resta ? PE D 2 9 ? 224 36 ? che è 1 +. Il primo ebbe 6 £ meno 1 +; ilsecondo mec- 2 abiamo ch'e la cosa vale 6 ? meno radice de 2 temmo che avesse 2 più radice de 3; e la cosa vale 5 +, 2 cose vagliono 10 +, gionti quelli del primo e quelli del secondo fanno 16: la sua radice è 4; giognilo a 10 + fa 14 =: tanto ebbe il secondo ; e noi dicemmo che tucti do avevano 20. Dim cosi sono 2 compagni, il primo a 1 , il secondo 2 , anno guadagnato 20 meno radice de 20; il primo si mise x, il secondo 2, che fa 3, ch’ & tuo partitore. Hora multiplica 1 via 20 meno radice de 20 fa una meno radice de 20; parti per 3, ne vene 6 + meno radice de 2 ? , perchè per partire radice recasti 3 a radice, che fa 9, che a partire radice de 20 ne vene 2 ?, cioè radice de 92: tanto ebbe il pri- mo; cioè 6 2 meno radice de 2 ©. Hora per lo secondo multiplica 2 via 20 meno radice de 20 fa 4o meno ra- dice de 80; parti per 3, ne vene 13 +, meno radice de 8 $;agiogni radice de 20, fa 13 + piü radice de 2 ?: tanto ebbe il secondo. Doi homini anno danari: il primo n’a una quantità, il secondo n’a doi tanti e più la radice de cid che anno (39%) tucti doi , e tucti doi anno radice de 20. Domando, quel ch’avevano per uno? Fa’ cosi : tra’ radice de radice de 20 , remane radice de 20 meno radice de radice de 20 ; poni che il primo abia 1,e l’altro 2; agiogni insiemi fa 3,ch’è tuo partitore; e anno guadagnato radice de 20 meno radice de radice - de 20. Che toccarà al primo che mise uno ? Multiplica 1 via radice de 20 meno radice de radice de 20, fa quello medessimo; parti per 3, reca a radice fa 9; parti 20 per 9 ne vene radice de 27; reca 9 a radice fa 81; parti radice de radice de 20 per 81 ,ne vence ++, cioè radice de radice de 2: adunque il primo fu ra- dice de 2 ? meno radice de radice de 2°. Hora per lo secondo reca 2 a radice fa 4 ; multiplica 4 via radice de 20 fa radice de 80; reca 4 a radice fa 16; multiplica 16 via radice de radice de 20 fa radice de 320; hora parti radice de 80 pér radice de g ne vene radice de 82; parti 320 per radice de radice de 81 ne vene radice de radice de 3 77. Tu ai per lo secondo radice de 8 © meno radice de radice de 3 7; giognici radice de radice de... arai che il secondo fu radice de 8 +, 2 più radice de radice de , e il primo fu radice de 2 + 20 sue Famme de 10 do parti, che l’ana multiplicata per 3 facia tanto quanio l’altra multiplicata per radice de 8. meno radice de radice de Poni che una parte sia 1 cosa, e l’altra 10 meno L COSa ; reca a radice onni una; 1 cosa via 1 fa 1 qua- drato censo; e 10 meno 1 cosa viaro meno 1 fa 100 meno 20 cose più 1 quadrato censo; tu ai da un canto 1 qua- ‘drato , da l’altro 100 meno 20 più & quadrato; reca a radice fa 9; multiplica 9 via 1 quadrato fa 9 quadrati (: 336; censi; e multiplica 8 via 100 meno 20 più 1 quadrato, fa 800 meno 160 cose più 8 quadrati censi; restora le parti, da ad onni parte 160 cose ; e togli da onni parte 8 quadrati, arai 1 quadratoe 160 equali ad 800 nu- mero , ismezza le cose , siranno 80; multiplica in sè, fa 6400; agiognisi il numero fa 5200 ; la sua radice vale la cosa meno 80 che fu il dimezzamento de le cose : dunqua una parte fu radice de 7200 meno 8o per nu- mero ; e l’altra fu 90 meno radice de 7200. Doi homini anno denari non so quanti, ma so che il primo dici al secondo : Damme la radice de’tuoi, che n’ard doi tanti dite;e il secondo dici al primo: Damme tal parte de’tuoi quale tum’adimandi dei mieiio, n’ard tre tanti di te. Domando , quanti n’avevano per uno? Mecti che il primo abia 2 quadrati censi meno 3 cose, e il secondo abia 1 quadrato censo. Se il secondo dà la radice dei suoi al primo li darà 1 ; adunqua li remane 1 quadrato censo meno 1;e il primo arà 2 quadrati censi meno 2 cose, si che n’a doi tanti : il secondo dici al primo : Damme tal parte de’ tuoi che tu adimandi dei miei, che n’ard 3 tanu di te. Hora dr cosi : se 1 quadrato me dà 1 eosa che me darà 2 quadrati censi meno 3 cose ? Multiplica 1 via 2 quadrati meno 3 fa 2 cubi meno 3 quadrati censi ; parti per 1 quadrato ne de’ venire tal numero che tracto de 2 quadrati meno 3, e posto sopra ad 1 quadrato, sia 3 cotanto che il re- manente , il quale numero è 1 quadrato + e 2 cose =, perchè tracto 1 + de 2 remane +, e 1 = gionto con 1 4 fa 2: si che sono tre tanti; e tracto 2 + de 3 meno re- mane = meno, si ch’è tretanti meno ; e noï avemo che a partire 2 cubi meno 3 quadrati per 1 quadrato censo ( 333) ne dei venire 1 quadrato = e 2 : meno. Hora muitiplica 1 quadrato via 1 quadrato + fa 1 quadrato di censo L meno 2 cubi,e 1 quadrato censo di censo à +, che sono equali a 2 cubi meno 3 quadrati censi ; glogni 2 cubi con 2 = fa 4 cubi 53 € giogni 3 quadrati con z censo di censo e + fa r censo di censo e ei qua- Li drati di censo , che sono equali ad 4 cubi =; reduci ad 1 censo di censo arai 1 censo di censo e 2 quadrati cen$i < equal; ad 3 cubi ?; piglia la metà de’ cubi , Sono 155; multiplica in sè fa 2 12: tranne =, che sono 1 censi, resta #2 ;e la radice de <= vale la cosa prü 00 +5 à, che gionto F00 10) 1 per numero; e la radice de coruno € rs fa 2 =: tanto vale la cosa, e il censo vale 9359 € 2 censi vagliono 11 2; tranne 3, che vagliano 7 5, remane 4 <: {anto ebbe il primo ; e il secondo metemmo che avesse 1 censo, e il censo vale # = tanto ebbe il secondo. . Doi homini anno denari non so quanti, ma so che il primo dici al secondo : damme la metà de’ tuoi che n’ard 6; e il secondo dici al primo : damme 2 dei tuoi, chen’ard6e p'à la radice de quanti n’abiamo tucti due. Domando, quanti n° anno per uno ? Poni che il primo abia 3 cose » © il secondo abia ro meno 6 cose. Se lui ne dà i mezzi al primo, il primo n’arà 6; ma se il primo dà 2 de’suoi al secondo, li darà 1 : si che il secondo arà 1° meno 5, e questo sirà equale a 6 e radice de 12 meno 3 cose ; restora le parti, arai 6 meno 5, equale a radice de 12 meno 3 cose ; reca 6 meno 5 a radice fa 25 quadrati meno 60 più 36 numero ; e questo & equale a 12 meno 3; res- tora le parti, arai 1 quadrato e 2 numero, equale à 2 II. 29 ( 338 } Z; de cosa; ismezza le cose sirano 53 multiplicale in ke fa 2 ; tranne il numero che è 2#, che in sè mul- tiplicato fa __…_h 2500 * 27 meno la radice de =; e noi dicem- FT cosa vale mo che il primo ave 3; multiplica 3 via 57 fa 3 3 re- ca 3 aradice fa9; e 9 via -£= fa Rec re 3-2. Il 2500 2 500° rimo ebbe 3 : 2. FecoRse di- P 2500!* 21 cemmo ch’avia 12 meno 6, e la cosa vale 27 meno la 45 radice de 5; multiplica 6 via 27 fa 6 &; te Mic 6 in sè fa 36; e 36 via 2 fa PH de 13 2, Adun- 2500 2500 qua 6 vagliono 6 £ meno la radice de 13 ==; trallo de 12 ch’ ebbe il secppdo remane à <- più rqgice de 2e, [l pre ave 3 2 meno radice de 3 2% ::il UE ebbe 5 + più des de 13 2 2500° 2500 Tre homini anno denari; il primo n’a una quan- ütà, il secondo n’a doi tanti, e il terzo tre tanti del secondo più la radice de ciù che anno tucti 3, e tucti 3 anno 10 denari. Domando, che a ciascuno ? Poni che il primo abia 1 cosa, il secondo 2, il terzo 6 cose più la radice de 10. Hora tra’ radice de 10 de 10, remane 10 meno radice de 10. Dimo cosi €’ sono 3 che fanno compagnia; il primo mecte 1, il secondo 2 ; il terzo 6 : gionti insieme sono 9. Hora di se 9 me dà 10 meno radice de 10, che me darà 1 ? Multiplica 1 Via 10 meno radice de 10 fa 10 meno radice de 10; parti per 9, ne vene 1 + meno radice 2: tanto a :l primo. [Il secondo mise 2; multiplica 2 via ro meno radice de 10 fa 20 meno radice de 40; parti per9, ne vene 2 2 meno radice de 2 : tanto avia il secondo: Il terzo mise 6; multiplica 6 via 10 meno radice de 10, ta ( 359 ) fa 6o meno radice de 360; parti per 9, ne vene 6 2 meno radice de 4 +, gionici radice de 10 fa 6 2 e ra- dice de 10 meno radice de 4 #, che tracta de radice de 10 remane radice de 1 +: adunqua il terzo ebbe 6 2 più radice de r +. E se se dicesse, il primo n’a una quantità, il secondo n’a doi tanti, e il terzo tretanti del secondo più la radice de 10; e tucti 3 anno 100 denari. Mecti che il primo abia r, il secondo 2, il terzo 6 e radice de 3; tu sai che 9 e radice de 3 sono équale ad 100; perd cava 9 di 100, resta 100 meno 9 che sono equali a radice de 3; reca 100 meno 9 a radice fa 81 quadrato e 10000 numero meno 1800 cose ; e questo è equale a 3 ; restora le parti; da’ a onni parte 1800 arei 1803 cose, equale ad 81 quadrato e 10000 HHAEOG reduci 45 1 Censo arai 1 quadrato e 123 27, equale ad 22 21; ismezza le cose, sirano 11 =; multiplica in sè fa r23 22777. 262449 tranne il numero, che à 123 27, remane 4°, e ja 26244 sua radice meno il En de le cose, ch’è 11 -, Vale la cosa, cioè 11 7 meno la radice de 54 10809 = : tanto ebbe il primo. E il secondo mise 2, che 14 vagliono 22 ii meno radice de “© : tanto a il se- condo. Il terzo mectemmo che avesse + e 6 cose va- jan o 66 + meno add de M AU =; tractone de 33 2916 56 l'esta al terzo 66 7 ; e Re de 33 “=, meno radice de radice 3 2°<: Fes con radice de 14 40 , Cioè , il terzo ebe 661; e ra- dice de 33 =, meno radice de 3 {°:, gionta con ra- dice de 14 {2 293 29:16 . D. . Doi homini anno denari, & cid che anno tramendui è numero quadrato, e multiplicati i denari del primo 2 2. ( 540 ) per loro medessimi, e posto sopra ci che anno tucti dui à numero quadrato; e multiplicati quelli del se- condo per loro medessimi, e posti sopra tucta ia somma è numero quadrato. Domando quello che ave- vano per uno. Ponamo che il primo numero sia 4 cose, ch’è in sè quadrato; 4 via 4 fa 16 quadrati censi, che è qua- drato; trova uno numero che multiplicato per sè me- dessimo, e posto sopra 16 quadrati, faccia numero quadrato e 3, perchè 3 via 3 fa 9 quadrati censi, che posto sopra 16 quadrati fa 25 quadrati, ch'è qua- drato , e 5 & la sua radice ; e perchè ponemmo uno 3e l’altro 4, se de pigliare ? de 5 ch’è radice de 25, che sono 3 %- Hora che parte à 3 di $ ? e + mo dei pigliare 4 di 3, che sono 2 ?; di mo cosi : il primo ponemmo 2 2, il secondo 3 cose; hora multiplica 2 + in sè fa 5 quadrati censi + di censo; cavalo de 16 quadrati censi, che tu ai di sopra, resta 10 quadrati censi e + di censo , si che sono quadrati, e gionti insieme sono quadrati. Noi ponemmo il primo 2 +e l’altro 3; gio- gni insiemi fa 5 cose 2; parti per li censi, che sono 10 r quadrati -<, ne vene <£; tanto vale la cosa; e noi po- 25 ? nemmo il primo 2 ? che vagliono 1 <+ : tanto ebbe il 256 149 256? primo. Il secondo ponemmo 3, che vagliano 1 à tanto ebbe il secondo. Per altra via tu ai 16 quadrati censi e ai 3 e 4 cose; tra 3 de 4 resta 1, la quale multiplicata in sè fa 1 quadrato; trallo de 16 quadrati resta 15 quadrati censi equali a 4 cose ; parti per li censi sirà + : tanto vale la cosa che fu del primo. Il secondo a 3 che sono 22, che se ci poni su 4 fa 16, ch’ è numero quadrato, ( 341) —; giogni con :< fa © 15 + € ch’ è quadrato; e se multiplichi + in sè fa : Bols 5 sopra a = fa 7 ch’ è quadrato. Doi homeni anno denari, e tal parte è quelli del primo a quelli del secondo commo è r di 3; e multi- plicati quelli del primo in sè e posti sopra a quello ch’anno tucti doi è quadrato; e multiplicati quelli del secondo in sè e posti sopra tucta la somma è numero quadrato. Domando quello ch’a cias- cuno. Poni quello numero 16 quadrati censi ; hora trova uno numero che multiplicato in sè e posto sopra 16 sia quadrato, e 3; che 3 via 3 fa 9 quadrati; pollo sopra 16 quadrati fa 25 quadrati, ch’ è quadrato. Il primo metemo 1 ; il secondo 3 : hora di’ 1 via r fa: quadrato censo; trallo de 16 quadrati, resta 15 qua- drati; giogni 1 e 3 fa 4, que sono equali ad 15 qua- drati; parti le cose, che sono 4, per 15 quadrati, ne vene -< : tanto vale la cosa. Fame do 10 do parti, che multiplicata la magiore per la minore, e partita per la deferentia che dà l’una a l’altra, ne venga radice de 18. Mecti una parte 1 cosa, l’altra 10 meno r cosa, mut- tiplica z cosa via 10 meno 1 cosa fa 10 cose meno 1 quadrato censo; e questo partiper la deferenza che dà 1 a ro meno 1, ch’ ë 10 meno 2 cose, ne dei ve- nire radice de 18; tu dei recare 10 meno 2 cose a radice, fa 100 meno 20 cose, piu 4 quadrati censi ; multiplica 18 via 100 meno 20 più 1 quadrato, fa 1800 meno 720 più 72 quadrati censi; la radice de questo à equale a 10 meno 1 quadrato censo; recale (34) a radice fa 100 quadrati censi meno 20 cubi , più 1 censo di censo , che sono equale ad 1800 numero meno 720 cose più 72 quadrati censi; resterà le parti; toli da onni parte 72 quadrati, e da’ 20 cubi, arair censo di censo e 28 quadrati censi e 720 cose, equale a 20 cubi e 1800 numero; reduci 1 censo di censo, è quello medessimo; hora parti li cubi per 4, ne vene 5 ; multiplica in sè fa 25 ; parti le cose per 2, ne vene 360 ; partile per quello che erano prima 1 eubi , che erano 20,ne vene 18; pollo sopra 25 fa 43; e la ra- dice de 43 più 5 che venne de’ cubi partiti in 4 è meno la radice de quello che venne de le cose partite in 2, e poi partite per li cubi che fu 18 , tanto vale la cosa; e noï dicemmo che una parte fu 1 adunqua fu radice de 43 più 5 meno radice de 18; e l'altra è 5 e radice de 18 meno radice de 43. Uno presta ad un altro 20 £, non so a che ragione la £ il mese; in capo de l’anno gli dà 10 bre, e a quella medessima ragione in capo de doi anni li rende tra merito e capitale 60 £. Domando , a che ragione fu prestata la £ il mese ? D che la Æ fosse posta il mese a 1, vene l’anno 12, ch è = de £; 20 £ sono l’anno r; e li rende 10 £; resta 20 £ e 1: meno 10 £. Il secondo anno sono 20 £ e 2 meno 10 £ e = cosa meno più -— de quadrato de censo, e tu voi 60; restora le parti arai 30 lire e 1+1-- de quadrato di censo; reduci ad 1 quadrato arai 1 quadrato 30 cose, equale a 1000 numero; is- mezza le cose, sirano 15 ; multiplicale in sè fa 225 ; giognile al numero fa 1225 , e la radice de 1225 vale la cosa meno 15 per numero; e noi dicemmo che la ( 345 ) Æ fu posta ad 1 ; adunqua fu posta il mese la £ a radice de 1225 meno 15 per numero. Uno presta ad un altro denari non so quanti, a ragione de 2 denari la £ il mese; e quante £li presto tanti anni li tenne a fare capo d’anno , e quello che li prestd, multiplicato per sè medessimo fa 1 denari che li rende. Domando quello che li prestà. Di che li prestasse 1 cosa, e 1 di tempo li tenne ; che vale la lira a 2 denari il mese; vale CU 2 sol- di, che - de lira; piglia = de cosa, e = de cosa fa = di ant censo ; tu ai 1 — di éntdtats de cen- 4 e tu voi 1 quadrato, pesée e li presta 1 e dici che li rende multiplicata in sè che fa t quadrato; adunqua un quadrato è equale ad 1 -- de Eee di censo ; restora le parti; to’ via da onni Pre de qua- drato di censo, resta 1 cosa, equale a -: de AT de censo ; parti le cose per li censi, ne vene 1 +; tanto vale la cosa; e no’ metemmo che li prestù 1, e 1 tempo li tenne : dunqua li presto 1 +, e 1 anno e + li tenne. Uno presta ad un altro denari non so quanti a ra- gione de 2 denari la lira il mese, e tanto lire quante li prestù tanti anni li tenne a fare capo d’anno; in capo del termine li rende i suoi denari multiplicati per sè medessimi. Domando, quante lire li prest e il tempo che li tenne. Poni che li prestasse 1 lirae 1 delira, e x lira e 1 cosa de tempo li tenne ; a 2 denari il mese varà l’anno 2 soldi, ch’ è = de lira; piglia + de lira e 1, che de lira è de cosa; e ai 1 lira e e -—— de cosa : hora vale la cosa l'anno 2; piglia el decimo de 1 lira +, e “ ancora de 1 +, sirà = de cosa; tu ai 1 =, eil de- 700 ( 344 ) cimo ne er. 100 e 1; CRE in sè, fa 1 lira 2 cose e 1 quadrato cen- so ; restora le pers to’ via da se parte 1 ira, e da onni parte I 282 5 de < cosa ; restora — de lira er ad 100 10 an di cosa ; reduci ad 1 quadrato de quadrato e 100 arai 1 q'adrato e + de cosa, equale ad = de lira; de- mezza le cose sirano 79, 1787? mulitiplica : in sè fa KM s 31654 ) giognilo collo numero, fa 222% ; la sua radice vale la cosa meno il dimezzamento de le cose, che fu -Z= per numero; e noi dicemmo che li prestù 1 ira e e I: : adun- qua li prestù 1 lira e radice de 2°°= meno -* per nu- mero, € tanto tempo li tenne : 1 anno & radice de 9807 31684 Uno presta ad un altro 100,000 Æ£ per 5 anni a fare meno >. capo d’anno; in capo de’ 5 anni quello gli rende tra merito e capilale 161,051. Domando, a che ragione fu prestata la lira il mese? - Mecti che la lira fusse prestata 1l mese ad r cosa de lira , che vene l’anno 12 de lira; per le 12 piglia + de lira, che è -= de cosa : adunqua 100000 lire sirano 2 de cosa che sono 5000; e ai il primo anno 5000; per lo secondo 100000 dà pure 5000; gionte insieme fa 10000 cose; e 5000 cose te dà il secondo anno 250 quadrati censi, ch’é il vintesimo de 5000; e ai il secondo anno 100000 € 10000 cose e 250 quadrati censi; il terzo anno 100000 lire te dà pure 5900; e 10,000 te dà 500 quadrati censi; e 250 quadrati censi te dà 12 censi + cubi; agiogni insiemi arai il terzo anno 100000 lire e 15000 cose, e 750 quadrati censi e 12 censi + cubi; per lo quarto anno 100000 lire te dà (345 ) pure 3000, e 15000 te dà 750 quadrati censi, e 75 o quadrati te dà 37 censi + cubi; e 12 censi + cubi te dà 23 di quadrato di censo di censo : arai, giognendo insieme, il quarito anno 100000 lire e 20000 cose e 1500 quadrati censi, e do censi cubi e £ di censo di censo : hora per lo quinto anno 100000 lire te dà 5,000, e 20000 cose te dà 1000 quadrati censi, € 1,500 quadrati te dà 75 censi cubi, e 50 censi cubi te dà 2 quadrati + censi di censi, e ? di censo di censote dà == di censo di cubi; e ai il quinto anno, gionto onni Çosa insieme , 100000 lire e 25000 cose 25c0 quadrati censi e 125 censi cubi e 3 quadrati + censi di 5 160 161051 lire : restora le parti, leva da onni parte censo € di censo di cubo, che sono equale ad 100000 lire, restarà 61051 lire equale a 25000 cose ea 2500 quadratie 125 censi cubi e 3 quadrati + censo di censo, e —- di censo di cubo; reduci ad 1r,censo di cubo, arai 1 censo di cubo e 100 quadrati censo di censo e 4,000 censi cubi e 80000 quadrati censi e 800,000 cose, equale ad 1953632 numero. E la re- gola dici che se parta i censi, che sono 80,000 quadrati, per li censi di censi, e quello che ne veneno multipli- care per li cubi, e partendo i censi per li censi di censi, ne vene 800; multiplica con li cubi, cioë 800 via 4000 fa 3200000; giogni collo numero fa 5153632 : hora se vole partire le cose, che sono 800000, per li censi, e quello che ne vene se vole ser- bare. Adunqua partendo le cose, che sono 800000 , per li censi di censi, che sono 100, ne vene 8000 : adunqua diremo che la lira fu prestata il mese a radice relata de 5153632 meno radice cuba de 8000 che à ( 346 ) 20; e radice relata de 5153632 à 22 ; tranne 20, resta 2, e a 2 denari la lira fu prestata il mese. Famme de 10 2 parti, che multiplicata la magiore per la minore, e partita per la deferentia, ch’è da una parte a Valtra, ne venga radice de 18. Poni che una parte sia 1 cosa. e l’altra ro meno una cosa; multiplica 1 via 10 meno una cosa, fa 10 cose meno 1 quadrato censo, il quale parti per la de- ferentia ch’è da r cosa a 10 meno r, che è 10 meno 2 cose ; reca 10 meno 2 cose a radice fa 100 meno 40 cose piu {0 quadrati censi; multiplica con 18 fa 1800 meno 720 cose più 72 quadrati censi, la radice de ques- to è equale a 10 e meno 1 quadrato; recalo a radice fa 100 quadrati censi meno 20 cubi più 1 quadrato censo di censo; tu ai 100 quadrati e 1 quadrato cen- so di censo meno 20 cubi equale ad 72 quadrati censi e 1800 numero meno 720 cose; restora le parti, arai che 28 quadrati censi e 720 cose e 1 censo di censo sono equali ad 1800 e 20 cubi; fa commo dici l'al- gebra, parti per li censi di censi, ne vene quello me- dessimo : hora parti li cubi in 4, ne vene 5; multiplica per sè medessimo fa 25 ; hora parti le cose in 2 ne vene 360; poi le parti per quello che erano prima li cubi, ch’erano 20, ne vene 18; poni sopra 25, fa 43; e la radice &e 43, più quello che venne partiti i cubi in 4, che fu 5 e meno la radice di quello che venne : partite le cose do e poi partite in quello che erano prima li cubi , che ne venne 18, tanto vale la cosa; e tu t’a- ponesti che una parte fusse 1 cosa, adunqua fu radice de 43 più 5 e meno la radice de 18; e l’altra parte fu il remanente perfine a 10 ch’è 5 e radice de 18 meno ( 547 ) radice de 43; se voi sapere l’altro eguagliamente parti i censi, che sono 28 , in 4 ne vene 7 ; multiplicato in sè fa 49; pollo sopra al numero, che farà 1849, e la sua radice è 43 più il partimento de’ cubi in 4, ch’è 5, e meno la radice de quello che venne partite le cose in 2; e poi ne cubi, che ne venne 18 , ai una parte radice 43 più 5 meno radice de 18, l’altra 5 e radice 18 meno radice de 43. Egli è uno triangulo che è quadrato 100 bracci, e i lati suoi sono in proportione sexquintertia. Domando la quantità de’ suoi lati. Trova uno triangulo, che i suoi lati sieno in pro- portione sexquialtera, il quale sia À BC, e sia ABoe À C2, e B C 16, che sono in proportione sex- quialtera ; hora lo quadra, e per quadrarlo trova il catecto cadente sopra B C, che sirà radice de 44-27, 11 quale multiplica con la metà de B C, ch è 8:, reco 8 a radice fa radice de 64, muluplica 64 via 44 <= fa radice de 2855 © : hora reca 100 a radice fa 10000 ; e reca a radice uno to del triangulo A B C, cioè À B a radice de radice, ch’ 9 farà 656. Adunqua tu ai che radice de 2855 1° te dà radice de radice 6561 : che te darà radice de 10000? Multiplica 6561 via 10,000 fa 6,5610,000, il quale parti per 2855 + ne vene 22973 >; e la radice de 22953 7; à À B. Hora per la basa BC, ch’é 16, reca a ra- dice de radice fa 65536, il quale multiplica con 10000 fa 655,360,000, il quale parti per 2855 + ne vene radice de radice de 229538 e #21: tanto à B C. Hora per À C, chè 12, reca 12 a radice de radice, fa 20736; multiplica con 10000 , fa 207,360,000 , il quale parti ( 348 ) per 2855 -+ ne vene radice de radice de 72606 #75 : tanto à À C. | Posse fare par l’algebra, cioè, mecti un lato 9, Pal- tro 12, e l’altro 16; trovamo il catecto , che trovarai ch’egli à 44 censi e 2° de censo : tanto ë il catecto, 1024 639 cioë , radice de 44 quadrati 2%; il quale multiplica con la metà de la basa ch’ è 8 cose; reca a radice fa 64 quadrati censi ; e 64 Se via 44 quadrati censi 77 fa 2855 censi Fe censi + de censi, che sono equali ad 100 numero; reca a Rue fa 10000; reduci a 16, le parti, arai 160000 numero equale ad 45695 censi de censi; parti il numero per li censi di censi, ne vene 3 +, € la radice de la radice vale la cosa; e noi di- cemmo che À B era 9 cose; reca a radice de radice fa 6561; multiplica con 3 5222 fa 2279375; e la ra- 45695 45695) dice de la radice de 22973 7 è A B;e A C mec- 45695 temmo 12 ; reca a radice de radice , fa 20736, il quale multiplica per 3 22275 fa 72606 e £1$£; e la radice de la radice de 72606 57 & À C; e BC metemmo 16; reca a radice de radice fa 65536, e questo multiplica per 3 55 fa 229558 555, e la radice de la radice de 220938 #5 è B C, ch’ il proposto. Egli è uno nr che la basa sua è 12, e il catecto è 10, gli altri due lati gionti insieme sono 24. Domando de ciascuno. Tu ai il triangulo A B C, che la basa B C è 12, e il catecto À F è 10,e AB e À C insiemi sono 24. Hora di che A B sia 24 meno 1 cosa, e À GC 1 cosa; multi- plica 24 meno 1 cosà via 24 meno 1 cosa fa 576 meno 48 cose più 1 quadrato censo ; multiplica 1 cosa via 1 cosa fa 1 quadrato censo ; cavane la posanza de la ( 349 ) basa, ch’è 144, resta 432 e 1 quadrato censo meno 48 cose; le quali cava de la posanza de A C,ch’è 7 quadrato censo, resta 48 cose meno 432 numero, e questo parti per 24, ne vene 2 cose meno 18 numero; il quale multiplica in sè fa 4 quadrati censi e 324 nu- mero meno 72 cose , che sono equali a 72; giogni la posanza del catecto, ch’è 100, fa 424; reduci ad tr quadrato censo, sirà 1 quadrato censo e 141 +, equale ad 24 cose; demezza le cose, sirano 123; multiplica in sè fa 144; tranne il numero, ch’ è 141 +, resta 2 3: e la radice de 2 ? più del dimezzamento de h cose, che fu 12, vale la cosa : e noi mectemmo À C r cosa, dunqua fu 12 più radice de 2 +; e À B fu 12 meno radice de 2 2, ch è il proposto. Qui (1) appresso saranno scripti certi capitoli la dequazione dequali sono regolati solamente alle loro ragioni : e di quelle proprietà delle quali elle sono or- dinate benchè per alcuni accidenti elle possano le ditte regole occorrere in alcune ragioni. Et impero noi laniamo misse da parte dalli capitoli ditti dinanzi li quali sono regolati perfettamente alle suoe dequazioni dogni ragione per le dette dequazioni potessivo ve- nire. ë Quando (2) le c. elli ce, elh cubi sono eguali al nu- (x) Ce second extrait est tiré d’un manuserit dont j'ai déjà parlé dans le second volume , à la page 519. (2) Dans le langage de l’auteur,c veut dire €osa ou Cose ; c, Censi; R, Radice ; L. Lira ou Lire, { 350 ) mero tu dei partire tuita la dequazione per la quan- tita de cubi: e poi partire le c. per li c, e quello che ne viene riduce a R. cuba : e quella multiplicatione giunge _sopra al numero, ella R. cuba di quella somma meno lo partimente tivenne partendo le c. per li c, e tanto vale la c. Uno presto ad un altro lire 100. ed in capo di 3 anni elli riceve lire 270. tra capitale e merito a fare capo d’anno : Adimando a quanto fu prestata la lira lo mese; farai cosi : Pone che la lira sia prestata lo mese a 1° c. did. che viene l’anno 12. c. di d. e per le 12 ce. di d. piglia -- di d. perchè 12 d. sono = di Æ dunqua fu prestata la lira al mese a + di c. di lira elle lire 100. verrebbero l’anno “2 di c. di lira che sono 5. c. di lira. Adunque le lire 100 saranno lo x° anno lire 100. e 5 ec. di lira e per lo second anno piglia anchora + di lire 100. e 5 c. di £ chenne- viene. 5 c.e = dic, che e + di c,. Adunque per 2. anni tu avrai lire 100 e 10. c. e + di c, © vuoi fare per la regola del 3. dicendo se 100 viene 100. et 5 c. lo 1° anno adimando 100 e 5 c. quanto verrà lo 2° anno, che ne viene 10Q numeri e 10 c, e + di c,. Chonse- quente piglia lo 3° anno cosi lo = di ce. di roo numeri e 10, c. + di c,eavyrai 5 c.e <. ©, e + di cubo. Adun- que tu avrai in nella fine del 3° anno. 100. numeri e 15. ce? dic, e = di cubo : e questa quantità sarà eguale a 150 cioë a quello che gli riceve nella fine di 3. anni intral capitale elmerito : Ora procede se- condo la regola data disopra consiacosachè imprima le levare la minore quantità de numeri di ciascuna delle parte. e resteratti 15 c. ? de c, e -’- di cubo eguale a 50. ( 35r ) Ora parte tutta la dequazione per li cubi cioè per + chenneviene 4000 num. eguale a 1200 c, 60 c. e 1° cubo. Ora parte le c. cioè 1200 per li cioë per 60 chen- neviene 20. e questo 20 reducelo a R. cuba e avrai 8000 giungelo sopral numero cioè sopra a 4000 e avrai 12000 ella R. cuba di 12000 meno lo partimento che- üvenne partendo le c. per li ce, cioë meno 20. e tanto vale la c. eatanti d. fu prestata la lira al mese. -Quando le c. elli c, elli cubi elli c, di ce, sono eguali al numero tu dei partire tutta la dequazione perli c. di c, e poi partire le c. per li cubi : et quello chenne- viene partito per li cubi riduce a R. e quella multipli catione giunge sopra alnumero, ella R. della R, di quella somma meno la R. del partimento chetti venne partendo le c. per li cubi. e tanto viene a valere. la c. Uno presta annaltro lire 100 ed in capo di 4. anni costui ricévette tra capitale e merito lire 160 a fare chapo d’anno. Adimando a che ragione fu prestata la lira lo mese. Farai cosi: pone chella lira sia prestata il mese 1°. j. c. di d. che viene lanno a 12 c. di d.e perle 12. c. did. piglia = di c. perche 12. = di lira. Adunque la lira e prestata l’anno a di c. di £ elle 100. Æ£ sono prestate l’anno a 2 di ec. di Æ& . Chemene 5. c. di £. Adunqua Æ 100 in capo d’uno anno saranno £ 100e 5. c. di Æ e pe lo secondo anno piglia di £ 100 et 5 c. chenneviene 5. c. e = di c,chee-di c. Adunqua per 2 anni tu avrai Æ 100 e 10c.e + dic, di Æ. Ovuoi fare per la re- gola del 3. dicendo se 100 Æ lo 1°. anno faranno 100. €. D. ©. quanto sarà lo secondo anno cheve- niene 100. num 10. c. e + di c' e avrai 5. c. ! c'e so ( 352 ) di cubo e cosi arai che alla fine del 3°. anno tiverrà. 100. per numero piu Me c. + di c,e — di cubo. Ora piglia per lo 4°. anno + di c. di tutta quella somma Ci0Ë. 100. per nüo 15. C. © ns c, e —— di cubo: e avrai 5. ? di num. + di cuboe—— di c, di c,. O vuoi tu in- Mo per Le regola del 3. come e dito sopra ever- rat quello medesimo Ja quale quantità sarà eguale a 160 Æ cioè aquello chelprestatore riceve in nella fine del 4°. anno intra capitale e merito. Ora procede se- condo la regola data disopra che tu Pas tutta le de- quazione per li c‘ di c' cioè per —=— chenneviene traendo la minore quantità del num. di ciascuna parte 96000 num. eguale a 32000 c. e 2400 c, e 80 cubi e 1°. c, di c,. Ora parte le c. cioë 32000 per hi cubi cioé per 80 chenneviene 400 lo quale 400 riduce a R. e avrai 160000 e questa multiplicatione cioëè 160000 siungila sopra al num. chettivenne in nella dequa- zione cioè sopra a 96000. e avrai 256000 ella R. della - R. di 256000 meno la R. del partimento chetivenne partendo le c. per li cubi cioè meno R. di 400. e tanto vale la c. ea tanti fu prestata la lira lodmese ede fatta : | ; Quando le c. elli c' di c, sono equali al num e a cubi tu dei partire tutta la dequazione per hi c, di c, e poi partire li ci. per 4 equello chenneviene multiplicare inse medesimo e quella mulüplicatione guinge sopra al num. ella R. della R. di quella somma giungi al partimento chetivenne partendo li cubi ancora per 4. e di questa somma trai la R. delpartimento chetivenne partendo le c. per lo doppio de cubi etanta varra la c. Fammi di. 10 tale 2 parte che multiplicata luna per- (3339 laltra e quella multiplicatione partita per la differenza che e dell una parte all’altra, quello chenneviene del- partimento sia R. di 18. Adimando quanto sarà eiscu- na parte farai cosi : pone chelluna parte sia 1°. c. el- laltra parte viene a essere 10 meno r. c. Ora multi- plica luna parte per l’altra cioè 1°. c. via 10. meno 1°. c. che fa 10. c. meno. 1°. c, e serba da parte poi piglia la differenza che à dell una parte all altra cioë da 1°.c. infino à 10. meno 1°. c. la qual differenza mene a essere 2 C. meno 10e parte lamultiplicatione che tu serbasti. cioè 10 c. meno 1°. c, per 2 c. meno 10, edenne venire R. di 18. Adunqua multiplica a lo partitore cioè 2. c. men. 10. va R. di 18. el suo mul- tiplicamento sarà equale alla multiplicatione delle parte luna perlaltra cioè a 10 c. meno r°. c,. Adunqua multiplicando R. di 10. per 2. c. meno 10. {u dei re- care 2. c. meno 10. a R. e avrai R. di 100 numeri e 4. c, meno 40 c. equale multiplica per R. di 10 che fa R. di 1800 numeri e 72. c, meno 720 c. la quale somma c, equale a 10. c. meno 1°. c,. Ora arecha queste 10. c. meno 1°. c,a R.e avrai R. di 1°. c, dic,e 100 c, meno 20 cubi e sara R. d’una delle parte equale a R. dell altra : la quale de quazione schizzando per R. sarà ono cosi equale come se da alcuna parte non fosse no- minato R.Adunqua aremo che 1°. c' di c, meno 20 cubi sono equali a 1800 num. e 72 c, meno 720 c. Ora da- rai quello che manca alla parte aciascuna parte e trai la minore quantita de e, di ciascuna parte in questo modo da 20 cubi e 720. c. a ciascuna parte : e trai 92. c, di ciascuna parte: e arai che dall una parte sarà 1° c,dic,e 28 c,e720 c.eguale a 1800 num. e 20 cubi. 111. 23 (354 ) Ora procede secondo la regola data disopra che tu parti tutta la dequazione per li c, di c, cioè per 1°. chen- neviene quello medesimo. Poi parte li ce, cioè 28. in 4 chenneviene 7, lo quale 5. multiplica in se mede- simo che fa 49 loquale 49 giungilo sopra al numero cioë sopra a 1800, e avrai 1849 ella R. della R. di 1849 la qualeeR. di 43 giunge sopra al partimento chetti- venne partendo li cubi cioè 20 per 4 chenneviene, 5 et avrai 5 e R. di 43. tranne la R. del partimento che ti venne partendo le c. cioè 720 per lo doppio de cubi cioè per 40 chenneviene 18. e R. di 18; trai di 5 piue R. di 43 che resta 5 e R. di 43 meno R. di 18. e tanto vale la c. e tu ponesti 1°. delle parte fusse 12. c. Adun- qua fu l’una parte 5. giunto con R. di 43. meno R. di 10 ellaltra parte sarà lo resto infine a 10 cioè 5. e R. di 18. meno R. di 43. ella differentia viene daessere quello chelluna parte e più chellaltra, cioè R. di 172. meno R. di 72. e defatta : E nota che in questa ragione e in ciascuna altra chella c. venisse la maggiore parte del numero del quale tu partisti in 2 parte volendo pigliare la differen- za che e delluna parte allaltra facendo luna delle parte essere 1°. c. e ti converrà pigliare la differenza come tu ai tolto in questa ragione conciossiacosache’” in al- chune altre ragioni mettendo 1° delle parte essere 1° c. venendo la c. essere meno chella metà del numoro del quale tu volesti fare 2. parte ti coverrebbe pigliare la differenza per altro modo che perlo sopraditto la quale differenza verrebbe essere 10. meno 2. c. perchè pi- gliando la differenza 2. c. meno lo nüo la c. conviene _essere più chella metà del numero : E pigliando per la (. 34 differenza lo numero meno. 2. c. la c. conviene essere meno chella metà del numero : e altramenti non si potrebbe trarre lo numoro di 2. volte la c. ne eziando 2. volte la c. del numero essendo differenza infralle parte come e ditto disopra. Anchora nota che simile ragione di questa produce la dequazione diversa da questa, la quale dequazione si regge secondo la dequazione sopradetta secondo come tu vedrai per esemplo in una simile ragione di quella la quale à dimostrata alla quaie noi metteremo capto per se, perchè la sua dequazione è variata da questa. Quando le c. elli ce, di ce, sono eguali alnuo ea c'e a cubi, tu dei partire come è detto dinanzi la dequa- zione per lic, di c,e poi partire h c, per 4e quello chenneviene multiplicare in se medesimo e quella mul- tiplicatione giungere sopra al numero ella R. della R. di quella somma giungere al partimento che viene par- tendo li eubi in 4. e di quel ultima somma trai la R. del partimento che viene partendo le c. in 2. volte la quantità de cubi e tanto vale la c. Fammi di 10 tale 2 parte che multiplicata l’una per F altra e quella multiplicatione partita per la differenza che e dal! una parte all altra e quello che ne viene del partimento sia R. di 20. Adimando quanto sarà ciascuna parte farai cosi : pone chelluna parte sia 2° c. elP altra sarà ro meno. 1° c. Ora multiplica ca 1° c. via 10. meno1i* c. che fa 10 c. meno 1° c, le quali 10 c. meno 1° c, parte per la differenza che è delluna parte, alaltra cioè 2 c. meno 10. per numero. E deve ve- nire R di 28. E perd tu dei multiplicare 2. c. meno 19 23. E 556 ) per R. di 20 che monta R. di 2800 num. e 112 €, meno 1120 c. le quale sono eguale à 10 ce. meno 1° c, cioè a R. dir°dic,e 100 c, meno 20 cubi la quale de- quazione dando el mancamento a ciascuna parte et traendo la minore quantità de c, di ciascuna parte che viene a essere 2800, num. e 12 €, e 20 cubi equale a 1° c dic,e1120 c. Ora procede secondo la regola data disopra e troverai essere la c. R. di R. di 2809 e 5 più meno R. di 28 e tanto sarà la maggior parte ellaltra viene a essere lo resto infino a 10. cioè 5 eR di28 meno R. di R. di 2809 e tanto sara la maggior parte. ( 357) NOTE XXX1II. ( Pacs 156. ) On ne lira pas sans intérèt le récit que fait Tarta- glia de ses malheurs. (1) P, Ditemi un poco, ve aricordati havermi conos- auto, quando che io stantiava à Bressa. N. Mene aricordo , si, quantunque à quel tempo jo fusse molto piccolo, et per tal signale, vostra signoria stan- tiava in quella contrata , che è fra li Carmini et santo Christofolo , over santa Chiara nuova. P. Voi diceti la verita. Ditemi anchora, come se chiama vostro pa- dre. N. Mio padre hebbe nome Michele. Et perche ia natura non gli fu manco avara in dare à sua persona grandezza conveniente, di quello, che fu la fortuna in farlo partecipe di suoi beni, fu chiamato Miche- letto. P. Certamente se la natura fu alquanto avara, in dare alla persona di vostro padre grandezza conve- niente, nanche con voi è stata molto liberale. N. Lo me ne allegro, perche l’esser di persona cosi piccolo, mi fa testimonianza che veramente fui suo figlio. perche ancor che il non mi lasciasse al mondo, a me con un altro mio fratello, et due sorelle, quasi (:) Tartlaglia , quesili, f. 69-70. ( 358 salvo che lesser per buona memoria di lui, mi basta aver sentito a dire da molti che il conosceva et prati- cava , che egli era huomo da bene, della qual cosa molto più me ne contento, et allegro di quello have- ria fatto se mi havesse bise di molta facolta con un tristo nome. fP. Che essercitio faceva vostro padre. N. Mio padre teneva un cavallo, et con quello correva alla posta ad istantia di cavallari da Bressa , cioè por- tando lettere della illustrissima signoria , da Bressa , a Bergamo, a Crema, a Verona, et altri luochi si- mil. P. Di che casata se chiamava. N. Per Dio, che io non 50, ne me ne aricorda de altra sua easata, ne cognome , salvo che sempre il sentei da piccolino chiamar semplicemente Micheletto cavallaro, petria esser che avesse havuto qualche altra casata, over cognome, ma non che io sappia, la causa è, che il detto mio padre mi morse essendo io di età de anni sei, vel circa, et cosi restai io, e un’ altro mio fratello (poco maggior di me) et una mia sorella (menora di me) insieme con nostra madre vedova , et liquida di beni della fortuna, con la quale, non poco dapoi fus- semo dalla fortuna conquassati, che à volerlo raccon- tar saria cosa longa,la qual cosa mi dete da pensare in altro, che de inquerire di che casata se chiamasse mio padre. P. Non sapendo di che casafa si chia- masse vostro padre, perche ve chiamati cosi Nicolo Tartaglia. N. To ve diro, quando che li Francesi sac- cheggiorno Bressa nelqual sacco fu preso la buona me- moria del Magnifico messer Andrea Gritti (a quel tempo Proveditore) et fu menato in Franza oltra che ne fu sualisata la casa (anchor che poco vi fusse) ma . (350) piu, che essendo io fuggito nel domo di Bressa in- sieme con mia madre, et mia sorella, et molti altri buomini, et donne della nostra contrata, credendone in tal luoco esser salsi almen della persona, ma tal peusier ne ando falito, perche in tal chiesa , alla pre- sentia di mia madre mi fur date cinque ferite mortale, cive tre su la testa (che in cadauna la panna del cer- vello si vedeva} et duésû la fazza, che se da barba non me le occultasse, io pareria un mostro, e fra le quale una ve ne haveva a traversa la bocca, e denti, la qual della massella, et palato superiore me ne fece due parti, et el medesimo della inferiore : per la qual ferita , non solamente io non poteva parlare (salvo, che in gorga, come fanno le gazzole) ma nauche po- teva manzare, perche io non poteva movere la bocca , nelle masselle in conto alcuno, per esser quelle (come detto) insieme con li denti tutte fracassate, talmente, che bisognava cibarme solamente con cibi liquidi, et con grande industria. Ma piu forte che à mia madre, per non haver cosi il modo da comprar li unguenti (non che da tuor medico) fu astretta a medicarme sempre di sua propria mano; et non con unguenti, ma solamente con el tenermi nettate le ferite spesso, et tolse tal essempio dalli cani, che quando quelli si trovano feriti, si sanano solamente con el tenersi netta la ferita con la lingua. Con laqual cautella, in termine di pochi mesi me redusse a bon porto, hor per tornare al nostro proposito, essendo io quasi guarrito di talle, et tai ferite, stetti un tempo, che io non poteva ben proferire parole, ma sempre balbutava nel parlare, per causa di quella ferita à traverso della bocca, et (“360 ) denti (non anchor ben consolidata) per il che li putti della mia eta con chi conversava, me imposero per sopra nome Tartaglia. El perche tal cognome me duro molto tempo, per buona memoria di tal mia disgra- tia, me apparso de volermi chiamare per Nicolo Tar- taglia. P. Di che eta erate voi à quel tempo. N. de anni; 12. vel circa. P. Certamente la fu cosa molto crudele®à ferire un putto d® quella eta, avisandovi, che mi maravigliava di tal vostro stranio cognome, perche a me mi pareva di non haver mai alduto ne sentito a nominar una tal casata in Bressa. N. La cosa sta precisamente come ho narrato a vostra Reverentia P. Che fu vostro precettore. N. Avanti, che mio padre morisse , fui mandato alquanti mesi a scola di leggere, ma perche a quel tempo io era molto piccolo, cioe di eta di anni cinque in sei, non me aricordo el nome di tal maestro , vero è, che essendo poi di eta di anni. 14 vel circa. Andei volontariamente circa giorni 15. a scola de scrivere da uno chiamato maestro Fran- cesco, nel qual tempo imparai a fare la A. b. c. per fiu al k. de lettera mercantesca. P. Perche cosi fina al k. et non piu oltra. N. Perche li termini del paga- mento (con el detto maestro) erano di darvi el terzo avanti trallo , e un altro terzo quando che sapeva fare la detta. À. b. c. perfina al k. et el resto quando, che sapeva fare tutta la detta A. b. c. et perche al detto termine non mi trovava cosi li danari de far el debito mio (et desidoroso de imparare) cercai di havere al- cuni de suoi Alphabeti comjiati, et essempi de lettera scritti di sua mano, et piu non vi tornai, perchè so- pra de quélli imparai da mia posta, et cosi da quel ( 361 ) giorno in qua, mai piu fui, ne andai da alcun’ altro precettore, ma solamente in compagnia di una figlia di poverta chiamata industria. Sopra le opere degli huo- mini defonti continuamente mi son travagliato. Quan- tunque della eta d'anni vinti in qua sempre sia stato da non poca cura famigliare straniamente impedito. Et finalmente poi la crudel morte mi ha fatto restare novamente poco men che solo. P. Non haveti fatto poco , havendo havuto cura famigliare a frequentar el studio. ( 362 ) NOTE. XX XIEE ( PAGE 158. ) Voici la figure qui se trouve dans le General trat- tato (part. IT, f. 71, hb. IL. c. 21) pour exprimer suc- cessivement les coefficiens des diverses puissances du binôme. acece/& * 28 * 26° JA PE: 2» Ngccu cu cu’ 9 PAC SR A LC UE | AA Cu. Cu cepuul/1Q * M - 120 * 7 + 252 + 21Q + 430 + LE A coul. Ju. He 5É + Âÿé + 330 « Jéo + Ho + 380 * 5 + 5 1 Jul. cure di 1 D 240 : TÉE 42 - dS 42 + 495 »* 220 - : 174 ERIC AIR ARR es La règle que a Tartaglia dans ce chapitre, pour former un coeflicient quelconque par la somme des deux coefficiens qui lui correspondent dans la rangée supérieure , est très générale. En te on a loujours n(n—1) (n—2)....(n—m+o) + n(n— 1). (em + 1 1) PQ ou Eee Vs (m—1) RTE nd PA me: —=n(n—1)....(2—m+o) 1.2.3... ,... (m—i1m Rat PE — (na +1) n(n—1)....(n—m + a) Me. . (363 ) \ NOTE XX XIV. ( PAGE 183. ) Je vais donner différens extraits de Bombelli qui renferment des faits intéressans pour l’histoire des sciences. La Dédicace et V Avertissement nous révè- lent des particularités fort curieuses de la vie de Bombelli; le chapitre où sent résolues les équations du quatrième degré nous fait connaître la méthode de l’inventeur Ferrari, que Bombelli dit reproduire dans son ouvrage. AL. REVER. MONS. IL SIG. ALESSANDRO RUFINI, VESCOVO DIGNISSIMO DI MELFI SIGNORE E PADRON SUO SEMPRE OSSERVANDISS. RAFAEL BOMBELLI DA BOLOGNA. Cosi veggio hoggi di introdutto questo uso da tutti gli serittori de nostri tempi , di dare al mondo l’opere loro sotto el nome di qualche , d suo amorevolissimo Padrone , overo honorato signore (accioche con la de- fesa del nome suo restino da laceratori sicuri, et ac- quistino alquanto più di reputatione e grandezza) che, ‘hi altrimente facesse sarebbe tenuto à per huomo troppo ambitioso, à totalmente contrario à gli altri ( 364 ) giudicato : percid volendo jo di presente mandar in luce questa mia opera della parte maggiore dell Ai- metica (Algebra detta) non ha voluto restare, Reveren- diss. Monseg. Signor , e Padron mio sempre osservan- dissimo , secondo el comun uso, di darla sotto il nome suo , non perche ella bisogno habbia di difesa, che tal ?è la natura delle discipline Matematiche, che per se sono elle probabili, ne si possono (come l’altre) di- versamente intendere, da che una sola veritade hanno; anzi per la certezza de’ quella attengono tra tutte l’al- tre discipline el primato : mà bensi perchè a me paréa, che lecito fosse (si come l’opera trattava di materia perfetta , e d’eccellente) che parimente à persona di lei assai ben degna se ne dovesse far dono, e se una tale trovar ne volea, ove un’ altra più di lei meritevole immaginar me ne potia? Poichè chiaramente si sà, quanta sia mai sempre stata la grandezza del!’ animo suo : quale la integrita : la prudentia : e che deside- rio tenghi di giovare à tutti : el che essendo stato be- nissimo già conosciuto dal prudentissimo, e giudi- tiosissimo Paulo Terzo (di felice memoria) mertà (mentre ch’ei visse) di essere {ra suoi più cari, et af- fettionate, à lui carissimo , et aflettionatissimo ; da quello attenendo, e quanto volse, e seppe desiderare, né senza Causa; perche se resguardiamo alla gran- dezza dell’ animo di V. S. Reverendiss. non si vede in lei chiaramente una viva efligie di quello virtuoso sangue de suoi antichi Romani ? Et ad immitatione di queili hà ella tante gran cose fatte, degne della gran- dezza Romaua, e particolarmente (con l’opera mia) essicando la palude Chiana in Toscana con tante sa- ( 365 ) lute , e felicitade de popoli circonvicini, che ben tutti per una voce confessano questa opera esser stata glo- riosa , ed immortale; e son certo, che se le forze cor- respondessero al generoso animo suo, che à Claudio, il quale da scrittori cotanto vien celebrato, per haver à tempi suoi essicato le Paludi Pontine, le quali po- cia per la grandissime ruine d'Italia patite da Barbari, e per le mala cura havutone, sono ritornate nel pri- miero stato ; in questo esso non punto cederebbe (an- corchè fusse si potente Imperadore); col essicarle no- vamente, levando ogni difficultà de interessati (come più volte discorrendo con esso meco intorno à cid, me ne ha fatto à pieno capace) tanta è la pradentia, e destrezza sua. Qual sia poi il desiderio di giovare al mondo, e particolarmente à virtuosi : a mille occasioni essa ne ha dato honorato saggio ; e benissimo lo mos- -trè, quando (che à iempi di esso Paolo T'erzo suo si- enore) essendosi per essicare le Paludi di Foligno da Messer Pier Francesco Clementi da Corinaldo mio Pre- celtore, ne potendosi trovar modo di accommodar questo negolio , e mandare ad effetlo tale impresa : e-sa (ancorche aïltra cognitione non havesse di detto mio Precettore), non dimeno per essere huomo ver- tuoso, e perche vedea V.S. Reverendiss, questa im- presa résultare a publico beneficio, come che se suo intrinsichissimo, e famigliarissimo stato fosse, tal- mente lo favorè , che il negotio per opera sua hebbe il compiuto fine. Ecco dunque che per eccelentia di huomo l’opera mia mertevolmente à lei si dovea : Ne meno poi mi parea, che lecito fusse (se à vitio di animo ingratissimo non volea, che ascritto mi fusse À ( 366 ) non che poco amorevole, ed affettionato verso de suoi signori € Padroni) che il frutto, il qual dalla pianta già posta, e cresciuta nel suo terreno , e dal} amorevolezza sua cosi ben coltivata , che pur gionta ë a tale, che frutto hà potuto produrre : altro che quella havuto ne lo havesse perchè spinto io solo dalle amorevolissime essortationi, le quali mi facea V.S. Reverendiss. e dalla commodità, et agio, ch’ella mi diede all amenissima sua villa della Rufina (all hora che quasi era abbandonata l’impresa della essicatione della palude chiana, per colpa di cui lo potea fare), qui hbero da ogni passione d’animo ritiratomi col nos- tro compatriotta Messer Francesco Maria Salando, scrittore (com” ella sa) de nostri tempi rarissimo, € persona giudiciosa, e con Hercole mio fratello, anco egli di questa professione e cosi ben versato nelle Matematiche, che se malvagia morte avanti tempo nol toglieva, egli à sommo grado in quelle sarebbe gionto, compost la presente opera; sapendo de gli dui fini, i quali all hora nell” animo mi proposi, che furno: l’uno di giovar al mondo (com’ è debito natu- rale di tutti i viventi) € l’altro di obedire a V. Seg, Reverendiss. quale me lo commandava , almeno l’uno conseguito ne haverei. Ecco dunque, Sig.e Padron mio osservandissimo , che l’Algebra frutto suo , e mia fa- tica a lei sola si dovea , e per questi rispetti e per gli oblighi infiniti, che tengo alla liberalità sua (e parti- colarmente intorno al farla stam pare ; la quale cosi lar- gamente usata mi hà) cosi con ogni sincerità Gi animo devotissimo hora gliela dono e presento ; la quale (come parto uscito dalla cortesia e bontà sua) sd, che | ( 367 ) carissima le sara, perd non la pregard ad accettarla amorevolmente, bensi la supplicard con quel mag- gior affetto, che da animo di affettionatissimo servi- tore, uscir puote, che quella si degni conservarmi nella sua buona gratia ; alla quale tutto mi dono, ri- verente bacciandole la mano, e pregandole da Nostro Signore Dio ogni felicitade, e contentezza. In Bologna, il di XXIT, di Giugno del MDLXXII. ( 368 ) L 1 A GLI LETTORI. To sù, che il mio sarebbe un gettar il tempo, se di presente volessi forzarmi con finite parole, di far conoscere quanta infinita sia l’eccellentia delle disci- pline matematiche; poiche da tanti rari intelletti, e commendati autori sono elle celebrate. Perd debole sarebbe il testimonio mio , ne meno parmi necessario sia, che mi forzi di far conoscere, che la parte maggiore dell aritmetica (hoggi dal vulgo Algebra detta) tenghi ella sola tra queste il primato; perche di lei tutte Faltre bisogna, che si prevagliano, ne già potriano cosi l’arime- tico, come il geometra senza quella sciogliere i problemi suoi, € provare le sue demostrationi; ne l’astrologo misurare icieli, e gradi, e col cosmografo, ritrovare la intersicatione de circoli, le linee rette da se senza havere a fidarsi delle tavole da gli altri fatte ; le quali per esser state stampate più, e più volte, e da gente, che poca cognitiong hanno di dette discipline, sono assai corrotte, e l’operante (colpa di quelle) commette infiniti errori : trovare ogni paralello, Jinea retta, cir- coli e gradi. Il musico senza questa poca, à nulla to- gnitione haver puote della sua quantità discreta, e giongere al fine di trovare la sua proportione musi- cale. Ma che diremo del} architettura ? ella solo ei da l'uso, et il modo (per la forza delle linee) di fondar le fortezza, le machine da guerra, e ogni misura > COrPO, e proportione cosi di prospettive, come di ogni altra ( 369 ) sua parte, ne meno gli fà conoscere gli errori che in quella occorrer possino. Lassando dunque tutte queste cose (come per se assai ben note) da parte : sol ques- to dird, che à sia per la difficultà della materia, à per il confuso scrivere de scrittori, i quali fino ad hora ne hanno trattato, quanto piu l’algebra è perfetta tanto meno à quella veggio darsi opera, al che havendo ha- vulo 10 piu volte consideratione » ne sapendomi im- maginare da che ci procedesse ( benche dalla difi- denza , la quale hanno gli huomini di non poterla apprendere per la poca cognitione, che di quella si hà, et uso suo, dicessero che restavano) mà per dirla come la intendo penso più tosto, che molti si vogliono coprire con questo, e se la verità volessero dire; accu- sarebbono la debolezza del suo ingegno e rozzezza : perche versando tutte le matematiche intorno alle speculationi; invano si affatica, chi speculativo non è à volerle apprendere; non niego ga, che di grandissi- mo travaglio, et impedimento non sia à professori di quelle ja confusion de scrittori, etil poco ordine, che si hà di questa disciplina : per levare finalmente ogni impedimento alli speculativi, e vaghi di questa scien- tia, e togliere ogni scusa à vili, et inetti : mi son posto nell animo di volere, à perfetto ordine ridurla, e dirne quanto da gli altri & stato taciuto in questa mia presente opera, la quale, si perche questa bella ecien- tia resti conosciuta , come per giovar à tutti mi son dato à comporre, e accioche piu facilmente lo potessi fare : ho voluto prima vedere la maggior parte de gli Autori, i quali di quella sino ad’ hora ne hanno scritto, accioche in quello, ch’ essi hanno mancato io potessi III. 24 D ( 370 ) supplire, che molti, e molti sono, tra quali certo Mau- metto di Mosè Arabo è creduto il primo, e di lui una operetta si vede, mà di picciol valore, e da qui credo, che venuto sia questa VOCE Algebra, perche gli anni à dietro essendosi posto à scrivere Frate Luca del Borgo San Sepolcro dell ordine de Minori in lingua cosi la- tina come volgare di questa scientia : disse, che questa voce Algebra Araba era, quale in lingua nostra posi- tione dir vuole, e che da Arabi la scientia è venuta; il che parimente poi hanno creduto, e detto quanti doppo lui hanno scritto ma questi anni passati, essen- dosi ritrovato una opera greca di questa disciplina nella libreria di Nostro Signore in Vaticano, compos- ta da un certo Diofante Alessandrino autor greco, il quale fù à tempo di Antonin Pio, et havendomela fatta vedere Messer Antonio Maria Pazzi Reggiano publico lettore delle matematiche in Roma, e giudi- catalo con lui Autore assai intelligente de numeri (an- corche non tratti de numeri irrationali , ma solo in lui si vede un perfetto ordine di operare ) egli, et 10, per arrichire il mondo di cosi fatta opera, ci dessimo à tradurlo, e cinque libri (delli sette, che sono) tradutti ne habbiamo; lo restante non havendo potuto finire per gli travagli avenuti all uno e all’ altro; e in detta opera habbiamo ritrovalo, ch’ egli assai volte cita gli autori indiani, col ehe mi hà fatto conoscere , che questa disciplina appo gl Indiani prima fù, che à gli Arabi, scrisse joi doppo questo (ma ci fù grande in- tervallo di tempo) Leonardo Pisano in idioma latino, ne doppo lui aleuno ai & stato, che cosa buona habbia detto sino à Frate Luca suddetto, il quale in vero (se ( 571 ) ben fù scuittore trascurato, e percid commisse qual- che errore) non dimeno egli il primo fù che luce diede a questa scientia, ancorche aleuni siano, che se ne facciano cayaglieri, e à se attribuiscano tutto l’ho- nore, malvagiamente accusando i pochi errori, del Frate, e tacendo l’opere sue buone : Hanno poi, e Barbari, e Italiani , à nostri tempi scritto, come furno Oroncio, Scribelio, et il Boglione Francesi , Giovan Stifelio Todesco, e un certo Spagnuolo, el quale nell idioma suo assai ne scrisse , ma in vero alcuno non ëè stato che nel secreto della cosa sia penetrato, oltre che il Cardano Melanese nella sua arte magna , ove di questa scientia assai disse , ma nel dire fù oscura , ne trattù parimenti in certi suoi cartelli , i quali con Lodovico Ferrarij nostro Bolognese scrisse contro à Nicolo Tartaglia Bresciano , ne i quali bellissimi , et ingegnosi problemi si vezgiono di questa scientia, ma con tanta poca modestia del Tartaglia (come quello il .quale di sua natura era cosi assue fatto à dir male, che all hora egli pensava di haver dato honorato saggio di se, quando che di alcuno havesse sparlato), che offese quasi tutti i nobili intelletti, vegsiendo com’egli, e del Cardano, e del Ferrario strupendi ingegni à questi nostri tempi piu tosto divini, che humani, altri ancora sono, che scritto ne hanno, i quali se tutti volessi nominare assai haverei che fare; ma perche di poco giovamento sono stato cle opere loro, taceroli, e solo (come prima), dico; che havendo visto dunque quanto da detti Autori n’é stato trattato. Hd poi anco io con ordine continuato ridutto insieme la presente opera à beneficio com- 24. (372 ) mune , dividendola in tre libri : nel primo inseren- dovi tutta la pratica del decimo di Euclide, l’operar deile Radici cube com esso decimo opera nelle qua- drate , il che serve ove intravenghino cubi over corpi. Nel secondo ho trattato di tutti gli Algorismi del} Algebra, dove intravenghino le quantitadi incognite con l’ordine delle loro agguagliationi, e dimostrationi geometriche. Nel terzo poi hô posto (come per pruova della scientia) circa trecento Problemi , accioche veg- gia lo studioso di questa disciplina (legsendo quelli) quanto soave sia il frutto della scientia. Accetti dun- que il lettore con animo libero da ogni passione l’o- pera mia , e cerchi farsene intendente , che vedrà di quanto giovamento gli sarà, avisandolo perd, chè se egli capace non sarà della parte minore della Arime- tica, non si ponghi à questa impresa di volere appren- dere l’Algebra, perche getterebbe il tempo ; ne ancor mi tassi se qualche errore , à scorrettione ritrovasse nell’ opera, che non è proceduto da me, mà dallo stampatore, ancor che si sia usata, e fatta usare quella diligentia, che si è potuta ma in impossibil ’è che non ne avenghino in simil opere, e parimente se nella tessitura delle parole vedesse alcune sconvenevolezza, ù poco leggiadro stile , non consideri questa come cosa assai ben lontana dalla profession mia, ma solo alla essentia della cosa, che la politezza del dire in tal materia poco rilieva , ne io hù havuto questo fine, mà solo (come prima dissi)di insegnar la disciplina , ed’ uso della parte minore dell Arimetica (à Algebra che vogliano dire) il che piaccia à Dio che sia à laude sua, e à beneficio de viventi. | (37) CAPITOLO (1) DI POTENZA DI POTENZA, E TANTI EGUALE À NUMERO. Doppo ch'io viddi l’opera di Diofante, sempre son stato di opinione, che tutto il suo intento sino a quei giorni fusse di venire à questa agguagliatione, perchè si vede, che camina a una strada di trovare sempre numeri quadrati, e che aggiontoli qualche numero siano quadrati, e credo che li sei libri, che mancano , fussero di quesio agguagliamento ; nel fine é ben vero, che me ne fa stare alquanto in dubbio que giamai opera KR. q. ne sù che me ne dire, se non che noi restiamo privi per la malvagità del tempo di- .strugitor del tutto (il quale ha fatto perdere sudetti sei Hbri di una bella, e maggior parte di questa disci- plina); ma Lodovico Ferrari nostro Cittadino anco egli (x) Bombelli, algebra, p. 353.— Dans cet extrait, j'ai conservé autant que possible les notations de Bombelli. On en trouvera ici un certain nombre, avec la traduction en langage algébrique ordinaire : elles faci- literont la lecture de ce chapitre, auquel je ne crois pas devoir ajouter de commentaire, puisque Lagrange a déjà exposé la méthode de Fer- rari, que Bombelli rapporte ici pour la résolution des équations du quatrième degré. (Mémoire de l’Académie de Berlin, pour l’année 1770, p.173 et suiv.)—Voici , au reste, ces notations : x =— æ, 2 = x, 3 = x3, DL LCA Tanto, ou Quantità — x; polenza — z?, £ = 24, “es LA (374) camind per questa via, et trovù l’uso d’agguagliare simili Capitoli, quale fù inventione bellissima, perd mi forzaro di chiarirla al meglio che si potrà m bene- ficio del Lettore. Dato che si havesse 1 4 p. 20 7 eguale à 21. Levisi li Tanti a ciascuna delle parte, e si haverà 1 4 eguale à 21. m. 20 %, e gia siamo chiari che 1 4 ha lato, et se 21 m. 20 * havesse lato l’agguagliatione saria facile, ma non ha lato, ne lo pu havere, perche dove intervengono Tanti, e nu. non pud havere lato , ma bisogna siano accompagnat con le potenze. Perd se a 1 AO - h agglongesse he. p- 1 faria 1 4 p.2 Z p.11. e saria quadrato, et ag- potenza di potenza — x$, lan = x, p pi, m — meno, nu — numero , 2 2 M20 1 pP22—92x— 2x 0), R. q —V” S ie EUR PA SES F R, g3=V3 : on dim, = + Wars se L = \ }; R.c. LR. g.4352p.161m.R.c. LR.'g.4352.m161, 3 ENS 3 DRE — v{ 4352 + hi V4 ea R. q. LR.c.LR. g.278528.p. 128. ".R.c. L278528.p, 128J 1, mn 3 GP . = ( TL 278527 =i 128) — ve CD)! elc., etc. L elc. (37 ) gtonto all altra parte faria 2 2 m. 20 1 p. 22, che volendo vedere, se è quadrato, moltiplichisi 2. nu- mero delle potenze via 22 (se fa 100, quadrato della metà delli Tanti), sarà quadrato, ma non fa se non 44 pero 2 2 p. 1. non basta ma se si giongerà 4 2 p. 4 à ciascuna delle parti, si haverà 1 #4 p. 4 2 p.4,e 4 2 pe. 20 4 p. 25, che l'uno e l'altro ë quadrato, che li loro lati sono 1 2 p. 2 e 5. m. 2 * e Puno è egüale all altro che agguagliato il Tanto vale 1. Ma perche queste potenze, e nu. si sono cercate a tento- ni, perd portù la regola di trovarli. Si vede, che il nu. delle potenze, che si aggiongono alla potenza di potenza sono il doppio del lato del nu. come, quando se li aggionge 2 2 p. 1, il numero delle potenze ë il doppio d’1. lato del nu. e quando si aggionse 4 ? 4 il nu. delle potenze è il doppio di 2. lato del 4 nu- mero ; perd volendo à 1 4 et à 21 m. 20 1 aggion- -Sere tante potenze e nu. che ciascuna parte sia qua- drata, e che le potenze siano il doppio del lato del numero ; bisogna formare un quesito, che dica trovisi un num. œuadrato che gionto a 21 e moltiplicato via il doppio del suo lato faecia 100 (quadrato della metà delli Tanti). Ponghisi che il nu quadrato ha 1 2 e si aggionga a 21. fa 21. p. 1 ©? e questo si dite molti- plicare via 2 1 doppio del lato d’r 2 fa 2 $ p. 42 2, € questo deve essere eguale a 100, che agguagliato, il Tanto vale 2 , e perchè fu posto che il num. fusse 1 2 sara 4, e questo sara il nu. da giongere, e le po- tenze saranno 4, cioë il doppio del lato del 4, perd aggionto à ciascuna delle parti 4 2, p. 4. si haverà 1 & p42 p.4e 4 2 m. 20 ! p. 25, che l'une ( 376 ) Valtro è quadrato, et essendo eguali, ancora li lati sa- ranno eguali, che sono 1 2 p. 2. et 5. m.2 x , che agguagliato , il Tanto vale 1. Ma perche hù detto, che il lato di 4 2? m. 20 1 p. 25. è 5. m. 2 1 e ancora potria essere 2 1 m. = che levato il meno, si haveria 5.5 Pr7 ere a 2 une non si potria agguagliare. Perd volendosi le regole di questo agguagliamento per brevità faccisi cosi. Agguaglisi r 4 p.20 £ à 21. Faccisi del nu. Tanti, che saranno 21 x. Poi si pigli l’ottava parte del qua- drato del nu. is 20 1, ch’è 50, e questo sarà egualear % p.21 », che agguagliato il Tanto valerà 2 il qual 2, si “te fa 4, che aggionto al numero di prima, ch’era 21, fa 25, e ne piglia il lato ch’è 5, del quale se ne cava 2. cioè la valuta del Tanto detta di sopra resta 3, e questo è eguale à 1 2 p.2.Le queste 2 1 nascono dal lato della valuta di 2 ? cioë da 4, che agguagliato, il Tanto valerà 2. * Agguaglisi 1,4,p. 162 à 12. Piglisi l'ottavo del qua- we dell RE ch’'è 32, e questo sarà eguale a 3 p. 12 2, che agguagliatoil Tanto, valerà 2, che . suo Mai A è 4, che aggionto al 12 fa 16. che il suo lato & 4, del quale cavatonë 2, ne: del ei resta 2 e questo è eguale a x 2 p.22, ,eli 2,2 s trovano col moltiplicare la Ce del Tanto Perri detta per 2. per regola, e del produtto pigliarne il lato, che agguagliato, il Tanto valerà R. q. 5. m. 1. Agguaglisi r 4 p. 16.2 à 48. Piglisi Pottava parte del quadrato delli Tanti, ch’è 32, e questo sarà eguale 1 3 p. 48 : che agguagliato, il Tanto valerà R.c. LR. q. 4352 p. 16 j mR.cLR.q. 4352. m. 16H, ( 377 ) che il suo quadrato, sarà R. c. L 4608. p. K. q. 4456448 xp. R.c. L. 4608, p. R. q. 4456448 x m. 32, che aggionto al 48. fa R. c. L 4608. p.R. q. 4456448 x. p. R. c. L 4608. m. R. q. 4456448 7 p. 16; che pigliatone il lato, sarà R. q. L,R. c. L 4608. p. R. q. 4456448 x p. R. c. L 4608. m. K. q. 4456448 x p- 16 jJ, e di questo si cava la valuta del Tanto, resta R. q. LR. c. L 4608. p. R. q. 4456448 J: p. R. c. L 4608. m. R. q. 4456448 7 p. 6 J m. R. c. L'R. q. 4352. p. 19 J. p. R.c. LR. q. 4552. m. 16 j, e tutto questo è eguale a 1 2 più R. q. LR. c. LR. q. 278528. p. 128 y. m. R. ce. L 278528. p. 128 pJ> che pighato la metà delli Tanti, ne viene R. qe LR. c. L R. q. 68. p. 2 y. m.R. c. LR. q. 68. m. 2. J7- che il suo quadrato sarà R. c. L R. q. 68. p. 2 jm. R.c.LR. q.68. m.2 j, e questo si aggionge al un fa R. q. LR. c. L 4608. p. R. q. 4456448 JT. p- R. c. L 4608. m. R. q. 4456448 TJ. p. 16 I. p: Re. L..R. aq. 68,m.,2 1. Rex LR, q4166, p. 2 y € R. q. legata di tutto questo composto meno la metà delli Tanti, cioè meno R. q. LR. c. LR. q. 68. pe2j.m.R.c. LR. q. 68. m. 2 jy, sarà la valuta del tanto, e tale agguagliamento pare quasi impossi- bile et & verissimo perche pigliato la R. q. L di R.q. L R. ce. L 4608. p. R. q. 4456448 T, p. R. c. L 4608. m. R. q. 4456448 3 p.16 I m.R.c. LR. q- 68. p.2 Jp-R.c.LR.q.68m.2 77, che sarà 2. p. KR. q. LR. c. LR. q. 68. p. 2. y m.R.c. LR. q. 68. m. 2. J1;: che cavatone la metà delli Tanti resta 2, ch'è le valuta del Tanto, e benche tal lato non paia vero, nondimeno è cosi, e facendone la prova (come ha STE) mostrato nel fine del primo, di conoscere qual sia mag- siore di due quantità } trovarà tanto essere detto lato, quanto è detta R. q. legata, benchè tengo che il Bino- mio, et il Trinomio habbia lato, perchè il Tanto habbia da valere 2. Ma tal lato per ancora non ho potuto ritrovare, e perché sarebbe uno andare per. Pinfinito a volere porre qui tutti li modi, ne quali pos- sono venire cosi il presente Capitolo, come gli altri di Potenza potenza simili, ne ponero solo, per ogni qua- litade, e specie uno , o due essempij con la loro breve regola, e a dove nasca la trasmutatione. Trasmutatione di potenza potenza, e Tanti eguak. a Numero in potenza potenza, eguale a Cubo, numero. Volendo trasmutare 1 4 p. 20 % eguale a 21. Faccisi questa domanda. Trovami due numeri, che moltiplicato uno via Paltro, faccia 2r, e che pigliato qual si voglia di essi due numeri, et al suo quadro quadrato aggionta la moltiplicatione di esso numero per 20 faccia 21. Ponghisi luno di detti due numeri esser 1! l’altro di necessita sarà 21. esimo d’r 2e, se si pigliarà di detti due numeri 1 il suo quadro quadrato sarà 1 4,, et à moltiphicare 1 © via 20, fa 20 : che aggionte insieme fanno 1 4 p. 20 * e questo à eguale à 21, e tanto si haverà prima, perd bisogna pigliare Paltro numero ch’è 21.esimo d’r © che il suo quadro quadrato sarà 194481 esimo d'x 4, che aggiontali 420, esimo d’r ,* , che sono li suoi 20 .! farà 194481. p. 420: 3% .esimi d’1 # 6 rt 2 ( 379 ) quésto à eguale à 21, che levato il rotto, si haverà 194481. p. 420 3 eguali à 51 , che ridutto à 1 # si haverà 1 4 eguale à 9261. p. 20 3, e questa è la suä trasmutatione, e trovata, che sia la valuta del Tanto partasi 21 per essa valuta, e si haverà la valuta del Tanto di prima. Ma per non havere à fare la posi- tione, piglisi il numero, e cubisi, et al produtto si ag- gionghino li Tanti, ma dicano Cubi, e questo sarà eguale à r 4 e ancor che paia che queste trasmuta- üoni in questi Capitoli non siano necessarie, né di utilità, pur si vedrà che giovaranno ne gli agguaglia- menti di questi Capitoli. Capitolo di potenza potenza equale à Tanti, e numero. Questo Capitolo nel suo agguagliare non patisce eccettione alcuna , e sempre si pud agguagliare senza il p. di m. Perd (senza dire altro verrd a gli essempij). Agguaglisi 1 4 à 72 és p- 17. Piglisi l’ottavo del quadrato delli Tanti, ch'è 648, et questo sarà eguale à 1 3 p. 19 :,, che agguagliato il Tanto va- lerà 8, e questo per regola si dupla fa 16, che pislia- tone il lato sarà 4, e saranno tante, li quali si salvano, poi quadrisi 8. valuta del tanto di prima, fa 64, e si aggionge al num. cioë à 17, fa 81 del qual se ne piglia il lato, ch’è 9; del quale se ne cava 8. valuta del so- pradetto Tanto, resta 1, e questo si aggionge a li 4 à, serbati; farà 4 x p. r, ché eguale à 1 2 che agguaglato il Fanto valera R. q. 5. p. 2. Agguaglisi 1 # à 4 à p. 6. Piglisi Pottavo del 2 quadrato delli Tanti, ch’è 2, e sarà eguale à 1 © ( 380 ) p- 6 : , che agguagliato il Tanto valerà R. c. 4m. R. c. 2, che duplato farà R. c. 32. m. R. c. 16. che pigliatone il lato, si haverà R. q. LR. ec. 32 m. R. c. 16 J,e questi saranno tanti, poi si quadra R. c. 4. m. R. c. 2. valuta del Tanto, fa R. c. 16. p.R. c. 4. m. 4, che aggionto col numero, cioë con 6, fa R. c. 16. p-R. c. 4. p. 2, e di questo se ne piglia il lato , ch’ é R. q. LR. c. 16, p. R. c. 4. p.2 y, che aggionto ali Tanti fa R. q. LR.c. 32 1 m.R. c. 16 1 y e questo sarà eguale à 1 2 p. R. c. 4. m. R. c. 2, che levato il minor numero, si haverà 1 2, eguale à R. q. LR. c. 32.1 m. Re. 16 à 1 peR:qERsetepeR, c. 4.p.2 J p. R.c.2.m.R. c. 4, che agguagliato, il Tanto valerà R. c. L. R. L c. 16. p. R.%. 4. p. 2 x. p. R. c. = m. R.c. + y. p. KR. q. LR. c. :m.R.c.= 7. La regola di questa aggualiatione detta di sopra nasce dal medesimo detto nel Capitolo di #4 et x eguale à numero, come sarebbe 1 #4 eguale à 92 x p. 17; bisogna aggiongere à ciascuna parte delle potenze e numero, si che divenga l’una e l’altra quadrata, e ne viene formato il medessimo quesito (come il passato) di trovare un numero quadrato, che aggionto à 17, e la somma moltüplicata per il doppio del lato di esso numero quadrato, faccia 1296. quadrato di 36. metà delli Tanti, che posto che tal nu sia 1 2, aggionto con 17. fa 19. p. 1 2 e moltiplicato via 2 © doppio d’r = lato della potenza fa 2 $ p. 34 T, e questo è eguale à 1296, che redutto à r 3% sarà 1 Sp. 17.4 eguale à 648, che agguagliato 1l Tanto valerà 8, e la positione fà 1 2 ch’è 64, e tanto sarà il numero da aggiongere, e le potenze saranno 16, cioè il doppio ( 38r ) del lato di 64, che gionti à ciascuna delle parti si ha- PRE p'162/p:64,e16 2 p.72 7% p'8r, che ciascuno à quadrato, e li lati sono 1 2, p. 8 eguale à 4 à p. 9, che redutto a brevità, resta 1 2 eguale à 4 = p.r, che agguagliato, il tanto valerà R. q. 5. p. 2 (come fu detto nel primo essempio). Capitolo di potenza potenza, e numero eguale a Tantr. Questo capitolo non si pu agguagliare , quando la sesta decima parte del quadrato delli tanti à quadrarla non sia maggiore del cubato del terzo del numero , e questo non è difetto del capitolo, ma è difetto della domanda , che verrà à questo agguagliamento , laqual domanda sarà impossibile à solvere se non fintamente, e dell’ uno , e l’altro modo porrè l’essempio. Agguaglisi 1 4 p. 6. à R. q. 32,7. Piglisi l’ottava parte del quadrato delli Tanti ch’è 4 , e aggiongaseli il numero (ma dica Tanti, che farà 6 * p. 4 che saranno eguali a 1 % , che agguagliato il Tanto valerà R. q. 3 p. 1 , e questa valuta per regola si quadra , fa 4 p. R. q. 12. del che se ne cava il numero, cioë 6, resta R. q. 12. m. 2 del quale se'ne piglia il lato, ch’è R q. LR. q. 12. m. 2 j e se ne cava la valuta di mezzo Tanto, cioë R. q. + p. + che ( per essere mag- giore non si pud cavare , onde tale agguagliamento non si pu finire, per essere la domanda insciolubile. Agguaglisi 1 4 p. 6. à R. q. 320 7. Piglisi l’ottavo del quadrato delle Tanti, ch’ è 40, et accompagnisi col numero , e dica Tanti, che farà 6 x p. 40. che saranno eguali à 1 3, che agguagliato , il Tanto va- Be 2 (484 ) lerà 4 ; di cui il quadrato è 16, del quale se ne cava il numero, cioë 6 resta 10, che pigliatone il lato sara, R. q. 10 , del quale si cava 2. metà di 4. valuta del Tanto, resta R. q. 10. m.2,e di questo si piglia il to, ch’è R. q. LR, q. 10 m. 2 j, e questo si ag- gionge a R. q. 2. lato della valuta della metà de 1 x, overo si cava. che farà R. q. 2. p. R. q. LR, q. 10, m. 2j, overoR. q.° 2, m. R. q. LR. q. 10. m. 2 y, che l’uno e l’altro è la valuta del Tanto. Della qual re- gola questo è ilsuo nascimento. Agguaglisi 1 4 p. 6. àR.q. 320 2. Levasi ilnumero da ogni parte , e si haverà 1 4 eguale à R. q. 320 1 m. 6, e come nelli altri cerchisi un numero , che del suo quadrato cavatone 6, e lo restante moltiplicato per il doppio del lato del quadrato faccia 80, quarta parte del quadrato delli Tanti. Ponghisi, che il nu- mero quadrato , che si cerça sta 1 2, che cavatone 6, resta 1 2 m.6, e questosi multiplica per 2 Z doppio del lato d’r 2 fa 2 3 m.122,e questo è eguale à 80, che levato il meno a ridutto a 1 5 , si haverà 1 5 eguale a 6 : p. 40, che agguagliato il Tanto vale 4, e la potenza vale 16, e questo à il numero quadrato , che cava- tone 6 resta 10, e moltiplicato via 8, doppio di 4 lato del 16 fa 80. quarta parte del quadrato delli ; Tanti ma perchè si intenda meglio , dico, che si pigli il lato d’ 1,4 ché à 2 et aggiongaseli 4 valuta del Tanto trovato , fa 1 2 p.4, e quadrisi fa r 4 p. 8.2 p. 16, che cavatone 1 4 resta 8 2 p. 16, e questo è il nu- mero da giongere à ciascuna delle parti, acciochè siano quadrati, che aggionte à 1 4 e a R. q. 320 2 m.6, far # p.8 £ p.16 e 8.2 p. R. q. $20 2 p. 10, che ( 383) tolto il lato dell'uno , e l'altro si haverà 1 2 p. 4. eguale à R. q. 8 : p. R. q. 10. Levinsi R. q. 10. da ogni parte , e si haverà 1 2 p. 4. m. R. q. 10 eguale à R. q. 8 7 ; che tolto la ah di R. q. 8, e quadrato fa 2, e cavatone 4 m. R. q. 10, resta R. q. 10. m. 2.e di questo pigliato la R. q. fa R. q. LR. q. 10. m.2 e questo si gionge ,e si cava di R. q. 2. metà dell: Fanti, fa R. q. 2. p.R. q. LR. q.10m-2 7,eR. q.>. m. R. q. LR. q. 10. m. 2,7, che l’uno e l’altro pud essere la valuta del Tanto. Capitolo dé potenza potenza , e cubi eg guale & a numero. Questo capitolo sempre si pud agguagliare come il capitolo di # e x eguale à numero senza il p. di m. (come si vedrà nelli essempii che si proporanno). bi guaglisi 1 .# p. 4 5 à 1. Bisogna pigliare il lato d’x ch'é r 2 et aggiongerli 2 |? cioë la metà di4 3 Ÿ, ma dites Tanti, che farà 1 2 p.2 * ,e questo qua- drarlo fa 1 4 p. 4 5 p. 4 ? , del quale si cavi 1 43 p. 4.$ resta 4 2, perd si potrà dire che se a 1 4 p. 4 si giongerà 4 2 si haverà una quantità qua- _ Rene 14, p:4 % h 4 22 ét. .agmionte à 5: fa 4 2 p. 1,e se questo fusse quadrato si haverebbe l’in- tento, perd bisogna trovare altra quantità da gion- gere, perd se à 1 2 p. 2 1 lato dia £ p. 4 3 p. 4 2 si aggiongesse 3. farebbe 1 ? p.21 p. 3, che il suo quadrato sarebbe 1 4 p. 4 3 p. 10 © p. 12 7 p.0, che levatone 1, 4; p. 4.5 p. 4 2, resta 6 2 p: 12 1: pue se An 4 7 D. Fe aggiongerà 6 2 LE à D D 0 ar p. APR IG pe ra 1 ( 384 ) p- 9 , che parimente è quadrato , ma aggionto all’altra parte , fa 10 2, p- 12 2 P- 10; che non è quadrato, ma à moltiplicare 10 ? via 10 fa 100 2, e non dove- rebbe fare più che 36. quadrato di 6. metà di 12 «, perd non è buono il giongere un numero à 1 2 p.22 lato d’r 4 p. 4.3 p. 4 ? , ina bisogna cavarlo, perd se si cavarà d’esso # resta 1 2 p.2 % m.1, che il suo quadrato è 1,4, p. 4 $ p. 2 2 m.14.1p. 9, del quale cavatone 1,4 p. 4 $ , resta 2 ? m.4 Ep.1,e questo aggionto a ciascuna delle parti, si haverà 1'pe 453:pe 2,350. 6 É A PER E RO NEERREE p- 2, che l’uno, e l’altro hà lato, et il lato dell’uno è 12 p. 2,2 m. 1, et il lato dellaltro è R. q. 3. m. R. q. 2 «, le quali sono eguali l’uno a l'altro, che levato il meno si haverà 1 2 p.22 p.R.q.2 x eguale à R. q. 2, p. 1, che tolto la metà delli Tanti, ch’è 1. p. R. q,+e quadrata fa 1 + p. R. q. 2 e gionto aR. q.2p.1,faR.q.8,p.2+:e la R. q. legata di questo binomo cavato d’1 p. R. q. + metà delli Tanti sarà la valuta del Tanto, cioè 1 p. R. q. + m. KR. q. LR. q. 8 p. 2 + J. Ma perchè se bene hù posto che la quantità che si deve giongere sia 2 2 m. 4 E p.1 nondimeno non hù dato il modo di trovarla. Perd hora lo porrd , il qual’è questo : Ponghisi, che il lato del numero quadrato d’1 4 p. 4 3 sia 1 2 p. 2 2 m. 1. quantità, il suo quadrato sarà 1 4 p. 4 $ p. 4 2 m. 2 2 quantità p. 2 Z quantità p. 1. quadrato quan- tità, e di questo composto se ne cava 1 4 p. 4 $ resta 4 2, p. 2 2 quantità m. 2 2 quantità p. 1. quadrato quantità e questo & quello che si deve giongere à cias, cura delle parti, acciochè siano quadrati, che ag- ( 385 ) aionte à 1 # p. 4 5, il suo lato sarà 1 Bb dE pin quantità, e aggionte allaltra parte, fa 4 2 p.22 quan- tità m. 4 Z quantità p. 1. p. 1. quantità , resta che 1. p- 1. quadrato quantità moltiplicato per 4. m. 2. quantita numero delle potenze, faccia 4. quadrati di quantità , quarta parte del quadrato di 4 x, quantità, che moltiplicato fa 4. p. 4. quadrati di quantità m. 2. quantità m. 1. cubo di quantità, il ch’è eguale a 4. quadrati di quantità quadrato della metà delli Tanti, che levato simili da simili resta 2 cubi di quantità p- 2. quantità eguale à 4, ch’è quanto 2 3 p. 2 eguale à 4, che agguagliato la quantità vale 1, e questo è il numero che si deve cavare d’r 2 p. 2 : ,accio- chè si trovi la quantità da aggiongere che cavato d’r 2 p- 2: resta 1 2 p. 2 © m.1,e si procede (come si è fatto di sopra). Ma volendo per regola fare questo agguagliamento, faccisi cosi, dato, che si volesse agguagliare 1 4 p. 6. 3 con 18, faccisi del numero Tanti per regola, e si gionghino à 1 5 fa 1 5 p.18 * , e questo si agguaglia a 81 produtto della metà di 18. in 9. quadrato della metà delli 6 5, che agguagliato, il Tanto valerà R. c. LR. qe 1856 + p. 402 j.m.R. c. LR, q. 1856 =. m. 40 ; 4 che queste R. c. hanno lato, che sono R. q. 8 : p. 1-, eR. q. 82m. 1 *, che cavato l’uno dellaltro resta 3 e 3. è la valuta della quantità, perd se di r 2 p. à Z si caverà 3, si haverà 1 2 p.3 * m. 3; il suo quadrato sarà 1 2 p. 6 3 p.3 2 m. 18 : p. 9, del quale se ne cava 1 4 p. 6 3 resta 3 ? m.18 x p. 9, e questo restante è la quantità , che si dove gion- gere à ciascuna delle parte , accioche luna, e l’altra 11. 25 ( 386 ) sia quadrata, che aggionta à 1 4 p. 6 3 fa 1 4 p. 6. 5 p. 3 2 m.18 : p.90, ed aggionta à 18. fa 3 2 m. 18 ! p. 28, che tolto il lato di ciascuna, si haverà 12 p. 3 « m. 3 eguale à R. q. 18. m. R. q. 3 : che redutto à brevità, si haverà 1 2 p.3 2 p.R.q. 3: eguale à R. q. 18. p. 3, che tolto la metà delli Tanti ch’è 1 =p.R. q. + et quadrato fa 3. p. R. q. 65,e gionto con R. q. 18. p. 3. fa 6. p. R. q. 18 p. À. q. 6 p. R. q. 6912 « p. 48, che il suo lato à 6 1 p. R. q. 48, ch’è eguale al lato detto di sopra, cioë à 1 2 m. R. q. 48 : m. 6, che levato il meno, si haverà 1 ? eguale à R. q. 48 © p. 6.1 p. R. q. 48. p. 6, che agguagliato, il Tanto valerà R. q. L,Rs q- 235. 2-p.33 jp. R. q- 12. p. 5. Capitolo di Potenza potenza, e numero eguale à Cubo. Questo capitolo si pud agguagliare (come i passati) et è generale, e quando verrà in modo che nou si possa agguagliare con li modi, che si davanno; all hora la domanda sarà impossibile (com’è) quando si hà 2 e numero egugle à © e che il quadrato della metà delli Tanti sia minore del numero, la domanda pur è im- possibile, e solo si pud agguagliari sofisticamente , e lo somigliante accade in questo, onde verrdalle sue regole. Agguaglisi 1 4 p. 12. à R. q. 96 5. Piglisi il mezzo dell Cubi, ch’è R. q. 24, e quadrisi fa 24, e questo si moltiplica via 6. metà del numero, fa 144, al quale si aggionge il 12. numero (ma dica Tanti) che farà 12 2 p- 144 è per regola è eguale à 1 5, che agguagliato, il Tanto valerà 6, ilquale si quadra ; fa 36, e se ne cava ( 390 ) il numero (cioë il 12) resta 24, e se ne pighia il lato, ch’è R. q. 24 e seli aggionge la valuta del Tauto, fa 6. p.R. q. 24, e si salva, poi piglisi il quadrato della metà di Cubi, ch’è 24 e se li aggionge 12. doppio di 6. valuta del Tanto fa 36, che il suo lato è 6, e si ag- gionge con la metà de Cubi, cioè con R. q. 24, fa 6. p- À. q. 24 e questi sono Tanti, che sono eguali alla quantità serbata di sopra si che si haverà 1 2 p. 6. p. R. q. 24 eguale à 6 % p. KR. q. 24 : che aggua- gliato, il Tanto valerà 3, p.R.q. 6. m.R.q. LR. q.96. p.9: J- Overo 3. p.R. q.6p. R.q. L R. q. 96.p.9 TJ, che l’una e laltra è la vera valuta del Tanto, e questa _ sarà la dimostratione del nascimento di detta regola. Havendosi 1 4 p. 12 eguale à KR. q. 96 5 ,il'suo agguagliare nasce da questa regola. Levansi i Cubi da ogni parte, e cosi il numero, e si haverà 1 4 m. R. q. 96.3 eguale à m. 12. Piglisi la metà di Cubi, ch’è R.q. 24,e (dica * esi cava d’r 2? lato d’r 4 resta 1 3 m.R. q. 24 .: et aquesto si aggionge 1 & di numero, fa 1 2 m.R.q. 24 « p. : di numero che il suo quadrato sarà 1 4 m. R. q. 96 $ p.24 2 p. ox di2 mR. q. 964 di x: p. 1 ? gi numero, che cavatone 1 #4 m. R. q. 96 5 restario 24 2 p. 2 a di 2 m.R. q. 96.2 di x p.1 ? di numero,e questa & la quantità da aggiongere à ciascuna delle parti, accioche luna , et l’altra habbia lato, che ag- gionta à 1 4 m.R. q. 96 5 ,ilsuolatosarà r 2 m.R.q. 24 p.12 diune aggionta à m.12, fa 24 2 p.2 EL di2 m.R. q. 96 « di x p. 1 2 dinu. m. 12. Hora bisogna vadere, se il lato delle potenze, ch’è R. q. L 24: p.2 2j, moltiplicato via il lato del numero, ch'è ( 3gr ) R. q. L 1 2 m. 12 j faR. q. 24 2 meta delli x che moltiplicate dette due R. q. fanno R. q. L 2 3 p. 24 2, m. 24 m. 288 J, e questo è eguale à R. p. 24 æ che levate le R. q. si haveranno 2 $ p. 24 ? m. 24 ©, m. 288, eguale à 24 2? , che levate le potenze, et ilmeno, e redutto à 1 $ , si haverà 1 $ eguale à 12 © p. 144, che agguagliato, il Tanto valerà 6, e questo è quel : di numero, che fù accompagnato con 1 2, m. R. q. 24 : , si che hora si dirà 1 2 m. R. q.24 p. 6, che il suo quadrato sarà 1 4 m. R. q. 96 5 p. 36.2 m. R. q. 3456 : p. 36, che cavatone 1 4, m.R. q. 96 $ resta 36 2 m. R. q. 3456 : p. 36, e questa è la quantità che si deve giongere à cias- cuna delle parti acciochè habbiano lato, che aggionta à 3 #& m.R. q.96 5 il suo lato sarà 5 2 m. R. q. 24 2 p. 6 et aggionta à m. 12. fa 56 2? m.R. q. 3456 1 p. 24, che ilsuo lato sarà 6 1 m.R. q. 24,e questo ë eguale al lato detto di sopra, ch’è r 2 m.R. q. 24 © p- 6, che agguagliato , il Tanto valerà 3. p. R. q. 6. p. R. q. LR. q. 96. p. 9. j: overo 3. p. R. q. 6. m. R. q. LR. q.96. p. 9. y, che l’una e l’altra è vera valuta. Capitolo di potenza potenza eguale a potenze, Tanti € HUM: Questo Capitolo pud venire in più modi, et alcuna volta patisce le difficultà del Capitolo di Cubo eguale à Tanti, e numero, del quale ne porrd solo tre essem- pij, perche chi volesse porre tutti Hi modi, ne quali pud venire questo, e gli altri, che seguitano, si andrebbe in infinito, et chi intenderà bene questi potrà da se tro- 1] ( 392 ) var gh altri. Ne meno porrè le trasmutationi, per non essere necessaril. Agguaglisi 1 # à 9 ? p.24 % p. 16. Perche àmol- tiplicare il lato delle 2 via il lato del numero fa 12 metà delli :, perd 9 2 p.24 % p. 46 hà lato ch’è es A! 3 x p. 4 ch’è eguale à 1 2 lato d’r 4, che aggua- gliato, il Tanto valerà 4. | Agguaglisi 1,4 à7 2% p.24 & p. 15. Prima bisogna moltiplicare il numero delle potenze via il numero, che fa 105, e questo cavare di 144. quadrato della metà delli Tanti, resta 30, del quale per regola se ne piglia la metà ch’è r9 ?, ch'è eguale à r 3 p.19 p.32 2 , che li 15 x sono il numero al quale si fa mutar Les à natura, € dire x e le 32 2 sono la metà delle > 2 , che agguagliato il Tanto valerà 4, il suo quadrato è. x, il quale si gionge à 15 numero, fa 16, che il suo lato ë 4, del quale si cava 1 valuta del Tanto, resta 3, e questo si salva, poi si piglia il numero delle potenze ch’è 7, e se li aggionge 2. doppio della valuta del Tanto, fa 9 che il suo lato & 3, e sono :: che aggionti col3, serbato di soprà, fa 3 ï p. 3, e questo per re- gola è eguale à 1 2 , che agguagliato, il tanto valerà R. q. 5: p. 1.+. Ma per sapere dove nasca tal regola, lo mostrard. | Piglisi 1 2 lato della potenza di potenza, e se gli aggionge 1 : di numero fa & ®, p. 1 .* di numero, che il suo quadrato è 1 4 pa2 ii di 2 p. x 2 di numero, che cavatoue 1 4, resta 2 & di LS Pet di numero, e questa & la quantità d’aggiongersi à cias- cuna delle parti, acciochè habbino lato, che aggionta à 1 # ilsuo lato sarà 1 2, p: r © di numero, et-ag- (395 ) sont 4,2 pro iope 15; fa 7.2: pa di 2 ps 242, p- 19. p. 1 2 di numero. Hora bisogna vedere, se à moltiplicare il lato delle potenze, ch’è R. q. L 7. p.2 & jy: vi il lato del numero, ch’è R. q. L 15. p. 1 2 J; fa 12. metà dell « che moltiplicati detti lati luno via l’altro, fannoR. q. L' 2 5 p. 7 2 p.3 & p. 105 j, ch’é eguale à 12. metà delli Tanti, che levata la R. q. e ridutto à 1 $ si haverà 1 Sp. 3+ 2 p.15 æ_ eguale a :9 +, che agguagliato il Tanto valerà x, et questa à la valuta d’r x di numero, che fu accom- pagnata con 1 a Si che aggionto à 1 2 farà 1 2 p. 1, Che il suo quadrato è 1 #4 p. 2 2 p.r, che cava- tone 1 4 restano 2 2? p. x ch’è la quantità, che si deve aggiongere à ciascuna delle parti, acciochè luna e l’altra habbia lato, che aggionta à 1 4 etàs 2 p. 24 perd farà s p.2 2 p. 1. eguale à 9 2 p. 24 2, p. 16, che pigliato il lato di ciascuna, si haverà 1 2 p. 1 eguale à 3 * p. 4, che agguagliato, il Tanto valerà R. q. 5 + p. 1 + (come fu detto di sopra). Ma se à moltiplicare il numero delle potenze via il nume- ro , il produtto superane il quadrato della metà delli Tanti, bisogna tenere la strada , che si mostrarà nel seguente essempio: Agguaglisi 1:4 à 1r 2 p. 24 4 p. 15. Molüipli- chisi il numero delle potenze via il numero fa 165, del quale se ne cava 144 quadrato della metà delli Tanti, resta 2r, che aggionto con le potenze fa 21. p. 11, 2, e questo per regola si parte per 2. ne viene 10 ; p«5 + ? , ch'è eguale a 1 5 p. 15 x perche del 15 si fa 15.2 , che agguagliato , il Tanto valerà r, che il suo quadrato sarà parimente 1, che aggionto col ( 394 ) numero; cioë con 15, fa 16, che il suo lato è 4, al- quale si aggionge 1 (valuta del Tanto), fa 5, e si salva, e d’ell 21. numero delle potenze se ne cava 2, valuta di 2 1, resta 9, che il sua lato è 3,e sono Tant, cioë 3 2, che aggionti col 5. serbato di sopra fa 3 «, p. 9, e questo per regola è eguale à 1 2, che aggua- gliato, il Tanto valerà R. q. 9 + p. 1 2, e la varietà di questo agguagliamento da quello di sopra, procede, che 1 © di numero in quello di sopra si aggionge à 1 2 et in questo si cava. Si che chi intenderà quello di sopra intenderà parimente questo. Capitolo di potenza potenza, e Tanti , eguale à potenza, e numero. Questo Capitolo pud venire in assai modi, ma solo ne porrè per brevità quattro essempij più necessarij , e detto Capitolo patisce l'eccettioni, che patiscono li Capitoli di 5 equale à 7, e numero, e 3 e numero eguale a x. Aggeuaghisi 1 ap. 24 © à 82 p. 18. Levinsi li Tanti da ogni parte, e si haverà x 4 > eguale à 8 2 m. 24 2 p. 18, e perchè à moltiplicare il numero delle potenze via il numero, fa 144, che il suo lato è 2, ch’è pari à 12. metà delli Tanti. Perd 8 ? m. 24 © p. 18. hà lato il qual” à R. q. 8 : m. KR. q. 18 overo R. q. 18. m.R. q. 8 * , che l’uno, e l’altro non si pud negare. Mal a vera si è R. q. 18m. 8 : e questo è equale à 1 2 lato d’r 4, che agguagliato, il Tanto va- lerà R. q. LR. q. 18. p. 2 j.m.R. q. 2,e perchè hù (395 ) detto che R. q. 18 m.R. q. 8 :_ è la vera nel Capitolo seguente chiarird questo dubbio. | Agguaglisi 1 4 p.24 1 à 18 2 p. 8. Levinsi li Tanti (com è detto di sopra) si haverà 1 4 eguale à 18 © m. 24 : p.-8, la qual quantità hà lato per il rispetto detto di sopra , che esso lato sara R. q. 18 2 -m. À. q. 8 overo R. q. 8. m. R. q. 18 : che luno e l’altro & buono e per conoscere quando luno e Paltro ë buono. Piglisi il quarto delle potenze, ch’è 4 +. che essendo maggiore, à pari al lato del numero ambidui e lati sono buoni. Ma se il lato del numero è maggiore del quarto delle potenze, all’ hora non & buono se non quello, che’dice numero men *. Si che in questo essempio si possono pigliare ambidui li lati. Hora piglisi R. q. p. 18.7 m. R. q. 8, che sarà eguele à 1 2 lato d’r 4 , che aggua- gliato , il Tanto valerà R. q. 4 + m.R. q. L 4+ m.R. q- 8 7, overo R. q. 4p- 16. Hora pi- glisi il bio. d'r.#,ch’è 1 2 al quale se si aggionga pi di numero, fa 1 2 p. 1 2 di numero, che il suo quadrato è 1 4 Ÿp- 2' x di pr 2 diu. che cavatone x 4 resta 2 4 de 2, p. 1 2 di nu. e questa è la quantità celie si déve ag ggiongere à ciascuna delle parti, acciochè habbiano lato, che aggionta à 1 4 il suo lato sarà 1 2 p.12, di nu. e aggionta à 10 2 m. 40 À, p. 16, fa 10 2 p.21 di 2 1m. 40 1 p. 16. p. r 2 di numero. Hora bisogna vedere , se il lato delle 2, ch'èR. q. L 10.p. 2 y moltiphicato via il lato del numero, ch’è R. q. L 16. p. 1 2 y, fa 20. metà dell x, bee à moltiplicare detti late Vuno via l’altro, faranno KR, q. L 2 $ p..10 2 p. 32 © p. 160 J; € questo & eguale à 20, che levata la R. q. legata si ha- Se ( 397 ) verà 2 3 p.10 2 p. 32 ! p. 160. eguale à 400, che ridutto à 1 5 , e levato il minor numero, si haverà 1 3,p. 5 ® p. 16% eguale à 120, che agguagliato, il Tanto valerà 3, ch’è il Tanto di numero, che füù posto con la potenza, onde pongasi detto 3, con 1 2, fa 1 2 p. 3, che il suo quadrato è 1 4 p.62 p.0, che cavatone 1 4 resta 6 2? p. 9, ch’è la quantità, _che va aggionta à ciascuna delle parti, che aggionta à 1 4 et à 10 2, m. 40 2 p. 16, farà 1 4 p.62 p. 9. eguale à r6 ? m. 40 7 p. 25, che tolto il lato dell’uno, e dell’ altro, si haverà 1 © p. 3. eguale à 5. m. 4 !,, che agguagliato , il tanto valerà R. q. 6. m. 2. come fu detto di sopra ella se il produtto delle 2 via il numero che fu detto nel principio dell essem- pio sarà maggiore del quadrato della metà delli al) hora bisognarà procedere nel modo, che si dirà nel seguente essempio. Agguaglisi r 4 p.18 2 à 11 2 p.8. Moltiplichisi il numero delle potenze via il numero, fa 88, che ca- vatone 81 quadrato della metà delli Tanti, resta 7. e questo si accompagna con le 2? fa 11 2 p. 7, che per regola se ne piglia la metà ch’è 3+p. 57.2, il quale è eguale a 1 5 p. 8 ï , che pe FAR , il Tanto va- lerà 1, e questo si cava d’r 2 resta 1 2 m. 1, cheil suo quadrato è 1 # nu. 2 ? p- 1, che cavatone 1 4 resta m. 2 2? p. 1 ch’è la quantità da aggiongere a cias- cuna delle parti, acciochè habbino lato, che aggionta à I HA OOR EE RRRRE farà 1 4 m.2,2 p. 1. eguale à 9 2? m. 18 © p. 9, che pigliato il lato dell una e dell’ altra parte, si haverà 1 M 7. eguale à 3 2 p. 3. overo à 3. m. 3, Re uno e ( 398 ) l’altro modo è buono, e aguagliato, il Tanto valerà I OVEro 2. Capitolo di potenza potenza, e numero eguale à potenze e Tanti. ; Questo Capitolo patisce l’eccettioni del sopradetto. Ma nel resto vien sempre ad un modo, perd di esso non porrù più d’ uno essempio. Agguaglisi 1 4 p.12à 8 2 p.16 1 Moltiplichisi il numero delle 2 via il numero, fa n° e si aggionge col quadrato della metà delli x, fa 160, che per re- gola se ne piglia la metà, ch’è 80, e se li aggionga il numero , ma dichi *, che farà 12. p. 80, e sarà eguale à 1 5 più il mezzo delli 2 cioè 4 2 , che ag- guagliato, il Tanto valerà 4, e questo 4. si aggionge con 1 2 lato d’r 4, fa r 2 p. 4, che il suo quadrato è1 4 p.8 2 p. 16, del quale se ne cava 1 2 p.12, ‘resta 8 2 p. 4, e si aggionge à 8 2 p. 16 7 , fa16 2 p.16 * p. 4, che il suo lato à 4 : p.2, et è eguale à 1.2 p. 4. detto di sopra, che agguagliato, il Tanto valerà 2 p. R. q. 2, overo 2. m. R. q. 2, e intorno questo Capitolo non dirè altro, perche chi intenderà le regole de passati, intenderà parimente dove nasca la regola di questo. Capitolo di potenza potenza, e potenze, eguale a Tanti e numero. Il presente Capitolo è simile al passato, eccetto che questo non hà più di una valuta, e l'altro ne ha due, perd ne porr un solo essempio. | | ( 399 } Agguaglisi 1 4 p.12 2 à do: p.36. Moltiplichisi il numero delle 2 via il numero , fa 432, al quale si aggionge 400. quadrato della metà delli x fa 832, et à questo si aggiongono le 12 2 et si parte il tutto per 2. ne viene 416. p. 6 2, ch’ è egualeà r 5 p.36 x perche del numero si fanno * che agguagliato , il Tanto valerà 8, il quale 8, si aggionge à 1 2, fa r 2 p.8, che il suo quadrato è 1 4 p.16 2 p. 64, che cavatone 1 4 p412 2 resta 4 2 p. 64, e questa è la quañntità che si deve aggiongere à ciascuna delle parti, accioche sia quadrata, che aggionta à 1 4 p.12? et ss p.90 a 1t:p.;16,2% p.04e.4 2 p.40 zip: 100, che li loro lati sono 1 © p. 8, e2 x p. 10, che agguagliato il Tanto valerà R. q. 3. p. 1. Capitolo di potenza potenza, Cubi e Tanti eguale à numero. Questo Capitolo è generale, e sempre si pud ag- guagliare (conv à il Capitolo di Gubo, e Tanti eguale e numero) e perche ha assai parti, perd ne porrd tre essempij per maggiore sua intelligenza. Agguaglisi 1 4 p. 4 3% p. 104 2 à 64. Piglisi il qua- drato della metà de Cubi, ch’è 4, e moltiplichisi via il numero, fa 256. e questo si cava del quadrato della metà delli Tanti, ch’è 2504, resta 2448 ; del quale se ne piglia la metà, ch’ è 1224 , e si salva ; poi si molti- plica la metà de Cubi, ch’è 2. via 52. metà delh Tanti fa 104, e si aggionge al numero, cioë à 64; fa 168, e tutu sono Tanti, alli quali per regola si ag- gionge 1 3 fa 1 5 p.168 * , e questo è eguale à 1224. Serbato di sopra, che agguagliato , il Tanto valerà 6, ( 400 | che si aggionge con 1 2 lato d’r 4 far 2 p.6, al quale si aggionge la metà de 3 , ma dica 1 cioè 2 2 farà 1 2 p.2 x p. 6, che il suo quadrato sarà 1 4 p. i2 3 p.16 2, p. 24 : p. 36. che cavatone 1 #4 p. 4 3 p. 104 2 restanno 16 2 m. 80.1 p. 36, e tutto questo si aggionge al numero , cioè à 64. fa 6 2 m. 80 1 p.100, che il suo lato è 10 m. 4 7, e dueité Û eguale à r 2 p.2 * p. 6. detto di sopra, che aggua- gliato, il Tanto valerà R. q. 13. m. 3, e tale aggua- Re nasce da questa regola. Piglisi il ato d’r 4, cher 7) et accompagnisi con tanti 1 4 quanti sono TA metà de 5 far 2 p. 2 *, et à questo si aggionge 1 a di numero, che il suo quadrato sarà 1 # p. 4 %, p.42 p.22 dip 4di x p.12 dinumer0’, che cavatone 1 4 p.4 $"p. 104 : restanno 4 2 p.2 a di 2 p.4z di? m.104 1 p.1 ? di numero, chè la quantità da aggiongere à ciascuna delle parti, perche habbino lato, che aggionta à 1 4 p.4 & p. 104: il suo lato sarà 1 © p.2 ZX p.1 ! di numero, et aggionta à 64, farà 4 2 p.21: di 2? p.41 di : m. 104 1 p.64. p.r ? di numero. Hora bisogna vide. se à moltüplicare ll lato delli , ché. R. q- L 4.p. 2 1j. via il lato delnumero, ch’è R. q. L64. p. 1 2 j fa 2 © m. 52. metà delli x, che à moltiplicare detti dueR. q. legate luna via l’altra fanno KR. ie Pr tal p- 4 2 p.128 2 p. 256,7 e questo è eguale à 2 1 m. 52, che levata la R. q. legata si haveranno 2 $ p. 4 2 p.128 © p. 256. eguale à mi m. 208 ? p.4 che ridutto : à brevità si haverà 1 3 p.168 * eguale : à HÉSAME che agguagliato, il Tanto valerà 6, ch’è la valuta del * di numero quale accompagnata con 1 ( 401 ) Ep faras 2p:2 1 p.6, ee il suo quadrato sarà 1,4 p.4 $ p.16 2 p.24 2 p. 36, che cavatone 1 4 p- 4 S p. 104 x restanno M: 80 : p. 36, e questa è la quantità, che si deve aggiongere à ciascuna delle parti, che aggionta à 1 4p.4 3 p.104 x et à 64, farà r 4 p.4 5 p.16 2 p. 24 : p. 36, eguale à16 2 m. 80 x p. 100, che tolto il lato di ciascuna delle parti, si haverà 1 ? p.2 1 p. 6. eguale à 10 m. 4 2, che agguagliato, il Tanto valerà R. qi 13. m. 3. Ma se nell agguagliare di questo Capitolo, la molti- plicatione del quadratv della metà delli Cubi via il numero sarà maggiore del quadrato della metà delli ; all hora si terrà la strada di questo essempio. Agguaglisi 1 4 p. 8 % p. 20 © à 23. Moltiplichisi il numero via 1l quadrato della metà de cubi ch’ & r6 fa 368 , e questo si cava di 100 quadrato della metà delli 1, resta m. 268 , che partito per 2 ne viene m. 134. poi moltiplichisi la metà de cubi via la metà delli x fa 40; e aggiongaseli il numero, fa 63, e sono Z, che si devono accompagnare con 1 3, che farà 1 5 p. 63 1 e questo è eguale al m. 134. detto, di sopra, che agguagliato il ï valerà m. 2. e si ag- gionge con 1 2 p.41, fa 1 2 p. 4: m.2.Li4 1 nas- cono della metà de œubi (come fù detto nel! essempio passato) che il suo quadrato sarà 1 4 p. 8 5 p.12 2 m. 16 2 p. 4, che cavatone 1 4 p. 8 $ p. 20 resta 12 2 m. 36 1 p. 4.e questo si aggionge al numero, cioè à 23, fa 12 © m. 36: p. 27, che il suo lato è R. q. 27. m. KR: q. 12,7 e, questo è eguale a 2 p. 4.2 m. 2 detto di sopra , che levato il meno, si haverà 1 2 p. 4: 2, p- R. q. 12,2 eguale à R. q. 27. IL. 26 ( 402 ) p. 2, che agguagliato il Tanto valerà R.,q. LR. q. 1 47. p..g pm. 2. R. q. 5. Capitolo di potenza potenza , e potenze e Tanti gguale a num. Questo capitolo pud venirein diversi modi, e patisce le eccettioni del capitolo di, 3 enr lee 1 ,enumero, e del capitolo di 5 e numero eguale à X , che ci pud inter- venire il p. ee m., del els ne porrè solo un essempio. Agguaglisi 1,4 p. 12 2 p. 96 : à 48. Moltipli- chisi le 2 via 1: numero fanno 576, e se gli aggionge il ra Lee della metà delli x, fa 2880, e se ne piglia la metà ch’è 1440,ese li aggiongi la metà delle po- tenze , cioè 6 2, fa 1440 ,p. 6 2, e questo è eguale De D AA s per agguagliato , il Tanto vale 12 ; il quale si ag salope con 1,2 fa 1,2 p. 12, che il suo quadrato è 1 # p. 242 pe 144, che cavatone 1 # pe 12.2 p.96 2 resta 12,2 men. 96,1 p. 144,e questo si aggionge à 48, cioë al nu. fa 12,2 m. 96 2 p. 192, che pigliatone il lato sarà R. q. 192. m. R. q. 12,2, che sarà eguale à 1 2 p. 12. detto di sopra, che ag- ‘guagliato ,il Tanto valerà R. q. LR. q. 192. m. 9. }. m.R. q. 5, e per dimostrare dove nasca tal regola, aggiungasi à 1 4 lato d’r1 4, 1 : di numero, fa 1 2 YU di numero , che il suo quadrato è LIN AZ di 2, p. 1 ? di numero, che cavatone 1 4 p. 12 p. 96.2, resta 2,2 di 2 m. 12,2 m. 96 £ p. 1,2 di numero , e questa è la quanttà , che si deve gion- gere à ciascuna delle parti acciochè habbino lato , che aggionta à 1 4 p. 12 2 p. 96 1 il suo lato sarà ( 4035 ) MEET IL di numero, e aggionta à 48, fa 2 a à 12 2 M. 96 2 p. 48. p. 1 2 di numéro. Hora bisogna vedere, se il iato delle senc. gq'L2 x m.12 J, moltiplicato via il lato del numero, ch’è R. q- L. 48. p. 1 2 TJ, fa 48 metà delli 3 CHE molti- plicare detti lati l’uno via l’altro, fanno R. qLo 8 p. 96 Z m.12 2 m. 56 J, ch’è eguale à 48. metà delli *, che levata la R. qe legata, si haverà 2 SD. 96 Z m.12 ? m. 576. eguale à 2304, che levato il meno, e ridutto à 1 3 si haverà r p. 48 1 eguale à 1440 p.6 2 che agguagliato, il T'anto valerà 12,ch'è : la valuta d’r 2 di numero, che fà posto con la poten- za , si che aggionto 12.41 2, fa 1 2 p. 12, che si quadra, fa 1 4 P-24 2 p. 144, del quale se ne cava 1 £ p.12 2 p.096 x restano 12 2 m. 96 2 p. 144, e questa è la quantità, che deve giongersi ad ambedue le parti, che aggionta à 1 EP. 12 2 p. 96 x et à 48, far & p.242 p- 144 eguale à 12 2 m. 96 De 192, che pigliato il lato di ciascuna parte, si haverà 1 2 p. 12 eguale à R q- 192 m.R.q. 12 L; Che aggua- gliato, il tanto valerà R. q. LR. q. 192. m. Q. jy m.Rk. q. 3 (come fù detto di sopra). Capitolo di Potenza potenza, Tanti e num. eguale à polenze. Questo Capitolo assaissime volte patisce la dificultà del Capitolo di Cubo, eguale à Tanti, e numero, e dei Capitolo di 2 e numero eguale à 1 e pud venire in -infiniti modi. Ma solo ne porrè due essempij. ,, Agguaglisi 1 4 p. 19 à 4 2 Moltiplichisi la meta 26. ( do ): delle 2, via il numero, fa 38, e si aggionge all’ottavo _ del quadrato delli Tanti, ch’è 450, fa 488, et à questo si aggionge il numero, ma dica 1 fa 448. p. 19 * et è eguale à 1 3 più la metà delle ?_cioè 2 2 , che agguaglia- to il Tante valerà 8, che (per regola) si aggionge à 1 2 fa x 2 p. 8, che il suo quadrato è 1.4 p.16 ?. p. 64, de quale se ne cavar # p.60 | p.19. resta 16 2? m. 60 .:, p. 45, e questo si aggionge à 4 2 fa 20 ? m. 60 © p. 45, che pigliatone il suo lato, si haverà R. q. 45 m. R. q. 20 2 ovvero R. q. 20 : m. R. q. 45, che à l’uno, à l’altro saranno eguali à r 2 p. 8. che nel! uno e nellaltro si pud agguagliare, perche pigliando R.q. .m.R.q. 20.2 e agguagliatala con 1 2, p. 8, e levato il meno, et il minor numero, si haverà 1 2 p. R. q. 20 1 p. 8. m. R. q. 45. eguale à o. e se si pi- gliarà R. q. 20 « m. R. q. 45. e levato il meno, si ha- verà 1 2 p. 8. p. R. q. 45.eguale à R. q. 20 :, che questo non mEno se puè agguagliare, se non fintamente, e questo non è defetto della regola, ma è della doman- da, che farà venire tale agguagliamento, la quale riso- lutione sarà impossibile. Agguaglisi r &# p. 120 ! p. 64 à 80 2. Moltipli- chisi la metà delle potenze, ch’è 40 via il numero, fa 2560, et à questo si aggionge l’ottava parte del qua- drato delli Tanti, ch’è 1800, fa 4360, e se gli aggionga il numero ma dica £, fa 4360. p. 64 : ,e questo ë eguale à 1 5 p. la metà delle 2 cioè 40 2, che il Tanto valerà 10, la qual valuta aggionta à 1 2 per re- gola fa x 2 p. 10, che il suo quadrato è 1 4# p: 20.2 p. 100, che cavatone 1 # p. 120 4 p. 64, restänno 20 2 m. 120 .! p. 96, e questa è la quantità, che va (405 ) aggionta à ciascuna delle pee accioche sia quadrata, che aggionta à 80 2 fa 100 2 p. 36. m. 120 :, che ilsuo lato à 10 7 m. 6,e questo è eguale à 1 » p. 10, che agguagliato, il Tanto valerà 2. overo 8. et perche la regola di questo agguagliamento nasce dallo accom- pagnare 1 : di numero con 1 2 overo cavarlo (come si è, mostrato ne Capitoli passati) perd havendosi à procedere in questo Capitolo nel medesimo modo, non ne dir altro. Capitolo di potenza potenza , e potense, e numero eguale à Tanti. Questo Capitolo patisce anco egli le difficultà del passato , ma non tanto, e se à moltiplicare la metà delle potenze via il numero , il produtto sia maggiore dellottavo del quadrato delli Tanti, all’hora riesce piu difficile, e se bene pud venire in diversi modi, non dimeno (come hà fatto) e fard di molti altri, non ne porrè se non uno essempio. Agguaglisi x 4 p. 4 2 p. 4 à 32 %. Moltiplichisi la metà delle 2 via il numero, ch’è 4, fa 8, e questo si cavi di 128. ottava parte del quadrato delli Tanti, resta 120 , al qualé si aggionge il numero, ma dica Tanti, che faranno 4 % , et il mezzo delle potenze, mob 2,2 ehetfari in tutio 120 p.,4 .! p.2 ? € questo per regola è eguale à 1 ©, che nr ,il Tanto valerà 6, e si aggionge à 1 2 fa x > p.6,che il suo quadrato è 1 # p. 12 2 p. 36, che cavatone & p-.4 2 p. 4. restano 8 2 p. 32, che aggionti à 3 2 fanno 8 2 p.32 « p. “A che il suo lato è R. ( 406 ) q- 8.2 p. R. q. 32, e questo è eguale à 1 2 p. 6, che agguagliato, il Tanto vale#à 2. p. R. q. L R. q. 50 m. 6.7 overo 2. m.R. q. LR. q. 50 m.6 7. Capitolo di potenza potenza, Cubo e numero eguale a Tanti. Agguaglisi 1 # p. 8 % p. 11 à 68 a. Piglisi la metà de 3, e quadrisi La 16,e mich via il numero ra 176, e piglisene :a metà ch’è 88, et aggion- ghis icon l’ottavo del quadrato delli Tanti, fa 666, al quale per regola si aggionga 1 5 fa r 5 p. 666, e si salva. Poi moltiplichisi la metà de Cubi, via la metà dell x, fa 136, al quale si aggionghi il nümero, cioè 11, fa 147, esono 1 che sono eguali à 1 5 p. 666. serbato di sopra, che aggeuagliato, il Tanto valerà 6, poi si piglia il lato è 1 4 , chè 1 2; ese li aggion- gono 4 x metà de 5, fa I 2 p. 4. :!,ese ne cava 6. valuta del Tanto detto di sopra, resta 1 2 p. 4 © m. 6,esi quadra fa 1 4 p.8 5 p. 4 2 m. 48 « p. 36, del qual produtto se ne cava 1 4 p. 8 % p.15, resta 4 2 m. 48 1 p. 25, e si aggionge à 68 2 fa 4 2 p. 20 © p. 25, che il suo lato sarà 2 * p. 5, e questo è eguale à 1 2 p. 4 1 m.6, detto di sopra, che aggua- gliato , il Tanto valerà R. q. 12. m. 1. Capitolo di potenza potenza, Tanti, e numero eguale a Cubi. Questo Capitolo rare volte anch’egli si pud aggua- gliare senza il p. di m. (come il sopradetto), perché il ( 407 ) suo agguagliamento viene quasi sempre à % e numero eguale à = che rari sono, che si possino agguagliare. Agguaglisi 1 4 p. 36 r p.19. à 12 3. Moltipli- chisi l’ottavo del quadrato delli $ via il numero, fa 342, al quale si aggionge l’ottavo del quadrato delli Tanti, ch’è 162, fa 504, e per regola, se li aggionge 1 $ far 5 p. bo4,e si salva, poi si moltiplica la metà de Cubi via la metà delli Tanti, fa 108, che aggiontoli il numero, cioë il ra. fa 127, e sono Tanti, che sono eguali à 1 5 p. 504. Serbato di sopra, che ag- guagliato, il Tanto valerà 8. Hora piglisi 1 2 lato d’r #4 ,e se ne leva la metà de Cubi (ma dica Tanti) e 8. valuta del Tanto, restard 1 * m. 6 1 m. 8, cheil suo quadrato è 1 4 m.12 5 p. 20 2 p. 96 2 p. 64, che cavatone 1 #. p.36 1 p. 19, restano 20 2 p. 6o Xp. 45. m. 12 3, esiaggiongono à 12 3 fanno SR. Go LR. 45, RER ao Mio E Do 6e P- R. q. 45, che agguagliato il tanto valerà R. q. L 22. p. R.q. 409 x R. q. 5. Capitolo di potenza potenza, eguale a Cubi, Tanti e nuUInETO. Il presente Capitolo à generale, perchè laggua- gliamento viene sempre à 3% ,e 1 eguale à numero, overo à 3 1 e nu. eguale à o. che in quel caso si muta ilnumero, e si ha 3 e 1 eguale à m. numero, che il Tanto vale meno, che tanto serve. Agguaglisi 1 4 à8 3 p.132 © p.27. Piglisi l’ot- tavo del auhdrada del” Tanti ch'è 2178, resta 1962, che si salvo, poi moltiplichisi la metà de Cubi via la ( 408 ) metà delli Tanti, fa 264, al quale si aggionge il nu- mero, cioè 27, fa 291, e sono % , che per regola si aggiongono à 1 3 far 5 p.291 .: eguale à 1962. ser- bato di sopra , che agguagliato , il Tanto vale 6, e que- sto si aggionge à 1 2 fa 1 2 p. 6, del quale se ne cava la metà de 3 ; ma dica 1 cioè 4 x ,restar ? m.4 7 p- 6, cheil suo quadrato è 1 4. m. 8 $ p.28 2 m. 48 x,p. 36. che cavatone 1 # resta 28 2, m. 45 x p. 36.m.8 3, che aggionto à 8 5 p: 1334 p- 27; fa 28 2 p.04 .2p: 65, che il suo lato & R qe 48 2 p- R. q. 63, e questo è eguale à 1 2 m. 4 % p. 6, che ag- guagliato , il Tanto valerà Ro qe LR. q. 343 p. 5 x p. R..g7p-2. Capitolo di potenza potenza, e Cubi, eguale à Tanti e numero. Questo Capitolo patisce le eccettioni delli Capitoli di 3 eguale à * , e numero, e di 3, e numero eguale à 1, del nie ne porrù due essempij. Agguaglisi r 4 p.12 3 à132 x p. 47. Molüipli- chisi l’ottavo del quadrato de cubi via il numero, fa 846, e questo si cava dell’ottavo del Fghe : delli Tanti, resta 1332, al quale si aggionge 1 $ ,far $ .p. 1332, che si salva; poi moltiplichisi il mezzo Pr Cubi via la metà de Tanti, fa 396, del quale se ne cava il numero , CIoË W: resta 349, e questi sono Tanti, che sono egualeàr 3 p. 1332. serbato di sopra, che aggua- gliato, il Tanto ar 4, il quale sicava d’r 2 p.6,1 resta 1,2 p.61 m.4eli6 x nascono dalla metà deCubi, che quadrata delta quantità, far 4 p.125 p. 28 2 m. 48 ( 409 ) +, p- 16, che cavatone'1 4 p. 12. restano 25 2 m. 48 & p- 16, e questa è la quantità da giongere à ciascura delle parti, accioche sia quadrata che se si aggiongono à 132 2 p. 47 fano 28 2? p. 84 : p. 63, che il suo lato a 7 q28.08 pe R.c q. 63, ch’ è eguale à 1 2 p. 6 1 m. 4. detto di sopra , che agguagliato, il Tanto valerà R. q. L 20. m. R. q. 65.7 p. R.q. 7. m.3,e perche questo Capitolo pud venire in più modi, e in due si pu fare la positione, perd porrà il nascimento della sua regola, ch'è questa : Piglisi la metà de x ch’è 6,e dica ï , e aggionghisi à 1 2, lato d’r 4 , far 2 p- 6 x del quale se ne cava un * di numero, resta 1 2 p. 6: m.r x di numero, che il suo quadrato è PARA 2 p36 1 ms2 Cdi me 42; ridi:T0p.i 2, di numero, che cavatone 1 # p.12 3 restano 36 ain dif 20 nf. 122 Ai 7 Epiir 2 diarérv , e questa è la quantità da aggiongere a ciascuna delle parti, che aggionta à 1 4 p.12 5, il suo lato sarà 1 2 p- 6.2 m.r 2 di numero, e aggionta à 132 1 p.47. farà 36m di ©, p.432 2 mi. 125 di::-p.47-p 1 2 di numero. Hora bisogna edoÿes se à siépite il lato delle 2, ch’è R. q. L 36. m. 2 x y col lato del numero, ch’è R. q. L 47. p. 1 2 y faccia 66 m. 6 x metà delli * che à moltiplicare dette due R. q. legate fanno R. q. L 1892. p.36 2 m.2 $ m.94 1 J eque- sto & eguale à 66 m. 6 x, che levata la R. q. legata, si haverà 1892. p.36 2 m.2 $ m.94 * eguale à 4356. p- 36.2 m.792 2, che levati 1 meni, e ridutti à bre- vità, si haverà 1 $ p. 1332, eguale à 396 x, che il Tanto valerà 4 , ch’è la nn del Tanto di numero, e perche fù posto meno 1,2, si cavarà 4 d’r 2° p. 6 ( 410 ) 2, resta 1 2 p. 6 £ m. 4, che il suo quadrato sarà 1 # p.123 m. 45 1 p.28 2 p.16, che cavatoner 4, pez2. fi resta 28 > m. 48 p- 16, e questa è la quantità He agglongersi à ciascuna delle parti, che ag- gionta à 1 #4 p.12 5, il suo lato è r 2 p.6 1 m.4, et aggionta à 132 1 p. hé fa 28 ? p. 84 x p. 63, che il suo lato R. q. 28 * p. R. q. 63, e questo è eguale à 2 .ps 62m, dial di sopra ; che agguagliato ‘ TPRNENEER q. L20 m.R.q.63 7. p.R.q.7.m. 3. avertendosi ; che si poteva fare la positione ancora d'# Æ, di numero più, e non meno (come si à fatto in questo essempio) e non sarebbe venuto un’ altra valuta di Tanto, perchè questo Capitolo hà due valute, perd ne pe un “altro essempio che il Tanto di numero sia più. Agguaglisi 1 4 p.2 3 à 122 p. 6. Piglisi la metà de 3%, ch’è x e dica & e si “srl àrr 2, far 2 ps EL etià vs si aggionghi t ? di numero, ds (12p.r p.11. 1 dime. cheil suo shit) & 144: P.2 $:p.Lf Dur E dieu nca ve che cavatone I # p. 2 Fm ap: 2 Erdmf plz «2, di numero, e questa è la quantità dia aggiongere à ciascuna eu parti, acciochè habbiano lato, che ” sen : àr 4 p.2.%, il suo lato sarà 1 2 p.12 p. & di numero, et aggionta à 12 2 p. 6. fit ou me Pu:2 JE Ps 12 p- aie 2 6.p. 1 : dinu- mero. Hora bisogna vedere , se il lato delle 2, ch’è R. q. Lrp.2 1 J. moltiplicato via illato del numero, ch’è R. q.L6.p. 1 2, J fa6 p. 1 1 metà delli : , che à moltiplicare detti lati uno via l’altro fanno.R. q- L2 3 per 2 p. 12 2 p. 6 y. eguale à 6. p. : # , chele- ( Ari vata la R. q. ligata,, si haverà 2 Sp. 1 2 p.12 p. 6. eguale à 36. p. 12 2 p. 1 2, che ridutto à brevità, si haverà 1 5 D : à 15, che il Tanto valerà R. c. 15, e questa à la valuta del Tanto di numero, che ag- gionto à 1,2 p. 1 ©, far 2 p.r 2 p.R. c. 15 che il suo quadrato sarà 1 4 p. 2 5 p. 1 2 p. R. c. 120 2 p: R. c. 120 x p. R. c. 225, che cavatone 1 4 p. 2 5 resta x 2 p. R. €. 120 2 p. KR. ce. 120 1 p.R. c. 22); e questa à la quantità da aggiongere à cias- cuna delle parti, che aggionte à 1 4 p.2 %,e à 12 ru mi pi A ue * p- R. c. 120 1 p, À. c. 225 eguale à R. c. 120 2 p.11 2 p. 2 4 p. R. c. 120 2 p. 6. p. R. c. 225, che tolto il lato d'el} una , e dell altra parte, si haverà 1 2 p. 1 pe R. c. 15. eguale à R. q. LR. c. 120 p. 1 © jp. R. q. LR. c. 225, che tolto il lato dell’ una, e dell altra parte, si haverà 1 2 p. 1 © p.R. c. 15. eguale à R. q. LR. c. 120. p. 1 E y p.R.q. LR. c. 225. p. 6. y, che agguagliato, il Tanto valerà tutto questo composto R. q. L R. q. L 16. p. R. c. 225 7 p.im.R. c. 14,7 m. R, q. LR.c. 12p.1-+7 p.<. Capitolo di potenza potenza, e Tanti eguale à Cubr, e numero. Il presente Capitolo patisce le eccettioni del pas- sato ,; cioè de Gpieli di 5 eguale à 1 numero, e 5 et numero eguale à £ , e si pud fare AS positione. in due modi (come del ERP Ma di questo porrd solo uno essempio. Agguaglisi 1 + p. 30 1 à 4 Eat Moltiph- (42) chisi l’ottavo del quadrato de 3. ch’è 2. via il numero fa 22. e si cava dell ottavo del quadrato delli x ch’è 5o , resta 28, e si salva, poi si moltiplica la metà de 3 via la metà delle = fa 20, e se ne cava il numero cioè 11, resta 9 e sono * che aggionti co ‘1 numero serbata fanno 28.p. 9 =, € questo è eguale à 1 $ che agguagliato, il Tanto vale 4, che aggionto con 1 ? m-. 2 4 fa 1,2 m. x p. 4et li m. 2 = nascono dalla metà de 3 e sono m., perche gli 5 sono dalla parte contraria del 4 , che il suo quadrato è 1 4 m. 4 # p.122 m. 16.1 p. 16, che cavatone 1 #4 p. 20 7 restanno 12 2 m. 4 3 m. 36! p. 16, e tutto questo si deve giongere à 4 3 p. 15 fa 12 2 m. 56 £ p. 27, che il suo lato & R. q. 27. m.R. q. 12 Z , ch'è eguale à 1,2 m.2,2 p. 4 detto di sopra, che ag- guagliato , il tanto valerà R.R. q. 3. p. 1. m. R. q. 3. ‘ Capitolo di potenza potenza, e numero eguale a Cubi, e Tanti. Questo Capitolo è sempre generale, perche ranis- sime volte viene ad altro agguagliamento, che à © e + eguale à numero, e di esso sempre si fa una sal. positione, cioè p. 1: di numero. Benche anco si potrebbe fare m. 1 : di numero. Ma non è necessa- rio, del quale ponerd solo un essempio. Agguaglisi 1 4 p.15. à 6 5 p. 78.2. Molüphi- chisi l’ottavo del quadrato de 5 ch’è 4 + via il nu- mero, fa 67 +, che si aggionge con l’ottavo del quadrato delli :, fa 828, che si salva. Poi si moltiplica la metà delli x via la metà de 3, fa 117, del quale se ne cava (#6) il numero, resta 102, che sono :, alli quali per re-. gola si aggionge e 5 fa 1 © , p. 102 * et è eguale al 828. serbato di sopra, che agguagliato, il Tanto va- lerà 6. il quale si aggionge à à ? m.3 x fa 1 ? m. 3.1 p. 6.e li m. 3 7 nascono (come fù detto nel Capitolo passato dalla metà de % ) che il suo qua- dratosara 1 4 m..6 5 p.21 2 m.536 % p.56, che levatone; 1 4 p. 15, resta m. 6 $ p. 21 2 m. 367 p. 36. e questa quantità si aggionge à 6 3 p. 78 £ fa 217 2 p. 42 2 p. 21, che il suo lato à R. q.2r 2 p. R. q. 2r, ch’è eguale à r 2 m. 3 * p. 6, che aggua- ghato, il Tanto valerà R. q. LR. q. 131 5 p. 1.51] m. R. q. 5 =m. 1. Capüolo di potenza potenza, Cubi, e Tanti eguale à numero. Il presente Capit. patisce le eccettioni delli Capi- toli di 3 eguale à * , e numero, e di 3, e numero eguale à 4, e massime, quando il numero delle po- tenze & grande raspetto il numero , et hà solo una po- sitione , cioë p. 1: di numero , e di esso ancora non porr più d’uno essempio. Agguaglisi x 4 p. 4 $ p. 13 2 à 95. Piglisi la metà de Cubi, e quadrisi, fa 4, e cavisi del numero delle 2, resta 9, il quale si moltiplica via la metà del numero , fa 337 +, al quale si aggionge la metà delle 2, fa 6 + 2, p. 337 +, che si salva, poi faccisi del nu- mero :, che saranno 95 * ,e per regola, se li ag- gionga 1 3, fa 1 5 p. 75 2 eguale à 65 2 p. 337 +, che agguagliato il Tanto valerà 5, il quaie si aggion- (414 ) ghià r 2 p.2, fax 2 p.22 p.5,;eli2 : sono la metà A4) che il suo an sarà 1 4 p. 48 4.2 ,p:40 7 2 P° 25, che cavatone 1 4 p. 4 5 13 ©, resta f 2 p: 20 2 p. 25, e questo si CE. à 75, fa 100. p. 20 4 p. 1 2, che il suo lato è 10, p. 1 ,:, Ch’è eguale à 1 2 p.22 p.5, che agguagliato, il Tanto valerà R. q. 5 + m. +. Capitolo di potenza potenza, Cubi e numero eguale à potenze. : Questo Capitolo patisce le difficultà del passato , e si pu fare la positione in due modi, ch’è la cagione, che la fa patire ancor più del sopradetto, ma solo ne porrù un essempio. Agguaglisi 1 4 p.12 $ p.7à20 2 .Piglisi Ru del quadrato ne 3, ch’è | 36: e aggionghisi alle 2, fa 56, e moltiplichisi via la metà del numero , fa es al quale per jen si aggionghi il numero, ma dica farà 196. p. 7 :_ e salvisi. Poi si piglia la metà delle 2 ch’è 10 2, e per regola se li aggionghi 1 5, fa 1 3 p. 10 2, ch’è éguale à 7 7 p. 196.serbato di sopra, che agguagliato, il Tanto valerà 4, il quale si aggionge à 12,p.6.,17 far 2 p.6x p.4,e li 6 ,* nascono dalla metà de 5, che il suo quadrato sarà 1 4 p.12 5 p. 44 2, p. 48 À p.16, che cavatone 1 4 p.12 5 p.77 resta 44 2 p. 48 2 p. 9, che gionto à 20 2 fa 64 2 ‘ 48 © p.9, che il suo lato è 8 x p.3, ch’è eguale à 12 p.6. x p. 4, che agguagliato, il Tanto valerà 1. 40 ) ” Capitolo di potenza PRES e potenza e numero eguale a Cubr. Questo Capitolo rarissime volte si pud agguagliare, senza il più di meno, e cosi per seguire l’ordine solito ne porrd un essempio, del quale se ne pu far solo una positione di p.1 : di numero. Agguaglisir 4 p.r 2 p.9à 8 3. Quadrisi la metà de Cubi, fa 16, e cavasene r. numero delle 2, resta 15, che si moltiplica via 4< metà del numero, fa 67 +, al quale si aggionge il numero, e dica 1, che saranno 9.2, € ancora se li ape la metà delle 2, ch’ è = 2, fanno in tutto + 2 p.9 : p.67 + egualeà r 5 , che nt. 1] Tanto valeràa 5, quale si aggionge à 1 2 m4 far 2 m. 4: p.5. e li m.4 1 nascono dalla metà de % , e sono meno per essere li 5 dalla parte contraria EE 2, che il suo ROSE te 1 # m. D p.20, m.40 p.,2b, che cayaioñe K,#,p«#s nn à >. p. 25 2. m. 40.2 p. 16,e si aggionge à 8 $ fa 25 ? m. 40 : p.16, che il suo lato ë 5 m.4,e ape è ble 1,2 m.4 1 p.b,detto di sopra, che agguagliato il Tanto valerà 42 p. R. q. 11 +, Overo 4+ m. R. q. 11 +. Avertendosi che se le 2 saranno maggiori del quadrato della metà de cubi all hora il numero trovato (come si & detto di sopra) si accompagnarà col Cubo, e sarà eguale à potenze, e Tant. Capitolo di potenza potenza , e Cubi eguale à potenze € nuInero. Questo Capitolo patisce l’eccettioni di Capitoli di © ( 416 ) eguale à 1 e numero, e di $ e numero eguale à 1. e solo si pu fare la positione di m. r * di numero. Si potrebbe anco potere p. 1 2 di numero, ma il Tanto valerebbe meno. Agguaglisi 1 #4 p. 12 5 à 4 2 p. 32. Piglisi il quadrato della metà de 5, chè 36, e aggionghisi alle 2, fa 40, e moltiplichisi via 16. metà del numero, fa 640, e se li aggionge la metà delle 2 fa 640. p.2 2, e questo è eguale à 1 © p. 32 %, che R nascono da 32, che agguagliato, il Tanto valerà 8, il quale si cava d’r 2 p. 6.: resta 1 2 p. 6 .: m°:8, che Alfsuo quadrato è 1 4 p. 12 $ p. 20 2 m. 96 : p. 64, che cavatone 1 4 p. 12 % restano 20 2 m.96 x p. 64, che si aggionge à 4 2, p. 32. fa 24 2? m.96 x p. 96, che il suo lato è R. q. 96. m. R. q. 24 x e questo è eguale à r 2 p. 6 : m. 8,che agguaglia- to il Tanto valerà R. q. LR. q. 600 p. 25 7 m.5. m. KR. q. 6. Capitolo di potenza potenza e potenze eguale à Cubi, € numero. Il presente Capitolo patisce l’eccettioni del passato, e sempre si fa la positione di p. 1 : di numero, benchè si possa anco fare di meno simile al Capitolo passato, il che viene quando il quarto del quadrato di Gubi & maggiore delle potenze. 4) Agguaglisi r 4 p. ro 2 à 4 3% p. 16. Quadrisi il mezzo de Cubi, fa 4, e si cava delle potenze, resta 6, e si moltiplica via 8 metà del nu. fa 48; al quale si ag- sionge la metà delle 2 cioè 5 2, fa 48, p. 5 2 e NL ( 417) questo è eguale à 1 3 p.16 x (e li 16 x nascono dal numero il quale si de ds Z )che li il Tanto valerà 4, il quale si somma con 1 ENTER (eli 2 * nascono dalla metà de 5 e sono meno per essere i Cubi dalla parte contraria della 4 fa 1 2 m. AN # cheil suo quadrato è 1 4 m. 4 3 p.ra > m. 66 Z, p- 16, che cavatone 1 4 p.12 ? resta tp 3 p.22 m.16 1 p.16 quantitàchesi déve giongere à ciascuna delle . accioche sia quadrato, che ag- ‘gionta a 1 4 p. 10 2, fa x AN EN *16 1 p. 16, che . suo lato Rd TS past aggionta a 4 5 p. 16, fa 2 ? m. F7 2 p- 32, cheil suo lato è R. q. 32 m. R. q. 2 = e questo è eguale à 1,2 m.2.: p. 4, che levato il meno, si haverà 1 2 ébbie m. R. q.2 2 p.R. q. 32 m. 4, che ag- -guagliato il Tanto valerà R. q. L'R:q.18m.22: 7 p. = m. R. q. +. Avertendosi, che se il quadrato della f 7 A e metà de $ sarà maggiore delle potenze, all’hora si pone le metà delle 2 dalla banda del 5, et si haverà ONE suetotr SA a numero , come sarebbe 1 4 p. 10 2 eguale a 8 % p. 16 che fatto (come si è detto di sopra) si haverà 1 % p.16 1 p.5 2 eguale à 48. Capitolo di potenza potenza, e numero eguale à Cubi, e potenze. Questo Capitolo patisce, l'eccettione de passati, e si possono fare due positioni, cioè ponere più 1 x di numero, e l’agguagliamento verrà à $ «e 2 eguale a 1 e numero, e se si porrà meno 1 : di numero, l’agguagliamento verrà 5, e nu. eguale a 2 e x, del ir. 27 (418) quale ne porrd un essempio, che sarà quello di p. r di numero. | Agguaglisi 1 4 p.15a72 p.2 $. Piglisi il mezzo de 5, e quadrisi, fa 1, e si aggionge al numero delle SE 8, e si moltiplica via la metà del numero, ch’ 7 +, fa 4 e se h aggionge il numero, madica x farà 6o Habit Ee a è eguale à 1 5 più la metà &à delle 2 coèazr 5 p.3+ 2,che Kébeo A , il Tanto M 4, che si aggionge à r 2 m.r * (ilqualer x nasce dalla meta de 3) fa 1 2 m.r * p. 4 che il suo quadrato è 1 #4 m. 2 $ p. 9 ?, m. 8 2 p. 16, che cavatone 1 4, p.15. restanno m.2 3 p.9 2 m. 8 ï p. 1 che aggionti à 7 2 p.2 $ fa 16 2 m. 8 ls P: à che il suo lato è 4 x m.1. che è PP à12mIr Et É 4, che agguagliato, il tanto valerà 2 © p. R. oi. t 2 L overo 2 2m. R.q.1+. Capitolo di potenza potenza eguale à Cubi, potenze, e numero. In questo Capitolo aviene come ne gli altri passati, che assai, volte ci occorre il p. di m. e la sua positione èm.r 1 di DRE che il suo agguagliamento viene a 5,,e & eguale à 2, e numero (come si vedrà nel seguente ve. Ye Agguaglisi r 4 à 8 5 p. 5 2 p. 28. Piglisi il quarto del quadrato de 5 S, ch’è 16, e si, aggionge alle 2 fa 21, e si moltiplica via la metà del numero, fa hs e se hi aggionge la metà delle 2 cioè 22 2, fa 294 p.22 2, e questo è egualeà r 3 p.28 x cheli x sonoil numero , che agguagliato, 11 Tanto valerà 6, il quale (#9) si cava d’r 2? m. 4 ! restar 2? m.4 * m.6(etli _m. 4 2 sono la metà de 3% ) che il suo quadrato è x & m.8 © p.42 p. 48 « p. 36, che cavatone 1 4 resta m. 8 Ep. 4 2 p. 48 L p. 36, e si aggiongono à BE pe 5 2 p.28. finno 9 2 p. 48 4 p. 64 che il suo lato è 3 Xp. 8, e questo & eguale à 1 2, m.4 Æ m. 6, che agguagliato il Tanto valerà R. q. 26 : p- 3 <. Capitolo di potenza potenza, Cubi, potence, e Tanti eguale à numero. Di questo Capitolo per essere molto laborioso, porrd V’'agguagliamento con brevità, et parimente la posi- tione col mostrare dove nasca tal regola. Agguaglisi 1 4 p. 4 5 p.15 ? p. 4 x à 64. Piglisi il quarto del quadrato de 3 ch’è 4, e cavisi del nu- mero delle 2 resta 11, che moltiplicato via 32. metà del numero, fa 352, et à questo si aggionge l’ottavo del quadrato delle x , che’ è 2. fa 354, e se li aggionge la metà delle 2, ch’è 7 + 2, fa 354 p.712 ,esi salva, poi si moltiplica la metà de 3 via la metà delli 2 , fa 4, che be de col numero cioë con 64, fa 68, e Pre sono: , che per regola si aggiongono à 1 3, fa r 5 P- 68 : eguale à 354 p. 7 + 2, serbato du so- pra, che en. il Fanto valerà 6, e si aggionge à 1 2 p.2 % far 2 p.2.° p.6, che il suo quadrato dé pe 4 5 P p- 16 2 p. 24 X p. 36, che cavatone É Hp: 4 3 p. 132 pe 4 £ resta 1 2 p.20 2 p 36. che aggionto à ke fa 1 2 p. 20 © P. 100, che 1l suo lato è 10. p.1 sNedtale à à 1 2 p.2 : p. 6. detto di 27. (420) sopra, che agguagliato, il Tanto valerà R. q. 4 + m.<. E per dimostrare di dove nasca tal regola, fa di bi- sogno pigliare 1 2 lato d’r1 4 et aggiongerli 2 * metà de Cubi fa 1 2 p.2 % e se gli aggionge 1 % di nu. far 2 p.21 p.12 dinu. che il suo quadrato è 1.6, p4 Ep.A4lp ar Cd Ep 40 Ep 1 2 di nu.,ese ne cava 1,4 p. 4 3 p.15 2 p. 4%, resta 2 ? di 2 m.11 2 p. 4 ? m. 4 2 di 2 p. 1 2 di numero, e questa è la quantità, che si deve giongere a ciascuna delle parti, accioche habbino lato, che aggionta à 1 4 p. 4 $ p.15 ? p. 4 *, il suolato sarà 1 2 p.2 2 p.1 .* di numero, et aggionta à 64. fa:a 2 di 2m. rt 2 °pi£ OS mo PEAR p. 1 2 di numero. Hora bisogna vedere, se à molti- plicare il lato delle 2? ch’è R. q. L2 m.11 7 con il lato del numero, ch’e R. q. L 64 p.13 j il produtto fa la metà delli *, ch’è 2 1 m. 2, e moltiplicati delti lati l’uno via l’altro fanno R. q. L2 5 p.128 x m. 11 © m.704 J. eguale à 2 ? m. 2, che levata a R. q- legata, si haverà 2 $ p. 128 ? m. 11 2 m. 704. eguale à 4 2 m. 8 * p. 4, che levato il m. e ridutto à 1 3 ,si haverà 1 3% p. 68 = eguale a 3: 2 p.354, che agguagliato, il Tanto valerà 6, e questa è la valuta del: di nu. che aggiontoà 1 2 p.2 £ far 2 p.22 p.6, cheilsuo quadrato èr 4 p.4 $ p.15 2 p.4 x restat 2, p. 20 2 p. 36, e questa à la quantità da aggiongere à ciascuna delle parti, che aggionta à 1 4 p. 4 « p.15 2 pi 41 et a 64%ar # pe 4 S'p'aAb T'AS p. 36 eguale a 1 2, p. 20 * p. 100, che pigliato il lato di ciascuna parte si haverà 1 2 p.2 2 p. 6 eguale à 5 & p. 10 che agguagliato, il Tanto valerà R. q. 4 (42r) = m.<. Averlindosi, che quando il quadrato della metà de $ sarà maggiore del numero delle 2 all’hora si potrà fare la positione, che dira m. 1 x di numero, dove in questo essempio dice p. 1 * di numero. Capitolo di potenza potenza , Cubr, potenze e numero eguale à Tant. . Questo Capitolo patisce l’eccettioni di passati, e ogni volta, che à sommare tutti i numeri delle dignità cioè de Cubi, potenze, et potenze potenze saranno maggiori del numero delli Tanti, e che il nu. sarà pari, à maggiore del numero di essi Tanti à impossibile fare tale agguagliamento (come si vedrà nel primo essempio).volendo per questo rispetto ponere due es- sempij del presente Capitolo. Agguaglisi r 4 p. 8 3 p.8 2 p. 10a8.*. Piglissil quarto del quadrato de Gubi, ch’ è 16, e se ne cavi il nu. delle 2 , ch’è 8, resta 8. il quale si moltiplica via 5. metà del numero, fa 40, alquale si aggionge l’oltavo del quadrato delli x ch’è 8; poi si moltiplica la metà dell Tanti via la metà de Cubi , fa 16, e se li aggionge il nu..cioè 10 fa 26, e sono T'anti, alli quali si aggionge la metà delle 2, fa 26 1 p. 4 2 che si aggiongono al 40, et 8. detti di sopra fanno 26 x p. 4 2 p. 48, e questo per regola à eguale à 1 3% , che agguagliato, il Tanto valerà 8, che aggionto à 1 2 p. 4 ©, far ? p. 4 © p.8, che il suo quadrato è r 4 p. 8 5 p. 32 2, p. 64 & p. 64, che cavatone 1 4 p. 8 5 p. 8 ? p. 10, resta 24 2 p. 64 x p. 54, che aggionti à 8 fanno 24 2 p.72 ? p. 54, che il suo lato è R. q. 54. ( 422 ) p- R. q. 24 *, ch’è eguale à 1 2 p. 4 2 p. 8 detto di sopra, che ridutto alla equatione, si haverà 1 2 p. 8. m. R. q. 54 eguale à R. q. 24 m. 4 che non si pub ag- guagliare, perche non si pud cavare il numero della metà quadrata delli Tanti; il che aviene perche , pa- üsce le difficultà delte di sopra, che sommati i nume- ri delle dignità fanno 17, ch’è maggiore di 8 numero delli Tanti, e 10, ch’è il numero è maggiore del detto 8. numero dell Tanti : perd la domanda che farà ve- nire tal agguaglhiamento è insciolubile. Agguaglisi 1 4 p. 8 5 p.42 p. 2. à 24 *. Piglisi il quarto del quadrato de Cubi, ch è 16, e cavisene il numero delli 2 resta #2,1l quale si moltiplica via 1. metà del numero, fa 12, e questo si aggionge à 72. ot- tavo del quadrato delti Tanti. fa 84, e se li aggionge la metà delle 2 et r 5 per regola, fa 84 p.2 2 p.r à, che si salva. Poi si moltiplica la metà de Cubi via la metà delli Tanti fa 48 , che aggiontali 1l numero cioë 2, fa 5o, che sono Tanti, e sono eguali à 84, p.2 2 p. r % serbato di sopra, che agguagliato , il Tanto valerà 2. e detto 2. si cava d’r 2 p. 4 4 (eh 47 nascono dalla metà di Cubi) resta r 2 p. 4 7 m. 2. che il suo quadrato è r 4 p. 8 $, p. 12 2 m. 16 4 p. 4 che cavatone 1 4 p. 8 3 p. 4 2 p.2 resta 8 2 m.16,: p.2, che aggionto à 24 1 fa 8 2 p. 8 2 p. 2, cheil suo lato è R. q. 8 : p.R.q.2etè eguale à 1 2 p. 4 = m. 2, che agguagliato, il Tanto valerà R. q. L 8. m. KR. q. 18 y p. R. q. 2m. 2. Capitolo di potenza potenza, Cubi, Tanti, e numero 7 eguale à potenze. Il presente Capitolo patisce leeccettioni de gli altri soprudetti, e pu venire in assai modi, del quale {com’ altre volte hù detto) per non andare in l’infinito, ne porrè solo uno essempio. Agguaglisi 1 4 p. 6 5 p. 6 x p. 22 129 © 2, Ag- gionghisi alle > il quarto to del dusiesto de 3 , ch’è 9, fa 38, e AT RTE per 71. metà del numero, fa 418, al quale si aggionge l’ottavo del quadrato delli x, che 4 +, fa 422 2, e salvisi, Poi si moltiplica la metà de Cubi via la metà delli Tanti, fa 9, e si cava del nume- ro, resta 13, e sono 1, che aggionti à 422 + serbatc . di sopra, fa 422 + p.13 2 e per regola è eguale à 1 3 p. la metà delle 2 cioè 14 + 2, che agguagliato, il T'anto valerà 5, et si aggionge à 1 2 p.3 X, fa r ? p. 3 & p. Seli Tanti nascono dalla metà de Cubi, che il suo quadrato è 1 4 p. F SEPT EP OOT E p- 25, che cavatone 1 #4 p. 6 S p. RÉ Æ p. 22, resta EG D A Le aggionto à 29 ? , fa 48 ? 7 ps RTE nie q. 48 x p.kR.q. "+ è ue à à1,2 p.32 p.5, detto di sopra, che ag- guaghato, il Tanto valerà R. q. 12. m. 1 + m.R. q. L 9 + m. R. q. 95. Overo R. q. 12m. 1 5m. R. q. Lo = m.R. q. 75 y, che l’una, e l’aitra valuta è vera. Capitolo di potenza potenza, potenze, Tante e numero eguale à Cubi. Questo Capitolo patisce ie difeulià de Capital &i ( 424 ) 3 eguale à :, e numero, e di 5 , e numero eguale à 4 e rare volte si pud PRE senza il p. di m. e di esso solo ne pee un essempio. £ Agguaglisi 1 4 p. 3 2 p. 40 x 20 à 8 5. Piglisi il quarto del élite de 5, chè 16, del quale se ne cava 3. numero dell 2, resta 13. che moltiplicato via 10. metà del numero, fa 130, e se li aggionge l’ottavo del quadrato delli x, ch’è 200, fa 330, e se li aggionge la metà La 2,» chèr +22 et 3 per regola, fa 320. p. 1+ 2 p.1 ©, che si salva. bar si moltiplica la metà delli 2, via 1e us de 3 , fa 80; et aggiontoli il num. fa nn: e sono 1, x sono eguali à 320. p. 1 2 2 p.13 serbato di sopra, che agguagliato, il Tanto valerà 6, ps si cava d’1 ? m. 4 : restar 2? m. 4: m. 6 (e li m. 4 x nascono dalla metà del Cubi, sono m. per essere li Cubi dalle parte contraria dell & AE TS quadrato è 1 4 m.8 3 p. 4 2 p. 48 æ p- 36, che cavatone 1 4 p. 3 2 p. 40 .Z p. 20, resta 1 2 p. 8 : p. 16. m. 8 5 che aggionto à 8 3 fa r 2 p.68 .: p. 16, ES an és LR “dy. eguale à r ? m.4 : m. 6, che agguagliato, il Tanto valerà R, q. de + p. 2+, avertendosi, che il lato d’r1 ,4 m. 8 5.p. 4 2 p- 48 .Z, p.36 pu essere 6.p.4 1 p. 1 2, che agguagliato, il Tanto valerà R. q. 4 + p. 1 = Capitolo di potenza potenza, Cubi, e Tanti eguale à potenza, e numero. De questo Capitolo si pud fare la positione in due modi, e patisce le difficultà del passato, e l’essempio, che io in porrû sara di m. 1 #4 di numero. ( 425 ) Agguaglisi r 4 p. 12 3 p. 792 % à 8 2 p.84. Pi- glisi il quarto del quadrato delli Cubi, ch’è 36, e ag- gionhisi alle 2, fa 44, e moltiplichisi via la metà del numero, fa 1848, che cavatone l’ottavo del quadrato delli x, resta 1200, e se li aggionge la metà delle 2 fa 1200. p. 4 2, e si salva, poi si moltiplica il mezzo de i Cubi via il mezzo delle x , fa 216, al quale si ag- gionge il numero, fa 300, e sono x ; alli quali gionto 1 $ per regola, fa 1 % p.300 *, ch’è eguale à 1200. p. 4 2 serbato di sopro, che agguagliato, il Tanto va- lerà 4, che si cava d’r 2 p. 6 *, resta 1 2 p. 6 © m. 4, che il suo quadrato è 1 4 p. 12 % p.28 2 m. 48 = p.16, che cavatone r 4 p. 12 $ p. 72 ! resta 28 ? m.120 7 p. 16, che aggionto à 8 2 p. 84 fanno 36 2 m.120 « p.100, che il suo lato è 10.m. 6 et è eguale à 1 2 p.6 1 m. 4, che agguagliato, il Tanto valerà KR. q. 50 m. 6. Capitolo di potenza potenza, Cubi, e numero, eguale à potenze, e Tanti. Le position: di questo Capitolo sono due. Ma sempre si pu fare con la positione di p. 1 : di numero, e patisce le difficoltà del passato. Agguaglisi 1 4 p. 16 5 p. 36. a 60 2 p. 52 =. Piglisi ottavo del quadrato de Cubi, ch’è 32, et ag- sionghisi con la metà delle 2 fa 62, che moltiplicato via il numero fa 2232, al quale aggionto l’ottavo del quadrato delli Tanti, fa 2360, che si salva, poi si mol- tiplica il mezzo de Cubi via il mezzo delli x fa 128, e se gli aggionge il numero cioè 36 fa 164, che sono ( 426 ) 2, che aggionti con 2360 serbato di sopra, fa 2360. p: 164 *, e questo per regola è eguale à°r 3 più il mezzo delle 2 cioè 30 2, che agguagliato, il Tanto valerà 10, che si aggionge à 1 © p. 8 * ,e li 8,1 mas- cono dal mezzo de Me fa 1 8 1 p. 10, che il suo quadrato è 1 4 p. 16 3 4 2 ,p. 160 x p. 100, che cavatone 1 4 p. 16 5 p. 36, resta 84 2 p. 160 2 p. 64, che aggionto à 60 2? p. 32 X, fa 144 2 p.192 Ep. sé che il suo lato è 12 1 p. 8, et è eguale àr 2 p. 8. p.10,che PR RE il Tanto valerà 2. p. R. q. 2. overo 2. m. KR. q. 2. 2 p- CD à Capitolo di potenza potenza, potenze, e T'anti, eguale a Cubo, e numero. Per essere il presente Capitolo molto simile al pas- sato, patisce le medesime eccettioni, et hà ancoegli due posilioni come il sopradetto. Agguaglisi 1,4 p. 43 2 p.a2 2 à 12 $ p. 360. Piglisi il quarto del quadrato de Cubi ch’è 36, € cavisi di 45. numero delle 2 resta 7, che moltiplicato via 130. metà del numero, ds 910, al quale si aggionge la metà delle 2 ch’è 21 + 2 ,e lottavo del quadrato del numero delli x, ch’è 18, fa 214 2 p. 928,chesi salva, poi si moltiplica la meta de 3 via la metà delli 1, fa 36, che cavato del numero, cioè di 260 resta 224, e sono ? che aggionti con 1 3, per regola, fa x 5 p. d24 QVs Jete eguale a 212 2 p.928. serbato di sopra, che agguagliato, il Tanto valerà 8, che aggionto con 5 2 m.6 * (che lim.6 7 sono la metà de #) fa 7 2 m. 6 1 p.86, che il suo quadrato è 1 4m. 12 5 p.56 (427) 2 m.96.: p.64, che cavatone 1 4 p.45 2 p.127. resta m. 12 5 p. 9 ? m. 108 * p. 64, che aggiont MES) p. 0 fa 9 2 m. 108 7 p.324, che il suo lato è 18. m. 3 : ,et è eguale à 1 © m. 6 : p. 8, che ag- guagliato il Tanto valerà 5. Capitolo di potenza potenza, potenza, e numero eguale a Cubi, et Tantr. il presente Capitolo ë come il passato, et patisce le medesime eccettioni, perd senz’altro verrd al suo es- ° sempio. Agguaglisi 1 # p. 40 ne à16 3 p. 144 ©. Piglisi il quadrato della metà de % , ch’è 64, e se ne cavi 40. numero delle 2 resta 24, e si moltiplica via la metà del numero, fa 240, e si aggionge all’ottavo del quadrato delli : fa 2832, e se li aggionge la metà delle 2 cioè 20 2, fa 2832. p. 20 ? e si salvi. poi si moltiplica il mezzo di 5 via il mezzo delli 1, fa 576, e se ni cava 20, resta 556, che sono *, li quali per regola si ag- giongono à 1 3, fa 1 3 p. 596 .* eguale à 2832. p. 20 2 serbato di sopra, che aggugaliato, il Tanto valerà 6, ilquale si aggionge à 1 ? m.8 ï (elim.8 1 nas- cono dalla metà de % ) fa 1 2 m. 8 * p.6 che il suo quadrato è 1 4 m. 16 5 p.762 m. 96 x , p.36, che cavatone 1 4 p. 40 2 p. 20 resta 36 2 m. 96.7 m.16 3. p. 16 che aggionto à 16 3 p. 144 1 fa 56 2 p. 48 x p-. 6. detto di sopra, he agguagliato, 1l Tanto STE p. R. q. 47 overo 7. m. R. q. 47,che luna e l’altra valuta è vera. ( 428 ) Capitolo di potenza potenza, Tanti, e numero eguale à Cubi, e potenze. Questo Capitolo è simile in ogni parte delle difüi- cultà e positioni al sopradetto (come nello essempio si vedrà). Agguaglisi 1 4 p. 16 ï p. 32. à8 % p. 60 2? Piglisi il quadrato della metà de 3 ch’è 16, et aggion- ghisi alle 2 fa 56, e moltiplichisi via la metà del nu- mero, fa 1216, et à questo si aggionge l’ottavo del qua- drato delli x, chè 32, fa 1248, e si salva, poi si mol- tiplichi la metà de 5 via lt metà delli 2 fa 32, et ag- sionghisi al numero cioë à 32, fa 64, e sono x: , che ag- gionti alla meta delle 2 cioè a 30 2 , fa 64 % p. 30 2, e questo è eguale à 1 $, p. il numero serbato, cioë 1248, che agguagliato , il Tanto valerà 6, e questo si cava d’r 2 m.4 x (e li .: nascono della metà de 5) resta 1 2, m.4 1: m. 6, che il suo quadrato è 1 .# m. 8 3 p. 4 2 p. 48 : p. 36, che cavatone 1 4 p. 16 x p. 20; restanno4 2? p.4.m. 8 3% p. 32 x, che aggionto à 8 5 p.60 2 fa 64 2 p. RE Æ p- 4, che il suo lato è 8 x p. 2, ch’è eguale à 1 2 m. 4 x m. 6, che agguagliato, il Tanto valerà R. q. 44. p. 6. Capitolo di potenza potenza , Cubi, e potense eguali a Tanti, e numero. Patendo i Capitoli, che seguiranno il medesino di- fetto, e eccettioni, che hanno patiti gli ultimi sopra- scritti porrd dunque {secondo l’ordine) Pessempio di ciascuuo senza dir altro. ( 429 ) Agguaglisi 1 4 p.12 3 p. 30 2 à 20 x p. 75. Pi- glisi il quadrato della metà de 5 ch'è 36, del quale sene cavi 30, numero delle ? , resta 6, che moltiplicato via 37 = metà del numero, fa 225, del quale se ne cava 80, ottavo quadrato delli : , resta 175, che si salva. Poi moltiplichisi il mezzo de Cubi via il mezzo delli x, fa _ 60, che si cava di 75. cioè del numero, resta 15 che sono 2, all quali per regola si aggionge 1 3 fa 1 3 p. 19 2, che aggiontoli 175. serbato di sopra, fa 1 3, p.15 7 p.179,e questo è eguale alla metà delle 2 cioè a 15 2, che agguagliato, il Tanto valerà 5, il Noé si aggionge àr 2 p.6 x (e li : nascono della meta de 3 ) fax IDE. 2 Pe D RS lee on HS" De 46 2 DA 68 æ p- 25, che cavtoane 1 4 p. 12 5 p. 30 2, resta 16 2 p. 60 = p. 25, che gionto a 20 1 p. 75 fa 16 2 p. 8 Z p. 100, che il suo lato è 4 x p. 10, ch’è egualear 2 p.6 : p.5 dettodi sopra, che agguagliato, il Tanto valera R. q. 6. m. t. Capitolo di potenza potenza, i Cubi, eguale à potenze, T'anii e numero. Agguaglisi 1 # p. 10 $ à 19 2 p.92 1 p. 44. Piglisi il quadrato della metà de % ch’è 25 , et ag- gionghisi à 19. num. delle 2 fa 44, et moltiplichisi via la metà del numero, fa 968, che cavato di 2058. quadrato dell’ottavo delli : , resta 90, il quale si salva. Poi si moltiplica il mezzo di 5 via il mezzo delli x fa 230, che cavatone il numero, cioè 44, resta 286, che sono *,, li quali aggionti col 90. serbato di sopra fa 186 : p. 90, e sono eguali à r $ p. la metà delle ?, ( 430 ). cioè 9 + >, che agguagliato, il Tanto vale 10, che aggionto à 1 2 p.52 far % p. 5 p.10, cheil suo quadrato è 1 4 p. 10 3, p. 45 2 p. 100 © p. 100, che cavatoni 1 4 p.10 % resta 45 2 p. 100 p. 100, che gionto à 19 2 p. 92 * p. 44, fa 64 2 p 192 2 p. 144, che il suo lato è 8 © p. 12, et è eguale àr2 p.5 % p. 10, che agguagliato, il Tanto valerà KR. q. 45 p-1- Capitolo di potenza potenza, e potenze eguale à Cubi, Tanti, e numero. Agguaglist 1 #4 p 8 2 à6 5 p. 72 4 p. 48. Pi- ghsi il quadrato della metà FES ÿ ch’è 9; e cavisene il nu. delle ?, resta 1, quale si moltiplichi via la metà del numero, fa 24, che cavato di 648. ottavo del qua- drato delli x, resta 624, che aggioritali la metà delle 2 cioè 4 2, fa 624 p. 4 ?,, che si salva. Poi si molti- plica la metà de $ via la metà de © fa 106, al quale aggionto il numero, fa 156, che sono *, ee per re- sola se li aggionge 1 3 fa x 5 p. 156 x, che sono eguali à 624 p. 4 2 Fat de sopra, che ne, il Tanto valerà 4, che aggionto à 1 2 m.3 1 (ekbi x nascono dalle metà de $ ) fa r ? m.3 x p. 4, che il suo quadrato è 1 #4 m.6 $ p. 19 2 m. 24 1 p. 16, che cavatone 1,4 p. 8 2, restag 2 p. r6m.6 3 m. 24 4 che gionto à 6 3% p.72 2 p.48, fag 2 p.482 P. 4 che il suo lato è 3 x p. 8, et ë eguale à 1 2 m. 3 x p. 4, che ME PT il Tanto valerà R.q. 13 /.* \ 43r ) Capitolo di potenza potenza , e Tanti eguale à Cubi, potenze , e numero. Agguaglisi 1 4 p. 32, 2 à 8 5 p. 16 2 p. 12. Aggionghisi alle 2 il quadrato della metà de 5 , fa 3, che moltiplicato via la metà del numero, fa 192, e cavatone 128 ottavo del quadrato delli * resta 64, al quale aggionto la metà delle ? et 1 3, per regola, fa 1 5 p.8 2 p.64, e si salva; poi si moltiplica la metà de 3 via la metà delle x, fa 64, che cavatone il nu- mero , cioë 12, resta 52, e sono %, i quali sono eguali àr 5 p. 8 2 p. 64 che agguagliato il Tanto valerà 2, che gionto à 1 2m. 4 &, far ? m.4 1 p.2,che 11 suo quadrato è 1 4 m. 8 $ p. 20 ? m. 16 © p.4, che cavatone 1 #4 p. 32 !, resta 20 2? m. 48 x m. 8 3 p. 4, che’gionto à 8 5 p. 16 2? p. 12, fa 36 ? m. 48 ? p. 16, che il suo lato à 6 : m. 4 overo 4. m. 6 = etè eguale ar 2? m.4 7 p. 2, che agguagliato, il Tanto valerà 5 p. R. q. 23 overo 5. m. R. q. 23, overo R. 4.3. m. r che tutte quesie valute sono vere. Capitolo di potenza potenza, e numero eguale à Cubi, potenze, e Tanti. Agguaglisi 1 4 p. 60 à 12 3 p. 128 1 p.122 quadrisi la metà de $, fa 36, et aggionghisi al numero delle 2 fa 48, che moltiplicato via 30. metà del nu- mero, fa 1440, che aggionto allottavo del quadrato delli z fa 3488, che si salva. Poi si moltiplica la metà ( 432 ) de 3 via la metà delli *, fa 384, che cavatone il nu- mero, resta 324, che sono : , alli quali aggionto la mietà delle 2 ,et 1 3 per regola, fa 1 3 p.62 p. 324 eguale à 3488. serbato di sopra, che mr il Tan- to valerà 8 ; il quale aggionto à r ? m.6* (eh6 x sono la metà de Cubi) fa r 2 m.6 « p.8,che il suo quadrato è 1 ,# m. 12 $ p. Ba 2 m. 96 1 p.64, che cavatone 1 4 p. 60, resta m. 12 $ p.52 ? m.96 1 p. 4, che aggionto a 12 5 p.128 1 p.12 2 fa642 p. 48 & p. 4, che il suolato è 8 1 p. 2 et è eguale à 1 2 m. 6 1 p. 8. detto di sopra, che agguagliato, il Tanto valerà 9. p. R. q. 43 overo 7. m. R. q. 43. Capitolo di potenza potenza eguale à Cubi, potenze , T'anti, e numero. Ageuaglisi 1 4 à 4 5 p. 11 2? pe 120 1 p. 79. Piglisi il quadrato della metà de 5% , ch'è 4 che ag- gionto con 11. numero delle 2 fa 15, che moltiplicato via 37 = metà del numero, NS 562 =, che cavato di 1800. ottavo del RER delli * resta 1237 = Poi si moltiplica la metà de % via la metà delli x, fa 120, che aggionto col num. fa 195, e questi sono :,, che aggionti col mezzo delle 2 e 1 5 per regola fa r 5 pis. 2.29 5 Le. a PTE + detto di sopra, che agguagliato, il Tanto valerà 5, che aggionto à 1 2 m.2 4 liquali 2 Z sono la metà F cubi, fa r 2 m. 2 « p.5, che il suo quadrato = 1 4 m. 4 5 p. “4 2 m. 20 2 p. 25 che cavatone 1 4{rpdfta le. 435 42 m. 20,1 p. 25, che RR. 4 # p. 11 rs p. 120 4 p. 95, fa25 2 p. 100 © p. 100 che il suo 433) lato ë 5 2 p. 10, et è eguale à 1 2 m. 2 : p. 5, che agguagliato , il Tanto valerà R, q. 17: p. 31. Son di opinione che a molti non haverd dodisfatto in questi ultimi Capitoli, dove intervengono le po- tenze, di potenze (per essere stato breve) ma questi Ca- pitoli solo tali che (chi intende bene uno di essi) li intenderà tutti, et havendo voluto mettere tutti li casi, che potevano intravenire nelle loro agguagliationi , si saria fatto piu tosto un volume d’un corpo di T'esti civil; che un breve epilogo di capitoli di Potenze. Tanti e numeri, il che sempre fù lontanissimo della natura mia , per essere studiosissimo della brevità. Perd me ne sono passato con brevità, parendomi che sia bastato a chiarire bene li sei Capitoli primi di 4 3 *1 ,enumero, e nr vufo 5 eguali à ?, e numero, e $ , e numero eguale #, 3 ,e numero, e quando hù ha- à 2, che hù detto, che agguagliato el Tanto vale (et cetera) et perche hanno più valute, alcuna volta ho pigliata quella, che mi tornava più a proposito non seguitando le vie ordinarie, il che in questi casi non importa. Non restard gia hora di dir questo, che questi Capitoli sono un Caos, et infiniti passi, e cose vi occorrono, li quali non si possono insegnar tutte, delle quali ne dard qualche saggio; e li prudenti ne potranno trovare dell altre; magli huomini rozzi e ancora mediocri non ci si affatichino ; che getteranno il tempo, perche sono cose diflicilissime , e questi Ca- pitoli hanno tanti capi (come ho detto di sopra) ch’è un pelago profondo, perd verrd alle avertenze pro- messe, col che porrè fine à questo mio secondo libro. Prosuposto, che si havesse da agguagliare 1 4 p. 2 III. 28 ( 454 ) 2 à x 4 p. 12. Le à ciascuna delle parti si aggion- gerà 1 2 farà 1 # p.2 3 p. : 2 eguale à x 2 p.r p.12, che 1 4 p. 2 5 p.41 2 è quadrato, et il suo lato è 1 2 p. 1 *_ il quale hà proportione con 1 2 p. 1 2, Ch’è accompagnato con il 12 (come di r à 1) perd se 1 2, p. 1 = accompagnato con 12. è el lato del! altra parte, e cosi si potrà formare nuovo que- sito, e dire. Trovami un numero, che moltiplicato per 1. ed’ il produtto quadrato faccia quanto farebbe, se à detto numero fosse aggionto 12 (et quel moltipli- care per 1. lo dico per respetto delli essempij à venire). Pongo che il numero sia 1 ©, che aggionto con x2. }, fa 12. p. 1 2 jet à moltiplicare 1 Z viar far 2 ,e poi à quadrarlo fa r 2 e questo è eguale à 1 1 p. 12, che agguagliato il Tanto vale 4. e 4, viene ad essere il lato d’r 4,p.2 5 p.r 2;cioè:r°2 pts £rperé pif; p. 1 4 è eguale à 4, che agguagliato , il Tanto vale R. q. 4 = m.+,et è finita la agguagliatione d’r 4 p.2 5 à 1,1 p. 12. | Agguaglisi 1 4 p. 6 $ à 27 1 p. 10. Se si giongerà à ciascuna delle parti g 2, si haverà 1 4 p. 6 3 p. 9 à, eguale à 9 2,p. 27 L p. 10et7 4 p.6 3 p. 9 2, haverà lato che sarà 1 2 p.3 %, ch’è in pro- portione nonupla con 9 2 p. 27 * e ci avanza 10. perd il quesito potrà formarsi è dirè. Trovami un nu- mero quadrato, che il suo lato moltiplicato per 9 e aggiontohi 10, faccia esso numero quadrato, che posto, che il numero quadrato sia 1 2, il suo lato sarà x x, che moltiplicato per 9, et aggiontali 10. fa 9 Z p. 10 e questo è eguale à r 2, che agguagliato , il Tanto va- lerà 10, et il lato d’r #4 p. 6 © p. 9 2 cioè 1 2 p. 3 LA | (435 ) 2 sarà eguale à 10, che agguagliato il Tanto valerà 2. che 1 4, sarà 16. 6 3 saranno, 48 che gionti insieme fanno 64 e 27 x p. 10. sono 64. anch’ essi. Agguaglisi 1 4 p.27 * à6 3 p. 10, Levincili 3 e li * scambievolmente, e si haverà 1 4 m. 6 3 ES giongerà 9 2 si haverà 1 4 m. 6 $ p. 9 ? eguale à 2 m. 27. L p.10 etr 4 m. 6% :pt-9.2 là lato, ch’è 1 2 m, 3 1 che con 9 ? m. 27 .* ha la propor- al + « … . . eguale à 10 m.27 X e se à ciascuna delle parti si ag- tione detta nel passato come da r. à 9. perd si formarà il quesito (come di sopra) che il Tanto valerà 10, e questo e eguale al lato d’r 4 m.6 5 p.92 ch'èr 2, m. 3.2, che agguagliato, il Tanto valerà 5, che t 4 sara 625, e 27 * sono 135, che gionti insieme fanno 760, et 1 5 è 125, e 6 % sono 750, che ag- giontoli 10, fa 760. Vi è un altra avertenza, ancora, che alcuna volte ser- ve, ché il partire ciascuna delle quantità, per un altra quantità e li avenimenti saranno eguali. Come si si havesse da agguagliare 1 4 à 22 * p. 40, se si levarà a ciascuna delle parti 16, restarà 1 4 m. 16 eguale à 12,2 p. 24, e perche la proportione di 12 x à 24 è come da 1 7, à 2, e ciascuno di loro ë lato del lato dir 4 ,e di 16. cioè 1 1 è lato del lato d’r de 2 è lato del Jato di 16, ma avertiscasi , che sempre li nu- meri vogliono essere l’uno al contrario del altro, cioè uno più, e l’altro meno, cioè con 1 4 è m. 16, econ li 12 © à p. 24, e se con 1 4 fosse più 16 con 12 x, vorria essere m. 24. mà retornando al principio dico, che 1 #4 m. 16 à eguale à 12 1 p. 24, che luna e l'aitra parte si pud partire per 1 * p. 2, che ne viene 26. (436 ) 1 3 m.2 2 p. 4 » m. 8. eguale à 2 2 p. 20, dei che si farà la aguagliatione (com’é stato insegnato). Agguaglisi 1 4 p.6 % à 18 1 p. 4. Gionghisi 32 à ciascuna parte, si hbaverà 1 4 p.6 5 p. 32. eguale à 18 2 p. 36, che:partita ciascuna parte per 1 « p. 2. ne eV RUE a m.'8. jrs p- . sn à pe redutto à brevità, si haverà 1 3 p. 4 2, eguale à 8 Z, p. 2, che fatta la agguagliatione si haverà la valuta del Tanto, col che fard fine di ragionare di queste ag- guagliationi, e dignitadi; ma verrà alle operationi di esse; le quali saranno quelle demostrationi Matema- tiche (d Problemi, che dir vogliamo) cotanto da scri- tori commendate : che sarà l’ultima parte di questa opera, reserbandomi poi con più mio agio , e commo- dità di dare al mondo tutti questi Problemi in demos- trationi geometriche. Après avoir donné les extraits de Bombelli pour l'exposition des recherches sur les équations du troi- sième et du quatrième degré, nous allons reproduire ici quelques passages de Cardan , sur le même sujet : voici ce qu’il dit (1) sur les équations cubiques. De cubo et rebus æqualibus numero Cap. X1. Scipio ferreus Bononiensis, iam annis ab hinc tri- ginta fermé capitulum hoc invenit, tradidit vero An- thonio Mariæ Florido Veneto, qui cum in certamen cum Nicolao Tartalea Brixellense aliquando venisset, occasionem dedit, ut Nicolaus invenerit. et ipse, qui cum nobis rogantibus tradidisset, suppressa demon- stratione, freti hoc auxilio demonstrationem quæsivi- mus camque in modos, quod. difficillimum fuit, re- dactam sic subiecimus. Demonstratio. Sit igitur exempli causa cubus g. k. et sexcuplum lateris g. h. æquale 20, et ponam duos cubos à. e. et Gé quorum differentia sit 20 ita quod productum a. c. lateris, in c. 4. latus sit 2, tertia scilicet numeri (1) Cardarui ars magna, f. 29. (438 ) rerum pars, et abscindam c. 4. æqualem c. £. dico, quod si ita fuerit, lineam a. 0. residuum, esse æqualem g. R. et ideo rei æstimationem, nam de g. A. iam sup- poncbatur, quod ita esset, perficiam igitur per modum primi suppositi 6; capituli huius hibri corpora d. a, d. c., d, e., d. f., utper d.c. intelligamus cubum 6.c. per d. f., eubum a.b. per d. a.tiplum c. 8. in quadratum a. b. per d. e. triplum a.b. in quadratum b. c. quia igi- turesta.c.in ce. k. fit 2 ex a. c. inc. k. ter fiet 6 nume- rus rerum, igitur ex a. à. in tripluma.c.inc. À. fiunt 6 res a. b.,seu sexcuplum a. 2., quare triplum producti ex a.b. b. c. a. c., est sexcuplum a. d., at vero diffe- rentia cubi a. c.; a eubo c. #., et existenti à cubo. b. c. et æquale ex supposito, est 20 et ex supposito primo 6i capituli, est aggregatum corporum d. a., d. e., d. f. tria igitur hæc corpora sunt 20, posita vero Din HS cubus a. b., æqualis est cubo a. c. et triplo a..c. in quadratum c. b., et cubo /.c. in: et triplo b. c. in ( 459 ) quadratum a. c. in : per demonstsata illic, differentia auten tripli à. c. in quadratum a. c. a triplo à. c. in quadratum &. c. est productum a. 4., b. c., a. c., quare cum hoc, ut demonstratum est, æquale sit Sex- cuplo a. b., igitur addito sexcuplo a. &., ad id quod fit ex a. 0. in quadratum à. c. ter, fiet triplum ©. c. in quadratum @. c. cun igitur b. c sit in: iam ostensum est, quod productum c. b. in quadratum a, c. ter, est in : et reliquum quod ei æquatur est p : igitur triplum c. b, in quadratum a. b. et triplum @. c. in quadratum c. b. et sexcuplum a. b. nihil faciunt. Tanta igitur est differentia, ex communi animi sententia , ipsius cubi a. c., à cubo 6. c., quantum est quod conflatur ex cubo a. c., et triplo a. c. in quadratum c. b. et triplo c. b. in quadratum a. c. in : et cubo 6. c. in : et sexcuplo a. b. hoc igitur est 20, quia differentia eubi a. c. à cubo c. 5. fuit 20, quare per secundum suppositum 6° capituli, posita 2. c. in : cubus a. b. æquabitur cubo a. c., et triplo a. c. in quadratum #. c., et cubo &. c. in : et triplo à. c. in quadratum a. c. in : cubus igitur a. b. cum sexcuplo a. b., per communem animi sententiam, cum æquetur cubo a. c. et triplo a. c. in quadratum c. b., et triplo c. . in quadratum a. b. in: et cubo c. b.: et sexcuplo a. b., quæ iam æquatur 20, ut probatum est æquabuntur etiam 20 cum igitur cubus a. à. et sexcuplum a. b.æquentur 20, et eubus g. 4. , cum sexcuplo g. L., æquantur 20, erit o et ex communi animi sententia, et ex dictis in 35° p 31° undecimi elementorum , g.h. æqualis a.b., igitur g. h. est differentia a.c. etc. b. sunt autema.c.et c. 2., vel a. c. et c.£., numeri seu Hiniæ continentis superti- » ( 44o ) ciem æqualem tertiæ parti numeri rerum : quarum cubi differunt in numero æquationis quare habebi- mus regulam. Regula : Deducito tertiam partem numeri rerum ad cubum, cui addes quadratum dimidij numeri æquationis, et totius accipe radicem, scilicet quadratam, quam semi- nabis, unique dimidium numeri quod iam in se duxe- ras, adijcies, at altera dimidium idem minues habebis que Binomium cum sua Apotome inde detracta R cubica Apotomæ ex R cubica sui Binomij residuum quod ex hoc relinquitur, est sù æstimatio. Exem- plum : cubus et 6 posi- | cub p : 6 reb æqualis 20 üones, æquantur 20, du- 2 20 cito 2, tertiam partem 6, 8 100 ad cubum fit 8, due ro 108 dimidium numeri in se, R 108 p: 10 fit 100, iunge 100 et R 108 m: 10 8, fit 108, accipe radicem | R v : cu. R 1:08 p: ro quæ est R 108 et eam | m:R v: cu. R 108 m: 10 geminabis, alteri addes 10, dimidium numeri, ab al- tero minues iantundem, habebis Binomium KR 108 p: 10, et Apotomen R 108 m: 10 horum accipe R‘ cub* et minue illam quæ est Apotomæ, ab ea quæ est Bino- mij, habebis rei æstimationem , R V: cub: R 108 p:1iom:R V:cubica R 108 m : 10 ( Cardani, ars ( 441) Voici maintenant la solution de l'équation du qua- trième degrè , telle que Cardan (1) Pa exposée. : Kegula IT. Alia est regula nobilior precedente, et est Ludovic: de Ferrarijs qui eam me rogante invenit et per eam habemus omnes æstimationes fermè capitulorum qd’ quadrati et quadrati rerum, et numeri, vel qd' qua- drati cubi, quadrati et numeri, et ego ponam ea her ordinem, hoc modo ut vides. 1 qd' qd. 2 qd qd. 3 qd' qd. 4 qd qd. 5 qd qd. 6 qd qd. 7 qd qd. 8 qdi qd. 9 qd qd. 10 qdi qd. 11 qd' qd. 12 qd qd. 13 qd' qd. 14 qdi qd. 15 qd; qd. 16 qdi qd. 17 qdi qd. æquale qd. rebus et numero. æquale qd. cubis et numero. æquale cubis et numero. æquale rebus et numero. cum cubis æqualia qd. et numero. cum rebus æqualia qd. et numero. cum cubis æqualia numero. cum rebus æqualia numero. cum qd. æqualia cubus et numero. cum qd. æqualia rebus et numero. cum qd. et rebus æqualia numero. cum qd. et cubis æqualia numero. cum qd. et numero æqualia cubis. cum qd. et numero æqualia rebus. cum numero æqualia cubis et qd. cum numero æqualia cubis. cum numero æqualia rebus et qd. So (1) Cardani ars magna , f, 72. ( 442 ) 18 qd qd. cum numero æqualia rebus. 19 qd’ qd. cum cubis et numero æqualia qd. 20 qd' qd. cum rebus et numero æqualia qd. In his igitur omnibus capitalis, quæ quidem sunt generalissima, ut reliqua omnia sexaginta septem su- periora, oportet reducere capitula, in quibus ingredi- tur cubus , ad capitula, in quibus ingreditur res ut septimum ad quartum, et secundum ad primum, deinde quæremus demonstrationem hoc modo. Demonstratio. Sit quadratym A. F., divisum in duo quadrata A. D. et D. F.e duo supplementa D. C. et D. et velim ad- dere gnomonem K. F. G., circumcirca, ut remaneat IN N H ce B C G quadratum totum À. H., dico quod talis gnomo, con- tabit ex duplo G. C. additæ lineæ in C. À. cum qua- drato G. C., nam F, G. constat ex G. C. in C.F. ex (443 ) diffinitione data in initio secundi elementorum, et C. F. est æqualis C. A. ex diffinitione quadrati et pe 44% primi elementorum, K. F. est æqualis F. G. igi- tur duæ superficies G. F. et F. K. constam ex G. C. 5 duplum C. A. et quadratum G. C. est F. H., ex corro- lario quartæ secundi elementorum, 1gitur patet pro- positum, si igitur A. D. sit r qd° qd” et C. D. ac D.E., 3 quadrata, et D. F. 9, erunt B. À. r quadra- tum, et B. C. 3 necessario, cum igitur voluerimus ad- dére quadrata aliqua, ad D. C. et D.E., ex fuerint C. L.et K. M., erit ad complendum quadratum to- tum necessaria superficies L. N. M., quæ ut demon- stratum est, constat ex quadrato G. C. numeri quadra- torum dimidiati, nam C. L. est superficies ex G. C. in À. B. ut ostensum est, et A. B. est 1 quadratum, quia ponimus, À. D. r qd° quadratum F. L. vero et M. N. fuint ex G.C. in CG. B. ex 42° primi elementorum , quare superficies L. N. M., et est numerus addendus, fit ex G. C. in duplum C. B. id est in numerum qua- dratorum qui fuit 6 et G. C. in seipsam, id est numero quadratorum addito et hæc demonstratio nostra est, Hoc peracto semper reduces partem qd° quadrati ad R id est addendo tantum utrique parti, ut 1 qd' quadratum cum quadrato et numero, habeant radicem, hoc facile est, cum posueris dimidium nu- meri quadratorum, radicem numeri, item facies, ut denominationes extremæ sint plus in ambabus æqua- tionibus, nam secus, trinomium seu Binomium redac- tum ad trinomium, necessario careret radice. Quibus iam paractis, addes tantum de quadratis, et numero uniparti, per tertiam regulam , ut idem addi- ( 444 ) tum alteri parti, in qua erunt res faciat trinomium habens R quadrani per positionem, et habebis nume- rum quadratorum, et numeri addendi utrique parte, quo habito, ab utroque extrahes R quadratam, quæ erit in una, 1 quadratum p : numero, vel m : numero, ex alia 1 positio vel plures p : numero velm : numero vel numerus impositionibus, quare per quintum capi- tulum huius, habens propositum. | Questo F. Exemplum : fac ex 10 tres partes proportionales , ex quarum ductu primæ in secundam, producantur 6. Hanc proponebat Joannes Colla et dicebat soivi non posse, ego vero dicebam, eam posse solvi, modum ta- men ignorabam donec Ferrarius eum invenit. Pones igitur mediam 1 positionem prima erit —— et tertia 1 pos. erit + cubi, quare hæc æquantur 10, ducendo omnia in 6 positiones, habebimus 60 positiones, æquales 1 Ê ) P F4 quadrato p : 6 quadratis p: 36, adde ex quinta regula, 6 quadrata utrique parti, habebis 1 quadratum p : 12 quadratis p : 36, æqualia 6 quaäratis p : 60 po- sitionibus; nam si æqualibus æqualia addatur tota fient æqualia, habeni autem 1 qd quadratum p : 12 quadratus 1qd'qd.p: 6qd.p:36æqualia 6opos. p : 36, ra- | 6 qd. 6qd. dicem et | rqdiqd.p:12qd.p:36æq.6qd.p:60pos. est, I qua- J 2 pos. 1 qd. p:12 pos. drätum p : 6, quam si haberent 6 quadrata p : 60 po- sionibus iam haberemus negocium, sed non habent, addendi igitur sunt tot quadrati et numerus idem ex ( 445 ) utraque parte, ut in priore relinquatur trinomium ha- bens radicem in altero autem fiat, sit igitur numerus quadratorum eorum 1 positio, et quia, ut vidis in figura tertiæ regulæ, c. /. et m. £., fiunt ex duplos. c. in a. b., et g. c. est 1 positio, ponam numerum qua- dratorum addendorum semper 2 positiones, id est . duplum g. c. et quia numerus addendus ad 36, est /. n. m., etideo quadratum g. c. cum eo quod fit ex g. c. duplicato in c. b. seu ex g. c. in duplum c. &., et est 12, numerus quadratorum priorum, ducam igitur . 1 positionem, dimidium numeri quadratorum addito- rum, semper in numerum quadratorum priorum et in se et fient r quadratum p : 12 positionibus addenda ex alia parte et etiam 2 positiones pro numero quadrato- rum, habemus igitur iterum ex communi animi sen- tentia, quantitates infra scriptas, invicem æquales, et utraque habent radicem, prima ex regula tertia, sed secunda quantitas ex supposito, igitur ducta prima parte trino-| 1 qdi qd. p: 2 pos. p: 12 qd*p: tr qd. mij in ter-| p:12 pos.additi numeri p: 36 æqualia. tiam fitqua- | 2 pos. 6 quadratorum, p : 60 pos. p : 1 qd. dratum di-| p:12 pos. numeri additi. midiæ partis secunda trinomij quiar igitu ex dimi- dio secundæ in se fiunt 900, quadrata, etex prima in tertiam, fiunt 2 cubi p : 30 quadratis p : 72 positioni- bus quadratorum, similiter erit deprimendo per qua- drata, quia æqualia per æqualia divisa producunt æqualia ut 2 cu. p : 30 quadratis p: 72 positionibus æquantur 900, quare 1 cubusp: 15 quadratis p: 36 positionibus æquantur 450. | ( 4464) NOTE XXX V. ( PAGE 183. ) Mon illustre confrère, M. Plana, a eu la bonté de me transmettre la note suivante relative à Bombelli : je m’empresse d’en enrichir mon ouvrage, et je suis convaincu qu’elle excitera l’attention des géomètres. « Note sur la lettre I de Leibnitz a Huygens. » « La phegse « Mais il ne s'ensuit pas que lopération par son piu di meno est bonne » mérite une explication, car l'opération de Bombelli est très juste, et Leibnitz en écrivant cette phrase donnait à entendre qu’il n’a- vait pas saisi la finesse inhérente au calcul de Bom- belli. En effet, la formule de Cardan se réduit à dire que l'équation x°—px—q=—0 a pour racine : TI — Ven LE en posant pour plus de simplicité : 2 45?" 27 2 4 27 donc, en appliquant cette formule à léquation 2è—151—4—0, on obtient : A—o—brrV—r, Be —11W —1. * D ——\;5 Bombelli a remarqué qu’on avait ici A—(2+ V_; ) , sean À ; B — (2— ire 1) et de là il a conclu avec raison que be (2 Er 22 (2— V—i)= 4. Ainsi, cette (: 447 ) opération est fort bonne. Cependant il est remarqua- ble que ce morceau du livre de Bombelli, que Leib- nitz semble critiquer , soit au contraire loué par Za- grange dans sa troisième lecon donnée en 1795, à l’école normale. Il s'exprime ainsi « L’algèbre de Bombelli ne contient pas seulement la découverte de Ferrari, mais encore différentes remarques impor- tantes sur les équations du second et du troisième degré, et surtout sur le calcul des radicaux, au méyen duquel l’auteur parvient, dans quelques cas, à tirer les racines cubes imaginaires des deux binômes de la formule du troisième degré dans le cas irréducti- ble, ce qui donne un résultat tout réel et fournit la preuve la plus directe de la réalité de ces sortes d’équa- ions. » Et plus loin, Lagrange dit au sujet de l’exemple _ même cité par Leibnitz : « C’est de cette manière que Bombelli s’est convaincu de la réalité de l'expression imaginaire du cas irréductible. » « Relativement à ce que Leibnitz dit dans cette lettre au sujet de léquation 2°—12z7—9—0, on pourrait faire les remarques suivantes. La formule de Cardan donne dans ce cas : 3 NN none mm PUIS PRET — Ter ge V7 VAE EE 2 et par conséquent DE F © ét A prose = — 3 Il est vrai que Bombelli n’exécute pas cette extrac- (448) tion dans la page 293, mais ce n’est pas faute de sa méthode. Il voyait bien que par là il obtenait seule- ment une valeur négative. La formule de Cardan pro- prement dite ne pouvait pas fournir dans ce cas la ra- cine positive; mais le même Cardan avait donné une autre méthode pour la trouver en pareille circon- stance. Cette méthode, que Bombelli applique dans la page 293, se réduit à ceci. Soit : x? — 12x +9; ajou- tons aux deux membres de l'équation le cube @&, il viendra x? — a — 12% + 9 + &; partant : x3 — aÿ _ 12x + 9 + aŸ Ha x + a z +9 TN z?— ax Hate 12 z+a « Actuellement, si l’on prend pour a un nombre tel Que Eee — a , on aura x par la solution de l’équation du second degré x? — ax + a? — 12. Or, avec une ou bien 12 légère attention , on voit que 4a— 3 satisfait à la con- 3 mc , dition © ER UNS , on a 4? — 3x — 3 d’où l’on 2 3Lr tire zx Var. 1. On voit par là que npmbell ne tire 2 pas cette racine de la formule FA 2 PR mais par. un autre procédé enseigné par Cardan, procédé qui revient à trouver les deux autres racines de l’équation du troisième degré, lorsqu'une des racines est connue; car le rapprochement des deux équations 2°—127—9 —0, —12a + 9 — 0 indique que —a——3 est ra- cine de l’équation en x. On peut dire en général que si a est une racine de l'équation x5—px—q=—=0, on à ( 449 ) q = aï—pa, et par conséquent (2°—@)—p(x—4)—0, ou bien x? + ax + a — p —0o, d’où l’on tire a 3 2 > L z —— me p— 3 : les trois racines de l'équation ; 2$—pz—q = 0 sont donc fournies en général par ces trois formules : 5 5 fs = VALVE \ É x 3 Fe "er | mt. I RER) be z 3 à TZ —=——— — —x 2 ER qui sont une conséquence de la méthode de Cardan, ecrite algébriquement. 11 suffit donc que + soit un nombre rationnel pour qu’on ait les valeurs de x” x", exprimées par un nombre et une racine carrée. Si Leibnitz avait mieux examiné l’artifice exposé par Bombelli, dans la page 293, il n’aurait pas écrit à Huygens que la racine 1 DE Vers Ve: « étant 2 4 2 4 composée d’un nombre et d’une racine carrée, ne pouvait pas être tirée des formules de Cardan, parce que les racines qu’on a par ces formules sont toujours ou irrationnelles cubiques, ou nombres. » Et encore moins il aurait ajouté : « D'où vient qu’il a cru (Bom- belli) que les formules de Cardan ne servent pas en cette rencontre, et ne sont pas générales. » « Sans doute les formules (c) sont générales, et La- grange dit, dans la leçon déjà citée, que jusqu’en 1546 elles ont été employées sous cette forme. On a remar- qué depuis qu’on pouvait tirer les trois racines de la formule de Cardan, en donnant l'extension conve- [LTÉE 20 ( 450 ) nable aux quantités exprimées par des racines cubi- ques ; ce qui a transformé les formules (c) en celles-ci. = VA Dex (4) LE RH VE EVA L a Tr “os é = Pr (+ xs) « Leibnitz ne me parait pas l’auteur de ce perfec- tionnement important ni de la transformation de ces formules, faite par Æ{bert Girard, pour ramener à la trisection de l’angle le cas irréductible. Ainsi, tout bien considéré , on ne peut pas regarder comme exacte la critique de Leïbnitz, faite sur le passage de l'algèbre de Bembelli, qu’ila voulu faire remarquer à Huygens. » Pour l'intelligence de cette note, que j'ai donnée textuellement, telle que je lai reçue du savant géo - mètre de Turin, j'ajouterai seulement que la lettre de Leibnitz, dont il est question ici, se trouve dans un ouvrage intitulé : Hugenit exercitationes mathematicæ et philosophicæ (Hagæ Comitum, 1833, 2 vol. in-4, tom, I, p. 1), qui renferme une foule de faits très in- téressans pour l’histoire des sciences. On doit vive- ment désirer que M. Uylenbræk puisse faire paraître promptement la suite de cet excellent ouvrage. (451) ADDITION à la note (1) de la page 115. Comme le livre de Commandin, cité dans cette note, est fort rare, nous allons reproduire ici la dé- dicace, qui contient des faits curieux sur l’histoire des sciences, et particulièrement sur les recherches d’Archimède et de Maurolycus, relatives au centre de gravité des solides. ALEXANDRO FARNESIO CARDINALI AMPLISSIMO ET OPTIMO. Cum multæ res in mathematicis disciplinis nequa- quam satis adhuc explicatæ sint , tum perdiffcilis , et per obscura quæstio est de centro gravitatis corporum solidorum ; quæ et ad cognoscendum pulcherrima est, et ad multa , quæ à mathematicis Proponuntur , præ- clare intelligenda maximum affert adiumentum, de qua neminem ex mathematicis » RÊQUE nostra, neque patrum nostrorum memoria scriptum reliquisse sci- mus. Ët quamvis in earum monumentis litterarum non nulla reperiantur, ex quibus in hanc sententiam ad- duci possumus, ut existimemus hanc rem ab usdem uberrime tractatam esse; amen nescio quo fate adhuc 20. D (Asa à, in eiusmodi librorum ignoratione versamus. Archi - medes quidem mathematicorum princeps in libello, cuius inscriptio est, x7rpæ (apr à mirtdwv, de centro planorum copiosissime , atque acutissimo conscripsit : et in eo explicando summam ingenni , et scientiæ glo- riam est consecutus. Sed de cognitione centri gravita- üs corporum solidorum nulia in eius libris letera in- venitur. Non multos abhine annos MarGezLus 11. Pont. Max. cum adhuc Cardinalis esset, mihi quæ sua erat humanitas, libros eiusdem Archimedis de js, quæ vehuntur in aqua, latine redditos dono dedit. Hos cum ego , ut aliorum studia incitarem , emendan- dos, et commentariis illustrandos suscepissem, ani- madverti dubitari non posse, quin Archimedes vel de hac materia scripsisset , vel aliorum mathematico- rum scripta perlegisset; nam in iis tam alia nonnulla, tam maxime illam propositionem, in evidentem et alias probatam assumit, centrum gravitatis in portio- nibus conoidis rectanguli axem ita dividere , ut pars, quæ ad verticem terminatur , alterius partis, quæ ad basim dupla sit. Verum hæc ad eam partem mathe- maticarum disciplinarum præcipue refertur, in qua ‘de centro gravitatis corporum solidarum tractatur non est autem consentaneum Archimedem illum admira- bilem virum hanc propositionem sibi argumentis COn- formandam existimaturum non fuisse, nisi eam vel aliis in locis probavisset, vel ab aliis probatam esse comperisset. Quamobrem nequid in üis hbris intelli- gendis desiderari posset, statice hanc etiam partem vel à veteribus prætermissam, vel tractatam quidem, sed in tenebris iacentem non intactam relinquere; (453) _aique ex assidua mathematicorum , præsertim ÂArchi- m>dis lectione, quæ mihi in mentem venerunt, ea in medium afferre ; est centri gravitatis corporum soli- dorum , si non perfertam , at certe aliquam notitiam haberemus. Quem meum laborum non mathematicis solum , verum ïis etiam, qui naturæ obscuritatæ de- lectantur, non iniucundam fore speravi : multa enim rpoBliuara Cognitione dignissima , quæ ad utramque scientiam attinens , sese legentibus obtulissent. N eque id ulli mirandum videri debet ut enim in corporibus nostris omnia membra , ex quibus certa quædam offi- cla nascuntur , divino quodam ordine inter se impli- cata, et colligata sunt : in iisque admirabilisilla con- Spiratio quam ciurvete Græci vocant, elucessit ita tres illæ Philosophiæ (ut Aristotelis verbo utar) quæ veri- tatem solam propositam habent , licet quibusdam quasi finibus suis regantur : tamen earum unaquæque per se 1psam quadammodo imperfecta est : neque al- tefa sine alterius auxilio plene comprehendi potest. Complures præterea mathematicorum nodi ante hac explicatu diflicillimi nullo negotio expediti essent : atque (ut uno verbo complectar) nisi mea valde anno, tractationem hanc meam studiosis non mediocrem utilitatem et magnam voluptatem allaturam esse mihi persuasi, Cum autem ad hoc scribendum aggressus essem allatus est ad me liber Francisci Maurolici Mes- sanensis , in quo vir ille doctissimus, et in iis disci- plinis exercitatissimus affirmabat se de centro gravita- Us corporum solidorum conscripsisse. Cum hoc intel- lexissem, sustinui me paulisper tacitus que expectavi, dum opus clarissimi viri, quem semper honoris caussa ( 454 ) nomino, in lucem proferritur : mihi enim exploratis- simum erat : Franciscum Maurolicum multo doctius, etexquesitius hoc disciplinarum genus scriptis suis tra- ditionem. Sed cum id tardius fieret, hoc est, ut ego interpretor, diligentius, mihi diutius hoc scriptione non supersedendum esse duxi, præsertim cum iam libri Archimedis de iis , quæ vehuntur in aqua, opera mea illustrati typis excudendi essent. Nec me alia caussa impulisset, ut de centro gravitatis corporum sohidarum scriberem, nisi ut hac etiam ratione lux eis quàm maxime fieri posset aflerretur atque id eù mihi faciendum existimavi qudd in spem veniebam fore, ut cum ego ex omnibus mathematicis primus , hanc materiam explicandam suscepissem ; si quid er- rati forte a me commissum esset, boni veri potius id meæ de studiosis hominibus bene merendi cupiditati, quam arrogantiæ ascriberent. Restabat ut considera- rem cui potissimum ex principibus viris contempla- tionem hanc, num primum memoria , ac literis proditam dedicarem. Harum mearum cogitationum summa facta, existimavi nemini convenientius de cen- tro gravitatis corporum opus dicari oportere, quàm ALEXANDRO FARNESIO gravissimo ac prudentissimo car- dinali, quo in viro summa fortuna semper cum summa virtute certavit quid enim maxime in te admirari. Pebeant homines, obscurum est usum ne rerum, qui pueritiæ tempus extremum principium habuisti, et imperiorum, et ad Reges et Imperatores honorificen- tissimarum legationum; an excellentiam in omni ge- nere literarum, qui vix adolescentulus , quæ homines iam confirmata ætate summo studio, diuturnisque (455 ) laboribus didicerunt, scientia et cognilione compre- hendisti : an consilium , et sapientiam , in regendis et gubernandis civitatibus cuius gravissimæ sententiæ in sanctissimo Reip. Christianæ consilio dictæ, potius divina oracula, quàm sententiæ habitæ sunt, et ha- bentur. Prætermitto liberalitatem, et munificentiam tuam , quam in studiosissimo quoque honestando quo. tidie magis ostendis, ne videar auribus tuis potius ; quàm veritati servire quamvis à te in tot præclaros vi- ros tacita beneficia collata sunt, et conferuntur, ut omnibus testatum sit, nihil tibi esse carius, nihil iucundius , quäm eximia tua liberalitate homines ad amplexandam virtutem , licet currentes incitare nihil dico de ceteris virtutibus tuis, quæ tantæ sunt quantæ in cogitatione quidem comprehendi possunt. Quamo- brem hac præcipue de caussa te huius meæ lumbra- tionis patronum esse volui, quam ea, qua soles , hu- manitate accipies te enim semper ab divinas virtutes tuas colui, et observavi nihilque mihi fuit optatius, quàäm tibi perspectum esse meum erga te animum; singularemque observantiam , cælum igitur digito at- üngam , si post gravissimas occupationes tuas legendo Federici tui libro aliquid impertiri temporis non gra- vaberis : cumque in is, qui übi semper addict erunt, numerare. Vale Federicus Commandinus. Pour compléter ce que nous avions à dire sur les recherches de Maurolycus relatives à la détermination (456) du centre de gravité des solides, nous ajouterons que le livre intitulé Tkeodosü sphæricorum elementa ( pu- blié par Maurolycus à Messine, en 1558 ) contient un /ndex lucubrationum Maurolyci, où se trouve men- tionné l’ouvrage suivant : De momentis æqualibus li- belli quatuor. In quorum postremo de centris Solidorum ab Archimede omissis agitur. ( 457) ADDITION a la note (2) de la page 120. Voici la préface d’Oddi, où il a exposé, sans rendre cependant justice à Galilée, les différentes recherches qui avaient été faites à diverses époques sur des com- pas analogues au compas de proportion. DEL COMPASSO POLIMETRO PROEMIO. Sono molti anni, che venne desiderio ad un gen- tilhuomo (x) nella mia patria , d’havere qualche stru- mento col quale potesse dividere con facilità , et gius- tezza le linee rette in quante parti uguali li fosse piac- ciuto; per isfuggire con esso la lunga , e faticosa ope- ratione di farlo à pratica, à la briga d’haversi a pro- vedere di molte paia di quelle sesta, che hanno le punte d’ambe le parti : e percid ne richiese la d. m. del Commandino , dal quale fu ordinato uno di questi compassi, medesimamente con le punte doppie; mà con una fissura per il lungo dell aste, per lequali scorrevano due bottoncini attacati à due molle, incas- sate in due canaletti scavati nell’ aste ; et erano con- giunte insieme con un perno , che serviva per centro {1} Bartholomeo Eustachio , 1568. ( 458 ) dell” instrumento in qualunque sito l’havessero stras- cimato 1 bottoncini , i quali quando pervenivano per diritto à certe buche fatte ad” arte nella fissura, erano dalle molle sospinti alquanto infuori, et con questo fermati, senza potersi d’indi movere se non premuti, et cacciati ad” un tempo; et perciù in ogn’ una di quelle buche che si fosse fermato il perno, veniva à farsi la testa di due compassi , uno con le gambe lun- ghe, et molteplici delle curte dell’ altro, nella pro- portione, che ne mostravauo alcuni numeri segnati in esse , et conseguentemente cosi riusCivano ancora gl intervalli delle loro aperture. Oltre à cid per renderlo più isquisito v’.aggiunse una vite diritta, che lo teneva unito, et con l’havere i pani , che fino al mezzo voltavano dal! una e P al- tra mano, lo apriva, et serrava tanto minutamente, quanto il bisogno l’ havesse ricerco. Strumento in vero ingegnoso, pieno di belle considerationi, et degno d’un tant huomo, che l’ordinà, et dell eccellente mano di Simone Baroccio, che l’esegui con maravi- gliosa diligenza; mà cosi difficile à farsi che se non da pochi artefici si sarebbe saputo imitare, et di qualche spesa, onde non tutti se ne sarebbono potuti prove- dere. | L'illustriss. Signore Guidobaldo de Marches: del Monte, che in quei tempi si tratteneva in Urbino per conferire 1 suoi studij con il Commandino, et spesso era alla casa dove lavorava il Baroccio, havendo più volti veduto il sopradetto strumento , et considerando con la felicita del suo ingegno , che si poteva sodisfare al medesimo desiderio con assai minor fatica , e spesa; (459 ) ne fece dall istesso fare uno (1) con je gambe piane à guisa di due regoli più larghi , che grossi , et da cias- cuua parte fece che si tirassero linee rette dal centro della snodatura alle punte, segnando quelle d° una parte col medesimo modo, che havea tenuto il Com- mandino in fare le buche ; et quelle dell altra secondo le grandezze de i lati di diverse figure equilatere, et equiangole inscritte nel cerchio , col diametro uguale à tutta la lunghezza del centro alle punte ; il che fù piacciuto oltre modo, si per la simplicità della fabrica, et uso sua, come per lo numero maggiore delle divi- sioni per le linee rette, che l’altro non n° era capace, mà particolarmente per poterre con l’istessa facilità dividere anco Île circonferenze de cerchi, et trovare le grandezze de i lati de i poligoni descritti in essi, et molte altre cose utili che dipendono dallo scomparti- mento del cerchio, et cosi con questo si è continovato molto tempo essendosene fatti un numero grande per V’Italia , et fuori. GP anni adietro si vidde questo strumento accres- ciuto (2) di molte cose utili et curiosissime, con trat- tati scritti in varie hingue, et chiamato con diversi no- mi ; 1l che à posto in dubbio chi di tale aggiunta ne sia stato l’autore vero ; havendo ciascheduno procu - (x) Forma dell’ instrumento. (2) Michel Cognet Bruggese, pantometra. Giorgio Galge Maier , compasso proportionale. Galileo Galilei, compasso geometrico militare, D. Heunrion, Fran. , compasso di proporlione, ( 460 ) rato sostentare la sua parte, con testimoni , scritture, sentenze , et altri mezzi : mà come che mia intentione. sia di dare una sommaria notitia del modo di segnare, et adoperare questo strumento, et non di rintracciare questa verità ; lascerd che il tempo sia lui quello che la scuopra, et mostri à chi vada à dirittura tanta lade; bastandomi d’havere accennato chi di quel primo ne sia stato l’inventore. Lascerd ancora il dire d’alcune linee, che servono per i sini, tangenti, seccanti, por- üoni di cerchio portioni di sfera, et altre che si ve- dono nella Pantometra di Michel Cognet Fiamingo, si per non essere cosi usuali, come certe altre, si anco perchè si fatte cose si conoscono più esattamente coi numeri grandissimi che hanno le loro tavole moderne, che con strumenti piccioli , segnati co i semidiametri di poche particelle; et restringeromna à quattro sole di più delle due antedette; la prima delle quali, à segnata secondo le grandezze de i lati d’alcune figure regolari tutte d’area uguali, si che con essa si fa in un subito , e con una semplice apertura , un poligono uguale ad” un ’altro; anzi con poco cosa-più , à due, 0 à trè, et à quanti piace, tutti d’una medesima à | pure di diverse specie : nella seconda sono i diametri delle sfere, d diciamo palle d’uno stesso metallo, o d° altra materia homogenea , mà di diversi pesi : nella terza sono le grandezze de i diametri delle palle d’un medesimo peso , mà di diversi metalli : et nel! ultima di queste, le grandezze de i lati de 1 cinque corpi re- solari, et il diametro della sfera tutti frà loro di ca- pacità uguali; le quale s’aiutano talmente insieme, che con mirabil modo fanno parer facili alcune opera- ( 461 ) tioni , che senza questo riuscerebbono molto diffcil, lunghe, et faticose. La onde con tale aggiunta non pare che si possa per le cose di geometria aspettare altro più utile, ne più comodo strumento : et perciù hà destato in molti il desiderio d'haverne ; et quantun- que se ne lavorino in diversi luoghi da eccelenti arte- fici, non dimeno non possono sodisfare al desiderio di tutti; et alcuni altri che sarebbono abili à lavo- rarne , se ne restano per non saparli segnare ; il che è stato principalmente la cagione per la quale io fui in- citato alla fatica di scrivere questo opusculo; col quale hà desiderato di soccorrere al bisogno deg! uni, et sodisfare al desiderio degl’ altri : havendo nella prima parte mostrato il modo, che si deve tenere in segnare le sopradette sei linee, et nell altre due, con quale ordine, et regalo s’adoprino, considerandole, à come segnate nello strumento fabricato come si è accennato di sopra, à segnate in una semplice riga senz altra fattura : ma brevemente con uno esempio, o due al più per volta di quelle cose, che sono manco comune a gl altri strumenti. FIN DU TROISIÈME VOLUME. Vire DM TOUER