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COLLEGE LLBRARY
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Dr. Carl Friedrich Naumann*»
Lehrbnch
der reinoi und angewandten
Krystallographief
ZweiterBand.
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Lehrbuch
der
reinen nnd angewandten
Ejrystallographie
Ton
Dr. Carl Friedrich Naumann,
Pttiemm aa der Bercakadonde so FMbog.
In zwei Bänden.
Zweiter Band.
Mit 17 Kapf ertafelos
Leipzig: F. A. Brockhaus.
1830.
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Vorwort,
Bei der gegenwärtigen ErscheinuDg des sffwel- ten Bandes meiner Krystallographie kann idi nidit umhin, es besonders zu erwähnen, qa9S idi för die Beschreibung der meisten Zwillings- faTStafle die treflBichen Abhandlungen und Zeich- nungen von Haidinger im Edinburgh Journal of Mciencej so wie manche Zeichnungen und Besdireibungen von Mobs, Rose, Weiss u« a, jf&r die Lehre von der Krystallmessung Kupf- fera gekrönte Prdsschrift, und für die Lehre von dem diklinoedrischen Systeme die bekannte Abhandlung Blitscherlidis benutzt habe. Auch kam mir Burh^mes wichtige Arbeit über die Zwillingskrystalle noch zeitig genug in die Hände, um dieselbe wenigstens nachträglich berücksichtigen zu können. Dass ich in der Lehre von der Zeichnung Neumanns graphische Methode nidit erwähnte, war natürlich, weil
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VI Vorwort.
selbige, keine Bilder der Krystaliformra, son- dern nur Uebersichten der Zonenverhältnisse gewährt^ und also, ungeachtet ihrer theoreti- schen Bedeutsamkeit, auf diesen Theil der an- gewandten KvystaUographie ohne besondern Ein- fiüss ist
Für dieBealität der, von mir vielleicht et- was zu kategorisch eingeführten schiefwinkli- gen Axensysteme werden sehr genaue Messun- gen, besondei« ^er -eia tieferes Studium deir ZwilUo^krystalle den ssttverlässigjsten Prüfstein Jiefemj die vpn mir in §. 449 angeiuhrtea Gründe «oUfsn die Fr^ge keinesweges .erschö- pfen, wemi sie gleich sehr erhebljcbe Zweifel ^egen die Naturgemä^sheit orthome^inch^r Axen für die fraglichen Kryeitallreihen veranlassen müssen.
Die Materialien ssur i^nge^jandten Krystal- lograpbie sind, obwohl ich Vieles zurückbehal- ,ten, demii^h so bedeutend angewachsen, dass^ ich meinen jinfanglichen Wijnsch anheben muss- te^ das Werk Ihit <)iner Upbersicht der Litera- tur der WissensdiaH; zu beschliessen, weil ich damit nicht ein blosses Verzeichniss von Bü- chertiteln beabsichtigen konnte, und daher den zweiten Band wenigstens noch um 8 — JO Bo- gen hätte vermehren müssen. Yieüei<?ht ist es |
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Vorwort.,^ VII
mir yergoimty später emmal eine ausflihrlidiere Arbeit über die Literargeschichte der Krystal- lographie zu liefern.
Möge sich übrigens gegenwärtiger Vosuch, die reine und angewandte Krystallographie in einar systematischen Form mit einiger VoUstän- digkdt darzustellen^ einer nadisichtsvollen Auf- . nähme zu erfreuen haben.
Carl Naumann.
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Vierter Abschnitt. V^m rhombüchen Sy$tem€,
Erstes Capitel.
Von den einzelen Gestalten des rkombi- sehen Systemes.
8. 408. Haitptaxe, Stellung, einfache Gestalten.
J^as rhombische System*) ist nach §. 43 der Inbe- griff aller deijenigen Gestalten , deren geometrischer Gmnddiarakter durch drei, auf einander rechtwink- lige^ aber durchgängig ungleiche Axen ausgesprochen ist. Der von Breithaupt vorgeschlagene Name besieht sich auf die Figur der Mittelquerschnitte sämmtlicher Gestalten dieses Systemes, indem dieselben entweder Bhomben, oder doch solche Figuren sind, in oder um welche sich Rhomben beschreiben lassen. DieHaupt- axe ist relativ ($.41 und 42); auch lassen sich bis jetzt vom blos krystallographischen Gesichtspuncte ans keine allgemeinen Kriterien für die Wahl dersel- leB entdecken, weshalb sie nach anderen, in den physischen Eigenschaften begründeten Verhältnissen zu. bestimmen ist. Die Krystallographie kann nur
' *) Prismatiiches Sygtem naeh Mob«, swei -und «zwei- gliedii- ges S^rstem nach Wcisa, Inmetdscltes SysC6ffl nach Hausmann.
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2 JReiM KrystaUographie.
etwa die Regel aa&tellen, dass für jede rhombische Krystallreihe diejenige Axe zur Hanptaxe erwähk werden mugs, nach welcher die CombiBationen der- sellien in den einfachsten und gefälligsten Verhältnis- sen erscheinen. Uebrigens versteht sich von selbst, dass die einmal gewählte Hanptaxe für «ine ui|d die- selbe Krystallreihe conseqnent beizubehalten ist ($. 42).
Nachdem die Hanptaxe gewählt worden, bestim- men sich die beiden andern Axen als zwei ungleich» werthige Nebenaxen, und die durch sie gehende Coor- dinatebene als rhombische Basis.
Von einfachen geschlossenen Gestalten hat die- ses System nur zweierlei, nämlich rhombische Pyra- miden und rhombische Sphenoide, aufzuweisen, yon welchen jedoch zumal die ersteren in grosser Man- nichfaltigkeit und wesentlich verschiedenen Stellungs^ Verhältnissen vorkommen. Von offenen, oder unend- lichen Gestalten erscheinen verticale und zweierlei verschiedene horizontale Prismetf, sowie die drei, den Coordinatebenen des Axensystemes entsprechenden Flächenpaare. Da aber alle diese offenen Gestalten nur als die Ctränzgestalten der Pyramiden oder Sphe» noide gelten, so können sie auch erst im zweiten Capitel in Betrachtung kommen.
|. 409
Rhombische Pyrtnuden.
Bffm. Üiigleidisdicnklige yfeneitige Pyramide«, Mobi; swel-nd- iwU-glledri^e OktaCder, Weist; RliombeBoktaMer, Ben- bardi, Weist, Hantmiea.
Die rhombischen Pyramiden^ Flg. 471 n. 472, sind von acht ungleichseitigen Dreiecken umschlossene Ge* stalten, deren Mittelkanten in einer Ebene liegen; sie kaben 12 Kanten und 6 Ecke.
Die Kanten sind symmetrisch und dreierlei: 4 kür- zere, stumpfere Polkanten im Hanptschnitte durch die kleinere Nebenaxe; 4 längere, schärfere Polkanten
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Systemlehre^ Bhombi8che$ Syrern. Cap. I. 3
n Uanptscluiitte darcl| die grödsere Mebenaxe^ and 4 Mittelkanten in der Ebene der Basis.
Die Ecke 9ind rhombisch nnd gleicfaüaUs dreier- lei: 2 Polecke an den Endpuncten der Qanptaxe; 2 stumpfere MUtelecke an den Endpnncten der klei- aeren Blebenaxe, nnd 2 spitzere Mittelecke an den Endpuncten der grosseren Nebenaxe.
[Me Qnerschnitt^ sind Rhomben.
f 410.
Rhombiflnhft Sphenoide. a§m, Rkonbitche SphenoMer, Braitliaapt.
Die rhombischen Sphenoide Fig. 473 o. 474 sind Ten Tier ungleichseitigen Dreiecken umschlossene Ge- stalten, deren Mittelkanten nicht in einer Ebene lie- gen, sondern im Zickzack auf- und absteigen; sie haben 6 Kadten und 4 Ecke.
Die Kanten sind unregelmässig und dreierlei: 2 borixontale Pol- oder Endkanten; 2 kürzere schär- fere, und 2 längere stumpfere Mittel - oder Seiten- kanten.
Die Ecke sind nuc- einerlei , unregelmässig drei- liehig.
Die Pole der Hauptaxe faUen in die Mitte der horizontalen Endkanten ; die Nebenaxen Terbinden die Mittelpuncte je zweier gegenüberliegender fieiten- kanten.
Die Querschnitte sind Rhomboide, der RCttelquer- sdudu jedoch ein Bhombus.
|. 411.
Holoedrisch und hemiedrisclie GMtalteo.
Ve^leicht man die SymmetrieTerhältnisse der bei^
den Arten tjou geschlossenen Gestalten, so fällt es in
die Angen, dass die rhombischen Pjrramiden einen
weit höheren Grad von Symmetrie zeigen, als djie
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4 Reine Krystatlographie.
rhombischen Sphenoide, und dass die letxteren, schöfl wegen des mangelnden FtftcheQparallelismns, nieht als holoedrische, sondehi als geneigtfl&chig-hemi^drische Gestalten bettachtet werden kdnnen. Es giebt dahelr in diesem Systeme nur ^ine geschlossene holoedri- sche, und ebenso not eine geschlossene hemiSdri*« sehe Gestalt; indess wird diese scheinbare Armnth an Arten geschlossener Gestalten durch eine grossere Mannichfaltigkeit wesentlich verschiedener "Varietäten aufgewogen, welchen ebenso viele wesentlich ver- ■chiedene offene Gränzgestahen entsprechen.
Hifteitet Cäpiteh
Von der Ableitung der rhombisgchen Gc
stalten.
A, AiUitung der kohidrisdhin OeüalNn^
f 412.
Gnindgcttalt» Diagonalen« ZuHidienaxien. Da alle rhombische Pyramiden ein dem geome» irischen Grundcharakter des Systemes angemessenes Verhältniss der Parameter haben, weil dieses Yer- hftltniss jedenfalls mit dem Verhältnisse der Axen identisch ist, so kann auch jede dergleichen Pyramide ans einer gegebenen Kin^stallreihe zur Grundgestal« gewählt werden. Wie dso bereits die Bestimmung der Hauptaxe, so ist noch weit mehr die Bestimmung der Grundgestalt der Willkür unterworfen; auch kann die Krystallographie, zur Beschränkung dieser Will» kür, für die Wahl der Grundgestalt einer gegebenen Erystallreihe nur eine ähnliche relative Regel auf- stellen» wie für die Wahl der Hauptaxe, dass näm- lich diejenige Pyramide zur Gmndgestalt erwählt wer-
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Systemlehre. BhomhUches Syeiem. Cap.IL 5
4ai mfisse, welche die einfieicliste BeseidmoDg der ■brigen Glestalten und die leichteste Entwickliing ih- ler Combinatiönen gewährt. In gegenwärtiger) lülge* seiner Darstellung des Systemes denken wir daher irgend eine rhombische Pyramide als Grundgettalt| beiseichnen sie mit P, und setzen das Verhältniss ,ih- rer Hanptaxe zur grosseren und kleineren Nebenaxe :=im:i:cj ron weichen Grossen im praxi Jedenfalls eine = i genommen werden kann.
Um sich jedoch in den, nach verschiedenen Rich- tongen za Terfolgenden Ableitungen gehörig sn orien- liren, daxu wird die Feststellung einiger Ausdrücke Bothig, welche der Nomenclatur der abzuleitenden Gestalten zu Grunde liegen. Für die Grundgestalt P öner jeden rhombischen KrystaHreihe brauchen wir künftig statt der Ausdrücke kürzere und längere Ne^ benaxe die Worte Brachydiagonale und Makro* diagonale*), wie denn auch diese Linien in der Tbat die Diagonalen der riiombischen Basis von P bilden. Die beiden, in. der Ebene der Basis durch den Mittelpunct und die Balbirungspuncte der Mittel kanten Ton P gehenden Linien nennen wir die Zwi- sehenaxen; die Ebene durch die Haüptaxe und Makrodiagonaleden makrodiagonalen, die Ebene durch die Haüptaxe und Brachydiagonale den bra- cbydiagonalen Hauptschnitft^ Dieso Begriffe des makro- und brachydiagonalen Hauptschnittes wer- den unTerändert auf alle möglichen abzuleitenden Ge« stalten übergetrilgeni^ auch unterscheiden wir die bei-
^ Eis kt, tun Terwimmgen su ▼ermeiden» ganz besonden darauf za achteo, daw dies« beiden Worte jederzeit nor Ton den Biagonalen der Grandgestalt za rerstehen sind) daher ist es sehr honfig der Fall« dass die längere Nebenaxe^ einer abgeleiteten Pyramide Ja die Brachy^Oagonale,, nnd ihre kürsere Nebenaxe in «e MakrediagDosk out.
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6 Heine Krystatlographie.
derlei Polkanten s&inmtlichi^r Pjramiden als makro- diagonale and brachydiagonale Polkanten, je nachdem sie in den einen oder den andern Hanpt* schnitt fallen, so dass sich diese Benennungen nicht auf die Gr&sse der Nebenaxen oder Diagonalen in den abgeleiteten Gestalten selbst, sondern anf die Lage derselben in den, nach den Diagonalen der Grandgestalt benannten, Hauptschnitten beziehen.
t. 413.
Hauptreihe der rhombischen Pyratnideo.
Aas der Grandgestalt P lässt sich eine Reihe rhombischer Pyramiden Ton derselben Basis und Stel- lang ableiten.
Man Tervielfache, |)ei constanten Diagonalen, die Haaptaxe von P nach einem rationalen CoSfficienten 01 , welcher theils ^1, theils <^ 1, and lege für je- den besonderen Werth von m in jede Mittelkante ton P zWei Ebenen, toH welchen die eine den obe- ren, die andere den unteren Endponct der so verlän- gerten oder verkürzten Haaptaxe trifft, so resultirt jedenfalls eine andere rhombische Pyramide mP, weL che entweder spitzer oder flacher als P seyn, aber dieselbe Basis and Flächenstellang haben wird. Da nun m einerseits bis <x> zunehmen, anderseits bis o abnehmen kann, so erhält man folgenden, nach den successiv zunehmenden Werthen von m in das Schema einer Reihe geordneten Inbegriff von Pyramiden: «•<! m>i oP mP P mP odP
Diese Reihe, deren Glieder durch Identität der Basis und Flächenstellung mit einander und mit der Grundgestalt verbunden sind, nennen wir die Haupt- reihe des Systemes; die Glieder linker Hand von P sind lauter flachere, die Glieder rechter Hand lauter spitzere Pyramiden als die Grundgestalt; die Gränz-
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Systemlehre. ShombUchee Stetem. Cap. IL Y
f^er sind einerseits oP, d. h. die Basis, oder jede ikr parallele Fläche (yergl. f. 205 ), anderseits ooP, oder ein rerticales, rhombisches Prisma von indefi- siter Länge. Beide Gränsgestalten können natfirlieh udit fSr sich, sondern nur 'in Coinbination mit ein- ander oder mit anderen Gestalten erscheinen.
Anmerkung. Ein für die folgenden Ableitnn- gen besonders wichtiger Umstand ist es, dass in al- len Cfestalten der Hauptreihe die Makrodiagonale und Brachydiagonale ihre ursprünglichen Werthe unyer- ändert beibehalten.
i 414.
Regel f&r die weitere AblMtvos-
Weil die Diagonalen der Grundgestalt ungleich- werthig sind, so sind sie auch yöllig unabhängig von einnder, und, als veränderliche Grossen gedacht, eine jede für sich veränderlich. Dieser Umstand fuhrt bei den ferneren Ableitungen im Gebiete des rhom- bischen Systemes anf Resultate, welche dessen Ver- schiedenheit vom tetragonalen Systeme gans beson- ders auffallend machen. Wir werden nämlich diese AUeitongen nur dann dem Charakter des Systemes gemäss vornehmen, wenn wir in den Gliedern der Hauptreihe nicht beide Diagonalen zugleich^ sondern nur je eine derselben nach einem rationalen Co^flfi- cienten n vergrössern, so dass wir aus jedem mP auf xwei Inbegriffe von Gestalten gelangen, von welchen der eine durch Vergrösserung der Makrodiagonale bei constanter Brachydiagonale, der andere durch Yer- grosserung der Brachydiagonale bei constanter Makro* diagonale erhalten wird. Wir nennen jene Gestalten makrodiagonale, diese brachydiagonale Ge- stalten, indem sie den Namen deijeaigen Diagonale fuhren, durch deren Vergrösserung sie abgeleitet wur- den. WeU aber diese Zweierleiheit der aus siP ab-
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6 Reine KtystdUographie.
geleiteten Gestalten auch in der Bezeichnung henrer-* gehoben werden muss, so unterscheiden wir die Zei- chen der makrodiägonalen und brachydiagonalen Ge- stalten dadurch, dass wir über das Symbol P der Grundgestalt für jene das prosodische Zeichen der Länge — ,,fiir diese dagegen das prosodische Zeichen der Kürze v setzen, ohne jedoch sonst etwas an der bereits im Tetragonalsysteme gebrauchten Bezeich- nung zu ändern.
♦. 415.
Reihen der makrodiagonalea und brachydiagonalen Gestalten.
Aus jedem Gliede mV der Hauptreihe lassen sich zwei verschiedene Reihen von Pyramiden ableiten, in welchen einerseits die Brachydiagonale, anderseits die Makrodiagonale der Grundgestalt noch unverändert enthalten ist.
Man vervielfache zuvorderst die Makrodiagonale von j9»P nach einem rationalen Coäfficienten n, der >^ 1, und verbinde die Endpuncte der so verlänger- ten Makrodiagonale mit den Endpuncten der unver- ändert gebliebenen Brachydiagonale durch gerade Li- nien, so wird jedenfalls ein Rhombus construirt, des- sen eine Diagonale mit der Brachydiagonale der Grundgestalt identisch ist. In jede Seite dieses Rhom- bus, als der Basis der abzuleitenden Gestalt, lege man nun zwei Ebenen, von welchen |die eine durch den oberen, die andere durch den unteren Pol von «nP geht, so resultirt eine rhombische Pyramide, de- ren brachydiagonaler Hauptschnitt identisch mit dem gleichnamigen Hauptschnitte von «nP, während der andere Hauptschnitt und die Basis zwar noch rhom- bif:che, aber von den gleichnamigen Schnitten in mJf ganz verschiedene Figuren geworden sind^). Das all-
*) Man kann dieselben Gestalten, ohne zniror die neue rbonw
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Systemlehre. KhombUchee System. Cap.tl. 0
lemeine Zeichen der so abgeleiteten Pyramiden wird «Pii, und da n aller mogliehen rationalen Werthe Ton 1 bis cx> fähig ist, so lassen sich die sämmtli- chen, ans einem nnd demselben mV abzuleitenden makrodiagonalen Gestalten unter dem Schema folgen- der Reihe darstellen:
0lP.^ fliPn fliPoo
Da sich nun für ii=:ao der, als Basis der Ge- stak mPai zu constmirende Rhombus in zwei, der Ma- krodiagonale parallele Linien verwandelt, so fallen nothwendig je zwei Flächen Ton mPoo in eine ein- sige, der Makrodiagonale parallele Ebene, und die abgeleitete Gestalt selbst wird ein Inbegriff von ykr gleichwerthigen , der Makrodiagonale parallelen Flächen, d. h, ein horizontales Prisma (§. 56.), dessen Querschnitt mit dem brachydiagonalen Haupt- schmtte von mP identisch ist.
Ebenso ergiebt sich, indem man bei constanter Uakrodiagonale die Brachydiagonale von mP nach ei- nem CoSfficienten n vervielfacht, durch Anwendung derselben Construction eine Reihe brachydiagonaler Gestalten
«P mPi» mVoo
deren Glieder insgesammt den makrodiagonalen Haupt- schnitt mit f»P gemein haben, während der brachy- diagonale Hauptschnitt sowohl als die Basis zwar noch rhombische, aber von den gleichnamigen Schnit- ten in mV ganz verschiedene Figuren geworden sind. Das Gränzglied mVoo ist wiederum ein horizontales, aber der Brachydiagonale paralleles Prisma, dessen
bliche Badi zu coDstiuireii, aocb go ableiten, dast man In jede brachydiagonale Polkante tod SiP zwei Ebenen legt, Ton welehen £e eiDd den einen, die andre den andern Sndpiwct der Terlänger- ten Biakro^Kagonale trifft.
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10 Reine KrystaUographie.
Querschnitt identisch ndt dem makrodiagönalen Haupt* schnitte von mP.
%. 416.
Fortsetznng. Wie aus jedem mP, so werden sich auch aus dem Prisma ocP durch Veränderung entweder der Makrodiagonale oder der Brachydiagonale zwei Rei- hen verticaler Prismen ableiten lassen, von welchen die eine
öoP äofn .(Xpoo
lauter makrodiagonale, die andere
ooP ocPn ooPoo
lauter brachydiagonale Prismen enthält. Das Gränz- glied jeder dieser Reihen ist ein verticales Flächen- (aar, und zwar ocPoo das makrodiagonale Flä- ch enp aar, welches dem makrodiagoaalen Haupt- schnitte, ooPcx) das brachydiagonale Flächen- paar, welches dem brachy diagonalen Hauptschnitte parallel läuft , weil für jenes die Axe und Makrodia- gonale, fiir dieses die Axe und Brachydiagonale der Grundgestalt unendlich gross geworden sind. Die Combination ooPoo.ocPoc.oP stellt daher ein recht- winkliges Parallelepipedon dar, welches sowohl vom Hexaeder ocOoo, als auch von der tetragonalen Com- bination ooP.oP wesentlich verschieden ist, da seine Flächen nicht nur dreifach verschiedene krystallogra- phische Bedeutung, sondern auch in der Natur selbst eine dreifach verschiedene physische Beschaffenheit haben.
S. 417.
Schema des rhombischeo Systemes. Durch die Ableitungen der vorhergehenden §§. ist der Inbegriff aller, aus einer rhombischen Pyramide abzuleitenden Gestalten so vollständig erschöpft, dasa
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Systemlehre, Ehombtsches Sjystem. Cap.IL 11
keine Gestalt irgend einer rhombischen Krystallreihe nachgewiesen werden kann, welche nicht ein Glied einer oder der anderen der gefundenen Reihen wäre. Ans dbr Zusammenstellung dieser Reihen sn einem Ganzen ergiebt sich folgendes Schema, welches nns mit einem Blicke nicht nur den Gestaltenreichthnm des rhombischen Systemes überhaupt, sondern auch die mannichfaltigen Beziehungen und Verknüpfungen der einzelen Gestalten insbesondere übersehen lässt:
o?ao mPoo. ^.Poo. fliPoo..^„.ooPoo
•P».<
.mm.
ofn m^n..
.Jff.
i
.M9n.
.•ooP»
ooP
i
..fliPj|....-....öoP»
©Poo mPoo Poo....^,.mP<x> ocPoo
Zu diesem Schema ergeben sich unmittelbar aus seinem Anblicke folgende Erläuterungen:
1) Die mittelste horizontale Reihe, oder di^Haupt«^ reihe des Systemes enthält lauter Pyramiden so- wie das yerticale Prisma von gleichen und älin- liehen Mittelquerscbnitten mit der Grundgestalt P, welche den Mittelponct des ganzen Schemas ein» nimmt»
2) Das ganze Schema wird durch die Hauptreihe in xwei Hälften getheilt, von welchen wir die eine die makrodiagonale, die andere die brachydiago« naie Hälfte nennen; die Hauptreihe selbst lässt sich eben sowohl zu der einen, wie zu der an* dem Hälfte rechnen; sie bildet die Anfangsreihe
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12 Reine Krystallographie*
für beide Hälften, und hat insofern einen neatm« len oder aniphoteren Charakter.
3) Die oberste horizontale Reihe, welche wir die makrodiagonale Nebenreihe nennen5 ent- hält alle diejenigen horizontalen Prismen sowie dasjenige verticale Flächenpaar, deren Flächen der Makrodiagonale der Grundgestalt parallel sind; oder die makrodiagonalen horizontalen Pris* men und das makrodiagonale Flächenpaar.
4) Die unterste horizontale Reihe, welche wir die brachydiagonale Nebenreihe nennen, ent- hält alle diejenigen horizontalen Prismen, sowie dasjenige ^yerticale Flächenpaar ^ deren Flächen der Brachydiagonale der Grundgestalt parallel sind; oder die brachydiagonalen horizontalen Pris- men und das brachydiagonale Flächenpaar.
5) Die mittleren horizontalen Reihen der oberen Hälfte des Schemas, welche wir die makrodia- gonalen Zwischenreihen nennen, enthalten alle makrodiagonalcn Pyramiden und die gleich- namigen Terticalen Prism^en.
6) Die mittleren horizontalen Reihen der unteren Hälfte des Schemas, welche wir die brachydia- gonalen Zwischenreihen nennen, enthalten alle brachydiagonalen Pyramiden, und die gleieb- namigen verticalen Prismen.
7) Jede einzele horizontale Reihe entRält lauter Ge- stalten Ton ähnlichen Querschnitten.
8) Jede einzele verticale Reihe endlich enthält lau- ter Gestalten von gleicher Axenlänge, und zer- fällt, wie das ganze Schema, in eine makrodiago- nale und eine brachydiagonale Hälfte; jene ent- hält lauter Gestalten, in welchen der brachydia-^ gonale^ diese lauter Gestalten, in welchen der malarodiagonale Hauptschoitt des. entsprechenden Gliedes der Hauptreibe noch vorhanden ist* Die
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Systemlehte. Khomhisches System. Cap.IL 13
Sosserste vertieale Reihe rechter Hand enthält die •luimtlichen verticalen Prismen.
B, Ahleiiung der kemüdriechen GeetüUm^
i 418.
Abkitang der rhombischen Sphenolde.
Die rhombischen Sphenoide sind die hemi^dri- lehen Gestalten der rhombischen Pyramiden nach den abwechselnden einzelen Flächen.
Es verhaUen sich die rhombischen Pyramiden rück« sichtlich ihrer Fähigkeit zur Hemi^drie gänzlich so wie das Okta§der und die tetragonalen Pyramiden; man kann daher auch schon erwarten, dass die aus ihnen abzuleitende hemiädrische Gestalt einen te- traSder - ähnlichen Habitus besitzen werde. Und so ist es auch in der That; denn da jede bleibende Flä- che mit ihren drei Nachbarflächen zum Durchschnitte kommt 9 so wird sie wiederum ein Dreieck, und da* her die neue Gestalt von vier Dreiecken umschlossen seyn. Diese Dreiecke müssen aber den dreiseitigen üächen der Muttergestalt ähnlich seyn, wiewohl sie. ein^ ukngekehrte Stellung annehmen, weil die an der Stelle jedes Eckes einer bleibenden Fläche entste- hende neue Kante der, demselben Ecke gegenüberlie- genden, ursprünglichen Kante dieser Fläche parallel wird. Daher bilden sich auch , neben vier geneigten Mittelkanten, zwei horizontale Polkanten aus, und die hemiSdrisehe Gestalt wird eine von vier ungleich teitigen Dreiecken umschlossene Gestalt^ deren Mit- telkanten nicht in einer Ebene liegen, d. h. ein rhom- bisches Sphenoid {%, 410).
Jede rhombische Pyramide ist der Hemißdrie fllbig, und giebt daher zwei, in verwendeter Stel- lung befindliche Sphenoide, deren Zeichen allgemein
+ -— und -^ -^.
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14 Iiein0 Krystaüographie.
Für M ess oo oder n = oo yerwandeln sieb die Sph^ noide in verticale oder horizontale Prismen, welche mit allen vier Flächen erscheinen, von denen jedoch die abwechselnden eine versefaiedene Bedeutung ha- ben. So sind z. B. in den verticalen Prismen die ab- wechselnden Flächen auf die obere oder untere Ge* Stalthälfte zu beziehen, was in dem Falle, da eine rhombische Krystallreihe zugleich der Hemißdrie und dem Hemimorphismus unterworfen wäre, zur Folge haben würde, dass diese verticalen Prismen nur mit Je zwei gegenüberliegenden Flächen, als parallele Flächenpaare aufträten.
Drittes CapiteL
Von der Berechnung der rhombischen Ge- stalten.
§. 419. Zwischenaxen. Wiewohl in der Erscheinung der rhombischen Gestalten keine Zwischenaxen indicirt sind, so ist es doch für ihre Berechnung und Zeichnung vortheilhaft^ dergleichen einzufuhren. Wir wählen dazu nach §. 412 diejenigen Linien, welche sich in der Ebene der Basis durch den Mittelpunct den Mittelkanten der Grundge- stalt parallel ziehen lassen; ihre Gleichungen sind daher
-f- — = 0,^ = 0 o c '
und -f- + — = 0, ÄTacO
Für jede mPn ist die Gleichung der, in den Octan- ten der positiven Halbaxen fallenden, Fläche:
^ + y + ± « 1
ma nb e
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Systemlehre. Shomhi&ihe$ System. Cap.IIL 15 wmI für Jede mPj» die Gleichung derielben fläche:
ma b nc
Die Intersectionen dieser Flftchen mit der Basis
kommen mit der ersten Zwischenaxe snm Durchschnitte^
und die Coordinaten des Durchschnittspunctes oder des
Endpunctes dieser Zwischenaxe bestimmen sich also:
^ ~ «+!' * '^ n+i daher die Centraldistanz dieses Punctes, oder die'LSi^ ge der Zwischenaxe:
In der Grundgestalt selbst ist Äs=9 4./ä«+c*; be- trachtet man diesen Werth als den Grundwerth, so wird der Coäf&cient der Zwischenaxe für jede andre
Gestalt mPn
2n
wie in den bisherigeü KrystaUsystemen.
§. 420.
FlächeimoTinaleL
AOe ferneren Berechnungen lassen sich, der AU« gemeinheit unbeschadet, und zur grossen Erleichte- rung der Uebersicht, auf die Grundgestalt allein be^ schränken, weil alle übrigen Gestalten der Art jaach mit der Grundgestalt identisch sind.
Die Gleidiung der in den Octanten der positiven Halbaxen fallenden Fläehe F von P |st:
a * b * e Die Gleiehungen dem flächennermale sind daher
ö a ob
Sucht man hieraus die Coordinaten deu Durchschnitts-
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16 Heine KrystaUographie.
pnnctes, so. findet sich endlieh die Liänge der nicheii^ nonoale
gana wl^ »^ *• 21.
f. 421.
Kantenümen. Bezeichnen wir in der Pyramide P die makrodiagonalen Polkanten mit X die brachydiagonalen Polkanten mit Y
die Mittelkanten mit , Z
so folgt daraus, dass
X die Hypotenuse der Katheten a und e K- -.- -'--.a und b 2r* ••• ..-.J und c die Jimge der Kantenlinien
§. 422.
Volumen und Oberfläche.
Der Flächeninhalt der Basis von P ist = 22c; die Höhe einer jeden der beiden einfachen Pyrami- den, ans welchen man sich P zusammengesetzt den- ken kann, se a, und folglich das Volumen der ganzen Pyramide: r=4aÄc
Da nun das Volumen auch eine bekannte Function der Flächennormale N und der Oberfläche S, so wird
oder, nach Snbstitntion der Werthe ron N and Vy
S = 4»^a»i* + c«a« + i'c» = 4Jf
nnd daher der Inhalt jeder einzelen Pyramidenflfiche
A «s iS = *if
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Sysiemiehre. Bhombisches System. Cap.III. 17
i. 423. FlächenwiukeL Wir bezeichnen die Flächenwinkel Ton P analog den ihnen gegenüberliegenden Kantenlinien mit £, v «nd ^. Die Gleichongen dieser drei Kantenlinien lind für die Fläche F identi&ch mit den Gleichungen der Interseetionen dieser Fläche ^ also:
T+i
1 and z SS 0
-|-+^trslimd3r=»0
^ + — =a 1 und a: =t 0 o c
Durch snccessive Combination der Gleichungen je mreier dieser Kantenlinien gelangt man auf die Cosinus der ebeneh Winkel; die Sinus finden sich nach der bekannten Regel, dass der Sinus jedes Drei- eckwjnkels gleich dem doppelten Flächeninhalte, divi- dirt durch das Product der diesen Winkel einschlies- senden Seiten; so gelangt man endlich auf folgende Werthe der Tangenten:
M
|
tangi^ |
|
|
tangv = |
M |
|
tans^=' |
M |
ans welchen die Proportion folgt:
cü/S : cotv : cof C = c* : 6* : a*
§. 424. Kantenwinkel.
Setzen wir wie bisher die Gleichung der Fläche F
' T + i + f-=»
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18 Reine Xrystallographie^
80 «ind die Gleichungen der drei Flächen JT, J^ nnd JF^j welche mit F die Kanten X, Y und Z bilden
ab c
mTF-... .^--1 + ^ = 1
a ^ Q c
a o c
Die successive Combination der Parameter der Gleichungen von F und F^, F und F^, F und F^ nach der bekannten Fonnel £ur coiW in f. 22. giebt sogleich:
CO#JC SÄ
coiY^
^^^ ~ a^b^ + c^a^ + Ä'7* also C09X+ coi K+ co^2r= — 1 Ebenso finden sich sehr leicht:
COi^Z = -Jgr
woraus die Proportionen folgen:
cog^X: coi\Y tsz bie
cos ^Z : cog^X =r c : a
cog^Y: cötiZ =» a : Ä endlich jßndet sich:
^ , xr c/«2 + Ä^
|
o'i» |
— ««ö» |
— i*c* |
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Systenüehr^* BhombißchesHy^tem* Cap.III. 19
tangiZ^ ^ —
Der Winkel |e zvfetet gegenuberii^geiHler Fla- den eines Eckes ist gleich dem Supplemente derje- nigen Kante, welche nicht za demselben Ecke gehört; abo der Winkel zweier gegenüberliegender Flächen
dm Polecke ; . e=a 180** — Z
dm makrod. Mittelecke s=2 180^ ---- F am brachyd. Mittelecke =x 180^ ^X
|. 42». AQgendne Branchbarkeit der gefundenen Resultate.
Die in den ff. 420—424 zunächst für die Grund- gestalt berechneten Formeln sind aber allgemein gül- tig, sobald man auf die Veränderungen Rucksicht lummt, welchen man das der Grundgestalt entspre- eieode Verhältniss aibic unterwerfen muss, Um auf irgend eine andre Gestalt nnsers Schemas zu gelan- gen. Man hat nämlich 1} für jede andre Gestalt der Hauptreihe ma statt a, i) fnr jede Gestalt der makrodiagonalen Hälfte des
Schemas ma statt a, und nb statt by 3) für jede Gestalt der brachydiagonalen Hälfte des Schemas ma statt a, und nc statt c fit letsen, um dieselben Formeln für irgend ein siP, «Ps oder mPn geltend zu machen. Weil die Resul- tate dieser einfachen Substitutionen jedenfalls ßus den ^ P berechneten Formeln mit Leichtigkeit abzule- sen sind , so ist die besondere Darstellung derselben ^ überflüssig zu erachten ; daher folgen im nächsten i nur noch die zur Berechnung der Prismen dienli- cher Formeln, welche besonders häufig in Anwendung kommen.
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20 JReine Krystalhgraphie.
f. 426.
Berecbnang der Terticalen and horizontalen Priimen.
Setzt man in den ff. 420 und 424 a = oo, so folgt für das verticale Prisma ooP:
coi y = — cosX coiZ =5—1
tangiX = -jy tangiY = —
Setzt man ebendaselbst c = oo, so folgt für das horizontale Prisma Poo:
cotX = — 1
co*Z =3 — cosY fangiY = — , fawy^^Z = ~
Setzt man endlich d=t=oo, so folgt für das hori- zontale Prisma Poo:
ac
a^ — c^
a* + c* co*y=— 1 cosZ = — co«X
Für jedes andre horizontale Priwna «Px) oder mPoo setzt man nnr ma statt a; für jedes brachydia--
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Sysiemlehre. Bhombisches System. Cap.IIL 21
gonal^ rerticale Prisma ooPm nc statt e, und für je- des makrodiagonale verticale Prisma odPn nb statt i.
S. 427. Berechnong der Dlsiensioiien einer rhombisolien Pyramide. Da jede rhombische Pyramide durch das Verhält- niss a'\V\€f ihrer Dimensionen bestimmt wird, und eine dieser Grössen entweder gleich der Einheit, oder doch als bekannt anzunehmen ist, so setzt auch die Bestimmung jeder Pyramide (und folglich jeder Kry- stallreihe) dieses Systemes zwei, von einander unab- hängige Beobachtungselemente voraus. Wie nun übri- gens diese Elemente besphaffen seyn mögen, so kommt es zunächst immer darauf an, aus ihnen die ebenen Winkel zweier Hauptschnitte der Pyramide zu finden. Nennen wir nämlich a die Neigung der makrod. Polk. Zur Axe /J - - - - brachyd. . - - / - - - der Mittelkante zur Makrodiagonale oder 2a die Polkante des brachyd. horiz. Prismas, ^ß die Polkante des makrod. horiz. Prismas, und 2/ die makrod. Seitenkante des verticalen Prismas der Pyramide, so bestimmt sich das Verhältniss a'iVic* derselben jedenfalls durch je zwei dieser Winkel, wie folgt:
1) aus a und ß
af :V :c' = 1 : tanga : iangß
2) aus a und /
a'\V \c' = cotn. : 1 : tangy
3) aus ß und y
a^\V\c' = cotß : coty : 1 Abstrahiren wir nun von den Combinationskan* ten, so werden von den sechs Winkeln JT, Y, Z, er, /? und y jedenfalls zwei gegeben seyn müssen, unudie Pyramide zu bestimmen; dies giebt im Allgemeinen folgende vier Fälle: es sind gegeben
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22 Reine Kry^tallographie.
A. zwei der Winkel X, F, Z,
B. zwei 4er Winkel et, ß und y,
C. einer der Winkel JT, y und Zj und der dazu gehörige von den Winkeln a, /? und y,
D. einer der Winkel X, Y und Z, und einer der nicht dazu gehö|rigen von den Winkeln o, ß und y.
Im Falle A findet sich: au« X und F,
coga = . , ^, coifß = -T-Tv
aus X und Z,
cotlZ coi^X
aus Y und Z,
Der Fall B ist unmittelbar durch die 9ub i, 2 und 3 stehenden Proportionen erledigt.
Im Falle C findet sich: aus X und a,
i€mgß = tangiX sina aus F und /?,
/niig-a =r tangiY sinß aus Z und y,
co/a =3 tafig iZ iiny
Endlich Im Falle D findet man : aus X und ß oder y,
iina =s cot^Xtangß
coia =3 cot^Xiangy aus F und a oder y,
«•»/? =r ear^-F^nn^a
coi/J =3 cot^YcQiy aus Z und a oder /?,
^tfiy c= cotiZeota
cQ$y =K cot -^X cot ß
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Systendehre. Rhombisdies ^fstem. Cap. III. 23 f. 428.
Beredurang Ton m and n aas dem Verh<iibae a^ : b* : c\ Die im vorigen § stehenden Formeln dienen zu- nächst zur Berechnung des Dimensionsverhältnisses ^\V \c' irgend einer Pyramide aus einer gegebenen rhombischen Krystallreihe; nun steht aber jede abge- leitete Pyramide zu der durch die Dimensionen a, h and c bestimmten Grundgestalt in dem Verhältnisse, lass
a^ \V \e' =5 ma\nh\ c oder - - - s=s «la : & : HC
Man wird also mittels des gefundenen Verbält- bisses cf \V \c' sehr leicht zur Auffindung der CoSf- fidenten m und n gelangen, indem für jede makro- fiagonale Gestalt mPi»
cV . ca'
n = -T-7 und m = — ?
fir jede brachydiagonale Gestalt mVn
be , ha'
ii=^^^undm = ^
wird.
In manchen rhombischen Krystallreihen führt die Beobachtung auf ein merkwürdiges Verhältniss der gegenseitigen Abhängigkeit der Dimensionen der Grund- gestalt. So findet z. B. für den Topas die Gleichung
Ä = a -|- c ^t Cölestin, Baryt und Bleisulphat die Gleichung
2* = a + 2c > fnrArragpnit, Strontianit, Bleicarbonat u.a. die Glei-
4J = 3(a-f-c) Statt. Abgesehen von der theoretischen BedeutSfitfUr keit dieser Gleichungen gewähren solche auch den praktischen Yortheil, dass die genaue Bestimmung 4er Dimensionen einer solchen Krystallreihe^ sobald
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24 Reine Krystalhgraphie.
man das Gesetz ihrer gegenseitigen Abhängigkeit ap- proximativ, gefunden, nur von einer einzigen Mes- sung abhängig gemacht, und in den Rechnungen man- che Abkürzung gewonnen wird
§. 429. Berechnung der CoSfficienten roo mP, Pit und mPm. Weil die Pyramiden mP der Hauptreihe, die zur Grundgestalt gehörigen Pyramiden Pn und Pi» der Zwi- schenreihen , und ausserdem noch die Pyramiden von
der Form mPm besonders häufig vorzukommen pfle- gen, so ist es bequem, die zur Berechnung ihrer Ab- leitungscoSfilicienten dienlichen Formeln zur Hand zu haben. Diese Berechnung, welche jedenfalls nur ei- nen Winkel der unbekannten Gestalt erfordert, wird am leichtesten geführt, wenn man dabei die bekann- ten Winkel J, F, Z, a, /? und y der Grundgestalt P zu Hülfe nimmt, weshalb wir die analogen Win« kel der unbekannten Gestalt zur Unterscheidung mit accentuirten Buchstaben bezeichnen wollen*).
A. Berechnung von m in der Pyramide «iP, für weU che / = y; man findet:
aus X\ , . , cosa^ = cot^X tangy
und m = cota' tanga aus Y' co$ß^ = cot^Y coty
und m = cotß^ tangß aus Ä'.... «• = tang\Z^ cot^Z
B. Berechnung von n in den Pyramiden Pn und P/t; man findet:
1) für P», in welchen a' = a.
*) Bf würde wegen dieser und andrer BereduiBogen sehr ror« theilhaft aeyn, bei der speciellen Darstellong jeder rhombischen Krystallreihe aosaer dem Verhältnisse a:b:e nnd den Kantenwin- kehl X^ Y «nd % auch die Winkel a, /9 und y mitnitbeUen.
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Systemlehre. Bhombisches System. Cap. IIL 25
ans X\. .. » =5 tangiX^ cof^X
aus y Hmß' =5 coti^V tanga
und n = tangß^ cotß ans Z\... •in/ = cotiZ^ eota und n = tang/ ^^^Y 2) ffir Pä, In welchen ß" ^=^ ß
ans JC' . . . . Hiio'= cof^^X^ /onj^/J
nnd n = tanga' cota ans Y\... n == /af^^^F' cotiY ans Z'. . . . co#/ = cofiJC' cotß nnd II s=: CO// tangy C, Bereehnnng von m in den Pyramiden siPsi nnd fliPfli; man findet:
1) für siPsi, in welchen a'= a'
ans X',^.. m =s cotiX' tang\X ans y',.,.*t»/?'3= cot^Y tanga
nnd 01=: cofj^ /aMj'/^ ans Z' .... iin/ = cot^Z' cota
nnd si= CO// faizj^y
2) für siPfli, in welchen ß" s=s ß^
aus X\..,stna' = cof^-ST' /anf/^
nnd i»= co/a^ tanga
ans y m=t cot^Y' tang^Y
ans Z' .... CO*/ = cofiZ' co//?
nnd m=s tang/ coty
Dass man statt der Tangenten und Cotangenten
... h c c
der Winkel o, /? und y auch die Grössen — ^ — , -^
and deren inverse Werthe einfuhren kann, Tersteht sish von selbst.
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26 Reine Krysiallographie.
Viertes C ap it e l.
Von den Coinbinationen des rhombtschen Systeme«.
A, CombinoHonilehrt.
fi. 430. Uebersicht der Gestalten einer Combination. % Die Zähligkeit einer jeden rhombischen Combi- nation bestimmt sich nach der einfachen Regel in §. 66. Auch die übrigen Bestimmungen der allgemei- nen Entwicklnng haben keine Schwierigkeit, sobald nur erst die Grundgestalt und deren aufrechte Stel- lung gewählt worden, wofür die in den §§. 408 und 412 angedeuteten Regeln nachzusehen sind. Ueberhaupt aber lassen sich in jeder holoedrischen rhombischen Combination*) folgende drei, ihrer geometrischen Be- schaffenheit nach wesentlich verschiedene Gestalten unterscheiden:
1) Achtflächige Gestalten, deren Flächen kei- ner der Axen parallel, sondern gegen alle ge- neigt sind; Pyramiden.
2) Vierflächige Gestalten, deren Flächen je einer der Axen parallel sind; Prismen.
3) Zweiflächige Gestalten; die drei Flächen- paare des Systemes.
Ueber die krystallographische Bedeutung der Py- ramiden kann niemals ein Zweifel obwalten, da je- der achtzählige Flächeninbegriff nur als eine Pyra- mide zu deuten ist Auch die Prismen sind im AU-
*) Die seltenen henuedrischen Comblnationen, in welchen man- che Pyramiden als Sphenoide auftreten, sind eben daran zu erken- nen, dass gewisse vierzählige Fiächeninbegriife ihrer Lage nach dorchans nicht einem Prisma gehören können, sondern yon einer Pyramide herstammen müssen.
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Systemlehre. Bhomhisches System. Cap.IV. 27
gemeinen an der Zahl ihrer Flächen su erkennen; welche aber als verticale oder als horizontale Pris- neu gedeutet werden, und welche von diesen letzte- ren wiederom als makrodiagonale oder als bracfaydia- gonale Prismen gelten sollen, das hftngt einestheils Ton der Walil der aufrechten Stellung, andemtheils TOD der WaU der Grundgestalt ab. Eben so kann ein jedes der drei Flächenpaare als Basis, und, nach- dem diese gewählt worden^ von den übrigen beiden ein jedes als makrodiagonales oder als brachydiago- nales fifichenpaar bestimmt werden, indem diese Be- stimmungen von denselben beiden willkürlichen Ele- nenten abhängen. Grundgestalt und aufrechte Stellung sind also die Elemente, deren Bestimmung selbst der allgemeinen Entwicklung der Combination Torausgehen muss , weil durch sie erst den combinir- ten Gestalten ihre Stellen in den verschiedenen Rei- hen unsers Schemas, und somit ihre krystallog^aplii- scben Werthe angewiesen werden,
i 431.
Wabl der Qnmdgestalt und aufredit«! SteUung.
Sollte in einer rhombischen Combination keine, oder doch keine sisur Grundgestalt geeignete Pyramide enthalten seyn, so befolgt man die in gleichen Fäl- len für die tetragonalen und hexagonalen Combina- donen angegebenen Regeln; d. h. man schliesst aus den Verhältnissen der vorhandetien Gestalten auf die- jenige Grundgestalt, welche die leichteste Entwicklung gewähren würde, oder lässt auch die Grundgestalt ganz unbestimmt. Sind z. B. von einer Krystallreihe nur- Combinationen von Prismen bekannt, so bezieht man irgend zwei, zu verschiedenen Axen gehörige Prismen auf die Grundgestalt, berechnet aus ihren Winkeln das Verhältniss a:ft:c, und bestimmt dann die übrigen Gestslten nach ihren resp. Verhältnissen.
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28 Reine Krystallographie.
Besteht die Coinbination nur aus gleichnamigen, d.b. zu einer Axe gehörigen Prismen, welche durch das auf ihrer Axe senkrechte Flächenpaar terminirt sind,, so lassen sich nur % zwei Glieder des Verhältnisses a:b:c bestimmen. Die Combination der drei Flä- chenpaare endlich lässt die Grundgestalt gänzlich un- bestimmt.
Die aufrechte Stellung wählt man wohl gern nach der vorherrschenden Längenrichtang der Krystalle, wenn eine solche für die Krystallreihe gegeben ist (z. B. Topas, Lievrit, Manganerz); in den übrigen Fällen dürfte diejenige Stellung den Vorzug verdie- nen, bei welcher möglichst viele Pyramiden als Glie- der der Hauptreihe und möglichst viele Prismen als verticale Prismen erscheinen, weil dadurch die Ent- wicklung bedeutend erleichtert wird.
§. 432.
Allgemeine Entwicklmig.
Nachdem die Grundgestalt uud aufrechte Stellung gewählt worden, ergeben sich, unmittelbar aus der Beschaffenheit und den durch die Ableitung bestimm- ten gegenseitigen Verhältnissen der Gestalten die Be- stimmungen,
1) welche Gestalten in die Hauptreihe,
2) welche in die makrodiagonale oder brachydiago- nale Nebenreihe, und
3) welche in die gleichnamigen Zwischenreihen des Systemes gehören.
Auch lassen sich noch folgende, unmittelbar aus den Regeln der Ableitung hervorgehende Bei^timmun- gen in Anwendung bringen:
Je zwei Gestalten, welche mit einander horizon- tale CK. hervorbringen, sind nicht nur gleichnamig (d. h. entweder makrodiagonal oder brachydiagonal).
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&ystemlehre. BhombUches System. Cap.IV. 20
solidem gehören auch in eine nnd dieselbe horizon- tale Reihe des Schemas, nnd haben daher denselben Werth von n.
Je zwei gleichnamige Gestalten, mPn nnd »i^Pa^, welche mit einander geneigte CK. hervorbringen, die dem nngleichnamigen Hauptschnitte parallel laufen, gehören in eine und dieselbe verticale Reihe des Sehe« ms, oder haben wf ^=zm.
%. 433.
Theorie der binäreo CombinatiooeiL
Die besondere Entwicklung der rhombischen Com- binationen überhaupt beruht auf der Theorie der bi- niren Combinationen dieses Systemes. Wir setzen zu dem Ende irgend zwei Gestalten, ohne vorläufig azf ihre Stellen in den verschiedenen Reihen unseres Schemas Rücksicht zu nehmen, beseichnen sie mit Q und Cr', und das Yerhältniss ihrer beiderseitigen Axen mit a\h\e und a' \V \ (f. Die möglichen Com- binationsverhältnisse und die denselben entsprechen- den Bedingungen sind nun folgende: es bildet G\ als untergeordnete Gestalt, an Cr, als vorherrschender Gestalt:
L Zaschirftingen der Kanten, und zwar
1) der makrod. Polk., wenn%7=-j-u.-^— ;Fig.476.
2) derbrachyd.Polk., wenn^5;=^u.^^;Fig,476.
c c o o
3) der Mittelkanten, wenn ->=— u. a^a ;Fig.477.
c c
IL VierfL Zusp. der Polecke, wenn ir^i'T
und -7<-7-> ™*
c c
mttelkanten von Q
und — r<— , und zwar sind die CK. mit den c c
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30 Reine KryssaUographie^
5) convgt n. d. makrod. Polk., - - - < - ; Fig.479.
6) - • - - brachyd. - -- •>.;Fig.480.
_/ ^ in. Vierfl. Zasp. der makrod« Mitfelecke) Wenn Tr>"jr
und -7<C — y und swwr sind die CK« mit den bra- c c
chyd. Polk von O
7) parallel, venn -^ä — ; Hg. 481,
8) convgt. n. d. Poleck - - • < . ; Fig. 482.
9) * . * . Mittelk. - - - > - ; Fig. 483. TV. Vierfl. Znsp. der braehyd. Sfittelecke, wenn
-7> — und -r^ — • nnd stwat sind die CK. mit
den makrod« Polk. von O
10) parallel, wenn T7==-t-; Fig. 48*.
11) convgt. n. d. Poleck - * - < • ; Fig 485.
12) • - - * Mittelk. . - • > - ; Fig.486. In diesen sewolf Fällen sind alle möglichen Yer«*
hältnisse der binären rhombischen Combinationen ent-* halten, nnd es ist nnr noch zu zeigen, wie von die- sen allgemeinen Regeln für die Combinationen je zweier Gestalten Gebrauch zu machen.
|. 434.
Combiil&üoii zweier gleichnnmiger Gestalten»
Bei dem Gebrauche der im vorigen §. gefundenen Regeln ist zunächst der Unterschied zu beachten, ob die beiden conübinirten Gestalten gleichnamig oder tmgleichnamig sind; ein Unterschied, welcher, weil die Gestalten der llauptreihe eben i^o wohl für ma« krodiagonalo als für brachydiagonale Gestalten gelten können (§. 417.), idlgemein durch die Combinations«
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Systemlehre. Rkombisckes System. Cktp.IF. 31
zeichen ni^n.v/Pn* und mVn.m'Vn' dargestellt Werden kann. Femer wird es für den Gebrauch unsrer Re- geln nothigy die in ihnen auftretenden Quotienten
•^y — und — als Functionen der Äbleitungszahled
m nnd n auszudrücken, weil sie nur dadurch unsem krystallographischen Zeichen angepasst werden.
Wir wollen nun zuerst den Fall betrachten^ du beide Crestalten gleichnamig sind ; dann sind sie ent- weder makrodiagonal oder brach jrdiagonal. a) Beide Crestalten sind makrodiagonal, also «iPn
und m^Pn^; weil die Axen der Grundgestalt Oy b nnd c, so haben wir für mVn statt a \b i c das Verhältniss ma \nbi\^ •^ mTn' - ct\V\t' • - - - m'a\n'h\c einzuführen; es wird daher
-p>=<-j-w.nn^>=»<-
c* ' ' '^ c V h
-7-- -4 »'.--H
c e
nnd es bildet nfVn^ an mVn L Znsch« der Kanten, und zwar
1) der makrod. Polk., Wönn ^=r— undM^<m
2) der brachyd. Polk. --«' = ■» - «'>»
3) der Mttelkanten •• «' = » - m'>m
01^ in n. Vierfl, Zusp. der Poleeke, wenn -7< —
nnd zi^<0i, und zwar sind die CK. mit den Mit- telkanten von mSm
4) parallel, • .• wenn n' = »
6) convgt. n. d. makrod. Polk. - - - < - 6) - - - - brachyd. - - - - >-
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32 Rein^ KrystaUographie,
HL Vierfl. Zusp. der rnakrod. Mitteleeke, wenn ->^ — , nnd ii^<ii9 and zwar sind die
CK. mit den brachyd. Polk« Ton mPh
7) parallel, ..*.... wenn m^ = M
8) convgt, n. d, Poleck - - - <C •
9) - - . - Mittelk. - - - > -
rV. Vierfl. Zusp. der brachyd. Mittelecke, wenn m^>m und »^>ii, und swar sind die CK« mit den makrod. Polk. von mPn
10) parallel, wenn — 7 = —
11 n
11) convgt. n. d. Poleck - - - < -
12) . . . - Mittelk. • - - > -
b) Beide Gestalten sind brachydiagonal, also mPm nnd mTn^; wir haben folglich
für mPii statt aibic das Yerhältniss maxlinc - «W . a^iV.c' .... m'aib.n'c einzufahren; es wird daher
y >=<-|^ wenn «i'>=< m
a^ a m' m
V - -T " •<=>*
und es bildet m'l^n' an otPh L Zusch. der Kanten, nnd ztfkr
1) der rnakrod. Polk., wenn m^ == m, und ii'>ii
2) der brachyd. Polk. -.2^=^ .«'<«•
n n
3) der Mittelkanten -- ii'=ii - «'>!» n. YierfiL Zusp. der Polecke^ wenn m' ^m und
-7< — ; und zwar sind die CK. mit den Mittel.
kanten von mPn
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SfOemle^e. Bhombisches System. Cap.IK 33
4} parallel, , weKn n' = n
6) coaTgt n. d. makrod. Polk. - « -" ^*
6) - •. . - brachyd. - • • - <-
m Yierfl. Ziisp. der makrod. Mittelecke, wenn«i^>«i und n^^n\ und zwar sind die CK. mit den bra- chyd. Polt von mVn
wf m
7) parallel, ....... wena -7== —
8) convgt. Q. d. Poleck - - - < ^
9) . . • - Mittelk. . - . > .
IV, Vierfl. Zusp. der brachyd. Mittelecke, wenn -7>—
n ^ n
und iC<^n% und swar flind die CK, mit den ma- krod. Polk. von mPn
10) parallel, wenn w^ = »
11) convgt. n. d. Poleck - • - < -
12) . • - • Mittelk. - • • > -
|. 435. Combiiiation zwd«r OBgleichoamig^r Gestalten.
Sind die Gestalten ungleichnamig, also wifn nnd ü'Pji', 80 ist die vorherrschende entweder makrodia- gonal oder brachydiagonal; im ersteren Falle wird
^>==<-j- wenn •.'>=<^
c' C «'
i' * 1
Da non nber n sowoh* als n' ti^i^ > 1, so mnss — ;
stets <«, und mithin auch -7 stets < — seyn; dies
tebänkt die möglichen CV. auf Nr. 1, 5, 7, 8 und 9 ein. 0. 3
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34 Reine KrystaUographie.
Im swellen Falle wird
^>=<-j- weiin^>=<i»
c e n
und folgt aas der letzteren Bedmgaioig, weil %' stets
> — , dass -7 stets > — , und daher nur Nr. 2, 6, II c c
10, 11 und 12 die möglichen CV. sind.
Hieraus ergeben sich überhaupt f&r die Combi- nationen zweier ungleichnamiger Gestalten folgende Regeln.
Die Flächen der untergeordneten Gestalt erschei- nen jedenfalls paarweis an deigenigen Polkanten der vorherrschenden Gestalt, welche mit derselben gleich- namig (oder mit der untergeordneten Gestalt ungleich- namig) sind, und bilden:
I. ZoschSrC dieser Polk., wenn Wsrs —
n. Vierfl. Zusp. d. Polecke * - - < - m. Vierfl. Zusp. d. Mitteleke - - - >^ - und zwar sind die CK. mit den andern Polk.
a) parallel, wenn ^=»
ß) convgt. n. d. Poleck - - • < - y) . . . -Mitteleck- - - > -
5. 436. Combinationsgl^cliiingen. Um für jede binäre Combination das Verhältniss der Ableitungszahlen derjenigen dritten Gestalt aus- zumitteln, deren Flächen die CK. der beiden gegebe- nen Gestalten abstumpfen, dazu gelangt man sehr leicht mittels der allgemeinen CG. in §. 68; wobei
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Systemlehre. Rhombisehes Sjysiem. Cap.IF, 35
Jedoch auf die verachiedene Besehaffenheit der Ge- stalten Rüdcsickt sm nehmea igt.
A. Sind die beiden gegebenen Gestalten gleiohnanug,
miPn und mVn\ so muss auch die dritte Gestalt mit beiden gleichnamig, und folglich ein m^Pn* sejn. Man hat daher in der angef&hrten Combi- ' nationsgleichung
a) für makrodiagonale Crestalten r=r'=r'=:l zu setzen,
b) lur brachydiagonale Gestalten n^=n^ = n*' = i m setzen , und die Buchstaben r mit n zu ver- tauschen und erhält in beiden Fällen dieselbe CG.
•V(«'j» — «mO + m\m —m')nn' + n''(n'—n)mm'=0
B. Sind die gegebenen Gestüten ungleichnamig, also
mVm und m'Pn'j so hat man entweder n=^r^s=ziy und statt r den Buchstaben »
oder r=ii^=l, und statt 1/ den Bnchstaben nf
zu schreiben, ohne auf den Namen der dritten
CSestalt Rücksicht zu nehmen, und findet so die
beiden Fällen entsprechende CG.
Ist nun die dritte Gestalt makrodiagonal, so wird blos r^=l, ist sie dagegen brachydiagonal , so wird iir=i gesetzt, und der Buchstabe r^ mit n" ▼ertauseht.
f. 437. Conbinationen dner Pyramide aus der Havptrelhe.
In jden vorhergehenden §§. ist die Theorie der bi- ■Iren Combinationen enthalten, und es scheint bei ier grossen Einfachheit derselben überflüssig, die ein- seien Combinationen noch besonders durchzugehen, wie solches in den übrigen Krystallsystemen gesche- hen ist. Um jedoch einiges Anhalten für die specielle
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36 Reine KrystcUlographie:
Anwendung m geben, so sollen in diesem nnd dem folgenden §. die Combinationen einer Pyramide mP, des Prismas ooP nnd der drei Flächenpaare als vor- herrschender Gestalten betrachtet werden, weil Com- binationen dieser Art besonders häufig vorkommen. Es bildet an mP
1) «T«' oder m'Pj»'
a) Znsch. der makrod. oder
brachyd. Polk., wenn m*=smi Fig. 476.
b) Vierfl. Zusp. d. Polecke - - - < - Fig. 479.
c) VierfiL Zusp. d. gleichna- migen Mittelecke, ....-- - > - nnd zwar sind die GK. mit den brachyd. oder makrod. Pol-^ kanten von mV:
«) parallel, . wenn ^=M; Fig. 481.
ß) conygt. n. d. Poleck - - - < - Fig. 482.
y) - - - -Mitteleck -. - >- Fig.48S,
2) mT, mit horizontalen CK.:
a) vierfl. Äusp. d. Polecke, wenn «i'<a; Fig. 478-
b) Zusch. d. MitCelkanten, - •- - > - Kg. 477.
3) ooPii' oder ooPnf:
Zusch. der makrod. oder brachyd. Mittelecke, Fig. 488 oder Fig. 489; sind die Prismen vorherrschend, so erscheint die Comb, wie Fig. 501 oder Fig. 502. CG. mV— wV + ii^C«'— 1)«==0
4) ocP, Abst. der Mittelkanten, Fig.^.
5) m'Poo oder mToo, deren Flächen auf die makrod. oder brachyd. Polk. gesetzt sind,
a) Abst. dieser Polk, wenn «i^=fli;Fig.490u.494.
b) Zusch. der Polecke - - , <- Fig. 492 n. 493» e) Zusch. der Mittelecke - - - > - Fig. 491 u. 495.
CG. m''(m^m') + n\m'^m'^m=0
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Systemlehre. Khombischea System. Cap.IV. 37
6) ocPao, Abst der makrod. IMUttelecke, Fig. 497. ooPoo - . brachyd - - - Fig. 498.
CG. wi'— m'^sO >
7) oP, Ab«t. der Polecke, Fig. 496.
f. 438.
ComUnatlonen des Pruma« opP.
E9 bilden am Prisma ocP:
1) m^P, beiderseits vieifl. Zusp., die Zospfl. auf die Flächen gerad aofgesetzt ; Fig. 500.
2) m^n^ oder mfVn' ^ dergL Zosp , je zwei Zospfl. auf die scharfen oder stumpfen Seitenkanten gesetzt; Fig. 501 oder 502.
CG. «!>-'— I)ii'-«V-.1X=0
3) mf^oo oder mToo, Zosch beider Enden, die Zoschfl. auf die scharfen oder stumpfen Seitenkanten ge- setzt; flg. 504 oder 503.
CG. »'(«• — l)—j»V=0
4) oP, die gerad angesetzte Endfläche; Fig. 505.
5) ooPis' oder ocP/»^, Znsch. der scharfen oder stum-* pfen Seitenkanten; Fig. 506 oder 507.
6) coPoo oder ooPoo, Abst. der scharfen oder stum- pfen Seitenkanten; Fig. 508 oder 509.
Ist die Basis oP mit vorhanden, so erscheinen die Combinationen #»& 1, 2 und 3 wie Fig. 510, Fig. 511, 512 und Fig. 513.
f. 439.
Combinatioiien der drei FlächeDpaai«.
Jedes der drei Flächenpaare oP, ocPoo und <x>P(X? kann eine Tafel bilden, welche horizontal ffir oP, vertical für die beiden andern Flächenpaare erscheint.
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38 Beine KrystaUographie.
Nach Maassgabe der diese Flftchenpaare begränzenden Gestalten erscheint die Tafel:
1) rhombisch, mit zweireihig schief ange- setzten Randflächen; die begränzende Gestalt ist^ irgend eine Pyramide; Fig. 514.
2) rhombisch, mit gerad angesetzten Randflä- chen ; Fig. 515 ; so
oP mit irgend einem verticalen Prisma
ooFoo mit irgend einem brachyd. horiz. Prisma
ooPoo - - - - - makrod. - - - -
3) rectangniSr, mit zweireihig schief an- gesetzten Randflächen, Fig. 516; so
oP mit irgend zwei ungleichnamigen horiz. Pris-
__men, ocPoo mit einem verticalen und einem makrod.
^ horiz. Prisma, ocPoo mit einem verticalen und einem brachyd. horiz. Prisma.
4) rectangulär mit gerad angesetzten Randflä- chen, Fig. 517, die Combination eines vorherr- schenden Flächenpaaies mit den beiden andern.
{. 440. l^chtigste Combintttioniregebu
Da von den bisher au%efundenen Regeln der bi- nären Combinationen und den sie betreffenden For- men der Conriiinationsgleidiung einige besonders häufig in Anwendung kommen, weil sich die ihnen entspre- chenden Fälle in der Natur sehr oft verwirklicht fin- den, so ist es vortheilhaft, sie als Specialregela aus- zuheben, und dem Gedächtnisse einzuprägen, indem man dadurch in Stand gesetzt wird, die gewöhnlich vorkommenden Combinationen aus dem Stegreife za entwickeln«
Nächst den in den ff* 430 und 432 stehenden all- gemeinen Regeln sind besonders folgende Specialre- geln zu berücksichtigen:
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Systemlehre: Bhombi$ches System. Cap.IF. 39
1) Daqenige horisontale Prisma, welches die ma- krod. Polk. von mP» oder die brachyd. Polk. ¥on mPn abstumpft, uC mPoo oder mPoo; das- jenige aber, welches die brachyd. Polk. von mVn oder die makrod Polk. von mP» abstompft, ist
— Poo oder —Poo.
n n
2) Die makrod. Polk. von mP werden also durch fliPoo, die brachyd. Polk durch mPoo abgestampft, dieselben Polkanten durch mJ^» oder m9n zuge- schärft.
3) Dasjenige horizontale Prisma, welches die ma-
krod. oder brachyd. Combinationsecke der beiden
Pyramiden siP «ndsiT so abstumpft, dass seine
2sisi^ ^ Flächen als Rhomben erscheinen , ist — - — -.Poo
2mm' - oder — z — jPoo.
4) Dasjenige horizontale Prisma also, welches die makrod. oder brachyd. Combinationsecke zwischen «P und oqP auf dieselbe Weise abstumpft, ist 2mPoo oder 2m'Poo.
5) Diejenige Pyramide, welche die CK. zwischen siP und ocPoo abstumpft, ist eine si;iPi».
6) Diejenige Pyramide, welche die CK. zwischen
w — im'
ooP und mPoo abstumpft, ist eine suT , .
7) Dasjenigie horizontale Prisma, welches die Com- binationsecke zwischen ooPn und siPoo so ab- stumpft, dass seine Flächen als Rhomben er- seheinen, ist ffinPoo.
8) Diejenigen horizontalen Prismen, welche die Combinationsecke zwischen siP und ocP;i so ab-
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40 R^ine Krystaihgraphie.
stampfen, dass ihre Flächen aki Rhomben er«
.scheinen, sind m(ii'+l)Poo nnd m- — -V-^Poo; je-
ft
nes stumpft die höheren, dieses die tieferen CE. ab« Man könnte diese Specialregeln leicht um einige vermehren ; da jedoch die vorstehenden znr Entwiclk- lung der am häufigsten vorkommenden Combinationen ausreichend sind, so würde die Hinzufugung noch mehrer Regeln eine wenig nütasliche Yervielfältigang derselben seyn.
{. 441.
Berechnung der Combinatioaikante* Die Berechnung der Combinationskanten ist för dieses System eine sehr einfache Aufgabe. Da wir uns nämlich bei der Seltenheit der hemiCdrischen Combinationen auf die Berechnung der Combinations« kanten holoedrischer Gestalten beschränken können, so haben wir es auch nur mit heteropolaren CK. zu thun. Nennen wir sie IT, i^ gilt für die beiden Ge- stalten G und G' in f , 433 unmlUelbar die Gleichung aus §. 22.
Sind nun beide Gestalten gleichnamig, so hat man für mPa und i»TV
a == muj b = nby c = e
a' = fli'a, 4' = »'Ä, c'=^ c oder für niSfn und m'9n'
a 3= SM, i S=S £, tf =3 ik?
zu setzen, Sind dagegen beide Gestalten ungleich- namig, so ist, wenn die makrodiagonale Gestalt die accentttirten Buchstaben erhält,
a a=s ma^ b sss b^ c =s nc
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Systemlehre. Rhombisches System. Cap.IF. 41
s« setzen, wobei anler a> h nnd c darchgSngig die Halbaxen der Grondgestalt su verstehen sind.
Wenn jedoch die CK., wie dies sehr hfiofig der Fall, einem der drei Hanptschnitte parallel ist, so würde die Anwendung dieser Formeln weniger sehneil zum Ziele fuhren« Yortheilhafter ist es dann, die Neigungswinkel beiaer Flächen zu diesem Haupt- schnitte zn berechnen, wenn solche nicht schon be- kannt sind; das Supplement ihrer Differenz ist die gezahlte Combinationskante, ako:
11= 180^-^ {X—X) oder JI = IW -. (F— F) 9der auch JI = 180* — (Z— Z') je nachdem die CK. dem makrodiagonalen, brachydia- gonalen oder basischem Hauptschnitte parallel ist
Auch kann man sich für solche CK., welche kei- nem der Hauptschnitte parallel sind, einer anderen Berechnung bedienen, indem man für beide Flächen ^ die resp. Neigungswinkel zu einem und demsel- ben Hauptschnitte (abo X nnd JT, oder Y und Y\ oder auch Z und Z^), ausserdem aber auch noch die Neigungswinkel ihrer gleichnamigen Intersectionen ge- gen eine und dieselbe Axe dieses Hanptschnittes be- rechnet. Nennt man hierauf das Supplement der Dif- . ferenz der beiden letzten Winkel J?, so sind in dem sdiiefwinkligen Tri^der der ebene Winkel 'S nebst (Si n anliegenden Kantenwinkeln bekannt, woraus dann die CK« JT als dritter Kantenwinkel entweder nach der bekannten Formel, oder auch mittels der Neper- schen Analogien zu berechnen ist
B. Bmspiele.
«. 442.
Combinatum de« AnragOBites. Die in Fig. 518 dargestellte Combination des Ar- ragonitez ist eine achtzihlige, holoedrische Combina-
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42 Reine KrystaUographie.
tion, für welche es am vortheilhaftesten scheint, 4ie mit P bezeichnete Pyramide zur Grandgestalt zu wäh- len; dadurch bestimmt sich
a:4:c = 0,7205: 1 :0,6215 oder - - .= 1,16 :1,61: i Die Zei<^nang ist so entworfen, dass die Brachydia- gonale auf den Beobachter zoläoft; daher ordnen sich die Gestalten, wie folgt; es gehören
1) in die Hanp treibe, P nnd Mj
2) in die brachyd. Nebenreihe, ;r, ky i und A,
3) in brachyd. Zwischenreihen, n und $,
Durch ihre Verhältnisse zur Grundgestalt bestim- men sich unmittelbar
Jlf =ooP (§.437, 4) h = ooPoo A =Poo (§.440, 2) Da die flächen n die makrodiagonalen Polkanten von P zuschärfen würden, so ist
n = P»
und, wegen der horizontalen CK. zwischen n und t^
t = fkPn Nun stumpfen die Flächen g nicht nur die CK. zwischen P und ooPoo , sondern auch jene zwischen ooP und Poo ab, folglich ist
9 sr nPn (§. 440, 5)
auch . = «P;^^ (§.440, 6)
daher - = 2?2 und « = P2 Da nun das horizontale Prisma $ die makrod. Polk der Pyramide j2P2 abstimipft, so ist $ = 2Poo Die Bestimmung des horizontalen Prismas :r for- dert eine Messung; misst man seine Polkante, so
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Systemlehre. Rhombisches System. Cap.If^. 43
findet man 140'' 23'; da nun die Polk. von Poo s 108^ 2r, und coaOflUy = 2cer54M3,5% lo folgt, dass
Die Combination ist non vollständig entwickelt, und ihr Zeichen:
<X)P.ooPoo.foo.P.2p2.f2.2Poo.iPoo.
i. 443. Coiiibiiiati4NieB des TopuM. Flg. 519 ist eine achtxfihlige Combination des Bra- silianischen Topases; wählen wir die mit 0 bezeich- nete Pyramide zur Grandgestalt, so wird «:i:c =»0,8985:1,893:1 oder sehr nahe = 0,9 : 1,9 :1 Da nan in der Zeichnung die Brachydiagonale wiederum die Richtung auf den Beobachter hat *), so oidnai sich die Gestalten, wie folgt; es gehören
1) in die Hauptreihe, c, Sf o und Jf,
2) in die brachyd. Nebenreihe, n und y,
3) in die makrod. Nebenreihe, si,
4) in eine brachyd. Zwischenreihe, /.
Um die Pyramide s zu bestimmen, messe man die CK. $:M; man findet 124'' 9^, und, nach Abzug von 90°, für die halbe Mittelicante der Pyramide 34"^ 9^; da nun dieselbe Kante in der Grundgestalt 45^ 27,5^ misst, und die Tangente jenes Winkels = i der Tangente dieses Winkels, so folgt
Das horizontale Prisma m stumpft die brachy- diagonalen Polk. von |P ab, und ist daher m = iVoo (§. 440, 2) Weil nun dasselbe horizontale Prisma die Com-
') Dies gilt «och für die folgenden Figuren.
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44 Reine Krystaüographiei
binationsecke zwischen c und o so abstumpft, dass seine Flächen als Rhomben erscheinen würden, wenn sie nicht zugleich die Durchschnitte mit $ erlitten, so wird für die Pyramide c = fliP
i = i^(«.440, 3) !
und daher c = 4^?
Das verticale Prisma / bestimmt sich aus einer Messung seiner makrod. Seitenkante, welche 93"^ 8' giebt, durch Yergleichung dieses Werthes mit dem Werthci 55"* 41^ derselben Kante io oqP ; nämlich / = ooP2
Da nun das horizontale Prisma % die hoherea Combinationsecke zwischen ool^2 und \V so abstumpft, dass seine Flächen als Rhomben erscheinen würden^ so wird
n = 2Pcx) (§. 440, 8)
Die Bestimmung des horizontalen Prismas y end^ lieh ist nur mittels einer Messung möglich; misstman. die CEL, y'n^ so findet man 161^ T\ da nun die halbe Polk. von 2Poo = 46'' 30", so findet sich nach der Formel
jr= 180' ~ {x—x")
in §. 441, die halbe Polk. von y =n 27" 37^ und au« dem Verhältnisse der beiderseitigen Cotangenten y z=z 4Poo Die Combination ist nun entwickelt, und ihr Zei* chen :
ooP.ooP2,P.iP.4P4Poo.2foo.4P<x?.
{. 444. Fortsetsang. Fig. 520 stellt eine neunzähl ige Combination dea Schneckensteiner Topases dar, in welcher die Pyra- mide o, durch eine Messung der CK. oiM^ als die* selbe Grundgestait erkannt wird, welche wir in Fig^«
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Systemlehre. JRhombisches SyMtem. CapilK. 45
519 annahmen. Für die Gestalten Sj M^ l^ n^ y gelten «Beselben Schlüsse wie im vorigen f . ; es ist daher wiederom
Jf=ooP
I =4P / = 00P2 n = 2P00
y = 4l^oo Da «ich nnn ^üch P anmittelbar als oP bestimmt^ to bleibt nns nur noch die Bestimmung der brachy- diagonalen Pyramide x» so wie des brachjd» vertica* lea Prismds u übrig.
Da X mit / horizontale CK. bildet» so ist j; = «P2 md da sie auch die CK. zwischen P und ^00 ab- stuapfiy so wird
^ = 4i^2 (§.437, 5, CG.) Das Prisma u bestimmt sich dur^h eine Messung, eben w wie im vorigen §• das Prisma /, als ocP3. Die Combinatioa ist somit vollständig entwickelt, und ihr Zeichen :
ooP.(xf 2.oc?3 oP.P.4P.2poQ.4Poo.}p2.
f. 445.
Combination dM Chryiotitb«. !rig.ö21 Stellt eine el&ählige Combination des Chrysolithes aus dem Meteoreisen von Krasnqjarsk dar. Wählen wir die mit e beseichnete Pyramide zur Grandgestalt, so wird
aih.c=z 1,2626:2,153:1 und e« ordnen sich die Gestalten, wie folgt; es ge- boren
1) in die Hauptreihe, P^ e, und n,
2) in die brachyd. Nebenrethe, A, $, 7, *
3) in die makrod. Nebenreihe, dj
4) in brachyd. Zwischenreiheu ,>,/,# und r.
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46 Reine Krystallographie.
Unmittelbar bestimmen sich sogleich: P= oP T= ocPoo « = ooP d = Poo Pa die CK. /: e nnd / : e nicht nur einander, son- dern auch der brachyd. Polkante von P parallel sind, so haben die Pyramiden f und / resp. gleiche Ablei- tnngszahlen, und sind daher von der Form miPm und m^Pm^; da nun s mit / und r mit / horizontale CK. bildet, so ist ^ = ooPsi und r=sooPfl|^
Misst man die CK. T: r und T: $, so findet man, nach Abzug von 90% die halbe makrod. Seitenkante im Prisma r = 54^20^ im Prisma * = 42*'54'; da nun dieselbe Kante im Prisma ocP 24^ 55^ misst, und sich die Tangenten dieser Winkel verhalten wie 1:2:3,
so wird: w
r = <x)P3
# = 0Qp2 und folglich auch
;== 3P3 /=2P2 Die Bestimmung der beiden horizontalen Prismen k nnd $ erfordert für jedes eine ^Messung ; misst man CK. Pik und Piij und vergleicht man die Tangen* ten ihrer Supplemente mit der Tangente der halben Mittelkante von Poo, so findet man k = 2Pcx) f = 4Pco Das Zeichen der nun vollständig entwickelten Combination wird:
oP.(X)Pcx).(»P.ooP2.ocP3.P.2P2.3P3.P(X).2Poo.4P(X).
I i 446.
CombiDation de« Barytes. Fig. 522 stellt eine zehnzäUige, tafelartige Com-
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Systemlehre, JShombisches System* Cap.If^. 47
binadon des Barytes vor^ für welche sich die %ra- midez als die bequemste Gnindgestalt darbietet; dann
uibie^z 1,6113 : 1,2275 : l md die verschiedenen Gestalten ordnen sich, wie folgt; es gekoren
1) in die Hasptreihe, P, t nnd Jf,
2) in die brachyd Nebenreihe, o und ^
3) iu die makrod. Nebenreihe, d und #,
4) in eine brachyd. Zwischenreihe, y und ^,
5) in eine makrod. Zwischenreihe, t.
Von diesen Gestalten bestimmen sich zuvorderst unoittelbar :
P= oP t = csoPoo
k =s OoJPoO
J!f==ocP o = I^oo
Misst man die CK. kiq^ m findet man 148'' 27', und, nach Aboug von 90% öS"" 27' für die halbe ma- krod. Seitenkante des Prismas q\ da nun derselbe Winkel im Prisma ooP 3^ 10" misst, so folgt q = ooP2 Die Pyramide y ist, wegen ihrer horizontalen CK. zu 9, eine w$2j und wegen ihrer Verhältnisse zur Grandgestalt, eipe P»; folglich: y = P2 Das horizontale Prisma d stumpft die brachyd. Polk. der Pyramide P2 ab; folglich wird d = +Poo (5. 440, 1) Endlich bestimmt sich durch Messung der CK. t.$, welche XbV SC
Das Zeichen der nun vollständig entwickelten Combination^ ist : ^
aP.iPoc)jPoo.ooPoo.ocPoo.ooP.P.P2.ooP2.
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48 Reine KrystcJlographie*
. # - 1-447.
. ComUiiatioina de» Kttemlxes. Die in Fig. 523 und 524 dargestellten ComUna^ tionen des Bittersalzes sind durch ihren hemiCdrischen Charakter sehr ausgezeichnet Wählen wir das Sphe- noid / zur Grundgestalt, so wird
a:b:e = 0,577:1,011:1 und wir erhalten unmittelbar för F%. 523 das Zeichen :
--.cx)P.ooPoo.
In Fig. 524 erscheinen beide complementSre Sphe-
P P
noide ?= -5- ^">d '' = — -5-» ausserdem
Jlf=ooP
O =s OoPcX)
p = ooPoo n =Poo «» = Poo
welche Gestalten insgesammt durch die HemiSdrie mcht afiKcirt werden. Dagegen erscheinen die Flä- chen i und ty Ton welchen jene einer makrödiagona-« len, diese einer brachydiagonalen Pyramide angehe ren, nur zu je vier, mithin als Sphenoide; da sie die CK. zwischen P und ooPoo einerseits, ocPoo ander- seits, no wie die CK. zwischen ocP und Poo einer« seits, Pco anderseits abstumpfen, so folgt, dass
2P2
^ 2P2
Nun sind die CK. zwischen g und $ dem brachy* diagonalen, die CK. zwischen r und / dem makrodia- gonalen Hauptschnitte parallel; folglich ist q = 2P00
r « 2P00
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Systemlehre. MoiioUinoedr. System. C<j^.L 40
Diese, wegen ihrer sphenoidlichen HeflüMrie sehr serinrardige Combinalion ist mm gleichfalls, und swwimaUifti^ von allen MesMngen entwickelt, und ik Tollstftiidiges Zeichens
Fünfter Absdimtt Vom monoklinoidrüciem Sjfsieme.
Erstes Capitel.
Von den Axen nnd einzelen Gestalten des
monoklinoCdrischen Systemes.
f. 448. Axm und Haoptscbnitte.
Das monoklinoMrische System*) ist nach f. 45 der In- htgnS aller derjenigen Krystallformen, deren geome- trischer Cirnadcharakter dorch drei Coordinatebenen bestimmt wird, Ton welchen sich xwei unter einem sdirfea Winkel C schneiden, während die dritte auf ihnen rechtwinklig ist Die drei Axen, welche sich als die Durchschnittslinien dieser Ebenen ergeben, scheinen jedenfalls in dem Verhältnisse der Ungleich- heit KU stehen, also durch a : b : c repräsentirt wer- den XH müssen, obgleich die Verhältnisse der Gleich- heit zweier gegen, eine ungleiche, und selbst der durchgängigen Gleichheit aller drei Axen dem we-
*) HeBiprumatbchet System, Mobs; zwei - and - dngliedrigef, m wie eb-and-zweigliedriget S., Weist; hemirhoiibisches 8., Bneitkaspt; kliaorlisfflbiichet B. nsch meiiier firaheren Benenouog.
a 4
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50 Reine Ktystaüographie^
sendichen Charakter de» Systemes nicht widerstrei- ten würden*). Zwischen den drei A:x:en finden die- selben Neigungsveriilknigse StatI, wie zwischen den drei Coordinatebenen , d.h.. zwei derselben schneiden sich unter einem schiefen Winkel y = C, während die dritte auf ihnen beiden rechtwinklig ist. Diq eine Coordinatebene, welche im Vergleiche zu den beiden andern einen eminenten Charakter besitzt, und den ganzen Inbegriff von Ebenen und Linien in zwei con- gruente Hälften theilt, bestimmt auch die normale Stellung des Systemes, welches dem Beobachter nur dann in der grossten Synunetrie erscheint, wenn jene Ebene vertical steht und auf ihn zuläuft. Da nun in derselben Ebene die beiden schiefwinkligen Axen ent- halten sind, so wird auch nur eine dieser Axen zur Hauptaxe erwählt, und hur nach einer von ihnen die aufrechte Stellung bestimmt werden können. Die beiden andern Axen erhalten dann die Bedeutung von Nebenaxen, welche durch ihre Lage wesentlich verschieden sind, indem die eine rechtwinklig, die andere schiefwinklig gegen die Hauptaxe, und daher bei aufrechter Stellung jene horizontal , diese geneijgt ist. Da sie nun zugleich die Diagonalen der durch sie gehenden, geneigten rhombischen Basis des Syste- mes bilden, so unterscheiden wir sie ein für alle Mal aU Orthodiagonale und Klinodiagonale, und benennen auf gleiche Weise die Coordinatebene durch die Hauptaxe und geneigte Nebenaxe den klinodia- gonalen Hauptschnitt, die Coordinatebene durch d^e Hauptaxe und horizontale Nebenaxe den ort ho-.
*) Auf der andern Seite würden aber auch diese Verhältn'sse für die Erscheinungsweise der Gestalten keine grossere Symmetrie zur Folge haben , indem mit diesem NeigungsverliältnUse der Axea ein, durch kein Grdssenverbältniss auszugleichender Charakter der Unsymmetrie eintiitt.
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Sfystemlehre. Monoklino'edr. System. Cap, L 51
diagonalen Hanptschnitt. Die schiefe Lage der YliombiBchea Basis ist ein besonders hervorstechendes Merkmal der KrysCaUformea dieses Systemes.
§. 449. Rechttet^oDg dea geometritchea Grundckarakters«
Maji hat dieses System als eine blosse hemiSdri- •ehe Modification des rhombischen Systemes aa deu- ten, und somit die Selbständigkeit nnd Eigentbümllch- keit desselben sweifelfaaft zu machen gesacht. Da diese Yorstellnngsweise Ton der hier befolgten we- sentlich abweicht, so erlanbe ich mir snr Rechtferti- giuig der von mir adoptirten, nnd hier xaGmnde ge- legten Ansicht folgende Bemerkungen.
Nicht zu läugnen ist es, dads die Zuruckf&hning der monoUinoSdrischen Krystallformen auf das rhom- bische System fiir die Berechnung grosse Yortheile gewährt, weil d^ schiefe Neigungswinkel ein den Calcül nicht wenig erschwerendes Element ist. Allein hierin, und allenfalls in dem Zusammenhange, wel- eker dadurch fSr einigermaassen verwandte Formen gewannen witd, scheint mir der einzige erbebliche Vortheil dieser Ansicht zu liegen Die Symmetrie der Combinationen, die Einfachheit der Bezeichnung «nd die Leichtigkeit der Uebersicht müssen mehr oder weniger aufgeopfert werden, um jene Vereinfachung des Calcüls zu gewinnen. Ausserdem scheinen aber noch folgende Umstände der Deutung des monokli- noidriachen, als eines blos hemirhombischen Syste- entgegen zu stehen. 1) Die Art der HemiSdrie, wie solche für die Ab- leitung der monoklino^drischen Formen ans dem rhombischen Systeme gefordert wird, findet kein Analogen, weder im tetragonalen, noch im hexa- gonalen oder tesseralen , Systeme; ihr Gesetz ist eben so abweichend, als ihre Resultate fremd-
4*
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52 Reine KrystaUographie.
artig sind, so dass eher von einer unsymmetri- schen Halbirang als von einer Hemiidrie die Rede seyn kann (vergL %. 451).
2) Die Erscheinung der Gegenkörper oder comple- mentären hemiSdrischen Formen, welche in al- len übrigen, der Hemi^drie fähigen Systemen hSulSg beobachtet wird, ist kaum für eine dei* monoklinoSdrischen Krystallreihen mit hinläng- licher Evidenz dargethan.
3) In den bekannten rhombischen Krystallreihen sind die gegenseitigen Verhältnisse der einzelen Gestalten und diö ihnen entsprechenden Ablei- tungszahlen sehr einfach ; diese Einfachheit geht für die monoklino^drischen Krystallreihen gros- sentheils verloren, wenn man solche als hemi- rhombische betrachtet; und man begreift nicht, warum die angebliche HemiSdrie nur in diesem Systeme solche Störungen veranlassen soll, von welchen sich in den übrigen Systemen keine Spur findet, indem in ihrer hemiedrischen Er- scheinungsweise dieselben einfachen Verhält- nisse obwalten wie in ihrer holo§drischen Aus-
- bildüng.
4) In den bekannten rhombischen Krystallreihen ist die Erscheinung der drei, auf einander recht«- winkligen Flächenpaare etwas ganz Gewöhnli- ches. Da nun die ai^ebliche Hemißdrie diese Flächenpaare nicht verdrängen kann, so ist es sehr zu verwundern, dass bis jetzt das gleich- zeitige Vorkommen derselben kaum für eine ein- zige monoklinoMrische Krystallreihe bestimmt nachgewiesen werden konnte.
5) In den entwickelteren rhombischen Krystallrei- hen erseheinen neben den verticalen auch beide Arten von horizontalen Prismen ; während gerade in den entwickeltsten monoklinoßdrischen Kry-
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^siemlehre. MonolHnoSdr. System. Cap.I. 53
stallreihen nie drei auf einander rechtwinklige Prismen oder Hemiprisraen xn beobachten sind. Ausser diesen Gründen, welche für die folgenden beiden, als tetarto6drisohe Modificationen de« rfaom* bischen Systenes gedeuteten Krystallsysteme auf ihn« liehe Weise galten, lassen sich noch andre ans den physischeii Verhältnissen der monoklinofidrischen Kry«* stallreihen ableiten, welche für die Annahme schief- winkliger Axen sprechen, so dass ich mich nnbe* dingt zur Beibehaltung derselben entschlossen habe, xomal da sich neuerdings sehr competente Anctoritii« ten für dieselben ausgesprochen haben*),
f. 450. CooitrscÜoa ciiier moBokünoSdrisdien Gestalt
Wenn wir uni ein monoklinoedrisches Axensj«
^
*) Man kann besondert den Wolfram nndPjroxen als ein paar wvMtge Instanzen gegen die Annahme eines monokÜno^drischea» wmä für die Realität eines eigentbünilichen hemirbombisdien Hy-r steows anfuhren I da die Zwillingsbildung Ar beide Spedes auf eine Ton Messungen ganz unabhängige Art den orthometrischeQ Charakter darthut (vergL §• 657 und 660)u Allein abgesehen da^ Ton, dass ne yielleicht die einzigen Species sind, för welche dies als erwiesen betrachtet werden kann (während die Dimensionen der übrigen monokUnoSdrischen Krystallreihea, und selbst jene des Or- fhoklaaes, mit der Annahme rechtwinkliger Axen nicht wohl yer-r cinbar sind), so scheint auch der Habitus und die ganze Entwick- lung ihrer Krystallformen weit mehr f&r ihre Einordnung in das monokünoedrische System zu sprechen, in welchem man also, wie dies schon von Mobs geschehen ist, einige KrystalLreihen anzuneh- men haben würde, in denen die Abweichung der Klinodiagonale ▼on der horhontakn Lage sss 0, oder der Winkel C sss 90^ ist. Wenn abo durch solche Krystallrmhen eine Art tod Verknüpfung zwisdien dem monokUooedrischen und rhombischen. Systeme indi- ' eilt zu sejn scheint, so ist doch die wesentUcbe Verschiedenhei|^ ihrer beiderseitigen Gestaltungsgesetze qualitaÜT zu scharf ausge* sprochen, und in den meisten uionoklinoedrischen Krystallreihen quantitatiY zu fest begründet, um die Deutung aHer dieser letzte- ren als blosser heairhombischer Krystallreihen zu gestattsu.
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54 Reine Krystallographie.
Stern , in Uebereinstiniinung mit dem in §. 46 aufge- 0ielkeii Begriffe von Gestalt, für das Yerhältniss dreier ungleicher Parameter a, h und c den vollstän- digen Inbegriff aller möglichen isoparametrischen Hä-» eben construiren, so finden wir die Zahl derselben Jedenfalls auf acht beschränkt, und zugleich das merk- würdige, aber sehr begreifliche Resultat, dass diese, sich gegenseitig cu Dreiecken begränzenden acht Flä- chen zweierlei veirschiedenen Werthes sind, indem die, in dem spitzen Winkelraume des basischen und orthodiagonalen Haoptscbnittes gelegenen vier Drei- ecke von den, in 4®m stumpfen Winkelraume dersel- ben Hauptschnitte gelegenen vier Dreiecken wie durch ihre Lage, so durch ihre Figur abweichen. Die bei- derlei Dreiecke haben nämlich zwei Seiten gleich, aber die dritte Seite ungleich, und zwar die über dem spitzen Winkel C gelegenen die kleinere, die andern die grössere dritte Seite. Da nun jede einfache Ge- stalt nicht nur von isoparametrischen, sondern auch von gleichen und ähnlichen Flächen umschlossen seyn muss (§46), so kann die so construirte monoklinoS- drische Gestalt auch keine einfache, sondern nur eine zusammengesetzte, und zwar eine dimerische oder aus zwei Theilgestalten zusammengesetzte Ge- stalt seyn.
§. 451. Selbständigkeit der TheilgestalteB.
In dem zusammengesetzten Charakter seiner Ge- stalten liegt der Grund der so eigenthümlichen Er- scheinungsweise dieses Systemes, welche es auf den ersten Blick vom rhombischen Systeme unterscheiden lässt, selbst wenn der Winkel C einem rechten sehr nahe kommen, und daher die schiefe Lage der Basis der unmittelbaren Beobachtung entgehen sollte. Es besteht nämlich zwischen den beiden Theilgestalten
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Systemlehre. MonohUno'edr. Sy$ie/n. Cap. L 55
einer jeden monoklinoSdrischen Gestalt eine so vol- lige Unabhängigkeit ibres Auftretens, das» nichts we- niger als ein nothwendiges Zusammenvorkommen oder eine gleichzeitige und gleichmässige Ausbildung der- selben gefordert wird, vielmehr die eine ganx un- abhängig von der andern in die Combinationen eingeht; weshalb denn auch von vielen Gestalten der bekannten monoklinogdrischen Krystallreihen bis jetzt nur einzele Theilgestalten beobachtet sind, und die- jenigen Fälle, da beide Theilgestalten zugleich und im Gleichgewichte vorkommen, zu den seltneren gehören. Diese Zerfällbarkeit der Gestalti^n in zwei we- sentlich verschiedene , und von einander unabhängige Elemente ist also eine dem gegenwärtigen Krystall- systeme ganz eigenthiimliche Art der Hemi^drie, wel- che mit dem gleichnamigen Verhältnisse in den bis- her betrachteten Krystalisystemen nicht wohl als iden- tisch betrachtet werden kann,
1) weil in der verschiedenen Lage und Figur der beiderlei Flächen eine Disposition, icb möchte zagen eine innere Nothwendigkeit, zu jener Zer- iallung gegeben ist, von welcher in den holoe- drischen Gestalten der übrigen Krystallsysteme keine Andeutung zu finden;
2) weil die Theilgestalten offene, oder den Raum nicht umschliessende Gestalten sind, während die hemiedrischen Gestalten der bisherigen Krystall- systeme eben so wohl, als ihre respectiven Mut- tergestalten geschlossene Gestalten waren;
3) weil die beiden Theilgestalten einer und dersel- ben Stammform keine gleichwerthigen Gestalten sind, da doch je zwei aus einer und derselben Muttergestalt abzuleitende hemi^drische Gegen- körper als zwei, nur durch ihre Stellung oder die Verknüpfung ihrer Begränzungselemente ver- schiedene Ebenbilder befunden wurden.
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5$ Rein0 KrystaUogrcq^hie.
§. 452.
Etnzelo Gestalten dea %iteBiM.
Die verschiedenen Gestalten dieses Systemes sind
1) Monoklino€drische, in xwei Theilgestalten zer- fallende (dimerische) Pyramiden.
Die in $. 450 censtruirte monoklinoMrische Ge- stalt wird nämlich im Allgemeinen als eine Pyramide xn bezeichnen seyn^ da sie eine von acht Dreiecken umschlossene Gestalt ist, leren Mittelkanten in einer Ebene liegen. Obgleich nun diese monoklino^drischen Pyramiden selten vollständig, sondern gewöhnlich nur zur Hälfte, mit einer ihrer Theilgestalten ausgebildet sind, so müssen wir doch sowohl für die Betrachtung der einzelen Gestalten, als auch ganz besonders für die Lehren der Ableitung eine vollständige Erschei- nungsweise derselben voraussetzen, weil es ausser- dem nicht wohl möglich seyn würde, eine geordnete Uebersicht der verschiedenen Gestalten dieses Syste- mes und der sie verknüpfenden Verhältnisse zu ge- winnen.
2) Prismen, weldie, je nachdem sie derHauptaxe, der Klinodiagonale oder Orthodiagonale parallel sind, als verticale, geneigte und horizontale Prismen erscheinen ; diese letzteren zerfallen in zwei, von einand^ unabhängige Hemiprisihen.
2) Die drei Coordinatebenen des Systemes, als ba- sisches, orthodiagonales und klinodiagonales Flä- chenpaar«
f. 453. Monoklhioedrisdie Pyramiden.
Die vollständig erscheinenden monoIflinoSdrisehen Pyramiden, Fig. 590, sind von acht, zweierlei ungleich«» seitigen Dreiecken ums<$hlossene Gestalten, deren Mit- telkanten in einer Ebene liegen, und haben 12 Kan-* teu^ 6 Ecke.
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Syßtemlehre. MmolUnoedr. System. Cap. L 57
Die Flächen gnippireii sich in vier Fläcbenpaare, indem immer je'xwei gleiche and ähnliche Flächen ein Flächenpaar bilden, nnd je awei gleiehwerthige Paare för einander als Gegenflächenpaare erscheinen. Die ganze Pyramide xerfftUt also in xwei Hemipy- ranpiden» oad jfide Henupyramide wiederum in swei rännder gegenüberliegende Glieder. Wir nennen die- jenige Tbeilgestalt, ikren Flächen über dem spitzen Winkel C liegen, die pesitiye, die andre die ne- gative Bemipyramide, nnd anterscheiden sie in der Bezeichnnng durch Yorselznng der Hülfselenente + und — .
Die Kanten sind viererlei: 2 symmetrische, län- gere, ztnmpfere Pelkanten der negativen; 2 derglei- chen, kürzere, schärfere Pelkanten der positiven He- mipyramide; 4 unregelmässige, viÜH beiden Hemipy- ramiden gebildete Polkanten, und 4 eben dergleichen Mittelkanten. Von diesen Kanten sind die beiden erst genannten Polkanten von besonderer Wichtigkeit
Die Ecke sind unregelmässig, vierflächig nnd dreierlei: 2 dreierleikantige Polecke, 2 dergleichen Mittelecke, an den Endpuneten der Klinodiagonale, und 2 zweierleikantiige Mittelecke an den Endpuneten der Qrtbediagonale.
Der basische undiOrthodiagonaleHanptschnittsind Rhenüben» der . klinodiagonale fiauptschnitt ist ein UiembouL
f. 454.
HeoiipyTaniideii.
Jede Hemipyramide stellt für sich allein einen In- b^^ff von vier, ihren Polkanten parallelen Flächen^ also eigentlich eine offene, prismen- ähnliche Gestalt dar, welche sich jedodi von den eigentlichen Prismen dadurch unterscheidet, dass ihre Flächen keiner der krystallographischen Axen parallel sind ($. 56). Sie
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58 Reine Krystallograpkie.
kann übrigens eben so wenig, als irgend ein Prisma, selbständig, sondern nur in Combination mit andern, ihre indefinite Ausdehnung begränzenden Gestalten auftreten. Weil aber je zwei zusammengehörige oder coordinirte Hemipyramiden nur selten zugleich, und noch seltner im Verhältnisse des Gleichgewichtes in einer und derselben Combination aufzutreten pflegen, so wird die Bestimmung ihrer selbständigen Erschei- nungsweise von noch grösserer Wichtigkeit, als die Bestimmung ihres gemeinschaftlichen Vorkommens in der vollständigen monoklinoSdrischen Pyramide.
Die Hemipyramiden zerfallen in ein oberes und ein unteres Glied oder Flächenpaar, und haben 4 Kanten. Ihre Kanten sind einander parallel, aber zweier- lei: zwei, im klinodiagonalen Hauptschnitte liegende Polkanten, und z#ei Mittelkanten.
Jede Fläche einer Hemipyramide kommt mit den drei Hanptschnitten zum Durchschnitte, und bildet daher eine basische, orthodiagonale und klinodiago- nale Intersection, welche Intersectionen nur dann als vrirklicke Kanten erscheinen, wenn das, dein resp. Hadptschnitte entsprechende Flächenpaar mit der He- mipyramide wirklich combinirt ist.
Die Neigungswinkel jeder Pyramidenfläche gegen die drei Coordinatebenen werden gleichfalls nach den Namen dieser Ebenen als die basische, ortho- diagonale und klinodiagonale Kante der He- mipyramide unterschieden.
Von den übrigen Gestalten des Systemes kann erst im folgenden Capitel die Rede seyn, weil solche nur als die Gränzgestalten der Pyramiden zu betrach- ten sind.
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Systemlehre. Monoilinoedn System. Cap. iL 50
Zweites Capiteh
Von der Ableitung der inopoklinoiSdritehen Gestalten.
f. 455.
Gnindgettah.
Für die Ableitnngen in diesem Systeme wählen wir irgend eine vollständige monoklino^drische Pyra- ■ide als Grandgestalt, beieichnen sie mit +P, indem wir die Zeichen ihrer Theilgestalten zusammenziehen, und setzen das Yerhältniss ihrer Hauptaxe, Klino- fiagonale und Orthodiagonale =5 a : i : c, den Nei- gugiwinkel der schiefen Axen = y.
Ans dieser vollständigen Pyramide leiten wir die ibrigen Gestalten gerade so ab, als ob auch sie je» leofalls vollständig und in derjenigen Regelmässigkeit ettduenen, welche ein vollkommenes Gleichgewicht 11 der Ausbildung ihrer resp. Theilgestalten voraus- tetsen würde. Obgleich nun die Wirklichkeit dieser Voraossetsung nur selten, und auch dann nur annä- henuigsweise entspricht, so müssen wir sie doch als Httlbvorstellung gelten lassen, um zu einer leichten Uebersicht sämmtlicher Gestalten, und zu einer be- itimmten Eanaicht in ihren gegenseitigen Zusammen- buk zu gelangen.
8. 456. Hanptreihe monoklmoödrischer Pyramideo.
Aus der Grundgestalt +P lässt sich eine RMbe moBoklinoSdrischer Pyramiden von gleicher Basis und RSehenstellung ableiten.
Man multiplicire die Hauptaxe der Grundgestalt nit einem Coäfficienten m, der > oder < 1, und lege für jeden Werth von m Ebenen durch die Mit- telkanten und die Endpuncte der verlängerten oder
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60 , Reine Krystallographie.
verkürzten Hauptaxe, 90 wird jedenfalls über dersel- ben Basis eine monoklino^drische Pyramide von »fa- chcrAxe construirt, deten Zeichen =+mP. Da nun m alle rationalen Werthe zwischen 0 und 00, auch diese Gränz werthe selbst annehmen kann, so erhal- ' ten wir einen zahllosen Inbegriff von dergleichen Py- ramiden, der sich unter dem Schema der Reihe
oP ±mV +P +i»P ooP
darstellen lässt, in welcher die Glieder linker Hand von P lauter flachere^ die Glieder rechter Hand aber lauter spitzere Pyramiden sind, als +P.
Diese Reihe heisst >vieder die Haup treibe, ist aber eigentlich eine Doppelreihe, indem die positi- ven und negativen Hemipyramiden in gegenseitiger Unabhängigkeit neben einander fortlaufen, und jedes +ifiP keinesweges an sein —mP so gebunden ist, dass beide zugleich auftreten mßssten. Nur in den Gränz- gliedern verschwindet diese Zweideutigkeit, indem oP die schiefe Basis oder jede ihr parallele Fläche, und cxP ein verttcales Prisma von rhoinbischem Quer- schnitte bedeutet, welches immer auf dieselbe Weise erscheint, man mag es als -|-ooP oder als — ocP be- trachten, wiewohl seine Flächen eine verschiedene Bedeutung haben, indem zwei auf die obere, und swei auf die untere Hälfte der Uauptaxe zu beziehen sind. Die Combination cx)P.oP stellt daher ein ver- ticales rhombisches Prisma mit schief angesetzter End- fläche (ein Hendyoöder) dar.
§. 467. Rdhen der orihodiagonalen und kilttodiagonalen Gestaltco.
Aus jedem Gliede der Hauptreihe lassen sich zwei Reihen von Gestalten ableiten, in welchen einerseits die Klinodiagonale, anderseits die Orthodiagonale der Grundgestalt noch unverändert enthalten ist.
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Systemlehre. Monohünoedr. System. Cap. IL Öl
Da w^en 'des verscfaiedenen Werthes der beiden Nebenaxen für dieses und die folgenden Kristallsy- steme die für das rbombische System in $. 414 anf- ^stellte Regd xn beriicksicbtigen, und daber für die ferneren Ableitangen jede Diagonsde besonders in An- sprach xn nehmen ist, so werden sich aach aas je- dem Gliede +«1? der Hauptreihe zwei verschiedene Inbegriffe von Gestalten ableiten lassen« Wir wer- den diese Gestalten nach dem Namen deijenigen Dia- gonale, dnrch deren Veränderung sie erhalten wer- den, als orthodiagonale und kliuodiagonale Gestalten, und die Zeichen der letzteren von den Zei- chen der ersteren dadurch unterscheiden, dass wir selbige in Klammem schliessen.
Man vervielfache also in irgend einem +isP zu- vorderst die Orthodiagonale nach einem rationalen Co§fficienten n, dessen Gränzwerthe 1 und oo, und verbinde die Endpuncte der Klinodiagonale mit den Endponcten der so verlängerten Orthodiagonale, so wird jedenfalls in der Ebene der Basis ein Rhombus von den Diagonalen 2b und 2nc construirt. Legt man nun Ebenen durch die Seiten dieses Rhombus und durch die Pole der Hauptaxe von +i7iP, so wird eine Bonoklino^drische Pyramide, zwar von gleicher Haupt- axe und Klinodiagonale mit +f»P, aber von grösse- rer Orthodiagonale, daher auch von verschiedener Basis und Flächenstellung zum Vorscheine kommen, deren Zeichen = +i»Pii.
Da nun n alle rationalen Werthe von 1 bis oo annehmen kann, so folgt aus jedem Gliede der Haupt- reihe eine Reihe orthodiagonaler Gestalten:
. +«»P ±m?n ±mVx>
welche gleichfalls eigentlich eine Doppelreihe ist, weil jede ihrer Gestalten in zwei, von einander un- abhängige Theilgestalten zerfällt. Ihre Gränzglieder sind einerseits + «»P) oder das der Ableitung zu Grunde
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62 Reine Krystallographie.
gelegte Glied der Hau|>treihe) anderseits +i»Pao, oder ein horizontales Prisma von rhomboidischem Quer- schnitte, welches wegen der verschiedenen Lage and Ausdehnung seinerFlächen in zwei, von einander un^ abhängige Hemiprismen zerfällt.
Ganz auf ähnliche Art gelangt man aus jedem ' + ffiP, indem man, bei constanter Orthodiagonale, den CoSfßcienten n anf die Klinodiagonale besieht, auf eine Reihe von klinodiagonalen Gestalten
+jwP ±(«P«) («Poe)
welche wiederum, mit Ausnahme des letzten Gliedes, eine Doppelreihe ist. Dieses, von dem Gränzgliede der vorigen Reihe wesentlich verschiedene letzte Glied ist nämlich ein geneigtes Prisma oder Klinoprisma von rhombischen Querschnitten, und eine einfache Gestalt, deren vier Flächen jederzeit vollständig er- scheinen.
§. 458. ' Reihen der orthodlagonalen und künodiagonalen Prismen.
Machen wir die Ableitungen des vorhergehenden f. auf ooP, oder das verticale Prisma der Hauptreihe geltend, so erhalten wir zwei verschiedene Reihen verticaler Prismen. Die erste dieser Reihen, oder die Reihe der orthodiagonalen Prismen hat die Form
ooP ooPä ooPoo
ihre mittleren Glieder bilden Zuschärfungen, ihr letz- tes Glied Abstumpfungen der klinodiagonalen Seiten- kanten von ccP, indem dieses letzte Glied ein, dem orthodiagonalen Hauptschnitte paralleles Flächenpaar darstellt, und daher den Namen des orthodiago- nalen Flächenpaares fährt
Die zweite Reihe, oder die Reihe der klinodta* gonalen Prismen hat die Form
C»P (OoPä) ((X)P(X>)
ihre mittleren Glieder bilden Zuschärfungen, ihr letz-
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Sysiemlehre. Monohlinoedr. System. Cap^II. 63
tes Glied Abstampfangen der orthodiagonaien Seiten- kantea von ooP, indem dieses letste Glied ein, dem klinodiaganalen Hauptschnitle paralleles Flächenpaar darstellt, und daher den Namen des kl ino diagona- len Flächenpaares führt.
Anmerkung. Um die verschiedenen Prismen, welche in diesem Systeme vorkommen , knn nnd he- xeichnend unterscheiden zu können, wollen wir uns küirftig für verticale Prismen des Wortes Prisma schlechthin; für horizontale Prismen, weil solche nar kl ihren Theilgestalten erscheinen, des Wortes He- miprisma, und für geneigte Prismen des Wortes Klinoprisma bedienen.
f. 459. Schema des Hionokliiioedriscben Systemea. In den Resultaten der vorhergehenden §{. ist die Au^be der Ableitung vollständig gelöst ; eine Zusam- menstellung jener Resultate Jässt uns zu folgender schematiachen Uebersicht der sämmtlichen Gestalten des Systenles gelangen:
oPoo +»Poo +P(X) ±«iPao...^....cxPoo
oP«. ..+mPn +Pn + mPn ocP
oP
•••••••»••
,+«ip. +p +«p..
,.ocP
(ofa).....±(m¥n) +(P«) ±{mVn) (ocPä)
(•Pc3o)...„..(»iPco) (Poo) («Poo) . ...(ocPcc)
Der blosse Anblick dieses Schemas lehrt ans fol- gende Verhältnisse der in ihm enthaltenen Gestal- ten kennen:
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64 Beine Krystaüographie.
1) Die mittelste horizontale Reihe, oder die Haupt« reihe des Systemes enthält alle Pyramiden, so wie das Prisma tob gleicher Basis und Hieben- Stellung mit der Grundgestalt; die sämmtlichen Pyramiden erscheinen als Hemipyramiden.
2) Das ganze Schema wird durch die Hauptreihe in zwei Hälften getheilt, von welchen die obere die orthodiagonale, die untere jdie klino- diagonale Hälfte genannt wird; die Haupte reihe selbst hat einen neutralen Charakter, und ihre Gestalten lassen sich eben so gut der ei- nen wie der andern Hälfte beirechnen«
3) Die oberste horizontale Reihe, welche wir die orthodiagonale Nebenreihe nennen, ent- hält die sämmtlichen Hemiprismen, so wie das orthodiagonale Flächenpaar.
4) Die unterste horizontale Reihe, welche wir die klinodiagonale Nebenreihe nennen, ent- hält die sämmtlichen Klinoprismen, so wie das klinodiagonale Flächenpaar; keine der in ihr enthaltenen Gestalten zerfällt in Theilgestalten.
5) Die mittleren horizontalen Reihen der oberen Hälfte des Schemas, oder die orthodiagona- len Zwischen reihen enthalten alle ortho- diagonalen Pyramiden und Prismen; jede Pyra* mide zerfällt in zwei Hemipyramiden.
6) Die mittleren horizontalen Reihen der unteren Hälfte des Schemas, oder die klinodiagona- len Zwischenreihen enthalten sämmtliche' klinodiagonale Pyramiden und Prismen ; jede Py- ramide zerfallt in zwei Ilemipyramiden.
7) Jede Terticale Reihe enthält Gestalten von glei- cher Länge der Hauptaxe (daher die äusserste Reihe rechter Hand sämmtliche Prismen), zer- fällt aber, wie das ganze Schema, in eine or- thodiagonale und eine klinodiagonale Hälfte;
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Systefniehre. Mmoklinoedr. System. CapJU. C&
Jene kq;teift lauter Gestalten ^ in wdichen 4er kliaodiagoaale Haaptschnitt, diese lauter 6e8tal<» ten, in weichen der ortiiodiagonale Hanptschnitt des Gliedes der Hanptreihe neeh unverändert enthalten ist«.
Drittei Capitel
Von der Berechnung der monoklinoSdri« sehen Gestalten«
i 460. Vorberettuiig«
Wegen des isolirten Auftretens ihrer Theilgestal«* tea ist die Berechnung der voUständigen monoldinoö^ drisdien Pyramiden TOtt weit geringerer Wichtigkeit^ ab die Berechnung der Hemipyramiden. Weil aber diese letzteren keine geschlossene Gestalten sind, sa Bissen wir ihrer Ausdehnung dieselben Gränzen setzen, irelche ihr in der vollständigen Pyramide zukommen, mdem wir für jedes Glied einer Ilemipyramide, nächst sanein zwei eigenthumlichen Flächen, den basischen «id oithodiagonalen Hauptschnitt als Begränzungsflä- dien eetsen. Um nun die Berechnung in der gross- tan Allgeraeinheit zu jfähren, haben wir selbige auf die Hendpyraniide +P oder ^^P, von dem Verhält«! Bisse a:6:c und dem Neigungswinkel Cs= y zu grün« den« Wir bezeichnen in P
die klinodiagonale Kante mit X
- orthodiagonale - • F
« basische " * Z
die ebenen Winkel jeder Fläche, analog den ihnen
gegenüberliegenden Kanten, mit $, v und ^, und die"
tdben Kanten und Winkel in der negativen Hemipy«
ü. 5
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66 Reine Kry^allographie.
ramide — P mit den ^M^centoirteti Bach8tab«ii X, Vy Z\ ^y v' und C.
EndBch besieiclinen wir in P den Neigungswinkel d. kBnod. Polk. ig^;en die Hanptaxe mit ft
- - - - - - - Klinodiagonale mit v
- orthod. Kante • - • Axe mit n
- basischen Kante - - Klinodiagonale mit er und die beiden ersteren Wiiikel |n der negativen He- mipyramide mit f/ und v^
«. 461.
Fliehen -Konaale»
Die Gleichungen der Flächen-tNormale für die po- sitive Hemipyramide P sind die in §. 28 stehenden Gleichungen (25), (26) und (27), wenn man in ihnen y statt ^ schreibt, also
^ y ^ 0
5"— ocöjry a — bcoi'y
Z X
\$in'^y c(b — aeoty)
= 0
c(a — bcofy) mbtin^y
setzt man eety negativ, so gelten dieselben Gleichun- gen fQr die Häehen -Normale der negativen Hemipy^ ramide.
Durch Combination der orthometrischen Gleicbmi«!» gen der Flächen -Normale (22), (23) und (24) m §. 28 mit der gleichfalls orthometrischen Gleicfaimg der Fläche F erhält man die orthometrischen Coordi-« naten Xi^ yi und z ihres Durchscfanittspunctes; addirt man die Quadrate derselben, und zieht aus der Summe ^e Quadratwurzel, so eriiält man die Länge der Flä- chennormale
j^ _ ^ «Äcföiy
in welchem Ausdrucke die oberen Zeichen für die po«
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Syatemiehre. MomokUii^Mt.Syatiii^ Cap.IIl 07
lidfre, 41» «nteMii far 4ie Mgaftfre fi«B^«ainiM» gelten. Setzt man 4ea Mendw 3= Jf «dlw s« Jf, j« •aehdem «•#}' poüliT «tief negatiT ürt^ 10 wird
KT — «^c^r
«. 46?. Kantenlinico oder Intenecttonea.
Die klinodiagondie KanftenUnie ist in der poiiti- rea Hemipyramide kleiner all in der negatiTen, weil •ie für jene den spiUen , für diese den stumpfen^ swi- schen den Seiten a mid b eingeschlossenen Winkel y scUiesst; es wird daher
Xaa ^4t*+t^'^2mb€09r
J7=r Va^+b^+2mbea»y Die orthodiagonale und basische Kantenlinie Y Bod Z haben dagegen für beide Hemipjramiden die- selben WerthC) n&mlich
f. 463. T0I1BMD und OberlUdie.
Das Volomen v Jeder Hemipyraniide Ist gleich den doppelten Yolomen 9 eines ihrer Glieder. Be- traditet man die halbe Basis =3 ic als Chrnndliehe dnes solehen Gliedes, so wird aHny die Höhe des- selben, und daher
v =5 29 =s iabeiifiY md endlich das Volnmen der vollständigen Pjrmnide F ae Ai; csB 49 =? ^obtsiny Dividirt Mm 9v dweh die Fltehennomale N oder
6*
t
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68 Reine KrystdllograpTiie.
Ifj 80 folgt för die Oberfläche « oder s^ der positiv ▼en oder negadren Hemipyramide
und der FUcheninhaU einer Pyramidenfläche
1 464. FlächenwinkeL
Die Sinns der Flächenwinkel finden sich nnmi(-
telbar aus den bekannten Flächeninhalten F nnd F%
nnd den gleichfalls bekannten Seiten X, JT, Y und
Z, nach den Formeln
. ^ 2F . ^, 21^ itni Ä y^, ifuS' = Y^ n. M. w.
Die Cosinus derselben Winkel erhält man mit* tels der Formeln in $. 30, oder auch nach bekannten Formeln der Trißdrometrie
iS ^^ c^+abco9y
?~ V^a^+c^Vb^ + c^
iV ^ b{b + aco9Y) ^
V ~ ^a^+b^+2abcosy Vb^+c^ iJ a(a'^bco9y)
coi
€09
€09
C Va^ + b^+2abco9yi^a^ + c^ Kennt man erst M nnd JUT^ so werden diese Win- kel am leichtesten durch ihre Tangenten bestimmt, wie folgt:
a(a — bco9yy ^ a(a + b co9y)
Es ist in praxi sehr wichtig, diese Winkel, so«
mal aber v und ^, als Functionen der Kantenwin*
kel Xj Y nnd Z und der Uauptschnittwinkel /ci, y, tt
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Sysiemlehre. Monolünoedr. System. Cap.IIL 69
und ff zu kennen; diese Aasdrücke sind nach bekann- ten Regeln
|
coiv = eoiXcoiZ |
COtvf =r COtXcOtZi |
|
= co$yco$a |
= coii/coia |
|
tangv ^^- CO.X |
|
|
tangis ~ coiZ |
fange |
|
eoil = cot X cot Y |
cQit^ = 0otTc9iY^ |
|
= coificosn |
=3s COM f/ com |
|
'^c= '^ |
•^f-^ |
|
tangn ~ C9$Y |
tangn |
i 465. Winkel der Haoptsduiitta.
Die Winkel der Hanptschnitte fi^ ft' Vy v^y ^rnndor qdelea eine so wichtige Rolle bei den Berecluuingen «Gebiete dieses Systemen , dann es qothig ist, sie ik Fonctionen sowohl der Axen ids auch der Kan- tenwinkel zu kennen.
Man findet zuvörderst
^ t^' u + bcoiy
aitny
acouy
tangn saa —
41
l^migfff =
Da die vorstehenden Ausdrucke für tangfi und f^v sehr oft in Rechnung kommen, so wird es vor- tkeilhaft seyn, sie etwas bequemer einzurichten, in- ^a man sie zunächst auf die Form
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70 BeÜM KrytUMogrcqthie,
±+—co$Y l + y«o#y
bringly und dam *^9imy ses p^ -^any sss jr, "T^Y
= p\ und -^c^iy^sq^ setst. Man hat dann fSrjede
KjryHallreihe nnt dn ffir alle Mal dto Werthe von J'y ?> j'^ UBtd }^ in der Gnindgestalt zu berechnen, um dann mit Leichtigkeit tmngfi und ^aiif y für alle abge- leiteten Gestalten sn finden«
Als Functionen der Kantenwinkel finden sich:
COM Y , COiV
C09 Z , cos Z^
COSP =s CtßiM SS
cosX
§. 466. Kautenwkikel«
Aus der in §. 29 stehenden Formel für comW fin- den sich unmittelbar die Cosinus der Winkel X, K» Z, JT, y und Z^, indem man successiv den Para- meter c^, V und o' s= 0 setzt; man erhält so, nach Yertauschun^ des Buchstaben p mit y,
^ abiiny ^, aiiiny
eofX = — -j— , coiX^ = ^^ ■•
«- c(i — ae0«y) _. e(i+acety)
coit = ri — __ IZ, cotT = ^ ^; '^^
Jede Fliehe v«n ±P UMe« lait fcm klinodk^io-
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tai^
Systemlehre. Mcmkünoüdr. System. Cap.IIL 71
aalen und orthodiagonalttn, so wie mit dem klinodia- gonalen und ba«iscfaen Hauptschnitte ein rechtwinkli- ges TiiCder, aus welchem sich sehr leicht nach den bekannten Regeln die Tangenten für JT^ Y n. i. w. finden lassen; nämlich
Jr ~ mb»my
^^\Z- ** cib^acoiy)
Als* Functionen der Hanptschnittwlnkel ausge- druckt, werden dieselben Tangenten:
^ itnn
^^ Mino
^ iina
Uebrigens ist su bemerken , dass y + fissz 180^ — y, und y — f/sss¥^y daher auch rinv statt ft»(y+/<) und mi/ statt $m(y — ^^ geschrieben werden kann.
i 467. ADgenidner Gebrauch der «rlialtenen Reiuttate«
Die in rorstehenden §§. berechneten Formeln, welche sich sunächst auf die Orundgestalt besiehen, sind dessenungeachtet allgemein brauchbar für alle übri- gen Gestalten des Systemes, wenn man nur die ih-
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72 Reine KrystaSographU.
neu entsprechenden CoSfficienlen m and n den resp. Buchstaben a^ b und c als Factdren vorsetzt. Man hat also
1) ma statt a,
2) flsa statt a, und ne statt c,
3) flia statt a, und jii statt &
^iniufuhren, um dieselben Formeln för irgendein mP, mPil oder (mPn) geltend m machen.
Bei der grossen Einfachheit dieser Substitutionen würde die besondere Darstellung ihrer Resultate über- flüssig seyn; wir wollen daher nur noch die Formeln jfur die Kantenwinkel der dreierlei Prismen hersetzen, weil von selbigen besonders häufig Gebrauch gemaebt wird. 1} Setzt man a ss oo, so folgt fiir ocP oder das Pris^ ma der Hauptreihe
^ bnny ^
b^ nn ^y + c* welche Formeln für alle verticalen Prismen ocP» oder (ooP») gelten, wenn man c oder b mit n multiplicirt. 2) Setzt man 0=00, so folgt für die horizontalen Hemiprismen Poo und — Poo
welche Formeln für alle übrigen Hemiprismen +iiiP(X> gelten, wenn man in ihnen ma statt a setzt, oder auch
^ _ «p'
'*^{z' = iT
«If'
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Sysiend^re. MonoiUnoedr. System. Cap. III. 73
scfareibt; die Grtasen pj q^ jf und ^ sind fBr Jede Krjrstallreihe besonders su berechnen, abelr för eine nnd dieselbe Krystallreihe constant Uebrigens ist K«=|m, Z = y u.s. w., daher
y + Z = 180* — y
r + Z' = y 3) Setst man 2 = 00, so erh< man für dasKlino- prisma (Poo)
tangX = tangX^ = — r— a#tiiy
/iiHf Z = taneV = ^^^ = CO/ J
c
welche Formeln für alle KUnoprismen (»Poe) gel- ten, wenn man ma statt a schreibt.
§. 468. Berecfamiiig der Axen aus den genettenen Winkeln.
Jede monoklino^drische Pyramide wird durch die anmerische Angabe des Verhältnisses aihic und des Winkels y Tollstftndig bestimmt, indem f3r jedes der- ^eichen Yerhftltniss nur eine Pyramide construirt werden kann. Weil es aber auch nur auf das Yer- kältniss und nicht auf die absolute Grösse der Axen ankommt, und daher eine derselben der Einheit gleich genommeonrerden kann; so setit die vollständige Be- ttimmong einer Jeden monoklinoSdrischen Pyramide, imd folglieh auch einer jeden Krystallreihe dieses Sy« steaiea nicht mehr und nicht weniger als drei, von einander unabhängige Beobachtungselemente voraus. Diese Elemente sind jedenfalls Kantenwinkel, ans de- nen man zunächst den Winkel 7^, und zwei ebene Winkel aus zwei verschiedenen Hauptschnitten zu bestinmen sucht. Wie also auch die Beobach- tungselemente Jbeschaifen seyn mögen, so setze ich
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74 Beine KryetaUograjAie.
voraus, dasi entweder y danrater befindlich ist, oder ««qäckst aufgesucht wird, bevor man lu andern Be- stimmungen übergeht. Hierbei kommt AUes auf eine geschickte Benutzimg der bekannten trigonometrischen und goniometnschen Formeln an; wer also im Besitze dieser ist, der wird ohne Schwierigkeit aus den ge- gebenen Elementen die gewünschten Besidtate abani- leiten vermögen.
Zur Bestiäunung von y dienen sehr häufig die Formeln
weil man sehr oft die Neigung iweier coordinirter Hemiprismen gegen den basischen oder orthodiagona- len Hauptschnitt messen kann. Sind beide Haopt- schnitte in den gleichnamigen Fläohenpaaren ausge- bildet, so ist der Winkel y unmittelbar zu messen.
Ist y bekannt, so findet man aus je zwei der an- dern Hauptschiiittwinkel das Yerhältniss aibic wie folgt:
1) aus fi und n
a:b:e es i: . ?^^ N'toy^
2) aus ftf und n
a:6:c 9SS i: . ^^ — jiitmgn
3) aus V und a
itttfi ^
4) aus / und a
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&fsUmlehre. M^motBnoSdr. fy$tmn. Cap.IV. 75
Viertes C ap it e L
Von den Combinationen dei monoklinoS- drischen Systemes.
A, ComHnmtiotui$hr0,
§. 469. Endidiioiigiweiae der Terschiedenea Gestalten.
Werfea wilr nochmals einen lih/^)L auf den Inbe- gcMT der inoneklinoSdriachen Gestalten ^ indem wir a^gleidi dae Gesell des selbständigen Anftretens al- ler Theilgestalten vor Angen behalten, so ergiebt sich das Resultat, dass die sämmtlichen cembinationsffthi- gen Gestallen entweder vie^zäblige oder sweisäh- Bge flfteheninbegcüfe, nnd, ihrer geometrischen Er- Sfheimings weise nach, nur sweierlei wesentlich ver- scbiedeiie Formen, nämlich indefinite rhombische Pris- men und indefinite parallele Flächenpaare sind. Es ^xacheinen nämlich
A. als yierzählige Flächeninbegrifie oder als inde- finite rhombische Prismen
1) die Hemipyramiden,
2) die verticalen Prismen,
5) die Klinoprismen;
B. als swetsäblige Flächeninbegrifie oder als inde- finite parallele Flächenpaare»
4) die sämmtlichen Hemiprismen
6) die Parallelflächen der drei HaaptschniUe» Die relative Lage der klinodiagonalen Intersection
aber dieser Gestalten gegen die Haaptaxe und Klino- diagoDide bestimmt die krjstallographische Bedeutung derselben, nnd, was geometrisch nnr als ein indefi- nites rhombisches Prisma an definiren war, wird kry- at^dlographisch ein verticales Prisma, ein Klinoprisnia oder eine Hemipjraroide, je nachdem die kiinodiago- ,Bale Inieraeetion entweder der gewählten Hauptaxe, •
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7§ Reine Krystallographie.
oder der Klinodiagonale parallel, oder gegen beide Linien geneigt ist. Hieraus ersieht man die wichtige Kolle, welche der klinodiagonale Hauptschnitt und das ihn repräsentirende Fläcbenpaar in diesem Systeme spielt; er ist die einzige absolut bestimmte, und kei- ner willkürlichen Deutung unterworfene Fläche; er bildet gleichsam den Aequator des ganzcy Systeme« ni^ch rechts und links und^ den eigentlichen Modera- tor seiner Symmetrieverhältnisse. D^her lässt sich auch an die Orientirung einer monoklinoedrisohea Combination nicht wohl denken, bevor die Lage de« klinodiagonalen Hauptschnittes ausgemittelt worden; glücklicherweise aber ist diese Ausmittelung auf den ersten Blick möglich, weil eine Ebene von so emi- nenter Lage, selbst wenn sie nicht in dem ihr ent- sprechenden Flächenpaare ausgebildet seyn sollte, doch niemals übersehen oder mit andern verwechselt wer* den kann.
§. 470.^ •
BasU und aufirechte Stellung.
Die im vorigen f. erwähnte allgemeine Orienti- rung einer Combination , oder die krystallographische Deutung der verschiedenen in ihr enthaltenen Flächen, setzt aber auch die Lage der Hauptaxe und Klino- diagonale, oder, was dasselbe, die Lage des basi- schen und des orthodiagonalen Flächenpaares als be- kannt voraus. Während nun im rhombischen Systeme alle drei Coordinatebenen, und somit alle drei Axen ihrer Lage nach vollkommen bestimmt wa- ren, so dass an eine willkürliche Bestimmung der- selben nicht gedacht werden konnte, finden wir hier nur eine der Coordinatebenen, nämlich den klinodia- gonalen Hauptschnitt absolut bestimmt, die übrigen beiden Coordinatebenen dagegen unserer willkürlichen Bestiuua^uig mehr oder weniger überlassen, indeui
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Systemlehre. MonokUnoedr. System. Cap. IV. Tl
wir jedes auf dem klinodiagonalen Hauptschnitte recht- winklige Flächenpaar als den Repräsentanten der Ba- sis oP oder auch des orthodiagonalen Flächenpaares ooFoo betrachten k$nnen. Indessen wird, wenigstens in den meisten Fällen, die Beschaffenheit der Com- binatioii ein sicheres Anhalten nicht nur für die WaM der Basis , sondern auch ffir jene der aufrechten Stel- img, oder, was dasselbe, fGr die Bestimmung der Lage der Hauptaxe und Klinodiagonale an die Hand geben. Man hat dabei ganz vorzuglich auf den Pa- rallelismns der Combinationskanten , auf die beson- ders vorherrschenden Gestalten, bisweilen auch auf die Torherrschenden Dimensionen des Krystalles u. a. Verhältnisse Rucksicht zu nehmen, jedenfalU aber einen sa spitzen Werth des Winkels C oder y zu ver- meiden. — Uebrigens werden alle diese Bestimmun- gen gewohnlich um so leichter, je zusammengesetz- ter die Combination ist, und einige Uebung so wie ein gewisses Gefühl fiir Symmetrie lassen bal4 dahin gelangen, in jedem Falle das Zweckmässigste zu er- greifen.
§. 471.
Gnindgestalt.
Nachdem die Basis und aufrechte Stellung gewählt md, sondern sich, nach der Lage ihrer klinodiago- aalen Intersection, die verschiedenen vierflächigen Ciestalten in verticale Prismen, Klinoprismen und lle- mipyTamiden , und die noch übrigen zweiflächigen Ge- stalten erhalten die Bedeutung von llemiprismen. Aus den vorhandenen Hemipyramiden wählt inan hierauf diejenige als Grundgestalt, deren Verhältnisse zu den übrigen Gestalten die leichteste Entwicklung der Com- bination gestatten. Dadurch wird auch das Yerhält- niss der Lineardimensionen a:b:c der Krystallreihe vollständig bestimmt. Weil nämlich beide Theilge-
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78 Reine Kry^cUhgraphie.
stalten einer jeden monoklinoMrischen Pyramide, ohn« in einer sonstigen Abhängigkeit von einander sn ste^ lien , durch die Identität ihrer Parameter so nnmittel- här mit einander verbunden sind, dass mit einer derselben zugleich die ändert bekannt ist, so bedarf es auch nur des Auftretens einer der TfaeUgestahea der Grundgestalt, um diese, und daher die Krystall- reihe selbst nach ihren Lineardimensionen xu best»- men. Sind keine, oder keine zur Crrundgestalt geeig«^ neten Hemipyramiden vorhanden, so schliesst mmm aus den Verhältnissen der übrigen Gestalten auf das* jenige Diniensionsverhältniss, welches am Tortheilfaaf* testen zu Grunde zu legen; oder bestimmt doch die- jenigen Glieder desselben, welche sich aus den vor^ handenen Gestalten ableiten lassen. Die Combina«» tion oP.acP(X>.((x>Poc) lässt jedoch die Lineardimeasio- nen gänzlich unbestimmt, und gestattet Mos die Be- stimmung der Angulardimension C
Die Zähligkeit der Combinationen bestimmt sich hier wie in den bisherigen Systemen; nar darf man nicht vergessen, dass die einzelen Theilgestaltea ge- sälüt werden müssen.
§. #72. AllgenMÄne Regeln der BotwicUuns.
Wie durch die Wahl der Basis und aufrecbtea Stellung die verschiedenen FlächeninbegriffB im All- gemeinen als Hemipyramiden, Prismen, Klinoprismen und Hemiprismen unterschieden werden, so bestin»* men sich durch die Wahl der Grundgestalt die ver- schiedenen Unterarten der Hemipyramiden und Pris- men nach ihrem krystdlographischen Standpuncte in den verschiedenen Abtheilungen nnsers Schemas in (. 459. Femer ergeben sich unmiuelbar aus den Re- sultaten der Ableitung folgende R^;eln: 1) Je iwei Gestalten, deren heteropolare Combina-»'
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S^stemlehre. MonokUnoedr. Sy^tmn. Cap.IF. Tft
tiotuikraten divn basischen ÜMptseltaitCe parallel Isafen, haben dasselbe Verhältnis« der Klinodia- gonale and Orthodiagonale; sie sind also gleich-^ nainig, nnd haben ii^s=ii«
2) Je zwei Gestalten, deren beteropolare CK. dem ertfaodiagonfdea Hanptschnitte parallel laufen, ha- ben dasselbe Verhältniss dar Hauptaxe und Or^ ^ thodiagonale; sind sie also
a) gl^dmamig, nnd zwar
M^ m ff) orthodiagonal, so ist -; = — ,
ß) klinodiagonal^ so ist m^ x:« m,
b) ungleichnamig, so ist -7 = «i, wenn sich die
accentnirten Buchstaben auf die orthodiagonale Gestalt bezieben.
3) Je zwei Gestalten, deren heteropolare CK. dem kfinodiagdHalen Hauptsebnitte parallel laulra, be- llen dasselbe Yerhftltniss der Hauptnie und KU- Bodiagonale ; sind sie also ^
a) gleichnamig, und zwar
<x) orthodiagonal, so ist m^ sb m,
0) klinodiagonal , so ist -7 s=a — ,
b) ungleichnamig, so ist m' t=3 — , wenn der ac«»
* /
eentuirte Buchstabe auf die orthodiagonale Ge- stalt bezogen wird.
§. 473.
Combiiiati«iiggleichtBig.
Es liezse sich auch für dieses und 4ie folgenden Sjsteme eme Theorie der binären Combinationen a«£- steBen; wegen der Zerfftllung aller Gestalten in zwei Theflgestalten wGrde jedoch diese Theorie nur die Combteation zweier Prismen in aUen m8f liehsn I«a-
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M Reine KrystaUograpMe^
gen snuu Gegenstände haben, tut welche sie did vei^ schiedene L&ge der Combinationskanten und die die- ser Lage entsprechenden Verhältnisse der Ableitnngs* sahlen anzugeben hätte^ Ihre Resultate würden da«* her im Ganzen wenig fmchtbar ausfallen, um so we-> niger, da die binären Combinationen vermöge der Na- tur dieses Systemes selten vorkommen, nnd fiir jede unbekannte Gestalt, wenn solche nicht durch zwei verschiedene Combinationskanten von eminenter Lage begränzt ist, Messungen erfordert werden.
Um so wichtiger wird in diesem und den folgen- den Systemen der Gebrauch der allgemeinen Combi- nttdonsgleichung in f . 68 ; bei deren Anwendung man nur die, dem Namen der Gestalten entsprechenden Verhältnisse
m : » : i oder m : i : n statt der Verhältiiisse m :n : r u. s. w. einznfiihren, oder, mit andern Worten, die Grösse r oder die Grosse n der Einheit gleich zu setzen und, im, letz- teren Falle , r mit n zu vertauschen, dabei die nöthi- gen Vorzeichen der Pariimeter genau zu berüdcsich- ^en braucht.
Uebrigens sind jedenfalls zweierlei, nämlich he- teropolare und amphipolare Combinationskanten zu berücksichtigen,
§. 474.
Wichtigste Ck>mbinatioosregeInv
Einige der wichtigsten Specialregeln, welche sich fheils aus der Ableitung, theils aus der Combinations- gleichong ergeben, und zur Entwicklung der gewöhn- lichsten Combinationen hinreichen, sind folgende: 1) Diejenige Gestalt, welche die klinodiagonalen Polkanten der Hemipyranride ± «iPn abstumpft
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Systemlehrt, JUonoUinoedr. System. Cap.IV, 81
oder suschärft, ist das Hemipriima jh «Pao oder die Hemipyramide + mPn^, wo %'^n,
2) Diejenige Gestalt , welche die klinodiagonalen Polkanten der Hemipyramide +(mPii) abstumpft
oder soschärft) ist das Hemiprisma +—Pcc oder die Hemipyramide + — Pn^; doch kana die Za«
schärfimg aacl( durch eine Hemipyramide +(— Pii'l
hervorgebracht werden, für welche dann m'^ii.
3) Dasjenige horizontale Prisma, welches die kli- nodiagonalen Combinationsecke von +siP und ocP so abstumpft, dass seine Flächen als Rhom- ben erscheinen, ist +2«iPoo.
4) Dasjenige Klinoprisma, welches die amphipola- ren Combinationskanten zwischen mP oder — «iP und ooP abstumpft, ist (2mPoo).
5) Diejenige Hemipyramide, welche >die Combina* tionskanten zwischen der Hemipyramide +iiiP und dem Flächenpaare ooPoo oder (ocPoo) ab- stumpft, ist + mnSfn oder + (smiPä).
6) Diejenige Hemipyramide, welche die Combina- tionskanten zwischen +«iPoo oder (mPoo) und
ooP abstumpft, ist+«T-^Ii — oder(«'P-^Y
""^ ÄI —"#1 \ ZI — Ä/
7) Diejenige Pyramide derHanptreihe, welche die Combinationskanten des Hemiprismas HhüPoc und
des Klinoprismas (siToo) abstumj^t, ist ^^ fi.
ZI -|- m
Bfan k5nnte aus der Combinationsgleichung noch Tiele ähnliche Specialregeln ableiten; doch würde eine solche Vervielfältigung derselben ihrem Zwecke we- nig entsprechen, welcher kein anderer seyn kann, als der, einen Inbegriff von Regeln zu haben, welche
n. 6
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82 Reine KrystaUographie.
den in praxi am häufigsten vorkommenden Fällen ent- spr^hen, und leicht im Gedächtnisse zu behalten sind.
$. 475. Berecfamiig der Combinationskanteii«
Die Berechnung der Combinationskanten kann zwar in diesem Systeme nach der Formel für cot W ' in f. 29 ausgeführt werden , ist aber dann oft unbe- quem und weitläufig. Bequemer wird man in den meisten Fällen durch Hülfe der Tri€drometrie zum Ziele gelangen. Dabei sind folgende zwei Fälle za unterscheiden.
A. Die Combinationskante ist einem der Haupt- schnitte paralleL
Dann berechnet man nach §. 466 die Neigungs- winkel beider Flächen gegen denselben Haupt- schnitt; das Supplement der Differenz, oder, wenn beide Flächen zu verschiedenen Seiten des Haupt- schnittes liegen, die Summe dieser Winkel ist die gesuchte Combinationskante.
B. Die Combinationskante ist keinem der Haupt- schnitte parallel.
Dann berechnet man zuvorderst die Neigungswin- kel beider Flächen gegen einen und denselben (und zwar am besten gegen den orthodiagonalen oder ba- sischen) Hauptschnitt, zugleich aber auch den Nei- gungswinkel S ihrer beiden Intersectionen in diesem Hauptschnitte. Dadurch findet man zwei Kantenwin- kel nebst dem eingeschlossenen Flächenwinkel eines schiefwinkligen Triäders, in welchem die dem letz« teren Winkel gegenüberliegende Kante, welches die gesuchte Combinationskante ist, mittels der Neper- schen Analogien oder auch durch Einführung eines Hulfswinkels leicht berechnet werden kann.
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Systemlehre. MonikUnoSdr. System. Cap.IV. 83 B. MtisfMs,
§. 476. Combination des Glanbenalzet.
Es Stellt Fig. 525 in perspectiTischer und horl- lontaler Projection *) eine zwolfzählige Combination des Glaubersalzes dar, für welche sich sogleich die mit P bezeichneten Flächen als das klinodiagonale FUchenpaar (ooPoc) bestimmen. Setzen wir non
r= oP
Jlf = ooPoo und » = P to wird es nns leicht gelingen, die Combination, ohne Beibnlfe irgend einer Messung, dnrdi alleinige An- wesAntg der Combinationsregeln und Combinations- ■ gleichnng voUständig zu entwickeln. Zuvörderst ist klar, dass sich die übrigen in ihr enthaltenen Gestal- ten ordnen, wie folgt; es gehören:
1) in die Hauptreihe die Flächen y, o und d\
2) in die orthodiag<maIe Nebenreihe d. F. #, r und %o\
3) in die klinodiagonale Nebenreihe d. F. z und v. Von diesen Gestalten bestimmt sich sogleich
0 = ooP md das die Polkanten von P abstumpfende Hemiprisma
r = Poo Da nun die CK. von % und » in eine Parallelebene des orthodiagonalen Hauptschnittes fallen, so ist das Klinoprisma
Z = (Poo)
*) Da die Combinatioiien der kliooSdiischen Krystallflysteme geringeren Grad von Regelmässigkeit besitzen als die Com* bnatiOBen der vorhergehenden Systeme^ so wird es zur richtigen Auf- fiusimg ihrer VerhäHniiae nloht nnr nötbig, die hinteren Kanten ■dt zu zeichnen, sondern auch yortheilhalt, der perspecti vischen Zcidinang eine orthographische Projection der Crestalten e«tned«r auf die Horizontalcbene oder auf den klinodlagonalen Hauptschaitt beiznlügeo*
6*
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84 Reine Krystaüographie.
und wegen desselben Parallelismns der CK. zwischen z und d die Hemipyramide
d = -P Nun erscheint die Hemipyramide y mit paralle« len CK« swischen 2:=B(Pao) und r=Pao, also ist
y = iP und daher auch das Hemiprisma
t = ^Poo
Das Klinoprisma t; stumpft die amphlpolaren CK. zwischen ii=:P und o = o69 ab, und ist daher
V = (2Poo)
Was endlich das Hemiprisma v> betriffi, so er- scheint es mit parallelen CK. zwischen einer linken Fläche d und einer rechten Fläche z» oder es stumpft das Combinattonseck dieser beiden Gestalten in der Art ab, dass die Abstfl. als ein Rhombus erscheint; daraus folgt, dass
tt = — fPoo . Soniit ist die gegebene Combinatlon vollständig entwickelt, und das krystallographische Zeichen der- selben etwa folgender Weise zu schreiben:
ooP.ooPoo.P,Poo.—P.(P<x)).iP,— iPoc.iPoo.0P.(2Poo). (ooPoo).
§. 477. Fortsetsung.
Zur Berechnung der Dimensionen des GlaubersaU zes mögen uns folgende Beobaditungselemente gege- ben seyn:
0:0= 86** 31' t : J!f =Ä 104*^ 41' w tif= 132** ,4' Es ist also für das Prisma ossooP: Winkel JC = 43^ 16,5' far d«s Hemiprisma t = iPoo:
Winkel Y = 75* 19' = f4
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Syttenilehre. MonoklinoSdr. System. Cap.IF. 8S
für das Hemiprisma t9 = — |Poo:
Winkel Y = AV 66' = ^' Da nun / und w coordinirte Uemipriinien aind« so folgt nach f. 468
and daher
y sa C = 72^ 15' Setzen wir nan die Klinodiagonale =s 1, ao folgt nach f. 467 aus den bekannten Winkeln X und / c = tangXsinY = 0,8962 In dem Hemiprüima ^Voo war der eine Haupt- Khiiittwinkel
fi » 75^ ly danuis folgt der sweite Winkel
y = 180P — (M + y) = 32*26' and endlich
4« =s -: —
oder fl SS ?i^ » 1,109
Die Krystallreihe des Glaubersalses wird also durch fönende Dimensionen bestimmt; C = y = 72* 15' a:b:e=i 1,109:1:0,8962 and es ittt xn bemerken, dass sehr nahe
Shzsza + c ist Nachdem solchergestalt die Dimensionen gefun-» den, ist es leicht, die Winkel irgend einer beliebi- gen Gestalt oder auch die CK. irgend zweier beliebi- ger Grestalten zu berechnen. Will man z. B. die Win^ kd X und Z der Hemipyramlde P berechnen, so sucht man zuvörderst die resp. Hauptschnittwinkel t und er; es ist aber
a + b : a — i==^fl«^4(180* — y) : lai^s and der Winkel
ya= (180P-y) + * = 67*65,5'
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86 Reine KryataUographie.
ferner ist
ianga = -j-
daher der Winkel
a = 4r 52' und endlich) weil
tangX =. ?^^ ta»sZ = ?^*
X = 46^ 36^, Si = 67^ 18' Will man nun z. B. die CK. n : o wissen , so be- rechnet man für ooP den Winkel Z\ nach der Formel
tangZ' =* *-^^
und findet die CK.
Z + Z' = 145° 14,5' Anf diese und ähnliche Art lassen sich alle übri- gen Winkel berechnen.
$. 478. Combination des Pyroxenea*
Die Fig. 526 stellt in perspectivischer und hon- sontaler Projection eine siebenzählige Combination des Pyroxenes dar. Stellen wir dieselbe nach dem Prisma M aufrecht, so erhalten wir für die Basis ^ = OP zwei positive Hemipyramiden s und o, von welchen wir die erstere zur GrundgesUdt wählen. Die Flächen z bilden ein Klinoprisma , die Flächen P eia positives Hemiprisma. Es bestimmen «ich sogleich
P = Poo
Jlf = ooP
r =5 ooPoo und bleibt daher nur noch die Bestimmung der Flä- chen z und 0 übrig. Da nun z die amphipolaren CK. der Hemipyramide P und des Prismas ooP «bstumpfit, so folgt
z « (2Poo)
und da die Flächen o mit paraUden CK. swischen
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Systemlehre. Monohttnoedr. System. Cap.IV. 87
r nnd z einerseits, zwischen t und M anderseits er- scheinen, and foigUch dfe erstere CK. dem orthodia- gonalen, die zweite CK« dem basischen Hauptschnitt« parallel läuft, so folgt, dass 0 = 2P
Die Combination ist nun roUständig entwickelt und ihr Zeichen:
ooP.2P.P.0P.ooPoo.(2Poo).P(x>.
Zur Berechnung der Dimensionen der Krystall* reihe mögen folgende Elemente gegeben seyn:
r : f = 106° Sy s : $ = 120** 39' oder auch der Winkel
C = y = 74M' im Prisma ocP
der Winkel X = 43** 33' und in der Uemipyramide P
der Winkel X'= 60° 19,5' Nun ist nach f. 466
also wird für P
<r = 42* 25,5' und, wenn die Klinodiagonale £ = i, c =i: tangü = 0,9139 Cemer wird für P
$^r = tangacoiX daher v =5 31° 23'
fe = 180° — (y + y) = 74°36' und endlich die Hai)ptaxe
a=:?^ = 0,540i
Die Krystallreihe des Pyroxenes wird also durch folgende Dimensionen bestimmt:
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88 Reine KrystcUlograpfUe.
aibie =s 0,5401 : 1 : 0,9139 vnd es ist bemerkenswerth, dass sehr nahe 2a=^2J — c
|. 479. CJombioation des OrthokIa«M«
Die Fig. 528 stellt in perspectivischer und hori- zontaler Projection eine neunzählige Combination des Orthoklases dar, deren Flächen , wenn wir P als Ba- sis, T als das Prisma ocP, nnd o als die positive Hemipyramide P betrachten, sich folgenderweise ord- nen; es geboren:
1) in die Hanptreihe, P, o nnd T;
2) in die orthodiagonale Nebenreihe, q, x nnd y\
3) in die.klinodiagonale Nebenreihe, n nnd M\
4) in eine klinodiagonale Zwischenreihe, z. Zuvorderst bestimmt sich das Flächenpaar
M = (ooPoo) nnd das, die Polkante von P abstumpfende Hemiprisma X =s Poo Da nun das Klinoprisma n die amphipolaren CK. zwischen ossP und T=:c>oP abstumpft, so ist
n = (2Pcx)) nnd da das positive Hemiprisma y zwischen einem vorderen o und hinterem Tmit parallelen CK. erscheint, oder das Combinationseck zwischen P und ooP so ab- stumpft, dass seine Flächen durch diese Gestalten al- lein als Rhomben begränzt erscheinen würden, so ist y = 2Poo Das klinodiagonale Prisma z:±=(ocPii'^ erscheiht mit parallelen CK. zwischen einem oberen o und ei- nem unteren, »; setzt man also in der Combinations- gleichung des $. 68
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Systemlehre. MonoJblmoüdr. System. Cap.IV. 89
»Sä n = r 5= 1,
»' = — 2, n' = oo, r' s=2 1
»•= OO, H* = »% f' SBS 1
SO folgt »' s= 3, und daher
z = (<x)P3) Das posiÜTe Hemiprisma q s= mTPoo erscheint swischen einem hinteren o und vorderen n mit pa» rallelen CK. ; setst man also in der CG. a. a. O. «f = n = r = 1 »'=2, I»' =5 OO, r'rs — 1 »•= »•% »* =s 1, f^ s=s OO
SO folgt M* =a 4 , und daher
q = 4Poo Die Combination ist nun ToUständig entwiekelt, ■nd ihr Zeichen:
ooP.(ocPoo).(ooP3).OP.2Poo.Poo.|Poo.P.2P(X). Der Berechnung der Dimensionen wollen wir fol- gende Beobachtungen Kupffers zu Grunde legen: C = y = 63^ 53^ Winkel F in Poo = 65^ 47,3' == fi in 9 Winkel JT in ooP = 59° 24,3' Aus den bekannten Winkeln fi und y folgt für üe Grandgestalt
v = bOP 19,7' und daher, wenn die Klinodiagonale ft =s 1, die Hauptaxe
a= ^=0,84396
Der Winkel a des basischen Hauptschnittes fin- det sich iiach der Formel
tanga = tangXiiny zss c sss 1,5185 also der Winkel a = 5^" 38'
Die Krystallreihe des Orthoklases wird also durch folgende Dimensionen bestimmt: C = 63° 63' a '^:c;s 0,8439:1:1,5185
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00 Reine J&'ystaßographie.
f. 480.
Combinalion des Amphibols.' Die Fig. 527 stellt in perspectivischer und hori- zontaler Projection eine achtzählige Combination der basaltischen Hornblende dar, in welcher sich die Flä- dien SP sogleich als die Repräsentanten des klinodia- gonalen Hauptschnittes zu erkennen geben. Wählen .wir nun die Fläche p ziur B&siis für die Flächen r als die positive Hemipyramide P^ so ordnen sich die ujbri- gen Gestalten wie folgt:
1) in die Hauptreihe, ^;
2) in die klinodiagonale NebenreUie, t;
S) in klinodiagonale Zwisehenreihen, c und t. Weilpss«P und r»P, so ist üf = ooP und weil dfeis Klinoprisma z die amphipolarea CK. zwischen r und M abstumpft, so ist
z Ä (2Poo) folglich auch
g = -P ' weil die Flächen desselben Klinoprismas die amphi- polare CK. zwischen q und M abstumpfen. Da fer- ner die kKnodiagonalen Hemipyramiden c und t die CK. zwischen dem Klinoprisma z und dem Prisma Jif abstumpfen, so sind beide von. der Form
m — 2 und da ihre CK. mit P und — P dem Idinodiagonalen Hanptschnitte parallel laufen, so sind sie auch von der Form
mVm folglich wird
m — z and daher
e = (3P3) *= — (3P3)
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Systemlehre. Monohlinoedr. System. Cap.IV. 91
Die CombiBatioH ist nnn TdUständig entwickelt, ■BJ ikr Zeichen foIgeiMles:
ooP.(ooP<x)).OP.P. — P.(2P<X)).(3P3). — (3P3). Zar Berechnung der Dimensionen seyen uns fol- gende Beobachtongselemente gegeben: Winkel J in ooP = 62My Winkel X in P = 74* 15' = JP CK. OP : obP = 103^ r = IT Mao erh< sogleich ffir P oder ooP eonX coill
ffuJI' ' $%nX ■Bi dsker
a = er 27'
Femor wird für P
$%nv = tangaeotX^ also y == 31^ 13' und f« =: 73° 32' Setsen wir also die Klinodiagonale iasl, ao ist die Orthodiagonale
c SS taf^e 3s 1,838 mid die Hanptaxe
a = ^ = 0,5405
Die Krystallreihe des Amphibols wird also durch folgende Elemente bestimmt:
C = y =^ 75° 15' aih.e =s 0,5405:1:1,838 wobei sa bemerken, dass
4a + c » 4&
i 481. ComkiiHill0n des B|^t«k
Die flg. 529 stellt in perspectivischer nnd klino« diagonaler Projeotion eine Ewölfzfthlige Combination des Epidotes dar, in welcher das klinodiagonde Flft-
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92 Reine Krystalhgraphie.
chenpaar zwar nicht ansg^ebildet ist, aber sogleidt seiner Lage nach als dasjenige erkannt wird, wel» ches auf den Flächen M und / rechtwinklig seyn würde« Wir setzen
/ = 0P M = ooPoo Der Neigungswinkel beider Fliehen ist nnr we- nig von 90° verschieden ; der stompfere Winkel wird darch die Flächen r, der spitzere darch die Flächen T abgestumpft. Wollen wir daher die Flächen » als eine Ilemipyramide der Grundgestalt betrachten, so kann dies nnr die negative Hemipyramide seyn; da-^ her ist
»=-P
Die übrigen Gestalten ordnen sich nun auf fol- gende Weise; es gehören
1) in die Haaptreihe, z\
2) in die orthodiagonale Nebenreihe, r rnid T;
3) in die klinodiagonale Nebenreihe, y und q\ !
4) in orthodiagonale Zwischenreihen, Xy o, d und u. Da die CK, der Flächen q und n in eine Paral- lelebene des orthodiagonalen Hauptschnittes fällt, so ist das Klinoprisma
q = (Poo) und aus demselben Grunde die Hemipyramide z = P Das Hemiprisma r stumpft die Polkante von — ^P, das Hemiprisma T die Polkante von P ab; folglich wird r= — Poo T= Pcx> Die Hemipyramiden x und d stumpfen die hete- ropolaren CK. von — P und P mit ooPoo ab, und ha- ben daher gleiche Ableitungszahlen, oder allgemein das Zeichen «tTm*; sie erscheinen aber auch eben so wie die Flächen des Prismas o mii parallelen CK, zwi-
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Systemlehre. ^onolÜnoedr. System. Cap. IV. 93
icbeii den Flächen der Hemipyramide n und des He-
niprinaas T einerseits , der Hemipyramide z and des
Hemiprismas r anderseits.
Setzt man also in der allgemeinen Combination»-
glddrang
«1 = 1, m'zss. — 1, ml^^s — wT » = 1, «'= 1, %''= 1 r = l, r'= oc, r*= »*
M folgt fnr die drei Gestalten Xj d nnd o die gemein-
sdiaftliGlie Bedingang:
ml' — 1
§. 482. Fortsetzung.
Da nnn o ein verticales Prisma, so wird für sei« biges m" = oOj folglich i»* = 2, und o =38 ocP2*
Da femer die Hemipyramiden ä: und d^ vermdge ihrer Verhältnisse zn n, z und M gleiche Ablei- tongszahlen haben , oder Ton der Form m^Pm" sind, so wird für sie
ud daher
s = — 3P3
d = 3P3 Das Klinoprisma y und die Hemipyramide u, weU ehe wegen ihrer .Verhältnisse zu z ein Pn seyn muss, bestimmen sich gegenseitig , weil ihre CK. in eine Parallelebene des orthodiagonalen Hauptschnittes ftllt; ist alzo « =s Pig, so wird, weil beide Gestalten nn- g^eichnamig sind,
y s= (i-Poo) (§. 474) Oas KlinopriBma y aber ist darch seine Verhftlt-
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94 ilüne Krystallographie.
nisse zu n and o ToIIkommen bestimmt, indem die Fläche n mit . parallelen CK. zwischen o und jf auf- tritt; setzt man also in der CG.
n= 1, »' = oo, »•= 1 r= 2j f= 1, 1^=^ 1 so findet sich
y = (iPoo)
und folglich
« = P2
Die Combination ist nun vollständig entwickelt, und ihr Zeichen etwa auf folgende Art zu schreiben:
cx>Poo.OP.1Poo.— Poo.— P.P.(Poo),(iPoo),ooP2.3P3.— 3P3. P2.
§. 483. Fortsetzung.
Was die Berechnung der Dimensionen betriff^ so mögen uns als Beobachtungselemente folgende Win- kel gegeben seyn:
Winkel Y oder /i in Poo = 64^ S6' Winkel Foder ^'in— Poo = 63» 43' Winkel JC in — P = 35^ 16,5'
Da die beiden ersteren Winkel coordinirten He- miprismen angehören, oder die Winkel fi und fi der Grundgestalt sind; so folgt nach der Formel
2$inn9i»(/
C = y = 89" 27' nnd sogleich
• = y — ^' = 25' 44' daher, wenn die Klinodiagonale 2 = 1, dieBoaptaxe
« = ^ = 0,48425 tmpe
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Systemlehre. DikUnoSdr. System* Cap. I. 95
Feinier eigiebt sich
timgfs = iftngXtiw/
ako a zi^ IT V und c = tangc = 0,30713 Die Krystallf eike des Epidetes wird daher durch (elgeode Dimensionen bestinunt:
C = y = 89^ 27' a :&: c =r 0,48425 : 1 : 0,30713 Diese Beispiele werden hinreichen, nm die Me- thode der Entwicklung und Berechnung monokIino6- drischer Combinationen zu erläutern, und zur Ent- wicklung schwierigerer Fälle die nöthige Anleitung IB geben.
Sechster Abachnitt Vom diklmoSdriicien Sj/iteme.
Erstes Capitel.
VoB deü Axen und einzelen Gestalten de« Systemes.
§. 484.
Onrndcharakter, Axen, SteQiuig.
Das lüklinolSdrische System ist nach §. 43 der Inbe- griff aller derjenigen Krystallformen , deren wesentli- dkcT geometrischer Grandcharakter durch drei Coor- tbiatebeneB bestimmt wird, von welchen sich swei toter einem rechten Winkel schneiden, während die iritta auf beiden schiefwinklig ist. Die Axen, als
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96 Meine KrystaUographie.
die Darchschnittslinien dieser Ebenen, scheinen anch hier unter dem Verhältnisse der durchgängigen Un« gleichheit zu stehen. Weil aber diejenige Axe, wel- che die Intersection der beiden rechtwinkligen Coor« dinatebenen ist, vermöge dieser Lage einen eminen- ten Werth erhält, so wird sie die natürliche Haupt« axe, und daher die aufrechte Stellung des Systemes nach ihr zu bestimmen seyn. Die beiden andern Axen erhalten dadurch die Bedeutung von Nebenaxen, fiir welche freilich nur die verschiedene Grösse einen Un- terscheidungsgrund darbietet. Alle acht Raumoctan* ten bilden noch immer rechtwinklige Tri^der, oder ihre Intersectionen mit einer, um den Mittelpunct des Axensystemes construirten Kugeloberfläche, rechtwink* lige sphärische Dreiecke. Die Neigungswinkel der Axen aber sind durchgängig schiefe.
§. 485. Diklinoedriflcbe Gestalteiu
Construirt man um ein diklino^drisches Axen- system fiir ein gegebenes endliches Yerhältniss dreier Parameter a : ft : c, den Inbegriff aUer möglichen iso- parametrischen Flächen, so gelangt man auf eine von acht Dreiecken umschlossene Gestalt, deren Flächen jedoch viererlei verschiedenen Werthes sind. Dies Resultat ist eine nothwendige Folge der verschiede* nen Neigungswinkel je zweier Axen, und so unab- hängig von dem Grössenverhältnisse der Parameter, dasi^ es für Verhältnisse wie a:b:b oder aiaia ganz auf gleiche Weise Statt finden würde. Die construirte Gestalt ist also jedenfalls eine tetramerische, aus vier Theilgestalten zusammengesetzte Gestalt. Ihren all- gemeinen Eigenschaften nach wird sie als eine di- klinoSdrische Pyramide, und daher jede ihrer Theilgestalten als eine Yiertelpyramide oder Te- tartopyramide zu bezeichnen seyn. Wie die zwei
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Sysiemlehre. DikUno^dr. System. Cup. IL 07
Theilgestalten einer monoklino^dHschen, so sind auch iie Tier Theilgestalten einer diklinoSdrischen Pyra- ■lide in ihrer Erscheinung ron einander TöIIig unab- biagig, weshalb wir erwarten können, den Tollstän- 4igen diklinoSdrischen Pyramiden in der Natur eben so selten zu begegnen, als den vollständigen mono- kÜBoSdrischen Pyramiden.
Nächst den Pyramiden giebt es noch in diesem Systeme verticalePrismen von rhombischen Quer- schnitten, welche einfache Gestalten sind, xweier« lei geneigte Prismen von rhomboidischen Quer- sdmitten, welche dimerisohe, aus zwei Hemiprismen süsammengesetste Gestalten sind, und endlich die d r e 19 den Coordinatebenen entsprechenden Flächen« paare des Systemes.
Zweites Capitel.
Von der Ableitung der diklinoedrischen Gestalten.
§. 486. Gnmdgestalt.
Dieselben Grfinde, welche uns im monoklino^dri- ftehen Systeme bestimmten, den Ableitungen eine toII- stindige iikotioklino^dlrische Pyramide zu Grunde zu legen , nothigen uns, auch für diö Ableitungen dieses Systemes eine vollständige, mit allen vier, im Gleich- gewichte ausgebildeten Theilgestalten erscheinende Py- ramide als Gmndgestalt anzunehmen. Wir setzen also irgend eine dergleichen Pyramide voh dem Verhält- nisse der HauptaxÄ zur grösseren und kleineren Ne- benaxe = a'.bic^ und den schiefen Neigungswinkeln B nnd C, nnd bezeichnen sie mit f\. Da nämlich in dem Zeichen der Grundgestalt die Zeichen aller vier
a 7
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98 Reine KrystaOographie^
TheUgestalten enthalteii sejn müssen, so scheint es Tortheilhaft, die einseien Viertelpyramiden nach der, bei aufrechter und normaler Stellang der Gestalt Statt findenden 9 Lage ihrer Glieder in der vorderen Pyra-* midenhälfite zn bezeichnen, wie folgt: flie Viertelpyramide, deren vordere Flftche oben rechts erscheint, mit P Oben links <» « - T unten rechts • - - P/
unten Hnks - * - ,P . nur auf diese oder eine ähnliche Art ist es mSglich, ein Gesammtzeichen für die vollständige Grandgestalt za geben, weil sich diese vier Zeichen in das ein« zige Zeichen ^^ zusammenziehen lassen. Die oberen und unteren Theilgestalten werden also jederzeit durch den oben oder unten, die rechten und linken Theil- gestalten durch den rechts oder links stehenden Ac- Cent unterschieden^.
*) Für die IBezeichnmig der Gestalten dieses und des folgen- den Systemes lassen sich mancherlei Methoden in Vorschlag brin^ gen. Käme es blos darauf an, die einzelen Flächen, und nicht die Theilgestalten als solche zu bezeichnen, so würde der Weissischen Bezeichnung vor allen übrigen der Vorzug gebühren, weil selbige b der That nur dne ^enthümliche Schrdbart der Flächengld^ chnngen ist Will man sich aber allgteeia für jede Thdlgestait des Symbotes P bedienen, so könnte man die renschiedenen Theilgestal- ten nach der Lage ihrer Glieder in der Torderen Gestalthfilfte durch Vorsetzung der Budistabenbinionen »r (oben rechts), ol (oben links), «r (unten rechts) und fi/ (unten Hnks) unterscheiden, wie dies neu'^ fich in ähnlicher Art für die Unterscheidung der einzden Flächen der tesseralen Gestalten Ton Sttinghansen vorgeschlagen worden. Mir scheint jedoch die Aeeentuirung sa diesem Behufe noch tot« theilhafter, nicht nur, weil sie kürser und repräsentaüver ist, soiH- dem auch, weil sie den Vortheil gewahrt, dass sich beliebig die Zeichen je zweier, Areier oder auch aller tier Theilgestalten in ela dnziges Zeichen zusammenziehen lassen. Früher bediente ich mich zur Untersdieidung der oberen und unteren Theilgestalten auch in
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Systendehre. DihHnoedr. System, Cap.II. 90
Die Nebenaxea 4er Gnuldfestale fShreiiy wie um rhonibiselien Systeme^ die Namea der Mulorodiegoiiale Braobydiagoiiale.
i 487. Haaptreihe«
Am der Gnmdlgeilak leiten irlf fiiTSrdenit gans imd gar nach der in den übrigen KryitaUsjratemen be- folgten Methode 9 daroh Vervielfidtigttng der Hanpt- axe nach einem CofifElcienteft Mf eine llwiptf eihe von folgender Form ab:
•i<l m>i
Diese Reihe iMt eigentlich eine Tierfache Reihe, indem ihre sämmtlichen Glieder, mit Ansnahme der beiden dtissersten, in vier Theilgestalten zerfallen. Jedes Glied mit endlichem Werthe von m ist nämlich eine tetramerische Pyramide, von gleicher Basis nnd JPlächemrtelloiig mit ?', deren Viertelpyramiden in völliger Unabhftn^gkeit auftreten. Das eine Gräns- glied OP bedeutet hier, wie überall, die Basis oder Jede ihr parallele Fläche; das andre GränzgUed ooP dagegen ein vertieales Prisma von rhombischem Quer« schnitte und vier gleichwerthigen Fläbhen, welches daher nicht in zwei BFemiprismen serfSUt, sondern Jedenfidlt^ vollständig erscheint.
i 488.
MskwlUgoiislft und brsdiydiafOBfle GsdlaltflS.
Ans jedem (vollständig gedachten) Gliede der Raupt- fnSke lassen sich mm einerseits durch VergrSsserung
Mmtm und Am fblfSB^tn KryttidbiTSltM d^Zti«lKft 4» stid — ) sBein wie iMitiaynit nnd bMekhpind^isaelbm, wegse ilurer Btiie* jMDig auf dfsn Coninis de» Neigingiwiiikjeb Cf im niöiiokliiw^dri- •dien Syfteae, so iiid)eatiiiimt und nichta eagend werdes aio id den diklinoedriadien und txiUlnoedriachen Systeme.
7*
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100 Reine KrystaUographie.
der Makrodiagonald bei constanter Brachydiagonale, anderseits durch Vergrossening der Brachydisigonale bei constanter Makrodiagonale zwei Inbegriffe Ter^ schiedener Gestalten ableiten, welche wir nach dem Namen deqenigen Diagonale, durch deren Vergrosse- rung sie erhalten wurden, als makrodiagonale und brachydiagonäle Gestalten unterscheiden. Setzen wir den VörgrösserüngscoSfficienten wie bisher = », so erhalten wir, weil n alle Werthe von 1 bis co an- nehmen kann, aus jedem m.K eine Reihe makrodia^ gonaler Gestalten
nCP', mfi'^ «'P'tX)
und eine Reih^ brachydiagonaler Gestalten
«•'JP' m^M mPloo
Die Gränzglieder dieser Reihen sind einerseits mPoOj oder ein makrodiagonales Klinoprisma, ander- seits mPoOf oder ein brachy diagonales Klinoprisma, beide von rhomboidischen Querschnitten, daher beide dimertsch, und aus zwei Hemiprismen zusammenge- setzt. AUp mittleren Glieder sind tetramerische Py- ramiden von verschiedener Basis, aber gleicher Axe mit demGliede der Hanptreäe, mit welchem sie ent- weder den brachydiagonalen oder den makrodiagona- len Hauptschnitt gemein Jiaben. : s
JDie Bezeichnung der b^M^i^ Theilgestaken jedes Klinoprismas bestimmt sich nach Maassgabe der nor-^ malen Stellung der KrystaUreihe ; ist der makrodia« gonale Hadptschnitt auf den Beobachter gerichtet, so sind die beiden makrodiagoiiälen Heihiprisriien mit mjf'oo und «iT^oo, die beiden brachydiagonalen He<* miprismen mit mT'oo und jm^P^oo zu bezeichen; be- stimmt der brachydiagonale HaAptftchnitt die normale Stellung, so vertauschen beiderlei Prismen ihre Ac- cente. Allgemein ist für die Theilgestalten derjeni- gen Elinoprismen, deren Axe auf den Beobachter zu-
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Sysiemlehre. Diklinoedr. System. Cap. IL 101
läuft, der Unterschied Ton rechts und links, und für die Theilgestalten der andern der Unterschied von pken und unten geltend zu machen.
i 489. Verticftle Pnamen.
Ans dem Prisma ooP lassen sich nach demselben Verfaliren zwei Inbegriffe Terticaler Prismen ableiten, welche jedenfalls, gleichwie ooP selbst, riiombische Querschnitte haben, und daher als einfache Gestalten auch jedenfalls ToUständig, mit allen vier Flächen er- seheinen; eine Erscheinungsweise, in welcher sich die Verschiedenheit zwischen diesem und dem folgen- den Krystallsysteme besonders auffallend zu erken- nen giebt. Die Gränzglieder dieser beiden Reihen Ton Terticalen Prismen, cx)Poo und ocPoo, sind das makrodiagonale und brachydiagonale Flächenpaar, de- ren gegenseitige Rechtwinkligkeit das zweite ausge- zeichnete Merkmal des Systemes bildet
Die wesentliche Eigenthümlichkeit des diklinoä- drischen Kjrystallsystemes offenbart sich also überhaupt nur in der Erscheinungsweise der verticalen Gestal- ten, welche durch nichts von jener der verticalen Ge- stalten des monoklinoSdrischen Systemes verschieden ist, während die Erscheinungsweise aller übrigen Gestalten mit jener der Gestalten des triklinoßdri- schen Systemes vollkommen übereinstimmt. Man kann daher mit allem Rechte von diesem Krystallsysteme sagen, dass es als ein neutrales oder vielmehr zwit- terartiges zwischen dem monoklinoädrischen und tri- klino^drischen Systeme mitten inue steht.
Anmerkung. Die Resultate der Ableitung las- sen sich auch hier leicht in ein Schema zusammen- fassen; bei der noch sehr untergeordneten Wichtig- keit dieses Systemes glaubte ich mich jedoch in der
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102 Beine J^stallographie.
Darstellung seiner YeibäUnisse mftgliohst knn fassen m müssen; daher ist das Schema hier weggeblieben, welches übrigens mit dem in §. 508 stehenden Schema des triklinoädrischen Systemes gänzlich übereinstimmt, nur dass in der äussersten verticalen Reihe rechter Hand die Accente weggelassen werden müssen«
Drittes Capiteh Berechnung des dikUno6drischen Systemes,
f. 490. CHwaHmscn oor n&cMiL
In der Gmndgestalt ii^ar das Verhältniss der Haupt- axe, Makrodiagonale und Brachydiagonale ^=:iaxb\ci ferner der Neigungswinkel
des basischen u. makrod. Uauptscfanitts == B • - r * brachyd. .* ^ =» C beider Diagonalen xn einander .,.,.;= a der Hauptaxe zur Brachydiagonal^ . . . zs^ ß - V 1^ • Makrodiagonale . , . = y Da jeder Raumoctant ein rechtwinkliges TriSder ist, SQ findet sich nach bekannten Regeln: co$a s=s coißcoiy =;? eotBcotC ^ cosB
'^ »mC
eoiC
Die ferneren Rechnungen kBnnen wir thells nach der Methode der analytischen Geometrie^ theib nach den Regeln der Trigonometrie fahren.
Wollen wir analytisch verfahren , so haben wir ^ySrderst 4ie diklino^drische FlächengMchung
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Systemlehre. DiiUno'edr. System. Cap. IIL 103
in weleher x^ y and z die schiefwinkligen, den drei Axen parallelen Coordinaten, nnd o» (, e die in diese Axen üedlenden Parameter bedeuten , orthometrich zu machen (§. 12). Piese Transformation ist leicht, weil zwei der Coordinatebenen noch rechtwinklig sind.
In der Coordinatebene (ory) haben wir den schie- fen Winkel y zwischen den Parametern a und i, in der Coordinatebene (orz) den schiefen Winkel ß zwi- schen den Parametern a and c. Man mache nan die gegebene Gleichang zavörderst orthometrisch in Be- zog auf X und y, d. h« man setze
statt X die Grosse Xg — Ifi— r-^
- » - • • "1^
so wird sie
' a abiimy c
xml bezieht sich In dieser Form auf ein monoklinoS- drisches Axensystem, in welohem die Axen der Xt and jfg sowohl, als auch die Axen der yi und z anf einander rechtwinklig sind, während noch die Axe der Xt gegen die Axe der z tinter dem schiefen Win- kel ß geneigt ist.
Blan mache nun diese Gleichung orthometrisoh in Bezog anf x% und r, d. b. man setze
,, ^ . cosfi
statt Xi die Grösse Xa — ^i~t-~3
#111 /j
so utrd sie endlich
£n , Xa— ftco#y)yi , (g— cco#/?)g, ^ ^
welches die orthometrische Form der nrsprangUchen dik]ino€drisehen CSeichnng
ist.
T+i+f='
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104 Beine KrystaÜographie. <
f 491.
Crleichangen der Flfichennormaleo. Die Gleichungen der Flächennormale N lassen sich nun unmittelbar aus der gefundenen orthometri- schen Gleichung der Fläche fiblesen, wie in §. 21 ; sie werden nämlich
{a — bco8y)Xt^ _ ÜL _ o abiiny a
{a'-CC09ß)Xn _ £i ^ Q
acfinß a
ia--cco9ß)yi ^ {a—bcoiy)Zi _ ^
acsinß ab sin y
Diese Gleichungen beziehen sich natürlich auf das rechtwinklige Axensystem^ und sind daher für die ferneren Berechnungen am bequemsten. Will man sio für das gegebene schiefwinklige Axensystem transfor- iniren, so hat man nur Xu^ fft und Zi als Functionen von ^, y und z auszudrücken, und die erhaltenen Ausdrücke in yprstehende Gleichungen zu substitui- ren; es ist aber
Xa ^=^ ^i + ZCOiß
=?3 ar + ycoiy + zeosß
ifi = Ifiiny
Zi = ziinß welche Werthe in obige drei Gleichungen gesetzt werden müssen, um solche nöthigenfalls als Functio- nen der schiefwinkligen Coordinaten or, y und z aus- zudrücken.
§. 492, Grdsse der Flächennormale.
Durch die im vorigen §. gefundenen ordiometri-^ sehen Gleichungen wird die Lage der Flächennormale bestimmt; ihre Länge aber findet sich, indem man Ja zwei dieser Gleichungen mit der orthometrischen Glei- chung der Fläche in §. 490 eombiiort, dadurch die
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Systemlehre. DUlinoedr. System. Cap.JIJ. 105
Coordinatea ihres gegenseidgen Durchschnittsputictes bestimmt, «nd aus der Samme ihrer Quadrate die Wurzel auszieht
Aus den beiden ersten Gleichungen in f. 401 folgt g — bcoiy *' "^ bnny •^" a^^ccoiß
Zi — ^ . Xu,
cnny snbstitoirl man diese Werthe In die ra Ende des §. 490 stehende Gleichung, so erh< man die Coordi- nate x^m. des flndpuiictes der Flächennormale, und dar- aus jfi wid Ziy wie folgt:
abc$inßiiny , . ^ . ^n = -jjji ^ X bc$%nß$my
Jfi = -^ ^ X c$inß(a—bcoiy)
wenn nämlich
Da nun
N^ Vxl, + yi+zi so folgt
X abcsimßsiny ^ ™ M
Man darf jedoch nicht vergessen, dass es, weil die Winkel y und ß entweder beide spitz, oder beide stumpf sind, oder der eine spitz, der andre stumpf ist, für Jfy und folglich auch für N vier yerschie- dene Werthe giebt, welche den vier verschiedenen Yiertelpyramiden P', 'P, P, und ^P entsprechen. Da- her ist jedesmal sehr darauf zu achten , von welcher Beschaffenheit die Winkel ß nnd y in demjenigen Raiimoctanten sind, in welchem die Fläche liegt, de- ren Normale gesucht wird. Dies gilt eben so für die oben mitgetheilten Gleichungen, welche zunächst fSr
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106 Reine KrystaUographie.
den Fall berechnet wurden 9 da sowohl ß bI» y spitie Winkel sind.
f. 493. Kaotenlinieii.
Die anfgefiindenen Gleichungen bilden die Grund-» läge für alle ferneren Berechnungen des Systemes nach der analytisch -geometrischen Methode; doch scheint es Tortheilhafter, sich für die folgenden Probleme der trigonometrischen Berechnung zu bedienen.
Wir bezeichnen in jeder Viertelpyramide allge- mein
die makrodiagonale Kante mit X die brachydiagonale Kante mit Y die basische Kante mit . . . . Z die diesen Kanten gegenüberliegenden ebenen Win- kel jeder Fläche mit ^^ v und ^; ferner die Haupt- Schnittwinkel wie folgt; den Neigungswinkel YOQ X zur Axe mit , . . . fjt
* • «f Makrodiagonale 9 - y - Axe mit . . . . ä -* « « Brachydiagonale f
• Z • Makrodiagonale p « - • Brachydiagonale ^
Die Eantenlinie X bildet als Gegenseite des Win-, kels y mit den Seiten a und &, die Kantenlinie Y als Gegenseite des Winkels ß mit a und c, die Linie Z als Gegenseite des Winkels a mit 6 und c eta Drei- eck, folglich wird
X=s |/a*4-Ä«— 2aÄco*y
K=Ä Va^ +c^—2accosß
2f tt= Vi^ + c^'^2bccosa je nachdem die Kante ober dem spitzen oder stam- pfen Winkel o, ß oder y liegt, ist der entsprechende Cosinos positiv oder negativ zu nehmen«
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Sysiemlehre. Däsünoedr^ Sy$tem. Cap.IJJ. 107
§.494.
YoluMii and Ob«rflftdi«.
Der Inhalt des Ton den Seiten a und b Im ma- krodiagonalen Hauptschnitte gebildeten Dreieckes ist iabiiny
Betrachtet man dieses Drei^k als di^ Grondflä- die der Ton einer Pyramidenfläche und den drei Haupte idmitten eingeschlossenen dreiseitigen Pyramide , so wild esüiß die H5he derselben, und daher
qt ;= \abc$iHßsiny hsVoIomen eines Gliedef der Viertelpyramide; folg- Hch
F5=5 89 =» iabcti^ßsinY das Volumen der vollständigen diklinoSdrlschen Py- ramide.
Dividirt man 89) durch Ny SQ folgt der Inhalt ei- ner Pyramid^njSäqhe
f. 495. FUdMOwlnkel Tmd Winkel der Haoptschnftte^
Die Cosinus der Flächenwinkel $, v und ^ bestim- men sich nach bekannten Regeln als Functionen der Kanten Winkel:
COiC + co$YeoiZ
C0#§ s=i
CßiV
iinYsinZ
coiB + cosXcoiZ
iüfJSmnZ
COf ^ ca COtXcot Y
fiesdbeo Cosinu« als Fanotionep 4er Hanptsehnttt- winkel
wenn tamg^ =es iangxeotC
ee$(f ,
cQ$v ISS coth-^m
eoiif ^ ^
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108 Meine Krystallographie.
wenn tang^ = t€mgcco$B
C0$^ s= C0SflC09n
Die Cosinus 4er Hauptschnittwlnkel bestimmen sich als Functionen der Eantenwinkel, wie folgt:
C09Y
^^'^ = 7^^
coiZ + eosXco$B
^^''^ = nnXünB
coiX
eo$Z+ eotYcosC **"9 = nnYrinC
CO9X + €09 Z CO9B
9tnZ9mB
eo9 y + CÖ9ZC09C 9tnZ9mC
Die Tangenten derselben Winkel als Functionen
der Axen:
h9iny
a9iny tangy « ^— ^
iangn t=5 tangf =Ä
a — cco9ß a9inß
c — aco9ß C9ina
b — cco9a
— ^^^^ " "^ c — bco9a
Uebrigens ist zu beachten ^ dass a + c + if = 180* /» + « + (,« 180* y + f* + ^ « 18(f
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Sysiemüehre. DiilinoSdr. System, Cap. IIL 100 i 496.
KanteawiiikeL
Zwar lasten sich die Kantenwinkel ttnmittelbar als Functionen der Axen aasdrücken; doch sind diese Ausdrücke, wenigstens jfür die Pyramiden, ^ praxi licht bequem, weshalb es vortheilhafter scheint, sie Dnr mittelbar auf die Axen zu beziehen, indem man lie zunächst als Functionen der Hauptschnittwinkel nd der beiden Winkel B und C ausdruckt. Es ist fSr jede Viertelpyramide P
. ^ fimXitnv iinYsing
nnZ = : • s= ^
ttna itnr
Diese Formeln sind für den Gebrauch die bequem- sten, wiewohl die Kenntniss des Winkels Z von X oder Y abhängig gemacht wird. Will man dies ver- ■eiden, so kann man auch Z mitteilt eines Hülfswin* kels als Function von B^ v und c, oder C, (f und t bestimmen,
catZ = — : — 9in(<r — v)
wenn iangx// 3= tangvcosB
, ^ ^otC
oder eotZ t=s -; — smOr—'W)
• wenn tangrp = iangQcowC Durch Anwendung der Neperschen Analogien laä(- len sich auch X und Z oder Y und Z zugleich als Functionen von jB, y und a oder C, q und r finden; üfimlich
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110 Reine $ay$tallographie.
nnd eben so
«. 497. Kantenwiakd der cor Cnmd^estalt gehdrigen Prismen.
Die Winkel fij 9 sind in den brachydiagonalen Hemiprismen Pcx), die Wiidcel ^ ^ in den makrodia«^ gbnalen Hemiprismen Poo, und die Winkel er, r ia dem rerticalen Prisma ooP identisch mit denen der Grnndgestalt Die Kantenwinkel der erwähnten He-* miprismen werden aber nur von je einem dieser Winkel abhängig seyn, und eignen sich daher ganz besonders zu Beobachtungselementen , um aus ihnen jene Hauptschnittwinkel abzuleiten. Es wird nämlich :
li) in jedem Hemiprisma Poo
und JS«180*-^(K+C) b) in jedem Hemiprisma Poö
tangX ±^ t^^
nun und Z ^ISff' — iJt+B) In dem verticalen Prisma ooP dagegta Ist sarSr« derst jederzeit
und femer
sinZiiüty =± tinXtiina »iHß SfftsZ = sinr oinY
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SystemJehre. Diilinoedr. System. Cap.IIL 111 und folglich, weü *'**'
endlich
Hna nnv
f. 498. Berechnung der Dimensionen der Gmndgestatt.
Zur Bestimmung einer jeden diklino€dnschen Krystallreihe wird die Kenntniss der beiden Winkel B und C und des Verhältnisses a : b : e erfordert. Diese Bestinunung setit also jedenfalls vier, von ein-« ander unabhängige Beobachtungselemente voraus, nn- t& welche, wenn anders die Beschaffenheit der Kry* stalle es gestattet, wo möglich die Winkel B und C selbst aafkuDehmen sind. Dann findet man sogleich c, ß und Yj oder die Mittelpunctswinkel der Haupt- schnitte, und die fernere Aufgabe reducirt sich dar^ anf , noch irgend iWei Winkel aus iwei Hauptschnit- ten xa berechnen, weil mit ihnen das Yerhältniss u:b:c gegeben ist Kennt man nämlich ausser a, ß md y noch zwei Hanptschnittwinkel , so kennt man aach die drittta Winkel derselben Hauptdchnitte, weil
lanner
a + e + t ^ iSOr
ß + n + Q ==: 180*
y + fi + V =± 180**
imd gelangt dann leicht mittels zweiei^ der Pröpor*
tionen
9tnf4, : iinv ss± b:a ^
Hnaiiinr s=s c :i nr Beitimmung des Verhältnisses aibie.
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112 Reine Krysiallographie.
ftfan hat daher überhaupt ausser B und C noch zwei Kanten zu messen, und diese Kanten wo mög- lich so zu wählen, dass sich ans ihnen mit Leichtig- keit zwei verschiedene Hauptschnittwinkel berechnen lassen. Am vortheilhaftesten ist es z. B., die Nei- ^ngswinkel einer und derselben Yiertelpyramide der Grundgestalt gegen den makrodiagonalen und brachy- diagonalen Hauptschnitt, öder auch die Neigungswin- kel zweier ungleichnamiger Hemiprismen gegen die- selben beiden Hauptschnitte zu messen, weil man 4ann sehr leicht zur Bestimmung der Winkel ^ und n gelangt.
f. 499. Allgemeine Gültigkeit der vorhergehenden Beredmangen.
Dass die bisher geführten Berechnungen allgemein gültig für jede abgeleitete Gestalt sind, obwohl sie sich zunächst nur auf die Grundgestalt und die zu ihr gehörigen Prismen bezogen, ist einleuchtend. Maa darf nämlich nur statt a, & und c die der abgeleite-* ten Gestalt entsprechenden Multipla derselben nach m und n einfuhren, um dieselben Resultate für irgend eine andre Gestalt brauchbar zu machen. Da übri- gens die Hauptschnittwinkel /ti, r, tt, (>, a und t eine sehr wichtige Rolle in allen Berechnungen spielen, und selbige sowohl bei Berechnung der Axen aus den gegebenen Kantenwinkeln, als auch bei Berechnung; dieser ans jenen unentbehrlich sind, so hat man je-' denfalls «eine Aufmerksamkeit zunächst auf sie za richten.
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SywUmJehr^. DHüaoedr. System. Cap.IF. 113
Viertes Capitet.
Von den Combinationen des diklinofidri* sehen Systeme«.
f doa
UeberUick d«r Gestalten und Orientimiig der Combinatioo.
Eingedenk der Resultate der Ableitung können wir in einer diklino€drischen Combination überhaupt anr zweierlei, ihrer geometrischen Erscheinungsweise aaeh verschiedene Gestalten erwarten ^ nämlich
1) vier flächige Gestalten, wohin ausschliesslich die verticalen Prismen, und
2) xweiflächige Gestalteui wohin alle übr%en Gestalten gehören.
Weil die aufrechte Stellung absolut ist) und so- wohl dnrch die rhombischen Prismen, als auch durch die beiden, auf einander rechtwinkligen Hauptschnitte indicirt wird, so kommt Alles auf die zweckmässige Wahl der Basis und Grundgestalt an, wobei denn wiederom, wie in den vorhergehenden Systemen, auf den Parallelismus der Kanten möglichst Rücksicht ge« oommen werden muss. Nachdem diese Wahl getrof- fen, bestimmen sich sogleich die Stellen der einzelen Theilgestalten in den verschiedenen Reihen, auf wel- che die Ableitung gelangen liess, und die weitere Entwicklung der Combination geschieht dann nach denselben Regeln, wie im rhombischen, monoklino(l- drischen und dem folgenden triklinoSdrischen Systeme, Da bis jetzt nur eine einzige diklinoädrisohe Krystall- reihe , nämlich die des unterschwefelsauren Kalkes g^iaa bekannt ist, so wird es auch hinreichend seyn, die von Mitscherlich gezeichneten Combinationen die- ses Salzes zum Gegenstande unsrer Betrachtungen zu machen, um die Methode der Berechnung und Ent* widdang diklinoädrischer Combinationen zu erläutern.
a 8
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114 Reine Krystallographie.
f. 601,
Combinaüonen d«8 untersdiwefdsaiiren Kalkes.
Die Figg. 53i bis 533 stelleü drei verschiedene. Combinationen des anterschwefelsauren Kalkes, und zwar die beiden ersteren in perspectivischer, die letz- tere in horizontaler Projection dar. Die Flächen a und b sind auf einander rechtwinklig, und die vier gleichwerthigen Flächen M bilden ein rhombisches Prisma, dessen scharfe Seitenkanten dem Beobachter zugekehrt sind. Setzen wir also dieses Prisma s=: ocP, so wird ^
ü =s ocP<» und b = ooPoo
Die Fläche P bietet sich von selbst als Basis dar, und nun bestimmen sich die übrigen Gestalten, wie folgt: es gehören
1) in die Hauptreihe, die Yiertelpyramiden A, m, n und /,
2) in die brachydiagonale Nebenreihe, die Hemi- prismen c, if, e und^
3) in die makrodiagonale Nebenreihe, die Hemipris* men ^ g und h.
Die Yiertelpyramiden A, n und / sind offenbar isoparametrisch, weil die CK. zwiscihen n und k dem brachydiagonalen, die CK. zwischen n und / dem ma- krodiagonalen Hauptschnitte parallel läuft; ietzen wir daher
* = !• so ist nothwendig
« = P, und / = ^
Aus denselben Grrunden bestimmen sich die He- miprismen
4 « ,P^oo, g = %oo Da die Viertelpyramide m die CK. zwischen den Hemiprismen y* und g abstumpft, so ist
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Systemiehre. DikUnoHdr. S^^t^m. Cap.IV^ 11$
nad dann wiedemm wegen deg Parallelismiui der bei- derseitigen CK. mit dem makrodiagonalen und bra^ chydiagonalen Haaptachnitte
Die einzige, unmittelbar nickt tu bestimmende Gestalt ist daher das brachydiagonale Hemiprisma d^ welches sich jedoch durch Messung der CK. if : P als iT^oo bestimmt.
Man wird nun leicht die Zeichen der Tier Com* Innationen zusammenstellen können»
f. Ö02. Berechmiiig der Dimeiulonen des untenchwefelaanren Kalken
Nach Mitscherlichs Messungen ist Winkel F\a = lOT 2^ == C - - P:4 = 98**2r = B wdAe beide Winkel in den oben rechts gelegenen Octanten fallen; daher wird für denselben Octanten: a== 87** 26', und das Supplement o' = 9y35' /?= 98^44' . • • - iff' = 8ri6' yt=107M3i' • • - - /=72*46i' Femer maass Mitscherlich den Winkel P:/oder oP:,P,oo = 69^2' ==> V iannn F = ISO* — (Z' + CO
•0 wird für/ r = 38*0'
4aherßr/ ft' = 37*40^'
• c=; 180«— (^ + /j') =ai 69^32r md endlich
d:a » iiHi/iiinv^ — 0|6112 : 0,9370
ader, iur i = 1, ^
a =s 1,533 = }^ Mitscherlich fond femer die makrodiagonale Sei- tenkante des Prismas ocP
Ifrüf =s78* 10'=:2J!r
8*
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116 Beine Kryatäüographie.
, c iangXiinC
da mm -.- =s — ■ . p —
•o wird, wiederum £Hr i==l, ^_^
c = 0,7849 = >^0,616 folglich das Yerhältniss der Dimensionen
a:6:e =1,633:1:0^7849 und sehr nahe
a:==:^c + ib = 1,5349 Nun ist es auch leicht, die Ableitungszahl m des Hemiprismas d zu finden; es ist nämlich
d:P= ar ly
also für rf, ^ = 30** 41'
und F = 180* — (Z+ C> = 42' 17'
da null tangfA = fang Ysinß
10 wird M = 41'* 57'
y = 180r — (^ + y) = 30^ SO'
und M = — : — = i
Die Berechnung der Kantenwinkel der übrigen, krjrstallographisch bestimmten Gestalten gegen die drei Hauptschnitte ist gleichfalls ein leichtes GeschftfiL Will man z. B. die Kantenwinkel irgend eines Hemi- prismas n$oo haben, so berechnet man, entweder un- mittelbar nach der Formel
^•^ ma — cQ$y den Winkel /tt allein, oder auch nach der bekannten Begel der Trigonometrie, durch die Proportion
ma + iima — 1 = ^ng^ + v) \ iang^fi — v) die beiden Winkel (a und v zugleich, und gelangt damt leicht auf die Winkel X, Y und Z.
Eben so gelangt man für ein Hemiprisma «iFoc, entweder durch die Formel
, ctinß
iangn =s — ^
^ ma — c co$ß
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Systendehr^. TriiÜnoedr. System. Cap. I. 117
oder durch die Proportion
w$a + e:ma — c = fangi(n + q): fangen -^q) auf den Winkel n^ nnd mittels dieses Winkels auf JT, Y nnd Z. Die Supplemente von X, Y nnd Z wind die Neigungen der Hemipnsmen gegen ooPoo^ ooPoo und OP.
Siebenter Abschnitt Vom triUino^driichen Sj/iteme.
Erstes Capitel.
Von den Axen nnd Gestalten des Syslemes.
|, 603. Gronddutrakter det Bystemet»
Das triklinoSdrische System*) ist nach f. 43 der In- begriff aller deqeaigen Krystallformen^ deren geome- trischer Gmndcharakter durch drei, aufeinander schief- winklige Coordinatebenen bestimmt wird. In dieser dnrdigfingigen Schiefwinkligkeit der Coordinatebenen liegt die wesentliche Eigenthümlichkeit des Systemes, Inr dessen drei Axen sich, seinem Charakter nnbe-^ schadet, eben so wohl das Yerhältniss der durchgän- gigen Gleichheit, oder der Gleichheit zweier gegen eine ungleiche, als das Yerhältniss der durchgängi- gen IJi^eiehheit denken lässt Betrachten wir die- ses letztere, weil es nicht nur bis ^tst das allein beobaditete, sondern auch das dem Neigungsverhält^
*) Tetartoprimitisdiei System nacli Mohi, da - i9iid - eingKo- dr%es 8yitea nach Wom» tetartorhombischef Syitem nach Breit- saupc*
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118 Reifte KrystaUographie.
lüsse der Coordinatebenen allein entspredliende kl^ als das naturgesetzliche Verhältniss, so finden wir in gegenwärtigem Systeme eine absolute Ungleichheit der Angular - nnd Lineardimensionen, und die grosste Abweichung von der Regelmässigkeit des Tesseral- systemes. Wie also für dieses letztere System in der durchgängigen Rechtwinkligkeit der Coordinatebenen und Gleichlieit der Axen die Bedingungen für ^as Maximum der Regelmässigkeit, so sind für das tri- klinoädrische System in der durchgängigen Schief- winkligkeit der Coordinatebenen und Ungleichheit der Axen die Bedingungen für das Maximum der Unregel- mässigkeit gegeben^ welche überhaupt unter Voraus- setzui^ einesr trimetrischen Axensystemes realisirt werden konnte.
Ben drei schiefen Neigungswinkeln A^ B und C der Coordinatebenen entsprechen die drei Neigungs- winkel ce, ß und y der Axen, welche in der Regel gleichfalls alle schief sind, wiewohl auch einer der- selben ein rechter seyn kann.
Da weder {8r die aufrechte, noch für die normale Stellung bestimmte Indicationen vorhanden sind, so haben wir willkürlich die erstere nach einer der Axen als Hauptaxe, und die andere riach einer der durch die Hauptaxe gehenden Coordinatebenen au bestim* men, welche die Richtung auf den Beobachter erhält«
i 504. Trikliaoedrladie Pyramiden und PrismeiL
Constmireft wir um ein triklinottdrisehe» Axmh System für irgend ein endliches Verhältnis dier Panh» meter aihic den vollsttedigen Inbegriff der isopank« metrischen Flächen, so erhalten wir ein Resultat^ welches seiner allgemeinen Beschaffenheit nach mit dem im vorhergehenden Systeme gefundenen Resul- tate übereinstimmt Es ist nämlich die so construirte
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Systemlehre. TnkUnoSdr. ^stem. Cap.I. 110
Ciestalt wiederum eine von acht viererlei (in der Re- gel) nagleichseitigen Dreiecken umschlossene Gestalt, dei^B ABttelkanten in einer Ebene liegen, und wel- die daher den Namen einer IriklinoSdrischen Pyra- mide üfart
Von den Flächen dieser Pyramide sind Je iwei Gegenfiftchen gleich und ähnlich, weshalb es über- baupt viererlei Flächen, und daher auch vier Theil- gestalten giebt, deren jede einzele nur ein paral- leles Flächenpaar darstellt.
«
Die Kanten zerfallen in sechs, durch ihre Länge
wie dorch ihr Winkelmaass verschiedene Kantenpaare, von denen immer ein längeres und ein kürzeres in einen der drei Hauptschnitte fallen.
Die Ecke sind insgesammt viererleikantig und dreierlei, nämlich zwei Polecke, zwei spitzere Mit^ lelecke an den Endpuncten der längeren, und zwei stumpfere Mittelecke an den Endpuncten der kürze- ren Mebenaxe.
Die Hauptschnitte und alle ihnen parallele Schnitte und Rhomboide.
Die triklinoSdrischen Pyramiden erscheinen jedocb flie 8» vollständig mit allen vier, im Gleichgewichte ausgebildeten Theilgestalten, wie solches die voaste« heiide Beschreibung derselben voraussetzt; vielmehr sind diese Theilgestalten von einander gänzlich unaln hingig, und daher die Pyramiden selbst gewöhnlich nur in Mnzelen Viertelpyramiden ausgebildet.
Awter den Pyramiden finden wir noch dreier-^ ; lei, Bämlick verticale und zwei Arten geneigte Pris- men, welche insgesammt rhomboidische Querschnitte haben, und daher in zwei Hemiprismen zerfallen, so wie endlich die drei, den Coordinatebenen ent- sprechenden Flächeppaare des Systemes.
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120 JReine Kry9taUogr<qphie.
%. fi05. SymiietdeTerii2ltiiifl0e des Sjntoses.
Weil die Pyramiden dieses Systemes in viek^ nnd ^ie Terschiedenen Prismen desselben in zwei Theil- gestalten zerfallen, so begegnen wir in selbigem über- haupt nur solchen Gestalten , welehe ans lauter im- gleichwerthigen Flächenpaaren zusammengesetzt sind, indem fiir jede Fläche einzig nnd allein in ihrer Ge« genfläche eine gleichwerthige vorhanden ist Diese Vereinzelung aller Flächen hat in vielen Fällen für die Erscheinungsweise der triklino^drischen Krystall- formen einen Mangel an Symmetrie zur Folge, durch welchen sie sich auffallend von den Krystallformen aller bisherigen Systeme unterscheiden*), während sich dagegen in andern Fällen durch gleichzeitige Aus- bildung der coordinirten Theilgestalten eine Annähe- rung an die Symmetrie des monoklinoSdrischen Syste- mes zu erkennen giebt^).
Wie dem aber auch sey, so müssen wir doch, sowohl bei gegenwärtiger allgemeiner Darstellung des Bystemes, als auch bei der besondem Betrachtung einer jeden triklinoSdrischen Krystallreihe, die, nur in ihrer Zerstückelung erscheinenden Gestalten in Ge- danken ergänzen, indem wir die einzelen Theilgestal« ten, als die diijecta membra derselben, immer mit ihren respectiven Complementen in Beziehung setzen, nnd so die, nur theilweis ausgebildeten Fonnen ia nnsrer Vorstellung TerroUständigen. * Ohne dieses Hüjfsmittel würde keine klare Uebersicht in einem Systeme möglich seyn, dessen Krystallformen nur Aggregate von Flächenpaaren, und dessen Symmetrie- 'Verhältnisse oft so versteckt sind, dass man an dem Vorhandenseyp derselben zweifdb modite.
*) Z. B. Axiiiit und Kupfervitriol. ^ Z. B. Tetartia, Anorthit
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Systemlehre. Trikündedr. System. Cap. IL 121
Zfceites CapiteL
Von der Ableitung der triklinoCdrischen
Geitalten.
f. 506. Gnmdgestalt $ Hanptreihe.
Indem wir die sa Ende des vorigen f. er- wähnte Hülfsvorstellong zu Gmnde legen, wählen wir iigend eine ToUständige triklinoSdriache Pyramide lor Gmndgestalt, bezeichnen sie mit IP/, und bestimmen ihre aufrechte Stellung. Femer bezeichnen wir die iMlbe Hauptaxe mit a, die halbe längere Nebenaxe mit iy die halbe kürzere Nebenaxe mit c; die drei Neigungswinkel der Coordinatebenen, wie solche an Uy b und c anliegen, mit A^ B und C, und die ilmen g^enüberliegenden Neigungswinkel der Axen mit o, ß und y. Auch unterscheiden wir hier, wie im rhom- bischen und diklino^drischen Systeme zum Behufe der Nomenclatur der abgeleiteten Gestalten die beiden Ne- benaxen der Grundgestalt darch die Namen der Ma- krodiagonale und Brachydiagonale (f. 412).
Aus der Grundgestalt wird zunächst folgende Haupt- reihe tiiklinoädrischer Pyramiden abgeleitet: «<1 «>1
V* ••••.♦. .fli/* /„,.,, ,,/Jr /•»•.. ••.J(l/Jr/.««.»«»«00/l;/
in welcher^ wie immer, die Glieder rechter Hand spitzer, die Glieder linker Hand flacher sind als HP«. Sie ist eigentlich eine vierfache Reihe, indem jedes ihrer Glieder, mit Ausnahme der beiden äusser- sten, in vier Yiertelpyramiden siP^, «i^P, mP, und mjf zerfällt, welche von einander gänzlich unabhängig sind. Das eine Gränzglied OP ist, wie immer, das basische Flächenpaar; das andre Gränzglied oojf', ein Prisma von rhomboidischem Querschnitte, welches da- her in die zwei Hemiprismen ooP) und cc)P zerfällt
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122 RAfi^ KrystaUographie.
Auf diesen hemiprismatischen Charakter der ver- ticalen Prismen einerseits, so wie auf die Schiefwink- ligkeit der beiden verticalen Hanptschnitte anderseits beschränkt sich die ganze \^erschiedenheit in der Er- scheinungsweise dieses und des yorhergehenden Kry- stallsystemes.
f. 607- Makro&gonale und brachy diagonale Gestalten.
Ans jedem Gliede mjf\ der Hanptreibe lassen sich swei Reihen Pyramiden ableiten, in welchen einer- seits die Brachydiagonale, anderseits die Makrpdia- gonale der Gmndgestalt* noch unTerändert enthalten ist.
Man Terfafare mit m9\ auf ähnliche Art wie in den vorhergehenden Systemen, d. h. man vergtdssere einmal die Brachydiagonale bei constanter Makrodia* gonale, das andre Mal die Makrodiagonale bei con- stanter Brachydiagonale nach einem CoSfficienten n, so erhält man mittels der bekannten Constmction für jeden besondern Werth von n in jenem Falle eine brachydiagonale Pyramide mit unveränderter Makro- diagonale, in diesem Falle eine makrodiagonale Py- ramide mit unveränderter Brachydiagonale der Grund- gestalt. Bezeichnen wir allgemein jene mit «i'P>^ diese mit «n'P'n, so lässt sich der Inbegriff aller mög- lichen Gestalten beider ^ Arten in folgende zwei Rei- hen zusammenfassen
M^l^...»,..SIfP#ll Ä/P/OO
«•3»; mf'jn «i:?;»
Die Gränzen dieser Reihen sind geneigte Prismen mit rhomboidischen Qnerschnitten, welche daher je- denfalls in zwei Hemiprismen zerfallen. Je nachdem nun der makrodiagenale oder . der brachydiagonale Hauptschnitt die Normalstellung bestimmt, werden die halben brachydiagonalen Klinoprismen mitsi'Pcc, m^fOo und die halben makrodtagonalen KUneprismen
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Systemlehre. TrihUnoedr. System. Cap. IL 123
n{£ m^V^oCy m'P/X) bexeichnet, oder umgekehrt, weil die Stellang der Accente der Lage entsprechen nrasg, in welcher sich die Flächen dieser Hemiprismen dem Beobachter prftsentiren.
Wird dieselbe Ableitung auf odlf, angewandt, so gelangt man auf folgende sweiReihenTerticalerPdsmen
oc'P^ oo^P^i ooPoo
ooP: co'J^M ooPoo
Wir nennen die erstere die Reihe der makro- diagonalen, die xweite die Reihe der brachydia* gonaien vertiealen Prismen, und erkennen in iken Gr&usgliedern das makrodiagonale und brachy- diagonale Flächenpaar, während die übrigea Glieder Prismea von riiomboidisehen Querschnitten, und folg- lich aus xwei Hemiprismen zusanunengesetat sind, die als rechte und Unke unterschieden werden.
f. 503.
Schema des trikLinoSdrischea Syatemei.
Yeirein^en wir die Resultate der AUeitni^, so erhalten wir folgendes übersichtliche Schema des tri*- klinoSdrischen Systemes:
m<i «•>!
oP..«.....,..si^P^oo.„..M*.»./P^.....»..si,r^ao.,«,«,,ooPaQ
\ i : I ! •
: X
OJt ,,,,,., ,,«.aiA*/,»,.,^, ,.,»,, »l:/,,,,,,^,,^JB|/lr/««»«M»«««»^^»**
»/•M«'
l • • z i
«P m^M. :?ji-— .^#J» oolPii
! ; I
Dm Ten«hiedeneB GeMaltes de« Syttonei gnip-
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124 Jlteine Krystallographie.
piren dch in die rerschiedenen Reihen dieses Sche- mas, wie folgt:
1) Die mittelste horisontale Reihe, oder die Haupt- reihe, begreift alle Pyramiden so wie das ver- ticale Prisma von gleicher und ähnlicher Basis mit der Grundgestalt ; sie theilt das ganze Schema in zwei ungleichartige Hälften, und ihre Gestal- ten lassen sich eben so wohl zu der einen wie zu der andern Hälfte zählen.
2) Die oberste horizontale Reihe, oder die makro- diagonaleNebenreihe, enthält die sämmtli^ eben makrodiagonalen Klinoprismen, so wie das gleichnamige Flächenpaar.
3) Die unterste horizontale Reihe, oder die bra^ chydiagonale Nebenreihe, enthält die sämmtlichen brachydiagonalen Klinoprismen, so
. wie das gleichnamige Flächenpaar.
4) Die mittleren horizontalen Reihen der oberen Hälfte des Schemas, oder die makrodiago- nalen Zwischenreihen, begreifen alle ma- krodiagonalen Pyramiden und die gleichnamigen Terticalen Prismen.
5) Die mittleren horizontalen Reihen der unteren Hälfte des Schemas, oder die brachydiago- nalen Zwischenreihen, begreifen alle bra- chydiagonalen Pyramiden, so wie die gleichna- migen Terticalen Prismen des Systemes.
Drittes Capitel
Von der Berechnung der triklinoBdrischen Gestalten.
§. 609. Berednumg dar MittelpnnctswinkeL
Für jede Viertelpyramide der Grundgestalt be-
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Systendehre. Trütlinoedr. System. Cap^IIL 125
ceiefaneten wir das Verfaftltniss der Axen oder Li« Beardimenflionea mit
a : i : e die drei, an den Axen anliegenden Neignngswinlcel der Coordinatebenen mit Ay B und C, und die drei, fiesen Winkeln gegenüberliegenden Neigungswinkel der Axen mit a, ß and y. Wir bezeichnen noch aus- serdon, ganz wie im vorigen Systeme, dieNeignngs- winket der Pyramidenfläche gegen den makrodiagbna- len, brachydiagonalen and basischen Hanptschnitt mit X, Y nnd Z, and endlich die Haaptschnittwinkel selbst mit fi and v^ n and p, a nnd t.
Zuvorderst bestimmen sich die Winkel o, ß nnd y ans den Winkeln A^ B und C nach bekannten Regeln, wie folgt:
coiA+ coiB coiC
CQia =
iinBiinC
eoiC+ cofAcofB ea$y = . . . p
bei welcher Bestimmung man sich auch der bekann- ten Formeln für Mnia, sin iß unAHuiy bedienen kann. Für die ferneren Berechnungen ist darauf za ach* ten, dass
fi + v + y=: iSOf"
jr + p + /?= 180*^
or + T+a = 180**
Da man bisweilen zwei coordinirte (d. h« zu iso- yarametrischen Theilgestalten gehörige) Hauptschnitt- jnnkel fi und ^% v und v^ u. s. w. kennt, so kann man die Mittelpunctswinkel o, /? und y nach folgen* den Formeln bestimmen:
^sinaHnt/ 2sinTiinr^
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120 Beine Kryeiallographie.
iangß — ^j^^„_^^y = ^n{g—^')
8. 5ia
Gleichung einer Fläche.
Will man die dieses Krjrstallgystem betreffenden Probleme nach analytisch -geometrischer Methode lö- sen, so mache man znerst die triklinoSdrische Glei- chung
orthometrisch in Bezug auf die Winkel ß und y; sie verwandelt sich dann in
Xn {a—6coiy)jfi {a—cco9ß)Zi _^ ^ a absmy aainß ,.
oder, wenn man , ^ s± p und ^ = q
a — öcosy ^ a — ceoiß ^
setKty in
f^ ju Sl ju fL— 1 ^ P 9 Die Coordinaten jfi und Zt schneiden sich noch unter dem schiefen Winkel Ay und die Gleichung ist, wie sie hier steht, eigentlich eine mcmoklinoSdiische Gleichung; setzt man daher
coiA
'rimA
so wird «ie
^ + ?IL + (p--qco9A)Zu^ j « p pqiinA
tmd ist in dieser orthometrischen Form zur analyti- schen Auflösung aller Probleme geeignet, welche sich, auf die Lage der Flächen und ihrer Durchschnitts- linien beziehen; eine Auflösung, welche freilich mehre
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Systemlehre. Trihünoedr. System. Cap.111. 127
Forbereitende Rechnangeo erfordert^ um die GrSssev p und gy 80 wie den Factor von Zn sü finden. Wenn man jedoch bedenkt, dass die inversen Grössen der
Ausdrucke — und -^ auch in allen übriiren Bereeb- a a ^
■nngen eine wichtige Rolle spielen, und daher in den meisten Fällen berechnet werden müssen, so über^ sengt man sich , dass die Darstellung der orthometri* sdien Form einer triklinoßdrischen Gleichung nicht so weitläufig ist, als es den Anschein hat. Weil aber, Mit Ansndime des die Lage der Flächennormale be- treffenden Problemes, die meisten im praxi nöthigen Rechnungen sehr leicht mittels der Tri^drometrie ans«» zufuhren sind, so wollen wir uns auch vorsugsweisO dieser Methode be^benen.
f. 611.
Hanptaduttttwinkel.
Die Tangenten der Hauptschnittwinkel bestim* men sich hier gans so wie im dikUnoSdrischen 87- Sterne^ nämlich:
a — beoty
atiny
-^acoi
ciinß
a — ccQ$ß e$i»ß
a — e^oiß
tangt sa ^— 1 —
tangn tengf
. cnna
tBMgr
cco$a hiina
c — bcota
Bei dem Gebrauche dieser Formeln hat man sorg- Bitig darauf zu achten, welche von den Winkeln o^ ß and y spits oder stumpf sind, weil im letzteren Falle die Cosinus negativ genommen werden müssen.
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128 Seine KryataÜographie.
Als Functionen der Kantenwinkel X^ Y und Z findet man
C09 Y + co$ Xcoi A
«'«"' = ,inX,iHA
cot Z + C09 Xcos B
COiV
coin
COiQ CS COiO =
eoi% SS
tinXiinB
cot Jr+ COM YcoiA sin YiifiA
COM Z + cof Yeo$ C nnYtmC
cot JC+ cosZeonB tinZsinB
eoiY-^- COM Z cos C
sinZsmC
wofSr inan 6ich auch der Formeln
^ sin X sin A
n. 8. w. iur die übrigen Winkel bedienen kann, in- dem S = ^{Y+ X + A) u. s. w.; da man aber der Logarithmen für cosY^ cosXy cosA anch ausserdem bedarf, so sind die ersteren Formdp in vielen Fällen doch noch bequemer, obgleich man bei ihrem Ge- brauche genöthigt ist, von Logarithmen auf Zahlen, und von diesen auf Logarithmen zurück zu. gehen; denn die Bestimmung der Differenzen jS — Xy S — A n. 8. w. erfordert fast eben so viel Zeit, als jene Uebersetzung der Logarithmen zur Bildung der Summe cos Y+ cosXcosA,
Uebrigens bedarf man dieser Formeln nur zur Auffindung je eines Hauptschnittwinkels, da zwischea den Kanten- und Hauptschnittwinkeln folgende Rela- tionen Statt finden:
sinXisinY = sinnisin^
sin Y: sin Z =: sinxisinQ
sin Z : sinX = sinv : sina
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&f8temlehre. Trihünoedr. System. Cap.IIL 129
daher auch
sinfiiinQiinü = 9iHv$tmniiHT Hat man also x. B. /u nach der Formel co$Y+ coiXeofA itnXitnA berechnet, so findet man sogleich n durch
sinfiiinX itnV
§. 612. Kaiitenwinkel einer ViertelpyTaiiilde. Die Kantenwinkel lassen sich am bequemsten als Functionen der Hanptschnittwinkel mittels 4cr \eper* sehen Analogien auffinden, wie folgt:
1) X und Y aus Ay fi und n:
2) X und Z aus B^ v and <;:
^^ co#f((r+v)
3) K und Z aus C, ^ und t:
Will man also die drei Kantenwinkel einer, durch ihr krystallographisches Zeichen gegebenen Viertel- Pyramide berechnen, so be^echaet man zuvörderst «w den Axen und den bekannten Winkeln o, ß und y nach den Regeln der Trigonometrie die Winkel zweier Hauptschnitte, z.B. ^ und xr, darauf aus die- sen Winkeln und A mittels der Neperschen Analo- ML 9
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130 Reine Krystallographie.
gien die Winkel X und F, nnd endlich, wdl mit [jl und n auch v und q bekannt sind,
— co$B . ,•„ V
oder coiZ ^= —. — tinlY — V')
wo der Hiilfswinkel %p durch
co/i// t= cosvtangB oder co^V == coiQtaugC bestinunt %vird.
Doch kann man auch zur Bestimmung von Z un- mittelbar aus den Axen die Winkel des basischen Hauptschnittes berechnen, und dann mittels derselben Analogie, durch welche X und Y gefunden worden, entweder Xund Z oder Y und Z finden; ein Yer^ fahren, welchSs den Yortheil gewährt, dass sich die Rechnungen controliren, weil jedesmal einer der ge- suchten Winkel aus Terschiedenen Elementen zwei- mal gefunden, und durch die Gleichheit der ».bei- den Fällen erhaltenen Resultate die Richtigkeit der Rechnung verbürgt wird«
f. 513.
Kautenwinkel der Hemipriamen.
Will man die Winkel Xj Y und Z eines, durch sein krystallographisches ,Zeichen gegebenen Hemi- prismas berechnen, so berechnet man zuerst aus den Axen und dem eingeschlossenen Winkel a, ß oder y die ebenen Winkel desjenigen Hauptscfanittes, wel- cher die Axe des Prismas schneidet, gelang darauf mittels der Neperschen Analogien auf die Bestimmung zweier Winkel, und durch die Relationen, welche zwischen den Längenkanten jedes Hemiprismas und. einem der Winkel Ay B und C Statt findet, auf den dritten Winkel.
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Systemlehre. Triilinoedr. System. Cap.III. 131
1) Für vertlcale Hemiprismen.
Man berechnet aas by e und a die Winkel a und Ty dann mittels der Neperschen Analogien
aus er, y und B die Winkel X und Z, oder aus T, ß und C die Winkel Y und Z, und endlich in* jenem Falle Yy in diesem Falle X ans der Gleichung
2) Für geneigtemakrodiagonaleHemipris- men.
Man berechnet aas n, e und ß die Winkel ts und fy dann mittels der Neperschen Analogien
aus Tty y und A die Winkel JT und F, oder
aus (>, a und C die Winkel Z und F, ond endlich in jenem Falle Z, in diesem Falle X ans der Gleichung
B + X+Z=: ISff" 3) Für geneigte brachydiagonalellemipris-
men.
Man berechnet ans 2, a und / die Winkel /t und y, dann mittels der Neperschen Analogien
aiM /i, ß und ^ die Winkel X und F, oder .
aus fy a und B die Winkel X und Z, and endlich in Jenem Falle Z, in diesem Falle F aus dier Gleichung
C+Y+Z=^SSO''
f. 514.
Bereduraiig der Lineardiiiienrionen.
Beror man ffir eine durch ihre Kantenwinkei be^^ stimmte Gestalt ziar Berechnung der Lineardimensio- nen schreiten kann, müssen die Angulardimensionen Ay B und Cy oder auch die ihnen entsprechenden ilittelpunctswinkel a, ß und y bekannt seyn, daher man auch die ersteren Winkel wo möglich unter die unmittelbaren Beobachtungselemente aufzunehmen hat. Nachdem o, ß und y gefunden sind, lässt sich Tür jede
9*
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132 Reine Krystallographie.
yiertelpyramide ans je zweien ihrer Winkel Xj Y and Z dda Verhälcniss ihrer Lineardimensionen be- rechnen, wobei alles auf die Berechnung zweier un- gleichnamiger Haaptschnittwinkel ankommt Denn da
fi + v + Y = 180°
n + Q + ßz=: 180°
a + T + a = 180° die Winkel ay ß und y aber als bekannt vorausgesetzt werden, so ist mit je einem Hauptschnittwinkel auch der andere desselben Hauptschnittes (z. B. mit ft auch v) gegeben. Kennt man also zwei ungleichna- mige Hauptschnittwinkel, so gelangt man' sehr leicht durch je zwei der Proportionen
iin^isinv = b:a
iinnisinQ = c:a
iinaiiinj = c:ft auf die Bestimmung des Verhältnisses der Lineardi- mensionen aibic.
Wie man aber aus den Kantenwinkeln die Haupt- schnittwinkel findet, dies lehrt §. ^511.
Für die Prismen wird die Berechnung weit ein- facher, zumal wenn man eine von denjenigen Kan- ten gemessen hat, welche der Axe des Prismas paral- lel sind, weshalb wir auch diesen Fall zuerst betrach- ten wollen.
1) Für verticale Hemiprismfenfindetmanaus einer der Kanten X oder Y die andre, weil
Jr+ y+il == 180° und dann aus X und T das Yerhältniss b:c =: $in Yiinß : HnXnny
2) Für makrodiagonale geneigteHemipris- men findet man aus einer der Kanten X oder Z die andre, weil
J+Z-l-Ä s= 180° und dann aus X und Z das Verhältniss a:c ^=ss iinZHMa : nnX^iny
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Sysiemlehre. TrUUnoedr. System. Cap. II J. 133
3) Für brachydiagonale geneigte Hemi- prismen endlich findet man ans einer der Kanten Y oder Z die andre, weil
Y+Z+C= 180° und dann aas Y nnd Z das Verhältniss
aib z=s $mZ$ina:iiMYiiȧ , '
f. 915. Fortsetznng.
Kann man dagegen nur diejenige Kante messen, welche der Axe des Hemiprismas nicht parallel ist, so mnss man die ebenen Winkel der prismatischen Flächen zn Hülfe nehmen, wie folgt.
1) Für verticale Hemiprismen findet sich aus Z
itmv =3 — . ^ ^, oder «»g = — t—tt- tmZ ' . nnZ
und dann mittels der Neperschen Analogien,
oder tangir = tangi(i-ß)^^'^-
2) Für geneigte makrodiagonale Hemipriimen fin- det si<^h au9 Y
«»?= -^, oder mS = -j^^
und dann
oder fajyH> =^g«gT(g~«)^^T(c_ y)
3) Für geneigte brachydiagonale Hemiprismen end^ lieh findet sich aus X
mi; » -jg^^ , oder mv = -^^^^^p-
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134 Beine KrystaUographie.
and dann
Ans allen diesen Berechnungen folgt die Regel, dass man, nm die kürzeste und leichteste Berechnung der Lineardimensionen zu erhalten, zu den unmittel- baren Beobachtungselementen wo möglich nur die Längenkanten der Hemiprismen wählen, und auch die Bestimmung der Dimensionen von Pyrami- den wo möglich von Jener der coordinirten Prismen abhängig machen muss.
Viertes Capitel.
Von den Combinationen des triklino^dri- schen Syst-emes.
A, Regeln xur Emtwicklung der ComSinationen,
§. 516, Wahl der Coordinatebeneo mä 6nuid|;e«tBlt.
Da eine jede Theilgestalt, welchen Namen sie auch fuhren mag, nur durch ein Flächenpaar darge- stellt wird, so werden jedenfalls wenigstens drei Theilgestalten mit einander combinirt^ und überhaupt in einer jeden triklino^drischen Combination eben so viele TheUgestalten enthalten seyn, als es verschie« dene Flächen giebt. Wiewohl daher die Combinatio» nen dieses SyHtemes nur PolySder aus lauter ungleich* werthigen und oft ganz beziehungslos erscfaeinendeia Flächenpaaren darstellen, und wiewohl sie bisweilen, durch das isolirte Auftreten einzeler, oder auch durclm die sehr ungleichmässige Ausdehnung coordinirter
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Sysiemlehre. Triklinoedr. System. Cup. IK 135
Theilgestalten eiaen solchen Schein von UnregeU raässigkeit annehmen, dass man anf den ersten An- blick an der Anflindang irgend ejines Sjrmmetriege- setzes verzweifeln möchte, so werden doch diese Schwierigkeiten grosstentheils gehoben, wenn man sich die Resultate der Ableitung und die derselben zu Grunde liegende Hülfsvorstellung vergegenwärtigt.
Die wichtigste Frage, welche man sich vor der Entwidmung einer Combination zu beantworten hat, ist, welche von den vorhandenen (oder doch indictr- ten) Flächenpaaren den drei Hauptschnitten entspre- dieoy und demzufolge mit OP, ocFoo und ocPoo be- zeichnet werden sollen; denn von der mehr oder we- niger glückliehen Wahl dieser Coordinatebenen hängt die mehr oder weniger symmetrische Ansicht der gan- zen Combination ab, und vor jener Wahl ist an eine Orientirung derselben überhaupt nicht wolil zu den- ken« Die Lage der Combinationskanten muss bei die- ser Wahl vorzüglich zur Richtschnur dienen, indem mall wo möglich diejenigen, entweder wirklich aus- gebildeten, oder durch die Verhältnisse der übrigen Gestalten angedeuteten Flächen zu den Repräsentan- ten der Coordinatebenen wählt, welchen die meisten CouADinationskanten parallel laufen.
Die zweite wichtige Frage nach der Gmndge- stalt ist zunächst nur für irgend eine Yiertelpyra- mide so^beantworten, und daher irgend eines der vor- handenen Flächenpaare mit P^, T, P, oder ,P zu be- zeichnen« Man hat dabei wiederun^ auf den Paralle- lismuz der Kanten und anf die allgemeine Regel (f. 412) zudachten, nach welcher sich diejenige Ge- stalt vorzugsweise als Grundgestalt empfiehlt, welche die leichteste Entwicklung und einfachste Bezeich- nung der Combination gewährt. Hieraus ergiebt sich von selbst die besondere Regel, die Wahl der Grund- gestalt wo möglich so zu treffen, dass sich für eine
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136 Reine Krystaüographie.
Viertelpyramide andere Flächenpaare als die coordi- nirten Yiertelpyramiden bestimmen. Ueberhaupt aber erfordern alle diese Bestimmnngen desto mehr Um- sicht und Anfmerksamfi:eit, je \¥eniger ein Anhalten dafar iü den Verhältnissen der Combination^n selbst gegeben zu sejn pflegt.
§. 517. Allgemeine Regeln der Entwicklang.
Nach Bestimmung der Coordinatebenen and der Gmndgestalt lassen sich sogleich folgende allgemeine Regeln in Anwendung bringen, indem wir wie bisher unter a, b und c, ct^ V und c^ diejenigen Dimensio- nen irgend zweier Gestalten verstehen, welche in die Hauptaxe, Makrodiagonale und Brachydiagonale der Gmndgestalt fallen.
1) Für je zwei Flächen, deren CK. dem basischen Hauptschnitte parallel läuft, ist 4^c = Ä' :c'.
2) Für je zwei Flächen , deren CK. dem makrodia- gonalen Uauptschnitte parallel läuft, ist ax b = a'xb\
3) Für je zwei Flächen, deren CK. dem brachydia- gonalen Hauptschnitte parallel läuft, ist aio
' Die allgemeine Orientirung der Gestalten wird durch eine Yergleichung der Lage ihrer Flächen mit der Lage der Flächen der Grundgestalt gewonnen, wo- bei zumal für die Unterscheidung der Viertelpyrami- den und Hemiprismen darauf zu achten ist, dass je- des verticale Prisma in die Zone der Flächen ocPoo und ocPoo, jedes makrodiagonale KlinopAsma in die Zone der Flächen ocPoo und OP, und jedes^ brachy- diagonale Klinoprisma in die Zone der Flächen ooPoo und OP fällt (§. 68).
Für alle weiteren Entwicklungen gelten nicht nur die im rhombischen und monoklinoSdrischen Systeme
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Systemlehre. TrtkUnoedr. System. Cap.IF. 137
aofgesteUten allgemeinen, sondern auch die in §.440 enthaltenen besondem Regeln, welche freilich snvör- derst in die, der Zerstückelung der Gestalten ange- messene Sprache und Bezeichnung übersetxt werden müssen, und wegen dieser Parcellirung nicht selten ihre Anwendbarkeit verlieren. So muss x. B. die Re- gel Nr. 4 aus §. 440 für gegenwärtiges System so aus- gesprochen werden: dasjenige halbe Klinoprisma, des- sen Flächen die Combinationsecke swischen mlf\. mT, g69\ und oo^P so abstumpft, dass die Abstfl. als Paral- lelogramme erscheinen, ist allgemein 2siPoo; n. s. w.
§. 618. Gebrauch der Combinationsgleichaiig.
Um so wichtiger wird der Gebrauch der Combi- nationsgleichung in §. 68, welche für dieses System ganz in derselben Art wie far das rhombische Sy- stem ihre Anwendung findet. Nur sind die schon frü- her erwähnten Vorsichtsregeln gani besonders zu be- rücksichtigen, iiidem man jedenfalls die Lage der bei- den bekannten Flächen und die dieser Lage entspre- chenden positiven oder negativen Werthe ihrer Pa- rameter genau bestimmen muss , bevor man die Coäf- ficieoten dieser Parameter in die Combinationsglei- chung einfuhrt. Bei gehöriger Berücksichtigung der Lage der Flächen in diesem oder jenem Octanten wird die CG. jedenfalls schnell und sicher zur Auffindung der Relation gelangen lassen, welche zwischen den Ableitungszahlen irgtad einer unbekannten Fläche Statt findet, die in die Zone zweier bekannter Flä- chen fällt.
§. 519. Berecbnong der Comlnnatioiiskanteiu Die Berechnung der Combinationskante geschieht hier, wie in den vorhergehenden Systemen, auf ver- schiedene Art, je nach der verschiedenen Lage der CK.
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138 Reine KrystaUographies
A. Ist nKiülich die CK. aniveier Flächen einem der Hauptschnitte parallel, so berechnet man die resp^ Neigungswinkel beider Flächen gegen denselben Hauptschnitt, also X und X\ wenn die CK. paral-* lel ooPoo ; Y und, Y\ wenn sie parallel ooPoo; Z und Z\ wenn sie parallel OP. Das Supplement der Differenz, oder^ wenn die Flächen zu beiden Seiten des Hauptschnittes liegen, die Summe bei- der Winkel ist die gesuchte CK.
B. Ist die CK. keinem der Hauptschnitte parallel, so jberechnet man wiederum für beide Flächen ihre resp. Neigungswinkel gegen einen beliebigen deir drei Hauptschnitte (z. B. die Winkel X und Xf)j zugleich aber auch die gleichnamigen resp. Haupt- schnittwinkel beider Flächen (z. B. ^ und ^'). Diese Flächen bilden nämlich mit dem gewählten Hauptschnitte ein Tri^der, in welchem zwei Kan- tenwinkel nebst dem eingeschlossenen Flächenwin- kel (nämlich JT und X% nebst dem Winkel 180'' — Ott — (t*) = 2) bekannt sind; man findet also den dritten Kantenwinkel, welcher die gesuchte CK. IT ist, nach der bekannten Formel
eo$n =i coiSiinXiiHX' — coiXcoiX'
B, Beispiele der Entwicklung und Berechnung,
§. 520.
Combination des Anordutes.
Als Beispiel der EntwickJhng und Berechnung wähle ich zuvörderst die in Fig. S34 dargestellte Com- bination des Anorthites, weil sich solche in ihren Symmetrieverhältnissen einer monoklinoSdriscben Com- bination nähert, und daher ziemlich den höchsten Grad der Symmetrie zeigte welcher in diesem Systeme Statt ^den kann« ^
Sie ist eine zwölfzählige Combination, in welcher
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Systenüehre. Triklinoedr. System. Cap.IV. 1S9
wir P = OP, T = ocP' und / = ooDP setxen, wo- durch sich die Lage der , beiden verticalen Hanpt- schnitte bestimmt y obwohl solche nickt ausgebildet erscheinen. Yon den übrigen Flächen gehören nun
1) in die Haupireihe si, o, p und tr,
2) in die makrod. Nebenreihe f, y und x^
3) in die brachyd. Nebenreihe » und ^.
Die Viertelpyramide m sey uns. ein Glied der Gmndgestalt^ also
t» = T so folgt für ty weil sie die CK, zwischen m und T abstumpft,
fSr e, weU sie die CK. zwischen m und der hinteren nache T abstumpft,
e = 2']P,oo Nun wird aber durch dieselbe FlBche t die CK. zwischen l und der oberen Gegenfläche von f abge- stumpft, also ist
Weil femer die CK. ron o und p, welche durch X abgestumpft wird , dem brachydiagonalen Haupt- schnitte parallel ist, so folgt nicht nur, dass
a = ,P sondern auch, dass
w = ,P/30
Aus den bereits für andere Gestalten angdShrten Gründen ergiebt sich endlich, dass
u == 2^ n = 2^oo Die Entwicklung dieser Combination ist also un- abhängig von allen Messungen.
§. 621.
Fortseisoif $ Berechoung. Da Ton den drei Coordinatebenen nur die eine
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140 Reine Krystallographie.
OP in der Combination erscheint, so lassen sich die drei Winel Aj B and C nicht unmittelbar beobach- , ten, und müssen also aus andern Winkeln abgeleitet werden. Gustav Rose beobachtete jedoch andre Kry- stalle, an welchen die scharfen Seitenkanten des Pris- mas o^', durch das brachydiagonale Flächenpaar M = ooPao abgestumpft sind, und fand folgende Winkel :
P:j|f (rechts) = 85^ 48'
T:M =lir28'
T: l = 12Q^ 3Q'
P: » = 133^ iy
P:T =lt0^57'
Das Supplement 62° 32^ des Winkels T: M ist der Winkel K für ooP^; subtrahiren wir diesen Win- kel von T:lj so erhalten wir den Winkel Y für oo!P
= 5r 58'= r.
Das Supplement von P : T oder, 69'' 3' ist der Winkel Z in ocP;.
Der Winkel P: jlf ist == OP : ooPoo, also
C = 85° 48'
und endlich das Supplement des Winkels P : n = 46"*
47' der Winkel Z in 2,P'oo = Z". Aus den Win-
kein Zj Y und C findet sich der Mittelpunctswinkel
/y = 63° 45'
und, weil $i»t =ss r-^^
für ooK der Hauptschnittwinkel T = 58° 26' Aus /?, V und 180° — C findet sich der gleich- namige Hauptschnittwinkel t' für oq«P t' = 56° 35' Da nun t und t' swei coordinirten Hemiprismen angehören^ so wird nach der Formel
2mT#My
^ fl|l(T— O
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Sysi'endehre. Triilinoedr. System. Cap.IV. 141
der Mittelpunctswinkel
a = 88*42' imd xwar gehSrt dieser Winkel in ooP,',' sein Sup- plement zn oo?, weshalb für das erstere Hemiprisma, oder für die Fläche T
cT = 18(f— (a + T) ='32* Sr Da nun
so wird, wenn wir die halbe Brachydiagonale c = l setien,
* = 1,570
Ffir das brachydiagonale geneigte Hemiprisma n fanden wir Z' = 46** 47"; also wird für selbiges
T =3 180^ — (Z' + C) = 47* 25' da nnn tinZ'iina : ttn VHnß = 2a:b so wird, für vorstehende Werthe von b nnd e^ a = 0,866 Was die noch fibrigen Angolardimensionen A^ B vid Y betrifft, so sind selbige leicht aus den bekann- ten Winkeln C, a und ß zn berechnen; man findet mittels der Nepersi^hen Analogien zuvörderst A und Bj welche im Octanten der Fläche P' mit folgenden Werthen erscheinen
^ = 87^ O' . B = 116^ 23' md endlich den Winkel
y = 86^ 48,5' Die Krystallreihe des Anorthites wird also durch die Lineardimensionen
aibic = 0,866 : 1,570: 1 und durch die Angulardimensionen
^=87*^0' oder a= 88^2^ B = 116« 23' - /? = 116^ 15' C = 85^ 48' - y = 86^ 48,5' cbarakterisirt.
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142 ' Beine KrystaUographie'.
*. Ö22.
Combinationen des KapfervitrioU.
Als Eweites Beispiel wähle ich die Krystallfor- men des Kupfervitrioles, weil solche den höchsten Grad der Unsymmetrie zeigen , welcher in diesem Systeme Statt finden kann.
Setzen wir in Fig. 535 bis 537 die Flächen o = OP
- - 11= ooPoo
- • r s=t ooPoo - . . T = ooP:
. . - J!f = oc:P so ordnen sich die übrigen Flächen, wie folgt:
1) in die Hauptreihe, P,
2) in die brachyd. Nebenreihe, p^ q, v nnd u^
3) in brachyd. Zwischenreihen, ij 9^ x nnd m. Einige dieser Theilgestalten sind unmittelbar zu
bestimmen. Da nämlich die CK« von p und P dem makrodiagonalen Hauptschnitte parallel ist, so wird, wenn P = P
nnd da v die CK. zwischen P und der hinteren Fläche M abstumpft, so ist
V — 2,lPoo Für ^mdere der unbekannten Gestalten lässt sidb wenigstens eine Relation nachweisen, durch welche ihre Bestimmung nur von einer Messung abhängig gemacht wird. Weil z. B. die CK. von P und t , P und #, P und x dem brachydiagonalen Hauptschnitte parallel laufen, äo sind die beiden Ableitungszahlen jeder dieser Gestalten einander, gleich, und es ist daher t = «'P«
X =5 wt-P'm^ Da endlich die CK« von • und ic in eine^ Paral-
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Systemlehre. Tritlinoedn System. Cap.lV. 143
lelebene des makrodiagonalen , und die CK. von $ md m in eine Parallelebene des basischen Haaptschnit- tes fällt) so sind diese beiden Hemiprismen durch die ^eitaumten Viertelpyramiden bestimmt, und eil wird
Ausser den drei Viertelpyramiden ij $ nnd x er- fordert daher nur noch das geneigte Hemiprisma q eine Messung zu seiner Bestimmung. Bevor Jedoch diese Bestimmung möglich ist, müssen die Dimensio- nen der Grundgestalt bekannt seyn, zu deren Berech- nung wir also zunächst übergehen.
§. 623.
Fortsetsang.
KupfTer hat am Kupfervitriol mehre Winkel ge- sessen, von welchen wir folgende fünf unsem Be- rechnungen zu Grunde legen:
n :r = 100** 41'^ also A = W 19^ Tir = 110^ lO', also Y in ooK = 69* 60' P:r = löy 27', also Y in P' = 76^ 33' p :»'= 109** 38', also X in ,F<X) = 109* 38' P: T= 12r 40' Der Gang der Rechnung ist nun folgender. In dem von den flächen P, Tund dem brachy- diagonalen Hauptschnitte gebildeten TriSder sind alle drei Kantenwinkel bekannt, man findet also leicht den Gegenwinkel der Kante P: T, welcher das Sup- plement des Hauptschnittwinkels tt für P' ist, und daher:
w = 64^ 26,5'
so wie den Gegenwinkel der Kante Tir^ oder den ebenen Winkel auf P:
g = 74^ 44' In dem TriSder, welches die Fläche P mit den beiden verticalen Hauptschnitten bildet, sind bekannt
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144 Reine KrystaUographie.
der Winkel A = 79My
der Winkel F in P' = 76^ ^ der rwischenl. ebene Winkel n = 54** 26,5' man erhält daher für P den Hauptschnittwinkel ^ = 67^ 9' In dem TriMer, welches die Fläche p mit den beiden verticalen Hanptschnitten bildet, sind bekannt der Winkel A = 79*^ 19' der Winkel X in p = 109^ 38' der Winkel ^ = 6r 9' man erhält also den der Kante X gegenüberliegenden ebenen Winkel, welcher das Supplement zu dem Mitp- . telpunctwinkel ß ist, und folglich
/J = 73^ 10,5' und, da 180* = /? + tt + p
q =zbr 23' In dem Triäder, welches von der Fläche P, dent brachydiagonalen und basischen Hauptschnitte gebil- det wird, sind nun bekannt
der Flächenwinkel q = 52* 23' der Flächenwinkel ^ =74'' 44' der SEwischenl. Kantenwinkel Y = 76'' 33' man findet also mittels der Neperschen Analogien die beiden andern Kanten, Ton welchen die kleinere die Mittelkante Z in P', die grossere der Neigungswin- kel C des brachydiagonalen und basischenHauptschnit- tes ist; nämlich
^ = 64'' 58' . C = 85" 38' In dem von den drei Hauptschnitten gebildeten TriSder sind nun bekannt:
der Kantenwinkel A = 79" 19' der Kantenwinkel C, = 85* 38' der Flächenwinkel ß = 73" 10,5' man findet also zuvorderst mittels der Neperschen Analogien die beiden andern Flächen winkel:
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Systemiehr€. TnklinoUdr. Sy$Um. Cap. IK 145
a^TT" 37,5' y = 82^ 21,5' und darauf den dritten Kantenwinkel
womit detin die Bestimmung der Angolardimeni ioiiea dca KapfervitrioLi vallendet ist.
Di« lineardimensionen finden sieh leieht ans den fibr di* Yiertelpjrraraide P bekannten Hauptschnitt^ wöikeln n^ ^, fi und v*)\ ist nämlich die Hauptaxe ' a = 1) so wird
die Makrodiagonale h = —t^z=z 1,810
die Brachvdiagonale t = ??^ = 1,027
«nd wir erhalten daher folgende Uebersicht der Di- mensionen des Kupfervitriols^):
aibie z=z 1:1,816:1,027 A =s 79** ly oder « ä TT 37,5^ B = 74* 22^ ^ /J =± 73^ 10,5' C = 85*38' • y = 82' 21,5'
f. 524. Forttetsnn^.
Nachdem die Dimensionen der Krystallrethe ge^ fimden sind, ist es leicht, die noch unbekannten Ge- stalten aus den Erforderlichen Beobachtungselementeii ka bestimmen.
Es ist nftmlioh nath approximativen BtessungM der NeigüngsWitikel
•) Es itt iitolldiy=i80* - (^ 4 y) =S0«SI9,S'. **) Diese DimensioiMB stimmen fast gant mH den aof 8. 257 in Lelirbuche der Mineralogie ( nur sind daselbst die Winkel in mner andern Folge ndt .^, ^, C, a, ß ilnd y bezeichnet. Die IMaen Difterentai in den mimerischen Werthen rühren daher, dass kh beide Male nicht gans Ten denselben Beobachtüngsdementen «Bsgegangea bio«
a 10 ,
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148 Reine KrystaUographie*
von r : t =s 139**
. r:#a8 125^
. r:4?= 139**^ Man berechnet nun zuvörderst aus einem jeden dieser I Winkel, anif dem, bekannten Winkel A (w«t eher für • stumpf, für $ und ^ spits zu nehmen) so wie aus dem ebenen zwischengelegenen Winkel n (wel- cher = 54"" 26,5^) die Werthe des Winkels /t fSr die drei ViertelpTramiden, sucht hier-auf zu jedem Win* kel fi den zugehörigen Winkel v nach der Foimel
und berechnet dann, mittels der Praportion
iiniiiiinv ssz b',a die Axenlängen a dieser Pyramiden ; es ergeben sich auf diesem Wcfge die approximativen Resultate , dass
> = 2P'2
X = 3?'3
f- = 2'P2 und folglich auch, dass
w = 2^,oo
m == ooPä
Berechnet man rückwärts aus diesen Zeichen die Winkel, so findet man
Winkel /ti für # = 45^ 40,26' . ^ . . 4? = 33^ 1,26' - . . - f- = 38" 45,75' femer die Combinationskanten
r: f = 138° 46' und P: •' = 117° 47' r :# = 124° 58' - P: # = 158° 29' r:4r=139°2(y - P:^ = 144° 7' Endlich giebt die Beobachtung r : y = 121°4 woraus auf ihnliche Weise berechnet wird, dass q == 'i?,oo Berechnet man rückwärts aus diesem Zeichen, «o
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Anhang. 147
wie ans den' Zeichen der Hemipriimen v und w ihre GK. xn r und it, so folgt:
r ! y = 121** 41' und n : ; =» 81* 41' r : f^ = 135* 10' -»:»== 70^ 38' riw = 139* 12' . urte^ = 87* 24' woraus sich ergiebt, dass die von mir mit v nnd w bezeichneten Flächen identisch mit den Flächen sind, welche KnpfTer mit u und # bezeichnete ; so wie seine flächen k nnsre Flächen^ sind.
A n h an g.
Darstellung der tesseralen Oestalten als
tetragonaler und rhomboädrischer Combi-
nationen«
Die Gestalten des Tesseralsystemes lassen sich als tetragonale, rhomboSdrische oder rhombische Combi- natioDen darstellen, wenn man eine ihrer Hanptaxen, ihrer trigonalen oder rhombischen Zwischenaxen als eminente Haaptaxe, und demgemäss das Oktaeder als eine tetragonale Pyramide P, das Hexaeder als ein Rhomboäder R , oder acht Flächen des Rhomben- dodekaSders als eine rhombische Pyramide P betrach- tet Da besonders die Deutung der tesseralen Gestal- ten als tetragonaler und rhombo^drischer Combina- tionen einiges Interesse hat, nicht nur weil für sie bei unregelmässiger Aasbildung der Schein 6iner sol- dien Combination nicht selten sehr täuschend hervor- gerufen wird, sondern auch, weil neuerdings wieder gewisse Ansichten über -den Zusammenhang des tetra- gonalen und hexagonalen Systemes mit dem tessera- len Systeme geltend gemacht worden sind^ so dürfte folgende allgemeine Auflösung des Problemes, die tes- seralen Gestalten als tetragonale oder rhomboädrischd
10*
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148 ^ Meine KryetaUographie.
Combinationen darzustellen, einen passenden Anhang zn den Lehren der reinen Krystallographie bilden.
Stellt man das OktaSder nach einer seiner Haupt- axen aufrecht, und betrachtet diese als eine Axe von eminentem Werthe, so erhält das Oktaeder die Be- deutung einer tetragonalen Pyramide, für welche alz Grundgestalt a = l ist.
Jedes Hexakisokta^der mOj» wird dann als eine Combination dreier ditetragonaler Pyramiden zu be- trachten seyn, welche sich bestimmen, wie folgt:
a) die flachste Pyramide wird von den beiden acht- zähligen Flächensystemen an den Polen der rer- ticalen Axe gebildet; ihr Zeichen ist
JLpüL
n %
b) die nächst spitzere Pyramide wird von den Ne- benflächen der ersteren gebildet, und hat das Zeichen:
hPm
c) die dritte und jipitzeste Pyramide endlich wird ▼on den Nachbarflächen der ersteren Flächen ge- bildet, und behält das dem HexakisoktaSder analoge Zeichen
mPn Setzt man in diesen Zeichen statt m und n die ihnen für die übrigen tesseralen Gestalten zukom- menden Werthe, so erhält man folgende Uebersicht der sieben Arten von holoSdriscben Gestalten des Tes- seralsystemes als tetragonaler Combinationen:
Es ist
i «
n n
mO« sä siP«.— P
m
mO ^ mP.Vm
oqOh =5 ooPii.iiPoo.— PöO
n
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Anhang. 140
ooO =a ooP Joo ooOoo SS ooPoo.OP O = P
Stellt Man du HexaSder nacb einet seiner trigo- mden Zwiachenaxen aufrecht, so erscheint es als ein RbofliboSder mit der Polkante 90^ In derselben anf- rechten Stellnng erscheinen alle übrigen tesseralen Gestjdten als Combinationen einer rhomboCdrischen KrTStallreihe, for welche, wenn man sie anf das Hexaeder als Grandgestalt bezieht, a = ^4 wird.
Um die Zeichen dieser Combinationen, snnächst aber mm das Zeichen degenigen Combination zn fin- den, welche dem HexakisoktaSder mOn entspricht, betrachte man diejenige trigonale Zwischenaxe, welche die Rolle der Hanptaxe spielt and in den Octanten der positiven Halbaxen der jr, y and z fal- len soll, als Axe der jr% and zwei von den horizon« talen rhombischen Zwischenaxen als Axen der y^ and z', so stellen diese drei Axen der x\ y^ and z^ in 4er That das dreizählige, calcalative Axensystem einer hexagonalen KrystaHreihe dar. Jedes Hexakis- oktaSder mO% nun erscheint, auf dieses Axensystem bezogen, als eine vierzählige, aus vier SkalenoSdern, oder auch aus SkalenoCdern und hexagonalen Pyra- miden bestehende rhomboSdrisfche Combination, deren Flachen sich gruppiren, wie folgt.
Das flachste SkalenoMer, Nr. I, wird von deiye- nigen 12 Flächen gebildet, welche an den Polen der Terticalen Axe gelegen sind.
Das- nächst spiuere Skaleno^der, Nr. II, wird von den ersten, das darauf folgende Skalenoäder, Nr. m, von den zweiten, und das letzte, spitzeste SkalenoSder, Nr. IV, von den dritten Nebenfläcken der Flächen des SkalenoMers I gebildet (f. 35).
Da die oberen Flächen des Skaleno^ders I in den
i
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150 Reine KrystaUographie.
Octanten der pogitlven Halbaxen der 4r, y und z fal* len, so wird die Gleichung einer dieser Flächen:
dann die Gleichong ihrer ersten Nebenflädie im Ska<» leijio^der II :
^± + l. + ^:=l
femer die Gleichung ihrer zweiten Nebenfläche im Skaleno§der III:
^fL + JL + z=^i n ^ m *
und endlich die Gleichung ihrer dritten Nebenfläche
im Skaleno^der lY:
n m Es sind aber die Gleichungen der Axe der o?':,
ar— y = 0, z — 4r = 0 der Axe der y' :
der Axe der z':
^ = 0, y+ z = 0 Die Parameter d^r vorstehenden vier Flächen, wie sich solche in den Axen der a/j y^ und 2' erge- ben, bestimmen sich nun leicht durch Combinatioa der Gleichungen jener Flächen mit denen dieser Axen; bezeichnen wir sie mit p^i^ q und #, so wird för die Gestalt I:
mn m n
piqit = ; z — : 7: T
^ ^ mn + m + n m — 1 n — 1
für die Gestalt U:
«1» * «I n
p:q:i =
P^ die Gestalt III:
mn n m
piqti s=» ; — : — r^ : r
^ r mn — m + n « + 1 m — 1
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Anhang. 151
für die Gestalt IV:
mn — m — n w + l « + 1 Um niin ami diesen Verhältnissen auf die Ablei« tang»«ahlen za gelangen, müssen wir, weil immer einer der beiden anf die Nebenaxen besoglichen Pa- rameter sofolge der Ableitung = 1 «gefordert wird, mit der kleinsten der beiden Grössen q and $ die bei- den andern dividiren ; es ist aber allgemein q die klei- nere Grosse, weil immer si > n Torausgesetzt wird, so lange die Gestalt noch wirklich ein Hexakisok- ta€der ist. Wir erhalten daher folgende Ableitungs- zahlen w^ nnd j»': Für die Gestalt I:
(si — i> ^, _ {m — t)n H + M + n^ (m — l)m
MH + m Die Zahl n' ist < = > 2, je nachdem n > =
2m *< — -7--r ; im ersten Falle ist sie unmittelbar die ger
suchte Ableitungszahl, und die Gestalt I ein Skale- no€der Ton gleicher Stellung mit ü; im zweiten Falle ist die Gestalt die hex agonale Pyramide siT2; im drit- ten Falle dagegen ein Skalenoäder ron verwendeter
Stellung, für welches statt n^ die Grösse —7 — r- als
Ableitungszahl einzoflhren« Folglich wird die Ge* stalt I:
das SkalenoSder — ;r— , wenn n >
m+i die hex. Pyramide
das Skaleno^et • — Für die Gestalt ü:
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*
152 Heine KrystaUographie.
die Zahl n' ist <=> 2, je nachdem n >=< ^ ,
«nd im letzteren Falle mit -7^ m vertauschen; folg- lich wird die Gestalt H:
das Skalenoeder ~!^, wenn n> ^
" » ■ •1—1
die hex. Pyramide «i'P2 , -- = .,,
«l'P «' das SkalenoSder ^3, - - < . . ,
Für die Gestalt III:
»' _. (« + 1)« , __ (« + l)i»t «» — « + «> («~1>
die ZaU »« i«t < = >2, je nachdem ii>=<-^^
nnd im letzteren Falle mit -7^ savert^oschen; folg- lich wird die Gestalt Ol: das SkalenoCder 2!^, wenn 11 > -^
die he», Pyramide «'P2, - .»».,
«fP "' das Skalenofider ^, - ,<- . ,
Für die Gestalt IV:
«' =-. («+^)» -/ _ («» + t>t
die Zahl «' ist imm^r <2, und daher jedenfalls nn- mittelb^r die gesuchte Ableitungsxahl; allein die Zahl ** "* +» «> oder — , je nachdem «m > = <«!-{-»; folglich wird die Gestalt IV;
das Skalenoeder ^^, wenn «wi>«i + «
das Prisma .... ooP»', - ..-»...
das Skalenoeder -?ü|2^, . ..<
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Anhang. 153
In der Anwenduig. ist et meist vortheilhafter, statt der primitiven die secnndären Zeichen derSka- lenoSder einzuführen; die Verwandlung Jener in diese ist sehr leicht su bewerkstellige^ weU nach {. 304 allgemein:
Setst man in deri vorstehenden Resultaten n s: si, so erhfilt man fiir die IkositetraSder mOm als rhom- bo^drische Combinationen folgende Resultate, in wei- den die Skaleno^der schon auf ihre secnndären Zei- chen reducirt sind:
Jedes IkositetraSder mOm stellt die Combination der beiden Rhombo€der
•*-*Bund??±|Ä
« + 2 ta — 2
mit dem Skaleno^er
m — 3-,-L±4 m dar, welches letztere jedoch für m ss 3 in die hexa- gonale Pyramide 4P2 übergeht; für «i<^ 3 befindet sich das Skalenofider, und für fli<^ 2 das spitzere Rhombo^der in verwendeter S}tellung zu R.
Setzt man in den Resultaten für«iOii, 11 = 1, so erhftlt man für die TriakisoktaSder mO folgende Be- stimmungen:
Jedes mO stellt die Combination der beiden Rhom- boCder
••~^Äund-;?^Ä
2«i + l 2« — 1
mit dem SkalenoCder
— 2Ä« dar.
Setzt man dagegen in den Resultaten für siOa
si £= oo, so ergeben sich für die TetrakishexaSder
ooOa folgende Bestimmungen:
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154 Reine Kry$taUographie.
Jedes ooOi» stellt i^e Combinatlonen des Skale- no^ders
mit dem SkalenoSdA
dar; dag erstere Skaleno6der verwandelt sich Jedoch tat ü =S5 2 in die hexagonale Pyramide -IPS, und befin- det sich in verwendeter Stellung SU JR, wenn ii<[2i8t.
Das Rhombendodeka§der stellt die Combination — 4il.ooP2, und endlich das Oktaeder die Combina-» tion OA.— 2il dar.
Zum Schlüsse mag noch nachstehende Uebersicht der bekanntesten Gestalten des Tesseralsystemes ia ihrer Deutung als rhembo6drischer Combinationem folgen.
Wenn das nach einer trigonalen Zwischenaxe auf- recht gestellte Hexaeder ooOoo=il gesetzt wird, so ist: 304 = \^2.—iR^.—\RKodf{. 402 = ^RK—\RK2JfUR^. bOi =5 4P2.— fÄ^|P2.4Ä^
J04 — ^R.—R^.—bR. 202 = iH.— JÄ\ooÄ. 303 = |ll.|P2.4Ä. 606 = iR.^R^.iR.
|0 s= ~|il._|Jl.-21ll 20 «= — Jß.— 11.-2B*.
ooOi =5 —\R\R\
0002 = 4P2;Ä\
0003 s=r iRKR^.
ooO cB — |il.ooP3. O :=zOR.^2R.
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Zweiter Theil,
Angewandte Krystallographie«
Ifie reine Kryttallographie setit inaofeni eine ideal« B^elmäMigkeit der Krysullfonnen Torans, inwiefern fie dnrchgfingig die beiden Postolate der absolut glei- chen Centraidistans gieichwerthiger Flächen nnd der absoluten Ebenheit aller Flächen überhaupt geltend macht, weil eine Darstellung der wahren Ge- setunässigkeit der Krystallformen nur dann möglich' ist, wenn man dabei von allen Perturbationen und Hemmungen der Krystallbildung abatrahirt, durch welche jenen beiden Postulaten in de^ Wirklichkeit derogirt wird. Die Beobachtung hat mit Hülfe der Geometrie der Natur gleichsam die Ideale abgelauscht^ auf deren Realisirung sie im Krystallisationsprocesse hinarbeitet, und die reine Krystallograpkie giebt die Resultate dieser Beobachtung unter der Voraussetzung der höchsten geometrischen Vollendung, welcher die Producte Jenes Processes ihrer Idee nach f&hig sind, ohne sie Tielleicht jemals su erreichen.
Weil nämlich der Krystallisationsprocess in der Wirklichkeit vielfältigen Störungen unterworfen ist, so entfernen sieh die Krystallformen sowohl hinsicht- tich ihrer allgemeinen Configuration , als auch hin* sichtlich der Beschaffenheit ihrer Flächen gar sehr ▼on jener idealen Regelmässigkeit; weshalb denn die
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156 Angewcmdte Krystallographie.
ai^wandte Krystallographie savörderat voa den Un- Tollkommenheiten in der Aosbildong der einzeltfi Kry- stallformen tu handeln hat.
In der reinen Krystallographie waren et ferner nur immer die Formen einzeler Individuen, welche den Gegenstand der Betrachtung bilden, während doch bereits in der .Einleitung die Aggregation der Indivi- duen aU ein herrschendes Naturgesetz der anorgani- Hchen Welt bezeichnet worden ist, kraft dessen die meisten Krystalle nicht isolirt, .sondern in verschie- denen, mehr oder weniger gesetzmässigen Aggrega- tionsformen auftreten. Die angewandte Krystallogra- phie hat daher wenigstens von denjenigen Aggrega- tionsforraen der Individuen Rechenschaft zu geben, welche mit mathematischer Gesetzmässigkeit Statt fin- den , , und unter den Namen der Zwillingskrystdle, Drillingskrystalle ,u. s, w. bekannt sind.
So entstehen uns also in den Lehren von dea UnVollkommenheiten der Krystallformen und von den Zwillingskrystallen zwei sehr wichtige Abschnitte der angewandten Krystallographie, welche gewissermaas- ien den physikalischen Th^ü derselben aus- machen.
Ein zweiter, nicht minder wichtiger Theil der- selben ist deijenige, welcher die zur wissenschaft- lichen Erforschung der Krystallformen und die zur Erleichterung ihres Studiums unentbehrlichen Hülfis- mittel zum Gegenstande hat, und daher auch als der technische Theil der angewandten Krystallogra- phie bezeichnet werden kann.' Zu diesen Hül&mit- teln gehören einerseits Messungen der Kanten win« kel, welche für die wahre, Kenntniss der Krystall- formen unentbehrlich sind, weil nur durch sie die zur Berechnung erforderlichen Elemente mit hinrei- ehender Crenauigkeit gewonnen werden können; an- derseiu Zeichnungen. und Modelle der Kryytall-
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UninMommmh. der KryftaUformen. 15f
fermen, welche snr Erleiehtemng und FSrdening des krystallographischen Stadiums Oberhaupt, to wie rar Verbreitung und Sicherung unserer bereits gewonne- nen Kenntnisse der Krystallformen ausserordentlich ▼iel beitragen.
Büemach serfidk die angewandte Krystallogra- phie überhaupt in folgende fünf Abschnitte: . 1) Von den Unvollkommenheiten der Krystallfor« mep.
2) Von den ZwillingskrystaUen.
3) Von der Messung der Krystalle.
4) Von der Zeichnung der Krystallformen.
5) Ven der Modellirung der Krystallformen,
Erster Abschnitt Tmi dem Umv^iiA^mmenietien der Krjfiialfformen.
{. 625. Versdiiedeiie Artea der UoTollkioimeBheiteii.
Die Betrachtungen der reinen Krystallographie beru- hen auf einigen Voraussetsungen, welchen, wie noth-« wendig sie auch seyn mögen^ in der Wirklichkeit doch niHT selten, Ja zum Theil vielleicht niemals voll- kommen entsprochenwird. Diese Voraussetxungen wa- ren besonders folgende:
1) Ebenheit der Krystallflftchen ;
2) Congruenx aller FIftchen einer und derselben Gestalt oder Theilgestalt;
3) Ringsum rollendete Ausbildung der Bjrystallform. Was nun suvörderst die ebene Beschaffenheit der
FlSchen betrifft, so ist ansunehmen, dass die Natur swar in einer Jeden Krystallfläche auf die Darstellung einer ebenen Fläche hinarbeite^ wie dies besonders
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158 AngeunmäU KrystaUographie.
aas dem so höchst eminentenTharakter der den Spal- tnngsflächen entsprechenden Minima der Cohärena hervonragehen scheint; dass jedoch diese plastische Tendenz theils durch periodische Intermittensen des Krystallisationsprocesses, theils durch störende Ein* wkknngen der die krystallisirende Sabstanx nmgeben-» den Matrix oder Flüssigkeit auf vielfältige Weise modificirt und gehemmt werden müsse. Wiewohl also die Krystallflächen ihrer Jdee nach als ebene Flächen %a betrachten sind, so dürfen wir doch nicht erwar* ten, sie in der Natur jedenfalls als solche ausge* prägt zu finden ) noch unsjwundern, wenn wir Kry- stallflächen treflfen, welche sich von jener idealen Re- gelmässigkeit der Ausdehnung auf eine oder andere Art entfernen.
Aber auch die allgemeine Configuration der Kry-» stallformen ist keines weges so regelmässig, wie sol* che in der reinen Krystallographie angenommen wer- den musste. So haben die gleichwerthigen Flächen einer und derselben Gestalt oder Theilgestalt nicht immer absolut gleiche Centraldistanzen, folglich auch nicht immer die für sie in |. 4ß geforderte Gleich- heit und Aehnlichkeit, weil sie bei ungleicher Cen- traldistanz wie ihrer Ausdehnung nach ungleich, so ihrer Figur nach unähnlich werden müssen.
Ausser dieser Abnormität treten noch viele an- dere umstände ein, welche theilweise Veranstaltung oder gänzliche Yerstümmelnng der Krystallformen her- beifuhren, so dass man ohne Uebertreibung behaupten kann, dass es wohl keinen Krystall gebe, welcher genau in deijenigen Regelmässigkeit ausgebildet sey, wie solche in der reinen Krystallographie vorausge- setzt wurde. Um so nothwendjger wird es aber auch, die versdiiedenen Abnormitäten in der Ausbildung der Krystallformen kennen zu lernen , weil man nnr durch ihre sorgfältige Berucksiehtiguiig viefen Fehl-
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UnifMt. der Kry^tallförmen. O^ I. 150
schlBSsen bei der Benrtheilang der KrystaHe €Mgt^ ben kann.
Erstes CapiteL
Ton den Unvollkommenheiten derKrystall- flächen.
|. 526. OacillatoriAche Combtnadoii.
VoUkommene Krystallflächen sind solche^ Welche ■icbt nur in ihrer allgemeinen Ausdehnung, sonclem aach in der Beschaflfenheit ihrer Oberfläche dem Ge- setze der Ebene entsprechen, daher nicht nur eben, sondern auch glatt sind, und das Licht nach dem Ge- setze der Planspiegel vollkommen reflectiren.
TJnTollkommene Krystallflächen dagegen sind sol- che, welche entweder im Allgemeinen uneben, ge- kr&ramt und gebogen, öder in ihrer Ansdehnmig un- terbrochen, zerfressen, gehackt, löcherig, oder mit partiellen Unebenheiten^ mit abwechseln- den Erhöhungen und Vertiefungen besetzt, also ge- reift, drüsig, rauh sind.
Die wichtigste von diesen Abnormitäten ist- die Reifung und Streifung der Krystallflächen. Um dieses Yerhältniss gleich anfangs vom richtigen Ge- sichtspuncte aufzufassen , müssen wir den Begriff der •scillatorischen Combination zu Hülfe neh- men. Wenn nämlich die Flächen zweier verschiede- ner Gestalten zu einer Combination verbunden sind, 10 findet diese Combination entweder stetig oder unterbrochen Statt, d. h. entweder treten die Flächen der Gestalt B in stetiger, ununterbi^chener Ausdehnung zwischen den gleichfalls stetig ausge- dehnten Flächen der Gestalt A auf, oder es exschei-
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160 J!ngeiPand(0 Kry^taüograpM^.
nen nur Bchmale Streifen d^ Flächen von B abweeh« telnd zwischen schmalen Streifen der Flächen von^ls in welchem letzteren Falle di^ Länffendiniension der Streifen unmittelbar durch die Lage der Combinations« kante beider Flächen bestimmt wird. Die so häufige Combination P.ocP des Quarzes mag als ein in die- ser Hinsicht besonders lehrreiches Beispiel dienen. Es giebt Varietäten dieser Combination (z. B. die be- kannte von Compostella) , in welchen die Flächen de^ Pyramide P vollständig und ungeth^ilt an beiden En- den des Prismas od9 eine sechsflächige Zuspitzung bilden, ohne dass längs des Prismas Andeutungen der Pyramidenflächen wahrzunehmen wären. Häufiger je- doch trifft man Varietäten, in welchen sich bereits auf. den Flächen des Prismas schmale Streifen d^ Pyramidenfiächen, gleichsam wie Budimente oder Vor- boten der endlich eintretenden Zuspitzung vorfinden, Fig. 538 und 639. Diese Streifen der Pyramidenflä- chen wechseln stufenartig mit Streifen der Prisma- flachen, so dass eine oscillatorische Combination der beiderlei Fläehenelemente zum Vorscheine kommt, gleichsam als hauen die auf die Bildung der Flächea von ooP und P gerichteten Kräfte abwechselnd die eine über die andere das üebergewicht erhalten, \Aa endlich die letztere den Sieg davon getragen.
§. 627. Reiftmg und Streifung der Fl&chea.
Dass nun diese oscillatorische Combination, wenn solche in kleinem Maassstabe Statt findet, d. h. wenn die abwechselnden Flächenelemente eine sehr geringe Breite haben, die Erscheinung der Flächenreifung und Flächenstreifiing zur Folge haben müsse, ist einleuch- tend. So lange nämlich die Flächenelemente eine mit dem blossen Auge sehr leicht erkennbare Breite liaben, werden sie eine stufenartige Abwechselung;
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UnvoJO:. der KrystcJlformm. Cap. L 161
Ton Forchen und Leisten darstellen, welche sich mit dem Namen der Flächen reifung bezeichnen, und ▼on jedem Beobachter als das Resultat einer oscilla-* torischen Combination erkennen lässt. So findet sich unter andern diese Reifung sehr ausgezeichnet auf den prismatischen Flächen vieler Quarzkrystalle, wo sie durch Combination Ton ocP und P, auf den Sei- tenflächen der Säulen des Turmalines, wo sie durch Combination von ooP2 und ooil, auf den Flächen der Hexaeder des Eisenkieses, wo sie durch Combina- tion von ooOoo und — -— hervorgebracht wird.
Wenn aber die abwechselnden Flächenelemente sehr schmal werden, so dass das blosse Auge die ein- seien nicht mehr als solche zu erkennen vermag, so wird sich natürlich dasselbe Yerhältniss, welches vor- her als eine' mehr oder weniger grobe Reifung er- schien, nur noch als eine mehr oder weniger feine Streifung der Krystallflächen zu erkennen geben. « Die Flächenstreifung ist also jedenfalls nur das Phä- nomen einer in sehr kleinem Maassstabe ausgebilde- ten oMullatOrischen Combination der Flächen zweier verschiedener Gestalten; weshalb denn auch die Strei- fen selbst der Combinationskante beider Flächen par- allel laufen.
Anmerkung. Bisweilen findet die Reifung in der Art Statt, dass die Flächenelemente nicht zweier verschiedener, sondern einer und derselben Ge- stalt mit einander in oscillatorischer Combination ver- bunden sind, wie z. B. die Elemente der Flächen des Oktaeders in Fig. 540, welche in ihrer treppenartigen Verbindung die Flächen des Rhombendodekaäders dar- stellen*
{. 528. fiiaCftche StreiAmg.
Nach der Zahl der einzelen Systeme von paral- IL 11
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tat Angewandte KrystaUographie.
lelen Streifen , die sich auf einer Fläche wahrnehmen lassen, unterscheidet man einfache, federartige, trian* gnlftre Streifnng n. s« w«
Die Streifnng heisst einfach, wenn nur ein System von parallelen Streifen vorhanden ist. Sie kommt besonders häufig in den einaxigen Krystallsy- stemen Tor, wenn snvei oder mehre, zu derselben Axe gehörige Prismen oder Hemiprismen, oder auch ein Prisma und eines der Flächenpaare Wt einander in Combination treten. Auf diese Weise entstehen die verticalen Streifen an den bereits erwähnten Säulen des Turmalines so wie an den gleichfalls säulenför- migen KrystaRen des Berylles, Topases, Gypses, Dio- psides, Lievrites, Graumanganerxes , Apatites, Wol- frams XL a. Mineralien, die horizontalen Streifen an den Krystallen des Bleicarbonates , der Kupferlasur, des Epidotes, 'Miargyrites. Aber auch Pyramidenflft- eben erscheinen häufig theils durch Flächen andrer Pyramiden, theils durch Flächen yon Prismen oder durch die den Hauptschnitten entsprechenden Flächen- paare einfach gestreift; so z. B. die Pyramiden des Anatases', Uranites, die Hemipyramiden des Glaube- rites, Gypses, Diopsides, der rothen Arsenikblende^ des Miargyrites u. a.
Die Flächen der Rhombo^der sind oh Suren ge- neigten Diagonalen parallel gestreift, wie z. B. be- sonders häufig das Bhomboäder — ^R des Kalkspathes. Eben so häufig zeigen die Flächen der Skalenoider eine ihren Mittelkanten oder ihren Polkanten paral- lele Streifung; besonders am Kalkspathe und der rhonv- boSdrischen Silberblende ist die erstere Streifnng an den Skalenoädern Ton der Form R^ (die Gränzgestalt jR^ oder ocP2 nicht ausgenommen), die zweite Strei-
2 fung an den SkalenoSdem von der Form r B^
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UnviM. der Krystaüfiamen. Cap. /. 103
2 onA :; — r-iü" f^^ Immtr xa finden, indem die Strei-
fea den fttittel « oder PoUcanten der Gmndgegtalt par- idlel laufen.
Einige der merkwürdigsten Beispiele einfacher Streifiing ans dem Tesseralsysteme sind folgende:
1) Die Streifiing der Flächen von ooO ; ist sie par- .allel der Brachy diagonale, so deutet sie auf die Combination Ton ooOn oder ooOoo; ist sie da* gegen parallel der Makrodiagonale, so deutet sie auf die Flächen von mO oder O.
2) Die Streifung der Flächen von «lOsi parallel ih- ren symmetrischen Diagonalen; sie deutet theils auf ooO, theils auf jw'O oder m'On'\ so rührt s. B. diese Streuung an dem Ikositetraeder 202 ües Granates von den Flächen ooO oder 3049 <ui ^^^ Ikositetraeder 303 des Bleiglan- xes von den Flächen eines Hexakisoktaßders
3si von der Form mO- 5 her.
3) Die Streifiing der Flächen von öcOoo am hexaS- drischen Eisenkiese, welche auf je zwei Gegen-
' flächen nach einer andern Richtung Statt findet, so dass die Streifen je zweier Nebenflächen auf einander rechtwinklig sind, und die Richtung der verschiedenen Streifensysteme überhaupt der Lage der ^Aarakteristischen Kanten der Penta- gondodekaeder entspricht; Fig. 541. Die Ursa- che dieser Streifung, welche nicht selten in eine grobe Reifiing übergeht, ist sehr deutlich in der oscillatorischen Combination des Pentagondode^
kagders —^ zu erkennen.
3) Die Streifiing der Flächen des PentagondodekaS-
ders ^ narallel ihren Höhenlinien, und der
11'
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164 Angewandte KrystaUognsphiei
Flächen des DyakisdodekaMdert |-^l parallel
ihren gleichschenkligen Diagonalen, von wel«
t4021 — ^ |, diese
durch Combination von O öder -^r— veranlasst Wird. 5) Die Streifangen der TriakisoktaSder parallel den Okta^derkanten, der Tetrakishexa^der parallel denHexaSderkanten, der Trigondodekaßder par- allel den TetraSderkanten.
§. 629. Mehrfoche Strdfting.
Die Stteifong heisst fed er artig, wenn anf ei- ner idid derselben Fläche zwei verschiedene Systeme von parallelen Streifen erscheinen, die sich jedoch nicht durchkreuzen, sondern in einer Linie anf ähn- liche Art znsammenstossen, wie die beiden Flügel ei- nes Federbartes am Kiele der Feder. Sie deutet auf die gleichzeitige osciUatorische Combination zweier Flächen einer andern Gestalt, nnd ist z. B. an den Rhombo§dern des Chabasites nnd der Silberblende za beobachten, deren Flächen ihren Polkanten parallel gestreift sind, wie in Fig. 542.
Trigonale Streifiing findet sich sehr ausgezeich- net anf der basischen Fläche mehrer rhomboSdrischer Krystalle, zumal bei dünn tafelartiger Ausbildung, wie z. B. auf dün Titeln des Eisenglanzes und Poly- basit^s ; auch ist sie auf den Flächen der Tetraeder und OktaSdet zn beobachten.
Rhombische Streifnng kommt bisweilen im rhombischen Systeme auf den Flächen OP, oojPoo oder ooPoo tor, und ist aus der oscillatorischen Combina* tion von Pyramidenflächen zu erklären. Eines der bekanntesten Beispiele bietet der Harmotom dar, des-
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UTWoUk. der KrystaUfbrnun. Cap. I. 165
ten Flächen ocPoo durch Combination mit P oder mPm gewöhnlich rhombisch gestreift erscheinen; die Strei- fen durchkreuzen sich nicht, sondern umschliessen Ineist in der Mitte der Fläche einen kleinen glatten Rhombus; Fig. 543,
Quadratische Streifiing findet sich bisweilen auf den basischen Flächen tetragonaler Combinatio- nen^ so wie auf den Flächen des Hexaeders parallel ihren Kanten oder Diagonalen. Diese letztere Art der quadratischen Streifung kommt zumal an denHexaä- dem des Bleiglanzes, jedoch so vor, dass meist nur in der Mitte jeder Hexaäderfläche ein abgesondertes Feld gestreift ist; sie ist in diesem Falle aus der os- cillatoriscl^en Combination eines IkositetraSders zu erklärep; rig.544.
|. 630. V(«th«le der Strdfim^.
Die Streifnng der flächen ist in mehrfischer Hin- geht eine sehr wichtige und dem Krystallographen nicht unWillkcHnmene Erscheinung, wenn sie gleick in andrer Hinsicht seinen Forschungen störend entge- gentritt.
Es ist nämlich eiq fast durchgängig bestätigtes Gesetz, dass die Streifung, wenn sie einmal vorhan* den, auf allen Flächen derselben Gestalt oder Theil- gestalt zugleich und in gleicher Weise Statt findet Dadurch wird sie in der That ein Merkmal, an wel- chem man in vielen Fällen die zusammengehörigen oder gleichwerthigen Flächen erkennen kann, und folglich ein wichtiges HüUsmittel für die Orientirung der Combinationen.
Da sich ferner in jeder Streifung die Tendenz zur Ausbildung irgend einer Gestalt offenbart, deren Flächen mit den Flächen der gestreiften Gestalt in Combinationskanten zusammentreffen, welche den
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166 AngeuKindte Krystallographie*
Streifen parallel sind^ 90 l-ässt sich aas jeder Strel- fung auf das Yorhandenseyn einer Gestalt schliessen, Tvelche, wenn sie auch noch an keiner Varietät der Krystallreihe in stetiger Flädienansdefanong beobach-* tet seyn sollte, dennoch als ein Glied dieser Krystall- reihe betrachtet werden inuss. Die Streifung kann daher in vielen Fällen dazu dienen, unsre Kenntnis« Ton den Gestalten einer Krystallreihe ±u, vervpllstän- digen und zu bereichern, weil sie uns jtedenfalls we- nigstens ein Element zur Bestimmung derjenigen Ge- stalt an die Hand giebt, durch deren oscillatorische Combination sie selbst hervorgerufen wurde.
Endlich leistet die Streifung in manchen Fällen grosse Dienste bei der Entscheidung, ob man es mit einfachen oder mit Zwillingskrystallen zu thun hat:, indem sich nicht selten an den Linien oder Näthen, in welchen zwei Systeme von Streifen zusammen- stossen, die Demarcationslinien der zu einem Zwilling verbundenen Individuen erkennen lassen, wie dies z. B. an den Zwillingen des Kalkscheelats, des Wol- frams, des rhombischen Eisenkieses u« a. M^eraliei^ der Fall ist.
i 531.
Nachthetle der Streifung.
Auf der andern Seite ist' nicht zu Ittugnen, ismw^ die Streifong auch einige störende Verhältnisse zur Folge hat. Denn nicht nur, dass sie die Messui^em der Krystalle unsicher macht, veranlasst sie auch häufig bedeutende Abnormitäten in der Flächenansbildung, zu welchen wir vorzüglich die scheinbare Flä- chenkrümmung und die Entstehung scheinbar selbständiger Krystallflächen zu rechnen haben.
Es ist nämlich einleuchtend, dass die treppenar- tige Combination von schmalen Flächenelementen, wie
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UnvoUk. der KrystaUformm. Cap.I. 167
solche in der Streifimg vorhanden Ist, in ihrem all- gemeinen Yerlanfe nur dann mit einer der Flächen abereinstimmen wird, wenn sich die eingeschalteten Flächenstreifen der einen Gestalt Ton beiden Seiten her in entgegengesetzter I^age, aber mit gleicher Breite zwischen die Flächenstreifen der andern Gestalt ein- setzen, wie dies z. B. in Fig. 538 Statt findet, wo der Verlaof der oscillatorischen Combin&tion mit der Lage der Flächen von ooP fibereinstimmt. In allen übri- gen Fällen wird dieser allgemeine Verlan! entweder einer ebenen oder einer krummen Fläche entsprechen, Je nachdem die abwechselnden Flächenstreifen eine durchgängig constante oder eine variable Breite be- sitzen. Es können daher im ersteren Falle, zumal wenn die Streifung in sehr kleinem Maassstabe Statt &idet,> scheinbar selbständige Flächen zum Vorscheine kommen, wie z. B. in Fig. 539, wo das System der comUnirten Flächenelemente in seinem Verlaufe die fläche einer spitzen hexagonalen Pyramide darstellt, weil die Flächenelemente von ocP einerseits, und die Flächenelemente von P anderseits jede in ihrer Art eine constante Breite haben. Wenn dagegen die bei- derlei combinirten Flächenelemente, oder auch nur die eitte Art derselben eine variable Breite besitzen, so wird sich der Verlauf des ganzen Systemes noth- wendig krummfiächig, und zwar nach dem Gesetze ei- ner CyUnderfläche ausbilden, deren Krümmungslinie die Streifen rechtwinklig durchschneidet Je regel- mässiger das Gesetz der Ab- oder Zunahme der Breite de#Flächenelemente, um so regelmässiger wird auch der krummflächige Verlauf der oscillatorischen Com- bination werden, und so sind z. B. die schilfartigen Säulen des Tremolithes, die fast eylindrischen Säu- len des Berylles, die dreiseitig eylindrischen (aus drei Cylindertegmenten bestehenden) Säulen des Tnrmali-
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166 Angewandte KrystaUographie.
ne« und viele andere , scheinbar kriunmflachige Kry* stallformen zu erklären.
|. 532.
Drnsige Flächen.
Eine in gewisser Hinsicht mif der Streifung ver- wandte Erscheinung ist die Drusigkeit der Kry- stallflächeii. Welin nämlich über die Flächen einer Gestalt sehr kleine Ecke einer andern Gestalt dicht an einander gedrängt hervorragen, so sagt man, die Fläche sey drusig, wie sie denn auch in der That eine Druse en miniature von Krystallrudimenten der zweiten Gestalt darstellt.. So erscheinen oft die Ok- taeder des Flussspathes sehr regelmässig dmsig durch die trigonalen Ecke des Hexaeders oder Rhombendo- de]^a6ders, und behaupten diese drusige Oberfläche auch in ihren Combinationen mit andern Gestalten; wie z. B. in den Combinationen ocOoo.O oder ooO.O die Flächen des Hexaeders und Bhombendodeka^ ders nicht selten glatt, die Flächen des Oktaeders aber drusig sind. Doch erscheinen auch die Flächen des Rhombendodekaeders so wie jene des Tetrakis- hexa^ders an manchen Krystallen des Flussspathes drusig; indess pflegt dann das Yerhältniss in sehr kleinem Maassstabe Statt zu finden, so dass die Flas- chen mehr rauh als drusig aussehen. Ist näjQiIich die Drusigkeit so fein, dass man die einzelen Kry- stallecken nicht mehr gut unterscheiden kann, so nennt man die Fläche rauh.
Am Kalkspathe erscheint zumal die basische üä- che OB sehr oft schuppig -drusig durch die Poleoke •ehr flacher Rhombo^der; es giebt aber auch Kry^ Stalle, deren ganze Oberfläche grobdrusig ist (wie z B. die rauchgrauen von Kamsdorf), wenn nicht in diesem Falle das scheinbare Individuum als ein wirk- liches Aggregat vieler kleiner Individuen zu deuten
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UnvaUk. der Kry$taUformen. Cap. L 169
kt; wie 'durch dergleichen Zasammeasetsangeii s. B. die sehr stark drasigen Endflächen in den Prismen des Manganerses entstehen , und überhaupt in allen polysynthetischen Individuen die Bedingungen sur Ent* stehnng drusiger Flächen vorhanden sind*).
Anmerkung. Es versteht sich^ dass die Dm?- Bigkeit der Krystallflächen nicht mit den drusigen Ueber2Eugen und Anflügen fremdartiger Substanzen sa verwechseln ist, dergleichen oft die Oberfläche eines Krystalles sehr regelmässig umhüllen. Die kleinen Krystallecken einer drusigen Fläche gehören dersel- ben Substanx an wie der ganse Krysti^.
f. 633.
ZsrfireMene, 4prchlScherte, eln^edrilckte Kryttallfl&chaik
Ausser der Streifung und Drusigkeit giebt es noch andre Abnormitäten , durch welche die stetige Ausdehnung der Krystallflächen unterbrochen wird. So sind manche Flächen von kleinen Poren und Aus- hdhlangen erföllt, die ihnen das Ansehen geben, als wären sie durch Einwirkung eines chemischen Rea- gens xerfressen worden. Bisweilen werden diese Aus- fadhloogen so gross, dass die Fläche wie durchldchert, und der Krystall selbst wie ausgehöhlt erscheint. Aehn- üche Vertiefungen rühren nicht selten von KrystaUen andrer Substansen her, welche von der Masse des durchlöcherten Krystalles ursprünglich umschlossen, durch die Einwirkung eines später hinzutretenden Zer- stömngsmittels aber vernichtet wurden, und daher
*; S« ist ia der That oft sekr sdiwierig, wo nicht «sss wi- »Aglich, die Gr&nae swiadien Individaum und Aggregfit simige- bea, sobald sidi die aggregirten Individuen in paralleler Stellung befinden. Eine ähnliche Unbestimmtheit kommt auch auf den tie- fen Stufen der Thier- und Pflanzenwelt vor, wo die Individuen oft so verBcbmolzen find, dass man sie kamn in der Vontellung n isolinn wciaa.
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170 Angewandte KrystdUographie^
BndrOeka ihrer eigenen Form als Monumente llures ehemaligen Daseyns in äer Oberfläche d^ sie um* sehliessenden Trftgers surückliessen. So sind zumal di^ gebaekten und eingesebnittenen Flächen lu den* ten, durch welche sich manche Quarakrystalle auf eine so aa£Esllende Art amseichnen.
§. 534. f KHUnmoiig der Fliehen.
Ausser der in {. 531 erwähnten scheinbaren Flä- chenkrümmung, welche nur den krummlinigen Verlauf der oscillatorischen Combination beieichnet, kommt zuweilen eine Ejrümmung der Flächen Tor, welche weit vollkommener, und wenigstens nicht aus einer Combination Ton ebenen Flächenelemfenten zu erklä- ren ist. So sind besonders die sehr polyCdrischen Krystallformen des Diamantes, wie s. B. die Hexa- kisoktaider, HexakistetraSder, TriakisokCaäder, auch die Rkom^ndodekaäder desselben, fast immer der« maassen kmmmflächig, dass in ihnen, zumal aber in den Ilexaktsoktfi§dem eine auffallende Annäherung » die iCugelform Statt findet; Fig. 545, 546 länd 547. Eben so bekannt sind die sattelförmig gebogenen Rhonw bolSder des Braunspathes und Eisenspathes, deren Ex- trem nach Mobs in Fig. 548 dargestellt ist. Auch er- scheint der Raulenspath zuweilen in kuglig an%e- blähten Rfaomboädem.
Die linsenförmigen und kegelförmigen Gestaltea des Gypses, die S-förmig gebogenen Flächen des Pris- mas ooP am rhombischen Eisenkies, Fig. 549, die ke- gelförmigen Krystalle der braunen Zinkblende, die convexen Hexaäder des Kobaltkieses, der krummflft- chige Uebergang, welcher oft am Kalkspathe zwischen den Flächen der Rhomboeder und des Prismas ooR Statt findet, Fig. 550, und zahllose ähnliche Erschei- mmgen beweisen die Möglichkeit einer mehr oder
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UnpoUk. der KrydtaüfofTMn. Cap.L 171
wenigef TollkdmitteBe« kmnmiflftcUgeii B^grinrang der KrystaUfonnen, welche nicht aas einer oceillato* riechen Cembination n erklären iit.
Aoch gehören hierher die partiellen Znmndnngen der Kanten nnd Ecke, welche besonders in Coabina- tMNien da Tonakommen j^kgen, wo die Flächen meh- rer nntergeordneter Gestalten nnter sehr stampfen Winkeln cnsammenstossen, nnd gleichsam in eine einzige, oft sehr lebhaft glänsende kranne flächo ▼erffiessen; eine Erscheinliag^ welche sich an den Conbittationen des Gypses, Kidkspathes, Barytes, Ei- senkieses n« a. Mineralien gar> nicht seilen findet
I- 535. FortaetKunf.
WiewoU in einigen der vorerwähnten krommflä«- cUgen Gestalten, besonders aber in den sphäroidi- schen Formen desDiamantes und den sattelförmig ge- bogenen Linsen des Braunspathes eine so stetige und gesetzmässige Krnmmni^ Statt zn finden scheint, dass man zn ihrer Erklärung eher einen auf krumme Flä-- dbenbildnng gerichteten Plasticismns, als eineZusam-- mensetzung von ebenen Flächenelementen ansnneh- iMn berechtigt ist, so würde sich doch für andre je- ner kranunflächigen Foimen eine deigleichen Erklä- mngeart rersuchen lassen. Besonders dürfte dies mit dhn (nicht sattelförmig) gebogenen Rbomboädera des Eisenspathes nnd Branaspatbes det FäU s^yn» weldie oft sicfatlieh ans vielen, unter sehr stumpfen Winkeln ausammensto^isettden kleinen Rbomboädem ■nenrnmengesetst sind. Es giebt grössere Rhombotf« der der Art, welche schon i»ine recht deudiche Ank- lage zu doppdter Zusmnmensetzung ans krummsctha«» l%en nnd stänglichea Elementen veivathen, wie sol* ches in Fig. bbZ angedeutet ist, indem man auf dem Q^efb^ldhn der grftsseren Rhombeäder fticbl inr die
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172 jifngewandt^ Krjrstaüographie.
der ertteren ZnsammengeUiiiig entsprechenden krumm* linigen Streifen cm, ibj ce^ sondern auch die der zwei- ten Zosammensetsong entsprechenden radialen Strei* fen abcj ra anterscheiden vermag. Hier seheint sich also schon ein Uebergang in die so ausgezeichnet sphllroidischen Aggregate des Sphftrosiderites rorzo- bereiten; aber immer bleibt es in diesen und ähnli- chen F&llen unerklärlich, durch welchen. Umstand je srwei neben einander liegende Elementarindiiriduen ei- nes solchen polysynthetischen Krystalles aus der par- allelen Stellung y errückt worden sind; ein Umstand, der stetig und nach einem sehr bestimmten Gesetze gewirkt haben muss.
Aehnliche Erscheinungen finden sich an vielen andern Mineralspecies , welche gleichfalls dui^ch in- tiige Aggregation vieler Individuen sehr glatte und regelmässig krummflächige Formen liefern; so nntier andern besonders ausgezeichnet der Prehnit^ das Strahlerz 9 der Desmin.
f. 536. Krtomiuig der Prismen.
Häufig findet sich die Krümmung der Flächei» auf ^ne eigenthümliche , und die ganze Gestalt ver- zerrende 'Weise an den prismatischen Gestalten der einaxigen Krystallsysteme verwirklicht ^ zumal, wenn diese Gestalten si^ lang säulenförmig ausgebüdee sind. Die langgestreckten Prismen des Aktinotes, Tremolithes^ Antimonglanzes, Turmalinez, mehrer Eeolithe, n. a. M. erscheinen, wenn sie einzeln din» gewachsen, besonders aber wenn sie strahlig zusanK mengesetzt sind, einfiach oder wellenförmig gebogen^ ja selbst kniefdrmig gekrümmt. Seltener findet sick dieselbe Erscheinung an den weniger lang gestreck* ten Säulen des Quarzes, Kalkspathes u. a. Substaa« Ben. Doch giebl es Quarzkrystalle aus Graubundten
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UnvoUk. der Krystallfcrmen. Cap. J. 173
Ton sehr bisEarrer Krummaiig, wie s. B. Fig. 553, ftaeh rieht man zuweilen gebc^ene Kalkspathprismen, an weldien die Krümmfing theils nach der Hanptaxe, theils nach einer Nebenaxe Statt findet, wie in Fig. 551, in welchem letzteren Falle die Erscheinung mit einer Yerlftngerang des Krystdlez nach derselben Nebenaxe verbanden ist.
f. 637. Geflossene und verdrückte KrystalUUchen«
Eine ganz regellose Pertnrbation der FlSchenbil- dong, welche zu den Monstrositäten im eigentlichen Sinne zu rechnen seyn dürfte^ ist diejenige Kram- Mang, die zuweilen an aufgewachsen gebildeten Kry- stallen vorkommt, und unter dem Namen des Ge« flossenen bekannt ist, weil dergleichen Krystalle in der That gerade so aussehen, als hätten ihre Theile in Folge einer angebenden Schmelzung so eben aus einander fliessen wollen. Die Erscheinung findet sieh besonders ausgezeichnet am Bleiglanze, wie denn überhaupt die Oberfläche der grösseren Bleiglanzkry- stalle durch regellose Vertiefungen und Erhöhungen nicht selten im hohen Grade defigurirt ist.
Etwas Aehnlicfaes zeigen die eingewachsen vor- kommenden Krystalle mancher Varietäten des Gra- nates (Kolophonit), Pyroxenes (Kokkolith und körni- ger Augit), Amphiboles (basaltische Hornblende), Apa- tites (Moroxit) u. a. M., deren Kanten und Ecke oft anf eine Art zugerundet sind, welche unwillkürlich die Vorstellung einer begonnenen Schmelzung herbei- fökrt. Ueberhaupt unterliegt die Oberfläche der ein- gewachsenen Krystalle, wie vollkommen solche auch in vielen Fällen ausgebildet seyn mag, in andern Fäl- len häufigen Verunstaltungen, Abrundungen, Ein- drücken u. dgl ; was ja wohl von Krystallen zu er- warten ist 9 welche sich mitten in einer sie umgeben-
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174 'AngewanäU KryHäüograpIde^
den, foA alio auch ihre freie Ansbildiuig mehr oder weniger hindernden Matrix gebildet haben. Daher denn aneh dergleichen Krjstalle nieht selten ihre r^ gelmfttsige Form in dem Grade einbüss^n, das« lie' nur all unbestimmt eckige oder randÜdie K5mer er« scheinen; %. B. Granat, Pjrrop, Kokkolith, Chondro» dit, Olirin, Magneteisenerz xl a.
Zweiten CapiteU
Von den UnvoUkommenheiten in der Con^ fignration der Krystallformen«
f. 538. Axt«a dimsr UoT«lfto8UMQlMit«i.
Zu den UnroUkommenheiten in der allgemeinen Configuration oder in der Ausbildung der ganzen Kry« stallform überhaupt sind vorzüglich folgende Erschei- nungen zu rechnen:
1) Die ungleiche Ausdehnung ursprunglich gleich- werthiger Flächen.
2) Die UnTollzihligkeit der Flächen einzeler Ge- stalten in den Combinationen.
3) Die UnTollständi^eit der äusseren Umrisse fiber- haupt.
4) Die uuTollstättdige Erfüllung des durch die äusze- reu Umrisse bezeichneten Raumes durch die Mtt- terie des Krystalles.
Endlich ist noch hierher, wo nicht als eine Un- Vollkommenheit, so doch als eine Abweichung Ton den gewöhnlichen Gesetzen der Symmetrie die merk- würdige Erscheinung des Hemimorphismus zu rechnen.
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UnpoOL der KrystäUformM. Cap. IL 175
f. 539. Wicbtii^mt diesM VerhaltniMes im TMseralsjfteme.
Die jhireh migleiclie Cenfxaldittaiis gleichwerthi- ger Flftchen herbeigeführte nngleiohfemiige Ansileh» Mmg derselben, durch welche sie nicht nur der Grisse Bftch ungleich, sondern anch der Fig^r nach oaihn* lidi werden, ist besonders im Gebiete des Tesseral- sjstesies sehr genau in Betrachtang su sieben, weil die Cieatalten and Combinalionen dieses Sjstemes da- durch nicht selten bis zur Täuschung den Habitus ▼<Mi Combinationen andrer Krystallsyateme, xumal des tecragonalen, hexagonalen und rhombischen Sjptemes annehmen (vergl. S. 146).
Meist findet die Erscheinung in der Art Statte dass diejenigen Flächen oder Fläcfaensysteme, welche sich aof eine der Haupt- od^r Zwischenaxen bezie- hen lassen, eine «auffallende Vergrössermng oderVer- Ueinerung erfahren, so dass der ganze Krystall das Ansehen gewinnt, als sey er nach dieser Axe einsei- tig verlängert oder verkürzt worden. Dadurch bilden sich eigenthümlicfae 'Verzerrungsformen dieser Gestal- ten ans, Ton welchen vnt die wichtigsten der Reihe nach betrachten wollen.
i Ö4a
y«aemingen des Okta£d«n.
Das OktaSdM ist besonders häufig nach einer seiner trigonalen Zwischenaxen mehr o^r weniger stark verkürzt; dadurch sondern sich seine Flächen in zwei sdieinbar verschiedene Inbegriffe, von denen der eine ein Rhomboeder, der andere die sugehSrige hasische Flädhe OR darstellt. Das Oktaäder erscheint daher im AUgMieinen wie eine rhomboädrische Com- famation ORJl. ^er wie ein tafelartiges Segment von
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176 Angeif>andi€ KryHaUographU.
rieh selbst, und ar^ar entweder wie ein mittleres 8eg<» ment, als sechsseitige Tafel mit abwechselnd schief angesetzten Randflächen, Fig. 555, oder wie ein äus- seres Segment, als eine drei- nnd sechsseitige Tafel, Fig. 554. Weniger häa% findet nach einer der tri- gonalen Zwischenaxen eine Verlängerung Statt, in- dem sich sechs Flächen su einem spitzen RbomboSder ausdehnen, dessen Pole durch die beiden übrigen F1&- ehen mehr oder weniger stark abgestumpft sind; Fig. 556 und 557. Der Spinell, Bleiglanz, das Magnetei- senerz, Rothkupfererz, der Alaun u. a. Mineralien zeigen entweder alle oder doch einige dieser Modi- ficationen.
Das Oktaeder erscheint auch bisweilen nach ei- ner seiner rhombischen Zwiscfaenaxen verlängert, wo- durch sich die Flächen in zwei scheinbar rerschiedene Inbegriffe sondern, deren jeder ein rhombisches Prisma darstellt; das Oktaeder erhält so das Ansehen der rhombischen Combination ooP.Poo, oder Poo.Pcx), d. h. eines rhombischen Prismas, dessen Enden durch ein zweites Prisma zugeschärft werden; Fig. 558. Rotfa- kupfererz, Spinell, Magneteisenerz, Bleiglanz.
f. 541.
Venemmgen dei Hexa^ers,
Das Hexaeder ist nur solchen Verzerrungen un- terworfen, welche sich auf eine Ungleichheit seiner Hauptaxen zarückföhren lassen. Ist es nach einer Hauptaxe verlängert oder verkürzt, so sondern sich seine Flächen in zwei, scheinbar verschiedene Inbe- griffe, welche den tetragonalen Gestalten ocP und OP entsprechen; das Hexaeder erscheint im Falle der Verlängerung als tetragonale Säule, Fig. 559; im Falle der Verkürzung als tetragonale Tafel, Fig. 560.
I^d alle drei Axen ungleich » so erscheint auch
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VnvoUk. der KrystaUformm. Cap.II. 177
ins Hexaeder diesem YerkSltiiisse der Axen gemSis als die rhombische Combinatioii (^.ooJ^oo.ooPöo.
Der hexaßdrische Eisenkies, der Silberglans, der Fhssspath, das Steinsalz liefern znmTheil sehr anf^ fallende Beispiele dieser Verzernuigen,
f. 542. yersemmgoi des Rhombendodekaeders.
Das RhombendodekaMer ist sowohl nach den Haupt - als nach den beiderlei Zwisehenaxen der Yer- zermi^ naten^orfen. Verlängert oder yerkont sich dasselbe nach einer der Hauptaxen, so sondern sich seine Flächen in swei scheinbar verschiedene Inbe- griffe, Ton welchen der eine eine tetragonale Pyra^ Bdde, der andere ein dergleichen Prisma von diagona- 1er Fläcfaenstellang darstellt. Das Dodekaeder er- scheint daher als die tetragonale Combination P.ocPao, and zwar im Fcdle der Verlängerung säulenförmig mit Torherrschendem Prisma , Fig. 561 , im Falle der Verkürzung pyramidenförmig mit Torfaerrschender Pyramide, Fig. 562; Granat.
Verlängert oder rerkürzt sich das Rhombendode- ImSder nach einer der trigonalen Zwisehenaxen, so sondern sich seine Flächen in zwei Inbegriffe, Ton welchen der eine ein flaches Rhombo^der, der andre m hexagonales Prisma von diagonaler Flächenstel- hng darstellt. Das Dodekaeder erscheint als die rhom- beSdrische Combination il.ooP2, und zwar im F<dle der Verlängerung säulenartig mit yorherrschendem Prisma, Fig. 563, im Falle der Verkürzung mit Tor- heirscbendem Rhombo^der, Fig. 564; Granat, Södalit.
Verlängert oder verkürzt sich das Rhombendode- kaäder nach einer der rhombischen Zwisehenaxen, so sondern sich seine Flächen in drei, scheinbar ver- schiedene Inbegriffe, indem 8 Flächen als eine rhom- Irisehe Pyranude, die übrigen 4 Flächen als zwei der n. 12
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178 Angewandte KrystaMographie.
Flftcfaenpaare des rhombischen Systemes auftreten. Das Dodekaeder erscheint daher als die rhombisdie Combination P.ocPoo.ooPcx), und zwar im Falle der Verlängerung pyramidal mit vorherrschendem P, Fig. 565, im Falle der Verkürzung tafelartig mit yorherr^ sehendem Flächenpaare, Fig. ^66; Granat.
f. 543. VerzerniBgen der Ikositetraeder und Tetrakishexaed^.
Das IkositetraSder 202 findet sich häufig nach einer seiner Hauptaxen rerllUigert, und erscheint als eine ditetragonale Pyramide, welche an beiden Enden mit vier, auf die stun^feren Polkanten aufgesetzten Flächen flach zugespitzt ist; Fig. 567. Diese Zu- spitzungsflächen werden bisweilen sehr klein, Fig. 56S, ja sie verschmnden wohl endlich ganz,, und derKry- stall erscheint als eine vollständige ditetragonale Py* ramide, Fig. 596. Der Granat, der Analcim, der hexa^-> drische Silberglanz , das Silber, und, nach Marx^ das Salmiak zeigen diese Verlängerung auf eine mehr oder weniger aufÜEdlende Art. Seltener kommt die Verkürzung nach einer Hauptaxe vor.
Nach einer der trigonalen Zwischenaxen finden sich sowohl Verlängerungen als Verkürzungen, je- doch die letzteren häufiger als die ersteren. Der Erystall erhält in beiden Fällen das Ansehen einer rhombo€drischen, aus einem spitzen Skalenoäder und stumpfen Rfaomboä^der bestehenden Combination, und, im Falle der Verlängerung (den Marx sehr schön naa Salmiak beobachtete) eine täuschende Aebnliclikeit mit der bekannten Combination R^.--r^R.ooR des Kalk- spathes, Fig. 570 und 571.
An gewissen Varietäten des Flnssspathes (x. B. Ton Zschopau in Sachsen und einigen aus England) kommt das Tetrakishexa^der oo03 anfeine sehr merk* würdige Weise nach einer trigonalen JEwisohenaxa
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Unvollk. der KrystaUformen. GgK IL 179
TeflSegeit vor, wie ftolches ia Fig. 572 dargestellt ist. Die Gestalt erhält dadurch das Aasehea eines aas desA Hexaeder als rhomboddrischer Gmodgestalt n^oh dem Ce^fficieoten 2 abgeleiteten Skalenoiders; doch Ulden die übrigen 12 Flfichen meist eine nndentliche kmnunflächige Zuspitzong dieses Skalenoäders, Fig. 573, wie denn überhaupt mit dieser Abnormität der Cenfigaration eine sehr unregelniä,ssige Krümmung der Flächen verbunden zu seyn pflegt. Neulich sind jedoch zu Zschopau sehr ausgezeichnete Exemplare Tttrgekommen, welche das spitzere Skaleno^der fast ToUstäBdig ausgebildet, und ausserdem noch Abs tum- ^iBgen der stumpferen Polkanten desselben durch üt Flächen 606 zeigen.
8. 544.
Yerzemingea der tesseralen Comblnationen.
Die durch die ungleichförmige Flächenausdehnung veranlassten Deformitäten treffen natürlich nicht nur tie einfachen Gestalten, sondern auch die Combina-« tionen derselben. Da es jedoch nicht wohl möglich ist, die einzelen binären Comblnationen in dieser Hinsicht besonders durchzugehen, und da die Defor- wtäten , welche eine Gestalt in ihren Combinationea isit andern Gestalten erfährt, denjenigen analog zu seyn pflegen, welchen sie in ihrer isolirten Erschei- Bong unterworfen ist, so will ich an gegenwärtigem Orte nur einige Beispiele anfuhren.
Die Combination ocOoc.O des Bleiglanzes und SHberglapzes erscheint zuweilen nach einer Haupt* axe verlängert, als die tetragonale Combination ocPoo. P.OP, indem die Flächen des Oktaeders eine Pyra* mide, die des Hexaeders ein Prisma so wie die'Ab- atum^fungsflächen der Polecke der Pyramide bilden; Flg. 574.
Die bekannte Varietät des Granates vom Monso-
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180 Angewandte KrystaUographie.
niberge, welche von Diopsid begleitet ist, zeigt ge- wöhnlich die Combinatioii 202.ooO wie in Fig. 78; zuweilen jedoch ist diese Combination nach einer Hanptaxe verlängert, wobei die vier oberen und Tier unteren Flftchen des RhombendodekaSders gänzlich verschwinden', and der ganze Krystall grosse Aehn- lichkeit mit gewissen Combinationen des Zinnerzes erhält; ganze Drasen zeigen nämlich Ejrystalle von der Form wie Fig. 575.
In der Sammlung des Herrn Geh. Cabinetsradi Heyer befindet sich ein Granatkrystall der Combina* tion 2O2.00O, welcher in der Richtung einer rhom- bischen Zwischenaxe stark verkürzt, und zugleich so unregelmässig ausgebUdet ist, dass die zu dem einen Ende dieser Zwischenaxe gehörige Hälfte nur vier Flächen von 202 (e), die andre Hälfte nur fünf Flä- chen von ooO (t) zeigt, Fig. 576*).
Die unter 4^"^ Namen Strahlkies von Almerode bekannten Varietäten des hexaSdrischen Eisenkieses zeigen Deformitäten, welche deshalb besonders wich- tig werden, weil sie eine häufige Afissdeutung des wahren krystallographischen Charakters dieser Sub- stanz veranlasst haben; doch gehören sie mehr zu ei- ner andern Art von Unvoll^ommenheiten der Confi- guration, von der weiter unten die Rede seyn wird.
f. 545. Ungleidie FUcbensiiBdahniiiig ia den dnaxigan KryitaUea.
In den einaxigenKrystallsystemen spielt die un- gleichförmige Ausdehnung gleichwerthiger Flächen im Allgemeinen eine um so grössere Rolle, je unsymme- trischer der Charakter des Systemes ist, daher sie
*) Die mit « bezeicliiieteii Flächen sind sehr unrollkommen, und scheinen dem HexaMer oder einem ooOs Ton sdir grouer Ab- Mt^Pgssahl SU fdidren.
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UnvoUk. der Krystaüformen. Cc^. IL 181
besonders in einigen Krystallreihen des triklino§dri- scken Systemes einen sehr hohen Grad erreieht, nnd s. B. Krystalle des Knpfenritrioles yorlconimen, an wel- ken fir Tiele Flächen keine Gegenflächen vorhanden lind. Aber anch in den übrigen Systemen nuicht sich ^ttselbe Verhälcniss auf eine sehr anffallende Weise gdtend; nnr lässt es sich iBr selUge nicht nnter so bestiannte Regeln bringen, wie dies für das Tesse- Tslsystefli möglich war. Daher mag es auch hinrei- ßend seyn, einige Beispiele sn erwähnen; nm so mehr, weil fast jede einaxige Krystallreihe eigen- tbinlichen, and meist sehr nnbestimmten Abnormitä- toi oBterworfen sn seyn pflegt.
So giebt es z. B. Anataskrystalle, in welchen die an xwei gegenüberliegenden Polkanten gelegenen Flä- cbenpaare sehr vorherrschend gegen die übrigen ans- gebildet sind, so dass die ganse Gestalt nach dem Gesetze einer monoklino€drischen Pyramide scheinbar MS zwei verschiedenen Hemipyramiden snsammenge- setzt ist, Fig. 577; andre Krystalle sind nach der Riditnng einer Zwischenaxe verlängert, und erschei- nen daher wie die rhombische Combination zweier horizontaler Prismen, Fig. 578. Ganz ähnliche Ab- normitäten zeigen die pyramidalen Krystalle der rhom- bischen Krystallreihe des Schwefels. Die Topaskry- stalle aus Brasilien erscheinen gar nicht selten, zwar mit vollständigem Prisma ocP, aber nur mit der hal- ben Anzahl der Flächen der Pyramide P, wie in Fig. 582^ so dass man die ganze Form anf den ersten Bück gleichfalls für monoklinoädrisch halten möchte. Aefanliche Erscheinungen finden sich an den Krystal- len des lievrites n. a. rhombischen Mineralien. In den hexagonalen Prismen des Kalkspathes, des Be- rylles, Qaarzes o. a. Mineralien sind oft zwei Gegen- flächen sehr breit, zwei andere sehr schmal, so dass die Prismen wie rhombfasche Prismen von 120% mit
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182 Angewandte Krystattographie*
iJl>gestampften sch&rferen Seitenkanten erscheinen; ja, es Terschwinden bisweilen zwei Gegenflächen gänz- lich, und das Prisma erscheint völlig als rhombisches Prisma; anch dehnen sich wohl drei abwechselnde oder zwei gegenüberliegende Flächen sehr ans auf Unkosten der ihrigen n. dgl. m. Die SkalenoSder des Kalkspathes unterliegen gleichfalls sehr bizarren Yerzerrnngen, Ton denen zumal diejenigen häufig sind, da dieKrystalle in der Richtung zweier Mittel- kanten Terlängert sind, so dass an der Stelle des Poleckes eine schiefe Kante entsteht, Fig. 579. Das- selbe findet sich an den Rhombo^dern, welche dann als rhombische Prismen mit schief angesetzten End- flächen erscheinen, Fig. 580 und 581.
f. 546.
FortsetKung.
Eine durch ihre Deformitäten ganz besonders aus- gezeichnete Species ist der Quarz, an welchem man eine unerschöpfliche Manüichfaltigkeit der bizarresten Verzerrungen beobachten kann^ Dabei ist der von Haüy erwähnte Umstand sehr merkwürdig, dass die Regelmässigkeit der Fotm mit der Reinheit des Stof- fes im umgekehrten Verhältnisse zu stehen i^cheiat, indem es gerade die reinsten, wasserhellen Varietä- ten sind, welche die aufCallendlsten Monstrositäten zeigen, während die trüben, sehr verunreinigten Va- rietäten die grosste Regelmässigkeit offenbaren; gleich- sam als habe sie die Natur durch die yollkommnere Form für die unreinere Masse entschädigen wollen. Mehre dieser Deformitäten sind von Rom6 de Tlsle, Scopol! und Hauy beschrieben und abgebildet wor- den, und wir können an gegenwärtigem Orte nnr ei- nige der wichtigsten ausheben, welche an der Com- bination ocP.P, als der herrschenden und in ihrer
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Unvoük. der Kry^üMSarmm. Cap. IL 183
RegelmSssigkeit in Fig. 583 dargestellten Krystallfom des Qoarzes, zu beobachten sind.
Fig« 584 stellt Haüy's Var. comprimee vor , welche se erscheint, als ob der Krystall nach einer der Ne- benaxen in die Länge gezogen worden sey.
Fig. 585 ist dieselbe Varietät, in welcher die breiten Seitenflächen des Prismas noch vorherrschen- der geworden sind.
Fig. 586, Haüys Var. tpkalhidey entsteht, wenn die Combination P.ooP nach einer Polkante der Py- ramide sehr verlängert ist ; die an dieser und der ge- genüberliegenden Polkante gelegenen beiden Flächen- paare der Pyramide bilden zugleich mit zwei Flächen des Prismas ein unregelmässig sechsseitiges Prisma, gleichsam die Combination ocP.ocPoc, in welcher der stumpfe Winkel von ocP = 133'' 44' beträgt.
Fig. 588, Haüy*s Var.basoidej kommt seht häufig zu Oisans vor, und entsteht, wenn eine der Pyrami- denflächen sehr vorherrschend wird, so dass sie gleich- sam eine schiefe Basis des Prismas bildet, deren Combinationskanten mit dem Prisma durch die übri- gen Pyramidenflächen abgestumpft sind.
Fig. 587 und ähnliche finden sich häufig an den kleinen wasserhellen BergkrystaUen von Marmarosch.
Fig. 589 ist eine Defiguration, welche mit der Vimr. cotmprtmie eisige AehnUcIikeit hat, nur ist die Pyramide i^efar vorherrschend, auch erscheinen zwei gegenüberliegende Flächen des Prismas und die dazu gehörigen Pyramidenflächen sehr untergeordnet, und 4«r ganze Krystall erhält das Ansehen einer mono- klino^driscken Combination.
Die horizontalen Streifungen der Flächen von ooP leisten grosse Dienste bei der Orientirung von die- sen und andern defigurirten Krystallen des Q;pai«es.
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184 Angewandte KrystaUographie. §. 517.
Ui^eadmmte AuBdehnuiig der Prismea.
Als ein die ungleiche oder yielmehr unbestimmte FlächenaosdehnuDg betreflfender Gegenstand mag hier noch die verschiedene Erscheinungsweise der Pris- men und Flächenpaare in den einaxigen Krystallsy- Sternen erwähnt werden. Wie in der Definition der Prismen, so ist auch in ihren kiystallographischen Zeichen ocP, ocil, l^oo u. s. w. durchalut nichts über 'ihre Ausdehnung in der Richtung der Axe aus- gesagt ; vielmehr sind jene Definitionen wie diese Zei- chen dem indefiniten Charakter der Prismen völ- lig angemessen, und müssen dies auch seyn, wenn sie nicht der Natur widerstreiten sollen. Denn die Flächen eines und desselben Prismas erscheinen bald als die Seitenflächen einer langgestreckten, die ganze Ausdehnung des Krystalles beherrschenden Säule, bald als die schmalen, kaum bemerkbaren Randflächen ei- ner Tafel, und es ist eine der Natur durchaus vnder- streitende Fiction, wenn man den Prismen irgend eine bestimmte Länge in der Richtung ihrer Axe, oder überhaupt irgend bestimmte Dimensionen nach Länge und Breite zuschreibt. Ein Prisma ist und bleibt nichts Anderes, als ein Inbegriff von Flächen, wel- che einer und derselben Axe parallel laufen; seine Begränzung in der Richtung dieser Axe hängt davon ab, in welcher Centri^ldistanz andere, gegen dieselbe Axe geneigte Flächen ausgebildet sind; je \ geringer diese Centraldistanz im Verhältniss zu jener der Piis- maflächen selbst, um so kürzer, je bedeutender die- selbe, um so länger wird das Prisma erscheinen. la den haarfeinen Krystallen des Sagenites und Amian- thes erscheinen z.B. dieselben Prismen ausserordent« lieh langgestreckt, welche in andern Krystallen des Rutiles und Amphiboles sehr kurz sind ; und auf ahn-
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ImnOt. d€r KrytUJ^cnmem. Cap. IL 185
Bcke, voA «Kk ucfat gcnift m airfEdkal« Weis« wkth 4ie Pwinafm Ibefka^pt, wie dies twi GcstakcB X« enrutea ist, derea AadMunug ■kiit Jndi skk selbst, sondern dnick andere CiestdU tn iestiM^ wird.
Was kier too dea PrisMea gesagt wordea ist, iam gik anek, sMteÜr swtaMfiir, tob den die Coordi- satebewea rcfriseatirendea Fläcbeapaaren der eiaaxi- gen SgFStcase, welche bald als kamM bemerkbare Ab- itaaiyfiiagilllt Im ii der P^nanidenecke oder Prisa^a- kaatea, bald als Seiteafllchen von Tafeln aoftreten, oad int letxteren Falle eben so vorherrschend die To- tdfbnB der CoBbination bestinunea, als sie anf sei- Uge im enteren Falle ohne allen Eiafloss sind.
2. VMVoBzmUt^cmi imr Ftmekem m im CüwMuOmmm.
f. 548. Eegdkdi^eit «fieser Encheiiniiig.
£ine sehr gewöhnliche Abweichung ron der in 4er reinen Krystallographie voraosgesetsten Regel« Bissi^eit ist die UnvollsShligkeit der Flftchen der» jeugen Gestalten, welche nntergeordnet in den Com- Unaftion^ erscheinen. Da dieses Verhältniss ausser- •identlich häufig rorkommt, so wurde es ohne Nntsen seyn , mehr darüber su sagen, als dass es fast jeden* Mb ebne alle Regel Statt findet, und dass man sich daher hüten muss, die gesetsmässige Unrollafthligkeit der Flächen, wie solche durch dieHemiSdrie herbei- geführt wird, mit dieser regellosen UnToUsähligkeit m Terweckseln. So sieht man s. B. HexaMer des Bleiglanses, Eisenkieses u. a. Snbstansen, an wel« ch«i nur xwei oder drei Ecke abgestumpft sind, da es doch eigentlich alle acht seyn müssten; so finden sieb RhombendodekaSder des Granates, an welchen nar einige Kanten abgestumpft oder sugeschärft sind.
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186 AngBwcmdtB KrystaUographie.
XL dgL BL Wie im Testeralsysteme, so findet sidi diesdbe Abnormität xum Theii noch weit anffallen- 4er in den einaxigen Systemen«
§. 549.
Merkwürdige Abnormität am BiseDkiese.
Die Krystalle des hexa€drischen Eisenkieses sei* gen die Unvollsähligkeit der Flächen nicht selten nät einer gewissen Begebnässigkeit; so besonders die Va- rietäten des Strahlkieses ron Almerode, dessen Ok* taäder nnr mit den oberen Enden aus den strsdiUgen Aggregaten henrorragen, nnd den, schon in dieser Art der Zusammensetzung geoffenbarten, vorherrschen^ den Einfluss einer der Hauptaxen auch dadurch beur- kunden, dass sich dieselbe Hauptaxe frei von denje- nigen Modificationen hält, welche in Bezug auf die andern beiden Hauptaxen durch das Eintreten der Flä- chen von ocOoo oder — -— Statt finden. Daher er- scheint nach Kdhler z. B. die Combination O.ooOoo nicht wie in Fig. 123, sondern wie in Fig. 596, die
Combination O.— ^ nicht wie in Fig. 230, sondern
wie in Fig. 596.
Eine noch weit auffallendere Erscheinung bieten gewiitee Eisenkieskrystalle aus England dar, welche nach Böse in Fig. 594 dargestellt sind; sie zeigen die Combination
oc02 r4021 ^ ^
sind aber nach einer Hauptaxe rerlängert, und zu- gleich in Bezug auf diese Axe auf eine so symmetri- sche Art unregelmässig, dass man sich nur durch Messungen von ihrem wahren krystallographiscfaeit Charakter überzeugen kann, der hier gänzlich hinter dem Scheine einer rhomUschen ComUnation versteckt
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nwoBL Ar EJyatvttfrrmm. Cap.IL 187
Fläckn 4«8 FffiymirfBkBrtwi (e)
(*'i ein« ihoaÜHgclie 9jtwmäil» biMe^ ^ I' I» iiiaagwreis* TwktincKcail 4im ie der C«Mfcin«tioD
Z. LmmUmmmÜgteit dtr UmHam itr KryatmlU.
§. 550.
KAg«w;icJks«a« und !os« Ki^ stalle.
Die riagsiiB ToUstandig ausgebildeten Krrstalle gekoren im Allgenieiiieii xa deo seltneren Vorkomm- tuBMem der anorganischen Individoen; denn, wiewohl c»ige Species (x. B. Lencit, Boracit, Spinell, Dia- mamtj Mellit n. a,) bis jetxt fast ausschUessend, aQ» dere Species aber (z. B. Granat, Quar», Zirkoa, Pjioxen, Anphibol, Rothkupferen, Magneteiseners, Idokras, Gjp* o. a.) in vielen Varietäten als ringsam aasgebildete Krjstalle bekannt sind, so ist doch bei veiteoa der grosste Theil der anorganischen Indivi« dsea in seinen Umrissen entweder gar nicht, oder Bar sehr onToIIständig ausgebildet Dies ist eine anmittelbare Folge des in der Einleitung S. 6 und S. 15 erwäiinten Gesetses der Aggregation, welches die freie Ansbildong 4ler einzelen Individuen auf viel- £dtige Weise bescbräakt, ja, für die meisten Indi- Tidsea die AnsbiMug ihrec krystaliinischen Formen ganz «nmdglich macht, wenn gleich die daau erfor- derlichen inneren Bedingungen vollständig vorban- den sind.
VeUkommene laolirung des sidi bUdend» ladi- vidmmis imerhalb einer, seine plastische Tendenz dorchanz nicht bescfarAnkenden Älasse ist ftfoilich 4ie nothwendige Bedingung zur allseitigen AusbiMting seiner Form. Diese Bedingimg kann aber oflfenbar nur dann Tollztan^ erfüllt aeyn, wenn «ich in einer
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188 Angeivanäie KrystaUographie.
fifissigen oder halbflüsaigen Masse (wie s. B. in der Luft, in einer Salzaofiosang, in einem schlanimarti« gen Sedimente, in einem noch nicht erstarrten Lava- oder Basaltstcome) krystallisirbare ^nbstansen ans- sondern, nnd ^eichaam nach einz'elen Pnncten hin concentriren, so dass sich viele Mittelpnncte derMo- lecularanziehnng ausbilden, nm deren jeden einselen die plastischen Kräfte ihr Spiel beginnen und voll» enden, bevor noch die umgebende Masse alle Ter* schiebbarkeit und Nachgiebigkeit verloren hat.
Auf diese Weise bilden sich noch immer die fei-> nen Eisnadeln in der Atmosphäre, die sich präcipiti- renden Krystalle in den Salzauflösungen, die Krystalle des Alaunes, Steinsalzes u. s. w. in Thon - und Lehm- lagern u. dgl. m. Aber auf ähnliche Weise sifid auch die in Gebirgs - und Lagergesteinen eingewachsenen, ringsum ausgebildeten Krystalle entstanden, welche das anorganische Individuum räumlich isolirt, im Zu* Stande seiner höchsten Vollendung repräsentiren, nnd, wenn die sie ursprunglich umschliessende Matrix zer- stört worden, als lose Krystalle erscheinen.
§. 551. Aufgewachsene Kryfttalle.
Nächst den einzeln eingewachsenen Krystallen sind es die einzeln aufgewachsenen Krystalle, in welchen die anorganischen Individuen am wenigstoa verstümmelt erscheinen. Wenn sich nämlich an ein- Helen Puncten einer vorhandenen Unterlage (z. B. der Wände einer Gangspalte, eines Drusenraumes, eines Blasenranmes) ans einer Auflösung oder aus subli- mirtea Dämpfen eine krystalliairbare Substanz nieder- schlägt, so kann dieser Niederschlag in solcher Re* gelmässigkeit erfolgen, dass sich um jeden dieser Puncto nur ein Krystall bUdet, welcher bisweilen üast vollstäadig, gewöhnlich dber durch die seine Ana-
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Cap.n. im
ohse Back gestirt woidea sm UBtcflage wie abgcsdniiiea [ M%ew»chia«f nfcystalle sw4&Im Qtwkt» TW V^DkoMmeiilieit fiUg, vie fag XL B. Tide KiTstaHe de« Flmssspatkes, Apa- tiles, Kaifcifiihfi, MeisslphalM, Topases, Aximhes» I, Tkawtes, Asatases «. a. MiaenKea mt
i 552. liyirtillerippe ssd DraMu
WcMi sich m ein bereits gebildetes eingewaeb- aadere ladividaea nach Tencfaie- aasetseo, so dasa jedes aacbfbl- gcade bs^ividaaM in eiaem oder aMbreii der ▼orfaer pUdetes eise Sütae oder Unterlage taaAj so eat- Mebea die freien Kryatallgrnppeo, in welcbem IV fie IvBseisten ladi^idiaen mit ibnb aaob Anssea gcvcadeten Scben ToUkosmen aasgebildety die i»- KKa ladiTidaen aber aiebr oder weniger Terwach- Ka sind, bis xom gänslichen Verschwinden ihrer ^TBtaDmisdieB Forat
Baden sidi Ton einem goaeinsdiafilichen Mittel- fincte innerhalb einer nachgiebigen Matrix nach al- kt BM^togen Individnen, so dass selbige wie die btica oner Kagel dirergiren, so erhalten diese Krj- «lAsntppea eine mehr oder weniger regdmfissige ^terische oder sphftroidische Gestalt.
Wenn sich dagegen nm einen bereits gebildeten angewachsenen KrystaU, oder auch gleichseitig von ^cn and demselben Pnncte der Unterlage ans nach ^^ Bidtfnngen andere Krystalle ansetsen, so ent- ^**ht eine mehr oder weniger regelmisaige anfgo- ^teksene Krystallgruppe, an welcher sich dm
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ISO Angewandte Krystattograpbie.
ftnsaereB LidiFidaeii wie aii%ewacli8eae Krystalle Ter- lullten, wäkrend die inneren IndiTidaen meist derge- stalt mit nnd durch einander verwachsen sind, dass ihre gegenseitigen Granaien nnr dnrch zufällige Znsani* measetsnngsflftchen bestimmt, ihre wahren Formen aber gänzlich obiiterirt werden.
Wenn endlich auf der Unterlage viele Mittel- pancte der Molecularanziehnng sehr nahe beisammen liegen, so müssen sich bei fortgesetztem Wachsthnme die einzelen Individuen endlich in ihren seitlichen Theilen berühren, und, wie früher das einzele Indi- viduum nnr in seiner Unterlage , so findet es jetzt in jedem seiner Nachbarn ein Hindemiss der Entwick- lung. Die Individnen verwachsen also nach den seit- lichen Richtungen mit ^nander in eine mehr oder weniger zusammenhängende Masse, ans welcher sie nur mit den oberen Enden als Krystalle in den freiea Raum hinausragen. Dergleichen Aggregate sind es, welche den Namen der Drusen fuhren, wiewohl mait auch unter diesem Worte jeden Inbegriff vieler, anf einer gemeinschafUichen Unterlage neben einander anfgewachsener Krystalle versteht, wenn sich soldhe audi nicht berühren.
Auf die Grosse der Individnen kommt es nainr- licfa bei allen diesen Bestimmungen nicht an; und die kleinsten kugligen Agirregate der Kobaltbütfae, die feinsten Drasenhänte des Kupferkieses sind eben so- wohl Krystallgrappen und Drusen, als die sphiroidi- sehen Gruppen des Eisenkieses oder die kcJessaleit Drusen des Bergkrystmlles.
§. 553. Röfoife, itnkfigt) £uedge v. a. Afisiegmt«.
Die meisten Individuen des Mineralreiekes aber sind das Resultat eines Entamngs- oder KrTStnlU- welcher sncccsadv oder
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UnwUL der Krystdllformen. Cap.II. 191
ganxe Massen aBorganiseher Sabstanx ergriff, to daM Ton zahllosen Mittelpuncten am der Proce«« nadi allen Riditangen sich fortsetzte, und um jedes be* reits gebildete Individuum nnmittelb^ andere zum Da** seyn gelangten, bis die ganze Masse in eine Unzahl indiTidnalisirter Elemente gesondert war, welche sich zwar nicht durch äussere Krystallförm , wohl abez durch die, einer solchen Form genau entsprechenden, Verhältnisse der Spaltbarkeit als verdrückte und ver- krüppelte Individuen zu erkennen geben. So mögen die Granite, Syenite, körnigen Kalksteine und an- dere krystalliniscfae Gesteine der Ur- und Uebergangs- gebirge enstanden seyn, welche oft in himmelhohen Massen aufgethörmt sind, und deren Individuen nur in Drusenräume oder Gangklüfte mit ihren frei ge- bildlBten Enden hinausragen, während sich an den &br%en, nach allen Richtungen an und durch einan- der verwachsenen Individuen keine regelmässig aus- geprägte Krystallgestalt erwarten lässt. Wie daher die einzeln eingewachsenen Krystalle die voUkom-* menste, so bilden diese körnigen Elemente eines kry- stallinischen Aggregates die unvollkommenste Darstel- lung der anorganischen Individuen. Dass übrigenz durch die Dimensionen der einzelen Individuen diese Unvollkommenheit relativ för den Beobachter mehr oder weniger gesteigert werden wird, versteht sich von selbst; denn wenn die Individuen eines derglei- dien kömigen Aggregates noch zollgross sind^ wird die Anerkennung derselben weit leichter Statt finden, als wenn sie bis zu mikroskopischer Kleinheit herab- gesunken sind, wie dies freilich sehr häufig der Fall SU seyn i^egt.
Was von den kömigen Aggregaten gesagt wurde, das gilt in ähnlicher Weise von den flaserigen, schie- ferigen, und andren krystallinischen Aggregaten, bei deren Bildung gewisse Umstände Statt gefunden, wet
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192 Angewandte KrystaUographie.
ehe, wiewohl noch grosetentheils unbekannt, doch ei- nen bestimmten Einfluss auf das Fortschreiten des Er- starrungsprocesses ausgeübt haben müssen, kraft des- ' sen jene schon mehr regdmässigen Aggregationsfor- men entstanden sind. Die meisten der so gebildeten Individuen aber sind deshalb kein Otgect der Kry- stallographie, weil ihre äusseren Formen in dem Ge- dränge der Aggregation gänzlich verloren gegangen sind, die Krystallographie aber nur diese äusseren Formen zum Gegenstande hat.
4. Unterbrochene Raumerßälung..
§. 654. TrichteiioriDige Aushohlmig d^ Fläeheo.
Nicht selten triffit maA Krystalle, deren durch die Conture des Kantennetzes bestimmter Raum von der Substanz nicht stetig erfüllt wird, indem meist nur die unmittelbar an den Kanten anliegenden Theile der Flächen ausgebildet sind. Diese Unvollkommen- heit, welche an künstlichen Salzen und durch Su- blimation gebildeten Krystallen besonders häufig vor- kommt, ertheilt den Krystallen ;das Ansehen, als seyen ihre Flächen Aach dem Mittelpuncte hin trich- terförmig ausgehöhlt, und als habe sich alle Substanz nur an denjenigen Ebenen concentrirt, welche aus dem Mittelpnncte durch die Kanten gehen* Betrachtet man die Aushöhlungen genauer, so findet man, dass ihre Wände in treppenartiger Ausbildui^ von dem Mittel- pnncte nach den Kanten hin aufsteigen, und eine der Flächenreifnng ganz ähnliche Erscheinung zeigen. Dis abwechselnden Flächenelemente gehören jedoch nicht verschiedenen Gestalten , sondern derselben einfachen Gestalt an, welche der ganze Krystall darstellt.
So finden sich häufig die Hexaeder des in den Salinen dargestellten Kochsalzes, die durch Soblima-
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UmoUk. der KrystaUformen. Cap. IL 193
tum in R5st- and SchmelsBfen entstandenen Hexa^-r der des Bleiglanzes, zuweilen auch natürliche Blei- ^anzkrystalle anf ähnliche Art wie in Fig. i90 und 591 ausgebildet. Ebenso erscheinen die Oktaeder des Alaunes, der arsenigen Säure wie in Fig. 592. Auch der Quarz konunt zuweilen in seinen reineren Yarie« täten mit ausgehöhlten Flächen vor. Aehnliche Aus- höhlungen finden sich an den basischen Flächen der hexagonalen Prismen des Berylles und Pyromorphites, an den Krystallen des Eisenvitrioles , Glaubersalzes, Kupfervitrioles u. a. Substanzen. Nur muss man sich die Erscheinung an den Hexaedern und Oktaedern nicht ganz so regelmässig vorstellen, wie sie die Fig. 591 und 592 zeigen, indem zugleich die auffallend- sten Verzerrungen und Verstümmelungen der Form Statt zu finden pflegen, so dass z. B. die Bleiglanz- hexaSder ans den Röstöfen in den monströsesten Kan- tengerippen und die Kochsalzhexa^er aus den Sod- Joannen gewöhnlich nur vom Mittelpuncte aus nach vier Kanten als hohle vierseitige Pyramiden ausge- bildet sind.
f. 555. Merkwürdige Eracheinang am Eisenkiese.
Eine hierher gehörige, schon von Hausmann er- wähnte, und neulich von Köhler beschriebene sehr merkwürdige Erscheinung findet sich am (hexaSdri- seben) Strablkiese von Almerode, dessen säulenför- mig verlängerten und unsymmetrisch gebildeten Kry- stalle der Combination ooOoo.O parallel den vier, als tetragonales Prisma erscheinenden Flächen des Hexaä- lers dergestalt ausgeschnitten sind, Fig. 593, dass man einen Zwillingskrystall zu sehen glaubt; um so mehr, weil am Eisenkiese wirklich Durchkreuzungszwillinge Torkonmien, welche nach einem der Erscheinungs- weise dieser ansgehöhken Krystalle entsprechenden n. 12
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194 AngeuHindte Krystallographie.
Gesetze gebildet sind. Die Lage der StreiTen auf den Hexaäderflächen widerlegt jedoch diese Vermuthan^, weil si^ nur einem einzigen Individaum entspricht; denn wären diese kreuzförmigen Krjrstalle wirkliche Zwil- linge, so konnten die einander parallelen Hexaßder- fläohen der beiden sich durchkreuzenden Theile nicht parallel gestreift seyn, wie dies doch wirklich der FaU ist.
5. Hemimorphismus
§. 556. Begriff des Hemimorphismus.
Zwar eine Abweichung von den herrschenden Syst- metriegesetzen, aber eine sehr gesetzmässige, und durch ihre physikalische Bedeutsamkeit im hohen Grade merkwürdige Abweichung ist die Erscheinung des He- mimorphismus in den einaxigen Krystallsystemen. Man nennt nämlich einen einaxigen Krystall hemimor- phisch, wenn er an beiden Enden der Hauptaxe ge- setzmässig von den Flächen verschiedener Gestalten begränzt wird, gleichsam als gehöre das obere Ende einem anderen Individuum, als das untere Ende. Diese Entzweiung des ganzen Krystalles in der Richtung seiner Hauptaxe, oder diese morphologische Polari- tät desselben gewinnt noch deshalb ein besonderes Interesse, weil sie mit einer physischen Polarität in- nig verknüpft ist, indem die hemimorphischen Kry- stalle durch Erwärmung polar elektrisch, werden, d. h. an den entgegengesetzten, und durch die ver- schiedene Gestalt diarakterisirten Polen ihrer Hauptr axe die entgegei^esetzten Elektricitäten manifestiren« Der Hemimorphismus findet »ich besonders am Tur- maline, dessen Krystalle z.B. an einem Ende durch die Flächen eines oder mehrer Rhombo^der begräast sind, während das! andre Ende nur die basisohe Flä- che zeigt, wie in Fig. 597; oder es erscheinen wohl
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Unvoük. der Krystallformen. Cap. IL 105
aach an den beiden finden die Flächen dergell>en Ge- stalten, allein noch aOMerdem am einen Ende fl&chen, wekhe am ändern Ende fehlen, Mie in Fig. 598. Ueber- hanpt sind Ton 18 Tenchiedenen, in dem Atlas zu Hany's Mineralogie abgebildeten Combinationen deg Tnrmalines 16 vollständig beobachtete hemimorphisch; es lässt sich daher die gleiche Beschaffenheit Ton den obrigen Toranssetzen, nnd der Hemimorphismns als ein allgemeines Bi^^ungsges^ts des Tarmalines betrachten.
§. 557. Trigonales Prisma aU Resultat des Hendmorphismas.
Ein Beweis, dass der Hemimorphismns ein für die Krystallreihe des Tormalines allgemein gültiges Bildangsgesetz ist, scheint in dem so häufigen Vor- kommen des trigonalen Prismas xu liegen, welches eine nothwendige Folge des Hemimorphismns ist, und das Yorhandenseyn desselben selbst für solche Kry- stalle bestätigt, in welchen entweder gar keines, oder doch nur eines der beiden Enden vorhanden, und daheir die Yerschiedenheit der terminalen Flächen nicht
s
mehr zu beobachten ist.
Da nämlich das Prisma ooR nur als die Gränz- gestalt der RhomboSder zu deuten ist, so müssen die drei abwechselnden Flächen auf die obere, die drei zwischeüli^fenden Flächen auf die untere Hälfte der Hauptaxe bezogen werden (§. 299). Weil nun aber das Wes^n des Hemimorphismus eben darin besteht, dass von allen oder gewissen, in der Combination enthaltenen Gestalten nur entweder die obere, oder die untere Hälfte, Ah. nur entweder der zur oberen, oder der zur unteren Halbaxe gehörige Plächeninbe- griff erscheint, so kann in einer, dem Hemimorphis- mus unterworfenen rhomboädrischen Krystallreibe das PrimnftODlt nur mit drei abwechsdnden Flächen, d. h, ab tr%enales Prisma auftreten. Wenn daher eine,
13*
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196 eingewandte Krystallographie.
darck die Erscheinungsweke ihrer übrigen Gestalten als rhomboSdrisch charakterisirte Krystallreihe das Prisma ooJR nur als trigonales Prisma erscheinen lässt, so kann man mit Recht den Schloss ziehen, dass. diese Krystallreihe dem Hemimorphismus unterwor- fen seyn müsse, auch wenn man sich nie durch Beob- achtung eines mit beiden Enden ausgebildeten Indivi- duums von der verschiedenen Endkrystallisation über- zeugen kann, oder wenn auch die n^ ausgebildeten Individuen an beiden Enden häufig dieselben Gestal- ten zeigen sollten.
Aus demselben Grunde, aus welchem das hexa- gonale Prisma ooB nur als trigonales, muss auch jedes dihexagonale Prisma oolt" als ditrigonales Pris- ma erscheinen, sobald eine rhomboSdrische Krystall- reihe unter dem Gesetze des Henumorphismus steht (§. 298).
§. 558. ^ Andere kemiinorphUche Krystallreihen.
Wie derTurmalin, so konunt auch die rhomboS- drische Silberblende in hemimorphischen Krystallen
vor; besonders ist das trigonale Prisma -^ (k) eine
sehr gewohnliche Gestalt dieser Krystallreihe; Fig. 699. Im Gebiete des Tetragonalsystemes ist noch keine hemimorphische Krystallreihe bekannt. Dage- gen hat man in den beiden rhombischen Krystallrei- hen des Topases und Zinksilicates hemimorphische Krystalle beobachtet. , Haüy hat unter andern folgende zwei Combinationen des Topases als wirklich hemi- morphisch dargestellt:
ooP3.<x>Poo2Pcx)Joo; Fig. 600.
00P.00P2.P.2P00.4P2; Fig. 601. in der ersteren kommt das horizontale Prisma Poo, in der zweiten die Pyramide ^2 hemimorphisoh vor;
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Unvoüh. der Krystaüformen. Cap. IL 197
die meisten fibrigen Combinationen sind von ihm nur mit dem oberen Ende abgebildet worden, xum Be- weise, dass er das untere Ende nicht übereinstim- mend Toranssetzen sn dürfen glanbte.
Dnrch Mobs sind wir endlich mit der in Fig. 602 dargestellten Combination des Zinksilicates bekannt worden, welche ausgezeichnet hemimorphisch ist, in- dem solche am oberen Ende durch die Flächen der Yier horizontalen Prismen 2?oo, Poo, 4P00 und iPoo, am unteren Ende dagegen durch die Flächen der Grundgestalt P begränzt wird.
6. SehhnMhtmwkung.
f. 569. Befllliidigk«il 4«r Kairteiiidiikd.
Aus den vorhergehenden Darstellungen der Un- vollkommenheiten der Krystalle geht hervor, wie sehr sich dieselben in der Wirklichkeit von jener Regel- mässigkeit entfernen, welche in der reinen Krystallo- graphie vorausgesetzt wurde, und wie nothig es war, ihre Gestalten zuvorderst so darzustellen, wie sie un- ter jener Voraussetzung erscheinen müssen. Denn die wahren Syrametriegesetze der Krystallformen wer- den durch jene Abnormitäten dermaassen entstellt und maskirt, dass man diese letzteren nur durch sorgfäl- tige Yergleichung vieler Individuen als zufällige Stö- rungen erkennen, und nach ihrer Abstraction zu der Aufißndung der ersteren gelangen konnte. Durch sol- che Yergleichungen und Abstractionen ist die Lehre von den Krjstallsystemen, dieser unentbehrliche Leit- faden durch das Labyrinth der Formen, gewonnen worden , wie sie denn auch fast jedesmal in Anwen- dung kommen, wenn man gegebene Krystalle bestim- men soll.
Bei aHer Unbestimmtheit in der Erscheinungs-
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'198 Angewandte Kry^taUögraphie.
weise der Krystallformen, bei allen Ahnonnitäten, welchen ihre Configuration anheimfäUt, 1^4; 4oeh ein Verhaltniss sehr constant, daher anch wohl das we- sentliche and für die Wissenschaft besonders wichtige. Dies ist die relative Lage der Flädien, ^nd die davon abhängige Grösse der Kanten« nnd Flä- chenwinkel. Zwar werden, nach Mitscheiüchs schö- ner Entdecknng, in den einaxigen Krystallformen durch Temperatorverändernngen kleine YerfiUideningen in der gegenseitigen Lage der Flächen herbeifiihrt, in- dem sich dieKrystalle dieser Art nach verschiedenen Richtungen ungleichmässig ausdehnen; allein bei ei- ner nnd derselben Temperatur zeigt ein und derselbe einaxige Krystall dieselbe Grösse der Winkel aller gleichwerthigen Kanten, und die vielaxigen Krystalle sind gar keiner Yeränderlii^hkeit unterworfen, da sie bei jeder Temperatur di^selben Kantenwinkel beob- achten lassen. Daher sind es auch besonders die Kan- tenwinkel, auf welchä man in zweifelhaften Fällen zu achf;en hat, und durch derepi Messung man in den defigurirtesten Krystallen den wahren Charakter und das eigentliche Symmetriegesetz zu entdecken ven4ag. Uebrigeiüi ist es eine ziemlich allgemein bestä- tigte, und für die angewandte KrystaHographie sehr wichtige Erfahrung, dass die kleineren Krjstalle ei- ner Spesies immer eine . regelmAssigere Gestalt und glattere Oberfläche b^h^jsn, als die gfi&ss^r^n Kry- stalle; daher sie sich auch vorzugsweise zu den Mes- sungen eignen, durch welohe die. zur Bestimmung nnd Beredhniing der Krystallformen. erforderB^sben Ele- mente gewonnen werden.
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ZwUüngskrystaUe. Cap. 1. 100
Zweiter Abschnitt Foj» den Zwillingikryitallen.
Erstes Capitel. Allgemeine Bestimmungen.
§. 560.
Aggregate der Indiyidaen.
Wie sttweilen swei oder mehre Individnen einer und dergelben Thierspecies nach einer bestimmten Regel an oder durch einander gewachsen sind, nnd in die- ser Yert¥acbs«iig gleichsam ein Doppelindividaum oder eine mehrgliedrige Corporation von Individuen darstellen, so kommen sehr häufig zwei oder mehre Individuen einer vtcA derselben anorganischen Species nach einem bestimmten Gesetze an und durch einan- der verwachsen vor. Die aus solcher Verwachsung hervorgehenden Aggregate zerfallen nach der gegen- seitigen Stellung der verbundenen Individuen in fol- gende zwei wesentlich verschiedene Arten: I. Aggregate von Individuen mit durch- gängigem Parallelismus der Axen so- wohl als der Flächen; IL Aggregate ohne durchgängigen Paral- Lelismus d^r Axen oder der Flächen. EKe Aggregation der ersten Art kommt in der Na- tur sehr häufig vor, und hat unter andern interessan- ten Erscheimmgen^) besonders die vielfach zusammen- gesetzten oder polysynthetischenKrystallezur Folge, welche durch die Gruppirung sehr vieler, in
*) Wohin z. B. die baumförmigen, gestrickteo a. a» nachah- meode Gestalten gehören, die jedoch mehr mineralogischea als kry- lUäogi&phiKhes Int^ease haben.
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200 Angewandte Krystallographie.
paralleler Stellung befindlicher Individuen entstehen, die sich gleichsam mit Aufopferung ihrer singulären Selbständigkeit zu einem individualisirten Ganzen ver- einigten. Diese polysynthetischen Krystalle lassen sich, in gewisser Hinsicht den nach bestimmten Re- geln zusammengesetzten Polypen und Ascidien ver- gleichen, in welchen gleichfalls die Individualität je- des einzelen Gliedes durch die innige Verschmelzung zu einem grösseren Ganzen mehr oder weniger ver- loren geht.
Weit wichtiger in krystallographischer Hinsicht ist die zweite Art von Aggregaten, welche wiederum in folgende zwei Unterabtheilungeii zerföUt:
1) Aggregate, deren Individuen nach einem kry- stallographisch genau bestimmbaren Gesetze ver- bunden sind:
2) Aggregatß, deren Individuen zwar nach einer ge- wissen Regel, aber doch nach keinem krystal* lographisch genau bestimmbaren Gesetze verbun- den sind.
Die Aggregate der ersten Abtheilung sind es, welche, je nachdem sie aus zwei, drei oder mehren Individuen bestehen, den Namen der Zwillings-, Dril- lingskrystalle u. s. w. fuhren, und wegen ihrer ma- thematischen Gesetzmässigkeit die Aufinerksamkeit der Krystallographen ganz besonders in Anspruch genom- men haben. Sie sind es auch, welche den eigentli- chen Gegenstand dieses Abschnittes bilden. Die Ag^ gregate der zweiten Abtheilung, zu welchen z. B. die fächerförmigen, garbenformigen, kanmiformigen, wulst- formigen und andere Zusammensetzungen gehören, bilden keinen Gegenstand der Krystallographie.
f. 561.
Stellungigesetz der Zwillingskrystalle.
Ein Zwillingskrystall ist ein Aggregat zweier In-
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ZwiUmgshrystaUe. Cap.L 201
dividuen einer und derselben Species , welche keinen durchgängigen ParaUelismas der Axen nnd Flächen besitzen, aber nach einem genau bestimmbaren Ge- setze verwachsen sind. -^ Beide Indiyidnen sind in der Regel krystallographisch identisch, d.h. das eine hat absolut dieselbe Krjrstallform wie das andere; jedoch finden sich zuweilen Ausnahmen von dieser Regel.
Bei der Bestimmung eines Zwillingskrystalles kom- men folgende zwei Verhältnisse in Betracht:
1) das StellungsgesetlE der Individuen, oder die relative Lage derselben;
2) das Yerbindungsgesetz der Individuen, oder die Art und Weise ihrer Verwachsung.
Was das erste Yerhftltniss betrifft, so geht man bei seiner Bestinunung von der parallelen Stellung beider Individnen aus, und giebt die Regel an, nach welcher das eine Individuum gegen das andere ver- dreht werden muss, damit die Zwillingsstellung ver- wirklicht werde. Man sieht, dass es bei dieser Be- stimmung ganz gleichgültig ist, ob man die Mittel- pimcte beider Individuen zusammenfallend oder in be- liebiger Elntfernung und Richtung ausserhalb einan- der denken will, dass also auch die Art und Weise der Verwachsung beider Individuen auf die Bestim-' mnng ihrer Stellung ohne allen Einfluss ist
Wenn aber überhaupt das eine Individuum gegen das andere verdreht werden muss, um aus der paral- lelen Stellung in die erforderliche Zwillingsstellung zu gelangen, so sind die zunächst zu beantwortenden Fragen folgende :
1) welche Linie im KrystaUe ist als die Umdre- faungslinie zu betrachten,
2) wie gross ist derUmdrehungswinkel anzuneh- men.
Die Antworten auf beide Fragen können nur aus
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202 Angewandte KryatdUographie. '
den Reaaltaten der Beobachtung aller bis jetzt be- kannten Zwillingskrystalle entnommen werden, nnd bestimmen sich wie folgt:
1) DieUmdrehungslinie ist allgemein eine krystallographisch reelle Linie, also entweder erine der Axen der Krystall- reihe, oder eine Kante, oder eine Flä- chennormale irgend einer ihrerGestal* ten.
2) Der Umdrehungswinkel beträgt allge- mein 160°, obgleich auch in manchen Fällen ein Winkel von .60° der Constmction des Zwil-
' linges Genüge leistet.
Da also genav «ine: halbe Wendung. des einen Individuums gegen das andere um die Umdrehungs- linie gefordert wird, jm> macht sich dieselbe als eine -beiden Individuen gemeinschaftliche Axe gehend, ia BesBug aufweiche eine symmetrische Lage ihrer Theile und ein gewisses Gleichgewicht ihrer Ausbildung Btatt findet. Wir ertheilen ihr daher mit allem Rechte den Namen der Zwillingsax^e, und werden das Stel- lungsgesetz der Individuen irgend eines ZwiUings durch blosse Angabe dieser Zwillingsaxe hinreichend bestam- men, wenn wir ein für alle Mal die Umdrehung des einen Individuums durch 180*^ voraussetzen. Weil übrigens, .zum wenigsten in allen orthobasischen Kry- Stallsystemen, jede Axe und jede Kante die Normale einer möglichen Fläche ist, so werden wir auch in nnsern ferneren Beträchtüngeji die i^willingsaxe fast immer jbAb eine Flächennormale einfuhren, um den Zwillingsgesetzen eine gewisse Gleichförmigkeit des Ausdruckes zu verschaffen.
Das bisher erläuterte Stellungsgeselai leistet je- doch, nicht allen Erscheinungen der Zwülingsbildung 'allein Genüge; sondern ist vielmehr für einige Zwil- linge ganz unzureichend, weil beide Individuen wie
Digi
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ZwilUngskrystalle. Cap.I. 203
rechts und links verschieden sind, nnd durch kein^ Umdrehung in die gehörige Lage gebracht iverden können. Sie fordern daher ein ganz andres Gesetz, welches sich auch für viele ancfre Zwillinge mit *glei* chem Rechte geltend machen lässt, wenn gleich für sie sein Resultat von dem Resultate eines Gesetzes der ersten Art gewdhnlich nicht verschieden zu seyn pflegt.
Diese Zwillinge, welche also ein eigenth^nUches Gesetz theils fordern, theils gestatten, sind im Allge* meinen gewisse Zwillinge solcher Individuen mit par- allelen Axen, deren Formen jedoch hemi^risch oder tetfortoMrich sind; das erwähnte Gesetz aber ist fol- gendes : Die Axen beider Individuen liegen sich parallel, die hemiCdrischen Gestalten des einen Individuums aber sind, ih- rer Flftohenstellung nach, die comple- mentftren Gestalten der gleichnamigen kemi^drischeü Gestalten des andern Individuums. Dieses sehr häufig verwirklichte Gesetz, in wel- chem sich gleichsam ein Versuch zur "Reproduction* ier holoedrischen Formen offenbart, lässt sich, wie gesagt, zwar in ^ vielen, aber nicht in' allen Fällen auf das erste Gesetz zurückfahren; daher wir ihm auch, wo es gestattet ist, eine mit dem ersten Ge- setze übereinstimmende Formel substituiren werden. Uebrigens konnte man nach diesen beiden allgemei- nen Gesetzen die geflammten Zwillihgskrystsdle in zwei Classen bringen:
1) Zwillinge mit parallelen Axensyste- men.
2) Zwillinge mit nicht parallelen Axen- systehien.
Die Zwillinge der ersten Classe würden nach dem
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204 , Angewandte KrystaUographie.
xweiten, die der zweiten Classe nacb dem ersten all- gemeinen Gesetze zu erklären i^eyn.
• §• 562. Aequiyaleate ZwilUngsaxeii.
In rieten, nach dem ersten Gesetze zu erklären- den Zwillingen lässt sich die angegebene Zwillings- axe mit einer ändern Linie vertauschen, ohne das« dadurch eine wesentliche Veränderung in dem Resul- tate der Construction herbeigefihrt würde. Durch Calcül oder geometrische Betrachtung gelangt man in dieser Einsieht zu folgenden Bestimmungen: 1) Wenn zwei gleichwerthige(recht-oderschief- winklige)krystallographischeAxen vorhan- den, und nicht nur die Zwillingsaxe, sondern audi die dritte krystallographische Axe gegen jene beiden gleich geneigt 'sind, so lässt sich die Zwillingsaxe mit derjenigen ihrer Nor- malen vertauschen, welche in der Ebene durch sie selbst und die dritte Axe liegt Diese Bestimmung findet ihre Anwendung:
a) im Tesseralsysteme, wenn die Zwillingsaxe die Normale einer Fläche von «lO, oder mOüi; die äquivalente Zwillingsaxe ist fSr «lO die Nor- male einer Fläche von 2si02«i, fSr mOm die
Normale einer Fläche von -ö"0, wenn «•>2,
2 2 von — O— , wenn «••<2;
M ffl
b) im Tetragonalsysteme , wenn die Zwillingsaxe die Normale einer Fläche von «iP ; die äquiva- lente Zwillingsaxe ist die Normale einer Fläche
von f- — rP;
c) im Hexagonalsysteme , wenn die Zwillingsaxe die Normale einer Fläche von «iP; die äquiva-
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ZmlUngskryttalle, Cap. 1. 205
feste Zwillingsaxe iat dieNoimale einer Flidie
2) Wenn die Zwillingsaxe in die Ebene zweier (recht- oder schiefwinkliger, gleich- oder un- gleich werthiger)Axen fällt, und die dritteAxe auf dieser Ebene rechtwinklig ist, oder auch (wie im Hexagonalsysteme) die dritte und vierte Axe gegen diese Ebene gleich geneigt und g^eichwerthig sind, so lässt sich die Zwillingsaxe Biit ihrer in derselben Ebene liegenden Normale vertauschen. Diese Bestimmung findet ihre Anwendung:
a) im Tesseralsysteme, wenn die Zwillingsaxe die Normale einer Fläche von ocO»; die äquiva- lente Zwillingsaxe ist die Normale einer andern Fläche von ooO»;
b) im Tetragonalsysteme, wenn die Zwillingsaxe eine Normale von «iPoo oder odPn ; die äquiva^ lente Zwillingsaxe ist im ersteren .Falle die Nor-»
male einer Fläche von — rPoo, im zweiten Falle
wiederum die Normale einer andern Fläche von ooP»; e) im Hexagonalsysteme, wenn die Zwillingsaxe eine Normale von «iP2; die äquivalente Zwil- lingsaxe Ist die Normale einer Fläche von — rP2.
d) Im rhombischen Systeme, wenn die Zwillinjs- axe die Nonnale eines verticalen Prismas ooPm, oder eines der horizontalen Prismen mPco, und «iPoo ; die äquivalente Zwillingsaxe ist eine der Mittelkanten von F», die makrodiagonale Pol- kante von 0iP, und die brachydiagonale Pol- kante von mP;
e) im monoklinoädrischen Systeme, wenn die Zwil-
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200 Angewandte KryataUographie.
lingsaxe die Normale irgend eines horisontaien Hemiprismas +«iPoo; die äquivalente Zwillings- axe ist die klinodiagonale Polkante der Hemi- pyramide +«tP. ,
Wiewohl die Wahl unter zwei äquivalenten Zwil- lingsaxen im Allgemeinen willkürlich ist, lio entspricht doch oft die eine mehr als die andre dem Habitus der ZwillingskrystaUe; auch ist xu' bemerken, dass diese Willkur, so wie der äquivalente Charakter beider Axen selbst jedenfalls aufhört, wenn nicht eine ab- solute Gleichwerthigkeit der beiden Hälften einer je- den krystallographischen Axe Statt findet, weil durch die Yertausdiung der Zwillingsaxe alle Mal ejne Aen- derung in der Lage jener Axen herbeigeführt wird, indem entweder je zwei derselben ihre SleUe gänz- lich vertauschen, oder doch die einzelen die Lage ih- rer Pole umkehren. Diese Umkehrung der Pole hat zumal für die Zwillinge gewisser hemiSdrischer Formen die Folge, dass sich nur eine von den beiden, für ho- loedrische Formen äquivalenten Linien als ihre Zwil- lingsaxe betrachten lässt, weil die andre nicht mehr genau dasselbe Resultat liefern würde.
§. 563. Verbiodongsgesetz der ZwUIingskrystalle.
Die Eigenthümlichkeit eines Zwillingskrystalles wird jedoch mit der Angabe des Stellungsgesetzes al- lein keinesweges erschöpft; vielmehr wird dazu noch die Angabe des Verbindungsgesetzes erfordert. Die Individuen eines Zwillinges sind nämlich mit einan- ander entweder durch Juxtaposition oder durch Penetration verbunden, d. h. sie sind entweder nur an einander oder durch einander gewachst. Die regelmässigste Erscheinungsweise der Zwillinge pflegt diejenige zu seyn, da beide Individuen (bei übri- gens gleichen Gestalten und Dimensionen) entweder
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Zuniüngsirystalle. Cap. L 207
durch yollkommene Juxtapositionoder durch Tollkom- mene Penetration verbunden sind. Int ersteren Falle berühren sie sich entweder in derjenigen Krystall* fläche, welche auf der Zwillingsaxe normal ist, oder in einer von denjenigen KrystaUflächen , welche der- selben Axe parallel sind; im letzteren Falle sind beide Individuen um einen gemeinschaftlichen MittelpuncI ausgebildet; sie durchdringen sich gegenseitig nach allen Richtungen und stellen eine förmliche Decus- sation oder regelmässige Durchkreuzung dar. Wie- wohl nun beide Fälle in der Natur sehr häufig vor- kommen, so finden sich doch nichr minder häufig andre YorkomuUlisse, welche weder dem einen, noch dem andern Falle entsprechen, und daher unter den besondemFall einer partiellen Penetration ge- hören, indem die Individuen in der Richtung der Zwil- lingsaxe oder einer ihrer Normalen nur mehr oder weniger in einander geschoben sind, so dass ein theil- weises Eingreifen und eine theil weise Absonderung zugleich Statt findet.
Für den FaU einer vollkommenen Juxtaposition lassen sich übrigens die Zwillinge sehr anschaulich nach der Mohs'schen Formel beschreiben, indem man diejenige Fläche, in welcher sich beide Individuen be- rühren, als die Zusammensetzungsfläche^ und diejenige Linie, um welche das eine Individuum ge- gen das andere verdreht ist, als die Umdrehungs- axe bez^hnet.
§. 563 a. Verkürzung der IndiTidaen.
Eine sehr häufig vorkommende Ersdieinung in den ZwiUingskrystallen ist es, dass die einzelen In- dividuen in der Richtung der ZwiUingsaxe bedeutend verkürzt, oder viel weniger aut^edehnt sind, als nach andern Richtungen« Diese Verkürzung geht oft so
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208 Angewandte Krystallographie.
weit, dass x. B. die vielaxigei) Krystalle, welche doch eigentlich nach^allen Richtungen ziemlich gleiche, oder die einaxigen Krystalle, welche nach einer Richtung sehr Torherrschende Ausdehnung haben,' oft nur ta- felartig erscheinen, indem die beiden, auf der Zwil- lingsaxe senkrechten Flächen oder Flächensysteme sehr Torherrschend, die übrigen Fläckcän aber sehr untergeordnet ausgebildet sind.
Hierher gehört auch der häufig vorkommende Fall, dass beide Indltidueii-^ie symmetrischen Hälf- ten eines einzigen IndiVidtJums darstellen, indem die Yerkfirzung in d^r Art Statt fand, dass die einander zugekehrten Hälften der Individuen verdrängt wurden* Die Zwillinge erhalten dadurch ganz das Ansehen, alii ob ein einziges Individuum der Znsammensetzungsfläche parallel in zwei Hälften zerschnitten, und die eine Hälfte gegen die andere um 180*^ verdreht worden wäre. Diesen Zwillingen insbesondere entsprechen die Hauyschen Ausdrücke Hemitropie und Trans- position.
f. 564.
,, Wiederholte Zwillingsbildiuig.
Die Zwillingsbildung kann entweder ohne oder mit Wiederholung Statt finden, in welchen letzteren Falle die Drillings-, Yierlingiikrystalle u. s. w. ent- stehen. Diese Wiederholung liefert jedoch sehr ver- schiedene Resultate, je nachdem sie mit durchgän- gig parallelen oder mit geneigten Zusammen- setznngsflächen eintritt. •Es.sey z. B. ABCDj Fig. 603, der Querschnitt eines rhombischen Prismas ocP, mit welchem ein zweites Prisma durch Juxtapositioa nach dem Gesetze verbunden ist, dass die Zwillings- axe normal, die Zusammensetzungsfläche parallel ei- ner Fläche von ooP\ ist nun mit diesem zweiten In- dividuum ein drittes Individuum dergestalt verbunden.
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ZwüUngOirystalle. Cap. I. 209
Atts die Znaammensetrangsfiftche toh II und m der ZnsaninieiisetiQngsfläche Ton I und II parallel ist, so findet die Wiederfaolang mit durchgängig parallelen Znsammenietsungsflächen Statt, und es könnte sich auf ähnliche Weise ein viertes, fünftes^ sechstes In- diTiduum anschliessen, weil die Wiederholung in die* sem Falle ohne Gränzen Statt finden kann. Ist dagegen das Individuum III mit dem Individuo II so Terbunden wie in Fig. 604 oder Fig. 605,' so ist. zwar in dem Stellungsgesetze je zweier Individuen nichts geändert, allein die successiven Zusammensetzung^* flächen sind nicht parallel, sondern geneigt; auch könnte sich in Fig. 604 noch ein viertes und fünftes Individuum zu den bereits vorhandenen gesellen, aber man sieht leicht, dass diese Art der Wiederholung ihre nothwendige Gränze erreicht, sobald eine gewisse Anzahl von Individuen beisammen ist. Es entstehen nämlich, bei fortgesetzter Wiederholung, in sich selbst zurücklaufende Gruppen von Individuen^ and die Zahl der möglichen ganzen Individuen ist
, wenn U) der an der Gruppirungsaxe in A lie-
gende Kantenwinkel der Prismen ist. Wird diese Zahl erfällt, so bleibt entweder ein leerer Zwischen- raum zwischen dem ersten und letzten Individuum, welcher dann gewöhnlich durch die fortsetzende Masse derselben ausgefüllt wird; oder das überzählig hinzu- tretende Individuum ist nur unvollständig ausgebildet, ond durchkreuzt oder umschliesst zum Theil das er- ste Individuum.
§. 665. Fortsetzung. Die Wiederholung mit geneigten Zasanmiensetzungs- flächen und diejenige mit parallelen Zusammensetzungs-
n. 14
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210 Angewandte KryataUographie.
flächen finden bisweflen sugleiek Statt. Gilt s. B. fSr das Prisma ABCD^ Fig. 606, dasselbe Gesetz der Zwil- lingsbildang wie im Torhergehenden §., so kann sieh an jede der Tier Flächen des Prismas ein anderes an- legen, so dass ABCD gleichsam den Trager oder das centrale Individnum der ganzen Gruppe bitdet, welche einen sehr symmetrischen Fünflingskrystall darstellt, in dem alle drei, in den Figg. 603, 601 und 605 ab- gebildeten Yerbindungsarten zugleich Torhanden sind. Noch anfEallender wird diese Art der Wiederholung, wenn die Zwillingsaxe nicht die Noimale eines Pris- mas, sondern die einer geschlossenen Gestalt, wie z. B. einer Pyramide oder eines RhomboSders iit.
Ueberhanpt also sind folgende Arten der Wie- derholung zu unterscheiden: sie findet Statt
a) mit durchgängig parallelen Zusammensetzungs- flächen; reihenartige Bildung;
b) mit durchgängig geneigten Zusammensetrangs- flächen; kreisartige Bildung;
c) mit parallelen und geneigten Zusammensetzungs- flächen; symmetrische Bildung.
Uebrigens versteht es sich von selbst, dass die Wiederholung mit geneigten Znsammensetzungsfiächea nur dann möglich ist, wenn die Zwillingsaxe einer solchen Gestalt oder Theilgestalt entspricht, welche mehr als ein Flächenpaar besitzt. Aus diesem Grunde ist sie auch z. B. in den Krystallreihen des triklitto€- drischen Systemes ganz unmöglich. Endlich ist sa bemerken, dass die in $. 563 erwähnte YerkürzttBg der Individuen bei der Wiederholung mit parallelen Zusammensetzungsflächen besonders auffallend zu seyn pflegt, Indem zumal die mittleren Individuen oft nur als mehr oder weniger dünne Lamellen erscheinen, welche zwischM die äusseren Individuen eingescho- ben sind. .
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Zmllingatrystalle. Cap. If. 211
i Öß6.
TenniA^lo^ der ZwUtmge.
Wir nennen die Kapt^n and Ecke, in welchen sich die Flächen der beiden IndiTidoen eines Zwil- linges schneiden, Zwillingskanten und Zwil- lingsecke. Bisweilen fallen zwei gleichnamige Flä- chen beider Individuen so genau in eine Ebene, dass man durchaus keine Absonderung wahrziinehmen ver- mag, wenn nicht Streifungen pder sonstige Verhält« nisse ein Anhalten geben ; di^ Linie, in welcher beide Individuen ßneinan^^ratossen , und welche eine solphe fläche in zwei Hälften theilt, von welchen die eine dem einen, die andre dem andern Individuo angehört, nennen wir dieDemarcationslinie der Individuen. Die Gränze der beiden Individuen eines Zwillinges kann daher auf der Oberfläche des Krystalles ent- weder durch Zwillingskanten oder durch Demarca- tionslinien, oder durch beide zugleich bezeichnet seyn. Die Zwillingkanten sind theils ausspringend, theils einspringend (§. 3^), und einspringende Kanten über- haupt ein Merkmal der Zusammensetzung, weil der- gleichen an den Gestalten der Individuen nicht vor- kommen kpiuien.
Zweites Capitel. Zwillinge des Tesseralsystemes.
A. Theorie.
§. 667. Oooqi^^iycbe B«sieiifl96«ii zwisdi^n den H^vptamP M4<^ \^,
Wettn wirklich das in f. 561 nusgMprochmi^ €faBr setz der Zwilliagabildung überhaupt zum Gnuide liegt,
14*
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212 Angeivandie KrystaUographie.
so werden wir, um die Theorie der Zwillingsbildang für das Tesseralsystem insbesondere in ihrer grossten AUgemeinheit zn ejitwickeln , von der Voraussetzung ausgehen müssen, die Zwillingsaxe sey die Flächen- normale irgend eines He^akisoktaSders mOn. Wir denken beide Individuen um einen gemeinschaftlichen Mittelpunct, von gleichen Hauptaxen, und das eine gegen das andere um die Zwillingsaxe durch 180^ verdreht. Das nächste und wichtigste Problem ist nun, die Hauptaxen des einen Individuums 11 in Be- zug auf die Hauptaxen des andern Individuums I aus- zudrücken, oder dieselben als Linien darzustellen, welche uns in dem Axensysteme des Individuums I gegeben sind.
Die Zwillingsaxe falle in den Octanten der po- sitiven Halbaxen von t, und sey die Normale der Fläche
^ + iL + , = i m n
so werden ihre Gleichungen:
n m ' m ^ n
und ihre Neigungswinkel JT, Y und Z zu den Axen der or, y und z bestimmen sich durch folgende Cosinus
co,X=^, eo#F=^, *o#^=^
wenn
Da die Drehung des Individuums 11 genau durch 180^ Statt fand, so liegt noch jede Hauptaxe von 11 in der Ebene durch die gleichnamige Hauptaxe von I und durch die Zwillingsaxe; hieraus folgt, dass für jede der Axen von II eine der Projectionsgleichungen der Zwillingsaxe gilt; bezeichnen wir sie daher als die Axen der x^^ y' und z\ so wird zuvörderst
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Zufillingsirystalle. Cap.IL 213
für Axe der ^ y =0
• -/■ ^ ;i^-* = «
. . . z' ^_X=0
II M
Ferner bildet jede der Hanptaxen von 11 mit der Zwillingsaxe denselben Winkel wie die gleichnamige Haaptaxe von I; fuhrt man also for jede derselben eine zweite Gleichung mit den hypothetischen Para- metern a xmAß ein, so findet man nach bekannten Re- geln die Werthe Ton com 27, cot V und co$ Z\ wie «.B.
C9$X = ^^ -1— : n. s. w.
and erhält ans den Bedingungsgleichnngen
conX' = dof JT
CM y = co# F
cotZ' = coiZ das Yerhältniss der Grossen a nnd /?. Anf diese Art gelangt man endlich auf folgende Gleichungen der Axen des Individuums II in Bezug auf die Axen des Individuums I:
Gleichungen der Axe der a/y
^ + ^ = 0
m'^n^ +m^—n* ' 2«iii
y- ± =0 Gleichungen der Axe der y^,
1- — X =0
«I
Gkichnngen der Axe der z\
£. _ iL n «1
= 0
. ^ ^ = 0
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214 Angeipandte KryMtdllographie.
Man darf nur in diesen Gleichungen für m und n die, irgend einem besondem Falle entsprechenden, na- merischen Werthe snbstitoiren, um sie diesem Falle XU accomodiren.
S. 568. En4es ZwiltinfesgesetB.
Bis jetzt sind im Tesseralsysteme nur folgende
zwei Stellungsgesett« bestimmt nachgewiesen Worden x
i) Die ZwiUingsnxe ist eine der trigonalen Zwi-
«ohenaxen. 2) IKe ZwillingHäxe ist eine det rhombischen Zwi* schenaxen. Wir wollen nun luvSrderst das erste Gesetz ge- nauer in Betrachtung ziehen.
Da die trigonalen Zwischenaxen die Flächennor- malen des Okta6deri sind^ dessen eine Fläche durch die Gleichung
^ + y + z i= 1 repräsentirt wird, so setzen wir in unsern Gleichun- gen für die Axen des Individuums II
m = n = 1 und erhalten dann folgende Gleichungen für diese Axen:
für die Axe der ar' w + -|-=0, y — z ==0 (1)
- - . . jr....|-+y =0,^-2^=0(2)
- - - - a:'.... ir — ^ «0, « + -J äO (3)
Diese drei Systeme von Gleichungen entsprechen aber den Normalen der flScheti
^ + 3.-1=1
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Zmamg9hry»talle. Cap.II. 215
weleke drei flächen dei TriakiioktaSders 20 sind; folglich fallen bei diesem Zwillingsgesetze dieHauptaxen des einen IndiTiduums in die Normalen dreier Flächen Ton20 des andern Individunms nnd x^ice vena; oder die HexaSderflä- dien des einen Individuums sind dreien Flächen von 20 -am andern Individno parallel.
8. 669. TraiiafNnnaüoB der Coordinaten des Indiyidaimu II.
Wir wollen mm anoh die Zwischenaxen des In- diridnoms II in Bezug auf das Axensystem des Indi- vidmims I fixiren. Dazu gelangen wir am leichtesten mittels der bekannten ISätze über die Transformation der Coordinaten. Die analytische Geometrie lehrt näm- Heh, dass, wenn wir eine m Bezug auf das Axen- system U gegebene Gleichung so darstellen wollen, wie sie sich auf das Axensystem I bezieht,^ für die Coordinaten 07% y^ und z^ in der gegebenen Gleichung folgende Werthe substitnirt werden müssen: ^a^^xeoi(X'X) + yco$(X'Y) + zc9t{XZ) y'= ^cof(r X) + y cof(y'F) + 2:co#(F'Z) 7f = xcoi{Z'X) +ycot(Z'Y) +zcoi{Z'Z) wenn (JPJT), {X'Y), (X'Z) die Neigungswinkel der Axe der x^ gegen die Axen der x^ der y, der z u. s. w. Da nun allgemein für eine durch die Gleichungen
aß Y 0
b«8tiBimte Linie die Cosinni der Neigungawink^ X, . Y und Z gegen die Axen folgende sind,
— aS ^ ßS „ va
so werden in anserm Falle
eot{XrX) = - -J- , cotiX F) = I , eot{X'Z) = i co$(Y'X)= ^, co«(rF) = — f, eoi(rZ)^ i eosiZ'X)»z> \,cQt{Z'Y)= ^,eoi(Z'Z)^-\
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216 Angewandte KrystaUograp/üe.
und daher die zu sobstitoirenden Werthe der C!oordi- naten js'y y' und z'. folgende:
x' = i{— x + 2s + 2z)
y = i(2a —i/+2z)
z' = i(2j; +2^- z)
8. 570. Gleichungen der rhombischen Zwischenaxen des Indiyidaams IL
Nachdem wir die Transformation der Coordina- ten des Individuums II kennen gelernt, ist es ein sehr leichtes Geschäft, die Gleichungen aller möglichen Linien und Flächen dieses Individuums auf das Axen* System des Individuums I zu beziehen. Was nun zu- vörderst die rhombischen Zwischenaxen desselben be- trifft, so werden solche, auf sein eigenes Axensystem bezogen, durch folgende Gleichungen repräsentirt: Axen in der Ebene jV, .... 07^ = 0, y'i2;' = 0
zV, ....^^=0, z'+ar'=0
j//j z'=0, 4r' + y' = 0
Substituirt man fiir a?^ y^ und 3/ ihre aus dem vorhergehenden §. bekannten Werthe, so erhält man folgende transformirte, d. h. auf das Axensystem des Individuums I bezogene Gleichungen dieser Zwischen- axen *
lx= 0 » y+ z=0(4) AxeninderEbene/z'.... |__^^jj^ z-J=0 (5)
jy= 0 , z+ar==0(6) ^^-||-_Z=0.;r-f=0(7)
Jz= 0 , «r+y=0(8) *y •}|-^0,5f-i=0(9)
Die Gleichungen (4) , (6) und (8) sind keine an- deren, als die Gleichungen dreier rhombischer Zwi- schenaxen des Individuums I; folglich müssen drei
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Zwülingskrystalle. Cap. IL 217
dieser Zwischenaxen des einen mit dreien des an- dern IndiTiduoms, oder die sechs der Zwilliagsaxe par- allden Flächen des Rhombendodekaeders in beiden Individuen coincidiren.
Die Gleichungen (5), (7) und (9) sind keine an- deren, ats di« Gleichungen dreier Flächennormalea der Gestalt 404 ; folglich werden die sechs gegen die Zwiüingsaxß geneigten Flächen des Bhombendodeka^- ders im einen Individuo den sechs, an den Polen der- selben Zwillingsaxe gelegenen Flächen des JDcosite- tra6ders 404 im andern Indiyiduo parallel, und vice versa.
§. 571.
I GleichoDgen der trigonalen Zivischenazen des IndiTidaimis IL
I Die Gleichungen der trigonalen Zwischenaxen des
Individuums U sind, auf sein eigenes Ax^nsystem be- zogen, folgende:
a/ — y' = Oj 2^ — ;i/ = 0, y' — z' = 0 a/—y'=zO, z' + a;' = Oy y'-|-z' = 0 aZ + ff'z^Oj z' — ^' = 0,Y + ^ = 0 a/ + f = Oy z' + j/ = Oy y' — z'^O Sabstituirt man für w\ rf und z' ihre Werthe aus §. 569, so erhält man folgende transformirte, d. h. auf das Axensystem des Individuums I bezogene Glei- chungen dieser Zwischenaxen :
X — y =0, z— X =0, y — z =0 (10)
a;-y =0, 4;-|.y = 0, y4.-|- = 0(ll) 4r-|.|.=0, 2:-^=0, 1-4- 2? =0(12) :J-|.y=0, z + ^ = 0, y-z=0(13)
Die Gleichungen (10) sind keine anderen, als die- jenigen der in den Octanten der positiven Halbaxen fallenden trigonalen Zwischenaxe des Individuums I ;
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218 Angewuhdte KrysiallograpMe.
eine UigMiale Zwischenaxe des einen coincidirt also nit einer trigonalen Zwischenaxe des andern Indivi- duans, wie dies schon darch das Zwillingsgesetz selbst ausgesprochen ist, da ja die Zwillingsaxe eine der trigonaleki Zwischenaxen ist.
Die Glmehangen (11), 12) und (13) dagegen ent- sprechen den Flächenttormden dreier Flächen des Iko- sitetral^ders 505, woraus denn folgt , dass sechs Ok- taederflächen an dem einen Ladividuo sechs Flächen von 505 an dem andern Individno parallel «And.
8, 672. Gleichling irgend einer Fläche des IndiyidunmB IL
Die in den beiden vorhergehenden §$. gelösten Probleme lassen sich von einem allgemeineren Ge- sichtsptmcte anflEassen. Weil nämlich die Hanptaxen nnd Zwischenaxen nichts anderes sind als die Nor- malen der Flächen von <x>Ox>, ocO tmdO, nnd weil diede Flächen in jedem, nach dem ersten Gesetze ge- bildeten ZwHlinge gewissen Flächen anderer, reel-. 1er, und nicht blos imaginärer*) Gestalten parallel werden, so wäre es woU möglich, dass in diesen Zwilfogen die Flächen einer jeden Gestalt siO» des -einen Indiridwuns überhaupt den Flächen irgend an- derer Gestalten des zweiten Individuums parallel wür- den. Hierüber lässt sich leidit entscheiden. Es sey nämlich am ]bdividuo 11 irgend eine Fläche in Bezug auf sein eigenes Axensystem durch die Gleichung
m n gegeben. Man substituire nun für o;^, jf^ und z^ ihre Werthe aus §. 569, so erhält man die transformirte.
*) imaginär lind aoldhe Gestaken, deren AbkitongsnUeB ir- mtioma find.
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Zi0Ülmg8kry8Udle. Cap.II. 219
d. 1l in Bezug auf das Axensystem I ausgedruckte, Gleichung derselben Fläche, wie folgt:
JEr(2Mit+2M--]t)4-y(2ifiJi4-2»— »»)+<2«»+2ii~ms>».8«iji welche jedenfalls einer reellen Fläche entspricht, wie auch die Vorzeichen von m und n gewählt, und wie auch die Co^fßcienten von or, y und 7i vertauscht wer- den mögen, d. h. mit andern Worten: welches Ton den 24 Gegenfläohenpaaren der Gestalt mOn am In* diTiduo n auf das Axensystem des IndiTidnums I be- zogen werden mag.
Es ist daher ein allgemeines Gesetz dieser Zwil- linge, dass jede Krystallfläche des einen Individuums einer reellen (ob ausgebildet oder nicht, ist gleich- gültig) Fläche des zweiten Individuums parallel ist, und vice versa*).
*) ^ «fl f&r die AnijrMidiiBg 4Set6r Reraltate bei der Barech- ■mag der Zwifiinfilcsflten -■• dgi. leltf wichtig iit, mdit nur die Grösse, sondern anch die Lage der Parameter za kernen, wel- die die Paralielflache irgend einer gegebenen Fläche des Indivi- dmuis n bestimmen; so seheint es zweckmässiger, die gegebene Gleichzog allgemeiner, etwa in der Form
fl + ^+Ü^i
a b e
ZQ Grande zu legen, worauf sidi in der Gleichung der Paralld- fläche
P q 9 die Parameter p, q und s bestimmen« wie folgt:
8abe ^ "*■ 2a6 H- 2ca — be
8abc ^ "^ 2^c + 206 — ca
8abe
"" tea'+Ue-^mb
Snbstitidrt man fOr «, & und e ae, dner gegebenei Fläche
des ladiyiduttits H entsprechenden Parameter, mit gehöriger Be-
rü^uidrtigang der Vorzeichen , so erhält m&n die Werthe Ton p,
q mid $ mit unzweideutiger Bestimmung ihrer Lage In den positi-
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220 Angewandte Krystallographie.
8. 573. Parallelfladieii yon mO».
Führt man die im vorigen §. angedeutete Yer- tauschung der Zeichen durch, so erhidt man folgen- des Resultat:
Die Flächen irgend eines Hexakisoktae-
ders mOn am einen Individuo sind zu je
sechs deuFlächen vierer Hexakisokta6-
der am andern Individuo parallel.
Diese vier sechszähligen Flächeninbegriffe vonmOit,
und die ihnen im andern Individuo entsprechenden
vier HexakisoktaSder bestinmien sich auf folgende
Weise*):
' a) Der erste Flächeninbegriff ist dasjenige sechs- zählige Flächensystem, welches mit der Zwil- lingsaxe unmittelbar zum Durchschnitte kommt, oder in dem Octanten der positiven Halbaxen liegt; seinen Flächen sind sechs Flächen des HexakisoktaSders
Iren oder negativen Halbaxen der x, y und z. Für den Octanten der Zwillingsaxe z. B. sind a, b nnd c jedenfalls positiv , und ihre den sechs verschiedenen Flächen dieses Octanten entspredienden Wecthe folgende:
|
a |
b |
c |
|
|
Iste Flache |
m |
n |
1 |
|
2tc - - |
m |
l |
» |
|
Ste - - |
n |
m |
1 |
|
4t6 - - |
n |
1 |
m |
|
6to . - |
1 |
m |
^ n |
|
6te - - |
1 |
n |
m |
Für den einen Nebenoctanteu ist «» für den sw^ten b', und für den dritten c nega^v zu nehmen.
*) Die vier Flädieninbegrifie entsprechen den vier Skalenoe- don, als deren Combination das Hexakisoktaeder erscheint, vrenn es nach der ZvrilHngsaxe aufrecht gestellt vnrd^ vergl. den Anhang zur reinen Krystallographie.
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Zmllingskrystalle. Cap.II. 221
2mm + 2m — ii^2aim + 2m — n 2m + 2n — «n 2mn + 2» — m im andera Indiyiduo parallel.
b) Der zweite FlächeiiinbegrijBr begreift diejenigen sechs Flächen aus den drei Nebenoctanten, wel- che mit dem ersten FlächeninbegriSe znm Durch- schnitte kommen, oder die ersten Nebenflächen der Flächen tub a; seinen Flächen sind sechs Flächen des Hexakisokta^ers
2mn + 2m + n^2mn + 2m + n 2Mn — 2» — m mn + 2n — 2m im andern IndiTiduo paralleL
c) Der dritte FlächeninbegrijBf begreift die Neben- flächen der Flächen tub b, oder die zweiten Nebenflächen der Flächen $ub a; seinen Flächen sind sechs Flächen des Hexi^kisokta6ders
2mn + 2» -h m^2mn + 2n + m 2mn — 2m — n mm + 2m — 2n im andern Individuo parallel.
d) Der vierte FlächeninbegrüBT endlich begreift die noch jibrigen Flächen aus den N^benoctanten des ersten, oder die dritten Nebenflächen der Flächen tub a; seinen Flächen sind sechs Flä- chen des Hexakisoktaäders
mn + 2m + 2n^mn + 2m 4- 2n 2mn + n — 2m 2mn + m — 2» im andern Individuo parallel.
§. 674. Parallelflächen von siOsi.
Setzt man n = mj so verwandelt sich das Hexa-
kisokta^der in ein Ikositetraßder, und die vier Flä-
cheninbegrifie des vorigen §. modificiren sich wie folgt:
1) Der erste Flächeninbegriff wird dreizählig, und
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222 Angewcaidte Krystaüograpfüe.
jede seiner Fläcben einer Fläclie des Triakis-
okta^d^rs
2m±i
im andern Individfio parallel; ist daher « = 4, so werden die drei um die ZwiUingsaxe gelege- nen Flächen ¥on404 des einen Individuoms den drei analog liegenden Flächen von oqO des an- dern parallel; ist «i^4, so werden die drei an der ZwiUingsaxe gelegenen Fläphen von mOm denjenigen Flächen des TriakisoktaSders paral- lel, welche ihrer Lage nach dem zweiten Inbe- griffe des vorigen §. entsprechen.
2) Der zweite und dritte Flächeninbegriff fallen zu- sammen, nnd bilden den sechszähligen Inbegriff der Nebenflächen der drei vorhergehenden; die- sen Flächen sind im Allgemeinen sechs Flächen des Hexakisokta^ders
2m + 3q2i» -h 3
2m — 3 m parallel, in dessen Zeichen jedoch die CoSffi- cienten zu vertimschen sind, wenn «i^S; ist «I SS 3, oder »Oft ac= 303, so wird auch die xweitid Gestalt sss 303; ein Resultat, welches mit der in §. 136 erwiluttea Eigensehafi; des Tri-
gondodekaSders — ^ zusammenhängt, dass seine
sechsflächigen Ecke faexagonal sind.
3) Der vierte Flächeninbegriff des vorigen 9« wird wiederum dreizählig, und besteht aus den drei Nebenflächen des vorhergehenden sechszähligen Inbegriffs ; seine Flächen werden parallel dreien Flächen
des IkositetraSders ^ ■ ^O^ .^ wenn m^ 5 2m — 1 2«» — 1
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ZudUingatrystalle. Cap. IL 223
des Oktaeders O, wenn « = 6
des TriakisoktaSders T-:rO* - - tn>5
«• + 4 ' ^
*. 575. Parallelflächen von mO.
Setzt man i» =r 1 , so verwandelt sich das Hexa- kisoktaeder in ein Triakisokta^der, und die vierFlä- cbenimbegriffe der ersteren Gestalt modificiren sich, wie folgt:
1) Der erste Inbegriff wird dreizählig, and seine Flächen entsprechen dreien Flächen des Ikosi- tetra^ders
m+2^m+2 im andern Individao.
2) Der zweite Flächeninbegriff von mOn wird eben- falls dreizäblig, nnd begreift die drei Nebenflä- chen der Torhergehenden ; diese werclen dreien Flächen des Ikositetraßders
4«t + 1^4^ + 1
« — 2 «1 — 2 im ^andern Individuo parallel; ist also m=2j so entsprechen die erwähnten Flächen von I dreien HexaSderflächen von II, und vice versa.
3) Der dritte und vierte Inbegriff des Hexakisok- taSders bilden gemeinschaftlich einen einzigen sechszähligen Flächeninbegriff des TriakisoktaS- ders, nämlich denjenigen, dessen Flächen die Nebenflächen der drei vorhergehenden sind^ ih- nen werden sechs Flächen des HexakisoktaSders
im andern Individuo parallel.
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224 Angcivandte KrystaUographie. i 576.
Parallelfläch«o Ton ooOn.
Wird «I = oo, so verwandelt sich das Hexakis- oktaSder in das Tetrakishexaeder ,.nnd die vier Flä- cheninbegriffe der erstem Gestalt modLGciren sich, wie folgt:
1) Der erste nnd zweite Inbegriff von mOn fallen znsauimen, nnd bilden den an der Zwillingsaxe gelegenen sechszähligen Flächeninbegriff von ooOn; seinen Flächen sind sechs Flächen des HexakisoktaSders
2(n+t)o?(«+l) "» — 2 211 — 1
parallel^ welches für i» = 2 wiedemm in das TetrakishexaSder oo02 übergeht; dieses Resul- tat hängt mit der bekannten Eigenschaft dieser Gestalt znsammen, dass ihre Kanten gleiches Winkelmaass haben, nnd folglich ihre sechsflä- chigen Ecke hexagonal sind.
2) Der dritte Flächeninbegriff von mOn entspricht einem einzigen sechszähligen Inbegriffe von ooOji, nämlich demjenigen, dessen Flächen die Nebenflächen der vorhergehenden sind; ihnen werden sechs Flächen des Hexakisoktaöders
2i»-hl^j2ii-hl
2{n — i)^n + 2 parallel, dessen Coßfficienten für ii>>4 vertauscht werden müssen, während es für » = 4 in das Ikositetraäder
übergeht.
Der vierte Flächeninbegriff von mOn entspricht in ocO» den Parallelflächen des dritten Inbe- griffes, und giebt daher kein besonderes Resultat.
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ZwUlingsirysialle. Cap. IL 225
8. 577.
Bereohntmg der ZwilHngduuiten. Dia ZwilUngskaDten lassen sich mm sowohl ihrer Lage als ihrem Winkelmäasse nach leicht bestimmen, da wir wissen, dass es für jede Fläche am einen In- dividuo irgend eine reelle Fläche am anderen Indivi- dno gieht, welche ihr parallel ist Soll nämlich ir- gend eine Zwillingskante berechnet werden, so be- stimmt man zuvörderst die Gleichung der einen Flä- che (des IndiTidnnms I) unmittelbar aus ihrem kry- stallographischen Zeichen; die Gleichung der «weiten Fläche (des IndiTiduums II) bestimmt man vorläufig g^eichfiBUs aus ihrem krystallographischen Zeichen in Bezug auf das Axensystem II, transformirt sie aber hierauf und reducirt sie dadurch auf dasAxensysteml. Nun lassen sich die Gleichungen beider Flächen nach den bekannten Regeln der analytischen Geometrie eombiniren, und sowohl die Lage der Zwillingskante als auch ihre Länge, ihr Winkelmaass und alles Uebrige berechnen, was man elewa zu wissen wünscht*)«
§. 678. Zweites Zwillingsgesetz.
Das zweite Zwillingsgesetz (§. 568) setzt voraus, dass die Zwillingsaxe eine der rhombischen Zwischenaxen, oder eine Flächennormale von ooO ist; setzt man in den Gleichungen der Axen der a;\ ff^ und z^ des §. 567
m = oo und n = t so erhalten sie folgende Werthe:
Axe der or', . . • . y = 0, 2: = 0
- - jf', ....4r=± 0, y2= 0
- - z% AT = 0, z = 0
*) Welchen Vortli^ die Resultate der Theorie f&r die Zeich- aasg der Zwflüagskrjstalle gew&hren« sowohl in diesem als aach bcsonderi in den ikbrigen Krystallsystemen , wird Jedem einleocb- t«B, der neb mit Z^dimmgen der Art beschäftigt hat
a 15
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226^ Angewandte lüystaUographie.
Folglich Goincidiren die Hanptaxen beider Individuell, jedoch 80, dass die eine ihre Pole, und die andern beiden ihre Lage Tertamcht haben» Für holo^driHche Gestalten nnd CombinatioDen , in welchen um jede einzde Hanptaxe eine voUkonunene Symmetrie nach der Richtong beider andern Hanptaxen Statt findet, giebt daher dieses Stellnngsgesets gar kein Resultat^ weil das eine Individnnm mit dem andern in allen seinen Theilen coincidiren, und folglich ein durchgän- giger Parallelismus der Axen sowohl als der Flächen Statt finden würde, wodurch der Begriff des Zwillings-* krystalles au%ehoben ist. Um so wichtiger wird die- ses Gesetz für die semitesseralen Formen, deren Zwil- linge grosstentheils nach ihm gebildet sind, und das Resultat geben, dass sich beide Individuen genau in degenigen Stellung befinden, in welcher -sie als he- mi^drische Complemente oder Gegenkörper aus einer und derselben holoedrischen Crestalt abzuleiten sind, daher man denn auch das aweite allgemeine Gesetz in §. 661 geltend machen kann.
Wie dieHauptaxen so coincidiren natürlich. auch 4ie beiderlei Zwischenaxen, wiewohl auch sie ihre Lage oder doch die Lage ihrer Pole yertauschen. Das- selbe gilt Ton den Flächennormalen aller möglichen Gestalten; nur werden in den Zwillingen parallelfla- chig-semitesseraler Formen die flächentragenden* Nor- malen des einen Individuums mit den nicht fiächen- tragenden Normalen des andern, in den Zwillingen geneigtflächig -semitesseraler Formen dagegen die fiä- chentragenden Hälften der Normalen des einen In- dividuums mit den nicht flächentragenden Hälften der Normalen des andern coincidiren, und vice versa.
Bei dem gewöhnlich Statt findenden Falle einer vollkommenen Durchkreuzung sind die Zwillingskaii-. ten in den geneigtflächig - semitesseralen ZwUlingeA ihrer Lage und Grösse nach identisch, ihrem Win«
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ZisdUmgskrystalle. Cap. IL 227
kelmaasse naeh rappUmentttr mit danjeiiigen Kanten der resp. holoidrifcben Gestalt oder Combination, welche in die normalen Haaptichnitte fallen; in den parallelflächig -semiteaseralen ZwiUingen dagegen ih- rer Lage und Grdiie nach identiich, ihrem Winkel- maasse nach supplementär mit demjenigen Kanten der resp. holoedrischen Gestalt oder Combination, welche in die diagonalen Hauptschnitte fallen (§.71). Das Netz der Zwillingskanten ist also allgemein in dem
mOift Zwillinge 2--^ identisch mit dem Netze der Kan- ten By in dem Zwillinge SJ— 77- 1 dagegen identisch aut dem Netze der Kanten A und C in mOu.
8. 578 a. Andere Zwillingsgeaetze.
Ganz kürzlich hat Burhenne auf das Daseyn vie- ler anderer Zwillingsgesetze aufinerksam gemacht, welche sich im Gebiete des Tesseralsystemes verwirk- licht finden sollen ; zugleich hat derselbe die Erschei- nung der Zwillingsbildung überhaupt auf gewisse kry- stallonomische Principien zurück^fuhren gesucht, und dadurch die Bahn zu sehr fruchtbaren Untersuchun- gen über diesen Gegenstand gebrochen^). So stellt er z. B. unter andern Gesetzen auch folgendes auf;
Die Zwillingsbildung ist allemal möglich, sobald die Hauptaxen des einen Individuums den Normalen dreier isoparametrischer flächen des andern Indivi- duums parallel sind.
Machen wir diese Bedingung für die in f. 667 ge- fondenen Gleichungen der Hauptaxen geltend, so fin-
*) Man wird daher aoner ansflilirlicheren Arbeit hierftber oiit «Bi ao gröflserem Interesse entgegen sehen, da eine solche jeden- Ms mehr Klarheit In der Barstellung gestatten wird, als die ger- dviagte 8kisze in Poggendorfißi AnnaleD.
15*
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228 Angewandte Krystailographie.
den wir in Uebereinstimmung mit Barbenne, data solche nicht nur in den beiden bekannten Fällen, son- dern auch jedenfalls erfüllt ist, wenn die Zwillings-
ax.e der Fläche eines HexakisoktaCders von der Form
I
siO ■ ^ entspricht, oder wenn sm = si + ^ dann
werden nämlich in der That die Gleichungen der drei Hauptaxen isoparametrisch, und folglich auch Ihre Normalflächen drei Flächen einer und derselben Ge- stalt, allgemein der Gestalt «Om — 1.
Ausser diesen Gesetzen sollen Jedoch auch noch die vorkommen, da di^ Hauptaxen des einen Indivi- duums in drei Linien des andern Individuums fallen, welche die Normalen der Flächen swfrier, ja sogar dreier verschiedener Gestalten sind, wenn sie nur gleiche Länge haben. Das allgemeine Gesetz aller ZwOlingsbildungen im Tesseralsysteme wäre daher, dass die Hauptaxen des einen Individuums in drei gleiohmaassige Normalen irgend reeller Flächen des andern Individuums fallen, und vice verta.
B, Beuchreibung der gewöhnUchetem Zwiüinge,
|. 679. Zwillinge nach dem ersten Gesetze.
Wenn die nach dem ersten Gesetze verwachse- nen Individuen durch Juxtaposition verbunden sind, so drückt die Mohs^sche Formel: Umdrehungsaxe nor- mal, Zusammensetzungsfläcbe parallel einer Fläche von O, den Habitus der Zwillinge so vollkommen aus, dass es zu ihrer richtigen Vorstellung keiner weite- ren Bestimmung bedarf. Auf diese Weise finden sich z. B. sehr häufig die Oktaeder des Alauns, Spinells, Magneteisenerzes, Automolithes, Silbers, Kupfers, der Zinkblende; Fig. 608. Die Individuen sind jedoch fast immer verkürzt, erscheinen daher als tafelartige Seg- mente des Oktaeders, und die Zwillinge selbst wie
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Zwillingskrystalle. Cap.IL 229
Fig. 609 und 610. Dieser Erscheinungsifeiae ent- spricht auch die Haüjsche Consfriiction, zufolge weU eher' Juan ein Oktaeder durch einen seiner Fläche parallelen Schnitt halbiren, und die eine Hälfte ge- ' gen die lindere durch 180^ oder 60^ verdrehen soll, ohne die gegenseitige Berührung Jn der Schnittfläche, aufzuheben. Wenn die Kanten des Oktaeders durch die Flächen des Rhombendodeka^ders abgestumpft sind , so fallen die zwölf, der Zwiliingsaxe parallelen Abstumpfnngsfläcfaen beider Individuen paarweis in eine Ebene. Zuweilen wiederholt sich die Zusam- mensetzung sowohl mit geneigten Zusammensetzungt- flächen, wie in Fig. 611, als auch mit parallelen Zu- sammensetzungsfiächen. Die Zwillingskanten messen 141* 3' 28*^ und 218^ 66' ^2*.
Die Hexakisokta^der des Diamantes kommen gleichfalls nach diesem Gesetze verwat^sen vor, und unterliegen dabei einer so starken Verkürzung, dass nicht selten von jedem Individuo nur eines der secbs- zähligen Flächensysteme zu sehen ist, und der ganze Krjstall das Ansehen einer flachen ditrigonalen Py- ramide gewinnt, welche, wenn ihre Pole durch die Flächen des Oktaeders abgestumpft sind, wie Fig. 607 erscheint. Doch sind gewöhnlich noch die zunächst anliegenden Flächen der Neben - und Nachbarflächen- gysteme vorhanden, wodurch sich einspringende ZwU- lingskanten ausbUden.
§. 580. Fortsetzung. Auch das am gediegenen Kupfer vorkommende, and in Flg. 612 abgebildete TetrakishexaSder cx^02 ist der Znsammensetzung nach dem ersten Gesetze un- terworfen; beide Individuen sind durch Juxtaposition verbunden und dergestalt verkürzt, dass gewöhnlich nur ihre gegenüberliegenden sechszähligen Flächensy- iteme wahrzunehmen sind; Fig. 613. Der Zwilling
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230 jingewandte KrystaUogruphie.
erhält das Ansehen einer hexagonalen Pyramide, de- ren Polkante 143^ 7' 48% weil die sechsflächigen Ecke Von oc02 hexagonal sind (§. 123). Zuweilen kommen jedoch auch einspringende Winkel vor, wodurch diese Deutung der am gediegenen Kupfer vorkommenden hexagonalen Pjiramiden gerechtfertigt wird, da sie sich ausserdem auch durch eine ^osse Verkürzung eines einzelen Individuums in der Richtung einer tri- gonalen Zwischenaxe erklären lassen würden.
Die Zinkblende zeigt diese Zusammensetzung nicht nur in den Krystallea mit zwei vorherrschen* den, und im Gleichgewichte ausgebildeten Tetraedern
f ^ .—- ^ und dann häufig mit Wiederholung), sondern
auch in den «Krystallen mit vorherrsdiendem Rhom- bendodekaßder, ja sogar in derben Massen, aus de- nen sich dann, wegen der nach ooO Statt findenden Spaltbarkeit, ZwilUngsformen wie Fig. 615 heraus- schlagen lassen. Dieselbe Form findet sich auch an den Rhombendodeka^dem des Diamantes, welche oft so stark verkürzt sind, dass die sechs der Zwillings- axe parallelen Flächen beider Individuen verschwin- den, und der Zwilling als eine stumpfe trigonale Py- ramide erscheint.
303 Die Combination ocO.-^ , welche zumal an der
braunen Zinkblende nicht selten vorkommt, ist fast immer zwillingsartig ausgebildet, so dass sie nicht wie in Fig. 616, sondern wie in Fig. 617 erscheint, indem zwei Individuen nach dem ersten Gesetze durch Jlixtaposition verbunden sind. In der Regel erscheint dieser Zwilling bOj wie ihn Fig. 617 darstellt, als scheinbar einfacher Krystall, indem das eine Indivi- duum um ij das andere um ^ verkürzt ist, daher man sich ihn am deutlichsten nadi Haüys Wei^e con- struiren kann, indem man. das in Fig. 616 abgebildete
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Zwilüngsirystalle. Cap.II. 231
ladividaiim mich der Bioktung des in einer Ebene lie* genden*) Kantennetoes «&?<ii^ sertchneidet, und dag eine Segment gegen das andere um 180"* oder 60^ verdreht
Die IkositetraSder 303 des gediegenen Goldes kommen anf ähnliche Art verwachsen , nnd in ihrer Verwachsung verkürzt vor, so dass man sich vorstel« len kann, ein und dasselbe Individuum sey parallel einer 'Fläche von O halbirt, und die eine Hälfte ge- gen die andere um 180^ oder 60^ verdreht worden; Fig. 614« Die kleineren Flächensegmente e beider In- dividuen bilden einspringende, die grösseren Flächen« Segmente a aussp ringende Winkel von löQ"" 57^
f. 581
Fortietzang.
Die nach dem ersten Gesetze gebildeten Durch- kxeuzungszwillinge lassen sich am anschaulichsten nach folgender Formel beschreiben: Beide Individuen haben eine trigonale Zwisehenaxe gemeinschaftlich, das eine ist gegen das andere um diese Axe durch S8(f oder &(f verdreht Auf diese Art kommen. Je- doch selten, die Oktaäder des Magneteisenerzes so
wie die oktaSderfthnlichen Individuen -^^ — r- der Zinkblende vor; Fig. 618.
Die Combination O.ooOoo des Bleiglanzes findet sich nicht selten in Zwillingen dieser Art, und zwar pflegt dann Jedenfalls eine starke Verkürzung der In- dividuen in der Richtung der Zwillingsaxe Statt zu finden; Ftg. U9.
Die ELeiiaäder des Flussspathes, Blei^anzes, Eisen- kieses und Buntkupferkieses kommen gleichfalls nach
*) Die CoBbinatiomkanten beider GettaHen ftind nämBch recht- ivisUig auf ^ea Kaptea 4lea Rhombeiidoilekaeders.
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232 Angewandte KrystaUograp}ue*
diesem Gesetze Terwachsen Tor{ doch tritt 4ie Regel- mässigkeit dieser ZnsammeiiSetzaiig, xamal bei an- gleichmässiger Ausbildung beider Individuen^ nidit immer sehr auffallend hervor; Fig. 620; stellt man den Krystall nach der Zwillingsaxe aufrecht, so lassen sich die einspringenden Zwillingskanten als geneigte nnd horizontale unterscheiden; jene messen 228^ lif 23^, diese 250^ 31' W.
Um so regelmässiger sind die Zwillinge der Rhom- bendodekaöder des Sodalites vomLaacher See gebil* det, welche sich im Zustande einer so voUkommeneo Durchkreuzung finden , dass sie der 2«eichttang in Fig. 621 an Regebn&ssigkeit wenig nadistehen. Dte der Zwillingsaxe parallelen Flächen beider Individuen fallen paarweis genau in eine Ebene, ohne alle An- deutung einer Demarcationslinie ,* während die gegen dieselbe Axe geneigten Flächen einspringende Zwil* lingskanten bilden; gewöhnlich ist der Ejrystall in der Richtung der Zwillingsaxe säulenartig veHängert.
EndUch kommen auch die Krystalle des Fahler- kes oder tetraSdrischen Kupferglanzes nach dem «er- sten Gesetze in gegenseitiger Durchwachsnng vor. Die einfachste Form einer solchen Durchwachsung zweier Tetraeder ist in Fig. 623 dargestellt, während Fig. 622 einen derartigen Zwilliog der Combination
O ^202 ..
-^-.ooO.-^ vorstellt.
§. 582. Zwillinge nach dem «weiten Gesetae.
Nach dem zweiten Gesetze, welches, wie bereits erwähnt wurde, nur für die semitesseralen Gestidten oder Combinationen zu einem Resultate fuhren kann, sind die schönen, zuerst von Rom6 de Tlsle erwähnten Zwillinge des hexaSdriscben Eisenkieses gebildet^ in welchen sich gewöhnlich zwei Exemplare des Penta-
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ZwüüngshryataUe. Cap. IL 233
oo02 gondodekaSders — ^, oder aach der Coiabinationea
— -*.ocOoo oder . so Tollkommea darcb-
Ireusen, daM sie in der Ersdieinong oft nur wenig ▼on der Regelmässigkeit des Bildes in Flg. 627 ab« weichen. Anf der Insel Elba findet sich anch die
Combination — ^.O.— ;r — nach demselben Gesetze der -^ 2
krenxweisoi Verwachsung sehr schön in beiden 6e- genkltepem ausgebildet; wären die Individuen von ab- solut gleichen Dimensionen, und Ton vollkommener Regelmässigkeit, so würde dieser Zwilling wie Fig. 628 erscheinen, in welcher jedoch die Flächen des Pentagondodekaäders weggelassen, und, zur deutli- cheren Unterscheidung beider Individuen, nur die dem
einen Individuo angehSrigen Flächen von —— mit einer ihrer Streifung entsprechenden Schraffirung ver- sehen sind. Werden in der Combination — ^.ocOoo
die Flächen des Hexaeders mehr vorherrschend, so erscheint der Zwilling wie in Fig. 630 mit der, durch die Schraffirung angedeuteten Streifung der HexaS- derflftchen. Diese letzteren Flächen könhen endlich so vorherrschend werden, dass sie die Flächen von
-^ fast ganz verdrängen, und der Zwilling in ein
Hexaäder übergeht, an welchem nur noch die, den Diagonalen der Flächen entsprechenden Suturen der Streijfung die zwillingsartige Zusammensetzung beur- kunden würden; Fig. 631.
Die geneigtflächig -semitesseralen Formen desDia- mantes, welche unter andern als die Combination
2-.— 5" oder — ^. — s- erscheinen, finden sich in voll-
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234 [Angewandte KrystaUographie.
kommenen Diirchkrraziuigszwilliiigeii , wie Fig. 625 und 626, deren einfachste Fonn ein Aggregat zweier sich rechtwinklig kreuzender Tetraeder ist; wie sol* ches in Fig. 624 dargestellt und am Fahlerze und Dia* mante wirklich beobachtet worden tf t.
f. 583. fiigenth&mliche ZwiUingtbildimg tm Granate.
Breithaupt hat neulich einen Zwilling am Granate beobachtet, welcher das sehr merkwürdige Gesetz zu zeigen scheint ^ dass eine trigonale Zwischenaije des einen IndiTidaums einer Hauptaxe des zweiten Indi- viduums parallel ist, und vice veria\ Fig. 629» Lei* der sind jedoch die vorhandenen Krystalle zu Mes- sungen mit dem Reflexionsgoniometer nicht geeignet; daher man wohl auch dieses Gesetz vor der Hand nur als eine wahrscheinliche Hypothese zu betrach- ten hat; um so mehr, weil es mit dem in |. 561 auf- gestellten Gesetze in Widerspruche ist
Es mfisste nämlich eine der durch ihre Gleichun- gen in §. 567 bestimmten Axen der ar% jf^ oder 7f des Indiriduums H mit einer der trigonalen Zwischen* axen des Individuums I coincidiren, deren Gleiehungea 0? — jr = 0, z~4r = 0, jf — ar=0
Nun wefden die Gleichungen der Axe der m* durch die Voraussetzungen
» = 1 und 2m^ — 1 s 3«! diezer Forderung Genüge leisten; aber dann wird M = 4(1 + ^). Da nun für « =:=: 1 das Hexakiz- Oktaeder mO» in ein TriakisoktaSder mO übergehe so würde die hypothetische ZwilUngsaxe der Flächen- normalö eines TriakisoktaSders von irrationaler Ableitungszahl entsprechen.
Aus den Gleichungen der. Axe der y^ folgt ganz dasselbe Resultat.
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ZiviUingskrystalle. Cap. IIL 235
In den Gleichungen der Axe der z' endlich tnrd obige Forderung dnrch die Voraussetzungen n =i m und «1^— 2 = 2m erf&llt; nber dann wird m = 1 + ^. Da nun für n=:m das Hexakisokta^der mOn in ein IkositetraS* der lüOsi übergeht, so würde die hypothetische Zwil-' Bngsaxe auch die Flächennormale eines IkositetraS- ders Ton irrationaler Ableitungssahl seyn können.
Da i und ^ Nähemngswerthe Ton i + ys sin^ so entspricht Tielleicht die Zwilüngsaxe der Flädten^- normale von 40 oder 40|^, ^O oder ^O^; im er* sten Falle beträgt dar Neigungswinkel der fast par^ allel erscheinenden Hauptaxe des einen und der tri- gonalen Zwischenaxe des andern IndiTidumns 1^ 8'4, im xwriten Falle (f 18^
Dritte» Capitel Zwillinge des rhombischen Systemes*).
A. Theorie.
f. 684. BuitiiiiMinf der Axtn.
Bei der Entwicklung der Theorie der Zwillings« krystalle im rhembisehen Systeme haben wir von der Annahme aoszugehen, dass die Flächennormale irgend einer rhombischen Pyrnnide von dem Y erbäkmsse der Dimensionen aibie als Zwillingsaxe auftrete.
*) Da die Theorie der ZwiÜinge des rhombischen Systemea ^ die Theorie aller triAetrisehen orthometriichen Systeme begreift, •0 hielt ich es für zweckmässige das rhosibische System dem te- tragonalea Systesie ▼oraqgehc» zu lassen.
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236 Angewandte KrystaUographie.
Es BQj nun die Gleichung einer fläche dieser Py- ramide :
a 0 * c so sind die Gleichungen der Zwillingsaxe N:
-—- — • -*— «,_ ^jj — - — «. -i*^ ^a \j^ — — •— — •— — «^ \ß 0 a a c c »
Die Neigangswinkel JT, Y and Z der Zwillings- axe gegen die Axen der x^ g und r, von welchen die erstere immer als Hanptaxe gelten soll, bestimmen
sich
^ bc ^^ ca n ob
coiX = jgj eoiY=-jf^ co#Z = ^
wa
Das aweite Individuum, dessen Axen wir als Axen äer x^i y* und z' bezeichnen wollen, coincidirt vor der Drehung mit dem ersteren, da beide um densel- ben Mittelpunct in paralleler Stellung vorausgesetzt wurden. Nach der Drehung fällt jede seiner Axen noch in die Ebene durch die Zwillingsaxe und die mit ihr gleichnamige Axe des Individuums I, also die Axe der x^ in die Ebene Nx, die Axe der y^ in die Ebene Ny, die Axe der z' in die Ebene Nz. Ferner bildet jede dieser Axen mit der Zwillingsaxe densel- ben Winkel, wie die gleichnamige Axe des Indivi- duums L Aus diesen Bedingungen ergeben sich fol- gende Gleichungen der Axen des Individumns O iii Bezug auf das Axensystem des Individuums I:
Axe der x%
» « n
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Zwilling$kry stalle. Cap. 111. 23T
Axe der y',
Axe der 2^,
,m e
& a
^ ^ + _iL. = 0
welche Gleichungen also dem allgemeinsten Gesetze entsprechen, da die Zwillingsaxe die Nonpale irgend einer Pyramidenfläche ist.
f. 585^
Transformation der Coordinaten.
Da dieses allgemeinste Gesetz in der Natur un« ter andern für gewisse Zwillinge des Staurolithes und Kupferglanzes Terwirklicht ist, so müssen wir die ihm entsprechenden Transformationen der Coordina- teo bestimmen. Dazu brauchen wir die Cosinus der Neigungswinkel der Axen der or', ff und z' de» Indi- Tiduums II9 gegen die Axen der Xy y und z des Indi- viduums!, welche wir mit (XJf), (XF), (JT^Z), (rJT) o. 8. w. bezeichnen wollen. Diese Cosinus sind fol«
gende:
a«&^ + c»g»-&^c« co${XX) = jgi-
,«.«^ 2<iJc*
eoi{rY) =: --gr- coiirZ) = --gr-
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239 jingewcmdte KrystaUographie. eo${TZ) ^ -^5-
co.iZ'Y) = H^
co${Z'Z) =s ^ ^1^
wenn oänlich
a»i» + c*a« + i*c* s= J!/»
Mittels dieser Cosinos lassen sich leicht die Sab- stitaenden der s'y y* and z' bestimmen, welche in ir- gend eine Function tfis^^if) gesetzt werden müssen, um selbige als ^{xyz) danostellen; es wird nämlich
«'= j^[— (o* J* + c*a*— i,»c»)a; + 2«ic* y + 2<ih^ci\
^=^[2aic»*— (a»«*+Ä*c»— c*a*)y+2«»icz]
z'=^[2ai»c;F+2a**cy— (c«a* + Ä»c» — a»4»)r] Ist daher im IndiTiduom 11 irgend eine Fläche
o' + 4' + c' — * gegeben, so bestimmen sich in ihrer anf das Axen- system des Individuums I bezogenen Gleichung
die Parameter f, q und «, wie folgt:
a'ye'M*
P— 2abc(bb' + ec')a'^{aH* + c»«* — 4»c')4V
' °° 2aic(cc' + iwiO*' — («*** + **«* ~ c'«*)c'o'
g^&VilP
* — 2abc(fiar + U')<f — (Ca* + 4»c* — a*«»)a'*'
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' Zwülingskrysialle. Cap.IIL 230
f. 586.
Weil aber vermöge der krjstallographischen Ab- leitang alle Grestalten einer Krystallreihe aus der resp. Gmndgestalt abzuleiten sind, so ist allgemein, wenn ü\h\c das Yerhältniss der Dimensionen der Gmndge- stalt) in den Resultaten der beiden Torhergehenden ||, ma^ nh und rc statt a^ h und c wfa^ Wh und t*c statt a\ 1/ und c^ Bu setzen, um dieselben Resultate auf eine unsrer krystallographischen Bezeichnung unmittelbar entspre- chende Art darstellen zu können.
Wenn nämlich in irgend einer rhombischen Kry- stallreihe von den Dimensionen a\h\c die Normale der Fläche irgend einer Pyramide mFh, aUgemein also der Fläche
iL + X + £ = i
mm nh rc als ZwiUingsaxe auftritt, so werden die Axen de» einen Individuums in Bezug auf die Axen des andern durch folgende Gleichungen repräsentirt: Axe der j/:
|
s |
+ |
y |
= |
0 |
|
|
A' |
2Mft |
r»o*c* |
|||
|
iL re |
— |
z |
= 0 |
||
|
Axe d^r y': |
s |
+ f |
= |
0 |
|
|
Umnr^abc* |
«# |
||||
|
% ma |
— |
£ — rc |
:0 |
||
|
Axe der z': |
|||||
|
X |
— |
JL: |
BtO |
||
|
z |
+ |
X |
- |
0 |
|
|
2m«i |
«rai*c |
V |
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240 jingeipandte KrystcUlographie. wo nftmlich
Die Sabstttaenden der Coordinatea in den Glei- chungen irgend gegebener Puncte, Linien oder-Flächen des einen Individuums, um solche auf das Axenay- Stern des andern Individuums zu beziehen, werden:
Of' =r ^[— A^a; + 2mnrabc(ref/ + «iz)] /ä ^[— B*y + 2mni^abe{maz + rex)}
^ = -gzl— C*^ + ^immahc{nbx + «uiy)]
in Welchen Ausdrücken A^^ B^ und C^ ihre vorher* gehenden Werthe haben, während
Endlich bestimmen sich für irgend eine Fläche
— - 4- jL -4- — =r 1
des einen Individuums, in ihrer auf das andere Indi- viduum bezogenen Gleichung
X , a z
— + — + — = 1
pa ^ qb ^ $c
die Coäfficienten />, q und t, wie folgt: -
'mVr^ilf^
P ~ 2««r(iMi'Ä* + rr'c^)m'a^ ~ »V;.!»
stVr^Jf'
^ 2mnr(rr'c^ + mm'a^)n'b^ — Ksi'Ä*
^^ m'nVM'^
Diese Werthe beziehen sich zunächst auf die Fläche im Octanten der Zwillingsaxe; setzt man sno- eessiv m\ %' und r^ negativ, so eriiält man die Wer^ the von /», q und t für die drei Flächen in den Ne- benoctanten« Da übrigens vermöge unsrer Ableitungs-
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ZwUlingstrystalle. Cap.IIL 241
metbede immer einer der beiden CoiSfficienten q oder # aich = 1 und keiner <C 1 bestimmen, moss, so ist jedenfalk p und der grossere der beiden andern CoS& ficienten durch den kleineren, und dieser durch sich
selbst zu dividiren; die Quotienten -^und-*, oder ^
$ #' q
Hud — sind unmittelbar die Ableitungszahlen derjeni- gen Gestalten des Individuums I, welchen die Paral- lelflächen der im Individuo II gegebenen Flächen an-iH geboren. Ist t <«^ g, so wird diese Gestalt eine ma-* krodiagonale, ist «>> jr, so wird sie eine brachydia- gonale Gestalt.
§. 587. GewöhnKchstes Zwillingflgesetz Zwillüigsaxe Normale TonooP.
Wiewohl Fälle , da die ZwiUingsaxe einer Pyra- midenfläch^ entspricht, Torkonimen, so sind doch die meisten Zwillinge dieses Systemes nach einem von folgenden drei Gesetzen gebildet:
Die Zwillingsaxe ist
1) die Normale einer Fläche des verticalen Pris- mas ooP,
2) die Normale einer Fläche des horizontalen Pris«^ mas Poe, /
3) die Normale einer Flasche des horizontalen Pris- mas Poo.
Da die aufrechte Stellung der rhombischen Ge« stalten willkürlich nach jeder der drei Axen gewählt werden kann, so Hessen sich eigentlich diese drei Gesetze auf ein einziges zurückführen; jedoch scheint es wegen solcher KrystaUreihen, in welchen zwei dieser Gesetze zugleich verwirklicht sind, vortheil- kafiter, sie als besondere Gesetze darzustellen.
W>as nun das. erste und häufigste Gesetz betrifft, da iie Zwillingfiaxe . die Normale einer Fläche des n. 16
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242 Angewandte KrysiaUographie.
rar GruAdgestait gehörigen verticalea Prismas (X>P ist, so haben wir zur Auffindung der dasselbe betref- fenden Resultate in den Ausdrücken des {. 586
M =s OQ und n = r = 1 XU setzen, und erhalten dadurch folgende Bestinimnn-.
gen:
Gleichungen der Axen des einen IndiFiduums
in Bezug auf das andere:
Axe der ^, . . . . jf =0, z == 0
* Axedery',....a? = 0, j^+ -^ =:= 0
Axederz';...-4r==0, ^^- -—l-^ = 0
Substituenden derCoor^aten x\ ^ und z'i X' Ä —X
Co^fficienten p^ q und t in der transformir- ten Gleichung
- + ■^ + - = 1 pa qb^ sc
einer fliehe, welche in dem andern hdividno durch
die Gleichung
ma 1^ re gegeben ist :
* ""2»*»— r(4»— e*)
_ «ir(*'+c») ' ~ 2rc« + «(4»—«») Sind alfo a*, b* und c* rationale GtSuen, ivie dies immer der Fall iat, wenn %. B. Of 6 und c Qua- dratwundn, so sind die CoSffieienten Pf q und «
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ZmUinsskryMtaäe. Cap.IIL 243
^^ebfalls ntienal, itiid fo^lieh die durch de beatiolia« ten Flächen reelle oder doch mSgliche flächen.
f 688. Fortfetsvng.
Weil das im yerigen |. entwickelte Gesetz das herrschende ist, so wird es gat seyn, seine Resultate für die drei Fälle besonders darzustellen, da die in dem einen Individuo gegebene Gestalt eine Gestalt ans der Hauptreihe, oder aus der makrodiagonalen, oder endlich aus der braohydikgonalen Hälfte des Schemas ist
L Für eine Pyramide der Hauptreihe, mP, ist n ss r = 1, und wir erhalten daher folgende Verhält* nisse der Ableitungszahlea für die entsprechenden Parallelflächen:
1) Für die Fläche im Octanten der Zwillii^[saxe, mit positivem m, n und r, und dereii Nebeafläche an der Mittelkante ^ mit negativem si: p:q:s =s 7*^*1*1 2} Für die Nebenflächen an den Polkanten, mit ne- gativem n oder r:
piqii = Ts»: + 5j^, -Tg^a
Daher sind die Gestalten, denen die Flächen von siP entsprechen,
die Gestalten, denen die Flächen von ooP ent- sprechen:
n. Für eine Gestalt aus der makrodia^nalen Hälfte des Schemas, also allgemein für siP« ist r = 1, und wir eriialten daher folgende Verhältnisse der Ableitungssahlen f&r die resp. Parallelfiächen;
16*
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244 Ahgewandie Krystalhgräphie.
1) Für die üftche im Ootanten der Zwillingsäxe und ihre Nebenflftch* an der Mittelkante:
2) Für die NebenÜchen an den Polkanten:
- . n(bj+e*) ,- n(6^+e*)
Daher für das horizontale Prisma aiFoo: b»+e* b*+e*
ond für das makrodiagonale Flächenpaar ocPoo:
QL Für eine Gestalt atis der brachydiagonalen Hälfte des Sehemas, also allgemein für mPh ist h = 1 und r = I» am setzen, nnd wir erhalten daher fol- gende Verhältnisse der AUeitongszahlen für die resp. Parallelflächen:
1) Für die Fläche im Octanten der J^willingsaxe, und ihre Nebenfläche an der Mittelkante;
■- - ll(Ä«+C*) «(*^+C*)
2) Für ^e beiden Nebenflächen an den Polkanten:
daher fUr das horixontale Prisma w^oo:
P'i''*='*''b^*"2^ und endlich für das brachydiagonale Flächenpaar: **+c* i«+c»
f. 689. ZwiUingsaxe eine Nonnale tob Poe*
Ist die ZwilHngMxe die Nonnale einer Hftche
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ZudlüngshystaUe.^ Cap. IIL 245
Jes xoT Cinuidgestalt gehSrigen horizontalen Prismas Poo, so ist in den Ausdrücken des §.586
»== oo, und si SS r 3=r 1 sa setxen^ woranf sie^ denn folgende Resultate ergeben : Gleichungen der Axen des einen Individuums in Besug auf das andere:
Axe der jf*, . , . . ar = 0, « =: 0
Axe d^r ^',.... jr ^ 0, JTZ;;-^ = 0
Sabstitnenden der Coordinaten s*, y' und z':
CoSfficienten p^ q and $ in der auf daslndi- Tidnun I belogenen Gleichung
pä qb "^ $c'~. einer Fläche, welche in dem Individno 11 durch die Oeiehong
g^ben ist:
— + T + — =a i
f SS — «
t sst
2re* + mia*—e*y
§. 590. ZwiUiiigHae ein« Normale Toa Poo. lat endlidi die ZwUlingsaxe die Normale einer
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246 Angewandte KrystaUographie.
fliehe des zur Grondgestait gehörigen horixontalen Prismas Poo, so kt in den Ausdrücken des f. 586
r = oo nnd m = n = 1 KüL setzen, wodurch sich denn folgende Resultate er* geben:
Gleichungen der Axen des Individuums II in Bezug auf das Individuum I:
Axeder;p',.-..^j^+ ^ =0, z=0
Axeder /,..•• ^ -^^ « 0, r =0 Axe der z'» . . . • ;ir = 0, ^ s=s 0 Substituenden der Coordinaten x^j y^ und 2^:
■ «'«. — a CoSfficienten ]>, q and t in der auf das Indi- vidunm I bezogenen Gleichung
einer Fläche, welche in dem Individuo 11 durch dra Gleichung
£! + < + £ = »
ma nb re gegeben iit:
' "~2»Ä«+ia(a»--«*)
0 1 -SS — r
Ist die ZwiUingsaxe die Fl&bhennormale irgend eines andern brachydiagonalen horizontalen Prismas w/PoOj 80 wird:
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ZwiUingslrystaUe. Cap.IlI. 247
J?. Be$ckreihung der wiehiigBien Zwillinge,
f. 591. ZwiDingskrystalle des Arragonites.
Eine darch ihre Zwillingsbildung besonders merk- würdige Species ist der Arragonit, welcher nur sel- ten in einlachen ) meist in zusammengesetzten Kry- stallen vorkommt. Kupffers Messungen geben für ooP den Winkel 116^ 16' 24» - Poo ^ - - 106* 27' 2(r woraus das VerhSltniss
a:b:e = 0,7205:1:0,6215 folgen wurde. Mitseherlich dagegen fand bei 14^/t. för ooP den Winkel Itö"" 11' 4r, und zugleich das sehr wichtige Resultat, dass dieser Winkel in höhe- ren Temperaturen immer stumpfer wird, indem er für SO^jR. um 2' 46'^ zunimmt. Da nun die meisten Ar- ragonite unter Yerh<nissen vorkommen, welche f&r ihre Bildung auf trocknem Wege sprechen, so durfte die Temperatur des Bildungsactes wohl wenigstens so hoch zu setzen seyn, dass der entsprechende Win- kel von ooP nahe llO^'j^ beträgt. Weil aber der kry- stallonomische Zusammenbang der Flächen bfdider In- dividuen eines Zwillings doch nur für dasjenige Yer- hältniss der Diipiensionen Statt finden kann, welches der Temperatur des Bildungsactes entspricht, so wer- den wir jedenfalls das Yerhältniss von b : c etwas grosser als 1:0,6215 annehmen müssen.
Gesetzt, der dem Bildungsacte entsprechende Win- kel von ocP sey 116"^ 24', so wird b:c = |/13:/4
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248 jirigeu^afidte KrystaUographie.
und der erwähnte Zusammenhatig der Flächen beider Individuen durch sehr einfache Zahlenwerthe ausge- drückt *).
Es sind nämlich die gewohnlichsten Gestalten des Arragoniteik folgende:
1) aus der Hauptreihe: OP, P und ooP;
2) aus der brachydiagonalen Nebenreihe : |]^oo, f cx), 2Poo, ooPoo;
3) aus einer brachyd. Zwischenreihe: P2 und 2P2. Unter Voraussetzung des Verhältnisses J : c =
^13 : ]/b ergeben sich nun aus f. 587 für diese in dem einen Individuo ausgebildeten Gestalten folgende Par- allelflächen in dem andern Individuo:
Die Parallelflächen für i»P sind zwei von mP und zw^ei von -—«»Piy, also die Parallelflächen^
für P, zwei FI. von P, zwei von -^Pl7
-yOoP, eine Fl, von ooP, eine von ooPlT
Die Parallelflächen für irgend eine Gestalt der
brachydiagonalen Nebenreihe mPoo sind allgemein
zwei Flächen von imP|^, also die Parallelflächen
für iPoo, zwei FL von t^H
. PCX), . ^ . m
. 2Poo . . ^ ^P4 - cx)Poo, eine Fl. von od9i Die Parallelflächen für irgend eine Pyramide «iP2 sind allgemein zwei Flächen von In^^ und zwei Flä* chen von in$i^ also die Parallelflächen
für P2, zwei FL von ^P^, zwei von ^Pf . 2P2 - . . ^P^ . - iPi
*) Die Polkante Ton Poo wird nach Mitscherlich in höheren Temperaturen immer schärfer, und zwar für 80®/l. um 6' 29^^ da eine gleichförmige Abnahme für aehr hohe Temperaturen kaum an- zunehmen ist, ao därfte leicht der dem Bildttngsacto entoprecheiide Werth von a sss /7 m setzen seyn.
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ZwiUingslrystaUe. Cap. IIJ. 249
MpLttels dieser Resaltate ist es leicht, jede belie- bige Zwillingskante xu berechnen.
§. 592. ^ Fortfetsvog,
Die Zwillingabildang findet f3r den Anragonit theils mit Darchkreoznng, theils mit Jaxtaposition Statt.
So kommt die Combinatioih 2p!X>,odP in sehr ans- gezeichneten Dorchkreiiznngszwillingen to^ wie Fig. 632; auf gleiche Weise die Combination oqPco«OP.ooP, Fig. 633; die brachydiagonalen Flächen beider Indi- ▼idnen bilden bei gewöhnlicher Temperatur Winkel von 116^ 12" und BS"^ 48^ Findet Wiederholung der Zwillij^bildung mit geneigten Znsammensetsungsflft- chen Statt, so entstehen sechsstrahlig sternförmige ]>rillinge, ganz ähnlich denen des Bleicarboiiates in Hg. 644. Von diesen beiden Zusammensetzungen sind in Fig. 634 und 635 die Horizontalprojectionen dar- gestellt, aus welchen man ersieht, dass, wenn die IttdiTiduen des Zwillings Fig. 633 in der Richtung der Makrodiagonale bis zur gegenseitigen Berührung (in den Demarcationslinien Ca und Cß) ausgedehnt sind, der Zwilling das Ansehen einer unregelmässigen sechs- seitigen Säule gewinnt, in welcher die vier Seiten- kanten A 116^ 12", die zwei Seitenkanten a dagegen 127^ 36" messen. In den Drillingen sind die Indivi- duen gleichfalls sehr oft bis zur gegenseitigen Bernh«^ mng^ ausgedehnt, so dfeiss die sechs einspringenden verticalen Zwillingskanten %rschwinden, und die ih- nen entsprechenden Winkelräume ausgefüllt sind; es entstehen dann scheinbar sechsseitige Säulen von den Seitenkanten 116^ 12", welche aber eigentlich acht- seitige Säulen sind, indem die beiden den Linien h entsprechenden Seitenflächen in a durch eine sehr stmnpfe einspringende Kante gebrochen sind, die bei gewöhnlicher Temperatür 168'' 36" misst.
f.-
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250 Angewandte Krystallographie.
§• 593. Fortfetsnng.
Sehr häafig findet die ZwilUngsbildung des Ar- ragonites mit Juxtagosition Statt. Die Individaen der Combination ooP.ooPoo.Poo (zuweilen mit il^oo, 2lPao, P2, 2P2 u. a. untergeordneten Gestalten) kommen fast immer zwillingsartig verwachsen vor, wie Fig. 636) deren Horizontalprqjection in Fig. 636 a dargestellt ist. Diese Modalität der ZwillingsbUdung wird sehr tref- fend durch die Mohs'sche Formel: Züsammensetzungs« fläche parallel, Umdrehungsaxe normal einer Fläche, von ooP ausgedrfickt Sind beide Individuen so aus- gedehnt, dass sie den Winkelraum der verticalen ein^ springenden Zwillingskante ausfüllen, und die beider- seitigen Flächen J!f in a '(Fig. 636 a) zusammenstossen^ sa entstehen sechsseitige Prismen von dreierlei ver- schiedenen Seitenkanten, indem die drei abwechseln- den Winkel in A 116'' 12", die beiden Winkel in B 121^64% und der Winkel in a 12r 36' messen. Ein solcher Krystall der Combination ooP.Poo.iPoo.2P2 ist nach Mohs in Fig. 641 und 641 a dargestellt Die Zn- sammensetzung wiederholt sich zumal häufig mit durch«- gängig parallelen Zusammensetzungsflächen, wodurch reihenformige Aggregate entstehen, wie Fig. 639; ge- wöhnlich sind jedoch die mittleren Individuen der- maassen zusammengedruckt, dass sie nur als mehr oder weniger dünne, in die Substanz eines grosseren Krystalles eingeschobene Lamellen erscheinen, wel- cher Krystall selbst wi^emm aus zwei Individuen besteht. Dann sieht man auf den tlächen Poo und ooPoo dieses scheinbar einfachen Krystalles schmale Furchen und Leisten oder Streifen wie in Fig. 640, wel- che der CK. mit dem Prisma ooP parallel, und nichts anderes als die Ausgehenden der schmalen lamell»- ren Individuen sind, welche die beiden äusseren In- dividuen zwischen sich ^inschliessea.
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ZwUUngakrystalle. Cap.JIL 251
Aach wiederholt sich diese Zwillingsbildaiig mk geneigten Znsammensetzongtflftch^n, und swar auf swei verschiedene Arten, entweder so, dass die Gmp* pinmgsaxe der scharfen, oder so, dass sie der stumpfen Seitenkante des Prismas coP entspricht; in beiden Fällen entstehen kreisförmig in sich selbst xorncklanfende Aggregate. Die Zahl der möglichen voUstftndigen Individuen ist jedoch im ersten Falle auf 5, im sweiten auf 3 beschränkt; das sechste In* dividunm ist in jenem, das vierte in diesem Falle, oder 9 wenn sich der Kreis von iwei Seiten schliesst, das fünfte und sechste Individuum in jenem» das dritte und vierte Individuum in diesem Falle nur unvollstän- dig ausgebildet So erscheint die Combination ooP. ooPoo.Poo in sehr schönen Drillingen, Fig. 637 (davon der Gmndriss in Fig. 637 a) und Vierlingen (Grund- risa in Fig. 638) der ersten Art; die Combination ocP. 2^00 aus Spanien in Vierlingen der zweiten Art, Fig. 642 und 642 a, in welchen die Individuen UI und rV nur unvollständig ausgebildet sind, und nicht im» mer die rinnenförmige verticale Kante der beiden schmalen Flächenstreifen von ooP wahrnehmen lassen» wie in Fig. 642 *) ; vielmehr fehlt diese einspringende Kante oft, und der Vierling erscheint als eine unre- gelmässig sechsseitige Säule mit zwei Winkeln A von 116'' 12^ drei Winkeln a von 127'' 36% ,und einem Winkel von KH'» 48'.
f. 694. ZinFÜHiige des Bldcarbonatet.
Die Zwillingskrystalle des Bleicarbonates sind de- nen des Arragonites sehr ähnlich, wie denn überhaupt zwischen den Krystallreihen beider Sabstanzen viele
0 Die Ötreüdag der FI&cImb 2P<x> iit nur dne svr Verdeot- fidnuif des Bildes dieneade S^bisffinmg.
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252 Angewandte KrystaUographie.
merkwftrdige U.ebereinstimmuiigeii Statt finden. Da- her scheint auch die Analogie erlaubt^ dast dieErj- atalle beider Speciet durch Temperaturerhöhung ahn« liehe Verändemngen erleiden ^ und folglich auch das Prisma cx)P des Bleicarhonates, welches Kupffers Mes- nngen bei gewöhnlicher Temperatur zu ilT 14' be- stimmen, etwas stumpfer angenommen werden muss; nehmen wir demgemfiss an, der dem Bildungsacte enUprechende Winkel sey 117^ 26'*), so wird i : c = 1^19 : j/7 Nun sind die gewöhnlichsten Gestalten des Blei- earbonates folgende:
1) aus der Hauptr^e, OP, P, und coP; ^
2) aus der brachydiagonalen Nebenr^e, il^oOj P0O, 2P00, 3Pcx), 4Poo und ooPc»;
d) aus einer brachyd. Zwischenreihe, ooP3; 4) aus der makrodiagonalen Nebenreihe, ^tPcound. ooPoo. Für jedes siP im einen IndiTiduo sind die Paral- lelflächen im andern Individuo zwei Flächen von siP und zwei Flächen von Ww$2b\ also die Parallelflä- chen » ^ für P zwei Fl. von P und zwei von 4^^4P25 - ooP eine FL - ooP - eine - ooP25 Für jedes w^oo sind die Parallelflächen ^et Fla- uten von T^siP^j^ also die Parallelflächen für ^foo zwei Fl. von tVPJ . ?oo . . , ^p^
- 2Poo - . - ^4PJ
- 3Poo - - - 44Pf
- 4Poo - - - {MfJ
- oo?cx> eine FL von ooP^
*) Sollten die Beobachtongea ^ne Abnahme des Wiskek in hSberco Teaperaturen khren , ao Uetet «di ala n&dtfiaa Veriiäit- niM von 6 : c das von |/8 : y^ dar.
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ZwiärngskrystaUe. Cap. IIL 253
Für jedes mPoo sind die ParallelflSchen zwei FIS« chen von i^mP^j also die Parallelllächen fSr 4P00 zwei FI. von i^P^ . ooPc» eine Fl. - ocP^ FSr das Prisma ocPS endlich werden die ParaHel- flächen eine FL von ocP27 und eine Fl. von oof^.
f. 595. Forttetzang.
•Die Zwillingsbildnng findet am Bleicarbonate theils mit Durchkreamng, theils mit Jnxtaposition Statt. So stellt Fig. 645 einen Zwilling der ersten Art von Johanngeoi^enstadt vor, dessen Individuen die Com- bination 2Pab.}Poo.(xi^oo.P.ocP zeigen; die sftramtli-i chen Flächen der brachydiagonalen Nebenreihe sind dorch eine unn^^gelmässige horizontale Streifung aus« gezeichnet, welche zur Verdeutlichung des Bildes auf der Fläche / durch eine analoge Schraffirung angedeu- tet ist; Fig. 634 kann als Grnndriss zur Erläuterung dieses Zwillingskrystalles dienen. Dieselbe Combina* tion findet sich in Drillingskrystallen , wie solche Fig. 644 in der Horizontalprojection darstellt, für de« ren Erläuterung auch Fig. 635 zu Hülfe genommen werden kann, um den Parallelismus der Flächen JU hervorzuheben, wo solcher wirklich Statt findet.
Sehr schöne Durchkreuzungszwillinge der in Fig. 648 dargestellten Combination aoPoc.P.oc]ß3.(xP kom- men unter andern zu Miess vor, Fig. 649; die Flächen / sind zur Verdeutlichung des Bildes horizontal schraf- firt, während sie in der Wirklichkeit vertical gestreift zu seyn pflegen, wie in Fig. 648. Die Flächen T und f fallen meist in eine Ebene, auch gesellt sith wohl noch ein drittes Individuum hinzu, wodurch ganz ähn- liche Drillinge entstehen, wie in Fig. 644.
Der Winkel, unter welchen sich die Individuen dieser 'Zwillinge kreuzen, beträgt b^i der gew5hnlt-
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254 Angewandte KrystaUographie.
chen Temperatur 62^ 46" oder 117" 14^; in den Drfl- lingen schneiden sich swei Paar der Individuen unter demselben Winkel; das dritte Paar unter dem Win- kel von 54"" 28^ oder 126'' 32^. Man kann dasjenige Individuum, gegen welches die beiden andern gleich geneigt sind (I in Fig. 635 und 644), als den Trfiger der ganzen Gruppe betrachten; ist derselbe sehr klein, so glaubt man auf den ersten Anblick einen Zwilling vor sich zu haben, dessen Individuen sich unter 54^ 28' schneiden, und dessen Zwillingsaxe die Normale einer Fläche von ccPj^ seyn wurde.
Wenn sich die Individuen der Zwillinge in Fig. 649 oder die analog gebildeten Drillinge so weit über die Flächen / ausdehnen, dass die einspringenden Wiakelräume der verticalen Zwillingskanten ausge« füllt werden, so entstehen scheinbar einfache sechs* leitige Pyramiden, welche Jedoch in beiden Fällen verschiedene Polkanten haben, wie solches aus den Grundrissen in Fig« 634 und 635 zu ersehen ist, wo von den Puncten A andere Polkanten auslaufen, als von den Puncten a, denen in den DriUingspyramiden eine sehr stampfe einspringende Kante entspricht
Findet die Zwillingsbildung mit Juxtaposition Statt, so ergeben sich für vertical säulenartige Kry« stalle ganz ähnliche Zwillinge, wie solche am Arra* gonit in f. A93 beschrieben wurden. Dagegen stellt Fig. 647 einen dergleichen Zwilling der in Fig. 646 ab* gebildeten pyramidalen Combination PJ2Poo.qoPoo dar.
f. 596. Zwillinge des Bpiftilbitet.
Nach demselben Gesetze, wie die bisher betrach* teten Zwillinge des Arragonites und Bleicarbonates sind auch die Zwillinge des Kalisalpeters, Strontia- nites, Witherites, Epistilbites, Harmotomes, Bour- Bonites, rhombischen Silberglanzes, so wie gewisse
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ZmOingstrystaile. Cap. III. 255
ZwilBnge des rhorabischeRKnpferglanzes, des rhom- bischen Eisenkieses nnd Arsenikkieses gebildet, von welchen wir nur einige etwas näher betrachten wollen. Der Epistilbit, eine dem Desmin sehr ähnliche Spe* eies*) (daher richtiger Epidesmin), krystallisirt in rhom- bischen Prismen ocP == JK* von 135** !(/, welche an den Enden darch die horizontalen Prismen ^oo (t =s 147* 4O0 und foo (/= 109** 460 begränzt, und durch das brachydiagonale Flächenpaar oc^oo = r in den scharfen Seitenkanten abgestumpft sind. Einfache Kry- stalle sind jedoch selten; gewöhnlich finden sich Zwil- lingskrystalle nach dem iSesetze: Zwillingsaxe nor- mal, Zusammensetzangsfläche parallel einer Fläche Ton ocP. Die Individuen sind durch Ju^taposition verbunden, Fig. 643 und 643a, und bilden ganz ähn- liche Zwillinge , wie solche in Fig. 64l vom Arrago- nit dargestellt worden, und aucli an den vertical-sän- lenförmigen Krystallen des Bleicarbonates häufig 2x1 beobachten sind. Die Winkel des von den beider- seitigen Flächen M und r gebildeten sechsseitigen Prismas sind folgende : .
*) Ich eriaii1>e mir hierbei eine Bemerkung fkber die Namen 9t9M wbA DeaBH. Bekaamüdi conftuidliie Hoüy ^e von Werner arterMddedenöi Arten te Bl&t4er- mnd StrsUkeoHtbee yut^ neiBflchaftlichen Naisen Stäbit, welcher och auf den anafosdcb- seieii Perloratterglanz der yorhemchenden Kry^tall - und Spaltunga* Hiebe bezieht Als man die Nothwendigkeit einer Trennung ein- sah, behldt man den Namen Stilbit für den Strahlzeolith bei, ob- l^di der OUns am Blftt&rzeoUdi noch ausgezeichneter ist, Ja snweiiea selbst balbmetalBsch wird, lud gab dem Bl&ttearzeolith d« Nmmb Henlaadit, «m sogleidi dae Artigkeit mi eagen. Wemf sich NäflMB asf besonder» hervorstecheade Eifonsdiaften beiie* hen kdnnen, mnd sie wohl immer Ton ihnen zu entlehnen, und dah^' scheint mir für den Blätterzeoüth der Name Stilbit eben so passend, als für den Strahlzeolith der von Breithaupt Torge- scUageae Name Desmin.
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25d Angewandte Krystallogräphie.
|
drei |
c= |
136» 10' |
|
|
xwei |
as |
112° |
25' |
|
einer |
= |
89° |
40' |
|
f |
597. |
||
Der Harmotom oder Kreuzstein ^ der diesen letz- teren Namen einer sehr regelmässigen Zasammen- Setzung verdankt, kraft welcher er fast immer, in kreuzförmigen Zwillingen erscheint, wird Ton eini- gen Mineralogen als rhombisch, von andern als te- tragonal angesehen. Die durch ihre Streifung sehr unvollkommene Beschaffenheit der Oberfläche hat bis jetzt die Entscheidung erschwert , da die Messungen jedenfalls nur auf kjieine Abweichungen vom tetrago- halen Charakter fuhren können. Die physischen, so wie einige morphologische Eigenschaften scheinen je- doch für die Annahme einer rhombischen Eaystall« reihe zu sprechen, in welcher die Dimensionen b und e sehr nahe gleich sind, und folglich das Prisma ooP sehr nahe rechtwinklig ist.
Die gewöhnlichste Combination des Harmotomes ist <X)Poo.cx)Poo.P.Poo, Fig. 543; zwei dergleichen Kiy- stalle durchkreuzen sich anscheinend genau unter rech- ten Winkeln, so dass man unter Yoranssetzung bei- nahe glttcher Nebenaxen das Gesetz der Zwillings- bildang so aussprechen kann : Zwillingsäxe die Nor- male einer Fläche Von ooP. Die Flächen ocPoo bil- den verticale, einspringende Zwillingskanten von 90% je zwei Flächen von P fallen beinahe in eine Ebene, oder sind doch beinahe parallel; Fig. 658. Zuweilen werden die Krystalle mehr tafelartig, die einspringen- den Winkelräume bedeutender, und die Flächen P durch die einspringenden Zwillingskanten der beider- seitigen horizontalen Prismen Poe abgesondert; auch tritt wohl noch das Prisma 4Poo in die Combination,
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ZuHUingskrystaUe. Cap. IIL 257
und es entstehen ZiiHUinge wie Fig. 667. Selten feli- len die Pyramiclenflächen ^äaxlich, so dass nnr ^ie Combination ooPoo.ocPoo.Poo übrig bleibt, deren In- dividnen bisweilen so gebildet sind, dass die verti- calen einspringenden Kanten verschwinden, indem die beiderseitigen makrodiagonalen Flächenpaare ein recht- winklig vierseitiges Prisma bilden; Fig. 659.
§. 598. ZwilHoge des rbombischea Eifenki«aes.
Der rhombische Eisenkies, dessen, Varietäten un- ter den Namen Speerkies, Kammkies, Strahlkies be- kannt sind, 9eigt nebr häufig Zwillinge nach dem Ge- setze: ZwiUingsaxe die Normale, Zusaramensetcungs- fläche eine Fläche von ooP. Die Dimensionen der Grandgestalt haben sehr nahe das Verhältniss a:b:e = /i0:/7:/4 Die Krystallreihe selbst ist nur wenig entwickelt, und zeigt gewöhnlich nur folgende Gestalten: aus der Hauptreihe, OP, P, coP, aus der braclyrd. Nebenreihe, iPoc, Poo, und aus der makrod. Nebenreihe, I^oo. Die Winkel des Prismas ocP sind nach obigem Verhältnisse 106*^60' und 74^ ICK (nach PhiUips 106^ 2^), die Polkante von Poo 79'' 50' (nach Phillips 80** 0'), die Polkante von Poo 64** 38'. In den Zwillingen werdea die Parallelflächen _
für P, zwei Flächen von P, zwei von ^^P^
- ooP, eine Fläche von ooP, eine von ooP^-
- Poo, zwei Flächen von ^^1^ -4Poo, .... ^SPJ
-Poo, . . . - HP^
Die Zwillii^bildung findet fast immer mit Juxta-
poaition Statt, und die Streifung der Flächen OP,
4P00 und Voo lässt die Demarcationen der Individuen
sehjr leicht erkennen, wie dies aus Fig. 6ö3 zu erse-
U. 17
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258 Angewandte KrystaUografihie.
hatk ist, welche im Gfundrisse einen ZwiUii^ 4er Combinalion OP.ocP daist^lk. Meist wiederholt sieh die Zusammensetzung mit geneigten Znsammenseafr- xungsflächen, und dann entstehen kreisüSmug in sidh suräcklanfende Gruppen von drei und mehr Indivi- duen, wie Fig. 654, welche denen des Arragonites in Fig. 638 ganz analog gebildet, und hän% am umge- nannten Speerkiese zu beobachten sind. Sciiliesst sich der Kreis voUsttndig durch ein funfites Individnum, so entstehen Fünflingskrystalle wie Hg. 655.
Amser diesen Z?nllingen kommen am rhombischen Eisenkiese noch and^e Tor, deren Gesetz: Zwillingz- axe die Nonnale einer fläche von Foo. Zwei ein- zele Individuen der Combinatiea oGff.«fPoQ wfirden, sich nach diesem Gesetze durehkreuzeaul, ungefilhr wie Fig. 650 erscheinen; allein gewöhnlich sind es «eben zwei nach dem ersterenJ9esetza gebildete Zwillinge der Combination OP.PooJPao.oQP, von denen zwei In- dividuen nach diesen zweiten Gesetze Terbund^i smd, so dass Vierlingskrystalle wie Fig. 656 zum Vorschein kommen^ in welchen beide Gesetze zugleich verwirk- licht sind. Die Fiftehe OP des einen Paares entspricht der Fläche •}Poq des andern Paares von Individuen, und der Winkel der beiderseitigen basisehen Flächen beträgt 115* 2af.
%. 599. ZwiUiiige des riiooibisGlieii AneoUüdeict.
Im Bh«Mnbi8ehen Araemkldeae macht sidi die Zwil- lingsbildung nach denselkea beiden Gesetzen geltend wie im rhombischen Eisenkiese.
Die Dimensionen der Species werden nidie. durch das VerhältnuM
mihie » 1^16:^11; |/5 ansgedcädct; die gewShnlichsien Gestalten sind OP, ooP (112** O'), iPoo, Poo (7Ö^ 2Df) und Pog (58** 250.
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Zudärngstrystalle. Cap. IIL IM
Hteraiu feigen fir Am GeMts; ZwSUHigtaM die «ttnude MMT Fläohe tw ooP, iIm PanlleUUclmi fkt cdP^ eine Fl. von <xf^, mm v«ii ocP7
- iPoo, iweiH. Yon ^P|
- P(X), ^ . ^ 4P*
- Poo, . . . V^Jji
oid- f3r das Geseis: KwiKngnoLe die Nomude einer FIScbe von Poo, die ParaUelfl&diMi fb ^ ^ine Fttehe mn ^m
• Poo • ^ . . P», «ine wn ^»
- <xP Ewdi flftefaen von ^P^
.|P« . • - • 4iPtfr
• i^ • - - - H%
Die ZwUlingabiUnng 4er enten Art &idel nomd für die fast ta£elartige Combination ooP.j^Poo.OP theils mit Jnxtaporition Statt, wie in Fig. 653; theila mit Dnri^kreuxnng, wie in Fig. 651 ; auch wiederholt sich telhige sowohl mit pnndkSen als geneigten Ziisam- meneetsnngsflSohett. Die StiFelfong Ifest jedenfalh die Senärondonender Individuen eebr wollt «rkennen.
Die Zwälinge der sweiten Art sind fittt immer DttrrilkyeulHigeftwIHlBge, nnd ftnden (rieh «o heson«^ den hi^ im der Combination ooP.^PooXNP» F^.OSa
8. 600. Zwillinge d«t Chrytoberjlka und Maaganerzes.
. Am Chrysoberylle, fir welchen sehr nahe aibie jrst f)9:3:|/!2 tritt nieht selten eine Zwillingsbildang naeh dem üe- selse ein: Zwillingsaxe die Normale einer Fläche von P(x>, oder auch einer Flftche von 3P<x>. Da die Pol- kante von PoQ sehr nahe 120^, oder jene von 3Poo sdir nahe 60^ misst, so folgt, dass sich die Hanpt- axen beider Individuen sehr nahe unter 60'' schnei- den^ und dass eine Fläche von Poo des einen Indi- viduums der Fliehe oqPoq des andern beinahe pwal-
17*
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260 Angewandte KrystaUogtaphie.
lel wird, und iftce ^er$a; Fig.6d2. Die ZwflUngsbil- dang wiederholt sich zuweilen mit geneigten Znsam- mensetiranggflächen, und dann entstehen sternförmige Driliingsk^stalle. Wiewohl die Flächen ooPoo bei- der Individuen gewöhnlich in eine Ebene fiedlen, so giebt sich doch ihre Demarcationslinie durch die Sutnr 2u erkennen, is welcher die verticalen Streifen jener Flächen susammenstossen.
Nach demselben Gesetse sind audi die Zwillinge des Glansmanganeraes oder Marganites gebildet *), in- dem gleichfalls dje Zwillingsaxe einer Fläche des Pris- mas Poo entspricht, dessea Polkante jedoch 122'^ 50^ Diisst, daher dies auch der Neigungswinkel der Haupt- axen beider IndiTiduen wird; Fig660.
8. 601. ZwUlinge des Staurollthea.
Der Stourolith ist eine d^f e}i ihre kreuzförmi- gen ZwUlingskrystalle sehr merkwürdige Species, ob- gleich die Krystallreihe seiht sehr wenig entwifkejt ist, indem dte IndiTidoen gewohnUch die :g3äul#n{or- mige CombinatiMi ooP.ocPoo.OP dar$iellen, welche.mur suweUen durch die Flächen des honzontalen Pr LmMS Poo etwas modificirt wird.
Phillips giebt an dieser Krystallform die Winkel an :
ocP : ooPoo = 115** 18'
ooP: Poo =r IST^'öS' ich fand durch neuerdings wiederholte Messungen an einem ueq^h gut spiegelnden Krystalle Tom Gott* hardt .
*) Aa dieser Species findet aicli noch ein zweites Geseti Ter- wirklkhty welches jedoch nur sofern wirkliche Zwillinge liefert, wiefern die Krystallreihe durch das Auftreten rhomhiacher Sphe- noiUe cfaarHkterbirt ist; dies Gesetz lautet nämlich: ZwilUngsax« die Normile nm ooPoo.
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ZmllmgälrystaUe. Cap.IJL 201
ooProoPoo = 115^ 20" ooP: Poo = 138* r daraus folgt
far coP die stampfe Kaate 129'' 20^ . Foo die Polkante 69"" 16' und
a:l:e = 1,«7:2412»:1 Hafiy nahm die approximatilren Winkel ooP = IZQ"" 31' und Pco = 70"" dl'i oder die DimeBsionen
a : i : i: :=» 2 : 3 : ^2 an. Wegen det eben so inerkwUrdigen ds einfachen Verhältnisse, dio steh ans dieser Annahme für die Zwillingskrjstdle ergeben ,. dürfte es nidit onwahr- scbcanlich seyn, dass das Hanysche Verhältniss der Dimensionen der Tempesator des Bildongsactes ent« spredie, und fiol|B^oh dasjenige sey, welchem allein physische Bedeutsamkeit, für die Specie» znerkaaAt werde» kann. .
Es sited nSmlieh die Zwillinge des Suorolithes nach folgenden beiden Ciesetzen gebildet:
1) ZwiUingsaxe die Normale einer Fläche des ho- vizontalea Prismas- |Poo; Fig. 661.
2) ZwjlUngsaxe die NcMtmale einer Fläche der Py- ramide #4; Fig. 662.
In beiden Fällen findet eine vollkommene Durch- kreuzung der Individuen ^tatt, weshalb sie immer ungefälHr so erscheinen, wie es die Figg. 661 und 662 darsteuen.
Ist nun wirklich a:h s=s 2:3, so werden die nach dem ersten Gesetze gebildeten Zwillinge die merk- würdige Eigenschaft besitzen, dass beide Individuen genan rechtwinklig, und die Flächen OP des einen den Flächen ooPco des andern genau parallel sind; eine Eigenschaft, welche verschwindet, wenn die aus PhOlips's und meinen Messungen folgenden Dimen- sionen die wahren, d. h. die dem Bildungsacte ent-
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262 Angewandte Krystallographie.
spreohenden DimensioDen sind, weil sicli dann beide IndiTiduen unter einem Winkel von 88^ ^ kreuzen würden.
Ist femer wiriklieh aih^ie s» ix^i^^ so folgt für die nach dem xweitea Qesetse gebildeten Zwil- linge,
a) dass sich die Havptaxen beider Individaen un- ter 60^ schneiden;
b) das« sich auch die Flächen ool^ beider Indi- vidaen unter W schneiden;
0) dass das eine Sjvtem der SwflUiigakanten ein r^elmAssiges Beicagott darsteBt
Diese und andere, im nichsteu f. a^egebene R^ lalionen vensK^wniden dagegen, wenn daa Haiysdie Veiiiältaisa der Dimensionen nicht das wahre int
Es wire daher wohl derMÖhe werffa, die Verte- derangen su untersuehen, welchen die Winkel des Staurolithes in höheren Temperaturen unterwerfiao sind, da die geegnoitischen VerhSltnine dieses Mi- nerales darauf hindeuten, dass er afuff einem feurig flüssigen Zustande aur Erstarrung gekommen, und folglich in einer weit hSb^en Ten^eratur gebildet sey, als diejenige kt, bei welcher die |ewShiJichen Messungen angestellt werden.
f* 601. Fortsetsan^
Unter Voraussetsung der von Hauy ang^ebettea Dimensionen erhalten wir fo%ende Belationen zwi- sehen den Fitehen beidbtf hidividiien.
1) In den rechtwkiUigen ZwUlingen sind die Par- ailetflädten
iur OP die Flächen ooPoc
- ooP» . - . («P
- 3oP - . - 4P00 - P» ^ . - 00?^
•
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ZunUmgMkrystaUe. Cap. UI. 2fi3
Die Gf ftnM Uidejr fadiTidnen wird bei ifdllkom- mML HjimmtfiachOT AuebUdniig von swölf ein- sfriogendea ZwUliagskuieii gebildet, die lu eecbi iD einer Ebene Uege% nnd in lelbiger ein ejiMaetriftcbee Hexegon mit swei Winkeln von 14»" 8" «ttd vier Winkeln von 108'' 26' bUden. 2) In den eehiefWinkligen ZwiUingen &iden eich die Pandielfläelien ans f*ö86, iadenir man « » 2, » » 3, e M 1^
M as r ao f y Wld « as 1
•eM, wie fe%t: fttF QP eine flttohe von 4P|, -dePob ^ - . • f^f - ocP . • .. • 4P3, und eine von 3P6 . PoK> . . . . ^ffj, • . . ^P4
Die Oefinie beider Individnen wird bei vollkem> ■wn ityiinietffiicber Ansbildong von swölf ein* springenden Zwilliagskanten gebildet, die an aech« in einer Ebene liegen; das eine System bildet ein gleichwinkliges Hexagon, das andere ein nnregelmässiges Hexagon mit :iswei rechten Winkeln.
f. 602. Zwillinge d«t rhomlnscben Kspfeglsnzes. Wie am Staorolith das Geseta verwirklicht ist^ dass die Zwillingsaxe die Normale einer Fläche der Pyramide 4P|, so findet sich am rliombischen Kupfer- glanae das Gesetz, dass die Zwillingsaxe die Nor- male einer Fluche der Pyramide ^P. Ans den von Mohs mitgetheilten Messungen
ooP =r 119' 35' Mittelkante von iP = 65^ 28' folgt für die Dimensionen der Krystallreibe
aibic = 0,9703 : 1 : 0,5822 oder ziemlich nahe
aih'.c = ^^47:|^:/17
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264 Angewandte KrystaUographie.
Die Combinatien OP.iP.I^Poo, welche bis zar Täa- schling einer hexagonalen Tafel mit zweireihig ange- setzten Randflächen fthnelt, obgleich die Mittelkanten der scheinbar hexagonalen Pyramide i^weierlei Werth (65'' 28' lind 65'' 450 haben, kommt nach dem erwfihnten Gesetze zusammengesetzt vor, Fig. 663. Die Axen beider Individuen, und folglich auch die basischen Flächen derselben bilden einen Winkel von 88^ und sind daher auf einander beinahe rechtwinklig.
Häofiger finden sich jedoch Zwillinge nach dem Ge- setze: Zwillingsaxe die Normale, Znsammensetzungg- fläche eine Fläche von ooP; die Zusammensetzung wiederholt sich sowohl mit parallelen- als auch mit geneigten Zusammensetzungsflächen, und bildet daher ähnliche Drillinge, wie solche amAxragonit undBlei- carbonat beschrieben worden, und auch ganz auf die- selbe Art am Bonmonit und am rhombischen Silber- glanze vorkommen.
Viertes Capitel. Zwillinge des tetragonalen Systemes.
A. Th$ori§.
8. 603. AUgemdiistes Zwillingflgesetz.
Die Theorie der Zwillinge des tetragonalen Sy- stemes wird dem in §. 561 aufgestellten Gesetze zu- folge davon ausgehen müssen, dass sich für zwei In- dividuen einer und derselben tetragonalen Krystall- reihe die Flächennormale irgend einer ditetragonalen Pyramide mPn als Zwillingsaxe geltend macht. Da nun der geometrische Grundcharakter des tetragona- len von jenem des rhombischen Systemes nur darin
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^iPÜlingakrystalle. Cap.lK 26&
abwcgbeht, dass die beiden Nebenaxea b und e einan- der gleich sind, so werden wir die Theorie der Zwil- linge tetragonaler Krystallreihen onAiittelbar aas den Resultaten des §. 586 ableiten können, indem wir in selbigen
& sc: c =3 r = 1 setsen; denn
;£ + i + ' = *
suK n ist allgemein die Gleichong einer Fläche der ditetra- gonalen Pyramide «iPii. .
Wir erhalten also, für das Gesets, da die Zwil- lingsaxe die Normale einer Fläche vonsiPii, folgende Resultate.
Gleichungen der Axen des einen Individuums in Berag auf die Axen des andern :
Axe der x':
X
s»«ii^a* + rn^a^ —n^^ 2mna
J^- = o
Axe der y^:
-? x — ^
ma
Axe der z':
Substituenden der Coordinaten x% / und zf in irgend einer für das Axensystem des einen Individuums gegebenen Gleichung, um selbige auf das Axensystem des andern Individuums zu beziehen:
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266 AngewcaidtB Ktyttaüographie. x' = ]^[2«M»(y + uz)a — A*x\
2* sss ■^l2mn(nx+maj/)a—C*z]
wenn nSmlieh
»»«•a* + «»«« + «* sa Jf» m*u*a* + m*a* —u* =* A* ■!•«•«• — «i*a« + »» «s 0* — m*H*a* + m*a* + i^ = C* be enAieh fir i^Mid «ine Fliehe
den «teil IndivUhiwB« die GlekAoag de* PanlMflä- ehe im andern ladi^idiio
£. + i + JL«i
80 lind die Werthe der CoSffieienten py q und $ fol- gende :
m'nYJU^
' ~ 2mn(nn' + r^)mW — nVA* m'nVßP
f. 604. Bntei ZwilBiigigeMti.
Das gevShnlichste Qeseui der Zwillingebildiing im tetragonalen Systeme ist non folgendes:
Zi^illingaxe die Normale einer Fläche von Poo, odor: Umdreiiangsaxe normal, Zasaauiien- «etmngsfläehe parallel einer Fiäoho derjenigen Pyra- mide, welche die fii^lkanten der Grandgestalt regeU massig abslittipft.
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ZmUingskrystaUe. Cap.JF. 287-
Um die Fcmaeln det vorl)fei^lMiidia |^ diesem Getetse anxnpaBseii, habe« wir in ilknen
«i=s li md ft 3SS oo SB setsen, und erhalten so folgende Resultate:
Gleichungen der Axen des einen IndiTidnums in Bezug auf die Axen des andern:
Axe der x^i
Axe d» ^:
jf SM Oy und r CBS 0 Axe der z':
Substituenden der Coordinaten jr^, y^ und z^:
2' = 53qrit2iur + z(a»-l)l CoSffieienten j>, ; and i in der CSeichung
welche die Pardlelfliche dner durch £e Gleicfanng*)
-L + C + ^^t
ma H r gegebeaea Fteche des ^neo rnfiTidmimv bestimmt: _ mria» + 1)
Bir(g« + 1)
*) Die Accente der Bnchataben m', n' und r' können, jetzt wegUdben, da ihre Unteischadang Ton andern m, n und r un- nStkig «rfid.
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288 Angewandte KrystnUographie.
Da «, » and r rationale Zahlen, so wird die ParaUelfiäcbe jedenfalls eine ^reelle seyn, wenn a ra- tional oder eine Quadratwurzel ist.
f. 605." Fortsetzung; Parallelfiächen der Pyramide mPit.
Die zu Ende des vorhergehenden §. stehenden Werthe von p^ q und $ gelten allgemein für die Par- allelflächen irgend einer ditetragonalen Pyramide «iPif, beziehen sich jedoch zunächst nur auf das Flächen- paar im Octanten der positiven Halba^en ; nimmt man m negativ, so erhält man die Parallelflächen des in dem Nebenoctanten der anderen Pyramidenhälfte ge- legenen Flächenpaares. Um dann fiir die einzelen Flächen jedes Paares die entsprechend^ Parallelflä- cben zu bestimmen, braucht man nur ein Mal r = l, das andere Mal » = <, und r = ii zu setzen. So er- hält map vier Verhältnisse von Parametern fiir die vier Parallelflächen eitles Gliedes der ditetragonaleik Pyramide; sie verwandeln sich in die vier Verhält- nisse, welche den Parallelflächen des Nebengliedes entsprechen, wenn man den in die Axe der y fallen- den Parameter negativ nimmt. Daduirch wird jedoch in den krystallographischen Zeichen der respectiven Gestalten, welchen diese Parallelfl&chen angehören, nichts geändert, und wir gelangen daher zu demRe- aultate, dass die Flächen einer jeden ditetra^ gonalen Pyramide «tPn des einen Indivi- duums paarweis denFlächen vierer Gestal- ten in dem andern Individua entsprechen, und vice versa.
Diese Flächenpaare, und die Verhältnisse der ih- nen entsprechenden Parallelflächen bestimmen sidi^ wie folgt:
a) Das erste Flächenpaar von »iPn ist dasjenige, welches mit der Zwillingsaxe unmittelbar zum
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. Zu>mngskrystall0. Cap.IF. 200
Dnrchtcfanitte kommt; g«faie ParäiMflachsn im QBibni IndiTidtto ha{>6ii 4b8 VerhältDiss' der Ab- leitttngisahleii *) : "^w(a^H-l) . . i>» + 1)
2ma^—a^ + l * ^'* • 2 + «(«»—!) b). Das sw«ite Flächenpaar von «»IVi wird yon denjenigen beiden NebeniAeheB itt veilierge- benden gebildet, welche mit ihnen in den dia^ gonalen Polkanten zuMmmentrefien; Beine Par^ allelflächen haben das Yerh<niss;
2ma^—»{a^~i) ' - ' 2» + »(a^ — 1) .
c) Das dritte Flächenpaar von, «iP« wird von denjenigen beiden Nebenflächen des ersten Paa- res gebildet, wd<Ax^ Init ihm die Mittelkanten gemeinschaftlich haben; seinen Parallelflächen entspricht das Yerhtltniss:
^^^ + 1) ■ . . .«" . _ M^' + i) 2ma^ + a^ — i'-^' m(a^—i) — '4
d) Das vierte Flächenpaar vonjnPii endlich wird * von denjenigen Nacbbarflächen des ersten Paa«
res gebildet, welche zugleich die Nebenflächen der beiden andern Paare .sind; seine Parallel« flächen habeh das Yerhältniss; , ' '
|. 6oe.
Wfit^fn^xtulgt Pai|aielftlU:h9n. dw PyranWa inF; •.
Setit man' in den Besnltateh ilei ve^ht^tg^^entiea §. iis=^l, so erhält mm fSl^ di6 FlScheA dbr t^ärago- nalen'Pyyamtde tnP des» einen Individuums' die ParaL- lelflächen imHEtndera Individuo. Dabei i»t klar, dass
j_ . * ' * 1 , • *
*) hl diesen' und alleÄ fblgenden Verh&ttniABen bezieht iich dts ente €SJM üif die Hanptaxe.
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270 JlngeuHindie Krystaüagraphie»
4as Mite uad JEweite, no wie das drkte xaA vierte üäclie&paar von mlfn n«r Je einem FläcI^fipMure von mV entsprechen ^ daher auch fSr jedes üiP in dem ei- nen Individno nur zwei verschiedene Gestalten im an- dern Individae gefordert werden.
Es bestimmen sich nindieh fSr die beiden, mit der ZwiUingeaxe «joinittelbar jnaa JOureiisduiitte Icom- menden flächen ve« mP dia Paralleifläehen im an- dern Individao durch das Verh<niss:
2ma*— («*—!) -^ * 2 + si(«*~l) nnd für die beiden fibrigen Flächen von mP die Par- allelflächen im andern Individao durch das Verfaältnisst
2»a» + (a» — 1) •^^ • m(a^ — l) — 2
§. 607.
t^>rt8etzllng; ParaUeliUchea der Pyramide mPoo.
Setzt man in den Resultaten des $. 605 n = oc, so erhält man für die Flächen der tetragonalen Pyra- ^mide «tPoo des einen Individuums die Parallelflächen im andern Individao. Dabei ist klar, dass die dem ersten und dritten Flächenpaare von «iP» in §. 605 entsprechenden Flächen zwei verschiedene Gestalten im andern Individao :fordem , während für die, dem zweiten und vierten Flächenpaare entsprechenden Flä- chen eine und dieselbe Gestidt gilt.
Degeidgen tläch« voaffiPoo^ wcIcIm mitderZwil- U0gß9Ms unmittelbar zum Durehschnitt^ Jkonimt, ent- zprioht näomeh im andi^r« IMAvidl9o.!di^Fjläcke einer PyramidB der NebenreÜM von dem Vefhüliaisse.:
2«a« — a* + 1 2 + m(a^ — 1)
Diejenigen beiden Flächen von «tPoo, welche die Nebenflächen der vorhergehenden an den Polkantea
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ZwiÜmgdryataik. Cap. /AI 371
flisd, haben lu ParalleMftchea : die FÜehefti dber di- tetragoaalen Pyramide von dem VerhUlfniege^
u^—1 •-* • 2
Die dritte Nebenfiäche endlich , weldie mit der erateren eine Mittelkante bildet, bat snr Parallelflä- che wiedemm die Fläche einer Pyramide ans derNe« benreihe von dem Verhältnisse;
2sia« + a*— 1 • • «(«t_.i)_2
fi. 608. ¥iaUfikvm%\ Parallemäcben der PrloMO nnd di^trfi ^
£etst man in den Besnltaften des |. 605 m^=s^oo^ nm erhält man für das ditotragonale Prisma ooPa fol» gande Bestinmiangen:
Dasjenige Flächenpaar des Prismas, nsidfifaes mit der Zwillingsaxe unmittelbar zam Durchschnitte Jixmmit, hat zwei Parallelflächen von dem Verhältnisse:
Die Nebenflächen des vorhergehenden Paares ha- ben dagegen die Parallelflächen:
n{a^ + l) , n(a»+l)
Setzt man in diesen Verhältnissen a = 1, so er- hält man for die Flächen des Prismas ooP das Ver- hähniss seiner Parallelfl&chen;
Setzt man daffegen n^=soOj so erhält man für die Parallelflächen des Prismas ooPoo die Verhältnisse:
2a» • "^ • a»-l und
00 : 1 : CO
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272 Angewandte Krystallographie.
Endlidi entipiicht der Fliehe OP des emeii IimU- vidnoms im andern IndiTidaa die Fläche:
-: r : oo : 1
f 609. Zwdtes ZYnlliogsgeBetz.
Ein zweite!^ Jedoch weit seltneres Zwillingsgesetz im Tetragpnalsysteme ist:
Zwillingaxe die Normale einer Fläche ▼on P, oder: Umdrehnngsaxe normal, Znsammen- setznngifllche parallel einer Fläche der Gmndgestalt.
Um die diesem Gesetze entsprechenden Resultate der Theorie zu finden, haben wir in den Formeln des f. 603 m^=n^^l zu setzen, und erhalten so fiolgende Bestimmungen:
Gleichungen der Axen des einen Individuums in Bezug auf die Axen des andern: Axe der j/i
2ra + £ = ®' '-' =-« Axe der y':
Axe der 2':
' + £ = «'^-1 = 0
Sabstitnenden der Coordinaten a^y ^ and z':
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ZwUüngahryUalle. Cap.IF. 273
CoCfficieoten j>, q and $ in der Gkichang
wdehe die Parallelfliehe einer dorcb die Gleichung
wm m r g^[ebenen fliehe das einen Individuums bestisinit:
siMr(2a» + 1)
' "" 2»Ki*(ii + r) — iM<2a« — J)
r(?a« + l) ^ 2ii(sia*+r) — ft»
_ st»r(2a» + 1)
2r(sia* + «) — SMi Da M, n und r rationale Zahlen sind, so wird die Parallelflftche jedenfalls eine reelle FlSche seyn, wenn a rational oder eine Quadratwurzel ist.
fi. 610. Poctaetzinig; PandlelflächeB der Pyramide siPs.
Die ra Ende des vorhergehenden f. stehenden Werthe von p^ q und $ bestimmen im Allgemeinen fir irgend eine Fläche von siPn in dem einen Individuo die im andern Individuo vorhandene Parallelfläche, und es k<Nnmt nur noch darauf an, diese allgemeine Bestimmung in einer unserer krystallographischen Be- seiehnung mehr entsprechenden Form darsustellen.
Die Werthe von p^ g und $ beliehen sich zu- alefast nur auf dai^nige Hächenpaar von siPn, wel- dies in den Octanten der Zwillingsaxe, oder in den Octanten der positiven Halbaxen ftUt. Setzt man suceessiv «, n und r negativ^, so erhalt man diejeni- gen Werdie derselben, welche sich auf die Flftchen- paare in den drei Nebenoctanten beziehen. Um end- lieh die einzelenFl&chen jedes Paares zu fixiren, hat man nur ein Mal r = 1^ und das andere Mal ft=sl, und r s= ft zu setzen. VL 18
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274 Jlngewandi4t KrystaBographie.
Anf diese Art erh&k man durch ZergUedemng des allgemeinen Resnltates folgende besondere Resultate für die vier rerschiedenen Flächenpaare der ditetra- gonalen Pyramide mVm
a) Das erste Flächenpaar von siPn ist dasjenige, welches in den Octanten der Zwillingsaxe ftllt ; seinen Parallelflftchen im andern Individno ent- sprechen die Flächen einer ditetragonalen Pyra- mide von dem Verhältnisse der Parameter:
1 1 1
2sJH«+l)-«(ts'-l) ' fbiimm-^iy-'m * 2(sni +«)-«»
b) Das zweite Flächenpaar vonmPfi ist dasjenige Nebenpaar des ersteren, welches in der entge- gengesetzten Hälfte der Gestalt liegt; seinen ParaHelflächen entspricht das Verhältniss:
1 1 1
c) Das dritte Flächenpaar TonmPii ist dasjenige, welches von den beiden Nebenflächen des er- sten Paares in derselben Gestalthälfte gebildet wird; seine Parallelflächen bestimmen sich durch das Yerhältniss:
1 ^ . --1 , 1
d) Das vierte Flächenpaar endlich wird von den- jenigen beiden Flächen gebildet, welche an den Polkanten des «weiten Paares liegen; seinen Parallelflächen entspricht das Verfaältntss:
-1 1 -1
— t-
§. 611.
Fortsetzung $ ParaUelfl&chea Ton siP.
Setit man in den Veriiältnissen des vorbeigehen- den |. n 3B 1, so erhält man die ParallelflSchen der tetragonalen Fjrramide siP, wie folgt:
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ZwiNmg^lrystalU. Cap.IF. 275
a) Deijenigen Ftädie von mP, welohe in dem Octan- ten iffi ZwillingMoe liegt ^ enttpridit die Par- allelfläohe
2«*(2ii — 1)-H V* • *
b) Diejenige fläche Ton eiP, weldie mit der vor« liergehenden eine Mttelkante bildet » hat die Parallellläche:
2a«(2ei + iy^=l • * • *
c) Den beiden andern Flächen Ton mV entsprechen endlich die Flächen dner ditetragoq^en Pyra- mide von dem YerhältniMo:
ii(2a^+l) + 2 . ii(2a» + l) + 2 . 2«* — 1 • »(2«» + l) — 2 • *
§. 612. " FortMtsaog; ParalleUUchea tob »Pco.
Setzt man in den Verhältnissen des |. 610 11=00, so erhält man f3r die Flächen der tetragonalen Pyra- mide mPoo folgende Parallelflächen:
a) Ffir die beiden an der Zwillingsaxe liegenden Flächen swei Flächen einer ditetragonalen Py- ramide von dem Verhältnisse der Ableitnngs- zahlen:
* . . 1.1
2a«(»— 1) + 1 ' 2(swi« -h 1) • 2 — m Ist also die Pyramide 2Poo, so werden diese Paxallelflächen wieder swei Flächen von 2Pao, und ist sie Poo, so werden es swei Flächen von2(ii* + l)P2(«*+l).
b) Vax die beiden andern Fliehen von «Poo wer« den die PftralieUttriien einer ditetragonalen Py-« nunide von dem Verbiltnisse der Ableilnag»- sahlen:
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276 AngewandU KrystaUograplUe. 1 1—1
2a'{m^i) — % ' 2(«a«~l) * 2 + « angehören.
§. 613. Fortietiang} ParalleUl&chea der Priuiea und der BatU.
Setzt man in den Verhältniisen des |. 610 wi=x;^ go erhält man die Parallelflächen des ditetragonalen Prismas ooPm, nämlich
a) fär die beiden Flächen im Octanten der Zwil- lingsaxe:
ina^ — l . . . 2na^ — ± 2a«(» + l) * * "2ä*— n
b) für die beiden Nebenflächen der ersteren:
1 —11
|
2a\n — t) • 2a»+» ' 2iki» + 1 |
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Hieraus folgen die Verhältnisse der Parallelflä- |
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eben: |
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für das Prisma ooP: |
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2a^ — 1 |
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. ^ : 1 : 1 4a* |
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nnd oo : — l ; 1 |
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f&r das Prisma ooPoo: |
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1 : 1 : 2a* |
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EndUch findet sich för die Basis OP die ParaUel- |
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iläche |
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\ 11 |
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l_ia« •*• * |
i 614. IlrHim ZwUliag^teMis.
Ausser den beiden ZwilUngsgesetseni derMi Theo- rie im Voiheigehenden ansf&hrlicher entwickelt wor- den, kommen im Gebiete des TetragonalsystwieSy je- doch sehen 5 noch einige andere Ciesetse ror, von welchen wir nur dasjenige erwähnen wollen» welches
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. ZwUUngshryaiaUe. Cap. JF. 277
sich f&r die hemi^rischen Combinationen des Scheel- kalkes und tetragonalen Kupferkieses verwirklicht findet, and auch nur für dergleichen Combinationen wirkliche ZwillingskrystaUe zur Folge haben kann, weil es dem in §. 578 angegebenen zweiten Gesetze des Tesseralsystemes ganz analog ist. Es lautet nämlich :
Zwillingsaxe die Normale einer Fläche ▼on QoP, oder: Umdrehungsaxe normal, Zusammen- setzungsfläche paraUel einer Fläche des Prismas der Hauptreihe.
Die Theorie dieses Gesetzes, ist sehr einfach^ in- dem es auf £e boloädrischen Gestalten ohne allen Einfluss ist, fBr die hemi§drischen Gestalten aber nur eine Reproduction der holoädriscfaen Muttergestalten rar Folge hat Es erhält nämlich durch Verwirkli- chung dieses Gesetzes eine jede hemiädrische Gestalt des einen Individuums zu der gleichnamigen hemiSdri- schen Gestalt des andern Individuums genau diejenige Stellung, in welcher beide als eomplementare Gegen- körper aus einer und derselben Muttergestalt abzu- leiten sind. Die Theorie hat daher für die Zwillinge dieser Art gar keine besondere Aufgabe zu tosen, weil die gegenseitigen Verhältnisse der flädhen bei- der Individuen ein für alle Mal bestimmt sind.
B. BnohfMumg i$r wichiig$ieß ZwUUnge,
§. 615. SSwiUinge det ZinnerzM.
Dai Zinnerz ist eine von deigenigen Mioeralspe- cües, wdche weit häufiger in ZwilUngskrystallea, als in einfachen Krystallen vorkommen. Für seine Grund- gestalt bestimmt sich die Axe:
und als die gewShnlichsten Gestalten seiner Krystall- reihe erscheinen
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278 Angewandte KrystaUographie.
ÖP P s=s t» Polk 12r 36% Mittelk. «T IST
Poo»p, .- 133^27% . . er bsr
ooPi = r,.Seiteiik.liy 38% und tiT 22^ ooP ^ y
0CP<X) SS /
IMe Zwillinge sind nach dem ersten Gesetze ge- bildet, idso die Zwillingsaxe eine Nonnale derPyra*- ■udePoo; kiemacli werden, «nter YoraossetzoBg des obigen Werthes von a, die Parallelflächen . für OP, eine Fläche ton V'oo,
- P, swei FL von P, swei von 7PJ,
- Poo, eineFI. Poo, sweiFL von^^, eine TPoo,
- 00P4, swei FL von ^P^, swei von ^P4, -odP, swei FL Von |P^
- ooPdb^ eiM Fl. von iPoo, eine von oofoo.
§. 616. Forttetsang.
Die Zwillingsbildnng findet am Zinnerse gewöhn**' lieh nur mit Juxtaposition Statt ; so stdlt Fig. 664 ei* nen Zwilling der Combination P.ooP, Fig. 665 einen Zwilling der Combination P.oop.ooPoo, und Fig. 666 einen Zwilling derselben Combination dar, in wel- cher jedoch die Prismen statt der Pyramide vorherr- schen. Der Neigungswinkel der HaUptaxen betragt in diesen Zwillingen 112^ 3f; der visirartig einsprm- gende Winkel, welchen die beiderseitigen Polkanten o; der Grandgestalt, oder die sehr hänfigen, nnd an ihrer Streifong kenndichen Abstampfnngsfl&chen die- ser Polkanten bilden, 135^ 56^; der ein- oder ras- springende Widtel der beiderseitige Fläch«i ooP (g) 129** 2^. ' ^
In der Regel wiederholt sich die Zwillingsbildnag, entweder mit parallelen Zttsammensetxnngsflächen, wie in Fig. 667, in welchem Falle oft viele lamdUare In-
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ZfMlmgüsrystaUe. Cap.JF. 27a
£vidiien lehlchtenweis mit einander abweehseln, oder noch häufiger mit gene]|;ten Zusammensetznngsflächen, in welchem Falle DrilUngskryftalie wie Fig. 669, oder anch analoge Yierlingt-, Fänflingskryatalle jl s. w. entstehen. Diese letztere Art des Vorkommens ist die gewöhnlichere der Varietäten aus dem Erxgebirge^ deren Drillinge und Vierlinge meist so auf der Un- terlage aui^e wachsen sind, dass die Enden der bei- den äussersten Individuen nach unten, und die mitt- leren Individuen (also z. B. in dem Drillinge Fig. 669 das Individuum II) nach oben gewendet ^ sind. Die Combinationskanten t der nach aussen gewendeten Flächen / sind oft durch schmale Spuren der Flächen Poo etwas eingekerbt
Diese Drillings-, Vierlingskrystalle u. s. w. stel- len in sich selbst zurücklaufende Systeme von Indi- viduen dar; das Maximum der Anzahl vollständiger Individuen ist fSnf, so dass ein sechstes, den Kreis schliessendes Individuum nur unvollständig ausgebil- det seyn kann. Zuweilen fidden sich dergleichen Sechslingskrystalle, von welchen einer der Combinar tion opP.acPaQ.ooP4 in Fig. 668 abgebildet ist.
Endlich wiederholt sieh auch die Zusammen^ setsung symmetrisch an mehren Polkanten der Grund- gMtalt zugleich; ja, tean findet Individuen, welche an jeder Polkante von P das Rudiment eines andern Indiridwwis zeigen, so dass Neunlingskrystalle zum Yotsdieine kommen, die bei vollkommen symmetri- scher Ausbildong wie Fig. 670 erscheinen.
f. 617. ZwUlisge des Rutiles.
Die Zwillingskrystalle des Rntiles haben sehr viel Aehnlichkeit mit denen des Zinnerzes, wiewohl sie nidit in so mannichfaltigen Verwachsungsarten beob- achtet sind.
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280 Angewandte KrysiaUographie.
Nach Breithaopts Messungen des Neigungswin- kels der HaupUxen in den Zwiilii^krystaUen be- trägt derselbe etwas über lld""; vielleicht entspricht daher der Grundgestalt die Axe
^ — Vi wonach dieser Winkel 115'' 22' betragen würde. Die gewöhnlichsten Gestalten sind: ,
P, Polt 123* 44', MiUelk. 83* 38' Poo, . . 135*^34% . - Jß4*38' ooP3, Seitenk. 143*» y, uncf 126*52' ooP und ooPoo.
Die ZwUUnge sind nach demselben Gesetze gebil- det wie jene des Zinnerzes; daher werden, unter Voraussetiung des Werthes von a ss f/f, die Paral- lelflächen für P, zwei R von P, zwei von 13P^,
- Poo, eine FL Poo, zwei FL ^P~, eine 13Poo,
-ocP3, zwei FL 4P^, zwei FL ^97^
-ooP, zweiR^P^,
-ooPoo, eine R ooPoo, eine R iV(X>.
Die ZwiUingsbildung findet gewöhnlich mit Juxta- Position Statt, und lirfert bei der säulenförmigen' Form der Individuen die bekannten knieförmigen Zwil- linge, dergleichen einer der Combination ooP3.P in Flg. 671 dargestellt ist Der Neigungswinkel der Haupt-^ axen beider Individuen betrügt 115"* 22' (nach Breit- haupt jedoch nur 115° 2')« Die Zusammensetzung wiederholt sich nicht selten, und bringt Drillingskry- stalle hervor wie Fig. 672. Sind die Individuen sehr dünn, nadeiförmig, und findet die Zusammensetzung für viele derselben zugleich nach mehren Richtungen Statt, so entstehen theils sparrige, theils netzartige Krystidlgmppen , welche letzteit» bei zunehmender Feinheit der Individuen endlich in filzartige Gewebe haarieiner Krystalle übergehen.
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ZwUUngstrystalle. Cap. IK 281
§. 61&
ZwtUinge des SdiwtrxBaiigUMraet,
Die Krystallreihe des echwarien Manganerses hat ' sur Grandgestalt eine tetragonale Pyramide, für welche a = j/-^, oder vielleicht = j^ Bis jetzt sind nur die Gestalten
P, Polk. 105* 28', Mittelk. 117* 49^ Poo, . • 114* 54', . . 99* 6' 4P, . - 140** O', . . 67* 62' beobachtet worden; gewöhnlich ist nur die Grundge- stalt ausgebildet. Die Zwülingsbildung findet nach dem ersten Gesetze Statt, und es werden daher, Wenn « s= 1^9 ^® Parallelflächen
für P, zwei Fl. P, zwei FL 4P4 .4P, . .4P4, - . 4Pi - Poo, . - 6P|, eine FL Poo, eineFL ^Poo. Die Individuen sind d'^rch Juxtapositipn oder theit weise Penetration verbunden, Fig. 673; der einsprin- gende Winkel der Polkanten x betragt 161'' 50' (oder 160^ 48', wenn a = ^\ Die Zusammensetzung wie- derholt sich zuweilen an allen vier Polkanten der ei- nen Pyraraidenhftifte eines mittleren Individuums, wo- durch sehr symmetrische Fünflingskrystalle entstehen, Fig. 674. Jedoch pflegt dann das centrale Individuum, welches gleichsam den Träger der ganzen Gruppe bil- det, die übrigen dermaassen an Grösse zu übertref- fen, dass diese letzteren nur wie Rudimente Ton In- ffividnen erscheinen, die aus dem grösseren Individuo heronsragen ; man sieht dann an jeder Polkante die- ses letzteren wohl zwei und mehre der ersteren, wie Flg. 675 zeigt
f. 619. Zwillinge des tetragonalen KopferkieM».
Der teteagonale Knpferides ist eine durch den he- mißdriadien Charakter ihrer Combinationen; eben so
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282 Angewandte KryitaUogrciphie.
wie durch die Häufigkeit und Maimichfaltigkeit Hirer Zwillingsbildong selur merkwürdige Species, deren Krystallformen aber auch durch diese beideu Yer- hältnlise den bizarreaten YerunstaltUBgen unterwor- fen zu aeyn pflegen, so dass man oft an dem Yor- handenseyn irgend eines Symmetriegesetzes zweifeln, und nichts weniger als die einfache Regelmassigkeit des tetragonalen Systemes erwarten möchte.
Die Krystallreihe des Kupferkieses ist nämlich der sphenoidiscben Hemiädrie unterworfen ; es erschei* neu daher häufig die Pyramiden der Hauptreihe ala tetragonale Sphenoide, die Pyramiden der Zwischen- reihen als tetragonale SkalenoSdei^, und nur die Py- -ramiden der Nebenreihe so wie die Prismen jeden- falls mit ihrer yoUen FlächenzahL
Für die Grundgestalt bestimmt sich nach Haidin- gers Messungen
.« = V^ Die gewöhnlichsten Gestalten sind: OP = a
iP = li. Polt 132^ 19', Mittelk. 69*» W P = P, - . 1()9* 53', . . 108^ W ^P = r , - . 100^ 44', . . 128** 52' Poo=4, .-120^30', - - 89^ 9' iPooss 0, . . 108^ 18', . . 111° 50' 2Poo=3 c, - . lor 49^, . - 126° 11' ooP == M, und ooPoo := l ausser ihnen kommen noch mehre Skdenoäder und .flache Sphenoide vor, deren Bestimmung zum Theil noch nicht möglich war.
Es sind besonders folgende drei Zwillingsgesetse^ welche sich am tetragonalen Kupferkiese verwirk«- lieht finden:
1) ZwiUingsaxe die Normale einer Fläche Poo,
2) Zwillingsaxe die Normale einer Fläche P,
3) ZwilUnssaxe die Normale eiMr Rädm ooP.
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ZwüüngskrystaUe. Cap. ir. 283
Wir wollen nun die wiehligiten der nach diesen Gesets^i gebildeten Zwillingsformen näher in Betrach** tnng ziehen.
i 620. Forttetsanjg.
Die ZwiUingsbildong nach dem ersten Gesetse fin« det meist mit Joxtaposition Statt; se steUt s. B. Fig. 676 einen Zwilling der Combination P.0P.2Poo.Poo dar 9 deren Physignomie jedoch nicht selten dadorch ' Terfindert wird, dass die Pyramide P in swei Sphe* Boide von rerschiedener Ausdehnung zerfUlt« Die beiderseitigen Flftohen b bilden ein- und aussprin* gende Winkel von 178° 18% die Flächen c einsprin« gendo Winkel von 144'' 50% die beiderseitigen Basen • einen Winkel von 89° 9^. Wiederiiolt sich die Zu* sammensetarang an aUen Tier oberen oder unteren Polkanten von P, so entstehen symmetrische Fünf* lingskrystalle, wie Flg. 677, in welchen das mittlere Individuum, als Träger der ganzen Gruppe, mit sei- nem oberen und unteren Ende frei ausgebildet ist^ während seine Seiten durch die vier andern Indivi- doed v^deckt sind.
Auf den ersten Anblick hat dieser Fünflingakry«^ stall (den man auch als einen Sechslingskrystall deu- ten kann) grosse Aehnlichkeit mit der tesseralen Com* bination O.ooO.dtOoo, zumal, wenn di6 einspringen« den Zwillingskanten der Flächen c sehr klein oder gar nicht vorhanden sind. Allein selbsf dann, wenn die^ diesen Zwillihgskanten entsprechenden Einker- bungen auf den Kanten des ' scheinbaren Oktaeders feUen, wird man durch die ihren HShenlinien paral- lele Streifung der Flächen von P auf die Anerken- nung der Zusammensetzung geleitet, weil je drei die- ser Flächen zu einer Fläche des Pseudooktaäders oon- tribuiren, und daher ihre resp. Streifimgen in drei
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284 Angewanäie Krystailographie.
Satoren ziuiaiBineBstosseiL Auch £edl6n je drei die* ser Flächen nicht in eine Ebene, sondern bilden sehr stampfe theils ans - theils einspringende Winkel (von 178'" 36'), daher denn auch eigentlich ein Oktaeder mit getheilten Flächen die vorherrschende G^estalt die- ser psendotesseralen Combination bildet Dass die Flächen des scheinbaren Rhombendodeka^ers gleich- falls gebrochen sind, versteht sich von selbst*).
Wenn Combinationen mit vorherrschenden Sphenoi- den oder SkalenoSdem »ach demselben Gesetze swil- lingsartig verbunden sind, so entstehen bei wieder- holter Zwillingsbildung gleichfalls Aggregate, welche an die Formen des Tesseralsystemes erinnern; so stellt s. B. Fig. 678 einen Ffinflings - oder Sechslings- krystall vor, dessen einiele Individuen die Combina- tion eines vorherrschenden Skaleno€ders (#) mit ei- nem die kürzere Polkanta abstumpfenden Sphenoide, der Basis (11)9 und dem sehr untergeoidneten Sphe-
P
noide — ~ zeigen. Die ganze Gruppe erscheint, bei
symmetrischer Ausbildung, wie ein Hexakistetra§der, dessen mittlere Kanten durch ein in verwendeter Stellung befiniHicheB Trigondodekaäder, und dessen rhombische Ecke durch das Hexa($der abgestumpft sind. Ein nach demselben Gesetze gebildeter Zwilling der Combination ^P.4Poo.OP.P.^P ist in Fig. 679 ab- gebildet.
5. 621. Forttetsang.
Häufiger als die im vorigen $. beschriebenen Zwil- linge kommen am Kupferkiese diejenigen vor, welche nach dem zweiten Gesetze gebildet sind, oder deren
*y Die meisten Fliehen P entsprechen dem TkoBitetraederf^O^^, imd.die mutten Fliehen b dea Tetrskidiexft(kler aoO||.
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ZunUingsirysial/e. Cap.lF. 285
ZwUKngtaxe die Normale einer FIftche der Gmndge- italt ist. So siebt man selir oft iwei Individuen der
P P
Combination ^« — ^ nacli diesem Gesetze durcli Juxta«
]NMition tXL Zwillingen verwachsen, welche die grSssfe Aehnliclikeit mit den im Tesseralsysteme beschriebe* Ben Zwillii^n des OktaSders haben; Flg. 680. Die Indiridaea sind meist in der Richtung der Zwillings- axe terkdrzt, iind bilden, bei der sehr hftnfig Statt iftdenden Wiederholung mit pairallelen Zusammen- setaungsfläcfaen, schichtenweise Aggregate wie Fig. 681.
Einen nach demselben Gesetze gebildeten Zwilling der Combination P.?Poo.Poo.OP stellt Fig. 682 dar.
Wenn der sphenoidische Habitus sehr hervortritf, wie z B. in dem Krystalle Fig. 683, and zugleich eine tkeilweise Penetration der Individuen Statt findet, so Erhalten die nach demselben Gesetze gebildeten Zwil- linge nicht selten ein ganz eigenthomlic^es, an die in Fig. 622 abgebildeten Zwillinge des Fahlerzes erin- nerndes Ansehen; Fig. 684.
Dieselbe Zwillingsbildung wiederholt sich ai|ch oft mkt geneigten Zusammensetzungsflächen; macht sich dann^ zugleich mit der sphenoidischen Hemiedrie, auch die ungleichfSrmige Ausdehnung der Flächen geltend, so erhalten die DriUinge u. s. w. meist ein so unre- gdmässiges Ansehen, dass man die Form der elnze- len Individuen nur durch eine sorgfältige Untersu- shnng herausfinden kann. So stellt Fig. 685 einen
P
dergleichen Drillingskrystall der Combination -^Tfoo.
oc9 dar, in welchem die wahre Symmetrie der For- men dermaassen entstellt ist, dass man eher eine un- regelmässige Combination des triklinoädrischen, als eine Combination des tetragonalen Systemes zu sehen ^anbt
Die nadi dem drittm Gesetze gebildeten Zwillinge
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/28d Angewandte Krystallographie.
Skid die seltensten; sie können nur an Kiystallen Toa sphenoidischem Habitus Torkommen, und sind x. B.
P P
von der Combination '^•^--'j ^ wahre Durchkren-
lungszwfllinge auf der Grube Kurprfas bei Freiberg gefonden worden , Fig. 686.
Uebrigens findet man nicht selten luswi mei^[esbt»te Krystalle des KupferkieseHy an weldien mehr als ein Gesetx der Zwüliagsbiidung yerwirklibht ist; se wie denn auch noch andere Gesetie vorsukommen «ehttnen.
f. 622. ZwilUnge des Kallucfaieelates.
Der durch seine tigenthumliche HemiSdrie so aus- gezeichnete Seheelkalk kommt zuweilen inVerwaeb* sungen nach dem dritten Gesetze vor, welche nw kraft jener JSemiädrie auf das Prädicat von Zwillifigfl# kiystidlen Anspruch haben.
Die Krystalle ton Schlackenwalde ^ in welch^i nach Breithaupt 0=1/7 zeigen bisweilen die dmt^
bination V.QVoo.i^.y^ Fig. 687, an welcher die r 2 / 2 °
ditetragonalen Pyramiden als tetragonale Pyramiden
Ton abnormer FUchenstellung erscheinen. Dureh-«
setzen sich zwei dergleichen IndiTiduen nach deni
Gesetze: Zwillingsaxe die Normale ein^ Fläche tob
acP; so bilden sie Zwillingikrystalle wie Fig. 686,
welche man fSr einfeiehe I^rystalle hallen koapte, weaii
nicht einerseits die abnorme Vertheilung der Flächen n
und g^ anderseits die Verhältnisse der Streifung auf
die Anerkennung einer Zosamm^isetznng Ahrten» !»•
dem die den Combinatioaskantea mit 4P2 parallelem '
Streifnngea der ilSohen von P in einer Sotnr zusam»
menslo«s^9, welche den HShenlinien der Fliehen dw
scheinbar ein&chen Pyramide P parallel ist.
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Zwimng$krystۊie. Cap. V. 287
Fünft€$ Capitel. Zwillinge des hexagonaleo Systemei.
A. JTuarU.
§. 623. Bntwmrf dff ThMcki
Der eigenlhümliehe Charakter des Hexagonalsy- stemes, welcher sehoa aiif die Berechnung seiner Ge- stalten Einflnss hatte , nmcht sich auch bei der Ent- wicklung der Theorie seiner Zwillingskrystalle gel- teiid. Der Gang, welchen diese Entwicklung sn neh- men hat, ist nngef&hr folgender.
Man geht von der Annahme ans, dass die Nor- male einer Fläche jR irgend einer dihexagonalen Py-
siPiiX ramide miPn (oder eines Skalenoßders — ^) die Zwil-
Kngsaxesey, und sucht surörderst die orthometri- sehen Gleichungen dieser Zwillingsaxe im IndiTiduo I, indem man die, ursprunglich für das schiefwinklige Axensystem (der sich unter 60^ schnei- denden Axen der y und z), gegebene Gleichung der Fläche F
ma n * orthometrisch macht, und aus ihr die Gleichungen der Normale als Functionen der orthometrischen Coordi- naten :ri , yi und Zi ableitet.
Das Individuum n stellt man sich aus der paral- lelen Stellung gegen das Individuum I, wie gewöhn* lieh, um die Zwillingsaxe durch 180'' verdreht vor, and sucht nun die orthometrischen Gleichun- gen seiner schiefwinkligen Axen, die wir als Axen der ^, jf^ und zf einfiihren wollen. Man erhält also die Gleichungen dieser Axen gleiehüedls als Functio- nen der Coordinaten ^i, gi und Zi,
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288 Angewandte Krysicdlographie.
Hierauf geht man zur Transformation der Coordi- naten fiber, indem man die Cosinus der Neigungs- winkel der schiefvrinkligen Axen der x^^ ^ und z' des Individuums II gegen die rechtwinkligen Axen der ^19 Jfi und' tx des Individuums I aufsucht, und erhält so die Substituenden der Coordinaten jti, jfi und Zi^ um irgend eine in dem Individuo I gegebene Linie oder Flftche auf das schiefwinldige Axensystepi des Individuums II beliehen zu können.
Damit hat denn die Theorie ihre Au%abe erfinll^ indem nun die Bestimmung deijenigen Flftche, welche im Individuo II irgend einer im Individuo I gegebe* nen Flftche entspricht, sehr leicht dadurch gewonnen wird, dass man die, aus dem krystallographischen Zei- chen folgende, Gleichung der gegebenen Flftche ortho- metrisch macht, und endlich für die orthometrischm Coordinaten oti, yi und Zx ihre Werthe als Functio- nen der schiefwinkligen Coordinaten x^^ ^ und zf substkuirt.
f. 624. GkIdimigQB der Azes des Individiramt IL
Es sey also
iL + JL + ,»l
die, auf das schiefwinklige Ai^ensystem des Indivi- duum I bezogene, Gleichung deijenigen Flftche von mP», deren Normale als Zwillingsaxe auftritt, so wird dieselbe Gleichung, indem man ^ = ^i
setit) orthometrisch augMir&ckt
£i ,,(2— «»)y. 1 _ _ -
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ZwUUßgskrystalle, Cap. V. 289
Hieraas folgen fSr die Nonnale aus dem Mittel- pnncte, oder für die Zwillingsaxe' die orthometrischen Gleichungen :
-£: y^ 0
«j/3 «0(2—«) ~~
-^ - X, =0 ma
" = 0
2 — » i»/3
die Länge dieser Normale
j^ «»g«/3 «gm/3
und endKch die Neigungswinkel (iVJT), (iVF) und (iV^) der Zwillingsaxe gegen die schiefwinkligen Axen der x^ y und z
m(iVF) = ^i
Nach erfolgter Drehung des Individuums 11 um die Zwillingsaxe ergeben sich folgende Bestimmungen für die Lage seiner schiefwinkligen Axen, d. h. der Axen der a/^ ^ und z'\
1) jede dieser Axen liegt in der Ebene durch N und die gleichnamige Axe des Individuums I;
2) jede derselben bildet mit N denselben Winkel wie die gleichnamige Axe des Individuums I. ^
Für die Axe der xf gilt alsq zuvörderst die ortho- metrische Gleichung:
-Jt ?L_«o
2 — « fi/3
Man Hetze, ihre zweite Gleichung tey: n. 19
*
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290 Angewandte KrystaUographie.
10 bestimmt sich ihr Neigungswinkel (iV7) snrZwil- lingsaxe nach der dritten Formel für coi Cf in §. 23
^ ' MV^»^ ~ » + i)ß* + (2— J»)»o» Da nun
00$ (NT) = eos(N2r), •o bestimmt sich das Yerhältniss von o und /9, und wir erhalten daher folgende orthometrische Gleichun- gen für die Axe der or':
4«i»o»(»*--«»+l)— 3»' ^ 2»a«(2— f»)|/3 ""
*»_+ £« =0
2 — J» «/3 " Die Axe der x' hat zuTörderst dt« orthometrische Gleichung:
j?L y£ = 0
«|/3 «11(2 — 11) eine zweite Gleichung findet man am leichtesten ans der Bedingung, dass die Axe der 2f auf der Axe der o;^ rechtwinklig ist, und erhält daher überhaupt fol- gende orthometrische Gleichungen für die Axe der z^:
ii|/3 «a(2— j») " "
= 0
=0
2«i'a'(ji*+2ii— 2)-3ii» 6skm«
yi g,
2«i'aH2— 1»)«|/3 2»i»a*(j»*+2ii— 2)— 3ä
Die Axe der y^ endlich fällt in die Ebene dnnA N und die Axe der y, welche letztere durch die Gleir chungen
^1 =3 0 und ^ — 2^1 a« 0
bestimmt wird; die Gleichung dieser Ebene ist daher
£i . yi ^ r.
Zn ■*'2ski(2« — 1)|/3 2sM<2» — 1)~
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ZwilUngskrystaUe. Cap. F. 291
Setzt maa non, die Glekhiuigen der Axe der jf
geyen :
?+f=^-*f+? = o
so folgt ans ihrer Lage in der Ebene NYi
o »1/3 "*" S
nnd ans ihrer Rechtwinidigkeit anf der Axe der x^:
y_ 4m^a^(4n — n^ — i)—3n^
nnd daher
^ _ 4yi^a^(;i^ — l) + 3ii^
Die orthometriscfaen Gleichungen Ür die Axe der ff' werden also folgende:
£l + Sl _ 0
4ji'a'(4Ä— n^— 1)— 3«* Vlman
= 0
4«*a»(ii^— i)j/3+3ii ya"*" 4«i'a^(4»— n'— 1)— 3»*™^
f. 626.
Gleichiuigcn dar Axen; wenn die ZwiUiogsaxe eine Normale von mP.
In allen bis jetzt bekannten Zwillingen des Hexa- gonalsystemes ist es wohl die Fläche irgend einer Ge- stalt der HanptreUie , deren Normale die Rolle der Zwillingsaxe spielt; wie denn am häufigsten die Haupt- axe selbst, oder 4ie Normale von OP als Zwillings- axe anfhritt. Wir können daher nnsre ferneren Rech- nongen bedeutend vereinfachen, wenn wir, den all- gemeinsten Gesichtspunct verlassend,, nnsre Untersu- ohnngen zunächst auf den Fall beschränken, da die
19»
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292 Angewandte KrystaUographie.
Flächennormale irgend einer Gestalt der Hanptreilie, also irgend eines «T, die Zwillingsaxe ist*).
Zu dem Ende haben wir in den orthometrischen Gleichungen der Axen des Individuums II n = 1 zu setzen; sie erhalten dann folgende Form: Gleichungei%der Axe der x'i
+ ±i = 0
- ^ =•
€leichiing«ii der Axe der y^:
*•- -L -^t =0
4«'a "^ 73
*« - ^'^ =0
3/3 ^ 8»i'»a* — 3 Gleichnngea der Axe der z':
£l _ yj- =0
|/3 «'a
^- J^ =0
2«i'»a»— 3 6«»'a
__!« ^' ^0
a«"aV3 2»'»a»— 3
5. 626. Tnuufomatioa der Cooi^aten.
Beieichnen wir die Neigongswinkel der reclrt-
*) Da weiter Uten toi Bkuhitabea ai, » «nd r varicioatBea» welche accentiütt werden mfiwten, «n ale van dem m sa witer- •dieiden, welches (in den GlMchongen der ZwilHngMze auftritt, •o schien es mir heqoemer, den Accent anf dieses a» fiT>ergehen za lassen, am iS» folgenden Fortadn nur mit dnem, ttait ait drei Mcentditen Buchstaben sdurdbea n kSnoea.
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Zwillingshrystalle. Cap. V. 293
winkligen Axen der ^„ jfi und Zi gegen die schief- winkligen Axen der x\ y' und 7/ mit (-XiJT), (JTiF^, (JTiZO) (I^i^O ^' ^* ^9 B^ erhalten "wir für die Cosi- niui dieser Winkel folgende Werthe:
«,(j.r) — ,.>... ^. 3
«»#(F,r) «
4»'»o» + 3
2m'at^3
4m"a* + 3
3t/3
coi{Z,Y') = eo«(ZiZO =
8«"a' + 6
4»»'»a»+3 ftw^^a'— 3 8ii»"o» + 6 2«"o«— 3
4»'«o» + 3 Da nan nach bekannten Regeln: St = x'co${X^X') + y'eo»{X,Y^ + 2'co»(X.Z0
z,= d/<;fl#(Z,J') + y'co» (Z,yO + z'eo${ZiZ') ■e weiden die Subatitaenden der Coordinaten Xi, jh imd Zi, am irgend eine für das, Indiriduam I gege- bene orthometrische Gleichung anf das schiefwinklige Axenaystera des Individaums n sa beliehen, folgende:
2. = ^jj7;^7:p[6"»'«*'-H(8«"«*-%'+(2«»"«'— S)»'l
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294 eingewandte Krystcdtogtapfüe.
§. 627.
Parameter der ParallelMche dner Fl&dM des IndiTidmuns L
Ist ans nun im Individuo I eine Fl&che gegeben,
80 ist sie es ursprünglich durch die, ans dem krj-
stallographischen Zeichen ihrer respectiven Gestalt
mPn abxulesende, Gleichong
ma n r welche sich anf das schiefwinklige Axensygtem be- sieht ; diese Gleichung wird orthometrisch ausgedruckt :
ma "*■ «rj/3 "^ r ~ Dieselbe Fläche erhält aber, wemi man sie auf das schiefwinklige Axensystem des Individuums II besieht, eine Gleichung von der Form
P^ 9 «
in welcher sich die Grössen j», q und i bestinmien,
wie folgt:
__ mnfi*M'^a^ + 3)
? =
4mm\n+r)a^ — jir(4i»'*a* —3)
mnr(*m'^a^ + 3)
*m'^a^mn + 3r(2m'n — m)
mnr(4m'^a* + 3)
im'^a^mr + 3n(2m'r—m) Diese Werthe gelten zunächst für die beiden, in dem Sextanten der positiven Nebenaxen gelegenen Flächen der oberen Hälfte des Individuums I, nnd zwar hat man für die eine dieser Flächen r ss 1^ fBr die andere » c= 1 und r = n su setzen.
Für die beiden Nebenflächen in derselben Pjra- midenhälfte ist
r «e 1, und II r= -
oder « = 1, und r =r ^ .
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ZwiUmgsirystaUe. Cap. F. 205
und f8r die beiden Nachbarflächen in derselbenPy- ramidenhälfte
n = % und r = -z
oder r = II, und n = r
SU setzen. Auf diese Weise werden die Parallelflächen Ton sechs Flächen oder von drei Flächenpaaren der gegebenen Gestalt mPh bestimmt; die sechs übrigen Flächen, oder drei übrigen Flächenpaare bestimmen sich sogleich aus den vorigen, indem man m negativ nimmt
i 628. Parallel^acheD ^er dihexagonalen Pyramide siPii.
Fuhrt man die im vorigen §. angedeuteten Sub- stitutionen der Werthe von n und r aus, so erhält man folgende Resultate:
Den Flächen einer dihexagonalen Pyramide tsPn in dem einen Individuo sind paarweis die Flächen sechs verschiedener dihexagonaler Pyramiden in dem andern Individuo parallel; und zwar bestimmen sich diese Flächenpaare und die ihnen entsprechenden Par- allelflächen, wie folgt: 1) Dem ersten, im Sextanten der ZwilUngsaxe ge- legenen Flächenpaare entspricht im andern In- dividuo ein Filichenpaar von den Coäfficienten *) :
_ 1
^ "" Amm\n+ i)a^—n(im'^a^—3) _ . 1
*) Da aie Gitae siii(4si''s;,^-f 9) dbi gem^iiM^ftficher Zah- ler für alle Wertlie tod p ^ q und $ ist, und doch jedeofalis die
Qnotieoieft -^ und -^ eder ^ wd *^ c d^det werden müssen, es
•Im nvr auf das Verfafiltnlss der Grossen p, q und s ankommt» so kt jenw geawJassJMiftMrhftFajBtor im Folgenden weggelassen wocdea«
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296 Angewandte KrystaUographie.
^ ' 1
2) Das zweite Flächenpaar wird von den beiden, in derselben Pyramidenhälfte gelegenen Neben- flächen des ersteren gebildet; ihm entsprechen in dem andern Individno zwei Flächen von den CoSfficienten :
1
^ ~ 4mm\2n—l)a^—n(4m'^a^—3)
_ 1
^ 4m'^a^mn + S{2m'n—mn+m)
^ 1
' ^''a^m(n~i) + 3n{2m'—m)
3) Das dritte Flächenpaar wird von den beiden in derselben Pyramidenhälfte gelegenen Nachbar- flächen des ersten Paares gebildet; ihm entspre- chen in dem andern Individao zwei Flächen von den Co^fficienten:
^ 1
^ ^ n(im'^a^ —3) — 4fliw'(2— «)a*
1 ^
* *m''a\n—i)m—3(2m'n—m)
4.
Für die drei anliegenden Flächenpaare in der ent- gegengesetzten Pyramidenhälfte bestimmen sich die Co^fficienten der Parallelflächen ^ wenn man in vor- stehenden Werthen von p, q und t die anf die Haapt- axe bezügliche Ableitangszahl m negativ einfühlt.
f. 629.
Regel ba der Anwendung der gefundenen Resultate.
Die Resultate des vorhergehenden f. beziehen
sich auf das subsidiarische dreizählige AxMsystem
des Individuums II, in welchem sich die Axen der
y' und z' unter 60"" schneiden, währeüd die Axe der
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Zwiüingshrysialle. Cap. V. 297
af anf beiden rechtwinklig ist. Sie sind daher noch nicht in derjenigen Form ausgedrückt, in welcher sie sich unmittelbar an nnsre krystallographische Ablei- tung nnd Bezeichnung anschliessend weil 4iese auf dem in der Erscheinung gegebenen vierzähligen Axen- sf Sterne der Axen der af^ j^, if und «^ beruhen. Um nun die Parallelflächen auf eine mit dieser Ableitung nnd Bezeichnung übereinstimmende Weise darzustel- len, dazu wird folgende Behandlung der gefundenen Grössen jp, q und t erfordert.
Man diridire jedenfalls durch die IfJeinere der beiden Grossen q und t die beiden andern, verwandle also das gefundene Verhältniss piqis in
£-:!:-?-
«j • * 9 9
oder in
^ . .?. . 1
' • " • Jt
$ 9
Nun ist der Quotient 3^ oder — entweder > oder
= oder <C 2; ist er = oder < 2, so bezieht sich die gesuchte Parallelfläche auf die Nebenaxen der t^
und z\ und -^ oder — wird der auf eine dieser Ne- ' 9
benaxen, ^ oder -^ der auf die Hauptaxe bezügli- che AbleltungseoSfficient der gesuchten Fläche.
Ist dagegen der Quotient -^ oder — > 2, so föUt
die gesuchte Parallelfläche in einen der , durch die Axe der • bestimmten Sextanten , und ist danni je- denfalls statt ^- die Grosse —2—, statt — die Grösse $ q—9^ q
■_^ als der auf die Nebenaxe bezügliche Ableitungs- coSfficient einzuführen. Zugleich ist in diesem Falle
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298 Angewandte KryUcJiographie.
ganx besonders darauf zn achten, ob der Quotient ^
oder — positiy oder negativ ist, weil sich danach die
Lage der Fläche in diesem oder jenem der von der Ax^ der u' abhängigen Sextanten bestimmt.
Es f^Ut nämlich zuvörderst die gesuchte Fläche in den Sextanten der z' und ti^, oder in den Sextan«*
ten der y' und — n', je nachdem -2. oder — der ge- fundene Quotient, oder, mit andern Worten, je nach- dem f <C?9 od®' 9 "^C ' i^^* Dc^ Parameter 1 liegt aber im ersten Falle in der Axe der z^ oder in der
Axe der tf^, je ^nachdem -^, i|n zweiten Falle in der
Axe der ^ oder in der Axe der u\ je nachdem — positiv oder negativ ist.
§. 630.
Parallelflächen der bexagonalen Pyramide «tP.
Setzt man in den Resultaten des §. 628 » = 1, und bringt hierauf fTir selbige die Regeln des f. 629 in Anwendung, so erhält man für die hexagondle Py- ramide mP des einen Individuums folgende Parallel- flächen im andern Individuo.
1) Der mit der Zwillingsaxe unmittelbar zum Durch- schnitte kommenden Fläche von mV entspricht eine Fläche der hexagonalen Pyramide pP, für welche
2) Derjenigen Fläche von «P, welche mit der er- steren eine MitteLkante bildet, entspricht im zweiten Individuo die Fläche einer Pyramide /)P, für welche
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ZmlUngsiryatalle. Cap. V. 299
_ ftw^ — «t(4t"»a»— 3) ^ " 8««'«» + (4i»'>a» — 3) 3) Denjenigen beiden Flächen von mP, trelcbe niit der enteren Fläohe Polkanten bilden, entspre- chen zwei Flächen von den Cofifficienten:
1
^ "~ 4««'a' — (4»"a* — 3)
9 —
1
3(2»' — «)
4) Denjenigen beiden flächen endlich, welche mit der «weiten Fläche Polkanten bilden, entspre- chen zwei Flächen von d^m Verhältnisse:
_ 1 ^
' "~ 4si*i'a» + (4«'»a» —3)
jr= —
1
3(2»' + «)
f. 631. ParalleliUcIiea der hexagonalen Pyramide mVi.
Die Flächen einer jeden Pyramide der Nebenreihe sind den Flächen dreier verschiedener Gestalten in dem andern Individao paralleL
1) Demjenigen Flächei^aare^ welches mit der Zwil- lingsaxe unmittelbar znm Durchschnitte kommt, entsprechen zwei Flächen von dem Verhältnisse :
1
' ^ Gmm'a^ — (4»'*«» — 3)
2
* " Sm'^a'm + 3(4»' — »)
1
' ~ 2«"a»» + 3(2»' — «)
2) Denjenigen beiden Flädien , welche an den Mit-
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300 Angewandte KrystaUographie.
telkanten der beiden enteren anliegen, entspre- chen zwei FUchen von dem Yerhiltnicse:
1
f~ 4«'»«»— 3
2
4«»'*o*« — 3(4«'-») 3
9 =
4m'*a'M + 3(4»' + ») 3) Denjenigen beiden Flächen endlich, welche an den Polkanten der ersteren anliegen, entspre- chen swei Fiicfaen von dem Verhältnisse:
1
' ~ 6MM'a* + (4»'««» —3)
S»'*«"«— 3(4»' + «)
1
2M'>a'» — 3(2»' + »)
S. 632. PanUdfl&diM dar Priamea md der BatU.
Die Flächen eines jeden dihexagonalen Prismas ooP» sind paarweis den Flächen dreier dihexagonaler Pyramiden parallel; es entsprechen nämlich
1) dem ersten Flächenpaare swei Flächen von dem Verhältnisse:
_ 1
^ 4»'(» + l)o»
— 1
^ "■ 4«'»o*i» — 3
1
*~4»'*a»— 3j»
2) dem sweiten Flächenpaare swei Flächen von dem Verhältnisse :
— i
^~ 4»'(2»i — l)a*
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ZwiUingalrystalle, Cap.T. 301
_ 1
* ~ 4«»'»o»ji — 3(»i — 1)
1
* "'4«"o»(» — 0— 3«
3) dem dritten Flächenpaaie xwei Flächen von dem Yerh<nisse:
— 1
'~ 4a»'(2 — «)o»
1 f =
4«'*a*(« — 1)+3 .1
^ 4«'»o* + 3(« — 1)
Den Flächen des Prismas ooP entsprechen eine Fläche einer hexagonalen, nnd zwei Flächen einer di- hexagonalen Pyramide, nämlich
1) der ersten Fläche eine Fläche
2) den beiden andern Flächen zwei Flächen von dem Verhältnisse
1 1 1
Den Flächen des Prismas aoP2 entsprechen zwei Flächen einer Pyramide, und eine Fläche von (X>P2, nämlich
1) den beiden nut der Zwillingsaxe zum Dorch- schnitte kommenden Flächen zwei Flächen von. dem Verhältnisse:
1_ 2 1
'•*•*"" 5iV • Ssi'^o»— 3 ^ai"«»— 3
2) der mit der Zwillingsaxe parallelen Fläche ei(> ne Fläche ^p2
Endlich entspricht der basischen Fläche OP jeden- falls eine Tltcfae von
^' p 4«»'»o»— 3
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302 jingewandte KrystaUographie.
%. 633. AUgemeine Bravchbark^ der gefundenen Resultate.
Die meisten Zwillinge des hexagonalen Systemes sind bis jetzt im Gebiete seiner hemiedrischen Kry- stallreihen beobachtet worden. Wiewohl sich nun die vorstehenden Resultate zunächst auf die holoedri- schen Gestalten beziehen, so sind sie doch anf die Zwillinge der hemiSdrischen und tetartoSdrischen Ge- stalten anwendbar, sobald man nur für selbige die primitive Ableitung und Bezeichnung zu Grunde legt, was überhaupt bei allen theoretischen Untersuchun- gen im Gebiete dieses Systemes anzuempfehlen ist* Was die Zwillinge der rhomboSdrischen Formen ins- besondere betrifil, so sind für jedes SkalenoSder von seiner respectiven Muttergestalt mPh nur entweder die Flächenpaare Nr. I, V und VI, oder die Flächen- paare Nr. U, ni und IV, für jedes RhomboSder eben so nur die diesen drei Flächenpaaren entsprechenden abwechselnden Flächen in Betrachtung zu ziehen, zu welchem Ende die secundären Zeichen mR^ der Ska- lenodder auf ihre primitiven Zeichen
mnr — r-r
reducirt werden müssen.
f. 634* Häufigstes Zwillingsgesets.
Das allergewohnlichste Gesetz, welches jedoch nur für hemilldrische Formen wirkliche Zwillinge zur Folge- liat, ist:
Zwillingsaxe dieHauptaxe, oder di^Nor- male von OP.
Dieses Gesetz giebt für die Individuen rbombo^ drischer Combinationen dM sehr einfache Resultat, dass die beiderseitigen ^miidrischen Gestalten ihre
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ZwilUngslrystalle. Cap. F. 303
iiPi
2
mPii
resp. Mattergestalt reprodaciren^ indem Jedes — ^
mpn des einen IndiTidaoms die Stelläng Ton — des
andern Indiridanms erhält, und f)iee ver$a; weshalb beide zugleich den vollständigen Fiächeninbegriff der holoedrischen Gestalt siPii darstellien.
Wenn diese Art der Zusammensetzung mit Jnxta* Position Statt findet, so ist die Zusammen'setzungs« , fläche entweder die Basis OA, in welchem Falle die Zwillinge oft sehr regelmässig erscheinen, indem je- des Individuum fast genau die Hälfte eines einzigen Individuums darstellt; oder die Zusammensetzungsflä- che ist eine Fläche von ooA, in welchem Falle die Zwillinge zuweilen noch sehr symmetrisch gebildet sind«
Wenn endlich Durchkreuzung dw Individuen Statt findet 9 so erscheinen die Zwillinge gleichfalls ntdit selten sehr symmetrisch mit gegenseitig über einan- der hervorspringenden Theilen.
Die Berechnung der gewöhnlichsten Zwillingskan- ten ist in allen diesen Fällen ein sehr einfaches Pro- blem, indem man, wenn Juxtaposition Statt findet, nur den Neigungswinkel einer jeden Fläche jP des ei- nen Individuums gegen die Zusammensetzungsfläche zu verdoppeln braucht, um ihre respective Zwillings- kante mit der analogen Fläche JF^ des andern Indivi- ^unms zn finden; wogegen, wenn Durchkreuzung Statt findet, die Zwillingskanten je zweier Skaleno^ der die Supplemente der normsden Polkante nnd der Mittelkante der entsprechenden dihexagonalen Pyra- mide, die Zwillingskanten je zweier RhomboSder die Supplemente der Polkante umP der Mittelkante der entsprechenden hexagonalen Pyramide sind.
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304 jängewandte Krystallographie.
B, Beichreüung der wichtigtien Zwiüiuge.
f. 635. Zwillinge des Kalkspathet.
Der Kalkspatb, dieier Proteus des Mineralreiches, welcher an Mannichfaltigkeit seiner einfachen Gestal- ten sowohl als seiner Combinationen alle bekannten Mineralspecies übertrifft, nnd üast von jedem beson- deren Fundorte in eigenthiimlichen Formen bekannt ist, wird auch durch seine Zwillingsbildung beson- ders merkwürdig, indem er unter allen hexagonalen Mineralspecies die mannichfaltigsten Zwillingskrystalle «eigt.
Die Dimensionen der Grundgestalt des Kalkspa- tbes sind nach Breithaupts sehr interessanten Beob- achtungen in verschiedenen Varietäten etwas Terschie- den, wie sich auch von einer Species erwarten liess, deren Substanz zwar in der reinsten Form kohlen- saurer Kalk, aber gewohnlich durch grössere oder kleinere Antheile der mit Kalk isomorphen Basen ver- unreinigt ist. Die durch Mannichfaltigkeit der Ge» stalten und häufiges Vorkommen vorzuglich ausge- zeichneten Varietäten (Breithaupts polymorpher Car- bonspath) besitzen den Polkantenwinkel der Grund- gestalt
105^ 8'
während derselbe Winkel in den übrigen Varietäten zwischen 105'' (K und 105^ 17^ schwankt, und in der gewöhnlich gemessenen Varietät des Isländischen Kalk- spathes lOö*" ö^ beträgt.
Es scheint hiemach erlaubt, anzunehmen, dass der Werth der Axe •
die Species im Allgemeinen charakterisire , weil der daraus folgende Winkel
105* y 41*
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ZufiUingskrystalle. Cap. V. 305
ungefähr der mittlere zwischen den beobachteten Ex- tremen und fast genau derjenige ist, welchen die po- lymorphen Varietäten zeigen*).
Die wichtigsten der am Kalkspathe beobachteten Zwillingsgesetze sind**):
1) Zwillingsaxe die Normale Ton O/l;
2) \R\
3) ----- - - Ä;
4) - --2Ä.
§. 636. FoTtaetzung ; Zwillinge nach dem ersten Getetze. Die nach dem ersten Gesetze gebildeten Zwillinge des Kalkspathes sind jedenfalls leicht zu erkennen, wiewohl sie nicht selten , bei Jaxtaposition der Indi- ▼idnen in der Fläche Oü so symmetrisch gebildet sind, dass sie scheinbar ein einziges Individuam darstellen. So findet sich häufig die Combination oc/l. — 4-ü, Fig. 689, in Zwillingen wie Fig. 690, deren Form sich ain richtigstell darstellen lässt, wenn man sie mit Haüy als Hemitropieen beschreibt, indem man voraussetzt, das Individuum Fig. 689 sey durch einen Parallelschnitt der Basis halbirt, und die eine Hälfte gegen die an- dere durch 180^ verdreht worden. Dasselbe gilt von
*) Will man Cur a eine rationale Zahl haben , so bietet sich am nächsten f ^r, was die Polkante 104^ 56^ giebt, daher man diesen Werth wemgstens f&r Zeichnungen und Modelle ohne Feh- ler zu Grande legen kann.
*^) Das Gesetz, ZwilHngsaxe die Normale von ocil, lässt sich für den Kalkspath, in welchem kein Unterschied zwischen dem obe- ren und unteren Ende der Crestalten besteht, auf das erste Gesetz nr&ckf&hren. FAr hemimorphisehe KrystaUreihen wäre dies jedoch nicht gestattet Das von Mobs angeführte Gesetz, Zwillingsaxe die Polkante von 22, lässt sich auf das zweite Gesetz zurückführeny welches für manche Zwillinge auch so ausgesprochen werden kann : Zwillingsaxe die Normale von ^R^ weil dieses letztere Rhombo6- der das iaverse Ton B ist ($. 849). Vei^ S- ^^
n. 20
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306 Angewandte KrystaUographie.
den in Fig. 694 abgebildeten Zwillingen der Combina- tion — 1/1.0/1./1, Fig. 693.
Besonders häofig Ifonml das anter dem Namen der metastatisohen Varietät bekannte Skal^aoSder JR' nach diesem Gesetze als Zwillingskrystall Tor, 4hi- wohl in seiner selbständigen Aosbildong als aach in seinen Combinationen mit andern Gestalten. Wenn die Individuen, wie gewöhnlich, durch Jnxtaposition in der Fläche OA verbunden sind,, so erscheinen die Zwillingskrystalle als sehr regelmässige Hemitropieen; so stellt Fig. 697 eine Hemitropie des vollständ^ ans^ gebildeten Si^alenoäders il% Fig. 699 eine Hemitropie der Combination ü^.j-il^, und Fig. 703 eine Hemitro- pie der in Fig. 702 abgebildeten Combination /l'. — ^R. ooR vor. Alle diese Zwillinge scheinen gewöhnlich auch in der Natur selbst so regelmässig aus swel Hälften eines Individuums zusammengesetzt zu seyn, dass ihnen die Haüysche Construction vollkommen entspricht. In Fig. 697 und 699 betragen die aus- und einspringenden horizontalen Zwillingskanten ISS"* 0^; diese Winkel verschwinden dagegen, wenn die Flächen des Prismas ooR vorhanden sind, wie in Fig. 703, welche Flächen dann im Zwillinge nicht mehr als sjrmmetrische Trapezoide (wie im einfachen K17- stall, Fig. 702), sondern als zweierlei verschiedene Rhomben erscheinen, deren horizontale Diagonalen nicht selten durch eine schwache Einkerbung die Zu- sammensetzung verrathen.
§. 637. Festi^tEQag.
Findet dieselbe Zusammensetzung mit Penetration der Individuen Statt, so entstehen Zwillinge, vrie sol- che z. B. fdr die Combination —\R.ooR in Fig. 695, fiir das Skalenoeder R^ in Fig. 700 und 701 abgebil- det sind, wel^ie letztere beiden Figuren diese Art
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Zunllingskrystalle. Cap.F. 307
der Ziuainmensetsiiiig mit Wiederholung darstellen, indem ans einem grösseren Individuo mehre kleinere bdividnen heransragen ; ein Verhältniss, welches, wenn aneh nicht in der idealen Regelmissigkeit, wie es dieflgnren xeigen, so doch nicht selten ra beob* achten ist. Dabei Ifissl sieh in der Lage der kleine* ren Individnen gegen das grössere noch der Unter- schied geltend machen, dass die Ihidimente der erste- ren entweder ans denP^ stumpferen od«r ans den schär- feren Polkanten des letzteren henrorragen; ein Un- terschied, welcher dareh die Fignren 700 und 701 veran- schaulicht wird. Uehrigens ist in Fig. 700 auch der mitt- lere Krystall als Träger der ganzen Gruppe schon ein durch Juxtaposition gebildeter Zwilling, wie Flg. 697.
Einen mericwürdigen Fall Ton sich umschliessenden Individuen der Gestalt — ^R bat Haidinger beobachtet; das eine grössere Individuum ist auf eine eigenthümli- ^e Art seinen eigenen Flächen parallel ausgehöhlt, und bildet gleichsam ein flaches Becken, in dessen Boden das zweite Individuum eingesenkt ist; flg. 696.
Nicht selten findet die Zwillingsbildung nach dem ersten Gesetze in der Art Statt, dass eine Fläche von oo^ als Zusammensetznngsfläche auftritt. So finden sich z. B. Individuen der Combination ocil. — ^/l, des SkalenoMers R^ und andrer Gestalten, auch das pri- autive Rhomboöder jR selbst, inKrystallen nndSpal- tongsstäcken (jedc^ häufiger noch in der Species des Paratomspathes als in der des Kalkspathes) wie Fig. 692, das fthombo«d«r ^2R wie flg. 691 zusammen- gesetzt.
f. 638. Fortaetsnog; Znvilliiige nach den sw^len Gresetze.
Die Zwillingsbildung nach dem zweiten Gesetze, da nämlich die Normale einer Fläche des IHumboö- ders — \R die ZwiHingsaxe ist, kommt mit Juxtapo-
20*
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308 Angewandte Krystallographie.
silion anier andern sehr häufig an den Spaltangs*- stücken mancher derber Varietäten und zumal des Isländischen Doppelspathes vor. Da dasRhombo^er — 4-^ <11® Polkanten des Rhombo§ders R regelmässig abstumpft, so entspricht die Zusammensetznngsfläclie jedenfalls einer solchen Abstumpfungsfläche, und man erhält daher die Stellung beider Individuen, wenn man ein Rhomboäder R nach einem durch zwei par- allele Mittelkanten gehenden Sdlknitte halbirt, und die eine Hälfte gegen die andre um ISO"* verdreht denkt; Fig. 704. Die Zusammensetzung wiederholt sich ge- wohnlich, indem mehre lamellare Individuen in bei- derlei Stellung mit einander abwechseln; Fig. 705« Oft sind mehre dergleichen Lamellen von sehr gerin- ger Dicke in ein Rhombo^der eingeschlossen, und dann offenbart sich die Zusammensetzung nur durch schmale Furchen oder Streifungen, welche auf zwei Gegenflächen des Rhombo^ders ihren längeren Diago- nalen parallel laufen, und nichts anders als die Aus« gehenden der eingeschlossenen Individuen sind; Fig, 706. Dieses Verhältniss findet sehr häufig in den wasserhellen Spaltungsstücken des Isländischen Dop- pelspathes Statt, und hat nicht nur mancherlei (nur aus dieser Zusammensetzung erklärliche) optische Phä- nomene, sondern auch die Entstehung von sehr voll- kommenen Absonderungsflächen zur Folge, welche nicht selten für Spaltungsflächen gehalten worden siftd.
Auch wirkliche Krystalle, wie z. B. Combinationen des Prismas oojR mit andern Gestalten sind dieser Zu- sammensetzung unterworfen, welche sich jedenfalls daran erkennen lässt, dass die Hauptaxen beider In- dividuen einen Winkel von 127° 34' bilden; Fig. 707.
Setzt man a = ^-^^ so werden die Parallelflächen : für die Fläche OjR eine Fl. von 44/t
fiir die erste Fläche oo/l - - - \^R
Ä - . . VViJ
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•
ZwiUingsirysialle. Cap. y. 309
wofür man jedoch, Behufs der Zeichnung der Zwil- lingskrystalle, ohne Fehler die ans dem Werthe i^ =5 |/f folgenden Flächen 4^^) ^R iHid \R setxen kann.
§. 639. Forttetzuog; ZwUlioge nach den dritten Gesetze.
Die nach dem Gesetze : Zwillingsaxe Normale von H, gebildeten Zwillinge zeichnen sich dadurch sehr ans, dass dieHauptaxen ihrer beiden Individuen fast rechtwinklig sind, indem der Neigungswinkel dersel- ben 89^ 8^ beträgt. In säulenförmigen oder andern Krystallen von etwas langgestreckter Form sind sie daher sehr leicht zu erkennen. Sie finden sich z. 0. nicht selten an der Combination ocil.OJR, Fig. 708, und unter andern sehr schön zu Gersdorf an der Combination ocJR. — ^ü. Auch gehören hierher die von Haüy beschriebenen herzförmigen Zwillingskry- stalle der Variete analogique^ oder der in Fig. 702 dargestellten Combination R^.^^R.ooRj deren Zwil- linge bisweilen aus zwei ziemlich symmetrischen Hälf- ten bestehen, so dass sie sich aus einem Krystall wie Fig. 702 construiren lassen , wenn man annimmt, derselbe sey nach einer fläche des primitiven Rhom- boSders (also nach einer Spaltungsfläche) halbirt, und die eine Hälfte gegen die andre durch ISO'' verdreht worden. Die achtseitige Iigur alcdadcb stellt sehr nahe die Conture eines solchen Schnittes, und Fig- 709 das Resultat der Hemitropie selbst in einer sol- chen Stellung dar, dass die Zusammensetzungsfläche vertical und auf den Reobachter gerichtet ist, weil die Zwillinge in dieser Stellung aufgewachsen zu seyn pflegen.
f. 640. Fortaetzaqf ; Zwiliinge nach dem vierten Gesetze.
Nach dem vierten Gesetze, welchem zufolge die
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310 Angewandte Krystallographie.
Normale einer Fläche ron — iB ab Zwillingsaxe auf* tritt, koimneii anter andern die SkalenoMer jR^ und solche Combinationen, in welchen R^ die vorherr- schende Gestalt bildet, verwachsen vor; Fig. 710. Der Neigongswinlcel derHauptaxen beider Individuen be- tragt 53^ 6(/y und der einspringende Neigungswinkel der einander sngekehrten stonlpferen Polkantea der beiden Skalenofider JR' dS" 2\
Was die znr Constmction der Axen des sweiten Individnnms erforderlichen Elemente betrifft, so kann 'man ohne Fehler die Haüysche Annahme a = |4 za Grande legen, nach wdlcher sich bestimmt dKe Par- idlelflftche
der Fläche OA eine ilEehe von iR
der ersten Fläche ocbB • • - - iit
..... B . . . - 4i
4Ä
|. 641.
ZwilÜDfe der riiomboSdrbehen SUberUende.
Die rhombo^drische Silberblende oder das Roth- gütigere kommt in verschiedenartigen Zwillingskry* stallen vor. Nicht selten findet man Krjstalle nach dem Gesetze: ZwiUingsaxe die Haoptaxe, verwach- sen, in welchem Falle theils die Basis, d^ils auch eine Fläche von ooH als Zosammensetsniq^sfläche aof- tritt. So hat Haidinger sehr schone, darch Jaxtapo- sition gebildete Zwillinge der in Fig. 711 perspectiv visch, Fig. 712 im Grundrisse dargestellten Combi* nation
beobachtet, deren Zosammensetzangsfläche eine Fläche von oojR, and welche bei gehörig symmetrischer Aas- bildung scheinbar einen einzigen. Krystall darstellen, indem sich die Individuen wie die beiden Hälften zweier Individuen verhaken; Grandtiss in Fig. 713.
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ZunttingsirysiaUe. Cap. F. 311
In andern Zwillingen derselben Combinalion fand eine ▼oUkoinmene Durefalorenznng der Individnen Statt, so ^uis sie im Grandirisse wie Fig. 714 . erseheinen , in- dem die beiderseitigen SkalenoSder ihre resp. dibexa- gonalen Pyramiden reproduciren.
Der Hemimorphismns, welcher sich an vielen Com- binationen dieser Species anf eine sehr bestimmte Weise vorfindet^ und schon dorcSi das so häufige Anf-
OCÄ
treten des trigonalen Prismas ——- als ein gesetzli*
ehe« Yerhältnlss dieser Krystallreihe tu erlcennen giebt, hat bisweilen gans eigenthfimliche swillingsar- tige Znsamlnensetstiiigen snrFolg^, indem swei sfin* lenartige Individiien in einer Parallelflllcfae von OK dergestalt an einander stossen^ dass alle Flächen des einen den Flächen des andern parallel sind, mit al- leiniger Aasnähme der dem trigonalen Prisma entspre- ^enden Flächen, welche für beide Individuen wider- sinnig liegen. Figr721 stellt eine dergteicfaen zwil- lingsartige Yerwaohsung der Combination
dar, deren Bild das Original wenig an Regelmässig- keit abertriflBt.
!• 642.
Forttei^Hiiig.
Nicht selten finden si^h die Ifidividiien der rhom- boädrischen Silberblende nach dem Gesetze verwach- sen: Zwillingsaxe tiomial, Zttsinmienietzangsflä^he parallel einer fläche ton \Rj dder anch: Zwillii^- axe eine Polkante von — 4*^, Zusammensetsangsflä'- cbe die Normalfläche dieser Kante. So entspricht z. B. der in Fig. 719 dargestellte Zwilling der Com- bination ooP2. — ^R der zweiten Formel, während er hingegen richtiger nach der ersten Formel beschrie-
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312 At^ewandte KrystaUographie.
ben werden würde, wean das eine Individnum nur nach oben, das andere nur nach unten hin ausgebil- det wäre, in welchem Falle ein. kniefSmuger Zwilling som Vorschein kommen würde. Der Neigungswin- kel der beiderseitigen Hauptaxen beträgt 26° C Diese Zwillingsbildung wiederholt sich gewöhnlich mehrfach nach verschiedenen Richtungen, so dass immer ein IndiTiduum an das andere anschliesst, und bouquet- artige Gruppen von vielen, nach oben divergirenden Individnep entstehen ; Fig. 720 stellt einen nach die- sem Gesetze gebildeten Vierlingskrystall dar; meist ist jedoch das centrale Individuum, gleichsam der Träger der ganzen Gruppe, grösser als die übrigen; ja es kommen dergleichen Gruppen vor, in welchen das mittlere Individuum eine ganz andere Combina- tion zeigt, als die übrigen.
Ueberhaupt aber sind die nach diesem Gesetze gebildeten Zwillinge der Silberblende gar nichts Sel- tenes, und finden sich vielmehr für die verschieden- artigsten Formen verwirklicht. So giebt es z. B. von Andreasbetg sehr schöne Zwillinge der Combination
ooP2.-3/l^.iÄ* in welcher auch untergeordnet das trigonale Prisma
—7p und, wie es scheint, die hexagonale Pyramide
4P2 auftritt. Einen Zwilling der Art zeigt die Fig. 718; die Kantenwinkel der beiden Skalenoßder sind folgende :
für 3Ä^, J=s86^36% Y^ibT 6% Z== 135^44' für |ÄS - -146^4', • . 157^42', • - 69*»2(y
die Combinationskante von SÄ"** zu ocP2 beträgt ihT 52^ Ausser diesen Gestalten zeigen diese Zwillinge noch ein merkwürdiges Verhältniss, indem die Pol- kante Y des einen Individuums mit der Polkante Y^
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ZwiUingsirysialle. Cap. V. 313
des andern Individuums coincidirt, weshalb diese Pol- kante selbst die Zwilliogsaxe , und folglich auch die Normale einer Fläche des RhomboSders |/l repr&ien- tirt. Weil nun aber die längeren Polkanten des Ska-
lenoCders — 3/t^ der Lage nach mit den Polkanten des Rhombo§ders ^H übereinstimmen (§. 307), so müs- sen die RhomboSder
\R und ^Ä inverse RfaomboSder seyn (f. 349), woraus sich
und a* = 0,64 = ff
als der Werth der Hauptaxe in dieser Varietät der rhombol^drischen Silberblende ergiebt. Nach diesem Werthe sind auch die vorstehenden Winkel der Ska- lenoSdcr berechnet* worden, deren Restimmung auf folgenden Messungen beruhte:
in 3/1^, Polk. JC= 86H
CK. xu (X)P2 = 158*^ in +jBS Polk. X = 146^ Polk Y z=: 158^ Uebrigens kommen an der Silberblende auch ähn- liche Zwillinge vor wie Fig. 708 , in welchen jedoch die Hauptaxen beider Individuen um einige Grad von der Rechtwinkligkeit abweichen; an den Krystallen der Combination ocP2.— ^ j^ü von Joachimsthal und an- dern Varietäten findet sich diese Zwillingsbildung gar nicht selten. Die Zwillingsaxe entspricht einer Nor- male des Rhombo^ders /l, oder auch einer Polkante des Rhomboeders — 2i{, und der Neigungswinkel der Hauptaxen beträgt Sb"" ^8^
f. 643. Zwillinge des Chabarites, LeTynes und Zinnobers.
Der Chabasit findet sich oft in Durchkreuzungs-
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314 Angewandte KrystaUographie.
swilfingen nach dem Gesetze : ZwilUngsaxe die Hanpt- axe. Die Indiridaen zeigen dbeils das Rliombo^er /t, dessen Polk. angefftfar'9ö^ messen ^ theils die Combi- nadon A. — \R. — 2Rj an welcher wohl aaoh das Prisma ooP2 Theil nimmt Unter Yoranssetzong einer völlig symmetrischen Ausbildnng ersclieinen die Zwillinge der Gmndgestalt selbst, wie Fig, 716; gewohnlich aber ist ein Individnom das Torherrschende, so dass mir Rudimente des zweiten Individuums aber seinen Flächen hervorragen. Dasselbe ist auch in den Zwil* fingen der erwähnten Combination der Fall, obwohl Exemplare vorkommen, in denen die Regelmässigkeit der Fig. 716 beinahe realisirt ist, und die beidersei- tigen Flächen oqP2 wirklich coincidiren, so dass die den Mittenkanten von R parallelen Streifiingen der* selben sich kreuzen«
DerLevyn, eine demChabasit sehr ähnliche Spe* eies, findet sich auch in ganz älmlichen Durchkreu* zungszwillingen der Combination OR.R. — 4-jR, Fig. 717; indess messen die Polkanten des Rhomboäders R nicht 95% sondern 79*^ 3(y.
Endlich kommt auch der Zinnober oder die rhom- boSdrische Mercurblende in ganz analog gebildeten Zwillingskrystallen vor, sowohl mit Juxtaposition als auch mit Durchkreuzung der Individuen, wie solches die Figuren 722 und 723 darstellen, welche sich beide auf die Combination jR.OA beziehen; die Polkanten des Rhomboäders R messen ungefthr 72^.
f. 644. Zwillinge dM BiMoglaaset.
Der Eisenglanz oder das rhomboädrische Eiseners kommt in Zwillingen vor, welche gleichfalls nach dem herrschenden Gesetze gebildet sind, dass die Haupt- axe als Zwillingsaxe auftritt. So finden sich zu Al- tenberg sehr regelmässige Durchkreuzungszwillinge
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ZmUingshrystaUe. Cap. K 315
der Cambination \92.R.QR, Flg. 724, welche dadurch «osgeseichnet sind, dass von den beiderseitigen !!§• ehen der Pyramide 4^2 je swei in eine Ebene fid- len, während die Flächen der Rhomboäder R einsprin* gende Winkel bilden.
Dagegen sind die titfelartigen Krystdie des vnl* canischen Eisenglanzes von Stromboli swar nach dem- selben SteUnngsgesetse, aber nach einer andern Mo- dalität ^%t Verwachsung snsaniniengesetst, indem s. BJ swei IndiTiduen der Combination Oil.il.ocP2) Fig. 725, durch Jnxtaposition in einer Fläche des Prisnuui ooil ▼erbnnden, nnd meist so syittmetrisch geUldet und in einander geschoben sind, dase sie die Hälften eines einzigen Indiridnums darstellen, nnd zwei Flächen ▼en ooP2 beiderseits in eine Ebene fallen; Fig. 726. Da die Flächen OR zuweilen triangolär gestreift sind, ■o kann die verwendete Lage der Streifen anf der einen EUlfte dieser Flächen als ein Merkmal der Zu^ aammeasetznng dienen, welche sich übrigens durch die Lage der beiderseitigen Rhombo^derflächen sehr bestimmt zu erkennen giebt.
f. 646. ZwiliiBge des Titandieiierzes.
Die am Titaneisen von Gastein StaU findende rhombo§drische Tetartoädrie, kraft welcher die hexa- gonalen Pyramiden der Nebenreihe als Rhomboädev auftreten, hat eine eig^nthümliche von Mobs entdeckte Zwillingsbildnng zur Folge, in welcher sich gleich- sam die Tendenz zur Reproduction hemiädrischer For- äsen offenbart Nach den Messungen toh Mobs be- trl^ der PdUtanlenwinkel des RhooboCders R UM genau 86''; denken wir uns nun die, gewöhnlich ta- felart^e, Combination 01i.4P2Jl erst als eine rhonH boMrische Combination, so wird sie etwa so evschet- wie Fig. 72». WeU aber vermöge der Tetasto«-
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316 Ang€i4Hindte Kryaiallographie.
drie der Krystallreihe die Pyramide |P2 in zwei Rhom^ bo6der von diagonaler Flächenstellang zerfällt, so werden wir diese hemiSdrische Combination in zwei tetartolgdrische Combinationen zerlegüi können, von welchen die eine wie Fig. 727, die andere wie Fig. 728 erscheinen wird, indem beide Figuren so gezeichnet sind, dass die beiderseitigen Flächen von JR einander parallel liegeoi Dies ist aber eben die St#llang, wel- che die Zwillingsbildnng fordert, indem Individnen, 4eren Krystallformen sich wie die beiden tetarto^dri« scbeq Complemente oder Gegenkörper Fig. 727 nnd
728 verhalten, mit einander verwai^hsen sind, wobei gewöhnlich die Basis als Znsammensetzungsfläche dient Meist iSndet jedoch eine theilweise, mehr oder weni- ger regelmässige Penetration der Individuen Statte welche, wenn sie als eine vollkommene Dutcfakren« sang zweier absolnt symmetrischer Individuen gedacht wird, einen scheinbar einfachen Krystall der iliom- bo^drischen Combination 0jB.4P2.il liefern wurde, wie solchen, mit Andeutung seiner Zusammensetzung, Fig.
729 in schiefer, und Fig. 730 in horizontaler Projection zeigt. Das Gesetz dieser ZwUlingsbildung kann man ' daher auch so aussprechen: ZwiUingsaxe eine Nor- male von <X)P2, weil nach diesem Gesetze die Stellung der Rhombo^der der Hauptreihe unverändert bleibt, während jedes Rhombo^der der Nebenreihe in ver- wendete Stellung gelangt.
f. 646. Zwillinge des Quarzes.
Während sich die Krystallreihe des Kalkspathes durch die grosse Mannichfaltigkeit ihrer Gestalten und Combinationen als die reichhaltigste Krystall- reihe des ganzen Mineralreiches auszeichnet, würde jene des Quarzes, bei der auffallenden Einförmigkeit ihrer meisten Gestalten und Combinationen nur eim
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Zwillingskrystalle. Cap. f^. 317
geriiigeTes krystallographigches Interegfe gewibreii, wenn nicht diese Einförmigkeit darch die ganz eigen- thümliche Erscheinungsweise ihrer Gestalten, welche wir oben als das Resultat der trapexoCdrisohen Te« tarto^drte xn deuten versachten, hinreichend au%e- wogen, und durch dieselbe Erscheinungsweise die Krystallreihe des Qnarses zu einer der merkwür« digsten des ganzen Mineralreiches erhoben wurde. Die eigenthümliche Tetarto^drie bedingt auch die Möglichkeit Ton Zwfllingskrystallen mit parallelen Hauptaxen der Individuen, wie sie bei holoedrischer Ausbildung der Krystallreihe nicht Statt finden könn- ten. Da nfimlich jede Pyramide mP der Hauptreihe
4llP .MiP
in zwei Rhombo§der +r-j- und +/-V- zerfällt, z\*'i-
sehen welchen, obwohl sie hftufig ins Gleichgewicht treten, doch eben sowohl eine krystallographische und physische Differenz obwaltet, als z. B. zwischen
den beiden Tetraedern -zr und der Zinkblende
2 2
oder des Helvines*), so werden je zwei Individuen des Quarzes in der That einen Zwilling liefern, so- bald das eine gegen das andere in einer um die Hauptaxe durch 180'' verdrehten Stellung gebildet ist,
P
gesetzt auch, die beiden RhomboSder, wie z. B. r^
p
und l-^i seyen in völligem Gleichgewichte. Zwillinge
*) Nach Prof. BreithanpU Beobachtungon ist die krystallo^a- pbisdie Verichiedeoheit sogar in den Dimensionen der beiden Rhom- boeder ausgesprochen, welche man gewöhnlich als hemiSdrische Compleroente zu betrachten pflegte j die verschiedenen Cohärenz-
P P
Verhältnisse nach -L und iL sind neulich durch Sayarts akustische 4 4
Uotersuchangen bestätigt worden.
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318 jingewandie Krystaliographie.
der Ajrt finden sieh gat nicht sehen m der Condl>ia«-
tion ooP.rj.^; lie sind^ bei ungleicher Ausdeh-
nvng der beiden Rhomboßder, sehr leicht sn erkra- neU) hingegen auch leicht sa verkennen , sobald P als hexagonale Pyrandde anfitritt Sind die Indiri- dnen durch Jnxtaposition verbunden ^ so ist gewöhn» lieh eine Fläche vonooP die Zosammensetsnngsflftche, und die Zwillinge erscheinen wie Fig. 732 oder 733; findet eine voUkonunene Durchkreuzung Statt, so ent- stehen, wenn nur eines der Rhombo§der von P aus- gebildet ist, die von Weiss beschriebenen, sehr sym- metrischen Zwillinge, in welchen, wie dies Fig. 731 xeigt, immer das eine Individuum vorherrschend auf- zutreten^ und gleichsam den Träger für die Rudimente des andern Individuums zu bilden pflegt
Aehnliche Zwillinge mit gegenseitiger Penetration der Individuen kommen auch nicht selten an solchen Varietäten des Bergkrystalls vor, in welchen beide Rbomboßder von P nahe im Gleichgewichte sind. Die gegenseitige Umschliessung, und das Eingreifen der Masse des einen Individuums in die des andern fin- det dann meist auf eine so unregelmässige Weise Statt, dass es unmöglich seyn wurde, irgend eine Zu- sammensetzungsfläche anzugeben. Die Demarcationen beider Individuen, deren respective Flächen grössten- theils coincidiren, lassen sich nur an hier und da her- vorspringenden Flächenelementen, an leichten Einfur- chungen oder Einschnitten, an der Discontinuität der Streifung, des Glanzes oder der sonstigen Beschaf- fenheit der Oberfläche erkennen, und es erfordert oft eine genaue Untersuchung; um sich von dem wirk- lichen Daseyn einer Zusammensetzung zu überzeugen, und nicht ein einzeles Individuum vorauszusetzen, wo man es mit einem Zwillinge zu thun hat.
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ZwUlingstrystalle. Cap. F. 319
f. 647.
Forttetmng.
Wenn ansger den Flächen von coP nnd P noch trigonale TrapezoSder ausgebildet lind, lo bat die ZwilUngsbildang nicht selten eine eigenthümliche Ver- theihing dieser Flächen rar Folge. Die Fig. 734 stellt s. B. einen einfachen Krystall der Combination ooP,
P./^j^ dar, von welchem in Fig. 735 ein vollkomme- ner Dnrchkrenznngsiwilling abgebildet ist, derglei- chen freilich in der Wirklichkeit nicht so symmetrisch aasgebildet sind, wie sie dieses ideale Bild zeigt. Ei- nen durch Jaxtaposition gebildeten Zwilling der Com- bination acP.P mit zwei, sich zu einem Skaleno^der ergänzenden^ jedoch wegen der &ammang ihrer Flä-
mPn eben nicht bestimmbaren Trapezofidem 4" ^^4^ ^^^
+ f^ sieht man in Fig. 733.
Da auch die Fläche OP als Zosammensetznngs- fläche auftreten kann, so entstehen Krystalle, deren obere und untere Hälften verschiedenen Individuen angehören; und ans einer derartigen Zusammensetzung durften wenigstens viele Fälle zu erklären seyn, in welchen die Trapezflächen und die rhombischen Flä- chen der Gestalt 2P2 nicht so vertheilt erscheinen, wie es das Gesetz der trapezoSdrischen TetartoSdrie fordert. Wenn z. B. zwei Individuen der in Fig. 736 al^bildeten Combination
6P|2P2 oor.r. ^ ^
so mit einander verwachsen sind, dass sie in der Fläche OP zusammenstossen, und das eine gegen das andere um 180^ verdreht ist, so werden sie bei gleich- massiger Ausbildung des Prismas ooP einen scheinbar einfachen Krystall darstellen, in welchem die Flächen
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320 Angewandte KrystäUographiem
$ nicht mehr einer trigonalen Pyramide, sondern ei* nem RhomboSder von diagonaler Flächenstellong an- zugehören, die Flächen u aber anf eine solche Weise yertheilt scheinen, als ob die abwechselnden Glieder ihrer resp. Mnttergestalt gänzlich verschwunden, und von den drei übrigen je zwei und zwei Flächen zu- rückgeblieben wären, wie dies Fig. 737 zeigt*).
Der Unterschied der Unken und rechten Trape- zoSder befähigt übrigens den Quarz zu einer ganz eigenthümlichen Zwillingsbildnng, deren Resultat nie- mals durch eine blosse Umdrehung des einen Indivi- duums gegen das andere construirt werden kann. Denn es können sich zwei Individuen in völlig par- alleler Stellung befinden^ was die Flächen von P, 2P2 u. a. Gestalten betrifft, und dennoch einen ZMrilling bilden, wenn z. B. an dem einen Individno ein rech- tes, an dem andern ein linkes Trapezo§der ausgebil- det ist. Solche Fälle scheinen unsre Ansicht von die- ser Tetartoödrie erst recht zu bestätigen, weil ei-
p gentlich auch die Flächen der Rhombo^der + r-j- oder
p
+ /-J- als die von rechts oder von links her gewach- senen Hälften der Flächen von P gedeutet werden müssen.
^) El liesaen sich selbit manche tob denjenigen Fällen, da ein Krystall an jedem finde sechs Flachen «, oder sechs Tra- pezflachen zeigt, auf Zwilüngsbüdongen zurQckf5hren ; in der Re- gel sind jedoch solche Krystalle durch eine gleidneitige Aosbil- dang complementarer tetartoödrischer Formen an erklären.
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ZwUIingshrystaUe. Cap. FI. 321
Sechsteg Capiteh
Zwillinge des monoklinoädriichen Sjste-
mes.
A. Theorie*).
|. 648.
GleichungeD der Azen des Indmduiiffls 11 in Bezog auf das Indi«
vidutim I.
Wiewohl es noch zweifelhaft ist, ob für dia kli- noSdrischen Krystallsysteme überhaupt der Begriff der Zwillingsaxe als der einer Flächennormale irgend einer Gestalt aufgefasst werden darf, so wol» len wir doch unsre Untersuchung, wenigstens far das monoklinoSdrische System, auf diese Ansicht grün- den, weil sie für die meisten Zwillinge dieses Syste- mes vollkommen gestattet ist, sobald es, sich nur um die geometrische Construction derselben handelt«
*) IXe Theorie der ZwilUnge dieses Systemes ist nicht in der Ansföhrlichlcdt entwickelt worden, wie jene der rorhergehenden Si7stall83wtenie, besonders ans dem Grunde, wdl Ton einer ge- Bauen Untersuchnng der Zwillinge monokliuoedrischer Krystallfor- nen die Beantwortung der Frage über die Zulässigkeit schiefwink- liger Axensysteme überhaupt ndt abhängt» und daher y im Failö «ner negativen Entscheidung, die Theorie der Zwillinge dieses Systemes keine andere ist, als die der Zwillinge des rhombischen 8ystemes. Bevor jedoch diese Entscheidung möglich ist, müssen £e Messungen im Gebiete dieses Systemes mit grosser Genauig-^ keit wiederholt, und zugleidi Beobachtungen über das Verhalten der Krystallwinkel in höheren Temperaturen angestellt werden, da sich viele KrystaUe offenbar in grosser Hitze gebildet haben , die Gesetze der Zwillingsbildung aber nur insofism richtig anfgefasst vferden können, invriefem man die dem BUdungsacte entsprechen- den Dimensionen zu Grunde legt Für den Wolfram scheint der orthometrische Charakter durch die Zwillingsbildung auf eine von aller Messung unabhängige Art erwiesen zu seyn» obwohl seine Formen nach den Gesetnen des monoklinoödrisdien Systemes ge- bildet sind; dasselbe gilt vom Pyroxen.
n. 21
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322 Angewandte Krystallographie*
Es aey also in dem Indiiidao I eine fläche gege- ben, welche die Axen der or, y und z in den Cen- traldistanzen o, b oild e schneidet, so ist
f + -^ + T = '
ihre klinometrische Gleichong, and die Gleichnngen ihrer Normale iV, als der vorausgesetzten Zwillings- axe, werden:
^ _ y =0
b — acoiC a — beosC
^ ? = 0
absinke e(b — aco$C)
' — ?— =0
c(a — bco$C) abtm^C
Die Axen des zweiten Individnoms, welche wir als Axen der ^% y^ und z^ einfahren wollen, sind durch folgende Verhältnisse bestimmt:
1) jede Axe fällt in die Ebene durch N und die gleichnamige Axe des Individuums I;
2) jede Axe- bildet mit der N denselben Winkel, wie die gleichnamige Axe des Individuums I.
Aus der ersten Bedingung folgt, dass jfur jede der Axen der ^% y^ und z^ eine, und zwar diejenige Glei- chung der N gilt, in jwelcher die mit ilir gleichna- mige Coordinate nicht auftritt Die zweite Bedin- gung lässt auf eine zweite Gleichung gelangen, indem man z. B. for die Axe der z^ eine fingirte Gleichung von der Form
— + 4 = 0 oderi^+4r=0
einführt, den Cosinus des Neigungswinkels (NX*) ge- gen A berechnet, und aus der Gleichung
€08 (NT) =5 cos (NX) das Yerhältniss y : i oder i : C ableitet.
Führt man die hier angedeuteten Rechnungen durch, so erhält man fQr die Axe der z' folgende Gleichungen:
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ZunUingahrygtaUe. Cap. FL 323
b — aco$C a — icQiC
c^ia^'+b^—'Jabcosq—a^bUm^C^Sakeii—acoiC)
Die zweiten Gleichungen der beiSen andern Axen lassen sich nun leichter aas der Bedingung finden, dass sie beide auf der Axe der z^ rechtwinklig sind ; man erhält auf diese Art für die Axe der y':
a; , y
2ac''(b — acoiC) ^ b^c^ +a''bUtn^C—c^a^
z X
= 0
= 0
abiin^C c(b — acosC)
und für die Axe der a;^: #
X y
Ä^c«— a^c«— a'Ä'nit'C 2bc^(a—bco8C) ~ ®
0
Öäb^csi^ b'^c'^—a'^c^—a^bUin^C '
§. 649. Gewdhnlicbste Gesetze der Zwillingsbildang.
Die gewöhnlichsten Zwillingsgesetze, welche bis jetzt im Gebiete des monoklino^drischen Krystallsy- stemes beobachtet wurden^ sind folgende:
1) Zwillingsaxe die Normale Ton ocPcx); oder, Um- drehungsaxe normal, Zusammensetzungsfläche parallel dem orthodiagonalen Hauptschnitte; Gfps^ Amphibol, Pyroxen, Wolfram.
2) Zwillingsaxe die Normale von OP; oder, Um- drehungsaxe normal^ Zusammensetzungsfläcbe parallel der Basis; Titanit, Orthoklas.
3) Zwillingsaxe die Normale von + »iP^o; oder, Umdrehungsaxe normal, Zusammensetznngsfläche parallel dem horizontalen Hemiprisma +mPoc; Epidot.
21*
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324 Angei4Hmdte KrystaUograpHie.
4) Zwillingsaxe die Normale von (mPoo) ; oder, Um- drehongsaxe normal, Zusammensetzongsfläche parallel einer Fläche des Klinoprismag (mPoö); Orthoklas, Ryakolith. Die drei ersten Gesetze lassen sich jedoch, vor- aosgesetzt, dass für die Krystalle kein Unterschied von links und rechts, von oben nnd unten Statt fin- det, nach §. 562 auch so aussprechen:
1) Zwillingsaxe die Hauptaxe;
2) Zwillingsaxe die Klinodiagonale ;
3) Zwillingsaxe die klinodiagonale Polkante von + mP.
Wo jedoch, nicht durch geometrische, aber durch physische Verhältnisse , wie z. B. durch verschiedene Spaltbarkeit nach den beiden Flächen des Prismas ocP, ein Unterschied von rechts und links, und daher auch Ton oben und unten gegeben ist, da kann m^n nicht beliebig die Stellungsgesetze nach der einen oder andern Art aussprechen; Vielmehr wird die Beobachtung, wie die als links und rechts ver- schiedenen Flächen in den Zwillingen vertheilt sind, auf die ausschliessliche Anerkennung des einen oder des andern Gesetzes fuhren. Der Orthoklas ist die einzige monoklinoSdrische Species, in welcher be- stimmt eine solche Verschiedenheit von rechts und links Statt findet, und daher wohl auch die einzige Species, für welche nach folgendem Gesetze eine Art von Zwillingskrystall anzuerkennen wäre:
Zwillingsaxe die Orthodiagonale ; oder, Umdre- hungsaxe normal, Zusammensetzungsflftche parallel dem klinodiagonalen Hauptsohnitte *).
*) Ob derGyps ein &hiilichet VeriiältniM zeigt, wage ich nicht zu entscheiden ; merkwürdig aind jedoch wegen ihrer Regelmässig- keit die zwillingsartigen Zasamroensetznngen , welche in meinem Lehrbuche der IMUneralogie erwähnt md daselbst in Flg. 440 ab- geUidet sind.
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ZwUüngslrystalle. Cap. FL 325
i 660.
Gleichmigen der Axcin, warn jie ZwilUn^xe die Normale iroa ffiPoo, OP oder ooPao.
Für den Fall, da die Zwillingsaxe die Normale des Hemiprismas mPoo, haben wir, unter der Voraus- Setzung, dass aib'.c das Verhältniss der Lineardi- mensionen der Grundgestalt ist, in den Gleichungen des §. 648 ma statt a, und oo statt c zu setzen , und erhalten so die Gleichungen: der Axe der a'i
X
■V-7r.=0
4« _ ai«a2 2Ä(si« — hco9C) « = 0 der Axe der y^:
2ma(b — macQsC) "^ ft*— «»a* ^ ® 2: = 0 der Axe der z^:
^ = 0, Jf =:= 0 Ist dagegen die Zwillingsaxe die Normale Ton OP, so werden die Gleichungen: der Axe der x^: ,
X + ^ ^ ^= 0, 2 = 0 2co8C
der Axe der jf':
4; =r 0, z = 0 der Axe der z':
<Är = 0, f = 0 Ist endlich die Zwillingsaxe die Normide vonocPoo, 80 werden die Gleichungen: der Axe der x':
y = 0, z = 0 der Axe der y^i
— f— + « = 0, z = 0
der Axe der z^:
o; = 0, 3 = 0
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326 Angewandte KrystaÜographie,
§. 65t. Transformation der Coordinaten , weno die ZwilBngsaxe die Nor- male TOD OP oder ooPoo«
Da die beiden Gesetze:
A. Zwillingsaxe die Hanptaxe oder die Normale von ooPoo, und
B. Zwillingsaxe die Klinodiagonale oder die Normale von OP
diejenigen sind, welche sich am häufigsten verwirk- licht finden, so wollen wir die ihnen entsprechenden Transformationen der Coordinaten vornehmen. Die Coordinate z' ist in beiden Fällen ganz unabhängig von der Zwillingsbildung, da die Axe der z' mit der Axe der z coincidirt; wir haben also nur die Substi- tnenden der Coordinaten x' und y' aufzusuchen«
A. Wenn die Zwillingsaxe die Hauptaxe ist, so werden die Substituenden der Coordinaten des zweiten Individuums folgende:
;i:' = a; — 2yco9C
2' = — Z
und daher die Gleichung einer im Individno II durch die Gleichung
— +K +— =1 ma nb rc
bestimmten Fläche, im Individuo I folgende:
X (2i»&^cQ#C — gm)y z^ ^^.
ma mifab rc
Soll nun diese Gleichung einer reellen Fläche
, entsprechen, so muss
— coiC a
eine rationale Zahl seyn.
B. Wenn die Zwillingsaxe die Normale von OP ist, so werden die Substituenden der Coordinaten:
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ZwmingshryHtalle. Cap.ri. 327
/ = + y — 2scoiC
und daher die Gleichung degenigen Fläche, welofae im Individuo 11 durch die Gleichung
bestimmt wird, im Individuo I folgende:
(nb — 2ma cos C)x y z
, mnab üb 7c
welche nur dann einer reellen Fläche entsprechen kann, wenn
eine rationale Zahl ist.
§. 662.
Gleidrangen der Axen, weon die ZwilKngme eine Nonnale Ton
(wPoo).
Wenn die Zwillingsaxe die Normale einer Fläche des Klinoprismas (mPoo) ist, so haben wir, unter der Voraussetzung, dass aibie das Yerhältniss der Li- neardimensionen der Grundgestalt, in den Gleichun- gen des §.648
ma statt a, und oo statt b einzuführen, und erhalten so die Gleichungen der Axen des zweiten Individuums, nämlich: der Axe der a':
|
c»— »»«»•«»« C |
+ |
2eU»tC |
— |
0 |
|
|
z |
X |
= |
0 |
||
|
imae$*it^C |
c« |
— m'«*«ni |
'C |
||
|
der Axe der /: |
|||||
|
* = |
= 0» |
« = 0 |
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328 Angewandte KrysiaUographie. der Axe der z'i
. Die wichtigsten der bis jetzt beobachteten Fälle dieser Art sind die bekannten Zwillinge des Ortho- klases von BavenOy deren Zwillingsaxe eine Normale Ton (2Poc), und die knieformigen Zwillinge des Wolf- rames, deren ZwiUingsaxe eine Normale von (|Pcx)). Für beide Fälle vereinfacht sich der fernere Calcül bedeutend, weil im Orthoklas das Prisma (2Poc) recht- winklig, im Wolfram aber der Winkel C ein rech- ter ist. Sollte sich auch far den Pyroxen die bishe- rige Annahme bestätigen, dass C = 90% so wurden gewisse seiner Zwillinge gleichfalls nach diesem Ge- setze gebildet seyn«
B, Beschreibung der wichtigeten Zwllinge.
§. 653. Zwillinge des Tinkals.
Der Tinkal so wie der gereinigte Borax findet sich nicht selten in Zwillingen nach dem Gesetze: Zwillingsaxe die Normale von ocPoo, oder: Zwillingsaxe die Hanptaxe, Zusammensetzungsflä-
che der orthodiagonale Hauptschnitt. Für die Dimensionen des Tinkals fand ich appro- ximativ
C = 73° 25' a.bic =s 0,512:1:0,9094 Eine nicht seltene Krystallform ist die Combination <xP.ooPoo((X)P(X)).0P.P.2P, Fig. 738, von welcher zwei Individuen nach dem angegebenen Gesetze durch Juxtaposition verbunden einen Zwil- ling wie Fig. 739 darstellen; die beiderseitigen selue- fen Basen (P) bilden in dem einen Ende einsprin-
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ZiPiUingskrystalle. Ciqf. VI. 529
gende, an dem andern Ende ausspringende Winkd von ungefähr 146'' iOT.
Genauere Messungen wurden irielleicht auf ein sol- ches Verhältniss der Dimensionen fuhren, dasa die fläche OP des einen Individuums der Fläche fPoo des andern Individuums parallel wurde.
8. 654. Zwillinge des Gypses.
Der Gyps erscheint häufig in Zwillingskrystallen nach zwei verschiedenen Gesetzen.
Für die Dimensionen der Krystallreihe fand ich approximativ :
C = 8r 26' (ob C0tC = A?) a:h:c= 0,597d : 1 : 1,445
oder sehr nahe a:b = 3:5« und — cosC = 4*.
a
Eine der gewöhnlichsten Combinationen ist ((X)Poo).ooP.— P. Fig. 740 und gerade diese Combination findet sich besonders häufig in Zwillingen nach dem Gesetze: Zwülingsaxe die Hauptaxe; oder: Zwillingsaxe die Normale von ocPoo,
Die Individuen sind meist durch Juxtaposition in dem orthodiagonalen Hauptschnitte verbunden, und dabei so symmetrisch gebildet, dass die Krystallflä- <^n (ooPoo) beiderseits in eine Ebene fallen, wes- halb Fig. 741 den gewöhnlichen Habitus dieser Zwil- linge naturgetreu darstellt. Die Polkanten der He- mipyramiden — P bilden ein - und ausspringende Win- kel von 105'' Sr.
Zuweilen ist auch die Znsammensetzungsfläche eine Fläche von (ooPoo), in welchem Falle die Individuen wohl auch etwas in einander geschoben sind. Bei dieser Yerwachsungsart ist der Unterschied zu bemer- ken, ob die Individuen mit ihren linken oder mit ih-
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330 Angewandte KrystaUographie.
reu rechten Fläclien (ocPoo) zasammengewacbseii jsmd ; ein Unterschied, welcher sswei verschiedene Resultate bedingt, indem Zwillinge mit rechts verwachsenen Individuen und Zwillinge mit links verwachsenen In- dividuen auf keine Weise in parallele Stellung ge- bracht werden können. Der Unterschied verschwin- det nur im Falle einer vollkommenen Durchkreuzung;, also bei Coincidenz der beiderseitigen klinodiagona- len Flädienpaare, oder auch, im Falle das eine Indi- viduum von dem andern in der Richtung der Ortho- diagonale gänzlich umschlossen wird.
8. 656. Fortsetzang.
Ein zweites am Gypse vorkonmiendes Gesetz der Zwillingsbildung ist:
Zwillingsaxe die Normale von — Poo, oder:
ZwiUingsaxe die Polkante von •;— P. Die nach diesem Gesetze gebildeten Zwillinge wer- den meist von linsenartigen Individuen gebildet, de- ren unregelmässiger Form etwa die Combination — P. P.iPoo.cx>P.(ooPoo) zu Grunde {liegt, wie solche die Fi- gur 742 in klinodiagonaler Projection zeigt. Denkt man sich nämlich in dieser Combination das Prisma oqP noch kürzer, so rücken endlich dieFlädien bei- der Hemipyramiden, deren Polkanten und Combinm- tionskanten zu iPoo zugerandet sind, zusammen, und es entsteht eine krummflächige Form, welche durch andere, sehr unregelmässig zwischen — P and -ilfoo ausgebildete Flächen noch mehr entstellt wird, und gewöhnlich die Gestalt einer langgezogenen Linse hat. Zwei dergleichen linBenförmige Individuen sind nun nach depi angegebenen Gesetze theils durch Juxtapo- sition, theils durch Penetration verbanden. Den er- steren Fall stellt Fig. 743 dar, in welcher die Indi- viduen absichtlich so gezeichnet sind, wie sie nur sei-
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ZimUingshrystalle. Cap. VL 331
ften aaigebildet ZQ seyn pflegen; denn gewöhnlich iit die wahre Form durch die linsenartige Missbildang in dem Grade entstellt, dass die Individuen dieser Zwil- linge kaiim Sporen einer ebenflächigen Gestalt wahr« nehmen lassen.
Zar ferneren Erl&uteming dieser Zwillinge mag die Fig. 744 dienen , welche den klinodiagonalen Hanpt^ schnitt zweier, nach diesem Gesetze verbundener In- dividuen der Combination ocP. — ^P.P.(ocPoo) darstellt Denkt man sich ausser der Hemipyramide — ^P (Q noch die Fläche des Uemiprismas — I^Poo {AB) und der Ba- sis OP (BC) vorherrschend ausgebildet, so begreift man, nicht nur, wie sich ungefähr eine linsenförmige Krümmui^ im Profile ausbilden muss, sondern auch, wie bei alleinigem Vorherrschen der Flächen — ^Poo nnd Poo die Zwillinge selbst eine pfeilspitzenartige Form ADA'E erhalten müssen, in welcher der von den beiderseitigen — 4^Poo gebildete ansspnngende Winkel ADA ungefähr 25% und der von den beider- seitigen Pcx^ gebildete einspringende Winkel AEA! ungefähr 123^ misst. Dergleichen pfeilspitzenartige Zwillinge, die jedoch auch in andern Dimensionen von and^n Flächen gebildet werden können, finden sich nicht selten in sehr grossen Fxemplaren mitten in dem körnigen oder dichten Gypse der jüngeren Formatianen.
§. 656. Zwitfinge des PyrlRknes. An der Species des Pyroxenes kommen, unter Vor- aussetzung klino€drischer Dimensionen, folgende Ge- setze der ZwillingsbiMung vor:
1) Zwillingsaxe die Hauptaxe, oder die Normale des orthodiagonalen Flächenpaares.
2) Z>villingsaxe eine Normale der Hemipyramide (P2).
3) Zwillingsaxe die Normale des Hemiprismas Poo.
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332 Angewandte Krystallographie.
Diese Gesetze gelten in der angegebenen Form für das aus den KnpfTersohen Messangen folgende T'er* hältniss der Dimensionen
C — 74^ 1' a:b:c = 0,5399:1:0,9136 welches freilich zunächst nur für den Diopsid gilt, während sich in andern Varietäten, bei der grossen Rolle, welche die isomorphen Elemente von Ksdk und Magnesia in dieser Species spielen, etwas verschie- dene Dimensionen erwarten lassen*).
Eine der gewdhnlichsten Krystallformen des vul- canischen Pyroxenes oder Augites ist: ocP.ooP3o.((X)P<x)).P. Fig. 745.
Sind zwei Individuen der Art nach dem ersten Ge- setze durch Jnxtaposition in dem orthodiagonalen Hauptschnitte verbunden, so entsteht ein Zwilling wie Fig. 746, in welchem die Flächen der beiden He- mipyramiden P ein- und ausspringende Winkel von 153"^ 21^ die Polkanten derselben eben dergleichen Winkel von 149^ 14' bilden. Meist sind beide Indi- viduen so symmetrisch ausgebildet, und so regelmäs- sig verwachsen, dass die Flächen (ooPoo) beiderseits in eine Ebene fallen , und gar keine Deraarcation der Individuen bemerken lassen. Diese Zwillingsbildung findet sich auch häufig an andern Combinationen des Augites sowohl als auch des Diopsides; an letzterem auch in derben Massen, meist mit häufiger Wieder- holung, in den bek|||nten schaligen Aggregaten.
Die Hemipyramide P des einen Individuumz ent- spricht sehr nahe dem Klinoprisma (Poe) des andern^ und vice vena^ weil, wie sich auch aus obigen Di* roensionen ergiebt, Poo sehr nahe dieselbe Neigung zur Axe hat wie OP.
*) Et ist sehr nahe « : ^ sss 7 : 15, und eoiC sss ^, wenn C s 74* il'.
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ZwilKngstryetalle. Cap. VL 333
Auch der Fassait kommt in Zwillingen nach dem ersten Gesetze vor; zuweilen sind beide Individuen in der Richtung der Hauptaxe in einander geschoben, so dass die beiderseitigen Prismen ooP und die übri- gen Terticalen Flächen coincidiren *). Wollte man für diese Modalität der Verwachsung eine Zusammen-* Setzungsfläche angeben, so würde dies nur eine auf derHauptaxe genau rechtwinklige Fläche seyn kön- nen. An den Tyroler Augiten so wie an manchen Diopsiden ist auch nicht selten eine Fläche ausgebil- det, welche horizontal zu seyn scheint, und, unter Voraussetzung einer orthometrischenKrystallreihe, mit OP zu bezeichnen seyn würde, während sie obigen klino§drischen Dimensionen zufolge sehr nahe durch •i^Poo dargestellt wird.
§. 657. Fortsetzung.
Der Augit (wie z. B. die in Fig. 745 abgebildete Varietät) kommt zuweilen in Zwillingen mit geneig- ten Hauptaxen vor, deren Zwillingsaxe noth wendig der Ebene des orthodiagonalen Hauptschnittes paral- lel seyn muss, weil die Flächen ocPoo beider Indi- viduen einander in der That parallel zu seyn schei- nen ^ während sich die Hauptaxen nahe unter 120^ sehneiden **). Die Fig. 747 zeigt den Habitus dieser
*) Die hiesige akademische Sammlung besitzt sehr schSne Zwil- Hngskrystalle dieser Art
^) Haüy hat gleichfalls Zwillinge des Augites von Stromboli besdirieben und abgebUdet, in welchen die beidersdtigen ocPoo in eine Ebene follen, während die Hauptaxen einen Wiid^el Yon Sl^ bilden. Ja» unter den bekannten Durchkreuzungen der Com- bination ooP.acPoo.(ooP(X>).P.4P(X> aus dem Fassathale giebt es welche» in denen beide Individuen genau rechtwinklig auf einan- der sind , so dass die, mdst etwas gekrümmten Flächen ^oo des iBdiTiduums in die Flächen (ooPoo) des andern faUea«
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334 Angewandte Kryatallographie.
Zwillinge, wie sie Breithanpt von Schima im bdh- mischen IMDlUelgebirge milgebracht.
Setzen wir das Yerhältniss a : ft = 7 : 13 und C c=s 14? 21^, oder irgend ein anderes Verh&Itniss, for welches
als das eigenthumliche der Species Yorans, so werden die Flächen der Hemipyramide (P2) rechtwinklig auf der Ebene des orthodiagonalen Haaptschnittes, nnd folglich die Normalen derselben der Ebene desselben Hauptschnittes parallel, wodurch die eine Bedingung dieser Zwillinge erfüllt ist.
Berechnen wir ferner die Polkante der Hemipyra- mide (P2), so finden wir solche sehr nahe =: 120% daher denn auch die zweite Bedingung der Zwillinge, dass sich die Hauptaxen nahe unter 120° schneiden, durch die Annahme: Zwillingsaxe ' eine Normale Ton (P2), erfüllt würde.
Auf der andern Seite ist nicht zu läugnen, dass diese, so wie die in der Anmerkung erwähnten Zwil- linge Yon Stromboli und aus dem Fassathale sehr viel für die Annahme orthometrischer Dimensionen sprechen.
An manchen derben Varietäten des Pyroxenes, zu- mal amMalakolith und Salit, kommt häufig eine Zu- sammensetzung vor, deren Gesetz sich am richtigsten so aussprechen lässt: Zusammensetzungsfläche paral- lel, Umdrehungsaxe normal einer Fläche des Hemi- prismas Poe. Diese Zusammensetzung wiederholt sich Tielfach, und veranlasst schalige Aggregate, deren abwechselnde Individuen sich in paralleler Stellung befinden.
Endlich finden sich an den erwähnten Augiten aus Tyrol schiefwinklige Durchkreuzungen, deren Gesetz
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ZwiUingskryetaUe. Cap.VI. 335
Hoch nicht amgeidittelt ist, wenn lie Sberfaanpt nach einem bestimmten Gesetse gebildet sind«
§. 658. Zwillinge des Epidotes.
Der Epidot findet sich in Zwillingskrystallen nach« dem Gesetze:
Zwillingsaxe die Nonnale yon Poo, oder: 9
Zasunmenselznngsfläche parallel, Umdrehangsaxe normal der Fläche des Hemiprismas Poo. Die Elemente der Krystallreihe sind nämlich zu- folge den Messungen von Haidinger: C = 89° 27' a:b:c = 0,4843:1:0,3072 Die Krystalle haben bekanntlich das Eigenthüm- liehe (was sich jedoch auch an dem Glaubersalz, der Kupferlasar u. a. Substanzen findet), dass sie nach der Orthodiagonale säulenartig in die Länge gestreckt sind. So finden sich z. B. zu Floss in der Oberpfalz Kryst^le der Combination
ooPoo— 3Poo.Poo.ooP2, Fig. 751, in welchen o:o = 116° 62', M:T= 115° 24', M:i = 145° 39', T:» = 98° 67'; zwei Individuen der Art sind nicht selten zu Zwillingen nach dem angegebe- ne& Gesetze Terbunden, wie Fig. 752, in welchen der Winkel M:M' 129° 12', der Winkel iii" 162° misst, und die im Bilde links liegenden Flächen o einen aus- springenden, die rechts liegenden Flächen o einen einspringenden Winkel von 164° 3' bilden.
Zu Arendal findet sich unter andern die Combination ooPooPoo.— Poo.— P.P2, Fig*766, in welcher der Winkel einer yorderen oberen gegen eine hintere untere Fläche Ton — P (» : n) 109° 27', der Winkel einer vorderen unteren gegen eine hin- tere obere Fläehe von P2 (tf:v>70°56', und folglich
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336 Angewandte Krystallographie.
der Winkel m : T 144^ 32^, endUch der Winkel von ooPoo *u Poo (M: T) 115^ 24' beträgt
Die Fig. 757 stellt einen nach dem angegebenen Gesetze gebildeten Zwilling dieser Combination in schiefer, Fig. 758 denselben in klinodiagonaler Pro- tection dar; seine wichtigsten Winkel sind
M: M' = 129^ rr * M: T oder M:T = 115* 24'
T: r oder T : r^ = 128* IQ' r ;r' = 103* 22'
§. 659.
Zwillinge des Ainphlbolea»
Der Amphibol ist, zumal in den nnter dem Na- men basaltische Hornblende bekannten Varietäten, ei- ner sehr regelmässigen Zwillingsbildang nach dem Gesetze :
Zwillingsaxe die Haoptaxe, oder: ' Zwillingsaxe normal, Zusammensetznngsfläche par- allel dem orthodiagonalen Hauptschnitte, unterworfen.
Eine der gewolmlicheren Combinationen ist in Fig. 748 dargestellt; ihr Zeichen wird < p als Basis und 3f als Prisma der Hauptreihe:
ooP.(ooPoo).0P.R(3P3) (2P(X)). Die Dimensionen der Krystallreihe sind noch nicht mit hinlänglicher Genauigkeit ausgemittelt; einigen approximativen Messungen zufolge wäre: C = 75* 10' MiM= 124*30' r.r=^ 148* 30' ziz = 120* 26^ Zwei Individuen dieser Art, nach dem angegebe- nen Gesetze verwachsen, bilden Zwillinge wie Fig. 749, welche gewohnlich ein sehr symmetrisches An- sehen haben und s^^inbar einen einzigen Kryvtall
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ZipUüngshrystaUe. Cap. FL 337
darstellen, weil beide Individuen nach gleichen Di- mensionen aasgebildet and so regelmässig verwach- sen sind, dass ihre beiderseitigen Flächen (ocPoc) rechts und Unjcs in eine Ebene fallen, and Jceine einspringenden Winkel yorkommen. Beide Enden des Zwillings sind verschieden gebildet, indem einerseits eine vierflächige, durch die Flächen von P gebildete Zuspitzung, anderseits eine durch die Flächen OP ge- bildete Zuschärfung vorherrschend ist. Sehr selten treten beide Individuen so weit aus einander, dass ein- springende Kanten zum Vorscheine kommen, wie in Fig. 750. J^edenfalls lassen sich daher diese Zwillinge am anschaulichsten nach Haüy's Weise construiren, indem man sich ein Individuum nach seinem ortho- diagonalen Hauptschnitte halbirt, und die eine Hälfte gegen die andere um die, auf der Schnittebene nor- male Umdrehungsaxe durch 180^ verdreht denkt.
§. 66a
Zwillinge des Wolframs.
Am Wolfram sind bis jetzt folgende zwei Gesetze der Zwillingsbildung beobachtet worden: 1) Zwillingsaxe die Hauptaxe , Zusammensetzungs- fläche der orthodiagonale Hauptschnitt. . 2) Zwillingsaxe eine Normale, Zusammensetzungs- fläche eine Fläche des Prismas (iPoc). Die Messungen fahren ungefähr auf das V erhältniss : a\b.c = 0,851:1:0,823 and auf das sehr merkwürdige Resultat, dass der Winkel C ein rechter Winkel ist, welches auch die nach beiden, zumal aber die nach dem ersten Gesetze gebildeten Zwillinge vollkommen bestätigen.
Eine der gewöhnlichsten Combinationen des Wolf- rams von Zinnwald ist:
ooP.ocPc3c.i^Poo.— iPoo.(Poo). Flg. 753, in welcher der Winkel von ooP = r : r = lOl** ö' a 22
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338 Angewandte KrystaUographie. der Winkel von (Poo) = n: » = 99^ 12^
Fig. 754 gtellt einen nach dem ersten Gesetze gebil- deten Zwilling dar, welche überhaupt häufiger sind als die andern; die beiderseitigen Flächen 4^Pco bil« den ein- und ausspringende Winkel Tön 125'' 2(K; die beiderseitigen Flächen (Poo) aber fallen, wenn sie ausgebildet sind, je swei genau in eine Ebene, zum vollständigen Beweise, dass dieses sdieinbare Klinoprisma wirklich ein horizontales Prisma, und da- her der Winkel C wirklich ein rechter ist. *)
Ein nach dem zweiten Gesetze gebildeter Zwilling ist in Fig. 755 abgebildet; der Neigungswinkel der beiden Hauptaxen beträgt 120^ 52^, der einspringende Winkel der Flächen » und n' 139^ 56% während die beiderseitigen Flächen ooPoo, so weit die Beschaf- fenheit der Krystalle die Beobachtung gestattet, in eine Ebene fallen. Die sehr starke verticale Strei- fung dieser Flächen lässt die Demarcatiön beider In- dividuen sehr deutlich hervortreten.
f. 661. Zwillinge des Orthoklaiet.
Der Orthoklas oder gemeine Feldspath, eine der wichtigsten und interessantesten Species des Mineral- reiches, wird auch durch die mancherlei Zwillingsge- setze merkwürdig, welche an ihm verwirklicht sind.
Die neuesten Messungen von Kupffer fuhren auf das Yerhältniss der Dimensionen
aihic =5 0,8438:1:1,5185 C = 63^ 53'
Da aber diese Dimensionen, wie schon 6. Rose . bemerkt, mit der unläugbaren Rechtwinkligkeit des Klinoprismas (2Poo) nicht fibereinstimmen, auch der
*) Der Wolfram ist daher qualitativ monoklinoediisch, quantitativ rhombisch.
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ZmUmgahrystaUe. Cap.VL 339
Orthoklas sich wohl jedenfalls in einer weit höheren Temperatur gebüdet hat, als diejenige ist, bei wel- cher gegenwärtig die Messungen angestellt werden, so darfte ein anderes, mit der Rechtwinkligkeit des Prismas (2Poo) übereinstimmendes Verhältniss statt des erwähnten ansunehmen seyn. Sehr am beachten ist es aber, dass durch Kupffer's Messungen die frühere Deutung der Krystallreihe des Orthoklases als einer or- thometrischen sehr unwahrscheinlich gemad^nrorden, weil sie die vorausgesetste Gleichheit derVVs^^ff'* Winkel von OP und Poo gegen die Axe widerlegen.
Elines der gewohnlichsten Gesetse der Zwillings- bildnng ist folgendes : Zwillingsaxe die Hanptaxe. .
Die Individuen sind entweder nur durch Jnxtapo- sition in einer der Flächen von (ccPoc) oder durch gänzliche oder tbeilweise Penetration verbunden« Mit Ausnahme des Falles einer gänzlichen Durchdringung ist dann immer der Unterschied zu berücksichtigen, ob die Individuen mit ihren linken oder rechten Seiten verwachsen, oder auch in einander geschoben sind; ein Unterschied, welcher für diese Species um so wichtiger wird, weil die linke Fläche des Prismas ooP durch eine deutlichere Spaltbarkeit bezeichnet ist als die rechte Fläche. Diese Verschiedenheit der Spaltbarkeit giebt dem Links und Rechts einc^ abso- lute Bedeutung, und verbietet es auch, dasStellungs- gesetE der Zwillinge durch die Formel: Zwillingsaxe die Normale von ocPoo auszusprechen, weil in den Zwillingen die vollkommneren prismatischen Spal- tungsflächen beider Individuen einander parallel sind, und daher nur die Hauptaxe als Zwillingsaxe gel- ten kann. ^
Fig. 759 zeigt einen einfachen Krystall der Com- bination
<xP.(oqPoo).0P.2Px>
22*
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340 Angewandte KrystaUographie.
von welcher in flg. 760 ein nach diesem Gesetze ge- bildeter Zwilling dargestellt ist; die nach Mehs hin- zugefügten Figg. 761 nnd 762 dienen daza, den Un- terschied der Zwillinge mit rechts nnd links ver- wachsenen Individuen zu yeranschaulichen. Denkt man sich in dem Bilde des rechts verwachsenen Zwil- lings das rechts liegende Individuum nach links, und das links liegende Individuum nach rechts gedrängt^ so wer^f beide durch den Zustand einer voUkom- menen^Hrchkreuznng hindurchgehen, dann in die entgegengesetzte Lage rücken, und einen Zwilling mit links verwachsenen Individuen bilden.
§. 66Z Fortietian^
Ein zweites Zwillingsgesetz ist:
Zwillingsaxe eine Normale, Zusammensetzungsflä- che eine Fläche von (2Pao).
. Nach diesem Gesetze sind unter andern die be- kannten Zwillingskrystalle von Baveno zusammenge- setzt. Da das Klinoprisma (2Pao) rechtwinklig, und folglich die Zusammensetzungsfläche gegen OP und (ooPoo) gleich geneigt ist, so folgt, dass in den Zwil- lingen die Flächen OP des einen Individuums den Flä- chen (ogPoo) des andern parallel sind, und vice versa^ so wi^ dass die beiderseitigen OP und auch die bei- derseitigen (ccPoo) auf einander rechtwinklig sind. In der Regel sind beide Individuen so gleichmässig ausgebildet, dass jedes die. Hälfte eines einzigen In-- dividuums darstellt, welches parallel einer Fläche von (2Poo) halbirt worden, daher auch gewohnlich nur die Rechtwinkligkeit von OP und OP^ von (ooPoo) und (ocPoo) zu beobachten is^
In den Krystallen von BaVeno liegt diesen Zwil- lingen eine rechwinklig säulenförmige Combination mit vorherrschenden OP und (oePoo), wie z^ B. £e in
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ZudÜingsirystcUle. Cap. VI- 341
Hg. 763 abgebildete Combination OP.(ooP<X)).ooP.2P(X>. (2Poc).P zu Grande, in welcher jedoch die Flächen Ton (2Poo) nicht za erscheinen pflegen, die nnr des« halb mit gezeichnet worden sind, am die Lage der Zusammensetzungsflftche anzadeuten. Denkt man sich einen solchen Krystall durch einen Schnitt halbirt, welcher einer (z. B. der oberen vorderen) Fläche n parallel geht, and hierauf die eine Hälfte gegen die andere um eine auf der Schnittfläche rechtwinklige Linie durch 180^ verdreht, so erhält man eine ziem« lieh richtige Vorstellnng dieser Zwillinge, dergleichen einer der Combination 0P.(ooP(X)).ocP.2P<x>.P<x).P in Fig. 764 (za deren Erläuterang die in Flg. 765 gege« bene orthographische Projection auf eine Normalflä* che der Klinodiagonale dienen katin), so wie ein an- derer der Combination 0P.(ocPoo).2P.ocP.P.Poo.2P(X) in aufrechter Stellung nach der Klinodiagonale in Fig. 769 dargestellt ist.
Der Adiilar kommt gleichfalls sehr schon nach demselben Gesetze verwachsen vor, und liefert dann bei einer gewissen Beschaffenheit seiner Combinationen den evidenten Beweis für die Richtigkeit des angegebenen Zwillingsgesetzes. So finden sich z. R zu Rodi am Gotthardt s^hr schöne und grosse Adularzwillinge (ahn* lieh wie Fig. 764, nur weniger verlängert nach der Klinodiagonale), welche nicht nur durch die symme- trische Lage der vollkommneren und unvollkommne* ren Spa1twig|flächen dea Prismas ooP (der Flächen T und /) die Annahme y dass die Zwillingsaxe eine Nor- male von (2Poo) ist *), sondern auch die Rechtwink- ligkeit dieses Klinoprismas bestätigen, indem gewöhn- lich Theile der Fläche (ooPoo) des einen Individuums am Bande der Fläche OP des andern Individuums zu
*) Denn Tom blos krystallographischen Gesichtfpuncte aza Heise sich aach dne andere Linie als Zwillingsaxe anneboien«
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342 Angewandte Krystallqgraphie.
beobachten sind, welche so vollkommen mit OP coin- cidiren, dass beide nur eine einzige spiegelnde Flä- che bilden.
Nicht selten wiederholt sich die Zosammensetzongy in welchem Falle Drillings - und Vierlingskrystalle von sehr merkwürdiger Beschaffenheit entstehen. Legt sich z. B. an das hintere Individuum in Fig. 769 ein drittes nach vorn an, so resultirt ein Drilling, wie Fig. 770, in welchem die Individuen I und Ul eine solche Stellung zu einander haben, dass man für sie das besondere Gesetz: Zwillingsaxe die Klinodiago- nale, Znsammensetznngsfläche die Basis, geltend ma- chen könnte*).
Bildete sich endlich zwischen dem ersten und drit-» ten Individuo noch ein viertes Individuum, so ent- steht ein sehr symmetrischer Vierlingskrystall , der- gleichen bisweilen am Adular vorkommen, theils so, wie es die Fig. 771 zeigt, theils sehr verkürzt, wenn die Individuen nur die Combination ooP.OP.Poo dar- stellen, in welchem Falle man sich das Bild des Yier- lings construiren kann, wenn man sich zwei Zwil- linge wie Fig. 767 erst in paralleler Stellung in ein- ander geschachtelt, und darauf den einen gegen den andern um die Linie aa' durch 90^ verdreht denkt.
§. 663. Portsetzung.
Ein drittes Gesetz der ZwillingsbiW^l^ des Or- thoklases, welches besonders an solchen KrystaÜen vorzukommen pflegt, in denen OP und (ooPoo) als vorherrschende Gestalten ein rechtwinklig vierseiti- ges Prisma bilden, ist:
*) Nicht aber daa geometriAcfa gleich geltende Gesetz: Zwil- lingsaice die Normale yon OP, welches eine ganz andere Lage der beidersehlgeo rechten und linken Flachen von ocP fordert
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ZwWingshrystdUe, Cap.FL 343
Zwillingsaxe die Normale, Ziuanimensetsitngsfläche
eine Fläche von OP. Die IndiTidaen sind gewöhnlich dnrch Jnxtaposi- tion Terbunden, wie in Fig. 768, welche einen solchen Zwilling der Combination OP.(ooPoo).ooP.Poo.((X)P3) in der aufrechten Stellung nach der Klinodiagonale darstellt; doch kommen auch Exemplare vor, an wel- chen die IndiTiduen mehr oder weniger in einander geschoben sind, bis zur fast ToUkommenen Durch- kreuzung. Auch der Adular bildet zuweilen in sei- ner gewohnlichen Combination ooP.OP.Poo Zwillinge dieser Art, wie Fig. 767. Doch ist es keiuesweges ganz ausgemacht, ob das Gesetz nicht so ausgespro- chen werden muss:
Zwillingsaxe die Klinodiagonale, Zusammensez- zungsfläche die Basis; indem es von einer genauen Untersuchung der Lage der beiderseitigen voUkommneren Spaltungsflächen Ton ooP abhängt, ob die eine oder die andere For- mel gültig ist; liegen die Flächen T des einen Indivi- duums an den Flächen Tdes andern, so gilt die erste Formel; liegen dagegen die Flächen T des einen an den Flächen / des andern , so gilt die zweite Fonnel. Endlich will ich noch erwähnen, dass ich einen Zwilling des Orthoklases aus dem Granit des Fich- telgebirges besitze, welcher, soweit die Beschaffen- heit der Oberfläche die Beobachtung unterstätzt, nach dem Gesetze:
Zwillingsaxe eine Normale, Zusammensetzungsflä- che eine Fläche von ooP3; Fig. 766, . gebildet ist.
Die Fläche (ooPoo) oder M des einen Individuums scheint der Fläche ooP rechts, also T, des andern parallel zu seyn, und vice versa *). Die beiderseitigen
*) In der Figur 479 meines Lehrbuches der Mhieralogie ist
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344 Angetpandte KrystaUographie.
Flächen OP bildeo ein- and aiuspringende Winkel von 155'' 2% die beiderseitigen Flächen 2Pcx> Win- kel von 133'' ff.
§. 664.
ZwilKnge des Ryakolithes.
Der Ryakolith oder glasige Feldspath (Nose's Sa- nidin), dessen Krystalle so häufig in den Trachyten und andern vnlcanischen Gesteinen auftreten, und den erst kürzlich Gustav Rose als eigenthümiiche Species fixirte, zeigt ganz ähnliche Zwillingskrystalle wie der Orthoklas. Rose's Messungen führen auf die Dimensionen
^ C = 63° 54' a:b:€ = 0,8468 : 1 : 1,535 Die Krystalle sind theils tafelartig durch Vorherr- schen von (ooPoo), theils rechtwinklig säulenartig, durch gleichzeitiges Vorherrschen von (ooPoo) und OP, zeigen aber sonst viel Aehnlichkeit mit denen des Orthoklases. Die gewöhnlichsten Zwillinge sind nach dem Gesetze:
Zwillingsaxe die Hauptaxe, Zusammensetzungsflä- che eine Fläche von (ocPoo) gebildet, und daher gleichfalls als Zwillinge mit rechts und mit links verwachsenen Individuen zu unterscheiden, wie die ähnlichen des Orthoklases. Die Figur 772 stellt einen dergleichen Zwilling der tafelartigen Combination (ocPoo).ocP.OP.P vor; beide Individuen stellen die Hälften eines einzigen, nach seinem klinodiagonalen Hauptschnitte halbirten Indi- viduums dar, und das Vorspringen der Flächen o über die Flächen P zeigt augenscheinlich, dass die Polkante der Hemipyramide P und die Klinodiago^
die nach Toni gekehrte Fläche ocP des luiitereii IndiTidiiiims nit l statt mi^ T zo bezddmen.
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ZwitHngahrystaUe. Cap. yi 345
naie eine verschiedene Neigung gegen die Hanptaxe haben.
Ausser diesen kommen noch andere Zwillinge Tor, deren Zwillingsaxe eine Normale, Zasammensetsongs- fläche eine Fläche des Klinoprismas (2P9o) ist, und die also den Bayenoer Orthoklaszwillingen in Fig. 764 und 765 ganz analog gebildet sind. Da aber die- ses Prisma nicht wie im Orthoklas rechtwinklig ist, sondern an der Polkante 90^ 32^ misst, so sind auch die Flächen OP oder (ooPoc) der beiden Indiyidnen nicht rechtwinklig auf einander, sondern bilden ei- nen Winkel von 89^ 4» wovon sich Rose durch Mes- sungen überzeugt hat.
§. 666. Zwilliiige de« Titanites.
Der Titanit ist gleichfalls eine durch ihre häufige Zwillingsbildung sehr ausgezeichnete Species ; das Ge- setz seiner Zwillinge ist: Zwillingsaxe die Normale von OP» oder Zwillingsaxe die Klinodiagonale. Rese*s Messungen fuhren, wenn wir in denFigg. 773, 777 und 778 P = OP, / = ooP, und y = Poo setzen, auf die Dimensionen C = 85^ 6' aih.c = 1,537: 1:2,342 und auf folgende Zeichen der erwähnten Combina- tionen:
1) 00P.4P00.OPJP00, tafelartig, Fig. 773;
2) dieselbe Combination mit (ocPoo), säulenartig, Fig. 777;
3) ocP.((X)P3).4Poo.Pcso.0P.(4P4).— (2P2).(4P2). Fig. 77a
Die grünen , tafelförmigen oder kurz säulenförmi- gen, meist mit Chlorit imprägnirten Krystalle finden sich zuweilen durch Juxtaposition in der Fläche OP
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346 Angcipandte KrystaUographie.
Terbanden wie in Fig. 774 und 776. Die Flächen / beider Individuen bilden ein - und ausgpringende Zwil- lingskanten von 170^ 44^, die beiderseitigen Hemipris- men 7P00 = a eine ausspringende horizontale Zwil« lingskante Ton 85'' 6^; sind, wie gewöhnlich, auch die beideliBeitigen Hemiprismen Poo r=r y vorhanden, 80 bilden selbige an der Seite der ausspringenden Winkel von l eine einspringende horizontale Zwil- lingskante von 120'' 54^
Häufiger finden sich jedoch die Individuen durch Penetration zu vollkommenen Durchkreuzungszwillin- gen verbunden, in welchen die einspringenden Zwit lingskanten der Flächen / fehlen, weil die vordere Seite eines solchen Zwillings dasselbe Ansehen hat wie die hintere Seite eines Zwillings wie Fig. 774 ^oder 776, daher man vorn und hinten die Flächen l mit ausspringenden Winkeln von 170'' 44^, die flä- chen y mit einspringenden Winkeln von 120'* 54^ beob- achtet. Die beiderseitigen Flächen OP bilden aber keine ununterbrochene Fläche, sondern erscheinen längs der Orthodiagonale durch eine von den Flächen a; gebildete einspringende Zwillingskante von 94** 54^ in zwei Felder abgetheilt; Fig. 775 und 779.
Sind also beide Individuen gleichraässig ausgebil- det, so erscheinen die Zwillinge der sehr niedrigen tafelartigen Krystalle mit vorherrschenden Poo als längliche sechsseitige Tafeln, an welchen zwei ge- genüberliegende längere Randflächen einspringend un- ter 120'^ 54% die äbrigen vier Handflächen aussprin- gend unter 170'' 44' zugeschärfi, die Seitenflächen aber längs der Makrodiagonale mit einem furchen- artigen Einschnitte von 94^ 54' versehen sind ; Fig. 775. Dagegen erscheinen die Zwillinge der dick tafelför- migen oder kurz säulenförmigen Krystalle mit unter- geordneten Poo wie dicke rhombische Tafeln, an wel- chen die Bandflächen unter 170° 44' zugesehärft, die
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Zwillingshrystalle. Cap. FL 347
Seitenflächen aber mit einem ähnlichen Einschnitte versehen , und ausser dem die stumpfen Randkanten durch die Flächen y eingekerbt sind ; Fig. 779.
f. 666. Fortietzung.
Nächst den im Torhergehenden $. beschriebenen Zwillingen sind noch besonders diejenigen Durchkreu* Zungszwillinge des Titanites xu berücksichtigen, de- ren Individuen durch die vorherrschende Hemipyra- mide (4P4) =s $ und das llemiprisma Poo = y als breite, kurze ^ sechsseitige, an den Enden durch die Flächen OP = P und iPoo =s x begränzte Säulen, oder auch längliche rectanguläre Tafeln erscheinen. Diese Krystalle zeigen fast immer das Eigenthämliche, dass sie in der Mitte grün, an den Enden aber braun bis hyacinthroth gefärbt sind. Durchkreuzen sich zwei derselben nach dem angegebenen Gesetze, so bilden isie Zwillinge wie Fig. 780, in welchen die Flächen f nach aussen vier einspringende Winkel von 148'' 24% aber auch nach innen, an den Enden der durch die Flächen x gebildeten tiefen Einfurchung der Basis je- derseits einspringende Winkel von 55^ 24' hervor- bringen.
Dies ist jedoch nur eine der einfachsten f*or- men der Individuen; häufig finden sich auch die Flä- chen des Prismas ooP und andere untergeordnete Ge- stalten in der Combination, zumal wenn die Krystalle nach den .Flächen $ etwas länger säulenförmig gebil- det sind; Fig. 781. Dagegen kommen auch andere, nach der Orthodiagonale sehr langgestreckte, dünn- tafelartige Krystalle vor, in welchen man ÜEist nur. die vorherrschenden Flächen y so wie die Flächen P und ^.erkennt, indem sie nach der, Richtung der Flä- chen 9 hin sehr unvollkommen ausgebildet isu seyn pflegen.
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348 Angewandte Krystallograpfüe.
Siebentes Capitel.
Zwillinge des triklinoSdriichen Systetnes.
§. 667. Andentmigeii zur Theorie dieser Zwillinge.
Die allgemeine Tlieorie der Zwillinge dieses Sy- stemes erfordert, wegen der drei schiefen Neigungs* Winkel, einige weitläufige Rechnungen, welche sich je* doch sehoArereinfachen, sobald man nur auf die bis jetzt in der Natur beobachteten Gesetze Rucksicht nimmt. Wir wollen uns daher auch damit begnügen, den Gang der Rechnung anzudeuten, und die ersten Vorbereitungen zu ihrer Ausfuhrung mitzntheilen.
Man föhrt zuvörderst, statt des gegebenen schief- winkligen Axensystemes, ein subsidiarisches Ortho« metrisches Axensystem ein , und yerfährt ^abei wie folgt.
Es sey die Hauptaxe die Axe der x^ die Makro- diagonale die Axe der y, die Brachydiagonale die Axe der 2, und
der Neigungswinkel der ^ zu y = y • x va z ^=i ß - - - der Ebene {xy) zur Ebene (ßz)=A Statt dieses triklinometriscfaen Axensystemes sol- len nun drei rechtwinklige Axen der^i, jfi und Zi eingeführt werden. Zu dem Ende wählt man die Axe der^^ zur Axe der Xi^ nimmt in der Ebene {xz) oder ocPoc eine auf der Hauptaxe rechtwinklige Axe der Ziy und endlich eine auf derselben Ebene rechtwink- lige Axe der yi. Bezeichnet man die Neigungswin- kel der neuen orthometrischen gegen die alten klino- • metrischen Axen mit (JTiX), (XiF), (Jr,Z), u. s. w^ so bestimmen sich folgende Cosinus dieser Winkel: cot(jr,JC) = l, eo${XiY) = eo»yy cos(XiZ)^=coiß cot(F,jr) = 0, c0s(YtY)=nnA$inYjC0ff(YtZ)=O cot (ZiX) =»0, cet(ZiY)=co9AtwyjC0$(ZiZ)=nnß
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ZudlUngsirystaUe. Cap. FII. 349
Die reehtwinkligen Coordinaten^ als Fanctionen der schiefwinkligen Coordinaten, werden daher: jTi =s or + ycoiy + zcQ9ß
Zi =s ycoiAiiny + Ziinß
und di# schiefwinkligen Coordinaten , als Functionen
der rechtwinkligen:
sinßcoiy — coiAeotßtiny ^^
wenn — ^ ^ . . . — ' = cotC
mnAnhy
yicotC Zicotß
nnß tmß
»i»A$mY «. ^1 _ SiCOiA 9üiß HnAiinß
Es ist aber C der Neigungswinkel der Ebene (sz) gegen die Ebene (yz), oder des Hauptschnittes ocPoo gegen den Hanptschnitt OP.
Man bestimmt nun die klinometrischen Gleichun- gen der Zwillingsaxe iV, wie solche das gegebene Zwillingsgesetx fordert, macht diese Gleichungen or« thometrisch, und berechnet die Cosinus der Neigungs- winkel der N gegen die Axen der ^, y und z des In- dividuums I. Bezeichnet man die schiefwinkligen Axen des Individuums 11 als die Axen der j/j ^ und z^, so finden sich die orthometrischen Gleichungen der- selben aus den Bedingungen ihrer Lage,
1) dass jede Axe des Individuums II in die Ebene durch N und die gleichnamige klinometrische Axe des Individuums I föllt, und
2) dass jede Axe des Individuums II mit der N denselben Winkel bildet wie die gleichnamige Axe des Individuums L
Mittels der gefundenen Gleichungen bestimmen sich mm leicht die Cosinus der Neigungsvnnkel der Axen der JT^, y' und z^ gegen die Axen der jTi, yi und Xi,
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350 Angeipandte KrystaUographie.
und mittek dieser wiedenm die Substitaeoden der Coordinaten Xi^ jfg und Zty um irgend eine Linie oder Fläche des IndiTidnnms I auf das schiefwinklige Axen- system des IndiTidanms H beziehen za können«
Die Beziehnng g^ebenerBegränznngselemente des einen Indiiridniuns auf das andere fordert da^er nur noch 9 dass man die, ans dem krystallographischen Zeichen abzuleitenden klinometrischen Gleichungen derselben orthometrisch ausdrückt, und in den gefun- denen Ausdrücken für die Coordinaten oti, tfi und Zi deren Werthe als Functionen von x\ jf und zf sub- stituirt.
Die wichtigsten der bis jetzt beobachteten Gesetze sind nun folgende:
1) Zwillingsaxe die Kormale von ooPoo;
2) Zwillingsaxe die Makrodiagonale, oder dieAxe der y;
3) Zwillingsaxe die Hauptaxe, oder die Axe der x. Dies sind nämlich die drei Gesetze, welche sich
an den verschiedenen triklinoidrischen Feldspathen, dem Periklin, Tetartin, Labrador und AnortUt, als den wichtigsten Species aus dem Gebiete dieses Kry* stallsystemes, verwirklicht finden.
Ein für alle Mal bestimmen sich die orthometri* sehen Gleichungen der krystallographischen Axen des Individuums I wie folgt:
Gleichungen der Hauptaxe:
yi = 0, Zi = 0
Gleichungen der Makrodiagonale :
^- »' zzr 0 -^ ?L>=o
co%y iinAitny ^ tinA co$A
Gleichungen der Brachydiagonale :
OXi Z\ ^^
Findet nun das erste Gesetz Statt, so ist die Zwil-
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SiwiBmgskrystalle. Cap. FIL 331
lingsaxe identiseh mit der Axe der yi; ihre orthome- frischen Gleichungen werden ako OTi s= 0, Zi = 0 Für das zweite Gesetz sind die klinometrischen Gleichungen der Zwillingsaxe
^ =r 0, 2? = 0 and folglich ihre orthometrischen Gleichungen:
co9y itnAimy
coiA nnA
Für das dritte Gesetz endlich sind die Gleichun- gen der Zwillingsaxe
yi = 0, r, = 0 Der weitere Verfolg der Rechnung hat nun keine Schwierigkeiten, da man sie nach denselben einfa- chen Regeln zu fahren hat, wie im rhombischen Sy- steme,
§.668. Zwillinge d« Tetartines.
Am Tetartin oder Albit, fEür welchen nach G.Ro- se'a Messungen
A = ooPoo : ooPoo = 88* 39' JB = OP : ooPoo = 63** 34' C s= OP : ooPoo = 86** 24' mibic = 0,887:1,627:1 o fi= 4 : c = 86^ 45' /? = a : c = 63** 25' y = a:Ä = 85** 20' finden sich das erste und dritte der im vorigen §. an- gegebenen Gesetze verwirklicht.
Eine der gewohnlichsten Combinationen ist
öoP'.oo'P.ooPoo.OP.'P'oo.P. Fig. 782. Denkt man sich zwei ladividuen von dieser Form nach dem Gesetze: Zwillingsaxe die Normade, Zu-
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352 Angewandte KrystaUographie.
sammensetsnngsfläehe eine Fläche von ooP^c, verbun- den, 80 bilden sie einen ZwiUing, wie ihn Fig. 783 in schiefer^ Fig. 784 in horizontaler Protection dar- stellt Die beiderseitigen Flächen OP (P) bilden ein- und aasspringende Winkel von 172'' 48^, an welchen man nicht nar die Zwillinge , sondern auch die Spe- cies selbst sehr leicht eirkennt, welche wegen ihrer grossen Aehnlichkeit mit Orthoklas früher mit die- sem verwechselt worden.
Gewöhnlich findet diese Zwillingsbildung mit Wie- derholung Statt, indem viele Individuen an einander gewachsen sind, von denen zomal die inneren in der Richtung der Zwillingsaxe sehr verkürzt zu seyn pfle- gen, daher die ganze Gruppe oft nur ein schichten- artiges Aggregat lamellarer Individuen, oder auch wohl einen scheinbar einfachen Krystall darstellt, welcher von mehren dünnen Lamellen durchsetzt wird.
Zuweilen treten die mittleren Individuen über das sie einschliessende Individuum hervor, seltner zeigen sie sogar verschiedene Formen; so habe ich kleine, von Prehnit begleitete Krystalle aus Tyrol gesehen, wie Fig. 785, in welchen dünn tafelartige Individuen der Combination Fig. 782 von einem Individuum der Combination in Fig. 767 dergestalt umschlossen wer- den, dass die ersteren nach allen Seiten aus dem letzteren hervorspringen; in den meisten KrystaUen bestand jedoch das äussere Individuum aus mehren, in paralleler Stellung verwachsenen Rudimenten, da- her die Zusammensetzung, von oben betrachtet, vrie die Horizontalprojection in Fig. 786 erschien.
Ausser diesem herrschenden Gesetze findet steh am Tetartin auch das Gesetz : Zwillingsaxe die Haupt- axe, in ähnlicher Weise verwirklicht wie am Ortho- klas; indess sind die nach diesem Gesetze verwach- senen Krystalle in der Regel schon nach dem ersten
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Zwülingskrystalle. Cap. FII. 353
Geietxe xasammengeseizt, so daas ein Zwilling ^ie Fig. 783 mit einem zweiten Zwillinge der Art ver- banden ist
9. 669. Zwillinge des Pefiklinet.
Am Periklin (bekanntlich eine von Breithaapt fixirte Species der Feldspathfamilie) kommen Zwil- linge nach dem ersten und zweiten der in f. 667 er- wähnten Gesetze vor.
Die gewöhnlichsten Krystalle sind der in Fig. 782 abgebildeten Combination des Tetartines sehr ähnlich ; denkt man sich dazu noch das Prisma ooP'3 (z), so erscheinen die nach dem ersten Gesetze: Zwillings«- axe die Normale Ton ocPoc, gebildeten Zwillinge wie Fig. 787; die Flächen P und 1^ bilden aas- and ein- springende Winkel von 173'' 22^.
Die nach dem zweiten Gesetze: Zwillingsaxe die Makrodiagonale, Zasammensetzungsfläcbe die Basis, gebildeten Zwillinge, Fig. 788, sind sehr aasgezeich- net; beide Individuen erscheinen nämlich mit ihren oberen Flächen P verwachsen, während die hinteren Flächen T und / des einen Individaams mit den vor- de^n Flächen / and T des anderen zusammenstossen, die brachydiagonalen Flächen M aber auf der einen Seite einen einspringenden, auf der andern Seite ei- nen aasspringenden Winkel von 173'' 22' hervorbrin- gen, wodurch diese Zwillinge ganz besonders auffal- lend werden.
Am Labrador finden sich dieselben beiden Gesetze verwirklicht; seine derben blätterigen Massen sind ge- wöhnlich aus lauter dünnen, lamellaren Indiyiduea zusammengesetzt, deren Flächen OP oder ooPoo aus- ond einspringende Winkel von 171^ hervorbringen.
n. 23
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354 jingewandte Krystallographie.
Dritter Abschnitt.
Vom der Messung der KrystalbDinkei.
Ersten Capitel. Carangeaas Goniometer.
f. 670. Venchiedene Arten der Goniometer, Ans den, im ersten Abschnitte der angewandten Kri- stallographie dargestellten Unregelmässigkeiten in der Ansbildang der Krystalle, und ans der in §.559 her- Torgehobenen Thatsache, dass die Kanten- and Flä- chenwinkel die einzigen in. der Erscheinung constan* ten Begränznngselemente sind, ergiebt sich von selbst die Regel, dass nur in diesen Winkeln die Beobach- tnngselemente gesacht werden dürfen, auf welche die Berechnung der Krystallformen zu gründen ist Weil aber die Messung der ebenen Winkel, theils wegen der Kleinheit der Flächen, theils wegen der oft sehr unvollkommenen Ausbildung der Kantenlinien, theils auch wegen der schwierigen Application eines dazu geeigneten Instrumentes, nur sehr unzuverlässige Re- sultate liefern würde, so bilden die Kantenwinkel den eigentlichen Gegenstand unsrer Messungen. Die Me- thoden, nach welchen, und die goniometrischen In- strumente, mittels welcher diese Messungen auszu- führen, sind jedoch verschieden, je nachdem eine grössere oder geringere Genauigkeit gefordert wird, und die Beschaffenheit des Krystalls mehr oder we- niger vollkommeii ist. Sind nämlich die Krystalle klein und ihre Flächen eben und stark glänzend, so bedient man sich der Reflexionsgoniometer; im Ge- gentheile der Contactgoniometer; wiewohl auch im letzteren Falle die ersten Goniometer anwendbar wer-
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KrystcMmessung. Cap. I. 355
den, wenn nur die Krystalle nicht gar in grofts und die Flächen wenigstens stellenweis eben sind, weil man dem Mangel des spiegelnden Glanxes dadurch abhelfen kann, dass man kleine Lamellen ans Spie- gelglas mit etwas Terpentin auf den Krystallfläehen befestigt Da man sowohl für die Contact- als Re- fiexionsgoniometer verschiedene Constmotionen in Vorschlag nnd Ansfiihrang gebracht hat, so werden wir nor die beiden gebräuchlichsten und den Bedürf- nissen der Mineralogie angemessensten Instrumente der Art, nämlich das Carangeau'sche Contactgonio- meter nnd das WoUastonsche Refiexionsgoniometer I in Betrachtung sieben*).
f. 671. Caraog«au'a Goniometer.
Denken wir uns zwei Lineale um eine auf ihren beiderseitigen Ebenen rechtwinklige Axe so verbun- den, dass sie sich um diese Axe drehen können, so werden wir mittels dieses einfachen Apparates den Neigungswinkel je zweier hinlänglich ebener und aus- gedehnter Erystallflächen abnehmen können, indem wir das eine Lineal mit seiner hohen Kante oder Randfläche auf eine der Krystallflächen dergestalt auf- setzen , dass sich beide Flächen möglichst genau decken, während seine Seitenfläche rechtwinklig auf der Kantenlinie ist; und hierauf bei unveränderter
*y Ueber Adelipaiis Contactgoitf ometer, ttber Bamngmrtiien Gonio- »etor, welches halb ein Reflexioni-, halb tarn Contaet^onloiDeter ist, über Stoders, Breithaopta, Monkea, Radberga u. a. Goniometer ▼ergL man Gilberts und Poggendorflii Annalen, so i/vie Schweig* gen Jahrbücher. Ganz neulich hat y. Riese ein Goniometer vorge- schlagen, welches wegen seiner höchst zusammengesetzten Con- stmctlott wohl nor zu solchen Messungen zu empfehlen seyn dürfte, dl» fir 8«liT feine pfajsikaUsche Untersuchungen dienen soUeai
23*
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356 Angewandte Krysiallographie.
Stellung des ersten Lineales das zweite Lineal um seine Axe drehen, bis sich seine hohe Kante onA die andere Krystallfläche gleichfalls decken. Die ein- ander zugewendeten Seitenflächen der Lineale reprS- sentiren nämlich bei dieser Lage die Normalebene der Kante (§. 33) und die hohen Kanten oder Hand- flächen der Lineale die Dorchschnittolinien dieser Ebene mit den Krystallflächen, folglich der Neigungswinkel
, beider Lineale den Neigungswinkel der Kante selbst. Entfernt man daher beide Lineale, ohne ihre Neigung zu ändern, und legt sie auf ein Papier, so kann
^ man den abgenommenen Winkel unmittelbar auf die- ses Papier transportiren, und dann mittels eines ge^ theilten Halbkreises messen.
f. 672. ^ Portsetzang.
Es lässt sich jedoch, zur grosseren Bequemlich- keit und zur Abkürzung der Operation, der zur Mes- sung des transportirten Winkels dienende Halbkreis mit den Linealen selbst in eine unmittelbare und blei- bende Verbindung bringen; eine Verbindung, welche in dem Cbntactgoniometer von Carangeau Terwirk- licht ist. Man denke sich nämlich mit dem einen Li- neale AB Fig. 789 einen getheilten Halbkreis ABD nnverriickbar verbunden, dessen Mittelpnnct in C und dessen Durchmesser eine mit den Kanten des Linea- les parallele Linie aCby so dass die Puncto 0^ und 180'' in diese Linie fallen; hierauf das zweite Lineal EF (die bewegliche Alhidade) in denjenigen Theile, welcher auf dem Limbus des Kreises anfliegt, nack einer durch den Pnnct C seinen Kanten parallel ge- sogenen Linie ausgeschnitten, und zu einem dSnnem Rande zugeschärft; so wird dieser Rand den jedes- maligen Neigungswinkel beider Lineale auf dem Lim- bus des Halbkreises unmitt^bar abschneiden. IKes
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KryataUniessung, Cup. L 357
ist die wesentliche EinrlchtuAg des Caiangcau'boiicu üoiiiometers.
f. 673. Fortsetzung.
Weil jedoch die zu messenden Krystalle oft klein und angewachsen sind, in diesem Falle aber die xur Anlegung anf die Krystallflächen dienenden Schenkel CA und CP beider Lineale bei unveränderter Länge die Abnahme des Winkels nnmöglich machen wurden, so ist es nöthig, diese Schenkel beliebig ver- kürzen zu können. Zu diesem Zwecke ist der Halb- kreis zunächst nur mit einer bis etwas über den Mit- telpunct reichenden Metallplatte J/C, Fig. 790, (dem Alhidadenträger) verbunden, welche in C die Dre- hufigsaxe und in ^M einen dieser Axe vollkommen gleichen, und genau in der Linie 0*^ — 180'' stehen- den Zapfen, ausserdem auch noch die Spreize CN trttgt, welche zur Unterstützung des frei auslaufenden Halbkreises dient. Die eineAlhidade ist nun in dem- jenigen Schenkel, welcher mit der Kry stallfläche in Contact gebracht wird, die andere Alhidade in beiden Sehenkeln ihrer Mittellinie parallel ausgeschnitten, so dass sie sich an dem Zapfenr der Drehungsaxe mit Widerstand hin und her schieben lassen. Die eine Alhidade wird nur durch den Zapfen in C fixirt; sie Iftsst sich daher drehen und zugleich in ihrem einen Schenkel bis auf FG verkürzen ; die andere Alhidade wird durch beide Zapfen in C und ilf fixirt; sie ist da- her nur in der Richtung der Linie 0** — 180' verschieb- bar, kann aber durch diese Verschiebung in ihrem einen Schenkel bis auf AH verkürzt werden.
Wenn der zu messende Krystall auf einer Druse ^ att%ewach8en ist,- so verhindert oft das frei vorste- hende Ende des Halbkreises die Annäherung der Al- hidaden; um diesem Uebelstande abzuhelfen, ist die
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3ä8 Angewandte Krystaüographie.
Spreize CN gleichfalls um die Axe beweglich, so dass sie von dem Halbkreise losgeschraubt und auf die Seite geschlagen werden kann; der Halbkreis selbst aber im Theilpuncte 90° zerschnitten, und der zweite Quadrant an den ersten mittels eines Charniers be* festigt, so dass auch er zurückgelegt werden kann. Durch diese Einrichtung wird die Anlegung der bei^ den Messufigsschenkel in vielen FWen möglich^ in Welchen sie ohne selbige nicht Statt finden könnte.
§. 674. Regeln bd dem Gebrauche des Carangeau^achen Goniometers.
Bei dem Gebrauche des Carangeau'schen Goniome* ters müssen folgende Bedingungen erfüllt seyn, wenn die Resultate Einigen Werth haben sollen:
1) Die Krystallilfichen müssen eben im Grossen (wenn auch nicht glatt) und von einiger Aus- dehnung seyn; das Letztere ist um so nöthi- ger, wenn beide Flächen nicht unmittelbar zu* sammen treffen, sondern durch zwischenliegende Flächen getrennt sind, wie solches häufig in Combinationen Statt findet.
2) Die Ebene des Instrumentes muss genau reeht- winklig auf der Kantenlinie oder auf bei- den Kantenflächen stehen ; daher ist es sehr gut, wenn die Kantenlinie wirklich ausgebildet ist, weil nach ihr die Lage des Instrumentes am sichersten beurtheilt werden kann.
3) Die Alhidaden müssen mit ihren Randfiächen ge- nau auf den Krystallflächen anli^^en, und die- selben in möglichst vielen Poncten berühren. Dies erreicht man am besten, indem man das Instrument und den Krystall gegen das Licht hält, und es dahin bringt, dass gar kein oder mdglicbst wenig Licht zwisdien den Alhidaden und den Krystallflächen durchgeht.
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KrystaUmessung. Cap. IL 359
Weil ii^gens der Genanigkeit der OjperatioB nnd der Richtigkeit des Instrumentes ungeachtet die nüttels desselben erhaltenen Resultate nur auf + 1 Grad sa verlässig sind, so dürfte eine weitere £intheilung des Halbkreises als in halbe Grade kaum einigen Nutzen gewähren, indem mim dann ^ oder -|V eines Grades ziemlich sicher schätzen, und sich durch öf- tere Wiederholung der Messung ein der Wahiheit genähertes Mittel veriehaffen kann.
Zweites CapiteL Wollastons Goniometer.
• §. 676.
Beilürfnisa eines genaueren Instrumcnied.
Weit Toraüglicher als die Contactgoniometer sind die Reflexionsgoniometer wegen der grosseren Ge- nauigkeit ihrer Resultate sowohl als auch wegen ihr rer allgemeineren Brauchbarkeit. Für sehr kleine Krystalle, welche doch nach |. 559 die regelmässige sten und daher zu den Messungen geeignetsten sind, flK> wie für solche Kanten, deren Flächen klein und durch mehre zwischenliegende Flächen abgesondert sind, verliert nämlich das Carangeau^sche Goniometer seine Brauchbarkeit, weil in beiden Fällen durch die Unsidierheit seiner Manipulation sekr fehlerhafte Re- sultate herbeigeführt werden können. Ueberhaupt aber lässt steh mit ihm selbst bei günstiger Beschaf- fenheit des Krystalls kaum eine grössere Genauigkeit als bis auf \ Grad erreichen, so dass man auf die mit selbigem erhaltenen Resultate die Berechnung der Grunddimension^i einer Krystallreihe nicht w ohl grün- den kann. Die Herstellung eines andern, zu genaue- ren Messungen geeigneten Instrumentes war daher in
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360 jingetvandte Krystaäograpkie.
nehrfacber Hinsicbt eis grosses BedGrfniss der Wis- senschaft, und diesem Bedärfnisse ist durch Wolla- stons Reflexionsgoniometer Tollkommea abgeholfen worden.
f. 676. GrandUfe der Mesraogen mittels Refliexioo «des Lichtes.
Um den Gebrauch dieses vortreffichen Instromen* tes in seiner ganzen Einfachheit aufzufassen, wollen wir sogleich die vollkommene Erfüllung derjenigen Bedingungen voraussetzen, auf welche es dabei an- kommt, und welche freilich in praxi zum Theil nnr näherungsweise zu erfüllen sind, ab^ aach nur n^ herungsweise erfüllt zu seyn brauchen.
Es sey MNRj Fig. 791, die Eben^ nnd C der Mit- telpunct eines in zweimal 180* eingetheilten , mit einem Nonius versehenen , nnd um seine Axe dreh- baren Kreises. Die zu messende Kante werde von zwei ebenen nnd gut spiegelnden Flächen gebildet, nnd der Ivrystall selbst sey dergestalt entweder auf dem Kreise unmittelbar, oder auf einem an dessen verlängerter Axe angebrachten Krystallträger befestigt, dass die Kantenlinie mit der geometrischen Axe dea Kreises zusammenfallt. Diese letztere Bedingung lässt sich in die zwei auflösen, dass die Kantenlinie
1) normal auf der Ebene des Kreises, oder jn^ stirt, nnd
2) centrischin Bezug auf die Peripherie des Krei- . ses, oder centrirt
sey. Sind beide Bedingungen erfüllt, so werden die Projectionen beider Flächen ^uf die Ebene des Krei- ses durch zwei Linien wie CD und CE dargestellt.
Von irgend einem in der verlängerten Ebene des Kreises befindlichen, aber sehr entfernten Objecte A sollen Lichtstrahlen auf die Krystallfläche CD fal- len ; der auf das äusserste Element dieser Fläche in C
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KrystaUmesstmg. Cap. IL 361
aaflMIemle Strahl wird nach bekannten Gesetsen re- ilectirt, und verschafft dem in 0 befindlichen Auge die Wahmehmang des Spiegelbildes ron A nach der Richtung CB. Man lasse nun das Auge in der Ricli- tnng des reflectirten Strahles, und drehe den Kreis nach der Richtung MN^ bis die zweite Krystallfläche CE genau iii dieselbe Lage kommt, welche die erste Hache CD vorher hatte. Sobald sie in diese Lage gekommen, wird die Reflexion des Strahles AC von ihrem äalmersten Elemente in C offenbar eben so er- folgen , wie vorher von dem fiussersten iUemente der ersten Fläche; d. h. das in 0 befindliche Auge wird wiederum das Spiegelbild von ^""in der Richtung CB erblicken; und umgekehrt, sobald das in der Rich- tung des ersten reflectirten Strahles verharrende Auge auf dem, zunflchst an der Kantenlinie anliegenden, Elemente der zweiten Flfiche das Bild des Objectes A erblickt, wird diese zweite Fläche genau in die vor- herige Lage der ersten Fläche gelangt seyn. Der hierzu erforderliche Drehungswinkel aber wird notb- wendig das Supplement des Neigungswinkels beider Flächen seyn müssen.
Hat man also vor dem Anfange der Operation ei- nen der beiden Nullpuncte des Kreises auf den Null- punct des Nonius eingestdlt, und sind die Grade in derselben Richtung numerirt, nach wricher die Dre- hung Statt fand, so wird naeh erfolgter Drehung der Nonius auf dem Limbus unmittelbar den Neigungs- winkel beider Flächen anzeigen.
§. 677. Fortsetzung.
Die im vorigen §. erörterte Messungsmethode be- ruht vorzug^ch auf folgenden Bedingungen :
1) dass die Kantenlinie jnstirt ist;
2) dass sie centrirt ist;
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362 Angewandte Krystaüographie.
3) das» der refleetirte Stnid bei beiden Beebwli. twigen genan dieselbe Lage hat;
4) dau das Object uad der Krjstall in einer nnd derselben Parallelebene des Kreises liegen;
6) dasn die Reflexion beide fifale dicht an der Kan* tenlinie Statt findet.
Die erste Bedingung ist fedenfalls nnerlfisslicb, und dareh einen einfachen Stellongsi^parat mit hin- reichender Genauigkeit an er&llen.
Die siweite Bedingung muss um so genauer erfüllt werden, Je geringer die Entfernung des Objectes ist, während bei sehr grosser Entfernung desselben eine ziemliche EiLcentricit&t der Kantenlinic^ keinen erheb- lichen Fehler aur Folge hat Dies ist ein sehr vor- theilhafter Umstand, weil eine gans genaue Centri* mng der Kantenlinie nur durch susammei^setste Apparate erreicht werden kann^ und in manchen Fäl- len fast unmdglich ist.
Die dritte Bedingung kann auf zwei Terschiedene Arten erfüllt werden:
a) indem man das refleetirte Bild durch ein Fem- rohr beobachtet, dessen Axe der Ebene des Kreir ses parallel ist;
b) indem man ein jenseits des Krystalles in der Richtung des ersten reflectirten Strahles befind- liches fernes Object B fixirt, so dass bei bei- den Beobaditnngen das refleetirte BiM des Ob-
. jectes A mit dem direct gesehenen Objecto JB coincidirt.
Die vierte und fünfte Bedingung brauchen nicht alle Mal erfüllt su seyn, indem die Lage und Entfer- nung der Objecte A und B in Bezug auf die Ebene des Kreises und den Krystall so gewählt werden kön- nen, dass sich die eine dieser Bedingungen modiftci- ren, und die andere gänslich aufheben lässt.
Die Reflexionsgoniometer von Malus und Wollas-
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'KryHallmessung. C^p. //. 303
ton sind wesfendich nur dadnreb «AtervebieddB, d«Ni die Lage des reflectirten Strahles in ersterem dnrch ein Fernrohr, iti letxterem durch die Coincidenz des gespiegelten Bildes mit eioeim direct gesehenen Ob- jecte fixirt wird. Da aber die aUgeme&ie' Theorie beider Instrnmente dieselbe ist, so wollen wir bdi ihrer Entwickbing snnftchst anf das Wollastonsche Goniometer Rücksicht nehmen, nnd dabei den Toa Knpffer in seiner gekr&tten Preisaehrift eiogesdila- genen Weg Terlolgen«
f. 67a
flattfiirf 4er Tbeori« das fWflexIo^wtfometeri.
Man setze^ dieDrehungaaxe des Instrumentes sey
die Axe der Zj und die Ebene des Kreises die Coor-
dinatebene (a:ff). ' * '
Es seyen ferner
:tj ff und z die Coordinaten des reflectirenden Pnnc-
tes P auf der ersten Kry stalLBäche ; , - ^
j/^ y^ und xf die Coordinaten des durch jEleflexion
gesehenen Objectes P'; 4r% y" nnd z" die Coordinaten des direct gesehenen Objectes P''.
Da der einfallende Lichtstrahl durch die Pancit^ P und P^, der reflectirte Strahl durch die Puncto P*^ und P geht, so erhält man leicht die sie bestimmen- den Gleichungen.
Da ferner die erste Erystallfldehe in ihr^r ersten Lage nicht nur rechtwii&lig auf der Ebene beiden Strahlen PP' und PP^, sondern ameh gegen beide gleich geneigt ist, oder, mit andern Worten, da die erste Krystallfläche diejenige Ebene durch den Punct P ist, in welcher alle durch denselben Punct gehende Linien von gleicher Neigung gegen PP' und PP" lie-
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364 Angewcmdte Krystallographie.
geO) 80 erhält man aach {3r die erste Krystallfläcke in ihrer ersten Lage eine Gleichung
AX + BY + CZ= D
Diese Fläche kommt durch die Drehung^ des Krei- ses dnrch den Winkel W in ihre xweite Lage, für welche sich eine Gleichung
A'X + WY + CZ^^D' bestimmt.
Was die zweite Fläche betrilBft, so wird ihre Glei- diang, unter Voraussetzung einer so bedeutenden £nt* fernung der Objecte, dass die Dimensionen und die Excentricität des Krystidles dagegen sehr klein sind, identisch mit der Gleichung der ersten Krystallfläche in der ersten Lage, also wieder
AX + BY + CZ^ D
Man findet nun leicht den Cosinus des Neigungs- winkels V beider Krystallflächen, und endlich ans der Gleichung
COi V :=s: COiW
die Bedingungen, welche erfüllt seyn müssen, damit der Drehungswinkel des Instrumentes dem wirklichen Winkel der Krystallflächen gleich sey.
Dies ist der allgemeine Weg, welchen Kupffer bei der Entwicklung der Theorie des Wollastonschen Beflexionsgoniometers rerfolgt hat.
f. 679. Ausführung der Theorie.
Wir wollen nun den im vorigen §. ang^ebenen Gang der Theorie specieller verfolgen.
Da der Lichtstrahl PP^ durch die Puncte P und P^
geht, so werden seine Gleichungen:
_ X F_ M
a '*' b — ab
^ _ ^^ N
c a ac
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KrysiaUmessung. Cap. IL 365
wenn M = arjf' — ^r'jf, N = xz^ — x^z und a = :r — x% b =a y — y', c = r — z' Da der Lichtstrahl PP' durch die Ptincte P und P'^ geht, 80 werden seine Gleichungen
X Y jtr
~ 7 ■*" V == a'b' Z _X _N^ V a' ~ a'c' wenn Jlf = ory* — w^i/j iV 5= xz^ — x^z und a^ = ^ — or*, Ä' = y — y*, tf -ssi z — 2:*
Man setze nun, irgend eine durch den Punct P gehende Linie, welche zugleich gegen beide Licht- strahlen gleich geneigt ist, habe die Gleichungen:
X ^Y , A^ ^^ A
- + -=^l,und- + -^- = l so wird, weil sie durch P geht,
A _ _ ^— y x -. _ ^— g
a AT — ;ir' J X — X
Sind nnn K und f ihre Neigungswinkel gegen PP und PP% so wird, wenn
•«^^ + y^ + ^^ = D' und y/l + g + jj = ^ ist,
a — ^-4^ — 5-c
TT a ö
F8r jede sdche Linie wird aber gefordert, dass: coiK = co$K'
Sabstituirt man also für — und -—- ihre vorher ire-
a d ®
fimdenen Werthe, so erhält man für alle mögliche
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366 Angewandte Krystailographie.
Linien 4er Art, oder^- was dasselbe ist, far die er- ste Krystallfläche in ihrer ersten Lage, als diejenige Ebene, in welcher alle jene Linien enthal- ten sind, folgende Gleichung:
AX+BY+CZ :=t: Ap + By + Cz wenn nämlich
A = Da' — D'a
B = DV — B'b
wobei 2u bemerken, dass, nach §. 14, D die Entfer- nung des reilectirten , nnd D* die Entfernung des direct gesehenen Objectes von der Axe des Krei- ses ist.
§. 6S0. Fortsetzung.
Wftren nun Aj B, C, x^ y und z absolut con* stante Grössen, so wurde die Lage der Krystall- fläche durch die Bedingungen der Reflexion roll- 1^ tändig bestimmt seyn, weil dann die gefundene Gleichung nur eine Ebene im Räume fixiren konnte. Allein streng genommen, lässt sich jener constante Charakter Ton if, B und C, ^, y und z nicht allge- mein aussagen, da die Ausdehnung der reflectirendea Krystallfläche die Reflexion in verschiedenen ihrer Puncto gestattet, und folglich die Coordinaten ;r, y und z, mithin auch die Grossen Ay B und C, als Functionen dieser Coordinaten, veränderliche Grossen sind. Indess wird ihre Veränderlichkeit in sehr eng» Gränzen eingescliränkt, sobald der Krystall und also auch die Krystallfläche, als der Spielraum der Reflexiptt, sehr klein in Verhältniss la den Ent- fernungen der Objecto sind; weshalb sich auch ans diesem Grunde kleine Krystalle vorzugsweise zu den Messungen eignen.
Ist also dieKrystaUfläche im Verbiltmsse m doi
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Kfystalimessung. Cap. IL 367
übrigen die Reflexion bedingenden Elementen so klein, das« die durch Yerrackiing des Anges herbeigeführ- ten Variationen der Coordinaten :r, y nnd z ohne Feh- ler vernachlässigt werden können, so wird die Glei- chung der ersten Krystallfläche in ihrer ersten Lage
{Da'—iyti)X+ {IDV—D'b) Y+ {Dif~D'c)Z=:C0ntt oder auch
AX+ BY+ CZ = Con$i.
%. 6Si. Fartietsiin^.
Wir haben nnn die Gleichung der ersten Krjstall- fläche in ihrer zweiten Lage, also nach der Dre- hung des Kreises zu bestimmen. Es sey der amLim- bus abgelesene Drehungswinkel = IF, so wird die Gleichung der Intersection der ersten Krystallfläche mit der Coordinatebene {xy)^ welche vor der Drehung
AX+BY= Conti. war, nach der Drehung
[AcoiW—BnnW)X+{AiinW+Bco$W)Y=Const. und daher, wenn wir
AcoiW^BiinW^ A' AsinW+BcoiW— R setzen
AX+B^Y^ CZ = CoMt die Gleichung der ersten Krystallfläche in ihrer zwei- ten Lage.
Die Gleichung der zweiten Krystallffilche ist unter den Voraussetzungen,
1) dass die Coordinaten x^ ffi und Zi ihres reflecti- renden Punctes durch die Verrucknng des Au- ges nur sehr kleine und ohne Fehler zu ver- nachlässigende Veränderungen erleiden;
2) dass dieselben Coordinaten mit den Coordinaten Sy y und z ohne Fehler vertauscht werden kön-
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368 Angewandte Krystallographie^
nen, oder das» die Excentrieitfit der gemessenen Kante eine sehr kleine und gegen die Entfernun- gen D und /)' zu vernachlässigende Grdsse ist, identisch mit der Gleichung der ersten KrystalUIftche in ihrer ersten Lage, also
AX+BY+CZ = Conti. Da nun allgemein der Cosinus des Neigungswin- kels V zweier durch die Gleichungen AX + BY + CZ = 0 A'X+ B'Y+ CZ = 0 gegebener Flächen nach bekannten Regeln (indem man
in der Formel des §. 22 ^, B und C statt — , -j-
und — setzt) den Werth
.. AA' + BB' + C
eoiV —
VA^ + B^ + C^ iA'^ + Jff'^ +C* bat, so erhalten wir, wenn wir fiir A' und V ihre Werthe als Functionen von A und B substituirea,
(^^+gOcof?r+c
Es ist aber W der am Limbus des Kreises abge- lesene Drehungswinkel, V der wahre Neigungswin- kel beider Krystallflächen; soll also die Messung den wahren Winkel angeben^ so wird, ausser den schon gemachten Voraussetzungen der geringen Excentrici- tät der Kante, der geringen Ausdehnung der Krystall*« flächen, und der grossen Entfernung der Objecto, noch die Bc^lingung
C= 0 edullt werden mfissen, weil nur dann
r= w
seyn kann.
§. 682. BedUigiuigeii (ür die Richtigkeit der Messung. .
Wir lassen es noch dahingestellt, wie CssO wer-
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KrysiaUineasung. Qap.ll. 3Ö0
lleiAcattn, und begnfigen uns einstweilen mit dem Begultate, dass es = 0 werden muss. Ans den Gleir chitngen der Krystallflächen verschwindet dorch diese Forderung das mit Z behaftete Glied; sie werden also Ton der Axe der z unabhängig, und die ihnen ent- sprechenden Krystallflächen selbst der Drehungnaxe des Instrumentes parallel oder rechtwinklig auf der Ebene des Kreises. Welche Folgernngen sich also noch ans der Bedingung C == 0 Cur die ge* genseitige Lage der Ofajecte und des Krystalles erge- ben mdgen, so wird doch jedenCEdls für die zu mes« sende Kante gefordert, dass selbige genau ju- stirt sey; f. 676.
Was aber die Lage der Objecte betrifft, so wer- den wir die für sie gültigen Bestimmungen gleiebfalU ans der Bedingung C == 0 ableiten können , wenn wir statt C seinen Werth setzen, wodurch dieselbe Bedingung die Form
B(t — z')—'D\z — €) = 0 gewinnt Diese Gleichung wird realisirt:
1) wenn zsz^sz"; d. h. wenn der Krystall und die beiden Objecto in einer Parallejebene des Kreises liegen, weil die Ebene desselben als die Coordlnatebene (ory) angenommen wurde; §.678;
2) wenn D=± D% und zugleich %' ^=^z*'\ d. h. wenn beide Objecte nicht nur vom Krystall, sondern auch von der Ebene des Kreises gleich weit entfernt sind ; denn z^ und z^ sind ihre Abstünde von der Ebene des Kreises, D und /)' ihre Entfernungen von dem Mittelpuncte desselben,
' wofür man den .Ort des Krystalles setzen kann.
Die Bedingung ZÄz'rsrrz" wird nicht immer zu
e.rfuUen seyn, da sie zum Theil von Localverbält-
nissen abhängig ist; für das Malus*sehe Goniometer
findet ^e jedenfalls Statt,
Die Bedingungen D =0 D' und z' = € dagegen II. 24
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370 Ange^pondu MryMUMSagrasj^üe.
tval imuek eia «liifadMt HüHmdtia ftimtdaßmiit UnreielMHider GeiuH^;kell %m erffllea, nni hhoi nirl sieh ddi«r mft so m^bt minexm hahea iiabn^ weS imrth dD« GlekUieit 4er Etttfeniittgra J9 iitt4 !>' s«* g^ewh eitt aaderet «ebr wichtigtet VMrtheil fewoiiAMi wifd. Wir werden ntaduA weiter imteii sehea^ 4«n ier a«i dem Spielmame der Reflexion entq^ting^nde FeUer (f. 680) Tenchwtedet, wenn beide Objede gleieh weU eirtfemt «fnd. Man kann tta»^ aobaid diese Bedfa^gang erf&Ht ist, grosieKryatalle eben ao wofal aU kleine Kryatalle der Meaanng unterwerfen, Tonmageaetst^ dasa die Evcentricn« tat der Kante ao klein gemacht wird, wia ea die #bai* gen Bedingungen fordern.
Das einfache Mittel rar ReaKidrnng der BteAn- gnngen D = D' «nd z't^z" best^ wie Knpffer ge^» seigt bat, in der Anwendung eines kl#&en t^Miseii-. talea Planspiegels, in welchem man suglelch dna reflectirte Bild ^s Objectes P beobachtet, während man dasselbe Object durch Reflexion von der Kry- stallfltehe Wfdunittimt. Dieses in dem Spiegel re- flectirte Bild des ersten Olgectes vertritt also die Stelle i^u sweiten Oljectes-, und 4>eide Ofa|eete sind nnn rom Kfyatalle gfoich entfernt «u achten, wenn nur das cfrate Object nn und ftr sich sehr entfeint, und der Spiegel mSgHcbat nt^e am Krjrstalle ist.
§. 683. Forts^tzQDg.
Fassen wir die in den Torhergehenden |{* l^nn-
denen Resultate nochaatals suaammen, so «rimlten wir
folgende Regeln för den Crebrauch des WoUaaton-
sehen Gbniometers;
1) Die Kantenlinie der au messehden Kante muss
genau justirt, oder der Axe des Insfrumen-
tes parallel gemacht werden.
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KrystaUmeMsimg. Cap. U. 371
2) I>i# IbntMiBiiU darf ntcliC zn excentriseh »eyn, «iwl mass daher wenigsteiu af proximattr, ittd swar um aa genauer ceatrürt werden, je ge- ringer die Entfemiuig der Ob^ete iat. Sind beide Objecte, oder ist andi n«r eines sehr nahe, ao kmm aehou eine geringe Ex^^entrieiCät bedeu- tende Fehler <nr Felge haken *).
3) Die Objecte müssen Tom Krytrtalle ziemlich weit, und, wo möglich, beide gleich weit entfernt seyn; denn darcfa grosse Entfernung' wird der ans der Excentricitftt der Kantenlinie, dnreh gleiche Entfernung der aus dem Spiel- räume der Reflexion entstehende Fehler ver- nichtet.
4) Die Objecte müssen entweder mit dem Krystalle in einer und derselben Parallelebene des Kreises liegen, oder sie müssen beide von der Ebene des Kreises gleich weit abstehen.
5) Lässt sich die Gleichheit der Entfernungen bei- der Objecte vom Krystalle nicht realisiren, so muss derKrystall klein seyn, und die Reflexion nahe an der Kantenlinie Statt finden.
%. 684. BMchrcSbmif «las Wotlastonidkea Gonioiiieten.
Das Wollaston^sche Reflexionsgoniometer besteht
*) Bs scbeiat bierMch UDvortheilhaft , ^ie oft geichieht, zn d«z dlrect gMehenen Objecte eine auf dem Tische oder auf der Fossplstte des GoniooieCeN gezogene Linie zu iivaiilen, weU dam jMi nur «ine Ukbst ^«Aftiie Geatrirang gefordert wkiL, was ün- ner schwierig ist, sondern ancli die Kefleiioa dicht an der Kai»- tenlinie erfolgen muss , waft in rielen Fällen ^anz uumögUcb , je- denfialls aber wegen der Beugung des lilcbtes nachtbeiiig seyn n^lrd, wenn die vom zweiten Objecte kommenden Lichtstrahlen 4lelii fiber der Kante beobachtet werden.
24-
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372 Angewandte Kryataüogrciphie.
wesentlkh atis zwei yerschiedenen Theilen, dem ein^ getheilten Kreise, tuid dem Krjstallträger.
Der Kreis mm ist, zur bequemeren Ablesubg, nicht ^uf seiner Fläche, sondern auf seiner hohen Kante getheilt, wie dies F%. 792 zeigt; die Theilung geht gewöhnlich bis auf halbe Gt^le, indem ein Nonius die einzelen Minuten • bestimmt Die Axe , des Krei- ses ruht auf dem Rueken eines messingenen Bockes, dessen Füsse in eine hölzerne oder messiogene Fnss- platte dergestalt eingelassen sind, dass die Axe selbst der Ebene der Fussplatte genau parallel wird. Diese Fussplatte ruht auf drei Stellschrauben, und trägt eine Libelle, mittels welcher sie selbst horizontal, und folglich der Kreis vertical gestellt werden kann. Auf der Rückseite des Kreises endet die Axe in eine zur leichteren Drehung dienende Scheibe it.
An den einen Fuss des Bockes ist der^onius M, an den andern eine Feder angeschraubt, deren umge- bogenes Ende k sich an den ersten Fuss anlegt, und den Kreis bei seiner Drehung nach der einen Rich- tung arretirt, 4iobald die Poncte 0° oder 180** der Thei- lung mit dem NuUpuncte des Nonius zusammenfallen; während es dagegen nachgiebt und überspringt, wenn der Kreis nach der andern Richtung gedreht wird, und jene Puncte den NuUpunct des Nonius passiren. Das beim Ueberspringen der Feder erregte Geräusch «^eigt in letzterem Falle dem Beobachter den lieber- gang aus einem Halbkreise in den andern an.
«. 685. ,
Fortsetxang.
Die Axe des Kreises ist ihrer Länge nach durch-- bohrt, um die Axe aa des Krystallträgers anfzuneh- meil, welche sich in ihr mit Widerstand drehen lässt, so dass bei ihrer Drehung der Kreis unTerrückt bleibt, während sie dagegen allen Drehungen des Kreises
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KrystaUmessung. Cap. IL 373
mit unterworfen ist. Sie trägt an ihrem einen Ende die arar leichteren Drehung dienende Scheibe s$j am andern Ende den Bogen bcy welcher an seinem Ende so durchbohrt ist, dass die Axe des Bohrloches auf der Axe des Krystaliträgers rechtwinklig ist. Die Durchbohrung dient zur Aufnahme der Axe d eines zweiten Bogens de^ welcher an seinem anderen Ende die cylindrische Hülse e trägt, deren Axe gleichfalls Techtwinklig auf der Axe de und zugleich so gestellt ist, dass sie mit der Axe des Kreises ungef&hr zu- Bammenfiillt, wenn der Bogen de in die Ebene des Bogens ie gestellt wird. Diese Hülse endlich nimmt den Stift /g auf, der sich mit Widerstand in ihr dre- hen, auch hin und her schieben lässt, und an seinem Ende in g gespalten ist^ um eine kleine Platte von Messingblech einklemmen zu können.
Dies ist die sinnreiche Einrichtung des Reflexions- goniometers, wie solche von dem genialen Erfinder dieses Instrumentes angegeben wurde. Mau hat man« .cherlei Veränderungen in der Einrichtung des Kry- staliträgers vorgeschlagen, welche besonders die Cea- trimng der Kante zum Zwecke haben, aber das an sich so einfache Instrument mehr ffder weniger zu- sammengesetzt machen, ohne doch für seinen gewöhn- lichen Gebrauch besondere Vortheile zu gewähren^ weil bei gehöriger Entfernung der Objecte eine ge- ringe Excentricität keine Fehler zur Folge hat, und eine ungefähre Centrirung immer aus freier Hand ohne besondere Apparate zu erreichen ist.
§w 686. Gebrauch des Wollastonschen Goniometers.
Will man eine Messung mit Wollastons Goniome- ter vornehmen, so stellt man selbiges auf einen festen Tisch, einem Fenster gegenüber, durch welches man entfernte Gegenstände (z. B. eine Thurmspitze , einen
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374 Angewandte KryttaOographie.
Schornstein oder den Qiebel eines Haoses) beobaeb** ten kann, und bringt den Kreis in eine solche Lage, dass er möglichst genaa vertical nnd nngefiUir recht- winklig auf der Ebene des Fensters ist. Anf dto Platte f des Krystallträgers klebt man den Krystall mit etwas Wachs fest, so dass die Kantenlioie der sü messenden Kante der Axe /g nngefthr paralM wird, und dreht hierauf die Axe des Krystalltrigen so lange, bis das nahe an den Krystall gehaltene Ange auf der einen Flftche das reiectirte Bild des Fensters erblickt. Darch zweckmässige BeWegangen des Metallstiftes fy und des Bogens ed snclit man es nnn dahin m bringen, dass die verticaleli Leisten de« Fensterkrenzes im Bilde gleichfalls vertical, oder die horizontalen Leisten horizontal erscheinen, woTon man überzeugt ist, wenn man die reflectirten Bilder mit den direct gesehenen Leisten zur Coincktenz brin- gen kann. Findet diese Coincidenz Statt, so iat die erste Krystallfläche jnstirt Man sucht mm anok die zweite Krystallflftche nach derselben Methode b« Ja« stiren, was freilich oft einige Biegungen desKryatol* les auf seiner Wachsnnterlage erfordert, wodurch die Lage der ersten Fläche gewöhnlich gestört, und eine a&ermalige Bestimmung derselben nöthig gemadit wird. Sind endlich nach einigen Versuchen beide flächen jnstirt worden, so ist ihre Kantenliaie der Axe dea Instrumentes parallel und die wichtigste Bedingung der Messung in Erflillung gebracht.
t. 687. FortsetKuag.
Man öffnet nun das Fenster, um die von dem ent- fernten Objecte kommenden Lichtstrahlen ungehin- dert auf die Krystallfläche fallen su lassen, bringt vor dem Goniometer einen künstlichen Horizont so an, dass in selbigem das BiU des Ofajectes von dem
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Kry9taUm0Bmng* C^p. Ih 375
diahft kuilei deoi Krjfttall b^lbdUcbe» A«ce gfsebea wer dea kana» «teilt den Kf eit auf 0** ^ia (ww die in f. 684 erwfthnle Arretirimg lekr leicht macht), und dreht am» die Axe des Krystalltrfigert sa lange, bi« las^ w>n der ejrsten Kiystallfläcbe reflectirte Bild de» Oiyecfe« mit seinem von dem Spiegel reflectirten Bilde «uammenfilllt. Hierauf dreht man die Axe des Krei« •e» (und mit ihr logleicb jene des KrystaUtiägers) bia dieselbe Coincidena der Bilder hei der ReiBexion Toa der «weiten Krystallfläehe Statt findet. DerWin- \uAj wehchen der Nonios aaf dem limbus des Krei- ses anaeigt, ist der gefachte Neigungswinkel beider KrystalUM^n.
Ist die L^idität des Zimmers von def Art, dass man eia Gebäude mit mehren Fensteireihen zum vm k «ff hat, ae kann man das Bild der Kante eines Fenstersimses aus dem oh^ea Stockwerke mit der direet gesehenen Kante des Simses eines Parterre* Seastera, ader das Bild ii^end einer oberen horison- lalea linie mit einer unteren horizcintalen Linie des Gebäudes rar Coincidena bringen, und dann den $pie^ gd andbehrmt, weil eine hinreidiende Gleichheit der Eatfenmngen beider Otgeete Statt findet
Ist endlieh die Kante ziemlich genau centrirt, so kann man auch, wenn das Goniometer in 20 und mehr Fuss Entfernung vom Fenster steht, das Bild einer oberen horizontalen Fensterleiste mit einer tieferen horizontalea Linie, z. B. mit dem Streifen der Lam- perie an der Fenslerbrfisinqg, in Contaet bringen.
%. 688. Meflsungen mit Repetition.
Weil durch das in den vorhergehenden |§. abge- gebene Verfahren alle in §. 683 aufgezählten Bedin- gungen erfüllt werden, so miigs auch die Messung sehr nidieein richt^s (t^ujtat geben, vorausgesetzt,
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376 Angeufandte KryataUographie.
dass das Instrument genau gearbeitet, die Operatio- nen der Messung sorgfältig vollzogen worden, und ik^ Krystallfiächen gut spiegelnd sind. Weil jedooh, theib aus den UnToUkommenheiten des Instrumentes hin- i^ichtlich der Theilung, Centrirung u. s. w., theill aus der Unvollkommenheit der Sinnesorgane, der mehr oder weniger günstigen Stimmung .des Beobachters u s. w., eine Menge kleiner Fehler entiipringen, de- ren Gewicht nur durch öftere Vervielfältigung der Beobachtung vermindert werden kann; so ist es gut^ die Messung zu repetiren, und statt des Resultates einer Beobachtung das Mittel aus einer gan- zen Reihe von Beobachtungen zu wählen*).
Zu einer solchen Kepetition der Messungen ist nun das Goniometer von der oben angegebenen Eiarich- tnng sehr wohl geeignet. Nachdem nämlich der erste Winkel Wt abgelesen und aufgezeichnet worden, dreht man die Axe des Krystallträgers (ohne jene des Krei» ses zu bewegen) rückwärts, bis die Coincidenz der Bilder wieder für die erste Krystallfläche Statt findet; dann dreht man den Kreis selbst in derselben Rich- tung wie das erste Mal, bis dieselbe CoimMena auch für die zweite Fläche eintritt, und liest einea zweiten Winkel W^x ab. Dasselbe Verfohren wie- derholt man, so oft man will, und erhält dadurch eine
Reihe abgelesener Winkel KP^,, IPi,, ff^n . etc*
Jeden Winkel in dieser Reihe, vor dessen Ablesung das Ueberspringen der den Kreis arretirenden Feder erfolgt, unterstreicht man, weil seine Ablesung in ei-r ncn ncHien Halbkreis fällt, was bei der Summirun^ 4er Winket berücksichtigt werden muss.
*) Wie man auf dergleichen Reihen von Beobachtungen die Methofie der kleinsten Quadrate und andere Ennstgrifife des Proba- bi litätäcalcnls anwenden kann, zeigte Gilbert In seinen Annalen 1828, IX, und Kupffer in seiner gekr§nten PreiMohrift.
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Krystallmessung. Cap.IL 377
Geseilt, der beobachtete Winkel sey nahe s= 130% man habe folgende Reihe von Winkeln abgelesen,
Wta fvi W^ nnd wolle sich mit diesen nenn Beobachtungen b^ gniigen, so bildet man zunächst folgende Winkel:
180-— IT, = r, Wut + 180»- >r^= r„
nm sich durch die nahe Uebereinstimmung der Wer« tfae Ff, Vu u. s. w. davon zu überzeugen, dass kein grober Beobachtungsfehler, eine falsche Ablesung, oder wohl gar eine Yerrückung der unrechten Axe Statt gefunden habe. Die einfache Kegel zur Be- atinimung der Winkel F,, Vn u. s. w. ist, dass für je zwei Ablesungen, zwischen welchen der Ueber* gang aus einem Halbkreise in den andern Statt fin- det, der Winkel der ersten Ablesung ^u dem Supple- mente der zweiten Ablesang addirt werden muss, wäh- rend für alle in einen und denselben Halbkreis fal- lende Ablesungen die Differenzen je zweier auf ein- ander folgender Winkel zu nehmen sind«
Um nun endlich das gewünschte Mittelresultat V zu erhalten, würde man eigentlich die Winkel Fi, V,t zu addiren , und ihre Summe durch ihre An- zahl zu dividiren haben ; allein man sieht leicht, dass, '^eieh wie in unserm besonderen Falle
F,+ F„ + F„ » 3.180^- IF„
uo auch allgemein
r, + F„ + F. = ei.lSO^- Wn
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S78 Ax^gimmwAU Kry$kUhgrapkie.
wird, wauit 4ieAimU 4tr Bad^hAwgWy W^O» letste Aer Abkrangen, und m die ABnU d«r Veber- gftDge aus dem einen Halbkreise in den « andern ist. Es wird daher auch das Mittel ans den Winkeln Vn Vn u. s. w. allgCTietn;
iatf~ir.
oder, mit Worten ansgedrSckt: das Miltelresnltat ist der ganze bei den snccessiven Drehnngen des Krei- ses durchlaufene Bogen , diTidirt durch die Zahl der Beobachtungen. Nun ist V das Suppl^ne«^ der ge- messenen Kante y also diese selbst; W= 18(f — F
Apparst zur Jmüniqg der Kaste»
Da auf die Jnstiruag der Kante Alles aakonmtt^ der gewöhnliche WoUastonsehe SteUnngsapparat des Krystalles aber ein Hin- ttnd Herprobiren ttdth% nuu^ht^ so scheint mir ein Apparat sehr wüasckans- werth, welcher die Justirung der Kante durch drei auccessive, nach bestimfnte^^ Regeln vonm* nehmende Bewegungen des Krystallfs leicht und sicher erreichen lässt, und die Operation Toa alleas Probiren unabhfti^^ macht; was dann um so üAAit> ger wird, wenn die Kantenlinie, welche gewIihnUck beim Aufkleben des Ki^stalles sor Richtschnur dient, gar nicht vorhanden ist, und beide flächen durch mehre swischenliegende Fliehen getrennt sind. Ein solcher Apparat erfordert nur die Ifinsufilgnng eines einaigea kleinen Maschinentheiles su dem WoUaston- sehen Stelluagsapparate.
Statt des l^gen, in einer Hülse dreh- und ver- schiebbaren Stiftes>^ nämlich lasse man in der Durch- bohrung e des Bogens de Fig. 793 eine nicht v«r^ schieb -, sondern nur drehbare Axe gehen, welche ia
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Kr^aBm$Mwng. Cap^JL 9TB
UiTM^ Veffasfe Bweuul kokflunig febog«i, md im g- so durchbohrt ist, das«, wenn der Bogen «f in die £bene des Bogens ed eingestellt wird, das Bohrloch g in die Yerlängerung des Bohrloches e fidlt. Das Bohr« loch f nimmt eine kleine Axe pq auf, welche unten «it' einer kleinen Drehscheibe , oben mit einer sum Tnqptn des Krystalls bestinunften Scheibe, oder ben* nev mit einer kleinen Zange yersehen ist.
Nachdem nun das Instrument wie in f. 686 gestellt worden, befestigt m^den Krystall auf der kleinen Scheibe q mit etwas W achs (oder Idenunt ihn in dio kleine Zange), so dass die su messende Kante nack oben SU liegen kommt, und macht darauf die Axe /o der Drehungsaxe des Kreises parallel Hierauf dreht man die kleine Axe j^ so lange, bis die erste Kry« stallfläche das Bild einer verticalen Fensterleiste TOTi- tical (oder einer horizontalen horizontal) lerscheinen UUst; eine Bedingung, die jedenfalls sn erfüllen ist, nnd die Fläche der Axe des Kreises parallel macht Dann dreht man den Bogen ed nm einen etwas grossen Winkel, etwa ton 60"^ oder 9(f , und darauf die Axo y^ so lange, biir dieselbe Krystallfläche das Bild der* selben Fensterleiste wiederum Tertical (oder boriion* tnl) erscheinen lässt Dadurch wird diese erste Flä- che nicht nur parallel mit der Axe des Kreises, son- dern auch rechtwinklig auf der Axe de^ wes* halb sie bei allen ferneren Drehungen des Bogou ed mm diese seine Axe ihre Lage mnyerändert beibehält. Man dreht nun diesen Bogen (und m^ gleich die Axe des Krystallträgers) so lange, bis die s^eite Krystallfläche das Bild der Fensterleiste gleich- fklls Tertical (oder horizontal) erscheinen lässt; dann ist auch diese Fläche der Axe des Kreises parallel gemacht, ohne dass die erste Fläche ihre Lage irer* änderte. Die ftantenlinie wird also durdi drei suo*
Digi
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380 Angewandte Krystallograpfii-e.
eessir^, nach bestiiiiiiiten Regeln Tonranehmende Be^ wegnngen leicht und sicher jostirt seyn.
i 690. U«ber dea Fehler der Bxcentricitatk
Da die Betrachtungen des §. 670 die Kante so we^ nig excentrisch voraussetzten, dass die Coordinaten x und y des reflectirenden Elementes der Krystallfläche für beide Reflexionen gleich angenommen werden konn- ten, so belehrten sie uns aucL nicht über die Grosse des Fehlers , welcher durch ^e Excentricität der Kante herbeigeführt wird; weshalb wir noch hierüber eine Untersuchung anzustellen haben.
Es sey der Punct Jf, Fig. 794, die Projection der mathematischen Axe des Kreises, E die Projection der zu messenden Kante, EF die Projection der er^ sten Krystallfläche vor, E^F^ die der zweiten Kry- stallfläbhe nach der Drehung des Kreises. Die Ob- jecto A und B sollen mit dem Krystalle in einer und derselben Parallelebene des Kreises liegen, l^ld die Reflexionen dicht an der Kantenlinie Statt finden. Da, wegen der verschiedenen Excentricität, die zweite Kry- stallfläche, wenn auf ihr die Coincidenz des Bildes von A mit B beobachtet wird, nicht genau dieselbe Lage haben kann, wie die erste Krystallfläche, als die Coincidenz auf ihr beobachtet wurde, so werden jiich die Projectionen EF und BTF*^ beider Krystall- flächen gehörig verlängert in einem Puncto K scfanet** den. Es sey f nun
die Entfernung des Otgectes Aj MA := n, B, MB = b,
die Excentricität ,* oder der Radius der Kantenlinie, 3IE = e,
der Winkel, welchen die Radien beider Objeete Bilden, oder AMB = (>,
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Kry^tallmessuHg.* Cap^Jl. 381
Aex Winkel, welchen die Projeetionen der ersten nnd zweiten Krystallfläche bilden, odef E^KE = «fj die Winkel, welchen die Krystallflftchen mit dem Ra- dios der Kantenlinie bilden, (p und f'j nftmlieh: Winkel FEM = 9) Winkel F'E'M^ 9' die Winkel der von A ausgehenden und auf beiden Krystallflächen dicht an E reflectirten Strahlen, X und X% nämlich :
Winkel AEK = X Winkel AE^K^ X' die Wiiikel der beiden einfallenden und der beiden reflectirten Strahlen gegen einander, « und ßj nämlich :
Winkel EAE^ = a Winkel EB& = ß endlich der Drehungswinkel des Kreises, oder der Ton dem Radius der Kantenlinie beschriebene Winkel
EMET =± W
i 691.
BeweU, dass der Fehler der Ezcentridt&t ss \{a -^ ß) At/L
Der aus der Excentricitftt der Kantenii- nie entspringende Fehler ist gleich dem Winkel Sj wie sich leicht beweisen lOsst.
De^r wahre Winkel V beider Krystallflächien ist nämlich :
V^if + if' der abgelesene Winkel dagegen =r W. Man Terlän'- gere die Protection EF^ bis solche den Radius ME^ der Kantenlinie in der «weiten Stellung, in B schnei- det; nun ist
MRE = ME'K+ ETKB = 9^ + 4
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tBH AngBiMndte Kry^taBographie.
JfltjB, 9 und IT aber «ind die imerea Wüdiei des Omecket MBEj also ist
w+^ + if'+i ^iast
W+i ==t 18(r— F , Da nnn, wofern dieMessong riehtig, oder dieEx- eentricität ss 0 wSre, der Winkel W genaa das iSvp- pletneat von V seyn müsste, so ist ofeabar der Feh- ler der Excentritftt s=: S,
Es ist aber der Wf&kel t gleich der hal- ben Differenz der Winkel a mnd ß.
Um dies zu beweiaen, nenne man S den Dunch* ychtiittspanct des von A auf die erste Fläche ein£Ed- ienden Strahles AE mit der verlängerten Projeetion KB^ der zweiten Fläche, and T den Durchschnitts- pnnct des yon B auf die zweite fläche foUenden Strah- les BEf mit der yerläqgerten Prqjection KE der er- sten Fläche. Nun ist
E:SE = AEK + WKE = i +d ^ AE^S + &AV = r + a nnd folglich
X + Js^r+'a Eben so ist
ETTR Ä KETT^ ETKE =« V ^i = JKEB^EBT ^ 1— /? nnd daher aach
Addirt man beide Gleichungen, so folgt 2J=«:a— ^ «« 4fiMreiseii war^
|, 692. BeatiniBMuig dM Fehlen S alt einer Fnnctioii ton ■^, t nad e.
In den Dreiecken AEM nad ^^JU bestimmen sich nach bekannten Regeln :
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KrysuUbMMung^ Cap. iL S6S
^nE'AM^ t^füi±n^ ^^BM^ V^lki^
Nun ist eigentlich
$^a = iini^AM—EAM) Hnß — $in{EBM—ErBM)
Weil aber alle Mesgungen mit dem Reflexionsgo- niometer eine bedeutende Entfernung der Gegenstände, und eine gerüige E:Koeiitricitit der Kaatenlinie vor- amsetzen, so werden die Winkel EAMy EBMj B^AM und jE^fiJlf jedenfalls so Uein, dass wir ohne Fehler statt der Sinus ihrer Differenzen die Differenzen ih- rer resp. Sinus einfuhren können*); es wird daher
Nun war 2i = a — ßi folglich, weil auch a und ß sehr klein, und daher ihre Cosinus ohne Fehler = 1 SU setzen sind: '
ftn j = Hiina — iinß)
Bedenkt man nun femer, dass die Winkel X und X' von einander sehr wenig verschieilen, und dem Win- kel \f sehr nahe gleich sind, so erhält man durch Entwickelung der Wertfae von tin{(p +^), #^(9) — X) u. s. w., indem man zugleich l=s:V = i^ setzt,
TOB welchem Ausdrucke zu bemerken ist, dass er zwar ein bedeutendes Verhältniss der Entfernungen a und b zu der Excentricitit e v^uraussetzt, jedoch -schon Gül-
*) Die Entfernung der Objecto darf nur etwa 100 maJ so gron aeyii ak die BicesCrlcitat« «a -dieee Atmahse im geatnit«.
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384 Angewandte Krystaüogrojphie.
tigk^ hat, wenn jene Entfenmiigeti etwa 100 mal so grois sind als e. Nimmt man a^=bj so wird
i 693. Fo1g;eniiigen aus dem Werthe Ton nn d.
Aus dem, unter Voraussetzung gleicher Entfernun- gen beider Ohjecte, folgenden Werthe
ergeben sich nachstehende Resultate:
1) Der Fehler i wird positiv oder negativ (additiv oder subtractiv), je nachdem q> -< oder >> (ff; er wird = 0, wenn 9 = (p^. Das Verhältniss der Winkel (p und q)' bestimmt sich aber nach dem Abstände beider Krystallflächen von der mathematischen Axe des Instrumentes , oder nach der Excentricität jeder einzelen Krystall fläche; nennen wir diese Excentri- citäten der ersten und zweiten Fläche € und i% so ist t
(p'^ = <C,g>\ wenn £> = <£' Der Fehler der Excentricitfit der Kante ver- schwindet also, wenn beide Flächen gleich excentrisch sind; leider scheint sich aber die Erf&llung dieser Bedingung in praxi nicht wohl erreichen zu lassen.
2) Wenn \q = 90^, so wird J =r0; wieWohl nun die Erfüllung dieser Bedingung nicht möglich ist, so lehrt sie uns doch, dass d um so klei- ner wird, je mehr sich \q einem rechten Win- kel nähert; woraus sich die Regel ergi6bt, dass die Gegenstände nicht zu nahe am Ho- rizonte gewählt werden dürfen.
3) Da der Factor {$i»q}' — 9inif)eoeiqj^ selbst im
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Krystallmessung. Cap. IL 385
nngunstigsten Falle, immer noch <^ 1 itt, lo lasse sich der ans der Excentricität entspringende Fehler Jedenfiidls beliebig verringern, indem man a sehr gross gegen e nimmt Beobachtet man z. B. das Sonnenbild, so kann man den Kry* stall anf den Limbns des Kreises setsen, ohne den geringsten Felder sn befürchten. Da sieh aber die Excentricität aus freier Hand wohl im* mer bis anf 2 Linien vermindern lässt, so reicht eine Entfernung der Gegenstände von' 60 — 80 Fnss hin, um den Fehler des Resultates ancfa im ungünstigsten Falle bis unter eineSlinute su bringen. 4) Geht die eine Krystallfläche durch die mathe- matische Axe des Instrumentes, so wird einer der Winkel tp oder 9' =s 0, und der andere = F, folgUch
ftll J = — CMJftlllF,
wofür man auch
iinS =5= —eoiiq9inW
setzen kann« Der Fehler erreicht dann swar sein Maximum, ist aber leicht xu berechnen, wenn «, a und ^ bekannt sind.
f. 694. Ueber deo Fehler wegen des Spielraumes der Reflexion.
Der ans der Grösse der Krystallflächen und der dadurch herbeigeführten Veränderlichkeit des reflecti- renden Elementes, oder, der aus dem Spielräume der Reflexion entspringende Fehler lässt sich unter der Voraussetzung, dass der Fehler der Excentricität be- seitigt und folglich die Kantenlinie als centrisch zu betrachten ist, in folgender Weise bestimmen.
Es sey Jlf, Fig. 796, die Projection d^r centrischen
a 25
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380 Angewandte KrystaUographU.
Kantenliaie, also anch der geometrischen Axe des Instrumentes, MF die Projection der ersten Krystall- fläcfae in der ersten, MF^ die der zweiten Krystall- fläche in der zweiten Lage, A das eine, und B das andere, mit demKrystalle in derselben Paralldebene des Kreises befindliche Object. Die Reflexion müsste nun eigentlich beide Male dicht an M beobachtet werden, so dass AM und BM die normalen Licht- strahlen seyn wurden. Statt dessen wollen wir aber annehmen, sie geschehe auf der ersten Fläche in R^ auf der zweiten Fläche in R\ so dass BO und BfV die reflectirten Strahlen sind, in welchen sich das Auge des Beobachters befinden muss. Es seyen nun ferner: r und r' die Abstände der reflectirenden Flächen- elemente jR und B' von der Kantenlinie Mi a und b die Entfernungen der Objecto il und B von Jf; X der Neigungswinkel des Strahles AR gegen die erste, V der Neigungswinkel des Strahles AJ^ gegen die zweite Fläche; a und a' die Neigungswinkel der Strahlen AR und AR' gegen den Normalstrahl AMj ß und ß^ die Neigungswinkel der Strahlen BB und BR' gegen den Normalstrahl BM\ q der Neigun^winkel AJiB beider Normalstrahlen,
und endlich d- der Winker Äifcrar, um welchen die zweite Kry- stallfläche bei der zweiten Beobachtung von der Lage der ersten Krystallfläche bei der ersten Beobachtung abweicht; so ist & der durch den Spielraum der Reflexion her- beigeführte Fehler.
|. 696. Fortsetzung. Es kommt nun zuvörderst darauf an, den Winkel
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KrystaUmessung. Cap.IL 387
& mU eine Fancdon anderer Grössen angzadrficken; M krt aber
AWB' =« B'MA + MABT BB HMA + » + €f
und eben so
BWR' = BTME + JlfBÄ' =» Jffifll —* + /?'
Da nnii auch
so folgt
Es ist aber
Weil nun jedenfalls a und 5 so gross, r und r^ so klein Torausmsetzen sind, dass jene diese wenig- slens 100 Mal übertreffen, so kann man ohne Fehler
$m(a + ar) a=s Hna + Hnaf
9ü$(ß+ß') = $inß + $inß' und folglich auch
#^^ = Kf^/y + Hk/f' — föio — ftnaO annehmen; ans demselben Grunde sind aber die Win* kel X und V nicht nur einander, sondern auch dem Winkel 4^ sehr nahe gleich; es wird daher
Dieser Werth wird nuO, wenn a^sb; ausserdem aber um so kleiner, je näher sich die Werthe yon a nnd b kommen, und je grösser beide überhaupt und besonders im Vergleich zu r und r^ sind.
Man sieht also hieraus, wie sehr Tortheilhaft es ist, beide Objecto gleich, oder doch beinahe
25*
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388 Angewandte Krystallographie.
gleich entfernt sra wählen, weil dadurch nicht nnr der aus dem Spielräume der Reflexion entspringende Fehler gftnzlich vernichtet, sondern auch der aus der Excentricität der Kante entspringende Fehler durch einen sehr einfieichen Ausdruck dargestellt wird*).
|. 696. firfüllung der Bediagmig a s= 6.
Ein kleiner Planspiegel von geschwärztem Glase, der an einer, der Axe des Kreises parallelen, Axe auf der Fussplatte des Goniometers befestigt wäre» würde einestheils die Bedingung der gleichen Entfer- nungen beider Objecte bequem und hinreichend er- füllen, andemtheils auch den Vortheil gewähren, dass man den Winkel -Jf immer etwas gross wählen kann; während ein kunstlicher Horizont, bei der geringen Elevation der meisten Objecte, diesen Winkel ge- wöhnlich sehr spitz bestimmen würde.
Die gehörige Justirung der Kantenlinie ist, zumal mittels des in §. 689 beschriebenen Apparates, jeden- falls zu erreichen; die Excentricität derselben und der Spielraum der Reflexion bleiben also diejenigen objectiven Fehlerquellen, welche vorgüglich berück- sichtigt werden müssen. Wenn nun beide Fehler durch das einfache Mittel einer zweckmässigen Wahl der Objecte vernichtet werden können, so scheint es für den gewöhnlichen Gebranch des Goniometers weit vortheilhafter, jenes Mittel in Anwendung zu bringen.
*) Die Gleichheit der Bntfenrangen gewährt auch nocfa den Vortheil, dast die Coinddeni teharf bepbachtet yrerägm Juam^ weil da« Ajige beide Bilder gleich weit erblickt; «nd dagegea die EatfemuDgen sehr uogleich, so moss das Bild einet entfero^en But dea Bilde einea nahen Gegenstandes yergUchen werden, was nie mit gehöriger Scharfe möglich ist, wdl jedenfalls, während das eine Bild v«m Auge fixirt wird, das andere ondeiitlieh ge- sehen wird, lUhd umgekehrt
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Krystallmissung. Cap. IL 380
als das lastrament durch zusammengesetite «nd in vielen Fällen doch nicht ausreichende Centrirnngsap- parate zu vertbeuern, und weniger beinern m machen. Denn die Einfachheit seiner Constmction und die Bequemlichkeit seines Gehrauches sind es gerade, was nächst der Genauigkeit seiner Resultate dem> WoUastonschen Goniometer einen so entschiedenen Vorzug ertheilt, dass es, wenigstens för 4on minera- logischen Gebranch, nicht so leicht durch andere rer- drängt werden wird.
f. 697. Malni's Goniometer.
Das Reflexioiisgoniometer von Mahi» besteht aus einem horizontalen Kreise , in dessen Alittelpuncte der Krjstall so befestigt wird, dass . die zu messende Kante vertical steht. Die von einem entfernten ver- ticalen Objecte, z, B. der Kante eines Hauses, der Spitze eines Blitzableiters, kommenden und von den Krystallflächen reflectlrten Strahlen werden durch ein Fernrohr aufgefangen, dessen Axe der Ebene des Kreises parallel^ und genau auf den Mittelpunct des- selben gerichtet isl, und dessen verticaler Faden mit dem Bilde des Objectes zur Coincidenz gebracht wird. Der Winkel, durch welchen die den Krystall tragende Alhidade gedreht werden muss, damit die Coincidenz auch bei der Reflexion von der zweiten Krystallflächo Statt findet, ist das Supplement des gesuchten Win- kels.
Dieses Goniometer hat die Vortheile,
1) dass das Object sehr weit gewählt werden kann, was bei dem Gebrauche des WoUastonschen Goniometers für Beobachter von kurzsichtigem Au^^e nicht wohl angeht.
2) Uüji» die Xiage des reflectlrten Strahles durch das Fernrohr sicherer fixirt wird als durch die
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390 jingen»amlte KryUaüographie.
Caineideiis des reflectirten Bildes mk einem di-
reet gegebenen Objecte. Dagegen ist die Anwendung des Malas'schen Go- niometers wegen des horisontalen Kreises, in dessen Ebene sieb der Gegenstand befinden moss, ron der gSnstigen Bescbaffenheit der LooaUtftten nocb abkftn- giger als jene des Wollastonschen. Dem ist jedocb abxubelfen, weil sieb nach Knpffers Vorsoblag der wesentliche Vortfaeil des Malns*schen mit dem Ge* brauche des WoUastonschen Goniometers rereinigen Iftsst, indem man vor selbiges ein, nach Art eines Passageinstnunentes, in der Verticalel»ene anf und ab bewegliches Femrohr so stellt, dass seine Axe, der Krystall und das Object in eine Parallelebene des Kreises fallen ; worauf denn die Reflexion durch das Fernrohr statt mit freiem Auge beobachtet wird.
Vierter Abschnitt
Von der Zeichnung der KryttaUfarmen.
Erstes Capitel. Allgemeine Bestimmungen«
f. 698. Nutien der KrysttUbilder.
Weil die krystallisirten Varietäten als die eigentli- chen Repräsentanten einer jeden Mineralspecies be- trachtet werden müssen, durch deren Kenntniss sie erst ein Gegenstand fiir die Physiologie des Mineral- reiches wird, und weil demnach die Gestalten der mineralogischen Individuen far die wissenschaftliche Mineralogie eben so wolil ein Merkmal des ersten
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Zeichnung der Kryutcdlformen. Cap. L 391
Ranges bilden, als die Gestalten der Thiere und Pflanzen für die Zoologie ond Botanik; so wird die Mldliche Darstellung dieser Gestalten eines der wicli- tigsten Hül&mittel der Wissenschaft, und folglich die Lehre von der richtigen Eiitwerfong der Krystallbil- der eine der wesentlichsten Aufgaben der angewand- ten Krystallographie. Man ist daher auch immer darauf bedacht gewesen, dieses Hülünnittel aof eine mehr oder weniger angemessene Art in Anwendung Bu bringen, und die so wichtigen morphologischen Merkmale der Mineralspecies darch die, den Beschrei- bungen beigefagtea Zeichnungen zu veranschaulichen; wozu man sich uni so mehr aufgefordert fShlen musste^ seitdem man zu der Ueberzeugung gelangt war, dass die Krystallformen, der scheinbaren Unbeständigkeit ihres Habitus ungeachtet, doch nach sehr bestimmten und einfachen stereometrischen Gesetzen gebildet sind. Diese Bestimmtheit und Einfachheit der plastischen Gesetze sind es auch, kraft welcher sich die Minera- logie im Vergleiche zur Zoologie und Botanik des ganz besondern Vorzuges zu erfreuen hat, dass jeder mit den Regeln der Projectionslehre vertraute Zeich- Ber nach dem kurzen krystallographischen Zeichen «tner Krystallform das Bild derselben mit grosser Ge- nauigkeit darzustellen vermag, während selbst die ausführlichste Beschreibung einer Thier- oder Pflan- zenform noch nicht hinreichend ist, um danach das BÜd derselben richtig zu entwerfen.
|. 699. Eigenschaften, welche die Krystallbilder besitzen müssen.
Sollen die Krystallbilder ihrem Zwecke hinreichend entsprechen, so müssen sie besonders folgende drei Eigenschaften besitzen:
1) Mathematische Bichtig^keif,
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i
l
390 AngewMdie KryUaUographie. i
ß Coineideiis des reflectirteii Bildes m ^
reet gesehenen Objecte. ' |P g^
Dagegen ist üe Anwendung des^' f- f %
niometers wegen des horisontalen/ f 9' r- ^
Ebene sich der Gegenstand be^^i ^ | f
gnnstigen Beschaffenheit der I^ ^ I f T ' r
giger als jene des Wollastof
abxuhelfen, weil sich nac^
wesentliche Vortfaeil def^^
brauche des Wollaston^f /^ f * ? * ^
l&sst, indem man vo: / / ^ J : r '^
Passageinstnunentesy /"A ff
ab bewegliches Fe '/# | '
der Krystall ttn^//* ,.ai»toi«cliet
des Kreises fal'/ * .i«ehiedenen, m-
das Fernrohr / aelismns der Kanten be-
aer Gestalten im Bilde herrof«-
aadorch Genüge geleistet^ dass laan
anendlicher Entfemomg vom Krystaile
a dann alle Gesichtsstrahlen einander par-
^rden, und der an der KrystalUorm in der
Aiichkeit Statt findende Parallelismus der £an-
^^ch auf ihr Bild übergehen mnss. Hiemit wird
Cf der Gebranch der eigentlich so genannten P#c<r
^ctive ausgesciüossen, und nur die Projectionslehre
^ descriptiTen Geometrie für die krystallographische
^chenkunst in Anspruch genommen.
Was endlich die dritte, ästhetische Forderung be- trifft, so bieten sich xu ilirer Erfüllung vorsüglich folgende Mittel dar:
a) Vortheilhafte Wahl der gegenseitigen Lage des Auges, der Krystallform und der Projections* fläche.
b) Darstellung der hinteren, von dem Beobachter abgewendeten Seite der Krystallform zugleich mit der vorderen Seite; transparente Zeich-
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Zeichnung der KrystaUformen. Cap.I. 393
nnng; odeir auch Schattirung der Krystall- form unter Voranssetznng einer günstigen Be- leucbtnng; schattirte Zeichnung*), c) Gleiehzeitige Darstellung derselben Krystallform von verfchiedenen Seiten und bei verschiedener Lage der Prcjectionsfläche nun Krystalle.
|. 700. Verschiedene Arten der Projection.
Da wir das Auge in unendBcher Entfernung vom Krystalle, oder da wir einen dnrdigängigen Paralle- Usmus der Gesichtsstrahlen voraussetzen, so ist es auch ganz gleichgültig, in welcher Entfernung vom Krystalle die Projectionsfiäche angenommen wird; denn die Erscheinungsweise des Bildes ist nur noch voll folgenden zwei Elementen abhängig:
t) Von der Stellung des Auges gegen denKrystall
und die Projectionsfiäche, oder Von der Bich«
tnng des Normalgesichtssfrahles gegen diese
Fläche;
2) Von der Lage der ProjectionslBäche gegen ien
Krystall.
Wir nennen nämlich« die von dem Auge naeh dem
Mittelpunkte des Krystalles gehende Linie den Nor-
malgesichtsstrahl, weil ihr alle Gesichtsstrahlen,
oder, mit andern Worten, weil ihr die sämmtlichen
projicirenden Linien und Ebenen parallel sind. Nach
Aet vprsohiedenen Bichtung des Normalgesichtsstrah-
*) FAr die sehr regelmäs^en Formen des teeseralen ,^ tetra- gonalen und hexagonalen S^ttemea ist die Anwendung de« tub b erwähnten Mittel« nicht unumgänglich nothwendig, wenn es nur auf die Erläuterung gewisser Combinationseracheinungen u. dgl, an- kommt; daher ich mir auch zur Erleichterung der mühsamen und zeitraubenden Arbeit erlaubt habe, die meisten auf die Combina- tionslehre bezüglichen Figuren nur mit ihren rorderen Kanten dar- auBtoUes.
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394 Angewandte Kryatallographie*
les g^en die Projectionsfläche unterscheidet man nim savörderst die orthographische und klinogra- phische Protection p bei der ersteren siiid die Ge- üchtsstrahlen rechtwinklig, bei der anderen schief- winklig auf der Projectionsfläche.
Wir denken ferner die Projectionsflftche jedenfedls durch den Mittelpunct des Krystalles, und unter- scheiden nach ihrer Lage gegen die Hauptaxe die ho- rizontale, yerticale und schiefe Projection« Bei der ersteren ist <Be Projectionsfläche horisontal, oder rechtwinklig auf der Hauptaxe, bei der zweitea geht sie durch die Hauptaxe, und l>ei der dritten schneidet sie dieselbe unter einem schiefen WinkeL
Die Horizontalprojectionen, deren man sich be« dient, sind jedenfalls orthographisch; die Yertical- und schiefen Projectionen theils orthographisch, theils klinographisch. Ob^eich nun die verticale Projections- fläche unendlich viele Stellnngen gegen das Axensy- stem haben kann, so sind doch besonders folgende zwei Stellungen zu unterscheiden:
a) wenn die Projectionsfläche ein Hauptschnitt ist; die, gewöhnlich orthographische Projection wird dann nach deH\|enigen Hauptschnitte be- nannt, mit welchem die Projectionsfläche zusam- menfällt. Hierher gehören besonders die im mo- noklinoädrischen Systeme sehr nützlichen Kli- nodiagonalprojectionen, bei welchen die Ebene des klinodiagonalen Hauptschnittes als Projectionsfläche dient, während die Gesichta- strahlen der Orthodii^onale parallel sind,
b) wenn die Projectionsfläche kein Hauptschnitt ist, und folglich eine intermediäre Lage zwi- schen zweien Hauptschnitten hat; dies ist die gewöhnliche Stellung, welche wir in den Kry- stallbildern Toraussetzen, indem wir zugleich eine klinographische Projection geltend machen.
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Zeichnung der . Krysiallfürmen. Cap. I. 395
S^u den Boiiiefen Projeetionen gehören die meinten und besten der bis jetzt bekannt gewordenen Zeich- nungen, indem sie eine sdiiefeLage der Projections- fläefae gegen die Hanptaxe nnd eine orthographische Projection voranssetzen. Es scheint jedoch rordieil- hafter, die Projectionsfliche yertical, nnd die Ge- sichtsstrahlen anf selbiger schief tu denken, weil dann bei aofreehter Stelhmg den Papieres die abge- bildete Gestalt gleichfalls aufrecht erscheint, nnd weder ihre Hanptaxe noch ihre yerticalen Kanten ei« ner Verkürzung im Bilde unterworfen sind. Nur darf der Neigungswinkel der Gesiehtsstrablen gegen die Projectionsflftcbe nicht mehr als etwa 10 — 12** von 90'' abweichen, weil sonst die Bilder unverhältnissmftssig Terlängert werden.
«, 701. BigentHche Aufgabe der krystallographlschen Zeichenkmiit.
Das Kantennetz der Krjstallform ist in der trans- parenten Zeichnung der eigentliche Gegenstand der Darstellung; auch bildet es die Grundlage der schat- tirten Zeichnungen, in welchen die Illusion des kör- perlichen Hervortretens durch Schattirung der Flä- chen, statt durch Einzeichnung der hinteren Kanten, erreicht wird, und dergleichen zumal in älteren Wer- ken Torkommen, wie sie denn auch namentlich f&r solche Darstellungen wenigstens der einfachen Gestal- ten zu empfehlen sind, welche in sehr grossem Maass- stabe ausgeführt werden, um zu Demonstrationen bei Vorträgen zu dienen *). Da also das Kantennetz je-
*) Bendant soll nch in seinen Yorlesongen bei Erläatenmg der Combinationsgesetze grosser colorirter Zeichnungen bedienen, in welchen alle au einer und derselben Gestalt gehörige Flächen eine und dieselbe Farbe tragen, was allerdings f&r Demonstratio- ner Tom Katheder ksrab aehr zwecksi&Btig, and auch tdioii fru-
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300 Angewandte Krystallographie.
denfallf die wesentliche Grandlage alier Zeichnungen bildet, eine jede Kante aber wiederum dorch die bei- den sie begränzenden Eclcpnncte bestimmt wird, so 'sieht man, dass die eigentliche Aufgabe der Icrystal- lographischen Zeicfaenkunst darin besteht, das Sy- stem derEckpuncte einer Gestalt oder Co ci- bination für eine gegebene Stellung des Auges, des Krystalles und der Projectionsfltche zu pntfieiren.
J. 702. Gang der Zeichnung.
Soll irgend eine KryslalUbrm nach einer verlang- ten Projectionsart dargestellt werden, so fiLngt man damit an, das Axensystem der entsprechenden Gntnd- gestalt zu projiciren, weil man in ihm gleichsam das Gerüste erhält, an welchem die sämmtlichen Flächen der Krystallreihe leicht und sicher angelegt werden können.
Nachdem das Axensystem der Grundgestalt ent- worfen worden, lässt sich jede einzele Gestalt der Krystallreihe theils durch unmittelbare Ausführung der Ableitungsconstruction, theils auch durch Bemiz- zung der Co§fficienten der Zwiscbenaxen oder ande- rer, aus der Berechnung der Gestalten folgender Ele- mente erhalten; daher es auch vortheilbafit ist, in denjenigen Systemen, wo die Zwiscbenaxen einige Bedeutung haben, dieselben gleich mit in das Bild der Grundgestalt einzutragen.
Bei der Darstellung von Combinationen ist be- sonders auf die in der reinen Krystallographie mit- getheilten Resultate der Combinationslehre zu ach- ten, welche im Allgemeinen die Erscheinungsweise je zweier Gestalten bestimmen. Ist die Combination bi-
ber znr Veranschaulicht] n^ der Uebergänf^e tesseraler and anderer Combinationen von Jassoy rersucht worden Ut
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Zeichfiung der Krystallformen. Cap.L S97
när und regelmässig, d. h. bilden die Flächen der ei- nen Gestalt Abstumpftingen oder Zusehärftingen ge- wisser Kanten der andern Gestalt, oder sind die Com- binationskanten gewissen Kanten der einen Gestalt parallel, so ist die AusfBhning der Zeichnung >ohne Schwierigkeiten, wie denn auch überhaupt die in den mehrzähligen Combinationen so gewohnliche Erschei- nung, dass die Flächen der untergeordneten Gestal« ten mit parallelen Combinationskanten zwischen den Flächen der Torherrschenden G}estalten erscheinen, eine grosse Erleichterung bei den Darstellungen der Krystallbilder gewährt.
§. 703. Bihzeichntuig der Combinatioii6kanten.
Findet kein Parallelismus der Combinationskan- ten mit andern schon projicirten Kanten Statt, so mnss die richtige Lage derselben ausgemittelt werden. Dies geschieht am einfachsten durch ein allgemeines graphisches Verfahren in folgender Weise. Man con- stmirt die beiden Flächen, deren Combinationskante gesucht wird, um das Axensystem in einer solchen Lage , wie es die Grösse und Richtung ihrer Parame- ter fordert, und erhält dadurch die Intersectionen bei- der Flächen in den drei Coordtuatebenen. Kommen nun zwei Paar ihrer gleichnamigen Intersectio- nen schon unmittelbar durch diese Construction zum Durchschnitte, so braucht man nur die beiden Durchr sehnittspuncte durch eine gerade Linie zu Terbinden^ weldie die gesuchte Combinationskante ist; schneiden sich aber die Intersectionen beider Flächen nicht un- mittelbar, so verlängert man zwei gleichnamige Paare so weit, bis sie die Durchschnitte hervorbringen, und erhält so die beiden Puncte, welche die Lage der Combinationskante bestimmen.
Dieses Verfahren empfiehlt sich zwar 'vi^gen sei-
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306 jingewandle KryttaUagraphie.
■erAIIgvMeiiiheit «od Etnfiaelilieit, bat jeih>dim mam- eWn FiUca dai UnbeqmeMe, das« die Interiectio— sehr weit Aber den Baim des e^eitdichea Bildes bin« siurTeriäagert werden missen, am die nStfaigenDatdi* schnitte zn geben, nnd dass diese Darcbscbnittspnnete selbst nicht mit der gehörigen Genaaigkeit eibaltmi werden, wenn sieh die beiden glekhnamigen Infe»- sectionen im Bilde unter sehr spitzen Wmkeln sdum- dea. Wir werden daher für die einaelen KrystidlsjH- steme noch eine andere Methode angeben, durch wel- che die Einseichnung der Combinationskanten nnmit-* telbar von depi Verhältnissen der Kantensegmente der einen Gestalt abhängig gemacht wird, und welche schon deshalb eine nähere Untersuchung verdient, weil sie, wenn auch nicht f3r die Zeichnung, so dodi fSr die Modellirung der Combinaäoaen unentbehr- lich Ut.
f. 704. AnaliÜiniiig dor Zeidmimg.
Was endlich die technischen Regeln bei der Ans- fulirung der Krystallbilder betrifiß, so entwirft man ▼orlänfig die ganse, zur Auffindung der ndthigen Eck- puncte erforderliche Construciion auf einem etwas starken und glatten Zeichenpapiere, indem man alle Linien nur mit der Cirkelspitze zieht, um die Durch» schnitte möglichst genau zu erhalten. Ist auf diese Weise der ganze Inbegriff von Puncten aufgefandea, welcher das Kantennetz der verlangten Gestalt ^der Combination bestimmt, so trägt man dieselben durdi feine Nadelstiche auf das zur Darstellung der Zeich- nung bestimmte Papier über, und verbindet hierauf die durchstochenen Puncte zuvörderst aus freier Hand durch schwache Bleistiftlinien, so wie es der Ver- lauf des Kantennetzes erfordert, um nicht bei der nachherigen Ausziehung mit der Reissfeder irriger
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Zeichnung der Krystallformen. Cap. L 399
Weise Puncte zosammenzuziehen, welche keine KaQte zwischen sich haben.
Da bpi den geipohnlichen transparenten Zeichnun- gen nnr die vorderen Kanten darch aasgezogene, die hidteren Kanten dagegen durch punctirte Linien dargestellt werden, so ist es, wenigstens bei rer-* wickeiteren Combinatipnen, rathsam, erst die vorde- ren Kanten mit der Reissfeder zu vollenden, bevor man die hinteren Kanten zieht, und demgemftss auch die Bleistiftlinien für beide besonders einzutragen^ nicht nur, um das sehr leicht eintretende Verseheil zu vermeiden, dass man eine Linie auszieht, die nur punctirt werden sollte, sondern auch, weil man ge- wöhnlich die Reissfeder för die punctirten Linien en- ger spannen muss als für die ausgezogenen Linien, welche letztere überhaupt, besonders aber im Yer-» gleiche zu den ersteren etwas stark gehalten wer- den müssen, wenn sicli das Bild gut ausnehmen und die Illusion des körperlichen Hervortretens recht ge« steigert werden soll.
Nächst den ausgezogenen und punctirten Linien, welche immer Kanten vorstellen, bedient man sich auch in den krystallographischen Zeichnungen, nach HaBys Vorgänge, der gestrichelten Linien zur Andeutung solcher Linien, welche in KrystalUIächen liegen, ohne doch Kantenlinien zu seyn, und der ge- strichelt-punctirten Linien zur Andeutung sol- cher Onien, welche, wie z. B. die Axen, innerhalb der Krystallform enthalten sind.
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400 Angewandte Krystallographie.
Zweites CaptteL
Von der Zeichnung der tesseralen Ge- stalten. ' ♦
A. Axen und einfache Crettalten.
§. 705. Projection der Axen.
Die tesseralen Gestalten werden im Allgemeinen am Tortheilhaftesten durch eine klinographische Ver- ticalprojection mit intermediärer Lage der Projections- fläche dargestellt Horizontalprojectionen kommen sel- ten, häufiger noch eine andere Art der orthographi- schen Projection in Anwendung , bei welcher die Ge- sichtsstrahlen einer der trigonalen Zwischenaxen par- allel laufen. Die ausgezeichnete Symmetrie der tes- seralen Gestalten macht gewöhnlich jede andere als die zuerst erwähnte Projection überflüssig, und nur die yerwickelteren Combinationen möchten bisweUen, zur leichteren Auffassung ihrer Verhältnisse^ der Hin* zufngung einer andern Projection bedürfen.
Bevor wir zur Darstellung der verschiedenen ein* fachen Gestalten übergehen, haben wir die Construction des Axensystemes aufzusuchen, wie solches in dem Oktaeder als der Gnmdgestalt erscheint Was nun zuvörderst dieHauptaxen betrifft, so besteht die Auf- gabe ihrer Projection darin, das Bild dreier, auf ein- ander rechtwinkliger, gleich grosser Linien , für eine gegebene Stellung des Auges und der Projectionsflä- che zu einander und zu den Linien selbst, zu entwerfen.
Man stelle das Axensystem nach einer seiner Hauptaxen aufrecht, und lege durch diese verticale Axe und das in unendlicher Ferne befindliche Auge eine Ebene als Gesichts ebene. Eine zweite, gleich- falls durch die verticale Axe gehende und auf der Gesiehtsebene rechtwinklige Ebene soll uns zur
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^ Zeichnung der Kry$taUfarmen. Cap. IL 401
Projectionsflftche dienen; die Ebene durch ü» beiden horixontalen Hauptaxen endlich heisse die Ho- risontalebene schlechthin, nnd eben so ihr Dnrch-' schnitt mit der Projectionsfläche die Horizontal- linie.
f. 706. Porttetzaaf.
ZnrSrderst gebe man nxok dem «m seine verticale Axe beweglichen Axensysteme eine solche Lage, dass eine der horisontalen Hanptaxen in die Cresichtsebena fiUlt, und rersetie das in derselben Ebene anf- und abwärts bewegliche Auge in die Horisontalebene. Dann sind es folgende swei, willkfirlich bestimmbare Elemente, ron welchen die mehr oder weniger vor» theilhafte Darstellung des Bildes abhängen wird.
1) Die GrSsse des Drehungswinkels, oder, die De« clination i des Axensystemes ans der Nor* malstellung.
2) Die Grosse des Erfaebungswinkels , oder die Elevation € des Auges über die Horisontal- ebene.
Beide Winkel müssen jedoch der Be^emlichkeit und Genauigkeit wegen so gewählt werden, dass die durch sie bedingte Protection keiner unmittelbareft Winkelconstructionen bedarf; und dasu bietet sich folgende Methode dar.
1) Man lasse das Auge in der Horisontalebene, und drehe das Axensystem so lange Ton der Rechten nach der Linken, bUi die Ptojodion der vorderen hori* sontalen Halbaxe gfeich eiaeoi willknrlichea dUquoten
Theile = — der Projection der seitlichen horizonta- len Halbaxe erscheiAt, und «etae den dadurch bestimm- ten Dedinationswinkel sa i. Ans der Bedingung coti SSI rriui
n. 26
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402 Angewandte KrystdUographie.
folgt sogleidi
eotS = r
2) Hieraiif erhebe man das, beständig in der Ge* sicbtsebene verharrende Auge über die Uorixontal- ebene; sogleich werden die, bis jetzt in der Horison- tallinie gelegenen Endpnncte der horizontalen Axen im Bilde eine Abweichung unter oder über dieselbe erCeJiren. Die Grössen dieser Abweichung müssen, für jede Erhebung des Auges, den wirklichen Ab- ständen derselben Endpuncte von der ProjectionsiBäche proportional seyn; ihre absoluten Werthe sind daher als Functionen des noch unbestinuntenffVinkels c aus- gedrückt:
für die vordere Halbaxe =3 cot Stange für die seitliche Halbaxe =s nndtimgl
In dem Momente nun, da die Abweichung des End- punctes der vorderen Halbaxe genau gleich einem
willkürlichen aliquoten Theile, = — ihrer eigenen er- sten Protection, fixire man das Augej aus der Be- dingung :
coiitangi = — imi ^
folgt sogleich
eote = r# für den entsprechenden Elevationswinkel des Auges.
f. 707. FortsetsuDg,
Auf die geschickte Wahl von r und $ kommt nun AUes an; wie aber auch die Werthe derselben ge- wählt werden mügen, immer bleibt, sobald nur r eine ganze Zahl ist, die allgemeine Regel zur Ausfuhrung der Projection folgende:
* Aufgabe. Das tesserale Axensystem für die ge- gebene Breite 2b des Bildes, und für gegebene Wer- die von r und $ zu construiren.
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Zeichnung der KrystdUformen. Cap. IL A03
A n f 1 5 s n n g. Ziehe swei sieb rechtwinklig schnei- dende Linien, und trage in die eine als Horizontal- linie beiders^ts Tom Dnrcbschnittsponcte ilf die Länge b = MH=MZ, Fig. 796, theile hierauf die HZ in 2r gleiche Theile, lege durch ihre End- und beiden mittelsten Theilpuncte Hülfsverticalen und trage in die äüsserste \erticale linker Hand abwärts von H
die liänge — ft, wodurch sich ein Punct A bestimmt
Ziehe nun die JRJf und verlängere sie jenseits 3/, so ist ihr zwischen den beiden mittleren Verticalen ent- haltener Theil BB^ die Projection der einen (vorde- ren) horizontalen Axe. — Ziehe hierauf durch B die Horizontale JBS, und dann die Süf , so bestimmt sich der Punct T in der einen Verticale; durch ihn ziehe wieder die Horizontale TC, aus C die CM, und ver- längere solche jenseits üf, so ist ihr zwischen den beiden äussersten Verticalen enthaltener Theil CC^ die Projection der 'andern (seitlichen) horizontalen Hauptaxe. — Endlich trage man in die äüsserste Ver- ticale rechter Hand von Z aus ab - oder aufwärts ei- nen der sechs Theile, in welche die HZ getheilt wor- den, verbinde den dadurch bestimmten Punct Q mit jjf, nimmt MA = MA'=sM(ty so ist AA^ die rich- tige Länge der verticalen Hauptaxe.
Die auf Taf. HI n. s. w. abgebildeten Gestalten und Combinationen sind unter der Voraussetzung ge- zeichnet, dass r = « = 3, oder dass
i = 18^ 26% e = 6^ 2(r
Für r scheint der Werth 3 jedenfalls sehr vor- theilhaft; für # möchte jedoch im Allgemeinen der Werth 2 vorzuziehen seyn, weil die horizontale Flä- che dann weniger verkürzt erscheint, indem e = 9^ 28^ wird *). Dagegen dürften alle Werthe von «, die
*) Will man dioM kUiiogrspliiKbe Proj«€tioii ohne viole M&he
26*
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404 Angewandte KrystmÜographie^
<4 sind, aas dem xa Ende de« %. 700 angegebenen Grande sn Tenneiden seyn.
§. 708. Z^chmnig dat OkUeden und der Zwischenaxen.
Hat man nach der Regel des vorhergehenden §. für gegebene Werthe Ton hy r und # die drei Hanpt- axen des Okta§ders entworfen, so ist tiichts leichter als das OktaMer selbst darzustellen^ indem man nur die sechs Pole A^ A\ B^ B% C und C der Hanpt- axen durch gerade Linien zu verbinden braucht, tv^ie es das Kantennetz der Gestalt vorschreibt; Fig. 797.
Eben so leicht ist aber auch die Einzpichnung der beiderlei Zwischenaxen in das OktaSder. Die rhom- bischen Zwischenaxen verbinden nämlich die Mittel« puncto je zweier Gegenkanten des Oktaßders; man sucht also diese Mittelpuncte jR in sechs der vorderen Kanten des Bildes, verbindet sie mit dem Mittelpuncte M der Gestalt durch gerade Linien, und verlängert diese Linien jenseits M bis zu ihren Durchschnitts- puncten R^ mit den Gegenkanten, so sind die sechs rhombischen Zwischenaxen des Oktaeders construirt; BR' in Flg. 797.
Die trigonalen Zwischenaxen verbinden die Mittel- puncte je zweier Gegenflächen des Oktaeders; man sucht also die Mittelpuncte T der vier vorderen Flä-
in eine orthographitche Terwandeb, so darf man our dnen etwaa
andern Eleratioiuwiiikel c' yoraiutetieii, f&r welcken $in$^ 9cm —
und dann die Jetsi gefundene terticale Hanptaze naeh Aem Coef- fidenten CMt^ Terkleiaern. So wArde i. B. f&v rmsgsstS, <'sas 6<^ tS\ und die acbelBbare L&nge der verticalen Havptaxe mat BS 0,9988 X AÄ'i fOr r =8 und i==:2, €^ 3=s 9^ 86' oad ^ Unge der verticalen Axe =s 0^86 x AA\ Der Winkdi e' lat sogleich der Neignngiwinkel der Projectionefliche gegen die Ter- ticale Axe, und das Bild kann also bei Terücaler Lage des Pa- piera eigentlich idcht sehr asfinocbt enchoinen.
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Zeichnung der Kry^taUformen. Cap. IL 405
chen des Bildes (wobei man sich der bereits gefun- denen Mittelpuncte ihrer Kanten bedient), verbindet ■ie mit dem Mittelpuncte M der Gestalt durch gerade Linien, verlängert diese letsteren, und macht ihre Veriängerungen ihnen selbst gleich, so sind die vier trigonalen Zwischenaxen des Oktaiders censtruirt; TT' in Flg. 797.
%. 709. Zachoiing des HeiakisoktaSden mOn,
Die dreierlei Eckpuncte des Hexakisokta^ders siOji liegen in den dreierlei Axen des OktaSders, und zwar die achtflächigen Eckpuncte in den Polen der Haupt* axen, daher sie bereits in der Construction dieser letiteren enthalten sind.
Die sechsflächigen Eckpuncte begränxen die trigo- nalen Zwischenaxen; allein, während im Okta§der die Endpuncte dieser Zwischenaxen in der Central- distanz |/4 liegen, so fallen sie im HexakitoIc;taäder mOn in die Entfernung
f^. Xi4;(Hl4)
•Ml + Äl + Il'^^' '
Man setse also jede der trigonalen Halbaxen M% wie solche imBilde desOktaäders erscheint SS 1, veriängere sie über T, und mache ihre Yer« IftBgerung
2mn — {m + n) mn+{m + n) ymt ihr selbst, so bestimmt sich in ihr ein neuer End- punct, welches der gesuchte sechsflächige Eckpunct von mOn ist.
Die vierflächigen oder rhombischen Eckpuncte be- gränxen die rhombischen Zwischenaxen; allein, wäh- rend im Oktaeder die Endpuncte dieser Zwischenaxen in der Centraldistanz ^4 liegen, so fallen sie im Hexakisoktaeder mQ/i in die Entfernung
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406 Angewandte Krystallographie. ^X|4;(§.il4)
Man setxe also jede der rhombischen Halbaxen JüfR, wie solche iili Bilde des OktaSders er- scheint, = 1, verlängere sie, and mache ihre Ver- längerung
n — 1
von ihr selbst, so bestimmt sich in ihr ein nener End- punct, welcher der gesuchte rhombische Eckpunct von mO» ist.
Nachdem auf diese Art die 26 Eckpunde des Hexa- kisoktaSders projicirt sind, darf man nur diese Puncte nach demselben Gesetze durch gerade Linien verbin- den, nach welchem die ihnen entsprechenden Ecke in der Wirklichkeit durch die Kanten verbunden sind, um die Projection der Gestalt selbst zu vollenden.
§. 710.
Zeichnung der übrigen holoedrischen Gestalten.
Der vorhergehende §. enthält die allgemeine Re- gel für die Projection aller möglicher holoädrischer Gestalten des Tesseralsystemes , weil man ja nur für jw und n die ihnen entsprechenden numerischen Wer- the substituiren darf, um diese Regel fQr irgend ei- nen besonderen Fall in Anwendung zu bringen. Wäh- rend es daher ganz überflüssig seyn würde, diese An- wendung durch Reispieje zu erläutern, so glaube ich doch für diejenigen, welche .sich mit dieser Anwen- dung beschäftigen wollen, auf folgende Erleichterung aufmerksam machen zu müssen.
Weil alle Formen einer und derselben Krystall- reihe auf eine gewisse Einheit der Dimensionen re- ducirt werden müssen, wenn sie mit einander ver- gleichbar seyn sollen, so scheint es vortheilhaft, alle Gestalten des Tesseralsystemes von gleicher Lange
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Zeichnung der KrystaBformmu Cap.IL 407
der Hanptaxen darzustellen, sobald ihrer mehre su- gielch abgebildet werden sollen. Unter dieser Yor- anssetznng kann man sich ein fnr alle Mal die den gewöhnlichsten Gestalten entsprechenden Eckpuncte auf eine Platte von Messingblech auftragen, selbige genau durchbohren lassen, und dann durch feine Na- delstiche auf das zur Darstellung des Bildes bestimmte Papier übertragen. Man wählt den Maassstab von ei- ner für die gewöhnlichen Bilder passenden Grösse, etwa 2 Zoll für die Breite des Bildes, entwirft das System der 13 Axen im Oktaeder, und trägt darauf in jede der trigonalen und rhombischen Zwischen- nxen beiderseits die den gewöhnlichsten Gestalten entsprechenden Verlängerungen ein. Diese Gestalten und die ihnen entsprechenden Verlängerungsco^fficien» tent sind etwa folgende:
|
Gestalt |
Yerlängeroji trigonalen Z. A. |
gseo§fficient der rhombischen Z. A. |
|
20 |
0 |
|
|
-ooO |
0 |
|
|
304 402 604 |
||
|
00O4 00O2 oo03 |
||
|
202 303 |
||
|
ooOoo |
2 |
1 |
Für die rhombischen Zwischenaxen dieser gewöhn- lichen Gestalten kommen daher nur Jie Verlängerun- genr i^ \, \ und i, für die trigonalen Zwischenaxen die Verlängerungen i, t, f> 4-j |j I) i »»d 2 in An-
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408 Jli9g0wamdtit Kry^taUograpbie.
w^adang, welche Zahlen man nehen die dorchbohr* ten Puicte schreibt, wn jeder Verwechselang bei ih- rer UebertragnUg venrnbeugen; Fig. 798.
Endlidi ist noch %n. erwähnen, dass bei der Zeick- nong Ton mO, ooO und ooOii die rhombischen Zwi- schenaxen ganz ausser ^cht gelassen werden, weil die Pole derselben keinen fickpuncten dieser Crestal* ten entsprechen.
f. 711. Z^duMuig des HaakutetnMen ü^.
In den gendgtfltdiig*semitesseralen Gestdten^
welche allgemein durch das Hexakistetra^der — ^—
reprasentirt werden, sind die Pole der riiondbischea Zwischenaxen durch keine Eckpnncte beseiclmet, wes- halb diese Axen gänzlich vernachlässigt werden kön- nen. Dagegen lerfällt jede trigonale Zwischenaxe 19 zwei ungleichwerthige Hälften, die holoedrische und hemi^drische Halbaxe ($. 130), von welchen die erstere in dem stumpferen, die andere in dem spitzeren sechs- flächigen Eckpuncte endigt. Ausser diesen beiderlei sechsflächigen Eckpuncten giebt es nur noch sechs rhombische, den Polen der Hanptaxen entsprechende Eckpuncte, Die einfache Regel zur Construction ei- nes Hexakistetraäders wird hiemach folgende.
Man entwerfe die drei Hauptaxen, so wie die vier trigonalen Zwischenaxen des Oktaäders, Terläagere diese letzteren nach beiden Seiten, und nehme in je- der die der holofidrischen Halbaxe entsprechende Ver- längerung
äen — (si + ») M» -)- (m + n) nnd die der hrauädriachen Halbax« entsprechende Verlängerung
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Z€khnmg)ier KryHaüfonMn. Cap.II. 409
2mn — > (i — ' n)
Mm + (m — j»)
so sind alle Pancte gefunden, welche zur Conatnietion
der beiden HexakistetraCder —5— und — gefor- dert werden. Denn die Pole der Hauptaxen lind die uhchM rhonbischen Eckpunete, die über den abwech- selnden Oktaßderflächen gelegenen Endpuncte der Ikh loMrischen trigonalen Halbaxen die itumpferen, und die über den vier übrigen OktaMerflächen gelegenen Eckpuncte der hemilSdrischen trigonalen Halbaxen die spitseren sechsfiächigen Eckpuncte der verlangten Ge- stalt. Je nachdem man dieselbe in der einen oder in der andern Stellung construiren will, wählt man die Endpuncte der beiderlei trigonalen Halbaxen über dem einen oder andern viersäUigen Flacheninbegriffe des Oktaeders.
I- 712. ZeicbiMiiig der übrigen geneigtflichig-seiiiiteaeeraleD Gestalten.
Der Torhergehende |. enthält die Regel för die Projection sämmtlicher geneigtflächig - semitegseraler Gestalten, weil man nur för m und n die ihnen in irgend einer Gestalt zukommenden numerischen Wer- the SU snbstituiren braucht, um dieselbe Regel für diese Gestalt in Anwendung su bringen, weshalb andi jede Erläuterung derselben durch Beispiele überflüs- sig SU seyn scheint.
Dagegen kann man sich, wie fSr die Construction der holo^^drischen, so auch für jene der geneigtflä- chige semitesseralen Gestalten ein Schema auf Mes- singblech entwerfen, in welchem die den gewöhnli- ehm Gestalten entsprechenden Eckponcte ein für alle Mal eingetragen und durchbohrt sind, und nur durch ferne Nadelsticbe auf das Papier übertragen werden. Die gewöhnlichen Gestalten, and die Ihnen enupre^
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410 Angea^andte KrystaUograpJue.
chenden VerlängemngseoSfiScientea der trigonalen Halbaxeii sind etwa folgende (§. 139):
|
Gestalt |
Yerlängerai derholoedr.H.A. |
igscoCfficient der hemiSdr. H A. |
|
|
O 2 |
0 |
2- |
|
|
202 2 |
2 |
||
|
303 2 |
2 |
||
|
40 2 |
|||
|
20 2 |
|||
|
30 f 2 |
|||
|
402 2 |
|||
|
60i 2 |
El bedarf übrigens kanm einer Erwähnung, das«
O mOm
es für — und alle — — unnothig ist, die Pole der
Hauptaxen mit überzutragen.
|. 713. Zeidmoog de. Dyakudodekaeder. [?^].
In den DyakisdodekaSdem 1— o~| kommen ausser
den sechs rhombischen Eckpuncten noch acht trigo- nale und awälf unregelmässige Eckpuncte vor« Die ersteren sind die Pole der Hauptaxen, die anderen die Pole der trigonalen Zwischenaxen der resp. ho* loädrischen Slhttergestalt, und daher bereits nach f.
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2^ichnung der Krystallforrnen. Cap. IL 411
709 bestimmt. Was aber die onregelmlssigen Eck^ piincte betrifft, so fallen sie ,zwar in die Ebenen der Hanptscbnitte, aber nicht in die rhombischen Zwi- schenaxen, weshalb sie in |. 141 durch ihre Coordi- naten besonders bestimint werden mnssten ; diese Coor- dlnaten waren
die kleinere = — ^ r^
mn — 1
j. ^ n(m — 1)
die ffrSssere = -^^ -r-
® mn — 1
Die Regel für die Zeichnung dieser Gestalten wird daher folgende.
Man entwerfe die drei Hauptaxeh AA und vier Crigonalen Zwischenaxen BB Fig. 799 des Oktaeders nach der Regel in §. 708 , bestimme auch die Verlän- gerung der letzteren nach dem CoSfficienten 2mn — (m + n) mn + (m + n) Mde in f. 709. Hierauf nehme man in jeder Haupte a-xe beiderseits vom Mittelpuncte aus die Längen
«(»LZI) und "<"-*> mn — 1 Mit — 1
indem man eine jede halbe Hauptaxe, so wie sie im Rilde erscheint, in ihrer Art =s 1 setzt; da- durch bestimmen sich in jeder Hauptaxe zwei Puncte a und zwei Puncte b. Durch jeden dieser Puncte in einer jeden Hauptaxe lege man zwei, mit den bei- den andern Hauptaxen parallele Linien, so bestim- men sich in der Ebene jedes Hauptschnittes acht Puncte c, welche die gesuchten unregelmässigen Eck- puncte sind.
Nun sind alle zur Constmction des verlangten Dyakisdodekaßders in beiden Stellungen erforderli- chen Puncte gefailden. Für den einen Gegenk5rper nämlich wählt man die zwölf Puncte c , für den an- dern die zwölf Puncte c^- verbindet sie mit den sechs
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412 Angewandte Kry$tallographie.
Polen der Haeptaxen and den acht Polen der irigo- aalen Zwiaehenaxen, wie es der Verlauf des Kanten- aetxea vorschreibt, so ist die verlcuigte Gestalt in der
einen oder andern Stellung als j —^ j pder — j — — 1 construirt.
f. 714.
Zdchmuig der PentagondodekaSder.
Für die Pentagondodeka§der fidlen die Puncto b der vorhergehenden Coastruction in die Pole der Hanpt- axen; die Constmction vereinfacht sich also dahin^ dass man, nachdem die trigonalen Eekpuncte gefun- den sind, durch die Pole einer jeden Hauptaxe awei, mit den andern beiden Hauptaxen parallele Linien legt, hierauf in jeder Hauptaxe vom fifittelpuncte ans nach beiden Seiten die Grosse n — 1 n nimmt, indem man jede halbe Hauptaxe, wie solche im Bilde orscheint, in ihrer Art s=r 1 setzt, und durch die so bestimmten Puncto « Paral- lelen mit den Axen legt. Diese letzteren Parallelen kommen mit den ersteren in den Puncten e zum Durch- schnitte, welche die gesuchten unregelmässigen Eek- puncte sind; Fig. 800.
Je nachdem man nun das PentagondodekaSder in
der einen oder in der andern Stellung, als -"-^ oder
als ^— zeichnen will, legt man entweder die mit
c oder die mit cf bezeichneten Puncto der Zeiehnung zu Grunde.
Man kann sich übrigens auch filr die gewöhnlich- sten parallelflädiig-*semitesseraleii Gfestalten ein Sche- ma entwerfen, in welchem die zu ihrer Projection er*
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Zeichnung der Krystallformen. Cap.JI. 413
forderlichen Pancte ein fiur alle Mal «Btlialten lind. Diese gewöhnlichsten Gestalten and die ihnen entspre- chenden Yeriftngeningen der trigonalen Zwisehenaxen «nd Coordinaten der unregehaftssigen Eckpimcte Sind etwa folgende (f. 149).
Yerlängemngs- Gestalt eo§fficient der trig. Z.A.
Coordinaten der un- regelm. Eckponcte
B. ComUnatianen.
f. 715, Binär« Combiiiatiooeii.
Wenn eine binftre tesserale Combination geseich- ■et werden soll, so hat man vor aMn Dingen nach 4ba in der reinen Krystallographie gegebenen Regeln 1er CombinationBlehre, mit Zuziehung der Combina- tionsgleichung zu untersuchen , welche Modificationen die eine Gestalt durch die Flächen der andern erfährt. Diese Untersuchung wird im Allgemeinen lehren, ob die eine Gestalt an der andern eine Abstumpfong, eine Znschärfong oder eine Zuspitzung gewisser Ecken •d^ KantM hervorbringt, und ob die Lage der CK, durch gewisse Kanten öder andere singulare linien
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414 Angewandte KrystaUographie.
in den Flächen der einen Gestalt bestimmt i¥ird, oder nicht. Ergiebt sich für die CK. eine bestimmte re- gelmässige Lfi^e zu gewissen Kanten oder Linien der einfen Gestalt, so ist iie Zeichnung der Combination ohne Weiteres mit grosser Leichtigkeit zu bewerk- stelligen.
Dabei werden besonders folgende Regeln zu be- rücksichtigen seyn.
1) Wenn alle oder viele Kanten der einen €restalt durch die Flächen der andern Crestalt regelmäs- sig zngeschärft oder abgestumpft werden, so ist es besser, die zuschärfende oder abstum- pfende Gestalt zuerst zu zeichnen, weil dann die Einzeichnnng der andern Gestalt sehr leicht ist, und die kleinen Kanten, in welchen je drei oder mehre Zuschärfungs - oder Abstum- pfungsflächen zusammenstossen, im Bilde sehr genau ausfallen. — SoU^lnan z. B. die Combi- nation 00O.2O2 zeichnen, so construirt man zuerst das Ucositetraäder 202, und trägt dann die Flächen des RhombendodekaSders ein; ans
demselben Grunde wird man bei der Comb. -rr-.
2
ocOoo nicht mit dem Tetraäder, sondern mit dem
Hexaeder, bei der Comb. oo02.404 nicht mit
dem Tetrakishexa6der, sondern mit dem Ikosi-
tetra^der, 4>ei der Comb. oo0.30{- nicht mit dem
BhombendodekaSder, sondern mit dem Hexakis«
oktaäder den Anfang machen. Dagegen wird in
der Comb. — —.ooOoo erst das Pentagondode-
kaSder, in der Comb. |^-^|. — k" erst das Dya-
kisdodekaßder zu zeichnen seyn.
2) Wenn die vorherrschende Gestalt eine Zuschir- fung oder Zuspitzung gewisser Ecke zeigt, und
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Zeichnung der Krystallformen. Cap. IL 415
zugleich die CK. gewissen ihrer Kanten oder sin-
gulären Linien parallel sind, dann f&ngt man ge«
w5hnlich mit der yorherrschenden Gestalt an.
• 202 So zeichnet man z. B. in der Comb. — ^.ooO
erst das Trigondodeka^der, in der Comb. O. — —
erst das Oktaeder*, in der Comb. oc02.202 erst das TetrakishexaSder; indess kann diese Regel -eine Ausnahme erleiden, wenn die Zuspitzung sehr vielflächig, z. B. sechs - oder achtfiächig, und die Torherrschende Gestalt sehr wenigfld- chig, z. B. O, ooOoo oder auch ocO ist, weil es dann oft bequemer ist, mit derjenigen Gestalt anzufangen, welche die Zuspitzung hervorbringt. 3) Ist die Zuspitzung von der Art, dass zwar die CK keiner Kante oder singulären Linie der vor* herrschenden Gestalt parallel laufen, allein die Zuspitzungsflächen als Rhomben erscheinen, so ist es gewohnlich vortheilhaft, die untergeord* nete Gestalt zuerst zu zeichnen.
|. 716. Portsetzaog.
Um die richtige Einzeichnung der Kanten der zwei- ten Gestalt in vorstehenden Fällen vollziehen zu kön- nen, dazu dient die Bestimmung der Lage der dreier- lei Kanten A^ B und C in den holoädrischen, der Kanten A% B^ und <7 in den geneigtflächig hemißdri- •chen, und der Kanten A% B" und C in den paral- lelflächig hemiedrischen Gestalten, wie solche durch die Co^fflcienten derZwischenaxen, so wie durch die Coordinaten der unregelmässigen Eckpuncte in der reinen Krystallographie gefunden wurde. Dass man übrigens nicht alle erforderlichen Puncto mittels die- ser Coäfficienten zu bestimmen braucht, ist einleuch-
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416 Angewandte KrystaUographie.
teiuL Fallen z. B. 4ie Ecke einer Ziupitznng in die Hanptaxen, nnd liat man die CK. eingetragen, so gncht man mitteli der bekannten Coßf&cienten der Zwischenaxen die Lage einer der Zuspitxongskanten an einem der Ecke, und erhält in dem Dorchschnitts* pnncte dieser Kante mit der Haaptaxe das gesuchte Znspitzungseck; legt man durch diesen Pnnct Paral- lelen mit den vier Kanten des Oktaßders, welche in . derselben Hauptaxe snsammenlaufen, so erhält man sogleich in den Durchschnittspnncten dies;er Paralle- len mit den beiden andern Hauptaxen die richtigen Projectionen von vier andern Znspitiungsecken. — Eben so ist bei solchen Zuspitzungen, deren Ecke in die trigonalen oder rhmnbischen Zwischenaxen fal» len, zu berücksichtigen, dass durch je zwei einan- der zunächst liegende trigonale Eckpuncte, so wie durch je zwei in einem und demselben Hauptschnitte einander zunächst liegende rhombische Eckpuncte eine Parallele mit einer der Hauptaxen gezogen werden kann. — Durch die Berücksichtigung dieser und an- derer Verhältnisse, wie z. B. des ParaUelismus je zweier Gegenkanten, der gleichen Grösse beider Half» ten einer und derselben Axe, u. s. w., kann man sich die Auffindung vieler Pnncte sehr erleichtem, und zu- gleich eine grossere Genauigkeit des Bildes erreichen.
f. 717. Bei timaung der CK. durch das Verbältnits der Kanteasei^meiite.
Wenn aber die CK. nicht durch ihren Parallelis- mus mit gewissen Kanten oder singulären Linien der einen Gestalt bestimmt ist, so muss man untersuchen, in welchem Verhältnisse die Kanten der einen Ge- stalt durch die Flächen der andern geschnitten wer- den, oder wie sich die Lage der Combinationskante bestimmt, weil geritde davon die richtige Darstellung des Bildes abhängig ist. Nun liesse sich zwar jeden-
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Zeichnung der KrystaBformen. Cap. IL 417
üedls^ diese Bestimmung mittels der graphischen Me- thode des 1.703 erreichen; allein, wie einfach und sicher auch diese Methode in ihrem Wesen, so un- bequem und ungenau ist sie oft in ihrer Anwendung, vfenn die Ableitungscoßfficienten etwas gross werden, und die beiderlei Intersectionen, auf deren Durch- Bchnittspunct es ankommt, sich unter selir spitzen Winkeln schneiden. Könnte man also nach irgend einer andern Methode, ohne Hülfisconstructionen und unmittelbar zur richtigen Einzeichnung der Combina- tionskante gelangen, so wäre dies allerdings ein grosser Vortheil. Eine solche Methode nun gründet sich auf den Satz, dass die Kanten einer jeden Gestalt Ton den Flächen jeder andern Ge- stalt derselben Krystallreihe jedenfalls in rationalen Verhältnissen geschnitten wer- den; ein Satz, welcher sich leicht in der grössten Allgemeinheit erweisen lässt, und welchen wir in seiner Anwendung f3r die Tersohiedenen Krystallsy- Bteme im Laufe dieses Abschnittes besonders kennen lernen werden. Die hierher schlagenden Untersu- chungen sind allerdings für die holoedrischen und he-^ miedriscben Combinationen besonders vorzunehmen, weil <ße geschnittenen Kanten sowohl als die schnei- denden Flächen in den beiderlei Gestalten nach Lage und A^^dehnung yerschieden sind. Um jedoch den Umfang des gegenwärtigen Abschnittes nicht zu sehr SU Tergrossem, können wir diese Untersuchungen nur auf die wichtigsten^ und daher, mit Ausnahme der rhomboödrischen, nur auf die holoedrischen Comjbi- nationen der Terschiedenen Krystallsysteme ausdeh- nen, weshalb wir denn auch für das Tesseralsystem insbesondere unsre Aufgabe dahin einschränken, die Yerhältnisse der Kantensegmente in der Combination zweier holoedrischer tesseraler Gestalten' zu bestim- men.
n. 27
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41S Angtivandte Krystaäographie.
|. 718.
lUnteDsegaente in der CgiabiiiBtioa mOn.ai'Oii'.
Aus der Conibinalion dar GleieliHAg
»11
mit den in f. 120 siebenden Gleichungen der Flächen F'j F' und F^ erhält man die Gleichungen der dr^ Kan- tenUnien i4, JB und C der Fläche F in mOn wie folgt: Gleichungen der Kante A
.-y = 0, (^l^ + z^i Gleichungen der Kante It
ar=:0, -^ + 2 = 1 Gleichui^en der Kante C
j,_z=0, ^ + (!Ltl)? = i
Die Gleichung der mit F analog liegenden Fläche Fl In der zweiten Gestalt m^Owf ist
m fi
indem wir rechter Hand vom GleichheitsieidMii ir^ gend eine andere Constante statt der Einheit einlBh- ren mfisfen, weil die Möglichkeit einer Con^MnaAion im Allgemeinen mit der Annahme gleicher Hanptaxen unverträglich ist.
ComMnirt man die Gleichung von Ft mit den GSei* chungen ron A, B und C, so erhält man die Coordi- naten ihrer resp. Durohschnittspuncte , welche ich mit (a), (b) und (c) bezeichnen will, nämlidi: f&r den Durchschnittspunct (a) in A
— mmm'nJA — i)
^ mn(m' + «0 — m'n\m + «)
y = AT
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Zeichnung der XjrystaÜf armen. Cap.II. 410
für den DarefaftehnitUpimct {h) in B ^ =tt 0
y = — ^ — 7^
^ n — n'
1
fiir den Dorchschnittspanct (c) in C
__ fHm\n{n' + \\- n\n + l)/t] "^ — m\n' + 1> — m{n + 1)»'
^ ~ »+1l ~ —«(» + 1)'^
^ » + 1 ~ «(» + !)*
f. 719. Fortsetzung.
MKtteUi der gefdndenen Coordinaten der Pancte («r)^ (i) nnd (c) und mittels der ans 1. 116 bekannten Co- ordinaten der drei Eckpuncte der Fläche F lassen sich nun die Segmente der Kanten j4; B und C leicht berechnen, wie folgt. L Segmente der Kante A.
Wir wollen diese Segmente mit 1{A) bezeich- nen; das eine Segment wird begränzt von dem okta6- drischen Eckpuncte, dessen Coordinaten o;' = 0, / = 0, z" = 1 nnd Ton dem Durchsehnittspuncte (a), dessen Coor- dinaten wir mit Xy y und z bezeichnen wollen; es ist daher
SiA) =s ^^+y^+(g=ri)^" _ xV2m^n^ + («» + nY
^ ^V(| _ 1) K2««ii> + (»» + ny mn{m' + ^ — mfn'{m -|- ») 27»
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420 AngeitKindte Krystallographie.
Nun ist aber nach §. 116 die Kante yat^n^ + (m + it)»
folglich das am oktaSdrischen Eckpnncte gelegene Seg- ment:
_ «»V(«» + <» + n){k •— 1) -
"'^'^^ ~ «111(111' + «0 — «•'»'(«• + «) und das am sechsflächigen Eckpnncte gelegene Seg- ment:
x./ 4N _ ««»(»»V+»»^+»0— »»'»'(*»»+*>+»)* ^ A
II. Segmente der Kante B.
Wir bezeichnen diese Segmente mit ^{B)\ das eine, am oktaSdrischen Eckpnncte gelegene Segment wird begränzt von diesem Puncte, dessen Coordinaten
x' = 0, y' = 0, 2' = 1 und von dem Puncto (&), dessen Coordinaten wir mit x^ y und z bezeichnen wollen; es ist also 2{B) = Vy^ + (z-±y
n nun ist aber nach 1. 116 die Kante
folglich das am oktaSdrischen Eckpnncte gelegene Segment:
n — n* und das am rhombischen Eckpnncte gelegene Segment: 2(B) = «K+l)-n^(i» + l)A ^ ^
nJ. Segmente der Kante C. Wir bezeichnen diese Segmente mit S(C)\ daa eine, am rhombischen Eckpnncte gelegene Segment
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Zeichnung der KrystaUformen. Cap^ IL 421
wird begränzt ^om rhombischen Eckpancte, dessen Coordinaten
und von dem Darchschnittspiincte (c), dessen Coor- dkiaten wir s« or, y und z setzen wollen ; es ist also
*^^^ - siCu + i)
Nun ist aber nach | 116 die Kante
^^ (mn + si + i»X« + 1) . folglich wird das am rhombischen Eekpuncte gelegene Segment ^rr\ _ <»(^^ + l)-«> + l)A](^ii + «i + n)_^ -^^ - iitsiXii^+l)ii-si(ii+l)«1 ^^
and das am sechsflächigen Eckpnncte gelegene Seg- ment
"^^^^ ii[si'C«'+l)ii— is(» + lX] ^^ .
Da man nun A jedaifaUs rational annehmen kann, so folgt, dass die Segmente der Kantenlinien des Hexakisokta^ders mOn Jedenfalls ratio- nale Mnltipla oder Submnltipla der Kajitenlinien selbst sind.
§. 720. Fortaeixung.
Vergleichen wir diejenigen Kantensegmente, wel- che Ton einem und demselben Eekpuncte auslaufen, mit einander, so erhalten wir folgende Resultate:
Die am Pole der Hauptaxe gelegenen Segmente der Kanten A und JB verhalten sich:
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422 Angewandte Kry^cMographie*
T/>i^. 5/R^ _ m\mn+m+n)A . 0^ + i)B
Die am Pole der trigonalen Zwischenaxe gelege- nen Segmente der Kanten A und C yerhalten sich:
^(Ay^(r\^ — . (ii+i)C
Die am Pole der rhombischen Zwischenaxe gele- genen Segmente der Kanten B und C veihalten sich :
Mittels dieser Proportionen wird man leicht zu der richtigen Einzeichnung der Combinationskante gelan- gen, welche untergeordnete Gestalt aach mit dem He'xa- kisoktaäder mOn combinirt seyn mag.
1) Combination mOn.m^On^; dann ist
bei achtflächiger Zuspitzung der ditetragonalen Ecke
das Yerhältniss 2{A) : S{B)y bei sechsflächiger Zuspitzung der ditrigonalen Ecke
das Verhältniss S(A) : ^(C), bei Tierflächiger Zuspitzung der rhombischen Ecke
das Yerhältniss S{B) : S{C) zu berücksichtigen.
2) Combination mOn.m^On/;
bei vierflächiger Zuspitzung der ditetragonal«! Ecke: 2tÄ\ • ^rn\ = (mn + m + n)A . (n + i)B
bei dreifl. Zusp. der ditrig. Ecke:
3) Combination mOn.m'O;
bei dreifl. Zusp. der ditrig« Ecke:
bei Zusch. der rhombischen Ecke : ^tn^ . ^fr\ ^^ . •»'(*»» + «» +»)^
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Zeichnung der Kry$taUf armen. Cap.IL 423
4) Combination mOm.ooOm';
bei vierfl. Z«sp. der ditetr. Ecke :
bei Zmifh. der rlKMibisclieii Ecke:
5) Combination mOn^ocO; .
Ä— 1 2ä
6) Combiaation mOm.O;
7) Combination mOn.ooOoo;
2(A):S{B) =r (••ii + m+ii)i4 : {m + n)(n + i)B Man kann mittels dieser für das HexakisoktaSder gefundenen Resultate die Combinationskante auch in alle öbrigen Gestalten, richtig eintragen, wenn man dieselben in ihrer hildlicben Darstellung dadurch auf ein Hexakisoktaßder xurückfiahren will, das« man in ihren Flächen alle diejenigen Linien zieht, welche den Kanten eines HexakisoktaSders entsprechen. Al- lein abgesehen davon, dass man dadurch gendthigt wäre, eine Menge Hnlfslinien zu ziehen, von denen weiter kein Gebrauch gemacht wird^ ist es noch in anderer Hinsicht viel vortheilhafiter, die Lage der CK. auch in den übrigen Gestalten nur von den Segmen- ten ihrer wirklichen Kantenlinien abhängig zu ma- chen. Wir haben daher unsere Untersuchungen über die Verhältnisse der Kantensegmente für Jede der fibri- ^ gen Gestalten besonders gehend zu machen.
f. 721.
Kaatensegmeiite des Ikotttetraeder« imOib.
In dem Ikositetraeder verschwindet die Kante Ay und jede Fläche wird ausser von den Kanten B und C
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424 Angewandte KrystaUographiel
Qoch von den beiden gleichwerthigen Kanten Bf und C begränzt, Fig. 801. Denken wir nun ein Hexakisok- ta^der m'On' als untergeordnete Gestalt in Combina- tion mit mOm, so wird für den Fall einer vierfl. Zusp. der rhomb. Ecke das bereits gefundene Ye9*liältni8S von S(B):S(C) su benutzen seyn, während für die beiden Fälle einer achtfl. Zusp. der tetragonalen und einer sechsfl. Zusp. der trigonalen Ecke die Verhält«* nisse von S{B) : :S(ÄO, »nd 2(C) : S(C) berechnet wer- den müssen , um die Lage der CK. anfznfinden.
Die Methode dieser Berechnung ist ganz dieselbe, welche bisher befolgt wurde ; ihre Ausfuhrung verein- facht sich aber etwas wegen der Gleichheit der Cotf- ficienten in dem Zeichen mOm. Man aucht nänlidi die Gleichungen der beiden Kanten B* und C^ auB der Gleichung der Fläche F
mm combinirt die gefundenen Gleichungen mit der Glei- chung der Fläche Fi von m'Om'
5 + ^ + r = A
m H
und erhält so die Coordinaten der beiden Darchschnitts* puncte (b') und (eQ, mittels welcher sich dann leicht die Kantensegmente von B' und C^ berechnen lassen. Führt man diese Rechnungen durch, so gelangt man endlich auf folgende Resultate :
1) Combination mOm.m'On^; bei achtflächiger Zuspitzung der tetragonalen Ecke verhalten sich die Segmente
fi — m f» — • f» bei sechsflächiger Zuspitzung der trigonalen Ecke ist
S{C)iSiC')=n\m'+iy^Xm+l):mXn'+iy^'(m+i)
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Zeichnung der KrysiaUformen. Cap. IL 42$
bei vieriichiger Znspitnmg der rhomhisdiMi Ecke endlich ist
2) Combination mOm.m'0;
es Terhaheii sich die Kantensegmente bei Zoschärfong der rhombischen Ecke:
bei dreifL Zasp. der trigonalen £ck6: S(C):S(C) = («•«•'-1)C: (m+l — 2m')C
3) Combination fliOi».ooOii^;
es verhalten sich die Kantensegmente bei TierfL Znsp. der tetr. Ecke:
2(B):SiB) = n'B : (n' — m)B bei Zosch« der rhomb. Ecke:
4) Combination mOm.ocO;
S(B):S(C) = £^: Hm + i)C
Far alle m^O$Hf und daher auch für O and coOoo ifit Jedenfalls die CK. parallel der gleichschenkligen Diagonale der Flftchen von mOm,
f. 722. Kantenftegmente de» Triakboktaeders siO.
Fir das TriakisoktaSder kommt statt der Kante C, welche durch die Höhenlinie jeder Fläche repräsen- tirt wird, die Kante A' in Racksicht, Fig. 802; auch ist die Kante B zu verdoppeln , weil je zwei Kanten £eser Art eine der regelmässigen Kanten von siO bilden. Man suche daher die Gleichungen der Kante A\ welche
s-z = 0, und iüLtDE+y^i
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420 Angeanmäte Kry$iaUograptüe. •faid, und comUiiire lue mit der Glttchiuig
"^z + -T + 2: = *
so erhält man die Coordinaten eines Durchschnitts- punctes (aO? luid mittels selbiger die Segmente der Kante A\ FSlurt man die hier nur angedeuteten Rech- nungen durchs so gdangt man endlich »af falgende Resultate :
1) Combination mOm'Offf^
es verhalten sich die Kantensegmente bei achtfl. Zusp. der ditetr. Ecke:
bei secfasfl. Zusp. der trig. Ecke: 5(il)::?(ilO==«(«'H-iiO— «VCin+l^wCsi'+lK— «•'(••+1)
2) Combination mOM^Om'\
Es verhalten sich die Kantensegmente bei vierfl. Zusp. der ditetr. Ecke:
S{A)iS(ß) = (2«i + lXm'—l) :«'(«• + !) —5m bei dreÜL Zusp. der trig. Ecke:
2{A) : S{Ar) = Qm—m\m + 1) : «i»'— 1
3) Combination mO.ocOü^;
es verhsdten sich die Kantensegmente: 2{A)i2(B) = (2m + l)(«'-l):»'(« + l)— »
4) Combination mO.ocOoo;
SiA)i2iB) = {2m+±)A\{m + i)B Für die Combinationen mit «i^O, ocO und O ist jedenfalls 2{A) = S{A'), oder die CK. der Kante B parallel.
f. 723. Ki^Oteiitegmeate des ToUrakishexaSden ooOii.
Für dasTeCrakishexaMerooOit ist statt der Kante ßj welche nur durch die Höhenlinien der^Flächen re- präsentirt wird, die Kante A^ zu berücksichtigeUi Fig. 803; auch ist die Kante C xu verdoppeln, da je
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vmrni 4iMtar Kwitm eine der regetlnaMigw Kaateo von ooOn bilden.
Die Gleiebnngen der Kante A' sind:
4? + y=0, und — — + r=»l
Durch Combinaüon dieser Gleiebnngen mit der Gleichung
finden sich die Coordinaten des Darchschnittaponctes (o^, und mittels desselben die Segmente der Kante A\ Führt man diese Rechnungen durch» so gelangt man endlich auf folgende Resultate :
1) Combination oQOn,m'On'\
es verhalten sich die Kantensegmente bei achtfl. Zusp. der tetr. Ecke:
2(4) : SiÄ") = »V— (•!'— »> : mV— (•i'+n> bei sechsfl. Zusp. der ditrig. Ecke:
S(A) : S(C) = 2nn'A : [«(«•' + »0 —mW]C
2) Combination ooOn.mfOm^; bei vierfiL Zusp. der tetr. Ecke:
S{A):S(A') = «•' : «•' — 2» bei dreifl« Zusp. der ditrig. Ecke: S(A):S(C) = 211.4 : (2» — «0^
3) Combination ooOji.m'0;
S(A}< I(C) = 2nA : [ii(ai'+ 1) - «i'JC
4) Combination acOii.O;
S{A):S(C) = 2nA:(2n--'i)C Für die Combinationen mit ocOii^, ooO und ooO(3o ist stets S{A) = 2{A')y oder die CK. der Kante C parallel.
$. 724. Kantensegneiite in ooO, O and ocOoo. .
Man seUe in den Verhältnissen der Kantenseg- uiettte von A und Af für ocOii und mO 11 = 1 und
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428 jingeu^andtB KryatcMograpiMi
0=00, 80 folgen för die Combinationeii des Rhonii bendodekaßders die nachstehenden Resultirte:
1) Combination co0.siO«;
bei achtfl. Znsp. der tetr. Ecke: S(A)iS(Ar) = mn — m + n : mm — «• — »
bei sechsfl. Znsp. der trig. Ecke: S(A) : S^A") 5= « + «—«« : mn—m + n
2) Combination oo0.mOm\
bei TieiA. Zusp. der tetr. Ecke:
5(i4):5(i40 = « •• « — 2 bei dreifl. Zusp. der trig. Ecke: 2{A)i2{A') = 2 — «• : m Setxt man in den für mOm berechneten Verhält* nissen der Kantensegmente 2(B) und S^B*) «1 = 1, so folgt für das Oktaeder:
1) Combination O.mOn,
2) Combination O.ooOny
2(B):5(ir) = nB : (n — i)B Setzt man endlich in den für mOm berechnete» Verhältnissen der Kantensegmente S{C) und S^Cy m^=iOOy so folgt für das Hexaeder:
1) Combination ooOooMOfij
2(C):2(C0 = siC: «C
2) Combination ooOoo.mO,
J(C):J(CO =±mCi C
f. 725.
Mehrzählige Combinationeit.
Für die drei • und mehrzähligen Combinationen bat man besonders darauf zu achten, welche Gestalt oder welche Gestalten eine vorherrschende Bestimmung auf die Verhältnisse der übrigen Gestalten ausüben, in- dem die letzteren leicht in das Bild eingezeichnet
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Zeichnung der KrysiaUfarmen. Cap. IL 429
werdlen kSniien, sobald nur die ersteren gexeichnet sind. Soll X. B. die bekannte Combination des Blei- glanzes O.oo0ac.oo0.20 gezeichnet werden, so macht man nicht mit O oder ooOoo, sondern mit 20 den Anfang, zeichnet darauf die FlAchen von ooOoo, und trägt nun mit I^ichtigkeit die Flächen der vorherr- schendsten Gfestalt O und der untergeordneten Gestalt ooO ein. Soll dagegen die Combination des teträä-
drischen Kupferglanzes — ^.ocO.~.-^ gezeichnet wer- den, so fängt man mit der vorherrschenden Gestalt
202
— ^— an, und zeichnet die übrigen Gestalten nach der
Reihe ein, wie ihre Zeichen auf einander folgen. Wäre
aber in derselben Combination das Tetraßder -^ nicht
entlmlten, so wird die Zeichnung schneller und rich-
tiger gefertigt werden, wenn man mit -^ den Anfang
macht, weil die Flächen der übrigen Gestalten eben 80 leicht nachzutragen sind wie vorher^ die kleineii Kanten aber, welche in den stumpferen trigonalea Ecken des Deltoiddodekaäders zusammenlaufen, da- durch am leichtesten und sichersten construirt wer- den, dass man diese Gestalt zuerst zeichnet. Ueber- hanpt hat der Umstand, ob und welche eigenthfimli- che Kanten der untergeordneten Gestalten vorhanden sind, einen grossen Einfluss auf die Wahl derjenigen Gestalten, die zuerst gezeichnet werden soUea.
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430 . AngeuHzndie KrystaßograpJde.
Drittes Capitel.
Von der Zeichnung der tetragonalen Ge- stalten.
A, Asten wnd einfache Gtsi4ii^n.
$. 726. AxeavfMtfim der Gniodgeatalt.
Da die Hanptaxe und die beiden Nebenaxen deg Tetragonalsystemes eben so wie die drei Hauptaxen äei Tesseralsysteinss auf einander rechtwinklig sind^ so kann man Ton der Prcgectionsmethode der Uanpt- axen des Oktaeders, Ja^ mit Beibehaltung ^derselben Wertbe der Winkid i und c, unmittdbar vm der in Fig. 790 gefundenen Projection dieser Axen Gebrauch machen, um die Axen einer jeden tetragonalen Kry- staDreihe ihrer Lage nach richtig darzustellen. Weil aber die Häuptaxe der tetragonalen Grundgestalt P einen von den NTebenaxen verschiedepen Werth hat. Während in dem Bilde der Hauptaxen des OktalSdera ÜB 4rei Linien AA\ ME' und CC' nur unter Voraus« fte«2«ing ihrer in der Wirklichkeit Statt findenden Gleichheit richtig sind) so müssen wir, wenn B& und CÜ^ unterändert als die Nebencocen der Grund« gestak P beibehalten werden sollen, dfo verticale Hanptaxe AA'' angemmsen Terändern, «m das fibr dieve Ctrandgestlilt gSltige Yerbfthniss der Hanptaxe Mr Nebenaxe := a : l iMtvostellen. Bfan Mchi sn dem Ettde in der Proportion
1 : a = MA : x das vierte Glied ^, trägt diese Linie von M aus bei- derseits in die nöthigenfalls verlängerte Linie AA' ein, und erhält so zwei Puncto, welche die Pole der gesuchten Häuptaxe sind. Hierauf braucht man nur die Endpuncte der drei Axen durch gerade Linien xu verbinden, um die Grundgestalt P selbst darsustellen.
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Zeichnimg der KryBiall^ormen. Cap.IIL 431
Da bei der Zeichnnng der ditetragonalea PyraaB- ietk und anderer Gestalten dieses Systemes die Zwi« schenaxen zu berücksichtigen sind, so ziehe maa dorch den Mittelpnnct M zwei Parallelen mit den Mittelkan- ten der Gmndgestalt, welche mit denselben zum Darch* schnitte kemmen, nad in dieser ihrer Lage und Be- gränznng dieZwischenaxen der Gnindgestalt darstellen.
§. 727. Zfl&obmHig d&t GMtslten mlP^ stPa und m¥oo.
Soll iiigend eine Pyramide «P der Hanptreihe gezeichnet werden, so vervieK<igt man die Haupt- axe der Gmndgestalt nach dem CoSfficienten «, und erh< dadurch die Pole der Hauptaxe von «P, wel- che man nur noch mit den Eckpuncten der Basis zu verbinden hat, um die verlangte Gestalt selbst dar- zustellen.
Soll eine ditetragonale Pyramide mVn gezeichnet werden, so verlängert man die Zwischenaxen der Grundgestalt beiderseits, macht die YerlängeFung Je-
der Halbaxe = — —7 von ihr selbst, verbindet die
dadurch bestimmten Endpnncte derselben mit denEnd- poncten der Nebenaxen, und erhält so die Basis al- ler Glieder der nach dem CoSfificienten » abgeleite- tem Zwischenreihe. Hierauf bestimmt maa die Pole der Hauptaxe «mi, und verbindet dieselben mit den Eckpancten der Basis, wodurch die Cons^mction des verlangten Gestalt miPn vollendet vrird.
Soll endlich eine tetragonale Pyramide taPoo an« der Nebenreihe gezeichnet werden, so 1^ man durch die Endpnncte der Nebenaxen der Grundgestalt Par- allelen mit ihnen selbst, oder macht auch die Verlän- gerung der halben Zwischenaxen ihnen selbst gleich
(dann ^~l =B 1) und erhält so die Basis aller Py-
00-1-1 ^ ^
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432 'Angewandte KrystaUograpfue.
rfuniden der Nebenreihe: IBenraf bestinmit man die Pole der Haapiaxe und vollendet die ConstmctioB wie vorher.
f. 728,
Zeichnung der Sphenoide und Skaleno^er.
mP Soll das tetragonale Sphenoid — oder mS gexeich-
net werden, so bestimmt man zuvörderst in der Pro- jection des Axensystemes die Länge der Hauptaxe AA von mPy Fig. 804, legt hierauf durch die Pole derselben Parallelen mit den Zwisehenaxen der Grund- gestalt, und trägt diese Zwisehenaxen in ihre resp. Parallelen von den Polen der Hauptaxe aus nach bei- den Richtungen einmal ein. Man erhält so in jeder der Parallelen, als den horizontalen Polkanten des zu construirenden Sphenoldes, zwei Puncto C als die Eckpuncte desselben. Je nachdem man nun die vier Puncte C oder die, vier Puncto C^ durch gerade Li- nien verbindet, erhält man das verlangte Sphenoid in der einen oder andern Stellung.
Die Zeichnung der tetragonalen SkalenoSder grün- det sich unmittelbar auf die der Sphenoide, indem man die secundäre Ableitung derselben zu Hülfe nimmt
mP« Man reduoirt daher jedeafslls das Zeichen -^ anf
am
das Zeichen — 8*, und zeichnet zuerst das eingesohrie-
bene Sphenoid — S nach der so eben angegebenen Re- gel, wodurch die Mittelpuncte des verlangten Skale- noSders in beiden Stellungen gefunden werden. Hier- auf verlängert man die Hauptaxe des Sphenoides bei- derseits nach dem Co^fficienten m, erhält so die Pol- eckpuncte des SkalenoSders, welche man nur mit den
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Zekhnung der Krystattformm Qgp.III. 433
giefbiidenen BfittelpiuicteB zu verbinden braucht, um die Constmction lu vollenden.
f. 729. Zeiohnimg tetragonaler Pyramideii der driUen Art
Um eine tetragonale Pyramide von abnormer Flä- chenstellung — oder -j-TT" 2u«eichnen, entwirft
man zuvörderst nach der in $. 727 angegebenen Regel die ditetragonale Basis der Pyramide in9n, verlängert hierauf die abwechselnden Seiten derselben bis zu ih- ren gegenseitigen Durchschnitten, und erhält so die tetragonale Basis der verlangten Gestalt. Endlich be- stimmt man die Pole der Hauptaxe, verbindet selbige mit den Eckpuncten der Basis, und die Constmction ist vollendet.
§. 730. Zeichnung der tetrdgonalen Trapezoeder. Da die Polkanten der oberen oder unteren Hälfte
der tetragonalen Trapezoeder t-^-^t- oder i-~- die-
selbe Lage haben wie jene der gleichnamigen Hälfte
der tetragonalen Pyramiden der dritten Art - ^
/ 4llp41
oder —j so beginnt man ihre Constmction damit,
die obere Hälfte einer von diesen Pyramiden nach der Begel des vorhergehenden }. zu entwerfen, indem man sich zugleich diejenigen Puncto B ihrer Mittel- kanten notirt, in welchen dieselben von den Neben- axen geschnitten werden, Fig. 805. Da nun der Ab-
Stand der Mittelecke des Trapezoßders rf—^ von der
Ebene der Basis nach f. 240
ma{n — 1)
IL 28
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434 Angewandte KrystaUographie.
so nehme man in der oberen Hälfte ma der Haupt- kxe vom Mittelpuncte M aas den aliquoten Theil n — 1 »(« + !) wodurch sich in ihr der Panct D bestimmt. Dnrch diesen Panct lege man zwei, mit den Diagonalen der tetragonalen Basis parallele Linien, welche mit den Polkanten der Pyramide zum Durchschnitte kommen^ und die vier oberen Mitteleckpuncte JS bestimmeou Jeden dieser Puncto E verbindet man nun durch eine gerade Linie mit dem zunächst gelegenen Puncto £, verlängert dieselbe über B, und macht die Verlän- gerung BE^ = BEj so bestimmen sich die vier un- teren Mitteleckpuncte J^, worauf denn leicht die noch fehlenden diagonalen Mittelkanten und die Polkanten der unteren Hälfte des TrapezoSders gezeichnet wer- den können.
B. Combinationefi.
§. 731. Kantenaegmenta der Pyramide «iPfi in ihrer Comb, mit m'Pji'.
Für die Ausführung der Zeichnung binärer und mehrzähliger tetragonaler Combinationen sind die im ersten Oapitel angegebenen allgemeinen Regeln zu berücksichtigen ; was aber die Lage der Combinations- kante betrifft, so haben wir, wenn solche nicht gra- phisch nach der Vorschrift des §. 703 gefunden wer^ den soll, ihre Bestimmung von den Verhältnissen der Segmente abhängig zu machen, in welche die Kan- ten der einen Gestalt von den Flächen der andern geschnitten werden.
Es sey also die Combination einer ditetragonalen Pyramide mPn mit einer zweiten dergleichen Pyra- mide m'Pn^ gegeben , so wird jede Fläche JP* der er- steren von einer Fläche Ft der zweiten geschnitten.
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Zeichnung der Kry^tallf armen Cap.IÜ. 435
1) in den Kanten X und F, bei achtfl. Zusp. der Polecke ;
2) in den Kanten X nnd Zy bei vierfl. Zusp. der normalen Mittelecke;
3) in den Kanten Y nnd Z» bei vierfl. Zusp. der diagonalen Mittelecke.
Wir haben nun die, diesen drei Combinationser- sch^inungen entsprechenden Verhältnisse der Kanten* Segmente für mPn zu berechnen»
Wenn die Gleichung der Fläche F
ma n ^ ist, so sind die Gleichungen
! mit '
der Kante X Ima
I y = o ,
der Kante F <«ia ' n { y — z = 0
ix = 0
Nun sey die Gleichung der mit der F analo"^ lie- genden Fläche Fl in m'Vn'
-^ ^ y - + r = Ä
so werden die Coordinaten ihrer Durchschnittspuncte
(^), (y) und (z) mit den drei Kanten X, Y und Z'
folgende :
Für den Durchschnittspunct (;r):
mm'a(k — 1) , X = :-^ — '-T-^j oder x — »ia = — muz
m — «'Ä ■ . X z = 7- , oder z — 1 ==
2^^
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436 Angewandte KrystaUographie.
Für den Durchschnittspimct (y):
mm'a\n'(n^ i)k — n(n' + 1)] ^ ~ «•(» + IK — m'(»' + 1>
oder x — ma = ^ ^
»
z —y Fiir den Durch schnittspnnct (z): :r = 0
«i»-(A-l)
Durch Combination der Coordinaten der Puncte (:r) und (ji) mit den Coordinaten
x' = mtty / = 0, z' =s 0 des Poleckpunctes finden sich die am Pole gelegenen Segmente der Kanten X und Y wie folgt: S{X) = ^(x — maY^z^
n = ^«F, (I.22S)
Durch Combination der Coordinaten der Puncte ^4r) und (z) mit den Coordinaten
4r' = 0, / = 0, z' = 1 des normalen Mitteleckpunctes der Fläche F finden sich die an diesem Mitteleeke gelegenen Segmente der Kanten X und Z, wie folgt:
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Zeichnung der Krystallfornien. Cap.III. 437
s(X) = ^s' + iz — iy
^(/t-l/^rj^^^Z. (8.223)
Da nun die am diagonalen Mitteleckpuncte gele- genen Segmente von Y und Z Y-S{Y) und Z—2(ß) seyn müssen, so findet sich fSr die an diesem Mittel- eckpuncte gelegenen Segmente der Kanten Y und Z
-y'''— «'(«' + D» — m{n -H 1)»' -5(Z) - ^^3^,
|. 73?.
Kauteosegmente von «P» in ihren Combinaüonen mit den Abrigen
Gestalten.
Aas den Resultaten des vorhergeKenden §. lassen sich für die Combinationen einer ditetragonalen Py- ramide mP» mit den verschiedenen Gestalten dersel- ben Krystallreihe folgende Verhältnisse der Kanten- segmente ableiten.
1) Combination mVn,m'Vn' \ bei achtfl. Zusp. der Polecke:
bei vierfl. Zusp. der norm. Mittelecke:
2( JT) : S{Z) = m\n'-n)X : (m'-m){n + IK^ bei vierflL Zusp^ der diag. Mittelecke:
2) Combination «iPä.iwT; bei vierfl. Zusp. der Polecke :
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438 Angewandte Kryställographie. bei Ziisch. der diag. Mittelecke :
3) Combination mPn.mfVoo; bei vierfl. Zusp. der Polecke:
SiX}:2(Y) = M(n+l)—m'n:(m—myn + i} bei Zusch. der norm. Mittelecke: SiX) : S(Z) = «' : (m'—m)(n + 1)
4) Combination «iP/i.ocP»';
bei Zasch. der norm. Mittelecke:
S(X) : 2(Z) = n'—n : (»+ 1)»' bei Zoach. der diag. Mittelecke:
S(Y):2(Z) = n—n':(n'+i)H
5) Combination mPA.ocP;
-r(F):2'(Z) = 11—1:2» f>) Combinatioh mPü.ocPoo; 2(X):S(Z) = i:n+i
§. 733. KAnteDsegmente in den tetragonalen Pynumden mP und siPoo.
Die Kantenlinicn F versch\<^inden als solche in den tetragonalen Pyramiden mP, ni|d erscheinen niir noch als die Höhenlinien ihrer Flächen ; dasselbe gilt für die Kantenlinien X in den Pyramiden siPoo. Wir würden also die im vorhergehenden §. gefdndenen Re- sultate auch für die binären Combinationen dieser Pyramiden benutzen können, indem wir für |ede Comb. wP.ffi'Pyi' statt der Segmente .von F, und für jede Comb. ffiPoomT»' statt der Segmente von X die Segmente der resp. Höhenlinien berücksichtigten. Allein es ist jedenfalls vortheilhafter, die Lage der CK. auch für diese Gestalten unmittelbar durch die Kantensegmente zu bestimmen, weil man dadurch der Einzeichnung jen^r Höhenlinien, als acht ganz überflüssiger HüUs- linien, überhoben wird.
Für diejenigen Fälle jedoch, da die untergeordnete Gestalt mT«^ eine vierfl. Zusp. der Mittelecke de^ te-
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Zeichnurtg der Krystallformen. Cap.III. 439
tragonalen Pyramide bildet, dienen uns unmittelbar die för die Comb. mPH.m'Pn' gefundenen Verhältnisse, indem wir nur statt Z überall 2Z zu schreiben ha- ben , weil je zwei Mittelkanten von mlfn eine Mittel- kante von mP oder m¥oo bilden.. Es sind daher nur für den Fall einer achtflächigen Zusp. der Polecke die Segmente der Polkanten von mP und^Mpoo zu berechnen.
^ Es sind in «fP die Gleichungen der Polkahle X\ Fig. 806,
— -1-^ = 1, und z = 0
in «fPoo die Gleichungen der Polkante Y\ Fig« 807^
jf =3 1, und y + z = 0,
Combinirt man diese Gleichungen mit der Glei- chung der Fläche ^i von «iTj»^
^ + v + ' = '
so erhält man für den Durchschnittspunct (jc^) ^ie Coordinaten :
ma — X =s may
^ (m — m'ky
2: = 0 und for den Durchschnittspunct (y^) die Coordinaten ma — a; = — may
— (^— »>'*K ' ~ [m'—m)n'—m'
z = -y Da nun die Coordinaten des Poleckpunetes von mPm x' =s •!«, / = 0, z' = 0, so wird . ,
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440 Angewandte KrystaUographie. and S(r) = »^(fl»«— d7)* + 2y» = yK«»*a» + 2
§. 734.
KanCemegmeiite von mP io ihren Coonbb. mit den Abrigen €ie-
ttfldten.
Aus den Resultaten des vorhergehenden §. und des 9. 731 erhalten wir nun folgende Verhältnisse für die ' Kantensegmente der Pyramide «iP in ihren Combb. mit den übrigen Gestalten:
1) Combination i»P.fli'Pii'; bei achtfl. Znsp. der Polecke :
S(X) : 2'(X0 = mn' —m' : («— «>i' bei Tierfl. Zusp. der Mittelecke: . S(X) : I(2Z) = m\n'—i) : («•'—«>
2) Combination mPjt^'Poo; bei vierfL Zusp. der Polecke:
2(jr):r(Jr) = mim-^m' bei Zusch. der Mittelecke: S(X) : 2(2Z) = m' : m'—m
3) Combination tsP.ocP//;
S{X)i:S(2Z) = n'^iin'
§. 736. KantenMgtaente von mPoo in ihren Combb. siit den Abrigen Ge- stalten.
Eben so ergeben sich aus den Resultaten der {f. 733 und 731 folgende Verhältnisse für die Kanten- segmente der Pyramide mPoo in ihren Combb. mit den übrigen Gestalten : 1) Combination «i P^o.si'Pii' ; bei achtfl. Zusp. der Polecke:
S^Y): -5(y0 = (ji,_«,>'— «' : («»_«>' + «' bei vierfl. Zusp. der Mittelecke: S(Y):S(2Z) = 2m':(m'—mX + m'
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Zeichnung dtr KrystaUformen. Cap. JJL 441
2) Combination «iPoc.mT; bei vierfl. Zu^sp. der Polecke:
bei Zufiich. der Mittelecke: S(Y) : S{2>Z) = 2m' : 2m'~m
3) Combination 0iPcx>.(X)Pj»^;
S(Y):S(2Z) = 2:»' + l
§. 736. Kantenaegmente der durch DP begräosten Prinaeo.
Wollen wir auf gleiche Weise die Kantenaegmente der Prismen ooPn, ocP and ooPoo bestimmen » nm jede mit ihnen combinirte Pyramide leicht einzeich- nen zu können, so müssen wir diese Prismen durch die basische Fläche terminirt voraussetzen.
FürooPii.OP findet man die Lage der CK. mitmTn'^ anmittelbar ans den Coordinaten x der Durchschnitts- puncte (jr) und (jr) der Combination mPm.m'Pn\ indem man eine dieser Coordinaten = 0 setzt. Sind näm- lich je zwei Flächen von m'Pn'^ auf eine normale Sei- tenkante von ooPii aufgesetzt, so ist n' > n; setzt man nun für den Punct (a;) ^ = 0, so folgt ü = 1
nnd die Coordinate a; des Durchschnittspunctes in der Kante Y erhält den Werth
Sind dagegen je zwei Flächen von m^Pn^ auf eine diagonale Seitenkante von ooPn gesetzt, so wird it^ < it ; setzt man nun für den Punct (jf) ^ = 0
so folgt k == ^^^^^
und setzt man diesen Werth von k in die Coordinate
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442 Aiigeu>andte KrystaUographie.
s des Panctes (^), so erhält diese Coprdinale den Aosdruck
Hieraus ergeben sich, unter' der Voraussetzung, dass man die horizontalen Endkanten der Prismen (die Seiten ihres Querschnittes oder der Basis OP) Jedenfalls ganz nimmt, für die abwärts zu nehmen- den Segmente in den Seitenkanten X oder Y folgende Grossen.
Combinationen des Priilmas ooPm;
1) Combination ooPä,OP.«'Pii';
wenn die Flächen der Pyramide auf dto normalen Seitenkanten angesetzt sind, oder wenn n^'^»:
^W - T'Cn + l)" wenn die Flächen der Pyramide auf die diagonalen Seitenkanten angesetzt sind, oder wenn n^^ni
2) Combination (X>P»OP.«i'P;
5-/ TTN m*a{n — 1)
^^~ »+1
3) Combination ooPA.OP.mToo.
^(X) =
n+l
Combinationen des Prismas ooP; hierbei ist zu berücksichtigen, dass die Endkante = 2Z; 1) Combination ooP.OP.mPii,
3) Combination ooP.OP.mPcx),
^{X) =r ma
Combinationen des Prismas ooPoo; die Cndkante ist gleichfalls = 27;
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Zeichrmng der Krystaüformen. Cap.IV, 443 i) Combination ccPao.OP.i»Pji|
j(r)=r ^
2) Combination ocPoo.OP.mP, . ^(F) = 2ma Mittels dieser Resultate wird es jedenfalls leicht seyn, die Combinationskanten irgend einer binären holoedrischen Combination richtig einzutragen, sobald wir eine der beiden Gestalten projicirt ist.
Vierfes Capitel.
Von der Zeichnung der hexagonalen Ge*
stalten.
A, Axen und ei^fmche G0$talimt. 1) Holoedrische Geitalten.
§. 737. Projecüon des Axensysteoies.
Man konnte zwar die Projection der Axen einer hexagonalen Krystallreihe auf ^e Projection d^r Axen desOktaäderft gründen; allein es scheint vortheilhaf- ter^ eine unabhängige Projectionsmethode zu besitzen, in welcher sich die etwa nöthigen Veränderungen der Elemente unmittelbar vornehmen lassen, ohne erst auf die Projection eines andern Axensystemes Rück- sicht nehmen zu müssen. Dazu gelangt man leicht auf folgende Weise.
Man denke zuvörderst das Axensystem in auf- rechter Stellung, und nenne wie bisher die Ebene durch die Hauptaxe und das (unendlidi entfernte) Auge die Gesichtsebene, die auf der Gesichtsebene rechtwinklige Ebene durch die Hauptaxe die Pro- jectionsebene, und die durch die drei Nebenaxen
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444 Angewandte KrystaUographie.
gehende Ebene die Horizontalebene. Bringt miui nun das Axensystem in die Nprmalstellang, und das Ange in die Horizontalebene, so kann bei dieser Wahl der Elemente das Bild des Axensystemes nur sehr ungünstig ausfaUeUi weil die Projectionen zweier Nebenaxen zusammenfallen, während die Projection der dritten Nebenaxe als ein Punct erscheint. Wir haben daher zuvörderst durch eine Drehung des Axen- systemes ans der Normalstellung eine Absonderung der Endpuncte der N^ebenaxen, und dann durch eine Elevation des Auges über die Horizontalebene eine Absonderung der Nebenaxen selbst im Bilde zu ])ewerkstelligen.
ich will die auf den Beobachter zulanfende Neben- axe mit I, die links gelegene mit H, und die rechts gelegene mit III bezeichnen. Man drehe nun das Axensystem um seine Hauptaxe so lange von der lin- ken nach der rechten, bis dem in der Horizontalebene befindlichen Auge die Projectionen der Axe I und der Axe n in dem Verhältnisse von 1 za 2 erscheinen. Dann wird auch die Projection der Axe III ==: 3, und folglich das Verhältniss der Projectionen I:II:in = 1:2:3
Es ist nämlich für jeden Declinationswinkel 8 die Projection der Axe 1 z=i iini n = tin((Xf—8)
m^$%H(w+s)
Da nun allgemein
#•»(60^ + *) = iin{(^ — *) + $in S so wird, wenn wir S so gross wählen, dass genau
$in{W — i) = 2smd nothwendig aach
tin(iSff + d) == 3tiHif Ans diesen Voraussetzungen folgt übrigens cotif = öj/J-, and $iHd =& |/y*g also . J =r 19^ 6' 24*
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Zeichnung der Krystattß^men. Ctsp.IV. 445
Ifierdnrch ist die Slellang des Axensjstemes ge* gen die Projecü'onsebene bestimmt.
Wiewohl aber jetxt im Bilde ^iö sechs Endponcte der Nebenaxen gesondert hervortreten, so erscheinen doch diese Axen selbst noch immer in der Horizon- tallinie, so lange das Auge in der Horizontalebene Terharrt. Wir müssen daher, nm anch die Axen im Bilde gesondert zu erhalten ^ dem Auge eine Eleva- tion ober jener Ebene geben, wodurch dieEndpuncte der Nebenaxen eine Abweichung über oder nikter dm Horizontallinie erhalten. Wie gross oder wie klein aber auch der Elevationswinkel e des Augea gewählt werden mag, so werden sich die respectiven Abweichungen der Endpuncte der Nebenaxen im Bild^ jedenfalls verhalten wie ihre wirklichen Abstände Ton der Projectionsebene; es sind aber diese Abstände für die Nebenaxe I = eo$S
. . . . n = co9im'—s)
. .' . . 111 = cM(60° + tf) Da nun auch eo$i = F^l — tin^S = 5/jV eo<60^ — J) = Vi — iiin^i=^ ^A
cqmOqQP + S) = H—^iiH^i = ^4w so erhält man das Resultat, dass sich im Bilde die Abweichungen der Endpuncte der Nebenaxen unter, oder über die Horizontdlinie bei jeder Elevation des Auges verhalten
Abw.I : Abw.n : Abw.ni = 6:4:1 Man gebe nun dem Auge eine solche Elevation,
dass die Abweichung der Halbaxe I = — ihrer er- sten Projection/oder dass
eott = siangi =s 5#/i Es scheint im Allgemeinen am vortheilhaftesten, # =s 2 zu wählen, wodurch sich
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446 jingewandte KrystallograpTde.
bestimint; lüiiuiit man dagegen t = |^, so wird € = ir 18,5'
8. 738. Fortfetsung.
Ajig den Bestmimangen des Torhergehenden ). er- giebt sich nnn folgende Regd ffir die Projecdon des hexagonaien Axensystemes.
Aufgabe. Das hexagonale Axensjstem fnr die gegebene Breite 2b des Bildes and anter der Yoraos« setzang gleicher Länge der Haaptaxe mit den Neben- ax^n zu constrairen.
A n f 1 o 8 u n g. Ziehe zwei sich rechtwinklig schnei- dende Linien Fig. 808, nnd trage in die eine, als Ho- rizontallinie, beiderseits vom Mittelponcte M aus die Länge MH = MR = b. Theile hierauf die HR in sechs gleiche Theile, und lege durch ihreTheil- und Endpuncte die Hülfsverticalen 1, 2, 3, 4, 5, 6. In der äassersten Yerticale rechter Hand nimm abwärts
von R die Länge i{iS = — &, ziehe die SJU und ver- längere solche über JÜf, so ist ihr zwischen den bei- den Verticalen 3. und 4 enthaltener Theil YV die Projection der Nebenaxe I.
Durch Y ziehe eine Horizontale, welche die Yer- ticale 1 in T schneidet; diesen Punct T verbinde mit dem fünften Theilpuncte Q der Horizontale durch die TQy welche die Yerticale 2 in dem Puncto Z, die Yerticale 4 in dem Puncto P schneidet. Ziehe die ZM und verlängere sie über Mj so ist ihr zwischen den beiden Yerticalen 2 und 5 enthaltener Theil ZZ^ die Projection der Nebenaxe II.
Durch P lege eine Horizontale, welche die Yerti- cale 6 in (7 schneidet, ziehe die UM und verlängere sie über 3/, so ist ihr zwischen den beiden Yertica-
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Zeichnung der KryBtaUf armen. Cap.IV. 441
len 1 und 6 enthaltener Theil XJV die Projection der Nebenaxe III.
Um endlich die Hanptaxe, unter der Yorans- setxung gleicher Grösse mit jeder der Nebenaxen^ zu oonstmiren, bedenke man, dass
J!f27= coKSCr — J) oder = #101(60** + S) Konnte man also in der Yerticale 1 von fl ans eine Linie WY constmiren , so dass .
JTF = «»(30** — S) oder = coi(60** + S) so wäre MV die gesuchte Länge der halben Hanpt- axe. Nan ist aber ^
tiniSXf + S) : co^ÖO*^ + <J) = 3|/3 : 1
= 3 : tangW
Man constniire also über der oberen Hälfte der Verticale 2 von N aus mit einer beliebigen Länge Nh ein gleichseitiges Dreieck, dessen eine von N auslaufende Seite die Yerticale 1 in dem Puncto F schneidet, so ist HF der gesuchte Sinus; denn für HiV = 1 ist ISLIf = 3, und HV = j4 = tang3(f. Macht man also MX = MX' = ÜÜF, so istXi:' die Projection der Hauptaxe.
Anmerkung. Wählt man $ = f/S, so verein- facht sich die Construction , und die Basis YZU er- scheint etwas V(reniger verkürzt. Nachdem .nämlich die HB in sechs Theile getheilt, und die Hülfsverti- calen gezogen worden, beschreibt man über der un- teren Hälfte der mittelsten Yerticale von M aus mit einer beliebigen Länge ein gleichseitiges Dreieck, dessen eine von M auslaufende Seite die Yerticale 4 schneidet, und so den Ponct Y der Nebenaxe I bestimmt. Die Construction der beiden andern Ne- benaxen geschieht wie vorher; der zur Bestimmung der Hauptaxe erforderliche Punct V aber findet sich, indem man durch jPf eine Parallele dec FF" legt.
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448 'Angeutandte KryftaUograpMe.
«. 739. Zdchnukig der Grandgestalt P einer hexagonalea KrystaUreibe. So wie jetzt koiinen die vier Axen XJCj YV^ XZ' und UV' nur dann im Bilde Erscheinen, wens sie in der Wirklichkeit einander alle gleich sind; da nnn aber diese Gleichheit nur für die drei Nebenaxen gilt, w&hrend ü^ Hanptoxe einer gegebenen Grand- gestalt P zu den Nebenaxen derselben in dem Ver- hältnisse = 11:1 steht, so darf man nnr den Neben- axen ihre im Bilde erscheinende Grosse lassen, der halbej^ Hanptaxe dagegen die Grösse 3tA ertheilen, wie solche durch die Proportion
l:a = MXiMA bestimmt wird, um in der Linie AA^ die wirkliehe Länge der Hauptaxe der verlangten Grandgestalt P darzustellen.
Hierauf verbindet man die Endpuncte der Neben- axen mit einander, so wie mit den Polen der Haupt- axe durch gerade Linien, und die Projection der Grundgestalt P ist vollendet.
Da man für die Construction der dihexagonalen und anderer Gestalten die Zwischenaxen der Grund- gestalt n5thig hat, so sind dieselben in die Basis einzuzeichnen. Zu dem Ende lege man durch Jf drei Parallelen mit den Linien durch Y und U^ ll und Z\ Z* und y, welche ihrer Lage nach die Zwischenaxen allgemein, und, ihrer Grösse nach, wie sich solche durch die Durchschnittspuncte mit den^Seiten der Ba- sis bestimmt, die Zwischenaxen von P insbesondere darstellen.
§. 740. ZelcknuDg der Pyramiden »iP, st?» und-mP^.
Nachdem die Grundgestalt gezeichnet worden, ist die Construction irgend einer andern holoedrischen Gestalt derselben Krystallreihe eine sehr einfädle Aufgabe.
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Zeichnung der Krystallformen. Cap.IF. 449
Für eine Pyramide «fP der Hanptreilie vervielföl« tigt man die HaopCaxe Ton P nach dem Co^flicien- ten jw, und erhält so swei neue Endponcte derselben, welche ndt den Eckpancten der Basis von P verbun- den werden müssen, um das Bild von mP zu erhalten.'
Soll eine dihexagonale Pyramide mPn construirt werden, so hat man zuvörderst jede halbe Zwischen- axe der Grandgestalt, so wie sie im Bilde erscheint,
um ~^ ihrer selbst zu verlängern, wodurch die
» + 1 o ^ ,
diagonalen Mitteleckpuncte von «Pn bestimmt werden. Diese Puncto verbindet man mit den Endputicten der NebenaXen , und erhält so die Projection der dihexa- gonalen Basis aller nach dem CoSfißcienten n abge- leiteten Gestalten. Endlich bestimmt man die Länge der Hauptaxe, wie vorher, und vollendet die Con« stmction der Gestalt.
Für «tP2 verlängert man jede halbe Zwischenaxe um k ihrer selbst (oder legt auch durch die Endpuncte jeder Nebenaxe zwei Parallelen mit derjenigen Zwi« sckenaxe, welche auf ihr rechtwinklig ist) und er« hält so die* Basifi aller Gestalten der Nebenreihe, be-» stimmt hierauf die Hauptaxe, und vollendet die Con« strttction.
2. Hemiedrisclie Crettaltem
i 741*
2eiciindtig ^er fthombo^ejf^ etsUs Ver&hi^fi.
6ei der Construction der Rhomboäder und Skale-*
ttoSder als hemi^drischer Gestalten kann man von
Kwei verschiedenen Gesichtspüncten ausgehen; ent-^
Weder will man diese Gestalten iii ihtem Wahren Stel-*
längs - und Gifdssenverhältnisse zd den resp. Mutter-
gestalteu) oder man will sie ausser Beziehung zu die-'
seil letzteren darstellen. Im ersteren Falle muss die-^
selbe Projection des Axensystemes zu Grunde gelegt
IL 29
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450 Angewandte Kry^tallogrc^hie.
werden, wie far die holoedrischen Gestalten; ha zwei- ten Falle kann man sich einer etwas corapendidsefOB Methode bedienen, welche znmal unter einer gewis- sen Yoraassetznng sehr schnell sam Ziele gelange« iässt. Da es Tortheilhaft ist, das in beiden Fällen Bdthige Verfahren zn kennen, so wollen wir uns zu- nächst mit demjenigen Verfahren beschäftigen, wel- ches befolgt werden muss, wenn die RhomboSder und SkalenoSder in ihrem richtigen Verhältnisse zn ibren resp. Muttergestalten (z. B« auf derselben Tafel ne- ben denselben) dargestellt werden sollen.
siP
Aufgabe. Das BhomboSder -^ oder «tu zu con-
struiren.
Man beschreibe nach der zu Ende des yorherge- faenden §. angegebenen Regel .die Basis der Crestalten der Nebenreihe ; es sey dies E. ,.Ey Fig. 809. Duroh die sechs Eckpuncte JS derselben lege man Vertica- len (Parallelen der Hauptaxe) , nehme hierauf in der Hanptaxe beiderseits von M aus die Länge ma =s 3iÄ 3s MA\ in jeder der Verticalen aber beiderseit» Ten E aus die Länge ^ma = EF= EF'y so sind die mr Construction des RhomboMei*8 mR erford^rlichei^ Puncte gefunden. Je nachdem das Bhomboedet in der einen oder in der andern Stellung, als mR oder als — mR gezeichnet werden soU, verbindet man entwe- der die sechs Puncte F, oder die sechs Puncte F^ un- ter einander und mit den Pnncten A und A^ durch gerade Linien^ und erhält dadurch das verlangte Bild.
8- 742.
Zeichnung der Rhomboßder; zweites VeiiiJireo.
Will man die Bhoraboäder und SkalenoCdcfr aus*, s e r ihrem Verhältnisse zu den holoedrischen Gestal- ten darstellen, wie dies bei den gewöhnlichen Zeich« nungen der Krjstallformen einer rhombo^drischen Krj*
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Zeichnung der krystallforinen. Cap. IV. 451
stallreihe gestattet ist, so kann man kürzer zum Ziele gelangen, indem man die Linien Fy, ZZ\ UV in Fig. 808 ak die Zwischenax^n der Pyramiden der Xe- benrejhe, nhd daher die Figur YZUTPU' als die hexagonale Basii^ dieser Pyramiden beürachtet. Diese* Ansicht setzt freilieh einen andera Declinationswin- kel des Axensystemes und ein anderes YerhältniSi^ der Dimensionen voraus, erleichtert aber die Con- struction bedeutend. Der Declinaüonswinkel wird nämlich
i = 10* 53' 36^
und setzt eine Drehung von rechts nach links vor- aus, d. h. die der Gesichtsebene am nllchsteh liegende Nebenaxe befindet sich' jetzt linkei^ Hand, während sie sich der Constrticf ion des §. 738 zufolge rechter Hart(f Tou der Gesichtsebene befand. Ferner sind die Li* nien MT^ JftZ, JUU jettt nicht mehr = 1, sondern = )/49 und folglich die halbe Haup^ax^ ßlX ebenfalls s= |/4. Da ' wir liun die /halbe Hä^^taxe für un^rö Constructioneh in derjenigen Grösse zu Grunde legen ifaQssen, welche der Einheit entspricht, üo haben wif sie auf diesen Werth zu rednciren; dieif geschieht leicht, indeni man Ober der MX ein gleicfiseiti^es Dreieck beschreibt, und in selbigem die Höhenlhile aus M zieht; sie sey MG, so ist MG die auf den Werth = 1 redncirte halbe Hauptaxe, welche den ferneren Constructionen zu Grunde liegt
Soll nun ein llhombo^der mR constriiirt werden, so sucht man in der Proportion
iima = iMGiMA die vierte Pro|roitionale, trägt selbfgtf hl die MX bei«^ derseits von M aus ein, nimmt darauf in jedei^ der Verticalen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 die Länge \MA von den Puncten K, 21 und U aus auf- und abwäWi^V ^^^ erhält auf diese Art alle zu¥ Constitactlon' des Rhon^« bMd^rs Mit IH beideii SfeUfingen erföl'derÜlchdii j^diicte.
29*
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452 Angewandte Krystallographie. §. 743.
Zeichnong der Rhomboeder; drittes Verfifthren.
Weil die Mittelkanten der RhomboSder und Ska- leno§der nicht in die Ebene der Basis von P fallen, und folglich im Bilde abgesondert hervortreten, wenn sich auch das Auge in dieser Ebene befii^et, oder wenn € = 0, so lässt sich die Construction des ror- h^rgehenden §. unter dieser Voraussetsnng bedeutend .vereinfachen, wie folgt.'
Aufgabe. Das RhomboSder mR für € = 0, d = lO"" 53' 36" und die gegebene Breite 2b des Bildes su constniiren.
Man ziehe eine Horizontallinie HB, Fig. 810, ma- che sie =2&, und theile sie in sechs gleiche Theile; durch die Theil •- und Endpuncte lege man Verticalen, und beschreibe aus dem Th^ilpuncte P mit PH einen Bogen, welcher die zweite Verticale in Q schneidet. Man nehme nun in der mittelsten Verticale MX = MX' = MQy so ist JTJT die Hauptaxe fBr a = 1.
Dies ist laicht zu beweisen. Die Linie MH ist nämlich die orthographische Projection einer halben Zwischenaxe der Basis der Nebenreihe, welche ge- gen die Projectionsfläche unter 10^ 53^ 36' geneigt ist; also
MB = ytyn = sy^ = st
daher auch
' JSTT = |/f , J!fT = |4 und, wegen des aus P mit PH =s PS beschriebenen Bogens,
QT = ^HTxST = |/f Da nun
UMQ = UMT + nQT so ist
jf a = 1
Diese einfache Construction ist nun die Grundlage Cor alle ferneren Zeichnungen.
Soll nämlich ein Rhomboi^det siiB gezeichnet wer-
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Zeichnung der Krystallformen. Caf.IV., 453
den, so ist dessen halbe Haaptaxe =i»a; man mache also MA = maXMX^=^MA^y so sind A und A^ die Poleckpnncte von mR. Weil nnn die Mittelecke um \ma fiber oder unter der Ebene der Bksis liegen, so nehme man in Fig. 812 MN = MIT = iMA^ und siehe darchiV nndiV zweiHorisontalen; ihreDurch- schnittspuncte E mit den sechs äusseren Yerticalen werden die Mitteleckpuncte von m/t. Je nachdem man nun das Rhombo^der in der einen oder andern Stel- lungy als mB oder als — mR darstellen will, Terbin- det man die sechs Puncto E oder die sechs Puncto E^ mit einander und mit den Pnncten A und A^ durc^ gerade Linien, wie es der Verlauf des Kantennetzes vorschreibt, und die Construction von mR ist vollendet. Anmerkung. Man kann sich auch bei der Con- struction der Rhomboßder nach der Regel des vor« hergehenden §. derselben Methode sur Auffindung der Hauptaxe a =? 1 bedienen wie in gegenwärtigem § , und braucht dann nicht erst den Punct V su bestimmen.
|. 744.
Zrichming der Skaloosider mlP*.
Die Construction der Skaleno^der ist Jedenfalls auf ihre secundäre Bezeichnung zu gründen, daher
man die etwa gegebenen primitiven Zeichen — - —
zuvörderst auf ihre secundären Zeichen nach der Gleichung
2 n
zu reduciren hat. Die Construction selbst ist dann sehr leicht zu bewerkstelligen. Man bestimmt näm« lieh die Eckpnncte des eingeschriebenen RhomboSders mR nach einer der drei angegebenen Regeln (je nach- dem die eine oder die andere der, diese Regeln bedin--
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454 Angewandte KrystaUographie.
g^ndj^n YpraassetzaBgea gehen ifoll), vervielfacht di^ PfiapUxe des Rbombo§ders nach dem CoSfficienten «, god f^rbilt po die Poleckponcte des Sk^lenoSders, yrfA- ^\ie ndit den Mitf eleckpuncten des flhomboMers, §o ^i^ 4iepe letzteren mit einander durch gerade Linien ver- hupd^n werden fnussen, um das verlangte Bild von ip/i" darzustellen.
f. 745. Zeichiran^ der hexa^nalen Pyramiden der dritten Art.
U|u eine hexagonale Pyramide von abnormer Flä- chenstellung, — '-— oder y-:7-? «^ xeichnen, ent- wirft man zuvörderst nach der in §• '740 angegebenen Regel die dihexagonale Basis der Pyramide mPii, ver- längert hierauf die abwechselnden Seiten derselben bis zu ihren gegenseitigen Durchschnitten, und er- hielt so die hexagonale Basis der verlangten Pyramide. Endlich bestimint mau die Pole der Hauptaxe, ver^ bindet selbige mit den Eckpuncten der Basis, und die Construction ist vollendet.
Zeichnung der hexagonalen Trapczoeder. Da die Polkanten der oberen oder unteren Hälfte
der hexagonalen Trapezoßder r-^ oder ^^ ^i®" selbe Lage haben , wie d^e Polkanten der gleichnami- gen Hälfte der hexagonalen Pyramiden -j —^ oder
— , so beginnt man die Construction der Trape-
fcoader damit, di^ obere Hälfte einer von diesen Py- ramiden nach der so eben angegebenen Begel zu entwerfen, indem man sich zugleich diejenigen Puncle B ^hreir Mittelkanten bemerkt, in welchen die3elhen von den Nebeoaxen geschnitten werden ; Fig. 811.
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Zekhmng d0r KrystaUfonnen. Cap.IK 45^
Da mm der Abstand der Mittelecke de« Trapeset^ 4er8 voD der Ebene der Basis nach |. 352
«11(11 ~i)C>-»)
so nehme man in der oberen Hälfte MA der Hgnptp axe vom Mittelpuncte M aus
n{n + 1) und lege durch den Punct D drei, mit den Diagona« len der Basis parallele Linien, welche mit den Pol* kanten der Pyramide zom Darchsohniete kommen, nnd so die sechs oberen Mitteleekpnncte E des Trapezo€» ders bestimmen. Jeden dieser Pancte E verbindet man nun durch eine gerade Linie mit dem zunächst liegenden Puncto J3, verlängert selbige über B^ und nacht die Verlängerung BhV = BE^ so bestimmen sich die sechs unteren Mitteleekpuncte E'^ worauf denn leicht die noch fehlenden diagonalen Mittelkan<p ten , so wie die unteren Polkanten des Trapesoßdeni gezeichnet werden können.
B) TeturtoSdriscbe Gestalten.
f. 747. Zeichniui(( der Rhomboeder ron abnonner Fläcbenstellung.
Um ein tetartoSdrisches Rhombo^der — -— zu zeich«
nen , construirt man zuvörderst die Basis der diiiexa- gonalen Pyrajnide mVn nach der Regel des §. 740, ver- längert drei abwechselnde Seiten derselben, bis sie zum Durchschnitte kommen , und verbindet die drei Dnrchschnittspuncte mit dem oberen Pole der Haupt- axe von mP. Die Verbindungslinien sind der Lage nach die oberen Polkanten des verlangten. Rhombo€- ders* Um dieselben auch ihrer Grösse nach zu be- stimmen , braucht man nur jede Verbindungslinie in drei gleiche Theile zu tbeilen; der unterste Theil-
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456 jingeuHindie KrystaOographie.
pnnet einer jeden bt einer der Mitteleekpnnete des RhomboMers, dessen Constraction dadnreh ToUendet wird 9 dass man dorch jeden der gefdndenen Mittel- eckponcte und doreh den unteren Pol von siP Pand* lelen mit sweien der obereren Polkanten legf.
i 748, ZdchDimf der RlKMBbo€4er ▼oa diagonaler FttcbeaaCeliiiiig.
siP2 Um ein RhomboSder —jr- su constmiren, xeiclinet
man erst die Basis der Gestalten der Nebenreihe, ver- Iftngert ihre abwecliselnden Seiten bis za ihren ge^ genseitigenDorcliscIinitten, und verbindet dieDdrcb-' schnittspunote mit dem oberen Pole der Hauptaxe 2muy so sind die oberen Polkanten des verlangten RhomboSders ihrer Lage nach gefanden. Die Be-i Stimmung ihrer Grösse, so wie die weitere Ausfuhrt mng der Constructioni ist ganz dieselbe wie im vor<i hergehenden f.
f. 749.
^Ichnang der trigonalen Pynuniden,
siP2 Die Construction einer trigonalen Pyramide -^
Ist tehr leicht; man seichnet nämlich die hexagonale Basis der Nebenreihe, verlängert die nbwechselnden Seiten derselben bis zu ihren gegenseitigen Durch- schnitten, und verbindet die Durchschbittspunete mit 4en Polen der Hauptaxe.
f. 750, SeicIuiQBg der trigonalen Trapeioöder.
Die Projection der trigonalen Trapespßder r— r-
jnPn
oder I .- lässt sich auf verschiedene Art ansfubreii. 4
1) Man kann dabei die, für die Rhombo6der von
nbnormer Flächenstellung gebrauchte Construction su
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Zeichnung der Krystattjormen. Cap. IV. 457
Grunde legen, indem man, nachdem die oberen Pol- kanten derselben ihrer Lage nach bestiiqjnt worden, in der oberen Hälfte der Hanptaxe vom Mittelpnncte ans den aliquoten Theil
(2i>-i)(2-ii) SU nimmt ({. 360) nnd durch den so bestimmten Punct der Hauptiixe Parallelen mit den Höhenlinien der tri- gonalen Basis legt, welche mit jenen Polkantenlinien xmn Durchschnitte kommen, und die drei oberen Mittel- eckpuncte des TrapezoSders bestimmen. Von jedem dieser drei PuQcte zieht man eilie Iiini^ nach 'dem zunächst gelegenen von denjenigen drei Endpuncten der Nebenaxen, welche in den Seiten der trigonalen Basis liegen,* verlängert die gezogenen Linien, und ^macht ihre resp. Verlängerungen ihnen selbst gleich, so bestimmen sich die drei unteren Mitteleckpuncte des TrapesoSders, worauf die Construction leicht zu vollenden ist
2) Hat man schon vorher das entsprechende hexi^-
gonale T^apezoSder r— ^ oder ^^-~ gezeichnet, so
Icann man dessen Bild benutzen, iim das Bild des .tri- gonalen Trapezoäders zu finden. Vergleicht man näm- lich die in §. 353 und §. 361 gefundenen Werthe der normalen Mittelkanten beider Gestalten, so findet man , dai^s die Mittelkanten der trigonalen ein Multi- ploni der Mittelkanten der hexagonalen TrapezoSder naqh dem Co^fficienten
(2i»-1)(i»4-l)
3(11-1)
sind. Man hat daher nur jede der abwechselnden
normalen Mittelkanten des hexagonalen Trapezo^ders
zu verlängern, die Verlängerung beiderseits
^«+»-^J
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458 Angewandt^ AryataUographi^
jhrfr telbsl xa macbeiif so sind die Mitteleckpniictt
.4m Tfftlp^oi^ders gefundeo.
3) Endlich kann man anch die Conitmctien anf dk
mPa der hexagonalen SkalenoSder -^ gründen, da die
ittPii Mittelkante Z jedes trigonalen Trapezo§der8 -^ ein
mPa Mnltiplum der Mittelkante des SkalenoSders —^ nach
dem Coäf&cienten 2h — 1 ist » wie sich aas der Yer- gleichmig ihrer in {. 33S und §. 361 stebendeii Werthe
«iPjh ergiebt. Hat man also das SkalenoSder -^ gezeich- net, so darf man nnr seine drei abwechselnden Mit- pikanten beiderseits verlängern, und jede ihrer resp. Verlängerungen = » — i von ihnen selbst machen, so sind die MitteleckpuQcte des Trapezoäders, und folglich alle Puncte gefanden, die zur Construction der Gestalt erfordert werden.
Diese letztere Methode wird in den meisten Fäl- len den andern vorzuziehen seyn, weil sie eine leichte und sehr genaue Losung der Aufgabe gewährt.
B, Comhinationen. 1) Ksat^nt0f«0ats der holaddrischen Gtstaltea.
f. 751.
Kantensegmente der hexagoualea Pyramide stP.
Da die dihexagonalen Pyramiden jedenfalls als un- tergeordnete Gestalten in den Combinationen auftre- ten, so wollen wir die Verhältnisse der Kantenseg- mente nur für die Gestalten der Haupt- und Neben- reihe aufsuchen. Wenn
^ + y + Z = l
ma ^
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Zeichnurfg 4er Krys(ql{fQrßfyfn* Cqp, IV. 4^
die Gleichung einer Fläche F der h^xagena)ea P|nra- mide mP, so sind
^ + z = 1, und y = 0 ffla
U « = 1 , und z =5= 0
die Gleichungen ihrer Polkanten X und X% und
^ = 0, y + z = 1 die Gleichungen ihrer Mittelkante Z. Es sejr nun
4- + y, + ^ = *
die Gleichung der Fläche irgend einer mit ftP cmIt binirten Gestalt m'9n\ Coinbinirt niaii diese Glei- chnng mit denen von JT, X^ und ^, jpa findet man die Coordinaten der Durchschnittspuncte (or), (^0 ^^^ (z), und aus diesen mitteis der bekannten Cooirdina- ten des PoleckpuQPtes upd der iMUtteiepkpuDcte von F die Segmente ihrer drei Kanten. Vergleicht man end- lich je zwei an demselben Ecikpuncte gelegenen Seg- jpeQte wil einander, so erh^t m^m für die rersobie«- denen Combinationen der Gestalt isiP, wenp jihrf halbe Mittelkante == Z ^es^txt wird, fol- gende Resultate.
1) Comblnation i»P.«^T»'; bei Bwdlfii. Zusp. der Poleoke :
-5(jr): J(jr) = (mi^ —vr^X\n\m—m')X bei Tinrfi. Zusp. der Mittelecke:
J( JT) : ^{Z) = m\n' — \)X : 2ii'(fli'— «i)Z
2) Combination i»P.mT2;
bei sechsfl. Zusp. der Polecke:
:^(X)\2{X') = {:im—m')Xv2{m—m')X
bei Zusch. der Mittelecke:
^{X) : 2{Z) = w'^: ^{m'—m)Z
3) Combination imP.cxPä';
iCX ) : J(Z) = (i|' ~ X\X : 2»'Z.
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460 Angewandte KryttaUografhie, 4) Combiaation mP.9oP2;
i 752. ¥airfiiMff <■>» der iMzagoMka Pyiaaide mP2.
Wenn di« Gleicbong einer Fliehe F der Pjra- ■ide aiPa
— + 4 + « = 1 aia ' 2 '
isty so folgen nu der Combination dieser Gleichung
mit den Gleichungen der beiden diagonalen Hanpt«
schnitte (f. 319) die Gleichungen ihrer Polkanten Y
and Vi
£ + 1^1, 5r-z^0
während die GlMchnngen der Mhtelkante
sind. Mit dieeen Gleichungen der drei Kantenlinien iftt nnn die Gleiohnng
der FlSche Ft sa eombuüren, nm die Coordinaten der Dnrchschnittfpnncte nnd, ndttels dieser letzteren, die Kantentegmente Ton mP2 in seinen Combinatienen mit mTh^ xn bestimmen. Führt man diese Rechnungen durch, und vergleicht dann je zwei an demselben Eck- puncte gelegene Segmente mit einander, so erhält man, wenn die halbe Mittekante = Z, folgende Verhältnisse der Kantensegmente von siP2 in Seinen verschiedenen Combinati<men : 1) Combination «iP2.«iTji^
bei zwöUH. Zusp. der Polecke:
S{ Y) : 2{ T) =s 3sw»'— 2si'(2»'— J) : 3»»'— 2si'(ii'+l)
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Zeichnung der KryataUformen. Cap.IF. 401
bei vierfl. Zusp. der Mittelecke: 2(F) : 2{Z) = «•'(2— »0 : 2m\n'+ i)—^m^
2) Combioation «iP2.«i'P;
bei sechsfL Zusp. der Polecke: S{Y)i2{V) = 3«i— 2«i':3«i— 4m'
bei Zosch. der Mittelecke: 2{Y) : 2{X) = «•' : im'—^m
3) CombinatioD mP2.ooPi»^
S{Y)i2{Z) = 2— ii':2(ii'+l)
4) Combination MP2.acP;
:f(F):2(Z) = 1:4
f. 7ö3, Kaotemegmente der Prisnea ooPit, ooP und ocPi.
Wir denken diese Prismen dorch die basische Flä- che terminirt, und setsen in dem Prisma ocPn die Mittelkante = Z, so werden die in den Kanten Y oder X von der Basis abwärts zu nehmenden Seg- mente folgende:
1) Combination ooPii.«iTi»'
wenn die Flächen Ton m'Vn' auf die diagonalen Sei- tenkanten gesetzt sind, ode^ wenn n^ <C.n\
wenn die Flächen von mTh' anf die normalen Sei- tenkanten gesetzt sind 9 oder wenn ft'^n;
2) Combination ocPn.üT
2(F):J(Z) = '^!ZI^:Z
3) Combination ooPii.m'P2
3(JD:J(Z) = ^^=^:Z Setzen wir in den Prismen ooP «nd ocP2 die halbe
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462^ Angeivandt^ Krysiallographie.
Seite ihrer Basis = ^, so erhalten wir folgende i(e- snltate für ocP:
1) Combination ooP.mPii,
2) Combination ooP.mP2,
2{X) : ^Z) :=imäiZ und endlich für die Cbmbinationen von (>^P2: i) Combinatioh otV2.m1fn,
S{Y):S(Z) = "^^l^"^^ : z
2) Combination ocP2.mP,
S(Y):2(Z) = ima:Z
2) Kantensegroente der Skalenoeder und Rhomboeder.
f. 754. Kantentfegmente des SkalenoSders ?^.
Weil in den rhomboSdrischen, wie in den meisten hemigdrischen Combinationen nicht nur heteropolare, sondern auch ainphipolare Combinationskanten Tor- kommen, so würden wir eigentlich auf beide Arten derselben Kücksicht nehmen müssen, wenn nicht die Lage der amphipoiaren CK. jedenfalls leicht durch Construetion zu finden wäre, sobald nur erst die he- teropolaren CK. bestimmt sind. Wir können uns da- her auch an gegenwärtigem Orte mit der Bestimmung dieser letzteren begnügen.
Wenn
ma n die Gleichung einer Fläche F des Skaleno^ers — --
ist, so sind die Gleichungen der drei Kantenlinien dieser Fläche die in §. 332 stehenden Gleichungen far JF, V und Z^ und die! Cooi^inaten ihrer Eckpum^te
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Zeichntmg der Kryatallformen. Cap.IF. 463
difif ebendaselbut gtefaend^n Coordinaten des Pdleck- punctes and der Mitteleckpnnete/ an X und T. End- lich ist die Gleichung der mit F analog liegenden^
Fläche Ft eines zweiten Skaleno^ders — - — ^ bei
gleicher Stellung beider Gestalten:
^ + 1^ + ' = *
tn a n Wir haben nun zuvorderst die Coordinaten der Dnrchschnittspuncte dieser Fläche mit den Kanten X, Y und Zj oder der Puncto {x) , (y) und {t) zu Be« stimmen.
Da wir in der Gleichung von Fi rechter Hand vom Gleicliheitszeichen die Einheit eingeführt haben, so folgt für (z)
4? = 0, y =a 0, z = 4 und allgemein für das Segment in Z 2(Z) = iZ Fiir die Puncto (x) und (y) erhalten wir die resp. Coordinaten durch Combination der Gleichungen von X und Y mit jener von Fi wie folgt: für (x):
z z=z — 2y SSat (y):
ma(n + 1) '
n ^
9 =
m'(n' + l)H—m(n + i)n'
Combinirt man die Coordinaten der Puntte (x) und (y) mit jenen de» Poleckpunctes , welche JP =s Ma, jf SS 0» Z SS 0
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464 Angewandte KrystaUographie*
naeh der Fonnel für R in f. 318 » so erhält man die am Pole gelegenen Segmente der Kanten X und Yf nämlich
^/yx 3nnXm' — m) -
-2(^ ) — 2[»'(2ii' — 1)» — «1(211 — 1)»'] ^ ^
^^^ ^ ~ 2[iii'(i»' + 1)» — «•(II + IK] und daher die an der Mittelkante gelegenen Seg- mente
^fY\ mX2-n')n^m(2 — ny ^
^{^) — 2lm\2n' - i)n - m{2n -r l)»! ^
H^; — 2[«i'(»' + 1)» — «(« + IK] ^
Da nan das Kantensegment in Z jedenfalls =7 2^
so erhalten wir folgende Verhältnisse der Kantenseg-
mP» mente in der Combination des SkalenoSders -^ mit
dem SkalenoMer — ^ — von gleicher Stella[ng;
1) bei sechsfl. Zosp. der Polecke:
X Y
2) bei Zosch. der Mittelecke ^ die Züschfl. auf die schärferen Pol- nnd die Mittelkanten gesetzt:
-i^JL; . -sci^; _ 2^^/(2»' - 1)11 - mi2n - l)ii'] ' ^*
3) bei Zosch. der Mittelecke , die Zuschfl. anf die stumpferen Pol- und die Bifittelkanten gesetst:
Setit man in diesen Verhältnissen statt n' die
Gr3sse -> — 7, so erhält man die Verhältnisse der
«iPn Kantensegmente von — * in seiner Combination nüt
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Zeichnung der Krystallformen. Cap.IF^ 465
dem Skalenoßdeir -^ — ^ — von verwendeter Stel- lung; nämlich: 4) bei sei^hsfl. Zasp» der Polecket
6) bei Zosch. der Mittdeeke^
i 755v feanteni^jnwnte des SkaleoDSders mÄ*.
Die Resultate des vorhergehenden §. grnndeh sich Ätif die primitive Ableitung ni|d Bezeichnung» und sind daher allgemein gültig, welche zwei Gestalten auch tnit einander combinirt seih mögen. Weil iedoch ge- wöhnlich die rhomboßdrishen Combinationen durdi die secundären Zeichen gegeben werden, so ist es sehr beqtiem, jene Resultate in einer diesen Zeichen ^inge- messenen Form au besitzen. Zu dem Ende haben wit
fer jedes SkalenoMer —
statt m die Grösse mn
einzufahren, Wodurch unsere Formeln so ttingestaltet Werden, dass sie sich auf die Combination des Ska*
lenoSdehi «iäP-^ == siB« beziehen»
Nimmt man diese Substitutionen vor, so erhält man fBr die Combinationen des Skalenoeders «B» mit den übrigen Gestalten folgende Verhältnisse der Kan* tensegmente:
1) Combination mī. m'ī* ; A) die Gestalten befinden sich in gleicher Stel- lung; dann wird
". 30
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406 jingeivandte KryatallogräphU*
bei fiechsfiL Zasp. der Polecke:
X Y
bei Znsch. der Mittelecke, die Siuscfafi. auf die schärferen Polk. und Mittelk. gesetzt:
bei Zusch. der Mittelecke, die Zuschfi. auf die stumpferen Polk. und Mittelk. gesetit:
2(y) , lim = .-(3„y.rA^.+t) ' *'
B) die Gestalten befinden sich in rerwendeter Stdlang; dann wird bei sechsfi. Zosp. der Polecke:
bei Zasdi. der Mittelecke:
2) Combination mR\m'R
A) die Gestalten befinden sich in gleicher Stel- lung; dann wird
bei dreifl. Zosp. der Polecke:
S{X) : 2(F) = ^^^gj— ij3:2i»' = «n3ii+l> — 4«' bei Abst. der Afittelecke:
B) die Gestalten befinden sich in verwendeter Stellung; ^ann wird
bei dreifi. Zusp. der Polecke:
S(X)'S(Y) ^ • lü
bei Abst. der Mittelecke:
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Zeichnung der Krystali/ormen. Cap.IF. 467
3) Combination mR\m'92i es ist bei sechsfl. Zosp. der Polecke:
bei Zaseh. der Mittelecke:
4) Combination «jB«ooÄ«'
5(r)::saz) = ^X_:^^
.S(lQ:5(^Z)«3^:iZ 6) Combination mR^.ooR
6) Combination mR\OB
f 766. KanteiMegniente de« RhomboM^n mtt.
Die Resultate des rorhergehenden f. lassen sieh unmittelbar für die Combinationen des IUiombo6ders mR in Anwendung bringen, indem man # = 1 setzt, tind in dem gezeichneten Bhomboßder die geneig- ten Diagonalen seiner Flächen conStruirt, wekhe die Kante Y repräsentiren ; nnter 2{Y) sind also die Segmente dieser Diagonalen zu Tersteben. 1) Combination mR.m'R"^ i
A) die Gestalten befinden sich' in gleicher Stellung; dann ist bei seebsfl. Zusp. der Polecke:
2{X) : S{Y) = 2«-«'(3«'— 1) * 4«-m'(3ii'+ 1) bei Zttsch. der Mittelecke, die Zuschfl. paarweis auf die Polk. gesetzt:
30» '
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468, Angewandte KrysttiUogtaphie.
bei Znsch. der Mittelecke , die Zuschfl. paarweüif auf die Flächen gesetzt:
B) die Gestalten befinden sieh in yerwendeter Stel^ Inng; dann ist bei sechsfl. Zasp. der Polecke:
X Y
^ S(X) : ^( J^) = 2m-m'(3«'+l) ' im^m'(ßn'-±) bei Znsch. der Mittelecke:
2) Combination mR. — «i^Jt bei dreifl. Znsp. der Polecke:
S(X):S(Y) = ^^ .:^ ^ y
bei Abst. der Mittelecke:
3) Combination mB.m'P2; bei sechsfl. Zasp. der Polecke:
bei Znsch. der Mittelecke:
4) Combination «lil.ooÄ»' ;
Was diejenigen binären rhomboSdrischen Combi- nationen betriffi, in welchen eine Pyramide fliP2 odor eines der Prismen die vorherrschende Gestalt ist, so gelten für sie die in den §{. 752 nnd 753 angegebe- nen Verhältnisse der Kantensegmente, nnd es ist nnr
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Zeichnung der Kryställformen. Cap.f^. 469
dUraiif SEU achten , dass maa die nach dem Gesetze der ihomboSdrischen Hemi^drie bestimmte Hälfte der Flächen der daselbst angegebenen m'Vn' und m'9 ein« zeichnet.
Fünftes CapiteL
Von der Zeichnung der r|iombischen Gestal«
tei^ und Combinationen.
f. 7&7. 94ch|iaiig der Qnmdgeitalt einer zhambiacbeii KrystaUreilie.
Da die drei Axen einer rhombischen Krystallreihe auf einander noch rechtwinklig sind, so kann man bei der Construction ihrer Grundgestalt von der Projection der Axen des Oktaeders in Fig. 796 ausgehen, weU diese das richtige Bild dreier, auf einander senkrech- ter Linien für den Dedinationswinkel d =s 18'' 26% und einen gegebenen Elevationswinkel € darstellen. Wäh«« rend aber die Axen des Oktaeders in dem VerhältT nisse der durchgängigen Gleichheit stehen, findet zwi- schen den Axen der rhombischen Grundgestalt P das
a h Verhältniss aihic. oder -^ : — : 1 Statt. Man lasfse
c c
also diejenigen der horizontalen Axen in Fig. 796, welche die Brachydiagonale der Gmndgestalt Torstel- len soll, unverändert, verrieUältige dagegen die an- dere horizontale Axe nach den Co^£^cienten — , und
die verticaie Axe nach den CoefRcienten —, so sind
c
die Axen der verlangten Gijundgestalt gefunden, de- ren Bild nun leicht zu vollenden ist.. — Wasi die Wahl der Brachydiagonale betrifft , so scheint es im Allgemeinen rathsam, die auf den Beobachter zulau-
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470 Angewandte JCrystallographie,
fcnde borizoalale Axe BB' alt solche la bettiuiiiieay wail dann die Makiodiagonale aiiok ihrer leheinbaren Länge nach im Bilde jedenfallft die gröBsere Linie itt, während nioht gehen das Gegentheil eintreten würde, wenn CC^ die Brachydiagonale vorstellen soll.
Die Sphenoide dieses Systemes werden ganz nach denselben Regeln gezeichnet wie die Sphenoide des Tetragonalsystemes.
f. 768, Zttcluiang der abgdeiteten Gestalten. Nachdem die Grandgestalt einer rhombischen Kry« stallreihe gezeichnet worden 9 ist die Zeichnung aller übrigen Gestalten eine sehr einfaehe Aufgabe , indem man nor die Constmetionen der Ableitung geum so um da« Bild der Gmndgestalt auszufahren hat, wie solehe um die wirkliche Grundgestalt im zweiten Capitel des vierten Absclinittes der reinen Krystallo- graphie vollzogen worden sind. Man Icaan dabei für jedes «Pn uad itiPn entweder unmittelbar die Verw hiltnisse
mm iniio
maibime
oder auch, zumal wenn n sehr gross ist, die Ver«
hältnisse
m . 1 — a ; 0 2 — c
n n
— a: — 6:e n n
einflihren, mittels welcher man die richtige Lage der
Kanten der Gestalten siP« und mP» erhält, und dar«
auf diese Kanten selbst leicht da eintragen kann, wo
sie in der Comblnation erseheinett sollen.
Ist einer der Ableitungseeöftcienten =»00, so sei<^
net man nur den Querschnitt des Prismas in der resp.
Coordinatebene , steht durch die Eckpunote dieses
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Zeichnung der KrystaUformen. Cqp. K. 471
Qnenchpittes Parallelen mit der Axe des Prismas, und die Construction ist Tollendet.
f. 759. Kantenaegmente ia 4ea CombioatioiieD rhomblfcher Gestalten.
Was die Zeichnaiig der, diombis^faen Combiaatio* nen betrifft, so ist es gewöhnlich am einfachsten, die Itage der Combinationskanteii ^aphisch za bestimmen; will man sie jedoch auch hier von den Verhältnissen der Kantensegmente abhängig machen, so dienen da« für folgende Bestimmungen.
Es sey gegeben eine Gestalt P durch das Yer- hältniss der Dimensionen a : & : c, und eine Gestalt V durch das Verhältniss der Dimensionen ot \V \c\ so sind fiir die in den Octanten der positiTon Halbaxen fallende Fläche von P die Gleichungen
der Kante X . . - - - F. .
|
X a |
+ |
b |
= |
If |
und |
z |
= |
0 |
|
z |
+ |
X |
— , |
1, |
^ |
y |
-- |
0 |
|
c |
a |
|||||||
|
f |
+ |
z c |
=£ |
ll |
- |
X |
= |
0 |
und für die analog liegende Fläche Ton P die Glei-p chungen derselbeii Kanten identisch mit den vor- stehenden, wenn a, h und c mit Accenten verse- hen werden.
Die Kanten Xund JP, Fund F% Zund ZT schnei- den einander, und bilden so die DurchschnitUpuncte (•^)» (y) und (s), deren Coordinaten folgende sind: fBr den Punct (^),
a^x = ^jy, !( = ~j.zv*'^ = ** für den Punot (y),
c "^ ac — a c
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472 Angewandte Kryt^aUogra^iie, für den Paac^ (2),
Man findet nun leicht die Kantensegmente , und hieir^uf durch Vergleichuoj; je zweier, an einem und demselben Eekpnnctei gelegener Segmente folgende Verhältnisse derselben:
%^ verhalten sich a^ P, bei vierfl. Zusjp. sei|ie£
Poleoke:
^i vierfl. Zosp. der makrod. Aütteleeke:
M ner4. Zosp. der brachyd. Mittelecke^
:S(K):l(Z) = -:^: *:^ cn'—c'a cV—c'h,
f. 760, FoTtfetsung.
Wir haben nnn die Resnltate des vorigen |. afa( Functionen der Ableitnngsoo€fficienten ansKudrficken, und von den |](in^ensioiien der Gnindg^stalt i|:4;<: uQabhäi^g zu machen.
A) die Gestehen sind gleichnamig, pnd i?war: ') J"akrodiagonal, also die Combinatio« ^pÄ, m^n\ dann ist das Verhältniss a\h\c mit «k» : n* : c
ini vertauschen; und es wird für mPn
1) bei vierfl. Zusp. der Pplecke:
mn — mTn m — m'
2) bei vierfl. Zusp. der makrod. Mitteleoke:
^(Jr):-f(Ä) = _^:£_:_?^ mn—mn' i|— »'
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Zteichmng der XrysfiiUfbrmen. Cap. V. 47S 3) bei TierflL Zasp.' der bracfiyd. Mittelecke: 2(r):J(Z)= ?^:i^
n) biachydiagonal, alio dio Combination wSfn^ wTSfn'^ dann ist
das Verhältniss a\h\c mit «la : A : no
%vl yertauschen, i]^nd et wird für v$n
1) bei vierfl. Zosp. der Polecke:
^(J)::F(F)=--i-,:--^Z_
2) bei Vierfl. Zotp. der makrod. Bütteleeke^
»• — m Hr — n .8) bei Tierfl' Zosp. der bracbyd. l\Ii(tele<&e :
M n — «in »—1»^ B) die Gestalten sind nngleichnanig, . nnd «war die Yocherrschende Gestalt: _
I) makrodiagonal, also die Combination mPh. . «l'Pll^ dann ist
das Verfaältniss a\h\c väi ma\nb\c - - r a'ib'xif • m'aibm'a au Tertanschen, und es wird für »ifti %) bei vierfl. Zasp. der Polecke:
2'(X)::f(F) = — :^:-^^
2) bei vierfl. Zusp. der makrod. Mittelecke:
2(X)::f(Z)=»-^;-^ 91 »-r-m nn -^ 1
n)_brachydiagonal, also die Combination ts^n. • w^Vn\ dann ist
das Verbältniss a\h\c mit ma : & : ac - • -. - a^\V\c' ' m'a\n*h\c zu vertauschen, und es wird fiir mPi»
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474 Angewandte KrystaUograpMe. 1) bei vierfl. Ziosf. 4er Foled^e;
2) bei yie^ Za«p. dcv braohyd. Mitieleokei
j(y):jr(Z)
m^n — m * «»'— 1
i 761, Kantensegmente ii| P und opP*
Da in den gewöhnlichsten Combinationen entweder die Grandgestalt, oder das Prisma der Haaptreihe die vorherrsohende Gestalt zu seyn pflegt, so ist es be- quem, die den Gestaltea P und ooP entsprechenden Verhältnisse der Eantensegmente besonders %nx Hand ya haben,
I) Combinationen der Grondgestalt.
1) Comb. VjnPn;
bei vierfl. Znsp. der Polecke ist ^
'^(Y)"'(X)-'i-«\Y'n-m\x bei yierfl. Zusp. der makrod. oder brachyd. MU- telecke ;
Die oberen Buchstaben gehen IBr mPn^ die untwen für mfn. ^
2) Comb. P.mfoo;
bei Zusch. der Poleoke ist
(Y)"'(X)— \¥'^ ** |X
bd Ziuch. der makrod. oder hraol^. Afittel- ecke:
^^]..^z,=\f,^z
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Zeichrmng der Krystalljormen. Cap. FL 41$
3) Comb. P.(»P»
bei Zosch. der makrod. oder braobyd. Mitteleeke;
n) Combinationen des Prismas ooP; denken wir das Prisma durch die Fläche OP begrenzt, und setzen seine Endkante =Z, so wird für I(Z) = Z das in der makrodiagonalen oder bracbydiagonalen Seiten- kante abwfirts zu nehmende Segment für die Combination OQp.mPi»
. fiir di«i Cambination opP.miPoq
^yx=«a
•
Sechstes Capitel.
Von der Zeichnung der klino^drischei^ Gestalten.
f. 762. Allgemeine Bemerkung,
Bei der Zeiobaung des KrystaUfonaen der drei kli. BoMrtsofaen KryslaUsysteme i^d im AUgemeiftta das Axensjr^tem des Oktaeders zu Grunde gelegt, mit des-« •eo Prc^ectioii daher folgende zwei wesentliche» Yer- ftiiderangen yorgenommea werden müssen;
1) die EiniBMchnuDg der schiefen Neigungswinkel der Axen;
2) die Reduction der Axen auf das Verhält&isg aibic der gegebenen Grandgestalt.
NaehAem diese beiden Fundamentakonstnietionen ToUeadel sind, ist die Zeichnung aller mdgUchen Cre-
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476 Angeu^andie KrysicUlographie.
stalten oder Theilgestalten einer klinoSdrisohen Krjt gt|dlr«|ie init Leipl|tigkei( zu iroll;[äehw9 weshalb die Angabe besonderer Beji^eln ganz überflüssig seyn würde. AUes, was in f. 758. für das rhombisefae %- stein gesagt worden, gilt unverändert anch für dift Constructionen in den drei klinoSdrischen Systemen, weil die dabei zu berü<dau[chtigenden Veriiältnuuie von dei^ scbiefen Neigungswinkeln de^ Axen gänzlich un<r abhängig sind. W^il man es jedoch zunächst immeic nur mit einzelnen Theilgestalten zu thun hat, so kommt auch auf die Zeichnung der vollständigen Py- ramiden weniger an, und die Lehre von der Zeich« Unng der kIino§drischei| Krystallformen wfbrde sidi fast nur auf die Regel beschränken, nach weldier jene beiden Fundaraentalconstructionen in der gegebenen Projection des Oktaeders vorzunehmen sind, wenn nicht noch die in diesem Systeme fast unentbehrlkh^i orthographischen Horizontal- und Klinodiagonalpro- jectionen einer kurzen i^rwähnung bedürfiten.
§.'763. Zeichnong der Axen einer Bkoiiokliao^drisclien Grondgestalt.
Die monoklinoSdrischen Gestalten lassen sich auf zwei verschiedene Arten ins Auge fassen, welche man als die Ansichten en face und im Profil unterscheiden kann. Wehn nämlich die Gestalt so gestellt wird, dass der kHnodiagonale Hauptschnitt auf den Beob* a^ter gerichtet ist, so vrird sie sich gleichsam en fyce präsentiren, während sie dagegen mdir im Profil erscheiut, wenn der orthodiagonale Hauptschnitt die Richtung auf den Beobachter hat. Diese Verschieden- heit der Ansicht wird in die Zeichnungen der Gestal* ten dadurch fibergetragen, dass man in der Projection der OktaSderaxen Fig. 796 entweder den Hauptschnitt AB AB oder den Hauptschnitt ACA€ zum klinodiago« naien Hboptscfanitte bestimmt. Da nun die Hauptaxe
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Zeichnung der Krysiallformen. Capi VL 47t
jedenfalls im Bflde Tertical erscheinen mnss, so wird bei der Darstellung eu face die Axe BW , und bei der Darstellung im Profil die Axe (Xi des Oktae- ders eine angemessene YerlLndertlilg ihrer Lage er- fahren müssen, damit sie im fiilde genau so gegen^ die Hauptaxe geneigt erscheint , wie es der, in der Wirklichkeit Statt findende Neigungswinkel der Klino- diagonale gegen die Axe fordert
A) Darstellung des durch den Winkel y und das Ver« hSltniss der Lineardimensionen 1:1:1 bestimmten Axensystemes enface.
Man nehme in der yerticalen Axe AA des Okta« Widers, Fig. 813, aufwärts Tön M aus die Qrösse
MA = MAXeoiy und in der horizontalen Axe BB rückwärts oder Tor* wärts Ton M aus, je nachdem im Bilde die schiefe Basis nach dem Beobachter zu, oder von ihm weg fallen soll, die Grösse
MB'^MB'p^iitiy Hierauf vollende man das Parallelogramin über MA' und MB\ ziehfe dessen Diagonale MD^ yerlän^ gere solche über Jf, und mache die Verlängerung ihr selbst g^eidi, so ist
^4 die Hauptaxe I DD die Klinodiagonalei ^ CC die Orthodiagonale einer monoklinoSdrischen Pyramide, für den NeigungS*» Winkel OP.ooPoo=i}^j und für das Yerhältniss der durchgängigen Gleichheit der Lineardimensionen.
Im Allgemeinen ist es Tortheilhaft, die schiefe Ba« sis nach Tom einfallen zu lassen.
B) Darstellung des durch den Winkel y und das Yer- hältniss der Lineardimensionen 1:1:1 bestimmten Axensystemes im PrdU.
Man ndime wiederum in der yerticalen Axe AA des - Oktaeders, Fig. 813, aufwärts Ton if aus die Grösse
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478 Ang6i4><mdte Krystaltographie.
tiiid in der horisoiitalftQ Axe CC nach linki xin M Ml die Grösse
vollende das Parallelogrmmm Ober MA" und JUC^ stehe dessen Diagonale EM^ veilingere solche über Jf) and mache ihre Verlängening ihr seibat ^Biob» so ist für das Verhftltniss 1 : 1 1 1
AA die Hauptaxe,
BB die Orthodiagonale,
EE die Klinodiagonale des rerlangten Axensystemes«
Hiermit wftre fSr beide Darstellnngtarten die e^> forderliche Winkelconstruction rollendet. Was nun aber das wahre Grossenverbältniss der Lineaidimai- aionen einer bestimmten monoklinoedriscfaen Krystall* reihe betriflft^ so ist solches allgemein dnrdi axbie gegeben, wo h die Klinodiagonale bedentet; man ver- wandle dieses Yerhältniss in
-T^^i^T oder — : — :! b h e c
lasse entweder die Klinodiagonale oder die Orlhodia*
gonale nnverindert, so wie sie jetst im Bilde er*
scheint, während man die Hanptaxe nach demCoSffi*
cienten -s- oder — • die andere Nebenaxe nach dem Co- * c
e b
«efficienten -?- oder— Tervielföltigt, so ist das richtige
Verhaltnisa der Liaeardimensionen der gegebenen Gmndgeslall im Bilde dargestellt.
1.764. ZMchnnag dtr Axeo einer diklino^drisclMn GnmdgeiteH.
In jeder diUinoSdrischenKrystallreilie sind ^ bel- aden yerticalen HanpcschtiitteL smf einander rechtwink- Kg, während sie Mde von dem basisehm Hanpt*
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Zeichnmig der KtyBtaUformeru Cap.Ft 479
•chnitte, und folglich auch die Hanptaxe von den beiden Nebenaxen unter achiefeli Winkeln geschnit- ten werden. Die Flächen ABAB nnd ACAC im Bilde der OktaSderaxen können daher wohl nodi die beiden verticalen Hanptschnitte, aber die Ltulen BB und CC nicht mehr die beiden Nebenaxen reprft«- sentiren. Um nun diese Nebenaxen ihrer Lage nach richtig einzutragen, so bestimme man ihre Neigungs« Winkel ß und y gegen die Hauptaxe (welche jedoch meist schon gegeben sind), tind nehme hierauf In der ▼erticalen Axe AA des Oktaddeni Fig. 813 aufwärts Ton Jf die beiden Längen
MA' = MAXcoiß
MA^^=MAXco9Y Was nun die Lage der Makrodiagonale betrifft, so scheint es im Allgemeinen vortheilhaft, die Ebene ACAC als makrodiagonalen tiauptschnitt zu bestim- men, weil dann das scheinbare Grössenverhältniss ih- rem wirklichen Verhältnisse angemessen bleibt. Man ndime also in der horizontalen Axe CC von M aus nach links die Grosse
MC = MCX9iny und in der horizontalen Axe BB von JU aus nach hinten die Grosse
MB'^MB>C9üiß Tollende die Parallelogramme über MA Und MB'y über MA^ und MC^ ziehe deren Diagonalen DM und BMy verlängere beide, und maclie ihre Verläogetua- gen ihnen selbst gleich, so ist für das Verhältaiss 1:1:1
AA die Hanptaxe,
DD die Brachydiagonsde,
EE die Makrodiagonale. Um nun aber diese Linien in ihrem wahren Gr5s- senverhältnisse axhic darzustellen, lässt man z. B. die Z)I>'miTerändett, und verrielfättigt die AA nach
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480 jingeufondte KrystaUographie*
dem CoSfficienteu — , die EE nach dem Co^fficienteii c
— , so ist das Axeils;st^m iet Verlangten diklin^Cdri^
«dien Grondgestah mtworfen;
i 765. Zftj^Hmmg der Axen dner tdklinoedcisdiea Gnndg<»tait. .
In einer jeden trildino§drisdien Sryfttallreilte bil-^ den diu beidien verticalen Hanptschnitte mit einander den Winkd A; weil nun in der Prqjection der Okta- ederaxen die Ebenen ACAC and AB AB rechtwinklig sind, so fragt es sich zuvörderst^ welche derselben ihre nrsprüngli^^he Lage behaupten ^ und welche sie verlassen soll, lün den Neigungswinkel ^ herzostelleni Im Allgemeinen scheint es vortheilhaflter, den aof den Beobachter zulaufenden (brachydiagonalen) Haüpt« schnitt ABABy Fig. 814, in unveränderter Lag^ zu lassen, und den Hauptschnitt ^CilC so weit zu dre* hen, als erforderlich ist, damit seine neue Projection dem wirklichen Neigungswinkel A entspreche. Zu dem Ende nehme man in der BB Von M ans vor- wärts die Grösse
MB'±=^ifB><cosA und in der CC von M aus nach rechts oder nach links (je nachdem der spitze Winlcel A rechts oder links erseheint) die Grösse
MC:==MCXi{nA vollende das Parallelogramm über Mß^ nnd MC^ nnd ziehe dessen Diagonale JlfD, so ist die Ebene ADA die richtige Projection des makrodiagonalen Haupt- schnittes, und die Linie üfD eine horizontale, der MB nnd MA gleiche Linie.
So wie jetzt diese Linien im Bilde erscheinen^ ist also die MA auf der MD sowohl als auf der MB noch rechtwinklig, während sie doch in der Wirk-
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Zeichnung der Kry^icLÜformen. Cap. VI. 481
lichkeit mit jener den Winkel y, mit dieser den Win- kel ß bildet. Man nehme ^o in der ÄA von M ans aufwärts die Grössen
MA = MAX coiß
MA" = MAX eo$y ferner in der BB von M aus vorwärts oder rfickwärts 0e nachdem der spitze Winkel ß vorn oder hinten liegt) die Grösse
MB' z^MBXiinß und endlich in der DD von M ans nach liiiks oder nach rechts (je nachdem der spitse Winkel y links oder rechts erscheint) die Grösse
MD' ^ MD X finy vollende die Parallelogramme fiber MA' itnd MB% über MA" und MD% aiiehe deren Diagonalen EM und JFMj verlängere solche übereil/, und mache ihre Ter« längerungen ihnen selbst gleich, so ist für das.Ver« hältaiss 1:1:1 .
AA die Hauptaxe
FF die Makrodiagonale
EE die Brachydiagonale der Krystallreihe. Um nun diese drei Linien in ih^ rem wahren Grössenverhältnisse aibic darzustellen» lässt man die eine, z. B. die EEj unverändert, und
vervielfacht die AA nach dem CoSfficienten ^, die
c
i^nach dem Coäficienten — , so ist das Axensystem
c
der verlangten triklinoMrischen Grundgestalt ent-* werfen.
f. 766. Combioationen der klinoSdrischeo KrystallfyiteiBe.
In den klinoädrischen Krystallsystemen fuhrt die graphische Bestimmung der Combinationskante meist eben so sclinell zum Ziele als die Bestimmung der« n. 31
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482 jtngpiJtxmdte Krystaüographie.
selben durch die Kantensegmente, unter welchen hier die Segmente der Intersectipnen der einaelen Tfaeit gestältten zu verstehen sind. Will man jedoch dabei die Verhältnisse der Kantensegmente zu Grunde le- gen, so hat man sich unmittelbar an die für das rhom- bische System gegebenen Resultate zu haken, wel- che in allen schiefwinkligen trimetrischen Axeosyste- men unverändert gelten. Uebrigens ist es bei der Zeichnung klino^drischer Combinationen rathsam, zu- erst den Inbegriff der vorherrschendsten Tfaeilgestal- ten zu zeichnen, und dann die untergeordneteren Theit- gestalten einzutragen, deren Lage sich meist durch den Parallelismus ihrer Combinationskanten zu den Kanten der vorherrschenden Gestalten bestimmt.
f. 767.
Horizontal- und KlinodiagOBalprojectibiieii.
Das richtige Yerständniss des ^Ides einer jeden mono-, di- und tri-klino^drischent^ombination wird durch Hinzufugung einer orthographischen Horizon- tal- oder Klinodiagonalprojection bedeutend erleich- tert, -weshalb dergleichen Projectionen, wenigstens für die verwickeiteren Combinationen dieser Systeme sehr zu empfehlen sind.
Bei der Horizontalprojection, welche auch für die verwickeiteren rhombischen Combinationen sehr nützlich ist, dient die Horizontalebene als Pro- jectionsfläche und die Hauptaxe bestunmt die Rich- tung des Gesichtsstrahles Sie ist daher von der Hauptaxe gänzlich unabhängig, und reducirt sich auf die Protection der beiden Nebenaxen in der Horizon- talebene. Zu dem Ende zieht man^ zwei sich unter dem Winkel .4 (welcher für das mono- und diklino^ (irische System = 90"^) schneidende Linien , macht die eine derselben = bnnyy die andere ^= csmßy so ist die Horizontalprojection der Dimensionen der Grnnd-
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Modellirung der KrystaUformen* Cap. L 483
gestalt Tollendet, worauf die Projection jeder andern Gestalt nar von den AbleitnngscofifiScienten der Ne- benaxen abhängig, und sehr leicht auszoführen ist.
Fir die monoklinoSdrischen Combinationen insbe« sondere ist nicht selten statt der Horizontal- eine Klinodiagonalprojection sn empfehlen, bei wel« eher die Ebene des klinodiagonalen Hanptschnittes als Projectionsfläche dient, während die Gesichtsstrah- len der Orthodiagonale parallel sind. Diese Projection ist daher Ton der OrthcNÜagonale gänzlich unabhän- gig, und sehr leicht anszofuhren, weil man nur den schiefen Neigungswinkel y auf das Papier zu tragen, und seine Schenkel in dem Verhältnisse von aih t^ nehmen hat, um die Elemente für das Bild der Grund- gestalt zu erhalten, worauf sich die Elemente für die Prc^ectionen aller übrigen Gestalten unmittelbar durch deren auf die Hauptaxe und Klino4iagonale bezügli- chen Ableitungszahlen ergeben.
Fimfter Abschnitt. Von der Modellirung der KryttaJUformen.
Erstes Capitel. Von den Holzmodellen.
f. JUgememe Bemerkungen über die HohmodelUrung.
|. 768. Netzen der KrystallmodeUe und yenduedene Arten derselben.
Ein noch wichtigeres Hül&mittel als die Zeichnun- gen bilden bei dem Studium der Erystallographie die Modelle der Kry stallformen. Denn^ wie genau auch die Zeichnung einer Krystallform ausgeföhrt, und wie
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484 Angewandte Krystallographie»
■ehr die Illusion des körperlichen Hervortreteng durch Darstellung, der hinteren Kanten , oder durch richtige Schattirung der Flächen gesteigert werden mag, so wird doch immer ein gutes Modell noch weit mehr dazu geeignet seyn, uns eine richtige und deutliche Vorstellung der Krystallform zu verschaffen. Ja, weil es der Krystallographie nur auf die Form, und gar nicht auf den materiellen Inhalt derselben ankommt, . so werden Modelle, es mögen solche aus Pappe, Holz, Gyps, Thon oder irgend einem andern Materiale be- stehen, dem Bedurfnisse des Studirenden nicht nur eben so wohl Genüge leisten, als die. von ^ der Natur ausgebildeten Kry stalle selbst, sondern sie ^^rden auch wegen ihrer regelmässigen, ringsum vollende- ten Ausbildung und ihres beliebig zu vergrössernden Maassstabes für den Anfänger des krystallographi« sehen Studiums den wirklichen Krystallen sogar vor- zuziehen seyn.
Die Krystalliiiodelle sind entweder hohl oder mas- siv, und lassen sich ausserdem in technischer Hin- sicht theils nach dem Material, aus welchem sie be- stehen, theils nach den Operationen, durch welche sie dargestellt werden, eintheilen. An gegenwärtigem Orte, wo es uns nicht sowohl um eine vollständige Anleitung zur Krystalltechnik als um die theoretische Grundlage derselben zu thun ist, werden wir. uns auf die, durch das verschiedene Material bedingten, Ver- schiedenheiten der technischen Operationen nicht wei- ter einlassen, sondern nur die Darstellung der HoUe- und Pappmodelle berücksichtigen, weil die ersteren den meisten übrigen Modellen zu Grunde liegen *), und
*) Die ans Gypa« TKon, ßiscnit gefo)*mttti^ sa wie die aus Metallen oder metallischen Coinposiüonen ge^ssenen Modelle setKen nämlich Formen, und diese wiedernm genau gearbeitet« Holzmodelle roraat > die am Speckstein nnd andern schnadba-
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Modellirung der Krystallformen. Cap.L 485
die letzteren nächst Jenen noch am häufigsten ausge- führt zu werden pflegen. '
f. 769. Regeln bei Fertigung der Holzmodeile^ Material und Werkzeuge.
Die allgemeinen Regeln bei der Anfertigung Ton Holzmodellen sind besonders folgende:
1) Jede Krystallform setzt einen Modellklotz Tor- ans, dessen Gestalt eine ihrer umschriebenen Formen, und zwar gewöhnlich die äusserste die- ser Folmen, d. h. der Inbegriff der den Coordi* natebenen entsprechenden Flächenpaare ist. Zu- weilen lässt sich der, Modeljklotz so wählen^ dass einige seiner Flächen unmittelbar für die zu modellirende Gestalt benutzt werden können.
2) Jeder Schnitt durch den Klotz muss eine Kry- •tallfläche geben, und daher jeder andere Schnitt, der solches nieht leistet^ 9X% unnutz vermieden werden. .
3) Die Neigungswinkel der Schnittflächen müssen den Neigungswinkeln der entsprechenden Kry- ■tallflächen so nahe kommen als möglich; die- ser Forderung wird, bei der Schwierigkeit de^ Ausfuhrung, hinreichend entsprochen, wenn die Winkel nur bis auf 4^ oder 1° genau sind.
4) Jedem Schnitte muss seine Richtung durch vor- gezeichnete Linien auf den Flächen des Klotzes bestimmt werden. Die Linie oder der Punct, in welchen die Säge zuerst in den Klotz ein- schneidet, kann man die Ansat^linie oder den
rea Sub«tansien gefertigten Modelle aber werden nach denselben Kegeln geschnitten wie die Holzmodelle. Die trefflichsten Holzmo- delle, die ich kenne, fertigt der hiesige Mechanlkns Beschomer; sie find mit einer Genauigkeit und Sdiarfe ausgef&hrt| die nicht« zn wünschen übrig laaseo.
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486 Angewandte Kryst/allographie.
Antatzpunct, aad die Ton den Endpuncten der Ansatzlinie oder vojm AnsaUtpaacte auf den andern Flächen des Klotzes auslaufenden Linien die Bahnlinien des Schnittes' nennen, weil sie die weitere Richtung oder eigentliche Bahn desselben, bestimmen. 5) Soll eine Combination modellirt werden, so wer- den in der Regel die vorherrschenden Gestalten zuerst dargestellt; doch leidet diese Regel man- che Ausnahmen. Die zur Darstellung der Krystfdbnodelle brauch- barsten Hölzer sind solche, welche weder zu weich noch zu hart sind, und nicht leioht spdten oder split- tern, daher besonders Birnbaum - und Apfelbaumholz. Was die Werkzeuge betrifft, so gehören dahin
a) Sägen, deren Blätter stark genug seyn müssen, um sich nicht bei einer schiefen Lage zu bie- gen; auch dürfen die Zähne nicht zn sehr ge- schränkt seyn, damit eine zn^ grosse Rauhigkeit der Schnittflächen, und das Zersplittern der Kan- ten bei dem Ein- und Austritte der Sl^e ver- mieden wird.
b) Schnitzer, zur Darstellung Meiner Abstum- pfiings - und Zuspitzungsflächen in den Combi- nationen, so wie zur Sohärfimg der Kanten.
e) Raspeln und Feilen von verschiedenen Gra- den der Feinheit, zur Schärfung der Kanten, zum Abglätten der Flächen, und selbst zur Dar^ Stellung kleiner Flächen in den Combinationen. Bei dem Schneiden mit der Säge wird der Modell- klotz entweder uomittelbar, oder^ wenn dies nicht ohne Verletzung der schon fertigen Kanten und Ecke angeht, zwischen Korkscheiben in einen Schrauben- stock eingespannt. Muss man, wie dies oft der Fall, das Modell mit der Hand halten, so kann man es zur Versicherung seiner Lage ebenfalls gegen ein«
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Modellirung der KrystaUformm. Cap. L 487
Unterlage von Kork stemmen, nm nicht die schon fertigen und nach unten gelegenen Kanten und Ecke SU beschädigen. Weil man aber den Modellklotz um so besser einspannen oder auch mit freier Hand hal- ten, und folglich die Schnitte um so sicherer und rich- tiger führen kann^ je weniger Kanten und Ecke der darzustellenden Gestalt biosgelegt sind, so hat man Jede Torzeitige Zerstückelung des Klotzes zu vermei- den. Hieraus scheint die für die Holzmodellirung sehr wichtige Regel zu folgen, dass die einzelen Schnitte in vielen Fällen nicht sogleich durchgeführt, sondern nur vorläufig angelegt, und erst nach beendigter Anlage aller erforderlichen Schnitte vollendet, werden dürfen. Denn^ ein unter günstigen Bedingungen der Lage und Festhaltung angelegter Schnitt lässt sich auch unter weniger günstigen Bedingungen zwar eben so richtig fortsetzen, aber nicht so richtig anlegen.
i 770.
Yorachlag zu einer ModelüningiiDas^hüie.
Will man die Krystallmodetle mit m5glichst gros- ser Leichtigkeit und Genauigkeit ausführen, so wird dies nur mittels einer Maschine gelingen, in welchejr , sowohl der Modellklotz in seiner erforderlichen Lage fixirt, als auch die Säge in der Ebene des verlang- ten Schnittes erhalten werden kann. Wenn man be- denkt, dass nach der gewöhnlichen Modellirungsme-» . thode aus freier Hand
1) eine oft sehr verwickelte und zeitraubende Con- struction der Schnitte durch Yorzeichnung der
' nöthigen Ansatz- und Bahnlinien erfordert wird;
2) die einzelen Schnitte, wegen der freien Führung der Säge, weder ganz genau, noch alle gleich- namigen Schnitte ganz übereinstimmend geführt werden können, und
3) die Schnittflächen durch den ungleichförmigen
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488 Angewandte Krystallographie*
Gang, und durch die nicht ganz zu vermeiden- den Biegungen und Schwankungen der Säge oft so striemig und gereift werden, dass sie eine bedeutende Nachhülfe durch die Feile erfordern; so wird man die Vorzüge einer Krystallmodellirung»- maschine nicht verkennen, mittels welcher
1) alle Constructionen oder Verzeichnungen der Schnitte entbehrlich gemacht,
2) die einzelen Schnitte genau, und alle gleichna- migen Schnitte völlig übereinstimmend gefuhrt, und
3) die Schnittflächen selbst so eben' werden, dass es einer Nachhülfe durch die Feile nur noch al- lenfalls zur letzten Abglättung derselben bedarf.
Ohne daher den Mechanikern vorgreifen zu wol- len, welche, bei gehöriger Kenntniss der eigentlich zu lösenden Aufgabe , weit zweckmässigere Ideen zur Ausführung einer Modellirungsmaschine anzugeben wissei^ werden, erlaube ich mir im Folgenden einen Vorschlag mitzutheilen, wie etwa eine dergleichen Maschine herzustellen seyn dürfte*).
f. 771, Forttetsong. Eine solche Krystallmodellirungsmaschine wurde sich etwa auf folgende Art ausführen lassen.
In dem Rahmen ABCD^ Fig. 815, lässt sich mit- tels einer starken Schraube Eß" das Bret aicd hin und her schieben, welches in zwei Fugen der Rah- menstiicke AC und BD genau eingelassen, und in
*) Eine nur aus Holz und aehr rob gearbeitete BfaBchine die- •er Art gab mir Resultate , welcbe befriedigend genug waren, um von einer genau und aua Bisen gearbeiteten Maachine Alles su er- warten, was sich verlangen UUst
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Modelliriing der Krystallformen. Cap.I. 489
seiner Mitte e cylindrisch durchbohrt ist, um den Zapfen des Modellträgers aufnehmen zu können.
Dieser Modellträger, welchen ich jetzt nur in sei- ner einfachsten Form beschreiben will, wie er zur Darstellung der gewöhnlichsten Gestalten des tesser»- len und tetragonalen Systemes erfordert wird, besteht jedenfalls aus einer runden Scheibe aßj Fig. 816, mit angedrehtem Zapfen 7, welcher sich in der Oeffhung € mit einigem Widerstände drehen lässt. An einer beliebigen Stelle der Peripherie dieser Scheibe ist die Zunge S angesetzt, welche gleichsam den Index bei den Drehungen der Scheibe bildet, und zur Aufnahme eines eisernen Stellstiftes durchbohrt ist.
Auf der oberen Fläche der Scheibe ist ein fester, etwa 4- bis 4- Zoll tiefer Rahmen angebracht, wel- cher für tesserale und tetragonale Gestalten quadra- tisch., für hexagonale Gestalten hexagonal, für rhom- bische, monoklinoSdrische und diklinoSdrische Gestal- ten rhombisch oder rectangulär, für triklino^drische Gestalten endlich rhomboidisch, jedenfalls aber in Be- zug auf die mathematische Axe des Zapfens / mög- lichst genau centrirt, und fär die erstem drei Krystall- systeme so gestellt seyn muss, dass der Radius de» Durchbohrungspunctes des Index S mit einer seiner Seiten genau parallel ist. Die Grösse dieses Rah- mens hängt übrigens von der Grösse ab, in welcher das Modell dargestellt werden soll.
Auf dem Brete aicd ziehe man nun genau durch den Mittelpunct zuvörderst zwei, 'seinen Seiten par- allele Linien, te^ff^ und, gleichfalls durch den Mit- telpunct, die Diagonalen ad^ be der beiden ersteren Linien, welche also gegen jede derselben unter 46^ geneigt sind; die ersteren LinieYi bezeichne man mit cx), die anderen mit 1. Endlich ziehe man noch mehre andere Linien, welche mit ee und jQ^ beiderseits die Winkel oi bilden, wie solche durch die Werthe tango»
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490 jtngei4Hmdte Krystaüograptde.
3=4-, =T> =1» =4> oder allgemein = — bestimmt
werden, und bezeichne diese Linien mit 3, 2, 4, 4 . n. g. w.*)
Hierauf stelle man den Krystallträger anfdasBret, und führe eine in den Mittelponct der Dorchbohrnng des Index angebrachte Metailspitze rings auf dem Brete hemm, so wird ein Kreis beschrieben, welcher alle vorher gezogenen Linien schneidet, und folglich in jeder derselben zwei Puncto bestimmt. In diesen Puncten wird nun das Bret mit demselben Bohrer 4urchbohrt, mit welchem das Loch ii^ Index gebohrt wurde,, so dass der Index durch den eisernen Stell-« Stift an jedem Puacte unverrücklich befestigt wer- den kaun.
f. 772. Fortsetzang.
Im vorhergehenden %. ist der zur Stellung des Mo* dellklotzes erforderliche Apparat beschrieben worden; wir gehen nun zu dei^jenigen Maschinentheile über, welcher die richtige Stellung der Säge bezweckt
Die Säge muss entweder in einem Bahmen, oder noch besser, nach Art eines Pendels an einer Ai^e gehen, welche ihre Bewegung in ei^er Ebene hinrei- chend sichert. Einstweilen habe ich nur die erstere Vorrichtung ausführen lassen, welche zwar einfacher, aber mit manchen Unvollkonpimenheiten behaftet ist. Auf dem grossen Bahmen ABCDj Fig. 815, sind in. G und G zwei Klotzer beCpstigt, welche in einer mit AB parallelen Bichtung durchbohrt und als die Zapfea*
*) Diese Bintheiltmg bezieht sich zonachtt nur auf tesserale und tetragonale Gestalten. Im Allgemeinen wäre es daher vorzu« ziehen, wenn die Peripherie in 360° getheilt, nnd eine Vorrid^ tiing zur Arretimng «des Krystalitr&gers an jedem beliebigen Pnncto derselben vorbanden wäre.
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Modellirung der Krystallformen. Cap.L 4dl
lager des Sägerahmens sa betrachten «ind. Dieser S%eraluaen selbst ist ein etwas starker, redlangulä^ rer Rahmen KKMM^ Fig. 818, dessen eine kürzere Seite jedach fehlt, and nur in ihren Enden dorch die fwei Zapfen M und M repräsentirt wird; anf den län^esren Seiten KM und KM sind die Leitschienea mm so befes<jigt,^ dass ihr Abstand von der Fläche des Rahmens nur um sehr wenig grosser ist als die Dicke des Sägegestelles. Liegt dieser Sägerahpaen in sei^ nen Zapfenlagern, so kann man ihm jede beliebige Neigung gegep die Ebene des Rahmens ABCD ge- ben , und es mnss daher nicht nur ein Gradbogen zur SteUung, sondern auch eine Vorrichtung zur sicheren Arretimng des Sägerahmens angebracht werden.
Die Säge selbst endlich hat ungefähr die Form wie Fig..819; das Blatt muss kurz, gut gehärtet und scharf eingespannt seyn, um nicht bei schiefer Lage durch das Gewicht der Säge und den Widerstand des Modellklotzes einer Biegung ausgesetzt zu seyn. Die . eiserne Fassung oder das Gestelle der Säge muss durch- gängig von gleicher Dicke , und das Blatt gelbst den Sei- tenflächen des Gestelles genau parallel eingespannt seyn.
f. 773. Fortsetzung.
Die Modellirungsmaschine, wie solche hier beschrie- ben worden^ ist nur ein roher Entwurf von dem, was aus ihr werden kann, wenn sie in Metall und mit den gehörigen' Verbesserungen ausgeführt wird; bei die- sen Verbesserungen möchten vielleicht folgende zwei Vorschläge zu berücksichtigen seyn.
1) Der Modellträger kann, statt des oben beschrie- benen festen Rahmens, mit einem aus zwei bewegli- chen Winkelstücken bestehenden Rahmen versehen werden, dessen beide Theile sich durch ein rechts und links gehendes, etwas stark gearbeitetes Schrau-
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492 Angewandte Kry^tallographie.
bengewinde einander beliebig nähern lassen, um Mo- dellklötze von beliebigen Dimensionen beqoem and sicher einspannen zu können. Für die Modelle tes- seraler nnd tetragonaler Gestalten würden die Schen- kel dieser Rahmenstucke den Winkel von 90% für die Modelle hexagonaler Gestalten, den Winkel Ton 120^ bilden müssen; f&r die Modelle der übrigen Sy- steme könnte man sich besonderer Hülfswinkelstücke bedienen, die in den rechtwinkligen Rahmen einge- setzt würden. Die Hauptsache ist nur, dass der Mit- telpunct des so zusammengesetzten Rahmens bei je- der Stellung der Rahmenstücke unverändert in der mathematischen Axe des Krystallträgers liegt, was durch möglichst genaue Arbeit des Schraubengewindes erreicht wird.
2) Die Säge kann, statt in einem Rahmen hin und her zu laufen, um eine Axe oscilliren. Freilich müssten dann die, das bogenförmige Sägeblatt tragen- den Pendelstangen und besonders die Zapfen dersel- ben, so wie der Rahmen selbst etwas stark gearbei- tet werden, um allen Nutationen vorzubeugen. Auch müsste das Zapfenlager des Pendels in einem schwal- benschwanzförmigen Metallstücke angebracht seyn, welches in einem gleichgeformten Falze des oberen Rahmenstückes auf- und abgleitet, damit die Säge, so wie sie in den Modellklotz einschneidet, ungehin- dert nachrücken kann.
Uebrigens muss ich es den Mechanikern überlas- sen, diese Vorschläge nach ihrer Brauchbarkeit za prüfen, und durch zweckmässigere zu ersetzen.
]>^achdem wir uns nun im Allgemeinen mit den Ilülfsmitteln der Holzmodellirung bekannt gemacht ha- ben, schreiten wir zur Betrachtung der besondern Re- geln, welche bei der Modellirung der Gestalten aus den verschiedenen Krystallsystemen zu befolgen sind»
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Modellirung der Krystallformen. Cap. I. 493
wobei wir uns jedoch nur auf die einfachsten Formen einlassen können.
//. Modellirung der teaseralen Gestalten.
|. 774. . Elenente znr Bettiminaiig der Lage der Schnitte. Der Gmndkdrper, von welchem man bei der Model« Umng der tesseralen Gestalten am vortheilhaftesten ausgeht, und welcher daher gewöhnlich als Modell- klotz dient, ist das Hexaeder, dessen Flächenmittel- puncte die Pole der Hauptaxen aller zu modelliren- den Gestalten werden müssen. Um nun die zur Be« Stimmung der Schnitte erforderlicheh Ansatz - und Bahnlinien in der grössten Allgemeinheit zu finden, wollen wir dieselben sogleich für das HexakisoktaC- der mOn aufsuchen.
Man denke also das HexaMer ooOoc mit dem ein- geschriebenen mOn in normaler Stellung vor sich, und bezeichne sein oberes, vorderes, rechtes Eck mit E^ Fig. 820, seinen Mittelpunct mit ilf , wähle die MOj MB und MV als die positiven Halbaxen der Xj y und z, so sind die Coordinaten des Punetes E
^=1, y=l, z = l imd 41® Gleichungen der drei von diesem Puncto aus- laufenden HexaSderkanten folgende:
der ^L X = iy z = 1
dei EH ^ =r 1, y = 1
ier EU y == 1, 2: = 1
Nun ist die Gleichung einer von den beiden, am Puncto V oben rechts liegenden Flächen des Hexa- kisoktaßders
£. + iL + ^ = i ■
also werden die Coordinaten ihres Durchs^Anittspunctes mit EL ;r = 1, y = — — , z = 1
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484 Angewandte KrystaUographie.
ndt EH ^= 1, y = l, z = l,— ^!^
mit EU s = , y=s 1, ic = 1
Nimmt man die Coordinaten y in ELj z in EH und jx; in JS(7 mit entgegengesetzten Vorzeichen, und addirt zu jeder die Länge 1 der halben HexaSder- kuite, 8o erhält man die Segmente der drei E^ten ELy BHj EU von. £ aus gerechnet, wie folgt
5CÄ£) '='* + *
2(EH) = S(EU) =
m
mn
m + n
n
und es verhalten sich daher diese drei Segmente aas ii:l:fl>.
Es ist aber besser, zur Bequemlichkeit des Kunst- lers die ganze HexaSderkaate =3 1 zu setzen; wo- durch die entsprechenden Kantensegmente folgende Werthe erhalten
S(EL) s= 51.±^ SiEH) =
ACt diesen drei Ausdrücken ist Alles gefunden, was von Seiten der Theorie %ur Modellbung der tes- seralen Gestalten erfordert 'wird ; denn alles Uebrige ist ein InbegriiSf prt^ktischer Regeln, bei deren Dar- stellung wir vom Leichteren zum Schwereren über* gehen wollen«
f. 775.
Das Oktaeder O aus dem Hexaeder su modeüiren. Für das Okta§der O ist m ==: n = 1, also
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ModelUrung der Kryatallformen. Cap. /. 495
S(EL) = 2(EH) = 2{EU) = 1 woraus sich folgende ConstFuction ergiebt.
Man ziehe die Diagonalen auf alten sechs Hexa6^ derfiiächert, Fig. 821, wähle zwei Gegenflächen dessel- ben (z.B. die obere nnd untere in der Figur) zvlAa* satzfl&ehen , ihre Diagonalen zu Ansatzlinien, und die auf den Nebenflächen gezogenen Diagonalen zu Bahn« linien *). Hierauf führe man von jeder Ansatzlinie zwei Schnitte (wie z. B. von bi die zwei Schnitte bbb% lege jedoch diese Schnitte auf der ersten Fläche nur an, indem man sie nicht ganz bis zu den Durchschnitts^ puncten c der Bahnlinien fortsetzt, uin eine vorzei^ tige Zerstückelung des Klotzes zu* verhindern, fahre sie dagegen auf der zweiten Fläche gleich etwas über die Pnncte c hinaus, und vollende darauf die zuerst angelegten Schnitte, so resuhirt das Oktaeder.'
Zusatz. Modellirung in der Maschine. Man spanne das Hexaeder in den tetragonalen Rahmen, gebe der Säge die Neigung von 54** 44', centrire sie auf der oberen Hexaßderfläche **), stelle hierauf den Index des Modellträgers successiv auf die vier Puncto 1, und lege die vier oberen Schnitte an, Wie vorher; kehre darauf das Hexaeder um, fahre die vier folgenden Schnitte in der Maschine sogleich durch, und vollende darauf die vier ersteren Schnitte aus freier Hand.
f. 776. Das OktaSder aus dein tetragonalen Prisma zn^tclmeiden.
Das Oktaeder kann man als eine tetragonale Py-
*) Zar besseren Unterscheidung sind die Ansatzlinien ausgezo- gen, die Bahnlinien dagegen nur punctirt dargestellt.
*♦) Die bereits in die richtige Neigung gestellte Säge centri- ren, heisst, sie so stellen, dass ihre Schneide, oder vielmehr die untere Seitenfläche des Blattes durch den Mittelpunct der oberen Flache des Modellklotzes geht; dazu dient, wie man leicht sieht, ^e Schraube EF, mjittels welcher der Modellträger so lange unter der Säge verschoben werden kann» bis dieselbe centrirt ist.
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496 Angewandte Krysiallographie.
ramide betrachten, deren Mittelkante sich zur ganzen Hauptaxe verhält, wie 1 : ^2. Man schneide also ein tetragonales Prisma, dessen Höhe = der Diagonale seiner Grundfläche, bestimme die Mittelponcte sei- ner sämmtlichen Kanten, Terbinde auf den Endflächen die Mittelpuncte je zweier Gegetikanten, auf den Sei- tenflächen die Mittelpuncte je zweier Nebenkanten durch gerade Linien, und wähle die ersteren Linien SU Ansatzlinien, die anderen zu Bahnlinien. Hierauf lege man die Schnitte auf der ersteten Endfläche nuf bis etwa durch 4 der Bahnlinien an, führe die Schnitte auf der zweiten Endfläche sogleich durch, und voll- ende nachher die vier ersten Schnitte.
Zusatz. Modellirung in der Maschine. Man spanne das Prisma in den tetragonalen Rahmen, gebe d^r Säge die Neigung von 54^ 44^ centrire sie auf der oberen Endfläche des Prismas, stelle den Index successiv auf die vier Puncto oc, und verfahre wie vorher.
§. 777.
Das Oktaeder ans dem hexagoaalen Prisma zu schneldeo.
Stellt man das Oktaeder nach einer seiner trigo« nalen Z wisch enaxen aufrecht, so erscheint es als die Combination JR.Oil, oder als das Mittelstuck eines RhomboSders, dessen Polkante = 70''32'44''. Denkt man sich durch die Mittel kanten dieser Combination Flächen gelegt, welche _ auf OJR rechtwinklig sind, so erhält man ein durch OR begränztes hex^onales Pris- ma, dessen Endkante sich zur Seitenkante verhält wie 1 : |/i2.
Man schneide also ein hexagonales Prisma, Fig. 823, nehme in einer seiner Seitenkanten ac = a&y so ist bc die erforderliche Höhe desselben. Auf sei- nen Endflächen verbinde man die abwechselnden (und zwar auf der oberen und unteren Endfläche die wi-
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Modettiritng der KtystcdlformeTU Cap. L 497
dersinnig gelegenen) Eckpnncte, auf den Seitenflächen dieselben Eckponcte durch gerade Linien, wähle die enteren za Ansatz -, die anderen zu Bahnlinien, und führe die Schnitte , indem man »ie von der einen End- fläche nur vorläufig anlegt, von der andern aber gleich vollendet
|. 778.
Das Tetraeder •-- zu modellirdn. 2
Man vollende nur die halbe Construction des $.775, d. h. man ziehe nur die abwechselnden Diagonalen auf den Flächen des Hexaeders, fQhre auch nur die durch sie bestimmten Schnitte, indem man wiederum die von der ersten Fläche geführten Schnitte vorläufig bis etwa zu den Puncten c anlegt, und sie nach Durchführung der beiden andern Schritte nachträglich vollendet.
i 779. t>ai RhombendodekaSder ooO aus dem Hexaeder zo modeUiren*
für das Rhombendodeka^der ocO ist ff} = cx>, und 11 = 1, also
woraus sich folgende Construction ergiebt.
Man suche die Mittelpuncte a der Kanten des Hexal^ders, Fig. 822; und verbinde auf seinen einzel-» nen Flächen zwei gegenüberliegende Theilpuncte durch gerade Linien in der Weise, dass die beiden Linien Je zweier Gegenflächen parallel, je zweier Nebenflä* chen rechtwinklig mit einander sind (oc^r eine den charakteristischen Kanten der Pentagondodeka^der analoge Lage haben), verbinde auch je zwei neben •inander liegende Theilpuncte durch gerade Linien i II. 32
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498 Angeipandte Krystallographie.
und wäMe die ersteren LiiiieB sa Ansats -, die kt»» teren zu Bahnlinien.
Von jeder Antatdfnie aus führe man nun iwei Schnitte nach den durch die, von ihr anslaufenden Bahnlinien bestimmten RichtQngen, lege diese Schnitte auf den ersten fünf Flächen des HexaSders nur etwa bis auf ^ der Bahnlinien an, führe sie aaf der letz- ten Fläche sogleich durch, nnd vollende dann die vorher angelegten Schnitte.
Znsatz. Modellirung in der Maschine. Man be- merke sich auf djem Hexaeder mit Bleistifte die unge- fähre Lage der Ansatzlinien, um falsche Schnitte zu vermeiden, spanne es dann in den tetragonalen Bah«^ man, gebe der Säge die Neigung von 45% stelle den Index für jede Fläche successiv auf zwei gegenüber^ liegende Puncto oo, nn^i führe die Schnitte wie vorher.
$.780. DasRhombendodeka^er aus dem tetra^nalen Friama zu modellireo.
Das Rhombendodekagder ocO lässt sich auch aus einem tetragonalen Prisma schneiden, dessen Endkan- ten sich zu den Seitenkanten verhalten wie 1 r ^. Man schneide also zuvörderst ein dergleichen Prisma, dessen Höhe = der Diagonale seiner Endfläche, ziehe auf beiden Endflächen die Diagonalen, verbinde anch die Mittelpuncte der Seitenkanten mit den Eckpuncten durch gerade Linien, und wähle die ersteren Liniea jtu Ansatz-, die letzteren zu Bahnlinien. Hterauf föhre man die Schnitte, und zwar die vier von der .ersten Endfläche vorläufig nur bis auf etwa j- der Bahnlinien, die vief von der zweiten Endfläche ab^ sogleich durch, worauf man die ersteren Sohnitte vol-. lends beendigt.
Zusatz. Modellimng in der Maschine. Man spanne das Prisma in den tetragonalen Rahmen, gebe der Säge die Ne%UBg von 45"", oentrire «ie auf der
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ModelUrung der KrystallfcrmeTu Cctp.!. 4W
oberen Endfläche des Primas, stelle den Index snc* ^ cessiv anf die vier Pancte 1^ «nd f&hre die Schnitte wie vorher.
§.781. Das Rhombendodekaedor ans dem hexagonalen Prisma zu schneideo.
Stellt man das Rhombendodeka^der ocO nach ei- ner trigonalen Zwischenaxe aufrecht, so erscheint es nis die rfaombo^drische Combinatton acP2.jR ; nnd legt Bian durch die Pole des RhomboSders die basischen Flächen O/l, so bilden diese mit den Flächen von ooP2 ein hexagonales Prisma, dessen Endkante sidi SU seinen Seitenkanten verhält ,== )/!2:3.
Man schneide also ein hexagonales Prisma, und mache seine Länge = 4/2 mal der Seite seiner Grundfläche, also =» 4X2<7 in Fig. 823.
Auf beiden Endflächen dieses Prismas, Fig. 824^ ziehe man nun die Seitendurchmesser na, nehme in den abwechselnden Seitenkanten, obei^ und unten Avi- dersinnig, ^ ihrer selbst, wodurch sich die Punctp h bestimmen, ziehe die Linien ahy nnd wähle die Li- nien aa zu Ansatz - , die ab zu Bahnlinien. Hierauf I^ge man die drei Schnitte auf der einen Endfläche bis zu den Puncten b hin an , führe die drei Schnitte auf der anderen Endfläche gleich ans, und vollende dann die zuerst angelegten Schnitte.
Znsatsfi. Modellirung in der Maschine. Man spanne das Pk*isma in den bexagonalen Rahmen , gebe der Säge die Neigung von 36^ 16^, centrire sie, stelle den Index suceessiv auf die Puncto 3(r, 160° und 27(f der Peripherie, und fShre die Schnitte vrie vorher.
f. 782.
Das Tetrakiih^aSder ooO» zu siodelHreii.
Für das Tetrakishexa§der ocO» ist «i = oc, nnd daher
32»
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500 Angewandte Krystallographie.
S(EU) — oo woraus sich folgende Construction ergiebt.
Man suche in sämintlichen Kanten des Hexaeders, Fig. 825, die Mittelpuncte a und die EnJpttnCte c det
von den Eckpuncten aus genommenen Segmente j-,
verbinde in den einzelen Flächen jeden Punct a mit dem diametral gegenüber liegenden Puncte a durch eine ausgezogene Linie, und mit den zunächst gele- genen beiden Puncten c dur^h punctirte Linien, wähle die aa zu Ansatz«, die ac zu Bahnlinien, führe dem gemäss von jeder HexaSderfläche vier Schnitte, lege jedoch selbige auf den fünf ersten Flächen vorläufig nur an bis etwa durch 4 der Länge ac der einzelen Bahnlinien, führe sie auf der sechsten Fläche sogleich durch, und vollende endlich die vorher angelegten Schnitte.
Zusatz. Modellirung in der Maschine. Man spanne das Hexaeder in den tetragonalen Rahmen, gebe der Säge die Neigung w^ bestimmt durch
1
1ang(a=:~ (also z. B. die Neigung 33"*^, 26''4^ und
18*^1 far die drei Varietäten ooOJ, öo02 und oc03), centrire die Säge, stelle de)i linder successiv auf die vier Puncte oo, und führe bei jeder Stellung einen Schnitt. Wiederholt man dasselbe Verfahren für die übrigen fünf Flächen deis Hexaeders , jedoch mit der Vorsicht, die Schnitte auf den ersten fünf Flädien nur anzulegen, so erhält man alle nothigen Schnitte zur Darstellung der verlangten Gestalt.
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Mo^elUrung d^r KryßtaUformen. Cap.L 501
§• 783, '
' ooOn JHm PeDtagondodekaeder — — eh modeUiren«
Man fuhrt mir die Hälfte der im vorigen $. ange- gebenen Construction aus, sucht also wiederum die Puncte a und e, zieht aber ^uf jeder Fläche des Hexaeders nur eine der Linien aa, Fig. 826, und nur vier der Linien ac, indem man für die Lage der ersteren Linien die Regel beobachtet, da^s die je sayeier Gegenüächen parallel, die je zweier Nebenflä- chen rechtwinklig mit einander seyn müssen. |Iier- auf wählt man wie vorher die Linien aa zu Ansatz-, die Linien ac zu Bahnlinien, legt auf den ersten fünf Flächen die Schnitte nur an, führt sie auf der letzten gleich durch, und vollendet dann die blos angelegten Schnitte. %
Das Verfahren in des Masehine ist für tich hii|* Umglich einleuchtend.
$. 784.
Das Ikoflitetra^er mOm za modelliren.
Für das Ikositetra^der mOm wird fi =s «, und folglich
Jü
woraus sich folgende Regel ergiebt.
Man nehme in allen Kanten des Hexaeders voll
ihren Eckpuncten aus beiderseits die Segmente — ,
so bestimmen sich allgemein in jeder Kante zwei Puncto*), welche 'ich, obgleich sie gleichwerthig suid^
0 Für 202 fallen dieaa Puncte zosaminen in den Mittelpiuict der Kante.
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502 Angewandte Krystalhgraphie.
doch nach ihrer Vertheilang an den abwechselnden Ecken des Hexaeders mit den zwei Buchstaben a und e bezeichnen will, Fig. 827. Hierauf ziehe man in jeder Hexaederfläche die DiagoofJen EEy verbinde auch jeden Eckpunct E mit den beiden zunächst ge« legenen Puncten a oder c, u^d wähle die ersterenLi* nien zu Ansatz-.» die letzteren Liniea zu Bahnlinien. Auf jeder Hexaederfläche fuhrt man nun yier Schnitte, legt solche jedoch auf den ersten fünf Flächen nur bis in die Nähe der Kreuzungspuncte der resp. Bahn^ linien an, fuhrt sie auf der sechsten Fläche sogleich durch, und vollendet dann die vorlier nur angelegten Schnitte.
Zusatz. ModeUining in der Maschine. Msm spanne das Hexaeder in den tetragonalen Rahmea, gebe der Säge die Neigung Wy bestimmt durch
fang(o = ^ (also z. B. 35*^ 16' und 25^ 14' fBr 202
und 303), centrire sie, stelle den Index successiv auf die vier Puncto 1, und fälure die Schnitte wie vorher.
$. 785.
0iOsi' Das Tri^B4»dekafider ■■■ ■■, tu. BodeUireo.
Man fährt die Constroction des vorhergehenden §. nur zur Hälfte aus, besümmt aho nur die an de« vier abwechselnden Ecken des Hexaeders gelegenen
Kantensegmente — , zieh^ nur die von de» äbrigea vier
Eckpuncten auslaufenden Diagonalen und AaliiriiBien, und fährt nur diejenigen zwölf Schnitte, welche durch die so construirten Ansatz - und Bahnlinien bestimmt werden.
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Modeüirung der Krystallformtn. Cap.L 503
* §. 786. Dat TriakkoktaSdos mO zu modeHiren.
fSr das Triakisoktagder mO ist n=:l, und folglich »•+1
2(ÄZ,) = -S(Äff)=:^*
SkEU)^' ^
woraus sich folgende Constraction ergiebt.
Man nehme in aUen Kanten des Hexaeders yon
ihren Ecken aus beiderseits das Segment — — , so
bestimmen sich in jeder Kante zwei Puncto, welche ich, obgleich sie gleich werthig sind, doch nach ihrer Lage an den abwechselnden Ecken des Hexaeders mit den zweierlei Buchstaben a und c bezeichnen will; Fig. 828. Hierauf verbinde man auf jeder einzelen Fläche des Hexaeders zwei PaeMr diametral gegenüber liegende Puncto durch die ausgezogenen Linien aa und c^;, in der Weise, dass diese schiefen Linien- kreuze nur auf je zwei Gegenflächen gleichsinnig, auf' je zwei Nebenflächen aber widersinnig liegen (analog den charakteristischen Kanten der Pentagondodeka- §der); auch verbinde man noch auf jeder einzelen Fläche des Hexaeders je zwei diagonal gegenüberlie- gende Puncto durch die punctirten Linien aa und cc.
Man wähle nun die ausgezogenen Linien zu An- satz-, die punctirten Linien zu Bahnlinien, und lege auf jeder Hexa^derfläche vier Schnitte an, wie: solche durch die von den Enden der Ansatzlinien auslaufen- den Bahnlinien bestimmt werden; auf der letzteii Fläche führt man jedoch diese Schnitte sogleich durch, und vollendet nachher die früher nur angeleg- ten Schnitte.
Zusatz. ModelUrung in der Maschine. Mai| spanne das Hexaeder in den tetragonalen Bahiaen,
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504 Angewandte Krystallographie.
gebe der Säge die Neigung o}j bestimmt durch
iangw = y^^-^ (also z. B. die Neigung 48** 11' und
46^ 30' für 20 und 30), centrire die Säge, stelle den Index successiv auf vier paarweis einander gegenüber^ liegende Puncto m, und lege die Schnitte auf der er- sten Fläche an ; wiederhole dieselbe Operation für die übrigen fünf Flächen, führe jedoch auf der leisten Fläche die Schnitte sogleich durch , und vollende dann die blos angelegten aus freier Hand.
$. 787.
siO
Das DeltoiddodekaSd^r --- zu modellireiL
Man bestimme, nach der Angabe des vorhergehen« den $., entweder nur die 12 Puncto a, oder die 12 Puncto c, vollende überhaupt die Construction in Fig. 828 nur aur Hälfte, und führe auch nur die ent- weder durch die Linien ira, oder die durch die Li- nien cc bestimmten 12 Schnitte aus, so resultirt das
mO
verlaAgte Deltoid-Dodekaöder —.
$. 788. Das Hexakisoktaeder mOn su modellireii.
Wir fanden oben in f. 774 für das Hexakitokta« «der mOm
S(EL) x^ ?^*
SiEU) = ^
woraus sich folgende Construction ergiebt.
Man nehme in allen Kanten des Hexaäders bei- derseits von ihren Eckpuiicten aus die Segmente
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Modeüirung der Krystallformen. Cap.I. 505
?^ = Eof Fig. 829, und ^±? = J?c, so bestim-
men sich in jeder Kante zwei Puncto a und zwei Puncte c. In den einzelen Tlächen verbinde man nun jeden Punet a mit dem diametral gegenüberlie* genden Puncte a durch eine ausgezogene^ Linie aa^ und mit dem zunächst jenisfeits seines Nebenpunctes a gelegenen Puncte c durch eine punctirte Linie acj so ergeben sich in jeder Fläche überhaupt Tier Li* nien aa und acht Linien ac.*) Man wälile nun die Linien aa zu Ansatz -, und die von ihren Endpuncten auslaufenden ac zu Bahnlinien, führe auf der ersten Fläche acht, durch diese Linien bestimmte Schnitte, lege sie jedoch vorläufig nur bis zu den Kr^uzungs«* puncten der Bahnlinien an, wiederhole dasselbe Ver* fahren für die übrigen Flächen des Hexaeders, voll- ende dann die sämmtlichen Schnitte, so resultirt das verlangte HexakisoktaSder mOn.
Zusatz. Modellirung in der Maschine. Man spanne das Hexaeder in den tetragonalen Rahmen, gebe der Säge die Neigung cu, bestimmt durch
/gfigft>= ■ ^'^ (z. B. 36^ 42' für 30|, 28^ 2f für
402, und 32"" 19^ für öO|), centrire die SSge auf der oberen Fläche des Hexaeders, stelle den Index suo-
cessiv auf die acht Puncte — , und führe bei jeder
Stellung einen Schnitt; wiederholt man dasselbe Ver- fahren für die anderen fünf ''Hexaederflächen, so er- hält man sämmtliche zur Darstellung von mQn erfor« derliche Schnitte.
*) Die Figur S^ bezieht aicd auf die Varietät 402, fiir wel- che die Linien ac den Limeu aa parallel werden; in den Varietä- ten 304 ^^^ ^^T f&Hen je zwei Puncte c zosammen in den Mit- telpunct der Hexaederkante.
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^OQ Angewandte KrysUdhgraphU.
i 789.
mOit Das* Hexaidstetraeder — r^ zu modeUirea.
%
Man bestiiiinfo die Poncte a mir yon vier obweeln selnden Ecken, und die Pnnete c von den übrigen vier Eeke» des Hexaeders ans, Tollende nberhanpt die Construction des vorhergehenden §. nnr sor Hälfte , 80 wie in Fig. 830, führe die 24 Schnitte, welche dorok diese Constraction bestimmt werden, indem man deren auf jeder Fläche dee Hexaeders vier anlegt, so r^snkirt nach Y^endnag dar Operation das Hexakia«
tetra^der —5—.
$. 790.
— - I so modeUireik
Man bestimme zwar die sämmtlichen Pnnete a und c, wie in §.788, ziehe aber nur die Hälfte der durch sie bestimmten Ansatz- und Bahnlinien, Fig. 831, indem man auf jeder Fläche nur zwei Paar der dia- metral gegenüberliegenden Puncto a durch die ausge- sogenen Linien ma mit einander, nnd die übrigen vier Pnnete a durch die punctirten Linien ac mit den zwischen den ersteren Puncten gdegenen vier Punc- ten c verbindet, dabei zugleich darauf achtet, dass die Linienpaare ma nur auf je zwei Gegen Sachen eine gleichsinnige, auf je zwei Neben flächen hinge- gen eine widersinnige (den charakteristischen Kanten der Pentagondodekaeder analoge) Lage haben dür- fen, so ist die nöthige Construction vollendet. Fuhrt man hierauf die 24, durch diese Construction vorge- zeichneten SchniUe, indem man deren auf jeder Hexa-> ederfläche vier anlegt, so resultirt nach Vollendung
—5— f.
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Modelärung der Krystallformen. Cup. L 507 JJ/) MoMfiru9$g der fetrugonaUn Ge$taUen.
$. 79t
Elemente zot Bestimmoag der Ltg« der MioiMe.
Bei der Modellirnng der tedragoiial«a Gestalten geht man Toa einem tetragonalea PritMa aus, dessen End« und Seitenkanten in einem aoleben YerblÜtmsse stehen müssen > dass es genau die, nm die zu modelli- nnde Gestalt unscbriebene €omUnation odPoo.OF dar- stelk. Sollen die verschiedenen Gestagen einet nnd 4ers«lben tetragonalen Krystidtreibe unter Yorans-* nHznng gieicber Nebenaxen medellirt werden, so hat man die sänuntliehen Modellldölze aus einem und demselben tetragonalen Stabe su whaeiden. Setzen wir die Brrite der Seitenflächen* dieses Stabes s= i, ao wird for irgend eine Gestalt mJfn (sofern solche kein Prisma ist) die erforderliehe Länge des Modell* klotzes =3 ma; oder die Seitenkanten und Endkan* len jedes Modellklotzea missen in dem Verhältnisse ma : 1 stehen.
Sucht man die Segmente der Kanten ELj EH und EUj Flg. 820, welche sich durch die oben rechts an dem Puncto V liegende Fläche der ditetragona« len Pyramide hiPm bestimmen, ao findet man> wenn EL = EH=i9 und EU=zma^
S{EL)^'^XEL SiEH) = ^XEa
2(EU)^^XEU
Für das Prisma odPn wwden diese Scigmente
2iEL)=^iXEl4
2{EH)^^XEB
S{EU)^oo
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508 Angewandte Kryställographie^ i 792.
Die tetimgoiiale Pyrainide mP za modeUinai Far mP wird fi3=:l, also
S(EU)=r^EU
Man schneide also einen Modellklotz, in wekhem Seitenkante : Endkante = ma:i ziehe die Diagonalen auf den Endflächen spwoU als auf den Seitenflächen (iUinl. Fig. 821), w&hle die er- steren zu Ansatz«, die anderen zu Bahnlinien, führe Ton jeder Endfläche vier Schnitte, welche von der ersten Endfläche aus nur angelegt, und also nicht ganz bis zu den Kreuzungspnncten der Bahnlinien durchgeführt werden dürfen, während sie von der zweiten Endfläche aus gleich et^as über diese Kreu- zungspuncte fortzusetzen sind, vollende hierauf die engelegten Schnitte, so resultirt die Pyramide «iP*
Zusatz. Modellirung in der Maschine, Man spanne das Prisma in den tetragonalen Rahmen , gebe der Säge die Neigung o;, bestimmt durch tangw=z ma^2y centrire sie auf der oberen Endfläche des Mo- dellklotzes, stelle den Index successiv auf die Tier Puncte 1, und führe die Schnitte wie vorher.
f. 793.
stP Das tatragonale Sphenoid — cu nodellirea.
Man führe die Construction des vorhergehenden §. nur zur Hälfte aus, ziehe also die Diagonalen entwe- der nur für die Puncte a, oder nur für die Puncte Ä, Fig. 821, führe auch nur die so bestimmten vier Schnitte aus, indem man wiederum die Schnitte von der einen Endfläche aus nur anlegt, von der an- dern sogleich durchHihrt, so resultirt das verlangte
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ModelUnmg der JSJrystaliformen. Cap.L 509 §. 794.
I>i0 tetragonale Pyramide mPco ztt modelRren, Fir mPoo ist 11=^00, daher
2(EL):=zöO
2(EH) = ^X.EB
2(EU)=^iXEU'
Man Bchileide also einen ModeIIkIot2^ in wekhem Seitenkante : Endkante = ma : 1 bestimme die Mittelpnncte seiner sammtlichen Kanten , Fig. 832 9 Terbinde in den Endflächen die Mittelpnncte je zweier Gegenseiten durch die Linien aa, in den Seitenflächen die Mittelpnncte je zweier Nebenseiten dnrch die Linien ac^ und wähle die ersteren zu An- satz-, die anderen zu Bahnlinien. Hierauf lege man die vier Schnitte von der einen Endfläche bis etwa 4- oder 4 der Bahnlinien an , führe die vier Schnitte von der zweiten Endfläche aber sogleich dArch , und voll- ende endlich die vier ersteren. Schnitte ^ so resokirt die verlangte Pyramide, ,
Zusatz. Modellirung in der Maschine. M^n spanne den Modellklotz in den tetragonalen Rah- men, gebe der Säge die Neigung o>, bestimmt durch 1ang(oz=smay centrire sie auf der oberen Fläche des Modellklotzes, stelle den Index snccessiv auf die vier Pnncte 00, und führe die Schnitte wie vorher.
§. 795, Die ditetragonal^ Pyramide mPn zn modelliren.
Aus den in $. 791 fiir die ditetragonale Pyramide mPn gefundenen Elementen ergiebt sich folgende Construction. Man schneide einen Modellklotz, in welchem
Seitenkante : Endkante =zma:l nehme ' in den Endkanten sowohl als in den Seiten- kanten beiderseits von den Eckpuncten ans die Seg-
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510 Angewandte Krystallograpkie.
fi— 1 mente ■, so bestimmen sich in jeder EndkanCe
zwei Pnncte a, in jeder Seitenkaiite «wet Punct« c, Fig. 833. Hierauf verbinde man auf den Endflächen je z>Yei diametral gegenäb^liegende Puncte a durch die Linien aa, auf den Seitenflächen je zwei diagonal gegeottberliegende Puncte a und e durch' die Linien aCi wähle die ersteren zu Anaatz-, die anderen zu Bahnlinien, und führe von jeder Endfläche aus acht Schnitte 9 so resultirt nach Vollendung der Operation die verlangte ditetragonale Pyramide mPu. "
Zusatz. Modellirung in der Maschine^ Man spanne das Prisma in den tetragonalen Ralunen, gebe der Säge die Neigung Wj bestimmt durch
tafig (a =
da »3zfi{^Z in $. 228, eentrire rie anf der «beren Endfläche des Prismas, stelle den Index suoeeteiv auf die acht Puncte ji, und führe bei jeder Stellung ei* tten Schmitt.
$. 796. Das tdtragonale Skalem^eder zu modelßren.
Man vollende nut dib Hälfte der Constraetion des vorhergehenden §. , d. h. man bestimme nur die an den abwechselnden Ecken des Prismas gelegenen Puncte a und c, ziehe die dadurch bestimmten An- satz- und Bahnlinien, wie in Fig. 834,* und föhre von jeder Endfläche die durch diese Linien bestimm« ten vier Schnitte , so nssaltirt nach beendigter Opera-
fMpit
tionidas tetragonale SkalenoMer -^"9 dessen Mittel- eckpuncte die Puncte e werden.
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ModeUirüng der Kryatattfofmen. Cap.L 511
f 797.
mPü Dm tetragonde TrapezoSder — — zo moMUnii.
Man bestimme in den Endkanten nnr die abwecb«^ Belnden, and swar oben und unten die widersinnig gelegenen Puncte a, Fig. 83b j in den Seitenkanten dagegen die säraratlichen Pnncte c; ziebe auf jeder Endfläcbe die beiden Ansatzlinien aa^ und auf den Seitenflächen die zugehörigen Bahnlinien ac, fShre Ton jeder Endfläche die vier so bestimmen Schnitte» 80 erhält man nach vollendeter Operation das * eine der tetragonalen TrapezoSder. Um das zweite, eom- plementäre Trapezo^der darzustellen, muss man auf einem andern Modellklotze der Construction dlq'eni- gen acht Puncte a zu Grunde legeik, welche in Fig. 835 übergangen worden, ohne sonst etwas in der Aus- fahrung zu indem.
i 798. Daa ditfitragonale Piisma CcPn zu modellirez.
Je nachdem die Combination ocPn.OP säulen* oder tafelartig erscheinen soll , nimmt man ein langes oder kurzes Stück des tetragonalen Modellstabes, Fig. 836, bestimmt in seinen oberen Endkanten die Mittelpuncte u und die Endpuncte c ihrer von den Ecken aus ge- nommenen Segmente — , zieht die Linien ac und auf
den Seitenflächen parallel mit den Seitenkanten die Linien aa, wählt die ersteren zu Ansatz-, die ande- ren zu Bahnlinien, und führt die so bestimmten acht Schnitte.
Zusatz. Modellirung in der Maschine. Man spanne den Modellklotz in den tetragonalen Rahmen, gebe der Säge die verticate Lage, stelle den Index auf einen der Puncte ji, und centrire die Säge in Be-
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512 Angewandte Krystallographie.
eng auf eine der Endkanten des Modellklotzes; hier» anf führe man den ersten Schnitt, stelle nachher deu Index successiv auf die übrigen sieben Punote ji, and führe bei jeder Stellang einen Schnitt \¥ie Torher.
IV) ModMirung der kexagonalen Geitaiien.
$. 799. Fig;ar und Dimensionea des Modellklotzes.
Fiirdie holoedrischen und hemiedrischen Gestalten des Hex ago|^alsy Sternes geht man Ton einem hexago-^ naleil Prisma aus, dessen End- und Seitenkanten in einem solchen Verhältnisse stehen, wie es dem um die verlangte Gestalt umschriebenen Prisma der Ne- benreihe zukommt, indem der Modellklotz einer je* den Gestalt die um selbige umschriebene C«mbination 00P2.OP ist. Sollen daher die verschiedenen GestaU ten einer und derselben holoedrischen oder hemiedri'* sehen Krystallreihe unter Voraussetzung gleicher Ne« benaxen modellirt werden, so hat man die sämmtli- chen Modellklotze aus einem und demselben hexago* nalen Stabe zu schneiden , an welchem wir die Breite der Seitenflächen =:1 setzen wollen. Dagegen sind die tetarto6drischen Gestalten, sofern solche mit der- selben Grösse der Nebenaxen wie ihre resp. Mutter-> gestalten dargestellt werden sollen, aus einem trigo- nalen Prisma zu schneiden, an welchem die Breite der Seitenflächen dreimal so gross, also :^3 ist.
Für jede Gestalt mPn, sie mag nun holoedrisch ^ hemiedrisch oder tetartoSdrisch darzji^stellen seyn, ist die erforderliche Länge des Modeliklotzes = «ia^9 wenn die Breite der Seitenfläche des^ hexagonalen Modellklotzes =^ 1 , des trigonalen Modellklotzes :=s 3 gesetzt wird. Die Seilenkanten des Modellklotzes müssen also zu den Elndkanten desselben für holoe- drische und hemiedrische Gestalten in dem Verhalt*
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ModelUttmg der Kry^allfbrmen. Cap.L 513
niise 0iiif/3:l, für tetartoSdrische Gestalten in dem Verhältnisse MEa^:3 stehen.
§. 800.
Blemente für die yerschiedenen Gestalten.
£s 8eyTig.837 der Modellklotz zu einer dihexa- gonaleii Pyramide mPh, also
EG == EF= Fa= eJRT = 1 nnd EU = FÜ= QU = ma^ femer JfX, MY und jtfZ das System der drei Axen, «o ist
die Gleichung der am Pnncte Z oben rechts liegen- den Fläche der Pyramide, welche die Kanten des Mo- dellklotzes in den Puncten L und J schneidet; und es kommt Alles darauf an, die Grosse der Segmente KLj Ol, El nnd FI zu bestimmen. Nun sind die Gleichungen
der Linie KG^ ^ = «ia, jf + 2:==! - . - EU, y = i, 2? = f . . . FU,y = ^, %^-\ ... Gft;,y = -~4, z=\ Combinirt man diese Gleichungen mit jener der Pyramidenfläche, so erhält man die Coordinaten der resp. Purchschnittspuncte h und J. Da nun die Coor. dinaten derPuncte'jK, 6, £ und /^gleichfalls bekannt sind, so ergeben sich folgende Werthe für die Seg- mente der End. uhd Seitenkanten:
KL = '^^^ xKG^FL Gl =t= ?!^ X GU Fl = EI = ^^4^ X EU
n. 33
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&14 AngeuHindUe Krystaäogrcqplhie*
Di68e Ekmente, van wekhen man jedoch bei der Auiäfuhrnng nnr KL und QI vol beracksiebtigeit braucht, bUden die Grundlage für die Modellimng der holoedrischen und hemiedrischen C^estalten.
Für die tetarto^drischen Gestalten dagegen , deren Modellirung ein trigonales Prisma von dem Verhältnisse
Endkante : Seitenkante =c 3 : ma^ cn Grunde liegt, Fig. 844, wird die Lage der Fläche, welche die Axen der Xy y und z in den Parametera ma, n und 1 schneidet, durch die Dorchschnittspuncte L und I bestimmt, daher die Segmente JSX, FLy KI und Ft berechnet werden müssen ; man findet
KI = ^^:=^ XKU
n
FI r== — XFU
n '
§. 801, IKe hexagonale Pyramide mP so modeUireu.
Für mP ist • =x 1, also
Klj=hX KG GI^^XGU^ FI
woraus sich folgende Constrnction ergiebt«
Man schneide ein hei^agoimlieg Prisma ton den Dimensionen
Endkante : Seitenfiante = 1 : sia)/9 theile die Endkanten in zwei, ^e Seitenkanten in drei gleiche Theile, Fig. 838, so bestimmen sich in jenen die Puncto a, in diesen die Puncte c; hierauf veri binde man jeden Punct 0 auf den Endflächen mit dem diametral gegenüberliegenden Poncte ä durch die Li- nie aoy auf den Seitenflächen mit den beiden sun&ckst
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ModelÜrimg der Krystallformen. Cäp.I. 615
gelegenen Pancten c durch die Linien oc, wftlil^ jen^ SU Ansats-, diese zu Bahnlinien, lege die sech« Sohnitte Ton der ersten Endfläche bis etwb über di<^ Ponete er ^, fähre die sechs Schnitte Ton der «wei«' ten Endfläche sogleich durch, und Tollende dann di^ ersteren Schnitte, so resultirt die verlangte hexago^ nale Pyramide.
Zusatz. Hat man einen faexagonalen Rahmeh auf dem Modellträger der Maschine, nebst der zuge- hörigen Theilung zur Steihtng des Index, so lassen sich diese und alle folgende Gestalten ohne Construction sehr leicht in der Maschine modeltiren.
§. 802, Das HfN>i»boSaer — od«r Mit tu meaelliiräo.
Man schneide wiederum ein hexagonales Priifmik von dem Verhältnisse
Endkante : Seitenkante = 1 : ma^i bestimme die Mittelpuncte n der Enilkanten, Fig. 839^ und nehme in den Seitenkanten abwechselnd oben und unten ^ ihrer selbst, so ergeben sich die sech« Puncte c. Hierauf verbinde man jeden Punct a imt dem in derselben Endfläche diametral gegenüberlie^ gßnden Puncte a durch die Linie aa^ mit dem zunächst gelegenen Puncte c durch die Linie acj wähle die er* steren zu Ansatz-, die anderen zu Bahnlinien^ uiid führe die so bestimmten sechs Schnitte, so resultirt
das verfangte RhomboCder ~- oder mK
{. 803. Die hexagonale Pyramide mVt zu modeDireik
Man schneide ein hexagonales Prisma von den Di« mensionen
Endkante : Seitenkante ss I : mm^ ziehe a«f beiden EadflHchen die Diagonalen M, Flg.
33*
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;^16 AngeuHoidte Krystaüographie.
8^, und verbinde aaf den Seitenflächen die Mittel-» pnncte c der Seitenkanten mit den Eckpuncten durch die Linien acj wähle die ersteren eu Ansatz-, die anderen zn Bahnlinien, führe die so bestimmten Schnitte dnrch, mit Berücksichtigung der gewöhnlichen Regel, dass die sechs ersten Schnitte anfangs nur angelegt werden dürfen, so resultirt nach Vollendung der Ope« ration die hexagonale Pyramide mff2*
i 80*. Die diheugonale Pyramide mVn zu modelBreiL
/Man schneide ein hexagonales Prisma von den Di- mensionen
Endkante : Seitenkante = 1 : ma^i nehme von allen Eckpuncten aus In den Endkantea
2 n
die Segmente ■ •. ^, in den Seitenkanten die Seg-
, 2» 1
mente — ^~ — , so bestimmen sich in jed^r der erste-
ren zweiPuncte a, in jeder der anderen zwei Puncto c, Fig. 841. Hierauf verbinde man jeden Ponct a auf den Endflächen mit dem diametral gegenüberliegenden Puncto a durch die Linie aa, auf den Seitenflächen mit dem, jenseits seinem Nebenpuncte a zunächst ge^ legenen Puncte c durch die Linie ac^ wähle die er- steren Linien zu Ansatz-, die anderen zu Bahnlinien, und führe von jeder Endfläche aus zwölf Schnitte mit Berücksichtigung der gewohnlichen Vorsichtsregel, go resultirt nach vollendeter Operation die verkoigte di* hexagonale Pyramide mlfn*).
*) Man konnte audi noch in den Seitenkanten die Segmente .^^t besümmen, nm für jeden Schnitt zwei BahnHnien xn eihsi-
ten, doch adieint die» nicht noihwendig, weil zwei Linien die Richtung der Sftge hinreichend beatammen.
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ModelUntng der Krystallfbrmen. Cap.I. 517 f. 805.
Dm hex^igonale Skaienoeder ^~- oder mR za modeUireii.
Man schneide ein hexagoncjes Prisma von ^en Di-
mensionep
ilndkanCe : Seitenkante =x i ; ma^
Qehme in allen Cndkanten beiderseits von ihren Eck-s
2 n
pnncten ans die Segmen^ , nnd in den Seiten-
kanten abwechselnd von oben nnd nnten die Seg«
2n 1 /
inenle — =— - , so bestimmen sich in jeder Endkante
swei Pnncte a^ nnd in jeder Seitenkante ein Punct c, Fig. 842. Auf den Endflächen verbind^ man nun je «wei einander gegenüberliegende Punate a darcl| die Linien aa, auf den Seitenflächen jeden Punct a mit dem, jenseits s^es Nebenpni^ctes a gelegenen Pnncte € durch die Linien oc, wfthi^ die ersteren zu Ansatz-^ die anderen zu Bahnlinien, und führe von jeder End- fläche die 119 bestimmten sechs Schnitte ^ so restiltirl
mPh
das verlangte Skaienoeder — ^
I«t das SkalenoMer durch sein secandäres Zeitihen
gegeben, so kann man entweder dasselbe in das iqui^
valente primitive Zeichen übersetzen (f. 304), um die
Segmente der End- und Seitenkanten des Modeliklotzes
zu finden, oder sich auch der, dem secundären Zei-^
chea iviJS* unmittelbar entsprechenden Werthe
2
^ für das Segment der Endkante
— ^^ für das Segment der l^itenkante bedienen.
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520 Angei4fandt€ Kry^taUographie.
2» — 1 and zwar von jedem Ecke ans nar f e eines dieser Segmente, oben und unten widersinnig, so dass eipem oberen Segmente Em ein unteres Segment Ee ent* sfiricht, Figk 846; femer b^timme man Foa den lEcken ans in den Soitedkanten die Segmente
verbinde blerauf jeden Pnnct a in den Endflächen mit dent diametral gegenüberliegenden Puncte e durch die oe, in den Seitenflächen ndt dem mmltcluit liegendea Puncte c durch die ac^ auch jeden Punct e In den Seitenflächen nüt dem entfernteren Puncte c der nach-« sten Seitenkante durch die eoy wähle die me zu An-* satz-, die ac und ec zu Balmlinien, und f&hre die so bestimmten sedis Sehnitte, so rebnltlrt das rer« langte TrapezoMer.
Will man zu einem dieser TrapesoSder das eom-^ plementare, wie reichte oder link» yerschiedea» mo^ delliren, so bat man nur in einem zweiten Modell- klotze die Segmente Ee und Eä nadi entgtogenge^ setzten Richtungen zu nehmen.
V, ModeUirung einer rhombischen und monokUnoedriechet^
Gegtalt.
§. 810.
Eine rhombische Pyramide vm nodeUlren.
Soll irgend eine rhombische Pyramide von den Di« mensionen a:b:e modelllrt werden, so schneidet man zuvörderst ein rechtwinkliges Parallelepipedoo, des* sen dreierlei Kanten in dem Verhältnisse aibie ste- hen, und welches daher die, um die verlangte Pyra*^ mide umschriebene Combination QP.ooPoo.ocP(X> ist, Fig. 847. Hierauf zieht man die Diagonalen aller Flä- chen, wählt die auf den beiden Flächen OP gesoge-
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ModelUrmtg der Kty$tattformeTi. Cap.L 521
neu DiagonaScn m Ansatac-, die übrigen Diagpialen SU 'Babnliniea^ und fuhrt die so bestinuateiv acht 8cli|iitte aus. ^ ■ '
Man kann jedooh auch von einem der, xu d«* ver«* langten Pyramide gehörigen Prismen ausgehen, indem man z. B. die Combination ocP.OP in einer solchen Länge schneidet, wie es die Hauptaxe der Pyramide fordert, darauf die Mittelpnncte aller Kanten bestimmt und ^e Medeliirung auf ähnliche Weise voUf&hrt, wie jene der tetragonalen Pyramide mPoo in f. 794.
Soll das «US der Pyramide abgeleitete Sphenoid dargestellt wenfen, so legt man das rechtwinklige Parallelepipedon m Grande, führt aber von jeder seiner Endflächen nur zwei Schnitte.
i 811.
Eine monokUnoSdriflche Pyramide zu siodeUirwi.
Soll eine voIlstfUidige monoklinoädiische PyraAud^ von dem Verhältnisse der Dimensionen a : b : c und dem Neigungswinkel OP : cx^Poo =i= C modellirt wer«* den, so schneidet man erst ein rectangnläres Prisma, dessen dreierlei Kanten das Verhältniss
a + bcoiC : bsinC : c haben, und von welchen das eine Flächenpaar =cxPao, das andere =7((X)Poq), Fig. 848. Hierauf nimmt man in denjenigen Kanten, welche den Combinationskan- ten dieser beiden Flächenpaare entsprechen, tou den Ecken aus die Länge
£^ s beoiC und zwar in je zimen Kanten in entgegengesetzter Richtung, zieht die Ansatzlinien AB und die Bahn*» Unien AA, und fährt die so bestinunten zwei Schnitte, so resnltirt das schiefe Prisma AB AB als die, um die verlangte Pyramide umschriebene Combination OP. <x>Poo.(ooPoo). Auf den Flächen dreses Prismas zieht man endlioh die Diagonalen aller Flächen, wählt die
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524 jing€Uf€Mite KrystaUographie.
I, GeiHUten de$ Tesserahyatemea. A. ^oloed^ia<:h« Geatalteq^
i 813, Nets dea Hexa^Sdan ooOoo.
Da daa HexaMer von 6- Qaadraten amseh tonen wird, 8<y Ist die eiafaciitfte Constmetioa seines Netzes folgende. '
lieber d^ Linie 3 (iahio tfber der gasMen Teriangs tenHdhe des Hexaeders) zeiehne ein Quadrat a, Fig. 849, über 4ett Tier Seiten desselben die vier Quadrate hj und endticb über der von a abgewandten Seite ei« nes der Quadrate b das seoliste Quadrat <i.
Oder: ziehe zwei neb reehtwinklig schneidende Linien^ frage von ihrem Durchscbnittspuncte A aus a» L&nge 2 in die erste Linie nach einer Ricbtimg ein, nach der andern drei Mal, in die zweite Linie nach <^ep Richtung ein, nach der andern zweiMal, so bestimmen sich die Pancte B, B^ B*, B^ und €^ C, C\ Durch die Puncte C lege Parallelen mit AB^ durch die Puncto B 'Parallele nüt^tf^so ist das Ter- langte Netz entworfen. r^i '
§. 814. Nets des Oktaeders O,
Da das Oktaeder Ton 8 gleichseitigen Dreiecicen umschlossen wird, so ist.4ie ein&^hste Construction seines Netzes folgende. t
Um zuvörderst die Seite der OktaSderilächen zu finden, construire man über dfer Länge lz=sACj Fig. 862, als Kathete ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck ACB; die* Hypotenuse AB desselben ist die gesuchte Seite. ■' '
Man ziehe nun eine Linie',' trage die gefundene Seite dreimal in dieselbe, so dass AB =rBC^sCD ~ 1^2, Fig. 6Ö0, beschreibe über AC aafw&rts un4
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ModelUrung der Kry$taUfotmen. Cap.H. 6815
Sber BB abwärts die gleichsdtigen Dreiecke ACE imd BI>F, Terlängere die jPB bis €f , die EC bl« H^ siebe diurch G und H Parallelen der AD^ dnreb B nnd C Parallelen der AE^ so ist das verlangte Nefs entworfen« .
Man kann dubei auch so Terfahren.. Ueber der gefondenen Flächenseife beschreibe man die beiden gleichseiligeR Dreiecke ABCj ABDy Fig. 851^ hier- afif nm CnndZ) mit dem Halbmesser d swepiE^eise, nnd trage die CA in jeden dieser Kreise von A ans drei Mal als Chorde ein, ziehe die Halbmesser nach den Endpunoten dieser Chorden, so ist das Nets ent-* werfen.
$. 815.
Nets des Rhcmbendodeka^ert doO.
Constrnctian einer Fläche. Nteh f. 124 ist fSr die Fläche des Rhombendodekaäders die Brachydiagonale =s 1 die Makrodiagonale »r )/2 . die Seite ... «= |/|^ Hierans ergeben sich swei Methoden 2ar Con-* ^tniction einer Fläche des Dodekaäders.
1) Constmire über der halben Lineareinheit AC als Kathete ein gleichsehenklig rechtwinkliges Dreieck,t ABCj Fig. 853, ziehe durch A eine Parallele der CjB, nnd mache AD =«= AB; verlängere die J^ und AD^ nnd mache die- VerlängeniBgen AC nnd AD' ihnen selbst gleich, verbinde die Poncte C, D^ C^ und D< durch gerade Linien, so ist CDC'D' der verlangte Rhombus.
2) Constmire über der ganzen Lineareinheit CC zwei gleichseitige Dreiecke CC'jBund CC'E\ Fig. 854, siehe die EE' und beschreibe mit der. halben' ££' oder mit der £jPzu beiden Seiten der CC^ die gleich« aehenkligen Dreiecke CC'D und CC'D\ M ist wie- An^fBL.CDCD' der verlangte Rhombus. .
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526 Angcipandie Kryttallographie.
Conitruction des Netze». Amr dete Pimct# Cy Rg. 8S5; der gefondenen Fläche begehreibe mit CD einen Kreit, trage in in selbigen die Makro^Agenml« DB^ jenseits ly sweimd als Cborde ein , se b^sditi- men sich die Pnncte D" nnd jy; über der D^iy und , jyiy beschreibe mm mit der Seite des Rhombus gleichschenklige Dreiecke, so bestimmen sieh di# Pnncte C «nd C*, nnd die Rhomben T tind 3 sind eonstmirt. Wiederhole dieselbe Constroetion votil Rhombas 2 aasgehend, so finden sich die Rhoiid>en 4 nnd 5$ anf gleiche Welse dtirch snccessive Wieder^ hotnng desselben Verfahrens von den FMcbea 4, 9 nnd 8 ans die übrigen Flächen bis 11; trage e^lifA die einzele Fliehe 12 nach, so ist das verlangte Netz entworfen.
Ein anderes Verfahteh ist felgemdesr. Ans den Pnncten D nnd jy des zuerst eonstmirten Rliom- bus, Fig. 856, beschreibe loit seiner Seite zwei Kreise; trage die Brachydiagenale CC^ in beide Kreise über C^ dreimal als Chorde ein, beschreibe über den sechs Chotim C'Ei EF und FG mit CZ> die sechs gleich- Schenkligen Dreiecke C'EBy EPH nnd FOK^ so sind sieben Flächen eonstmirt. Wiederhole dieselbe Con- stroetion dnrch Beschreibnng zweier Kreise nm die beiden Pnncte H als Mittelponcte , trage Jedoch i« den einen diei^r Kreise die Chorde £/^zn jeder Seite nur einmal ein, Terfakve fiktigens wie irorhei^, no werdenr die äbrigen täfd FMohen cönstniirt, nnd das Netz ist Totttadet.
f. 816. Nets des TriakitokUMen mO.
Consti^uction einer FlSche. Man Zeidme über der Lineareinheit PQ (Fig. 865) alr:Kathete ein gleichschenklig rechtwinklig^ Dreieck, P^B\ ziebe dessen HöhenMnie PV^ nnd dorch P eine Auzdlel#
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ModeltirMMg der Krysiaüformen. Cap.IL 627
der HRj imth V eine Paraltele der PH; maelM FM to M, FAT k= VW^ siehe die PJC^ «n4 endtich die VM, eo ist
^K die Grandlinie FT die Hdhenlinie riner Flftche Ton mO.
Der Beweis ist leicht s^d fahren, da die Linien PAf, PX nnd PV keine anderen sind als die Häuft* ^axe, die tdgonale nnd die rhombische Zwischenaxe eines ifiagonalen Hauptschnittes von s»0.
Constrnetion des Netzes. Zeichne eine FlS^ che ABC 'nach der so ehen gegebenen Regel, Fig. 857, beschreibe aus A mit AB einen Kreie, trage in selbigen die Grundlinie BC von B und C aus als Chorde ein, und siehe die Halbmesser nach den so bestimmten Puncten D und E der Peripherie, so ist das Flächensystera I construirt. (Jeher jeder der Grund- linien BC, BD und CE bescfhreibe mit demSchehkel AB ein gleichschenkliges Dreieck, und sogleich aus dem Scheitel eines jeden dieser Dreiecke mit AB als Halbmesser einen. Kreis. Trt^e die ^rtmdlinie BC Ton B und C, von B und D, von C und E aus in diese drei Kreise als Chorde ein, und ziehe die Halb- messer nac% den so bestimmten Puncten ihrer Peri* pherien, so sind die Flächensysteme 11^ IH und I¥ construirt. '^
Unterhalb der Grundlinie EF des Dreieckes 12 eonstruire ein congruentes Dreieck, beschreibe aus seinem Schehel Gr einen Kreis, und trage in selbigen die EF von E und F aus ein, setze dieselbe Con- struction Air die Kreise uttd reiq>. Flfichenisysteme VI, VlI und Vin ibrt, so ist das Netz das Triakisokta«- dort siO entworfen.
Ein anderes Verfahren ist folgendes, lieber der Fläche ABC^ Fig 858^, construtre das erste FM- diensjstem, wie vorher, verlängere die Grundlinien
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528 Attgewandte Krysiallograpbie.
BD wki CE bis sa ihrem DnrdMcknitte in ~M^ be- sdireibe au* M mit MC eines K^eui,- hierauf über BC mit derselben MC ein gleichschenkliges Dreieck^ und ans dessen Scheitel M^ einoi «weiten Kreis, end- lich mit der Linie MB aas M and M^ siwei kleinere Kreise. In jeden der grossem Kreise tri^ von C aas die BC dreinml als Chorde ein, siehe die Radita nach den so bestimmten Pancten beider Peripherien, beschreibe aber jeder der Chorden mit AB ein gleich* schenkliges Dreieck, and siehe Linien ¥on den Schei- teln derselben nach den Darchsobnittspuncten je zweier Badien mit den kleineren Kreisen^ so ist das fot- langte Nets entworfen.
i 817. Metz des TetrakiBhexiÄden ocOii.
Ci>nstraetion einer Fläche, lieber der Li- neareinbeit PQ, als Kathete, Fig. 960» beschreibe das gleichschenklig rechtwinklige Dreieck Q,PR, verlfin- gere die eine Seite PQ, and mache PN =^ %\ ziehe lUe Hdhenlinie PV and die RN, so ist
RS die Höhenlinie der gesnchten Fläche. Mache nnn wiederum VX = VW sr 4PQ, ziehe die PX, and durch S eine Par- allele der R^^ so ist
ST die halbe Grandlinie der gesuchtem Fläche«
Cp.nstrpction desNetzes. iCoAs^rnire aas dea gefundenen Elemente^ eine der Flächen ABC^ Fig. 869, ao,d über ihrer Grundlinie die zweite Fläche BCD^ beschreibe aus A and D mit AB zwei. Kreise, trage in jeden derselben die BC nach einer Richtung ein Mal, nach der andern Richtung zwei Mal alsChorde ein, und ziehe di« Radien nach den Endpuncten der Chorden, so sind die Flächensjsteme .1 and II con'> struirt. Ueber den beiden letzten Chorden jedes Krei-
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JtlodeUhrung der KrystcMformen. Cap.II. 52ft
Mt (also über der 4 und 5,7 und 8) beschreibe mit AB die gleichscheiikligeii Dreiecke 9, 10, 11 und 12, BBd sogleich aus dem Scheitel jedes dieser Dreiecke mit demselbea Halbmesser einen Kreis; trage die GmndHnie BC in jeden dieser Kreise nach derselben Riehtnng drei Mal als Chorde ein, ziehe endlich dl» Radien nach den so bestiltaniten Pnncten ihrer Peri- pherien! s^ ^^ ^ Nets des Tetrakishexal»ders toQ- endet
f. 818. Netz dfis IkomtetraSdert mOm^
Constrnetion einer Fläche. Man kann diese Constmction auf den Satz gründen, dass die symme* frische Diagonale jeder Fläche des IkositetraSders von der gleichschenkligen Diagonale in rationalen Verhält- nissen gesdinitten wird. Wir fanden nämlich oben in i 121 nr& m nnd IV,
symmetr. Diag. J=lffl^^±i gleichsch. Diag. D' = -^
Nennen wir min das kleinere Segment der sjrmme- trischen Diagonale S^ das grössere ^, so ist
folglich anch
-'-2(si+ir
nnd
Kennt man also die gkidhscheilklige Dii^onale nnd längere Seite der Deltoidfläehe, so ist sokhe II. 34
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530 jingewandte Krystailograpkk.
iBUtht n Mastmirdni es fin4ea «ich ab#r hmtU Li» niea l^ick« vi Ngwde Art. In der Linie BC, Fig. 866» oÜPHi 4i?3=3l» ^C»9i» errijohte in ^ em% Normale, und n^ache ^0 = ^4« = 1» nebe c^ CD und D^, und diacU A ihre PanHeleu A(^ wmA AE^
AE die gteiehflcIimJUige Qiagenale» AF die längere Seit% det geiuohten Deltoides; denn
CBiBD=CAiAE
wdchet der Werth der Diagonale,
CBi CD^ABiAF
welches nach (. 121 der 'Werth der längexen Seite.
Man beschreibe nun über AE als Grundlinie mit AF ein gleichschenkliges Dreieck AEF^^ Fig. S63, liehe dessen Höhenlinie FGy verlängere solche, und
mache ihre Yedängemng GJr=— ^— xi^» «i«he
die AB[ und EHj so ist das Deltoid constrnirt.
Anderes Verfahren, lieber der Lineareinheit PQ alu KalheCe beschreibe das gleichschenklig recht- winklige Dreieck PflRy Fig. 859, siehe dessen Hö- henlinie PVj und wiederum die PX nach derselben Regel wie in den §§. 816 und 817. Verlängere die PQj und ziehe durch P eine Parallele der QJR^ mache PM=PN—my PU^U wehe nun die BN, ufelcbe die Pr in S, femer die Süf, welche die PX in T schneidet*), und endlich die T(/, so ist
^ IMe Flgsr htoMki sich auf die VsrieUit t02, in wdcbar 4MiJpa»c(t X ned ^ saauSMafiAea.
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ModelUrung der Krystallformeru Cäp. II. 531
RS die längere Sehe, 8T cKe kürzere Seite, TU die symmetrische Diagohafe der Fläche von mOm, aas welchen Elementen diese Fläche mit Leichtigkeit construirt werden kann.
f. 81». Fortsetzvng.
Constrnction des Netzes. Zeichnei nath der Regel des vorhergehenden §. eine Fläche, 2. B. die ARCDj Fig. 862^ beschreibe mit ihrer längeren Seite ausweinen Kreis, trage in selbigen die gleichschenk- fige Diagonale BD drei Mal äh Chorde ein, «nd ziehe die Radien der dadurch bestimmten Poncte £, Fnni G der Feriphetie. Ueber DEj JEfF und FO bestimme nnn die Fnncte C*^, C nnd C eben so, wie der Panct C über BD bestimmt wnrde, so sind dfe Deltoide 1, 2, 3 nnd 4 construirt.
Beschreibe nun aus C, C^, C^ und C mit der kür- zeren Seite BC Bogen, welche die in Gedanken ver-^ längerten- symmetrischen Diagonalen dier Flächen 1, 2, 3 und 4 schneiden; hierauf ans B und i>, D nnd JS u. s. w. mit BD Bogen, die jene ersteren Bogen -schneiden , so bestimmen sich die Puncte H und K^ W nnd K* n. s. w. Beschreibe endlich über BH und DKj über DW und EK' u. s. w. mit AB gleich- schenklige Dreiecke, so sind die Flächen 5 bi» 12, oder die Flächensysteme t bis IV, construirt.
An die Fläche 9 tege nun: die Fläche 13, an diese die Fläche 14, beschreibe aus dem Puncte A der letz- teren mit AB einen Kreis, und' vollende die CoH- iftmction für die Flächensysteme Y bis Ylir ganz stf wie vorher für die Fläcbensysteme 1 bis IT, so' ise das Netz des Ikositetra^ders entworfen.
Anmerkung. Man kann auch nach der Fläche 1 sogleich die Fläohe 6 zeichnen, nnd aus jf in i
34 •
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1
532 AngeuHindte jQ'yslaUographde.
und 14 statt des einen Kreises mit AB sogleick noch Ewe! concentrische Kreise mit AI und AH beschreib ben, wodurch die Construction sehr abgekürzt wird.
i 820. Nets des HexakUokta^den mOlL
Je swei in einer längsten Kante Ton mO» susam^* menstossende Flächen bilden, wenn man sie in eine Ebene ausbreitet, oder ihren Neigungswinkel bis za 180^ vergrossert, ein Deltoid. ^ Kann man also für mOn eines dieser Deltoide construiren, so hat man nur 24 derselben nach der im vorigen §. angegebenen R^el zu einem Netze zu vereinigen, um die Aufgabe SU lösen. Das Deltoid ist aber gefunden, sobald man eines seiner Dreiecke, oder eine der Flächen von mOn zu construiren weiss, welche daher zuerst ge- funden werden muss.
Construction einer Fläche. Bei £eser Con* Btruction wird die der Fig. 859 ganz ähnliche Fig. 864 zu Grunde gelegt, indem der wesentliche Unterschied nur darin besteht, dass zwar PMsssm^ allein PiV=ir genommen wird. Im Uebrigen verfiUirt man ganz sa wie in §. 818, und findet
RS, die mittlere Seite, ST, die kürzeste Seite,*) TU, die längste Seite der gesuchten Fläche von siOii.
Nachdem so eine Flädie AJPS, Fig. 863, gefun- den ist, construirt man über ihrer längsten Seite FH in symmetrischer Lage eine zweite Fläche EFB^und erhält dadurch das Deltoid AFEH, als das Element des verlangten Netzes, welches aus diesem Elemente ganz nach derselben Regel entworfen wird, wie das
*) Da rieh die Figur auf ^e VarieiAt S0| berieht» ao Men die Pallete X and T wiederum
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Mod^l^ung der KrysiaMfbrmei^ Cap.IL 533
Net2 des IkositolraSden. Ist das Nets der 24 Del« toide vollendet, so sieht man die sjrmmetriscben Dia^ gonalen der sämmtHdien Fliehen, und geku^ so auf das verlangte Nets des HexakisoktaSders siOhü.
|i) 6eneigtfl&€hig-«emiteiier%le Gettali^n,
f. 821.
)leb( dw Telraftd« ^
Da die Eantenlinie des Tetraeders == 2^2 f alsa zweimal so lang als jene des Oktaeders, so nehme man die doppelte Seite der Okta^derfläche in f. 814, ffage ' seihige s^ein^d m eine gerade Linie ein, so ^ass AB=BC=2^^ Fig. 861, beschreibe über i4C das gleichseitige Preieck ACD^ ziehe dor^h B mit AD und DC die Parallelen BD' und BC^ und endlich die CD\ so ist das Netz des Tetr^ders entworfen.
Anmerkung. Eis wird hier' und im Folgeaden dorchgtngig vorausgesetzt, dass man die hejnißdri« sehen Gestalten von denselben Qimensionep darstellen villi wie ihiro resp. Mnttergestalteo.
§. 822.
Nets des Ti^gondodeka^dert ~^.
MuQ eonstruire die Fläche des IkositetraSders siOis, errichte in demjenigen Endpuncte der symmetrischen Diagonale, in welchem die längeren Seiten zusammen- tr^i^n, eine indefinite Normale, und verlängere die kürzeren Seiten, Ms solche dies^ Normale schneiden , so ist die Fläche des Trigondodekaäders construirt.
Das Netz wird nun ganz nach denselben Regeln entworfen wie das hi^he Net« d^ Tfiakjisqkta^deni in Fig. 857. Ans dem Scheitelpuncte A der ersten
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534 Angewandte Krystaüagraphi^. .
gefun^enea Elgche ABC^ Fig. 873, besakreibt maa nämlich mit CA eioen Kreis« trSgt in selbigen die BC sweimal ein, erhält so die Fläche 2 nnd 3, und «etst die Constraotioa fori, wie in |« 816} bis »Ue vior Flächensysteme entworfen sind.
$. 823.
Neto des DeltoiddodekaSders --—.
2
Construction einer Fläche« Die Höhenlinie U einer Jeden Fiäche des Triakisokta^ders mO ist «ach f. 122
^ K^MI^ + 1
*"='(2« + l)^ Diese linie verlängert sich durch die Hemiidrie SU der symmetrischen Diagonale D der Delloide des Dodeka^ers; es ist aber nach.f, 137
^ 2»if^4fft^ + i ^=* 4»» — 1
2»t)/2|/ggt^ + 1 ~(2si + l)(2«i — 1) folglich auch
2« — !^ Bezeichnen wir also mit 3 das kleinere, mit 2^ das grössere der Segmente, in welche die symmetri-» sehe Diagonale durch die gleichschenklige Diagonale getheilt wird, so ist
S:S' = 2m — i:2m + i Man construire also die Fläche des Triakisokta^ ders AEH nach der Regel des §. 816, Fig. 870, siehe die Höhenlinie HGj verlängere selbige übeir die Grund«
linie, mache ihre Verlängerung GF=^^^XBGj
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Moäelürung ^ KryetMformen. Cap-IL 53S
und siehe endlioh die AF und EFf so iMtAFBH daa verlangte Deltoid.
Cokiatruction des Netzet. Zeichne die FIftcbe ABCD nUch der so ebea angegebenen Regele Fig. 868| besehreihe ans A mit der längeren Seite AB einen Kreis I trage in selbigen die gleichschenklige IMago« nale BD yon B und D ans als Chorden ein, ziehe ^e dadurch bestimmten Radien, und beschreibe über jeder Chorde mit der kürzeren Seite BC ein gleich- schenkliges Dreieck, so wie zugleich aus dem Schei« tel. jedes dieser Dreiecke, und aiA dem Puncto C selbst einen Bogen, welchen die in Gedanken yerläiv* gerten symmetrischen Diagonalen der Flächen 1, 2 und 3 schneiden. Vollende die Construction der Flä- cheAsysteme I, II und III, lege endlich an das Flä- ehensystem I das System IV, und das ¥erlangte Nets ist entworfen.
f. 824.
Netz des HezakiBtetraSders .
Construction einer Fläche. Die kürzeste Kante C des HexakisoktaSders mOn wird durch die Hemi^drie zur längsten Kante C des Hexakistetrae- ders. Nun ist nach §. 116
^'^(m» + m + n)(n + i) und nach $. 131 •
^ __ 2mnVm^(H + iy+2p (mn + my — »* also auch
Ci^ 2m(n + i) p miß + 1) — n und die erforderliche Verlängerung JT von C, damit aus ihm C werde :
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536 Angewandte KrystaUograp^.
m{n + 1) — II Hierans M^ebt sieh folgende C^onstnictkMi derllft* che des Hexakistetraßders. Man seichne die Fläche ABC des Hexaldsoktaeder« mO», Fig. 867, reriängero die Icüraeste Seite BC übw die mitdera S^to hinaoa, mache die Yerlingerong
lind liehe die AD, so ist ABD die yerlangte Flftche. Construct^on des Netse^* Nachdem die Flft^ che gefanden, wird das Net« des HexalristetraSdera nach derselben Regel entworfen wie das Neti( de^ Dettolddodekaeders. Ma^ cpi^bjnirt nämlich sw^ der Ifefundenen Dreiecke zu einem Deltoide, entwirft da« Netz von 12 dergleichen Deltoiden, wie isß rorherge-» henden f , nnd zieht endlich die symmetrischen Diar gonalen derselben, so ist das Netz des HexakistejüriH Oders entworfen.
b) Psr4llelfHcl|i(<^ieniiteiteraIe Oeatf^Usa.
f. 825.
N«ts dm P«ntiigondodektMert ^^.
Constrncti^^n einer Fläche. Die Höhenlinie B der Flächen des Tetirakishexaäders verlängert sich durch die HemiCdrie zn den Höhenlinie BT der Flft^ eben des Penlagendodekaäders; neu ist nach |. 123
und nach §. 148 «Iso aaoh
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ModelUrung d^^ KrystaUforme^. Cßp^IL 537
jr=
and die erforderliche Yerlängenmg T ¥on Bf damit MA ihr B^ werde:
Die Constmetlon des verlangten Pentagenea hat niin keine Schwierigkeit. Man seidine nämlich eine Flftche ABC des Tetrakiahexaeden cx>Oii, Fig. 871, siehe die Höhenlinie AD^ vedängere sie Ifter die Grundlinie hinan«, nnd ncJime die Ved&ngemng DB
=s — ^^ADf 10 ist Afi die Höhenlinie des gesuchten
Pentagones. Da nun die Pnnote B und C den trigo* Baien Eckpnncten in der hemicdrischen eben sowelü, wie in der holoedrischen Gestalt, entsprechen, so sind* die Linien BE und CE xwei der gleiclien Seiten des Pentagones. Durch A lege man nun eine Parallele der BCy und mache JBjPst £jB, CG = CEy so ist i^ die Grandliaie des Pentagones.
Construction des Netaes. Zeidme die erste Flftohe ABCDEy Fig. 874, beschreibe aus ^ mit AB einen Kreis, nnd trage in selbigen die BE von B ans zwei Mal als Chorde ein, so bestimmen sich die Puncto B" und E\ Von B^ und JB" ans beschreibe aogleich mit dem Halbmesser BE die Bogen E^ und B'b\ und von E und B^ aus mit dem Hdlbmessor BC die Bogen b" und e'^, so bestimmen sich die Puncto jr und ^. lieber fifB' und E'E' beschreibe endUch mit AB zwei gleichschenklige Dreiedse, so bestimmen iuch die Puncto A^ und A% und die Pentagone 2 und 3 shid gefunden. Man verfahre nun mit der Fläche 2 wie vorher mit der FlSche 1, so finden sich die Flächen 4 und 5, hierauf mit der Fläche 4, und suc«* qessiv mit allen geradzahligen Flächen nach derselben Begel, so bleibt endlich, nachdem mittds der funflen
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^38 Angeivandte KrysfaUographie.
Repetition nnsers Yerfahreni aus der 8 die 10 und 11 gefiinden sind, nnr noch die Fläche 12 übrig, wel^ fdw ttadi dcnelben Regel naebgetragen wird,
f. 826. Netz des DyakisdodekaSden 1 — — 1.
Censtraotion einer Flftche. Die Kante B jeder bleibenden Fläche des Hexakisokta^ers mOm verlängert ikh darch die HemiSdrie ober die C himnui sa der längsten Kante S*' des Dyakisdodekaßders ; dia Kanten A and C verschwinden swar, nicht aber ihr Durchschnittspunct c, welcher unverändert der End* panct der trigenalen Kwischenaxe, und der Durchi* sohnittspunct der beiden aeuen Kanten C and C* bleibt; ausserdem tritt noch die neue Kante A" ein«
Wenn uns IT und A" gegeben sind, so ist ea sehr leicht, aus der Fläche dea HexakisoktaSdera auf die Flftche des DyaldsdodekaSders au gelangen ; denn wir dürfen nur die Seite B verlängern, Fig. 872^ big sie =sir, daranf ihren neuen Endpunct b mit dem Pancte c verbinden, so ist ic=C^, enäick iber A mit der gegebenen A!' und der geftmdenen C ein Dreieck beaehreiben^ so ist das gleichachenkl^ Tra* pezoid eonstmirt.*)
Die B^ und A" ergeben sich sehr leicht durdi M* gende Construction, Verlängere in Fig, 864, wo
*) Vergleicht man den Werth yon B' in g: 142 oiit }ei^em Ton B im $. 116 f to fiadet man, da«s
st» — 1 und folglich, dass die Yerlangeniog der Kante B, damit ale vblB^ werde, oder dass
'^ mä^l fvodurcfa naa auf dfs BestismaDg eines Punotes gelangen ksna..
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Modellirung der Kryst€$iiß)rmen. Qtp.IL 539
PN^Uy die PRj mache PL^PM^m^ «tid nebe die QXiy welche die BN in eiaem Pancte Y Mhn^U det, «o ist «BttiUelbar
iir=ir
iiAd somit Alles gefandea, wag gor CeMtHtetioa dea Trapezoides gefordert wird. :
CoDstruction des. Netzes. DasNot^ des Dia* Idsdodekaßders wird aif fUmliefae Art entwerfe«, wie das Net«, des PentagoAdodekaSders. . Man zeichnet Bämlich BUTÖrderst ..niwei, üi ihren längsten Seiten imsainnienstossende Flächein des Dyakisdpdekaäderst welche sonach ein anregelmässiges Sechseck ABCfkBM darstellen, Fig. 872, «ieht die Linie AEy und erhält so ein symmetrisches Pentagon ABCDE üher der AE als Grundlinie. Aus diesem Pentagone bildet man nun, gaoz.naeh denselben Regeln wie im vorhevgfheadea §., das^et« eines Pentagondodekaäders, beschreibt MchT her Ober jeder Seite AE mit AJf ein gleichscheidi:liges Dreieck AFEy und zieht die Linien jPT, so ist das ved^u^fte Netz des Dj^akisdodekaäders e^twofffe^.
H) Gestalten des.Tetragonalsysteoies.
jf) Holoidrinehe GMaUtn.
§. 827. Netze der tetragonalen Pyramiden mP und mPoo*
Consiruction einer Fläche von aP*. Ueb« der Lineareinheit (d. h. über der halbto Nebeaaxe) ids Kathete beschreibe ein gleicfaschenkligrechtwiakli« ges Dreieck MBCy Fig. 875 ; seine Hypotenuse ist di^ Grundlinie der Fläche ron siP. Verlängere die CM über J/, mache MA^=^may und ziehe die BAy so ist BA der Schenkel des gesuchten Dreieckes.
Construction einer Fläche von siPoo. Ver- längere in der vorigen Figur die BM über M^ ^^d
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540 Angewcmdie KrystcMogrofhiei
mache MfDssMBi Eiehe die DCj veilängere ide ibet <7, maehe CB=^ma^ luid riehe die BE^ so ist BD die Gnmdliiiie and BE eiiieir dop Sdmdcel der HS- cken Ton mPoo.
Conatmction des Netzes. Zu beiden Seiten der gefondenen GnandBnie besclireibe mit dem gelan-* denen fidienkd die zwei Dreiedce ABC vnd A^BC^ Fig. 876 9 nnd sogleieli ans A nnd A' als Blittelpnno- ten mit AB als Halbmesser zwei Kreise; in jeden dieser Kreise trage die B irii Mal uh Cherde ein, vnd siehe die Radien nach den Endpnneten diesor Chorden, so ist 4aa Nats der PyrasudesiP oderipPop fntworfei^
I. 829. Nets der dUetn^nekn P^ynaiAe s^s.
CTonstrnetion einer Fläche. Beschreibe das gleichschenkligrechtwinklige Drrieck 3fBC wie Vor- her, Figb877, siehe dessen HdhenUnie^ verlSngeFe die eine Kathete MB fiber A, mache MN=^»^ MB^=n mal lege dnrch M eine Parallele der BC^ nnd madie andi JC4s;ssHi; inehe die CNi welche die Höhenlinie in einem Puncto J} schneidet^ hierauf die DA nad die CEt ao ist ^
CD die MittelkMte Z^ DA die diagonale Polkalte F, CE die normale Polkante X der Pyramide mPh, nnd folglich Alles gefiandenj waa gur Construotion einer ihrer fliehen erfordert wird.
Construction des Netxes. Je swel in einer der längeren Polkanten^ susammenstossende Flächen von mPi» bilden I wenq man sie in einer Ebene aus^
*) Au4 S. 223 lit bekamie, dase ^ die Ifingere PoUciurte Ist, wenn s<S,4i4..., hingegen Y die längere Pc^kanU, wenn »]> ab dieser Wertli»
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ModeWrung der Kryi*aüfafmen. Cop.tl. 541
bieitet, od«r ihren Neigangtwinkel bis auf 180^ Ter- grossert, ein Deltoid. Man bilde also xavdrdent ans Mweien der gefiindenen Flidien eineg dieier Deltoide ACDEj Fig. 878, nnd lege an eine der kürzeren Sei« ten desselben sogleich ein «weites Oelloid ACDE in symmetrischer Lage; beschreibe hieranf ans A nnd A^ mit der längeren Seite AC xwei Kreise, trage in selbige die gleichschenklige Diagonale CR dreimal als Chorde ein, siehe die Radien nach den Endpanc- teti dieser Chorden, nnd beschreibe endlich Aber jeder Chorde mit CD ein gleichschenkliges Dreieck, so sind 8 Deltoide, nnd, nachdem man ihre symmetä« neben Diagonalen gezogen hat, die 8 Flächenpaare constmirt, und somit das yerlangte Netz der Pyramide mPh entworfen.
B) HmUiritche GeMiaUmt.
|. 829.
siP Nets des tetragonalen Sphenoldet — .
Zeichne eine Fläche der tetragonalen Pyranude mP nach der Regel in f. 827, nnd lege dorch ihre Win« kelpnncte Parallelen der gegennberliegenden Seiten; 80 ist eine Fläche ABC des Sphenoides constrairt» Das Netz kann man nun entweder so entwerfen, dass man wiederum durch jeden Winkelpunct des Drei- edceSiUlC Parallelen der Seiten legt, wie in^Fig. 879» oder dass man durch A eine Parallele der BC legt, dte BC selbst verlängert, und dann
durch C eine ParaHde der ABj
m m J} m ««« • AC ^
-•JB« ••• • AB$ legt, wie in Fig. 880.
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542 Angeupandte krystaÜograpJue. §. 830.
M«ts des toIngoMleli SMleMdte» ± — !^
Constmction einer Fläobe. Die diagonale Polkante Y der ditctcagonalen Pyramide mPn Verlan* gert sich dnrcb die Hemiedrie sur längeren Polkanle F" des Skaleno^derSx ^vährend ihr normaler Mittel- puDCt der Halbirungspnnet für die Mittelkante de« Skaleno^dem wird. Es kommt also nur darauf an^ die Verlängerung ron Y zu kennen, am aus der Flä- che der ditetragonalen Pyramide auf die Fläche .de« Skalenoöders au gelangen« Nun ist nach §» 223 in der Pyramide
n + 1 und in dem SkalenoSder, nach §. 235 ,
n also auch
und die erfeirderlicbe Verlängerung von Yj damit ami 9im y werde,
II
HeMMW ergiebt sich folgende Confltruction det Sin* l»no€derfläche. Man zeichne eine Fläche ABC der ditetragonalen FyvaHiide «iPn, Fig. 8&1, i^erlängere die der diagonalen Folkanie enteprechende Seite JJt^ und mache die Verlängerung
n ziehe hierauf die DC^ Terlängere solchie Sber C, und mache C§s=CD^ ziehe endlich die AEy ao h^ADJS die verlangte Fläche des SkalenoSders.
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Modeltirung d^ Krystcßlfotmen. Cap. IL 543
Co^nstruction d»9 Netze». Je zwei Flächen eines FläclieBpaaves. des Skaleno^ers bilden, wenn man sie in ein^ Ebene ausbreitet, oder ihren Nei« gu^swinkel bis auf 180^ Tergrdssert, ein Deltoid. Man aeicbae nmn aii¥ÖTdeist ein dergktcben Deltekl ABCDf Fig. 882, ziehe *t»%em gleichschenklige Dia* gMisde BCy yerifogeffe solcke nach einet Seite , luid lege durch D eine Parallele derselben, hierauf durch C eine Parallele der BD, durch B und E Parallelen der CD, so bestimmen sich die gleichschenkligen Diagonalen PMy DM' md CE" der drei andern Deltoide; be^ schreibe hierauf über jeder dieser Diagonalen mit AB ein gleichschenkliges Dreieck, ziehe endlich die sjm" netrischea O&agonalen der Deltoide, sa ist das ret" langte Netz des SkalenoSders entworfen.*)
§• 83i. FlUcbe des Skalenoeders aus dem eingeschriebenen Sphenoide.
Man kann maA die Fläche ded Skalenoeders ans den durch sein .setnadätes Zeiehe« mS* gegebenen Elementen finden, wie folgt. 2uerjrt entwirft mmm eine Fläche ABCy Fig. 883, des eingeschrielMneit
mP
Sphenoides — oder mS nach der Regel des §. 829;
zieht hierauf die Höhenlinie' 1^:^, macht DE=2mai ^^^
DF=i(n-±)XDE, legt durch E eine Paridleb der BCy und macht M&=si DCy zieht endlicb die FB und FGy so sind die drei Kantenlinien des Skalenotfdars gefunden, denn es ist
*) Diese Constrnction des Netzes gilt zonädist für diejenigen Skalenoede», deren MitteUuinten länger sind als die küczoren Pol- kanten; für solche tetragonale SkalenoSder, deren Mittelkanten ' kürzer sindf ab diese Polkanten, ist das Netz nach einer ähnli- chen Regel zu entwerfen, wie das der hexagonalea Skaleno^der.
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544 angewandte KrystaUagraphie^
AB die Mittelkante Z BF die kuriere Polkante X FG die längere Polkante Y, Wenn n nicht sehr gross ist, kann man noch kur«» ter auf die längere Polkante gelangen, indem man sogleich auch EH sb DF macht, und die BH zieht^ welches diese Polkante ist Man erspart so dieCoift- atrnction der £6*
i 832. K«ts des tdrsfMidea Trapezoeden r^!^ «id 1^^
Constrnction einer Fläche. Die normalen Mittelkanten Z des tetragonalen TapezoSders ri^-^
sind der Lage nach identisch mit den Iffittelkanten Z^
aiPm des tetragonalen SkalenoSders ±-«7-9 wie dies nicht
nnr unmittelbar aus der Ableitung folgt, sondern auch aus der Identität der Gleichungen von Z in §. 234 und §.240 SU ersehen ist. Ständen nun die Linear« werthe beider Kanten zu einander in einem rationa- len Verhältnisse, so wäre die Constmetion der Flä- che des Trapezoäders sehr leicht aus jener der Ska- lenoäderfläche zu erhalten. Es ist aber im SkalenoS- der nach f. 235
II und im Trapezoäder nach f « 241
also auch
n+ 1 und folglich die normale Mittelkante des TrapezoS- ders wirklich ein rationales Submidtiplum der Mittel- kante des Skalenoäders.
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Modellirung der Krystcdlfornien. Cap.IL 545
Um daher die Fläche des Trapezodders zu finden, constmirt man xnvojrderst die Fläch^ .4FC, Fig, 884, der ditetragonalen Pyramide mVn nach der Regel in §.828, verlängert ihre diagonale Kantenlinie, ^^JE^und macht die Verlängerung
ÄZ> = — X ^Jff, n ,
rieht die CJ>,>^iind nimmt iron C ans die
» -|- 1 macht CF = €£, zieht die EB und AF, beschreibt aus A mit AF einen Bogen, welcher, die gehörig ver- längerte EB in G schneidet, so wird, wenn dieCon- struction mit gehöriger Genauigkeit erfolgte, BG =s BE^ und AFEG die verlangte Fläche des Trapezo^ders seyn.
Construction des Netzes. Man construire d« nes derTrapezoidei^ßCi), Fig. 885, und lege an seine längere Mittelkante CD sogleich ein zweites Trape- seid A'B'CD in entgegengesetzter Lage, beschreibe ans A und A^ mit AB zwei Kreise, trage in selbige die gleichschenklige Diagonale BD drei Mal als Chorde ein, ziehe die Radien nach den dadurch bestimmten Puncten , und beschreibe endlich über jeder Chorde mit den Seiten BC und CD ein ungleichseitiges Drei- eck, so ist das Netit des Trapezo6ders entworfen.
Anmerkung. Will man, wie dies jedenfalls zu empfehlen, das linke und rechte Trapezo^der zugleich darstellen, so entwerfe man dasselbe Netz zwei Mal, schneide beide Netze aus , mache jedoch ihre entge- gengesetzten Oberflächen zu den Aussenflächen vder Trapezoöder, so erhält man aus dem einen Netze
r— ^, aus dem andern P—-* Doch kann man auch
die Netze beider GegenkSrper unmittelbar conettruiren, indem man das erste Trapezoid den einen Netzes in n. 35
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546 Angewandte Krystallographie*
der Lage wie AFEG, Fig. 884, das des andern Netxes in der Lage wie AFEG^ Fig. 886, zeichnet.
tIL Gestalten (fe« Hsxagonalsysteme». A. Holoödriaelie Gestalttik
§. 833. Netze der heza^onalen Pyramiden mV und «iPS.
Construction einer Fläche von ff|P. Man seichne einen rechten Winkel, Fig. 887, mache den einen Schenkel AB =: 1, d. h. = der Lineareinheif, den andern Schenkel AC^^ma^ ziehe diefiC, so ist
AB die Grundlinie
BC der Schenkel vder verlangten Fläche.
Construction einer Fläche von mP2. lieber der Lineareinheit .^IB, Fig. 888, beschreibe ein gleich- seitiges Dreieck ABD, ziehe dessen Höhenlinie aus Af verlängere selbige, so wie die AB, und mache BF = ABy ziehe die DjP, welche ^e Höhenlinie in einem Puncto E schneidet; lege hierauf durch A eine Parallele der DB, mache AC = sia, und ziehe CJS^ so ist
AE die Grundlinie
EC der Schenkel der verlangten Fläche.
Construction des Netzes. Ueber der gefun- denen Grundlinie BCy Fig. 889, beschreibe man za beiden Seiten eines der Dreiecke, hierauf aus dem Scheitel jedes Dreieckes mit AB einen Kreis, trage in beide Kreise die BC als Chorde über C zwei Mal, über B drei Mal ein, und ziehe die Radien nach den Endpuncten dieser Chorden, so ist das Netz der hexa- gonalen Pyramide^ entworfen.
§. 834. Netz der dihexagonalen Pyramide mPn.
Construction einer Fläche. Ueber der Li-
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ModeUirung der Krystailfornu^ Cap^IL $47
neareinheh AB^ Fig. 890.3^ beschreibe, ein gleichseiti- ges Dreie^ ABDy ziehe dessen. Höhenlinie aus A^ ▼erlängere selbige so wie die AB^ and mache
BF^(n^i)X AB\ sdehe die J)Fj wdche die Höhenlinie in einem Pnncte J5 schneidet. Durch A lege eine Parallele der DB und eine Nonnale der ADj mache AC = AQ =3 «me, fiehe die DG und EC^ so ist
DE die Mittelkante Z lf:G die normale Polkante X EC die diagonale Polkante Y ^r Pyramide mPh, nnd folglich die y^dangte FiSche gefunden.
Coi^struetion des Netzes« Je zwei in einer längeren Polkante*) zusammenstossepde Flächen von miPn bilden, virenp man sie in ein^r E.bene ausbreitet oder ihj^en J^eigungswinkel bis auf 180° vergrö^ser^ €in symmetrisches Trape^pid oderDeltoid. Man zeichne nun zuvörderst zwei dergleichen Deltoide, in der Lage wie 4CDE und A'CpW in Fig. 878, beschreibe aus A und A' mit AC zwei Kreise, trage in selbige die g^eicl^- schenklige Diilgonale der Deltoide fünf Mal al^ Chorde ein, siehe die Radien nach den Endpuncten diesem Chorden, beschreibe üb^r ihnen mit der CD gleich-, •chenklige Dreiecke, und ziehe endlich die symmetri- schen Diagonalen der sämmtlichen Deltoide, so ist 4aft verlangte Netz entworfen«
B. Hemiedrische Gestaltea^
§. 835.
Nets de* Rbomluoeden --1 oder mtt.
2
Construction einei: Fläche. Man zeichne zn^
vörderst eine Fläche ABC^ Fig. 892, der Pyri^nide «iP,
—^— —«.——— *
*) Aus S- 821 ist bekan^, dass die npimale Polkante >=< als ^e diagonale Polkante» je nachdem n <:c:sssi'> 1,366... ist, .
35»
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548 Angennrndte Krystallographie.
nach der Regel des §.833, ziehe die IföhMdinie AIM^ verlängere solche über die Grandlinie, «nd mache ihre YerIängening/>£ = 4^.40; ziehe die EB und EC^ und darch A ihre Parallelen i4F und i4G, so iBtÄFEG die verlangte Fläche des Rhomboöders mR.
Construction des Netzes. Man zeichne eine der Flächen ABCD^ Fig. 891, nach der so eben ange« gebenen Regel, und lege an sie eine zweite n&che BCEFj indem man die AB und DC verlängert, und ihre Verlängerungen ihnen selbst gleich macht. Je nachdem nun das RhomboSder ein spitzes oder stmiH pfes, beschreibe man aus den beiden einander diago- nal gegenüberliegenden spitzen, oder aus den bei- den analog gelegenen stumpfen Winkelpuncten A und E mit der Seite des Rhombus zwei Kreise, Flg 891 und 893, trage in jeden derselben Hb nraobydiago- nale oder Makrodiagonale beiderseits als Chorde ein, ziehe die Radien nach den so bestimmten Puncten der Peripherien, und lege durch dieselben Puncte Paral- lelen der gezogenen Radien, so ist das verlangte Net« entworfen.
' §. 836. Neu des hexagonalea Skaleno^ora ±^^.
Die diagonale Polkante Y der dihexagonalen Py- ramide mPn verlängert sieh doich die H#miikkrie au der stumpferen Polkante Fi des Skaleno^ders, Wäh- rend ihr normaler Mitteleckpunct der Halbirangspunct der Mittelkante desselben wird. Kennt man* also die Verlängerung von V, so lässt sieh die Fläche des Skaleno^ders sehr leicht aus der Fläche seiner Mut- tergestalt finden. Nun ist in, der dihexagonalen Py- ramide nach f. 32JL
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Modellirung der KrystaUformen. Cap. IL 549 Bnd im Skaleno^der, nach §. 333,
ako auch
^•- 3«
2(it + l)
oad mithiB die Verlängerung S von F, damit ans ihr Kl werde,
3j» Hieraag ergiebt «ich folgende Methode zur Gon« struction der Fläche des Skaleno^ders. Man zeichne eine Fläche ABC der dihexagonalen Pyramide mPn, Flg. 895, verläogere die der diagonalen Polkante ent* apreohende Seite AB^ mache die Verlängerung
BD = ?^ X AB
3»
dehe die DC, verlängere selbige , nnd mache CE ss DC^ ziehe endlich die AE^ so ist ADE die verlangte
Fläche des SkalenoSders -^,
Constrnction des Netzes. Je zwei in einer längeren Kante znsammenstossende Flächen des Ska«, lenoMers bilden, wenn man sie in einer Ebene ans- breitet, oder ihren Neigungswinkel bis auf 160^ ver- grdssert, ein Deltoid. Man zeichne nun zuvorderst ein dergleichen Deltoid AB CD, Fig. 896, und an eine seiner kürzeren Seiten CD sogleich ein zweites A'B^CD^ beschreibe aus A und A^ mit AB zwei Kreise ^ trage in selbige die gleichschenklige Diagonale BD nach beiden Seiten ein Mal als Chorde^in; ziehe hierauf die Radien nach ihren Endpuncten, beschreibe über jeder Chorde mit der kürzeren Seite BC ein gleich- schenkliges Dreieck, und ziehe endlich die symmetri« sehen Diagonalen der Deltoide, so ist das Netz des Skaleno^ers entworfen«
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550 Jtngewandte Kry^aUo^taphiA, §. »37.
Flädie des Skitaoeder» inJS" am Minm dogoschrlebeaMi RHohit
bodder.
Man kann auch die Fläche des SkalenoSders au« den Elementen seines secnndären Zeichens »A* finden«
Zu dem Ende beschreibt man erst den diagonalen Hauptflchnil^i des eingeschriebenen Rhombo€ders mR^ wie folgt. Ziehe eine verticale Linie, Fig. 901, nimm Ton einem ihrer Punote ,if aus MA=BLfz=^maj MC = iffkf, MB = MB" = 1, beschreibe über BB" ein gleichseitiges Dreieck BB^Dj und ziehe dessen Ho* henlinie MD. Durch C lege eine Parallele der MB^ und ziehe die A^D^ welche diese Parallele in einem Puncte E schneidet; ziehe hierauf die AE und durch ^ ihre Parallele, so wie durch A eine Parallele der AfEj. so ist AEA'^Ef der diagonsje I^auptschnitt de« eingeschriebenen Rhomboßders mit, und AE 4i^Kan- teplinie desselben.
Mache nun AF=^{n, — l)x3fi#, »iejie die #^ und FEf^ so sind die drei Seiten der Fläche des Slyale- naä4^rs gefunden, denn es ist
AE die Mittelkante Z
FE die kürzere Polkante X
FE^ die längere Polkante Y
Die Construction des Netzes wird nun nach der R^gel 4es Yorher^ebenden §. vollzogen^
f. 838, Nets des hezagonalen Trapezoedera i*'--^«
Construction einer Fläche. Die normale
jrP» Mittelkante Zi des hexagonalen Trapezoäders ri^-^
ist der Lage nach identisch mit der Mittelkante Z
mP«
des SkalenoSders +— j-, wie dies nicht nur aus den in
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Modeüimng der KryatallfotTnen. Cap.IL 551
den {f. 296 und 310 anfgestellten Regeln der Ableitung, gondern ancb ans der Identität der Gleichungen Ton Z in §.332 und §.352 ^rhelh. Es ist aber auch die- selbe Kante des TrapezoSders ein rationales SubmnI* tiplum der Kante des Skalenoßders, und darauf^grün« det sich eine sehr einfache Constructionsmethode der Fläche des Trapezoäders. Vfix fanden nämlich in f. 333 für das Skalefto^der:
^= ^
und in §.353 für das TrapezoSder:
^ 2(»— l)r^g^(2— ii)» + 3ji« aKo ist auch
Hieraus ergiebt sich folgende Regel für die Con« struction einer Fläche des Trapezo^ders. Man zeichne eine Fläche ABC der dihexagonalen Pyramide siPii, Fig. 894^ verlängere ihre, der diagonalen Polkante entsprechende Seite AB^ mache die Verlängerung
BD = ?^ X AB
und ziehe dief DC\ mache nun
n-hl siehe die EB^ verlängere si^ uo wie die EC über B und C, mache
CF = CE
BG:= BE und ziehe die AF und AG, so int AFEG die verlangte Fläche des Trapezoäders.
Construction des Netzes. Man Zeichne erst ein Trapezoid ^I^CA, Fig. 898, und lege sogleich an dessen längere Mittelkante ein zweites AfB^CD an, beschreibe hierauf aus A und A^ mit AB zwei Kreise,
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552 Angeumndte Krystaüographie.
trage in selbige die gleicbeehenklige DiagoBale dier Trapesoide f&nf Mal ids Chorde eiir, ziehe die Halb- megirer nach den Endpimcteii dieser Cherd^n, und be- tehreibe endlich ober jedeir derselben mit den beiden kürzeren Seiten BC und DC ein nngleicbseitiges. Diet^ eck, so ist das verlangte Netz «itworfen^
'C. Tetartoedrische Gestalteik
f. 839. Netz der trigooalen Pyramide —^
Man construirt eine Fläche ABC der hexagonalen Pyramide i»P2 nach der Regel des |. 833, T\^, 897, verlängert ihre Grundlinie BO nach beiden Seiten, macht BD=:CE = BC, und zieht AD, AE, so ist ADE die ^Fläche der trigonalen Pyramide.
Man zeichne nun über der Grundlinie AIS sogleich eine zweite Fläche A^DE, beschreibe aus A und A^ mit AD zwei Kreise, trage in selbige die DE zwei Mal als Chorde ein, und ziehe die Radien nach den Endpuncten def Chorden, so ist das Neti der trigo- nalen Pyramide entworfen.
§. 840.
Netz des trigonalen Tcapezoeders W^^ü
Die längere Mittelkante Zt des trigonalen Trape- zoSders —^ ist der Lage nach identisch mit der Mit-
telkante Z des SkalenoSders — — , wie sich aus der
Ableitung beider Gestalten, und aus der Identität der Gleichungen von Z m %, 332 und §. 360 ergiebt Die- selbe Kante des Trapezoäders ist aber auch ein ra- tionales Multiplnm der Kante des Skaleno^ers; es ist nämlich nach |. 333 im Skalenoöder
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Modellintng der KryatallfoTßMn. Cap.II. 553
Z = 3j
und nach §.361 im trigonaleii TrapezoSder
^ _ 2(2» — i)t^m^u\(2 — ny +3n*
abe anch '
Z, =a (2» - 1)Z
und die erforderliche Verlängferang S von Z^ damit es in Zi übergehe,
S=2(n — i)Z
Anf diesem Verhältnisse beider Kantenlinien be- ruht einerseits die Constmction der TrapezoSderfläche; anderseits daranf, dass die kürzeren Mittelkanten des TrapezoSders die Nebenaxen in der Centraldistanz n schneiden.
Wir erhalten daher folgende Regel für die Con- stmction der verlangten Fläche. Man zeichne nach der Regel des §« 834 eine Fläche ABC der dihexago- nalen Pyramide «tPn, Fig. 900, verlängere die der dia- gonalen Polkante entsprechende Linie AB^ pnd mache
ziehe die DCy verlängere sie, mache ihre Verlängerung
DE = 2(ii — 1) X DC und sogleich CH ^s CEi verlängere nun die CB^ und mache
BF = nXBC
ziehe die £F, mache ihre Verlängerung FO ihr selbst gleich, und siehe endlich die AH und AO^ so iit AOEH die verlangte Fläche des Trapezoi^ders.
Constmction des Netzes. Man verfthrt gantf anf dieselbe Art wie bei der Constmction des Netses des hexagonalen Trapezoäders , und erliält $o das verlangte Nets tig. 899.
n. 36
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554 Angewandte KrystöUografhieu.
IV. Ge$taÜ€m de» rhomBiicken S^itemei.
A. Holoedrische Gettalteiu
§. 841»
Netz einer rhombischen Pyramide.
Die Fläche einer rhombischen Pyramide, deren Axen das Yerhältniss a:b:c haben, ist leicht g'efiin* den. Man ziehe zwei sich rechtwinklig schneidende Linien, Fig. 902, mache
MA == a, MB =± i, MC :ss c ziehe die AB^ BC tind AC^ so sind diese laniea die drei Seiten der verlangten Fläche«
Um das Netz zu erhalten, zeichne man zuTorderst zwei in symmetrischer Lage an einander stossende Flächen, ABC und A'BC, Fig. 903, beschreibe ans ih* ren gegei\überlif genden Winkelpnncten A und A' mit der kürzeren Seite AC zwei Kreise, welche die län- geren Seiten in den Puncten Z> nnd ly schneiden, trage in diese Kreise die DC drei Mal als Chorda ein, ziehe die Radien nach den dadurch bestimmten Puncten £, E und /*, verlängere die AF und mache AG = ABy ziehe endlich die BE^ EG und GCj so isf das verlangte Netz entworfen.
B. Hemiedrische GettalteD.
i 842. Nets des rhomhisobea SphoDoides.
Soll man das Netz des aus einer rhombischen Py- ramide abgeleiteten Sphenoides entwerfen, so zeich- net man erst eine Fläche dieser Pyramide nach deir Regel des vorhergehenden §., legt durch die drei Win- kelpuncte derselben Parallelen mit den gegenüberlie- genden Seiten, so ist 4ie Fläche des Sphenoides ge- funden.
Das Netz entwirft man entweder durch Wiederho- lung derselben Construction, in welchem Falle es
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Modellitung der Kryatallformen. Cäp.II. 555
tciaiigiilär, oder durch Anwendung der analogen Con- stmction wie in $. 821, in welchem Falle es rhom** boidisch wird.
V, GestaliBn Jet mcnoklinoSdriichen Sy$teme$*
§. 843. Nets tmtt Tolktäiidigen monoldiiioedrisdien Pyrttinida.
Die Elemente der gegebenen Pyramide sind das Yerhältniss aiiic^ und der Winkel C oder y Man ziehe zwei sich unter dem Winkel / 8chnei«> dende Linien, Fig. 904^ errichte aus dem Puncte M wtf jeder Unie eine Normale, und mache nun XLA^a MB=z MB" ^ i MC:=:t MC ^ c
siehe hierauf die AB^ AB'j AC und ßC^ so ist AB die klinod. Polk. von + P AB" -^ * - - - — P AC die orthod. Polkante BC die Mittelkante Man beschreibe also über BC als Grundlinie ein« mal mit AB und AC^ und darauf mit AB' und AC ein Dreieck, so sind die Flächen der beiden Theilgestal- ten der Pyramide gefunden.
Bei der Entwerfiing des Netzes hat man nur dar- auf zu sehen, dass die einzelen Glieder der Theilge-^ stalten gehörig vertheilt werden, indem sie einander diagonal gegenüberliegen müssen.
VL Ge9iaU0H ie% dÜ^ und trädmoidrücheu SjfStmei.
i 844. Nets einer ToUft&ndq^ di- oder triklinoedrifchen Pyramide. Die Elemente der gegebenen Pyramide sind das Yerhältniss uibic und die Winkel a, ß und y
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556 AngeiPandie KrystaUographie.
Man «eichn« mui erst zwei, sich unter dem Witt* kel y sehneidende Linien, Fig. 905, «nd lege dnrcli ihren Darchschnittspunct eine dritte Linie, welclie die MA unter dem Winkel ß schneidet, mache hier- auf Jlf^ = a, MB = Mß'=by MC = MC' = €, ziehe die AB, AB' und ACj Äff, so sind diese die Tier Pol- kantenlinien der verlangten Pyramide. Nnn lege man durch M eine vierte Linie JH9, , welche die BB^ unter dem Winkel a schneidet, mache MDz^MC = ej ziehe die BD und B^D^ so sind diese die beiden Mittelkan- tenlinien.
Nachdem so die sechs verschiedenen KantenHnieii gefunden sind, hat man bei der YerBeichnnng der Flächen der vier Theilgestalten sorgfältig darauf Acht zu geben, wie diese Flachen in Bezug auf die spitzen oder stumpfen Werthe der Winkel a, ß und y aus je dreien jener Linien zu construiren sind. Jede der driei Seiten einer Fläche überspannt einen jener Winkel; man hat aber bei der Constmction jeder Fläche dar- auf zu sehen, ob ihre respective makrodiagonale, bra- chydiagonale und basische Kantenlinie den stumpfen oder den spitzen Winkel /?, y und o fiberspannt, und demgemäss die längere oder k&rzere der Seiten AB'f AC und BD zu nehmen.
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