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LEHRBUCH
DER
DARSTELLENDEN GEOMETRIE.
VON
Db. CHRISTIAN WIENER,
OBH. HOFBAT IHID PROFX880B AV DSB OBOB8H. TBCHMISCHKIT H0CH8CHULB ZU KABLSBUHB.
IN ZWEI BÄNDEN.
ZWEITER BAND.
KRUBiME LINIEN (ZWEITER TEIL) UND KRÜMME FLÄCHEN. BELEÜCHTÜNGSLEHRE, PERSPEKTIVE.
MIT FIGUREN IM TEXT.
LEIPZIG,
DRÜCK UND VERLAG VON B. G. TEÜBNER
1887.
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Vorwort.
In dem vorliegenden zweiten und abschließenden Bande werden die krummen Linien und Flächen behandelt. Ich benutze das Vor- wort, um einige Gesichtspunkte zu bezeichnen, welche mich bei der Bearbeitung dieses Stoffes leiteten, und um auf einige Einzelnheiten hinzuweisen.
Die Untersuchungen wurden möglichst geometrisch geführt. Der Begriff der Ordnung einer Linie und einer Fläche und die Bestimm mung der Anzahl ihrer Schnittpunkte und der Ordnung ihrer Schnitt- kurve aus den Ordnungszahlen der gegebenen Gebilde sind analyti- scher Natur. Deswegen wurde die Benutzung derartiger analytischer Sätze möglichst beschränkt und nur bei Gebilden höherer Ordnung zugelassen. Insbesondere wurden die Flächen zweiten Grades rein geometrisch behandelt und dabei als Eegelschnittsflächen betrachtet, d. L als solche Flächen, welche von jeder reell schneidenden Ebene in einem reellen, und, wie dann durch das Polarsystem nachgev^esen wird, von jeder imaginär schneidenden in einem imaginären Kegel- schnitte getroffen werden. Daß solche Flächen von jeder Geraden in zwei Punkten gescimitten werden oder von der zweiten Ordnung sind, leuchtet ein; daß sie aber die einzigen solche Flächen sind, kommt als Satz der Analysis hier nicht in Betracht.
Zur Darstellung der Gebilde erschien, wenn es sich um die Auf- losung von Aufgaben über dieselben handelte, meist das Gnmd' und Aufrißverfahren als das zweckmäßigere und wurde daher in diesen Fällen angewendet. Doch zeigte sich bei geradlinigen Flächen häufig das im ersten Bande angegebene Verfahren der zwei parallelere Spurd>enen, welches nur einer Projektion bedarf, als das zweck- mäßigere. — Wenn aber die Darstellung wesentlich zur Veranschau- lichung dient, findet man die axonometrische imd schiefe Projektion und die Perspektive vorteilhaft, und es wurden deshalb auch diese Darstellungsweisen mit ihren wichtigsten Anwendungen behandelt. Ebenso ist die zur Veranschaulichung dienende Bestimmung des Schattens und der Beleuchtung zugefügt, und insbesondere sind die
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IV Vorwort.
Linien gleicher Beleuchtungsstärke oder die Lichtgleichen für alle Arten der betrachteten Flächen, und zwar in geometrischer Weise, untersucht und konstruirt
Ein wesentliches Gewicht wurde auf die leichte und genaue Ver- zeichnung der Kurven gelegt. Diese Anforderung wird nicht sowohl durch die Konstruktion einer großen Anzahl allgemeiner Punkte erfüllt, als vielmehr durch die Bestimmung der. ausgezeichneten Punkte, wie der Scheitel, der Wendepunkte, der Spitzen, und durch die Ermittelung der Tangenten und der Erümmungskreise in denselben.
Zur Tangentenbesiimmung diente das im ersten Bande, Nr. 204, von mir angegebene Verfahren der ähnlichen Figur, wie ich es pas- send zu bezeichnen glaube. Nach demselben können aus jeder Kon- struktion einer Kurve Tangentenkonstruktionen abgeleitet werden, die zu finden keine Schwierigkeit bietet, bei denen aber die Kunst in der Herstellung möglichst großer Einfachheit besteht. Formel- entwickelungen sind dabei nicht notwendig, aber manchmal zur Ver- einfachung der Konstruktion nützlich. Andererseits wurde in vielen Fällen der KrümmungsJcreis der vorkommenden Kurven bestimmt, und zwar vorzugsweise für den Scheitel, in welchem er wegen seiner vierpunktigen Berührung besonderen Vorteil bietet, jedoch auch manchmal für den allgemeinen Punkt. Es geschah dies geometrisch durch Ermittelung des Verhältnisses des Kontingenzwinkels und des Kurvenelementes oder des Verhältnisses der unendlich kleinen Koor- dinaten des benachbarten Punktes. Nur in einem Falle, bei der Bestimmung der Evolute der Sinuslinie, wurde die analjrtische For- mel des Krümmungshalbmessers benutzt, weil in diesem Falle die geometrische Bestimmung nicht zu einer Vereinfachung geführt hatte. Jene Formel aber wurde geometrisch hergeleitet.
Im Einzelnen bemerke ich, daß der im ersten Bande gegebene Begriff des Unendlichkleinen als GrenmuU auch bei den Flächen durchgeführt wurde. — In Bezug auf die abwickelbaren Flächen weise ich darauf hin, daß ich eine nicht geradlinige abwickelbare Fläche angegeben habe. Es wird zwar in der Analysis bewiesen, daß die abwickelbaren Flächen geradlinig sind-, dieser Beweis beruht aber auf der Voraussetzung, daß die Fläche in jedem ihrer Punkte eine Berührungsebene besitze. Macht man aber diese Voraussetzung nicht, so verliert der Satz seine Giltigkeit. Die hier gegebene nicht geradlinige Fläche wird durch die Kurve der Weierstraßschen Cosinus- funktion erzeugt; und es hat weder diese Kurve in einem allge- gemeinen Punkte eine Tangente, noch die erzeugte Fläche eine Be- rührungsebene. Ich habe die Gleichung der Fläche, welche zwei
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Vorwort. V
unendliche Reihen enthält^ aufgestellt; und obgleich die Fläche selbst nicht modellirbar ist, so ist sie doch vorstellbar und wird durch das Modell des Ausgangsvielflachs veranschaulicht , dessen Abbildung ich zugefügt habe.
Bei den Flächen zweiten Grades spielt die im ersten Bande ge- gebene ImaginärprojeJction eine große Rolle. Durch sie erst wird der Satz allgemein wahr, daß zwei Kegelschnitte einer Fläche zwei- ten Grades Perspektive Kurven bilden. Es wurde eine Anzahl von Konstruktionsaufgaben gelöst, bei denen imaginäre Kegelschnitte vermittelst ihrer ideellen Darstellung ebenso leicht wie reelle be- handelt werden. Die Imaginärprqjektion piner Fläche zweiten Gra- des F aus einem Punkte P, d. i. auch die der F in Bezug auf den Punkt P konjugirie Fläche, ermöglicht die Fortsetzung von Kurven, wie der Berührungskurve mit einem Kegel, über den Punkt hinaus, in welchem sie in einer Projektion abzubrechen scheinen. Und solche konjugirte Flächen kann man auch noch zu anderen Flächen bilden, nämlich zu allen denjenigen, welche aus Kegelschnitten entstehen können, deren Ebenen durch einen und denselben Punkt P gehen. Man wird eine solche Erweiterung bei der Umdrehungsfläche der Sinuslinie ausgeführt finden.
Bei der Bestimmung der Schnittlinie zweier Flächen zweiten Grades tritt im allgemeinen der Mißstand ein, daß für jede benutzte Hilfsebene die Verzeichnung eines Kegelschnittes notwendig erscheint. Dieser Mißstand wurde durch Ersetzen solcher wechselnden Kegelschnitte durch einen einzigen festen beseitigt Was die Gestalt jener Schnitt- linie betrifit, so wurden ihre drei Hauptformen aus den dreierlei Formen des gemeinschaftlichen Polartetraeders der beiden Flächen abgeleitet. Die Abwickelbare der Schnittlinie besitzt bekanntlich eine Doppelkurve, welche aus vier ebenen Kurvenästen von der vierten Ordnung besteht. Es wurde nun gezeigt, daß die Gestalt eines solchen Astes allein von den in derselben Ebene liegenden Elementen der sich schneidenden Flächen abhängt; und aus diesen wurde die Kurve konstruirt und untersucht
Von anderen Flächen, welche behandelt Wurden, möge noch die bisher wenig beachtete topographische oder Terrainfläche erwähnt werden, welche durch ihre Rücken- oder Rinnelinien (oder Wasser- scheiden und Thalwege), durch ihre Linien des kleinsten und des größten Gefälles, und durch ihre Eigenschaften, die man nach ihrer Begründung uüd Verursachung als geometrische und meteorologische unterscheiden kann, großes Interesse bietet.
Auch die Raumkurve vierter Ordnung zweiter Art, die als teil- weiser Schnitt einer Regelfläche zweiten mit einer Regelfläche dritten
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VI Vorwort.
Grades entsteht ^ und die ich noch nirgends dargestellt fand^ erfuhr eine besondere Untersuchung.
Die Krümmung der Flächen wurde eingehend behandelt, dabei auch die Eulersche Kurve in ihren drei Formen, die Krümmung des ebenen Schnittes einer Fläche in seiner Abhängigkeit von der Krümmung der Fläche, namentlich die Evoluten eines ebenen Schnit- tes des Kreisringes und seiner Projektionen. Sodann wurden wesent- lich die Krümmungslinien der Flächen zweiten Grades untersucht, insbesondere ihre Projektionen auf die drei, oder in verallgemeiner- tem Sinne, auf die vier Hauptebenen dieser Flächen, als die Kurven einer Kegelschnittschaar, zu deren Verzeichnung die vorbereitenden Untersuchungen im ersten Bande die Grundlage bilden. Dabei spie- len die sechzehn Nabelpunkte der Fläche, von denen höchstens vier reell sind, eine wesentliche Rolle, und die imaginären erwiesen sich für die Konstruktionen ebenso nützlich, wie die reellen.
Im Übrigen sei zur Gewinnung einer Übersicht über den be- handelten Stoff auf das Inhaltsverzeichnis verwiesen, das ich, um auch einen Einblick in die Art der Behandlung zu gewähren, ein- gehend gehalten habe.
Die Figuren sind wieder von den Zeichnungen des Verfassers photozinkographisch übertragen, außer den beiden vorletzten über die Perspektive des menschlichen Blickes, welche aus der Verofltent- lichung WoUastons entnommen wurden.
Ich hatte im ersten Bande die Absicht ausgesprochen, meine Untersuchungen über die Eelligkeit der Körper im zweiten Bande zu veröffentlichen. Ich beschäftigte mich auch seitdem ein halbes Jahr lang mit der Weiterführung dieser Arbeit, bemerkte aber dann, daß sie zu ausgedehnt für die Aufnahme in den zweiten Band werden und dessen Veröffentlichimg zu sehr verzögern würde, und entschloß mich daher, sie für eine besondere Veröffentlichung vorzubehalten. Über ihren Inhalt bemerke ich, daß im ersten Teile der Arbeit auf Grundlage von Versuchen an einer gegossenen Gipsplatte die Hellig- keit angegeben wird, welche eine solche Oberfläche bei jeder Rich- tung des einfallenden und des ausfallenden Lichtstrahles besitzt, und daß auf dieser Grundlage die Linien gleicher Helligkeit oder die Helle- gleichen einer Kugel konstruirt wurden, welche durch unmittelbare Sonnenbeleuchtung und diejenigen, welche durch den Reflex eines gleichbeschaffenen Bodens von Gips entstehen. Im zweiten Teile werden ebenfalls auf Grund von Beobachtungen die Konstanten einer Formel bestimmt, welche die Helligkeit des klaren Himmels an jeder seiner Stellen und für jede Stellung der Sonne angibt. Auf dieser Grundlage habe ich sodann die Hellegleicben des klaren
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Vorwort. VII
Himmels konstruirt. Dieselben ziehen sich um ihre hellste und dunkelste Stelle herum, von denen die erste, außer bei der unter- gehenden Sonne, unmittelbar neben der Sonne, die zweite, leicht hundertmal dunklere, dieser gegenüber, aber nicht in gleicher Hohe steht. Mittelst dieser Hellegleichen habe ich auf eine nicht schwie- rige, aber der Natur der Sache nach viele Zeit kostende Weise die Stärke der Beleuchtung bestimmt, welche ein Flächenelement durch den klaren Himmel erfahrt, und diese Bestimmungen müssen für verschiedene Stellungen des Elementes fortgesetzt und die Ergeb- nisse in eine zu leichtem Gebrauch geeignete Tabelle gebracht wer- den. Der dritte Teil bezieht sich auf die Nachahmung der Helligkeit durch Tuschlagen ; er führte mich zum Messen der Empfindungs- stärke durch eine Empfindungseinheit/ Die letztere ist dasselbe, wie die von Herrn Pechner in seinen Elementen der Psychophysik aufgestellte Reizschwelle, so daß ich in der Streitfrage über die Meßbarbeit oder Nichtmeßbarkeit der Empfindungsstärke zur Be- jahung geführt werde und in einer solchen Messung die Lösung der vorliegenden praktischen Aufgabe finde. Bei dieser Ausdehnung der Untersuchungen, die ich zum Teil noch durch neue zu ersetzen beabsichtige, wird man es wohl gerechtfertigt finden, daß ich von meiner ursprünglichen Absicht abging, dieselben dem vorliegenden Buche einzuverleiben.
Ich übergebe nun diese Arbeit, die mir langjähriges Mühen, aber auch hohen Genuß bereitet hat, der Öffentlichkeit mit dem Wunsche, daß sie einigen Nutzen stiften möge.
Karlsruhe, 12. Mai 1887.
Chr. Wiener.
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Inhaltsverzeichnis.
Die vorgesetsten Zahlen bedeaton die Nummern;
Zweiter Teil.
Seite
I. Abschnitt.
Die krummen Flächen im allgemeinen; der Cylinder, der
Kegel y die TJmdrehungsflftohe und ihre Berührungsebenen;
die abwickelbare Fläche im allgemeinen.
I. Die krummen Flächen im allgemeinen^ ihre Berührungs- ebenen und Normalen 1
1, 2. Begriff und Darstellung der Fläche. 3. Die Familien der Flächen. Der Cylinder. 4. Der Kegel. 5. Die Umdrehungsfläche. 6. Verschiedene * ebene Schnitte einer Fläche mit gemeinschaftlicher Tangente. 7. Die Be- rührungsebene der Fläche als Ebene aller Tangenten der Fläche in dem- selben Punkte; allgemeiner Fall, besondere Fälle. 8. Die Normale der Fläche. 9. Wahrer und scheinbarer umriß. 10. Cylinder und Kegel wer- den von einer Berührungsebene entlang einer Erzeugenden beröhrt. 11, Berührungsebene und Normale der Umdrehungsfläohe. Einhüllung von Cylindem, Kegeln, Kugeln.
II. Der Cylinder und Kegel, und ihre Berührungsebenen. 8
12. Darstellung des Cylinders aus seiner Leit- und Richtlinie. 13. Be- rührungsebene in einem gegebenen Punkte der Fläche. 14. Berührungs- ebene durch einen außerhalb der Fläche gegebenen Punkt; die Leitlinie sei uneben. 16. Berührungsebene parallel einer Geraden; die Leitlinie liege in einer beliebigen Ebene. 16. Einen durch Leitlinie und Spitze ge- gebenen Kegel darzustellen. 17. Berührungsebene in einem gegebenen Punkte der Fläche. 18. Darstellung eines schiefstehenden geraden Kreis- kegels, sein Schatten für eine Lichtquelle in endlichem Abstände. 19. Be- rührungsebene parallel einer Geraden. 20. Übungsaufgaben.
III. Der Kegel zweiten Grades 16
21. Polare Eigenschaften. Entstehung durch zwei projektive Ebenen- büschel oder Strahlenbüschel. 22. Der Kegel hat im allgemeinen drei, im besonderen unendlich viele (auf einander senkrechte) Axen. 23. Die drei Axen aus der Spitze und einem Leitkegelschnitte c zu bestimmen. Zurück- führen auf die Aufgabe, das gemeinschaftliche Polardreieck zu e und einem imaginären Kreise zu legen. 24. Bestimmung seiner Ecken durch die Schnittpunkte von c mit einem Kreise. 25. Hilfssatz über den zu einer Geraden konjugirten Kegelschnitt eines Kegelschnittbüschels. Auflösung. 26. Übungsaufgaben.
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InbaltsYerzeichnis. IX
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IV. Die UmdrehungBfläohe und. ihre Berahrungsebene. . 23 27. Darstellung der Fläche. 28. Das UmdrehungsellipBoid und seine Berührungsebene in einem gegebenen Punkte. 29. Das einschalige Um- drehuDgshyperboloid entstehend durch, Umdrehung einer Geraden um eine sie nicht schneidende Axe. Seine Darstellung. 80. Die beiderlei Schaaren von Erzeugenden. 31. Erzeugung durch zwei projektive Ebenenbüschel. Jede Ebene schneidet die Fläche in einem Kegelschnitte; der Meridian ist eine Hyperbel. 32. Die Berübrungsebene in einem gegebenen Punkte der Fläche. 38. Hyperbolische, parabolische, elliptische Punkte einer Fläche.
V. Die abwickelbaren Flächen (erster Teil). ... 28 34. Eine krumme abwickelbare Fläche als Grenzgestalt eines abwickel- baren Vielflachs. Erweiterter Begriff des letzteren. 35. Das Vielflach mit geschlossenen Seitenflächen ist abwickelbar, wenn die Summe der Kanten- winkel an jeder Ecke »» 4E ist, die Ecken also nicht konvex sind. Als Beispiel die Zickzackfläche; ihre Gleichung durch Fouriersche Reihen. 36. Übergang der Zickzackfläche in eine nicht geradlinige abwickelbare Fläche mit unendlich kleinen Flächenelementen mittelst der Weierstraß- schen Cosinusfunktion. 37. Das Vielflach mit nicht geschlossenen Seiten- flächen ist stets abwickelbar. 38. Seine Grenzgestalt ist eine geradlinige abwickelbare Fläcbe. Rückkehrkante. Einhüllende Fläche einer beweg- lichen Ebene. Verwandelte einer krummen Linie. 89. Sätze über diese Fläche; 40. Änderung der Krümmung einer Kurve durch die Abwickelung. 41. Ausdruck dafür. 42. Bedingung für einen Wendepunkt der verwandel- ten Kurve. Kürzeste oder geodätische Linie. 43. Bestimmung einer ab- wickelbaren Fläche durch zwei Leitlinien. Leitflächen. Einhüllende Fläche. Richtkegcl. 44. Die Evolutenfläche einer Raumkurvo. 46. Der kürzeste Abstand zweier benachbarten Erzeugenden ist unendlich klein von der dritten Ordnung.
IL Abschnitt.
Der Schnitt des Cylinders und Kegels mit einer Ebene und einer Qeraden und die Abwickelung der Fl&ohe.
L Allgemeines Verfahren 43
46. Allgemeines Verfahren zur Bestimmung des Schnittes einer krum- men Fläche mit einer Ebene oder Geraden.
II. Ebener Schnitt und Abwickelung des Cylinders. . . 44
47, 48. Zwei ebene Schnitte eines Cylinders sind perspektiv-affln. Schnitt eines auf P^ senkrecbten Umdrehungscylinders mit einer auf P, senkrech tf^n Ebene, wahre Gestalt der Kurve und Abwickelung des Cylin- ders. Die Verwandelte der Schnittkm-ve ist eine Sinuslinie. 49—53. Schnitt eines beliebigen Cylinders mit einer beliebigen Ebene, wahre Gestalt und Abwickelung. '64, 65. Von der Verwandelten der Schnittkurve die Krüm- mungshalbmesser in ausgezeichneten Punkten und die Wendepunkte zu bestimmen.
lU. Ebener Schnitt und Abwickelung des Kegels. . . 60 56. Zwei ebene Schnitte eines Kegels sind perspektiv- kollinear. 57. Schnitt eines mit seiner Axe senkreckt auf Pj stehenden Umdrehungs- kegels mit einer auf P, senkrechten Ebene, walire Gestalt und Abwicke- lung. Die erste Projektion der Spitze ist der Brennpunkt der ersten Pro- jektion des Kegelschnittes. Der Krüiamungshalbmesser im Scheitel der
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X Inhaltsverzeichnis.
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Haaptaxe der ersten Projektion des Kegelschnittes ist gleich dem Halb- messer eines Parallelkreises, dessen Mittelpunkt in der Schnittebene liegt. 58—61. Wahre Gestalten der Schnittkurve, Abwickelung, Krümmungs- kreise und Wendepunkte der Verwandelten. 62. Die vorhergehende Auf- gabe für den hyperbolischen Schnitt. 63—66. Die Schnittkurve eines schiefen Kreiskegels mit einer Ebene, deren wahre Gestalt und die Ab- wickelung des Kegels. Krümmungskreise und Wendepunkte der Verwan- delten des Grundkreises und der Schnittkurve. 67. Auf einem Kegel zweiten Grades die Kreisschnitte zu bestimmen. 68. Übungsaufgaben. 69. Durch zwei gegebene Punkte eines Umdrehungskegels die geodätische Linie zu legen. Die Tangente, der Krümmungskreis im Scheitel des Grundrisses. Übergang auf den zweiten Flächenast. 70. Die Wendepunkte der Projektionen der Kurve. Der unendlich ferne Punkt der ersten Pro- jektion (auf die zur Umdrehungsaxe senkrechte Ebene) ist ein Wendepunkt der Kurve. Bestimmung der Wendepunkte der zweiten Projektion. 71. Die Schnittpunkte des Kegels mit einer Geraden.
in. Abschnitt Die Flächen zweiten Grades,
I. Allgemeine Eigenschaften und Einteilung der Flächen
zweiten Grades .66
72. Begriff der Fläche zweiter Ordnung. Geometrisch als Kegelschnitts - fläche. 73. Die Polarebene eines Punktes. 74. Die Fläche zweiter Ordnung ist auch zweiter Klasse und heißt zweiten Grades. 75. Der Pol einer Ebene. 76. Konjugirte Punkte, Ebenen u. s.w. 77. Zwei gegenseitige Polaren. 78. Das Polartetraeder. 79. Entstehung der Fläche zweiten Grades durch einen erzeugenden Kegelschnitt. 80. Erweiterung des Begriffes der räumlichen Kollineation. Die kollineare Verwandtschaft zweier räumlichen Systeme ist durch fünf Paare entsprechender Punkte bestimmt. 81. Entstehung der Fläche zweiten Grades aus willkürlich angenommenen Leitelementen. Sie sind entweder mit der Kugel oder mit dem einschaligen Hyperboloide kollinear. 82. Zwei Arten der Flächen zweiten Grades, Nichtregelflächen und Regelflächen. Verschiedene Eigenschaften. 83. Sind die reellen ebenen Kurven einer Fläche Kegelschnitte, so sind es auch die imaginären. Ideelle Darstellung eines solchen. 84. Die Mittelpunktsellipse eines imaginären Kegelschnittes. Die imaginären Kegelschnitte einer Kugel sind imaginäre Kreise. 85. Begriff der räumlichen Imaginärprojektion der Kegelschnitte. Zwei Kegelschnitte mit gemeinsamer Involution konjugirter Punkte auf der gemeinschaftlichen Geraden ihrer Ebenen projiciren sich reell oder imagi- när aufeinander (vier Fälle). 86. Zwei (reelle oder imaginäre) Kegelschnitte einer Fläche zweiten Grades projiciren sich aus zwei Punkten durch reelle oder imaginäre Projektion aufeinander. 87. Zwei Kegelschnitte, welche zwei Punkte gemein haben, und ein Punkt bestimmen eine Fläche zweiten Grades. 88. Mittelpunkt, Durchmesser, Durchmesserebenen der Flächen zweiten Grades, ähnliche Schnitte paralleler Ebenen, reelle, konjugirte Durchmesser, imaginäre (ideelle) Durchmesser. 89. Die Axen; ihre Kon- struktion durch drei konjugirte Durchmesser. 90. Einteilung der Flächen zweiten Grades nach der endlich oder unendlich fernen Lage des Mittel- punktes und dem Reell- oder Imaginärsein der Axen in sechs Arten. 91. Das Ellipsoid. 92. Das einschalige Hyperboloid. 93. Das zweischalige Hyperboloid, und die imaginäre Fläche. 94. Das elliptische Paraboloid. 95. Das hyperbolische Paraboloid.
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InhaltsYerzeicbnis. XI
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n. Eonjugirte Flächen zweiten Grades nnd die Imaginär- projektion im Raame 89
96. Zwei in Bezug auf einen Punkt und eine Ebene konjugirte Flächen zweiten Grades. 97. Dieselben sind Imaginärprojektionen von einander; die Charakteristik ist ». 98. Von zwei konjugirten reellen Flächen ist die eine geradlinig, die andere nicht geradlinig. 99. Die zu einer reellen Fläche zweiten Grades konjugirte imaginäre Fläche zweiten Grades. 100. Die Polarebene eines Punktes zu einer Fläche zweiten Grades und zu ihrer in Bezug auf einen Punkt P und eine Ebene P konjugirte Fläche sind durch P und P harmonisch getrennt. Pol und Polarebene in Bezug auf die konjugirte Fläche. 101. Die Polarebene eines Punktes Q einer Fläche zweiten Grades F in Bezug auf eine der F konjugirte Fläche H ist die Berühruugsebene der F in dem Gegenpunkte Q' des Q auf F. 102. Eine zu einer reellen Fläche zweiten Grades konjugirte imaginäre Fläche wird von jeder Ebene in einem imaginären Kegelschnitte getroffen und ist des- wegen vom zweiten Grade. Ideelle Darstellung einer imaginären Schnitt- kurve. 103. Von zweien in Bezug auf einen Punkt und eine Ebene kon- jugirten Flächen zweiten Grades ist jede zu sich selbst reciprok in Bezug auf die andere. 104. Von einem imaginären Kegelschnitte, dessen ideelle Darstellung in Bezug auf einen Punkt gegeben ist, die ideelle Darstellung in Bezug auf einen beliebigen Punkt seiner Ebene zu konstruiren. 105. Die ideelle Darstellung eines imaginären Kegelschnittes in Bezug auf einen Punkt ist eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem dieser Punkt innerhalb, auf oder außerhalb der Mittelpunktellipse des i liegt. 106. Das Mittelpunktellipsoid einer imaginären Fläche zweiten Grades. Die ideelle Darstellung der letzteren in Bezug auf einen Punkt ist ein Ellipsoid, ellipti- sches Paraboloid oder zw eischaliges Hyperboloid, je nachdem dieser Punkt innerhalb, auf oder außerhalb des Mitbelpunktellipsoides liegt. 107. Kon- jugirte Flächen zweiten Grades in Bezug auf zwei gegenseitige Polaren. 108. Von zweien in Bezug auf zwei Gerade zu einander konjugirten Flächen zweiten Grades ist jede mit sich selbst reciprok in Bezug auf die andere Fläche. 109. Die vier Fälle zweier in Bezug auf zwei Gerade zu einander konjugirten Flächen zweiten Grades. 110. Vier zu je zwei in Bezug auf zwei Gerade oder in Bezug auf einen Punkt und eine Ebene konjugirte Flächen zweiten Grades (zwei Fälle). 111. Zu einer (möglicherweise ima- ginären) Flächen zweiten Grades, welche als koigugirt zu einer anderen in Bezug auf einen Punkt gegeben ist, die in Bezug auf eine gegebene Gerade konjugirte Fläche darzustellen.
m. Die Berührungsebenen, ebenen Schnitte und Berfih- rungskegel der Flächen zweiten Grades, insbesondere der
Nichtregelfläohen 108
112. An ein durch seine drei Halbaxen gegebenes Ellipsoid in einem durch eine Projektion gegebenen Punkte desselben die Berührungsebene zu legen. Auflösung mit und ohne Verzeichnung von Ellipsen. 113. Die Schnittkurve einer Fläche zweiten Grades mit einer Ebene zu bestimmen für ein zweischaliges Hyperboloid. Auflösung mit und ohne Benutzung von Kegelschnitten. 114. Die Abbildung l des ebenen Schnittes einer Fläche zweiten Grades zu verzeichnen, wenn von der Fläche der Umriß k und von l drei Punkte Cy D^ E gegeben sind; oder einen Kegelschnitt l zu verzeichnen, welcher einen gegebenen Kegelschnitt X; in zwei Punkten be- rührt und durch drei gegebene Punkte C, D^ E geht. Auflösung mittelst Benutzung eines Kegelschnittes. 116. Begriff eines einzelnen imaginären Punktes auf einer Geraden oder auf einem Kegelschnitte in Bezug auf zwei
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XII Inhaltsyerzeichnis.
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gegebene koDJngirte Punkte. 116. Die Azen eines Kegelschnittes zu bestim- men, in Bezug auf welchen P und p als Pol und Polare, die Involution auf p und P, und von welchem noch ein reeller oder imaginärer Punkt gegeben sind. 117. Auflösung der Aufgabe 114 und Bestimmung der Axen von l ohne Benutzung von Kegelschnitten, 1) wenn k eine Ellipse, C, B, E innere oder 2) äußere Punkte von k sind; 118. 3) wenn k eine Hyperbel und C,D,£J innere oder äußere Punkte von k sind; 119. 4) wenn k ein reeller Kegelschnitt, C ein reeller, D, E imaginäre Punkte sind; 120. 6) wenn k reell, C^ B^ E teils innere, teils äußere Punkte des k sind. 121. Hilfs- satz. Sind in einer Ebene die Pole von zwei Geraden m und p in Bezug auf zwei (reelle oder imaginäre) Kegelschnitte k und h bezw. 3f , P und P, M und ist die Involution konjugirter Punkte in Bezug auf k und h auf der m eine gemeinsame, so ist sie auch auf der p eine gemeinsame. 122. In der Aufg. 114 sei 6) k imaginär. 123. Einen Kegelschnitt l zu bestimmen, welcher einen gegebenen Kegelschnitt k in zwei Punkten berührt und außerdem 1) drei gegebene Gerade berührt, 2) zwei Gerade berührt und durch einen gegebenen Punkt geht, 3) eine Gerade berührt und durch zwei geg. Punkte geht. 124. Alle Flächen zweiten Grades, außer dem hyperboli- schen Paraboloide , werden von zwei Schaaren paralleler Ebenen in Kreisen geschnitten. 126. An ein Ellipsoid aus einem außerhalb gegebenen Punkte einen berührenden Kegel zu legen, oder seinen Eigen- und Schlagschatten zu bestimmen. 126. Hilfssatz über Parabeltangenten. Aufg. An ein ellipti- tisches Paraboloid aus einem außerhalb desselben gegebenen Punkte einen berührenden Kegel zu legen, oder seinen Eigen- und Schlagschatten zu bestimmen. 127. Alle ebenen Schnitte oder Berührungskurven umschrie- bener Kegel eines elliptischen oder hyperbolischen Paraboloides projiciren sich auf irgend eine Ebene mittelst Projicirender, die zur Axe der Fläche parallel sind, in ähnliche und ähnlich gelegene Kegelschnitte. 128. Den Umriß einer Fläche zweiten Grades F zu bestimmen, von welcher die Par- allelprojektionen dreier konjugirten Durchmesser gegeben sind. Aufl. 1) mittelst umschriebener Cylinder a) wenn F ein Ellipsoid, 129. b) ein Hy- perboloid ist. ISO. Aufl. 2) mittelst zweier konjugirten Durchmesser des Umrisses, a) wenn F ein Ellipsoid, 131. b) ein Hyperboloid ist. 132. Übungsaufg. 133. Die Schnittpunkte einer Geraden mit einer durch drei konjugirte Durchmesser gegebenen Fläche zweiten Grades zu bestimmen. 134. Die Berührungsebenen durch eine Gerade an eine ebenso gegebene Fläche zweiten Grades zu legen. 136. Zu einer Fläche zweiten Grades die Polar ebene eines Punktes und den Pol einer Ebene zu bestimmen.
IV. Die windschiefen Flächen zweiten Grades.
a) Allgemeines 140
136. Begriff der Regel- oder geradlinigen Flächen. Windschiefe Flä- chen mit drei Leitgeraden; sie sind vom zweiten Grade und werden auch durch zwei projektive Ebenenbüschel erzeugt; 137. ebenso durch zwei projektive Punktreihen. 138. Die beiden Schaaren von Erzeugenden. 139. Die Berührungsebene. Das Büschel der durch eine Erzeugende gelegten Ebenen ist mit der Reihe ihrer Berührungspunkte projektiv. 140. Diese Regelflächen bilden das hyperbolische Paraboloid, wenn die drei Leitgera- den mit derselben Ebene parallel sind, sonst das einschalige Hyperboloid; Grenzfall des Kegels. 141. Bestimmung dieser Flächen durch gerade und kegelschnittf^rmige Leitlinien, sowie durch projektive Punktreihen auf Ge- raden und Kegelschnitten. 142. Diese Bestimmungsstücke können will- .kürlich angenommen werden.
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lohalUverzeichnis. XHl
Seite
b) Das einschalige Hyperboloid 145
143. Das einschalige Hyperboloid darzustellen, yon welchem zwei par- allele und gleiche Ellipsen und eine Erzeugende gegeben sind. 144. Für
ein durch drei Erzeugende derselben Schaar gegebenes einschaliges Hyper- boloid eine Reihe von Aufgaben zu lösen: Zu bestimmen ein Parallelepi- pedum von Erzeugenden, den umriß, den Mittelpunkt, den Asymptoten- kegel, die Berührungsebene durch einen Punkt, die Schnittlinie mit einer Ebene, den Berührungskegel aus einem Paukte, den Pol einer Ebene, die Polarebene eines Punktes, die Schnittpunkte mit einer Geraden. Eine Qerade ^u legen, welche vier gegebene Gerade schneidet. 146. Sätze über das ein- und das zweischalige Hyperboloid und ihre Asymptote nkegel. 146. Das einschalige Hyperboloid ist bestimmt durch 1) zwei sich schnei- dende Gerade und drei Punkte, 2) ein windschiefes Viereck und einen Punkt, 8) zwei sich schneidende Gerade un^ vier Punkte, 4) eine Gerade und sechs Punkte. 147. Besondere Arten des einschaligen Hyperboloides: 1) das orthogonale Hyperboloid und der orthogonale Kegel; sie besitzen zwei Schaaren von Kreisen, deren Ebenen auf den Axen der erzeugenden Ebenen- büschel senkrecht stehen, Erzeugung durch zwei kongruente Ebenenbüschel. 2) Hyperboloid, entstehend aus zwei besonderen projektiven Punktreihen. 148. Übungsaufgaben. 149. Centralpunkt, asymptotische Ebene. 160. Die Striktionslinie des einschaligen Hyperboloides. Die Krümmungskreise ihrer Projektionen auf die Hauptebenen in den Scheiteln der Fläche.
c) Das hyperbolische Paraboloid 157
151. Seine Bichtebene. Ähnliche Punktreihen. 152. Die Fläche aus
zwei mit einer Hauptebene parallelen Parabeln und einer Erzeugenden dar- zustellen. Die Striktionslinie. 163. Die Fläche aus einem windschiefen Vierecke darzustellen.
IV. Abschnitt. Die Umdreliunfi:8fläohen.
I. Der Schnitt einer ümdrehungsfläche mit einer Ebene. . 162 154. Symmetrieaxe der Schnittkurve; auf dieser Axe ist ein Punkt der Kurve im allgemeinen ein gewöhnlicher, im besonderen ein Doppelpunkt oder eine Spitze. 165. Schnitt eines Ringes mit einer Ebene; elliptische, hyperbolische, parabolische Punkte des Ringes. 156. Als Schnittebene wird die Berührungsebene der Fläche in einem hyperbolischen Punkte gewählt. Allgemeine und ausgezeichnete Punkte der Schnittkurve. 157. Die Tan- gente der Kurve in einem gewöhnlichen und in einem Doppelpunkte. Par- allelverschiebung der Schnittebene. 158. Berührt die Schnittebene den Ring in zwei Punkten, so zerföUt die Schnittkurve in zwei Kreise. 159. Die Schnittebene sei mit der Umdrehungsaxe parallel. Fall, in welchem die Schnittkurve die Cassinische Linie wird. 160. Ihre Krümmungakreise für die wichtigsten Punkte. 161. Die drei Gestalten der Cassinischen Linie, darunter die Bernouillische Lemniskate. 162. Übungsaufgaben.
IL Der einer ümdrehungsfläche umschriebene Kegel und
Cylinder. (Schattengrenze.) 169
163. Verfahren, einer Fläche einen Kegel oder Cylinder zu umschrei- ben. An eine abwickelbare Fläche gehen aus .einem außerhalb gegebenen Punkte nur eine endliche Anzahl von Berührungsebenen. Eigen- und Schlagschatten, wahrer und scheinbarer Umriß. 164. An eine Qmdrehungs- fläche ans einem außerhalb gegebenen Punkte den berahrenden Kegel zu
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legen , oder den Eigen- and Schlagschatten zu befitimmen. 166. ümdrehnngs- fläche der Cosinnslinie,* deren Tangenten. 166. Verfahren der umschriebe- nen Hilfskegel. 167. Verfahren der umschriebenen Hilfscylinder. 168. Ver- fahren der umschriebenen Hilfskugeln. Die über den umriß hinaus liegen- den Berührungspunkte. 169. Imaginärprojektion oder konjugirte Fläche der gegebenen ümdrehungsfläche in Bezug auf einen gegebenen Meridian. Die konjugirte Kurve zur Berührungskurve des umschriebenen Kegels. 170. Schlagschattengrenze, ihre Spitzen und Asymptoten. Schlagschatten auf die Fläche selbst. Grenzpunkte. 171. Die Krümmungshalbmesser der Schattengrenzen in ihren Scheiteln. Die konjugirte Kurve hat in ihrem Scheitel den gleichen und entgegengesetzt gerichteten Krümmungshalb- messer, wie die ursprüngliche Kurve. Der Schlagschatten der Eigenschatten- grenze auf die Ebene des Parallelkreises von deren Scheitel hat diesen Parallelkreis zum Krümmungskreise. 172. An einer Umdrehungsfläche bei Parallelbeleuchtung die Eigen- und Schlagschattengrenze zu bestimmen. Beispiel des Binges, dessen Aze J_ F^ steht Das Kegel-, das Cy linder- und das Kugelverfaiiren. ' Die Schlagschatten s^ und «, auf F^ und F,. 173. Bestimmung des Eigen- und des Schlagachattens auf eine zur Aze senkrechte Ebene nachDunesme, wenn der halbe Meridian ein Kegelschnitt ist, dessen Axe paraUel zur ümdrehungsaze steht. 174. Der Grundriß der Eigenschattengrenze ist eine verallgemeinerte Konchoide. Die Subnormale derselben ist gleich der Summe der Subnormalen der Grundkurven. 175. Der Schlagschatten auf P^ ist die äquidistante oder parallele Kurve eines Kegelschnittes. Schlagschatten auf den Bing. Grenzpunkte. 176. Die Eigen- und Schlagschattengrenze des Ringes bei Centralbeleuchtung. Die Projektion 8^ der Eigenschattengrenze 8 auf die Lichtmeridianebene, sowie ihr Grundriß «' und Aufriß «". 177. Die Tangente an s^ in einem allge- meinen und 178. in besonderen Punkten. 179. Die Tangenten bei Parallel- beleuchtung. 180. Die Tangenten an 8' und 8'\ 181. Die Grenzpunkte der Eigenschattengrenze, bestimmt durch eine Fehlerknrve. 182. Die Sohlagschattengrenzen Sj auf Fj und auf der Fläche. 188. Die Krüm- mungskreise der Schattengrenzen in ihren Scheiteln. 184. Verzeichnung der Schattengrenzen des Binges bei Parallelbeleuchtung mit Benutzung der Krümmungskreise in den Scheiteln. Bestimmung des Krümmungshalb- messers von s' aus dem von 8i und der Tangente von 8^; Bestimmung desselben aus einer anschließenden Fläche zweiten Grades. 185. Die kon- jugirten Kurven der Eigenschatt«ngrenzcn. 186. Übungsaufgaben.
III. Die durch eine gegebene Gerade an eine Umdrehungs- fläche gelegte Berührnngsebene 194
187. Bestimmung der durch eine gegebene Gerade gehenden Berührnngs- ebene einer Fläche mittelfit eines oder zweier umschriebenen Kegel. FSr eine abwickelbare Fläche gibt es im allgemeinen keine Auflösung. 188. Durch eine gegebene Gerade an eine Kugel eine Berührungsebene zu legen 1) mittelst zweier umschriebenen Kegel, 2) mittelst eines umschriebenen Kegels, 3) mittelst eines umschriebenen Cylinders. 189. Durch eine ge- gebene Gerade an einen Ring eine Berührungsebene zu legen. Benutzung des durch Drehung der Geraden um die Aze des Ringes entstehenden Um- drehungshyperboloides. 190. Liegt die gegebene Gerade im Unendlichen/ so legt man zwei umschriebene Cylinder. Bei einer Umdrehungsfläche liegen die Berührungspunkte in der Meridianebene, welche auf der die Gerade bestimmenden Ebene senkrecht steht.
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V. Abschnitt.
Die Beleuchtung krummer Flächen im allgemeinen ^ und die des Cylinders ^ des Kegels und der Umdrehungsfl&che im besonderen. •
I. Allgemeines 200
191. Bei der gebräuchlichen Annahme der Lichtstrahlen, bei welcher jede Projektion desselben 45^ mit der Projektionsaxe bildet, gewährt die Bestimmung der Helligkeit nach dem Lambertschen Gesetze eine gute An- näherung an die Wahrheit. 192. Liohtgleichen oder Isophoten. Zehnstufige Stärkereihe. Die beiderseits der Grenzlichtgleiche liegenden Lichtgleichen (±) kommen zur Geltung, je nachdem die Eörpermasse auf der einen oder der andern Seite der Fläche liegt. 193. Bestimmung der Punkte der Licht - gleichen; 1) Verfahren der Berührungsebenen, Tangentialkegel; 2) Ver- fahren der Normalen y Normalkegel.
U. Die Beleuchtung der Kugel, des Cylinders und des Kegels. 203 194. Die Lichtgleichen der Kugel. Büschel der Normalkegel. Schlag- schatten. 195. Die Lichtgleichen einer abwickelbaren Fläche , eines Cylin- ders im allgemeinen, eines auf F^ senkrechten Kreiscy linders. 196. Stärke- maOstab, Normalbüschel, Tangentialbüschel. 197. Die Lichtgleichen eines auf Pj senkrechten und 198. eines schiefen elliptischen Cylinders. 199. Übungsaufgaben. 200. Die Lichtgleichen eines Kegels. Büschel der Tan- gentialkegel. 201. Die Lichtgleichen eines schiefen elliptischen Kegels. 202. Die Lichtgleichen eines auf der Grundrißebene gerade aufgestellten Umdrehungskegels, mittelst des StärkemaOstabes des Kegelkreises bestimmt. Die positiven oder negativen Lichtgleichen liegen auf dem einen Flächen- aste außen, auf dem anderen innen. 203. Schlagschatten im Inneren des oberen Kegelastes und auf F^ und F,. 204. Zweites Verfahren zur Be- stimmung der Lichtgleichen. 206. Die Lichtgleichen eines geneigten üm- drehungskegels, in dessen Inneres Licht eindringt. Schlagschatten ins Innere und auf F| und F, .
UI. Die Beleuchtung der ümdrehungsfläche. . . . 219 206. Die Lichtgleichen einer ümdrehungsfläche, und zwar eines Ringes, dessen Axe _L Fj steht. Das Verfahren der Parallel kreise. Das Verfahren der Meridiane. 207. Berührung von Lichtgleichen durch Meridiane. 208. Verfahren ^r Bestimmung des Krümmungshalbmessers einer Kurve. 209. Die Ghrundrißlichtgleichen des Ringes sind verallgemeinerte Konchoiden. Ableitung des Krümmungshalbmessers der Konchoide aus denen ihrer Grundkurven. Beispiel für zwei Kreise als Grundkurven. 210. Besondere Punkte der verallgemeinerten Konchoide. 1) Berührt der Leitstrahl eine der Grundkurven, so berührt er auch die Konchoide, und es verhalten sich die Ejrümmnngshalbmesser beider Kurven in den Berührungspunkten um- gekehrt wie die Leitstrahlen. 2) Es fallen die Normalen der Kurven in den Leitstrahl. 3) Geht eine Grundkurve durch den Ursprungspunkt, so zerfällt die Konchoide. Doppelpunkt derselben. 211. Anwendung auf die Grundrißlichtgleichen des Ringes. Tangenten, Krümmungshalbmesser in den Scheiteln, Tangenten aus dem Ursprung an die Kurve. Krümmungs- halbmesser der Grenzlichtgleiche in ihren Scheiteln auf der zweiten Sym* metrieaze. 212. Die zerfallende Lichtgleiche. Typuslichtgleiche. 213. Eine andere Art der Bestinunung der Tangente und des Krümmungshalbmessers im Doppelpunkte der Typuslichtgleiche. 214. Die Projektionen der Licht- gleichen des Ringes auf die Lichtmeridianebene. Ihre Tangente im Meri- dianpunkte. Der Krümmungskreis der Grnndrißlichtgleiche im Scheitel.
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Seito
216. Die Lichtgleichen der ümdrehungsflächen zweiten Grades. Das üm- drehungsparaboloid ; die Projektion der Lichtgleichen auf die Leitebene (Direktrixebene) bilden auch deren Schnitt mit' dem Normalkegelbüschelf dessen Spitze im Brennpunkte liegt. Die Scheitel der Kurven. 216. Die GmndriOlichtgleichen sind perspektiv mit dem Büschel koncentrischer Kreise in dem Normalkegelbüschel. Die Scheitel der Nebenaxen liegen auf einer Parabel. Aufriß der Lichtgleichen. 217. Aus dem Grundriß der Axe einer Umdrehungsfläche, dem Grundriß der Grenzlichtgleiche und der Richtung des Lichtstrahles soll man den Grundriß der andern Lichtgleichen und den Aufriß der Fläche und der Lichtgleichen bestimmen. 218. Ver- zeichnung der Lichtgleichen. 219. Verzeichnung des Hauptmeridians durch ein allgemeines Verfahren. 220. Konstruktion des Hauptmeridians für den Fall, daß die halbe Grundrißgrenzlichtgleiche ein Kreis ist. Krümmungs- halbmesser des Hauptmeridians in seinen Scheiteln.
VI. Abschnitt,
Der Dxirchschnitt krummer Fl&ohen mit krummen Fläohen und krummen Iiinien.
I. Allgemeines 243
221. Allgemeines Verfahren zur Bestimmung der Schnittlinie zweier krummen Flächen mittelst Hilfsebenen. Zweckmäßige Annahme derselben. Besonderer Fall von krummen Hilfsflächen. 222. Die Tangente und die Normalebene der Schnittlinie. 223. Die Schnittpunkte einer krummen Fläche mit einer krummen Linie.
n. Der Durchschnitt von Cylindern und Kegeln unter einander.
a) Die allgemeineren Aufgaben .244
224. Durch die Kegelspitzen gelegte Hilfsebenen. Bestimmung der Schnittlinie zweier Cylinder mittelst gleichnamiger Spuren. Ausgezeichnete Punkte. Durchdringen, Ausschneiden. 225. Die Tangente. Spitze der Kurve in einer Projektion. 226. Die scheinbaren Doppelpunkte der Kurve, Bestim- mung der durch sie gehenden Geraden in jeder Projektion. 227. Bestim- mung der Punkte auf der Geraden im Aufriß und 228. im Grundriß. Es gibt zwei reelle oder konjugirt imaginäre scheinbare Doppelpunkte. Eigent- liche Doppelpunkte und isolirte Punkte. 229. Übungsaufgaben. 230. Schnittlinie eines Cy linders und eines Kegels, deren Leitlinien in verschie- denen Ebenen liegen. Beide Flächen sollen eine gemeinschaftliche Berüh- rungsebene, ihre Schnittkurve also einen wirklichen Doppelpunkt besitzen. 231. Die Tangente. 232. Die Tangenten im Doppelpunkte. 238. Die schein- baren Doppelpunkte. 284. Schnittlinie zweier Kegel; beide seien vom zweiten Grade und sollen zwei gemeinschaftliche Berührungsebenen be- sitzen. Die Schnittkurve zerfällt in zwei Kegelschnitte. 286. Die Schnitt- kurve zweier Flächen zweiten Grades ist von der vierteil Ordnung; Fall, in welchem sie in zwei Linien zweiten Grades zerfällt. 286. Die Schnitt- linie zweier Kegel zweiten Grades mit gemeinschaftlicher Hauptebene zu konstruiren und ihre Projektion auf diese Ebene zu verzeichnen. 237. Diese Projektion ist ein Kegelschnitt. 238. Die unendlich fernen Punkte der Schnittlinie. 289. Die unterbrochene Projektion der Schnittlinie auf jenen Kegelschnitt wird ergänzt durch die Imaginärprojektion der Schnittlinie. 240. Unterscheidung der Schnittlinie (vierter Ordnung) zweier Kegel zwei- ten Grades nach dem Reell- oder Imaginärsein ihrer vier unendlich fernen Punkte. 241. Übungsaufgaben, Herstellung von Fadenmodellen.
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b) Die Baumknire dritter Ordnung 261
242. Sie ist die Schnittlinie zweier Kegel zweiten Grades, welche eine
Erzeugende gemein haben. 243. Sie wird aus jedem ihrer Punkt« durch einen Kegel zweiten Grades projicirt; geometrischer Beweis. Analytischer Beweis des allgemeineren Satzes, daß eine Baumkurve n^^ Ordnung aus einem m fachen Punkte der Kurve durch einen Kegel von den (n — m)^^ Ordnung projicirt wird. 244. Eine Baumkurve dritter Ordnung ist durch sechs be- liebige Punkte , welche ihr angehören sollen, bestimmt. Konstruktion der- selben; Tangente, Asymptoten. 245. Einteilung nach ihren unendlich fer- nen Punkten: 1) die kubische Hyperbel, 2) die kubisch -hyperbolische Parabel, 3) die kub. Parabel, 4) die kub, Ellipse. 246. Übungsaufgaben.
in. Der Durchschnitt einer Umdrehungsfläche mit einem Kegel oder einem Cylinder.
a) Der Kegel und die koncentrische Kugek 264
247. Durchschnitt einer ümdrehungsfläche mit einem Kegel, dessen Spitze auf der Axe der ersteren Fläche liegt. Beispiel einer Kugel mit einem koncentrischen Kegel. 248. Tangente, höchste und tiefste Punkte. 249. Die zwei Doppelpunkte des Aufrisses. 260. Abwickelung des Kegels, Tangente, Krümmungskreise der Verwandelten der Leitlinie des Kegels.
b) Die sphärischen Kegelschnitte. 268
261. Ein solcher ist der Ort eines Punktes einer Kugel, für welchen die Summe oder Differenz seiner Abstände nach größten Kreisen von zwei Punkten der Kugel unveränderlich ist. Brennpunkte, Axen. 262. Er ist zugleich Ellipse und Hyperbel. 253. Er wird aus dem Kugelmittelpnnkte durch einen Kegel zweiten Grades projicirt. Umkehrung. 254. Die Tan- gente halbirt den Winkel der LeitstraJilen. 255. Durch jeden Punkt der Kugel gehen zwei sphärische Kegelschnitte mit denselben vier Brennpunkten. 256. Die Schaar der konfokalen sphärischen Kegelschnitte. 257. Zwei gerade Fokalliuien eines Kegels zweiten Grades. Jede auf einer Fokal- linie senkrechte Ebene schneidet den Kegel in einem Kegelschnitte, dessen einer Brennpunkt in der Fokallinie liegt.
c) Die stereographische Projektion 273
258. Begriff. 1) Bei derselben bilden zwei Linien auf der Kugel den- selben Winkel wie ihre Projektionen. 2) Die Projektion eines Kreises k der Kugel ist wieder ein Kreis, dessen Mittelpunkt die Projektion der Spitze des der Kugel nach k umschriebenen Kegels ist.
d) Die allgemeine Au^be 273
269. Die Schnittlinie einer Umdrehungsfläche mit einem beliebigen Kegel. 260. Ausgezeichnete Punkte. 261. Übungsaufgabe.
IV. Der Durchschnitt zweier Umdrehungsflächen unter
einander 275
262. Schnitt von koaxialen Flächen. Schnitt zweier Umdrehungs- flächen, deren Axen sich treffen. 263. Sind beide Flächen zweiten Grades, so ist die Projektion der Schnittkurve auf die Ebene beider Axen ein Kegelschnitt, und zwar bei EUipsoiden eine Parabel, wenn die Axen par- allel sind, andernfalls eine Hyperbel oder Ellipse, je nachdem beide Flächen gleichartig oder ungleichartig sind (verlängert, abgeplattet). 264. Die Doppelpunkte der ersten Projektion der Schnittkurve. 265. Die Schnitt- punkte zweier Ellipsen zu bestimmen, deren Axenlinien paarweise in ein- Wiener, Lehrbuch der daratellenden Geometrie. IL b
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ander liegen, 1) analytisch, 2) geometrisch, 3) geometrisch in allgemeiner Form als Schnittpunkte zweier koncentrischen Ellipsen. 266. Die Tangente der Schnittkurve der beiden ümdrehungsflächen mittelst der Normalebenen. Krümmungshalbmesser in den Scheiteln. 267. Übungsaufgaben. 268. Die Schnittlinie zweier Umdrehungsellipsoide zu konstruiren, deren Umdrehungs- axen sich nicht schneiden; mittelst Hilfsebenen, deren Schnitte mit beiden Flächen sich als Kreise projiciren. 269. Tangente der Schnittkurve, Dop- pelpunkte der Projektion der Schnittlinie. 270. Übungsaufgabe für be- liebige Umorehungsflächen.
V. Der Durchschnitt zweier Flächen zweiten Grades
unter einander 285
271. Auflösung mittelst eines festen Kegelschnittes und wechselnden Kreisen oder Geraden. 272. Schnittlinie eines Ellipsoides mit einem ellipti- schen Paraboloide. 273. Die Tangente. Die scheinbaren Doppelpunkte. 274. Übungsaufgaben. 275. Die als Schnittlinie zweier Flächen zweiten Grades gebildete Raumkurve vierter Ordnung kann zerfallen 1) in zwei Kegelschnitte, 2) in eine Gerade und eine Baumkurve dritter Ordnung, 3) in zwei Gerade und einen Kegelschnitt, 4) in vier Gerade. 276. Haben zwei Regelflächen zweiten Grades eine Gerade gemein, so ist der Rest der Schnittkurve eine Raumkurve dritter Ordnung. 1) Dieselbe wird durch drei projektive Ebenenbüschel erzeugt; 2) sie wird von den Erzeugenden der einen Schaar der Regelfläche zweiten Grades, auf welcher sie liegt, in einem, von denen der andern in zwei Punkten geschnitten; 3) sie wird aus jedem ihrer Punkte durch einen Kegel zweiten Grades projicirt; 4) die Sekanten und die durch die Kurve gehenden Regelflächen zweiten Grades ; 5) zwei Kurven dritter Ordnung auf derselben Regelfläche zweiten Grades schneiden sich in vier oder in fünf Punkten; 6) imaginäre Schnittpunkte zweier solchen Kurven. 277. Durch die Schnittlinie zweier Flächen zwei- ten Grades können vier Kegel zweiten Grades gelegt werden. Besonderer Fall für koaxiale Flächen. 278. Die Spitze eines doppelt projicirenden Kegels der Schnittkurve hat eine gemeinschaftliche Polarebene zu beiden . Flächen und umgekehrt. Zwei Flächen zweiten Grades besitzen im allge- meinen ein gemeinschaftliches Polartetraeder; seine Ecken sind die Mittel- punkte jener vier Kegel; seine Flächen enthalten Äste der Doppelkurve der Abwickelbaren der Schnittkurve. 279. Hilfssatz: Ein geschlossener Linienzng ist paar oder unpaar, je nachdem er von einer und dann von jeder Ebene in einer geraden oder ungeraden Anzahl von Punkten geschnit- ten wird. 280. Die Fälle in Bezug auf das gemeinschaftliche PolartetFaeder zweier Flächen zweiten Grades und jener vier Kegel A. Die vier Ecken sind reell. 1) Die vier Kegel sind reell; die Schnittkurve besteht aus zwei paaren Asten; 2) zwei Kegel sind reell; die Schnittkurve ist imaginär. 281. B. Zwei Ecken sind reell, zwei Kegel reell, zwei imaginär; die Schnittkurve besteht aus einem paaren Aste. 282. C. 4) Die vier Ecken und die vier Kegel sind imaginär; die Flächen zweiten Grades sind Regel- flächen; die Schnittkurve besteht aus zwei geschlossenen unpaaren Ästen.
283. Die Tangenten und Schmiegungsebenen der Schnittkurve in ihren Schnittpunkten mit den Flächen des gemeinschaftlichen Polart etraed er s.
284. Darstellung der Schnittlinie zweier Flächen zweiten Grades, wenn sie aus zwei paaren Ästen besteht; Tangente, Krümmungshalbmesser im Scheitel ; 285. wenn sie aus einem Aste besteht ; die scheinbaren Doppelpunkte ; 286. wenn sie aus zwei unpaaren Ästen besteht. 287. Asymptoten. 288. Die Doppelkurve der Abwickelbaren der Schnittlinie zweier Flächen zwei- ten Grades besteht aus vier ebenen Ästen. Konstruktion eines Astes aus dem Kegelschnitte (Grundkurve), welcher dem einen der vier Kegel angehört.
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und aus zwei Geraden, welche einem der drei anderen Kegel angehören. 1. Fall. Beide Gerade schneiden den Kegelschnitt reell. Die Doppelkorre berQhrt die Grondkarve reell in vier Punkten. Jede der drei Ecken des Polartetraeders ist Doppel- und Wendepunkt der Doppelkurve. Der Ast ist von der vierten, die ganze Doppelkurve von der sechszehnten Ordnung. 289. Die Tangente der Doppelkurve, die Asymptoten. 290. Die Krüm- mungshalbmesser der Doppel- und der Grundkurve in einem Punkte gegen- seitiger Berührung verhalten sich wie —1:3. 291. 2. Fall. Beide Gerade schneiden die Grundkurve imaginär (wobei die Schnittkurve der Kegel reell oder imaginär sein kann). 292. 3. Fall. Die eine Gerade schneidet die Grundkurve reell, die andere imaginär. Vier Asymptoten, ihre Kon- struktion durch Fehlerkurven.
VI. Die Imaginärprojektion der Schnittlinie zweier Flächen
zweiten Grades 3t7
293. Die Schnittlinie k zweier Flächen zweiten Grades hat zu ihrer Imaginärprojektion aus einem Eckpunkte des gemeinschaftlichen Polar- tetraeders beider Flächen die Schnittlinie l der Imaginärprojektionen bei- der Flächen, k und Z werden durch denselben Kegel bezw. reell und ima- ginär projicirt; sie haben in jedem ihrer Berührungspunkte gleiche Krüm- mungshalbmesser. 294. Die imaginäre Schnittlinie k zweier Flächen zweiten Grades durch einen reellen Kegel zweiten Grades (doppelt) zii projiciren und die (reelle) Imaginärprojektion l von k zu bilden. 296. Von der reel- len Schnittlinie I zweier Flächen zweiten Grades die Imaginärprojektion tn aus einem Punkte zu bilden, aus welchem I nur durch einen Teil des Kegels reell projicirt wird. 296. Übungsaufgaben.
YII. Bestimmung einer Fläche zweiten Grades durch neun Punkte. Büschel und Schaai^en von Flächen zweiten Grades. 321 297. Hilfssätze über die Projektivität zwischen involutorischen und ein- fachen Gebilden (ein-zweideutig verwandte Gebilde). 1) Begriff. Eine in- volutorische PunlAreihe eines Kegelschnittes heißt projektiv mit dem Strahlenbüschel, von welchem jeder Strahl durch zwei zugeordnete Punkte geht 2) Die Involution der Elementenpaare ist projektiv mit dem Gebilde der einfachen Elemente^ deren jedes von einem festen Elemente durch die zwei Elemente eines Paares harmonisch getrennt ist. 3) Die projektive Beziehung eines involutorischen zu einem einfachen Gebilde ist durch fünf Paare einfacher entsprechender Elemente bestimmt. 4) Zwei solche, d. i. auch ein-zweideutige, Gebilde auf demselben Träger besitzen drei Doppel- elemente. 5) Alle einfachen und alle involutorischen Punktreihen, welche ein Kegelschnittbüschel auf Geraden einschneidet, sind unter einander pro- jektiv. 6) Alle Kegelschnitte, welche durch die zwei Punkte je eines Paares einer geraden involutorischen Punktreibe und durch drei feste Punkte gelegt werden, gehen auch durch einen vierten festen Punkt und bilden ein Kegelschnittbüschel. 7) Alle Kegelschnitte, . welche durch die vier Punkte je zweier entsprechendeh Paare von zwei Perspektiven Punktinvo- lutionen von Geraden und durch einen festen Punkt gehen, bilden ein Kegelschnittbüschel. 8) Das Büschel der Kegelschnitte, welche durch die sechs Punkte dreier entsprechenden Paare von drei Perspektiven Punkt- involutionen von Geraden gehen. 298. 1) Durch acht Punkte des Raumes geht eine einzige Raumkurve vierter Ordnung, und durch diese können unendlich viele Flächen zweiten Grades gelegt werden. 2) Durch neun beliebige Punkte des Raumes geht eine einzige Fläche zweiten Grades. Jene Kurve und diese Fläche zu konstruiren. 299. Das Büschel der Flä- chen zweiten Grades , welches durch dieselbe Raumkurve vierter Ordnung
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geht. Die vier Kegel zweiten Grade8, welche darin enthalten sind. Eine Gerade schneidet das Büschel in einer Involution von Punktepaaren oder in einer damit projektiven einfachen Pnnktreihe. Durch einen gegebenen Punkt die Fläche des Flächenbüschels zu legen. Die polaren Eigenschaften des Büschels. 300. Die Fläche vierter Klasse, welche die gemeinschaft- lichen Berührungsebenen zweier Flächen zweiten Grades einhüllt. Die Schaar von Flächen zweiten Grades.
Vn. Abschnitt.
Die Beleuohtang der Fl&ohen zweiten Grades. . . . 832
301. Die Lichtgleichen einer Fläche zweiten Grades werden aus deren Mittelpunkte durch Lichtgleichenkegel vom zweiten Grade projicirt xmd sind daher Kurven von der vierten Ordnung. Das Büschel der Lichtgleichen- kegel ist kollinear mit dem Büschel der Normalkegel. 302. Die Nnllebene, die Axe des Büschels der Lichtgleichenkegel und die drei Axenlinien der Fläche zweiten Grades bestimmen das Büschel der Lichtgleichenkegel. Dieses Büschel für die verschiedenen Flächen zweiten Grades. 303. Die Licht- gleichen des elliptischen Paraboloides; ihr Grundriß ist ein Kegelschnitt- büschel. Seine Bestimmung aus dem des Umdrehungsparaboloides. 304. Die Lichtgleichen des Ellipsoides. Bestimmung des Büschels der Licht- gleichenkegel. 306. Sein Schnitt mit der Fläche. 306. Die Tangente einer Lichtgleiche. Die Grenzlichtgleiche. 307. Ver&hren mit Vermeidung der Verzeichnung des Kegelschnittbüschels.
Vm. Abschnitt Die BolUinien und die Schraubenlinie.
L Die Rolllinien 343
308. Begriff. Feste und wälzende Kurve. Tangente, Normale. Pol, Polbahn, Polkurve. 309. Bestimmung des Krümmungsmittelpunktes der Rolllinie aus denen der festen und der wälzenden Kurve. 310. Projektive Punktreihen des beschreibenden Punktes und des Krümmungsmittelpunktes der Rolllinie. Sätze. Wendekreis. 311. Krümmungsmittelpunkt einer Hüll- bahnkurve. 312. Gestalt der Rolllinie ^ Ursprungspunkt, Gang. 313. Cy- klische Kurve oder Radlinie. Die zwölf Fälle. 314. Die gemeine Cykloide. Konstruktion. 316. Krümmnngsmittelpunkt. Die Evolute der Cykloide ist eine mit ihr kongruente Cykloide. Bogenlängen. 316. Die Kreisevolvente. 317. Die Epicykloide. 318. Doppelte Entstehungs weise. 319. Ihre Evolute ist ebenfalls eine Epicykloide. 320. Rektifikation der Kurve. 321. Die Hypo- cykloide; sie kann eine Gerade werden. 322. Die geschweifte Cykloide. Krümmungsmittelpunkt. 328. Die besonderen Punkte der Kurve. Die Scheitel, die Wendepunkte. 324. Die Punkte der größten Krümmung. 325. Die Evolute. 326. Die verschlungene Cykloide. Ihre Evolute. Ihre Doppelpunkte. 327. Die geschweifte Kreisevolvente. Krümmungsmittel- punkt. 328. Ihre Scheitel, Wendepunkte, Punkte der größten Krümmung. 829. Die Schnittpunkte der Evolute mit dem festen Kreise. Andere Ent- stehungsweise der geschweiften und der verschlungenen Evolvente. 830. Die verschlungene Kreisevolvente. 831. Die Archimedische Spirale. 332. Ihre Tangente und Evolute. Ihre Doppelpunkte. 833. Die Sinus- oder Cosinus- linie. Ihre Evolute. Geometrische Herleitung der analytischen Fortnel für den Krümmungshalbmesser einer Kurve.
IL Die Schraubenlinie 365
334. Die Schraubenlinie ist die geodätische Linie des Cylinders. Neigung der Schraubenlinie, ihre Tangente und Subtangente. Die Spuren der Tan-
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f^enten in einer Normalebene bilden die Evolvente des NormalschnitteB des Cylinderfi. 835. Die Schraubenlinie auf geschlossenem Cylinder, Schran- bengang, Ganghöbe. Die Schranbenlinie auf dem ümdrehungscylinder ist in sich selbst verschiebbar. Schraubenbewegung. 836. Die Schraubenlinie eines Umdrehungscylinders mit einer auf Pj senkrechten Axe darzustellen. 337. Ihre zweite Projektion ist eine Sinusliuie. 338. An eine gegebene Schraubenlinie parallel einer gegebenen Ebene eine Tangente zu legen. 339. Krümmungshalbmesser der Schraubenlinie. 840. Der Ort der Krüm- mungsmittelpunkte einer Schraubenlinie ist wieder eine Schraubenlinie. 341. Die schiefe Projektion oder der Parallelschatten einer Schraubenlinie auf eine Normalebene der Schraubenaxe ist eine gemeine, geschweifte oder verschlungene Cykloide. 342. Die Krümmungshalbmesser dieser Kurven, sowie ihrer affinen Kurven, in ihren Scheiteln.
IX. Abschnitt.
Die abwiokelbajren Flftchen (zweiter Teil)^ die gemeinsohaft- liohen Berührungsebenen mehrerer Flächen, die topographi- sche, die ITmhüllungsfläohe; Beleuchtung solcher M&chen.
I. Die abwickelbare Schraubenfläche 373
343. Begriff als Abwickelbare einer Schraubenlinie. 344. Schrauben- bewegnng; allgemeine Schraubenfläche, SchraubenkOrper. Ein Punkt einer beweglichen Schranbentangente beschreibt bei deren Hingleiten auf der Schrau- benlinie ebenfalls eine Schraubenlinie, bei deren Hinrollen eine Kreisevolvente. Doppellinien der Fläche. Berührungsebene. 346. Die Schnittlinie der ab- wickelbaren Schraubenfläche mit einer Ebene. Tangente, Spitzen der Kurve, Asymptoten. Hyperbolische, parabolische Kurvenäste, spiralförmige Kurve. Doppelpunkte. 346. Abwickelung der Schraubenfläche. Die Schrauben- linien werden zu koncentrischen Kreisen, die Kreisevolventen zu Kreis- evolventen. 347. Die Verwandelte der Schnittkurve, ihre Wendepunkte. 348. An eine abwickelbare Schraubenfläche durch einen außerhalb gegebe- nen Punkt eine Berührungsebene zu legen. 349. Übungsaufgaben. 860. Die Lichtgleichen der abwickelbaren Schraubenfläche.
IL Die gemeinschaftlichen Berührungsebenen mehrerer Flächen und die abwickelbare Umhüllungsfläche zweier. . 381
361. Die gemeinschaftlichen Berührungsebenen zweier nicht abwickel- baren Flächen; sie werden von einer abwickelbaren Fläche eingehüllt, welche beiden Flächen umschrieben ist. Mehrere Äste derselben. Ist eine von beiden gegebenen Flächen abwickelbar, so ist die Anzahl der gemein- schaftlichen Berührungsebenen im allgemeinen endlich. 362. Die gemein- schajftliche Berührungsebene an drei nicht abwickelbare Flächen. 363. Die gemeinschaftlichen Berührungsebenen einer abwickelbaren und einer nicht abwickelbaren Fläche, 364. z. B. eines Umdrehungskegels und einer Kugel. 366. Cbungsaufgaben. 866. Die gemeinschaftlichen Berührungsebenen dreier Kugeln.
• in. Die Fläche des Schattens und des Halbschattens. . .385
367. Volles Licht, voller Schatten, Halbschatten. 368. Die abwickel- baren Flächen, deren Leitfiächen oder Leitlinien vom zweiten Grade sind, sind von der vierten Klasse. Sie besitzen vier Kegelschnitte als Doppel - kurven. Übungsaufgabe.
IV. Die Fläche von gleichförmiger Neigung. . . . 387 369. Begriff. Ihre Berührungsebenen sind gleich geneigt gegen die Horizontalebene. Die Fläche ist abwickelbar mit einem Umdrehungskegel
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als Bicbtkegel. Die Erzeugenden als Normalen der Horizontalspnr der Fläche. Der Umriß der Fläche ist die Evolute der Horizontalspur. Die Fläche ist eine allgemeine abwickelbare Schraabenfläche ; sie ist gegeben durch eine Leitlinie oder Leitfl&che und die Größe der Neigung. 360. Ist die Leitlinie oder Leitfläche vom zweiten Grade, so ist die Fläche, von gleichförmiger Neigung von der vierten £lasse. Sie besitzt vier Doppel- kegelschnitte. Übungsaufgaben.
V. Die topographische Fläche 388
361. Sie wird durch kotirte Projektionen dargestellt. Die Niveauflächen. Gleiche Schichthöhen, wenn die Niveauflächen als koncentrische Kugeln oder Ebenen angesehen werden. Schichtflächen. Horizontallinien. Verti- kaler Schnitt der Fläche. Berührungsebene. Das Gefälle. '362. Die Fall- linien. Verlauf der Horizontal- und der Falllinien. Höchster und tiefster Punkt, Sattelpnnkt. Bodenkante. Die Horizontal- und die Falllinie bilden im Grundriß eine Schaar senkrechter Trajektorien. 363. Binnelinie (Thal- weg) und Rückenlinie (Wasserscheide). Begriffl Sie werden durch Um- kehruDg des Sinnes des Zunehmens der Höhenzahlen in einander verwan- delt. Sie beginnen in einem Flachpunkte einer Horizontallinie. Teilung eines abwärts gehenden Bergrückens und Ursprung eines Thaies.. 364. Die Linie des größten oder kleinsten Gefälles der Fläche entlang einer Hori- zontallinie ist die Linie der Wendepunkte der Falllinien. Die Linie des kleinsten Gefälles verläuft nahe bei der Rücken- oder Rinnelinie auf ihrer erhabenen Seite, in besonderen Fällen in denselben, die des größten in Mitten der Abhänge. 365. Linien der größten und kleinsten Horizontal- krümmung. 366. Bedingtheit der Gestalt der topographischen Fläche durch geologische und meteorologische Vorgänge. Bei Stetigkeit, der Vorgänge entstehen stetige Flächen. Aus der Stetigkeit folgen geometrisch die Eigen- schaften: die Falllinien haben im allgemeinen Wendepunkte in den höch- sten und tiefsten Punkten. In demselben schneiden sich eine Linie des größ- ten und eine des kleinsten Gefälles senkrecht, und es gehen im allgemeinen von einem höchsten Punkte zwei Rückenlinien in entgegengesetzten Rich- tungen aus, aber keine Rinnelinien, und umgekehrt von einem tiefsten Punkte. Ausnahme bei Kugelforin. In einem Sattelpunkte schneiden sich senkrecht eine Rücken- und eine Rinnelinie unter Halbirung der Winkel der Hori- zontallinien. 367. Meteorologischer Natur ist die Eigenschaft des Ab- und Anschwemmens. Trennung der abwärts gehenden Rückenlinien und Ver- einigung der Rinnelinien im Hochland, umgekehrt im Tiefland. 368. Grund- aufgaben über die topographische Fläche: 1) die Schnittlinie mit einer Ebene; 2) Schnittpunkt mit einer Geraden; 3) auf die Fläche durch einen Punkt eine Linie von gegebenem Gefälle zu legen; 4) zwischen zwei Punkte eine Linie von gleichförmigem Gefälle zu legen. 369. Über einen geneig- ten Boden einen Damm für eine steigende Eisenbahn mit gleichförmiger Böschung der Seitenflächen zu legen.
VI. Die Umhüllungsflächen 402
370. Entstehung der Umhüllungsfläche einer sich bewegenden Fläche. Charakteristik. Rückkehrkante. 371. Umhüllte Kegel, Cylinder und Kugeln. 372. Röhrenfläche; ihre Charakteristik ist ein unveränderlicher Kreis. Die senkrechte Projektion des Umrisses ist eine Parallelkurve zur Projektion der Leitlinie. 373. Die Röhrenfläche, deren Leitlinie eine Kreisevolvente ist. Die Doppelkurve. 374. Übungsaufgabe. 376. Die Schraubenröhren- fläche, ihre Leitlinie ist eine Schraubenlinie. Umrisse. Spitzen des schein- baren Umrisses. 376. Die Krümmungshalbmesser in den Scheiteln der ersten Projektion des zweiten Umrisses. Verschiedene Gestalten der
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Röbrenfläche. 377. Obnngsaufgabe. 378. Die Liohtgleichen der Röbren- fläche. ÜbaDgsaufgaben.
X. Abschnitt. Die windsohiefen Fläohen«.
1. Allgemeines 410
379. Ihre Entstehungsweise aus Leitlinien, Leitflächen n. s. w. 380. Berührung zweier windschiefen Flächen entlang einer Erzeugenden. 381. Das Berflhrungshyperboloid, das Normalenparaboloid. 382. Für eine Er- zeugende ist das Büschel der durch sie gelegten Ebenen und die Reihe ihrer Berührungspunkte projektiv. Die Berührungsebene für einen gegebe- nen Punkt zu konstruiren. 383. Die asymptotische Ebene und Fläche. 384. Centralpunkt und Parameter einer Erzeugenden. Striktionslinie. 386. Ebener Schnitt und umschriebener Kegel einer windschiefen Fläche. Die wind- schiefe Fläche von der n*«** Ordnung ist auch von der n^^ Klasse ; sie heißt vom n^° Grade. 386. Vielfache Linien. Kante, Kuspidalpunkt. 387. Ana- lytische Sätze über die Ordnung und Klasse von Linien und Flächen, die Anzahl ihrer bestimmenden und ihrer gemeinschaftlichen Punkte, die Ord- nung der Schnittlinien von Flächen, das Zerfallen der Linien und Flächen in solche von niederer Ordnung. 388. Der Grad einer windschiefen Fläche hängt von der Ordnung ihrer drei Leitlinien und von der Anzahl ihrer gemeinschaftlichen Punkte ab. Viel&chheit der Leitlinien.
IL Das Konoid, seine Schattengrenzen und Lichtgleichen. 420 389. Begriff. Richtebene. Kante. Kuspidalpunkt. 390. Das gerade Kreiskonoid. 391. Seine Berührungsebene. 392. Die Lichtgleichen einer windschiefen Fläche. 393. Die Lichtgleichen des Kreiskonoides. Das Ver- fahren. 394. Die Eigenschattengrenze. 396. Die Helligkeit in den Punk- ten der unendlich fernen und der endlich fernen Leitgeraden. 396. Be- stimmung der Lichtgleichenpunkte auf den Erzeugenden mittelst eines wechselnden Tangentialbüschels auf Grundlage eines gemeinschaftlichen Stärkemaßstabes. 397. Die Gestalten der Lichtgleichen. Die Typuslicht- gleichen sind Kanten. 398. Die Schlagschatten der Fläche auf Pj , P, und ins Innere der Fläche, ihre Tangenten. 399. Das schiefe Kreiskonoid, seine Kanten und Kuspidalpunkte. 400. Seine Striktionslinie. 401. Seine ebenen Schnitte, deren Tangenten. Eine Schaar von Ellipsen liegt in den Ebenen eines Büschels, dessen Axe durch die Schnittpunkte der Leitgeraden mit der Ebene des Leitkreises geht. 402. Übungsaufgaben.
in. Die WClbfläche des Eingangs in einen runden Turm. . 436 403. Begriff. Ihr Schnitt mit einem Ringe. 404. Die Tangente der Schnittlinie. 406. Eine Projektion der Schnittlinie ist eine Archimedische Spirale.
VI. Die gerade Normalenfläche einer Fläche zweiten Grades. 4.S8 406. Die Normalenfläche wird durch die Normalen einer Leitfläche entlang einer Leitlinie gebildet. 407. Die gerade Normalenfläche einer Fläche zweiten Grades. 408. Sie hat einen Kegelschnitt k und zwei mit den Axen des A; parallele Gerade, welche die senkrecht zur Ebene des k durch dessen Mittelpunkt gelegte Gerade schneiden , zu Leitlinien. Sie ist vom vierten Grade. Vier Kanten und Kuspidalpunkte. k als Ellipse, Para- bel, Hyperbel. 409. Die mit der Ebene von k parallelen Ebenen schneiden die Fläche in Kegelschnitten. Der Richtkegel ist vom zweiten Grade.
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Der Normalkegelschnitt. 410. ümkebrung: Eine Fläche mit den in Nr. 408 bezeichneten Leitlinien ist eine Normalenfläche. Konstruktion ihres Nor- malkegelschiiittes. 411. Die Be^hmngsebenen der Fläche. 412. Die Asymptoten- und die Centralebene für eine Erzeugende. Die Striktions- linie ist die Berührnngslinie des aus der Spitze des Leitkegels der Fl3,che umschriebenen Kegels. •413. Der erste Umriß der Fläche hat die Evolute eines Kegelschnittes zur ersten und eine Neilsche Parabel zur zweiten Pro- jektion. 414. Der scheinbare Umriß der Fläche bei ihrer Parallelprojektion ist ein Kegelschnitt, wenn die Projicirenden senkrecht auf der Flächenaxe stehen. 415. Untersuchung der besonderen Gestalt dieses Umrißkegel- schnittes.
y. Die Eegelfläche dritten Grades und die Baumkurve vierter Ordnung zweiter Art.
' a) Die Regelfläche dritten Grades 447
416. Die Leitlinien sind zwei Gerade d, e und ein Kegelschnitt k, wobei d den k schneidet. Durch jeden Punkt von d und e gehen bezw. zwei und eine Erzeugende, in jeder durch d und e gehenden Ebene liegen bezw. eine und zwei Erzeugende. 417. Erzeugung der Fläche durch zwei ein-zweideutige Ebenenbüschel. 418. Erzeugung durch die Verbindungs- linien entsprechender Punkte 1) zweier projektiven Punktreihen auf einem Kegelschnitte k und einer im allgemeinen den k nicht schneidenden Ge- raden e; 2) einer involutorischen Punktreihe auf einem Kegelschnitte k und einer damit projektiven einfachen Ponktreihe auf einer den k schneidenden Geraden d. 419. Andere Entstehungsweisen mittelst Kurven dritter Ord- nung. 420. Die Cayleysche Fläche mittelst zweier projektiven nicht Per- spektiven Pnnktreihen auf einem Kegelschnitte k und auf einer den k schneidenden Geraden e, Kuspidalpnnki Fall des einschaligen Hyper- boloides. 421. Jede Regelfläche dritten Grades entsteht auf die vorher be- trachtete Weise. 422. Darstellung der Regelfläche dritten Grades mittelst zweier parallelen Spurebenen, von denen die Ebene des Leitkegelschnittes die eine ist. Die zweite Spur ist eine Linie dritter Ordnung. Der Umriß. 428. Zwei ein-zweideutige Strahlenbüschel erzengen eine ebene Linie dritter Ordnung. Bei perspektiver Lage der Büschel zerfällt diese Linie in eine Gerade und einen Kegelschnitt. 424. Konstruktion der Linie dritter Ord- nung aus zwei ein -zweideutigen Strahlenbüscheln. 426. Bestimmung ihrer Tangente in einem allgemeinen Punkte. 1) Verfahren aus der Betrachtung der Linie als ebener Schnitt einer Fläche dritten Grades. 2) Verfahren der ähnlichen Figur. 426. Die Asymptoten.
b) Die Raumkurve vierter Ordnung zweiter Art 458
427. Jede Raumkurve vierter Ordnung k* kann als teilweiser Schnitt einer Fläche zweiter Ordnung F* mit einer Fläche dritter Ordnung F^ er- halten werden. Sie ist von der ersten Art k^*, wenn der Restschnitt auch ein ebener Schnitt einer Fläche zweiter Ordnung sein kann, von der zweiten Art k^*^ wenn der Restschnitt aus zwei nicht in einer Ebene liegen- den Geraden oder aus der Doppelgeraden der F^ besteht. Durch eine k^* kann man unendlich viele F' legen, durch eine k^* nur jene eine. 428. Unterschiede der ki* und k^*. Eine k^* wird durch jede Erzeugende der einen Schaar der durch sie gehenden Regelfläche F' in einem, durch jede der anderen Schaar in drei Punkten getroffen; eine k^* hat weder einen Doppel- noch einen Rückkehrpunkt u. s. w. 429. Darstellung der Raum- kurve ÄJj* als Schnitt zweier Regelflächen F' und F*, wenn ihre vier un- endlich fernen Punkte zusammenfallen. Die F^ and die Tangente und
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Seite Asymptote ihrer Spar. 480. Der Bichtkegel der F', seine Spnr und deren Tangente. 431. Der Bichtkegel derF*; seine Spur, ein Kegelschnitt, maß die Spur der F', eine Kurve dritter Ordnung, vierpunktig beröhren.' An- näherungsanflösung für einen allgemeinen Berührungspunkt. Strenge Auf- lösung für Scheitel der beiden Kurven. 432. Die Schnittkarve k^* der F^ und F'. 433. Ihre Tangente in einem allgemeinen und in den besonderen Punkten.
VI. Das Cylindroid 471
434. Begriff. Es ist vom vierten Grade. Seine Darstellung. 435. Ebene Schnitte des Cylindroids und des Grundcylinders in kongruenten oder in flächengleichen Kurven. Tangente der Schnittkurve. 436. Die Striktions- linie und ihre Tangente. Kanten, Kuspidalpunkte. 437. Übungsaufgabe.
VII. Die Wölbfläche des schrägen Durchgangs. . . . 475 438. Begriff. Darstellung der zwei Fälle. Sie ist von der vierten Ord- nung. 439. Kanten , Kuspidalpunkte. Der Bichtkegel ist vom zweiten Grade. 440. Berührungsebene. 441. Der scheinbare erste Qmriß ist eine üyperbeL Nützliche und parasitische Stücke derselben. 442. Die zweite Projektion des ersten Umrisses ist ein Kegelschnitt, der wahre erste Umriß eine Kurve vierter Ordnung. 443. Die Schnittlinien mit Ebenen, die parallel zu den Ebenen der Leitkreise liegen, sind verallgemeinerte Konchoiden. ihre Normale. Ihre verschiedenen Gestalten. 444. Ihre Krümmungshalbmesser in den Scheiteln. 445. Eine Ebene, welche zwei Erzeugende der Fläche enthält, schneidet diese außerdem in einem Kegelschnitte; geometrischer Nachweis. Übungsaufgabe.
Vm. Die windschiefe Schraubenfläche, a) Die Schraubenfläche und die Begelschraubenfläche im allgemeinen. 486 446. Die Schraubenfläche im allgemeinen. Meridiankurve, Normal- kurve. Geschlossen, offen. Kehlschraubenlinie. 447. Die Begelschrauben- fläche; ihre Arten. 448. Allgemeine Begelschraubenfläche, Bichtkegel, asymptotische Ebene und Fläche. Die Striktionslinie ist die Kehlschrauben- linie. 449. Der Normalschnitt ist die gemeine, oder die verschlungene, oder die geschweifte Kreisevolvente. Krümmungsmittelpunkte. Die Kurve ' entsteht auch nach Art der gemeinen Kreisevolvente ^ wenn man den Bogen mit einem unveränderlichen Faktor multiplicirt. 450. Die Meridiankurve. Unterscheidung der Fälle , in welchen sie sich ihren Asymptoten von innen oder von außen anschmiegt. 451. Die Krümmungshalbmesser der Normal- nnd der Meridiankurve in ihren Scheiteln.
b) Die geschlossene schiefe Schraubenfläche 492
452. Darstellung des einen Astes eines Ganges. Der Normalschnitt ist eine Archimedische Spirale; ihr Parameter. Die Fußpunkte der aus dem Mittelpunkte des Grundkreises einer Kreisevolvente auf deren Tangenten gefällten Senkrechten bilden eine Archimedische Spirale. 453. Die Berüh- rungsebene der Fläche. 454. Der Umriß u der Projektion auf eine zur Axe parallele Ebene (P,) und dessen Projektion u auf eine zur Axe senk- rechte Ebene (P,). Verschiedene Konstruktionen von u'; ihre Tangente, ihr Krümmungskreis im Scheitel. Der zweite scheinbare Umriß u"; sein Krümmungshalbmesser im Scheitel. Übungsaufgabe.
c) Die Schattengrenze der geschlossenen schiefen Schraabenfläche. 497 456. Die Eigen- und Schlagschattengrenze einer beliebigen Schranben- fläche bei Parallelbeleuchtung. Satz von Burmester. Der Ausgangspunkt.
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456. Ist der Normalschnitt symmetrisch in Bezug auf eine Meridianebene, so ist die erste Projektion s' der Eigenschattengrenze 8 symmetrisch zu der auf der Lichtmeridianebene senkrechten Meridianebene. Halbirungs- kreis von Sehnen der 8\ 457. Die Normale der $'. 458. Konstruktion der Eigenschattengrenze 8, Konstruktion von 8\ 459. s' ist von der vier- ten Ordnung. Tangenten der 8* in ihrem Doppelpunkte; ihre Asymptoten ; ihre Tangente in einem allgemeinen Punkte; ihre Krümmungshalbmesser im Scheitel und im Doppelpunkte. 460. Drei verschiedene Gestalten der »'. 2. Fall (Strophoide). 461. 3. Fall. 462. Eigenschattengrenze «" im Auf- riß; seine Asymptoten. Schlagschatten auf F^ und auf die Fläche selbst.
d) Die Lichtgleichen der Schraubenfläche, insbesondere der
geschlossenen schiefen 508
463. Die Lichtgleichen einer beliebigen Schraubenfläche. Konstruktion der Grundrißlichtgleichen durch Drehung eines Hilfskegels mit seinen Licht- gleichen. 464. Die Lichtgleichen auf der geschlossenen schiefen Schrau- benfläche. Grundrißlichtgleichen. 465. Ihre Tangenten im Axenpunkte; ihre Asymptoten sind Tangenten des Parameterkreises; sie sind, wie bei allen Begelflächen, die Lichtgleichen der asymptotischen Fläche. 466. Die Maximalkurve ist der Umriß für eine Projektionsrichtung, die auf dem Lichtstrahlenmeridiane senkrecht steht. Die Verzeichnung der Grundriß- lichtgleichen. 467. Die Aufrißlichtgleichen. Punkte der Axe, Asymptoten. Schlagschatten auf die Fläche. /
e) Die geschlossene gerade Schraubenfläche, ihre Schattengrenzen
und Lichtgleichen 514
' 468. Der Grundriß der Eigenschafctengrenze dieser Fläche (der Wendel- fläche) ist ein durch den Axenpunkt gehender Kreis, sie selbst eine Schrau- benlinie. Ihr Schlagschatten ist die gemeine Cykloide. 469. Die Grnnd- rißlichtgleichen. Die Maximalkurve ist eine Erzeugende. Ihre Verzeich- nung; ihre Tangenten in den Punkten der Axe. 470. Ihre Krümmungs- kreise in den Scheiteln bestimmt durch das Verfahren der ähnlichen Figur. Übungsaufgabe. 471. Die Aufrißlichtgleichen; ihre Tangenten in denAxen- punkten. Die positiven und negativen Kurven. 472. Übungsaufgabe.
f) Die Schraube, ihre Schattengrenzen und Lichtgleichen. . . 520 473. Begriff, Kern, Gewinde, Schraubenmutter. 474. Die Schraube mit scharfem Gewinde, ihre Darstellung, ihre Schattengrenzen und Lichtgleichen. 475. Das Gleiche für die Schraube mit flachem Gewinde. Übungsaufgabe.
XL Abschnitt Die Krümmung der Fläöhen.
I. Die Krümmung der Normal- und der schiefen Schnitte. 526 476. Die Krümmung aller Kurven einer stetigen Fläche in einem Punkte P ist durch die Krümmung dreier dieser Kurven bestimmt, von denen keine zwei eine gemeinschaftliche Tangente in P besitzen. 477. Für einen rPunkt einer stetigen Fläche gibt es eine dreifach unendliche Schaar von Schmiegungsflächen zweiten Grades. 478. Die Indikatrix. 479. Satz von Euler über dieSa-ümmung der Normalschnitte in einem Punkte. Die Linien größter und kleinster Krümmung stehen auf einander senkrecht. 480. Erörterung der Eulerschen Formel. Die Haupttangenten. 481. Konstruk- tion von Mannheim für die Krümmungshalbmesser der Normalschnitte. 482. Andere Konstruktion für dieselben. 483. Ersetzen der dabei vorkom- menden Kegelschnitte durch Kreise. Das Büschel der Normalebenen ist
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Seite involatorisch und projektiv mit der Reihe der zagehörigen Erümmungs- mittelpankte. 484. Darstellang der Erummungshalbmesser der Normal- schnitte durch die Eolersche Earve; deren Tangenten, insb. Asymptoten (zwei nene Parabelkonstruktionen). 485. Die Erummungshalbmesser der Enler- schen Eurven in ihren Scheiteln. 486. Bestimmung der Erummung der schiefen Schnitte einer Fläche durch den Sat2 von Meusnier. 487. Die Fläche der Erümmungskreise der Normalschnitte einer Fläche in einem Punkte ist ähnlich mit der Fläche der Erümmungsmittelpunkte aller Eurven der Fläche in diesem Punkte, und von doppelter Größe. 488. Die Normalen einer Fläche in ihren Punkten , welche einem Punkte P derselben benach- bart sind, schneiden zwei Gerade, die Deviationsaxen , welche die Nor- male der Fläche in P senkrecht treffen; sie schneiden auch diese Normale selbst, wenn ihre Fußpunkte in den Hauptschnitten liegen. 489. Die Erümmungslinien und asymptotischen Linien. 490. Die Erümmungslinien der Umdrehungs- und der abwickelbaren Flächen. Einer windschiefen Fläche schmiegt sich entlang einer Erzeugenden ein Hyperboloid an, das durch die zweiten Haupttangenten gebildet wird.
II. Die Tangenten der Schnittkurve zweier sich berühren- den Flächen in deren Berührungspunkte, einem Doppel- punkte der Eurve 545
491. Ebener Schnitt einer Fläche in einem hyperbolischen Punkte. 492. Schnitt zweier sich berührenden Flächen. Bestimmung der Tangenten im Doppelpunkte mittelst der Indikatrixen beider Flächen. 493. Anwen- dung auf den Schnitt eines Ringes mit einem geraden Eonoide.
III. Die Evolute einer ebenen Schnittkurve einer Fläche
und ihrer Projektionen 647
494. Verfahren zu ihrer Eonstruktion. 495. Die Evolute der ebenen Schnittkurve eines Ringes und des Grund- und Aufrisses derselben. 496. Die Evolute der wahren Gestalt der Schnittkurve. Bestimmung durch die sich anschmiegenden Flächen zweiten Grades. 497. Die Punkte in der Mittelebene der Fläche. 498. Die Punkte in der Symmetrielinie der Eurve. 499. Die Punkte auf den äußersten Parallelkreisen. 500. Die Wendepunkte der Eurve. 501. Die Spitzen der Evolute. 502. Die Evoluten der beiden Projektionen der Eurve.
IV. Die konjugirten Tangenten einer Fläche und die
Tangenten ihrer Eigenschattengrenze 554
503. Satz von Dupin: Ist einer Fläche eine abwickelbare Fläche um- schrieben, so sind in einem Punkte der Berührungskurve deren Tangente und die Erzeugende der abwickelbaren Fläche konjugirte Tangenten der gegebenen Fläche. 504. Anwendung auf die Eigen- und Schlagschatten- grenze einer Umdrehungsfläche (Ring) bei Oentralbeleuchtung. Verfahren. 505. Die sich anschmiegende Fläche zweiten Grades. Tangente im Grundriß und im Aufriß. Punkte des Hauptmeridians und des Eehlkreises. 506. Be- stimmung der Grenzpunkte der Eigenschattengrenze mittelst einer Fehler- kurve. 507. Die Erümmungskreise in den Scheiteln der Eigenschatten- grenze, ihrer ersten Projektion imd der Schlagschattengrenze. 508. Fall der Parallelbeleuchtung. 509. Die Tangente der Berührungskurve des einer windschiefen Fläche umschriebenen Eegels. 510. Die zweite Haupttangente in einem Punkte einer geschlossenen windschiefen Schraubenfläche wird durch den Parameter der Archimedischen Spirale des Normalsohnittea be- stimmt. 511. Die Eigenschattengrenze dieser Fläche bei Oentralbeleuchtung.
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612. Ihre Tangenten, insbesondere Asymptoten. 513. Fall der Parallel- beleachtung. 514. Fall der Wendelfläohe.
V. Die Erümmnngslinien der Flächen zweiten Grades.
a) Die Erümmongslinien als Schnittlinien konfokaler Flächen. . . 564 515. Satz von Bertrand: An den Endpunkten zweier von einem Punkte ausgehenden, auf einander senkrechten gleichen Linienelemente auf einer Fläche bilden die Flächennormalen gleiche (Ablenkungs-) Winkel mit den durch diese Elemente gehenden Normalebenen im Ausgangspunkte. 516. Hilfssatz. Schneiden sich die Flächen dreier Flächenschaaren rechtwinklig, 80 sind die Schnittlinien Erümmungslinien der Flächen. 517. Zwei auf einander senkrechte in Bezug auf alle Kurven einer Schaar konfokaler Kegelschnitte konjugirte Gerade werden durch zwei koujugirte Brennpunkte harmonisch getrennt. 518. Die Brennpunkte der Hauptschnitte einer Fläche zweiten Grades. Der Fokalkegelschnitt jeder der vier Hauptebenen (dar- unter der unendlich fernen) hat die Brennpunkte des Hauptschnittes in dieser Ebene zu seinen Brennpunkten und je zwei Brennpunkte der anderen Hauptschnitte zu Scheiteln. 519. Konfokale Flächen zweiten Grades. Vier Schaaren: Reelle EUipsoide, einschalige, zweischalige Hyperboloide, ima- ginäre Flächen. 520. In Bezug auf alle konfokalen Flächen zweiten Grades ist einer Ebene eine und dieselbe auf ihr senkrechte Gerade konjugirt. 521. Konfokale Flächen zweiten Grades von verschiedener Art schneiden sich durchweg rechtwinklig, 522. also in Krümmungslinien; diese sind daher von der vierten Ordnung, und ihre Projektionen auf eine Haupt- ebene aus deren Pole sind Kegelschnitte. 528. Die Projektionen der Krümmungslinien auf die drei Hauptebenen. Das Ellipsoid. 524. Die Krümmungslinie gehend durch einen bestimmten Punkt eines Hanptschuit- tes. 525. Bestimmung der Axen der Projektionen der Krümmungslinien. 526. Die Krümmungslinien des einschaligen Hyperboloides. 527. Die Axen ihrer Projektionen,
b) Die Projektionen der Krümmungslinien auf die Hauptebenen
als Kurven einer Kegelschnittschaar 578
528. Bei einer Schaar konfokaler Flächen zweiten Grades ist jede Tan- gente eines Fokalkegelschnittes Axe eines rechtwinklig involutorischen EbenenbüBchels konjugirter Ebenen. 529. Sätze über die aus einem Punkte eines Fokalkegelschnittes umschriebenen Kegel, über die Schnitte der Normalebenen eines Fokalkegelschnittes, über Nabelpunkte. 580. Die Pro- jektionen zweier konjugirten Tangenten einer Fliehe zweiten Grades in einem Nabelpunkte auf eine Hauptebene aus deren Pole sind auch konjugirt in Bezug auf die gleichartigen Projektionen der Krümmungslinien der Fläche. 531. Die Projektionen der Krümmungslinien einer Fläche zweiten Grades F auf eine Hauptebene aus deren Pole bilden eine Kegelschnitt- schaar; die Seiten ihres umschriebenen Vierseits sind die Projektionen von Berührungsebenen der F in Nabelpunkten derselben, und die Eckpunkte des Vierseits sind die Projektionen je zweier anderen Nabelpunkte der F. 532. Die Darstellung dieser Kegelscbnittschaaren mittelst der Hilfskegel- schnitte 1) bei dem EUipsoide. 588. Bestimmung der Hilfskegelschnitte in der Hauptebene mit den reellen Nabelpunkten , 5d4. in den beiden anderen Hauptebenen. 535. Die Projektionen der Krümmungslinien. 536. 2) Bei dem einschaligen Hyperboloide. Die reellen und ideellen Projektionen je zweier imaginären Nabelpunkte in die vier Hauptebenen. 537. Die Hilfs- kegelschnitte in den vier Hauptebenen. 538. Verzeichnung der reellen Projektionen der Krümmungslinien. 539. Die Projektionen der Krümmungs-
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linien auf eine Hauptebene, insbesondere auf die der reellen Nabelpunkte, nach dem Verfahren der Netze, zugleich für das Ellipsoid und für zwei zweischalige Hyperboloide. 540. Erweiterte Bedeutung dieser Netze. Übungsaufgabe.
XIL Abschnitt.
AzonometriBohe und sohiefe Projektion, Perspektive und Beliefperspektive krummer Fl&oben.
I.Axonometrie 593
541. Ein aufrechter Ereiscylinder und seine Schatten bei Parallel- beleuchtung. 542—544. Ein auf die Grundrißebene aufgelegter und ein auf diesen aufgelehnter gerader Ereiscylinder und ihre Schatten bei Parallel- beleuchtung. Satz: Die Excentricität der (elliptischen) senkrechten Pro- jektion eines Kreises ist gleich der Projektion einer Strecke, welche gleich dem Kreishalbmesser ist und senkrecht auf der Ebene des Kreises steht. 545. Die Kugel und ihre Schatten bei Parallelbeleuchtung.
n. Schiefe Projektion 600
546. Ein aufrechter Kreiscylinder und seine Schatten bei Parallel- beleuchtung. 547, 548. Die Kugel und ihre Schatten bei Parallelbeleuch- tung. Den Umriß der axonometrischen oder schiefen Projektion einer Fläche zweiten Grades aus den Abbildungen dreier konjugirten Halbdurch- messer derselben zu bestimmen.
III. Perspektive 603
549. Die Perspektive eines Kreises mittelst des umschriebenen regel- mäßigen Achtecks desselben zu bestimmen; 1) der Kreis liegt in einer zur Bildfläche senkrechten Ebene; 550. 2) in einer beliebigen Ebene. 551. Die Axen der Perspektive eines E[reises zu bestimmen, 1) wenn von der Perspektive ein Durchmesser mit seinen Endtangenten und ein Punkt ge- geben sind; 552. 2) wenn die Lage des Kreises gegeben ist. 553, 554. Die Perspektive eines auf die Grundrißebene aufgestellten geraden Kreis- cylinders mit seinen Schatten bei Parallelbeleuchtung. 555. Die Axen eines durch fflnf Punkte oder fünf Tangenten gegebenen Kegelschnittes zu ermitteln. 556, 557. Die Perspektive eines auf die Grundrißebene aufge- legten geraden Kreiscylinders und seiner Schatten bei Paralletbeleuchtung.
558. Die Perspektive eines Kreuzgewölbes in gerader Stellung gegen die BUdfläche und der darin auftretenden Schatten bei Parallelbelenchtung.
559. Die Tangenten der Kurven. 560. Der Schatten auf die Pfeiler. 561. Die Schatten auf die Wölbungsflächen und auf den Boden. 562. Die Deckplatte und ihre Schatten. 563. Bestimmung der Axen der bei der Perspektive des Kreuzgewölbes vorkommenden Ellipsen. 564. Perspektive eines schief gegen die Bildfläche stehenden Brückengewölbes, sowie der Schatten, der Reflexbeleuchtung und des Spiegelbildes. 565. Die Spiegelung. 566. Der Schatten in die Wölbungsfläche und auf die Wasserfläche. 567. Die Reflex- beleuchtung. 568. Die Nichtsichtbarkeit des Schattens auf vollkommenen Spiegeln und ihre Sichtbarkeit auf unvollkommenen. 569. Perspektive einer Kugel und ihres Schattens bei Parallelbeleuchtung. 570. Der Umriß der Perspektive einer Kugel ist eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel. Seine Darstellung durch einen Kreis. 571. Eigen- und Schlagschatten auf die Bodenfläcbe. Die Axen der Ellipsen. 572. Den Umriß der Perspektive einer Fläche zweiten Grades aus den Abbildungen dreier konjugirten Durch- messer der Fläche zu bestimmen. 573. Die Perspektive einer Umdrehungs- fläche (eines Fußgestelles) samt den dabei auftretenden Schatten bei
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XXX InhaltsyerzeichmB.
Seite
Parallelbeleuchtung. Der umriß. 674. Die ausgezeichneten Punkte des Umrisses. 575. Darf das unsymmetrische Bild durch ein symmetrisches ersetzt werden? 576. Die Eigenschattengrenze. 577. Ihre ausgezeichneten Punkte. 578. Die Schlagschatten. 579. Die Perspektive des menschlichen Blickes. Die scheinbare Stellung des abgebildeten (gegenständes gegen das Auge ist unveränderlich^ die gegen den Raum kann sich Sindem. 580. Die Ereisform der Iris eines Portraits ist ein ungenaues und nicht aus- schlaggebendes Kennzeichen der Richtung des Blickes nach dem Beschauer. 581. Die scheinbare Richtung des Blickes hängt von der Stellung der Seh- richtung des Portraits gegen seine Gesichtsnormale und der Gesichtsnor- male gegen den Beschauer ab. 582. Änderung der scheinbaren Sehrichtung eines Portraits bei ungeänderter Abbildung der Augen durch Änderung der Abbildung des üntergesichts. Entstehende, oft unmerkliche, aber jedenfalls für das Urteil nicht maßgebende Fehler.
IV. Reliefperspektive 645
583. Reliefperspektive der Flächen zweiten Grades, 584. der Kugel Konstruktion. 585. Die beiden Schaaren der Kreisschnitte. 586. Kon- struktion der Azen eines Kegelschnittes aus dem Kreise, dessen Central- projektion er ist Das Relief der Kugel kann ein Ellipsoid, ein elliptisches Paraboloid oder ein zweischaliges Hyperboloid sein.
Die im Texte in Klammem angegebenen Zahlen bedeuten die Nummern des Buches; eine zugefügte I bedeutet den ersten Band.
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fTJ'HIVBESITT)
I. Abschnitt.
Die krommen Flächen im allgemeinen; der Cy linder, der Kegel,
die Umdrehnngsfläche und ihre Berflhningsebenen; die abwiclLel-
bare Fläche im allgemeinen.
L Die krummen Flächen im allgemeinen, ihre Berühnmgsebenen
und Normalen.
1. Eine- Fläche ist die Gesamtheit der Lagen einer sich hewegenden Linie y deren Gestalt dabei unveränderlich oder veränderlich sein Jcann. Die Fläche heißt gesetzmäßigy wenn die sich bewegende Linie, ihre Bewegung und ihre Gestaltsänderung gesetzmäßig sind; sie heißt stetig, wenn dieselben stetig sind. Man findet^ daß in diesen Fällen auch jedes aus der Fläche nach einem bestimmten und stetigen Gesetze abgeleitete Baumgebilde, z. B. ihr Schnitt mit einer anderen gesetzmäßigen, stetigen Fläche gesetzmäßig und im allgemeinen stetig ist. Die in einzelnen Fällen auftretenden Unstetigkeiten, wie das Abbrechen von Linien, verschwinden, wenn man verallgemei- nerte Anschauungen einführt, z. B. auch die reellen Geraden beachtet, welche zwei konjugirte imaginäre Punkte verbinden. Wir werden Beispiele hiervon kennen lernen.
Bei der Entstehung der Flächen heißt die sich bewegende Linie die Erzeugende^ ist das Bewegungsgesetz durch Punkte oder Linien gegeben, durch welche die Erzeugende stets gehen, oder durch Flächen, welche sie stets berühren soll, ao heißen diese bezw. Leit- punkte, Leitlinien, Leitflächen.
Eine Fläche kann auch als Einhüllende aller Lagen einer sich bewegenden anderen Fläche, z. B. einer Ebene oder einer Kugel angesehen werden, und wir werden auch diese Entstehungsweise näher kennen lernen.
2* Eine Fläche toird dargestellt durch die gemäß der Begriffs- angäbe ausgeführte Darstellung einer Anzahl von Erzeugenden, ge- wöhnlich durch die beiden Projektionen derselben. Dadurch ist man auch instand gesetzt, zu einer gegebenen Projektion eines Punktes der Fläche die andere Projektion zu finden] man legt durch die gegebene
Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, n. 1
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I, 2 — 4. Die kminmen Flächen im allgemeinen.
C,
M-
J>«i
Projektion des Punktes die gleichnamige Projektion einer Erzeu- genden^ bestimmt ein- oder mehrdeutig deren andere Projektion und auf ihr die andere Projektion des Punktes.
Die Verzeichnung der Spuren einer Fläche, d. h. ihrer Schnitte mit den Projektionsebenen, die Verzeichnung der umrisse, sowie die Unterscheidung der sichtbaren und verdeckten Teile der Erzeugenden tragen wesentlich zur Veranschaulichung der Fläche bei.
3. Die Flächen gruppirt man nach ihren Erzeugenden in Familien. Da man aber jede Fläche durch verschiedene Erzeugende entstehen lassen kann, so gehört eine Fläche in verschiedene Fa- milien, und diese schließen sich gegenseitig nicht aus.
Lernen wir zunächst die häufigst vorkommenden Familien kennen:
Eine cylindriscke Fläche oder ein Cylinder entsteht durch eine Ge- rade, die Erzeugende e, welche parallel mit einer gegebenen Richtlinie auf Fig. 1. einer gegebenen Kurve, der Leitlinie, hingleitet. In Figur 1 ist ABCD
die Leitlinie k, ÄÄ^, BB^ . . . sind Erzeugende ^^S' ^' e. Der Cylinder kann auch durch eine krumme
Linie als Erzeugende entstehen, welche bei un- veränderlicher Gestalt und paralleler Lage (der Sehnen und Tangenten) gegen ihre Anfangs- lage sich so bewegt, daß ein Punkt derselben eine Gerade, die Leitlinie, beschreibt Dann sind ABCD, ÄiB^C^Di Lagen der Erzeugenden, ÄÄi ist die Leitlinie. Die entstehende Fläche ist wirklich ein Cylinder; denn jeder Punkt B 'ß "" der Erzeugenden beschreibt eine der Leitlinie parallele Gerade BB^, weil A^B^ # AB, da- her ABB^Ai ^^ Parallelogramm ist. Fig. ». 4. Eine KegdfläcJie, konische Fläche oder ein Kegel entsteht durch eine Gerade, die Erzeugende e, welche stets durch einen festen Punkt S, die Spitze oder den Mittelpunkt der Fläche, geht und auf einer gege- benen Kurve ABCD , . . = k, der Leitlinie, hingleitet. Die Spitze teilt alle Erzeugenden ASA^, . . ., die unbegrenzt sind, und dadurch den Kegel selbst, in zwei Teile; dieselben heißen die Äste des Kegels. Der Kegel kann auch durch eine krumme Linie ABCD als Erzeugende entstehen, welche sich so bewegt, daß ein Punkt A derselben eine Gerade AS, die Leitlinie, beschreibt, daß alle Lagen der Erzeugenden ähnlich und parallel mit der Anfangslage sind, und daß endlich jedes Maß der Erzeugenden in unveränderlichem Verhältnisse zum Abstände SA des Punktes A von einem festen
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1,4 — 5. Die krammen Fl&chen; ihre Berührongsebenen nnd Normalen. 3
Fig. 2.
Pankte 8 der Leitlinie steht Es muß also, wenn A^B^Cy^D^ eine zweite Lage der Erzengenden ist, gelten A^B^ _ AyC^ _ _ SAi AB "■ AC SA'
Die so entstehende Fläche ist wirk- lich ein Kegel, da jeder Punkt B der Eräugenden eine durch S ge- hende Gerade beschreibt, welche nach der ersten Entstehung die Er- zeugende ist Denn wegen AB\\AiBi und wegen der obigen Verhältnisse liegen die Dreiecke J.J5iS xmdAiBiS in einer Ebene und sind ähnlich; daher sind die Winkel bei S gleich und SB^B ist eine Gerade. Gelangt A nach S, so werden die Maße der Erzeugenden Null, sie selbst wird zu einem Punkte. Geht A auf die andere Seite von 8 nach A^j so ändert SA seinen Sinn; daher muß auch AB seinen Sinn ändern und B^ liegt auf der Geraden BS auf der anderen Seite von ASA^.
Man kann offenbar den Cylinder als die besondere Art des Kegels betrachten, bei welcher die Spitze ins Unendliche ge- rQckt ist
Ist die Leitlinie eines Kegels eine Ge- rade, so wird derselbe zu einer Ebene, so daß man die Ebene als einen Kegel und auch als einen Cylinder ansehen kann.
6. Eine Umdrehungsfläehe entsteht durch Umdrehung einer Linie als Eriseugenden um eine Gerade als Umdrehungsaxe. Jeder Punkt B der Erzeugenden AB CD beschreibt da- bei einen Kreis, den sog. Parallelkreis, dessei» Ebene senkrecht auf der Axe a steht und dessen Mittelpunkt Aq auf der Axe liegt
Jede durch die Axe gelegte Ebene heißt Meridianebene, ihr Schnitt mit der Fläche Meridianlinie oder Meridian-^ solche sind A^ B^ CD^ und AfB^CD^. Alle Meridiane sind unter einander Jcongruenty weil bei der Drehung der Ebene des einen um die Axe in die Ebene des andern
Fig. 3.
Fig. 8.
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4 I, 5—6. Die krummen Flächen im allgemeinen.
die in seiner Ebene liegenden Halbmesser der Parallelkreise mit denen des andern zur Deckung gelangen. Die Axe teilt jeden Meri- dian in zwei symmetrische Hälften. Je nachdem man diesen halben oder den ganzen Meridian als Erzeugende nimmt, ist zur Erzeugung der Fläche eine ganze oder eine halbe Umdrehung notwendig.
Jede Linie auf der ümdrehungsfläche, welche alle Parallel- kreise schneidet, kann als Erzeugende dienen-, so ABCD. Von einer Lage der Erzeugenden zu einer andern beschreiben alle Punkte Bogen, welche zu gleichen Centriwinkeln gehören, weil der Winkel- abstand der Meridianebenen zweier verschiedenen Punkte der Er- zeugenden wegen deren starrer Verbindung mit der Axe unverän- derlich ist. — Zwei Lagen einer Erzeugenden können sich daher nicht schneiden, außer in einem Punkte der Axe, wie in (7, oder wenn die Erzeugende einen Parallelkreis mehrmals trifiPh und ihn ebenso oft beschreibt.
Man kann auch einen Kreis, den Parallelkreis, als Erzeugende der Fläche annehmen; sein Mittelpunkt beschreibt die Axe, seine Ebene bleibt auf ihr senkrecht, er selbst schneidet stets eine ge- gebene Leitlinie. Wegen der Übereinstimmung dieser Erzeugenden gehören die ümdrehungsflächen zu einer Familie, Jede Meridian- ebene teilt jeden Parallelkreis und daher die Fläche in zwei sym- metrische Hälften.
Ist die Erzeugende eine mit der Axe parallele oder eine sie im Endlichen schneidende Gerade, so entsteht der Umdrehungs- oder gerade Kreiscylinder , bezw. der Umdrehungs- oder gerade Ereiskegel. Dreht sich ein Kreis um einen seiner Durchmesser, so beschreibt er die Kugel. Fig. 4. 0. Die Tangente t einer auf einer krummen Fläche liegenden
Kurve h in deren Punkte P heißt auch eine Tangente der Fläche in F. Jede Ehene, welche man durch die Ge- rade t legt, die eine Kurve k einer stetigen Fläche in deren Punkte P be- rührt, schneidet die Fläche in einer Kurve l, welche ebenfalls von U in P berührt unrd. Denn dreht man diese Ebene um P aus ihrer Lage heraus, so daß sie noch durch den Punkt Q der k geht, und schneidet sie dann die Fläche in der (durch P und Q gehenden) Kurve l^, deren Tangente in P die t^ sei, und dreht man dann die Ebene wieder in ihre erste Lage zu- rück, wobei Q und l^ in P und l einrücken, so sind bei unendlich kleinein PQ der Winkel der t mit der Sehne PQ der k, ferner
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I, 6 — 7 . Die krummen Flächen; ihre Berührungsebenen und Normalen. 5
der Sehne PQ der Zj mit der f^, und endlich wegen der Stetigkeit der Fläche, der Winkel der Tangente t^ der l^ mit der Tangente der i in P unendlich klein, also ist auch der Winkel zwischen t und der Tangente der Z in P unendlich klein, d. h. beide fallen zu- sammen (I, 192).
7. Legt man auf einer Fläche durch einen PunM P verschiedene Kurven, so liegen die Tangenten derselben in dem gemeinsamen Punkte P im allgemeinen in ein u/nd derselben Ebene, die da/nn die Beruh- rungS' oder Tangentialebene der Fläche in P heißt.
Seien Ä, Z, m drei solche Kurven, t, u, v bezw. ihre Tangenten Fig. 5. in P, von denen keine zwei zusammenfallen. Nun ersetze man eine der Kurven, etwa Ä, durch die Schnitt- linien der Fläche mit einer durch ihre , ^^^- ^• Tangente t gelegten Ebene, so wird diese nach der vor. Nr. ebenfalls von ^ in P berührt, und man kann die neue Linie Tc als eine Lage einer Erzeugen- genden der Fläche ansehen, indem man als Erzeugende die Schnittlinien einer sich stetig bewegenden Ebene mit der Fläche annimmt. Eine benachbarte Er- zeugende \ gehe durch die benachbarten Punkte L und M der l bezw. m, so daß PL, PM und dann auch LM stets unendlich klein von der ersten Ordnung oder 0^ sind, weil das Dreieck PLM endliche Winkel besitzt. Dagegen sind die Abstände {L w), {Mv) des L von u und des M von v im allgemeinen = 0* (I, 236 (7)), wenn nicht von einer noch höheren Ordnung, und daher ist die Neigung der Sehne LM gegen die Ebene uv = [{Lu) — (Mv)] : LM, und im allgemeinen = 0^ : 0^ == 0^, wenn nicht von noch höherer Ordnung. Ist femer t^ die Tangente der k^ in L, so ist auch der Winkel der LM mit t^ im allgemeinen = 0\ und ebenso derjenige von ti mit t, so lange t die Grenze von t^ bildet. Dann ist auch die Neigung der t gegen die Ebene uv = 0^, wenn nicht von einer noch höheren Ordnung, oder es liegt t in der Ebene uv, w. z. b. w.
Es bildet aber t nicht immer die Grenze t^on t^^, nämlich dann nicht, wenn in P unendlich viele Tangenten an k möglich sind, wenn also P ein Doppelpunkt, oder eine Spitze oder ein isolirter Punkt von k ist (I, 194). Die k^ geht in diesem Falle, z. B. bei der Spitze eines Kegels, in k über, wie sich eine Hyperbel (Äj) bei Annäherung in ihre Asymptoten (k) hereinschmiegt, oder wie eine geschlossene Kurve (k^) zu einem Punkte (k «= P) zusammen- schrumpft. Alle durch P gehenden Gerade, welche in der Schmie-
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6 I, 7 — 9. Die krummen Flächen im allgemeinen.
gungsebene der h in P liegen, sind dann Tangenten der k und der I Fläche. In diesem Falle hat t^ wegen der Stetigkeit der Fläche eine jener unendlich vielen Tangenten zur Grenze, die aber im all- gemeinen nicht jene gegebene ^, insbesondere nicht die ausgezeich- nete oder eine der beiden ausgezeichneten ist Daher ist im Falle des Doppelpunktes oder der Spitze im allgemeinen t nicht die Grenze von LM, liegt also mit u und v nicht in einer Ebene. — Dieser Fall kommt bei der schon erwähnten Eegelspitze oder bei Punkten derselben Art vor, wie solche z. B. bei Umdrehungsflächen in dem Punkte des nicht rechtwinkligen Schnittes der Axe mit der sich drehenden Erzeugenden entstehen, und sodann in den Punkten eines Selbstschnittes oder einer Doppelkurve einer Fläche. Die durch P gehenden Ebenen schneiden dann die Fläche in Kurven mit Doppel- punkten, oder im ersteren Falle auch in einem isolirten Punkte. Alle durch P gehende Gerade sind dann Tangenten der Fläche; alle aus- gezeichnete Tangenten jener Doppelkurven bilden im ersten Fall einen Kegel, im zweiten zwei Ebenen, welche ausgezeichnete berührende Flächen sind.
In einem gewöhnlichen Ptmkte P der Fläche bestimmt man daher ihre Berührungsebene durch die nicht zusammenfallenden Tangenten zweier durch P gehenden Kurven der Fläche in P.
Die Berührungsebene in P hat mit der Fläche ein Flächen- element gemein, welches die Elemente aller durch P gehenden Kur- ven der Fläche bei P enthält. Man kann daher die Fläche als ein Vielflach mit unendlich vielen Seiten betrachten, nämlich als Grenz- gestalt eines der Fläche ein- oder umschriebenen Yielflachs, von dessen Flächen die Großen stets abnehmen, und sich der Grenze Null nähern.
8. D« senkrecht mr Berührungsebene einer Fläche durch deren Berührungspunkt gelegte Gerade heißt eine Normale der Fläche, jener Berührungspunkt ihr Fußpunkt P. Sie wird bestimmt als Normale zur Berührungsebene oder als Schnittlinie der Normalebenen zweier durch P gelegten Kurven der Fläche in P.
9. Der erwähnte Umriß einer Fläche wird für irgend eine Stelle des Auges, entsprechend wie bei Yielflachen, durch die aus dem Auge an die Fläche gezogenen Tangenten bestimmt, die man als Tangenten an die Schnittkurven der Fläche mit den durch das Auge gelegten Ebenen erhält. Sie bilden einen aus dem Auge an die Fläche gelegten berührenden Kegel, die Berührungspunkte bil- den den wahren Umriß und der Schnitt des Kegels mit der Pro- jektionsebene den scheinbaren Umriß. Bei Parallelprojektion geht der Kegel in einen Cylinder über. Ein Punkt der Fläche gehört dem Umriß an, wenn die Berührungsebene in ihm durch das Auge
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I, 10—11. Die krummen Flächen; ihre Berührongsebenen und Normalen. 7
geht, also bei senkrechter Projektion senkrecht auf der Projektions- ebene steht.
10. Eine Beruhrungs^ene des Cylinders oder des Kegels berührt denselben in jedem Punkte der durch den Berührungspunkt gehenden Erzeugenden, d. i. entlang derselben. Legt man durch den Berüh- rungspunkt P die Erzeugende e oder PP^ und eine Kurve k, so be- Fig. e. stimmen die Tangenten dieser
Linien in P, d. i. e selbst und ^^f^- ^•
PT die Berührungsebene. Legt man nun durch einen andern Punkt Pj der e eine Kurve k^ auf der Fläche, so soll jene Berührungsebene auch deren Tangente Pj T^ enthalten. Und wirklich, führt man durch e und den Punkt Q der k eine Ebene, so enthält diese auch die durch Q gehende Erzeu- gende QQ^y welche die k^ in Q^ treffe, und ebenso die Sehnen PQ und PiQi von k und \. Läßt man nun Q nach P rücken, so werden zugleich die Bogen PQ und PiQi unendlich klein, daher auch die Winkel TPQ und T^P^Q^. Da also die Tangente P^T^ einen unendlich kleinen Winkel mit der Sehne PiQi und daher auch mit der schneidenden Ebene PP^ Qi Q, diese aber einen un- endlich kleinen mit der Berührungsebene TPP^ bildet, so ist auch, derjenige von P^ 2\ mit dieser Berührungsebene unendlich klein, oder die Tangente P^T^ fallt in diese Berührungsebene, w. z. b. w.
Daraus folgt auch, daß die Spur eines Cylinders oder eines Kegels von der Spur der Berührungsebene in der Spur der Berüh- rungserzeugenden berührt wird.
11. Die Berührungsebene einer ümdrehungsfläche in einempig.7. Punkte P derselben ist bestimmt durch die Tangenten PT und PS bezw. des durch P gehenden Parallelkreises und Meridianes. Da die Tangente PT des Parallel- kreises senkrecht auf dessen Halbmesser PM und auf der Umdrehungsaxe a, also auf der Ebene Pa steht, so steht auch die Berührungsebene einer Üm- drehungsfläche senkrecht (mf der Meridianebene des Berührungspunktes.
Die ParaUelkreistangenten in allen Punkten eines Meridians bilden einen auf dessen Ebene senk- rechten, die Umdrehungsfläche entlang des Meri-
Fig. 7.
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8 I, 11—12. Die krummen Flachen im allgemeinen.
dians berührenden Cylinder. Denn die ümdrehungsfläche und der Cylinder haben in P die Beröhrungsebene TP8 gemein.
Die Meridiantangenten in allen Punkten eines Parallelkreises PP^ schneiden die Axe a in demselben Punkte Sy weil sie bei der Drehung eines Meridians um a in einander übergehen; sie bilden einen UmdreJmngsJcegel mit der Axe a, der die Fläche entlang des Parallelkreises berührt.
Eine Flächennomuüe PN schneidet die Axe; denn sie liegt in der Meridianebene des Berührungspunktes^ da diese auf PT senk- recht steht. Die Flächennormalen in allen Punkten eines Parallel- kreises PPi . . . gehen durch denselben Punkt N der Axe a und bil- den einen Un^drehungskegel mit a als Axe.
Eine durch einen Parallelkreis aus der Spitze N des zugehöri- gen Normalenkegels als Mittelpunkt gelegte Kugel berührt die Fläche entlang jenes Kreises.
Eine Umdrehungsfläche ist eine einhüllende Fläche von den be- trachteten Cy lindern, Kegeln und Kugeln, weil sie jede Lage der- selben, und zwar entlang eines Meridians bezw. eines Parallel- kreises, berührt.
II.. Der Cylinder und Kegel, tind ilire Berührungsebenen.
12« Aufg. Einen dufth seine in P^ liegende Leitlinie Jc^ und seine Richtlinie r gegebenen Cylinder darmstellen. Fig. 8. Aufl. \ ist zugleich die erste Spur des Cy linders; die zweite ^2 findet man durch die zweiten Spuren P^ der durch Punkte P^ der \ parallel zu r gezogenen Erzeugenden.
Die Umrisse der ersten Projektion sind die parallel zu r' an k^^ gezogenen Tangenten, die wahren Umrisse die durch sie dargestellten Erzeugenden, wie Ä^A^j entlang deren die Berührungsebenen erste projicirende Ebenen sind (10). In den zweiten Spuren dieser wahren Umrisse sind daher die Tangenten der k^ senkrecht auf der Pro- jektionsaxe x. Die zweiten Umrisse erhält man durch die auf x senkrechten Tangenten der \'^ die Erzeugenden der Berührungs- punkte sind die zweiten wahren Umrisse, wie B^B^, ihre zweiten Projektionen die zweiten scheinbaren Umrisse, welche die k^ be- rühren.
Höchste und tiefste Punkte der k^, wie Cg", in denen die Tan- genten II X sind, erhält man durch Erzeugende aus Punkten von \, in denen die Tangenten von h^ ebenfalls jj x sind, so aus C^. Denn die Berührungsebenen nach solchen Erzeugenden müssen parallel zu X sein, k^ und k^ sind Parallelprojektionen von einander, daher,
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I, 12—13. Die krummen Flächen; der Cylinder und Kegel.
9
Tor und nach dem Umlegen der Projektionsebenen in einander, per- spektiv-affin mit x als Axe und Pi P^" als Strahl. Ist k^ ein Kreis,
Fig. 8.
80 ist Äg eine Ellipse, von welcher konjugirte Durchmesser aus solchen des Kreises erhalten werden, wie z. B. diejenigen mit den Endpunkten B2 und Cg, und deren Axen M^D^j M^E^ nach den- jenigen Punkten D, E von x laufen, durch welche der Kreis gebt, der aus einem Punkte der x als Mittelpunkt durch die Mittelpunkte -ifj und M^ der hy^ bezw. Äg gezogen wird (I, 377, 1)).
Man bemerkt, daß bei dem Kreiscy linder in jeder Projektion die eine Hälfte der Spur und der Erzeugenden des Cylinders verdeckt ist. •
13. Aufg. An einen gegebenen Cylinder in einem durch die eine Projektion gegebenen Punkte desselben die Berührungsebene m legen,
Aufl. Sei der Cylinder derjenige der vorigen Nr., P' die ge- Fig. s. gebene erste Projektion des Berührungspunktes, so legt man durch P' die erste Projektion der Erzeugenden, welche die k^ in Pj und P* trifift, zeichne die zweiten Projektionen der durch diese Punkte gehenden Erzeugenden, deren zweite Spuren Pg und Pg* seien, und bestimme auf, ihnen die zweiten Projektionen P" und P*" des Be- rührungspunktes. Die Berührungsebenen in jedem dieser Punkte
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10
I, 13—15. Die krammen Flächen im allgemeinen.
haben zu ersten Spuren bezw. die Tangenten t^ und ti* an k^ in Pi' und Pj*', 80 dafs die zweiten Spuren t^ und ^* durch Punkte auf X und durch Pg", bez. P^*" bestimmt sind. Ist der Punkt auf x nicht erreichbar, wie bei ^j, so mufs man noch einen zweiten Punkt von ^2, etwa vermittelst einer durch P gezogenen Parallelen zu ti bestimmen.
Die Schnittlinie s der beiden Berührungsebenen ergibt sich | r. 14. Äufg. Einen dwch die beiden Projektionen seiner Leitlinie l und seiner Richtlinie r gegebenen Cylinder dartfusteUen und an ihn durch einen außerhalb gegebenen Punkt P eine Beriihrungsä>ene m legen, ^g.9. Aufl. Durch eine Anzahl von Erzeugenden bestimme man die beiden Spuren ky^ und k^ des Cylinders; seine scheinbaren umrisse
sind die parallel zu r' ^' • an r und parallel zu r"
an V gezogenen Tan- genten. Da r' eine Spitze hat, so geht durch diese ein schein- barer Umriß. Die Be- rührungspunkte der Tangenten werden nach Ij 198 f. gefunden, und dadurch die Spuren der wahren Umrisse be- stimmt — Die durch P gehende Berührungs- ebene, weil sie eine Er- zeugende enthält, nach welcher sie berührt^ ent- halt auch die durch P parallel zu r gezogene Gerade, deren Spuren Pj und Pg sind. Die aus P/ an \ und die aus Pg" an k^ gezogenen • Tangenten fj, ^j* ^j** bezw. t^y ^*, t^* sind die Spuren der Berüh- rungsebenen und müssen sich paarweise auf x treffen. Die Be- rührungspunkte der \ und die der k^ müssen paarweise auf einer Berührungserzeugenden liegen.
Ist P eine Lichtquelle, so sind die Berührungserzeugenden die Eigenschattengrenzen und die ersten und zweiten Spuren der Be- rührungsebenen die Schlagschattengrenzen auf F^ und Fg.
16, Aufg, An einen Cylinder, dessen Richtlinie r und dessen ebene Leitlinie l gegeben sind, letztere durch die Spuren e^, e^ ihrer Ebene £ und durch ihre erste Projektion V, sollen parallel m einer gegebenen
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v^^
I, 15. Die krummen Flächen; der Cjlinder und Kegel.
11
Geraden g die Berührungsd>enen gelegt, und es sollen seine Umrisse gezeichnet toerden,*
Aufl, Die Berührungsebene muß mit g und r, also mit der ^ig. lo. Ebene F parallel sein, welche durch die sich schneidenden g und r (oder durch Parallele zu ihnen) bestimmt wird, deren erste Spur f^ ist,
Fig. IQ.
und deren zweite mit f^ parallel läuft £ und eine zu F parallele Ebene schneiden sich in der Geraden h {h\ h"), und mit dieser parallel hat man nur Tangenten an l vermittelst der ersten Pro- jektion zu ziehen, so bestimmen diese durch ihre auf e^ und e^ liegenden Spuren, wie 2\ und T^, die mit /i und f^ parallelen Spuren der Berfihrungsebenen, wie ^ und ^.
Die umrisse in der ersten Projektion erhält man als Tangenten an V parallel zu r\ diejenigen in der zweiten Projektion nach der eben gelösten Aufgabe, indem man au den Cylinder berührende Ebenen parallel zur zweiten projicirenden Ebene von r legi Eine solche Ebene schneidet die E nach der Geraden i und die parallel zu i' an V gezogenen Tangenten bestimmen durch ihre Berührungspunkte,
Ei MTV))
12
I, 15 — 16. Die krammen Flächen im allgemeinen.
Fig. 11
wie (K\K")y die Erzeugenden, deren zweite Projektionen, wie ifc", den zweiten Umriß bilden. Die zweite Projektion l" der l kann leicht als affine Figur zu V gezeichnet werden, wobei die Affinitäts- strahlen senkrecht zu x laufen und E^H die Affinitätsaxe bildet, wenn R der Schnittpunkt von K und V (I, 140). Ist V eine Ellipse, so ist auch l" eine solche, und wird dann leicht durch zwei konjugirte Durchmesser, oder durch die Axen, die man aus ihnen bestimmt, gezeichnet.
16. Aufg. Einen durch seine in Pj liegende Leitlinie \ und seine Spitze S gegebenen Kegel darzustellen.
Aufl. Die Leitlinie h^ ist zugleich die erste Spt4r des Kegels, die zweite Jc^ findet man mittelst Erzeugender P^SP^. Die ersten
Fig. 11.
scheinbaren Umrisse sind die aus S' an k^ gezogenen Tan- genten wie S'Ai] die zuge- hörigen wahren Umrisse liefern Punkte von Äj, wie A^", in denen die Tangenten J_ x stehen. Die zweiten scheinbaren Umrisse werden vermittelst der an kl senkrecht zu x gezoge- nen Tangenten erhalten; sie sind die zweiten Projektio- nen der Erzeugenden, wie B"S"B^\ welche von den Berührungspunkten, wie JBj, jener Tangenten ausgehen, und berühren die k^. Die höchsten und tiefsten Punkte C^ und D^ der k^ erhält man durch die zu X parallelen Tangenten an Äi, und durch die Erzeugen- den aus deren Berührungs- punkten Gl und Dj. — Man bemerkt, daß die Erzeugenden in jeder Projektion in der Spitze ihre Sichtbarkeit wechseln, ausgenommen die Umrisse.
kl und ^2 sind perspektiv-kollineare Figuren mit S als Mittel- punkt und mit x als Axe; die durch S' parallel zu x gezogene Gerade r ist die Gegenaxe der P^. Nach Umlegung der Pg im Pj, liegt für kl und Äg der Eollineationsmittelpunkt S"' auf S'S'\ derart, daß S'S'" = S^S" = dem ersten Abstände des S (I, 306). S"' ist nützlich zur Bestimmung mancher sonst unsicheren Punkte
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I, 16—18. Die krummen Flachen; der Cylinder und Kegel. 13
der k^. — Wenn Tc^ ein Kegelschnitt^ so ist auch h^ ein solcher; in der Figur sind beide Ellipsen. C^D^ ist ein Durchmesser der Ic^r M^ ihr Mittelpunkt, der als Projektion von dem leicht zu be- stimmenden Punkte Ml der C^ B^ zu betrachten ist. Aus der durch Ml parallel zu x geführten Sehne der h^ ergibt sich der zu C^D^ konjugirte, mit x parallele Durchmesser der Äj. Die Pole dieser Sehnen von \ und Tc^ liegen bezw. auf der r der Pj und auf der unendlich fernen r" derP^. — Kürzer erhält man auch so den zu Cj^Dg" konjugirten Durchmesser der ig. Man schneidet die r' mit (7/ Dl' in üi, zieht aus R^ die beiden Tangenten an üj, so schnei- den diese auf x eine Länge EF gleich dem gesuchten konjugirten Durchmesser ab. Denn es projicirt sich auö S auf P^ der Punkt R^ in den unendlich fernen Punkt B^ von C^'D^\ daher die Tangenten aus Bi 2Ji \ ia die Tangenten aus iZg an Jt,, und diese gehen bezw. durch Ey F und durch die Endpunkt« des gesuchten Durchmessers.
17. Aufg. An einen gegebenen Kegel in einem durch die eine Ftqjektion gegebenen Punkte desselben die Berühmngsd)ene zu legen.
Aufl. Sei der Kegel derjenige der vorigen Nr., P' die gegebene *^- "• erste Projektion des Berührungspunktes, so bestimme man, wie in Nr. 13 für den Cylinder, mittelst der durch P gehenden Erzeugenden und deren Spuren Pj, P^* auf Äj und Pg, P,* auf Äj, die zuge- hörigen zweiten Projektionen P", P*". Die Berührungsebenen in beiden Punkten haben dann zu ersten Spuren die Tangenten fj, tj* an hl in P,, Pj* deren Schnittpunkte mit x und Pj, P,* die zweiten Spuren t^, t^* bestimmen, welche Jc^ berühren müssen. Ist ein Schnittpunkt auf x unzugänglich, wie der auf t^, so liefert eine parallel zu ^ durch S (oder P, oder einem andern Punkt der SP) gezogene Gerade einen zweiten Punkt der ^. Die Schnittlinie s beider Ebenen muß durch S gehen.
18. Aufg. Von einem geraden Kreiskegel sind die beiden Pro-pig.ia. jektionen der Höhenlinie SM und der Halbmesser r des Grundkreises gegeben; man soll ihn darstellen, aus einem außerhalb desselben gege- benen Punkte L die beiden BerOhrungsebenen an ihn legen und seinen SchaMen für L als Lichtquelle bestimmen^
Aufl. Man nehme eine zur ersten projicirenden Ebene der SM parallele Projektionsebene P, an, lege dieselbe in die durch M gehende horizontale Ebene um, bestimme S'"M"' {M'M"'±S'M% W B S'M durch M'\ Ä" II X durch Jf ", S'S''' J_ h\ Abstand S'"Ä' .= Abstand S"h''), so ist die dritte Projektion des halben Grund- kreises die auf S"'M"' senkrechte M'" B'" = r. Daraus ergibt sich vom Grundkreis die erste Projektion als Ellipse mit A' M'C 1, M'S' und = 2r als große und B'M'D' in S' M' als kleine Axe, und
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I, 18. Die krnmmen Flächen im allgemeinen.
die zweite Projektion als Ellipse mit den konjugirten Durchmessern •^"0" ( B a;) und .JB"D". (Abst. 5"A" = Abst B'"W). Die Umrisse des Kegels sind die Tangenten aus 8' und S" an jene Ellipsen und man könnte sie wie für den Cylinder in Nr. 15 bestimmen.
Einfacher und genauer ^^' geschieht es durch die
den Kegel entlang sei- nes Grundkreises be- rührende Kugel, deren Mittelpunkt N auf der AxeSJlf mittelst ^"iff"' J_ 8"' B'" gefunden wird, und dessen Halb- messer = N'"B'" ist. Zieht man den ersten und zweiten schein- baren ümriss dieser Kugel aus -N", N" mit JV^'"^"' als Halbmesser, so sind die Umrisse un- seres die Kugel berüh- renden Kegels die aus 8' und S" bezw. an jene Kreise gezogenen Tangenten und ihre Berührungspunkte mit dem Kreise sind auch die mit den Ellipsen. — Am genauesten und kürzesten erhält man aber den Aufriß des Kegels in der Weise wie den Grundriß, indem man die Grundellipse aus ihren Axen verzeichnet (große Axe _L M" 8" und = 2r, kleine Axe in M' 8" durch eine Umlegung der zweiten projicirenden Ebene der M8).
Die durch L zu legenden Berührungsebenen des Kegels ent- halten, weil die Berührungserzeugenden durch die Spitze gehen, die Gerade LS\ diese schneidet in Q {Q"\ Q\ Q") die Ebene des Grund- kreises, und dessen Tangenten aus Q sind in den Berührungsebenen enthalten. Dieselben zieht man am kürzesten als Tangenten aus Q' und Q" an die elliptischen Projektionen, bestimmt deren Be- rührungspunkte Ey F (etwa mittelst konjugirter Sehnen), wodurch
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I, 18—20. Die krummen Flachen; der Cylinder nnd Kegel. 15
sich die Berührungszeugenden SE^ SF als Eigenschattengrenzen er- geben. Auch konnte man die Umlegung des Grundkreises mit Q in eine zu F^ parallele Ebene benutzen.
Der Schlagschatten des Grundkreises aus L auf F^ ist in unserem Falle eine Ellipse, die man mittelst der ersten und zweiten Pro- jektion bestimmt. Der Schatten B^D^ des Durchmessers BD ist wieder ein Durchmesser der Schattenellipse, weil die Endtangenten zu ^C und unter einander parallel sind. Der Mittelpunkt H^ von B^D^ ist der Schatten vom Punkte H\ der auf B'D' durch den Strahl L'H^ erhalten wird; daher ergibt sich in der Schlagschatten- ellipse der zu B^D^ konjügirte Durchmesser, welcher durch fli parallel zu Ä'C gezogen wird, als Schatten der durch IT parallel zxxÄ'C gezogenen Sehne der Grundellipse A' B' C durch Strahlen aus L'.
Die Schatten der Berührungsgeraden 8E, SF werden durch die Schatten E^y JP^ der Berührungspunkte, und durch die Schatten der Spitze S^ auf F^ und S^ auf Fg bestimmt. Ist, wie in der Figur, Sj nicht zugänglich, so schneidet man die Berührungsebenen durch eine H F^ durch S gelegte Ebene in SGy SK, und zieht mit ihnen die Schlagschatten in F^ parallel. Der Schlagschatten geht durch einen Bruch auf x von F^ in Fj über.
19. Aufg. Einen Kegel, der durch seine Spitze S und a) die beiden FtcjekHonen seiner unebenen Leitlinie l, oder b) durch die eine Projektion seiner ebenen Leitlinie und die Spuren von deren Ebene gegeben ist, darzustellen, und an ihn eine zu einer gegebenen Geraden g paraüde Berührungsä)ene zu legen.
Aufl. Die Darstellung geschieht entsprechend der des Cylin- ders in Nr. 14 und 15; die Berührungsebene enthält die durch S parallel zu g gehende Gerade.
20. Übungsaufgaben.
1) Die beiden Spuren eines ümdrehungscylinders, dessen Axe und Axenabstand der Erzeugenden gegeben sind, und seine Eigen- und Schlagschattengrenzen auf F^ und F, bei gegebener Richtung der parallelen Lichtstrahlen zu bestimmen.
2) Die zweite Spur eines Kegels zu bestimmen, dessen erste Spur eine Hyperbel mit einer auf x senkrechten Hauptaxe ist, und dessen Spitze senkrecht über dem Hyperbelmittelpunkte liegt und eine Höhe gleich der ideellen Halbaxe der Hyperbel besitzt
3) An einen gegebenen a) Cylinder oder b) Kegel eine Be- rührungsebene von gegebener erster Neigung zu legen.
4) An einen gegebenen Kegel durch einen außerhalb desselben gegebenen Punkt parallel zu einer gegebenen Ebene eine berührende Gerade zu legen.
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16 I, 21— 22. Die krammen Flächen im allgemeinen.
in. Der Kegel zweiten Grades.
21, Projicirt man einen Kegelschnitt, sowie einen Punkt und eine Gerade seiner Ebene, die zu ihm gegenseitig Pol und Polare sind, aus einem Punkte S bezw. durch einen Kegel (zweiten Grades), durch eine Gerade und durch eine Ebene, so nennt man diese Gerade p und Ebene P, welche durch die Spitze S des Kegels gehen, gegen- seitig Polare und Polarebene m dem Kegel, und es übertragen sich die projektiven, insbesondere die harmonischen Eigenschaften (I, 340 S,) auf die projicirenden Gebilde. Daher ist in jeder Ebene, die durch eine aus S gezogene Gerade p gelegt wird, die p von P durch den Kegel, d. i, auch die p von einer Geraden der P durch zwei Er- zeugende des Kegels, harmonisch getrennt; und reciprok ist in einem Ebenenbüschel, dessen Axe ein aus S in einer Ebene P gegebener Strahl bildet, die P von ihrer Polaren p durch den Kegel, d. i. auch die P von der durch p gehende Ebenen durch zwei Berührungsebenen des Kegels, harmonisch getrennt (I, 341, 3)). Insbesondere wird auf jeder zu der p parallelen Geraden die Strecke zwischen ihren Schnitt- punkten mit dem Kegel durch die P halbirt; und reciprok hat in jeder mit der P parallelen Ebene der durch Schnitt mit dem Kegel entstehende Kegelschnitt den Schnittpunkt mit der p zum Mittel- punkte.
Man nennt nun jeden Strahl aus 5, weil er die Mittelpunkte paralleler Kegelschnitte der Fläche enthält, einen Dtirchmessery und jede Ebene aus 5, weil sie eine Schaar paralleler Sehnen der Fläche halbirt, eine Durchmesserebene des Kegels.
Zwei Durchmesser nennt man Jconjugirt, wenn jeder in der Polarebene des andern liegt, und zwei Durchmesserebenen, wenn jede durch die Polare der anderen geht (I, 344). Drei Durchmesser bilden ein Polardreikant, wenn jeder jedem andern konjugirt ist; dann ist auch jede seiner Seitenflächen jeder anderen konjugirt a, 345).
Einen Kegel n. Ordnung oder n, Klasse nennt man einen sol- chen, der von jeder Ebene bezw. in eine Kurve n. Ordnung oder n. Klasse geschnitten wird, oder, was dasselbe, der von jeder durch seine Spitze gelegten Ebene in n reellen oder imaginären Geraden geschnitten, bezw. an den durch jede aus seiner Spitze gezogene Gerade n reelle oder imaginäre Berührungsebenen gelegt werden können. Ein Kegel zweiter Ordnung ist auch zweiter Klasse und soll als zweiten Grades bezeichnet werden.
Aus Nr. I, 319 überträgt sich:
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I, 21—23. Der Kegel zweiten Grades. 17
Zwei beliebige projektive Ebe- Zwei beliebige projektive Strah- nenbüschel; deren Axen sich lenbüschel; deren Mittelpunkte schneiden, erzeugen einen Kegel zusammenfallen, erzeugen einen zweiter Ordnung, der alle Schnitt- Kegel zweiter Klasse ^ der von linien entsprechender Ebenen ent- allen Verbindungs ebenen entspre- hält. chender Strahlen berührt wird.
Nennt man in zwei Ebenenbüscheln, deren Axen sich schnei- den, eine Ebene des einen Büschels derjenigen des andern ent- sprechend, auf welcher sie senkrecht steht, so sind die Büschel projektiv und erzeugen daher einen Kegel zweiten Grades. Der- selbe heißt ortliogonaler Kegel, Wir wollen denselben erst später zugleich mit dem orthogonalen Hyperboloide, von dem er als be- sonderer Fall angesehen werden kann, näher betrachten.
22. Ein Durchmesser eines Kegels, der senkrecht auf seiner Polarebene steht, heißt eine Axe desselben. Es wird sogleich ge- zeigt werden, daß es stets wenigstens eine solche gibt. Gibt es aber eine, so gibt es noch zwei oder noch unendlich viele. Denn in der auf der Ausgangsaxe senkrechten Polarebene bilden die kon- jugirten Durchmesser eine Involution (I, 358), bei welcher entweder ein Paar oder alle Paare zugeordneter Strahlen auf einander senk- recht stehen (I, 348) und daher Axen sind, indem die Polarebene einer jeden durch den konjugirten Durchmesser und die Ausgangs- axe geht. Im ersten allgemeinen Falle bestehen daher drei auf ein- ander senkrechte Axen der Fläche; dieselben bilden ein Polardrei- kant, und seine Ebenen heißen die Hawptebenm der Fläche. Im zweiten Falle bilden die Ausgangsaxe und alle auf ihr senkrechten Durchmesser die unendlich vielen Axen der Fläche. Führen wir nun den Beweis für das Bestehen einer Axe, indem wir sie zu kon- struiren suchen.
23. Aufg. Die drei Axen eines Kegels zweiten Grades m kon- struiren, der durch einen Kegelschnitt c als Leitlinie und durch seine Spitze gegeben ist.
Aufl. Sei die Ebene P von c die Projektionsebene, 8 die senk- Fig. is. rechte Projektion der Spitze, deren Höhe SH = h gegeben sei. Die drei Axen, wenn solche bestehen, schneiden die P in Punk- ten P, Q, 2J, und diese bilden ein Polardreieck in Bezug auf c (21). Femer sind die Axen die Kanten eines rechtwinkligen Dreikants, so daß die Projektion jeder Axe, wie SP, senkrecht auf der Spur ^iJ^der gegenüberstehenden Seitenfläche steht, also S der Höhen- schnittpunkt des Dreiecks PQB ist Zeichnet man aus S als Mittel- punkt mit dem Halbmesser h einen Kreis A;,, und betrachtet diesen als die ideelle Darstellung eines imaginären Kreises k in Bezug
Wiener, Lehrbaoh der darstellenden Geometrie. IL 2
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I, 23. Die krummen Flächen im allgemeinen.
auf 8 und die unendlich ferne Gerade u der P als Mittelpunkt und Axe der Kollineation (I, 408), so ist PQR auch ein Polardreieck in Bezug auf Je. Denn die QR und die Polare von P zu hi schnei- den die SP rechtwinklig; und sind dabei die (nicht verzeichneten)
Fig. 13.
v^-- .C
av/iE'
Schnittpunkte bezw. P^ und P^, so gilt wegen der Rechtwinkligkeit des Dreikants SP, . ÄP = — Ä^, und wegen der Polarität SP^ • SP = A*, also SPi "= — SPg. Daher liegen QB und die Polare von P zu ki symmetrisch in Bezug auf S, und QR ist die Polare von P zu kj weil die Polaren von P zu Äf und zu k durch S und u har- monisch getrennt sein müssen (I, 406, 1)).
Demnach kann PQR als das gemeinschafkliche Polardreieck der beiden Kegelschnitte c und k bestimmt werden.
Zu dieser Bestimmung wurde in 1, 398 filr zwei reelle Kegelschnitte kf kl das Verfahren angegeben, wonach man in F eine Gerade g wählt und zu ihren Punkten die Polaren bezw. zu k und zu Äj bestimmt; dieselben bilden zwei zu der Punktreihe g und unter einander pro- jektive Strahlenbüschel und bestimmen somit einen Kegelschnitt g^y dessen Punkte zu denen der g zugleich in Bezug auf Ä, k^ und alle Kurven des Büschels kk^ konjugirt sind; dabei bilden die Punkte auf der Geraden g und ihre konjugirten Punkte auf dem Kegelschnitte gi projektive Reihen.
Ermittelt man in gleicher Weise den zu einer zweiten Geraden h in Bezug auf das Büschel kk^ konjugirten Kegelschnitt, so ist einer der vier Schnittpunkte beider Kegelschnitte zu dem Schnittpunkte von g und h konjugirt, und daher stets reell, die drei übrigen sind aber die gesuchten Punkte P, Q, R, weil jeder zu je einem Punkte der g
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Jy 23—24. Der Kegel zweiten Grades. 19
und der h konjugirt, also der Pol ihrer Verbindungsgeraden zu k und zu h^ ist.
Ist nun einer oder sind beide gegebenen Kegelschnitte Ä, h^ imaginär, so gilt das Verfahren ebenfalls. Denn auch für einen imaginären Kegelschnitt bilden die Polaren der Punkte einer Gera- den g ein Strahlenbüschel (I, 406, 3)), welches mit der Punktreihe ^p projektiv ist, weil es perspektiv liegt mit dem Strahlenbüschel der Polaren der g zu dem reellen Kegelschnitte, der die ideelle Darstel- lung des imaginären bildet, da beide Büschel durch die Axe und den Mittelpunkt der Kollineation dieser letzteren Kegelschnitte har- monisch getrennt sind (I, 406, 1)). Weil aber der erstbezeichneto jener vier Schnittpunkte der beiden konjugirten Kegelschnitte stets reell ist, so ist es auch wenigstens einer der Punkte P, Q, B, etwa P, und dann sind es auch, wie gezeigt wurde, die beiden anderen ö, jR, wenn nicht alle Punkte einer Geraden ^JR dem P konjugirt sind, wo dann P und QB nicht nur Pol und Polare, sondern auch Mittelpunkt und Axe der Kollineation für h und Tc^ bilden.
24. Den cx)* Geraden g der Ebene P entsprechen die oo* Kegel- schnitte, welche durch die drei Punkte P, Qj B gehen, und welche man ein Büschel-Büschel oder ein Netz PQB von Kegelschnitten nennt. Zwei Punkte bestimmen eine Gerade g, und ihre in Bezug auf TcTc^ konjugirten zwei Punkte nebst P, Q, B den zu g konjugirten Kegelschnitt g^. Es kommt nun darauf an, die beiden Kegelschnitte, welche P, Qy B durch ihre Schnittpunkte ergeben, möglichst günstig für die Einfachheit der Ausführung zu wählen.
In I, 398 wurden bei zwei beliebigen Kegelschnitten h, \ als jene konjugirten Kurven zwei Hyperbeln gewählt; es ist aber vor- teilhafter und möglich, solche Kurven des Netzes PQB zu wählen, deren Schnittpunkte nicht durch Verzeichnung dieser Kurven selbst gefunden werden, sondern vermittelst eines beliebigen, vielleicht schon zu anderem Zwecke verzeichneten Kegelschnittes und eines Kreises. Als diesen Kegelschnitt wählt man die Leitlinie c des Kegels, und als jene konjugirten Kurven diejenigen beiden Kegelschnitte c^, Icy des Netzes PQB, deren eine Cj mit c ähnlich und ähnlich gelegen, und deren andere ein Kreis ist, welche also bezw. durch die unendlich fernen Punkte des c und des Kreises Je (sowie des kt) gehen und durch sie (und durch P, Q, B) bestimmt sind. Projicirt man dann c^ in c aus einem ihrer Ahnlichkeitspunkte, so projicirt sich bei derselben Projektionsweise der Kreis \ wieder in einen Kreis Äg, und dessen Schnittpunkte mit c projiciren sich wieder rückwärts auf k^ in die Puidite P, Qy B und in einen weiteren vierten Punkt*).
*) Die BestiminuDg der Schnittpankte zweier Eegelschnitte durch irgend
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20 I) 24—25. Die krammen Flächen im allgemeinen.
Der zu einer Geraden g in Bezug auf die Grundkurven c^ Je konjugirte Kegelschnitt g^ kann auch als der Ort der Pole der Geraden g zu allen Kegelschnitten des Büschels ch betrachtet wer- den. Denn sei Ä^ der Pol der g zu einem Kegelschnitte dieses Büschels, so liegt der zu A^ in Bezug auf das Büschel cJc kon- jugirte Punkt auf g (I, 397); also ist Ä^ ein Punkt des zu g kon- jugirten Kegelschnittes g^. Der zu der unendlich fernen Geraden u konjugirte Kegelschnitt m enthält daher die Pole der u zu den Kegelschnitten des Büschels ck, d. h. ihre Mittelpunkte, und heißt deswegen der Mittdpunktskegelschnitt des Büschels. Sind a und b die Axen von c, so sind diese auch mit zwei konjugirten (auf einander senkrechten) Durchmessern des imaginären Kreises 1c parallel, so daß ihre unendlich fernen Punkte A und B bezw. zu B [und A, also zu Punkten der u in Bezug auf das Büschel ch konjugirt sind und daher dem Kegelschnitte m angehören, m ist demnach eine gleichseitige Hyperbel, deren Asymptoten mit a und b parallel laufen; außerdem geht m durch die Mittelpunkte M und S der c und ky und durch die noch unbekannten Punkte P, Q, B, indem m dem Netze PQB angehört
25. Zu der weiteren Entwicklung brauchen wir folgenden Hüfssatz: „Ist in einem durch zwei Kegelschnitte c und k bestimm- ten Kegelschnittbüschel ck die Kurve m der Mittelpunktskegel- schnitt (konjugirt zu der unendlich fernen Geraden Uj und ange- horig dem Kegelschnittnetze des Polardreiecks PQB von c1c)y und sind IJ und F zwei in Bezug auf m konjugirte Punkte einer Ge- raden gj so bilden deren in Bezug auf das Büschel ck konjugirten Punkte ?7i, Fj die Endpunkte eines Durchmessers des zu ^f in Be- zug auf ck konjugirten (und dem Netze PQB angehörigen) Kegel- schnittes 5^1 ." Denn der involutorischen Punktreihe der CT, F auf ^
einen festen verzeichneten Kegelschnitt nnd einen Kreis gibt Kartum in seiner gekrönten Preisschrift „tJber geometrische Aufgaben dritten und vierten Gra- des, 1869*'. — Zwei Auflösungen der Au%abe der Axenbestimmung eines Kegels zweiten Grades liefert Chctsles in seiner „Geschichte der Geometrie*', deutsch von Sohncke, S. 79. Dieselbe Aufgabe löst Herr Felz in ,,die Axen- bestimmung der Kegelflächen zweiten Grades'* (Sitznngsber. d. Wiener Akad. der Wiss. B. 69, Abtlg. 2, 1874, S. 215) mittelst einer Hil&hyperbel und eines Kreises. Die oben gegebene Auflösung ist aus dem Aufsatze des Herrn Solin „Über die Konstruktion der Axen einer Kegelfläche zweiten Grades" (Sitznngs- ber. d. böhmischen Ges. d.Wiss. 1885) entnommen. Eine andere Auflösung dieser Aufgabe gibt Herr Felz^ anschließend an Ghasles und Kortum, ebenfalls mit Hilfe des Leitkegelschnittes des Kegels und eines Kreises in „Bemerkung* zur Axenbestimmung der Kegelflächen zweiten Grades*' (Sitznngsber. d. Wiener Akad. d. Wiss., B. 92, Abtlg. 2, 1885).
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I, 25. Der Kegel zweiten Grades. ^1
entspricht die damit projektive, also ebenfalls involutorisehe Punkt- reihe der üi, Vi auf ^r, ; und da die Doppelpunkte der in Bezug auf m konjugirten Punkte J7, V der g die Schnittpunkte von g und m sind, so sind die Doppelpunkte der Reihe der üj, Fj auf g^ die Schnittpunkte des g^ und der u, und der Mittelpunkt ihrer Involution ist der Pol der u zu g^ oder der Mittelpunkt des g^] d. h. durch diesen Mittelpunkt geht jede Gerade Ui V^ oder sie ist ein Durchmesser des g^.
Benutzen wir diesen Satz zur Bestimmung der beiden von M und S ausgehenden Durchmesser MD und 8E der m, und dadurch ihres Mittelpunktes U, als Schnittpunkt der Durchmesser^ indem wir m als g^ und u als g annehmen. Der zu M konjugirte Punkt in Bezug auf c und h ist der Schnittpunkt der Polaren von M bezw. zu c und k, d. i. der u und des auf MS senkrechten Durch- messers des h, also der unendlich ferne Punkt N auch des auf MS senkrechten Durchmessers MN des c. Zu diesem auf u liegenden Punkte N ist in Bezug auf m derjenige Punkt Nf der u konjugirt, welcher von ihm durch die Asymptoten von m, also auch durch die unendlich fernen Punkte Ä und B der a und b harmonisch ge- trennt ist^ welcher also auf dem zu MN in Bezug auf a und b symmetrischen Durchmesser MN' liegt. Der zu N' in Bezug auf das Büschel cJc konjugirte Punkt ist aber der Schnittpunkt der Polaren von Nf bezw. zu c und zu Ä, d. i. der zu MN' konjugirten Durchmesser MD von c und SD (_L MN') von h. Also sind M, D konjugirt in Bezug auf ch zxx den zweien in Bezug auf m zu einander konjugirten Punkten N, N' ] daher ist MD ein Durch- messer und sein Mittelpunkt U der Mittelpunkt von m. Daraus ergibt sich ein zweiter Durchmesser SUE von m durch UE = SU. Doch wollen wir von diesem Durchmesser auch die unmittelbare Bestimmungsweise angeben, weil wir sie zur weiteren Erörterung, wenn auch nicht zur weiteren Konstruktion notwendig haben. Zu S ist in Bezug ai^f c und h der unendlich ferne Punkt F des zu MS konjugirten Durchmessers MF des c konjugirt, weil durch F die Polaren von S zu c und zu h (nämlich u) gehen. Der zu F in Bezug auf m konjugirte Punkt der u ist F'y wenn MF' sym- metrisch mit MF in Bezug auf a ist. Die Polaren von F' zu c und i sind bezw. ME und SE^ wenn ME symmetrisch mit MS in Bezug auf a (weil MS die Polare von jF) und wenn SE ±. MF'.
Um nun die bezw. durch die unendlich fernen Punkte von c und h gehenden Kurven c^ (nicht verzeichnet) und Jc^ des Netzes PQR zu bestimmen, müssen wir zuerst die Geraden Cg, Jc^ ermitteln, deren konjugirte in Bezug auf cJc sie sind. Die unendlich fernen
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22 Ii 2&* I^id krummen Flächen im allgemeinen.
Punkte uc des c, ob reell oder imaginär^ sind die Doppelpunkte der Involution der auf u in Bezug auf c konjugirten Punkte; dieselbe ist durch zwei Punktepaare, etwa A, B und S\ F gegeben, wenn S' der unendlich ferne Punkt der MS, Die zu ihnen in Bezug auf c Je konjugirten Punkte bilden eine Involution auf m; es sind dies von A, B bezw. J5, A, von F der Punkt Ä, von S' der Schnitt- punkt der MF mit der aus S auf MS gezogenen Senkrechten SN. Der Mittelpunkt dieser Involution ist der Schnittpunkt der BA^=^u mit der SNj d. i. auch der unendlich ferne Punkt N der auf MS Senkrechten MN. Die Axe der Involution ist dann der zu MN in Bezug auf m konjugirte, also mit MN' parallele Durch- messer TJ2^ der m. Seine Schnittpunkte mit m sind den Punkten uc konjugirt, daher ist UN' selbst die Gerade c^. Da nun auf dieser Geraden der Mittelpunkt ü der m und der unendlich ferne Punkt N' konjugirt in Bezug auf m sind, so bilden nach dem angegebenen Hilfs- satze die zu ihnen in Bezug auf ch konjugirten Punkte die Endpunkte eines Durchmessers des Kegelschnittes c^. Zu N' haben wir aber D als konjugirt gefunden, imd zu U finden wir den konjugirten Punkt Ui als Schnitt seiner Polaren Cr C/^ zu c und Jüi zu Tc, G U^ ist || MN' und wird daher durch einen weiteren Punkt G bestimmt. JU^ ist _L US und ist bestimmt durch SJ-SU ^ -^Ji?, UHJ= 90^, oder, wenn U außerhalb hi, als Linie JL U^ durch den Berührungspunkt L^ der aus U an ki gezogenen Tangente, und den Durchmesser L^SL des ki. Ci ist nun durch seinen Durchmesser DUi bestimmt.
In gleicher Weise erhalten wir E U^ als Durchmesser des Kreises \. \ geht nämlich durch die unendlich fernen imaginären Kreis- punkte, welche auf u durch die Involution der auf einander senk- rechten Durchmesser des k, oder durch das Punktepaar Ay B und Ä', JV^ {S'MN = 90^) bestimmt sind. Zu A^ B sind in Bezug auf ck wieder bezw. JB, A konjugirt; zu S' ein (vorhin bezeichneter) Punkt der MFj zu N der Punkt Jf, so daß der Mittelpunkt der Involu- tion der Punkt (-B-4, MF) oder der unendlich ferne Punkt von MF^ ihre Axe die Polare UF' dieses Punktes zu m ist, so daß, entspre- chend wie vorhin, UF''^ k^. Den Punkten F' und U sind aber in Bezug auf cÄ die Punkte E und Ui konjugirt, so daß EUi ein Durch- messer und sein Mittelpunkt K^ der Mittelpunkt des Kreises k^ ist.
Um nun c^ in den mit ihm ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitt c zu projiciren, ziehe man den zu DU^ parallelen Durchmesser Do^o ^^^ c, so bildet der Schnittpunkt 0 von JDDq und U^Uq (und der von DUq, UiDq) einen Ähnlichkeitspunkt; dabei projicirt sich der Halbmesser Üi-K^ des k^ in den mit ihm paral- lelen Halbmesser U^K des k^, wodurch k^ gezeichnet werden kann.
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I, 25—28. Die Umdrehungsfläche und ihre Berühmngsebene. 23
Die außer Uq bestehenden drei Schnittpunkte P^, Qq^ Rq von c und jfcj werden dann aus 0 in die entsprechenden Punkte Py Q, R des Kreises Jc^ projicirt, wodurch die Aufgabe gelöst ist. Zur Probe und Verbesserung unsicherer Punkte dient es, daß S der Höhen- schnittpunkt des Dreiecks PQR sein muß, und daß P, Q, R auf der Hyperbel m liegen, welche durch üf, S, D, E geht und UAy ÜB zu Asymptoten hat.
26. Übungsaufgaben.
1) Die Axen eines Kegels mit parabolischer Leitlinie c zu be- stimmen.
2) Zu untersuchen, wie sich die Auflosung unserer Aufgabe gestaltet, wenn der durch den Leitkegelschnitt c (kein Kreis) und seine Spitze bestimmte Kegel ein Umdrehungskegel ist (vergl. 23).
rv. Die Umdrehnngsfläohe und ihre Berühmngsebene.
27. Eine Umdrehungsfläche wird am leichtesten dargestellt^ wenn man ihre Axe a senkrecht auf eine Projektionsebene, etwa auf Pj, stellt Dann sind ^on den Parallelkreisen die ersten Projektionen koncentrische Kreise, die zweiten gerade Linien parallel zur Pro- jektionsaxe X] Yon den Meridianen sind die ersten Projektionen Gerade, welche durch die Projektion Ä' der a gehen, die zweiten affine Figuren, deren Affinitätsaxe a" und deren Affinitätsstrahlen parallel zu x sind. Den Umriß der ersten Projektion bilden die Äquator- und Kehlkreise, den der zweiten Projektion der zu* Pg parallele Meridian, welchen man den Haiiptmeridian nennt.
Bei einer schiefen Stellung der ümdrehungsaxe a gegen Pj und Pj sind die gleichnamigen Projektionen der Parallelkreise ähnliche und ähnlich gelegene Ellipsen, deren kleine Axen in die gleichnamige Projektion der a fallen, die der Meridiane affine Figuren, deren Affinitätsaxen die gleichnamige Projektion der a ist. Bei Aufgaben über Umdrehungsflächen vermeidet man die schiefe Stellung ge- wohnlich durch Drehung in die senkrechte Stellung, die man nach der Auflösung wieder in die erstere zurückführt.
28. Aufg. Ein UmdrehungseUipsoid entsteht durch Drehung einer Ellipse *um eine ihrer Axen. Man soll an ein solches, dessen Axe a senkrecht auf Pj steht, in einem durch eine Projektion P' gegebenen Punkte desselben, eine Benihnmgsebene legen,
Aufl. Die Projektionen der Axe a sind A\ a' {1.x), die des »ig. i*- Hauptmeridians die Gerade m' (durch A' und | x) und die (zu ihm selbst kongruente) Kurve m", eine Ellipse, deren eine (große) Axe in a' ßllt. Diese Ellipse bildet zugleich den zweiten Umriß, wäh-
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I, 28—29. Die krammen Flächen im allgemeinen.
Fig. 14.
rend der erste ein aus A' mit der halben andern (kleinen) A.xe von m" als Halbmesser gezogener Kreis (ein Äquator) ist
Um P" aus V zu bestimmen, lege man durch V einen Parallel- kreis, welcher m in dem Punkte Q* trifft, dessen zweite Projektion
auf m" in q" oder $*" liegt Durch diese Punkte gehen die mit x paral- lelen zweiten Projektionen jenes Paral- lelkreises, auf denen dann P" und P*" aus P' bestimmt werden. Einem gegebenen Punkte der zweiten Pro- jektion würden zwei Punkte dessel- ben Parallelkreises in der ersten Pro- jektion entsprechen.
Die Berührungsebene in P(P',P") enthält die mit F^ parallele Parallel- kreistangente PR, deren zweite Spur sich in iJ" ergibt, und die Meridian- tangente. Man drehe den Meridian aP um a in den Hauptmeridian m, so daß P nach Q gelangt, ziehe die Tangente an w in ^, welche die a in Ä, die P2 in E trifft und S zur ersten Spur hat. Beim Zurückdrehen gelangt S nach T, und die Meridiantangente nach ÄPT (kurz Ä T= A^S"). Von der Berüh- rungsebene geht dann die erste Spur t^ || P'R' durch T\ die zweite durch B". Entsprechend findet man die Berührungsebene t^, t^ in P', P*". Die Schnittlinie v beider muß || PB in der Ebene des Äquators liegen, weil diese eine Symmetrieebene für die Fläche und für beide Berührungspunkte ist.
Die Flächennormale PN ergibt sich aus ihrem Schnittpunkte N mit a, der sich im Hauptmeridiane durch Q"N" A.Q''A" als Spitze des Normalenkegels bestimmen läßt.
29. Das einschalige Umdrehungshyperboloid entsteht durch Um- drehung einer Geraden um eine mit ihr nicht in derselben Ebene J«g. 16. liegende Axe; es sei die Axe a (-4', a") senkrecht auf P^ und BC eine Lage jener geraden Erzeugenden. Der kürzeste Abstand der- selben von a ist die mit Pj parallele, d^i B' C senkrechte Strecke A' K, deren auf BC liegender Fußpunkt K den KehVcreis be- schreibt. Gleichweit von K entfernte Punkte der Erzeugenden, wie B und (7, beschreiben gleiche und gleichweit vom Kehlkreise ent- fernte Parallelkreise, wodurch sich die Ebene des Kehlkreises als Symmetrieebene ergibt. Ein solches Paar von Parallelkreisen, von
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I, 29—80. Die ümdrehungeflache und ihre Berührungsebene. 25
denen derjenige von C die erste Spur der Fläche bilde, begrenze deren Zeichnung, welche selbst mit der Erzeugenden sich nach bei- den Seiten ins Unendliche er- streckt. Um eine Anzahl von Erzeugenden zu zeichnen, teile man die beiden Grenzkreise von By bezw. von C aus in dieselbe Anzahl n (= 16) glei- cher Teile und verbinde die von B und C in demselben Sinne um dieselbe Anzahl von Teilen abstehenden Teilungs- punkte durch Gerade. Damit auf der gemeinschaftlichen ersten Projektion beider Paral- lelkreise beide Teilungen zu- sammenfallen, wurden B und C auf der Erzeugenden so ge- wählt, daß -^C'A'B' eine ganze (und zugleich eine ge- rade) Anzahl der Teile —
bildet. Die zweiten Projektionen
der Erzeugenden erhält man durch Übertragen der Teilungspunkte der Kreise in deren zweite Projektionen. — Der erste Umriß ist der Eehlkreis, der zweite der Hauptmeridian, welcher durch die Schnittpunkte der Erzeugenden mit der Hauptmeridianebene kon- struirt werden kann. Er ist die Einhüllende der zweiten Projek- tionen der Erzeugenden.
30, Zwei Lagen der geraden Erzeugenden g der Fläche können sich nicht schneiden , weil jede g mit jedem Parallelkreise nur einen Punkt gemein hat (5). Alle g bilden eine Schaar oder ein System von Erzeugenden.
Es gibt noch eine zweite Schaar von geraden Erzeugenden ä, toelche die Fläche ganz erßUen, so daß durch jeden Punkt der Fläche eine g und eine h geht. Denn da die Eehlkreisebene K eine Sym- metrieebene der Fläche ist, so gibt es zu jeder g eine in Bezug auf K symmetrische Gerade h, welche ganz in der Fläche liegt Zwei solche symmetrische Erzeugende g und h schneiden sich in einem Punkte des Kehlkreises, und haben gleiche, aber entgegen- gesetzt gerichtete Neigungen gegen die Umdrehungsaxe a. Auch die Symmetrie in Bezug auf eine Meridianebene liefert aus den g
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26 I, 80 — 31. Die krummen Flächen im allgemeinen.
eine neue Schaar von Erzeugenden, welche ebenfalls gleiche Neigung, wie die g^ gegen die a besitzen, weil dies von jeder einzelnen und ihrer symmetrischen g gilt. Dieselben fallen mit den Erzeugenden h zusammen, weil man durch einen Punkt der Fläche nur zwei Gerade von gleicher Neigung gegen a legen kann, welche ganz in der Flache liegen, da man nur zwei solche legen kann, die einen der Parallelkreise schneiden. Eine Gerade h erzeugt die Fläche ebenfalls durch Drehung um a.
Jede Erzeugende g der einen Sdiaar scJmeidet jede h der anderen, und zwar in der Meridianebene, in Bezug auf welche beide Gerade symmetrisch sind, d. i. in derjenigen, welche auf der Verbindungs- geraden der Schnittpunkte G und H der Erzeugenden mit irgend einem Parallelkreise senkrecht steht
Jede erste und jede zweite Proj^ction einer Erzeugenden g stellt noch eine ztoeite Erzeugende h vor^ nämlich diejenige, welche mit der ersteren bezw. in Bezug auf die E^hlkreis- oder die Hauptmeridian- ebene symmetrisch ist. In je einer dieser Ebenen, d. i. auch auf einer Umrißlinie, schneiden sich beide Erzeugende g und h und wechseln hier die Sichtbarkeit, so daß, wenn man sich die g schwarz, die h rot denkt und beide darstellt, in der Figur alle schwarz punk- tirten Erzeugenden statt dessen rot ausgezogen werden müssen. Die Berührungspunkte der Erzeugenden mit den Umrissen liegen mit anderen Schnittpunkten von je zweien dargestellten Erzeugenden wegen deren gleichförmiger Verteilung auf demselben Parallelkreise, bezw. auf demselben Meridiane.
31. Durch eine Erzeugende g^ der einen Schaar und durch jede h der anderen Schaar kann je eine Ebene gelegt werden, weil g^ jede h schneidet; aber es schneidet auch jede durch g^ gelegte Ebene E die Fläche in einer Ä, nämlich in derjenigen, welche zu g sym- metrisch ist in Bezug auf die senkrecht zu E gelegte Meridianebene. Alle durch eine Erzeugende g^ und alle durch eine solche g^ ge- legten Ebenen bilden je ein Ebenenbüschel g^ und g^, imd beide sind projektiv, wenn man zwei Ebenen derselben sich entsprechen läßt, welche durch dieselbe Erzeugende A gehen. Denn die Ebenen- büschel schneiden die Ebene eines Parallelkreises in zwei Strahlen- büscheln, welche in den Schnittpunkten Ctj, G^ von g^y g^ mit dem Kreise ihre Mittelpunkte haben, und deren entsprechende Strahlen sich in dem Punkte H dieses Kreises treffen, durch welchen eine h geht, welche also projektiv sind (I, 317). Da diese Ebenenbüschel durch drei Paare entsprechender Elemente bestimmt sind, so kann man sagen: Zwei projektive Ebenenbüschel g^, g^ bilden durch die Schnitt- geraden h je zumer entsprechenden Ebenen die eine Schaar der Erzeu-
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I, 31—32. Die Umdrehungsfläche und ihre Beröhrungsebene. 27
genden h eines einschaligen Umdrehungshyperboloids ^ wenn drei der Schnittgeraden h einer solchen Fläche angehören] dann sind die Axen gj^, g^ Erzeugende der anderen Schaar derselben Fläche^ weil sie alle h schneiden.
Eine beliebige Ebene schneidet die Fläche im allgemeinen in einem Kegelschnitte, da sie jene Ebenenbüschel in projektiven Strahlen- büscheln triflFt, deren entsprechende Strahlen sich in Punkten schnei- den, welche die fragliche Schnittkurve bilden (I, 319). Enthält die Ebene eine g oder eine A, so zerföllt der Kegelschnitt in zwei Ge- rade^ eine g und eine h.
Jeder Meridian der Fläche ist eine Hyperbel, deren reelle Axe ein Durchmesser des Kehlkreises ist und deren Asymptoten parallel ssu den mit der Meridianebene parallelen Erzeugenden g und h laufen. Denn der Kegelschnitt, in welchem die Meridianebene die Fläche triflft, hat einen Durchmesser des Kehlkreises und die ümdrehungs- axe zu Symmetrielinien und daher zu Axen, und jene Erzeugende liefern seine unendlich fernen Punkte. «
Der Mittelpunkt des Kehlkreises ist auch der Mittelpunkt aller Meridianhyperbeln und damit der Fläche.
32. Äufg. In einem durch seine eine Projektion gegebenen Pmikte P eines einschaligen Umdrehtmgshyperboloides eine Berührungsebene an dasselbe zu legen.
Aufl. Durch die gegebene Projektion lege man die gleichna- migen Projektionen der durch P gehenden Erzeugenden beider Scharen als Tangenten an den gleichnamigen Umriß, also aus P' an die erste Projektion des Kehlkreises, oder aus P" an die zweite Projektion des Hauptmeridians. In der Figur sind aus dem gege-Fig.i5. benen P' die Tangenten an den Ejreis gezogen und mit den bei- den begrenzenden Kreisen bezw. in B\ C und D\ E' geschnitten. Denkt man sich nun P oberhalb des Kehlkreises, so gehören B und E dem oberen, C und D dem unteren Grenzkreise an, woraus die zweiten Projektionen B" C", D" jE" folgen, welche P" be- stimmen. Liegt dagegen P unterhalb des Kehlkreises, so gehören B, E dem unteren, C, D dem oberen Grenzkreise an, und B*" C?*"> 2)*"^*" aind die zweiten Projektionen der Erzeugenden, welche P*" bestimmen. Im ersteren Fall gehört BC der Schaar der (schwarzen) Erzeugenden g an, DE dem der (roten) A, im zweiten Falle um- gekehrt.
Die Berührungsebene ergibt sich hier als die Ebene der beiden durch den BerQhrungspunkt gehenden Erzeugenden und enthält für den in P' projicirten Berührungspunkt die Sehnen CD und BE
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28 Ij 32—34. Die krummen Flächen im allgemeinen.
der beiden Grenzkreise. Durch deren Spuren ergeben sich die Be- rührungsebenen ^, t^ für P; tj*, t^ für P*.
Die Asymptote eines Meridians als Parallele der beiden mit seiner Ebene und untereinander parallelen Erzeugenden beider Schaaren ist mit diesen parallel, und alle Meridianasymptoten bilden daher einen Umdrehungskegel, welcher die Axe und den Mittelpunkt mit der Fläche gemein hat, den sogenannten Äsymptotenkegel. Seine erste Spur ist der aus A' durch die Mitte B^ der Verbindungslinie der ersten Spuren B'y B*' jener Erzeugenden gezogene Kreis, und seine Be- rührungsebene entlang seiner Erzeugenden von B^ enthält jene beiden parallelen Erzeugenden des Hyperboloids und berührt es daher in dem gemeinschaftlichen unendlich fernen Punkte derselben.
33, Die Berührungsebene des einschaligen Umdrehungshyper- boloids enthält die beiden durch den Berührungspunkt gehenden Erzeugenden, nach welchen sie die Fläche schneidet. Diese Er- zeugenden teilen die Fläche in vier Teile nach Art von Scheitel- und Nebenwinkeln. Die Flächenstücke der Scheitelwinkel, welche den Parallelkreis des Berührungspunktes enthalten, liegen auf der dem Flächenmittelpunkte zugewendeten Seite der Ebene, die Flächenstücke der anderen Scheitelwinkel, welche die durch den Berührungspunkt gehende Meridianhälfte enthalten, auf der abgewendeten Seite. Diese Eigentümlichkeit, welche erst später mit der Krümmung der Flächen näher untersucht werden wird, führt zu folgender Unterscheidung. Ein Punkt einer Fläche heißt hyperbolisch , wenn die Berührungs- ebene in demselben mit der Fläche eine Linie gemein hat, welche in jenem Punkte einen Doppelpunkt mit zwei getrennten Tangenten besitzt; er heißt parabolisch^ wenn in ihm der gemeinsamen Linie eine einzige Tangente zukommt; elliptisch^ wenn er ein isolirter ge- meinsamer Punkt ist. Das einschalige Umdrehungshyperboloid be- sitzt nur hyperbolische, der Cylinder und Kegel nur parabolische, das Umdrehungsellipsoid und die Kugel nur elliptische Punkte.
Ein Punkt einer Umdrehungsfläche ist elliptisch, hyperbolisch, oder parabolisch, je nachdem in ihm die Meridiankurve gegen die Umdrehungsaxe hohl, erhaben, oder im Wechsel von der einen zur andern Eigenschaft begriffen ist; der letztere Fall tritt im allge- meinen ein, wenn die Tangente der Meridiankurve senkrecht auf der Umdrehungsaxe steht, zugleich aber der Punkt nicht in der Axe liegt, oder wenn der Punkt ein Wendepunkt ist
V. Die abwickelbaren Flächen (erster Teil).
34. Man nennt gewöhnlich eine hrumme Fläche abunckelbary entunckelbar oder developpabel, wenn sie ohne Faltung oder Bruch in
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I, 34. Die abwickelbaren Flächen. (Erster Teil.) 29
eine Ebene ausgebreitet werden kann. Wie man aber eine krumme Linie nicht unmittelbar rektificiren, d. h. ihre Teile in ihrem ur- sprünglichen Zusammenhange in einer geraden Linie aneinander- reihen kann, weil nicht der kleinste Teil derselben gerade ist, so kann man auch eine krumme Fläche nicht unmittelbar abwickeln, d. h. ihre Teile in ihrem ursprünglichen Zusammenhange in einer Ebene aneinander legen, weil nicht der kleinste Teil derselben eben ist Wie wir daher eine krumme Linie behufs ihrer Rektifikation als die Grenzgestalt eines eingeschriebenen oder umschriebenen Viel- ecks ansehen mußten (I, 225), so müssen wir auch die abwickel- bare krumme Fläche, wenn wir Eigenschaften derselben aus dem Begriflfe der Abwickelbarkeit herleiten wollen, als die Grenzgestalt eines ohne Faltung oder Bruch abwickelbaren Vielflachs ansehen, und dieser Grenzgestalt uns annähern, indem wir jede Seitenfläche sich der Grenze Null annähern lassen.
Da nun die gewohnlichen Vielflache nicht abwickelbar sind, so müssen wir zur Gewinnung der Abwickelbarkeit ihren Begriff (1, 146) erweitem. Wir erreichen diesen Zweck, indem wir die Geschlossen- heit nicht verlangen. Es können aber die Seitenflächen, oder es kann die Aneinanderreihung ungeschlossen sein. Als geschlossene Seiten- flächen betrachten wir einfache Vielecke erster Art (I, 138), welche also wenigstens drei Seiten besitzen; als ungeschlossene solche mit nur zwei Seiten, welche also ein Paar Scheitelwinkel sind.
Em Vielflach in erweitertem Sinne nennen wir die Gesamtheit von ge- schlossenen oder ungesdUossenen ebenen Seitenflächen^ welche derart an- einandergefügt sind, daß jede Grremstrecke einer geschlossenere oder jede Grenzgerade einer ungeschlossenen Seitenfläche zugleich diejenige einer zweiten Seitenfläche bildet. Eine solche gemeinschaftliche Seite wird eine Kante des Vielflachs genannt Ist eine Kante begrenzt oder unbegrenzt, so müssen alle Kanten bezw. begrenzt oder unbegrenzt, und alle Seitenflächen geschlossen oder ungeschlossen sein. Sind sie unbegrenzt, so fallen auf einer Kante die Scheitel der Winkel der anstoßenden Seitenflächen im allgemeinen nicht zusammen. Die zwischen zwei solchen Scheiteln liegenden Stücke der Kanten bilden ein unebenes Vieleck, welches man die Bückkehrkante des Vielflachs nennt. Das Vielflach selbst ist geschlossen oder ungeschlossen, je nachdem man beim Weiterschreiten von Seitenfläche zu Seitenfläche notwendig wieder zu einer früher durchschrittenen zurückkehren oder nicht zurückkehren muß.
Wir nennen ein Vielfl4xch abunckelbar, wenn jedes beliebige^ durch eine geschlossene Linie begrenzte Stück desselben, wenn es nur keinen Teil der Bückkehrkante in seinem Inneren einschließt, ohne Faltung
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30
I, 34—86. Die krammen Flächen im allgemeinen.
oder Bruch in eine Ebene ausgebreitet werden kann, wobei wir unter Faltung die Verdoppelung benachbarter Teile verstehen. Wir wollen nun untersuchen, ob und unter welchen Umständen Vielflache mit geschlossenen und solche mit ungeschlossenen Seitenflächen ab- wickelbar sind.
35. Ein Vielflach mit geschlossenen Seitenflächen ist abwickelbar, wenn die Summe der Kantenunnkd an jeder Ecke gleich vier Rechten ist] denn dann lassen sich die um diese Ecke liegenden Seitenflächen ohne Faltung oder Bruch in eine Ebene ausbreiten, und ebenso alle in den neuen Ecken dieser Flächen anstoßenden weiteren Seiten- flächen usw. Die Ecken dürfen daher nicht konvex sein, weil bei diesen die Summe der Kantenwinkel < 4 JB ist Wenn auch beim Übergange des Vielflachs mit konvexen Ecken zu einer stetigen krummen Fläche durch unendliche Verkleinerung der Seitenflächen das Klaffen an einer Ecke unendlich klein wird, d. h. verschwindet, so wird es doch bei der Fortsetzung der Fläche in endlichem Ab- stände von jener Ecke endlich. Es muß demnach bei einem ab- wickelbaren Vielflach mit geschlossenen Seitenflächen jede Ecke nicht Fig- 16. konvex und daher wenigstens vierflächig sein. In Fig. 16 ist ein solches
Fig. 16.
mit vierflächigen Ecken veranschaulicht, welches man durch drei- maliges Hin- und Herbiegen eines Blattes Papier in jedesmal gleich breite Streifen herstellen kann, wenn die Biegungskant^u der zwei- ten und dritten Streifenschaar sich unter gleichen Winkeln gegen die Kanten der ersten Schaar auf diesen schneiden. Das Vielflach selbst ist nicht geschlossen.
Geometrisch kann dieses Vielflach durch Parallelbewegung einer regelmäßigen Zickmcklinie entlang einer anderen solchen entstehen. Fig. 17. Unter einer regelmäßigen Zickzacklinie oder einem regelmäßigen Zickzacke soll ein unbegrenzter Vieleckszug verstanden werden, dessen Ecken auf zwei psurallelen Geradeii, den Leitgeraden 9 liegen, und dessen Seiten in wechselndem Sinne gleiche Winkel (+ « und — a) mit diesen Geraden bilden. Legt man nun zwei regelmäßige, aber beliebig ver- schiedene Zickzacke bezw. in die xz- und o;^ Ebene eines rechtwinkligen Koordinaten-
Pig. 17.
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I, 86. Die abwickelbaren Flächen. (Erster Teil.)
31
Systems^ 0, xyg^ derart daß von dem ersten die Mittellinie zwischen den beiden Leitgeraden in die xAxe, und ein Eckpunkt in die 0Axe und daß von der anderen jene Mittellinie in die yAxe, und der Mittelpunkt einer Seite in den Koordinatenursprung 0 föllt^ und läßt dann den ersteren Zickzack parallel zu seiner Anfangslage sich so bewegen, daß sein Ursprungspunkt den zweiten Zickzack (und jeder seiner Endpunkte einen damit kongruenten und parallelen) be- schreibt, so beschreibt die erste Zickzacklinie selbst ein Vielfiach, welches wir Zickzackfläche nennen wollen, und welches abwickelbar ist. Denn an jeder seiner Ecken stoßen vier Flächen zusammen, deren Kantenwinkel y, y, yi, yi eine Summe von vier Rechten haben. Sind nämlich a und ß die Winkel, welche bezw. die Seiten des ersten und zweiten Zickzacks mit der zu ihren Leitgeraden bezw. parallelen und senkrechten rrAxe einschließen, so bilden an jeder Ecke des Vielflachs die Parallele zu der + rcAxe, eine Seite des ersten und je eine der zwei hier zusammentreffenden Seiten des zweiten Zickzacks zwei recht- winklige Dreikante mit den Seiten a, /J, y und a, 180*^ — j8, y^, in denen y und Yy dem rechten Winkel gegenüber- liegen. Daher ist cos y = cos a cos j8, cos yi «=» cos a cos (180 — j8); also cos yi «= — cos y, y^ =« ISO® — y, oder 2y + 2yi = 360o. ,
Man kann nun die Zickzacklinie und dadurch auch die Zickzackääche ver- mittelst einer Fouriersehen Beihe durch
eine Gleichung ausdrücken. Die Gleichung der ersten, nach den Bezeichnungen in Fig. 17 für a und 6, ist*)
Fig. 18.
85 <7
2n+l
008 rr^ nX
2o
{2n + iy~"
86 / nx . 1 Snx , 1 6nx . 'cos — + -COS -^ + -- cos ^- + .
2a
2a
25
2a
.ininf.y(l)
Wir wollen die durch das erste, zweite, n** Glied der Reihe dar- gestellte Kurve die erste, zweite, n** Teilkurve, die durch die Summe der n ersten Glieder dargestellte Kurve die n^ Summenkurve nennen.
*) Vergl. z. B. Riemanns VorleBangcn Über partielle Differentialgleiobun* geD, herausgegeben von Hattendorff, 1869, S. 52.
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32 I. 36—86. Die kmmmen Flächen im aUgemeinen.
Fig. 18. Die Teilkurven sind Cosinuslinieo, und die Figur stellt die drei ersten dar, ebenso die drei ersten Summenkurven, welche die An- näherung an die Zickzacklinie veranschaulichen. Es ist in der Figur OÄ == a, OB ^^ h. Man kann leicht aus Nr. 48 oder aus der späteren Bestimmung der Evolute der Cosinuslinie erkennen, daß die Krümmungshalbmesser aller Teilkurven in ihren Scheiteln = r = a* : 26 «= JSi^o sind, und daß derjenige der n^ Summenkurve in ihrem Scheitel = r : n ist, also bei zunehmendem n die Null zur Grenze hat
Die Gleichung der zweiten Zickzacklinie mit den entsprechen- den Beständigen a', 6' erhält' man unter Beachtung, daß der Ur- sprung um -f öt' verschoben ist,
2W+1 , ^ = -.^2'' (2^^!)^ ^^
Die Gleichung der Zickzack fläche y welche durch Parallelverschie- bung der ersteren entlang der letzteren Kurve entsteht, schreibt man zweckmäßig in der Form der zwei Gleichungen
2m-f 1
2a
■n{x — x^)
^_86 ^
^~n'2j (2w + l)» —
0
Jcos~--r — i^4- — cos — 4 ^ + örCOS — V— ^^-f --in mf.):
'nr\ 2a ' 9 2a ' 26 2a ' )
cos -^— « (y — a )
n'V^^ 2a' ^9^^^ 2a' ^^26^^^ 2a'
• ininf.Y
(3)
welche Gleichungen man durch Einsetzen des Ausdruckes von x^ in die erste Gleichung in eine einzige vereinigen könnte.
36. Nach Art dieses abwickelbaren Vielflachs mit geschlossenen endlichen Seitenflächen kann man auch abtvickelbare Flächen mit un- endlich Meinen ebenen Flächenelementen bilden. Ich habe die Weier- straßsche Cosinusfunktion*) hierzu verwendbar gefunden; dieselbe wird durch die unendliche Reihe dargestellt
jef«=» x/* b'^(io^a'*xic=^coBX7C-^bcosax7C'^l^coBa^x%'\ — in inf., (4)
*) Mitgeteilt von Herrn Pai*Z Du Bois-Reymond im Journ. f. Math., B. 79, 1874, S. 29 ff.; weiter untersucht von dem Verf. dieses Buches in dems. Journ. B. 90, 1880, S. 221 ff.
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I, 86. Die abwickelbaren Flfichen. (Erster Teil.)
33
Fig. 19.
worin a eine ungerade ganze Zahl, großer als Eins, b eine positive Beständige, kleiner als Eins, und
ab>l + ^7C
ist. In der Figur, worin a = 9 und b = 0,64 gewählt wurden, sind Fig. 19. die zwei ersten Teilkurven dargestellt; dieselben sind Cosinuslinien und werden mit zunehmendem n steiler, schon wenn a6 > 1 ist. Bei den Summenkurven, von denen die zweite verzeichnet ist, entspricht einer auf- oder absteigenden Wellenhälfte einer Teilkurve ein wenigstens in seiner Mitte eben- falls stets auf- oder absteigendes Linienstück; es ist dies durch Erfüllung jener Bedingung
o
ab > 1 + Y Ä erreicht
Die Teilkurve und dadurch auch die Sum- menkurve nähert sich mit zunehmendem n der Gestalt des geradlinigen Zickzacks, erster e des regelmäßigen, letztere eines nicht regelmäßigen. Es ist nämlich die trigonometrische Tangente des Neigungswinkels der Tangente einer Teil- kurve gegen die xAxe
disidx^=^ — a^b^x sin a*x%y wird also, da ab > 1, bei wachsendem n, absolut genommen, beliebig groß, so lange jener Sinus endlich ist, und wird nur endlich, wenn sin a^x% sehr klein wird, also a" X sehr wenig von einer ganzen Zahl abweicht. Sei a" x^ die benach- barte ganze Zahl, so muß a* {x — a^i) sehr klein, oder {x — x^ : — ^
d. h. das Verhältnis der Strecke x — x^ zur halben Wellenlänge 1 : a** sehr klein sein. Zugleich nähert sich der Krümmungshalb- messer der Teilkurve im Scheitel der Null als Grenze (35), so daß die Grenzgestalt der Teilkurve der geradlinige Zickzack ist, bei wel- chem die ganze Biegung in den Punkten der Scheitel vor sich geht. Die gleiche Eigenschaft überträgt sich auf die Summenkurve.
Legt man nun eine zweite solche Kurve in die rry Ebene von der Gleichung
--^
6'" cos a'*Ä
(y-i)'
(5)
worin wieder
a'V>\^\%,
und läßt die erstere Kurve parallel zu ihrer Anfangslage sich so bewegen, daß ihr Ursprungspunkt (Koordinatenanfang) die zweite
Wiener, Lehrbnoh der dartteUenden Oeomotrie. IL
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1
34
I, 36. Die krammen Flächen im allgemeinen.
Kurve beschreibt, so beschreibt die Kurve selbst eine abwickelbare Fläche mit unendlich kleinen ebenen Elementen. Die Gleichung derselben, in Form von zwei Gleichungen, ist dann
Z arr ^m &»» COS O^ X (X — X^y 0
jCi — ^ 6'» cos a'»« (» — y) >
(6)
welche Gleichungen man wieder durch Einsetzen des Ausdruckes
von x^ in die erste Gleichung in eine einzige vereinigen konnte.
Flg. 20. Die Fig. 20 veranschaulicht diejenige Fläche, welche durch die zwei
Fig. 20.
ersten Teilkurven entsteht; A^B^C^y -4^, B^y C^ ... sind Lt^en der erzeugenden ersten Kurve, BqBB^B^, CqCCiC^ sind die von deren Scheiteln beschriebenen mit der zweiten Kurve kongruenten Linien. Es ist bei den zweien zur Erzeugung einer Fläche verwendeten Kurven nicht notwendig, daß m und n gleich sind.
Die Grenzgestalt der Fläche, welche durch zwei TeiJJourven bei unendlichem m und n entsteht, ist eine äbtmckelbare ZickgcuJcfläche, weil die Teilkurven zu Grenzgestalten regelmäßige Zickzacklinien haben, deren Seiten gleiche unendlich kleine Winkel bezw. mit der Z' und xkxe bilden. Die Summenkurven der Gleichung (5) nähern sich nicht einem regelmäßigen Zickzacke; denn zwei aufeinander fol- gende Seiten einer jeden bilden mit jenen Axen verschiedene unendlich kleine Winkel (vergl. Fig. 19), weil sich die Ordinaten einer Teilkurve auf die geneigten Seiten der vorhergehenden Summenkurve auf- setzen. Bei der erzeugten Zickzackfläche (Gl. 6) ist daher die Summe
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I, 86—38. Die abwickelbaren Flachen. (Erster Teil.) 35
der Eantenwinkel an einer Ecke um einen unendlich kleinen Winkel von 360^ verschieden, d. h. diese Summe hat 36(P zur Grenze. Die Abweichung addirt sich aber bei einem endlichen Stücke der Fläche nicht zu einem endlichen Klaffen oder Überdecken^ weil die Abwei- chungen an den beiden Endecken einer Kante der Fläche gleich und von entgegengesetztem Vorzeichen sind. Die Fläche ist also (änmckelbar.
Es ist hiermit eine nicht geradlinige abunckeUbare Fläche mü unendlich kleinen (geschlossenen) Flächenelementen durch ihr Ent- stehungsgesetz und ihre Gleichung gegeben, welche vorgestellt, aber nicht durch Zeichnung oder ein Modell dargestellt werden kann.
37. Betrachten wir jetzt das wichtigere Vielflach mit nicht ge- schlossenen Seitenflächen oder mit unbegrenzten Kanten. Dasselbe ist stets cAtvickelbar, Seien die unbegrenzten Geraden 6, ^ 9, A ... die Fig. 21.
Fig. 21.
aufeinauder folgenden Kanten des Vielflachs, wobei sich e und f in A, fnnd g m B, g und h in C . . schneiden, und wobei die Seiten- flächen durch die Paare der Scheitelwinkel e/) fg^ gh . . . gebildet werden, so kann das ganze Vielflach in eine Ebene abgewickelt werden, etwa in die der ersten Seitenfläche ef, indem man alle fol- genden um f dreht, bis fg in jene Ebene nach fg' gelangt ist, dann alle auf fg folgenden, bis gh in dieselbe Ebene nach g'h' ge- langt ist, u. s. w. Das Vieleck ABC . . . ist die Rückkehrhmte des Vielflachs und teilt dasselbe in zwei Äste. Das Vielflach ist ab- wickelbary weil es bei jener Ausbreitung in einer Ebene keinen Bruch und keine Verdoppelung benachbarter Teile in einem Stücke des Vielflachs erfölyrt, das die Rückkehrkante nicht in seinem Inneren einschließt (34). Die beiderseits der Bückkehrkante liegenden Teile d^r Fläche verdoppeln sich dagegen. Zur Abwickelung ist ein Zer- schneiden des Vielflachs notwendig, wenn das Vieleck AB C . , . geschlossen isi
38. Aus einem abwickelbaren Vielflache mit unbegrenzten
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36 I, 88—39. Die krnmmen Flächen im allgemeinen.
Kanten läßt sich durch bestandige Verkleinerung der Seitenflächen als Grenzgestalt eine modeUvrharß abwickelbare hrumme Fläche her- leiten. Nimmt man als das Vieleck ABC , . ., von welchem man ausgehen kann^ ein solches an^ das in oder um eine unebene Kurve beschrieben ist; und läßt seine Seiten beständig gegen die Null als Grenze abnehmen^ so sind die Grenzlagen ihrer vei^ängerten Linien die Tangenten der Kurve, so daß eine abuncJceJbare Fläche durch die Gesamtheit der Tangenten einer unebenen Kurve gebildet unrd. Diese Tangenten heißen die Erzeugenden und die Kurve heißt die Rüde- 'kehrkante der Fläche. Sie teilt die Fläche in zwei Äste.
Ist die Rückkehrkante i einer abwickelbaren Fläche gegeben, so kann man ein Vielflach, aus welchem sie entsteht, und welches wir ihr anschließendes Vielflach nennen wollen, offenbar dadurch erhal- «igw. ten, daß man auf i die Punkte ÄfB,C,D . . . in Abständen, die man gleich machen kann, aufträgt, und die Sekanten ABF^j ^CQi • • • zieht. Diese sind dann die Kanten des Vielflachs, und die Tan- genten -4P, FQ .... der i sind deren Grenzlagen und zugleich die Erzeugenden der Fläche. Hat man eine Kurve k der Fläche, welche die genannten Erzeugenden bezw. in P, Q . . . schneidet, und fällt von P, Ö . . . die Senkrechten FF^, QQ^ bezw. auf -4J5, BG..., so entsteht auf dem Vielflach ein Vieleck Pi ^i . . ., welches der Kurve FQ ... entsprechend oder ihr anschließendes Vieleck genannt* werden soll, und welches bei der Abnahme von AB^ BG . . . diese Kurve zur Grenzgestalt hat. Andererseits entstehen bei der Abwicke- lung des Vielflachs aus den Vielecken AB . . ,, F^^Q^ . . . ebene Viel- ecke J.'JB' ..,, FiQi . . ., welche die verwandelten der ersteren sind. Zieht man in ihrer Ebene die Senkrechten F^ F'j QiQ' . . . bezw. zu A'F^'y B'Q^ . . . und macht sie bezw. gleich F^F, QiQ • » •, so bilden die Punkte F'^Q' . . . ein Vieleck, dessen Grenzgestalt eine Kurve k' ist, welche die Verwandelte von k heißt und auch mit der Grenzgestalt des Vielecks F^ öi . • • zusammenfallt.
Ebenso wie man ein abwickelbares Vielflach mit unbegrenzten Kanten als das einhüllende Vielflach der aufeinander folgenden Lagen einer Ebene ansehen kann, welche sich um wechselnde Gerade der- selben dreht, so kann man eine abwickelbare Fläche als die einhüUende Fläche einer beweglichen Ebene ansehen, und jede Erzeugende der Fläcbe als diejenige Gerade in einer jeden Lage der beweglichen Ebene, welche die Grenze ihrer Schnittgeraden sowohl mit einer vor- hergehenden, als mit einer folgenden Lage der Ebene bildet, wenn diese in die zwischenliegende fragliche Lage hineinrücken.
39. Zur Aufstellung einiger Sätze über abwickelbare Flächen und ihre Abwickelung müssen wir einige Beziehungen ermitteln, die
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I, 39. Die abwickelbaren Flächen. (Erster Teil.) 37
zugleich zwischen Linien auf der abwickelbaren . Fläche und dem anschließenden Yielflach und zwischen den Verwandelten von beiden gelten.
Indem wir J.B = J5(7«« . . ., und alle unendlich klein machen pig. w. und beachten, daß sie in Vergleich mit anderen solchen vorkommenden Großen von der ersten Ordnung (0^) sind, sind auch die Winkel ^'«' ^^'
PAP,, QBQ, ... — OS und die Unterschiede zweier solchen aufeinander folgenden Winkel
= 0* (1, 236). Daher ist PP, A"""^-^ ^\^^^
= (fi und ÖÖi = 0^5 und da
noch AP— BQ = 0\ so ist «7
pp^ ^QQ^= 0\ Außerdem
ist der Winkel von PP, und QQ, =^0^, da sie in den Ebenen PABy QBC liegen, deren Winkel OS und senkrecht auf den Linien AP,, BQi stehen, deren Winkel ebenfalls = 0^ ist Das Viereck PPi Qi Q weicht daher nur unendlich wenig von einem Parallelo- gramme ab, insbesondere ist ^ {PQ, P,Q,) = {PP, — QQ^) : PQ = 0« : 0* — OS P^ — Pi^i — 0\ — Hieraus folgert man:
1) Eine abunckelbare Fläche mrd in jedem Punkte P einer Er- zeugenden PA von ein und derselben Ebene berührt, nämlich von der Schmiegungsebene der BückkehrTcante i in deren BerOhrungspunkte A mit jener Erzeugenden. Denn die Tangente t einer durch P gehen- den Kurve der Fläche bildet mit der unendlich kleinen Sehne PQ der k einen Winkel = OS PQ mit PiQi einen Winkel OS daher auch t mit PiQi einen Winkel OS oder es liegt t in der Grenz- lage der Ebene P^BQ,, d. i. in der Schmiegungsebene der i m A.
2) Die Bückkehrkante i ist eine Schneide der Fläche, d. h, eine Kurve k der Fläche hat in .einem Punkte B der i im allgemeinen eine Spitze. Denn die beiden ir BC aneinander stoßenden Seiten- flächen ABC und BCD des anschließenden Vielflachs bilden einen Winkel 0^ und liegen auf derselben Seite von BC, außer wenn B ein Wendepunkt oder eine Spitze von i ist (I, 259, Fälle 3, 4, 5, 6). Daher gilt dies auch von den Seiten eines auf diesem Vielflache liegenden Vielecks, wenn nicht die BC selbst eine Seite des Viel- ecks bildet, in welchem Falle der Winkel zweier aufeinander folgen- den Seiten des Vielecks im allgemeinen = 180^ — 0* ist, jedoch auch 0^ sein kann. Daher hat auch die entsprechende Kurve k im allgemeinen in einem Punkte B der i eine Spitze; doch ist dies nicht notwendig, wenn die i in J? ein Rückkehrelement besitzt, oder wenn k die i in B berührt.
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38
I, 39 — 40. Die krummen Flächen im allgemeinen.
3) Die BückkehrJcante i ist bei jeder Projektion der dbunckdbaren Fläche ein Umriß derselben, weil jede Gerade, daher auch eine Pro- jicirende, welche durch einen Punkt B der i geht, die Fläche in B berührt. Denn B ist eine Spitze jeder Kurve der Fläche, worin sie von einer durch jene Projicirende gelegten Ebene geschnitten wird. Einzelne Punkte der i mit Rückkehrelementen ändern diese Eigen- schaft der Linie e nicht.
4) Ein Stück einer Erzeugenden oder einer Kurve ändert durch die Abvnckelung seine Lä/nge nicht Denn AP^ und das ganze recht- winklige Dreieck ÄP^P, also auch AP bleiben ungeändert; ebenso ändert P^Q^ seine Länge nicht; und da PQ von PiQi um 0* ver- schieden ist, so ist auch ein endliches Stück einer Kurve k von dem entsprechenden unveränderlichen Stücke des anschließenden Vielecks nur um 0^, d. h. nicht verschieden.
5) Die Tangente t einer Kurve k der Fläche und diejenige t' ihrer Verwandelten k' in entsprechenden Punkten P und P bilden gleiche Winkel mit der Erzeugenden PA, bezw. P^ A' des Berührungspunktes. Denn der Winkel der t mit P^Q^, sowie der Winkel der PA mit P^A^ sind vor und nach der Abwickelung 0\
* 6) Der Winkel zweier benachbarten Erzeugenden AP, BQ ändert
sich durch die Abioickelung nicht Denn es ist ^ PAP^ = 0^, <^ QB Q^ = 0^, ihre Differenz = 0^, und die Ebenen dieser Winkel bilden einen Winkel = 0^; daher ist ^ {PA, QB) — ^ P^BQ^ = OK Das- selbe gilt nach der Abwickelung; und da -^PiBQi ungeändert über- tragen wird, ändert sich auch ^{PA,QB), der =0* ist, nur um 0^ d. h. er bleibt ungeändert. — Demnach ändert sich der KonÜn- genzunnkd und die Krümmung der Rückkehrkante i in jedem ihrer Punkte durch die Abwickelung nicht
7) Bei dem Kegel wird die Rückkehrkante zu einem Punkte, der Spitze; in der Abwickelung gehen daher alle Erzeugende durch diesen Punkt, Bei dem Cylinder fallt derselbe ins Unendliche.
Fig. 88. ^. ^„ 40. Bestimmen wir die JLw-
Fig. 23.
ccj derung, welche die Krümmu7^g
Q R einer beliebigen Kurve auf einer
abwickelbaren Fläche durch die Abwickelung erleidet
Seien P, Q, R drei benach- barte Punkte der k oder ihrerVer- wandelten k' und sei im Räume PQ^QR = 0\ seienPi, Q„R, ihre entsprechenden Punkte auf Kant'Cn des anschließenden Viel-
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I, 40—41. Die abwickelbaren Flachen. (Erster Teil.) 39
ecks, 80 soll gezeigt werden, daß die Winkel PQB und P^Q^R^, deren Unterschiede von 180® die Kontingenzwinkel und «= 0^ sind, nur um 0' verschieden sind. Es folgt dies noch nicht daraus, daß Ä' die Grenzgestalt der Verwandelten des anschließenden Vielecks ist, weil ^ (PQ, Pi Q,) und ^ {QR, Q,R,) = 0^ sind.
In Nr. 39 ergab sich, daß PP^, QQ^, BB^, sowie die Winkel zweier solcher Strecken 0^, daß dagegen PP^ — QQd QQi ^ BB^, PQ — PiQi, Ö-B — ^i-Bi aUe 0« sind. Zieht man nun in Fig. a) QQ, * PP,, BB, # QQu wodurch auch P, Q, # PQ, Q,B, # QB wird, zieht dann in Pig.b) OQ, OB, O^i, OB^^ bezw. # mit PQ (und Pi Ö2), QR (und Q^B^), P^Q,, Q^B, der Fig. a), wodurch auch QQ^ (b) * QtQi (a), BB^ (b) # B^B, (a) wird, so sind QOB = <p, Q^OB, = 9?i die Kontingenzwinkel von PQB, bezw. Piöi^i- Zieht man noch in (b) BB^ # QQi, wodurch auch QiB^ ^ QB, so ist im Dreiecke OQQ„ OQ = 0^ $$1 = 0^ OQ — OQ, < QQ„ also = 0^, wenn nicht kleiner, ebenso in OBB^, OB — OiJg «== 0^, w. n. kl. In den Dreiecken OQQ,, OBB^ sind OQ = OB, QQ, # BB^, die eingeschlossenen Winkel Q und B wegen -^ QOB=:(fi höchstens um 9 = 0^ verschieden; daher ist OQ, — OB^ =^^^.0^ = 0^ Dem- nach sind in dem Dreiecke OQ,B^ die Seiten OQ, und OJB3 (= OQ + 0*) nur um ein 0* verschieden, und bezeichnet man den Winkel <2,OÄ,mit9, soist^iJ = 0«.<p, Q,B^^OQ,'q>'={PQ + QP)ip'y daher wegen QB ^ Q,K, auch 0^ • 9 = {OQ + O*)^', 9—9' = (0^-9') : Oö = Ol Da ferner der Winkel von Q,Q^ und B,B^ in (a) = ^ ÄjülJ^ in (b) = OS EEi = OS so ist JJ^Ä» = 0^ ^B,OB, = 0»:0^ = 0^ Daher ist auch <^ Q,OB, = (p, = 9'+ 0« = 9? + 0S w. z. b. w.
Da diese Entwickelung für die Gestalt vor und für die nach der Abwickelung gilt, also in jedem Falle der Kontingenzwinkel einer Kurve k von dem entsprechenden des anschließenden Vielecks nur um 0* verschieden ist, beide selbst aber 0* betragen, so erleidet der KonHngeneumkel einer Kurve h der Fläche durch deren Abwickelung dieselbe Veränderung, wie sein entsprechender Winkel auf dem an- schließenden Vielflache.
41. Ist nun PQBS ein Vieleck auf dem anschließenden Viel- Fig. 24. flache mit unendlich kleinen Seiten, PQB' S' seine Abwickelung in die Ebene der ersten Fläche PQA, daher BR ± PQA, QN die Verlängerung von*P^, so sind NQB, NQB' die Kontingenzwinkel 9, 9' vor und nach der Abwickelung. Zieht man BN JL QN, so ist auch JB'JV J. QN, und ^ B'NB= 6 ist der Winkel der Seiten- fläche PQA mit der Ebene NQB zweier aufeinander folgenden Seiten PQ, QB, welcher übereinstimmt mit dem Winkel der Be-
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40 I) 41—42. Die krummen Flächen im allgemeinen.
rührungsebene der Fläche und der Schmiegungsebene der Kurve in
Q. Nun ist offenbar
NR' tp' r cos 6 == ^frrw =»" = —, NB (p r '
wenn r^r^ die Krümmungshalbmesser der Je bezw. Je' in Q sind.
Die Formel sagt: Das VerJiältnis des KrümmungsJidlbmessers r einer Kurve einer abtmcJcdba^en Flocke in einem ihrer PunJcte zum
Fig. 24.
Krümmungsfidlbmesser r' ihrer VerwcmdeUen im entsprechenden Funkte ist gleich dem Cosinus des Winkels ö der Schmiegungsebene der Kurve und der Berührungsebene der Fläche in jenem PunJcte.
42. SoU der KrümmungsJuxlbmesser r' einer Vmoandelten Je' un- endlich groß werden', so muß, wenn nicht gerade schon für Je der entsprechende r •= oo ist, cos tf «= 0, tf = 90® werden, oder es muß die Schmiegungsd)ene der ursprünglichen Kurve Je in dem entsprechenden JPunJcte senJcredit auf der Berührungsebene der abwicJeelharen Fläche stehen. Dann tritt in ifc' im allgemeinen ein WendepmJet ein, in- dem im allgemeinen drei aufeinander folgende Punkte in eine Ge- rade fallen.
Sollen alle Punkte der ¥ in eine Gerade fallen, so ist sie, und auf der abwickelbaren Fläche die entsprechende Je, die kürzeste Linie zwischen irgend zweien ihrer Punkte, und heißt Joürzeste oder geodätische Linie. Bei einer solchen steht die Schmiegungsebene in jedem ihrer Punkte senkrecht auf der Berührungsebene der Fläche. Diese Eigenschaft besitzt auch die kürzeste oder geodätische Linie Je einer jeden FläcJ^] denn legt man entlang derselben die berührenden Ebenen der Fläche, so werden dieselben von einer abwickelbaren Fläche eingehüllt, welche jene Fläche entlang £ berührt, und auf welcher ebenfalls Je eine geodätische Linie ist. Die Schmiegungs- ebenen der Je stehen dann auf den gemeinschaftlichen Berührungs- ebenen beider Flächen senkrecht Ein auf einer glatten Oberfläche gespannter biegsamer Faden bildet eine geodätische Linie, weil
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II, 42—44. Die abwickelbaren Flächen. (Erster Teil.) 41
beim Gleichgewicht die Mittelkraft der Spannungen zweier aufein* ander folgenden Elemente des Fadens senkrecht auf der Fläche stehen muß, zugleich aber in der Schmiegungsebene der Fadenlinie liegt.
43. Außer durch ihre Bückkehrkante oder durch Einhüllung einer beweglichen Ebene (38) kann eine abwicMbare Fläche auch durch Leitlinien l und l^ bestimmt sein. Um durch einen Punkt Ä der l eine Erzeugende zu ziehen ; lege man aus Ä als Spitze durch li einen Kegel ^ ziehe die Tangente t der l in Ä, lege durch t eine berührende Ebene an den Eegel, so ist seine Berührungserzeugende auch die Erzeugende e der abwickelbaren Fläche, und jene Berüh- rungsebene des Kegels auch ihre Berührungsebene, weil sie die Tangente der l in A und der l^ in deren Schnittpunkte Ä^ mit e enthält Die abwickelbare Fläche, welche alle diese die l und l^ zugleich berührende Ebenen einhüllt, ist aber offenbar die verlangte, deren Erzeugende die l und l^ schneiden.
Durch Ä gehen so viele Erzeugende, als Berührungsebenen durch t an jenen Kegel gelegt werden können, als demnach die Klasse einer ebenen Schnittkurve des Kegels, d. i. einer Projektion der l^, angibt. Die Leitlinie l ist daher eine ebenso vidfache Kurve der Fläche.
Man kann auch eine oder beide Leitlinien durch Leitflächen er- setzen, die von den Erzeugenden berührt werden sollen; und die abwickelbare Fläche kann man in allen diesen Fällen auch als die Einhüllende einer Ebene ansehen, welche auf zwei Leitlinien, auf einer Leitlinie und einer Leitääche oder auf zwei Leitflächen be- rührend hinrollt. Die Erzeugenden sind stets die Verbind ungsgeraden der Berührungspunkte [derselben Ebene mit den beiden Leitlinien bezw. Leitflächen,
Liegt eine Leitlinie im Unendlichen, so wird sie durch einen Kegel gegeben, welcher sie projicirt und der RichiJcegel der abwickel- baren Fläche heißt Mit jeder Erzeugenden des Richtkegels ist eine Erzeugende der abwickelbaren Fläche parallel, und in diesen ent- sprechenden Erzeugenden sind auch die Berührungsebenen beider Flächen zu einander parallel.
44. Eine besondere Art von abwickelbaren Flächen hat für die Kurven eine Bedeutung, nämlich ihre EvoltUenflädie. Sie ist die EinhüUende der Normalebenen der Kurve und besitzt die Eigen- schaft, daß, wenn man auf ihr eine Ebene abrollen läßt, ein Punkt derselben, nämlich der in ihr liegende Punkt der Kurve, in welchem sie zu dieser normal steht, die Kurve beschreibt Denn dreht sich die Normalebene um die in ihr liegende Erzeugende der abwickel- baren Fläche, so beschreibt jener Punkt ein auf der Ebene senk-
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42
n, 44—46. Die krummen Flächen im allgemeinen.
Fig. 26.
Fig. 26.
rechtes Linienelementy also das Eleiaent der Kurve. Zieht mau iu einer solchen Normalebene der Kurve durch ihren Fußpunkt alle Normalen der Kurve , so werden diese Geraden beim Aufwickeln der Ebene auf die abwickelbare Fläche zu geodätischen Linien derselben^ deren Tangente stets der noch nicht aufgewickelte Rest der betreffen- den Normale ist Alle diese geodätischen Linien sind daher Evoluten der Kurve, deren dieselbe demnach unendlich viele besitzt Die Evolutenfläche einer ebenen Kurve ist der Cylinder, welcher die in der Ebene der Kurve liegende Evolute derselben zum senkrechten Schnitte hat.
45. Da sich zwei nahe zusammenliegende Erzeugende einer abwickelbaren Fläche nicht schneiden, so ist es von Belang, den Grenzwert des Verhältnisses des Abstandes dieser Erzeugenden zu dem Abstände ihrer Berührungspunkte auf der Rückkehrkante i zu bestimmen. Sei A ein Punkt der i, und bilden wir die Projek- tion i' der % auf ihre rektificirende Ebene in Äy so besitzt i' im allgemeinen einen Wende- punkt in Ä' (l, 260); ziehen wir dann an i' zwei untereinander parallele in den unendlich nahe bei Ä' liegenden Punkten B' und C be- rührende Tangenten, so ist der kürzeste Abstand der Tangenten der i in i^und C=S'r, wenn Ä'S'±B'S\ A'T ± CT. Ist noch A'B' = s, q) der Winkel der Normalen der i' in A' und B\ und r der Krümmungshalbmesser der t in A\ so ist
A'S' = Y sq)y q) ^= s:r, A'S' = y s* : r (I, 236, 5)), und da im
Wendepunkt r = c» = 1 : OV so ist für s = 0^ A'S' = 0*, daher auch S'T = 0^ und ST = 0^ d. b. der küraeste Abstand inveier be- nachbarten Erzeugenden einer abunckeJbaren Fläche ist unendlich Mein von der dritten Ordnung.
^
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IL Abschnitt.
Der Schnitt des Cylinders und Kegels mit einer Ebene and einer Geraden und die Abwickelung der Fläche.
L Allgemeines Verfahren.
46. Die SchniUUnie einer Jcrummen Fläche mit einer Ebene wird erhalten y indem man eine Anzfihl von Erzeugenden der Fläche mit der Ebene schneidet (I^ 256)^ und die Schnittpunkte als Punkte der Schnittkurve in der Reihenfolge der sie enthaltenden Erzeugenden durch einen stetigen Zug verbindet Da eine Fläche durch ver- schiedene Erzeugende entstehen kann^ so wählt man diejenigen; deren Projektionen am leichtesten verzeichnet werden können^ also womöglich Gerade oder Ejreise sind.
Eine vorteilhafte Lage einer schneidenden Ebene ist im allge- meinen die auf einer F senkrechte , weil dann ihre Projektion eine Gerade ist, und ihre Schnittpunkte mit den Erzeugenden sich un- mittelbar ergeben. Man wendet daher bei einer Schnittebene von allgemeiner Lage häufig solche auf einer F senkrechte Ebenen als Hilfsebenen an; man bestimmt die Schnittlinien einer solchen mit der Fläche und mit der gegebenen Ebene ; die Schnittpunkte beider sind dann Punkte der gesuchten Kurve. Manchmal sind auch andere Hilfsebenen vorteilhaft, deren Schnittlinien mit der Fläche leicht zu verzeichnende Projektionen besitzen.
Die Tangente an die Schnittkurve in einem gegebenen Punkte derselben wird als die Schnittgerade der schneidenden Ebene mit der Berührungsebene der Fläche in jenem Punkte gefunden. Denn in jeder von beiden Ebenen muß die Tangente liegen (7).
Die SchnMptmkte einer Geraden mit einer Fläche findet man, indem man durch die Gerade eine Ebene legt und ihre Schnittlinie mit der Fläche bestimmt; die Schnittpunkte dieser Linie mit der Geraden sind die gesuchten Punkte. Die Hilfsebene ist dann vor- teilhaft, wenn ihre Schnittlinie mit der Fläche sich als eine mög- lichst einfache Linie projicirt, am besten als Gerade oder Kreis.
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II, 47-48. Ebener Schnitt des Gylinders und Kegels.
n. Ebener Schnitt und Abwickelung des Oylinders.
47, Zwei ebene Schnittkurven eines Gylinders, ihre Parallel- projektionen auf ein und dieselbe Ebene, und endlich die eine Schnittkurve und die Umlegung der anderen in die Ebene der er- steren sind perspeküv-affine Figuren, deren Affinitätsaxe die Schnitt- linie beider Ebenen oder deren Projektion bildet.
Äufg. Von der SchniUhurve eines cmf P^ senkrechten Umdrehungs- cylinders mit einer auf P, senkrechten Ebene E sollen die wahre Gestalt und die bei der Abwickelung des Gylinders entstehende Verwandelte be- stimmt werden. Fig. 26 a. Aufl. Die erste Spur und Projektion des Cylinders sei der Kreis J.'B' CD', die zweite Spur und Projektion det Ebene E die
Gerade Cj, so sind beide Linien ^^' ** bezw. auch die erste und zweite
Projektion der Schnittkurve. Diese ist eine Ellipse A^BC^Dy deren große Axe A^C^ mit P^ parallel läuft, deren kleine BD auf F^ senkrecht steht.
Um die wahre Gestalt dieser Ellipse zu erhalten, drehe man sie um die zu P^ parallele Axe BD in eine zu Pj parallele Ebene. Ein beliebiger Punkt P^ der Schnittkurve beschreibt bei der Drehung einen Kreisbogen {PP^'^ Pi'Pi^^)' Die erste Projektion ArB'P;''G"'D' der gedrehten Figur zeigt die wahre Gestalt, die mit dem Kjreise A' B'CD' per- spektiv- affin ist. Die Tangente PiT trifft die Drehaxe in T und geht durch die Drehung im Grund- riß in TP;" über. Die Brennpunkte JP/" und F^" der wahren Gestalt ergeben sich aus den Berührungspunkten der E mit den beiden Kugeln, welche zugleich den Cylinder nach je einem Kreise und die E be- rühren. Fig. 26 b. 48» Bei der Abunckehing eines Cylinders werden alle Erzeugende
zu parallelen Geraden (39, 7)), jeder senkrechte Schnitt wird zu einer auf den Erzeugenden senkrechten Geraden (39, ö)), daher die Ab-
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II, 48. Ebener Schnitt and Abwickelung des Cylinders.
45
Wickelung unseres durch zwei senkrechte Schnitte begrenzten Cylin- ders zu einem Rechtecke, dessen Grundlinie gleich dem rektificirten Grundkreise und dessen Höhe gleich der Länge der Erzeugenden ist. Der durch den Mittelpunkt der Schnittkurve gelegte senkrechte Schnitt des Cylinders ist der Kreis ÄBPCD, seine Verwandelte die Gerade ÄBPCDA. Indem man den Cylinder nach der Erzeugen- den von Ä aufgeschnitten denkt, erhält mau die Erzeugenden der Teilungspunkte durch Einteilung der Rektificirten AA in vier gleiche Teile, den Punkt P durch Übertragen des Bogens BP mit- telst kleiner Bogenstücke.
Fig. 26 b.
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Die Venvxmädte der ScfmiUJcurve erhält man durch Übertragen der Stücke der Erzeugenden zwischen dieser Kurve und dem Kreise AB PCD, indem man z. B. PP^ = F'P/' macht, um die Tangente im Punkte P^ zu verzeichnen, beachte man, daß sich ihr Winkel mit der Erzeugenden PP^ durch die Abwickelung nicht ändert, und daß derselbe in dem rechtwinkligen Dreiecke P^PT enthalten ist, welches man vollendet, wenn man PT= P'T' oder P^T = P^" T fiberträgt
Die Tangenten in Ay^ und C^ stehen vor und nach der Abwicke- lung senkrecht auf den Erzeugenden, die Wendepunkte der Verwan- delten sind B und 2), weil vor der Abwickelung in den ihnen ent- sprechenden Punkten B und D die Schmiegungsebenen, d. i. die E, senkrecht auf den Berührungsebenen des Cylinders stehen (42). Die Tangente BS wird durch ^AB8 ^ ^A"B''A^' = der ersten Grundneigung 8 der E bestimmt. Der Krümmungshalbmesser r' der Verwandelten in A^ (und C^ wird A^A^ = A" A^ erhalten, wenn man B" A^ J. e^ bis A,^ auf A" A^' zieht. Denn ist a^^M! A' der Halbmesser des Grundkreises des Cylinders, so sind die Axen
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IT, 48. Ebener Schniit des Cylindera und Kegels.
der Schnittellipse a : cos € und a, und ihr Krümmungshalbmesser in Ai ist r = a* : (a : cos f) = a cos a; da femer der Winkel der Schmiegungsebene (E) mit der Berührungsebene des Gylinders in -4i, <y == 90^ — € ist, so ergibt sich (41)
r' = r : cos <y = r : sin a = a cot b = -^"-^g . Fig. 27 a.
N- V ^ - ^ ^ " \ ' > .
-\ \^\
Zur Verzeichnung der Verwandelten genügen meistens die Wende- punkte und Scheitel mit ihren Erümmungskreisen.
Die Verwandelte der SchnittJcarve ist eine Sinoide oder Sinuslinie, deren unendlich vielen Wellen man durch das unbegrenzte Abrollen des Gylinders auf einer Ebene erhält. Nimmt man B als Ursprung der rechtwinkligen Koordinaten, BG als xAxe, so daß für P^
BP = x, PPt=y,
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n, 48—49. Ebener Schnitt und Abwickelung des Cylinden.
47
80 ist X = Bog. B'F, also ^ B'M'P' = | ,
P"P/' = y = B"P" . tg fi — a sin |- tg fi.
Ist T der Schnittpunkt der Tangente in Pj mit der a;Axe, so ist die
Subtangente = PT = P'T' = a tg -| unabhängig von £, und femer
tg PTP, = -|r- = cos ^ tg £. ° * subtg a °
49. Aufg, Die Schnitthurve eines beliebigen Cylinders mit einer beliebigen Ebene m bestimmen und ihre bei der Abunckehmg des Cylin- ders entstehende VeruxxndeUe m Jconstruiren,
Aufl. Es sei die
Fig. 27 b.
sei in Fj liegende Ellipse ^PCD mit dem Mittel- punkte M die Leitlinie, BB eine Erzeugende des Cylinders, c^, eg seien die Spuren der Schnittebene E. Um die Schnittpunkte der Er- zeugenden mit der B und zugleich die f&r die Abwickelung notwendi- gen wahren Längen der auf den Erzeugenden abgeschnittenen Stücke zu erhalten, lege man durch dieselben die er- sten projicirenden Ebe- nen, schneide diese mit
E und lege sie dann samt den Erzeugenden und diesen Schnitt- linien in Fl um, wodurch sich die Schnittpunkte beider Linien ergeben. Verfahrt man so mit der Erzeugenden PJß, so gelangt diese nachB'JJ'" (U'JJ'" ± B'B\ B'B'" = Abstand des B" von x), imd die Schnittlinie der projicirenden Ebene mit E nach B^ TJ'" {B^ Schnitt von B'B' mit e^, Q" ein Punkt der e,, Q'TJ' [\ e^] eine mit e^ Parallele in E, U^ ihr Schnitt mit jener projicirenden Ebene, 17'" dessen ümlegung, indem TJ'V" ±B'Tr und -=^Q'Q"\ dabei sind die Abstände des ü" und Q" von x gleich angenommen). B'B'"
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48 II, 49-— 62. Ebener .Sclmitt des Cylinders and Kegels.
und jBg i7'" schneiden sich in B^"y woraus sich die Projektionen J5i' und B^' des Schnittpunktes By der Erzeugenden mit E ergeben. — Für eine andere Erzeugende^ z.B. die aus^l, zieht man j4.'-4/"|| B'By" und Ä^Ai'' || B^B^'\ Man kann sich vorerst mit den vier Punkten A^ B, G^ D der Grundellipse begnügen, welche die End- punkte zweier konjugirten Durchmesser sind, und von denen B und D a:uf dem ersten Umrisse liegen. Die vier erhaltenen Punkte A^^ By, Ci, Dl sind dann ebenfalls Endpunkte zweier konjugirter Durch- messer der Sclinittellipse, in der wahren Gestalt und in den Pro- jektionen.
Die Kurve ^/"J5/"Ci'"D/" ist eine EU^ als affine Figur zur Grundellipse mit A' A"' als Strahl und e^ als Axe, oder als Parallelprojektion von AiByCiDi mit den Sehnen der beim Um- legen jener Hilfsebenen beschriebenen Kreisbogen als parallelen Projicirenden.
50. Zur Bestimmung der wahren GestaU der Schmtthurve lege man B um e^ in P^ um. Die Bahn eines Punktes Bi im Grundriß ist eine auf e^ senkrechte Gerade B^B^^^j und da der Abstand des By vom Punkte B^ der e^ ungeändert bleibt, mache man B^B^^^ = B^Bi"\ Für einen andern Punkt Ai mache man A^A^^^ || B^B^^^ und = A^Ay". Ai^^Ci^^ und B^^B^^ sind konjugirte Durchmesser.
51. Zur Abwickelung einer Fläche ist es stets vorteilhaft eine Kurve derselben zu besitzen, deren Verwandelte eine bekannte Ge- stalt hat. Bei dem Cylinder ist dies eine zu den Erzeugenden senk- rechte Schnittkurve, die zu einer Geraden wird. Wir brauchen von ihr die wahre Gestalt und die Längen der von ihr auf den Er- zeugenden hervorgebrachten Abschnitte, nicht aber die Projektionen* Die Spuren s^, s^ einer senkrechten Schnittebene S sind senkrecht auf den gleichnamigen Projektionen der Erzeugenden, und man erhält ihren Schnittpunkt B^ mit einer solchen, wenn man aus dem Schnittpunkte jB^ derS'JB' mit s^ die Senkrechte B^B^'" auf J5'jB'" fällt, deren Fußpunkt B^" ist; die Senkrechte ist nämlich die Um- legung des Schnittes der ersten projicirenden Ebene von BB mit S. Legt man dann S um s^ in F^ um, so gelangt B^ nach B<^^^ wenn B'B^^ (J_ Sj) die verlängerte erste Projektion einer Erzeugenden und B^B<^^ =« B^B^'\ So erhält man rfie wahre Gestalt des elivptir sehen senkrechten Schnittes mit jd^^^C^^^ und B^^^D/^ als konjugir- ten Durchmessern. Auch A^"B^" ... ist eine Ellipse.
53. Um die Abwickelung zu verzeichnen, trage man die Länge
der senkrechten Scl\nittkurve A^^B^^ . . . sammt ihren konstruir-
ten Punkten mittelst kleiner Bogenstückchen auf einer Geraden nach
Fig. 27b. -42^2 • • • *^f; ziehe durch alle bezeichneten Punkte die zu dieser
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n, 62 - 64. Ebener Schnitt und Abwickelung des Cyliuders. 49
Geraden senkrechten Erzeugenden, übertrage auf sie im entsprechen- den Sinne die wahren Längen der Erzeugenden zwischen deren senk- rechtem Schnitte und der Grundellipse bezw. dem schiefen Schnitte, welche aus deren ümlegung zu entnehmen sind, also B^B = B^''B\ B^B^ = B^''B^'\ so erhält man die Verwandelte AB.,. der Grundellipse und die A^B^ ... des schiefen Schnittes.
63. um die Tangenten an alle erhaltenen Kurven in den Punk- ten jP, F^ einer beliebigen Erzeugenden zu bestimmen, ziehe man die Tangente an die Grundellipse in F' als erste Spur der Berüh- rungsebene des Cylinders nach der fraglichen Erzeugenden. Diese treflfe 5^ in T, e^ in T\ so sind VF^^^ und VF^'\ sowie TF^', TF^iv^ X'f;" und T"F^' die gesuchten Tangenten. Die Tangen- ten an die Verwandelte in F und jF\ bilden mit der Erzeugenden ein Dreieck FF^T, dessen Seiten FT »= i?" r, F^T=FJ^r bekannt sind und zu seiner Verzeichnung in der Abwickelung und dadurch zur Bestimmung der Tangenten dienen. Auch ist in einem bei F^ rechtwinkligen Dreiecke F^V^F^^^V und FV=FV\
54* Als bemerkenswerte Punkte der Kurven wollen wir zuerst diejenigen aufsuchen, in denen die Tangente senkrecht auf der Er- zeugenden des Cylinders steht Für die Grundellipse sind dies K und L. Der ErümmungshaJbmesser der Verwandelten in diesen Punkten ist JTZJj = Jf'O'", wenn K'O' als Krümmungshalbmesser der Grund- ellipse unter Benutzung der beiden Axen nach I, 392, 3) ermittelt, und 0'" auf der umgelegten Cylindererzeugenden durch 0'0'''XK'0' bestimmt vnirde. Denn es ist r = K'0\ 6 = ^ 0'K'0"\ KO'" «= r: cos <y «= r' (41). Es ist dann auch LL^ = KK^. — In dem Schnitte des Cylinders mit E müssen jene auf den Erzeugenden senkrechten Tangenten parallel sowohl zu B als zu S sein, also parallel zu ihrer Schnittlinie, oder zu der Schnittlinie PS zweier Ebenen, die durch einen Punkt P der Pg parallel zu E bezw. zu S gelegt sind. 8' als Schnittpunkt ihrer ersten Spüren ist die erste, P" die zweite Spur der Schnittlinie. Die Berührungsebene des Cy- linders in den fraglichen Punkten muß nun parallel zu PS und außerdem zu PE sein, wenn PE mit den Erzeugenden gleichläuft; also ist jene Berührungsebene parallel zu der Ebene PSEy und ihre erste Spur parallel zu der ersten Spur S'E' dieser Ebene. Die zu S'E' parallel an die Grundellipse gezogenen Tangenten berühren diese in B'yJ'y wenn Durchmesser H'M'X konjugirt zur Richtung S'E'\ es sind dann die Punkte H^y J^ der Verwandelten bestimmt.
Zur Ermittlung der KriimmungshaJbmesser der Verwandelten JJi Hq t= J^Jq s= r bestimmt man zuerst den Krümmungshalb- messer der Ellipse in 5/^ = B^^ B.^^ == r, und dann den Winkel (T
Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. II. 4
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50 U, 64—67. Ebener Schnitt des Cy linders und Kegels.
der Schmiegungsebene E mit der Berühr uugsebene nach I, 105. Parallel zu diesen Ebenen sind solche schon durch P gelegt, deren Schnittlinie PS bildet. Die erste Spur einer Winkelebene sei die zu P'S' Senkrechte P'3, welche die ersten Spuren jener Ebenen in 1 bezw. 2 trifft; man mache P'3 ■= P'P", ziehe 35', daran einen berührenden Kreis aus P', welcher die P'S' in 4 schneidet; dann ist ^ 1 4 2 = <y, und r' = r : cos <y = 4 6, wenn auf 14 die 4 5 = r = H^'^H^^'', 6 auf 2 4, ^ 4 5 6 = 90«..
Übungsaufgabe. Man suche die Punkte der Schnittkurve mit E, in welchen ihre Tangente parallel ist mit einer beliebig gegebenen Ebene, und diejenigen, in welchen sie einen beliebig gegebenen Winkel mit der Erzeugenden bildet.
55. Die Wendepunkte der Verwandelten entstehen aus den- jenigen Punkten der Schnittkurve, in welchen die Berührungsebene senkrecht auf der Schnittebene steht (42). Für die Grundellipse trifft dies in den Puxikten B und D zu. Für die Schnittkurve mit E lege man die zu E senkrechten Berührungsebenen an den Cylinder. Ihre Stellung wird durch die zu den Erzeugenden Parallele PE und die zu E senkrechte PN bestimmt; die erste Spur der Ebene dieser Greraden ist E' N\ Die mit ihr parallelen Berührungsebenen be- rühren die Grundellipse in F' und G', wenn Durchmesser 2^' JTö' konjugirt zur Richtung E' K. Daraus bestimmen sich die Punkte jp\ und Gl , welche Wendepunkte der Verwandelten sind. Die Tan- genten in denselben werden nach dem allgemeinen Verfahren be- stimmt und sind, wie stets bei Wendepunkten, besonders vorteil- haft Die Tangente in B wird durch das rechtwinklige Dreieck BB^B^ ^ B'B^^B^, bestimmt.
ni. Ebener Schnitt und Abwickelung des EegelB.
56. Zwei ebene Schnittkurven eines Kegels und ihre Projektio- nen auf dieselbe Ebene sind perspekUv-JcoUineare Figuren, deren Kol- lineationsmittelpunkt und Axe die Spitze des Kegels und die Schnitt- linie beider Ebenen bezw. deren Projektionen sind. Ebenso sind die eine Figur und die ümlegung der anderen in ihre Ebene perspektiv- affin, und haben die Schnittlinie beider Ebenen zur Axe und die Umlegung der Spitze samt einer durch sie parallel zur umgelegten Ebene geführten Ebene in die feste Ebene zum KoUineationsmittel- punkte (I, 305).
57. Aufg. Die Schnitikurve eines mit seiner Axe senkrecht auf Pj stellenden Umdrehungskegels mit einer auf S^ senkrechten Ebene E,
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II, 67—68. Ebener Schnitt und Abwickelnng des Kegels. 51
die wahre Gestalt der Schnittlmrve und die Äbtmckelung des Kegels zu verzeichnen.
Aufl. Je nachdem die E mit keiner^ mit einer oder mit zweien Erzeugenden des Kegels parallel ist; entstellt eine Ellipse^ Parabel oder Hyperbel (I, 329). Die Fälle der Ellipse und der Hyperbel sollen betrachtet werden.
Weil E J_ Pg, ergeben sich die Schnittpunkte der Kegelerzeu- pig. ssa. genden mit E unmittelbar in der zweiten Projektion. Die große Axe der Ellipse liegt in dem auf E senkrechten Meridiane (I, 329), also in dem Hauptmeridiane ASC, die Scheitel sind -4^ und C^. Die auf Fg senkrechte Meridianebene liefert auf den Erzeugenden SB und SD die Schnittpunkte B^ und D^; deren erste Projektionen sich aber hier nicht unmittelbar aus der zweiten bestimmen lassen. Man wendet daher den durch J5/' gehenden Parallelkreis vom Halbmesser Bi'B^ an, dessen erste Projektion die Punkte J5/ und D^ enthält. Die Parallelkreise liefern die dem B^ und D/ benachbarten Punkte genauer, als die Erzeugenden. Die kleine Axe G^H^ der Ellipse hat den Mittelpunkt ö/' von A"G^' zur zweiten Projektion, woraus ihre erste Projektion folgt
Der Grundkreis Ä und die erste Projektion s' des Schnittes sind perspektiv-kollinear mit S' als Mittelpunkt und e^ als Axe der EoUineation. Demnach haben sie das involutorische Büschel zu- geordneter Strahlen aus S' gemein; dasselbe ist aber, wie sich aus dem Kreise ergibt, rechtwinklig; doiher ist S' ein Brennpunkt der ersten Projektion s' der Schnittellipse (I, 388). Der KrümmungshaBh messer von s' im Scheitel A^ der Hauptaxe ist gleich der Ordinate S'B^ in ihrem Brennpunkte (I, 250), gleich dem Parallelkreishalb- messer Bi"B2 von B^. Daher gilt: Die Projektion einer ebenen Schnittkurve eines Umdrehungskegels auf eine zu dessen ümdrehungsaxe senkrechte Ebene hat im Scheitel ihrer Hauptaxe einen Krümmungs- kreis gleich dem Parällelkreise des Kegels, dessen Mittelpunkt in der SchnittAene liegt.
Die zu S' gehörige Leitlinie d' der s' ist die Polare des S' zu s' und entspricht der Polaren des S' zu k\ d. i. der unendlich fernen Geraden der P^. Dieser entspricht in E rhre Projektion d aus S auf E, und von letzterer ist d' der Grundriß.
58. Die wahre Gestalt s'" der Schnittkurve erhält man durch Umlegung der E in F^. Dieselbe ist perspektiv- affin mit s' und perspektiv-kollinear mit k'\ e^ ist jedesmal die Kollineationsaxe. Der Eollineationsmittelpunkt ist im zweiten Falle die Umlegung S'" der Spitze mit der durch sie parallel zu E gelegten Ebene in F|. Die Brennpunkte JF/" und F^" der 5'" ergeben sich aus den Be-
4*
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II, 68—69. Ebener Schnitt des Cylindera und- Kegels.
rührungspunkten der E mit den beiden den^ Kegel eingeschriebenen, die B berührenden Ebenen, und die Leitlinien di und dg ^^^ ^^^ Schnittlinien der E mit den Ebenen der Beröhrungskreise jener Kugeln mit dem Kegel (I, 333).
Fig. 28 a.
<
- + -4-4-^-
Pig. 28b. 69, Die Abwickelung des Kegels ist ein Kreisausschnitt SACA,
dessen Halbmesser SA gleich der Seite (S" A") des Kegels und dessen Bogen ACA gleich dem umfange des Grundkreises J, der durch kleine Liniensttickchen übertragen wird. Der Centriwinkel a «B ASA des Ausschnitts ist durch
SÄ'
360«
bestimmt. Bei der wiederholten Abwickelung kehrt eine Erzeugende in eine ihrer früheren Lagen zurück, wenn a und 360, oder S'A' und SA unter einander kommensurabel sind, sonst nicht.
Von der Verwandelten des Schnittes s erhält man einen beliebigen Punkt wie B^, wenn man bei dem Übertragen von k den Schnitt- punkt B der Erzeugenden SBy mit k bezeichnet, die SB zieht und auf sie die wahre Länge SB^ überträgt, welche man = S^'B^ auf der Umrißerzeugenden zwischen S" und dem Parallelkreise von B^ abgreift
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II, 59—61. Ebener Schnitt und Abwickelung des Kegels.
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Bemerkenswerte Punlcte sind die Scheitelpunkte A^ uud Cj, deren Erzeugende SA^ und SC^ Symmetrielinien der s bilden, imd die Wendepunkte. Letztere entstehen aus den Punkten derjenigen Er- zeugenden, für welche die Berührungsebenen senkrecht auf der Schmiegungsebene B stehen, welche also die auf E Senkrechte SE enthalten. Aus ihrer ersten Spur E' ziehe man die beiden Tan- genten an den Grundkreis, welche in J und K berühren, bestimme
auf den Erzeugenden SJ und SK die Punkte J^ und Zj, so werden aus ihnen die Wendepunkte der Verwandelten.
Fällt E' innerhalb des Grundkreises, so giht es keine reellen Wendepunkte, fällt E' auf den Grundkreis in A\ so fallen beide Wendepunkte in -4' in einander. Mit dem Linienelemente in A^ föUt dann ein benachbartes auf jeder Seite in eine Gerade, die Tangente hat drei Elemente mit der Kurve gemein oder berührt vierpunktig, und der Punkt ist ein Flachpunkt (I, 246).
60, Die Tangente an die Schnittkurve in einem Punkte J^j als Schnitt der E mit der Berührungsebene des Kegels in J^y hat ihre erste Spur T im Schnittpunkte von e^ mit der Tangente des Grund- kreises in J\ Durch T geht dann auch die Tangente der wahren Gestalt in eT"/". Die Tangente der Verwandelten in J^ erhält man durch Übertragung des Winkels der Tangente mit der Berührungs- erzeugenden, oder durch Übertragung des denselben enthaltenden bei J rechtwinkligen Dreiecks eTieTT, dessen Seiten gleich eT^eT, J'T, Tj;" sind.
61. Der Krümmungshalbmesser r' der Venmndelten wird nach Nr. 41 = r : cos <y bestimmt. Am leichtesten zu bestimmen und am nützlichsten sind die r' in den Scheiteln -ij und O^. Für die Ellipse
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II, 61—62. Ebener Schuitt des Cylinders und Kegeis.
sind die Erümmungshalbmesser r = A^" A^" als }? : a zu ermitiehi. Die (spitzen) Winkel 6 der Schmiegungs- mit der Berübrongsebene sind aber in A^ und G^ bezw. C;' A" A!' und A^'C^S". Trägt man daber auf A^'C^ die -dl/'J-g == C/'Cg = r auf, zieht A^A^ und C2C3 senkrecht zu A^'C^' und schneidet sie bezw. mit A(' A!\ Ci'S" in -^3, Cj, so sind die r' bezw. = A^'A^ = -4.-4o, Ci^Cj
Fig. 29 a.
jy C t*,-'-7gr"-:^- ^/
Fig. 29a. 63, Der hyperbolische Schnitt. Die beiden Kegeläste werden
von E getroffen und sind daher beide dargestellt; sie seien begrenzt durch zwei Parallelkreise von etwas verschiedener Größe, nämlich durch AB in F^ und durch A^B^. Die E schneidet die Ebenen dieser Kreise in e^ und e^, so daß durch jede dieser Geraden auf einem der Grenzkreise zwei Punkte der Hyperbel bestimmt werden. Die Scheitel sind A^ und B^,
Die Asymptoten werden als Tangenten in den unendlich fernen
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Ily 62. Ebener Schnitt und Abwickelung des Kegels.
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Punkten bestimmt. Diese Punkte liegen auf den Erzeugenden SC und SD, welche in einer durch S parallel zu E gehenden Ebene erhalten werden; die Berührungsebene des Kegels in einem jener Punkte, z. B. in dem auf SC, schneidet die Grenzebenen des Kegels in den Kreistangenten in C und Cg, welche die Spuren e^ und e^ in Punkten (deren einer G ist) treffen, deren Verbindungslinie die mit CC^ parallele Schnittlinie der Berührungsebene mit E, oder die eine Asymptote bildet Die andere läuft mit DD^ parallel.
Mit diesen Punkten und denjenigen J^ und K^, welche Wende- punkte der Verwandelten werden, kann man sich begnügen. Letztere erhält man durch die zu E Senkrechte SE^, welche die obere Grenz- ebene in E^ schneidet; die Tangenten aus E^ an den oberen Kreis liefern Berührungspunkte, deren Erzeugende die Wendepunkte der Verwandelten enthalten. Die Tangente K^T ia einem derselben ist bestimmt In der Figur fallt zufallig S'K^' mit S'D' in dieselbe Linie.
S' ist wieder ein Brennpunkt der ersten Projektion der Hyperbel und d' die zugehörige Leitlinie,
Die ümlegung der E in P^ liefert wieder die tmhre Gestalt mit den Brennpunkten jP^, F^ und den Leitlinien d^, d^.
Die Abwickelung ist so ausgeführt, daß diejenige des unteren Fig. 99 b. Flächenastes SB AB von der des oberen SB^A^B^ teilweise zuge- deckt wird. Die Stücke AS und SA^ einer Erzeugenden bleiben in einer Geraden ASA^. Weil der Kegel nach BSB^ aufgeschnitten ist, wird die Verwandelte des unteren Hyperbelastes in zwei Teile
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II, 62—63. Ebener Schnitt des Cylinders und Kegels.
getrennt; die des oberen bleibt unzertrennt. Die Punkte und Tan- genten werden, wie vorhin bei der Ellipse, übertragen, wobei die Asymptoten besonderer Beachtung bedürfen. Man übertragt die mit ihnen parallelen Erzeugenden, so CSC^, zieht die Kreistangenten in allen vier Endpunkten derselben, gibt allen die gleiche Länge CG = C'G' und verbindet die Endpunkte durch Parallele zu den Erzeugenden, so zu CC^, so sind dies die Asymptoten. Die Krüm- mungshalbmesser für die Scheitel findet man wie vorhin als Ä^Ä^ = Ä^^'Ä^ und B,Bq = J^/'-Bi.
63. Aufg. Die Schnittkurve eines schiefen Kreiskegels mit einer Ebene, deren währe Gestalt und die Abwickeltmg des Kegels zu ver- zeichnen.
Indem wir zweckmäßig zwei parallele Spur- und Projektions- ebenen anwenden (I, 112), geben wir den Kegel durch seinen in Fig. 80a. Pj liegenden Spurkeis i', durch die Projektion S' der Spitze und
Fig. 80 a.
r:
T,\
3^^
'>7f
I
I
\ I
'K
S"
deren Hohe a über P^, und die Schnittebene E durch ihre Spur e^ in P^ und die damit parallele Projektion e^ ihrer Spur (e^) in einer parallel zu Pj durch S gelegten zweiten Spurebene P^.
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II, 63—64. Ebener Schnitt und Abwickelung des Kegels.
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Aufl. Man erhält einen allgemeinen Punkt Pj der Schnittkurve s und deren Tangente t in demselben^ indem man durch die nach einem Kreispunkte P laufende Erzeugende PS eine Hilfsebene, am besten die Berührungsebene des Kegels legt, deren erste Spur t^ den Ereis in P' berührt, und deren zweite in der Projektion als ^ durch S' parallel zu t^ läuft. Der Schnitt dieser Ebene mit E ist die Tangente t' = T^T^ der Kurve s\ wenn T^^^e^t^, Tg = ^^2? imd der Schnitt der t' mit PS' ist der gesuchte Punkt P/.
Einen Durchmesser der s erhält man, wenn man eine Hilfs- ebene ÄjÄg durch S legt, deren Äj ein auf e^ senkrechter Durch- messer A'M'G von V ist. Dadurch ergeben sich die Schnittpunkte A^,C<^ der Erzeugenden A' S\C'S' mit der Geraden {c^^hy^h^* Die Tangenten in A^^C^ sind parallel zu e^\ der zu A^C^ konjugirte Durchmesser geht || e^ durch die Mitte 0/ von A^C^ und wird als B^D^ erhalten, wenn man 0/ aus 8' auf A'C nach 0' projicirt,
Fig. 80 b.
\^
■;.V:t;
die Kreissehne B'O'D' \ e^ zieht, und B'D' aus S' nach JB/D/ projicirt
64. Um die wahre Gestalt der Schnittkurve zu erhalten, legt man B um e^ in P^ um. Die durch S ±e^ geführte Ebene hat h^ (JL Ci) zur ersten Spur und schneidet die c, und e^ bezw. in E^ und JE^j legt man sie um Ä, in P^ um, so gelangt (E^) nach JBg" auf e^, wobei E^E^" gleich der Höhe a des Kegels. Bei der ümlegung
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58 II, 64—66. Ebener Schnitt des Cylinders und Kegels.
von B in Pi gelangen (E^) nach i;/" auf h^ {E^E^" =- ^i^A (^2) nach Ca'" (I ^ durch E{'), (t) nach ^'"= T^ T/", (T/" auf ß,'", i; T/" ± e,) und (P,) nach P/" auf ^'" (P/P/" -L e,). Auf solche Weise bestimmt man die konjugirten Durchmesser J./" C/", JBi'" Dj'" der umgelegten Ellipse s'", und kann Unsicherheiten der Schnitt- punkte stets durch sichernde Verbindungslinien (wie durch A^" D/" vermittelst ihrer Schnittpunkte mit e^ und ßg'") beseitigen. — Die Umlegung s'" der Schnittkurve ist mit dem Grundkreise k' per- spektiv-kollinear mit e^ als Axe und 8'" als Mittelpunkt, wenn auf Äa die S'S'''^E^E^" gemacht wird (I, 305).
65« Zur Verzeichnung der AbwicJcelung wollen wir, neben einem später zu benutzenden Verfahren, hier das nächstliegende, schon von Fr^zier (s. I, 20) angegebene, anwenden, das, einfach und, mit Vor- sicht gebraucht, ebenfalls genau ist. Man teilt den Grundkreis h\ ausgehend von dem Durchmesser 5' 12' M' 0' in eine gerade Anzahl (hier 24) gleicher Teile, deren Bogen- und Sehnenlänge nur un- merkbar verschieden sind, und bestimmt die wahre Länge der von den Teilungspunk4;en ausgehenden (paarweise gleichen) Erzeugen- den; eine solche ist z. B. für den Teilungspunkt 2' gleich 5" 2'", wenn S'S" _L h^ und = a, und S' 2'" auf h^ = S' 2'; SO"' sei die Fig.sob. größte. Mit allen diesen wahren Längen als Halbmessern ziehe man für die Abwickelung Kreise aus einem Punkte S, wähle auf dem größten den Punkt 0 und trage von ihm aus zwischen den auf- einander folgenden Kreisen die Teillänge 1 : 24 des Kreises weiter. Die Verbindungslinie der Zirkelstiche ist die Verwandelte des Grund- kreises. Bildet ein Element mit der Erzeugenden einen kleinen Winkel, so tritt Unsicherheit ein, z. B. bei Punkt 8; man beseitigt dieselbe, indem man beachtet, daß in der Abwickelung der senk- rechte Abstand des 8 von S 7 die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist, dessen Katheten (Fig. 30a) die Abstände des 8' von S'V und des 8"' von Ä" 7'" sind.
Die Verwandelte der Schn^itihurve erhält man durch die Punkte der s' auf den Erzeugenden der Kreisteilungspunkte, wie des 2i' auf S' 2\ Man bestimmt, allein mittelst des Handzirkels, 2^'' auf S" 2'" so, daß sein Abstand von Ä'iS"== ^'2/, und überträgt dann in die Abwickelung 82^= /S"2/". — Die Tangenten PT^, P^ T^ in zwei entsprechenden Punkten P und P^ von k und s in der Ab- wickelung erhält man durch Übertragen des Dreiecks (PP^T^), in- dem man die Linien P T, P^ 2\ in der Abwickelung bezw. gleich ri^^P^^'T, macht
66. Bemerkensioerte Punkte der Verwandelten k und s. Die Punkte der k, in denen die TangerUen senkredit auf den Erzeugenden
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II, 66-67. Ebener Schnitt und Abwickelung des Kegels.
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sieben, sind 0 und 12. Die Krümmungshalbmesser der Je in den- selben sind = Jf'O' : cos ö (41), also bezw. = O'^'O^ und 12'" 12^, wenn auf \ die S' M" ^ S' M' aufgetragen, Jf'" 0^122 J_ Ä^ ge- zogen und mit S" 0'" und iS"12'" bezw. in O2 und 12^ geschnitten wird. O'^Og und 12'" 12^ überträgt man dann in Fig. 30b nach OO^j und 12 12o. — Die Wendepufikte der i, wie TT, entstehen aus den Berührungspunkten der Kegelumrisse mit h\ wie TT', indem hier die Berührungsebenen des Kegels senkrecht auf der Schmie- gungsebene F^ von Ic stehen. Die Tangente in W berührt einen aus S mit dem Halbmesser a gezogenen Kreis, weil das bestim- mende Dreieck W' S' (S) rechtwinklig wird. — Die Wendepwnkte Ui , F| der s in der Abwickelung entsprechen denjenigen Punkten (t/i), (F,) der 5, in welchen die Berührungsebenen des Kegels J_ E stehen. Man erhält sie, indem man aus {S) die {SN) J_ E fällt und ihre Spur J^ in Pj sucht {S" N ± E^E^\N auf Ä^), von N zwei Tangenten an Tc' legt, deren Berührungspunkte U\ V sind, woraus f7/, V^ auf s' bestimmt werden können. Doch sind die letzteren Punkte entbehrlich; man bestimmt in der Abwickelung ü^ als Schnitt der US mit 5, und die Tangente Z7X an Ä;, indem man in der Projektion die NU' mit e^ in X' schneidet, und in der Ab- wickelung das Dreieck SUX verzeichnet, worin ?7X= U' X\ SX gleich dem wahren Abstände der Kegelspitze (S) von X' («= S" X^y wenn X^ auf h^ und S^X^ = S'X'). Dann ist auch UiX die Tan- gente der s in ihrem Wendepunkte üi (und U^ X Fig. b) = ?//" X' in Fig. a)).
67. Äufg. Auf einem Kegel zweiten Grades die Kreisschnitte zu bestimmen,
Aufl. Legt man durch die Spitze S des Kegels senkrecht zur Ebene eines Kreisschnittes durch dessen Mittelpunkt eine Ebene, so ist diese eine Symmetrieebene des Kreises und des Ke- gels. Die Ebene eines Kreisschnittes steht daher senkrecht auf einer Symmetrie- oder Axenebene des Kegels, und diese müssen zur Auflösung der Aufgabe gegeben sein oder bestimmt werden (23). Es sei SM die innere Axe, MA «=» a die große und MB=^ b die kleine Halbaxe eines darauf senkrech- ten (elliptischen) Schnittes des Kegels. In der Figur bilde die Ebene der Ellipse BA^i die Grundriß-, diejenige des Haupt- schnittes BSBi die Aufrißebene (P^ und
Fig. 31.
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60 n, 67—68. Ebener Schnitt des Cylinders und Kegels.
Pj), in welche auch der Hauptschnitt ÄSA^ um SM nach ÄSA^ umgelegt sei. Auf der zu SM senkrechten Hauptebene kann eine Kreisschnittebene nicht senkrecht stehen, weil solche Ebenen hyper- bolische Schnitte liefern. Vielmehr erhält man Kreisschnittebenen senkrecht auf der Hauptebene BSB^ und die Kreise sind die Schnitte des Kegels mit Kugeln, deren Mittelpunkte auf SM liegen, und welche die Erzeugende SÄ und dann auch die SÄ^ und den Kegel berühren. Die größten Kreise einer solchen Kugel in den beiden Hauptebenen fallen nach deren Zusammenlegung in der Zeichnung zusammen. Der Kreis berührt SA' und SA^ bezw. in C und (7/ und schneidet die SB und SB^ bezw. in D, JE^ und Di, E^, Die Projektion von C und Ci liegt aber im Schnittpunkte Cq der Sehnen DE^ und D^E, weil die Polare C'C^' von S zu dem Kreise durch Cq gehen muß. Die Ebene, welche die vier Punkte D, E^, C,Ci enthält, schneidet aber die Kugel in einem Kreise, und den Kegel in einem Kegelschnitte, welcher mit dem Kreise zusammenfallt, weil er mit ihm jene vier Punkte und ' die Tangenten in C und C^ gemein hat, da Kegel und Kugel in C und Gl gemeinschaftliche Berührungsebenen besitzen. — So sind durch einen die SA' und SA^^ berührenden Kreis die Stellungen DEi und D^E der Kreisebenen des Kegels bestimmt
Kreisschnittebenen, die senkrecht auf der Hauptebene ASA^ ständen, kann es aber nicht geben, weil durch zwei solche in Bezug auf die Ebene BSBi symmetrische Kreise wieder eine Kugel gehen müßte, welche die Erzeugenden SB und SB^ berührte und diejeni- gen SA, SA^ schnitte, was offenbar unmöglich.
Man bemerkt, daß alle Kreisschnittebenen zur Axe des Kegels gleich geneigt sind, und daß in der zu den Kreisschnittebenen senk- rechten Hauptebene zwei Kegelerzeugende und die Geraden irgend zweier untereinander nicht parallelen Kreisschnittebenen ein Kreis- Viereck bilden, weil die Summe je zweier Gegenwinkel sich zu zwei oder zu vier Rechten ergänzen. Man nennt zwei solche Kreisschnitt- ebenen im Kegel anüparaXld.
68. übtmgsaufgäben,
1) Von einem Umdrehungskegel sind die Projektion S' und die Höhe der Spitze über P^, sowie die ersten Spuren dreier Erzeugen- den gegeben, man soll die erste Spur eines Kreisschnittes des Kegels finden. Es geschieht durch Abtragen dreier gleichen Längen auf den Erzeugenden YOh der Spitze aus. Auf dieser Auflösung beruht das Verfahren des Hygimis (de limitibus) zur Bestimmung des Meri- dians aus drei Sonnenstrahlen*).
♦) S. die Auslegung der betreffenden Schriffcstelle durch den Verf.^in der Zeitschr. für Vermessungswesen (Stnttg. 1875), B. 4, S. 299 u. 366.
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II, 68—69. Ebener Schnitt und Abwickelung des Kegels. 61
2) Von einem ümdrehungscylinder oder Kegel sind drei Erzeu- gende je durch ihre beiden Projektionen gegeben; man soll seine Schnittlinie mit der Halbirungsebene B^ (I; 66) verzeichnen und die Axen ihrer Projektionen und ihrer wahren Gestalt bestimmen.
3) Einen Eegel^ der durch seinen Schnitt mit der Halbirungs- ebene Hg und die beiden Projektionen seiner Spitze gegeben ist^ mit einer gegebenen Ebene zu schneiden.
4) Einen Kegelschnitt h zu verzeichnen , von welchem drei Punkte und ein Brennpunkt F gegeben sind. Man betrachtet k als die Projektion eines ebenen Schnittes eines ümdrehungskegels, dessen Spitze sich in F projicirt, oder als die perspektiv-koUineare Figur eines Kreises, welcher F zum Mittelpunkte hat
69. Atifg. Dwch zwei gegebene Punkte P und Q eines Um- drehungskegels die geodätische Linie m legen und ihre ausgezeichneten Punkte und Tangenten zu bestimmen.
Wir wollen zunächst annehmen, daß die beiden Punkte auf demselben Aste des Kegels liegen, und daß von den verschiedenen Fig. 32a. geodätischen Linien diejenige genommen werden soll, deren Bogen zwischen P und Q der kleinste ist.
Aufl. Die Axe des Kegels stehe J_ Pj*, aus den gegebenen Pro- jektionen P' und Q' bestimme man P" und Q'' auf demselben (unteren) Flächenaste. Eine geodätische Linie wird bei der Ab- wickelung zu einer geraden. Daher bilde man die Abwickelung des Fig. 82 b Kegels, in welcher P und Q so oftmal vorkommen, als Abwicke- lungen des gafazen Kegelmantels aneinander gereiht sind, also un- endlich oft oder eine endUche Anzahl mal , je nachdem der Winkel der Abwickelung des einfachen Kegelmantels mit 360^ kommensurabel ist oder nicht. Jede Verbindungsgerade eines P mit jedem Q wird beim Wiederaufwickeln auf den Kegel zu einer geodätischen Linie, die, je nachdem der eine oder der andere jener Fälle eintritt, un- endlich oft oder eine endliche Anzahl mal durch das unendliche hindurch von dem einen zum andern Kegelaste übergeht. Die kür- zeste dieser Strecken PQ verbindet zwei Punkte P und Q, zwischen welchen weniger als ein halber Kegel, oder höchstens ein solcher liegt, und diese Gerade erzeugt die verlangte Kurve. Die Aufwickelung wird auf dem umgekehrten Wege, wie in Nr. 59 die Abwickelung, vorgenommen. 8 ist die Spitze, A^B^C^^D^ ein Parallelkreis k des Kegels.
Bestimmen wir die ausgezeichneten Punkte der Kurve.
1) Der nächste Punkt E bei der Spitze liegt in der Abwickelung auf der zu PQ senkrechten Erzeugenden SE^.
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IT, 69. Ebener Schnitt des Cylinder« and Kegels.
|
Fig. |
32 a. |
|
|
V 1 |
ji |
/ |
|
\ \ |
ii li . // |
// / |
2) Die Doppelpunkte F liegen in dem durch E gehenden Meri- diane; denn dessen Ebene ist die Symmetrieebene der Kurve, weil in der Abwickelung SE die Symmetrielinie der PQ ist Man über- trage daher in die Abwickelung Bogen E^F^ = Halbkreis E^F^'.
3) Die unendlich fernen Pu/nkte liegen auf den zu PQ parallelen Erzeugenden SG^ und SH^ der Abwickelung. Die Tangente in einem Punkte, z. B. die beiden im Doppelpunkte i^, erhält man durch Übertragen des recht- winkligen Dreiecks FF^T und des damit kongruenten FF^U. Entsprechend findet man die Asymptoten parallel mit den Erzeugenden SG^ bezw. 8H^ und gehend durch die Punkte J bezw. K der Ejreistangente in G^ und H^, wenn die Langen G^ J' =» J?/ K'= öl Jaus der Ab- Wickelung übertragen werden. Den KrümmungshalbmeS' ser im Scheitel E' des Grund- risses findet man im Aufriß = E^E^, wenn man den Parallelkreis von E" mit dem Kegelumriß in E^ schnei- det, Ey E^ senkrecht zu die- sem Umriß bis zu E^ auf der Kegelaxe zieht, und E^ E^ als Halbmesser des Parallel- kreises von E^ nimmt. Denn dreht man den Symmetrie- meridian 8E in den Haupt- meridian, so ist Ey E^ die zweite Projektion der auf SE^ senkrechten Schmiegungsebene der geodätischen Linie (42); sie schneidet den Kegel in einem Kegel- schnitte, dessen Krümmungshalbmesser in E mit dem gesuchten übereinstimmt und in der angegebenen Weise gefunden wird (57). Durchschreitet man in der Abwickelung den unendlich fernen
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n, 69—70. Ebener Schnitt nnd Abwickelung des Kegels.
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Punkt der Geraden PQy so geht man entsprechend bei dem Eegel durch das Unendliche von dem einen zum andern Aste über. Die auf den beiden Kegelästen befindlichen Eurvenäste sind als Auf- wickelungen derselben Geraden mit einander kongruent Lägen die beiden gegebenen Punkte P und Q auf den verschiedenen K^elästen, so müßte man in der Äbunckelung beider Äste durch die verwan- delten Punkte P und Q die Gerade legen.
70. Die Wendepunkte der Projektionen der Kurve m bestimmen. Verfolgt man den Lauf der Kurve, so bemerkt man, daß weder der
Fig. 32 b.
Punkt, noch die Tangente, noch die Schmiegungsebene ein Rück- kehrelement besitzt. Doch bedarf die Asymptote noch einer Er- örterung, die bei der Untersuchung der Rückkehrelemente (I, 257) nicht angestellt wurde. Es scheint nämlich nach dem Aufriß, als ob bei unserer Kurve, ebenso wie bei der Hyperbel, die Tangente den Sinn ihrer Drehung in der Schmiegungsebene in der Asymptote wech- sele, und als ob zugleich der Punkt, ohne den Sinn seines Fortschrei- tens zu ändern, in dem unendlich fernen Punkte die Seite der Tan- gente, auf welcher er sich befindet, vertausche. Nach jedem dieser Anzeichen müßte der unendlich ferne Punkt als Wendepunkt ange- sehen werden. Da aber der Durchgang eines Punktes durch einen unendlich fernen, uneigentlichen Punkt nicht unmittelbar mit dem- jenigen durch einen endlich fernen, eigentlichen Punkt verglichen
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64 II, 70. Ebener Schnitt des Cylinders und Kegels.
werden kann, so stellen wir, wie früher bei dem Begriffe des be- stimmt ünendlichgroßen (I, 72 — 74), eine Beziehung zu dem End- lichen her, und zwar in stetiger Weise eine projektive Beziehung, indem wir unsere Kurve als die Projektion einer zweiten Kurve be- trachten, derart, daß dem unendlich fernen Punkte in der ersten ein endlich ferner Punkt in der zweiten entspricht. Indem wir die Schmiegungsebene unserer unebenen Kurve in ihrem unendlich fernen Punkte durch die Ebene einer ebenen Kurve ersetzen, wollen wir unsere Vorstellung auf eine Hyperbel richten, und diese als die Projektion eines Kreises ansehen. Ziehen wir aus dem Projek- tionsmittelpunkte einseitig den projicirenden Strahl und lassen ihn auf dem Kreise hingleiten, bis er mit der Ebene der Hyperbel parallel wird, also ihren unendlich fernen Punkt projicirt, und setzen dann die Bewegung des einseitigen Strahles auf dem Kreise hin in stetiger Weise fort, also ohne seinen Sinn umzukehren, so trifft derselbe die Projektionsebene erst, nachdem er einen unendlich fernen Punkt des Baumes durchschritten hat; er gelangt demnach von der anderen Seite her, als zu Anfang, auf die Projektionsebene, so daß die Kurve beim Durchschreiten durch das Unendliche die Seife ihrer Schmiegungsebene wechselt^ auf welcher sie liegt Betrachten wir auch die Kurve stets im Sinne des projicirenden Strahles, so ändert sich der Drehungssinn der Tangente beim Durchgang durch die Asymptote nicht; und denkt dabei der Beschauer seine Figur mit dem Kopfe voran in der Richtung der Kurve hinschwimmen, so ändert sich auch die Seite der Tangente, auf welcher die Kurve liegt, beim Durchgang durch den unendlich fernen Punkt nicht — Indem wir so die Eigentümlichkeit der Bückkehrelemente zu einer pro- jektiven Eigenschaft gemacht hohen y bleibt das Kennzeichen des Rück- kehrelementes der Tangente, daß sich in ihr deren Drehungssinn umkehrt, auch für die im unendlich fernen Punkte berührende Asymptote erhalten, wobei nur zu beachten, daß die Kurve beim Durchgang durch den unendlich fernen Punkt die Seite der Ebene wechseli Insbesondere sind der unendlich ferne Punkt der Hyperbel und derjenige der geodätischen Linie des Umdrehungskegels keine Wende- punkte, sondern gewöhnliche Punkte.
Wenn nun die geodätische Linie des Umdrehungskegels kein Rückkehrelement besitzt, so ist im allgemeine^ auch die Projektion eines Elementes* kein Rückkehrelement (I, 258); und so sind auch die Asymptoten der zweiten Projektion keine Rückkehrtangenten. Im besonderen aber tritt in der Projektion eine Rückkehrtangente und ein Wend^unkt auf, wenn die Schmiegungsebene senkrecht auf der Pro- jektionsebene steht (I, 260). Die auf der Berührungsebene des
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II, 70—71. Ebener Schnitt und Abwickelung des Kreises. 65
Kegels stets senkrechte Schmiegungsebene der Kurve steht auf der zur Kegelaxe senkrechten Fj^ nur dann senkrecht^ »wenn die Tan- gente der Kurve mit der Erzeugenden des Berührungspunktes den Winkel Null bildet, also die Asymptote ist; diese ist daher eine Wendetangente und ihr unendlich femer Punkt ein Wendepunkt der ersten Projektion der Kurve, wie dies die Figur zeigt.
Um einen Wendqmnkt der zweiten Projektion der Kurve zu finden, beachte man, daß jede Schmiegungsebene der Kurve eine Berührungs- ebene der abwickelbaren Fläche ihrer Tangenten ist. Man bestimme daher die erste Spur l dieser Fläche durch die Spuren U' von Tan- genten derselben. Die auf der Projektionsaxe x senkrechte Tangente der l ist die erste Spur der gesuchten Schmiegungsebene. Bestimmt man durch eine Fehlerkurve ihren Berührungspunkt L', legt aus L' eine Tangente an den Grundkreis k in dem durch die abwickel- bare Flache vorgeschriebenen Sinne, deren Berührungspunkt TT/ sei, so liefert die Erzeugende SWy den Punkt W der Kurve, in welchem die Tangente durch L' geht Die zugehörige zweite Pro- jektion L" W" ist eine Wendetangente der zweiten Projektion der Kurve. In gleicher Weise ist unweit P" ein zweiter Wendepunkt bestimmt.
71. Aufg. Die Schnittpunkte einer Geraden g mit einem Kegel zu bestimmen.
Aufl. Man legt durch g und die Spitze S des Kegels (der bei dem Cylinder im Unendlichen liegt) eine Hilfsebene, schneidet diese mit der Ebene einer ebenen Kurve k des Kegels in der Geraden Ä, so sind die Verbindungslinien von S mit den Schnittpunkten von k und h die Schnitterzeugenden der Hilfsebene mit dem Kegel; die- selben schneiden die g in den gesuchten Punkten.
Wiener, Lehibnoh dor daniellendon Geometrie. U. 6
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in. Abschnitt Die Flächen zweiten Grades.
L Allgemeine Eigenschaften und Einteilung der Flächen zweiten Grades.
72. Begriff. Eine Fläche zweiter Ordnung nennt man eine solche FlächCf todche von jeder Geradeny die nicht ganz in der Fläche liegt, in zwei (reellen oder imaginären) Punkten geschnitten wird.
Legt man durch die Gerade ^ beliebig viele Ebenen; so schneidet jede derselben die Fläche zweiter Ordnung P in einer Kurve, und die beiden Schnittpunkte der g mit der F sind offenbar zugleich die alleinigen Schnittpunkte der g mit jeder von diesen Kurven. Daraus folgt auch, daß die Schnittlinie einer jeden Ebene mit einer Fläche zweiter Ordnung von jeder Geraden ihrer Ebene, die nicht selbst ein Bestandteil der Schnittlinie ist, in zwei Punkten getroffen wird, daß sie also selbst von der zweiten Ordnung ist. Eine solche Kurve ist nach der Analysis ein Kegelschnitt (I, 338, Anm.). Rein geometrisch können wir sagen: Eine Fläche »zweiter Ordnung ist eine solche FlächCf welche von jeder Ebene in einem (reellen oder imagi- nären) Kegelschnitte getroffen unrd. Man könnte sie in geometrischer Anschauung eine Kegelschnittsfläche nennen.
Hieraus folgt sogleich, daß wenn drei Punkte einer Fläche Zureiter Ordnung cmf einer Geraden liegen, diese Gerade ganz in der Fläche liegt, weil diese Gerade ein Bestandteil des Kegelschnittes sein muß, in welchem eine durch die drei Punkte gelegte Ebene die Fläche schneidet.
Indem wir imaginäre ebene Schnitte imd imaginäre Flächen erst später untersuchen wollen, gehen wir zunächst von dem Be- griffe aus: Eine reelle Fläche zweiter Ordnung ist eine Fläche, auf welcher jede reelle ebene Kurve ein Kegelschnitt ist.
Die Kugel ist offenbar und das einschalige Hyperboloid nach Nr. 31 eine solche 'Fläche.
73. Es sollen jetzt einige allen reellen Flächen zweiter Ordnung gemeinsame Eigenschaften aus ihrem Begriffe abgeleitet werden.
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III, 73. Allgemeine2Eigen8cliaften der Flächen zweiten Grades. 67
Zieht man aas einem nicht 'der Fläche zweiter Ordnung F ange- Fig. ss. hörigen Pankte P eine die F in zwei reellen Punkten F, F' schnei- dende Gerade g und legt durch g eine Ebene E^ welche die F in dem Kegelschnitte s treffe, bestimmt die Polare QU von P zu s, welche die ^r in ^ schneide, so ist Q von P durch F und jP' har- monisch getrennt (I, 341). Jede durch g gelegte Ebene liefert daher
# Fig. 33. •
eine durch denselben Punkt Q der g gehende Gerade, und alle solche Punkte Q und Gerade QU, welche durch beliebige, aus P gezogene und die Fläche F reell schneidende Gerade und Ebenen* geliefert werden, liegen in ein und derselben Ebene F. Denn seien %!, \ zwei solche durch Q gehende Gerade Qi2, sei Q, ein anderer solcher vierter harmonischer Punkt, und legt man durch PQ^ eine Ebene, welche die A^, h^ in solchen Punkten Q,, Q^ und die F in einem Kegelschnitte s^ trifft, so muß Qy Q^ Q^ die (gerade) Polare von P zu $y sein, also Q^ in der Ebene W liegen. Diese Ebene P heißt die Pol^arebene von P in Bessiig auf die Fläche F oder m der Fläche F.
Beachtet man nun, daß wenn eine Gerade QR den Kegelschnitt 5 in den Punkten Ä und B schneidet, diese die Berührungspunkte der aus P an s gezogenen Tangenten bilden; daß sich ferner die in F und F' BJi s gelegten Tangenten in einem Punkte B der QR, also in der Ebene P treffen, wobei Q und R durch Ä und B har- monisch getrennt sind, so folgt, daß die Polarebene P des Punktes P m der Fläche F enthält:
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68 III, 73—76. Die Fl&chen zweiten Grades.
Fig. 38. 1) Die Punkte Q auf den aus P gezogenen die F in F und F^
schneidenden Geraden g, welche von P durch F und F' hamtonisdi getrennt sind]
2) die Polaren QB von P zu den Kegelschnitten 5, in welchen die P von Ebenen, die durch P gehen, geschnitten wird;
3) die Beriämmgspunkte ÄyB... der aus P an F gelegten Tan- genten und^ Berührungsebenen; da diese Punkte auf dem Kegel- schnitte p liegen, welchen P mit F gemein hat,* so berührt der aus P der Fläche umschriebene Kegel nach einem Kegelschnitte, ist also vom zweiten Grade]
4) die Schnittpunkte B zweier Tangenten an einem auf F gele- genen Kegelschnitte, deren Berührungspunkte F, F' mit P auf einer Geraden liegen; alle Punkte Bj weil sie von Q (P, g) durch Punkte des Kegelschnittes p (P, F) harmonisch getrennt sind, bilden die Polare g' von Q zu jp, also eine Gerade;
5) die Schnittgerade g' je zweier Berulirungsebenen an F, deren Berührungspunkte F und P' mit P auf einer Geraden liegen*
Jeder dieser Sätze gibt ein Mittel, die Polarebene P von P zu F zu bestimmen. Ist P ein Punkt der Fläche V, so ist seine Polar- ebene die Berührungsebene der F in P.
Zms. Aus diesen Sätzen folgt, daß eine Fläche zweiter Ordnung F mit sich seihst perspektiv-Jcollinear ist in Bezug auf einen Punkt P und dessen Polarebene P zu F als Mittelpunkt und Ebene der Kolli- neation, wobei zwei entsprechende Elemente durch P und P har- monisch getrennt sind. (Vergl. I, 346.)
74. So wie die Ordnung einer Fläche durch die Anzahl ihrer Schnittpunkte mit einer Geraden angegeben wird, so ihre Klasse durch die Anzahl der Berührungsebenen, welche an sie durch eine Gerade gelegt werden können. Eine Fläche zweiter Ordnung ist auch ztveiter Klasse^ weil durch eine Gerade zwei Berührungsebenen an sie gelegt werden können, nämlich ebenso viele wie an einen Kegel (zweiten Grades), der aus einem Punkte der Geraden der Fläche umschrieben wird. Die Fläche soll daher vom zweiten Grade ge- nannt werden.
75. Wenn P die Polarebene des Punktes P zu der Fläche F ist, so heißt umgekehrt der Punkt P der Pol der Ebene P. Von einer Ebene P können nicht mehrere Punkte Pole sein. Denn hätte P deren zwei, P und P', und legte. man durch PP' eine die F in einem Kegelschnitte s und die P in der Geraden QB schneidende Ebene, so müßte QB die Polare zu s zugleich von P und von P' sein, was unmöglich (I, 340).
Jede Ebene P hat einen Pol P, und man findet denselben durch
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III, 75—77. Allgemeine Eigenschaften der Flächen zweiten Grades, 69
Umkehrring der in der vorigen Nummer gegebenen Verfahren. So Fig. »s. ergibt sich aus 5): M^n schneide irgend eine Berührungsebene der P, deren Berührungspunkt F nicht in P liegt, mit P in g\ lege durch g' die stets mögliche zweite Berührungsebene an P, welche in F' berühre, so ist P der Punkt der Geraden FF\ welcher durch F und F' von P harmonisch getrennt ist.
76. Die Polarebene Q eines jeden Punhtes Q einer Ebene P m einer Fläche P geht durch den Pol P der V. Denn legt man durch die Gerade PQ eine die F in einem Kegelschnitte s schneidende Ebene, so geht die Polare von P zu s, da sie in P liegt, durch Q\ daher geht auch die Polare von Q zu Sj sowie die Polarebene von <2 zu P, weil sie diese Polare enthält, durch P. Und reciprok: Der Pol Q einer jeden durch einen Punkt P gehenden Ebene Q, liegt in der Pdlard)€ne P von P; denn weil P in Q liegt, geht P durch Q.
Zwei solche Punkte P und Q, wovon jeder in der Polarebene des anderen liegt, heißen konjt^girt in Bezug auf P; sie sind auch konjttgirt in Bezug auf jeden Kegelschnitt s der F^ dessen Ebene durch sie geht. Sie bilden ein Paar der Involution konjugirter Punkte auf der Geraden PQ, und die Doppelpunkte derselben sind die Schnitt- punkte der Geraden mit P. — Ebenso heißen zwei Ebenen in Bezug auf P konjugirt, wenn jede durch den Pol der anderen geht; ein Punkt u/nd eine Gerade, wenn die Gerade in der Polarebene des Punktes liegt; eine Ebene und eine Gerade, wenn die Gerade durch den Pol der Ebene geht.
77. Zwei Gerade g und g' heißen in Bezug auf eine Fläche zweiten Grades P Polaren von einander oder gegenseitige Polaren zu F, wenn die Polarebenen aller Punkte der g durch g' gehen, und die Pole aller durch g gehenden Ebenen auf g' liegen, und umgekehrt Alle diese Bedingungen sind zugleich erfüllt; denn legt man durch g zwei Ebenen A und B, deren Pole bezw. Ä und B sind, und bestimmt^' als AB, so geht die Polarebene jedes Punktes der^, weil derselbe in A und B liegt, durch Ä und B, also durch g\ und der Pol jeder durch g gelegten Ebene liegt in der Polarebene jedes Punktes der g, also in g\ Das umgekehrte gilt, weil g die Ver- bindungslinie der Pole zweier durch g' gehenden Ebenen ist.
Von zwei Polaren g^ g' gilt:
1) Jeder Punkt der g ist zu jedem Punkte der g in Bezug auf P kof^ugirt.
2) Beschreibt ein Punkt P eine Gerade g, so beschreibt die Polar- ebene F des P ein mit dieser Punktreihe 'projektives und involutorisdies Ebenenbüschel g', weil P durch g und durch den zu P konjugirten Punkt der g geht, diese Punkte aber zugeordnete Punkte einer In-
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70 in, 77—79. Die Flachen zweiten Grades.
Fig. 83. volution sind. Die Doppelpunkte dieser Involution sind zugleich die Schnittpunkte der g mit der F und die Berührungspunkte der aus ^' an F gelegten Berührungsebenen, weil in jedem Doppelpunkt« ein Punkt in seine Polarebene fallt. Die Spitzen S der Kegel^ welche einer F nach der Schnittkurve s je einer durch g gelegten Ebene S umschrieben sind, bilden als Pole der S auf g' eine mit dem Büschel der S und mit der Reihe ihrer Schnittpunkte B mit g' projektive Punktreihe, und beide Reihen liegen in Involution.
3) Berührt g die 'F in P, so berührt auch g' die P in P; denn g ist der Schnitt der Polarebene des Punktes P der g^ d. i. der Berührungsebene der F in P^ mit der Polarebene irgend eines an- deren Punktes der g^ welche Ebene ebenfalls durch P geht (73, 3)); g und g heißen dann Jconjugirte Tangenten der P. Die koncentrischen Strahlenbüschel P der g und g' in der Berührungsebene bilden eine Involution. Die (reellen oder imaginären) Doppelstrahlen dieser Involution liegen ganz in der Fläche, weil jeder Punkt eines jeden derselben in seiner Polarebene liegt.
4) Der Pol der g m einem Kegelschnitte der F, dessen Ebene durdi g geht, liegt auf g', so zu s in ü, weil dieser Punkt (J?) als ein Punkt auf g' zu jedem] Punkte der g in Bezug auf F, daher auch in Bezug auf s konjugirt ist.
78. Ein Tetraeder PQBS heißt in Bezug auf eine Fläche zweiten Grades ein PolartetraedeTj wenn jeder Eckpunkt desselben der Pol der gegenüberliegenden Fläche ist. Man erhält ein solches, wenn man einen Punkt P willkürlich annimmt, in seiner Polar- ebene P einen Punkt Q wählt, die Polarebene von Q (welche durch P geht) mit F schneidet, auf der Schnittlinie einen Punkt R an- nimmt, und dessen Polarebene (die durch P und Q geht) mit jener Schnittlinie (in S) schneidet. Die Polarebene von S geht dann durch P, Q und i2, und die Bedingung ist daher erfüllt In einem Polartetraeder ist jeder Eckpunkt jedem anderen, jede Fläche jeder anderen konjugirt, und jede Kante ist die Polare ihrer Gegenkante; es gibt drei Paare von Gegenkanten und gegenseitigen Polaren.
Ein Dreieck des Tetraeders bildet ein Polardreieck in Bezug auf den Kegelschnitt, in welchem die Ebene des Dreiecks die F schneidet, so QRS zw p.
79, Au^ den entwickelten Eigenschaften ergibt sich folgende Entstehungsweise einer Fläche P, wenn man beachtet, daß die Schnitt- kurve jeder durch g gelegten Ebene mit F die ^ in denselben Punkten F, F' trifft, auch wenn diese imaginär sind (76). Es gilt: Eine reelle Fläche zweiten Grades P, welch' den Kegelschnitt p enthält, P zum Pole der Ebene P desselben hat und von einer
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in, 79—80. Allgemeine Eigenschaften der Flächen zweiten Grades. 71
durch P gehenden Geraden g in zwei reellen oder imaginären Punkten geschnitten wird, die bezw. durch die reellen oder ideellen, durch P und F harmonisch getrennten Punkte Fy F' dargestellt werden, wird durch einen Kegelschnitt s erzeugt, dessen Ebene den Kegelschnitt p in zwei reellen Punkten A und B schneidet, welcher durch A und B geht, von P-4, PB berührt wird, und den einen, und dann auch den anderen jener beiden durch F^ F bestimmten reellen oder imaginären Punkte enthält.
•80. um nachzuweisen, daß auf die in der vorigen Nr. ange- gebene Art eine Fläche zweiten Grades auch dann entsteht, wenn p, P, F willkürlich angenommen werden, bedürfen wir eines Satzes über räumliche KoUineation. Wir haben in I, 554 zwei räumliche Systeme 2J, 2\ welche in Perspektive Lage gebracht werden, koUi- near genannt. In beiden Systemen entspricht jeder Punktreihe, jedem Strahlen- und Ebenenbüschel des einen ein damit projektives gleichartiges Gebilde des anderen, und jedem ebenen Systeme des einen ein damit kollineares des anderen. Man sagt nun unter Er- weiterung des Begriffes: Zwei räumliche Systeme 2?, 2' heißen kollinear, werrn fünf beliebigen Punkten -4, JB, C, D,E des einen, von denen je- doch keine vief in einer Ebene liegen, be^w. fmf eben solche Punkte A'y B\ C\ D', E' des andern entsprechen, und tvenn den drei Ebenen- büscheln des einen, deren Axen Verbindungslinien je zweier der fünf Punkte sind, aber nicht alle durch denselben Punkt gehen, drei damit projektive Ebenenbüschel des anderen entsprechen, deren Axen die ent-. sprechenden Linien sind.
Es gilt dann der Satz: In zwei kollinearen räumlichen Systemen entwicht jedem dienen Systeme des einen ein damit kollineares des anderen. Denn durch die angegebene Bedingung ist zu jedem Punkte X des einen Systems der entsprechende X' des anderen be- stimmt Wählt man nämlich etwa AB, BC, CA als jene Axen, 80 liefern die drei Paare projektiver Ebenenbüschel die Gleichungen
AB (CDEX) = A'B' {C'D'E'X), BC{ABEX) = B'C'iA'D'E'X"), CA(BDEX) = CA'iB'D'E'X),
wodurch drei durch X! gehende Ebenen, und damit X' bestimmt ist. Dann entspricht auch jeder geraden Punkt/reihe g des einen Sy- stems eine damit projektive gerade Punktreihe g' des anderen. Denn die Punktreihe g wird durch drei mit ihr und daher auch unter einander projektive Ebenenbüschel AB^ BG, CA projicirt; diesen entsprechen drei mit ihnen und daher unter einander projektive Ebenenbüschel A'B\ B'C\ C A\ Drei entsprechende Ebenen be-
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72 HI, 80—81. Die Flächen zweiten Grades.
stimmen einen Punkt F\ drei andere einen zweiten Punkt G\ und ihre Verbindungslinie F' G' ist die g\ Denn die drei Ebenenbüschel von 2?' schneiden auf F'G' drei unter einander projektive Punkt- reihen ein, welche alle entsprechenden Punkte gemein haben ^ weil es für drei solche gilt^ nämlich &üc F\ G' und den Punkt der Ebene A'B'C. Dann entspricht auch jeder Ebene von Z eine solche von Z'j jedem Strahlen- und Ebenenbüschel von Z ein damit pro- jektives ebensolches Gebilde von Z\ da beide Gebilde projektive Punktreihen projiciren, einem ebenen Systeme von 2 ein damit kollineares von Z\ da man vier Punkte des einen stets mit den vier entsprechenden des anderen in Perspektive Lage bringen kann^ worauf wegen der Projektivitat entsprechender Strahlenbüschel jeder Punkt des einen ebenen Systems sich in den entsprechenden des anderen projicirt (I, 310, 309).
Zu)ei JcoUineare räumliche Systeme JS, Z' kann man im dUge' meinen nicht unter einander^ wohl aber auf unendlich viele Arten jedes mit ein und demselben dritten Systeme in Perspektive Lage bringen.
Denn sind Sy £' durch je fünf Punkte ABCDE, A'B'G'D'E' gegeben, welche sich paarweise entsprechen, und ist Q der Schnitt- punkt der Geraden DE mit der Ebene ABC, und*^' von D'E müA'B'C'y so kann man S und S' so legen, daß sich die ebenen Systeme ABCQ, A'B'C'Q' in perspektiver Lage befinden, wobei 0 der Mittelpunkt und s die Axe der Eollineation sei. Bei der Drehung von JS' um s bleiben ABCQ und A'B'C'Q' in perspek- tiver Lage, aber es gibt dabei im allgemeinen keine Lage, in wel- cher auch D und D', oder E und E' perspektiv liegen, oder in welcher OD' durch B oder OE' durch E geht. Denn bei der Drehung beschreiben 0 und D' zwei parallele Kreise (I, 304), in welchen diejenigen Halbmesser parallel sind, welche nach den der- selben Lage von Z' zugehörigen Punkten 0 und D' laufen; daher beschreibt eine durch solche Punkte bestimmte Gerade OD' einen schiefen Ereiskegel, auf welchem der willkürliche Punkt D im all- gemeinen nicht liegt; das gleiche gilt für E,
Zieht man aber in einer dieser Lagen von Z' in der Ebene OQDEy welche auch Q' enthalt, eine Gerade Q'D"E'\ so daß ODD'\ OEE" Gerade sind, so ist mit 2" = A' B' C D" E" das Z ^=^ ABGDE aus dem Eollineationsmittelpunkte 0, und das 2;'= A'B'C'D'E' aus dem Schnittpunkte von D'D" und E'E'\ welche Linien sich treffen, da sie in der Ebene Q' D' D" liegen, in Perspektive. Also ist Z" eines jener dritten Systeme.
81, Wir können nun den Satz von Nr. 79 verallgemeinern und sagen:
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III, 81. Allgemeine EigenschafteD der Flächen zweiten Grades. 73
ScUg. Jede Fläche ist vom zweiten Grade, welche durch einen Kegelschnitt p tmd 0wei nicht in dessen Ebene liegende reelle Punkte P tmd F bestimmt ist tmd durch einen veränderlichen Kegelschnitt erzeugt wird, dessen Ebene sich um PF dreht, der durch die Schnit^nkte Ä, B seiner Ebene mit p geht, von den Geraden PA, PB berührt wird, und den einen und dann auch den anderen der beiden reellen oder imaginären Punkte der Geraden PF enthält, tvelche, wenn reell, als F und als der von F durch P und P harmonisch getrennte Punkt F' gegd>en sind, wenn imaginär, durch ihre ideelle Darstellung F, F' in Bezug auf P und P.
Den Beweis führen wir dadurch, daß wir zeigen, daß eine so entstehende Fläche F entweder mit der Engel K oder mit dem ein- schaligen Umdrehungshyperboloide H kollinear ist. Dann nämlich muß jeder ebene Schnitt von F^ kollinear sein mit einem ebenen Schnitte von K oder H (80), also mit einem Kegelschnitte (31); sie muß also selbst ein Kegelschnitt sein. Nun entstehen aber die Flächen K und H als solche zweiten Grades in der in unserem Satze angegebenen Weise (79); bei der K ist p ein Kreis, F ein reeller oder ideeller Punkt, je nachdem PF die Ebene P in einem inneren oder äußeren Punkte des p tri£Pt; bei dem H kann man p als einen Parallelkreis wählen, P ist dann die auf der Umdrehungsaxe liegende Spitze des Kegels, welcher das H nach p berührt, und F ist augen- scheinlich ein reeller oder ideeller Punkt, je nachdem PF die P in einem äußeren oder inneren Punkte des p trifft. Jede der Flächen F, K, H ist bestimmt durch drei Elemente p, P,F] und ihre gegen- seitige KoUinearität ist nachgewiesen, wenn die drei Elemente der F kollinear auf diejenigen von K oder H bezogen werden können, und dies thun wir dadurch, daß wir fünf Punkte angeben, durch welche jedesmal p, P, F bestimmt sind, da durch je fünf Punkte die KoUineation be- ^^* ^*
stimmt ist (80).
Der Kegelschnitt j) samt dem Schnitt- ^ /\y/\^^ Fig. 34. punkte seiner Ebene P mit PF kann durch diesen Schnittpunkt und noch drei Punkte bestimmt werden, nämlich noch durch die ge- meinsamen Punkte der Polaren dieses Schnitt- punktes zu p mit p und einen weiteren will- kürlichen Punkt A des p, Ist nämlich jener Schnittpunkt ein äußerer Punkt B, des p, so
sind die gemeinsamen Punkte G, D der Polaren von ü zu |> mit p reell, und p ist durch B, A, G, D bestimmt, da BG, BD Tan- genten an p sind. Ist jener Schnittpunkt ein innerer Punkt Q von p,
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74 ni, 81—82. Die Flächen zweiten Grades.
80 schneide man die Polaren BS von Q zu p mit QÄ in R, be- stimme die (durch Q gehende) Polare QS von R, so daß QRS ein Polardreieck zu p ist, und gebe von den imaginären Schnittpunkten der BS mit p die ideelle Darstellung in Bezug auf B, QS an, d. h. die in Bezug auf p konjugirten durch B und QS harmonisch getrennten Punkte E, G. Man findet sie, indem man die QB, QS mit p bezw. in -4., B und C, D schneidet; dann ist E =^ AD, BC\ G = AG, BD. Durch die vier Punkte Q, A, E, G ist p bestimmt; denn B ist der von A durch Q und EG harmonisch getrennte Punkt; ferner ist C=^ AG, BE-, D = AE, BG, und endlich sind BC, BD, SA, SB Tangenten an p.
Indem man nun die fünf bestimmenden Punkte einer Fläche P, nämlich P, F, A, C, D oder P,' F, A, E, G, einzeln fünfen gleich- bedeutenden einer K oder H als entsprechend zuordnet, entsprechen sich auch die p und die ganzen Flächen als kollinear. Es ist dies aber nur dann möglich, wenn bei beiden Flächen die Punkte F übereinstimmend reell oder ideell, und wenn die Punkte PF, P übereinstimmend innere oder äußere des p sind. Daher gilt:
Eine durch die drei Elemente: einen Kegelschnitt p, den Pol P seiner Ebene P, und einen Punkt F der Fläche bestimmte Fläche zwei- ten Grades ist Jcollinear mit der Kugel, wenn F reell, und (PF, P) ein innerer Punkt des p, oder wenn F ideell und (PF, P) ein äußerer Punkt des p ist; dagegen ist sie kollinear mit dem einschaligen Um- drehungshyperboloide, wenn F reell und (PF, P) ein äußerer Punkt des p, oder wenn F ideell und (PF, P) ein innerer Punkt des p ist.
82, Indem die Flächen zweiten Grades entweder mit der Kugel oder mit dem einschaligen Umdrehungshyperboloide, von welchem der Umdrehungskegel eine Abart ist, kollinear sind, auf ersterem aber keine Gerade liegen, auf letzterem dagegen durch jeden Punkt zwei gehen, die beim Kegel zusammenfallen, und da sich diese Eigenschaften und andere auf die kollinearen Flächen übertragen, so gilt:
1) Es gibt 0wei Arten von Flächen zweiten Grades, nichtgerad- linige oder Nichtregelflächen, und geradlinige oder Begeiflächen. Die ersteren enthalten keine Geraden; bei letzteren gehen durch jeden Punkt der Fläche zwei Gerade, die ganz in der Fläche liegen und bei dem Kegel in eine einzige zusammenfallen.
2) Eine Nichtregelfläche zweiten Grades wird von einer Ebene in einer reellefi oder in einer imaginären Kurve geschnitten und hat mit einer Berührungsebene nur den Berührungspunkt gemein. Eine Begelfläche wird von jeder Ebene in einer reeUen Kurve geschnitten
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III, 82 -83. Allgemeine EigenBcbaften der Flächen zweiten Grades. 75
and hat mit einer Berührungsebene zwei durch den Berührungspunkt gehende Gerade gemein.
3) An eine Nichtregelfläche geht aus einem Punkte P ein be- rührender reeller oder imaginärer Kegel, wobei P bezw. ein äußerer oder ein innerer Punkt der Fläche heißen soll. An eine Begelfläche geht aus jedem Punkte ein reeUer berührender Eegel, so daß jeder Punkt ein äußerer Punkt der Fläche ist
4) Bei einer Nichtregelfläche P zweiten Grades schneidet von fswei Polaren g, g' die eine die Y, die andere schneidet sie nicht Die Be- rührungsebenen in den Schnittpunkten der ersten schneiden sich in der zweiten. Bei einer Begelfläche schneiden entweder leide Gerade g und g die V, oder beide schneiden sie nicht Denn schneidet die g die P in zwei Punkten Ä und B, so enthält die Berührungsebene in jedem Schnittpunkte zwei Erzeugende a, a, bezw. 6, h^, von jeder Schaar eine; daher schneiden sich a und b^, sowie a^ und b in Punkten der P (30), und die Verbindungslinie dieser Schnittpunkte ist die g', welche daher ebenfalls die P schneidet.
88. Saia und Aufgabe. Sind edle reeiUen Schnittkurven einer Fläche P mü Ebenen Kegelschnitte, so sind es auch die imaginären. Es soU von einem solchen imaginären Kegelschnitte i eine ideelle Dar- stdltmg m gegeben werden. (Vergl. I, 408.)
Bew. und Aufl. Die imaginäre Schnittkurve einer Ebene Q mit der Fläche F ist der (imaginäre) Kegelschnitt i, wenn alle Gerade der Q die P in denselben (imaginären) Punkten treffen, wie den t, d. h. wenn auf jeder Geraden der Q die Involution konjugirter Punkte in Bezug auf P dieselbe ist, wie in Bezug auf i. Da nun in der Ebene Q die Gesamtheit der zu einem Punkte H in Bezug auf P und in Bezug auf i konjugirten Punkte je eine Gerade bilden, näm- lich das eine Mal die Schnittgerade der Q mit der Polarebene von H zu P, das andere Mal die Polare von H zu i, so ist die oben bezeichnete Bedingung dafür, daß i der Schnitt QP sei, dann erfüllt, wenn jedem Punkte H dieselbe Gerade h in Bezug auf P und in Bezug auf i konjugirt ist, oder wenn P und » in Q dasselbe Polar- sjstem der Paare H, h besitzen. Beschreibt nun in Q der Punkt H eine Gerade PB, so beschreibt seine Polarebene zu P ein Ebenen- büschel, und der zu H konjugirte Strahl h ein Strahlenbüschel, den Schnitt des Ebenenbüschels mit Q, und H und h bestimmen auf PB zwei zugeordnete Punkte einer Involution. Ebenso beschreibt der zu H in Bezug auf i konjugirte Strahl h (seine Polare) ein Büschel, welches mit den H auf PB eine Involution bildet. Dieses System der Reihe PB von Punkten H und des Büschels der Strahlen h ist durch zwei Paare H, h bestimmt, weil durch sie die Involution
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IIL 83. Die Flächen zweiten Grades.
auf FB und der Mittelpunkt des Büschels der A bestimmt isi Wir wollen nun dieses System für die durch einen beliebigen Punkt P der Q gehenden Strahlen PB untersuchen. Fig. 36. Bestimmen wir nach Nr. 73 den Pol Q der Ebene Q zu P, so
ist dieser als Pol einer nicht schneidenden Ebene ein innerer Punkt von P, so daß jede durch Q gelegt« Gerade und Ebene die P reell
schneidet. Legt man dann ^'^- ^^- die durch Q gehende Po-
larebene P vonP, schnei- det diese mit Q in der Geraden g' und mit P in dem Kegelschnitte p = ABCD, so ist BQ = 5r die Polare von g' zu P (77) und Q der Pol von g' zu p (77, 4). Sei BB ein beliebiger in Q durch P gezogener Strahl, so schneidet die Ebene BQB die P in dem reel- len Kegelschnitte Sy und die BQ trifft die P und den 8 in den reellen Punk- ten JP,P'. DerPolSder Ebene BQB (des s\ weil sie durch g geht, liegt auf g\ und BQBS ist ein Polartetraeder in Bezug auf P, so daß die Polarebenen aller Punkte H der BB zu P, daher auch die zu diesen Punkten H gehörigen Strahlen h durch S gehen. Konjugirte Punkte H auf BB in Bezug auf $ (und P) erhält man mittelst Strahlen, die man aus irgend einem Punkte des 8 durch Ä und B legt, da AB in Bezug auf s zu BB kon- jugirt ist (I, 347). So bestimmen F'A und FB auf BB die kon- jugirten Punkte A^ und B^] ein anderes Paar ist P und JB, wobei noch zu beachten, daß BBA^B^ harmonisch sind als Projektion von QBAB (aus F'), FB und FA hätten ebenfalls bezw. A^ und Bi geliefert. Zwei Paare H, h in Bezug auf P sind also P, SB und A^f SB^ (ein drittes P^, /S^i). Projicirt man andererseits den Kegelschnitt ABCD=^p aus F' (oder JF) auf Q in den Kegel- schnitt J^PiOiDi "=> m, so ist m die ideelle Darstellung eines ima- ginären Kegelschnittes i in Bezug auf P und P5, welcher auf dem beliebigen, also auf jedem aus P gezogenen Strahle BB dasselbe System H, h besitzt, wie P. Denn P und BS sind Pol uud Polare
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111,83—84. Allgemeine Eigenschaften der Flächen eweiten Grades. 77
zu m, weil Q und RS solche zu p sind, und sie deren Projektion bilden; dann sind sie aber auch Pol und Polare zu i, weil sie den Mittelpunkt und die Axe der Imaginärprojektion von m und i bilden (I, 401). Ebenso sind Ä^ und die Tangente SB^ der m im Gegen- punkte I?i (auf A^P) Pol und Polare zu i (I, 408); SB^ ist aber wirklich Tangente an w, weil SB Tangente an p ist, da S der Pol von RQAB. — Die Kurven QP und i sind daher dieselben, und m ist eine ideelle Darstellung von i in Bezug auf P und g\ Da- her gilt der
Satis. Schneidet eine Ebene Q eine reelle Fläche zweiten Grades F in einem imaginären Kegelschnitte i, so ist die ideelle Darstellung m des i in Bezug OMf irgend einen Punkt P der Q, und dessen Polare g' zu i die Projektion des Kegelschnittes p der T aus F' auf die Ebene Q, u}enn p die {stets reelle) Schnittkurve von P mit der Polarebene P von P zu P, g' die Schnittgerade von Q, und P, und F' einer der {stets reellen) Sdinittpiinkte F, F der T mit der Polaren g der g' zu P ist.
Wir können nun auch sagen: Eine reeUe Fläche zweiten Grades ist eine solche y die von jeder Ebene in einem Kegelschnitte getroffen wird, der reell oder imaginär sein kann.
84* Indem wir bei einem imaginären Kegelschnitte, wie bei einem reellen, den Pol der unendlich fernen Geraden seinen Mittel- punkt nennen, können wir den Satz aussprechen:
Die ideelle Darstellung m eines imaginären Kegelschnittes in Bezug auf seinen Mittelpunkt U und die unendlich ferne Gerade u ist eine Ellipse, welche TT ebenfalls zum Mittelpunkte hat Denn ü und w sind Pol und Polare auch zu m (I, 401), und m besitzt keinen reellen Punkt auf u, weil i keinen solchen besitzt. Diese Ellipse m soll die MittelpunktseUipse ^es i heißen. Wird m ein Kreis, so soll i ein imaginärer Kreis heißen*).
*) Der imaginäre Kreis wird von Chasles in seiner G^om^trie snpdrieare (1. Aufl. 1862, S. 546 ff.) als der Kreis von der Gleichung a;« + y* = — r« be- zeichnet. Chasles bestimmt die Mittelpunktsabstände a, h TOn Pol und Polare dnrch die Gleichung a& =» — r*. Über konjngirte Kegelschnitte, insbesondere ihre mannigfachen Gestalten, hat Herr Prof. Betali eine eingehende Unter- BQchnng veröffentlicht in den Denkschriften der Akademie der Wissenschaften zu Bologna (Ser. 4, B. 5, gelesen am 24. Jan. 1884) nnter dem Titel: Sopra una Serie particolare di coniche d'indioe dae. Sr ging dabei von dem Begriffe aus, daß jeder der Kegelschnitte zu sich selbst reciprok in Bezug auf den anderen sei, welcher Begriff auch den beiden ersten gedruckten Veröffentlichun- gen über diese Kurven zu Grunde gelegt war, denen von Steiner und von Euffini. (Die Theorie der Kegelschnitte, gestützt auf projektivische Eigenschaften. Auf Grund von Universitätsvorträgen und mit Benutzung hinterlassener Manu-
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78 ni, 84—85. Die Flächen «weiten Grades.
Sats!. Der imoffinäre Schnitt einer Ebene mit einer Kugel ist ein imaginärer Kreis.
Denn sucht man nach der vor. Nr. seine ideelle Darstellung m in Bezug auf den Schnittpunkt P der schneidenden Ebene Q mit dem zu Q senkrechten Kugeldurchmesser FF\ so sind die Polar- ebene F des P und daher auch p parallel zu Q/ und die Projektion von p aus F' (oder F) auf Q ist ein Kreis m vom Mittelpunkte P
86, Indem wir den Begriff der Imaginarprojektion von Kegel- schnitten (I^ 403) auf den Raum ausdehnen^ und dabei zuj^eieh eine Erweiterung für die Ebene gewinnen, sagen wir:
Begriff. Zwei Kegelschnitte Je, \ in derselben oder in verschiede- nen Ebenen , m welchen b&sw. G, g und G^y g^ Pol und Polare sind, befinden sich in der Perspektiven Lage der Imaginarprojektion m ein- cmder, wenn aus einem Projektionsmittelpunkte 0 sich G auf G^, g auf gi, und der zu dem einen Kegelschnitte k in Betsug auf G, g kon- jugirte Kegelschnitt l sich auf \ prcjiciren. Wir werden beweisen, daß dann au^ch der zu k^ in Bezug cnif G^, g^ konjugirte Kegelschnitt l^ sich auf k projicirt,
Satz. Haben zwei Kegelschnitte auf einer gememschafüichen Ge- raden g ihrer getrennten oder zusammenfallenden Ebenen die Involution konjugirter Punkte gemein, so prcjiciren sie sich aus zwei Punkten auf einander, weiche auf der Verbindungslinie g' der Pole G, G^ von g zu je einem der Kegelschnitte liegen und durch diese harmonisch ge- trennt sind.
Scripte Jaco5 Steiners bearbeitet von Dr. H. Schröter, 1876, — und Buffini, di alcmü teoremi riferibili alla polaritä reciproca delle coniche, nella Mem. dell' Accad. d. Sc. di Bologna, Ser. lil, T.VI, letta 16. Gen. 1876.) Dabei sei be- merkt, daß dem Ursprünge nach Steiners Arbeit vorausgeht, da derselbe schon 1863 gestorben ist. Herr Betali hat dann über die Beziehung der konjogirten Kegelschnitte als gegenseitige Imaginärprojektionen eine Veröffentlichung ge- macht in einer Nota snlle coniche conjagate (Mem. d. Acc. d. Sc. di Bologna, Ser. 4, T. 6, letta 21. Die. 1884). Es geschah dies zwar nach dem Erscheinen des I. Bandes dieses Werkes, aber die Note war schon vorher der Akademie übersendet, worden (siehe Schlnßbemerknng derselben), so daß Herr lletali anabhängig von dem Verfasser diesen Gedanken faßte. — Ich erlaube mir noch zuzufügen, daß meine ersten Aufzeichnungen über Imaginärprojektionen von Kegelschnitten und von Flächen zweiten Grades aus dem Jahre 1865 herrühren, daß ich aber die damalige zwar umfassendere, aber nicht so einlache Dar- stellung nicht reif für die Veröffentlichung hielt, den Grundgedanken jedoch in meinem Aufisatze über scheinbare ünstetigkeit geometrischer Construktionen, welche durch imaginäre Elemente derselben verursacht wird (Schlömilchs Zeit- schrift für Math. u. Phys., 1867, B. 2, S. 388), benutzte. Erst bei Gelegenheit der Bearbeitung (1881) des Abschnittes über die Krümmungslinien der Flächen zweiten Grades kam ich auf die im ersten Bande gegebene Form,
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m, 86. Allgemeine Eigenschaften der Fl&ohen zweiten Grades. ^ 79
Fig. 86.
Dabei ist die Projektion eine gewöhnliche oder reelle,
1 a) wenn beide Kegelschnitte k und k^ reell sind, und wenn ein Fu/nkt der g zugleich fiir k und k^ innerer oder äußerer Funkt ist; oder
Ib) uwnn beide Kegelschnitte i und i^ imaginär sind. Dagegen ist die Ftqjektion eine imaginäre,
2 a) wenn beide Kegelschnitte k und k^ reeU sind, und U)enn ein Punkt des g innerer für k und äußerer für k^ ist; oder
2 a) wenn der eine Kegelschnitt k reell und der andere i imagi- när ist.
Bew. la) Für diesen Fall wurde schon I, 386 der Beweis mittelbar durch Beciprocität geliefert; da er aber die Grundlage für die folgenden Fälle bildet, mag noch zur größeren Einsicht der un- mittelbare Beweis gegeben werden. Nach I, 351, Zus., ist ein Kegel- schnitt k bestimmt durch die Involution der in Bezug auf k kon- Fig. se. jugirten Punkte einer Geraden g, den Pol G der g zu k, und einen Punkt Ä des k. Die GÄ schneidet, den k noch in einem zweiten Punkte B, die g in D, und es sind Ä und B harmonisch getrennt durch G und D. Weil GD den k schneidet, muß von den zugeordneten Punkten G, D der eine ein innerer, der andere ein äußerer des k sein. Nun hat aber D nach der Voraus- setzung gegen k und k^^ die übereinstimmende Lage, und ebenso G und G^, weil auf jr in Be- zug auf k und k^ dieselbe Involution herrscht. Daher schneidet auch DG^ den k^, etwa in Ä^ und B^, und k^ ist durch die Involution
g, durch G^ und A^ (oder B^) bestimmt. Da in k und k^ die g sich selbst, die Punkte G und Ä den Punkten G^ und Ä^ oder denen 6?^ und JBi entsprechen, so sind auf GG^ die Schnittpunkte 0, 0\ bezw. mit ÄA^y AB^ die Projektionsmittelpunkte von k und k^. Es pro- jiciren sich dann irgend zwei entsprechende Punkte C, C^ von k, ky auf einander, d. i. solche, welche man aus zugeordneten Punkten Ej E' der Involution auf g gewinnt, nämlich C = E'A, EB] d ea E'Ai, EB^. 0 und 0' sind aber durch G und G^ harmonisch getrennt, weil 00' GG^ die Projektion aus J. von den vier harmo- nischen Punkten A^B^DG^ ist. — Dieser Beweis ist unabhängig davon, ob k und ky in verschiedenen oder in derselben Ebene liegen, und davon, ob die Doppelpunkte der Involution auf g (durch welche Punkte k und k^ gehen) reell oder imaginär sind.
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80 ni, 86—86. Die Flächen zweiten Grades.
Liegt g uDendlich fern, so heißen die Kegelschnitte ähnlich und ähnlich gelegen (I; 387).
Ib) Bildet man von den imaginären Kegelschnitten i, i^ die ideellen Darstellungen m, % in Bezug auf g, G bezw. g, G^y so haben m mit i, m^ mit i^, und nach der Voraussetzung i mit ij, daher auch m mit m^ auf g eine Involution konjugirter Punkte ge- mein; und da außerdem jeder Punkt von g äußerer Punkt von m und von m^ ist (I, 405), so projiciren sich nach 1 a) die m und m^ , und daher auch die durch sie vollständig bestimmten i und t\, d. h. die Polarsysteme derselben, reell auf einander.
2a) Die reellen Kegelschnitte Ä, \ müssen sich auf ^ in reel- len Punkten schneiden, damit ein Punkt der g innerer Punkt des einen und äußerer des anderen sein kann. Bildet man zu jedem von beiden den in Bezug auf g konjugirten (reellen) Kegelschnitt l bezw. Zj, so ist jener Punkt von g zugleich f[ir k und l^ innerer oder äußerer, und zugleich für \ und l äußerer oder innerer Punkt (I, 402). Und da außerdem alle vier Kegelschnitte auf g dieselbe Involution besitzen, so projiciren sich sowohl k und l^ als \ und l auf einander, und zwar aus denselben Punkten 0 und 0', weil, wenn sich zwei Kegelschnitte auf einander projiciren, sich auch zu- gleich die zu ihnen in Bezug auf entsprechende Gerade {g^g) kon- jugirte auf einander projiciren. Wenn aber k und Z^, sowie \ und l reelle Projektionen von einander sind, so sind, zufolge des Begriffes, k und l, sowie \ und l^ imaginäre.
Ist g unendlich fem, so mögen die Kegelschnitte konjugirt ahn- lidi und ähnlich gelegen genannt werden.
2 b) Für den reellen Kegelschnitt k und den imaginären % ist g eine imaginär schneidende Gerade. Der in Bezug auf g za k kon- jugirte imaginäre Kegelschnitt i' und der zu i konjugirte reelle k' schneiden daher die g ebenfalls imaginär. Da außerdem alle vier Kegelschnitte auf g dieselbe Involution besitzen, so sind k und k\ sowie % und i reelle, daher k und i, sowie i' und k\ imaginäre Projektionen von einander.
86, Säte. Zwei Kegelschnitte einer Fläche zweiten Grades^ mag einer derselben oder mögen beide reell oder imaginär sein^ werden durdi reelle oder imaginäre Projektion auf einander prcjicirt aus jedem voti zwei Punkten, welche auf der Polaren der Schnittlinie der Ebenen der Kegelschnitte liegen und durch diese Ebenen harmonisch von ein- ander getrennt sind.
Denn (85) sie besitzen auf der Schnittlinie ihrer Ebenen eine gemeinschaftliche Involution konjugirter Punkte (76).
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ni, 86—88. Allgemeine Eigenschaften der Flächen zweiten Grades. 81
Es treten alle vier Fälle der vorigen Nr. ein. Bei einer Nicht- regelfläche findet reelle Projektion statt für zwei reelle (85, la); 82, 3)), sowie für zwei imaginäre Schnitte (Ib); imaginäre Pro* jektion für einen reellen und einen imaginären Schnitt (2 b). Bei einer Eegelfläche kann für die stets reellen Schnitte reelle (la) und imaginäre (2 a) Projektion stattfinden (82, 3)); erstere gilt z. B. bei dem einschaligen Umdrehungshyperboloide für zwei Parallelkreise, letztere für einen Parallelkreis und einen Meridian.
87. Satss. Zwei Kegelschnitte Ic^, Jc^, welche sich in zwei (reellen oder imaginären) Punkten A, B schneiden, und ein Funkt F außerhalb derselben bestimmen eindeutig eine Fläche zweiten Grades F, welche durch Ä, , Äj und F geht.
Denn seien Q^, Q^ die Pole von AB bezw. zu Äj, Äg, so schneide man die Ebene Q^Q^F^^l» mit A^^ in den (reellen oder imaginären) Punkten C^yB^^ und mit \ in C^yB^. Dann lege man durch F^ C^, D^, Cg, B^ den Kegelschnitt i, bestimme auf -4JB den durch A und B von L harmonisch getrennten Punkt L, so ist der- selbe der Pol von C^B^ zu Tc^ und von C^B^ zu Äg. Die Fläche zweiten Grades P, welche nun durch den Leitkegelschnitt Z, den Pol L seiner Ebene und durch A (sowie B) bestimmt ist, ist die gesuchte; denn sie enthält äj^, weil sie von ihm Ci, Dj, -4, B und die Tangenten LO^, LB^ enthält; ebenso Tc^ und F,
88, Der Pol der unendlich fernen Ebene zu einer Fläche zwei- ten Grades F heißt deren Mitielpurüd und halbirt alle Sehnen der Fläche, welche durch ihn gehen (73, 1)); diese Sehnen werden Durchmesser genannt. Die Polarebene eines unendlich fernen Punk- tes heißt Bwrchmesserd)ene oder Diametralebene; sie geht durch den Mittelpunkt (76), halbirt alle nach dem unendlich fernen Punkte laufenden (parallelen) Sehnen und enthält die Berührungskurve des mit ihnen parallel der F umschriebenen Cylinders. — Die durch eine unendlich ferne Gerade g j also unter einander parallel gelegten Ebenen schneiden die F in ähnlichen oder hmjugirt ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitten (85, la) und 2a)); sind die Kurven Ellipsen, so sind sie stets ähnlich, sind sie Hyperbeln, so sind sie ähnlich oder konjugirt ähnlich, je nachdem diese Kurven in den WinkelnLumen der (parallelen) Asymptoten liegen, welche parallele Durchmesser enthalten oder nicht enthalten.
Die Mittelpunkte dieser parallelen Kegelschnitte liegen auf einem Durchmesser g^ der Polaren der g\ Die Berührungspunkte der aus ^' an F gelegten Berührungsebenen liegen auf g. Die durch g' ge- legte Burchmesserebene ist dem Burchmesser g konjugirt (76) und halbirt die zu g parallelen Sehnen der Fläche.
Wiener, Lehrbaoh der danteHenden Geometrie, n. C
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82 ni, 88—89. Die Flächen zweiten Grades.
Ist der Mittelpunkt einer Fläche zweiten Grades ein Eckpunkt eines Polartetraeders zu derselben, daher die unendlich ferne Ebene dessen Gegenfläche^ so sind die drei Durchmesser der Fläcbe, welche Kanten des Polartetraeders bilden^ Jconjugirte Durchmesser, die Ebenen je zweier derselben sind Jconjugirte Durchmesser ebenen, und es ist von diesen zugleich eine jede dem nicht in ihr liegenden Durchmesser konjugirt (76). Jede Durchmesserebene halbirt die mit ihrem kon- jugirten Durchmesser parallelen Sehnen, und jeder Durchmesser enthält die Mittelpunkte der ähnlichen oder konjugirt ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitte der P, deren Ebenen mit seiner konjugirten Durchmesserebene parallel sind.
Ein Durchmesser ist reell oder imaginär, je nachdem er die Fläche in reellen oder imaginären Punkten trifft. Im letzteren Falle bestimmen wir ihn durch die ideellen Doppelpunkte der auf ihm in Bezug auf F stattfindenden gleichlaufenden Involution und seine ideelle Länge als den Abstand dieser Punkte. Sind in einer Durch- messerebene (oder überhaupt in einer schneidenden Ebene) zwei kon- jugirte Durchmesser imaginär, so ist der Kegelschnitt dieser Ebene imaginär. Sind drei konjugirte Durchmesser der Fläche imaginär, so sind es auch die Kegelschnitte in den Ebenen je zweier und in jeder durch einen der Durchmesser gelegten Ebene. Die Fläche enthält daher im ganzen Räume keinen reellen Punkt und ist selbst imaginär, ein Fall, den wir später betrachten wollen.
Durch drei Jconjugirte Durchmesser ist eine Fläche sfweiten Grades bestimmt und entsteht nach Nr.79 z.B. derart, daß man den Kegelschnitt in der Ebene des ersten und zweiten Durchmessers als Leitlinie p annimmt, so daß der unendlich ferne Punkt des dritten Durch- messers P ist, und daß man die unendlich ferne Gerade der Ebene des dritten und zweiten Durchmessers als g = PFF' (wobei F, F' reell oder imaginär sein können) wählt; es werden dann die er- zeugenden Kegelschnitte ähnlich oder konjugirt ähnlich und ähn- lich gelegen.
89. Saifs und Äufg. Jede Fläche zweiten Grades F JuU im all- gemeinen drei auf einander senJcrechte Jconjugirte Durchmesser, welche ihre Äxen hsißen. Im besonderen Falle Jcann sie deren auch unendlich viele besitzen, nämlich einen ausgezeichneten Durchmesser und jeden auf ihm senkrechten, oder auch jeden Durchmesser, Es sollen die Axen Jconstruirt werden.
Der Beweis und die Auflosung werden auf diejenigen zu dem entsprechenden Satze und der Aufgabe über den Kegel zweiten Gra- des (23 ff.) zurückgeführt. Es geschieht dies mittelst des Satzes, daß drei aus einem PunJcte P gezogene, in Bezug auf eine Fläche
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III, 89. Allgemeine Eigenschaften der Flächen zweiten Grades. 83
Bweiten Grades P Jconjugirte Strahlen auch in Bezug auf den Kegel K Jconjugirt sind^ welchen man aus P der F umschreiben kamt. Ist der Kegel und also auch seine Berührnngskurve p in der Polarebene F des P reeU, so gilt der Satz, weil durch irgend einen Punkt in P und seine Polare zu p bezw. ein Strahl und eine Ebene aus P gehen, welche in Bezug auf P und auf K konjugirt sind. Dann sind auch zwei durch P gehende Strahlen in Bezug auf die eine Fläche kon- jugirt, wenn sie es in Bezug auf die andere sind. Wählt man nun den Mittelpunkt M als Punkt P, so daß die unendlich ferne Ebene M die Polarebene P wird, so ist tC reell, wenn die unendlich ferne Kurve der P reell ist, was bei den Regelflächen stets stattfindet. Dann sind die Axen des K auch die Axen der P.
Den Fall, daß K imaginär sei, erledigen wir durch Betrach- tungen, welche auch för reelle Kegel gelten. Dabei geben wir dem P sogleich die für uns wesentliche Lage in dem Mittelpunkte M\ aus den Ergebnissen folgt dann durch räumliche Kollineation auch unser Satz für jeden Punkt P
Sei P durch drei reelle oder ideelle konjugirte Halbdurchmesser a, b, c gegeben, so ist durch diese in jeder Ebene je zweier eine Involution konjugirter Durchmesser bestimmt, vermittelst welcher zu jedem Durchmesser g die konjugirte Durchmesserebene G- leicht ermittelt wird. Zu dem Ende schneidet man die Ebene ga mit derjenigen bc in a^, sucht in bc den zu a^ konjugirten Durchmesser o,; derselbe ist in Bezug auf P zu der Ebene ga konjugirt, liegt also in G. Bestimmt man ebenso &2; ^» ^^ ^^^ G «» o^^s^s« ^^ zwei der Strahlen Og, bg? ^ ^^^ Bestimmung von G hinreichen^ so ergibt sich, daß das System der konjugirten Durchmesser und Durchmesserebenen vonP durch zwei von den Involutionen bc, ca, ab bestimmt ist. Nun kann man aber einen Kegel zweiten Ghrades angeben, welchem dieselben Involutionen konjugirter Durchmesser angehören. Legt man nämlich durch den Endpunkt des einen Halb- dnrchmessers, etwa des c, parallele und gleiche Strecken a' und b' bezw. mit a und b und betrachtet a' und b' als reellen oder ideel- len Halbdurchmesser eines Kegelschnittes k, je nachdem bezw. c und a, oder c und b ungleichartig (der eine reell und der andere ideell), oder gleichartig (beide reell oder beide ideell) sind, so be- sitzt der Kegel K «> Mk in den Ebenen Maa\ MbV die gegebenen Strahleninvolutionen. Denn bei ungleichartigen c und a ist die Strahleninvolution ca ungleichlaufend, besitzt reelle Doppelstrahlen, und diese sind reelle Erzeugende des Kegels, und ihre Schnittpunkte mit der Linie a' sind die Endpunkte zweier Strecken a\ und sind reelle Scheitel von k. Bei gleichartigen c, a sind die Doppelstrahlen
6»
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84 nif 89—90. Die Flächen zweiten Grades.
und die Scheitel ideell. Durch beide StrahleninTolutionen ca, eb ist aber zu jedem Durchmesser g die konjugirte Durchmesserebene (Polarebene) auf dieselbe Weise wie bei F bestimmt. Also sind die Axen von K auch solche von P.
Nun kann aber h reell oder imaginär sein; von diesem Um- stände ist jedoch die Bestimmung der Eegelaxen ganz unabhängige da sie nur durch Pol und^ Polare ausgeführt wird. (Wäre so in der Fig. 13 der Ä, welcher dort mit c bezeichnet ist, die ideelle Dar- stellung eines imaginären Kegelschnittes , so müßte nur die 017^ als Polare von U, durch ihre in Bezug auf den dortigen Punkt M symmetrische Gerade ersetzt werden.)
Da nun F dieselben Axen wie K besitzt, so sind dies nach Nr. 22 im allgemeinen drei, im besonderen auch eine ausgezeichnete und die unendlich vielen darauf senkrechten; es gilt dies für Um- drehungsflächen, welche die erstere Axe zur Umdrehungsaxe haben. Dadurch, daß der Eegel K auch imaginär sein kann, tritt noch eine neue Möglichkeit ein, die bei reellem K nicht vorhanden isi a, 6, c bilden nämlich das gemeinschaftliche Polardreikant zu K und zu einem imaginären Hilfskegel Mk, bei welchem jedes Polardreikant rechtwinklig ist (23). Fällt nun K mit MJc zusammen, so ist jeder Durchmesser der P eine Axe und P eine Kugel,
Da E dasselbe Polarsystem M (Durchmesser und Durchmesser- ebene) wie P besitzt, so besitzt es auch dasselbe in der unendUch fernen Ebene M, oder der (reelle oder imaginäre) Eegel E projicirt die (reelle oder imaginäre) unendlich ferne Eurve der P. So pro- jicirt im letzten Falle der imaginäre Eegel {MTc) den (imaginären) unendlich fernen KugeVcreis, Die ideelle Darstellung des Eegels, welche die M in einer ideellen Darstellung des unendlich fernen Eugelkreises schneidet, ist ein Umdrehungskegel, dessen Mittelpunkt Mf dessen Axe irgend ein Durchmesser der Eugel ist, und dessen Erzeugende 45^ mit der Axe bilden.
Liegt der Mittelpunkt M der "E im Unendlichen^ so daß jede nach ihm laufende Gerade ein Durchmesser ist, so hat eiuQ Axe a ebenfalls die Richtung nach M, Eine darauf senkrechte Ebene ist dann mit den beiden anderen Axen parallel; schneidet man sie mit der Fläche P in einem Eegelschnitte, bestimmt dessen Mittelpunkt M\ so ist M' M die Axe a, die Ebenen a6, ac gehen durch die Axen jenes Eegelschnittes, und h und c liegen dann im Unendlichen.
Die Ebenen je zweier Axen heißen die Axenr oder HauptebeneHf ihre Schnitte mit P die Sauptschnitte, die Endpunkte der Axen in P die Scheitel der P.
90, Zur Erzeugung und Einteilung der Flächen zweiten Grades
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III, 90—91. Allgemeine Eigenschaften der Flächen zweiten Grades. 85
gehen wir von drei gegebenen hmjugirten Durchmessern 2a, 26, 2c aus (88, Ende), nehmen den Kegelschnitt ah (oder ac) als Leitlinie j), den Kegelschnitt hc als eine Lage der Erzeugenden s an, die sich so bewegt, daß sie parallel, ähnlich oder konjugirt ähnlich und ähnlich gelegen zu ihrer Anfangslage bc bleibt, daß ihr Mittelpunkt den Durchmesser a und ein Punkt derselben den Kegelschnitt ab (ein anderer den ac) beschreibt. — Wir wollen im folgenden als die drei konjugirten Durchmesser die Axen annehmen ; die Erörterungen gelten aber auch für andere konjugirte Durchmesser, abgesehen von den der rechtwinkeligen Lage zukommenden Eigentümlichkeiten.
Je nach der Lage des Mittelpunktes M im Endlichen oder im Unendlichen und nach der reellen oder imaginären Beschaffenheit der Axen ergeben sich fünf Arten der reellen Flächen zweiten Grades, wozu noch die imaginäre Fläche als sechste Art hinzukommt.
A. Der Mittelpunkt liegt im Endlichen:
1) die drei Axen sind reell: das Ellipsoid;
2) zwei Axen sind reell, eine ist imaginär: das einschcUige Hyperboloid;
3) eine Axe ist reell, zwei sind imaginär: das zweischalige Hyperboloid;
4) die drei Axen sind imaginär: die imaginäre Fläche zweiten Grades.
B. Der Mittelpunkt liegt im Unendlichen:
5) die drei Axen sind reell, oder, was keinen Unterschied in der Fläche hervorbringt, eine Axe ist reell und zwei sind imaginär: das elliptische Paraboloid;
6) zwei Axen sind reell, eine ist imaginär: das hyperbolische Paraboloid.
Wenn der Mittelpunkt im Unendlichen, Pig. 37.
also in seiner Polarebene liegt, ist er ein Jl ,
reeller Punkt der Fläche; also können dann »'y^^/^^^'^^^
nicht die Fläche und somit auch nicht die iCl2i^
drei Axen imaginär sein. / ^f ! l^,
91. 1) Das EUipsoid besitzt drei reelle / ../ ' T'J-"^T ' V; ^*^* *^*
Axen und hat drei Ellipsen zu Hauptschnit- /t / "7-^ ^^.^^S^^^^^'
ten. Für die verschiedenen Lagen der Er- \^\^^^^^
zeugenden ist das Verhältnis Y\^''~'^f^ZX^'^^
b _MB _ M'B' M"B'' 7^
c MC~ M'G' M"C""' "-^^
unveränderlich. — Ist 6 = c, so wird die
Erzeugende ein Kreis und die Fläche ein UmdrehungseUipsoid. Das- selbe heißt verlängert, wenn a > 6, abgeplattet oder ein, Sphäroid,
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86
III, 91—92. Die Flächen zweiten Grades.
wenn a<b. Für a = 6 = c entsteht die Kugdy für c = 0 die doppelte Ebene ab (entsprechend für 6 oder a = 0). Für 6 = 0 = 0 die Gerade a, für a = 6 = c = 0 der Punkt, für c = oo der Cylinder, für 6 = c =» cx) zwei parallele Ebenen, für a = 6 = c = oo die doppelte unendlich ferne Ebene, Fig. 38. 92. 2) Das einschalige Hyperboloid (einmantelige, einfache H.)
besitzt zwei reelle Axen 26 und 2c, und eine imaginäre, deren ideelle Darstellung 2a ist. Die Hauptschnitte ab und ac sind daher
Hyperbeln, derjenige bc und die ^* damit parallelen Erzeugenden El-
lipsen. Von den letzteren ist be die kleinste und heißt KehleUipse\ von ihr an wächst die Erzeugende nach beiden Seiten bis ins Unendliche. Weil die Fläche die unendlich ferne Ebene in einem reellen Kegelschnitte trifft, so ist der aus dem Mittel- punkte M ihr umschriebene, sie nach dieser Kurve berührende Kegel Mh'h" reell; er heißt der Asymp- totenkegel, weil er die Asymptoten aller derjenigen Hyperbeln der Fläche enthält, deren Ebenen durch M gehen, z.B. der durch a gelegten. — Für 6 = c entsteht das einscha- lige ümdrehungshyperbohid, für c = 0 die doppelte Ebene ab, für 6 = c = 0 die Gerade a, für a = 6 = c = 0 (bei ungeändertem Verhältnisse) der Asymptoterikegel der ur- sprünglichen Fläche, für a = oo der elliptische Cylinder, für c = oo der hyperbolische Cylinder, für a = 6 = c™oo die doppelt unendlich ferne Ebene, für a = 6 = 0 zwei sich in c schneidende Ebenen.
Man kann auch die Hyperbel ab (oder ac) als Erzeugende und die Ellipse bc oder die Hyperbel ac (bezw. ab) als Leitlinie an- sehen. Die hyperbolischen Erzeugenden ab haben parallele Asymp- toten; während ihr Mittelpunkt auf der endlichen Strecke CC^ liegt, ist ihre reelle Axe mit b, ihre imaginäre mit a parallel; während er auf der unendlichen Strecke C'C^ liegt^ ist ihre reelle Axe mit a und ihre imaginäre mit b parallel. Eine der ersteren und eine der letzteren Art sind konjugirt ähnlich. Das Verhältnis
ö MB ~ M^B^ der reellen und ideellen Axe ist unveränderlich.
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III, 93—94. Allgemeine Eigenschaften der Flächen zweiten Ghrades. 87
93. 3) Das uweischälige Hyperboloid (zweimantelige, zweifache Fig. 89. U.) besitzt eine reelle Axe 2a und zwei imaginäre, deren ideelle Darstellungen 2h y 2c sind. Die Hauptschnitte ab und ac sind daher Hyperbeln, derjenige bc eine
imaginäre Ellipse und die damit '^*
parallelen Erzeugenden für die endliche Strecke ÄÄ^ sind imagi- näre, für die unendliche A.Ä^ reelle Ellipsen. Der aus M der Fläche umschriebene, sie im Unendlichen berührende Kegel Mk'k" heißt wieder der Äsymp- totenkegel. — Für b = c entsteht das zweischalige Umdrehungshyper- höloid, für c = 0 die doppelte Ebene a6, für 6 = c = 0 die Gerade a, füra = 6 = c = 0 (bei ungeändertem Verhältnisse) der Asymptotenkegel j für c «= oo der hyperbolische Oylinder, f ür 6 = c
«= oo zwei parallele Ebenen, für a «= 6 = 0 zwei sich in ^ c schnei- dende Ebenen. — Man kann auch die Hyperbel ab als Erzeugende und die imaginäre Ellipse bc oder die Hyperbel ao als Leitlinie ansehen.
4) Die imaginäre Fläche soll erst später untersucht werden.
94. 5) Das elliptische Paraboloid besitzt einen unendlich fernen Fig. 4o. Mittelpunkt M, eine reelle Axe MÄ, deren Scheitel Ä im End- lichen liegt, uhd zwei unendlich ferne Axen 2b und 2c, welche beide als reell oder beide als imaginär anzusehen sind. Die Hauptschnitte ab und bc sind daher Parabeln, welche sich von Ä aus in dem- selben Sinne ins Unendliche erstrecken müssen, weil eine mit bc parallele Ebene die Fläche in einer mit der reellen oder imaginären Ellipse bc ähnlichen oder kon- jugirt ähnlichen Ellipse schneidet, so daß sie jene beiden Parabeln entweder in vier reellen oder in vier imaginären Punkten,
den Scheiteln der Ellipse, schneidet. — Für b = c entsteht das Um- drehungsparabohid, für Jf' C «= 0 die doppelte Ebene ab, für HfB' = M'C = 0 die Gerade a, für Jlf' C «= oo der parabolische Cylinder
|
Fig. 40. |
||
|
jJ.^ |
>,<?; |
|
|
MJjk^ |
-\o' |
|
|
7 ' 1 , {-7 |
}■ |
|
|
COlM |
\ |
\ |
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m, 94—95. Die Flächen zweiten Grades.
für Jf' JB' «= Jlf' C = oo die auf a senkrechte durch A gehende Ebeney verbunden mit der unendlich fernen Ebene.
Alle durch a gelegten Ebenen schneiden die Fläche in Para- beln ^ welche a zur Axe haben und sich in übereinstimmendem Sinne von Ä aus erstrecken; und eine durch a und eine mit ihr parallel gelegte Ebene schneiden die Fläche in Tcongruenten Parcibdn, Denn der Punkt; aus welchem sich beide Parabeln auf einander projiciren (86), ist unendlich ferne, da er in der Polare der Schnittlinie ihrer Ebenen liegt, diese Linie aber und folglich auch ihre Polare eine unendlich ferne Tangente der Fläche ist (77, 3)). Daher kann man auch die Parabel ac als Erzeugende ansehen, welche parallel und kongruent mit ihrer Anfangsgestalt sich so bewegt, daß ihr Scheitel die Parabel ah beschreibt; B^C^ ist eine Lage derselben. Fig.il. 95. 6) Das hyperbolische Paraboloid besitzt einen unendlich
fernen Mittelpunkt Jlf, eine reelle Axe MA, deren Scheitel A im Endlichen liegt, während von den beiden anderen im Unendlichen
liegenden Axen 2 b und 2 c ^^^' ^^- die eine reell, die andere
-^ ^'^'^' imaginär ist. Der unendlich
ferne Hauptschnitt bc ist da- her eine Hyperbel, während diejenigen ab und ac Parabeln sind, welche sich von A aus in entgegengesetztem Sinne * ins Unendliche erstrecken, indem die eine derselben von einer zu bc parallelen und ähnlichen erzeugenden Hy- perbel in deren reellen, die andere in deren imaginären Scheiteln getroffen wird. So besitzt die erzeugende Hyperbel JK'B'5/ auf der Parabel ab ihre reellen Scheitel B', B/, und auf der Parabel ac ihre imaginären Scheitel, von welchen C\ C/ die ideellen Darstellungen sind. Entfernt sich ihr Mittelpunkt M' von A, so wachsen ihre Axen bis zu jeder beliebigen Große; bei der Annäherung gegen A werden sie in A Null, die Hyperbel wird zu zwei Geraden h und h'l und bei Überschreitung von A liegen ihre reellen Scheitel C", (7/' auf der Parabel ac, ihre imaginären (ideell dargestellt durch B'\ JB/') auf der ab. Da die erzeugenden Hyber- beln unter einander ähnlich oder konjugirt ähnlich sind, so gilt: M'B' :M'C'^ M"B" : M"C'\ Die ideellen Punkte £"£/' büden eine mit der Parabel ab kongruente und in Bezug auf A symme-
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III, 95—96. Konjagirte Flächen 2. Gr. u. Imaginärprojekiioii im Baume. 89
irische Earre^ als konjugirt zu ab in Bezug auf den unendlich fernen Punkt von B'B^ und JB^'B/' (I, 402). Ebenso bilden die Punkte C\ C^ eine zur Parabel ac kongruente und in Bezug auf -4 symmetrische Kurve.
Auch dieses Paraboloid wird von der unendlich fernen Ebene; welche die unendlich fernen Tangenten der Parabeln ab und ac ent- hält, in dem unendlich fernen Punkte von a berührt , welcher ihr Pol und der Mittelpunkt M der Fläche ist.
Diese Fläche kann von einer Ebene E nie in einer Ellipse (oder einem Kreise) geschnitten werden, da die unendlich ferne Gerade der E die unendlich ferne Hyperbel der Fläche stets in zwei ge- trennten oder zusammenfallenden reellen Punkten trifft. Denn diese unendlich ferne Gerade und die Hyperbel projiciren sich aus A bezw. durch eine zu E parallele Ebene und durch zwei Ebenen ah und ah' (weil a die Projicirende der unendlich fernen Punkte der Parabeln ab und ac ist), und die erstere Ebene schneidet die beiden letzteren in zwei reellen durch A gehenden Geraden, welche- die unendlich fernen Punkte der Schnittkurve projiciren. Man muß daher die unendlich ferne Hyperbel der Fläche als aus zwei Geraden gebildet ansehen, denjenigen der Ebenen ah und ah\ welche Ge- rade sich in dem unendlich fernen Punkte der a und der F schnei- den. Für & = c werden die beiden Hauptschnitte ab und ac kon- gruent; zu einer Umdrehungsfläche kann die Fläche nicht werden, da keine Kreise auf ihr möglich sind; für M'C *=^0 entsteht die doppelte Ebene ab, für MB' = MC = 0 die beiden Ebenen ah und aÄ', für Jlf'C' = oo der parabolische Cylinder, für Jirj5'«= M'C = oo die auf a senkrechte durch A gehende Ebene, verbunden mit der unendlich fernen Ebene.
Eine durch a gelegte und eine damit parallele Ebene schnei- den, ebenso wie beim elliptischen Paraboloide, die Fläche in kon- gruenten Parabeln. Daher kann man wieder die Parabel ab ^der ac) als Erzeugende ansehen, nur daß sie sich mit der Leitparabel ac (oder ab), im Unterschiede gegen die vorige Fläche, in entgegen- gesetztem Sinne erstreckt.
n. Konjagirte Flächen zweiten Qrades nnd die Imaginär- projektion im Baume.
96. In I, 400 ff. nannten wir die ideellen Schnittpunkte einer Geraden g mit einem Kegelschnitt k in Bezug auf einen Punkt P der g und dessen Polare p zxx k diejenigen beiden Punkte der g, welche in Bezug auf k zu einander konjugirt und durch P und p
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90 III| 96. Die Fl&chen zweiten Grades.
harmonisch getrennt sind. Die auf allen aus P gezogenen Strahlen aufgetragenen ideellen Schnittpunkte mit h bilden den zu h in Bezug auf P konjugirten Kegelschnitt i, und die reciproke Beziehung von h und l ergibt (I, 401), daß die reellen Schnittpunkte Qy Je die ideel- len Darstellungen der Schnittpunkte g, l, d. i. auch die ideellen Dar- stellungen der imaginär gewordenen ideellen Schnittpunkte g,k sind. Dieser Begriflf überträgt sich auf die Schnittpunkte einer Geraden g mit einer Fläche zweiten Grades T, indem dieselben auch die Schnitt- punkte der g mit jedem Kegelschnitte der F sind, dessen Ebene durch g geht. In weiterer Anwendung des Begriffes der konjugirten Kegelschnitte und der Imaginärprojektion können wir sagen:
Begriff und Satz, Zu einer Fläche zweiten Grades F nennen wir diejenige Fläche H in Bezug auf einen Funkt P und dessen Polar- ebene V zu'F Jconjugirty tcdche der geometrische Ort der ideellen Schnitt- punkte der P mit den aus P gezogenen Strahlen in Bezug auf P und P ist.
Die P schneidet die P und die H in demselben reeUen oder imor ginären Kegelschnitte p. Ist p reell, so ist die konjugirte Fläche H eine reelle Fläche zweiten Grades, welche P und P zu Pol und Polar- ebene besitzt, und die P entlang p berührt. Die konjugirte Fläche der H in Bezug auf P ist wieder P. P und P heißen der Mittelpunkt tmd die Ebene der Konjunktion.
Jede durch P gelegte Ebene E schneidet die P und H in zwei Kegelschnitten, die in Bezug auf ihren gemeinschaftlichen Pol und Polare P und PB zu einander konjugirt sind. Daher ist auf jeder Geraden PE die Involution konjugirter Punkte in Bezug auf diese beiden Kegelschnitte dieselbe (I, 406). Die reellen oder imaginären Doppelpunkte jeder solchen Involution sind aber die gemeinsamen Punkte jener Kurven (in E) mit P, alle zusammen bilden die Schnitt- linie von P zugleich mit P und H. Daher schneidet P die P und die p in derselben reellen oder imaginären Kurve p, welche für P (83), daher auch für H ein Kegelschnitt ist. Für den Fall, daß p reell, lege man durch P eine Gerade g, welche durch einen inneren Punkt des p geht und die P in den Punkten schneidet, welche reell oder ideell durch F, F' dargestellt sind; dann schneidet jede durch g gelegte Ebene E die P in einem reellen Kegelschnitte, welcher durch die reellen Schnittpunkte der E mit dem p und durch F, F' geht Andei'erseits schneidet sie die H in dem zu diesem Kegelschnitte in Bezug auf P konjugirten Kegelschnitte, welcher durch dieselben Punkte E p, dagegen durch die Punkte der Geraden g geht, welche bezw. ideell oder reell durch F, F' dargestellt sind. Die Fläche H, welche durch diese Kurve erzeugt wird, ist vom zweiten Grade (81)
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III, 96—99. EoDJngirte Flächen 2. Gr. u. Imaginärprojektion im Baume. 91
und bertOirt die F entlang p, da jene beiderlei erzeugenden Kurven zwei Punkte der p und in denselben die nach P laufenden Tan- genten gemein haben. Indem aber die beiden Kurven gegenseitig konjugirt sind; ist auch F zu H konjugirt.
Zugleich ergibt sich: Die Schnittlinien ssweier in Beztig auf P und P konjugirten Flächen «weiten Grades mit einer durch P gelegten Ebene E sind Kegelschnitte j die in Begug auf P und T'E m einander konjugirt sind.
97, Zwei in Bezug auf den Punkt P und die Ebene P konju- girte Flächen zweiten Grades F und H sind gegenseitig Imaginä/rpro- jfktianen mit P und P als Mittelpunkt und Ebene der KoUineation (I, 554) und mit der Charakteristik d = + K — 1 = + *; ^®il ^^^^ für jeden aus P gezogenen Strahl gilt (I, 403). Jede reelle Pro- jektion von n mit P und P als Mittelpunkt und Ebene der KoUi- neation mit der reellen Charakteristik a ist ebenfalls eine Imaginär- projektion von F in Bezug auf P und P mit der Charakteristik 8^±ai (I, 403).
98. Von zwei konjugirten redien Flächen zweiten Grades ist stets die eine geradlinig, die andere nicht geradlinig. Denn ein aus dem Konjunktionsmittelpunkte P nach einem inneren Punkte des p ge- zogener Strahl schneidet die eine der Flächen in imaginären ^ die andere in reellen Punkten ^ daher ist die erstere Fläche geradlinig^ die zweite nicht geradlinig (81).
99« Die zu einer Fläche zweiten Grades F in Bezug auf einen Punkt P konjugirte Fläche ist imaginär, wenn F nicht geradlinig und P ein innerer Punkt derselben ist; in jedem anderen FaUe ist sie reeU. Denn nur im ersteren Falle schneidet jeder Strahl aus P die F in reellen (82, 3)), daher die H in imaginären Punkten (96).
Jede durch P gehende Ebene E schneidet die imaginäre Fläche H in demjenigen imaginären Kegelschnitte, welcher zu dem reellen Kegel- schnitte EF in Bezug auf P und EP konjugirt ist. Derselbe ist be- stimmt durch die der F und der H gemeinsamen (imaginären) Punkte auf SP, durch den Pol P zu dieser Linie, und durch den einen der beiden konjugirt imaginären Punkte der H auf irgend einem Strahle g aus P, von welchen Punkten sie dann auch den anderen enthält Läßt man die E sich um g drehen, so erzeugen jene imagi- nären Punkte auf EP den imaginären Kegelschnitt p «» PF, und der imaginäre Kegelschnitt der Ebene E erzeugt die imaginäre Fläche, welche demnach auf dieselbe Art, une eine reeUe Fläche zweiten Grades entsteht (96). Es soll alsbald nachgewiesen 'werden, daß auch jede nicht durch P gehende Ebene die Fläche H in einem imaginären Kegelschnitte trifft, daß also auch die H vom zweiten Grade ist.
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92 III, 100. Die Flächen zweiten Grades.
100. Satz. Ist H die (reelle oder imaginäre) zu einer reellen Fläche smeiten Grades P in Beaug auf einen Punkt P und eine Ebene P kanjugirte Fläche, ist p der Kegelschnitt, den P mit F und H ge- mein hat, und zieht man aus einem beliehigen Punkte Q Strahlen, so ist der Ort des a/uf jedem dieser StraMen m Q in Bezug auf H kon- jugirten Punktes eine Ebene, die Polarebene Q von Q zu B., und sie enthält die Polare von Q zu der Schnittkurve jeder durch PQ gelegten Ebene mit H. Die Q schneidet die Polard>ene Q' von Q zu F in einer Geraden der T, der Polare des Punktes (PQ, P) zu p, und wird von ihr durch P und P harmonisch getrennt Liegt Q in P, so gehen beide Polarebenen Q und Q,' durch P und fätten zusammen. Denn jene zu Q konjugirten Punkte aufstrahlen, die in einer durch PQ gehen- den Ebene E liegen, bilden die gerade Polare von Q zu dem Kegel- schnitte EH. Diese Polare und diejenige von Q zum Kegelschnitte EF treffen sich aber in einem Punkte der EP und sind durch P und EP harmonisch getrennt (I, 406, 1), auch für einen reellen Kegelschnitt i giltig). Da aber diese Polaren zu EF in allen Ebenen E die Polarebene Q' Ton Q zu F bilden, so gehen alle jene Polaren zu EH durch die gerade Schnittlinie der P mit der Q,', welche Schnittlinie die Polare des Punktes (PQ, P) zu p ist, und bilden diejenige Ebene Q, welche von Q' durch P und P harmonisch ge- trennt wird.
Durch diesen Satz übertragen sich alle Polareigenschaften einer reellen Fläche zweiten Orades F auf eine zu derselben in Bezug auf P und P kanjugirte Fläche H, wenn dieselbe auch imaginär ist« Insbesondere:
1) Zu einer zu F konjugirten Fläche H hat eine Ebene Q nur einen Pol Q, von welchem Q die Polarebene ist; denn hätte sie deren zwei, so müßten diese Punkte auch zu der reellen Fläche F ein und dieselbe Polarebene haben, nämlich die von Q durch P und P harmonisch getrennte, was unmöglich (75).
2) Die Polarebene B eines Punktes R der Ebene Q zu H geht durch den Pol Q der Q; denn ü und Q sind konjugirte Punkte in Bezug auf den Kegelschnitt der H in der Ebene PQK
3) Die Pole Q und Q' einer Ebene Q bezw. zu H und F lie- gen auf einer Geraden mit P und sind durch P und P harmonisch getrennt. Denn Q und Q' können bezw. als die Schnittpunkte der Polarebenen dreier Punkte Ton Q bestimmt werden; die drei zu F gehörigen schneiden sich in Q', daher müssen die drei zu H gehö- rigen durch den Punkt Q der Geraden PQ' gehen, welcher von Q' durch P und P harmonisch getrennt ist. — Geht Q durch P, so fallen Q und Q' in V zusammen.
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ni, 100—102. EoDJagirte Flächen 2. Gr. u. Imagm&rprojektion im Räume. 93
4) Die Polaren g' und g^ einer Geraden g bezw. zu H und F liegen in einer Ebene mit P, schneiden sich auf F und sind durch P und F harmonisch getrennt Liegt ^ in F oder geht durch P, so fallen g' und g^ zusammen und gehen bezw. durch P oder lie- gen in F.
5) Die Büschel g' und g^ der Polarebenen der Punkte einer Geraden g bezw. zu H und F sind projektiv mit dieser Punktreihe und zu einander perspektiv mit P und F als Mittelpunkt und Ebene der Eollineation.
101. Ist F eine reelle Fläche ssweiten Grades und H ihre in Bezug auf P und F Jconjugirte Fläche^ und schneidet ein durch P ge- sogener Strahl die F in den reellen Punkten Q und Q\ so ist die Polar- ebene von Q zuB. die BerOhrungsebene der F in Q\ Denn die Polar- ebene Q zu F ist die Berührungsebene der F in Q, Die Berührungs- ebenen der F in Q und in Q' schneiden sich aber in einer Geraden der F (73^ 5)) und sind durch P und F harmonisch getrennt^ weil Q und Q' es sind; folglich ist die Berührungsebene der T m Q' die Polarebene von Q zu H (100).
102. S(xtz und Äufg. Eine zu einer reellen Fläche zweiten Grades F in Bezug auf einen Punkt P und eine Ebene F konjugirte imagi- näre Fläche wird von jeder Ebene E in einem imaginären Kegelschnitte getroffen und ist deswegen ebenfalls eine Fläche vom zuzeiten Grade. Es soU von einer solchen imaginären Schnittkurve eine ideelle Darstel- lung bestimmt werden.
Bew. und Aufl. F muß eine nicht geradlinige Fläche und P ein innerer Punkt derselben sein (99). Von der Schnittlinie FE = jf geht die gemeinschaftliche Polare gi zu F und zu H durch P (100, 4)); ng. «. eine durch g^ beliebig gelegte Ebene Q treffe die F, H, F, B, g bezw. in dem reellen Kegelschnitte f, dem imaginären Kegelschnitte h, den Geraden p, e und dem Punkte G, wobei P und G bezw. die Pole von p und g^ zu f und zu h sind (100, 2)). Die imaginäre Schnittkurve Sn = * wollen wir durch eine ideelle Kurve in Bezug auf G^ (= eg^)^ g darstellen, indem wir auf jedem in E durch G^ gezogenen Strahle, so auf dem Strahle EQ = e die in Bezug auf H und dann auch auf h konjugirten (100) und durch G^ und g harmonisch getrennten Punkte J, Ji bestimmen und nachweisen, daß dieselben einen Kegel- schnitt bilden, wodurch i als der zu ihm in Bezug auf G^, g kon- jugirte imaginäre Kegelschnitt nachgewiesen ist. Sei E^ der Pol von S zu F, welcher auf gi liegen muß, da E durch g geht, der also auch der Pol von e zu f ist, so ist E der Pol von E zu H, wenn El und E durch P und F (oder p) harmonisch getrennt sind. Man erhält nun auf e außer 6r, G^ noch ein Paar in Bezug auf H und h
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94 III, 102—103. Die Fachen zweiten Grades.
konjugirte Punkte B, Bi, wenn man von B die Polare E^C zn f zieht und sie mit p in C schneidet; dann ist EC die Polare von B zu Ä und bestimmt .Bj auf e. Wählt man, wie in der Figur, B als einen Schnittpunkt von e mit /*, so sind die Polaren von B z\x f und h die Tangenten an f bezw. in B und die zweite aus C gezogene (1, 408), so daß man die Punkte E^ und E entbehren kann. Um nun in der Involution G, G^ ; JB, B^ die ideellen Doppelpunkte in Bezug auf G, Giy d. h. die durch 6r, (tj harmonisch getrennten zugeordneten Punkte zu finden, projicire man Gy G^ ; B, B^ aus einem der Schnitt- punkte A, Ai von g^ mit /", etwa aus A, auf f in die Punkte -4, -4j; By Du bestimme den Mittelpunkt K dieser Involution als Schnitt- punkt von AA^ mit BD^ (im Inneren von /*), ziehe die GKj schneide sie mit f in L und £|, so liefern AL und AL^ auf e die gesuchten
Punkte Jund J^; denn sie bilden ein Paar der Involution, weil LL^ durch K geht, und sie sind durch Gy G^ harmonisch getrennt, weil Ly Li durch G, K harmonisch getrennt sind. — Läßt man nun die Ebeoe Q sich um g^ drehen, so geht f in eine andere Kurve f der P über, und es projiciren sich aus einem Punkte der g auf einander die Kegelschnitte f und f (85), ebenso G und ein ihm entsprechender Punkt G' der g, B und B\ G und C, B^ und £/, A und 2)/, daher auch BD^ und B' D/, so daß diese Linien sich in dem Punkte K der Kollineationsaxe schneiden müssen. Daher bilden die Ge- raden GKy G'KAie Ebene gK, die Punkte i, Li; X', i/ den (reellen) Kegelschnitt, in welchem die Ebene gK die F trifffc, und die Punkte JjJi'^ J')J{ die Projektion dieses Kegelschnittes aus A auf B, also wieder einen Kegelschnitt, w. z. b. w.
108. Indem wir den Begriff der BeciprocUät (I, 285, 353 £) auf
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III, 103. EoDJagirte Fl&chen 2. Gr. u. Imagioärprojektion im Räume. 95
den Raum anwenden , und dabei eine Fläche zweiten Grades F als Direktrix der Beciprocität annehmen, erhalten wir als recipröke Ge- bilde zu einem Punkte seine Polarebene zu F; zu einer Ebene ihren Pol; zu einer Geraden ihre Polare; zu einer geraden Punktreihe g das damit projektive Ebenenbüschel mit der Polaren g' von g als Axe; zu einer Fläche von Punkten von der n*®° Ordnung (welche von einer Geraden in n Punkten geschnitten wird) eine Fläche von Ebenen von der n*®** Klasse (von deren Ebenen n durch eine Gerade gehen), nämlich die einhüllende Fläche der Polarebenen jener Punkte; zu einer Kurve von Tangenten (abwickelbaren Fläche) eine Kurve, welche von den Polaren jener Tangenten berührt wird (abwickel- bare Fläche); zu einer Kurve von Punkten von der n*^ Ordnung (welche von einer Ebene in n Punkten geschnitten wird) eine Kurve von Ebenen von der n*®° Klasse (von deren Ebenen n durch einen Punkt gehen); die Ebenen sind die Polarebenen der Punkte der ersten und die Schmiegungsebenen der zweiten Kurve; den Tangenten der ersten Kurve und ihrer abwickelbaren Fläche entsprechen die Schnitt- linien je zweier benachbarten Schmiegungsebenen, d. i. die Tangen- ten der zweiten Kurve und ihre abwickelbare Fläche.
Eine Fläche H nennt man reciproh eu sich selbst, wenn von jedem ihrer Punkte die Polarebene zur Direktrix F Berührungsebene der H ist. Um diesen Begriff auch auf den Fall einer imaginären Fläche zweiten Grades anwendbar zu machen, geben wir ihm eine allgemeinere Form.
Begriff. Eine Fläche zweiten Grades H ist reciprok m sich selbst in Bezug auf die Direktrixfläche F, wenn von einem Punkte B und seiner Polarebene B, m B. bessw. die recipröke Ebene B' und der reci- pröke Punkt B' (Polarebene und Pol von B und B, m ¥) wiedßr gegenseitig Polard>ene und Pol m H sind. Es gilt dann der
Satz: Sind F und H ztvei in Bezug auf den Punkt P und die Ebene P konjugirte Flächen zürnten Grades, von denen eine imaginär sein mag oder nicht, so ist jede derselben die recipröke Fläche von sich selbst in Bezug auf die andere Fläche.
Denn sind der Punkt Q und die Ebene Q Pol und Polarebene zu F, sind Q' und Q' durch P und P harmonisch getrennt bezw. von Q und Q, wobei die Verbindungslinie QQ' darch P geht und die Schnittlinie QQ' in P liegt, so sind auch Q' und Q' Pol und Polarebene zu F, weil F mit sich selbst perspektiv-kollinear ist in Bezug auf P und P, wobei die entsprechenden Elemente durch P und P harmonisch getrennt sind (73, Zus.). Da nun Q und Q' und ebenso Q' und Q Pol und Polarebene zu H sind (100), so ist jede
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m, 103—106. Die Flächen zweiten Grades.
der beiden Flächen (H) reciprok mit sich selbst in Bezug auf die andere Fläche (P).
104. Sat0 u. Aufg. Ist ein imaginärer Kegelschnitt i als konju- girte Kurve m einem reellen Kegelschnitte ni in Bemg auf einen (inne- ren) Punkt R desselben gegeben, so ist die ideelle Barstellung des i in Bemg auf einen beliebigen Punkt S seiner Ebene ebenfalls ein Kegel- schnitt; derselbe soll bestimmt werden*).
Flg. 48. Bew. w. Aufl. Wäre .S ein Punkt Q der Polaren r von B zu
m und zu i, so wäre die ideelle Darstellung von i in Bezug auf Q
der Kegelschnitt l, wel- ^'^- ^^- eher zu w in Bezug auf
BQ '^p (und dessen Pol P zu m) konjugirt ist (I, 407). Liegt aber S nicht auf r, so ziehe man die Gerade SB, schneide sie mit r in P, dann ist der in Bezug auf P und p zum konjugirte Kegel- schnitt l die ideelle Dar- stellung des i in Bezug auf B8 <=» q und dessen Pol Q. Nun liegt aber S auf der Polaren q von Q "za l und zu i (und zu w); daher ist der zu l in Bezug auf QS = t und deren Pol T (auf q) konjugirte Kegel- schnitt h die verlangte ideelle Darstellung des i in Bezug auf S und seine Polare QT^=^s zu i.
105, Satis u. Aufg. Die ideelle Darstellung eines imaginären Kegelschnittes i in Bemg auf einen Punkt ist eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem dieser Ptinkt innerhalb^ auf oder außerhalb der Mittelpunktsellipse m von i liegt (84)**). Sind P und Q zwei in Bezug auf i konjugirte Punkte eines Durchmessers von i {und m), so
*) In B. I, Nr. 408 wurde eine Konstruktion dieser Kurve angegeben und dabei stillBcbweigend vorausgesetzt, daß sie ein Kegelschnitt sei. Es soll eine andere Konstruktion gegeben werden, welche den Beweis einschließt
**) Herr Prof. Retali hatte die Freundlichkeit, mir in einem Schreiben vom 18. März 1885 diesen Satz mitzuteilen, und ich erkenne ihm gerne die Prioritöt in Bezug auf denselben zu. Ich stieß später auf den Satz bei Ge- legenheit der Auflösung der obigen Aufgabe , welche denselben einschließt. Herr Betali teilte mir noch andere interessante Sätze mit, insbesondere solche Über die Punkte in der Ebene eines Kegelschnittes, in Bezug auf welche der konjugirte Kegelschnitt ein Kreis ist
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in, 105. Eonjagirte Flächen 2. Gr. u. Imaginärprojektion im Räume. 97
sind die ideellen DarsteH/ungen h und k von i in Beäug auf P heaw. Q m einander konjugirt in Bemg auf PQ. — Es sollen diese Kegel- schnitte konstruirt werden,
Bew. u. Aufl. Sei TJ der Mittelpunkt Ton i und m und sei auf Fig. 44 der Durchmesserlinie UQ oder r der Punkt Q ein äußerer von w, P' sein konjugirter in Bezug auf niy so ist sein ko^jugirter P in Bezug auf i von P' harmonisch getrennt durch U und dessen Po- lare w zu i und i»; und da u unendlich fern, so ist UP «== P^U. P' und P sind dann innere Punkte von f». Die Polaren |>'= P'B und p «=« PB von Q bezw. zu m und i laufen nach dem unendlich
Fig. 44.
fernen Pole B der r zu w und i. Um nun die zu i in Bezug auf P und Q konjugirten Kegelschnitte bezw. h und k zu bestimmen^ verzeichne man (oder denke sich auch nur verzeichnet) den zu m in Bezug auf den Schnittpunkt V der r mit u und dessen Polare TJB zu m konjugirten Kegelschnitt 2, der entweder nach I, 401 oder als diejenige Hyperbel verzeichnet wird, welche die in TJB und UP liegenden Durchmesser des m bezw. zu einem reellen und zu dessen konjugirtem ideellen Durchmesser hat (I, 379). Nach der Konstruktion der vor. Nr. sind dann die ideellen Darstellungen h und Tc von i in Bezug auf P bezw. Q auch die konjugirten Kegelschnitte zu l in Bezug auf Q bezw. P; und da PQB ein Polardreieck zu Z, 80 sind h und k zu einander konjugirt in Bezug auf B und r (I, 407). h und k berühren aber die l bezw. in den Punkten A, A^ und B, B^, welche auf den Strahlen BP, BQ liegen, und die Tangenten in diesen Punkten gehen bezw. nach Q und P. Hat man l nicht verzeichnet, so bestimmt man -4, A^ und JB, B^ als Doppelpunkte je einer In- volution, oder einfacher nach I, 371, indem man die Abscissen der Hyperbel aus ihren (hier schiefen) Ordinaten ermittelt. Weil J., A^ und JB, Bi zwei konjugirte Punktepaare der konjugirten Kegelschnitte A, k sind, so bestimmen die Linien AB, AB^ (und A^ P^, A^ B) auf
Wiener, Lehrbaoh der danteUenden Geometrie. IL 7
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98 ni, 106—107. Die Flächen zweiten Grades.
r die Berührungspunkte C, C^ beider Kegelschnitte, in welchen die Tangenten nach R laufen (I, 401). Da nun die nach dem *Pole R von CCi gerichtete reelle Sehne APA^ des h die > endliche Strecke CCi trifft, ist die ideelle Darstellung h des i in Bezug auf den inneren Punkt P eine Ellipse j die h in Bezug auf den äußeren Q, weil zu der h in Bezug auf den unendlich fernen Punkt R konjugirt, eine Hyperbel, Zur Verzeichnung von Ji bestimmt man den zu CC^ konjugirten Durchmesser vermittelst Affinität zu einem Kreise vom Durchmesser CC^\ und jener Durchmesser gehört als ideeller auch der Hyperbel A an. — Ist Q ein Punkt der m, so ist p' deren Tan- gente in demselben, p die im diametral gegenüberliegenden Punkte; dann wird AAi = BB^, BA || r, C rückt ins Unendliche und die h oder k wird zu einer Parabel.
106. Aus Nr. 84 und den beiden vorhergehenden Nummern ergibt sich:
1) Der Pol U der unendlich fernen Ebene U zu einer imagi- nären Fläche n ist ihr Mittelpunkt^ die ideelle Darstellung der H in Bezug auf TJ ist ein Ellipsoid, welches U zum Mittelpunkte hat, dasselbe soll das Mittelpunktsellipsoid der H heißen.
2) Die ideelle Darstellung einer imaginären Fläche zweiten Grades H in Bezug auf irgend einen Punkt P ist ein Ellipsoid^ ein ellip- tisches Paräboloid oder ein zweischaliges Hyperboloid, je nachdem P itmerhalby OMf oder außerhalb des Mittelpunktsellipsoides der H liegt.
107. Begriff. Wir wollen diejenige Flüche H konjugirt zu einer Fläche zürnten Grades F in Bezug auf eine Gerade g nennen, welche den Ort des Kegelschnittes bildet, der in jeder durch g gelegten Ebene zu deren Schnittkurve mit F konjugirt in Bezug auf g ist.
Satz. Sind die Geraden g und g' gegenseitige Polaren zu einer Fläche zürnten Grades F, so sind die in Bezug awf g und die in Bezug auf g' zu F konjugirten Flächen ein und dieselbe; diese Fläche H ist vom zweiten CrradCy sie berührt die F in deren Schnittpunkten mit g und mit g\ g und g' sind auch gegenseitige Polaren zu H, und es ist auch F zu B, in Bezug auf g und g' konjugirt"^).
Bew. Jede Gerade i, welche die g und die g\ bezw. in den Punkten G und G\ schneidet, trifft beide konjugirte Flächen in den- selben beiden Punkten, nämlich in denen, welche in Bezug auf F zuein-
*) Diesen Begriff und Satz teilte mir Herr Prof. Retali in einem Schreiben vom 26. Nov. 1884 freundlichst mit. Er war mir neu, schien mir aber dem Inhalte meines Buches ferne su liegen. Bei der letzten Überarbeitung des zweiten Bandes jedoch fahrte mich die nähere Untersuchung der Imaginär- projektion ebener Kurven der Flächen 2. Grades auf diesen Begriff und ich zog ihn in der oben gegebenen Weise in das Buch herein.
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ni, 107—108. Konjugirte Flächen 2. Gr. u. Imaginärprojektion im Ranme. 99
ander konjugirt und durch G und G' harmonisch getrennt sind. Denn die zu F in Bezug auf g und die in Bezug auf g' konjugirte Fläche enthalten bezw. in den Ebenen giy gi die Kegelschnitte hy h\ welche zu den Schnittkurven dieser Ebenen mit F bezw. zu g, G' und g\ G konjugirt sind, indem G' und G bezw. von g und g' zu den Schnittkurven die Pole bilden. Diese konjugirten Kurven Ä, h\ und daher auch H, schneiden aber die i in den bezeichneten Punkten (I, 400). Indem durch jeden Punkt des Raumes eine Gerade i gelegt werden kann, fallen beide Flachen mit .allen ihren Punkten zusammen.
Da alle Kegelschnitte h dieselbe Involution konjugirter Punkte auf ^r besitzen, wie F, deren reelle oder ideelle Doppelpunkte F, F* heißen mögen, so projiciren sich je zwei derselben auf einander aus jedem von zwei Punkten der Verbindungslinie der Pole von g zu ihnen (85), d. h. der g\ Läßt man zwei h ineinander fallen, so findet man, daß die Fläche H entlang einer Kurve h von einem Kegel berührt wird, dessen Spitze auf j|f' liegt-, ebenso entlang eines Kegel- schnittes h' (dessen Ebene durch g' geht) durch einen Kegel mit der Spitze auf g. Alle h erzeugen nun eine Fläche zweiten Grades H, da sie alle durch dieselben beiden Doppelpunkte F, F' auf ^, sowie durch zwei Punkte eines Leitkegelschnittes Ä' gehen, und in letzteren Punkten Tangenten besitzen, die nach demselben Punkte der g (der dann der Pol der Ebene von Ä' ist) laufen (81). Ebenso alle ä'. — g und g' sind Polaren von einander auch zu H, weil der Pol von g zu jeder Kurve h auf g liegt, und umgekehrt. Die durch g ge- legten Berührungsebenen an F und H berühren beide Flächen in den Doppelpunkten der zu diesen Flächen gemeinschaftlichen Involution auf g\ und umgekehri Es ist die Fläche F in reciproker Weise zu H in Bezug auf g und g' konjugirt, weil in reciproker Weise in jeder durch g oder durch g gelegten Ebene die Kegelschnitte f und h zueinander konjugii*t sind.
108. Saiz. Von eweien in Bezug auf zwei Gerade g, g' eur einander konjugirten Flächen zweiten Grades F und H ist jede mit sich selbst recvproh in Bezug auf die andere,
Bew. Durch einen beliebigen Punkt Q des Raumes lege man eine die g und g' bezw. in G und G' schneidende Gerade t, durch i und eine der Geraden g, g\ etwa g, die Ebene gi, so schneidet diese die F und H in den Kegelschnitten f und h, welche in Bezug auf G\g konjugirt sind. Sei auf i zu ^ der Punkt Q' in Bezug auf h und daher auch auf H konjugirt, seien die Punkte Q^, Q^ durch G' und G harmonisch getrennt bezw. von QfQ\ so sind auch Qif Qi konjugirt in Bezug auf h und H, weil h mit sich selbst perspektiv-kollinear in Bezug auf G' und g ist (I, 346), und es sind
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100 in, 108—110. Die Flächen zweiten Grades.
Q und ^/, sowie Q' und Q^ konjugirt in Bezug auf f (I, 406, 1)) und P. Sind nun noch auf g zu G der Punkt G^ und auf g' zu G' der Punkt 6?/ konjugirt in Bezug auf P und dann auch auf H, so muß die Polarebene eines jeden Punktes der Geraden GG' in Bezug auf P und auf H die Gerade Gi G^ enthalten, weil diese die Schnitt- linie der Polarebene G^g' von G und G^ g von G' ist. Daher sind die Polarebenen von Q zu H und P bezw. G^ G^ Q' und G^ 6r/ ^/, und die von Q^ zu H und P bezw. G^ G^ Q^ und G^ 6f/ Q\ Da nun Qy G^GiQ' Pol und Polarebene zu H sind, G^G^Q^^ Qi bezw. deren Polarebene und Pol zu P, diese aber auch Polarebene und Pol zu n, so ist nach dem Begriffe von Nr. 103 die eine (H) der beiden Flächen mit sich selbst reciprok in Bezug auf die andere (P).
109. Die besonderen Fälle der in Bejsttg auf zum gegenseitige Polaren g, g konjugirten Flächen P und H.
1) Ist P geradlinig und wird von g und dann auch von g' in zwei reellen Punkten geschnitten (82, 4)), so gilt das letztere auch von H, und H ist daher ebenfalls geradlinig. P und H haben in jenen vier Punkten die bezw. durch g' und g gehenden Berüh- rungsebenen, daher auch das unebene Viereck von Erzeugenden ge- mein, welche jeden der beiden Schnittpunkte auf g mit jedem der beiden auf g' verbinden.
2) Ist P geradlinig und wird nicht von g und daher auch nicht von g' in reellen Punkten geschnitten^ so sind g und g' nicht reell schneidende Gerade für alle Kegelschnitte f, /'; und da diese reell sind, so sind die h und h' und damit die Fläche H imaginär.
3) Ist P nicht geradlinig, so wird sie von einer der Geraden g, g' reell, von der anderen imaginär geschnitten, dann gilt dieses auch von H, und H ist ebenfalls nicht geradlinig.
4) Ist P imaginär^ so wird sie von g und. von g' nicht reell geschnitten; daher auch nicht die H, und da alle Kegelschnitte f imaginär sind, so sind alle h und h' reell, und H geradlinig.
110. Satjs. Sind in Bemg auf eine Fläche zweiten Grades P die Geraden g und g' gegenseitige Polaren, sind femer die Punkte P und Q der g' in Bezug auf P zu einander konjugirt, also P und gQ = P, sowie Q und gP «= Q Pol und Polarebene, sind endlich zu P konjugirt die Fläche P' in Bezug auf g und g, die H in Bezug auf Py 9 Qy di^ H' in Bezug auf Q, g P, so sind auch die Flächen der drei anderen Paare zu einander konjugirt, und zwar die H, H' in Be0ug auf g,g\ die P', H' in Bezug auf P,gQ, die P', H in Bezug ^^f Qj9P' Schneiden g und g' die P (ufid P') reell, so sind aUe vier Flächen reell, in den anderen Fällen ist eine derselben imaginär. Ist G irgei\d ein Punkt auf g, so schneidet die Ebene g'G die vier
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III, 110. Konjngirte Flächen 2. Gr. u. Imaginärprojektion im Räume. 101
Flächen in vier paarweise zu einander honjvgirten KegelscJmiUen mit dem gemeinscJiaßlichen Polardreiecke GFQ,
Bew. Es seien f, f\ ä, ä' die Schnittkurven der Ebene g' G bezw. Fi«. «. mit den Flächen F^ F'^ H^ H'^ von welchen Kurven sich stets eine^ hier die hy als imagiuär ergeben wird. Da g und g' gegenseitige ^^^' ^^'
Polaren zu F sind, soi sind sie es auch zu F' (107), und auch zu H und H', weil g' durch die Eonjunktionspunkte P und Q geht (100, 4)); ebenso sind P und Q konjugirt in Bezug auf jede der vier Flächen. Schneidet ^' die F in den Punkten AyAyy die reell oder in Bezug auf P, Q ideell sein können, so enthält. F', weil zu F in Bezug auf g' konjugirt, die gleichartigen
Punkte -4,-4-1, wie F; dagegen enthalten H und H', weil zu F bezw. in Bezug auf P und Q konjugirt, die ideellen oder reellen Punkte ÄyÄy, also ungleichartige mit denen von F. Nun enthält F' als konjugirt zu F in Bezug auf g in der Ebene "B = gQ die zum Kegel- schnitte PF in Bezug auf g (und Q) konjugirte Kurve, es enthält H' als konjugirt zu F in Bezug auf Q in F die zum Kegelschnitte PF in Bezug auf Q (und g) konjugirte Kurve, also enthalten F' und H' in P denselben Kegelschnitt; außerdem ist zu beiden Flächen P der Pol von P, und endlich enthalten beide auf dem Strahle g' aus P die ungleichartigen Punkte A^A^. Diese dreierlei Elemente be- stimmen aber bezw. die Flächen F' und H' (81) und bezeichnen sie als konjugirt in Bezug auf P und T = g Q (96). Vertauscht man P mit Q, so vertauscht sich auch H' mit H, und es ergeben sich F' und H als in Bezug auf Q und Q,= g P konjugirt. Endlich sind H, H' konjugirt in Bezug auf g, g\ Denn H, als konjugirt zu F in Bezug auf P, P, enthält in P die Kurve PF, und H', als kon- jugirt zu F in Bezug auf QQ, enthält in der durch Q gehenden Ebene P die zur Kurve PF in Bezug auf g konjugirte Kurve; daher besitzen H und H' in P Kegelschnitte, die in Bezug auf g konjugirt sind; femer ist zu beiden Flächen P der Pol von P, und endlich besitzen beide auf $r' die übereinstimmenden Punkte A^A^. Folg- lich sind sie in Bezug auf g, g' konjugirt (107).
Eine durch g' und einen Punkt G der g gelegte Ebene enthält die in Bezug auf jede der vier Flächen, daher auch in Bezug auf
^;. ^^ ^
102
III, 110—111. Die Flächen zweiten Grades.
jede der vier Schnittkurven konjugirten Punkte (r, P, Q, welche demnach ein gemeinschaftliches Polardreieck der Kurven bilden. Da je zwei der Flächen und daher auch der Kurven in Bezug auf P und Q konjugirt sind, nämlich bezw. /, h und /*, h\ so sind diese vier Kurven zu zwei in Bezug auf einen der Punkte G, P, Q kon- jugirt (I, 407) und eine der Kurven ist imaginär.
Es leuchtet ein:
Satz. Unter den vier paarweise zu einander konjugirten Flädien zweiten Grades P, P', H, H' ist stets eine reelle nicht geradlinige, etwa P, da dies bei zweien in Bezug auf einen Punkt konjugirten stattfindet (98, 99). Dann ist auch P' reell mid nicht geradlinig (109, 3)); dabei werde P und dann au^ch P' von g imaginär, daher von g' reell ge- schnitten. Es sind nun zwei Fälle zu unterscheiden:
1) P und Q liegen auf g\ und P sei der innere, Q der äußere Punkt von Y, so ist B. imaginär (99), H' geradlinig (98), und beide werden von g und g' imaginär geschnitten.
2) P und Q liegen auf g, so sind H und H' geradlinig und wer- den von g und g' reell geschnitten.
111. Aufg. Zu einer Fläche zweiten Grades H, welche als kon- jugirt in Bezug auf einen Punkt P und dessen Polarebene P zu einer redien Fläche P gegeben ist, die in Bezug auf eine nicht durdi P gehende und nicht in P liegende Gerade g konjugirte Fläche H' dar-
pig. 46. Es sei P eine Kugel vom Halbmesser r, P ihr Mittelpunkt,
daher P die unendlich ferne Ebene und H eine imaginäre Kugd mit
dem Mittelpunkte P, und ^^^- ^^' es sei g eine nicht durch P
gehende und nicht in P lie- gende Gerade. Dann sind die durch P und g^ und die durch P und JL g geleg- ten Ebenen Symmetrie- ebenen zu P und g, und daher auch zu H und H', und es sollen P und H' durch ihre in diesen Ebenen liegenden Hauptschnitte und zwar in schiefer Pro- jektion auf die Ebene (P, _L g) verzeichnet werden. Die Schnitt- linie PG beider Ebenen ist die von P auf g gefällte Senkrechte, deren Fußpunkt G sei.
Aufl. Die Ebenen Pg und (P, _L g) schneiden die P in größten
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III, 111—112. Berührnngsebenen, ebene Schnitte u. Berührungekegel. 103
Kreisen /*, f\ Von diesen erscheint f in seiner wahren Gestalt mit dem Halbmesser PK = r in PG und dem darauf senkrechten PL'=r\ f erscheint als Ellipse mit dem einen Halbdurchmesser PKy und mit dem dazu konjugirten^ also zu g parallelen^ der ebenfalls in seiner wahren Größe PL gezeichnet werden soll. Die Polare g" von g zm Y ist auch die Polare von G zu /*'; und die Polare g' von gzuIL ist von g" harmonisch getrennt durch P und P (100), also zu g' symmetrisch in Bezug auf P; sie treffe die PG in G'. Die Zeichenebene (P, J_ g) ist daher auch die Ebene Pg\ Die Schnittliuien ä, /*' der Fläche H' mit den Ebenen Pg und Pg' sind daher die Kegelschnitte, welche bezw. zu den imaginären Kreisen, deren ideelle Darstellungen in Bezug auf P die /"und f sind, in Bezug auf ^r, G' und g', G konjugirt sind (107); sie bilden daher, wenn man sie um GG' in eine und dieselbe Ebene umlegt, konjugirte Kegelschnitte in Bezug auf GG' und werden nach Nr. 105 konstruirt. Man bestimme beide in der Ebene Pg\ ziehe daher GD || g, schneide GD und g' mit der zum Kreise f in Bezug auf den unendlich fernen Punkt von PG konjugirten (gleichseitigen) Hyperbel bezw. in D und 2)', A', wobei GD = GV und G'D' = G' D/= G'L' bezw. die Hypotenusen rechtwinkliger Dreiecke sind von den Katheten r und PG, r und PG' ({105 ; I, 371). Dann erhält man die Scheitel A und Ä^ von h und h' auf PGG' durch die Geraden DD/ und DD\ Ist G ein äußerer, so ist G' ein innerer Punkt der Kugel P und des Kreises /*, und es ist h eine Ellipse, welche in ihrer um- gelegten Gestalt durch D' geht; hieraus wird mittelst Affinität zu dem Kreise vom Durchmesser AA^ ihre kleine Halbaxe MC, und nach der Zurückdrehung MB = MC bestimmt, h' ist dann eine Hyperbel, welche durch D geht und MC zur halben ideellen Axe hat. — Die Fläche H' ist nun durch ihre beiden Hauptschnitte, die Ellipse h und die Hyperbel h\ oder durch ihre Halbaxen MA, MB, MC (ideell) bestimmt.
ni. Die Berührungsebenen, ebenen Schnitte und Berühnmgs-
kegel der Flächen zweiten Grades, insbesondere der
Nichtregelflächen.
11 2, Die folgenden Konstruktionen können auf die Nichtregel- flächen und auf die Regelflächeu angewendet werden; doch Werden wir als Beispiele nur Nichtregelflächen wählen, weil die Regel- flachen durch ihre geradlinigen Erzeugenden besondere Vorteile ge- währen. Wir werden diese daher später •getrennt behandeln.
Aufg. An ein durch seine drei Halbaxen MA, MB, MC gege- Fig. 47.
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III, 112. Die Flächen zweiten Grades.
bmes EUipsoid P in einem durch die eine Projektion gegebeften Punkte der Fläche eine Beriihrungsd>ene zu legen.
Aufl. 1. Man benutze die Ebene MAB als F^ und die MAC als Pg, so sind der erste und zweite Umriß bezw. die Ellipsen -4 B und
AC, die man zweckmäßig und ^- ^'^' ohne Verminderung der Ge-
nauigkeit för die folgende Konstruktion benutzen kanu^ wenn sie zum Behufe der Dar- stellung der Fläche scharf (mittelst der Scheitelkrüm- mungskreise xaxd des Kurven- lineals) verzeichnet sind. In diesem Falle führe man durch den in seiner ersten Projektion P' gegebenen Punkt P und durch die Axe MC eine Ebene, welche den Hauptschnitt AB in D und das Ellipsoid in einer Ellipse DC schneidet Um deren Verzeichnung zu vermeiden, projicirt man dieselbe durch Projicirende parallel zw DA in dem Hauptschnitt AC, und dabei F nach Q' durch P'Q' ^D'A\ Aus Q' ergeben sich auf der Ellipse A"C" die zwei Punkte Q", Q*", und aus diesen die beiden zu P' gehörigen zweiten Projektionen P", P*", wobei Q" P" H Q*" P*" II ^"JIT'.
Die Tangente an die Ellipse CP in P erhält man aus der Tan- gente QS s,Ji die CQ in Q] die erste Spur T' der ersteren folgt aus derjenigen S' der letzteren durch S' T l Q'P"] worauf man die erste Spur ^^ der Bertihrungsebene als rV parallel zur Tangente an die Ellipse A'D' in D' zieht, da die Berührungsebene die Tan- gente der zu P^ parallelen Ellipse ^ P in P enthält, diese aber mit derjenigen von AD in D parallel isi Die zweite Spur ^ ist dann F'ZJ", wenn Q"8'' die Axe ilf"(7" in Z7", und t, die P, in V trifft Die Berührungsebene in P* ist f^^*, wobei t^* symme- trisch zu ^ in Bezug auf -4" Jf".
Aufl. 2. ^ ist die Polare von P' zur Ellipse A'B', und ^ von P" zu A!' (J\ Denn ^ ist die Polare von PP^ zur Fläche F, als Schnittlinie der Berührungsebenen in P und P*, folglich ist in der durch t^ gehenden Ebene Pj der Schnittpunkt F mit PP"* der Pol von t^ zur Schnittkurve ^B mit F (77, 4)). Für den Punkt B' (statt F) sind daher auf M'B' die Punkte B' und W auf v^ (statt t^
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ni, 112 — 113. BerühruDgsebenen, ebene Schnitte u. Berührungskegel. 105
harmonisch getrenBt durch die beiden Ellipsenpunkte, deren einer E\ Daher E'F Kreis aus Jf, MR'F= 90<>, FW Tangente des Kreises, W'J' = Vj konjugirt zu M'R' (wird erhalten durch kon- jugirt^ Sehnen der A'B'). Abstand i2" von M" A" ist = Abstand G von M'B\ wenn auf M'F die M'G = M'G" gemacht wird. Dann zieht man v, || IT'It" durch J", wenn JJ'if' || M A' (s. Fig.).
-4u/?. 3. Sind die Ellipsen ABy AG nicht verzeichnet, so be- Fig. 48. nutzt man ihre Affinität (oder, wenn ein Hauptschnitt eine Hyperbel ist, deren KoUineation) mit dem Kreise. Den Schnittpunkt D' von MV mit der Ellipse -4'jB'= i erhält man durch Affini- tat der mit dem Kreise A' B* = h* mit- telst des Strahles H/C D* aus D* (unter Benutzung Paralleler zu M' A' aus B' und ''i^'^~'j^^(ö^'"'"%''
B*) und die Tangente D' X' der Ellipse ^7^^'^j X
vermittelst derjenigen D*X' an den Kreis t\ 'i>i^'"* •
l*. Man erhält P" auf der Ellipse D"C" \iyf ^.1b'
durch Affinität dieser Linie mit dem Kreise vlI^rf-H^-
2)"C*, ebenso die Tangente Z7"P"T" an dieselbe Ellipse, dann T\ t, = TT || D'X', und ^ = T'^/".
113, Z7m die Schnittlinie einer Fläclie zweiten Grades mit einer Ebene zu konstruiren, kann man eine Schaar paralleler Hilfsebenen ' anwenden; dieselben lassen sich stets so legen und eine Projektions- richtung läßt sich so wählen, daß die Projektionen der Schnittlinien entweder gerade Linien oder Kreise sind. Noch zweckmäßiger aber ist es, die Eigenschaft der Schnittkurve, daß sie ein Kegelschnitt ist, zu benutzen, fünf Elemente derselben, die man möglichst günstig wählt, zu ermitteln, und die Kurve aus ihnen zu verzeichnen.
Aufg. Die Schnittlinie eines zioeischaligen Hyperboloids mit einer Ebene zu bestimmen,
Aufl. 1. Sei M der Mittelpunkt, seien MA die reelle, MB^ Fig. 49. MC die beiden ideellen Halbaxen, sei P^ die Hauptebene MAB, seien F^ und F, parallel zu MBG in gleichen Abständen von 3/, so können von dem (hyperbolischen) Hauptschnitte AB die Asymp- toten {M'B^' B A"B") gezeichnet werden, deren eine die erste Spur B^ besitzt. Hieraus ergibt sich von der Hyperbel selbst eine erste Spur 5, durch M' B^^ — M' B;^ — M" B"^ (I, 371), und ebenso von der Hyperbel MAG eine erste Spur C^ der Asymptote und C/ der Kurve durch B/C/ 1 B^' G^' || B'C\ Damit mögen die Hy- perbel A"B^' und die in der ersten Projektion zusammenfallenden ersten und dritten Spuren des Asymptotenkegels und der Fläche
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III, 113. Die Flächen zweiten Grades.
PK
als koncentrische ähnliche und ähnlich gelegene Ellipsen B^ C/, B^C^ gezeichnet werden. Von der Schnittebene E sind die unter- einander parallelen erste und dritte Spur ej, 63 gegeben, woraus sich Cjj ergibt, e^ bestimmt auf ^2' Ca' zwei Punkte 2), F der Schnitt- linie, ebenso e^ zwei, und ^'ifiT- ^^* e^ zwei solche auf der Hy-
perbel ABj und aus die- sen sechs Punkten könnte die Schnittkurve verzeich- net werden. Es mögen aber noch ihre Punkte «7, K auf der zu e^ konju- girten Durchmesserebene, welche durch MA und die Mitten N und P der Sehnen e^ und e^ geht, und die Ellipse B^C^ in L schneidet, bestimmt wer- den. Sie ergeben sich, wie in der vorigen Nr., ver- mittelst Projektion auf die Hauptebene A B durch Projicirende || L'B^ aus den Schnittpunkten S, ü der Hyperbel AB^ mit der Geraden QB. Die Tan- genten an die Schnitt- kurve in J", K sind || e^. Zur Bestimmung der Asymp- toten legt man eine zu E parallele Ebene durch den Mittelpunkt M (des Asymptotenkegels), deren erste und dritte Spur 11^ laufen und von M' Abstände besitzen = ^ Abstand e^e^> Sie schneiden die gleichnamigen Spuren des Asymptotenkegels in vier Punkten, darunter Cr, H, den Kegel selbst in zwei Erzeugenden MG, MH\ die Berührungsebenen des Asymptotenkegels nach diesen Erzeugenden berühren in deren unendlich fernen Punkten zugleich das Hyperboloid; sie enthalten die Tangenten der Ellipse in P^ und P3 in jenen vier Punkten, diese treffen bezw. e^ und 63 in vier Punk- ten, darunter X, F, deren Verbindungslinien (|| MG bezw. MH) die Asymptoten OX, 0 Y sind, und sich in 0 auf NB treffen. Je nach- dem die II E durch M gelegte Ebene mit dem Asymptotenkegel
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III, 113. BerühningsebeDen, ebene Schnitte u. Berührnngskegel. 107
keine ^ eine oder zwei Erzeugende gemein bat^ wird die Schnitt- kurve eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel sein.
Der Pol E der Ebene E zu der Fläche liegt auf der Geraden MO (88) und in der Berührungsebene der Fläche in jedem Punkte der Schnittkurve, z. B. in derjenigen eines Punktes des zweiten Um- risses A"B^' der Fläche.
Aufl. 2. Sollen die Ellipsen und die Hyperbel nicht verzeichnet Fig. 5o. werden, so benutzt man wieder die KolUneation mit dem Kreise, Gegeben M^ A, B^, (7/, e^^e^. Die e, treflFe die durch M parallel Pj ^^>- ^^•
gelegte Ebene in D, Der Ellipse B^ C/ = h entspricht der Kreis B^ C^ ^^Ic^y der e^ die e^*; die durch M parallel E gelegte Ebene schneidet P^ in /i ( || e,), welcher /i* (1 ^1*) entspricht (Verschiebung * D'My f* triffib den Kreis k* in zwei Punkten, deren einer F* ist, die Tangente an k* in jP* trifft Cj* in 6r*, und den Punkten F* und 6r* entsprechen F und (?, so daß G 0 i FM die eine Asymptote ist; ebenso wird die andere bestimmt; beide schneiden sich im Mittelpunkte 0 der Schnitt- kurve.
Zur Bestimmung eines Punk- tes der Kurve im Endlichen muß die bisher nicht benutzte Axe MA benutzt werden. Man suche einen der Schnittpunkte H der Hyperbel AB '^^h mit der Spur e,, indem man h als perspektiv betrachtet zu dem Scheitelkreise A"A^'^== ä* vom Durchmesser A" A^' mit A" als Kollineationsmittelpunkt und
mit der Kreistangente s in A^' als Kollineationsaxe. Dem einen un- endlich fernen Punkte von h entspricht f/* auf Ä* vermittelst A" V* II M"B^'\ U*B* y s ist dann die Gegenaxe in der Ebene des Kreises. Der e^ entspricht 6^*, und deren einem Schnittpunkte H* mit h* der gesuchte Punkt M", woraus H' folgt Mittelst der Asymptoten und eines Kurvenpunktes H, der aber der Genauigkeit halber un-
^ y
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108 lU, 113—114. Die Flächen zweiten Grades.
weit des Scheitels liegen muß (der zweite Schnittpunkt von ßg* ist genauer als H und wurde nur wegen geringerer Deutlichkeit ver- mieden), bestimmt man nach I, 379 die Axe einer jeden Projektion der Schnitthyperbel.
114. Aufg, Von einer Fläche zweiten Grades P sind der Um- riß Je (der wahre oder scheinbare) und die Projektionen C, 2), JE dreier Punkte (C), (Z>), (E) der Fläclie geg^en; man soll die Projektion l der SchniUkurve (l) der durdi diese drei Punkte gelegten Ebene mit der Fläche hestimmen.
Da die Projektion der Schnittkurve den scheinbaren umriß in zwei (reellen oder imaginären) Punkten berührt, kann man die Auf- gabe auch so ausdrücken:
Es sind ein KegelschniU k und drei Punkte C,DyE seiner Ebetie gegeben; man soll durch die Punkte einen Kegelschnitt l legen y welcher den gegebenen Kegelschnitt k in jswei Punkten berührt.
Die Art, wie man bei der ersten Form der Aufgabe die Pro- jektion der Fläche gebildet denkt, ob central oder irgendwie parallel, und die noch freistehende Wahl eines Maßes der Fläche sind gleich- giltig. Denn denkt man sich unter k den wahren Umriß der P für den Projektionsmittelpunkt 0, wobei 0 der Pol der Ebene von k zu P ist, so ist P durch k, 0 und einen Punkt (C) bestimmt (79); für einen anderen Projektionsmittelpunkt 0^ sei P^ die Fläche, (C\ der Punkt, derart daß (C) und (C\ dieselbe Projektion C be- sitzen, oder daß 0{C) und 0^(C\ sich in C in der Ebene von k schneiden; dann sind P und P^ perspektiv mit der Ebene von k als Kollineationsebene und mit dem Schnittpunkte von 00^ und ((7)(C)i als Kollineationsmittelpunkt. Dabei entsprechen sich die Punkte (i>), (D),; ferner (E), {E\, sowie die Ebenen (C)(D)(E) und (C\ {D\ iE\j und ihre Schnittlinien (Z), (üj) bezw. mit P, P^, so daß dieselben aus den entsprechenden Punkten 0, Oj dieselbe durch C, D, E gehende Projektion l auf die Ebene von k besitzen müssen. Bedeutet k den scheinbaren Umriß, so ist mit der soeben betrach- teten Fläche P eine andere in den Kegel Ok einbeschriebene per- spektiv, so daß auch die Kegelschnitte der den Punkten C, D, E entsprechenden Punkte perspektiv sind und dieselbe Projektion besitzen.
Die Unabhängigkeit von der Art der Projektion und von der Ausdehnung der Fläche wird auch durch die Eindeutigkeit der fol- genden Konstruktionen nachgewiesen, ^g 51. Aufl. Es seien z. B. der gegebene Kegelschnitt k eine Ellipse und die gegebenen Punkte (7, D, E innere von k. Man betrachte k als wahren Umriß einer senkrecht projicirten Fläche P, die, weil C, D, E
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III, 114. BerühruDgsebenen, ebene Schnitte n. Berührungskegel. 109
innere Punkte sind, ein Ellipsoid F sein muß. Jeder der Punkte Cj Dy E stellt zwei Punkte der Fläche dar, so daß acht Kombina- tionen dreier Punkte, nämlich eines von jedem Paare, und auch acht Ebenen durch die zweideutig bestimmten Punkte möglich sind.
Fig. 51.
Diese Ebenen liegen paarweise symmetrisch zur Ebene F von 1c\ die beiden eines Paares besitzen eine gemeinsame Spur jp in F, und ihre Schnittlinien mit F eine gemeinsame Projektion l auf F, welche die 2; in deren (reellen oder imaginären) Schnittpunkten mit p berührt. Zwei Kegelschnitte i und l liegen daher perspektiv mit p als Axe und mit deren Pole P zu i als Mittelpunkt der Kolli- «neation, so daß l hierdurch und durch einen der Punkte (7, D, E bestimmt isi Es gibt offenbar 8 : 2 «= 4 Kurven l.
Suchen wir die Spuren der durch zwei d'er Punkte (C), (7)), {E) gehenden Sehnen der Fläche F. Die Gerade CB trifft die Ellipse Ic in den Punkten JF, Cr, die projicirende Ebene von CD triflft die F in einem Kegelschnitte, dessen eine Axe FG bildet, und den wir als Kreis annehmen dürfen, da hierdurch erst die noch unbestimmte auf F senkrechte Axe der P bestimmt wird. Der Kreis (in der Umlegung) wird von den Ordinaten von Cund D bezw. im fl", H^ und J, J^, ge- troffen, und die Linien H J^ H^J {sowie H^J^ylUi) bestimmen auf (72) die beiden Punkte E^yE^, die beiden Spuren der vier Sehnen (C) (D)
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110 nr, 114—116. Die Fl&chen zweiten Grades.
von P. Hätte man über FG als Axe statt des Kreises irgend eine Ellipse angenommen^ so hätte man wegen ihrer Affinität zum Kreise dieselben Punkte i\, E^ erhalten. Sucht man in gleicher Weise auf DE die Punkte G^ Cj, auf EC diejenigen Dj, Dg, so sind die viererlei Spuren der acht möglichen Schnittebenen die Geraden
GiDi^i=Pi7 f^iA^'2 = l>2, AJ^2C^2=1>8; ^\C^2A=l>4j ^^ren Pole zu k bezw. Pj, Pg, P3, P4, woraus man die vier Kurven i^, hj h} h konstruiren kann als perspektiv zu Je bezw. mit |>i, P^; |>2, P2 . . . als Axe und Mittelpunkt der Kollineation, und gehend durch Cy D, E] oder man bestimmt ihre Axen nach I, 378.
Die Punkte J?,, E2 sind die Doppelpunkte der Involution C7, D; F, G, da sie harmonisch getrennt sind durch C, D wegen des voll- ständigen Vierecks HH^J^J, und durch F, G wegen des Kreises FG, Es ist dadurch eine einfachere K(ynstruktion der Doppelpunkte einer involutorischen Punktreihe gegeben, als in I, 302 und 327.
Faßt man die Aufgabe in der zweiten Form, so findet man für l^ und k auf dem Strahle CD die Punkte E^, E^, durch deren einen die Berührungssehne und Kollineationsaxe beider Kurven gehen muß, als diejenigen beiden Punkte, welche in Bezug auf-ij und k konjugirt, also durch die Schnittpunkte von CD mit jeder der Kurven harmonisch getrennt sind. Denn jeder Punkt der Kolli- neationsaxe hat zu l^ und zu k dieselbe Polare, weil dieser Punkt sich selbst, seine Polaren sich daher unter einander entsprechen, daher einen Punkt auf der Kollineationsaxe gemein haben, außer- dem aber durch den Pol dieser Axe gehen, der zu beiden Kurven der- selbe ist. Auf jeder Geraden, so auf CD, muß daher ihrem Punkte der Kollineationsaxe derselbe Punkt in Bezug auf l^ und k zugeord- net sein, also muß diese Axe durch Ey oder E^ gehen.
116. Um die Benutzung der Kegelschnitte zu vermeiden, und die Axen der gesuchten Kegelschnitte zu erhalten, wollen wir zu- nächst eine Aufgabe lösen , zu welcher wir den Begriff eines einzel- nen imaginären Punktes auf einer Geraden g oder auf einem KegeU schnitte k und seiner ideellen Darstellung nötig haben. Aus dem Begriflfe der ideellen Schnittpunkte eines Kegelschnittes k mit einer denselben nicht reell schneidenden Geraden g (I, 400) ergibt sich, daß wenn P, Pj zwei zugeordnete Punkte einer (gleichlaufenden) Invo- lution auf g sind, unter der ideellen Darstellung eines imaginären Punktes auf g in Bezug auf P, P| einer der beiden einander zu- geordneten und durch P, Pj harmonisch getrennten Punkte der In- volution zu verstehen ist; und, wenn P, p Pol und Polare zu k sind, unter der ideellen Darstellung eines imaginären Punktes von k auf einer durch P gehenden Geraden, einer der beiden in Bezug auf
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m, 116—116. Berührungsebenen, ebene Schnitte n. Berübrongskegel. 1 11
Je einander zugeordneten und durch P, p harmonisch getrennten . Punkte der g, welche also dem Kegelschnitte angehören^ der dem h in Bezug auf P,|) konjugirt ist. Die ideellen Punkte sind reell, wenn bezw. die Involution gleichlaufend ist, oder die g den k nicht reell schnei- det, sonst imaginär (s. 96). Durch den gegebenen einen ist auch der zugeordnete ideelle Punkt bestimmt, sowie beide imaginären, von denen jeder einem der ideellen als entsprechend zugewiesen sei.
116. Äufg. Die Axen eines Kegelschnittes h zu hestimmen, toelr eher eine gegebene Gerade p in zwei gegebenen {reellen oder imaginären) Punkten schneidet^ durch einen weiteren gegebenen {reellen oder imaginä- ren) Punkt D gellt, wenn noch der Pol P von p m k gegd)en ist.
Sind der Punkt D und die Punkte auf p und dann die aus P nach ihnen gehenden Tangenten des k reell, so kann man nach I, 378 verfahren; die folgende Auflösung ist aber anwendbar, mögen diese Punkte reell oder imaginär sein.
Aufl. Man lege durch die gegebenen ^' ^ '
Punkte der p einen Kreis k' und bestimme zu ihm den Pol P' von p. Sind die Punkte der p reell, so ist die Art der Ausführung selbst- verständlich; sind sie aber imaginär, so seien sie durch zwei Paare zugeordneter Punkte E, Ey ; CT, üi gegeben. JJ sei der unendlich ferne Punkt, also V^ der Mit- telpunkt der Involution. Ist TJ^ nicht unmittelbar gegeben, so bestimme man ihn nach I, 302. Es mQssen dann der Mittelpunkt C des Krei- ses k\ sowie der Pol F von p zu k' auf der J_j) durch Z7i gezoge- nen Geraden liegen; wir können auf derselben P' willkürlich wählen und finden dann C durch E^C ±EP\ weil hierdurch iJJP' die Polare von El zu k\ und E, E^ konjugirte Punkte in Bezug auf k' werden.
Fig. 62.
'V-":3^^'
f"--,li[
--^"^^.
A-
nN\j
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112 in, 116—117. Die Flachen zweiten Grades.
Ä' geht durch den Schnittpunkt IT von F'H{1^ U^ P') mit dem Kreise^ von welchem U^C' ein Durchmesser, k ist nun die Projektion von Je' mit der EoUineationsaxe p, und zwar die reelle oder imaginäre Projektion, je nachdem D ein reeller oder ideeller Punkt von h ist (85). Im letzteren Falle ist k imaginär und seine ideelle Dar- stellung in Bezug auf P, p ist der durch D als reellen Punkt be- stimmte Kegelschnitt, den wir daher als Auflösung für beide Fälle zu betrachten haben. Bei der Perspektivkollineation der reellen Kurven k und k' entspricht der Geraden PD die P'D\ wenn sich beide Gerade auf p, in F^ treffen; dem D entspricht einer der Schnitt- punkte, etwa D', von P'F mit fc'; der zugehörige KoUineations- mittelpunkt ist dann der Schnittpunkt 0 von PP' und DD\ Der Mittelpunkt M des k ist der Pol der unendlich fernen Geraden m der Ebene von k und liegt daher auf der Polaren U^P von U. Der m entspricht die Gegenaxe m' in der Ebene von k\ deren Schnitt- punkt G mit UiP' man durch OG ^ U^P erhält, und dem M entspricht der auf TJ^P' liegende Pol M' von m' zu k' {J der Berührungspunkt einer Tangente aus (? an Ä', J" JT JL TJ^ P^. M ergibt sich dann als Schnittpunkt von OM' mit TJ^P. Die Involution M konjugirter Durchmesser des Ä, und die Involution Hf konjugirter Sehnen des k' sind perspektiv mit p als Kollinea- tionsaxe; zwei Paare zugeordneter Punkte sind [7, U^ und Ey J?,, wenn C E^ JL EM\ Diese Punktinvolution auf p wird durch eine rechtwinklige Strahleninvolution aus dem Punkte N der U^P' pro- jicirt, wenn N auf dem Kreise vom Durchmesser EE^ liegt Be- schreibt man nun einen Kreis durch N und M, dessen Mittelpunkt sich auf p befindet, und schneidet ihn mit p in iJ, S, so sind Jtf ü, MS die Axen von k\ llTR, MS sind ihre entsprechenden Kreis- sehnen, aus deren Endpunkten A\ B' durch Strahlen aus 0 die Scheitel Ä, B bestimmt werden. — Bei der Wahl von F auf TJ^P' ist darauf zu achten, daß nicht C in P' fallt, wodurch k' ein Punkt würde; vielmehr muß V zu k eine angemessene Größe erhalten.
Liegt M auf I?, so versagt das Verfahren; man gelangt aber dann einfacher zum Ziele für die Ellipse durch Affinität mit dem Kreise (I, 373 und 377), und für die Hyperbel durch Bestimmung der Asymptoten (I, 379 oder 371).
117. Aufg, Die Axen der Prcjektion l eines (reellen oder ima- ginären) Kegelschnittes bu bestimmen, der durch drei (reelle oder ima- ginäre) Punkte einer (reellen oder imaginären) Fläche zweiten Grades P geht, wenn der (reelle oder imaginäre) scheinbare Umriß k der Fläclie und die Projektion (7, 2), E der drei Punkte gegeben sind.
Oder, was dasselbe:
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111,117. Berührangsebenen, ebene Schnitte u. Berührungskegel. 113
Die Axen eines Kegelschnittes l zu bestimmen, welcher durch drei gegä)€ne {reelle oder imaginäre) Punkte C, D, E geht und einen ge- gei)enen {reellen oder imaginären) Kegelschnitt k in zwei Punkten berührt.
Die Aufgabe ist auf die vorhergehende (116) zurückgeführt, sobald wir die (mehrdeutig bestimmte) Spur p der Ebene der drei Punkte, d. i. auch die Berührungssehne der Kurven k und l, sodann die auf ihr durch k bestimmte Involution konjugirter Punkte, und den Pol P der p zu k ermittelt haben. Die Verzeichnung eines Kegelschnittes soll dabei vermieden werden. Wir unterscheiden folgende Fälle:
1) k ist eine EUipsCy (7, D, E sind reelle innere Punkte ^der- selben. Die Aufgabe wird durch KoUineation mit einem über der (großen) Axe als Durchmesser beschriebenen Kreise und nach Nr. 114 gelösi Wir begnügen uns, in Bezug auf die Einzelheiten auf den folgenden Fall zu verweisen.
2) k ist eine Ellipse mit den Hdlhaxen MA, MB] C, D, E Fig. 53. sind reelle äußere Punkte derselben. Wir bilden die kollineare Figur
mit der Kollineationsaxe MA, worin der Ellipse k der Kreis k' vom
Fig. 53.
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Halbmesser MA entspricht. Dem P entspricht P\ einer Parallelen zu MA durch B eine solche durch B\ und vermittelst ihrer be- stimmen wir zu dem Dreiecke CDE das entsprechende C'D'E\ Die zu dem umrisse k' und den äußeren Punkten C, 2)', E' ge- hörige Flache P ist ein einschaliges ümdrehungshyperboloid, wel- ches wir gleichseitig annehmen wollen. Legen wir die projicirende
Wiener, Lehrbuch der dArstellenden Oeometrie. n.
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114 III, 117—118. Die Flächen zweiten Grades.
Ebene von CD' in die Ebene P der Figur um, so kommen die Ordinalen von C und D' in die zu CD' senkrechten Linien G'F^ D'GGij deren Längen aus den durch sie gehenden Meridianhyper- beln ermittelt werden, z. B. för C'F, indem man auf CD' die Cir= MÄ = a und HF= MC macht (I, 371, hier aus a^^-y* = a*). FG und FG^ bestimmen dann auf C B' die Punkte E^, E^. Ebenso bestimmt man auf D'-E' die Punkte Oj, C^, auf E'C die D,, Dg.
Wenn CD' den Kreis h' in rellen Punkten J", K schneidet, so kann man die Doppelpunkte jE,, E^ der Involution C, D'; «7, Ä' außer durch das soeben angegebene Verfahren auch durch das der Nr. 114 finden, indem man über der größeren Strecke CD' als Durchmesser einen Kreis zeichnet und darin die Ordinaten JJ^^ KK^K2 zieht; Ji-ffi, JiE^t gehen bezw. durch E^j E^. Jener Kreis C D' steht in keiner Beziehung zum Hyperboloide P. Dieses Ver- fahren ist bei der den it' imaginär schneidenden Geraden C E' nur auf einem Umwege (s. 119) anwendbar. Das vorher angegebene Verfahren mit den Hyperbelordinateu kann also dazu dienen, auf einer Geraden C E' das Funktepaa/r D^, Dg 0u finden, welches zugleich einer ungleichlaufenden Involution von den Doppelpunkten C, E\ und einer gleichlaufenden angehört^ weldie als die Involution Jconjugirter Punkte in Bejsug auf einen die CE' imaginär schneidenden Kreis k' gegeben ist
Man sucht nun zu jeder der vier Geraden, welche durch die drei Punkte je eines der drei Punktepaare Cj, C^\ Dj, D^j jB^, E^ geht, so zu |)' = CiD^Eiy den Pol P' und zwei Paare konjugirter Punkte in Bezug auf k\ Dem unendlich fernen U' entspricht ?7/ {MT'U^ ±p), dem Punkte L auf MA der Punkt i/ auf der durch P gehenden Senkrechten zu MA, Dann sucht man durch die Affinität zwischen k' und k zu p\ P\ ü', f//, i, i/ die ent- sprechenden Elemente jp, P, Z7, fJ^, L, Z/j, so ist l bestimmt durch p, P, die Involution f7, J/^; L, ij, und durch einen der Punkte C, D, E] seine Axen werden dann nach Nr. 116 ermittelt.
118. i) k ist eine Hyperbel mit der reellen Halhaxe MA und der ideellen MB = MB^\ C, D, E sind reelle und alle innere, oder alle äußere Punkte der k. Fig. 54. Sind die Punkte, wie in der Figur, innere, so betrachtet man
P als zweischaliges Umdrehungshyperboloid, sind sie äußere, als einschaliges; die Konstruktion ist in beiden Fällen im wesentlichen dieselbe. Die Asymptoten von k sind MF\ AB und MF^ || AB^. Die auf der Ebene P der Figur senkrechte Ordinate eines Punktes C der P ist durch den durch C gehenden Parallelkreis bestimmt, des-
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111, 118—119. Berührungsebenen, ebene Schnitte u. Berührungskegel. 115
sen Projektion CG JL MA, und dessen Halbmesser die Ordinate GH der Hyperbel h ist {GJ= Ordinate der Asymptote, auf MA die GK^MB, KE= GJ), Der in die P umgelegte Parallelkreis bestimmt die mit umgelegte Ordinate = CL = — CL^. In gleicher
Fig. 54.
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Weise werden die umgelegten Ordiuaten von T) und JE bezw. = Dlif ^ — D^j und ISQ bestimmt. Auf CD erhält man dann die Punkte -B,, E2 durch L^N^ und L^N, da offenbar die Ordinalen CL, DN nur unter einander parallel; nicht aber J_ CD gezogen sein müssen. Gezeichnet ist unter den vier Geraden p diejenige E^C^D^*^ ihrem unendlich fernen Punkte U entspricht als konjugirt zu Tc der Mittel- punkt ?7, ihrer Strecke zwischen den Asymptoten, und ihrem Schnittpunkte JR mit MB der Punkt JJ, , den man erhält, wenn man auf MB den zu R konjugirten Punkt T bestimmt durch MR'MT=— MB^ (auf MA die MS = MB, ST± RS), und die Polare von R als TR^ _L MB zieht. Der Pol P von p ist der Schnittpunkt von MU^ mit TRi, Der Kegelschnitt l ist nun durch p(U, f/j; R, Ri), P] Cy Dy E überschüssig bestimmt.
119. 4c) h ist ein reeller Kegelschnitt, C ein reeller PunJctj D, E sind imaginäre Punicte, gegebeti durch eine gleiddaufende Involution auf eUier Geraden,
Nachdem wir bei reellen Elementen schon die verschiedenen Fälle für h und C verfolgt haben, genügt es, bei imaginären D, E nur einen Fall für h und C zu betrachten. Es möge h ein Kreis vom ^»8 w. "Mittelpunkte M und vom Halbmesser MA, und C ein innerer Punkt desselben sein. Die imaginären Punkte D, E sind durch zwei Paare zugeordneter Punkte D^, D^\ E^, E^ einer gleichlaufenden Involu-
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116
HI, 119. Die Fläcnen zweiten Grades.
tion auf einer Geraden gegeben; und indem auch h auf dieser Ge- raden eine Involution konjugirter Punkte bestimmt, ist man im- stande, nach 1,350 dasjenige Punktepaar C^, C^zu bestimmen, wel- ches beiden Involutionen zugehört Doch kann man die Punkte C^,
Fig. 65.
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Cg auch anders erhalten. In dem Falle, in welchem die Gerade den Kreis i imaginär schneidet, sind sie Punkte desjenigen Kreises, wel- cher durch die beiden Punkte geht, aus deren jedem eine der Punkt- involutionen durch eine Rechtwinkelinvolution projicirt wird, und dessen Mittelpunkt auf der Geraden liegt. In dem Falle dagegen, in welchem die Gerade den Kreis reell in Punkten DiyE^ schneidet, sucht man zuerst auf, oder gibt an diejenigen Punkte 2),, E^^ welche in der Involution der Geraden bezw. den Punkten D^ und E^ zugeordnet sind. Dann zeichnet man über der größeren der beiden Strecken Di Ei, B^E^y hier über B^E^y als Durchmesser einen Kreis, zieht D^F^ und E^G^l^D^^E^y schneidet sie mit dem Kreise bezw. in Fj, F^ und Gj, ö^, so gehen F^^G^ (und F^G^ durch (7i, und Fy^G^ (und F^G^ durch C^l Denn wegen der ge- gebenen Involution oder wegen I, 279 ist
und weil durch die Konstruktion (7^, C, sowohl durch Dj, JEJ,, als durch Dg, E^ harmonisch getrennt sind, gilt
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III, 119. Berührongsebeneo, ebene Schnitte u, Berührongskegel. 117
-l = (A^iC,C,) = (A^,C,C73) = (A^iC2C0 = (A^,C3C?0; (2)
daher (D.D.E.E.C^C,) = (D^D^E^E.G.C^), (3)
indem an jede von zweien unter einander projektiven Punktreihen^ so an (1), dieselben zwei Elemente zugefügt werden dürfen, so Ci, (7, in (3), wenn diese neuen Elemente in der einen Reihe mit irgend zwei Torhergehenden zweimal dieselben Doppel Verhältnisse erzeugen, wie die entsprechenden Elemente in der anderen Reihe, so in (2), da zwei neue Elemente durch zwei Doppelverhältnisse mit früheren eindeutig bestimmt sind. Da nun C^, C2 nach (3) ein Punktepaar der ge- gebenen Involution und durch die Konstruktion eines der Involution in Bezug auf den Kreis bilden, so sind sie die gesuchten Punkte. Als Fläche F, welche dem Umrisse Je und dem inneren Punkte C genügt, wählt man eine Kugel; diese wird von der projicirenden Ebene der D^E^ in eineip Kreise geschnitten, der in derümlegung k' (mit dem Mittelpunkte ]if) ist, und der in unserem Falle mit einem schon gezeichneten Kreise zusammenfällt. In dieser umge- legten Ebene ziehe man nun durch G^ und C2 diejenigen Geraden, so c^ durch C^, welche die P (und den Je') in Punkten schneiden, deren Projektion die gegebenen Punkte D, E sind, oder, da diese imaginär, diejenigen Geraden, auf welchen eine gleichlaufende In- volution der in Bezug auf P (und Je') konjugirten Punkte stattfindet, deren Projektion D^, D^; E^y E^\ Cj, C^ isi (7i, C^ sind für jede durch (7i oder C^ gezogene Gerade die Projektionen konjugirter Punkte; es genügt daher zu bewirken, daß auch die Schnittpunkte D^,D^ von Ci mit den zu DiE^ gezogenen Senkrechten D^D^^ A-^i in Bezug auf Je' konjugirt sind. Dreht man die c^ um (7^, so be- schreibt sie auf diesen Senkrechten projektive Punktreihen D, . . ., D4..., in welchen sich Dj, D, und D5, F^ entsprechen. Anderer- seits bilden die zu den Punkten der Geraden D^D^ in Bezug auf k' konjugirten Punkte der Geraden D^D^ eine mit beiden ersteren Punktreihen projektive Reihe; und man erhält diese Punkte, z. B. Dg konjugirt zu 2)5, indem man von D5 die Polare zu k\ d. i. die aus dem Pole D^ der D^D^ auf M'B^ gefällte Senkrechte D^D^ zieht Schneidet die Gerade D^E^ den Kreis nicht reell, so be- stimmt man D^ als in der Polarebene von Dg zu F liegend. Ist V der unendlich ferne Punkt von B^F^y so entsprechen in den beiden Reihen der D^F^ den Punkten D^, Uy F^ die Punkte U, D^, D^. Daher decken sich die Gegenpunkte in D^, und man erhält die Doppelpunkte D^, D/ vermittelst D^D^^ « A-^/* = D^F^ X D^D^, was in der Figur ausgeführt ist; daher ist CiD^ = c^, C^D^' = c/. Die beiden Strahlen c^ aus C^ sind imaginär, weil auf einer aus
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118 IH, 119. Die Flächen zweiten Grades.
einem inneren Punkte C^ von h' gezogenen Geraden keine imagi- nären Schnittpunkte Z>, F mit h' liegen können; wir werden sie nachher verfolgen.
Richtet man den Kreis Ä' samt den Geraden c^, c/ durch Drehung um B^E^ wieder in die zu P senkrechte Ebene auf, so gelangen c^, c/ bezw. nach (cj), (c/). Nun lege man durch je eine der Geraden (c,), (c/) und durch je einen der beiden Punkte (C) der Kugel P eine Ebene, also vier Ebenen, deren vier Schnittlinien mit P zwei verschiedene Projektionen besitzen. Um ihre Spuren Pj, JP2 in P zu erhalten, legen wir durch G eine zu P senkrechte Ebene von der Spur CK^ , die wir || Dj E^ machen wollen. Diese Ebene schneidet die F in einem Kreise, dessen Umlegung in P auch die Umlegungen jener beiden Punkte (C), von denen J die eine ist, bestimmt. Die Parallelen aus J zu c^ und c/ geben auf CK^ Punkte K^, K^j und dadurch G^K^ = p^ und G^K^^^p^ als die beiden Spuren jener vier Ebenen. Die Pole von jpi und p^ zu Tc sind bezw. P, und P2, und damit sind die gesuchten beiden Kurven i^, l^ be- , stimmt, als perspectiv zu h bezw. mit jj^, P^ und p^^ P, als Axe und Mittelpunkt der Kollineation, und gehend durch G. Da ft ein Kreis, konnte die eine (kleine) Axe jeder Kurve bezw. auf MP^ (J-Pi) und auf MP^ (-Ll^g) und dann die andere Axe durch jene Kollinea- tion leicht ermittelt werden, l^ und l^ schneiden sich, außer in C, noch in der Projektion C des zweiten Schnittpunktes der Geraden G^{G) mit F.
Sucht man nun im Strahlenbüschel G^ diejenigen (imaginären) Strahlen, welche auf den Geraden D, Dg und D^F^ konjugirte Punkte in Bezug auf den Kreis h' einschneiden, so erhält man c^ und c,' als deren ideelle Darstellungen in Bezug auf G^E^y G^Uy so daß Cj, c^ konjugirt in Bezug auf F (und Tc') und durch G^E^j G^U harmonisch getrennt sind. (C^JP, schneidet die D^D^ inD^, D^D« ±M'D^, Dg auf Ds,Fi; D^B^^ ^ D^D^^ = — D^F^xB^D^ C55 = G^Bqj c^ «= C2D9'.) Die Ebenen, welche durch je einen dieser imaginären Strahlen und durch je einen der beiden (reellen) Punkte ((7) gehen, sind die Doppelebenen je eines involutorischen Ebenen- büschels mit einer der beiden reellen Axen G^iC), welches durch die zwei Paare zugeordneter Strahlen Cä-^u C^sC^O) (P2)} (^') ^^' stimmt ist, und deren Spuren in P die Strahlen G^Ej^, G^Gy G^L^^ G^L^ bilden {L^ und L^ auf CZj, JL^ | c^, JL^ || c/). Die Ebenen dieser beiden Ebenenbüschel schneiden die F in Kreisen, deren Pro- jektionen auf Fj paarweise in Ellipsen zusammenfallen, welche alle durch die zwei Projektionen (7, C" der vier Schnittpunkte der Axen der Büschel mit F gehen. Die Ellipsen berühren den Kreis Tc in
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III, 119—121. Berührungsebencn, ebene Schnitte u. Berührungskegel. 119
den Punkten der zugehörigen Spuren, und sind hierdurch und durch ihren Punkt C (und C") bestimmt. Sie sind gestrichelt gezeichnet. Man bemerkt, daß sich die zwei Projektionen der in den vier ideel- len Doppelebenen liegenden Kreise in zwei Punkten der Geraden D^Ei schneiden. Die Ellipse C^C ist eine Gerade.
120. 5) Je ist ein reeller Kegelschnitt, C liegt auf einer anderen Seite von A:, me D und E, Nimmt man P so an, daß D, E die Projektionen je zweier reellen Punkte (D), (E) der P sind, so ist C die reelle Projektion zweier konjugirt-imaginären Punkte (C) der P, nämlich der imaginären Doppelpunkte der Involution kon- jugirter Punkte in Bezug auf P auf der Geraden C (C), Die vier Punkte (D), (E) bestimmen vier Gerade, welche zwei verschiedene Spuren (7^, G^ besitzen. Jede der Geraden ist die Axe eines invo- lutorischen Ebenenbüschels, welches die Involution C{C) projicirt. Die Schnittkurven der Ebenen je zweier dieser Büschel haben ge- meinschaftliche Projektionen auf P, nämlich Kegelschnitte, welche durch D, E gehen, und deren Kollineationsaxen (und Berührungs- sehnen) mit k ein Strahlenbüschel C^ oder eines C^ bilden. Die imaginären Doppelebenen jener Ebenenbüschel liefern Schnittkurven mit P, die man etwa die Doppelkegelschnitte jener Systeme C^D-E, C^DE nennen kann, welche die Auflösung unserer Aufgabe bilden. — Nimmt man dagegen P so an, daß (C) zwei reelle, und (i)), (E) vier imaginäre Punkte sind, so sind dieselben Ci^C^ die beiden reellen Punkte, aus welchen sich die gleichlaufenden Involutionen D(D) und E{E) aufeinander projiciren und man erhält zwei Kegelschnittsysteme CC^C, CG^C'y wo G\ C" die Proj ktionen der beiden weiteren reellen Schnittpunkte bezw. von {C)Gi, (G)G^ mit P sind. Die vier imaginären Doppelkegelschnitte sind die Auflösungen der Aufgabe.
121. Für die Auflösung der folgenden Aufgabe haben wir nötig den
Satz. Auf einer Geraden p ist die Involution honjugirter Punkte in Beang auf einen imaginären Kreis k, dessen Mittelpunkt M ist, und zu welchem P den Pol von p bildet, dieselbe, wie diejenige in Bezug auf einen reellen Kreis h, dessen Mittelpunkt P ist, und zu welchem M den Pol von p bildet.
Bew, Sei k gegeben durch seinen ideellen Mittelpunktkreis k\ Fig. 66. so findet man den Pol P von p z\x k auf der zu p gefällten Senk- rechten MA mit dem Fußpunkte A, indem man nach der Tangente aus A 9X1 k' anlegt, dann nach dem dazu senkreckten Durchmesser von k' dessen dem Berührungspunkte gegenüberliegenden Punkt B bezeichnet, und P durch BP\p bestimmt. Denn die Pole von p zu k und zu k' liegen symmetrisch zu M (I, 406, 1)). Oder man
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120 ni, 121-122. Die Flächen zweiten Grades.
zieht J^MÄ den Halbmesser MC des Jc\ so ist CPJLÄC, weil nach der'' ersten Konstruktion MP X MÄ = — MC^ sein muß. Dann ist der aus P als Mittelpunkt durch C gelegte Kreis derjenige
A, zu welchem Jlf derPol von
F^»-^«- p ist, da ^äCP^90\
y^ ! ^\. Man findet nun auf |) zu einem
f i Y Punkte D den konjugirten D^
/ Ä /^T^"^"^ i ^^ Bezug auf it, indem man zu
\ A- 'Iv^ \ i dem Mittelpunktsstrahle JlfD
^:: r^\ y aus dem Pole P die Senkrechte
Y>><^^i^^^7 ^A fallt (da die unendlich
,'\^ I y^^s. ferne Gerade die KoUineations-
; ^^ axe zwischen it und X ist)?
-5^' oL^^ ^' ' und zuDi den konjugirten in
**^^ -m, j^\« Bezug auf ä, indem man zu
dem Mittelpunktsstrahle PI)^ aus dem Pole M die Senkrechte MD fallt. Also sind D, Dj in Bezug auf A; und A konjugirt, w. z. b. w.
Der Satz läßt sich leicht projektiv verallgemeinern und unab- hängig von dem Reell- oder Imaginärsein aussprechen und auch unmittelbar beweisen. Er lautet dann:
Satz. Sind in einer Ebene die Pole von zwei Geraden m und p zu einem reellen oder imaginären Kegelschnitte Je bezw. M und P, und zu einem anderen reellen oder imaginären Kegelschnitte h bezw. P und M, u/nd ist die Involution konjugirter Punkte in Bezug auf Tc und h auf der m eine gemeinsame, so ist sie auch auf der p eine gemeinsame. Sind nämlich E, E^ zwei in Bezug auf k und h konjugirte Punkte auf w, und schneiden ME, PE^ die p bezw. in D, Di, so ist PEi die Polare von D zu k (weil P und E^ bezw. die Pole von p und ME sind), und ebenso ME die Polare von D^ zu h, also sind D, Dl konjugirt in Bezug auf k und h, 122. 6) k ist ein imaginärer Kegelschnitt. Fig. 67. Nehmen wir die drei Punkte 0, D, E reell an; die anderen
Fälle in Bezug auf die Punkte bedingen Abänderungen, wie vorher. k möge ein imaginärer Kreis mit dem Mittelpunkte M sein, dessen ideeller Mittelpunktskreis k' den Halbmesser MB besitze. Die Fläche P, deren Umriß bei senkrechter Projektion der imaginäre Kreis k als Hauptschnitt bildet, ist ein zweischaliges Umdrehungs- hyperboloid, dessen Meridianhyperbel gleichseitig sein möge, so daß die reelle auf der Projektionsebene P senkrechte Halbaxe = MB ist. Die Ordinate eines Punktes C erhält man gleich der Hypo- tenuse CqB eines rechtwinkeligen Dreiecks BMCq, worin MCq = MC.
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ni, 122. BerübruDgeebenen, ebene Scbnitte u. Berahrungskegel. 121
Zieht man wieder (118) durch (7, D, E unter nicht zu kleinen Winkeln gegen jede der Seiten dieses Dreiecks Parallele, und trägt auf ihnen jene Ordinaten GL = CL^ -= C^B, I)N= DN^ = B^B^ EQ = EQ^ = E^B auf, so erhält man auf DE die Punkte C^, C, bezw. durch NQ^ N^Q'^ ebenso Di, Dg, jB,, E^,
Fig. 57.
Von den vier Spuren der acht schneidenden Ebenen in P haben wir pi ^^ CiDiE^ und p^^^C^D^E^ verzeichnet, und wollen die Projektionen li,0^ der Schnittkurven der durch sie gehenden Ebenen bestimmen, die bezw. eine Ellipse und eine Hyperbel sein werden.
Der Pol Pi der p^ zu Je wird auf der aus M auf Pi gefällten Senkrechten, deren Fußpunkt 2^^ sei, erhalten, durch JPiJBiPi = 90® (MBi ein zu MF^ senkrechter Halbmesser des it'). Der reelle
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122 in, 122—123. Die Flachen zweiten Grades.
aus Pj durch Jtj gezogene Kreis \ besitzt nach der vorigen Nr. auf jjj dieselbe Involution konjugirter Punkte, wie Tc und daher wie Z, , so daß auch l^ und \ perspektiv liegen mit p^ als KoUineations- axe; die Pole der jp^ zu l^ (und &) und \ sind bezw. P^ und M, Der Geraden CP^ in Z^, welche die p^ in Gj trifft, entspricht daher die G^M in Äj, von deren beiden Schnittpunkten mit \ der C dem C entsprechen möge; daher bestimmt CC auf P^üf den KoUineations- mittelpunkt 0^ von l^ und h^. Man ermittelt nun die Scheitel der (großen) Axe auf MF^y so A^ aus -4' des \ durch CA' und C^j, welche sich auf p^ schneiden. Die kleine Axe halbirt sie senkrecht; ihre entsprechende Linie in A^ Jst in der Figur vermittelst PjC, MC bestimmt, wonach sich B^ aus B' ergibt. Die aus den vier Scheiteln verzeichnete Ellipse l^ geht durch C, Z), E.
Entsprechend bestimmt man von p^ den Pol Pg zu h {F^U^F^ = 90*^), zieht aus Pg durch JRg den Kreis Äg, der mit l^ perspektiv liegt mit p^ als Axe und 0^ als Mittelpunkt der Kollineation (0^ auf JfPg und EE" , P^EG^ und ME^'G^ entsprechend), sucht die Gegenaxe m^ im Systeme von h^ als entsprechend der unendlich fernen Geraden m im Systeme von h {O^M^ || EP^ trifft die E" M in Jfg, fW2 II 2)2 <iurch Ufa), und erhält l^ als Hyperbel, Parabel oder Ellipse, je nachdem m^ zwei, einen oder keinen reellen Punkt mit Aj gemein hat. In unserem Falle sind es zwei, wie S"; man zieht in ihnen die Tangenten an Äg, wie S" T, deren Entsprechende, wie ST ( II O^S") die Asymptoten der l^ sind. Ein Scheitel A^ wird als entsprechend dem A" bestimmt.
123. Aufg. Einen Kegelschnitt l zu bestimmen y welcher einen gegebenen Kegelschnitt k in zwei Punkten berührt und außerdem 1) drei gegebene Gerade c, d, e berührt, 2) zwei gegebene Gerade c, d berührt und durch einen gegebenen Punkt E geht, 3) eine gegebene Gerade c berührt und durch zwei gegebene Punkte D, E geht.
Aufl. Man betrachtet wieder k als Umriß einer Fläche zweiten Grades P, einen Punkt als Projektion zweier Punkte der P, eine Gerade als Projektion eines Kegelschnittes der P, daher den Kegel- schnitt l als Projektion eines ebenen Schnittes von P, dessen Ebene durch je einen der bestimmten Punkte geht und jeden der gegebenen Kegelschnitte berührt. Fig. 58. 1) Die Geraden c, d, e mögen zunächst den Kegelschnitt k
in reellen Punkten schneiden. Die durch c und d dargestellten Kegel- schnitte (c) und {d) der P werden auf einander projicirt durch zwei Kegel (86), deren Spitzen die Schnittpunkte J5?,, E^ je zweier, von c, d verschiedenen, Gegenseiten des durch c und d auf k bestimmten vollständigen Vierecks sind. Jede Ebene, deren Schnittlinie mit P
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III, 123. Berührungsebenen, ebene Schnitte u, Berühvungakegel. 123
die beiden Kegelsehuitte (c), (d) berühren soll, muß einen dieser Kegel berühren, ihre Spur in der Projektionsebene P (der Figur) muß daher durch i?i oder durch E^ gehen. Ebenso bestimmen rf, e zwei Kegelspitzen C^ , Cg ; e, c zwei solche Dj , D^ . Die Spuren der
Fig. 68.
schneidenden Ebene sind daher p^ = C^D^Ej p^ = C^D^E^, p^ = D^E^Ci, Pi = E^C^D^f durch welche dann bezw. die Kegelschnitte h} h) h} h bestimmt sind. In unserem Falle liegen zwei dieser Kurven im Inneren, zwei im Äußeren von Ä, woraus hervorgeht, daß man die Fläche P sowohl als eine Nichtregelfläche, wie als eine Regelfläche ansehen muß. Jede der Geraden c, d, e stellt dann einen Kegel- schnitt der einen, und einen der anderen Fläche dar,- jeder Punkt, wie Cif O2, ist die Spitze von zwei projicirenden Kegeln, und zu einer Geraden p, z. B. zu p2 = C^D^E^, muß für (7,, 2)2, E^ jedes- mal derjenige Kegel genommen werden, in dessen Äußerem sich die p, hier p^y befindet, damit durch diese Gerade an jeden der Kegel Berührungsebenen gelegt werden können.
Schneiden die c, d, e den Je imaginär y so kann man die Punkte El, E^y welche auf der Polaren e^ der Schnittlinie der projicirenden Ebene von c und c7 zu F, d. i. auch der Polaren des Schnittpunktes c, d za ky liegen, nicht auf die eben betrachtete Art finden. Von den Kegelschnitten (c) und (d), welche aus E^ und E^ auf einander projicirt werden sollen, enthält aber die projicirende Ebene jener Polaren e^ Punkte, durch deren Verbindungslinien E^y E^ bestimmt werden können. Daraus folgt aber, daß E^, E^ sowohl durch die Punkte (e^c), (eid)y als durch die beiden (reellen) Punkte (e^i) har- monisch getrennt werden (114), und daher mittelst eines Kreises über (^1 c) (e^ d) als Durchmesser mittelst der Ordinaten in den zwei Punkten (e^Ä;) gefunden werden können.
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124 in, 123-124. Die Flächen zweiten Grades.
Schneiden die Geraden c, rf, e den k zum Teil reelly zum Teil imaginär^ so werden die Kegelschnitte l imaginär, indem diejenigen Kegel imaginär werden, welche zwei solche Kegelschnitte derP auf einander projiciren, von denen der eine durch eine den Ic reell, der andere durch eine den h imaginär schneidende Gerade dargestellt ist.
Dieser Fall entspricht reciprok dem Falle der Nr. 120, in wel- chem die drei gegebenen Punkte zum Teil außerhalb, zum Teil innerhalb des k lagen. Überhaupt läßt sich unsere Aufgabe reciprok auf diejenige der Nr. 114 zurückführen, und es lassen sich ebenso viele Fälle, wie dort, unterscheiden. Wir begnügen uns mit den zwei Hauptfallen, die wir aber unmittelbar gelöst hab'en, wie es in allen Fällen möglich ist
2) Soll der Kegelschnitt l die Geraden c und d berühren mid durch den Funkt E gehen , so lege man an jeden der Kegel, welche die Kegelschnitte (c) und (d) auf einander projiciren, die zwei Berüh- rungsebenen durch jeden der Punkte {E)\ die vier Spuren dieser acht Ebenen sind die vier Geraden p.
3) Soll l die Gerade c berühren, und durch die Punkte D und E gehen, so lege man durch jede der vier Geraden (D) (E) zwei be- rührende Ebenen an ien Kegelschnitt (c); die vier Spuren dieser acht Ebenen sind die Geraden p.
124. Alle Flächen zweiten Grades außer dem hyperbolischen Paraboloide werden durch zwei Schaaren paralleler Ebenen in Kreisen geschnitten. Bei den Umdrehungsflächen fallen beide Schaaren in der einen Schaar dar Parallelkreise zusammen.
Denn legt man eine Kugel K, welche die Fläche zweiten Grades F in zwei Punkten B und Bj^ berührt, und mit ihr noch einen weiteren Punkt D gemein hat, so enthält die Ebene BB^D einen Kreis der F. Denn diese Ebene schneidet K in einem Kreise und F in einem Kegelschnitte, welcher mit dem Kreise die drei Punkte By B^, D und die Tangenten in B und B^ gemein hat, al^o mit ihm zusammenfällt Solche Kugeln kann man bei dem Ellipsoide und dem einschaligen Hyperboloide koncentrisch mit F legen. Gelte bei dem Eüipsoide für die Halbaxen a > 6 > c, so be- rührt die Kugel, welche die Axe 26 = BBj^ zum Durchmesser hat, in den Endpunkten B, B^ die Fläche, und hat mit der Hauptebene ac einen Kreis gemein, der die Ellipse AC in. vier Punkten D, E, F, G schneidet, welche zu zwei die Endpunkte von zwei Durchmessern DF, EG der Ellipse AC bilden; die Ebenen DFB und EGB und alle damit parallelen schneiden dann das EUipsoid in Kreisen, und bilden jene beiden Schaaren, deren Ebenen also mit der mittleren Axe 26 parallel liegen. Bei dem einschaligen Hyperboloide^ dessen
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III, 124—125. Berühningsebenen, ebene Schnitte u. Berührongskegel. 125
beide reelle Halbaxen b und c sind, lege man, wenn 6>c ist, die Kugel vom Durchmesser 26, und findft so zwei mit 26 parallele Ebenenschaaren.
Bei dem elliptischen Paräboloide oder dem zweischaligen Hyper- boloide lege man aus einem Punkte derAxe -4P, welche durch den Fig. 59. Scheitel ui geht, als Mittelpunkt eine Kugel, welche von den beiden durch A gehenden Hauptschnitten denjenigen vom größeren Parameter in den Punkten B und B^ berührt, und daher den anderen dieser beiden Hauptschnitte, der in der Zeichnung um -4P in die Ebene des ersten um- gelegt gedacht ist, in den vier Punk- ten -D, -B, F, G trifft. Es sind aber nicht vier, sondern nur zwei solche durch J5, B^ gehende Kreise möglich, weil jene vier Punkte paarweise (D-F, EG) mit BB^ in derselben Ebene, und
mit dem Schnittpunkte P der BB^ und der -4P in derselben Geraden liegen. So muß der Schnittkreis BB^D außer D noch einen Punkt der Hauptebene DAF enthalten, der also jenem Kreise DEFG und der Parabel AD gemeinsam ist, d. i. einen weiteren jener vier Punkte. Dadurch sind jene beiden Sch£^aren bestimmt.
Das hyperbolische Paräboloid läßt keine Ellipsen (95), also auch keine Kreise zu.
126. Aufg. An ein EUipsoid P atts einem außerhalb desselben gegebenen Punkte L einen berührenden Kegel m legen, oder: Vo^i einem Ellipsoide P für einen leuchtenden Punkt L die Eigenschatten- . grenze e find die Schlagschattengrenzen e^ und e^ auf P^ und P^ zu bestimmen.
Aufl. Es seien die Halbaxen MA\Xy MBl^'P^, MC .L T^ mg. eo. gestellt. Die Ellipsen AB, AC sind bezw. der erste und zweite umriß; sie sollen verzeichnet werden, da es sich hier um eine Ver- anschaulichung handelt, wie die Forderung der Schattenbestimmung zeigt Sind sie aber verzeichnet, und zwar mittelst der Scheitel- krümmungskreise und des Kurvenlineals durch scharfe Bleistiftlinien, so ist es vorteilhaft, nicht nur in Bezug auf die Kürze, sondern auch (wegen der dadurch erreichbaren grosseren Stetigkeit) in Bezug auf die Grenauigkeit, sie zu den weiteren Konstruktionen zu benutzen und nicht durch Konstruktionen mittelst des Kreises zu umgehen, wie es in anderen Fällen zweckmäßig erscheint.
Eine durch L und MC = c gelegte Ebene ist eine solche
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in, 125. Die FJäcben zweiten Grades.
schiefer Symmetrie zu P und zu L, also auch zu e, wobei die Sym- metriestrahlen die Richtung M'F' besitzen, welche zu der Ebene Lc in Bezug auf P konjugirt ist, sowie zu L'M' in Bezug auf die Ellipse A'B', und welche durch konjugirte Sehnen der Ellipse er- mittelt wird. Diese Ebene Lc schneidet die Ellipse AB im Punkte D und die P in einer Ellipse DC mit den Halbaxen J/D, MC.
Fig. 60.
U"
Projicirt man diese Ellipse in den Hauptschnitt AC, so geschieht dies durch Projicirende || DA, und zugleich projicirt man L in die Ebene dieses Hauptschnittes nach E durch LE \\ DA. Man be- stimme dann die Berührungspunkte G, H der aus E an die Ellipse AC gezogenen Taugenten, projicire sie auf die Ebene Lc zurück nach tT, K durch GJ\\ HK\\ AD. JK ist nun ein Durchmesser der Berührungskurve, deren Tangenten in «T, K in beiden Projek- tionen parallel bezw. zu M'F' und x laufen; parallel mit diesen ist auch der zu der JK konjugirte, durch deren Mitte 0 gehende Durchmesser 2'0NiL"0" M" eine Gerade). Ein Endpunkt N dieses Durchmessers ist ein Schnittpunkt desselben mit P oder mit der- jenigen Ellipse der P, welche in der durch ON^V^ gehenden Ebene liegt und welche den auf dem Hauptschnitte ACA^ liegenden Punkt P zu einem Scheitel hat. Um die Verzeichnung dieser Ellipse zu vermeiden, projicire man sie in den Hauptschnitt -4 J5, der mit ihr
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III, 125. BerübrungBebenen, ebene Schnitte u. Berührangskegel. 127
ähnlich und ähnlich gelegen und im Grundriß mit ihr koncentrisch ist Der Projektionsmittelpunkt liegt auf der Axe c, im Grundriß in M'. Projicirt man zugleich die Gerade 0 N^ so projicirt sich 0' auf M'O' in 0/, wenn J./0/||P'0', O'N' in die zu ihr parallele
01 Nij deren Schnittpunkt N^ mit der Ellipse -4'!?' sich dann zurück auf O'N' in N' projicirt, durch M'N^ N\ oder genauer durch P N' \ A^ N^. Aus den konjugirten Halbdurchmessern OJy ON kann man nun in jeder Projektion die Axen von e' und e" bestimmen (I, 377); dieselben sind in der Figur bezeichnet, e' be- röhrt die Ellipse jI'JB' in denselben Punkten, wie die aus L' an A'B' gezogenen Tangenten, e" die A!' C" in denselben, wie die Tangenten aus L'\
Um den Schlagschattm e^ von e auf P^, der in unserem Falle eine Ellipse ist, zu bestimmen, suche man von J, K die Schatten J^, Kl (J| nicht verzeichnet), welche auf L'M' liegen und aus der zweiten Projektion vermittelst der Tangenten aus E" an A"C'' er- halten werden. Die Tangenten in J^ und K^ an e^ sind parallel zu O'ir, daher ist JiK^ ein Durchmesser der e^, und der zu JiK^ konjugirte Durchmesser geht durch die Mitte Q^ von «Tj-ffi und ist
2 • ^iFJ 0'N\ Qi ist aber der Schatten des Punktes Q der JK, und es kann Q'' durch den Strahl U'Q^' bestimmt werden, ein- facher aber und genauer durch die Beachtung, daß Q auf c liegt, also M zur ersten Projektion hat Denn bezeichnet man den. un- endlich fernen Punkt von J^ -Ki mit U^, so ist V^ der Schatten von U auf JKf wobei L" ü" || x. Da nun K^ Q^ Jj U^ vier harmonische Punkte sind, so müssen auch K"Q''J''TJ" vier solche bilden; und da zu der Schnittkurve der Ebene Lc mit F die £'J' die Polare von L ist, muß der durch K und J voa V harmonisch ge- trennte Punkt Q der Pol von LU sein, also auf c liegen. Man erhält daher Q^F^ aus der zu 0' N' parallelen Halbsehne M' F' der e. Aus den konjugirten Halbdurchmessern QiK^y QiF^ be- stimmt man dann die Axen von e^. Berührt oder schneidet die durch L || P^ gelegte Ebene die P, so ist e^ eine Parabel oder Hy- perhelj deren unendlich fernen Punkte in den aus L || P^ an P ge- zogenen Tangenten liegen, und deren Asymptoten im letzteren Falle durch Q^ gehen.
Den Schlagschatten e^ auf P^ könnte man entsprechend mittelst des in V M" liegenden Durchmessers von e" ermitteln; da aber nur ein kleiner Teil von e^ sichtbar ist und der Mittelpunkt von e^ weit entfernt liegt, wurden nur einige Punkte mit ihren Tangenten bestimmt, so J^, für welchen die Tangente durch die zweite Spur T^ der Tangente der e \u J geht. Aus L' und L" gehen gemein-
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128
III, 125--126. Die Piachen zweiten Grade».
Fig. 61.
schaftliche Tangenten an e und a^, bezw. an e" und e^. — Die Punkte der Schlagschatten auf der Projektionsaxe x^ wie ü^, in denen sich e^ und e^ treffen, sind die Schatten derjenigen Punkte der e, wie des ü, welche auf der Schnittlinie BW der Ebene Lx und der Ebene von e liegen. S W erhält man zweckmäßig durch zwei paral- lele Spurebenen, die P^ und die durch L gehende P3; beide werden getroflfen durch die Ebene Lx bezw. in x und in der damit Parallelen LSy durch den Durchmesser KJ von 6 in F und ?7, und durch die Ebene der e in zweien durch V und U parallel zu 0 iV^ gezogenen Geraden. S W ist die eine Diagonale des von den vier Spurprojek- tionen der zwei Ebenen gebildeten Parallelogramms, und wurde, da der eine Eckpunkt nicht erreichbar, von dem Eckpunkte S nach dem Mittelpunkte W der anderen Diagonale gezogen.
126. Zur Losung der folgenden Aufgabe bedürfen wir den Kig. 61. Hilfssatis. Legt man durch zwei Funkte -4, A^ einer Parabel k
die Durchmesser A M , A^ M, trägt auf ihnen im Inneren der Kunx
AB ^== A^B^y und im Äußeren der- selben AF = A^F^ -=^ — AB = — Ai B^ aufy zieht parallel zu den Kurventangenten AT, A^T bezw. durch B und B^ Gerade, welche die k bezw, in Cy D und (7,, D^ treffen, und legt aus F und jF\ je ztvei Kurventan- genteny welche dann die k bezw. in den- selben Punkten (7, D und (7,, D^ bc- riHiren, so sind die senkrechten Abstände der Punkte C, D von AM gleich denen der Punkte C^, D^ von A^ M.
Denn jene Geraden B C, JB, C^ treffen den durch den Schnittpunkt T von AT und A^T gezogenen Parabeldurchmesser TM in ein und demselben Punkte Ey für wel- chen TE= AB = AjBi ist, und da AA^ von TM halbirt wird (I, 361), so ist k mit sich selbst, AT mit A^T, BE mit B^E schief symmetrisch in Bezug auf TM und die Richtung AAi» Daher sind auch CC^ und DD, parallel zu AA^ und werden von TM halbirt. Da außerdem CB = BD, C, D, ^ B^D^, so haben C und D gleiche Abstände von AM, und C^ und D| von A^M, und alle vier Abstände sind unter einander gleich in der Rich- tung AA^y daher auch in der auf TM senkrechten Richtung.
Aufg, An ein elliptisches Paraboloid P aus einem außerhalb des- selben liegenden Punkte L einen berührenden Kegel zu legen, oder:
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III, 126. Berührungsebenen, ebene Schnitte u. Berührungskegel. 129
Von einem elliptischen Paraboloide ßr einen leuchtenden Punkt L die Eigen- und Schlagschattengrenzen e und e^ zu bestimmen,
Aufl. Es sei die Axe AM =^ a von P JL P,, M der unendlich Fig. 62. ferne Mittelpunkt der P, der parabolische Hauptschnitt AB^T^, und die erste Spur der P die Ellipse BC mit den Halbaxen OB, OC. Von dem durch L ge- legten Durchmesser LL^ der P (II a) erhält man den Schnittpunkt L^ mit F, indem man durch LL^ parallel zu der Hauptebene a B eine Ebene legt; diese hat zur ersten Spur die i'D' (,i O'B'), welche die El- lipse J9(7in Dtrifift. Diese Ebene LL^D schneidet die P in einer zum Haupt- schnitte AB kongruen- ten und parallelen Para- bel, deren zweite Pro- jektion aus AB durch Parallelverschiebung um Di" D" entsteht, wenn
D'2)"(||a") die Projektionsaxe x in /)", die Parabel A" B" in D/' schneidet. TriflPt nun L'' L^ die Parabel ^"JB" in X^, so trifft sie jene parallele Parabel und die P in 2^, wenn L^L^ # B^' D'\ Macht man dann auf L"L^ die L^ L^ = X" Lg, so daß VL^ LsJtf" har- monisch, so ist die durch L^ parallel zur Berühruugsebene der F in Zj gelegte Ebene die Polarebene von Z zu P oder die Ebene der Berührungskurve e des aus L der P umschriebenen Kegels und Z3 der Mittelpunkt der e.
Trägt man nun auf a die Strecken -4(t= — AG^=^ L^L = — L^^s *^f ; so hildet die durch G^ senkrecht zu o gelegte Ebene die Polarebene von G zu P, und ihre Schnittkurve mit P die Be- rührungskurve h des aus G der P umschriebenen Kegels; dieselbe ist eine mit BG ähnliche und ähnlich gelegene Ellipse mit der zu OB parallelen Halbaxe 6?, H. Es ist aber k kongruent und parallel mit der ersten Projektion e von e, so daß c', deren Mittelpunkt L', eine zu B'C' ähnliche und ähnlich gelegene Ellipse mit der zu
Wiener, Lehrbuch der daritollonden Geometrie. II. 9
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130 ni, 126—127. Die Flächen Kweiteo Grades.
O'B' parallelen Halbaxe VE' ^^ G^B. bildet Denn irgend zwei unter einander parallele durch a und durch LL^ gelegte Ebenen schneiden die F in zwei kongruenten und parallelen Parabeln, für welche a und LL^ Durchmesser sind und AO= — AO^^^L^L'== — L^ L^ isi Daher liegen die Berührungspunkte der bezw. aus G und L an diese Parabeln gelegten Tangenten auf Sehnen der Parabeln, welche bezw. durch G^ und L^ parallel zu den Parabeltangenten in A und L^ laufen, so daß die Berührungspunkte jener Tangenten aus G und L gleiche senkrechte Abstände bezw. von a und LL^ haben, und in der engten Projektion parallele und gleiche Halbdurchmesser von Tc' und e begrenzen, so L'K = G, H. Daher ist c' ^ J Ä.
Die zweite ProjekHon e" wird aus zwei konjugirten Durchmes- sern ermittelt; der eine sei im Grundriß der durch 0' gehende J' P'] die Lage des anderen Halbdurchmessers L'K* wird durch konjugirte Sehnen der Ellipse B'C ermittelt. J" findet man, in- dem man die Parabel aJ auf diejenige aB durch Parallele zu. J^B projicirt, wobei eT^ ein Schnittpunkt von aJ mit der Ellipse BG ist J' projicirt sich dann nach N'{J'N' ^J^B'), dadurch ist ^" auf der Parabel A" B" bestimmt, sowie J" durch JiT'J" g a>. K' er- hält man auf L^ K" | x. Aus den konjugirten Halbdurcfamessern L^J'\ L^K" werden die Azen von e" ermittelt
Liegt L im Unendlichen^ so erhält man einen umschriebenen Cy- linder und die Berührungshurve e desselben wird eine Parabel. Denn M ist dann ein Punkt der Kurve. Oder: Die Eigenschattengrenze des Paraboloides (des eUiptisehen und hyperbolischen) hei ParaUelbeleuehtung ist eine Parabd.
Der Schlagschatten e^ der Ellipse g wird, wie in der vorhergehen- den Aufgabe, von welcher die unsere ein besonderer Fall ist, bestimmt durch die beiden konjugirten Halbdurchmesser QiJif Qi^i, wobei wieder Q auf a liegt. Aus ihnen werden die Axen von e^ hergeleitet.
127. Die Auflösung der vorigen Aufgabe hat folgenden Satz ergeben, der aus übereinstimmenden Gründen auch für das hyper- bolische Paraboloid gilt.
Satz. Legt man durch zwei Punkte A^A^ eines elliptischen oder hyper- bolischen Paraboloides die Durchmesser AM^A^M^ und fuhrt paralld zu den Berührungsä>enen der Flädie in A und Ai zwei Ebenen, mUHm die Fläche bezw. in den Kurven «, e^,. und jene Durchmesser in den Punkten B, B^ schneiden, deraai daß AB «» A^ B^^ trägt sodann auf jenen Durchmessern die AF = J,j JPj *= — AB -» — ^^ B^ OAJif^ und legt aus F, F^ zwei der Flädie umschriebene Kegdf deren Berührungsj kurven dann dieseB)en Linien e, e, sind, so sind die Projäctionen von
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III, 127—128. Berflbnmgsebenen, ebene Schnitte u. Berührungskegel. 131
e und Ci auf eine mr Flächenaxe senkrechte Ebene kongruente und parallele KegdschnMe.
Dieser Satz enthält auch den anderen
Saie. Alle ebenen Schnitte oder die Berührungshurven aller um- schriebenen Kegd eines elliptischen oder hyperbolischen Paräboloides pro- jiciren sich auf irgend eine Ebene mittelst Prqjicirender, die zur Axe der Fläche parallel sind, in ähnliche und ähnlich gelegene Kegelschnitte {Ellipsen b&no. Hyperbeln).
Der Beweis dieses Satzes kann leicht unabhängig von der Eon- straktion der vorigen Nummer geführt werden. Hat eine der schnei- denden Ebenen B mit der unendlich fernen Ebene M die Gerade d' gemein; so ist deren Polare dzuF die Verbindungslinie des Poles von d' zu der Schnittkurve der E mit dem Berührungspunkte der M mit Fy d. i. auch des Mittelpunktes von e mit dem unendlich fernen Punkte M der F, oder es ist d der durch den Mittelpunkt von e gezogene Durchmesser der F. Das Büschel der durch d gelegten^ in Bezug auf F konjugirten Ebenen schneidet die d' in einer in- Yolutorischen Reihe von Punkten ^ deren zugeordnete zugleich in Bezug auf F, als in Bezug auf e und auf den Berührungspunkt M konjugirt sind (76; 77, 3)); das Büschel schneidet daher die E und die M in den involutorischen Strahlenbüscheln bezw. konjugirter Durchmesser von e und konjugirter Tangenten in M.
Da nun das letztere Büschel unabhängig von der Lage der Schnittebene B ist, so sind für alle Schnittkurven e jene involuto- rischen Ebenenbüschel; weil sie das Tangentenbüschel enthalten; unter einander kongruent und parallel; und da ihre Ebenen zugleich die Strahlenbüschel der konjugirten Durchmesser der Schnittkurven e projiciren; so sind deren Projektionen auf irgend eine Ebene kon- gruente und parallele Büschel von konjugirten Durchmessern der Projektionen e' der Kurven e, diese Projektionen e' selbst daher ähnliche und ähnlich gelegene Kegelschnitte.
128. Aufg. Von einer Fläche isu^eiten Grades F sind die Paral- lelprcjektionen dreier konjugirten HaJbdurchmesser MA («=» MA^, MB, MG gegeben, man soU den Umrißkegelschnitt k von "F, insbesondere dessen Hdlbaxen MD, ME, bestimmen.
AufL 1. Ein der F parallel zu einem der Durchmesser um- schriebener Gylinder berührt dieselbe nach dem Kegelschnitte der beiden anderen Durchmesser, und seine beiden scheinbaren Umriß- geraden sind die Abbildungen der parallel zu der Abbildung des erste- ren Durchmessers an die Abbildung jenes Kegelschnittes gelegten Tangenten. Sie sind zugleich Tangenten des scheinbaren Umrisses und ihre Berührungspunkte sind Punkte dieses Umrisses, so daß der
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m, 128. Die Flächen zweiten Grades.
.-— -^',
Umriß durch zwei von den drei Cylindern überschüssig bestimmt isi Da wir nur eine Projektion zeichnen, können wir das Wort „Abbildung^' ohne Mißverständnis weglassen. Fig. 63. a) V ist ein Ellipsoid. Um parallel zu MC eine Tangente an
die (gedachte) Ellipse -4^ zu legen, benutzen wir deren Affinität
mit einem über AA^ Fig. 6S. als Durchmesser ge-
,^ >^ zeichneten Kreise,
.x-"' "^"-^ dessen auf -4-4, senk-
rechter Halbmesser MB' dem MB ent- spricht; ebenso ent- sprechen sich die zu A Ai parallelen Tan- genten BF, B'F der Kurven. BB' ist ein Affinitätsstrahl. Schneidet MC die BF in Fy so ent- spricht dem F der Punkt r auf B'r, wenn man FF \ BB' gezogen hat, und der MCF die MF'. Der II MF' an den Kreis AB' gezogenen Tangente O'H, welche in G' be- rührt und in H die Affinitätsaxe -4-4^ schneidet, entspricht die zu MCF parallele HG^ welche die Ellipse AB in G berührt, wenn G'G || B'B gezogen wurde, oder, was hier genauer, wenn G'F \ B'M bis P auf -4-4i und PG\MB. Aus G erhält man seinen Gegen- punkt Gl {GM = MG^, Ebenso findet man, wie in der Figur an- gegeben, die zu MB parallele Tangente QJ der Ellipse AC mit dem Berührungspunkte J mittelst desselben affinen Kreises AB', — Die ümrißellipse ist nun durch ihren Durchmesser G ©^ mit der Endtangente GH und ihren Punkt J bestimmt; ihre Axen findet man durch ihre Affinität mit dem über GG^ als Durchmesser be- schriebenen Kreise. Dem Punkte J der Ellipse entspricht der J" des Kreises, wenn JK \ EG bis K auf GG^ und KJ" J_ GG^. Um nun die Axen der Umrißellipse zu bestimmen, beachte man, daß wenn die parallel zu ihnen aus J gezogenen Geraden die GG^ in L und JV schneiden, J"L und X'N ihre entsprechenden Linien im affinen Kreise sind, und daher ebenfalls parallel zu konjugirten Durchmessern 'desselben laufen, d. i. auf einander senkrecht stehen. Man findet daher L und N als Punkte desjenigen Kreises, welcher durch J und J" geht, und dessen Mittelpunkt auf GG^ liegt Die
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III, 128—129. Berührungsebenen, ebene Schnitte n. Berührangskegel. 133
Halbaxen MD^ ME der Umrißellipse sind daher bezw. parallel zu JLf JN, und werden aus den zu tT'L, tT'N parallelen Halbmes- sern MD'\ ME" des Kreises durch die Afflnitatsstrahlen D"D || E''E I; J"J erhalten.*)
129. h)^ ist ein Hyperboloid, etwa ein jsweischaliges. MA = MA^ Fig. 64. ist die reelle, MB ^^ MB^, MC ^= MC^ sind die ideellen Halb- azen. Man lege an die Hyperbel AC eine Tangente || MB, indem ^*
man ihre Asymptoten MF | -4(7, MF^ \ ACi zieht, sie mit einer Parallelen FF^ zn BB^ in -F, F^ schneidet, dann ist die MO, welche durch den Mittelpunkt G von FFi geht, der zu FF^ und BB^ konjugirte Durchmesser jener Hyperbel. Ein Endpunkt H dieses Durchmessers wird erhalten, in- dem man in Bezug auf die Hy- perbel die Konjugirte AJ (|1 MB) zu MG und ihre Tangente AK (II MC) zieht, sie mit MG bezw. in J und K schneidet, und dann MH durch MH^ = MJ-MK bestimmt. HL | MB ist dann eine Tangente der Hyperbel AC und der ümrißhyperbel k, und H ihr Berührungspunkt.
Die Asymptoten der h sind die Umrißlinien des Asymptoten- kegels. Dieser Kegel mit der Spitze M ist parallel und kongruent mit demjenigen, dessen Spitze A^ (oder A) und dessen Leitlinie die Ellipse BC ist; seine Umrißlinien sind parallel mit den aus A^ an diese Ellipse gezogenen Tangenten. Dieselben werden durch Affinität mit dem über BB^ als Durchmesser gezogenen Kreise be- stimmt. Dem C entspricht auf dem Kreise C {MC _L MB), dem A, entspricht^' (^1^' || CC\A, Q \\ CMhh Q autBB,, QA' \ MC), Die aus A' an den Kreis gezogenen Tangenten berühren ihn in If, P'; diesen Punkten entsprechen die Punkte N, P der Ellipse BC und mit -4^.^, A^P sind bezw. die gesuchten Asymptoten
*) In dem Gedanken der umschriebenen Cylinder treffe ich mit Herrn Baiala zusammen, der ihn schon früher yeröffentlichte und bei der Aufgabe a) benutzte in seinen „Constructionen über Flächen 2. Grades in allgemeiner Parallelprojektion" (Progr. 1881—82 der öff. Oberrealsch. i. d. Josefst. in Wien). Die Behandlung des Falles b) ist dort yon der folgenden verschieden.
'vV
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in, 129—130. Die Piachen zweiten Grades.
Pig. 66.
ML, ML^ der Hyperbel k parallel. — Mittelst der Asymptoten und einer Tangente HLL^ (wobei die Probe stattfindet LH =^ ^A) wurde in der Figur die reelle Halbaxe ND von k bestimmt (I, 379) und damit k verzeichnet.
ISO« Äufl, 2 ist etwas einfacher als die erste.
a) P ist ein Ellipsoid. Man ersetze die konjugirten Halbdurch- messer MBy MC der Ellipse BC durch zwei konjugirte 3fG, MJ,
deren einer in der Linie MA liegt;
Fig. 65.
f-
aS'
dann ist MJ der zur projiciren- den Ebene (MAG) von MAG konjugirte Halbdurchmesser der T, an dessen Endpunkte J die Berührungsebene der P parallel zu (AMG) ist, so daß die Pro- jektion ^dieser Berührungsebene die durch e7"(| MA gezogene Tangente des Umrisses k (und der Ellipse BC) bildet. Wenn wir dann noch sm{MA den üm- rißpunkt A^ bestimmen; so be- sitzen wir von k zwei konjugirte Halbdurchmesser MA^y MJ. — Zur Ausführung benutze man den über dem größeren Durchmesser B B^ der Ellipse BC als Durchmesser gezogenen Ereis, mit wel- chem die Ellipse BC perspektiv- affin ist. Dann entspricht dem Punkte C der Punkt C auf dem Kreise, wenn MC J_ MB^ es ent- sprechen sich die zu MB parallelen Tangenten CFj CJF', dem Schnittpunkte F von MA mit CF entspricht F' auf C'F, wenn FF' 0 CC ; den zweien auf einander senkrechten Durchmessern des Kreises MF\ MH\ welche die C'F' bezw. in F und W, und den Kreis in 6r' imd J' treffen, entsprechen die gesuchten konjugirten Durchmesser MG und MJ der Ellipse JBC, welche die CF J)ezw. in F und H und die Ellipse in G und J treffen, wenn H'n\ G'G II «TeTJ C'C. — Zur Bestimmung von MA^ denke man den wahren Umriß der F als Projektionsebene P angenommen, so daß der wahre und der scheinbare Umriß in k zusammenfallen, und denke die Projektion als eine senkrechte (vergl. 114), so schneidet die projicirende Ebene (MAG) das Ellipsoid P in einer Ellipse, wel- ches die konjugirten Halbdurchmesser (MA), (MG) besitzt, und MA^ zu einer Halbaxe hat. Es wird aber MA2 durch den Satz bestimmt: Die senkrechten Projektionen zweier konjugirten Hcilbdurchr messer einer Ellipse auf eine Axe derselben bilden mit der ESäfte
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Qoo^^
III, 130—131. Berühraugeebenen, ebene Schnitte u. Berührangskegel. 135
dieser Axe (als Hypoientm) ein recJUmnkliges Dreieck. Dieser Satz folgt aus I, 364, indem in der Fig. 199 im rechtwinkligen Dreiecke MCoC die MC = MA und die G^C = MD^ ist. Daher erhält man in unserer Figur MA^ ^=: MK, wenn man AK 1. MA und -= MG gemacht hat.
Aus den konjugirt^n Halbdurchmessern MA^j MJ sind in der Figur nach dem Rytzschen Verfahren (I, 377) die Halbaxen MD, ME bestimmt, und aus ihnen ist Tc verzeichnet
131. h) 'E ist ein einschaliges oder zweischäliges Hyperboloid, Pig. ec. Im ersteren Falle ist MA die ideelle, MBy MC sind die reellen Halbaxen, im zwei-
die
Fig. 66.
^
ten ist MA reelle, und MBy MC sind die ideellen Halbaxen. Beide Flä- chen sind konjugirt, besitzen denselben
Asymptotenkegel ; und zwei Durchmes- ser, welche in Bezug auf die eine Fläche konjugirt sind, sind es auch in Bezug auf die andere; nur ist ein reeller Durch- messer der einen Fläche ein ideeller der anderen (vergl. 1,365). Die Umrisse /?,, k^ beider Flächen
sind in Bezug auf ihren gemeinschaftlichen Mittelpunkt konjugirte Kegelschnitte, als Schnitte der zu beiden Flächen gemeinschaftlichen Polarebeoe des unendlich fernen Projektionsmittelpunktes mit den Flächen; sie sind entweder beide Hyperbeln, wie in der Figur, oder kl ist eine reelle Ellipse e^, A^g eine imaginäre, deren ideelle Mittel- punktsellipse e^ bildet; letzteres, wenn A im Innern der Ellipse BC. Mag nun F die eine oder die andere von beiden Flächen sein, so suche man, gerade wie in der vor. Nr., von der Ellipse BC die beiden konjugirten Halbdurchmesser MG^ MJ, von denen die eine, MG, in der Geraden MA liegt. Für das einschalige Hyperboloid ist dann J ein Punkt des Umrisses k^, in welchem seine Tangente i] MA läuft, und MJ ist ein zur Richtung MA konjugirter Halbdurch-
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136 ni, 131—133. Die Flachen zweiten Grades.
messer der lt. Zur Bestimmung der Lauge des konjugirten ideellen Halbdurchmessers MÄ^ in MA dient die Beziehung MA^ =» MA* — Jf6r*. Es folgt dies aus dem Satze: Sind von einer Hyperbd a^h die reelle u/nd ideelle HaXboxe^ sind a^, \ irgend ein reeller und sein konjugirter ideeller Halbdurchmesser, sind a/, 6/; a^\ 6/' deren Projektionen hemjo. 'auf a und auf 6, so gilt
a^ = a/« - l^\ V = V» - a^'\ Denn in I, Nr. 379, Fig. 212 ist, wenn AH die HP in JJ^ schnei- det, MH^'MB = MP'MQ] daher, für -^AMQ^a, und da MH^ sin a = — MH sin a,
JlfjB^cos^a= MPcosa-MQcosa, Jlf^sin*a=-- JlfPsina-Jlf ^sina, oder nach den obigen Bezeichnungen, indem MA^^^a^j PA'
«*=K- V)« + V), 6* — «- V')K'+&i"),
woraus der Satz folgt. Es ist daher in unserem Falle, mögen wir MAl^ = a und dann MA = a/, MG = 6/, oder Jf^^^ = b und dann Jf^ = 6/', JlfG = a/' annehmen, jedesmal MA^^ = Jtf^« - MGK
Zeichnet man daher aus A als Mittelpunkt einen Ereis mit dem Halbmesser AK = MO, legt nach deren Tangente aus M an und bestimmt durch einen zu ihr senkrechten Halbmesser den Berührungs- punkt JT, so ist MA^ «» MK. Aus den zwei konjugirten Halbdurch- messern MA^f MJ bestimmt man die Asymptoten ML, ML^ von kl und Äg, indem man — Al^L *=^ A^L^ # MJ macht, und aus den Asymptoten und der LL^ (einer Tangente der k^) bestimmt man die Halbaxen MD, ME (I, 379) von \ und \. Für MG>MA ist jene Tangente aus M imaginär und k^ eine Ellipse.
132. Übiingsaufg. Von einem elliptischen oder hyperbolischen Paraboloide T sei M der (unendlich ferne) Mittelpunkt, und es sei in Parallel^rojektion gegeben ein Durchmesser AM, und zwei kon- jugirte Halbdurchmesser OB, OC des Kegelschnittes der P in einer zu AM konjugirten, durch den Punkt 0 des AM gehenden Ebene, wobei für das elliptische Hyperboloid OB und 00 reell, für das hyperbolische OB reell, 00 ideell istj man soll den umriß von P bestimmen.
183, Um die SchniUpunkte einer Geraden g mit einer Fläche zweiten Grades P zu ermitteln, lege man durch g eine Ebene, be- stimme den Kegelschnitt, in dem sie die P trifft, und dann die Schnittpunkte dieser Kurve mit g, so sind dies die gesuchten, Punkte.
Aufg, Von einer Fläche zweiten Grades P sind die Paralletpro- jektionen dreier konjugirten Halbdurchmesser MA = MA^, MB ■=» JHJBj, MC ^=^ MCi gegeben, und die Lage einer Geraden g gegen P
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in, 133. Berührnngsebenen, ebene Schnitte u. Beriibnmgskegel. 137
ist durch ihre Schnittpunkte F, G hejsw. mit den Havptebenen MAB, MA C bestimmt; man soll die Schnittpunkte D, E^er g mit der P ermitteln,
Aufl, P sei ein einschaliges Hyperboloid, MA die ideelle, MB, Fig. e?. MC seien die reellen Halbaxen. Wir haben die g so angenommen, daß keine durch
sie gelegte Ebene ^^^- ^^•
die F in einer Ellipse schneiden kann, indem die {{^ durch Jfcfgezogene Gerade innerhalb des Asymptoten- kegels liegt. Wir sind daher genö- tigt, eine Hilfs- ebene durch g zu legen, welche die F in einer Hyperbel schneidet; diese Ebene sei mit MA "= a parallel. Die durch F und Gza a gezogenen
Parallelen treflPen die MB = b und die MC = c bezw. in F^, ö^, die Hilfsebene schneidet daher die Hauptebene bc in der Geraden F^G^, mit welcher parallel der Durchmesser MH gezogen sei. Um die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Ellipse BC zn ermitteln, be- nutzen wir wieder (128) den über BB^ als Durchmesser gezogenen Kreis BCB^, wobei MC ± MB. Wir zieheu CH || C'H' || BB^, schneiden MH mit CH in H, ziehen HH' || CC bis H' auf C'H\ schneiden MH' und die zu MH' Parallele F^ K mit jenem Kreise bezw. in K*, JT, so sind K und N die Schnittpunkte der MH und der F^ G^ N mit der Ellipse BC, wenn K'K [ N'N \\ C'C Den Mittelpunkt L der Sehne der Ellipse auf F^ N erhalten wir durch den zu MH konjugirten Durchmesser MLJ, indem wir MJT. X MH' bis cT auf C'H\ und dann tTJ || C'C bis J auf CH ziehen. — Die Ebene FGC^F^ schneidet nun die F in einer Hyperbel, ähnlich und ahnlich gelegen mit derjenigen MKA, deren Mittelpunkt L, und von welcher ein reeller Halbdurchmesser LN ist, während der ideelle mit a parallel läuft; die Asymptoten sind die zu KA, KA^ Parallelen LP, LP^ (wobei P und P^ unendlich fem). Ihre Schnitt-
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III, 183—184. Die Flächen zweiten Ghttdes.
punkte mit g sind die gesuchten Punkte D, E. Zu ihrer Bestim- mung benutzt man die Kollineation der Hyperbel mit einem Kreise (von passender Größe), welcher beide Asymptoten berührt und in demselben von ihnen gebildeten Winkel liegt, wie ein Hyperbelast, und zweckmäßig, wie ein Stück der g\ seine Berührungspunkte mit den Asymptoten seien P", P/', sein Mittelpunkt Q, Der Kolli- neationsmittelpunkt ist der Hyperbelmittelpunkt L; dem Punkte N der Hyperbel entspricht der (benachbarte) Punkt TT' des Kreises, wenn LNN" eine Gerade, die KoUineationsaxe ist die ±.LQ durch den Schnittpunkt R der entsprechenden Geraden NF (i LP) und 2^'P" gezogene Gerade RS = s. Der g^ST entspricht g''= ST\ wenn S und T die Schnittpunkte von g mit s und mit iP, und T' der entsprechende Punkt von T (NT und N'' T' schneiden sich auf s). Den Schnittpunkten D", E" des Kreises mit g' entsprechen D, E auf ^.
134. Um die Berührungsebene durch eine Oerade g <m eine Fläche , snmten Grades F zu legen, bestimme man den aus einem Punkte der g der Fläche umschriebenen Kegel, lege an ihn die durch g gehenden Berührungsebenen, so sind diese die gesuchten. Ihre Berührungspunkte mit F erhält man, indem man die Ebene der Berührungskurve des Kegels und der F mit g schneidet, und aus diesem Punkte die beiden Tangenten an die Kurve legt; ihre Berührungspunkte sind die gesuchten.
Fig. 68.
Fig. es. Aufg. Von einer
Fläclie zweiten Gra- des F sind die Paral' lelprqjektionen dreier
hmjugirten HaUh durchmesser MA = MA^,MB^MB,, MG = MCi gegebeny wnd es ist die Lage einer Geraden g gegen F durch ihre Schnitt- punkte F, G bezw. mit den Hauptdxmen MAB, MAC be- stimmt; man soU die Berührungsd>enen dmch g an ¥ legen und ihre Berührungspunkte D, E ermitteln,
Aufl. F sei ein Ellipsoid; wir wollen aus F den Berührungs- kegel an dasselbe legen. Seine Berührungskurve ist eine Ellipse, von
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III, 134—135. Berührangsebenen^ ebene Schnitte n. Berahmngskegel. 139
welcher ein Durchmesser in der Polaren von F zur Ellipse AB liegt, während der dazu konjugirte mit MC parallel läuft. Wir be- nutzen wieder die Affinitöt der Ellipse ^JB zu dem über AÄy^ als Durchmesser gezogenen Kreise. Es entspricht dann dem Punkte F derjenige F'y dessen Bestimmungs weise in der Figur ersichtlich ist; im Kreise zeichnen wir den zu MF' konjugirten (senkrechten) Halb- messer MJ' und die damit parallele Polare von F'y deren Sehne den Punkt K' auf MF zum Mittelpunkte und L' zu einem Endpunkte hat. Diesen Linien entsprechen bei der Ellipse die Durchmesserlinie MFj der dazu konjugirte Halbdurchmesser MJ und diQ damit paral- lele Halbsehne JTL, gelegen in der Polare von F. Die Berührungs- ellipse des aus F umschriebenen Kegels hat KL und KN zu kon- jugirten Halbdurchmessem, wobei ^JV* || MC durch LN\ JC begrenzt wird, da die Ellipsen LN, JC ähnlich und ähnlich gelegen sind. Die g schneidet aber die Ebene LKN in. Py welchen Punkt man in der 1 c durch g gelegten Ebene durch den Linienzug GG^Ql CM), G^FP^, P^P (II MC) erhält. Die Tangenten PDD^y PEE^, welche aus P an die Ellipse LN gezogen werden können, mit ihren Be- rührungspunkten 2>, E, und ihren Schnittpunkten D^ E^ mit EL und mit der Ebene MA B erhält man durch Affinität der Ellipse mit dem aus K als Mittelpunkt durch L gezogenen Kreise LN'' (KN" ± KL), wobei P" dem P entspricht {P,F' H KN", PP" || NN"\ vermittelst der Tangenten P'D"D^, P"E"E^ an den Kreis, aus deren Berührungspunkten D", E" sich diejenigen D, E ergeben. Die gesuchten Berührungsebenen sind PDD^F und PEE^F, ihre Berührungspunkte mit P sind D und E.
136, Aufg, Zu einer Fläche zweiten Grades T von einem gege- lenen Punkte P die Polarebene P, und von einer gegd>enen Ebene P den Pol P eu bestimmen.
Aufl. Liegt der Mittelpunkt M der F im Endlichen, so sei F ge- geben durch drei reelle oder ideelle Halbdurchmesser MA »— MA^, MB ^= MBi, MC ■=» MCi, der Punkt P durch seine drei Koordinaten auf den konjugirten Durchmessern, nämlich MA2, MB^, MC^, und die Ebene P durch ihre Schnittpunkte mit diesen Durchmessern, näm- lich A^y JB3, Cj. Die Aufgabe ist daher, aus A^, B^, (7, die A^, JBj, C^, oder umgekehrt zu finden. Nun ist P der gemeinschaftliche Punkt der Polarebenen dreier Punkte der P, etwa von A^, B^, Cj, diese Ebenen aber sind parallel zu den Koordinatenebenen MBC, MCA, MAB, gehen also bezw. durch die Endpunkte A^, B^, 0, der Koordinaten von P. Daher sind A^, A^, spwie B^, B^ und C^, C^ konjugirte Punkte in Bezug auf F. Ist nun ein Durchmesser, z. B. AA^ reell, so sind A^, A^ durch A, A^ harmonisch getrennt, ist er aber ideell,
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140 nr, 186-186. Die Flächen zweiten Grades.
80 bildet A^ Ä^ Ä^ einen rechten Winkel, wenn MA^ -^ MA ge- macht wurde.
Liegt M im Unendlichen^ ist also F ein elliptisches oder hyper- bolisches Paraboloid, so sei es gegeben durch einen Punkt A der F und seinen Durchmesser AM, durch die Berührungsebene der F in J. (oder deren Stellung) und durch zwei Punkte B und C der F, welche in zwei konjugirten^ durch AM gehenden Ebenen liegen. Man ziehe nun parallel zu jener Berührungsebene in der Ebene MAB die BO, in derjenigen MAC die COj, welche die AM bezw. in 0 und 0^ treffen. Die Berührungsebene kann als parallel zu i?0 und CO^ gegeben seiiK Legt man an die Schnitt- parabeln jener konjugirten Ebenen mit F die Tangenten & in J? und c in C, welche die -4Jlf bezw. in 0' und-0/ treffen, wobei J.0' = OA, AO^ '^ O^Aj so sind die Berührungsebenen der F in ^ und C be- stimmt, indem sie bezw. | CO^ durch h und \B0 durch c gehen. Man gebe den Punkt P durch drei Punkte A^, B^, C,, welche bezw. auf den Durchmessern AM, BM, CM derart liegen, daß P-4.j, PJBg, PCg bezw. parallel mit den Berührungsebenen der F in A, Bf C sind; und man gebe P durch ihre Schnittpunkte A^, P,, C^ mit den Durchmessern AM, BM, CM. Dann sind wieder -4,-4-48 Jlf, B^BB^M, C^CC^M je vier harmonische Punkte, oder es sind -4, P, C die Mittelpunkte bezw. von A^A^, -Sä-^s; ^2^3; wodurch die Aufgabe gelöst ist
IV. Die windschiefen Flächen zweiten Grades.
a) Allgemeines.
186. Unter RegeU oder geradlinigen Flächen versteht man solche Flachen, welche durch die Bewegung einer geraden Linie als Er- zeugenden entstehen können. Solche Flächen sind abtmckelbar, wenn sie entlang jeder geraden Erzeugenden von ein und derselben Ebene berührt werden. Denn sie sind dann die einhüllende Fläche dieser beweglichen Berührungsebene (38). Wenn sie aber entlang einer Erzeugenden nicht von derselben Ebene berührt werden, sind sie nicht abwickelbar (39, 1)), und werden mndschief genannt Man sagt auch, Regelflächen sind abwickelbar oder windschief, je nachdem je zwei benachbarte Erzeugende in einer Ebene liegen oder nicht; wobei aber nicht ausgeschlossen ist, daß einzelne Erzeugende der windschiefen Fläche mit ihrer benachbarten in einer Ebene liegen. Der Fall der windschiefen Flächen ist der allgemeine.
Die einfachste windschiefe Fläche entsteht, wenn die gerade Er-
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III, 186. Die windschiefen Flächen zweiten Grades.
141
zeugende auf drei geraden Leitlinien hingleitet, von denen Tceine zwei in derselben Ebene liegen.
Seien \jh^,h^ die drei Leitgeraden, so findet man die Erzen- Fig. 69. gende g^ , welche dnrch einen beliebigen Punkt A^ der \ geht, als Durchschnitt der beiden Ebenen A^ h^ und A^ Ag. Durch jeden Punkt einer Leitlinie geht daher nur eine Er- zeugende, und die entstehende Fläche ist windschief, weil irgend zwei Erzeu- gende nicht in derselben Ebene liegen können, da sonst wenigstens zwei der Leitgeraden in dieser Ebene lägen. In- dem man den Punkt A^ sich auf der \ hinbewegen und eine Punktreihe be- schreiben läßt, beschreibt die Ebene A^ Äg ein mit der Punktreihe h^ perspek- tives Ebenenbüschel mit der Axe A^, die Ebene A^h^ ein solches mit der Axe Äg,
und diese mit A^, also auch unter einander projektiven Ebenenbüschel erzeugen durch die Schnittlinien entsprechender Ebenen die Fläche.
Die windschiefe Fläche mit drei Leitgeraden h^, h^y h^ ist vom zweiten Grade\ denn eine beliebige Ebene schneidet sie in einem Kegel- schnitte, da sie die projektiven Ebenenbüschel h^y \m zwei projek- tiven Strahlenbüscheln trifft, deren entsprechende Strahlen sich in Punkten eines Kegelschnittes treffen, welcher die Schnittkurve bildet.
2jwei beliebige projektive Ebenenbüschelj deren Axen hg, \ sich nicht schneiden, bilden durch die Schnittgeraden entsprechender Ebenen dieselbe windschiefe Fläche zweiten Grades, toelche vermittelst dreier Leitgeraden \y\y \ entsteht. Denn seien g^, g^, g^ drei Schnittlinien je zweier entsprechenden Ebenen, so gehen keine zwei derselben durch densel- ben Punkt von \ oder Äj, und es liegen daher keine zwei in derselben Ebene, weil sonst auch \ und h^ in derselben Ebene liegen müßten. Man kann nun durch jeden Punkt A^ der g^ eine Gerade \ legen, welche zugleich die g^ (in B^ und die g^ (in (7,) trifft Von h^jh^yh^ liegen keine zwei in derselben Ebene, weil dies für gi^g^^g^ gilt. Die durch die drei Geraden \, \, h^ als Leitlinien bestimmte wind- schiefe Fläche kann auch durch zwei projektive Ebenenbüschel Äj, Aj erzeugt werden, und diese fallen mit unseren gegebenen zu- sammen, weil sie mit ihnen die drei durch A^, B^, C^ gehenden Paare gemein haben. Hierdurch ist unser Satz bewiesen. — Zu- gleich ergibt sich, daß durch jeden Funkt einer g eine Gerade h ge- legt werden kann^ welche ganz in der Fläche liegt und alle g schneidet. Denn durch drei Punkte A^fB^, C^ der \ gehen entsprechende Ebenen
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142 in, 136—139. Die Fl&ohen zweiten Gradee.
der Büschel h^y\f also durch jeden Punkt der h^, und die g einer jeden Ebene dieser Büschel schneidet die h^.
137. Sind die drei Leitlinien \,hfj h^ gegeben^ so kann man die Erzeugenden g auch in der zur eben betrachteten reciproken Weise dadurch bestimmen, daß man durch h^ eine beliebige Ebene legt und durch deren Schnittpunkte A^ und Ä^ bezw. mit h^ und %3 eine Erzeugende gi zieht, welche dann auch die h^ etwa in Ä^^ trifft Da die sich um h^ drehende Ebene projektive Punktreihen auf h^ und \ bestimmt, so wird unsere windschiefe Fläche aw^ten Grades durch die Verbindungsgeraden nicht entsprechender Punkte zweier nicht in derseilben Ebene liegenden projektiven Punktreihen gebüdä. Diese projektiven Punktreihen können auf den beliebigen Geraden Kf K g^^z beliebig angenommen werden; denn zieht man die \er- bindungslinien gi,g%ygz j© zweier entsprechenden Punkte, legt durch diese Linien eine sie schneidende Gerade Aj, welche mit keiner der Geraden hg^ h^ in einer Ebene liegen kann, weil sonst auch g^^ g^, g^ und daher auch ^, A, in dieser Ebene liegen müßten, so bilden die mittelst der drei Leitlinien hyyh^yh^ bestimmten Erzeugenden g auf A3 und \ projektive Punktreihen, die mit den gegebenen zusammen- fallen, weil dies für die drei Punktepaare auf ^1, </,, g^ der Fall ist.
138. Da alle windschiefen Flächen zweiten Grades als kollinear zu dem einschaligen Umdrehungshyperboloide (82) aus drei Geraden der einen Schaar als Leitlinien entstehen können, also von der Art der unsrigen sind, so gilt für jede windschiefe Fläche zweiten Grades F:
1) Du/rch jeden Punkt einer P geht eine Gerade g und eine Ge- rade h, wovon jede ganz in der F liegt
2) Alle g bilden eine Schaar von Geraden oder ein System von Er- zeugenden oder eine Begelschaar^ deren jede alle h schneidet und für welche drei beliebige h als Leitlinien gewählt werden können. Ebenso bilden alle h eine zweite Schaar von Geraden, deren jede alle g schneidet und für welche drei beliebige g als Leitlinien gewählt werden können.
3) Zum Gerade derselben Schaar schneiden sich nicht
4) Die Ebenenbüschel, welche aus Geraden der einen Schaar diejenige der anderen projiciren, sind unter einander prq}€ktiv\ und ebenso sind die Punktreihen, welche auf Geraden der einen Schaar durch die der anderen eingeschnitten werden, unter einander und mit jenen Ebenenbüscheln projektiv, wenn sich diejenigen Ebenen und Punkte entsprechen, welche derselben Erzeugenden zugehören.
139. Die Beriihrungsebene einer windschiefen Fläche zweiten Grades in einem Punkte P derselben ist die Ebene der beiden durch P gehenden Erzeugenden. Daher berührt jede durch eine Erzeu- gende gehende Ebene die Fläche \ denn sie enthält eine Erzeugende
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m, 139—141. Die windschiefen Fl&chen zweiten Grades. 143
der anderen Schaar (137). Jede durch eine Erzeugende g einer wind- schiefen Fläche zweiten Grades P gehende Ebene berührt die P in einem Punkte der g, und das Büschel der Ebene ist mit der Beihe ihrer Berührungspunkte projektiv. Denn das Ebenenbüschel ist projektiv mit den Punktreifaen, welche die in den Ebenen enthaltenen Er* zeugenden auf allen Erzeugenden g einschneiden,
140. Um zu entscheiden, welche von den in Nr. 90flf. angegebe- nen sechs Arten von Flächen zweiten Grades die windschiefen sindi beachtet man^ daß jede Ebene jede Gerade einer solchen Flache in einem reellen Punkte, also die Fläche in einer reellen Kurve schneidest* Daher kann diese Fläche das Ellipsoid, das zweischalige Hyperboloid, das elliptische Paraboloid und die imaginc^re Fläche nicht, könnte also nur das einschalige Hyperboloid oder das hyperbolische Para- boloid sein.
Um nun zwischea diesen beiden Flächen zu aitscheiden, unter- suchen wir die folgenden beiden möglichen Fälle: 1) Die drei Leit- geraden sind mit ein und d^seUben Ebene parallel'^ dann enthält die unendlich ferne Gerade dieser Ebene einen Punkt von jeder Leit- linie, ist also eine . Erzeugende der Fläche. Die unendlich ferne Ebene eatbält d^er eine Erzeugende der einen und dann auch eine der anderen Schaar und ist eine Berührungsebene der Fläche; di^ Fläche kann also nur das hyperbolische Paraboloid sein,
2) Die drei Leitlinien sind nicht mit ein und derselben Ebene paraUel] dann gibt es keine unendlich ferne Erzeugende der Fläche, diese wird daher von der unendlich fernen Ebene nicht berührt, kann also nur noch das einschalige Hyperboloid sein.
Grenzfaüe treten ein, 1) wenn von den drei Leitgeradei^ zwei sich schneiden; dann jzerfallt die Fläche in zwei Ebene», diejenige der sich schneidenden Goraden, und diejenige des Schnittpunktes und der anderen Geraden;
2) wenn di^ Axm der projektiven EbepenbQschel sich schnei- den; dann gehen ^i\e Erzeugende durch diesen Schnittpunkt und die Fläche wird ein ]Kegel\
3) wenn die projektiven geraden Punktreihen sich schneiden; dann werden all^ Erzeugenden von einem Kegelschnitte h eingehüllt und bilden de(a außerhalb des k liegenden T^ü der Ebene des k doppelt,
141, An die Stelle der drei geradei^ Leitlinien einer wind: schiefen Fläche zweiten Grades kann man irgend drei Linien der Fläche setzen, welche von jeder Erzeugenden geschnitten werden, Derar^ge Linien sind jedenfalls alle ebenen Kurven der Fläche, da die Ebene einer solchen von jeder Geraden getroffen wird. ,Eei können daher ai^ der Fläche als Leitlinien gewählt werden:
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144 UI, 141—142. Die Flächen zweiten Grades.
1) Zwei nicht in derselben Ebene liegende Gerade, wie h^, h^, und ein Kegelschnitt k] derselbe hat mit \ und ^ je einen Punkt gemein;
2) eine Gerade h und zwei Kegelschnitte k^^, k^] jeder derselben hat mit h einen, und beide untereinan^ler haben zwei reelle oder imaginäre Punkte (in der Schnittlinie ihrer Ebenen) gemein;
3) drei Kegelschnitte k^, k^, k^\ jeder derselben hat mit jedem der anderen zwei reelle oder imaginäre Punkte gemein.
Jede Schaar von Erzeugenden (g) bildet auf allen Erzeugenden der anderen Schaar (h) und auf aUen Kegelschnitten k der Fläche unier einander projektive Punktreihen] denn ein Ebenenbüschel, welches eine h der F zur Axe hat und die Schaar der g projicirt, schneidet alle anderen h in Punktreihen, die Ebene eines jeden k in einem Strahlenbüschel; dessen Mittelpunkt auf k (und h) liegt, und k selbst in einer Punktreihe, so daß beiderlei Punktreihen unter einander projektiv sind. Daher entsteht die windschiefe Fläche zweiten Gra- des auch durch die Verbindungsgeraden entsprechender Punkte zweier projektiven Reihen auf zwei Linien der Fläche, und zwar
4) auf einer Geraden h und einem Kegelschnitte k, die einen Punkt gemein haben, in welchem entsprechende Punkte der Reihen vereinigt sind;
5) auf zwei Kegelschnitten k^, ig, welche zwei Punkte gemein haben, in deren jedem zwei entsprechende Punkte der Reihen ver- einigt sind.
142. Auf jede der angegebenen Weisen entsteht eine windschiefe Fläche nicht nur, wenn die Leitlinien als Linien einer schon vor- handenen solchen Fläche gewählt, sondern auch wenn sie unter den angeführten Bedingungen des sich gegenseitig Schneidens und des Zusammenfallens entsprechender Punkte wülMrlich angenommen werden.
Im ersten Falle ^ in welchem \,\jk Leitlinien sind, sei g eine Erzeugende. Dann ist eine Fläche zweiten Grades F durch das Paar sich schneidender Geraden A^, g und durch k, d.i. durch zwei sich in zwei Punkten schneidende Kegelschnitte (Ä,,^; Ä;), und durch einen außerhalb derselben liegenden Punkt {F) der Ä, bestimmt (87). F enthält die h^ ganz, weil sie drei Punkte derselben {F und je einen Punkt auf g und k) enthält (72), und sie enthält alle (die A,, %2, k schneidenden) Erzeugenden jf, weil sie von jeder drei Punkte enthält.
Im zweiten Falle ist ganz entsprechend die windschiefe Fläche diejenige Fläche zweiten Grades, welche durch \^ k^ und einen außerhalb derselben liegenden Punkt von h bestimmt ist.
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III, 142—143. Die windschiefea Flächen zweiten Gradee. 145
Im dritten Falle ist durch ij, Ä^, fe, eine Fläche zweiten Grades F bestimmt, nämlich durch \y h^ und einen außerhalb dieser Linien liegenden Punkt {F) der Ä,. Diese enthält k^ ganz, weil sie fünf Punkte derselben {F und je zwei auf \ und Ä,) enthält. P ist eine Regelfläche oder eine Nichtregelfläche, je nachdem ihre BerQhrungs- ebene in einem Schnittpunkte A zweier Leitlinien Äj, Tc^ (d. i. die Ebene der Tangenten dieser Linien in Ä) die dritte Leitlinie k^ reell oder imaginär schneidet (82, 2)). Im ersteren Falle sind die Ver- bindungslinien von A mit den beiden Schnittpunkten der \ die bei- den durch A gehenden Erzeugenden. Fallen beide zusammen, so wird die Fläche ein Kegel. Die P enthält alle Geraden, welche \, k^y k^ schneiden, weil sie von jeder drei Punkte enthält. Die Fläche ist aber als Regelfläche reell oder imaginär, je nachdem diese Geraden reell oder imaginär sind. Wir bemerken also, daß die \jk^yk^ nur unter einer gewissen Bedingung eine reelle Regel- fläche bestimmen.
Im vierten Falle mit den zwei projektiven Punktreihen h und k seien g^y g^ zwei Erzeugende. %, g^ und k als zwei Kegelschnitt^ und ein außerhalb derselben liegender Punkt von g<^ bestimmen eine Regelfläche zweiten Grades, deren Erzeugende auf h und k pro- jektive Punktreihen einschneiden, und zwar die gegebenen, weil sie mit ihnen je drei entsprechende Punkte h {k^gi^g^ und k(h,g^jg^ gemein haben.
Im ßnften Falle mit den projektiven Punktreihen t,, k^ sei g eine Erzeugende. Diese drei Linien bestimmen eine Regelfläche zweiten Grades, deren Erzeugende auf \ und k^ unsere Punktreihen *i (hl hf 9) und Äa Qc^y k^y g) erzeugen.
b) Das einschalige Hyperboloid.
148, Aufg. Das einschalige Hyperboloid daremteUen, von wel- chem jswei mit einer Hauptebene parallele gleicfie Ellipsen k, i^ und eine Erzeugende gegeben sind.
Aufl, Die Ebene der Ellipse k nehme man als Pj, die Pg stelle Fig. 7o. man parallel zu einer Axe der k. Der Mittelpunkt M der Fläche ist die Mitte der Verbindungslinie der Mittelpunkte beider Ellipsen; die ersten Projektionen derselben fallen in k' zusammen, M ist ihr Mittelpunkt, 2)', E' sind die ersten, D", JB"; D/', J?/' die zweiten Projektionen benachbarter Scheitel von k und k^. Die gegebene Erzeugende h schneide k und k^ bezw. in F, G^. Die projektiven Pnnktreihen, welche durch die Erzeugende g auf k und \ gebildet werden, erhält man durch das Ebenenbüschel h, oder durch die
Wiener, Lehrbach der darsteUenden Geometrie. II. 10
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III, 148. Die Flächen zweiten Grades.
teilenden Punktreihe eines Kreises,
parallelen Strahlenbüschel aus F und G^ bezw. in den Ebenen von Ic und \. Zur gleichförmigen Verteilung der g nehmen wir cyklisch- projektive Punktreihen an, welche projektiv sind mit einer gleich-
Diese ist in der Figur durch Affinität mit dem aus M' durch D' gezogenen Kreise und des- sen Teilung in 16 gleiche Teile hergestellt. Um eine Verschie- denheit der Teilungen in h' und Ä/ zu vermeiden, sind F' und G^ in Teilungspunkten ange- nommen. Die Verbindungslinien derjenigen Teilungspunkte auf Tc und \y welche bezw. von F und Gj um gleich viele Teile in demselben Sinne entfernt sind, bilden die Erzeugenden Qj wäh- rend diejenigen & durch eineVer tauschung der Punkte auf Tc und ^1 erhalten werden. Die Kehl- eUipse halbirt die zwischen 1c und Tc^ liegenden Stücke der Er- zeugenden und bildet den ersten Umriß; ihre Scheitel sind JB und C. Der Asymptotenkegel hat zur ersten Spur eine mit DE kon- centrische und ähnliche Ellipse; ihr Scheitel F^ wird durch die durch M parallel zu der Erzeugenden {G^F) gezogene Gerade er- halten, deren erste Projektion M!F^ ist. Dann bildet F" G^' auch eine Asymptote der Umrißhyperbel in P2, und durch sie wird die ideelle Axe MA erhalten. Das Atisjsiehen und Ptmktiren in beiden Projektionen geschieht ganz entsprechend wie bei dem einschaligen Umdrehungshyperboloide (Fig. 15).
Aus der ersten Projektion P' eines Punktes P der Fläche erhält man dessen zumte Projektion P" oder P*", wenn man aus P' an die Projektion der Kehlellipse die zwei Tangenten zieht, diese in zweierlei Weise als Erzeugende der beiderlei Schaaren betrachtet, und aus ihren Schnitten mit k und k^ ihre zweiten Projektionen bestimmt, welche sich bezw. in P" oder in P*" treflTen.
Die Beriihrungsebenen in den Punkten P', P" und P', P*" sind jedesmal die Ebenen der beiden durch den Punkt gehenden Erzeugen- den und haben zu Spuren bezw. ^1, ^ und t^*, t^*. Zur Bestimmung
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III, 143—144. Die windschiefen Flächen zweiten Grades.
147
ihrer zweiten Spuren ist wegen Raummangels die zweite Spur T ihrer Schnittlinie benutzt, welche gleiche Abstände von t^ und t^ hat
144. Aufgaben und Sätze über das einschalige Hyperboloid, wel- ches durch drei Erzeugende derselben Schaar g^j g^, g^ gegeben ist.
Zur Darstellung benutze man zwei parallele Spurebenen Fi^Fj (I, 112 flf.), wobei g^ durch seine erste Spur A^ und seine zweite ^«- '^• Bif g^ und g^ bezw. durch Jg? ^2j -^s? ^s gegeben sind. Es sollen bestimmt werden
Fig. 71.
1) die drei bezw. zu g^, g^, g^ parallelen Erzeugenden h^, h^, h^ der anderen Schaar. Man findet h^ als Schnitt der Ebenen, welche man parallel mit g^ bezw. durch g^ und g^ legt und deren erste Spuren e^i, 631 heißen mögen. Für Äj, Äj ™^ß ™^"^ bezw. 632, e^^i ^13 > ^3 bestimmen. Da aber e^^ || ^1 u. s. w., so genügt es, von den sechs Sparen nur drei, etwa 63^, e^g, 6^3, unmittelbar zu konstruiren. Die Spur 631 der durch g^ und || g^ gelegten Ebene erhält man als A^F^, wenn -B3F3 # B.A^ (I, 118, 3)); a,, = A,F, durch B,F, * B^A^] «23 = A^F^ durch B^F^ # J?8-43- Dann zieht man 613 || e^^ durch Ai, e^i || e,2 durch ^, 6^2 D ^3 durch ^3, und erhält, wenn man die Schnittpunkte von e^^ und ^21 mit C^, von 6^2; ^ss ^^^ ^2> Yon 6^, 6^3 mit (73 bezeichnet, die Erzeugenden A^, Ag; ^ als die Parallelen bezw. mit g^, g^, g^ durch (7,, Cj, C^. Ihre zweiten Spuren sind bezw. 2),, Dg; A; w^nn CiDi :^AiBi, C^D^ # -ig ^2' C^D^ :\^ A^By Die sechs Erzeugenden bilden, da jede g jede 7» schneidet, einen Zug von Gegenkantenpaaren eines Parallelepipedums 9iK9z\9%\} dessen Ecken I, II ... VI sind.
2) Der scheinbare Umriß der Fläche ist der Kegeschnitt, wel- cher dem Sechsseit eingeschrieben ist, das durch die Projektionen der verzeichneten sechs Erzeugenden gebildet wird.
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148 in, 144. Die Flächen zweiten Grades.
3) Der Mittelpunkt M der Fläche. Durch ihn gehen die (asymp- totischen) Ebenen je zweier parallelen Erzeugenden, wie fl^iÄj; daher ist M der Mittelpunkt jenes Parallepipedums, oder der Schnittpunkt seiner Diagonalen I IV, 11 V, III VI.
4) In jedetn SechseckSy dessen Seiten du/rch drei Erzeugende g und drei h der Fläche in Äbioechslung g^ldet werden, schneiden sich die Hauptdiagonalen {die Verbindungslinien gegenüberliegender Ecken) in einem Punkte. Denn es gilt dies von jeder Projektion des Sechs- ecks, weil dieses dem Umrißkegelschnitte umschrieben ist (Satz von Brianchon, I, 324).
5) Der Asymptotenkegel hat M zur Spitze und zur ersten Spur den Kegelschnitt, welcher die Geraden Ä^C^, A^C^y A^C^ in ihren Mitten berührt. Denn A^y G^ sind die Spuren bezw. von g^y Ä|, also A^G^ die Spur einer Asymptotenebene, und diese wird von der zu g^ und h^ parallelen (durch M gehenden) Erzeugenden des Asymp- totenkegels in ihrer Mitte getroffen.
6) Einen Punkt der Fläche aus seiner Projektion P zu bestim- men und in demselben die Berührungsebene Tan die Fläche zu legen. Man bestimmt den Punkt bei unserer Darstellungsweise durch die beiden Spuren einer durch ihn gehenden Geraden, seines Tri^ers als solche wählen wir eine jede der beiden Erzeugenden, welche zusam- men dann zugleich die Berührungsebene bestimmen. Die Erzeugenden projiciren sich als Tangenten des Umrisses, der durch fünf von den sechs Tangenten bestimmt ist, etwa durch g^^h^ g^h^ g^* Soll der Umriß nicht verzeichnet werden, so verfährt man in der reciproken Weise von 1,384,1), indem man die Doppelstrahlen der projektiven Strahlen- büschel ermittelt, welche aus P die Punktreiben projicirt, die etwa auf g^ und h^ durch \f g^y g^ eingeschnitten werden. Diese Doppel- strahlen sind in der Figur nach I, 326 bestimmt, von denen eine jede einer jeden Schaar angehören kann, so daß sie sowohl mit ^4, A4 als mit Ä5, ^5 bezeichnet wurden. Die Spuren, so die von ^4, werden ermittelt, indem man beachtet, daß ^^ die \ und h^ schnei- det. Man legt durch den Schnittpunkt g^\ eine Parallele zu A^? dieselbe bestimmt mit \ eine Ebene, deren erste Spur die (durch C| gehende) e^i ist, und diese schneidet jene zu h^ Parallele in ihrer ersten Spur J. Die Ebene dieser Geraden imd der \ hat dann JG^ und eine durch D^ gehende Parallele derselben zu Spuren, und auf ihnen liegen die Spuren A^, B^ der ^4, weil die g^ als Schneidende der beiden Geraden in ihrer Ebene enthalten ist. Ebenso erhält man von 5^5, A4, Äg bezw. die Spuren Ar,y B55 C4, D^; Q, Dg. — P bestimmt also zwei Punkte der Fläche, nämlich g^^y hji^ und g^^h^^ Die Berührungsebenen in denselben haben A4^G^ = tiy B^D^^^t^y
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III, 144. Die windschiefen Flächen zweiten Grades. 149
die unter einander parallel sein müssen y^ und A^C^ = ^j* -E'ö^s = ^* zu Spuren.
7) Die SchiiUlinie h einer Ebene E mit der Fläche zu bestimmen. Man ermittle ihre Schnittpunkte mit fünf Erzeugenden der F; die- selben bilden fünf Punkte des Kegelschnittes Tc, Ist die E durch ihre Spuren e^y e^ gegeben^ so bestimmt man ihre Schnittpunkte mit zwei Erzeugenden verschiedener Schaar, z. B. mit den parallelen g^y \j durch ein und dieselbe Hilfsebene, die der beiden Erzeugen- den, deren Spuren hier A^C^y ^lA s^^^-
8) Den ^erühnmgskegel am einem Punkte E an die Fläche m legen. Man legt durch E und jede von fünf Erzeugenden eine Ebene; diese fünf Ebenen hüllen den Kegel, und ihre Spuren die Spur des Kegels ein, und es ist dieser Kegelschnitt durch seine fünf Tangenten bestimmt. Für zwei Erzeugende verschiedener Schaar, z.B. zwei parallele g^y h^y erhält man zwei solche Ebenen durch eine einzige Hilfslinie, die man durch E und den Schnitt- punkt der beiden Erzeugenden, hier parallel zu ihnen, legt.
9) Den Pol E einer Ebene E zu der Fläche zu bestimmen. Man schneidet E mit drei Erzeugenden, legt durch jeden Schnittpunkt die Berührungsebeue der Fläche und bestimmt E als den Schnitt- punkt dieser drei Ebenen. Die Berührungsebene in einem Punkte, der auf einer Erzeugenden, etwa einer ^, gefunden wurde, enthält noch die durch diesen Punkt gehende Erzeugende hy und diese findet man als Schneidende mit zwei weiteren g. — - Auf gleiche Weise erhält man die Berührungsebenen in den fünf Punkten der % in 7); dieselben gehen alle durch den Punkt E und hüllen den entlang k berührenden Kegel ein.
10) Die Polarebene E eines Punktes E zu der Fläche zu bestimmen. E ist die Ebene der Berührungspunkte der Fläche mit den drei Ebenen, welche man durch E und jede von drei Erzeugenden legt. Der Berührungspunkt einer Ebene wird auf der in ihr enthaltenen Erzeugenden durch die Verbindungslinie der Schnittpunkte der Ebene mit zwei weiteren Erzeugenden derselben Schaar eingeschnitteu. — Auf dieselbe Weise erhält man fünf Punkte der Berührungskurve des in 8) umschriebenen Kegels; dieselben liegen in einer Ebene und bestimmen die Kurve.
11) Van einer gegebenen Geraden l die Schnittpunkte mit der Fläche zu bestimmen und durch l die Berührungsebenen an die Fläcfie
zu legen y wenn diese durch drei Erzeugende g^y g^y g^ derselben Schaar rig. 72. gegd)en ist. Es sind g^ = A^B^y g^ = A^B^, g^ = A^B^, l = L^L^ gegeben. Man ermittele zunächst zwei Erzeugende h^ = CiD^ h^^= C^D^ der anderen Schaar, zweckmäßig die parallelen bezw.
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III, 144. Die Fl&chen zweiten Grades.
zu g^f g^. Zu dem Ende lege man, ähnlich wie in 1), B^F^^BiAij B^F^ * J?2^8, ziehe A^C^ \Ä^C^\ F^F^, so ist G^ der Schnittpunkt von Ä^F^ mit Ä^C^j C^ der von A^F^ mit A^C^\ man erhält, dann
Fig. 72.
Dl und Dj durch C,A# A^i; C^D^:^A^B^. Um die Schnitt- punkte P, P* von i mit der Fläche zu ermitteln, denke man sich diese durch die projektiven Ebenenbüschel h^^g^g^g^), h^^g^g^g^ entstanden; dieselben schneiden auf l zwei projektive Punktreihen G^G^G^, G^G^G^ ein, deren Doppelpunkte P, P* sind. Um die Schnittpunkte aller sechs Ebenen, z.B. G/ von h^g^y mit l zu er- halten, legt man durch l eine Hilfsebene l^ ü, (l^ willkürlich durch -^1? '211^1 diirch ig), schneidet sie mit der Ebene Äafi'i (= Cg-^i, DaPi) in -Bi-Bg, so gehtJ5?iJ?a durch G^/. Die Doppelpunkte P, P* sind in der Figur nach I, 327 bestimmt.
Die Berührungsebene T in P ist die Ebene der beiden durch P gehenden Erzeugenden ^4, Ä^, in P* der ^5, Äg. Es sind aber be- stimmt ^4, ^5 als schneidend mit h^y \\ Ky K ^^^ schneidend mit g^y g^. In der Ausführung legt man durch P und P* Parallele zu g^ (und W g^ (und Ä^), deren erste Spuren bezw. JC^, JK,, Z'^*, JC,* sind. Zur Ermittelung dieser Spuren zieht man, da P, P* durch Z als Träger gegeben sind, die L^J^^B^A^, L^J^ij^B^A^j dann liegen JKi, K^ auf der Geraden iiJi", K^yK^ auf i,J2, den Spu- ren der durch l\gi bezw. || g^ gelegten Ebenen. Unsicherheit der Schnitte, die in der Figur vorkommt, ist leicht unter Beachtung der Verhältnismäßigkeit zu beseitigen. Nun erhält man g^^^A^^B^
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in, 144—146. Die windsohiefen Flächen zweiten Grades. 151
als Schnitt der Ebene F\=^K^C^j B^B^ mit der Ebene PÄ^ = K^C^, B^B^\ K^C^ und K^C^ schneiden sich in der A^y B^B^ und B^^B^ in J?4, A^B^ läuft durch P. Auf gleiche Weise erhält man g^ = -45^5, A4 = G^B^, A5 = C5D5. Die BerOhrungsebene T = gjh^^ hat dann zu Spuren t^ = A^C^, t^ = ^4^4? T* = grgÄg dagegen ^1* = A^C^y t^ = BgDß. Die Schnittlinie Tj 2^ beider Ebenen geht durch die Schnittpunkte Q = g^h^y Q* ^^ g^h^, QQ* ist die PoZarc von FP* = l
12) Eine Gerade m legen, welche vier gegebene Gerade schneidet. Diese Aufgabe wird auf die vorhergehende zurQckgefQhrt, indem man die eine Gerade mit dem durch die drei anderen gehenden Hyperboloide in zwei Punkten schneidet und durch jeden der Schnitt- punkte eine Gerade legt^ welche zwei der letizteren Geraden trifiFt; eine solche trifft als Erzeugende der Fläche auch die letzte Gerade. Es gibt also gwei Gerade, welche die vier gegebenen schneiden.
145. Sätge über das ein- und das zumschalige Hyperboloid und ihre AsymptotenJcegel.
1) Bas Hyperboloid u/nd sein Asymptotenkegel besitzen dasselbe System konjugirter Burchmesser und Burchmesserebenen, weil sie in der unendlich fernen Ebene denselben Kegelschnitt und daher das- selbe Polarsystem besitzen. (Vergl. auch Nr. 89.)
2) Jede Ebene schneidet das Hyperboloid und ihren Asyntptotenr kegel in hmcentrischen, ähnlichen oder hmjugirt ahnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitten, weil beide Kurven auf der unendlich fernen Geraden ihrer Ebene dieselbe Involution besitzen, und weil derselbe Durchmesser der Flächen zu der Schnittebene in Bezug auf beide Flächen konjugirt ist, dieser aber die Mittelpunkte enthält.
3) Jede schneidende Gerade enthält zwei gleiche Strecken ztvischen beiden Flächen, weil die durch die Gerade und den Mittelpunkt der Flächen gelegte Ebene das Hyperboloid imd den Asymptotenkegel bezw. in einer Hyperbel imd deren Asymptoten schneidet, für diese Linien aber der Satz gilt (I, 360).
146. Bas einschalige Hyperboloid ist in verschiedener Weise durch Elemente bestimmt, die ihm angehören sollen:
1) durch zwei sich nicht schneidende Gerade und drei Punkte. Die Ebene der drei Punkte schneidet die Geraden in zwei Punkten, welche mit den drei gegebenen einen Kegelschnitt und dadurch die Fläche bestimmen (141, 1)).
2) Durch ein unndschiefes Viereck und einen Punkt, indem man durch diesen eine Erzeugende jeder Schaar, als schneidende mit zwei Gegenseiten, legen kann; es sind dann drei g und drei h gegeben.
3) Burch zwei sich schneidende Gerade und vier Punkte, indem
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152 in, 146—147. Die Flachen zweiten Grades.
man in den drei Ebenen je dreier einen Kegelschnitt der Fläche bestimmen kann, wodurch die Fläche bestimmt ist (141, 3)).
4) Durch eine Gerade g^ und sechs Funkte F^^ F^ . , , F^. Denkt man die durch einen der Punkte, etwa P^, gehende Erzeugende g^y so müssen die zwei Ebenenbüschel g^j g^j welche die übrigen f&nf Punkte projiciren, unter einander projektiv sein, und hierdurch ist g^ bestimmt. Denn schneidet man durch eine beliebige Ebene das Ebenenbüschel g^(F^F^ . . Pg) und die fünf Strahlen PiCPgPs . . Pe) bezw. in einem Büschel von fünf Strahlen, einem Fünfstrahle, und in fünf Punkten öaös • • Qq} so ist der Schnittpunkt G^ von g^ mit der Ebene derjenige Punkt, aus welchem die fünf Schnittpunkte durch ein mit dem Fünfstrahle projektives Sti'ahlenbüschel projicirt werden. G^ ist aber der vierte Schnittpunkt zweier Kegelschnitte, von denen der eine der Ort des Punktes ist, aus welchem die vier Punkte Q^ Q^ Q^ Q^ durch ein mit g^ (P2 P3 P4 P5) projektives Strah- lenbüschel, der zweite der Ort eines solchen, aus welchen Ö2Ö3Ö4Ö6 durch ein mit g^ (Pg P3 P4 Pq) projektives Strahlenbüschel projicirt werden. Der erstere Kegelschnitt geht durch Q^ Q^ (?4 Ö5 "öd hat Q, T zur Tangente, wenn Q, (TQ^ Q^ Q^) = g, (P^ P3 P^ P5) gemacht wurde; der zweite geht durch Q^ Q^ Q^ Q^ und wird entsprechend bestimmt. Beide haben daher die drei Punkte Ö2Ö3Ö4 gemein; sie müssen daher noch einen vierten gemein haben und dieser ist Gg. Dann ist g^ = P1G2 und die Fläche ist bestimmt.
Übungsaufgaben. Es ist jede dieser vier Aufgaben in der Zeichnung durchzuführen.
147. Besondere Arten des einschaligen Hyperboloids,
1) Nennt man in zwei Ebenenbüscheln g^y g^ eine Ebene des einen und die auf ihr senkrechte des anderen entsprechend, so sind beide Büschel projektiv und bilden durch die Schnittlinien ent- sprechender Ebenen ein eiuschaliges Hyperboloid, welches om ortho- gonales Hyperboloid heißt*). Die zu diesen Büscheln parallelen Büschel ffi7 92 f deren Axen durch den Mittelpunkt der Fläche gelegt sind, bilden dann einen Kegel, welcher ein orilwgonaler Kegel heißt und der Asymptotenkegel des Hyperboloids ist, weil jede seiner Erzeu- genden mit einer solchen des Hyperboloids parallel läuft.
Jede zu einer der Axen g^ , g^ senkredite Ebene schneidet jede der
*) So benannt von Herrn Schröter in s. Abb.: Über ein einfaches Hyper- boloid von besonderer Art (Journ. f. r. u. a. Math. v. Crelle-Borchardt, B. 85, 1878, S. 41; siehe auch Schröter, Theorie der Oberfl. 2. 0. und BAumkurven 3. 0., 1880, S. 184). Dies Hyperboloid wurde zuerst aufgestellt und untersucht von Steiner (Journ. f. r. u. a. Math, v. Grelle, B. 2, 1827, S. 292 ; und System. Entwickl. d. Abhäng, geometr. Gestalten v. einander, 1832, S. 218 u. 232).
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III, 147. Die windschiefen Flächen zweiten Grades. 153 '
beiden Flächen in einem Kreise y welcher hezw. von (/,, g^ und von (//, g^ in den Endpunliten G^, G^g, bezw. G/, G^ eines Durchmessers ge- troffen wird. Denn eine auf g^ senkrechte Ebene schneidet das Ebenenbüschel g^ in einem Strahlenbüschel Gi, dasjenige g^ in einem solchen G^, deren Strahlen die Senkrechten sind, welche aus G^ auf die entsprechenden Ebenen des Büschels g^ gefällt sind (indem sie eine auf g^ senkrechte Ebene bilden), oder auch auf die entsprechen- den Strahlen des Büschels G^] woraus sowohl folgt, daß beide Strahlenbüschel den bezeichneten Ereis, die Schnittkur ve mit der Fläche, bilden, als auch daß die Strahlenbüschel G^, G^, daher auch die Ebenenbüschel g^, g^ projektiv sind und ein Hyperboloid, bezw. einen Eegel zweiten Grades erzeugen.
Das orthogonale Hyperboloid entsteht auch durch die Ebenenbüschel der bezw, zu g^y g^ parallelen Erzeugenden h^y h^y deren entsprechende Ebenen ebenfalls auf einander senkrecht stehen.
Eine auf g^ senkrechte Ebene E schneidet den Kegel in einem Kreise ft vom Durchmesser G^ G^y und die Ebene ^/ g^' = S ist eine Symmetrieebene für den Kreis Je und für den Kegel. Legt man nun durch zwei symmetrische Punkte G^G^ des h die Kegelerzeu- genden g^giy so besitzen diese gleiche Neigungen gegen die ^/, und gleiche gegen die g^\ und nimmt man g^ y g^ als Axen zweier Ebenenbüschel an, welche den Kegel erzeugen, so sind diese pro- jektiven Büschel unter einander kongruent. Denn zieht man an Ic in Gj' die Tangente G^Ty so entsprechen sich in jenen Büscheln dreimal zu zwei die Ebenen g^ {G^G^T) und gl (G^G^G^). Die Die Ebenen g^G^y g^G^ sind aber J_ K, weil sie die g^ enthalten 5 auf diesen Ebenen stehen bezw. die Geraden G^G^ und G^G^, also auch die Ebenen g^G^ und ^'/G/ senkrecht (ersteres, weil ^ G;GIGI = ^ G;GIG; = 90«). Ferner ist ^ G^G^T^ ^G^'G^G^'y daher liegen symmetrisch zu der auf K senkrechten Ebene g^Gi die Geraden G^Ty G^G^y und ebenso die Ebenen gl Ty gl Gl oder sie bilden gleiche Winkel mit gl Gl. Da außer- dem wegen der Symmetrie in Bezug auf S die Winkel der Ebenen gl Gl, gl Gl und der Ebenen gl Gl, gl Gl gleich sind, so sind in den Ebenenbüscheln gl {Gl Gl T), gl (Gl Gl Gl) die Winkel der zwei ersten Ebenen rechte, und die der ersten und letzten Ebenen unter einander gleich, daher die Büschel dieser je drei Ebenen, sowie die ganzen Ebenenbüsch^l gl, gl unter einander kongruent Indem es imendlich viele solche Paare gl, gl gibt, und Parallele zu ihnen im Hyperboloide bestehen (^3, g^)y gilt: Das orthogonale Hyperboloid und der orthogonale Kegel Jcönnen auf unendlich viele Arten durch Jcon- gruente Ebenenbüschel g^, g^y bezw. gly gl erzeugt werden, deren Axen
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154 IH; 147. Die Flachen zweiten Grades.
gleich geneigt sind gegen jede der leiden zu den Kreisebenen senkrechten Erzeugende g^, g^ bezw. g^, g^.
Umgeicehrt erzeugen irgend zwei kongruente Ebenenbüschel g^, g^ oder g^\ g^ ein orthogonales Hyperboloid oder einen orthogonalen Kegel, und es liegen die zu den Kreisebenen senkrechten Erzeugenden bei dem Kegel {g^, g^) in derjenigen von den beiden die Winkel g^\ g^ senk- recht haUnrenden Ebene S, in welcher- beide Ebenenbüschd v/ngleich- laufende Strahlenbüschel einschneiden; bei dem Hyperboloide liegen g^y g^ in einer zu S parallelen Ebene.
In dieser Ebene nämlich besitzt der Kegd zwei reelle Erzeu- gende, die Doppelstrahlen ^r/, g^ jener ungleichlaufenden projektiven Strahlenbüschel. In der anderen (zu S senkrechten) Halbirungs- ebene sind die Strahlenbüschel gleichlaufend und besitzen im allge- meinen keinen Doppelstrahl, weil, wenn sie einen besäßen, sie alle Strahlen gemein haben müßten, da sie dann symmetrisch zu dieser Ebene und perspektiv wären. Der Orthogonalkegel, welcher g^' zu einer auf Ereisebenen senkrechten Erzeugenden hat und durch 9z i 9l g^tt, ist aber durch diese drei Erzeugenden bestimmt, weil der Kreis k einer solchen Ebene E durch die drei Schnittpunkte mit diesen Erzeugenden bestimmt isi Weil ^r/ in S, K J_ S und g^, gl symmetrisch zu S liegen, so liegt auch k symmetrisch zu S; in S liegt daher ein Durchmesser des 2;, sowie die auf den anderen Kreisebenen senkrechte Erzeugende g^ des Kegels. Daher sind g^^ gl gleich geneigt gegen jede von diesen beiden Erzeugenden, und der Orthogonalkegel wird auch durch zwei kongruente Ebenen- büschel gl, gl hervorgebracht. Mit dem Ebenenbüschel gl sind demnach zweierlei Ebenenbüschel gl kongruent, das ursprünglich gegebene und das des Orthogonalkegels; beide sind daher unter ein- ander kongruent, und sie fallen zusammen, weil ihre beiden sich entprechenden Ebenen gl Gl zusammenfallen, und weil sie gleichen Drehungssinn besitzen, nämlich in der Ebene S beide den entgegen- gesetzten des Ebenenbüschels gl. Daher erzeugen die gegebeaen kongruenten Ebenenbüschel gl , gl den Orthogonalkegel gl, gl. Irgend zwei zu den Ebenenbüscheln gl, gl bezw. parallele g^, g^ erzeugen dann ein orthogonales Hyperboloid, dessen g^, g^ bezw. parallel zu gl, gl sind, und dessen Asymptotenkegel mit dem be- trachteten Kegel parallel ist.
2) Nennt man auf zwei Greraden g^, g^ einen Punkt der einen einem Punkte der andern entsprechend, wenn die aus ein und dem- selben Punkte P nach ihnen gezogenen Strahlen einen rechten Winkel mit einander bilden, so sind die Punktreihen gi, g^, projektiv und bestimmen eine Regelfläche zweiten Grades. Denn die Punktreihe g^
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III, 147—160. Die windschiefen Flächen zweiten Grades. 155
wird aus P durch ein Strahlenbüschel projicirt, diejenige g^ aus einer durcli P und senkrecht zur Ebene P^, gelegten Axe durch ein Ebenen büschel, welches mit dem Strahlenbüschel projektiv ist^ weil jede seiner Ebenen senkreckt auf dem entsprechenden Strahle steht.
148. Übungsaufgaben. 1) Von einem orthogonalen Hyper- boloide sind die beiden auf Kreisebeneu senkrechten Erzeugenden derselben Schaar g^^ g^ gegeben^ man soll die beiden kleinsten Kreise, den Mittelpunkt der Fläche, und diejenigen beiden Axen g^y ^4 kongruenter, die Fläche erzeugender Ebenenbüschel bestim- men, deren jede gegen g^, und g^ gleich geneigt isi
2) Gegeben zwei Gerade g^, g^ und ein Punkt P, man soll diejenige Begelfläche zweiten Grades darstellen, auf deren Erzeugen- den von (/i und g^ Strecken abgeschnitten werden, die aus P unter einem rechten Winkel erscheinen (147, 2)).
3) Den Punkt zu bestimmen, von dem aus jede Strecke zwischen zwei entsprechenden Punkten zweier beliebigen projektiven Punkt- reihen ABC . . ., A^B^Ci ... unter einem rechten Winkel erscheint (zwei Auflösungen).
Zur Verzeichnung können die Grund- und Aufrißebene, oder zwei parallele Spurebenen benutzt werden.
149. Auf jeder Erzeugenden g eines einschaligen Hyperboloides^ sowie einer jeden windschiefen Fläche F gibt es einen Punkt S, welcher den kürzesten Abstand von der benachbarten Erzeugenden {g^ derselben Schaar besitzt und der Gentrdlpunkt der Erzeugenden g heißt. Da dieser Abstand senkrecht auf g und g^ steht, und da die durch g parallel zu g^ gelegte Ebene auch den unendlich fernen Punkt der g^ enthält und deswegen die Fläche in dem unendlich fernen Punkte der g berührt und eine asymptotische Ebene der F bil- ^«f- '» det, so steht jener kürzeste Abstand auf dieser Ebene senkrecht.
Da er femer in der Berührungsebene der F in S liegt, so stehen die Beriihrungsebenen einer windschiefen Fläche in dem CentralpunJcte und in dem unendlich fernen Punkte einer Erzeugenden auf einander senkrecht j und der Centralpunkt der g wird als der Berührungspunkt der durch g senkrecht zur asymptotischen Ebene der g gelegten Ebene gefunden. Die Centralpunkte aller Erzeugenden bilden die Striktionslinie. Jede Schaar von Erzeugenden des Hyperboloides hat ihre besondere Striktionslinie.
150. Au fg. Die Striktionslinie für die eine Schaar von Er- zeugenden eines einschaiigen Hyperboloids zu konstruiren,
Aufl. Die Fläche sei durch die Kehlellipse k und einen Punkt G gegeben. Man lege ft, deren Halbaxen MB, MC seien, H Pi, MB y X] durch G lege man F^ und die zu k parallele Ellipse
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III, 150. Die Flächen zweiten Grades.
Ä"| = DEy im Grundriß konceutrisch, ähnlich und ähnlich gelegen mit h. Um auf einer beliebigen Erzeugenden g, welche h und h^ bezw. in F und G triflFt (während g' die 7c' in F berührt), den Central-
punkt 8 zu finden, legt man zunächst die asymptotische Ebene durch ^; dieselbe ent- hält die zu g parallele Erzeu- gende der anderen Schaar, schneidet daher die Ebene von h im Durchmesser MF^ die von \ in der zu MF Parallelen GH. Zu dieser Ebene legt man durch einen Punkt der g^ etwa durch Fj eine Senkrechte FJ {F J J_ M! F')j bestimmt ihren Schnittpunkt H' mit G'H' und ihre Spur J\ indem man ihre projicirende Ebene in Pj umlegt, dabei auf F' M die F'K' = Abstand h^h = E"M" aufträgt und K'J' J_ H'K' zieht. J G' ist dann die erste Spur der durch g senkrecht zur asymptotischen Ebene gelegten Ebene; sie schneidet die Ä/ im zweiten Punkte L', und die aus V an ¥ als Erzeugende der zweiten Schaar gezogene Tangente, welche also entgegen- gesetzten Sinn mit der Tangente G' F' hat, bestimmt S' auf g\ woraus 5" folgt.
Die Kurve geht durch die vier Scheitel der Fläche (auf der Eehlellipse). Faßt man die Striktion^linien beider Schaaren von Geraden zusammen, so sind die Hauptebenen der Fläche Symmetrie- ebenen der Kurve, und der Mittelpunkt der Fläche ihr Mittelpunkt Für jede einzelne der beiden Kurven ist dagegen jede der drei Flächenaxen Symmetrielinie, weil sie es für jede Schaar von Geraden ist. M* und Jf" sind daher die Mittelpunkte der Projektionen.
Es sollen nun noch die Krümmungskreise der Projektionen der Kurve in den Scheiteln der Fläche {B und C) bestimmt werden. Er- setzt man den durch C gehenden elliptischen und hyperbolischen Hauptschnitt der Fläche durch je eine Parabel mit übereinstimmen- dem Krümmungskreise in 0, und mit der Axe CM^ so haben je zwei der Kurven drei Punkte, und weil C ein Scheitel ist, noch einen vierten Punkt bei C gemein. Hierdurch wird das Hyperboloid durch ein hyperbolisches Paraboloid ersetzt, dessen Axe CM ist und wel- ches mit ersterem bei C vier benachbarte Erzeugende gemein hat.
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in, 160—161. Die windschiefen Flächen zweiten Grades. 157
Daher haben beide Flächen drei kürzeste Abstände dieser Erzeugen- den und drei Punkte ihrer Striktionslinien oder deren Erümmungs- kreise gemein. Bestimmt man nun die Asymptoten des hyperboli- schen Hauptschnittes B"D'\ z.B.M'K' durch E"K'^ = E"B'"' — M"B"^f so sind diese Asymptoten die zweiten Projektionen der Scheitelerzeugenden beider Flächen. Nun ist aber die Striktionslinie des Paraboloides, wie wir in Nr. 152 sehen werden, eine Parabel, deren Ebene durch die Axe CM geht und deren zweite Projektion die Ge- rade M" Q" bildet, wenn N"P' die aus irgend einem Punkte N*' der einen Erzeugenden M"N" auf die andere gefällte Senkrechte, und Q" deren Mittelpunkt ist. Daher ist die Gerade M"Q" auch der Krümmungskreis der zweiten Projektion der Striktionslinie des Hyper- boloids, oder deren Tangente in ihrem Wendepunkte M'\ Die Ebene des Erümmungskreises schneidet das Hyperboloid in einem Kegelschnitte, hier in einer Ellipse, deren Scheitel C und B sind; es ist dann im Grundriß der Erümmungsmittelpunkt 0 dieser El- lipse in C auch der Krümmungsmittelpunkt der Striktionslinie {C'M'RT ein Rechteck, TO±C'R', 0 auf CM').
Um die Krümmungskreise beider Projektionen der Striktions- linie in B zu erhalten, verfährt man entsprechend. Man lege die Berührungsebene der Fläche in B in P^ um, wobei die durch B gehenden Erzeugenden der Fläche nach N^M^ und N^M^ gelangen, (B'M, = E"M''), falle N.P, ± N^M,, halbire N^P^ in Öi, so ist wieder M^ Q^ U die Tangente der Projektion der Striktionslinie in B auf jene Berührungsebene. Die projicirende Ebene dieser Tan- gente schneidet die P^ in UUi, die M'C in Z/^, die Ellipse k^ in t/j, und das Hyperboloid in einer Hyperbel, deren reelle Scheitel jB, Bi sind, und welche durch Ui geht. Eine Asymptote dieser Hyperbel ist MV, wenn F' auf UqU^ bestimmt wird durch Ü^V'^ = UqÜi* — M'B^'K Im Aufriß ist der Krümmungsmittelpunkt X dieser Hyperbel in ihrem Scheitel B/' bestimmt (JS/'Tr_L 2lf"jB/' bis W auf M"r\ WX±M"V' bis X auf M'B^'), im Grund- riß in gleicher Weise. Diese Krümmungsmittelpunkte gelten dann auch für die Projektionen der Striktionslinie.
Dk Striktionslinie des einschaligen Umdrehungshyperboloids ist sein KehVcreis.
c) Das hyperbolische Paraboloid.
151. Bei dieser Fläche besitzt jede Schaar von Erzeugenden eine unendlich ferne Gerade (140), und wenn man eine solche, welche durch eine Ebene H bestimmt ist, als eine der drei Leitlinien wählt^ so sind die Erzeugenden g parallel zu H, der sog. RichM>€ne. Da-
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III, 161—162. Die Flachen zweiten Grades.
her: Bas hyperbolische Paräboloid ist durch zwei Leitgerade A^, \ und eine Richtebene H bestimmt. Indem jede parallel zu H gelegten Ebenen auf h^ und \ Punkte derselben Erzeugenden g einschneiden, folgt: Bei dem hyperbolischere Paraboloide schneiden die Erzeugenden der einen Schaar auf denen der anderen Schaar ähnliche PunJctreihen ein^ oder diese Flädie ist durch zwei ähnliche Punktreihen bestimmt.
Da zwei ähnliche Punktreihen durch zwei Paare entsprechen- der Punkte (im Endlichen) gegeben sind, so folgt: Bas hyperbolische Parabohid ist durch ein windschiefes Viereck bestimmt. Die Bichtebene der beiden Schaaren von Erzeugenden sind mit je zwei Gegenseiten des Vierecks parallel.
162. Aufg, Bas hyperbolische Parabohid darzustellen ^ von wel- chem zwei mit einer Hauptebene parallele^ von ihr gleich weit entfernte Parabeln k, \ und eine Erzeugende gegeben sind. Fig. 74. Aufl. Man nehme drei mit den Hauptebenen parallele Pro-
jektionsebenen an. Fj stelle man parallel zu den Ebenen der Para-
Fig. 74.
beln, wodurch deren erste Projektionen in B' E' F* in einander fallen-, Fg stelle man senkrecht zu den Axen der Parabeln und der Fläche, daher F, parallel zur Ebene dieser Axen. Die ge- gebene Erzeugende verbinde den Punkt J der k mit dem L^ der jfej. Da jede Richtebene eine unendlich ferne Erzeagende und daher den unendlich fernen Punkt der Fläche enthält, so ist sie parallel zur
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ni, 152. Die windschiefen Flächen zweiten Grades. 159
Axe der Fläche, projicirt sich daher auf P^ in eine Gerade, mit welcher die zweiten Projektionen der zugehörigen Erzeugenden par- allel sind. Wegen der Symmetrie der Fläche in Bezug auf ihre Hauptebenen sind beide Richtebenen gleich geneigt gegen dieselben, und die zweiten Projektionen der Erzeugenden beider Schaaren sind zwei Schaaren paralleler Geraden von gleicher Neigung gegen die Hauptebenen. Um gleiche Abstände dieser Parallelen zu erhalten, konstruire man Punkte der Parabel h' nach I, 380 derart, daß der Parabelbogen DEF in (12) Teile von gleichen Abständen in der Richtung x geteilt wird. Eine doppelte Teilung wurde dadurch vermieden, daß 2>/ als ein Punkt der von J' ausgehenden Teilung gewählt wurde. Die Verbindungslinien der Teilungspunkte auf V und i/', welche in gleichem Sinne gleich weit bezw. von J" und i/' entfernt sind, liefern die (imter einander parallelen) zweiten Projektionen der Erzeugenden; die entsprechenden Punkte verbinde man in der ersten und dritten Projektion. Diejenigen der anderen Schaar entstehen wegen der Symmetrie durch Vertauschung von J und L^ auf Tc und \ mit J^ und L auf \ und Tc. Die Erzeugenden in der ersten imd dritten Projektion, von deren beiden Punkten auf Tc und Tc^ nur noch der eine erreichbar ist, erhält man durch Beach- tung, daß die Erzeugenden der einen Schaar auf denjenigen der an- deren bei der angenommenen gleichförmigen Verteilung, eine Gleich- teilung hervorbringen, so daß man in der ersten Projektion nur die Erzeugenden JB'D' und E' F , und in der dritten E'" F^" und El"F'" in je 12 gleiche Teile zu teilen hat, um für jede Erzeugende der anderen Schaar npch einen Punkt zu erhalten.
. Die zu Ic und \ parallele Hauptebene liegt in deren Mitt«; ihr Haupts(^iU ist im Grundriß die zu Je' kongruente und koaxiale Parabel, welche die Erzeugenden einhüllt C ist ihr Scheitel. Der zu Pj parallele Hauptschnitt ergibt sich in der dritten Projektion als einhüllende Parabel.
Aus der ersten Projektion P' eines Punktes der Fläche ergibt sich wieder mittelst der durch ihn gehenden, die Umrißparabel be- rührenden Erzeugenden zweideutig P" oder P"* »und die Beruh- rungsebene in demselben mit der ersten Spur ^ oder t* und der zwei- ten ^ oder ^*.
Um die Striktionslinie s zu der einep Schaar der Erzeugenden g zu erhalten, beachte man, daß die asymptotische Ebene einer jeden g parallel zu der Richtebene H derselben, daß also die Berührungs- ebene im Centralpunkte parallel zu der Senkrechten zu H ist, so daß die Striktionslinie die Berührungslinie der Fläche F mit einem Cylinder bildet, dessen Erzeugende J_ H stehen, oder die Schnitt-
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III, 152—153. Die Flächen zweiten Grades.
linie der P mit derjenigen Durchmesserebene, welche zu der auf H senkrechten Richtung konjugirt ist. Die von L auf g = JL^ gefällte Senkrechte LN ist eine auf H senkrechte Sehne der F, durch deren Mittelpunkt Q und die Axe der F daher die Ebene der Striktionslinie s geht. Diese selbst ist eine Parabel, deren Scheitel und Axe mit denen der F zusammenfallen. Zu h gehört die Strik- tionslinie s^.
153. Aufg. Das hyperbolische Pardbohid aus einem durch Er- zeugende desselben gebildeten windschiefen Vierecke darmstellen.
Aufl. Die mit je zwei Gegenseiten parallelen Ebenen sind die
Richtebenen , ihre Schnittlinie ist parallel zur Axe c der Fläche. Wir
Fig. 76. wollen der Einfachheit halber P^ senkrecht zu beiden Richtebenen
Fig. 76.
J^C?'
(und zu c) annehmen; dann ist die erste Projektion des Vierecks DEFG ein Parallelogramm, in der Figur ein Rhombus D'KF'G'. Wir nehmen vier Vertikalprojektionsebenen an, Pg parallel zur Dia- gonale B'F'y P3 zur Diagonale J?'6r', P^ senkrecht zur Seite D'JE', P5 parallel zur Seite D' E\ D, F mögen in T^-^ E, G in gleichem
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III, 158. Die windschiefen Flächen zweiten Grades. 161
Abstände von P^ liegen. Dann bilden die Vertikalprojektionen des Vierecks der Reihe nach zwei gleich geneigte, gleiche Schenkel eines Winkels D"E'\G'')r\ ebenso eines Winkels K"D'\r")G"\ ein verschränktes Viereck B^^E^^F^^G^^ mit den Ecken eines Rechtecks, ein verschränktes Viereck D^E^F^G^ mit den Ecken eines gleichschenkligen Paralleltrapezes. Erzeugende erhält man durch Gleichteilung aller Seiten in dieselbe Anzahl (6) von Teilen, wobei die der einen Schaar durch ausgezogene, die der anderen durch punktirte Linien dargestellt sind. Die umrisse der zweiten und dritten Projektion sind die (parabolischen) Haupschnitte. Die Verbindungs- linien der Mittelpunkte je zweier Gegenseiten des Vierecks schneiden sich bei unserer symmetrischen Annahme im Scheitel C der Fläche.
um eine Striktionslinie s zu erhalten, fällt man wieder von einem Punkte H einer Scheitelerzeugenden eine Senkrechte HJ auf die andere; die durch den Mittelpunkt K von HJ und die Axe c ge- legte Ebene schneidet die Fläche in der Striktionslinie S] dieselbe bildet zugleich den wahren Umriß bei der fünften Projektion, weil Pg _L HJ\ der zugehörige scheinbare Umriß ist 5^. Die zweite Striktionslinie s^ ergibt sich durch Symmetrie*).
ühungsaufg. Es ist ein beliebiges windschiefes Viereck in be- liebiger Lage gegen die Projektionsebenen gegeben, man soll die Axe und den Scheitel des durch das Viereck gehenden hyperbolischen Paraboloides bestimmen und die Aufgaben der Nr. 144 lösen.
*) Zar Zeit da mir dieser Druckbogen zur Korrektur vorliegt (Nov. 1886), kommt mir eine Schrift über die Aufgabe ^er Nr. 114 zu Gesicht, die ich noch anführen will: Hofmann, die Constructionen doppelt berührender Kegelschnitte mit imaginären Bestimmungsstücken, 1886. — Außerdem sei eine Abhandlung von Beyd „Zur Qeometrie des Imaginären'* (Vierteljahrsschrift der Naturf. Ges. in Zürich, B. 31, 1886) genannt, welche insbesondere die Imaginärprojection für imaginäres Collineationscentrum , Coli. -Axe und Charakteristik behandelt Dabei wird am Schlüsse des genannten Abschnittes angeführt, daß ich einen speciellen Fall dieser Projektionen in meinem Lehrbuche der darstellenden Geometrie erwähnt und Imaginärprojektion von Kegelschnitten genannt habe. Der Ausdruck „erwähnt" erweckt den Schein, als wären schon vorher Arbeiten über diesen Gegenstand bekaimt gewesen. Dem gegenüber fühle ich mich ge- drungen ausdrücklich auszusprechen, daß ich die Urheberschaft und die Priori- tät in Bezug auf die Imaginärprojektion der Linien und der Flächen zweiten Grades für mich in Anspruch nehme, insbesondere in Bezug auf ihre (ideelle) Darstellung durch reelle Gebilde gleicher Art, und in Bezug auf die dadurch geschaffene Möglichkeit und deren Auswertung, mit den imaginären Gebilden eben so leicht zu konstruiren, wie mit den reellen, unter anschaulicher Unter- scheidung zwischen zwei koigugirt-imaginären Elementen (115 f.). Ich erhebe diesen Anspruch, weil die bezeichneten Entwiokelungen von mir herrühren, und weil mir bei dem Erscheinen meines Buches (1884) keine anderseitigen Mitteilungen über diesen Gegenstand bekannt waren und auch seitdem keine den meinen vorangehenden bekannt geworden sind.
Wiener, Lehrbuch der darstellenden Oeotaetrie. IT. 1%
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IV. Abschnitt. Die Umdrehungsfläehen.
L Der SohDitt einer Umdrehtingsfläohe mit einer Ebene.
154. Die Schnittlinie h einer Umdrehnngsfläche F mit einer Ebene E ist symmetrisch in Bezug auf die zu E senkrechte Meri- dianebene, weil in Bezug auf sie beide Flächen symmetrisch sind; die ßchnittgerade jener Meridianebene mit E ist dann eine Sym- metrielinie der Schnittkurve. Diese rechtwinklige Symmetrie bleibt in der senkrechten Projektion auf eine jede Ebene bestehen, welche mit der Symmetrielinie oder mit den dazu senkrechten Symmetrie- strahlen parallel ist; bei jeder anderen Projektionsebene entsteht eine schiefe Symmetrie.
Geht die Schnittkurve durch die Symmetrielinie, so muß die Tangente oder es müssen die Tangenten der Kurve in diesem Punkte ebenfalls mit sich selbst symmetrisch sein; dabei ist entweder die Tangente senkrecht auf der Symmetrielinie, dann ist der Punkt der Kurve ein gewöhnlicher'^ oder sie liegt in der Symmetrielinie, dann ist der Punkt eine Spitze erster Art; oder es sind zwei symmetrische Tangenten vorhanden, daun ist der Punkt ein Doppelpunkt.
155. Aufg. Die Schnittlinie eines Ringes F mit einer Ebene E m konstruiren.
Eine Ring- oder Wulstfläche, oder kura ein Ring entsteht durch Umdrehung eines Kreises um eine in seiner Ebene liegende, aber nicht durch seinen Mittelpunkt gehende Axe a. Die gegen die Axe hohle Kreishälfte beschreibt einen konvexen Flächenteil (Wulst) mit elliptischen Punkten (33), indem die Meridian- und die Parallelkreis- tangente in einem solchen Punkte, und die durch beide gehende •Berührungsebene auf derselben Seite dieser Kurven liegen. Die gegen die Axe erhabene Kreishälfte beschreibt einen konvex- kon- kaven Flächenteil (HoMkeMe) mit hyperholischen Punkten^ indem jene beiden Tangenten und die Berührungsebene auf verschiedenen Seiten der Kurven liegen. Die Grenzpunkte beider Kreishälften
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IV, 165—156. Der Schnitt einer Umdrehnngsfläche mit einer Ebene. 163
oder im allgemeinen jeder Punkt des Meridians^ in welchem die Tangente JL a steht, erzeugen Parallelkreise mit parabolischen Punkten. Schneidet bei dem Ringe die a den Meridiankreis, so sind die beiden Schnittpunkte KegeJptmkte der Fläche und bilden ebenfalls die Grenzen von Flächenstücken mit elliptischen und hyper* bolischen Punkten.
156. Aufl. Wir stellen P^ J_ a, deren Projektionen d^ Punkt Pig. 76. M' und die Gerade a" bilden, und nehmen B als Berührungsebene in einem hyperbolischen
Punkte P der Fläche an. Fig. 76.
Man bestimme ans P' den i
Punkt P" vermittelst des Punktes Q, in welchem der Parallelkreis von P den Hauptmeridian schneidet, lege die Berührungsebene in P, welche durch ihre (auf 3r P' senkrechten) Spuren c^, e^ in den Ebe- nen P], P3 des tiefsten bezw. höchsten Parallel- kreises der Fläche darge- stellt sein mögen. Schnei- det die Tangente QA des Hauptmeridians die P^ in Cy 80 ergibt sich der Schnittpunkt B der Meri- diantangente PJ. mitPj auf FJf durch 3f'B'=3fC'. Ebenso findet man den Schnittpunkt D der Meri- diantangente PA mit P3. Durch B' geht dann 6^, durch D' geht 6,. Q''C"
und P" B" treffen sich im Punkte A der a. PBD ist die Symme- trielinie der Schnittkurve, im Grundriß für senkrechte, im Aufriß für schiefe Sjrmmetrie.
um allgemeine Punkte der k zu erhalten, lege man Hilfsebenen J_ a ( 11 Pi), z. B. eine durch den Punkt E^ der a; sie schneidet die F in zwei Parallelkreisen, deren erste Projektionen man verzeichnet^ und die B in einer Parallelen zu e^, deren Punkt E' auf P' IT man er- hält, wenn man M'E'r^mE^^E^ macht, wobei E^ der Schnittpunkt
II*
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164 IV, 166—167. Die ümdrehungsflachen.
der Hilfsebene mit Q"A'\ Die vier Schnittpunkte jener beiden Parallelkreiee mit dieser Geraden gehören der jfe an.
Ausgezeklmete Punkte sind die der Umrisse. Für die erste Pro- jektion liegen sie auf dem größten und kleinsten Parallelkreise und werden wie die allgemeinen Punkte erhalten; für die zweite Pro- jektion liegen sie auf dem höchsten und tiefsten Parallelkreise^ oder auf dem Hauptmeridiane, und werden durch die aus e^ und e^ er- mittelte Schnittgerade e^ der Hauptmeridianebene mit E bestimmt — Ferner liegen ausgezeichnete Punkte auf dem m E senkredUen Meridiane (154) und werden durch seine Drehung in den Haupt- meridian, durch dessen Schnitt mit Ä"Q" und durch Zurückdrehen erhalten. In unserem Falle wird nur der Punkt P wieder gewonnen, der ein Doppelpunkt der jfe ist, wie dies für die Schnittkurve der Berührungsebene einer Fläche in einem hyperbolischen Punkte P stets stattfindet.
157. Die Tangente in einem Punkte S der Kurve erhält man als Schnittlinie ST der E mit der Berührungsebene der Flache in S, wdche, wie vorher, durch Umdrehung der Meridianebene ver- zeichnet ist Dabei wurden wegen der leichteren Erreichbarkeit der Punkte statt der Spuren mit Pj diejenigen mit der Ebene des größten Parallelkreises benutzt.
Um sogleich hier die Tangenten in dem DoppdpuMe P zu kon- struiren, müssen wir einen Satz aus der Lehre von der Krümmung der Flächen vorausnehmen, welcher sagt, daß diese Tangenten mit den Erzeugenden eines einschaligen Umdrehungshyperboloides zusammen- fallen, das sich unserer Fläche in P anschmiegt, d. h. welches in der Ebene des Meridians und in der darauf senkrechten Normal- ebene gleiche Krümmungskreise der Schnittkurven besitzt; dabei nehmen wir der Einfachheit halber P als einen Punkt des Kehl- kreises des Hyperboloides an. Der eine Krümmungskreis der F ist der Meridiankreis selbst; der andere hat bei Ümdrehungsflachen stets das Stück der Normale vom Fußpunkte P bis zum Punkte jP der Axe a zum Halbmesser, weil die aus jP als Mittelpunkt durch P gelegte Kugel drei, ja sogar vier, Punkte mit dem zweiten Normalschnitte gemein hat, je zwei auf zwei benachbarten Parallelkreisen. Nach der Drehung des P in Q sind die Krümmungshalbmesser daher Q"0 und Q"F. Legt man durch einen der beiden Kjümmungsmittel- punkte 0 und P, etwa durch P, die Umdrehungsaxe des Hyper- boloids, parallel mit der Meridiantangente in Qj so ist FQ" der Halbmesser seines Kehlkreises und zugleich die reelle Halbaxe der Meridianhyperbel, während Q" 0 ihr Krümmungshalbmesser im Scheitel Q ist Daraus ergibt sich aber ihre ideelle • Halbaxe
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IV, 157—158. Der Schnitt einer Umdrohungsfläche mit einer Ebene. 165
= V'FQ"' Q"0 — Q''G (I, 250) vermittelst des Halbkreises FOO und 0"Q J. FO. Dreht man Q zurück nach P, so gelangt ÄQQ in die Meridiantangente APJ. Man erhält aber die durch P gehenden Erzeugenden des Hyperboloids , wenn man auf der Meridiantangente die ideelle Halbaxe PJ aufträgt, in J eine Senkrechte KJL zur Meridianebene zieht (üT'eTZ' J_ P'J', K"rL" | M'O) und auf ihr J'K'^^ tTL' gleich der reellen Halbaxe Q''F der Meridianhyperbel aufträgt PK und PL sind dann die Erzeugenden des Hyperboloids und die gesuchten Tangenten der Schnittkurve im Doppelpunkte.
Die wahre Gestalt der Schnittkurve ließe sich durch Umlegung der B in P^ leicht erhalten; sie ist senkrecht-affin zu ihrer ersten Projektion«
Änm. Bestimmt man die Schnittkurven der Fläche mit zweien der B parallelen und nahe benachbarten Ebenen^ was im Grundriß mittelst des Handzirkels allein geschehen kann^ wenn man den senk- rechten Abstand der ersten Spur einer solchen Ebene von e^ in den Zirkel faßt, so erkennt man, wie die Kurve mit dem Doppelpunkte den Obergang zwischen zwei Kurven ohne Doppelpunkte bildet, die sich in die zweierlei scheitelwinkelartig durch h bei P begrenzten Räume hineinschmiegen.
158. Berührt die Schnütebene B den Ring in zwei Punkten P und Qy 80 sierfattt die Schnittkurve in sswei Kreise^ welche sich in P und Q schneiden. Um dies zu zei- gen, stellen wir P, senkrecht zu E, so daß PQ B Pg. Es sei M der Mittelpunkt der Fläche^ 0 der Mittelpunkt desjenigen der beiden Kreise des Hauptmeridians, wel- cher P enthält, S ein Punkt der Schnittkurve, N der Punkt, in welchem der Parallelkreis des S den bezeichneten Kreis des Haupt- meridians trifft, MO -= f», ON'^' r. Wir legen B um PQ in eine zu Pg parallele Ebene um, so gelangt S nach S"\ wenn S"S'" ± P''Q'\ M"S"'= M'ir\ gleich dem wah- ren Abstände des M von jedem
Punkte des Parallelkreises SN. Sodann trage man M"B'" J_ M" S' and a» r nach der einen Seite von M"S" hin ab, derart, daß
Fig. 77
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166 IV, 158— 16t9. Die Umdrehnngsfla^^hen.
B"'M"S'" eio spitzer oder stumpfer Winkel wird, je nachdem 0"N"M" ein solcher ist. Dann sind aber diese Winkel gleich, um es zu beweisen, ziehe man S^'C^^» N"D" beide JL-Sf'O", so i&t wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke C"M"S" und P"M"0",
Ferner ziehe man M'^E^' X N"0*\ so ist wegen Ähnlichkeit der Dreiecke 0"M"-Er' und 0"N"D"
Daher ist M'S"^M'E":, und da außerdem M'S'"=M"N" ge. macht wurde, so sind die rechtwinkligen Dreiecke M" S" S'" und M"E"N" kongruent Dann ist auch ^ S" S'" AT' =^ ^ K' N" M'\ und dann auch, wie behauptet, ^ JB'"3f'/S"'«= -^ 0"^"JIf", weil sie einzeln jenen Winkeln gleich sind. Hieraus folgt aber die Kongruenz der gleichbenannten Dreiecke, weil die angegebenen be- grenzten Schenkel jener Winkel paarweise gleich sind, und daraus folgt B'"S"\^0"M"= m. Daher ist der Ort von S'" ein Kreis vom Halbmesser m und vom Mittelpunkte JB'"; und der Ort von S besteht aus zw.ei Kreisen von den Halbmessern m, deren Mittel- punkte B und B^ in der Senkrechten zu P^ liegen, welche man in E durch M legt, und von denen jeder den Abstand J[f"5"'= r von M besitzt*). Beide Kreise haben FG bezw. F^G^ (= 2m) zu Durchmessern; die dazu senkrechten Durchmesser sind JK^ Ji^n deren Endpunkte auf dem höchsten und tiefsten Parallelkreise liegen. Daher muß eT'iT"«» i^'G'= 2w sein, was übrigens auch aus der Kongruenz der Dreiecke Jlf"Z"J" und O'T'M" (mit Jf"Z' = 0"F') folgt. Die ersten Projektionen beider preise sind Ellipsen, deren Axen F'G' = F^'G^ = 2w und J'K'= J^K,' bilden, und von denen JUT ein gemeinschaftlicher Brennpunkt ist; denn es gilt üftT = Jf' J/= m.
159. Ist die Schnitt^ene E mit der Umdrehungsaxe a parallel j so besitzt die Schnittkurve zwei Axen^ eine in der Ebene des Äquators und eine in der zu E senkrechten Meridianebene. In dem Falle, daß der Abstand der E von a gleich r, wird die Kurve eine Cassinische
*) Der von Pohike in seiner darstellenden Geometrie, Abt. 2, 1876, S. 160, gegebene Beweis ist nnrichtig. Denn er beruht auf der Gleichung MS . MS^ ^=^ MF^y worin S und Si die zwei ungleich weit von M entfernten Schnitt- punkte eines aus M in E gezogenen Strahles mit der Fläche, und MP eine aus M an die Fläche gezogene Tangente bedeuten; diese Gleichung ist aber nicht beweisend, gilt vielmehr fQr jede durch M gehende Schnittebene.
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IV, 169—160. Der Schnitt einer UmdreboDgsfläche mit einer Ebene. 167
Linie. Die Figur zeigt ihre Projektion auf die zu B parallele Meri- Fig. 78.
dianebene P; jP und F^ seien die Mittelpunkte der Meridiankreise
in P. Auf einem Parallelkreise ÄA^ erhält man die Punkte P, P^,
indem man auf seiner Umlegung in die P, dem Kreise ÄP'Äi vom
Durchmesser ÄÄ^, die Punkte P', P/ bestimmt, deren Ordinaten PP'
•^ Pj P/ = r sind. Dadurch wird
aber APPA^^PF^^f^
« ^ P . AP^ =AF^, und daher
liegen die vier Punkte FfF^, P,
Pj auf dem Kreise^ welcher von
AF in F und von A^F^ in P\
berührt wird. Der Mittelpunkt
dieses Kreises ist C auf a^ wenn
FC±AF. Derselbe Kreis liefert
die Punkte Q, Q^ des Parallelkreises
£JBj, wenn AFB eine Gerade. v
Nun ist AP-FPi ~ Aul,P\P, weil
^ PFF^ = ^A^F^P als ümfangswinkel des Kreises FPP.F^
über dem Bogen PP^, und ^ PPiP= ^ ^, PP,. Aus dieser
Ähnlichkeit folgt
PF.F^F=A^F^:PF^, oder
PF PF, = 2mn
Es ist also das Produkt der Abstände PF, PF, eines Punktes P der Kurve von zwei festen Punkten P, F^ eine unveränderliche Größe^ daher die Kurve die Cassinische Linie.
Man erhält die Punkte auf den äußersten Parallelkreisen, wie D (und Dl) durch MD «* JfPi, indem dann C nach M rückt; die Punkte auf a, wie JE, durch EN *^ r, wobei ENA. a, ^ ein Punkt des Meridiankreises; die Punkte auf dem Parallelkreise FF^ vom Halbmesser MK^ wie H, durch Umlegen des Kreises, aus dem Punkte -ff', wenn MH'= MK, HH' ± FF,, HH'= r.
160. Die Kriimmungsmittdptm'kte für die Scheitel E und U und für den Punkt Z> lassen sich leicht durch anschließende Flächen bestimmen. Der nach dem Parallelkreise EN die Fläche berührende Kegel wird von E in einer Hyperbel geschnitten, welche denselben Krümmungskreis in E wie unsere Kurve besitzt, weil beide Kurven auf zwei benachbarten Parallelkreisen drei (ja sogar vier) Punkte gemein haben. E ist der Scheitel dieser Hyperbel, die Meridian- tangente in N ist eine Asymptote derselben, deren Normale in N die FN ist und den Krümmüngsmittelpunkt J auf a bestimmt
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Fig. 79.
168 IV, 160—161. Die ümdrehungsfläcÄeii.
Entlang des Äquators MK hat ein Umdrehungsellipsoid vier be- nachbarte Parallelkreise mit unserer Fläche gemein^ wenn seine Meridianellipse in K mit unserem Meridiankreise den Erümmungs- mittelpunkt F^ gemein hat. Die E schneidet das Ellipsoid in einer zu der Meridianellipse ähnlichen^ ähnlich gelegenen und koncen- trischen Ellipse , deren Scheitel H^ und deren Exümmungsmittel- punkt üi ist, wenn MH^ : MH =» MF^ : MK Es wird J3j erhalten durch MH;= MF^ auf MH' und H^H^ J_ MK. H^ ist auch der Erümmungsmittelpunkt unserer Kurve in H.
Um fär D den Erümmungsmittelpunkt zu bestimmen, denkt man sich entlang des Meridiankreises des Punktes D einen berüh- renden Cylinder an den Bing gelegt. Die Schnittkurven der Ebene E mit dem Ringe und dem Cylinder haben den Punkt D gemein und die beiderseits zu D benachbarten Punkte haben von D Ab- stände = 0^, deren Unterschiede für beide Eurven = 0* sind, also gegen 0^ verschwinden. Beide Kurven besitzen daher in D den- selben Erümmungskreis. Nun bildet E mit dem senkrechten Schnitte des Cylinders den Winkel KMD^ = a und schneidet den Cylinder in einer Ellipse, deren Halbaxen r und r : cos a sind, deren Erüm- mungshalbmesser in D daher r : cos* a ist. Man erhält ihn '=^ DL, wenn man DG±MD^ bis G auf MK und GL±DG{\\MD^) bis L auf DD^ zieht. Denn dann ist ^ D^DG = a, JDG = r : cos a, DL = r : cos* a.
161. Die Cassinische Linie nimmt drei verschiedene Gestalten an, je nachdem r=^\m] dieselben sind für dasselbe jFJF\ = 2m
verzeichnet. Für r> \m ^^^- ^^- hat sie die Gestalt einer
V/''^^""*^^^?^^^ geschlossenen Eurve (1) ,j-X- -Si . -\ ^jjjjg Qjgj. jj^^ Einbiegung
^-/Zr^y^^ \ \ (^ ^& 79 r ^ w, in
.^>'^'\:ilSM."-r/^:J'4^^ Fig. 78 r<fn) und mit
^ V. >. - ^ ^ ^ . , zwei Punkten auf a ; für
r c=s l^m fallen diese bei- den Punkte in eioem Doppelpunkte M zusam- men und die Eurve erhält die Gestalt einer Schleife (2) und heißt die Bemouältsche Lemnis- kate] fiir r < ^w zerföUt sie in zwei geschlossene Äste (3). Die Tangenten an die Lemniskate im Doppelpunkte werden nach dem Verfahren der Nr. 157 als Linien, unter 45^ gegen a geneigt, gefunden, weil Eehlkreis und Meridiankrümmungskreis gleich sind.
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IV, 162—168. Der einer ümdrehnngsflache umschriebene Kegel u. Cylinder. 169
162. Übungsaufgaben,
1) Die in Nr. 159, Fig. 78 gegebene Konstruktion des Schnittes des Ringes mit einer zu a parallelen Ebene (Cassinische Linie mittelst des Kreises aus C) für den Fall zu erweitern, daß der Abstand b der E von a nicht gleich r ist. An die Stelle des Punktes F tritt ein mit dem Halbmesser r — b beschriebener Kreis.
2) Einen Ring mit zwei Kegelpunkten (Nr. 155 u. Fig. 79 (1)) mit einer durch einen dieser Punkte gehenden Ebene zu schneiden, so daß in ihm ein Doppelpunkt oder eine Spitze oder ein isolirter Punkt entsteht.
3) Eine Umdrehungsfläche habe eine SinusUnie A^BG^ (Nr. 48, Fig. 26b oder Figg. 18 ü. 19, oder Nr. 165, Fig. 80) zum Meridiane'^ die Axe sei die Normale A^A m einem Scheitel. Es soll ihr Schnitt mit einer Ebene konstruirt werden, welche die Flache in dem Wende- punkte B eines Meridianes (einem parabolischen Punkte der Fläche) berührt Man wird finden, daß B eine Spitze der Schnittkurve ist.
4) Die ebenen Schnitte von Umdrehungsflächen zweiten Grades sind Kegelschnitte und werden nach Nr. 113 bestimmt
IL Der einer Umdrehungsfläohe nmsohriebene Kegel und Cylinder.
(Sohattengrenze.)
163. Um an eine krumme Fläche F aus einem außerhalb der- selben gegebenen Punkte L eine Berührungsebene zu legen, lege man durch L eine Hilfsebene, welche die P in einer Kurve h schnei- det, ziehe an diese die aus L möglichen Tangenten, deren Berüh- rungspunkte Sij S^ . , , seien. Andere Hilfsebenen liefern andere Schnittkurven, Tangenten und Berührungspunkte. Alle Berührungs- punkte 8 bilden eine Kurve 9, alle Tangenten einen die Fläche entlang s berührenden Kegel, den man den der Fläche ans L um- schriebenen Kegel nennt Jede Berührungsebene des Kegels ist eine aus L an die F gelegte Berührungsebene; denn sie enthält eine Erzeugende des Kegels und die Tangente s in dem jener Erzeugen- den angehorigen Punkte S, also zwei Tangenten der F in Ä Und umgekehrt geht jede Berührungsebene der F in einem Punkte der s durch L. Es lassen sich also aus einem Punkte L im allgemeinen unendlich viele Berührungsebenen an eine Fläche F legen, welche alle von dem umschriebenen Kegel eingehüllt werden.
Ist L ein unendlich ferner Punkt, gegeben durch die Gerade ?, so wird der Kegel zu einem Cylinder, dessen Berührungsebenen die an F parallel zu l gelegten Berührungsebenen sind. ^
Ist F eine abwickelbare Fläche, z. B. ein Kegel oder Cylinder,
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170 IV, 163— 164. Die ümdrehungsflächen.
und sind wieder Sy, S^ . . , die Berührungspunkte aller aus L an eine jener Schnittkutven k gelegten Tangenten, so berühren die Berührungsehenien der P in Ä|, Sg . . . die F entlang der durch Si, S^ ... gehenden Erzeugenden e^, e^ . • . Außer diesen gibt es keine durch L gehenden Berührungsebenen und die Berührungalinie s besteht aus den Erzeugenden e^, c^ . . . Denn gäbe es außer diesen noch .einen Punkt j8^, so müßte auch die durch ihn gehende Erzeu- gende zu s und ihr Schnittpunkt mit der Ebene der ky d. L mit k selbst, .zu den S gehören,. was gegen die Voraussetzung streitet.
Hieraus ergibt sich: Die abunckelbare Fläche he&üjst nur einfach unendlich viele Beruhnmgsebenen^ oder die äbroUende Beri4hrungsd)ene hat einen einzigen möglichen Ablaufe wobei die Berührtingsgerade die ganze Fläche oder wobei alle Berührungspunkte zugleich alle Kurven der Fläche beschreiben, während eine andere krumme Fläche zwei- fach unendlich viele Beruhrungsebenen besitzt, indem man der ab- rollenden Berührungsebene unendlich vielerlei Ablaufe geben kann, die im allgemeinen keine Lagen gemein haben, und wobei der Berüh- rungspunkt bei jedem Ablaufe Kurven anderer Punkte beschreibt Daher kann die Berührungsebene der abwickelbaren Fläche nur noch eine,, die einer anderen krummen Fläche noch zwei Bedingungen erfüllen, z. B. durch einen bezw. zwei Punkte gehen. Oder die Be- rührungsebene einer abwickelbaren Fläche beschreibt nur eine end- liche Anzahl mal eine Gerade, d. h. durch einen Punkt der Geraden geht nur eine endliche Anzahl von Beruhrungsebenen, die Berüh> rungsebene einer anderen krummen Fläche beschreibt die Gerade unendlich oft mal.
Ist L ein leuchtender Punkt, so ist der berührende Kegel der LichtstraMen- und der Schattenkegel, s die Eigenschattengrenee, und der Schnitt des Schattenkegels mit einer Fläche die Grenze des ßchlagschattens auf dieser. Ist L ein Auge, bo ist s der wahre umriß und jener Schnitt der scheinbare Umriß der Projektion der P auf die zweite Fläche.
164* Äufg, An eine Umdrehungsfläche P aus einem außerhalb derselben gegebenen Punkte L den berührenden Kegel su legere und die Berühnmgskurve s m konstriiiren, öder die durch einen leuchtenden Punkt L hervorgebrachten Eigen- und Schlagschattengrenzen s und Sj \3u bestimmen^
Aufl. Bei den ümdrehungsflächen ersetzt man vorteilhaft die Hilfsebenen des allgemeinen Verfahrens durch Hilfskegd oder Kugeln, welche die Fläche entlang eines Parallelkreises, oder durch HUfs- cylinder, welche sie entlang eines Meridianes berühren, legt an die Kegel oder Cylinder die berührenden Ebenen, oder an die Kugeln
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IV, 164— 166. Der einer UmdiidhuDgsfl&che nmachriebene. Kegel u. Gylinder. 171
die berührenden Kegel aus Lj schneidet die Berührungslinie mit jenem Parallelbreise bezw. Meridiane und erhält in den Schnitt- punkten Punkte der gesuchten Berührungskurve. An den Eegel und Cylinder haben wir aber schon die Berührungsebene aus einem Punkte L gelegt; die Kugel wird durch einen Kegel aus L in einem Kreise berührt^ dessen Ebene senkrecht auf dem durch L gehenden Durchmesser steht und die Polarebene von L ist. — Die Meridian- ebene L von L ist Symmetrieebene des Berührungskegels und der Berührungskurve der P.
\ 165. Wir wählen als Meridian eine Gosinaslinie («= Sinuslinie); Fig. so als Umdrehungsaxe a ihre Normale in einem Scheitel Ä^ welche J_ Pj gestellt werde. Seien vom Hauptmeridiane gegeben der Scheitel J.", die Normale a" in Ä'\ der benachbarte Wendepunkt B'% sei B"C" ±a\ seien G"-B", C'Ä" bezw. die x- und ^Axe der Coor- dinateU; sei femer C"-4"=c, C"-B"=^3rr, so ist
X
£f = c cos — -
T
die Gleichung des Meridianes. Dabei ergibt sich für ;8? = 0, — = ^ ^r,
X = C"B", also r = 2 . C"B" :^ = ~ G"B'' = MB, (Fig. a) als Halbmesser des Grundkreises. Zieht man dann aus dem Punkte M mit den Halbmessern MB,=^r und MB^ = c Kreise und die (auf einander senkrechten) Halbmesser MB^B^ \ B"C" und MA^Ä^ I C" A"y so ist (7"JB"= Bog. Ä^^,. Für weitere Punkte ziehe man (etwa unter Dreiteilung des Viertelkreises) die MD^D^ und bestimme vier Punkte, wie D", vermittelst je? = -[- D^B^ und a; =* + Bog. A^D^^ oder x = + Bog. A^B, (= 20" JB"- Bog. A^D,).
Zur Verzeichnung der Tangente erhält man durch DiflFereutiation der Gleichung, oder auch durch eine einfache geometrische Betrach- tung unendlich kleiner Dreiecke, oder auch aus der Figur 26b der Verwandelten des ebenen Schnittes eines Kreiscylinders,
ll^-l-sm^^MD,:MA, (Fig. a).
80 daß die Tangente der Sinuslinie in D" senkrecht auf A^B^ (oder bei negativem a;, J_ A^B^) steht. Auf diese Weise ist ein ganzer Gang der Cosinuslinie, dessen Bogenmitte A^ gezeichnet
166. Bestimmwng der Ptmkte der EigenschaUengrenjsfe s a) durch das Verfahren der berührenden Kegel. Der Kegel, welcher die Fläche in dem Parallelkreise b des Punktes B berührt, hat seine Spitze in B^ auf a. Dreht man nun den Meridian l des L um a in den Hauptmeridian Ä, wodurch L nach H gelangt, zieht die B^Hj schneidet sie mit der Ebene des b in B^, dreht die Meridianebene zurück, wodurch B^ nach B^ auf A' L {A' Bq = C" B^) gelangt,
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IV, 166. Die ümdrehungsflächen. Fig. 80.
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IV, 166—168. Der einer Umdrehnogsfläche omschriebene Kegel ü. Cylinder. 173
zieht aus B^ die beiden Tangenten an &', so sind deren Berührungs- punkte B^y B^ die gesuchten Punkte der s. — Man kann die Punkte auf b auch dadurch finden ^ daß man den berührenden Kegel -mit der Parallelkreisebene von L in einem Kreise schneidet, an diesen aus L' die Tangente zieht, und die Halbmesser (so Ä' B^q) der Be- rührungspunkte, welche zugleich die ersten Projektionen der Berüh- rungserzeugenden des Kegels sind, mit b' in B^' und B^' zum Schnitte bringt. Dies Verfahren liefert insbesondere die Punkte B^', B^ und JK^', K^ des Grundrisses, in welchen die Tangenten der 5' nach A' gerichtet sind. Sie liegen auf denjenigen Parallelkreisen, deren Be- rührungskegel die Parallelkreisebene von L in einem größten oder kleinsten Kreise schneiden. Der Parallelkreis des Wendepunktes B der Cosinuslinie liefert einen größten solchen Kreis, wodurch die Punkte B^'y B^ desselben kleinste Winkel V A'B^ und L' A' B^ bestimmen. Der Parallelkreis des L liefert einen kleinsten solchen Kreis, wodurch die Punkte JE^', K^ desselben größte Winkel L'A'K^ und L'A'Kl be- stimmen. Im Aufriß gehen dann die Tangenten der s" in jenen Punkten durch die Spitzen der umschriebenen Kegel, so in B^' durch B^.
167. b) Bas Verfahren der berührenden Oylmder. An den Cylinder, welcher die Fläche entlang eines Meridians, A'B^j be- rührt, legt man die Berührungsebenen aus £, indem man von Xr' die Senkrechte L'B^q SLXjf A'B^' fällt, dann den Meridian samt dem Fußpunkte in dem Hauptmeridian dreht, aus der neuen Lage des Fußpunktes an den Hauptmeridian h die Tangenten zieht, deren Be- rührungspunkte, wie B", bestimmt, und aus ihnen durch Zurück- drehen in den ursprünglichen Meridian die gesuchten Punkte, wie B^' ermittelt. Man bemerkt, daß hier dieselben Linien wie bei dem ersten Verfahren, nur in umgekehrter Reihenfolge, gezogen werden. Zur Bestimmung des Berührungspunktes einer gezeichneten Tangente der Cosinuslinie dient ebenfalls die umgekehrte Linien- folge. -- Das Verfahren der Meridiancylinder dient zur Bestimmung der Punkte des zweiten Umrissef oder des Hauptmeridians, als der Berührungspunkte der an ihn aus L'' gezogenen Tangenten. Ebenso findet man durch es die Punkte des durch L gehenden Meridians l, bei dessen Drehung in den Hauptmeridian L nach H gelangt; die Berührungspunkte, wie JE", der aus -BT" an den Hauptmeridian ge- zogenen Tangenten, gelangen beim Zurückdrehen in l in die ge- suchten Punkte, wie E^.
168. c) Das Verfahren der berührenden Kugeln. Die Normale des Hauptmeridians in D" bestimmt auf a" den Mittelpunkt der Kugel, welche die Fläche entlang des Parallelkreises d berührt. Dreht man wieder L nach JS, so ist die zweite Projektion des aus
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174 IV, 168—169. Die ümdrehiinggfl&chen.
Fig. 80. J? der Kugel umschriebenen Kegels eine GEemde, welche die d" in Dg tri£Pt. Die zwei durch D^ dargestellten Punkte des d gelangen beim Zurückdrehen nach D^ und Dg, wenn die Abstände von D^ und D^ von dem auf l senkrechten: Kreisdurchmesser m gleich dem Abstände des D^ von a" sind. — Das Kugelverfahren erfordert zur Bestimmung der beiden Punkte eines schon gezeichneten Parallel- kreises zehn Operationen, das Kegelv^ahren sieben. Dennoch ist für den Parallelkreis d wegen entfernter Lage von Punkten das Kugel* verfahren zweckmäßiger.
D9 ist ein Punkt der Projektion ^^ der Berührungskurve s actf die Meridianebene L, nach deren Drehung in die Hauptmeridian - ebene. Man erhält mittelst des Kugelverfahrens .diese Kurve un- abhängig von der ersten Projektion und kann sie auch noch über die umrisse der Fläche ausdehnen, wo erst die Verlängerungen der^ jenigen Geraden sich schneiden, welche bezw. den Parallelkreis der Fläche und den Berührungskreis der Kugel mit dem ihr aus B. um- schriebenen Kegel abbilden. In der Figur ist der Punkt F auf der Tangente der Cosinuslinie in ihrem Scheitel A vermitt-elst des Krüm- mungskreises der Kurve in A konstruirt. Der Krümmungshalbmesser wird aber gefunden, wenn man aus A" eine Parallele zu der Tangente im Wendepunkte B" zieht (_L A^B^ der Fig. a), dieselbe mit B"(y' schneidet, von da aus eine Senkrechte zu ihr zeichnet, welche die a" in 2^1 trifft. jFj G" ist dann der gesuchte Krümmungshalbmesser. Von der Richtigkeit dieser Konstruktion überzeugt man sich durch Ver- gleichung mit der entsprechenden Konstruktion in der Fig. 26, deren Punktefolge A^' A" A^ durch A"C"Fy^ in unserer Figur ersetzt ist
Auch das Kegelverfahren liefert die Kurve s^ und ihre Fort- setzung über die Umrisse. Ihr Punkt B^ auf 6" ist durch O" B^ = Abstand B^ von m bestimmt, und weil B^ und B^ B^ Pol und Polare zu 6', so sind B^ und B^ harmonisch getrennt durch die Endpunkte von V\ Von JE" an wird der dem B^ entsprechende Punkt ein innerer, daher sein zugeordnet harmonischer ein äußerer.
169« Es hat aber eine Fortsetzung der Kurve s^ über den Umriß hinaus auch räumlich eine Bedeutung, weil die Projektion 5q der s auf die Meridianebene L ungeändert bleibt, wenn man die Fläche F durch eine affine Fläche F^ ersetzt, wobei L die Affinitätsebene und die dazu Senkrechten die Affinitätsstrahlen sind, da hierbei die aus L der F und der F^ umschriebenen Kegel, sowie die Berührungs- kurven sich entsprechen, die letzteren also dieselbe Projektion s^ auf L besitzen. Nimmt man nun in den Ebenen der Parallelkreise die Charakteristik der Affinität = Y^ — 1, d.h. bildet man die Ima- ginärprojektionen der Kreise, so sind diese Projektionen gleichseitige
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lY, 169. Der einer ümdrehuDgifläche' amächriebene Kegel n. Cylinder. 175
Hyperbeln und erzeugen eine heüe Flache fj, die wir die Imaginä/r- projektion oder die konjugirte Fläche, von F in Bemg auf die Men- dianebene L und die auf ihr senkrechte lUcMung nennen wollen (96 ffi)« Um die Stetigkeit derselben bei A nicht zu unterbrechen^ in wel- chem Punkte die erzeugende Hyperbel in zwei gegen die Meridian- ebene li unter 45^ geneigte Gerade i, i übergeht^ setzen wir sie über Ä hinaus fort, entsprechend wie es bei der übereinstimmenden Imaginärprojektion des Umdrehungsparaboloides^ dem gleichseitigen hyperbolischen Paraboloide^ geschieht Wir fügen nämlich zur (aus- gezogenen) Cosinuslinie des Meridians eine zu ihr in Bezug auf A symmetrische (gestrichelte) hinzu; dann sind die auf a senkreichten Ordinaten der ersteren die halben reellen^ die der letzteren die halben ideellen Axen der erzeugenden gleichseitigen Hyperbeln. Die beiden so entstehenden Flächenteile sind unter einander kongruent, grenzen in den genannten auf einander senkrechten Geraden i an einander und sind in Bezug auf jede derselben gegenseitig symmetrisch.
Die auf der konjugirten Fläche F^ liegende Berührungskurve des ihr aus L umschriebenen Kegels wollen wir die zu s konjugirte Kurve s^ nennen. Um ihre Punkte auf einer hyperbolischen Erzeu- genden g der F^ zu finden ^ lege man entlang der g den berührenden Kegel an die F^. Seine Spitze ist der Schnittpunkt G^ der a mit der Tangente eines Meridianschnittes der F^, in dessen Punkte G" auf g, in der Figur des Meridians der ideellen Scheitel. Schneidet man H" G^ mit g" in G^ und sucht auf der gleichlaufenden Involu- tion, welche auf g' in Bezug auf die Hyperbel g und den berüh- renden Kegel stattfindet, und von welcher G^ auf a der Mittelpunkt^ G" ein ideeller Doppelpunkt ist, den zu ög zugeordneten Punkt G^ (vermittelst G^ G^ auf a = G^o f^'\ ^ ^^6 G^e ^^9 = 90^); so ist G^ die Projektion der Berührungspunkte der beiden aus G^ an die Hyperbel g gezogenen Tangenten, d. i. ein Punkt der s^. Die Punkte 6r/, G^ der Sk auf der ersten Projektion der zurückgedrehten Hyperbel g^ die nicht verzeichnet zu werden braucht, erhält man, wenn man auf l die A'G^Q = G^ Gq aufträgt, und G^^ G,'«» Gjo G^' JL l und =» G^ G^ zeichnet (I, 371).
Zieht man aus H'' die Tangenten an die gestrichelte Cosinus- linie, so sind die den Berührungspunkten symmetrisch in Bezug auf a" gegenüberliegenden Punkte solche der Sq. So ist in dem Berührungspunkte J" auch der Punkt J^ gelegen, dessen zugeord- neter der gegenüberliegende J^ ist. Die Tangenten der Sq und Sm in den Punkten der Hyperbel des Wendepunktes der C!osinuslinie gehen wieder nach der Spitze des berührenden Hilfskegels, weil dieser Kegel wieder die ParaHelkreisebene des Punktes L in einer kleinsten oder
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176 IV, 169—170. Die ümdrehungsflächen.
Fig. 80. größten Kurve, diesmal einer Hyperbel, schneidet. — Die Asymptoten der Sq und 5*" sind die zxxÄ" symmetrischen Geraden x, x^j diejenigen der 5/ sind die Asymptoten i, i der Hyperbeln; denn wenn sich G" der X oder x^ nähert, nähert sich auch G^ der x oder x^^ G^ der a, Gq geht ins Unendliche, und es wird G^G^^^G^G^^ daher G^qG^^^ÄG^^.
Die ümdrehxmgsfläche F setzt sich über alle Gänge der Cosinus- linie fort, jenseits A wird sie imaginär; die konjugirte Fläche F^ setzt sich reell über alle Gänge der Cosinus- und ihrer in Bezug auf Ä symmetrischen Linie fort; ebenso die Kurven s und St auf beiderlei Flächen.
170. Die SchlagschaUengrenzen s^ und $2 auf P^ und P^ sind die Schatten der s. Man sucht durch Strahlen aus L die Schatten der einzelnen Punkte, so D^ von Dg. Die Tangente an s^ in D^ ist parallel zur Tangente an den Parallelkreis (7 in Dg, d. i. J. Ä'Dg. Denn sie ist der Schatten der Tangente von s in Dg'; die Licht- strahlenebene dieser Tangente enthält aber zwei Tangenten der Fläche in Dg, die der s und den Strahl XDg; sie ist daher eine Berüh- rungsebene der Fläche in Dg, enthält demnach auch die Tangente an d in Dg, und mit dieser ist ihre erste Spur, d. i. die Tangente an s^, parallel.
Bemerkenswert ist der Schatten N^ des Punktes N der s, in welchem s von dem Lichtstrahle LN berührt wird, weshalb N^ eine Spitee von s^ wird (I, 260). Die Tangente aus D an 5 wird durch Anlegen, der Berührungspunkt durch eine Fehlerkurve bestimmt. Die Tangente der s^ in der Spitze N^ ist entsprechend, wie vorhin, J_ A'N\ — Die unendlich fernen Funkte der Sj sind die Schatten von JE, und Ä"g, weil LK^ und LK^ || Pj. Die Asymptoten der s^ sind die Schatten der Tangenten an s in £7 und K^. Die erste Spur der Tangente in K^ ist K^y und die Asymptote geht durch K^ und ist \\L'K; oder XÄ'K;.
Von Sg ist ein Teil gezeichnet; s^ besitzt in unserem Falle ebenfalls zwei Asymptoten, die man durch die zu Pg parallelen Lichtstrahlen findet.
Der Schlagschatten $, von s auf die Fläche F selbst beginnt in den Berührungspunkten der die 5 berührenden Lichtstrahlen, so in N. Diese Punkte heißen die GrempunUe der EigenschaUengrenee s. Denkt man sich die Fläche als Grenze eines undurchsichtigen Korpers, wodurch eine äußere und eine innere Seite der Fläche unterschieden sind, so trennen die Grenzpunkte denjenigen Teil von s, nach wel- chem die Lichtstrahlen von außen kommen und nach außen gehen, welche also physische Eigenschattengrenze isty von demjenigen Teile, in welchem sie von innen kommen und nach innen gehen, wo also $
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IV, 170—171. Der einer Umdrehnngsfläche amschriebene Kegel u. Cy linder. 177
nur die Bedeatung einer geometrischen Berührungskurve hat. In den Grenzpünkten berührt und schneidet zugleich der Lichtstrahl die F. Den Schattenpunkt P, auf einem beliebigen Parallelkreise d erhält man (I, 502)^ indem man mittelst der Strahlen aus H'' den Schatten d| von d auf die F^ sucht, und den d^ mit s^^ so in P^^ schneidet; L'Pi bestimmt dann P3 auf d\ Die zweiten Endpunkte von Sg lie- gen in den Schnittpunkten , so in Q, des Berührungskreises der F mit Fl und der s^. In diesen Punkten berühren sich s^ und s^, weil sich in ihnen F^ und F berühren; in den Grenzpunkten ^berühren sich 5 und s^, weil der dem N benachbarte Punkt der s^ von N einen Abstand == 0\ und von der Tangente LN der s einen sol- chen = 0* besitzt
171. Die Krümmungshalbmesser der Schaüengremen in ihren Scheiteln. Der Scheitel i?/ van s' kommt bei der Drehung von l in h nach B {R\ R")] dann steht die Schmiegungsebene von 5 in i? XFj und projicirt sich auf F^ in die Tangente R'^Rq von s^, welche man mittelst einer Fehlerkurve (I, 201), oder hier bei der schwachen Krümmung genügend genau durch Anlegen eines Lineals findet, und welche die a" in Bq treffe. -Ersetzt man die Umdrehungsfläche F durch den entlang des Parallelkreises von R berührenden Kegel, so hat die Schnittellipse jener Schmiegungsebene mit dem Kegel in R den Krümmungshalbmesser RqR^j wenn dies der Halbmesser des Parallelkreises des Kegels vom Mittelpunkte Bq ist (57). R^Ri = Rq i?2 hildet daher den Krümmungshalbmesser der s' in Ji/. — Ebenso wurde der Krümmungshalbmesser der 5' im Scheitel E^' bestimmt.
Die konjiigirte Kurve St hat in jedem Scheitel JR/, E^ hezw. den gleichen und entgegengesetzt gerichteten Krümmungshalbmesser wie die ursprüngliche Kurve s\ Denn zwei koujugirte Kegelschnitte haben in jedem ihrer Berührungspunkte gleiche und entgegengesetzt ge- richtete Krümmungshalbmesser. Läßt man nämlich in I, Fig. 234 die -4| R, also auch die A^ Q unendlich klein werden, so wird BB^C^C ein Parallelogramm mit dem Mittelpunkte J.^; darin wird BB^ = CCi = 0^ Ä^R = — Ji Q = 0», deshalb weichen die Fußpunkte der von Ä^ auf die Seiten BB^, CC^ gefällten Senkrechten von deren Mitten um 0* ab, dieses verschwindet gegen PPj und CCi, es sind daher die Dreiecke BB^Ay nnd CC^Ax kongruent, und die durch sie gelegten Kreise, d. i. die Krümmungskreise der konjugirten Kegelschnitte in ihrem Berührungspunkte, gleich. — Nun wird aber der ümdrehungskegel, welcher unsere Fläche F in dem Parallel- kreise von R berührt und sein in Bezug auf die Meridianebene von jR konjugirter hyperbolischer Kegel von der Schmiegungsebene der 8
Wiener, Lehrbuch der danteilenden Geometrie. IT. 12
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178 IV, 171—172. Die ümdrehungsflächen.
in R in konjugirten Kegelschnitten getroffen (96), und diese bei- derlei Kegel haben mit P und P^ bei R zwei erzeugende Kreise, bezw. Hyperbeln, gemein, also haben jene konjugirten Kegelschnitte mit s bezw. St je vier Punkte bei R gemein, also besitzen alle vier Kurven gleiche vierpunktig berührende Krümmungskeise in R. Da nun auch die Projektionen jener kongruenten Dreiecke BB^A^y CCiÄi auf dieselbe Ebene kongruent sind, so haben auch gleich- namige Projektionen der konjugirten Kurven in R gleiche Krüm- mungskreise, und zwar s\ St vierpunktig, s", Sk' dreipunktig be- rührende.
Der SdhlagschoMen 54 der EigenschaUengrenise s auf die Ebene des Parallelkreises r ihres Scheitels R hat diesen Parallelkreis zum Krümmungskreise in R. Denn trägt man auf der gemeinschaftlichen Tangente der drei Kurven 5, s^^ r in R das unendlich kleine RT = 0^ auf, und schneidet die durch T senkrecht zur Tangente ge- legte Ebene mit s, 54, r bezw. in F, F4, W, so ist F4 der Schatten von F, FF4 ein Lichtstrahl, welcher die Schnittkurve FTF jener Ebene mit P in F berührt. Daher sind TF, rF4, TTF, sowie FTF gleich 0*, dagegen ist TFF4 = 0* als Abweichung der Schnittkurve von ihrer Tangente in einem Abstände FTF=0^ vom Berührungs- punkte F, also ist r der Krümmungskreis von «4 (I, 237). — Der Krümmungshalbmesser US' von s^ auf Pj in S" ist daher der Schatten des Halbmessers jenes Parallelkreises in R, d. i. US' = UqS.
172. Aufg. Für eine Umdrehimgsfläche bei ParaUelheleuchtung die Eigen- und Schlagschattengrenzen s und s^, Sg zu bestimmen. Fig. 81. Äufl, Sei die Fläche ein Ring, dessen Axe a J_ P^ steht, und
gebe die durch den Mittelpunkt M der Fläche gezogene Gerade l die Richtung der Lichtstrahlen an. Man wendet wieder die drei Verfahren an.
a) Das Kegel-Verfahren. Zwei von der Äquatorebene gleich weit entfernte, durch die Punkte B^ und Cj des Hauptmeridians geführte Ebenen schneiden die Fläche in vier Parallelkreisen, deren zweite Projektionen zwei Gerade und deren erste Projektionen zwei Kreise sind. Die vier der Fläche entlang dieser Keise umschrie- benen Kegel sind in ihrer unbegrenzten Gestalt alle kongruent, so daß sie sich decken, wenn man durch Parallel Verschiebung (in der Richtung von a) ihre Spitzen, etwa in JfcT, zusammenbringt; zwei der Parallelkreise liegen auf den unteren, zwei auf den oberen Kegel- ästen. Man zeichnet diesen Kegel durch die Parallele iM"D" zu den Tangenten des Hauptmeridiaus in B^' und C/', und seine erste Spur als Kreis aus M' durch D'. um an diesen Kegel Berührungs- ebenen II l zu legen, zieht man aus der ersten Spur L' des durch
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IV, 172. Der einer ümdrehungaflache umschriebene Kegel u. Cylinder. 179
seine Spitze M gehenden Lichtstrahles l die Tangenten an die erste Spur des Kegels^ oder bestimmt vielmehr nur ihre Beröhrungs-
Fig. 81.
punkte durch den über M' V als Durchmesser gelegten Kreis. Die aus M' nach den Schnittpunkten beider Kreise gezogenen Geraden sind die ersten Projektionen der BerQhrungserzeugenden des Kegels^
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180 IV, 172. Die ümdrehungsflächen.
Fig. 81. und bleiben es auch, wenn man die Kegel wieder in ihre ursprüng- liche Lage zurückschiebt. Diese Berührungserzeugenden schneiden die Parallelkreise, welche auf unteren Eegelästen liegen, in den ge- suchten Punkten, wie B\ und ihre Verlängerungen über Jf hinaus schneiden die auf oberen Kegelästen liegenden« Parallelkreise in Punkten, wie C\ So ergeben sich aus dem Kegel MD acht Punkte der Eigenschattengrenze s. Die Punkte des Äquators und KeM- hreises, d. i. der ersten Umrisse, liegen auf dem zu V senkrechten Durchmesser; so der Punkt E,
b) Das Gylinder 'Verfahren liefert, wie in Nr. 167, dieselben Linien, wie das der Kegel, nur in umgekehrter Reihenfolge. Es ist von Wert für den Symmetriemeridian V, in welchem es durch Umdrehen in den Hauptmeridian, wobei L nach L^ und Z" nach V" gelangt, die zwei höchsten und die zwei tiefsten Punkte der Kurve liefert, so den höchsten inneren H, vermittelst der Endpunkte, wie H^'f der auf V" senkrechten Durchmesser der Meridiankreise. Ebenso ist es von Wert für den Sai4^tmeridian, den zweiten Umriß, und ergibt in ihm vier Punkte durch die auf Z" senkrechten Durchmesser der Meridiankreise.
c) Nach dem Kugel-Verfahren legt man in B^" die Meridian- normale, welche die a" in ^', dem Mittelpunkte der die Fläche nach dem Parallelkreise von Bg" berührenden Kugel, trifft. Der || T" dieser Kugel umschriebene Cylinder berührt sie nach einem größten Kreise, welcher durch die auf T" senkrechte Gerade K''L^' dargestellt ist; dieselbe schneidet den Parallelkreis von B^' in Lg", nud dieser Punkt bestimmt nach dem Zurückdrehen in L^ zwei Punkte des Parallel- kreises, so den B', wenn man den Abstand des J5' von ME' gleich dem Abstände des Lg" von a" macht.
Der Schlagschatten s^ auf P^ wird durch die ersten Spuren der durch die Punkte der Eigenschattengrenze gelegten Lichtstrahlen gefunden, so B^ als Schatten von B. Die Tangente von s^ in jB, ist parallel zur Parallelkreistangente in B' oder Jl MB' (170). Weil M der Mittelpunkt der Fläche, so ist sein Schatten L' Mittel- punkt der «ij außerdem ist ML\ weil in der Symmetrieebene ge- legen, eine Axe dieser Grenze; dann muß auch die J_ V gezogene L'Ei eine Axe sein. Die Gestalt der s^ wird nachher erörtert werden.
Den Schlagschatten S2 auf Fg findet man am genauesten aus s^ als dessen Schatten auf Fg mit rückwärts gezogenen Lichtstrahlen. So ergibt sich aus G^ der s^ der Punkt G^ der % durch die Linien- züge G^G^Gz, Q^G'G^. Ist die Tangente an s^ in G^ || x, so gilt dies auch für s^ in Gg? ^^^ bilden, wie in der Figur, V und V Winkel von 45^ mit o;, so fallen jene Tangenten in G^ und G^
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IV, 172—174. Der einer ümdrehungeflö che umschriebene Kegel u. Cylinder. 181
zusammen, und es ist G^^G^ ^^ G^G^ ^^ G'G^. Si, «2 s^^d affin mit X als Axe, und in unserem Falle mit Affinitätsstrahlen parallel x, Sif $2 schneiden sich auf x in R, und maii findet aus der Tangente RBi an 5, die Tangente RB^ der s^y indem man R^R^ ^==> Gy^G^ macht, wenn jene Tangenten die G^G^ in R^ und R^ treflFen.
In gleicher Weise ist noch aus einem beliebigen Punkt Fj der 5i mit seiner Tangente Vq W^ der Punkt V^ der s^ mit der Tangente Fo TFj abgeleitet ( »F, TF, = G^ G^).
173. Eine einfache Konstruktion der Schatten s und s^ eines Riuges bei Parallelbeleuchtung gibt Dunesme*) für den allgemeine- ren Fall, daß jede der beiden symmetrischen Meridianhälften ein • Kegelschnitt ist, dessen eine Axe parallel zur Umdrehungsaxe a steht, ein Fall, der bei unserem Ringe, dem Kreisringe, stattfindet. Verschiebt man in jeder Meridianebene eine solche Hälfte in der zu a senkrechten Richtung, bis die zu a parallele Axe in a fällt, also alle um dieselbe Yerschiebungslänge m, so sind alle verschobe- nen Linien Meridiane einer ümdrehungsfläche zweiten Grades, beim Kreisringe von einer Kugel. Der dieser Fläche parallel zum Licht- strahl umschriebene Cylinder berührt nach einem Kegelschnitte, welcher leicht zu verzeichnen ist. Schiebt man nun die Meridiane wieder in ihre ursprüngliche Lage zurück, so gelangen die Punkte der Berührungskurve der Fläche zweiten Grades nach Punkten der Berührungskurve des Ringes, weil die Berührungsebenen beider Flächen in solchen entsprechenden Punkten offenbar parallel sind. Zwei entsprechende Punkte besitzen den Abstand m.
Die dem Kreisringe zugehörige Kugel ist in der Figur in der ersten Projektion gezeichnet, in welcher die Berührungskurve, ein größter Kreis, als Ellipse erscheint, deren große Halbaxe M''iJ^ senkrecht auf V steht, während die kleine Halbaxe M'H^ gleich dem Abstände des H^' von dem zu a parallelen Meridiankreisdurch- messer (aus 0) ist Auf dem Meridiane M' B' befinden sich zwei Punkte der Ellipse, welche nach dem einen und nach dem andern Sinne im Meridiane um m verschoben, die vier Punkte des Meridians angeben. So entsteht z. B. jB' aus dem B^ der Ellipse vermittelst B^B' = m,
174. Da die gewöhnliche Komhoide entsteht, wenn man auf Strahlen, die aus einem Punkte, dem PcUej gezogen werden, von ihren Schnittpunkten mit einer Geraden aus eine unveränderliche Länge m nach beiden Seiten aufträgt, so ist unsere im Grundrisse konstruirte Kurve eine verallgemeinerte Konchoide, indem die Gerade
*) Comptes rendus. B. 38 (1864), S. 963 und B. 45 (1867), S. 527.
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IV, 174. Die ümdrehungeflächen.
Fig. 82.
durch eine Ellipse ersetzt ist; den Pol bildet der Mittelpunkt M' der Ellipse. Denkt man aus dem Pole als Mittelpunkt einen Kreis mit dem Halbmesser m gezeichnet, so entsteht die Eonchoide durch Addition der Leitstrahlen zweier Grundkurven (Kreis und Gerade bezw. Kreis und Ellipse) aus einem gemeinschaftlichen Pole. Die noch weiter verallgemeinerte Konchoide kann auf dieselbe Weise aus beliebig vielen , beliebig ge- stalteten Grundkurven gebildet werden. Für eine solche läßt sich aber die Tangente aus den Tangenten der Grundkurven leicht bestimmen. Fig. 82. / ^v \ Seien Jc^j Jc^, h^ ,.. die Grundkurven, k die Kon-
choide, JlfderPol, -MP ein Strahl, auf welchem durch die Kurven die Leitstrahlen
MPi=>r,, MP^ = r^,... MP=r abgegrenzt werden, so ist die Konchoide durch die Gleichung bestimmt
r = r^+r, + r^-] ;
wobei die Summe algebraisch genommen und in der Figur r^ nega- tiv ' ist.
Bilde nun ein benachbarter Leitstrahl MQ mit MP den Winkel 9, und seien RQ = dr^ RiQi = rf^i ... die Zunahmen von r, f\ . ., wobei MB = MP, MR^ = MP^ . . . , so ist auch
MQ = MQ, + MQ,+ ^^^, daher auch dr = dr^ + ^^2 + • • • .
Sei ferner PN die Normale der k in N, und schneide dieselbe auf der zum Leitstrahle MP gezogenen Senkrechten die MN = s ab, welche die Suimormdle heißt, so folgt aus ähnlichen Dreiecken
MN:MP=RQ:RP, oder s : r = dr irtp y dr = Sfp,
Entsprechend ist, wenn MN^^ = s^ die Subnormale von ftj u. s. w.,
dr^ = Sy(p y dr^ = s.^q> . . . , daher
59) = Sji9? + 529? + • • • ; o^®r ^' = «1 + Sg + • • • ,
d. h. die Subnormale der Konchoide ist gleich der algebraischen Summe der Subnormalen ihrer Grundkurven, Fig. 81. lu unserem Falle sind die Grundkurven ein Kreis und eine
Ellipse, die Subnormale des Kreises ist Null, die der Ellipse fElr den Punkt jBg ist M'N (wenn JJgJV'ihre Normale), demnach die der Konchoide ebenfalls M'N, ihre Normale daher NB\ wodurch ihre Tangente bestimmt ist.
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IV, 176. Der einer Umdrehongsfläche umschriebene Kegel u. Cylinder. 183
175« Der SMagschatten s^ des Einges wird ebenfalls aus dem der zugehörigen Fläche zweiten Grades, hier der Kugel, hergeleitet. Ihr Schatten ist eine Ellipse mit dem Mittelpunkte L', deren große Halbaxe sich = Oi2J ergibt (iSg^'ü || T"), und deren kleine Halbaxe L'E^ gleich dem Eugelhalbmesser ist. Die Schatten der entsprechenden Punkte B und B^ seien B^ und B^\ dann ist B^Bi # B^B' '^ m. Ferner sind die Tangenten der Schatten- grenzen in B^ und B^ parallel zu den Parallelkreistangenten in ^3 und B, d. i. J_ M'B^B' (170) oder ±B^B^. Der Abstand B^B^ zweier entsprechenden Punkte beider Kurven ist also eine gemeinschaftliche Normale beider Kurven und von der unveränder- lichen Länge m.
Die Kurven sind daher solche, welche äquidistante oder parallele genannt werden; sie besitzen wegen der gemeinschaftlichen Nor- malen eine gemeinschaftliche Evolute. Ein Quadrant der Ellipse und der zugehörige der Evolute sind verzeichnet; die Spitze E2 der Evo- lute ist Krümmungsmittelpunkt der Ellipse und der Schlagschatten- grenze Si in ihren Scheiteln E^^, bezw. E^ und E^. s^ zerfällt in einen ellipsenartigen äußeren Teil und in einen inneren, der in unserem Beispiele vier Spitzen und zwei Doppelpunkte besitzt. Die Spitzen sind die Punkte, in denen die Kurve auf ihre Evolute auf- trifft, und diejenige Q^ z. B. erhält man, wenn man JE^2-^5 ^^f dem Bogen der Evolute von JEg bis Q^ aufträgt Der aus Q^ rückwärts gezogene Lichtstrahl bestimmt auf der Eigenschattengrenze s den Greuzpunkt Q, in welchem s von dem Lichtstrahle berührt wird (170). Um den Berührungspunkt Q' genauer zu bestimmen, beachtet man, daß die Tangente der s^ in Q^ parallel ist mit der Parallel- kreistangente in Q\ daß also der Halbmesser M'Q' parallel mit der Tangente der Evolute Q^ Q^ gezogen werden muß, wodurch Q' bestimmt wird. Die Tangente der Evolute in Q^, deren Fußpunkt auf der Ellipse Q^ sei, wurde durch ^ine Fehlerkurve ermittelt, in- dem für zwei dem mutmaßlichen Punkte Q^ nahe liegende Punkte der Ellipse die Normalen und die Krümmungsmittelpunkte (nahe bei Qi) konstruirt wurden.
Die vier mit Q gieichartigen Punkte (so auch F) sind die Grenz- punkte der Eigenschattengrenze (170); sie trennen die physischen Schattengrenzeu, wie QH, von den nur geometrischen Berührungs- kurven, wie QPF, In den Grenzpunkten beginnt der Schlagsctiatten s^ auf dem Ringe; es berühren sich hier s und s^. Der andere End- punkt ist J auf dem unteren Teile der s und rührt von dem Doppel- punkt Ji der Si her. Der Lichtstrahl JJi berührt die F in zwei getrennten Punkten der s, ist daher die Schnittlinie der Berührungs-
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IV, 175—176. Die Umdiehongsflächen.
Fig. 81. ebenen der F in diesen beiden Punkten , und daher die Tangente des Schlagschattens auf F in J. Endlich erhält man einen Punkt P der s^ auf einem beliebigen Parallelkreise , z. B. dem Eehlkreise, wenn man dessen Schlagschatten (den Kreis aus L^ durch E^) mit dem Teile QiJ^ der s^ in Pj zum Schnitt bringt und aus P^ durch den rückwärts geführten Lichtstrahl P bestimmt, genauer durch Jf' P' II L'Pj. In P' berührt die erste Projektion des Kehlkreises die des gesuchten Schlagschattens. Diese drei Punkte von $^ ge- nügen meist. Aus &,' wird s^" erhalten.
Wir werden alsbald auch die Verzeichnung der Schattengrenzen mittelst der Krümmungskreise in den Scheiteln bringen.
176. Äufg. Die Eigen- und SchlagschaUengrenze eines Binges bei Centralbeleucktung sfu bestimmen,
Aufl. Stellen wir (in Fig. 84) P^ senkrecht auf die Axe a der Fläche F, und drehen den leuchtenden Punkt L mit seiner Meridianebene L und der Meridianlinie l derselben in die Haupt- meridianebeue H bezw. die Hauptmeridianlinie h und den Punkt H.
Fig. 83. Wir bestimmen dann wieder zuerst in Fig. 83 die Eigenschatten-
grenze Sq aus H und zwar ihre zweite Projektion ohne Benutzung der ersten, und darin zunächst einen Punkt P des Parallelkreises eines beliebigen Punktes B des Meridiankreises hj dessen Mittelpunkt 0 ist. Ziehen wir in B die Normale OBN und die Tangente BT der A, schneiden beide mit a in -^T und T, so sind N und T bezw. die Mittelpunkte der Kugel und des Kegels , welche die Fläche entlang jenes Parallelkreises berühren; zieht man dann aus N eine Senk- rechte zu HT, so schneidet diese den Parallelkreis in dem gesuch-
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IV, 176—177. Der einer Umdrehoogsfläche omschriebeDe Kegel u. Cylinder. 185
ten Punkte P. Denn HT ist die Spur in H yon den beiden aus H an den Kegel gelegten Berührungsebenen, welche auch die Kugel je in einem Punkte des Parallelkreises von R berühren, und auf HT steht die Projektion NP der nach den Berührungspunkten gehenden Kugelhalbmesser senkrecht — Wenn T sehr weit entfernt liegt^ ist folgendes Verfahren*) vorteilhaft. Man föllt HA J_ a, schneidet BT mit HA in C und HB mit a in 2), so geht CD durch P. Denn setzt man ^ Jlf 05 == 9, ^ATH=X, so gilt, wenn E der Fußpunkt der yon B auf a gefällten Senkrechten ist, nach der ersten Konstruktion:
EP: EB = cot l : cotqp,
und nach der zweiten Konstruktion:
EP:EB^ ACiAH = TA ig q> : TA ig k =^ cotl : cot 9,
wonach beide Konstruktionen denselben Punkt P liefern.
Auf diese Weise wurde in Fig. 84 Sq konstruirt. Dabei ergeben i^- ^^ sich als ausgezeichnete Punkte die des Haupimeridians h, in welchen dessen Tangenten nach H'' laufen; die Punkte auf a", welche auf den Parallelkreisen liegen, deren berührende Kegel ihre Spitze in dem Fußpunkte A der von H" auf a" gefällten Senktrechten haben, und die Punkte des Äquator- und Kehlkreises, welche nach dem zweiten Verfahren bestimmt werden, oder noch zweckmäßiger zuerst im Grundriß als Berührungspunkte der aus L' an diese Kreise ge- zogenen Tangenten, oder auch im Aufriß als die durch die Endpunkte der Projektion je eines Kreises von H^'H harmonisch getrennten Punkte. Die Kurve Sq kann wieder (168, 169) über den Umriß fort- gesetzt werden, und zwar ohne Änderung des Verfahrens; Sq hat die auf a' senkrechten Meridiantangenten zu Asymptoten. Aus $q bestimmt man zuerst s\ indem man die Durchmesserlinie m der Parallelkreise JL l zieht und aus einem Punkte P^ der Sq den Punkt P' der s' auf dem zugehörigen Parallelkreise bestimmt, vermittelst Abstand P' von m = Abstand Pq von a\ Aus s' bestimmt man s". Man konnte, wie bei der ümdrehungsfläche der Cosinuslinie (169), die zur Fortsetzung des Sq über den Umriß gehörigen 5' und s" verzeichnen.
177, Die Tangente an Sq soll später mitteltst der Theorie der Krümmung der Flächen, hier aber durch das Verfahren der ähn- lichen Figur bestimmt werden. Man findet den zu P benachbarten irig. ss. Punkt Q der Sq, indem man den zu P gehörigen Punkt B des
♦) De la Goarnerie, gäom. descr., ß. 8, S. 14.
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IV, 177. Die ümdrehuogsfl&chen.
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Fig. 84. .e^: ^*«_
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IV, 177. Der einer ümdrehuDgsfläche umschriebene Kegel u. Cylinder. 187
Meridians h durch dessen benachbarten S ersetzt; dadurch statt N Fig. ss. und T die Punkte N^ und T^ erhält, worauf dann der Parallel- kreis von S durch die auf HT^ senkrechte N^Q in Q getroffen wird. So entsteht durch die Konstruktionslinien das Viereck (in der Grenze ein Parallelogramm) PWQV (siehe Figur); die zu NiQ Parallele NU schneide die PW in U. Es sollen folgende Be- ziehungen gelten:
MO = m, OR=^r, ÄH = l,
MX=^EB = x, PV=^v, PW=w, ^NON.^dq).
Nun ist offenbar
PV=^RS^ oder v=rdip^,
Bin X ^ Bin X '
W = PU+ UW, und wegen Ähnlichkeit der Dreiecke NPU und HTT^
VIT TT ^^ 7^T "^^ TT -^^
worin das negative Zeichen gesetzt wurde, weil Pü und ÄH ent- gegengesetzten, TT^ und EN dagegen gleichen Sinn besitzen. Da ferner
* Bin (f ü\n^ tp Bin'' qp ^ '
und EN = ER igtp = a; tg 9) ,
so ist PU=^- , .i^'^^ -;
l Bin 9 cos qp ' ,
und da femer
UW=^ NN, cot X = ^^^ cot A = ^^ cot A,
* C08 9 COS* qp '
so ist w = ^— Im cot l — , cot op V
cos^ (jp y l ^ j
Durch das Verhältnis von v und w ist die Tangente bestimmt, und es dürfte für die Konstruktion am zweckmäßigsten sein, beide Werte mit igq)id(p zu multipliciren, wodurch man v^ und w^ erhält; es ist dann
sin qp
* Bin ;i ' ^
^ _ i /^ tgjp _ x\
cos* tp \^ igl l J
Es ist aber v^ = GP (s. Fig.), weil GP sin A = OB sin 9. Ferner ist
tgx ' i
Denn bestimmt man, in Bezug auf letzteres, H^ durch HJS^ \\ a,
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IV, 177—178. Die Umdrehmigsflachen.
Tis.83. Ej^j Xa, schneidet dann H^X mit a in F, und BF mit MO in J, 80 ist
JM:MX = ER:H,E oder JJlf : a; = a;: (— Q.
Daher ist
JG
MÖ + JJtf = ^||_?!;
und zieht man JK y a, GK ß Oi?, schneidet diese Linien in K, zieht -BTß J_ GK (oder J_ Oli) bis B auf OJlf, so ist
BG = KG : cos 9? = JG : cos* qp
M^i
PB ist dann die gesuchte Tangente^ weil v :w '^^ v^i w^, also PF: VQ = GB:BG.
Daraus folgt mr Bestimmung der Tangente in P folgende Regel: Man ziehe durch den Lichtpunkt H eine Parallele HH^ zur Axe a, durch P eine Senkrechte zu a^ welche die HM^ in H^ und den Meridiankreis in dem Punkte 22 des Parallelkreises von P tri£Ft^ ver- binde H^ mit dem Pußpunkte X der von JB auf die Verbindungs- linie des Mittelpunktes M der Fläche mit dem Mittelpunkte 0 des Meridiankreises gefällten Senkrechten, schneide H^X. mit a in i^, ziehe BF bis J auf MO^ sodann JK || a, GK \ ORy schneide beide in K, ziehe KB J_ OB bis B auf MO, so ist P£ die Tangente. Es sind sechs neue Hilfslinien notwendig.
178. Fällt P auf dm Umriß h, in B, so muß BT durch H gehen; dann gelangt 6r in 0 und GK in die Linie OK Fällt da- gegen P in a, so gelangt T in -4 (176) und G in M, Fallen aber
JR und P auf den größ- ten oder kleinai)en Parallel - kreis MO, so versagt sowohl das erste Verfahren zur Be- stimmung von P, wie das darauf gestützte Tangenten- verfahren. Man erhält dann nach dem zweiten Verfahren Py indem man HB mit a in D schneidet^ und die ÜC H a bis C auf HA zieht; die CD bestimmt dann P auf MO. Der dem JB benach- barte Punkt S liefert C^, D^ und Q. Fällt man QZ±MO, so geht ZCj durch 2), weil QZ^=SB und die Projektionen dieser Strecken aus Ci und H auf a offenbar einander gleich sind und sich in D^D
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Fig. 86. |
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C, C >r- T - - |
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Jrtg. «6. <- ^ |
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-VE
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IV, 178—181. Der einer ümdrehungsfläche omschriebene Kegel u. Cy linder. 189
decken. Schneidet man die Tangente PQ mit der BC ia Ey so ist aus ähnlichen Dreiecken
Hieraus aber folgt, daß die Dreiecke OBE und BCH ähnlich sind und daß OE±HB steht, weil schon OB±BG und BE±CH. — Man erhält also die Tangente PE in dem Punkte P des in B le- grenzten größten oder kleinsten Parallelkreises, wenn man OE 1. HB zieht und in E mit der Meridiantangente in B schneidet.
179. Bei Parallelbeleuchtung gestaltet sich die Konstruktion der Tangente wesentlich einfacher. Indem H ins Unendliche rückt, ge- ng. 83. langt H^ auf BE ebenfalls ins Unendliche, gelangen F und J nach
My JK in a, so daß nur noch zwei Hilfslinien, GK {K auf a) und KB, notwendig sind. — Andererseits ist in Fig. 85 OJ^JL Z, wenn Fig. ss. l der Lichtstrahl im Lichtmeridiane.
180. Aus der Tangente an Sq. in ihrem Punkte Pq, welche die Fig. 84. M*'0 in B treffe, findet man diejenige an s' in P' und an 5" in
P", indem man beachtet, daß die Tangente an s zugleich in der Berührungsebene der Fläche in P enthalten ist. Man legt daher in dem Schnittpunkte des Parallelkreises von P^ mit dem Hauptmeri- diane an diesen die Tangente, schneidet sie mit der Mittelebene CJPi durch M) in T^, trägt den Abstand M''Tq auf M'P' als M'T auf, zieht TB' ±M'P'y so ist T'B' der Schnitt der Berührungs- ebene der Fläche in P mit der Mittelebene. Bestimmt man nun auf TB' den Punkt B' so, daß sein Abstand von m = M"B ist, so ist TB' die gesuchte Tangente an s', B" P" diejenige an s\
181. Die Grengpunkte der Eigenschattengrenze y in welchen die Tangenten derselben nach der Lichtquelle, bei Sq nach H, gehen, und welche, wie früher bei der Parallelbeleuchtung, auf dem inneren Kurvenaste liegen, findet man durch eine Fehlerkurve. Geht eine Projektion der Tangente an s durch die gleichnamige Projektion des Lichtpunktes £, so geht im allgemeinen auch die räumliche Tangente der s durch L. Denn die Tangente ist der Schnitt der durch ihre Projektion gehenden projicirenden Ebene mit der Berührungsebene der Fläche im fraglichen Punkte^ und beide Ebenen gehen durch L. Ausgenommen ist der Fall, in welchem diese Ebenen keine Schnittlinie liefern, weil sie ganz in einander fallen, wo also der Punkt auf dem Umrisse liegt. Dies gilt von den Punkten der s' auf dem Kehlkreise und dem Äquator, und von den Punkten der $'' auf dem Hauptmeridiane. Bei Sq kommen in unserem Falle solche Punkte nicht vor. Eine Fehlerkurve zur Be-
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190 IV, 181—184. Die ümdrehungaflachen.
Fig. 84- Stimmung der Berührungspunkte der aus J?" an Sq gezogenen Tan- genten kann man dadurch bilden^ daß man die Tangente in einem Punkte Qq der Sq mit AH'' in Q schneidet und QH" als Maß des Fehlers annimmt. Schneidet man die Parallelkreisebene von Qq mit dem Hauptmeridiane in einem behufs Trennung der Linien außen gewählten Punkte Q^^ und trägt auf dem Halbmesser OQi den Fehler QH" als Q1Q2 auf, so bilden die Punkte Q^ für alle Punkte der Sq eine Fehlerkurve, welche im allgemeinen zweimal durch 0 geht, nämlich da, wo der Fehler gleich Q^ 0 ist, und welche den Haupt- meridian in zwei Punkten schneidet. Auf den Parallelkreisebenen dieser Schnittpunkte liegen die gesuchten Grenzpuukte Eq, Fq] sie werden auf die gewöhnliche Weise gefunden und auf 5' und s" übertragen.
182. Die SchlagschaUengren^en s^ auf P^ und diejenige s^ auf der Fläche selbst werden am genauesten aus Sq und s' konstruirt. So erhält man den Schatten Dj von D durch M'Di = M^D^, den Schatten M^ von M durch M' M^ = MqMq. s^ hat in den Schatten der vier Grenzpunkte Spitzen, wie E^, F^'^ in ihnen stehen die Tan- genten senkrecht auf den nach den schatten werfenden Punkten gehenden Parallelkreishalbmessern (170), so E^E^^.M'E'. Von dem Schlagschatten s^ auf der Fläche ist wieder E ein Anfangs-, und ein aus einem Selbstschnitte fl^ der s^ bestimmter Punkt H ein Endpunkt; in E und H laufen die Tangenten der 53 nach L. Der Punkt J der 53 auf dem Kehlkreise wird aus dem Schnittpunkte Jj des Schattens des Kehlkreises (ein Kreis aus Mi durch G^) mit s^ bestimmt (L'J^J'J^). Die Tangente der 53" in J" wird durch ihre erste Spur K\ K' gefunden, wobei K' der Schnitt der ersten Spur J'K' der Berührungsebene der Fläche in J und der Tangente J^^ (J_ M! J^ der s^ in J^ ist.
183. Die Krümmungshalbmesser der Schattengremen in ihren Scheiteln. Für die Scheitel C, D' von s werden die Krümmungs- mittelpunkte wieder (171) mittelst der nach den Parallel kreisen von C bezw. D berührenden Kegel gefunden. Schneidet die Tangente der Sq in Cq die a" in C3, und treflfen sich die Senkrechte C^C^ zu a" und die Meridiantangente WC^C^^ in C^, so ist C^C^ = CC^ der gesuchte Krümmungshalbmesser.
Die Krümmungshalbmesser der s^ in Cj und Dj, so D^D^^ sind bezw. die Schatten von Halbmessern der Parallelkreise von C und D (171); daher D^D^^D^D,.
184. Verzeichnung der Schattengrenzen des Ringes hei ParaUel- beleuchtung mit Benutmng der Krümmungskreise in den Scheüdn.
Fig. 86 Der Schlagschatten s^ ergab sich (175) als parallele Kurve zu
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IV, 184. Der einer Umdrehnngsfiäche umschriebene Kegel u. Cylinder. 191
einer Ellipse, so daß beide Kurven dieselbe Evolute besitzen; von H^y Bi waren dabei jffg, Ik ^i® Krüramungsmittelpunkte. Die so
Fig. 86.
gewonnenen ErQmniungshalbmesser sind aber auch die Schatten von Halbmessern der Parallelkreise von H und B^ also bei Parallel-
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192 IV, 184. Die Umdrehnngsflächen.
Flg. 86, beleuchtmig denselben gleich^ so daß sein muß HiB^^^ H'M'y R,B^^ E'M.
Zu weiteren Bestimmungen von Krümmungshalbmessern ermit- telt man zuerst die Tangenten der s^ in den Punkten H^j Rq des Meridians, oder in deren gegenüberliegenden Punkten Gq, S^, sowie ihre Tangenten in M". Zu dem Ende schneidet man den zu V senk- rechten Meridiandurchmesser (aus 0^) mit a und den beiden zu a parallelen Tangenten des einen Meridiankreises bezw. in A^ G^^ S^^ zieht AJ± 0,A bis J auf Jf"0, so sind G^J, S^J, M" G,, M" S^ die gesuchten Tangenten (179).
Nun erhält man den Krümmungshalbmesser der s in R' = R'R^ = S^S^, wenn man die Tangente SqJ der s^ mit a" in 84^ schneidet und S4S5 J_ a" bis S^ auf der ümrißtangente S^S^ zieht (171). Ent- sprechend findet man H^ zu H' durch -ET-BTj == G^G^.
Der Krümmungshalbmesser E'E^ der s' in ihrem Scheitel E' wird aus demjenigen E^E^ der s^ in E^ bestimmt. Weil s^ und sein Krümmungskreis in E^ drei Punkte (weil E^ ein Scheitel, auch noch einen vierten) gemein haben, so haben die Cylinder, welche beide Kurven durch Lichtstrahlen projiciren, bei E^ drei Erzeugende ge- mein, und die Schmiegungsebene der 5 in -B schneidet beide Cylin- der in Kurven, welche unter einander und mit s drei Punkte bei E gemein haben, und für deren Projektionen auf irgend eine Ebene dasselbe gilt Daher hat s' bei E' denselben Krümmungskreis, wie die Projektion des elliptischen Schnittes jener Schmiegungsebene mit dem schiefen Kreiscylinder. Der Grundkreis dieses Cylinders und die Ellipse des schiefen Schnittes und deren Projektion haben in der Richtung E^E^ die gleichen Halbaxen E^E^^ in der darauf senkrech- ten Richtung dagegen bezw. die Halbaxen E^E^y ^a^> ^a^i} wenn man auf der Projektionsaxe x von deren Schnittpunkte L^ mit V" die 2/3^4 = E^Ei aufträgt, E^B parallel M"Si (der Schmiegungsebene der s in E) bis B auf Z'" zieht, und dann BB^ _L x fallt Der Krümmungshalbmesser der letzten Ellipse, also auch der s' in E'
ist dann = E^B^^ : E^L^ = E^B^ ^A = e^B^ = E'E^, wenn
man B^B^ H T" bis B2 auf E^B und B^B^ J^x bis B^ auf x zieht.
Entsprechend findet man von s' in C den Krümmungshalb- messer C'Cj = C^D^, wenn man denjenigen E^Ci von s^ in C^ auf X als L^C^ aufträgt, C^D g M"G, bis D auf V" zieht, DDi±x fällt, DiA B r bis D, auf C^D zieht und D^ A -L ^ ^a^*^-
Man kann die Krümmungshalbmesser von s' in E' und C audi unabhängig von s^ durch eine Umdrehungsfläche zweiten Grades fin- den, welche mit dem Ringe den Parallelkreis von E^ bezw. (7, und
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IV, 184—186. Der einer Umdrehangsfläche umschriebene Kegel u. Cylinder. 193
noch zwei und dann auch noch einen vierten benachbarten Parallel- kreis gemein hat. Für E ist diese Fläche ein Ellipsoid, dessen Meridianellipse die beiden Meridiankreise des Ringes zu Erümmungs- kreisen hat und dessen in a liegende Axe daher YFM'' • FO = FK ist. Dieses Ellipsoid wird von der Schmiegungsebene der s in E in einer Ellipse geschnitten, deren erste Projektion wieder eine Ellipse ist, welche M'E' und M' N^ = dem Abstände N^y a" zu Halbaxen hat. Abstand ^2) ^" ^^^ bmcIl gleich dem Abstände des Schnittpunk- tes der Jf"Si (Schmiegungsebene in E) mit der Lichtmeridianellipse jenes EUipsoides von a\ und diesen Abstand findet man mittelst des aus M" durch 2^ gezogenen Kreises, welcher zu jener Ellipse affin ist in Bezug auf M"F als Axe und a' als Strahl der Affinität. Der Geraden M^'S^N entspricht dabei diejenige M" N^, wenn N auf M"S^ so bestimmt ist, daß sein Abstand von M"F^ NqN= FK, und wenn N^ auf NNq durch ^o-^i = M''F festgelegt wurde; M" N^ trifft dann den affinen Kreis in N^. In jener Ellipse von den Halbaxen M' E', M N^ (# E' N^ ist aber der Krümmungs- mittelpunkt E^ für E' durch N^E^± E' N^ bestimmt
Die nach dem Parallelkreise von C sich anschmiegende Fläche zweiten Grades ist ein einschaliges ümdrehungshyperboloid, von welchem die in a liegende ideelle Axe =5 ^Jf "P • PO «== PPi, daher eine Meridianasjmptote die Linie M^'T^P^ ^^^* ^^^ Schmiegungs- ebene der s in C, bestimmt durch M"G^y schneidet daher das Hyper- boloid in einer Hyperbel, deren reelle Halbaxe M'C\ deren ideelle = C'Q^ ist. Ihre Asymptote M'Q^ nämlich ist die Projektion einer Schnittlinie jener Schmiegungsebene mit dem Asymptotenkegel und ist durch M' Q' = A^Q (s. Fig.) und ö'ö/ = QQi bestimmt Der Krümmungsmittelpunkt G, der s' in C wird dann durch Q^C^ J_ M'Q^ ermittelt
Aus der Zeichnung ersieht man, daß die Krümmungshalbmesser der äußereh Kurve s' in allen vier Scheiteln Minima sind, daß also dazwischen noch Maxima liegen müssen, so daß die Evolute acht Spitzen besitzt Dieses Flacherwerden der s' zwischen den Scheiteln bedingt den Unterschied in ihrem Aussehen gegen die Ellipse.
Von s" findet man die Tangenten in ihren Punkten der Mittel- e&ane, so E'' T' in E'\ aus den Tangenten der s^ in 3/". Schneidet die Tangente des äußeren Astes von s^ in M*' die Ebene des höch- sten Parallelkreises in T^, und trägt man Abstand T^, a" = -4, T^ auf der Tangente von 8 in E' nach E' T\ so ergibt sich aus T d^r Punkt T" in jener höchsten Parallelkreisebene.
185« Es sind auch die zu s' und s" Jconjtigirten Kurven Sk und
Wiener, Lehrbaoh der dartieUenden Geometrie, n. 13
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194 IV, 185—187. Die Umdrehongsflächen.
Sk' nach Art derjenigen in Nr. 169 zugefügt. Aus dem Punkte Üq der Sq ist wieder ü' gewonnen durch M' U^ = Abst. t/^, a", und U^TJ' = Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse = Absi Uq, a\ und dessen andere Kathete gleich dem Halbmesser des Parallelkreises von TJ^ ist. Aus V ergibt sich TJ". Die Asymp- toten der si' sind die (geraden) Projektionen der äußersten Parallel- kreise, die der si die Geraden aus M\ welche 45^ mit V bilden. Die Sjfe' haben das ungefähre Ansehen zweier Hyperbeln mit je zwei kongruenten Ästen; der Übergang durch das Unendliche geschieht aber von einem Aste zu dem gegenüberliegenden nicht kongruenten, weil er in derselben zu a senkrechten Ebene vor sich geht. Bei s*" projiciren sich zwei Asymptoten als Punkte, so A^^ wodurch jener Übergang im Unendlichen in das Endliche projicirt ist.
186* Übungsaufgaben. Aus einem gegebenen Punkte L einen Kegel; oder parallel zu einer gegebenen Geraden l einen Gylinder zu umschreiben, oder bei Central- (L) oder Parallelbeleuchtung (l) die Eigen- und Schlagschattengrenzen zu bestimmen für folgende Flächen:
1) ein Umdrehungsellipsoid, ein ein- oder zweischab'ges Um- drehungshyperboloid, ein Umdrehungsparaboloid ;
2) einen elliptischen Ring, mag die Axe der Meridianellipse parallel oder geneigt gegen die Umdrehungsaxe sein;
3) eine Umdrehungsfläche der Cosinuslinie (165), wobei man die Umdrehungsaxe parallel mit der Tangente oder mit der Nor- male des Scheitels legen kann; besonders ist der Fall zu beachten, in welchem der Lichtpunkt in einer Tangente der Cosinuslinie in ihrem Wendepunkte liegt.
nL Die dnroh eine gegebene Gerade an eine XJmdrehtingsfl&ohe gelegte Berühmngsebene.
187. Die Berührungsebenen einer belid>igm Fläche P, welche durch eine gegebene Gerade g gehen, berühren jeden Kegel, der aus einem Punkte von g der P umschrieben ist, und ihre Berüh- rungspunkte liegen auf der Berührungskurve eines jeden solchen Kegels. Alle diese Kegel werden daher von jenen Ebenen berührt, und die Berührungskurven aller gehen durch die Berührungspunkte jener Ebenen. Um die durch g gehenden Berührungsebenen an F zu bestimmen, kann man daher
1) aus zwei Punkten der g berührende Kegel an P legen und ihre BerUhrungskurven verzeichnen; die Schnittpunkte derselben sind dann die Berührungspunkte der gesuchten Ebenen, und ihre Anzahl
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IV, 187—188. Die durch eine gegebene Gerade gelegte Berührnngsebene. 195
ist bei algebraischen Flächen eine endliche. Der unendlich ferne Punkt der g liefert einen umschriebenen Cylinder. Schneiden sich zwei Berührungskuryen nicht reell; so gibt es keine durch g gehen- den Berührungsebenen.
2) Oder man kann aus Einem Punkte der g einen Kegel um F beschreiben und an ihn die berührenden Ebenen durch g legen. Ist die Berührungskurve eine ebene, so legt man aus dem Schnitt- punkte der g mit ihrer Ebene die Tangenten an die Berührungs- kurve; ihre Berührungspunkte sind auch die der gesuchten Ebenen.
Ist F eine cämnckdbare Fläche^ so gibt es im allgemeinen keine Auf losung, weil ein Punkt der g schon die Berührungsebenen be- stimmt (163).
Für die Flächen eweiten Grades wurde unsere Aufgabe schon in Nr. 134 gelöst. Dennoch soll zur Veranschaulichung des eben angegebenen Verfahrens für die Umdrehungsflächen eine solche zweiten Grades gewählt werden, weil für andere Umdrehungsflächen ein anderes Verfahren zweckmäßiger ist.
188. Äufg. Durch eine gegebene Gerade g an eine gegebene Kugel P eine Berührungsebene m legen.
Man lege die Projektionsaxe x durch den Mittelpunkt M der Kugel, so fallen die beiden Umrisse in einem aus M mit dem Kugel- halbmesser beschriebenen Kreise h zusammen.
Aufl. 1. Als Spitzen der umschriebenen Kugel nimmt man Fig. 87. zweckmäßig die Spuren Gi und G^ der g an; dann sind die Ebenen der Berührungskurven
bezw. auf P^ und P^ ^'^- ^'^•
senkrecht; die erstere hat die Berührungs- sehne h' der aus G^ an Je gelegten Tangen- ten zur ersten Spur und Projektion; die zweite hat die Berührungs- sehne Ä" aus G^ zur zweiten Spur und Pro- jektion. Der Schnitt beider Ebenen ist die Polare h der g zu F. Um ihre Schnittpunkte
P und Q mit der Kugel zu bestimmen, lege man die h mit ihrer ersten projicirenden Ebene und deren Durchschnitt mit der Kugel (einen Berührungskreis) in P^ um, so triflft h'" den umgelegten Kreis
13"
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IV, 188. Die Umdrehangsflächen.
in P'" und Q"\ aus denen sich F, Q' auf W und P", Q'' auf h" ergeben. Weil die Berührungsebene S in P senkrecht auf dem Halb- messer MF steht, so lege man durch Cr^ die 5, J_ 3f P', durch 6?^ die Sg J_ JJf P"; ebenso für die Berührungsebene T in ^ durch G, die t^ _L Jf^', durch G^ die ^ X Jf ö".
Aufl, 2. Die ^ schneidet die Ebene des Berührungskreises W in Hy welcher Punkt durch die Umlegung nach H"' gelangt. Die beiden aus H"' an den umgelegten Berührungskreis gelegten Tan- genten bestimmen die Berührungspunkte T^" und Q"' und haben, die eine S^ zur ersten, die andere T, (bestimmt aus T/") zur zwei- ten Spur, so daß 8^ durch S^y ^ durch Tg gezogen werden kann. Fig. 88. Aufl, 3. Sind die Spuren der g nicht erreichbar, so denke
man sich der Kugel parallel zu^ einen Gylinder umschrieben, dessen Berührungskurve der größte Kreis der auf g senkrechten Durch- messerebene ist. Ihre ^* erste Spur ist MÄ l.g
^^^^"^"^ mit dem Fußpunkte A' auf g\ Legt man die erste projicirende Ebene der g in die P^ um, wo- bei ^ nach If'" C'"= </'" gelangt, so zeigt sich der Schnitt der Ebene jenes größten Kreises mit der projicirenden Ebene als dieauf^r'^ge- föllte Senkrechte^'»'", und der Fußpunkt (?'" auf g"' bestimmt den Schnittpunkt G der Ebene jenes größten Kreises mit g. Legt man nun diesen Kreis samt G iu P^ um, wobei der Kreis in den Umriß Jfc und G nach G'^ auf g' gelangt, zieht aus G^^ die beiden Tangenten an i, welche die Berührungspunkte P^*", Q^^ besitzen und die MA' in Sj und Ti schneiden, schlägt dann den Kreis wieder zurück, so erhält man (und zwar auf diese Weise am genauesten) von den Be- rührungspunkten vermittelst der dritten Projektionen der beschrie- benen Kreisbogen die dritten Projektionen P"' und Q"\ und dadurch P', Q\ F\ Q'\ während die ersten Spuren S^ und T^ der Tangen- ten an ihrer Stelle bleiben. Die Spuren der durch ^, P, Ä^, bezw.
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IV, 188—189. Die durch eine gegebene Gerade gelegte Berührungsebene. 197
9} Qj ^i gehenden und auf MFy hezYr. MQ senkrechten Ebenen S und T sind nun leicht zu verzeichnen.
189. Ist die Umdrehungsfläche* F nicht vom zweiten 6rade^ so vermeidet man die beiden Berührungskegel durch ein von Monge gegebenes imd in I, 23 angedeutetes Verfahren, indem man die g
Fig. 89.
durch Drehung um die Umdrehungsaxe a der F ein Umdrehungs- hjperboloid beschreiben läßt. Eine durch g an die F gelegte Be- rührungsebene berührt auch dieses Hyperboloid, weil es die Erzeu- gende g desselben enthält, und zwar beide Flächen in Punkten der- selben auf der Berührungsebene senkrechten Meridianebene. Man hat
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198 IV, 189. Die ümdrehungsflachen.
daher nur an beide Flächen mittelst der gemeinschaftlichen Tangenten entsprechender Meridiane die dabei möglichen gemeinschaftlichen Be- rührungsebenen zu legen und jede derselben zu drehen, bis sie g enthält Äufg. An einen Ring F durdh eine gegebene Gerade g eine Be- rührungsebene zu legen. Flg. 89. Äufl.l]^Es stehe die ümdrehungsaxe a {M\ a') des Ringes J_ P^'
es sei die geneigte Ellipse e die Hälfte seines Hauptmeridians und Gl die erste Spur der g. Von dem durch Drehung der g um a ent- stehenden ümdrehungshyperboloide geht der Eehlkreis durch den Fußpunkt Äi der von M' auf g' gefällten Senkrechten M! A^, Seine zweite Projektion geht daher durch A^ auf g\ bestimmt auf a den Mittelpunkt {M!\ M) des Hyperboloids und triflft den Haupt- meridian in A"y wobei M'* A" «= M! A^. A" ist dann ein Scheitel der Hyperbel des Hauptmeridians, und einen Punkt G" einer Asymptote M"G*' derselben erhält man noch auf der von (?/' auf a' gefällten Senkrechten G^'G^^ wenn man G^G*' == A^G^ macht. Damit wird die Hyperbel verzeichnet.
In der Hauptmeridianebene kann man vier gemeinschaftliche Tangenten an die Ellipse und die Hyperbel legen; eine derselben berührt die erstere in P^, die letztere in B^y der Mitte des Ab- schnittes der Tangente zwischen den Asymptoten. Die durch eine solche Tangente senkrecht zu Pg geführte Ebene ist eine gemein- schaftliche BerühruDgsebene beider Flächen und enthält eine aus g entstandene, durch den Berührungspunkt des Hyperboloids gehende Erzeugende desselben. Man dreht nun jene in B^ berührende Ebene um a, bis B^ nach B m g fällt; dabei ist B' als einer der beiden Schnittpunkte des Parallelkreises B^B' mit g' eindeutig aus B" be- stimmt, oder im Grundriß allein durch die Regel, daß B' und G^ auf derselben oder auf entgegengesetzten Seiten von A^ liegen, je nachdem B^' und 6r/' sich auf derselben oder auf entgegengesetzten Seiten von M^'A^' befinden. Bei der Drehung bleibt jene Ebene eine gemeinschaftliche Berührungsebene beider Flächen; ihre Lage nach der Drehung geht durch g, ist daher eine der gesuchten Ebe- nen. Der Berührungspunkt P' der Ebene mit dem Ringe liegt auf dem Parallelkreise von P^, in der Meridianebene von B und in un- verändertem Abstände von B. Die erste Spur p^ der Berührungs- ebene geht durch G^ und ist J_ M!P, Entsprechend findet man, für eine zweite Berührungsebene, Q und q^. Zwei weitere Ebenen bereiten im vorliegenden Falle dadurch eine Schwierigkeit, daß in dem Haupt- meridiane die Berührungspunkte der gemeinschaftlichen Tangenten auf der Hyperbel über die Grenze der Zeichenfläche hinausfallen. Man kann dabei durch eine Verkleinerung jeder Projektion bezw.
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IV, 189—190. Die durch eine gegebene Gerade gelegte Berfihmngsebene. 199
mit M und M" als Äbnlichkeitspunkte zum Ziele gelangen. Diese Verkleinerung wurde im Grundriß vorgenommen , im Aufrisse aber, um die Verzeichnung neuer Kurven zu vermeiden , durch ein An- näherungsverfahren ersetzt. Zieht man hier schätzungsweise eine gemeinschaftliche Tangente , welche die beiden Asymptoten in dem erreichbaren Punkte F und in dem unerreichbaren K treffe, so muß (vergl. d. Fig.) M"F'M"K=M"H^ (1,379), oder, wenn n eine
passende ganze Zahl, in unserem Falle 4, n • M"F — M"K= M"H^
= M"J\M''J J_ M''H). Macht man M"F^ = n • M"F = 4 Jlf "JP, so ergibt sich durch ^ F^JK^ = 90<> der Punkt Z; und Jf "Z; =
— M"K = ~ M"K. Zieht man dann K^K^ parallel zur Asymptote M'F und macht K^K^ =^ "^ M"F = ^M"F, so müßte K^ ein
Punkt der angenähert gezeichneten Tangente sein, und diese kann daher, ohne große Änderung von F, eine Verbesserung erfahren. Der ebenfalls unerreichbare Berührungspunkt i)^ dieser Tangente ist die Mitte von FK] sein Abstand von a" ist daher Abst. D^ «=»
y (Abst K + Abst. F) = Y ^^^*- ^i + y Abst F. Verkleinert man
nun den Grundriß aus M' als Ähnlichkeitspunkt auf - ^hier j)
seiner Größe, wodurch aus g' die zu ihr Parallele g^ wird, schneidet g^ mit einem Kreise aus M\ dessen Halbmesser gleich
- Abst A = V Abst. Ki + ^ Abst F=^ Abst. K + 4^ Abst- ^ n * 2 * ' 2n 2 ^ ' 8
ist, und bestimmt unter den beiden Schnittpunkten den D^ nach der gegebenen Regel, so liegt R' auf M'D^ und auf dem Parallelkreise des Bi, Entsprechend wird mit n = 6 der Punkt S bestimmt, und dann r^ _L M'jB' und s^ J_ M'S' gezogen.
190. Liegt die Gerade g im Unendlichen und ist durch eine Ebene G gegeben, so wird auch verlangt, an eine Fläche F eine Berührungsebene parallel zu G zu legen. Die beiden aus Punkten von g der F umschriebenen Kegel werden dann zu Cy lindem, welche der F bezw. parallel mit zweien nicht unter einander parallelen Gera- den der G umschrieben werden. — Ist F eine ümdrehungsfläche, so liegen die Berührungspunkte auf dem Meridiane, dessen Ebene J_ G steht, und die Meridiantangenten in ihnen sind parallel mit der Schnitt- geraden dieser Meridianebene mit der G. — Ist F ein einschaliges Umdrehungshyperboloid, so liegen in den Berührungsebenen die zu G parallelen Erzeugenden, und diese laufen parallel zu den Schnitt- geraden des Asymptotenkegels mit einer durch seine Spitze parallel zu G gelegten Ebene.
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V. Abschnitt.
Die Beleacbtang krammer Fläcben im allgemeinen, Und die des Cylinders, des Kegels nnd der Umdrehnngsfläelie im besonderen.
L Allgemeines.
191. Die Helligkeit H einer matten Körperoberfläche an irgend einer Stelle bei Parallelbeleuchtung fanden wir in I, 483 (5)
fi" = L' cos « J. ,
worin a den Einfallswinkel des Lichtstrahles (Winkel mit der Flächen- normale) an jener Stelle, V die Stärke des Lichtes und A das Rück- strahlungsvermögen der Oberfläche bedeuten. Dabei war das Lam- bertsche Gesetz vorausgesetzt, wonach eine Stelle einer matten Korperoberfläche bei einer bestimmten Beleuchtung gleich hell er- schehit, von welcher Seite man sie auch betrachten mag. Dieses Gesetz entspricht, wie wir sahen (I, 481), nur annäherungsweise der Wirklichkeit. Insbesondere zeigen sich bei mattem Gipse, bei welchem unter mittleren Ein- und Ausfallswinkeln im allgemeinen eine gute Übereinstimmung mit diesem Gesetze stattfindet, haupt- sächlich zwei Abweichungen, eine an dem Glanzpunkte und. eine am Umrisse. Der Glanepunkt ist derjenige Punkt der Fläche,^ an welchem sich das Spiegelbild der Lichtquelle zeigen wörde, wenn die Fläche spiegelnd wäre*, es ist also der Punkt, an dem die Flächen- normale den Winkel des Licht- und des Sehstrahles halbirt. An diesem Glanzpunkte tritt nun eine Verstärkung der Helligkeit ein, die bei großem Einfallswinkel sehr bedeutend ist und das Ansehen einer Glanzstelle hervorbringt, während sie bei Winkeln von weniger als 35** fast verschwindet. Da wir nun, entsprechend der gewöhn- lichen Annahme, den Projektionen des Lichtstrahles eine Neigung von 45^ gegen die Projektionsajce geben werden, und da hierbei der Lichtstrahl einen Winkel von 54** 44' (dessen Tangente = ]/2 ist) mit den Sehstrahlen bilden, so ist der Einfallswinkel 27** 22', also die Spiegelung fast unmerklich. Andererseits tritt in der Nähe des Umrisses vorwiegend eine Verminderung der Helligkeit ein, die
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V, 191—192. AUgememes. 201
auf der Seite des Lichtes am größten ist; während auf der ent- gegengesetzten Seite; der der Spiegelung, bei großen Einfallswinkeln eine Verstärkung und zwar eine recht bedeutende stattfindet. Im ersteren Falle, der bei unserer Annahme allein vorkommt, kann in der Nähe des Umrissen, wo der Ausfallswinkel 90^ ist, eine Verdun- kelung bis auf 0,6 der nach dem Lambertschen Gesetze herrschenden Helligkeit eintreten. Dieselbe erstreckt sich mit allmählicher Ab- nahme bis zu den Punkten mit einem Ausfallswinkel von 75^, so daß dieser verdunkelte Streif bei der Kugelabbildung eine Breite von ^ ihres Halbmessers (1 — sin 75^) einnimmt, also nur schwach merklich ist
Wir begehen also bei Gips unter der angeführten Annahme des Lichtstrahles bei Befolgung des Lambertschen Gesetzes keine erheblichen Fehler, und werden auch für viele andere Körper, deren verschiedenartiges Verhalten gegen das Licht wir nur sehr ober- flächlich kennen, mit guter Annäherung dieses auch durch seine große Einfachheit so zweckmäßige Gesetz anwenden.
Wir wollen in der Folge nur eine Art von Oberflächenbeschafifen- heit voraussetzen. Dann ist VA unveränderlich; und indem wir es = 1 setzen, nehmen wir die Helligkeit dieser Oberfläche bei senkrechter Beleuchtung als Helligkeitseinheit an. Wir erhalten dann
£ = cos £ .
192. Um auf der Abbildung einer Fläche in richtiger Weise die Helligkeit darstellen zu können, zeichnet man auf dieselbe zu- nächst Linien von gleicher Helligkeit, das sind Linien, in deren Punk- ten dieselbe Helligkeit herrscht, also cos 6 (und s) unveränderlich ist Diese Linien heißen auch Isophoten (r<To$, gleich; g>cigy das Licht); wir wollen sie Lichtgleichen nennen. Zu ihnen gehört die Eigenschattengrenze y für welche b = 90^, cos £ <= 0 ist; sie heißt auch die Grenzisophote oder Grenzlichtgleiche, Man legt Lichtgleichen von unveränderlichem Helligkeitsunterschiede, der gewöhnlich = 0,1 angenommen wird, so daß in den Lichtgleichen die Helligkeiten 0; 0,1; 0,2. . . 0,9; 1 herrschen. Diese Zahlenreihe der Helligkeiten heißt die zehnstufige Stärkereihe oder Intensitätsskala. Die entsprechenden Lichtgleichen bezeichnet man abgekürzt mit 0, 1, 2*. .9, 1.. Wir werden uns hier mit der Hälfte derselben begnügen.
Legt man nun die Streifen des beleuchteten Teiles zwischen den auf einander folgenden Lichtgleichen nach den Regeln von I, 496 mit Tuschlagen an, so erhält man ein gutes Bild dieses Teiles der Fläche. Will man noch die Beleuchtung durch die Luft und durch den Reflex von anderen Körpern berücksichti^gx^-r^Aj^önnte man
-'PY^pooglc
o"r
202 V, 192—193. Die Beleuchtung krammer Flächeu.
dies in der Weise von I, 500 für eine Anzahl von Punkten aus- führen, wodurch sich veränderte Lichtgleichen ergeben würden. Wir gehen hierauf nicht ein, bemerken aber, daß die Bestimmung der Helligkeit im Schatten auf diese Weise durch Rechnung oder durch Schätzung geschehen muß. Die gewohnlich für den Eigenschatten gemachte Annahme, daß er durch den sog. atmosphärischen Strahl, der dem Sonnenstrahle gerade entgegengesetzt angenommen wird, be- leuchtet werde, ist nach I, 488 ganz zu verwerfen; die dabei benutzten Lichtgleichen auf dem Schattenteile der Fläche haben in Bezug auf dessen Helligkeit keine Bedeutung.
Geometrisch betrachtet, liegen die Lichtgleichen, als Linien von tmveränderlichem Einfallswinkel s, auf beiden Seiten der Eigenschatten- grenze, Physisch haben immer nur die Linien im beleuchteten Flächenteile Bedeutung, also die einerseits oder die andererseits der Eigenschattengrenze liegenden, je nachdem die Eörpermasse auf der einen oder auf der anderen Seite der Oberfläche liegt, z. B. bei der Eugelfläche, je nachdem es sich um eine Yollkugel oder um eine geö&ete Hohlkugel handelt.
Wir werden beiderlei Kurven bestimmen, sie auf den verschie- denen Seiten der Fläche liegend denken und die einen, wie ge- bräuchlich, mit -|-, die anderen mit — bezeichnen.
Es sei noch bemerkt, daß der Verfasser die Linien gleicher Helligkeit für eine Gipskugel nach seinen übei^ den Gips angestell- teü Beobachtungen konstruirt hat, die er auch später mit den Er- gebnissen über die Beleuchtung durch die Luft und den Bodeureflex zu veröffentlichen gedenkt; daß er aber bei der gemachten An- nahme des Lichtstrahles nur kleine, immerhin aber bemerkbare Abweichungen von den nach dem Lambertschen Gesetze bestimm- ten Lichtgleichen erhalten hat.
193. Zur Bestimmung von Punkten der Lichtgleichen einer ge- gebenen Fläche P wendet man das Verfahren der Berührungsebenen und das der Normalen an.
1) Bas Verfahren der Berührungsehenen. Alle durch einen Punkt gelegten Ebenen von unveränderlichem Einfallswinkel s eines Licht- strahles werden von einem ümdrehungskegel eingehüllt, dessen Axe ein Lichtstrahl ist, dessen Erzeugende mit diesem Lichtstrahle den Winkel 90^ — a bilden, und welcher der Tangentialkegd heißen soll. Ein solcher Kegel würde eine gleichförmige Helligkeit =» cos e besitzen. Jeder Punkt der F, in welchem ihre Berührungsebene parallel zu einer Berührungsebene jenes Kegels ist, bildet einen Punkt der Linie von der Helligkeit cos s. Man kann solche Punkte auf einer beliebigen Linie der F finden, wenn man in Punkten derselben die
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Y, 193—194. Die Beleuchtung der Engel, des Cylinders u. des Kegels. 203
Berührungsebenen der F legt, parallele Ebenen zu denselben durch die Spitze des Tangentialkegels führte einen zweiten Kegel bil- det, welcher sie einhüllt, und für beide (koncentrische) Kegel die gemeinschaftlichen Berührungsebenen bestimmt. Trägt man diese Ebenen durch Parallelverschiebung an die F zurück und ermittelt ihre Berührungspunkte (im allgemeinen durch Einschaltung), so sind dies die gesuchten Punkte auf der gewählten Linie.
2) D(is Verfahren der Normalen. Alle durch einen Punkt unter dem Winkel s gegen den Lichtstrahl gelegten Geraden bilden einen Umdrehungskegel, dessen Äxe ein Lichtstrahl ist, und welcher Normalkegel heißen soll. Die Punkte der F, in denen ihre Nor- malen parallel mit Erzeugenden jenes Kegels laufen, sind Punkte der Linie von der Helligkeit cos s. Man kann die Punkte auf einer beliebigen Linie der F finden, wenn man in Punkten der- selben die Normalen der Fläche zieht, Parallele mit denselben durch die Spitze des Normalkegels legt, durch sie einen zweiten Kegel führt, und beide (koncentrische) Kegel zum Schnitte bringt. Trägt man die Schnitterzeugenden durch Parallelverschiebung an die F zurück, so sind ihre Fußpunkte (die im allgemeinen durch Ein- schaltung ermittelt werden) die gesuchten Punkte auf der gewählten Linie. Zur Bestimmung des Schnittes beider Kegel wendet man gewöhnlich am zweckmäßigsten eine zu ihnen koncentrische Ktigd an; und da diese bei vielen Konstruktionen eine hervorragende Rolle spielt, so gewinnen wir die größte Anschaulichkeit, wenn wir zu- nächst für sie die Lichtgleichen bestimmen.
IL Die Belenohtmig der Kugel, des Oylinders und des Kegels.
194. Äufg, Die Lichtgleichen einer Kugel zu verzeichnen. Fig. 90.
Aufl. Bestimmen wir die Linien von den Helligkeiten 0; 0,2; 0,4 .. . 1, und bezeichnen sie mit 0, 2, 4 ... 1., — 2, — 4 ... — 1..
Sei M der Mittelpunkt der Kugel, l (l\ l") der durch ilf gehende Lichtstrahl, so bildet man die Projektion auf eine zu P^ senkrechte, mit l parallele dritte Ebene P3, und erhält vermittelst der ersten Spur L von l die dritte Projektion M'"L'"= V" von /. Die Schnitt- punkt 1. und — 1. von T" mit dem dritten Umriß der Kugel be- zeichnen die hellsten Punkte der positiven und negativen Flächen- seite der Kugel von der Helligkeit 1. Teilt man nun die beiden Halbmesser M'' 1. und jjf'" — 1. in je fünf gleiche Teile, und legt durch die Teilungspunkte 1., 8, 6 . . . — 6, — 8, — 1. Ebenen senk- recht zum Halbmesser /, so schneiden diese die Kugel in Parallel- kreisen von den angegebenen Helligkeiten. Denn für die Punkte
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y, 194. Die Beleuchtung krummer Flächen.
dieser Kreise haben die Cosinus der Winkel der Normalen oder Kugelhalbmesser mit l oder Jf'" 1. jene Werte 0; 0,2 ... 1. Die Lichtgleiclie Null ist die Eigenschattengrenze. Ein ümdrehungs- kegel, welcher einen dieser Parallelkreise aus M projicirt, ist ein
Normalkegel; alle ^^^' ^^' zusammen sollen
^"^ das Büschd der
Normalhegd heißen.
Die ersten Projektionen der Lichtgleichen sind Ellipsen, deren Mittelpunkte die Halbmesser M' 1. und M' — 1. in je fünf gleiche Teile teilen; ihre großen Axen sind J_ V und gleich den in der dritten Projektion gege- benen Kreis- durchmessern; ihre kleinen Axen liegen in 3f' 1. und werden aus der dritten Pro- jektion erhalten. Die Ellipsen sind ähnlich und ähn- lich gelegen, so daß aus der klei- nen Axe der Grenzlichtgleiche diejenigen der an- deren gefunden werden können, da die Sehnen, welche zwei benachbarte entsprechende Scheitel verbinden, bei allen parallel sind.
Die zweiten Projektionen der Lichtgleichen werden am kürzesten
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y, 194. Die Beleuchtung der Kugel, des Cylinders u. des Kegels. 205
und genauesten unmittelbar konstruirt^ ohne Benutzung ihrer ersten Projektionen, woraus zugleich ersichtlich, daß die dritte Projektion nur der Erklärung halber gezeichnet wurde. Legt man die zweite projicirende Ebene von l in eine parallel zu P^ durch M gelegte Ebene um, so gelangen l und der in jener Ebene liegende größte Eugelkreis nach V^ und in den Eugelumriß, wobei zur Bestim- mung Ton U^ die u^ J. V und berührend an den zweiten« Engel- umriß gleich der u der ersten Projektion gemacht wird. Den Eugel- halbmesser Jf" 1/^ auf U^ teilt man nun in fünf gleiche Teile und zieht durch die Teilungspunkte Senkrechte zu l'\ so enthalten diese d|e großen Äxen der zweiten Projektionen der Lichtgleichen. Ihre halben Längen erhält man durch die aus den Teilungspunkten Ton Jf"l/^ J_ l^^ bis zum Eugelumriß gezogenen Geraden, die kleinen Äxen auf M" 1. durch die aus den gewonnenen Punkten des Eugelumrisses auf V gefällten Senkrechten. Die negativen Licht- gleichen werden durch Fortsetzung der Teilung kongruent mit den positiven gezeichnet Ist die erste Projektion schon ausgeführt, so bestimme man in der zweiten nur V^, 1/^, 1., teile M"l. in fünf gleiche Teile, mache die großen Axen der Ellipsen gleich denen im Grundriß, die kleine Halbaxe der Grenzlichtgleiche «= 1. 1/^ (we- gen eines rechten Winkels bei M"), und bestimme die anderen kleinen Axen aus der Ähnlichkeit. Bilden, wie in der Figur, V und V 45^ mit a;, so sind Grund- und Aufriß kongruent.
Die Lichtgleichenpunkte auf den Kugdumrissen erhält man durch die Schnittlinien der Ebenen der Lichtgleichen mit der Ebene des Umrisses; die Schnittlinien bilden eine Schaar paralleler Geraden von gleichförmigem Abstände. Schneidet man z. B. in der zweiten Projektion die durch \J^ l^V^ gelegte Gerade mit M"i. in 1.", teilt Jf" 1." in fünf gleiche Teile und trägt die Teilung über Jf' weiter, zieht durch die Teilungspunkte Gerade _L i", so bilden diese jene Schaar und schneiden auf dem zweiten Umrisse die Licht- gleichenpunkte ein.
Der Schlagschatten der Kugel auf P, ist mittelst der dritten Projektion bestimmt, und es sei nur bemerkt, daß die Schatt^i der Endpunkte des auf Pj senkrechten Eugeldurchmessers (wie F) die Brennpunkte der Schattenellipse bilden. Denn der der Engel um- schriebene Lichtstrahlencylinder ist ein Umdrehungscylinder, sein Schnitt mit einer zu P^ parallelen, die Engel in einem Endpunkte des auf P| senkrechten Durchmessers berührenden Ebene ist eine Ellipse, deren einen Brennpunkt der Berührungspunkt mit der Eugel bildet (I, 329), und der Schlagschatten der Eugel ist auch derjenige dieser Ellipse. — Der Schlagschatten auf P^ ist eine Ellipse, deren
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y, 194—196. Die Belouchtnng krummer Flächen.
L
große Axe M^A^^ M" A'\ wenn durch den Ptmkt A" der V eine zu V^ parallele Tangente des Umrisses geht.
195. Die Lichtgleichen von abwickelbaren Flächen sind gerad- linige Erzeugende, weil entlang einer solchen die Fläche von ein und derselben Ebene berührt wird. Es kommt also nur auf die Bestimmung der Lichtgleichenpunkte auf einer passend gewählten Kurve •der Fläche an.
Die Lichtgleichen eines Oylinders sind Erzeugende desselben. Aufg. Die Lichtgleichen eines aufT^ senkrecht stehenden geraden Kreiscylinders zu bestimmen, Fig. 91. Aufl, Man denke sich eine den Cylinder entlang seinem Grund-
kreises k berührende Kugel (mit dem Mittelpunkte M), so sind die
Lichtgleichenpunkte der Kugel ^^^' ^^' auf jenem Kreise auch die des Oy-
linders. Legt man entsprechend dem Verfahren der vor. Nr. die erste projicirende Ebene des durch M gehenden Lichtstrahls in F^ um, so daß l nach V" {VV" = L^L") und der größte Kugel- kreis in den Grundkreis des Oy- linders gelangt, so wird dieser Kreis von Z'" in 1.' geschnitten; die Senkrechte zu V" durch 1.' gelegt, bestimmt auf V den Punkt 1., wobei M' 1. = Jf' i'"; die Teilung von M'l. in fünf gleiche Teile und ihreFortsetzung über jjf ' liefert vermittelst der durch die Teilungspunkte geführ- ten Senkrechten zu l' die Lichtgleichenpunkte auf dem Gnmdkreise, durch welche dann die Erzeugenden als Lichtgleichen gezogen wer- den. Die hellste Erzeugende (gestrichelt) besitzt die Helligkeit 0,82 (in der Figur mit 82 bezeichnet)-, man kann auch von jeder belie- bigen Erzeugenden die Helligkeit leicht rückwärts auf dem Maßstabe 1. — 1. bestimmen.
Der Schlagschatten c^ des oberen Grenzkreises auf Pj ist ein ihm gleicher Kreis mit dem Mittelpunkte (7|, der Schlagschatten Cg auf Pg eine Ellipse mit dem Mittelpunkte Gg. Ci und c^ sind affin mit X als Axe und C^ C^ als Strahl der Affinität, der, für ^ a:Z' = ^ xV'^ \\ X ist. um die Axen von c^ zu bestimmen, legt man (I, 377, 1)) aus einem Punkte (D) der x durch C^ und C^ einen Kreis, schneidet ihn
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V, 195—196. Die Beleachtung der Kugel, des Gylinders q. des Kegels. 207
mit X in E und F, so liegen in C^E und C^F die Axen von c^, deren Endpunkte A2, B^ aus den entsprechenden Endpunkten A^y JBj der Durchmesser C^E, C^F des Kreises c^ durch Affinit'äts- strahlen Ä^ A^ || B^ B^ || G^ Cj (' x) gefunden werden.
196, Wir nennen mit Bunnester*) die geteilte Linie M' 1. die Intensitatsskala oder den Stärkemaßstab, die Länge M' 1. die Einheit des Stärkemaßstahes, das Strahlenbüschel ^ welches die Lichtgleichen- punkte des Grundhreises aus M' projicirt, das Normalhüschel, und das Strahlenbüschel, welches aus ihm durch Drehung in seiner Ebene um 90** entsteht, das Tangentialbüschel, weil ihre Strahlen bezw. mit den Normalen und Tangenten der Spur des Gylinders in den bestimmten Lichtgleichenpunkten parallel sind. Der Winkel A = 1. Jlf' 1/ ist der Neigungswinkel des Lichtstrahles gegen die Ebene des senkrechten Schnittes des Gylinders, und es ist die Einheit des Stärkemaßstabes M 1. = M' L'"= sec A, wenn der Halbmesser des Grundkreises =^ 1. Wir nennen die Projektion des Lichtstrahles auf die Ebene der StrahlenbOschel, also M'L'=^ V den Grundstrahl, den nach dem Null- punkt der Ereisteilung ^^' gehenden Strahl Jfcf'O ""^ den NiülstrcM\ der- selbe steht bei demNor- malbüschel senkrecht auf dem Grundstrahle und fallt bei dem Tangentialbüschel in denselben. DerWinkel r / = A des Lichtstrah- les mit der Ebene des Büschels heiße der Crnmd- oder Model- unrikd des Büschels; cos k ist die größte in den Büscheln ent- haltene Helligkeit. In unserem Falle bei
ist tg A = •)/%, A
= 35® 16', cos A = 0,82, sec A = 1,22, die Helligkeit der Pro- jektionsebene «=> sin A ■=» 0,61, und endlich der Abstand des in der
*) Burmester, Theorie nnd Darstellung der Beleachtang gesetzmäßig ge- stalteter Flftchen, 1871, S. 24.
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208 V, 196—198: Die Beleuchtang krummer Flächen.
Zeichnung unsicheren Punktes 8 des Grundkreises k vom Grund- strahle V ist = 0,2, da 0,8 . 1,22 = 0,98 und 0,98« + 0,2« = 1.
Man bemerkt, daß das Normal- und das Tangentialbüschel invo- lutorisch sind und den Grund- und Nullstrahl zu Doppelstrahlen haben. Fig. 92. 197. Äufg. Die lAcktgUichen eines auf P^ senkrecht stehenden
elliptischen Gylinders zu bestimmen.
Aufl, Die Lichtgleichenpunkte auf der Grundellipse c sind die Fußpunkte von deren zu den Strahlen des Normalbüschels paral- lelen Normalen. Zu ihrer Bestimmung konstruire man aus einem Brennpunkte F der Grundellipse c mittels eines aus F gezogenen Kreises k und dem Grundwinkel A das Normalbüschel, schneide seine Strahlen mit dem aus dem anderen Brennpunkte f\ mit der großen Axe der Ellipse als Halbmesser gezogenen Kreise k^ (z.B. 2^6' in 6"), so schneiden die Verbindungslinien dieser Schnittpunkte mit Fj (so Fl 6") auf der Ellipse c die gesuchten Punkte (6) ein (I, 222), durch welche dann die Lichtgleichen gezogen werden.
198. Die Lichtgleichen eines auf Pi schief aufstehenden eUip- Fig. 98. tischen Gylinders m bestimmen.
Aufl. Eine zu den Erzeugenden des Gylinders senkrechte Ebene E vertritt die Stelle der P^ in der vorigen Aufgabe. Man projicire daher den Lichtstahl l auf E, bestimme seine Neigung X gegen E, so kann man in E das Normal- oder das Tangentialbüschel ange- ben, und mittelst desselben die Lichtgleichenpunkte auf der Schnitt- kurve der E mit dem Cylinder ermitteln. Um aber die Verzeich- nung dieser Schnittkurve zu vermeiden, projicire man das Tangential- büschel durch Parallele mit den Erzeugenden auf die P^, oder auf die Ebene, in welcher die Leitlinie des Gylinders gegeben ist, und be- stimme auf ihr mittelst dieser Projektion des Büschels die Licht- gleichenpunkte. Das Normalböschel dagegen verliert durch Pro- jektion seine bezeichnende Eigenschaft, da die Projektionen der Normalen einer Kurve im allgemeinen nicht wieder Normale der Projektion der Kurve sind.
Legt man durch einen Punkt P einer Erzeugenden AP die Ebene E, so erhält man einen Punkt Q ihrer ersten Spur e^ als erste Spur der PQ, welche J_ A!'F' und || Pg gezogen wird; c, zeichnet man dann durch Q' J_ ÄP'. Die erste Spur des durch P gehenden Lichtstrahles l ist V. Die den Strahl l auf die E senk- recht projicirende Ebene enthält die AP und hat zur ersten Spur ÄL\ welche die e^ in K trifft; die Projektion ist daher PjB (nicht gezeichnet). Legt man E um e^ in P^ um, so gelangt P nach P^" (P'pvjy- ±e,, P^P'^=P'P\ pvp-^pivp''^^ und PB nach P'"jB'. P'"K wäre für das umgelegte Normalbüschel der Träger
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V, 198. Die Beleuchtung der Kugel, des Cylindere u. des Kegels. 209
des Stärkemaßstabes, für das umgelegte Tangentialbüschel ist dies daher die auf P'"iZ' Senkrechte P'"JB'", und der Neigungswinkel A von l gegen £ ist in dem Dreiecke RPL bei P enthalten; man trägt ihn gegen P'"B'" an, indem man r"R"=FR = r"R\ F" V" = PL = r'U^ {T^U^ = PL') und E"'L'"= EL = B' V macht. Ist der Winkel des Dreiecks bei L"' von 0 oder 180^ nicht sehr verschieden, so überträgt man erst das rechtwinklige Dreieck BFA nach K"P"A"' (P'"^'"= F" A'^, Po ^^^ = P'^')> "°d macht dann auf K" A"' die U"'Z/'"= K L\ Trägt man dann von P'" gegen U'" fünf gleiche Teile von willkürlicher abfer passender Länge
Fig. 93.
/ ^
bis zu 1. weiter, fallt l.-B _L P'"Z/'", beschreibt aus P'" durch B den Kreis fe, so wird auf ihm das Tangential-, wie früher das Nor- malbüschel bestimmt.
Bei dem Zurückdrehen des Büschels um e^ in £ gelangt P'" wieder nach P, und bei dem Projiciren in Pj in der Richtung der Cylindererzeugenden projicirt sich P nach A\ während die Schnitt- punkte der Strahlen mit e^ an ihrer Stelle bleiben. Mit den Strahlen dieses Büschels A' muß man dann parallele Tangenten an die Leit-
Wiener, Lehrbach der dantelleaden Oeomeirie. II. 14
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210 V, 198—200. Die Beleuchtung krummer Pl&chen.
ellipse c des Cylinders in P^ gezogen denken und deren Berührungs- punkte bestimmen, was durch das Büschel M' der zu den Strahlen konjugirten Durchmesser geschieht Dieses Büschel M' ist aber parallel zu dem Büschel C der zu den von Ä' ausgehenden Strahlen konjugirten Sehnen; wobei Ä'M'C ein Durchmesser von c ist Die Konstruktion ist also diese: Man schneide einen Strahl P".'8' des Büschels P"' mit e^ in 8", ziehe die -4' 8", schneide sie mit c in 8'", lege nach C'8'" an, und ziehe damit die Parallele M' 8, so schnei- det diese die c in den Lichtgleichenpunkten + 8. Die hellste Er- zeugende besitzt in unserem Beispiele die Helligkeit 0^95. Tritt eine Unsicherheit in der Lage der konjugirten Sehnen ein, so be- nutze man statt Ä'C einen anderen Durchmesser der c; fallen die Punkte auf e^ außerhalb der Zeichenfläche ^ so benutze man ein passendes Paar entsprechender Geraden in den afflnen ebenen Sy- stemen der Büschel P"' und Ä\ welche sich auf e^ schneiden, wie z.B. die aus N bezw. zu R'P'" und R'Ä' gezogenen Parallelen a und b, mit denen zwei Punkte + 4 konstruirt wurden.
Man kann auch das Tangentialbüschel für c mit M' als Mittel- punkt konstruiren; das Büschel der konjugirten Durchmesser be- stimmt dann die Lichtgleichenpunkte auf c ; dasselbe wird auf einem durch M' gelegten Kreise vermittelst der Livolution hergeleitet (1,348). — Man kann ferner zu den Strahlen von A' Senkrechte aus einem Brennpunkte von c ziehen; sie bilden das Normalbüschel für c, aus dem man nach der vor. Nr. die Punkte erhält. Das oben ange- gebene Verfahren dürfte etwas kürzer, als diese sein.
Von dem Schatten der oberen Grenzellipse auf Pg sind zwei koDJugirte Durchmesser bestimmt, als Schatten der von den Licht- gleichen 0 und 95 begrenzten Durchmesser; aus ihnen kann man dann die Axen der Schattenellips'fe herleiten, die in unserer Figur zufällig in jene konjugirten Durchmesser hineinfallen.
199. Übungsaufgaben.
1) Auf einem geraden Kreiscylinder, der schief gegen jede Pro- jektionsebene steht, die Lichtgleichen zu bestimmen.
2) Auf einem Cylinder die Lichtgleichen zu bestimmen, dessen senkrechter Schnitt a) eine Kreisevolvente, b) eine Evolvente oder Evolute oder Aquidistante einer Ellipse, c) eine gemeine Cykloide oder eine Epi- oder Hypocykloide, d) eine Sinuslinie ist, mag der Cylinder senkrecht auf P, oder geneigt gegen beide Projektions- ebenen stehen. — Es muß für alle diese Kurven die Aufgabe ge- löst werden, ihren Berührungspunkt mit einer zu einer gegebenen Geraden parallelen Tangente zu konstruiren.
200. Die Lichtgleichen eines Kegels sind Erzeugende desselben
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V, 200—201. Die Beleuchtung der Kugel, des Cylinders u. des Kegels. 211
und lassen sich bei Umdrehungskegeln mittelst eines Starkemaß- stabes, bei anderen Kegeln aber mittelst der Tangentialkegel (193) finden. Letztere bestimmt man nach der angenommenen Starkereihe, indem man durch die Spitze S des gegebenen Kegels einen Licht- strahl l zieht; durch l eine Ebene legt und in dieser aus S das Tangentialbüschel für jene Reihe zeichnet; durch dessen Umdrehung um l entsteht das Büschel der Tangentialkegd. Legt man nun an jeden dieser Kegel und 'an den (koncentrischen) gegebenen die gemein- schaftlichen Berührungsebenen ^ so sind deren Berührungserzeugende auf dem gegebenen Kegel die gesuchten Lichtgleichen. Um die ge- meinschaftlichen Berührungsebenen zu bestimmen, schneide man eine auf dem Lichtstrahle senkrechte Ebene mit dem Kegelbüschel und mit dem gegebenen Kegel, wobei sich bezw. koncentrische Kreise und irgend eine Kurve ergeben werden, ziehe an diese und an die Kreise alle gemeinschaftlichen Tangenten, so sind die durch ihre Berührungspunkte auf der Kurve gehenden Erzeugenden des Kegels die gesuchten Lichtgleichen.
201 • Äufg. Die Lichtgleichen eines auf die Grundrißebene auf- gestellten elliptischen Kegels m bestimmen.
Aufl. Sei die Ellipse c in P^ die Leitlinie, S die Spitze des Fig. 94 Kegels. Der durch S gelegte Lichtstrahl l hat L' zur ersten Spur und die Tangenten aus L' an c bestimmen durch ihre Berührungs- punkte die Grenzlichtgleichen 05. Legt man die erste projicirende Ebene von l um V in P^ um, so gelangt l nach V" = S"' L', wenn S'S'"±S'L' und =SqS'\ Eine zu l senkrechte Ebene E habe e^ (J_ V) zur ersten und e^ (_L T") zur dritten Spur, derart daß e^ und e^ sich in Eq auf V treffen, und schneidet die i in P, wobei P'" der Schnittpunkt von e^ und V". Die Tangentialkegel, aus S um l als Axe gelegt, schneiden die E in Kreisen, deren Mittelpunkt P ist. Legt man B um e^ in P^ um, so gelangt P nach P^^, und die auf E und nach der Umlegung auch auf P^ senkrechte Axe PS der Tangentialkegel kann man dann um V in P^^S ^ (J- V und = P'" S'") umlegen. Man zeichnet dann mit einer auf dem Lichtstrahle S^P^^ senkrechten Geraden S^l. als Stärkemaßstab Ol. das Tangential- büschel, und legt durch die Schnittpunkte seiner Strahlen mit V aus P^^ jene koncentrischen Kreise.
Die Ebene E schneidet den Kegel in einem Kegelschnitte, der durch die Umlegung von E in P^ nach Cq gelangt; Cq liegt gegen c perspektiv mii e^ als Axe und S^^ als Mittelpunkt der KoUineation. S^^ ist aber aus S entstanden durch Umlegung mit der durch S parallel zu E geführten Ebene in P^ (S'"ÖIK, Q auf '', QS^^ = QS). Die Cq wird als Kollineare von c konstruirt, bequem mit
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V, 201. Die Beleuchtung krummer Flachen.
Zuhilfenahme der Tangente L'OA von c und deren Entsprechenden P^^ A, mittelst des zu e^ konjugirten Durchmessers CD der c, wel-
Pig. 94.
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chem der Durchmesser CD^ der Cq entspricht, dessen konjugirter dann leicht aus c erhalten wird^ wie in der Figur angedeutet; aus
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V, 201—202. Die Beleuchtung der Kugel, des Cylinders u. des Kegels. 213
den konjugirten Durchmessern ist dann die Ellipse Cq nach vorheriger Bestimmung der Axen (I, 377) verzeichnet worden.
Nun zieht man an die Kreise und an Cq die gemeinschaftlichen Tangenten y bestimmt ihre Berührungspunkte auf Cq und überträgt sie durch Strahlen aus S^^ auf c; oder man schneidet jede Tan- gente mit e^f zieht aus dem Schnittpunkte die entsprechende Tangente an c und bestimmt deren Berührungspunkt. Letzteres ist in der Figur ausgeführt, und zwar wegen der größeren Ausdehnung der c gegenüber Cq. So ist z. B. der Strahl S^ 8' des Tangentialbüschels mit r in 8' geschnitten, an den durch 8^ gelegten Kreis nnd an Cq sind die gemeinschaftlichen Tangenten gezogen, deren eine die e^ in 8" trifft, aus 8" ist die entsprechende Tangente^ an c gelegt und deren Berührungspunkt 8 bestimmt. Diese Punkte liefern durch ihre Verbindungslinien mit S im vorliegenden Falle zwei positive, dagegen keine negative Lichtgleichen.
Die aus P^^ berührend an Cq gezogenen Kreise bestimmen durch ihre BerQhrungspunkte die hellste positive und negative Lichtgleiche, deren Lichtstarkezahlen sich durch die rückwärts ausgeführte Kon- struktion auf dem Stärkemaßstab als 0,83 und — 0,39 ergeben. Die Berührungspunkte werden am einfachsten durch eine Fehlerkurve bestimmt, welche durch die Mitten der von Cq eingeschlossenen Bogen jener koncentrischen Kreise geht
(jbungsaufg. Man bestimme die Lichtgleichen auf einem Kegel, dessen Leitlinie, z« B. ein Kreis, in einer beliebigen Ebene ge- geben ist.
202. Anfg, Die Lichtgleichm eines auf die Grundrißebene ge rcuk aufgestellten Umdrehungskegels zu bestimmen.
Aufl. Man lege, wie früher bei dem Umdrehungscylinder, eine Fig. 96. Kugel, welche den Kegel nach dem Grundkreise berührt, bestimme auf ihr die Lichtgleichen nach der gewählten Stärkereihe, so schnei- den diese den Grundkreis in Punkten der Lichtgleichen des Kegels von derselben Reihe. Der Mittelpunkt N" der Kugel wird auf der Umdrehungsaxe S" Sq erhalten durch die aus dem- Fußpunkte A^ der Umrißerzeugenden S'' Aq zu dieser gezogenen Normale ^o-^'- Aus N" ist ein Kreis durch Aq als Umriß der Kugel teilweise gezeichnet Durch die Spitze des Kegels geht der Lichtstrahl l, dessen erste Spur L ist Dreht man die Lichtmeridianebene in die Hauptmeridianebene, wobei l in der zweiten Projektion nach S"V"'^ V" gelangt, und denkt sich den Kugelhalbmesser parallel zu V" gezogen, in fünf gleiche Teile geteilt, und durch die Tei- lungspunkte die zu r" senkrechten Ebenen der Lichtgleichen der Kugel gelegt, so schneiden diese die P^ in parallelen Geraden von
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V, 202. Die Beleuchtung krummer Flächen.
gleichen Abständen. Die äußersten dieser Ebenen werden angegeben, indem man Senkrechte zu Z'" durch N" und berührend an den
Kugelumriß zieht.
Fig. 95.
S^ jy. g_ V
welche die Projek- tionsaxe x in D'" bezw. E"' treffen. Nach dem Zurück- drehen des Haupt- meridians in den Lichtmeridian kom- men jene 'Punkte nach D'und E' auf r, wobei S'2)'=iSo2)'", S'E'=SoE''\ TeUt man nun D'E' in fünf gleiche Teile, schreibt zu D' und E' bezw. 0 und 1., trägt die Teilung über D' nach der entgegengesetzten Seite weiter, und zieht durch die Teilungs- punkte Senkrechte zu r, so sind diese die ersten Spuren jener Lichtgleichenebenen der Kugel und schneiden auf dem Grund- kreise c die Lichtgleichenpunkte ein. Die ganze Teilung 1. 0 — 1. bildet den Stärkemaßstab des KegeUoreises, und es sind der Abstand seines Nullpunktes D' vom Kreismittelpunkte S" und seine Einheit D'jB' gegeben durch
S'2)'= S'O = sigX, D'E'= 0 1. = M sec A, wenn X den Neigungswinkel des Lichtstrahles gegen die Kreisebene {xV")j n = -4o JV" die Normale des Meridians in Äq, s = SqN" die Subnormale bedeuten. Man erhält daher /S'D' und D'E' noch etwas kürzer, was bei häufiger Wiederholung wesentlich ist, wenn pian L'''L^^ Jlx zieht, und D^^ und E^^ auf T" so bestimmt, daß ihre Abstände von V'U^ bezw. gleich s und n sind. Dann ist der Ab- stand des jyy von x = S'B' und V'E'^'^D'K.
Die hellsten Erzeugenden auf der positiven und negativen Flä- chenseite liegen in der Lichtmeridianebene, und ihre Hellig'keitszahlen lassen sich auf dem Stärkemaßstabe = + 0,96 und «= — 0,53 ab-
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V, 202—203. Die Beleachttmg der Kugel, des Cylinders n. des Kegels. 215
lesen. Die Grenzlichtgleichen können auch durch die Berührungs- punkte der Tangenten aus L' an c bestimmt werden.
Bei dem gleichzeitigen Vorhandensein ft^wfer Kegeläste bemerkt man aus der Lage einer Berührungsebene , daß die äußere Seite des einen Astes die Fortsetzung der inneren Seite des anderen Astes ist; so daß die positiven Lichtgleichen, welche wir bei dem unteren Äste außen annehmen , bei dem oberen nach innen gelangen ^ die negativen dagegen auf dem unteren Aste innen^ auf dem oberen außen liegen.
208. Um den Schlagschatten in dem Inneren des oberen Kegel- igstes zu bestimmen, der von dessen Grenzkreis d (Mittelpunkt T) ge- worfen wird, lege man durch einen Punkt C desselben den Lichtstrahl, vig. a'a' durch diesen und die Spitze S des Kegels eine Hilfsebene, welche die Ebene des d in KC schneidet, wenn diese Ebene von dem durch S gelegten Lichtstrahle in K getroffen wird (T'K'= T'K'"). Schnei- det K'C den d\ außer in C, noch in H\ so enthält die Hilfs- ebene die Erzeugende SH des Kegels, und deren Schnittpunkt mit jenem durch C geführten Lichtstrahle ist der gesuchte Schatten G^ «>yon (7. Der S(;hatten beginnt in den Berührungspunkten der aus K' an d' gezogenen Tangenten, d. i. in den Punkten 0 der Licht- gleichen. Um seine Punkte in der Lichtmeridianebene zu finden, dreht man diese um die Axe a in die Hauptmeridianebene, so erhält man B^ als Schatten von JB {B'"B^ \\ T", TB^ = Abstand B^ von a").
Geometrisch kann man den Schlagschatten fortsetzen als Schnitt des durch d gehenden Lichtstrahlencylinders mit dem Kegel, und insbesondere noch den Punkt Ä^ im Lichtmeridiane bestimmen. Der Schnitt dieser Flächen besteht aus dem Kreise d und dem ge- suchten Schlagschatten, und der letztere ist ebenfalls eine ebene Kurve, daher ein Kegelschnitt. Denn, entsprechend wie in Nr. 67, schneidet die durch die drei Punkte 0, 0, A^ der Schattenkurve ge- legte Ebene beide Flächen in Kegelschnitten, welche diese drei Punkte und die Tangenten in jedem der Punkte 0 gemein haben, letzteres, weil in jedem dieser Punkte beide Flächen zur gemein- schaftlichen Berührungsebene die Ebene der Tangente der d und eines Lichtstrahles besitzen. Daher fallen beide Kegelschnitte ganz zusammen, und der Schatten von d ist dieser Kegelschnitt; derselbe bildet bei Parallelbeleuchtung eine Ellipse. Ihre erste Projektion hat A^B^ zur großen Axe, T zum einen Brennpunkte (57), während die kleine Axe gleich dem Durchmesser von d ist; und sind a, b, e ihre Halbaxen und Excentricität, so ergibt sich J.^ aus T, B^y b durch A, r. TB^ = b\ weil a^ = 6« + ^, daher (a + e){a — e)^ b\
Die Schatten von d auf P^ und Fg sind bezw. ein mit d gleicher Kreis d^ (nicht gezeichnet) und eine damit affine Ellipse d^, deren
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216
V, 203—204. Die Beleuchtung krummer Flächen.
Fig. 96,
Mittelpunkte T^, T^ sind. Für '^xV = ^xV können die Axen von dg nach Nr. 195 bestimmt werden, aber auch in folgender noch etwas vereinfachter Weise unter Entbehren von dj. Aus der Mitte F von T^' T^ als Mittelpunkt legt man einen Kreis durch T^ (und T,), welcher x xa G treffe; dann liegt die eine Axe von d^ in T^G, die andere steht darauf senkrecht. Zeichnet man aus T^ als Mittel- punkt einen dem d^ (und d) gleichen Ereis, so werden aus dessen Schnittpunkten mit den Axen der d^ durch Parallele zu x unter Vertauschung der Linien der Axen ihre Endpunkte bestimmt (be- gründet in Fig. 91 durch die gleiche Neigung der Linien C^^E, G^F und Cg E, C\ F gegen x).
204. Ein zweites Verfahren zur Bestimmung der Lichtgleichen be- steht darin ; daß man zuerst die Helligkeit der beiden, in der Lichi- meridianebene liegendeu, Punkte größter und kleinster Helligkeit be- stimmt, wobei das Wort „kleinste" in physikalischem oder nur in
geometrischem Sinne zu nehmen ist, und dazwischen den Stärkemaßstab einschaltet. Zu dem ^nde dreht man bei der angenommenen aufrechten Stellung den Lichtmeridian in den Hauptmeridian, wodurch die Erzeu- genden SF und SG nach S"F" und S"G"\ und l nach V" gelangen. Zu r" zieht man die Senkrechte Ä" L, trägt auf derselben je fünf gleiche Teile von S" bis 1. und bis — 1., zieht aus S" durch 1. und — 1. einen Kreis, so werden die durch die Teilungs- punkte zur Maßstabslinie gezogenen Senkrechten auf dem Kreise die Punkte der Strahlen des Tangentialbüschels bestimmen. Schneiden nun S''F" und S"G"' jenen Kreis in jF'" bezw. G'", und fallt man die Senkrechten ^"JF\, G"' G^ auf die Linie des Maßstabes, so geben die Fußpunkte JF\, G^ auf demselben die Helligkeiten des Kegels in jF und G (0,96 und — 0,53) an. Da aber jede der Erzeugenden den Kreis in zwei Punkten trifft, so ist zu beachten, daß JF"', G'" so gewählt werden müssen, daß F'"G'" parallel zur Kegelaxe ist. Denn nur dadurch wird erreicht, daß wenn <^ FSG =• 0 wird, beide Er- zeugende gleiche Helligkeit mit entgegengesetzten Vorzeichen erhal- ten, wie es sein muß, daß dann beim Wachsen dieses Winkels diese entgegengesetzten Zeichen erhalten bleiben, bis eine der Erzeugen- den in l übergeht, und daß von da an gleiche Zeichen eintreten.
JLL
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V, 204—206. Die Beleuchtang der Kugel, des CylinderB u. des Kegels. 217
Zieht man nun in F' und G' Senkrechte zu V und schaltet zwischen sie F^ G^ = F^ G^ ein und überträgt alle zwischenliegende Teilungspunkte des Stärkemaßstabes^ so erhält man aus ihnen durch Senkrechte zu V die Punkte der Lichtgleichen auf dem Kreise c. Ist^ F* G' > F^Gif so nimmt man ein Mehrfaches von jF\ Gj und seiner Teile.
206. Äufg. Die Lichtgleichen eines Umdrehungskegels zu bestim- men, dessen Axe gegen beide Projektionsebenen geneigt ist und in dessen
Inneres Licht eindringt.
Fig. 97.
' / .M'^'nfxW 77'
'*<- H^\:\ VV"- **--'
Aufl. Liege die Spitze S des Kegels in P^, sei M {M', M") Fig. 97. der Mittelpunkt und r =^ S'R der Halbmesser des Grundkreises, so ist dessen erste Projektion eine Ellipse vom Mittelpunkte M', deren
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218 V, 205. Die BelenchtoDg krummer Flächen.
große Halbaxe J_ S'M' und «= r, deren kleine Halbaxe in S'JT liegt und gleich dem Abstände des R von S'M' ist, wenn SR = r in der mit ihrer ersten projicirenden Ebene umgelegten Höhenlinie ^M, nämlich in S'Jf'", liegt, wobei M'M'"± S' M' und = M^if', weil dieser Abstand = r cos Jtf'Jtf'"/S'; dieser Winkel aber der- jenige jener kleinen Halbaxe mit dem sich in ihn projicirenden Ereishalbmesser ist. Übereinstimmend suche man die zweite Pro- jektion des Grundkreises. — Sei ferner ML der Lichtstrahl, L seine erste Spur, so ist SML die Lichtmeridianebene, und diese legen wir, zur Benutzung des zweiten Verfahrens (vor. Nr.), um S' V in Pj nach S'M'^V um, wobei M'M'^±S'L\ S'M'^ = S'M"' ist; der umgelegte Lichtmeridian ist dann das gleichschenklige Dreieck S'F'^G'^, wenn F'^M'^G''' ± S'M'^'^M'^F'^ = M'^G'^ = r. In der Ebene des Lichtmeridianes bildet man dann den Stärkemaß- stab des Tangentialbüschels, indem man die S' — 1. _L M^^L' zieht und darauf von 8' aus nach beiden Seiten gleiche Längen von passender Größe aufträgt, deren fünf = ä — 1. etwa = fr sind. Dann legt man aus S' durch — 1. einen Kreis, schneidet ihn mit SF^^ und SG^^ bezw. in F^ und G^, derart aber, daß F^G^ II S'M'^, zieht F^F^ und G^G^±S'—\., so geben die Fuß- punkte die größte und kleinste vorkommende Helligkeit (+ 0,41 und «= — 0,89) an. — Die Punkte -F, G des Lichtmeridians an dem Kegel selbst liegen auf dem Durchmesser, welcher M mit dem Schnitt- punkte X von S' U mit M^^G^^ verbindet. Da X unzugänglich, ist ein mit V M^^M' paralleles Hilfsdreieck K'N^^N' benutzt {K"N"\L"M'). Dann zieht man in jeder Projektion in i^ und ß die Tangenten au die Ellipse (etwa vermittelst konjugirter Sehnen) und schaltet zwischen sie das Stück F^ G^ des Stärkemaßstabes ein, z. B. = F^ G^, so bestimmen die durch die Teilungspunkte gezo- genen Parallelen zu den Tangenten die Lichtgleichenpunkte auf der Ellipse, und dadurch die Lichtgleichen. — Dies Verfahren dürfte hier etwas kürzer, als das der Nr. 202 sein, weil an die Stelle der Teilung einer gegebenen Strecke in jeder Projektion das Weitertragen einer willkürlichen Strecke und dann das Übertragen einer Teilung tritt.
Der ScMagschaüen des Grenzhreises im Inneren wird im Grund- und Aufriß gleichartig konstruirt; betrachten wir den Aufriß. Die durch 2^', G" gelegten Lichtstrahlen schneiden bezw. auf S"G", S"F" die Schattenpunkte -Fj, G^ ein, welche einen Durchmesser der Schattenellipse begrenzen, und deren Mittelpunkt J* bestimmen. Ist (t, unerreichbar, so zieht man F^JT durch den Mittelpunkt R, der Sehne 00 der Schattenellipse imd macht F^J ^=^ J^^J^^ wenn J^
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V, 206—206. Die Beleuchtung der UmdrehüDgsfl&che. 219
der Schnittpunkt von Jtf"L" mit iS"ö", also die Mitte von F^G", wenn J,J^ || F^HJ und J^ auf G" G^ ; {J^J^ = ^F^^x)- Der zu F^J konjugirte Durchmesser ist || 00 und gleich dem dazu parallelen Durchmesser der Grenzellipse, JF # M"Q, Aus den konjugirten Halbdurchmessem JF^^ JP sind die angedeuteten Halbaxen kon- struirt und vermittelst dieser die (durch 00 gehende) Ellipse ge- zeichnet
Zur Bestimmung des Schattens des Kegels auf Pj und Pj sucht man die Schatten des Grundkreises vermittelst der Schatten zweier konjugirten Durchmesser, wozu in jeder Projektion die Axen gewählt sind, und bestimmt aus denselben die Axen der Schattenellipsen.
HI. Die Beleuchtung der Umdrehnngefläohe.
206, Aufg. Die Lichtgleichen einer Umdrehungsfläche m bestim- men. Dieselbe sei ein Ring, und ihre Äxe a stehe J_ Pj.
Aufl, 1) Bei dem Verfahren der Parallelkreise wird dessen Starke- iwg. maßstab mittelst einer entlang dieses Kreises die Fläche berührenden Kugel, wie bei dem Kegel (202), bestimmt. Sei wieder Z'" der mit der Lichtmeridianebene in die Hauptmeridianebene gedrehte Licht- strahl, und X seine Neigung gegen Pj. Von dem beliebigen Parallel- kreise p sei M^ der Mittelpunkt, P ein Punkt auf dem Hauptmeri- diane, PN=n die Normale in P (N auf a), MiN^=s die Sub- normale. Man trage nun den Stärkemaßstab fürjp auf einer Parallelen m zu r auf, welche von der J_ V durch M' gelegten Geraden in Q ge- troffen wird. Auf m trägt man (202) QO == s ig X in einem solchen Sinne auf, daß eine _L l durch N gelegte Ebene den Punkt 0 enthält, macht dann 0 1. = n sec A, teilt 0 1. in fünf gleiche Teile, welche man von 0 aus auch in entgegengesetztem Sinne weiter trägt, zieht durch die Teilungspunkte Parallele zu QM\ so schneiden diese auf p die Lichtgleichenpunkte ein. Auf dem mit p in derselben Ebene liegenden Parallelkreise Pi liegen die Lichtgleichenpunkte den gleich- bezifferten von p diametral gegenüber, und auf den beiden Parallel- kreisen, welche p und p^ symmetrisch in Bezug auf den Mittelpunkt M der Fläche gegenüber liegen, gilt dies auch von den Lidit- gleichenpunkten. In der Figur sind besonders für den größten und kleinsten Parallelkreis (s = 0) die Lichtgleichenpunkte bestimmt.
2) Bei dem Verfahren der Meridiane wird der entlang des Meri- dians berührende Cylinder benutzt (195); es ist aber im allgemeinen nur vorteilhaft bei Kreismeridianen, also in unserem Falle. In der LidUmeridianeibene zieht man nach ihrer Drehung in die Haupt- meridianebene (Fig. a) den mit Z'" parallelen Durchmesser 1.0 — 1.,
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V, 206. Die BeleuchtoDg krammer Flächen.
teilt ihn in 2 X 5 = 10 gleiche Teile, so bestimmen die durch die Teilungspunkte gezogenen Senkrechten zu V" auf dem Meridiane die Lichtgleichenpunk t^, die man vermittelst ihrer Abstände von
,.^y^'" ?^JÄ' \
dem mit a parallelen Durchmesser U^ in den Grundriß auf l\ und von da in den Aufriß überträgt. In den so gewonnenen Punkten sind die Tangenten der Lichtgleichen senkrecht auf der Lichtmeri- dianebene. — Der Meridian^ dessen Ebene senkrecht [auf der Licht-
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V, 206—207. Die Beleuchtung der ümdrehnngsflache. 221
meridianebene steht, sei ebenfalls in Fig. a dargestellt. Dann ist U^ die Projektion eines Lichtstrahles auf seine Ebene, der Grundwinkel ist 90^ — 1, die Einheit des Stärkemaßstabes 0 1/ = (0 1.) sec (90^ — l) wird durch die Tangente des Kreises in 1. abgeschnitten , so daß jene J_ T" gezogenen Geraden auch auf 0 1.' den Stärkemaßstab einschneiden. Die durch dessen Teilungspunkte _L U^ gezogenen Geraden bestimmen die Lichtgleichenpunkte ^ welche in den Grund- und Aufriß übertragen werden. — Im Hcmptmeridiane zieht man den zu V parallelen Halbmesser 0"J.", legt dessen zweite projicirende Ebene in die Hauptmeridianebene um, wobei der Punkt A des Licht- strahles nach -4^*^ gelangt {A" A^^ 1.1" und = Abstand des J. von der Hauptmeridianebene), so ist A" 0" A^^ die Grundneigung, und 0" B =^ 0" A^^ die Einheit des Stärkemaßstabes, wodurch die Licht- gleichenpunkte des Hauptmeridianes im Aufriß und daraus im Grund- riß bestimmt werden. Mit demselben stimmt der in Bezug auf die Lichtmeridianebene symmetrische Meridian überein, dessen Ebene in unserem Falle auf P, senkrecht steht. — In ähnlicher Weise können die Punkte auf einem beliebigen Meridiane gefunden werden.
207« Einige der Lichtgleichen (6, 8) besitzen äußerste Punkte, das sind solche, in welchen sie von einem Meridiane der Fläche berührt werden. Um dieselben, z. B. auf der 8, zu finden, denken wir uns in Fig. a die Kugel, welche die »Fläche nach einem der Kreise des Lichtmeridians berührt, in ihrer Projektion auf dessen Ebene dar- gestellt. Die Gerade 8^^ stellt die Lichtgleiche 8 dieser Kugel dar, woraus sich die Spitze D (auf V") des der Kugel nach 8 umschrie- benen Kegels durch eine Tangente oder durch OD *=^ -^xO\.
(weil 02). 08=02). y=l*) bestimmt. Die |] P^ durch 2) gelegte Ebene schneidet die Kugel in einem Kreise Ä, und dieser stellt sich, wenn man durch Parallelverschiebung der Kugel ihren Mittel- punkt nach M gebracht denkt, im Grundriß als der Kreis h' mit dem Mittelpunkte M' dar. Überträgt man dann die Spitze 2) des Kegels auf V nach 2)' (Jtf'2)' = CD in Fig. a) und zieht aus 2)' die Tangenten an V, so sind dies Erzeugende des Kegels, stehen daher senkrecht auf der Berüfhrungskurve 8, sowohl im Räume, als im Grundriß auf der (elliptischen) Projektion der 8 (weil jene Tan- genten y P,), so daß die bezw. auf ihnen senkrechten M' E^y M'F^ Tangenten dieser Ellipsen, und ^/, F^ äußerste Punkte derselben sind. Da nun aus jedem Punkte der 8 der Kugel durch Parallelverschie- bung senkrecht zu a um m = M!' 0" ein Punkt der 8 des Ringes entsteht, so sind M'E^, M'F^ auch Tangenten an die 8 des Ringes,
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222
y, 207—208. Die Belenohtang krammer Flächea
und auf jeder liegen zwei äußerste Punkte, so E\ Fy für welche die Abstände von E^, i^/, so E^E\ F^F\ =±_m sind.
Vorteilhaft dürfte es sein, zuerst die Punkte auf den Meridianen zu bestimmen in der zu l parallelen, in der darauf senkrechten, in der zu "B^ parallelen und in der zu dieser in Bezug auf die Licht- meridianebene symmetrischen Ebene; sodann die Punkte auf dem größten Parallelkreise und auf dem größeren der beiden, welche die äußersten Punkte (D, JE?) von 8 enthalten, und aus diesen die Punkte auf den anderen Parallelkreisen derselben Ebenen und auf den Parallelkreisen der in Bezug auf M symmetrischen Ebenen. •
208. Wir werden öfter das folgende Verfahren zur Bestim- Fig. 99. mung des Krümmungshalbmessers einer Kurve gebrauchen. Ist von
Fig. 99.
einem Kreise M^ der Mittelpunkt, M^ -4^ «= r^ ein Halbmesser, yi = D^Bj^ ^=> — D^ C^ eine auf Ml Ai senkrechte Ordinate, x^ = Ä^B^y so ist y^^ = x^ {2r^ — a:J, und für x^ un- endlich klein
Vi^^^r^^ij
2 X,
Im allgemeinen ist r^ und damit das Verhältnis von y^^ und x^ end- lich, so daß y^ = Q\ x^ = 0*. Die besonderen Fälle sind durch die Bemerkung erledigt, daß bei x^ = 0« für w < 2, r^ = 0, für n > 2, rj = oo wird.
Ist für eine beliebige Kurve A T die Tangente in ihrem Punkte Ay BC=2y eine benachbarte mit AT parallele Sehne, AB = x die von^ auf JBC geföllte Senkrechte, E der Mittelpunkt von JBC, ^BAE = Uy so ist
BB = y + xtga = yy BC = - y + xiga = —y y weil xiga unendlich klein gegen y. Daher sind die Halbmesser der die ^T in ^ berührenden Kreise, deren einer durch JB, der andere durch C geht, bezw.
= -« - = r und =
1 BC^
2 X
oder beide Kreise fallen zusammen, der Krümmungshalbmesser r ist daher unabhängig vom Winkel a. •
Findet man nun bei der Vergleichung zweier von einander ab- hängigen Kurven, von deren einer der Krümmungshalbmesser r^ be- kannt ist, die Beziehung
so ist
X = ax
= ^ yl
2 X
hl 7
2 ax. a ^
17 y =
1 6«y,« 1
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y, 208 — 209. Die Belenchtang der ümdrehuDgafläche.
223
Fig. 100.
Es bestehen daher die Verhältnisse, wenn 6 = 1 oder y = y^, r : r, = 1 : a = a?i : a; , wenn a = 1 oder x = x^, r : r, = 6^ : 1 = t/* : y^^.
209. Die Projektionen der Lichtgleichen des Ringes auf eine zur Ringaxe senkrechte Ebene, oder die Grundrißlichtgleichen, kön- nen als Konchoiden der Lichtgleichen einer Kugel angesehen wer- den, ebenso wie es bei der Lichtgleiche Null oder der Eigenschatten- grenze der Fall war (173). Zur leichteren Verzeichnung einer solchen verallgemeinerten Konchoide wollen wir einen Satz aufsuchen, der Ähnliches über ihren Krümmungshalbmesser ausspricht, wie der in Nr. 174 entwickelte bekannte Satz über ihre Subnormale. Sei c Fig. loo. die Konchoide oder eine ihrer Grundkur- ven, P ein Punkt derselben, 0 der Pol, OP=^u der Leitstrahl, 00' der positive Sinn des Leitstrahles, FK die Normale der c in Pj K ihr Krümmungsmittelpunkt in P, Je der Krümmungskreis, PK=> r der Krümmungshalbmesser, 0'PK=ilf sein Winkel mit dem Leitstrahle, Q der dem P benachbarte Punkt der c, daher POQ = (p ein unendlich kleiner Winkel (0^) und OQ =^u' der benachbarte Leitstrahl der c. Da OQ den Krümmungskreis Tc in einem Punkte schneidet, dessen Abstand von Q, außer wenn ^ = 90^ (210), wenigstens un- endlich klein von der dritten Ordnung (0^) ist (1, 237), bei der Bestimmung des Krüm- mungshalbmessers aber nur 0* in Betracht kommt, so haben wir Q als einen gemein- schaftlichen Punkt von c und Tc anzusehen. Um u durch u, tp, t^, r auszudrücken, schneide man die in P berührende Tangente PS der c mit 0^ in 5, so ist OQ = OS + SQ. Es ergibt aber das Dreieck OPiS
OS=OP ,-
sin (90^ + ip)
u
8in(90**— 1^-
COBtff -
■9)
coat^
cos (!/> + 9>)
cos if) cos q> — sin ijf sin tp cos tp — tg i^ sin 9 ^ oder, wenn man
cos 9) s« 1 — ^9*, sin 9 = 9)
setzt, indem man die Reihen bis zur zweiten Potenz von 9 beibehält,
0S =
1 — iy'—ytg'V'
u{l + q>tgt + q>Hg^tl; + 1^q>'),
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224 V, 209. Die Belenchtang krummer Fl&chen.
Um SQ auszudrücken^ ziehe man QRA.PS, und setze PR = y, RQ = Xy so ist y* = 2rx,
Darin ist y = PS + SR] und da aus dem Dreiecke OPS
PS = u
Bin <p U(p
Bin (90° — ijf — 9) COB -^
ist, indem in dem Ausdrucke von PS = 0^ die fp gegen t weg- fällt, da sie mit dem tp des Zählers ein 0^ hervorbringen würde, so folgt
indem SiJ und SQ mit jR^ gleich 0* sind. Andererseits liefert das Dreieck SRQ
BQ = x^SQ cos (^ + y) = SQ cos ^ .
Diese Werte von y^ und a: in y' == 2rx eingeführt, geben
^ 2r coB^i/; Daher wird
OÖ==OS+S<2 = « + «p«tgV'+9*(;+MtgV + 2-t8>)- (1)
Bezeichnet man die Glieder dieses Ausdrucks der Reihe nach mit 1, 2, 3, 4, 5, so kann man diese Formel aus Fig. 100 a) ab- lesen. — Um nun die einzelnen Ausdrücke zu konstruiren, zieht man die ONJL OP, schneidet sie mit PK in N, so ist NP = n die Normale, ON =» s die Subnormale von c in P; zieht man dann die NVA. PN und schneidet sie mit OP in F, so ist offenbar, wenn VO mit v bezeichnet wird,
5 = M tg ^, VO = V = utg^ iffA
^ ^* ^' TrT> I (^)
n= -, —^~t== — :=:z.VP'nA
COStp' C08*t/; U -^
Zieht man ferner 0T\\ PN, NT^ PO, schneidet beide Linien in T, so ist TO = NP = n ; macht man dann auf PK die KL = PK=r, so daß PL = 2r, zieht TIFII VL, und schneidet sie mit OP in W, so ist (Gl. 2)
OW = TO ~ = %^^ = -^ ^-^^=w, (3)
FL 2r 2r cos" \p ^ ^ ^
indem wir OW =^ w setzen, und ferner
Fir = VO + 0 W= u tg« ^ + —-3— = r +
w.
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y, 209. Die Belenchtung der ümdrehongsfläcbe.
225
Fig. 101.
Man erhält daher aus Gl. (1) ,
OQ = ii + q>s + q>' (^ + V + wy
Gelten diese Bezeichnungen fQr die Konchoide und gelten fQr die Grundkurven der Reihe nach die Bezeichnungen m^, Ug . . ., s^f s^ . , ., im allgemeinen Uij Si . . .^ so ist
OQ=OQ, + OQ,+ ... =i:OQi,
Diese Ausdrücke sind bei den bis zu Null abnehmenden Werten von q> nur gleich^ wenn die Glieder mit übereinstimmen- den Potenzen für sich gleich ^ , sind. Es ist daher \
v + w^2:{Vi + Wi). (5) \ Die erste dieser drei Gleichungen bestimmt die Punkte, die zweite die Tan- genten, die dritte die Krüm- mungshalbmesser der Kon- choide. Die zweite enthält wieder den Subtangentensatz (174), die dritte einen ent- sprechenden Satz mr Bestim- mung des Krümmungshalbmes- sers der Konchoide, welcher sagt, daß die Strecke V W (= V -\- w) der Kondmde gleich der Summe der Sirecken Vi Wi der Grundkurven ist. Dabei konstruirt man in der ange- gebenen Weise das FiTFi der Grundkurven aus iljren Krüm- mungshalbmessern und dann umgekehrt aus dem V W der Konchoide deren Krümmungs- halbmesser.
Wählt man in einem Beispiele als Grundkurven ewei Kreise ij'ig loi. Ci, Cs, woraus mit dem Pole 0 die Konchoide c entsteht, so ist für einen Punkt P der c die PN die Normale, wenn
Wiener, Lehrbaoh der darttellenden Geometrie, ü. 15
Pit^Ä-
'k
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226 V, 209—210. Die Beleuchtung krummer Flachen.
ON^ON^ + ON^.
Ferner werden V^Wi und V^W^ aus der angegebenen Konstruktion erhalten. Bestimmt man daher V und T aus N^ und macht VW = FiTTi + FjTTa, so schneidet die zu TW parallele VL die Nor- male NP in i, so daß PL ein Durchmesser des Krümmungskreises ist Eine etwaige Unsicherheit des Schnittes L läßt sich beseitigen^ wenn man P F um P und 0 W um 0 in gleichem Drehungssinne in die günstigen parallelen Lagen PV und OW' (nicht gezeichnet) dreht, und dann V'L \\ W'T zieht (weil A PFi ~ A OWT). Da in der Figur der Krümmungskreis von c in P zufallig ganz im Äußeren, diejenigen für Q* und einen anderen gleichartigen Punkt ganz im Inneren von c liegen, so liegen die zugehörigen Krümmungs- mittelpunkte nahe bei Spitzen der Evolute von c, wodurch diese teilweise verzeichnet werden konnte.
210. Besondere Punkte der verallgemeinerten Konchaide.
1) Berührt ein Leitstrahl eine der Grundkurven ^ etwa Cj, so be- rührt er auch die Konchoide c, weil dann die Subnormale für die erstere, und daher auch die für die letztere Kurve unendlich wird. Es triflft dies für Öi und Q, Q* zu.
Femer wird, da V'i = * = 90° (vergl. Fig. 100), nach Gl. (3) der vor. Nr. w^ = Uj^ : 2r^ cos' V'i = oo; daher fallen im Ausdrucke w=^ ZWi die w^y w^ ,,, weg, oder r hängt nur von r^ ab. Es wird dann auch m* : 2r cos' ^ = 00, woraus aber wegen cos V' = 0? r unbestimmt bleibt Die geometrische Betrachtung zeigt jedoch für Q^ und Q (vergl. die Fig. 101), wenn 9) = a; : m, daß
y^ = 2rx, yi^ = 2r^Xi, y = yi, x = g)U, rCi=9)Ui, daher
2rx == 2rj^Xi , ru = r^u^ oder r : r^ = Wj : u\ (6)
es verhalten sich also die Krümmungshalbmesser umgekehrt um die Leitstrahlen. Daher wird der Krümmungsmittelpunkt K' für Q aus demjenigen K^ für Qj^ konstruirt, wenn man auf OQ die ÖC = 0 öl aufträgt und Q' K^ mit der Normale QK" der c in K' schneidet.
Berührt ein Leitstrahl mehrere Grundkurven c^, C2 . . ., im allgemeinen o^, so ist
y = y2rx=^y2^yrü, yh = V2q>yrHUH, y = SyHy
Yrü = zynüh.
2) Fallen die Normalen aller Orundkurven in den LeitstrcM^ so gilt dies auch für die Konchoide; es werden alle ^, alle s und
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V, 210—211. Die Beleuohtang der ümdrehnngsfläche. 227
auch alle v zu Null. Aus den Gleichungen (5) und (3) ergibt sich dann^ da cos^ *:= 1,
w
.^n, 'y-2'i-
3) Geht eine der Grundkurveny etwa c^, durch den Ursprung 0, so liefert diese auf jedem Leitstrahle einen Wert u^^^O und außer- dem noch andere Werte^ entsprechend den anderen Schnittpunkten des Leitstrahles mit c^ . Die Eonchoide zerfallt daher in zwei Aste, wovon der erste die Konchoide ist, welche jene Grundkurve c^ ent- behrt, der zweite aber derjenige, bei welchem alle Werte von u^ außer dem zu Null gewordenen zur Wirkung gelangen. In dem- jenigen Leitstrahle, welcher die c^ in 0 berührt, schneiden sich beide Äste und bilden einen Doppelpunkt Bei der Bestimmung der Tangente und des Krümmungshalbmessers des zweiten Eurvenastes in dem Doppelpunkte ist zu beachten, daß die Subnormale s^ der c^ in 0 gleich ihrem doppelten
Erümmungshalbmesser r^ ist {s^ «= 2ri). Denn ist ^ » ^ ^^*'
Pi der dem 0 benachbarte Punkt der c^, ON^ J_ OP^, PiJVi die Normale der c^ in P^, so ist ON^ =■ s, ; ist femer OK^ die Normale der c^ in 0, welche die P^N^ die K^ trifft, so ist OK^ = P^^K^ = ri; und da ON^ parallel der Höhenlinie üiZ, des gleichschenk- ligen Dreiecks OP^K^^ so ist Ä^^^ = P^^^ ==» r^, daher in der Grenze s^ — ON^ — P^N^ = 2r^ .
211. Wenden wir diese Ergebnisse auf die Crrundrißlichtgleichen des Binges F an. Für die koncentrische Eugel E, deren größter Fig. los. Ereis gleich einem Meridiankreise der F (173), ist die Grundriß- lichtgleiche eine Ellipse; und es hat z. B. diejenige 8 die Punkte ^1, Bi zu Scheiteln der in l liegenden kleinen und daher Mi C^ zur Linie ihrer großen Axe. Aus einer solchen Ellipse erhält man die entsprechende Lichtgleiche des Ringes durch Verschiebung eines jeden Punktes in der durch den Mittelpunkt M der F gehen- den Richtung um die unveränderliche Länge m, dem Abstände des Meridianmittelpunktes der F von M. So entstehen aus A^ und B^ die vier Punkte A, ^♦, JB, JB*, indem A^A — — A^A* — B^B ■« — B^B^ = w. Die Lichtgleiche des Ringes ist eine Eonchoide, deren Grundkurven c^ und c^ bezw. die Ellipse ^^O^Pj und der aus M mit dem Halbmesser m beschriebene Ereis Tc sind. Man kann daher die Tangente der Konchoide in jedem ihrer Punkte leicht be- stimmen, da ihre Subnormale und die der Ellipse für den entspre- chenden Punkt zusammenfallen, weil die des Ereises Null ist
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y, 211. Die Belenchtang krammer Flächen.
Für die ErümmungsJuilbmesser der Konchoide in ihren Scheitdn A, Ä*, By B* gilt nach Nr, 210, 2):
Für die Ellipse wird der Krümmungshalbmesser r^ =: A^K^ = Ai Kl der Fig, d) bestimmt, wenn man diese Linie _L a von A^ bis
|
\ |
Fig. |
103. |
|
1 |
a i -i ■ |
Jf/ auf r" zieht; denn K^ ist (ebenso wie D) die Spitze eines über 8 gelegten geraden Ereiskegels, und JT/ der Schnittpunkt der mit F^ parallelen Normalen zweier benachbarten Punkte der Grundriß- lichtgleiche 8 in Ai] oder weil sich in Fig. a) A(K^ = a*: 6 der Grundrißellipse 8 ergibt. Entsprechend ergibt sich für den Kreis Jz die Ug = r^ «» w, daher
^ = ^ + m,
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V, 211—212. Die Beleachtung der Umdrehungsfläche. 229
wobei + oder — gilt, je nachdem r^ und r^ gleiche oder ent- gegengesetzte Sinne besitzen. Demnach gilt -{- für A* und B, — für Ä und J5* Zieht man nun AJA. MA und = MA = u, und zeichnet MJ, so schneidet diese Linie auf allen Senkrechten zu l das u des Fußpunktes ab, so auch A^J^^ «= u^ = -Sf^n die JiQj^KiJ^ bestimmt dann auf l die A^Q ^^Uj^ ir^. Dann sind AQ und A*Q bezw. = Mj* : r^ + w. Trägt man nun in ungeän- dertem Sinne auf l die AR = A*Q und die A^R* = AQ ab und zieht JKJuRJ, J*K* J.R*J*f so bestimmen diese Linien auf Z die Erümmungsmittelpunkte K und Z^* für A und -4*. Denn es
ist z. B. ^* - w = ^*^ = ^^ = I? =" Ä' ^**^^^ ^ir= r.
Liegen die Scheitel in einem ümrißJcreise, so findet man diesen als Erümmungskreis. Für B und B* ist dies nahezu der Fall.
Eine aus M an die Ellipse A^ C^ B^ gezogene Tangente berührt diese in E^^ (aus Fig. a) durch D und k nach Nr. 207 erhalten) und die Konchoide in E und E"*, wobei E^E ==^ — E^E"^ ^^^ m . Bestimmt man Kxxi E^D' mittelst der Linie M-^C^ der großen Axe nach 1,392,3) den Krümmungshalbmesser E^L^ der Ellipse, verschiebt ME^ in seiner Linie nach ^F und nach i?* J'* so schneiden ijjF und i^i^* bezw. auf den Normalen der Konchoide in E und E* deren Krüm- mungsmittelpunkte L und L* ein (210, 1)).
Die Grenzlichtgleiche enthält auch Scheitel auf dem zu l senk- rechten Durchmesser des größten und kleinsten Parallelkreises, in denen die Krümmungshalbmesser ebenso wie in den Scheiteln auf l (aber auch in der Weise der Nr. 184) bestimmt werden können.
212. Die Lichtgleiche von der Helligkeit der zur Umdrehungs- axe a der F senkrechten Ebene Pj (= 0,57) enthält als Bestandteile den höchsten und tiefsten Parallelkreis k und noch eine andere Kurve, welche die Kreise k in den Doppelpunkten G und G* schneidet. Die entsprechende Lichtgleiche der Kugel K hat zum Grundriß eine durch M gehende Ellipse, deren Tangente in M (J_ T) die Doppel- punkte G, G* der Konchoide enhält. Es ist dies der in Nr. 210, 3) betrachtete Fall, in welchem eine Grundkurve durch den Ursprung der Leitstrahlen geht. Bestimmt man den Krümmungshalbmesser MKq = r^ (= M'Eq der Fig. a)) der Ellipse in M und verlängert ihn über K^ um sich selbst bis H {MH = 2r^f so ist MH die Subnormale der Ellipse in M (210, 3)), und auch die der Konchoide, da die Subnormale der zweiten Grundkurve, des Kreises aus M, Null ist. Also sind GH und G*S die Normalen der Konchoide in G und G*.
Zur Bestimmung des Krümmungshalbmessers der Konchoide in
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230 V, 212-213. Die Belenchtong krummer Flächen.
G ist das allgemeine Verfahren unbrauchbar , weil fär die Ellipse v unendlich und t; + «; unbestimmt wird. Eine ursprüngliche Be- trachtung zeigt aber^ daß der Strahl MG der Eonchoide die Lange m, der benachbarte die Länge m -\' 2rQfp besitzt. Dies gleich dem Ausdrucke derselben Länge (1) in Nr. 209 gesetzt^ gibt
w + 9 . 2 ro = M + 9 . M tg ^ + 9)2 ^y + u tg« ^ + ^iT^?^) * Daraus folgt u^^^my tg ^ «= — ^,
also ^ = <^ MGHy wie schon bemerkt, und
^ + m tg«^ + -r-^^V- = 0,
und hieraus r ■= -r-i — r-^ —
cos ^ 1 + sm* -^
Da GH = GM : cos ^ = -71»: cos ^, so ergibt sich r = GS, wenn man HP±HG und = HM, HU ± GP bis U auf GP, US±GH bis 8 B,xii GH zieht, weü GP« = (?IP + fi^P« = (?fi«(l+ sinV); daher G8=GU{GH: GP) = GH(GH^ : GP^) = ( — m : cos V') : (1 + sin* V') = ^•
Bildet, wie bei unserer Annahme, der Lichtstrahl gleiche Win- kel mit Fj und P, , so sind diejenigen Punkte der ümrißkreise des Grundrisses Punkte unserer Lichtgleiche, in denen die Berührungs- ebenen H P2 sind ; und ebenso deren zu l symmetrische Punkte.
Wir wollen eine Lichtgleiche dann Typuslichtgleiche*) nennen, wenn sie als Bestandteil eine Kurve enthält, nach welcher die Fläche von einer Ebene berührt wird. Li die bei ihren Doppelpunkten gebildeten Ecken schmiegen sich die benachbarten Lichtgleichen herein.
218. Wir wollen noch eine andere Art der Bestimmung des Krümmungshalbmessers der Typuslichtgleiche in ihrem Doppelpunkte Fig. 104. angeben. Gelten die Bezeichnungen der vor. Nr., seien T und U bezw. die dem M und G benachbarten, sich entsprechenden Punkte der Ellipse und der Typuslichtgleiche, so daß MG = TU'= m, und sei auch auf MU die MV = my sei MTH der aus K^ gezogene Erümmungskreis der Ellipse in üf, seien die unendlich kleinen Winkel G M T '==- MHT = 9, so ist VU = MT = 2ro9),
Zur Bestimmung der Tangente ist die Berücksichtigung der 0'
*) Burmester in s. Th. u. D. der Beleuchtung, 1871, S. 102, hat den Namen Typasisophote für diese Eorve bei ümdrehongsflächen eingeführt.
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y, 218. Die Belenchtung der XJmdrehungsfläche.
231
Fig. 104.
notwendig. Es sind aber die bezw. bei V (in der Grenze) und M rechtwinkligen Dreiecke GFUund GMH ähnlich, weil GViVU^ mq> : 2rQfp= GM: MH\ und da die Katheten des ersten Dreiecks durch Drehung um G um 90^ mit den entsprechenden des zweiten nach Rich- tung und Sinn parallel gemacht wer- den können y so gilt dies auch von den Hypotenusen und es ist das Element G Ü oder die Tangente G W unserer Lichtgleiche 1.GH.
Der Erümmungshälbmesser der Lichtgleiche bei G ist (208)
2 X
1 GW*
2 WU '
Es ist aber GW=GU (=0'^ Unterschied = 0» nach I, 236, 8)), und aus den bezeichneten ähnlichen Dreiecken GU'.GV ^== GH: GM, oder wenn man HG = n setzt,
Cr Tr= GU'=^ mq> .n:m^=^nq>. Zieht man durch V eine Parallele und durch G- eine Senkrechte zu MG, so bilden diese beiden Linien mit der Geraden G W ein zu HMG (m, n, 2r^ ähnliches Dreieck; und da 6?r= 6fF (0*, Unter- schied = 0') = mq> , so ist die in G TT liegende Seite «== ny = G TT, so daß VY durch TT geht, und die dritte Seite YW=2r^(p = VU ist. FäUt man UX± VW, so ist auch VX= VU, daher WX = Yr==imf, XU=VU.ip^2r^q>^', undheiXX'±WU ergibt sich aus der Ähnlichkeit der Dreiecke XTW, UX'X, HMG
Wü= WX' + Tü=WX
+ XU^
Setzt man die gewonnenen Werte von G W und WU in dem Aus-
drucke von r ein, so erhält man
r =
MH=^2r,
Macht man nun in Fig. 103 auf MG die MH^ auf MH die MH^ = HH,, so ist HH^^ -= 2(2r^y « m^ + 8rQ^; bestimmt man dann die Punkte JBg, H^ auf GH^, und
w.
GH^^
09
H^, S auf GH so, daß GH^ = GH, H^H^ || MH, GH^ H^S II MH, so ist GS = r ; denn es ist dann
GH* n»
GH
A)
n Q n TT ^^ n tt ^^
GH,
»Gif,» m' + 9r*
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232
y, 214. Die BelenchtuDg krummer Fl&chen.
214. Die Projektionen der LicMgleichen des Ringes auf die Lickt- meridianebene. Wir bestimmen sie aus den gleichartigen Projektio- nen der Liehtgleichen der mehrerwähnten koncentrischen Kugel, Fig. 106. welche gerade Linien sind. Aus den Meridianpunkten Ä^, B^ der
Fig. 106.
•Z"
r
//
/
y //
' // // //
^/K
ir'
Lichtgleiche 8^ der Kugel ergeben sich die Meridianpunkte Ä, B der Lichtgleiche 8 des Ringes durch Senkrechte zur Umdrehungs- axe a. Aus einem beliebigen Punkte Q der 8^ erhält man den in derselben Parallelkreisebene liegenden Punkt G der 8, indem man diese Ebene mit den beiden Parallelkreisen von den Halbmessern JSDi, ED in die Lichtmeridianebene umlegt^ wobei die aus C^, G entstehenden Punkte C/, C auf demselben Halbmesser EG^ liegen. Weil dabei EG : ED «= EGy^ : ED^ , kann man die Konstruktion abkürzen, indem man durch Gi eine Gerade, vorteilhaft die 8,, zieht, sie mit a in F schneidet, und mit D^F die Parallele DG bis G auf a zeichnet; dann geht die H FG^ durch G gezogene Ge- rade durch C. Es ist vorteilhaft, wie es in der Figur geschehen, zugleich zwei Punkte der 8 zu bestimmen, entsprechend den beiden Schnittpunkten der FD^ mit dem ümrißkreise der Kugel. Die mit 8^ parallele Tangente der 8 erhält man durch die aus F an den Um- rißkreis gezogene Tangente, wie die Figur zeigt (Punkt E der Fig. 103). Die Tangente der Kurve in einem Meridianpunkte, z. B. in A, erhält man, wenn man aus dem Mittelpunkte H des Parallelkreises von A eine Parallele zur Meridiantangente in A (und A^) bis zu J
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y, 214-215. Die Beleuchtung der ümdrehungBfläche. 233
auf 8^ zieht; AJ ist dann die gesuchte Tangente. Denn die Linien- stücke auf der zu HA^A benachbarten parallelen Geraden (der Pro- jektion des benachbarten Parallelkreises), welche zwischen der Sj und der Tangente des Meridianes in A^ und zwischen der Tangente von 8 und der des Meridianes in A enthalten sind, verhalten sich wie HAi : HA^ weil, wenn ED^D dieser benachbarte Parallelkreis wäre, sie sich wie D^C^: DC = ED^ : ED verhalten würden. Zwi- schen den Linien JH, JA^ und zwischen JH, JA liegen aber Stücke einer Senkrechten zu a, welche HA^ und HA selbst sind; und da JH parallel zu den Meridiantangenten, JA^ die 8^ ist, so muß JA parallel zur Tangente an 8 in ^, oder viemehr diese selbst sein.
Aus dieser Tangente erhält man dann leicht den Krümmungs- halbmesser der Grundrißlichtgleiche in ihrem Scheitel A nach dem Ver- fahren der Nr. 57, indem man AJ mit a in i schneidet und LKA_a bis zu K auf der Meridiantangente AK zieht; LK ist dann der gesuchte Krümmungshalbmesser.
215. Die Lichtgleichen der Umdrehungsflächen zweiten Grades werden im allgemeinen am zweckmäßigsten nach dem allgemeinen Verfahren für Umdrehungsflächen konstruirt. Wir werden später auch die den Flächen zweiten Grades eigentümlichen Eigenschaften der Lichtgleichen kennen lernen. Nur bei dem Umdrehungspara- boloide ist die Auf losung einfacher, als bei anderen Flächen zweiten Grades, abgesehen von der Kugel und dem Kegel.
Aufg. Die Lichtgleichen eines TJmdrehungsparaböloides eu bestimmen.
Aufl. Sei A der Scheitel der Fläche, a ihre senkrecht zu Pj pig. io6. gestellte Umdrehungsaxe, F ihr Brennpunkt, sei auf a die AD =^ FA aufgetragen, so ist die durch D JLa gelegt« Ebene, deren zweite Projektion d" ist, die Leitebene der Fläche, welche die Leit- linien der Meridianparabeln enthält; endlich sei der Kreis JB'C die erste Spur der Fläche. Projicirt man einen beliebigen Punkt S (nicht gezeichnet) der Fläche auf die Leitebene nach S\ so ist S'F par- allel mit der Flächennormale in S (I, 220), daher müssen für alle Punkte S einer Lichtgleiche die S'F gleiche Winkel mit dem Licht- strahle bilden, und daher isi die Projektion einer Lichtgleiche des Um- drehungsparaboloides auf seine Leitd)ene der Schnitt dieser Ebene mit dem der Helligkeit der Lichtgleiche zugehörigen Normälkegelj dessen Spitze im Brennpunkte der Fläche liegt. Die Grundrißlichtgleichen sind daher ein Büschel von Kegelschnitten j nämlich die ersten Projektionen des Schnittes der Leitebene mit dem aus F als Mittelpunkt geleg- ten Büschel der Normalkegel.
Zur Konstruktion lege man die Lichtmeridianebene in eine zu
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234
V, 215. Die Beleachtung krummer Fl&ohen.
Pi paralle Ebene um; dabei gelangt a nach a" oder Ä'F'"{±V), F nach r" {A'r" beliebig groß), D nach D"' {F^'B"' = r'B'y
Fig. 106. ?^fl _-;{>'- --Äl
/la'
d nach d'" (J_ a" durch D"')? '^^ wenn der durch F gelegte Licht- strahl l die Leitebene in P trifft, gelangt P nach P'", 2 nach
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V, 216—216. Die Beleuchtang der ümdrehungsfläche. 235
r^F^'P"', wobei ^d"'l"'^L V" ist dann in der ümlegung die Axe des Normalkegelbüscbels, dessen Schnitt mit der Licht- meridianebene der Normalbüschel ist. Die Schnittpunkte seiner Strahlen mit d'" bestimmen dann die Scheitel der Haxi^taxen der Grundrißlichtgleichen. Die Normalkegel 1. und 0 sind bezw. die Gerade l und die darauf senkrechte Ebene, ihre Schnitte mit der Leitebene bezw. der Punkt P und eine Gerade (J_ Q, aus denen der Punkt 1. imd die Grenzlichtgleiche 0 sich ergeben; letztere isi; im Grundriß eine Gerade p J_ l\ und im Räume eine zur Meridian- parabel kongruente Parabel mit dem Scheitel Q. G und B. sind die Scheitel der hier zugefügten Lichtgleiche 9.
Die Nebenaxe einer Grundrißlichtgleiche, z. B. der G'H', liegt in der durch den Mittelpunkt J von GH senkrecht zur Licht- meridianebene geführten Geraden und kann durch deren Schnitt- punkte mit dem Paraboloide oder in der Projektion auf die Leit- ebene durch die Schnittpunkte mit dem Normalkegel begrenzt wer- den; einer der Grenzpunkte ist K.
Je nachdem diese Schnittpunkte reell oder imaginär sind, ist auch die Nebenaxe reell oder imaginär und der Kegelschnitt eine Ellipse oder Hyperbel; im letzteren Falle wird die ideelle Neben- axe verzeichnet. Wir werden sogleich ein forderlicheres Verfahren zu ihrer Bestimmung angeben.
216. Da die Grundrißlichtgleichen perspektiv dem Schnitte des Normalkegelbüschels mit einer zu seiner Axe senkrechten Ebene sind, da ferner dieser Schnitt aus einem Büschel koncentrischer Kreise besteht, und da endlich ihrem Mittelpunkte der Punkt P' und ihrer unendlich . fernen Geraden die Gerade p' entspricht, so folgt ßr das KegeUchniUhüschel der Gmndrißlichtgleichen: 1) P' und p' sind Pol und Polare für jede derselben; 2) je zwei derselben sind perspektiv und haben P' zum Mittelpunkte und p' zur Axe der KoUineation. Durch diese Eigenschaft ist es möglich, aus einer der Kurven, und aus einem Punkte jeder anderen, etwa einem Scheitel auf Ä'P\ diese zu konstruiren, was aber nicht ausgeführt wurde; 3) die Grundpunkte des Kegelschnittbüschels sind die imagi- nären Doppelpunkte der gemeinsamen Involution auf p' mit den imaginären Tangenten in diesen Punkten, welche durch P' gehen; 4) die Scheitel K der Nebencixen der KegdschniUe liegen auf einer Parabel y deren Scheitel P', deren Axe r=-4.'P' ist, und von wel- cher man einen Punkt N' erhält, wenn man auf V die P'L' «^ Q'P' aufträgt und L'lf ±1' und = F'^'Q'" zeichnet. Denn jene Scheitel der Grundrißlichtgleichen sind ihre Berührungspunkte mit Tan- genten, die aus dem unendlich fernen Punkte U' der V gezogen
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236 V, 216. Die Belencbtang krummer Flächen.
Fig. 106. werden; sie entsprechen daher in dem Kreisbüschel den Berührungs- punkten der koncentrischen Kreise mit Tangenten aus dem Punkte Uly welcher dem Punkte TJ' entspricht. Denkt man sich die kon- centrischen Kreise in einer Ebene, welche die l in dem Punkte E (dem Mittelpunkte der Kreise) schneidet, derart, daß P''E'"^F'" P"\ so ist die Gerade E"'L'" (J_ V") die dritte Projektion der Kreise, und V^ ist derjenige Punkt der E'"V'\ für welchen JF"' TJ^ \ d"\ Alle jene Berührungspunkte der koncentrischen Kreise liegen aber auf dem Kreise, welcher ETJ^ zum Durchmesser hat und dessen Ebene _L l steht, dessen Mittelpunkt (i', i"') ist, weil P'^'V" =-(2'"P'", und dessen Halbmesser = r"JE'"« i'" fT, = 2^"^'" ist. Die Projektion dieses Kreises aus F auf die Leitebene enthält dann die Scheitel der Nebenaxen der Grundriß lichtgleichen; sie ist aber die vorhin angegebene Parabel, weil E und TJ^ sich in P' und V projiciren, weil P'Z'= ö ■?'= P'"i'" gemacht wurde, und daher K (für V N* ^= F"' Q"') einen Schnittpunkt jenes Kreises mit der Leitebene bildet. Da femer die ideellen Punkte dieser Pa- . rabel die mit der reellen Kurve in Bezug auf die Axe V konjugirte, also mit ihr in Bezug auf den Scheitel P' symmetrische Parabel bilden (s. I, 402), so ist diese ideelle Parabel durch Q'K 1.V und = F"' Q'" bestimmt. Bei unserer Annahme von l (^^xV = -^ a?r' = 45®) ist B' auch ein Schnittpunkt des aus A' durch F gezogenen Kreises mit p\ weil A' Q'^ + Q'B'^^A'F^ oder 2)-g-'2 ^ 2^-^-2 _ j)'-]^-\ Denn es ist tg« A = tg^ j)rr^p-'jp'- = i; daher D'"P'"2 _ 2D'"P'"^ = 4:D'" Q"'\ P'"^'"« = 32)"'^"'*, woraus die Behauptung folgt. — Ist der Mittelpunkt einer Grundrißlichtgleiche nicht erreichbar, so konstruirt man sie als Schnittkurve des Normalkegels mit der Leitebene.
Die Aufrisse der Lichtgleichen erhält man durch Übertragen der Punkte von Parallelkreisen (Ä). Die Tangente einer Licht- gleiche (z. B. der 9) in ihrem Punkte V liegt in der Berührungsebene der Fläche F in F und hat zum Grundrisse die Tangente der Grundrißlichtgleiche, eines Kegelschnittes. F wird entlang des durch V gehenden Parallelkreises von einem Kegel berührt; projicirt man auf diesen Kegel durch Parallele zu a einen anderen Parallelkreis Tc in den Kreis g, so wird dessen Ebene von der Berührungsebene der F in F in einer Geraden getroflfen, deren Grundriß eine A-. A'V* gezogene Tangente an Ä' ist. Wird diese von der Tangente der Grundrißlichtgleiche (9) in T getroflfen, so ist V" T' die gesuchte Tangente, wenn man T nach T' auf 3" projicirt hat
Die SchlagschaUen auf P^ und Pg sind Parabeln. Der Scheitel der letzteren ist der Schatten des Schnittpunktes der Grenzlicht-
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V, 216—218. Die Beleuchtoog der ümdrehiiDgsfläche. 237
gleiche 0 mit der auf Pg senkrechten Meridianebene, weil die Be- rühmngsebene der F in diesem Punkte 0 x ist
217. Aufg, Von einer TJmdrehungsflächej deren Axe a auf der Grundrißebene senicrecht steht^ sind gegeben der Grundriß M' der Axe, derjenige k der Grenzlichtgleiche (Eigensdiattengrenze) , ferner der Licht- strahl l (l\ gehend durch M\ und V), man soll die Grundrisse der anderen Lichtgleichen und den Aufriß der Fläche und der Licht- gleichen bestimmen'*).
Aufl. Da der Grundriß der Grenzlichtgleiche die V zur Sym- Fig. 107. metrieaxe haben muß; so ist es notwendig, wenn dies für die ge- gebene Grenzlinie h nicht stattfindet, dieselbe durch eine in Bezug auf V symmetrische Linie \ zur vollständigen Schattengrenze zu ergänzen. In dem Beispiele seien Ic und \ zwei in Bezug auf V symmetrische Kreise, deren Mittelpunkte, wie Q von Ä, auf der durch M senkrecht zu V geführten Geraden y liegen. — Die Fläche reicht im allgemeinen nur so weit, wie die von der Grenzlicht- gleiche geschnittenen Parallelkreise. Ist die Grenzlichtgleiche nicht durch eine regellos gezeichnete Linie, sondern durch eine Kurve von bekanntem Entstehungsgesetze gegeben, so kann man, wenn sie nicht alle Parallelkreise schneidet, die Meridianlinie durch Um- formung ihres Entstehungsgesetzes, z. B. durch Bestimmung ihrer Gleichung, vervollständigen.
Die Auflosung unserer Aufgabe stützt sich nun auf den Ge- danken, daß in jedem Punkte C^ der h die Stellung der Berührungs- ebene der Fläche gegeben ist, indem diese Ebene die Tangente des durch (7| gehenden Parallelkreises in C^ und einen Lichtstrahl ent- halten muß. Dadurch ist aber der entlang des Parallelkreises be- rührende Kegel, und durch diesen sind die Lichtgleichenpunkte auf diesem Parallelkreise und die Gestalt der Fläche bestimmt.
218. Suchen wir demgemäß für einen beliebigen Parallelkreis c die Richtung der Tangente des Hauptmeridians in dessen Schnitt- punkte C mit c, und die Lichtgleichenpunkte auf c. Der Kreis c schneidet den Tc in zwei Punkten, C^ und C^*, und der ümdrehungs- kegel, welcher die Fläche entlang c berührt, hat daher die Erzeu- gende 3f'Ci oder 3f' Cj* zu einer Eigenschattengrenze. Verschieben wir zunächst den ersteren dieser Kegel in der Richliung der Axe a, bis er einen für alle derartige Kegel übereinstimmenden Parallel- kreis in sich aufnimmt, etwa den größten b der Fläche, welcher M (auf a) zum Mittelpunkte und MB («= MB^ zu einem mit Fg paral-
*) Diese Aufgabe wnrde analytisch gelöst von Herrn Burmester in seiner Theorie u. Darst der Beleuchtung, S. 191—196.
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238 V, 218. Die Beleuchtung krummer Flächen.
Fig. 107.
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V, 218. Die BeleachtiiDg der ümdrehongsfläcbe. 239
lelen Halbmesser hat^ so bleibt der Grundriß des Kegels angeän- dert. Schneidet man MG^ mit V in C^ und dreht die Fläche samt l um a^ bis der Lichtmeridian in den Hauptmeridian gelangt, so kommt Cg im Aufriß nach Cj auf 6", wenn JT'Cj = Abstand (C^, y) ist (wobei y durch M' J_ V gezogen wurde), und der Lichtstrahl nach r" (durch B" geführt), welche Linie die erste Grundneigung A zeigt Zieht man dann QjC^ J_r" bis C^ auf a\ so ist JS^C^ eine Normale jenes die Fläche nach c berührenden Kegels (Nr. 202, Fig. 95). Den Stärkemaßstab für den Kreis c des Kegels zeichnet man auf einer Parallelen c^ zu T, indem man auf c^ den Punkt G^ nach 0, einen Punkt c'V nach V^ projicirt, und die Helligkeit dieses Punktes c'V nach Nr. 204 mit Hilfe des Normalbüschels ermittelt, das man mit V" als Axe und B" als Mittelpunkt zeichnet. Schnei- det man nämlich die Normale J^'^C^ des Kegels mit dem Kreise des Büschels in dem jenem Punkte cV entsprechenden Punkte und projicirt den Schnittpunkt auf V" nach F, so gibt dieser Punkt auf dem Stärkemaßstabe B"\. die Helligkeit von cV an. Trägt man dann auf q die Strecke 0 1. so auf, daß 0 L : 0 F^ — J3"l. : B"F, und teilt Ol. in fünf (oder zehn) gleiche Teile, so ist der Stärke- maßstab für c gebildet.
Für C^ erhalten G^ und C^ die entgegengesetzten Lagen gegen jM!\ wodurch G^ bestimmt ist. Indem M'G^ den Kreis h noch in einem zweiten Punkte G^ schneidet, durch welchen der Parallel- kreis g der Fläche geht, gelten für c und g dieselben Punkte C^, 6*5, G^j so daß J5"C4 auch eine Normale des die P nach g berüh- renden Kegels ist Die Lichtgleichenpunkte von g liegen daher mit den entsprechenden von c im Grundriß auf denselben Strahlen aus M\ Auf gleiche Weise sind auf verschiedenen Parallelkreisen, ins- besondere dem größten h und dem kleinsten h die Lichtgleichen- punkte bestimmt
Läßt man die Sehne M'C^ des h zu einq^ Tangente mit dem Berührungspunkte E^ werden, so erhalten E^ von y und jEJj, JS4 von M!' größte Abstände, die Normale B*'E^ daher eine größte und die zugehörige Tangente des Meridianes eine kleinste Neigung gegen F^. Die Meridiane besitzen daher in den Punkten E des durch E^ gehen- den Parallelkreises e Wendepunkte.
Um im Grundriß auf dem Licktmeridiane V die Punkte der verzeichneten Lichtgleichen zu erhalten, geht man den umgekehrten Weg. Man zieht im Normalbüschel z. B. für die Lichtgleiche 4 den Strahl B"4 bis 4' auf a", zeichnet 4'4" XT" bis 4" auf 6", be- stimmt auf h' den Punkt 4'", dessen Abstand von y = Jf"4", zieht 3r4'", schneidet sie mit A; in 4^^ und 4^, so treflFen die durch
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240 V, 218—219. Die Beleuchtung krummer Flachen.
Fig. 107. diese Punkte gezogenen Parallelkreise die V in den vier Punkten der Lichtgleichen 4 und — 4.
Auf diese Weise sind auch die hellsten Punkte 1. bestimmt; dieselben liegen auf den Parallelkreisen von Dj und JFj, wenn Z)^ = V'a' isi Auf umgekehrtem Wege sind die Helligkeiten in den Wendepunkten des Lichtmeridianes = 0,994 und 0,25 ermittelt.
Die Wendepunkte des Lichtmeridianes sind Punkte kleinster Helligkeit auf ihrem Meridiane und Punkte größter Helligkeit auf ihren Parallelkreisen; sie bilden Doppdpwnkte auf deti Lichtgleichen ihrer Helligkeit (994 und 25), weil die durch sie gehenden Licht- gleichen in jeden der vier von Meridian und Parallelkreis gebil- deten Quadranten hineingehen müssen; dieselben sind verzeichnet mittelst ihrer Punkte auf dem Lichtmeridiane und auf den Parallel- kreisen der Punkte 1.
219. Verzeichnung des Hauptmeridianes. Der zu jedem Punkte C seines Grundrisses gehörige Punkt C" (und 0*") liegt auf der durch C II a" gezogenen Geraden, wird aber auf derselben nicht durch eine zweite durch 0" gehende Linie, sondern durch die Rich- tung der Meridian tangente in C" {J^B"C^ bestimmt. Da man die unendlich kleinen Elemente, welche die Kurve unmittelbar zusam- mensetzen, nicht zeichnen kann, so muß man, um an einen gege- benen Punkt J5" einen anderen C" in endlichem, aber nicht großem Abstände anzureihen, im allgemeinen die Richtung der Sehne JB"C" annäherungsweise bestimmen. Denkt man sich durch B" die Tan- gente in J3", die Sehne jB"C" und eine Parallele zur Tangente in C" gezogen, so wird, wenn man sich die unbekannte Kurve durch einen Kreisbogen ersetzt vorstellt, die Sehne den Winkel der beiden Tangentenlinien halbiren; wenn aber durch eine Parabel von ange- nommener Axenrichtung, so wird die Sehne die Strecke halbiren, welche die beiden Tangentenlinien auf irgend einer mit der Axe parallelen Geraden abschneiden (I, 361), oder, wenn man Senkrechte zu der Sehne und den Tangentenlinien durch J5" gezogen denkt, wird die erstere die Strecke halbiren, welche die letzteren auf irgend einer Senkrechten zur Axenrichtung abschneiden. Die Parabel- annahme ist als zweckmäßiger für die Genauigkeit vorzuziehen, wenn der Sinn der Abnahme der Krümmung auf dem Bogen be- kannt ist und dementsprechend die Richtung der Axe schätzungs- weise gewählt werden kann. Da nun B"M" eine Symmetrielinie der Meridiankurve sein und die Krümmung von JB" gegen den Wendepunkt E" hin abnehmen muß, so ist es angemessen, B"M" als Parabelaxe anzunehmen; a" ist eine Senkrechte zu ihr, auf wel- cher die aus B" senkrecht zu den Tangentenlinien gezogenen Ge-
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V, 219—820. Die Beleuchtung der ümdrehungsfläche. 241
raden (die NormaleDlinien) die Strecke M"C^ abschneiden; daher ist B''J die Senkrechte zur Sehne J?"C", wenn J die Mitte von M"C^y und hierdurch ist C" auf C'C" bestimmt
Wenige passend auf h gewählte Punkte, die paarweise auf Strah- len aus M' liegen, genügen zur Verzeichnung des Hauptmeridians. Es sind dies die Punkte B^, H^ des größten und kleinsten Parallel- kreises, der Berührungspunkt jEJ^ der Tangente aus M\ die Punkte D^y JF\ der Parallelkreise mit den Punkten 1., und ein Paar allge- meiner Punkte C^y &,. Aus ihnen erhält man auf a" die Punkte M"j C^, D^y E^\ und sind J, N^ P bezw. die Mitten von M"C^, C^D^, B^E^y so sind die Sehnen B'T und H"G"JLB'J', CD" und 0"r'±B''N', D"E" und F"^"J. JB"P"; und dadurch ist der Meridian bestimmt.
220. Man kann aber in unserem Falle den Hauptmeridian auch leicht durch die Koordinaten seiner Punkte verzeichnen, wobei wir M" als Ursprung/ M'B" als a;Axe, a" als ^e^Axe annehmen wollen. Setzt man (Fig. 107, a)) M'B^ = a, MH^ — 6, KQ = m — ^ (a + 6), QB^ — r, M'C, — c, ^ J5i QC, - y, ^ QC,M' — V', die Koor- dinaten von C gleich x und z, den zugehörigen Bogen B^ C^ «= 5, so sind, wenn (/"D'' und CiD^ zusammengehörige Elemente des Meridians und des h bilden, die Zunahmen von x, z, s bezw. da; ■=» — SC", dz = SD", ds =,Ci Dl- Da (das Element) CD" J_ B"C^, so sind SC'D" und M'C^B" ähnliche Dreiecke, woraus folgt SD": SC'
= M"B" : JJf'C^. Es ist aber SD"— d^; SC"— — dx UD^
— » — Cj Dj sin V"= — ^5 sin 9? . m : c, letzteres aus dem Dreiecke C^QM-, M"B"= a; Jf"(7, = M" C^ : tg A = - C^ C, : tg A =
— r sin 9> (a : c) : tg A ; daher durch Einsetzen dieser Werte in obige Proportion
und durch Addition der dz und der ds, da m, r, A unveränderlich,
m tgX
r
Man bestimmt daher auf a" die Punkte der c", d" . . . oder der c*" . . ., indem man auf M"B" die Punkte C5, Dß, . . . H^, Q^, JBß derart aufträgt, daß M"C^ = Bogen B^ C^, M"D^ = Bog. JB^Di, . . . M"H, = Bog. B,H,, M" ^5 = M'Q = m, Jlf"2^ - ^JB, = r sind, und Q^Q^ 1 T" bis Q4 auf a" zieht; dann schneiden die durch Cg, D5 . . . ITg gezogenen Parallelen zu 1?5^4 die a" in den ge- suchten Punkten C^ . . . Hq. Denn es ist Jlf"^^ = fn tg A, ilfCe
— JIT'Cj • 3f" ^4 : 3f "1^5 = s • m tg A : r — ;8f. Die xf sind auch gleich den Projektionen der zugehörigen Bogen von h auf einen koncen-
Wi«ner, L«hrbaoh der dant«11«nden Geometrie. IL IG
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^
242 V, 220. Die Beleuchtang krummer Flächen.
trisch zu k mit dem Halbmesser m ig X ^^ M" Q^ gezogenen Kreis, aus Q als Projektionsmittelpunkt; und die ganze Hohe des Aufrisses = 2 M" Hq ist gleich dem Umfange dieses Kreises *= 2 « • M"Q^. Der Meridian wiederholt in der Richtung von a unendlich oft die Form der gezeichneten doppelten Welle.
Der Krümmungshalbmesser r^ des Meridianes im Punkte B" ist
bestimmt durch (208)
ds^
*"! ~ 2dx'
Nun ist 9> = 0, ds =^ Bj^C^j und da hierfiir dx durch die obige Formel wegen sin 9> «== 0 nicht angegeben wird, ermittelt man dx <=» Cg Ci (Fig. a) als Unterschied der Abstände der Punkte C, und Ci von der Tangente des h in B^y und erhält
j n n ds* ds* ds* a — r ds'.m
"^ 2r 2 a 2 ar 2ar
Dies verbunden mit den Ausdrücken von d0 und r^ Jiefert
am , o -
Den Krümmungshalbmesser r, in ^" erhält man^ wenn man a durch b und, wegen entgegengesetzter Lage von h gegen den Kreis von Hy r durch — r ersetzt,
r, = ^- tg* A = — ~ ri .
Da nun M"Q^ = m, M"B^ = r, so ist, wenn man auf a" die Jf'D/ = Jf" D3 = 3f"D^ . tg A = a tg« A aufträgt, auf a" die M''Kj^^=r^, wenn ^5^/ 1 B^D^ gezogen wird. Daher ist K^ der Krümmungsmittelpunkt für J3" {B'^K^ = M"K^). Der Krümmungs- halbmesser H^'K^ = r, = — Ii"K^ wird gefunden, weon man Äi-Kg' durch den Schnittpunkt von B^H^" mit a" zieht.
Die Aufrisse der Lichtgleichen werden durch Übertragen der Punkte der Parallelkreise aus dem Grundrisse erhalten. Ihre Tan- genten in den Punkten des Parallelkreises e" laufen nach der Spitze Eq des der P nach e umschriebenen Kegels {E"Eq J_ B"E^), weil die entsprechenden Tangenten im Grundriß nach JT laufen.
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VI. Abschnitt.
Der Durchschnitt krnmmer Flächen mit krummen Flächen und krummen Linien.
I. Allgemeines.
221. Das allgemeine Verfahren zur Bestimmung der Schnittlinie zweier Jcrummen Flächen stützt sich auf die früher ausgeführte Kon- struktion der Schnittlinie einer krummen Fläche mit einer Ebene und besteht darin, daß man zweckmäßig gewählte Hilfsebenen legt, jede derselben mit jeder der beiden Flächen schneidet, die Schnitt- punkte zweier solchen in derselben Hilfsebene liegenden Schnitt- linien als Punkte der gesuchten Schnittkurve hezeichnet und diese Punkte in der Reihenfolge der Hilfsebenen verbindet Befinden sich, wie gewöhnlich, in jeder Hilfsebene mehrere solcher Punkte, so verbindet man einen Punkt der einen Ebene mit demjenigen der folgenden, in welchen er bei Verschiebung der Hilfsebene über- geht; worüber die Entscheidung durch die von der Erzeugenden jeder Fläche auf ihrer Leitlinie beschriebene Bahn getroflfen wird.
Die Hüfsä>enen sind zweckmäßig y wenn ihre Schnittlinien mit den gegebenen Flächen oder deren Projektionen leicht und genau verzeichnet werden können. Es sind dabei folgende Fälle zu unter- scheiden:
1) Diese Schnittlinie ist stets leicht zu Jconstruirenj wenn die Hilfsebene senkrecht auf einer Projektionsebene steht
2) Die Schnittlinie ist leicht und sicher zu verzeichnen, wenn sie eine Gerade, oder wenn sie oder ihre Projektion ein Kreis ist Ist sie selbst ein Ereis, aber nicht parallel zu einer Projektionsebene P, 80 kann man den Ereis vor der Projektion in eine zu P paral- lele Lage drehen, oder man kaim ihn schief als Ereis projiciren; ist die Schnittlinie ein nicht nut einer Projektionsebene paralleler Eegelschnitt, so kann man ihn aus einem im Endlichen oder im Unendlichen liegenden Punkte als Ereis projiciren.
3) Man vermeidet die Verzeichnung der Schaar von Schnittlinien der Hilfsebenen mit der einen Fläche, wenn man sie aus ein und
IG»
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244 VI, 221—224. Dorchsclinitt krummer Plächen mit krummen Placken.
demselben oder aus wechselnden Punl^ten in eine feste^ nur einmal zu verzeichnende, oder, noch besser, in eine schon aus anderen Gründen verzeichnete Kurve projiciren kann. — Für alle diese Fälle werden Beispiele gegeben werden.
Hilfsebenen führen immer zum Ziel; ebenso könnten Hilfs- cylinder, welche senkrecht zu einer Projektionsebene gestellt, und etwa durch die Erzeugenden der einen Fläche gelegt würden, stets angewendet werden, ohne daß aber ein vorteilhafter Fall bekannt wäre. Von anderen krummen Hilfsflächen erweist sich in einem Falle die Kugel als höchst vorteilhaft
222. Die Tangente der Schnitthurve zweier Flächen in einem Punkte derselben ist die Schnittlinie der Berührungsebenen der Flächen in diesem Punkte, weil sie in jeder von beiden liegt. Hierdurch ist ihre Konstruktion gegeben. Die Norm^akbene der Schnütkurve in einem ihrer Punkte ist die Ebene der Normalen beider Flächen in diesem Punkte. Tangente und Normalebene bestimmen sich als auf einander senkrecht auch gegenseitig, und manchmal ist die Bestimmung der Tangente vermittelst der Normalebene einfacher als die unmittelbare.
228. Die Schnittpunkte einer krummen Fläche mit einer krummen Linie erhält man, wenn man durch die Linie eine Hilfsfläche legt und dieselbe mit der gegebenen Fläche schneidet; die Sclmittpunkte der Schnittkurve mit der gegebenen Kurve sind die gesuchten Punkte. Als Hilfsfläche legt man zweckmäßig einen projicirenden Cy linder oder Kegel durch die Kurve, oder man benutzt ihre Ebene, wenn sie eben ist
n. Der Dnrohsohnitt von Oylindem und Kegeln untereinander.
a) Die allgemeineren Aufgaben.
224. Legt man bei Kegeln die Hilfsebenen durch beide Spitzen, so schneiden sie beide Flächen in Erzeugenden. Beim Cylinder fällt. die Spitze ins Unendliche, und die Hilfsebene wird mit der Richtlinie und den Erzeugenden parallel.
Aufg. Die Schnittlinie zweier Cylinder vermittelst der gleichna- migen Spuren derselben m bestimmen.
Es seien ihre ersten Spuren c und k (eine Ellipse und ein Kreis) gegeben. Liegen die Leitlinien nicht in derselben Projek- tionsebene, so kann man zuerst gleichnamige Spuren oder die Schnitte beider Flächen mit irgend einer passenden Ebene kon- struiren^ z. B. mit einer solchen, in welcher eine der Leitlinien
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VI, 224. Der DDrcbschnitt von Gyliiidem q. Kegeln untereinander. 245
schon liegt, welche Ebene dann an die Stelle von F, in unserem Falle tritt, und kann dann ebenfalls das folgende Verfahren anwenden.
Aufl, Man lege durch einen Punkt B einer Erzeugenden AB Fig. los. des einen Gylinders eine Parallele BC zw den Erzeugenden des an- deren, bestimme die ersten Spuren A uud C beider Geraden, so ist AC die erste Spur einer mit den Erzeugenden beider Cylinder parallelen Hilfsebeue, mit der alle anderen parallel gelegt werden.
Fig. 108.
---W» -W
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I
A'C schneidet c und Tc in je zwei Punkten E\ D' und A\ jP', also schneidet die Hilfsebene die Cylinder in ihren bezw. durch diese Punkte gehenden Erzeugenden, von denen die des einen die des anderen in vier der Schnittkurve angehörigen Punkten P, Qy iZ, S treffen. Man bestimmt dieselben am besten in jeder Projektion selbständig und hat dann die Probe P'F" A.x u. s. w.
Ausgezeichnete Punkte liegen in den zwei äußersten Hilfsebenen und in den Umrissen der Cylinder. Die äußersten Hilfsebenen be-
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246 VI, 224—226. Darcbscbnitt krummer Flächen mit krummen Flächen.
rühren den einen Cylinder^ während sie den anderen im allgemeinen schneiden oder in besonderem Falle ihn ebenfalls berühren. Von der einen dieser Ebenen ist G'H'X die erste Spur, welche c in G' berührt, h in W und J' schneidet. Sie liefert statt vier nur zwei Punkte H^ und J^ der Schnittkurve, in denen diese von den Erzeugenden UH^ und JJ^ des geschnittenen Gylinders berührt wird, weil diese Geraden sowohl in der zugehörigen Berührungs- ebene des einen, als des anderen Gylinders liegen. Berühren beide äußersten Hilfsebenen denselben Cylinder, so durchdringt dieser den anderen in zwei getrennten Ästen der Schnittkurve, berühren sie die verschiedenen Cylinder, wie in unserem Falle, so schneiden sich beide Cylinder in einer zusammenhängenden Schnittkurve gegen- seitig aM5. Die Punkte der Umrißlinien werden durch Hilfsebenen erhalten^ welche durch die ümrißerzeugenden gehen; in ihnen wird die Kurve im allgemeinen vom zugehörigen Umrisse berührt.
Hat man diese ausgezeichneten Punkte bestimmt, so sind in der Regel nur noch wenige Hilfsebenen in etwa gebliebenen weiten Lücken zu legen. — Um die konstruirten Punkte in der richtigen Eeihenfolge zu verbinden, umfahre man die Spuren c und k so, daß die auf beiden gleichzeitig erreichten Punkte stets in derselben Hilfsebene liegen, und verbinde in derselben Reihenfolge die da- durch erhaltenen Punkte der Schnittkurve.
225, Die Tangente der Schnittkurve in ihrem Punkte P wird gefunden, indem man in den ersten Spuren JB' und F' der durch P gehenden Erzeugenden beider Cylinder bezw. die Tangenten an c und k legt*, sie sind die ersten Spuren der Berührungsebenen in P, und ihr Schnittpunkt T ist die erste Spur der gesuchten Tangente PT. Fällt T außerhalb der Zeichenfläche, so bestimmt man einen weiteren Punkt der Schnittlinie beider Berührungsebenen durch eine parallel zu F^ oder parallel zu den Hilfsebenen gelegte Hilfsebene.
Schneiden sich zwei ümrißlinien derselben Projektion, wie in der Figur in der ersten die von Ä und D ausgehenden in R, so stehen in i2 die Berührungsebenen beider Flächen, daher auch die Tangente der Schnittkurve senkrecht auf P^, und die erste Pro- jektion der Schnittkurve hat in B' eine Spitze (I, 260).
326. Man bemerkt in jeder Projektion der Schnittkurve einen Doppelpunkt, so im Grundriß den K. Derselbe ist aber nicht die Projektion eines Doppelpunktes der Raumkurve, sondern die Pro- jektion einer auf P^ senkrechten, oder allgemeiner, einer durch den Projektionsmittelpunkt gehenden Sehne der Kurve, und wird daher scheinbarer Doppelpunkt der Baumkurve genannt Um diese Punkte bei Cylindem zweiten Grades zu konstruiren, beachte man, daß die
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VI, 226—227. Der DurchBchnitt von Cylindem o. Kegeln ontereinander. 247
Mittelpunkte aller auf F| senkrechten Sehnen eines Gylinders^ oder allgemeiner, daß diejenigen Punkte aller nach dem Projektions- mittelpunkte 0 gehenden Sehnen einer Fläche zweiten Grades F, welche von 0 durch die Schnittpunkte mit F harmonisch getrennt werden y in der Polarebene des 0 zu F, d. i. auch in der Ebene der Umrißlinie von F, liegen. Diese vierten harmonischen Punkte auf den nach den scheinbaren Doppelpunkten der Schnittkurve zweier Flächen zweiten Grades gehenden Sehnen aus 0 müssen daher in der Schnittlinie der Polarebenen von 0 zu jeder der beiden Flächen liegen«
Nun sind aber in unserem Falle für den Grundriß jene Polar- ebenen die Ebenen der ümrißerzeugenden, und ihre Spuren bezw. die durch D und Ä gehenden Durchmesser der c und h. Ihr Schnitt- punkt R^ bildet einen und B einen zweiten Punkt der Schnittlinie beider Polarebenen, da sieh in unserem Falle in R zwei Umriß- erzeugende treffen. Daher liegt auf jß| B' jeder scheinbare Doppel- punkt des Grundrisses.
Für den Aufriß erhält man als erste Spuren der Ebenen der Umrißerzeugenden je einen Durchmesser von c und Tc, welche sich in U schneiden; für eine zweite mit P^ parallele Spurebene erhält man, wie die Figur zeigt, durch Parallele zu jenen Durchmessern den Punkt tTj, so daß U"TJ^' die Gerade der scheinbaren Doppel- punkte ist.
227. Um nun auf jeder dieser Geraden die scheinbaren Doppel- punkte zu bestimmen, beachte man, und zwar zunächst im Aufrißt daß die projicirende Ebene von UUi jede F in einem Kegelschnitte, in unserem Falle in einer Ellipse, trifft, welche beide den (unend- lich fernen) Projektionsmittelpimkt 0 und UUi zu Pol und Polare haben, und deren vier Schnittpunkte sich aus 0 in die beiden ge- suchten scheinbaren Doppelpunkte projiciren. Bildet man von jenen Kegelschnitten die Parallelprojektion vermittelst Senkrechter zu x auf eine zu P^ parallele Hilfsebene, derart daß aus TJTJi eine Parallele zu x wird, so enthält diese Parallele die Axen V^ Fg und TTj TTg der Projektionen v und uo der Kegelschnitte; die zweiten Halbaxen derselben Fj F4 und W^ W^ sind offenbar bezw. gleich den auf F, senkrechten Halbdurchmessern von c und h Die vier Schnittpunkte von v imd w und die gesuchten scheinbaren Doppel- punkte liegen nun nach I, 411 auf zwei Strahlen aus 0, welche durch jede zwei in Bezug auf v und w konjugirte Punkte harmo- nisch getrennt und daher durch zwei solche Punktepaare bestimmt sind. Als erstes Punktepaar wählt man die auf V^ Wi liegenden Eckpunkte des gemeinschaftlichen Polardreiecks von v und w^ welche
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248 VI, 227—228. Durchschnitt krummer Flächen mit krummen Flächen.
also durch F^ und Fg, und durch TTj und W^ harmonisch getrennt sind. Da in der Figur F^ und V^ durch W^ und W^ getrennt werden, so sind jene Eckpunkte imaginär, was aber die Konstruktion nicht stört, da alle durch diese imaginären Punkte harmonisch getrennten Punkte oder Strahlen aus 0 der Involution Fj, F,; TTj, W^ an- gehören. An einen berührend an Fj TTj gezeichneten Hilfskreis legt man Tangenten aus Fj, Fg, welche sich in Fq, solche aus TFj, TF2, welche sich in Wq schneiden. Der Pol X von V^W^ zum Hilfskreise ist der Mittelpunkt der fraglichen auf den Kreis übertragenen Involution. — Als einen Punkt des zweiten Paares- konjugirter Punkte zu v und w wähle man den Scheitel TF4 der w und TFg. Es ist nämlich die Polare von W^^ zu w die (mit x paral- lele) Tangente der w; in TF4 ; die von TF4 zu v ist F5 TFg, wenn F5 und TFß bezw. die Pole der durch IF4 parallel und senkrecht zu x gelegten Geraden sind; ,die beiden Polaren schneiden sich aber im Punkte Wß, der also zu W^ konjugirt ist. Aus den Projektionen IF3 und Wq bezw. von W^ und Wq auf F^ TFj zieht man nun je eine zweite Tangente an den Hilfskreis; ihr Schnittpunkt X^ ist dann der Mittelpunkt der durch die Doppelpunkte TFj, W^ be- stimmten Involution (der Paare von Punkten, welche durch TF,, TF/ harmonisch getrennt sind). Zieht man nun die Gerade XX^ und aus ihren in unserem Falle reellen Schnittpunkten mit dem Hilfs- kreise dessen zwei Tangenten, so bestimmen diese auf F, TFi die Punkte, welche aus 0 auf ü" 17/' in die gesuchten Doppelpunkte L und N projicirt werden. L ist ein eigentlicher Doppelpunkt, N ein isoUrter Putikty weil OL eine reelle eigentliche, ON eine reelle uneigentliche gemeinschaftliche Sehne von v und w ist.
228, Um im Grundriß (auf der Geraden B^B*) die schein- baren Doppelpunkte zu bestimmen, bildet man wieder von den Schnittkurven der ersten projicirenden Ebene von B^B, mit den Cylindern eine Parallelprojektion auf eine auf x senkrechte Ebene durch Projicirende jj Pj, derart daß sich die B^B in die zu Pj parallele B^ Fg projicirt. Die in dieser Linie liegenden Axen der Projektionen y, 8 der Kegelschnitte sind bezw. B^Y^ und B^Z^, deren Scheitel i2g zusammenfallen, während die zweiten Halbaxen Y^ ^4 "^ Vu Z3Z4 = 01 gleich den aus den Mittelpunkten von c und k senkrecht zu P^ bis zu den zugehörigen Cylinderflächen gezogenen Geraden sind. Von den in Bezug auf y und z konjugirten Punkten sind die in jBjF, gelegenen durch ü,, Y^ und durch Bg, Z^ harmonisch ge- trennt; sie fallen also beide in B^ zusammen, oder sind 22^, jß,. Als zweites Paar wähle man den Scheitel F4 und seinen konju- girten Punkt Yq, wobei von Y4, die Polare zu y die Tangente F^Tg
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VI, 228—280. Der Dnrcbschnitt von Cy lindem u. Kegeln untereinander. 249
(l'U^r,), und zu g die Y^Z^, der Schnittpunkt beider Polaren aber Yß ist Die Projektionen von Y^ undiF^ auf ügF, sind bezw. Y, und Y^. Die gesuchten Punkte müssen nun durch die Punkte eines jeden der beiden Paare harmonisch getrennt sein, also durch B^ und R^ (dies sind ü, und jeder beliebige Punkt der B^ Fg) und durch Y^ und Fß', sind also B^ und der von B^ durch Yj und Y^ harmo- nisch getrennte Punkt K'\ und diese projiciren sich auf B^B' in B' und K. Die Spitze B' ergibt sich also als ein scheinbarer Doppelpunkt; die Sehnenlänge ist bei ihm Null.
Man bemerkt^ daß die Projektion der Schnittkurve zweier Flachen zweiten Grades smei scheinbare Doppelpunkte besitzt, welche . reeü oder imaginär sind, je nachdem die gemeinschaftlichen Sehnen jener Kurven v, to (oder y, jer) durch den Projektionsmittelpunkt 0 gehen oder nicht. Sind sie reell, so kann jeder der scheinbaren Doppelpunkte ein eigetiÜicher Doppelpunkt^ ein isolvrter Punkt, oder, als Übergang dieser beiden in einander, eine Spitsse sein.
229. Übungsaufg, Die Projektionen eines Punktes zu bestim- men, der von drei beliebigen gegebenen Geraden gegebene Abstände besitzt. (Vermittelst des Schnittes dreier ümdrehungscylinder; acht Auflösungen.)
230. Äufg. Die Schnittlinie eines Cylinders und eines Kegel^ m ermitteln, deren Leitlinien in verschiedenen Ebenen liegen. Es soll der Fall gewählt werden, daß beide Flächen eine gemeinschaftliche Berührungsebene besitzen.
Der Kegel sei ein Umdrehungskegel, dessen Spitze S sei, und fi«. loo. dessen Grundkreis k den Mittelpunkt M und den Halbmesser M'Ä' habe. Vom Cylinder sei die Richtlinie r gegeben. Die Leitlinie, ein Kreis c in Pj, werde unter der Beachtung der gegebenen Be- dingung gewählt
Aufl. Auf einer zur Axe SM des Kegels parallelen auf F| senkrechten Ebene Pj mit der Projektionsaxe a:^ (|| S'Jf') zeichne man die dritte Projektion S'"M" seiner Axe und diejenige M'"B'" oder k'" seines Grundkreises {S'^M^'B'" = 90^, M"B'"^M'A'). Von der ersten Projektion des Grundkreises ist Jtf' -4' (J_ S'Jtf' und von der wahren Größe) die große und MB' in S' M' \b'" B' ± x^^) die kleine Halbaxe der Ellipse, woraus man sie verzeichnet. Die zweite Projektion hat M"a\XS"M" und =3f'^') zur großen und M" D" (aus der ümlegung S^^M"D^^) zur kleinen Halbaxe. Die erste Spur der Ebene des Grundkreises ergibt sich aus der dritten Projektion als \ (± S'Jf ).
Man lege nun durch die Spitze S des Kegels die Parallele SB zu der Richtlinie r des Cylinders^ bestimme ihre erste Spur B, ihre
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250 VI, 230. Darchscbnitt krummer Flächen mit krummen Flächen.
dritte Projektion 8'"B"\ und daraus ihren Schnittpunkt Q {Q'" und Q') mit der Grundfläche des Kegels. Durch SBQ legt man die
Fig. 109.
A5'^
•Z,'^.
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JSI.
Hilfsebenen, welche ein Ebenenbüschel bilden, das die Grundfläche Pi des Cylinders in einem Strahlenbüschel B, und die Grundfläche
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VI, 280—281. Der Darcbschnitt yon Cylindern u. Kegeln untereinander. 251
des Kegels in einem Sirahlenbüschel Q schneidet^ von welchen Büscheln die entsprechenden , d. h. derselben Hilfsebene angehörigen Strahlen sich auf der Schnittlinie k^ der beiden Grundflächen trefiFen, Die den Kegel berührenden Hilfsebenen enthalten die Tangenten Q'l und Q'9 des Kegelgrundkreises, wobei 1 und 9 auf k^ liegen, und haben zu ersten Spuren It'l und iZ'9. Soll nun der Cylinder eine gemeinschaftliche Berührungsebene mit dem Kegel haben, so muß dies eine dieser Ebenen sein. Daher muß die erste Spur c des Cylinders eine der Linien JR'l, R'9 berühren; es wurde der Kreis c berührend an iZ'l gelegt, während er die R'9 schneidet, so daß ein Einschneiden des Kegels in den Cylinder stattfindet.
Legt man nun zunächst Hilfsebenen, welche ausgezeichnete Punkte liefern, zieht also Strahlen aus B' nach den Fußpunkten der vier ümrißerzeugenden beider Projektionen des Cylinders, und Strahlen aus Q' nach den auf k' liegenden Gnmdpunkten der vier Ümrißerzeugenden des Kegels, von denen wegen der Nähe der Punkte beidesmal nicht alle ausgeführt sind, so erhält man, ohne weitere einzuschalten, schon eine genügende Anzahl von Hilfsebenen. Verfolgen wir die Hilfsebene B'SQ'y so zeigt sich, daß ü'3 den c und Q'S den k' in je zwei Punkten schneidet, aus denen je zwei Erzeugende des Cylinders und des Kegels gezogen sind. Die ersteren schneiden die letzteren in vier Punkten, darunter in P. Alle so gewonnenen Punkte, in der Reihenfolge der Hilfsebenen verbunden, liefern die Schnittkurve. Projicirt man die Grundpunkte der benutz- ten Erzeugenden von c auf ic,2, von Ä' auf i", wobei man zur Sicher- stellung *'" benutzt, so erhält man mittelst der zweiten Projektio- nen der Erzeugenden diejenigen der Punkte der Schnittkurve. — Man hätte die Schnitte der Strahlen aus Q' mit der Ellipse k' durch die Umlegung des Grundkreises k in F^ auf Schnittpunkte mit einem Kreise zurückführen können; doch erhält man die Schnittpunkte rascher und genauer, wenn man die Ellipse zweckmäßig (mittelst der Scheitelkrümmungskreise) und scharf (mit Hilfe des Kurvenlineals) verzeichnet hat
231. Die Tangente der SchnitthMrve in ihrem Punkte P erhält man als Schnittlinie der Berührungsebenen der Flächen inP, und diese Schnittlinie, da die Projektionsebenen ungünstig sind, vermittelst der Spuren der Berührungsebenen in einer durch S parallel zu P^ gelegten Spurebene S. Die Kegelerzeugende von P trifft den k in E, die Tangente in E' schneidet den Durchmesser M' A' in JE/, die Tan- gente E^E'y E^'E" durchdringt die Spurebene S in G; daher ist 8'G' die Spur in S von der Berührungsebene des Kegels in P. Die Erzeugende des Cylinders von P trifft den Kreis c in H' und
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252 VI, 231—283. Durchschnitt krummer Flächen mit krummen Flächen.
Mg. 109. den in S liegenden Kreis (J, des Cjlinders in J?/ {H' H^ = R'S"). Daher ist die Tangente des c^ in H^' die Spur der Berührungsebeue des Cy linders in S. Der Schnittpunkt K' von S'G' und J^/Z* ist ein Punkt der Tangente P'K'] diese schneidet die E'G' in K/, woraus sich JST/' und die Tangente F"K^' ergibt.
232, Die äußerste Hilfsebene 9, welche den Kegel beröhrt, liefert nur zwei Punkte der Schnittkurve; und in diesen ist jedesmal die Erzeugende d^s Cylinders, als Schnittlinie beider Beröhrungs- ebenen, Tangente der Kurve. Die äußerste Hilfsebene 1, welche beide Flächen berührt, liefert nur einen Punkt L^ einen BoppdpuplU der Kurve, da er mit den vier Punkten der benachbarten Hilfsebene verbunden werden muß. Die Tangenten L sind als Durchschnitte je zweier Berührungsebenen nicht zu erhalten, da diese ineinander fallen. Wir werden solche später aus der Krümmung der Flächen in L ableiten; doch läßt sich jede derselben auch durch eine Fehler- kurve bestimmen, deren eine durch die Spuren K\ N\ 0' in S von den Tangenten eines Zweiges der Schnittkurve gebildet ist, deren Berührungspunkte in der Nähe und auf den beiderlei Seiten von L liegen. Diese Kurve K'N'O' wird durch die in S hervorge- brachte Spur S'T{\B'l) der gemeinschaftlichen Berührungsebene beider Flächen in T getroflfen; daher ist TL die Tangente des einen Zweiges der Schnittkurve in L.
283, Außer dem wirklichen Doppelpunkte L der Schnittkurve zeigt noch in unserem Beispiele jede ihrer beiden Projektionen J3wei scheinbare Doppelpunkte, die reell und eigentlich sind, und die wir im Grundriß bestimmen wollen. Die Gerade V^V^, welche sie ent- hält, ist die Projektion der Schnittlinie der Ebenen der beiden üm- rißerzeugenden einer jeden Fläche. Die Spuren dieser Ebene in P^ und S für den Cy linder sind U^V^ und der damit parallele (durch Fj gehende) Durchmesser des Kreises Cj; und diejenigen für den Kegel sind WV^ und die damit parallele S'F,, wenn TT die erste Spur einer TJmrißerzeugenden und wenn WVi±.S'M\ Daraus ergibt sich V^ V^ als Projektion der Schnittlinie beider Ebenen. Die erste projicirende Ebene dieser Linien schneidet beide Flächen in Kegelschnitten, deren zu dem unendlich fernen Projektionsmittel- punkte 0 polare Durchmesser in der räumlichen Linie V^ V^ lie- gen, und welche auf die schon gewählte dritte Projektionsebene Pg projicirt werden mögen durch Projicirende parallel zur ersten projicirenden Ebene der Cylin^ererzeugenden, derart daß jene räum- liche Linie V^V^ sich in eine Parallele zu x^^ projicirt; um diese nehmen wir auch die ümlegung der Pg in eine zu P^ parallele Ebene vor. Die Schnittkurven der projicirenden Ebene von V^ F,
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VI, 283—234. Der Darchscbnitt Ton Cylindern u. Kegeln aotereinander. 253
mit dem Cylinder und dem Kegel projiciren sich dabei in eine Ellipse y und eine Hyperbel 0, deren in o?!, liegende Axen T^ T^^ Zi Zg sind. Die zweite Halbaxe F, Y^ der y ist gleich der vom Mittelpunkte des c bis zur Cylinderfläche gezogenen Senkrechten zu Pj und gleich dem Abstände des JR, von x^^, wenn man (s. Fig.) 2t" ä, = R'S', K'R^ = Halbmesser des c, JJ^JR, 1 S^S" macht Von der Hyperbel 0 wollen wir eine durch ihren Mittelpunkt Z, gehende Asymptote Z^Z^ ermitteln. Eine parallel zur ersten projicirenden Ebene von V^V^ durch S gelegte Ebene trifft den Kegel in der zu einer Asymptote der Schnitthyperbel parallelen Erzeugenden SJ^ und die Ebene der Umrißerzeugenden in SJy so daß ein zu F^ senk- rechter Abstand beider Linien «= J"J^ ist. Durch Parallele zu r' projicirt sich S'J* auf x^^ in SqJq\ und macht man J^J^ JL x^^ und ^^J"J^y 80 ist die zu S^J^ parallele Z^Z^ eine Asymptote der 0. Man bestimmt nun zu dem unendlich fernen Punkte Z^ der Z^Z^ den in Bezug auf y und z konjugirten Punkt T^ als Schnittpunkt der Polaren von Zg zu j», d. i. Z3Z4, und zu y, d. i. Y^T^ (ein ver- mittelst der Affinitat von y zu dem aus Y^ durch Y^ gezogenen Kreise bestimmter Durchmesser), und gibt die Projektionen Z^ und Y^ dieser Punkte auf o:,, an. Ermittelt man nun zu einem die x^^ berührenden Ejreise den Mittelpunkt X der Involution Y^Y^{Yf^\ Z^Z^{Z^ als Pol zu YqZqj und den Mittelpunkt X, zu der Invo- lution von den Doppelpunkten Y^y Z^, so schneidet XX^ diesen Kreis in zwei reellen Punkten, in denen die Tangenten die x^^ in F' und JP/ treffen; und aus diesen erhält man durch Zurückprojiciren die scheinbaren Doppelpunkte F und F^ .
234. Aufg. Die Schnittlinie zweier Kegel zu ermitteln. Dabei soü der Fall gewählt werden y daß die Kegel vom ztoeiten Grade ^ etwa Umdrehungskegel y sind und zwei gemeinschaftliche Berührungsebenen besitzen.
Aufl. Seien bezw. S und T die Spitzen, 8My TN die Axen Fig. 110. beider Kegel, so gehen die gemeinschaftlichen Berührungsebenen durch STy und die Axen müssen in einer der Halbirungsebenen der von den Berührungsebenen gebildeten Winkel liegen und sich daher schneiden. Stellen wir F^ parallel zur Ebene der Axen, F^ senk- recht zu SM, begrenzen die Kegel durch Parallelkreise m bezw. n mit den Mittelpunkten M bezw. Ny so ist von m der Grundriß ein aus M' als Mittelpunkt gezogener Kreis m\ sein Aufriß m" eine auf S"M' senkrechte Gerade, und von n der Aufriß n" die auf T'K' senkrechte Gerade K'B", der Grundriß eine Ellipse n mit dem Mittelpunkte 2^y während die Große des Kreishalbmessers erst noch durch die Bedingung des Bestehens zweier gemeinschaftlichen
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254 VI, 234—236. DurcHschnitt krommer Flächen mit knunmen Flächen.
Berührungsebenen beider Kegel bestimmt werden muß. Schneidet
ST die Grundflächen M und N der Kegel S und T bezw. in A und
B, und schneiden sich M und N in C"C' (±S'T'), so ist der
Schnitt der einen Fig. 110.
\^.
der gemeinschaft- lichen Berüh- rungsebenen mit M eine aus Ä' an den Kreis m' ge- zogene Tangente ^x Ä'E\ welche die
\, C'Cr in D' trifft fi^ Legt man die --'' Ebene N des Krei-
ses n um dessen zu P) parallele Durchmesserlinie NB, welche die M in C trifft, in eine zu Fg paral- lele Ebene um, so gelangt ihrSchnitt mit jener gemein- schaftlichen Be- rührungsebene nach B"D"'j wenn C" D"' 1.B" G" und = CD'; der umgelegte Grundkreis «'"wird dann aus N" berührend an B" D" gezogen. Die Berührungspunkte auf m und n sind bezw. E und F, die Berührungserzeugenden SE^ TF^ welche sich in dem einen Doppelpunkte G der Schnittkurve beider Kegel treffen. Der zweite hat ebenfalls 6r" zur zweiten Projektion. Weitere Punkte könnte man durch neue durch 8T gelegte Hilfs- ebenen finden; die durch beide Kegelaxen gehende trifft die Kegel in den umrissen ihrer zweiten Projektionen, und diese liefern vier gemeinschafthche Punkte H, J", JST, L. Einfacher verzeichnet man aber die Schnittlinie durch die Erkenntnis, daß sie in unserem Falle aus zwei Kegelschnitten besteht, wie in Nr. 67, und wie es auch aus den folgenden Sätzen folgt Ihr Aufriß besteht dann aus den zwei Geraden R"G"K'\ J"G"V\ ihr Grundriß aus zwei Kegelschnitten, welche 8' zu einem gemeinschaftlichen Brennpunkte haben (57).
235. Einige Sätze über die SchniUJcurven von Flächen Bweikn Grades untereinander.
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VI, 235 — 286. Der Durchschnitt von Cylindern n. Kegeln untereinander. 255
1) Zwei Flächen BweUen Grades schneiden sich in einer Linie vierter Ordnung y d. i. in einer solchen Kurve, welche von einer Ebene in vier (reellen oder imaginären) Punkten geschnitten wird; den Fall ausgenommen, daß diese Ebene eine der Schnittkurve angehorige Linie enthält, welche dann von der zweiten Ordnung ist. Denn eine Ebene schneidet jede der beiden Flächen in einer Linie zweiter Ordnung, und diese haben im allgemeinen vier Punkte gemein, welche zugleich die der Ebene und der Schnittlinie beider Flächen gemeinsamen Punkte sind. In dem Ausnahmefalle, daß beide Linien zweiter Ordnung fOnf Punkte gemein haben, fallen sie ganz inein- ander und bilden dann einen ebenen Bestandteil der Schnittkurve.
2) Besitzt die Schnittlinie zweier Flächen zweiten Grades als Be- standteil eine ebene Kurve k, die dann vom zweiten Grade ist^ so ist der Best ebenfalls eine Kurve vom zweiten Grade. Denn legt man durch drei Punkte des Reststückes eine Ebene E, welche die Ebene der h in der Geraden g trifft, so schneidet g die Je in zwei (reellen oder imaginären) Punkten, die auch jedem der Kegelschnitte ange- hören, in welchen E die Flächen schneidet (76). Diese beiden Kegelschnitte haben daher 3 + 2 = 5 Punkte der Schnittlinie ge- mein, fallen also ganz ineinander und bilden einen zweiten Bestand- teil der Schnittlinie. Besäßen die Flächen noch einen weiteren gemeinsamen Punkt P, so müßten sie ganz ineinanderfallen, da jede durch P gelegte Ebene beide Flächen in ineinanderfallenden Kegelschnitten träfe, weil diese Kegelschnitte den Punkt P und vier Punkte der gemeinsamen Kegelschnitte gemeio hätten.
Fallen beide gemeinsamen Kegelschnitte in einen zusammen, so berühren sich die Flächen entlang desselben.
3) Besitzen zu)ei Flächen zweiten Grades in jedem von zwei ge- meinsamen Punkten eine gemeinschaftliche BerOhrungsebene, so zerfallt ihre Sdinittlinie vierter Ordnung in zwei Linien zweiter Ordnung, welche sich in jenen Punkten schneiden. Denn eine durch jene zwei Punkte und einen beliebigen dritten Punkt der Schnittlinie gelegte Ebene schneidet beide Flächen in Kegelschnitten, welche drei Punkte und die Tangenten in den beiden ersten gemein haben, also ganz in- einanderfallen, daher Teile der Schnittlinie sind.
236. Aufg. Die Schnittlinie zweier Kegel zweiten Grades, welche eine gemeinschaftliche Hauptebene besitzen, zu konstruiren und ihre Pro- jektion auf diese Ebene zu verzeichnen.
Aufl. Man stelle F, parallel zur gemeinschaftlichen Haupt- Fig. in. oder Sjmmetrieebene, und es sei B'C ( P x) ihre erste Projektion. 8 und T seien die Spitzen, der Kreis k bezw. die Ellipse Z, beide in P^ gelegen, die Leitlinien der Kegel, so liegen in jener Haupt-
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2Ö6 VI, 236—238. Durchschnitt krammer Flächen mit krummen Flächen.
ebene die Spitzen S und T, sowie die Axen A'B' von A' und CD' von r. Die Verbindungsgerade ST der Spitzen triflFt die P^ im
Punkte ü, und durch ihn gehen die ersten Spuren der Hilfsebe- nen. Die gemein- schaftliche Haupt- ebene enthält die zweiten Umrisse, und diese liefern die vier Punkte H, J, K, L
der Schnittlinie; ebenso viele be- stimmt im allgemei- nen jede andere Hilfs- ebene, von denen noch eine angegeben ist, und welche Ebe- nen man zweckmäßig paarweise symme- trisch zur gemein- samen Hauptebene legt. Die letzte nutz- bare Hilfsebene be- rührt die k und schnei- det die l in zwei Punkten; sie liefert zwei Schnittpunkte, in denen die Tangen- ten der Schnittkurve nach T laufen.
237. Man bemerkt, daß die zweite Projektion der Schnittlinie Stücke eines Kegelschnittes und zwar einer Hyperbel bilden. Es beruht dies auf folgendem Satze: Die Projektion der Schnittlinie moeier Flächen zweiten Grades^ welche eine gemeinschaftliehe Haupteibene be- sitzen, auf diese, ist ein Kegelschnitt Denn eine Gerade kaun die Pro- jektion der Kurve in nicht mehr als in zwei Punkten schneiden, weil sonst die projicirende Ebene der Geraden die Kurve vierter Ordnung in mehr als den vier Punkten träfe, welche jenen zweien entsprechen. — Wir werden später allgemeinere Sätze dieser Art aufstellen.
238. Die unendlich fernen Punkte der Schnittlinie werden durch Paare paralleler Erzeugenden beider Kegel geliefert. Um diese zu
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VI, Sd8— 289. Der DarchschDitt yon Gjlindem n. Kegeln untereinander. 257
erhalten, verschiebt man den einen Kegel^ etwa den mit der Spitze Sf welcher den Kreis k zur Leitlinie hat, parallel mit seiner An- fangslage, bis 8 in die Spitze T des anderen Kegels gelangt; dann ist die erste Spur des verschobenen Kegels eine ähnliche und paral- lele Kurve zu der ersten Spur des ursprünglichen, in unserem Falle der Kreis E' F (TE \\ SA, TF || SB). Die ersten Spuren ET und r, des verschobenen Kegels und des Kegels T, haben in unserem Falle zwei reelle Punkte gemein, wovon der eine G' ist; daher haben diese koncentrischen Kegel zwei reelle Erzeugende gemein, von denen die eine TG ist. Schiebt man den einen Kegel wieder in seine ur- sprüngliche Lage zurück, so gelangt jene Erzeugende in die zu TG parallele Lage SM, und diese beiden bestimmen einen unendlich fernen Punkt der Schnittkurve. Die Tangente in demselben ist eine Asymptote und wird erhalten als die Schnittlinie NP der Berüh- rungsebene der Kegel entlang TG, bezw. SM {G'N* Tangente an V in G' , M'N' Tangente an fc' in M', N' Schnittpunkte dieser Tangenten, NP \ GT \ MS), Ebenso findet man eine zweite Asymptote; die zweiten Projektionen beider fallen aber in eine ein- zige Gerade zusammen, welche die Asymptote an das ins Unend- liche verlaufende Stück der hyperbolischen zweiten Projektion der Schnittkurve ist, während man die Asymptote des Ergänzungsstückes der Hyperbel auf diese Weise nicht erhält.
239. Man bemerkt, daß in unserem Falle die Schnittlinie s aus einem geschlossenen Aste KL und zwei ins Unendliche laufen- den Asten besteht, welche letztere H und J zu Scheiteln haben und durch zwei gemeinsame unendlich ferne Punkte gleichsam zu- sammenhängen. Die zweite Projektion dagegen besteht aus drei getrennten Stücken einer Hyperbel, K" L", J"(x>, cx> H", wovon beide letzteren wieder durch einen gemeinsamen unendlich fernen Punkt gleichsam zusammenhängen. Die übrigen Stücke der Hyperbel erscheinen nicht zur Schnittlinie gehörig, sie erscheinen fremd oder parasitisch, im Gegensatz zu den brauchbaren oder nützlichen Stücken. Es müssen aber auch die ersteren Linienstücke als zur zweiten Pro- jektion der Schnittkurve gehörig angesehen werden, weil die pro- jicirenden Geraden ihrer Punkte übereinstimmende, und zwar gleich- laufende, Involutionen konjugirter Punkte in Bezug auf beide Kegel, oder je zwei imaginäre gemeinsame Punkte beider Kegel enthalten. Diese je zwei imaginären Punkte projiciren sich in je zwei reelle ver- mittelst der Imaginärprojektion aus dem unendlich fernen Punkte Y der (auf F, senkrechten) yAxe. Die Imaginärprojektionen der Leit- kegelschnitte (Kreis und Ellipse) h und l aus T sind zwei Hyperbeln Fig. iis. *,,?!, die der Kegel Sic, Tl zwei Kegel Sh^, Tl^, die der Schnittkurve s
Wiener, Lehrbaoh der dareteUenden Geometrie. II. 17
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258 VI, 239. Durchschnitt krummer Flä^^hen mit krommen Flächen.
der ersteren Kegel, die Schnittkurve 5^ der letzteren Kegel, und wir wollen dabei die Kurve vierter Ordntmg Sj die Imaginärprojektion der Kurve vierter Ordnung s aus Y nennen. Die Konstruktion Yon Sj
Fig. 112.
ist in der Figur ausgeführt-, es sind dabei auch, und zwar wieder durch eine, jedoch nicht angegebene Parallel Verschiebung, die beiden Asymptoten der 5^ bestimmt, welche in der zweiten Projektion eine einzige, und zwar die vorhin nicht erhaltene Asymptote der Hyperbel s/' (und 5") bilden»).
Weil im vorliegenden Falle die drei benutzten Teile der hyper- bolischen 5i" schon den Asymptoten sehr nahe liegen, so schließen sich die entsprechenden drei Aste der s^ und der s^" sehr nahe, und in der Figur nicht unterscheidbar, den beiden Asten der Hyperbel
*) Diese Konstruktion wurde von dem Verf. gegeben in der schon ange- führten Abhandlung in Schlömilchs Zeitschr. f. Math. u. Phys., B. 12, 1867, S. 375 f. f. „Über scheinbare Unstetigkeit geometrischer Constractionen , welche durch imaginäre Elemente derselben verursacht wird".
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VI, 239—240. Der Durchschnitt von Cylindern u. Kegehi untereinander. 259
und der Ellipse an, in welchen die durch jene Asymptoten auf P^ projicirten Ebenen die beiden Kegel Sh^^, Tl^ treflfen. Die Kurven s und s^ haben in ihren Scheiteln H, «7, K^ L gleiche und entgegen- gesetzte Krümmungshalbmesser, weil sie gegenseitige Imaginär- projektionen oder konjugirte Kurven sind (171); daher sind auch die Krümmungshalbmesser der s in H und Ky sowie die in J und L nahezu gleich. Der endliche (geschlossene) Ast von s ist in seinem bei K liegenden Teile von einer halben Ellipse, die in den bezeichneten Ebenen zweier Asymptoten liegt, in unserer Figur nicht zu unter- scheiden und daher als solche gezeichnet worden.
240. Die 4 unendlich fernen Funkte der Schnittlinie zweier Kegel zweiten Grades, d. h. ihre 4 Schnittpunkte mit der unendlich fernen Ebene, erhält man allgemein dadurch, daß man den einen Kegel durch Parallelverschiebung zu sich selbst koncentrisch mit dem anderen macht und die 4 gemeinsamen Erzeugenden beider Kegel dadurch sucht, daß man beide Kegel mit einer Ebene schneidet und die 4 ge- meinsamen Punkte der entstehenden Kegelschnitte ermittelt Nach ihnen laufen die gemeinsamen Erzeugenden und diese bestimmen die Paare paralleler Erzeugenden der ursprünglichen Kegel und die unendlich fernen Punkte der Kurve. Die Asymptoten sind die Schnittlinien der Berührungsebenen beider Kegel entlang zweier sol- chen parallelen Erzeugenden. Man kann dabei folgende Fälle unter- scheiden: Von den 4 Schnittpunkten jener Kegelschnitte sind: a) alle 4 reell und 1) getrennt, 2) 2 getrennt, 2 andere zusammenfallend,
3) je 2 in verschiedenen Punkten zusammenfallend, 4) 3 zusammen- fallend, 1 getrennt, 5) alle 4 zusammenfallend, wobei sich die Kegelschnitte in einem Punkte vierpunktig berühren; b) 2 reell und 2 imaginär, dabei die 2 reellen 6) getrennt, 7) zusammenfallend; c) 8) alle 4 imaginär. In diesen Fällen besitzt die Schnittkurve vierter Ordnung: 1) 4 Asymptoten und 4mal einen hyperbolischen Verlauf, 2) 2 Asymptoten und eine unendlich ferne Tangente, oder 2 hyperbolische Verläufe und 1 parabolischen Verlauf, wobei 2 Zweige der Kurve dem unendlich fernen Punkte in gleichem Sinne mit wachsender Entfernung zustreben, 3) 2 parabolische Verläufe,
4) die unendlich ferne Ebene als Schmiegungsebene, wobei 2 Zweige dem unendlich fernen Punkte in entgegengesetztem Sinne ohne An- näherung an eine Asymptote zustreben (da die dreipunktig berüh- rende Schmiegungsebene die Kurve schneidet (I, 260)), und außer- dem eine Asymptote, 5) die unendlich ferne Ebene als vierpunktig berührende Schmiegungsebene (Rückkehrebene), wobei dem unendlich fernen Punkte zwei Zweige in gleichem Sinne zustreben, 6) 2 Asymp- toten, 7) einen parabolischen Verlauf, 8) keinen unendlich fernen Punkt.
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260 VI, 241. Durchschnitt knimmer Flächen mit krammen Flächen.
241. Übungsaufgaben.
1) Man nehme Kegel (einschließlich Cylinder) nach diesen Be- dingungen an und konstruire ihre Schnittkurve samt deren Asymp- toten. Im Falle zweier zusammenfallenden unendlich fernen Punkte oder des parabolischen Verlaufes suche man die asymptotische Para- bel, welche sich der Kurve mit dem Fortschreiten gegen das Unend- liche beliebig nahe annähert. Dieselbe liegt in derjenigen Ebene, welche parallel zu den beiden unter einander parallelen und die Kegel nach parallelen Erzeugenden berührenden Ebenen verläuft, und die beiden Kegel in kongruenten (und parallelen) Parabeln schneidet Mit beiden wird die asymptotische Parabel kongruent und parallel sein, ihre Lage gegen sie aber von den Krümmungs- kreisen der Kegelschnitte der vorigen Nr. in ihrem Berührungs- punkte abhängen.
2) Man fertige Fadenmodelle der vorgenannten Kegel und ihrer Schnittkurven an. Der Verfasser hat folgende Art der Ausführung zweckmäßig gefunden*). Die Grundlage bildet ein würfelformiger Holzkasten von 30 cm Seite in Lichten, dessen Wände aus Brettern von gleichförmigem Holze (vom Birnbaum) in der Stärke von 1 cm gebildet werden, welche an vier parallelen Kanten (schwalbenschwanz- tirtig) verzinkt, während Boden und Deckel aufgeschraubt sind. In drei Projektionen werden die Kegelflächen und die zwei Schnittpunkte jeder Erzeugenden mit der inneren Würfeloberfläche konstruirt Diese Punkte (in einem mittleren Abstände von etwa 1 cm) werden auf die Innenfläche der Bretter übertragen, in ihnen die Bretter fein durch- bohrt, um die Schnittkurven der Flächen Stäbe von 1,5 cm Breite eingezeichnet, diese unter Stehenlassen der zurVerbindung notwendigen anderen Stäbe (häufig entlang der Würfelkanten) ausgesägt, zusam- mengefügt, schwarz gebeizt, und dann die Erzeugenden der Flächen mit stärkeren Seidefäden von verschiedenen Farben eingespannt. Die Schnittkurve wird durch Glasperlen bezeichnet, durch welche je zwei sich schneidende Erzeugende gehen. Im Falle des spitz- winkligen Schnittes kann man die Perlen durch einen nach der Kurve durchgezogenen feinen Faden vereinigen. Im Falle sich die gespannten Fäden nicht treffen, macht man die Kurve durch einen mehrfachen, in die Kante gespannten Faden bemerklich.
*) Die technische Hochschule in Karlsrahe besitzt eine größere Anzahl von Modellen, darunter von Kegelflächen uncl deren Kurven, welche unter Anleitung des Verfassers von Stadirenden in der oben angegebenen Weise kon- struirt und ausgeführt wurden.
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VI, 242—248. Der Darchsclinitt Yon Cylindem a. Kegeln ontereinander. 261
b) Die Raumkurye dritter Ordnung.
242. Haben zwei Kegel zweiten Grades eine Erzeugende gemein (wobei die Spitze eines jeden Kegels auf dem anderen liegt), so zerfalU die Schnittlinie in eine Gerade, jene Erzeugende, und in eine unebene Kurve dritter Ordnung (kubische Baumkurve), Denn eine Ebene schneidet die Gesamtschnittkuire in vier Ponkten; und da von den- selben einer auf jene Gerade fallt, so kommen auf die ßestkurve nur noch drei. Von diesen muß stets einer reell sein, weil von den vieren der auf der Geraden liegende reell ist, während die zwei anderen reell oder konjugirt imaginär sein können.
Diese Kurve dritter Ordnung geht durch die Spitze eines jeden der drei Kegel. Der eine Kegel wird in seiner Spitze von der Berüh- rungsebene des andern Kegels in demselben Punkte in zwei Er- zeugenden getroffen, von denen die eine die gemeinschaftliche Er- zeugende beider Kegel, die andere die Tangente unserer Kurve in jener Spitze ist
Die bezeichnete Kurve dürfen wir kurzweg die und)ene oder Baumkurve dritter Ordnung nennen, weil die Analysis zeigt, daß jede Kurve dritter Ordnung auf die angegebene Weise erzeugt werden kann.
243. Satz. Die Baumkurve k dritter Ordnung unrd aus jedem ihrer Punkte durdi einen Kegel zweiten Grades prqjicirt
Geometrischer Beweis, Seien A, B die Spitzen der beiden sich in k schneidenden Kegel, C ein beliebiger Punkt der k, aus wel- chem k projicirt werden soll, und P.der bewegliche Punkt der k] dann sind ÄC, AP und BC, BP Erzeugende bezw. des ersten und zweiten Kegels. Die beweglichen Ebenen ABP, ACP schneiden sjch in der AP, welche den ersten Kegel (A) erzeugt; sie selbst bilden daher zwei projektive Ebenenbüschel mit den Axen AB und AG, Ebenso sind die Ebenenbüschel BA und BC, welche den Kegel B erzeugen, unter einander projektiv. Daher sind auch die Ebenen- büschel CA, CB, deren entsprechende Ebenen durch P gehen, die sich also in den projicirenden Strahlen CP schneiden, unter ein- ander projektiv, und die CP erzeugen einen Kegel zweiten Grades (21), w. z. b. w.
Auf Grund des analytischen Satzes, daß eine algebraische Kurve von jeder Ebene in derselben Anzahl (reeller oder imaginärer) Punkte geschnitten wird, kann man den vorigen Satz erweitert aussprechen und beweisen.
Satz. Eine Baumkurve k von der n^ Ordnung wird aus einem Punkte C durch einen Kegel von der Ordnung n, n -— 1, n — 2, . . .
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262 VI, 248>-244. Darchschnitt krummer Flächen mit krammen Flächen.
Fig. 118.
Fig. 118.
n — m projicirty je nachdem G außerhalb Je, oder in einem 1-, 2-, ...
m fachen Punkte von h liegt.
Analytischer Beweis. Eine durch C gelegte Ebene schneidet h
in n Punkten, außerhalb C daher in n, n— 1, n — 2 ... Punkten^
enthält also von dem Kegel' in den bezeichneten Fällen bezw. n,
n — l,w — 2, ...n — W Erzeugende, woraus der Satz folgt (21). 244. Säte. Eine Baumkurve dritter Ordnung k ist durch sechs
willkürlich angenommene Punkte bestimmt^ von denen nicht vier in
derselben Ebene liegen.
Denn legt man einen projicirenden Eegel aus einem dieser
Punkte {Ä), so ist derselbe vom zweiten Grade, kann also nur
fönf willkürliche Erzeu- gende besitzen, daher k außer Ä nur noch fünf willkürliche Punkte enthal- ten kann, welche denKegel A bestimmen. Ebenso ist der aus jedem anderen der Punkte die k projicirenden Kegel bestimmt. Es ist daher k die gemeinschafb- liehe Kurve dieser sechs Kegel und durch zwei der- selben bestimmt.
Aufg. Eine Projektion der Baumkurve dritter Ord- nung k m konstruiren, wel- che durch sechs gegebene Punkte A, B, C, D, E, F geht, von denen keine vier in einer Ebene liegen.
Aufl. Man nehme zwei der Punkte, A und
B, als Spitzen der bestim- menden Kegel, lege die Projektionsebene P durch drei andere der Punkte,
C, D, E, so sind die letz- teren Punkte unmittelbar
in P, die drei anderen A, B, F durch ihre Projektionen und etwa ihre Abstände von P gegeben. Dadurch kann man (in einer in der Figur nicht angegebenen Weise) die Spuren 0 und JF\ bezw. von
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VI, 244—245. Der Durchschnitt von Cjlindem u. Kegeln untereinander. 263
AB und AF in P bestimmen, und aus F^ die Spur F^ von BF, da OF^F^ als Spur der Ebene ABF eine Gerade sein muß. Mit- telst dieser Projektion löst man die Aufgabe^ wobei es ganz gleich- giltig ist, ob Central- oder Parallelprojektion angewendet wurde.
Die Kegel A und B haben nun bezw. die durch die fünf Punkte OCDEFi und OCDEF^ gelegten Kegelschnitte l und m zu Spuren. Man bestimmt einen allgemeinen Punkt P der k, indem man durch ABO eine beliebige Hilfsebene legt, deren Spur OP^P^- die l und m außer in 0 bezw. in P^ und Pj treffe; die Ebene schneidet die Kegel in den Erzeugenden AP^y BP^, deren Schnittpunkt P ist Die Punkte P^, P^, P kann man ohne Verzeichnung der Kegel- schnitte Z, m linear, d. i. nur mit geraden Hilfslinien bestimmen (I, 321, 322). — Die Tangente der k in P erhält man als Schnitt- linie PPq der Berührungsebenen in P an jeden der Kegel, wobei Pq der Schnittpunkt der Tangenten an Z in P^ und an m in P^ ist.
Um die Asymptoten der k zu ermitteln, verschiebt man einen der Kegel, etwa den AI, parallel zu seiner Anfangslage, bis seine Spitze A nach B gelangt; seine Spur V ist dann eine zu l per- spektiv-ähnliche Kurve mit 0 als Ahnlichkeitspunkt, wobei dem Mittelpunkte L der l derjenige L' der V entspricht (OLL' eine Gerade, BL' \\ AL), Man bestimmt nun die Schnittpunkte von V und m, welche außer 0 in der Figur die drei reellen Punkte Q, R, S' sind; die Kegel BZ', Bm haben daher außer SO drei gemeinschaft- liche Erzeugende BQ, BR, BS, mit welchen bezw. die Asymptoten q, r, s der k parallel laufen. Es ist dann z. B. die r durch einen Punkt Rq derselben bestimmt, den Schnittpunkt der Tangente der m in JB, und der Tangente an Z, welche derjenigen der V in R ent- spricht, also mit ihr parallel ist. Da die Kegelschnitte V, m einen reellen Punkt 0 gemein haben, so besitzen sie wenigstens noch einen reellen Schnittpunkt, während die beiden anderen reell oder konjugirt imaginär sind. Daher hat k auch wenigstens eine reelle und außerdem noch zwei reelle oder zwei imaginäre Asymptoten.
245. Auf einer solchen Grundlage gelangt man zu einer Ein- teilung dieser Kurven. Jede Raumkurve dritter Ordnung schneidet die unendlich ferne Ebene in drei Punkten, von denen wenigstens einer reell ist Aus jedem ihrer unendlich fernen Punkte wird die Kurve durch einen Cyb'nder (zweiten Grades) projicirt. Nach der Eigen- tümlichkeit ihrer unendlich fernen Punkte unterscheidet man fol- gende drei Arten der Kurven:
1) Die kubische Hyperbel; sie hat drei reelle getrennte unendlich ferne Purste und drei Asymptoten. Sie liegt daher auf drei Cylindem, welche hyperbolisch sind und wovon je zwei eine unendlich ferne
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264 VI, 245—247. Dorclischnitt krammer Flächen mit krummen Flächen.
VerbiuduDgsgerade von zweien jener Punkte gemein^ oder zwei Äsymptotenebenen parallel haben.
2) Die kubische hyperbolische Parabel; sie hat einen allein liegenden und 0wei msanwnenfallende unendlich ferne Punkte, eine Asymptote und eine asymptotische Parabel. Aus dem ersteren Punkte wird sie durch einen parabolischen^ und aus dem letzteren durch einen hyper- bolischen Cylinder projicirt; beide Gy linder haben die unendlich ferne Verbindungslinie der getrennten Punkte gemein.
3) Die kubische Parabel; sie hat drei zusammenfallende unendlich ferne Punkte, so daß die unendlich ferne Ebene ihre Schmiegungs- ebene bildet; eine Asymptote besitzt sie nicht. Aus dem unendlich fernen Punkte wird sie durch einen parabolischen Cylinder projicirt
4) Die kubische Ellipse; sie hat einen reellen und zwei imaginäre unendlich ferne Punkte und eine Asymptote; sie liegt auf einem ellipti- schen Cylinder. — Diese und die vorhergehende Kurve bedürfen zu ihrer Erzeugung noch eines eigentlichen Kegels.
246. Übtmgsaufgaben.
1) Die vier Fälle der kubischen Baurnkurve nach der vorigen Nr. zu konstruiren und in der in Nr. 241 angegebenen Weise durch Fadenmodelle darzustellen. Dabei empfiehlt es sich bei 1) die drei Cylinder ; bei 2) die zwei Cylinder und die Asymptotenebenen des hyperbolischen durch Fäden darzustellen. Der Schnitt der einen Asymptotenebene mit dem parabolischen Cylinder^ den man durch andersfarbige Perlen wie die Raumkurve bezeichnen kann, bildet die asymptotische Parabel.
2) Die Schnittlinie ssweier Kegel zu bestimmen, wenn die Spitze des ersten Kegels auf dem zweiten, nicht aber die des zweiten auf dem ersten liegt — Die Spitze des ersten Kegels bildet einen Doppelpunkt, eine Spitze oder einen isolirten Punkt der Schnitt- kurve, je nachdem die Berührungsebene des zweiten Kegels in die- sem Punkte zwei, eine oder keine Erzeugende des zweiten Kegels enthält
m. Der Durohsohnitt einer Umdrehungsfl&ohe mit einem Kegel oder einem Cylinder.
a) Der Kegel und die koncentrische Kugel.
247. Man stelle die P^ senkrecht auf die Axe a der üm- drehungsfläche; vom Kegel sei die erste Spur c gegeben oder sie werde, wenn eine andere Leitlinie gegeben ist, konstruirt
Aufg. Die Schnittlinie einer Umdrehungsßäche mit einem Kegd m konstruiren, dessen Spitze auf der Axe a der ersteren Fläche liegt
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YI, 247— 248. Durchsohnitt e. ümdrehnngsfl&che mit e. Kegel od. Cjlinder. 265
Als Beispiel sei eine Kugd und ein damit hmcentrischer Kegel gewählt.
Auft, Sei S der Mittelpunkt der Kugel und des Kegels, c die Fig. lu. erste Spur des Kegels, h der zweite Umriß der Kugel. Der Deut- lichkeit halber sei nur ein Ast des Kegels und der Schnittlinie ge- zeichnet; der andere ist mit ihm symmetrisch in Bezug auf S. Die Kugel werde durch eine zu F| parallele Ebene begrenzt. Man könnte nun die Hilfsebenen durch a, in unserem Falle durch den auf P| senkrechten Durchmesser der Kugel legen; sie schneiden die Umdrehungsfläche in Meridianen, in unserem Falle in größten Kreisen, den Kegel in Erzeugenden. Um die Schnittpunkte beider Linien zu erhalten, aber doch mit der Verzeichnung des Haupt- meridianes auszureichen, würde man jene Meridian ebenen um a in die Hauptmeridianebene drehen, hier die Schnittpunkte bestimmen und dann zurückdrehen. — Zu denselben Konstruktiouslinien führt auch eine andere Anschauung, die wegen ihrer allgemeineren Brauch- barkeit hier sogleich durchgeführt werden soll. Man legt die Hilfs- ebenen JLa(j|Pi); sie schneiden die Umdrehungsfläche in Parallel- kreisen, den Kegel in Kurven, welche mit c ähnlich und parallel sind; um ihre Verzeichnung zu ersparen, projicirt man beide Kur- ven aus S auf P|, wobei sich die Parallelkreise wieder in Kreise, die Kurven des Kegels alle in c projiciren. Man bestimmt deren Schnittpunkte und projicirt sie aus S auf die zugehörige Hilfsebene zurück. So schneidet eine Hilfsebene (||Pi) die Fläche in einem Parallelkreise, dessen Punkt auf dem Hauptmeridiane Q ist; Q wird aus 8 auf P^ nach Q^, der Parallelkreis in den aus S' durch Q^ gezogenen Kreis projicirt, dieser schneidet die c in P, und R^, welche aus 8 auf jenen Parallelkreis nach P und R zurückprojicirt werden.
Als ausgezeichnete Punkte findet man diejenigen auf dem zweiten Umrisse der Kugel vermittelst ihrer Ebene als Hilfsebene, und die- jenigen auf den zweiten Umrissen des Kegels vermittelst der durch jeden Umriß gelegten Umdrehungskegel mit a als Axe.
248. Die Tangente FT in einem allgemeinen Punkte P der Schnittlinie erhält man, wenn man die ersta Spur der Berührungs- ebene des Kegels in P, d. i. die Tangente P^T der c in Pj, mit derjenigen VT der Kugel in T schneidet; VT' wird aus der Tan- gente Q" W" an *" in Q" durch Drehung von W um a nach F, als VT'± S' V bestimmt PT ist dann die Schnittlinie beider Be- rührungsebenen.
Höchste und tiefste Pimkte der Schnittkurve, in welchen also die Tangenten || F^ laufen, erhält man dann, wenn die zusammen-
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266 VI) 248 — 249. Darchschnitt krummer Flächen mit krammen Flächen.
gehörigen ersten Spuren der Berührungsebenen beider Flächen unter einander parallel sind^ wenn also die Tangente der c senk- recht auf der Ver- Fig. 114. bindungslinie ihres
Berührungspunktes mit S' steht Die Auf- gabe kommt also da- rauf hinaus^ aus einem beliebigen Punkte S' der Ebene der c eine Normale zu ihr zu I^ legen. Diese Aufgabe könnte man entweder mittelst einer Pehler- kurve lösen (I, 202), oder dadurch y daß man die Evolute der c konstruirt (I, 251), von der in der Fi- gur die notwendigen Stücke ausgeführt sind und an sie durch An- legen des Lineals Tan- genten aus S' zieht; sie sind die gesuch- ten Normalen der c. Ist c eine Ellipse, so zeigt der Anblick ihrer Evolute, daß wenn S' im Inneren der- selben liegt, vier Tangenten an dieselbe gezogen werden können, wenn im Äußeren, wie in unserem Falle, zwei. Auf diese Weise sind im vorliegenden Falle die zwei Normalen S'A^ und S'Bi ge- zogen, auf denen sich der höchste Punkt A, bezw. der tiefste B der Schnittlinie ergibt
2i9. Die zweite Projektion der Schnittlinie besitzt zwei Doppd- punhte, wovon der verzeichnete Ast den einen 0" enthält. Man be- stimmt dieselben (233), indem man von dem unendlich fernen Pro- jektionsmittelpunkte die Polarebenen beider Flächen ermittelt, d. i. die Durchmesserebenen, welche die zu Pg senkrechten Sehnen hal- biren und die zweiten Umrisse enthalten. Für die Kugel ist es die zu P^ parallele Durchmesserebene Sic, für den Kegel die Durch- messerebene SDEj wenn BE der zur Senkrechten zu Pj konjugirte Durchmesser der Ellipse c ist. Diese beiden Polarebenen schneiden
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VI, 249—250. Durchschnitt e. Umdrehungsfläche mit e. Kegel od. Cylinder. 267
sich in SF, deren zweite Projektion 8" F" die Doppelpunkte ent- hält; die dann in der gewöhnlichen Weise konstruirt werden.
T B'
250, Die Losung dieser Aufgabe gestattet es^ die andere Auf- gabe^ „einen hdiAigen Kegel obzuwickeM^j mittelst einer geringeren Anzahl von Erzeugenden, welche aber bei Verwertung der Stetig- keit hinreicht, jedoch nicht auf so einfache Weise, wie in Nr. 65, zu lösen. Die Schnittlinie des Kegels mit einer koncentrischen Kugel wird nämlich bei der Abwickelung zu einem Kreisbogen vom Halbmesser der Kugel und vod gleicher Länge mit der Scheitel- kurve. Die Länge einer unebenen durch ihre Projektionen gegebenen Kurve kann aber nicht unmittelbar aus diesen entnommen werden; vielmehr muß man diese Kurve erst durch Abwickelung eines ihrer projicirenden Cylinder in eine ebene Kurve von gleicher Länge ver- wandeln. Der erste projicirende Cylinder hat die erste Projektion zum senkrechten Schnitte, und dieser wird bei der Abwickelung des Cy linders zu einer Geraden B' A'B\ auf welche man vermittelst ifig. ii4». kleiner Stückchen die Länge der Kurve B' A'B' der Hauptfigur unter Bezeichnung der konstruirten Punkte überträgt. Zieht man in diesen Punkten Senkrechte zu B'A'B\ überträgt auf sie aus
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268 VI, 250—251. Dorchschnitt krummer Flächen mit krummen il&olien.
dem Aufriß die Längen der jedesmal zugehörigen Projicirenden^ so bestimmen deren Endpunkte die Verwandelte BÄB.
Die Tangente FT in P an dieselbe erhält man, wenn man auf Fä' die Länge FT aus dem Grundriß (= P" T) überträgt und FT zieht. Fig. 114 b. Zeichnet man nun mit dem Halbmesser der Kugel einen freis aus
Sy überträgt auf denselben durch kleine Stückchen die Kurve BAB der Fig. a unter Bezeichnung der konstruirten Punkte, zieht durch sie aus S die Kegelerzeugenden, gibt ihnen die wahre Länge ihrer bis zur Leitlinie e reichenden Stücke, indem man z. B. 8"Q^' als SF^ und SB^ überträgt, so erhält man durch die Endpunkte die Verwandelte B^ Äi Bi der Leitlinie c und somit die Abwickelung des Kegels.
Die Tangente FT in F wird durch Auftragen des rechtwink- ligen Dreiecks bestimmt, indem man FiFT= 90^ und FT gleich dem FT der Fig. a, oder Pj T gleich dem Pj T der Hauptfigur macht.
Für die Punkte Ä^, B^, in welchen die Tangente der c bezw. senkrecht auf der zugehörigen Kegelerzeugenden SÄ^j SB^ steht, kann man leicht nach Nr. 61 den Krümmungshalbmesser der Ver- wandelten c in Fig. b bestimmen, indem man den Krümmungs- halbmesser der ebenen Kurve c in der Hauptfigur durch den Co- sinus des Winkels der Ebene der c mit der Berührungsebene des Kegels im fraglichen Punkte teilt Ist in der Ebiuptfigur A^ A^ der Krümmungshalbmesser der c in A^, ist Ä^-^s-^s = ^'-^o-^u ^^^ -^4 auf S"A^ so bestimmt, daß A^AiJ^x, so ist A^A^^ gleich A^A^ der Fig. b. Die Krümmungskreise in A^ und B^ schneiden in der Figur die c bezw. in A^ und Bi ; doch ist dies in Ai wegen des nahen Maximums der Krümmung nicht bemerkbar, äußert sich vielmehr als weit reichendes Zusammenfallen.
b) Die sphärischen Kegelschnitte. 251, Die Schnittlinie eines Kegels zweiten Grades mit einer koncentrischen Kugel nennt man einen sphärischen oder Kugeücegd- schnitt^ weil er ähnliche Eigenschaften wie der ebene Kegelschnitt besitzt Gehen wir von einer solchen Eigenschaft aus. Ein sphä- rischer Kegelschnitt sei erhlärt als der geometrische Ort eines FtmJUes F auf einer Kugel, dessen Abstände von sswei festen Funkten F, F^ der Kugel, gemessen durch Bogen größter Kreise, eine Summe oder Differenz von gegebener Größe besitzen. Die Punkte F, F^ heißen die Brennpunkte, die Bogen FF, FF^ die Leitstrahlen, die gegebene Größe der Summe muß größer, und die der Differenz kleiner als Fig. 116. der Bogen FFi sein. Die Figur 115 gibt die Projektion auf die durch F, F^ und den Kugelmittelpunkt M gelegte Ebene; es soll der
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VI, 261—252. DorchBchnitt e. ümdrehongsfl&che mit e. Kegel od. Cylinder. 269
sphärisclie Kegelschnitt konstruirt werden^ für welchen die Summe der Leitstrahlen FP+ PF^ =AA^{:> FF^) ist, so daß man die Kurve eihe sphärische Ellipse nennen kann. Um einen Punkt P zu erhalten, teile man Bogen ÄAi durch E p. ^^^
in zwei Teile, ziehe aus F mit ÄE _
«*= FEi als sphärischen Halbmesser. V^-n
einen Kugelkreis E^P (in der Projektion ist derselbe eine auf FM senkrechte Gerade), und aus F^ mit EÄi = F^E^ einen solchen E^ P; beide schneiden sich in zwei Punkten der Kurve, welche sich beide in Pprojiciren. Man kann natürlich auch die Mittelpunkte F, i^j der Kugel- kreise vertauschen. Ist auf dem größten Kreise FF^ die FÄ ^-^F^A^, so sind A und A^ Punkte der Kurve, die Scheitel
der Hauptaxe der sphärisehen Ellipse; rückt man den Teilungs- punkt E in die Mitte C von AA^^ so erhält man die beiden Punkte B der Kurve, welche die Scheitel der durch den Mittelpunkt C des Bogens FFy gehenden, auf AA^ senkrechten, Nebenaxe bilden.
252. Bezeichnet man die den Punkten F,F^,A... diametral gegenüberliegenden Punkte mit 2^', F/, -4' . . . , so erhält man eine der APA^ symmetrische Kurve A'P'A^^ deren Brennpunkte F, F^ sind. Aber J.P^i kann auch als sphärische Ellipse angesehen wer- den, welche A, A^ zu Scheiteln der Hauptaxe und F\ F^ zu Brenn- punkten hat Denn aus FP + PF^ =* AA^ folgt, wenn der Kugel- halbmesser = 1 gesetzt wird, so daß der Halbkreis CAC'^^ n ist,
{% — FP) + {n — PFy) — 2« — AA^, oder Pr + F/P = A, CA .
Man nennt die beiden Kurven APAy^ und A'P' A^ zusammen eine sphärische Ellipse, deren Brennpunkte zugleich F, F^ und F', Fy sind. — Außerdem kann man dieselben beiden Kurven zu- sammen als eine sphärische Hyperbel betrachten, deren Brennpunkte zugleich F, Fi und -F^, F' sind. Denn aus FP + PF^ = AAi folgt z.B. für -Fl, -F':
(ä - FP) - PF, = 7t — AA^, oder F'P-PF, = A'A,.
Daher können beide Kurven sowohl als sphärische Ellipse, wie auch als sphärische Hyperbel angesehen werden. Man nennt beide Kurvenäste zusammen einen sphärischen Kegelschnitt mit den vier Brevmpwnkterk F, F^, F\ Fi, und den vier Scheiteln der Hauptaxe Aj Ay^j A , Ai»
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270 VI, 263—266. Durchschnitt krammer Flächen mit krummen Fl&chen.
253, Ein sphärischer Kegelschnitt wird a\As dem Mittdpunkte M der Kugel durch einen Kegel zweiten Grades prcjicirt. Man denke sich auf der Verlängerung eines Leitstrahles FP von JF^ aus den anderen Leitstrahl PF^ als PQ aufgetragen, so bilden alle Q einen aus F mit FQ = ÄA^ beschriebenen Kugelkreis q. Die Tangenten an PF^ in F^ und an P^ in ^ schneiden sich wegen PJF\ = PQ in einem Punkte S der MP. Bei der Bewegung von P Bxxt ÄPÄ^ be- schreibt jene Tangente in F^ eine Berührungsebene der Kugel, jene Tangente in Q einen Umdrehungskegel, welcher der Kugel entlang q umschrieben ist, folglich beschreibt der Punkt S die Schnittkurve jener Berührungsebene mit diesem Umdrehungskegel. Der Kegel, welcher aus M den von P beschriebenen sphärischen Kegelschnitt projicirt, projicirt auch den von S beschriebenen ebenen Kegel- schnitt, ist also vom zweiten Grade.
Umgekehrt schneidet jeder Kegel zweiten Grades eine koncen- trische Kugel in einem sphärischen Kegelschnitte. Denn legt man die (drei auf einander senkrechten) Hauptebenen des Kegels, wo- von zwei den Kegel in je zwei Erzeugenden treffen, so schneiden diese die Kugel in den Punkten ÄÄ^^ und in den zwei Punkten P; sei AA^ > BB, und bestimmt man auf AA^ die Punkte F, F^ durch BF^r^ BF^'= \ AAi, so geht ein sphärischer Kegelschnitt durch Ay -4,, Bf JB, dessen Brennpunkte 2^, F^ sind, welcher daher auch die Ebenen MAA^ und MBB zu Symmetrieebenen hat. Dieser sphärische Kegelschnitt wird aus M durch einen Kegel zweiten Grades projicirt, dessen Hauptebenen samt den vier Strahlen in den- selben mit denen des gegebenen Kegels zusammenfallen. Daher fallen auch beide Kegel zusammen und der gegebene schneidet die Kugel in dem bezeichneten sphärischen Kegelschnitte.
254, Die Tangente an einen sphärischen Kegelschnitt bildet gleiche Winkel mit den Leitstrahlen des Berührungspunktes ^ sie halbirt also in unserem Falle die Winkel FPF^ und F^PF'.
Denn man erhält den zu P benachbarten Punkt Q der Kurve, wenn man zu PE^, PE^ zwei benachbarte gleich weit abstehende Parallelkreise zeichnet Beide Paare von Parallelkreisen bilden einen unendlich kleinen Rhombus, dessen eine Diagonale PQ ist Daher bildet PQ oder die Tangente der Kurve gleiche Winkel mit den Parallelkreisen und mit den auf ihnen senkrechten Leitstrahlen PF, PF,.
255, Auf einer Kugel können durch jeden Punkt P zwei sphärische Kegelschnitte gelegt werden, welche zwei Paare diame- tral gegenüberstehende Punkte F, JP'; F,, F, zu Brennpunkten haben. Ihre Tangenten in P stehen auf einander senkrecht Für
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VI, 255— 256. Darchschnitt e. ümdrihangsfläche mit e. Kegel od. Cylinder. 271
Fj F^ als Brennpunkte ist der eine Kegelschnitt eine Ellipse, der andere eine Hyperbel. Die Tangenten halbiren die Nebenwinkel der Leitstrahlen, stehen also auf einander senkrecht (oder auch, weil die Elemente beider Kurven die eine Diagonale und eine Paral- lele zur andern Diagonale des Ehombus der vor. Nr. sind).
256« Die Schaar aller sphärischen Kegelschnitte mit denselben Brennpunkten heißen Jconfokale sphärische Kegelschnitte,
Aufg, Eine Anzahl Jconfokaler sphärischer Kegelschnitte zu ver- Fig. iie. zeichnen. Es sollen Projektionen auf die beiden Durchmesserebenen gebildet werden, von denen die eine die Brenn- punkte 1^, Fj, 1^, Fl enthält, die andere die J^ogen FFi und F^F' halbiri
Fig. 116.
v^taK
^
Aufl. Man ziehe ^^x'Yv'l auf der Kugel ^\;? aus zwei diametral ^s
gegenüber ste- henden Brenn- punkten 2^ und J?" als Mittelpunkten
Parallelkreise, welche den Um- fang des größten Kreises FF' in eine durch vier teilbare Anzahl n (hier 28) gleicher Teile teilen; eben- so Parallelkreise aus Fl und F/ in denselben Abstän- den. Man denke sich die Kreise
von F und F^ aus mit 0, 1, 2...i»...y beziflfert. Schneidet man nun die Kreise 0, 1, 2 . . . aus F bezw. mit denen m, m — 1, m — 2 ... aus F^, so ist die Summe der Abstände aller Schnitt-
punkte von F und Fi übereinstimmend
2ä, wenn wieder der
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272 VI, 256—257. Porchschnitt krammer Flächen mit krummen Flächen.
Halbmesser der Kugel <=» 1 gesetzt wird. Die Punkte gehören daher einer sphärischen Ellipse mit den Brennpunkten F und F^ an. Schneidet man die Kreise 0^ 1, 2 . . . aus jP bezw. mit denen m, m + 1 ? w + 2 . . . aus JP, , so erhält man die sphärische Hy- perbel zu F und jPj.
In der Figur sind F und JPj so gewählt ^ daß ihr Abstand eine ganze Anzahl^ nämlich sechs der 28 Teile des größten Kreises ent- hält. Dadurch fallen die Teilungspunkte aus F und F^ in einander. Jene Parallelkreise zeigen sich in der Projektion auf die Ebene der Brennpunkte als Gerade. Die Projektionen der sphärischen Kegel- schnitte auf jede der Projektionsebenen, weil diese Symmetrieebenen derselben sind, bilden Kegelschnitte (237), und zwar auf der Brenn- punktsebene Ellipsen, deren der Kugel nicht mehr angehorige Teile durch dieselben Konstruktionslinien erhalten werden, und welche €line Schaar von Kegelschnitten bilden, die einem Parallelogramme eingeschrieben sind*). Die Projektionen der Kurven auf die andere Projektionsebene sind teilweise Ellipsen, teilweise Hyperbeln; die ersteren bestimmt man leicht durch ihre aus der anderen Projek- tion erhaltenen Axen; die letzteren durch ihre Hauptaxe und die Punkte des Umrisses der Kugel. Drei der sphärischen Kegelschnitte fallen in einen größten Kreis.
257, Projicirt man einen sphärischen Kegelschnitt und seine Brennpunkte aus dem Kugelmittelpunkte bezw. durch einen Kegel zweiten Grades und durch zwei Strahlen MF^ MF^, so heißen diese Strahlen die Fokallinien des Kegels. Es gilt der SabSj daß jede auf einer FokaUinie senkrechte Ebene den Kegel in einem Kegel- schnitte trifft, dessen einer Brennpunkt auf dieser FokaUinie liegt. Es ergibt sich dies daraus, daß nach Nr. 253 Fig. 115 eine solche auf MFi senkrechte durch F^ gelegte Ebene die Kugel berührt, wäh- rend der Kegelschnitt zugleich auf einem der Kugel (nach q) um- schriebenen Umdrehungskegel liegt, so daß der Berührungspunkt JP\ ein Brennpunkt der Schnittkurve der Ebene mit dem Kegel ist (I, 333). Die Eigenschaften von Pol, Polare und Leitlinien kann man durch Projektion von diesem ebenen auf den sphärischen Kegel- schnitt übertragen, für welchen dann auch die konjugii*ten, durch einen Brennpunkt gehenden Strahlen auf einander senkrecht stehen,
*) Nachdem ich diese Eonstraktion für konfokale sphärische Kegelschnitte im Anschluß an die bekannte fOr ebene Kegelschnitte (I, Fig. 248) gezeichnet hatte, brachte mich diese Figur und ihre Ähnlichkeit mit derjenigen der Erüm- mungelinien des EUipsoides auf die früher (1, 442} angegebene Art derVerzeichnnng einer gewissen Schaar von Eegelschnitten, worauf ich ähnliche Eonstruktionen fär alle Arten von Eegelschnittschaaren und Büscheln aufsuchte (I, 426—447).
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VI, 257—259. Darchscbnitt e. ümdrehnngsfläche mit e. Kegel od. Cjlinder. 273
woraus folgt , daß hei einem Kegel zweiten Grades die konjugirten durch eine Fokallinie gehenden Ebenen auf einander senkrecht stehen*).
c) Die stereographische Projektion. 258, Hier lassen sich leicht die Sätze der stereographischen Projektion ableiten. Es ist dies die Projektion der Linien einer Eugelfläche aus einem Punkte S derselben auf eine Ebene ; welche mit der Berührungsebene der Eugel in 8 parallel ist
1) Zum Linien auf der Kugel bilden denselben Winkel, wie ihre Projektionen] oder was dasselbe sagt: Zwei Tangenten der Kugel in einem Punkte P derselben bilden denselben Winkel, wie ihre Projektionen in P', — Denn der Strahl SPP' bildet gleiche Winkel mit den Berührungsebenen der Kugel in P und S, also auch mit der Ebene jener zwei Tangenten und der Projektionsebene. Ferner steht SPP' senkrecht auf der Schnittlinie jener Berührungsebenen, also auclu auf der Schnittlinie s der Ebene jener Tangenten und der Projektionsebene. Legt man daher die erstere Ebene in die zweite um, so kommt P in P', die Tangenten aus P kommen mit ihren Projektionen aus P', welche sie in s schneiden, zur Deckung, und ihre Winkel sind daher gleich.
2) Die Projektion k' eines Kreises k der Kugel, der nicht durch S geht, ist wieder ein Kreis, dessen Mittelpunkt C die Projektion der Spitze C des der Kugel nach k umschriebenen Kegels ist. Denn jede Erzeugende des umschriebenen Kegels berührt die Kugel und steht in ihrem Schnittpunkte mit k senkrecht auf k. Die Projektionen der Erzeugenden sind daher Strahlen aus C, welche k' senkrecht schneiden; daher muß der k' ein Kreis mit dem Mittelpunkte C sein. — Es folgt diese Eigenschaft auch aus Ni*. 67, indem die Ebene des gegebenen Kreises und die Projektionsebene im proji- cirenden Kegel antiparallel sind.
Übungsaufgaben, Die stereographische Projektion der Erdkugel mit ihren Meridianen und Parallelkreisen aus a) dem Pole, b) einem Punkte des Äquators, c) aus einem beliebigen Punkte der Kugel zu yerzeichnen**).
d) Die allgemeine Aufgabe. 269, Aufg. Die Schnittlinie einer Umdrehungsfläche mit einem beliebigen Kegel zu konstruiren,
*) ChasleSf memoire sor les propri^t^ g^n^rales des cönes da second de- gr6, Broxelles, 1880.
**) Eine eingehende, auf Theorie xind auf mannigfaltige Anwendungen ge- richtete Behandlang hat diese Darstellungsweise gefunden in: „Die stereogra- phische ProjecUon von E. Beusch, 1881."
Wiener, Lehrbach der darsteUenden Aeometrie. n. 18
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274 VIi 269—260. Dorcbscbnitt krommer Flächen mit krummen Flächen.
Fig. 117. Aufl, Sei Pi senkrecht zur Axe a der UmdrehuDgsfläche, eines
Umdrehungsellipsoides, gestellt, und sei A die erste Spur der a. Der Eegel habe S zur Spitze und c zur ersten Spur (hier eine Ellipse).
Eine mit Pj paral- '^' lele Hilfsebene
schneidet die üm- drehungsfläche in einem Kreise PQ, den Eegel in irgend einer Kurve, deren Verzeichnung man vermeidet, wenn man den Kreis und diese Kurve aus S auf die Pj projicirt; die Pro- jektion d^r ersteren Linie ist wieder ein Kreis Pi^i, die der letzteren die erste Spur c des Kegels; die Schnittpunkte Pj und Q^ beider, aus S auf die Hilfsebene zurückprojicirt, lie- fern die Punkte P und Q der gesuchten Kurve.
Um die Tangente an die Schnittlinie in P zu konstrui- ren, bestimme man für P die erste Spur Si (_L A'F") der Be- rührungsebene der Umdrehungsfläche und die des Kegels als Tangente P^' T' an c. Der Schnittpunkt T von' beiden bestimmt mit P die Tangente.
260, Die atisgeiseichneten Punkte auf den Umrissen des Kegels erhält man mittelst Hilfsebenen, die man durch sie senkrecht zu einer Projektionsebene legt. So führt man durch den Umriß STJ^ der zweiten Projektion eine zu P, senkrechte Hilfsebene; sie schnei- det das Umdrehungsellipsoid in einer Ellipse, von dem sich zwei Scheitel B und G auf dem Hauptmeridiane ergeben, während ein
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VI, 260—262. Der Durchschnitt zweier ümdrehongsflächen unter einander. 275
dritter Scheitel D bestimmt ist durch die Mitte JD" von B"C" und durch D' als Punkt des Parallelkreises von D'\ Um diese Ellipse B'C'D' mit S'Ui zu schneiden^ kann man die Verzeichnung der Ellipse vermeiden ; indem man ihre Affinität mit dem über der einen (großen) Axe (wovon 2)' der eine Endpunkt) als Durchmesser ver- zeichneten Kreise benutzt, ^wodurch man die Schnittpunkte U\ U*' und daraus Z7", f7*" erhält. Entsprechend verfährt man mit den anderen Umrissen des Kegels. — Die Punkte auf dem zweiten Umrisse der Umdrehungs fläche, also auf seinem Hauptmeridiane, er- hält man, indem man dessen Ebene mit dem Kegel in der Kurve (Ellipse) h' schneidet, welche (ohne vollständige Verzeichnung) auf jenem Umrisse die Punkte H", L" bestimmt, woraus sich H', L' ergibt Die hockten und tiefsten Funkte der Schnittkurve, in denen ihre Tangenten parallel mitP^ sind, erhält man auf einem solchen Parallelkreise, auf welchem zwei Punkte der Kurve, wie P und Q^ zusammenfallen, oder dessen Projektion aus S auf F^ die c in zwei zusammenfallenden Punkten, wie P^ und Q^^ berührt. Halbirt man die Bogen P/^/ solcher Kreise 1, 2, 3 . • ., und verbindet die Mittelpunkte durch eine Fehlerkurve /*, so schneidet diese die c in Punkten, wie £/, auf deren Erzeugenden, wie auf SE^y höchste oder tiefste Punkte, wie jB, liegen. E erhält man wieder vermit- telst einer durch SE^ gelegten Hilfsebene; oder indem man durch eine andere Fehlerkurve auf 8' A' den Mittelpunkt 0 des die c in E^ berührenden Kreises, und daraus den Parallelkreis 0 des Punktes E bestimmt
261, Übungscrnfgabe. Den Durchschnitt einer Umdrehungsfläche mit einem Cjlinder zu konstruiren, etwa eines Ringes mit einem elliptischen Cylinder.
Sind die Erzeugenden des Cylinders parallel oder senkrecht zur Umdrehungsaxe, so gestaltet sich die Auflösung besonders einfach.
rv. Der Durohsohnitt zweier Umdrelumgsfläolien unter einander.
262, Man erkennt leicht:
1) Haben zwei ümdrehungsflächen eine gemeinschaftliche Um- drehungsaxe, so besteht ihre Schnittlinie aus gemeinschaftlichen Parallelkreisen.
2) Eine Kugel schneidet eine Umdrehungsfläche, auf deren Axe ihr Mittelpunkt liegt, nach Parallelkreisen.
Aufg. Die Schnittlinie s zweier ümdrehungsflächen fsu Jconstruiren, deren Axen sich treffen,
Aufl, Es seien a und h die Umdrehungsaxen beider Flächen i^^. iis. und M ihr Schnittpunkt Man stelle Pj senkrecht zur einen Axe,
18*
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276 VI, 262. Durchschnitt krummer Flächen mit krommen Flächen.
etwa der a, Pg parallel zu beiden. Die erste Fläche sei ein verlänger- tes^ die zweite ein abgeplattetes Umdrehungsellipsoid^ bezw. mit den Hauptmeridianen h und l, den Mittelpunkten K und L, und den nicht in den Umdrehungsaxen liegenden Halbaxen K" C und L"D'\ Der erste Umriß der ersten Fläche ist der Äquatorkreis, derjenige der zweiten Fläche eine Ellipse, welche aber, weil nicht notwendig,
Fig. 118.
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nicht verzeichnet wurde. Legt man eine Hilfskugel aus M als Mittelpunkt, so schneidet dieselbe jede der Flächen in einem Parallel- kreise, deren zweite Projektionen Gerade sind senkrecht zu den be- züglichen Axen, und welche Kreise sich in reellen oder imaginä- ren Punkten treffen, weil sie auf derselben Hilfekugel liegen. So schneidet der Hauptmeridian Q'^B!' einer Hilfskugel, der ein Kreis aus Jf" ist, jeden der beiden gegebenen Hauptmeridiane in zwei Punkten, deren Verbindungsgeraden (?"P" (J. a") und T^'T" (± 6") die Schnittkreise der Kugel mit den gegebenen Flächen darstellen. Der Schnittpunkt P" beider Geraden ist die zweite Projektion der beiden Schnittpunkte jener Kreise, deren erste Projektionen P', P*' man auf der ersten Projektion des zu P^ parallelen Kreises ^P erhält. Auf dieselbe Weise findet man beliebig viele Punkte der
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YI, 262—263. Der Durchscbnitt zweier ümdrehongsflächen unter emander. 277
Scbnittknrve Sy insbesondere auch diejenigen auf dem ersten Um- risse der aufrechtstehenden ümdrehungsfläche. — Die beiden Haupt- meridiane liefern die Schnittpunkte Ä und B.
263, Da beide Flächen zweiten Grades sind und da die Ebene beider Axen eine gemeinschaftliche Hauptebene und parallel zu F^ ist, so ergibt sich die zweite Projektion s" der Schnitthurve als eine Linie zweiten Grades (237). Von derselben ist der begrenzte Bogen A"P'B" nützlich, der übrige Teil parasitisch. Doch muß man, wie bei den Kegeln in Nr. 239, die ganze Kurve zweiten Grades im erweiterten Sinne als zur Schnittkurve gehörig ansehen. Ein Teil des äußeren Teiles wird durch dieselbe Konstruktion erhalten, nur daß man die Sehnen, wie Q"P" und R"P'\ verlängern muß. Die Ergänzung der Kurve ist die Schnittlinie der beiden zu den ümdrehungsflächen in Bezug auf den unendlich fernen Projek- tionsmittelpunkt für Pg konjugirten Flächen, d. i. zweier einschaligen Hyperboloide.
Indem man die gemeinschaftlichen unendlich fernen Punkte dieser Hyperboloide aufsucht, entscheidet man zugleich, ob s' eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel ist Die Asymptotenkegel der Flächen schneiden die parallel zu der gemeinschaftlichen Hauptebene (und zu Pg) in dem Abstände der auf Pg senkrechten jedesmaligen halben Flächenaxe (= K'C und i"2)") gelegten Ebenen bezw. in Kur- ven, deren zweite Projektionen Ä und l sind. Verschiebt man den zweiten Kegel parallel zu seiner Anfangslage so, daß er koncen- trisch mit dem ersteren liegt (daß also LmK rückt), so schneidet er die erstere im Abstände K"C" gelegte Parallelebene in einer zu V ähnlichen und parallelen (nicht verzeichneten) Ellipse {|, deren dem i" 2)" entsprechender Halbdurchmesser K"D^ = K"C" ist Die Verbindungslinien der vier Schnittpunkte der koncentrischen Ellipsen h und \ mit K sind parallel zu den Asymptoten der Ergänzungs- kurven von s\ und die zwei Vertikalprojektionen dieser vier Ge- raden sind parallel zu den Asymptoten von s".
Je nachdem jene vier Schnittpunkte reell und getrennt, imaginär oder in zwei Punkte zusammenfallend sind, ist s' eine Hyperbel, Ellipse oder Parabel; und dies tritt, wie man sich leicht vorstellen kann, der Reihe nach ein, wenn die zwei gleichen Axen {K"C und K"Di) nicht parallel und gleichartig (beide große oder beide kleine), nicht parallel und ungleichartig oder parallel sind. Daraus folgt der
Satz. Die Schnittlinie zweier UmdrehungseUipsoide, deren Um- drehungsaxen in einer Ebene liegen, prqjicirt sich auf diese Ebene in eine Parabel, wenn die Axen parallel laufen, andernfalls in eine
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278 VI, 263 — 266. Dorchschnitt krummer Flächen mit krummen Fl&chen.
Hyperbel oder Ellipse, je nachdem die Flächen gleichartig {d. i. beide verlängert oder beide abgeplattet) oder ungleichartig sind.
Auch f&r andere Umdrehungsflächen oder für dreiaxige Flächen zweiten Grades^ von denen zwei Axen sich treflfen^ läßt sich in ähnlicher Weise die gleiche Frage beantworten.
264, Die Doppelpunkte G% G*' der ersten Projektion s' der Schnittkurve liegen in der ersten Projektion der Schnittgeraden der Polarebenen des unendlich fernen Punktes der zAxe zu beiden Flächen (226). Die zweiten Projektionen dieser Ebenen enthalten die Halbdurchmesser K''C", L"E" der Ellipsen k und l, und die erste Projektion ihrer Schnittgeraden ist die auf P^ senkrechte (und mit der ^Axe parallele) H"H\ Auf ihr findet man die Doppel- punkte aus den vier Schnittpunkten der beiden Ellipsen^ in welchen die erste projicirende Ebene von WH' beide Flächen trifft. Diese Ellipsen haben H zu ihrem gemeinschaftlichen Mittelpunkte und ihre mit y und e parallelen Axen sind bei dem aufrechten Ellipsoid H'J, H"Fj bei dem geneigten H"U, H"Vy wie leicht aus der Figur zu erkennen.
266, Die Aufgabe, die Schnittpunkte istveier Ellipsen m bestim- men, deren beiderlei Äxenlinien in einander liegen, kann man auf ver- schiedene Weisen lösen. Zunächst durch eine solche affine Ver- änderung, durch welche die eine Ellipse in einen Kreis übergeht Projicirt man durch Parallele zu Pjj und Geneigte gegen P^ beide Ellipsen so auf die Äquatorebene K"C des aufrechten Ellipsoides, daß die erstere Ellipse ein Kreis wird, wobei die zweite aber eine Ellipse bleibt, so hat man nur die vier Schnittpunkte einer Ellipse mit einem koncentrischen Kreise zu bestimmen. Diese schiefe Pro- jektion wurde in P^ in der Richtung der a?Axe verschoben, so daß die mit y parallelen Axen H^J^ ^=^ H'J und H^ U^^ ff' U sind. Macht man in H''C" die H"F^=H'J, so hat FF^ die Richtung der Projicirenden, und VV^' || FF^ bestimmt die Axe H" F,"— H^ V^ der schiefen Projektion der zweiten Ellipse. Es sind nun die Schnittpunkte der Ellipse von den Axen H^U^^==b , HJ^^=^ c mit dem koncentrischen Kreise von dem Halbmesser H^ J^ = H^F^=r zu bestimmen.
Aufl. 1. Analytisch gibt man die Gleichungen beider Kurven an:
woraus man für die Schnittpunkte erhält
1/6' -c» Aas der Figur ist ersichtlich, daß
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VI, 266. Der DorchschDitt zweier Umdrebongsflächen unter einander. 279
schneidet man daher U^ Y mit H^ F^ in Z, und zieht die ZS^ so schneidet diese auf H^Ji die H^G^'=^y ab. Dadurch ist G*' und G' (sowie ein Schnittpunkt G^ jener Ellipse mit dem Kreise) be- stimmt. Vermittelst des durch G' gehenden Parallelkreises lassen sich dann auch die beiden zweiten Projektionen ff", ff/' der vier Punkte ermitteln.
Aufl, 2. Geometrisch bestimmt man die Schnittpunkte einer Ellipse mit einem koncentrischen Kreise*), indem man beachtet, daß (I, 372) Punkte der Ellipse aus den beiden über den Axen als Durchmessern gezogenen Kreisen als Scheitel der rechten Winkel in rechtwinkligen Dreiecken gewonnen werden, deren Hypotenusen durch den Mittelpunkt gehen und von beiden Kreisen begrenzt sind, und deren vom Punkte des großen Kreises ausgehende Kathete senkrecht auf der großen Axe stehl Schneidet man jene Kreise mit -Hi ?7| bezw. in U^ und F,, beschreibt über U^V^ als Durch- Fig. iis. messer einen Kreis und schneidet ihn mit jenem koncentrischen Kreise in ff^, so ist U^V^G^ die Gestalt desjenigen rechtwinkligen Dreiecks, welches die vier Punkte ff liefert. Man dreht dieses Dreieck um H^ an seine richtige Stelle, indem man vom Punkte U^ des großen Kreises die Kathete U^ G^ zieht, an sie einen berühren- den Kreis aus i/^, und an diesen die beiden zur großen Axe senk- rechten Tangenten legt; dieselben enthalten die gesuchten vier Schnitt- punkte, sowie auch ff', ff*'. Oder man bestimmt ff^ auf dem kleinen Kreise so, daß H^gJ\ TJ^G^-, dann liegt ff^ auf G^G^G*'.
Aufl. 3. Unsere Aufgabe, auch ng. 119.
in der allgemeineren Fassung, die ^^* ^ ^^•
vier Schrnttpimktey wie Ä, eweier /f\^'
koncentrischen Kegelschnitte Je, k^ /' \
Sfu bestimmen, kann man nach I, 409 ff. lösen. Man ermittele als / 1
I
-f /
1^
Doppelstrahlen der beiden Invo- lutionen konjugirter Durchmes- ser (1, 348) die konjugirten Halb- y^ / "'""i^Z.^ . ."^.r durchmesser MA, MB des *, y^ j ''Ijj^'-.C" welche in konjugirte Halbdurch- y^ \ j/v'! messer MAi , MB^ des k^ fallen, j^" ir 'ji AO<la mögen diese reell oder ideell sein.
Sind TJ und V die unendlich fernen Punkte von MA und MB, so ist MW das gemeinschaftliche Polardreieck zu k und \, Sind nun
*) Diese Eonstruktion ist ans Peschka, darstellende und projektive Geo- metrie, B. 3, S. 261 entnommen.
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280 VI, 266—266. Durchschnitt krammer Flächen mit krummen Flächen.
die P und Q zwei in Bezug auf Tc und \ konjugirte Punkte, so liegen vier Schnittpunkte, wie S, auf zwei Strahlen aus jedem der Punkte My TJj Vy welche durch die zwei anderen Punkte und durch P und Q harmonisch getrennt sind. Wählt man P als vierten Eckpunkt des Parallelogrammes A^MBPy so sind die Polaren BB und Ä^B^ von P bezw. zu Je und k^ auf die in der Figur ersichtliche Weise er- mittelt {MB . MA^ = MÄ^, MB^ . MB = MB^^] ihr Schnittpunkt ist Q. Schneidet man nun VQ mit MÄ in Qq und bestimmt G auf MÄ, so daß MG^ = MAi . MQ^, so geht VG durch S. Man erhält aber MG ^== MT ^ wenn T ein Schnittpunkt der QQ^ mit dem über MA^ als Durchmesser beschriebenen Kreise ist. Entspre- chend erhält man U8H, sowie MS. Sollten M, P, Q auf einer Geraden liegen, so liegt auch 8 auf derselben. — Doch dürfte die unmittelbare Verzeichnung der beiden Kegelschnitte rascher und ebenso genau die Schnittpunkte liefern. Fig. 118. 266, Die Tangente der Schnittkurve in einem Punkte P der-
selben wird hier am kürzesten als Senkrechte zu ihrer Normalebene bestimmt, und diese als die Ebene der Normalen der beiden Flächen in P. Die Normale der aufrechten Fläche ist PN, wenn die Nor- male QN des Hauptmeridians die Umdrehungsaxe a in .W schneidet; die Normale der geneigten Fläche entsprechend PO. Daher ist NO die Spur der Normalebene in der Ebene der beiden Umdrehungs- axen, und auf ihr steht die zweite Projektion P"T" der Kurven- tangente senkrecht; die Spur der Normalebene in der || P^ durch P gelegten Ebene ist P'X', wenn X der Schnittpunkt dieser Ebene mit NO] daher ist P'r±P'X\
Man bemerkt, daß die Tangente im Aufriß unabhängig vom Grundriß gefunden wird, so daß dadurch auch die Tangenten in den Endpunkten Ä", B" des nützlichen Kurvenstückes bestimmt werden können, während eine solche als die Projektion der Schnitt- linie der Berührungsebenen beider Flächen, da diese J_ P, stehen, nur ein Punkt sein würde. So ist für A" die Tangente A''T^ J^N^O^, wenn jy^, 0^ die Schnittpunkte der Normalen der Flächen in A bezw. mit a und b bilden. Aus der Tangente -4." T^ läßt sich auch leicht der Krümmungshalbmesser A'Aq = WA^ (und entsprechend der B'Bq in B') nach Nr. 171 bestimmen, wenn TT den Schnittpunkt von A"Tj^ mit a" bezeichnet, als Halbmesser des Parallelkreises mit dem Mittelpunkte W des die erste Fläche nach dem Parallel- kreise von A berührenden Kegels.
Man kann auch auf eine andere Art diesen Krümmungshallh messer bestimmen, indem man A^T^ als die zweite Projektion der Schnittlinie der beiden Kugeln auffaßt, welche aus N^ und 0, durch
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VI, 266—267. Der Durchschnitt zweier Umdrehncgeflächen unter einander. 281
A gelegt sind, also die Umdrehungsfläclien bezw. nach ihren durch A gehenden Parallelkreisen berühren. Die Schnittlinie dieser Kugeln ist ein Kreis , dessen Ebene XN^O^ stellt, dessen Halbmesser und halbe zweite Projektion «= I\-4" ist, und welcher den Krümmungs- kreis der Schnittkurve s in -4 bildet, und zwar, weil A ein Scheitel der Sj einen solchen mit vierpunktiger Berührung. Denn der Kreis T^A" und die durch A gehenden Parallelkreise beider Flächen und s berühren sich zweipunktig in A] die benachbarten Parallelkreise, welche je einer Fläche und ihrer berührenden Kugel gemein sind, liefern noch zwei Schnittpunkte, welche der s und dem Kreise. T^A" angehören, so daß diese letzteren Linien vier in A zusammen- fallende Punkte gemein haben*). Die erste Projektion dieses Krüm- mungskreises der $ ist eine Ellipse, deren Axen = T^A" und gleich der ersten Projektion (T^A") von T^A" sind, deren Krümmungs- halbmesser in A' daher = T^A"^:{T,A") ^A"A, = A'A^ ist, wenn A^ den Schnittpunkt der N^ 0^ mit der auf a" Senkrechten A" A^ bezeichnet.
267. Übungsaufgaben.
1) Die Schnittlinien zweier Umdrehungsflächen zweiten Grades, deren Umdrehungsaxen sich treffen, zu verzeichnen, unter Annahmen, wodurch die Projektion der Schnittlinie auf die Ebene jener Axen eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel wird (s, Nr. 263). Ebenso von zwei dreiaxigen Flächen zweiten Grades mit zusammenfallenden Hauptebenen (263, Schluß); die erste Projektion kann auch bei Ersatz der Kreise durch Kegelschnitte leicht ohne deren Verzeich- nung bestimmt werden.
2) Aus drei Punkten von bekannter Lage auf der eben und horizontal gedachten Erdoberfläche mißt man gleichzeitig die Winkel, welche die Sehstrahlen nach einem Luftballon mit der Lotlinie bil- den; man soll aus diesen Winkeln die Horizontalprojektion und die Höhe des Ballons konstruiren.
Die Auflösung vermittelst der Durchschnitte dreier Umdrehungs- kegel bietet eine Mehrdeutigkeit, welche aber durch die Angabe beseitigt wird, in welchen von den durch die Vertikalebenen je zweier Beobachtungspunkte gebildeten Winkeln sich die Sehstrahlen nach dem Ballon befinden.
3) Den Ort des Ballons in der vorhergehenden Aufgabe zu be- stimmen, wenn von ihm aus die drei Winkel gemessen sind, welche die Sehstrahlen nach den drei gegebenen Punkten miteinander bilden.
*) Soweit findet sieb diese Entwickelung in Mannheim ^ C. d. g6om, desc, 1880, S. 212.
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.iv"
282 VI, 267—268. Darchschnitt knimmer Flächen mit kmmmen Fl&chen.
Die Auflösung geschieht vermittelst des Durchschnittes dreier Ringflächen, wovon jede die Verbindungslinie zweier der gegebenen Punkte zur Axe und einen Kreisbogen zum Meridiane hat, der den zugehörigen gemessenen Winkel faßt.
268. Aufg. Die Schnittlinie eweier ümdrehungselUpsoide zu hm- struiren, deren Umdrehungsaxen sich nicht schneiden*). Fig. 120. Aufl. Man nehme die eine Projektionsebene, etwa P^, parallel
zu beiden Umdrehungsaxen, und es seien dann die zweiten Projek-
tionen der Umrisse und ^' Hauptmeridiane beider
Flächen die Ellipsen &, l bezw. mit den Halbaxen K''A'% K''B" und VC", L"I)"\ ^^ und ZrC seien die U mdrehungsaxen, de n kürzester Abstand außer- dem gegeben sei mit der Bemerkung, daß der Mit- telpunkt L vor demjeni- gen £" liege. Die Stellung der Pj soll in einer für die Konstruktion zweck- mäßigen Weise bestimmt werden. Jede auf P, senk- rechte Hilfsebene schnei- det jede der Flächen in einer Ellipse, deren eine Axe senkrecht auf Pg steht^ so daß die Axen beider Ellipsen paarweise parallel sind. Bestimmt man nun die Stellung der Hilfs- ebene derart, daß die bei- den Schnittellipsen ähn- lich und ähnlich gelegen sind, so kann man P^ so annehmen, daß die ersten Projektionen beider Ellipsen Kreise werden. Um dies zu erreichen, lege man ein drittes Umdrehungsellipsoid, ähnlich und ähnlich gelegen mit dem ersten (£), von dem der Mittelpunkt und die Scheitel der auf Pg. senkrechten Axe bezw. mit dem Mittel-
*) Der Grandgedanke der folgenden Auflösung rührt von Chapw^ her (Correspondance sur T^cole polytechnique, B. 2, 1811, S. 156).
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VI, 268—269. Der DurcliBchnitt zweier Umdrebangsflächen unter einander. 283
punkte L und mit Scheiteln des zweiten zusammenfallen. Sein Haupt- meridian ist daher die Ellipse \ mit den Scheiteln E'\ F'\ wobei L"E"\K"Ä', L"F'\K"B\ VF" ^L"I)'\ F'E"\B"A".
Die beiden koncentrischen Ellipsoide berühren sich nun in den gemeinsamen Scheiteln der auf F, senkrechten Axe; daher wird ihre SchnittkuryO; wenn überhaupt eine solche besteht; durch zwei El- lipsen gebildet; deren jede jene Scheitel zu Scheiteln hat; und deren zweite Projektionen die gemeinschaftlichen Durchmesser G" E!\ J" M" ihrer Hauptmeridiane sind, wenn sich diese in den vier Punkten 6r", B.'\ J'\ M" treffen. Die auf Pg senkrechte durch einen dieser Durchmesser, etwa durch Gr" B!\ gehende Ebene schnei- det daher die zweite und dritte Fläche in derselben Ellipse, daher die erste und zweite in ähnlichen und ähnlich gelegenen Ellipsen; nnd letzteres gilt auch von jeder mit jener Ellipse 0"H" parallelen Ebene. Soll die Projektion auf eine P^ von der Ellipse GH und dann von jeder der bezeichneten parallelen Ellipsen ein Ereis sein, so ziehe man, am besten an der größten KW dieser Ellipsen, aus einem Endpunkte W" einer der mit P^ parallelen Axen eine der Tangenten W"W' an den aus Jl" durch JS" gezogenen Ereis, und stelle Pj senkrecht zu dieser Tangente. Dann sin^ die auf der Tan- gente senkrechten Linien K'Ä' und L'C\ deren Abstand gleich dem gegebenen Abstände der ümdrehungsaxen ist, die ersten Projektionen von diesen Axen und von den Hauptmeridianen*, und es können dann, wie in der Figur geschehen, die ersten Umrisse der Flächen, zwei Ellipsen, die jedoch zur weiteren Eonstruktion nicht notwendig sind, leicht verzeichnet werden. Eine mit G" H" parallele Hilfs- ebene 0"S" schneidet beide Flächen in Ellipsen, deren Mittelpunkte N und Jß auf den zu den Hilfsebenen bezw. konjugirten Durchmes- sern KN und LB liegen. Die ersten Projektionen dieser Ellipsen sind die aus N' durch 0' und aus B' durch S' gezogenen Exeise; diese schneiden sich in den Punkten P' und Q' der gesuchten Schnittkurve s, aus denen sich B" und Q" auf 0" 8" ergeben.
269. Um die Tangente der Schnittkurve in ihrem Punkte P zu ermitteln, lege man in P die Berührungsebene an jede der beiden Flächen, die man durch die Tangenten der durch P gehenden Hilfs- ellipse und durch die Erzeugende des der Fläche entlang dieser Ellipse umschriebenen Eegels bestimmt, und schneide beide Be- rührungsebenen mit einer der Hilfsebenen, etwa mit der durch K" W" «=» Ä" bestimmten Hilfsebene H. Für die erste Ellipse ist die Spitze jenes Eegels der Schnittpunkt TJ der Tangente 0"Z7" des Hanptmeridians h in 0" mit dem Durchmesser K"N"] der Schnitt- punkt der Erzengenden ÜB dieses Eegels mit H ist 27^, und die
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284 VI, 269—270. Darchsolmitt krammer Flächen mit krammen Flächen.
Spur der Berührungsebene in H ist die mit der Tangente jener Hilfsellipse in P parallele TJ^Ty deren erste Projektion IJ^T par- allel mit der Tangente des Hilfekreises in P' oder J_ JVP' läuft. Entsprechend zeichnet man für die zweite Fläche die Tangente S'T' der Z, VF, V^ und V^T ±R'P\ Die Spuren U^T und F/T' beider Berührungsebenen treffen sich in T\ so daß PT die gesuchte Tangente ist.
Man bemerkt^ daß zweierlei Stellungen der Hilfsebenen und viererlei Stellungen der P^ möglich sind. — Treffen sich die Haupt- meridiane l und \ des zweiten und dritten EUipsoides nicht; so ist das angegebene Verfahren nicht anwendbar. Man konnte zwar eine andere mit der ersten Fläche ähnliche und parallele Gestalt der dritten so bestimmen^ daß die Hauptmeridiane der zweiten und drit- ten Fläche sich in zwei diametral gegenüberstehenden Punkten be- rührten ^ die Flächen daher doch wieder zwei Ellipsen gemein hat- ten^ und könnte diese als Kreise projiciren. Da die Ebenen dieser gemeinsamen Ellipsen aber gegen F, geneigt wären ^ so würde dieses Verfahren zu umständlich sein; man wendet daher dann besser das der folgenden Aufgabe für zwei allgemeine Flächen zweiten Grades an.
Die Doppelpunkte, wie X\ der ersten Projektion s' der Schnitt- kurve liegen wieder in der ersten Projektion X"X' der Schnitt- geraden der zur ersten Projicirenden (J-Pj) konjugirten Durch- messerebenen JSr"X", VX!' beider Flächen. Der eine Doppelpunkt X' ist ein eigentlicher^ der andere ist ein isolirter Punkt. Beide konnten wie in den Nummern 227, 233 bestimmt werden.
270. tjhungsaufg. Die Schnittlinie zweier beliebigen Umdrehungs- flächen m ermitteln. Man wendet hier vorteilhaft eine Fj und Hilfs- ebenen an^ welche senkrecht auf der Axe der einen Fläche stehen. Dieselben schneiden diese Fläche in Kreisen, die andere aber in Kurven von wechselnder Gestalt^ deren Verzeichnung im allgemeinen nicht vermieden werden kann.
Sind aber diese Kurven unter einander ähnlich und ahnlich ge- legen, so gestaltet sich das Verfahren einfacher. Nun kommt unter allen Umdrehungsflächen nur denen vom zweiten Grade die Eigen- schaft zu^ von unter einander parallelen Ebenen von beliebiger Stellung in ähnlichen und ähnlich gelegenen Kurven geschnitten zu werden. Ist daher die eine von beiden Flächen vom zweiten Grade, so legt man die Hilfsebenen senkrecht zur Axe der anderen Fläche; dann schneiden sie diese Fläche in Kreisen, diejenige vom zweiten Grade in ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegelschnitten. Die Ver- zeichnung derselben kann man aber vermeiden, wenn man in P| einen mit jenen Kegelschnitten ähnlichen und ähnlich gelegenen
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VI, 270—272. Der Dorchschnitt zweier Flächen 2. Gr. unter einander 285
festen Kegelschnitt verzeichnet und in ihn jene Schnittkurven aus wechselnden Projektionsmittelpunkten projiciri Dabei projiciren sich die Schnittkreise wieder in Kreise, deren Schnittpunkte mit dem festen Kegelschnitte *man dann nur aus den zugehörigen Projektions- mittelpunkten in die entsprechenden Hilfsebenen zurückzuprojiciren braucht; um in ihnen Punkte der gesuchten Schnittkurve zu erhalten. Dies Verfahren ist auch bei zwei Umdrehungsflächen zweiten Grades nicht unvorteilhaft.
V. Der Dnrohflohnitt zweier Flächen zweiten Orades unter einander.
271. Jede Fläche zweiten Grades läßt ßtm Schaaren paralleler Ebenen zu^ welche die Fläche, wenn sie ein hyperbolisches Para- boloid ist, in einer unendlich fernen und in je einer durch das End- liche gehenden Geraden, in den anderen Fällen in je einem Kreise schneiden. Bei der Bestimmung der Schnittlinien zweier Flächen zweiten Grades benutze man die Ebenen einer dieser Schaaren, welche der einen von beiden Flächen zugehoren, als Hilfsebenen; sie schnei- den die andere Fläche in ähnlichen und ähnlich gelegenen Kegel schnitten. Um die wiederholte Verzeichnung von solchen zu ver- meiden, lege man die eine Projektionsebene P^ parallel zu den Hilfs- ebenen, zeichne in P^ einen Kegelschnitt k\ ähnlich und ähnlich ge- legen mit den genannten und in passender Größe und Lage, so lassen sich diese auf k' aus einem der jedesmaligen beiden Ahnlichkeits- punkte 8 projiciren; aus S pfojicire man auch jene Geraden bezw. Kreise der ersten Fläche in P^ (wieder in Gerade bezw. Kreise), schneide diese Projektionen mit dem festen Kegelschnitte 1c' und projicire die Schnittpunkte aus S in die zugehörigen Hilfsebenen (also auf die ursprünglichen Geraden und Kreise) zurück, so erhält man in den Projektionen Punkte der Schnittkurve. Liegt eine Schaar von Geraden vor, so kann man deren Durchschnitte mit den Kegel- schnitten auch ohne Projektion auf den festen Kegelschnitt und mit Vermeidung der Verzeichnung der. einzelnen Kegelschnitte bestim- men (I, 384, besonders einfach bei Ellipsen).
272. Ätrfg. Die Durchschnittslinie eines EUipsoides mit einem elliptischen Parabohide zu bestimmen.
Aufl. Man nehme die eine Schaar der Kreisschnittebenen des EUipsoides zu Hilfsebenen; da dieselben parallel mit der mittel- großen der drei Axen des Ellipsoids sind, so stelle man die P^ senk- recht auf diese Axe und damit auf die Hilfsebenen. M sei der Mittel- rig. i«. punkt, MÄ die mittelgroße Halbaxe, die Ellipse e die zweite
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286 VI, 272. Durchschnitt krummer Flächen mit krummen Flächen.
Projektion des zu Pg parallelen Hauptschnittes der Fläche. Legt man nun aus M als Mittelpunkt eine Kugel mit dem Halbmesser MÄ, welche die Ebene der Ellipse e in einem koncentrischen größ- ten Kreise trifft ^ so schneidet dieser die e in yier Punkten^ den
' Fig. 121.
Endpunkten zweier Durchmesser^ welche die Projektionen zweier Kreise des EUipsoides sind, mit deren einem wir die Projektionsaxe x und Pj parallel annehmen. Der Umriß der ersten Projektion ergibt sich als Ellipse, deren eine Halbaxe Jf' J.' «= MA ist.
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VI, 272—278. Der Darohschnitt zweier Flachen 2. Gr. unter einander. 287
Das Paraboloid sei gegeben durch seine erste Spur^ die Ellipse JCj und durch den Berührungspunkt E seiner mit F^ parallelen Be- rührungsebene. Sind B' und C die Berührungspunkte der auf x senkrechten Tangenten der Je, so ist die Parabel BEC oder p, deren Tangente in E parallel zu BC^ der zweite Umriß des Paraboloides und wird nach I, 380 verzeichnei Sei D der Mittelpunkt von BC, 80 ist ED der zu P^ konjugirte Durchmesser der Parabel p und des Paraboloides; er enthält die Mittelpunkte aller mit P^ parallelen (und mit h ähnlichen und ähnlich gelegenen) Schnittellipsen der Fläche^ sowie die Spitzen der Eegel^ welche diese Kegelschnitte auf jenen festen Kegelschnitt projiciren, wenn man als solchen die erste Spur Je des Paraboloides wählt
Man lege nun parallel zu ^^ eine Hilfsebene; dieselbe schneidet die Ellipse e in zwei Punkten, deren einer JF" sei, und den zu x kon- jugirten Durchmesser der e in G'\ daher das EUipsoid in einem Kreise t vom Mittelpunkte G und dem Halbmesser G''F". Die erste Projektion % desselben kann nun, mittelst M' G' F* \Xj ver- zeichnet werden. — Dieselbe Hilfsebene trifiFb das Paraboloid in einer zu Je ähnlichen und ähnlich gelegenen Ellipse, deren auf dem Um- risse p gelegener Punkt H" dem Punkte B oder C der Je entspricht, weil die Tangenten beider Kurven in diesen Punkten J-Pj, also unter einander parallel sind. Die Spitzen der beiden diese zwei El- lipsen auf einander projicirenden Kegel sind daher die Schnittpunkte von ED mit HB bezw. mit HC. Wählen wir den ersteren Punkt S (den äußeren Ahnlichkeitspunkt der Ellipsen), so projicirt sich aus ihm die in der Hilfsebene gelegene Ellipse des Paraboloides auf Pj in Je, der Kreis % des EUipsoides in i^ , dessen Mittelpunkt G^ die erste Spur der 8G, und dessen Halbmesser gleich der Projek- tion ff/'J\" des G"F'' aus S" auf x ist. Schneiden sich * und «I in den Punkten P| und Q^, so projicire man diese aus S auf % zurück in die Punkte P und Q, oder, was genauer, man bestimme r und Q' auf V durch G'^ | G^P^ und G' Q' \ G^Q^. P und Q sind dann Punkte der Schnittkurve s.
Das angegebene Verfahren erfordert zur Bestimmung der zwei oder vier Punkte einer Hilfsebene 15 bezw. 19 Operationen, nach- dem die für alle Hilfsebenen zu benutzende Konstruktion ausgeführt ist; zu der Verzeichnung der Kegelschnitte in ihren Hilfsebenen würden dagegen mehr als die doppelte Anzahl von Operationen notwendig sein.
273. Die Tangente der Schnittkurve s in einem Punkte P der- selben erhält man mittelst der Berührungsebenen beider Flächen in P, und diese mittelst der berührenden Kegel beider Flächen entr
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288 VI, 273. Darchschnitt krammer Flächen mit krummen Flächen.
lang ihrer Kurven in der durch P gelegten Hilfsebene. Die erste Spur dieses Kegels fQr das Ellipsoid ist ein Kreis ^ dessen Mittel- punkt die erste Spur eT des zu Pj konjugirten Durchmesser MJ des EUipsoides und dessen Halbmesser = «/""Jf", wenn F"K" die Tangente des zweiten Umrisses dieser Fläche in F'\ und K" deren Schnitt mit x. Die erste Spur der durch P gehenden Erzeugenden ist Ji, wenn XJ^ \ G'P || Ö/P^, und wenn J'3^=J"K', die erste Spur der Berührungsebene des Kegels und des EUipsoides in P ist dann J^ T (_L «TJi). Andererseits ist die erste Spur jenes dem Paraboloide umschriebenen Kegels ähnlich und ähnlich gelegen mit der ersten Spur h des Paraboloides^ und zugleich mit ihr kon- centrisch, weil die Spitze des berührenden Kegels auf dem der F, konjugirten Durchmesser 2) JE? des Paraboloides liegt, welcher die Mittelpunkte der Berührungsellipse und der 2; enthält. Ein Punkt der ersten Spur des Kegels ist die auf JS'C liegende erste Spur Y' der Tangente der ^ in H\ die erste Spur der durch P gehenden Erzeugenden des Kegels ist dann der Punkt W der Geraden D'Pj, wenn F'TTBJB'Pi, und die erste Spur der Berührungsebene des Kegels und des Paraboloides in P ist TTT', welche parallel mit der Tangente der Ä; in P^ gezogen wird. J^T und WT bestimmen durch ihren Schnittpunkt T die erste Spur der gesuchten Tangente PT, woraus auch F'T folgt.
Die scheinbaren Doppelpunkte, wie K\ der zweiten Projektion der Schnittkurve liegen in der zweiten Projektion der Schnittlinie XY der Ebenen der zweiten Umrisse beider Flächen (e und p = BEC), ist also bestimmt durch die Schnittpunkte X und Y der auf Pj senkrechten Ebene der Ellipse e bezw. mit BC und DE. Zur Bestimmung der Doppelpunkte selbst konnte man zwar (227, 233) die Verzeichnung von Kegelschnitten vermeiden; wir wollen sie aber verzeichnen, weil dadurch die Betrachtung einfacher und die Ausfuhrung kaum verwickelter wird. Die zweite projicirende Ebene von XY samt ihren Schnittlinien i", m" mit beiden Flächen ist in P2 umgelegt, und die Kegelschnitte sind aus ihren Axen teilweise verzeichnet. Sie besitzen zwei reelle Schnittpunkte, wie N"\ deren zweite Projektion N" den eigentlichen Doppelpunkt bildet. Außer- dem besitzen sie aber noch eine gemeinschaftliche auf X'" Y'" senk- rechte Sehne R'"B"y welche nach I, 410 als gemeinschaftliche Sehne der zu T" und w'" konjugirten Kegelschnitte, oder nach I, 411 zu- gleich mit der reellen gemeinschaftlichen Sehne ohne Verzeichnung der Kegelschnitte gefunden werden könnte. Einfacher aber erhält man diese zweite Sehne iJ'"2iJ", nachdem die erste N'"N" konstruirt ist, indem man beachtet, daß die beiden Sehnen zu dem durch
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VI, 278—274. Der Durchschnitt zweier Flächen 2. Gr. unter einander. 289
V" und m'" bestimmten Kegelschnittbüschel gehören, deren Kurven also auf X"'y" eine involutorische Punktreihe einschneiden. Je ein Paar derselben ist durch V" und m" gegeben, von dem dritten durch jene Seimen bestimmten Paare ist ein Punkt (auf K" N") ge- geben, woraus der andere J?'" durch eine Rechtwinkelinvolution mit dem Mittelpunkte Z (I, 302) gefunden wird. Derselbe bestimmt den isolirten Punkt J?" der s\
Für die scheinbaren Doppelpunkte der ersten Projektion (wie L') ist nur die sie enthaltende Grade VU' bestimmt, als Schnitt- linie der Ebenen der ersten Umrisse beider Flächen. Die für das EUipsoid (_L Pj) hat u^ zur zweiten Projektion; die für das Para- boloid ist durch die drei Punkte L^, Lg, L^ bestimmt, wobei L^ der Berührungspunkt des Paraboloids mit einer auf x senkrechten Ebene, L^j L^ die Berührungspunkte der aus iS^ an Ic gezogenen Tangenten, wenn 8^ auf DE die Spitze des dem Paraboloid entlang h um- schriebenen Kegels {ESy^ ™ DE),
274, Übungsaufgaben.
1) Die Schnittlinie eines hyperbolischen Paraboloides mit einem einschaligen Hyperboloide (oder einer andern Fläche zweiten Grades) zu ermitteln. Das Paraboloid sei durch F^ als Leitebene und durch zwei Leil^erade, das Hyperboloid durch seine erste Spur, einen Kegelschnitt h, durch seinen Mittelpunkt M und durch einen mit F^ parallelen Halbdurchmesser MÄ, oder, wenn M in Fj liegt, durch den zu F^ konjugirten Halbdurchmesser mit seinem reellen oder ideellen Endpunkte gegeben (vergl. Ende 271).
2) Die Schnittlinie zweier hyperbolischen Paraboloide zu kon- struiren, welche eine gemeinschaftliche Richtebene besitzen.
3) Die Schnittlinie eines hyperbolischen Paraboloides mit einem Cylinder zu bestimmen, wenn die Erzeugenden des letzteren mit der Richtebene des ersteren parallel laufen.
4) Die Schnittlinie eines Kegels (oder Cylinders) mit einer Regel- flache zweiten Grades F zu verzeichnen. Die Hilfsebenen lege man durch die Spitze S des Kegels und durch wechselnde Erzeugende der F; eine solche Hilfsebene enthält noch eine zweite Erzeugende der F und liefert im allgemeinen vier Punkte der Schnittlinie. Alle Hilfsebenen berühren den aus 8 der F umschriebenen Kegel, der mit Vorteil benutzt werden kann.
5) Die Schnittlinie s eines beliebigen Kegels K, dessen Spitze S ist, mit einer Nichtregelfläche zweiten Grades F zu ermitteln. Jede Hilfsebene, welche man durch 8 legt, schneidet den K in einer An- zahl von Erzeugenden ^, die F in einem Kegelschnitte k] die Schnitt- punkte der g und k gehören der s an. Um die Verzeichnung der
Wiener, Lehrbaoh der darstellenden Geometrie. II. ^-*|rtt: - ' - ^"^x^^
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290 VI, 274—276. Dorchsclinitt krammer Flächen mit krummen Flächen.
Eegelschnitte k zu vermeideD^ könnte man nach I, 384 ihre Eolli- neation mit dem Kreise benutzen. Besser aber verwendet man einen festen Kegelschnitt f der F^ projicirt in ihn jeden Je aus einem der beiden zulässigen Punkte der Verbindungslinie der Pole der Ebenen von k und von /* zu P (86), projicirt dabei die Geraden g in Gerade g'y und dann die Schnittpunkte der g' mit f wieder auf die g zurück. Vorteilhaft dürfte es sein, die Ebene von f durch S zu legen.
276. Die als SchnütUnie zweier Flächen ztoeiten Grades gebildete RaumJcurve vierter Ordnung kann jserfaUen*):
1) In ewei Kegelschnitte. Es geschieht dies dann, wenn beide Flächen in jedem von zwei Punkten ihrer Schnittlinie eine gemein- schaftliche Berührungsebene besitzen (235, 3)). In diesen Punkten, welche reell oder imaginär sein können, treffen sich dann die bei- den Kegelschnitt.e.
2) In eine Gerade und eine Baumkurve dritter Ordnung; wir werden diesen Fall in der folgenden Nummer betrachten.
3) In zwei Gerade g und h und einen Kegeischnitt k. Die Flächen sind dann Regelflächen, im allgemeinen einschalige Hyperboloide. Es müssen g und h den k schneiden, weil die Ebene des k außer k keine Punkte mit einer Fläche zweiten Grades F gemein haben kann. Außerdem müssen sich g und h unter einander schneiden, weil sonst nur eine Fläche P durch g, A, k gehen würde (142, 1)), und nicht zwei, deren Schnitt sie bilden, g und h gehören dann nicht derselben Schaar von Erzeugenden an, und jede g^^, welche h und k, aber nicht g schneidet, bestimmt mit g und k eine durch diese Linien und durch h gehende F. — Im besonderen haben zwei Kegel (mit verschiedenen Spitzen), welche sich entlang einer gemein- samen Erzeugenden berühren, noch einen Kegelschnitt gemein.
4) In vier Gerade ^, g^, ä, Äj. Haben zwei Flächen zweiten Grades F, Fj drei Gerade gemein, so sind dies Erzeugende, aber nicht alle von derselben Schaar, weil sonst die Flächen ganz ineinander fallen würden; sie seien g, A, h^, wobei g die h und die h^ trifft. Die Restschnittlinie kann keine krumme Linie sein, weil sonst jede durch zwei Punkte dieser Linie gelegte Ebene die drei Geraden noch in drei Punkten, die beiden Flächen daher in dem durch dieselben fünf Punkte bestimmten Kegelschnitte träfe, so daß die Flächen ganz ineinander fielen. Femer kann die Restschnittlinie keine Gerade h^ sein, weil sonst die drei gemeinsamen Geraden h, h^, h^ nur eine Fläche bestimmen würden. Dagegen kann sie eine (die h und h^
*) Bei analytischer Behandlung würde man hier zweckmäßig den Satz an- wenden, daß, wenn eine Kurve in Teilkurven zerßült, die Summe der Ord- nungszahlen der Teilkurven gleich der Ordnungszahl der Gesamtkurve ist.
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VI, 275—276. Der Dorohschnitt zweier Flächen 2. Gr. unter einander. 291
schneidende) Grerade g^ sein, weil die Fläche F dann durch die vier Geraden g^ g^, h, h^ noch nicht bestimmt ist; sondern erst durch einen weiteren Punkt P (nämlich durch die Erzeugende g^^ welche man durch P schneidend mit h und h^^ oder durch die Ag^ welche man durch P, g, g^ legen kann). Die vier gemeinsamen Geraden zweier Regelflächen zweiten Grades gehören daher zu zwei jeder der beiden Schaaren an und bilden ein windschiefes Viereck. — In besonderem Falle sind sie vier gemeinsame Erzeugende zweier koncentrischen Eegel.
276. untersuchen wir nun den zweiten Fall der vor. Nr.
Haben zwei Regelflächen zweiten Grades "EL^y H, {im allgemeinen einschalige Hyperboloide) eine Gerade g gemein^ so wird der Best k ihrer Schnittlinie von jeder Ebene in drei Punkten geschnitten, ist also eine RaumJcurve dritter Ordnung"^), und zwar, wie wir alsbald sehen werden; dieselbe; wie die durch den Schnitt zweier Eegel zweiten Grades entstehende (242).
Es ergeben sich folgende Sätze:
1) Die Baumkurve dritter Ordnung k kann auch als der Ort des Schnittpunktes der (drei) entsprechenden Ebenen von drei unter einander projektiven Ebenenbüscheln betrachtet werden. Denn ist g^ eine Er- zeugende der Fläche H^; g^ der H,; welche jedesmal derselben Schaar; wie die gemeinschaftliche Erzeugende g angehören; so sind die Flächenbüchel g^y g^ mit dem Flächenbüschel g, und daher auch unter einander projektiv; wenn diejenigen Ebenen als entsprechend bezeichnet werden; welche durch denselben Punkt der k gehen; und k ist der Ort des gemeinschaftlichen Punktes der entsprechenden Ebenen der drei unter einander projektiven Ebenenbüschel g, g^, g^.
*) Über Banmknrven 3. 0. rührt die erste Arbeit von Möbius her. Der- selbe leitet in seinem barycentrischen Calcnl, 1827, S. 120, aus ihrer Gleichung die Eigenschaft her, daß die Kurve unter gewissen Umständen der Schnitt zweier Eegel 2. 0. ist , und gibt Ebenen an , welche von der Gesamtheit ihrer Tangenten in einem Kegelschnitte getroffen werden. Seydetoitz (Arch. der Math. Q. Phys. V. Grnnert^ B. 10, 1847, S. 208) läßt diese Kurven aus zwei kollinearen räumlichen Strahlenbüsoheln entstehen, dann als Schnitt zweier Kegel 2. 0., und giht ihre Konstruktion aus 6 Punkten an. Sodann liefert Chasles (Comptes rendus, ß. 45, 1857, 8. 189) eine umfassende Darstellung ihrer vielseitigen Eigenschaften. Weitere wertvolle Beiträge zu ihrer Erforschung wurden ge- geben von H. Schröter, (Joum. f. r. u. ang. Math, von Grelle- Borchardt, B. 66,
1859, S. 27); von v, Staudt in seinen Beiträgen zur Geometrie der Lage,
1860, § 83; von Cremona (Joum. Crelle-Borchardt, B. 68, 1861, S. 188; B. 60, 1862, S. 818; B. 63, 1864, S. 141); von Beye in seiner Geometrie der Lage, 2. Abt (2. Aufl. 1880), S. 84 ff.; von Sturm (Joum. Crelle-Borchardt, B. 79, 1875, S. 99; B. 80, 1875, S. 128); von H. Schröter in seiner Theorie der Ober- flächen 2. Ordn. u. der Raumkurven 3. Ordn., nach J. Steiners Principien bear- beitet, 1880, S. 227 ff.
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292 VI, 276. Durchschnitt krummer Flüchen mit krummen Flachen.
2) Liegt die Raumkurve drüter Orämmg k auf einer Begdfläche zweiten Grades H^, so toird sie von allen Ersseugenden h der einen Schaar in einem, von allen g der anderen in zum reellen oder kon- jugirt imaginären Punkten getroffen. Zu der Schaar der g gehört die- jenige Erzeugende g^, welche auch der Begdfläche H, angehört, deren Schnitt mit H^ die k ist Denn jede h und jede g trifft die H, in zwei reellen oder konjugirt imaginären Punkten ; und da jede h die gQ in einem reellen Punkte, jede g die gQ aber nicht trifft, so ge- hören von jeder h nur einer, von jeder g aber zwei reelle oder kon- jugirt imaginäre Punkte der k an. Man nennt entsprechend die Geraden g eigentliche oder uneigenttiche Sekanten der k.
3) Eine Baumkurve dritter Ordnung k unrd aus jedem ihrer Funkte P durch einen Kegel zweiten Grades prqjicirt Ist k die Schnittlinie der Begelflächen H| und Hj, die noch die Gerade g gemein haben, so lege man durch P die Erzeugenden g^ von H^ und.^^2 ^^^ ^9 von derselben Schaar wie g] dann sind die Ebenenbüschel g^, g^, welche Punkte der k projiciren, projektiv mit dem gemeinschaft- lichen Ebenenbüschel g beider Flächen, welches dieselben Punkte der k projicirt. Daher sind die Ebenenbüschel g^, ^2 ^i^ter einander pro- jektiv; und da sich ihre Axen in P treffen, so erzeugen sie einen Kegel zweiten Grades, dessen Erzeugende die Punkte der k aus P projiciren.
k ist daher auch die Schnittlinie zu?eier Kegel zweiten Grades, deren Spitzen Punkte der k sind (242).
4) Durch eine Baumkurve dritter Ordnung k und durch zwei be- liebige Sekanten AB und CD derselben kann eine einzige Begdfläche zweiten Grades gelegt werden. Alle Erzeugenden der \mendUch viden derartige» Begelflächen, von derselben Schaar, une die gewählten Sekan- ten AB, CD, bilden die Gesamtheit der eigentlichen und uneigentlichen Sekanten der Kurve k.
Denn aus B und aus C wird die k durch je einen Kegel zweiten Grades projicirt, und beide Kegel haben die Erzeugende BC gemein; daher sind bei diesen Kegeln bezw. die Ebenenbüschel AB und CD, welche die Punkte der k projiciren, projektiv mit dem Ebenenbüschel BC, welches dieselben Punkte der k projicirt; daher sind sie auch unter einander projektiv und erzeugen eine Regelfläche, auf welcher k liegt Der Rest des Satzes folgt aus 2).
5) Zwei Baunikurven dritter Ordnung k, \, todche auf derselben Begdfläche zweiten Grades H liegen, schneiden sich in vier oder ßnf Punkten y je nachdem die Erzeugenden g derselben Schaar die beiden Kurven in zwei Punkten, oder die eine Kurve k in zweien, die andere kl in einem Punkte treffen.
Sei im ersteren Falle g irgend eine der die k und die k^ zwei-
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VI, 276—277. Der Durchschnitt zweier Flachen 2, Gr. unter einander. 293
punktig schneidenden Erzeugenden^ jedoch nicht gerade eine durch einen Schnittpunkt von Tc und \ gehende^ und sei P einer ihrer Schnittpunkte mit %, so wird aus P die h durch einen Eegel zwei- ter, die \ durch einen solchen dritter Ordnung projicirt, denen die g bezw. als einfache und als doppelte Erzeugende angehört. Außer dieser doppelt zahlenden haben beide Kegel noch vier Erzeugende ge- mein, da die Gesamtzahl ihrer gemeinsamen Erzeugenden >» 2 • 3 *= 6 ist*). Im zweiten Falle ist g nur eine einfache Erzeugende des Kegels' PÄj dritter Ordnung, so daß beide Kegel außer g noch fünf Er- zeugende gemein haben. Ebenso «viele Punkte haben in beiden Fäl- len die Kurven Tc und \ gemein. Denn die gemeinsamen Erzeugen- den beider Kegel gehen in ihren neben P bestehenden zweiten Schnittpunkten mit dem Hyperboloide H durch gemeinschaftliche Punkt« von i und Ä^, indem keine dieser Kegelerzeugenden, außer ^, ganz dem H angehören kann, da durch P nur noch eine Erzeugende h geht, welche aber mit h keinen Punkt außer P gemein hat (2)).
Eine Verbindungslinie zweier Schnittpunkte von h und h^ ist eine gemeinschaftliche Sekante ^on h und \y und daher auch der Regelfläche H und aller durch h und aller durch hy gehenden Regel- flächen. Daher gilt auch:
6) Imaginäre Schnittpunkte zweier Raunihurven dritter Ordnung k und kif die auf derselben Begelfläche zweiten Grades H liegen , befinden sich auf jeder gemeinschaftlichen uneigentlichen Sekante von H und von zwei anderen bezw. durch k und \ gehenden Regdflächen H^ und Hg, und sind auf einer solchen Sekante die {imaginären) Doppelpunkte der Involution, welche die Paare der zugleich in Bezug auf H, H^ und H, konjugirten Punkte bilden**),
277. Satz. Durch die Schnittlinie zweier Flächen zweiten Grades können vier Kegel zweiten Grades gelegt werden.
Erkennen wir diesen Satz zuerst in dem Falle, daß die Flächen koaxial sind, d. h. daß die Axenlinien der einen Fläche in diejenigen der anderen Fläche fallen, ohne jedoch mit ihnen gleiche Längen zu besitzen. Diese Axenlinien seien MX, MY, MZ\ M der gemein- same Mittelpunkt Die Flächen haben dann gemeinschaftliche Haupt- ebenen, und diese sind auch Ebenen senkrechter Symmetrie für die
*) Da die ebenen Kurven dritter Ordnung hier nicht geometrisch unter- sucht worden sind, so maß der Satz der Analysis benutzt werden, daß die Anzahl der Schnittpunkte zweier ebenen Kurven bezw. von der m^^ und n^^ Ordnung '^ mn ist.
**) In der Analysis ergeben sich die Koordinaten der gemeinschaftlichen Punkte von H, Hj, H, als die Wurzeln je einer Gleichung mit reellen Koef- ficienten, deren imoginSxe Wurzeln daher paarweise koujugirt sind, also Punkte einer reellen Geraden darstellen.
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294 VI, 277—278. Durchschnitt krummer Flächen mit krummen Fl&chen.
Schnittkurve, oder diese wird auf jede der Hauptebenen durch einen doppelt projicirenden Cylinder projicirt. Der vierte doppelt pro- jicirende eigentliche Kegel hat seine Spitze im Mittelpunkte My weil jedes Raumgebilde; welches in Bezug auf drei zu einander senk- rechte Ebenen symmetrisch mit sich selbst ist, es auch in Bezug auf deren Schnittpunkt M sein muß. M bildet daher den Mittel- punkt der Schnittkurve. Es sind also die drei unendlich fernen Punkte Xy Y, Z der Axen und der Mittelpunkt M die Spitzen der vier doppelt projicirenden Kegel der Schnittlinie, die Kegel sind daher vom zweiten Grade (237). Zugleich bemerkt man, daß die Tangenten der Schnittlinie in den beiden Punkten, in welchen sie von einer durch X gehenden Geraden getroffen wird, sich in der Ebene MYZ schneiden, weil diese eine Symmetrieebene der Kurve und insbesondere diejenige jener beiden Punkte ist, daß daher die Ebene MYZ eine Doppdkurve der durch alle Tangenten der Schnitt- kurve gd)ildeten Fläche enthält. Dasselbe gilt von den Ebenen MZX, MXY und auch von der unendlich fernen Ebene XYZ, weil die Tangenten der Schnittkurve in zwei Punkten, welche symmetrisch in Bezug auf M liegen, zu einander parallel laufen.
Jede dieser beiden koaxialen Flächen zweiten Grades mit einem im Endlichen liegenden Mittelpunkte M kann das Ellipsoid^ das ein- schalige oder das zweischalige Hyperboloid sein. Bildet man eine beliebige Baumprojektion von beiden, wobei die gemeinschaftlichen Axenlinien in gemeinschaftlich konjugirte, durch denselben Punkt gehende Sekanten übergehen, so können aus den Ausgangsflächen Flächen zweiten Grades jeder Art entstehen, geradlinige und nicht geradlinige, auch jedes der Paraboloide, indem eine Berührungsebene einer Fläche ins Unendliche projicirt werden kann. Aus den vier doppelt projicirenden Kegeln werden dabei wieder solche, deren Spitzen X, F, Z, M aber beliebige Lagen, im allgemeinen im End- lichen, einnehmen. Die vier Flächen des Tetraeders XYZM ent- halten dann wieder Doppelkurven der durch die Tangenten der Schnittkurve gebildeten Fläche.
278. In der vorigen Nr. war XYZM ein gemeinschaftliches Polartetraeder der beiden Flächen zweiten Grades P und P^, sowohl in dem Falle der gemeinschaftlichen Symmetriebenen, als auch in dem kollinear abgeleiteten Falle, weil durch diese Ableitung die Eigenschaft der Polarität nicht verloren geht. Wir wollen nun zeigen, einmal, daß wenn die Schnittlinie irgend zweier Flächen zweiten Grades aus einem Punkte X doppelt, also durch einen Kegel zweiten Grades, projicirt wird, dieser Punkt X eine und dieselbe Ebene X zur Polarebene in Bezug auf jede der beiden Flächen be-
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VI, 278. Der Durchschnitt zweier Flächen 2. Gr. unter einander. 295
sitzt, und sodann daß, wenn umgekehrt ein Punkt X in Bezug auf zwei beliebige Flächen zweiten Grades dieselbe Polarebene X besitzt, der Punkt die Spitze eines doppelt projicirenden Kegels der Schnitt- * linie der Flächen bildet. Schneide zunächst ein doppelt projiciren- der Strahl aus X die Schnittlinie, also jede der Flächen, in den Punkten F und F, so liegt der von X durch F und F' harmonisch getrennte Punkt X' in der Polarebene von X in Bezug auf jede der beiden Flächen, so daß drei solcher Strahlen die gemeinschaft- liche Polarebene Z bestimmen, und hierdurch ist die erste Behaup- tung bewiesen. In Bezug auf die zweite lege man einen Strahl aus X nach einem Punkte F der Schnittkurve, welcher die gemein- schaftliche Polarebene X in X' schneide, so gehört der von F durch X und X' harmonisch getrennte Punkt jeder der beiden Flächen, d. i. ihrer Schnittkurve an, und der Strahl projicirt doppelt.
Um nun solche Punkte, die wir jetzt wegen ihrer Gleichartig- keit mit demselben Buchstaben S (S^^ S^ • > .) bezeichnen wollen, zu ermitteln, welche in Bezug auf zwei Flächen zweiten Grades F und F] eine gemeinschaftliche Polarebene S besitzen, lege man durch einen beliebigen Punkt P drei beliebige, aber nicht in derselben Ebene befindliche Gerade g, h, i. Zur Punktreihe g gehört für jede der beiden Flächen ein mit ihr projektives Büschel der Polar- ebenen (77), welche beide unter einander projektiv sind und durch die Schnittlinien entsprechender Ebenen eine BrCgelschaar zweiten Grades erzeugen, wobei jede Gerade der Schaar einem Punkte der g in Bezug auf beide Flächen zugleich konjugirt ist Ebenso ent- spricht der Geraden h eine zweite Kegelschaar und der Geraden i eine dritte. Alle' drei Regeischaaren haben eine Gerade p gemein, welche dem gemeinsamen Punkte P der Geraden in Bezug auf beide Flächen F und F^ konjugirt ist. Außerdem schneiden sich je zwei Flächen der Regeischaaren in einer Kurve dritter Ordnung, je zwei dieser Kurven liegen auf derselben Regelfläche und durch ihre Schnitt- punkte gehen auch die beiden anderen Regelflächen und deren Schnittkurve. Jeder solche Schnittpunkt S ist aber ein Punkt der angegebenen Art; denn durch S geht eine Gerade einer jeden der erhaltenen Regeischaaren, und der ersten derselben ist ein Punkt der g, der zweiten einer der Ä, der dritten einer der i in Bezug auf jede der beiden Flächen konjugirt, so daß die Polarebene von S in Bezug auf jede der beiden Flächen durch jene drei Punkte der Geraden geht, also ein und dieselbe Ebene S isi
Nun haben die drei Regeischaaren zweiten Grades eine Erzeu- gende p gemein; daher trifft p jede der Schnittkurven in zwei Punk- ten (276, 2)), und daher haben zwei solche Kurven vier Punkte
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296 VI, 278. Durchschnitt krummer Flächen mit krummen Flächen.
gemein (216, 6)), durch welche auch die dritte Kurve geht. Diese vier Punkte, deren jeder eine gemeinschaftliche Polarebene in Bezug auf beide Flächen besitzt, sind die Eckpunkte eines gemeinschaft- lichen Polartetraeders beider Flächen. Denn ist S^ einer der Punkte, S^ seine gemeinschaftliche Polarebene zu F und F|, so schneidet diese Ebene diese Flächen bezw. in den Kegelschnitten k und \, welche im allgemeinen ein gemeinschaftliches Polardreieck besitzen (I, 398 f.). Im besonderen haben sie einfach unendlich viele, wenn sie zu einem Punkte Q die Polare q und die Tangenten aus Q ge- mein haben, oder dreifach unendlich viele, wenn sie in einander fallen. Seien Sj, S^, 84^ die Eckpunkte des gemeinschaftlichen Polar- dreiecks, so ist 81828^84^ das gemeinschaftliche Polartetraeder bei- der Flächen; und da jeder seiner Eckpunkte eine gemeinschaftliche Polarebene zu F und F^ besitzt, solcher Punkte aber im allgemeinen nur vier bestehen, so müssen die drei aus 8^ abgeleiteten Punkte mit den drei weiteren Schnittpunkten iSj, 8^, 84^ jener Raumkurven zusammenfallen, oder deren vier Schnittpunkte bilden das gemein- schaftliche Polartetraeder von F und F^. Daher:
Zwei beliebige Flächen zweiten Grades F imd F^ besitzen im all- gemeinen ein gemeinschaftliches Polartetraeder ^ dessen etwaige imaginäre Eckpunkte paarweise auf einer redien Geraden liegen (276, 6) samt An- merkung). Die Eckpunkte dieses Tetraeders sind die 8pitzen der durch die 8chnitÜinie beider Flächen gehenden Kegel zweiten Grades , von denen ein jeder jenes Tetraeder ebenfalls zum Polartetraeder hat. Die obwickd- bare Fläche der Tangenten der 8chnittkurve von F und Fj besitzt eine Doppelkurve, welche aus d>enen Asten besteht, die in den 8eitenflächen jenes Tetraeders liegen.
In einem besonderen Falle besitzen F und F^ einfach unencUich viele gemeinschaftliche Polartetraeder, wenn- ihre Schnittlinie in zwei Kegelschnitte zerfällt; sie besitzen dreifach unendlich viele, wenn diese Kegelschnitte in, einander fallen (die Flächen sich also entlang eines Kegelschnittes berühren); sechsfach unendlich viele, d. i. alle, wenn die Flächen selbst in einander fallen. Im ersteren Falle werden zwei Kegel zu je einem Ebenenpaare, im zweiten drei Kegel zu je zwei zusammenfallenden Ebenen, und es bleiben zwei bezw. ein Kegel eigentliche. Es wird dabei nur die Anzahl der Spitzen der Kegel, nicht aber die der Kegel selbst unendlich groß. — Der folgende Teil des Satzes folgt daraus, daß die aus der Spitze 8 des einen Kegels gezogenen Sehnen der Schnittkurve auch Sehnen der drei anderen Kegel sind, und daß daher der Punkt 8 und seine Polarebene S zu F und F| auch die Sehnen der Kegel harmonisch teilen, so daß S auch die Polarebene von 8 zu diesen Kegeln isL
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VI, 278 -280. Der Dorohscbiiitt xweier Flachen 2. Gr. unter einander. 297
Der letzte Teil des Satzes folgt daraus, daß die Berührungsebeuen einer jeden der Flächen F, F^ und eines jeden der Kegel in zwei Punkten, welche mit einer der Tetraederecken auf einer Geraden liegen, sich in der gegenüberliegenden Fläche des Tetraeders schneiden.
279. Für das Folgende gebrauchen wir einen
Hilfssate. Ein gesddossener Linienmg mrd von jeder Ebene enir weder in einer geraden oder von jeder in einer ungeraden Anzahl von Punkten geschnitten, und er heißt entdeckend paar oder unpaar.
Geschlossen ist ein Linienzug; wenn man auf ihm hinschreitend von einem Ausgangspunkte wieder zu diesem zurückkehrt, wobei ein Durchgang durch das Unendliche nicht als Unterbrechung des Fortschreitens angesehen wird (I, 190).
Der Satz wird durch den Nachweis bewiesen, daß, wenn der Linienzug durch irgend eine Ebene E in einer geraden oder unge- raden Anzahl von Punkten geschnitten wird, dies auch für jede andere Ebene F gilt. E und F bilden zwei Paare von Scheitelwinkeln oder zwei vollständige Winkel. Da man bei einmaligem Durch- schreiten einer Ebene den Winkel wechselt, in welchem man sich befindet^ so muß man beim Zurückkehren zum Ausgangspunkte beide Ebenen zusammen eine gerade Anzahl mal durchschritten haben, also jede eine gerade, oder jede eine ungerade Anzahl mal, w. z. b. w.
280. Es können in Bessug auf das Reell' oder Imaginärsein der Eckpmkte S^, S2, Äj, S^ des gemeinschaftlichen Polartetraeders ssweier Flächen snoeiten Grades F,F|, wid der durch ihre Schnittlinie k gehenden Kegel zweiten Grades K^, £,, E3, K^, und in Bezug auf die davon abhängige Gestalt der Schnittlinie k aUer dieser sechs Flächen folgende Fälle eintreten*).
A. Die vier Teiraederecken sind reell Da jede der Ebenen S, so 84, ein reelles gemeinschaftliches Polardreieck, so S^S^S^y in Bezug auf ihre Schnittkurven mit F, F^ enthält, so sind jedenfalls die von einem der Punkte 5^, S^, 5, ausgehenden gemeinschaftlichen Sehnen dieser Kurven reell (I, 411), daher auch wenigstens einer der ent- sprechenden Kegel. Sei der von S^ ausgehende K| reell, so schneidet die Ebene S^ (die gemeinschaftliche Polarebene des S^ zu F, F^, K^, K,, Kj den Kegel K^ in einem reellen Kegelschnitte s^y jeden anderen in zwei reellen oder imaginären Erzeugenden, welche Paare wir bezw. mit s^, s^y s^ bezeichnen wollen. Diese vier Schnittlinien haben die vier Schnittpunkte der Kurve vierter Ordnung k mit der Ebene
♦) Vergl. diePreisscbriften: Sturm, Synthetische Unteräuchungen über Flä- chen dritter Ordnung, 1867, 8.304—310, nnd Cremona, Memoire de g^om^trie pare ear les surfaces du troisi^me ordre (Joum. Crelle-Borchardt, B. 68, 1868, S. 118—124).
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298 VI, 280. DurchschDitt krummer Flächen mit krammen Flächen.
S^ gemein, und besitzen ein reelles gemeinsames Polardreieck S^S^S^, Daher müssen die vier gemeinsamen Punkte von 5^, Sj, «3, s^ ent- weder alle reell, oder alle imaginär (I, 399), und dann die drei Gera- denpaare «2, «3, 54 a) alle reell oder b) eines (s^) reell und zwei ima- *lf,'b)? ginär sein. Im Falle a) sind auch die Kegel E^; ^; ^4 ^^^ ^^^ Kurve
„. ^^^ Je reell. Im zweiten Falle
Flg. 122. ^ TT ^
g ist der Kegel K^ reell,
"^ " und es kann b) s^ im In- neren oder im Äußeren von £, liegen. Wenn s^ V) im Inneren liegt, so ist die Schnittlinie k, und so sind die aus S^ und S4 projicirenden Kegel reell, wie bei a); wenn b") im Äußeren, so ist Je imaginär, und so sind die sie aus S^ und /S4 projicirenden Kegel imaginär, weil S,, S^ bezw. im Inneren der reellen Kegel !E|, K^ liegen, so daß die Kegel Kg, !K4, wenn sie reell wären, bezw. die Kegel K^, Kg notwendig reell schneiden müßten. Es treten daher hier zwei Fälle ein:
1) Die vier EcJcen S'j, S^, S^, S4 des Polartetraeders und die vier Kegd K^, K^, Kg, K4 sind reell. Im Falle a) ist S^ ein äußerer Punkt der drei Kegel £,, £3, K4, weil die Polarebene von S^ zu jedem dieser Kegel ihn in zwei reellen Graden schneidet. Der Fall b') ist aber nur eine andere Darstellung von a). Denn hier muß einer der Punkte S^y S^ ein innerer, und der andere ein äußerer Punkt von s^ und daher auch von K^ sein; es sei S3 der innere und S4 der äußere Punkt. S^ ist aber auch ein äußerer Punkt von b:3, weil b:3 mit der Ebene S^, worin S4 liegt, nur den Punkt S3 gemein hat; und es ist ^4 auch ein äußerer Punkt von E^? ^^^^ "K^y damit sein Schnitt mit E^ reell ist, s^ und den im Inneren von s^ und E^ liegenden Punkt S^ einschließen, also S^ ausschließen muß. Daher ist ^4 ein äußerer Punkt der drei Kegel mit den an- deren Spitzen; dasselbe gilt von S^. Daher stellt b') den Fall a) dar, wenn S^ oder S^ von V) an die Stelle des S^ von a) tritt Im Falle a) mögen S^ im Inneren, S^y S^ im Äußeren von s^ und von El liegen. Die Projektion der Schnittkurve Je aus S^ auf S, besteht aus den von einander getrennten Bogen $/, s^' des Kegel- schnittes s^y welche in den die Kegel E^, E3, E4 darstellenden Scheitel winkelpaaren S^y S^, S^ liegen. Daraus ergibt sich, daß wenn die Gerade S^S^ die Bogen 5/, 5^" trifft, S^ im Inneren von E4 und ^4 im Inneren von E3, dagegen S^ im Äußeren von E3 und von E4, und ^4 im Inneren von E^ liegt. Daher befinden sich S^, S^
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VI, 280—281. Der DorchBchmtt zweier Flächen 2. Grades unter einander. 299
im Äußeren aller Kegel ^ 8^ im Inneren von K^ und von K^^ S^ im Inneren Yon K^ und von E3. Zugleich ergibt sich^ daß die beiden Kuryenäste der h paar sind, weil jeder von der Ebene S^ in zwei Punkten geschnitten wird (in b') in keinem).
In diesem Falle eerßllt die Schnittkurve h in etvei paare Äste; zwei Ecken des Tetraeders liegen außerhalb der prqjicirenden Kegely gtoei im Inneren von je zweien; die den ersteren Ecken gegenüberstehen- den Ebenen schneiden die h in vier reellen, die anderen in vier ima- ginären Punkten (vergl. Fig. 124).
2) (Fall 6".) Die vier Ecken des gemeinschaftlichen Folartetraeders sind reell y dagegen sind nur zwei Kegd, etwa Ki, K^y reell, die beiden anderen imaginär. Die Schnittkurve k ist dann imaginär, S,, S2 lie- gen bezw. außerhalb der Kegel Zj, K^; S^ innerhalb des einen der- selben, S^ innerhalb des anderen. Die dem S', und die dem S^ gegen- überstehenden Ebenen des Tetraeders schneiden die reellen Kegel bezw. in einem Kegelschnitte und in zwei reellen Geraden, die anderen Ebenen in einem reellen und einem imaginären Geradenpaxire.
281. B. Zwei Ecken des gemeinschaftlichen Folartetraeders sind reeü und zwei imaginär.
Seien Sj, S^ die reellen Ecken, sei g ihre Verbindungslinie, so liegen S^,8^ auf der gemeinsamen Polare g' von ^ zu F und zu F^; damit Sj, S^ imaginär sind, muß g' jede Fläche in zwei reellen Punkten treffen, und es müssen die Schnittpunkte der einen durch die der anderen getrennt sein (I, 350). Daher müssen die Flächen, ihre Schnittlinie k und beide Kegel Kj, K^, sowie deren Schnittpunkte mit g' reell sein. Daher liegt S^ außerhalb E, und S^ außerhalb Kj. Treffe wieder die Polarebene Sj von Sj zu K^ den Kegel K^ Fig. 123 in dem Kegelschnitte Sj, den Z^ in. den durch S^ gehenden Geraden s^^ so ist g' die Polare von S^ zu s^, und es müssen die Schnittpunkte der g' mit s^ durch die mit % getrennt sein, daher muß der s^ von der einen Geraden s^ reell, von der anderen imaginär geschnitten werden (s. auch I, 399). Die Schnittlinie k besteht aus einem Aste; denn sie projicirt sich aus iSi auf Sj in den einen der beiden durch die s^ abge- schnittenen Teile der s^^ etwa in 5/; die beiden Teile der k, welche durch die auf der einen und der anderen Seite der S^ liegenden Schnitt- punkte der Erzeugenden von K^ und "K^ gebildet werden, hängen in den reellen Schnittpunkten von s^ und s^ (in S^) zusammen. Von den vier Tetraederflächen sind diejenigen g' S^, g' S^ reell, die bei- den anderen imaginär. Es tritt daher hier nur ein Fall ein:
3) Zwei Ecken, zwei Kanten und zwei FläcJwn des Polartetraeders,
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300 VI, 281—282. Durchscbnitt krammer Flächen mit krummen Fläche^.
sotcie zwei Kegel sind reelly die übrigen imaginär. Die SchniWatrve hat einen einstigen {paaren) Ast.
282. C. Die vier Ecken des Tetraeders sind imaginär. Sie liegen dann paÄiweise auf zwei reellen Geraden ^ = 5i S^ , g' '=' S^ S^, welche gegenseitig Polaren zu F und zu F^ sind. Damit auf g oder g' die Eckpunkte imaginär sind, muß jede dieser Geraden jede der Flächen in zwei reellen Punkten schneiden, welche durch die der anderen Fläche getrennt sind. Schneidet aber jede von zwei Polaren g^ g' zu F die F reell, so ist F, und ebenso F^, eine Regelfläche (82, 4)). Trifft die Gerade g die Flächen F und F^ bezw. in A^ B und A^y B^, die g' bezw. in A\ B' und -4/, JB/, so sind, da g und g' Polaren, ABA'B' und AyB^A^'B^ wind- schiefe Vierecke bezw. auf F und F^, welche von je zwei Erzeu- genden der beiderlei Schaaren gebildet werden. Dabei müssen A und B auf verschiedenen Seiten der F, liegen, und ebenso A' und B\ Liegen etwa A und B' auf derselben Seite von Fj, also B und A' auf der anderen Seite, so tre£fen die beiden Erzeugenden AB' und BA\ welche der einen Schaar der F angehören, die F^ nicht und liegen auf verschiedenen Seiten der F^. Denn wenn zwei kon- jugirte Punkte Ay B' (auf g bezw. g') einer Fläche zweiten Grades auf derselben Seite von ihr liegen, so schneidet die (Gerade AB' die Fläche nicht, weil die Punkte A und B' durch die Schnitt- punkte harmonisch getrennt sein, also auf verschiedenen Seiten der Fläche liegen müßten. Da AB'y BA', daher auch -4,-4', sowie B, B' je auf verschiedenen Seiten von F^ liegen, so schneiden die Geraden AA' und BB' die F^, und die Schnittpunkte auf jeder sind durch A und A'y bezw. durch B und B' oder durch die Ge- raden AB' und BA' harmonisch getrennt Daraus folgt, daß die Schnittkurve h aus zwei Teilen besteht, welche auf F durch die Erzeugende AB'y BA' derselben Schaar von einander getrennt sind. Jeder der Kurvenäste bildet einen geschlossenen Zug, weil jede Erzeugende der F, welche der Schaar der AB' und BA' nicht an- gehört, die F^ in einem Punkte eines jeden jener Eurvenäste schnei- det, da sie die AB' und die BA' triflFt, welche ganz auf verschie- denen Seiten der F^ liegen. Jeder der Eurvenäste ist aber unpaar. Denn jede Ebene tri£Pt die Begelfläche F und F^ bezw. in den reellen Kegelschnitten c und c^. Die Schnittpunkte von AB' und von BA' mit der Ebene liegen auf c und auf entgegengesetzten Seiten von c^ ; daher teilen sie den c in zwei Teile, deren jeder den Ol in einer ungeraden Anzahl (1 oder 3) von Punkten schneidet^ welche auch die Schnittpunkte der Äste der Eurve h mit der Ebene sind. Es tritt daher hier der Fall ein:
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VI, 282—284. Der Durchschnitt zweier Flächen 2. Gr. anter einander. 301
4) Die vier Ecken und Flächen des gemeinschaftlichen Polar- tetraeders sind imaginär, zioei Gegenkanten desselben reeil, die vier Kegel imaginär. Die sich schneidenden Flächen gweüen Grades sind Begel- flächen; die Schnütkurve besteht aus sswei geschlossenen unpaaren Ästen.
283. Satz. Die Schnittlinie k zweier Flächen zweiten Grades P, Fj besitzt in ihren Schnittpunkten mit einer Seitenfläche S des gemein- schaftlichen Polartetraeders von P und P^ Tangenten, welche nach der der S gegenüberliegenden Ecke S des Tetraeders laufen, und Schmie- gungsfhenen, welche Bückkehrebenen der k und Berührungsebenen des die k aus S projicirenden Kegels sind.
Denn die Berührungsebenen der P und der P^ in einem solchen Punkte gehen durch S, daher auch ihre Schnittlinie^ d. i. die Tan- gente der k. Die Schmiegungsebene andererseits geht durch diese Tangente und durch die benachbarte, ebenfalls durch S laufende Sekante; sie ist daher die Berührungsebene des die k aus S proji- cirenden Kegels , enthält vier benachbarte Punkte der k und ist daher eine Bückkehrebene (I, 260).
284, Es sollen die drei Fälle der reellen Schnittlinie zweier Flächen zürnten Grades dargestellt werden*).
Äufg. Die Schnittlinie k zweier Flächen zweiten Grades darzu- stellen, wenn sie aus zwei paaren Ästen besteht (280, 1)).
Aufl. Da vier reelle Kegel durch k gehen, so können wir die k durch zwei derselben bestimmen; es geschehe durch K^, K^ (mit den Spitzen S^, S^, und S^, S^, K^, K^ werde dann ermittelt. Es soll eine mehrfach symmetrische Anordnung gewählt werden. E^ sei Fig. 124. ein mit der zAxe paralleler Umdrehungscy linder, dessen Spitze Si (im Unendlichen von z) außerhalb der smdereu Kegel liegen soll; £4 sei ein Umdrehungskegel mit y als Umdrehungsaxe, S^ liege außerhalb K^. Die Projektionsebene P| ist daher die Polarebene S| von Si zu K^ und sie schneidet !E^ in einem Kreise, £4 in zwei Geraden, welche den Kreis in den reellen Punkten Ä, B, C, D tre£fen. Die Spitzen von K^ und E3 ergeben sich als die weiteren Nebenecken des vollständigen Vierecks ÄBCD, als S^ (unendlich femer Punkt der x) und Sg (im Inneren von Z^); Sg/Sj sei die xAxe. Die dritte Projektion liefert durch die Umrisse von K^ und K^ die Scheitelpunkte E, Fy G, H der k, wodurch die acht Scheitelpunkte der zweiten Projektion der beiden Äste von k bestimmt sind. E^
*) Diese Eorven als Schnittlinien von Begelflächen und die abwickel- baren Flächen ihrer Tangenten eignen eich sehr cur Darstellung durch Faden- modelle in der in Nr. 241 angegebenen Weise. Mein Sohn Hermann Wiener konstmirte die Modelle der drei Hauptf&lle; ihre AusfÖhrung in Metallrahmen ist bei L. Brill in Darmstadt erschienen.
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302 VI, 2f84. Durcbschnitt krummer Flächen mit krummen Flächen.
ist ein Cylinder, der sich ist durch ihre Scheitel A stimmt und wird mittelst yerzeichnet. E^ kann bei drehungskegel sein. Eine den beliebigen Punkt Q
auf Pg in eine Hyperbel projicirt; dieselbe ", D'" und vier Punkte überschüssig be- der nach I, 371 ermittelten Asymptoten diesen Annahmen nicht ebenfalls ein Um- Erzeugende des Kegels K4, welche durch seines Schnittkreises mit P^ geht^ liefert
Fig. 124.
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zwei Punkte der Ä, darunter P. Aus P ergeben sich noch sieben weitere Punkte der Ä, welche mit P eine J.c%^inÄ;^9ii(ppe bilden, derart daß auf der Verbindungslinie eines jeden der Punkte mit einer jeden der Tetraederecken noch ein zweiter Punkt liegt, der
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VI, 284—286. Der Darchschnitt zweier Flächen 2. Gr. unter einander. 303
Yon ihm durch diese Ecke und ihre Gegenebene harmonisch ge- trennt isi Die Tangente der Ä in P ist als die Schnittlinie der bezw. den K^ und den K^ in P berührenden Ebenen bestimmt; die Tangente der zweiten (kreisförmigen) Spur der K^ in Q triflFt die P^ in Jy woraud sich die erste Spur S^^'J' der Berührungsebene des Kegels K^ entlang S^QP ergibt; diese triflPb die erste Spur der Be- rührungsebene der E^ in P im Punkte T^, so daß PT^ die gesuchte Tangente bildet Dieselbe schneidet jede der Flächen des Tetraeders in einem Punkte (I\, Tj, Tj, T4), und durch jeden geht noch eine zweite Tangente der h in einem der acht Punkte; zwei sich schnei- dende Tangenten sind durch die den Schnittpunkt enthaltende Tetra- ederfläche und deren Gegenecke harmonisch getrennt. — Die Örter der Punkte T in den Ebenen des Tetraeders wollen wir alsbald gesondert konstruiren.
Es ist noch nützlich und leicht^ die Krümmungshalbmesser der h" in ihren Scheiteln zu bestimmen; sie sind dieselben, wie diejeni- gen der zweiten Projektionen der Schnittkurven der Schmiegungs- ebenen der h in den entsprechenden Paukten mit jedem der vier Kegel. Die Schmiegungsebene der h in einem Punkte C der Ebene 8^ ist die Berührungsebene des Cylinders K^; diese trifft den Kegel K4 in einer Kurve, deren zweite Projektion die Strecke C'Cq = C^C^ zum Krümmungshalbmesser hat, wenn Cj der Schnittpunkt jener Berührungsebene mit y, und C^Ci der Parallelkreishalbmesser des Kegels K4 in C^ ist (57). Ebenso ist B"Bq = B^B^. Die Schmie- gungsebene der h in einem Punkte G der S^ ist die Berührungs- ebene des hyperbolischen Cylinders Kg, deren dritte Projektion die Hyperbeltangente G'"G^ bildet Diese Ebene schneidet den Kreis- cylinder K^ in einer Ellipse, deren zweite Projektion Axen bezw. «=» G"'G^ und = G^G^ hat, wenn die G"G^ die Cylinderaxe in G^ trifft, und G^ die senkrechte Projektion von G^ auf G'G"" bildet. Der Krümmungshalbmesser dieser Ellipse in G" ist aber = G"Gq = G^G^j wenn G^ auf der Cylinderaxe durch G^ G^ J_ G'" G^ bestimmt wird. Entsprechend ist E"Eq «= ^4^5, wenn in etwas anderer Linien- führung E'"E^ die Normale der Hyperbel in E"\ E'"E^ J. KE'" und JE?4, E^ auf der Cylinderaxe liegen.
285. Aufg. Die Schnittlinie h zweier Flächen zweiten Grades darzustellen^ wenn sie aus einem Aste besteht (281).
Aufl. Es gehen zwei reelle Kegel E^, K^ durch die h, und als Fig. is^- deren Schnittlinie wollen wir die k bestimmen. K^ und K, seien zwei kongruente Umdrehungscylinder, deren Axen bezw. mit y und X parallel laufen, sich aber nicht treffen. Von dem gemeinsamen Polartetraeder sind die Kante g = S^S^ (im Unendlichen der Pj
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304 VI, 286. DurchBclmitt krummer Flächen mit kmmmea Flächen.
und ihre Gegenkante g^ (|!^), sowie die Flächen g^S^ und g^S^ reell. Die Schnitte dieser Ebenen mit Kj und "K^, ein Ereis und zwei Gerade (in g^S2 der Ereis Si und die Geraden s^ und u^j lie- fern die Punkte JE?, F, (r, H der h Es sind in der ersten Pro- jektion von h noch die Punkte der umrisse (so K') bestimmt und ein allgemeiner Punkt P' aus P". Sind a^' und 6" die mit z paral- lelen Mittellinien der zweiten Projektionen der Cylinder Z^ und Kj, und hat auf s/' der Punkt Q" den Abstand von 6", wie P" von a^'y so ist Abst. P'a^'=^ Abst. Q"gi\ Die Ta«^e«fe der Ä' in P bestimmt man durch ihre Spur T etwa mit der zu F^ parallelen
Fig. 126.
X'^-^'ß
^^'
Berührungsebene des E^ entlang s^. Schneiden die Tangenten des Ereises 5/' in P" und Q" bezw. die 5/' in T" und die durch G" gezogene Parallele zu x in F", so ist T aus T" und durch Abst T'a^'^G"V bestimmt. Der Krimmungshalhmesser der h' in JF' ist F'Fq'^-F^F^. Denn die Ä; und die Schnittellipse der Schmie- gungsebene F'*F^ der Ä; in ^ mit K, besitzen in Fy und ihre ersten Projektionen besitzen in F' dieselben Erümmungskreise. Schneiden
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VI, 286. Der Dnrcbsclinitt zweier Flächen 2. Gr. unter einander. 305
nun die Gerade F'F'^ die Tangente F"F^ und die Normale 2^'S/' des Kreises s^' die Og" bezw. in f\, F^^ J',, so sind ^1-^5 und F^F" Jdie Axen der Projektion jener Schnittellipse, und F^F^ ist ihr Krümmungshalbmesser in F\ Sodann ist auch H'H^ =» F'F^ u.s.w- um ein besseres Bild der Tc zu geben, ist noch die Projektion auf eine zu F, senkrechte und dann in F, umgelegte Ebene F, ge- bildet, wobei die zu F, parallele Symmetrieebene der Tc sich in a,'" pro- jicirt, und Abstand F'" a^" «= Abst Ya^ ist. Dabei wurde a,'" senkrecht zur Tangente des s/' in JE" (und || S^'E") angenommen, so daß die Schmiegungsebene der Tc in j^JLF, steht, also proji- xjirende Ebene ist K" und F'" sind Scheitelpunkte der *'". In F'" ist der Krümmungshalbmesser F"Fq, wie vorhin bestimmt, durch F^Ff^XF^^F^ (s. Fig.); in JE'" ist derselbe unendlich groß. Der Krümmungshalbmesser in K'" ist gleich demjenigen der dritten Projektion der Schnittellipse der Berührungsebene des K^ in K mit Kj, deren Axen gleich K'"E^ und K^K^ sind, er ist daher «= K'"K^^ wenn K^K^A^K"K^ ist. Ebenso V" L^ in L"\ Der (sehr kleine) Krünmiungshalbmesser der Iz m K' könnte ganz entsprechend be- stimmt werden. — Da P" auf S^'E" gewählt wurde, ist P'P" Tangente des s^ und der V'\ Sind r = r'S;' und r^ — P^'Po die Krümmungshalbmesser bezw. des s/' und der h'" in P" und P"', so ist
/ T^ T' \ g \P" T") '
denn (208) zu gleichen x gehören in beiden Kurven y, welche sich wie T^T '^P"T" verhalten. Die Formel wird konstruirt, in- dem man auf FT die P"T^ = T,r auftragt, und auf P^Äi" die Punkte P^ und P, so bestimmt, daß T^P^ || r'S/' und T^P^ i; r"Pi; dann ist P'"Pq = P"P^. — Aus entsprechenden Gründen ist der Krümmungshalbmesser H'"H^ '^^ H'Hq. cos* a, wenn a der Winkel der Tangenten der t' in JET' und der k'" in 5'"; also H'" H^ «=» HqH^, wenn HqS^ _L 02'"» S' H^ J_ H^H^y H^H^ J_ J3o^ •
Die D(>Kpe?pM«Äfe der ifc'", wie J"', erhält man, wenn man die Ebene der dritten ümrißlinien des K^ (-B"S/'P") und des Z^ (O mit einander schneidet, die dritte Projektion J^ «T" ihrer Schnittlinie zeichnet und auf ihr die beiden Punkte, wie J"\ aus J" und J* oder aus J*", J*' bestimmt.
Der Übergang dieses Falles mit einem Aste der Schnittkurve h in den ersten Fall mit zwei Asten wird gebildet, indem man den Kegel E^ ^^ ^^^ Richtung von g^ so lange verschiebt, bis einer der Schnittpunkte der g^ mit K^ in einen derjenigen mit !E| fallt; da- bei müssen aber die in der Figur angenommenen Cy linder !E,, E,
Wiener, Lehrbuch der danteUenden Geometrie, n. 20
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306 VI, 286—286. Darchflchnitt krummer Flächen mit krummen Flächen.
ungleich gemacht werden^ damit nicht zugleich auch die zwei
anderen Schnittpunkte ineinanderfallen. Es berühren sich dann
beide Kegel, und ^' im Berührungs-
punkte besitzt die k einen Doppel- punkt; in wel- chem die verei- nigten Spitzen der reell werdenden Kegel Kg, K^ lie- gen, so daß drei getrennte Kegel Kl, Kj, (K^, KJ vorhanden sind. Bei weiterer Ver- schiebung in dem- selben Sinne teilt sich k in zwei Aste, und der eine Kegel (Ka, Kj teilt sich in deren zwei £3,^4. Läßt man im Falle der
Berührung die Spitze S^ von K, in den Berüh- rungspunkt rücken, so wird dieser aus einem
Doppelpunkte eine Spitze der Ä;, und es bestehen nur noch zwei ge- trennte Kegel K| und (Zj, Ka, Kj. 286. Aufgabe, Die Schnüflinie k
zweier Flächen zweiten Grades darzustellen^ wenn sie aus zum un-
paaren Ästen "besteht (282, 4)).
Aufl, Es gehen dann keine reellen Kegel durch X;; und die
Flächen zweiten Grades F, F|, deren Schnitt k ist, sind Regelflächen.
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VI, 286. Der Durchsclinitt zweier Flächen 2. Gr. unter einander. 307
Benutzen wir irgend eine Parallelprojektion ^ deren Art unbestimmt bleiben kann^ da es sieb nur um Schnitte^ nicht aber um wahre Maße handelt, und seien g^ g' die reellen Gegenkanten des gemein- schaftlichen Polartetraeders, so treffen diese die P bezw. in A, B Fig. is6. und A' y B\ die P, in -4,, B^ und J./, JB^', derart daß J., B durch -4i, Bj, und A\ B' durch -4/, B^ getrennt sind.
Es wurde der Einfachheit halber in der Zeichnung gA.g und die Punktreihe A'B' A^B^ symmetrisch mit ABA^B^ in Bezug auf die Halbirende s des einen Winkels von g und g' angenommen. Stellen wir uns diese s als die Projektion einer Geraden vor, welche durch die Mitten der raumlichen (windschiefen) Strecken AAj^ und B B^ geht, und denken uns die Raumgerade s parallel zur Projektions- ebene und die projicirenden Ebenen von AA^ und BB^ senkrecht auf Sf so sind auch die räumlichen Punktreihen auf g und g' senkrecht symmetrisch zu einander in Bezug auf die Raum gerade s. Wir wollen die beiden Regelflächen durch zwei zugleich mit g und mit g' parallele Ebenen P und P' begrenzen, welche, in gleichen Ab- ständen von diesen Geraden gelegt, dieselben zwischen sich ein- schließen, und durch ihre beiden Schnittpunkte C, C mit AA' be- stimmt sind, wenn A'C ^=^ — AC gemacht wird. Die bezw. auf P und Pj liegenden windschiefen Vierseite AA' BB' und A^A^B^B^ werden von P und P' in je vier Punkten geschnitten, welche Parallelo- gramme bilden, deren Seiten mit g und g' parallel, also in unserem Falle in der Abbildung Rechtecke sind. Diejenigen für P sind da- durch als CDEFy CD'E'F' bestimmt; dabei z. B. D auf AB' durch CD\g\ Für P^ bestimmt man zuerst C^ und (7/ durch A^C^i A^A^ ^^ AC : AA' und -4/(7/= — -i^Ci, oder hier wegen der Symmetrie kürzer -4^ Cj = — A'C\ und ^/C/= — -4(7; und sodann C^B^E^F^ und C^D^'E^F; durch Parallele zu g und g\ P und Pj sind durch jene Vierseite noch nicht bestimmt; vnr können für jede noch einen Punkt willkürlich annehmen, wodurch eine dritte Erzeugende einer jeden Schaar und somit die Fläche bestimmt ist Wir thun dies dadurch, daß wir in P zu den vier Punkten C, D, Ey F noch einen fünften annehmen, wodurch der Schnitt- kegelschnitt von P mit P festgelegt ist. Da CDEF ein Rechteck ist, so können wir als diesen Kegelschnitt einen Kreis annehmen, ebenso für Pj einen solchen durch C^, D^fE^, F^ legen, dann sind auch die Spuren der Flächen in P' Kreise; die Mittelpunkte dieser vier Eareise seien jSf, jSf^, M', M^'. Die Regelflächen sind dann ein- schalige Hyperboloide.
Von den so bestimmten in Bezug auf die Raumgerade s sym- metrischen Flächen ermitteln wir nun die Schnittlinie h in unserem
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308 VI, 286. Durchschnitt krummer Flächen mit krummen Flächen.
Falle leicht durch Hilfsebenen, welche || P laufen und daher beide Flächen in Kegelschnitten treflfen, deren Abbildungen Kreise sind. Die Geraden MM\ M^M( enthalten die Mittelpunkte aller dieser Kreise; diese Geraden schneiden die g und g bezw. in G, Gj, G', Gj', und diese Punkte sind die Mittelpunkte zweier Paare von Krei- sen, welche der Reihe nach durch A^ B\ A^^ 3^\ A'y B' \ -4./, B^ gehen und je zwei Punkte der Tc liefern, wie in der Figur ange- deutet ist. Zur Bestimmung weiterer Punkte teile man GG'y Gr^Gi und etwa BB'^ B^ B^ in dieselbe Anzahl (etwa sechs) gleiche Teile, trage die Teilung, wenn nötig, über (r, G\ G^, G^ hinaus weiter und ziehe aus den ersteren Teilungspunkten Kreise durch die letz- teren. Zwei Kreise derselben Hilfsebene liefern zwei Punkte der l; zwei solche mit den Mittelpunkten 0, 0^ sind verzeichnet; ihr einer Schnittpunkt ist P. Bei der Symmetrie unserer Figur kommt jeder Halbmesser zweimal vor. Man bemerkt, daß jeder Ast von h die- jenigen Erzeugenden AB', A'B, A^ B^ -^i-B/ »icht sch^eidet^ deren Punkte auf g und g' beide auf der endlichen, oder beide auf der unendlichen Strecke liegen, welche durch die andere Fläche aus- geschnitten wird.
Um die Tangente der ä; in P zu ermitteln, bestimme man zu- nächst die Beröhrungsebene der P in P mittelst der auf MM' lie- genden Spitze Q des die P entlang des Kreises (0, P) berührenden Kreises, wobei man beachtet, daß 0 und Q konjugirte Punkte in Bezug auf F sind. Auf MM' sind aber schon zwei konjugirte Punkte Gj G' gegeben; ein zweites Paar findet man, wenn man von dem aus G durch B gezogenen Kreise den Halbmesser GH | g' und «= GB zieht; HA' und HB' schneiden dann auf Jf Jf' die kon- jugirten Punkte J, J' ein (1, 347). Die (gleichlaufende) Involution 6, 6r'; cT", J' wird aus einem Schnittpunkte L zweier in derselben Ebene über GG' und JtT als Durchmesser beschriebenen Kreise durch eine Rechtwinkelinvolution projicirt (Da «T unerreichbar, erhält man den Mittelpunkt J^ von JtT durch H^ J^ || HB'J*, wenn H^ der Mittelpunkt von JH.) Q ist dann bestimmt durch LQ JL LO, Die Erzeugende QB jenes Kegels trifft die P in JR, wenn MB \ OP, und die Berührungsebene des Kegels und der P in P hat in P die Spur jRT (_L MB). In übereinstimmender Weise bestimmt man für Pi auf Ml Ml den zu 0^ konjugirten Punkt Q^, und zwar in unserem Falle wegen der Symmetrie von MM' und Jf , M^' in Bezug auf s am leichtesten durch M0i=-'Mi'0i, 0/iö/=90^, Jf,^, = — M'Qi'. Die Pol schneidet die P in JBi, wenn M^Ri || OiP\ dann ist B^ T (J_ Jtf, B^j die Spur der Berührungsebene der P, in P Schneiden sich JBT und JB, T in T, so ist BT die gesuchte
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VI, 286—287. Der Dorchsolmitt zweier Flächen 2. Gr. unter einander. 309
Tangente. — Der Ort der T ist die Spur der abwickelbaren Fläche der Tangenten der ifc; diese Fläcbe besteht ans zwei geschlossenen Flächenästen ^ und ihre Spur aus zwei geschlossenen Eurvenästen^ wovon jeder einem der beiden geschlossenen Äste der Tc angehört und eine Spitze in jedem Schnittpunkte der Ic mit der P besitzt.
287. Zur Bestimmung der Asymptoten der Tc ermitteln wir zuerst die Asymptotenkegel der Hyperboloide. Der Mittelpunkt der F liegt als konjugirt zu dem unendlich fernen Punkte von MM im Fußpunkte N der von L auf MM! gefällten Senkrechten. Die Ebene MM'H schneidet die Fläche P in einer Hyperbel, in welcher die Geraden JfJtf' und GH konjugirt sind. Der Halbdurchmesser NS{\ GH) ist be- stimmt durch NS^ = NS^.NS^y wenn S^ und Sg auf NS und bezw. s^ntHS^{\MM') und sm{ HG' (Tangente der Hyperbel in H, weil G und G' konjugirt sind) liegen; denn S ist einer der Doppelpunkte der Involution konjugirter Punkte, in welcher N der Mittelpunkt und Sj, 5g ein Punktepaar ist Auf der Ordinate MU{\\N1^ er- hält man den Punkt U^ einer Asymptote der Hyperbel vermittelst MUi^ ~ MIP — NS^ (I, 371). Der Asymptotenkegel schneidet daher die P in dem aus M durch U^ gezogenen Kreise a und die Pj in dem aus M* durch U^ gezogenen Kreise, wenn JIT ü, || Mü^ und U^ auf NU^. — Übereinstimmend könnte man den Asymptoten- kegel der Pi ermitteln; wegen jener Symmetrie ist seine Spitze Ni symmetrisch zu N in Bezug auf Sy und seine Spur in P ist der aus Jlfi mit einem Halbmesser -« Jf'ZJj beschriebene Kreis 04 .
Um die unendlich fernen Punkte der Je zu erhalten, bringt man den Asymptotenkegel N^^ durch Parallelverschiebung in eine mit dem Asymptotenkegel N koncentrische Lf^e, schneidet die koncen- trischen Kegel etwa mit P in je einem Kreise, und verbindet deren Schnittpunkte mit N, so sind mit diesen Verbindungslinien die Asymptoten der Je parallel, unter den vier Asymptoten sind stets zwei reell, da jede Ebene, so auch die unendlich ferne, die F und die P^ in reellen Kegelschnitten trifft, die sich reell schneiden, weil die Punkte des einen Kegelschnittes, welche auf jenen Ausgangserzeu- genden der zugehörigen Fläche liegen, die der anderen Fläche nicht reell begegnen, sich auf entgegengesetzten Seiten des anderen Kegelschnit- tes befinden. In unserem Falle sind nur zwei Asymptoten reell, da jene Kegelschnitte Kreise sind und daher nur zwei reelle Punkte ge- mein haben. Sie lassen sich bei der von uns gemachten Annahme der Symmetrie besonders leicht bestimmen. Die koncentrischen Kegel sind in Bezug auf eine parallel zur Raumgeraden s durch N gelegte Gerade s' symmetrisch; und da nur zwei Schnittgeraden beider Kegel bestehen, müssen sich diese in der durch N senkrecht
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310 VI, 287—288. Darchschnitt krummer Fl&chen]mit krummen Flächen.
zu s' gelegten Ebene befinden^ wobei jede dieser Schnittgeraden in Bezug auf s' symmetrisch zu sich selbst ist. Lägen nämlich beide Gerade nicht in jener Ebene^ so müßten zu den zwei Geraden des einen Astes eines der Eegel auf dessen anderem Aste zwei symmetrische in Bezug auf N und zwei davon verschiedene symmetrische in Bezug auf s' bestehen^ also im ganzen vier, was unmöglich. In der Zeich- nung ziehen wir daher durch N eine (zugleich durch N^ gehende) Senkrechte zu s, schneiden sie mit dem Kreise a des Asymptoten- kegels N in V und W^ und mit demjenigen a^ des ¥rieder zurück- geschobenen Kegels Ni in den entsprechenden Punkten V^ und W^, ziehen in diesen Punkten die Tangenten VX, FjX; WY, W^Y an a und o^, deren Schnittpunkte bezw. X und Y seien , so sind die auf s Senkrechten XX\ YY die Asymptoten der Tc.
In der Projektion liegt jede Asymptote auf derselben Seite der beiden nach ihrem unendlich fernen Punkte laufenden Zweige der Kurve Tc^ so daß dieser Punkt ein Wendepunkt der Tc ist. Es rührt dies von der zu den Asymptoten senkrechten Lage der Symmetrie* axe her; die durch eine Asymptote gehende Schmiegungsebene steht dann Senkrecht auf der Projektionsebene (I^ 260).
288. Die DoppeJkurve d der äbtoicicelbaren Fläche der Tangenten der SchniMinie h ssweier Flächen gweiten Grades F, F^ besteht aus vier ebenen Asten, welche in den Seitenflächen des gemeinschaft- lichen Polartetraeders von F und F^ liegen (278). Damit sie reell ist, müssen wenigstens zwei Seitenflächen und daher auch die ihnen gegenüberstehenden Ecken dieses Tetraeders, und dann auch zwei der durch k gehenden Kegel zweiten Grades reell sein, ohne daß, wie wir sehen werden, die Schnittkurve k reell sein müßte. Ein solcher ebener Ast ist bestimmt, wenn der Kegelschnitt s^ und die zwei Geraden s^ gegeben aind, worin seine Ebene S^ bezw. den von der gegenüberliegenden Ecke S^ des Tetraeders ausgehenden Kegel El, und einen der anderen Kegel, etwa K,; schneidet (dessen Spitze S^ in S^ liegt).
1. FaU, Die Ebene S^ des Kurvenastes d enthält von einem der vier Kegel einen reellen Kegelschnitt s^, van jedem der drei anderen ein Pig. 127. Paar reeller Geraden s^, Vi ^s; V? ^4; ^/j ^^®^® ^^^^ Linien gehen durch die vier, der Schnittkurve k augehorigen reellen Punkte A, B, C, D. Indem wir wieder die Projektion aus 8^ auf Sj bilden, erhalten wir Si als Projektion der Schnittkurve h Bei der Kon- struktion können wir einen beliebigen der drei reellen Kegel S,, E3, K4 benutzen. Es sei K^] derselbe kann sich in dasjenige Paar von Scheitelwinkeln S^is^s^') projiciren, in welchem S^ liegt, oder in das andere. Im ersteren Falle stelle S^Ri eine Erzeugende des
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VI, 288. Der Durchschnitt zweier Flächen 2. Gr. unter einander.
311
K^ vor; die BerühruDgsebene des K^ entlang S^Ri hat zur Spur die Gerade S^ R^, wenn 5, B^ und S^ R^ durch s^ und $2 harmonisch getrennt sind. Man findet zwei solche entsprechende Strahlen /S^^i; S^B^ etwa durch
ihre Punkte R^, Fig. 127.
JBj auf einer Pa- rallelen h zu S2f welche von s^' in 0 getroffen werde, wenn man OR2 «= — OjRi macht. Trifft nun S^R,, den Kegelschnitt Sj (in der Figur ein Kreis) in zwei Punkten Q^, ö/, ^" ^' 80 sind diese die Projektionen der beiden Schnitt- punkte der Erzeu- genden S^Ri mit dem Kegel K^,
also zweier Punkte der h. Die BerQhrungsebene des Kl entlang Si Qi hat zur Spur die Tangente Q^ Pj des Si in Qiy und
die Spuren 5, R^ und Q^ P^ beider Berührungsebenen treffen sich in der Spur P^ der Tangente der Je im Raumpunkte Q^, so daß P^ ein- Punkt der Doppelkurve ist. Q^ liefert einen zweiten Punkt P/ der d auf S^iZg. Würde aber der Kegel K^ sich in das andere Paar von Scheitelwinkeln s^s^' projiciren, so wäre S^R^QiQ^' die Projektion einer Erzeugenden dieses Kegels, S^Ri die Spur der ihn entlang SR^ berührenden Ebene, und die Tangenten des s^ in Q2 und Q^ würden auf S^R^ die zwei Punkte Pj, P/ liefern, welche die Schnittpunkte je zweier Tangenten der neuen Schnitt- kurve sind. Beide Teile zusammen bilden die ganze nur von dem Kegelschnitte s^ und seinem eingeschriebenen Vierecke AB CD abhängige Kurve d. Nach der bald zu verfolgenden Imaginär- projektion würde aber der eine der Kegel ^^2' die Imaginärprojek-
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312 VI, 288—289. Durchschnitt Jammer Flächen mit krummen Flachen.
tion des anderen aus S^ sein, die eine Schnittkurve h die Imaginär- Projektion der anderen, die reellen Tangenten der einen die Pro- jektionen der imaginären der anderen, die reellen Doppelkurven d auf der Eollineationsebene S^ würden aber sich selbst entsprechen als reelle Schnittpunkte von je zwei reellen oder konjugirt imaginären Tangenten.
Die Doppeücurve d berührt die Grundkurve s^ in den vier Punkten A, B, Cy D der Schnitthurve h; sie hat einen jeden der drei in ihrer Ebene liegenden Eckpunkte S^, S^, S^ des Tetraeders m einem Doppel- punkte und zu einem Wendepunkte eines jeden durch den Funkt gehen- den Astes. Denn zieht man aus einem dieser Eckpunkte, etwa aus S^y die beiden Tangenten an s^ und sucht deren entsprechende Strahlen S^ V, S^ V\ so findet man auf jedem derselben den Punkt S2 als Punkt der d. Zugleich ist jeder der Strahlen eine Tangente und der Punkt ein Wendepunkt der d, weil auf dem benachbarten Strahle zwei Punkte der d auf entgegengesetzten Seiten des Punk- tes S2 liegen, deren Abstände von S^ = 0^ und von dem Strahle = 0* sind.
Ebenso findet man die Tangenten in dem in der Figur un- endlich fernen Doppelpunkte S^^, indem man zu den aus ^4 an s^ gezogenen Tangenten, deren Berührungspunkte ö, G' sind, bezw. die entsprechenden Strahlen S^F, S^^F' bestimmt, derart daß S^Gy S^Fy sovrie S^^G'y S^F' durch 54, S4' harmonisch getrennt werden. Es geschieht dies etwa dadurch, daß man GB mit s^ in H, RA mit GG' in F schneidet. In unserem Falle sind S^F, S^^F^ Asymp- toten der d. Da die aus S^ an Si zu ziehenden Tangenten imaginär sind, so sind es auch die in S^ bld. d zu ziehenden, oder S^ ist ein isolirter Punkt der d.
Die d)ene Doppelkurve d ist von der vierten Ordnung , da ein aus einem Doppelpunkte gezogener Strahl außer diesem noch zwei Punkte derselben enthält. Die gange Doppelkurve der dbunckelbaren Fläche ist von der 16*^ Ordnung^ da sie aus vier solchen ebenen Kurven- ästen besteht.
289. Die Tangente der Doppelkurve d. Schneidet die durch einen Punkt E der 5^ gezogene Parallele h' zu S2 die Sg ^ ^7 und macht man KL = — KE, und, unendlich wenig davon ver- schieden, JSTii = — KE^, so sind S^L, S^E, sowie S^L^^, S^E^ entsprechende Strahlen; schneiden ÄgJ?, S^E^ den s^ in den benach- barten Punkten J5, E^, und treflfen die Tangenten des s^ in E und E2 bezw. die S^L und S^L^ in J" und eT, so sind dies zwei benach- barte Punkte der d. Die zwei durch J und die zwei durch «T ge-
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VI, 289—890. Der Durchechnitt zweier Flächen 2. Gr. unter einander. 313
zogenen Konstruktionslinien bilden ein unendlich kleines Parallelo- gramm; vergrößert man dasselbe aus J als Ähnlichkeitspunkt zu einem mit ihm ähnlichen und endlichen Parallelogramme ^ so ist dessen aus J gezogene Diagonale die gesuchte Tangente. Vergrößert man dabei EE^ zu J5i, so wird EE^ zu J5^, wenn K auf EE^ (der Tangente der s,) und wenn L'S\S<^E. Die Tangenten an s^ in E und E^ bilden denselben Winkel, wie die aus dem Krüm- mungsmittelpunkte M des s^ in jE^ zu ziehenden Normalen ME^ ME^ ; das von diesen Tangenten auf einer durch J und _L EJ ge- zogenen Geraden abgeschnittene Stuck n verhält sich daher zu EE^y wie EJiMEy und ebenso verhalten sich die aus n und aus EE^ durch ihre verhältnismäßige Vergrößerung entstandenen Stücke EN^ und EN. Daher erhält man EN^y wenn man auf EM{±EJ) die EJ^ = EJ und hutEJ die EM^ = EM aufträgt, und NN^ || M^Ji zieht Dann ist die zu jB J" Parallele N^ T eine neue Seite des ver- größerten Parallelogramms. — Andererseits schneidet S^L^ auf der Parallelen JU zxx EL ein Stück ab, das durch seine verhältnis- mäßige Vergrößerung = Jü{U auf S^E) wird; daher ist ÜT^S^J die andere neue Seite des vergrößerten Parallelogramms. Seine Dia- gonale JT ist die gesuchte Tangente.
Die nicht durch eine der Tetraederecken gehenden Asymptoten a, a sind in der Figur verzeichnet; ihre Konstruktion soll bei Fig. 129, welche hierzu mehr Deutlichkeit bietet, gegeben werden.
290. Satz. Die Krümmungshalbmesser der Doppelkurve d und der Grundkurve s^ in einem Funkte gegenseitiger Berührung verhalten sich wie — 1 : 3. So ist ÄAq «=» — \AM,
Kommen Q^ und Q^ dem Punkte A unendlich nahe, so wird Q\P% II 02-Pi I ^^2 uiid Abst A.Q^T^ = Abst. A.Q^P^, Schneidet Fig. m, AS^ die Linien Q^Q^, i^^a bezw. in Q^y P^, und die beiden die ^^' 5i in §, und Q^ Berührenden in T, so ist QqA = AT (I, 236, 7)); femer ist QqT^ TPq, daher AP^^^S .Q^A. Denkt man sich nun in A die gemeinschaftliche Tangente und Normale der Kurven s^ und d gezogen, und bezeichnet die senkrechten Abstände des Q^ von diesen Linien mit x und y, die von Pg mit x^ und y^, und die Krümmungshalbmesser der s^ jand d in A mit r und r^, so ist wegen yi=y und x^^ — Sx (208)
Diese Eigenschaft ist projektiv, und es gilt: Die Krümmungs- halbmesser zumer Kurven in einem gemeinschaftlichen Punkte mit ge- meinschaftlicher Tangente und Schmiegungsebene verhalten sich wie die Krümmungshalbfnesser der {Central^ oder Parallel-) Projektionen der
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314 VI, 290—291. Dorchsohnitt krummer Flächen mit krummen Flächen.
Kurven in der Projektion jenes gemeinschaßlichen Punktes. Denn wird bei den bisherigen Bezeichnungen aus y, y^^ x, x^ durch die Pro- jektion y\ y/, x\ x^y so ist wegen y = j/i auch y'= y/ und x \x^ = a: : a?i, woraus der Satz folgt (208).
291. 2. F(äl, Die Ebene des Kt^rvenastes d enthält von einem der vier Kegel einen reellen Kegelschnitt s^, von einem anderen Bwei von S2 ausgehende, den Si nicht reell schneidende Gerade s^, s^', von den beiden letzten Kegeln daher je zwei bezw. von rollen Punkten S^ und S^ ausgehende imaginäre Gerade. Liegt dabei s^ im Innern des- jenigen Scheitel winkelpaares S^is^s^), in welchen sich die Projektion des Kegels K^ befindet^ so ist die Schnittkurve k beider Eegel reell; im anderen Falle ist k imaginär und d ist die reelle Doppelkurve der imaginären abwickelbaren Fläche der. Tangenten der k. Fig. 128. In der Figur wurden s^ als Ereis, S^ im Mittelpunkte desselben
angenommen^ wodurch S^, S^^ ins Unendliche fallen und «^ S^ S^ S^
Fig. 128.
= 90® wird. Zieht man aus S^ einen Strahl, welcher die S, 8^ und Si bezw. in B^ und Q, Q^ triflffc, so erhält man den entspre- chenden Strahl ^2 "^> wenn man auf s^ von Kq (auf S^S^ aus Kq JE'= — Kq K, die wir gleich dem Kreishalbmesser machen wollen, aufträgt, KR^ mit ^2 in Jff, und HK' mit S5Ä4 in JS, schneidet; die Tangenten an s^ in Q und Q^ treffen dann die S^B^ bezw. in P und Pj, Punkten der Doppelkurve d. Die Asymptoten ^2-^; ^%^ entsprechen den die 5^ in Gy G' berührenden Strahlen S^G, S^G'. Die Asymptoten S^L, S^L' erhält man, indem man beachtet, daß eine jede derselben, z. B. S^L und die in J berührende Tangente S^KJ der Sj zugeordnete Strahlen der Involution sind, deren Doppel- strahlen durch je zwei der Schnittpunkte von k mit S^ oder von s^'
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VI, 291—292. Der Darchsohnitt sweier Flachen 2. Gr. unter einander. 315
und Sg mit s^ gehen (288), d, h. daß S^ii und S^K die s^ in Punkten L und K schneiden, welche in Bezug auf s^ konjugirt sind, daß also L auf der Polaren von K zu 5^ liegt, oder daß JL A.S^K steht.
292. 3. Fall Die Ebene des Kurvenastes d enthalt von einem der vier Kegel einen reellen Kegelschnitt Sj, von einem anderen Bwei von S^ ausgehende Gerade 5,, s^\ deren eine (s^) den s^ reeU, die an- dere (V) ^^ imaginär schneidet, so daß die beiden letzten Kegel ima- ginär sind.
Dabei kann das eine Scheitelwinkelpaar s^ s^, oder das andere Fig. 129. die Projektion des Kegels K^ bilden; jedesmal ist der Teil der d, welcher außer- halb der Projek- ^^- ^^^• tion von K^ liegt, die Doppelkurve der reellen ab- wickelbaren Fläche, und der Teil, welcher in- nerhalb derselben liegt, die reelle Doppelkurve des imaginären Teiles der abwickelba- ren Fläche.
Die Schnitt- punkte Ä, B von s^ mit Si sind Be- rührungspunkte der d und s^. Mit- 1
telst h (II O, OR^ = — OR^
und §1, Q^ ergeben sich wieder die Pj, P^ der d. S^ an Si entsprechen die Tangenten der d in S^.
Den Tangenten aus Die Eur^e besitzt
auf der unendlich fernen Geraden vier Punkte und daher auch vier Asymptoten j deren keine bei endlich entferntem ^2 durch eine Tetraederecke geht Von diesen Asymptoten sind in der Figur zwei reell. Dieselben wurden in folgender Weise durch Fehlerkurven konstruirt. Ist S^E' die mutmaßliche Richtung einer Asymptote, S^K der entsprechende Strahl, und E derjenige seiner beiden Schnitt- punkte mit ^1, in welchem die Tangente des s^ nahezu parallel mit 82 E' läuft, femer E^ derjenige zunächst bei E liegende Punkt von «1, in welchem die Tangente des 5| wirklich parallel mit S^E'
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316 VI, 292. Dnrchsohnitt knunmer Fl&chen mit knunmen Fl&chen.
läuft; so kann die Strecke J^^ als Maß des Fehlers dienen. Ver- bessert man die Richtung S^E' schätzungsweise in S^F und erhält dadurch entsprechend F und F^ mit dem in der Zeichnung entge- gengesetzt gerichteten Fehler FF^^ so ziehe man durch E^ und F^ in passender Richtung zwei Parallele und trage auf ihnen in ihrem bezüglichen Sinne E^E^ — E^E^ F^F^ = F^F auf; dann schneidet die Gerade E^F^ den s^ in dem verbesserten Punkte G. Ist nun der dem S^G entsprechende Strahl S^G' parallel mit der Tangente des $1 in G, so ist S^G' die Richtung einer Asymptote; anderen- falls verbessert man die gerade Fehlerlinie E^F^ durch einen dritten Punkt G^ zu einer Fehlerkurve ^ deren Schnittpunkt mit ^| die Asymptotenrichtung bestimmt.
In der Figur ist schon S^G' parallel zur Tangente GN des s^ in G, also die Richtung der Asymptote; man bestimmt nun die Asymptote a selbst^ indem man beachtet^ daß wenn die entspre- chenden Strahlen S^G' und S^G auf h gleiche unendlich kleine Strecken in entgegengesetztem Sinne beschreiben ^ G ein unendlich kleines Bogenstück auf s^ und die Tangente an s^ in dem beweg- lichen Punkte einen unendlich kleinen Winkel beschreibt; daß end- lich die Abstände der Asymptote a von S^G' und von G2V im Ver- hältnisse der von S^G' und von GN beschriebenen Winkel stehen, dabei in unserem Beispiele von entgegengesetztem Sinne sind, so daß a im endlichen Streifen jener Parallelen liegt. Ersetzt man h durch die Parallele zu s^ durch G, und vergrößert die auf ihr von 8^'G und S^G beschriebenen unendlich kleinen Wege zu dem zvrischen G und S^G' liegenden Stücke GH, so ist S^H gleich dem verhältnismäßig vergrößerten Bogenelemente des s^ bei G, und es ist S^H zugleich das Maß des Winkels der Endtangenten dieses Elementes, wenn man diesen Winkel durch einen Bogen mißt, dessen Halbmesser gleich dem Krümmungshalbmesser GK des Si in G ist. Trägt man andererseits diesen Halbmesser auf S^G' nach SiJ(= GK) auf, zieht JL \\ h bis L auf S^G, so ist der Ab- stand des L von S^J das verhältnismäßig vergrößerte gleichartige Maß des von S2G' beschriebenen Winkels. Man teilt nun GH im Verhältnisse jener unendlich kleinen Winkel, indem man auf den Parallelen GN und S2G' in entgegengesetztem Sinne bezw. GN — S^H und HÜ^ Abst. L.S^J aufträgt, und NU mit GH in V schneidet Durch V und ^ S^G' läuft dann die Asymptote a. — Übereinstimmend wurde diejenige a' bestinmit.
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VI, 293—294. ImaginärprojektioQ der Solmittlime zweier Flächen 2. Gr. 317
VI. Die Imaginärprojektion der Sohnittlinie zweier Flächen zweiten Grades.
293. Sind von etvei Flächen zweiten Grades P, Pi die Imaginär- Projektionen in Besrng auf einen Eclspunkt S ihres gemeinschaftlichen Fölartetraeders und dessen Gegenebene S die Flächen (sfweiten Grades) H, Hj (96), so soU auch von der Schnittkurve (vierter Ordnung) Je von P und Ti die Schnittkurve {vierter Ordnung) l von H und H^ die Imaginärprcjektion oder die konjugirte Kurve in Bezug auf S und S heißen. Weil V, Pj auch die Imaginärprqjektionen von H, H^ sind^ ist auch Je diejenige von l. (Vergl. 239.)
Da H und H^, ebenso wie P und P^, die S zur gemeinschaft- lichen Polarebene von S haben (96), so wird l aus S durch einen Kegel zweiten Grades {doppelt) projicirt.
Die Kegd zweiten Grades , welche die Jconjugirten Baumkurven Je %md l vierter Ordnung aus ihrem KonjunktionsmittelpurJce S projidren, fcdlen in einen Kegel K zusammen. Derselbe projicirt entweder mit allen seinen Erzeugenden die eine der Kurven reell und die andere ima- ginär^ oder er projicirt mit einem Teil seiner Erzeugenden die eine Kurve reeU und die andere imaginär, und mit dem anderen Teile die zweite reell und die erste imaginär.
Denn jede durch S gelegte Ebede schneidet die P und H in zwei konjugirten Kegelschnitten f und h, und ebenso die P^ und H^ in zweien solchen /i und A^, und die Schnittpunkte von f und /i werden durch zwei durch S gehende gemeinschaftliche reell oder imaginär schneidende Sehnen (doppelt) projicirt, und diese sind zu- gleich gemeinschaftliche imaginär oder reell schneidende Sehnen von h und %| (I, 410 f.), projiciren also auch deren Schnittpunkte dop- pelt Da aber diese Schnittpunkte der Je und l angehören, so folgt hieraus der Satz:
Eine Baumkurve vierter Ordnung Jiat mit ihrer Jeonjugirten in jedem ihrer Funkte in der Ebene der KonjunJction diesen Punkt, die Tan- gente und die Schmiegungsebene gemein, und die Krümmungshalbmesser beider Kurven sind gleich und entgegengesetzt gerichtet Die Tangente geht durch den Punkt der Konjunktion, ebenso die Schmiegungs- ebene und berührt den gemeinschaftlich doppelt projicirenden Kegel (283); die Krümmungshalbmesser sind diejenigen der konjugirten Kegelschnitte, in welchen die Schmiegungsebene die konjugirten Flächen schneidet, haben daher gleiche und entgegengesetzt gerich- tete Krümmungshalbmesser (171, 239).
294. Aufg. Durch die imaginäre Schnittlinie k zweier Flächen zweiten Grades P, P^ den reellen Kegd zweiten Grades zu legen und
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318 VI, 294. Darchschnitt krummer Flächen mit krummen Flächen.
aw5 der Spitze dieses Kegels die (reelle) ImaginärprqjekHon l der k m bilden, Fig. 190. ^^ ^^^ ^ ^^^ ^^g^l; ^1 ^^^ Umdrehungsellipsoid, das ganz im
Inneren der P liege, M, M^ seien die Mittelpunkte der Flachen, und M liege in der Äquatorebene des Fj. In diese Ebene legen wir die P^, MM^ sei die a?Axe; durch M gehen die y- und die jffAxe. Es werden P und P^ von P^ bezw. in den Kreisen c und c, und von Pg in dem Kreise d und der Ellipse e geschnitten.
Fig. 180.
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Aufl. Das gemeinschaftliche Polartetraeder von F und F^ hat die unendlich fernen Punkte S^ von g und Ä, von y zu zwei Ecken, da Pj und P^ gemeinschaftliche Symmetrieebenen der beiden Flächen sind. Die anderen Eckpunkte S^^ S^ liegen auf x und sind harmo- nisch getrennt durch die Schnittpunkte Ay B der F und 0, D der Fl mit X. (Schneiden C'C und D'D" den c' in je zwei Punkten, so sind S/, Sl Nebenecken des Vierecks dieser Punkte (114).) Die
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VI, 294. Imaginärprojektion der Schnittlinie zweier Flächen 8. Gr. 319
Imaginärprojektionen der Schnittlinie h von F und Fj aus S^ und S^ ergeben sich als reell, die aus S^ und S^ als imaginär. Es soll zunächst diejenige aus S^ gebildet werden.
Die Imaginärprojektion aus S^ von F ist ein einschaliges gleich- seitiges Umdrehungshyperboloid H, die von F| ein Umdrehungs- hyperboloid H^, ihre Schnitte mit P^ sind die beiden Hyperbeln Ä", Äj", welche bezw, A'\ J5"; (7", D" zu Scheiteln, und die mit e" parallelen Axen von d" und e" zu ideellen Axen haben. Die Schnittlinie l von H und H^ ist die Imaginärprojektion von Tc aus Sj. hy \ liefern vier Punkte j&, Fy Gj H der Z, und weitere Punkte P derselben können durch parallele Ebenen zu Pj erhalten werden, welche die H und H^ in Kreisen schneiden. Die erste Projektion V t=s E'P'F' ist ein Kegelschnitt und die Spur des reellen die l und die Je aus S^ doppelt projicirenden Kegels. Dieser Kegelschnitt V ist aber ein Kreis, und der Kegel ein Cylinder. Denn V geht durch die vier Spurpunkte der Ä in P^, d. i. durch die vier (imaginären) Schnittpunkte der Kreise c', c^'] zwei derselben sind die unendlich fernen Kreispunkte, daher ist V ebenfalls ein Kreis; die zwei an- deren sind die imaginären Punkte auf der Potenzlinie XK' von c', Ci' (I, 302 und 395), welche Linie J. x' durch den Schnittpunkt X einer Sehne 1, 2 des c, und einer solchen 3, 4 des c/ geht, wenn diese vier Punkte auf einem (Emfs-)Kreise (sein Mittelpunkt ist 0) liegen. Die ideellen gemeinschaftlichen Punkte J', K' von c' und Ci erhält man, wenn man K^ auf c so bestimmt, daß S^K^ und S^K' durch A' und B' harmonisch getrennt (die Tangente des c^' in Kl geht durch den Schnittpunkt K^ von K'X mit x') und daß A'K^J' und B'K^E^ Gerade sind (1 , 400); J'E! wird durch x hal- birt. Auch die Punkte E'y F des V können ohne Hilfe der Hyperbeln %, Ax bestimmt werden (I, 411; Q^ Schnittpunkt der Polaren von Q zu d" bezw. e", Ö2 ^^f ^'; QiQi-^^'^ Qst Ö4> ^5 ^^^ ^^^ Kreise, dessen Durchmesser Jf/ft, S^Qji±x\ S^'Q^Q^±x, Q^Q^^E' und QtQiF' gerade Linien). Es muß auch XB' JLK'E' (I, 395, 3)). Der Kreis V ist dann durch seinen Durchmesser E'F' bestimmt; sein Mittelpunkt 0' ist die erste Projektion der Axe a des Cy lin- ders S^l.
Die zweite Projektion V von l ist ein Kegelschnitt, dessen beide Scheitel auf x' die reellen Projektionen der beiden Paare konjugirt imaginärer Spurpunkte der Ic in P;^ sind, nämlich der un- endlich ferne Punkt und eT'; daher ist l" eine Parabel. Ihr Krüm- mungshalbmesser J"Jq im Scheitel ist gleich einer Subnormale (z. B. «-» F^F^. Die dritte Projektion l"' bestimmt man durch ihre Scheitel- punkte E"\ F'\ G'", H"\ durch allgemeine Punkte P"' und durch die
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320 VI, 294—295. Darchschnitt kmmmer Flächen mit krummen Flächen.
Punkte, wieL'", auf den Umrissen des Cy linders SJ. Die Krümmungs- halbmesser der l und der V stimmen bezw. mit denen der Schnitt- linien der Schmiegungsebenen der l mit dem Gylinder S^l und ihrer dritten Projektionen überein. Für G'" ist diese Projektion eine Ellipse, welche G'", G^ zu benachbarten Scheiteln {G"G^ Tangente der V in ö", (?i auf a", G^G^G^^^z") und daher G^ zum Krümmungs- mittelpunkte in G'" hat {G^G^ Jl G'" G^. Entsprechend wurde H"'Hq, L'"Lq bestimmt.
296. Aufg. Von der reellen Schnittlinie l zweier Flächen zwei- ten Grades H, Hj die Imaginärprojektion m aus einem solchen Punkte zu bilden, cms welchen l nur durch einen Teil eines reellen Kegels zwei- teti Grades prqjicirt wird.
Diese Aufgabe ist schon in Nr. 239 gelost worden. Doch bietet die Auflösung der vorhergehenden Aufgabe Anlaß auch zur Lösung Fig. 130. der gegenwärtigen Aufgabe. In Fig. 130 wird die Schnittlinie l der beiden Umdrehungshyperboloide aus S2 durch einen Teil eines para- bolischen Cylinders projicirt; es soll nun die Imaginärprojektion m von l aus ^^2 bestimmt werden.
Aufl. Die Imaginärprojektionen der einschaligen Umdrehungs- hyperboloide H, H^ aus ^2 sind die zweischaligen Hyperboloide I, I| bezw. mit den Scheiteln -4, J5; (7, D. Ihre Spuren in Pj sind die gleich- seitigen Hyperbeln i', i/, welche sich in vier reellen Punkten treffen, den unendlich fernen ihrer Asymptoten, und den ideellen Schnitt- punkten «r, K' der Kreise c', c/. Die zweite Projektion m" der Schnittlinien beider Flächen ist durch E'\ F", (?", fl", durch den unendlich fernen Punkt des x" und durch J'' bestimmt; sie ergänzt die Linie l" zu einer vollen Parabel. Die erste Projektion m' ist ein Kegelschnitt, der durch seine Scheitel E\ F' und die Punkte cT, K bestimmt ist; er ist also die Imaginärprojektion des Kreises V aus /S2', ^' !• 61^16 gleichseitige Hyperbel. Die dritte Projektion m'" besteht aus drei Ästen, welche in E"\ F'", G"\ H"' gemein- same Scheitel und gleiche Krümmungshalbmesser mit V" besitz^L Der Krümmungshalbmesser in dem auf y'" liegenden Scheitel eT" des endlichen Astes der w'" ist = J'"J, «= eT'JJj : tg a, wenn « den Winkel der Tangente JT T der Hyperbel m' in eT mit x' be- zeichnet. Ist daher J'J^ \ x' und ist Jg auf J' T so gelegen, daß Abst. J's * J'J^==n J'Jqj so gibt Abst. J^ • J'J" die Größe des ge- suchten Krümmungshalbmesser J"" Vi an. Denn sind, wie in Nr. 290, die bezw. mit P^ und z parallelen Elemente von m" und m'" bei J: a?, y; a?i, yi, so ist yi = y und iCi = a: tg a, da die Schmiegungs- ebene von m in J" die J' T zur ersten Projektion hat; hieraus folgt aber die Angabe.
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VI, 296— 297. BeBtiinzDaDge.Fläohe2.6r. durch 9 Punkte. Bfischel u. Bohaaren. 321
996. Übungsaufgaben.
1) Die ImagiDarprojektion der imaginären Schnittlinie einer Engel und eines mit derselben koncentrischen Umdrebungsellipsoides aus dem unendlich fernen Punkte der Umdrehungsaxe des letzteren zu bestimmen.
2) Von einer Engel und einem ümdrehungscylinder, welcher sie berührt und durch ihren Mittelpunkt geht^ die Schnittlinie und deren Imaginärprojektion aus dem unendlich fernen Punkte des Eugeldurchmessers zu ermitteln , welcher auf dem nach dem Be- rührungspunkte laufenden und auf dem in einer Cylindererzeugenden liegenden Durchmesser senkrecht steht Diese Durchmesser mögen der Reihe nach die Axen y, x, 0 bilden*).
vn. Bestimmting einer Fläche zweiten Grades dnroli neun Pnnkte. Büsohel xind Sohaaren von Flächen zweiten Grades.
297. Für das Folgende bedürfen wir einiger Sätise über die trcjektivüät ffunschen invoUUorischen und einfachen Gebilden**). Es genügt dabei y die Punktreihe auf dem Eegelschnitte zu betrachten^ da dieselbe projektiv ist mit einem Strahlen- oder Ebenenbüschel; dessen Schnitt sie ist^ wenn der Eegelschnitt durch den Mittelpunkt bezw. die Axe des Büschels geht, oder mit einer geraden Punktreihe^ deren Projektion aus einem Punkte des Eegelschnittes sie bildet.
1) Begriff. Eine auf einem Kegelschnitte Je liegende invohdorische mg, isi. Punktreihe soll prqjeictiv zu demjenigen (einfachen) StraMenbüschel heißen, dessen Strählen je durch die beiden Punkte eines Paares der Involution gehen; dabei soU jeder Strähl dem auf ihm liegenden PunktqMare und auch jedem Punkte dieses Paares entsprechend genannt werden. Sind Ä^Ä^y B^B^ ... die Punktepaare ^ so gehen die Geraden Ä^A^y B^B^. . . durch einen und denselben Punkt P, den Pol der Involution (1, 346),
*) Von der Imagin&rprojektion der Flächen zweiten Grades nnd der Schnitt- linie sweier lolohen Fl&chen machte der Verfasser Mitteilnng in der mathe- matischen Sektion der Naturforscherversammlung in Straßbnrg am 19. Septem- ber 1886 (Tageblatt dieser Versammlung, S. 864) nnd zeigte dabei ein Modell za der obigen Aufgabe vor, in welchem die Erzengenden der vorkommenden Regelfl&chen, zweier Cjlinder nnd eines einschaligen Hyperboloides durch Fäden, Parallelkreise der Kugel durch Drähte und die Schnittkurven durch einen über die Flächen gespannten siArkeren Faden dargestellt waren.
**) Die eiu- und zweideutige Beziehung wurde aufgestellt von Chaäles in ,,Principe de correspondance entre deuz objets variables*' (Comptes rendns, B. 41, 1866, S. 1097) und weiter ausgebildet von Herrn Weyr in seinem Buche „Theorie der mehrdeutigen geometrischen Elementargebilde der algebraischen Kurven und Flächen, als deren Erzengnisse, 1869".
Wiener, Lehrbaoh der dwttellenden Geometrie, n. 21
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322 VI, 297. Durchschnitt krnmmer Flächen mit krnmmen Flächen.
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und es heißt dann Ä^Ä^, B^B^ . . . projektiv zu F {A^Bi . . .) oder zu P {Ä^B^ . . .) oder zu P {AB . . .), wobei A, B . . . bezw. die Schnittpunkte von A^A^, B^B^ ... mit der Axe p der Involution seien. Die Schnittpunkte von h mit p sind die Doppelpunkte der Involution auf h^ und diesen entsprechen die Tangenten aus P an ib, die s. g. Verjsumgimgsdemmte des Strahlenbüschels P. Diese teilen das Büschel in zwei Winkel; den Strahlen im einen Winkel entsprechen
in der Involution reelle ^^* Punktepaare ^ denen im an-
deren Winkel imaginäre. Ist P ein innerer Punkt von i, so sind die Doppelpunkte der Involution^ sowie die Ver- zweigungsstrahlen imaginär; es entsprechen dann allen Strahlen reelle Punktepaare. — Rückt P in Je, so fallen die einen Elemente aller Punktepaare auf ft in P zu- sammen, während die anderen eine dem Strahlenbüschel P projektive einfache Punktreihe bilden; die Verzweigungselemente des Strahlen- büschels sind in die Tangente des Ä; in P zusammengefallen. Dann entspricht der Punkt P des k jedem Strahle aus P, und außerdem jeder Punkt des k einem bestimmten Strahle aus P in gewohnlicher Projektivität.
Ein einfaches und ein damit projektives involutorisches Grund- gebilde heißen auch ein- zweideutig venocmdt oder ein-etveideutige Oe- bilde, weil jedem Elemente des einfachen zwei des involutorischen, und jedem Elemente des involutorischen eines des einfachen entsprechen. Ferner sollen gtoei Involutionen unter einander projektiv heißen, wenn diejenigen einfachen Grundgebilde unter einander projektiv sind, mit deren jedem je eine der Involutionen projektiv ist. Dabei kann ein reelles oder ein imaginäres Elementenpaar der einen In- volution sowohl einem reellen, wie einem imaginären der anderen entsprechen. — Sie heißen auch zwei-isweideutig verwandt.
2) Satis, Eine Involution von Elementenpaaren ist projektiv mit dem Gebilde der einfachen Elemente, deren jedes von einem festen Ele- mente durch die zwei Elemente je eines Paares harmonisch getrennt wird. Ist 0 das feste Element, also hier ein Punkt auf k, und ist A^ von 0 durch A^ und A^ harmonisch getrennt, ebenso Bq von 0 durch J?i und JBg, u. s. w., so gilt
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VI, 297. Bestimmung e. Fläche 2. Gr. durch 9 Punkte. Bfischel u. Schaaren. 323
Denn ist A' der (auf j> liegende) Schnittpunkt der Tangenten von £ in ^1 und A^^ so erhält man A^ als zweiten Schnittpunkt der OA' mit "k^ weil A^A^OA^ die Projektion der vier harmonischen Punkte (AiA^)A'OA^ aus A^ auf Je ist Daher projicirt sich A'B' . . . aus 0 in A^Bq . . ., und es ist {A'B' •..)«= (-^o-^o • • •)> da außerdem {A'B' . . .) = (^^ •••)(!> 343), so folgt . Inv. {A^A^, B,B^ . . .) proj. P {AB . . .) = (A^B^ . . .) •
3) Die prqjekHve Bmehung eines^ involutorischen m einem ein- fachen Gebilde ist dwrch drei Elementenpaare des involutorischen und die drei entsprechenden Elemente des einfachen Gebildes bestimmt. Denn durch diese Elemente ist die projektive Beziehung des Strahlen- büschels P zur Punktreihe p (Fig. 131) gegeben. Dabei können zwei Paare und ein Element des dritten Paares (I, 297) und die drei Elemente des einfachen Gebildes willkürlich angenommen werden.
Allgemeiner ist die Beeiehimg eines involutorischen zu einem damit projektiven einfachen Gebilde durch fünf willkürlich abzunehmende Paare entsprechender einfacher Elemente beider Gebilde geg^)en, wie durch ABCDE, A^B^CtD^Ei. D^nn muß P^A^BiC^D^E^) ^^ ABCDE sein, und daher wird P bestimmt als der vierte Schnittpunkt eines durch A^B^C^D^ gelegten Kegelschnittes kj aus dessen Punk- ten diese vier Punkte durch Strahlenbüschel vom Doppelverhält- nisse {AB CD) projicirt werden, und eines durch A^B^C^E^ mit dem Doppelverhältnis (ABCE) gelegten Kegelschnittes l. Dazu ist aber die Verzeichnung keines der Kegelschnitte k oder l not- wendig. Denn sind A^K und A^L die Tangenten in A^ bezw. von k und Z, welche man vermittelst A^ {E^B^ G^ D^ ^^ AB CD und -4i {L B^ Cj E^) ^^ ABCE erhält, und schneiden die Strahlen A^KyA^D^ den Kegelschnitt l in den yervoiiUilA Bi{A^C^E^E! D') = A^{LC^E^KD^ zu konstruirenden Punkten JT, D', so ist wegen Ä;:^,(JfOiJDj)=Bi(^iCiA);ttnd wegen Z:4i(ifCiA)=-Bi(-^Ci2y), daher auch B^{A^CyD^ = B^{K'C^D'), Diese koncentrischen und projektiven Strahlenbüschel haben B^C^ und BiB zu Doppelstrah- len, wovon man den zweiten erhält, wenn man die Büschel durch zwei aus einem Punkte C" der B^C^ gezogenen Geraden bezw. in den (Perspektiven) Punktreihen ^"CD", J.'"C"Z)'" schneidet, und dann B^B durch den gemeinsamen Punkt von A" A'" und D" D'" zieht Dem Strahle B^P entspricht in k und l derselbe Strahl aus ^1, der den B^P in P tnfft.
Ein involutorisches und ein damit projektives einfaches oder involutorisches Gebilde, welche sich nicht auf demselben Träger befinden, sollen perspektiv heißen, wenn ein (einfaches) Element des einen in einem entsprechenden (einfachen) des anderen liegt.
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324 VI, 297. Durchschnitt krummer FlS^hen mit krummen Flächen.
4) S(xtz und Äufg, Eine involutorische und eme mit dersdben projektive einfache PuMreihe eines Kegelschnittes haben dreimal snoei entdeckende Punkte gemein, oder sie besitzen drei Doppelpunkte. Es soUen dieselben bestimmt werden.
' Beweis und Aufl. Bestimmt man von der auf dem Kegelschnitte k liegenden Involution den Mittelpunkt P (s. Fig. 131), projicirt ans P die involutorische Beihe doppelt^ und sodann aus irgend einem Punkte D des k die ein&che Punktreihe , so sind die Strahlenbüschel P und D projektiv und bestimmen durch die Schnittpunkte ent- sprechender Strahlen einen Kegelschnitt k\ welcher durch D und P geht. Die außer D bestehenden drei gemeinsamen Punkte beider Kegel- schnitte k und k' sind die Doppelpunkte beider Reihen auf k. Es können daher zwei der Doppelpunkte imaginär sein; sie sind dann durch die auf der zweiten gemeinschaftlichen Sehne beider Kegelschnitte liegende (gemeinschaftliche) Punktinvolution derselben gegeben.
Derselbe Satz gilt von zum ein-zweideutigen geraden Pwnktreihen, Strahlen- und Ebenenbüscheln, welche je auf demselben Träger Uegen.
5) ScUz, Alle einfachen und edle involutorischen Punktreihen, welche ein Kegdschnittbüschel bezw. auf Geraden g einschneidet, die durch einen der Grundpurikte gehen, saune auf Geraden h, die durch keinen solchen gehen, sind unter einander projektiv, und je zwei derselben sind per^pektiv.
Die Projektivitat der g unter einander wurde in I, 396 bewie- sen. In Bezug auf die Involutionen auf zwei Geraden h nehme man deren Schnittpuxikt 0 als festen Punkt an; man erhält dann die von 0 durch die Punkte je eines Paares getrennten Punkte auf beiden Geraden h zugleich als Schnittpunkte mit den Polaren des 0 zu den einzelnen Kegelschnitten. Da die Polaren ein Strahlenbüschel bilden (1, 397)^ so sind die von ihnen eingeschnittenen Punktreihen und damit die Involutionen unter einander projektiv. In Bezug auf eine Punktreihe g und eine Involution h beachte man, daß wenn 0 der Schnittpunkt von g und h, wieder die Punktreihe, welche die Kegel- schnitte, und die Punktreihe, welche die Polaren von 0 zu diesen Kegelschnitten auf g erzeugen, also auch das Büschel der Polaren und die Involution unter einander projektiv sind (denn jene Reihen auf g sind in I, 397, 1) und 2) die der H und der Q). In allen diesen Fällen sind je zwei Reihen oder Involutionen perspektiv, weil durch den Schnittpunkt ihrer Träger nur ein Kegelschnitt des Büschels geht, also der Schnittpunkt auf beiden Geraden sich selbst entspricht.
6) ScUz. Alle Kegelschnitte, u^dche durch die zwei Punkte je eines Paares einer auf einer Geraden g befindlichen PunktinvohUion und
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VI, 297. Bestimmung e. Fl&che 2.Qr. durch 9 Pankte. Bflschel n. Schaaren. 325
durch drei feste Punkte gelegt werden^ gehen auch durch einen vierten festen Pwnkt P und bilden daher ein Kegelschnittbüsdhel Denn zwei solche Kegelschnitte treffen sich noch in einem vierten Punkte P und bestimmen ein Eegelschnittbüschel; dieses schneidet auf g eine Involution ein, welche mit der gegebenen zusammenfallt^ da sie mit ihr die durch die zwei ersten Kegelschnitte eingeschnittenen Punkte- paare gemein hat; hieraus folgt unser Satz.
7) Sat0. Sind in einer Ebene auf ewei Geraden mjoei unter ein- ander projektive und perspective Punktinvolutionen gegeben, so gehen aUe Kegelschnitte y welche durch die vier.Pwnkte je zweier entsprechenden Paare und du/rch einen festen Punkt P gelegt werden, auch durch drei weitere feste Punkte, und bilden daher ein Kegdschnittbüschel. Denn legt man zwei Kegelschnitte je durch die vier Punkte zweier ent- sprechenden Paare ; die den Schnittpunkt 0 beider Geraden nicht enthalten y und durch P, so haben diese außer P noch drei Punkte gemein (von denen zwei konjugirt imaginär sein können). Das Kegel- schnittbüschel mit diesen vier Grundpunkten schneidet beide Gerade in projektiven und Perspektiven Involutionen^ welche mit den gege- benen zusammenfallen, weil sie mit diesen die Elemente je zweier ent- sprechenden Paare und je einen Punkt (nämlich 0) zweier dritten ent- sprechenden Paare gemein haben (s. 3)) ; hieraus folgt wieder der Satz.
8) Saie, Befinden sich in einer Ebene a^f den Seiten a, b, c eines Dreiecks ABC Punktinvolutionen, welche m zweien projektiv und perspectiv sind, und welche auf zwei Seiten {a, b) vollständig durch drei entsprechende Paare, auf der dritten (c) unvollständig durch zum der entsprechenden Paare von Punkten, die auf jeder Seite die Eck- punkte A, B, C des Dreiecks in sich schließen und sonst unllkürlich angenommen werden können, bestimmt sind, so kann man auf der drit- ten Seite c als drittes entsprechendes Pmktepaar ein solches angeben, daß durch die sechs Punkte dreier entsprechenden Paare ein Kegelschnitt gelegt werden kann, und daß alle diese Kegelschnitte durch vier feste Punkte gehen und daher ein Büschel bilden. Nimmt man nämlich auf der Seite a die seinen Eckpunkten B und C zugeordneten Punkte Ba, Ca vrillkürlich an, ebenso auf b die Punkte Ct,, Ab, und auf c die Ac, Bc, endlich auf a und b willkürlich zwei Punkte A^ und B^ zweier dritten sich entsprechenden Paare, deren zugeordnete ^2; -^a dann konstruirt werden. können, so ist alles Andere dadurch bestimmt Denn legt man zwei Kegelschnitte bezw. durch die fünf Punkte AAbAcA^A^ und BBoBaB^B^, so schneiden sich dieselben in vier Punkten; und legt man durch diese und durch C einen Kegelschnitt, 80 geht derselbe durch die dem C auf a und b zugeordneten Punkte Ca, Ct der gegebenen Involutionen (5)) imd schneidet die c
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326 VI, 297—298. Durchschnitt krummer Flächen mit krummen Flächen.
in den Punkten C^y C^ desjenigen PaareS; welches den Paaren (7, C« ; (7, Cb entspricht Die entsprechenden Punktepaare der drei Invo- lutionen sind dann
auf a: A^A^^ B Ba, C Ca, aufJ: ÄAö, B^B^y 0 0,, auf c: AAc, B Be, C^C^.
Der letzte Teil des Satzes folgt aus 7).
298. Da die beiden folgenden Sätae tmd Aufgaben durch die- selbe Konstruktion bezw. bewiesen und gelost werden, so sollen sie zusammen betrachtet werden. ,
SaUf 1). Dwch acht von einander unabhängig im Baume gegebene Punkte geht eine einzige Kurve vierter Ordnung Ä, und durch diese können unendlich viele Flächen zweiten Grades gelegt werden.
Legt man in einer alsbald anzugebenden Weise durch sieben Punkte drei Flächen zweiten Grades Pj, Pg, Pj, von den mehrfach unendlich vielen, die durch sie gelegt werden können, so schneiden sich je zwei derselben in einer Baumkurve vierter Ordnung, und diese drei Kurven k^, k^, k^ müssen noch einen achten Punkt ge- mein haben, nämlich einen weiteren Schnittpunkt der Schnittlinie k^ von Pg, Ps mit P^. Da nämlich jede k eine geschlossene Kurve ist oder aus zwei . geschlossenen Ästen besteht, so muß die Anzahl der Schnittpunkte der ganzen Kurve (sowie, eines jeden in sich geschlos- senen Astes) mit einer P eine gerade sein, weil man auf k hin- schreitend zum Ausgangspunkte nur zurückkehren kann, nachdem man die Fläche P vom zweiten Grade eine gerade Anzahl mal durch- schritten hat Daher muß noch ein achter Schnittpunkt bestehen; derselbe ist von den sieben anderen abhängig, darf also keiner der acht unabhängig zu wählenden Pimkte sein. Es sei nebenbei be- merkt, daß nicht nur jene drei, sondern alle durch dieselben sieben Punkte gelegten Flächen zweiten Grades durch denselben achten Punkt gehen.
Satz 2). Durch neun von einander tmabhängig im Baume gege- bene Renkte geht eine einzige Fläche zweiten Grades P.
Weim dagegen die Punkte derart von einander abhängen, daß der eine derselben auf der durch die übrigen acht bestimmten Kurve vierter Ordnung liegt, gehen unendlich viele P durch die neun Punkte.
Eine Begelfläche zweiten Grades fanden wir durch drei Leit- gerade, welche mit je drei Punkten und dann ganz auf der Fläche lagen, also durch 3 . 3 «> 9 Punkte bestimmt; ebenso jede Fläche zweiten Grades durch einen Kegelschnitt p (<= 5 Punkten), durch die Berührungsebenen der Fläche in drei Punkten des p, indem deren gemeinsamer Punkt P der Pol der Ebene von jp war (also drei weitere
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VI, 298. Bestimmong e. Flacho 2. Gr. durch 9 Punkte. Büschel u. Schaaren. 327
Punkte), und noch einen letzten Punkt, d. i. durch 5 + 3+1 = 9 Punkte.
Aufgaben, Durch eicht unabhängig von eincmder gegebene Punkte eine Eaumkurve vierter Ordnung und durdi neun solche Punkte eine Fläche ßfweiten Grades m legen*).
Bew. und Aufl. Die neun gegebenen Punkte teile man in drei Gruppen von je drei Punkten
-^1 4« -^3 > -^1 ^2 -^3 > ^1 ^2 ^3 I
lege durch die Punkte je einer Gruppe eine Ebene, also die drei
A, B, O, und bilde die Schnittlinien dieser Ebenen
deren gemeinschaftlicher Punkt 0 sei. Geht nun eine Fläche zwei- ten Grades durch die neun gegebenen Punkte, so schneidet sie jede der Ebenen in einem durch drei der Punkte gehenden Kegelschnitte, und je zwei der Kegelschnitte treffen die Schnittgerade ihrer Ebenen in denselben beiden Punkten. Wenn umgekehrt drei Kegelschnitte je durch die drei Punkte einer Gruppe gehen und sich paarweise in zwei Punkten einer jener Geraden treffen, so geht durch sie, also auch durch die neun Punkte, eine Fläche zweiten Grades (87), und zwar nur eine, wenn solche Kegelschnitte nur auf eine Art gelegt werden können.
Nimmt man auf einer der Geraden, etwa, auf a, willkürlich einen Punkt P an, und legt in der Ebene 0 durch die vier Punkte Ol, Cs, O3, P als Grundpunkte ein Kegelschnittbüschel, so schneidet dieses auf a eine Reihe veränderlicher Punkte X und auf b eine mit dieser Reihe projektive und Perspektive Involution veränderlicher Punktepaare F, Y' ein (297, 5)). Legt man sodann in der Ebene A durch die drei festen Punkte J.^, A^j A^ und durch die Punkte F, Y' eines jeden Paares der Involution einen Kegelschnitt, so bil- den diese Kegelschnitte ein Büschel. mit einem vierten Grundpunkte (297, 6)), und dieses Büschel schneidet auf der Geraden c eine In- volution von Punktepaaren ZZ' ein, welche mit derjenigen YY' auf b projektiv und perspektiv ist Daher ist auch in der Ebene B die Involution der ZZ' auf c mit der Reihe der X auf a projek-
*) Die hier gegebene AuflOsxmg ist im wesentlichen die von Ghaslea ge- lieferte und auf das Eorrespondenzprincip gegründete (Principe de correspon- dance entre denz objets variables; Comptes rendus, B. 41, 1866, 8.1097). Da- mit stinunt aach die von Steiner aas dem Jahre 1836 herrührende, aber erst von Herrn Greiser 1867 veröffentlichte Lösung in den Gmndzügen überein (Borchardts Joorn. f. r. n. ang. Math., B. 68, 8. 191).
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328 VI, 298. Dorchschnitt krummer Flächen mit krummen Fl&chen.
tiy, und auch perspektiy^ weil bei diesen Reihen der Punkt 0 stets sich selbst entspricht. Legt man nun durch zwei der drei Punkte B^, B^y Bg, etwa durch B^, B^, sowie durch P (auf a) und durch die zwei Punkte Z^ Z' je eines Paares einen Kegelschnitt; so bilden alle diese ein Büschel, welches außer B^y B^, P noch einen Tierten Grundpunkt besitzt und auf der a eine mit der Involution der ZZ'j also auch mit der Reihe der X projektive Reihe von Punkten X' einschneidet. Die Reihen X und X' der a haben außer 0 noch einen zweiten Doppelpunkt P'y welcher leicht linear bestimmt wer- den kann*). Legt man nun den Kegelschnitt GiC^G^PP', durch dessen Schnittpunkte F, Y' mit b und durch A^, A^, A^ einen zweiten Kegelschnitt, durch dessen Schnittpunkte Zy Z' mit c und durch B^y B^^ P einen dritten Kegelschnitt, so läuft derselbe auch durch P. Durch diese drei Kegelschnitte geht eine Fläche zweiten Grades, welche daher acht von den neun gegebenen Punkten (JSj nicht) und den Punkt P enthält. Legt man auf gleiche Weise durch dieselben acht der gegebenen Punkte und durch einen anderen Punkt Pj der Geraden a eine Fläche zweiten Grades Pj, welche die a noch in Pj' treffe, so schneiden F und F^ die Ebene A in zwei Kegel- schnitten, welche die Punkte J-j, A^, Aq und außerdem einen vier- ten Punkt Aq gemein haben, die 0 in zweien, welche G^, Cg, C» und Cq, die B in zweien, welche B^ B^ und außerdem Bq, Bq gemein haben. Diese vier Schnittpunkte in jeder der Ebenen sind die Grund- punkte je eines Kegelschnittbüschels, und jedes derselben schnei- det auf zweien der Geraden a, b, c zwei unter einander projektive und Perspektive Punktinvolutionen ein (297, 5)). Die beiden auf jeder der Geraden liegende fallen aber zusammen, weil sie durch die- selben beiden durch F und F^ eingeschnittenen Punktepaare bestimmt sind. Da nun vermöge des in jedem Büschel durch den gemein- samen Punkt Q von a, b, c gelegten Kegelschnittes in allen diesen Involutionen 0 sich selbst entspricht, so ist die Projektivitat der Involutionen auf a, &, c durch je zwei Paare und ein Element 0 eines dritten Paares bestimmt. Gibt man daher irgend drei ent- sprechende Punktepaare auf den Involutionen a, b, c an, so geht durch je zwei dieser Paare ein Kegelschnitt eines der drei Büschel,
*) Wohl am einfachsten auf folgende Weise. Sind MAB, MA^ B^ zwei auf einer Geradeh g vereinigte projektive Panktreihen, mit dem Doppelpunkte 3f , 80 lege man durch M eine von g abweichende Gerade, w&hle auf der- selben zwei beliebige Punkte P, Q, schneide PA mit QB in (7, FA^ mit QB^ in C^y dann trifft die CC^ die ^ in dem zweiten Doppelpunkte N. Denn schneidet CC^ die MFQ in Ä, so ist bezw. wegen der Projektionen aus Cund Cj , ABMN =3 PQMB — Ä,B^ MN,
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VI, 298 —299. BestimmuDg e. Fläche 2.Qr. dnrcli 9 Pankte. BüBchel a. Schaaren. 329
und durch diese drei Kegelschnitte geht eine Fläche zweiten Grades. Man kann daher durch die acht Punkte (die neun gegebenen außer £3) unendlich viele Flächen zweiten Grades legen, und eine der- selben enthält den durch B^ gehenden Kegelschnitt des Büschels B^B^BqBqj so daß durch die neun gegebenen Punkte nur eine Fläche zweiten Grades geht.
Die Flächen F und F^ schneiden sich in einer Raumkurve vier- ter Ordnung k, welche die Ebenen A, B, 0 bezw. in den Grund- punkten ^1, A^ Ä^, Aq] B^y B^, Bq, Bo'; C,, C^, C^y C^ triflPt Durch diese Punkte gehen alle durch die acht der gegebenen Punkte gehenden Flächen zweiten Grades; denn sie schneiden die Ebenen je in einem Kegelschniitbüschel mit diesen Grundpunkten. . Jede dieser Flächen enthält aber die ganze Kurve h\ denn jede Ebene E schneidet die Gesammtheit der Flächen in einem Kegelschnittbüschel; und die vier Grundpunkte desselben sind die den Flächen gemein- samen Punkte der Tc, Es schneidet nämlich £3 die Ebenen A; B; 0 bezw. in den Geraden a^ h^y c^y und die Kegelschnittbüschel dieser Ebenen in Involutionen auf den Geraden; diese sind zu zwei, so \ und q, projektiv und perspektiv, weil jede derselben mit der Invo- lution auf a projektiv ist (297, 5)), und weil der gemeinschaftliche Punkt von h^y c^y a sich selbst entspricht. Die Kegelschnitte, in welchen B alle durch die acht gegebenen Punkte gehenden Flächen zweiten Grades trifft, gehen nun durch die Punkte der drei ent- sprechenden Paare der Involutionen o^, b^y c^, bilden daher ein Büschel, dessen vier Grundpunkte die Schnittpunkte der E mit k sind und allen den Flächen angehören (297, 8)).
299. Die Gesamtheit der einfach unendlich vielen Flächen zwei- ten GradeSy welche durch eine Baumhurve vierter Ordnung k gehen, heißt ein Flächerümschd zweUen Grades und k dessen Grundhurve. Durch jeden außerhalb k liegenden Punkt geht eine der Flächen, unter diesen Flächen befinden sich vier Kegd eweiten Grades, deren Spitzen in den Eckpunkten des gemeinschaftlichen Polartetraeders aller Flächen des Büscheis liegen (278). Die Kegel bilden den Übergang von Begeh flächen in Niohtregel flächen des Büschels, indem sich ihnen einerseits ein- schalige, andererseits zweischalige Hyperboloide anschließen. Sind alle Kegel imaginär, so sind alle Flächen Begelflächen (282, 4)).
Jede Gerade g, wdche durch keinen Punkt der Grundkurve geht, schneidet das Flächenbüschel in einer Involution, wenn die beiden Punkte derselben Fläche einander zugeordnet sind. Denn eine durch g gelegte Ebene schneidet das Flächenbüschel in einem Kegelschnittbüschel, und dieses erzeugt die genannte Involution.
Die Beihen der Schnittpunkte der Flächen des Büschels mit Ge-
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330 VI, 299—300. Darchschnitt krummer Flächen mit krummen Flächen.
roden g, welche durch einen Punkt der Grundkurve gehen, sowie die Büschel der Berührungsebenen dieser Flächen in einem Punkte P der Grundkurve sind unter einander projektiv, wenn die Punkte und Be- ruhrungsä)enen derselben Fläche einander entsprechen. Man nennt auch das Flächenbüschel mit diesen Punktreihen und Ebenenbüscheln projektiv. Für zwei Büschel von Berührungsebenen in den Punkten P und P^ der k folgt der Satz aus dem entsprechenden Satze f&r das Kegelschnittbüschel (I, 396), in welcheni eine durch P und P^ gelegte Ebene das Flächenbüschel schneidet; für eii^ Büschel P und eine Punktreihe g folgt er yermittelst einer durch P und g gelegten Ebene y und für zwei Punktreihen g und g^ yermittelst zweier Ebe- nen^ welche durch einen Hilfspunkt P der k und durch g, bezw. durch P und g^ gelegt werden.
Man findet daher Punkte Q einer durch die (reelle oder imagi- näre) Schnittkurve k zweier gegebenen Flächen zweiten Grades P und Pi und du/rch einen Punkt P gegebenen Fläche zweiten Grades Pg, indem man Gerade durch P legt, jede mit P und P^ in einem Punkte- paare schneidet, und in der durch diese zwei Paare bestimmten In- volution den zugeordneten Punkt Q zu P suchi
Von den polaren Eigenschaften der Büschel von Flächen zuzeiten Grades wollen wir nur einen anführen: Die Polarebenen eines Punktes P zu den Flächen eines Büschels zweiten Grades bilden ein mit dem Flächenbüschel projektives Ebenenbüschel. Die Polarebenen von P zu zweien der Flächen schneiden sich in einer Geraden g. Eine durch P gelegte Ebene schneidet das Flächenbüschel in einem Eegelschnitt- büschel, und schneidet die Polarebeuen von P zu den Flächen in den Polarlinien von P zu den Kegelschnitten der Flächen. Da aber alle Polarlinien durch ein und denselben Punkt gehen (I; 397), und dieser auf g liegt, und da das Büschel der Polaren mit dem Büschel der Kegelschnitte projektiv ist (weil die Punktreihen der Q und der H in dem Beweise von I, 397, 1) 2) projektiv sind), so gehen alle Polarebenen durch jeden Punkt der g und bilden ein mit dem Flächenbüschel projektives Ebenenbüschel.
Es kann noch der Satz ausgesprochen werden: drei Flächen ztoeiten Grades haben acht Punkte (298, 1)), die paarweise kofyugirt imaginär sein können, oder eine Baumkurve vierter Ordnung gemein.
300. Zu den Sätzen über die Schnittlinie von Flächen zweiten Grades und über die Büschel solcher Flächen können wir nach dem Gesetze der Beciprodtät (103) neue Sätze bilden, von denen vnr aber nur einige anführen wollen.
Einer Fläche zweiter Ordnung, welche aus Punkten besteht, entspricht reciprok eine Fläche zweiter Klasse, welche aus ihren
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VI, 300. BestimmaDg e. Fläche 2. Gr. durch 9 Punkte. Büschel n. Schaaren. 331
Berührungsebenen gebildet istf oder einer Fläche zweiten Grades entspricht wieder eine Fläche zweiten Grades (74). Den gemein- samen Punkten und der von ihnen gebildeten Schnittkurye h zweier Flächen zweiten Grades P und Pj, welche von jeder Ebene in vier Punkten getroffen wird; also von der vierten Ordnung ist, ent- sprechen reciprok die gemeinsamen Berührungsebenen zweier Flächen zweiten Grades F und F^, und die sie eitiMllende abunckelbare Fläche K, von deren Ebenen vier durch jeden Punkt gehen ^ die also von der vierten Klasse ist. Dem gemeinsamen Polartetraeder von F und Fj entspricht wieder ein solches. Den vier Kegeln zweiten Grades, welche die Schnittkurve k von F und F^ aus den Eckpunkten des gemeinsamen Polartetraeders doppelt projiciren, entsprechen vier Kegelschnitte in den Flächen des neuen Polarteb^aeders, durch deren Taji- genten je zwei Ebenen der abwickelbaren Fläche K gehen, oder welche eine Dappelkurve der K ist. Den Tajigenten der k entsprechen die geradlinigen Erzeugenden der K; der Doppelkurve vierter Ordnung, welche durch die Schnittpunkte je zweier Tangenten der k in jeder Fläche jenes Tetraeders gebildet wird, entspricht reciprok ein Kegel vierter Klasse, welcher durch die Ebenen je zweier Erzeugenden der Fläche K gebildet wird, und deren SpiUsen in den Ecken jenes Te- traeders liegen.
Dem Büschel von Flächen zweiten Grades entspricht reciprok eine Schaar von Flächen zweiten Grades; dieselbe besteht aus der Ge- samtheit der einfach unendlich vielen FläcJien »weiten Grades, todche von einer abwickelbaren Fläche vierter Klasse eingehüllt werden. Diese Fläche ist du/rch acht von einander unabhängig angenommene Ebenen bestimmt. Jede die abunckelbare Fläche nicht berührende Ebene wird von einer Fläche der Schaar berührt; oder eine Fläche aweiten Grades ist dMTch neun von einander unabhängig angenommene Ebenen, welche sie berührt, bestimmi.
Endlich: Drei Flächen sweiten Grades haben acht berührende Ebenen, die paarweise kofyugirt imaginär sein können, oder eine ein- hüllende abwickelbare Fläche vierter Klasse gemein»
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VII. Abschnitt
Die Belenchtang der Fläeheii zweiten Cfrades.
301, Um auf einer Fläche zweites Grades F eine Lichi^leiche von gegebener Lichtstärke zu bestimmen ^ lege man aus dem Mittel- punkte M der P den Tangentialkegel von dieser Lichtstärke (193), führe parallel zu jeder seiner Berührungsebenen zwei Berührungs- ebenen an die F, so bilden deren Berührungspunkte die Lichtgleiche, Diese Punkte findet man auf den zu den Berührungsebenen des Tangentialkegels in Bezug auf F konjugirten Durchmessern, und eine solche Ebene und ihr konjugirter Durchmesser schneiden die Polar ebene von üf zu F, d. i. die unendlich ferne Ebene in einer Geraden und einem Punkte, welche Polare und Pol in Bezug auf den unendlich fernen Kegelschnitt der Fläche sind; oder auch die Durchmesserebene und der konjugirte Durchmesser sind Polarebene und Polare in Bezug auf den (reellen oder imaginären) Kegel, wel- cher den unendlich fernen Kegelschnitt der Fläche aus M projiciri Der Kegel jener Durchmesser projicirt aber eine Lichigleiche und mag daher Lichtgleichenkegel heißen. Es ergibt sich daraus, daß die unendlich ferne Kurve des Lichigleichenkegels die reciproke Figur zu dem unendlich fernen Kegelschnitte des Tangentialkegels in Bezug auf den unendlich fernen Kegelschnitt der Fläche F ist, oder daß ein Lichtgleichenkegel die reciproke Fläche zu dem Tan- gentialkegel in Bezug auf den (reellen oder imaginären) Kegel ist^ welcher den unendlich fernen Kegelschnitt der Fläche aus M projicirt
Daher ist für eine Fläche vom fsweiten Grade der Licktgleichm' kegel d)enfaUs vom «weiten Grade, und sein Schnitt mit der Fläche, oder deren Lichtgleiche eine Kurve von der vierten Ordnung.
Die Gesamtheit jener Kegel wollen wir das Büschd der Licht- gleichenkegel nennen-, seine Axe ist der zu einer Geraden gewordene Kegel, welcher den Punkt P von der Helligkeit 1. enthält.
Ist die Fläche eine Kugel, so bilden die Lichi^leichenkegel das Büschel der NormaXkegd\ seine Axe ist der Lichtstrahl, und derselbe enthält den Punkt P^ der Kugel von der Helligkeit 1.
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VII, 801—302. Die Beleachtang der Flächen zweiten Grades. 333
Bas Büschd der LicMgleichenkegel K einer Fläche moeiten Grades F ist kollinear mit dem Büschel der Karmalkegel K^. Denn sie sind die reciproken Gebilde des Tangentialbüschels einmal in Bezug auf die Fläche^ das anderemal in Bezug auf die EugeL Dabei ist irgend ein Strahlenbüschel des K reciprok und daher projektiv zu einem gewissen Ebenenbüschel des Tangentialbüschels; diesem entspricht ein Strahlenbüschel des K^, welches mit ihm und daher auch mit dem Strahlenbüschel des K projektiv ist und ihm entsprechend heißen soU. Wenn aber in zwei Strahlenbündeln ^ von welchen die Eegelbüschel Teile sind, jedem Strahlenbüschel des einen ein mit ihm projektives Strahlenbüschel des anderen entspricht, so sind sie kollinear, und ihre kollineare Beziehung ist durch vier Paare ent- sprechender Strahlen bestimmt. Denn sind in zwei Strahlenbündeln vier Paare entsprechender Strahlen gegeben, deren drei in jedem Bündel nicht in derselben Ebene liegen, so ist durch das erste auch das zweite ganz bestimmt, sowohl wenn jedem Strahlenbüschel des einen ein damit projektives des anderen entsprechen soll, als auch wenn das eine mit dem anderen kollinear sein soll (wie in I, 309 für ebene Systeme gezeigt ist). In dem letzteren Falle sind aber ebenfalls alle entsprechenden Strahlenbüschel projektiv, und daher fallt das zweite projektive mit dem zweiten kollinearen Bündel zusammen.
303« Aus dieser kollinearen Beziehung des Büschels K der Lichtgleichenkegel einer Fläche zweiten Grades F zum Büschel K^ der Normalkegel folgt:
1) Der mit dem Lichtstrahle l parallelen Axe MP^ des K^ entspricht die Axe MP des K, welche zu der auf l senkrechten Ebene in Bezug auf F konjugirt ist. Der Eegel von iC, welcher die Grenzlichtgleiche „Null'' bestimmt, ist die zu 2 in Bezug auf F konjugirte Durchmesserebene, die NuUebene.
2) Da die Axe NP zu der auf l senkrechten Ebene in Bezug auf F konjugirt ist, so ist die senkrecht^ Projektion von MP auf eine der Hauptebenen der F, z. B. auf MAB, konjugirt in Bezug auf den Hauptschnitt AB zu der Spur jener Ebene, d. h. zu einer Senkrechten zur Projektion V des l auf MAB. Durch zwei Haupt- ebenen ist daher MP bestimmt.
3) Die Richtungen der Halbaxen MA, MBy MC der T ent- sprechen in K und K^ sich selbst, da sie in beiden zu den bezw. auf ihnen senkrechten Ebenen des Tangentialbüschels reciprok sind. Die kollineare Beziehung von K und K^ ist daher durch die vier Paare entsprechender Strahlen festgestellt, welche bezw. nach den Punkten laufen: P, A, B, C und jP^, A, B, C.
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334 VIT, 802—303. Die Beleuchtting der Flächen zweiten Grades.
4) Da die Gestalt von K nur yon der Richtung des Licht- strahles l und von dem unendlich fernen Kegelschnitte der W ab- hängt (301)^ äo besitzen koaxiale, ähnliche und ähnlich gelegene Flächen F bei derselben Lichtrichtung dieselben Büschel K. Es gilt dies daher fBr ein ein- und ein zweischaliges Hyperboloid mit demselben Asymptotenkegel.
5) Irgend ein ebener Schnitt von K und einer von K^ sind Eegelschnittbüschely weil sie koUinear sind, und in K^ ein Büschel koncentrischer Kreise vorkommt. Es entsprechen sich in ihnen die Schnittpunkte mit jenen vier Paaren entsprechender Strahlen.
6) Die Beziehung der Büschel K der Lichtgleichenkegel in den verschiedenartigen Flächen zweiten Grades ergibt sich folgendermaßen. Sei M der endlich entfernte Mittelpunkt, seien MÄy MBy MG die reellen oder ideellen Halbaxen der F, und sei für das EUipsoid MP die Axe des Büschels K Das einschaUge Hyperboloid habe MA zur ideellen Axe; man kann es dann als Lnaginärprojektion des Ellip- soides aus dem unendlich fernen Punkte J.» der MA mit MBC als Kollineationsebene ansehen. Dann ist die Axe MP für das Hyperboloid symmetrisch zu derjenigen fOr das Ellipsoid in Bezug auf die Ebene MBC, weil beide Gerade die Polaren derselben (auf l senkrechten) Ebene in Bezug auf beide Flächen, daher durch A^ und MBC harmonisch getrennt sind (100). Das zweischaiige Hyper- boloid mit den ideellen Halbaxen MB, MC kann aus dem Ellipsoide durch zweimalige Imaginärprojektion aus B^^ und Oo» entstehen; daher ist für es die Axe MP aus derjenigen für das Ellipsoid durch zweimalige symmetrische Umwandlung in Bezug auf MCA und in Bezug auf MAB zu erhalten; sie fallt dadurch mit derjenigen für das einschalige Hyperboloid zusammen, wie wir es in 4) notwendig fanden. — Für den unendlich fernen Mittelpunkt M oder für die Paraboloide werden die Lichtgleichenkegel zu Cylindem, und es kann bei dem Umdrehungsparaboloide ihr Schnitt mit einer auf der Umdrehungsaxe Jlf^ senkrechten Ebene kongruent mit deren Schnitt mit dem- Normalbüschel gemacht werden. Bei dem ellip- tischen Paraboloide bestimmt man leicht MP] seine unendlich fernen Halbaxen MB, MC mögen als reell bezeichnet werden (94). Hat dann ein hyperbolisches Paraboloid MA, MB zu reellen, MC zur ideellen Halbaxe, so ist es die Imaginärprojektion des elliptischen aus Ogo , und seine MP ist symmetrisch zu der MP des elliptischen Paraboloides in Bezug auf MAB.
303« Aufg. Die Lichtgleichen eines elliptischen Paraboloides sm konstruiren,
Aufl. Bei jedem Paraboloide werden die Lichtgleichenkegel zu
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VII, 308. Die Belenchtong der Fl&chen zweiten Grades.
335
Cylindem, und diese sind zugleich die projicirenden Gylinder der Lichtgleichen för eine auf der Axe senkrechte Projektionsebene P^ ; die Grtmdrißlichtgleichen (auf P^) bilden daher ein KegdsdmitCbüschel.
Fig. 132.
Ist die Fläche ein Umdrehungsparäboloidy so schneidet der durch den hellsten Punkt 1. oder P gehende Lichtstrahl die Axe der Fläche, und nimmt man den Schnittpunkt als Mittelpunkt des Normal- büschels; so fallt dessen Schnitt mit der durch P parallel zu P^
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336 VII, 303. Die Belenohtong der Flächen zweiten Grades
gelegten Ebene mit dem Büschel der in dieselbe Ebene gelegten Grundrißlichtgleichen zusammen (302^ 6)) und stimmt offenbar mit dem firüher (215) erhaltenen Schnitte des aus dem Brennpunkte gelegten Normalbüschels mit der Leitebene überein. Fig. 182. Von dem elliptischen Paraboloide stehe die Axe J.Jlf J^Pj, die
Hauptebene AMB \ "P^y und die erste Spur sei die Ellipse B'C\ Die erste Projektion P' seines hellsten Punktes 1. oder P liegt auf dem zu der Senkrechten zu V konjugirten Durchmesser der Ellipse B'G\ und seine zweite Projektion P" auf dem zur Senkrechten zu l^ konjugirten Durchmesser P^P^ der Parabel Ä"B" (302, 2)); letztere wird also erhalten, wenn man aus dem Brennpunkte F'' der Parabel A"B" die F"P^ parallel zu V zieht und mit der Leitlinie d" der Parabel in P^ schneidet. Dadurch ist P' auf M P bestimmt; und aus P' wird mittelst der durch P parallel zu P| gelegten Ebene und ihrer Schnittellipse mit F der Punkt P' ermittelt, indem man deren Schnittpunkt mit der Parabel A"B" bestimmt; hierzu aber genügt die Sehne dieser Ellipse, welche parallel mit der in dem- selben Winkel von Durchmessern liegenden Sehne der Ellipse B' C läuft. Andererseits schneidet der durch F" geführte Lichtstrahl die Ebene D, welche durch df" parallel zu Pj gelegt wird, im Punkte (Pi, Pg), wenn A'P^ die erste Projektion V eines Lichtstrahles ist. Die Schnitte der Leitebene D mit dem Büschel der Lichtgleichen- kegel (Cylinder) und des Normalbüschels sind daher kollineare Sy- steme, welche A\ B'^, C« zu gemeinsamen, und P', Pj zu ge- trennten entsprechenden Punkten besitzen; und da P'P^ J J.'(7«, so sind sie affin mit C« |als Mittelpunkt und A'B'^ als Axe der Affinität. Wir wollen beide Eegelschnittbüschel bezw. mit P' und Pi bezeichnen.
Man bestimmt nun von dem Büschel Pj die Punkte auf A'Pi = Vy indem man die durch l und A M gehende Ebene in eine zu Pi parallele Ebene umlegt, wobei F {A\ F") nach JP"' gelangt (^'i^"J_r und von passender Länge, r''D"'=r'B^, D'"P^ # ^'Pi), wodurch F"' P^ = V" der umgelegte l wird. Dann bildet man das Normalbüschel mit F"' als Mittelpunkt und F"'P^ als Lichtstrahl, schneidet dessen Strahlen mit B"'P^ in Punkten, unter denen Q^ und H^ den Strahlen 9, Q^ dem Strahle 0 angehören, projicirt diese Punktreihe aus C« auf die parallel zu A'P' gezogene Gerade B'"P"' und überträgt die Projektion r"G'"K" . . . Q'" kongruent auf A'P^ nach P'G'H'. . . Q\ so sind dies die Punkte des Kegelschnitt- büschels P' auf A'P" und Endpunkte von Durchmessern seiner Kurven. Die zu diesen Durchmessern konjugirte Richtung im Büschel P' entspricht der auf V senkrechten im Büschel P^; sie ist also
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Vn, 308—304. Die Belencbtung der Fl&chen zweiten Grades. 337
Q'B\ wenn B' der Schnittpunkt der auf V Senkrechten Q^Qi mit der AfOnitatsaxe Ä'B' ist Es ist auch Ö'JB' in der Ellipse B'G' zu r konjugirt. Denn sowohl die konjugirten Durchmesser dieser Ellipse, wie die Gegenseiten des vollständigen Vierecks A'B'Q'Q^ (Qi auf r) schneiden auf der unendlich fernen Geraden eine Involution ein. Und da von beiden Involutionen zwei Punktepaare, nämlich die durch Ä'B\ Q'Q^ und Ä'Q'y B'Q^ bestimmten, zusammenfallen, so gilt dies auch für die zwei weiteren Paare; oder A'Q^y B'Q' sind mit zwei konjugirten Durchmessern der Ellipse parallel
Aus den Mitten der Durchmesser auf A'P'j z. B. aus «T als Mitte von G'H'^ ziehe man die Linien der konjugirten Durchmesser, wie J'JT, parallel zu Q'B\ Die Endpunkte dieser Durchmesser liegen auf der affinen Figur derjenigen Parabel, welche Pj zum Scheitel, -4.'Pi zur Axe und N^ zu einem Punkte eines ideellen zur Axe konjugirten Punktepaares hat, wenn auf Q^B' die QiN^ =» Q^F"' gemacht wurde (216); diese affine Figur ist daher eben- falls eine Parabel, von welcher P' ein Punkt, A'P' ein Durch- messer, Q'B' die demselben konjugirte Richtung und If ein Punkt eines dem Durchmesser A'P' konjugirten ideellen Punktepaares ist, wobei N' auf Q'B' durch N^N' || A'C bestimmt wurde. Man ver- zeichnet die durch die bezeichneten konjugirten Punktepaare gebil- dete, durch N" gehende Parabel (nach I, 380 oder I, 382), und die mit dieser in Bezug auf P' symmetrische Parabel, so schneidet erstere die ideellen konjugirten Durchmesser der Hyperbeln, letztere die reellen der Ellipsen des Büschels P' ab, wie K' auf J'K', mittelst deren diese Kegelschnitte leicht verzeichnet werden. — Der Aufriß der Licht- gleichen wird mittelst einiger zu P^ parallelen Ellipsen der W bestimmt
804. Aufg. Die LicMgleichm eines EUipsoides zu Jconstruiren. wg. m.
Aufl. Es seien MA, MB, MC die Halbaxen des EUipsoides; man stelle jede der Projektionsebenen senkrecht auf eine der Axen, Pi A.MAy Pg J_ MC; dann bilden die elliptischen Hauptschnitte B'C und B"A" die umrisse, l sei der durch M gehende Lichtstrahl. Die aus M nach dem hellsten Punkte 1. der Fläche gehende Ge- rade Jlf 1., die Axe des Büschels der Lichtgleichenkegel, hat zu Projektionen die Linien MB' 1. und M"B^' 1., welche in Bezug auf die Ellipse B'G\ bezw. B" A'' zu der Senkrechten zu V bezw. l" konjugirt sind (302, 2)). Um die Schnitte der Lichtgleichenkegel mit der Fläche, oder die Lichigleichen, zu erhalten, wollen wir das Eegelschnittbüschel verzeichnen, in welchem das Eegelbüschel eine mit Pj parallele, nicht durch M gehende Ebene D {d") schneidet. Man könnte die Verzeichnung dieser und anderer noch vorkommenden
Wiener, LehTbaoh der dareieUenden Geometrie. II. 22
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338 Vn, 304. Die Beleuchtang der F^hen zweiten Grades.
Kegelschnitte vermeid ea, und wir wollen auch spater solche Ver- fahrungsweisen andeuten; aber abgesehen davon, daß bei diesen
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Verfahren weitgehende Betrachtungen notwendig würden, ist die Verzeichnung von so leicht herzustellenden Hilfslinien, wie von Kegelschnitten, in Bezug auf Kürze und Genauigkeit dann vor-
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VII, 304—306. Die Beleuchtnng der Flächen zweiten Grades. 339
teilhafty wenn^ wie hier, durch jede derselben viele Punkte ge- wonnen werden.
Jene Ebene D {d") schneidet das Büschel der Lichtgleichen- kegel in einem Eegelschnittbüschel, welches durch den Schnittpunkt P der D mit der Axe des EegelbüschelS; durch Ä\B'a>f 0« und V vollständig bestimmt ist. Man wählt den Abstand der D von M nur so groß, daß noch das Eegelschnittbüschel auf der begrenz- ten Zeichenfläche in hinreichender Ausdehnung dargestellt werden kann. Dann erhält man nach der vor. Nr. das Eegelschnittbüschel, wenn man P'Pj^ || M'C zieht, mit T in Pj schneidet, den Licht- strahl um V in die Hauptebene MBG nach V" umlegt, J.'D'"J_ T von passender Länge zeichnet, D'"P^ # Ä'Pi macht, PgP"' || T" zieht und mit Ä'D'" in P'" schneidet, dann aus P'" das Normal- büschel mit dem Lichtstrahle F'^'P^ zeichnet und daraus, ganz wie in der vor. Nr., das Eegelschnittbüschel P' ableitet, dessen Eurven mit (0), (2) . . . bezeichnet und die vorkommenden Asymptoten der Hyperbeln andeutet. Die dabei benutzten durch P' gehenden Para- beln sind nur einseitig gezeichnet.
305. Um nun das durch den Mittelpunkt M und das Eegel- schnittbüschel P' gegebene Büschel der Lichtgleichenkegel mit F zum Schnitt zu briDgen, legt man durch M Hilfsebenen, schneidet sie mit dem Büschel P' in einer Punktreihe und mit F in einer Ellipse, projicirt die Punkte der Reihe aus M auf die Ellipse, so sind die Projektionen Lichtgleichenpunkte auf F. Die Hilfsebenen legt man zweckmäßig durch MA oder MCy und wählt vor allen die durch MA und P geführte, welche auch den Punkt 1. der Fläche liefert. Dieselbe schneidet die F in einer Ellipse, deren erste Projektion die Gerade A'P'y deren zweite als Ellipse aus ihren beiden Axen gezeichnet ist A'P^ schneidet die Eegelschnitte des Büschels P' in Punkten, deren zweite Projektionen auf d" man bestimmt und aus M" auf jene Ellipse projicirt; daraus ergeben sich dann die ersten Projektionen der Lichtgleichenpunkte auf A'P". Dabei sind stets nur die sichtbaren Punkte angegeben; und da dies in beiden Projektionen nicht dieselben sind, so ist die Symmetrie in Bezug auf M benutzt Es ist vorteilhaft sogleich auch als zweite Hilfs- ebene die zur ersten in Bezug auf die Ebene MAB symmetrische zu legen, weil die Schnittellipsen beider Ebenen mit F dieselbe zweite Projektion besitzen.
Sodann legt man die Ebene MCP und ihre in Bezug auf die Hauptebene MBG symmetrische, deren Schnittellipsen mit F eine gemeinschaftliche durch 1. gehende erste Projektion besitzen. Die Schnitte dieser Ebenen mit D sind bezw. die durch P gezogene
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340 VII, 306—306. Die Beleuchtung der Flächen zweiten Grades.
Parallele zu M'C und deren Symmetrische in Bezug auf M\ Die Schnittpunkte dieser beiden Geraden mit den Kegelschnitten des Büschels P' projicirt man aus M auf jene Schnittellipse^ zuerst in der ersten Projektion, und übertragt die Punkte in die zweite. Die Lichtgleichenpunkte auf den Umrissen B" A" und B'(7 werden durch die Hilfsebenen MAB und MBC gewonnen, und weil letz- tere mit D parallel ist, erhält man die Punkte auf B'C durch Strahlen aus JÜT nach den unendlich fernen Punkten der Kegel- schnitte des Büschels P', d. h. durch Parallele zu deren Asymptoten. Weitere Hilfsebenen legt man zweckmäßiger durch MC, als durch MAj weil sie ein Übertragen der Punkte des Kegelschnittbüschels P' in die zweite Projektion nicht notwendig machen.
Die aus A' an die Kegelschnitte des Büschels P' gezogenen Tangenten berühren auch die jedesmal zu ihnen gehörigen Grund- rißlichtgleichen, so die Tangente aus A' an den Kegelschnitt (8) die Lichi^leiche 8. Um den Berührungspunkt E auf letzterer zu bestimmen, ermittelt man denjenigen D' auf dem Kegelschnitte, und legt durch die Tangente A'D' und die Axe MA eine Ebene; dieselbe schneidet das EUipsoid in einer Ellipse, deren Verzeich- nung man besser vermeidet, weil sie nur einen Punkt liefert Man projicirt sie daher auf den Hauptschnitt A'B' (durch Parallele zu H' Bij s. Fig.), dabei D' nach D/, dessen zweite Projektion D/' auf d" liegt, projicirt D^' aus M" auf die Ellipse A"B" nach E^\ woraus sich JE/ auf A'B' ergibt, und projicirt dann E^ {E^\ jB,") auf die Ebene MAB zurück nach (E\ JE"). Im Aufriß schneiden sich die Tangente der Lichtgleiche 8 in E" und die des Haupt- schnittes A"B" in E^' im Punkte V der Axe M" A'\ wodurch E"L" bestimmt ist.
306. Bk Tangente einer lAchtgleiche in einem beliebigen Punkte derselben erhält man leicht als Schnittlinie der Berührungsebenen der Fläche und des Lichtgleichenkegels in diesem Punkte. Für den Punkt G der Lichtgleiche 9 auf dem Axenschnitte A 1. der Ebene MA 1. mit F ist die Tangente an diese Ellipse in 6^ die GJ^ welche die Ebene D in J' trifFt, so daß die Spur der Berührungs- ebene der P in (r die XK' bildet, als Konjugirte zu A'G' in Bezug auf die Ellipse B'G\ Die Berührungsebene des Lichtgleichenkegek in G schneidet andererseits die Ebene D in G^K ^ der Tangente an den Kegelschnitt (9) im Punkte 6^/, in welchem die Erzeugende 6rJlf die D trifPt, d. i. auch einer Konjugirten zu V in Bezug auf den Kegelschnitt B'G\ Die Geraden J'K und G^K' haben den Punkt K gemein; K! G\ K' G" sind daher die Tangenten an die Projektionen der Lichtgleiche 9 in 6r, wobei K' auf d" liegt
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vir, 306—807. Die Belenchtnng der Flächen zweiten Grades. 341
Alle Tangenten in Punkten des Axenschnittes A 1. können leicht gezeichnet werden^ da die Entsprechenden der JTK' und der G^'K' je eine Schaar Paralleler bilden.
Die Grenglichtgleiche ist eine Diametralellipse, von der man zwei Punkte auf dem ersten Umrisse B'G'm dem zu V konjugirten Durch- messer C| dieser Umrißellipse erhält In unserer Zeichnung sind c^ und M'P gleichgeneigt gegen MB\ weil V und daher auch die zu V Senkrechte einen Winkel von 45^ mit M'B' bilden, und weil Cj und JITP' bezw. zu diesen beiden letzteren Linien konjugirt sind. Ebenso findet man die zwei Punkte der Grenzlichtgleiche auf dem zweiten Umrisse in dem zu V konjugirten Durchmesser c^. Dadurch erhält man im Grundriß zwei Durchmesser, c^ und die erste Projektion von c^j sowie die Richtung V des zu c^ konjugirten Durchmessers, und kann dann die Länge der V durch Affinität zu dem über c^ als Durchmesser verzeichneten Kreise leicht finden, was aber in der Figur nicht ausgeführt isi Entsprechend kann man im Aufriß verfahren; doch ist hier der Punkt auf V zugleich mit den Licht- gleichenpunkten bestimmt.
307. Man kann auch die Verzeichnung des Eegelschnittbüschels P' vermeiden, wenn man beachtet, daß dasselbe von allen durch P gelegten Geraden in projektiven Punktreihen getroffen wird, weil das Normalbüschel und dann auch das Büschel der Lichtgleichen- kegel von allen durch die zugehörige Axe gelegten Geraden in unter- einander projektiven Punktreihen geschnitten wird (vergl. 302, 5)). Bestimmt man daher die Punktreihe M'F' wie vorhin, und sodann auf anderen durch P' gelegten Geraden die Helligkeitszahlen außer in 2^ in zwei Punkten, etwa in den Punkten des Umrisses mittelst des berührenden elliptischen Cylinders (197), so kann man jede zweite Punktreihe als Projektion der mit ihr Perspektiven ersten {MF^ ermitteln. Diese Punktreihen projicirt man aus M auf die- jenigen Ellipsen der Fläche, welche in ihren projicirenden Ebenen liegen; wobei man die Verzeichnung der Projektionen der Ellipsen vermeiden kann, wenn man sie (und mit ihnen die Punktreihen) in einen Hauptschnitt der Fläche projicirt, wie es vorhin mit der Ellipse AEH geschah. — Andererseits könnte' man das Eegel- schnittbüschel durch ein Büschel koncentrischer Ejreise, den senk- rechten Schnitt des Normalbüschels, ersetzen, womit es projektiv ist, würde aber dazu neue Betrachtungen und ein weiteres Proji- ciren von Punktreihen nötig haben*). Endlich könnte man das
*) Herr Bwrmestef in seiner Theorie and Darst. der Belenchtong, 1871, 8. 247, benutzte ein Ereisbüschel.
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342 Vn, 307. Die Beleuchtung der Flächen zweiten Grades.
Büschel der Lichtgleichenkegel ganz entbehren^ der Fläche F Gylinder umschreiben, welche entlang Ellipsen berühren, deren Ebenen etwa die Axe MA enthalten, und die Lichigleichenpunkte auf diesen Ellipsen mittelst der Gylinder finden, für die man aber besondere Normalbüschel konstruiren müßte. — Das hier angegebene Ver- fahren scheint mir das einfachere zu sein.
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VIIL Abschnitt.
Die Rolllinien nnd die Schraubenlinie.
L Die BoUlinien. 808. Wenn eine Kurve auf einer anderen (ohne Gleiten) hin- rollt oder wälzt, so beschreibt jeder Punkt der ersteren oder jeder
andere fest mit ihr ver-
Fig. 134.
Fig. 1S4.
bundene Punkt eine RoUlinie. Sei f die feste oder BahnJeurve, w die roUende oder uMeende Kurve, A der Berüh- rungspunkt beider^Pder beschreibende Punkt, so erhält man eine neue Lage R desselben, oder einen neuen Punkt
der beschriebenen Kurve c, wenn man von Ä aus auf / und to in demselben Sinne glei- che Bogenlängen ÄC = AC' aufträgt, in C und C in demselben
Sinne die Tangenten CT und C T bji f bezw. w zieht, und ^ TCR = ^ TCP, sowie CR = C'P macht.
Um in P die Tangente an o zu erhalten, bestimme man einen dem P benachbarten Punkt Q der c, indem man das Bollen um die unendlich kleinen Bogenstücke AB ^=^ AB' Yor sich gehen läßt, wobei B'P nach BQ gelangt. Man kann aber auch dieselbe neue Lage erhalten, wenn man zuerst eine Drehung des Dreiecks APB' Fig. a) um A vornimmt, bis B' nach B" gelangt, derart daß die Tangente an die neue Lage von u; in f parallel zur Tangente an /" in JB wird. Hierbei gelangt P nach Q\ und wenn man dann eine Parallel-
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344 VIII, 808—309. Die Bolllinien und die Schraubenlinie.
Verschiebung des Dreiecks AQ'B" vornimmt, bis JB" nach B kommt) gelangt Q' nach Q. Der zuerst beschriebene Drehungs- winkel ist unendlich klein von der ersten Ordnung (0^), ebenso wie AB, daher ist auch der mit dem endlichen Halbmesser AP be- schriebene Kreisbogen PQ' «= 0*, der mit dem unendlich kleinen AB' beschriebene Bogen B'B" dagegen 0^ Da auch JB'JB = 0*, so ist auch B"B c= Q'Q = Ol Daher ist auch der Winkel QPQ' der Sehne PQ der Rolllinie mit der Sehne PQ' des Kreisbogens = 0^, oder er verschwindet in der Grenze; daher steht die Tan- gente der Rolllinie senkrecht auf PA, oder die Normale einer BoU- linie in einem Punkte P derselben geht durch den zugehörigen Beruh- ru/ngs^nkt A der wälzenden und der festen Kurve.
Es berührt daher die Rolllinie c den aus A durch P gezogenen Kreis; und man erhält sie am kürzesten als einhüllende Kurve der Kreisbogen, welche man aus den Punkten A, E, C . . . bezw. mit den Halbmessern AP, E'P, C'P,. . beschreibt, wenn A, -4; E, E'; C, C. . . entsprechende Punkte der f und w sind.
Anm. In der Kinematik wird jede Bewegung eines starren ebenen Systems in einem festen Systeme auf das Rollen einer Kurve w des beweglichen auf einer Kurve f des festen Systems zurückgeführt. Der augenblickliche Berührungspunkt A ist der ein- zige augenblicklich ruhende Punkt des beweglichen Systems und heißt der Pol oder das Momentancentrum, w im beweglichen Systeme heißt die PoJbahn, f im festen die Polkurve.
309. Den Krümmungsmittelpuhkt*) der Rolllinie c in ihrem Punkte P findet man als Durchschnittspunkt K ihrer beiden be- nachbarten Normalen PA und QB. Sei MAM' die gemeinschaft- liche Normale von f und w in A, seien auf ihr M und M' bezw. die KrQmmungsmittelpunkte von f und w, so ist auch MB die Normale der f in B und M'B' die der w in B\ Setzen wir MA = r, AM=r, AP=p, KA^q, ^M'AP^q>, ^M'B'P=^MBK=q>', ^AMB = a, ^AM'B'=a, ^AKB = ß, ^APB'=ß\ und nehmen den Sinn MA positiv, so ist r stets, und r^=^AM' bei der Lage, vrie in der Figur, positiv.
Es folgt nun aus den Vierecken AMBK und AMB'P
und daraus a -(-«'= /J + /J'. (1)
*) Einen Teil der folgenden EntwickeluDg habe ich schon in einem Auf- sätze „Die Evoluten der geschweiften und verschlungenen cyklischen Curven** in Schlömilchs Zeitachr. f. Math. u. Phys., B. 27, 1862, S. 129 veröffentlicht
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VIII, 809—810. Die Rolllinien.
345
Setzt man das Bogenelement AB ^= AB' ^=» dSj zieht aus P im Winkel ß' den Kreisbogen AD\ und aus K m ß den AD^ so ist AD'^=^ AD «= ds cos 9 und
ds
ds
-V> «'=7^; ß
ds cos qp
^'=
({8 COS <p
1
COS qp'
(2)
Diese Werte in (1) eingesetzt, liefern
p ^ q \r ^ r J
Man findet nach dieser Formel q oder K, wenn man -4^ J_ J.P, Fig. 135. dann PM' bis N auf J.^; und endlich MN zieht; diese Linie trifft die PA in Z**). Denn führt man EE U üf ^^ schneidet sie mit NP und NA bezw. in i^ und 2), und fallt JfjF J. ^J., so ergeben sich aus ähnlichen Dreiecken die Proportionen
und
KD + DE MÄ + ÄM' KA "^ TilLF
KA + ÄP _ KD+DE AP ~ AM'
oder
oder
KD + DE ^r + r' 3 r cos qp
p + q KD + DE
Fig. 136.
durch deren Multiplikation (2) folgt
Die Gleichung (2) drückt folgenden Satz aus: Wenn man durch einen Punkt A im Inneren eines Winkels KNP eine beliebige Gerade ziekt, sie mit den Schenkeln des Winkels hemo. in M und Hr schneidet und MA = r, AM'^^^r' setzt, so ist ßr aUe solche Gerade
(l + F)srizs = «*"»«*•
310. Läßt man den beschreibenden Punkt P auf der Geraden AP verschie- dene Lagen einnehmen, und bestimmt zu jeder den Erümmungsmittelpunkt K, so ergibt sich:
1) Die Reihe der P ist projektiv mit der Reihe der zugehörigen JT; denn beide Reihen sind mit der Reihe der N tLxitAN perspektiv bezw. aus M' und M,
2) Außer in dem sogleich zu betrachtenden besonderen Falle, daß M iaM' liegt, aber nicht zugleich AP JL AM steht, fallt nach
*) Diese Konstruktion der Formel (2) rührt von Euler her (noyi commen- tarii der Petersburger Aoad.^ £. 11, 1766, S. 219).
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346 Vm, 810. Die Rolllinien nnd die Schraubenlinie.
der Konstruktion der Punkt P mit seinem zugehörigen K nur dann zusammen, wenn P in ^ liegt. Daher ist außer in dem angege- benen besonderen Falle A der einzige Doppelpunkt der Reihen der P und der JT; und der Krümmungshalbmesser FK wird Null, wenn P in ^ fallt
3) Ist -4 P J_ -4. jlf , aber nicht M in JIT, so ergibt die Kon- struktion zu jedem P den Punkt A als Krümmungsmittelpunkt K.
4) Ist M in M\ aber nicht AP ± AM, so fallt Z in P und der Krümmungshalbmesser ist für jeden beschreibenden Punkt b= 0.
5) l^i AP 1. AM und M in JT, so läßt die Konstruktion den Punkt K unbestimmt. Der Krümmungshalbmesser der Rolllinie c ist dann durch r und r' allein nicht bestimmt, sondern erst durch die Art der Änderung beider, w und /", die sich in A berühren, schneiden sich dann im allgemeinen auch in diesem Punkte, und man kann sich leicht vergegenwärtigen, daß die Rolllinie c dann in P einen Schnabelpunkt besitzt, welcher wirklich jede Große des Krümmungshalbmessers zuläßt, die aber stets eine bestimmte ist.
6) Liegt P auf MM\ z. B. in P', so läßt die gegebene Kon- struktion keine unmittelbare Anwendung zu.
Es muß aber für JT nach Gleichung (2), da y = 0, p = AP, q = K' A wird, gelten
J_ + -l 1 + JL.
AF' ^ K'A r ^ r'
Diese Bedingung erfüllt man mittelst irgend eines schon be- stimmten solchen Paares P, Kj welches auf einer schief zu AM durch A gehenden Geraden liegt, indem man AN ^^ AP zieht, PP' mit AN in K schneidet und N'K zieht; diese trifft die AM in K\ Denn weil P und K beschreibender und KrOmmungsmittel- punkt sind, ist nach Gl. (2)
AF^ KA \r ^ r'ycoscp' und nach dem Satze der vor. Nr. gilt im Winkel PN'K
AP^ KA \AP' ^ KA) cos cp
Aus diesen beiden Gleichungen folgt aber die vorhergehende; die- selbe ist also durch die gegebene Konstruktion erfüllt.
7) Die Punktreihen der P und der K sind die senkrechten Projektionen der Punktreihen der P* und der K\ was man einsieht, wenn man JV^ auf AN ins Unendliche rücken läßi
8) Beschreibt man über AM' und über MA als Durchmessern Kreise, so schneidet jede durch A gelegte Gerade den ersten Kreis
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VIII, 810—312. Die BolUinien. 347
in einem beschreibenden Punkte P" und den letzteren in dem zu- gehörigen Krümmungsmittelpunkte Jf , weil AVM! und AK"M rechte Winkel sind. Dasselbe gilt von den Kreisen mit den Durch- messern -4.P', E'Ä.
9) Läßt man den Kreis der Kjrümmungsmittelpunkte (wie den AK"M oder den AK') unendlich groß werden, so rückt -£"' auf -4J!f ins Unendliche; dann gelangt P' auf M A nach Z7, wenn TJ auf P2) liegt und KD | -4.Jlf bis 2) auf AN gezogen wurde. Zu jenem un- endlich großen Kreise der Krümmungsmittelpunkte gehört der Kreis - AU *=» u der beschreibenden Punkte. Dieser Kreis heißt der Wende- kreis, weil jede von einem Punkte desselben beschriebene Kurve in diesem Punkte einen unendlich großen Krümmungshalbmesser, also im allgemeinen einen Wendepunkt besitzt
811. Ist mit der Kurve w, welche auf der festen f wälzt, eine beschreibende Kurve b verbunden, so werden alle Lagen derselben von einer Kurve h eingehüllt, welche ihre HiUlbahfikurve oder En- veloppe heißt Ist A der augenblickliche Berührungspunkt von tc und f, d. i. das Momentancentrum, und zieht man aus A eine Nor- male AP zu b, deren Fußpunkt P sei, und ist der Punkt M auf AP der Krümmungsmittelpunkt der b in P, sind femer &i, P^, Mi die folgenden Lagen von &, P, M und ist Ai das Momentancentrum dieser folgenden Lage, so sind MA^ M^A^ Normalen der von M beschriebenen Bahn (308), und ihr Schnittpunkt K ist der Krüm- mungsmittelpunkt dieser Bahn. Schneidet M^Ay^ die b^ in Q, so ist auch Ai M^ Q eine Normale der b^ iaQ (sie bildet mit ihr einen Winkel = 0*, wie MB M^ in I, 237, Fig. 115), und es ist M^P^ = MiQ+0^ (wie in I, 237, Fig. 115 die MB = MQ -\- 0»), daher auch KP = KQ -(- 0^; oder der aus K durch P gezogene Kreis ist der EjTümmungskreis der in P und Q bezw. die b und b^ berüh- renden Kurve (d. i. der Ä), weil sie mit ihr den Punkt P und die Normalen in P und Q gemein hat (I, 231). Daher: Die HiWhahn' kurve k einer beschreibenden Kurve berührt eine Lage b dieser Kurve in dem Fußpunkte P der Normalen, loeUhe aus dem eu b gehörigen Momentancentrum A auf b gefäUt wird; und der Krümmungsmitfd- punkt K der k in P fällt mit demjenigen der -Kurve msammen, welche von dem Krümmungsmittelpmkte M der b in P beschrieben ufird.
312. In Bezug auf die Gestalt der BolUinien bemerkt man, daß der beschreibende Punkt P, wenn er auf der wälzenden Kurve w liegt, im allgemeinen auf die feste fin einem Punkte A der augenblicklichen Berührung auftreffen und sich dann wieder von ihr entfernen wird. Ein solcher Punkt heißt ein ürsprungspunkt der Bolllinie c, und in ihm ist der Krümmungshalbmesser der c (310, 2)) = 0. In einem
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348 Vni, 312—818. Die Rolllinien und die Schraubenlinie.
Ursprungspunkte fällt die Normale der c in die Tangente der f, und im allgemeinen ist ein solcher Punkt eine Spitze. Besitzen da- gegen in diesem Punkte w oder f oder beide Kurven Rückkehrele- mente, oder schneiden sich in ihm to und f (wozu eine 3-, oder 5- . . . punktige Berührung erforderlich), so kann dieser Punkt der c auch ein gewöhnlicher Punkt, ein Wendepunkt, eine Spitze oder ein Schnabelpunkt sein, wie man sich am leichtesten bei der Evol- vente einer Kurve f überzeugen kann, die eine Rolllinie mit einer Geraden als w darstellt (vergl. I, 243—246).
Ist w eine geschlossene Kurve, so kehren die Ursprungspunkte auf f in Bogenabstanden gleich dem Umfange von w wieder. Die Bogen der Rolllinie c zwischen zwei auf einander folgenden Ursprungs- punkten heißen Gänge derselben. Es gibt deren im allgemeinen unendlich viele; nur wenn f ebenfalls geschlossen und die Umfange von to und f kommensurabel sind, kehrt nach einer endlichen An- zahl von Gängen die Rolllinie c in sich selbst zurück. Ist w nicht geschlossen und erstreckt sich ins Unendliche, ist dagegen f ge- schlossen, so kann sich c, z. B. dann wenn f keine Rückkehr- punkte besitzt, als ^rale in unendlich vielen sich erweiternden vollen Windungen ins Unendliche erstrecken.
Gehört der beschreibende Punkt nicht der wälzenden Kurve an, so fallen die Ursprungspunkte weg, jedoch nicht immer der Begriff der Gänge, indem die begrenzenden Ursprungspunkte durch die Punkte der Rolllinie ersetzt werden können, welche den kleinsten Abstand von dem zugehörigen Berührungspunkte A der w und f besitzen.
313. Sind die feste f und die wälzende Kurve w Kreise, ein- schließlich der geraden Linie, so heißen die Erzeugten Rolllinien cyhlische Kurven oder Badlinien, Dieselben werden unterschieden als eine CyJdoide, wenn f eine Gerade und w ein Kreis, eine Erds- evölvente, wenn f ein Kreis und w eine Gerade, eine I^ncyJdaide, wenn f und w Kreise und w außerhalb f liegt, eine HypocyTdoidßj wenn f und w Kreise und w innerhalb /'liegt; und jede von diesen als gemein^ geschweift (oder gestreckt) und verschUmgen, je nachdem der beschreibende Punkt auf w, oder mit dem Mittelpunkte des / auf entgegengesetzter oder auf übereinstimmender Seite von w liegt*).
*) Diesen Begriff hat der Verf. in seinem Aufsätze ,,Doppelte Entsehnngs- weise der geschweiften und verschlungenen cyklischen Knrven" (Schlömilchs Zeitschr. f. Math. n. Phys., B. 26, 1881, S. 267) aufgestellt, weil der gebräuch- liche Begriff, wonach eine der Kurven geschw. oder verschl. heißt, je nach- dem P innerhalb oder außerhalb to liegt, hinf&llig wird, sobald man die bisher wenig beachtete doppelte Entstehungsweise dieser Kurven ins Auge
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VIII, 818—816. Die RoUlinie,
349
-L-^: L
Man erhält dadurch 4x3 oder 12 Arten, wovon aber 4, nämlich die geschweifte und die verschlungene Epi- und Hypocykloide hier bei Seite gelassen werden sollen, weil sie* in der Folge keine An- wendung finden*).
314. Die gemeine Cykloide oder kurzweg die Cykhide. Sei die Fig. ise. Gerade f die feste Kurve oder Bahnlinie, w eine Lage des wälzen- den Ejreises, sei der Berührungs- punkt A von f und w der be- schreibende Punkt, so ist A ein ürsprungs- punkt; ein be- nachbarter sol- cher A^ hat den
Abstand AA^ — ümf. w. Um
einen Punkt P der Cykloide c zu bestimmen, trage man von A aus in demselben Sinne auf w und f die gleichen Längen AC *=» AC auf, versetze die w so, daß sie mit ihrem Punkte C die f in C berührt, so nimmt der beschreibende Punkt A den Ort P ein. Man erreicht dies alles am zweckmäßigsten, wenn man zuerst w um seinen Mittelpunkt M^ im Sinne der Drehung beim Rollen dreht^ bis C nach A und daher A nach P' gelangt, wobei Bog. AP' =» Bog. (TA wird, und daß man dann eine Parallel Verschiebung von to vornimmt, bis A nach C gelangt; P' kommt dann nach P, und ACPP' ist ein Parallelogramm. PC ist die Normale der c in P, und die Tangente ist mit P'B' parallel, wenn AB' ein Durchmesser des w. Den Scheitel S des Cykloidenganges erhält man, wenn man aus der Mitte D von AA^ die DB -iff^ AB', also JL AAi macht.
315« Den KrümfnungsmUtelpuhkt JT zu P könnte man leicht aus der Gleichung (2) der Nr. 309 bestimmen; doch liefert folgende Betrachtung sogleich die Gestalt der Evolute.
faßt, da bei der zweiten Entetehüngsweise der Begriff gegen den bei der ersten gerade umgekehrt werden müßte.
*) Yerf. hat dieselben, insbesondere ihre Evoluten, in seinem Aufsätze „Die Evoluten der geschweiften und verschlnngenen cyklischen Korven" (Schlö- milchs Zeitschr. l Math. n. Phys., B. 27, 1882, S. 129) behandelt Eine ein- gehende Untersuchung der cyklischen Kurven mit Berücksichtigung ihrer man- nigfaltigen Gestalten gibt Burmester in seinem Lehrbuche der Kinematik, B. 1, 1886.
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VIII, 316—316. Die Eolllinien und die Schraubenlinie.
Zeichnet man einen mit dem Kreise w gleichen und ihn in Ä berührenden Ereis AF' und läßt diesen auf der zu f parallelen Tan- gente F'E hinrollen, so beschreibt Ä eine mit c kongruente CyUoide ÄKE, und diese ist die Evolute von c. Denn schneidet man die Gerade P'A mit dem zweiten Kreise in K', wobei Bog. AK' = Bog. AP^, läßt diesen Kreis sich um seinen Mittelpunkt drehen, bis A nach K' gelangt, und verschiebt ihn dann um AC <= Bog. AK', so kommt AK' nach CK, K ist der Punkt der beschriebenen Cy- kloide und CK ihre Tangente. Es liegen aber CP und CK in der- selben Geraden, oder es ist die Normale der ersten Cykloide in P die Tangente der zweiten in JT; also ist die letztere die Evolute der ersteren und K ist der Krümmungsmitte^nkt für P. Der Krüm- mungshaJbmesser PK ist daher gleich der doppelten Normalen PC
Zugleich bemerkt man, daß der Krümmungshalbmesser der c in ihrem Scheitel B gleich dem vierfachen Halbmesser des Kreises w ist. Derselbe hat aber auch die Länge des abgewickelten Bogens EA der Evolute (I, 237); daher ist die Bogenlänge des halben Qa/nges einer Cykloide gleich dem vierfachen Halbmesser des vxiUsenden Kruses. Ebenso ist Bog. AK = zweimal Sehne AK', und entsprechend Bog. BP = zweimal Sehne B'P'.
Benutzt man bei der Verzeichnung der Cykloide die Krümmungs-
„. ^^„ kreise, so reicht man
Flg. 187. . .„ . , ,
mit zwei Zwischenpunk- ten P' auf dem Ebtlb- kreise -4B' aus, welchen man von A aus zweck- mäßig die Winkelab- stände ^Jf'P' von 45^ und 90® gibt, oder mit einem einzigen im Ab- stände von 60®.
AUe Gänge dieser, wie einer jeden cykli- klischen Kurve sind offenbar unter einander kongruent, pig. 187. \^^V I [ X y 816. Die Zreis-
evolvente entsteht, wenn
die feste Linie f ein
Kreis und die wälzende w eine Gerade ist. Der Berührungspunkt
A beider Linien sei der beschreibende Punkt; er ist dann auch der
ürsprungspunkt der Kurve c, und zwar ihr einziger. Dieselbe er-
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Vm, 816—318. Die Rolllinien. 351
streckt sich als Spirale in uneDdlich vielen Windungen ins Unend- liche. Trägt man auf einer die f in dem willkürlichen Punkte B berührenden Geraden w in übereinstimmendem Sinne J?P«> Bog. BAj BF = Bog. BBA auf, so sind P, P' Punkte der c; trägt man dann ferner den Umfang von f^^^u^^ BP' auf jener Tangente als P B^ ^=^ B^P^ , . . ^^ P B" ... weiter, so erhält man neue Punkte Pj, P, . . . P" . . . der c. Für alle diese Punkte ist B der Krümmungs- mittelpunkt der c. In der Figur ist f in vier gleiche Teile geteilt und aus den Teilungspunkten A, B, C, D sind Erümmungskreise der c mit Halbmessern «=" 0, ^ u, f u, \u gezeichnet, und sodann solche mit deren Vergrößerungen um u, 2u, 3u . . . Der durch den Ursprongspunkt A gezogene Durchmesser MA der f ist eine Sjm> metrielinie der Evolvente, welche die Spitze A und alle Doppel- punkte der c enthält.
317. Die Epicykloide. Liegt der wälzende Ereis w außerhalb Fig. iss. des festen f, so beschreibt jeder Punkt des w eine Epicykloide c; dabei sei MA = r der Halbmesser des f, AM'^== r der des w. Es sei der Berührungspunkt A beider Kreise der beschreibende Punkt, und es liege zunächst auch f außerhalb w. Um einen Punkt P der c zu erhalten, denke man sich wieder zuerst w um W in demselben Sinne wie beim Rollen gedreht, so daß A den Bog. AB' beschreibt, und dann denke man sich w fest mit MM' verbunden und um M ge- dreht, bis der Berührungspunkt nach C gelangt, derart, daß Bog. AC =^ Bog. -4P' ist; dann gelangt P' nach P. Man erhält P, wenn man die Sehne B'A mit f noch in Q' schneidet und CQ = AQ' in f aufträgt, QC zieht und auf ihr CB=^ AB' macht. Man erhält auch die Gerade BC, wenn man aus M 'einen berührenden Ereis an P'J. zieht und an diesen aus C in dem Sinne von B'A eine Tangente legt. — BC ist die Normale der c in P.
Den nächsten Scheitel B bestimmt man, indem man auf /* den Bog. AD = ^ Umf. w = Bog. AB' aufträgt und auf JfD die DB = AB' macht; den zweiten Ursprungspunkt A^ durch Bog. AAi = Umf. w,
818. Ein Kreis w', der in A von dem festen Kreise f von innen berührt wird, und dessen Durchmesser gleich der Summe der Durchmesser von fund t^ ist, also -4. JS"== -4. jB-(-P'il, erzeugt beim Bollen auf /"durch den Punkt .4 dieselbe Epicykloide c, wie w. Schnei- det man nämlich die Sehne P'-4 Q' mit w' in Q", so ist Bog. A Q" = Bog. AQ'+ Bog. AB' = Bog. CQ -f Bog. ACy und Sehne AQ" = Sehne AQ' -\- Sehne B'A. Beim Rollen von w' gelangt daher Q" nach Q, Q"A nach QCB, weil beide Sehnen mit den Kreistangenten in A, Q'} Q'\ Q gleiche Winkel bilden, und A gelangt nach P. Da sich im Scheitelpunkte B von c zusammengehörige L^gen von to und w' berüh-
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352 VIII, 318—819. Die Rolllinien und die Schraubenlinie.
ren, so gilt der Satz, den wir zugleich für die Hypocykloide aussprechen, fQr die er als ebenfalls giltig bald bewiesen werden wird: Teät man den Durchmesser eines festen Kreises f durch einen äußeren oder inneren Punkt P in zijoei Teüe, eeichnet über jedem der Teile als Durchmesser einen Kreis w und einen w% und läßt leide auf f rollen, so beschreibt B mit jedem dieser Kreise b&sw. dieselbe Epi- und Hypocykloide,
Bei der Epicykloide ist daher entweder r' > 0 oder r'< — r; im ersten Falle liegt f außerhalb, im zweiten innerhalb w. Bei der Hypocykloide ist entweder r' < 0 und ^ — \r oder r <^ — \r und > — r; im ersten Falle liegt M außerhalb oder auf w, im zweiten Falle innerhalb.
319. Die Evolute e der Epicykloide erhält man aus dem Kreise von dem Durchmesser AL\ welcher den w va A berührt, und außer- dem mit ihm zwei nach M laufende Tangenten gemein hat Es gilt dann, weil M der Ähnlichkeitspunkt beider Kreise ist,
AB' : L'A = MB' iMA^MA: MV. MA ist daher die mittlere Proportionale von MB' und ML', und man erhält L"^ am genauesten, wenn man ausJ?' eine Tangente an f legt, und den Berührungspunkt auf MB' nach L' projicirt.
Fig. 138.
Läßt man nun den Kreis AL' auf dem aus M durch L' ge- zogenen Kreise L'F rollen, so beschreibt der Punkt A eine Epi- cyMoide e, wdche die Evolute der EpicyMoide c ist. Die obige Pro-
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VIII, 319—321. Die Rolllinien. 353
poridon zeigt^ daß sich die Darchmesser der beiden wälzenden Kreise w und AL' wie die Durchmesser der zugehörigen festen f und L'F verhalten. Daher ist, wenn P'Ä den Kreis AL' in K' und CM den Kreis VF in G schneidet, weil Bog. ^C = Bog. AFy auch Bog. X'<r = Bog. -4Jr'. Dreht man nun den Kreis AL' um seinen Mittelpunkt, bis A nach K' kommt, dann denselben Kreis um M, bis L' nach G gelangt, so kommt das Dreieck L'AK' in die Lage GCK] K ist ein Punkt der entstehenden Epicykloide ^, KG ihre Normale, KG ihre Tangente. Da zugleich bei jener Drehung AP' nach CP gelangt, so ist die Normale PC der Epi- cykloide c in P zugleich Tangente der Epicykloide e in K, Diese ist daher die Evolute von jener, K der Krümmtmgsmittdpunkt, PK «= P'K' der Krümmungshalbmesser ^ wie behauptet war.
Für die Verzeichnung eines halben Ganges genügt häufig der Ursprungspunkt, der Scheitel, ein Zwischen pijnkt, und der Krüm- mungskreis für die beiden letzteren.
320. Die Epicykloide und ihre Stücke sind leicht m rektificiren. Man bemerkt, daß der abgewickelte Bog. AK der Evolute = PK ist Setzt man nun die Halbmesser ML' =r,, ^L'A = r2, so ist
Bog. AK = PK=P'K' = AKT'"^^^'
Sodann ergibt die Figur
r' : r = r^ : r^ und r = 2 r-g + r, , daher ist
»•'•. _r^(2r, + r0, »-. + ••' _2('-.+^)
und Bog. AK =2- AK' ■ ^J-±^ •
Ersetzt man nun in ähnlichen Figuren Bog. AK durch Bog. BP, imd entsprechend r^, r^, AK' bezw. durch r, r', B'P', so findet man
Bog. -BP = 2 . Sehne B'P' • ^ +^ • Daraus der halbe Gang BA oder
Bog.-B^ = 4^(r + r').
Anm. Ist w; = /*, so wird die c geschlossen und heißt Kardioide.
321. Die HypocykUide unterscheidet sich von der Epicykloide Fig. is9. nur dadurch, daß w innerhalb f liegt. Da sich die Konstruktionen von den eben betrachteten nur durch den Sinn von r' unter- scheiden, so genügt es, sie anzuführen, wobei entsprechende Punkte durch dieselben Buchstaben bezeichnet sind, wie vorhin. Die Hypocykloide entsteht durch Rollen eines jeden der leiden
Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. II. 23
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Vm, 321. Die RolUinien aud die Schranbenlinie.
Kreise w und w! im Inneren eines Kreises f, dessen Durchmesser gleich der negativen Summe der Durchmesser jener Kreise ist iEA^^^ — iAE'+AB")]', derselbe Bogen der c entsteht aber durch Rollen der Kreise in entgegengesetztem Sinne. Die Evolute e der Hypocykloide AB ist die Hypocykloide AL, für welche der wälzende Kreis VA und der feste FL' sind. Die beiden walzenden Kreise w oder J. JB' und L' A berühren sich in A und haben außer-
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/ ^\K |
\ A. |
-->
dem zwei gemeinschaftliche Tangenten, welche nach Jlf laufen. V kann dadurch konstruirt werden, daß man in B' eine Senkrechte auf MA errichtet, sie mit f schneidet und im Schnittpunkte die Tangente an f zieht; dieselbe geht dann durch L\
P und K erhält man, wenn man Bog. AG^=^ Bog. AF macht, KArq^'Q' zieht, Cq = Aq' oder q'q = AQ oder Bog. Aq = Bog.^ö" macht, qC zieht und auf ihr GP=AB\ oder qF = q" Ay und ebenso CK====AK' aufträgt. Zur Verzeichnung genügen gewöhnlich die Urspruugspunkte und der Krümmungskreis im Scheitel.
Für die BekHßation gilt
Bog. BP=2' Sehne BT- ^-^ und Bog. BA = 4:y{r-' r').
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VIII, 321—322. Die Rolllinien.
355
Zus. Wird der wälzende Kreis halb so groß als der feste, so f4nrd die Hypocykloide zu einer Geraden^ nämlich zu dem Durch- messer AE des /*. Denn es ist dann Bog. AF' = ^ Bog. AQ\ da- her auch Bog. C^ = ^Bog. C^, oder CQ±MA\ ferner Sehne AP' = ^ Sehne AQ\ daher auch CP = ^ Sehne CQ, oder P ein Punkt der MA.
822. Die geschweifte CyUoide. Es sei die Gerade f die Bahn- Fig. i4o linie, w der wälzende Kreis, M' dessen Mittelpunkt und A^M' = r dessen Halbmesser, A^ der Berührungspunkt von f und w, A der
Fig. 140.
beschreibende Punkt, welcher im Inneren von w, also auf entgegen- gesetzter Seite von w liegt, wie der (unendlich ferne) Mittelpunkt von f. Durch A legen wir aus M! einen Kreis 6, den s. g. he- schreibenden Ereis, dessen Halbmesser jM' -4 = r" ist.
Um einen Punkt G der Kurve c zu erhalten, trage man auf f und w von A^ aus in entgegengesetztem Sinne A^G^ '=» ^og, A^G' auf, ziehe den Halbmesser M'G' und schneide ihn mit b in 6r". Denkt man sich wieder das Rollen ersetzt durch eine Drehung um M'y bis A2 nach 6?', also A nach G" gelangt, und durch eine darauf folgende Parallelverschiebung in der Richtung von /*, bis A2 nach Gg kommt, so gelangt 6r" nach G. Man erhält G, wenn man G,ff # ^6?" macht.
Den Krümmungsmitte^nkt G^ der c in G bestimmt man nach Nr. 309, indem man die A^G^^A^A^G" zieht, sie mit G^M* in G4
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356 VIII, 822—324. Die Rolllinien und die Schraubenlinien.
schneidet, G4^G^J_f (nach dem unendlich fernen Mittelpunkte M der f) zieht, mit -4,ß" in Gß schneidet und auf GG^ die (r^G, = A^G^ auffarägt.
333. Die besonderen Punkte der Kurve c sind folgende:
1) Die Scheitel A, C und JB, welche aus den Punkten A und B" des Kreises h entstehen, die suxiA^M' liegen. Man macht auf f die Strecke A^C^ = Umf. w, zieht CgC # -4^-4; ebenso A^B^ = ^ Umf. u;, jBg^ # A^B". Die zugehörigen Krümmungsmittelpunkte -4i, C7i, J?i erhält man nach Nr. 310, 6), wenn man die auf irgend einer schief gegen A^M' durch A^ gelegten Geraden schon bestimm- ten Punkte, wie G", 6?^, benutzt (als welche auch die Fußpunkte der aus M' und dem unendlich fernen M auf A^ G" gefällten Senk- rechten dienen könnten, Nr. 310, 7)). Man zieht nämlich AG" bis -^4 auf A^G^, dann A^^G^ bis A^ auf AM und macht CC^ # AA^. Entsprechend B"G"B^, S^G^B^, B^.
2) Der Wendq^nkt TT der c, für welchen der Krümmunga- mittelpunkt im Unendlichen liegt. M' als beschreibender Punkt erzeugt eine zu f parallele Gerade, welche im IT einen unend- lich großen Krümmungshalbmesser und einen Wendepunkt besitzt Daher ist M' ein Punkt des Wendekreises (310, 9)), M'A^ ist der- selbe, und sein Schnittpunkt TF" mit h ist ein Wendepunkt der von W" beschriebenen Kurve. Der Wendepunkt W der von A beschrie- benen Kurve wird aus W" in der angegebenen Weise gefunden
W läßt sich auch durch die Betrachtung bestimmen, daß in ihm als Wendepunkt die Tangente und daher auch die Normale eine größte oder kleinste Neigung gegen f besitzt, daß dies auch von der Parallelen A^ W" zur Normale gilt, und daß diese Eigenschaft unter den Linien, welche von A^ nach einem Punkte des Kreises h gehen, der Tangente zukommt A^W' ist aber auch nach der ersten Konstruktion diese Tangente aus ^^ an &.
324. 3) Zwischen B und W könnte sich noch ein Funkt größter Krümmung der c ergeben. Er entstehe aus G", wozu der Krüm- mungsmittelpunkt ög gehört. G" muß auf dem Kreise h so be- stimmt werden, daß der Krümmungshalbmesser G^G" =^ G^G ^=^k ein größter ist. Finden wir, daß G der einzige zwischen WxxnAB liegende Punkt von größtem oder kleinstem Krümmungshalbmesser Gl G ist, so folgt aus der Nachbarschaft zu TF, worin k unendlich, daß G^G ein kleinster, sodann daß JJ^B ein größter ist. Wir wol- len die Untersuchung allgemein fQhren, ohne r = oo zu setzen, damit wir das Ergebnis nachher auch auf die geschweifte Kreis- evolvente anwenden können. Setzt man, wie in Nr. 309, -4, Cr"
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VIII, 324—325. Die Rolllinien. 357
= pj G^Ä^ = q, also A; «= j) + g, ferner ^ M' Ä^G" = q>j so gilt hier zufolge der dortigen Gleichung (2):
prr* C08 cp P(^'\-^') — rr' cos 9
Differenzirt man nach q> und beachtet, daß p, q und q) verändere lieh; so erhält man nach einer Vereinfachung
äl = (f,(r+r')-rr'co8y)' { " *^ »■'* «^««V ä^ "l'^rr' (r + r') sin 9} , und daraus nach einer Vereinfachung
— p^rr' (r + r ') sin 9 1 •
Der Wert dp : dq) ergibt sich am einfachsten geometrisch (Fig. a). Ist -^G" A^K= dfpf schneidet Ä^K den Kreis 6 in Z" (benachbart dem G")y ist G''J±A^G" und ±A^K, sowie M L ± A^G'\ so sind die Dreiecke KJG" und M! LG" ähnlich, und es gilt
JK.JG" ^LM .LG'\
oder, da J'JT «=» dp, J'6r" «=» — P^V; iJf' = r' sin 9, ZCr" = p — r cos 9, auch
dp pr' sin 9
dqp p — r'cosqp
Führt man diesen Wert in dem Ausdrucke von dlt : dq> ein, setzt diesen dann gleich Null, so erhält man als Bedingung eines Maxi- mums oder Minimums von X;, nach Weglassung des Nenners,
0 = — pr sin q> [p* (r + >*')* — ^pTt (r + r') cos 9]
— (p — r' cos (p)p^rr{r + ^') sin tp .
Diese Gleichung wird erfüllt durch sin 9 <= 0, d. i. für die Scheitel ^ und jB, und außerdem nur noch durch
!>= 27^'-^^«9>. (1)
Dieser Ausdruck wird für unsern Fall, d. i. für r = 00,
j) = I r' cos 9 .
Macht man nun A^H ^^^ ^r ^^ ^A^M\ und zieht über A^H als Durchmesser einen Kreis, so gilt für jede aus A^ gezogene Sehne p desselben diese Gleichung; der Schnittpunkt dieses Kreises AgH mit dem b ist daher der gesuchte G", aus welchem G entsteht.
826, Die Evolute e der geschweiften Cykloide besteht für jeden
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358
VIII, 325—326. Die Rolllinien und die Schraubenlinie.
Gang der Kurve aus zwei ins Unendliche verlaufenden Ästen N^A^ TF/ und Wi' G^B^R^Si^ die als im unendlich fernen Punkte W^ za- sammenhängend betrachtet werden können. Ein solcher Gang der Evolute besitzt 0wei unendlich ferne Punkte W^, S^ und vier Spitzen
Af Cri> ^u ^1-
Zur Verzeichnung der c mittelst Krümmungskreisen reicht die
Konstruktion der besonderen Punkte gewöhnlich aus. Fig. 141. 326. Die verschlungene Cylcloide, bei welcher der beschreibende
Punkt Ä im Äußeren von w liegt, ist an entsprechenden Punkten mit übereinstimmenden Buchstaben wie die geschweifte bezeichnet. Bei
Fig. 141.
■g*^^
ihr ist, absolut genommen, r" > r', daher schneidet der Kreis b die Hilfskreise A^M\ A^R der Fig. 140 nicht, und die Punkte W und G kommen auf der Kurve c nicht vor. Jeder Gang derselben besitzt einen Scheitel A größter und einen B kleinster Krümmung, und jeder Gang der Evolute zwei Spitzen -4^, JS^.
Ein hemerTcenswerter Tunkt der c ist ihr Schnittpunkt E mit der Bahnlinie /*; er wird aus dem Schnittpunkte -B" des 6 mit f erhalten, wenn man M'E'' mit w in E' schneidet, auf f die A^E^ c= Bog. A2E' aufträgt, und dann aus E^ mit A^E'* als Halbmesser den Krümmungskreis zieht, der auf f den Punkt E einschneidet In E^ berührt die- Evolute die f.
Der Doppelpunkt D der c liegt auf deren Symmetrielinie A^M'. Er entsteht aus dem Punkte D" des 6, welcher so liegt, daß wenn man D"i)g JL /* fällt und M' D" mit w in D' schneidet, A^D^^=^ Bog. ^jD' ist. Denn dreht man zuerst w und 6 um üf', bis A^ nach D' und A nach D" kommt, und verschiebt dann w parallel zu f
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VIII, 326-327. Die RoUlinien.
359
um Bog. Ä^D'y so gelangt, da A^Dq = Bog. Ä^D\ Dq nach -4^ und D" in die A^M' (\D^B'') nach D. Man kann D" durch eine Fehler- kurve ermitteln, bestimmt durch die Schnittpunkte von Senkrechten auf f und von Strahlen aus M\ welche bezw. auf f und auf w von A^ aus in gleichem Sinne gleiche Strecken und Bogen abschneiden.
827. Die geschweifte Kreisevolvente, Die Bahnlinie f ist ein Fig. i«. Kreis, die wälzende Linie w eine Tangente desselben, A^ ihr Be- rührungspunkt, der beschreibende Punkte liegt mit Jlf auf entgegen- gesetzter Seite von w?, der beschreibende Kreis h wird zu der durch
A gezogenen Parallelen zu w. Trägt man auf f und w von A^ aus in entgegengesetztem Sinne A^G' = ^og. A^G^ auf, verschiebt A^ in u) nach G\ wobei A in b nach 6r" kommt, wenn G'G'' || -4^ J., und dreht dann w und & um Jf , bis ^ nach &2 kommt, so gelangt ö" nach einem Punkte G der c. Man erhält ß, wenn man G" A^ mit f noch in ö'" schneidet, Bog. G^G^ = Bog. A^G''' macht, und auf der Geraden G^G^ die G^G ^= A^G'' aufträgt.
Den Krünwnungsmittdpunkt G^ der c m G bestimmt man auf ihrer Normalen GG^ nach Nr. 309, indem man die A^G^X. A^G" zieht, sie mit G''G' (gehend nach dem unendlich fernen Mittelpunkte
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360 VIII, 327—329. Die Rolllinien und die Schraubenlinie.
M' des w) in G^ schneidet, ebenso G^M mit A^G" in G5, und auf GG^ die G^G^ = A^G^ aufträgt.
328, Die besonderen Punkte der c sind:
1) Der Scheitel A] den Erümmungsmittelpunkt A^ erhält man nach Nr. 310, 6) aus 6p" und Gg, wenn man die A^G^ mit AG'^ in A^y und die -^^Gg mit MA in A^ sehneidet.
2) Der Wendepunkt W ergibt sich aus der Formel (2) der Nr. 309, worin r' = 00 zu setzen ist, für g«:oo. Dann wird j) «=» r cos (p. Macht man daher auf MA^ die -4^ Cr= r, so ist der Kreis vom Durchmesser A^U der Wendekreis (310, 9)), und jeder seiner Schnittpunkte mit 6, so TF", liefert einen Wendepunkt W der c ( W' W J. 6, W'A^ W% Bog. A^W^^A^ W, W^ W^ = ^Tf'", W^W^W= w'A^wy
3) Ein Funkt G größter Krümmung außer dem Scheitel A wird nach Formel (1) der Nr. 324 gefunden, wenn man in derselben r' = 00 setzt; dann wird p = 3r cos q). Macht man daher auf MA^ die A2H '^^ 3r^ oder, da fi" nicht erreichbar, A^H^ = fr, beschreibt über A^H als Durchmesser, oder aus -Hj durch ^, einen Kreis, schneidet denselben mit b in G", so ist A2 Gr" = 3 r cos 9) , und aus G'' entsteht in der angegebenen Weise der Punkt G größter Krümmung der c und die Spitze G^ der Evolute e.
329. Liegt JT' auf b so, daß auf der Geraden J^A^J"' die A^J" = A^J"' (wodurch Abst. JT^'w '^ A^A), so wird J"'J"J^ (nicht ver- zeichnet) ein gleichschenkliges m\iJ'"A^M ähnliches Dreieck; J^J"' geht dann durch Jlf, J5 fällt in «T" auf /* und man erhält daraus einen Schnittpunkt J^ der e mit /*. Entfernt sich dann J" auf & von A, so fällt J^ ins Innere des Kreises /*, und nähert sich samt der Sehne A^J''' dem f bis auf jeden Grad der Annäherung. Daher nähert sich die Evolute e dem Kreise f asymptotisch, und zwar in unendlich vielen Windungen. — e besteht aus einem Aste mit der Spitze A^ und aus zweien zu f asymptotischen Asten mit je einer Spitze, wie G^. Rückt A von A^ weg über TJ hinaus, so verschwinden die Wendepunkte und der erste Ast der Evolute.
Zeichnet man aus M einen Kreis durch Ay so wird derselbe stets von der beweglichen b berührt. Der Abstand des auf b bleibenden beschreibenden Punktes von dem Berührungspunkte ist dann offen- bar gleich dem von diesem beschriebenen Kreisbogen, vervielfacht mit dem Verhältnisse MA^ : MA. Die Kurve kann daher als eine Kreisevolvente angesehen werden, bei welcher die Tangentenlänge gleich dem abgewickelten Kreisbogen ist, dieser multiplicirt mit einer Verhältniszahl, welche bei der geschweiften Evolvente kleiner, bei der verschlungenen größer als. Eins ist.
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VIII, 380—831. Die Rolllinien. 361
330. Die verschlungene Kreisevolvente. Ein allgemeiner Punkt Fig. 143. P mit P,, und der Scheitel Ä der c mit der Spitze Ä^ der e sind, wie bei der geschweiften, bestimmt; der Doppelpunkt kann durch eine Fehlerkurve, wie bei der verschlungenen Cyklgide, erhalten werden.
Fig. 148.
Der Schnittpunkt F der c mit f entsteht aus dem Schnittpunkte J^' der 6 mit f. Die Evolute schließt sich wieder dem Kreise f asymptotisch von innen an. — Rückt Ä in M, so geht 6 stets durch M und es wird, da AP"' = A^Pi ist, die Bewegung des P" auf b gegen M mit der Drehungsbewegung des b proportional. Die Kurve c wird dann zu einer Archimedischen Spirale, welche daher als be- sonderer Fall der verschlungenen Kreisevolvente angesehen werden kann. Betrachten wir sie aber auch in ihrer einfachsten Ent- stehungsweise.
38 !• Die Archimedische Spirale, Dreht sich eine Gerade in Fig. 144. einer Ebene um einen Punkt M und bewegt sich gleichzeitig ein Punkt P auf der Geraden, so beschreibt P eine Kurve, und man nennt M den Pol der Kurve, MP = u den Leitstrahl (radius vector) von P, den Winkel XMP = 9 des Leitstrahles mit einer festen Ge- raden MXj gemessen durch den Bogen vom Halbmesser 1, den ^ Polarwifikd von P, MX die Polaraxe. u und q> heißen die Polar- koardinaten von P. Die entstehende Kurve ist bestimmt, wenn die Abhängigkeit des u von g) gegeben ist, und sie heißt die Archime- dische Spirdte, wenn u in einem unveränderlichen Verhältnisse zu 9 steht, oder wenn gilt '
wobei p eine UnveriLnderliche und der Parameter der Spirale ge-
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362
VIII, 331—332. Die Rolllinien und die Schraubenlinie.
nannt wird. Für q) = 0 ist auch u =^0, so daß die Kurve c durch M geht; und man erhält fCir irgend einen Strahl MP den Punkt P
der Kurve, wenn ^i«' ^^^' man aus M mit MB
= p als Halbmesser den Parameterhreis f zieht und dessen zwischen M'K. und MP liegenden Bo- gen BQ = pq) als MP =^ u aufträgt Für 9) = 1 (entspre- chend 57^ 18') ist w = jp, oder es schneidet die c jenen Kreis in JP, wenn Bog.BF = p', für 9 = + 2ä ist t* = + jp23r, und um diese Länge nimmt der Leitstrahl bei jedem Umgänge zU; d. h. bei jedem Kurvenbogen, bei welchem sich q) um 2% ändert.
332. Um die Tangente und die Evolute der c zu bestimmen, gehen wir auf ihre Entstehung als verschlungene Kreisevolvente zurück. Da nach Nr. 330, Fig. 143, auf dem Bahnkreise f durch den Berührungspunkt A^ der w und dann auch durch seine Schnitt- punkte mit b Bogen gleich der Zunahme von AP" durchlaufen wer- den, auf jedem anderen Kreise aber nicht, und da dies in Fig. 144 für den Parameterkreis f gilt, so ist dieser der Bahnkreis. Betrachtet man' in Fig. 143 P" als beschreibenden Punkt, so ist A^ der Be- rührungspunkt der w, P"A^ die Normale und P5 der Krümmungs- mittelpunkt der c. Danach geht die Normale PP3 (Fig. 144) der Spirale durch den Punkt P3 des /, wenn MP^ _L MP im Sinne der Öffnung der Spirale gezogen ist {P'AA^ = 90^ in Fig. 143). Der Krümmtmgsmittelpunkt P^ ist, entsprechend det Fig. 143, der Schnitt- punkt von PP3 mit MP^, wenn PP^ ± MP und Pj^P^ ± PP^ ge- zogen wurde. Fällt für einen Punkt jR der c der Punkt JB^ über die Zeichenfläche hinaus, so bildet man eine zur ursprünglichen ähn- liche Figur aus M als Ähnlichkeitspunkt. Man bestimmt daher, wie vorher, R^ auf /' mittelst MR^±MB, zieht JB'JB'" fl UÄ,, schneidet sie mit MB und MB^ bezw. in B' und 7J'", bestimmt B'^ durch B'B'^±MB, B"'B'^±BB^, so liegt B, auf MB'"".
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VIII, 382-833. Die Rolllinien.
363
M ist der Sdieitd der Kurve und der Krömmungshalbmesser MAi ist =^i>, da in Formel (2) der Nr. 309 jenes j) = — r, r' = oo, 9 = 0, daher ^ = i^, also in unserer Figur -42^.1 = i A^M y/ird. — Doch läßt sich auch leicht unmittelbar einsehen, daß der Krümmungshalbmesser in M oder MA^ =,Jc=s^p ist, weil nämlich, wenn y der Winkel des Strahles MB und seines be- nachbarten Strahles ist, das Bogenelement der Kurve als Leitstrahl und als Element des Krümmungskreises ausgedrückt wird durch tpp = 2g)1c.
Alle Doppelpunkte der c liegen auf der Symmetrielinie Jf-^^;
der nächste bei M liegt in D mit JJfZ) =jp y = Bog. JB-ig. —
Mit 3f, Ff D und weiteren Punkten in Zwischenräumen von Vi Um- gang, sowie den zugehörigen Krümmungskreisen, deren Mittelpunkte sich dem Parameterkreise immer mehr nähern, läßt sich die Kurve verzeichnen. Dabei würde man erhalten FF^ = f FF^ .
333. Läßt man bei der geschweiften Cykloide c (322) den wälzenden Kreis unendlich werden und bildet dann die affine Figur der c durch Verkleinerung der unendlichen Ganglänge -42(72 zu einer endlichen, so wird c zu einer Sinus- oder Cosinuslinie, Wir wollen
Fig. 146.
diese beiden Linien, welche sich nur durch den Ursprung ihrer Koor- dinaten unterscheiden und schon in Nr. 48 und 165 betrachtet wur- den, einer späteren Benutzung halber untersuchen. Ihre Gleichung für rechtwinklige Koordinaten ist
y = & cos - •
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364 VIII, 333. Die BolUinien und die Schraubenlinie.
Fig. 145. Sind MC und MA die x- und yAxe, und zieht man aus M als Mittelpunkt die Kreise (a) und (6) mit den Halbmessern a und h^ schneidet sie mit der + x- und + yAxe bezw. in -4^, Bq und -4, jB, zieht aus M einseitig einen Strahl^ welcher (a) und (6) in H und S trifft^ so erhält man einen Punkt P der Cosinuslinie c durch seine Koordinaten x = MQ, y =^ QF, wenn man MQ = Bog. AR, QP^ VS macht, wobei V die Projektion von S auf x ist (iSP || a;); denn es ist FS = 6 cos (AR :a) = b cos (x :a) ^=y. Schneidet die Tangente der c in P die xAxe in T, so ist TQ die Subtangente; man erhält aber durch Differentiation der obigen Gleichung
j^ = sm — : TQ = v :^ = — a cot — •
dx a a ^ ^ ^ dy a
Daher bestimmt man die Tangente entweder durch QT ^= A^T^^ wenn AqT^ ±. x und T^ auf MB, weil A^T^ ^= a cot {AB : a) == a cot(x:a), oder (wenn A' der Schnittpunkt von (a) mit — y) durch PTj_A'F,weüÖP:T(2 = y:T(2 = -MF:^'ilf=6sin(a::a):— a = dy : dx. Dabei wurde — a gesetzt, weil bei der Drehung um M die '{' y in + x, aber die + ^ ^^ — tf fäUt. Letztere Konstruktion wird nie unbestimmt und enthält keine unerreichbaren Punkte. Die Normale PP^ ist dann | VA', vig. 146. Zur Bestimmung des Krümmimgshalbmessers r der c in P be-
nutzt man hier zweckmäßig die Formel der Atidlysis, die wir her- leiten wollen. Sind P, Q, B drei aufein- ^^' ander folgende Punkte der Kurve c, deren
Abscissen je um dx verschieden sind, so gilt för die Tangenten der c in P und Q bezw.
Daraus folgt aber nach der Figur, wenn JB'S J_ QB,
Hieraus ergibt sich, da ds = + Yda^ + ^t/^p
^ _ ds ^ ds^ ^ -p {dx* + dy^)i
dq> dxd*y "•" dxd*y '
wobei — vorgesetzt wird, um die Krümmungshalbmesser für nega- tive dq), oder für Kurven, die gegen + Y erhaben sind, positiv zu bezeichnen.
In unserem Falle ist
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VIII, 838—334. Die Scbraubenlinie. 365
dx^f «
und durch Differentiation von {dy : dx)
|
= - |
b |
||||||||||
|
daher |
r |
= + |
t |
+ &« sin afr cos |
a/ X a |
• |
|||||
|
Nun ist aber |
|||||||||||
|
("• |
+ |
6« |
sin |
■:)* |
= |
^'F = |
^7 |
6 |
cos |
X a |
= y; |
|
daher auch |
r = |
ay |
a |
Flg. 145.
Man konstruirt diesen Ausdruck auf eine stets anwendbare Weise unter Benutzung der letzteren Form. Zu dem Ende schneidet man PS mit MA in Y und mit A^T^ in X, zieht XW±AqY bis W auf MA, so ist YW= YX(MAq : MY) = a{a: y). Dann zieht man die WZZ^ || x, und schneidet sie mit FQ und FF^ bezw. in ^ und J^i, zieht ZiJ?2J_PPi bis J^g auf FQ, und 2,Pi J. P^ bis Pi auf PPi, so ist Pj der ErQmmungsmittelpunkt. Denn es sind die Dreiecke FZZ^, FZ^Z^, PZ^^i ähnlich dem Dreiecke J^'JfF (mit den Seiten a und v), daher ist FF^ = PZ^ (v : a) = PZ^ (v : a)* = FZ{v : a)3 = YW{v :af^a{a: y) {via^ = r.
Für den Scheitel B rückt X in X^ und Xq-B, J_ -4^^ bestimmt sogleich den Erümmungsmittelpunkt B^ auf üf ^^ weil der ganze Linienzug WZ^Z^F^ zu einem Punkte wird. Für den Wendepunkt C wird y = 0, r = oo; die Normale der c in C ist eine Asymptote der Evolute und läuft ] B^^A'.
Für a = b könnte man die Cosinuslinie als die gemeine, im Gegensatze zur allgemeinen, bezeichnen. Bei ihr wird für den Scheitel B:v ^= a, y x=b ==^ a, r ^^ a, B^ fallt in Jf ; die Asymptoten bilden 45^ mit der xAxe. — Ist & ^ a, so fallt B^ bezw. auf dieselbe oder auf die entgegengesetzte Seite von M, wie B.
IL Die Schraubenlinie. 334, Eine kürzeste oder geodätische Linie eines Cylinders pjg. m. heißt eine Schraubenlinie] der Cylinder heißt dann der Schrauben- cylinder. Die bei der Abwickelung des Cylinders entstehende Ver- . wandelte der Schraubenlinie ist daher eine Gerade^ und umgekehrt wird jede Gerade einer Ebene ; welche man mit dieser auf einen Cylinder aufwickelt^ zu einer Schraubenlinie. So wird die Gerade A'F der Ebene A'QQ^A^, welche einen Cylinder entlang QQ^ be-
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VIII, 334--336. Die Rolllinien und die Schraubenlinie.
Fig. 147.
rührt, beim Aufwickeln der Ebene zur der Schraubenlinie APA^P^^A^, und A'P und AP berühren sich in P. Da die Verwandelte A'P als Gerade gleiche Winkel mit allen Verwandelten der Erzeugenden des .Cylinders bildet, so schneidet auch die Schraubenlinie selbst die Erzeugenden des Cylinders unter demselben unveränderlichen Winkel, und jede zu den Er- zeugenden senkrechte Ebene unter einem Winkel <y, welcher jenen Winkel zu 90® ergänzt und die Neigung der Schraubenlinie heißt.
Schneidet eine solche zu den Cylindererzeu- genden senkrechte Ebene den Cylinder in der Kurve QA, die genannte Berührungsebene in der Tangente QA' der QA, die Schraubenlinie und ihre Tangente PA' bezw. in A und A\ so ist das geradlinige Dreieck PQA' die Abwicke- lung des teilweise krummlinigen PQA, und es ist QA' = Bog. QA, PA' = Bog. PA. Man nennt auch für den Punkt P und die Ebene QAA' die Strecken PA' und QA' bezw. die Tangente und die Subtangente der Schraubenlinie, und bemerkt, daß bei fester Ebene QAA\ aber bei wechselndem Punkte Pder Ort AA' des Punktes A' die Evolvente sowohl des senk- rechten Cylinderschnittes ist, als auch aller Schraubenlinien des Cylin- ders, welche durch die Spitze A der Evolvente gehen. Da anderer- seits jede Erzeugende des Cylinders die Schnittlinie je zweier auf einander folgenden Normalebenen der Kurve AA' ist, so ist um- gekehrt der Cylinder die Evolutenfläche der Kurve AA' und alle durch A gehenden Schraubenlinien des Cylinders sind die Evoluten der ebenen Kurve AA' (44).
In dem bei Q rechtwinkligen Dreiecke A'QP ist der Winkel bei A' gleich der Neigung a der Schraubenlinie. Bezeichnet man nun die QP mit 0, die A'Q ^^ Bog. AQ mit 5, so ist
jer = 5 tg (T ; oder die auf einem senkrechten Schnitte des Cylinders von einem Punkte der Schraubenlinie aus gezählte krummlinige Abscisse AQ = s und die auf der Erzeugenden gemessene Ordinate QP = a stehen in unveränderlichem Verhältnisse; sie wachsen daher auch propor- tional mit einander.
335. Ist der Cylinder geschlossen, so wird jede Erzeugende un- endlich oft von der Schraubenlinie geschnitten. Ein Stück der- selben zwischen zwei auf einander folgenden Schnittpunkten heißt ein Schraubengang, das eingeschlossene Stück der Erzeugenden
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VIII, 336—336. Die Schraubenlinie. 367
AA^ oder A^A^ oder TP^ die Hohe des Schraubenganges oder die Granghöhe h. Sie ist überall dieselbe; denn ist p der Umfang der senkrechten Schnittkurve (= AQA), so gilt (^er = ä, s=jp) h = p tg0. Der wichtigste und in der Technik allein vorkommende Fall, der auch ausschließlich in der Folge betrachtet werden soll, ist der, in welchem der Schraubencylinder ein Umdrehungscylinder, also der senkrechte Schnitt ein Kreis ist; die Cylinderaxe heißt dann auch die Schraubenaxe, der Grundkreis des Cylinders auch der Grundkreis der Schraubenlinie, und der Halbmesser dieses Kreises auch der Halbmesser der Schraubenlinie. Sei derselbe r, so ist
p = 2ytr und A = 2Ärtg(y. Setzt man
so heißt Aq die reducirte Ganghohe oder der Parameter der Schrauben- linie. Sie ist die Ordinate 0, welche zu s = r, also zu einem Bogen des Grundkreises von 57^ 18' gehört.
Die Schraubenlinie des Umdrehungscylinders ist in sich selbst ver- schiebbar, oder zwei gleich lange Stücke derselben sind unter einander kongruent. Denn die durch die Anfangspunkte beider gehenden senkrechten Cylinderschnitte sind gleiche Kreise, können also samt den Anfangspunkten zur Deckung gebracht werden; dann fallen auch alle Erzeugenden beider CylinderstQcke paarweise der Richtung und der Länge der Ordinaten nach {z =^ s ig 0) in einander; demnach auch die Schraubenlinien. — Diese Eigenschaft der Verschiebbarkeit in sich selbst besitzt nur noch der Kreis und die Gerade, die beide aber als besondere Arten der Schraubenlinie angesehen werden können.
Man kann die Schraubenlinie auch durch die Bewegung eines Punktes entstehen lassen, der sich um eine Axe dreht und zugleich parallel zur Axe verschiebt, derart daß der Winkel einer Drehung mit der Länge der gleichzeitigen Schiebung in unveränderlichem Ver- hältnisse steht. Eine solche Bewegung nennt man eine Schraüben- bewegung.
Rechts gewunden oder rechtsgängig nennt man eine Schrauben- linie, wenn sie, betrachtet von einer in der Schraubenaxe aufge- stellten menschlichen Figur, gegen rechts abwärts geht; sonst linhs gewunden oder linksgängig. Dabei ist es gleichgültig, ob die Figur in dem einen oder in dem entgegengesetzten Sinne in die Axe gestellt ist.
386, Aufg. Eine auf einem Umdrehungscylinder gelegene Schrau- benlinie darzustellen, deren Axe senkrecht auf der P^ steht.
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VIII, 336—337. Die Rolllinien nnd die Schraubenlinie.
Fig. 148.
■n^
Fig. 148. Aufl. Sei der Kreis A'C'B' die erste Spur des Schrauben-
cylinders, A in P^ der Anfangspunkt und A «=» A"A^' die Ganghohe einer rechts gewundenen Schraubenlinie , so teile man von A' aus
den Kreis in eine Anzahl n {^ 8) glei- cher Teile, und in ebenso viele die Gang- höhe A"Ai\ lege durch die Kreisteilungs- punkte die Erzeugenden des Cylinders und zeichne deren zweite Projektionen, trage auf der ersten nach A von der Pj
aus — Ä, auf der zweiten - Ä, auf der
m^^ ~ h auf, so erhält man Punkte der
zweiten Projektion der SchraubenliDie, deren erste Projektion der Grundkreis ist. Aus einem Gange A"B"A^' lassen sich die folgenden Gänge durch Weiter- tragen von Ä, 2A, 3A . . . von allen Punkten aus auf den Cylindererzeugen- den bestimmen.
Die Tangente an die Schraubenlinie in einem Punkte P findet man, wenn man auf der Tangente P' T an den Grundkreis die Länge P'T = Bog. P'A' zwischen P' und der ersten Spur A' der Schraubenlinie aufträgt. T ist dann die erste Spur der gesuchten Tangente, wo- raus sich F"T' ergibt.
337, Die zweite Projektion der Schraubenlinie ist eine Sinuslinie\ denn nimmt man die mittlere Erzeugende G"Ci' der zweiten Projektion des Cylin- ders zur a;Axe, den Kurvenpunkt C zum Koordinatenursprung, die yAxe senkrecht zur a:Axe, so hat der Punkt P" die Koordinaten C"Q''=x, Q"P"^y. Ist r der Halb- messer des Grundkreises, so ist
X : Bog. C'F = A : 2rÄ = Ao : r Bog.O'P'
und
r sm
woraus
y = r sin ^ 23r = r sin
was die Gleichung der Sinuslinie bildet (333). die Wendepunkte C\ G^' . . . der Kurve.
Die xAxe enthält
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Vm, 888—339. Die Schraubenlinie. 369
338, Aufg, An eine gegebene Schraubenlinie parallel einer ge- gebenen Ebene E (eje,) eine Tangente m legen,
Aufl, Die parallel zu den Tangenten der Schraubenlinie durch einen Punkt gelegten Geraden bilden den fiichtkegel ihrer Fläche. Derselbe ist hier ein Umdrehungskegel mit einer auf P| senkrechten Äxe; und macht man den Grundkreis A'C'jB' zu seiner ersten Spur, 80 erhält man seine Spitze G (Jf ', 6r") auf der Schraubenaxe etwa durch die parallel zu SC durch A gelegte Gerade {A'M\ A"G"), Die Hohe des Kegels ist
Jtf"Gf"=-rtg<T = Ä„,
gleich der reducirten Ganghöhe (335). Sucht man nun vermittelst einer parallel zu E durch die Spitze G des Kegels gelegten Ebene seine Erzeugenden {M*I>\ G"Z)" und M'F'j G"F"\ so sind diese zu E parallel, und man hat nur noch die zu diesen Erzeugenden parallelen Tangenten der Schraubenlinie zu ziehen, das sind zwei- mal unendlich viele Geraden, deren Berührungspunkte auf zwei (nicht vier) Erzeugenden des Schraubencylinders liegen. Parallel zu der ersten Projektion JiT D' (und M'F') darf man nämlich nur diejenige Kreistangente P T' ziehen, welche als Tangente der Schrau- benlinie gleichen Sinn der Neigung, wie MD (bezw. MF) besitzt.
339. Der Krümmungshalbmesser der Schraubenlinie, Die Schmie- gungsebene der Schraubenlinie in jedem ihrer Punkte steht senkrecht auf der Cylinderfläche (42), ihre Hauptnormale ist daher die Nor- male der Fläche, d. i. auch die Senkrechte, welche aus dem frag- lichen Punkte der Kurve auf die Schraubenaxe gefällt wird. In ihr liegt der Krümmungstialbmesser rj der Kurve, den man erhält, wenn man beachtet, daß die Schmiegungsebene den Cylinder in einer Ellipse schneidet, deren Halbaxen r : cos <r und r sind, und deren Krümmungshalbmesser im Scheitel der Axe 2r mit dem ge- suchten übereinstimmt und ausgedrückt wird durch
r* r
* 008* a ' 008* a
Zieht man daher G''H" ±A"G'' bis H" auf ^"Jf", so ist ^"3f " = r, A"G" = r : cos <y, A''H'' = r : cos* er =» r, .
Dieselbe Formel besteht auch zwischen dem Krümmungshalb- messer rj irgend einer Kurve in einem ihrer Punkte und demjenigen r ihrer senkrechten Projektion auf eine zu r^ parallele Ebene, wenn <y der Neigungswinkel ihrer Tangente gegen diese Ebene. Sie gilt daher auch für die zweite Projektion der Schraubenlinie in ihren Scheiteln A'\ B" . . ., wobei der Neigungswinkel 90** — ö ist; die- ser Krümmungshalbmesser ist daher (335)
Wiener, Lehrbach der dartteUenden Geometrie. II. 24
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370
Vm, 339-841. Die Bolllinien and die Sohranbenünie.
r^ = r^ cos«(90« — <y) = r, sin^tf = r tg* <y = ^ = M'^H".
Man bemerkt, daß diese Konstruktion des Sebeitelkrümmnngshalb- messers der Sinuslinie im wesentlichen mit derjenigen der Nr. 333 übereinstimmt.
340. Bewegt sieb ein Punkt Ä auf einer Schraubenlinie, so beschreibt der zu dem Punkte gehörige Krümmungsmittelpttnkt H der Kurve {A"H''=r^ ebenfalls eine Schraubenlinie (O/'jBo"), welche mit jener gleiche Ganghohe und gleichen Sinn besitzt, aber zum Halbmesser die JT'-H" = r^ hat; es ist daher rfj = h^, Bq ist der zu Bi gehörige Scheitel derselben. Die ursprüngliche Schrau- benlinie und di^enige ihrer Krümmufigsmittelpuhkte sind reciprok, oder die erste enthält auch die Krümmungsmittelpunkte der zwei- ten, wie die reciproke Formel rrg = A^*, oder das reciproke Kon- struktionsdreieck A*' G" H" zeigt. Dabei ist die Neigung der zwei- ten ^i = ^3f"Ä"(?"= 90<> — (T, und es gilt tg^.tgtfi — l. Endlich ist K" der gemeinschaftliche Krümmungsmittelpunkt der zusammengehörigen Scheitel B^ und Bq der zweiten Projektionen beider Kurven. Denn för die erste ist der Krümmungshalbmesser = H"M' = B;'K:\ für die zweite = A"M' = B^'K". Fig. 149. 341. J)ie schiefe Projektion der Schraubenlinie oder ihr Schatten
bei Parallelbeleuchtung auf eine zur Schraubenaxe senJcrecfUe Ebene Pj
Fig. 149.
-.-«C-'--'
ist eine gemeine, eine geschweifte oder eine verschlungene CyJcloide^ je nachdem die Neigung X der Projicirenden gleich der Neigung a der Schraubenlinie^ oder kleiner oder größer^ als sie ist.
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Vm, 341-842. Die Öchraubenlime. 37 1
Denkt man sich nämlich die Schraubenlinie durch Bewegung eines Punktes auf einem Kreise erzeugt, dessen Mittelpunkt zugleich auf einer zu seiner Ebene senkrechten Geraden fortschreitet, wäh- rend das Verhältnis der beiden in derselben Zeit beschriebenen Wege unveränderlich ist, so kann man sich jene schiefe Projektion entstanden denken durch die Bewegung eines Punktes auf einem Kreise, der stets in der Projektionsebene bleibt und mit seinem Mit- telpunkte eine Gerade beschreibt, unter unveränderlichem Verhält- nisse der beiden in derselben Zeit beschriebenen Wege. Dies ist aber das Entstehungsgesetz jener drei Rolllinien (322). Ist dabei die Bahn des Mittelpunktes während eines Umganges des Punktes auf dem beweglichen Kreise gleich dessen Umfang h {A'A^ = ^)7 so ist die Cykloide A'B^A^ die gemeine und die Projicirende Ä^'A^' eine Tangente der Schraubenlinie in A^. In den andern Fällen entsteht eine geschweifte Cykloide A'B^A^^ oder eine verschlungene A'B^A^y wobei die Längen A'A^ und A'A^ willkürlich angenommen werden können. Aus ihnen sind die in der Figur gezeichneten Halbmesser der in P^ auf einer Geraden rollenden Kreise durch Proportionalität bestimmt. Ist r der Halbmesser des rollenden Kreises, so ist
A"A^' = 2r 'ä = A cot A , oder r = Jiq cot l.
Aus der schiefen Projektion kann man folgeru: Die senkrechte Projektion der Schraubenlinie auf irgend eine Ebene ist eine affine Figur einer gemeinen, einer geschweiften oder einer verschlungenen Cy- kloide, wobei die Richtung der Affinitätsstrahlen parallel der ge- raden Bahnlinie läufi Denn die senkrechte Projektion ist affin mit dem Schnitte des die Schraubenlinie projicirenden Cylinders mit einer zur Schraubenaxe senkrechten Ebene.
Die Sinuslinie (s. Fig. 148) erscheint dabei als besonderer Fall einer Affinen der geschweiften Cykloide, wenn das Verhältnis der Ebilbmesser des rollenden und des beschreibendes Kreises r' : r «= oo, das Affinitätsverhältnis aber =s 0 ist (333). Oder die Sinuslinie wird von einem Punkte P beschrieben, wenn sich ein Punkt Q auf einem Kreise bewegt, dessen Mittelpunkt eine Gerade g beschreibt, wenn bei beiden Bewegungen ein unveränderliches Verhältnis ihrer gleichzei- tigen Wege besteht, und wenn P die Projektion des Q auf den zu g senkrechten (sich parallel verschiebenden) Kreisdurchmesser ist.
342. Es sollen zunächst noch die Krümmungshalbmesser r, der gemeinen, geschweiften und verschlungenen Cykloide in ihren Scheiteln A und B aus den Halbmessern r und r' bezw. des beschreibenden und des wälzenden Kreises unmittelbar abgeleitet werden, und dar- aus die ihrer affinen Kurven. Dreht sich der Kreis k um seinen
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'^±^'V.-^ ^ ^(^±0'
372 VIII, 342. Die Rolllinien und die Schraubenlinie.
Mittelpunkt M' um einen unendlich kleinen Winkel, so daß A' in der Richtung von A' M den unendlich kleinen Weg x (= 0*), in der darauf senkrechten Richtung den Weg y (= 0^) zurücklegt, so beschreiben B^ und A^ wegen der gleichzeitigen Verschiebung in der Richtung von A'A^ um + y{r' : r) bezw. die Wege x und y + yC»*':»*). Daher gilt für die Krümmungshalbmesser r^ der Kurve in B^ und A^ (208)
Macht man daher auf A'A^ die A'G= A'M' = r, so ist wegen A'Bq c= r + r' und A'Alq = r — r\ r^^= A'B oder = -4'jB, wenn D und E auf A'A^ 'so bestimmt werden, daß CB^B = (7^J? = 90^ sind. Entsprechend rj = J.'2)' und = A'B' für 5/ und A^j und r^ = A'B" und = 0 für B^ und ^2'; <^3. aber offenbar A'B' =^ 4r, so stimmt dies mit den früheren Ergebnissen für die gemeine Cy- kloide überein (315). Da r = Ä^ cot tf, r' = h^ cot Jl, so ist auch
(Äo cot ff + Äo cot Z)* (r + r ige Qotxy
^1 Äo coti "^ r '
was zweckmäßig in der letzten Form konstruirt wird.
Für die affinen Kurven dieser Cykloiden sei a die Affiniiäts- Charakteristik y so daß die Längen A' A^^ . . . der Cykloiden mit a vervielfacht werden; dann wird y ebenfalls mit a vervielfacht und der Krümmungshalbmesser r^ wird
rg == o?r^ = ^ "^ — -~ '
Hiemach muß man auch in der vorigen Konstruktion A'Bq und A'A^ mit a vervielfachen.
Sind unsere affinen Kurven durch andere Elemente gegeben, so kann man aus diesen die Krümmungshalbmesser bestimmen. So findet man für die verschlungene Kurve in der axonometrischen Ab- bildung der Fig. 147 die Krümmungshalbmesser in den Scheiteln r^ = (6 + h^y : a, wenn a und b die Halbaxen der Grundellipse, und Ä^ = Ä : 2ä = AAi : 2n; die Projektion der reducirten Ganghöhe bedeuten, indem die zu demselben x gehörigen Elemente des Kreises vom Halbmesser a und unserer Kurve sind:
y und y {b:a) + y.h: {2an) = y (6 + Äq) • ^•
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IX. Abschnitt.
Die abwickelbaren Flächen (zweiter Teil), die gemeinschaftliclien
Berfthrnngsebenen mehrerer Flächen, die topographische, die
UmhfiUnngsfläche; Beleuchtung solcher Flächen.
I. Die abwickelbare Sohranbenfläche.
348. Die abmckelhare Schraubenfläche ist die Fläche der Tan- genten einer Schrauhenlinie; diese Linie ist ihre Eückkehrkante.
Die Axe a der Schraubenliuie^ die auch die Axe der Flache Fig. i5o. heißt, stehe in M' senkrecht auf P^; Ä^BC^ sei ein Gang der Schraubenlinie, Ä^ soll in P, und Äi' auf a" liegen, und die Flächen- erzeugenden sollen durch P, und durch die { P, durch Q gelegte Ebene P3 begrenzt werden; ^Cj, x^ sind die Spuren von P^ und Pj in Pg. Die erste und dritte Spur (in P^ und P3) der Fläche bilden dann die Evolventen der Grundkreise (334) -i/JS/D'C/ 'und C^B^B'Ä^, welche im Grundriß zusammen die beiden Zweige derselben Kreis- evolvente bilden. Projicirt man die Punkte beider Evolventen bezw. auf Xi und x^ und verbindet die zusammengehörigen Punkte, wie B^' und JSg", so erhält man die Projektionen der Erzeugenden, welche von der zweiten Projektion der Schraubenlinie eingehüllt werden.
Die Erzeugenden Ay^Ä^^ ^1^99 C^iQ sind || Pg und Umrisse der zweiten Projektion der Fläche; denn die Berührungsebenen ent- lang derselben sind J_ P^, weil dies für die Tangenten der Kreis- evolventen in -4,, B^y Cj gilt. — BiB2 liegt vor den beiden anderen Umrissen, und dementsprechend ist die Punktirung vorgenommen.
344. Eine Schravibenbewegung um eine gegebene Axe ist durch ihren Sinn und ihren Parameter ä^, d. i. die zum Drehungswinkel Eins gehörige Schiebung (reducirte Ganghöhe) ganz bestimmt (335). Bei dieser Bewegung beschreiben alle Punkte eines mit der Linie der Axe starr verbundenen Raumgebildes koaxiale Schraubenlinien von gleichem Sinne und gleicher Ganghöhe; jede Linie des Gebildes beschreibt eine Fläche, welche Schratibenfläche heißt, jede Fläche beschreibt einen Schraubenkörper. Jede Schraubenlinie, jede Schrauben-
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374 IX, 344. Abwickelbare Flächen, gemeinschaft]. BerQhrangsebeneii.
fläche und jeder SchraubenJcörper bewegen sich in sich selbst weiter, oder sie sind in sich selbst verschiebbar. Eine Tangente einer der beschriebenen Schraubenlinien, indem sie stets Tangente derselben bleibt, beschreibt eine abwickelbare Schraubenflädie. Laßt man auf der Schraubenlinie die Tangente hingleiten ^ wobei sich der Berüh- rungspunkt auf der Tangente nicht verschiebt, so beschreibt jeder
Fig. 160.
Punkt der Tangente eine Schraubenlinie. Läßt man dagegen die Tangente auf der Schraubenlinie (ohne Gleiten) hinrollen, wobei der Berührungspunkt auf beiden Linien um gleiche Längen fortschreitet, so beschreibt jeder Punkt der Tangente eine Kreisevolvente in einer zur Schraubenaxe senkrechten Ebene (334).
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IX, 344. Die abwickelbare SchranbeDfl&cbe.
375
Die SchraubeDfläche hat unendlich yiele Windungen und erstreckt sich nach allen Seiten ins Unendliche. Die Rückkehrkurve trennt die Fläche in zwei Äste^ bei der gegebenen Stellung in den oberen und den unteren.
Jede der Kreisevolventen, so die in P,, hat unendlich viele, auf demselben Durchmesser des Kreises liegende Doppelpunkte, von denen D' verzeichnet isi In ihm schneidet sich eine Erzeugende des oberen und eine des unteren Flächenastes. Denkt man sich die Fläche durch die Schraubenbewegung jener Kreisevolvente erzeugt, 80 beschreibt jeder Doppelpunkt derselben eine Schraubenlinie, eine
Fig. 151.
DoppeUinie der Fläche, in welcher sich die beiden Flächenäste schnei- den. In der Figur ist die durch D gehende Doppellinie teilweise gezeichnet, und es ist auch noch ein Stück des anderen durch sie gehenden Flächenastes, begrenzt durch einen koaxialen Cy linder, in der zweiten Projektion zugefügi Die Erzeugenden dieses zweiten Astes werden leicht im Grundriß als zweite Tangenten an den Grundkreis gezeichnet und vermittelst ihrer auf der zugehörigen Evolvente liegenden Spuren in P^ und in Pj in den Aufriß über- tragen.
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376 XI, 344—345. Abwickelbare Fl&chen, gemeinschafll. BerahningsebeneiL
i^'ig. 150. Eine Berührungsebene der Fläche berührt entlang einer Erzeu-
genden, z. B. entlang W^ W^, und ihre erste und dritte Spur sind # die (auf TT/ W^' senkrechten) Tangenten der Kreisevolventen in W, und W^.
346. Um die Schnittlinie der Schraubenfläche mü einer Ebene B zu bestimmen, benutzen wir zweckmäßig die parallelen Ebenen Pi und P, als Spurebenen (I, 112); ihre Schnitte mit E proji- ciren sich in die Parallelen e^ und e^. Es ergibt sich dann der Grundriß der Schnittkurve allein aus dem Grundrisse; er ist unab- hängig von der Höhe des Schraubenganges. Um den Schnittpunkt W irgend einer Erzeugenden Wi W^ mit E zu finden, legt man durch die Erzeugende irgend eine Hilfsebene, zweckmäßig die Be- rührungsebene der Fläche; ihre Spuren sind die auf W^ W^' senk- rechten Wi Ti\ W^s'^^a'; man schneidet diese bezw. mit e^, e, in r/, T,; so bestimmt T^ Tg auf W^ TTj den Schnittpunkt W und ist zugleich die Tangente der Schnittkurve. Als ausgezeichnete Punkte erhält man:
1) Die Spitzen, wie F] sie sind die Schnittpunkte der E mit der Rückkehrkante. Teilt man die (durch M' gelegte) Falllinie E^ E^ der E in 12 gleiche Teile, entsprechend der 12 Teilung des Schrauben- ganges und des Kreises, und denkt sich die in gleicher Höhe über P^ liegenden Teilungspunkte mit denselben Zahlen bezeichnet (0 bei Ä^ und Eiy 12 bei C^ und E^), und durch die Teilungspunkte der E^ E^ Parallele zu e^, durch die des Kreises Parallele in irgend einer passenden Richtung gezogen, so stellen erstere die Ebene E, letz- tere einen die Schraubenlinie horizontal projicirenden Cylinder dar; die Schnittpunkte gleichbezifferter Geraden geben die Schnittlinie beider Flächen an, deren Schnitt mit dem Kreise den Punkt F bil- det. Von allen jenen Parallelen sind aber in der Ausführung meist zwei Paare, hier 5 5', 6 6', hinreichend, deren Schnittpunkte durch eine Gerade verbunden werden.
2) Die unendlich fernen Punkte der Schnittkurve werden einer- seits durch Erzeugende, die mit E parallel sind und andererseits
. durch unendlich ferne Erzeugende geliefert. Die mit der E paralle- len Erzeugenden findet man mittelst des Richtkegels, als dessen erste Spur man den Grundkreis A^H'B' ansehen kann. Die Höhe seiner Spitze M über P, (= h^ verhält sich dann zu der Höhe des Schraubenganges Ä, wie 1 : 2ar = M! A^ : A^A^'. Denkt man durch M eine zu E parallele Ebene gelegt, so findet man deren mit e^ parallele erste Spur JK mittelst ihres Schnittpunktes G mit E^E^, indem man beachtet, daß sein muß M'G : -E, JS^ = Ä^ : Ä «= 1 : 2» '=' M'Ai : A^'Ai. Bestimmt man daher E^ auf A^ A^ und (r, auf
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IX, 846-346. Die abwickelbare Sohraubenüäche. 377
M'A; 80, daß a;E^ = E^E^, E^G^ B A^'M\ so ist MG = MG^. Schneidet die JK den Grundkreis in J und K, so sind MJ, MK die mit E parallelen Erzeugenden des Richtkegels.' Parallel mit diesen zieht man die beiden Erzeugenden unseres Astes der Flache, so Xjij II M' K. Die Berührungsebene der Fläche entlang L^L^ schneidet dann die E in einer Asymptote N^ N^ (|| X^ ij) der Schnitt- kurve. — Andererseits liefern die unendlich fernen Erzeugenden der Fläche Zweige der Schnittkurve, die ganz im unendlichen liegen.
Hat die durch M parallel zu E gelegte Ebene 2, 1, 0 Erzeu- gende mit dem Richtkegel gemein, so besitzt die Schnittkurve auf jedem Crange der Fläche zwei unendlich ferne Punkte mit Asymp- toten, d. i. zwei hyperbolische Zweige (einen hyperbolischen Ast), oder einen unendlich fernen Punkt mit einer unendlich fernen Tan- gente, d. i. einen parabolischen Ast, oder keinen unendlich fernen Punkt, und ist dann spiralförmig.
3) Doppelpunkte besitzt die vollständige Schnittkurve auf der Doppellinie der Fläche.
346. Abunckelung der Schrauhenfläche, Die Rückkehrkante be- sitzt den unveränderlichen Krümmungshalbmesser r^ =r:cos^6 (339) und ändert denselben durch die Abwickelung nicht; sie wird dem- nach zu einem Kreise von dem Halbmesser r^. Zieht man daher IT'M'' II JB/'JB," bis M" auf a" (A,'' M" ^ \) , und dann M" Q'' J_ H" M" bis Q" auf x^j so ist H" Q"= r^. Beschreibt man nun Fig. 151. einen Kreis mit dem Halbmesser OA^ =s r^, trägt auf demselben die Länge A^' A^' (Fig. 150) eines Ganges der Rückkehrkante von -4, bis G^ auf, teilt dieselbe in ebenso viele (zwölf) gleiche Teile wie die Rückkehrkante, zieht in den Teilungspunkten die Tangenten, so sind diese die Verwandelten der Flächenerzeugenden. Trägt man auf jeder derselben vom Berührungspunkte aus die wahre Länge der Erzeugenden bis zur Spur mit der Pj bezw. P3 auf, d. h. auch die Bogenlänge bis A^ und C3, z. B. BB^'=^ Bog. 5-4,, ^^3 = Bog. BC^j so erhält man durch die Endpunkte B^, B^ . . . die Verwandelten der Kreisevolventen in P, und P^; dieselben sind demnach Evolventen des Kreises A^BC^.
Um die Verwandelte einer koaxialen Schraubenlinie der Fläche zu erhalten, z. B. der durch D' gehenden Doppellinie, übertrage man die unveränderliche wahre Länge des Stückes der Erzeugenden zwischen jener Schraubenlinie und der Rückkehrkante, nämlich -4,"-4/' der Fig. 150, auf die Tangenten der Verwandelten der Rückkehrkante, so bilden die Endpunkte einen koncentrischen Kreis mit jener Verwandelten; also sind die Verwandelten aller Schrauben- linien der Fläche koncentrische Kreise.
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378 IX, 347—348. Abwickelbare Flächen, gemeiDScbaflL BerührungscbeDen.
347. Die Vertvandelte der Schniükurve mit E erhält man zweck- mäßig durch gleichzeitiges Übertragen eines Punktes der Erzeugen- den und der Tangente in demselben. Zu dem Ende überträgt man z. B. Wi, W^ durch Bogenstücke aus Fig. 150 auf die Evolventen der Fig. 151, zieht TF; TTj und die zu W^ TF, senkrechten W^T^, Wq Tg, überträgt deren Längen aus Fig. 150, so ist T^ T^ die Tan- gente der Verwandelten in ihrem Schnittpunkte W mit W^ W^. Entsprechend überträgt man die Spitze J^ mit ihrer Tangente FP und die Asymptoten (z. B. N^ N^ | L^ L^).
Die Wendepunkte der VertmndeUen der Schnittkurve liegen auf denjenigen Erzeugenden, deren Berührungsebenen senkrecht auf der Schnittebene E stehen (38). Man bestimmt diese vermittelst des Richt- kegels (Fig. 150), indem man durch dessen Spitze M eine Senkrechte MS zu E zieht und deren erste Spur S auf E^ M'E^ bestimmt Es geschieht dies durch ümlegung in P^, indem man M'M'"S,E^]d! und = A^'M' macht und Jtf '"Ä ± E^ Jf '" zieht Die Berührungspunkte der aus S an den Grundkreis gelegten Tangenten, so U^ bestimmen die gesuchten Erzeugenden des Kegels, so MU. Die mit ihnen parallelen Erzeugenden der Fläche liefern auf der Schnittkurve zwei Punkte V und Wj welche in der Abwickelung zu Wende- punkten werden. Für W ist auch die Tangente WT^ ermittelt V liegt sehr nahe an der Spitze F, Wäre dies genau der Fall, so würde J^ ein Schnabelpunkt der Verwandelten sein; in der Figur ist die Abweichung davon nicht bemerkbar.
348. Aufg, An eine cAunckelbare Sehrauhenfläche durch einen außerhalb derselben gegebenen Puitkt P eine Berührungsebene m legen.
Aufl. 1. Man schneide die Fläche mit einer durch P senkrecht zur Flächenaxe gelegten Ebene, was in einer Ereisevolvente geschieht, lege an diese aus P alle möglichen Tangenten, so bestimmt jede derselben eine der gesuchten Berührungsebenen.
2) Sind für eine zur Schraubenaxe senkrechte Ebene, z. B. für Pj in Fig. 150, der Grundkreis des Cylinders der Rückkehrkante, dessen Evolvente als erste Spur der Fläche und eine Erzeugende der Fläche schon verzeichnet, so erspart man sich die Verzeichnung einer neuen Kreisevolvente, indem man aus P als Spitze mittelst einer Parallelen zu einer Flächenerzeugenden einen Richtkegel bestimmt, seine erste Spur verzeichnet, und an diese (Kreis) und an die erste Spur der Fläche (Evolvente) die gemeinschaftlichen Tangenten zieht Von diesen sind diejenigen die ersten Spuren der gesuchten Ebenen, von deren Berührungspunkten räumlich parallele Erzeugende beider Flächen ausgehen.
Ist P ein unendlich femer Punkt, d. h. soll die Berührungs-
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IX, 348-350. Die abwickelbare ScbraubeDß&che. 379
ebene parallel einer gegebenen Geraden p geführt werden, so löst man die Aufgabe für den Richtkegel und überträgt die Berührungs- erzeugenden parallel auf die Schraubenfläche.
349. Übungsaufgaben.
1) Eine abwickelbare Schraubenfläche durch eine zu ihrer Axe parallele Ebene zu schneiden, wenn diese von dem Cyliuder ihrer Rückkehrkante zwei, eine oder keine Erzeugende enthält.
2) Gegeben sind in einer Ebene zwei koncentrische Kreise, welche die Projektionen zweier koaxialen Schraubenlinien von glei- chem Sinne und gleicher Ganghohe auf eine zur Schraubenaxe senk- rechte Ebene bilden, und auf jedem Kreise ein Punkt als Spur der Schraubenlinie; man soll eine abwickelbare Schraubenfläche bestim- men, welche beide Kurven enthält — Zeichnet man die Evolvente von jedem Kreise mit der auf dem Kreise liegenden Spur als Anfangs- punkt, zieht aus einem der Schnittpunkte P beider Kurven deren Nor- malen, so berührt jede derselben einen der gegebenen Kreise, und es ist die Verbindungsgerade der Berührungspunkte die Projektion einer Erzeugenden e, und der sie berührende, mit den gegebenen Kreisen koncentrische Kreis die Projektion der Rückkehrkante einer der unend- lich vielen möglichen Flächen. Die Kreistangenten stellen nämlich die Tangenten der Schraubenlinien dar, welche sich in P schneiden; die Ebene derselben berührt daher die Schraubenfläche, welche durch die Schraubenbewegung der e auf den beiden Schraubenlinien hin erzeugt wird, entlang e, und die Schraubenfläche ist deswegen ab- wickelbar. Man bemerkt, daß die Ganghöhe und der Sinn der beiden Schraubenlinien unbestimmt bleiben.*)
3) Auf einem gegebenen ümdrehungscylinder vom Halbmesser r eine Schraubenlinie anzugeben, welche als Rückkehrkante einer Schraubenfläche einen Kreis von gegebenem Halbmesser r^ zur Ver- wandelten hat Welche Grenze darf r^ nicht überschreiten?
350. Die Licht- und SchaUengremen und die Lichtgleichen einer abunckelbaren Fläche sind Erzeugende, Um sie zu bestimmen, kon- struirt man sie zuerst für den Richtkegel der Fläche, und zieht mit diesen Kegelerzeugenden die parallelen Erzeugenden der Fläche als Tangenten ihrer Rückkehrkante; sie sind die gesuchten Licht- gleichen.
Aufg. Die Lichtgleichen einer abunckelbaren Schraubenfläche zu bestimmen.
Aufl. Es sei die Axe a der Fläche ± Pj, M' ihr Grundriß, der Fig. 152.
♦) Diese Aufgabe nnd Auflösung wurde von Olivier in seinen Ddveloppe- ments de GMom^trie descriptive, 1848, S. 7 ff. gegeben.
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Fig. 162.
380 IX, 350. Abwickelbare Flächen, gemeinschafÜ. BerühruDgsebenen.
aus M! gezogene Kreis i' der Grundriß derjenigen Schraubenlinie Jfc der Fläche, welche die Rückkehrkante bildet, e" der Aufriß einer mit P, parallelen Erzeugenden.
Man zeichne den Grundriß einer von der Rückkehrkante ver- schiedenen Schraubenlinie % der Fläche, als Kreis % aus M\ Der
Leitkegel der Fläche ist ein Umdrehungs- kegel, als dessen Axe, die mit a parallel ist, wir a selbst, und als dessen erste Spur wir % wählen wollen; der eine Umriß desselben im Aufriß ist mit e' parallel und geht durch den Punkt JS" der Projektionsaxe x. Sind nun M! B' und CD' die (parallelen) Grundrisse zweier parallelen Erzeugenden des Kegels und der Schraubenfläche, so haben in ihnen beide Flächen dieselbe Hel- ligkeit. Der zwischen ihnen liegende Bogen B' B' des % ist aber für alle Paare von parallelen Erzeugenden, d. i. von Linien der- V' /h V/^ selben Helligkeit auf beiden Flächen die-
'^ ^ // 1 /* selbe. Man erhält daher die Punkte des
Kreises % von bestimmter Helligkeit der Schraubenfläche, wenn man die Punkte der- selben Helligkeit des Kegels auf % um den Bogen B' B' dreht, oder unmittelbar, wenn man den Stärkemaßstab M'B' = V nach M'B' dreht und mit dem gedrehten die Konstruktion, wie für den Kegel, vornimmt. Hat man daher die erste Neigung X = xV" des Lichtstrahles l bestimmt, so zieht man (202) B"Wl. e" bis N" auf a\ und macht auf B'M' die MO = M"N" tg A = Abst Fx, wenn F auf r" und Abst. Fa'= M''N''] und Ol. = E"N" aec A = JT'G, wenn G auf T" und Abst. Ga'= E'^N". Teilt man dann für den fünf stufigen Stärkemaßstab die 0 1. in fünf gleiche Teile, zieht durch die Teilungspunkte Senkrechte zu Ol., so schneiden diese auf % die verlangten Punkte ein. Die aus ihnen an Tc' in dem Sinne von D'C gezogenen Tangenten sind die gesuchten Lichtgleichen der Fläche. Hätte man ¥ als i' gewählt, so hätte man die Berührungs- punkte der Lichtgleichen mit % erhalten, und der Stärkemaßstab wäre ± V geworden.
Im Aufriß ist ein Gang angegeben, beiderseits begrenzt durcli Erzeugende || Pg. Die Schlagschatten auf P^ imd auf die untere
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IX, 350^352. Die gemeinschaftl. BerührungBebenen mehrerer Flächen. 381
Seite der Fläche sind zugefügt; der letztere kann mittelst der Schlag- schatten der schattenwerfenden und beschatteten Linien auf eine (zu Pj parallele) Ebene bestimmt werden.
n. Die gemeinsohaftlichen Berührungsebenen mehrerer Flächen und die abwickelbare UmhüUungsfläohe zweier.
361. Um an zwei gegebene Flächen F und Fj, von denen keine abwickelbar ist^ eine gemeinschaftliche Berührungsebene zu legen y fiihre man aus einem beliebigen Punkte P als Spitze einen berührenden Kegel an jede der Flächen, schneide beide Kegel mit einer nicht durch P gehenden Ebene und ziehe an beide Schnittkurven die gemeinschaftlichen Tangenten. Die durch P und durch je eine der Tangenten gelegten Ebenen sind gemeinschaftliche Berührungs- ebenen der beiden Kegel und daher auch der beiden gegebenen Flächen. Läßt man sich P auf einer Geraden hin bewegen, wobei für den unendlich fernen Punkt die Hilfskegel zu Cylindern wer- den, so erhält man alle Lagen der gemeinschaftlichen Berührungs- ebenen, weil jede der Ebenen die Geraden schneiden muß. Alle Ebenen werden von einer abwickelbaren Fläche eingehüllt (43), deren Erzengende die Verbindungsgeraden der Berührungspunkte derselben Ebene sind. Die abwickelbare Fläche hat die gegebenen Flächen zu Leitflächen oder ist ihnen umschrieben. Sie besteht im allge- meinen aus mehreren getrennten Asten, welche man als äußere und innere Äste unterscheiden kann, wenn beide Leitflächen auf der- selben oder auf entgegengesetzten Seiten derselben liegen.
Ist eine von den beiden gegebenen Flächen abwickelbar, so ist die Aufgabe, eine gemeinschaftliche Berührungsebene zu legen, be- stimmt, d. h. es gibt deren im allgemeinen nur eine endliche An- zahl, da eine Ebene, welche eine abwickelbare Fläche berühren soll, außerdem nur noch eine Bedingung erfüllen kann (163). Sind beide Flächen abwickelbar, so haben sie im allgemeinen keine ge- meinschaftlichen Berührungsebenen.
352. Eine Ebene ist bestimmt, wenn sie drei gegebene Flächen F, Fj, Fj berühren soll, von denen keine abwickelbar ist. Um sie zu erhalten, beschreibe man eine abwickelbare Fläche um F und Fi; dieselbe berühre die F entlang der Kurve k] sodann eine um F und F^; dieselbe berühre die F entlang k\ In jedem Schnitt- punkte P von k und k' lege man die Berührungsebene an F; die- selbe berührt auch die Fj und Fg, bezw. weil P auf k und auf k' liegt. In gleicher Weise kann man auch die Berührungspunkte auf F| und Fg finden.
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382 IX, 362—354. Abwickelbare Fl&chen, gemeinschaftl. Berühniogsebeiieii.
An die Stelle einer Fläche P2 ^^^"^"^ ^^^ Punkt P treten, durch welchen die Berührungsebene gehen soll. Dieselbe ist die gemein- schaftliche Berührungsebene der aus P der P bezw. der Pj um- schriebenen Kegel.
363« Um die gemeinschaftlichen Beriihrungsebenen zweier Flächen P und Pj zu bestimmen, von denen die eine P^ abwickelbar ist, lege man an P Berührungseben^n bezw. parallel zu allen denen von Pj ; sie bilden eine der P umschriebene abwickelbare Fläche P', deren Erzeugende mit denen von Pj parallel sind. P' und P^ haben den- selben Richtkegel. Die gemeinschaftlichen Berührungsebenen von P und Pj berühren auch die P', und ihre Spuren in irgend einer Ebene P sind gemeinschaftliche Tangenten an die Spuren der P' und P, in P. Man schneide daher P' und P^ mit einer Ebene P in den Kurven Tc' und \y lege an sie die gemeinschaftlichen Tangenten, und suche unter diesen diejenigen aus, von deren Berührungspunk- ten parallele Erzeugende von P' und P^ ausgehen, so bestimmen diese Erzeugenden die gemeinschaftlichen Berührungsebenen von P', P, und P. Mit jeder von jenen gemeinschaftlichen Tangenten kann man nämlich im allgemeinen mehrere parallele Tangenten an die Spur des gemeinschaftlichen Richtkegels in P legen; eine der gemein- schaftlichen Tangenten ist zuzulassen, wenn sie für P' und für P derselben Tangente am Richtkegel entspricht; dann sind die zuge- hörigen Erzeugenden parallel. Hierbei hat man die abwickelbare Hilfsfläche P' der P und der unendlich fernen Kurve der P^ um- schrieben. Man kann das Verfahren verallgemeinern, indem man eine beliebige Kurve der P^ wählt. Ist P^ ein Kegel (oder Cylinder), so ist als diese Kurve die Spitze vorteilhaft; die P' wird dann der aus der Spitze von P^ der P umschriebene Kegel.
864. Aufg. An einen Ümdrehungskegel imd eine Kugel eine ge- mdnschaßliche Berührtingsebene m legen. Fig. 168. Aufl. Man lege P^ und Pg durch den Mittelpunkt M der Kugel,
Pj senkrecht zur Axe des Kegels, Pg durch dieselbe, so ist die Kugel durch einen aus M als Mittelpunkt beschriebenen Kreis u bestimmt, welcher ihren ersten und zweiten Umriß darstellt, und der Kegel durch die Projektionen S' (auf x) und S" der Spitze, und den in P^ liegenden, aus S' beschriebenen Grundkreis k\ Die abwickelbare Fläche, welche wir nach der vor. Nr. vermittelst Ebenen parallel zu den Berührungsebenen des Kegels S um die Kugel beschreiben, besteht aus zweien mit dem Kegel S kongruenten und parallelen Kegeln, deren Spitzen K und L sich auf der durch M gehen- den Vertikalen oberhalb und unterhalb M durch Gerade CK", GL" ergeben, welche berührend an u und parallel zu den Umrißerzeugen-
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IX, 354—366. Die gemeinschaffcl. Berfibrongsebenen mebrerer Fl&chen. 383
den des Kegels S gezogen sind und sich in C aaf x treffen. Die gemeinschaftliche erste Spur beider Kegel ist der Kreis c', welcher aus M durch C be- schrieben ist Man lege nun an die ersten Spuren k' und c der Kegel die viör ge- meinschaftlichen Tangenteu und zwar die äußeren a^ und Ol*, die im Punkte A der Projektionsaxe x
zusammenlaufen^ und die inneren i^y ii*, die sich in J treffen. Durch jede derselben geht eine gemeinschaftliche BerQhruDgsebene beider Kegel; durch die äußeren solche an dem oberen Kegel
K mit der gemeinschaftlichen zweiten Spur K"S''Ä = o^, durch die inneren solche an den unteren Kegel L mit der gemeinschaft- lichen zweiten Spur Z»"S"«r= »j. Die vier Berührungsebenen sind also aiO^, «1*08; iih) h^h» Sie berühren zugleich die Kugel.
Um noch von einer dieser Ebenen^ etwa von der ersten , die Berührungserzeugende auf dem Kegel S und den Berührungspunkt auf der Kugel zu bestimmen^ ziehe man zu a^ die Senkrechten S'B' und MD'*y sie sind die ersten Projektionen der Berührungserzeu- genden auf den Kegeln S und K. Bestimmt man dann den Be- rührungskreis e des Kegels K mit der Kugel; so ist der Schnitt- punkt E von KD und e der Berührungspunkt der Kugel. — Der aus S der Kugel umschriebene Hilfskegel wäre weniger vorteilhaft gewesen.
Änin. Die vier Auflosungen werden zu 3, 2, 1, 0, wenn der Kegel S die Kugel von außen berührt, sie schneidet, sie in sich schließt un^ berührt, sie in sich schließt und nicht berührt. 366. Übungsaufgaben.
Die gemeinschaftlichen Berührungsebenen zu legen 1) an einen Umdrehungskegel und ein Umdrehungsellipsoid, deren Umdrehungsaxen parallel sind;
\i-
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384 IX, 356—356. Abwickelbare Flächei), gemeinBchaftl. Berühmngsebenen.
2) an einen Kegel mit der Spitze S und an eine Fläche zweiten Grades F (etwa mittelst eines aus S der F umschriebenen Hilfs- kegels);
3) an einen Kegel und eine Fläche zweiten Grades^ wenn beide einen Kegelschnitt gemein haben;
4) an die abwickelbare Schraubenääche (gegeben durch die Schraubenlinie der Rückkehrkante) und eine Kugel.
356. Aufg. An drei gegebene Kugeln eine gemeinschaflUche Be- rührungselene eu legen. Fig. 154. Aufl. Man lege die Projektionsebene, welche dann allein ge-
nügt, durch die Mittelpunkte M^, Jüfg, M^ der Kugeln; sie schneidet
Fig. 154.
dieselben in größten Kreisen. Die zweien der Kugeln umschriebene abwickelbare Fläche besteht aus zwei Kegeln, dem äußeren und dem inneren, deren Spitzen auf der Mittelpunktslinie liegen. Für die Kugeln Jl/g und M^ erhält man A^ und «T^ als Spitzen des äußeren und des inneren Kegels, für M^ und Mi die Spitzen A^ und J^, für Jf^ und M^ die A^ und J,.
Eine Ebene, welche die Kugeln M2 und üf, zugleich berühren soll, muß einen der umschriebenen Kegel berühren, also durch A^ oder Ji gehen, soll sie auch noch Mi berühren, so muß sie noch einen der Punkte A^ und «Tg, und einen der beiden A^ und J^ ent- halten. Berührt sie mit derselben Seite die drei Kugeln, so berührt
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IX, 356—857. Die Fläche des Schattens and des Halbschattens. 385
sie alle drei äußeren Kegel und enthält die drei Punkte A^, Ä2, A^] und da diese alle in der Projektionsebene liegen^ so bestimmen sie die Spur der Berührungsebene und müssen daher auf eiuer Geraden liegen. A^, A^y A^ ist die Spur von zwei gemeinschaftlichen Be- rührungsebenen. Liegen dagegen die Engeln auf verschiedenen Seiten der Berührungsebene; so kann entweder M^, oder -Mg, oder M^ allein auf einer Seite liegen. Dann sind bezw. die Geraden ^^ «Tg J3; A^ J^Jxy A^ Ji eTjj die Spuren, jede wieder von zwei Berührungsebenen.
Es gibt also im allgemeinen acht gemeinschaftliche Berührungs- ebenen für drei Kugeln. Dieselben vermindern sich aber, wenn eine der Kugeln den um die beiden anderen beschriebenen Kegel oder eine der anderen Kugeln selbst berührt, oder schneidet, oder im Inneren des Kegels oder der Kugel liegt.
Die Berührungspunkte findet man, wenn man auf jeder Kugel die Berührungskreise der umschriebenen Kegel sucht, welche durch die Berührungssehnen der zu demselben Kegel gehörigen Umriß- tangenten dargestellt werden. Ihre vier Schnittpunkte auf jeder Kugel sind die Projektionen der acht Berührungspunkte zu zweien. Zu je einem der vier Paare von Berührungsebenen gehören der Reihe nach auf den drei Kugeln die Berührungspunkte B, C, D, E, wobei immer zwei mit einer Kegelspitze auf einer Geraden liegen, wie jBi, JSg mit A^, oder C^, Cg mit J3.
Anm. Durch die räumliche Bedeutung der Figur ist folgender Satz der ebenen Geometrie bewiesen. Sind drei Kreise in einer Ebene gegeben und man zieht -alle gemeinschaftliche Tangenten je zweier derselben, so liegen die sechs Schnittpunkte je zweier dieser Tangenten, welche sich auf einer Mittelpunktslinie befinden (die Ähnlichkeitspunkte je zweier Kreise), zu drei auf vier Geraden.
m. Die FUU)he des Schattens und des Halbschattens.
367. Ist die Oberfläche F eines nicht leuchtenden undurch- sichtigen Korpers den Strahlen einer leuchtenden Fläche L ausge- setzt, so erhält ein Punkt P der F volles Licht oder vollen Schatten (Kernschatten), oder Halbschatten^ je nachdem die Berührungsebene der F in P die ganze Fläche L und die Körpermasse bei P auf entgegengesetzten, oder auf derselben Seite liegen hat, oder die L schneidet. Daher ist ein Punkt der F ein Grenzpunkt zwischen vollem Licht und Halbschatten, oder zwischen Halb- und vollem Schatten, wenn die Berührungsebene der F in diesem Punkte auch die L berührt, und je nachdem die ganze L und die Körpermasse bei dem Punkte P auf entgegengesetzten Seiten, oder auf derselben
Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. TT. 25
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386 IX, 357—358. Abwickelbare Flächen, gemeiDSchaftl. BerübraagBebenen.
Seite der Berührungsebene liegen, vorausgesetzt noch, daß im ersteren Falle der Körper keinen Schlagschatten auf den Punkt wirft. Rollt eine solche gemeinschaftliche Berührungsebene, die man je nach ihrer Lage eine äußere oder eine innere (wechselnde) nennt, auf beiden Flächen ab, so beschreibt sie eine abwickelbare Fläche, welche in einen äußeren und einen inneren Äst zerfallt, so daß gilt:
Auf einer Fläche F, welche von einer leuchtenden Fläche L be- leuchtet wird, sind die Grenaen des vollen Lichtes wnd des HäCbschatiens^ und des HaUh und des vollen Schattens die BerührungsUnien der Fläche F b&sw. mit dem äußeren und dem inneren Aste der den beiden Flächen F und L umschrid)enen äbwickeJbwren Fläche.
Diese Flächenäste begrenzen auch bei dem Schlagschatten auf eine dritte Fläche das volle Licht, den Halb- und den vollen Schatten gegeneinander. Die Flächen F und L, oder eine derselben, können auch durch scheibenartige Flächenstücke ersetzt werden, welche von (ebenen oder unebenen) Linien begrenzt sind; dann sind diese Grenzlinien die Leitlinien der abwickelbaren Flächen, wobei vor- ausgesetzt ist, daß die abwickelbaren Flächen der Grenzlinien jene Flächenstücke nicht schneiden. Tritt dieser Fall ein, so müssen zweierlei abwickelbare Flächen benutzt werden.
358. Sind die Leitflächen (F und L), h&sw. LeiÜinien, vom moeiten Grade, so ist die ihnen umschrid)ene abunckelbare Fläche von der vierten Klasse (300). Dabei denkt man sich den Kegelschnitt als Ausartung der Fläche zweiten Grades, wobei ein Polartetraeder der Fläche durch ein Polardreieck des Kegelschnittes und einen be- liebigen Punkt des Braumes gebildet wird (oder auch, was aber hier nicht weiter in Betracht kommt, durch vier Punkte der Ebene des Kegelschnittes, von denen drei willkürlich sein dürfen). Die um- schriebene Fläche besitzt eine DqppeUcurve, die aus vier Kegelschnitten besteht, welche in den Ebenen des gemeinschaftlichen Polartetraeders der beiden Flächen liegen (300).
Übungsaufg. Die Fläche des Schattens und des Halbschattens mit ihren Doppelkurven^und ihrer Rückkehrkante darzustellen, wenn F und L eine Ellipse und ein Kreis sind, deren Ebenen auf der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte senkrecht stehen*). — Das ge- meinsame Polartetraeder hat zu Ecken die Mittelpunkte der beiden Kurven und die unendlich fernen Punkte der Axen der Ellipse. Die Doppelkurven sind die beiden Leitlinien und Kegelschnitte in den Ebenen, welche durch den Kreismittelpunkt und je eine Axe der Ellipse gehen.
*) la de la Gournerie's G^om^trie descriptive, B. 2, 1862, S. 64 ff., ist diese Aufgabe behandelt.
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IX, 859—360. Die Fläche von gleichförmiger Neigung. 387
IV. Die Fläche von gleichförmiger Neigung.
369, Eine Flädie von gleichförmiger Neigtmg ist eine solche Fläche, deren BerührungsAenen alle gleich geneigt sind gegen eine feste Ebene, die man als horizontal annimmt Daraus ergibt sich:
1) Diese Fläche P ist abwickelbar und hat einen Umdrehungs- Jcegel K von übereinstimmender gleichförmiger Neigung 0um RidUkegel. Denn alle Berührungsebenen der Fläche sind mit denen des be- zeichneten Kegels parallel, sie haben daher nur eine einzige Art des AblanfS; woraus folgt, daß die Fläche abwickelbar (163); und jener Eegel ihr Richtkegel ist.
2) Die Erzeugenden der Fläche sind parallel mit denen des Richtkegels ^ also Linien von gleicher Neigung und Falllinien der Berührungsebenen; dcther sind die Erzeugenden und ihre Horizontal- Projektionen Normalen jeder Horizontalspur der Fläche und werden von der Evolute dieser Spur eingehüllt; diese Evolute bildet daher einen Umriß der Fläche.
3) Die Erzeugenden berühren den vertikalen Cylinder^ dessen Horizontalspur jene Evolute ist, und bilden wegen ihrer gleichför- migen Neigung auf diesem Gylinder die Tangenten einer Schrauben- linie] dieselbe ist die Bückkehrkante der Fläche F, und diese kann als eine allgemeine abunckelbare Schraubenfläche bezeichnet werden.
4) Jede Horizontalspur der Fläche ist eine Evolute der Hori- zontalprojektion der Rückkehrkante und der Rückkehrkante selbst (44). Die Horizontalprojektionen aller Horizontalspuren der Fläche sind daher äquidistante oder parallele Kurven.
5) Eine Fläche von gleichförmiger Neigung ist durch ihre Nei- gung und eine Leitlinie l bestimmt, der sie umschrieben ist; die Leitlinie ist eine Doppelkurve der Fläche. Die Leitlinie kann auch durch eine Leitfläche L ersetzt werden, welche von jeder Lage der beweglichen Ebene berührt wird.
360. Ist die Leitlinie l oder die Leitfläche L vom zweiten Grade, so ist die Fläche von gleichförmiger Neigung P von der vierten Klasse (300). Denn als die andere Leitfläche dieser abwickelbaren Fläche F ist der Richtkegel K, oder als ihre andere Leitlinie dessen unend- lich ferner Kegelschnitt k anzusehen; und diese sind ebenfalls vom zweiten Grade. Daher besitzt die Fläche vier Doppelkegelschnitte, welche in den Ebenen des gemeinsamen Polartetraeders T beider Leit- gebilde liegen, und zu welchen Doppelkegelschnitten jener unendlich ferne k gehört (358). Die ihm gegenüberliegende Ecke des T ist der Mittelpunkt des zweiten Leitgebildes. Ist dieses eine Linie zweiten Grades l, so ist dieselbe die zweite Doppellinie; und die
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388 IX, 860—361. Abwickelbare Flächen, gemeinschaftl. Berührangsebeoen.
ihr gegenüberliegende Ecke des T ist der unendlich ferne Punkt des zu der Ebene der l konjugirten Durchmessers des Bichtkegels JL Die beiden anderen Ecken des T sind die Punkte der unendlich fernen Geraden der Ebene von l, welche sowohl in Bezug auf 1^ als auf h (oder K) zu einander konjugirt sind; und welche etwa mittelst zweier Strahleninyolutionen aus dem Mittelpunkte und in der Ebene von l nach I^ 350 konstruirt werden.
Ist dagegen das zweite Leil^ebilde eine Fläche zweiten Grades L; so sind neben dem Mittelpunkte von L die drei anderen Eck- punkte des % die Ecken des gemeinsamen Polardreiecks der unend- lich fernen Kegelschnitte von K und von L. Sie werden mittelst einer im Endlichen 9 zweckmäßig horizontal gelegten Ebene E gefunden, indem man etwa aus dem Mittelpunkte von L als Spitze den Kegel nach dem unendlich fernen reellen oder imaginären Kegelschnitte der L; und den Richtkegel legt; beide mit E schneidet^ wobei die erstere Schnittkurve; wenn sie imaginär ist; durch einen ideellen Kegelschnitt dargestellt wird, während die zweite ein Kreis ist, zu beiden Schnittkurven nach I, 398, oder nach IT; 23 S., das gemein- schaftliche Polardreieck sucht, und dessen Eckpunkte aus der Kegel- spitze ins Unendliche projicirt
Übungsaufgaben. Man konstruire die Fläche von gleichförmiger Neigung, insbesondere ihre Doppelkurven, ihre Rückkehrkante und mehrere Horizontalschnitte in ihren wechselnden Formen,
1) wenn die Leitlinie l eine Ellipse oder Hyperbel oder Parabel ist, von welcher a) beide, b) eine, c) keine Axe horizotal liegen*);
2) wenn die Leitfläche L ein EUipsoid oder eine andere Fläche zweiten Grades ist, von welcher a) zwei, b) eine, c) keine Axe horizontal liegen.
V. Die topographiflohe Fläche.
361. Die topographische oder Terrainfläche ist die Fläche des Erdbodens imd wird durch kotirte Projektionen dargestellt. Man kann mittelst dieser Projektionen auch jede andere Fläche darstellen und Aufgaben über dieselbe losen; aber vorteilhaft sind sie nur bei der topographischen Fläche und wurden auch für sie erfunden (I, 21).
Nach diesem Verfahren legt man Niveauflächen (Flächen des Wasserspiegels), das sind Flächen, welche die Lotlinien senkrecht durchschneiden. Man kann diese Flächen nicht in gleichförmigen
*) Diese Aufgaben wurden eingehend behandelt von Herrn de la Gour- nerie in seiner G^om^trie descriptive, B. 2, 1862, S. 104—126, und dabei die Doppelkurven analytisch bestimmt.
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IX, S61. Die topographische Fläche. 389
Abständen legen ^ weil sich die Abstände zweier unendlich nahen Niveauflächen an zwei verschiedenen Punkten umgekehrt wie die Schwerkräfte an diesen Punkten verhalten ; da unter dieser Be- dinguug die Stärke des Drucks der Schicht auf die untere Fläche an jeder Stelle dieselbe ist. Für eine kleinere Ausdehnung der topographischen Fläche dagegen ist dies möglich^ indem man die zugehörigen Stücke der Niveaufiächen als Teile von koncentrischen Kugeln oder gar von horizontalen Ebenen ansehen darf, wie wir es thun werden. Man wählt dann als Abstand zweier solchen be- nachbarten Niveauflächen, oder als Schichthöhe ein Meter oder ein ganzzahliges Vielfaches oder einen ganzzahligen (aliquoten) Teil des Meters, und als Vergleichsebene die Meeresfläche (1, 116). Diese be- stimmten Niveauflächen, von welchen die Vergleichsebene eine sein muß, nennt man die Schicht flächoi, insbesondere die Schichtebenen. Man schneidet sie mit der topographischen Fläche in Linien, welche Niveaulinien oder HorisantaUinien heißen, und projicirt alle auf eine Niveaufläche, im besonderen auf eine horizontale Ebene; dann ist durch diese Projektionen und durch die Höhenzahlen oder Koten der Linien die Fläche bestimmt, und zwar um so genauer, je kleiner die Schichthöhe gewählt wurde. In der Figur sind die Horizontallinien Fig. 155. ausgezogen, und die beigesetzten Zahlen bedeuten ihre Höhen über der Meeresfläche in Metern. Man erkennt nun im einzelnen:
1) Der Schnitt der topographischen Fläche mit einer vertikalen Ebene wird leicht bestimmt. Die Gerade AB sei der Grundriß des Schnittes, die krumme Linie A'B' ist dann sein Aufriß. Dabei wer- den gewöhnlich, um die Höhenverhältnisse kenntlicher zu machen, die Höhenmaße in einem größeren Maßstabe, als die Horizontal- maße aufgetragen; in der Figur sei es im doppelten.
2) Die Berührungsebene der Fläche in einem Punkte P ist die Ebene der Tangenten der durch P gehenden Horizontallinie und der Schnittkurve mit einer durch P gelegten Ebene, zweckmäßig einer vertikalen. Dadurch ergeben sich in der Figur ihre Schnitte mit den Schichtebenen 61 und 60 als PT und ihre Parallele QB^ wenn man B"Q' nach BQ m AB überträgt.
3) Bas Gefalle oder die Böschung der Fläche (T, 118) in einem Punkte P ergibt sich gleich der Schichthöhe, geteilt durch den Abstand der Spuren der Berührungsebene der Fläche in P in zwei benachbarten Schichtebenen; in der Figur ist er «■^P'P":PjB a= 0,13, wobei der Paktor ^ von der angenommenen Verdoppelung der Höhenmaße herrührt Bei gleichförmigem Gefälle ist Pü gleich dem Abstände zweier Horizontallinien. Die Fläche ist daher an
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390 IX, 361—362. Abwickelbare Flächen, gemeinschaftl. Berühnmgsebenen.
einer Stelle am so steiler^ je näher daselbst die Horizontallinien beieinander liegen.
362. Die Linien der größten Neigung oder die FaiUinien sind diejenigen Linien der topographischen Fläche, welche in jedem ihrer
Fig. 155.
/^^^"^'-^^^ '^^^^^^'^^^ /'^^ifrV ^ V^^^^^^^^N^^"""''^^^ V^'^'v^
•^^^^^^^^
Punkte stärker geneigt sind^ als jede andere durch diesen Punkt gehende Linie der Fläche; sie selbst und ihre Horizontalprojektionen schneiden daher die Horizontallinien senkrecht. In der Figur sind Fall- linien gestrichelt angegeben. Die Falllinien und ihre Horizontal- projektionen sind im allgemeinen krumm und die letzteren nur dann
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IX, 362. Die topographische Fläche. 391
sämtlich gerade^ wenn die Horizontallinieu äquidistante (parallele) Linien bilden (I, 238) ^ z. 6. parallele Gerade oder koncentrische Kreise. In den Falllinien bewegt sich das Wasser zu Beginn seiner Bewegung oder nahezu das langsam fließende Wasser, das nicht viel durch die Trägheit abgelenkt wird.
Die EigenHimlichkeiten der HorizontdlUnien und die der Fall- linien sind toesesenÜich von einander verschieden. Die Horizontaüinien sind, wie das Meeresufer, geschlossene Linien. Sie werden zu Punkten in einem höchsten oder CHpfe^mikte, und in einem tiefsten (auf dem Grunde des Meeres oder einer Bodenvertiefung oder Mulde), den man Müldenpunkt nennen könnte. Wenn zwei Horizontallinien, welche verschiedenen Bergen angehören, beim Abwärtssteigen in einem Punkte mit horizontaler Berührungsebene der Fläche zusam- mentreffen, so bilden sie hier einen Doppelpunkt, und dieser Punkt heißt ein Sattelpunkt (S). Die Horizontallinien sind im allgemeinen stetig; eine Ecke kommt vor in einer Bodehkante^ d. i. entweder in einer scharfkantigen Rinne oder in einem Grate^ wie sie meist nur bei nacktem Felsen auftreten.
Die Falüinim verlaufen im allgemeinen getrennt von einander, da im allgemeinen durch einen Punkt der Fläche nur eine solche geht Nur durch einen höchsten oder tiefsten Punkt H (Gipfel- oder Muldenpunkt) gehen unendlich viele, nämlich in jeder horizon- talen Richtung eine; und durch jeden Punkt einer Bodenkante gehen drei, nämlich diese Linie selbst und eine in jedem Abhänge, welcher in ihr endet Die Bodenkante schneidet die Horizontallinien in ihren Ecken, und dies stimmt mit dem senkrechten Schneiden der Horizontallinien mit den gewöhnlichen Falllinien überein (1, 194). Da- her gehen alle Falllinien, welche auf eine Bodenkante treffen, in dieselbe über. Jede Falllinie steigt bis zu einem höchsten Punkte (einem Gipfel) und sinkt bis zu einem tiefsten (des Meeresgrundes oder einer Mulde). Läßt man sie diese Punkte gerade überschreiten, so ist sie unbegrenzt und im allgemeinen ungeschlossen, da sie im allgemeinen nicht in sich selbst zurückkehrt. Endlich ist jede Linie der Fläche, auf welche außer in einem höchsten oder tiefsten Punkte eine Falllinie nirgends auftriffb, selbst eine Falllinie; außerdem sind nur noch Bodenkanten Falllinien.
Die Falllinien einer Umdrehungsfläche mit lotrechter Axe bilden deren Meridianlinien; ihre Grundrisse sind Gerade.
Horizontallinien und Falllinien sind im Grundriß zwei Schaaren von gegenseitigen senkrechten Tr(yektorien, also reciprok. Nicht aber dürfen sie vertauscht werden, wenn sie die kotirte Projektion einer krummen Fläche, und gar einer Bodenfiäche, bilden.sollen; dem
t-;;;iv^>---ITYjpogIe
392 IX, 362—363. Abwickelbare Flächen, gemeinschafU. Berührnngsebenen.
Fig. 155. widerspricht durchaus die Verschiedenheit ihrer Eigentümlichkeiten, wonach die einen geschlossene Linien im allgemeinen mit einfachem Verlaufe, oder höchstens mit Doppelpunkten, die anderen im allge- meinen ungeschlossene Linien mit unendlich vielfachen Punkten sind.
363. Zwei Linien der topographischen Fläche sind von beson- derer Wichtigkeit, die Rinnelinie oder der Thalweg (CSD der Figur), und die Rückenlinie oder die Wassersdieide {ES HF). Beide sind Linien, über welche das langsam fließende Wasser nicht quer hin- überfließt, sie sind also Falllinien. Die Rinnelinie insbesondere ist eine solche Falllinie, zu welcher das abfließende Wasser zu beideu Seiten von verschiedenen Abhängen zuströmt und entlang welcher es bei hinreichender Menge einen Bach oder einen Fluß bildet; die Rückenlinie ist eine solche, von welcher das beiderseits fließende Wasser sich entfernt und verschiedenen Rinnelinien zufließt. Rasch fließendes Wasser kann durch seine Trägheit eine Rücken- oder eine Rinnelinie überschreiten, oder sie verlassen, wenn es in der- selben floß; in die Rückenlinie kehrt es dann nicht zurück, wohl aber im allgemeinen in die Rinnelinie. Die erstere ist daher eine Linie des labilen^ die letztere eine des stabilen Fließens.
Bei der geometrischen Auffassung wird das fließende Wasser durch Falllinien ersetzt. Daher sind die Rücken- und Rinnelinien in besonderen Fällen die in den Bodenkanten liegenden Falllinien, und auf diese stoßen die benachbarten Falllinien auf; im allgemeinen aber sind es solche Falllinien , in deren Nähe die anderen Falllinien weit kleinere gegenseitige Abstände besitzen, als an entfernteren Stellen, an welche sich die benachbarten Falllinien in asymptotenähnlicher Weise annähern, und zwar im Steigen oder Fallen, je nachdem die Linien Rücken- oder Rinnelinien sind, und von denen aus, wenn sie Rückenlinien sind, die auf .verschiedenen Seiten liegenden Fälllinien nach verschiedenen Rinnelinien hin, und wenn sie Rinnelinien sind, nach versdUedenen Rückenlinien hin laufen*). Hieraus folgt auch, daß der obere End- punkt einer Rinnelinie und der untere einer Rückenlinie, wenn nicht in einem Sattelpunkte der Fläche, in einem Flachpunkte einer Hori- zontcdlinie liegt, d. i. in einem Punkte, in dem die Horizontallinie von ihrer Tangente vierpunktig berührt wird (I, 246). Es ist die Annäherung als „asymptotenähnlich*^ bezeichnet worden, weil sich die Falllinien (in einem höchsten oder tiefsten Punkte) schneiden, während „asymptotische" Linien im Endlichen nicht zusammentreffen.
*) Boussinesq (Comptea rendns, B. 76, 1872, S. 198 f.) stellte einen Begriff dieser Linien (lignes de falte et de thalweg) auf, den ich nioht für zutref- fend halten kann.
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IX, 363. Die topographische Fläche. 393
Die Rücken- und Rinnelinien unterscheiden sich daher nur durch das Auf- und Absteigen der sich annähernden anderen Geföllelinien, was im Grundriß nur durch die beigeschriebenen Hohenzahlen zu entscheiden ist. Ohne diese Zahlen besitzen sie im Grundriß keinen Unterschied, und durch Umkehrung des Sinnes des Zunehmens der Höhenssahlen tverden die Rücken- zu Rinnelinien und umgekehrt. Die Horizontallinien haben ihre hohle Seite in Punkten einer Rücken- linie im Inneren, in Punkten einer Rinnelinie im Äußeren der Erdmasse.
Geht man von einem höchsten Punkte abwärts, so durchschreitet man zunächst Horizontallinien, deren hohle Seite in jedem ihrer Punkte in der Erdmasse liegt. Es kann dann an einer Stelle eine **ig. ise. Umstülpung eintreten, so daß sich die p. ^^^
hohle Seite nach außen kehrt. Die Grenze ^
zwischen beiderlei Horizontallinien bildet ;l\
eine solche A, welche einen Flachpunkt F i^,
besitzt. Die Falllinie dieses Punktes in ihrem abwärts gehenden Teile g ist aber eine Riunelinie. Denn die benachbarten FalUinien, abwärts gezogen, nähern sich ihr, während sie aufwärts gezogen sich den beiderseits liegenden Rückenlinien r^ r^ nä- hern, wie dies aus der Gestalt der Horizontallinien hervorgeht. Der aufwärts gezogene Teil der Falllinie des Flachpunktes ist keine Rinuelinie, weil sich ihr die aufwärts gezogenen Falllinien nähern; sie ist aber auch keine Rückenlinie, weil die Falllinien, nach unten gezogen, sich nicht yerschiedenen, sondern derselben Rinnelinie an- schließen. Bei dem Flachpunkte findet die stärkste Aufbauschung des Bündels von Falllinien statt.
Es kommt häufig vor, daß sich ein abwärts gehender Berg- rücken in zwei Rücken teilt, und daß unterhalb der Teilungsstelle zwischen beiden Rücken ein Thal entspringt] oder daß zwei abwärts gehende Thäler sich vereinigen, und daß ein zwischen ihnen ver- laufender Rücken oberhalb der Yereinigungsstelle endet. In dem ersten Falle, dem der zweite reciprok gegenübersteht, lösen sich aus dem Bündel der nahe benachbarten Falllinien des noch un- geteilten Rückens r zwei absteigende Falllinien los, die sich weiter unten deutlich als Rückenlinien r^, r^ erweisen, und eine dritte, welche zu einer Rinnelinie g wird. Es laufen dann auf dem noch ungeteilten Rücken zwei Rückenlinien nahe nebeneinander her, welche einen Streifen einschließen, der zu dem Gebiete des erst weiter unten entstehenden Thaies gehört. In gleicher Weise läuft auf einem
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394 IX, 363—364. Abwickelbare Flächen, gemeinschafbl. Berührangsebenen.
hocUiegenden Rücken im allgemeinen eine größere Anzahl von Rückenlinien hin, welche den Rücken zugehören, die in größerer Tiefe ans dem ersteren Rücken entspringen.
364. DciS GefiUle einer topographischen Fläche ist entlang einer Horizontallinie derselben in demjenigen Funkte ein größtes oder em Meinstes, in welchem der Grundriß einer Falllinie einen Wendeptinkt besitzt. Es ist ein größtes, wenn die beiderseits benachbarten FaiUinien jenem Punkte beide ihre hohlen, ein Tdeinstes, wenn sie ihm beide ihre erhabenen Seiten zukefiren. Die Verbindungslinie dieser Wende- punkte heißt eine Linie des größten oder kleinsten Geßlles der Fläche''). Fig. 157. Es seien nämlich h und h^ zwei benachbarte Horizontallinien,
a und b zwei benachbarte Palllinien; dieselben schneiden die ersteren Linien bezw. in den Punkten A, B und Ä^ B^] es habe die a in J. einen Wendepunkt und es kehre die b dem Ä in Fig. a) ihre hohle, in Fig. b) ihre erhabene Seite zu. Die a hat, weil Ä ein Wendepunkt derselben, in A und A^ dieselbe Tangente AA^KK^, die b habe in B und B^ bezw. die Tangenten BK, B^K^, Diese Linien sind zugleich die Normalen der h und \ ; daher sind K und K^ bezw. die Krümmungsmittelpunkte von h und hl in A und A^. Nun liegt offenbar in a) Kl innerhalb, in b) außerhalb -4 -K"; daher schneidet der Kreis, welcher aus K^ oder koncentrisch mit dem Kreisbogen A^ B^, durch B gelegt wird, die AA^ in a) außerhalb AA^, in b) innerhalb AAi ; oder es ist in a) AA^ < BB^ , in b) AA^ > BB^. Daher ist das Gefalle der Fläche in a) bei A größer als bei B, in b) kleiner. Es ist also in einem Punkte A einer Horizontallinie h, in welchem die Falllinie a einen Wendepunkt hat, das Gefalle der Fläche größer oder kleiner, als in einem benachbarten Punkte B der h, je nach- dem die Falllinie b von B dem Punkte A ihre hohle oder ihre er- habene Seite zukehrt Hieraus folgt aber der Satz.
Eine Linie des kleinsten Gefälles k (Fig. 155) liegt in einer Bücken- oder Rinnelinie, wenn die fragliche der letzteren Linien eine Bodenkante oder wenn ihr Grundriß eine Gerade ist. In den anderen Fallen umcht
*) Der erste Teil dieses Satzes wurde analytisch schon von Boussinesq (Comptes rendas, B. 73, 1871, S. 1368 f.) nachgewiesen, und der Verlauf der Linien gegen die Rficken- und Rinnelinien von ihm bezeichnet. Die Kenn* zeichen des Maximums und Minimums gibt er nicht an.
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IX, 364—366. Die topographische Fläche. 395
sie von dieser Linie ah; es liegt aber eine Linie des Tcleinsten Gefälles gam nahe hei einer krummen Bücken- oder Rinnelinie j und moar auf ihrer erlwbenen Seite, Denn indem die auf ihrer erhabenen Seite liegen- den benachbarten Falllinien, welche ihr bei der asymptotenähu- lichen Annäherang ihre hohle Seite zukehrten ; sich rasch bei ihrer Entfernung abwenden^ kehren sie ihr dann ihre erhabenen Seiten ZU; so daß auf ihnen ein Wendepunkt durchlaufen wird. Die Linie dieser Wendepunkte ist aber eine solche Meinsten Gefälles, weil sie solche Wendepunkte der Falllinien enthält, denen die beiderseits benachbarten Falllinien ihre erhabenen Seiten zukehren. Eine Linie des kleinsten Gefälles schneidet die Rücken- und Rinnelinien in deren Wendepunkten.
Andererseits liegt eine Linie des größten Gefälles g (Fig. 153) im allgemeinen in Mitten eines Abhanges^ der eine liücken- mit einer Rinne- linie verbindet, indem der Übergang entlang einer Falllinie von der einen zur anderen jener Linien meist mit Umkehr des Sinnes der Krüm- mung, d. i. mit Durchschreitung eines Wendepunktes geschieht, denen die beiderseits benachbarten Falllinien ihre hohlen Seiten zukehren. Doch ist auch der Fall denkbar, daß zwischen einer Rücken- und einer benachbarten Rinnelinie eine Falllinie keinen oder nur einen nahe bei einer dieser Linien liegenden Wendepunkt besitzt, so daß hier keine Linie des größten Gefälles auftritt. Wenn z. B. die Horizon- talprojektionen jener beiden Linien koncentrische Kreise sind, so ist es möglich, daß die Falllinien zwischen ihnen gar keinen Wende- punkt besitze^. Dann besteht auf dem zwischenliegenden Abhänge keine linie größten Gefölles, aber auch in der Nähe der durch den kleineren Ejreis dargestellten Linie keine Linie kleinsten Ge- föUes. Es nimmt vielmehr das Gefälle entlang seiner Horizontal- linie von einem auf den größeren Kreis projicirten Punkte gegen einen auf den kleineren Kreis projicirten und über diesen hinaus beständig zu, so daß erst jenseits derselben, wenn sich hier die Umstände ändern, eine Linie des größten und dann erst bei der folgen- den Rücken- oder Rinnelinie eine Linie des kleinsten Gefälles auftritt.
366. Die Linien, welche die Punkte der größten oder der kleinsten Krümmung der Horizontallinien verbinden und die Linien der größten oder kleinsten Horufontalkrümmung heißen mögen, wei- chen meistens nicht viel von den Rücken- und Rinnelinien und von den Linien des kleinsten Gefälles ab. Daß sie aber im aU- gemeinen von ihnen verschieden sind, erkennt man deutlich an einem schiefen elliptischen Kegel. Bei demselben ist im Grund- riß eine größte Normale, von der Spitze auf die Grundellipse ge- fällt, von denen eine oder zwei bestehen, eine Rückenlinie und
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396 I^) 365 — 366. Abwickelbare Flächen, gemeinschaftl. BerühniDgdebeneD.
zugleich eine Linie kleinsten Gefälles; eine kleinste Normale, deren ebenso viele wie größte bestehen, eine Linie des größten Gefälles, während es eine Rinnelinie nicht gibt; die Geraden von der Spitze nach den Scheiteln der großen und kleinen Axe der Ellipse sind die Linien bezw. der größten und kleinsten Horizontal krQmmung.
866. Die Gestalt der Bodenfläche wird durch geologische und meteorologische Vorgänge gebildet ^ so durch das Erstarren feuerflüssiger Massen, durch Faltungen und Brüche der Erdrinde, durch das Ab- und Anschwemmen durch Meteorwasser, durch das langsame Nieder- sinken fester Eörperteilchen auf den tiefen Meeresgrund. Einige dieser Vorgänge sind unstetig, wie die Brüche, und haben unste- tige Formen zur Folge, wie die Felsgrate und die scharfen Binnen in nacktem Gestein. Andere sind mehr oder weniger stetig, wie das Verwittern, das Ab- und Anschwemmen, und haben mehr oder weniger stetige Formen zur Folge. Aus der StetigTceit^ wo dieselbe bei der topographischen Fläche besteht, können durch geometrische Folgerungen Eigenschaften der verschiedeneu Linien der Fläche her- geleitet werden, welche geometrische Eigenschaften derselben heißen mögen. Als solche führen wir folgende an:
\) Im Grundrisse hat in einem höchsten oder tiefsten Punkte H einer stetigefi topographischen Fläche eine Falllinie, wenn sie in un- geänderter Richtung über denselben fortgesetzt ttnrd, im allgemeinen einen Wendepunkt Denn jede stetige Fläche schmiegt sich nach der später zu gebenden Lehre der Krümmung in jedem elliptischen Punkte derselben, also auch in einem höchsten oder Flg. 158. tiefsten (Gipfel- oder Muldenpunkte) einem EUipsoide Kg. 158. /'Cr?\ *^; ^^8 im besonderen auch eine Kugel sein kann, so daß im Grundrisse die benachbarten Horizontal- linien A, Aj, weil sie beiden Flächen gemeinsam sind, ähnliche und ähnlich gelegene koncentrische Ellipsen (indicatrix) bilden, woraus folgt, daß deren Mittelpunkt H ein Punkt jeder Trajektorie und zu- gleich ein Symmetrie-, daher ein Wendepunkt der- selben ist. Die Axen dieser Ellipsen sind Tangenten der Projek- tionen der Linien des größten und kleinsten Gefälles der Fläche im Punkte JS", weil das Gefälle der Fläche in den Scheiteln einer sol- chen Ellipse ein größtes oder kleinstes ist, da dies für den Kegel gilt, der das EUipsoid entlang der .Ellipse berührt. Daher gilt:
In einem höchsten oder tiefsten Funkte einer topographischen Fläche schneiden sich im allgemeinen eine Linie des größten und eine des kleinsten Gefälles rechtwinklig; die erstere Linie berührt in jenem Punkte eine Bücken- bessw. Binnelinie. (Vergl. Fig. 155.) Ist aber die Fläche
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IX, 366—367. Die topographische Fiftche.
397
in einem höchsten oder tiefsten Punkte kugelartig^ so werden die Ellipsen zu Kreisen ^ und es gehen von jenem Punkte die genannten Linien nicht aus, bilden sich vielmehr erst in einem Abstände von jenem Punkte, und möglicher Weise auch mehr wie zwei von jeder Art der Linien.
2) In einem Sattelpunkte S (Fig. 155) schneiden sich 0u?ei Linien kleinsten Gefälles k rechtwinklig unter HaUnrung der beiden Winkel der durch S gehenden Zweige der Horusonlallinie, Außerdem gehen durch S eine Rücken- und eine Rinnelinie, welche die Linien des klein- sten Gefälles berühren. Eine i/oeitere Falllinie geht nicht durch S. Eine anschmiegende Fläche in einem Sattelpunkte ist ein einscha- liges Hyperboloid; dasselbe wird von der Horizontalebene von S in Kg. 159. zwei Erzeugenden, und von zweien bei- p. ^-^
derseits von S in gleichen, unendlich kleinen Abstanden liegenden horizontalen Ebenen in Hyperbeln geschnitten, deren Projektionen Ä, h^ auf die durch 8 gelegte Horizontalebene konjugirt sind und jene Erzeugenden zu Asymptoten haben. Die aufeinander senkrechten Axen der Hyper- beln sind ebensowohl Elemente der Linien kleinsten Gefälles der Fläche, weil dies für jeden Eegel gilt, welcher die Fläche entlang einer der Hyperbeln berührt, als auch Elemente bezw. von einer Bücken- und einer Rinnelinie, wie aus dem Verlaufe der (punktirten) Falllinien hervorgeht Die Asymptoten endlich sind Tangenten der Horizontal- linie der topographischen Fläche. Aus allem diesem folgt der Satz.
367. Meteorologischer Natur sind die Vorgänge, daß in dem Ge- biete des Abschwemmens, dem Hochlande, die Meteorwasser Gerinne auswaschen, daß daher gegen abwärts sich vermehrende Rinnelinien auftreten, daß dadurch eine Verzweigung der Rückenlinien eintritt, daß sich Rinnelinien vereinigen und dadurch Rückenlinien abschließen; daß dagegen in dem Gebiete des Anschwemmens, der Tiefebene^ insbesondere in einem Flußdelta, die herbeigeschwemmten Erdmassen wegen des zu geringen Gefälles nicht mehr weitergeführt werden können, daß sie sich niedersetzen und neue Rücken bilden, die zu einer Teilung der abwärts gehenden Rinnen führen. — Der Cha- rakter der Linien wechselt mit der Entstehungsweise des Bodens. Wurde er durch Abschwemmen geformt, so sind die Horizontal- kurven in der Nähe der Rücken- und Gerinnelinien am stärksten gekrümmt infolge des geringsten Abschwemmens an den ersteren und des stärksten an den letzteren. Ist der Boden durch einen Lavastrom gebildet, so verlaufen an dessen (steilen) Rändern Linien
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Fig. 160.
398 IX, 367—368. Abwickelbare Flächen» gemeinschaftl. Berübrongsebenen.
der stärksten HorieontaUcrümmung. — Im tiefen Meeresgrunde mögen die langsam niedersinkenden festen Körperteilchen ein Yorherrsehen- des Ausfällen der Tiefen bewirken.
368. Grundaufgäben über die tapographisdie Fläche, Pig 160. 1) Die Schnittlinie der Fläche mit einer Ebene m ermitteln. Die
Ebene ist durch ihren Gefallemaßstab e (I, 119) gegeben. Man lege
durch dessen Teilpunkte die (zu e senkrechten) Hauptlinien der Ebene; der Schnittpunkt einer jeden mit der Horizontallinie der Fläche von der gleichen Höhenzahl ist ein Punkt der Schnittlinie s.
2) Den Schnittpunkt P der FläAe mit einer Geraden g zu bestimmen. Man lege durch die Gerade eine Ebene, schneide sie mit der Fläche, so ist der Schnittpunkt der Schnittlinie mit g der gesuchte Punkt P. — Sucht man zuerst diejenige Stelle der Geraden, welche zugleich zwischen zwei Punkten dieser Geraden und zwischen zwei Horizon- tallinien der Fläche liegt, die bezw. dieselben auf einander folgen- den Höhenzahlen besitzen (in der Figur 24 und 25), so erhält man mittelst der durch jene Punkte der Geraden in passender Richtung gelegten Hauptlinien einer Hilfsebene zwei Punkte von deren Schnitt- linie mit der Fläche, und zeichnet man dieselbe zwischen diesen Punkten als gerade Linie, so liefert deren Schnitt mit g den Punkt
P. Ist die Gerade nicht ^^^- ^^^' genau genug, so ermittelt
man noch einen dritten Punkt der Schnittlinie.
3) Auf einer stetigen Fläche von einem gegebenen Funkte F aus eine stetige Linie von gegebenem Ge- fälle y 0u legen.
Ist die Schichthöhe a, Fiff 161- so ist die Länge der Linie
zwischen zwei aufeinander folgenden Horizontallinien (Kurven), oder das Intervall ie=s a:y. Ist P ein Punkt einer Kurve, so beschreibe man aus P mit dem Halbmesser i einen Kreis und schneide mit ihm die beiden benachbarten Kurven in vier Punkten; dann ge- hören je zwei derselben einer der beiden möglichen Kurven an. Von den zweien auf derselben Horizontallinie liegenden Schnittpunkten Q und Q' fährt man in gleicher Weise fort, behält aber dabei der
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IX, 368—369. Die topographische Fläche. 399
Stetigkeit der zu bestimmenden Kurve halber nur den dem P gegen- überliegenden Schnittpunkt bei; u. s. w. Liegt P nicht auf einer der Kurven, so beachtet man, daß sich die Linienstücke von P bis zu den benachbarten Kurven verhalten wie die senkrechten Abstände des P von diesen Kurven, und daß ihre Summe =» i isi
4) Ztmschen ewei Ptmkte R und 8 der Fläche eine Linie von gleichförmigem Geßlle m legen. Man verbindet R und S durch eine Kurve, welche nach dem Augenmaße gleiche Stücke zwischen den aufeinander folgenden Kurven besitzt, trage die ungeföhre mittlere Länge dieses Stückes in der Weise wie bei der vorigen Aufgabe von R aus weiter, bilde zwei derartige Probelinien, die im allge- meinen beide nicht nach S führen werden, imd füge dann durch ver- hältnismäßige Einschaltungen auf den Horizontallinien eine weitere Kurve zu, deren Stücke zwischen den Horizontallinien man auf ihre Gleichheit prüfe und etwa verbessere.
369. Ätifg. Über einen geneigten Boden soll auf einem Damme eine ansteigende Eisenhahn in einer gegebenen hreisförmigen Kurve ge- führt werden; der Erddamm soU eine gegebene gleichförmige Böschung erhalten, an einer Stelle durch eine ebenfalls gelöschte Mauer gestützt werden, und a/n diese soU sich der Erddamm kegelförmig anschließen. Es sind die Schnittlinien der verschiedenen Flächen 0u vergeichnen*).
Aufl. Von der 2 m breiten Bahnkrone seien im Grundrisse die Fig. i62. Axe durch den Bogen AB eines Kreises von 15 m Halbmesser, die Randlinien daher durch Kreise von 14 und 16 m Halbmesser ge- bildet; der Mittelpunkt M dieser Kreise liegt außerhalb der Zeich- nung. Femer sei die Hohe des Punktes A über dem Meeresspiegel = 50 m, das Gefälle der gegen B steigenden Mittellinie der (Zahn- rad-)Bahn /J = 1 : 5; dann beträgt, wenn die Schichthöhe a = ^ m ist, das Intervall auf der Kronaxe i <=» a : /3 = ^ • 5 «» 2,5 m. Entlang des Stückes CB der Bahn sei der Damm gegen das Thal durch eine Mauer von 1 m Kronbreite gestützt. Auf der Kronfläche sind durch die Kotenpunkte Gerade durch M gelegt, und diese horizontalen Linien bilden die Kronfläche. Die räumliche Mittellinie und die Kanten der Krone sind Schraubenlinien, die Kronfläche eine windschiefe geschlossene senkrechte Schraubenfläche (Wendel- fläche), die wir später näher kennen lernen werden.
Soll nun jede Seitenfläche des Dammes eine gleichförmige Böschung d B» 4 : 5 besitzen, so muß die Böschungsfläche eine Fläche
*) Diese Aufgabe ist dem schon früher angeführten (I, 21) Bache „Eotirte Projektionsmethode" von Peschka (1882, S. 187) entnommen; die Böschungs- flächen des Dammes mußten wegen des hier angenommenen größeren Gfefälles der Bahn anders, wie dort, behandelt werden.
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400 1^> 369. Abwickelbare Flächen, gemeinschaftl. BerObrnngBebenen.
von gleichförmiger Neigung, also eine abunckelbare Schrmibenfläche (359, 3)) sein. Durch einen Punkt D (50) einer schraubenförmigen Eronkante s denke man eine horizontale Ebene gelegt; dieselbe schnei-
Fig. 162.
r"i I I, ' i ' '. ' '. ' X ' J. ' ;. ^^
det den Schraubencylinder in einem Kreise Je vom Halbmesser r ' = 14 m, und die Böschungsfläche in einer Kreisevolvente h (343); die Tangenten dieser Linien in D seien bezw. s\ Tc\ W\ sie bilden
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IX, 369. Die topographische Fläche. 401
ein bei h' rechtwinkliges Dreikant, in welchem tg (äj's') = /J(r : r') das Gefalle von s ausdrückt, tg (Ä') = S ist, und daher die Seite (k'h') bestimmt wird durch
Die Normalen von k und h bilden ebenfalls den Winkel k'h'] daher berührt die Normale der h einen mit k koncentrischen Kreis vom Halbmesser
r' sin {k'h') = lr=i^.l5m = 3,75 m .
Dieser Kreis ist die Projektion derjenigen Schraubenlinie, welche die Rückkehrkante der Böschungsfläche bildet, und h ist die Evol- vente des Kreises. Der Kreis ist unabhängig von r'; er gilt ulso auch für die durch die äußere Kronkante (r" = 16 m) gehende Böschungsfläche, was sich auch dadurch begreifen läßt, daß Schnitte der Böschungsfläche der einen Kronkante mit koaxialen Cylindem Schraubenlinien von gleicher Ganghöhe bilden, welche daher auch solche enthalten, die mit der andern Kronkante kongruent sind.
Es wurden nun die Falllinien der Böschungsflächen als Tangenten an jenen Kreis in zweierlei Sinn für beide Kronkanten gezogen und graduirt mit dem Intervalle i «« 1 : ä = 1,25 m . Ihre Schnittpunkte mit der Bodenfläche sind dann nach der vor. Nr. bestimmt, wie es an der von 50,5 ausgehenden Falllinie bemerklich gemacht ist.
Die Stützmauer habe eine Böschung ^ = 5. Dann ist für die Mauerfläche die Horizontalprojektion der (schraubenförmigen) Rück- kehrkante ein Kreis mit dem Mittelpunkte M und dem Halbmesser
ßr: 11=^ —1— = 0,6 m, und ihre Horizontalschnitte sind Evolventen
dieses Kreises. Das Intervall der Falllinien ist i =a 1 : 5 «= 0,2 m , und der Schnittpunkt einer jeden mit der Bodenfläche kann wegen ihrer Steilheit durch Schätzung im Grundriß genau genug als der- jenige Punkt angegeben werden, welchem auf der Linie und auf der Fläche dieselbe Höhenzahl zugehört.
Die Stützmauer werde gegen den Damm durch eine durch M gehende vertikale Ebene GC'E abgegrenzt Zwischen diese und die Falllinie C'F des Dammes werde die Kegelfläche von der Böschung d (= 0,8) und mit der Spitze C gelegt; dann erhält C'E dieselbe Graduirung wie C'F, und es können ihre Schnittpunkte E mit der Bodenfläche und G mit der geböschten Mauerfläche bestimmt wer- den. Dann schließt man in GE eine gleich geneigte Kegelflache mit der Spitze G an, deren Schnitt mit der Bodenfläche und mit der
Wiener, Lehrbuch der dantellenden Geometrie. II. 26
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402 IX, 369— 870. Abwickelbare Flächen, gemeiDSchaftl. Berührangsebenen.
geböschten Mauerfläche durch Erzeugende oder durch Horizontal- linien der Flächen ermittelt werden.
Der Schnitt mit der Vertikalebene ECM ist in halber Große des Grundrisses zugefögt.
Fig. 163.
VI. Die Umhüllimgsfläohen.
370. Bewegt sich eine stetige Fläche F in stetiger Weise unter stetiger (oder ohne) Änderung ihrer Gestalt, so werden alle Lagen derselben von einer Fläche U, der UmhüUungs fläche, einge- hüllt Dieselbe berührt jede Lage der beweglichen oder umhiUUen Fläche F nach einer Linie k, welphe die Schnittlinie zweier benach- barten Lagen derselben ist und die Charakteristik der Umhüllungs- fläche heißt. Fig. 163. Um dies zu erkennen , bezeichnen wir eine Lage der beweg-
lichen Fläche mit F, die vorhergehende und folgende mit Fj und F^, und die Schnittlinie von F mit F| und F, bezw. mit ki und k^.
Legt man durch alle solche Linien eine Fläche Uj, so besitzen F und Uj Flä- chenstreifen zwischen k^ und k^, wobei man jedem Punkte des Streifens der F einen unendlich nahen Punkt des Strei- fens der Uj zuordnen kann, etwa ver- mittelst einer durch beide Punkte ge- hende Normalen der F. Die Berüh- rungsebenen von F und Ui in diesen Punkten bilden imendlich kleine Winkel mit einander, weil beide unendlich kleine Winkel mit einer benachbar- ten die beiden Linien k^ und k^ berüh- renden Ebene bilden. Gehen nun F| und Fg in F über, so gehen k^ und k^ wegen der Stetigkeit in ein und dieselbe Grenzlinie k, die Fläche Uj in eine Grenzgestalt U, jene zugeord- neten Punkte in denselben Punkt der k, und die Berührungsebenen an F und 17 in diesen Punkten in eine gemeinschaftliche Berüh- rungsebene der F und 17 in diesem gemeinschaftlichen Punkte über. U berührt also die F entlang ky ist demnach die bezeichnete Um- hüllungsfläche.
Je zwei der auf einander folgenden Linien A;^, k^ . . ., der Erzeu- genden der Fläche U^, da sie auf derselben Lage der beweglichen Fläche F liegen, schneiden sich im allgemeinen. Die wechselnden
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IX, 370—372. Die ümhöllongsflächen. 403
Schnittpunkte PiQc^Jc^), P^(k^k^) . . . bilden ein krummliniges Vieleck, an dessen Seiten, wie P1P2; ^i^ anliegenden Flächenelemente der Uj, nämlich die Scheitel winkelpaare Jc^k^, W, auf derselben Seite liegen, so daß das Vieleck eine Schneide von V^ ist. In der Grenze berühren die Charakteristiken Je, k' . . . der U eine Kurve, die s. g. Bückkehrkante der Umhüllungsfläche, welche deren Erzeugende einhüllt
Ist die umhüllte Fläche eine Ebene, so ist die Charakteristik eine Gerade, und die Umhüllungsfläche eine abwickelbare.
371. Umhüllte Kegelf Cylinder und Kugeln. Bewegt sich ein Umdrehungskegel so, daß sich seine Aze in sidh selbst verschiebt und seine Gestalt sich stetig ändert, so ist die Charakteristik ein Ejreis, dessen Ebene senkrecht auf der Axe steht und dessen Mittel- punkt in der Axe liegt; die Umhüllungsfläche ist daher eine Um- drehungsfläche. Man kann so jede Umdrehungsfläche erzeugen; die entlang ihrer Parallelkreise berührenden Umdrehungskegel sind die umhüllten Flächen. Diese Entstehung ist verkörpert bei der Erzeugung eines Umdrehungskörpers auf der Drehbank, wo der mit seiner geraden Schneide im Meridiane stehende Meißel in jeder Lage einen Kegel- stumpf erzeugt Eine Fläche zweiten Grades kann man als Umhül- lungsfläche von Kegeln ansehen, so daß die Charakteristiken parallele Kegelschnitte der ersteren Fläche und der Ort der Spitze des Kegels der jenen Kegelschnitten konjugirte Durchmesser der Fläche ist.
Cylinder werden von einer Umdrehungsfläche umhüllt, wenn der senkrechte Schnitt eines jeden Cylinders ein Meridian der letz- teren Fläche ist; oder wenn ein Cylinder von unveränderlicher Ge- stalt sich um eine zu seinen Erzeugenden senkrechte Axe dreht; aber auch dann, wenn diese Axe beliebig gegen den Cylinder ge- neigt ist.
Umhüllfe Kugeln. Beschreibt der Mittelpunkt einer veränder- lichen Kugel eine Kurve, so ist auf jeder Kugel die Charahteristik ein Kreis, dessen Ebene senkrecht auf der Tangente jener Kurve in dem augenblicklichen Orte des Kugelmittelpunktes steht, und dessen Mittelpunkt in dieser Tangente liegt Beschreibt daher der Kugel- mittelpunkt eine Gerade, so ist die Umhüllungsfläche eine Um- drehungsfläche, deren Axe jene Gerade bildet Man kann jede Um- drehungsfläche als Umhüllungsfläche einer Kugel ansehen, wenn man die Normalen der Fläche entlang eines Meridianes vonr Flächen- punkte bis zur Axe als Halbmesser und den letzteren Endpunkt als Mittelpunkt der Kugel annimmt
Die Charakteristiken werden imaginär, wenn eine Kugel von ihrer benachbarten ganz eingeschlossen wird.
373. Die Böhrenfläche entsteht, wenn die bewegliche umhüllte
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404 IX, 372—873. Abwickelbare Flachen, gemeinßchaftl. Berübrungsebenen.
Kugel einen unveränderlichen Halbmesser besitzt. Die Charakteristik ist dann ein größter , also unveränderlicher Ereis, dessen Mittel- punkt die Bahnlinie des Eugelmittelpunktes beschreibt, und dessen Ebene senkrecht zur Bahnlinie im jedesmaligen Orte des Mittel- punktes steht. Die Bahn des Mittelpunktes der Kugel soll die LeU- Unie der Rohrenfläche heißen.
Um den Umriß einer senkrechten Projektion der Rohrenfläche zu erhalten, ziehe man aus allen Punkten der Projektion der Leit- linie Kreise mit dem Halbmesser der umhüllten Kugel, so ist die UmhüMungslinie dieser Kreise der Umriß der Fläche, weil jeder Umrißpunkt der Fläche zugleich ein Umrißpunkt einer Kugel sein muß. Der Umriß ist daher eine äquidistante oder parallele Linie der Projektion der Leitlinie (I, 238), und besteht aus zweien auf beiden Seiten der Projektion der Leitlinie liegenden Ästen.
378. Aufg. Die Bohrenfläche darzustellen, deren Leitlinie eine
Kreisevolvente ist
Fig. 164. Aufl. Sei Je ein Kreis, M sein Mittelpunkt und Aq der Ursprung
seiner Evolvente, so wollen wir deren Ebene als Projektionsebene P
annehmen. In einem Punkte A der Evolvente legen wir eine zn
ihr senkrechte Ebene; dieselbe berührt den Kreis Je, und der Be- rührungspunkt sei A^. In dieser Ebene befindet sich eine Charak- teristik, ein Kreis vom Durchmesser BA (7; seine Umlegung in P sei BA'C. Auf der Projektion BC des Kreises wählen wir die Grenzpunkte JB, C und einige Zwischenpunkte D, A, E, welche den Durchmesser in gleiche Teile teilen mögen ; jeder ist die Projektion
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IX, 373—374. Die ümhülluDgsfiächen. 405
von zwei Punkten des Kreises, deren Abstände von der P bezw, 0, DD', ÄÄ% EE' (= BD'), 0 sind.
Da die bezeichnete Bewegung der Charakteristik auch durch Rollen ihrer Ebene auf dem durch k senkrecht zu F gelegten Cylin- der hervorgebracht werden kann, so beschreibt jeder Punkt der Charakteristik eine zu F parallele Kreisevolvente, deren Projektio- nen Evolventen von %, also mit der ursprünglichen kongruent und äquidistant sind. Dieselben haben zum Ursprung die Punkte D^, Dq . . ., wobei Bog. B^D^ = DD, Bog. B^Äq = BA , . . ist.
Zwei benachbarte Charakteristiken schneiden sich erst dann in reellen Punkten, wenn sie den über h stehenden Cylinder berühren. Diese Punkte bilden zusammen die Äufwickelung B^Ä^Cq des Kreises auf den Cylinder, die Bückkehrkante der Fläche, welche die Bück- kehrpunkte oder Spitzen aller Evolventen enthält. Die Rückkehr- kante ist die Grenze zweier Flächenäste, die in jedem Punkte der Kante eine gemeinschaftliche Berührungsebene besitzen, bestimmt durch die Tangente der Rückkehrkante und die Normale zu dem über k stehenden Cylinder in jenem Punkte.
Der Selbstschnitt oder die Bqppelkttrve der Bohrenfläche besteht zuerst aus den Schnittkurven der zu F senkrechten Ebene A^M mit der Fläche. Denn diese Ebene ist Symmetrieebene für die Leit- linie, also auch für die Röhrenfläche, und wird daher von beiden Flächenästen in denselben Kurven Ä^F^ GH, ... geschnitten.
Andere Doppelkurven werden gebildet durch die Selbstschnitte aller Kreisevolventen der Fläche. Von diesen Punkten projiciren sich die dem Sjreise k zunächst liegenden inJ,K,L . . . ; und da sie, kongruenten Evolventen angehörend, alle gleich weit von M entfernt liegen, bilden sie einen mit k koncentrischen Kreis. Diese Doppel- kurven liegen daher auf koaxialen Umdrehungscylindem von wach- sender Größe.
374. Übungscrnfgabe.
Für die eben behandelte Röhrenfläche zu konstruiren:
1) Die Projektion auf eine zu F senkrechte und zu A^M paral- lele Ebene, insbesondere die Projektion der Rückkehrkante und der Doppelkurven A^F, GJH, KJL]
2) die Schnitte einer Reihe von Ebenen, welche J^ A^M stehen, insbesondere derjenigen, welche durch Aq, oder durch F, oder durch Bq geht, sowie einer solchen, welche die Rückkehrkante in vier Punkten schneidet, und derjenigen, welche die Fläche in zwei ge- trennten Punkten berührt, entweder in der Nähe von F oder mög- licher Weise in der Nähe von B^ und Cq]
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406 IX, 374—376. Abwickelbao-e Flächen, gemeinscliafü. Berühnmgsebenen.
3) die Berührangsebene an die Fläche in einem gegebenen Punkte derselben zu legen.
376. Die Schraüben-Rohrenfläche daa-zustellen (Röhrenfläche mit schraubenförmiger Leitlinie). Verkörpert heißt sie Schlangenrohr (Serpentine) und dient als Archimedische Wasserschnecke zum Heben von Wasser. Fig. 166. Aufl. Stellen wir die P^ senkrecht auf die Axe a {M\ a") der
Schraubenlinie, so ist deren erste Projektion ein Eieis A' B' mit dem Mittelpunkte M und dem Halbmesser M A' *= r, und die zweite Projektion eine Sinuslinie Ä'B" mit der Axe a". Sei r^ der Halbmesser der beweglichen Kugel , wobei r^<,r sein möge, so erhält man die Umrisse der Fläche als die zwei Äste der Aqui- distanten der Projektionen der Leitlinie im Abstände r^ (372). Die- selben sind im Grundrisse zwei aus M! mit den Halbmessern r + r^ und r — Tq gezogene Kreise. Im Aufriß erhält man sie einfach als einhüllende Linien zu den Kreisen^ welche man aus den Punkten jener Sinuslinie mit dem Halbmesser r^ zieht. Einzelne Punkte erhält man in E" und T!,^\ wenn man auf der Normalen der Sinuslinie in E" nach beiden Seiten E'^E" = E"E^' = r^ aufträgt.
Wenn, wie in dem Falle unserer Figur, ein Umriß Rückkehr- punkte besitzt, so ist es vorteilhaft, ein Stück der Evolute der Sinuslinie in der Nähe des Scheitels B" zu verzeichnen. Es ist dies nach Nr. 333 an einem anderen Scheitel geschehen, und danach sind die Krümmungsmittelpunkte B^ und C^ für B" und C" aus (JBo), (C), (Co) übertragen. Diese Evolute ist auch die Evolute des Umrisses, und es können insbesondere aus B^ die Krümmungskreise in den Scheiteln JB/' und B^' verzeichnet werden. Auf der Evolute liegt die Spitze D" des Umrisses, welche die Grenze ihres sicht- baren und ihres verdeckten Teiles bildet. Die erste Projektion u dieses zweiten Umrisses B^DE^. . . = u bestimmt man, indem man beachtet, daß der Durchmesser E^EE^ der umhüllten Kugel, welcher nach den Punkten E^^ E^ des zweiten Umrisses läuft, parallel zu Pg liegt, also im Grundriß durch E' parallel zu x als E^E'E^ ge- zeichnet wird. Der Spitze D" entsprechen Punkte D und D' der u und u\ in welchen die Tangente _L Pg steht, ti" besteht aus zwei unbegrenzten, u aus zwei geschlossenen Kurvenästen. In der Figur ist die Fläche an ihrem oberen Ende durch eine auf P^ senk- rechte Charakteristik begrenzt, deren erste Projektion eine El- lipse bildet
376. Um noch die Krümmungshalbmesser r^, r, von u in den Scheiteln JB/, B2 zu ermitteln, gehe man auf dem Kreise B'A' um
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IX, 376. Die Umhüllongsflächen.
407
ein Element B'F' vorwärts, dessen Koordinaten von B' aus in der Richtung B' M' und in der darauf senkrechten Richtung x und y
Fig. 165.
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408 IX, 376—378. Abwickelbare Flachen, gemeinschafbl. Berahnrngsebenen.
seien; dann ist r = y* : 2x. Aus F' ergibt sich der Punkt jP/ von u' (wie Ej^ aus JE'), dessen mit den Koordinaten von F" parallele von Bi aus gemessene Koordinaten Xi, yi=y sind, woraus r^ = y^:2xi = r(x: Xi). Zu F' gehört der Punkt F" der Sinuslinie B"Ä" mit den von J5" aus gemessenen Koordinaten x und jet; es ist aber jgf «= j^ tg <^, wenn <^ die Neigung der Schraubenlinie. Die Neigung der Normale BqF" der Sinuslinie gegen BqB" ist dann s : BqB" = 9 = y tg <j : r tg* <j (339) = y : r tg <y. Die Koordinaten des Punktes F^\ der ^xi^B^F" durch F"F^' = r^ bestimmt ist, sind dann, von jB/' aus gemessen, a^j und z^^ wobei z^ = BqB^'. y; und hieraus folgt, da F^'B^' mit z den Winkel \q) bildet,
X, = B,B,'\ <p.^(p = B,B,\\iy : r tg <J)^
Daher ist
und ''» = b:bI'>
-»0 -"2
wobei Äq == r tg <J «= M"A" die reducirte Ganghohe der Schrauben- linien bedeutet. Daher erhält man auf B^B" den r^ z= B^Lj^ = -Bi'-Ki und rg = jBo-^« *== ^2^%) wenn man ^^Cf || a" und = Jtf" J." macht und GL,±BCGy GL^±B^'G zieht
Die Gestalt der Böhrenfläche ist verschieden, je nachdem der Halbmesser der Charakteristik r^ kleiner, gleich oder großer als der Halbmesser der Leitschraubenlinie angenommen wird. Benachbarte Spitzen des zweiten scheinbaren Umrisses sind in zwei Punkte getrennt, vereinigen sich in einem Punkte (mit dem Krümmungs- halbmesser gleich Null), oder verschwinden, je nachdem r^ >, «s, oder < als der Krümmungshalbmesser B^B" jener Sinuslinie in ihrem Scheitel ist.
377. Übungsaufgabe. Die Schraubenrohrenfläche durch Ebenen zu schneiden, a) welche senkrecht auf der Axe, b) parallel zur Aze unter wechselndem Abständen (0, r — H ^o> *" — ^o> ^ — A^o? *'» r + ^fljj ro , r -\- Tq), c) geneigt gegen die Axe stehen. Dabei sollen Tangenten an die Schnittkurve bestimmt werden.
378. Die lAcktgleichen einer Böhrenfläche zeichnet man mittelst ihrer Punkte auf den Charakteristiken. Da diese größte Kreise gleicher umhüllten Kugeln bilden, so übertrage man ihre Projektionen (El- lipsen) durch eine Parallelverschiebung auf die gleichnamige Pro- jektion einer gleichen Kugel, auf welcher die Projektionen der Licht* gleichen gezeichnet sind, schneide sie mit diesen Lichtgleichen, und
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IX, 378» Die ümbüllungsflächen. 409
führe die Schnittpunkte durch eine Rückschiebung auf die ursprüng- lichen Ellipsen über.
Übungsaufgaben. 1) Von einem Gange einer Schraubenröhren- fläche (375), deren Axe senkrecht oder geneigt gegen Pj steht, die Lichtgleichen, die Eigenschattengrenze und den Schlagschatten der Flächenteile auf einander und auf die Projektionsebenen zu bestim- men. Steht die Axe der Fläche senkrecht auf Pj, so sind die ersten Projektionen aller Charakteristiken kongruente Ellipsen,
2) Von einem Gange einer Schraubenröhrenfläche die Grenze des Eigen- und Schlagschattens zu konstruiren, wenn der leuch- tende Punkt in endlichem Abstände liegt
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X. Abschnitt. Die windschiefen Flächen.
L Allgemeines.
379. In Nr. 136 wurde eine windschiefe Fläche als eine solche Regelfläche bezeichnet, bei welcher je zwei benachbarte (gerade) Erzeugende nicht in derselben Ebene liegen, oder welche entlang einer Erzeugenden nicht von ein und derselben Ebene berührt wird. Wir lernten als die einfachsten die vom zweiten Grade, das ein- schalige Hyperboloid und das hyperbolische Paraboloid, kennen. Im allgemeinen sind die hauptsächlichsten Entstehungsweisen der wind- schiefen Flächen folgende:
1) Eine jede windschiefe Fläche kann dadurch entstehen, daß ' eme Gerade e als Erzeugende auf drei festen Leitlinien l^, l^^ l^ hin-
gleitet^ indem sie jede derselben schneidet. Man findet die durch einen beliebigen Punkt Ä^ der l^ gehenden Erzeugenden als die ge- meinschaftlichen Erzeugenden der beiden Kegel Ail^, A^l^j welche Äi zur Spitze und bezw. l^, l^ zur Leitlinie haben. Die entstehende Fläche ist im allgemeinen windschief; denn sollten zwei benachbarte Erzeugende A^A^Ä^ und B^B^B^ in einer Ebene liegen, so befan- den sich in derselben die Paare benachbarter Punkte A^j B^ der J^; J.2, B^ der l^\ A^, B^ der Jj, d. h. die Tangenten der l^ in ^i, der l^ in A^ und der l^ m A^, Dies findet ofienbar im allgemeinen nicht statt. Tritt es aber för einzelne Lagen der Erzeugenden ein, so besitzt entlang derselben die windschiefe Fläche ebene Flächen- elemente; und tritt es bei besonderer Annahme der Leitlinien fÖr alle Erzeugenden ein, so entsteht eine abunckelbare Fläche , welche sich dadurch als besondere Art der windschiefen darstellt So ent- steht z. B. ein Cy linder, wenn die drei Leitlinien gleiche parallele Ejreise sind, deren Mittelpunkte auf einer Geraden liegen.
2) Die reciproke, ebenfalls für jede windschiefe Fläche geltende Entstehungsweise erhält man, wenn man an die Stelle der drei Leit- linien, welche man als einfache Punktreihen ansah, drei einfache Ebenenfolgen, d. i. drei abwickelbare Flächen setzt, welche von jeder
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Xf 379. Allgemeines. 411
Erzengenden berührt werden sollen. Eine abwickelbare Fläche hüllt aber die Schmiegungsebenen ihrer Bückkehrkante ein^ so daß an die Stelle der Kurve, als Folge von Punkten , eine Kurve als Folge von Ebenen y nämlich ihrer Schmiegungsebenen , tritt. Man erhält Erzeugende der windschiefen Fläche, wenn man eine Berührongsebene der ersten der abwickelbaren Flächen mit den beiden anderen schnei- det und an beide Schnittkurven die gemeinschaftlichen Tangenten zieht; dieselben bilden die Erzeugenden.
3) Sind eine ahwidcelbare Leitfläche und zwei Leitlinien gegeben, so findet man die Erzeugenden ähnlich wie in 2).
4) Die erste Entstehungsweise nimmt eine besondere Form an^ wenn die eine der drei Leitlinien, etwa ig, im Unendlichen liegt und durch den Kegel gegeben ist, welcher sie projicirt, mit dessen Erzengenden daher die der windschiefen Fläche pt^rallel sein müssen. Dieser Kegel ist der Biditkegel der Fläche.
5) Wird der Richtkegel zu einer Richtebene, so erhält man Er- zeugende, wenn man eine zu der Richtebene parallele Ebene mit l^ und 2g schneidet und jeden der Schnittpunkte mit 2| mit jedem derjenigen mit Z^ durch eine Gerade verbindet.
6) Es können die Leitlinien zum Teil oder alle durch Leit- flächen ersetzt werden, welche von den Erzeugenden berührt werden sollen. Befindet sich unter den Leitgebilden eine Linie l^, so be- stimmt man die durch einen Punkt A^ der l^ gehenden Erzeugen- den der windschiefen Fläche als die gemeinschaftlichen Erzeugenden der beiden Kegel, welche aus A^ je einem der beiden anderen Leit- gebilde (Linie oder Fläche) umschrieben sind. Sind drei Leitflächen Iij, Ii2, I13 gegeben, so findet man diejenigen Erzeugenden e der windschiefen Fläche, welche einer beliebigen und wechselnden Ebene E parallel sind, indem man den Ort der mit E parallelen, die L| und I12 berührenden Geraden, d. i. eine windschiefe Fläche F, be- stimmt. Diejenigen Erzeugenden der F, welche zugleich noch die L3 berühren, sind die gesuchten Erzeugenden; sie berühren aber auch die Schnittkurve k der F und der L3, da im Punkte der Berührung dieser Erzeugenden mit L3 zwei gemeinsame Punkte der F und der I13, d. i. der Schnittkurve beider zusammenfallen, so daß jene Er- zeugende Tangente der Schnittkurve ist. Man konstruirt daher diese Schnittkurve und zieht ihre mit E parallelen Tangenten, so sind diese die gesuchten Erzeugenden.
7) Es kann eine Leitlinie durch eine andere Bedingung ersetzt sein, z. B. durch die, daß das Stück der Erzeugenden zwischen den beiden Leitlinien eine gegebene unveränderliche Länge besitze, oder daß die Erzeugende die eine Leitlinie l^ unter einem gegebenen
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X, 879—380. Die windschiefen Flächen.
unveränderlichen Winkel schneide. Ist im letzteren Falle Z, eine Ge- rade, so kann die Bedingung durch einen Richtkegel ersetzt werden.
8) Die Bewegung der Erzengenden kann dadurch bestimmt sein, daß sie die Normale einer gegebenen Fläche längs einer auf ihr ge- gebenen Kurve bleibt, da, wie wir später sehen werden, zwei be- nachbarte Normalen einer Fläche im allgemeinen nicht in ein und derselben Ebene liegen. Eine solche Fläche heißt Normalenfläche.
380. Zwei mndschiefe Flächen F, Fi, welche eine Erzeugende e gemein haben, und sich in drei Punkten Pj, P2, Pj derselben berührenj berühren sich in jedem Punkte P derselben, i^g. 166. Um dies in der gebräuchlichen Weise zu zeigen, legen wir
durch Pi, Pg, P3 je eine Ebene, schneiden dieselbe mit P, P^ bezw. in den Kurven \, \\ k^, l^^ k^y h? ^^ müssen sich diese zu zwei
Fig. 166.
in jenen drei Punkten berühren, weil sich P, Pj in ihnen berühren. Läßt man nun die Erzeugende e einmal auf k^, k^, k^, dann auf l^ l^ l^ als Leit- linien hingleiten, so beschreibt sie bezw. P und P^, und da die Leitlinien zu zwei ein Element gemein haben, so haben die Flächen außer e noch eine benachbarte Erzeugende e^ gemein, haben also in jedem Punkte P der e eine gemeinsame Berührungs- ebene, nämlich die durch e und durch den zu P benachbarten Puiikt der e^ gehende Ebene.
Will man aber die unendlich kleinen Abstände und Winkel der zu e benachbarten Erzeugenden g, r der beiden Flächen eingehend erörtern, so trage man auf k^ und l^ die gleichen Elemente PxQi ==» PiBi = 0^ auf, wodurch im allgemeinen Q^P^^^Q^ und <^ öi-Pi^Si = 0^ wird. Durch Q^ und i^ lege man bezw. die Erzeugenden q der P und r derPi- Da bei einer windschiefen Fläche, für P^Q^ = endlich, auch der Winkel von e und q endlich ist, so ist er für P^ ^^ = 0^, im allgemeinen ebenfalls = 0^ (I, 232). Wenn ^ eq im besonderen «= 0 von höhe- rer Ordnung wird, so ist g 1 e, das Flächenelement eq eben, und unser Satz selbstverständlich. Ebenso ist der Abstand von e und q im allgemeinen an jeder Stelle <= 0^; wenn er im besondern an einer Stelle = 0 von höherer Ordnung wird, so schneiden sich hier die q und e, und das Element eq ist wieder eben. Ebenso ist im^all- gemeinen ^ er = OS und Abstand e, r an jeder Stelle = OK Schneidet man nun q und r mit den durch P^ und Pg gelegten Ebenen bezw. in Q^, ös» -^2» ^; so ergeben sich auch ^ C^Pj-ßf und ^ Ö3 P3 JBj beide «= 0*, wenn nicht 0 von höherer Ordnung.
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X, 880—882. Allgemeines. 413
Daraus folgt aber, daß -^ gr = 0*, wenn nicht 0 von noch höhe- rer Ordnung ist. Denn zieht man durch Q^ die Gerade s ^r, und schneidet sie mit den durch P^y P^ gelegten Ebenen bezw. in Sf„ Sj, so sind B^S^ und Il^S^ = 0^ (wie B^Qi), und ^S^P^B^ und ^SiP^R^^'OK Wäre aber ^qr=0\ so würde auch ^qs = 0^ sein, ebenso Q^S^ = 0*, und da auch P^ ös = 0^, so würde <^ Ös-Ps^s endlich sein; dasselbe würde für jeden Punkt der e gelten, so daß z. B. auch QiP^S^ endlich wäre, außer da, wo ^ PQS = 0^ oder = 180^ ist, wo also die Ebene js die e schneidet, was etwa in P^ stattfinden möge; dann trifft auch die ^2^2 ^^^ ^* Nur an den beiden Stellen P, und Pg könnten dann auch die Winkel QiPiRi und Q^P^R^-=0^ sein. Da ^QPR aber an drei Stellen Pi, Pj, P3 = 0* ist, so kann nicht <^gr = 0^, es muß vielmehr — 0* oder 0 von noch höherer Ordnung sein. Dann sind auch für jeden vierten Punkt P der e, wenn man durch ihn eine Ebene legt, bei entsprechenden Bezeichnungen, QS^ SR, QR, alle = 0*, PQ, PR = OS daher ^ QPR = 0^ oder k und l und daher auch P und Fl berühren sich in P, w. z. b. w.
381. Nimmt man die Tangenten ^, ^2; ^ ^^^ ^^^ Leitlinien hf hf h ou^^f windschiefen Fläche in ihren Schnittpunkten mit einer Erzeugenden e zu Leitlinien, oder auch drei Gerade, welche die Fläche je in einem Punkte einer e berühren, so bestimmen diese als Leitlinien im allgemeinen ein einschaliges Hyperboloid, welches die Fläche in jedem Punkte der e oder entlang e berührt (380). Man nennt dasselbe Berührungshyperboloid entlang der Erzeugenden e. Es giebt deren unendlich viele.
Wählt man die drei Tangenten parallel mit ein und derselben Ebene, so erhält man ein entlang e berührendes hyperbolisches Paraboloid, ein Berührungsparaboloid] es genügt dann die Angabe zweier Tangenten i^i,^, mit denen dann jene Ebene, die Bichtebene der Tangenten, parallel ist. Die Berührungsebene der Fläche (und des Paraboloides) in dem unendlich fernen Punkte der e ist dann diejenige Ebene, welche durch e gelegt wird parallel mit einer zweiten die t^ und ^2 schneidenden Erzeugenden des Paraboloides.
Wählt man t^ und ^ senkrecht zu e, so ist auch die mit t^ und ^ parallele Richtebene und jede Erzeugende der Schaar t des Paraboloides senkrecht zu e und berührt die Fläche. Denkt man sich dieses Paraboloid um e um 90® gedreht, so werden die t Nor- malen zur Fläche, woraus folgt: Die Normalen einer tvindschiefen Fläche, deren FußjHmkte in einer Erzeugenden derselben liegen, baden ein hyperbolisches Paraboloid, das s. g. Normalenparaboloid.
382. Weil das Berührungshyperboloid einer windschiefen Fläche
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X, 882. Die windschiefen Flächen.
Fig. 167.
mit dieser in jedem Punkte einer Erzeagenden die Berührungsebene gemein hat, so gilt auch für die Fläche der Satz der Nr. 139, und heißt dann: Jede durch eine Erzeugende e einer toindschiefen FUkiie gehende Ebene berührt die Fläche in einem Punkte der e. Das Büsdid e dieser Ebenen ist mit der Beihe e der zugehörigen Beriihrungqmnkte projektiv.
Danach löst man die
Aufg. Für drei Funkte P,, Pg, Pg einer Erzeugenden e einer windschiefen Fläche sind die Beruhrungsd}enen Tj, Tg, Tj gegeben; man soll für einen vierten Punkt P der e die Berührungsebene T, oder für eifie vierte durch e gelegte Ebene T den Berührtmgspunkt P konstruiren. Fig. 167. Aufl. 1. Die Figur gibt die Darstellung in einer einzigen Pro-
jektionsebene P,, da diese genügt E sei die Spur der e, die durch E gehenden Geraden ^i, ^, ^ seien die Spuren, Pj, Pj, Pj die
Projektionen der Berührungspunkte der T,, Tg, Tg. Die Punktreihe c der P ist nun projektiv mit dem Büschel E der f, und es sollen von zwei weiteren entspre- chenden Elementen P, t das eine aus dem gegebenen anderen gefunden werden. Es geschieht dies vermittelst einer Hilfs- geraden e^ in P, welche das Strahlen- büschel in der Punktreihe ^j, Q^, Q^ schneidet, durch die Perspektive Axe p (I, 283) zwischen den projektiven B>eihen der P und der Q und durch Bestimmung der entsprechenden Elemente P, Q und EQ = i. Aufl. 2. Denkt man sich ein entlang e berührendes Hyper- boloid gelegt, das durch drei Erzeugende der zweiten Schaar ge- geben ist, wovon jede in einer der gegebenen Berührungsebenen beliebig angenommen werden kann, so seien P^Q^, P^Q^ die beiden ersten derselben, und öi> Qs il^re Spuren. Schneidet nun die dritte Berührungsebene die Q1Q2 = Cj in ^3, so kann P3Ö8 ^^^ dritte Er- zeugende angenommen werden. Dann sind e und e^ Erzeugende der ersten Schaar, und sie werden von denen der zweiten in den pro- jektiven Punktreihen Pj, Pg, P3 und Q^, Q^, Qs geschnitten. Zu P sucht man dann, wie vorher, den entsprechenden Punkt Q und die Berührungsebene eö = T, oder umgekehrt
Sind statt der Berührungsebenen drei die Fläche bezw. in Pj, Pg, P3 berührende Gerade, etwa die Tangenten der Leitlinien, ge- geben, so lege man zwei Gerade e^ und e,, welche diese Tangenten schneiden, und durch P eine die e^ und e^ schneidende Gerade t] dann ist et => T die Berührungsebene in P; oder man schneide die
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X, 382—384. AUgemeineB. 415
dnrch e gehende Ebene T mit e^ und e^, so bestimmt die Verbin- dungslinie der Schnittpunkte auf e den Berührungspunkt P der T.
383. Die Berührungsebene einer windschiefen Fläche in dem unendlich fernen Punkte einer Erzeugenden heißt eine asymptotische Ebene der Fläche. Alle asymptotischen Ebenen werden von einer abwickelbaren Fläche umhüllt, welche die (asymptotische abwickelbare Fläche der toindschiefen Fläche heißt und diese entlang ihrer unend- lich fernen J^urve berührt. Die ans ein und demselben Punkte als Spitze gebildeten Bichtkegel der windschiefen und jener asymptoti- schen Fläche fallen zusammen; sie projiciren die gemeinschaftliche unendlich ferne Kurve der beiden ersteren Flächen. Die Berührungs- ebenen dieses Bichtkegels sind mit den asymptotischen Ebenen der windschiefen Fläche, und die Erzeugenden des Kegels sind sowohl mit denen der windschiefen , als mit denen der asymptotischen Fläche parallel. Also sind auch die in einer asymptotischen Ebene liegenden Erzeugenden der windschiefen und der asymptotischen Fläche unter einander parallel.
384. Wie bei dem einschaligen Hyperboloide (149), so nennt man bei jeder windschiefen Fläche den Centralpuhkt einer Erzeugen- den den Punkt, in welchem sie ihrer benachbarten Erzeugenden am nächsten ist, in welchem also auch ihre Berührungsebene, die s. g. GentraUbene der Erzeugenden, senkrecht auf ihrer asymptotischen Ebene steht. Die Gesamtheit der Gentralpunkte der Fläche bildet deren Striktionslinie.
Ordnet man in dem durch eine Erzeugende e gehenden Büschel von Ebenen einer jeden die auf ihr senkrechte zu, so bildet das Ebenenbüschel eine gleichlaufende Involution (I, 348), also auch die Reihe ihrer Berührungspunkte auf e, deren Potenz p^ daher negativ ist (I, 300). Der Centralpunkt C ist dabei dem unendlich fernen Punkte U zugeordnet, also der MitteJptmkt der Involution. Den beiden zugeordneten Ebenen, welche mit der Gentralebene einen Winkel von 45^ bilden, gehören Berührungspunkte M und N an, welche von C auf beiden entgegengesetzten Seiten gleich weit ab- stehen. Denn CÜMN müssen harmonisch liegen, weil ihre Be- rührungsebenen so liegen. Daher sind M und N die ideellen Doppel- punkte der gleichlaufenden Punktinvolution und es ist CM oder CN= ^y — p^ (I, 300). Man nennt diese Abstände den Para- meter der Erzeugenden.
Während ein Punkt eine ganze Erzeugende beschreibt, dreht sich die zugehörige Berührungsebene um 180^, und zwischen den ideellen Doppelpimkten um 90^. Je kleiner der Parameter, um so rascher die Drehung in der Nähe des Centralpunktes. Schneiden
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X, 384—386. Die windschiefen Flächen.
sich zwei benachbarte Erzeugende, so ist ihr Schnittpunkt der Cen- tralpunkt; in ihm kann man sich die ganze Drehung vor sich ge- gangen denken,.
Es leuchtet ein: Zwei windschiefe Flächen beriäiren sich eniUmg einer gemeinschaftlidien Erzeugenden c, wenn deren Centralpunkte und Centralebenen sich decken, wenn ihre Parameter gleich sind und u^enn der Drehungssinn der Berührungsebene bei beiden übereinstimmt.
386. Die Schnittlinie einer Ebene mit einer mndschiefen Fläche ist die Verbindungslinie der Schnittpunkte der Ebene mit den Erzeugenden der Fläche.
Fig. 168.
Der aus einem Punkte einer windschiefen Fläche umschriAene Kegel ist der einhüllende Kegel der Verbindungsebenen des Punk- tes mit den Erzeugenden der Fläche.
Schneidet eine Gerade g eine windschiefe Fläche in n Punkten, so ist jede durch g und die Erzeugende eines jener Punkte gelegte Ebene eine durch g gehende Berührungsebene der Fläche, deren Berührungspunkt jedoch nicht in jenem Schnittpunkte liegt. Außer- dem gibt es aber keine durch g gehende Berührungsebene, weil jede eine Erzeugende enthält, diese aber die g, und zwar in einem jener n Punkte, schneiden muß. Es schneidet daher eine Gerade die Fläche in ebenso vielen Punkten, als Berührungsebenen durch sie an die Fläche gelegt werden können, oder eine unndschiefe Fläche von der n^ Ordnung ist auch von der n^ Blasse, und man nennt sie vom w'** Grade. Die Ordnung einer ebenen Schnittkurve und die Klasse eines umschriebenen Kegels der Fläche sind dann eben- falls die n^.
386. Eine Leitlinie l^ einer windschiefen Fläche ist im allge- meinen eine vielfache Linie' derselben; durch jeden ihrer Punkte P gehen nämlich so viele Erzeugende, als die aus P durch je eine der anderen Leitlinien ^2 und {3 gelegten Kegel Erzeugende gemein haben, also m^m^, wenn m^ und m^ die Ord- nung bezw. von l^ und l^ angeben. In der Figur sind zwei solche, e, e\ gezeichnei Be- rühren sich die aus einem Punkte G der l^ ge- legten beiden Kegel, so ist ihr entlang der Berührungserzeugenden c liegendes gemein- sames Element auch ein ebenes Flächenelement der windschiefen Fläche. Eine solche Erzeugende c mag eine Kante*) der Fläche heißen.
Fig. 168.
*) Herr de la Goumerie in seiner G^m. descr., B. 2, 1862, S. 151, nennt (mit Bour) ar§te eine Erzeugende einer windschiefen Fläche, welche mit ihrer
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X, 386. Allgemeines. 417
Bewegt sich der Punkt auf l^ von C aus nach der einen Seite, in der Figur gegen P hin, so werden wegen der Stetigkeit, die wir stets voraussetzen, die beiden den Kegeln gemeinsamen zu- sammenfallenden Erzeugenden in zwei getrennte tibergehen, und bei der Bewegung nach der anderen Seite hin verschwinden; ausge- nommen den Fall, den wir nicht weiter verfolgen, in welchem die Kante eine singulare Erzeugende (mit Bückkehrelementen) des einen oder der beiden Kegel ist. In jenem allgemeinen Falle wird dann C ein Grenzpunkt sein, in welchem, wenn er von dem laufenden Punkte P durchschnitten wird, sich die Anzahl der reellen Erzeu- genden um zwei verändert.
Jede der Berührungsebenen der Fläche in dem vielfachen Punkte P enthält die Tangente der 2] in P und eine der durch P gehenden Erzeugenden. Wenn zwei dieser Erzeugenden, c, e\ bei dem Foi-t- rücken von P auf 2^ sich nähern und bei C zusammenfallen, so fallen auch die beiden durch sie gehenden Berührungsebenen zu- sammen. Schneidet eine Ebene die l^ in P, und die c in J., so schnei- det sie die Fläche in einer Kurve k, welche bei P einen vielfachen Punkt hat, den wir nur als Doppelpunkt ins Auge fassen, indem wir nur die beiden Flächenzweige l^ 6, l^ e der bei 0 zusammen- fallenden Erzeugenden c, e beachten. Die Ic wird in A von der die Fläche entlang c berührenden Ebene im allgemeinen ohne gleich- zeitiges Schneiden beröhrt. Bückt nun der Schnittpunkt P in C, so geht die Kurve ft mit der Schleife P^P in die Kurve h^ mit der Spitze G über, da die beiden Tangenten in P zu einer einzigen Tangente in C werden, und da die c in C durch jene die Fläche entlang c berührende Ebene ohne Schneiden berührt wird. Auch jede unebene durch C gehende Kurve der Fläche hat in 0 eine Spitze, da man jene schneidende Ebene durch die Schmiegungs- ebene der Kurve in G ersetzen kann, den Fall ausgenommen, daß diese Schmiegungsebene die Kante c enthält, wo dann die Kurve aus c und einem sie berührenden Zweige besteht. Der Punkt G heißt ein KttöpidalpunJct der Fläche (Zwickpunkt, pinch-point, sommet). Da jede durch die Spitze einer Kurve gehende und in ihrer Schmiegungsebene liegende Gerade als Tangente der- selben anzusehen ist, so berührt jede durch den KuspiddlpuvJct G gehende Gerade und, da jede Berührungsebene die Erzeugende ihres Berührungspunktes enthält, jede durch die Kante c gehende Ebene
benachbarten parallel ist, während wir die Bezeichnung Kante auf die so h&nfig vorkommenden, aber, wie es scheint, nicht benannten Erzengenden ausdehnen wollen, welche mit ihrer benachbarten in derselben Ebene liegen.
Wiener, Lehrbach der darsteUenden Geometrie. II. 27
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418 X, 386—887. Die wincLscbiefen Flächen.
die Fläche in C. Daher geht auch die Bmihrungskurve b eines jeden einer windschiefen Fläche umschriebenen Kegels, also jede Umrißlinie tmd jede EigenschaUengreneSy durch aUe Kuspidalpunkte der Flädie, Zugleich berührt sie in mnem solchen Punkte die durch ihn gehende Kante der Fläche, um noch letzteres zu beweisen^ legen wir darch die Spitze 8 des Kegels und durch die Puükte Ä der c und P der l^, för welche CA und CP = 0^ ist, eine Ebene; dieselbe schneidet die Fläche in einer Kurve k, welche bei P einen Doppel- punkt besitzt. Zieht man aus 8 9Ji k eine Tangente, welche in D berühren möge, so ist D ein Punkt des Umrisses 6, welcher außer- dem durch C geht Wenn wir nun zeigen, daß -4.D «« 0*, so können wir daraus folgern, daß «^ ACD «= 0*, daß also CA oder c die Tangente der b in C ist. Die beiden Tangenten der k in Ihrem Doppelpunkte P bilden aber einen Winkel = 0^, weil auch die Be- rührungsebenen der Fläche in P einen solchen Winkel bilden. Zieht man nun durch 8 die Sehne AE der Ä, so ist im Dreiecke APE der -^Pc=«0* (nämlich kleiner als der Winkel der Tangenten der k in P), ^ A endlich, PA = 0^ folglich AE = 0*; daher um so mehr -4D =» 0*, wodurch der Satz bewiesen ist.
Bückt ein Kuspidalpufikt ins Unendliche^ so wird die nach ihm laufende Karde zu einer Asymptote der Berührungskurve eines jeden umschriebenen Kegels und eines jeden Umrisses.
Diese für eine vielfache Leitlinie der Fläche gewonnenen Ergeb- nisse gelten für jede vielfache Linie der Fläche, da man diese, wie jede Linie der Fläche, als eine Leitlinie ansehen kann, möglicher- weise mit Ausschluß einer Reihe von Erzeugenden, die durch sie als Leitlinien neu eingeführt würden. Jeder Kuspidalpunkt liegt auf einer vielfachen Linie der Fläche.
387. Indem wir in der Folge öfter 8ätjse über Linien und Flächen höherer Ordnung auf analytischer Grundlage beweisen, wollen wir die dabei zu benutzenden und zum Teil schon früher benutzten Begriffe und Sätze zusammenstellen:
1) Eine Linie von der n^ Ordnung ist eine solche Linie, welche von jeder Ebene in n (reellen oder imaginären) Punkten geschnitten wird. Ist die Linie eben, so wird sie von jeder Geraden ihrer Ebene in n Punkten geschnitten.
2) Eine Linie von der n*^ Klasse ist eine solche Linie, von deren Schmiegungsebenen n durch jeden Punkt gehen, oder an deren abwickelbare Fläche (ihrer Tangenten) durch jeden Punkt n Berührungsebenen gehen. Ist diese abwickelbare Fläche ein Kegel, so gehen durch jede durch seine Spitze gelegte Gerade n Berüh-
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X, 387—388. Allgemeinea. 419
rongsebenen desselben. Ist die Linie ehen^ so gehen durch jeden Pankt ihrer Ebene n Tangenten an dieselbe.
3) Eine ebene Kurve von der n*®" Ordnung oder Klasse ist durch -J- (n + 1) (n + 2) — 1 = ^ w (n + 3) Punkte^ durch welche sie geht, oder Gerade, welche sie berührt, bestimmt. Denn so groß ist die Anzahl der unabhängigen Konstanten ihrer allgemeinen Gleichung.
4) In derselben Ebene haben zwei Kurven bezw. von der m**° und n^^ Ordnung oder Klasse mn Punkte oder mn Tangenten ge- mein. Denn durch Elimination der einen Veränderlichen aus ihren Gleichungen erhält man eine Gleichung vom mn^^ Grade nach der anderen Veränderlichen.
5) Eine Fläche von der n**" Ordnung ist eine solche Fläche, welche von. jeder Geraden in n Punkten, und daher von jeder Ebene in einer Linie von der n^^ Ordnung geschnitten wird.
6) Eine Fläche von der w'** Klasse ist eine solche Fläche, an welche durch jede Gerade n Berührungsebenen, und daher aus jedem Punkte als Spitze ein berührender Kegel von der n*®" Klasse gehen.
7) Eine Fläche von der n*^ Ordnung oder Klasse ist durch
Ebenen, welche sie berührt, bestimmt,
8) Zwei Flächen bezw. von der m^^ und n*®° Ordnung schnei- den sich in einer Linie von der mn*^ Ordnung.
9) Eine Fläche von der n**^ Ordnung hat mit einer Linie von der m**° Ordnung, die nicht ganz in ihr liegt, mn Punkte gemein. Hat eine Linie von der w**" mit einer Fläche von der n*®" Ordnung mehr als mn Punkte gemein, so liegt sie ganz in derselben.
10) Drei Flächen bezw. von der P®°, w****, n^^ Ordnung haben Imn Punkte gemein.
11) Zerfallt eine Linie oder eine Fläche von der n*®° Ordnung bezw. in Linien oder Flächen von der Ordnung i, k, l . . ., so ist i -(- Ä; + Z • • • = w.
388. Satz, Sind die drei Leitlinien l^, l^, l^ einer Regdfläche P bejsw. von der Ordnung m^, m^, Wg, und schneidet keine derselben eine der anderen, so ist der Grad der Eegelfläche n =^2m^m^m^. Eine be- liebige Gerade g schneidet die Fläche in n Punkten, und die durch die Schnittpunkte gehenden Erzeugenden der P sind die Gesamt- heit der Geraden, welche die vier Linien g, lu hy h treffen. Legt man nun durch g, 2,, l^ als Leitlinien eine Regelfläche, welche vom n,*^ Grade sei, so vrird dieselbe von Z, in m^ nj Punkten geschnitten, und die durch die Schnittpunkte gehenden Erzeugenden dieser Fläche
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420 X, 388—389. Die windschiefen Flächen.
sind ebenfalls die Gesamtheit der Geraden^ welche die vier Linien h> 9) hi h treffen. Daher ist n = w^Wj. Hieraus folgt auch, daß der Grad der Regelfläche (g, l^, ^) «= «i = Wj w, ist, wenn n^ der Grad einer Regelfläche, welche zwei Gerade ^, h und die 2, zu Leitlinien hat; und endlich, daß f^ = fn^'2 ist, weil 2 der Grad einer Regelfläche, welche drei Gerade g, h, i zu Leitlinien hat. Daraus ergibt sich durch aufeinanderfolgende Einführung w = 2 »»imjtw,.
Haben 0wei Leitlinien I2, l^ einen Funkt gemein, so zerfallt die Regelfläche in zwei Bestandteile, von denen der eine derjenige Kegel ist, welcher jenen gemeinsamen Punkt zur Spitze und l^ zur Leit- linie hat; und da dieser Eegel von der m^^^ Ordnung, so ist die Ordnung oder der Grad der (windschiefen) Regelfläche = 2 m^ fWg «w,
Haben l^, l^; l^^l^ ; l^, ^ hezw. Sj, Sg? h FunJcte gemein, so ist hier- nach die Regelfläche, mit Ausschluß jener Eegelflächen, vom Grade
w = 2 w»! W2 »W3 — Sj f»! — Sj m^ — 53 mg. Dabei werden die Zahlen, welche die VielfacMeit der Leitkurven ausdrücken, erniedrigt auf
Wg Wg — Sj , wig m, — «2 , ♦»! W2 — «8 .
EUerbei ist der Fall des scheinbaren Widerspruchs zu erörtern, welcher eintritt, wenn die drei Leitlinien Kegelschnitte sind, die sich zu zwei in zwei Punkten schneiden, und wobei die Regelfläche zweiten Grades entsteht (142, 3)). Es ist dann m^ = W2 = m^ = 2, «i = s, «= «3 = 2, woraus n= 16 — 3.4 = 4 folgt, und die Vielfachheit jedes Kegelschnittes =4 — 2 = 2. Beides scheint einen Wider- spruch zu enthalten, der sich aber dadurch löst, daß wirklich durch jeden Punkt jeder Leitlinie zwei Erzeugende gehen, und daß zwei Schaaren von Erzeugenden die Fläche doppelt bedecken. Jede Fläche mit zwei Schaaren von geraden Erzeugenden muß aber eine Begdfläche zweiten Grades sein, weil jede Schaar drei Gerade der anderen zu Leitlinien hat.
n. Das Konoid, seine Sohattengrenzen und Liohtgleiolien.
389. Man kann die windschiefen Flächen in solche mit 3, 2, 1 oder keiner Leitgeraden teilen. Die erster en sind die vom zweiten Grade, die zweiten die vom 2n^^ Grade, wenn die krumme Leit- linie von der n*®° Ordnung ist (388). Zu ihnen gehört das Konoid] bei demselben ist die eine gerade Leitlinie unendlich ferne, also durch eine Richtebene gegeben, so daß das Konoid eine windschiefe Fläche mit einer Bichtebene und einer geraden Leitlinie ist. Die krumme Leitlinie kann auch durch eine Leitfläche, welche von den
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X, 389—390. Das Konoid, seine Schaitengrenzen und Lichtgleichen. 421
' Erzeugenden berührt wird, ersetzt sein. Steht die gerade Leitlinie senkrecht auf der Kichtebene; so heißt das Konoid ein gerades, sonst ein schiefes. Für eine Erzeugende e des Konoides erhält man ein Berührungsparäboloid, wenn man die krumme Leitlinie durch ihre Tangente in ihrem Schnittpunkte mit e oder durch eine andere die Fläche in diesem Punkte berührende Gerade ersetzt; oder wenn man die Leitfläche durch eine Tangente derselben in ihrem Berüh- rungspunkte mit e ersetzt.
Da der Bichtkegel zu einer Bichtebene geworden ist, so sind die Berührungsebenen in allen unendlich fernen Punkten der Fläche mit der Richtebene parallel (383). Die Gentralebenen der Erzeu- genden (384) stehen daher auf der Richtebene senkrecht und ihre Berührungspunkte ; die Centralpunkte der Erzeugenden und damit die StrikHonslinie bilden den Umriß der Fläche bei ihrer senkrech- ten Projektion auf die Richtebene.
Die gerade Leitlinie und die unendlich ferne Gerade der Richt- ebene sind so vieifache Linien der Fläche ^ als die Ordnung der krummen Leitlinie angibt. ' Die Kanten erhält man durch die be- rührenden Ebenen, welche man durch die eine oder die andere dieser Leitgeraden an die krumme Leitlinie legi Die Erzeugende durch jeden der Berührungspunkte ist eine Kante, und ihr Schnitt- punkt mit der Leitgeraden^ durch welche jene Berührungsebene nicht geht, ist ein Kuspidalptmkt (386). — Die krumme Leitlinie der Fläche ist stets eine einfache Linie derselben , so daß das Konoid außer seinen beiden geraden Leitlinien keine mehrfache Linie enthält.
390. Äufg. Das gerade Kreiskonoid darzustellen und Berährungs- ebenen an dasselbe zu legen.
Das Kreiskonoid ist vom vierten Grade (vor. Nr.); bei dem ge- raden Kreiskonoide steht die gerade Leitlinie g senkrecht auf der Leitebene; wir wollen auch die Ebene des Leitkreises k senkrecht auf die Leitebene stellen; die senkrechte Projektion von g auf die Kreisebene gehe durch den Mittelpunkt M des k,
Aufl. Legen wir Pg in die Ebene des k, nehmen P^ als Leit- wg. i«». ebene und legen sie durch M, so geht auch x durch üf , und g" steht J.X und geht durch M. Es ist nur die obere Hälfte der Fläche dargestellt und von dieser nur das von k und g begrenzte Stück. Eine Erzeugende ist die mit P^ Parallele (G'E\ D''E"). Der erste Umriß der Fläche besteht aus den beiden Geraden O'A^ G'B, der zweite scheinbare (nicht verzeichnete) aus den beiden zu x paral- lelen Tangenten des A". Die Kanten (mit ebene» Flächenelementen) gehen durch die Endpunkte des in x und des J. x liegenden Durch-
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422
X, 390—891. Die windschiefen Flachen.
Fig. 169.
messers von Ä, drei derselben also durch Ä^ JB, (7; die vier Kuspi- dalpunJUe sind die unendlich fernen Punkte der durch A und B gehenden Erzeugenden, femer (ß', C) und der andere Grenz- punkt auf g.
Eine zur Ebene des h parallele Ebene F' K' schneidet die Fläche in einer Ellipse^ deren vier Scheitel in den vier Kanten lie- gen. Der Aufriß zeigt ihre wahre Gestalt; von dem Aufriß ist M der Mittelpunkt, 2 . MC" in g" die eine Axe, F'K" die andere; die letztere kann jede Größe annehmen. Diese Kurve ist eine Ellipse, weil ihre zu X parallelen Ordinaten zu denen des Ä", welche in derselben Linie liegen, in einem unveränderlichen Yerhältr nisse stehen, da (s. Fig.)
= G'D':G'M=conBt 391. Die Berühnmgsebene in einem gegebenen Punkte P der Fläche wollen wir mittelst eines entlang der Erzeu- genden PE sich anschließenden Para- boloides bestimmen, dessen Leitebene Fl und dessen Leitgeraden g und die Tangente (E'M, E" T') des l in E sei Schneidet E" T' die g" in T\ so ist die auf P, senkrechte Gerade (Cf'Jf, T') eine wei- tere Erzeugende dieser Fläche. Für ihre zweite Schaar von Er^ zeugenden ist die zu g und E"T' parallele P^ die Leitebene; und schneidet die | Pj durch P gelegte Ebene P^D' jene beiden Erzeu- genden der ersten Schaar in (D', T") und P, so ist (JD'P', T'F') die durch P gehende Erzeugende der zweiten Schaar. Die Ebene beider durch P gehenden Erzeugenden, welche E"H{\T'P") zur zweiten, und HJ{IE'P') zur ersten Spur hat, ist dann die Berüh- rungsebene des Hyperboloides und des Konoides in P. — In unserem besonderen Falle läßt sich auch {P'D\ P'^T') sogleich als Tan- gente der vorhin betrachteten Schnittellipse erkennen, welche mit PE die BerühruDgsebene bestimmt.
Die umgekehrte Aufgabe, den Beruhru/ngspunkt einer durch eine Erzeugende gehenden Ebene zu ermitteln, wird durch dieselben Linien in umgekehrter Reihenfolge gelöst. Da sie sich aber bei der spä- teren Aufgabe der Umschreibung eines Kegels 'aus einem Punkte L {Licht oder Auge) häufig wiederholt, so lohnt es sich, die Auflösung
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X, 391—393. Das Konoid, seine Schattengrenzen und Lichtgleichen. 423
zu yereinfachen. Man denke sich durch L und durch irgend eine Er- zeugende {Q' E'y D"E") eine Ebene gelegt^ ziehe die in dieser Ebene befindliche Gerade {L'G\ L"D"), schneide sie mit der durch T' II Pi geführten Ebene in 5, und ziehe S'O' \ G'E\ so triflEt dieselbe die G'M im Schnittpunkte 0' der Berührungsebene mit der {G'M, T"), und O'Q' \x liefert auf G'E' den gesuchten Berührungspunkt Q'. Schneidet man die zu x Parallele S' N mit G'M in N und mit G' E' in JB, so ist nach Sinn und Größe der Abstand des Q' von G'M oder 0'Q'= S'B, Liegt L unendlich fern, behalten also L'(t' undL"D" ihre Richtungen bei, so ist offenbar für alle Lagen von D" das Verhältnis G'N.B'T^ tg NS'G' : tg r'Ä"D" «= const, und man konstruirt vorteilhaft G'N aus D'' T" durch einen festen Winkel a, dessen sinus (oder cosecante) gleich jenem Verhältnisse ist. Der Sinn von G'N stimmt aber mit dem von D"T" darin überein, daß beide die Projektionen des Bewegungs- sinnes eines sich gegen L bewegenden Punktes (von G' gegen L' und von D" gegen L") auf die g" sind. Aus N erhält man dann S'B = 0' Q'. Sind die Winkel von L'G' und L" D" mit x einander gleich, so ist jenes Verhältnis = 1, und 6f'^=D"T".
392. Die Lichtgleidien einer windschiefen Fläche. Um auf einer beliebigen Erzeugenden e einer windschiefen Fläche die Punkte der abgestuften Lichtgleichen zu erhalten, lege man senkrecht zu e eine Ebene E, welche die e m E schneide, konstruire in E aus dem Mittelpunkte E das Tangentialbüschel, welches die Projektion des durch E gelegten Lichtstrahles auf E zum Nullstrahle und den Winkel von l gegen E = 90^ — le zum Grund winkel hat (196). Dann lege man durch die Strahlen dieses Tangentialbüschels und durch e Ebenen, so sind dies die Ebenen von den in der Lichtabstu- fung enthaltenen Helligkeiten, und ihre auf e liegenden Berüh- rungspunkte mit der Fläche sind die Punkte der abgestuften Licht- gleichen.
Dieses Verfahren wird für die Ausführung wesentlich durch die Bemerkung abgekürzt, daß die Reihe der Berührungspunkte mit dem Büschel der Berührungsebenen, also auch mit dem Tangential- büschel projektiv, und daß diese Beziehung durch drei Paare ent- sprechender Elemente bestimmt ist, wobei man vorteilhaft den Punkt auf der Eigenschattengrenze (Helligkeit -=» 0), diejenigen auf den ge- raden Leitlinien und vielleicht den von der größten Helligkeit wählt.
393. Aufg. Die Lichtgleichen des geraden Kreiskonoides m bestimmen.
Aufl. Sei wie in Nr. 390 Pj die Leitebene, ^ -L Pi die Leit- Fig. 170. gerade, c in P^ der Leitkreis, und gehe g" durch den Mittelpunkt M
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X, 398. Die windschiefen Flächen.
des c. Sei der hintere Flächenast durch g und c, der vordere durch g und einen zu c parallelen und gleichen Kreis c^ begrenzt; der Grundriß ist in Fig. a), der Aufriß des vorderen Flächenastes in 6), der des hinteren in c) dargestellt, l sei der Lichtstrahl. In den
Fig. 170 a.
Kreisen seien die Endpunkte der zu P^ parallelen Durchmesser A^ B, A^^ Bj^, der zu Pj senkrechten C, D, C^, Dj, so daß AA^, BB^, CC^y DD^ die vier Kanten der Fläche bilden, und diese sind Licht- gleichen, weil die Fläche entlang einer jeden von derselben Ebene
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X, 393. Das EoDoid, seine Schattengrenzen and Lichtgleichen. 42Ö
berührt wird. Man teile von A und A^ aus jeden Kreis in eine durch vier teilbare Anzahl (24) gleicher Teile, lege durch die Teilungs-
Fig. 170 b, c, d.
punkte die Erzeugenden und ermittle für jede die Lichtgleichen- punkte, indem man zuerst für drei Punkte die Helligkeiten bestimmt^ und zwar a) für den zu konstruirenden Punkt der Eigenschatten-
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426 X, 393—395. Die windschiefen Flächen.
grenze (0), 6) für den Punkt auf der unendlich fernen und c) för den Punkt auf der Leitgeraden g.
394. a) Bestimmung der Eigenschattengrenge. Eine mitPi parallele Ebene schneide die g in E ((?', E"), den c in i^ und H, deii c^ in Fl und -Hl, so sind EFF^y EHH^ zwei Erzeugende. Um auf den- selben die Punkte der Eigenschattengrenze zu finden ^ ziehe man (391) in F die Tangente an c; dieselbe trifft die g" in T'\ und durch diesen Punkt geht auch die Tangente an c in J?; sodann bestimme man auf G' M' den Punkt J so, daß G'J.E'T' = tg VxiigV'Xf in der Figur «= 1, weil Ta; = T'a; «= 45**, wo- durch G'J=E"T' wird. Dabei muß man sich von G' gegen J der Lichtquelle nähern, wenn man sich ihr von E" gegen T" nähert, andernfalls sich von ihr entfernen (391). Sodann ziehe man durch J eine Parallele zu x, schneide sie mit der H V gezogenen G'V in tT, mit G'F' in jPj, mit G' H' in Äj, und bestimme dann die Schattengrenzpunkte F^ auf G'F' und H^ auf G' H' so, daß ihre Abstände von der Mittellinie G' M der Große und dem Sinne nach bezw. J^F^^J'F^ und J^H^^^J'H^ sind. — Bezeichnen wir die äußere Seite des hinteren Flächenastes mit +, so hat die äußere Seite des vorderen Flächenastes das Zeichen — , indem in jeder der Leitgeraden das Äußere und Innere wechselt. Wir be- zeichnen auch die Grenzlichtgleiche 0 mit + oder — , je nachdem der berührende Lichtstrahl auf der + oder — Seite der Fläche liegt.
395. b) Da der Bichtkegel des Konoides die Ebene F^ ist, so ist jede unendlich ferne Berührungsebene desselben \ F, und die HelligJceit der Fläche in dem unendlich fernen Punkte jeder Erzeugenden = sin A, wenn X = Vx der Winkel von l gegen Fj ist. Setzt man G^K^ = 1, so ist K^ K^ = sin A, in der Figur = 1 : }/3 = 0,577.
c) Die Helligkeit der Fläche in den Funkten der Leitgeraden g erhält man durch ein Tangentialbüschel, das man in F^ aus G' als Mittelpunkt mit G' L' \ T als Nullstrahl und X als Grundwinkel ver- zeichnet, so daß cos A (= |/2 : j/3 — 0,816) die größte auf g mögliche Helligkeit ist Macht man daher G' 1. J_ V, 6r' 1. = 1 == G^K^j teilt diese Strecke in fünf gleiche Teile, zieht aus G' als Mittelpunkt einen Ej-eis k mit dem Halbmesser G'K^^G' 1. cos A «= (tj Ky^ cos A = G^i JTj, so sind dessen Schnittpunkte mit den J_ G' 1. durch deren Teilungspunkte gelegten Geraden die Strahlenpunkte des Tangentialbüschels. Die durch die so bestimmten Strahlen und durch g gelegten Ebenen besitzen die zugehörigen Helligkeiten, und die Strahlen sind die Grundrisse der in den bezeichneten Ebenen liegenden Erzeugenden. Überträgt man deren Schnittpunkte mit c in den Aufriß, und zieht hierdurch || x die Erzeugenden, so bestim-
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X, 396—396. Das Konoid, seine Scbattengrenzen und Lichtgleichen. 427
/Ä
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V
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men diese auf g'* die Punkte der Fläche von den bestimmten Hellig- keiten. Im Grundriß ist aber jeder Strahl des Tangentialbüschels Tangente der fraglichen Lichtgleiche in G\ Umgekehrt erhält man die Helligkeit der Fläche in dem Schnittpunkte {G\ E") einer be- liebigen Erzeugenden {G'F', E"F') als den Abstand LyF^ des Schnittpunktes F^ der G' F mit dem Kreise Tc von der Geraden G' V gemessen auf dem Stärkemaßstabe {= L^F^iG' \.),
396. um nun auf jeder Erzeugenden '^'
aus den drei Punkten /\
von bekannter Hellig- keit die Lichtgleichen' punkte zu ermitteln, bilde man in einer
zweiten Figur für alle / .^-^r
durch je eine Erzen- /^-i
gende gehenden Ebe- nenbüschel die Tan- gentialbüschel aus dem- ^ . -
selben Mittelpunkte 0 ^-"'
mit derselben Einheit /
des Stärkemaßstabes /
~Oi:=G'l.^G,K,, ^A^
und ziehe durch deren / ^^^
Teilungspunkte Oy 2, ^,^
4 . . . Senkrechte zu /
Ol/, so Oij. Der Grund Winkel für ir- /''
gend eine Erzeugende ^/ \
f^{G'F\E"F') ist ^' 1.^.
aber(392) = 90«— i/-, 1
und der Halbmesser ^^J
des Grundkreises da- her — 0 1/ sin Z/I Da nun auf dem durch {G\ E") gelegten Lichtstrahle die GL
aufgetragen ist, so ist 0 1/ sin le gleich der von L auf f (G'F'^ E"F") gefönten Senkrechten. Der Fußpunkt derselben ist aber auch der Fußpunkt Fg der aus L' auf G'F' gefällten Senkrechten; daher ist die Länge der Senkrechten die Hypotenuse eines recht-
Fig. 170 e.
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428 X, 396. Die windschiefen Flächen.
Fig. 170. winkligen Dreiecks, dessen eine Kathete für alle Erzeugenden «= LL' =^K^K^y und dessen andere Kathete die von V auf G' F gefällte Senkrechte L'F^ bildet.
Trägt man daher auf dem Nullstrahle die OL^ ^= K^K^ auf, macht L^Fq±. OL^ und = L'F^^ zieht aus 0 durch F^ einen Kreis, so ist derselbe der Grundkreis für f und wird von den senkrecht zu dem Stärkemaßstabe aus dessen Teilungspunkten gezogenen Geraden . in den + Strahlenpunkten geschnitten, welche das Tangential- büschel bestimmen.
In diesem Büschel bezeichnet aber der Strahl OFq die Hellig- keit in dem Schnittpunkte (6r', JE?") der f mit g ; denn diese Hellig- keit wurde vorhin = L^ F^ bestimmt, und es ist oflFenbar L^ F^ = F^L' = L^Fq, Der auf OF^ senkrechte Strahl bezeichnet die Helligkeit im unendlich fernen Punkte der Erzeugenden, weil die Berührungsebenen der Fläche in diesem Punkte und in demjenigen (G\ E") aufeinander senkrecht stehen. Und wirklich liefert dieser Strahl eine für alle Erzeugende unveränderliche Helligkeit = OL^ = K^ JEg (s. vor. Nr.). Endlich bezeichnet der Strahl OL^ die Hel- ligkeit im Schattengrenzpunkte F^ der f.
Man lege nun die Erzeugende O' F' perspektiv in das Tan- gentialbüschel nach /*, derart daß ihr unendlich ferner Punkt in den zu OjFg senkrechten Strahl gelangt, f also JL OF^ zu stehen kommt, und daß ferner G' nach (6r) in OF^ und F^ nach {F^ in OL^ gelangt; man erreicht dies dadurch, daß man, was zweckmäßig mit dem Zirkel allein geschieht, den Punkt {F^ auf OL^ so bestimmt, daß sein senkrechter Abstand (1^2^) ^^^ OF^^^G'F^ ist, und daß (ö) auf der — Seite von 0 1.' liegt, weil G' der — Lichtgleiche an- gehört; dann schneidet das Tangentialbüschel auf f die auf G'F* zu Obertragenden + Lichtgleichenpunkte ein. Der Strahl Ol.' gibt auf jeder Erzeugenden deren hellsten Punkt an, dessen Ort für alle Erzeugenden die Maximalkurve {m) heißt. Jede Lichtgleiche wird in ihrem Schnittpunkte mit m von einer Erzeugenden berührt, weil in diesem Punkte zwei Punkte der Lichtgleiche zusammenfallen. — Fallen die Punkte der Schattengrenze in der ersten, oder die über- tragenen Erzeugenden in der zweiten Figur außerhalb der Grenzen der Zeichenfläche, so verkleinere man verhältnismäßig. So ist för die Erzeugende j) (6r'P', Z"P,") die Verkleinerung auf ^ in einer in der Figur ersichtlichen Weise durchgeführt. Dabei ist zur
Raumersparnis ~- auf dieselbe Seite von 0 gesetzt, wie f, obgleich
es auf der entgegengesetzten liegen sollte; daher sind auch -|- und — vertauscht worden.
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X, 396—897. Das Konoid, seine Schattengrenzen und Lichtgleichen. 429
Die Tangente einer LicfUgleiche im Aufriß (Fig. b) und c)) in den Kuspidalpunkten C", D'\ C,", D/' bestimmt man, indem man beachtet, daß die trigonometrische Tangente ihres Neigungswinkels gegen die Projektionsaxe x halb so groß ist, als diejenige des zu der gleichen Helligkeit gehörenden Strahles des Tangentialbüschels in der Aufrißebene P^. In Fig. d ist dieses Büschel gezeichnet (man hätte auch die Fig. e benutzen können); und wenn man für irgend welche Strahlen, z. B, für die beiden 0"2", die Ordinaten (-L x') halbirt, hier in 2^, so laufen die Tangenten der Licht- gleichen 2, — 2 in jenen Kuspidalpunkten bezw. parallel mit den beiderlei Linien 0^2^^ ebenso an die Grenzlichtgleiche 0 parallel zu 0"0^. Es folgt dies daraus, daß für die unendlich nahen Punkte unserer Flache P bei jedem jener Kuspidalpunkte, z. B. bei (7, die Erzeugende mit der Senkrechten zu Pg einen unendlich kleinen Winkel bildet) daß also für diese Erzeugende das Tangentialbüschel der Fig. d) gilt, daß eine durch einen solchen unendlich nahen Punkt || Pg gelegte Ebene die P in einer Kurve (Ellipse) schneidet, welche in C einen unendlich kleinen Krümmungshalbmesser besitzt, daß die mit den Strahlen des Tangentialbüschels parallelen Tangenten dieser Kurve Punkte der Lichtgleichen sind, welche, außer für die zu g" parallele Tangente, unendlich nahe bei C liegen, daß deren Verbindungslinien mit C Elemente der Lichtgleichen bilden, daß aber C in der Mitte der Punkte liegt, welche auf g" durch jenen berührenden Licht- strahl und durch die von seinem Berührungspunkte auf g" gefilllte Senkrechte eingeschnitten werden (I, 236, Formel 7).
397. Die Gestalten der Lichtgleichen, Der Mittelpunkt (G', M") der Fläche ist auch der Mittelpunkt der Lichtgleichen, G' ihrer Grund-, M" ihrer Aufrisse. Vom Grundriß ist nur die obere Hälfte gezeich- net; die Aufrisse beider Flächenäste, aufeinander gelegt, lassen M" als Mittelpunkt erkennen, und zeigen den Zusammenhang der Kurven.
Fassen wir zuerst die Typuslichtgleichen und das Verhalten der Kurven gegen die Kuspidalpunkte und die Leitgeraden ins Auge. Die Typuslichtgleichen (212) sind diejenigen Lichtgleichen, welche Linien mit ebenen Flächenelementen, also hier die Kanten, als Be- standteile enthalten. Die gleichförmige Helligkeit entlang der Kante AA^ ist 0,78, die entlang B-Bj =0,2, wie es der Tangentialbüschel in Fig. a) ablesen läßt, die Helligkeit entlang der Kanten CC^ und BD^ ist = 0,58, wie x" auf dem Tangentialbüschel d) zeigt (Hel- ligkeit von Pj). Die Lichtgleichen 78 und 2 enthalten daher bezw. die Geraden AA^, ^^i't die krummen Äste sind verzeichnet; der- jenige der anderen Typuslichtgleiche 58 ist nicht ausgeführt.
Da jede durch eine Kante der Fläche gelegte Ebene dieselbe
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430 X, 397. Die windschiefen Fl&chen.
Fig. 170. in dem KuspidäljmnJcte dieser Kante berünrt (386), so herrschen in dem (unendlich fernen) Euspidalpunkte der Kante AÄ^ alle Hellig- keiten, welche die Ebenen des Büschels AA^ besitzen. Man erhält dieselben, wenn man aus Fig. ä) den Abst. L' .A' A^ in die Fig. e) auf Lg JPg nach L<^ Al^ trägt; der aus 0 durch A^ gezogene Kreis schneidet den Stärkemaßstab im Punkte 0,98. Also herrschen in jenem Kuspidalpunkte alle Helligkeiten von 0 bis 0,98, jede, außer 0 und 0,98, in zwei Ebenen oder alle Lichtgleichen von 0 bis 98 gehen nach diesem Punkte und haben AA^ zur Asymptote (386); und zwar jede Kurve, außer 0 und 98, mit zwei Ästen, und jeder Ast, wie immer bei stetigen Kurven, mit zwei Zugängen. Ebenso ergibt sich durch L^B^ = Abst L\B'B^\ daß BB^ Asymptote aller Lichtgleichen von 0 bis 62 ist. Daher haben diese Licht- gleichen sowohl AA^, als BB^ zu Asymptoten. — In jedem der Kuspidalpunkte der ^r, d. i. in deren Grenzpunkten ((?', C") und {G\ D"), finden die Helligkeiten der Ebenen der Büschel CC^, DDi statt, und diese gehen nach der Fig. d) oder nach Fig. e (C^) von 0 bis 0,82. Daher gehen alle Lichtgleichen von 0 bis 82 durch diese beiden Punkte und berühren in ihnen bezw. die Kanten CCj, DDi. — Endlich finden in Punkten der Leitgeraden g die Hellig- keiten derjenigen Ebenen des Büschels g statt, welche mit der Fläche (zwei oder eine) Erzeugende gemein haben, also von 0,2 bis 0,78. Daher schneiden die Lichtgleichen 2 bis 78 die g außer in deren Grenzpunkten (C, D") noch in zwei oder einem {M bei 2 und 78) zwischenliegenden Punkte.
Die Lichtgleichen 1 bis 98 ausschließlich treten in unserem Falle nicht auf; sie würden vorkommen, wenn eine Erzeugende J. l wäre; auf ihr würde der Punkt 1. liegen. Die Lichtgleichen 1. bis aus- schließlich 98 wären dann endliche geschlossene Kurven. — Die Lichtgleichen 98 bis 82 ausschließlich erreichen die g nicht, und haben AA^ zu Asymptoten. — Die Lichtgleichen 82 bis 78 ausschließlich schneiden die g nur in deren Grenzpunkten; sie kommen aus dem unendlich fernen Punkte von AA^^ schneiden die g in einem Grenz- punkte, bilden eine (kleine) Schleife, gehen durch denselben Grenz- punkt zurück, jedesmal eine Kante berührend, und laufen gegen denselben unendlich fernen Punkt auf demselben Flächenaste, auf welchem sie von ihm kamen. — Die Lichtgleichen 78 einschließUch bis 62 aiASSchiießlich kommen aus dem unendlich fernen Punkte von AAi, schneiden die g in einem Grenzpunkte, bilden eine (größere) Schleife, gehen durch denselben Grenzpunkt zurück, jedesmal eine Kante berührend, bilden einen Bogen, schneiden die g noch in einem inneren Punkte, und gehen auf dem anderen Flächenaste nach dem-
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X, 397—398. Das Konoid, seine Schattengrenzen und Lichtgleichen. 431
selben unendlich fernen Punkte. Jener Bogen, der durch zwei ver- schiedene Punkte der g begrenzt ist, erscheint im Grundriß als Schleife mit dem Doppelpunkte G\ und wird von G'M' und einem davon verschiedenen Strahle berührt. — Die Licktgleichen 62 bis 2 bestehen aus zwei verschiedenartigen Ästen. Der eine kommt aus dem unendlich fernen Punkte der AA^^ schneidet die g in einem Grenzpunkte unter Berührung einer Kante und geht dann auf dem anderen Flächenaste nach dem unendlich fernen Punkte der BB^. Der andere Ast kommt aus dem unendlich fernen Punkte Aer AA^^ schneidet die g in einem Grenzpunkte unter Berührung einer Kante, bildet einen Bogen, schneidet die g in einem inneren Punkte, und geht auf dem ursprünglichen Flächenadte nach dem unendlich fernen Punkte Aex BB^. Im Grundriß wird jener Bogen zu einer Schleife mit G'M' und einer davon verschiedenen Tangente in G'. — Die Lichtgleiclien von 2 ausschließlich bis 0 ausschließlich bestehen aus zweierlei Ästen. Die einen kommen, wie die ersten der vorher- gehenden Art, aus dem unendlich fernen Punkte der AA^ in ge- strecktem Verlaufe, schneiden die g in einem Grenzpunkte unter Berührung einer Kante, und gehen dann auf dem anderen Flächen- aste in gestrecktem Verlaufe nach dem unendlich fernen Punkte der BB^. Von den anderen gilt dasselbe, nur daß der eine der beiden Verlaufe bei den Kurven von größerer Helligkeit nicht gestreckt ist, sondern sich in die Ecke der 2 bei M hereinschmiegt. Beiderlei Äste vereinigen sich dann in der Lichtgleiche 0,
398. Den Schlagschatten der Fläche auf P, bestimmt man, in- dem man den Schlagschatten der g und ihrer Schnittpunkte mit den angegebenen Erzeugenden ermittelt, und aus diesen Schlagschatten- punkten Parallele zu den Erzeugenden zieht; die Schlagschatten- grenze der Fläche ist die Einhüllende dieser Geraden. In ähnlicher Weise bestimmt man den Schatten der Fläche auf Pg als Einhül- lende der Schatten der Erzeugenden. — Die Schlagschatten der be- grenzenden Kreise sind Ellipsen, welche aus zwei zu ermittelnden konjugirten Durchmessern (und etwa den daraus hergeleiteten Axen) gezeichnet werden können.
Zur Bestimmung des Schlagschattens s des Kreises c^ in das Innere des vorderen Flächenastes suche man rückwärts den (geometrischen) Schatten g^ = ^1^2 (^1 in ^ig- <^)) a^f <Jie Ebene von c^. TriflFt nun irgend eine Erzeugende die g in N, den Kreis c^ in Q, so suche man den Schatten N^ (auf g^) von N] hierdurch ist der Schatten N^Q" von NQ bestimmt Trifft die K,Q" den c/' in B, und schneidet der Lichtstrahl aus B die 2f"Q" in B^, so ist B^ der Schatten von B ins Innere der Fläche. Ebenso ist auf der Erzeu-
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432 X, 898—899. Die windschiefen Flächen.
genden SU der Punkt V^ der Schatten des Punktes V des c,. — Der Schlagschatten 8 im Aufriß berührt den Kreis c/' in D/', und schneidet ihn in seinen Schnittpunkten mit der Eigenschattengrenxe, so in W. — Die Tangente der Kurve s in V^ ist der Schatten der Tangente VT des Kreises Cj auf die Berührungsebene der Flache in Fj . Schneidet die Tangente des c^ in U" die g" in Tj, so ist FjjTi eine mit Pg parallele Tangente der Fläche in Vi] daher ist Ü"T\\ FjTj die Spur jener Berührungsebene in der Ebene des c^. TreflFen sich VT und U''T in T, so ist V^T die gesuchte Tangente der s. — Die Tangente der s im Grenapunkte W ist auf diese- Weise nicht zu bestimmen«, man ermittelt sie nach dem allgemeineren Ver- fahren (I, 204), indem man die unendlich kleine Figur , welche den dem W unendlich nahen Punkt der s bestimmt, aus W als Ähnlich- keitspunkt zu einer eodlichen Figur vergrößert. Zu dem Ende trägt man auf der Tangente des c^ in W die Strecken WX^ = WX^ von passender Länge auf, zieht durch den einen der Endpunkte, etwa durch X^ die Entsprechende einer Erzeugenden X, F ( j| ic), führt den Lichtstrahl X^Ydl"), so gibt dessen Schnittpunkt T mit Zg Y einen Punkt der Tangente WY der s.
399. Äufg. Das schiefe Kreiskonoid darssustellenj und seine Striktionslinie und bemerkenswerthen Schnitte m verzeichnen. Fig. 171. Äufl, Die Ebene des Leitkreises k stehe senkrecht auf der
Richtebene, die Leitgerade g schief gegen beide Ebenen. Wir legen Pj parallel zur Richtebene, Pj parallel zur Ebene des k. AB und CD seien der zu P^ parallele und der dazu senkrechte Durchmesser des k. Von ihren vier Endpunkten aus teile man k in etwa zwölf gleiche Teile, lege durch je zwei Teilungspunkte, z. B. durch A und B, eine zu P^ parallele Ebene, schneide sie mit g in G, so erhält man zwei Erzeugende GA, GB der Fläche.
Um die Kanten der Fläche zu bestimmen, schneidet man jede der beiden Leitgeraden mit der Ebene des k, zieht aus den Schnittpunkten Tangenten an k, so sind die Erzeugenden der Be- rührungspunkte die vier Kanten. Für die unendlich ferne Leit- gerade (in Pj) sind C und D die Berührungspunkte, und CE und DF die Kanten. Die g schneide die Ebene des k in H] die Tan- genten aus H berühren den k in J und K. Da aber im Aufriß H" nicht zugänglich ist, so sind darin die Berührungspunkte durch eine ähnliche Figur mit dem Mittelpunkte M" des k" als Ahn- lichkeitspunkt und mit einer Verkleinerung auf \ bestimmt. Dabei ist gemacht M''A/' = ^ M'' A'\ M" G^' = i Jf " G", M" H^' = \ C'if'; dann ist H^' bestimmt durch G/'JJ/' | g\ n^'H;'±M"G'\ Aus Hl' sind die beiden Tangenten an den aus M" durch A^'
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X, 399->400. *Da8 Konoid, seine Schatte ngrenzen und Lichtgleichen. 433
gezogenen Ereis gelegt; es schneiden dann die Radien der Berührungs- punkte auf Ä" die gesuchten Punkte J" und K" ein. JL und KJS (L und N auf g) sind dann die Kanten. — Die unendlich fernen Punkte dieser Erzeugenden und die Punkte E und jP der g sind die vier Kmpidalpunkte] durch sie gehen alle Umrißlinien und Eigen- schattengrenzen der Fläche und werden in denselben von den Kan- ten beröhrt
Fig. 171.
400. Die StrikHonslinie s, s* ist der zur ersten Projektion ge- hörige Umriß (389). Sie geht durch die Punkte Ä und B des Leitkreises, in welchen die Kreistangenten J_ P^ stehen, durch die Kuspidalpunkte E und F, in denen sie von den Kanten EC und FD berührt wird, und hat JL und KN zu Asymptoten. Ein Punkt derselben auf der beliebigen Erzeugenden OP ist der Berührungs- punkt T der ersten projicirenden Ebene der OP mit der Fläche. Um T zu bestimmen, lege man entlang der OP ein Berührungs- paraboloid; dabei wollen wir den Kreis als Leitlinie durch seine
Wiener, Lebrbnob der dartteUenden Geometrie. II. 28
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434 X, 400—401. Die windschiefen Flachen. •
Tangente OQ ersetzen, deren erste Spur Q ist, die Gerade g durch die mit Pg parallele Tangente PR der Fläche in P. Die Berüh- rungsehene der Fläche in P hat aber zur ersten Spur die mit O'P' parallele F'B', und diese bestimmt auf P'iZ' {\\x) deren erste SpurjR. Eine zugehörige Leitebene muß P^ bleiben, während die andere mit OQ und PB parallele Leitebene die Pg ist Dann ist die Verbin- dungslinie QB jener beiden ersten Spuren eine Erzeugende von derselben Schaar wie OP, Schneiden sich O'P' und Q' R' in T, so ist T die erste Projektion einer auf P^ senkrechten Erzeugenden der anderen Schaar des Paraboloides, weil sie die OP und QR trifft und || Pg läuft. Daher ist T auf 0 P der gesuchte Berührungs- punkt der ersten projicirenden Ebene von OP mit der Fläche; aus T' ergibt sich T" auf 0"P". — Liegt Pi nahe bei der Erzeugen- den (OP), so sucht man die Spuren in einer entfernteren mit Pj parallelen Ebene.
401. Ebene Schnitte sind leicht durch die Schnittpunkte mit den geraden Erzeugenden zu erhalten. Die Schnittkurve besitzt auf der endlich und der unendlich entfernten Leitgeraden je einen Doppel- punkt, oder eine Spitze, oder einen isolirt^en Punkt.
In der Figur wurde eine Schnittebene parallel zu P^ durch den Kuspidalpunkt F der g gelegt; die Schnittkurve ist F"Ü"V" mit einer Spitze in jP". Ihre Tangente in dem Punkte F" der Erzeugen- den OP ist F"X", wenn X den Schnittpunkt der QR mit der Schnittebene bezeichnet. Denn jenes nach 0 PV berührende Paraboloid besitzt QR als eine Erzeugende der einen und daher VX als eine Erzeugende der anderen Schaar, weil die Schnittebene parallel zur Leitebene Pg steht — Die Tangente F'' W" in der Spitze F" erhält man, wenn man JE' W \\ D'F' zieht und mit der Schnittebene in W schneidet; denn DFEW ist die Berührungsebene der Fläche in TT, und FW ihr Schnitt mit der Schnittebene.
unter den ebenen Schnitten gibt es eine Schaar Ellipsen. Ihre Ebenen bilden ein Büschel, dessen Axe die Verbindungslinie der Schnitt- punkte beider geraden Leitlinien mit der Ebene des Leithreises ist, d. h. die durch H parallel zur Projektionsaxe x gelegte Gerade. Um zunächst einen solchen Schnitt zu konstruiren, nehme man eine dritte auf den beiden anderen senkrechte Projektionsebene P, an und lege sie um die Axe x^^ in die Pj um. Die dritte Projektion des Leitkreises ist die Gerade C'"D"\ die der Leitgeraden g ist E"'F"\ Der Schnittpunkt beider, H'", ist die dritte Projektion der Axe jenes Ebenenbüschels, und der Mittelpunkt des Strahlenbüschels, welcher die dritte Spur und Projektion jenes Ebenenbüschels bildet Da nun jff"' unzugänglich, so erhält man eine Gerade S'"X'"T'\
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X, 401—403. Die WOlbfl&che des Eingangs in einen runden Tnrm. 435
wenn man die Strecken C"'E'" und D'^'F"' durch die Punkte Z'" und r'" in demselben Verhältnisse teilt. Zeichnet man die dritte Projektion von einer Reihe von Erzeugenden, so erhält man aus diesen die gesuchten Schnittpunkte, wie X und T auf CE und DF.
Daß diese Kurven vom zweiten Grade sind, kann man daraus erkennen , daß die Verbindungsgerade der Schnittpunkte der beiden Leitgeraden mit der Ebene von k, die k in zwei reellen oder konjugirt imaginären Punkten schneidet, daß sie daher eine Doppelgerade der Fläche ist, entweder eine reelle doppelte Erzeugende der Fläche oder eine isolirte Doppelgerade, so daß jede durch sie gelegte Ebene die Fläche von der vierten Ordnung nur noch in einer Linie zweiter Ordnung schneiden kann. — Geometrisch läßt sich die Schnittkurve in folgender Weise als Ellipse erkennen. Von dem durch jene Ge- rade als Axe gelegten Ebenenbüschel geht eine Ebene durch ^, eine durch k] und da noch die Axe des Büschels parallel mit der Richt- ebene, so teilt jede Ebene des Büschels die zwischen g und k liegen- den Stücke der Erzeugenden in demselben Verhältnisse, so daß z. B. EX : EC = FY : FD. Da nun die zweiten Projektionen der Erzeugenden parallel sind, so ist die zweite Projektion der Schnitt- kurve eine affine Figur zum Kreise Ä;''mit g" als Axe und x als Rich- tung der Strahlen der Affinität, also eine Ellipse. Da ferner die Figur in einer Ebene liegt, so ist auch die wahre Gestalt eine Ellipse.
402, Ubtmgsaufgäben.
1) Die Eigen- und Schlagschattengrenze des vorigen Konoides für Central- oder Parallelbeleuchtung zu bestimmen.
2) Das gerade oder das schiefe Kugelkonoid (mit einer Kugel als Leitfläche) zu konstruiren, insbesondere seine Berührungskurve mit der Kugel (bei dem geraden Konoide ist deren Projektion auf die Richtebene ein Kreis), seine Kanten und Kuspidalpunkte, seine Striktionslinie, einen ebenen Schnitt samt seinen Tangenten, die Schnittpunkte mit einer gegebenen Geraden und die Berührungs- punkte der durch die Gerade gehenden Berührungsebenen, dieEigen- und Schlagschattengrenze für Central- oder Parallelbeleuchtung und die Lichtgleichen für Parallelbeleuchtung.
nL Die Wölbfläohe des Eingangs in einen runden Turm.
403. Die Wölbfläche des Eingangs in einen runden Turm ist das gerade Konoid, welches zur geraden Leitlinie die Axe a eines ümdrehungscylinders hat, und zur krummen Leitlinie eine auf diesen Cylinder aufgewickelte Ellipse, deren eine Axe parallel zur geraden Leitlinie a, deren andere also parallel zu der auf a senk-
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436
X, 403. Die windschiefen Flächen.
rechten Richtebene läuft. Ist jener Cylinder die Außenfläche eines Turmes, so bildet unsere Fläche die Wölbfläche eines Eingangs von abnehmender Weite, aber von unveränderlicher Hohe. Dies Konoid kann auch mit einem Ringgewölbe von übereinstimmender Höhe ein Ejreuzge wölbe bilden, und den dabei vorkommenden Schnitt der beiden Wölbflächen wollen wir konstruiren.
Aufg. Dm Burchschnitt der Wölbfläche des Eingangs in einen runden Turm mit einem Ringe jsu Jconsiruireny wenn beide Flächen dieselbe Axe a besitzen, wenn der Meridian des Ringes eine Ellipse ist, deren eine Axe parallel der Axe a der Fläche, und wenn beide Flächen zwischen denselben zur Richtebene parallelen Berührungs- ebenen eingeschlossen sind.
Pig. 172.
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Fig. 17Ä. Sei P, die Richtebene, Ä' die erste Projektion der Leitgeraden a^
A!B' ein Meridian des Ringes, die halbe Ellipse GB'B'E'" des- sen ümlegung, seien B'C und B'E"' deren Halbaxen, sei femer Ä'F' die horizontale Mittellinie der Wölbfläche, und schneide diese Linie den Parallelkreis des Mittelpunktes B der Meridianellipse in F. Dieser Kreis sei die Horizontalspur des lotrechten Cylinders, auf welchem die Leitellipse der Wölbfläche aufgewickelt ist; F sei der Mittelpunkt dieser Ellipse, der Bogen FO die Aufwickelung der einen Halbaxe, deren wahre Länge auf der Tangente des Kreises BF in F als FG^ = Bog. FG aufgetragen ist. Die Projektion der wahren Gestalt der abgewickelten Ellipse auf eine zur Mittellinie ÄF senkrechte Ebene sei G^' J" H^' mit dem Mittelpunkte JP", wobei die vertikalen Axen F" J" und B' E'" beider Ellipsen gleich sind.
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X, 403—405. Die Wölbfläcbe des Eingangs in einen runden Turm. 437
Die Pi enthält von dem Ringe die beiden durch C und D' gehenden Parallelkreise und von der Wölbfläche die beiden Geraden äGj ah, und beide liefern 2*4 Schnittpunkte, von denen nur die zum Eingange gehörige Hälfte verzeichnet ist. Der Scheitel- kreis und die Scheitelerzeugende treffen sich im Grundriß in F\ Um allgemeine Punkte zu finden, lege man horizontale Hilfsebenen; jede solche trifiFt den Ring in zwei Kreisen, die Wölbfläche in zv^ei Geraden, von deren Schnittpunkten vier verzeichnet sind, darunter P; dabei gilt P/P,'"= Po"P/', Bog. P'P/ = P"Po". Die Schnitt- kurve hat in F einen Doppelpunkt.
404. Um die Tangente an die Schnittlinie in einem Punkte P zu bestimmen, lege man in P die Berührungsebene an jede der beiden Flächen. Die des Ringes hat S'V zur ersten Spur (Pg"'S'" Tan- gente an die Ellipse, FS' = P^8"\ P'ST — 90«); die der Wölb- fläche erhält man mittelst des nach der Erzeugenden von P berüh- renden Paraboloides, welches P^, die Cylinderaxe und die Tangente PjjT in P| an die aufgewickelte Leitellipse des Konoides zu Leit- gebilden hat Die erste Spur der Tangente P^T ist T (P/T/' Tangente an die Ellipse, ^'P/r= 90^ F^T^P^'T^'y, daher ist die in F^ liegende A' T' eine Erzeugende des Paraboloides. Die Leitlinien für die zweite Schaar sind dann w4P, A' T\ und die Leit- ebene ist die erste projicirende Ebene P/ jT, weil diese mit den zwei Erzeugenden der ersten Schaar (P^ T und Axe a) parallel läuft. Eine Erzeugende der zweiten Schaar ist daher PET (P'J/' \ P/I^, ü' auf A'T), V deren erste Spur, und U'V ^A'P' die erste Spur der Berührungsebene P^PÜ des Paraboloides und der Wölbfläche in P Die ersten Spuren beider Berühruugsebenen treffen sich in V, daher ist P'F' die erste Projektion der gesuchten Tangente. — Diese Konstruktion der Tangeute versagt im Scheitel F\ weil hier beide Berührungsebenen in einander fallen, und in den vier Endpunkten der ersten Projektion der Schnittlinie, weil sich hier deren Tangen- ten als Punkte projiciren. Wir werden aber auch diese Tangenten leicht ziehen lernen.
405. Die erste Projektion der Schnittkurve ist eine Archime- dische Spirale mit A' als Pol (331). Denn die Zunahme z/m des Leitstrahles u von F bis P, oder Pi'P', steht mit der Zunahme z/g> des Polarwinkels q>, und mit dem Bogen J^P/ in unveränderlichem Verhältnisse, oder es ist P/F : rP^^B'P^.F'P^'^ B'D' : F"J?/', letzteres, weil P/Pg'"«» Po"P". Der Parameter
wird durch ähnliche Dreiecke konstruirt, wenn man A' H^^=^ F"H^\
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438 X, 406—406. Die windschiefen Flachen.
A'D^ = B'D\ A'F^ = Ä'F\ D^P^^H^Fj^ macht; dann wird jP «=» -l'Pj und P^K'L' ist der Parameterkreis. Die Polaraxe A'V erhält man^ wenn man auf dem Parameterkreise von A' F' aus, im Sinne der Abnahme von g>, Bog. K' L' = F A' aufträgt. Macht man ^ i^-A'Ps = 90^, so ist die Tangente der Spirale in F' durch ihre Normale i^P3 bestimmt, und entsprechend die in anderen Punkten.
rv. Die gerade Normalenfläohe einer Fläche zweiten Gerades«
406. Die Normalenfläche F einer gegebenen Fläche K entlang einer auf ihr liegenden Kurve k hat zu Erzeugenden die Normalen der Fläche K in den Punkten der Je, K heißt die Leitfläche, k die Leitlinie der Normalenfläche. Die Fläche ist im allgemeinen unnd- schief und, wie wir später finden werden, nur dann abwickelbar, wenn k eine Erümmungslinie der K ist (wie ein Parallelkreis oder ein Meridian einer Umdrehungsfläche).
Ist K eine Fläche zweiten Grades und k eine ebene Kurve der- selben, also ein Kegelschnitt, so stehen die Flächennormalen auch senkrecht auf dem Kegel, welcher der K, entlang i, umschrieben ist, so daß man K durch den Kegel ersetzen kann. Wir betrachten den Fall, in welchem die Ebene von k parallel mit einer Haupt- ebene der K und daher auch des Kegels steht, und nennen die dann entstehende Normalenfläche die gerade Normalenfläche einer Fläche zweiten Grades. Die Leitlinie ist dabei eine Ellipse oder eine Hyperbel oder eine Parabel, ihr Mittelpunkt sei M, die Leit- fläche ist ein gerader Kegel K über k] derselbe wird zu einem schiefen Cylinder, wenn k eine Parabel wird. Die Axe des Kegels, welche senkrecht auf der Ebene von k steht, bildet auch die Axe der Normalenfläche*).
*) Diese Fläche in dem besonderen Falle als „Normalenfläche zom drei- axigen Ellipsoide" wurde von Herrn Salin in eingehender, vorwiegend analyti- scher Weise untersucht (Abh. d. Ges. der Wiss. in Prag, Ser. 6^ B. 2, 1868). Untersuchungen über die allgemeine Normalenfläche (normalie) lieferte Herr Mannheim in seiner Abhandlung: Memoire sur les pinceaux de droites et les normalies, oontenant nne nouvelle exposition de la th^orie de la courbure des surfaces (Joum. de mathäm. p. Liouville, B. 17, 1872, S. 109—166). Auch be- handelte er sie in seinem Cours de g^om. descr., 1880, S. 273 ff. Femer wurden diese Flächen untersucht von Koutny in „die Normalenflächen der Flächen 2. Ordnung längs ebener Schnitte derselben" (Sitzungsber. d. Ak. d. Wiss. in Wien, B. 76, A. 2, 1877, 8. 861), und von Herrn Peschka „Beitrag »ur Theorie der Normalenflächen" (Sitzungsber. d. Ak. d.WiBs. in Wien, B. 81, A.2, 1880, S. 1128) und „Normalenflächen längs ebener Flächenschnitte" (ders. B., S. 1163). Die oben gegebene Untersuchung ist vorwiegend geometrisch gefdhrt und liefert einige neue Sätze und Konstruktionen.
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X, 407. Die gerade Normalenflächo einer Fläche 2. Gr.
439
407, Aufg. Die gerade Normalenfläche F mier Fläche aweiten Crrades darzustellen.
Aufl. Legen wir P^ in die Ebene von k, Pg durch die Haupt- Fig. 173. axe AB, P3 durch die Nebenaxe CD, sei M der Mittelpunkt des k, S die Spitze des Leitkegels K'=^ Sk, so ist bei der geraden Nor-
Fig. 173.
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malenfläche MS senkrecht auf der Ebene des k. Die durch einen Punkt Q des k gehende Erzeugende der F steht senkrecht auf der BerQhrungsebene des K in Q, die erste, zweite, dritte Spur dieser Ebene sind bezw. Q'T'T,', S" r\ S'"T,"\ wenn Q' T' T^' die Tan- gente des k in Q ist, und T deren zweite, T^ deren dritte Spur
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440 X, 407—408. Die windschiefen Flachen.
Fig. 178. bildet. Die drei Projektionen der Erzeugenden sind daher Q' V W JLTT;, Q^'r'H'' JLS"r\ Q'"G'"W'' XS'"T;\ Die ersten Projektionen der Erzeugenden sind also die Normalen des Kegel- schnittes hy der erste scheinbare Umriß daher die Evolute des i; die zweiten und dritten Projektionen der Erzeugenden gehen aber bezw. durch einen festen Punkt H und G der Axe SM der Fläche, ' und es ist daher auch <^ HAS = <^ GCS = 90^. Da nämlich T der Pol von Q' Q" zu i, so bilden die Punkte T und die Punkte Q^ oder die Geraden Q' Q" projektive Punktreihen auf -4'.B'; und ebenso ist die Reihe der T" projektiv mit derjenigen der Q'', daher auch das Büschel der Strahlen B!* Q" aus fi^" projektiv mit dem Büschel der Strahlen S"T' aus S'\ Nun stehen aber drei Strahlen des einen Büschels senkrecht auf den entsprechenden des andern, nämlich H" Q'\ sein symmetrischer in Bezug auf S'' M" und H." M!' sind bezw. senkr. auf S''T", seinem symmetrischen in Bezug auf iS"Jlf" und S"T^ (wenn T« der unendlich ferne Punkt der Jlf"T"); daher sind alle entsprechende Strahlen auf einander senkrecht, und die aus H" nach den Punkten Q'' gezogenen Geraden die zweiten Projek- tionen der Erzeugenden. Ebenso bilden ihre dritten Projektionen das Strahlenbüschel (?'".
408. Daraus folgt, daß alle Schnittpunkte V der Erzeugenden mit der Hauptebene ABS = Pg in einer zu AB parallelen Geraden g liegen, deren dritte Projektion der Pimkt G''' ist; und alle ihre Schnittpunkte mit der Hauptebene CD/S^^Pg in einer zu CD parallelen Geraden h mit der zweiten Projektion fi"; daß ferner g und h Doppellinien der Fläche bilden, weil jede in einer Symmetrie- ebene liegt, und deswegen durch jeden Punkt der Linie außer der ersten noch eine zweite zu ihr symmetrische Erzeugende gehen muß. Daher ist die gerade Normalenfläche einer Fläche zweiten Grades auch eine windschiefe Fläche, deren Leitlinien ein Kegelschnitt k und zu?ei Gerade g und h sind, welche parallel hezw, eu den Axen des Je laufen und die senkrecht zur Ebene des k durch dessen Mittelpunkt M gehende • Aoce der Fläche in zum verschiedenen Punkten G und H treffen, Sie ist also vom vierten Grade, wie das Kegelschnittskonoid, und unter- scheidet sich von dem geraden Kreis -(oder Kegelschnitts -)konoide nur dadurch, daß bei letzterem eine der geraden Leitlinien im Un- endlichen liegt.
Die vier Kanten der Fläche gehen von den Scheiteln des k aus und bestimmen auf den Leitgeraden die Kuspidalpufücte, auf g die- jenigen E und F, auf h diejenigen J und K Ihre ersten Projek- tionen E', F, J', K* sind die JErwwwmw^fsmi^ipMWÄrfe von k' bezw. in den Scheiteln A', B', C, D', weil sie die Schnittpunkte der Nor-
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X, 408—409. Die gerade Normalenfl&che einer Fläche 2. Gr. 441
malen des h in den zu den Scheiteln benachbarten Punkten mit einer Axe des k' sind, und es liegen daher je zwei, wie E'y JT, auf einer Geraden LN, welche durch den Schnittpunkt L der Tangenten der t' in zwei benachbarten Scheiteln, hier A' und D\ senkrecht zu A'D' gelegt wird (I, 250), Setzt man daher MA «— a, MC = 6, M'E' = GE — g, iTK'^HK^h, so ist gih^bia.
Ist Je eine Ellipse, so liegen augenscheinlich g und h auf der entgegengesetzten Seite von k^ wie die Kegelspitze 8, alle vier Eointen und Euspidalpunkte sind reell, und g und k sind bezw. in den endlichen Stücken EF, JK Doppelgerade, in deren unendlichen Ergänzungen F.E, K.J isolirte Gerade der Fläche. Geht k in eine JPardbely etwa mit dem Scheitel A, über, so rückt /S in Fg, etwa auf der Geraden AS, ins Unendliche, der Kegel "K wird zu einem schiefen Cylinder, die zweiten Projektionen der Erzeugenden der Normalenfläche werden parallel, h rückt ins Unendliche, eine Kante AE mit ihrem Kuspidalpunkte E bleibt im Endlichen, die drei übrigen rücken ins Unendliche; die Normalenfläche wird dann ein Konoid. Wird darauf k zu einer Hyperbd mit AB ^b Hauptaxe, so wechseln 8 und h die Seite von k, während g seine Seite beibehält, so daß g und h auf entgegengesetete Seiten von k zu liegen kommen; die beiden durch A und B gehenden Kanten mit den Kuspidalpunkten E und F sind dann reell, die beiden anderen imaginär, die ^ ist in EF eine isolirte Gerade, in F.E eine Doppelgerade, ebenso die ganze A.
409. Eine tmndschiefe Fläche, deren Leitlinien ein Kegelschnitt k und 0wei Gerade g und h sind, welche parallel be0w. m den Axen des k laufen und die senkrecht »ur Ebene des k durch dessen Mittel- punkt M gehende Gerade in zwei verschiedenen Punkten treffen, wird van jeder mit der Ebene des k paraUeien Ebene in einem mit k gleich- artigen Kegelschnitte getroffen. Dies gilt daher auch von unserer Nor- malenfläche. Dieser Satz ergibt sich, ganz entsprechend wie bei dem Kegelschnittskonoide, analytisch daraus, daß die unendlich ferne Gerade der Ebene des k eine doppelte Erzeugende der Fläche ist, weil sie die Schnittpunkte der g und h mit der Ebene des k unter einander verbindet; diese Gerade ist eine Doppelgorade, eine Rück- kehrkante oder eine isolirte Gerade, je nachdem k eine Hyperbel, Parabel oder Ellipse ist. Jede durch sie gehende Ebene schneidet die Fläche nur noch in einem Kegelschnitte k^, wie in A^B^C^D^, deren Mittelpunkt M^ ist
Geometrisch beweist man den Satz in folgender Weise: Nimmt man MA, MC, M8 bezw, als die x-, y-, akiQ eines rechtwinkligen Koordinatensystems, und nennt einen Punkt von k und einen von der Scl\pittkurve k^ entsprechend, wenn sie, wie A und A^, auf der-
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442 X, 409—410. Die windschiefen Flächen.
vig. 173. selben Erzeugenden liegen, so ergibt sich aus der zweiten und dritten Projektion, daß die o; Koordinaten zweier entsprechenden Punkte das unveränderliche Verhältnis H!'M" : H"M"^ und die y dasjenige 6?'" JT" : G'^M^'' besitzen, daß also die erste Projektion A^C^B^D^ der Schnittkurve aus h' durch eine zweifache affine Veränderung entsteht, also ein Kegelschnitt von gleicher Art ist. Bei diesen Kegelschnitten liegen die Eckpunkte der parallel zu ihren Axen umschriebenen Rechtecke, wie L und N, auf den vier Seiten des windschiefen gleichseitigen Vierecks EKFJ, dessen Eckpunkte die vier Kuspidalpunkte der Fläche sind; sie liegen nämlich in Schnittlinien der Berührungsebenen der Fläche nach ihren vier Kan- ten. Ist Ic eine Hyperbel, und beschreibt man jene Becktecke über der reellen {AB) und der ideellen (CD) Axe, so enthält jenes wind- schiefe Viereck die zwei ideellen Kuspidalpunkte auf einer (&) der Leitgeraden.
Die Schnittkurve der Fläche mit der unendlich fernen Ebene gehört zu diesen Kegelschnitten; daher ist auch der Richtk^el vom eweiten Grade. Legt man seine Spitze auf die Axe e in G (oder iT), so ist sein Schnitt mit der J. ß durch H (oder G) gelegten Ebene ein Kegelschnitt, dessen Axen, wie die zweite und dritte Projektion zeigen, E"F' ^ E'F'=2g und r' K'" = XK'=2h sind, in - dessen erster Projektion E'J'F'K! daher die Scheitel in die Kus- pidalpunkte fallen. Ist nun bei unserer Nonnalenfläche Je der auf dem Leitkegel E! liegende Leitkegelschnitt, so soll derselbe der NormaücegelschniU heißen. Mit ihm ist der Kegelschnitt •JB'eT 2^ JT des Richtkegels ähnlich, jedoch verschränkt gelegen, weil (408) gr :Ä = 6 :a.
410. Es gilt auch der umgekehrte Satz zu dem der Nr. 408, nämlich: Jede windschiefe Fläche y deren Leitlinien ein Kegelschnitt \ und zwei Gerade g und h sifid, welche parallel b&sw. zu den Axen von \ laufen und eine senkrecht zur Ebene von \ durch dessen Miäet- punkt Ml gelegte Gerade z in verschiedenen Punkten treffen, ist die gerade Normalenfläche einer Fläche zweiten Grades.
Sind nämlich E^ Fj J, K die bezw. auf g und h liegenden Kus- pidalpunkte, so liegen von allen Kegelschnitten der Fläche (deren Ebenen mit der Ebene des \ parallel sind), die Eckpunkte der durch die Scheitel tangenten, unter denen auch ideelle sein können, gebildeten Rechtecke in den Seiten des windschiefen Vierecks EJFK (409). Soll nun unter diesen Kegelschnitten ein Normalkegelschnitt k sein, so müssen von seinem Grundrisse die Punkte E\ F', eT, K' die Scheitelkrümmungsmittelpunkte bilden. Man findet aber einen Eckpunkt L des zu k gehörigen Rechtecks auf E'K' mittest M'L
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X, 410-411. Die gerade Normalenfläche einer Fläche 2. Gr. 443
J. K'F' oder J_ K'E\ je nachdem \ eine Ellipse oder Hyperbel ist; es folgt dies daraus, daß das Dreieck M A' L bezw. mit dem Drei- ecke K'M'F' und K'M'K ähnlich ist und durch Drehung in seiner Ebene um 90^ mit ihm in parallele Lage gebracht werden kann. Aus L ergeben sich die Scheitel A und D (letzterer möglicher Weise ideell), und man sieht, daß A außerhalb oder innerhalb M' E\ und dann M (und Tc) außerhalb oder innerhalb HQ liegt, je nachdem Ä^i eine Ellipse oder Hyperbel ist, übereinstimmend mit dem Ergeb- nisse der Nr. 408. — Legt man nun durch A eine Ebene _L HA^ schneidet sie mit si in S, und konstruirt zu dem Kegel Sk {k^=^ A'C'B'D') die Normalenfläche, so hat diese mit unserer Fläche gemein 1) den Kegelschnitt ky dessen vier Scheitelkrümmungsmittel- punkte in den Projektionen E\ F\ cT, K' der Kuspidalpunkte liegen; die Erzeugenden AAy^ und BB^^ die auf ihnen liegenden Punkte Ey F, daher 2) ^, sodann B und 3) h, fällt also mit ihr zusammen.
Ist kl eine Parabel und daher h im Unendlichen, so muß man außer der einzig erreichbaren Kante A^HE noch eine allgemeine Erzeugende benutzen, deren erste Projektion F' W sei. Die erste Projektion des Normalkegelschnittes ist dann diejenige Parabel Vy deren Axe in VE' (a) der Fig. 173) liegt, von welcher E' der Krümmungsmittelpunkt im Scheitel und V W die Linie einer Nor- ^^^^j"** male ist Um aus diesen Angaben die Parabel zu bestimmen, ins- besondere ihren Brennpunkt X und ihren Scheitel A' (auf E' F'), beachte man, daß der Brennpunkt X in der Mitte zwischen den Schnittpunkten F' und T einer Normale Q'V'W und der zugehöri- gen Tangente Q' T liegt (in 1,219 istri^= UF ^ FN). Denkt man daher die Linie XYXV'W gefällt, so liegt der Fußpunkt T in der Mitte von V'Q'] und zieht man dann YY^S. F'JST, so ist r Fo = i Subnormale = ^ Parameter = E'X = XA' (I, 219), also auch rX -rY^ = rX- E'X = Y^X = VE'. Man erhält daher auch die ^Subn., wenn man VZl, VE' und E'Z±VW zieht, beide Linien in Z schneidet, ZZ^ || F' VT zeichnet und mit VE' in Zq schneidet; dann ist Z^V = VY^ — ^ Subn. — JS'X = XA'y wodurch X und A' bestimmt sind.
411. Um in einem gegebenen Punkte P der Fläche deren JBe-i^g. "«. rührungsebene zu legeny bestimme man ein nach der Erzeugenden PQVW anschließendes Parabohid. Als Leitlinien desselben kann man nehmen g, h und die Tangente i^T des k in Q, und diese ge- hören wirklich einem Paraboloide an, weil sie mit ein und derselben Ebene F| parallel sind. Schneidet QT die Ebene X0 in T, so ist HT eine weitere Erzeugende der ersten Schaar, weil sie auch die g trifft; und schneidet die parallel zu F^ durch P gelegte Ebene
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444 X, 411-413. Die windschiefen Flächen.
Fig. 178. die HT in [7, so ist PET die Erzeugende der zweiten Schaar, und die Ebene UFQ die gesuchte Berührungsebene des Paraboloides und unserer Fläche.
412. Die Asymptotenebene A für die durch den Punkt Q der LeiÜinie h gehende Erzeugende steht senkrecht <mf der Erfseugenden SQ des Leitkegels. Denn ist öi der dem Q benachbarte Punkt des k, so ist A parallel mit den beiden bezw. durch Q und Q^ gehenden Er- zeugenden der Normalenfläche y also senkrecht auf der BerQhrungs- ebene des Leitkegels bezw. nach SQ und SQ^, daher senkrecht auf der Schnittlinie beider, d. i. in der Grenze senkrecht auf SQ. Die erste Spur der A ist daher J_ JM' Q'. Die Centralebene für jede Er- zeugende Q V amserer Nomuüenfläche geht daher durch die Spitze S des Leitkegels f da sie JL A steht; also SQ enthält. Die BerQhrungspunkte der Centralebenen bilden aber die Striktionslinie, so daß die Striktions- linie unserer Normalenfläche die Berührungskurve des ihr aus der Spitze S des Leitkegels umschriebenen Kegels ist. Die Spur der Centralebene für ö F in der Ebene xz ist die Gerade S" F", sie schneidet die K'T' in ü^y daher liefert die zu x" Parallele U^P^' auf Q^T' den Punkt P^ der Striktionslinie, in Umkehrung des Verfahrens zur Bestimmung der Berührungsebene. Die Striktionslinie hat Spitzen in den vier Kuspidalpunkten; ihre erste Projektion weicht in der Figur so wenig von der Evolute des k ab; daß sie nicht besonders Terzeichnet werden konnte.
418. Der erste scheinbare Umriß unserer Normalenfläche ist die Evolute des Leifkegelschnittes k. Um von der zweiten Projektion des ersten Umrisses den Punkt Pj" auf einer Erzeugenden ÖF zu er- halten, beachte man, daß die auf P^ senkrecht durch PV gehende Berührungsebene zur zweiten Spur die F'F' hat, daß diese die ff' T' in U^ schneidet, und daß sich hieraus P^' durch ügP," | x\ und hieraus P^ ergibt.
Die zweite Projektion des ersten Umrisses ist eine Neilsche Parabel, Denn sind ff'P^ = z, P0P2" = ^ die Koordinaten von P,", und setzt man ^"(?" = d, G"U^ = w, G'T' = P^U^ = v, so folgt aus ähnUchen Dreiecken und weil M''Ä''^ = M'Q" . M"r\
oder - = -, --=-, g'^vu.
Durch Multiplikation jeder der beiden ersten Gleichungen mit der
dritten entsteht
a?^ = t?% z^^dv^,
woraus v^ = o^V = ^d^y
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X, 418—414. Die gerade Normalenfläohe einer Flftche 2. Gr. 445
oder _ =
die Gleichung der Neilschen Parabel (vergl. I, 251).
414. Die Projektionen der Erzeugenden der Fläche auf eine beliebige Ebene erhält man, wenn man die Punktreihe der V oder EF^g auf E^^F^^^g^^ und die der W oder JK^h auf Jiv^iv „^ j^iv projicirt, und die zusammengehörigen (auf derselben Erzeugenden liegenden) Punkte F^^, W^^ durch Gerade verbindet Dabei gilt: Der scheinbare Umriß w der ParaUelprcjektion der geraden Nornuüenfläche der Fläche eumten Grades auf eine ielid)ige Ebene ist ein Kegelschnitt y wenn die projicirenden Strahlen senkrecht auf der Flächenaxe g stehen. In der Figur ist zugleich die Projektionsebene senkrecht auf die Projicirenden, also auch \ z gestellt. Es ergibt sich dies daraus, daß das Büschel der Erzeugenden V^^W^^ kolli- near ist mit dem Büschel der Tangenten an i', wie Q'T'T^^ wobei eine Erzeugende VW und eine Tangente TT^ sich entsprechen, wenn der Fußpunkt der ersteren und der Berührungspunkt der letzteren (in Q) zusammenfallen; dann ist auch die Einhüllende jener Erzeu- genden, d.i. der scheinbare Umriß u mit Tc' kollinear. Es berührt aber der Umriß u in den Kuspidalpunkten E^^, F^^, J^^, K^^ die Kanten der Fläche, und diese schneiden sich paarweise in J?^^ und G^*", den Mitten von J^^K^^ und E^^F^^. Die KoUineation von Je' und u kann durch vier Paare entsprechender Punkte dieser Linien bestimmt werden (I, 309), und als diese wählen wir A\ B\ C, B' und E^^y F^\ J^^, K^^, dabei entspricht dem Schnittpunkte M von A'B', C'B' derjenige R von E^^F^^, J^^ K^\ Zugleich müssen aber auch, wenn h' und u kollinear sein sollen, dem Schnittpunkte der Tangenten des h' in A\ B\ d. i. dem unendlich fernen Punkte r, der C'B\ der Schnittpunkt H^^ der Tangenten der u in E^^, F^^ entsprechen; und ebenso dem unendlich fernen Punkte X^ der^'JB' der Punkt Q^\ Dies ist jedoch, da A'B'X^M und C'B'T^M harmonisch, nur dann möglich, wenn auch E^^F^^O^^B und JiYX^^H^^B harmonisch, d. i. wenn B im Unendlichen liegt; und hierzu müssen die projicirenden Strahlen J. ß stehen. Dann sind aber wirklich die Reihen der Punkte V^^ und W^^ bezw. mit den Reihen der T und T/ projektiv, weil — in Bezug auf die F^^ und T — die Reihe der T projektiv ist mit derjenigen der <2o> ^^ ^^ Punkte paarweise in Bezug auf *' konjugirt sind (1,344); weil femer die Reihe der Q^ ähnlich mit derjenigen der V ist, da sich in der zweiten Projektion diese parallelen Punktreihen aus ff auf einander projiciren; und weil endlich die Reihe der V mit deijenigen der V^^ ähnlich ist. Die projektive Beziehung der Reihen der V^^ und der T ist aber
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446 X, 414—415. Die windschiefen Flächen.
Flg. 178. durch die drei Paare entsprechender Punkte E^^, A'\ jP^^, B'\ G^^y Xj bestimmt. Ebenso sind die Punktreihen der W^^ und der T/ mit einander projektiv, und ihre Beziehung ist durch J^^^ C; K'^y D'; H^^y Fl bestimmt. Daher ist auch das Büschel der Tan- genten, welche je zwei Punkte T und T/ verbinden, kollinear mit dem Büschel der Erzeugenden, welche jedesmal die jenen Punkten entsprechenden Punkte V^^ und W^^ mit einander verbinden, oder jfc' mit Uf und u ist ein Kegelschnitt.
415. Um die Gestalt des Umrißkegdschniües u näher zu unter- suchen, nehmen wir, wie in der Figur, die (vierte) Projektionsebene senkrecht zum projicirenden Strahle, also H 0. Die Projektion der Fläche auf eine beliebige Ebene bei ungeänderter Richtung der Pro- jicirenden ist dann eine schiefe Projektion der hier erhaltenen senk- rechten Projektion, wobei aus dem Mittelpunkte des Umrisses wie- der sein Mittelpunkt, aus den Axen dagegen im allgemeinen nicht wieder Axen, sondern nur konjugirte Durchmesser werden.
Von dem UmrißJcegelschniUe u ist js^^ eine Axe, weil sie Sym- metrielinie der Punktreihen g^^ und k^^ ist. In der kollinearen Beziehung von u zu k' entspricht die e^^, als Polare von B, der unendlich fernen Geraden X^ Y^, als Polare von M\ Ist daher Je' eine Ellipse, so ist X^Y^ eine ideelle Sehne der 1c\ und 0^^ eine ideelle Axe des Umrißkegelschnitte^ u, dieser also eine Hyperbel. Ist dagegen k' eine Hyperbel, so ist 0^^ eine reelle Axe des u, dieser kann dann eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel sein. Ist endlich fc' eine Parabel, so ist X^ Y^ eine Tangente des k\ daher auch 0^^ eine Tangente des w; dann ist u eine Parabel, und 0^^ fällt ins Unendliche.
Um den Mittelpunkt 0 des Kegelschnittes u (auf 0^^) zu finden, be- achte man, daß von u die E^^F^^ =^ g^^ stets eine reelle Sehne ist (weilw4JS als reell vorausgesetzt wurde), daß J'^'^jK'^^ = h^^ eine reelle oder ideelle Sehne mit den reellen oder ideellen Eurvenpunk- ten J'^, K^y bildet, und daß H^\ G^^ die Pole bezw. von g'"", A'^ sind. Man erhält daher Punkte von u als Schnittpunkte je zweier Strahlen, welche man aus den (reellen) Endpunkten E^^^ F^^ einer durch den Pol G^^ der h^^ gezogenen Sehne des m nach zugeordneten Punkten von h^^ zieht (I, 347). Ist k' eine Ellipse, sind also C, D' und daher auch J^^y K^^ bezw. reelle Kurvenpunkte, so bestimme man auf h^^ den Punkt E^ so daß E^^E^ || 0^^, zu E^ den zugeord- neten Punkt E2 der Involution A^^ (indem man etwa aus H^^ durch J^y einen Ejreis zieht, an ihn aus E^ die Tangente legt und deren Berührungspunkt JB, auf V^ projicirt), so ist der Schnittpunkt von E^^E^ mit F^^E^ ein Punkt des m, und zwar der zu F^^ in Bezug auf den Mittelpunkt symmetrische, so daß F^^E^ di& Axe 0^^ im
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XI, 415—416. Regelflache 8. Grades und Raamkurve 4. Ordnung 2. Art. 447
Mittelpunkte 0 von t* schneidet. Von der Hyperbel u bestimmt man die in z^^ liegende ideelle und die darauf senkrechte reelle Axe unter Beachtung, daß auf der ersteren die E^^F^^y E^^W^y und auf der letzteren die E^^E^, i^^^iT^^ konjugirte Punkte einschneiden. — Ist ¥ eine Hyperbel, so sind J^^, K^^ ideelle Kurvenpunkte, also einander zugeordnet; folglich sind die Schnittpunkte E^^J^^^ F^^K^^ und E^^K^^j F^^J^^ Punkte des u, und da sie auf z^^ liegen, die Scheitel einer Axe. Da H^^ als Pol der reellen Sehne G^^H^^ jedenfalls ein äußerer Punkt des u ist, so gehört die Axe auf z^^ einer Ellipse, Hyperbel oder Parabel (u) an, je nachdem diese Axe den Punkt H^^ nicht einschließt, ihn einschließt, oder unendlich ist,
d. h. je nachdem h^^^g^^ ist.
Man kann daher sagen: Der scheinbare Umriß der senkrechten Projektion der geraden Nonnalenfläche der Fläche zweiten Grades auf eine zu ihrer Axe z parallele Ebene ist ein Kegelschnitt u, welcher die Projdction von z zu seiner imaginären oder reellen oder unendlich fernen Axe hat, je nacMem der Leitkegelschnitt k eine Ellipse oder Hyperbel oder Parabel ist. Im ersten Falle ist u eim Hyperbel, im zweiten eine
Ellipse, Hyperbel oder Parabel, je nachdem ä^^^ g^^ ist, im letzten
Falle eine Parabel
Vi Die Begelfläohe dritten Grades und die Banmknrve vierter Ordnung zweiter Art.
a) Die Regelfläche dritten Grades. 416. Die Regelfläche, welche einen Kegelschnitt k und zwei Gerade d und e, deren eine, d, den k ia D^ schneidet, zu Leitlinien hat, ist eine windschiefe Fläche vom dritten Grade*) (388). (Es können die späteren Figuren 174 a) und b) verglichen werden.) Legt man durch e eine Ebene, so schneidet dieselbe den k in zwei (reellen oder imaginären) Punkten K, K*, die d in einem Punkte D, und es sind dann KD, K*D die zwei durch den Punkt D der d gehenden Erzeugenden; dieselben treffen die e in zwei verschiede- nen Punkten E, E*, und in diesen wird F von jener Ebene berührt. Legt man dagegen durch d eine Ebene, so schneidet dieselbe den k außer in D^ noch in einem Punkte K, die e in E, und es ist dann KE die einzige durch den Punkt E der e gehende Erzeugende;
*) Die Erforschung dieser Fläche verdankt man hauptsächlich Herrn Cre- mona (Memoria sulle superficie gobbe del terz* ordine in den Atti del Institute Lombardo, B. 2, 1861). Sodann lieferte Herr Weyr eine Bearbeitung derselben in seiner ,,Geometrie der räumlichen Erzeugnisse ein -zweideutiger Gebilde, insbesondere der Begelflächen dritter Ordnung, 1870^'.
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448 X, 416—417. Die windschiefen Flächen.
dieselbe trifft die d in D^ und in diesem wird F von jener Ebene berührt. Daher: Läßt man eine Regelfläche dritten Grades P mitkist eines Leitkegelschnittes Je und gtoeier Leitgeraden d^ e entstehen^ von denen die eine^ dj den Je schneidet, die andere, e, ihn nicht schneidet, so ist e eine einfache, d eine Doppelgerade der P, indem durch jeden Punkt E der e eine, durch jeden D der d jsum (reelle oder imaginäre) Erzeugende gehen, und es enthalt jede durch e oder d gelegte Ebene beaw. sswei oder eine Erzeugende^ und berührt die Fläche beew. in deren SchnittptmJcten E, E* mit e oder D mit d.
Eine durch e gelegte ; den Kegelschnitt Je (in B) berührende Ebene, welche die d in C trifft, enthält zwei in BC zusammen- fallende Erzeugende; daher (386) ist C ein Ku^pidalpunJct, BC eine Kante der P. Ist der Schnittpunkt E^ der e mit der Ebene des Je ein äußerer Punkt des Je (Fig. 174 a), so gibt es zwei reelle Kanten BC, B*C* und zwei Kuspidalpunkt« C, (7*; ist E^ ein innerer Punkt des Je (Fig. 174 b), so gibt es keine reellen Kuspidalpunkte und Kanten. Im ersteren Falle ist die d in dem einen der Stücke CC* eine reelle Doppellinie, in dem anderen eine isolirte Linie der P, im zweiten Falle ist die d in ihrem ganzen Verlaufe eine reelle Doppellinie.
417, Man bemerkt, daß je zwei der Punkte JT, K* des Kegel- schnittes Je aus dem Punkte E^ durch einen einzigen Strahl, aus dem Punkte D^ des Je aber durch zwei Strahlen projicirt werden, und daß das durch die ersteren einfachen Strahlen gebildete Büschel E^, und das durch die letzteren Paare konjugirter Strahlen gebildete involutorische Büschel D^ projektiv (297) oder ein -zweideutig ver- wandt sind. Projicirt man diese Strahlenbüschel E^ und D^ bezw. aus e und d durch Ebenenbüschel, so ist offenbar jede Schnittlinie zweier entsprechenden Ebenen eine Erzeugende unserer Begelfläche. Es gilt nun:
Ein einfaches und ein damit prqjeJetives involutorisches Ebenen- büschd {oder zu)ei ein- zweideutige Ebenenbüschel), deren Axen sich nidU schneiden, erzeugen durch die Schnittlinien entsprechender Ebenen eine Begelfläche dritten Grades.
Es sei dabei die projektive Beziehung durch fünf Paare will- kürlich angenommener entsprechender einfacher Ebenen beider Büschel bestimmt (297, 3)), so sind auch fünf Erzeugende als Durch- schnitte je zweier entsprechenden Ebenen gegeben. Legt man durch eine (die erste) dieser fünf Erzeugenden irgend eine Ebene, schnei- det dieselbe mit d und e bezw. in D^ und E^, und mit den vier anderen Erzeugenden in vier Punkten, führt dann durch einen der Punkte Dl, E^, etwa durch D^, und durch diese vier Punkte den durch
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X, 417—418. Regelfläche 8. Grades und Eaumkarve 4. Ordnung 2. Art. 449
sie bestimmten Kegelschnitt Tc, und nimmt k, d, e als Leitlinien für eine Regelfläche dritten Grades, so enthält diese unsere fünf Er- zeugenden, von denen die Gerade D^ E^ die erste ist. Diese Fläche kann auch durch zwei ein -zweideutige Ebenenbüschel d, e entstehen, und diese Büschel fallen mit den gegebenen zusammen, weil sie durch dieselben fünf entsprechenden Ebenen bestimmt sind, welche jene fünf Erzeugende enthalten. Daher erzeugen die zwei beliebig angenommenen ein -zweideutigen Ebenenbüschel eine Regelfläche dritten Grades.
Das einfache Ebenenbüschel e schneidet auf der Geraden d eine einfache, das involutorische Ebenenbüschel d auf der e eine invo- lutorische Punktreihe ein; beide Reihen sind projektiv, und die Ver- bindungslinien entsprechender Punkte sind auch die Schnittlinien entsprechender Ebenen der Büschel. Daher gilt:
Eine einfache d und eine damit projektive involutorische Pnnkt- reihe e (oder zwei ein- zweideutige Punktreihen), deren Träger sich nicht schneiden, erzeugen durch die Verbindungslinien entsprechender Punkte eine Hegel fläche dritten Grades.
Man bemerkt, daß der Träger der einfachen Punktreihe d eine Doppelgerade der Fläche ist, weil jedem Punkte D derselben zwei Punkte E, E* der e entsprechen, nach welchen zwei Erzeugende aus D laufen; und daß der Träger der Involution eine einfache Gerade der Fläche ist. Entsprechen den Doppelpunkten A, -4* der Involution auf e bezw. die Punkte C, (7* auf d, so sind die letzteren die Verzweigungspunkte der d (297, 1)) und die Ku^idalpunkte der Fläche, welche die Punkte der d von einander scheiden, denen reelle und denen imaginäre Punktepaare der e entsprechen. AC, A*C* sind die Kanten] entlang derselben wird die Fläche von den Ebenen eC, eC* berührt, welche den Doppelebenen dA, dA* der Ebeneninvolution d entsprechen und die Kuspiddlebenen heißen. Es gilt daher:
Die Doppelebenen dA, dA* der Involution d gehen durch die Doppelpunkte Ay A* der Involution e, und die Kuspiddlebenen eC, eC* durch die Kuspidalpunkte C, C* der d. Die Kanten AC, A*C* sind die Verbindungslinien je eines Doppelpunktes mit dem entsprechen- den Kuspidalpunkte, und zugleich die Schnittlinien je einer Doppelebene mit der efitsprechenden Kuspidalebene. Entlang der Kante eines Kus- pidalpunktes wird die Fläche von der durch diesen Punkt gehenden Kuspidalebene berührt.
418, Das Ebenenbüschel der den Kegelschnitt k treffenden Geraden d schneidet den k und die den k nicht treffende Gerade e in projektiven Punktreihen, und das Ebenenbüschel e schneidet den
Wiener, Lebrbaoh der darsteUenden Geometrie. II. 29
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450 X, 418—419. Die windschiefen FlÄchen.
Je in einer involutorischeii und die d in einer damit projektiven ein- fachen Punktreihe^ und beide liegen perspektiv (besitzen in ihrem Schnittpunkte entsprechende Punkte); die Verbindungslinien ent- sprechender Punkte erzeugen in beiden Fällen die Fläche dritten Grades. Daher gilt:
Eine Eegelfläche dritten Grades wird erzeugt durch die Verbin- dungslinien entsprechender Punkte
1) zweier projektiven Punktreihen auf einem Kegelschnitte k und auf einer Geraden e, welche den k im allgemeinen nicht schneidet;
2) einer involutorischen Punktreihe auf einem Kegelschnitte k und einer damit projektiven einfachen Punktreihe auf einer Geraden d, wenn sich leide Linien schneiden \md in ihrem Schnittpunkte entsprechende Punkte vereinigt sind.
Diese Fläche entsteht in beiden Fällen bei willkürlicher An- nahme der bestimmenden Elemente. Nimmt man nämlich im ersten Falle auf h und e drei Paare entsprechender Punkte ^ d. i. auch drei Erzeugende; an^ bestimmt den Punkt des ky welcher dem Schnitt- punkte E^ der e mit der Ebene des k entspricht^ schneidet die Er- zeugende, welche diese Punkte verbindet, ein zweitesmal mit k in Dj, legt durch Dj diejenige Gerade D, welche zwei andere Erzeu- gende schneidet, so bestimmen dy e, k als Leitlinien eine Fläche dritten Grades, welche mit unserer Fläche drei Erzeugende gemein hat, also durch sie dieselben Punktreihen auf e und k einschneidet und mit ihr zusammenfällt — Sind im zweiten FaUe außer den in D^ vereinigten entsprechenden Punkten von k und d zwei Punkte- paare auf k und ihre beiden entsprechenden Punkte auf d willkür- lich angenommen (oder aus fünf Paaren einfacher entsprechender Punkte konstruirt), und bildet man die Schnittlinie e der beiden Ebenen der Punkte je eines Paares und seines entsprechenden Punktes, so bestimmen ^ß, d, k als Leitlinien eine Fläche dritten Grades, welche mit unserer Fläche zwei Paare von Erzeugenden gemein hat, also durch diese und durch den Punkt D^ auf k und e dieselben Punktreihen einschneidet und mit ihr zusammenfallt.
419, Wir fügen noch hinzu, daß ^ie Hegdfläche dritten Grades auch entstehen kann
1) mittelst einer Kurve dritter Ordnung k und zweier Geraden dy e als Leitlinien, wenn k von d in zwei Punkten (oder im Doppel- punkte von ky wenn k eben ist) und von e in einem Punkte ge- troffen wird; d ist dann die Doppellinie.
2) Mittelst zweier projektiven Punktreihen auf einer Kurve dritter Ordnung k und auf einer Geraden e, wenn sich beide in einem Punkte schneiden, und dieser Punkt sich selbst entspricht Die
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X, 419—420. Regelfläche 8. Grades nnd Raumkurve 4. Ordnnng 2. Art. 451
Reihen werden durch ein Ebenenbüschel eingeschnitten^ dessen Axe d die k in zwei Punkten trifft.
3) Mittelst einer Punktreihe auf einer Geraden d und einer da- mit projektiven involutorischen auf einer Kurve dritter Ordnung k, wenn d die X; in zwei Punkten schneidet; und jeder dieser Punkte sich selbst entspricht. Die Reihen werden durch ein Ebenenbüschel eingeschnitten ; dessen Axe e die k in einem Punkte trifft.
420, Schneidet die gerade Punktreihe e die mit ihr projektive Punktreihe des Kegelschnittes k, ohne daß im Schnittpunkte ent- sprechende Punkte vereinigt sind» also in nicht perspektiver Lage, so entsteht die Cayleysche Fläche"*). Was wird dabei aus der gera- den Punktreihe d und ihren Beziehungen zu den Punktreihen e und A? Zunächst erkennt man^ daß d mit e zusammenfallt. Denn zieht man; um d zu bestimmen ; die Verbindungslinie des Schnittpunktes E^ von e mit der Ebene des k (und mit k selbst) und des dem E^ entsprechenden Punktes des k^ schneidet diese Linie mit k in einem zweiten (von diesem entsprechenden verschiedenen) Punkte D^, so fallt Dl in E^, und die durch D^ (E^) schneidend gegen zwei Er- zeugende der Fläche gelegte Gerade ist sowohl d als e. Die Doppel- punkte A, A* der Involution auf e entsprechen den Berührungs- punkten JB, B* der aus E^ an k gezogenen Tangenten, und da diese in E^^ (DJ zusammenfallen, die Punkte -4, A* der e aber in der projektiven Beziehung der Punktreihen k und e den Punkten jßy B* der k entsprechen, so fallen auch A, A* in demjenigen Punkte der e zusammen, welcher dem Punkte E^ der k entspricht. — Die eindeutige Punktreihe d ist zur zweideutigen Reihe e pro- jektiv; da aber auf e die Doppelpunkte in A zusammenfallen, so fallt der eine Punkt jedes Paares in Ay welcher Punkt dann jedem Punkte der d entspricht, während die anderen Punkte der Paare eine einfache mit d projektive Punktreihe bilden (297, 1)); dabei fallen die entsprechenden Punkte von d und e in einander als Schnitt;punkte von d (e) mit denselben Erzeugenden. Den in A zu- sammenfallenden Doppelpunkten A, A* auf e entsprechen aber die Kuspidalpunkte C, C* auf d] daher fallen auch die Kuspidalpunkte in A zusammen. — In der Punktreihe des Kegelschnittes, welche zweideutig mit der eindeutigen Reihe d projektiv ist, fallen die beiden Doppelpunkte D, D* in Dj (Ei) zusammen. Daher liegt der eine Punkt jedes Paares des k in D^ und entspricht jedem Punkte
*) Ans einem Briefe des Herrn Cayley mitgeteilt von Herrn Cremona in seinem Aufsätze ,;Sar les snifaces gauches du troisi^me degr^*^ (Grelles Joum. f. r. u. a. Math., B. 60, 1862, S. 818).
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452 X, 420-421. Die windschiefen Flächen.
der d, daher auch sich selbst; und hierdurch ist die Perspektive Lage der Punktreihen h und d gewahrt. Die anderen Punkte der Paare auf Je bilden aber eine einfache mit der Punktreihe e und mit der damit zusammenfallenden Reihe der zweiten Punkte der Paare auf d projektive und nicht Perspektive Reihe. So werden alle drei Punktreihen d, e, Je zu einfach projektiven ^ in denen der ScfmittptinJct D^ (E^) des Je mit d{e) den in A vereinigten Doppel- und Kmpidalpunicten der d entspricht Die beiden Kanten fallen in A D^ zusammen; welche Linie; indem sie eine Leitlinie und eine Erzeu- gende vereinigt; eine Doppelgerade der Fläche bildet Die Doppd^ und Kuspidalebenen sind die durch die Kante und bezw. durch d und e gehenden Ebenen. Da aber alle drei Gerade zusammen- fallen, so ergeben sich Ebenen erst; indem man beachtet; daß sie unendlich kleine Winkel mit den Ebenen bilden, bei welchen die Kante durch ihre benachbarte Erzeugende ersetzt wird; daß also alle diese Ebenen in der einen Ebene zusammenfallen; welche durch ^ Dj = d = 6 und durch die Tangente des Ä in D^ geht. EHe Fläche wird demnach entlang e (d) von dieser Ebene berührt und außerdem in jedem von A verschiedenen Punkte der e von einer anderen (wechselnden) Ebene.
Liegen di^ eindeutigen Punktreihen e (d) und Je perspektiv; d. h. fällt A in E^ (DJ; so zerfällt die Fläche in ein geradliniges Hyper- boloid (l4l; 4)) und in die Ebene der e{d) und der Tangente desÄ: in E,{B,).
421. Wir wollen noch erkennen; daß jede Regelfläche dritten Grades F mit der bisher betrachteten Fläche übereinstimmt Es wird dies bewiesen; indem man zeigt; daß alle Erzeugende einer Regelfläche dritten Grades zwei (sich nicht treffende) Geraden d und e schneiden; dann liat die FläcJie m Leitlinien die Gefaden d und e und außerdem jeden Kegelschnitt Je, in welchem eine durch eine Erzeugende gelegte Ebene die Fläche trifft; und eine der Leitge- raden muß den Je schneiden; weil; wenn keine oder beide den Je schnitten; der Grad bezw. vier oder zwei wäre. — um jenes zu beweisen; lege man durch vier beliebige gerade Erzeugende der Regelfläche die zwei sie schneidende Geraden d, e (144; 12)). Da jede derselben vier Punkte der Fläche dritten Grades enthalt, muß sie ganz in ihr liegen (387; 9)). Könnten durch jene vier Erzeu- gende unendlich viele Gerade gelegt werden, so würden dieselben das durch drei derselben bestimmte einschalige Hyperboloid bilden, und die F müßte in dieses und in eine Ebene zerfallen ; also einen besonderen Fall unserer Fläche Je, d, e darstellen. Legt man nun durch eine der Geraden d, e, etwa durch d, und durch eine jener
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X, 421—422. Regelfläche 3. Grades und Raamknrve 4. Ordnung 2. Art. 453
vier Erzeugenden g eine Ebene , so muß dieselbe die Fläche dritten Grades noch in einer dritten Geraden g' schneiden (387, 11)). Die übrigen Erzeugenden schneiden diese Ebene in Punkten, die nur in den drei Geraden d^ g^ g' liegen können. In der Erzeugenden g oder in derjenigen g' ist dies aber nicht möglich, weil es dann für jede der vier g oder für jede der vier zugehörigen g' stattfinden, und dann die Fläche das soeben bezeichnete Hyperboloid sein müßte. Daher müssen die Schnittpunkte der Erzeugenden der Fläche mit der Ebene dgg' auf d liegen, oder d muß von allen Erzeugenden getroffen werden. Dasselbe gilt von 6, und somit ist die Behaup- tung bewiesen.
422, Aufg. Die Begelfläche dritten Grades aus ihren Leitlinien, einem Kegelschnitte (Kreis) Je, der sie schneidenden Doppelgeraden d und der einfaclien Leitgeraden 6, durdi ihre Projektion auf die Ebene Pi des h, und durch ihre Spuren mit P^ und mit einer parallel gu P^ gelegten Ebene Pg darzustellen,
Aufl, Die Erzeugenden der Fläche erhält man paai-weise als Fig. i74 die Schnittlinien einer Ebene des Büschels e mit den beiden ent- ** ^* sprechenden (sie in Punkten des k treffenden) Ebenen des Büschels d. Sind die Spuren von d und e in Pj und P, bezw. D^ (auf Ä), D^, und El, E^, so lege man durch e eine Ebene mit den (parallelen) Spuren E^KK^, E^GG*, schneide die erstere Linie mit k in K und JT*; dann sind die Parallelen D^K, D^G und D^K"^, D^G"* die Spuren der beiden entsprechenden Ebenen des Büschels d, und KGy K*G* zwei Erzeugende der Fläche. Die durch e berührend an k gelegten Ebenen enthalten die Tangenten J5?, jB, JS^JS* des Kreises, die Kanten B CA, B*C*A*, und auf diesen die Knspidalpunkte C, C* auf d und die Doppelpunkte A, A* auf e. In Fig. 174a ist El ein äußerer, in 174b ein innerer Punkt des k, in der ersteren sind die Kanten und die bezeichneten Punkte reell, in der letzteren imagiuär. Die gezeichneten Erzeugenden sind mit einer gewissen Regelmäßigkeit verteilt, indem k durch die Strahlen Ei KK"^ in 24 symmetrisch zu der Mittellinie E^MiM ^=^ Mittelpunkt des k) liegende Teile geteilt wurde, welche stetig vom einem zum anderen der Schnittpunkte der E^ M mit k abnehmen.
Die ebenen Schnitte der P sind Linien dritter Ordnung. Die erste Spur zerfallt in den Kreis k und in die Gerade MiD^, die zweite Spur ist der Ort der Punkte G, G*, enthält E^ als einfachen, D^ als Doppel- oder als isolirten Punkt, letzteres, wenn D^ auf dem Teil der d liegt, welcher der F als isolirte Linie angehört. In Fig. a) sind noch die Schnittlinien c, c* mit den parallel zu P^ durch die Kuspidalpunkte C, C^ gelegten Ebenen yerzeichnei Dieselben be-
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X, 422. Die viodscliiefeii Flächen.
sitzen bezw. in (7, C* eine SpiteCy in welchen die Tangenten bezw. parallel zu D^ B, D^B* laufen. Sodann wurde noch eine mit P^ parallele Schnittlinie f mit einem Doppelpunkte D (auf d) verzeich- net. Man erhält diese Kurven, indem man jede Erzeugende, z. B. KG, durch Strahlen schneidet, welche man parallel mit dem zu- gehörigen Dl K (oder Dg G) durch C, (7*, D zieht; oder auch, wenn
Fig. 174 a.
die Schnittpunkte unsicher werden, indem man jede Erzeugende, so KG, in dem Verhältnisse teilt, wie D1D2 durch C, C*, D geteilt ist Die Tangenten und Asymptoten dieser Kurven werden wir alsbald konstruiren, und bemerken nur, daß danach die Asymptoten aller dieser Kurven parallel zu D, E^ laufen, und daß die für g durch den Punkt U der D^E^ gezogen wird, welcher die D^E^ in demselben Verhältnisse teilt, in welchem die JE^Di durch ihren zweiten Schnitt- punkt U' mit k geteilt ist.
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X, 422—423. Regelfläcbe 3. Grades und Raamkurve 4. Ordnung 2. Art. 455
Der Umriß der Fläche ist als Einhöllende der Erzeugenden ge- zeichnet. Er geht durch die Kuspidalpunkte C, C*, und besitzt in Fig. a) drei Spitzen und zwei unendlich ferne Punkte, in Fig. b) eine Spitze und keinen unendlich fernen Punkt.
423. Nach der vor. Nr. können zwei ein- zweideutige Strahlen- büschel E^y D^ eine Kurve dritter Ordnung mit einem Doppel- oder einem isolirten Punkte erzeugen. Aber auch allgemein erzeugen irgend
Fig. 174 b.
ztoei ein- zweideutige in derselben Ebene liegende Strahlenbüschel E^, Dg durch die Schnittpunkte entsprechender Strahlen eine Linie dritter Ordnung, welche E^ zu einem einfachen und D^ zu einem Doppel- oder isolirten Punkte hat Denn die Büschel schneiden jede Gerade in zwei ein -zweideutigen Punktreihen, und diese haben drei Doppel- punkte (297, 4)), welche die Schnittpunkte der Geraden mit der er- zeugten Linie sind. Die Tangente der Linie in E^ ist der einfache Strahl, welcher dem Strahle D^E^ entspricht, ihre Tangenten in Dg sind die reellen oder imaginären Strahlen des Paares, welches dem Strahle E^B^ entspricht.
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X, 423—424. Die windschiefen Flächen.
lu Fig. 174 befinden sich die ein-eweidmtigen Strahlenbüsdwl E^j Dl in perspektiver Lage, indem dem Strahle E^D^ derjenige Dj E^ entspricht, also zwei entsprechende Strahlen sich decken (297, 3)); die von ihnen erzeugte Linie dritter Ordnung zerßUt dann in die Verbindungsgerade E^D^ ihrer Mittelpunkte und in den Kegelschnitt Äj, welcher durch D^, aber nicht durch E^ geht; die mit E^y Dj parallelen Strahlenbüschel in den zu F^ parallelen Ebenen, wie JSg, Dg, befinden sich nicht in perspektiver Lage, und erzeugen eigentliche Linien dritter Ordnung.
424. Aufg. Es sind gwei Perspektive ein- zweideutige StrcMen- hüschel durch ihren Schnittkegelschnitt k^ und ihre bezw. auf und außer- halb k^ liegenden Mittelpunkte Dj, E^ gegeben; man soll mittelst paral- leler Strahlenbüsdiel Dg, E^ eine Linie dritter Ordnung k^ mit ihren
Fig. 176.
Tangenten und Asymptoten konstruiren. Man kann auch das Büschel Dg mit D^ und E^ mit E^ perspektiv bilden mit derselben oder mit verschiedenen Axen; in unserem Falle ist die gemeinschaftliche per- Fig. 176. spektive Axe die unendlich ferne Gerade. Es sei k^ eine Hyperbel. Denkt man sich unter JDiD^j ^i^i die Projektionen zweier räum- lichen Geraden rf, 6, so stellt die Figur, wie die beiden vorher- gehenden, eine Regelfiäche dritten Grades mittelst der parallelen Ebenen Pj, Pg ihrer Spuren k^, k^ dar.
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X, 424—425. Regelfläche 8. Grades und Raumknrve 4. Ordnung 2. Art. 457
Aufl. Ist Pi ein beliebiger Punkt der Jc^^ so bildet Pj einen Punkt der k^, wenn D^ P, 8 A ^i; ^2 ^2 II -^1 ^1 gezogen wird. Die unend- lich fernen Punkte der k^ erhält man, wenn man Pj auf Jc^ in deren unendlich ferne Punkte oder in den zweiten Schnittpunkt der \ mit D^E^ rücken läßt Der letztere Punkt ist stets reell; daher hat k2 ein^ zwei oder drei getrennte reelle unendlich ferne Punkte, je nachdem \ eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel ist, vorausgesetzt, daß Dl El nicht nach einem unendlich fernen Punkte der k^ läufL
Die Tangente der k^ in E^ ist parallel zu E^G, wenn die zu Dg E^ Parallele Dj G den k^ noch in G trifft; die Tangenten der k^ in Dg sind parallel zu D^ F und D, J^, wenn die zu E^ Dj Paral- lele E^FF' den Ä^ in F und F trifft.
425. Bestimmung der Tangente der k^ in einem allgemeinen Funkte Pg. Ein erstes Verfahren stützt sich auf die Anschauung der Figur als Projektion einer Fläche dritten Grades. P^ P^ stellt dann eine Erzeu- gende vor; dieselbe schneidet die d und e bezw. in D und E. Die Berührungsebenen der Fläche in den Punkten D, JS, Pj, P, der PjPg bilden ein mit der Reihe der Berührungspunkte projektives Ebenenbüschel, dessen Spur in P^ das Strahlenbüschel P^ bildet. Zu D, E, Pi gehören die Strahlen P^Di, P^E^y P^D (Tangente an *i); und indem durch diese drei Paare entsprechender Elemente die projektive Beziehung hergestellt ist, findet man den dem P, ent- sprechenden Strahl PjJ, indem man die Punktreihe DEF^F^ aus dem Schnittpunkte N von d und e auf E^F^ in D^E^F^J' projicirt, und das Strahlenbüschel Fi^DiE^L) mit D^E^ in Di E^L schneidet Die so erhaltenen beiden Punktreihen sind perspektiv; ihr Projek- tionsmittelpunkt ist der Schnittpunkt L' von D'D^ = d und von PjD; daher entspricht dem J' der Schnittpunkt J von D^E^ mit DV, und F^J ist der gesuchte vierte Strahl; die Tangente F^T der k^ ist dann || Pie7. — Die Konstruktion ist daher die folgende: Man ziehe die Tangente an k^ in Pj bis L' auf D^Dg, verbinde den Schnittpunkt N von D^Dg und E^E^ mit P, und schneide diese Linie mit E^F^ in J', ziehe D'J' bis e7 auf D^Ei, so ist die Tan- gente F^T^FiJ.
Ein eweites Verfahren gewinnt man durch Anwendung des all- gemeinen Verfahrens der ähnlichen Figur (I, 204). Man nimmt auf der Tangente PjD der % einen passenden Punkt, etwa L auf DiEi an, zieht F^R ] F^L, dann D^R B D^L bis iJ auf F^R und JS^S jl JSiD bis 8 auf P,22, zieht RT\\ D^F^, ST^E^F^, so ist T ein Punkt der Tangente. Man überzeugt sich von der Richtigkeit, wenn man L auf der Tangente unendlich nahe an P^ rücken läßt; da« durch gehen, indem die Figur P^iZ 5 T ähnlich und parallel zu ihrer
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458 X, 426—427. Die windschiefen Flächen.
gezeichneten Anfangsgestalt bleibt; JD^RT und E^ST in gerade Linien bezw. parallel zu D^L und E^L {L unendlich nahe bei P,) über, und T in den zu P, benachbarten Punkt der h^,
426. Die Asymptoten können nicht unmittelbar nach den ge- gebenen Verfahren bestimmt werden. Die mit den Asymptoten der Hyperbel Ic^ parallelen Asymptoten der h^ erhält man, wenn man die D^E^ durch die Punkte V" und W" in demselben Verhältnisse teilt, in welchem B^E^ durch die Asymptoten der Hyperbel \ in V und W geteilt ist, und durch V'\ W" die Asymptoten der h^ bezw. parallel zu den durch F, W gehenden der \ zieht. Für diese Teilung projicirt man F, W aus dem Schnittpunkte N von d und e auf die zu B^E^ Parallele D^JR nach F', TT', und zieht dann FF" und TF'TF" H 6. Denn denkt man sich durch D,, E^ Gerade nach dem zu einem unendlich fernen Punkte der \ benachbarten Punkte der \ gelegt, welche Gerade von der Richtung einer Asymptote unendlich wenig abweichen, und dann durch Dg, E,^ bezw. Parallele Bu ihnen gelegt, so bilden die ersteren Linien mit By^E^ und die letzteren mit einer Parallelen zu B^E^ ähnlidie Figuren, und die durch die unendlich fernen Eckpunkte dieser Dreiecke gehenden (parallelen) Asymptoten von \ und \ teilen die By^E^^ und die Parallele zu ihr, und dann auch die B^E^, in demselben Verhältnisse. — Die mit B^ E^ parallele Asymptote erhält man, wenn man B^E^ durch V" in demselben Verhältnisse teilt, wie E^B^ durch Ij in TJ geteilt ist, und durch U'" die Parallele zu B^E^ zieht. U'" erhält man, wenn man JJ aus JSf auf D^P in TJ' projicirt, V'ü"\\e bis ü" ^Mi B^E^ zieht, 'und B^TT" — — E^ü" macht Denn ist X der dem ü benachbarte Punkt der Ä,, X' der dem zu- gehörigen unendlich fernen Punkte der h^ benachbarte Punkt der Ä^, so sind die Strahlen X'B^, X'E^ und die Asymptote X'Ü'" bezw. parallel zu XD,, XE^y B^E^] daher schneiden die ersteren drei Strahlen auf jeder sie in endlichem Abstände schneidenden Ge- raden, insbesondere auf D^Pg Stücke Pg J7% U'^'E^ ab, die sich wie Pj ü: UBi verhalten. Hieraus folgt die Konstruktion.
b) Die Raumkurve vierter Ordnung zweiter Art.
427. Es gibt zwei Arten von Baumkurven vierter Ordnung A^; diejenige Kurve fc^*, welche wir als Schnittlinie zweier Flächen zweiten Grades kennen gelernt haben, durch welche unendlich viele solcher Flächen (ein Büschel) gehen, und welche erster Art heißt, und diejenige zweiter Art Jc^\ durch welche nur eine Fläche zweiten Grades geht, und welche nur als der teilweise Schnitt einer Fläche
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X^ 427. Regelfläche 8. Grades und Ramnkurvc 4. Ordnuug 2. Art 459
zweiter mit einer Fläche dritter Ordnung erhalten werden kann*). Auch diejenigen erster Art kann man (in anderer Weise) als den teilweisen Schnitt einer Fläche zweiter mit einer Fläche dritter Ordnung erhalten. Es gilt nämlich der
ScUjs. Durch jede Kurve vierter Ordnung kann man wenigstens eine Fläche zweiter Ordnung F* und unendlich viele Flächen dritter Ordnung F* legen.
Denn legt man durch 9 Punkte der Kurve Ä* die durch die- selben bestimmte Fläche F^, so enthält dieselbe die Js^ ganz, weil sie mehr als 4 . 2 «« 8 Punkte derselben enthält (387^ 9)); und legt man durch 13 Punkte der k^ und 6 willkürliche Punkte die durch diese 19 Punkte bestimmte F' (387, 7)), so enthält sie die Jc^ ganz, weil sie Ton ihr mehr als 4 . 3 «= 12 Punkte enthält. Es gilt nun der
Satjs. Jede Baumkurve vierter Ordnung k^ kann als der teilweise Schnitt einer Fläche Zureiter F* und einer Fläche dritter Ordnung F* erh(Uten werden. Sie ist von der ersten Art (Ä;/), wenn der andere Teü des Schnittes eine solche Linie zweiter Ordnung ist, daß man sie als ebenen Schnitt einer Fläche zweiter Ordnung erhalten kann (ein Kegelschnitt oder zwei getrennte oder zusammenfällende Gerade einer Ebene); sie ist von der zürnten Art (k^"^), u)enn der andere Teü aus zweien nicht in einer Ebene liegenden oder aus der Doppelgeraden der F' besteht, wobei die F^ eine Segelfläche ist
Bew, Erster Fall. Haben eine durch die Kurve Ä* gelegte Fläche zweiter und eine Fläche dritter Ordnung F* und F* außer Jfc* noch eine ebene Linie zweiter Ordnung 1^ gemein, also einen eigent- lichen Kegelschnitt, oder zwei getrennte Gerade (welche von F^ zwei Erzeugende, die sich auf der Doppelgeraden d schneiden, oder eine Erzeugende und die einfache Leitlinie e sein können), oder zwei in einer Ebene zusammenfallende Gerade (d. i. eine Gerade, entlang welcher die F' und F* eine gemeinschaftliche Berührungsebene be- sitzen, so daß diese Gerade eine Kante der F^ und daß F^ ein Kegel sein muß), so enthält die Ebene dieser Linie zweiter Ordnung außer ihr von der F^ noch eine Gerade g. Eine zweite durch diese
♦) Sie wurde zuerst gefanden von Sdlmon und mitgeteilt in seiner Ab- handlung f,On the Classification of curves of double curvature** (Cambridge and Dublin Math. Joum., B. 5, 1850, S. 23), und dann von Steiner^ der sie für neu hielt, und veröffentlichte in seiner Abhandlung „Über Flächen dritten Grades** (Grelles Joum. f. r. u. a. Math., B. 58, 1857, 8. 138); sie wurde eingehend un- tersucht von Herrn Cretnona in seiner „Memoria intomo alla curva gobba del quart ordine, per la quäle passa una sola superfieie di secondo grado** (Ab- handlungen der Akad. v. Bologna, 1861, und Annali di matematica, B. 4, 1861, 8. 71); endlich erörtert von Herrn Weyr in seinem schon angefahrten Buche über die Begelfl&cheu dritter Ordnung, 1870, 8. 82.
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460 X, 427. Die windBchiefen FlächeiL
Gerade gelegte Ebene schneidet die F^ in einer anderen Linie zweiter Ordnung h^\ Durch fünf Punkte derselben und durch vier Punkte der y^ lege man eine zweite Fläche zweiter Ordnung F^'. Dieselbe schneidet die F^ in einer Kurve vierter Ordnung erster Art Ä*', und diese bestimmt ein Flächenbüschel zweiter Ordnung. Die i^ und Tf^^ welche beide auf F^ liegen ^ haben acht Punkte gemein, nämlich die 4.2 Schnittpunkte der A^ mit der F^'. Nun lege man durch g eine dritte Ebene; dieselbe trifft die F^, außer in g^ in einer Linie zweiter Ordnung, und durch einen ihrer außerhalb g liegenden Punkte und durch die T^' lege man die Fläche des Büschels; es ist dann eine projektive Beziehung zwischen dem Flächenbüschel T^' and dem Ebenenbüschel g hergestellt, indem drei Flächen des Büschels Ä*' bezw. denjenigen drei Ebenen des Büschels g als entsprechend zugewiesen sind, mit welchen sie je einen Kegelschnitt oder einen Punkt eines solchen gemein haben. Schneidet man nun alle Flächen (zweiter Ordnung) des Büschels Ä*' mit ihren entsprechenden Ebenen des Büschels g^ so bilden alle Schnittlinien (zweiter Ordnung) eine Fläche F^', und diese ist von der dritten Ordnung, weil sie von jeder Geraden h in drei Pimkten geschnitten wird. Denn das Flächen- büschel 1^' schneidet auf % eine involutorische, und das Ebenen- büschel g eine damit projektive einfache Punktreihe ein (299), und es gibt drei Punkte der h, in welchen entsprechende Punkte beider Reihen zusammenfallen (297, 4)); dieselben sind aber die Schnitt- punkte der Ä mit der F''. Diese Fläche enthält die Grundlinie t*' des Flächenbüschels Ä*', weil jeder Punkt derselben in einer Ebene des Büschels h und in der entsprechenden des Büschels lf^\ nämlich in jeder Fläche desselben, liegt. Die Fläche F^' fällt aber mit der F^ zusammen, da sie mit ihr 19 Punkte gemein hat, nämlich die acht gemeinsamen Punkte des Tf^ und A^', je fünf auf jedem der beiden ersten Linien zweiter Ordnung, und einen auf der letzten Linie zweiter Ordnung, in welchen die drei gelegten Ebenen des Büschels g die F' schneiden. Dann fallen aber auch A^ und 2^' in einander, weil sie die Schnittlinien von F* bezw. mit F^ und F*' sind, und weil F' und F^' zusammenfallen. Daher gehen durch i* alle Flächen (zweiter Ordnung) unseres mit Ä^' bezeichneten Büschels.
Zweiter Fall. Haben die durch die Ä* gelegten Flächen F* und F' außer JI^ noch zwei nicht in einer Ebene liegende Gerade oder die Doppelgerade der F' gemein, so muß F^ eine Regelfläche sein und die gemeinsamen Geraden sind ' zwei Erzeugende dieser Flächen von derselben Schaar, oder eine einzelne Erzeugende. Jede Erzeugende der F^ von derselben Schaar, wie die gemeinsamen Ge- raden, schneiden diese Geraden nicht; ihre drei Schnittpunkte mit
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X, 427—428. Regelfläohe 8. Grades und Ranmkorve 4. Ordnung 2. Art. 461
P' gehören daher der Schnittlinie Tc^ an. Jede Erzeugende der P* von der anderen Schaar, wie die gemeinsamen Geraden^ schneidet diese Geraden in zwei getrennten Punkten oder in einem Punkte der Doppelgeraden ^ der als Punkt der F^ doppelt zählt; daher liegt von den drei Schnittpunkten der Erzeugenden mit P* nur einer auf 1^. Man kann daher durch 'kf' keine weitere Fläche zweiten Gra- des P*' legen, weil die je drei Schnittpunkte jener Geraden mit Ä* zugleich ihre Schnittpunkte mit dieser P*' sein müßten, was un- möglich. Die Schnittkurve ist also von der zweiten Art {lt^)j wie behauptet war.
428. Wir gä>en nun die wesentlichsten unterscheidenden Eigen- schaften der Ratmkurven vierter Ordnung erster und eweiter Art (Jc^^ Äj*) an:
1) Durch jede 1/ können unendlich viele Flächen zweiter Ord- nung P^, darunter unendlich viele Begelflächen gelegt werden; eine solche Regelfläche ist bestimmt durch Jcj^ und einen Punkt auf einer die k^^ zweipunktig schneidenden Geraden. Denn dann muß die ganze Gerade in P^ liegen, also diese eine Regelfläche sein.
2) Durch eine Ä^* können unendlich viele Flächen dritter Ord- nung P^ gelegt werden, aber im allgemeinen keine solche Regelfläche P'. Denn eine Regelfläche dritter Ordnung P^ hat eine Doppelgerade d, und diese trifiFt eine durch Ä/ gehende P* in zwei Punkten. Die gemeinsame Linie zweiten Grades, welche außer Ä/ der P* und P* gemein ist, und deren Ebenfe die d nicht enthalten kann (vor. Nr., 1)), geht durch einen dieser Punkte, der andere derselben ist daher ein Doppelpunkt der Ä;/. Wenn daher k^^ keinen Doppelpunkt besitzt, kann keine Regelfläche dritter Ordnung durch sie gelegt werden. Im Falle, daß P* ein Kegel (vor. Nr., 1)), hat wirklich Ä/ einen Doppelpunkt in einem Euspidalpunkte der P^
3) Durch jede kg^ kann nur eine Fläche zweiten Grades P^ gelegt werden und diese ist eine Regelfläche (vor. Nr., 2)).
4) Eine k^*' wird durch jede Erzeugende der einen Schaar der (einzigen) durch sie gehenden Regelfläche zweiten Grades in einem, durch jede Erzeugende der anderen Schaar in drei Punkten getroffeii. Durch jeden Punkt der igS ^^^^ ^^^ ^^f ^^^ Regelfläche P^ liegt, geht daher eine dreipunktige Sehne der A^^ (nicht zwei, weil sonst in der Ebene dieser zweien fünf Punkte einer Linie vierter Ordnung k^^ lägen), und die P' hat zur einen Schaar ihrer Erzeugenden die Ge- samtheit der dreipunktigen Sehnen der k^^.
5) Durch eine k^^ können unendlich viele Regelflächen dritter Ordnung P' gelegt werden. Man erhält eine solche, wenn man durch eine dreipunktige Sehne d der k^' als Aze ein involutorisches
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462 X, 428. Die windschiefen Flächen.
Ebenenbüschel, und darch eine zweipunktige Sehne e der h^ als Axe ein einfaches Ebenenbüschel legt, und beide Büschel dadurch projektiv auf einander bezieht, daß man durch fünf weitere Punkte der Äg* entsprechende Ebenen führt (297, 3)). Beide Büschel erzeugen dann durch die Schnittlinien entsprechender Ebenen eine Regel- fläche dritter Ordnung P^ (417), und diese enthält die k^ ganz, weil sie von ihr 2 . 3 + 2 + 5 = 13 Punkte enthält (387, 9)); dabei sind die drei Punkte auf der Doppellinie d der F^ doppelt gezählt.
6) Jede Erzeugende einer durch eine \^ gelegten Regelfläche dritter Ordnung P^ schneidet die h^ in zwei oder in einem Punkte, je nachdem die P' mit der (einzigen) durch h^ gehenden Regel- fläche zweiter Ordnung P* außer h^ zwei getrennte (sich nicht schneidende) Gerade, oder eine Doppelgerade (der P^) gemein hat; denn im ersteren Falle sind die letzteren Geraden Erzeugende der P^ und der P*, welche von den anderen Erzeugenden der P^ nicht getroffen werden, so daß deren zwei Schnittpunkte mit P* auf Ä^* liegen ; im zweiten Falle treffen die Erzeugenden der P^ deren Doppelleitlinie, welche der P' einfach angehört, in einem Punkte, so daß nur ihr zweiter Schnittpunkt mit P^ auf Ic^ liegt. Im ersten Falle schneidet die einfache Leitlinie e der P* die Tc^ nicht, im zweiten Falle in zwei Punkten. Denn eine durch e gelegte Ebene enthält noch zwei Erzeugende der P3, von denen jede die k^ im ersten Falle in zwei, im letzten Falle in einem Punkte schneidet; woraus die Behauptung folgt, da die Ebene vier Punkte der h^ enthält.
7) Eine Tc^ kann durch drei verwandte Ebenenbüschel erzeugt werden. Denkt man nämlich h^^ als Schnitt zweier Regelflächen P^ und P* entstanden, welche außerdem die Doppelgerade d der P* gemein haben, so legt man durch eine dreipunktige Sehne d der h^ ein involutorisches, und durch eine zweipunktige e ein einfaches Ebenenbüschel, welche man durch fünf weitere Punkte der k^ pro- jektiv aufeinander bezieht, und femer durch eine weitere dreipunktige Sehne d' der h^ ein Ebenenbüschel, welches man durch drei von jenen fünf Punkten projektiv auf dasjenige d bezieht, so bilden die Schnittpunkte je dreier entsprechenden Ebenen der drei Büschel die Kurve h^. Denn die Büschel d und e erzeugen eine P^, welche die Tc^ enthält (5)), und d und d' erzeugen eine Regelfläche P*, welche ebenfalls die Tc^ enthält, weil sie 3 + 3 + 3 = 9 Punkte derselben enthält (> 4 • 2). Daher ist ig* der Schnitt von P* mit P*, und es gehen durch jeden Punkt der h^ entsprechende Ebenen der Büschel d und Cy sowie der d und d', daher auch derjenigen e und d'\ demnach erzeugen auch die ein -zweideutigen Ebenenbüschel e und d' eine Regelfläche dritter Ordnung, welche durch h^^ geht.
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Fig. 176.
X, 428—429. Regelfläcbe 3. Grades and Haamkarve 4. Ordnoog 2. Art 463
8) Eine "k^ hat weder einen Doppel- noch einen Rückkehrpunkt. Denn eine durch einen solchen Punkt und eine dreipunktige Sehne der Kurve gelegte Ebene würde sie in fünf Punkten schneiden 'fe).
429. Die Raumkurren vierter Ordnung kann man nach dem Reell- oder Imaginärsein^ dem Getrenntsein oder Zusammenfallen einiger oder aller von ihren vieren unendlich fernen Punkten unterscheiden.
Aufg. Eine Baumkurve vierter Ordnung aweiter Art c darzustellen als teilweisen Schnitt einer Regelfläche dritten Grades F' mit einer Eegdfläche zweiten Grades P*, wenn beide die Doppelgerade d der F^ gemein haben. Es soll der Fall gewählt werdeny in welchem die vier unendlich fernen Punkte in einen Punkt zusammenfallen.
Aufl. Die Darstellung geschehe mittelst zweier parallelen Spur- und Projektionsebenen F| und F,.
1) Die Begdfläche F^ habe zu Leitlinien einen in der F| lie- genden Kreis k^ mit dem Mittelpunkte M, die Doppelgerade d, welche Fig. i76. den Äj schneidet und J_ Fj stehe y so daß sie sich in einen Punkt D (des k^) projicirt, und die einfache Leitgerade e, welche zu Spuren jE^i^J^g habe; dabei liege El im Inneren von. kl auf DMy und es sei EiE^±DM. Von einer Erzeugenden der Fläche erhalt man die beiden Spuren Pj (auf k^) und P,, wenn man je eine Ebene durch d und e legty welche sich in einem Punkte P]
des kl schneiden; ihre zweiten Spuren BPi P^ und E^P^^EiPi schneiden sich dann in dem Punkte P^ der zweiten Spur k^ der F^
Die Tangente der k^ in E^ entspricht dem Strahle DE^, ist also [EiG, wenn G der Schnittpunkt von DE^ mit t,; die Tangenten der %2 in D entsprechen dem Strahle E^D^ sind also DF und DF',
';y-^v»i^
*) Eb sei noch erwähnt, daß aus jedem Ponkte des Baumes an eine ib,^ zwei Eweipnnktige Sehnen gesogen werden können (226), an eine Ä;,^ deren drei. Jede Projektion einer X;/ hat daher zwei, diejenige einer k^^ drei Doppel- punkte. Wir unterlassen den Beweis dieses Satzes, weil er mittelst der Plücker- sehen Formeln (zwischen den Anzahlen der Singularitäten einer ebenen Kurve, ihrer Ordnnngs- und Elassenzahl, erweitert von Herrn Cayley för nnehene Kurven) erbracht wird, deren Herleitnng nns zu weit führen würde.
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464 X, 429. Die windschiefen Flächen.
wenn die zu ^^D Parallele E^F den i^ in F und F' trifft. Die Tangente der k^ in einem dllgemeinen Punkte bestimmt man nach dem ersten Verfahren der Nr. 425, indem man die Figur als die Projektion unserer Regelfläche dritten Grades F* betrachtet, wobei wir auf die Grundanschauung zurückgehen, weil hier d als Punkt erscheint. Die Berührungsebenen der F' in den Schnittpunkten der Erzeugenden PiP^ ^^^ den Leitlinien J, e, \, d. i. in D, JB, P^ haben zu ersten Spuren bezw. P^ 2), P^ E^ , die Tangente Pj H des \ ; diese Linien schneiden die DE^ in den Punkten D, E^, H] deren Reihe ist projektiv und perspektiv mit der Reihe der Berührungs- punkte D, E, P^; der Perspektive Mittelpunkt beider Reihen ist der Schnittpunkt H' von E^E mit -ffP^; dem vierten Berührungs- punkte Pg entspricht daher auf DE^ der Schnittpunkt / mit H'P^ ; daher ist P^J die erste Spur der Berührungsebene in Pj, und die damit Parallele P^T ihre zweite Spur oder die gesuchte Tangente der Äj in Pg.
In Anwendung des zweiten Verfahrens der Nr. 425 zieht man PgJB H Pi-ff, zeichnet einen Strahl aus D, etwa DF^ (welcher die zwei parallelen Strahlen DiL, B^B der Fig. 175 darstellt), schnei- det dp; mit P^H und P^R bezw. in L und ü, zieht E^S\E^L bis iS auf Pjü, so ist der Schnittpunkt T von JBr(||DPi) und ST{\\E^P;) ein Punkt der Tangente. .
Für die Schnittpunkte B, B' der e und \j welche auch der t, angehören, bleibt das zweite Verfahren brauchbar. Kürzer aber erhält man die Tangente in B parallel zu ^i-4, wenn Ä der Schnitt- punkt der BB mit der zur Tangente des \ in B Parallelen E^A. Entsprechend für B' || E^A\ Man beweist dies unmittelbar nach dem Verfahren der ähnlichen Figur, indem man beachtet, daß der Strahl BB und die Tangenten der \ und ä:^ inP, sowie deren Parallele aus -4, auf einem aus E^ (oder aus E^ benachbart zu E^B gezogenen Strahle Stücke abschneiden, welche sich wie BE^ : BE^ verhalten.
Läßt man Pj nach D i-ücken, so erhält man den Punkt P, der k^ durch BF^ als Tangente an \ und E^F^ || E^B, also auch durch BF^ ^ E^E^. Die Tangente in F^ steht J. F^G^ (C^ = BE,, k,). Denkt man sich nämlich den zu B benachbarten Punkt Q^ der k^y so erhält man daraus den zu F^ benachbarten Punkt Q^ der A, mit- telst der Geraden BQ^Q^ und E^Q^ B -£^iöi. Nun bilden die auf- einander senkrechten Linien BQ^^ und G^Q^^ bezw. mit BF^ und G^B die gleichen unendlich kleinen Winkel q) ; daher ist beim Übergang von F^ nach Q^ das Fortschreiten auf F^E^ = BF^ . q), dasjenige auf BF^ ^^ BQi = GiB .(p, und deswegen ist das aus F^Q^ und jenen Portschreitungsstrecken gebildete Dreieck ähnlich mit dem-
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X, 429—430. Regelfläche 3. Grades und Eaamkorve 4. Ordnung 2. Art. 465
jenigen F^DC^f und die entsprechenden Seiten stehen auf einander senkrecht, woraus die Konstruktion folgt.
Unsere Kurve Jc^ besitzt nur einen reellen tmendlich fernen Punkt, weil der Kreis Jc^ keinen solchen enthalt (424). Die Asymptote für diesen Punkt läuft H DE^ und muß die DE^, und daher auch die E^E^y in demselben Verhältnisse teilen , in welchem die E^D durch Ci (auf hl) geteilt wird (426); sie geht daher durch den Punkt U der E^E^, wenn C^ U | DE^.
430. Um nun die Regelfläche F' so annehmen zu können, daß die Schnittlinie c von F^ und F^ gewisse unendlich ferne Punkte der F^ erhält, müssen wir zunächst die unendlich ferne Kurve der Fläche F' durch den sie projicirenden Kegel, d. h. durch emenBicht- heget K^ der F' angeben. Wir erhalten einen Richtkegel, wenn wir von den beiden ein -zweideutigen Ebenenbüscheln d, e, welche die F^ erzeugen, den einen, e, verschieben, bis seine Axe e die d schneidet,
Fig. 177.
welchen Schnittpunkt wir in die ^. __ pig. 177.
erste Spur D der d legen wollen; die zweite Spur der verschobenen e ist dann F^{DF^ # -£^1^2)- Wir erhalten von der zweiten Spur r, des Richtkegels einen Punkt P^, wenn wir einen Strahl DP^ mit \ in Pj schneiden und F^P^ I ^1^1 bis Pg auf DP^ ziehen, r^ ist daher auch die zweite Spur einer Regel- fläche dritten Grades, welche h^j d und E^F^ zu Leitlinien hat. r^ geht durch die Schnittpunkte JST, K' von E^F^ mit i|. Die Tangenten der r, in ihrem Doppelpunkte D laufen nach den Schnittpunkten der E^E^
mit \j diejenige in ihrem einfachen Punkte jP^ läuft || DE^. DF^ ist eine Symmetrieaxe der r,.
Die Tangente der r, in einem allgemeinen Punkte kann nach den beiden Verfahren der vor. Nr. gefunden werden. Nach dem ersten Verfahren beachtet man, daß die Berührungsebene des Richt- kegels nach der Erzeugenden DP^ parallel ist mit der Berührungs- ebene der F* in dem unendlich fernen Punkte der parallelen Er- zeugenden. Man schneidet daher die Tangente des h^ in P^ mit El E^ in IT, zieht H'J nach dem unendlich fernen Punkte der BP^ oder | DPj bis J auf DE^ ; dann ist die Tangente P^T\ JP^. Nach dem tsweUen Verfahren ersetzt man nur E^ der vor. Nr. durch
Wiener, Lehrbacb der d»r8tellenden Geometrie, n. 30
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466 X, 430—481. Die windschiefen Flächen.
F^. Man schneidet daher F^H' mit DF^ in i, zieht P^B \ P^H' bis R auf DF^, F^S H E,L bis S auf P^ü, UT || DP^, ST | J;P„ so ist Pg T die Tangente. — Die Asymptote der r, läuft | i) JS^ und muß die DF^^ daher auch die E^E^y in demselben Verhältnisse teilen y in welchem J?|D durch C7| geteilt wird; sie geht daher durch den früher erhaltenen Punkt U von E^E^, für welchen C, CT II D^, ist.
Die Tangenten in K, K (E^F^^hi) erhält man nach dem zwei- ten Verfahren oder kürzer nach dem besonderen Verfahren der vor. Nr. für die Punkte B, B' der Fig. 176. Man schneidet danach für E' die DK' mit -F, F' (|| Tangente des k^ in K') in T, so ist die Tangente in K' | E, V\
431. Soll die Begelfläche zweiten Grades F' so angenommen werden, daß die vier unendlich fernen Punkte der Schnittkurve c von F* und F* gegebene Punkte der F^ sind, so muß der Richt- kegel K* der F*, wenn er koncentrisch zu K' gelegt wird, mit K' die nach diesen unendlich fernen Punkten laufenden Erzeugenden gemein haben, während er mit ihm die Parallele zur Doppelgeraden d der F^ schon nach der Annahme der Nr. 429 gemein hat. Durch die hiermit gegebenen fünf Erzeugenden ist dann der Kegel zweiten Grades bestimmt, und ebenso seine zweite Spur s^ durch D und die vier Punkte der zweiten Spur r, des K^, durch welche jene vier Erzeugenden gehen*).
Sollen nun, wie in unserer Aufgabe vorausgesetzt ist, die vier unendlich fernen Punkte der c zusammenfallen, so muß man den Kegelschnitt 8^ so bestimmen, daß er durch D geht und die Kurve r, in dem jenem unendlich fernen Punkte entsprechenden Punkte, etwa P2, vierpunktig berührt. Man kann dies durch eine Pehlerkurve so ausführen, daß man aus irgend einem Punkte T der Tangente PgT der r^ in Pg Strahlen zieht, welche die r^ in je drei Punkten schnei- den, deren je zwei nahe bei P^ liegen; daß man zu jedem Strahle einen Kegelschnitt bestimmt, welcher durch die zwei letztbezeich- neten Schnittpunkte des Strahles und durch D geht, und die P^T in Pg berührt; und daß man endlich vermittelst einer Pehlerkurve
'*) Sind von den vier unendlich fernen Punkten zwei oder alle vier ima- ginär, 80 sind sie paarweise koxgogirt und je auf einer reellen (Geraden g ge- geben , welche die r, nur in einem reellen Punkte W trifft. Zieht man nun, indem man den Mittelpunkt P, des eindeutigen Strahlenbüachels durch W er- setzt denkt, aus W zwei Strahlen, welche die r, noch in je zwei reellen Punkten schneiden, projicirt beide Punktepaare aus dem Doppelpunkte D in Punktepaare auf ^, so sind die Doppelpunkte der durch die letzteren Paare auf g bestimmten Involution zwei koujugirt imagin&re Punkte der r, .
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X, 481—482. Regelfläcbe 8. Grades und Ranmkorre 4. Ordnong 2. Art. 467
denjenigen dieser Kegelschnitte ermittelt, für welchen jener Strahl in TP, fallt.
Wählt man P, im Scheitel F^ der r^, so kann man leicht eine genaue Konstruktion finden. Weil F^ D eine Symmetrielinie oder « Axe der r,, so ist sie auch eine solche des gesuchten Kegelschnittes s^\ und da in Pj ^^^ Krümmungskreis die r^ und s^ vierpunktig berührt, so hat man nur den Krümmungsmittelpunkt K von r, in P2 zu ermitteln, und dann den s^ so zu bestimmen, daß er auch ihm zugehört. Es ist aber der Krümmungshalbmesser r »«= KF^ = \ DNf wenn N auf DF^ durch E^Nl G^ Pg eingeschnitten wird. Denn ist Q^ ein dem P^ benachbarter Punkt der rg, und ist der Winkel i^r Sehne Pg Q^ mit der Tangente PgPg = 9?, so ist der Krümmungshalbmesser r = P2Ö2 • 29. Der Punkt Q^ wird aber aus dem zu D benachbarten Punkte Q^ des Äj gewonnen durch die Geraden DQ^ Q2 und durch P^ft II ^i Qi- Da nun DQ^ ± C^Q^y so ist F^Q^ = DQi {DF^ : C^D) und 9? = DQ^ : E^D. Hieraus ergibt sich, wie behauptet,
Den Kegelschnitt $2 erhält man nun aus seiner einen Axe DF^ ^2a, welche aber nicht notwendig die Hauptaxe ist, und dem Krümmungsmittelpunkte £* für P2, wenn man die Linie der anderen Axe 2 b senkrecht zur ersteren durch deren Mitte 0 zieht und mit einem Kreise schneidet, der aus dem Mittelpunkte zwischen 0 und K durch Pg gezogen wurde. Denn es ist dann 6* = r . a (1, 250), weil der genannte Kreis über den aneinander gesetzten Strecken F^K B» r und a als Durchmesser beschrieben und die andere Axe durch den Grenzpunkt dieser Strecken senkrecht zu denselben gezogen ist.
Weil ^2 ein eigentlicher Kegelschnitt, so ist F^ ein einschaliges Hyperboloid] bestünde $2 aus zwei Geraden, so würde der Richt- kegel aus zwei Ebenen bestehen und F* ein hyperbolisches Para- bohid sein. Dies tritt ein, wenn P, in D (statt in Pg) fällt Die zwei Berührungsebenen des K' entlang d sind dann die Richt- ebenen der F^
482. Um nun die Schnittkurve c der Flächen F^ und F* zu konstruiren, genügt es in Bezug auf F*, ihre drei Leitlinien Äj, Fig. i78. d, e anzugeben. Von F^ ist infolge der Bedingungen der Aufgabe (429) ermittelt, daß sie durch die Grerade d gehen und DS2 der Fig. 177 zum Richtkegel haben muß; es sind also 3 + 4 Punkte derselben bestimmt (drei auf der Geraden d und vier weitere auf dem unendlich fernen Kegelschnitte k, von dem ein fünfter Punkt auf d liegt), also noch zwei willkürlich anzunehmen. Verzeichnen
80*
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468
X, 432. Die windßchiefen FläcKen.
wir zunächst die zweite Spur Äg der P* ; sie geht durch D und ist ähnlich und ähnlich gelegen mit s^ oder geht durch deren beide unendlich ferne (imaginäre) Punkte. Die zwei noch willkürlich an- zunehmenden Punkte können zur vollständigen Bestimmung des Kegelschnittes Äg verwendet werden. Gleichwertig mit deren An- nahme ist die willkürliche Annahme des Mittelpunktes 0^ des h^,
Fig. 178.
und daher auch seiner beiden Axenlinien || und J^E^E^. Zeichnet man dann in Fig. 177 einen Halbdurchmesser OD' des r, parallel zu OgD der Fig. 178, so erhält man eine Axe des \ durch eine Parallele aus D zu D'D der Fig. 177; entsprechend die andere; hierdurch ist h^ (oo s^) bestimmt. Die erste Spur h^ der P* ist nun ebenfalls bestimmt, indem jeder Strahl aus D zwischen \ und h^ gleich der zu ihm parallelen Sehne des s^ aus D ist Ebenso ist ein solcher Strahl zwischen den Mittelpunkten 0^ und 0^ der h^ und h^ # DO der Fig. 177, woraus sich Oj ergibt A^ und h^ schneiden sich in D und in einem zweiten Punkte D' der DE^. Die Punkte D und D' sind die Projektionen der beiden auf P^ senkrechten
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X, 432— 433. Begelfl&che 3. Grades und Raumkurve 4. Ordnung 2. Art. 469
Erzeugenden der einen und der anderen Schaar der F^ Die Erzeu- genden der beiden Schaaren projiciren sich daher als die Strahlen- büschel D und B\
Man erhält einen Punkt P der Schnittkurve c, wenn man durch die Doppelgerade d eine Ebene DPy^ legt; dieselbe enthält noch je eine Erzeugende von F^ und F'^ und deren gegenseitiger Schnittpunkt ist P. Um ihn zu erhalten, legt man eine Hilfsebene durch jede der Erzeugenden. Diejenige durch die Erzeugende der F^ läßt man am zweckmäßigsten auch durch e gehen; ihre Spuren sind dann E^F^ Q^ (P^ auf Tc^ und E^ Q^ J E^P^. Die Erzeugende der F* ist H^H^, wenn H^y H^ die Schnittpunkte von DP^ mit h^y h^ sind, und die durch sie zu legende Hilfsebene gibt man durch zwei passende zu einander parallele Spuren H^ Q^ und H^ Q^ an. Die ersten Spuren der Hilfsebenen schneiden sich in Q^, die zweiten in Q^ ; daher ist Q^ Q^ ihre Schnittlinie und bestimmt auf DP^ den Punkt P. Die Hilfsebenen sind passend, w^in sich Q^, Q^, P sicher ergeben. Zieht man die erste Spur H^Q^ durch E^, so fallt auch Qi in jBi und man erspart die Linien E^Q^ und H^Qi] doch darf dies nur geschehen, wenn der Schnittpunkt P dadurch sicher wird, was in unserem Falle nicht stattfindet. Die Kurve c geht dreimal durch D, weil jede Erzeugende der F* von der Schaar, zu welcher d gehört, also auch d, die c dreimal schneidet (428, 4)); femer durch D' in Pj, weil durch D' der Kegelschnitt Ä^ der F* und die Er- zeugende DE^C^ der F* geht; sie wird in D' von \ berührt, weil die Berührungsebene der F*, welche die räumliche Tangente der c enthält, sich in die Tangente der \ in D' projicirt, da sie diese und die sich in D' projicirende Erzeugende der F* (J-Pi) enthält. Ferner geht c einmal durch die Schnittpunkte P, B' von \ xmAE^E^^ weil jeder dieser Punkte die Projektion einer Erzeugenden der F^ ist, imd eine solche einen Punkt der c enthält (428, 6)); femer durch den Schnittpunkt G^ der ersten Spuren \y \y und durch die Q^} ^2 der zweiten Jc^, A^, welche letztere mittelst der Fig. 176 bestimmt sind, nicht aber durch die Schnittpunkte D (Dj, D,) der Spuren (s. 433). Die Zweige DGj, DB vereinigen sich im Endlichen, die Zweige BW, BB' laufen gegen den unendlich femen Punkt (ohne Asymptote).
433. Die Tangente der c in P ist die Schnittlinie der Beruh- rangsebenen der F' und der F* in P und soll mittelst deren ersten Spuren bestimmt werden. Die der F^ findet man nach Nr. 429, indem man die Tangente des Jb^ in P^ mit E^E^ in H\ und darauf H'P mit BEy^ in J schneidet; dann ist Py^J jene erste Spur. Die Erzeugenden BPy B'P der beiden Schaaren der F* treffen die \
470 X, 438. Die windschiefen Flächen.
bezw. in H^ und K^, daher ist H^K^ die erste Spur der BerQhrungs- ebene der ff*. Schneiden sich F^J und H^Ky^ in T, so ist TT die gesuchte Tangente.
Für die Punkte B, B' der c, welche in den Schnittpunkten der E^E^ und des \ liegen ^ versagt das allgemeine Verfahren. In- dem die durch diese Punkte gehenden Erzeugenden der F' J_ Pj stehen; gilt dies auch von den Berührungsebenen der F' in den durch B und B' dargestellten Raumpunkten der Schnittkurve; die Spuren und Projektionen dieser Ebenen sind dann die Tangenten an c. Um sie zu bestimmen, muß erst die räumliche Lage dieser Punkte, so des JB, ermittelt werden. Dies geschieht, indem man BB mit \y h^ bezw. in L^, L^ schneidet; wenn diese Punkte, wie in der Figur, unsicher sind, verschärft man sie, indem man aus den zu B diametral gegenüberliegenden Punkten des ^, h^ Strahlen zieht, die zu BB in Bezug auf \ und h^ konjugirt sind. Die Spuren der durch die Erzeugende (B) der P* gelegten Hilfsebene fallen in E^BE^ zusammen, während als Spuren der durch die Erzeugende L^L2 der P^ gelegten Hilfsebenen vorteilhaft die Parallelen L^E^, L^A angenommen werden. E^E^ und L^A schneiden sich in A, daher liegt der Raumpunkt B der Schnittkurve auf der Verbindungs- linie von El in P^ mit J. in Pg . Die Berührungsebenen der F' in den Schnittpunkten ihrer durch B gehenden Erzeugenden mit d, e, k^^ schneiden die BE^ bezw. in D, E^, F, wenn durch F die Tangente des kl in B geht; die Berührungspunkte projiciren sich aus dem Punkte El der P^ auf die Gerade der E^E^ der P, in .Bj, -B,, [/(un- endlich ferner Punkt). Die projektiven Punktreihen BE^F, EiE^Ü haben DJS, zur Perspektiven Axe (BU und FE^ schneiden sich in 2), El U und FE2 in E^). Der vierte fragliche Berührungspunkt projicirt sich aber aus Ei in P^ nach A in P^; dem Punkte A der Reihe EiE^UA entspricht N der Reihe BEiFN, wenn AF und UN sich in einem Punkte der Perspektiven Axe BE^ treflFen; BN ist dann die gesuchte Tangente. Entsprechend erhält man für B' die B'N' aus A', wobei sich wieder A'F und UN' auf BE^ treffen.
Zur Bestimmung der drei Tangenten der c in B müßte man erst die drei räumlichen Punkte auf d als Doppelpunkte einer ein- und einer verwandten zweideutigen Punktreihe suchen (297, 4)). Legt man nämlich durch einen Punkt P der d als Punkt der ersteren Reihe die beiden durch ihn gehenden Erzeugenden der F^ (welche in der Ebene Pe liegen), legt durch jede von diesen und durch d eine Ebene, schneidet sie mit F^ in je einer Erzeugenden, so bestimmen diese auf d die beiden entsprechenden Punkte P', P" der zweiten Reihe, weil jeder Punkt der c durch zwei Erzeugende der P* und F*
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X, 488—434. Das Cylindroid. 471
geliefert wird, welche in einer durch d gehenden Ebene liegen. Die Projektion zweier solchen, je durch einen jener drei Doppelpunkte gehenden^ Erzeugenden ist eine Tangente der c in D.
Man bemerkt aus der yeischärften Bestimmung von L^, L^^ wie die Verzeichnung der Kegelschnitte h^ , \ entbehrlich gemacht werden kann. Zur Konstruktion von c genügen Kreis und Gerade, welche zur Bestimmung der ein -zweideutigen Strahlenbüschel dienen.
VL Das Cylindroid.
434. Eine windschiefe Fläche mit einer einzigen, und zwar unendlich fernen Leitgeraden, also mit einer Leitebene, ist das Cylindroid. Schneidet man einen Cylinder durch zwei mit seinen Erzeugenden nicht parallelen Ebenen, deren Schnittgerade g sei, seien die Schnittpunkte derselben Erzeugende mit der einen und der anderen Schnittkurve bezw. -4, B, C . . . und -4j, B^, C^ . . ., und verschiebt man die erste Kurve in ihrer Ebene in der Richtung von g um eine beliebige Strecke nach -4^, JBg, Og . . ., und zieht die Geraden Ä^Ä^, B^B^, G^C^ . . ., so sind diese die Erzeugenden des Cylindroids; sie haben eine zu g und zu den Cylindererzeugenden parallele Ebene zur Bichtebene. Den Cylinder wollen wir den (xrundcylinder der Fläche nennen.
Sind der Cylinder, und dann auch die Schnittlinien vom zweiten Grade, so ist die durch diese zwei Linien als Leitlinien und durch die Leitebene bestimmte windschiefe Fläche vom achten Grade (388), wobei diese Fläche aus unserem Cylindroide und aus noch einem zweiten Flächenaste besteht, welcher die Erzeugenden BiD^y D1B2 u. s. w. enthält, wenn B^B^, A-^a ^- s. w. zwei Erzeugende des Cylindroids sind, die in derselben zur Richtebene parallelen Ebene liegen. Bas Cylindroid ßr sich ist daher vom vierten Grade.
Äufg. Das Cylindroid darmstellen und die StrikHonslinie wnd Fig. 179. die bemerkenswerten Schnitte desselben m konstruiren^ wenn der Grund- cylinder ein Umdrehungscylinder ist.
Aufl. Seien die Erzeugenden des Grundcylinders parallel zur Projektionsaxe a?, sei die Gerade g A.'Pi und G' ihre erste Projek- tion, seien G'A^y G'Ä^ die ersten Spuren und Projektionen der beiden Schnittebenen, so ergeben sich von den Ellipsen, in welchen sie den Cylinder schneiden, die zweiten Projektionen aus dem in Fj umgelegten senkrechten (kreisförmigen) Schnitte V" des Cylinders mittelst ihrer Axen; zugleich sind die Punkte aus zwölf gleichförmig auf i'" verteilten Punkten bestimmt. Die eine dieser zweiten Pro- jektionen ist eine Ellipse t/'= ^/'-B/'O/'D/', die andere ^"-B"C"D"
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472
X, 434—436. Die windachiefen Flachen.
wurde dadurch zu einem Kreise gestaltet, daß die Schnittebene unter 45^ gegen P^ geneigt gelegt wurde. Diese Kurve wurde nun in der Richtung von g nach h^ ^= Ä^B^G^D^ geschoben; dann sind Ä^A^^ B^B^ ... die Erzeugenden des Cylindroids. Man bemerkt, daß dabei die erste Projektion dieselbe, wie die des Cy linders, ge- blieben ist.
Fig. 179.
485. Jede durch g gdegte Schnittebene trifft den CrrundcyUnder und das Cylindroid in kongruenten und parallelen Kurven, so A^ C^ und Ä^C^^, hier Ellipsen, wovon die zweite aus der ersten durch Verschiebung in der Richtung von g entsteht. Denn der Höhenunter- schied {\ g) zweier Punkte -ig und -4.4, welche auf den aus einander entstandenen Erzeugenden Ä^Ä und Ä^Ä^ senkrecht über einander liegen, ist gleich dem Höhenunterschiede ÄA^, mnltiplicirt mit dem Verhältnis der Abschnitte A^A^: Ä^A^. Dieser Wert ist aber für alle Erzeugende derselbe; denn AA^ ist die ursprüngliche für alle Punkte der Schnittlinie A^A^ gleiche Verschiebung, und die drei Schnittebeneu, weil sie durch die zur Richtebene parallele Gerade g
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X, 436—436. Das Cylindroid. 473
gehen, teilen alle Erzeugende in demselben Verhältnisse. Die durch g senkrecht zu den Erzeugenden des Cylinders gelegte Ebene schnei- det daher den Cylinder und das Cylindroid in kongruenten Kreisen. Die Projektionen des letzteren sind die Geraden Ä^C^^ Bq'Dq\
Da zwei Erzeugende, die in einer zur Richtebene (Pj) paralle- len Ebene liegen, zu einander parallel sind und symmetrisch zu der auf Pg senkrechten Geraden (G'Äq, Aq') liegen, so ist diese Gerade eine Symmdrielinie der Fläche ^ daher G'A^' Symmetrielinie des Grundrisses, und Aq' Mittelpunkt ihres Aufrisses.
Jede mit g parcMele Ebene schneidet den Cylinder und das Cylin- droid in Figuren von gleichem Flächeninhaile. Eine solche Schnitt- figur ^5 (75P5 auf dem Cylindroide ergibt sich leicht; sie ist flächen- gleich mit der (nicht yerzeichneten) Schnittellipse ihrer Ebene mit dem Cylinder. Zieht man nämlich in der gemeinschaftlichen Ebene beider Figuren zwei benachbarte mit g parallele Gerade, so enthält jede derselben gleiche Sehnen der Kurven, daher schließen diese auch gleiche Flächenelemente ein, woraus der Satz ^olgi
Um die Tangente an die Schnittkurve in einem Punkte P5 der- selben zu konstruiren, lege man ein Bertihrungsparaboloid nach der Erzeugenden P^P^P^, mit der Richtebene des Cylindroids, P,, und den Tangenten der Kurven k^, k^ in P^ und P^ als Leitgeraden. Diese sind PiTi und PgTg mit den zweiten Spuren T^ und Tg. Das Para- boloid hat zu Erzeugenden der ersten Schaar die Geraden P1P21 TjTj, g] und es ist T^T^ || /Si^g, wenn 5^, 5, die zweiten Spuren der zu Ti parallelen Axen von k^y k^ sind. Um durch P5 die Erzeugende der zweiten Schaar zu legen, schneide man die Ebene P^g mit der T^ T^ ia U, P^U ist dann diese Erzeugende, U ihre zweite Spur, und UT {\P1P2) die zweite Spur der Berührungsebene des Para- boloids und des Cylindroids in P5. Deren Schnitt P^T mit der Ebene unserer Kurve ist die gesuchte Tangente.
486. Die Striktionslinie s des Cylindroids fällt wie bei dem Konoide mit dem Umrisse der Fläche zusammen, welcher zu ihrer Projektion auf die Richtebene, d. i. auch auf die P^, gehört. Um den Punkt P^ derselben auf einer Erzeugenden PiP^, zu erhalten, bringe man, im umgekehrten Gange der vor. Nr., die zweite pro- jicirende Ebene von P^ P, mit der Erzeugenden T^ T, des Berüh- rungsparaboloides in Q zum Schnitte; dann ist der gemeinsame Punkt der Ebene Qg und der Geraden PiPj der gesuchte Punkt Pg. Bei der Wiederholung dieses Verfahrens ist es zweckmäßig, das Parallelsein von T^T^ mit S^S^ zu benutzen; dadurch wird die Ver- zeichnung der Tangente P^T^ entbehrlich. Von dem Kreise -4oJBo(7o Do gehören der höchste und tiefste Punkt Bq und Dq der Striktions-
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474 X, 436. Die windschiefen Fl&cben.
linie an, weil in jedem die Ereistangente senkrecht auf der Bicht- ebene steht.
Kanten sind die Erzeugenden Ä^A^ und CiG^y weil die Fläche entlang ihrer von derselben Ebene (_L Pi) berührt wird, indem diese Linien die Umrisse in der ersten Projektion bilden. Ihre benach- barten Erzeugenden sind bezw. mit ihnen parallel, weil dies bei dem Grundcylinder der Fall ist. Die KuspiddlpunJcte der Fläche liegen daher in den unendlich fernen Punkten der Kanten, und diese sind die Asymptoten jedes Umrisses (386), also auch der Striktionslinie.
Wir wollen nun noch die Tangente an die erste PrqjekHon s' der Striktionslinie mittelst des Verfahrens der ähnlichen Figur (I, 204) konstruiren, wobei in unserem Falle besondere Aufmerksamkeit not- wendig ist, weil sich die Konstruktion von s' über Grund- und Aufriß erstreckt Wir fanden den Punkt Pg' der s' auf der Erzeu- genden ^iF^y indem wir die Tangenten von Jfc/', ig" in P/', P," bis T;\T^' auf T/T/', T/T;' zogen, T," T^'' Q] S^' S^") mit P/'P/' in Q" schnitten und ö" auf x nach Q' projicirten; die G'Q' ergab dann auf Pi'P2' den Punkt Pg'. Indem wir nun den zu P/ benach- barten Punkt der s' auf der benachbarten Erzeugenden bestimmen wollen, werden wir dem Verfahren gemäß das entstehende unend- lich kleine Parallelogramm bei P/, von welchem zwei Seiten in Pi'P^ nn^ Cr^Q' fallen, aus Pg' als Ähnlichkeitspunkt vergrößern. Bei dieser Vergrößerung verschieben wir die zu Pj, Pj benachbarten Punkte der Äj, Jc^ auf deren Tangenten, was im Grundriß bis JB/, JB/, also im Aufriß bis ^„ E^ auf JB/5/', B^'B^" geschehen mag. Dann wird sich auch der dem Q' benachbarte Punkt auf x verhältnismäßig verschieben, daher auch der dem Q'^ benachbarte, so daß zur Bestimmung dieser Verschiebung im Aufriß Q" der Ahnlichkeitspunkt ist Indem sich bei dem Übergange von P^", P," zu benachbarten Punkten der Jfc/', Ä;^" die Erzeugende P^'P^' un- endlich wenig dreht, schneidet sie auf jedem durch Q" gelegten Strahle, als welcher Q"Q'{A-x) angenommen werden mag, ein unendlich kleines Stück ab, das verhältnismäßig vergrößert werden muß. Um dies zu erreichen, zieht man durch P/', P^' Parallele P/'jP\, P2"P2 2u Q" Q\ und schneidet diese bezw. mit den durch JSi, E^ parallel zu P^'P^* gelegten Geraden in P^, JPj; die Gerade F^F^ schneidet dann auf Q" Q' den Endpunkt G der verhältnis- mäßigen Verschiebung Q''G ein, und ff JB" || P/'P»" ist die ver- schobene P^'P^\ — Andererseits vrird aber auch T/' T/'dlS/'Sj") paralle^mit sich selbst verschoben. Geht Pj" auf Tc^' um ein Bogen- element vorwärts, so bewegt sich T^' auf T^' T^ um ein Element, dessen senkrechter Abstand von P^'T^' sich zum Bogenelemente ver-
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X, 436—438. Die Wölbfläche des schrÄgen Durchgangs. 475
hält, wie F^' ^% ^^^ Halbmesser des Kreises Tc^\ Vergrößert man das Bogenelement zu P^'E^j so wird jener Abstand «= P^'Jy wenn man auf dem Kreishalbmesser von P/' die P^' H '^ P% ^^' *^f' tragt und HJ\ E^B^' bis J auf P/'T/' zieht; dann geht T/' auf T^'T^ nach K, wenn Abstand (TT, P/'T^") = Pg'V. Die ver- schobene T^'T;' ist dann KK' \ T^' T;\ Der Schnittpunkte" von GTC' und JTJB" ist der verschobene Punkt des dem Q" benachbarten Punktes; er projicirt sich auf x nach Ti\ woraus sich durch G' B! auf Pi'Pj' der Punkt h und die Seite Pg'L des vergrößerten Paral- lelogrammes ergibt. Die anstoßende Seite desselben ist Zr^y G' (i\ wobei 'S auf B^B^^ und Pq N ist die gesuchte Tangente.
Etwas einfacher gestaltet sich die Konstruktion fflr den Punkt Bq ^er s. Verschiebt man die Punkte JB/', B^' auf den Tangenten der ij", Jc^' bis Ei\ E^' (um die Länge der parallelen Axen), so verschiebt sich die B^B^ nach C/C,'. Der Punkt Q" ist aber in unserem Falle Bq\ und seine Verschiebung ist Null, weil die par- allel zu Bi'E^" und zu B^'E^' durch B^' gezogene Gerade von E^'E^' ebenfalls in B^' getroffen wird. Der zu B^' gehörige Punkt T^' verschiebt sich aber auf T^'T" um eine Länge =» Abst. {B^'.T^'T^), geht also bis Ef' 9L\xi B^'G^'. Schneiden sich nun Bi'B^' und K"B^' (Ij S^'S^') in dem Punkte B^'j und projicirt man diesen auf x nach B^y diesen aus G' auf B^B^ nach L\ zieht i' JV' 1 G'B^ bis jr auf C/O/, so ist B^K die gesuchte Tangente.
437. Übungsaufgabe, 1) Das C^indroid mit einer gegen seine Richtebene geneigten, aber mit einer Erzeugenden parallelen Ebene zu schneiden und die Asymptoten der Schnittkurve zu konstruiren.
2) Für das einfache Hyperboloid, das hyperbolische Paraboloid, ein Konoid oder ein Cylindroid die Pa/rameterhurve zu konstruiren, worunter der geometrische Ort des Punktes einer Erzeugenden ver- standen sein soll, welcher von ihrem Centralpunkte den Abstand des Parameters besitzt (384).
vn. Die Wölbfläohe des sohr&gen Durohgangs.
488. Die Wölbfläche des schrägen Durchgangs ist die windschiefe Fläche, welche zu Leitlinien hat zwei in parallelen Ebenen liegende gleiche Kreise ij, ig, und die durch den Mittelpunkt 0 der Verbin- dungslinie der beiden Kreismittelpunkte M^, M^ senkrecht zu ihren Ebenen gelegte Gerade o. Der Mittdpunht und die Symmetrieebene für die Leitlinien und daher auch für die Fläche sind bezw. 0 und (o, My^M^. Wir wollen Pj parallel zur Symmetrieebene, Pg parallel ^^ zu den Kreisebenen annehmen. A^By^ und Ä^B^ seien die mit F^ parallelen Durchmesser der beiden Kreise. Li den Figuren sind
Fig. 180, 181.
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476
X, 438. Die windschiefen Flächen.
zwei Falle dargestellt; in Fig. 180 schneiden sich die zweiten Pro- jektionen beider Kreise in reellen Punkten C und 2), in Fig. 181 in
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X, 438. Die Wölbfläche des schr&gen Durchgangs.
477
imaginären; im ersten Falle trifiFfc die Leitgerade o die Kreisebenen in inneren Punkten 0^^ 0^ der Kreise^ im zweiten in äußeren.
Um Erzeugende zu konstruiren, legt man durch die Leitgerade o
Fig. 181.
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478 . X, 438 — 439. Die windschiefen Flächen.
^g m' ^^^D^i^; dieselben projiciren sich im Aufriß als Gerade. Eine solche schneidet den einen Kreis in den Punkten Pi^Qi^ den andern in P^fQi» Die Verbindungslinien eines der ersteren mit einem der letzteren Punkte schneiden alle drei Leitlinien. Zwei davon PiQ^ und QiP^ gehen durch den Mittelpunkt 0 von OjOj und bestimmen daher einen Ereiskegel mit dem Mittelpunkte 0, den wir aber von der Fläche ausschließen wollen; die beiden anderen P^P^, QiQ^ sind Erzeugende unserer Fläche, und zwar mit einander parallele^ und wir wollen solche ein Paar nennen.
Da die Kreise ihre beiden unendlich fernen Punkte gemein haben ; so ist die Ordnung der Gesamtfläche =: 6 (388); und indem man jenen Kegel 0 ausschließt, ergibt sich die Ordnung der WoBh fläche =» 4.
439. Kanten sind zunächst die in der Hauptebene liegenden Erzeugenden Ä^Ä^j ^i^s? ™i* Berührungsebenen -LPi- Sie schnei- den die gerade Leitlinie o in Ktispidalpunkten E und F. In Fig. 180 ist die Strecke E.F reelle Doppelgerade und die Strecke FE iso- lirte Gerade der Fläche, in Fig. 181 umgekehrt
Die anderen Kanten liegen in den durch o berührend an k^ und h^ gelegten Ebenen, und sie sind nur in Fig. 181 reell; sie enthalten die Kanten CrjGg und H^H^. Jede dieser Kanten ist zu ihrer Nach- barerzeugenden parallel, weil beide ein Erzeugendenpaar bilden. Die Kuspidalpunkte derselben liegen daher im Unendlichen.
Der Richtkegel ist vom zweiten Grade. Denn die unendlich föme Ebene enthält eine Doppelkurve der Fläche, weil die Erzeu- genden paarweise parallel sind; diese Kurve unserer Fläche vierter Ordnung ist daher von der zweiten Ordnung. Geometrisch erkennt man aber auch leicht die Gestalt des Richtkegels, dessen Spitze wir in 0 annehmen und dessen Spur wir auf beiden Kreisebenen be- stimmen wollen. Es leuchtet nämlich ein, daß die Länge OP^ einer Erzeugenden des Kegels zwischen 0 und einer Kreisebene halb so groß ist, als die Länge der zu ihr parallelen Erzeugenden der wind- schiefen Fläche zwischen beiden Kreisebenen, oder im Aufriß 0"P^' = \ Pi'P;'\ und da ft"0" = \ Qi'Pi\ ergibt sich durch Addition qi'P^' = \ QCPi'y d. h. die Spur des Richtkegels in der Ebene eines Leitkreises ist der Ort des Mittelpunktes P," einer durch 0" gezogenen Sehne dieses Leitkreises, also auch der Ort des Fuß- punktes der aus dem Mittelpunkte M^' auf die Sehne geföUten Senk- recht-en; daher ist er ein Kreis k^y dessen Durchmesser 0" M^' ist Die andere Spur ist der Kreis k^ = 0'' M^\ — Eine Erzeugende des Richtkegels ist mit den beiden Erzeugenden eines Paares parallel, so P:^OQ^ mit P^P^^ und Q^Q^, — Man bemerkt, daß in Fig. 181
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X, 439—441. Die Wölbflftche des schrägen Durchgangs. 479
der Teil G^Jd^Ei derEegelspur und der zugehörige Teil des Rieht- kegeis nützlich, der Teil H^O^G^ parasitisch ist. In Fig. 180 ist der ganze Kegel nützlich.
440. um die Berührungsfhene in einem Ptmkte P der Fläche zu bestimmen, beachte man, daß dieselbe schon für je vier Punkte der durch P gehenden Erzeugenden bekannt ist, nämlich für die Punkte Pj, P, der Leitkreise, den Punkt (0) der Leitgeraden o und den unendlich fernen Punkt P« (durch den Richtkegel). Das schon durch drei Berührungsebenen, etwa in P^, (0), P«, bestimmte Büschel ist aber mit der Reihe der Berührungspunkte projektiv, so daß die Berührungsebene in P dem Punkte P der Reihe entspricht Die Spuren jener drei Berührungsebenen in einer | F, durch einen ge- eigneten Punkt, etwa Pg, der Erzengenden gelegten Ebene schnei- den die durch 0" parallel zur Tangente P^T^ des k^ (T«> deren unendlich femer Punkt) gelegte Gerade 0"jP«, bezw. in den Punk- ten 2\ (P,"2\ U Tangente des Jc^ in PJ, 0" (da die Berührungs- ebene in (0) die Gerade o enthalt), T^. Die projektiven Reihen PiO"P^, T^O" T^ sind aber perspektiv, da in 0" entsprechende Punkte vereinigt sind, und ähnlich^ da die unendlich fernen Punkte P« und Too »ich entsprechen. Dem Punkte P der ersteren Reihe entspricht daher T der letzteren, wenn PT|| P,jPi gezogen wurde; daher ist die gesuchte Tangente F'T" H P^'T.
441. Der Umriß u der ersten Projektion besteht aus den zwei Kanten Ä^Ä^ und B^B^ und aus einer krummen Linie. Man könnte den Umrißpunkt einer jeden Erzeugenden als den Berüh- rungspunkt der ersten projicirenden Ebene derselben nach dem um- gekehrten Verfahren der vor. Nr. bestimmen. Es läßt sich aber auch leicht die Gestalt des scheinbaren Umrisses als eine Hyperbel erkennen, indem man sich überzeugt, daß die von diesem Umrisse eingehüllten Projektionen der Erzeugenden auf den Geraden Ä^B^ und Ä^B^ gewisse projektive Punktreihen erzeugen. Man suche die Polare OiH^ von 0^ zu dem Leitkreise A^, und die Polare G^H^ von O2 zu 1c^\ in Fig. 181 erhält man sie durch die Tangenten aus 0", (welche Kanten der Fläche darstellen (439) und deren Berüh- rungspunkte öj, Gg und H^,H^ sind, wobei G^' H^' die Axe M^'M^" in G trifft; in Fig. 180 dagegen gehen die Polaren durch die Schnitt- punkte der Kreistangenten in C" und D" mit der Mi'M^\ so durch G . Die Polaren haben zur ersten Projektion die Punkte G^ und (t/. Ein durch 0" gehender Strahl stellt aber die beiden Er- zeugenden eines Paares dar, so PiPfy QiQt* Es sind dabei die Punkte P/', Q^' des Kreises i/' durch den Punkt 0" und dessen Polare G^' H" harmonisch getrennt, daher bilden die ersten Pro-
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480 X, 441—442. Die windschiefen Flüchen.
^*|- }®J» jektionen jener vier Punkte, nämlich O^GiPi Q^ vier liarmonische Punkte; und das Gleiche gilt von 0/ O^ P,' Q^. Daher bilden F^ und Qij sowie F^ und Q^ je ein Punktepaar einer ungleich- laufenden Involution mit 0/, G^^ bezw. 0^', G2' ^'^ Doppelpunkten; demnach ist die Reihe der P^ mit derjenigen der Q/ projektiv; und da außerdem die Beihe der F^ mit derjenigen der Q^ kongruent ist, so sind auch die Reihen der F^ und der P/ projektiv, d. h. die Erzeugenden F^F^j . . . beschreiben auf -4,'B/ und A^B^ projek- tive Punktreihen, werden also von einem Kegelschnitte eingehüllt Durch die zugeordneten Punkte Pj', Q^ der bezeichneten Involution gehen zwei parallele Tangenten jenes Kegelschnittes; 0/ und G^ sind aber die Doppelpunkte der Involution; die durch diese Punkte gehenden Erzeugenden sind daher zwei zusanunenfallende parallele Tangenten des Kegelschnitts, was nur bei den Asymptoten der Hy- perbel möglich ist Daher ist der erste scheinbare Umriß u der Fläche eine Hyperbel und 0^ 0,', G^ G^ sind ihre Asympioten. — 0/ G/ und O^G^ sind Tangenten der Hyperbel und ihre Berührungspunkte liegen in den Mitten J^ und J^ der bezeichneten von den Asympto- ten eingeschlossenen Strecken. Ebenso liegen die Berührungepunkte A^y B^y P5' • . . der Kanten imd einer beliebigen Erzeugenden in der Mitte der auf ihnen von den Asymptoten eingeschlossenen Strecken. A^ und B^ bilden die Grenze von niiUlichen und parasiHschen Stücken der Umrißhyperbel. In Fig. 181 stellen G^G^ xmd HiH^ die beiden reellen Kanten der Fläche dar, welche Asymptoten aller ümriß- linien (386) und so auch jener Hyperbel sind, in Fig. 180 dag^en sind diese Kanten imaginär und daher diese Asymptoten der Hy- perbel parasitisch. Umgekehrt ist die Leitgerade 0|0„ welche die andere Asymptote des Umrisses bildet, in Fig. 180 mit ihrem un- endlichen Stücke E\F' nützlich und ebenso die Asymptote; in Fig. 181 dagegen ist dieses ßtück parasitisch. — Beide Figuren sind so bemessen, daß die Umrißhyperbeln kongruent sind, während die übereinstimmenden Asymptoten in Bezug auf das Parasitische ent- gegengesetzte Rollen spielen. Die Grenzen der parasitischen Stücke stimmen übrigens nicht überein.
443. Die »weite Frcjektion u" = A^'B^'F^' des ersten Um- risses läßt sich aus der ersten Projektion u' leicht bestimmen. Wir wollen nachweisen, daß sie ebenfalls ein Kegelschnitt ist, welcher sich sowohl mit Jc^' als mit 7c^" in perspektiver Lage befindet, und daß 0" den Mittelpunkt, und die mit 0"Z" Parallelen J^'Q^" bezw. J%F^* die Axen der KoUineation bilden, wenn diese Linien in der Mitte zwischen dem Punkte 0" und bezw. seinen Polaren Gl' Bl(' zu \ und G^' H^' zu h^ liegen. Es sind nämlich Y^
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X, 442. Die Wölbfläche des sclirägen Durchgangs. 481
iP^P^J^P^) vier harmonische Strahlen (Fig. 181 ist hierbei deut- licher), wobei F« der unendlich ferne Punkt der Asymptote 0^0^ der Hyperbel w", «T/, Pg' die Berührungspunkte Aet A^B^ und der Pi'P^ mit der «', und P^ der Schnittpunkt der beiden letzteren Ge- raden sind. Denn es ist P,' der Pol von J^ P^ zu w', daher ist der Schnittpunkt der J^P^ mit der T^O^ der Pol der Y^P^^ demnach werden J^ und P^ durch diesen Schnittpunkt und seine Polaren Y^P^ harmonisch getrennt, woraus die Behauptung folgt Diese vier Strahlen schneiden daher im Aufriß auf der Erzeugenden P^'P^' die vier harmonischen Punkte 0"P^'P^'P^' ein. Bewegt sich nun die Erzeugende P1P2, so bleiben 0 und J^ unverändert; daher bleibt 0" an der Stelle, P/' beschreibt die Gerade J^J^'P^'y P/' be- schreibt den Kreis i,", und P5" die Kurve u\ Da nun das Doppel- verhältnis {0" P^' P^' P^') = — 1 ist, so ist auch dasjenige {0" P^' P^' P^') unveränderlich. Daher ist u' eine mit h^' per- spektiv- kollineare Kurve, also ein Kegelschnitt, mit 0" als Mittel- punkt, J^J^'P^' als Axe der KoUineation, und mit der Charakteri- stik 8 = {0" P^' P^' P^') = 2. Man erhält diesen Wert, wenn man 0"P^' nach 0"Z" dreht, wodurch Pg" ins Unendliche imd sein harmonisch zugeordneter Punkt P5" in die Mitte von ©"Pg" rückt (mag Pg" ein Punkt der h^' sein oder nicht), so daß 0"P^' = 2.0"P^' wird. Dann ist nämlich
Dem Punkte G (statt Pj") im ebenen Systeme von Tc^' entspreche G^ (statt P5") in dem von w"; indem dann J^' an die Stelle von P/' tritt, muß auch die Reihe 0"GJ^'G^ harmonisch sein; und da J^' in der Mitte von 0"Gj so muß G^ im Unendlichen liegen. Daher entspricht der GG^' H^' die unendlich ferne Gerade; und da 0" der Pol der ersteren zu Ä^", so ist 0" auch der Pol der unendlich fer- nen Geraden zu u\ oder dessen Mittelpunkt Ä^'B^' als (reelle) Symmetrielinie ist eine reelle Axe des «", während die andere Axe in Fig. 180 reell, in Fig. 181 imaginär ist, da sie den h^' bezw. reell und imaginär schneidet. Daher ist u' in Fig. 180 eine Ellipse^ deren zweite Axe C/'Dß" = ^ G"D'\ in Fig. 181 eine Hyperbel, deren Asymptoten die aus 0" an k^" gezogenen Tangenten Gi"G^\ H^'H^' sind. In Fig. 180 muß der Punkt C^ als der unendlich ferne Berührungspunkt der Fläche mit einer zugleich auf F^ und F2 senkrechten Ebene angesehen werden, welche durch die Erzeugende geht, deren Aufriß C" ist; ebenso Dg in Bezug auf D". C^' und D^' sind daher die zweiten Projektionen zweier Asymptoten des ersten Umrisses, und diese fallen nicht mit den Erzeugenden (C/'y 7)")
Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. II. 31
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482 X, 442—443. Die windschiefen Flächen.
»^ i8i! zusammen, wie es bei Kanten mit unendlich fernem Knspidalpimkte der Fall sein würde. .
Die erste Umrißlinie ist von der vierten Ordnung, weil sie der Schnitt zweier projicirenden Cylinder von der zweiten Ordnung ist
443. SchnitUinien mit Ebenen , die pardM m den Ebenen der Leithreise liegen^ lassen sich aus der ersten Projektion leicht kon- struiren; eine solche ist ÄPB. Sie ergibt sich aber auch unab- hängig von der ersten Projektion vermittelst des Schnittpunktes (M\ M") der schneidenden Ebene A'B' mit der Geraden M^M^. Der Richtkegel nämlich , welcher die Ebene Ä^B^ in dem Kreise 0"Jlf/' trifft, schneidet die Ebene A'B' in dem Kreise 0"Jf''; auf einer beliebigen Erzeugenden ist daher das zwischen diesen beiden Kreisen enthaltene Stück P^'P^" auch zwischen beiden Ebenen A^Bl und A'B' eingeschlossen, und daher auch gleich dem zwi- schen denselben Ebenen liegenden Stücke P^'P' der parallelen Er- zeugenden unserer windschiefen Fläche. Es ist daher für die Schnittkurve
o^'p' - o"p;' = o"p;' - o"p;\
oder 0"r' = 0"P^' + 0" P/' — 0" P^\ (1)
0"P" = 0"P/'4-P3"P/';
ebenso O^Q" = 0"P;' - P^'Pl'.
Die Kurve ist daher eine verallgemeinerte Konchoide mit 0" als Pol und den drei Kreisen 0"M'\ Al'Bl\ 0"Jlf/' als örundkurven (174), von denen man die erste imd dritte auf einen durch 0" gehen- den Kreis, dessen Durchmesser = M"M" ist, zurückführen könnte. Die Subnormale der Konchoide ist gleich der algebraischen Summe der entsprechenden Subnormalen der Grundkurven. Zieht man nun die 0"N ±. 0"P^\ so ergeben sich auf ihr die Subnormalen der drei Gruudkurven, welche in der Reihenfolge wie in der Gleichung (1) und mit denselben Vorzeichen verbunden die Subnormale 0"'N liefern
0'"^= 0"N, + 0"N^ - 0"2V3
Hieraus ergibt sich die Normale P"N und die schon in Nr. 440 auf andere Weise konstruirte Tangente P^T".
Für die wechselnden Schnittebenen treten verschiedene Gestalten unserer Schnittkurven auf. Für den Fall der Fig. 180 besitzt sie in der Mitte 0 eine brillenartige oder eine zusammengedrückt ellip- senartige Gestalt Jcq, geht in 0^ und 0^ in die Leitkreise über; in den Kuspidalpunkten E, F erhält sie, wie Tc^, eine Spitze (in 0'^,
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X, 448—444. Die Wölbfläche des schrägen Durchgangs. 483
sodann als k eine Schleife mit dem Doppelpunkte 0", und wird im Unendlichen der doppelt zu zahlende Kreis des Richtkegels. — In der Fig. 181 wird sie för 0 eine Schleife k^ mit 0" als Doppel- und Mittelpunkt; f&r die Euspidalpunkte E^ D eine Kurve {h^ mit einer Spitze in 0'\ dann einer der Leitkreise, dann eine bohnen- förmige Kurve Tc oder ib,, die im Unendlichen in einen doppelt zu rechnenden Teil des Kreises des Richtkegels übergeht.
444. Wir wollen noch die Krümm%mgshdlbfne8ser unserer Schnitt- hurven k in mehreren ausgezeichneten Punkten bestimmen , zunächst in den Scheiteln, so in Ä" der Fig. 180 und in 5/' der Fig. 181. Führen wir dies aus durch Vergleichung des Krümmungskreises von kf" in B/' mit demjenigen von k^" (Kreis) in £/' (Fig. 181). Seien bezw. r\ r die Krümmungshalbmesser beider Kurven, x', z' und Xy e die Koordinaten der zu B^'\ B^' benachbarten auf derselben Erzeugenden liegenden Punkte^ mit B/' und B^* als Ursprung, so ist
Es wird aber im Grundriß x auf x' aus B^ (dem ersten Umriß- punkte der B^^B^), und im Aufriß e auf / aus 0'' projicirt; daher ist
Hieraus folgt
, il /^'-B/ \« ^:bI^ _ ^ (E'B,'\t B^B^ ^ ^2x\E'B\') B,' B,' — "^ \E' B,' ) B,' B/ '
Diese Formel wird konstruirt, da r = B^M^, indem man E'M^ bis m, auf V zieht, M^M^ \ B^B^ bis Jf^ auf V; E' M^ bis M^ auf V; -Mi^ö' bis Jfe auf V; dann is* r' = B,"B^ = B^M^. Entsprechend wird in Fig. 180 r = A" A^ = -4/Jüfß durch Benutzung von F' und ^5' gewonnen.
Den Krümmungshalbmesser G^'Gq der ifc^^' in dem Berührungs- j^inkte ö/' der Umrißereeugenden des Aufrisses (Fig. 181) ermitteln wir ebenfalls durch Vergleichung der kj" mit dem Kreise k^'\ Der dem gemeinschaftlich berührenden Strahle O'^G^'G^'* benachbarte Strahl schneidet gleiche Sehnen bei beiden Kurven ab; die Pfeil- höhen {x) der darüberliegenden Bogen verhalten sich aber wie 0"G^":0"G^\ die Krümmungshalbmesser daher umgekehrt yn^ diese Strecken (208), so daß gilt
Man trage daher auf 0"6?/' die &/'öj = 0'' G^" auf, so geht die M^"G^ durch G^.
81 ♦
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484 X) ^^* I^ie windschiefen Flächen.
Um noch den Krümmungshalbmesser r' der mittleren SchnitUmie Äg" (Fig. 180) in ihren zweiten Scheiteln 0", D" zu ermitteln, beach- ten wir, daß auf jedem Strahle aus 0" ein Punkt der A3" in der Mitte einer Erzeugenden zwischen Jc^ und k^, so P^" in der Mitte von Fj^'P^'f liegt Überträgt man die Figur mit ihren Buchstaben, Fig. 180, aber ohne deren oberen Beistriche, in Fig. 6), zieht den zu OC be- nachbarten Strahl OKj schneidet ihn mit \y ik^y 1c^ und deren in C gezogenen Tangenten (die von Jc^ ist _L 00), bezw. in JSTi, Z,, jBT, Ti, Tg, T, und setzt CK^ = CT^ = CK^ = CT^ = y (diese Größen = 0^ haben Unterschiede =0*), CK=CT = y, und die senk- rechten Abstände der Punkte S^ und K von den zugehörigen Tan- genten X^Ki =a;, TK^^x\ so ist
r BS3 -^— r = — — .
Es liegt jK" in der Mitte von K^K^\ und wenn man TTJ^XOG zieht und mit CT^^ GT^ bezw. in ZJ^, C/^ schneidet , so erhält man T in der Mitte von TJ^ TJ^. Da die Abstände der Punkte TJ^^K^j T^ von einander, sowie diejenigen von 0,, K^y T^ von einander = 0*, die ersteren und die entsprechenden letzteren aber nur um O' von einander verschieden sind, so ist der Abstand TK = x' gleich der Änderung des Abstandes der Geraden CT von einem Punkte, wel- cher von Z7i nach K^ übergeht, und dabei über jPj schreiten soll. Sei l\Fi ±TV^ gefällt, so ist
x' = TK U^V, + T,K^,
wobei die T^K^ (= 0*) imd ihre Projektion auf 0(7 um 0* verschieden sind. Setzt man nun die Winkel der OC mit den Tangenten von \ und Ä^ in 0, welche = GM^M^ = C-lfjJfi sind, = a, so ergibt sich üiFi= üjTj.cos a ===: G Ti{TUi: OC) co8a = y(ycosa:r sina) cos« = y*co8*a:r sin« und 2\JEi = X^jK^zsin « = a;:sina, daher
, t/* €08* a , a? c^ cos' a , a; cos 2 a
X = — ; — -. — = — 2x ~ — : — = — X —.
r sm ce ' sin a sin a ' sin ce sin a
Außerdem ist, da G17^ = GT^ = y,
y' s= CT = GU^ . sin a = y sin a,
daher
y* sin* a sin a sin* a
2x cos 2tt cos 2 a
Fällt man daher 0 1J_ 0 J^, 12J.C0, so ist 02 = rsin*a; überträgt man dann 02 nach 03 auf GT^, zieht 30' J.OT, bis G' auf OjP|, so ist r' == — GG\ Demnach ist der Krümmungshalb- messer für 2)"= D" Dq = — GC\ r ist negativ oder positiv, je
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X, 444—445. Die Wölbfl&che des schrägen Durchgangs. 485
■
nachdem a ^45^; im ersteren Falle, wie in der Figur, hat Äg" vier Wendepunkte.
446. Bemerkenswert sind noch die SchniUJcurven mit denjenigen *^- J®J» auf Pi senkrechten Ebenen, toelche eine und dann auch noch eine isweite Erzeugende der Fläche enthaiten, deren erste Projektionen daher die Hyperbel des ersten scheinbaren Umrisses der Fläche berühren. Da die gesamte Schnittlinie von der vierten Ordnung ist, und da diese jene zwei Oerade enthält, so ist der Best, die gesuchte Schnitt- kurve, von der zweiten Ordnung. Doch läßt sich auch geometrisch leicht erkennen, daß die zuzeiten Prcjektionen der Schnitthurven Kegelr schnitte sind, von welchen irgend ewei m einander perspektiv liegen mit 0" als Mittelpunkt und 0" Z" als Ace der KoUineation.
Nennen wir. in den verschiedenen Schnittkurven diejenigen Punkte entsprechend, welche auf derselben Erzeugenden liegen, so befinden sich im Aufriß alle entsprechenden Punkte auf je einem Strahle aus 0'\ Nun werden im Omndriß irgend zwei Tangenten der Umrißhyperbeln von allen anderen Tangenten derselben in pro- jektiven Punktreihen geschnitten. Daher werden auch, wenn man zwei dieser Tangenten als erste Projektionen von Erzeugenden, und alle anderen als erste Projektionen unserer Schnittkurven ansieht, in der zweitei\ Projektion irgend zwei Erzeugende, das sind zwei Strahlen aus 0'', von allen Schnittkurven in projektiven Punktreihen geschnitten, und diese Beihen liegen außerdem perspektiv, weil ent- sprechende Punkte in 0" zusammenfallen. Daher gehen alle Ver- bindungslinien je zweier entsprechenden Punkte der zwei Strahlen durch ein und denselben Punkt, und dieser liegt auf 0" Z"y weil diese Gerade die Grenzlinie der Aufrisse der Schnittkxurven ist und daher die Grenzlage der Verbindungslinie zweier entsprechenden und in 0" zusammenfallenden Punkte bildet Da also entsprechende Seh- nen der Aufrisse irgend zweier Schnittkurven sich in einem Punkte der 0"Z" treffen, so ist 0" Z" ihre Eollineationsaxe. Demnach sind die Aufrisse aller Schnittkurven unter einander kollinear; und da einer derselben ein Kreis ist (jeder der beiden Leitkreise), so sind sie alle, und daher auch die Kurven selbst, Kegelschnitte, w. z. b. w.
Von diesen Kegelschnitten sind in Fig. 180 a) im Grundriß diejenigen 1, 2 ... 7, S, 7' ... 2', 1' angegeben, während im Aufriß 3, 4, 3', 4' weggelassen wurden; in Fig. 181 a) sind in beiden Pro- jektionen 1, 2 ... 5, 6, 5' ... 2', 1' gezeichnei Von jedem der Kegelschnitte liegt die eine Axe in der Symmetrieebene der Fläche, und deren Scheitel in den Erzeugenden A^Ä^ und B^B^. Die andere
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486 X, 445—446. Die windschiefen Flächen.
Axe hat zum Grundriß einen Punkt der M^M^ und kann mittelst der durch diesen Punkt gelegten Erzeugenden (Tangente an den hyperbolischen Umriß) ^ wenn diese Erzeugende reell ist, bestimmt werden, wie dies Fig. 180 für 7' und Fig. 181 för 2' zeigt Die Erzeugende gibt nämlich den entsprechenden Punkt des Leitkreises an; in diesem zieht man an sie die Tangente^ so ist die durch deren Schnittpunkt mit 0" Z" senkrecht zu 0" Z" gelegte Grerade die ent- sprechende Scheiteltangente der Schnittkurve, welche auf der Er- zeugenden den Scheitel einschneidet. Alle Kegelschnitte treffen die EoUineationsaxe in denselben beiden reellen oder imaginären Punk- ten C'\ D", und alle werden durch die beiden reellen oder imagi- nären Leitkreistangenten 0" G(\ 0" Hy berührt Ist die Kurve eine Hyperbel, wie die 2 in Fig. 180, die 5' (= V^T?^ in Fig. 181, so zieht man ihre Asymptoten aus ihrem Mittelpunkte M^ parallel zu den beiden Flächenerzeugenden der Schnittebene, wobei zu beach- ten, daß die zu ihnen parallelen Erzeugenden (wie Q^Q^ die unendlich fernen Punkte der Schnittkurre liefern. Die Erzeugenden der Schnitt- ebene selbst schneiden die Schnitthyperbel in Punkten des Grundriß- umrisses u. Es sind nun die Asymptoten reell, und es ist die Schnitt- kurre eine Hffperbel, wenn die Schnittebene zwei reelle Erzeugende enthält, sie ist eine Ellypse oder Parabely wenn sie bezw. keine reel- len oder zwei zusammenfallende Erzeugende enthält Der letztere Fall tritt für Ä^'A^\ B^B^ ein, bei 6 undö' der Fig. 180 und bei 4 und 4' der Fig. 181.
Übtmgsaufg, Für die Wölbfläche des schrägen Durchgangs die Striktionslinie und die Umrißlinie m ihrer Projektion auf die Kreuariß- ebene 0u konstruiren, d. i. für die parallel zur Leitgeraden und senk- recht zur Symmetrieebene der Fläche gelegte Ebene.
vm. Die windsohiefe Sohraubenlläohe.
a) Die Schraubenfläche und die Regelschraubenfläche im allgemeinen.
446. Eine Schraubenfläche wird von einer Linie e erzeugt, welche eine Schraubenbewegung vollführt, oder auch von einer Linie e, welche mit einer Schraubenlinie eines Umdrehungscylinders fest verbunden ist, während sich diese in sich selbst bewegt. Wir haben gesehen (344), daß dabei alle Punkte der Erzeugenden e Schrauben- linien von derselben Axe, derselben Ganghohe h und demselben Sinne der Windung beschreiben. Die Schnittlinie der Schrauben- fläche mit einer durch die Axe gehenden Ebene heißt ihre Meridiam-
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X, 446—448. Die windschiefe Schraubenfläche. 487
kurvCf ihre SchnitÜinie mit einer zur Axe senkrechten Ebene ihre Normdlkurve, Jede dieser Linien, sowie jede andere Linie der Fläche, welche alle ihre Schraubenlinien trifft, kann als Erzeugende ange- sehen werden und durch Schraubenbewegung die Fläche erzeugen. Es ergibt sich daraus, daß alle Meridiankurven unter einander und alle Normalkurven unter einander kongruent sind, da sie als Er- zeugende in einander übergehen.
Eine Schraubenfläche heißt geschlossen, wenn ihre Axe von der Erzeugenden e getroffen wird, sonst offen. Bei der ersteren gehört die Axe zur Fläche, bei der letzteren nicht; im letzteren Falle er- zeugt der der Axe zunächst liegende Punkt der Erzeugenden die Schraubenlinie vom kleinsten Halbmesser, die s. g. Kdilschrcmbenlinie.
447. Kann eine Schraubenfläche durch eine Oerade als Er- zeugende e entstehen, so ist sie eine Begdfläche und heißt Begd- schraubenfläche] sie ist im allgemeinen umdsckief. Man nennt sie rechtwinklig oder schief witiklig , oder kürzer gerade oder schief , je nach- dem e senkrecht oder geneigt zur Axe a steht. Ist r der kürzeste Abstand der e von der a, also der Halbmesser der Eehlschrauben- linie, so ist die Neigung 6 (< 90®) derselben gegen die (zur Axe senkrechte) Normalebene durch
® 2wr r
(335) ausgedrückt. Bezeichnet man andererseits mit a (< 90®) die Neigung der Erzeugenden gegen die Normalebene, so ergibt sich die Fläche als abwickelbar, wenn /$ ^== s ist, indem dann die Erzeu- genden Tangenten der Eehlschraubenlinie sind.
Da die Benennungen „gerade" und „schief" nur auf Begel- schraubenflächen anwendbar sind, so heißt eine solche Fläche:
1) eine geschlossene gerade Schraubenfläche (oder axial-normale), auch Wendelfläche, wenn r «= 0, c = 0,
2) eine geschlossene schiefe Schrauben fläche, wenn r = 0, s>0,
3) eine offene gerade, wenn r > 0, c «= 0,
4) eine offene schiefe, wenn r > 0, « > 0; dabei ist sie äbwidcel- bar, wenn a = <y .
448. Suchen wir zu der (iUgemeinen Regelschrauben fläche, also zur offenen schiefen, die asymptotische Fläche und die Striktions- linie. Der RichÜcegd derselben ist ein Umdrehungskegel, dessen
Axe zu a parallel läuft. Stehe von der Schraubenfläche die Axe Fig. i88. a{M', a") A.'Bi, sei e^ {e^ , e'') eine zu Pj parallele Erzeugende, B ihre Neigung gegen die Normalebene F|, M'Bi^^r^ ihr Halb- messer, B^A^{B^Ä{, B"A^') die Kehlschraubenlinie, so mag vom
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488 X, 448-449. Die windschiefen Flächen.
Bichtkegel die Axe a, die Spitze {M\ B")^ die zu e^ parallele Er- zeugende (M'Eq, B"E") sein. Die Berührungsebene des Bicht- kegeis nach dieser Erzeugenden ist parallel zur Berührungsebene der Schraubenfiäche in dem unendlich fernen Punkte der parallelen Erzeugenden ßi, und da sie die e^ selbst enthält, ist sie die Cisymp- toHsche Ebene für e^. Zieht man in dieser Ebene Parallele zu e^^ wie e^^e,... welche yon a die Abstände r2,ry . . , besitzen, und läßt sie Schraubenbewegungen, übereinstimmend mit derjenigen von e^, ausführen, so beschreibt jede eine Schraubenfläche, darunter die e eine abwickelbare, wenn, wie hier, ihr Halbmesser
ist. Jene asymptotische Ebene ist von allen beschriebenen Schrau- benflächen die asymptotische Ebene für ihre Erzeugenden e^ . • . , und von der abwickelbaren die Berührungsebene für e. Da bei der . gemeinsamen Schraubenbewegung von e^y e^, e ..., alle diese Ge- rade in jeder Lage stets in derselben, die abwickelbare Fläche berührenden Ebene liegen, so ist die letztere die asympU^ische {(jibwickelba/re) Fläche aller beschriebenen windschiefen Schrauben- flächen (383).
Die C€ntrald)€ne der Fläche für e^ steht senkrecht auf der asymptotischen Ebene (384), ist daher die erste projicirende Ebene der e^. Dieselbe enthält die Tangente der Kehlschraubenlinie in B^y berührt daher die Fläche in diesem Punkte, so daß derselbe der Centrcilpimkt von e^ ist. Bie Striktionslinie einer Begetschrauben- fläche liegt daher in ihrer Kehlschraubenlinie, und wird bei der ge- schlossenen Fläche zur Axe.
449. Äufg. Von der offenen schiefen Schraubenfläche die Normal' kurve m Jconstruiren. Fig. 182. Aufl. Wir wollen unter den Annahmen der vor. Nr. gleichzeitig
drei Schraubenflächen betrachten-, für welche gilt
h = 2n;rtg€, r^KrKr^.
Von den rechtsgewundenen Kehlschraubenlinien seien B^A^^ BA, B^A^ die von B" abwärts gerichteten Viertelsgänge, durch deren untere Enden A^j Ay A^ die P^ gelegt sei. Als NormdOcurven werden die ersten Spuren der Flächen konstruirt Von der abwickelbaren Fläche (a, e) ist die erste Spur die Kreisevolvente A'E' (344), und man erhält einen Punkt P' derselben, wenn man an den Kreis (M', r) in Q' die Tangente Q'F' zieht und Q'P" = Bog. Q'A' macht; ebenso ist Tangente B' E' t= Bog. B' A\ In Bezug auf die anderen Flächen beachte man, daß bei der gemeinschaftlichen
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X, 449. Die windschiefe Scbraabenflftche.
489
Schraubenbewegang der fest Terbuodenen Erzeugenden e, ei, e^ die Berührungspunkte derselben mit den zugehörigen Kehlschrauben- linien, wie By B^j B^y auf einer die a senkrecht schneidenden Geraden, und sie selbst in ein und derselben Ebene bleiben. Sind im Grundriß Q\ Q^'y Q^ drei solche zusammengehörige Berührungs- punkte, die also mit JiT auf einer Geraden liegen, so sind die Er- zeugenden Senkrechte zu dieser Geraden in jenen Punkten, und ihre ersten Spuren liegen in einer zu der Greraden M'Q' parallelen Ge- raden, der ersten Spur der Ebene der Erzeugenden. Man erhält
Fig. 182,
daher auf ihnen die ersten Spuren P', P^, P^', wenn man Q'P* = Bog. Q'Ä' macht, die Gerade P'P^' \ Jf Q' zieht und mit jenen Tangenten bezw. in P/ und P^' schneidet, oder wenn man auf FP/ die yPt^Q'Qiy und die P'P^'^Q'Q^ auftragt Diese Konstruktion zeigt, daß die Normalkurven der Flächen durch Punkte P/, P^ beschrieben werden, welche fest mit der auf einem Kreise abrollenden Tangente verbunden sind, daß sie also die verschlungene oder geschupfte Ereisevolvente bilden, je nachdem r^ oder r, < oder > r ist (327—330). Daher gehen ihre Normalen in P', P/, P,' alle durch
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490 X, 449—460. Die windschiefen Flächen.
Q' (308), und man kann nach Nr. 309 und 310, 6), Fig. 135 die KfiitnmungsmittelpunJde bestimmen. Indem wir denselben für Ä^ bestimmen wollen, müssen wir ihn vorher für einen außerhalb A'A^' liegenden, sonst aber beliebigen Punkt ermitteln. In Fig. 135 ist dies der Punkt P; denselben rücken wir zweckmäßig auf der dort willkürlich durch A gezogenen Geraden J.P ins Unendliche. Da auch M' als ErQmmungsmittelpunkt der rollenden Geraden ins Un- endliche fallt, so gilt dies auch von Ny und K rückt in den Fuß- punkt K" der von M auf AP geföUten Senkrechten. Daher ziehe man in Fig. 182 durch A' die beliebige Gerade A'L, ferner M^L ± A'L, A'N^ ± A'L, A,'N, | A'L] dann schneidet LN, die A'A^ im Erümmungsmittelpunkte K^ für A^. Entsprechend findet man jKj zu A^' mittelst L und N^.
Da auch e/P/= Q^P^^ Q'P'= Bog. Q'A\ und da Q'A' =» Xi . Q^A^^=^ Xjj . Q%A^, wenn «^ «=« r : rj, Xjj = ** • **a unveränder- lich (und zwar in unserem Falle x^ > 1, x, < 1), so gilt auch
(2/p/= X, . q^a;, q,'p,'= X, . ö,x.
Daher entstehen diese Kurven auch, wenn man auf jeder Tangente eines Kreises die Bogenlänge zwischen dem Berührungspunkte und einem festen Punkte des Kreises^ muUiplicirt mit einer unveränderlichen Zahl X, aufträgt, tmd awar die gemeine , verschlungene oder geschweifte Kreisevolvente, je nachdem x = 1, > 1, < 1.
450. Aufg. Von der offenen schiefen Schraubenflädie die Meri- dianhurve jsu bestimmen. Fig. 18S. Aufl. Gelten alle Bezeichnungen der vor. Nr., so bestimmt
man einen Punkt des (mit Fg parallelen) Hauptmeridianes, indem man eine Erzeugende Q^P^ mit der Hauptmeridianebene in B^ schneidet und beachtet, daß der Abstand des B^ von der F^ »Pj'lZ^'.tg« ist. Dieser Abstand ist hier eine Tiefe unter F|, weil B^ mit Q2 auf entgegengesetzter Seite von der ersten Spur P^ li6g^7 Q% ^^^f 6u^6 Höhe über F^ besitzt. Daher trage man auf x" im Sinne des Fallens der e" die E"S = Pg'Ug' auf, ziehe ST ± x" bis T auf e\ TB^' || x\ B^'B^'± x'\ so schneiden sich die beiden letzteren Linien in einem Punkte B^' des Meridianes. Auf derselben Geraden B^B^' erhält man Punkte der anderen Kurven, wenn man aus B^ auch Tangenten an die Kreise (r), {r^ zieht und ihre Schnittpunkte mit den zugehörigen Normalkurven an der Stelle von P,' benutzt. Die mit F, parallelen Erzeugenden {e , e^, ei\ e*^ liefern für die Meridiane der drei Flächen als gemeinschaftlichen uilendlich fernen Punkt denjenigen von e"\ und da die Berührungs- ebene der abwickelbaren Fläche (a, i) entlang e Asymptotenebene
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X, 450. Die wiocUcbiefe Schraubenfläche. 491
der beiden anderen Flächen (a, e^) und (a, e^) ist (449) ^ dieselben also im Unendlichen berührt^ so ist die zweite Spur dieser Ebene, d. i. e'\ die Asymptote der drei Meridiankurven.
Die Meridianlinien haben unendlich viele unter einander kon- gruente Äste. Jeder derselben hat eine Spitze {Ä"), einen Doppel- punkt (Z)'); oder keines von beiden, vielmehr einen offenen (hyperbel- artigen) Verlauf, je nachdem das Gleiche bei dem Normalscbnitte auf dem beiderseits sich erstreckenden Viertelsgange stattfindet, also je nachdem r^^r oder x = r : r^ > 1 ist; die Fläche ist dann ab- toickelbar^ verschlungen oder geschweift, wie wir sie in den letzteren Fällen nennen wollen. Bei der geschweiften Schraubenfläche schmie- gen sich an die hyperbelartige Meridianhurve deren Asymptoten von innen^ wie in der Figur, oder von außen, une bei der Hyperbel, an, je nachdem r^ ^ 2 r, oder x^^ ist Denn der Punkt T der Asymp- tote liegt im Inneren oder Äußeren des Meridiauastes, je nachdem TjRj"^0 ist, wenn der Sinn M"E" als positiv angenommen wird. Es ist aber IB^'~ SE"+ E^B^^ It^P% — B^E^. Um über das Anschmiegen im Unendlichen zu entscheiden, ziehen wir im Grund- riß die zu B^E^ benachbarte Erzeugende Q^B^, welche die E^E' und die Hauptmeridianebene bezw. in C und B^ trifft, und auf welche aus E^ eine Senkrechte mit dem Fußpunkte F gefallt werde, wobei CF'^'B^Q^. Es treten dann jene Fälle* ein, je nachdem das zu denkende TB^'^ B^B^ — B^E^^O ist. Der aus B^ durch Eq gezogene Kreis geht aber durch die Mitte von FO (I, 236, 7)); es ist daher B^E^ = B^F + ^ J^'C — B^F — \ B^Q^. Femer ist JBjP, — B^F + FP,; und da wegen B^Qj^ — CF auch B^ E^ "s Q^F, und andererseits nach der Konstruktion der Kurve B^'E^ - Qt^z = X . B^Q^, daher auch Q^F^ Q,P, = P,F - x.B^'Q,, so ist auch JJjP, =» li^l^— x, JB,'^,, Daraus ergibt sich aber TR;'~B,P,^B,E,'^^x.B,'Q, + iB,'Q„ won^h TB^^O, je nachdem — x + 1 ^ 0 oder x ^ ^ ist, w. z. b. w.
Die Tangenten der Meridiankurve in ihrem Doppelpunkte D" erhält man aus denen der Normalkurve in D', Die letzteren erhält man, wenn man aus D' eine Erzeugende als Tangente D'Vi an den Kreis (rj zieht und den Halbmesser des Berührungspunktes üi über diesen hinaus bis zu V auf dem Kreise (r) verlängert, dann ist D'J'A. D' Z7' eine der Tangenten in D'. Die Berührungsebene der Schraubenfläche in D ist nun durch ihre erste Spur D'J' und die Erzeugende DU^ bestimmt und ihr Schnitt D"V" mit der Hauptmeridianebene ist die gesuchte Tangente« Man findet sie,
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492 X, 460—452. Die windschiefen Fl&chen.
wenn man in der Berührungsebene die Parallele "M-'J* zur Erzeu- genden fTi'D' bis zu T in der ersten Spur zieht, die M!jr^=^ Jtf"Jo auf x" aufträgt, und J^V^le" bis V" auf a" zieht; dann ist D"T" bestimmt
461. Die Krümmungshalbmesser r^ und r», der Normdlr und der Meridiankurve in ihren Scheiteln lassen sich leicht bestimmen. FQr die ersteren ergibt sich dabei eine zweite Konstruktion (449).
Nimmt man A^ als Ursprung und A^B^ als -|~ ^Axe^ zieht in dem um den unendlich kleinen Bogen r^ tp von A^ entfernten Punkte des Kreises A^Q^ die Tangente, und trägt auf ihr die Länge xr^9)s=r9> auf, so hat der Endpunkt offenbar die Koordinaten (wobei cos 9* «=» 1 — J^ 9*) x '^ — r^ •{- r^ c^o^ q> -{- x r^ q> wi q> «=» fi 9* (x — i^); y = ^1 sin 9 — X r^ 9 cos 9 = r^ 9 (1 — x) ; daher
^» ^ « ^1 2* — 1 2r — fj
Die Kreistangente in jenem dem A^ benachbarten Punkte ist die Projektion einer Erzeugenden der Schraubenfläche und der Punkt der Normalkurve ihre erste Spur; hieraus ergeben sich die Koor- dinaten ihres Schnittpunktes mit der Hauptmeridianebene und dann fm:
««(r^tg?) — xri9)tgc = r,9)(l — x) tg«,
Der positive Krümmungshalbmesser hat den Sinn von -|- Xj ist also von M weg gerichtet. Es ist daher r^ ^ 0, je nachdem 2 r >ri ; der Übergang geschieht durch r,, «b 00. Dagegen ist stets r0i>O. — Zur Konstruktion für den Scheitel A^ ziehe man, wenn (?, G^ die diametralen Gegenpunkte von A', -ä/, die G^G^JL]l£G^y mache G^G^ = 2r — ri = GA'-- MA^\ ziehe GG^ X. GG^ bis Ö3 auf G^G^y so ist r„ = G^G^. Andererseits ziehe man GH^l B"E" bis fli auf G^ G^ und H^H^ ± M'H^ bis H^ auf M'G^, so ist r„ s=3 G^i £^2* — ^^^ ^' ^^^ ^^^ entsprechenden Linien gezeichnet
b) Die geschlossene schiefe Schraubenfläche.
462. Die Axe teilt die Fläche in zwei Äste, in den oberen und unteren, wenn die Axe aufrecht steht
Aufg. Den unteren Ast eines Ganges der geschlossenen schiefen Schraubenfläche dareusteüen. Fig. 18S. Aufl. Sei a {M', a") die auf P^ senkrechte Axe, e eine mit P,
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X, 462. Die windschiefe Sohranbenfläche. «
493
parallele Erzeugende von der Neigung s gegen P^, sei (M\ B^') ihr Schnittpunkt mit der Axe^ B ein anderer Punkt derselben^ durch welchen die P^ gelegt werde, BCD ein Gang der auf der Fläche durch B gelegten (rechtsgängigen) Schraubenlinie; deren
Neigung =3 a. Dieselbe
• i. T> • i >! Fig. 183.
ist von B aus in 14 ^
gleiche Teile geteilt, und durch die Teilungs- punkte sind Erzeugende gezogen; sie schnei- den auf der Schrauben- axe Stücke von ^ der Ganghöhe Ä(=B/'2)/' = B"D")ab. Der Ein- fachheit halber wurde Bi' in der Höhe eines Teilungspunktes Q der Schraubenlinie ange- nommen.
Die Meridiankurve besteht aus zwei Schaa- ren paralleler Erzeu- genden; in der Haupt- meridianebene ist die eine Schaar parallel zu B"Bi"y die andere zu C"C/'. Die Schnitt punkte der Geraden ver- schiedener Schaaren, wie i^', beschreiben die Doppdschraubenlinien der Fläche.
Die Nonnalhurve soll in der J.a durch Bi gelegten Ebene S be- stimmt werden. Schnei- det E die Erzeugende (M'Q\ Q^'Q") in Qy und ist ^ B'M'Q'= 9, M'Q'mmr, so wächst proportional mit dem Drehungswinkel tp der Erzeugenden der Abstand ihres Schnittpunktes mit der Axe a von S, daher auch der Leitstrahl r, so daß die Narmalkurve der gesdUosse- nen schiefen Schratibenfläche eine Archimedische Spirale ist (331). Ihre Gleichung ergibt sich, indem man beachtet, daß
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494 X, 4ft3— 46S. Die windiohiefen Fl&chen.
B;'Q"=^ h -^^ und r = M'Ö'= B/'Ö,"- cot«;
dann ist r = Ä ^ cot £ = Ä^ 9) cot £ = r^ 9.
Es ist dies die Gleichung einer Archimedischen Spirale, deren Parameter r^ «= Hq cot €, worin ä^, die reducirte Ganghohe oder den Parameter der Schraubenbewegung bedeutet.
Dies Ergebnis fOr die geschlossene Fläche stimmt mit den Er- gebnissen der Nr. 449 überein, nach welchen die Normalkurre der offenen Regelschraubenfläche eine verschlungene Kreisevolvente ist, da man die Archimedische Spirale als besonderen Fall derselben ansehen kann (330), in welchem r^ (r^ der Nr. 449) «= 0, und X = 00 geworden ist. Die Gestalt, welche die Fig. 182 für r^ «« 0 annimmt, ergibt den
Sat0: Die Fußpunkte (P/) der aus dem Matelpunkte {M') des Grundkreises einer Kreisevolvente auf deren Tangenten gefäükn Senk- rechten bilden eine Archimedische Spirale, deren Seheitel in dem Krets- mitteJpunkte liegt.
Übungsaufgabe. Den Schnitt einer beliebigen Ebene mit der Schraubenfläche zu bestimmen. Man erhält Kurven, welche auf jedem Gange der Fläche zwei Asymptoten, oder eine unendlich ferne Tangente oder keinen unendlich fernen Punkt besitzen, je nachdem die Neigung der Schnittebene gegen die Normalebene >, «> oder <€ ist.
463. Die Beruhrungsebene in einem gegebenen Punkte Q oder P der Fläche enthält die Erzeugende des Punktes, und die Tangente der durch den Punkt gehenden Schraubenlinie der Flache. Ihr Schnitt mit der durch Q gelegten Normalebene E ergibt sich auch als Tangente Q'T' der Normalkurve der Fläche in Q\ einer Archime- dischen Spirale. Diese Tangente zieht man senkrecht zur Normale Q'Nf und letztere erhält man (332), wenn man zum Leitstndile HfQ' die Senkrechte M'N im Sinne der Öffnung der Spirale zieht (also bei unserem unteren Aste einer rechtsgängigen Schraubenfläche nach links, wenn man von M gegen Q schaut), und auf ihr den Para- meter r^ «s M'N aufträgt, um r^ zu bestimmen, zeichnet man im Aufriß eine zu Fg parallele Tangente der Schraubenlinie, etwa die nächste bei B, indem man auf a" nach oben die M"H -» i A^ und auf X nach links die M^'Hq "» \ Umfang des durch B' gehenden Grundkreises aufträgt; dann ist '^M^HqH'^ö bestinmit. Die Parallele B"Ä" zu H^H schneidet dann auf a" die M"Ä"^rtg6 — Äo> ^»<i <Jiö Parallele A"E" zu e" auf x die M''E"'^\ cotc
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X, 468—464. Die windschiefe Sohraubenfl&che. 495
Da alle Nonnalschnitte kongruente Archimedische Spiralen mit demselben Parameter r^ sind, so bleibt der Punkt N ungeändert f&r alle Punkte der Erzeugenden M'Q\ so daß für irgend einen solchen Punkt P' die P'N die Normale der durch P gelegten Nor- malkurye ist, und daß die X P'N durch Q' gehende Q'S' den Schnitt der S mit der Berührungsebene der Fläche in P bildet. Dabei wird anschaulich, wie mit der Reihe der Berührungspunkte P auf der Erzeugenden MQ das Strahlenbüschel N und daher auch dasjenige Q' der Spuren Q'S' der Berührungsebenen, und daher das dieser Ebenen selbst projektiv ist. -— Es wird sich als vorteilhaft er- weisen, den ParcMteterhreis (331) aus M' durch N zu zeichnen.
464. Den Umriß u der senkrechten Projektion der geschlossenen schiefen Schraubenfläche auf eine mr Axe a paraUde Ebene findet man durch Umkehrung der Aufgabe der vor. Nr. Ist F, jene Ebene, so wird der Umriß der zweiten Projektion gesucht, und es ist jede zu legende Berührungsebene J_ F^, oder der Umriß ist der Ort des Punktes K der Fläche, in welchen die Tangente der durch den Punkt gehenden Archimedischen Spirale J. F,, also ihre Normale II X läuft Sucht man auf einer Erzeugenden {M'J'y Ji'J") den Punkt Ky so ziehe man aus M'X MJf im Sinne der Öffnung der Spirale die M'Q ^^r^ und dann die GK' \x\ durch sie wird K' be- stimmt. Eine zweite Konstruktion ist ebenso kurz. Ist die M'L J. X und «» r^y LB \ x oder eine Tangente des Parameterkreises, und schneidet sie die Erzeugende WJ' in 12, so sind die recht- winkligen Dreiecke GM'K' und MLR offenbar kongruent, so daß M'K'^^ LB. Daher erhält man den Punkt K' auch, wenn man die M'J' mit der Z 12 in 12 schneidet und M'K^=^LB macht Setzt man M'K'= r^, ^ B'MK'= ^, so folgt hieraus die Polar- gleidmng der ersten Projektion u des »weiten Umrisses
Zieht man die Erzeugende A.X, so wird M K'^==^ LB «=» 0, so daß diese Erzeugende die Kurve berührt; zieht man sie H x, so fällt K" ins Unendliche, und es sind die beiden zu x parallelen Tan- genten des Parameterkreises die Asymptoten der Kurve, da von ihnen der Kurvenpunkt f denselben Abstand, wie der Kreispunkt G besitzt, der letztere aber beim Fortschreiten von K' beliebig klein wird.
Um die Tangente der Kurve in K' nach dem Verfahren der ähnlichen Figur (I, 204) zu bestimmen, denke man sich auf BL gegen L und auf K'llif gegen IT zwei gleiche unendlich kleine Strecken BB\ K'K*' aufgetragen, und die Gerade 12'Jlf' mit dem
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496 X, 454. Die windschiefen Flächen.
aus M' durch K" gezogenen Kreise in K^ geschnitten; dann ist K'Kq ein Element der Kurve. Die KM' schneidet aber auf X'Gf ein unendlich kleines Stück K'L^ ab. Um nun die Figur K'K"KqLq mit dem Ahnlichkeitspunkte K' zu vergrößern; ersetze man die unter einander gleichen Strecken RB\ K'K' durch die unter ein- ander gleichen "RLyK' M!\ dann entspricht dem Kreiselemente K'K^ die zu WK Senkrechte JTZi, L^ rückt in den Schnittpunkt 2^ von LM! mit K'Gy und der L^K^ entspricht die mit KM! Paral- lele L^K^* Daher ist K K^ die Tangente.
Der Krüfnmungshalbmesser der ersten Projektion u des 0weUen Umrisses in ihretn Scheitel M'ist=^^ r^. Denn wenn der ^ LM'B unendlich klein wird, ist er zugleich Umfangswinkel des Krümmungs- kreises und Mittelpunkts winkel des Kreises (M', Tq), während die Bogen M'K und LB, der beiden Kreise unter einander gleich sind. Daher gehört zu den gleichen Bögen ein doppelt so großer Mittel- punktswinkel des Krümmungs- als des Parameterkreises, folglich ist sein Halbmesser halb so groß, als der des letzteren.
Die Figur a) mit übereinstimmenden Buchstaben (ohne Striche) zeigtnoch, daßAJfFTF^ AG^-lfD', daher FTr=-afD' ist; und da- durch ergibt sich eine neue, später zu benutzende Konstruktion.
Die Punkte der zweiten Projektion oder des scheinbaren zweiten Umrisses u' erhält man durch Hinaufprojiciren der Punkte K auf die zweiten Projektionen der zugehörigen Erzeugenden nach K'*. Sie besteht aus unendlich vielen hyperbelartigen Ästen, welche a' berühren und die zu F^ parallelen Erzeugenden zu Asymptoten haben. Der Teil der Kurve ist strichpunktirt, welcher auf der Fort- setzung des dargestellten Flächenteiles liegt
Um den Krümmungshalbmesser r^^ = X"Xq des etoeüen scheifi' baren Umrisses u' in einem Scheitel X" zu bestimmen, denke man sich auf LR von L aus ein Linienelement y' aufgetragen; der nach dessen zweitem Endpunkte aus JT gezogene Strahl schneidet dann auf u von M' aus das gleiche Element ab. Die zweite Projektion des Endpunktes dieses Elementes auf u" hat einen Abstand von X" = y", und daher besteht das Verhältnis der Krümmungshalb- messer ^^0 von u und r^ von u' in ihren Scheiteln (208)
y" besteht aber aus der Bahn des Schnittpunktes der über y' hin- gleitenden Erzeugenden auf der Schraubenaxe, und diese ist a. y'iK'^o)* ^^^ *^s ^®^ Projektion des y' der Grundrißerzeugenden auf die Aufrißerzeugende, und diese ist ebenfalls = y' (h^ : r^), so daß ?/" = 2y' (Äo'**©)' Daraus folgt aber mit Hilfe obiger Gleichung
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X, 454—456. Die windschiefe Scbraubenfläche. 497
Diese Formel wird mittelst des Punktes X^ der x konstruirt, für welchen Ä"X,±.E''Ä'' oder B"X, ± B^'Ä'', es- ist dann r,= T'X^ = 2M"X,'*),
Übungsaufg. Man suche eine Tangentenkonstruktion für u nach dem Verfahren der ähnlichen Figur aus der Eigenschaft VW= MU (Fig. 183 a)). Die Einfachheit der Beziehung verspricht eine sehr einfache Auflösung, die ich unberührt lassen will, um die Erfindungs- freu^e des Lesers nicht zu stören.
c) Die Schattengrenzen der geschlossenen schiefen Schraubenfläche. 466. Die bei Parallelbeleuchtung entstehende Eigen- und Schlagschattengren^e einer beliebigen Schrauhenfläche werden mit Hilfe einiger wichtigen Sätee von Burmester"**) aus der Normalkurve leicht konstruirt. Es sei Pj senkrecht auf der Schraubenaxe a (M, a"), ^ig. i84. F2 parallel mit dem Lichtstrahle l, X dessen Neigung gegen F,, Ä die Höhe, Ä^ = Ä : 2ä die reducirte Höhe des Schraubenganges. Die Schraubenfläche sei rechtsgewunden, ihre Normalkurve in P^ sei n. Läßt man die n durch Schraubenbewegung die Fläche er- zeugen, so gibt es in der Ebene der n einen aus M als Mittelpunkt beschriebenen Kreis l^, dessen Punkte Schraubenlinien beschreiben, an welche ein Lichtstrahl { eine Tangente sein kann; sein Halb- messer ist Iq ^= Äq cot X (341). Der Schatten dieser Schraubenlinie auf jede zu a senkrechte Ebene ist eine gemeine Cykloide, deren Bahnlinie die Projektion jenes berührenden Lichtstrahles, also eine der beiden mit V parallelen Tangenten des Kreises Zj, bei unserer rechtsgewundenen Fläche die DE, ist. Während l^ und n fest mit ein- ander verbunden die Schraubenbewegung ausführen, rollt der Schat- ten des l^ auf P^, der ein mit l^ gleicher Kreis ist, auf der Geraden DE hin, und bewegt sich der fest mit diesem Schattenkreise ver- bundene Schatten von n mit; die Einhüllende s^ desselben, oder seine Hüllbahnkurve ist die Schlagschattengrenze der Schraubenfläche auf Pj .
♦) Herr Tesar hat auf kinematischem Wege die Evolute der Kurve u" be- stimmt und dabei auch den Erümmungshalhmesser für den Scheitel vermittelst der Lüiie -B/'X, der obigen Figur konstruirt. Es geschah dies in seiner Ab- handlung: „Die Eontourevolute axialer Schraubenflächen** (Sitzungsber. d. Akad. d. Wiss. in Wien, B. 94, Abt. 2, 1886).
*•) Bwrmester, .kinematisch -geometrische Constructionen der Parallelpro- jection der Schraubenflächen und insbesondere des Schattens derselben. Schlö- milchs Zeitschr. f. Math. u. Phjs., Jahrg. 18, 1878, S. 185.
Wiener, Lehrbaoh der darstellenden Oeometrie. II. 32
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X, 456—466. Die windschiefen Fl&chen.
Ist nun n eine beliebige Lage des Normalsclinittes und ist durch sie die P^ gelegt, so ist l^ sein eigener Schatten und D der Be- rührungspunkt dieses rollenden Kreises mit seiner Bahnlinie DE.
Man erhält dann den ^''^' ^^^' Berührungspunkt P der
Hüllbahnkurve von n, oder der Schlagschatten- grenze, als Fußpunkt P der aus 2) zu n gezoge- nen Normale DP (311). Weil n der Fläche ange- hört, ist P auch ein Punkt der Eigenschatten- grenze. Andererseits ist im Grundriß der Punkt D unveränderlich, welche Lage n auch einnehmen mag; dieser Punkt von besonderer Wichtigkeit heißt der AtAsgangspunkt; er ist durch MDA^V und = Iq cot X und noch dadurch bestimmt^ daß er auf derjenigen Seite von M liegt, auf welcher eine Tangente der von D beschriebenen Schraubenlinie mit l parallel läuft Wir können daher den ScUe von Burmester aussprechen: Die Projektion s' der EigenschcUtengrenae s eitler Schraubenfläche auf eine Normalä)ene Pj ist der Ort derjenigen Punkte der sich um die Schraubenaxe drehenden Projektion der Normal- kurve n der Fläche, in welchen deren Normalen durch den Ausgangs- punkt D gehen.
466. Da es meist leichter ist, in einem Punkte einer Kurve n, als aus einem außerhalb derselben liegenden Punkte, eine Normale zu ihr zu ziehen, so findet man Punkte P der s\ wenn man in irgend einem Punkte Q einer Lage nj der n eine Normale QB zu n^ zieht, sie mit dem Kreise i^ in JB und jB^ schneidet und dann um M dreht, bis B oder B^ nach D gelangt. Q kommt dann nach P oder P,, und diese zwei Punkte gehören der s' an und liegen auf dem aus M durch Q geführten Kreise k. Die neuen Lagen DP, D P^ erhält man entweder durch Übertragen der Sehne BB^ auf l^ von D aus nach beiden Seiten, oder als die beiden aus D gezogenen Tangenten des Kreises \j der aus M berührend ml QB gelegt wird.
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Xy 456—467. Die windschiefe Schraubeufläche. 499
Man findet die Punkte der 5' auf einem beliebig aus M ge- zogenen Kreise Je aus dessen Schnittpunkten Q, ü mit nj. Ist n^ symmetrisch in Bezug auf eine durch M gehende Gerade MGf so liegen Q und U symmetrisch in Bezug auf MG] die Normalen der n2 in Q und U berühren dann denselben Ereis h^, und die aus D an hl gezogenen Tangenten liefern auf h zwei in Bezug auf MD symmetrische Punktepaare der s\ nämlich P, S und Pj, S^. Da außerdem aus der Symmetrie der n^ in Bezug auf MO auch die Symmetrie der mit Jlf 6r in derselben Ebene liegenden Meridianlinie der Fläche in Bezug auf JfG^ folgt, weil bei der Schraubenbewegung aus Q und U offenbar zwei derart symmetrische Punkte der Meridian- linie entstehen, und da andererseits das Umgekehrte gilt, so folgt: Ist die Normälkurve ehier Schraubenfläche symmetrisch in Bezug auf eine Meridianebene y so ist es auch die Meridia/nlcurve in Bezug auf ei^ie NormalebenCy und umgekehrt. In diesem Falle ist die Projektion s' der Eigenschattengrenee s auf eine Normalebene symmetrisch in Bezug auf die zur Lichtstrahljprqjektion V senkrechte Durchmesserlinie MD.
Da ferner der Punkt F der Berühijing der PS^ mit k^ auf dem über üfD als Durchmesser beschriebenen Kreise liegt, so folgt: In dem bezeichneten Fälle der Symmetrie werden die durch den Aus- gangspunkt D gehenden Sehnen der s' von dem Kreise haJhirt, dessen Durchmesser MD ist.
467« Den ErümmungsmittelpunJct K der Schlagschattengrenze s^ in ihrem Punkte P erhält man, indem man beachtet, daß s^ die Hüllbahnkurve der beweglichen Kurve n ist, wenn diese mit dem auf BF hinrollenden Kreise l^ fest verbunden bleibt Er fällt daher mit dem Krümmungsmittelpunkte K derjenigen Kurve zusammen, welche bei dieser Bewegung von dem Krümmungsmittelpunkte M^ der n in P beschrieben wird (311). Diesen Punkt K findet man (309) auf der Normale PD, wenn man M^M mit der zu PD Senkrechten DN in N schneidet, und NKA. DE oder _L V zieht Zugleich ergibt sich dann PN als Normale des Grundrisses s' der Eigenschattengrenze s. Denn sind T, T', I\ die dem P benachbarten Punkte bezw. der s, /, «j, derart daß TT _L P, und I\ der Schatten des T, also TT^^V ist, und schneidet die Normale T^K der s^ die DE in JB, 80 ist B der zu dem Punkte T^ der RolUinie s^ gehörige Punkt der Berührung des rollenden Kreises l^ mit der Bahnlinie DE] zugleich ist T'T^ = DP, weil beide Linien die Schatten der Steigungshöhe der n von P zu T bilden. Schneidet femer T^ T diePK in C, so folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ZDiV^ und T^ PC (deren Seiten paarweise aufeinander senkrecht stehen) und der Dreiecke KCT^ und KDB, unter Beachtung, daß für PT, =0, ZC=» KP wird,
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500
X, 467—468. Die windschiefen Flächen.
. KO T^C
oder
KD T^F KN~ T^C
und durch Multiplikation dieser Gleichungen
KP KD
KP^ KN
Demnach ist AEFN^^AT^PT, und da zweimal zwei entspre- chende Seiten dieser ähnlichen, nicht rechtwinkligen Dreiecke auf einander senkrecht stehen, so gilt dies auch von den letzten PN und Pr, w. z. b. w.
468. Äufg. Die Eigenschattengrenjse s der geschlossenen schiefen Schrmbenfläche hei Parallelbeleuchtung m bestimmen'*).
Fig. 185.
Fig. 186.
Flg. 186.
Aufl. Seien Be- grenzung, Stellung und Bezeichnung die- selben wie in Nr. 452, insbesondere wieder M!'A" = \ die re- ducirte Ganghohe, Jtf"^- = r^ der Pa- rameter der Archi- dischen Spirale des Normalschnittes, sei '^ l der Lichtstrahl, A" L" parallel zu dem um a parallel zu Fg gedrehten Licbt- strahle, so ist Hf'L" = ÄflCotA«=»Z^. Wir können nun nach den vorhergehenden Nummern die Eigen- schattengrenze im Grundriß allein kon- struiren, der in Fig. 186 in vergrößertem Maßstabe, unter Weglassung der Stri- che bei den Buchsta- ben, verzeichnet ist,
*) Eine eingehende vorwiegend analytische Bearbeitong dieses Gegenstandes hat Herr de la Goumerie geliefert in seinem Memoire sur les lignes d'ombre et de perspective des häli9oides gauches (Joam. de T^cole poljt., t. 20, cah.84, 1861).
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X, 458. Die windschiefe Schraubenfläche. 501
und worin insbesondere der Parameterkreis p mit dem Halbmesser ^Q und der Kreis l^ mit demjenigen Iq eingetragen sind. Auf letz- terem liegt (455) der Ausgangspunkt D, wobei MD J_ l auf der Seite gezogen wurde, auf welcher der Lichtstrahl die durch l^ dar- gestellte Schraubenlinie berührt
Man findet nun nach Nr. 456 auf einem aus M gezogenen Kreise Je die Punkte der Eigenschattengrenze beider Flächenäste, wenn man auf h einen Punkt Q annimmt, welchen wir auf dem einseitig aus M gezogenen Strahle MD wählen wollen, durch diesen ^'
die Normalkurye, also hier die beiden Aste einer Archimedischen Spirale vom Parameter r^ gelegt denkt, deren Normalen QO und QG^ zieht, wobei MGG^±MQ und MG — MG^ = r^ (453), und ferner QG und QG^ mit l^ in vier Punkten, wie JR, B^, schneidet; dann geben die yier Strahlen, wie MRf MBij auf h yier Kurven- punkte S, Si, P, Pi an. Denn dreht man z. B. QB^ um My bis B^ nach D gelangt, so gelangt Q nach Pi, weil A B^MQ ^ A DMP^. Dabei liegen P und S^, sowie Pi und 8 mit D auf einer Geraden, weil DP, DP^, DS, DA, gleiche und paarweise gleich gerichtete Winkel mit MD bilden, nämlich die Winkel MBB^ = MB^B ... Da für die Spirale auf dem unteren Aste der rechtsgängigen Fläche QG die Normale ist, und bei deren Drehung B oder B^ nach D gelangen muß, so ge- langt dann Q nach P oder P,, und diese beiden Punkte gehören daher dem unteren Aste an; 5, /S, dagegen gehören dem oberen an.
Schneidet die Gerade DPS^ den Kreis p in ^ und JT,, so ge- langt bei der bezeichneten Drehung das rechtwinkige Dreieck GMQ nach NMP, daher ist^JVJfP und ebenso ^ JV, Jlf Ä, = 90«. Hierdurch ist eine Konstruktion gegeben für die Kurvenpunkte auf einem durch D gezogenen Strahle DPSy mittelst seiner Schnittpunkte N, Ni mit p und der Linien MP±MN und MS^ ± MN^, und auf einem dwrch M gezogenen Strahle MP mittelst der Linien MN J. MP und NDj und entsprechend eines zweiten.
Schneidet endlich DPS^ den über MD als Durchmesser gezoge- nen Kreis außer in D noch in K, so ist KP ■=» KS^ (456).
Sodann ist MD eine Symmetrielinie des Grundrisses der Eigen- schattengrenze, weil ein Strahl aus M Symmetrielinie der Normal-
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502 X, 468—469. Die windschiefen Flachen.
kurve, d. i. der Archimedischen Spirale ist (456); wie es aber auch die Konstruktion unmittelbar zeigt.
469. Die vier Punkte auf dem Kreise l^ werden ^ da fQr ihn ^ in Z> föUt, unmittelbar durch die Strahlen DG, DG^ geliefert, nämlich zwei getrennte Punkte J, J^ und zwei in D vereinigte; daher ist D ein Doppelpunkt mit DG, DG^ als Tangenten. Die vier Punkte auf dem aus M mit dem Halbmesser Null gezogenen Kreise fallen in M zusammen; daher ist auch M ein Doppelpunkt, und zwar mit l als Doppeltangente, weil auf dem aus M benachbart zu l gezogenen Strahle nach dem gegebenen Verfahren beiderseits von M je ein dem M benachbarter Punkt der Kurve gefunden wird.
Die Kurve ist von der vierten Ordnung, weil jeder aus einem der Doppelpunkte D und M gezogene Strahl außerdem noch zwei Punkte enthält.
Die beiden aus D an den Kreis p gezogenen Tangenten sind Asymp- toten der Kurve. Denn auf jeder derselben fallen die beiden Schnitt- punkte mit p, N und Ni, zusammen; daher werden die beiden d.MN und J_ MN^ durch M gezogenen Strahlen parallel zur Tangente und liefern auf ihr zwei zusammenfallende unendlich ferne Punkte, woraus der Satz folgt. Daß gerade jene Tangente an p und nicht eine mit ihr Parallele die Asymptote ist, folgt auch daraus, daß, so lange DN endlich, bei einer unendlich kleinen Verschiebung von N auf p sich die Tangente um 0^, der mit ihr parallele Strahl aus M um 0^ dreht^ der Schnittpunkt beider daher oder der dem unendlich fernen Punkte benachbarte Punkt der Kurve in die Tangente fallt.
Die Tangente der Kurve in einem allgemeinen Punkte Pg der- selben {P^MN^ = 90^) findet man nach dem Verfahren der ähnlichen Figur, wenn man den rechten Winkel P^MN^, dessen Schenkel MPi den Kreis p in Q^ (und einem zweiten Punkte) schneidet, um M um einen unendlich kleinen Winkel dreht, wodurch Q^ und N^ auf p in demselben Sinne Elemente von derselben Größe s beschrei- ben, dann das bei Q^ liegende Element aus M auf die zu ihm par- allel durch Pg (XMP^) gedachte Gerade in x, und das bei N^ liegende aus D auf die zu ihm parallele P^M in y projicirt, und von den zweiten Endpunkten der x und y Parallele bezw. zu MP^ und DP2 zieht. Diese Parallele schneiden sich in einem zu P^ be- nachbarten Punkte der Kurve, d. i. auch in einem Punkte der ge- suchten Tangente. Wenn man x und y ohne Änderung ihres Ver- hältnisses zu x' und y' vergrößert, so kann man unmittelbar nach dieser Anleitung konstruiren; man erhält aber eine einfachere Kon- struktion mit Hilfe einiger Proportionen. Wir gehen von derjenigen Lage aus, bei welcher sich Pg auf einem der Kurven bogen M,D
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X, 459. Die windschiefe Schraubenfläche. 503
(im Inneren des Kreises vom Durchmesser MD) befindet^ daher N^ auf demjenigen Viertel des Kreises py welcher von G^ (oder G) be- grenzt ist, dem D gegenüber und mit P^ auf derselben Seite von MD liegt, und nehmen Q^ als den auf eben dieser Seite liegenden Schnittpunkt von MP^ mit p an. Man beschreibe nun das bei Q^ biegende Element s im Sinne des mit ihm parallelen Halbmessers MN^y so wird das bei N^ liegende s im Sinne von Q^M be- schrieben. Die übereinstimmenden Sinne haben dann bezw. auch X und y. Setzen wir nun JfP, «« iw, DP^ = d, DN^ = n, {MN^ B= rj, so ergibt sich aus ähnlichen Dreiecken
m d
woraus y =■ x-^—-
Ersetzen wir x und y durch x' und y', von denen die eine, etwa x'y willkürlich angenommen wird, so scheint es vorteilhaft, x =^m oder =3 n zu nehmen. Ich fand es aber zweckmäßiger, zu setzen
^' = ♦'o > wodurch y' == -^ , f=-^-.
Man findet nun y'^ME, wenn man N^E±,MD bis E aufitfP^ ziehi Denn zieht man in Gedanken N^F\ MD bis F auf MP^, so ist wegen ähnlicher Dreiecke MF = mn :d = fy und da N^ E ±MD und ±N^F, so ist ME = r^^:f=y. Zugleich liegt Jlfi^ im Sinne von MQ^y daher ME im Sinne von Q2M oder y\ Trägt man daher in Gedanken von P^ aus auf der Senkrechten zu MP2 im Sinne von MN^ die x' = r^ auf und zieht durch ihren Endpunkt die Parallele zu MP^, so ist dies zugleich die Tangente N^T des p in N^. Und trägt man von P, aus auf P^ M in deren Sinne die ME auf und zieht durch ihren Endpunkt die Parallele zu P2N2, so schneidet diese auf N^T die N^T^ME ab, und T ist ein Punkt der ge- suchten Tangente. Diesen Punkt T der gesuchten Kurventangente er- hält man daher, wenn man die Tangente N^ T des Kreises p zeichnet, und dann N^E ± MD bis E auf MP^y und ET \ MN^ bis T auf N^T sfieht; oder, was einleuchtet, wenn man N^T mit MG in H schneidet und N^T^^ HN^ macht. Diese Konstruktion bleibt unter allen Umständen richtig, wenn in dem Falle der Umkehrung des Sinnes von einer der Größen x', y' (die ürakehrung beider kommt nicht vor) auch eine der Größen MN^y N^ T, einerlei welche, vermöge der Konstruktion ihren Sinn umkehrt; oder, da wir dem MN2 stets seinen Sinn belassen, wenn in jenem Falle N^T seinen Sinn um- kehrt. Gelangt nun ^2 zwischen G^ und die benachbarte Kurven- asymptote, so gehen Q^ und P, auf die andere Seite von MD] dann
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504 X, 459. Die windschiefen Flächen.
behält x' seinen Sinn bei und y kehrt ihn um. Gelangt ferner JN", zwischen die Asymptote und MD^ so bleibt Q^ jenseits und P, kommt nach diesseits zurück; dann behält y den ursprünglichen Sinn bei und X kehrt ihn um. In beiden Fällen aber nimmt N^ T den - zum ursprünglichen entgegengesetzten Sinn an.
Um den Krümmv/i^shalhmesser r der beiden Kurvenäste in ihrem Scheitel M zu bestimmen ^ ziehe man durch M einen Strahl (wie MS^y der mit l den unendlich kleinen Winkel q> bildet; die darauf Senkrechte (wie itf -AT,) bildet mit Jlf D den Winkel q> und schneidet auf dem Kreise p an zwei Stellen, von MD aus, den Bogen r^tp ab, deren aus D auf MSy gebildete Projektionen bei M Kurven- elemente von der Große
ausmachen. Außerdem ist s=^2rtp'^ daher
2 fo±Zo
Man konstruirt demnach die Krümmungsmittelpunkte 0^, O^, indem man (s. Fig.) MO = ^MD = i^lo, 0^^ = -^ O^ ü^ = l^ macht und G^O^ B ^,0, 0^0^ \ U^O zieht
Um die beiden Erimmungshalbmesser DD^*^ DD^ ^^r^ der Kurve in ihrem Doppelpunkte D zu erhalten, denke man sich aus D einen zur Kurventangente DG^ unter dem unendlich kleinen Winkel g> geneigten Strahl gezogen. q> schließt ein Element s der Kurve ein, so daß ri = s:2<p. Man erhält s durch Konstruktion des Kurvenpunktes auf dem zweiten Schenkel von q). Dieser schnei- det von dem Kreise p von G^ aus ein Element = ^ 9 : sin d ab, wenn man ^ MDGi = d, DG^^^^g setzt Trägt man dies Ele- ment in seinem Sinne auf p von MD aus auf, so schneidet der durch seinen Endpunkt aus M gezogene Strahl auf der Kurve von D aus das Element 5 = (^ 9 : sin ö) Qq : r^) : sin d ab. Daher ist
^ ^ Tq 8in' d ^ e ^ 2 r^
Darin ist G' der Schnittpunkt der DDo (J-DGi) mit GG^, e die auf DG liegende Sehne des |); es ist dann G'G^ '^ g : sin d, e = 2rQ sin d, Dö' = Z^ : sin d . Nach jeder der letzteren Formeln kann man r^ konstruiren, z. B. nach der zweiten, indem man auf { die G'A = 2r^ = ö G^ (in der Fig. gegen M hin), dann in entgegen- gesetztem Sinne die AB '=>^ G^G' aufträgt und BD^^AD zieht Man erhält offenbar A und B etwas kürzer vermöge 6rj ^ «=> G'B ■= GG'. Nimmt man den Sinn der G'A als G'A' von M weg, so
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X, 469—460. Die windschiefe Schraubenfläche. 505
erhält man A' und B' durch G'A' ^G^G, A'B' = G'G^, oder B' in G, so daß auch GB^ \ BA' {A! in der Fig. nicht angegeben), was etwas kürzer, jedoch weniger genau ist
460, Die Kurve nimmt verschiedene Gestatten an, je nachdem B außerhalb; auf oder innerhalb des Kreises p liegt, oder je nach- Fig. i86% dem r^^l^, oder « ^ A ist In Fig. 185 und 186 war £ > A an- genommen.
Ist £ = A, so fallen die Kreise p und l^ in einander, und der Ast Pj MSi wird zur Geraden Z, welche der Kurve angehört. Denn für den aus M gezogenen Strahl l föllt der Punkt N (Fig. 186, MN±l) in B, und wird BN unbestimmt und liefert jeden Punkt von l als Punkt der Kurve. Räum- lich aufgefaßt ist l die Erzeugende, welche mit einem Lichtstrahle zu- sammenföUt Schneidet nun ein Strahl aus B die Kurve in den zwei Punkten P, S, so wird PS durch den Kreis vom Durchmesser MB in K halbirt (458) und hier- durch ist eine einfachere Ent- stehungsart der Kurve gegeben. — ^"- — ^-^^' Dieselbe wird Strophoide genannt,
und ist, mit Ausschluß der Geraden ?, von der dritten Ordnung*), da die gesamte Linie von der vierten ist (vor. Nr.).
Asymptote der Kurve ist die zu l in Bezug auf B symmetrische (also parallele) Gerade QQ^ . Denn der schiefe Abstand BP eines Kurvenpunktes P von QQ^ ist = BS+BP-^2.BK, und nähert sich beliebig der Null, wenn sich BP den Parallelen zu l nähert. Die beiden durch B laufenden Asymptoten der allgemeinen Kurve gehen hier in die Parallelen GG^,QQi über, und laufen nicht mehr
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Fig. 186 a. |
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^^^^--^ ^^ |
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1 \.V:£j^, |
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/ |
V |
i |
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X |
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V Kf |
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l^^ |
*) Nimmt man D als Ursprung, DM als rcAze, setzt DP'^ r, MBP =- qp, DM^a, so ist, da DP-\-DS.^ 2 . DK, die Polargleichnng der Kurve
r H «— 2a cos w oder r «— (2 cos* q> — 1).
• cos 9 ^ cos qp ^ ^ '
Für rechtwinklige Koordinaten gilt
r cos qp — «, r sin 9 » y, woraus cos* 9 =■ — ,— £- — ^ ; daher die Gleichung der Kurve
X*
X + a ^ 2a -,— r- — - oder (x + a) {x* + y*) «= 2 ax^.
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506
X, 460—461. Die windschiefen Flächen.
durch D, weil in dieser Grenzlage die Strecke D-^ (vor. Nr., Fig. 186) aufhört endlich zu sein.
Um die Tangente der Kurve in einem Punkte P noch in anderer als der allgemeinen Weise zu bestimmen, ziehe man die Tangente des Kreises MD in K, schneide sie mit ? in JE? und ziehe EP. Nun denke man sich aus einem zu S benachbarten Funkte S' der { einen Strahl nach D und eine Parallele zu 52) gezogen; man er- hält dann einen zu P benachbarten Punkt der Kurve, wenn man auf der Parallelen bis auf EP geht (wodurch man ihr Stück von S' bis zum Kreise MD verdoppelt) und von dort in einer Parallelen zu KE bis S'D. Die letztere Strecke ist gleich dem zwischen den beiden Parallelen liegenden Stücke der KE (das man an D verschoben denke), vervielfacht mit dem Verhältnisse SP: SD. Vergrößert man SS' zu SE, so ist der Weg auf jener Paral- lelen zu SD gleich Null, jener Weg auf der Parallelen zu EK ist = EK(SP : SD) = EK{EP : EF), wenn F der Schnittpunkt von EP und V {\\l durch D). Zieht man nun PT\FK bis T auf EK, so ist ET jener Weg, und. zugleich PT die gesuchte Tan- gente. Man zeichne demnach für alle Tangenten DF\lj ziehe die Kreistangente KE bis E auf ?, dann EP his F auf l\ so ist PT 1 FC. Oder auch, man zieh^^FH -Bä: l>is V auf EP, so ist Pt\ rS] dabei trat DV an die Stelle von KE.
Die Krümmüngshalbfnesser r für M sind wegen r^ = Z^, r = oo und ^ = i ?o (vor. Nr.). Die KrOmmungsmittelpunkte für D fallen in G und ö^, weil 6r'G^i «= 2r^ wird (vor. Nr.). Fig. 186 b. ^61» Ist f < A, liegt also D innerhalb jp, so sind die Tan-
genten aus D Bü p nicht reell, und die Kurve hat keine reellen
Asymptoten und unendlich fernen Punkte. Der größte aus M ge- zogene Kreis, auf welchem sich
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Fig. |
186 b. |
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j> |
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noch Punkte, P,/Si, befinden, wird erhalten, wenn man die aus G an Z| gezogene Tangente, deren Berührungspunkt j^Tist, mit MD in Q schneidet und aus M durch Q den Kreis k legt. JfjN' schnei- det den Je ia S^. Größere Kreise liefern nämlich (458) keine Punkte N und Si oder P mehr. 462. Auf' die Weise, wie in Fig. 186, ist die EigenschaUen- grenze s' im Grundriß der Fig. 185 gezeichnet. Der Aufriß s" der- selben wird durch Übertragen der Schnittpunkte der s' mit den
ji —
2*-— ^'
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X, 462. Die windschiefe Scliraubenfläche.
507
Erzeugenden der Fläche in den Aufriß ermittelt. Die Punkte der Axe a" liegen auf den Erzeugenden, deren Grundriß V ist Mit der Asymptote VV^ der s lauft parallel die Erzeugende üüi des Punktes ü der Schraubenlinie, deren Aufriß man aus U" als Tan- gente an den Umriß der Fläche zieht, oder durch Bestimmung ihres Punktes Z7/' der Axe a' bestimmt. VV^ liegt in der asymptotischen Ebene der Schraubenfläche für die Erzeugende UUi, und diese Ebene steht senkrecht auf der Meridianebene üa. Sie enthält daher die auf Ua senkrechte (zu P^ parallele) ÜV{ü'r ±M'Ü\ Ü^'T' || x\ und auf TJ"V" wird V" aus V bestimmt. Dann zieht man
Um den Schlagschatten der Fläche aufB^ zu erhalten, verzeichne man den Schlagschatten B'C^D^ der Schraubenlinie, d. i. eine ver- schlungene Cykloide (341), für welche der Kreis B'C der beschrei- bende, l^ der wälzende Kreis, und die Tangente des letzteren in E die Bahnlinie ist; sodann verzeichne man den Schatten B^C^D^ der Schraubenaxe a, verbinde die zusammengehörigen Punkte durch die Schatten der Erzeugenden, wieJB'JJg, C^Cg, B^B^^ und zeichne die Einhüllende s^ an die letzteren als Umriß des Schattens der Fläche oder als Schlagschatten der s.
Der Schlagschatten s^ der Gren0er0eugenden B B^ auf die untere Seite unseres Flächenastes ist vermittelst der Schnittpunkte des Schlag- schattens D^Dj der BB^ und derjenigen der beschatteten Erzeu- genden auf P^ bestimmt, wie es durch einige projicirende Linien angedeutet ist.
Zur vollständigeren Erkenntnis der Formen ist in Fig. 187 in Fig. ist. verkleinertem Maßstabe der Schlagschatten zweier Gänge unserer Schraubenfläche auf P^ verzeichnet, denen noch die oberen Flächen -
Fig. 187.
äste in der Ausdehnung der unteren zugefügt sind. B^C^B^C^B^ und B^C^B^C^B^ sind die Schatten bezw. der unteren und der oberen begrenzenden Schraubenlinie. Die Äste der Schlagschattengrenze s^ der Fläche haben auf beiden Seiten des Schattens a, der Schrauben- axe verschiedene Formen; ihre Asymptoten sind die Schatten der Asymptoten der Eigenschattengrenze s.
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508 X, 463—464. Die windschiefen Flächen.
d) Die Lichtgleichen der Schraubenfläche, insbesondere der geschlossenen schiefen.
463. Aufg. Die Lichtgleichen einer beliebigen Schraubenfläche m bestimmen.
Aufl. Um die Punkte der Lichtgleichen auf einer beliebigen Schraubenlinie einer Schraubenfläche, zu deren Axe die Grundriß- ebene senkrecht gestellt sei, zu finden, denken wir uns in einem Punkte P jener Schraubenlinie die Berührungsebene T der Fläche, sodann in T und durch P die Linie des größten Falles f der T gegen die Grundrißebene und die Tangente t des Meridians der Fläche gelegt; dann sind bei der Bewegung des Punktes P auf der- selben Schraubenlinie offenbar unveränderlich: 1) die Neigung der Berührungsebene T gegen die Axe und gegen die Grundrißebene, 2) der Winkel der durch P gehenden Linien f und t, und 3) die Projektion f't'^== d dieses Winkels auf die Grundrißebene. Ein Richtkegel der Fläche ist ein Umdrehungskegel, dessen Axe | a, dessen Berührungsebenen Q T, und dessen Erzeugenden || /*; und den- jenigen Richtkegel, welcher über dem Grundriß jener Schraubenlinie, einem Kreise Je, in demselben Sinne der Neigung gegen a, welchen die Fläche entlang dieser Schraubenlinie besitzt, beschrieben wird, wollen wir den Hilfskegd nennen. Zieht man nun im Grundriß in einem Punkte P' des k jene Falllinie f (senkrecht zum Normal- schnitte in P), die Meridiantangente t' (ein Halbmesser des Ä;), und die mit f parallele Erzeugende des Kegels, so ist der Winkel der letzteren zwei Linien ebenfalls «» S^ und die Beleuchtungsstärke der Schraubenfläche in P und der Kegelfläche in der zu f parallelen Erzeugenden und in deren Punkte auf Tc sind gleich. Man erhält also im Grundriß die Lichtgleichenpunkte der Schraubenfläche auf Tc aus denen des Kegels auf Tc durch Drehung des k um seinen Mittelpunkt um den Winkel 8 {im Sinne von f gegen t') oder auch: Die Punkte des Grundrisses der Lichtgleichen der Sdiraubenfläche auf einem Kreise k, welcher der Grundriß einer Schraubenlinie ist, fallen mit denen des Hilfskegels zusammen, toelcher über k im Sinne des durch die Schraubenlinie gdienden Flächenastes beschrieben ist, wenn die Bich- timg des Lichtstrahles für den Kegel aus demjenigen für die Schrauben- fläche durch Drehung um die Schraubenaxe um den Winkel d = ff entstanden ist.
464. Aufg, Die Lichtgleichen der geschlossenen schiefen Schrau- benfläche ssu bestimmen.
Fig. 188. Aufl. Es sei wieder ein Gang des unteren Astes der rechts-
gängigen Schraubenfläche dargestellt, a {M', a'') die auf P^ senk-
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X, 464. Die windschiefe Schranbenfläcbe.
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510 X, 464. Die windschiefen Flächen.
rechte Axe, BCD^=^\ die begrenzende Schraubenlinie, BB^ eine zu Pg parallele Erzeugende, B und M die ersten Spuren der \ und der a, B"A" die Parallele zu einer zu P^ parallelen Tangente der Äi, A'' ihr Schnittpunkt mit a\ daher M!'A" «= Ä^^ die reducirte Ganghohe, l der Lichtstrahl. Um Überladung zu vermeiden, zeichne man in einer Nebenfigur a) die M'^A'" {a") * M:'A'\ :M!"E'" \ x, A'"W \ A"E' \ B;'B'\ so ist ][r"E''' = M:'E" = ro = dem Parameter der Archimedischen Spirale der Fläche, womit als Halb- messer man aus M den Parameterkreis jp zeichne; man ziehe femer Z'" als A'"L'" II A"Ij" in der Richtung des um a parallel zu Pg ge- drehten Lichtstrahles und konstruire zur weiteren Benutzung mit einem im Verhältnis zum Grenzkreise It^ nicht zu kleinen Kreise das Tangentialbüschel, dessen geteilter Durchmesser 1. — 1. also auf V" senkrecht steht.
Um nun die Punkte der Grundrißlichtgleichen auf einem be- liebigen aus M' gezogenen Kreise h zu erhalten, schneide man h mit dem aus M' gegen die Lichtquelle hin (wie wir annehmen wol- len) gezogenen Strahle Z' in G, ziehe den zu JTCr senkrechten Halbmesser M'F des p auf der Seite der Erweiterung der durch G gehenden Archimedischen Spirale der Fläche, so ist GF die Normale dieser Spirale in G (449), also auch der Grundriß der Falllinie f der Berührungsebene der Fläche in G. Diese Ebene enthält noch die Erzeugende GM' (als Meridiantangente t) und wird von der durch den Schnittpunkt der GM' mit der a gelegten horizontalen Ebene in der zu GF senkrechten Geraden M' G^ geschnitten. Be- stimmt man nun auf der Erzeugenden A'"F"' den Punkt G'" so, daß sein Abstand R'" G'" von a" = M'G ist, trägt auf R"'G"' die H'"G^"=GqG auf, so besitzt A"'G^" dieselbe Neigung gegen a"\ wie die Falllinie GGq gegen a. Andererseits ist -^G^GM! =^ft'= 8'^ und dreht man das AM'GGq um M' in M'JJq, so daß M'Gq in M'Jq auf M'F, daher G^G in J^J^ V kommt, so ist M'J der im Grundriß um d = f t' gedrehte Lichtstrahl V, Kürzer erhält man J auf kj wenn man beachtet, daß sein Abstand von V gleich demjenigen des M' von GF ist.
Nun bestimmt man nach dem Verfahren der Nr. 204 auf dem Hilfskegel, dessen Grundkreis hy dessen Axe a, und bei dem die Neigung der Erzeugenden gegen a = H"' A'"G^" ist, die Punkte der Grundrißlichtgleichen auf A;, wenn M'J den Grundriß und k die Grundrißneigung der Lichtstrahlen bezeichnen. Schneidet A"'G^" den Einheitskreis des Tangentialbüschels in K und ist K^ der Punkt dieses Kreises, für welchen KK^ || a'\ so fällt man aus K und K^ Senkrechte auf den zu V" senkrechten Stärkemaßstab nach N und
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X, 464>-465. Die windschiefe Schraobenflädie. 511
Niy zieht an Je zwei parallele Tangenten in J und J^, und legt die Lange N Ni mit dem auf ihr befindlichen Stücke des Stärkemaß- stabes, oder ein Vielfaches (hier Zweifaches) davon, zwischen die Parallelen, so daß N nach N' in die Tangente in cT", N^ nach N^ in die Tangente in eT^ gelangt, zieht aus den Teilungspunkten von N'Ni Parallele zu jenen Tangenten, so schneiden diese den Ereis Je in den gesuchten Punkten der Grundrißlichtgleichen.
466. Um die Tangenten der Qrundrißlicfitgleidien in M! zu erhalten, beachte man, daß die Berührungsebenen der Fläche in den Schnittpunkten der Lichtgleichen mit a die a enthalten, also ein Büschel von Ebenen bilden, deren erste Spuren die gesuchten Tangenten sind. In Bezug auf die Beleuchtung bilden aber diese ersten Spuren die Strahlen des Tangentialbüschels M!y in welchen die Berührungsebenen jenes Hilfskegels übergehen, dabei geht Ä"G^" in a"' über, und hierdurch ist das zu benutzende Stück (wie 'N'N^ des Stärkemaßstabes bestimmt, das (in dreifacher Große) zwischen die zu V parallelen Tangenten etwa des Kreises /;/ geschoben wird, indem V den Nullstrahl bildet. Wegen der Symmetrie genügt die Hälfte. Die aus M! nach den Teilpunkten des Ä/ gezogenen Strah- len bilden die gesuchten Tangenten.
Um die unendlich fernen PunJcte und die Asymptoten der Grund- rißlicJitgleichen zu «rhalteu, lasse man G auf T ins Unendliche rücken. Dann rückt Jq in F, und J auf der durch F parallel zu V gezoge- nen Geraden ins Unendliche. Daraus folgt, daß für den unendlich großen Kreis Je der (für alle Helligkeiten gleiche) Drehungsbogen GJ zu M'F^r^ wird; zugleich geht G^ in JP, daher G^'" in G"\ und der Hilfskegel in den Asymptotenkegel über, dessen Grundriß- lichtgleichen daher die unendlich fernen Punkte derjenigen unserer Fläche bestimmen. Daher gilt: Die Asymptote einer GrundrißlicJd- gleiche der geschlossenen Begelschrauhenfläcfie ist diejenige Tangente des ParameterJcreiseSy welcJie gegen den unendlich fernen JPunJct der Kurve auf der Seite der Öffnung der Archimedischen Spirale des Flächen- astes gessogen unrd. Für beide Flächenäste erhält man dieselbe Asymptote, weil beim Wechsel des Astes sich sowohl der Sinn nach dem unendlich fernen Punkte als die Seite der Öffnung der Spirale umkehren. Da die Asymptote der Lichtgleiche selbst in der Asymp- totenebene liegt, und der Parameterkreis die erste Projektion der- jenigen Schraubenlinie ist, welche die Rückkehrkante der asympto- tischen Fläche H)ildet (448), so sind die Asymptoten der lAchtgUichen der geschlossenen Begelschraxibenfläehe und^ wie wir sogleich sehen u^er- den^ von jeder windschiefen Fläche die Erzeugenden der asymptotischen Fläche von übereinstimmender HelligJceit.
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512 X, 466—466. Die windschiefen Flächen.
Fig. 188. Der Satz gilt in der angegebenen Allgemeinheit. Denn hat
man auf irgend einer Fläche zwei benachbarte Lichtgleichen (yon unendlich kleinem Helligkeitsunterschiede), so kann man zu einem Punkte der einen Kurve einen benachbarten Punkt der andern Kurve 80 angeben, daß die Berührungsebenen der Fläche in beiden Punkten sich in der Tangente der beiden in einander gerückten Lichtgleichen schneiden. Alle zu dem unendlich fernen Punkte einer Lichigleicbe einer windschiefen Fläche benachbarten Punkte der benachbarten Lichtgleiche sind' aber unendlich ferne Punkte der Fläche; die Be- rührungsebenen in denselben sind daher benachbarte Asymptoten- ebenen, ihre Schnittlinie ist eine Erzeugende der asymptotischen Fläche, und diese ist die Asymptote an jene beiden in einander ge- rücken Lichtgleichen. — Diese Asymptoten werden durch den Bichi- Icegel konstniirt Wird derselbe zu einer Ricktd>eney so haben, wie vrir beim Konoide sahen (397), alle je zwischen gewissen Grenzen liegenden Lichtgleichen diejenigen Kanten zu Asymptoten, deren Kuspidalpunkte tmendlich ferne sind.
Die Grundrißlichtgleichen des Asymptotenkegels sind in der Figur auf dem Kreise ij, über welchem der Hilfskegel errichtet ge- dacht wird, mittelst der Hilfspunkte 12, R^ des Einheitskreises und des entsprechenden Stückes des Stärkemaßstabes bestimmt, das (in vierfacher Größe) zwischen den JL i' an Aj, gezogenen Tangenten eingeschaltet wurde.
466« JDie Maximälhurve. Wir haben auf einem beliebigen Kreise Je einen vergleichungsweise hellsten Punkt J auf der oberen (positiven) Flächenseite erhalten, welchem symmetrisch in Bezug auf M' ein hellster auf der unteren (negativen) Flächenseite gegen- über liegt. Die Kurve m, — m aller dieser Punkte heißt die Maxt- maUcurve der Fläche; und da in jedem ihrer Punkte J die Tangente der Normalschnitte der Fläche JL V ist, da also alle diese Tangen- ten senkrecht auf der Ebene la stehen, so ergibt sich:
Für jede Schratibenfläche ist die MaximcHhwrve zugleich ihre um- rißlinie oder EigenschaUengrensse für eine auf der Axe a und dem Lichtstrahle l senkrechte Seh- hezw. Lichtrichtung,
Für unsere Fläche ist es die in Nr. 454 bestimmte Linie.
Um die Punkte der Lichigleichen auf m zu bestimmen, beachte man zunächst, daß wenn die A'"Gq' die M"E'" in cT"'" schneidet, M'"J'" = M'Gq = M'Jq ist. Denn aus der Ihnlicj^keit von Drei- ecken folgt
GM':GGo = M'F:M'G^
und fl'"(?'" : fi'"(?o'" = M'^'E'" : M"V".
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X, 466^-467. Die windschiefe Scbranbenfläche. 513
Da aber die drei ersten Glieder dieser Proportionen einander paar- weise durch Konstruktion gleich sind, so müssen es auch die beiden letzten sein. Will man nun einen Punkt P der m von einer be- stimmten Helligkeit, z. B. <» — 2, erhalten, so nimmt man auf dem Einheitskreise Q^ (als JEi) in — 2 an, zieht ^'" Q^ bis P"' auf 3f'"JE;'", legt die Jf'JE;"' in M'F, so daß M"' nach JT, E'" nach Fy und dann P"' nach P^ kommt, zieht durch Pq eine Parallele zu r, so triflFt diese die — m in P. Dieser Punkt ist noch dadurch bestimmt, daß der Schnittpunkt P^ der M'P mit p von dem zu V senkrechten Durchmesser M' F des p einen Abstand «= MTq = Jf'P" besitzt (454).
Eine Grundrißlichtgleiche wird in ihren Schnittpunkten mit m' von einem aus JT gezogenen Kreise berührt, weil in den beider- seits benachbarten Punkten dieses Kreises kleinere Helligkeiten stattfinden. •
Die Verzeichnung der Orundrißlichtgleichen dürfte nun am ge- nauesten und kürzesteü dadurch geschehen, daß man ihre Tangen- ten in M'y ihre Asymptoten, ihre Punkte (wie P) auf der Maximal- kurye, und dann diejenigen auf einigen passend verteilten Kreisen h, welche zweckmäßig durch Punkte, wie P, gelegt werden, ermittelt. Man erhält dadurch zugleich die Eigenschattengrenze. Hat man diese aber vorher auf andere Weise gezeichnet, so könnte man sie zur Gewinnung des Nullpunktes der Teilung für die Kräftemaßstäbe der einzelnen Kreise k benutzen. Doch empfiehlt es sich am meisten, ihren innerhalb des Kreises p (oder des l^ liegenden, mittelst Krüm- mungskreisen verzeichneten Teil zum Anhalte für die anderen Licht- gleichen zu benutzen, ihre entfernteren Teile aber zur größeren Stetigkeit in der Schaar aller Kurven mit diesen in gleicher Weise zu konstruiren.
467, Die Äufrißlichtgleichen erhält man durch Hinaufprojiciren der Punkte der Erzeugenden (von denen nur die Hälfte der benutz- ten angegeben ist) und der Punkte der begrenzenden Schrauben- linie. Die Punkte auf der Axe a" bestimmt man mittelst der Tan- genten der Grundrißlichtgleichen in M'. So wird die Lichtgleiche 8 in M' von der Erzeugenden Jlf' T' berührt, deren Aufriß T' T^' die a" in dem gesuchten Punkte T^' schneidet Ist 55^ die nächst liegende angegebene Erzeugende, so ist /S/'T/'««- Bog. S'jT. tg <T leicht mit dem Zirkel abzugreifen. Übrigens berührt die Aufriß- gleiche in ihrem Punkte T^' der Axe nicht die^ durchgehende Er- zeugende, obgleich es im Grundriß stattfindet, weil die Berührungs- ebene der Fläche in 2\ ± Pi steht
Die Asymptoten der Äufrißlichtgleichen werden aus denen des
Wiener, Lchrbach dor darsteUendon Geometrie. II. 88
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5 14 X, 467— 468. Die windschiefen Fl&chen.
Grundrisses bestimmt^ wie die der Eigenschattengrenze in Nr. 462 bestimmt wurde. In gleicher Weise geschieht es für die Maximal- kurve m] die Asymptote VV^' der w" wird demgemäß parallel zu der Erzeugenden von C7" durch F" gezogen. Nachdem so die Asymp- tote einer der Kurven bestimmt ist, erhält man diejenigen der übrigen etwas einfacher, wenn man beachtet, daß die durch den Schnittpunkt X' oder Y' einer Grundrißasymptote mit dem 4/ ge- zogene Senkrechte zu P^ stets das gleiche Stück zwischen der Schrau- benlim'e \ und der Asymptote enthält Man macht daher z. B. F" Fl" = X"X^\ Jedoch kann man diese Größe auch unmittelbar bestimmen durch X"Z/'= Bog. ?7'Z'.tg<y — F'Z'.tgf, was leicht mit dem Zirkel abzugreifen ist.
Den Schlagschatten s^ der Kante BB^ auf die Fläche konnte man, wie in Nr. 462, mittelst des Schlagschattens der in Betracht kom- menden Erzeugenden auf P^ bestimmen. Da aber letztere in der Figur nicht schon vorhanden sind, ist es hier zweckmäßiger, die Schatten der BB^ auf die Meridianebenen der beschatteten Erzeu- genden, d. i. die Verbindungslinien der Schatten von B auf diese Ebenen mit dem Punkte D^, jedesmal mit den Erzeugenden der- selben Ebene zum Schnitt zu bringen.
e) Die geschlossene gerade Schraubenfläche, ihre Schattengrenzen und Lichtgleichen.
468. Anfg. Von der geschlossenen geraden SchranbenflärJw ( Wen- dclfläche) bei Farallelheleuchtumg die Eigenschattengrenze ^ den SdUag- schatten auf die PrqjeMionsehenen P,, Pg, und auf die Fläche selbst^ und die Lichtgleichen zu bestimmen. Flg. 189. Aufl, Stehe die Schraubenaxe a {M\ a") _L P^, sei ein Gang der
rechtsgängigen Fläche gezeichnet, der durch einen koaxialen Cylinder, also durch die einfachen Gänge zweier gegenüberstehenden Schrau- benlinien BCFGH und B^C^F^G^H^ (in der Figur nicht alle an- gegeben), und durch zwei aufPj senkrechte Erzeugende BB^, HH^ begrenzt ist l sei der Lichtstrahl. Man ziehe V durch M\ M'B' ± r, trage auf V die MA' = \= B"F" : 3,141 auf, bestimme D' auf M'B' so, daß ^ M'B'A' = A = der Neigung von l gegen Pi, also M'B' = Iq und B' der Ausgangspunkt (455), daß also die Fläche in den durch B' dargestellten Punkten von l berührt wird.
Die Norm/xücurve ist die gerade Erzeugende, die Eigenschatten- grenze im Grundriß daher der Ort der Fußpunkte der von B' auf die sich um M' drehende Gerade gefällten Senkrechten; d. h,* die Eigenschattengrenze im Grundriß ist der Kreis Über M'B' als Burch- messer.
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X, 4^8. Die windaobiefe Scbranbenfläche.
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iTß
SS'*
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X, 468—469. Die windschiefen Fl&ckeiL
Die Eigenschattengrenee selbst ist eine Schraubenlinie von der hal- ben Ganghöhe der Fläche. Denn der von dem Punkte auf dem Kreise M'D' beschriebene Bogen ist mit seiner Steigung proportio- nal, weil beide mit dem Drehungswinkel der Erzeugenden propor- tional sind; dabei wird dieser Kreis M'D' bei einer halben Drehung der Erzeugenden ganz durchlaufen. Jeder ümdrehungscylinder, welcher a zu einer Erzeugenden hat, schneidet die Fläche in einer solchen Schraubenlinie.
Der Schlagschatten der Fläche auf P^ erscheint in der Figur nur
Pig. 190. in geringer Ausdehnung und ist deswegen in Fig. 190 gesondert in
halber Große dargestellt. Die Schlagschattengrenze ist der Schatten
Fig. 190.
der Eigenschattengrenze, also jener Schraubenlinie von der halben Ganghöhe. Da diese von l berührt wird, ist ihr Schatten eine ge- meine CyJcloide (341); die Schatten der beiden begrenzenden Schrau- benlinien sind zwei allgemeine^ in der Figur verschlungene CffhUn- den] die Schatten der Erzeugenden sind Tangenten jener gemeinen Cykloide, deren Mittelpunkt auf dem Schatten o, von a um eine mit ihrer Drehung in unveränderlichem Verhältnis stehende Lange Fig. 189. fortschreiten. Vom Schlagschatten auf Pj ist in Fig. 189 wenig er- sichtlich; er wird am sichersten als affine Figur zum Schlagschatten auf F^ konstruirt. Die Schlagschatten auf die Fläche sind durch das Verfahren der Schnitte der Schatten der schattenwerfenden und der beschatteten Linien (insbesondere der Erzeugenden) auf F^ konstruirt Die Grenjspunkte der Eigen- und Schlagschattengrenzen sind die Punkte D, in welchen die Eigenschattengrenze von l be- rührt wird.
469« Bei der Bestimmung der Grundrißliditgleichen beachte man, daß die Erzeugende M'D' die Maximalkurve ist, weil r^ = oo wird, oder weil in den Punkten der MD die Berührungsebenen der Fläche senkrecht auf der Ebene al stehen (466). Sie bilden ein Ebenen- büschel mit MD als Axe; und die Neigung v der Berührungsebene
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X, 469—470. Die wiDcUchiefe Schraubenfl&che. 517
der Fläche in irgend einem Punkte J der MD gegen die F| ist durch tg 1/ -a Ä^ : M'J* gegeben, so daß v = ^ M'A'JT. Daher ist auch das Büschel der Strahlen , welche aus A' nach den Punk- ten der MD' gezogen werden, einem senkrechten Schnitte jenes Ebenenbüschels kongruent, wobei jeder Strahl den Berührungspunkt der durch ihn dargestellten Ebene mit der Fläche enthält. Die Helligkeit jeder dieser Ebenen, sowie der Fläche in ihrem Berührungs- punkte, erhält man daher durch das TangentialbüschelJ.^ in welchem A'D' den Lichtstrahl darstellt. Man trage daher von A' aus auf einer Senkrechten zu A'D' fünf gleiche Teile als halben Stärke- maßstab bis E auf, ziehe den Einheitskreis aus A' durch Ey schneide ihn mit den durch die Teilungspunkte ±. A' E gezogenen Ge- raden, so bilden die aus A' nach den Schnittpunkten gezogenen Strahlen das Tangential büschel, welches auf MD' die Punkte der gesuchten Lichtgleichen einschneidet, insbesondere durch A'E den hellsten Funkte 1..
Um sodann die Punkte auf einem beliebigen aus M' gezogenen Kreise, z. B. dem begrenzenden, zu erhalten, bestimme man die Helligkeit in seinen Schnittpunkten «T und K' mit M'D' vermittelst der Punkte J^, K^ des Stärkemaßstabes, derart, daß auf JiK^ »= A'Ji + A'K^ der Nullpunkt A' enthalten ist oder nicht, je nach- dem der gewählte Ereis J'K' die Eigenschattengrenze (Ereis MD') schneidet oder nicht. Zwischen die parallel zu V durch «T, K' ge- zogenen Geraden schalte man dann die Strecke JiK^ oder ein Viel- faches desselben (in der Figur das fünffache) als J^K^ ein, und übertrage darauf kongruent oder ähnlich die auf JiK^ enthaltenen Teilungspunkte des Maßstabes. Die durch diese übertragenen Tei- lungspunkte zu V gezogenen Parallelen schneiden auf dem Kreise JTK' die Punkte der Lichtgleichen ein. Es ist vorteilhaft die Kreise durch Punkte der Lichtgleichen auf MD' zu legen, wie in der Figur durch 0 und — - 2 geschehen ist. — Die Tangenten der Kurven in M' werden (465) durch das Stück eines Stärkemaßstabes be- stimmt, dessen Hälfte der in V liegende Halbmesser des Einheits- kreises bildet, und dessen Teilung sich auf diejenige von A'E senk- recht projicirt
Indem die beiden Flächenäste durch Verschiebung | a um die halbe Ganghohe zur Deckung gebracht werden können, fallen die Grundrißlichtgleichen derselben zusammen. Jede derselben ist sym- metrisch zu M'D'j während bei der schiefen Schraubenfiäche nur die Kurve des einen Astes mit der des andern symmetrisch war.
470. Da die Gmndrißlichtgleichen, welche der kreisförmigen Nulllinie benachbart sind, der Kreisgestalt nahe kommen, so ist es
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518 X, 470. Die windschiefen Flächen.
erwOnscht^ ihre Erümmungskreise in ihren Scheiteln benutzen zu kön- nen. Wir haben dieselben daher bestimmt, und zwar mü Hufe des Verfahrens der ähnlichere Figur, das wir bisher nur auf die Bestim- mung von Tangenten anwendeten. Um so den Krümmungshalb- messer r, der Lichtgleiche 2 in ihrem Scheitel L zu ermitteln^ denkt man sich auf LM' die unendlich kleine Strecke LL' = rc in einem solchen Sinne aufgetragen, daß der aus M' durch L' gezogene Kreis Je die Lichtgleiche 2 schneidet; wir können die zwei unendlich nahe bei L liegenden Schnittpunkte dadurch erhalten, daß wir auf dem von L' ausgehenden Durchmesser des h den Starkemaßstab auf- tragen, welcher zur Bestimmung der Lichtgleichenpunkte auf h dient (469), und im Punkte 2 = L" desselben die Senkrechte zu ML' ziehen; dieselbe enthält die beiden Schnittpunkte der Lichtgleiche 2 mit h. Sei nun L'L" ^=^x^j und geben wir dieser stets gegen JlT gerichteten Strecke das positive Zeichen, wodurch das Zeichen von x als positiv oder negativ bestimmt ist, sei ferner r ^^ M!L^=^ 1^'V (ihr Unterschied =0^), so erhalten wir (208)
* «1 -fa;
Nun ist Xi von x in der Art abhängig, daß der Unterschied der Helligkeiten auf LM! an den Endpunkten von x, also in L und L', gleich ist dem Unterschiede der Helligkeiten auf dem Kreise Ic in V und in jenen Schnittpunkten mit 2, oder gleich dem Unterschiede der Angaben des Stärkemaßstabes des Iz in den Endpunkten des Xyy also in V und L". Man erhält den Helligkeitsunterschied von L und L\ wenn man x aus A' auf den Einheitskreis als Element desselben bei L^ projicirt, und hierauf dieses Element senkrecht auf den Stärkemaßstab A' F in y, x^ steht dann zu y in dem- selben Verhältnisse, wie der Durchmesser LB, des Kreises i zu dem Stücke LiB, (= ^'22^ (+) ^'Xi) des Stärkemaßstabes A'E, welches dem LB, zugehört.
Um nach diesen Bestimmungen die Konstruktionen ausführen zu können, vergrößere man x, y, x^^ in ein und demselben Verhält- nisse zu den endlichen Strecken x\ y\ x(, und nehme x = LM! an. Die verhältnismäßig vergrößerte Projektion auf das verlängerte Ele- ment des Einheitskreises bei L<^ erhält man, wenn man zuerst aus Ä die LM' auf die parallel zu ihr durch L^ geführte Gerade in L^8 projicirt, und L^8 durch eine Parallele zu LA'L^ auf die Tan- gente des Einheitskreises in Zg, welche Projektion gleich dem senk- rechten Abstände ST des S von LA'L^ ist y' ist dann die Pro- jektion von ST auf ^'JB, oder es ist y' = TU, wenn SU±A'Ej TÜ^A'E. Bestimmt man nun L^B^ auf A'E aus LB so, wie
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X, 470—471. Die windschiefe Schraubenfläche. 519
K^Ji aus K'JT bestimmt wurde, zieht aus L eine beliebige Gerade^ etwa ±M'L, tragt auf ihr LÜ^^TÜ, LB^ = L^It^ auf, und zieht TJ^X^ || JB,JB bis X^ auf LBy so ist LX^ =» a?/, weil
a;/ : / = rCj : y = LB : Xj!?! .
Da ferner r^ = ro?/ : (a;/ + a?'), so erhält man r^'^LL^, wenn man auf Z»Z7g die Z»Xi = ü, = a:/ in irgend einem Sinne, und XiX = a;' = Z/JK' in gleichem oder entgegengesetztem Sinne mit Xi' aufträgt, je nachdem x^ denselben oder den entgegengesetzten Sinn mit x hat, und wenn man X^Lq || XM' bis Lq s.\xi LM' zieht
Übungsaufg. Man suche durch ähnliche Betrachtungen die Tan- gente der Grundrißlichtgleiche zu bestimmen; aus ihr ergibt sich dann diejenige der Aufrißlichtgleiche.
471« Die AufrißUchtgleichen erhält man durch Hinaufprojiciren der Grundrißpunkte auf den verzeichneten Erzeugenden, von denen nur die Hälfte der benutzten angegeben ist. Ihre Punkte auf der Axe a" erhält man durch Hinaufprojiciren der Tangenten der Grundrisse in M' ; und da einer Lichtgleiche im Grundriß zwei solche Tangenten zukommen, und diese einerseits in Bezug a,\xi M'D'y andererseits in Bezug auf die dazu senkrechte -M'Ä' symmetrisch sind, so gehören zu einer Lichtgleiche im Aufriß zwei Punkte der a'\ welche einerseits in Bezug auf M'D'", andererseits in Bezug auf die davon um \ Ganghöhe entfernte Erzeugende symmetrisch liegen, daher auch symmetrisch in Bezug auf M" und auf jeden von M" um eine ganze Anzahl von \ Ganghöhen entfernten Punkt der a".
Die Tangenten der ÄufrißlidUgleichen in den Punkten B'\ i^', H" der Äxe werden durch ein Tangentialbüschel mit V als Pro- jektion des Lichtstrahles und der Neigung Aj (hier »= k) des l gegen Fg bestimmt, wie es in der Figur für F" angegeben ist
Bezeichnet man die von oben sichtbare Seite der von dem ein- seitigen Strahle MB beschriebenen Flächenhälfte als positiv^ so ist die von oben sichtbare von MB^ beschriebene negativ. Im Grundriß ist dann die linke sichtbare Hälfte -f"? ^^^ rechte — , im Aufriß die obere sichtbare Hälfte — , die untere +.
Eine senkrecht zur Erzeugenden if*"D*" gelegte Schnittebene Fs, in F, umgelegt, schneide diese Erzeugende in N, die Fläche in der Kurve PNQ, welche von oben gesehen, auf der + Seite der Fläche liegt, und bemerken läßt, daß die Lichtstrahlen auf der einen Seite von N die + Seite, auf der andern die — Seite der Fläche berühren, und so eine Lichtgleiche + 0 und — 0 erzeugen; daß ferner die Lichtgleiche 2 zwischen beiden Nullpunkten — , außerhalb + ist
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520 X, 472—474, Die wiDdßchiefen Flächen.
472« Übungsaufgabe. Unter einem gewundenen KreiscyUnder versteht man eine Schraubenfläche, deren Normalkurve ein zur Schraubenaxe a excentrischer Kreis ist Diese Fläche begrenzt die in der Baukunst gebrauchte geumndene Säule, wobei der Abstand der Axe a von dem Mittelpunkte des Kreises etwa gleich ^ von dessen Halbmesser, die Höhe des Ganges etwa gleich dem doppelten Durch- messer ist. Unter dieser Annahme sollen von der Fläche der Grund- riß (Pj _L d), der Aufriß, der zweite Umriß in jeder Projektion, die Eigenschattengrenze, der Schlagschatten und die Lichtgleichen mit der Maximalkurve bestimmt werden (vergl. 455, 456, 463).
f) Die Schraube, ihre Schattengrenzen und Lichtgleichen.
473. Die Schraube ist ein Körper, der durch eine begrenzte Fläche erzeugt wird, wenn diese eine Schraubenbewegung vollführt Gewöhnlich enthält die Schraube als einen Bestandteil den Körper eines Umdrehungscylinders, und dieser heißt der Kern. Der übrige Bestandteil heißt das Gewinde, und kann stets erzeugt werden durch die ebene Figur eines Meridianschnittes, welche mit einer geraden Seite auf einer Erzeugenden der Kemoberfläche aufliegt und eine Schraubenbewegung um dessen Axe a vollführt, derart daß zwischen den Gängen des Gewindes Lücken bestehen bleiben. Jede gerade oder krumme Seite der beschreibenden Figur erzeugt eine Schrau- benfläche, welche für jede mit a parallele Seite in einen Cylinder übergeht. Ein Körper, der einen Hohlraum besitzt, in welchen die Schraube hineinpaßt, heißt SchraubenmuMer.
Ist diese beschreibende Figur ein mit der Grundlinie auf der Seite des Kerns aufsitzendes gleichschenkliges Dreieck, und ist die Gang- höhe gleich der Grundlinie, so entsteht die einfache Schraube mit
Fig. 191. dreieckigein oder scharfem Gewinde; ist die Figur eine Brcihe zweier oder mehrerer solcher kongruenten, mit den Enden ihrer Grund: linien an einander stoßenden Dreiecke, und ist die Ganghöhe gleich der Summe der Grundlinien, so entsteht die Schraube mit doppel-
Fig. 192. tem oder mehrfachem Gewinde. Ist die Figur ein Bedüedc, und die Ganghöhe größer als die mit a parallelen Seiten, gewöhnlich dop- pelt so groß, so entsteht die einfache Schraube mit viereckigem oder flachem Gemnde, die entsprechend eine solche mit mehrfachem Ge- winde werden kann. Die in beiden Fällen beschriebenen Schrauben- flächen sind windschief, gechlossen, und bezw. schief oder gerade.
474, Aufg. Die Schraube mit scharfem Gewinde mii ihren Eigenschatten, Schlagschatten und Lichtgleichen m verzeichnen.
Flg. 191. Aufl. Ihre Axe a sei J_ Pj, und im Hauptmeridiane sei GBC^
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X, 474. Die windscbiefe Schraubenfläche. Fig. 191.
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522 X, 474. Die windschiefen Flächen.
{BC '^ BC^) das Dreieck, welches das Gewinde erzeugt Mau ver- zeichne zuerst die Schraubenlinien, welche Bj C und Cj beschrei- ben; letztere beide fallen zusammen. Die zweiten Umrisse der Schraubenflächen sind bei ihren vorhandenen Erstreckungen schwach gekrümmte Linien, die als gerade oder als fast gerade Berührende an die äußere und innere Schraubenlinie gezeichnet werden können. Seitwärts ist das teilweise Verdecken der Umrisse an der Stelle C^" durch eine Zeichnung von doppelter Größe deutlich gemacht. Die Schraube besitzt einen Kopf von der Form eines regelmäßigen sechs- seitigen Prismas. Die beiden horizontalen Grenzebenen schneiden die Schraubenflächen in den verzeichneten Stücken von Archimedi- schen Spiralen (452).
Zur Bestimmung der Eigenschattengrenise sind (wie in Nr. 458, Fig. 185, 186), aus h^ = M'A'' die r, = M"E'' und l^ = M" L" bestimmt, mit diesen als Halbmessern die Kreise p und l^ gezeich- net, die Asymptoten und die Punkte der Kurve auf dem größten Kreise ermittelt, durch welche unter Benutzung des Doppelpunktes If und der Tangenten oder der Krümmungskreise in D' die bestehen- den Stücke der Eigenschattengrenze schon gezeichnet werden können.
Man zeichne nun den Schlagschatten der äußeren Schraubenlinie auf F^ unter Benutzung der Krümmungshalbmesser in den Scheiteln, welche (342) = r T^ und = TT^ sind(r To = T'M% ^ T^D'T^ = ^ ToA T, = 90«), wobei F,G, der Schatten von FG {¥'' G") ist; ferner die Schlagschatten der Eigenschattengrenzen, so^G^Hj^ von GH, und die des Sphraubenkopfes, so können durch Rückwärtsziehen der Lichtstrahlen aus den Schnittpunkten dieser Schlagschatten, die Grenzpunkte der auf die Oberfläche des Schraubengewindes feilen- den Schlagschatten ermittelt werden, so aus J\ der Schatten F^ des F auf die äußere Schraubenlinie. Weiter bestimme man von einer Erzeugenden JK der Schraubenfläche den Schatten JiK^ auf P^. Sind J, K die Schnittpunkte der Erzeugenden mit der äußeren Schrau- benlinie und der Axe a, ebenso B und Bq die entsprechenden Schnittpunkte der Erzeugenden BCi, so ist der Höhenunterschied von J und K gleich demjenigen von B und Bq, so daß, wenn wie hier, J"K" in a" fällt, K" aus e7" durch J" K" ^=^ -ä^'^o bestimmt wird. Schneidet nun e/jJEi die Linien G^H^, die verlängerte F^Gi und den benachbarten Schatten einer Schraubenkopfkante bezw. in in ^1, ?7i, Fj, so ermittelt man hieraus im Aufriß auf J"K" die Punkte N^f U^j V^ als Punkte der Schlagschatten bezw. der Eigen- schattengrenze GH, der äußeren Schraubenlinie und einer Schrau- benkopfkante. Unter Benutzung einer weiteren Erzeugenden erhält man so die zusammengesetzte Linie H" N^G^P^Q^ als Schatten jener
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X, 474—475. Die windschiefe Schranbenfläche. 523
drei Linien auf eine Fläche des Gewindes; sie hat bei P^ eine Ecke, bei G2 nicht. Ebenso bestimnit man aus den Schattenpunkteu auf P^: Pj, JBijXi und dem Schatten einer zwischenliegenden Erzeugen- den die Schlagschatten F^S^R^f X^iSg des Schraubenkopfes auf die oberste Fläche des Gewindes.
Von den LicJUgleichen sind nach Nr. 464, Fig. 188, mittelst des verzeichneten Tangentialbüschels die Punkte auf der äußeren Schraubenlinie bestimmt, wobei der Hilfskegel von dem Richtkegel nicht mehr unterschieden werden kann. Hierdurch werden auch die Punkte der Nulllichtgleiche genauer, als durch die (kleinen) Kreise p und ij, erhalten. Mittelst dieser Punkte allein können im Grundriß und daraus im Aufriß die kurzen Stücke der Lichtgleichen gezeichnet werden, da ihre Asymptoten (als Tangenten an p) und ihr Bjrüm- mungssinn (siehe Fig. 188) in Gedanken noch Anhalt bieten.
Die Hdligkeiten der (ebenen) Seitenflächen des Schraubenkopfes sind nach I, 501 bestimmt, wobei h die Länge ihrer vertikalen Kan- ten, h^tsaS'S^ die Länge von deren Schatten auf Pj, und h^ die Länge des Schattens einer in der projicirenden Ebene eines Licht- strahles senkrecht zu ihm gestellten Strecke k ist. Dann ergibt sich die Helligkeit der mittleren und der linken Seitenfläche des Schraubenkopfes, und die der P^ (hier auch der P^) bezw. = A3 : äJj = 0,66, A4 : Äi = 0,72, Ä : Äj = 0,58.
476. Aufg, Die Schraube mit flachem Gewinde mit ihren Eigen- schatten j Schlagschatten und Lichtgleichen gu verzeichnen.
Aufl. Das Gewinde der Schraube und ihre Lücke, das ist auch Fig. 192. das Gewinde der Schraubenmutter, werden von kongruenten Recht- ecken beschrieben; die vier Schraubenlinien der Eckpunkte sind, soweit sichtbar, verzeichnet. Man sieht nur kleine Stücke der oberen und der unteren Wendelfläche. Es sei wieder ein sechseckig prismatischer Schraubenkopf aufgesetzt. Die Schatten der Schrau- benlinien auf P^ sind verschlungene Gykloiden mit l^ als rollendem Kreise, dessen Halbmesser MB' = l^ aus M' A' = h^ und X be- stimmt ist. Von diesen Kurven sind nur kleine Bogen bei den Scheiteln notwendig, welche als Teile der Krümmungskreise ver- zeichnet werden können, deren Halbmesser = T'Ti und ««T'Tj durch r To = T'M, nnd ^T^D.T, = <^ T^D'T^ = 90« (342) be- stimmt sind. Der Schlagschatten des Kopfes und der Schrauben- linien auf die cylindrischen Flächen wird mittelst des Grundrisses, der Schlagschatten JPj-^s ^^^ ^^^ ^^^^ obere Wendelfläche mittelst der Schlagschatten auf P^ mit Zuhilfenahme einer Erzeugenden BE der Wendelfläche bestimmt. Eine Eigenschattengrenze der Wendel- fläche tritt nicht hervor; dagegen die beiden, jedoch verdeckten,
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X, 475. Die windschiefen Flächen. Fig. 192.
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X, 476. Die windsohiefe Schranbenfl&olie. 525
Lichtgleichen 4 und 6, deren Punkte auf dem Symmetriemeridiane M'D' and auf dem größten und kleinsten Kreise nach Nr. 469 mittelst des Tangentialbüschels Ä' verzeichnet sind. Die Licht- gleichen auf den Cylindern sind angegeben. Die Helligkeiten der ebenen Flächen sind wie in der vorigen Nr. bestimmt, und da die Maße in beiden Figuren übereinstimmen, wurde nur in der neuen Figur S'Sf gezeichnet, und die Abstände des 5, von den beiden benachbarten Seitenflächen des Schraubenkopfes abgegriffen, auf dem k^ der vorhergehenden Figur gemessen und bezw. «= 0,5 und 0,8 erhalten.
Übungsaufg. Die Schraubenmuttern zu den beiden betrachteten Schrauben darzustellen, in deren Inneres man sieht, indem man die vordere durch die Hauptmeridianebene getrennte Hälfte entfernt denkt, und in ihnen die Schattengrenzen und Lichtgleichen zu ver- zeichnen.
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XI. Abschnitt Die Erflmmiing der Flächen.
L Die Erümmang der Normal- und der schiefen Schnitte.
476, Die Krümmung einer Fläche P, die wir immer als stetig voraussetzen, in einem Punkte P derselben ist durch die Krüm- mungen aller durch P gehenden Kurven der F im Punkte P be- zeichnet.
Sota. Die Krümmung aller Kurven einer stetigen Fläche P in einem Punkte P derselben ist durch die Krümmung dreier dieser Kur- ven in P bestimmt, von denen nicht zwei eine gemeinschafÜid%e Tangente in P besitzen.
Bew, Jede durch P gehende Kurve Je der Fläche hat in P dieselbe Krümmung, wie die Schnittkurve h^ der P mit der Schmie- guDgsebene der h in P, weil drei in P zusammenrückende Punkte der h stets auch der Schnittkurve der Ebene der drei Punkte mit der P angehören, und weil diese drei Punkte fQr h und k^ dieselben Kreise, also auch dieselben Grenzlagen derselben, d. h. dieselben Krümmungskreise bestimmen. Legt man nun außer jenen drei Kur- ven eine vierte k durch P, und schneidet eine mit ihrer Schmie- gungsebene in P parallele und ihr unendlich nahe Ebene die P in einer Kurve Ä^» so besitzt diese wegen der Stetigkeit der Fläche eine von derjenigen der k nur unendlich wenig abweichende Krüm- mung bei P. TriflFt diese letztere Ebene die drei ursprünglich ge- gebenen Kurven in den Punkten Q, ü, 5, und ihre Krümmnngs- kreise fQr P bezw. in den Punkten ^j, ü^, Sj, so weichen die Halbmesser r und r, der Kreise QBS und QtBiSi nur unendlich wenig von einander ab. Es sind nämlich die Krümmungshalbmesser
S 8t
wenn man den Abstand der Mitten der Elemente QB und BS mit s, den von QiB^ und B^S^ mit s^ bezeichnet und
n — ^QBS^fp, n-^Q,B,8,^q>, setzt. Da die Tangenten der drei gegebenen Kurven in P nach der
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XI, 476—477. Eifammiing der Normal- und der schiefen Schnitte. 527
Voraussetzung endliche Winkel mit einander bilden, so sind QR, QiBi, ... sowie s und s^ >= 0\ und ebenso sind im allgemeinen (p und <pi s= OS im besonderen 0 von höherer Ordnung = 0". Da- gegen sind die Abstände ÖOi, -B-Ru ^^i =0' (I> 237); daher ist einerseits 5 — Si = 0^, und andererseits ist der Winkel von QB und Q^R^ = {QQ^ - RR^) : ^B = 0» : 0^= 0«, ebenso der von RS und iJjiSi, daher auch (p — <pi = 0^ Hieraus folgt, daß im allge- meinen Falle 5 «« Sj, 9? = 9i und r = r^ ist. Andererseits ist im besonderen Falle (^ «= 0*, n > 1) r «= 0^ : 0" = cx>; dann ist 9i = 9 + 0* = 0*, daher r^ «= 0* : 0* =» cx> , also wieder r ^r^. Und da auch der Krümmungshalbmesser jener vierten durch P gehenden Kurven Je von r^ und daher auch von r unendlich wenig verschieden, d. h. mit r gleich ist, so ist auch er durch die drei gegebenen Kurven bestimmt, w. z. b. w.
Daraus folgt der Sat^: Zwei Flächen, welche sich in einem ge- meinschaftlichen Punkte P berühren j werden von jeder durch P gelegten Ebene in zwei Kurven geschnitten , welche in P dieselbe Krümmung besitzen, wenn dies ßr drei solche Ebenen der Fall ist, von denen keine zwei eine Tangente der Flächen in P gemein haben. Man sagt dann, beide Flächen besitzen in P dieselbe Krümmung, oder die eine Fläche ist eine sich in P anschmiegende oder oshüirende Fläche oder eine Schmiegungsfläche der andern.
Die beiden Flächen haben bei P nach jeder Seite hin zwei Flächenelemente gemein, weil ihre Schnittlinien mit jeder durch P gelegten Ebene zwei Linienelemente gemein haben.
477. Satz, Es gibt eine dreifach unendliche Schaar von Flächen zweiten Grades F^ welche sich einer beliebig gegebenen Fläche F in einem Punkte P anschmiegen.
Denn legt man durch P eine die F schneidende Gerade und durch diese drei Ebenen, bestimmt ihre Schnittlinien mit F, nimmt auf der Geraden außerhalb P einen willkürlichen Punkt Q an und legt durch diesen in der ersten jener Ebenen eine willkürliche Ge- rade t, in der zweiten eine solche t^, legt dann in jeder der drei Ebenen durch P und Q einen Kegelschnitt, wovon jeder mit der in derselben Ebene liegenden Schnittlinie der F denselben Krümmnngs- kreis in P besitzt und von denen die erste in Q die t, die zweite die ti, die dritte die Ebene tt^ berührt (wobei jeder durch fünf Punkte gegeben ist), so bestimmen diese drei Kegelschnitte eine Fläche zweiten Grades F* (87), welche sich der F in P anschmiegt. Wegen der WillkOrlichkeit in der Wahl von Q, t, t^ gibt es drei- fach unendlich viele solcher F*, während die Wahl der durch P ge- legten Geraden die Anzahl der Schmiegungsflächen nicht vermehrt,
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XI, 477--478. Die Krümmung der Fl&chen.
da jede solche Gerade von jeder P* in einem zweiten Punkte Q ge- schnitten wird.
Die Schaar der anschmiegenden V\ welche in P einen Scheitel besitzen, ist einfach unendlich. Um eine solche zu erhalten, legt man FQ als Normale der F in P und zieht t und t^A.PQ\ dann ist PQ eine Axe der F*. Durch die Wahl von Q oder des Mittel- punktes M der PQ, welcher auch der Mittelpunkt der F* ist, und durch die Krümmungshalbmesser r, r', r" der drei Normalschnitte der F in P ist F* bestimmt Dabei enthält der zu PM senkrechte Hauptschniti; der F^ in den drei Normalschnitten Halbdurchmesser d, d'y d'\ und diese sind, wenn die Halbaxe MP ■= MQ = c ge- setzt wird, bestimmt durch (I, 250)
^ = er, d'^ = CT, d"« — er".
Durch diese drei (reellen oder imaginären) Halbdurchmesser (näm- lich durch f&nf von den sechs Endpunkten der drei Durchmesser) ist der Kegelschnitt bestimmt, welcher den auf PQ senkrechten Hauptschnitt der F* bildet, und damit dessen Axen 2 a und 25, und die F^ selbst. Fig. 198. Sind die Krümmungshalbmesser der durch MA = a und MB = b gelegten Normalschnitte in P bezw. r^ =» PB^ und r, = PiJ,, so ist
a^^^^r^Cf ¥'=»r^c,
Fig. 198. woraus folgt, daß bei
wechselndem c die Haupt- schnitte A MB aller anschmiegenden F^ das Verhältnis a : b nicht ändern, also unter ein- ander ähnliche und ähn- lich gelegene Kegel- schnitte bilden. Ergeben sich a und b beide ima- ginär, so kann man sie durch Umkehrung des Sinnes von c reell machen. 478. Eine parallel zur Berührtmgsebene der F in P und un- endlich nahe bei P gelegte Ebene schneidet die F und die sich anschmiegende F' in Kurven i\ t, deren unendlich nahe bei P lie- genden Teile zusammenfallen, weil jede durch P gelegte Ebene beide Flächen in Kurven Je und Jc^ von gemeinschaftlichen Krüm- mungskreisen trifft Sind nämlich die benachbarten Schnittpunkte
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XI, 478— 479. Krümmung der Normal- und der schiefen Schnitte. 529
jener parallelen Ebene mit h, h^ und ihrem gemeinschaftlichen Krüm- mungskreise bezw. R, B^, Bq, wobei R und B^ bezw. auf V und i liegen, so sind BBq und B^Bq, daher auch BB^ — 0*, wenn PB = 0* ist. Denn die Abstände der Je und \ Ton ihrem Krümmungs- kreise sind bei B in der Richtung der Normale in P «= 0^ (1, 237), daher in der Richtung der Tangente in P, weil diese einen Winkel 0^ mit den Tangenten der Kurven bei JB bildet, = 0' : 0* = 0*. Wenn aber iJBj — 0*, Pi? = 0^ so fallen i? und Bi, oder die Punkte der i' und der i zusammen. Dasselbe gilt auch von ihren Tangenten in B und JR^. Denn sind S, S^ die bezw. den Jß, B^ benachbarten Punkte der i', i, wobei wegen Pi? «== 0^, BS und und ebenso B^Si nur 0*, so ist die Änderung des BBi zxxSSi ^^^^ BB^ — SSi = 0^ daher der Winkel der Elemente BS, B^S^ oder der Tangenten der i\ i in B, B^, ^{BB^ — SS^) : iJS = 0» : 0« = 0^ Da nun der Schnitt i auf der Fläche zweiten Grades F* ein mit deren parallelem Hauptschnitte MAB ähnlicher Kegelschnitt ist, so können wir sag^n:
Eine parallel und unendlich nahe zu der Beruhrungsebene einer Fläche F in ihrem Punkte P gelegte Ebene schneidet die F in einer Kurve, welche mit ihren dem P unendlich nahen Punkten und ihren Tangenten in denselben mit einem Kegelschnitte i zusammenfällt, der unendlich kleine Axen besitzt; derselbe heißt die Indikatrix*) derT in P. Man stellt denselben dar durch die senkrechte Projektion PA'B' des Hauptschnittes MAB auf die (mit ihm parallele) Berührungs- ebene der F in P und nennt auch diese Projektion die Indikatrix. Für ihre Axen a, b gilt das Verhältnis (477)
Die Großen der Axen wechseln mit c und sind daher willkürlich; aber alle Indikatrixen sind unter einander koncentrisch, ähnlich und ähnlich gelegen.
479, Durch die sich der F in P mit einem Scheitel anschmie- gende Fläche F^^ oder vermittelst einer Indikatrix und des ihr zu- gehörigen c, kann man leicht die Krümmungshalbmesser aller ebenen Schnitte der F in P bestimmen, was zunächst ßr die Normalschnitte geschehen soll.
Die Gleichung des Hauptschnittes MAB, wenn man MA als X', MB als yAxe annimmt, ist
*) Die Theorie der Indikatrix rührt von Ihipin her (d^veloppements de g^om^trie, Paris, 181 S).
Wiener, Lehrbach der darttellenden Oeometrie. IL 84
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530 XI, 479—480. Die Krümmung der Flächen.
Diese Mittelpunktsgleichung stellt eine Ellipse, eine Hyperbel oder ein Paar paralleler Geraden dar, je nachdem beide Axen reell, eine reell und eine imaginär, oder eine reell und endlich und eine un- endlich ist.
Die Normalschnitte PMA, PMB, PMD, wobei D ein Punkt des Kegelschnittes AB, für welchen MD = d, sind Kegelschnitte mit den Halbaxen c, a; c, &; c, d, und haben zu Krümmungshalb- messern in P bezw.:
Bezeichnet man -^AMD mit 9, so ist für D:
X = d cos q>, y = d sin 9, und nach Gl. (1)
-,- cos* 9 + -^ 8in> = 1;
setzt man darin die aus (2) bestimmten Werte von eP : a* und d* : 6* ein, so erhält man
— 5= — cos* 9) -j sin* 9? . (3)
Diese Formel und die Folgerungen aus derselben verdankt man Etiler*).
Man ersieht aus Gl. (2), daß r, r^, r^ stets reell, aber positiv oder negativ sind. Man kann die Gleichung (3) auch schreiben
i- = -i 4. /-i _ i-\ • «
woraus folgt, daß für <^ AMD = 9 und = — (p die Werte von r übereinstimmen, und daß r stets wächst oder stets abnimmt, wäh- rend <p von 0 zu + 90^, r selbst aber von r^ zu r^ übergeht, daß also einer der beiden Werte r^ und r^ ein größter, der andere ein kleinster ist. Daher:
Unter allen Normälschnitten einer Fläche F in einem Punkte P derselben gibt es zwei auf einander senkrechte, von denen der eine die größte, der andere die kleinste Krümmung in P besitz. Diese beiden Schnitte heißen die Hauptschnitte, ihre Ebenen die Hauptebenen und ihre Krümmungshalbmeser r^ und r^ die Hauptkrümmungshalbmesser.
480. Erörterung der Eulerschen Formel.
1) Sind die beiden Hauptkrümmungshalbmesser r^, r, enMä^
*) Euler, Recherches aar la coarbure des surfaces. Abhandinngen der Akad. V. Berlin, 1760.
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XI, 480. Krümmang der Normal- und der schiefen Schnitte. 531
und haben denselben Sinn, den wir als den positiven bezeichnen wollen y so ergeben sich nach (2) der Tor. Nr., je nachdem man c positiv^ unendlich oder negativ wählt, a und b als endlich und reell, unendlich, oder imaginär, also die anschmiegende Fläche F^ als EUipsoid, elliptisches Paraboloid oder zweischaliges Hyperboloid. Die Indikairix ist dann stets eine Ellipse, der Punkt heißt ein. dlip- tischer und die Fläche ist in diesem Punkte konvex (vergl. Nr. 33). Ist ry^m^r^, so haben alle Normalschnitte denselben Krümmungs- halbmesser, c wird eine Umdrehungsaxe der F*, welche auch eine Kugel sein kann, die Direktrix wird ein Kreis, und der Punkt heißt ein Kreis- oder l^äbe^nkt,
2) Sind r^ und r, endlich und haben entgegengesetzten Sinn, wo- bei die Fläche eine sattelförmige Gestalt besitzt, so ist von den Axen a und b die eine reell, die andere imaginär, welchen Sinn man c auch geben mag; die F* wird ein einschaliges Hyperboloid, welches für c = oo in das hyperbolische Paraboloid übergeht Die Direktrix ist eine Hyperbel, der Punkt heißt ein hyperbolischer und die Fläche in diesem Punkte konvex-konkav oder von entgegenge- setzter Krümmung. Indem mit der Veränderung von (p der Krüm- mungshalbmesser r vom positiven zum negativen Werte übergeht, durchläuft er den unendlichen Wert (479, Gl. (3) und (2)) für
Dieser Ausdruck ist reell, da r^ : r^ negativ, und bestimmt den Winkel g) der Asymptoten der Direktrix mit der Axe a. Ein durch eine der Asymptoten gelegter Normalschnitt der F berührt die Berührungs- ebene der F dreipunktig, weil sein Krümmungshalbmesser unendlich ist. In diesen beiden Normalebenen erfolgt der Übergang des Krümmungskreises des Normalschnittes von der einen zu der an- deren Seite der Berührungsebene. Die Projektionen zweier auf ent- gegengesetzten Seiten der Berührungsebene liegenden Direktrixen auf diese Ebene liegen in den verschiedenen Winkeln jener Asymp- toten und sind bei gleichen Werten von c (s. 479) zu einander kon- jugirt. Die Asymptoten der Indikatrix in P heißen die Haupt- tangenten der Fläche in P.
3) Ist einer der Hauptkrümmungshalbmesser^ etwa r^, unend- lich, so wird (479, Gl. (2) und (3))
a = cx>, b '^ + yrlc, r ■= -r-l —
Die Direktrix besteht dann aus zweien mit a parallelen Geraden, die anschmiegende F' wird ein Cylinder, von welchem die Taugente an
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532 XI, 480—481. Die Krümmung der Flachen.
den Hauptschnitt ac der F (mit unendlichem Krümmungshalbmesser) eine Erzeugende ist Ein solcher Punkt heißt ein parabolischer, weil er den Übergang zwischen den beiden anderen Punktarten bil- det, wie im allgemeinen die Parabel zwischen der Ellipse und der Hyperbel, obgleich die Indikatrix keine Parabel ist und nicht sein kann, da ihr Mittelpunkt P im Endlichen liegt Vielmehr geht die Indikatrix von der Ellipse in die Hyperbel durch jene zwei parallele Gerade über. Abwickelbare Flächen haben nur parabolische Punkte. 4) Ist ein Hauptkrümmungshalbmesser, etwa r^, Null, der an- dere rg endlich f wie es an der Rückkehrkante einer abwickelbaren Fläche vorkommt, so sind alle r bis auf r, Null. Sind r^ und fg Null, so sind alle r Null; wie dies in der Spitze einer Umdrehungs- fläche vorkommt, welche durch Drehung einer Kurve um ihre Tan- gente in ihrer Spitze entsteht.
Die Haupttangenten einer Fläche in einem Punkte P derselben, als Asymptoten ihrer Indikatrix, sind entweder reell und getrennt^ oder reell und vereinigt, oder imaginär.
481. Konstruktion des Krümmungshcdbmessers r eines Normal- Schnittes aus den beiden Hauptkrümmungshalbmessem r^, r^. Flg. 194. Erstes Verfahren. Es sei P der gegebene Punkt der Fläche F, PN deren Normale, auf derselben PRi^^^r^, PR^^=r^j femer -^ NPD^ «= 9 der Winkel, welchen eine an- dere Normalebene der P in P mit der Haupt- ebene des rj bildet. Man ziehe BiD^ und JB^Dj senkrecht zu PN, PD^±PD^, schneide PD^ mit BijDi in Dj, P^B^ mit B^D^ in D^, so bestimmt die Gerade D^D^ auf PN den Krüm- mungsmittelpunkt B und den Krümmungshalb- messer PB, =" r unseres Normalschnittes. Denn es ist A PA A = A PD^B + A PSA, daher auch
PA . PA = -PA . Pi2 . sin 9 + PjR . PA -cos 9.
Teilt man durch PB . PA • ^A? ^^ erhält man
und bezeichnet man PB mit r, und beachtet, das PA "^ ^1 ' cos 9), PDg = r^ : sin 9, so erhält man
— = — cos* fp -{ sm' q> .
Die Übereinstimmung dieses Ausdrucks mit der Eulerschen Formel
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Fig. |
194. |
||
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n |
^r |
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\^ |
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^ |
\r |
Ä |
\ |
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^' / |
y^< |
||
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\ |
^r. |
XI, 481—482. Erammung der Normal- und der schiefen Schnitte. 533
(479, Gl. (3)) zeigt, daß PR '==^ r der gesuchte Krümmungshalb- messer ist*).
Man bemerkt, daß die Geraden D^D^ einen Kegelschnitt ein- hüllen (weil Dl und D, projektive Punktreihen beschreiben), daß 22i, B^ Scheitel dieses Kegelschnittes sind, und daß er selbst die Gestalt einer Hyperbel, Ellipse oder Parabel besitzt, je nachdem P ein elliptischer, hyperbolischer oder parabolischer Punkt der Fläche F ist
482. 2koeites Verfahren, Es seien wieder PN die Normale Fig. m. der Fläche in ihrem Punkte P; Ri, R^ die Hauptkrümmungsmittel- punkte, R^Di und R^D^±PN]
dann ziehe man RiQi unter dem Winkel (p gegen RiDi] der zu (p gehörige Krümmungshalbmesser sei PR = r, und es sei JB ^i J_ PJB. Wir wollen den geometrischen Ort h^ dieses Punktes Q^ durch Aufstellung seiner Gleichung er- mitteln , wobei RiR = x, -B öi =» y sei. Es ist
y^ajcot^; (1)
aus dieser Gleichung eliminiren wir die Veränderliche 9? mittelst der Eulerschen Gleichung (479, (3)) und einer Beziehung für r, näm- lich mittelst
Fig. 196.
und
r. — X.
— «= — cos' 9) H sm* 9?
Aus der ersteren folgt, weil
cos^ <p = cot* 9 : (l + cot* <p) , sin* 9) = 1 : (l -f- cot* <p) , y (1 + cot* 9).= ^ cot* q> + l^y
oder oder
r^ cot* g) {r^ — r) ^^ri{r — r^), r^ X cot* 9 = r, (r^ — r^ — x).
*) Diese Eonstraktion gibt Herr Mannheim (cours de g^omdtrie descrip- tive, 1880, S. 281) und leitet sie mittelst der Normalenfläche ab, aof welche er die Theorie der KrflmmaDg der Flächen gründet. Aus der Konstruktion entwickelt er dann in obiger Weise die Eulersch^ Formel. Eine andere Kon- struktion unserer Aufgabe mittelst eines Hilfskegelscbnittes gibt Eüler (Re- cherches sur la courbure des snrfaces in den Möm. de TAcad. de Berlin, 1760; siehe de la Ooumerie, tr. de g^om. descr., B. 8, 1864, S. 18).
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534 Xr, 482. Die Krümmung der Flächen.
Multiplicirt man diese Gleichung mit der quadrirten Gleichung (1), so erhält man die Gleichung von J;^:
y« = ^x(r.-r,-a;). (2)
Vergleicht man dieselbe mit der Gleichung der Ellipse von den Halbaxen zu a,, ft^, bezogen auf einen Scheitel der Axe 26i:
(welche man aus der letzten Gleichung von I, 363 erhält, wenn man a mit h vertauscht, und x durch x — h ersetzt), so findet man beide übereinstimmend, wenn
Die Kurve Aj ist also eine Ellipse, welche, unter der Voraus- setzung ^1 > fj, woraus a^ > Jj, die R^ R^ zur Nebenaxe hat und ähnlich mit der Indikatrix ist, weil deren Axen das gleiche Verhält- nis besitzen (478).
Zieht man andererseits R^Q^-^^Qx^ ^^so unter dem Winkel 90^ — 9) gegen R^D^, und schneidet R<gQ^ mit Ji^j ^Qiy so erhält man die Gleichung des geometrischen Ortes Ti^ des Punktes Q^, worin R^R'^ X, RQ^=^y ist, wenn man in der Gleichung (2) **i, »"2, 9, a? bezw. durch r^, r^, 90^— 9, ^'i — ^2 — ^ ersetzt,
y'-^x{r,-r,^x). (3)
Es ist dies wieder die Scheitelgleichung einer Ellipse von den Halbaxen «2; ^2; wobei
Ic^ hat daher R^R^ zur Havptaxe und ist ebenfalls der Indikatrix ähnlich.
Da RiQi und R2Q2 auf einander senkrecht stehen, so ist der Ort ihres Schnittpunktes Q der Kreis Je vom Durchmesser JBi 22^ und dem Mittelpunkte 0. Für 9 = 45^ sei r=»r'] dann wird cos* 9 = sin* y = ^ , und die Eulersche Gleichung wird
— = — -4- i.
Der Erümmungsmittelpunkt R' ist dann von P durch R^ und R^ harmonisch getrennt (I, 289), oder die Berührungspunkte der aus P an A, \, Jc^ gezogenen Tangenten, nämlich S^, S^, Sg, liegen auf einer durch iJ' gehendeil, auf P^ senkrechten Geraden. Der Schnitt- punkt 8 von R^Sj^ und B^Sg l^ßg* ^^f ^> ^^^y wegen 9 = 45®, in der Mitte des Halbkreises RiR^, so daß OSA^R^R^. Man erhält
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Fig. 196.
XI, 482—483. KrümmuDg der Normal- und der schiefen Schnitte. 535
daher die Punkte S^, S^ bezw. Ton Äj, i,, wenn man die Polare SqB' von F zn k mit den durch S, oder unter 45^ gegen B^Dj^ ge- zogenen Strahlen R^S, B^S in S^, S^ schneidet, oder wenn man R'S^ = B'B^y B'S^ = B'B^ macht. Dadurch sind \, h^ als affine Ellipsen zu Tc bestimmt*).
4:83, Um bei der Konstruktion von B die Ellipsen entbehren zu können, benutzen wir die KoUineaüon einer derselben, etwa der Ä^t, mit dem Kreise h] wir konnten als solche die Affinität mit der Axe jR, üj wählen, ziehen aber, wegen Übereinstimmung mit dem ^'
Folgenden, die KoUineation vor mit iZj als Mittelpunkt und B2D2 als Axe. Dann entsprechen sich in Je und k^ die aus einem pas- senden Punkte C der B^D^ ge- zogenen Geraden GS und CS^ (in der Figur wurde CS als Tan- gente an k gewählt). Schneidet nun ein Strahl B^Q den k in Q, so ziehe man QU\\ B^D^ bis U auf CSj dann B^^U bis Ui auf CSi, so schneidet die Parallele Ü^B zu B2D2 die B^Q in Q^, einem Punkte der Ä^, und die B^B^ in B.
Ist P ein hyperbolischer Funkt, so liegt P auf der endlichen rig. 197. Strecke Ü1JB2 und der von P durch ü^, IZ^ harmonisch getrennte Punkt jR' wird durch den Kreis k vom Durchmesser iJ^JB^ gefun- den, wenn man FS^^J^B^^B^ bis Sq auf i, und in Sq die Tangente an k bis iJ' auf ü^üj zieht. Ä,, i^ werden Hyperbeln mit B^B^ als reeller Axe, gehen bezw. durch die Punkte ä/, S^ der Polare iJ'iS/ von P zu A, Ä^, ig, wenn iJ^fif'S/ und iJ^ß^S/ unter 45^ gegen B^D^ gezogen sind (JB'Ä/ = jB'i?i, B'S^ = B'B^). Die Hyperbeln sind ähnlich mit den konjugirten Hyperbeln der Indi- katrix, und haben dieselbe gegenseitige Lage wie die eine Indikatrix- hyperbel gegen die um 90^ gedrehte andere; ihre Asymptoten stehen daher paarweise auf einander senkrecht. Sie sind als kollineare Kurven zu k mit B^ als Mittelpunkt und ü^Dj ^Is Axe der Kol- lineation gezeichnet Zieht man den Strahl B^ Q^ unter dem Winkel q) gegen üj 2)^, und schneidet ihn mit k^ in $/, zieht Q^BA^B^B^,
*) Die Konstruktionen dieser Nr. rühren von meinem Sohne Hermann Wiener, Privatdocent in Halle, her.
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XI, 483. Die Krümmung der Flächen.
SO ist 12 der za (p gehörige Erümmungsmittelpunkt Denselben erhält man auch durch den Strahl B, Q^ unter dem Winkel 90* — 9) gegen B^D^y durch seinen Schnitt Q/mit %,, und dnrch Q^B J_ Üi-Bs-
Fig. 197.
Um die Hyperbeln entbehren zu können, zieht man unter Be- nutzung der bezeichneten KolUneation zwischen h und k^, in der sich BgiS und B^Si entsprechen, JB^^ unter dem Winkel q> gegen JS,Di bis Q auf*, QU^R^D^ bis U auf R^S, R^U bis U^ auf B^S^, so liefert UiR \\ R^D^ auf R^Q den Punkt Q^ der Äj, und auf E,iJj den Erümmungsmittelpunkt Jß zu. 9.
Die Paare der Normalebenen der Fläche in P, .welche den- selben Winkel (p mit der zu r^ gehörigen Hauptebene einschließen, bilden eine luToIution, deren Doppelebenen die beiden Hauptebenen |?f- S?: ^^^^' ^i® Büschel JRj und R^ der Strahlen JRi öi und B, ^^ (oder R^Qi) sind mit dem senkrechten Schnitte dieses Ebenenbüschels kongruent, und erzeugen daher bezw. auf äj^, Tc^ inyolutorische Punkt- reihen, deren Punktepaare aus dem Pole der Involution (dem unend- lich fernen Punkte der Bj Dj) auf die Axe der Involution R^R^ in die Reihe der Krümmungsmittelpunkte R projicirt wird; daraus folgt (297, D):
Bas Büschel der Normäld>enen einer Fläche T in einem Punkte P derselben ist involtäorisch und projektiv m der Reihe der entsprechen- den Krümmungsmittelpunkte y wenn man ßwei Ebenen des Büschels ein- ander zuordnet j welche gleiche Winkel mit jeder der beiden Hauptd)enen bilden, und wenn man ihnen den gemeinschaftlichen Krümmungsmittd- punkt ihrer Schnittkiirven mit T in P entsprechen läßt. Der eu dem
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XI, 483—484. Krümmung der Normal- und der schiefen Schnitte. 537
Winkel von 45® gehörige KriimmungsmittdpanTct R' ist von P durch die HattpikrümmungsmittelpunJOe JB^, JB, harmonisch getrennt.
484. Schneidet man die Berührungsebene mit den Normal- ebenen der F in P und trägt auf jeder Schnittlinie den Krümmungs- halbmesser PR = r des von ihr berührten Normalschnittes nach Fig. los beiden Seiten hin auf, so bilden die Punkte B die ^" ^
Kurve der Krümmungs- halbmesser oder die Euler" sehe KurvCf deren Polar- gleichung die Eulersche Gleichung (479,(3)) ist. Man konstruirt die Kurve aus den auf einander senkrech- ten Hauptkrümmungshalb- messern Pi?i = ri, PjB, = r, (481), indem man auf PJB,diePJi/ = PjBi auftragt, R^'D^ und B^D^ ±PR2 und PDi±PR
zieht, D^D^ mit PU, in R' schneidet und PR=^PR' macht. In der Figur wurde P als elliptischer Punkt der Fläche angenommen; dann haben r^ und r^ gleichen Sinn, und deswegen wurde auch Pi2/ in dem Sinne von PR^ aufgetragen.
Die Tangente im Punkte R bestimmt man nach dem Verfahren der ähnlichen Figur (I, 204). Dreht man den rechten Winkel DiPD^ um P unendlich wenig im Sinne der Zunahme von q> (= RiPR)f so verhalten sich die von D^, Z)^, -R beschriebenen Kreis- bogen, wie PDi : PD^ : PR =» E/Di : PjR, : PF, wenn F der Fuß- punkt der von R auf PR^ geföllten Senkrechten ist. Die letzteren Linien, multiplicirt mit cos q>, wollen wir als die verhältnismäßigen Vergrößerungen der unendlich kleinen Wege betrachten. Dieser Weg für R ist daher RS, wenn RS ± PR, FS ± RS, Trägt man dann auf FS die noch zu bestimmende zugehörige Verkleinerung von PR, d. i. auch den Weg von R' gegen P, = ST auf, so ist RT die gesuchte Tangente. Nimmt man vorübergehend Ü/Di, P-Kj, PF als die Längen der bezw. von Dj, Z),, R beschriebenen ver- größerten Bogenelemente an, so sind, wie man leicht sieht, die dabei von D^, D^ auf iZ/A, D^jB« (in gleichem Sinne) beschriebe- nen Wege gleich EDi, D^P, wenn D^E ±PDi bis E mf PR^ gezogen wurde. Der dabei auf einer || Ri B^ durch R' gelegten Geraden von ihrem Schnittpunkte R' mit D^D^ beschriebene Weg
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XI, 484. Die Krümmung der Flächen.
ist = J^J^ wenn die \ FD^ durch Bf gezogene Gerade die FB^ in J, und die D^E in J^ triflFfc. Zieht man J^J^ \ FD^ bis J^ auf Dj^B, so ist JgDi = Ji J, und der zum Wege RS = FF . cos g> gehörige Weg von JB' in der Richtung von B^'D^ ist J2D1 . cos 9 = J^2),, wenn J^^ J3 U PJBg his J^ auf iJ/Di gezogen wurde. Zieht man sie noch bis J4 auf Di Dg, so ist der Weg von B' gegen P, oder die Abnahme von r = J^J^y und diese hat man als ST aufzutragen.
Die Figuren 198, 199, 200 geben die Eulersche Kurve för einen elliptischen, hyperbolischen und parcibolischen Punkt P einer Fläche. Die erstere schließt sich einer Ellipse an, die zweite zwei kon- jugirten Hyperbeln und die letztere zweien in Bezug auf den Scheitel symmetrischen Parabeln. Fig. 199. Bei der Eulerschen Kurve für einen hyperbolischen Punkt wird
r = 00, wenn B^D^ in die zu FB^ parallele D'D" brückt, wodurch
Fig. 199.
der Schnittpunkt Z der B'B" mit PB^ sich ergibt durch PZ* = — rjTg, oder als Schnittpunkt mit dem über B^'B^ als Durchmesser
beschriebenen Kreise. Aus dieser Gleichung folgt
lgZPJ)" = tg»--Ä^ = +
±v-?..
was bei Vergleichung mit 480, 2) zeigt, daß FB" in die Asymp- tote der Direktrix fallt, wie es sein mußte. — Die Asymptoten der Eulerschen Kurve sind mit denjenigen der Direktrix par- allel, ohne in dieselben zu fallen. Läßt man q)' um das unendlich
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XI, 484. Krümmung der Normal- und der schiefen Schnitte. 539
kleine d zunehmen , oder läßt man den rechten Winkel D'PD" sich um P um * drehen, so beschreiben D' und D" bezw. auf D' JB/ und D"Il^ gleiche und entgegengesetzte Linienelemente, weil sie die- selben auch auf dem Kreise beschreiben, der durch P, D\ D" gelegt ist (und D'D" zum Durchmesser hat). Die Gerade D' D" dreht sich daher um 26, den Centriwinkel, der mit den Peripheriewin- keln d auf denselben Bogen ruht Die Strecke (wie PB'), welche dann die gedrehte D'D'' auf PR^ abschneidet, ist « PZ: 2d; und trägt man diese auf dem um d gedrehten Strahle PD" auf, so ist der Abstand ihres entfernten Endpunktes von PD" = d(PZ :2d) = ^ PZ. Eine Asymptote unserer Kurve hat daher einen Abstand von einer Hyperbelasymptote und von P = ^ PZ] das von ihr mit den Axen gebildete und mit PD'D" ähnliche Dreieck hat daher die halben Maße des letzteren, und die Abschnitte, die sie aufPJßi und PR, bildet, sind bezw. PC = PC' = i PD', und PL = PL' = \PD".
Bei einem parabolischen Punkte {r^ = oo) fallen R^ und B/Dj y^e ^doo ins Unendliche, und es wird D^B' ± PD^, so daß PB' = PB = r = Tj : sin* g> (wie in 480, 3)) die Polargleichung der Kurve vorstellt » Fig. 200.
X'V.-
Trägt man auf dem Strahle PB die PQ = q = FB = D^B' = r cos g) auf, so bilden die Punkte Q eine Kurve von der Polar- gleichung $ °» (^2 ' ^^^^ 9) ^^^ 9; ^^^ diese Kurve ist die Parabel vom Parameter rg und der Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten f^ =' r^x, da diese Gleichung vermittelst y = g sin 9, a; = g cos 9 in die obige übergeht Zwei solche Parabeln schließen sich unserer Kurve asymptotisch an.
Es sind durch das Vorige drei, wie mir scheint, neue Parabel- konstruMionen gegeben durch PB2 «= rj = Parameter, PQ = D^B', oder Abstand (Ja; «= y -= B^D^, oder Abst (gy =■ o; = B^B'.
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540 XI, 484—486. Die Krümmung der Flächen.
Die Tangente BT unserer Eulerschen Kurve in B ist durch FT^ BP und «=» jB,B' bestimmt Denn der Punkt B^' der Fig. 198 und damit 2),, E rücken ins Unendliche, D^Di wird | PD^ oder J_PDj, A-^l ^-K»; ^^^ wenn man die endliche Figur DiJ^J^J^^ die ins Unendliche rückt, an das mit DiJ^ gleiche JJi angesetzt denkt, so wird das A D^J^J^ zum A JJ^^^ der Fig. 200; dieses aber ist ähnlich mit dem A D^PE' und doppelt so groß, wie das- selbe (JiB'~D^P = B'J), also J^J^ der Fig. 198 = 2B^B' der Fig. 200. Hier ist A BSF & A D^B^B\ weil BS'^PF. cos tp = PD, . cos 9 = DglJa, daher SF = B^B\ so daß man SFTr=^ 2B^B' = 2 SP' erhält, wenn man FT «^ B^B' macht, wie angegeben.
485. Um den Krümmungshalbmesser der Kurve in einem Scheitel, z. B. in Pjy 2^ bestimmen, denken wir uns ihren Punkt B unendlich Fig 198. nahe zu B^ gerückt und bezeichnen <^ B^PB («» 0^) mit d, denken uns aus B die Senkrechte EP auf PB^ gefallt, so gehen durch B der aus P durch B' mit einem von r, unendlich wenig verschiedenen Halb- messer beschriebene Kreis, und der durch Jßg gehende Krümmungs- kreis vom Halbmesser r". Daher verhalten sich (208)
r" : B^P^r" : (- r,) = B'FiB^F. (1)
Dabei ist r, =» Pl^s^ ^^^ ^^^ ^^^ ^^^i Krümmungshalbmessers r" wurde vom Berührungspunkte gegen den Krümmungsmittelpunkt hin genommen gedacht. Sodann ist, da DgPj = 0*,
B^B' : B^B,' = D^B^ : (A^ + ^Z A) = A A : A' A ,
und da A A = ^«^ ^^^ A'A = ^i • *> ^^^ ^^t
iJ,B' -= B,U/ ^^ -= (r. - r,) ^ d«.
Femer ergibt sich, weil BP' ein Kreisbogen, P'P«= — ^rjJ* (negativ, weil sein Sinn entgegengesetzt mit dem von r,); daher
R,F^B,R'-^R'F=(r,-r,)^d>-^r,ö' = '^ir,-2r,), und mit Hilfe von (1)
Entsprechend ist der Krümmungshalbmesser r' in P^
Hiernach werden die Krümmungshalbmesser konstruirt, z. B. deqenige in A> indem man auf AA ^^^ A^^^'^PA aufträgt und P^G mit PA in fi" schneidet; dann ist r" = Pfi" '^ B^Ky und zwar hier von gleichem Sinne wie r,, da r^>2r^.
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XI, 486—486. KrömmuDg der Normal- und der schiefen Schnitte. 541
Für fj = oo wird r" «= r^, r'= — ^r^. r ist dann der Krüm- Fig. 200. mungsbalbmesser sowohl im unendlich fernen Scheitel , wie in dem- jenigen P der asymptotischen Parabel, deren Parameter r, ist.
486. Wir wollen nun den Krümmungshalbmesser eines schie- fen Schnittes einer Fläche P bestimmen. Sei P ein Punkt der P, Fig. 201. PN ihre Normale; auf dieser tragen wir das unendlich kleine PM auf, dann schneidet eine durch M J_ PN gelegte Ebene die P in der Indikatrix AA'B'B = i vom Mit- telpunkte Jlf (478). Die willkürlich durch P gelegte Schnittebene bilde mit der Normale PN den ^ a und habe mit der die P in P berührenden Ebene die Ge- rade PT gemein. Die Normalebene PTN der P schneide die Indikatrix in A und B (AHB | PT), und die P in der Kurve APB ; ihr Krümmungskreis in P ist durch diese drei Punkte oder durch P, A und die Tangente PT gegeben; sein Halbmesser sei r. Setzt man PM«^ a?, MA = y , so ist y* = 2 rXy und y = 0% a; = 0* (208). Jene durch PT gehende schiefe Schnittebene treffe die Indikatrix in A\B' (A'B' || PT|| ^JB); sie schneidet dann die P in einer Kurve A'PB\ deren Krümmungshalbmesser r durch diese drei Punkte bestimmt ist, oder durch P, A' und die Tangente PT. Fällt man PM' ±A'B\ und setzt PM = x\ M'A' = y\ so ist y'* = 2r'x. Nun ist auch MM' ± A'B' und ^ MPM = «, daher PM' =^ x' =^ x: cos a, MM' = a; tg a, und beide Größen sind 0*, wie x. Ist M" die Mitte von A'B\ so ist MM" der zu AB konjugirte Durchmesser der i und bildet mit MM' im allgemeinen einen Winkel < 90®, so daß im allgemeinen auch M'M" = 0^ Ist dagegen dieser Winkel = 90^, was nur eintritt, wenn i eine Hyperbel und A B ihre Asymptote, so sind r und r' = 00 . Da femer MM" parallel mit den Tangenten der i in A und B, so ist MA - M"A' = 0^ . AA' = 0\ Demnach ist
y'=M'A' = M'M" + M"A'^0^ + MA-(fi = MA = y,
so daß aus y^*^2r'x' folgt y* «= 2r'a?: cos a, oder da auch y* = 2ra;,
r ' = r cos a .
Diese Formel drückt den Satz von Metisnier*) aus, nach wel- chem der Krümmungshalbmesser eines schiefen Schnittes einer Fläche die Projektion des Krümmungshalbmessers des ihn berührenden Normal- Schnittes ist. Daraus ergibt sich, daß, wenn man durch eine Tangente
*) Meumier, Memoire sur la courbure de« sarfaces (Savants dtrangers, 1776).
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542 XI, 486—488. Die Krümmung der Flächen.
einer Fläche in ihrem Punkte P aUe Ebenen legt, die Krümmtings- mittelpunkte von deren Schnittkurven in P einen Kreis und ihre Erüm- mungskreise eine Kugel Ulden.
487, Die Krümmungskreise der Normalschnitte einer Fläche F in einem Punkte P derselben bilden eine Fläche vierter Ordnung, welche die Normale der T in P zu einer DoppeUinie hat. Nimmt man die Tangenten des ersten und zweiten Hauptschnittes, welche bezw. r^ und r^ liefern, und die Normale der P bezw. zur x-, y- und ^Axe, nimmt man dann von dem Normalschnitte (9, r) die Tangente in P zur vAxe, so ist die Gleichung des Erümmungskreises dieses Normalschnittes
v^ = 2r0'^0^ (1)
Mit Hilfe der Gleichungen (379, 3))
— = ^— cos* op -1 sin* w oder r = = — ^-~ — =-=— ,
r fj ^ ' Tj ^ r, cos* 9 + r, am* 9 '
erhält man aus (1)
und cos9= -, sin 9==^, v^ = ix^ + y^,
**« V« ■+* *'* t?»
oder {^ + y' + z') {r^a? + r,f) = 2r,r,z (^ + y*)
als Gleichung der Fläche. Dieselbe ist also von der vierten Ord- nung, und hat die Normale der P in P zu einer Doppellinie, weil durch jeden Punkt derselben zwei (reelle oder imaginäre) Erüm- mungskreise gehen (483).
Legt man durch die Tangente des Normalschnittes (qp, r) in P alle Ebenen, so bilden die Erümmungsmittelpunkte ihrer Schnitt- kurven mit P einen Ereis (486), dessen Ebene seukrecht auf der Ebene des Normalscbnittes (9, r) steht und welcher den vom Be- rührungspunkte ausgehenden Erümmungshalbmesser r zu seinem Durchmesser hat, also halb so groß wie der Erümmungskreis des Normalschnittes isi Verkleinert man daher die Fläche der Erüm- mungskreise der Normalschnitte in P mit P als Ähnlichkeitspunkt auf die Hälfte, und dreht die verkleinerte Fläche um die Normale um 90^, so erhält man die Fläche der Krümmungsmittelpvnkte aMer {ebenen oder unebenen) durch P gehenden Kurven der Fläche in P. Beide Flächen sind daher ähnlich mit dem ÄhnlichkeitsverJuiltnisse snoeL
488, Legt man in einem Punkte P einer Fläche P eine sich mit einem Scheitel anschmiegende Fläche zweiten Grades P', sowie eine zu der Berührungsebene der P in P parallele unendlich nahe
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XI, 488-489. Krümmung der Normal- und der schiefen Schnitte. 543
Ebene; so schneidet diese die F^ in einer Indikatrix i. Alle Nor- malen der F' in den Punkten der i bilden die gerade Normalen- flache der Nr. 407, d. i. eine windschiefe Fläche, welche zwei mit den Axen der Indikatrix parallele und die Normale in endlichen Absfönden von P schneidende Gerade zu Leit- und Doppellinien hat (408). Jene zur Berührungsebene parallele Ebene schneidet die F selbst in einer Kurve »', welche in der Nahe von P von der i Ab- stände «»= 0* hat, wenn die Durchmesser der i «= 0^ sind (478). Die Normalen der F in den Punkten der i' bilden mit den Normalen der F* in den um 0* entfernten Punkten der i Winkel =- 0*; sie erzeugen daher eine windschiefe Fläche, deren Schnittlinien mit sich selbst von den beiden geraden Doppellinien jener Normalenfläche bezw. Abstände "°0^ besitzen, weil die Winkel der zum Schnitte gelangenden Erzeu- genden dieser Fläche »» 0^ sind, so daß sie mit jenen geraden Doppel- linien zusammenfallen. Diese Geraden sind daher auch Leitlinien der windschiefen Fläche der t'; oder V und i und beide windschiefe Flächen fallen in einander. Femer, wenn die Normale n der F und der F' in P von einer Normale der F* in einem Punkte Ä (Scheitel) der i geschnitten wird, so gehen die Normalen der F in Punkten, welche von Ä den Abstand 0^ besitzen, also auf Kurven der F lie- gen, welche in P den Hauptschnitt PÄ berühren, von der n in Abständen «= 0^ vorbei, und da sie beim Durchlaufen der i' die Seite der n wechseln, so gibt es auch Normalen, die den Abstand 0^ und absolut 0 von n besitzen. Es ergibt sich daher:
An der Normale einer Fläche F in ihrem Punkte P gehen ihre Normalen in benachbarten Punkten (0^) des P im allgemeinen in Ab- ständen = 0* vorbei; nur für Punkte von Kurven der F, welche einen Hauptschnitt in P berühren, werden diese Abstände 0', .0' oder auch ab- solut 0. Der dieser benachbarten Normale nächstliegende Punkt der Nor- male in P ist dann der Erümmungsmittelpunkt dieses Hauptschnittes in P. AUe anderen Normalen der "F in benachbarten Punkten des P schneiden ewei Gerade, die s. g. Abweichungs- oder Deviationsaxen"^), welche in den Krümmungsmittelpunkten der Hauptschnitte beaw. senkrecht auf deren Ebenen stehen.
489. Unter den Krümmwngslinien**) einer Fläche versteht man diejenigen Linien derselben, welche in jedem ihrer Punkte einen der Hauptschnitte dieses Punktes berühren. Durch jeden Punkt der Fläche gehen daher zwei Krümmungslinien und dieselben schneiden
^ Azes de d^viation; sie wurden von Sturm aufgestellt (Gomptes rendus, 1845, 1. Bern.).
^ Die Theorie der Erammnngslinien verdankt man Monge (Application de Tanalyse h, la g^m^trie, 1796, XV o. XVI).
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544 XI, 489—490. Die Erümmung der Flächen.
sich senkrecht; die eine ist die Linie der größten^ die andere die der kleinsten ErQmmung. Die Flächennormalen in allen Punkten einer Erüuimungslinie bilden eine abwickelbare Fläche, weil sich zwei benachbarte derselben schneiden (vor. Nr.), während diese Nor- malen entlang einer anderen Linie eine windschiefe Fläche bilden.
Asymptotische Linien einer Fläche heißen diejenigen, welche in jedem ihrer Punkte eine der Haupttangenten (480, 2)) dieses Punktes berühren. Durch jeden Punkt der Fläche gehen daher ebenfalls zwei solche Kurven, welche gleiche Winkel mit jeder Erümmungs- linie dieses* Punktes bilden. Die asymptotischen Linien sind nur auf Flächen von entgegengesetzter Erümmung reell.
490. Bei einer Umdrehungsflädie sind die Krümmungslinien die Meridiane und die (sie senkrecht schneidenden) ParaUelkreise. Die Flächennormalen entlang eines Meridianes schneiden sich in deren Ebene, die Flächennormalen entlang eines Parallelkreises in einem Punkte der Axe. Daher ist für eine Umdrehungsfläche in irgend einem Punkte P der eine Hatiptkrümmungshalbmesser der Krüm- mungshalbmesser des Meridianes, der andere das zwischen P und der Umdrehungsaxe liegende Stück der Flächennormale in P.
Bei einer abwickelbaren Fläche bilden offenbar die Ergeugenden die eine Schaar von Erümmungslinien. Die andere Schaar wird durch die Linien gebildet, welche die Erzeugenden senkrecht schnei- den, d. i, durch ihre senkrechten Trajektorien , welche die Evolventen der Bückkehrkante sind; bei der abwickelbaren Schraubenfläche also durch ihre Normalkurven, welche zugleich Evolventen der Normal- schnitte des Cylinders der Rückkehrkante sind (334); bei dem Cy- linder durch seine Normalschnitte, bei dem Eegel durch seine Schnitte mit koncentrischen Engeln.
An eine windschiefe Fläche konnten wir (381) unendlich viele entlang einer Geraden berührende einschalige s. g. Berührungs- hyperholoide legen, welche nämlich auch noch die benachbarte Erzeugende mit ihr gemein haben. Läßt man noch eine dritte benachbarte Erzeugende beiden Flächen gemein sein, so ist das Hyperboloid bestimmt, welches das sich anschmiegende heißt Jede Berührungsebene der Fläche schneidet diese, in der Erzeugenden des Berührungspunktes und in einer Eurve, welche ebenfalls durch den Berührungspunkt geht und in ihm die Erzeugende von der zweiten Schaar des sich anschmiegenden Hyperboloides zur Tangente hat Man sieht daraus^ daß windschiefe Flächen nur hyperbolische Punkte besitzen und daß alle zürnten Haupttangenten in den verschiedenen Pu/iilden derselben Erzeugenden ein einsdialiges Hyperboloid bilden^ wel- ches sich der Fläche entlang der Erzeugenden anschmiegt Dasselbe
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Xr, 490—492. Die Tangenten im Doppelpunkte d. Schnittknrve zweier Flächen. 545
ist gegeben, wenn in drei Punkten der fraglichen Erzeugenden die zweiten Haupttangenten gegebenen sind.
n. Die Tangenten der Schnittknrye sweier sich berührendei^ Flächen in deren fierührangsptinkte, einem Doppelpunkte ^ der Kurve.
491. Wird eine Fläche F in einem hyperbolischen Punkte P von einer Ebene T berührt^ so ist P ein Doppelptmkt der SchniUkurve, und ihre Tangenten in P sind die Asymptoten der Indikatrix in P. Denn zwei mit T parallele, ihr unendlich nahe und auf beiden Seiten derselben liegende Ebenen schneiden die F in Kurven, und diese haben benachbarte Punkte des P mit Hyperbeln gemein, welche Formen der Indikatrix in P bilden (480, 2)), also parallele Asymptoten be- sitzen; und da diese Hyperbeln beim Hereinrücken der Ebenen in die T in die Indikatrixasymptoten übergehen, so hat auch die Schnittkurve der T mit F die dem P benachbarten Punkte mit die- sen Asymptoten gemein, oder sie wird von ihnen berührt Diese Asymptoten werden aber als die durch P gehenden Erzeugenden des sich in P der F anschmiegenden einschaligen Hyperboloides be- stimmt. Mittelst desselben wurden die Tangenten der Schnittlinie eines Ringes mit seiner ihn in einem hyperbolischen Punkte berüh- renden Ebene ermittelt (157)*).
493. Satz. Haben zum Flächen in einem gemeinschaftlichen Ptifikte P eine gemeinschaftliche Berührungsebene T, so hat ihre Schnitt- linie in P einen Doppelpunkt ^ in welchem deren {reelle oder imaginäre) Tangenten die beiden gemeinschaftlichen Durchmesser derjenigen Indi- katrixen beider Flächen in P sind^ welche zu demselben auf der Be- rührungsebene senkrechten Halbdurchmesser c der sich bezw. jenen Flä- chen in P anschmiegenden Flächen zweiten Grades gehören.
Denn bestimmt man mit diesem c ^== PM, also mit dem ge- meinschaftlichen Mittelpunkte M (vergl. Fig. 193) die in P sich anschmiegenden Flächen zweiten Grades, deren Hauptschnitte in der auf c senkrechten Hauptebene H sich (reell oder imaginär) in den Endpunkten zweier Durchmesser ^, t^ schneiden, so besteht die Schnittlinie dieser beiden Flächen aus zwei Kegelschnitten, deren Ebenen Pt^ Pt^ sind, und deren Tangenten in P die Projektionen von t und t^ auf T oder die gemeinschaftlichen Durchmesser der beiden zu demselben c gehörigen Direktrixen bilden. Dieselben Ge- raden berühren aber auch die Schnittlinie der ursprünglich gegebe-
*) Eine andere ebenso einfache EonBtrnktion bat Herr Pelz gegeben in den Sitznngsber. d. k. Akad. d. Wiss. in Wien, B. 79, Abt. 2, 1879, S. 470. Wiener, Lehrbuch der darstelleuden Geometrie. II. 35
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546 XI, 492—493. Die Srömmmig der Flachen.
nen Flächen in P, weil jede dieser Flächen mit ihrer anschmi^en- den Fläche^ und daher auch die Schnittkurye der ersteren mit der- jenigen der letzteren Flächen außer P noch die dem P benachbarten Punkte in der zu T benachbarten parallelen Ebene gemein haben.
'493. Aufg. IHe Tangenten der Schnittlinie eines Ringes mit einem geraden Konoide in einem Dqppdpunkte derselben m bestimmen. F?g' m. Aufl. Sei der Fall der Nr. 403''gewählt, wofür die Schnittlinie konstruirt wurde. Der Doppelpunkt befindet sich auf einer Kante {F'A'y J") des Konoides (entlang deren das Flächenelement eben ist). Diese Erzeugende ist eine KrümmungsliniC; weil die Flächen- normalen in allen Punkten derselbe^ in derselben Ebene liegen. Der auf dieser Erzeugenden senkrechte Schnitt FG^ der Fläche hat denselben Krümmungshalbmesser wie die Ellipse (G^/.F', G^'J"H^'), deren Aufwickelung auf den zu P^ senkrechten Cy linder G'FH' die Leitlinie bildet. Denn die Ellipse und die Projektion ihrer Auf- wickelung auf die Ebene der Ellipse haben den Punkt (F, J") ge- mein , sowie benachbarte Punkte von Jy weil die Schnittpunkte einer unendlich nahe bei J parallel zu P^ geführten Ebene beide Kur?en in Punkten schneidet, deren Abstände als Unterschied des Bogens und der Sehne = 0^ sind, was gegen den Abstand 0* der Punkte Ton J verschwindet. Demnach schmiegt derjenige Cylinder sich dem Konoide in {Fy J") an, welcher jene Ellipse zum senkrechten Schnitte und die zwei Geraden G^G^\ B^H^' zu ersten Spuren hat
Von dem Ringe ist der Meridiankreis von F die eine Krüm- mungslinie, die darauf senkrechte hat für den Punkt {F\ J") einen unendlich großen Krümmungshalbmesser, weil die Flächennormale mit der Umdrehungsaxe der Fläche parallel ist (490). Daher ist eine Schmiegungsfläche derjenige Cylinder, welcher jenen Meridiankreis zum senkrechten Schnitte besitzt, also die P^ in zwei Geraden trifft, Yon denen lifN' die eine ist. Da beide Schmiegungsflächen den Punkt (Ff F") zum Mittelpunkte haben, so sind ihre ersten Spuren zugleich die Grundrisse ihrer zu demselben c gehörigen Direktrixen, und die Diagonalen des von ihnen gebildeten Rechtecks^ wie jP"^, die Grundrisse der Tangenten. Man bemerkt, daß F für jede der beiden Flächen ein parabolischer Punkt ist, daß daher die Direk- trixen je zwei parallele Gerade sind.
Übtmgsaufg. Die Tangenten in dem Doppelpunkte P der Schnitt- linie zweier Cylinder, Kegel oder beliebigen Flächen, deren Haupt- krümmungshalbmesser ermittelt werden können^ zu bestimmen* — Man legt zweckmäßig die P^ parallel zur gemeinschaftlichen Be- rührungsebene beider Flächen in P.
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XI, 494—496. Die Evolute einer ebeüed Scbnittkurve einer Pl&che. 54t
nL Die Evolute einer ebenen Sohnittkturre einer Fläche und ihrer Projektionen.
494. Sind in einem Punkte P einer Fläche F die Ebenen ihrer Hauptschnitte und deren Erümmungshalbmesser bekannt ^ so kann daraus nach den Sätzen von Euler und Mmsnier der Krüm- mungshalbmesser der Schnittkurye der F mit irgend einer durch P gelegten Ebene in P, und daraus der Krümmungshalbmesser jeder Projektion der Kurve gefunden werden^ unter Anwendung derselben Sätze auf den projicirenden Kegel oder Cylinder. Wir werden aber einfacher zum Ziel gelangen, einerseits wenn wir an die Fläche F eine Schmiegungsfläche F' zweiten Grades legen und den Krüm- mungshalbmesser des Kegelschnittes bestimmen; in welchen diese F^ von jener Ebene geschnitten wird; und andererseits ; wenn wir auf die Projektionen den Satz von Geisenheimer (I, 261) anwenden.
496. Äufg. Die Evoluten der ebenen Schnitthurve eines Binges und des Grund- tmd Aufrisses derselben m ermitteln.
Aufl. Es sei F^ senkrecht gestellt zur Umdrehungsaxe a des Fig. 208. Ringes und berühre ihn nach seinem tiefsten Parallelkreise , es sei der Ring durch seine Axe a {A\ a") und den Kreis Je (mit dem Mittel- punkte C), welcher die Hälfte der zweiten Projektion seines Haupt- meridianes bildet; und es sei die Schnittebene E durch ihre Spuren ^1 in Fj und e^ in der Hauptmeridiauebene gegeben, woraus noch ihre Spur 63 in der oberen auf der a senkrechten Berührungsebene Fg des Ringes bestimmt wurde (e, || e^). Die auf E senkrechte Meridianebene schneidet die E in der Symmetrielinie m {m\ m") der Schnittkurve 5, deren erste Spur (auf e^) Jfj ist; man drehe m um a in die Hauptmeridianebene nach m| (m/, ^/0> ^i ^^'^ -^ ^^^ ^ {A^ M^ = A'M^\ es sei A^ = a'x, A^ = «"O* ^^^ Mittelpunkt des Ringes sei Aj die durch A jLa gelegte Ebene heiße die Mittel- ebene und ihr Schnitt c (c\ c") mit E die Mittellinie.
Die Projektionen der Schnittkurve s zeichnet man, indem man den Meridiankreis &; ausgehend von der Mittelebene; in eine durch vier teilbare Anzahl (16) gleicher Teile teilt; von einem Teilungspunkte Q die Senkrechte QA^ auf a" fällt, diese mit m/' in R schneidet; auf m' die A'B' -= A^B aufträgt, BT ± m zieht und auf ihr F bestimmt derart, daß -4'P'-=» A^Q. Daraus folgt P" auf A^Q. Die wahre Gestalt s" ermittle man durch Umlegung der E um e^ in F,. Dabei gelangt B' nach B'" auf m', wobei MiB"' =^ M^B. Sodann zieht man B'"P'"±m' und =B'P.
Die Tangenten der s erhält man durch ihre Spuren mit Zweien von den drei Ebenen F^jFj, der Mittelebene. Für die Tangente in F
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XI, 495. Die Erfimmimg der Flächen. Fig. 202.
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XI^ 495—496. Die Evolute einer ebenen SchniUkarve einer Fläche. 549
benutzt man die beiden letzteren; man schneidet die Tangente der Ä in Ö mit c" in J7, mit Cg" in F, tragt die A''JJ und A^Y auf A'r bezw. nach A'V^ und ÄY^, zieht V^T^ und Y^T^ l^A'r, und schneidet sie bezw. mit c und Cj' in T^ und Tj', so ist To'Ts' die Tangente der s in P', woraus mittelst dieser zwei Punkte die- jenigen der s" und s" gefunden werden.
496. Die Volute v^ der wahren Gestalt s"\ Um den JTrtwn- mwngsfnittelpimht Pg der wahren Oestalt s'" in einem allgemeinen Funkte P"' zu erhalten, legt man eine sich der F entlang des durch P gehenden Parallelkreises PQ anschmiegende Umdrehungsfläche zwei- ten Grades F', deren Umdrehungsaxe dann a ist. Zu dem Ende legt man einen dem Meridiane h m Q sich anschmiegenden Kegel- schnitt mit a als Axe. Seinen Mittelpunkt A^ auf a findet man*) durch Umkehrung der in I, 392, 1) gegebenen Konstruktion des Krümmungsmittelpunktes C in Q^ wenn man die Normale QC mit a m N schneidet, NBA. QN h\B B auf CA" zieht; dann trifft BQ ^\e a in A^, und hierdurch ist die F* bestimmt. Die F* wird von S in einem Kegelschnitte EF' getroffen^ dessen Mittelpunkt auf der Symmetrielinie m und auf dem zu E koi\jugirten Durch- messer der F^ liegt; um diesen zu ermitteln, drehen wir m um a nach m^ und suchen den Durchmesser A^Dj welcher zu der Linie m^' in Bezug auf den Hauptmeridian h der F^ konjugirt ist. Dieser h ist ein Kegelschnitt, welcher a" zur einen Axenlinie, A^ zum Mittel- punkte, Q N zur Normale und Q Y zur Tangente hat. Zieht man nun A^D^ || w/' bis D^ auf QA^, so ist die JL ND^ gelegte A^D der zu m/' (und zu A^D^) konjugirte Durchmesser, und sein Schnitt- punkt D mit der mi" der gesuchte Mittelpunkt des Kegelschnittes EF' nach der Drehung um a. Denn denkt man sich die Tangente QV mit a'' in dem (nicht verzeichneten) Punkte X geschnitten, XYA.ND^ bis T auf A^Q gezogen, so sind D^ und T durch h harmonisch getrennt, d. i. durch Q und den zu Q in Bezug auf A^ symmetrischen Punkt (weil XQN= 90^ und XY ± ND^ (I, 302, Fig. 160)); und da A^Q die Polare von X zu Ä, so ist Dj der Pol der 2F zu h. Daher ist zu dem Durchmesser A^D^ des h der zu 2F parallele A^D (ebenfalls J_ ND^) konjugirt. Überträgt man nun die Strecke M^D auf m' nach M^D^y so ist von der wahren Gestalt des Kegelschnittes EF', m' eine Axenlinie, D^ der Mittel- punkt, P"' ein Punkt, die auf P'"!;'" Senkrechte P'''Pj^ die Normale;
*) Das Verfahren der sich entlaDg eines Parallelkreises anschmiegenden Fläche rührt von Herrn Staudigl her (Sitzongsber. d. Ak. d. Wiss. in Wien, B. 68, Abt. 2, 1873, S. 228); das Verfiähren zur Bestimmnng des Mittelpunktes dieser Flächen von Herrn Pdz (dies. Sitznngsber. , B 79, Abi 2, 1879, S. 471).
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550 XI, 496->499. Die Erümmang der Flächen
und auf dieser wird der Krümmungsmittelpunkt P3 gefunden (I^ 392, D), wenn man F"Fj^ mit m' in E^ schneidet, E^E^1.P^'E^ zieht, mit P'" 2)5 in JE'j schneidet, woraus Pj durch ^^-Ps-L»*' folgt Für den PardUdkreiSj welcher mit demjenigen PQ in Bezug auf die Mittelebene symmetrisch ist, gilt diese Symmetrie auch für die sich anschmiegende F^ und ihren Mittelpunkt; der zu m^' kon- jugirte Durchmesser ist dann mit Ä^D parallel.
497. Liegt der Purikt der Sdmitthirve s in der MittehAene, etwa auf dem größten Parallelkreise -4"^o, so ist Ä" der Mittelpunkt der sich anschmiegenden F^; aber zur Bestimmung des zu m/' kon- jugirten Durchmessers A" 1)^ versagt das soeben angewendete Ver- fahren. Man findet ä'^Dq vielmehr, wenn man die Tangente Q^G des Kreises Je in Qq mit dem zu m^' senkrechten Durchmesser CG des ik in (7 schneidet (G zufallig auf a;); dann bestimmt die J.''6r auf m^" den Punkt D^. Denn k und der Hauptmeridian h der F^ be- rühren sich in dem Scheitel Qq vierpunktig; daher können für diese beiden Perspektiven Kegelschnitte Q^ und Q^ G bezw. als Mittelpunkt und Axe der Kollineation angesehen werden, und die Pole des aus Qq parallel zu m^' gezogenen Strahles zu h und h fallen in einem Punkte von QqG zusammen* Dieser Pol zu k liegt aber auf dem zu m^" senkrechten Durchmesser CG, ist also G] daher ist er es auch zu A, und A"G ist die Polare des unendlich fernen Punktes der m^" oder der zu m^^' konjugirte Durchmesser des A.
498. Liegt ein PunJct F der ScJ^nitfkurve s in deren Symmebrie- linie m, so liegt die Tangente des Parallelkreises der F in P" in der Schnittebene E, und es geht durch diese Tangente eine Hauptebene der F. Der Krümmungshalbmesser des durch sie auf F erzeugten Hauptschnittes 'ist aber «=» SH^, wenn fi" derjenige Schnittpunkt von k und m^'y auf dessen Parallelkreise F liegt, und wenn EH^ die Normale des k, und H^ ihr Schnittpunkt mit a'' ist Nach dem Satze von Meusnier ist aber der Krümmungshalbmesser der Schnitt- kurve s gleich der Projektion des Krümmungshalbmessers unseres Hauptschnittes auf die Ebene E, und diese fallt in die Symmetrie- linie m, ist daher nach der Drehung die Projektion HH^ von HH^ auf %". Daher ist P, der Krümmungsmittelpunkt für P"', wenn auf m' die F^'F^^HH^.
499. Liegt ein Punkt J der Kurve s cmf dem höchsten oder tiefsten ParälleOcreise, so sind die Krümmungshalbmesser der Normal- schnitte der F in der Meridianebene =» r^ »» CQq, und in der darafn senkrechten Ebene «T jr(± A'X) unendlich, so dass der Krümmungs- halbmesser r des durch e^ gehenden Normalschnittes der F durch r = r j : sin^ 9 ausgedrückt ist, wenn q> den Winkel der e^' mit tTK
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XI, 499—500. Die Evolute einer ebenen Schnittknrve einer Fläche. 551
bedeutet (480^ 3)). Bestimmt man daher auf J'K zuerst K so, dass sein Abstand von e^ '^^2=' CQq, dann K^ so, dass dessen Abstand von 63' = J'Kf so ist J'K^ = r. Nun bildet aber E mit der durch e^ gehenden Normalebene den Winkel a'mi'] daher ist (486) der Krümmungshalbmesser der s in J= J*"J^ = r cos a"ml' =» r sin xm^' = Abstand K^x^ wenn auf m," die JlfgjKa «= r = cTjKi aufgetragen wurde. — Ebenso kurz kann man J^ bestimmen mittelst des CylinderS; welcher die F entlang des Meridiankreises von J berührt, durch Bestimmung des Krümmungshalbmessers seines Schnittes mit E aus zwei konjugirten Durchmessern (I, 262).
500« Die Schnittkurve s besitzt Punkte mit unendlich großen Krümmungshalbmessern; die im allgemeinen Wmdejguv^ sind; sie liegen in denjenigen Punkten des konvex-konkayen (inneren) Teiles der F; in denen eine Haupttangente der F in die E fallt. Denn in dem durch eine Haupttangente gehenden Normalschnitte (480^ 2)) ist der Krümmungshalbmesser unendlich groß; daher auch im schiefen Schnitte (486) , außer wenn dessen Ebene die F berührt Der un- endlich große Krümmungshalbmesser erhält sich in den Projektionen. Die Kurven s, 5', s' besitzen viermal in drei entsprechenden Punkten Wendepunkte.
Man bemerkt aus der ent- '^*
gegengesetzten Krümmung der 5, daß zwischen F und J ein Wendepunkt W liegen muß, und sucht daher in einer ge- sonderten Figur mittelst einer Fehlerkurve denjenigen zwi- schenliegenden Parallelkreis, für welchen eine Haupttangente in E fällt; dabei möge x durch A' gelegt werden. J (der höchste) und B. seien die- jenigen Punkte des %, auf deren Parallelkreisen bezw. die Punkte J und F der s in Fig. 202 liegen. Neh- men wir auf Iz etwa zwei Punkte zwischen J und E. an, von denen B (B\ B") einer sei, so konstruiren wir eine der zwei Haupttangenten der F in B nach Nr. 157, indem wir in B" die Tangente JB'T" und die Normale CB"D des h ziehen, letztere mit a" in B schneiden, und
Fig. 802 a.
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552 XI, 600—501. Die Erfimmimg der Flächen.
über DG als Durchmesser einen Kreis zeichnen (dessen Mittelpunkt Dq adf der Geraden liegt, welche A"G senkrecht halbirt); derselbe treflTe die B" T' in jB", und hieraus bestimme man E' so, daß E'E^E' _L A'B\= x), Eo der Fußpunkt auf a;, und E^E' = B"D. Dann ist B'E' die erste Projektion einer der beiden gesuchten EEaupt- tangenten, deren Schnittpunkt T (T", T) mit einer zu P^ parallelen Hilfsebene H, welche h zur zweiten Projektion hat, bestunmt werde. Dreht man nun B mit der Haupttangente um a, bis £ in E fällt, und fallt dann zugleich die Haupttangente in B, so ist diese Lage von B ein Wendepunkt der 8. Man kann dies auch durch Drehung von E um a, bis sie durch B geht, entscheiden. Dreht man zunächst E um a, bis sie J_ P^ steht, wobei sie m^'' zur zwei- ten Projektion hat, so schneidet sie den Parallelkreis von B in K{K"y K') und die Ebene H in einer Tangente in JIT aii den bei der Drehung um a durch den Schnittpunkt M von w/' und ä er- zeugten Kreises MN. Dreht man nun die E zurück, bis sie durch B geht, was man erreicht, wenn man die auf ihr senkrechte Meri- dianebene aus A'B' in A'K' dreht, so ist ihre Spur eine auf ^.'JST senkrechte Tangente NL des Kreises M'N\ und sie enthalt auch die Haupttangente BT der F in £ dann, wenn T in NL liegt Dies ist aber hier nicht der Fall, und der Abstand TL des T von NL kann als Maß des Fehlers dienen. Trägt man diesen Fehler FL auf dem Halbmesser OB" in irgend einem Sinne nach B"B^ auf, sucht ebenso für den Zwischenpunkt P und fQr H die Fehler, die man mit ihrem jetzt bestimmten Sinne bezw. nach PPiy HH^ auf- trägt, so ist P^B^H^ eine Fehlerkurve, welche den Kreis h in dem Punkte W schneidet. Auf dem Parallelkreise von W sucht man dann in Fig. 202 den Punkt W der Schnittkurve 5, welcher ihr Wendepunkt ist, sowie die Tangente in jeder Projektion und deren Normale; die letztere bildet dann jedesmal die Asymptote der &
601. Den größten und kleinsten Krümmungshalbmessern der s entsprechen Spitzen ihrer Evolute. Solche sind im allgemeinen die Punkte der Symmetrielinien, wenn deren vorhanden sind, so in s'" und
s': die anderen Spitzen, wie So för S"\ können durch 202 b j. # »» /
Fehlerkurven bestimmt werden. Zeigt der Verlauf Fig. 202b. 5c^^^^^xJ/ ' ^^^ Evolute V eine Spitze S^ an, so müssen in klei- nen Abständen von derselben auf der einen Seite von S^ wenigstens ein Punkt (7|, auf der anderen zwei Punkte Alf B^ der v, bezw. zuC,A,B der s gehörig, konstruirt sein, damit man die Bogen ABC der s und Ai B^ Gl der t; genügend genau, letztere mit Ausnahme der Stelle bei S^, zeichnen kann. Man ziehe nun, nahezu senkrecht auf
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XI, 601—502. Die Evolute einer ebenen Schnittkurve einer Fläche. 553
die mutmaßliebe Richtung S^S die Sehnen der Evolute A^A^, S^B^, C1C2, so sind deren Längen ein Maß f&r ihre Abstände von der Spitze und werden in dieser Null, so daß sie als Maß der Fehler bezeichnet werden können. Trägt man sie bezw. auf A^Ä nach AA^, eben so nach BB^f CC^ in ihrem Sinne auf, zieht die Pehlerkurve A^B^G^, so schneidet diese die 8 in dem Punkte S^ dessen Krümmongsmit- telponkt 8^, in gewöhnlicher Weise gesucht, die Spitze der Evolute hildet.
602. Zur Verzeichnung der Evoluten v^, v^ der beiden Projek- tionen $', s' der Schnittkurve bestimmt man die Krümmungshalb- messer r', r" der $', 5" aus denen r der wahren Gestalt 8 oder s'" nach I, 261, worin für unseren Fall der Affinität zwischen s und s\ s und 5" gilt (I, 262), wenn man P durch P"' und t durch f" ersetzt.
Darin bedeuten, zunächst für die erste Projektion, Pq den Schnitt- Fig. 202. punkt von P^"P' mit der Affinitätsaxe Cj, sowie J^ von 3'" J" mit ej, daher P'"Pq\P'Pq = J'^JqiJ'Jq die unveränderliche Charak- teristik der Affinität, t'" j t' die Stücke der Tangenten der 5'", s' bezw. in P"', P' zwischen je einem dieser Punkte und e^, oder auch irgend zwei andere entsprechende Stücke dieser Tangenten.
Zeichnet man nun einen (für alle Punkte gütigen) Winkel a^, jfig. ««c so daß sin «i == «TJ^ : J"' J^j überträgt also J* J^ und J'" J^ aus Fig. 202 in Fig. 202 c, bezw. als eine Kathete und die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks; zeichnet ferner für den Punkt P einen
Fig. 202 c.
Fig. 202 d.
7>'^ ^' rj^y-
(mit dem Punkte wechselnden) Winkel /J^, so daß sin /J, = ^' : t"'y Fig. aoid. indem man aus Fig. 202 die sich entsprechenden Strecken T^ T^ und und T^"T^" in die Fig. 202d bezw. als eine Kathete T^T und die Hypotenuse Tj T'" eines rechtwinkligen Dreiecks aufträgt, so erhält man nach der obigen Formel und in der Weise der I, 261 aus dem
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554 XI, 502—503. Die Krümmung der Flächen.
r = ^''P, der Fig. 202 den r mittelst der Figuren 202c, d, wenn man in diese jene P'"Ps überträgt, ferner V^J'" nach T'n'y R'R, nach r'Q', Q'Q^ nach r"F trägt; dann ist PP,=r' ^PP, der Fig. 202.
In Bezog auf die zioeite Projektion beachtet man, daß man die
^ig 202. Schnittlinie e^ der E mit der Uauptmeridianebene als Kollineations- axe zwischen der in diese Ebene umlegbaren wahren Gestalt s und der zweiten Projektion s' ansehen kann, welche Linie e^ daher als e^" in die Figur der wahren Gestalt s"' übertragen wurde. Es ist
Fig. 202 c. dann wieder ein Winkel «2, und zwar für einen beliebigen Punkt Z der s gezeichnet, so daß J' Z^ und 2!"' Z^ der Fig. 202c bezw. gleich den Abständen des Z" von e^' und des Z'" von e,'" in Fig. 202
Fig. 202d. sind; und ein Winkel ft für P, so daß T^T imd T^T^ in Fig. 202d bezw. gleich T^' T^' und T^"T^" der Fig. 202 sind; dann trägt man r (= P'"P3 in Fig. 202) nach {P'"P^)y {JP^)Z'" nach T^R\ K'R, nach T3Ö", Q'^Q^ nach T3P", so ist P^'P^ ^ r" = F' P^ der Fig. 202.
Die Spitzen der Evoluten der s' und s" müssen besonders, so wie die der s"\ gesucht werden.
IV. Die konjogirten Tangenten einer Fläche nnd die Tangenten ihrer Eigenschattengrenze.
503. Satz von Dupin*). Ist einer Fläclie P eine abunckelbare Fläche umschrieben, so sind in einem Punkte P der Berührungskurve h deren Tangente t und die Erzeugende e der abwickelbaren Fläche zwei konjugirte Tangenten der P und zugleich zwei konjugirte Durchmesser der Indikatrix der F in P.
Bew. Legt man an F die sich in P anschmiegende Fläche zweiten Grades F^ und aus allen Punkten E der e die umschriebe- nen Kegel an F^, so liegen deren Berührungskurven in Ebenen, welche ein Büschel bilden, dessen Axe die zu e konjugirte Tangente der F* in P ist (77, 3)). Die Durchmesserebene der F*, welche zu ihrer Berührungsebene in P parallel läuft, und deren Schnitt mit F* ähnlich und ähnlich gelegen mit ihrer Indikatrix » in P ist, wird von der Polarebene des unendlich fernen Punktes der e in einem zu t parallelen und zu der Richtung von e konjugirten Durchmesser ge- schnitten, so dass e und t konjugirte Durchmesser der i sind. Zu- gleich ist t die Tangente der Berührungskurve k der F, weil F und F* in P und in dessen benachbarten Punkten gemeinschaftliche Be- rührungsebenen besitzen, also in denselben Punkten zugleich von <ler
*) Dupin^ d^veloppements de göom^trie, 1818.
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XI, 503—504. Die konjugirten Tangenten einer Fläche. 555
der F umschriebenen abwickelbaren Fläche, als von jenen der F^ umschriebenen Kegeln berührt werden.
Ist die Indikatrix i eine Hyperbel^ so sind t und e durch die Asymptoten der t harmonisch getrennt; besteht die Indikatrix, und dies findet bei einem parabolischen Ptmkte statt, auM einem Paare paralleler Geraden, so kann man sich diese als eine Hyperbel denken, deren beide Asymptoten in eine zu den Geraden parallele Gerade zusammengefallen sind; diese ist dann stets die t, welche Richtung auch e haben mag.
604. Äufg. Für die Eigen- und Schlagschattengrenze einer Um- drehungsfläche die Tangenten in belidfigen Ptmkten und die Krüm- mungskreise in den Scheiteln zu bestimmen.
Diese Aufgabe wurde schon früher (177 ff.) auf Grundlage der Eonstruktions weise der Kurve (für die Taugenten nach dem Ver- fahren der ähnlichen Figur) gelöst; es soll aber hier ihre Lösung mit Hilfe der Sätze über die Krümmung der Flächen und ihrer Schnitte gegeben werden. — Es möge dabei der leuchtende Punkt L im End- lichen angenommen^ die F^ senkrecht zur Umdrehungsaxe a der Fläche, F2 parallel zur Meridianebene La gestellt und als Fläche F ein Kreisring gewählt werden; von demselben wird nur die hintere, durch die Ebene La begrenzte Hälfte als vorhanden gedacht. Auch sollen die Konstruktionen nur für den konvex-konkaven (inneren) Teil der Fläche ausgefahrt werden.
Der Hauptmeridian (in der Ebene La) wird durch die beiden Kreise k, k^ mit den Mittelpunkten C, C^ gebildet; Ä auf 00^ ist der Mittelpunkt der Fläche. Ein Punkt P der Eigenschattengrenze s auf dem Parallelkreise eines Punktes Q des k wurde im Aufriß als P" ohne Benutzung des Grundrisses, wie in Nr. 176, bestimmt, entweder, indem man in Q die Tangente und die Normale des k mit a'' bezw. in T und N schnitt, und NP'' _L X'T zog, oder nach einem Ver- fahren, welches auch für den Kehlkreis anwendbar bleibt, für wel- chen das andere versagt, indem man die Tangente des k in seinem Schnittpunkte Q2' mit dem Kehlkreise mit der auf a" Senkrechten L"B" in D schnitt, L"ft" bis E auf a" zog, worauf sich P^" auf DE ergab.
Die Konstruktion der Tangente an die Eigenschattengrenze wird von Herrn de la Gaumerie*) als konjugirte Tangente zum Licht- strahle bestimmt, und diese durch die aus den Hauptkrümmungs- halbmessem ermittelte Projektion der Indikatrix. Herr Staudigl**)
♦) De la Geumerie^ trait^ de göomätrie deBcriptive, B. 3, 1864, S. 63. • **) Staudigl, BestimmuDg von Tangeoten an die Selbstachattengreazen von Botationsflächen; Sit^ungsber. d. Ak. d.Wiss. in Wien» B.68, Abi 2, 1873, S. 228.
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556
XI, 504—605. Die Erammang der FlächezL
benutzt dagegen eine an die Fläche F entlang eines Parallelkreises sich anschmiegende Fläche zweiten Grades P*, und Herr Pdz*) behält diesen Grundgedanken bei; vereinfacht aber die Durchftihrung (vergl. Nr. 496). Seine Konstruktion für den Grundriß habe ich im Folgenden ungeändert beibehalten ^ ffir den Aufriß eine andere wohl noch etwas einfachere gegeben.
Fig. 203.
506. Aufl. Der Mittelpunkt M der Fläche zweiten Grades F*, welche sich der F entlang des durch die Punkte P und Q gehenden Parallelkreises anschmiegt (und welche für die inneren Punkte, wie P, ein einschaliges Hyperboloid ist), wird nach Nr. 496 gefunden,
*) PdZf die TangenienbeBtimmuog der Selbstschattengrensen ?on BoU- tionsflächen; Sitzungsber. d. Ak. d. Wiss. in Wien, B. 79, Abt 2, 1879, S. 471.
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XI, 606. Die konjngirten Tangenten einer Flache. 557
wenn man NF ± QN bis F auf CG, zieht und QF mit a" in M schneidet.
Die Tangente der s in P liegt in der Polarebene jedes Punktes der LP zu F^ (503); wählt man diesen Punkt in der zu P| oder zu Ps parallelen Hauptebene der F^, so ist diese Polarebene J. P^ bezw. X Pj^ ihre Spur und Projektion ist dann die Polare jenes Schnitt- punktes zu dem Hauptschnitte der F' in dieser Hauptebene und un- mittelbar die erste bezw. zweite Projektion der gesuchten Tangente.
Schneidet man daher für den Grundriß LF mit der durch M gehenden zuP^ parallelen Hauptebene in H{H" auf V'V" ^ MH" \ x, H' auf L'P'), so ist die Polare von H' zu dem mit Pj parallelen Hauptschnitte von F'^ d. L zu einem aus Ä' gezogenen Kreise, A.A'E'j und die gesuchte Tangente an s' ist daher die aus P' auf A'H' gefällte Senkrechte.
Für den Aufriß sehneidet man L"M mit QP'' in J, dann ist die gesuchte Tangente die aus P" auf JV^J gefällte Senkrechte.. Denn der Schnittpunkt der LP mit der zu P^ parallelen Hauptebene La ist L, und die Polare von L zu dem in jLa liegenden Hauptschnitte m der F^ ist parallel zu dem zu ML konjugirten Durchmesser des m. Um diesen zu finden , beachte man, daß das Büschel der Durch- messer des m und das ihrer konjugirten Durchmesser, sowie ein Bü- schel Yon Senkrechten zu den letzteren unter einander projektiv sind und auf jeder Geraden projektive Punktreihen einschneiden. Wählt man N als Mittelpunkt des Büschels der Senkrechten und QP" als Gerade, so decken sich die erste und die letzte Punktreihe, weil sich dreimal zwei entsprechende Punkte decken. Liegen nämlich von QP" die Punkte Jq und J^ bezw. auf a' und im Unendlichen, so sind jene drei sich selbst entsprechende Punkte /q, c7«, Q, weil zu den Durchmessern MJq, MJ^, MQ bezw. die Durchmesser MJ^o, MJq und der zur Tangente QT parallele konjugirt sind, und auf diesen bezw. die Strahlen NJq, NJ^ und NQ senkrecht stehen. Daher müssen alle entsprechenden Punkte sich decken, und es ist zum Durchmesser ML*' J der auf NJ senkrechte konjugirt und damit die Tangente an 5" in P" parallel. — Da die Beziehung reciprok ist, kann man auch NJ' J. MV bis J' auf QP^' y und die Tangente aus P^' II MJ' ziehen. Der Genauigkeit halber wird man das Verfahren wählen, welches die längere bestimmende Linie {NJ oder MJ'^ liefert. — In Nr. 496 wurde das gleiche Verfahren nur mit anderer Begründung gegeben.
Ganz auf dieselbe Weise sind die Tangenten an s" in ihren Pufiden des Hauptmeridians h und ä^, so in P/', bestimmt
Für den Punkt P," des KeMkreises versagt das Verfahren, weil
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558 XI, 505—606. Die Krümmung der Flächen.
für ihn M, N und J^ üi Ä" ineinanderfallen. Wählt man aber hier G als Mittelpunkt des Büschels jener Senkrechten, so ist Q^'^D der Perspektive Schnitt mit dem ersten Büschel Ä" der Durchmesser, weil den Durchmessern A"Q^\ A"B" die mit ihnen parallelen Strahlen aus Cy und der Asymptote der Hyperbel m, die mit sich selbst kon- jugirt ist, der auf ihr senkrechte Strahl aus C entspricht, und weil sich beide auf der Scheiteltangente Q^' D treffen (1,250). Zieht man dann die A"L" oder die CJ^ J_ A" L" , und schneidet sie mit Q^'D bezw. in J^ und J^', so ist die Tangente der s" in P/' J_ CJ^ und \A''J^. Die zweiten Linien sind hier zweckmäßiger, weil A"J^ > CJ^. — Es ist leicht einzusehen, daß das Verfahren ungeandert auch gilt^ wenn m eine Ellipse ist. — Eines der Verfahren des Herrn Fde, auch für den allgemeinen Punkt P", kann durch die obigen Be- trachtungen begründet werden, wenn man die {| a" durch Q gezogene Gerade als Perspektiven Schnitt jener beideit Strahlenbüschel wählt 506. Die GhrenzpwiMe der Eigenschattengrenze sind diejenigen Punkte, in welchen der Lichtstrahl und die Tangente der Schatten- grenze in einander fallen (181), was in einer Asymptote der Indi- katrix, d. i. in einer Haupttangente der Fläche stattfindet Wir müssen daher die Grenzpunkte als diejenigen (hyperbolischen) Punkte der Fläche aufsuchen, in welchen eine Asymptote ihrer Indikatrix durch den leuchtenden Punkt L geht, oder es müssen in jedem Punkte des Parallelkreises eines Grenzpunktes die Asymptoten der Indikatrix den Kreis LB schneiden, welchen L bei seiner Drehung um a beschreibt Man sucht nun in verschiedenen Punkten des Hauptmeridians k die Asymptoten der Indikatrix, schneidet sie mit der Ebene des LB in Punkten einer Ortskurve, aus deren Schnitt- punkten mit dem Kreise LB sich dann die Parallelkreise der Grenz- punkte ergeben. Zur Ausführung ziehe man (157) in einem Punkte ü" des Kreises Tc dessen Tangente ZT'U^' und Normale (7Z7", welch letztere die a" in U^ trifft, zeichne über CU^ als Durchmesser einen Halbkreis, schneide ihn mit der Tangente VV^' in ü^\ projicire diesen Punkt auf A'L' nach U^ und trage auf der Projicirenden die CTg' D3 ==• 17" U^ auf, so ist V U^ die erste Projektion einer Asymptote der Indikatrix in Z7; diese Asymptote schneidet die Ebene des Kreises LB in ü^, so daß U^ ein Punkt der Ortskurve ist Ein weiterer Punkt derselben wird leicht aus dem Punkte der k ge- wonnen, welcher zu J7" in Bezug auf CCi symmetrisch liegt Die ersten Projektionen der Asymptoten der Indikatrix fallen für beide symmetrischen Punkte offenbar zusammen; und man findet daher am kürzesten einen Punkt U^' desselben Astes der Ortskurve, wenn man die zweite Asymptote D' U^' symmetrisch mit der ersten in
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XI, 606-507. Die konjngurten TaDgenien einer Fläche. 559
Bezug auf U' U" zeichnet, die Tangente U" VI' mit der zu B"V' in Bezug auf GG^ symmetrischen Geraden B^'U^' in TJ^' schneidet und zu diesem Punkte die erste Projektion U^ auf Ü'V^ bestimmt.
Rückt J7" nach Q^ eiutCGi, ^^ schneidet der Kreis von Durch- messer GÄ" die Tangente Qi'JD in F, und Ä"V kann als die zweite Projektion der einen Asymptote der Indikatrix in dem Punkte des Eehlkreises angesehen werden, dessen zweite Projektion A" ist. Schneidet ^"Fdie i"B" in Fj, so ist offenbar Fg der Schnittpunkt der Asymptote der Indikatrix in Q^ mit der Ebene des Kreises LB, wenn auf Q^Q^ die Q^V^ =« J5"F aufgetragen wird.
Die Ortskurve besteht aus zwei zu A'L' symmetrischen parabel- artigen Ästen, deren unendlich ferne Punkte auf einer Senkrechten zu A' 11 liegen, weil dies für die Haupttangenten in dem höchsten und tiefsten Punkte des X; gilt. Es genügt, einen Teil des einen Astes zu zeichnen; er schneidet den Kreis L'B' in den Punkten TF', TF/, woraus sich TF", PF/' auf V'B" ergeben; die aus diesen Punkten an die innere Hälfte von h gezogenen Tangenten liefern Berührungspunkte TFg, TFg, auf deren Parallelkreisen die Grenz- punkte G^, Gr^ liegen (in denen die Tangenten an s durch L gehen).
507. Die ISjümmungskreise der s, s\ s^ in ihren Scheiteln, von denen die an s', s^ schon in Nr. 183 bestimmt worden sind, sollen noch mittelst der Lehre der Krümmung der Flächen ermittelt werden. Ist Pj ein Scheitel der s und P/'JSl die Tangente der s" in P/', so berührt deren zweite projicirende Ebene die s vierpunktig in P, und ist ihre Schmiegungsebene. Der Krümmungshalbmesser der s in P^ fallt mit demjenigen der Schnittkurve dieser Ebene P/'£ mit dem Ringe zusammen und ist nach dem Satze von Meusnier (486) die Projektion P^'K der Flächennormale P/'J/^ auf P^'K, weil P/'JV, der Krümmungshalbmesser des Normalschnittes der Kurve ist, wel- cher mit unserer Schnittebene die Tangente der Fläche in P, gemein hat Den Krümmungshalbmesser der ersten Projektion s' in P/ erhält man als PiV/ = Pi'Ji'f wenn J/' der Schnittpunkt von ' N^K mit Pi'E, weil auf dem Cylinder, welcher 5 in s' projicirt, nach dem Satze von Meusnier der Krümmungshalbmesser des schie- fen Schnittes P/'JT die senkrechte Projektion desjenigen des Normal- schnittes P/'JB sein, also Ji'K± P^' K stehen muß. J/' ist aber auch der Schnittpunkt der L"M^ mit P/'jB, weil die Tangente Pl'K als Senkrechte zu l^^J^' konstruirt wurde (505),
Dar Krümmungshreis des Schlagschattens von s auf die Ebene des Parallelkreises in seinem Scheitel P^ ergab sich schon früher (171) als dieser Pa/raUeü&reis selbst, und als Krümmungshalbmesser
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560 ' XI, 607—610. Die Krümmung der Flachen.
die P^'E. Es folgt dies auch aus dem Satze von Meusnier. Denn schneidet man den umschriebenen Lichtstrahlenkegel , welcher s aus L projicirt, mit Ebenen, welche durch die Tangente des Parallel- kreises Yon P^ in Pj gehen, so liegen alle Erümmungsmittelptmkte der Schnittkurven in P^ auf einem Kreise, dessen Ebene senkrecht auf jener Tangente steht, also die Hauptmeridianebene La ist, und wel- cher die Fläche in Pj berührt Da einer dieser Krümmungsmitiel- punkte K bekannt ist, so ist der Kreis bestimmt und hat Pi^i zum Durchmesser, weil P"KN^ = 90^. Dieser Kjeis schneidet aber die P/jB in E, weil auch P^'EN^ = 90^, also ist E der gesuchte Krttmmungsmittelpunkt.
Wegen der Ähnlichkeit der Figuren ist daher auch der Schauen jenes ParaUeUkreises auf F^ mit dem Mittelpunkte E^ der Krümmungs- kreis der Schlagschattengrenze s^ in dem Schattenpunkte P/ yon P|.
SOS. Tritt ParaUelbeleuchtung ein, so daß L ins Unendliche rückt, so geht die Tangente der 5" in P" durch den Mittelpunkt M jener sich anschmiegenden Fläche zweiten Grades F^ weil dies fOr die Polare des unendlich fernen L'' im Bezug auf den Hauptmeridian m der P^ gilt. Ebenso ist dann Pi'My die Tangente in P/'. Die Punkte, wie P/', des größten und kleinsten Parallelkreises fallen in die Mitte A", und die Tangente (|1 A''J^) fallt in A"J^. A" wird Symmetrie- oder Mittelpunkt für jeden Kurvenast; und die Kon- struktion beider Äste ergibt, daß dieselben in doppelter Weise gegen- seitig schief symmetrisch sind, nämlich in Bezug auf CGi und in Bezug auf die durch A" gelegte Senkrechte zu A!' V (=^")» wobei eine dieser Linien die Axe ist, die andere die Richtung der Sym- metrielinien angibt.
609. Aufg. An die BerÜhrungshurve einer tvindschiefen Fläche mit einem umschriebenen Kegel {oder Cylinder) eine Tangente isu giehen.
Aufl. Bei einer windschiefen Fläche F bildet in jedem Punkte P die Erzeugende e dieses Punktes die eine Haupttangente, und die Erzeugende der zweiten Schaar des sich der F entlang der e anschmiegenden Hyperboloides die zweite Haupttangente (490). Diese beiden Haupttangenten sind die Asymptoten der Indikatrix und tren- nen daher die durch P gehende Erzeugende des umschriebenen Kegels und die Tangente der Berührungskurve in P harmonisch (503), so daß, wenn drei von diesen Linien gegeben sind, die vierte bestimmt ist.
510. Aufg. Die leiden Haupttangenten in einem Punkte einer geschlossenen windschiefen Schraubenfläche zu bestimmen.
Aufl. Die erste Haupttangente ist die durch den Punkt gehende Erzeugende, so daß es sich nur um die zweite handelt Nun wurde
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XI, 510—611. Die koigngirten Tangenten einer Fläche. 561
in Nr. 459, Fig. 186 die Tangente der Eigenschattengrenze bei Parallelbeleuchtung in der Projektion auf die zur Schraubenaxe senkrechte Ebene in dem Doppelpunkte D jener Grenze als D Cr (oder DQi) bestimmt. Von den vier durch D gehenden harmoni- schen Linien: dem Lichtstrahle (|| 2), der Tangente DG, der Erzeu- genden DM und der zweiten Haupttangente sind die drei ersten bekannt; sie schneiden den durch M gezogenen Lichtstrahl l der Reihe nach in seinem unendlich fernen Punkte, in G und in M. Der vierte dem Jf zugeordnete Punkt ist daher W, wenn GW'^MG, und daher JlfTF«=» 2r^j, gleich dem doppelten Parameter der Archi- medischen Spirale der Fläche ist Daher ist D TT die zweite Haupt- tangente der. Fläche in D. Würde man dem Lichtstrahle, ohne seine erste Projektion l zu ändern, eine andere erste Grundneigung X geben, so würde (da MD der Fig. 186 — Jf"L" der Fig. 185) der Punkt D sich auf MD verschieben, ohne daß G {MG Fig. 186 = M"E" der Fig. 185) und W ihren Ort änderten ; und würde man l senkrecht zu einer beliebigen Erzeugenden annehmen, so würde man auch für sie dasselbe Ergebnis erhalten. Daher läßt sich all- gemein aussprechen: In der Projektion einer geschlossenen windschiefen Schraubenfläche F auf eine m ihrer Axe senkrechte Ebene, bei welcher der Punkt M die Projektion der Schraubenaxe bildet, ist in einem be- liebigen Punkte D der Y die eine Haupttangente die Erzeugende DM der F, die andere schneidet auf der durch M gezogenen Senkrechten zu MD im Sinne der Erumterung des durch D gehenden Zweiges der Archimedischen Spirale der F den doppelten Parameter dieser Spirale ab*).
611. Aufg. Von der bei Centrcdbeleuchtung entstehenden Eigenr schattengrenze einer geschlossenen windschiefen Schraubenfläche einzelne Punkte und Tangenten zu bestimmen.
Aufl. Nehmen wir die durch den leuchtenden Punkt L senk- F^ir- ao^i recht zur Schraubenaxe a gelegte Ebene P als Projektionsebene an, sei A die Spur der Axe, sei die Archimedische Spirale AQ die Spur der Fläche und der aus A mit dem Parameter AR beschriebene Kreis der Parameterkreis p. Eine beliebig durch A gelegte Gerade e stellt unendlich viele Erzeugende vor, deren Spuren gegen P in den Schnittpunkten der e mit der Spirale liegen; sei Q einer derselben, so ist LQ die Spur der durch L und durch die Erzeugende AQ geleg- ten Ebene, deren Berührungspunkt P mit der Fläche gefunden wird, wenn man den zu e senkrechten Halbmesser AR des j> in dem Sinne
*) Diese Entwickelang findet sich in De 2a Goumerie, tr. de g^om. descr., B. 8, 1864, 8. 148.
Wiener, Lehrbaoh det dartteUwiden Geometrie, n. 86
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562
XI, 611—612. Die ErümmuDg der Flächen.
der Erweiterung des durch Q gehenden Zweiges der Spirale zieht, aus R eine Senkrechte auf LQ fallt, und sie mit ß in P schneidet
(453).
P ist dann ein Punkt der Schattengrenze; und alle Punkte
Fig. 204.
der e liegen auf einem Büschel R von Strahlen, die bezw. senkrecht ^uf den Strahlen des Büschels stehen, welches aus L die Punkte Q der e projicirt.
513. Verlängert man nun AR über R hinaus um sich selbst bis S, so daß RS^AR, so sind (510) P^ und PS die beiden Haupttangenten der Fläche in P, und der Lichtstrahl PL und die Tangente PT der Schattengrenze werden durch sie harmonisch ge- trennt. Daher bestimmen diese vier Strahlen auf der Geraden LS vier harmonische Punkte B, S, Z>, T, von denen T dem L zugeord- net ist und gesucht werden muß. Schneidet man LR mit e in 0, zieht CD parallel mit -4iJ bis D auf LA und verlängert DC über G hinaus um sich selbst bis T, so daß CT => DG, so ist T der gesuchte Punkt. Denn T liegt auf LS, weil AR^=^RS und DG ^= CT] und T ist der gesuchte vierte harmonische Punkt auf LS, weil LBTS die Projektion der vier harmonischen Punkte D, C, T, oo aus A bildet
Da der Punkt T unabhängig von der Lage von Q und von P auf e, so gehen die Tangenten aller Kurvenpunkte P der e durch T.
Auf jeder Erzeugenden, die sich in AL projicirt, ergibt sich der Kurvenpunkt A mit der Tangente AL] auf jedem Gange der Fläche schneidet daher die Schattengrenze zweimal die Axe.
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XI, 612—614. Die koiqagirten Tangeoten einer Fläche.
563
Man erhält unendlich ferne Punkte der Schattengrenze j wenn BP (±LQ) II AQ, wenn also LQA = 90*^. Solche Punkte Q der Spirale sind ihre Schnittpunkte mit dem über AL als Durchmesser beschrie- benen Kreise. In der Figur haben sich außer dem Punkte A, wel- cher keine unendlich fernen Punkte liefert^ deren drei ergeben: Q^^ Qif Qi' ^^ ^^^ ^u^ ^^^ Erzeugenden AQi^ -^Qa -^Qs liegenden unendlich fernen Punkte^ wie für P^, erhält man die Asymptoten nach der allgemeinen Konstruktionsweise ^ so P^ 2\ .
513. Bei Pardllelbeleuchttmg vereinfacht sich das Verfahren wesentlich. Es rückt dann L ins Unendliche, LA, LR, LQ werden unter einander parallel, RP wird senkrecht zu diesen Linien, so daß man auf einem Strahle AQ außer in A nur noch eiuen Punkt Perhält; ferner wird CT=R8 = AR, daher TR:^GA, und wenn man TR mit LA in U schneidet, auch ü Z7 = TR Daher findet man T, wenn man RU^ PCA, d. h. als Tangente an j) legt, üü'mit LA in J7 schneidet und auf ÜR die jBjP= üR weiter trägt. Es slimmt dies mit der in Nr. 459 Fig. 186 gefundenen Kon- struktion N^T^SN^ überein.
V 514. Ist die geschlossene Schraubenfläche die senkrechte oder die WendelflächCy so sind die bisherigen Konstruktionen unbrauch- bar, weil der Parameter unendlich wird. Legt man wieder die Pro- Fig. 206. jektionsebene P durch den leuch- tenden Punkt L senkrecht zur Schraubenaxe a, deren Spur A bilde, und sei s ein aus A mit beliebigem (passendem) Halbmesser beschrie- bener Kreis, so ist derselbe die Projektion einer Schraubenlinie der Fläche, deren Spur S sein möge. Man findet nun die Berührungs- ' ebene in einem in P projicirten Punkte der Fläche, wenn man die AP mit s in B schneidet, die Tan- gente BF der s zieht und auf ihr den Bogen BS in seinem Sinne von B aus nach BF aufträgt; dann ist F die Spur der Tangente BF der in s projicirten Schraubenlinie. Die koaxiale durch P gehende Schraubenlinie hat ihre (nicht verzeichnete) Spur S' auf der Geraden AS, daher die Spur ihrer Tangente PD (_L ^P) in D, wenn PD — Bog. PS', woraus folgt, daß D auf ^ J' liegt. Die Parallele DL zu AP ist dann die Spur der Berührungsebene der Fläche in P
Soll umgekehrt der Berührungspunkt einer durch eine Erzeugende
86«
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&64 XI, 614-516. Die KrÜmmnng der Pl&chen.
AB «B e und durch L gelegten Ebene auf e gefunden werden, so beachtet man, daß ihre Spur LJ) ^e ist. Man schneidet e mit ^ in B, macht die Tangente BF gleich und gleichgerichtet mit Bog. BS, zieht AF bis D auf LD, faUt DP±e, so ist der Fußpunkt P der Berührungspunkt. Weil Bog. BS im einen und im entgegen- gesetzten Sinne genommen und um eine beliebige ganze Anzahl von Umfangen des Kreises s vermehrt werden kann, so erhält man auf BF unendlich viele Punkte F, deren Abstände von einander gleich dem umfange von s sind. Dieselben stellen die Schnittpunkte der BF und . der Evolvente der s vom Ursprünge S dar, welche die Spur der Fläche der Tangenten jener in s projicirten Schraubenlinie bildet. Die Reihe der Punkte F auf B F wird aus A auf LD als die Reihe der Punkte D, und diese senkrecht auf e als die Reihe der Punkte P projicirt, welche alle der Eigenschattengrenze auf e angehören. Da der Punkt D sich dem L in unendlich vielen Lagen und in immer kleineren Abständen von beiden Seiten her nähert, ohne ihn je zu erreichen, so nähert sich die Eigenschattengrenze in zweierlei Windungen asymptotenartig dem Punkte A.
Um die Tangente der Schattengrenze in P zu bestimmen, be- achte man, daß in Fig. 204, weil der Parameter AR «= oo wird, LCR _L AP zu stehen kommt, so daß CD in CL und D in L ßUt Daher fälle man in Fig. 206 LC ± AP, trage auf ihr GT=LC weiter, so gehen durch T die Tangenten in allen Punkten P der e.
Jene beiden Windungen erstrecken sich ins Unendliche und hängen durch eine gemeinschaftliche Asymptote gleichsam zusam- men; diese Asymptote ist || -^^ ^^^ S^^^ durch den zu X in Bezug auf AS symmetrischen Punkt.
V. Die Krümmnngalinien der Flächen zweiten Grades.
a) Die Krümmungslinien als Schnittlinien konfokaler
Flächen.
6 16. Eine Krümmungslinie einer Fläche ist nach Nr. 489 eine solche Linie der Fläche, welche in jedem ihrer Punkte einen der beiden Hauptschnitte dieses Punktes berührt, so daß durch jeden Punkt zwei auf einander senkrechte Erümmungslinien gehen, und welche die Eigenschaft hat, daß zwei Flächennormalen in benach- barten Punkten einer solchen Linie sich schneiden. Zu ihrer Kon- struktion bedürfen wir einiger Hilfssätze. mg 206. Zieht man in einem Punkte P_ einer Fläche die Normale PN
und zwei auf einander senkrechte Tangenten PS und PT der Fläche,
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XI, 616. Die Erümmangslinien der Flächen 2. Grades.
565
trägt auf diesen zwei gleiche unendlich kleine Stücke PS — PT auf, und ergänzt dieselben zu dem Quadrate PSTJTy legt durch jede Seite desselben eine Ebene parallel zur Normale PNy welche daher ein Prisma mit den parallelen
Kanten PN, SJ", UQ, TK" ^«' ^^- ^
bilden, und schneidet diese Ebe- nen mit der Fläche in den Kur- ven PL, LQ, QM, MP, so werden die erste und letzte der- selben von PiSf und PT in P berührt. Zieht man durch L die L V I PTund die Tangente i F der Kurve LQy bezw. bisF und T' auf J7(2, so ist der Winkel YJj V der unendlich kleine Win- kel , welchen die Tangenten der zwei unendlich nahen paral- lelen ebenen Schnitte PM und
LQ der Fläche in den Punkten P und L der Kurve PL bilden; er ist im allgemeinen unendlich klein von der ersten Ordnung (0^); weil er für eine endliche Länge von PZ im allgemeinen endlich wird (I, 232). Ebenso ziehe man MW\ PS, MW als Tangente der MQ bezw. bis W und W auf UQ^ so ist wieder im allgemeinen ^ WMW' = OK Nun ist ÜQ=Ur+rr+ rQ= ÜW + WW+ WQ. Da aber UV^SL, UW—TM und da femer V'Q = TM, W'Q = SL, weil der Unterschied je zweier der letz- teren Größen, welche — 0^ sind, 0* ist und daher wegfallt, so folgt aus den beiden Ausdrücken von UQ, VV= WW, oder FF' und WW sind nach Sinn und Große einander gleich. Daraus ergibt sich auch ^VLT^^ WMW = *.
Zieht man nun in der Ebene TJSJ" die LJf ±. LV, so ist J"LJ' der unendlich kleine Winkel (0*) dieser Normalen LX der Kurve LQ mit der Ebene NP8J'\ und «= ^ FiF'— *. Sodann sei LJ die Flächennormale in Z>; sie ist der Schnitt der Normal- ebenen der Kurven LQ und LP in L, und die erstere dieser Ebenen enthält die Gerade LJ", Der Winkel der LJ mit der Ebene NPSJ" ist — 0*, und von *^ J^LtT = 8 nur um 0 von einer höheren Ord- nung verschieden, also ihm gleich zu setzen. Denn die Ebenen PSfT' und die Normalebene der LQ in L bilden einen Winkel 0* mit einander und in der letzteren Ebene liegen die Linien LJ, LJ', welche ebenfalls einen Winkel 0^ bilden; dann ist der Unterschied der Winkel dieser Linien mit der ersteren Ebene {PSJ") im all-
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566 XI, 515-516. Die KrümmuDg der Flächen.
gemeinen = 0*, da er erst für eine endliche Große von J' LJ ein 0^ wird. (Dieser unterschied ist hier sogar 0^, weil LJ senkrecht auf der Schnittlinie beider Ebenen steht)
Ebenso sei MK die Plächennormale in 3f, und es ist ihr Winkel mit der Ebene NPTK' ^^WMW\ also ebenfalls = *. Da ferner VV und TFTF" gleichen Sinn haben, so liegen die auf der- selben Seite der Fläche gezogenen Normalen LJ und MK entweder beide außerhalb (wie in der Figur) oder beide innerhalb des (rech- ten) Flächenwinkels der Halbebenen NPL und NPM.
Daraus folgt der Sat0 von Bertrand*): Zieht man auf einer Fläche von einem Funkte F a/us ewei auf einander senkrechte gleitke Liniendemente FL und FM, so hüden die in L und M auf derselben Seite der Fläche gezogenen Flächennormdlen LJ und MK gleiche Winkel mit den bezw. durch L und M gelegten Normalebenen NFL, NFM der Fläche in F, die Äblenkungs- oder Deviationswinkel y und liegen entweder beide außerhalb oder beide innerhalb des von diesen Ealbebenen gebildeten k rechten Winkels. Ist daher der eine dieser Winkel Null, so ist es auch der andere; FL und FM sind dann Elemente der Erümmungslinien, die daher auch nach diesem Satze auf einander senkrecht stehen.
616. Hieraus ergibt sich folgender Säte: Stehen drei Flächen F^, F2, F3 paartoeise auf einander senkrecht sowohl in einem ihnen gemeinschaftlichen Funkte F, als in den m F benachbarten Funkien Lf M, N der Schnittlinien von je zweien, so ist jede der Linien PL, FM, FN ein Element einer Krümmungslinie einer jeden der beiden Flächen, deren Schnitt sie badet.
Zieht man an die drei Schnittlinien der Flächen in F bezw. die Tangenten FL', FM', FN*, so stehen diese paarweise auf einander senkrecht und bilden einen Oktanten, dessen Ebenen Berührungs- ebenen und dessen Kanten Normalen je einer der drei Flächen sind. Seien FL', FM', FK bezw. die Normalen der F^, T^, Fj, so bil- den die Ebenen L'FM', L'FN' zwei Normalschnitte FM", FN" der Fl, und auf diese sowie auf die von ihnen berührten Flächen- schnitte trage man die gleichen Elemente FM" = FN" «= FM »= FN auf; dann ist JlfM"= 0^ und NN" = 0\ Daher bUden auch die Normalen der F^ in ihren Punkten M und M" einen Winkel = 0*, ebenso die in N und N". Nun liegen nach der vor. Nr. die Normalen der F^ in M" und N", wenn man sie auf derselben Seite
*) Journal de Lionville, 1844. — Der gegebene Beweis rfihrt im wesent- lichen von Herrn de la Churnerie her (tr. de g^om. descr., B. 8, 1864, S. 4), welcher jene Winkel d die Deviation nannte.
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XI, 616. Die ErümmangBlinieD der Flächen 2. Grades. 567
der Fl zieht, beide im loneren oder beide im Äußeren des Flächen* winkeis TL' (JIT, ^) und bilden mit dessen Seiten (gleiche) Win- kel, welche im allgemeinen «= 0^ sind; daher gilt dasselbe auch von den Normalen der F^ in M und JV, da diese bezw. mit denen in M" und 'S" Winkel «= 0^ bilden. Hat man nun die Normalen auf derselben Seite von F^ gezogen, wie deren Normale PL', so liegen sie auch beide im Inneren, oder beide im Äußeren des Oktanten P (Z»', Jf', ^). Das Eutsprechende gilt von den Normalen der Fg in If und Z», und von denen der F3 in L und M. Zieht man anderer- seits in einem der Punkte L, Mj N, so in L, die Normalen der Fg und der Fg, so stehen diese auf einander senkrecht; wenn daher eine derselben im Inneren jenes Oktanten liegt, so liegt die andere im Äußeren. Nennt man nun die Seite des Oktanten (innen oder außen); auf welcher jene Normale der F^ in M liegt, die positive, die an- dere die negative, so liegt auch die Normale der F^ in N auf der positiven, die Normale der F^ in JV und dann auch die in L auf der negativen, die der F3 in L und dann auch die in M auf der positiven, die der F^ in M auf der negativen Seite, und dies widerspricht der ersten Feststellung, wonach die Seite, auf welcher die Normale der Fl in M liegt, die positive genannt wurde. Es können daher, bis auf Abweichungen *-» 0^, alle jene Normalen auf gar keiner Seite des Oktanten liegen, sie müssen daher mit den Flächen der Oktanten Winkel bilden, die unendlich klein von höherer Ordnung sind; PL, PMy PN müssen daher Elemente von Krümmungslinien in je zweien der Flächen sein (488 f.), w. z. b. w.
Daraus folgt unmittelbar der Sata von Dupin*) über orthogonale Flächen^ worunter man zwei solche versteht, die sich durchweg, d. h. in jedem ihrer gemeinsamen Punkte rechtwinklig schneiden. Er lautet:
Wenn drei Schaaren von Flächen derart beschaffen sind, daß jede Fläche einer jeden Schaar jede Fläche der beiden anderen Schaaren durchtoeg rechtwinklig schneidet^ so ist jede Schnittkurve eine Krüm- mungslinie einer jeden der beiden Flächen von verschiedenen Schaaren, denen sie angehört.
Es kann leicht hieraus gefolgert werden, daß, wenn Bwei Flä- chen Fl, Fj sich durchweg unter demselben Winkel schneiden, ihre Schnittlinie s, wenn sie eine Krümmungslinie der einen Fläche ist, auch eine solche der anderen sein muß. Denn ist s eine Erümmungs- linie der Fi, so liegen die Normalen der Fj in zwei benachbarten Punkten der s in einer Ebene, dann liegen auch die Normalen der
*) Dttpin, D^veloppementB de G^om^trie (5. memoire), Paris, 1818.
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XI, 516—518. Die Erfimmang der Fl&chen.
Fj in denselben Ponkten^ weil sie gegen die ersteren gleich geneigt sind, in einer Ebene, und dann ist s ancli eine Erümmungslinie der P,. — Auf einer Fläche von gleichförmiger Neigung (359) ist daher jede mit der Grundebene parallele Linie eine Erüm- mungslinie, weil sie eine Krümmungslinie der Ebene ist, in wel- cher sie liegi
517. Zur weiteren Erörterung bedürfen wir einiger Sätze über konfokale Kegelschnitte (I, 436 ff.) und konfokale Flächen zwei- ten Grades. Der nächste Satz folgt schon durch Reciprocität aus I, 397, soll aber der größeren Anschaulichkeit wegen noch unmittel- bar bewiesen werden.
In Be0ug auf alle Kurven einer Schaar Jconfokaler Kegdschniüe ist ßu einer Geraden g diyenige (auf ihr senkrechte) Gerade h Jconjugirt, u)elche von g durch die leiden Pwnkte eines jeden der drei Paare ge- meiftöckafilicher konjugirter Brennpunkte harmonisch getrennt ist
Denn in I, 388 wurden auf jeder der drei Axen in erweitertem Sinne, der Hauptaxe, der Nebenaxe und der unendlich fernen Gre- raden, die (konjugirten) Brennpunkte als die Doppelpunkte der In- volution bezeichnet, welche je zwei konjugirte, auf einander senk- Fig. 807. rechte Gerade auf diesen Axen einschneiden. Sind daher Jlf , F, F^
der Mittelpunkt und die beiden reellen Brennpunkte der konfokalen Kegelschnitte, und sind von g und h die Schnittpunkte mit der Hauptaxe, der Nebenaxe und der unendlich fernen Geraden G, trj, G«; ^ H, Hi, Ea^y so sind G, H-y Gj, H^] G«, Hai, J6 ^^ Punktepaar einer solchen In- volution, und die Punkte eines Paares sind durch die (reellen oder imaginären) Doppelpunkte, d. i. durch die Brennpunkte harmonisch getrennt. Ist daher giGG^G^) gegeben, so ermittle man zwei der Punkte H, H„ fl«, und zwar durch ME. MG = MF^, MH^,MG^^ — MF^ {G^F^H^ = G^FH^ = 90<>); hXg-, dann ist A bestimmt.
Zugleich ist der Berührung^pidnkt eines der konfokalen Kegel- schnitte mit g, oder eines anderen mit A, der Schnittpunkt der g und h, weil die zu einer Tangente konjugirte Gerade durch ihren Pol, d. i. ihren Berührungspunkt gehen muß.
518. Die Brennpunkte der Hauptschnitte und die FokaUcegd- schnitte einer Fläche zweiten Grades.
Fig. 808. Von einer solchen Fläche F sei M der Mittelpunkt, von des-
sen Lage im Endlichen wir ausgehen, femer seien a, 6, c die Halb- axen, welche reell oder imaginär sind, so daß sich a^, 6*, c* als
Fig. 207.
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XI, 618. Die Krümmungslinien der Flächen 2. Grades.
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reelle positive oder negative Größen ergeben, es sei a* > 6* > c*, so ist P ein EUipsoid, wenn c* > 0, ein einschaliges Hyperboloid, wenn 6* > 0 > c*, ein zweischaliges Hyperboloid, wenn a* > 0 > 6', und die Flache ist imaginär, wenn 0 > a^ In der Figur dienen die Hauptebenen a&, ac, bc als
Pj , Pj , Pj . Von den sechs Brenn- punkten des Hauptschnittes ab liegen die zwei reellen, vne F^ auf a, zwei imaginäre, die ideell durch zwei reelle (I, 388), wie Fif dargestellt werden, auf 6, und es ist MF= MFi — f, und die zwei letzten auf der unend- lich fernen Geraden als deren imaginäre Ereispunkte. Von den Brennpunkten des Haupt-
4?
Fig. 208.
4?
ßT
Schnittes ac liegen die zwei reellen, wie E, auf a, zwei ideelle, wie Ei, auf c (ME 'Tza MEi == e) f und zwei sind die unendlich fernen imaginären Ereispunkte. Von den Brennpunkten des Hauptschnittes bc liegen die zwei reellen, wie D, auf 6, zwei ideelle, wie Di, auf c (MD =» MDi = rf), und zwei sind die unendlich fernen imagi- nären Ereispunkte« Die Brennpunkte des unendlich fernen Eegel- schnittes können wir erst nachher bestimmen.
Nun gilt für jedes Vorzeichen von a*, 6*, c*:
/^ = a« - b\ daraus folgt
a^ — c\ (p -. 6« — c«;
r = e«-(?.
(1)
sowie^ wegen a* > 6* > c*, daß /^, e*, cP positiv, also f, e, d reell
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570 XI, 518. Die Erümmung der Flächen.
sind. Indem wir die unendlich ferne Ebene zu den Haaptebenen zählen, sprechen wir den SaUs aus:
In jeder der vier Hauptebenen einer Fläche eweiien Orades F gibt es einen Kegelschnitt, welcher ein Fokalkegelschnitt der F heißt, dessen sechs Brennpunlcte mit denen des Hawptschnittes seiner Ebene mir samnienfallen, und dessen Scheitel in den sechs übrigen in seiner Ebene liegenden Brennpunkten der drei anderen Hauptschnitte liegen.
Danach ist zunächst in der Ebene ab der Fokalkegelschnitt derjenige, welcher den in a& liegenden Brennpunkt E des Hanpt- schnittes bc und den D des bc zu Scheiteln, und, da 6* — d^=mp (Gl. 1), den Punkt F zu einem Brennpunkte hat; dann hat er aber alle sechs Brennpunkte mit dem Hauptschnitte ab gemein. Weil die Scheitel E, D reell, ist er eine Ellipse und hat M zum eigent- lichen Mittelpunkte. — In der Ebene ac ist der Fokalkegelschnitt diejenige Hyperbel, welche Jf zum eigentlichen Mittelpunkte, F und Di zu Scheiteln bezw. einer reellen und ideellen Axe und daher, wegen Gl. (1), E zu einem Brennpunkte hat. — In der Ebene bc endlich ist der Fokalkegelschnitt derjenige imaginäre Kegelschnitt (als Ellipse anzusehen), welcher M zum eigentlichen Mittelpunkte, Fi und Ei zu ideellen Scheiteln und, wegen Gl. (1), D zu einem reellen Brennpunkte hat. Di ist dann ein reeller Brennpunkt derjenigen reellen Ellipse, welche jener imaginären Fokalellipse in Bezug auf M konjugirt ist und ihre ideelle Darstellung (I, 408) bildet (in der Figur gestrichelt).
Der Fokalkegelschnitt der unendlich fernen Ebene soll auf jeder der drei durch M gehenden Hauptebenen die beiden unendlich fer- nen Brennpunkte, also je zwei unendlich ferne imaginäre Ejreis- punkte, enthalten. Der durch diese sechs Punkte gehende Kegel- schnitt kann als die Schnittlinie der unendlich fernen Ebene mit einer Fläche zweiten Grades betrachtet werden, deren Schnittlinien mit jenen drei durch M gehenden Hauptebenen je zwei solche un- endlich ferne imaginäre Ereispunkte enthalten, also Kreise sind. Diese Fläche zweiten Grades muß daher eine Kugel sein, da jede andere solche Fläche nur zwei Stellungen von Kreisschnitten enthalt; der unendlich ferne Fokalkegelschnitt ist daher der unendlich ferne (imaginäre) Kugeüoreis.
Um den obigen Satz ganz zu rechtfertigen, muß man noch nachweisen, daß die drei ersteren Fokalkegelschnitte durch die Brennpunkte des unendlich fernen Hauptschnittes h der Fläche F und des unendlich fernen Kugelkreises u gehen; d. h. daß die in der unendlich fernen Ebene TT durch diese Punkte zu einander senk- recht gezogenen Geraden in Bezug auf h und u zu einander kon-
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X], 518—519. Die KrümmangsliDien der Fl&chen 2. Grades. 571
jugirt sind. Als derartige Gerade mQssen wir nach Maßgabe der gewöhnlichen Hauptebenen solche Gerade ansehen^ welche aus dem Pole M der U durch Ebenen projicirt werden, welche auf einander senkrecht stehen und zu einander konjugirt sind in Bezug auf jede Fläche zweiten Grades, die durch A bezw. durch u geht und U und M zu Polarebene und Pol hat. Für den Kegelschnitt h wird dies in Nr. 528 nachgewiesen werden. Für den u sind jene Flächen Kugeln vom Mittelpunkte M\ und es ergibt sich, daß jeder Punkt P der U ein Brennpunkt des u ist, weil jede zwei durch MF gelegte auf einander senkrecht« Ebenen in Bezug auf diese Kugeln zu einander konjugirt sind. Daher sind auch die sechs unendlich fernen Punkte der drei anderen Fokalkegelschnitte, von denen aber nur die der Fokalhyperbel reell sind, Brennpunkte des w, und es gilt: Der un- endlich ferne FoJccUkegelschniU einer Fläche gtveiten Grades (der durch den unendlich fernen imaginären KugeOcreis gebildet wird) hat die sechs Punkte der drei anderen Fokalkegelschnitte ssu Brennpunktenj und von diesen sind 0wei reell.
519. Flächen jsweUen Grades heißere konfokal ^ umtn sie die Brennpunkte ihrer Hauptschnitte gemein haben, und dies ist schon erfüllt, wenn die Axenlinien und auf ihnen zwei von einander unab- hängige Brennpunkte gemeinsam sind. Solcher von einander unab- hängiger reeller Brennpunkte gibt es viererlei, nämlich D, E, F und ein unendlich ferner Punkt der Fokalhyperbel. Um uns eine Vor- stellimg von dem Übergange der Flächen der Schaar in einander zu machen, wollen wir von der Halbaxe a ausgehen, die wir zu- nächst reell annehmen, so daß es auch Ä ist. Läßt man Ä auf a ^8- sos. sich aus dem Unendlichen dem Mittelpunkte M nähern, so geht die Fläche von der unendlich großen Kugel in das Ellipsoid J.| JS| Cj über, welches sechs reelle Brennpunkte in seinem Inneren einschließt. Gelangt Ä nach E, so wird a ^^ e und der Hauptschnitt ab zur Fokalellipse ED, die Halbaxe c wird Null, und das Ellipsoid wird zur doppelten Fläche dieser Ellipse. Die Schaar der EUipsoide er- füllt den ganzen Raum einfach, d. h. durch jeden Punkt geht ein Ellipsoid.
Bewegt sich nun A von E gegen F, so bleibt der Hauptschnitt ab eine Ellipse, wie A^B^, in dessen Äußerem die Brennpunkte Ef D liegen; die anderen Hauptschnitte werden daher Hyperbeln, die Fläche wird zu einem einschaiigen Hyperboloide^ dessen Anfangs- gestalt die doppelte Außenfläche der Fokalellipse ED ist Gelangt ' Ä nach Fj so wird die Ellipse ab zu einer doppelten Geraden {2 MF), der Hauptschnitt ac wird zu der Fokalhyperbel, und die Fläche zur doppelten Außenfläche dieser Hyperbel« Die Schaar der
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XI, 619-520. Die Erümmung der Flächen.
einschcUigen Hyperboloide erfüllt ebenfalls den ganzen Baum einfach. — Bewegt sich dann Ä von F bis M, so wird der Hauptschnitt ab eine Hyperbel mit einem Scheitel ^3, derjenige ac ebenfialls eine Hyperbel, die Scheitel auf b und c werden imaginär und der Haupt- schnitt bc ein imaginärer Kegelschnitt, die Fläche ein zweischaliges Hyperboloid. Dasselbe geht, für Ä in F, von der doppelten Innen- fläche der Fokalhyperbel ac aus, und schließt, für J. in Jlf, mit der doppelten unbegrenzten Ebene bc. Auch die Sckaar der ein- schaligen Hyperboloide erfüllt den ganzen Baum einfach. — Wird endlich a imaginär ^ so werden es auch &, c und die Fläche selbst; ideelle zusammengehörige Scheitel sind ^1, J?4,, Cu. Das EUipsoid mit diesen reellen Scheiteln und den reellen Brennpunkten i^-, Ei^ Di ist die ideelle Darstellung des imaginären Ellipsoides in Bezug auf seinen Mittelpunkt M.
Durch jeden Punkt P des Baumes geht daher von der Schaar konfokaler Flächen ein EUipsoid, ein ein- und ein zweischaliges Hyperboloid, und ein reelles EUipsoid, welches die ideelle Mittel- punktsdarstellung eines konfokalen imaginären ist.
620. In Beeug auf alle Flächen einer Schaar JconfökaJer Flächen
0fveüen Orades ist einer Ebene E ein und dieselbe auf E senhreciUe
Fig. 209. Gerade g honjttgirt. Denn sei in einer Hauptebene P die Gerade e,
die Spur der E, sei g' die nach Nr. 517 konstruirte zu e^ in Bezug
auf die in P liegenden (konfokalen) Hauptschnitte aller Flächen der
Schaar konjugirte Gerade, *^' so ist die _L P durch g'
gehende Ebene zu e^ in Be- zug aufjede Fläche der Schaar konjugirt, weil sie zu ihr die Pole zweier durch e^ gehen- den Ebenen, also die Polare der e^ enthält, nämlich den Pol der _L P durch e^ geleg- ten Ebene, welcher in g' liegt, und den Pol der P, welcher der unendlich ferne Punkt jeder zu P senkrechten Gera- den ist Das Entsprechende gilt in der zweiten Hauptebene für die Spur «2 ^^^ ^^^ zu ihr senkrechte und koigugirte g". Daher ist zu der durch e^ und e^ gehenden Ebene E die Schniti^erade g jener beiden auf e^ bezw. e^ senkrechten Ebenen in Bezug auf alle Flächen der Schaar konjugirt, und es steht g, deren Projektionen g\ g' sind, X. B«
^^^
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XI, 620^522. Die ErammuDgalinien der Fl&chen 2. Grades. 573
Der Schnittpunkt P einer Ebene E mit seiner in Besfug auf eine Schaar konfohäler FläcJien etoeiten Grades konjugirten 'Geraden g ist der Berühru/ngspunkt der E mit einer Fläche der Schaar. Denn der Berührungspunkt, als Pol der E in Bezug auf die berührte Fläche, muß auf g liegen.
521. Zwei Jconfohale Flächen tsweiten Grades^ die nicht von der- selben Art sind, schneiden sich durchweg rechttvinklig.
Denn sei in einem beliebigen Punkte P, E die Berührungs- ebene und g die Normale einer der drei durch P gehenden Flachen F der Schaar, so ist g die, stets einzige, der E in Bezug auf F konjugirte auf ihr senkrechte Gerade, und daher auch der E in Bezug auf alle Flächen der Schaar konjugirt (520). In der Invo- lution der konjugirten Tangenten der F in P seien h und i das Recht winkelpaar, so ist auch die Ebene gh zu der auf ihr senk- rechten Geraden i, und die gi zu der h in Bezug auf F, und daher auch in Bezug auf alle Flächen der Schaar konjugirt. Demnach sind diese Ebenen auch die Berührungsebenen zweier weiteren durch P gehenden Flächen der Schaar. Die Normalen der drei durch P gehenden Flächen sind daher die auf einander Senkrechten g, h, i, und die Flächen schneiden sich zu zwei rechtwinklig.
Zus. g,h, i sind auch in Bezug auf alle Kegel konjugirt, welche aus P je einer der Flächen umschrieben sind (89, Bew.), und daher die gemeinschaftlichen Axen derselben. Diese drei Linien können konstruirt werden als die drei Axen des aus P einer der Flächen, am einfachsten einem der Fokalkegelschnitte, umschriebenen Ke- gels (23).
522. Die Schnittlinien einer Fläche zweiten Grades mit den eu ihr konfokalen Flächen sstoeiten Grades anderer Art bilden sämmüiche Kriknmungslinien der ersteren Fläche.
Denn die konfokalen Flächen schneiden sich rechtwinklig (521), ihre Schnittlinien sind daher Erümmungslinien der gegebenen Fläche (516), und zwar sämmüiche, weil die zwei durch jeden Punkt der Fläche geh^iden andersartigen Flächen (519) die zwei durch diesen Punkt gehenden Erümmungslinien (489) liefern.
Diese Krümmungslinien sind daher von der vierten Ordnung, und da die sich schneidenden konfokalen Flächen das Polartetraeder der vier Hauptebenen gemein haben, so werden aus dessen Eckpunkten, d. i. dem Mittelpunkte und dem unendlich fernen Punkte jeder der drei Axen die Krümmungslinien durch Kegel zweiten Grades (doppelt) projicirt; daher sind die (benefi Projektionen der Krümmungslinien einer Fläche eweiten Grades aus dem Mittelpunkte oder dem unendlich
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XI, 522—528. Die ErümmaDg der Flächen.
fernen Punkte einer Axe der Fläche Kegelschnitte. Die Hauptsdinitie selbst sind offenbar Krümmungslinien.
62S. Äufg. Die Krümmungslinien einer Fläche zweiten Grades durdi ihre ProjMonen auf die drei Hauptd>enen darzustellen^).
Aufl. Werden nur einzelne Erümmungslinien verlangt, so ist
zweckmäßig ein
Fig. sio. ErstesVer fahren y welches zunächst an einem Eüipsoide ausgeführt
werden soll. Dieses habe den Mittelpunkt M, die Halbaxen a^b^c
mit den Scheiteln Ä, By G\ in den Hauptschnitten bc, ca^ ab die
Fig. 210.
>
reellen Brennpunkte D, E^ Fy und es sei auf die drei Hauptebenen aby aCy bc projicirt. Soll durch den willkürlichen Punkt G des Hauptschnittes ac, der selbst eine Erümmungslinie ist, die zweite Krfimmungslinie gelegt werden, so bestimmt man den auf a liegen- den Scheitel Ä^ der konfokalen durch G gehenden Fläche, indem man den Abstand E"G" von Ä" gegen E'' hin nach Ä"Äi' auf- trägt (I, 435); dabei finde zunächst statt, daß A"Ai''>Ä''F" sei, wodurch die konfokale Fläche ein zweischaliges Hyperboloid wird (519). Die Hauptschnitte beider Flächen in der Ebene ab treffen sich dann in vier in Bezug auf a und b symmetrischen Punkten,
*) Zuerst von Monge aof analytischem Wege gelOst in seiner AppHcatioD de r Analyse ^ la G^om^trie, XV et XVI, 1795.
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XI, 623—626. Die ErümmimgBliDien der Flächen 2. Grades. 575
deren einer auf der Ellipse -4' JB' der H' ist, wenn F B! ^=» A'A(y die Hanptschnitte in der Ebene ac treffen sich in vier Punkten, wie (jt" j die Hauptschnitte in &c in vier imaginären Punkten. Durch die reellen Punkte G und H. sind von der Schnittkurve beider Flä- chen die kegelschnittförmigen Projektionen auf die Hauptebeneu bestimmt, und zwar von der ersten zwei Scheitel; wie G\ und vier Punkte, wie J3'; von der zweiten zwei Scheitel, wie H!\ und vier Punkte, wie G"\ von der dritten die vier Scheitel, wie G"\ H"\
Die erste Projektion der Krümmungslinie ist eine Hyperbel G'n\ deren eine Asymptote M'L man findet, wenn man H'J±. M'B' fällt, auf Jlf'JB' die JK=MG' macht, und auf JE' den Punkt L durch KL = JH' bestimmt (I, 371). Damit läßt sich die Hyperbel leicht verzeichnen. Die zweite Projektion ist eine Ellipse, und man findet aus den zwei Scheiteln der einen Axe, wie H'\ und einem Punkte G", einen Scheitel P der anderen Axe, durch Affinität mit dem aus M" durch H" gezogenen Kreise, oder (wie in einer Nebenfigur angedeutet werden mußte, weil die Ellipse H"P' sich kaum von einem Kreise unterscheidet) unter Anschluß an die Kon- struktion der Ellipse mittelst der über den Axen als Durchmesser beschriebenen Kreise (I, 372). Die dritte Projektion ist eine Ellipse und durch ihre vier Scheitel, wie G'"j H"\ gegeben.
524. Soll die Krümmungslhiie durch den Punkt Q des Haupt- schnittes ac gelegt werden, für welchen E" Q" '=^ Ä" A^' < A" F' ist, so liegt der Scheitel A^ der konfokalen Fläche zwischen E und F, und diese Fläche ist ein einschaliges Hyperboloid, dessen anderer reeller Scheitel B, durch F'B^ = M'A^' bestimmt wird. Die Haupt- schnitte beider Flächen treffen sich nun: in a& (die Ellipsen) in ima- ginären Punkten, in ac in vier reellen Punkten wie Q, in hc in vier reellen Punkten wie B, bestimmt durch D'" R'' ^ B'" B^'\ Es können dann, wie vorhin, die drei Projektionen der Schnittlinien verzeichnet werden: in a& eine Ellipse aus den vier Scheiteln wie Q\ B'\ m ac eine Ellipse aus zwei Scheiteln, wie 22", und vier Punkten, wie $"; in Je eine Hyperbel aus zwei Scheiteln, wie Q"\ und vier Punkten, wie JB'".
525« Man kann aber auch die fehlenden reellen und ideellen Scheitel der verlangten Kegelschnitte in den beiden vorhergehenden Nummern unmittelbar aus den imaginären Schnittpunkten konfoka- ler gleichartiger Kegelschnitte bestimmen. Sind von zwei kon- fokalen Kegelschnitten die Haupt- und Nebenaxen bezw. a, a^\ &, b^, so sind ihre Gleichungen, bezogen auf die Haupt- al& rrAxe, und die Neben- als yAxe,
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576 XI, 526—626. Die Krümmung der Flächeo.
und wenn ihre gemeinschaftliche tlxcentricit f ist; gilt
/^ =3 a« - 6« - a^« -^ 6,1 (2)
Eine Kurve ist eine Ellipse, eine Hyperbel oder ein imaginärer Kegelschnitt (Ellipse), je nachdem bezw. a*>0, 6*>0; a*>0, 6*<0; a*<0, 6*<0. Eliminirt man aus den Gleichungen (1) y, setzt in der entstehenden Gleichung die Werte von 6* und h^ aus (2) ein, und verfährt entsprechend mit x, a*, a,*, so erhält man, wenn )/--l = i gesetzt wird, die Koordinaten der Schnittpunkte beider Kegelschnitte
^==±y^, y = + iy^ = ±V. (3)
Sind a^a^j b,bi reell, so ist x die reelle Abscisse, y die imaginäre, y' die ideelle Ordinate eines Schnittpunktes.
Wir erhalten nun die Koordinaten der Schnittpunkte der Ellip- sen AB und A^B^ der vorigen Nr., wenn wir a =» M'A\ b = M'B\ «1 = M'A^^ \ = M' B^ setzen. Ziehen wir dann die JB'2^, schnei- den sie mit der zu a Senkrechten A^S^ in S^ so ist offenbar nach der ersten der Formeln (3) x^=^B'S^j was wir auf a nach M'S' tragen. S" ist dann ein Scheitel der Ellipse B"Q"8". Tragen wir andererseits auf a die F'TJ ^== M'B^ = 6^ auf, ziehen UT^ _L a bis T^ auf B'F, so ist nach der zweiten der Formeln (3) y' = ÜT,=M"r' die ideelle Halbaxe der Hyperbel Q'"K".
Man hätte die aus dem unendlich fernen Punkte der x oder der y gezogenen gemeinschaftlichen reellen oder ideellen Sehnen der Kegelschnitte ab, ai\ auch nach I, 410 mittelst konjugirter Kegel- schnitte, oder nach 1,411 als Strahlen konstruiren können, die durch die Punkte jedes von zwei Paaren in Bezug auf beide Kegel- schnitte konjugirter Punkte harmonisch getrennt sind; aber das ge- gegebene Verfahren dürfte das einfachere sein.
526. Bestimmung der KrümmungsUnien auf dem einschaligen Fig. SU. Hyperboloide nach dem ersten Verfahren. Es mögen die Bezeichnungen von Nr. 523 gelten, wobei A, B reelle, und C ein ideeller Scheitel sind. Durch den willkürlichen Punkt G des Hauptschnittes ac legt man die zweite Krümmungslinie als Schnitt mit der durch G gehen- den konfokalen Fläche, deren Scheitel A^ und B^ durch A"E' A^ r^E"G", und durch FB(^M'Al bestimmt sind, und welche ein EUipsoid ist. Die Hauptschnitte bc beider Flächen treffen sich in vier Punkten, wie H"\ wobei B'" K" — B'^B^'. Von der Schnittkurve- wird gezeichnet die erste Projektion als Ellipse aus
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XI, 626—627. Die Krümmungslinien der Flachen 2. Grades. 577
den vier Scheiteln, wie G\ H\ die zweite als Ellipse aus zwei Scheiteln, wie H'\ und vier Punkten wie G", die dritte als Hyperbel aus zwei Scheiteln, wie G"\ und vier Punkten wie H'" nach dem
Fig. 211.
Verfahren der Nr. 523. Man findet auch einen Scheitel P" der Ellipse H"G" nach der ersten der Formeln (3) der Nr. 525, wenn man B'F' mit der zu a Senkrechten A^Pi in P^ schneidet und M"P''^B'Pi macht; und ebenso den ideellen Scheitel J'" der Hyperbel O'" H'" nach der zweiten jener Formeln, wenn man auf a FK^M'B; aufträgt, KJ^A,a bis eTj auf F B' zieht und M"r'=KJ, macht.
627. Durch den willkürlichen Punkt Q des Hauptschnittes a6 legt man die zweite Erümmungslinie als Schnitt mit der durch Q gehenden konfokaleu Fläche, deren Scheitel A^ durch A'F'Ä^ = jP'Q' bestimmt wird, und welche ein zweischaliges Hyperboloid ist. Seine ideellen Scheitel JBg, G^ erhält man durch Ä^B^ ^^ M'F und Ä^'G^'^M'F' oder aus {M'^G^'J = {M"B^y + {W D'y, Denn der dritte Hauptschnitt des zweischaligen Hyperboloids ist imaginär und hat zu Halbaxen \ = i.M'"B^", c^ = i.M'"G^" und zur Excentricität d=^ M'"D"\ so daß die obige Gleichung aus e? = 6« - c* folgt (518).
Die Schnittlinie der beiden konfokalen Flächen, eines ein- und
Wiener, Lehrbach der dorfiellendon Geometrie. II. 37
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578 XI, 627—528. Die Krümmung der Flächen.
eines zweisebaligen Hyperboloides, hat vier Asymptoten und man könnte diese als Schnittlinien der Asymptotenkegel der Flächen kou- struiren; unsere Projektionen der Schnittlinien sind dann Hyperbeln, welche aus ihren Asymptoten und ihren vier reellen Punkten, wie Q, verzeichnet werden könnten. Einfacher ist es aber, die noch fehlen- den Axen der Projektionen nach Nr. 525 zu bestimmen. Die kon- fokalen hyperbolischen Hauptschnitte ac mit den Scheiteln Ä", A^' haben Schnittpunkte, deren Koordinaten bezw. der aAxe der ersten und der cAxe der dritten Projektion der Schnittknrve gleich sind und sich nach Formel (3) der Nr. 525 ergeben, wenn man darin a = m:'A'\ b = i. M"a\ a^ = M'X'; 6i = » • M"C;', f = M"E" setzt; man erhält dann
oder X = M'E\ wenn man auf einer Asymptote M' K^ der Hyperbel ^"ö" die M'K^=M"A^' aufträgt, und K^K' \ M' M' zieht; und y^=^i,M"'V\ wenn man auf derselben Asymptote M" K^ die M"L, = M"C^" aufträgt und Jlf"'r" = Abstand L^ . Jf'^" macht.
Ebenso erhält mau aus den konfokalen Kegelschnitten bc, einer Hyperbel mit einem reellen Scheitel JB'" und einem ideellen C"\ und einer imaginären Ellipse mit den ideellen Scheiteln B^''^ C^'\ die Koordinaten ihrer Schnittpunkte aus denselben Formeln, wenn man a = M'"B'% h = i.M"'C'\ a, == %.M'"B^'\ h, = i.M'^C^", f=^M'"D"' setzt, woraus folgt.
Dann ist die &Axe der ersten Projektion der Schnittkurve beider Flächen = a; = t . M'R\ wenn man auf einer Asymptote M"'R^ der B'"H"' die M''' R, = M"B^" aufträgt und B^K \ WM zieht; und die cAxe der zweiten Projektion der Schnittkurve = y = i,M"S", wenn man auf derselben Asymptote die -Sf' "S, = M"'C^'' aufträgt und M"S" gleich Abstand «i .JIf"'JB'" macht. — Nun ver- zeichnet man von der Schnittkurve die Projektionen als Hyperbeln aus den reellen und ideellen Scheiteln: 1) K% ü'; 2) ©", S"; 3) Q"\ V".
b) Die Projektionen der Krümmungslinien auf die Haupt- ebenen als Kurven einer Kegelschnittschaar. 528. Soll eine Anzahl von Krümmungslinien verzeichnet wer- den, so ist es vorteilhaft, eine weitere Eigenschaft ihrer Projektionen auf die Hauptebenen zu benutzen.
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XI, 628—629. Die KrummungfllinieD der Flächen 2. Grades. 579
Bei einer Schaar konfoJcaler Flächen zweiten Grades ist jede Tan- gente eines zugehörigen Fohalkegdschnittes die Axe eines rechtwinklig- involutorischen Ebenenbüschels, in welchem zwei zugeordnete, d. i. auf einander [senkrechte Ebenen in Bezug auf jede Fläche der Schaar zu einander konjugirt sind.
Denn sei t die Tangente eines Fokalkegelschnittes in einem Punkte N desselben, so ist jede durch t gehende Ebene E eine Be- rührungsebene derjenigen Fläche der Schaar, welche in den frag- lichen Fokalkegelschnitt übergegangen (519) ist; und die _L B durch N gelegte Gerade g bildet die zugehörige Normale dieser Fläche (520). Daher sind E und g koujugirt in Bezug auf den Fokalkegel- schnitt und dann in Bezug auf jede Fläche der Schaar (520), oder die g enthält die Pole der E zu jeder dieser Flächen; daher sind auch die auf einander senkrechten Ebenen E und tg konjugirt in Bezug auf jede Fläche der Schaar, w. z. b. w.
529. Während nun durch einen allgemeinen Punkt P des Rau- mes drei auf einander senkrechte Normalen g, h, i von Flächen der Schaar gehen und die Axen für alle Eegel bilden, welche aus P je einer Fläche der Schaar umschrieben sind (521), gehen durch einen Punkt N eines Fokalkegelschnittes unendlich viele solcher Linien g, h, i, nämlich die Tangente t dieses Kegelschnittes und jedes Paar auf einander und auf t senkrechter Geraden g, h, und hieraus folgt, daß für einen solchen Punkt N jene Kegel ümdrehungskegel sind mit t als Axe. Daher der Satz:
1) Bei einer Schaar konfokaler Flächen zweiten Grades sind alle aus einem Punkte N eines Fokalkegelschnittes je einer der Flächen um- schriebenen Kegel Umdrehungskegel , deren gemeinschafUicJie Umdrehungs- axe die Tangente t des Fokalkegelschnittes in N ist.
Alle genannten Geraden g und h erfüllen die Normalebene des Fokalkegelschnittes in N, und diese Ebene schneidet die Schaar der konfokalen Flächen in einem Systeme von Kegelschnitten. Da nun eine Gerade g in Bezug auf jede Fläche der Schaar zu der auf ihr senkrechten Ebene ht konjugirt ist, d. h. deren Pol enthält, so ent- hält sie auch den Pol der Geraden h in Bezug auf jeden Kegel- schnitt jenes Systems (73, 2)), oder sie ist der g in Bezug auf jeden konjugirt; daher bilden alle jene auf einander senkrechten Geraden g und h eine senkrechte Involution konjugirter Strahlen in Bezug auf jeden dieser Kegelschnitte, oder es gilt (I, 388):
2) Ein Punkt N eines Fokalkegelschnittes ist ein Brennpunkt aller Kegdschnitte, in welchen die konfokalen Flächen von einer zum Fokal- kegelschnitte in N senkrechten Ebene getroffen werden.
Da ferner die auf t senkrechte Ebene gh in Bezug auf alle
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580 XI, 629->530. Die Krümmung der Flächen.
Flächen der Schaar zu t konjugirt ist; so ist der Schnittpunkt N von t und gh der Berührungspunkt der Ebene gh mit einer Flache der Schaar (520); und da die Geraden e/, h eine senkrechte Invo- lution konjngirter Tangenten dieser Fläche bilden , so ist die Indi- katrix ein Kreis und N ein Nabel punkt dieser Fläche. Daher gilt:
3) Die SchniUpiinkte einer Fläche zweiten Grades mit einer Fokal' kurve derselben sind Nabelptmlcte der Fläche.
Die Fläche hat in jeder der vier allgemeiner genommenen Haupt- ebenen vier, im Granzen daher 16 Nabelpunkte, von denen sich aber höchstens vier als reell ergeben werden; bei den windschiefen Flä- chen keine, weil sie keine elliptischen Punkte besitzen.
530. Irgend eine Erümmungslinie Je einer Fläche zweiten Gra- des F kann als der Schnitt derselben mit einer zu ihr konfokalen Fläche Pj angesehen werden. Sei N ein Nabelpunkt der P, ^ die Normale der P in N, und seien g und h zwei durch N in der Be- rührungsebene der P auf einander senkrecht gelegte Gerade, so ist in Bezug auf F die g die Polare der h, und in Bezug auf P^ liegt der Pol P der Ebene ht auf g. Daher gehen die Polarebenen des Punktes P der g in Bezug auf P und P^ durch ä, oder A ist ihre Schnittlinie.
Legt man nun aus dem Mittelpunkte M und aus den unendlich fernen Punkten X, F, Z der Axen a, 6, c der P durch Je die dop- pelt projicirenden Kegel (zweiten Grades), im besonderen Cylinder, so bilden P, P^ und diese vier Kegel ein Flächenbüschel zweiter Ordnung, und es sind in Bezug auf jede Fläche dieses Büschels P und h, und dann auch g und h zu einander konjugirt. Denn legt man durch Peine Ebene, so schneidet diese das Flächenbüschel in einem Kegelschnittbüschel, dessen Grundpunkte die vier Schnittpunkte der Ebene mit Je sind. Daher gehen die Polaren von P in Bezug auf alle Kurven des Kegelschnittbüschels durch ein und denselben Punkt P* (I, 397), und durch diesen müssen auch die Polarebenen von P in Bezug auf alle Flächen des Flächenbüschels, also auch in Bezug auf P und Pi gehen, oder P' muß auf der Schnittlinie h der letzteren Polarebenen liegen. Eine zweite Hilfsebene zeigt, daß alle diese Polarebenen von P noch durch einen zweiten Punkt von h, also durch h selbst gehen, so daß P und h, und daher auch g und h in Bezug auf alle Flächen des Büschels konjugirt sind. Daher sind die zwei auf einander senkrechten Strahlen g und h des Büschels N zu einander konjugirt auch in Bezug auf jene vier Kegel M, X, F, Z, und daher bilden die Projektionen eines solchen Strahlenbüschels N aus einem dieser vier Punkte auf irgend eine Ebene eine Involution von Strahlen, welche paarweise konjugirt sind in Bezug auf die
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XI, 630—531 Die KrömmuDgslimen der Flächen 2. Grades. 581
Schnittlinien der von demselben Punkte ausgebenden Eegel mit der- selben Ebene ; d. i. in Bezug auf die Projektionen aller Erümmungs- linien aus demselben Punkte auf dieselbe Ebene.
531. Wenden wir die allgemeinere Bezeichnung an, wonach M, X, Yy Z die vier Mittelpunkte M und die vier Ebenen je dreier derselben die Hauptebenen H der Fläche F heißen, so projiciren sich aus jedem M die 'vier Nabelpunkte N der P, welche in jeder durch M gehenden H liegen, (wegen der Symmetrie) paarweise durch zwei Gerade, derart daß aus den drei durch M gehenden H, sechs Projektionen K von Nabelpunkten entstehen, also Punkte gleicher Strahleninvolution für diejenigen Kegelschnitte Ä', welche die Projektionen der Krümmungslinien To der P sind. In der dem M gegenüberliegenden Ebene H befinden sich ebenfalls vier Nabelpunkte der P, nämlich die Schnittpunkte der P mit dem Fokalkegelschnitte dieser H. Die Berührungsebenen der P in diesen Nabelpunkten gehen aber durch den Pol M der H, jene in diesen Berührungsebenen liegenden rechtwinkligen Involutionen projiciren sich daher aus M als vier Gerade ^, deren jede demnach sich selbst konjugirt, daher eine Tangente eines jeden ¥ ist. Die sechs Schnitt- punkte der vier t unter einander sind dadurch Punkte gleicher Strahleninvolution der Tc' und fallen mit den vorherbezeichneten N' zusammen, da zwei Kegelschnitte h' nur sechs Punkte gemeinschaft- licher Strahleninvolution besitzen (I, 412). Daraus folgt der
SaU. Die Projektionen V der Krümmtmgslinien Je einer Fläche zweiten Grades P aus einem der vier im verallgemeinerten Sinne ver- standenen Mittelpunkte M der Y auf irgend eine Ebene bilden eine Kegelschnittschaary die demjenigen Vierseit einbeschrid>en ist^ dessen Seiten die Projektionen der Berührungsebenen der F in denjenigen vieren ihrer Nabelpunkte sind, weldie in der jenem Mittelpunkte M gegenüberstehen- den Hauptebene "EL der F liegen, während jeder der sechs Uckpunkte des Vierseits die Projektion von 0wei solchen Nabelpunkten der ¥ ist, welche in den drei durch M gehenden Hauptebenen B. der F liegen,
Ist die Projektionsebene parallel mit der Berührungsebene der P in einem und dann auch in einem zweiten Nabelpunkte N der P, ohne durch den Projektionsmittelpunkt zu gehen, so projicirt sich die rechtwinklige Involution konjugirter Tangenten in jedem N in eine rechtwinklige Involution N' konjugirter Strahlen in Bezug auf die Kegelschnittschaar, oder jeder Punkt N' ist ein gemeinschaftlicher Brennpunkt der %'; und die k' sind konfokal, wenn beide N" getrennt sind. Ist P ein Ellipsoid oder ein elliptisches Paraboloid, so gibt es daher zwei Stellungen von Ebenen (parallel zu der Berührungsebene der P in einem der reellen Nabelpuukte), auf welche sich aus X
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582 XI, 631—533. Die Krümmung der Flächen.
und Z die h als eine Schaar konfokaler Kegelschnitte projiciren, beim elliptischen Paraboloide aus Z als Parabeln.
632, Aufg, Die Schaar der Krümmungslinien einer Fläche zwei- ten Grades du/rch ihre senkrechten Projektionen auf die drei Haupt- ebenen und etwa noch durch eine Projektion aw5 dem Mittelpunkte der Fläche darzustellen.
Aufl. Indem diese Projektionen Kegelschnittschaaren sind, kön- nen wir zur Verzeichnung derselben das Verfahren der Hilfskegel- schnitte (I, 414 ff.) oder das der Netze (I, 425) anwenden. In un- serem Falle verdient das erstere den Vorzug, weil es gestattet, von der Schaar beliebige einzelne Kegelschnitte zu verzeichnen, also insbesondere die verschiedenen Projektionen derselben Krümmungs- linien anzugeben, und weil es die Scheitel derselben liefert, aus denen die Zeichnung leicht ausgeführt wird. Wenden wir zunächst dieses Verfahren an, Fig. 212. 1- Die Krümmungslinien des Ellipsoides. Es sollen wieder die
Bezeichnungen der Nr. 523 ff. gelten, wonach MÄ = a, MB = h, MC = c die Halbaxen, a>b> c, D, E, F Brennpunkte der El- lipsen J5(7, (7-4, AB sind. Wir bestimmen zunächst die vier reellen Nabelpunkte der Fläche, wie N, N^-^ sie liegen auf dem Haupt- schnitte ac und werden erhalten durch E"N" =^ A"F". Die Tan- genten in den Nabelpunkten werden parallel zu je einem derjenigen Durchmesser der Ellipse A" G" gezogen, welche = 26 sind, weil sie parallel zu den Kreisschnitten der Fläche laufen. Dadurch können ebenfalls die Punkte, wie ^", bestimmt, sonst geprüft werden, und aus ihnen ergeben sich dann ihre Projektionen 1^', ^/; 'N"\ Nj^".
6S3, Die Kegelschnittschaar der Projektionen der Krümmungs- linien auf die HoAjiptebene ac ist dem Vier seit der vier (reellen) Tan- genten des Hauptschnittes ac in den Nabelpunkten N eingeschrie- ben. Dieses Vierseit ist ein Rhombus; und sein und der Kurven- schaar zugehöriges Polardreiseit ist aus den Axen a, c und der unendlich fernen Geraden gebildet. Sind G und H Eckpunkte des Rhombus auf der a bezw. der c, so sind sie auch Scheitel des zu benutzenden Hilfskegelschnittes (I, 418), einer Ellipse, von welcher der Quadrant GH verzeichnet ist. Fällt man von irgend einem Punkte J der Ellipse GH Senkrechte auf a" und auf c", so sind deren Fußpunkte K'\ L" Scheitel der Projektion einer Kurve der Schaar, hier einer Ellipse, welche dadurch bestimmt ist
Die beiden anderen Hilfskegelschnitte sind die in der Figur angedeuteten zu der Ellipse in Bezug auf X bezw. Z konjugirten Hyperbeln und können entbehrt werden, weil nur die im endlichen Rhombus eingeschriebenen Kegelschnitte Krümmungslinien des El-
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X], 533—534. Die KrümmungMÜDien der Flächen 2. Grades.
583
lipsoides darstellen. Die drei Paare von Gegenecken des Vierseits, also zwei Punkte G, zwei H, zwei unendlich ferne^ sind die sechs reellen Projektionen von je zwei konjugirten imaginären Nabel- punkten der Flache, woraus sich ergibt, daß die zwölf imaginären Nabelpunkte paarweise auf reellen mit der Axe h parallelen Geraden liegen. Es folgt daraus, daß in den Projektionen auf die anderen Hauptebenen die umschriebenen Vierecke nur zwei reelle Eckpunkte besitzen, welche die Projektionen der vier reellen Nabelpunkte N sind.
Fig. 212.
-^/ ..I ^ "*V ' ^■
634, In der Projektion auf die Hauptebene ah sind die Seiten des umschriebenen Vierseits imaginär, und N\ N^ sind die beiden einzigen reellen Mittelpunkte der involutorischen Strahlenbüschel. Es tritt also der Fall von I, 414 ff. ein. Weil diese Büschel die Projektionen rechtwinklig involutorischer Strahlenbüschel in den Nabelpunkten sind, sind den in N'N^' vereinigten Strahlen die zu ihnen
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584 XI, 534—536. Die Erammimg der Flächen.
senkrechten Strahlen konjugirt., und der unendlich ferne Punkt Y ist der Pol der N'N^' oder der a. Sodann müssen wir das Paar der- jenigen zugeordneten Strahlen der Involutionen N' suchen, welche durch N'Ni und den ihm zugeordneten und auf ihm senkrechten Strahl N'T harmonisch getrennt sind, welche also gleiche Winkel mit diesen beiden bilden. Es sind dies die Projektionen derjenigen konjugirten Tangenten im Nabelpunkte N, welche mit der Haupt- ebene ac Winkel von 45** bilden; und es leuchtet ein, daß die erste Projektion N'P des einen derselben die 6Axe in dem Punkte P schneidet, wenn M'P^^ N"H gemacht wird. Dann ist auch Ni'P ein solcher Strahl aus N^'] und das Vierseit der vier derartigen Strahlen ist offenbar der Rhombus, welcher JV, N^, P zu Ecken hat Die Punkte N\ N^ sind dann reelle Scheitel eines jeden der beiden Hilfskegelschnitte, während die beiden Punkte, wie P, reelle des einen (der Ellipse) und ideelle des andern (der Hyperbel) sind (1,416).
Fällt man nun von einem Punkte Q der Hilfsellipse Senkrechte auf a' und 6', so ist der Fußpunkt R' der ersteren ein reeller, der- jenige S' der letzteren ein ideeller Scheitel einer Hyperbel der Schaar; und ebenso liefert jeder Punkt der Hilfshyperbel reelle Scheitel einer Ellipse der Schaar.
Ganz entsprechend verfahrt man in der dritten Projektion^ in der man auf der 6Axe M'"T=N"G aufträgt. N"' ist dann ein reeller Scheitel eines jeden der beiden Hilfskegelschnitte, und T ist ein reeller der Ellipse und ein ideeller der Hyperbel.
636, Um eine gleichmäßige Verteilung der Erümmungslinien zu erhalten, teile man einen Quadranten Ä'B' des Hauptschnittes ab in eine Anzahl, etwa vier, nahezu gleicher Teile, projicire die Tei- lungspunkte, wie K\ in die zweite und dritte Hauptebene nach K" bezw. K*", bestimme aus diesen Scheiteln vermittelst der Hilfskegel- schnitte die anderen Scheitel der Kegelschnitte der Schaar und ver- zeichne sie dann. Aus der zweiten Projektion einer Kurve ei^bt sich ihr Schnittpunkt R" mit dem Hauptschnitte A"C'\ aus diesem der Scheitel R* der ersten Projektion, woraus durch die Hilfsellipse der ideelle Scheitel S' und die erste Projektion der Kurve folgen. Die dritte Projektion läßt sich dann aus den reellen Scheiteln K"\ R'" verzeichnen.
Außerdem teile man den Quadranten B"'C'" in vier nahezu gleiche Teile und verfahre entsprechend. — Man erhält so im Ganzen außer den Hauptschnitten sechs Krümmungslinien.
636, 2. Die Krümmungslinien des einschaligen Hyperboloides.
Aufi, Da die Fläche keine reellen Nabelpunkte besitzt, so ist
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XI, 536. Die Erämmungslinien der Flachen 2. Grades. 585
das vorhergehende Verfahren nicht anwendbar. Wir bestimmen nun in jeder der vier Hauptebenen, zu denen wir in erweitertem Sinne die unendlich ferne Ebene rechnen, die vier imaginären Nabel- punkte der Fläche als Schnittpunkte des Hauptschnittes und des Fokalkegelschnittes, welche unter einander konfokal sind, nach Nr. 525, Formel (3). Die Tangenten des Hauptschnittes in diesen vier Punkten bilden dann das (imaginäre) Vierseit, welches der Kegelschnittschaar der Projektionen der Krümmungslinien auf diese Hauptebene umschrieben ist. Andererseits werden aber jene vier Nabelpunkte aus jedem der drei in ihrer Ebene liegenden Mittel- punkte der Fläche auf die diesem Punkte gegenüberliegende Haupt- ebene projicirt, und da eine solche Projicirende wegen der Sym- metrie der Punkte durch zwei derselben geht, werden diese vier Punkte durch je zwei Strahlen, einmal durch reelle, und zweimal durch imaginäre, die aber durch ideelle dargestellt werden sollen, projicirt Von jedem der vier Mittelpunkte gehen drei solche Ge- radenpaare aus und bestimmen auf der gegenüberliegenden Haupt- ebene die drei Paare von Gegenecken des genannten umschriebenen Vierseits, von denen ein Paar reell, die beiden anderen imaginär sind, und ideell dargestellt werden. Dabei soll die unendlich ferne Hauptebene durch ihre Projektion aus M auf eine parallel zur Hauptebene a b durch den ideellen Scheitel C gelegte Ebene U dar- gestellt werden, wobei die Ebenen ac, bc sich bezw. in M^^X^^ = a^^ M'^Y'^ = 6'^ projiciren.
In der Hauptebene ab liegt als Hauptschnitt die Ellipse A'JB' Fig. «i». und die nicht verzeichnete Fokalellipse E'D\ so daß wir in den Formeln (3) der Nr. 525 zu setzen haben:
a = M'A', b = M'B\ a, = ME\ b, = M'D\ f=Mr,
(wobei F'D' = M'E'), Wir erhalten dann aus diesen Formeln, und durch Konstruktionen in der Figur, die sich denen in den Figu- ren 210 und 211 anschließen, unter Weglassung der doppelten Vor- zeichen,
y = itp==i,H,H^ = i, M"H,
wobei 2^5, = M!D\ Projicirt man die hierdurch bestimmten vier Nabelpunkte der Ebene ab paarweise 1) aus dem unendlich fernen Mittelpunkte X der Fläche auf die Hauptebene &c, so erhält man zwei imaginäre Punkte, welche durch zwei ideelle, wie H dargestellt sind; 2) aus Y auf die Ebene ac, so erhält man zwei reelle Punkte,
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XI, 536. Die Krümmung der Flächen.
wie ö"; 3) aus M auf die unendlich ferne Ebene, so geschieht dies durch zwei imaginäre Strahlen, welche mit der a;Axe die Winkel a bilden, bestimmt durch tga= 4:y'^ = lt*- ^" S\ M!'G'\ deren ideelle Darstellungen mit x die reellen Winkel a bilden, be- stimmt durch tg a' »= + M'" H: M"G'\ Ihre Schnittpunkte mit der unendlich fernen Ebene werden durch dieselben Strahlen ans M auf die Ebene U projicirt; und da sie mit dieser parallel sind, ge- schieht es in unendlich ferne Punkte, deren einer durch den Strahl M'^'O^ dargestellt ist, wenn Abst. O^a^^ == M"' H und Abst 0^,1'"'
==M"G" ist.
Fig. 213.
Die in der Hauptehene ac liegenden Nabelpunkte sind die Schnitt- punkte der Hyperbel A" C" des Hauptschnittes mit der nicht ver- zeichneten Fokalhyperbel, von der ein Scheitel F" und ein Brenn- punkt E" ist. Man setzt daher in jenen Formeln (525, (3)): a = M"Ä'\ h = i. M"C'\ a, = M''F ', h, = i. M" H (wobei M" H = MD' und r'H=M''E"), f=M'E'\ und erhält
x = ^=^J,J^ = M'J,
wobei C'V, = M"r\
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XI, 536. Die Krümmungslinieu der Flächen 2. Grades. 587
wobei A"K, = Jf'if; und tg « = i . M'^'K: M' J .
Diese so bestioimten vier Nabelpunkte projiciren sieh 1) aus X auf die Hauptebene hc in zwei imaginäre Punkte, die durch zwei ideelle, wie JK", dargestellt sind; 2) aus Z auf a6 in zwei reelle Punkte, wie J\ 3) aus M auf die Ebene U, welche die unendlich ferne Ebene darstellt, in zwei imaginäre Punkte der a^^y welche durch zwei ideelle dargestellt sind, deren einer 0^ bestimmt ist und konstruirt wurde durch M'^0^ = c (M'J: M'"K) = M" C' {M'J
In der Hauptehme hc liegt als Hauptschnitt die Hyperbel mit dem reellen Scheitel J5"' und dem ideellen C", und der imaginäre Fokalkegelschnitt, welcher D'" zu einem reellen Brennpunkte hat, zu ideellen Scheiteln aber auf der bAxe die ideellen Brennpunkte der Ellipse AB auf dieser Axe, deren einer F^ ist, wenn M'" F^ = M'F'y und entsprechend auf der cAxe den Punkt E^y wenn M'"E^ = Jf'JB". Man setze daher in jenen Formeln (525, (3)) a = M'"B'", b = i. M"C'\ a, = i . M'"F^ , l, = i . M"'E, , f=M'*'D'"\ dann wird
i . L^L^ = i . M Ly
wobei B'"P, = M"'E, ; und tg a = M"P : M'L .
Die so bestimmten vier Nabelpunkte projiciren sich 1) aus Y auf ac in zwei imaginäre Punkte, von deren ideellen Darstellungen P einer ist; 2) aus Z auf ab in zwei imaginäre Punkte, von deren ideellen Darstellungen L einer ist; 3) in die Ebene U, welche die unendlich ferne Ebene darstellt, in zwei reelle Punkte, wie 0^, be- stimmt und zu konstruiren durch M^^O^ «-» Hf'C" {M' L : M"P).
In der unendlich fernen Hat^tebene liegt ein Kegelschnitt der Fläche und ein Fokalkegelschnitt, der unendlich ferne Kugelkreis, welche beide konfokal sind. Ihre vier Schnittpunkte bestimmen wir vermittelst der Projektionen der Kurven aus M auf die Ebene U durch deren vier Schnittpunkte 0. Der unendlich ferne Kegelschnitt der Fläche wird durch ihren Asymptotenkegel in eine zw AB kon- gruente und parallele Ellipse A^^B^^ projicirt; von jenem imagi- närei) Kugelkreise ist die Projektion ein mit dieser Ellipse koncen- trischer imaginärer Kreis vom Halbmesser c; diese beiden Projek-
|
X = |
f |
|||
|
wobei C'Li |
= |
M"'I\, |
||
|
y^i |
bb, f |
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588 XI, 536—537. Die Krümmung der Flächen.
tionen der uneudlich fernen konfokalen Kegelschnitte sind aber nicht konfokal. Man könnte die ideelle Darstellung der vier imaginären Schnittpunkte 0 beider Projektionen mittelst konjugirter Kegel- schnitte konstruiren; einfacher ist aber die Benutzung ihrer Glei- chungen. Dieselben sind, wenn a p= M*Ä\ h =^ M'B\ c = i.M"C\
C ■ C
Aus denselben erhält man
5» — a« > y — a» — 6"^
x = t j , y=-
wobei /'= M'F'. Man erhält dann
x^i.M'N'^i.M'N,, wenn A'N, \\ F'D^ da Jlf' D'= ilf'"2)"'= JS'"C"',
y = M'Z\ wenn E' Z' \\ FB\ da ME' = ^"C"; und tg « = i . M' Z' : M'N\
Die vier Nabelpunkte der unendlich fernen Ebene werden also durch die Strahlen aus M in die soeben bestimmten vier Punkte 0 der Ebene U projicirt; und ihre Projektionen aus X, Y, Z auf die bezw. gegenüberliegenden Hauptebenen sind unendlich ferne Punkte dieser Ebenen, welche durch die Projektionen jener aus M nach ihnen gerichteten Strahlen auf die Hauptebenen bezw. aus X, Y, Z bestimmt sind. 1) In a& erhält' man zwei imaginäre Strahlen, dargestellt durch zwei ideelle, wie MO', wenn 0' durch seine Koor- dinaten M' If, M'Z' festgelegt ist; 2) in ac liegen die Projektionen der Punkte 0 auf der CO" (i|a"); sie sind imaginär, und ideell dargestellt durch zwei Punkte, wie 0", wenn (7"0" = Jlf' JT; die imaginären Strahlen sind dann durch zwei ideelle, wie M"0" dar- gestellt; 3) in hc liegen die Punkte, wie 0'", auf C'"0'" (||6'"), und die Strahlen, wie M'"0"' sind reell, bestimmt durch C'"0'" =- MZ'.
637. Die so in jeder der vier Hauptebenen bestimmten sechs Punkte, welche die Projektionen der zwölf nicht in dieser Haupt- ebene liegenden (imaginären) Nabdpmücte der Fläche sind, bilden die Ecken des der Kegelschnittschaar der Projektionen der Krüm- mungslinien umschriAenen Viersäts und die sechs Scheitel eines jeden der drei HilfskegelschniUe; dieselben sollen nun verzeichnet werden.
In der Ebene ah sind von den sechs Punkten zwei reell, wie J, zwei imaginär, dargestellt durch zwei ideelle, wie L, und zwei
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XI, 637—638. Die Erümmangslinien der Flächen 2. Grades. 589
imaginär und unendlich fern, dargestellt durch die ideellen Strahlen, wie M'0\ Von den drei Hilfskegelschnitten sind nur diejenigen bei- den JL, eT'O' gezeichnet, welche durch die reellen ScheitelJ" gehen ; der dritte, L0\ welcher die imaginären Kegelschnitte der Schaar bestimmen würde, ist weggelassen, ebenso wie die ideelle Darstel- lung dieser imaginären Kegelschnitte. Jeder der drei Hilfskegel- schnitte hat vier von den sechs Scheiteln zu reellen, zwei zu ideellen Scheiteln. Es besteht die Probe, daß JL und Jf'O' gleich geneigt gegen x sind, oder JL || N'Z\ — In der Ebene ac sind von den sechs Punkten zwei reell, wie G'\ zwei imaginär, dargestellt durch ideelle, wie P, zwei imaginär und unendlich fern, dargestellt durch ideelle Strahlen, wieJIf'O". Es sind nur die zwei Hilfskegelschnitte 6r"P, CO" gezeichnet und benutzt, und es besteht die Probe N"C''\\ G" P. — In der Ebene bc sind von den sechs Punkten zwei reell und unendlich fern aufstrahlen, wie -Sf'O"', zwei imaginär, dargestellt durch ideelle, wie -ff, zwei imaginär, dargestellt durch ideelle, wie K Es sind nur die beiden Hilfskegelschnitte 0'" Hy 0'"K verzeichnet, und man hat die Probe, M!" 0'" und HK gleich geneigt gegen y. — In der Projektion der unendlich fernen Ebene auf die Ebene U sind von den sechs Punkten zwei reell, wie 0^, zwei imaginär, dargestellt durch ideelle, wie 0^, zwei imaginär und unendlich fern, dargestellt durch ideelle Strahlen, wie M"'0^, Es sind nur die beiden Hilfs- kegelschnitte 0^0^, O1O3 verzeichnet, und man hat die Probe, M^^O^ und O^Oi gleich geneigt gegen x,
638. Zur Verzeichnung der reellen Kurven der Kegelschnitt- schaaren beachten wir, daß wir nach I, 415 f. diejenigen beiden Hilfskegelschnitte zu benutzen haben, welche durch die beiden reel- len Ecken des umschriebenen Vierseits gehen, also hier durch die reellen Scheitel, wie J in a6, G" in ac, unendlich ferner Punkt der M'"0"' in 6c, Ol in U. Diese Hilfskegelschnitte haben wir auch nur verzeichnet. Die Kurven der Schaaren haben dann reelle Scheitel auf den Axen, welche durch jene reellen Ecken gehen, also auf a in a&, a" in ac, auf der unendlich fernen Geraden in bc, auf b^^ in U. Ihre anderen reellen Scheitel liegen auf denjenigen Axen, auf welchen ein imaginärer Scheitel des benutzten Hilfskegelschnittes liegt, 80 der reelle Scheitel W der Kurve VW einer Schaar auf der Axe &', auf welcher der imaginäre Scheitel der benutzten Hilfs- hyperbel JO' liegt u. s. w.
Um nun die Kriimmungslinien gleichförmig anzuordnen, teile man einen Quadranten A'B' des Hmtptschnittes ab in eine Anzahl (vier) nahezu gleicher Teile; Q' sei ein Teilungspunkt. Projicirt man Q ans Y auf die Ebene ac in Q'\ beachtet, daß Q" mit A''
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590 XI, 538-639. Die Krammung der Piachen.
auf derselben (endlichen) Strecke zwischen denselben reellen Vier- seitsecken, wie G'\ liegt, daß also nach I, 415, die durch Q" und die durch A'' gehende Kurve dieselbe Hilfskurve gebrauchen, daß diese G"P ist, weil ihr reeller Scheitel P auf derselben Axe c' liegt, wie der imaginäre der durch A'' gehenden (des Hauptschnittes), so hat man nur die Q"Z'' (j|c") mit dem Hilfskegelschnitte Gr"P in 2J zu schneiden, um in M''R eine Asymptote der durch Q" gehenden (hyperbolischen) Projektion der Erümmungslinie zu erhalten.
Projicirt man ebenso den Punkt Q aus X auf bc in Q"' und schneidet die Q"'Z''' (||c'") mit dem Hilfskegelschnitte KO''' in S, so ist M'"S die Asymptote der (hyperbolischen) durch Q gehenden Kurve der Schaar. Projicirt man endlich Q aus M auf die Dar- stellungsfläche U der unendlich fernen Ebene in den unendlich fer- nen Punkt der Geraden M^^Q^^, so ist-Sf^^^^'' die Asymptote der vierten (hyperbolischen) Projektion der Krümmungslinie. Ihr reeller Scheitel auf üf^^B^^ und ihr ideeller B.ui M^^A^^ werden durch den Schnittpunkt derüf^^^^^ mit dem Hilfskegelschnitte 0, 0^ erhalteo. Um endlich die erste Projektion unserer (durch Q' gehenden) Kröm- mungslinie zu zeichnen, bestimmt man die erste Projektion M'T einer ihrer Asymptoten {M''R, M'" S) vermittelst der zweiten und dritten Projektionen T", T" eines Punktes T derselben (Abst. T'a" = Abst. jP'"6'"). Sie schneidet den Hilfskegelschnitt JL in ü,, woraus sich der reelle Scheitel ü ergibt.
Entsprechend trage man in dem HauptschniUe ac von A'' aus nahezu gleiche Teile weiter; F" sei ein Teilungspunkt. Projicirt man V aus Z auf ah in F', schneidet die F' Y' (||&') mit dem Hilfs- kegelschnitte JO', und projicirt den Schnittpunkt auf &' in W, so sind F', W die Scheitel der ersten (elliptischen) Projektion einer Krümmungslinie. Projicirt man F aus X auf 6 c in V", zieht r"r" (il6'") bis Y auf dem Hilfskegelschnitte fl^O% so ist M'^'Y die Asymptote der dritten (hyperbolischen) Projektion der Krüm- mungslinie. Projicirt man endlich F aus M auf die Ebene der vier- ten Projektion nach F^ {M^^ V^ = C" Fg), so ist dies der eine Scheitel der vierten (elliptischen) Projektion der Krümmungslinie; und zieht man F, Y^^ {\\b^^) bis F^ auf dem Hilfskegelschnitte 0^0^^, so ergibt sich aus Fg der andere Scheitel F4. Die unendlich ferne Krüm- mungslinie derselben Art hat die mit dem Hauptschnitte ae kon- gruente Ellipse A^^B^^ zur vierten Projektion.
539. Wir wollen noch auf die Vermchmmg der Prqjektianen der ErümmungsUnien der Flächen eweiten Grades (mf eine Haupid)ene der Fläche das Verfahren der Netze anwenden (I, 425 fF.), und zwar wol- len wir die Projektionen derselben für das EUipsoid und das ewd-
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XI, 539. Die Erümmnngslinien der Flächen 2. Grades.
591
schalige Hyperboloid auf die Hauptebene ac darstellen , wo sie sich Fig. 214. als die Schaar der Kegelschnitte zeigen, welche dem reellen Rhom- bus eingeschrieben sind, der von den Tangenten des Hauptschnittes ac in den Nabelpunkten der Fläche gebildet wird. Sei DEFG
Fig. 214.
dieser Rhombus, so erfüllt die Kegelschnittschaar den endlichen Rhombus und diejenigen beiden unendlichen, welche durch die beiden Scheitelwinkel je zweier gegenüberstehenden Winkel des Rhombus gebildet werden, während die vier Parallelstreifen frei bleiben. Be- schreibt man nun (I, 442) über der (größeren) Diagonale DF des Rhombus als Durchmesser einen Halbkreis, teilt denselben in eine gerade Anzahl (sechs) gleicher Teile, projicirt die Teilungspunkte senkrecht auf den Durchmesser DFy und zieht durch die Projektio- nen die zwei Schaaren von Parallelen zu den Seiten des Rhombus, so sind die Schnittpunkte der beiderlei Parallelen Punkte der Kur- ven, wobei stets zwei Punkte verbunden werden, welche Gegenecken eines der durch benachbarte Parallele gebildeten Parallelogramms sind. Die abwechselnd fehlenden Scheitel der Kurven erhält man auf den Diagonalen durch nochmalige Halbirung der Kreisteile. Projicirt man nun die entstandene Teilung der Seiten des endlichen Rhombus auf die der unendlichen Rhomben, indem man z. B. die Teilung von DE aus F auf die Strecke der DG von D bis ins Unendliche projicirt, so kann man durch diese Teilungspunkte in
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592 XI, 639—640. Die Krümmung der Flächen.
den unendlichen Rhomben leicht die bestimmenden Strahlen ziehen, z. B. in demjenigen der Winkel D und F die Strahlen aus E und 6. Die Kegelschnitte .werden dann in der angegebenen Weise einge- zeichnet.
640. Die Kurven im endlichen Rhombus stellen die Krüm- mungslinien eines jeden Ellipsoides dar, dessen Hauptschnitt ac eine dieser Ellipsen ist. Die 2»Axe des Ellipsoides ist gleich dem mit einer Rhombusseite parallelen Durchmesser des Hauptschnittes a c (532). Die Kurven in jedem der beiden unendlichen Rhomben, des DF und des EGj stellen ebenso die Krümmungslinien eines zweischaligen Hyperboloides dar, dessen Hauptschnitt ac einer der in den Rhombus eingeschriebenen Hyperbeln ist Jeder der unend- lichen Rhomben mit seinen eingeschriebenen Kurven^ so derjenige DFy befindet sich in perspektiver involutorischer KoUineation (1, 312) mit dem endlichen Rhombus und mit seinen eingeschriebenen Ellipsen, wobei F (oder D) der Mittelpunkt und die durch D (oder F) ge- zogene Senkrechte zu FD die Axe der Kollineation sind, und wobei EG und die unendlich ferne Gerade sich doppelt entsprechen. Da- her sind die Asymptoten der eingeschriebenen Hyperbel parallel zu den aus F nach den Ellipsenscheiteln in EO gezogenen Geraden. Die ideelle, auf der Zeichenfläche {ac) senkrechte &Axe eines der zweischaligen Hyperboloide findet man unter Beachtung, daß die Rhombusseiten die Fläche in Nabelpunkten berühren, durch Be- stimmung des Asymptotenkegels nach dem umgekehrten Verfahren der Nr. 67 aus seinen Erzeugenden in der Hauptebene ac und aus der mit h und mit einer Rhombusseite parallelen Lage seiner Kreis- schnitte.
Aus den gezeichneten Projektionen der Krümmungslinien auf die Hauptebene ac lassen sich die auf die anderen Hauptebenen ab- leiten. Man kann diese anderen Projektionen ebenfalls aus Netzen konstruiren (I, 439); es gehören aber dann die Kegelschnitte der verschiedenen Schaaren nicht als die verschiedenen Projektionen der- selben Krümmungslinien zu einander.
Übungsaufg. Die Projektionen der Krümtnungslinien des eUiptP- sehen und des hyperbolischen Parabohides auf ihre Hauptebenen nach einer der drei angegebenen Verfahren zu konstruiren.
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XII. Abschnitt
Axonometrische und schiefe Projektion, Perspektive und Reliefperspektive krummer Flächen.
I. Axonometrie.
541. Wir wollen eine Anzahl der ih der Überschrift bezeich- neten Aufgaben in einer durch das Bedürfnis der Technik und Kunst bestimmten Auswahl lösen.
Aufg. Die axionometriscJie Projektion *) eines auf die Grundriß- ebene Pi aufgestellten geraden Kreiscylinders mit seinen Schatten bei Parallelbeleuchtung zu bestimmen,
Aufl, Es sei von dem durch die Axen x, y, z gebildeten Asjcen- p»g 215 hreuze 0 die Abbildung (Fig. a) nach I, 507 gegeben, jedoch in etwas mehr zusammengedrängter Weise mit alleiniger Angabe der Axe z und der Axenebene xy == Pj und ohne Bezeichnung der Axen X, y in P^. Dabei sei die projicirende Ebene von z samt z und samt ihrer Schnittlinie mit Pj in die Bildebene P in den rechten Winkel CO''C" umgelegt, und daraus 0' auf z durch 0"0'J^z bestimmt; ferner sei durch den Schnittpunkt C" von 0"C" mit z die Spur c der Pj (_L z) gezeichnet und die P^ um c in P umgelegt, wobei 0 nach Oj in z gelangt {CO^ = C"0''),
*) Anfgaben über die axonometrische Projektion des Kreises, des üm- drehoDgcylinders, des ümdrehnngskegels and der Kugel, sowie ihrer Schatten bat Herr Pelz in seinen Abhandinngen „Zur wiBsenschaftlichen Behandlung der orthogonalen Axonometrie** (Sitsungsber. d Akad. d. Wiss. in Wien, B. 40, Abt. 2, 1884) und „Beiti'äge zur wiss. Beb. d. orth. Axon.<* (Sitzungsber. d. k. b5hm.Gesellsch.d.Wi8s. in Prag, 1886) in sinnreicher Weise auf alleiniger Grund- lage der gegebenen Richtung der Koordinatenaxen (der Linien des Axenkrenzes) bestimmt und dabei unmittelbar die Axen der vorkommenden Ellipsen gesucht. Bei einem Teile der oben gegebenen Auflösungen sind auch die sehr fördern- den Richtungsmaße benutzt, die man bei vereinzeltem Gebrauche einfach am Axenkreuze bestimmt, bei häufigem aber aus besonderen Maßstäben entnimmt, welche man zweckmäßig an einem Strahlenmaßstabe bildet. Auch habe ich wegen der einfacheren Erörterungen vorgezogen, von den Ellipsen konjugirte Durchmesser und ans diesen die Axen zn bestimmen, zumal da die Gesammt- konstruktion dadurch nicht verwickelter wird.
Wiener, Lehrbuch der darstcllonden Geometrie. H. 38
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594 XII, 541. Axionometr. u. schiefe Projektion, Perspektive krummer Flächen.
Von dem Cylinder erhält man die Abbildung (Fig. b) der Axe parallel zu O'C = 0 und von der Länge MN, wenn man ihre Größe nach dem in der Bildfläche geltenden Maße, das wir die
wahre Große nennen ^'^•^^^' wollen, auf 0"C ab
(y'JT'auftragt und de- ren Projektion auf O'C bildet, oder auch MN = Abstand J^".0"0' macht. Der Grund- kreis bildet sich in eine Ellipse ab, deren große Halbaxe MD 1. MN und in wahrer '^^ " Größe zu zeichnen ist
(I, 508). Die kleine in MN liegende Halbaxe erhält man aber als ME = Abst E'\ O'C, wenn man auf CO" die CE"= MD = der wahren Größe aufträgt. Denn da O'CO" der Winkel von jßf mit der Bildebene P ist^ so ist 0'0"C der Winkel desjenigen Kreishalbmessers mitP, welcher sich in ME projicirt, daher ME = Projektion von CE" auf O'O'' = Abst. E'\ O'C. Hieran schließt sich der für das Folgende nützliche Säte. Sind von zweien auf einander senkrechten gleichen Strecken die senkrechten Projektionen auf dieselbe Bildebene P in derselben oder in parallelen Geraden gelegen^ so verhalten sich die Projektionen wie der Cosinus zum Sinus der Neigung der ersteren Strecke gegen P, oder so kann man aus beiden Projektionen und aus der wahren Länge der Strecken als Seiten ein rechtwinkliges Dreieck bilden (vergl. 1, 159).
Zur Verzeichnung des Schlagschattens des Oylinders auf die Grund- rißebene Pj müssen die Abbildungen l und V des Lichtstrahles und seines Grundrisses gegeben sein. Der durch den Mittelpunkt N des oberen Grenzkreises gezogene Lichtstrahl l und dessen durch M gehender Grundriß V schneiden sich im Schatten N^ von N] und der Schatten des oberen Grenzkreises bildet sich in eine mit der Ellipse DE kongruente und parallele Ellipse vom Mittelpunkte JVi ab. Die Schlagschattengrenze der Cylinderfläche wird durch die beiden mit V parallelen gemeinschaftlichen Tangenten der Ellipsen M und N^ bestimmt; und sucht man, etwa mittelst konjugirter Durchmesser, einen Berührungspunkt F auf DE, so ist die durch F gehende Erzeugende eine Eigenschattengrenze, Um F unabhängig von der Verzeichnung der Ellipse DE zu erhalten, suche man in der Fig. a jene zu O'L ( || T) konjugirte Linie, als Abbildung einer
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Xll, 541—542. AxoDomeiiie.
595
zu ihr Senkrechten in der a;yEbene. Zu dem Ende schneide man O'L mit c in X, ziehe zu O^L die Senkrechte O^V bis V auf c, so ist O'L' jene konjugirte Linie. Tragt man die wahre Lange des Halbmessers des Grundkreises auf O^V als OF^ = MD auf, zieht F^F ±c bis F' auf 0'L\ so hat man nur MF # O'JF' zu machen.
642, Äufg. Die ctxonometrische Projektion inoeier geraden Kreis- cylinder m verzeichnen, von denen der eine in beliebiger Bichtung auf die Grundrißd)ene aufgelegt, der andere auf den ersten aufgelehnt ist, und ihre Schatten bei PardUelbeleuchtung zu bestimmen,
Aufi, Sei wieder vom Axenkreuze nur die Axe z und die Grundriß- Pig. 210 a ebene xy = Pj in Fig. a angenommen, sei femer in P^ die Abbildung O'A = a der Richtung der Erzeugenden des liegenden Cylinders O
Fig. 216 a, b.
gegeben, so bestimme man in Pj die Abbildung & = O'B der auf a senkrechten Richtung durch ^0,B = 90^, wobei wieder C"0^ = C'0'\ Man konnte die wenigen in den verschiedenen Richtun- gen vorkommenden Maße wie bei der vorigen Aufgabe und wie hier die Maßeinheiten bestimmen und den Strahlenmaßstab entbehren; wir wollen denselben aber dennoch verzeichnen, um auch das Ver- fahren fQr ausgedehntere Abbildungen anzugeben. Wir bilden ihn nach der Art von I, 507, Pig. 283, indem wir zuerst den wahren (für wg. «icb. die Bildebene geltenden) Maßstab w herstellen, nach den Teilnngs-
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596 XII, 542. Axonometr. u. schiefe Projektion, Perspektive krummer FUlchen.
punkten die Strahlen aus einem entfernteren Punkte ziehen , derart daß der Strahl nach dem Nullpunkte des Maßstabes _L fc steht, tragen die Maßstabseinheit (= 10) als 0"Z"= O^A^ = O^B^ auf, und bestimmen daraus ihre Abbildungen Abst. Z'\ 0' 0'\ 0'A\ 0' B'] diese können wir dann, und zwar mit Hilfe jeuer senkrech- ten Strahlenrichtung ausschließlich mittelst des Zirkels, in den Strahlenmaßstab einschalten, wodurch wir die Maßstabe 0, a, h
erhalten.
Fig. 216 c.
Flg. 216 c. Ist nun M die Abbildung des Mittelpunktes des einen Grund-
kreises des liegenden Cylinders O, und ist dessen Halbmesser r = 6 gegeben, so zeichnet man die große Halbaxe MF^ der abbildenden Ellipse J_ a nach dem Maßstabe w\ die kleine Halbaxe MF^ erhält man aber, wenn man auf MF^ die MF^ «= r = 6 nach dem Maß- stabe a aufträgt und F^F^ «= MF^ macht, wonach F^ einen Brenn- punkt der Ellipse bezeichnet. Denn nach dem Satze der vorigen Nr. bilden der wahre Halbmesser (=* F^F^^ seine Projektion auf a (= Jf jFg) und diejenige auf MF^ (= MF^ ein rechtwinkliges Dreieck. Daher gilt der
SaUi. Die Exeeniricität einer Ellipse^ welche die senkrechte Pro- jektion eines Kreises bildet, ist gleich der Projektion einer Strecke^ welche gleich dem Kreishalbmesser ist und senkrecht auf der Ebene des Kreises steht
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Xir, 542-543. Axonometrie. 597
Ist ferner die Länge des Gylinders = 30 gegeben , so zeichnet man MP | a und »=> 30 nach dem Maßstabe a, und dann um P als Mittelpunkt die mit F^F^ kongruente und parallele Endellipse. Den Berührungspunkt M' der Endellipse mit der Grundrißebene P| er- hält man durch MM | z (und zur Probe) ==> 6 nach dem Maßstabe 0, Die MG\}) (der Fig. a) ist dann die Projektion des Grundkreises auf die Bodenfläche.
Die Erzeugenden des auf O gelehnten, geneigten Gylinders O^ stehen ; der Sicherheit der Stützung halber, senkrecht auf denen des Oy d. i. J_ a, und man kann eine Tangente der Ellipse F^F^ annehmen, womit die Axe d des C^ parallel sein soll; diese Tan- gente G^G mit dem Berührungspunkte G^ schneide die MG und daher die P^ in 6r; und man erhält den Stützpunkt K des O^ auf Pi auf einer Parallelen GK zu a, zweckmäßig mit GK = ^ MF, Der Stützungshalbmesser KN'^e des Grundkreises des O^ liegt mit d in einer auf a (und P|) senkrechten, daher mit der Ebene des Grundkreises F^F^ parallelen Ebene, und seine Richtung kann als diejenige des zu d konjugirten Halbdurchmessers MGi der El- lipse F^F^ gefunden werden. Genauer erhält man ihn aber in der Fig. a, wenn man die Ebene COB um ihre Spur CB in die Bild- ebene mittelst 0'0i±CB, BO^^BO^ umlegt, die O'D || d bis D auf CB, und die O^E±O^D bis E auf CB zieht, dann ist e I 0' E. Die Maßstäbe d, e erhält man wieder durch O^D^ = O^E^ = der Maßstabseinheit (= 10), D^D' und E^E' ± CB, und Ein- schalten von O'D' und O'E' in den Strahlenmaßstab in d und e. Soll nun der Grundkreis des Gylinders C^ ebenfalls den Halb- messer r«=>6 haben, so macht man KN\e und «»6 nach dem Maßstabe e und hat die Probe MG^ # KN. Man zeichnet dann die Grundellipse, indem man die große Halbaxe NJ^ J_ d und = 6 nach dem Maßstabe w angibt, darauf die Excentricität NJ^ = 6 nach dem Maßstabe d aufträgt, und die kleine Halbaxe NJ^ \\ d durch cT'scT'g = NJ^ bestimmt. Sodann trägt man auf der Axe NQ des Oj ( 1 d) ihre Länge NQ gleich der gegebenen Länge 40 nach dem Maßstabe d auf, und zeichnet die zweite Grenzellipse kon- gruent und parallel zur ersten.
543. Zur Bestimmung der Schatten dient die gegebene Abbil- dung l des Lichtstrahles und diejenige V seines Grundrisses. Für den Sdüagsduitten des Cylinders O und zunächst seines Grundkreises F^F^ auf P| ermittelt man den Schatten M^ von dessen Mittelpunkte M als Schnitt von MM^ || l mit Jtf' Jtf, P T. Der Halbdurchmesser MM hat dann M^M' zum Schatten, und sein konjugirter (mit h paralleler) Halbdurehmesser MB hat M^B^^h und = 6 nach dem
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598 ^II| 543—544. Axonometr. a. schiefe ProjektioD, PerspekiLye kr. Flächen.
Maßstabe b zum Schatten. Daher sind M^M^ M^Ri zwei konja- girte Halbdurcbmesser der Schattenellipse, und aus diesen ermittelt man nach I, 377 die Axen und verzeichnet daraus die Kurve. Die beiden mit a parallelen Tangenten dieser Ellipse sind die Schlag- schattengrenzen der CylinderSäche. Aus diesen konnte man auch rückwärts ihre Eigenschattengrenisen finden ; doch ist es genauer, die- selben unmittelbar zu bestimmen. Die berührenden Lichtstrahlen- ebenen des Cy linders O sind mit der Ebene seiner Axe JlfP=a und des Lichtstrahles MM^^ «= l parallel. Diese schneidet die Grund- kreisebene in MH^j wenn die M^H2la bis H^ auf JlTG gezogen wurde. Bestimmt man dann den zu MH^ konjugirten Durchmesser der Grundellipse, so gehen durch dessen Endpunkte, wie H, die Eigenschattengrenzen des Cylinders 1 a. Dieser konjugirte Durch- messer wird am genauesten in Fig. a ermittelt {0' H^ | MH^j O^H'±O^H^\ MH\0'H', die Länge Ifif konnte wieder durch den Maßstab seiner Linie bestimmt werden).
Zur Konstruktion des SchlagschaMens des Cylinders 0| auf P| verzeichnet man den Grundriß seiner Axe NQ als KQ' | 6; auf diesem ergeben sich die Grundrisse N\ Q' von JV, Q{NN' l QQ' l ^). Dann ermittelt man die Schatten N^, ^, von N, Q durch ^^j |, QQi 1 Z, N'N^ I G'Öi I l'] der Schatten jV^^^ von NQ muß dann durch d^e Grundrißspur K^ der NQ^ d. i. ihren Schnitt mit Klf Q' gehen. Von dem Grundkreise J^ J^ wirft der Halbdurchmesser NK seinen Schatten in N^K, sein konjugirter, mit a paralleler Halb- durchmesser in ^^/S 1 a und =s 6 nach dem Maßstabe a. Aus die- sen konjugirten Halbdurchmessem bestimmt man die Axen und zeichnet die Schattenellipse, sowie die mit ihr kongruente und par- allele aus Q|. Die Schlagschattengrenzen des Cylinders O^ sind die beiden gemeinschaftlichen, mit N^Qi parallelen Tangenten dieser Ellipsen, so T^U^.
Zur Bestimmung der Eigenschattengrensen des Oj schneidet man wieder die Lichtstrahlenebene der Axe, nämlich NQQ^N^ mit der Grundkreisebene in JVT^, wobei T^ der Schnittpunkt you Q^N^ mit KG, sucht zu NT^ den konjugirten Durchmesser der Grundellipse, durch dessen Endpunkte, so durch^T, die Eigenschattengrenzen jd laufen, so TU. Dieser konjugirte Durchmesser konnte bei der wenig excentrischen Gestalt der Grundellipse mit genügender Sicher- heit an dieser ermittelt werden; sonst hätte man in Fig. a die mit der Kreisebene parallele Ebene ÄEO und ihre Umlegung benutzt Der Schatten von TU auf P^ ist T^U^.
644. Der Schlagschatten des Cylinders Oj auf denjenigen O ist der Schatten der beiden Eigenschattengrenzen, so der Erzeugenden
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XII, 544—546. Axonometrie.
599
TJ7; letzterer ist also der Schnitt der Ebene TUU^T^ mit O, d. i. eine Ellipse, von der wir zwei konjugirte Durchmesser in den kon- jugirten Durchmesserebenen des O bestimmen wollen, welche durch die Axe MP und einerseits || P^, andererseits durch M' gehen. Die erstere schneidet den O in der Erzeugenden 2222' || a, die T 17 in IFund die Lichtstrahlenebene der TU in der TFF|| T^U^. Man erhält aber TF, wenn man den Grundriß T von T durch TT" \e bis T" auf JSTÖ, durch T' T \l und durch TT || z ermittelt, wenn man dann auf TT die rW'-^r = M'M auftritt und W'W^ b bis W ant TU zieht. Die WV schneidet die MP und die 2222' bezw. in V und 22', und die T^ U^ schneidet die durch M' gehende Auflagerungserzeugende des Cylinders O auf P^ in X; dann ist V der Mittelpunkt und F22', VX sind konjugirte Halbdurchmesser der Schattenellipse. Aus ihnen bestimmt man die Axen und verzeichnet die Ellipse; sie muß die Umrisse des Cylinders O berühren. Aus dieser Ellipse erhält man die zweite Schlagschattengrenze des 0| auf O durch eine Parallelverschiebung der ersten in der Richtung a um eine Strecke, wie sie auf jeder Linie a zwischen den Schlag- schatten des Cylinders O^ auf P^ eingeschlossen wird.
646. Äufg. Die axonometrische Projektion einer Kugel, welche auf der Grundrißebene Pj aufliegt, sowie die Grenze ikres Eigen- und ihres Schlagschattens auf P^ bei Parallelbeleuchtung zu bestimmen.
Aufl. Wir wollen die Aufgabe mit alleiniger Benutzung der Axenrichtungen x, y, z lösen, deren Ursprung wir in dem Auflager- Fig. an. punkte M' der Kugel p.^ ^ ^^
auf der P^ anneh- men. Den Mittel- punkt der Kugel wäh- len wir auf der Axe z in üf , und legen durch M die Bild- ebene P; dann sind die Spuren der zx- und a;yEbene bezw. die Geraden MÄ _L y , AB J. z, wobei Ä auf X liegt. Um die wahre Größe des
Kugelhalbmessers zu erhalten, beschreibe mau über MÄ als Durch- messer einen Kreis, und schneide denselben mit y in 2>, so ist MD jene wahre Größe, und der Umriß ist der aus M als Mittel- punkt durch D gelegte Kreis; denn jener Kreis MA ist die Um-
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600 XII, 545-646. Axonometi-. u. schiefe Projektion, Perspektive kr. Fachen.
legung des über MA durch den Ursprung gelegten Kreises (D kiit an die Stelle von Oj in der Fig. 216 a).
Geben nun MM^ = l den Lichtstrahl und M' M^ = V seinen Grundriß an, wobei M^ der Schatten von M auf F^, und beachtet man, daß die Eigenschatkngreme der grpßte Kreis ist, dessen Ebene senkrecht auf l steht, so findet man die große Halbaxe der Ellipse, welche ihn abbildet, als den auf l senkrechten Halbmesser ME. Da derselbe in der Bildebene P liegt, so ist seine Grundrißspur sein Schnittpunkt F mit AB. Der Schlagschatten von MF auf F| ist daher M^F^ und der von ME ist M^E^j wobei E^ auf M^F und EE^ H l. Um die kleine Halbaxe MG der Eigenschattenellipse und ihren Schlagschatten M^G^ auf P^, welche beide in l liegen, zu er- mitteln, lege man die Ebene L, welche den durch üf gehenden Licht- strahl auf die P projicirt, um MM^ («= T) in P um; dabei gelangt Jlfi nachüf^, wenn üf^üfj _L 2 und gleich dem Abstände des Ifj von P ist. Diesen Abstand bestimmt man aus demjenigen des JIT, und diesen erhält man gleich dem Stücke B'D' der MA^ wenn B' der Schnittpunkt von y mit MA, und wenn M'D'=^B'D gemacht wurde. Denn der wahre Abstand B'D (== MD') des B' vom raum- lichen Urspruugspunkte, dessen Projektion B' M' und der Abstand des Ursprungspunktes von P (= B'D') sind die Seiten eines recht- winkligen Dreiecks. Nun schneidet aber die V = M'M^ die P in ihrem Schnittpunkte L mit AB\ und da sich die Abstände des M' und des M^ von P wie LM' zu LM^ verhalten, so erhält man letzteren Abstand == Jf^jM^, wenn man M'M" || M^M^ und = B'D' zeichnet und LM" mit M^M^ in M^ schneidet. Jene Ebene L ent- hält einen größten Kreis der Kugel, den Lichtstrahl MM^ und eine Schnittlinie HM^ mit der Ebene Pj, wobei U der Schnittpunkt von l mit AB. Diese Linien gelangen bei der Umlegung der L in F bezw. in den Kugelumriß, in die MM^ = V' und in die HM^. Legt man nun eine Tangente || l" an den Kugelumriß, und berührt dieselbe den Umriß in G' und schneidet die HM^ in 6?^, so ge- langen diese Punkte beim Zurückdrehen bezw, nach G und G^ auf Z, wenn G'G und G^G^ 1^1 sind; und hierdurch sind diese gesuchten Punkte bestimmt. Die Schlagschattenellipse hat dann M^Ei und MiGi zu konjugirten Halbdurchmessem; aus denselben bestimmt man die Axen und mittelst dieser verzeichnet man die Kurve.
n. Schiefe Projektion.
546. Die Anwendung der schiefen Projektion ist nur dann gerechtfertigt (I, 526), wenn bei dem abzubildenden Gegenstande
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XII, 546—547. Schiefe Projektion.
601
Fig. 218.
Ebenen von übereinstimmender Stellung vorkommen, welche wegen ihrer Wichtigkeit kongruent abgebildet werden sollen; diese Stel- lung gibt man der Bildebene. Bei krummen Flächen findet dieser Umstand nicht statt, und man würde deswegen für sie die schiefe Projektion nicht wählen, da sie bei dieser Abbildung verzerrt er- scheinen, wie wir alsbald sehen werden. Demohngeachtet müssen sie in dieser Projektion dann abgebildet werden, wenn man wegen anderer vorherrschender Gegenstände dieselbe gewählt hat. Wir werden uns aber mit zwei Beispielen begnügen.
Aufg. Die schiefe Projektion eines auf die Grundrißebene Pj auf- gestellten geraden KreisqfUnders mit seinen Schatten bei ParaHdbeleuch- tung zu verzeichnen,
Aufl, Die Bildebene P stehe parallel mit der Axe MN des Fig. 218. Cylinders und MA sei der mit P parallele Halbmesser des Grund- kreises; dann ist in der Abbildung NMA = 90^; der auf MA senkrechte Halb- messer bilde sich in die willkürlich an- zunehmende Strecke MB ab. Die Ab- bildung des Grundkreises ist dann die Ellipse von den konjugirten Halbdurch- messern MAf MB ; aus ihnen bestimme man die Axen und mittelst dieser ver- zeichne man die Kurve. Die andere Grenz- ellipse bilde man aus N als Mittelpunkt kongruent und parallel zur ersten.
Man bemerkt, daß bei der schiefen Projektion eines geraden Kreis- cylinders die große Axe der Enddlipse im allgemeinen schief gegen die Oylinderctxe steht y senkrecht dagegen in dem besonderen Falle, in wel- chem die Abbildung der auf der Bildebene senkrechten Geraden und der Cylinderaxe {MB und MN) in dieselbe Gerade fallen. Durch diese schiefe Stellung der großen Ellipsenaxe gegen die Cylinderaxe unterscheidet sich wesentlich die schiefe von der axonometrischen (senkrechten) Projektion, bei welch letzterer stets die senkrechte Stellung stattfindet.
Den Schlagschatten des oberen Grundkreises auf P| bildet man als kongruente und ähnliche Ellipse zu den beiden anderen ab, und zwar aus dem Mittelpunkte JVj, dem Schatten von JV, wobei JVJVi = Z der Lichtstrahl und MNi = V dessen Grundriß ist. Dadurch ergeben sich die mit V parallelen Schlagschattengrenzen des Cylinders, wie (7Di, und dann seine Eigenschattengrenzen, wie CD aus dem zu V konjugirten Durchmesser 2 MC der Grenzellipse.
647. Die schiefe Projektion einer Kugel, welche auf der Grund-
^€P*'
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602 XII) 547. Axonometr. n. schiefe Projektion, Perspektive kmmmer Fl&cheD.
rißebene P, außiegt, sowie die Grenze ihres Eigen- nnd ihres Schlag- schattens cmf F| bei Parallclbelcuchtung zu bestimmen. Flg. S19. Aufl. Sei M die Abbildung ihres Mittelpunktes ^ MC diejenige
eines auf der Bildebene senkrechten Halbmessers, MB{J^ MC) die- jenige eines mit der Bildebene parallelen Halbmessers , der also die wahre Größe desselben angibt. Dann ist der Umriß der Abbildung eine Ellipse, welche M zum Mittelpunkte, C zu einem Brennpunkte hat, dessen kleine Halbaxe (_L MC) = MB, und dessen große Halbaxe MÄ (auf MC) daher = CB ist. Denn der projicirende Cy linder ist ein der Kugel umschriebener (ümdrehungs-)Cy linder;
Fig. 219.
und denkt man sich die auf dem Halbmesser MC senkrechte Bild* ebene durch C gelegt, so berührt sie in C die Kugel, imd ihr Schnitt mit dem Cylinder, oder der gesuchte Umriß ist dann eine Ellipse, welche C zu einem Brennpunkte, den Schnittpimkt mit der Cylinderaxe, d. i. die Abbildung M des Kugelmittelpunktes zum Mittelpunkte, und die kleine Halbaxe gleich dem Kugelhalbmesser hat (I, 329).
Man bemerkt, daß in dieser elliptischen Abbildung der Kugel ein zweiter wesentlicher Unterschied der schiefen gegen die axonome- trische (senkrechte) Projektion liegt, bei welch letzterer sich die Kugel stets als Kreis abbildet. Durch diese Eigentümlichkeiten bringt aber die schiefe Projektion des geraden Kreiscylinders und noch mehr die der Kugel, wenn man sie gerade von vom betradi* tet, einen empfindlich fehlerhaften Eindruck heryor, wie schon er- wähnt wurde.
Der Umriß der schiefen oder der axonometrischen Projektion irgend einer Fläche zweiten Grades wird oms der Abbildung dreier hmjugirten Halbdurchmesser der Fläche nach den Nummern 128 ff. gefunden.
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XII, 548—549. Perspektive. 603
548. Die Schatten ergeben sich auf gleichem Wege^ wie bei der axpnometrischen Projektion. Die durch den Mittelpunkt M gehend gedachte Bildebene F schneidet die Kugel in einem Kreise, dem Hauptkreise, welcher sich als der aus M durch B gezogene Kreis abbildet; sodann schneidet die P die Grundrißebene Pj in einer wagerechten Tangente a dieses Kreises , deren Berührungspunkt M' der Auflagerpunkt der Kugel auf P^ ist. Es stellen wieder MMi = 1 den Lichtstrahl, M'M^ =V seinen Grundriß, daher M^ den Schatten des M auf P^ dar. Von den Eigen- und Schlagschatten- grenzen bestimmen wir je zwei konjugirte Halbdurchmesser, den einen in der durch den Lichtstrahl MMi senkreckt zu P gelegten Ebene L, den anderen daher bei der kreisförmigen Eigenschatten- grenze J_ L. Die L schneidet die Pj in der M^D (\\ MC)y die P in MD, wenn D der Schnittpunkt der J^jD mit a; daher ist der auf MD senkrechte Halbmesser MC" des Hauptkreises, der zweite von jenen konjugirten Halbdurchmessern der Eigenschattengrenze. So- dann schneidet die Ebene L die Kugel in einem größten Kreise, von dem eine Durchmesserlinie MD ist. Legt man nun L um MD in P um, so gelangen MG und DM^ in die zu MU Senkrechten MC" und DM^y wobei M^M^ || (70", und der Schnittkreis der L mit der Kugel gelangt in den Hauptkreis. Zieht man daher an diesen eine Tangente | MM^j bestimmt ihren Berührungspunkt F" und ihre Schnittpunkte G mit MD und F2 mit DM^y so gelangen beim Zurückdrehen F^ in F^ auf DM^y wenn JF^Fii CG", die GF^ in die (zu l parallele) GF^ (so daß G auch entbehrt werden kann), F' nach -F, wenn F"F\CC"y so daß MF und M^F^ die in der Ebene L liegenden Halbdurchmesser beider Schattengrenzen sind. Ihre konjugirten sind der schon bestimmte MC" und dessen Schat- ten M^G^ auf P,. Man erhält den letzteren, wenn man MC" mit a, also auch mit P^, in J& schneidet; dann ist M^E der Schatten von MC'Ey und ihr Punkt C^ der von C", wenn C"G^ \ l. — Aus den konjugirten Halbdurchmessem MF, MG" und M^F^y M^C^ bestimmt man die Axen beider Kegelschnitte, und aus diesen ver- zeichnet man die Kurven.
in. Perspektive.
549« Zur Konstruktion der Perspektive krummer Flächen ist diejenige krummer Linien notwendig. Diese werden im allgemei- nen in bekannter Weise durch ihre Punkte und Tangenten in Perspektive gesetzt. Im besonderen können wesentliche Vorteile ge- wonnen werden; wir gehen aber in dieser Beziehung nur auf den
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604 XII, 549. Axonometr. n. schiefe Projektion, Perspektive krummer Flächen.
Kreis ein unter den in der Technik und Kunst vorkommenden An- nahmen *)•
Aufg. Einen Kreis in Perspektive ßu seteen.
Auflösung mittelst des umschrid>enen regelmäßigen AdUecks (vergl. I, 373).
Erster FaU. Der Kreis liegt in einer horizontalen Ebene. Der Fall, in welchem er in einer beliebigen auf der Bildfläche senkrech- ten Ebene liegt ^ unterscheidet sich von unserem Falle nur physisch, Fig. 280. nicht aber geometrisch. Seien wie in I, 537 ff. h der Horizont^ A der Augenpunkt, D, D' die Distanzpunkte, ^ (|| ä) die Grundlinie oder die Spur der Ebene F^ des Kreises h in der Bildfläche F, sei \ der um g in die P umgelegte Kreis h^ so beschreibe man um k^ ein Quadrat durch parallele und senkrechte Tangenten' zu g^ ziehe seine Mittellinien und Diagonalen und setze diese Geraden in Per-* spektive durch Gerade, welche von ihren Spuren auf g nach A, 2), JD' gezogen werden, und durch Linien parallel zu g. Man erhält dadurch von der Abbildung h' vier Punkte und in ihnen die Tan- genten. iN^un denke man sich noch um \ das zweite, gegen das erste um 45^gedrehte, umschriebene Quadrat gezeichnet; eine seiner Seiten schneidet den zu g parallelen Durchmesser üf^J^i in (7|; von diesem Punkte suche man die Perspektive C auf M' B\ und dessen zu M symmetrischen Punkt E\ Die aus C und E' nach D und D' gezogenen Geraden bilden das zweite Quadrat ab, und die
*) Es seien hier erwähnt die teilweise schon bei der „Geschichte der dar- stellenden Geometrie" (I^ 29 f., 36 ff.) angeführten Arbeiten: Cousinery^ G^ m^trie perspective, 1828. De la Gotwnerie, Traitä de perspective lin^aire, 1859. Tihcher, System der Perspektive, 1867. Koutny, Konstruktion der Selbst- schattengrenze von Rotationsflächen in der Perspektive, unter Voraussetenng paralleler Lichtstrahlen (Sitzangsber. d. Akad. d. Wiss. in Wien, B. 55, Abi 2, 1867, S. 215). Peschka and Koutny, Freie Perspektive, 1868. Pdz^ Über eine allgemeine Bestimmongsart der Brennpunkte von Contouren der Flächen zwei* ten Grades (Sitzungsber. d. Akad. d. Wiss. in Wien, B. 75, Abt. 2, 1877); Er- gänzungen hierzu (B. 77, Abt. 2, 1878); Beiträge zur Bestimmung der Selbst- und Schlagschattengrenzen von Flächen zweiten Grades bei Centralbelenchtung (27. Jahresbericht der Oberrealschule in Graz, 1878); Zur Tangentenbestimmung der Selbstschattengrenzen von Botationsflächen (Sitzungsber. d. Akad. d. Wiss. in Wien, B.79, Abt. 2, 1879); Zur Gonstruction der Selbst- und Schlagschatten- grenzen von Flächen zweiten Grades unter Voraussetzung centraler Beleuchtung (Sitzungsber. d. k. böhm. Ges. d. Wiss., 1880). — Ich habe in den Fällen, in welchen Kegelschnitte gesucht werden, Konstruktionen gegeben, welche aus der Natur der Au%abe irgend welche bestinunende Elemente derselben, meist konjugirte Durchmesser, liefern und aus diesen dieAxen ermittelt, und glaube dadurch, wie bei der Parallelprojektion, Einfachheit in den Betrachtungen und in den Konstruktionen gewonnen zu haben.
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Xll, 649—660. Perspektive.
605
schon gezogenen Geraden M'Dy M'D' geben ihre Berührungs- punkte an. Aus den gewonnenen acht Punkten und Tangenten kann man nun die Ellipse zeichnen. Aus M'B' läßt sich auch unmittel- bar C konstruiren durch M'C = }/2 M'B'. Man könnte auch leicht, wie in I, 373, die Abbildung
des dem jfcj umschriebenen ^'fif- 22^-
regelmäßigen Zwölfecks her- ^'
stellen. ' i
Es ist oft von Wichtig- keit, die auf g senkrechten Tangenten genau zu zeichnen, z. B. dann, wenn eine Säule über h steht. Um sie zu er- halten, benutzt man den mit P, in die F umgelegten Grund- riß A^ des Auges (I, 544),. der in der Senkrechten AA^ z\x h in einem Abstände von g liegt gleich der Distanz AD. Zieht man aus A^ die Tangenten an Tcyy schneidet sie mit g^ und zieht aus den Schnittpunkten Senkrechte zu ^, so sind dies die gesuchten Tangenten. Denn da der Punkt A^^ in welchem
sich die Tangenten des \ schneiden, auf der Gegenaxe der P^ liegt (I, 304), so müssen sich die entsprechenden Tangenten der k' in dem entsprechenden, d. h. auf dem Strahle AA^ liegenden Punkte der unendlich fernen Geraden der Bildfläche P treffen. Die Berüh- rungspunkte dieser Tangenten erhält man durch Hilfslinien, die man durch 'die Berührungspunkte des ij unter 90" oder 45® gegen g zieht (hier genauer unter 45®).
660. jZtoeUer Fall. Der Kreis liegt in einer beliebigen Ebene.
Seien A der Augenpunkt, d der Distanzkreis, e^ die Spur, e^oile^) die Fluchtlinie der Ebene des Kreises Ä, M sein Mittelpunkt, Mq ^ig. 221 der Fußpunkt der von M auf ß| gefällten Senkrechten, so trage man auf Cj die gegebene Länge JMJ, M dieser Senkrechten als M^O ^=^ M^G\ und ebenso die gegebene Größe seines Halbmessers <== M^H = MqW auf. — Der Fluchtpunkt der MM^ ist dann der Fußpunkt A' der aus dem Auge 0 auf e^ gefällten Senkrechten, und wird erhalten durch -4-4' J. Coe; die Fluchtpunkte der unter 45® gegen e^ geneigten Geraden JfG, MG' werden auf e^ in den zu A' gehörigen
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606 XII, 560-651. Axonometr. u. «chiefe Projektion, Perspektive kr. Flächen.
¥ig. 22S
Teilungspunkten T, T erhalten durch A'T-=^A'T'^ A'O = 4'D, wenn die Parallele AD tm e^ den Disianzkreis d in D trifft
Nun leuchtet ein, daß M^A\ HA\ H'A' die Abbildungen des Durchmessers und der Tangenten des Tc sind, welche J_ e^ stehen,
Fig. 221. nnAGT rmAG'T
die der Diagona- len des umschriebe- nen Quadrates. Da- durch ergeben sich die Abbildungen M des My diejenige M'B' des mit e^ par- allelen Durchmes- sers, sowie diejeni- gen der mit e^ paral- lelen Quadratseiten. Trägt man dann auf MB' die M'(r = M'E'^=y2M*B (die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten = M'B' sind) auf, und zieht aus C, E' Gerade nach Ty T, so erhält man *auch yon dem zweiten umschriebenen Quadrate die Seiten und Berührungspunkte.
551. Konstruktion der Perspektive des Kreises h mittelst Besüm- mung der Axen des abbildenden Kegelschnittes h\ Wir wollen hier nur den gewohnlichen Fall durchführen, in welchem h' eine Ellipse ist; in Bezug auf den Fall der Hyperbel oder der Parabel verweisen wir auf I, 383.
Erstes Verfahren. Von der Ellipse k' sei nach dem vorher- gehenden Verfahren ein Durchmesser E'F' mit seinen zu g oder c, parallelen Endtangenten, darauf die Abbil- dung M' des Ereismittelpunktes M und die zu E'F' konjugirte (mit jenen Tangenten par- allele) Halbsehne M'B' bestimmt, so ist die Mitte C von E'F' der Mittelpunkt der k' und CG' l M'B' die Linie des konjugirten Halb- durchmessers. Seinen Endpunkt G' erhält man durch die Affinität mit dem über E'F als Durchmesser gezeichneten Halbkreise, des- sen Punkte By G denen JB', G' entsprechen, wenn M'B und CG ± E'F'] G' wird dann erhalten durch GG' || BB'. Aus den kon- jugirten Halbdurchmessem CE', CG' bestimmt man die Axen (1, 377) und mittelst ihrer verzeichnet man die k'.
Fig. 222.
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XII, 552. Perspektive.
607
562. Zweites Verfahren (vergl. 116). Seien wie in Nr. 550 Fig. 223. 6| und e« die Spur und die Fluchtlinie der Ebene E des Kreises Jfc, Ä der Augenpunkt, AD H e, die Distanz, Ä' auf e^ (ÄA'J_e^) der Fluchtpunkt der auf e^ senkrechten Linien der E, so lege
Fig. 223.
.^;^^/-
man die Ebene B und die mit ihr parallel durch das Auge 0 ge- führte Ebene Oa« bezw. um e^ und «od i^ gleichem Drehungssinne in die Bildfläche F um. Dabei gelange der Kreis k in den Kreis JCi (mit dem Mittelpunkte M^), es gelangt 0 in ^, wobei Ä'A^ JL e^ und '^^ A'D. Der gesuchte Kegelschnitt h' ist nun bestimmt als perspektiv- kollineare Figur zu Jc^ mit A^ und e^ als Mittelpunkt und Axe der Kollineation, und mit e« als Gegenaxe in P (I, 304); die Gegenaxe der E ist u^ ( || Cj), wenn Abst. e^Ui ==» — Abst. A^^e^ = A'A^. Da der u^ der E die unendlich ferne Gerade u der F ent- spricht, so entspricht dem Pole G^ der u^ zu Jc^^ der Pol der u zu k' oder deren Mittelpunkt G\ Man bestimme G^^, indem man aus zwei Punkten der ti^ die Tangenten an k^ zieht, etwa aus dem unendlich fernen (zwei zu e^ parallele Tangenten) und aus dem Schnittpunkte B der u^ mit der von M^ auf e^ gefällten Senkrechten Jf, Mq (deren Fußpunkt JMJ, ist). Der dem G^ entsprechende Punkt G' liegt auf dem Strahle A^G^ und auf der Entsprechenden MqA'
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608 XII, 652—663. Axonometr. u. schiefe Projektion, Perspektive kr. Flachen.
der MqM^j sowie, weon der Schnitt beider unsicher, auf der Ent- sprechenden E^E^ einer anderen durch 6^ gezogenen Geraden (r| £, {AqE^ B Gj-B,). Der Involution der durch (r, gehenden in Bezug auf h^ konjugirten Sehnen entspricht die Involution der durch G' gehenden konjugirten Durchmesser (mit dem Perspektiven Schnitte Cj). Als zwei Paare von Strahlen, welche die erstere Involution be- stimmen, kann man GjJMq und G^U (wenn U der unendlich ferne Punkt der e^\ sowie die beiden Diagonalen G^E^, Gr^F^ jenes dem \ umschriebenen Parallel trapezes annehmen. Die durch sie ein- geschnittene Involution auf Cj: Jf^, U\ E^, F^ wird auch durch eine rechtwinklige Involution aus dem Punkte H projicirt, in welchem sich die über Mf^U und über E^Fi als Durchmesser beschriebenen Kreise treffen, d. i. auch aus dem Schnittpunkte der Geraden M^M^ mit dem aus Mq durch E^ (und Fi) gelegten Kreise. Dieselbe Punktinvolution auf Cj wird aber auch die Involution (?' der kon- jugirten Durchmesser eingeschnitten. Man erhält nun die entspre- chenden Rechtwinkelstrahlen, wenn mau einen Kreis aus einem Punkte der e^ durch G^ und G' legt. Derselbe schneide die e^ in «7^, J5lj; dann sind G'J^yG'K^ die Axenlinien des h\ und die Halb-« axen G' L\ G' N' werden aus Schnittpunkten L^, N^ der durch GiJj, Gl Kl mit kl durch Strahlen aus A^ oder durch Hilfslinien (so bei Li) bestimmt.
553. Äufg. Die Perspektive eines auf die Grundrißebene auf- gestellten geraden Kreiscylinders mit seinen Schatten hei ParcMelbeleuch' ttmg 0u bestimmen. pig. 224. Aufl. Sind wieder g die Grundlinie, h der Horizont, A der
Augenpunkt, A^ das aufgeklappte Auge, 2), 2>' die Distanzpunkte, Ai der umgelegte Grundriß des Auges 0, so daß Abstand gAi^^ AA^ = AD «a AD' =» der Distanz, und daß AiB «= n, (|| h) die Gegenaxe des Grundrisses ist Sei in der umgelegten Grundrißebene kl der Grundkreis des Cylinders, Mi sein Mittelpunkt, so ist wieder MiMqB J_g gezogen, mit g in Jf^, mit Uy in B geschnitten, und dann sind mittelst des um ki beschriebenen Paralleltrapezes, wie in der vor. Nr., die Axen der Perspektive k' des Grundkreises bestimmt Dabei ist G' der Mittelpunkt von k' und M' die Perspektive von Ml . Um die auf g senkrechten Tangenten an k\ d. i. die Umrisse des Cylinders, genau zu verzeichnen; beachte man (549), daß sie durch die Schnittpunkte der aus Ai an ki gezogenen Tangenten mit g gehen. Zur Abbildung des oberen Grenzkreises l des Cylinders ziehe man aus Mq, M\ G' Senkrechte zu g und trage auf der erste- ren (MqB) die gegebene Höhe des Cylinders nach dem Maßstabe der Bildfläche ^^ MqPq auf; dann schneidet die PqA auf jenen
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1
XII, 668. Perspektive.
609
anderen Senkrechten die Punkte P', «T ein, welche bezw. die Abbil- dungen der Mittelpunkte des Kreises l, und der abbildenden Ellipse V sind, letzteres y weil JT den in PqÄ liegenden Durchmesser der V halbiri Um die Axen von V auf dieselbe Weise wie für k' zu ermit- teln, müßten wir die Ebene des i, deren Spur in P die durch Po^g
Fig. 224.
^
^'
'jS^JaMß''''"'
I
P ^
gezogene i ist, um i in P umlegen; dabei käme l nach dem (nicht verzeichneten) Kreise Zj, und es müßte in M^P^ ein dem B ent- sprechender Punkt in einem Abstände von P^ «»■ JKJj JB bezeichnet werden. Schieben wir aber die erhaltene Figur in der Richtung A^A^ herunter, bis i nach g gelangt, also um die Länge P^M^y so gelangt \ in \y jener dem B entsprechende Punkt nach JB, A nach A' und A^ nach ^', wenn -4J.'-= A^A^^^P^M^^ und die an Zj auszufahrenden Konstruktionslinien gelangen in die an \ schon aus- geführten. Zugleich gelangt eT nach J" {X J*' # Po-Mq), dem Mittel- punkte der verschobenen Ellipse V \ und für diese konstruirt man die Axen J*"C", J"F" mittelst des durch J3" und J" gelegten Kreises.
Wiener, Lehrbuch der danteUenden Geometrie. IL 39
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610 XII, 563—666. Axonometr. u.. schiefe Projektion, Perspektive kr. Flächen.
dessen Mittelpunkt auf g liegt^ schiebt sie nach JTC'j J'F' hinauf und verzeichnet durch sie die V.
554. Um nun die Schatten zu ermitteln, nehme man den Fluchtpunkt 8 der Lichtstrahlen y d. i. auch die Abbildung des Son- nenmittelpunktes an; die Projektion 8' des 8 auf Ä ist dann der Fluchtpunkt der Horizontalprojektionen der Lichtstrahlen (I, 539). Der Schatten P^ von P auf die Grundrißebene ist der Schnittpunkt von P'S mit M'8\ Der Schatten des Kreises l auf P^ ist ein um P^ als Mittelpunkt mit dem Halbmesser jenes Exeises beschriebener Ereis. Von seiner Abbildung erhält man eine zu h parallele Halb- sehne P^Qi, wenn man eine passend durch P^ gelegte Gerade, etwa P^8 mit g in Pq und mit h in P^ schneidet, auf g die PqQq gleich dem Kreishalbmesser M^Bi aufträgt, und Q0P2 mit Pj ^^ in Q^ schneidet Durch Linien aus Pj, Qi und dem in Bezug auf Pj symmetrischen Punkte des Q^ nach J., durch Linien aus P nach D und D', und durch zwei Parallele zu g erhält man die Abbildung eines um den Kreis beschriebenen Quadrates, und dies genügt zur Verzeichnung der Ellipse in unserem Falle, wo sie so schmal ist In anderen Fällen könnte man noch das zweite Quadrat abbilden oder die Axen konstruiren. — Die beiden aus 5' an h' gelegten Tan- genten müssen auch die Ellipse (P^) berühren und sind die Schlag- schattengrenjsen des Cylinders. Die Eigenschattengreneen gehen durch ihre Berührungspunkte auf k\ wie JB', und liegen auf dem zum Grundriß der Lichtstrahlen senkrechten Durchmesser M Nj wenn N auf A als Fluchtpunkt dieser Senkrechten durch A^N±.Ä^S' bestimmt wird. Man konnte auch R' aus seinem Grundrißpunkte JBi ermitteln durch Mt^B^±A^S\ B' auf B^A^.
555, Zum Folgenden haben wir die Auflosung nötig von folgender
Aufg, Aus fünf gegAenen Punkten oder Tangenten eines Kegd- sdmittes seine Ästen 0u bestimmen. In I, 378 wurde eine Auflösung gegeben; die hier gegebene schließt sich mehr den gegenwärtigen Konstruktionen an.
Aufl. Man bestimme zuerst nach dem Satze von Pascal oder Brianchon in dreien der Punkte die Tangenten bezw. auf dreien der Tangenten die Berührungspunkte. Man könnte auch von drei Tim- genten a, 6, c und ihren Berührungspunkten -4, -B, C fünf Stücke willkürlich annehmen, und das sechste nach I, 325, 3) herleiten. Fi«. 225. Seien etwa die a, 6, c, welche das Dreieck AiB^Ci bilden, sowie JB, C gegeben, so wird A dadurch bestimmt, daß AA^ durch den Schnitt- punkt von BB^ und 0(7, geht Nun ermittle man die zu c paral-
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XII, 555. Perspektive.
611
lele Tangente d nach I, 381, indem man den unendlich fernen Punkt der c mit C^ verbindet, diese Linie mit BG in JS, dann B^E mit 6 in F schneidet und durch i^ die df | c zieht; ihr Berührungspunkt T) liegt ?k\dAE, Nun
ist CT) ein Durch- ^^*^' ^^^•
messer und sein Mit- telpunkt M auch der Mittelpunkt des Ke- gelschnittes A:. Die- ser kann jetzt aus dem Durchmesser CD, seinen Endtan- genten c, d^ und durch einen weiteren seiner Punkte, etwa A (den entfernteren von C und D) bestimmt werden, indem man zunächst die Ordinate -4 G Je bis ö auf CD zieht
Der Kegelschnitt Ä ist eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel, wenn bezw. G auf der endlichen Strecke CD, oder auf der unendlichen CB^ oder wenn C oder D im Unendlichen liegt. Im ersteren Falle wird von der i?Zfojps6 der konjugirte Halbdurchmesser ikTS" (551) in der in der Figur angegebenen Weise bestimmt, und daraus werden die Axen ermittelt (I, 377). — Im zweiten Falle werden von der Hyperbel ^ig. »e. die Asymptoten nach dem auch für schiefe Koordinaten geltenden Verfahren der Nr. 1,371 bestimmt, indem man MJ\\ GA und^tT'II CDzieht, beide Linien in J schneidet, JK±JA und = MC macht, und H und H^ auf JA durch KH = KHy^ = JA bestimmt; MH und MH^ sind dann die
Asymptoten. Nun ermittelt man die Excentricität e, indem man die Tangente in C{}\GA) mit den Asymptoten in Pund Q schneidet; dann ist c* = MB. MQ = MN (I, 365), wenn man an BM die MQ^ = MQ angesetzt, über P^j als Durchmesser einen Halbkreis beschrieben und dessen auf BQ^ senkrechte Ordinate MN gezeich- net hat. Der aus M durch N gezogene Kreis (geht durch die Brenn- punkte und) schneidet auf den Asymptoten Punkte ein, unter deren Verbindungslinien zweier sich die beiden Scheiteltängenten befinden.
39*
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612 XII, 665— 556. Axonometr. u. schiefe Projektion, Perspektive kr. Flächen.
Die Axen zeichnet man dann senkrecht und parallel zu diesen Tan- genten. — Wird in Fig. 225 BiE^b, so fallen F, d, D ins un- endliche^ die Kurve wird eine Parabel, ihre Axe ist mit AE par- allel und wird nach I^ 380 bestimmt.
556. Äufg. Die Perspektive eines auf die Chrundrißebene geneigt gegen die Bildfläche aufgelegten geraden Kreiscylinders mit seinen Schat- ten bei Parallelbeleuchtung 0u bestimmen. Fig. 227. Aufl. Sind wieder g die Grundlinie, h der Horizont, A der
Fig. 227.
zr+
l*
:**.
4 -'fe?v:^
— ji-
Augenpunkt, ist femer -^ das reducirte umgeklappte Auge (I, 542),
Ä A F
wobei A-~ JLh und = ^ Distanz, ist -^ y parallel zu dem Grund-
F
risse der Erzeugenden des Cy linders, so bildet — den reducirten
F
Fluchtpunkt, während der Fluchtpunkt F durch J.i^= 2 . -A — be-
stimmt ist.
Zieht man 4^ ^ JL 4^ f, und macht AF, -
• 2.A
Fx
2 2-^22' ^ --^ 1 — « . -c* 2 ,
so ist F^ der Fluchtpunkt der (auf den Erzeugenden senkrechten) Grundrißlinie der Grundfläche des Cylinders. Sei BMCjLg die Spur dieser Grundfläche in der Bildfläche T, B in g, BM=MC = dem Halbmesser des Grundkreises Je, so sind BFi, CF^, MFi die Abbildungen der horizontalen Tangenten und der horizontalen Mittellinie des Grundkreises. Der Teilungskreis zu Fi ist der aus
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XII. Ö-Se-ÖÖT. Perspektive. 613
i^i als Mittelpunkt durch A^ oder mit dem Halbmesser 2 • -^ =^
beschriebene Kreis; er schneidet den Horizont h in dem Teilungs- punkte Ti' und die zu h Senkrechte F^ 2\' in T/ un4 in dem nicht erreichbaren Punkte T|. Den letzteren ersetzt man durch den auf
T AT^ liegenden reducirten Teilungspunkt -— y indem man die zu h
TP T TP A
Senkrechte -^ -^ ^^* ^®™ ^^^ "ö^ durch —^ gezogenen Kreise in
T
-~ schneidet Trägt man nun den Abstand des Mittelpunktes des
Grundkreises von dem Punkte M der P auf BC als ME und ME' auf, so bestimmen ET^, E'T^ auf MF^ die Abbildung M' dieses Mittelpunktes ; bilden die Diagonalen des dem Kreise % umschriebe- nen aufrechten Quadrates, schneiden daher auf JB2^i, CF^ die Eck- punkte der Abbildung dieses Quadrates ein, so daß man seine auf g senkrechte Seiten ziehen kann. Um aus E die nach dem nicht erreichbaren Punkte 2\ gehende Gerade zu ziehen, trage man auf
AE die ^ y = i^-E auf; dann ist ET^ \ ~ -^. MF^ enthält nun
einen Durchmesser der abbildenden Ellipse V des Ä;; seine Mitte G^ ist der Mittelpunkt der V^ und man bestimmt nach 551 den zu MF^ konjugirten Halbdurchmesser und daraus die Axen der V. Der Auflagerungspunkt ist B' auf BF^ (M'B'±g).
Zum Perspektiven Abtragen der Länge des Cylinders konnte man den zum Fluchtpunkte F gehörigen, auf h liegenden Teilungs- punkt T benutzen, welcher durch FT= FAq bestimmt ist und
durch AT ^=2 , aIy) konstruirt wird, wenn in übereinstimmen-
TP I 'V\ TP A
dem Sinne y ( yj «= — —^ gemacht wurde. Da aber der Raum zum
Abtragen der Längenmaße nicht ausreicht, so benutze man den
T T
reducirten Teilungspunkt -^, bestimmt durch JP'— = ^i^T, kon-
TP T i T\
struirt durch -— y = ^ (— j. Um nun auf der Auflagerungserzeugenden B'B" ihre Länge perspektiv abzuschneiden, ziehe man y B' bis -y auf ^, trage auf ^ in dem zur Erstreckungsrichtung des Cylinders ge-
S S H T
hörigen Sinne dessen halbe Länge als -y -^ *^f> ^^ bestimmt -y y
auf B'B" den Endpunkt B'\ Mittelst seiner bildet man das dem zweiten Grundkreise umschriebene aufrechte Quadrat ab, und be- stimmt wieder daraus die Axen der abbildenden Ellipse.
557* Zur Schattenbestimmung nehme man S und S' als Flucht- punkte der Lichtstrahlen und ihrer Grundrisse an. Den Schlagschatten
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614 Xn, 657—668. Axonometr. u. schiefe Projektion, Perspektive kr. Flächen,
Äj des Grundkreises h ermittelt man aus dem in bekannter Weise konstruirten Schatten des dem h umschriebenen Quadrates und seiner Mittellinien. Die Axen der Ellipse \ konstruirt man, wenn ihre Größe es lohnt, und zwar nach Nr. 555, wobei wir uns auf das umschriebene Dreieck F^HJ mit den Berührungspunkten J5', X, L seiner Seiten stützen wollen, dessen Linien 'fl" «7 und B'L nach S' laufen. Wir ziehen JN || HF^ bis N auf B'L, SN bis P auf JF^, PQ 1 HFi, KN bis Q auf PQ, so ist B' Q ein Durchmesser; aus ihm, seinen Endtangenten HF^, PQ, und dem Punkte K bestimmen wir dann die Axen.
Die EigensckaMmgrenzen des Cylinders sind diejenigen Erzeugen- den desselben, nach welchen er von Ebenen berührt wird, die par- allel zu den Lichtstrahlen liegen. Die Fluchtlinie dieser Ebenen ist die Verbindungslinie der Fluchtpunkte F und S der bestimmenden
(F ^ \
FS II Y T ^^^^ ^) 5 ^^^ Fluchtlinie der Grundkreisebene
ist jPi T/, und der Schnittpunkt U beider Linien ist der Fluchtpunkt der Schnittlinien der beiderlei Ebenen. Der Durchmesser des Grund- kreises, welcher senkrecht auf diesen Schnittlinien steht, hat daher U' zum Fluchtpunkte, wenn T/' der vorhin bestimmte zu F^ ge- hörige auf h liegende Teilungspunkt ist, und wenn U' auf F^ U durch Tj" Z7' J_ T^" U bestimmt wird. Denn nach T^' gelangt das Auge 0 bei der Umlegung der Ebene OF^ T/ in P. Der unerreich-
bare Punkt ü' könnte leicht durch -^ ersetzt werden. Der in M'V
abgebildete Ereisdurchmesser bestimmt dann die Berührungspunkte auf Ä', wie ü'; R'F ist dann eine Eigenschattengrenze. Der Schlag- schatten jßj von R kann auf \ ermittelt werden; durch ihn geht die ScMagschxttengrmze des Cylinders. Den Schlagschatten des zwei- ten Grenzkreises kann man vne den des ersten ermitteln. Häufig genügt die Verzeichnung eines kleinen Stückes; in unserem Falle ist er ganz verdeckt.
558. Aufg. Ein Kreuzgewölbe in gerader Stellung gegen die Bildfläche in Perspektive m setzen und die darin auftretendem Schatten iei Parallelbeleuchtung m bestimmen.
Aufl. Ein Kreuzgewölbe wird gebildet durch zwei sich durch- dringende Tonnengewölbe (mit cylindrischen Wölbungsflächen), welche dieselbe Anfangsebene und gleiche Höhen besitzen. In unserem Falle mögen die Gewölbaxen auf einander senkrecht stehen, und die senk- rechten Schnitte beider Wölbungsflächen (gleiche) Halbkreise bilden. Das Kreuzgewölbe liegt dann über einem Quadrate, die Schnittlinien der Wölbungsflächen, das sind die Gratlinien des Kreuzgewölbes,
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XII, 658. Perapektive.
615
projiciren sich in die Diagonalen des Quadrates und sind halbe El- lipsen. Die Eckpfeiler seien ebenfalls quadratisch, und der ganze Bau freistehend als doppelter Durchgang behandelt, um den Licht- strahlen und der Schattenkonstruktion mehr Raum zu geben. Die Fig. 2ds.
Fig. 228.
-4
Bildfläche P sei in die vordere Frontfläche gelegt; sie zeigt von der entgegenstehenden Wölbungsfläche den begrenzenden Halhhreis BEC mit seinem Mittelpunkte My sowie die Frontflächen zweier Pfeiler und zwei Eckkanten FF^^ GG^, Der Augenpunkt Ä liege im Inneren der Öfi^nung, h sei der Horizont, D, D' die Distanz- punkte, g die Grundlinie. Schneidet man die Linie des Anfangs- durchmessers BC des Fronthalbkreises mit den Eckkanten in B^, C^, so bestimmen die aus 5, C, JBj, Cj nach -4, und die aus JBj, G^ nach D und D' gezogenen Linien die in der Anfangsebene des Ge- wölbes liegenden Quadrate*, von ihren Eckpunkten zieht man dann
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616 XII, 558—559. Axonometr. u. schiefe Projektion, Perspektiye kr. Flächeo.
die Kanten der Pfeiler abwärts und begrenzt sie durch die ent- sprechenden nach A laufenden Linien der durch g gehenden Grund- rißebene.
Der HaJbhreis in der hinteren Flache bildet sich als Halbkreis ab; die Halbkreise in den Seitenflächen und die elliptischen Grair linien als Ellipsen , die man mittelst horizontaler Hilfsebenen erhalt^ welche man durch Punkte des Frontkreises, wie durch P, legt. Eine solche schneidet die Frontebene in PF^ || Ä, eine Eckkante in P^, eine Seitenfläche in Pi-4, die (vertikale) Diagonalebene einer Grat- linie in PiD\ die entgegenstehende Wölbungsfläche in PA, so daß (fer Schnittpunkt P3 von P^D' und PA einen Punkt einer Gratlinie, und der Schnittpunkt P, der noch zu ziehenden PD mitPjJ. einen Punkt des Seitenkreises abbildet; denn PP^ muß parallel mit einer Diagonale der horizontalen Quadrate sein. Zudem besteht die Probe P^P^lh, weil diese Linie eine Schnittgerade jener Hilfsebene mit der quers^ehenden Wölbungsfläche darstellt Auf diese Weise erhält man durch jede horizontale Hilfsebene vier Punkte der seitlichen Ellipsen und vier der Gratlinien. Zugleich bemerkt man, daß in der Abbildung die Seitenkreise und die Gratlinien perspektiv-kolli- near mit dem Frontkreise sind, mit den Eckkanten als Äxen und bezw. mit D, D\ A als Mittelpunkten der KoUineation.
559« Die Tangenten der Kurven in den konstruirten Punkten erhält man aus der Kreistangente in P; diese schneide man mit einer Eckkante GG^ in Q und mit dem vertikalen Halbmesser ME des Fronthalbkreises in T, Dann gehen die Tangenten einer Seiten- ellipse in P2 und die einer Gratlinie in P3 durch den Punkt Q der Kollineationsaxe GG^^ und die Tangenten in den anderen Punkten jener Kurven, die in der Horizontalebene von P liegen, gehen durch die Punkte Qi, . . der anderen Eckkanten, welche in der Horizontal- ebene von Q liegen. Schneidet man andererseits die TA mit der vertikalen Mittellinie des ganzen Baues, welche durch den Schnitt- punkt der Diagonalen des Quadrates der Anfangsebene geht, in T|, so gehen durch T^ die Tangenten in den vier Punkten der Grat- linien, wie in P^. Doch erhält man Tj genauer durch TT^ | Ä bis zu Tg auf GGj^, und T2D' bis I\ auf jener Mittellinie.
Im Ganzen genügen drei horizontale Hilfsebenen, die schon gelegte Anfangsebene, die Ebene durch den Kreisscheitel E, und eine durch die Mitten der Viertelkreise B Ey CE, wie durch P. In den Kurvenpuukten der ersten Ebene laufen die Tangenten ver- tikal, in denen der zweiten laufen sie in den Seitenellipsen nach J, in den in einem Doppelpunkte E^ zusammenfallenden Punkten der Gratlinien nach Z) und D\
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XII, 669— Ö60. Perspektive. 617
Die scheinbar höchste Erzeugende oder den scheinbaren Umriß der queren Wölbungsfläche erhält man durch eine an dieselbe aus dem Auge 0 gelegte Berührungsebene. Dieselbe enthält eine dur^b 0 parallel zu h gelegte Gerade, und diese schneidet eine Seiten- fläche in einem Punkte H, dessen Projektion auf die Bildfläche F der Schnittpunkt H^ von h mit der Eckkante GG^ ist Legt man nun aus H eine Tangente an den Seitenkreis , welche den Kreis in «T berührt und die GG^ in J^ schneidet, so ist die | h durch J*j gezogene Gerade die gesuchte scheinbar höchste Erzeugende JiJ^* Man erhält diese Punkte am besten, wenn man die Seitenfläche um GG^ in "P umlegt; dabei kommt der Seiteukreis in den Frontkreis, H kommt nach H2 auf A, wenn man auf h im Sinne von AHi die H^H^ = AD aufträgt. Die Tangente aus jff, an den Frontkreis berührt diesen in J und schneidet die GG^ in cTj. Beim Zurück- drehen gelangt die Tangente J^J nach JiJ^, J nach «7, auf JD] und auf J^J^ erhält man die vier Berührungspunkte dieser Geraden mit den vier verzeichneten Ellipsen, so noch J^.
Auf diese Weise erhält man für jede der vier halben Ellipsen sechs Punkte mit den Tangenten und kann durch Anlegen des Kurven- lineals zwischen zwei benachbarte Punkte unter Beachtung des Sin- nes der Zunahme der Krümmung die Kurve sehr gut zeichnen. Die etwa noch auftretende Unstetigkeit der Kurven ist dann durch die Ungenauigkeit der konstruirten Elemente verursacht Wir wollen nachher auch die Axen ermitteln.
560. Soll bei den Schattenbestimmungen der Lichtstrahl so an- genommen werden, daß der Schatten des Anfangspunktes B des Frontkreises in den gewählten Punkt Bi einer Seitenfläche des dia- gonal gegenüberstehenden Pfeilers fällt, so ist BB^ ein Lichtstrahl und B^Bq sein Grundriß, wenn B^ der Fußpuukt der Pfeilerkante BB^, und Bq der Fußpunkt der Vertikalen B^B^ auf der Grund- linie jener Seitenfläche ist. Die Gerade B^B^ bestimmt dann auf h den Fluchtpunkt S' der Grundrisse der Sonnenstrahlen, und BBi auf der Vertikalen aus S' den Fluchtpunkt S der Sonnenstrahlen.
Um zuerst den Schatten des Frontkreises auf die Frontfläche jenes gegenüberstehenden Pfeilers zu erhalten, schneidet man B^S' mit der (Verlängerung der) Grundlinie dieser Fläche in B^, und die durch J?4 gezogene Vertikale mit BS in £5, so ist B^ der Schatten von B. Ebenso ist M^ der von M, wenn B^M^ || Ä und Mi auf MS. Der gesuchte Schatten des Frontkreises ist dann der aus M^ durch JB5 gelegte Kreis, wovon nur das kleine Stück KV auf der Frontfläche bis zu den Grenzkanten ausgezogen wird. Der Schatten auf die Seitenfläche des Pfeilers ist der elliptische Bogen BiK,
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618 XII, 560—561. Axonometr. u. schiefe Projektion, Perspektive kr. Flächen.
dessen Tangente in B^ vertikal und in K die KLi ist, woraus er genügend bestimmt erscheint. Um einen Punkt L^ von KL^ zu ermitteln, beachte man, daß die Schatten aller mit h parall^en Linien auf Ebenen, parallel zu den Seitenflächen des Bauwerkes, den Punkt Si zum Fluchtpunkte haben. Denn die Lichtstrahlenebene einer solchen Kante hat die Verbindungsgerade S/Sj des S mit dem Fluchtpunkte der Kante (unendlich fern auf h) zur Fluchtlinie, und jene Seitenfläche die Vertikale AS^'j der Schnittpunkt S^ beider ist daher jener Fluchtpunkt (I, 539). Schneidet man nun die Tangente des aus M^ durch B^ (und K) gezogenen Kreises in K mit M^B,, in L, so ist der Schatten von MB und von M^B^ auf die frag- liche Pfeilerseitenfläche die B^S^ (welche die B^Mi auf einer Pfeiler- kante triflft), und ihr Schnittpunkt L^ mit LS ist der Schatten von L.
561. Suchen wir sodann den Schatten des Frontkreises in die entgegenstehende WöUmngsfläche. Wir legen durch einen Punkt 1 des Kreises den Lichtstrahl 1 S, durch diesen parallel zu den Erzeugen- den (Fluchtpunkt A) der Wolbungsfläche eine Ebene; ihre Flucht- linie ist AS, Diese Ebene schneidet daher die Front- und Bild- fläche F in der zu AS Parallelen 12, sie schneidet den Frontkreis noch in 2 und jene Wölbungsfläche in 2A, deren Schnittpunkt 3 mit 1/S» der gesuchte Schatten von 1 ist. Der Grenzpunkt des Schlag- schattens liegt offenbar im Berührungspunkte 4 des Frontkreises mit einer Parallelen zu AS, d. i. in dem zu AS senkrechten Halbmes- ser Jf 4, (Man bestimmt zuerst 4, dann 4 2 = 14.) — Der Schat- ten des Kreises in die Wölbungsfläche ist ein Kegelschnitt. Denn sie ist die Schnittlinie des Wölbungscylinders mit dem Lichtstrahlen- cylinder; und da beide schon den Frontkreis gemein haben, so ist der zweite Ast ihrer Schnittkurve, d. i. jener Schatten, ebenfalls ein Kegelschnitt. Derselbe ist im Baume affin mit dem Frontkreise, weil sich beide durch die parallelen Lichtstrahlen auf einander pro- jiciren; in der Perspektive sind beide kollinear mit S als Mittelpunkt und mit MA als Axe der Kollineation. Daher schneiden sich die Tangenten der Kurven in ihren entsprechenden Punkten 1 und 3 in dem Punkte 5 der MA, wodurch die Tangente 3 5 bestimmt ist; und schneidet man die Kreistangente in 4 mit 1 5 in 6, projicirt 6 aus S auf 3 5 in 7, so ist 4 7 die Kurventangente in 4. Daraus kann man den Bogen 4 3 überaus genügend genau zeichnen; derselbe wird bis zum Punkte R einer Gratlinie ausgezogen. Dabei wählt man 1 so, daß 3 nahe bei dieser Gratlinie liegt.
Den gleichartigen Schatten an der dem S gegenüberliegenden Seitenfläche könnte man dort unmittelbar in entsprechender Weise
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XII, 661. Perspektive. 619
bestimmen ; wobei an die Stelle der parallelen Geraden 12 solche mit dem Fluchtpunkte S^ treten würden. Genauer aber erhält man denselben, wenn man den Bau um die Eckkante FF^ so gedreht denkt, daß der Seitenkreis in den Frontkreis gelangt Um dabei den Lichtstrahl in gleichem Sinne um 90^ zu drehen, denke man sich den Strahl durch OS^ (0 das Auge) und durch Sj/S bestimmt Die OSi kommt durch die Drehung in die Richtung ÄS^t wenn SS^ II Ä, DSa _L Ä, und ÄS^ ist die gedrehte Projektion eines Licht- strahles auf die Seitenfläche. Denkt man sich einen derartigen Lichtstrahl durch ein Auge 0^ gelegt, welches von jener Seiten- fläche des Baues einen Abstand gleich der Distanz AD besitzt, und welches (OJ bei der Drehung um FF^ nach ö gelangt, so ergibt sich die Tiefe der Spur jenes durch 0^ geführtefi Lichtstrah- les in der Seitenfläche unter dem Horizonte gleich DS^, wenn Sq auf AS und auf DS^. Nach der Drehung liegt daher jene Spur in AS^ und in der Parallelen S^S^^ zu h. Der Schnittpunkt S^ beider Linien ist dann der Fluchtpunkt der Lichtstrahlen für die Konstruk- tion des Schattens nach der Drehung. Nun bestimmt man bei ent- sprechenden Ziffern 4' durch Jlf4'JL.4/S'4, 4'2'=1'4', 3' auf 2'-4 und l'S^f Kreistangente 1'5' bis 5' auf Jlf4', 3' 5', Kreistangente 4'6' bis 6' auf 1'5', 7' auf 3'5' und 6'S^, 4'7'. Dreht man zu- rück, so gelangen durch Strahlen nach D\ A' und 2' auf die Seiten- ellipse nach 4", 2"; 3" hegt auf 2"3" || h und auf 3'D', M' auf B^A und MB', 5" auf il£"4" und 5'D', dann 3"5", 7" auf 3"5" und auf 1' B\ endlich 4" 7". Die Tangente der Seitenellipse in 4" läuft nach Sj.
Der SchlagschaUm auf die Bodenflächey der von der vorderen Öffnung herrührt, ist begrenzt zunächst durch den Schatten ^2-^1 ^^^ Pfeilerkante ^2-^; ^^^ ^^^ Schatten N^Ri des Bogens NK IstB^ der Grundriß von R (auf einer Diagonale des Grundquadrates), so liegt Bi auf RS und auf Jßg/S»'. Die Tangente in R^ geht durch den Schatten Ui des Schnittpunktes U der Tangente an die Gratlinie in R mit der Eckkante, und dieser wird durch den Frontkreis be- stimmt Die durch R und V aus S rückwärts gezogenen Strahlen schneiden den Frontkreis in R^ und Fg, und der Schatten des Bogens JB3F3 fällt auf die Bodenfläche in RiVi, Man bestimme noch den Schatten E^ des zwischenliegenden Scheitels E, in welchem die Tan- gente 0 h läuft. Dadurch ist der Bogen RiE^ Vi meist genügend be- stimmt, dessen Endtangenten nötigenfalls aus denen in Ü3, F, zuzu- fügen wären. — Ebenso bestimmt man die von der anderen Öf&iung herrührenden Schatten auf den Boden, sowie die der oberen Bau- begrenzung.
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620 XII, 662—563. Axonometr. u. schiefe ProjektioD, Perspektive kr. Flächen.
562. Die Deckplatte werde von der Frontfläche in dem Profil i^i FFi TT (rechts gesondert gezeichnet) durchschnitten, wobei ^jTFj auf der Eckkante FF^ liegt Durch W geht eine Kante WA^ deren Grenzpunkt W^ in der Diagonal- oder Gehrungsebene durch W^D bestimmt wird. Sowie W^ werden auch die übrigen Eckpunkte der GehruDgslinie ermittelt, so daß man diese Linie mit Hilfe ihrer horizontalen, in der Abbildung nach B laufenden Tangenten yer- zeichnen kann. Durch ihre Eckpunkte zeichnet man die Kanten der Deckplatte einerseits parallel zu h und andererseits laufend nach A.
Die Schatten an der Deckplatte, welche von den zu h parallelen Kanten herrühren, erhält man (I, 545) mittelst der durch sie gehen- den Lichtstrahlenebenen, deren Fluchtlinie SS^ ist. Die Fluchtlinie der Gehrungsebene ist BS^-^ folglich ist S^ der Fluchtpunkt der Schnitte jener Lichtstrahlenebene mit der Gehrungsebene. An die Gehrungslinie zeichnet man daher die streifenden und berührenden Linien nach ^2 und bestimmt ihre Schnittpunkte mit der Gehrungs- linie. Durch sie und durch die Berührungspunkte laufen dann die mit h parallelen Schattengrenzen an den vorderen Flächen der Deck- platte. — Die Lichtstrahlenebenen der nach A laufenden Kanten haben AS zur Fluchtlinie, deren Schnittpunkt ä, mit der Flucht- linie BS^ der Gehrungsebene der Fluchtpunkt der Schnittlinien die- ser Lichtstrahlenebenen mit der Gehrungsebene ist. Mittelst ihrer bestimmt man auch die an den Seitenflächen der Deckplatte vor- kommenden nach A laufenden Schattengrenzen. — Zieht man dann noch aus den Eckpunkten der Gehrungslinie die Lichtstrahlen nach S, und schneidet sie mit den jedesmal zugehörigen Schattenlinien auf den vorderen oder auf den seitlichen Flächen der Deckplatte, so erhält man noch Schattenpunkte der Gehrungslinie, welche mit den auf der Gehrungslinie liegenden Grenzen 4er anderen Schatten- linien verbunden werden müssen. Diese Linien liegen in der Figur auf den seitlichen Flächen und sind nicht bemerkbar.
663. Verzeichnung der bei der Perspektive des Kretizgewölbes vor- kommenden Ellipsen mittelst der Axen. Fig. 229. Bildet man die in der Anfangsebene des Gewölbes liegenden
Quadrate wie vorher ab, wodurch die in dieser Ebene liegenden Durchmesser B^C^^ B^C^ ... jener Ellipsen, entsprechend demjeni- gen BC des Frontkreises, bestimmt sind, so halbire man den größ- ten B^Ci dieser Durchmesser in E^ ermittle die vertikale Ordinate EiFi der Ellipse aus der entsprechenden EF des Frontkreises, wo- bei E auf E^A, F^ auf FA liegen, und letztere genauer aus dem Punkte Fq einer Eckkante bestimmt wird, wenn FFq | ä, F^ auf FqB' liegt. Aus den konjugirten Halbdurchmessem E^Ciy E^F^ be-
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Xir, 663—564. Perspektive.
621
stimmt man die Äxen, indem man (I, 377) EiG^AdEiFi und = E,F^ zieht, G,C^ in H, halbirt und- auf G^C, die H^J^=H,K^ = H^E^ aufträgt; E^J^ und E^K^ sind dann die Linien der Axen, und die Halbaxen sind bezw. JEJjjL, = G^J^ und E^N^ ^^^G^K^. —
Fig. 229.
Für die gleichartigen Konstruktionen der anderen Ellipsen hat man die Erleichterungen, daß E^E^ . , und EfiH2 . ., sowie die gedachte Linie F^F^ . . (I ä, und daß E^G^ = E^G^ = E,F^, weil E^F^ # E^Fy^. Doch muß immerhin die Halbirung der B^C^ durch E^E^ (in JE^), sowie die von G^G^ durch B^H^ (in H^ geprüft werden. Die weiteren Konstruktionen fOr die verschiedenen Ellipsen sind un- abhängig von einander. Es muß auch die Probe zutreffen, daß die vier HalbelUpsen eine gemeinschaftliche mit h parallele Tangente besitzen.
564. Aufg. Ein Brückengewölbe in schiefer Stellung gegen die Bildfläche mit den an demselben bei Parällelbeletichtung auftretenden Schattengrenzen ^ mit der Grenze der Beflexbeleuchtung und mit den Spiegelbildem in Perspektive zu setzen,
Aufl. Sei g die Grundlinie und die Spur der Wasserfläche P^, h der Fig. «so.
Horizont, A der Augenpunkt, -~ das reducirte umgeklappte Auge,
schneide die Stirnfläche der Brücke die g in B und die Bildfläche F in BE^ (J. g), und habe ihre Grundlinie den außerhalb der Zeichen- fläche liegenden Punkt i^(auf h) zum Fluchtpunkte, wobei ihre Rich-
A TP TP
tung durch ^ — bestimmt ist und AF = 2 » Ay gedacht wird. Da das Gewölbe ein gerades sein soll, so haben die Erzeugenden
den Punkt F^ der h zum Fluchtpunkte, bestimmt durch T^ - ^ J. - ®
1^
2 2
F 2 '
AF^ = 2 • -4-—- Den zu F gehörigen Teilungspunkt T der Grund-
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622 XII, 664. Axonometa:. n. schiefe Projektion, Perspektive krammer Flächen.
linie der Stirnfläche bestimmt man auf h durch y ^yj "^ T 2 "°^ ÄT=2 'Ä (yj; und entsprechend den zu F^ gehörigen T^ der Er-
F, A,
T,
zeugenden durch JF^Tj = 2 • -y -y, und den reducirten -y durch
/TT V Ä
JP, -~ = -y -y • Die Anfangsebene der Wölbungsfläche P liege im
Wasserspiegel P^; durch diese Annahme erhält man zusammenhän- gende Kurven ; ohne die Allgemeinheit zu beeinträchtigen. Auf der
Fig. 230.
ir
Grundlinie BF^ welche man mittelst y verzeichnet (556), trägt
man die Spannweite BC des Gewölbes perspektiv auf, indem man diese Länge nach dem Maßstabe der Bildfläche auf g als BC^ auf- trägt und C^T mit BF in G schneidet. Halbirt man BC^ in M^, so bestimmt M^T auf BG die Abbildung M der Mitte. Die Leit- linie der Wölbungsfläche in der Stirnfläche, d. i. die Stimkurve sei eine halbe Ellipse von der Höhe BE^{A-g)\ die Abbildung ihrer vertikalen Halbaxe ist dann ME (_L g)y wenn E auf E^F, Da die Tangenten der Abbildung Tc dieser Kurve in B und C vertikal stehen, so ist BC ein Durchmesser der Ellipse J, deren Axen nach Nr. 551 gefunden werden. Man halbirt nämlich BC in G, beschreibt aus
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Xir, 564—666. Perspektive. 623
G einen Halbkreis durch B (und C), schneidet ihn mit den 1.BC
gezogenen ME^y GH^ in E^y Hq, zieht die GH JLg und bestimmt
auf ihr den Punkt H durch H^H | E^E, Aus den konjugirten Halb-
durchmessem GBy GH ermittelt man dann die Axen der h (I, 377).
Die Anfangserzeugenden der Wolbungsfläche F sind BF^y CF^y
und man trägt auf CF^ perspektiv die Länge CC^ der Erzeugenden
auf, indem man, wegen Raummangels den reducirten Teilungspunkt
T T
-^ benutzend, C-~ bis C^ auf ^ zieht, C^C^ auf (jf gleich der halben
T
Erzeugenden macht und C5 ~ mit GF^ in C^ schneidet; BF^ und
C^F treffen sich dann in B^. Zur Bestimmung von konjugirten . Halbdurchmessem J^B^y J^J^ (letztere l.g) zieht man aus der Mitte cT'j der B^C^ die J^F^ bis J auf BG, JJ^ l.g bis J^ auf der k (die man nach ihrer Verzeichnung aus den Axen sehr gut als Grundlage für die Konstruktion benutzen kann), zieht J^F^ bis J^ auf J^J^] daraus zeichnet man die Axen und die Ellipse. — Die Annahmen sind so gemacht, daß der Fluchtpunkt i^^ der Erzeugenden im In- neren der Abbildung der Stirnkurve liegt, damit man in das Innere des Gewölbes sieht.
Die obere vordere Grenekante der Stirnfläche ist KFy wenn ma^n ihre Höhe über F^ auf BE2 als BK aufgetragen hat, und die hintere Grenzkante ist ä,jF, wenn JS^ auf KF^ und auf JögiTg {A.g) liegt.
565* In Bezug auf die Spiegelung beachte man, daß ein auf eine spiegelnde Fläche fallender Lichtstrahl derart zurückgeworfen wird, daß der AusfäUswinkd gleich dem EinfciUswinkd ist, und daß die Ebenen beider in einander fallen; diese Winkel sind aber bezw. die Winkel des ein- und des ausfallenden (zurückgeworfenen) Strahles mit der Normale der spiegelnden Fläche im Einfallspunkte. Die gerade Linie des zurückgeworfenen Strahles geht daher durch den Symmetriepunkt eines jeden Punktes des einfallenden Strahles in Bezug auf die Berührungsebene der spiegelnden Fläche im Einfalls- punkte. Gehen nun alle einfallenden Strahlen von demselben Punkte P aus, der ein selbstleuchtender oder ein das auffallende Licht zer- streuender Punkt, also ein Punkt einer nicht spiegelnden Körper- oberfläche sein kann, und ist der Spiegel eben, so gehen die Linien aller zurückgeworfenen Strahlen von dem zu P in Bezug auf die Spiegelebene S symmetrischen Punkte P' aus, und es ist, abgesehen von einer Lichtschwächung, die Wirkung der Spiegelung eines Punk- tes, daher auch eines ganzen Körpers 'K ebenso, wie wenn ein zu E in Bezug auf S symmetrischer Körper E' durch eine Öffnung betrachtet würde, welche die Stelle des ausgedehnten Spiegels einnimmt
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624 XII, Ö66— 666. Axonometr. u. schiefe Projektion, Perspektive kr. Fl&chen.
Das durch die Wasserfläche F| hervorgebracht^ Spiegelbild der Wölbungsfläche F ist das Bild der zur Wölbungsflache in Bezug auf die Ebene F^ symmetrische Cylinderfläche F'; und da F^ eine Haupt- ebene des Gylinders F bildet, welche also zu der Senkrechten zu F^ konjugirt ist; so setzen sich F und F' zu einem vollen Cylinder zusammen, dessen Perspektive durch Ergänzung der beiden halben Stimellipsen durch ihre anderen Hälften, so der k durch k\ ge- zeichnet vrird.
566. Zur Bestimmung der Schalten sind S und S' (S' auf hy SS'A. h) als Fluchtpunkte der Sonnenstrahlen und ihrer Orundrisse angenommen. Der Schalten der Stimdlipse k in die Wölbungsfläd^ F wird mittelst Hilfsebenen bestimmt, welche zum Lichtstrahle und zu den Erzeugenden der F parallel sind; deren Fluchtlinie daher die Verbindungslinie SF^ der Fluchtpunkte S und F^ dieser bei- derlei Linien ist. Solche Hilfsebenen schneiden die Stirnfläche in parallelen Linien ^ deren Fluchtpunkt der Schnittpunkt /S»| der Fluchtlinien SFi und FS^ der beiderlei Flächen sind, wobei FS^ J_ h steht. Da F und S^^ nicht erreichbar, so bestimmt man den redu-
cirten Fluchtpunkt y in der Mitte von ÄS^ als Schnitt von
^|(||F.S)und||(±Ä).
Zieht man nun aus einem beliebigen Punkte L der k den Licht- strahl LS, legt durch denselben eine der bezeichneten Hilfsebenen,
so schneidet diese die Stirnfläche in der vermittelst ^ zu verzeich- nenden Geraden LS^ , diese trifft die k in einem Punkte (7, die Hilfs- ebene trifft die F in OjPj, und diese wird vom Lichtstrahle LS im Schatten L^ von L geschnitten. Indem von C durch S^ C rückwärts nachX gegangen wurde, erhielt man den Schatten L^ auf der Anfangs- linie der F. Es möge hier sogleich der später sich als notwendig erweisende Schatten der k und %' in die F und F' gezeichnet werden. Seine Endpunkte auf der k ergeben sich, wenn die Sehne LC zn einem Punkte wird, d. i. in den Berührungspunkten N, P der aus S^ an die Ellipse gezogenen Tangenten (zu bestimmen durch kon- jugirte Sehnen). NP ist die Polare von S^ und könnte auch durch zwei schneidende Strahlen aus Si und ein vollständiges eingeschrie- benes Viereck erhalten werden. Man bestimme so noch den Schatten B^ von B durch BS^ bis B^ auf *', B^F^B^, BS,B^.
Der Schatten NL^B^P=\ von Qc + V) in die volle Cylin- derfläche (F + F') ist ein Kegelschnitt, welcher mit (t -+- k') per- spektiv ist mit S als Mittelpunkt und NP als Axe der Eollineation (vergl. 559). Man findet daher die Tangente £^{7 an X:^ in JL,,
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XU, 666—667. Perspektive. 625
wenn man die Tangente an A; in X mit NP in U schneidet und L^ U zieht; ebenso die Tangente NQ^ an Jj in JT, wenn man die Tangente NQ an Ä in ^ bis ^ auf L U zieht, QS mit LiU in Q^ schneidet und NQi zeichnet Entsprechend in B^ und P. Mit diesen vier Punkten und Tangenten kann man ki genügend sicher zeichnen.
Der Scheuten k^ von k auf die Wasserfläche Pj ist ein Kegel- schnitt BL^. Seine Tangente in B ist der Schatten BS' der ver- tikalen Tangente BK des k. Die Tangente des k^ in Li erhält man, wenn man die Tangente des i in L mit der BK in L^ schneidet, L^S bis L^ auf BS\ und dann L1L2 ziehi Ebenso bestimmt man noch den Schatten B^ eines Zwischenpunktes B des %, indem man BBQ±.g bis Bq auf BF zeichnet, und B^S' mit US in B^ schnei- det; endlich die Tangente B^B^ wie vorher durch den Linienzug BB^B^B^. — Der Schatten der obei*en hinteren Grenzkante ist K^F, wenn K^ auf K^S und auf B^S\
567. Durch Zurückwerfimg der Lichtstrahlen auf der Wasser- fläche Fl findet eine Beflexbdeuchiung der Wölbungsfläche F statt, deren Grenze bestimmt werden soll. Die Lichtstrahlen, welche die Stirnkurve k gestreift haben und in Punkten der k^ die F^ treflPen, werden hier zurückgeworfen und treflFen die F in Punkten der Grenz- linie kl der Reflexbeleuchtung. Die geraden Verlängerungen der in k^ die Fj treffenden Lichtstrahlen sind symmetrisch in Bezug auf F^ zu den zurückgeworfenen Strahlen, und die Schnittlinie der ersteren mit der F' ist daher symmetrisch zur Reflexgrenze Ä/. Die erstere Linie ist aber der schon gezeichnete Schatten k^ von k in die F', als deren Symmetriekurve man k^ konstruirt, indem man BqB^ X.g bis B^ auf k zieht, dann B^B^l^g und B^F^ bis J5/ auf JBiJ5/. So entsteht der Bogen L^B^ aus L^B^.
Von B an ändert sich der Vorgang; die Lichtstrahlen treffen hier zuerst die Wasserfläche Fj, werden von derselben zurückgewor- fen, streifen den k und erzeugen auf der F die Fortsetzung der Reflexgrenze Ä/. Die Symmetrielinien dieser zurückgeworfenen Strahlen sind (nach S laufende) Lichtstrahlen, . streifen den k' und erzeugen auf der F' die Fortsetzung B^B der Äj, so dafs man auch jB/P' symmetrisch zu B^P zu bestimmen hai
Die Spiegelbilder der physischen Schattengreme NL^ und der Beflex- grenee L^ P' sind die Bilder der Symmetriekurven dieser Linien, dabei L^P der Schatten der {Je + k') in die F'. Daher besteht der ganze Schatten k^ von {k + k') in die (F -h F') aus dem physischen Schatten N L^ der bezeichneten Art und aus dem Spiegelbilde ijP der Reflexgrenze, und die* Symmetriekurve A/ von k^ aus dem Spiegelbilde N'L^ der physischen Schattengrenze und aus der Reflex-
Wiener, Lehrbuch der danteUenden Geometrie. II. 40
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626 XII, 567—668. Axonometr. u. schiefe Projektion, Perspektive kr. Flächen.
grenze L^P\ Die A;/ kann man auch unmittelbar als Schlagschat- ten der (Ä + Ä') in (P + F') konstruiren mit Umkehrung der Licht- strahlen in ihre in Bezug auf F^ symmetrischen ^ oder mit Verlegung von S in den zu ihm in Bezug auf h (und S') symmetrischen Punkt
568« Der verzeichnete Schatten auf der Wass&rfHiche ist nicht sichtbar, wenn das Wasser vollkommen klar ist. Dies zeigt der Versuch. Füllt man nämlich ein Gefäß mit klarem Wasser und läßt einen Schatten darauf fallen , so sieht man denselben an der Wand des Gefäßes herunter unter die Oberfläche steigen und auf den Boden übergehen; man sieht aber keinen Schatten auf der Wasserfläche, während das Spiegelbild des schattenwerfenden Kor- pers bei entsprechender Augenstellung sichtbar ist. Man erblickt an einer Stelle der Wasserfläche zugleich die Bilder gespiegelter Gegenstände, und diejenige von Gegenständen, die unter der Ober- fläche liegen. Weil aber die Stärke der Spiegelung mit dem Ein- und Ausfallswinkel der Lichtstrahlen zunimmt (I, 479), die Stärke des die Oberfläche (von innen her) durchdringenden Lichtes aber mit zunehmendem (Brechungs- oder) Ausfallswinkel abnimmt, so sieht man bei kleinem Ausfalls winkel oder steilem Aufschauen auf die Oberfläche allein oder vorherrschend den Boden des Gefäßes, bei zunehmendem Ausfallswinkel vorherrschend oder allein die ge- spiegelten Gegenstände, bis bei totaler Reflexion von einzelnen Stellen des Bodens gar keine Lichtstrahlen mehr von diesen in das Auge gelangen. Im letzteren Falle, und wegen zu geringer Lichtstärke auch schon vorher, kann der auf den Boden fallende Schatten nicht mehr gesehen werden. — Aus diesen Beobachtungen folgt, daß die zusammenhängende, insbesondere die ruhige Ober- fläche des Wassers das auffallende Licht nicht zerstreut, daß sie also ein voUkomniener Spiegel ist; sie wirft es vielmehr entweder spiegelnd zurück oder läßt es eindringen.
Anders ist es bei unvoUkommenen Spiegeln. Trübt man das Wasser, etwa durch aufgeschwemmten Thon, so sieht man einen Schatten auf der Oberfläche, indem die festen Teilchen das auffal- lende Licht zerstreuen, so daß von jedem Standpunkte aus die Ober- fläche auf beiderlei Seiten einer Schattengrenze ungleich hell er- scheint, oder daß der Schatten sichtbar ist. Nun haben Bäche und Seeen gewöhnlich eine Trübung, die mit der Stelle und mit der Zeit wechselt. Der Bodensee z. B. ist an seinen Ufern recht merklich trübe, in seiner Mitte nicht auffallend, aber doch in dem Grade, daß eine fünf Meter unter die Oberfläche getauchte weiße Scheibe zu Zeiten nicht mehr wahrgenommen wird. Der Verfasser beobachtete nun, daß mitten auf diesem See bei Sonnenschein der Schatten des Schiffes unter
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XIT, 568-569. Perspektive. 627
ümstaDden schwach sichtbar war, unter anderen gar nicht. Er war sichtbar, wenn man die Sonne im Rücken hatte, er war nicht sicht- bar, wenn man sie vor sich hatte, ohne daß sie dem Beobachter ins Gesicht schien. Es war dies eine Folge des Weberschen Gesetzes, wo- nach in Bezug auf den Gesichtssinn ein Unterschied der Helligkeiten zweier scheinbar benachbarten Stellen nur dann empfunden wird, wenn dieser Unterschied mehr als ein gewisser verhältnißmäßiger Teil der Helligkeit einer dieser Stellen beträgt Diese Bruchzahl ist nach Versuchen des Verfassers unter Umständen nicht kleiner als -ß^ (vergl. I, 477, 1)), kann aber unter anderen günstigen Um- ständen nach Versuchen von Helmholtz auch ^^^ sein. Nun ist der Himmel in der Nähe der Sonne vielmals heller als auf der gegen- überstehenden Seite, so» daß die Helligkeit, welche das durch die Trübung zerstreute Sonnenlicht besitzt, im Versältniß zur Helligkeit des Spiegelbildes des dunkleren Himmelteils mehr als ^, imVerhält- niß zu der des 'helleren aber weniger als -^ betragen kann, woraus sich die obige Erscheinung erklärt — Das Entsprechende findet man bei einem gewöhnlichen, durch einen Beleg mit Zinnamalgam herge- stellten Spiegel, der sich als wenig vollkommen erweist. Ein auf ihn fallender Schatten ist sichtbar, wenn sich an der Schattengrenze ein dunklerer Gegenstand spiegelt, nicht sichtbar, wenn ein hellerer.
In der Zeichnung ist der Schatten auf die Wasserfläche an der Stelle schwach angedeutet, wo sich der Himmel spiegelt, an den Stellen stärker, wo sich Schattenteile des Gewölbes spiegeln.
569, Äufg. Die Perspektive einer Kugd und ihres Schattens bei PardUdbeleuchtung m bestimmen.
Aufl. Sei A der Augenpunkt, d der Distanzkreis, M^ die senk- Fig. ssi. rechte Projektion des Mittelpunktes der Kugel auf die Bildfläche P, und seien dessen Abstand von F und der Halbmesser der Kugel ge- geben. Die Perspektive der Kugel ist der Kegelschnitt h^ in wel- chem die P den (Umdrehungs-)Kegel trifft, der aus dem Auge 0 der Kugel umschrieben wird, und die Hauptaxe von k liegt in der auf P senkrechten Meridianebene des Kegels, d. i. in der J_ P durch AMy^ geführten Ebene. Legt man diese Ebene in die P um, so gelangt 0 in den Punkt Aq des rf, wenn AA^±.AM.^j und der Kugelmittelpunkt nach M^, wenn M^Mq±.AM^ und gleich dem gegebenen Abstände des Kugelmittelpunktes von P, und wenn M^M^ in demselben oder in dem entgegengesetzten Sinne wie AA^ auf- getragen wird, je nachdem der Kugelmittelpunkt auf derselben oder auf der entgegengesetzten Seite von P wie 0 liegt. Zeichnet man nun aus M^ als Mittelpimkt mit dem gegebenen Halbmesser der Kugel einen Kreis Cq, den größten Kugelkreis in der umgelegten
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628 XII, 569. Axonometr. u. schiefe Projektion, Perspektive krummer Flächen.
Ebene, zieht an ihn aus Aq die beiden Tangenten und den Strahl AqMq, so schneiden diese Linien die AMi bezw. in den beiden Scheiteln der Hauptaxe von h, so in .B, und in der Abbildung Jf des Eugelmittelpunktes.
Fig. 281.
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Zeichnet man femer aus M als Mittelpunkt einen Kreis c^ wel- cher jene beiden aus A^ gezogenen Tangenten, so -4^B, berührt, und denkt sich diesen Kreis als größten Kreis einer zweiten Kugel, der Hüfshugel, deren Mittelpunkt M in der Bildfläche F liegt, so ist diese demselben Kegel eingeschrieben und besitzt dieselbe Per- spektive Ä, wie die gegebene Kugel; för sie ist c sowohl die Spur in P als der umgelegjie größte Kreis in der Ebene OAMi. Es ist vorteilhaft, die gegebene Kugel durch die Hilfskugel zu ersetzen
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Xn, 569—670. Perspektive. 629
und wir dürfen das für alle weiteren Konstruktionen thun, wenn wir die anderen gegebenen Gegenstände^ so den Boden^ auf welche die Kugel aufgelegt ist und den Schatten wirft, sowie die Licht- quelle, durch neue solche Gebilde ersetzt, welche perspektiv-ähnlich mit den gegebenen liegen und mit ihnen 0 zum ÄhnKchkeitspunkte und A^M : AqMq zum Ähnlichkeitsverhältnisse haben. Die Grundlinie g wird dann die untere mit dem Horizonte h parallele Tangente des c, während die Lichtquelle als unendlich fern im Unendlichen bleibt
Die Brennpunkte des h sind die Abbildungen der beiden Punkte der Kugel, in welchen sie von Ebenen berührt wird, welche zu P parallel sind (I, 329, vergl. II, 547). Man erhält sie, wenn man den zu AM^ senkrechten Durchmesser des c (oder des Cq) zieht und seine Endpunkte aus A^ auf AM^ so in P, projicirt. Die Neben- axe geht durch die Mitte C der Hauptaze; für ihre Scheitel, wie jB, gilt FE = CB.
570. Man bemerkt, daß die Perspektive k einer Kugel ein Kegel- schnitt isty dessen Haaptaxe durch den Augenpunkt A geht. Er ist eine Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel, je nachdem die Kugel keinen Punkt mit der Verschwindimgsebene ( \\ F durch 0) gemein hat, sie berührt oder schneidet. Im letzteren Falle ist nur derjenige Hyperbelast physisch vorhanden, welcher einen vor dem Auge 0 liegenden Teil der Kugel abbildet; und dieser Fall kommt z. B. dann vor, wenn man eine Landschaft von einer kugelförmigen Gebäude- kuppel aus abbildet, wobei der Umriß der Kuppel die Grenze des Landschaftsbildes ausmacht und sich hyperbolisch darstellt Ge- wöhnlich ist k eine Ellipse; dieselbe wird ein Kreis, wenn der nach dem Kugelmittelpunkte gehende Sehstrahl J. F steht, d. i. auch wenn die Abbildung M des Kugelmittelpunktes im Augenpunkte A liegt Ist aber -4Jf =m, die Distanz -40««d, und der Winkel AOM <=» a, und ist die Kugel unendlich klein, so daß die berührenden Sehstrahleu parallel sind, so gilt für die Axen a und h der Ellipse k
h d
ma COS a «-B
Steht nun die Kugel möglichst seitwärts, so daß m etwa = ^ Bild- breite, und ist die Distanz d «= 1^ Bildbreite, so ist m : t2 «» 1:3 und
b:a = Yd : 10, nahezu = 19 : 20. Die Figur 232 zeigt eine solche Ellipse und läßt erkennen, daß Fig. 232. dieselbe von dem Kreise kaum merklich abweicht Selbst bei m:d = l :2 wird b : a nahezu = 9 : 10, also ebenfalls nicht stark vom Kreise abweichend.
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630 XII, 670—571. Axonometr. u. schiefe ProjektioD, Perspektive kr. Flachen.
Es wird oft behauptet; daß eine Kugel stets als Kreis abge- bildet werden müsse, weil alle Durchmesser des ümrißkreises gleich groß erscheinen, während die durch M gehenden Sehnen der Ellipse Ä in Fig. 231 ungleich sind. Dieser Grund kann nicht anerkannt
werden; in dieser Art ausgesprochen, ^J^ij^^^ beruht er auf einer Verwechselung zwi-
schen Gesichtswinkel und Abbildung, welche den Grund aller Streitfragen aber Perspektive bildet. Jene Kreishalbmesser erscheinen allerdings unter gleichen Ge- sichtswinkeln, ihre Abbildungen, das sind die durch M gehenden Sehnen der Ellipse Tty aber ebenfalls, wenn man sie von dem angenommenen Orte 0 des Auges aus betrachtet. Wenn man sich aber vor dem Bilde hinbewegt, um die Einzelheiten näher anzuschauen, so würde die elliptische Gestalt allerdings störend wirken; und da sich selbst für die richtige Stellung des Auges meist nur ge- geringe Abweichungen von dem Kreise ergeben, so ist die bei den Malern gebräuchliche kreisförmige Abbildung der Kugel, so der (verschleierten) Sonne und des Mondes, durchaus gerechtfertigt, zu- mal da eine volle Kugel in keinem so innigen Zusammenhange mit benachbarten Gegenständen steht, daß an der Verbindungsstelle ein Widerspruch bemerkbar würde*). — Andererseits aber ist in jenem erwähnten Falle der Kuppel die hyperbolische Abbildung eines Kugelteiles vorgeschrieben.
Bei den folgenden rein geometrischen Konstruktionen wird die elliptische Gestalt von Ic beibehalten, die noch durch eine kleine Distanz besonders excentrisch gestaltet wurde.
571, Um die EigenschaUengrenze s der Kugel zu bestimmen, nehme man den Fluchtpunkt S der Lichtstrahlen an; die s ist dann die Abbildung des größten Kreises der Kugel, dessen Ebene senk- recht auf OS steht Die Spur dieser Ebene ist e^^ MJ A.AS und ihre Fluchtlinie e^ «= STl e^. Man erhält von e« den Punkt H auf ASj wenn man AD J^ AS bis D auf dem Distanzkreise d und DH ±. SD zieht. Die Spur e^ dieser Ebene schneidet die Spur c der Kugel in den beiden Punkten J und 6r, welche einen Durch- messer des Schattenkreises begrenzen; und man zeichnet s nach
♦) Ich weise hier auf die schon im I. Bande (Nr. 30 und 87) besprochenen eingehenden und interessanten Untersuchungen von Herrn de la Ooumerie (tr. de perspective lin^aire, 1859) und Herrn Hauck (die subjektive Perspektive und die horizontalen Curvaturen des dorischen Styls, 1879) hin.
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XII, 671. PerBpektdve. 631
Nr. 550; indem man aus H durch D den Teilungskreis legt, ihn mit e« in den Teilungspunkten, so in T, schneidet, MB. zieht und auf ihr durch JT und (? T die Punkte K und L bestimmt; dann ist KL ein Durchmesser der %, deren Endtangenten || e^ laufen. Aus diesen Elementen .und aus einem der Punkte J, G bestimmt man dann nach Nr. 551 die Axen und zeichnet die Kurve s.
Zur Bestimmung der ScMagschattengrenee s^ auf die Bodenfläche P^ zeichnet man die Fluchtlinie und die Spur der P^, d. i. den Horizont h (durch Ä) und die Grundlinie g (||ä) als untere in Q berührende Tangente des c. Um von s^ den Durchmesser JV^Pi zu erhalten, dessen Endtangenten || h sind, beachte man, daß die durch diese Tangenten gehenden Lichtstrahlenebenen die SU ^h zur Flucht- linie haben. Diese Ebenen schneiden die Ebene des Kreises der Eigenschattengrenze in Linien, deren Fluchtpunkt der Schnittpunkt U von SU mit e^o ist. Andererseits ist der Fluchtpunkt des auf diesen Linien senkrechten Durchmessers NP der Eigenschatten- grenze der Punkt V der c«, für welchen J7 OF— 90®, der aber auch auf AVl.h liegt. Denn OS steht J_ der Kreisebene e^e^, also auch 1.0 V] daher ist OV JlOS und JL 0 ü*, also auch J_ der Ebene SOU, und AV ± SU oder J_Ä. Daher ist MV die Abbil- dung der Linie des Kreisdurchmessers NP, dessen Endtangenten U zum Fluchtpunkte haben, und Schatten auf P^ werfen, die || g laufen. Der Schlagschatten der MV auf P^ ist (I, 539) die Schnittlinie der Lichtstrahlenebene der MV mit Pj; erstere hat SV zur Fluchtlinie und die damit Parallele MR^ zur Spur, letztere bezw. h und g. Die Fluchtliuien treffen sich in ü«, die Spuren in jB^, daher ist i2|jR« der Schlagschatten von MV, und darauf die Schnittpunkte Ni, Pi mit NS, PS die Schatten von N, P. N^Pi ist daher ein Durchmesser des S| und die durch seine Mitte W^ und || g gezogene WiX^Y^ ist der konjugirte Durchmesser, dessen Endpunkte X^, Y^ man erhält, wenn man SWi mit MV in W, und WU mit $ in X, Y schneidet; die XS, YS gehen dann durch X^, Y^. Sind die letzteren Schnittpunkte, wie in der Figur, unsicher, so benutzt man die Projektionen der Linien MV und WU auf Pj; da die Flucht- punkte dieser Linien bezw. V und U sind, so sind diejenigen ihrer Projektion die Punkte Ä und U' der h {VA und UU'±h). Da außerdem Q die Projektion von M auf P^ , so ist QA die Projektion der MV. Auf ihr liegt die Projektion W^ von TT, und man hat noch die Probe, daß WiS' durch W^ läuft; durch W^ geht die Pro- jektion W^ U' von WUf und auf dieser liegen die Projektionen X^, Fg von X, Y. Die Grundrisse X,S', Y^S' der Lichtstrahlen XS, YS bestimmen dann die Punkte X^, Y^ (Probe W^X^ = W^Y;).
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632 XII, 671—572. Axonometr. u. schiefe Projektion, Perspektive kr. Flachen.
Fig. 233.
Die drei Geraden WVy ihre Projektion W^A und ihr Schatten TTjJBoo aiif ^1 müssen sich in demselben Punkte Z, der Spur der ITF in Pj, treflfen. Mittelst der konjugirten Durchmesser -N^Pi, X^Fj bestimmt man dann die Axen der s^.
572. Aufg. Dm Umriß der Perspektive einer Fläche stoeUm Grades aus den AbUldtmgen dreier konjugirten Durchmesser der Fläche m bestimmen.
Ist die Fläche durch andere Elemente gegeben^ und kann man aus diesen die Abbildungen dreier konjugirten Durchmesser^ z. B. der Axen^ bestimmen, so ist dadurch die Auflösung auf die folgende zurückgeführi — Diese Aufgabe schließt sich an die entsprechende für Parallelprojektion an (128 flF.). Fig. aas. Aufl. Seien die Strecken A^A^, B^B^, C^C^, oder a, 6, c, welche
durch denselben Punkt M gehen, die Abbildungen dreier konjugir- ten Durchmesser, M die des Mittelpunktes der Fläche F. Man suche
auf jeder dieser Gera- den den vierten harmo- nischen, dem M zuge- ordneten Punkt, näm- lich Aj B, C, so sind dies die Abbildungen der unendlich fernen Punkte der Durchmesser. Die Abbildung des Kegel- schnittes jeder der drei konjugirten JDurchmes- serebenen ist nxm ge- geben, z. B. derjeni- gen ab durch die vier Punkte A^, A^, JB,, B^, und durch die Tangenten in denselben A^B, A^B, B^A^ B^A. Ein parallel mit einem der Durchmesser der F umschriebener Cylinder berührt nach dem Kegelschnitte der beiden anderen Durchmesser, und die Umrißerzeugenden dieses Gylinders berühren diesen Kegel- schnitt und den Umriß k der F in denselben Punkten. Legt man daher aus jedem der Punkte A, Bj C Tangenten bezw. an die Kegel- schnitte bCj ca, ab, und bestimmt ihre Berührungspunkte, so ist durch diese sechs Geraden und sechs Punkte der Umriß der F über^ schüssig bestimmt. Man begnügt sich mit drei Tangenten und den Berührungspunkten zweier.
Von jenen vierten harmonischen Punkten sind nur zwei, etwa A und B, notwendig; sie liegen auf der Nebenseite des voUstän-
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XII, 572. Perspektive. 633
digen Vierecks A^A^B^B^, welche Jfcf gegenübersteht, also die Punkte AiBijA^B^und A^B^, ^^Bi verbindet um nun aus A an den Kegel- schnitt bc die beiden Tangenten zu legen, ziehe man überO^C^ als Durchmesser einen Kreis { und betrachte bc und l als perspektiv mit C1C2 als Kollineationsaxe. Zieht man aus M die nach dem Schnitt- punkte der Kreistangenten in C^ und C2 gehende, d. i. auf CiC^ senkrechte Gerade, so entsprechen deren unendlich femer Punkt und deren Schnittpunkte mit l, d. i. jß«; B', B" im Systeme des l den Punkten J?, B^, B^ im System des bCy so daß der Kollineations- mittelpunkt für l und bc als der gemeinschaftliche Punkt D von B^By B'B^, B"B^ überschüssig bestimmt ist. Dem Punkte ^ im Systeme bc entspricht -4^ im Systeme i, wenn-i^ auf D-4 und wenn AB und AqB^ sich in einem Punkte der G^C^ treffen. Zieht man aus Aq die beiden Tangenten an Z, welche di& Kollineationsaxe in Jj F schneiden, und den l in G' und H' berühren, so sind AJ^ AF die Tangenten aus A an bc und ihre Berührungspunkte sind (?, H auf G'D, H'D. Dabei besteht die Probe, daß sich QH und Q' H' auf C^C^ treffen. — In entsprechender Weise legt man die Tangenten aus B an den Kegelschnitt ac. Man benutzt dazu denselben Kreis 0x0^ = 1 als perspektiv zm ac mit G^G^ als Axe und mit E als Mittelpunkt der Kollineation, wobei E der gemein- same Punkt von B^A^ B'A^, B"A^. Dem B entspricht dann B^ auf EBj wenn BA und B^B^ sich auf GC^ treffen, wenn also Bq auf der schon gezeichneten Geraden A^B^ liegt. Zieht man nun aus Bq die beiden Tangenten an l und durch deren Schnittpunkte mit GiG^ die Geraden aus J9, so sind dies die beiden Tangenten aus B an den Kegelschnitt ac und an den Umriß k. Man benutzt von denselben diejenige, welche mit denen AJj AF das günstigere, einem gleichseitigen näher kommende Dreieck ANK bildet, und konstruirt aus ihm und den Berührungspunkten O, H die Axen des Ti nach Nr. 555, indem man den Berührungspunkt L von BK aus L' und zur Probe auch aus dem Dreiecke ANK bestimmt, und dann eine zu einer Dreiecksseite parallele Tangente, und zwar die- jenige vom größten Abstände von der Dreiecksseite, sowie ihren Berührungspunkt ermittelt; auch die folgende Axenbestimmung (551) ist in der Figur angedeutet.
Sind einer oder zwei der gegebenen konjugirten Durchmesser imaginär, welche dann ideell gegeben werden, so wähle man als G^G^ den reellen; einer von den Kegelschnitten ac, bc, oder beide sind dann Hyperbeln, an welche man die Tangenten bezw. aus B und A zu zeichnen hat Es kann dies nach I, 383 oder 384, oder im Anschluß an II, 129 geschehen, oder dadurch, daß man die
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634 Xn, 672 — 673. Axonometr. n. schiefe Projektion, Perspektiye kr. FläcbeD.
Hyperbel ac als perspektiv zur Ellipse ac mit C^ als Mittelpunkt und C2A als Aze der KoUineation ansieht, zu B den entsprechen- den Punkt sucht, aus diesem an die Ellipse nach dem g^ebenen Verfahren die Tangenten sucht, deren Entsprechende dann die ge- suchten bilden. — Sind alle drei Durchmesser imaginär und ideell gegeben, und ist daher auch die Fläche F imaginär, so ist das Ellipsoid der Figur die ideelle Darstellung der F in Bezug auf M und der konstruirte Umriß Je die ideelle Darstellung des Umrisses der P.
Sind A1Ä2, -BiJ?2, CiC^ nicht Durchmesser, sondern nur hm- jugirte durch denselben Punkt M gehende Sehnen der P, so ist die konstruktive Auflosung genau dieselbe.
Übungsaufg. Man suche die Aufgabe im Anschluß an die Nrr. 130, 131 zu lösen.
6 7 3, Au fg. Die Perspective einer ümdrehungsfläche, der Jconvex- honka/ven Fläche des Fußgestelles, samt den dabei auftretenden Eigen- und Schlagschatten bei Parallelbeleuchtung zu bestimmen. Fig. 234. Aufl. Die Umdrehungsaxe a stehe vertikal und liege in der
Bildfläche P, wodurch nach Nr. 5G9 die Allgemeinheit nicht beein- trächtigt wird. Der halbe Hauptmeridian (in P) ist eine halbe El- lipse m = BC, deren beiden Endtangenten J_ a stehen, und von welcher man den zu BC konjugirten Halbdurchmesser annimmt, die Axen bestimmt, und die mau daraus zeichnet. Die halbe Ellipse m kehre der Axe a ihre konvexe Seite zu; hierdurch wird die erzeugte Umdrehungsfläche P konvex-konkav. Durch ZufOgen zweier (cylin- drischen) Reife ist ein Fußgestell gebildet — Ferner sei h der Hori- zont, A der Augenpunkt, A^ (nicht angebbar) das aufgeklappte
Auge, ^ das reducirte, D der Distanzpunkt Das Fußgestell ist
so groß angenommen, daß die meisten Fluchtpunkte keinen Platz mehr finden, dieselben sind aber als benutzbar angenommen. Andern- falls müßten sie durch die reducirten ersetzt werden.
Den Umriß u der P könnte man bestimmen, indem man eine Anzahl von Parallelkreisen in Perspektive setzte und den Umriß als Einhüllende ihrer Abbildungen zeichnete. Kürzer und genauer kommt man aber zum Ziele, wenn man entlang einzelner Parallelkreise der P Kegel umschreibt und an sie aus dem Auge die beiden Berührungs- ebenen legt; ihre Schnitte mit P sind Tangenten des u, und die Ab- bildungen ihrer Berührungspunkte mit dem Parallelkreise sind auch die Berührungspunkte jener Tangenten mit w. Sei von einem Parallel- kreise E^^ (auf a) der Mittelpunkt, E ein Punkt auf m, so ziehe man an m in j& die Tangente, schneide sie mit a in G, der Spitze
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XII, 673. Perspektive.
635
jenes umschriebenen Kegels^ und mit h in H] der Schnitt des Kegels mit der Horizontiilebene ist dann ein Kreis, welcher den Schnitt- punkt M von a mit h zum Mittelpunkte hat und durch H geht. An diesen Kreis zieht man aus dem Auge 0; oder an seine Um- legung, den aus 3f durch fT gelegten Kreis , aus dem umgeklappten Auge Aq die beiden Tangenten, schneidet sie mit h in zwei Punk- ten, wie eT",, dpren Verbindungslinien mit 6r, so GJi, Tangenten des Umrisses sind. Die BerOhrungspunkte der aus Äq an den Kreis
Fig. 234.
MH gezogenen Tangenten liegen auf dem über MAq als Durch- messer beschriebenen Kreise, und die Sehne der Berührungspunkt«, welche JL AM steht, schneidet h in K^, welcher Punkt sich aus der Spitze G des Kegels auf EqE in K projicirt. Der Fluchtpunkt jener durch K^ gehenden Sehne der Berührungspunkte und ihrer Projektion auf die Ebene des Kreises E^E ist N auf Ä, wenn MAqN *= 90^] daher bestimmt NK auf jenen beiden Tangenten des Umrisses deren Berührungspunkte, so J auf OJ^, — Um den Kreis MH möglichst auszunutzen, ziehe man aus ^noch eine zweite Tangente an dieselbe Meridianhälfte m, und aus dem zweiten End-
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636 XII, 673—574. Axonoinetr. u. schiefe Projektion, Perspektive kr. Flächen.
piiükte des Dorchmessers von MH ebenfalls zwei Tangenten, be- stimme deren Berührungspunkte, und führe die Konstruktion für die Parallelkreise der Berührungspunkte aus^ so 1, 1, 1, 1; 2, 2, . . • Aus einem Kreise MA erhält man daher acht Punkte des u nebst den Tangenten in dieselben, zu denen man nach günstiger Wahl desJ? nur noch die ausgezeichneten Punkte des u zuzufügen braucht. Ge- langen G und H nahe zu M oder in M^ so wird dip Konstruktion ungenau bezw. unbestimmt; man ersetzt dann den Kreis MH durch einen passend größeren, ermittelt an ihm durch Parallele die Rich- tung des Strahles OKy und erreicht dadurch dieselbe Genauigkeit, wie bei den anderen Punkten.
674, Ausgezeichnete Funkte des Umrisses u. 1) Legt man den ParalldJcreis in die Horiz(mtä)enej so fallen die Kreise E^E und MH in einander, H kommt in m, die beiden an diesen Kreis aus Aq gezogenen Tangenten bestimmen in h zwei Umrißpunkte, in denen die Umrißtangenten nach der Spitze des umschriebenen Kegels laufen.
2) Für den kleinsten oder KehlkreiSj dessen Mittelpunkt Fq ist, föUt G auf a ins Unendliche, der umschriebene Kegel wird zu einem CyUnder, K fällt in 2^^ und die ümrißtangenten, so in F, wer- den g a.
3) Die Umrißpunkte des Hauptmeridianes m sind die Berührungs- punkte der aus J. an m gezogenen Tangenten, so P, und die Tan- genten berühren in diesen Punkten auch den Umriß. Die Berüh- ruugsebenen der F gehen nämlich dann durch das Auge 0. Da die Meridianebene Oa Symmetrieebene der wahren Umrißlinie ist, so kann man leicht zu P den symmetrischen Punkt F' angeben. Der Symmetriestrahl PP' steht JL Oa und hat daher seinen Fluchtpunkt in j^; der Halbmesser PqP' hat den seinigen in X, der Mitte zwi- schen M (oder a) und N. Denn die Halbmesser PqP und PqP' bil- den gleiche Winkel mit denjenigen PqM] also müssen die räumlich und dann im umgeklappten Grundriß mit ihnen Parallele h «= MX und A^X gleiche Winkel mit MAq bilden, oder X muß auf der durch die Mitte von MA^ und J_ MA^ gezogenen Geraden, d. i. in der Mitte yon MN liegen. Die Tangente an m in P' geht durch den Schnittpunkt von AP mit a.
4) Die Punkte auf den letzten Parallelkreisen, dem höchsten und tiefsten, erhält man, wenn man den Kreis MH durch A^ gehen läßt, wobei aus A^ nur noch eine Tangente an denselben gelegt werden kann, welche die h in N trifft. Dieser Kreis schneidet die h in zwei Punkten, so in T; aus T zieht man die Tangenten an m, deren eine die m in L^ berühre und die a in L schneide; es rückt
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Xn, 574—576. Perspektive. 637
daher G in L, J^ und K^ rücken in N zusammen, die Tangente GJi des Umrisses rückt in LN, aber in diese Linie rücken auch GK^K und KN, so daß der Berührungspunkt des Umrisses unbe- stimmt bleibt Derselbe ergibt sich aber als der Punkt L der a, wenn man beachtet, daß der Berührungshalbmesser des durch L^ gehenden Parallelkreises || MAq ist, daher M zum Fluchtpunkte hat, daß er also auf a liegt — Zu demselben Ergebnisse gelangt man, wenn man beachtet, daß die gesuchten Punkte, so X, die Berüh- rungspunkte der in der Ebene Oa aus 0 an den' Meridian gelegten Tangenten und ihre Abbildungen die Schnitte dieser Tangenten mit a sind. Man erhält diese Punkte durch Umlegen der Ebene Oa in P, wobei 0 nach T gelangt, durch Ziehen der Tangenten aus T an den Hauptmeridian tny und durch Schneiden derselben mit a, so in L. Die Tangente des Umrisses ist aber J_ Oa und hat daher N zum Fluchtpunkte.
5) Die Spitzen. Der scheinbare Umriß (nicht der wahre) besitzt vier Spitzen, die bei senkrechter Projektion in den Nummern 181 f. und 506 auf verschiedene Weisen gefunden wurden. Wir wollen aber hier das einfachere auf Spitzen beliebiger Kurven anwendbare Verfahren der Nn 501 benutzen. Seien nahe bei einer der Spitzen (rechts unten) als zugehörig zu den Punkten 1, 2, 3 der a als Mittel- punkten von Parallelkreisen die Punkte 1\ 2', 3' des Umrisses mit dessen Tangenten gefunden (die aber, um Verwirrung zu vermeiden, in der Figur nicht eingetragen wurden), -so kann der Umriß an- genähert gezeichnet imd der Abstand jedes Punktes von dem anderen Eurvenzweige als Fehler angesehen und von 1; 2, 3 auf Senkrechten zu a aufgetragen werden; die Verbindungskurve der Endpunkte bildet die in der Figur gezeichnete Fehlerkurve , deren Schnitt mit a (nahe bei Pq) den Mittelpunkt des Parallelkreises angibt, auf welchem die fragliche Spitze liegt — Durch die vier Spitzen wird der Umriß in zwei Zweige' von physischer und in zwei von nur mathematischer Bedeutung geteilt In der Figur berühren die letzteren Kurven- zweige den Hauptmeridian in Punkten wie P. Die Bilder der Grenz- kreise der (cylindrischen) Beife sind in bekannter Weise vermittelst ihrer Axen gezeichnet.
575. Die Allbildung des Fußgestelles erscheint vereerrtj weil die Distanz der Deutlichkeit der Konstruktionen halber ungewöhnlich klein gewählt wurde. Stellt man das Auge in diesem kleinen Ab- stände auf, so ist der Eindruck befriedigend. Auch^ sind die seit- liehen Ausladungen in der Abbildung wegen der seitlichen Stellung des Auges ungleich stark. Herr de la Goumerie gibt in seiner vorhin angeführten Linienperspektive an, daß die Maler derartige Körper
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638 XII, 575—676. Axonometr. u. schiefe Projektion, Perspektive kr. Flächen.
symmetrisch zu ihrer Axe abbilden, wie wenn der Augenpunkt in in dieser Axe läge, und billigt dieses Verfahren, weil dadurch die Verzerrung bei der Bewegung des Auges vor dem Bilde vermieden werde. Wenn der Verfasser diesen Grund bei der Kugelabbildung anerkannte (570), so kann er es hier nicht, weil hier leicht ein Widerspruch eintritt mit den benachbarten Abbildungen anderer Körper, z. B. einer quadratischen Platte, auf welcher etwa das Fuß- gestell aufsteht, und weil sich bei solchen Körpern die einseitige oder die symmetrische Abbildung deutlich ausprägt und der Wider- spruch deswegen hervorspringt, in viel höherem Grade als bei der Kugel. Bei Photographien, die stets in dieser Beziehung richtig sind, empfindet Niemand eine Störung.
576. Zur Schattenbestimmung nehme man 8 und S' bezw. als Fluchtpunkte der Lichtstrahlen und ihrer Grundrisse an, wodurch
AS die Richtung der Aufrisse (auf P) und ÄqS\ sowie -^ y> <^ß
Richtung der umgelegten Grundrisse der Lichtstrahlen bezeichnen. Die Punkte der Eigenschattengrenee s der F auf einem Parallelkreise EqE bestimmt man mittelst des umschriebenen Kegels, indem man durch dessen Spitze G einen Lichtstrahl, und durch diesen die bei- den Berührungsebenen an den Kegel legt und ihre Berührungs- erzeugenden ermittelt; deren Schnittpunkte mit dem Parallelkreise sind dann Punkte der s. Zur Ausführung schneide man den Kegel und den durch seine Spitze G gelegten Lichtstrahl mit der Horizont- ebene bezw. in dem schon gezeichneten Kreise MH und in dem Punkte Q\GQ'' II AS bis <2" auf A, MQ' B A^S\ Q''Q'± A), denke aus Q' an den Kreis MH die beiden Tangenten gelegt und bestimme ihre Berührungssehne als die Polare i72JB2 ^^^ Q' (Anlegen nach einer Tangente Q'Ui, Bezeichnen von U^ durch MU^JLQ'Uif Ziehen von C/2B2 -L ö'-^)? schneide t/gJBg ^^^ A in JSg, projicire die beiden Berührungspunkte aus Aq auf A, und ziehe nach den Projektionen Gerade aus G, wie GU, so sind dies die Perspektiven der Berüh- rungserzeugenden des Kegels; sodann projicire man den Punkt £, aus G auf EqE nach JB, so ist JB^' die Perspektive der Projektion der Sehne f^giJg aus G auf die Ebenen des Parallelkreises, wenn
N' der Fluchtpunkt dieser Sehne (auf A, A^N' || ~^ ^ B ^2^ oder J_ -=5 j ^ und die Schnittpunkte der K N' mit jenen Berührungs- erzeugenden, jso U, sind zwei Punkte der Eigenschattengrenze. — In gleicher Weise werden die Punkte auf jenen schon benutzten drei anschließenden Parallelkreisen gefunden, wovon aber die Zeich- nung nicht angegeben ist.
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XII, 677—678. Perspektive. 639
677. Ausgezeidmete Funkte der EigenschaUengrenze s: 1) Für die Punkte auf dem Parallelkreise der Horizontebene vereinfacht sich die Konstruktion um etwas. 2) Für den Kehlkreis F^F^ fällt 6 ins Unendliche, B^ fällt in Jf , R in F^, und F^ ist einer der Punkte der s. 3) Die Punkte der s auf dem Hauptmeridiane m sind die Berührungspunkte der an m\\ AS gezogenen Tangenten, so V. Da die Ebene des Lichtstrahlenmeridianes Symmetrieebene der Schatten- grenze ist, so kann man leicht, wie vorhin zu P, so den zu V sym- metrischen Punkt V angeben. Der Symmetriestrahl VV steht nämlich senkrecht auf jener Symmetrieebene, deren Fluchtlinie SS' ist, hat daher seinen Fluchtpimkt in N''^ der Halbmesser VqV hat den seinigen in X\ der Mitte zwischen S' und N\ Denn die Halb- messer Vf^V, VqV bilden gleiche Winkel mit VqS'] also müssen die räumlich und dann im umgeklappten Grundriß mit ihnen Parallelen h^S'X' und AqX' gleiche Winkel mit S'A^^ bilden, oder X' muß auf der durch die Mitte von S'A^ und J_ S'Aq gezogenen Geraden, d. i. in der Mitte von S'N' liegen.
4) Die Abbildungen der höchsten und tiefsten Punkte der Eigen- schattengrenze liegen auf dem Lichtstrahlenmeridiane, dessen Ebene 11 OSS' ist. Legt man beide Ebenen in P um, so gelangt jener Meridian in m, 0 in einen zu S' gehörigen Teilungspunkt T auf h (fif' J'b= fif'Ji^). Zieht man nun an m die beiden mit T'S paral- lelen Tangenten, bestimmt ihre Berührungspunkte, so W^y die Mittel- punkte von deren Parallelkreisen, soTF|), und dreht zurück, so gelangt FoTTjj in WoS\ dabei TT, in W, wenn im Räume W^W^ W^W^, also W auf W^T liegt. Die Tangente an s in TT geht durch N\
5) Die Punkte der s auf dem Umrisse u sind die. Berührungs- punkte der aus S an u gezogenen Tangenten. Dieselben könnten durch eine Fehlerkurve genauer ermittelt werden; doch genügt eine Bestimmung durch Schätzung.
578. Die Schlagschatten auf die Bodenfläche P,, welche die Grundlinie g zur Spur hat, findet man für die vorkommenden Kreise wieder als die Abbildungen von Kreisen, von denen man einen mit g parallelen Halbdurchmesser mittelst zweier Lichtstrahlen bestimmt, indem man aus ihm die Axen der Schattenellipsen ermittelt (551).
Für die Schlagschattengrenise s^ der Fläche F oder der s bestimmt man den Schatten U^ eines allgemeinen Punktes U und. des zweiten mit U auf demselben Parallelkreise und auf der Geraden UBN' liegenden Punktes, indem man diese Gerade mittelst B in U^^BqN' auf Pj projicirt; Ui ist dann der Schnittpunkt von US und UqS\ Von s konstruirt man hauptsächlich die Schatten der höchsten und tiefsten Punkte, so TTj von TT; dieselben liegen auf MqS\ und die
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640 Xn, 678—579. Axonometr. u. schiefe Projektion, Perspektive kr. Flächen.
Tangenten in denselben laufen nach If] die Schatten der Pnnkte des Eehlkreises, so F^ von F^] die Tangenten in denselben laufen nach S'] und die Spitzen auf den Strahlen, welche aus S berührend an s gelegt werden; zu ihrer Ermittelung bestimme man den zu- gehörigen, dem Rq entsprechenden Punkt, durch Einschaltung zwi- schen die benachbarten Punkte. Damit kann man s^ genügend zeichnen, wenn man beachtet, daß sich zwei Verbindungslinien zweier Schattenspitzen in 8', zwei in N", imd zwei auf M^S' schneiden; und daß zweimal zwei Tangenten der ^^ in Spitzen sich in MqS' treffen.
Den SiMagschatten k^ des oberen Crrenzhreises k der "F in "F be- stimmt man hauptsächlich durch die Abbildung C^ des höchsten Punktes und durch die Grenzpunkte auf s. Ersterer liegt in dem Lichtstrahlenmeridiane {fOSS') und wird wieder durch dessen Drehung in P erhalten. Man zieht daher den Strahl CC2 ^ TS hiB C2 auf m, dann CjCo J_a bis C^ auf a, so schneiden sich C^S' und CgT' in C3; die Tangente in C^ läuft nach N'. Die Greng- pwnkte auf s, so F3, werden aus den Schnittpunkten der Schatten s^ und k^ von s und k auf P^, so aus Zj, durch rückwärts (aus S) gezogene Lichtstrahlen bestimmt; ihre Verbindungslinie muß durch N' laufen. Allgemeine Punkte könnte man auf irgend einem Parallel- kreise als Schnitt desselben mit dem Schatten des oberen Grenz- kreises auf seine Ebene erhalten; man verfährt dabei, wie bei den Kreisen im Horizonte, nach dem Grund- und Aufriß verfahren, so daß man keiner Hilfsellipsen bedarf.
Der Schlagschatten s^ der "F oder der s in die F beginnt an den beiden unteren Greuzpunkten der $, in denen ihre Tangenten nach S laufen, und endet auf dem unteren Grenzkreise der P. Die er- steren Punkte sind schon genügend bestimmt, die letzteren werden durch die rückwärts gezogenen Lichtstrahlen aus den Schnittpunkten der S| mit dem Schlagschatten jenes Kreises auf P| ermittelt. Die Tangenten des Schlagschattens in den erstereu Punkten laufen nach Sy die in den letzteren nach denselben Fluchtpunkten auf Ä, wie die Tangenten der s^ in jenen Schnittpunkten. Allgemeine Punkte, wenn sie notwendig sein sollten, kann man aus dem elliptischen Schatten eines zwischenliegenden Parallelkreises auf P^ und aus des- sen Schnitt mit s^ durch rückwärts gezogene Lichtstrahlen ermitteln.
579. Die Perspektive des menschlichen Blicks. Wenn der Blick der Abbildung eines Gesichtes, insbesondere eines Portraits, bei einem gewissen Standpunkte des Beschauers auf diesen gerichtet scheint, so scheint er auch bei jedem anderen Standpunkte dessel- ben auf ihn gerichtet. Diese Beobachtung kann überraschen, weil
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XII, 679-680. Perspektive. 641
eB befremdend erscheint, daß der Blick des Portraits gleichzeitig nach allen Richtungen gekehrt ist, und sie veranlaßt leicht die Meinung, es bedürfe eines besonderen Kunststücks des Malers, um diese Wirkung hervorzubringen. Dies ist aber durchaus nicht der Fall; vielmehr ist es unmöglich; zu bewirken, daß der Blick nur dann auf den Beschauer gerichtet ist, wenn dieser an einer bestimmten Stelle steht.
Die Erscheinung beruht nämlich darauf, daß bei der Anfertigung des Bildes eine gewisse Stellung des Auges gegen den Gegenstand angenommen wird, und daß das fertige Bild in dem Beschauer^ welchen Ort er auch einnehmen mag, die Vorstellung dieser Augen- stellung hervorruft, so daß bei der Bewegung des Beschauers vor dem Bilde die Stellung des Gegenstandes gegen das Auge unver- ändert bleibt, diejenige gegen den Raum sich daher notwendiger Weise . ändert. So zeigt die Abbildung des Inneren einer Pfeiler- halle (I, 538) die beiderseitigen Innenflächen, wie sie nur einem im Inneren der Halle stehenden Beobachter gleichzeitig sichtbar sein können. Stellt man sich nun gerade vor das Bild, so scheint sich die Halle gerade nach vorn zu erstrecken und uns in ihrem Inneren aufzunehmen; stellt man sich rechts oder links, so scheint sich die Halle nach rechts oder links zu erstrecken, weil wir nur bei dieser räumlichen Erstreckung jedesmal in ihrem Inneren stehen können (vergl. I, 562). Im Mittelalter wurde häufig der Tod so abgebildet, daß er den Pfeil gleichzeitig auf jeden der Beschauer abschießen zu wollen schien, der Pfeil schien nach dem Auge oder nach der Brust, und zwar in wechselnder Tiefe, gerichtet, je nachdem von ihm nur die Spitze oder eine stark verkürzte Oberaufsicht des Schaftes ge- malt war. Schauerlich muß der Eindruck des Bildes eines belgi- schen Malers sein, das in starker Verkürzung eine Leiche auf dem Secirtische zeigt, deren starr geöffnete Augen man zwischen ihren Fußspitzen erblickt, und die sich bei der Bewegung des Beschauers um ihren Kopf zu drehen, bei einem Sprunge desselben sich aber herumzuwerfen scheint.
580, Betrachten wir nun unter diesen Gesichtspunkten die scheinbare Richtung des menschlichen Blickes*). Die wirkliche Sdi- richtungy d. i. die Sehrichtung eines wirklichen Auges, ist die Rich- tung des deutlichen Sehens und verbindet den optischen Mittelpunkt des Auges mit der Netzhautgrube; außerhalb des Augapfels steht sie in der Mitte der Pupille senkrecht auf der Oberfläche der Horn-
*) Es sind hier wesentlich die Ergebnisse der interessanten Untersuchungen benutzt, welche Wollaston in seiner Abhandlung veröffentlicht hat: On the apparent direction of eyes in a portrait (Philosophical transactions of the royal Boeiety of London, 1824, S. 247).
Wiener, Lehrbuch der daritellenden Oeomelrie. II. 41
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642 XII, 580—581. Axonometr. n. schiefe Projektion, Perspektive kr. Flächen.
haut^ was man daran erkennt, daß man in dem Auge eines Anderen, das unser Auge anschaut, das Spiegelbild des eigenen Gesichtes yerkleinert, wie durch einen konvexen Spiegel, in der Mitte der Pupille erblickt, oder auch mittelst eines Spiegels im eigenen Auge (durch eine dreifache Spiegelung). Daraus ergibt sich als zunächst liegendes Unterscheidungszeichen dafür, ob die Sehrichtung oder der Blick eines Auges gegen den Beschauer gerichtet ist oder nichts daß im ersteren Falle die Regenbogenhaut oder Iris hreisförmig, im zweiten elliptisch erscheint, und daß der Blick um so starker abge- wendet erscheint, je großer die Abweichung der Ellipse vom Kreise ist. Dieses Kennzeichen bietet aber zunächst nicht die Genauigkeit, die man bei der Beurteilung der Richtung des Blickes in Wirklich- keit erreicht Denn nach Versuchen des Verfassers kann man ziem- lich sicher unterscheiden, ob der Blick eines in 80 cm Abstand befindlichen fremden Gesichtes auf die Nasenwurzel, auf das eine oder das andere Auge, oder auf die eine oder die andere Schläfe gerichtet ist. Da nun der Abstand der letzteren von eiander 14 cm beträgt, so könnte man Drehungen von {{ 14) : 80 «= 0,044 = 2^** noch ziemlich sicher unterscheiden, während durch eine solche Drehung der scheinbare Kreis der Iris zu einer scheinbaren Ellipse wird, deren Axen sich wie 1 : cos 2^^ «= 1000 : 999 verhalten, so daß man die Abweichung vom Kreise entfernt nicht erkennen kann, da dies schon bei der Ellipse der Fig. 232 einige Aufmerksamkeit erfordert, bei welcher jenes Verhältniß »= 20 : 19 ist, und welcher eine Drehung von 18^ entsprechen würde. Sodann aber, wenn uns ein Portrait mit kreisförmiger Iris anzublicken scheint, wenn wir uns gerade davor stellen, scheint es uns auch dann noch anzu- blicken, wenn wir uns stark seitwärts stellen, die Iris also stark elliptisch erscheint. Und endlich ist leicht zu beobachten, z. B. bei den beiden Figuren 235 und 236, daß es auch möglich ist, daß ein Portrait mit kreisförmiger Iris seitwärts zu blicken scheint
681, Wir wollen Gesichtsnonnale die Gerade nennen, welche von der Nasenwurzel aus senkrecht zur G^sichtsebene gezogen wird, und als Gesichtsebene diejenige Ebene bezeichnen, welche die Stime und die Oberlippe unmittelbar unter der Nase berührt und gleich- weit von beiden Augäpfeln entfernt ist. Dann kann man sagen, daß die Richtung des Blickes eines Gesichtes gegen den Beschauer txm der Stellung der Sehrichtung dieses Gesichtes gegen die Gesichtsnormale und von der Stellung der Gesichtsnormale gegen die Richtung nach den Augen des Beschauers abhängt. Der erstere Umstand ist von der Stellung des Augapfels in der Augenhöhle bedingt, und diese er- kennt man an der Verteilung des zwischen der' Iris und den Augen-
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XII, 681— 682. Perspektive. 643
lidem sichtbaren Weiß. Erscheint rechts und links nahezu gleich viel Weiß, so erkennt man, daß der Blick gerade vorwärts gerichtet ist; erscheint zugleich bei natürlich geöffiieten Augenlidern unten etwas mehr Weiß, wie oben, so erkennt man, daß die Sehrichtung in der Gesichtsnormale liegt. Je mehr das Verhältniß des Weiß an den angegebenen Stellen von den bezeichneten Verhältnissen ab- weicht, um so mehr weicht die Sehrichtung nach der einen oder der anderen Seite von der Gesichtsnormale ab. — Andererseits erkennt man die gegen das Auge des Beschauenden gekehrte Rich- tung der Gesichtsnormale daran, daß die beiden Wangen und Schlä- fen gleich ausgedehnt und die Augen in der Höhe der oberen Ohr- ränder erscheinen, daß der obere Kopfumriß sich auf der vorderen Eopfhälfte zeigt, und daß die Nasenspitze, die Oberlippe und das Kinn den Hals in geringem Grade decken. Abweichungen von diesen Erscheinungen bringen entsprechende Abweichungen in der Vor- stellung der Richtung der Gesichtsnormale hervor. — Die Stellung der Sehrichtung gegen die Gesichtsnormale und der Gesichtsnormale gegen die Augen des Beobachters bestimmen zusammen die Seh- richtung des Gesiebtes gegen den Beobachter, oder die scheinbare Richtung seines Blickes. Da nun bei ^einem Portrait die Verhältnisse der Ausdehnungen des sichtbaren Weiß an den verschiedenen Stellen des Augapfels und die der Gesichtsteile sich nicht ändern, wenn der Beobachter seinen Standpunkt ändert, so ändert sich dabei auch die Richtung des Blickes gegen den Beschauer nicht
582. Wenn man aber den einen der beiden Umstände ändert, den andern aber ungeändert läßt, so ändert sich die scheinbare Rieh- tung des Blickes. Bleibt die Ansicht des Gesichtes ungeändert, be- wegt sich aber die Iris zwischen den Augenlidern, so ändert sich auch die Richtung des Blickes gegen die Gesichtsnormale und gegen den Beschauer, und dies wird als selbstverständlich angenommen. Überraschend wirkt es aber, daß, wenn man die Ansicht des Auges ungeändert läßt, diejenige des übrigen Gesichtes aber ändert, jedoch . nicht mehr, als einer Drehung von 20 bis 30^ entspricht, sich die scheinbare Richtung des Blickes ändert. Es ist aber ganz erklär- lich, da zwar die Stellung der Sehrichtung gegen die Gesichtsnor- male ungeändert bleibt, die Stellung der Gesichtsnormale und mit ihr der Sehrichtung gegen d^i Beschauer sich aber ändert. So scheint das Portrait der Figur 235'^) uns anzuschauen; auf seiner lin- Fig. 235. ken Seite des Augapfels ist weniger Weiß sichtbar, die Sehrichtung
*) Diese und die folgende Figur sind solchen der angeführten Abhandlung ▼on Wonaston nachgebildet.
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644 XII, 682. Azonometr. n. schiefe Projektion, Perspektive krummer FlSchen.
ist daher nach links gekehrt. Andererseits ist seine rechte Wange stärker verkürzt; die Gesichtsnormale daher^ ?on dem Gesichte ans gesehen y nach rechts von uns abgelenkt; and da diese beiden Ab- lenkungen entgegengesetzten Sinn haben^ so heben sie sich auf, wenn sie der Größe nach gleich sind; und dies ist im Bilde der Fall. Ändert man aber durch das Deckblatt der Figur das Bild des un- teren Gesichtes^ während die Augen dieselben bleiben, die Stime aber ganz weggelassen wurde, so erscheint nicht mehr die rechte, sondern die linke Wange stärker verkürzt, und es ist die Gesichts- normale, vom Gesichte aus gerechnet, links von uns abgelenkt; beide Abweichungen haben dann gleichen Sinn, addiren sich, und der scheinbare Blick geht um so mehr links an uns vorbei (rechts für den Beschauer). Auch ist in der zweiten Ansicht der Blick wegen geringerer Überdeckung an Nasenspitze und Kinn etwas mehr aufwärts gerichtet. pig. «36. Die Figur 236 zeigt auch, wie der geistige Attsdruck hauptsäch-
lich durch den unteren Gesichtsteil und nur sehr wenig durch das Auge bestimmt wird. Bei Überdeckung des unteren Teiles sieht man ein aufwärt« gerichtetes Eindergesicht mit aufwärts gerichte- tem Blicke und einem andächtig schwärmerischen Ausdrucke; ohne Überdeckung dagegen ein abwärts gerichtetes Gesicht eines älteren Mädchens mit auf uns gerichtetem Blicke und einem schelmischen und lauernden Ausdrucke. Ohne daß sich die Augen änderten, hat sich ihr Ausdruck geändert. Die etwas nach oben gewölbte Form der unteren Augenlider ist beim ersten Bilde nur eine scheinbare, von der nach oben gekehrten Richtung des Gesichtes herrührende, beim zweiten Bilde eine wirkliche durch das Lächeln bewirkte.
Eine solche Änderung der scheinbar«! Sehrichtung eines Por- traits, welches an demselben ohne Änderung der Augen mit alleiniger Änderung des unter den Augen liegenden Gesichtsteiles bewirkt wird^ führt Fehler in der Abbildung der Augen mit sich, die ja für jedes Untergesicht etwas anders erscheinen, sowie noch mehr Fehler in der Stirne, wenn auch diese gezeichnet ist und ungeändert bleibt Was die Stirne betrifft, so ist sie im ersten Bilde ganz weggelassen und kann verdeckt gedacht werden; im zweiten Bilde aber wurden, um die Fehler weniger merklich zu machen, die Haare in etwas unbestimmter Weise dargestellt, ohne die Form des Kopfes deutlich zu zeigen. Damit aber auch an den Augen die Fehler nicht auf- fallend werden, darf man nur eine geringe Drehung, bis zu 20 oder höchstens 30^, herbeiführen. Aus der Gestalt des Auges allein, dabei weniger der Iris, als der Augenlider, kann schon auf die scheinbare Richtung des J31iakes geschlossen werden; aber diese Schlüsse sind
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XII, 682—584. Reliefperepektive. 645
selbst fär Eeuneraugen sehr unsicher, wie ich mit Portrait- Photo- graphien erprobte ; deren Blick nahezu auf den Beschauer gerichtet war^ und die ich mit Papier derart zudeckte ^ daß durch zwei Aus- schnitte nur die Augen mit ihren Lidern sichtbar waren. Ich bat dann Künstler, die Nase mit ihrer seitlichen Neigung darunter zu zeichnen; dabei kamen dann öfter Irrthümer vor, oder die Beobachter wider- sprachen sich. Dagegen ist das aus der Gesichtsstellung herror- gehende Urteil ein nicht schwankendes; und das Bild des Gesichtes ist maßgebend selbst entgegen den Fehlern in der Augenzeichnung, die bei den letzten Figuren wenigstens bei einer der beiden Ansich- ten vorhanden sein müdsen.
IV. Beliefperspektive.
683. Die Reliefperspektive krummer Flächen wollen wir nur bei Flächen zweiten Grades betrachten. In I, 554 flf. haben wir als kollineare räumliche Systeme nur solche angesehen, die sich in per- spektiver Lage befinden oder in dieselbe gebracht werden können; und in ü, 80 haben wir diesen Begriflf auf nicht Perspektive Ge- bilde erweitert und gefunden, daß zwei derart kollineare räumliche Systeme im allgemeinen nicht unter einander, wohl aber mit ein und demselben dritten Systeme, und zwar auf unendlich viele Arten in Perspektive Lage gebracht werden können. Zugleich ergab sich (81), daß jede Fläche zweiten Grades, wenn sie nicht geradlinig ist, mit einer Kugel, wenn geradlinig, mit einem einschaligen Umdrehungs- hyperboloide kollinear ist. Man kann sich leicht durch Betrach- tungen, wie die in Nr. 80, überzeugen, daß man zwei beliebige, nicht geradlinige, oder zwei geradlinige Flächen zweiten Grades auf unendlich viele Weisen in Perspektive Lage bringen kann, wenn man nur die nach Nr. 81 anzunehmenden fünf bestimmenden Punkte nicht alle willkürlich wählt. Wir wollen uns im Folgenden darauf be- schränken, aus einer Kugel durch Perspektive Kollineation nach I, 554 eine Fläche zweiten Grades abzuleiten.
584, Äufg, Äiis einer Kugel E durch Perspektive räumliche Kol- lineation eine Fläche zweiten Grades P abzuleiten, und ihre Kreis- schnitte und Axen zu hestimmen*).
Aufl. Sei U das räumliche System der E, £' das der F. Eine Fig. 237. durch das Auge 0 und den Mittelpunkt C der E senkrecht zur Kol-
*) Die folgeude Auflösung wurde von Morstadt gegeben in seinem Auf- satze: Über die räumliche Projection (Reliefperspective) und namentlicb die- jenige der Kugel (SchlOmilchs Zeitschr. f. Math. u. Phys., B. 12, 1867, S. 826).
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646 XII, 584. Axonometr. n. schiefe Projektion, Perspektive krammer Flächen.
lineatiousebene S gelegte Ebene F ist eine Symmetrieebene von 0, K und S, daher auch Ton F, d. i. eine Hanptebene der F. Man benutze P als Projektionsebene für die Figur; auf ihr steht auch die mit S parallele Gegenebene B des Systemes 2J senkrecht, welche der unendlich fernen Ebene B' des 2J' entspricht. Die Kugel K wird durch ihren (größten) Spurkreis k, die Ebenen S und B werden durch ihre Spuren s und r in P dargestellt. Man bestimme den Pol M von B zu E; d. i. auch den Pol von r zu Je. Der Punkt M' im Systeme
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H'j welcher dem M entspricht, ist der Pol der unendlich fernen Ebene B' zu F, oder der Mittelpunkt der F und ihres in P liegen- den, dem k entsprechenden Hauptschnittes V. M! liegt auf OM und wird gefunden, wenn man durch M irgend eine Gerade, etwa die Senkrechte zu S, legt, und mit S und B bezw. in jF\ und F^ schneidet; dann ist die | OF^ durch F^ gezogene F^M die Abbil- dung der MF^F^ und triflft die 0-M in M!.
Es ist zweckmäßig, zunächst äiß Stellungen der Ebenen der bei- den Schaaren paralleler Kreisschnitte der V za bestimmen. Die erste Stellung ist die der EoUineationsebene S, weil die mit S parallelen Kreise der Kugel K sich als mit S parallele Kreise der F abbilden.
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XII, 684—686. Reliefperspektive. 647
Die mit s parallele Halbsehue MD des Je bildet sich als der mit s parallele Halbdurchmesser M'D' des Je' und der F ab, und dieser ist als Halbmesser eines Diametralkreises gleich der halben mitt- leren Axe der F, welche auf der Hauptebene P senkrecht steht, weil auf dieser Hauptebene die Ebene des Ejreisschnittes senkrecht steht (124). Da MEF^ in Bezug auf Je (und K) konjugirt zu MD ist, so ist es auch M'E'F^ zu M'D\ oder E' ist ein NäbelpunJU der P (534). Durch die zwei konjugirten Halbdurchmesser MD\ ME' ist Je' bestimmt, und es könnten aus ihnen die Axen des Je', das sind auch die kleine und große Axe der P, und daraus die zweite Diametralkreisebene ermittelt werden. Doch ergibt sich alles dies auch leicht unmittelbar aus K.
585. Die unendlich ferne Gerade g' (in B'), in welcher sich die Ebenen einer Ereisschaar der F schneiden, enthält eine Involu- tion Ton Punkten, welche in Bezug auf diese Kreise konjugirt sind, also aus jedem Punkte von endlichem Abstände, so aus 0, durch eine Rechtwinkelinvolution projicirt wird. Die entsprechende Gerade g im Systeme £ enthält eine Involution konjugirter Punkte in Bezug auf K, und wird, weil mit g' perspektiv, aus 0 durch dieselbe Recht- winkelinvolution projicirt. Der Mittelpunkt U der Involution auf g ist der Fußpunkt der aus dem Eugelmittelpunkte C auf g gefällten Senkrechten und wird bei der Rechtwinkelinvolution aus 0 eben- falls durch eine Senkrechte zu g projicirt; daher muß ^J_ Ebene UOC oder gl. OC stehen. Nun gibt es aber zwei auf 00 senk- rechte Ebenen, in welchen jede Gerade eine g ist, und außer diesen Ebenen gibt es keine g. Die eine dieser Ebenen ist die unendlicJi ferne B', weil jede g in B' eine Involution in Bezug auf K enthält, die aus 0 und dann auch aus 0 durch eine Rechtwinkelinvolution projicirt wird. — Die zweite Ebene B' ist mit der Polarebene E von 0 zu E parallel, daher _L 0(7, und liegt in der Mitte zwischen 0 und E. Denn in Bezug auf 0 und E als Mittelpunkt und Ebene der Kollineation ist K mit sich selbst in involutorischer EoUineation (73), und hierbei entspricht der unendlich fernen B' jene Ebene E', so daß die Involution auf jeder g der B' und diejenige der entsprechen- den g der E', welche also ebenfalls durch konjugirte Punkte in Be- zug auf E gebildet wird, beide aus 0 durch dieselbe Rechtwinkel- involution projicirt werden.
Außerhalb der Ebenen b', E' gibt es keine Gerade g\ denn zieht man eine andere Gerade q ±.00, legt durch sie und durch 0 eine Ebene, schneidet diese mit K in einem (reellen oder ima- ginären) Ereise c, dessen Mittelpunkt 0' sei, und denkt sich in dieser Ebene alle zu 0C7 (und 00') senkrechte Geraden q geführt
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648 XII, 585. Axonometr. n. Bchiefe Projektion, Perspektive knunmer Flächen.
und auf jeder die Involution konjugirter Punkte in Bezug auf c be- stimmt, 80 sind von allen q nur diejenigen eine g, deren Involution aus 0 durch eine Rechtwinkelin?olution projicirt wird, bei denen also die zugeordneten von OC auf entgegengesetzten Seiten gleich weit entferntem Punkte auf den Geraden t, i' liegen^ die man aus 0 unter 45^ gegen OC zieht Da nun die Gesamtheit dieser Punktepaare die ideellen Schnittpunkte der Geraden q mit dem Kreise c in Bezug auf den unendlich fernen Punkt Q der q sind und daher den zu c in Bezug auf Q konjugirten Kegelschnitt c bilden (I, 400 flF.), d. i. eine gleichseitige Hyperbel, deren Asympto- ten mit OC Winkel von 45^ einschließen, und da diese c von den t, i' in vier Punkten getroflfen wird, welche zu zwei symme- trisch in Bezug auf OC liegen, so gibt es unter den q nur zwei Gerade g^ nämlich die bezeichneten Symmetriestrahlen, von denen der eine unendlich fern (in B') liegt, der andere daher nur die in der Ebene E' gelegene g sein kann.
Da nun die Axen g' der EbenenbUschel der Kreisschnitte der F in der unendlich fernen Ebene B,' liegen, so liegen ihre entspre- chenden g in der Gegenebene B; sie sind also die Schnittlinien der B mit B'' und mit E' und bilden die Axen g der Ebenenbüschel der Kugelschnitte, welche den Kreisschnitten der F entsprechen. Es sind dies die schon erhaltene unendlich ferne Gerade der B (und der S) und die auf der Zeichenfläche P senkrechte Gerade g, welche sich in dem Schnittpunkt re' = G projiciri Dem Strahle GM und seinem Schnittpunkte H mit k entsprechen daher der mit OG par- aUele Strahl M'H' und sein Schnittpunkt H' mit Ä', so daß M'H' ein Halbmesser des zweiten Diametralkreises ist, wobei M'H' «^ M'D'. Dem zu MH in Bezug auf Ä konjugirten MJ (der Polare von G) entspricht die zu M' H' in Bezug auf h' konjugirte M'J\ und bestimmt einen weiteren NabelpunJct J' (Jtf V = ME').
Zieht man aus G einen Kreis durch 0, und schneidet ihn mit r in Z und JV, und mit h in zwei Punkten, so ist einer derselben der schon erhaltene Punkt J und die Verbindungslinie beider ist die Polare von G zu äj, so daß die Tangente in J an A; durch G geht. Denn die e ist (neben der unendlich fernen Geraden r) die Potensslinie des Ic und des als unendlich kleiner Kreis gedachten Punktes 0, d. i, ihre gemeinschaftliche Sehne, oder auch die Linie, von deren Punkten aus die Tangenten an h und 0 gleich lang sind. Sie ist es, weil sie die Mittelpunkte der aus 0 an A; gezogenen (in Punkte der e berührenden) Tangenten enthält. Daraus ergibt sich aber ebenfalls, daß sich die Involution auf der 5^ (-L P durch G) in Bezug auf K aus 0 durch eine Rechtwinkelinvolution projicirt, weil
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XII, 885— 586. Reliefperspektive. 649
die InTolution konjugirter Tangenten der K in J ebenfalls recht- winklig und weil GO = GJ ist.
586. Die HaXbaxen M A\ MB' des ¥ halbiren den Winkel D'M'H' und seinen Nebenwinkel, sind also parallel mit OL und ON, weil diese Linien gleiche Winkel mit r und mit 06? bilden- sie entsprechen den in ML und MN liegenden Sehnenstücken MA und MB.
Hierdurch ist eine sehr einfache Konstruktion der Axen des zum Kreise h central -JcolUnearen Kegelschnittes Tc' gegeben.
Die Nichtregelfläche zweiten Grades P ist ein Ellipsoidy ein elliptisches Paraboloid oder ein zweischaliges Hyperboloid ^ je nachdem die Kugel E in der Gegenebene B keinen reellen Punkt oder einen solchen, oder eine reelle Kurve enthält, weil die P die entsprechen; den Elemente in der unendlich fernen Ebene F' besitzt
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Die Abbildung ünkg ist Figur 285 (zu Seite 643),
die Abbildung rechts ist Figur 2SH (zu Seite 644).
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