ΕἾ \1b 524
Library of the
University of Toronto
STILLMAN DRAKE
EYKAEIAOY TA ZOZOMENA. EUCLIDIS QUÆ SUPERSUNT.
LES OEUVRES D'EUCLIDE.
Cet Ouvrage se trouve aussi à Paris, aux indications suiantes :
TREUTTEL et WURTZ, libraires à Paris, rue de Lille, n° 17;
HE aba DIDOT, rue Jacob, n° 24; Madame veuve COURCIER, quai des Augustins , ri* 57.
Vor place Cambrai, n° 6; 6
LESrIOEU VIRES D'EUCLIDE,
EN GREC, EN LATIN ET EN FRANCAIS,
D'après un manuscrit très-ancien qui était resté inconnu jusqu'à nos jours.
PAR F. PEYRARD,
TRADUCTEUR DES OEUVRES D'ARCHIMEDE.
OUVRAGE APPROUVÉ PAR L'INSTITUT DE FRANCE.
DÉDIÉ AU ROI.
TOME PREMIER.
BIBL. GOLL. COLOCENSIS S.| A PARIS, Cnrz M. PATRIS, imprimeur- libraire, rue de la Colombe, en la Cité
LR OCR Ex munificentia 4 mi D. Emerici Radnich:
E. C. NM esae
1814.
OVES τ
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http://www.archive.org/details/lesoeuvresdeucliO1eucl
AU ROI.
S IRE
ΤΕ a long-temps que mon Euclide en trois langues aurait dà paraître. Je me plaignais des circonstances qui en retardaient la publication. Combien, au contraire, je me serais félicité de ce retard, sil m'avait été donné de prévoir que le monde entier, bouleversé jusque dans ses fondements, devait bientôt rentrer dans l’ordre accoutumé; que les tempêtes allaient se dissiper, la sérénité renaître dans le ciel, et le bonheur sur la terre! si surtout j'avais pu penser que VOTRE MAJ ESTÉ, reparaissant parmi nous comme un astre bienfaisant, daignerait permettre que mon ouvrage parüt sous ses auspices augustes!
SIRE, cette faveur inattendue, qui met le comble au plus hé de mes vœux, sera gravée dans mon cœur jusqu'à mon dernier soupir.
Je suis avec respect,
SIRE, DE VOTRE MAJESTÉ,
Le trés-lhrumble, très-obéissant et très-fidèle sujet,
F. PEYRARD
PR/EFATIO.
Evcrines vixit temporibus Ptolemæi-Lagi, circiter annum 272 ante æram vulgarem ; Archimedes suis in libris szepe de illo meminit. Euclides a Pto- lemæo interrogatus an non esset methodus discendæ Geometriæ methodo suà facilior : Non est regia , inquit Euclides, ad Geometriam via. Hæc tan- tum de Euclide novimus : quà sit patrià oriundus ignoratur.
Ante Euclidem permulti floruerunt geometræ. Primus omnium Græco- rum , Euclides eorum opera collegit, collecta digessit, et quæ fuerant incon- dite demonstrata, ea demonstrationibus inconcussis exornavit.
Plurima opera Euclides conscripserat; ex quibus tredecim libri Ele- mentorum et Data tantum supersunt.
Librorum omnium qui de scientiarum elemenus agunt liber perfectis- simus semper habita sunt Euclidis Elementa , quz in omnes omnino linguas fuerunt conversa.
De Elementis Euclidis sic Cardanus : Quorum inconcussa dogmatum Jirmitas , perfectioque adeo absoluta est, ut nullum opus huic aliud comparare audeas; quibus fit ut adeo veritatis lux in eo refulgeat , ut soli hi in arduis questionibus videantur posse a vero falsum dis- cernere , qui Euclidem habeant familiarem.
Ait Pemberton se non semel Newtonem audivisse mœrentem quod sese Cartesii aliorumque algebristarum operibus totum dedisset , antequam studuisset Euclidis Elementis , et illa fuisset meditatus.
D. Lagrange quem extinctum luget et diu lugebit Europa, mihi dic- titabat Geometriam esse linguam mortuam; et qui in Euclidis Elemenus
PRÉFACE.
E UCLIDE vivait du temps de Ptolémée-Lagus , vers l'an 272 avant l'ére vulgaire; Archimede l'a cité dans plusieurs de ses livres, Ptolémée ayant demandé à Euclide s'il n'y avait pas de manière plus facile que la sienne pour apprendre la Géométrie, Euclide répondit qu'il n'y avait point de chemin royal pour arriver à cette science. C'est tout ce que nous savons d'Euclide: on ignore méme quelle fut sa patrie.
Beaucoup de géomètres avaient paru avant Euclide. Le premier des Grecs, Euclide rassembla leurs ouvrages, les mit dans un ordre conve- nable , et donna des démonstrations inattaquables de ce qui n'avait pas été démontré d'une manière rigoureuse.
Euclide avait composé un grand nombre d'ouvrages. Les treize livres des Éléments et les Données sont les seuls qui soient parvenus jusqu'à nous.
Les Éléments d'Euclide ont toujours été regardés comme le plus parfait de tous les livres élémentaires ; ils ont été traduits et commentés dans toutes les langues.
Cardan , en parlant des Éléments d'Euclide, s'exprime ainsi : Quorum inconcussa dogmatum firmitas, perfectioque adeo absoluta est, ut nullum opus jure huic aliud comparare audeas ; quibus fit ut adeo veritatis lux in eo refulseat , ut soli hi in arduis questionibus videantur posse a vcro falsum discernere , qui Euclidem habeant familiarem.
Pemberton nous apprend qu'il avait entendu plusieurs fois Newton se plaindre de s'étre livré tout entier aux ouvrages de Descartes et des autres algébristes , avant d'avoir étudié et médité les Éléments d'Euclide.
M. Lagrange, dont l'Europe déplore et déplorera long-temps la perte, me répétait souvent que la Géométrie était une langue morte ; que celui qui
b
x PRÆFATEIO.
Geometriæ non studebat , eum perinde facere ac si quis græcam latinamve linguam in recentioribus operibus grzce et latine scriptis discere velit.
Theoremata subsequentia, qux in quolibet Geometriz tractatu adesse solent, in Elements Euclidis desiderantur:
Circulorum circumferentiæ inter se sunt ut eorum diametri.
Quilibet circulus equalis est triangulo rectangulo cujus unum ex lateribus angulum rectum continentibus æquale est semi-diametro, alterum autem æquale circumferentiæ.
Cujuslibet cylindri recti superficies convexa æqualis est rectangulo cujus altitudo æqualis est cylindri lateri , cajus autem basis æqualis est circumfe- rentiæ basis cylindri, vel circulo cujus semi-diameter media proportionalis est inter latus cylindri et diametrum basis cylindri.
Cujuslibet coni recti, exceptà basi , superficies convexa æqualis est trian- gulo rectangulo cujus unum laterum angulum rectum continentium æquale est coni lateri, alterum vero æquale cireumfcrentiæ basis coni , vel circulo cujus semi-diameter media proportionalis est inter coni latus et semi-diame- trum circuli qui coni est basis.
Superficies convexæ cylindrorum rectorum et similium, et etiam cono- rum rectorum et similium, sunt inter se ut diametri basium eorumdem cylindrorum et conorum.
Cujuslibet sphæræ superficies æqualis est quatuor maximis ejusdem sphæræ circulis , vel superficiei convexæ cylindri circumseripti.
Sphærarum superficies inter se sunt ut quadrata earum diametrorum.
Quælibet sphæra æqualis est duabus tertiis partibus cylindricircumseripti.
Nonnulli credidere hæc theoremata ex Euclidis Elementis evanuisse tem- porum inclementià ; sed falso. Hzc enim theoremata qua demonstrari non possunt nisi ope quatuor primorum postulatorum in initio primi libri de Sphærd et Cylindro positorum , demonstrari non potuerunt ab Euclide, qui bæc Archimedis postulata non admiserat.
PRÉFACE. xj n'étudiait pas la Géométrie dans Euclide, faisait la même chose que celui qui voudrait apprendre le grec et le laun , en lisant les ouvrages modernes écrits dans ces deux langues.
Les théorémes suivants, qui se trouvent ordinairement dans tout traité élémentaire de Géométrie, nese trouvent pas dans les Éléments d'Euclide :
Les circonférences de cercles sont entre elles comme leurs diamètres.
Tout cercle est égal à un triangle rectangle dont un des cótés de l'angle droit est égal au rayon, et dont l'autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence.
La surface convexe de tout cylindre droit est égale à un rectangle dont la hauteur est égale au côté du cylindre, et dont la base est égale à la cir- conférence de la base du cylindre , ou bien à un cercle dont le rayon est moyen proportionnel entre le cóté du cylindre et le diamétre de sa base.
La surface de tout cône droit, la base exceptée, est égale à un triangle rectangle dont un des cótés de l'angle droit est égal au cóté du cóne, et dont l'autre cóté de l'angle droit est égal à la circonférence de la base du cóne, ou bien à un cercle dont le rayon est moyen proportionnel entre le côté du cône et le rayon du cercle qui est la base du cône,
Les surfaces convexes des cylindres droits et semblables , des cónes droits et semblables, sont entre elles comme les diamétres des bases de ces cylindres et de ces cónes.
La surface de toute sphére est égale aux quatre grands cercles de cette sphère, ou à la surface convexe du cylindre circonscrit.
Les surfaces des sphères sont entre elles comme les quarrés de leurs
diamètres. Toute sphère est égale aux deux tiers du cylindre circonscrit.
Des personnes ont pensé qne ces théorèmes avaient disparu des Éléments d'Euclide par l'injure des temps; c'est une erreur. Ces théorèmes, qui ne peuvent se démontrer qu'à l’aide des quatre premières demandes placées au commencement du premier livre de la Sphère et du Cylindre , n'ont pu l'étre par Euclide, qui n'avait point admis ces demandes d'Archiméde.
^
xi PRÆFATIO.
Forsan dici potest solam dissimilitudinem quæ intercedit Euclidis inter et Archimedis methodum, consistere in rejectione vel in admissione postu- latorum de quibus hic incidit sermo.
In præfatione meæ versionis librorum 1,2,3, 4,6, 11, 12 Elemento- rum Euclidis, quz anno 1804 edita fuit, suscepi munus edendi versiones operum completorum Euclidis , Archimedisque et Apollonii. Mea versio operum Archimedis vulgata est anno 1808; quo quidem tempore, verten- dis Euclidis operibus ultimam manum admoveram. Sed antequam prelo subjiceretur, consulere volui codices manuscriptos bibliothecæ regie de plurimis locis qui mihi videbantur mutilati vel corrupti in editione Oxonie, quà usus fueram in convertendo Euclide. Hi codices, tres et viginti numero, mihi commissi fuerunt, et statim animadverti. editionem Oxoniz nullius horum manuscriptorum esse exemplar; hos omnes manu- scriptos explere lacunas ,et restituere locos corruptos in editione Dasiliensi et in editione Oxoniæ auze nihil alindest quam ejus exemplar. Quin etiam anim- adverti hos omnes manuscriptos, manuscripto r9o tantum excepto, inter se esse ferme consentaneos ; manuscriptum autem 190 explere lacunas, restitaerelocos corruptos quiopealiorum manuscriptorum nec explebantur,
nec restituebantur.
Manuscriptus 190 ad bibliothecam vaticanam pertinebat : is Romä Lute- tiam a comite de Peluse fuit missus.
In manuscripto grzeco 2348, sub finem sxculi decimi sexti exarato, quique continet Euclidis Data cum quinque antiquissimis vaticanis manuscriptis græcis collata a Josepho Aurià, celebri geometrá , ne unam quidem reperias e pretiosissimis lectionibus manuscripti 190 variantibus ; quod probare videtur hunc manuscriptum tunc temporis in bibliothecà vaticanà fuisse desideratum.
Manuscriptus 190 manuscriptorum exeunte nono sæculo exaratorum omnia prz se fert iudicia; alii vero manuscripti pertinent ad secula multo recentiora,
Hoc manuscripto mihi commisso, statim in animum incidit edere graece, latine et gallice Elementa et Data , sola procul dubio qua supersint Euclidis
PRÉFACE. xij
On pourrait peut-être dire que la seule différence entre la méthode d'Euclide et celle d'Archiméde, consiste dans le rejet ou l'admission des quatre demandes dont je viens de parler.
Dans la préface de ma traduction des livres 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12 des Éléments d'Euclide, qui parut en 1804, je pris l'engagement de publier les traductions des œuvres complètes d'Euclide, d'Archimede et d'Apollo- nius. Ma traduction des œuvres d'Archiméde parut en 1808. À cette époque j'avais mis la dernière main à la traduction des œuvres d'Euelide. Mais avant de la livrer à l'impression, je voulus consulter les manuscrits de la bibliothèque du Roi sur les passages qui me paraissaient tronqués ou altérés dans l'édition d'Oxford , d'après laquelle j'avais fait ma traduc- tion. Ces manuscrits, qui sont au nombre de 23, me furent confiés, et je ne tardai pas à m'apercevoir que l'édition d'Oxford n'est la copie d'aucun de ces manuscrits; que tous ces manuscrits remplissent des lacunes, et rétablissent des passages altérés qui se trouvent dans l'édition. de Bâle, et dans celle d'Oxford qui n'en est que la copie. Je remarquai aussi que tous ces manuscrits, le n° 190 seul excepté, sont à peu de chose près conformes les uns aux autres; que le n° 190 remplit des lacunes, et rétablit des passages altérés, qui ne peuvent pas l'être à l'aide des autres manuscrits.
Le manuscrit 190 appartenait à la bibliothèque du Vatican : il fut envoyé de Rome à Paris par le comte de Peluse.
Dans le manuscrit grec n° 2348, qui est de la fin du seizième siècle, et qui contient les Données d'Euclide collationnées par Joseph Auria, géomètre célèbre, avec les cinq plus anciens manuscrits grecs de la bibliothèque du Vatican, on ne trouve aucune des précieases variantes du manuscrit 199; ce qui semble prouver que ce manuscrit n'était pas alors à la bibliothèque du Vatican.
Le manuscrit 19o porte tous les caractéres des manuscrits de la fin du neuvième siècle, tandis que les autres appartiènent à des siècles beaucoup plus rapprochés de nous.
Étant dépositaire de ce précieux manuscrit, je me déterminai, sans ba- lancer, à donner une édition grecque, latine et française des Éléments et
YIV PRAEFATIO.
opera. Quapropter, contuli manuscriptum 190 cum editione Oxoniæ, exaravique lectiones variantes in margine operis impressi.
His perfectis, ad variantes lectiones margini appositas sedulus attendi, et aliis manuscriptis accersitis , hauc aut illam lectionem variantem in edi- tionem parisiensem admisi, vel ab δὰ rejeci. Manuscriptum 190 potiorem habui, quotiescumque nalla mihi fuit ratio cur hanc aut illam lectionem praferrem.
Textum græcum sic constitutum in latinum converti, et quacunque ex variantibus quas admiseram lectionibus, mutari fuit opportunum, hac in versione gallicà mutata sunt.
Mea latina versio ad verbum textui græco congruit, nisi quid peculiare me cocgerit ut secus facerem. Nonnulli in meà versione occurrent forte hellenismi, aut saltem quzdam locutiones a quibus lingua latina abhor- rere videtur. Illas quidem vitare potuissem; sed mea versio cum textu græco minus fuisset consentanea.
De meà convertendi ratione, viros in græcà latinäque linguà. versaus- simos consului. D. Delambre, secretarius perpetuus classis scientiarum physicarum et mathematicarum Instituü Francie, necnon Universitatis quæstor, meam versionem dignatus est perpendere, et utilia mihi dare
consilia. Hanc eà de re ad me scripsit epistolam :
Parisiis, 20 februarii 1812.
Cum voluptate legimus sex prima folia tui Euclidis trilinguis. T'ui commissarii desiderium enuntiaverant videndi editum Euclidis textum grecum expurgatum omnibus mendis quas castigavisti manuscriptorum ope, et locupletatum omnibus incrementis quz tibi suppeditaverunt manuscripti : mox eorum omniumque doctorum explebis desiderium.
Multum probo quod constitutum habuisti reddere versionem latinam tam consentaneam quam utraquelingua ferre potest.Græcis erant duz viz indicandornm casuum obliquorum, terminatio scilicet et articulus; quando una earum duarum rationum eos deficiebat,
quod sepe in geometrià contingit articulus satis erat ad omnem tollendam dubitationem.
PRÉFACE. xv
des Données d'Euclide , qui sont certainement les seuis ouvrages qui nous restent de ce géomètre à jamais célèbre. Pour cela, je comparaile manuscrit 190 avec l'édition d'Oxford, et j'écrivis les variantes en marge de l'ou- vrage imprimé.
Ce travail terminé, j'examinai attentivement les variantes marginales, et à l'aide des autres manuscrits, j'adoptai ou je rejetai, pour l'édition de Paris, telle ou telle variante. Le manuscrit 190 a toujours eu la préfé- rence, toutes les fois que je n'avais pas de motif pour préférer une leçon à une autre.
Le texte grec étant ainsi arrêté, je le traduisis en latin, et je fis à la traduction française les changements exigés par les variantes que j'avais adoptées.
Ma traduction latine correspond mot pour mot au texte grec, à moins que quelque règle particulière ne m'ait forcé de faire autrement. On trouvera quelquefois des hellénismes dans ma traduction, ou du moins certaines expressions qui semblent s'écarter un peu du génie de la langue latine, J'aurais pu les éviter; mais ma traduction aurait été moins fidèle.
J'avais soumis mon système de traduction à des personnes versées dans la langue grecque et dans la langue latine. M. Delambre, secrétaire perpétuel de la classe des sciences physiques et mathématiques de l'institut de France, et trésorier de l'Université, eut la complaisance de l'examiner avec soin, et de m'aider de ses sages conseils. Voici la lettre qu'il me fit l'honneur de m'écrire à ce sujet :
Paris, 20 février 1812.
MowsiEvR , j'ai lu avec plaisir les six premières feuilles de votre Euclide en trois langues. Vos commissaires avaient exprimé le vœu de voir paraître une édition grecque du texte d'Euclide, purgée de toutes les fautes que les manuscrits vous ont fait rectifier, et enri- chie de toutes les additions qu'ils vous ont fournies : vous allez remplir leur vœu et celui de tous les savants.
J'approuve beaucoup le parti que vous avez pris de rendre la version latine aussi litté- rale que le permet le génie des deux langues. Les Grecs avaient deux moyens pour indiquer les cas obliques, la terminaison et l'article ; quand l'une de ces deux ressources leur man-
quait, comme il arrive souvent en géométrie, l'article suflisait pour Ôter toute incertitude.
XVI PRJEFATIO.
Tibi autem in linguá latinà hzc via non erat; tua versio nimis consentanea , sepe obscura fuisset. Eorum qui te præcesserunt exemplo, usus es pronomine ipse, ipsius, ipsi. Non ignoras mihi eà de re aliquid fuisse hæsitationis ; locutionibus illis ips? AT, zpsi ABT, anteposuissem has locutiones lineæ Ar, angulo ABr, quod longiusculum est.
Sed quoniam omnes geometrarum grzcorum interpretes jamdudum iisdem interpola- tionibus usi sunt, capessivisti recte viam brevissimam amovendorum impedimentorum quz singulis momentis occurrunt, etc.
Ad significandum duos angulos eumdem verticem et lotus commune habentes super eàdem rectà collocatos essc, græce dicitur : αἱ ἐφεξῆς γωνίαι. Commandini , Torelli , etc. exemplo, has tres græcas voces converti in has duas voces latinas : deznceps anguli. Sunt qui me dehortati sunt ab utendo voce hàc deinceps , quia, inquiebant , deinceps in linguà latinà rerum or- dinem numquam significavit, Non illis morem gessi. Nam, cum in Thesauro linguæ latinæ Roberti Stephani, edito Lipsiæ anno 1739, legissem : duo deinceps reges. Tir. Liv. F'unera deinde deinceps duo duxit. Tir Liv. His perfectis collocatisque alias deinceps rates jungebat. Cxs. Morem apud majores hunc epularum fuisse ut deinceps qui occubarent , ca- nerent. Cic., etc. pro certo habui Titum- Livium, Cesarem. et Cicero- nem, etc. vocem deinceps eodem sensu accepisse, quo ego acceperam.
Quod ad versionem gallicam attinet, ea cum textu græco tam consentanea est quam per eam linguam licet.
Sub finem cujusque tomi collocavi recensionem accuratissimam omnium variantium meæ editionis cum manuscripto 190, et cum editione Oxoniæ ; ita ut harum lectionum variantium ope, possit, si quis velit, habere manuscripli 190 exemplar huie plane congruum.
Ad calcem tomi ultimi, qui hoc anno 1814 currente edetur, adjicientur animadversiones in variantes lectiones insignissimas, et in quosdam locos Euclidis.
Summà diligentià usus sum ut mea editio quam maxime emendata esset ; specimina a me prælecta, lecta fuerunt deinde a D. J'annet, necnon a D. Patris , mei operis editore , rursusque a me relecta. In nullo specimine
" PRÉFACE. xvij
Vous n'aviez pas cette ressource en latin; votre version trop littérale eût été souvent obs- cure. À l'exemple de ceux qui vous ont précédé, vous vous étes permis l'emploi du pro- nom ipse, ipsius, ipsi, Vous savez que javais à cet égard quelque scrupule; au lieu de ipsi AT ipsi ABT , j'aurais mieux aimé lineæ AT, angulo ABT, ce qui est un peu plus long.
Mais tous les traducteurs des géomètres grecs vous ont déjà donné l'exemple de pareilles intercalations, et vous avez bien fait de choisir le moyen le plus court pour vous tirer d'un embarras qui renait à chaque instant, etc.
Pour exprimer que deux angles, qui ont le méme sommet et un cóté commun, sont placés sur une méme droite, le grec dit: αἱ ἐφεζῆς γωνίαι. A l'exemple de Commandin, de Torelli, etc. j'ai traduit ces trois mots grecs par deinceps anguli. Plusieurs personnes m'avaient invité à ne pas me servir du mot deinceps, parce que, disaient-elles, le mot deinceps n'a jamais en latin exprimé l'ordre des choses. Je ne me rendis pas à leur avis. Car, ayant lu dans le Trésor de la langue latine de Robert Étienne, édition de Leipsick , 1739 : duo deinceps reges. Tir. Liv. F'unera deinde deinceps duo duxit. Tyr. Liv. His perfectis collocatisque alias dein- ceps rates jungebat. Cixs. Morem apud. majores hunc epularum fuisse ut d: inceps qui occubarent canerent. Cic., etc. , il me parut démontré que Tite-Live, César, Cicéron, etc. donnaient au mot deinceps la méme signification que moi.
Quant à la traduction française, elle est aussi littérale que le permet le génie de cette langue.
J'ai placé à la fin de chaque volume la liste exacte de toutes les variantes de mon édition avec le manuscrit 190 et l'édition d'Oxford. Par le moyen de ces variantes, on pourrait, si on le désirait, avoir une copie du ma+ nuscrit 190 qui lui serait parfaitement conforme.
Le dernier volume, qui paraïtra dans le courant de 1814, sera terminé par des observations sur les variantes les plus remarquables, et sur quelques passages d'Euclide.
J'ai fait tous mes efforts pour que mon édition fût de la plus grande correction; les épreuves, après avoir été lues par moi, ont été lues par M. Jannet, par M. Patris, éditeur de mon ouvrage, et relues encore par
c
xviij PRJEEFA'EIO.
prius subscripsi , prelo subjiciatur, quam illud mendis omnibus fuisset expurgatum. Ope erratorum ad finem ultimi tomi collocatorum, corrigi poterunt menda, si quas detexero in legendo perattente opere impresso.
D. JVicolopoulo, smyrnæus, vir eximià doctriná commendabilis et dili- gentissimus emendator, sponte suà legit plurima specimina. D. Patris, qui linguam grzecam , latinam et gallicam diu excoluit, summà curà et diligentià "usus est ut mea editio prelis gallicis honori esset ; in speciminibus legendis , versionem latinam et gallicam cum textu graeco perattente comparabat, et margini notationes apponebat.
Ex lectionibus variantibus tomi primi , quzdam præsertim sunt no- tanda.
In omnibus editionibus græcis et launis postulata 4, 5, 6 inter cor- munes notiones collocata sunt.
Demonstrauo propositionis septimæ libri primi duos habet casus, et tamen unus solum casus demonstratur in omnibus manuscriptis , nullo excepto, et in editionibus Basiliæ et Oxoniæ. Secundus casus est cüm punctum A incidit in triangulum ABF, vel punctum Γ in triangulum ABA. Ut secundus casus demonstraretur, antea demonstrandum fuerat, lateribus æqualibus trianguli isocelis products, angulos sub basi inter se aequales esse; quod quidem Euclides demonstravit in propositioue quintà, et hoc tantum propositionis septima causà, quandoquidem, propositione septimà exceptà, haec demonstratio nullum usum habet in reliquis Euclidis Elemen- iis; ex hoc manifeste sequitur, inquiunt omnes Euclidis commentatores, tex- tum grecum propositionis septimæ esse mutilatum. Omnes commentatores in errore versabantur. Figura incompleta erat in omnibus manuscripus et in omnibus editionibus. Secundam descripsi figuram; produxi rectas BP, BA, et demonstratio completa fuit, in textu græco nullà voce mutatà.
Demonstratio propositionis 24 tertii libri tres casus habet. Posito enim A super DT, et puncto B super 4, oportet demonstrare segmentum AED non
PRÉFACE. κιχ
moi. Je n'ai jamais donné de bon à tirer que je ne me fusse assuré au- paravant que toutes les corrections avaient été faites. Par le moyen d'un errata, que je placerai à la fin du dernier volume, on pourra corriger les fautes qu'une lecture très-attentive que je ferai de l'ouvrage imprimé m'aura fait découvrir.
M. Nicolopoulo, de Smyrne , homme recommandable par ses rares talents et trés-habile correcteur, a bien voulu lire un grand nombre de mes épreuves. M. Patris, qui a cultivé long-temps les langues grecque, latine et francaise; s'est donné des peines infinies pour que mon édition fit honneur aux presses françaises ; en lisant les épreuves, il avait soin de comparer soigneusement la version latine et la version francaise au texte grec, et de me faire des observations marginales.
Parmi les variantes de ce premier volume, il en est quelques- unes qui méritent surtout d'étre remarquées.
Dans toutes les éditions grecques et latines, les demandes 4, 5, 6, sont placées au nombre des notions communes.
La démonstration de la proposition 7 du livre I** a deux cas, et cepen- dant un seul cas est démontré dans tous les manuscrits sans exception, et dans les éditions de Bâle et d'Oxford. Le second cas est celui où le point Δ tombe dans le triangle AbT , ou bien le point T dans le triangle ABA. La dé- monstration du second cas exige qu'il soit démontré auparavant que les côtés égaux d'un triangle isocéle étant prolongés, les angles au-dessous de la base sont égaux entre eux; et c'est ce qu'a fait Euclide dans la proposi- tion 5, et ce qu'il n'a fait que pour la proposition 7, puisque, hors delà, cette démonstration n'est plus nécessaire dans le reste des Éléments d'Eu- clide; d'oü il suit évidemment, disent tous les commentateurs, que le texte grec de la démonstration de la proposition 7 est tronqué. Tous les commentateurs avaient tort. La figure était incomplète dans tous les ma- nuscrits et dans toutes les éditions. J'ai tracé une seconde figure ; j'ai pro- longé les droites Br , BA, et la démonstration s'est trouvée complète, sans que j'eusse changé un seul mot au texte grec.
La démonstration de la proposition 24 du livre trois a trois cas. En effet, le point A étant sur le point F, et le point Bsur le point A, il faut démontrer
xx PRÆFATIO:
posse incidere vel intra segmentum AZA, vel extra, vel partim intra et partur extra; hi tres casus in manuscripto 190 et in ediuone parisiensi demons- trantur.
Sed in omnibus aliis manuscriptis, et in omnibus aliis editionibus græcis, tantum. demonstratur segmentum AEB non incidere posse partim intra segmentum ΓΖΔ. et partim extra. Commandinus dat aliorum casuum de- monstrationem. At Robert Simson ex propositione 24 eximit partem quam propositioni 23 adjungit.
In propositione 26 libri sexu locus quidam minime intelligi poterat ; lectio varians tertia omnem ex eà obscuritatem dispulit.
Gregorius , de corollario propositionis 19 libri quinti sermonem habens , sic Dx : CUTE ont: est hic locus; nec ope veterum exempla- rium restitui potest : versionem ideo mutavimus, ut sensus constaret. Clavius in locum hujus corollarii alterum subdidit. Robert Simson dicit : « IIoc corollarium manifeste ostendere. librum. quintum ἃ geometriæ » 1gnaris corruptum fuisse, et hoc corollarium nullo modo pendere ex
propositione 19. » In hoc errat Robert Simson, et ilum sæpissime errare in mcis animadversionibus ostendam.
Gregorii versio intellecta est perdifficilis.
E m corollari à ἐδείχθη. Loco proportionis : ὡς τὸ AB πρὰς J
τὸ ΓΔ οὕτως «c EB ngos xo ZA, scripsi hanc propor uonem: ὡςτο AB πρὸ z AE πρὸς τὸ r2;loco tandem proportionis : ὡς τὸ AB πρὸς το ) AE οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς ro TZ , Scripsi hanc propor uonem : ὡς τὸ ΑΒ πρὸ τὸ EB οὕτως τὸ AT πρὸς τὸ ΖΔ. Ope
harum levium correctionum corollarium evasit inconcussum.
ἃ
In me editione, phrasis ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ABr ρὸς xo EB οὐτως τὸ AF πρὸς τὸ ΖΔ, sed ostensum est ut AB ad ED ita AT ad ZA ( 19. 5 ), manifeste locum habet harum duarum phrasium : ἐδείχθη 0: ὡςτὸ AB π οὸς τὸ ΓΔ οὕτως τὸ E. πρὸς τὸ Z^, ἐγάλλαξ ὦ ἄρα ὡς τὸ AB πρὸς το EB oU ὡς τὸ ΓΔπρὸς τὸ Z^, ostensum autem est ut ΑΒ ad r^ ita EB ad 2Δ (το. 5); alterne igitur ut «Bad EP ita ΓΔ ad ZA(16.5.)
PRE F AC'E! XX) que le segment AEB ne peut tomber ni en dedans du segment AZA, ni en dehors, ni partie en dedans et partie en dehors. Ces trois cas sont démon- trés dans le manuscrit 190 et dans l'édition de Paris.
Mais dans tous les autres manuscrits et dans toutes les autres éditions grecques, on démontre seulement que le segment AEB ne peut pas tomber parue en dedans du segment ΓΖΔ et partie en dehors. Commandin donne la démonstration des deux autres cas. Robert Simson retranche une partie de la proposition 24, qu'il ajoute à la proposition 23.
Dans la proposition 26 du livre six, il y avait un passage tout à fait inin- telligible; la variante 3 en ἃ fait disparaitre l'obscurité.
Grégori, en parlant du corollaire de la proposition 19 du livre cinq, s'exprime ainsi : Corruptissimus est hic locus ; nec ope veterum exem- plarium restitui potest : versionem ideo mutavirnus , ut sensus consta- ret. Clavius a remplacé ce corollaire par un autre de sa facon. Robert Sim- son nous dit que ce corollaire prouve manifestement quele cinquième livre a été corrompu par des ignares en géométrie, et que ce corollaire ne dé- pend en aucune manière de la proposition 19. Robert Simson a tort ici comme dans une foule d'autres occasions, ainsi que je le ferai voir dans mes remarques.
La version de Grégori est Titels
J'ai fait disparaître le troisième mot du corollaire ἐδείχθη. A la place de
ὡς τὸ ΔΒ πρὸς ro TA c οὕτως τὸ EB πρὸςτ τὸ ΖΔ, jai mis ὡς το ΑΒ π o. Ts τὸ ΓΔ οὐτως τὸ AE ὃς το oTZ; et à la peus de oz τὸ AB π πρὸς το AE οὕτως τὸ ΓΔ πρός το ΓΖ, jai écrit
τὸ AB προς τὸ EB οὕτως τὸ AT πρὸς το ΖΔ. par le moyen de ces DUK correc-
ΞΘ
T P
Pana le corollaire se trouve rétabli dans toute sa pureté.
Dans mon édition, la phrase ἐδείχθη ὃ ὃς ὡς τὸ AB πρὸς τὸ EB οὕτως τὸ ΔΙ π το ΖΔ, ma:s On ἃ noun que AB est à EB comme AT est à ZA (1 9- 5), uent. évidemment licu de ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ΑΒ 1 πρὸς τὰ ΓΔ οὕτως τὸ ED π ρὸς τὸ ΖΔ, ἐνάλλαξ ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ EB οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΖΔ, mais on a démontré qua AB est à ΓΔ comme EB est à ZA( το. 5 ); donc par permutation AB est à EB comme VA est à ZA ( 16,5 ).
xij PREFATIO.
Euclides hoc corollarium mutare potuisset in theorema, hoc modo : Si magnitudines compositae (*)sint proportionales, proportionales erunt per conversionem, A E B
i 7 Δ
Sint magnitudines compositæ AB, AE, ΓΔ, TZ, et sit ut AB ad AE ita ΓΔ ad LZ; dico per conversionem ut AB ad EB ita esse ΓΔ ad ZA.
Quoniam enim ut AB ad AE ita ΓΔ est ad TZ , alterne igitur ut AB ad ΓΔ ita est AEad TZ( 16.5); ostensum autem est ut AB ad FA ita esse EBad ZA( 19.5 ); alterne igitur ut AB ad EB ita est ΓΔ ad ZA, hoc est ut AB ad AB-—AE ita est ΓΔ ad ΓΔ--ΓΖ ( 16.5 ; quod est per conversionem. Quod erat demonstrandum.
In textu grzeco manuscripti 190, nequaquam agitur de circulorum secto- ribus in ultimà sexti libri propositione, Manus aliena inter lineas et in margine manuscripti exaravit omnia quz ad sectores attinent, et quz adsunt in textu graeco omnium aliorum manuscriptorum et in editionibus Basiliæ et Oxoniæ. Hoc addimentum, quod in meam editionem admittere non de- buissem , textuia Theone factum est. Sic loquitur Theon in suis in Almages- tum EAE p. 5o, 1. 7, edit. Basiliæ, anno 1538 : « ὅτι δὲ οἱ iz
A
λλήλου
Pu
ἴσων χύχλων το εἰς 1 "ee vA
ς πὶ εἰσ ly ὡς αἱ γωνίαι ἐφ᾽ ὧν βεδήχασι ὃ δέδεικται ἡμῖν ἐν τῇ
m. FU e S - n 1 Re € M a 1 Ὁ S D» mn ΕΣ τὴ M uw Y 1 Er Al €
ἐλει τοῦ ἔχτον βίδλιου.» Quod autem in æqualibus ALES sectores gsm se sunt ut anguli in illis positi, ostensum fuit a nobis in editione Elementorum ad finem libri sexti.
hoc Theonis addimentum, quod in subsequentibus nullum habet usum, Euclidis festinationi moram affert. In libris presertim 10, 14 , 15, necnon in Datis bene multas surperfluitates reperias quarum nullam in textu manu- scripto 190. Ob id precipue Euclidem mirati sunt quod ille ad propositum directe tendit, numquam de vià declinans suà demonstrandi causà quz ad progrediendum nequaquam sunt necessaria. Sed hoc soli manuscripto 190 convenire potest; itaque non absurde conjecerim emendatum Euclidis
(*) Quatuor magnitudines dicuntur composilæ, quando secunda est quzdam fractio prima , et quarta quedam fractio tertiz.
PR EF AGE xxiij Euclide aurait pu donner à ce corollairela forme d'un théoréme, en disant: Si des grandeurs composées ( *) sont proportionnelles , elles sont pro- portionnelles par conversion. A E B
r Z A
Soient les grandeurs composées AB, AE ,TA , TZ, et que AB soit à AE comme ΓΔ est à TZ; je dis que par conversion AB est à EB comme FA est à ZA.
Car, puisque AB est à AE comme ΓΔ est à TZ, par permutation AB est à ΓΔ comme AE est à ΓΖ (16. 5); mais on a démontré que AB est à l'A comme EB est à ZA ( 19. 5); donc, par permutation, AB est à EB comme l'A est à ZA, c'est- à-dire que AB està AB— AE, comme FA est à TA—TZ(16.5);ce qui est par conversion. Ce qu'il fallait démontrer.
Dans le texte du manuscrit 190 , il n’est nullement question de secteurs circulaires dans la dernière proposition du livre 6, Une main étrangère a interligné et écrit en marge de ce manuscrit ce qui se trouve de relatif aux secteurs circulaires dans le texte de tous les autres manuscrits , et dans les éditions de Bàle et d'Oxford. Cette addition au texte, que je n'aurais pas dà conserver, est de Théon. Voici ce qu'il dit lui-même dans ses com- ἴσων κύχλων τομεῖς πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ γωνίαι to ὦν βεβήχασι δὲ δεικται ἡμῖν ἐντῇ ἐχδόσει τῶν στοιχείων πρὸς τῷ τέλει τοῦ ἔχτου βίδλιου. » J'ai démontré dans mon édition des Élémens , et ἃ la fin du sixième livre, que dans les cercles égaux les secteurs sont entre eux comme les angles placés dans ces cercles.
Cette addition de Théon , qui n'est d'aucun usage dans la suite , ne scrt qu'à retarder la marche d'Euclide. On trouve dans les livres 10, 14, 15 surtout, ainsi que dans les Données , une foule de pareilles superfluités dont aucune n'est admise dans le texte du manuscrit 190. On a toujours admiré Euclide en ce qu'il marchait directement vers son but , sans jamais s'écarter de son chemin , pour démontrer ce qui ne lui était pas nécessaire pour aller en avant. Mais cela n'est vrai que pour le seul manuscrit 190; c'est pour-
* $ a . (*) Quatre grandeurs sont dites composées , lorsque la seconde est une fraction de
la première, et que la quatrième est une fraction de la troisième,
xiv PUR JEDESLACIS ISO.
textum in hoc manuscripto contineri, aliosque manuscriptos nihil aliud esse quam editionis vulgatze ἃ Theone exemplaria. Non diffiteor tamen editione in meà quasdam adesse superfluitates, quarum indicem ad calcem animadversionum subjiciam , hoc est, indicem instituam omnium qua
licet sublata subsequentibus nullo modo obesse possunt.
Corollarium propositionis 15 primi libri suppressi, quamvis eàdem manu in margine manuscripti 190 exaratum sit, quia hoc corollarium non præ se fert signum quod in hoc manuscripto monet in margine exarata ad textum pertinere, ac insuper. hoc corollarium tantum adest in texta unius ex manuscriptis, quia tandem hoc corollarium in subsequentibus nullum habet usum.
Definitio à sexu libri eàdem manu in imà paginà exarata est cum signo quod monct eam ad textum pertinere; sed manifestum est erravisse trans- criptorem. Eam suppressi , quia nullum in Euclidis Elemenus usum habet. Robert Simson sex paginas in-4? scripsit probandi causà illam a Geometriæ ignaro in textum fuisse admissam.
Non plura dicam de lectionibus meæ editionis variantibus ; lectori se certiorem facere licebit permulta evanuisse menda typographica, necnon et plurimos locos obscuros vel corruptos, vel detruncatos, presertim in libris 10, 14, 15, et in Datis ; Euclidisque textum permultis superfluita- tibus me curante fuisse expurgatum.
Dixi Euclidis in omnes linguas conversa fuisse opera et commentariis illustrata ; editiones et versiones notabilissimæ Euclidis hz sunt:
Campanus primum in latinum ex arabico convertit Euclidem. Hac versio Venetiis anno 1482 edita, comprehendit quindecim libros Ele- mentorum.
Zambertus, venetus, ex græco convertit in latinum quindecim libros Elementorum et Data Euclidis. Hxc versio edita fuit Parisiis anno 1516, deinde Pasiliæ anno 1537 et anno 1546. Euclidis Data adsunt tantum
in duabus posterioribus editionibus,
PRETAGCEBE xxv quoi il me sera permis de penser que ce manuscrit contient le texte pur d'Euclide, et que les autres ne sont que des copies de l'édiuon de Théon. J'avoue cependant qu'il existe quelques superfluités dans le manuscrit 190, et par conséquent dans mon édition; j'en donnerai la liste à la suite de mes remarques, c’est-à-dire, que je donnerai la liste de tout ce qui peut se supprimer sans nuire à ce qui suit."
J'ai supprimé le corollaire de la proposition 25 du premier livre, quoi- qu'il soit écrit de la méme main dans la marge du manuscrit 190, parce que ce corollaire n'est pas précédé du signe qui , dans ce manuscrit, sert toujours à indiquer que ce qui est écrit en marge doit faire partie du texte ; parce que ce corollaire ne se trouve que dans le texte d'un seul manuscrit ; et enfin , parce qu'il n'est d'aucun usage dans la suite.
La définiuon 5 du sixième livre est écrite de la méme main au bas de la page , et avec le signe qui indique qu'elle doit faire partie du texte; mais il est hors de doute que c'est une faute du copiste. Je l'ai supprimée , parce qu'elle n'est d'aucun usage dans les Éléments d'Euclide. Robert Simson a écrit six pages in-4° pour prouver qu'elle a été introduite dans le texte par un ignare en Géométrie.
Jen'en dirai pas davantagesur les variantes de mon édition ; lelecteur pourra s'assurer lui-méme qu'elle a fait disparaitre un trés-grand nombre de fautes typographiques , beaucoup de passages obscurs ou altérés , ou tronqués, sur- tout dans les livres 10, 14, 15, et dans les Données, et que j'ai purgé le texte d'Euclide d'un trés-grand nombre de superfluités.
J'ai dit que les œuvres d'Euclide ont été traduites et commentées dans toutes les langues ; voici quelles sont les éditions et les traductions les plus remarquables.
La première traduction latine que nous ayons d'Euclide est celle de Campanus, qui parut à Venise en 1482. Cette traduction, qui a été faite d’après l'arabe , contient les quinze livres des Éléments.
Zamberti, vénitien , traduisit en latin, d’après le grec, les quinze livres des Éléments et les Données d'Euclide. Cs traduction, qui parut à Paris en 1516, reparut à Dàle en 1537, et ensuite en 1546. Les Données d'Eu- chde ne se trouvent que dans ces deux dernières éditions, i
S 7
xxv] PR VESESA-T ISO.
Textus grocus quindecim librorum. Elementorum Euclidis cum com- mentario "Theonis et Procli, primum editus fuit Basiliæ anno 1533, apud Herwagem, celeberrimum typographum. Simon Gryuzus textüs græci fuit editor. Quindecim libri Elementorum ediu fuerunt ex duobus manu- scripts qui Simoni Grynæo suppeditat fuerunt, alter Venetiis a Lazaro Dayfio , alter Parisiis a Joanne Ruellio. Commentarium Procli editum fuit ex manuscripto inemendato qui Oxonià Simoni Grynæo missus fuit a Joanne Claymando.
Candalla edidit, anno 1566, versionem latinam quindecim librorum Elementorum.
Commandinus , unus optimorum geometrarum suæ ætatis, et apprime versatus in linguà græcà et latinà, convertit in latinum quindecim libros Elementorum ex textu græco editionis basiliensis. Hæc versio, omnium Euclidis versionum, textui græco erat maxime consentanea; illa edita fuit Pisauri anno 15725 , ct deinde anno 1619.
Versio latina quindecim librorum Elementorum quam Clavius edidit Fomæ, anno 1574, est quam minime consentanea ; Clavius sibi concessit facultatem commutandi in permultis locis textum Euclidis ; sed nonnullo in pretio est commentarium quod suz versioni adjunxit , quamvis nimio plus sit diffusum.
Textus græcus Datorum Euclidis , cum versione latinà Hardizi , editus primum fuit anno 1625.
Henrion edidit , anno. 1615, versionem gallicam quindecim librorum Elementorum et Datorum Euclidis. Hzc versio a textu. Euclidis differt singulis momentis.
Le Mardelé ed dit, non multo post, alteram versionem gallicam quin- decim librorum Elementorum. Hac versio in permultis locis differt a texta Euclidis.
Gregorius edidit Oxonize , anno 1702 , græce et latine, quindecim libros Elementorum et Data Euclidis. Gregorius usus fuit, in, quindecim libris Elementorum , versione latinà Commandini, et in Datis, versione laüiaà Hardixi : qvas duas versiones Gregorius ipse recognoverat.
PRÉFACE. xxvij
Le texte grec des quinze livres des Éléments d'Euclide avcc le com- mentaire de Théon et de Proclus, parut pour la première fois à Bâle en 1533 , chez Herwage , célèbre imprimeur. Simon Grynæus en fut l'édi- teur. Les quinze livres des Éléments furent imprimés d'aprés deux manus- crits grecs envoyés à Simon Grynæus; l'un de Venise, par Lazare Bayfius, et l'autre de Paris, par Jean Ruellius. Le commentaire de Proclus fut imprimé, d’après un manuscrit très-défectueux envoyé d'Oxford à Simon Grynzus, par Jean Claymandus.
Candalle publia, en 1566, une traduction latine des quinze livres des Éléments.
Commandin , un des plus grands géomètres de son temps , et homme très-versé dans les langues latine et française, traduisit en latin les quinze livres des Éléments d’après le texte grec de l'édiuon de Bäle, C'était, de toutes les traductions, la plus conforme au texte grec d'Euclide ; elle parut : à Pesaro en 1572, et ensuite en 1619.
La traduction latine des quinze livres des Éléments que Clavius publia à Rome, en 1574, n'est rien moins que fidèle; Clavius s'est permis de faire de nombreux changements au texte d'Euclide ; mais on estime le com- mentaire qui accompagne sa traduction , malgré sa très-grande prolixité.
Le texte grec des Données d'Euclide, accompagné d'une traduction latine de Hardi, parut pour la première fois en 1625.
IHenrion publia, en 1615 , une traduction francaise des quinze livres des Éléments et des Données d'Euclide. Cette traduction diffère à chaque instant du texte d'Euclide.
Le Mardelé publia, quelque temps après, une nouvelle traduction des quinze livres des Éléments. Cette traduction diffère dans une foule d'en- droits du texte d'Euclide.
Grégori publia à Oxford, en 1703, en grec et en latin, les quinze livres des Éléments et les Données d'Euclide. Grégori fit usage, pour les quinze livres des Éléments, de la traduction latine de Commandin, et pour les Données, de celle de Hardi, Ces deux traductions avaient été revues par
Grégori lui-même.
xxvilj PRÆF AT IO.
In hàc editione , prater quindecim libros Elementorum, et Data, adsunt plura opera quæ procul dubio Euclidis non sunt ; quod quidem Gregorius ipse non diflitetur in suà praefatione.
Robert Simson edidit , anno 1756, versionem latinam librorum 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12 Elementorum.
Robert Simson , in pluribus locis , commutavit textum Euclidis. Dixi in bibliothecà imperiali adesse manuscriptos graecos tres et viginti. Eorum manuscriptorum secundum vetustatis ordinem hic est index:
N° rgo. Is manuscriptus præ se fert omnia indicia manuscriptorum sub finem noni sæculi exaratorum, Data proxime sequuntur librum 13. Liber τή et liber 15 post Data collocati sunt ; quod in nullo contigit alio manuscripto. In meà editione eumdem ordinem sum secutus, ipsomet D. Lagrange suadente.
No 1038. Is manuscriptus, in quo deest initum Elementorum usque ad propositionem octavam secundi libri, ineunte undecimo sæculo exaratus videtur. Is manuscriptus, in quo deprehenduntur reliqua Elementa et Data, Romà Parisios fuit missus à comite de Peluse.
N° 2466. Is manuscriptus, in quo deprehenduntur tredecim libri Elementorum , duodecimo sæculo exaratus videtur.
N° 5344. ls manuscriptus, in quo tantum deprehenduntur tredecim priores libri Elementorum , sæculo duodecimo exaratus videtur.
N° 2345. Is manuscriptus, in quo tantum deprehenduntur tredecim priores libri Elementorum , sæculo decimo tertio exaratus videtur.
Omnes ii manuscripti sunt membranacei ; subsequentes sunt cartacei.
N° 2373. Is manuscriptus, in qno deprehenditur Euclidis Geometria cum scholiis, seculo decimo quarto exaratus videtur.
N° 2342. Is manuscriptus, in quo deest initium usque ad propositionem 25 primi libri, et in quo deprehenduntur quindecim libri Elementorum , et Data, seculo decimo quarto exaratus videtur.
Ne 2762. Is codex, in quo tantum deprehenduntur octo priores libri Elementorum , sub finem seculi decimi quinti exaratus videtur.
N° 2346. Is codex, in quo tantum deprehenduntur tredecim: priores libri Elementorum , szculo decimo quinto exaratus videtur.
PRÉFACE xxix
Dans cette édition, outre les quinze livres des Éléments, et les Données, on trouve plusieurs autres traités qui bien évidemment ne sont pas d'Eu- clide; Grégori lui-même en convient dans sa préface.
Robert Simson publia, en 1756, la traduction latine des livres 1,2, 3,4,5,6,11, 12 des Éléments d'Euclide. C'est la traduction de Com- mandin, revue par Robert Simson.
Robert Simson a fait de nombreux changements au texte d'Euclide. J'ai dit que la bibliothéque impériale renferme vingt-trois manuscrits grecs. En voici la liste par ordre d'ancienneté :
N° 190. Ce manuscrit porte tous les caractères des manuscrits de la fin du neuvième siècle. Les Données sont placées immédiatement après le treizième livre des Éléments. Le 14° et le 15° livre viènent ensuite; ce qui n'existe dans aucun autre manuscrit de la bibliothèque impériale. J'ai suivi le méme ordre dans mon édition, d'après le conseil de M. Lagrange.
N? 1038. Ce manuscrit, qui ne commence qu'à la proposition 8 du second livre, paraît être du commencement du onzième siècle. Il contient le reste des Éléments , et les Données ; il appartenait à la bibliothèque du Vatican ; etil fut envoyé de Rome à Paris, avec le manuscrit 190, par le comte de Peluse, . N° 2466. Ce manuscrit, qui contient les treize premiers livres des Éléments, parait être du douzième siècle.
N° 2344. Ce manuscrit, qui contient seulement les treize premiers livres des Éléments, paraît être du douzième siècle. N° 2345. Ce manuscrit, qui contient seulement les treize premiers livres des Eléments, paraît être du treizième siècle. jl
Tous ces manuscrits sont en parchemin; les suivants sont en papier.
N° 2373. Ce manuscrit, qui contient la Géométrie d'Euclide avec des scholies , parait être du quatorzième siècle.
N° 5342. Ce manuscrit, qui ne commence qu'à la proposition 23 du premier livre, et qui conuent le reste des Eléments, et les Données, parait être du quatorzième siècle.
N° 2762. Ce manuscrit, qui ne contient que les huit premiers livrse des Éléments, paraît être de la fin du quinzième siècle.
N° 2346. Ce manuscrit, qui contient les treize premiers livres des Elé- ments, parait être du quinzième siecle.
XXX PRAEFATIO.
Ne 3481. Is codex, in quo tantum deprehenduntur decem. pricres lil ri Elementorum, sæculo decimo quinto exaratus videtur.
N° 555r. Is codex, in quo tantum deprehenduntur tredecim priores libri Elementorum , sæculo decimo quinto exaratus videtur.
N° 2343. Is codex, in quo deprehenduntur qnindecim libri Elemento- rum, sæculo decimo sexto exaratus videtur.
N° 5547. Is codex, in quo tantum deprehenduntur tredecun priores ibri Elementorum , et Data, ineunte sæculo decimo sexto exaratus videtur.
N° 2448. Is codex, in quo Data deprehenduntur, sæculo decimo quarto exaratus videtur.
NN» 535». Is codex , in quo Data deprehenduntur , a J. Rossi fuit exaratus anno 1488.
N° 2363. Is codex , in quo Data deprehenduntur , seculo decimo quinto exaratus videtur.
N° 5349. Is codex, in quo Data deprehenduntur , sæculo decimo sexto exaratus videtur.
N° 2350. Is codex, in quo Data deprehenduntur , seculo decimo sexto exaratus videtur.
N° 1981. Is codex, in quo Data deprehenduntur, sæculo decimo sexto exaratus videtur.
N° 2467. Is codex, in quo Data deprehenduntur, sæculo decimo sexto exaratus videtur.
N° 2472. Is codex, in quo Data deprehenduntur, sæculo decimo sexto exaratus videtur ; sub finem nonnulla desiderantur.
No 3366. Is codex, in quo Data deprehenduntur, seculo decimo sexto exaratus videtur.
Νο 5348. Is codex comprehendit Euclidis Data, collata cum quinque antiquissimis manuscriptis bibliothecæ vaticanæ, a Josepho. Aurià, nea- politano , celebri geometrà sæculi decimi sexti decedentis.
Anno 1814 currente editurus sum versionem gallicam Diophanti operum. Lectiones variantes manuscriptorum bibliothecae imperialis cum editione 1670 , meam versionem sub- sequentur, Imprimis usus. sum mannscripto 2380 græco et latino, cujus initio legere est ; Diophanti Alexandrini arithmeticorum libri sex, ejusdem de numeris polygonis libellus Josepho Aurid interprete ; cum antiquissimis vaticanis codicibus tribus grecis manu- scriptis diligentissime collati operd et studio Josephi Auriæ.
Mea versio ceoiycorum Apollonii edetur anno 1815 currente,
DRE FACE xxxj
N° 5481. Ce manuscrit, qui contient les dix premiers livres des Elé- ments, parait être du quinzième siècle,
N° 2531. Ce manuscrit, qui contient les treize premiers livres. des Eléments , parait être du quinzième siècle.
N° 23/43. Ce manuscrit, qui contient les quinze livres des Eléments, parait être du seizième siècle.
N° 2545. Ce manuscrit, qui contient les treize premiers livres des Elé- ments, et les Données , parait être du commencement du seizième siècle,
N° 2448. Ce manuscrit , qui contient les Données, parait être du qua- torzième siècle. ^
N° 2352. Ce manuscrit , qui contient les Données, fut écrit par J. Rossi en 1488.
N° 2363. Ce manuscrit, qui contient les Données, paraît être du quin-
CES CA ? ? i
zième siècle.
N° 23409. Ce manuscrit, qui contient les Données, parait. être du scizième siècle.
No2350. Ce manuscrit, qui contient les Données, paraît étre du seizième siècle.
N° 1981. Ce manuscrit, qui contient les Données, paraît être du scizième siècle.
N° 2467. Ce manuscrit, qui contient les Données, parait être du seizième siecle.
N° 2372. Ce mantscrit , qui contient les Données d'Euclide, parait étre du quatorzième siècle; il manque quelque chose à la fin.
N° 3366. Ce manuscrit, qui contient les Données , parait être du seizieme siècle.
N° 2348. Ce manuscrit contient les données d'Euclide comparées avec les cinq plus anciens manuscrits de la bibliothèque du Vatican, par Joseph Auria de Naples, célèbre géométre de ia fin du seizième siècle.
Je publierai dans le courant de l'année 1814 une traduction francaise des œuvres de Diopliante, Les variantes des manuscrits de la bibliothèque du roi, avec l'édition de 1670, seront placées à la suite de ma traduction. J'ai fait principalement usage du manu- scrit 2380 grec et latin. On lit en téte de ce manuscrit : Diophanti Alexandrini aritline- ticorum libri sex , ejusdem de numeris poly gonis libellus , Josepho Æurid interprete ; cum antiquissimis vaticants codicibus tribus græcis manuscriptis diligentissime collati opera et studio Josephi Aurice.
Ma traduction des coniques d'Apollonius paraîtra dans le courant de l'année 1825,
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INSTITUT DE FRANCE.
Rapport de MM. DELAMBRE et PRONY, sur une édition grecque , latine et Jrancaise des quinze livres des Eléments et du livre des Données d'Euclide , par M. Peyrard.
Ei classe avait déjà, sur le rapport de MM. Lagrange, Legendre et Delambre , donné son approbation à une traduction complète des OEuvres qui nous restent d’Euclide ; M. Peyrard , auteur de ce travail , avait comparé tous les manuscrits grecs qui sont à la bibliothèque impériale, au nombre de vingt-trois. Il était résulté de cette comparaison qu'aucun de ces manuscrits n'est entierement conforme à l'édition d'Oxford ; que cette édition, qui passe pour la meilleure , et qui est sans contredit la plus belle , n'est pourtant, quant au texte grec, qu'une copie de l'édition de Bále, dont elle a reproduit jusqu'aux fautes les plus palpables ; que la plupart de ces ma- nuscrits offrent des variantes qui remplissent quelques lacunes , ou éclaircissent quelques passages de ces deux éditions principales ; qu'en général cependant tous ces manuscrits different peu les uns des autres, et different beaucoup d'un manuscrit portant le n° 190, qui provient de la bibliothèque du Vatican , d’où il fut envoyé en France par M. Monge.
Ce manuscrit porte tous les caractères qui peuvent en attester l'ancienneté, tous les autres paraissent plus modernes ; M. Peyrard le croit de la fin du neuvième siècle. Mais cette date n'est pas son principal mérite ; le texte y parait plus pur, plus clair, moins prolixe, et par-là méme plus intelligible. C'est à ce manuscrit que M. Peyrard s'est principalement attaché, il en avait porté toutes les variantes aux marges d'un exemplaire de l'édition d'Oxford ; cet exemplaire et le manuscrit qui avait servi à le corriger , furent remis aux commissaires nommés par la classe ; ils vérifièrent les notes marginales de M. Peyrard ; ils y remarquerent des addi- tions nécessaires , d'autres simplement utiles, des suppressions qui n'étaient pas moins avanta- geuses , d'autres changements sur lesquels les avis pouvaient être partagés, quelques-uns méme qui ne semblaient pas devoir être adoptés , et leur conclusion fut que la classe pouvait donner son approbation au travail de M. Peyrard ; que s'il n'était pas permis d'espérer une édition du texte grec purgé de toutes les fautes que les manuscrits pouvaient corriger , et enrichi de toutes les additions qu'ils pouvaient fournir, édition qui ne pouvait manquer d'étre dispendieuse et qui demanderait beaucoup de temps , il était au moins à souhaiter que M. Peyrard ajoutàt à sa traduction la liste des variantes qu'il aurait adoptées ou simplement recueillies , afin. que les géomètres pussent corriger les éditions anciennes en attendant l'édition plus correcte qui pourrait faire oublier toutes les précédentes.
Ces conclusions adoptées par la classe inspirèrent un nouveau courage à M. Peyrard; il entreprit l'édition grecque , latine et francaise , dont nous avons à rendre compte ; elle aura deux volumes in-4? ; le premier est achevé. Sur la demande de l'auteur , S. E. le Ministre de l'in- térieur , par sa lettre du 20 novembre 1815 , invite la classe à examiner si l'ouvrage est aussi exact que l'auteur a desiré le faire , si les leçons choisies sont en effet celles qui méritaient
XXXIV d'étre adoptées de préférence , enfin si le livre remplit bien toutes les conditions qui pouvaient étre exigées.
La classe d'histoire et de littérature ancienne a été en méme temps invitée à considérer la traduction sous le rapport du style et de l'exécution ; S. E. prie les deux classes de vouloir bien , soit en particulier, soit eu se réunissant , examiner le volume sous ces divers rapports.
Deux commissions ont été nommées ; les deux rapporteurs choisis par elles ont eu plusieurs conférences ; ils se sont trouvés du méme avis , et chacun d'eux s'attachera plus particulierement aux objets qui sont de sa compétence , en observant la ligne de démarcation tracée par 8. E. le Ministre de l'intérieur.
L'ouvrage est précédé d'une préface , où l'éditeur rend compte des recherches qu'il a faites , des secours qu'il s'est procurés , du systeme qu'il a suivi ; cette préface est en deux langues , nous n'en examinerons ici que les idées. |
Ce qu'on sait sur la personne d'Euclide se réduit à bien peu de chose, mais son ouvrage jouit de la plus grande réputation. On convient assez généralement qu'Euclide n'a fait que rassembler et mettre en ordre les théorèmes trouvés par les géometres qui étaient venus avant lui; peut-être a-t-il augmenté le nombre de ces théorèmes , 1l se peut qu'il en ait perfectionné les démons- trations ; cependant quelques auteurs attribuent ces démonstrations à Théon , l'un des plus anciens et plus célèbres commentateurs des Éléments. Proclus , qui nous a laissé quatre livres de com- mentaires sur le premier livre d'Euclide, dans une longue liste de tous les grecs qui se sont distingués dans les mathématiques , en cite quatre qui avaient composé des éléments avant Euclide. Le premier est Hippocrate de Chios , célèbre encore aujourd'hui par ses Lunules ; le second est Léon , dont l'ouvrage était plus plein, plus utile que celui de son prédécesseur ; le troisième est Theudius de Magnésie, que Proclus loue pour l'ordre qu'il a mis dans la rédaction ; aprés Léon vient Hermotime de Colophon , qui, perfectionnant les découvertes d'Eudoxe et de Thætète, mit aussi beaucoup du sien dans les éléments ; peu de temps aprés vint Euclide , qui , suivant le témoignage de Proclus , rassembla les éléments , mit en ordre beaucoup de choses trouvées par Eudoxe , perfectionna ce qui avait été commencé par Thotéte , et démontra plus rigou- reusement cé qui n'avait encore été que trop mollement démontré avant lui. Euclide vivait sous le premier des Ptolémées , car Archimède le cite dans son premier livre ; il avait fait beaucoup d'autres ouvrages remarquables par leur admirable exactitude et pleins de théories savantes. Proclus cite particulièrement son optique , sa catoptrique , ses éléments de musique, et enfin, son livre des diærèses, διαιρέσεων ; mais ce qu'il admire surtout c’est le livre des éléments, tant pour l'ordre que pour le choix des théorèmes et des problèmes , qui méritent véritablement le nom d'élémentaires : il est à remarquer que Proclus ne dit rien des données , et qu'il n'a pas nommé Théon.
Ce passage que nous traduisons fidèlement , et dont Grégori dans sa préface avait seulement extrait quélques lignes, semble décisif ; aussi l’idée de ceux qui voulaient dépouiller presque en- tierement Euclide en faveur de Théon , a-t-elle été vivement combattue par Butéon et Savilius ; Robert Simson en se rangeant à leur avis, le modifie d’une manière qui le rend encore plus favorable à Euclide. Par une espèce de superstition , excusable dans un traducteur , il a l'air de poser comme un axióme qu'il est impossible qu'Euclide se soit Jamais trompé , ou qu'il ait eu la moindre distraction. Ainsi quand il est obligé de reconnaitre qu'une définition n'est pas assez
XXXV
juste , qu'une démonstration est incomplète ou peu rigoureuse, il en rejète assez durement la faute sur Théon ou quelque autre commentateur , qu'il accuse nettement d'ineptie ou au moins d'ignorance en mathématiques. Le nouveau traducteur , sans s'éloigner beaucoup de cette maniere de voir de Simson, est au moins plus modéré dans les termes ; et pour rejetter plusieurs choses qui véritablement paraissent peu dignes d'Euclide, il a , ce qui manquait à Simson , l'autorité d'un bon manuscrit , dans lequel les passages dignes de censure se trouvent omis ou corrigés.
Cette prévention en faveur de son auteur, et la supériorité du manuscrit du Vatican sur tous les autres , ont fait penser à M. Peyrard , que ce manuscrit pourrait bien être le véritable texte d'Euclide , tandis que tous les autres, et en particulier ceux qui ont servi à l'édition de Bäle oy d'Oxford , seraient les éditions données par Théon , ou par les commentateurs venus apres lui.....
En avouant que nous n'avons aucun argument bien péremptoire pour rejeter la conjecture de M. Peyrard , nous dirons pourtant qu'elle ne nous parait pas suffisamment établie.......
Nous n'attribuerons donc pas à Théon toutes les différences qui se trouvent entre les manuscrits plus modernes et le manuscrit du Vatican ; nous ne dirons pas que ce manuscrit soit le texte véritable d'Euclide , car alors il faudrait attribuer à Euclide les mauvaises leçons que M. Peyrard a justement rejetées de son édition pour suivre ou les autres manuscrits ou les éditions de Bâle et d'Oxford. Nous ne dirons pas méme que Théon soit décidément l'auteur de la définition condamnée par Simson ; il est vrai que Théon la développe et l'explique dans son commentaire sur l'Almageste ; mais il la rapporte sans pour cela s'en déclarer l'auteur, au lieu que dans un autre endroit il donne formellement comme de lui le théoréme concernant les secteurs , qu'il dit avoir démontré dans son explication d'Euclide , car c'est ainsi que pour éviter l'équivoque nous traduisons le mot ἐκδόσει, qu'on traduit communément par le mot édition.
Nous n'accuserons point Théon d'avoir supprimé des démonstrations rigoureuses , pour en substituer d'autres qui ne prouvent rien ou qui sont inintelligibles. Nous admettrons aisément que Théon a pu commettre quelques fautes par inattention , mais non qu'il ait été assez ignorant pour ne sentir ni le mérite d'une bonne démonstration , ni les défauts de celles qu'il mettait à la place. Au reste, ce reproche que nous avons l'air d'adresser à M. Peyrard , va bien plus justement à Simson , dont la préface toute entière roule sur cette idée ; et d'ailleurs nous sommes loin de donner trop d'importance à l'opinion d'un commentateur sur la source des erreurs avouces qu'il s'agit de rectifier. Que ces erreurs viènent d’Euclide lui-même ou de l'un de ses commen- tateurs , ou, ce qui souvent est plus probable, qu'elles viènent des copistes , rien n'est plus indifférent ; pourvu que le nouvel éditeur les corrige bien , il aura rempli sa tâche; et s'il peut prouver que ses corrections sont appuyées du témoignage d'un ancien manuscrit , on n'a rien de plus à lui demander.
Ce qui distingue les Éléments d'Euclide ,ce sont moins les théorèmes eux-mêmes, ou l'ordre dans lequel il les a fait dériver les uns des autres , que la manière dont il les a démontrés......
Le mérite principal est dans la marche rigoureuse qu'il a suivie dans toutes ses démonstrations ; on pourrait dire cependant que cette méthode méme a trouvé plus de próneurs que d'imi- tateurs.......
Mais sans nous déclarer exclusivement les admirateurs d’une manière passée de mode , nous dirons que cette maniere a des avantages précieux , en méme temps qu'elle a des inconvénients
graves ; qu'elle forme un langage aujourd'hui peu connu et qui mérite de l'étre d'avantage ; qu'en
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la voyant appliquée par Euclide à des théoremes assez simples, on pourra devenir en état de suivre plus facilement les démonstrations plus longues et plus obscures d'Apollonius et d'Ar- chimède ; que cette étude sera du moins un exercice utile pour s'habituer à la rigueur des dé- monstrations dont on n'est que trop disposé à se relàcher. On ne serait écouté de personne aujourd'hui si l'on proposait de commencer l'étude des mathématiques dans Euclide ; mais on dira une chose vraie en assurant que tout géomètre fera tres-bien de lire une fois en sa vie Euclide en entier, pour avoir une idée nette de ce genre de démonstrations ; ct se mettre en état de l'employer dans l'occasion.
. Ces réflexions prouvent l'utilité de l'entreprise formée par M. Peyrard. Aujourd'hui que l'étude du grec commence à refleurir dans l'Université royale, il est à croire que peu de géometres désormais se refuseront la satisfaction de lire Euclide, Archimede , Apollonius , Diophante dans leur langue. Il ne faut pas avoir fait une longue étude du grec pour entendre ces auteurs, qui ne sont pas plus difficiles que les fables d'Ésope , et bien moins, certainement, que les dialogues de Lucien, ou les vies de Plutarque , qu'on met entre les mains des enfants. Euclide surtout est d'une grande simplicité, ses phrases sont courtes , elles offrent peu d'inversions , on n'y volt pas une réflexion , pas un raisonnement grammaticalement compliqué ; les mémes expressions reparaissent à chaque instant ; le vocabulaire n'est que trop borné , et les termes techniques que l'on y rencontre ne paraissent jamais sans avoir été préalablement définis.
L'intelligence du texte grec sera rendue plus facile encore par le système que M. Peyrard a suivi dans sa traduction latine. Partout il lui a donné la méme fidélité qu'aux traductions interlinéaires des ouvrages qui servent à la premiere instruction. Les termes correspondants se suivent dans le méme ordre dans les deux langues. Il n'est pas jusqu'aux articles qui manquent au latin , que le traducteur n'ait tenté de reproduire, par l'emploi continuel du pronom zpse , ipsius , etc. , pour marquer les cas obliques des lignes , des angles, des figures , désignés en grec par des lettres indé- clinables. Ces mots subsidiaires dont la répétition continuelle a quelque chose de fatigant, auraient pu être évités , sans doute, en les remplaçant parfois par les mots rectæ, anguli , arcus , ou tels autres qui n'auraient gueres été plus longs ; mais M. Peyrard est suffisamment excusé par l'exemple des traducteurs qui l'ont précédé , et même par celui des géométres modernes qui ont écrit en latin. D'ailleurs , la traduction latine est moins destinée à étre lue de suite , qu'à faciliter l'in- telligence du texte grec; et ceux qui y trouveraient trop de difficulté pourront se borner à la traduction francaise qui est au bas de chaque page; outre le secours qu'il trouvait dans nos arti- cles indéfinis , l’auteur n'a pas fait scrupule d'y introduire ces mots ligne , angle , etc. , que nous regretions tout-à-l'heure de ne pas trouver dans le latin. Cette licence est la seule quil ait prise ; à cela près, le francais est presque aussi littéral que le latin ; on serait tenté quelquefois d'en faire un reproche au traducteur ; mais la phrase d'Euclide est si simple, qu'il n'y a guères deux manieres de la traduire , à moins de prendre des libertés qui, sans avantages bien réels, chan- geraient tout-à-fait le style de la démonstration.
Il nous reste à parler des variantes qui assurent à la nouvelle édition du texte une supériorité marquée sur les éditions précédentes , lesquelles d’ailleurs commencent à devenir un peu rares.
La premiere de ces variantes est celle qui place parmi les demandes trois propositions, que les éditions précédentes avaient rangées parmi les notions communes. Tous les auteurs qui ont depuis reproduit ces propositions se sont crus obligés de les démontrer; Euclide qui s'en est
XXX VI] dispensé , n’a pu cependant les regarder comme des vérités évidentes , mais seulement comme des principes qu’on pouvait lui accorder et qui lui étaient indispensables pour établir sa doctrine. Il faut convenir pourtant que ces trois demandes sont d'un genre tout différent des trois précé- dentes. En effet, il faudrait être d'un esprit bien difficile pour nier à Euclide la possibilité de mener une droite d'un point donné à un point donné , de prolonger une droite donnée , ou de décrire un cercle d'un centre et d'un rayon donnés. Mais on pourrait lui demander la preuve-que tous les angles droits sont égaux , que deux lignes droites ne peuvent renfermer un espace, et surtout que deux droites se couperont nécessairement si on les prolonge suffisamment du cóté où elles forment sur une autre droite deux angles dont la somme est moindre que celle de deux angles droits.
L'édition de Paris est conforme à tous les manuscrits de la Bibliotheque royale, si ce n'est que le n° 2545 place parmi les notions communes la troisième des propositions dont nous venons de parler, et que les n°* 2546 et 2481 la placent tout à la fois , et parmi les demandes et parmi les notions communes. L'édition de Paris est encore conforme à l'édition arabe , à la traduction latine de Campan , faite d’après l'arabe , et à la traduction latine de Zamberti , faite d’après le texte grec, avant l'édition de Bäle ; Proclus, qui a démontré d'une manière très-simple que tous les angles droits sont égaux, place parmi les demandes, les deux premières propositions, et la troisième parmi les notions communes ; Boéce , qui a supprimé la troisième , place aussi les deux autres parmi les demandes. Tout porte donc à croire que Simon Grynceus , qui est l'auteur de l'édition de Bâle, jugeant ces trois propositions déplacées , changea les accusatifs en nominatifs , les infinitifs en indicatifs , pour reposer ces propositions à une place qu'il jugeait plus convenable. Quoi qu'il en soit, nous croyons M. Peyrard plus qu'autorisé à la lecon qu'il a adoptée de préférence.
La proposition 7 du premier livre a plusieurs cas ; un seul cependant est énoncé et démontré dans tous les manuscrits. Clayius a senti la nécessité de nouveaux développements, il y consacre cinq figures et donne cinq démonstrations , qu'il pouvait réduire à trois ; Simson donne double démonstration et double figure , et la seconde est prise dans Clavius. M. Peyrard qui ne voyait dans les manuscrits qu'une seule figure et qu'une seule démonstration , pouvait dire tout simple- ment qu'Euclide avait eu un moment de distraction; il pouvait compléter la démonstration dans une note. Il a voulu sauver Euclide de tout reproche ; en empruntant comme Simson , une figure à Clavius, et prolongeant deux lignes dans la figure d'Euclide, il a fait que la démonstration d'Euclide s'applique à la fois aux deux figures et aux deux cas qui renferment tous les autres. Ainsi la démonstration s'est trouvée complète sans y changer un seul mot, dit M. Peyrard , et cela est vrai ; mais dans la préparation il a ἐξέ obligé d'ajouter une ligne qu'il a enfermée entre deux crochets , parce qu'elle ne ne se trouve dans aucun manuscrit ; il serait assez diflicile d'imaginer comment les copistes auraient non-seulement omis une figure toute entière , mais encorc les deux prolongements de la première figure , et enfin la ligne du texte qui explique ces prolongements; ce n'est donc pas ici une variante que M. Peyrard porte dans le texte , c'est une véritable correction faite à un passage incomplet, mais du moins il l'a faite dans les moindres termes , et c'est par dévouement à son auteur qu'il se borne au mérite d'avoir retrouvé la véri- table lecon.
La proposition 24 du livre III , a trois cas ; les éditions grecques n'en démontrent qu'un seul, Commandin dans sa traduction démontre les deux autres : Clavius développe la proposition , il y
xviij - mploie cinq figures ; Simson retranche une partie de la proposition qu'il reporte à la précédente; {l’aide de son manuscrit M. Peyrard rempiit la lacune. .
Dans la proposition 26, la variante (3) éclarcit la démonstration , elle est donc utile ; M. Peyrard a bien fait de l'introduire dans le texte. Tous les traducteurs en avaient senti la nécessité, le ma- nuscrit a légitimé leurs conjectures.
Le corollaire de la proposition 19 du livre V a paru si corrompu, que Gregori s'est cru obligé de le changer pour y donner un sens raisonnable. Clavius lui en avait donné exemple. Robert Simson , avec son aménité ordinaire, dit que tout ce livre V a été corrompu par des ignares en géométrie...
Le manuscrit est absolument semblable à l'édition d'Oxford, c'est par des changements assez légers que M. Peyrard a rendu ce corollaire intelligible ; mais ces changements nécessaires ne sont autorisés par aucun manuscrit ; il lui donne ensuite la forme d’un théorème, etle démontre directe- ment d'une maniere assez courte dans sa préface.
Dans la derniere proposition du livre VI, ce qui regarde les secteurs circulaires parait une addition de Théon , qui en réclame formellement la démonstration à la page 5o de son com- mentaire sur Ptolémée. Cet article ne se trouve pas dans le manuscrit du Vatican, et M. Peyrard se reproche de ne l'avoir pas retranché de son édition, par la raison qu'il n'est d'aucun usage dans tout ce qui suit ; mais puisque ce théorème est vrai, nous croyons le scrupule exagéré. Pour qu'un théoreme soit admis dans un livre d'éléments , il n'est pas bien nécessaire qu'il serve à démontrer un théorème subscéquent...... Cet article des secteurs a cependant trouvé grâce aux yeux de Simson , qui en ignorait probablement le véritable auteur, ou qui n'a pas vu dans le passage de Théon une preuve bien sûre qu'Euclide n'eàt pas donné lui-même ce théorème.
Le traducteur continue de donner les raisons pour lesquelles il a rejeté du texte plusieurs variantes qu'il discute. Ces raisons sont assez plausibles , mais quand on ne les admettrait pas, comme les leçons rejetées se retrouvent à la fin du volume, personne n'aurait à se plaindre ; on sait qu'en pareille matière les éditeurs les plus estimables sont rarement du méme avis.
Aprés avoir examiné la préface , nous aurions à passer en revue les variantes que l'auteur, soit en les admettant , soit en les rejetant, n'a pas jugées assez importantes pour leur consacrer un article particulier ; mais cet examen serait beaucoup trop long , nous nous bornerons à celles qui pourront nous fournir quelque remarque ; nous laisserons toutes celles qui nous ont paru ou indifférentes ou bien placées , soit qu'elles se trouvent dans le texte ou qu'elles soient à la fin du volume.
Dans la définition 15 du livre Ie", l'éditeur, d'apres plusieurs manuscrits , a recu dans le texte les mots πρὸς τὴν τῦυ κύκλου περιφερέιαν, qui nous paraissent un double emploi, une glose fort inutile des mots πρὸς # qui se trouvent deux lignes plus haut.
L'éditeur a marqué par des titres les différentes parties dont se compose la première propo- sition. Ces dénominations qui nous ont été conservées par Proclus , et qui sont exposition, déter- mination , construction , démonstration et conclusion , paraissent une pédanterie de commen- tateur , et le nouvel éditeur a bien fait de ne les employer qu'une seule fois pour exemple.
Il a rejeté parmi les variantes le corollaire de la proposition XV, qui dit que la somme des angles autour d'un méme point est toujours égale à quatre angles droits. Sa raison est qu'il manque dans la plupart des manuscrits, et que dans les autres il est écrit d'une main ctrangere. Il nous
XXXIX
semble qu'on aurait pu le conserver, à l'esemple de Simson. S'il n’est pas d'Euclide, s'il est im- plicitement renfermé dans ce qui précede, 1] a le mérite d'étre court, et de contenir une re- marque qui aurait pu échapper à quelques lecteurs. ll aurait pu, sans inconvénient, conserver quatre mots qu'il a retranchés de la proposition XX ; à la vérité, ils n'étaient pas bien nécessaires, mais ils paraissent dans la manière d'Euclide. Dans la proposition XXII , au contraire , il a rétabli dans le manuscrit deux lignes qui ne gâtent rien, mais dont on pouvait se passer.
Dans la proposition XXVI, l'addition faite (15) était nécessaire, quoique dans le manuscrit elle füt écrite en marge et d'une autre main ; elle se trouvait déjà dans l'édition d'Oxford.
Dans la proposition XXVII, la lecon du manuscrit est plus concise et suffisante ; celle d'Oxford est plus développée et plus dans la manière d'Euclide. On peut en dire autant de la proposition XXVIII. La leçon nouvelle de la proposition XXIX a le mérite de la brieveté.
A la proposition XXXI, l'éditeur s'est écarté de son manuscrit pour se conformer à l'édition d'Oxford ; il a cru parfaitement inutiles les mots qu'il supprumait : il y a dans tous ces choix un peu d'arbitraire, et nul inconvénient. Ainsi à la proposition XXXIV, le mot χωρίον ajouté à παωραλληλόγραρεμον n'était nullement nécessaire; mais en le rétablissant, on a rendu l'énoncé plus conforme à celui de la proposition. À la proposition XXXVII, le retranchement autorisé par le manuscrit n'a aucun inconvénient : on fait.toujours bien quand on retranche des mots inutiles; la démonstration y gagne toujours , car celles des Grecs sont toujours ur peu longues.
A la fameuse proposition XLVH (le carré de l'hypoténuse), on trouve une faute qui ne peut échapper au lecteur, et dont nous n'aurions pas fait mention, si elle ne se trouvait dans les trois langues : c'est un AA au lieu de BA.
Dans le livre l1, proposition VIII, on serait tenté de regarder comme inutiles les quatre lignes introduites d’après le manuscrit ; mais dans la proposition IX, on a très-bien fait d'introduire ces mots et elles sont égales, qu'on était obligé de sous-entendre. La variante (12) de la méme proposition est préférable à la leçon d'Oxford, qui pourtant revient à peu prés au méme; car si les carrés sont égaux, les racines ou les côtés le sont nécessairement.
Le manuscrit avait, dans la proposition X, une faute évidente, qui n'était ni dans l'édition d'Oxford , ni dans celle de Bâle,
Dans le livre III, définition 2, l'éditeur a bien fait d'ajouter, d’après le manuscrit, les mots ἐπὶ μηδέτερα £575 mais il a oublié de les traduire en français.
Dans la proposition VIII, l'éditeur a bien fait de suivre l'édition. d'Oxford plutót que le manuscrit ; la longue variante n'offre rien de bien intéressant,
Dans la proposition XHI on a ajouté, d’après le manuscrit, deux mots qui étaient si nécessaires, que Gregori les avait traduits; quoiqu'ils ne fussent pas dans le texte.
Dans la proposition XXIV, le manuscrit et l'édition. nouvelle présentent un sens moins incomplet : il y manque pourtant encore quelque chose , mais le sens ne peut étre douteux.
La variante (6) de la proposition XXXVII , est certainement une amélioration.
Livre IV , au corrollaire de la proposition V, la correction tirée du manuscrit est bonne ; la leçon d'Oxford était défectueuse ; cependant le sens était visible.
Livre V , proposition IV , l'éditeur a rétabli d’après le manuscrit deux mots qui manquaient , et que Simson avait jugés indispensables. Il y a ensuite, dans le manuscrit, trois lignes que l'éditeur a bien fait de ne point admettre dans son texte.
xl
Proposition V, la variante (1) était nécessaire.
Proposition VII, l'éditeur n'a point inséré dans le texte un corollaire qui contient une propo- sition vraie, utile, et qui manque à ce livre, mais qui ne peut se conclure de la proposition pré- cédente : il ne se trouve dans aucun manuscrit, si ce n'est celui du Vatican. Simson ἃ donné à part cette proposition, qu'il a marquée de la lettre B. Dans la maniere moderne de traiter les proportions, ce théorème est évident; il suffira d'en trouver l'énoncé parmi les variantes ; mais il pouvait figurer dans le texte , avec une note.
A la proposition VIIL, les sept lignes ajoutées d’après le manuscrit améliorent la démonstration sans la rendre encore bien claire. Simson avait raison de la trouver incomplète; mais il avait probablement tort d'en rejeter la faute sur Théon. Au reste, la proposition en elle-méme est si simple, qu'on serait tenté d'en. faire un axióme ; et de là vient peut-être. la difficulté de la démontrer à la maniere des anciens. ll y avait dans l'édition d'Oxford une faute de grammaire, un indicatif pour un infinitif ; cette faute a été corrigée d'apres le manuscrit.
A la proposition XXI, variante (5), la leçon d'Oxford était tronquée ; on y ajoutait une explication qui parait avoir été une note marginale, qui depuis aurait passé dans le texte. La lecon rend la glose inutile; ainsi le passage devient à la fois et plus court et plus clair.
A la proposition XXIII, on trouve une longue variante fournie par quatre manuscrits. Elle est préférable à la lecon d'Oxford. Simson a refondu la démonstration , et dans ses notes il critique vivement les interpretes qui l'ont précédé. Sa démonstration n'est pas non plus d'une grande clarté. Le théorème est un de ceux qu'on n'explique nulle part, et qu'on applique sans le connaitre. Il suffit de l'écrire algébriquement pour en sentir la justesse. Cette espèce de traduction est en général le moyen le plus sür pour juger les démonstrations des divers éditeurs; mais alors , si on les rend plus claires, on apercoit en méme temps qu'elles sont longues et peu naturelles.
Au livre VI, l'éditeur a supprimé la 5e définition, parce qu'elle n'est pas dans son manuscrit. Elle pourrait être de Théon ; c'est celle que: Simson a si vivement critiquée. La meilleure raison, c'est qu'elle est à peu près inutile, et qu'elle n'est point assez correcte. C'est la définition de la raison composée.
Dans la proposition II, l'éditeur a supprimé deux fois le mot Sabots qui n'est pas dans le manuscrit, et qui est de trop dans les imprimés. Ayew πώροὶ signifie chez les Grecs ce que nous exprimons par mener parallélement. On voit donc que le mot paralléle devient inutile. Deux lignes sont parallèles quend elles sont à côté l'une de l'autre sans jamais se couper; c’est ce que signifie ape chez les géomètres grecs.
Dans la proposition ΠῚ, l'éditeur a rétabli quelques articles qui manquaient, et adopté quelques variantes qui, sans être bien importantes par le sens, rendent la phrase plus correcte.
A la proposition X, il y avait dans l'édition d'Oxford une répétition inutile, occasionnée par l'insertion d'une phrase également superflue. L'éditeur, d’après quatre manuscrits, a donné une lecon plus courte et plus exacte.
A la fin de la deuxième démenstration de la proposition XIV , on a supprimé, d’après le ma- nuscrit, quatre lignes qui formaient une glose peu nécessaire.
La proposition XXI avait un double emploi plus sensible, que lé manuscrit a fait supprimer.
A la proposition XXII, le manuscrit a fourni deux développements utiles , qu'on pouvait
cependant sous - entendre.
xl}
A la proposition XXVI, les éditeurs de Bâle et d'Oxford offraient un texte altéré, une figure mal faite. Clavius avait changé la démonstration et substitué deux figures à la figure unique du texte. Le manuscrit a fourni un texte correct et une figure exacte. Simson , en conservant la figure, avait changé le texte pour l’y faire cadrer. Sa correction était bonne, mais rien ne l'appuyait. Il est à croire que la nouvelle édition offre la véritable rédaction d'Euclide.
A la proposition XXVII, τὴν était une faute d'impression dans l'édition d'Oxford.
Livre VIE. C'est le premier de ceux qui sont omis dans les éditions communes d'Euclide ; il traite des nombres. La définition de l'unité ne signifie pas grand chose en grec, et ce défaut est bien plus sensible en latin et en francais, oü les mots un et unité ont une ressemblance que n'ont pas les mots monade et un; pos et ἕν.
L'éditeur a rétabli, d’après le manuscrit, la définition du nombre impairement pair qui manquait évidemment, quoiqu'on püt la supposer comprise dans celle du nombre pairement impair qui précede.
A la proposition X, on trouve une addition utile.
A la proposition XIX , δευτέρου pour τετώρτου, était dans l'édition d'Oxford une faute prise dans celle de Bäle, et d'autant plus étonnante dans celle-là, qu'elle était corrigée dans la traduction.
A la proposition XXIII, la premiere variante a le mérite de plus de brièveté, la seconde celui de plus de justesse.
Nous sentons plus que personne combien ces détails sont arides et minutieux. Nous avons dà les rapporter pour donner à la Classe la preuve du scrupule avec lequel nous avons fait l'examen dont elle nous avait chargés. Notre conclusion sera que, nonobstant quelques fautes d'impression dont nous ajouterons ici la liste (1), qui étaient presque inévitables dans une entreprise de ce genre , et qui d'ailleurs sont bien moins nombreuses que celles de la belle édition d’Archimède, imprimée à Oxford , l'ouvrage est eract , non pas sans doute autant que l'auteur aurait désiré le faire , mais autant qu'il était possible de l'espérer; que les lecons choisies sont en général celles qui méritatent la préférence. Si quelquefois à cet égard nous nous sommes trouvés différer de sentiment avec l'éditeur , nous n'oserions assurer que nous ayons toujours raison ; et ceux qui se trouveraient de notre avis auraient toujours la ressource de consulter la table des variantes ; ainsi l'inconvénient , s'il en existe , est extrémement léger. Nous dirons que l'ouvrage remplit bien toutes les conditions qui pouvaient étre exigées , et que l'édition est évidemment supérieure à toutes celles que nous
connaissons.
Fait à Paris, le 21 février 1814. Signé PRONY et DELAMBRE, rapporteur.
Certifié conforme à l'original.
Le Secrétaire perpétuel ,
Signé DELAMBRE.
(1) Cette liste est imprimée à la fin du volume.
-
INSTITUT.DE FRANCE.
CLASSE D'HISTOIRE ET DE L'ITTÉRATURE ANCIENNE. Paris, le 26 Février 1814.
Le Secrétaire perpétuel de la Classe, à Son Excellence le Ministre de l'intérieur.
Monsieur LE COMTE,
Les Eléments d'Euclide ne renfermant que des définitions et des propositions de géométrie , sont essentiellement du ressort de la Classe des Sciences physiques et mathématiques , et sont entierement étrangers , pour le fonds, au genre des travaux de celle d'histoire et de littérature ancienne. Cette Classe cependant, pour répondre , autant qu'il est en elle, au témoignage de confiance que Votre Excellence a jugé à propos de lui donner en la consultant sur le mérite du travail de M. Peyrard , s'est empressée de l'esaminer sous le petit nombre de rapports qui la concernent et sur lesquels elle peut avoir une opinion motivée. Le compte que M. Delambre rendit il y a quelques années à la première Classe de la traduction française d'Euclide , et celui qu'il vient de lui rendre de l'édition du texte et des traductions latine et française dont il est accompagné , ainsi que de l'ensemble du travail de M. Peyrard , présentent les détails les plus iutéressants qui supposent un examen trés-approfondi de ce travail sous le rapport littéraire. et sous celui de la science , et font connaitre suffisamment ce qu'on doit en penser.
La classe d'histoire a donc cru devoir se borner à soumettre à Votre Excellence quelques observations générales sur la partie littéraire de l'ouvrage , et sur la maniere dont il est exécuté,
Le texte d'Euclide lui a paru plus correct dans la nouvelle édition que dans les éditions anté- rieures ; cependant elle pense que celle qui fut publice à Bále en 1555, par Simon Gryncus , malgré quelques fautes d'impression , moins nombreuses qu'on ne le croit communément, et faciles à corriger, sera toujours précieuse aux amateurs de la langue grecque.
LA partie typographique est en général soignée dans l'édition de M. Peyrard : il sy est néan- moins glissé quelques fautes d'impressiou , surtout vers la fin du volume.
En comparant le texte grec de celte édition avec celui des éditions précédentes ,on y re- marque quelques différences. Les plus essentielles ont été relevées et appréciées dans le rapport fait à la premiere Classe , qui coustate encore que l'éditeur a rempli heureusement plusieurs lacunes avec le secours des manuscrits... ...
Les deux traductions jointes au texte sont tres-littérales ; peut-étre méme la traduction francaise l'est-elle trop. Cette maniere de traduire mot à mot peut être bonne pour une version latine, dans laquelle on cherche plutót l'exactitude et la fidélité que l'élégance , et dont quelques per- sonnes peuvent avoir besoin pour entendre le texte ; mais il semble que la traduction française aurait dà étre faite avec un peu plus de liberté (1).
J'ai l'honneur de faire repasser à Votre Excellence l'ouvrage de M. Peyrard qu'elle m'avait envoyé , et de lui renouveler l'hommage de mes sentiments les plus respectueux.
Signc DACIER. Cerüifié conforme à l'original ,
Signé BARBIER DE NEUVILLE, chef de
la 59** divion du Ministère de l'intérieur.
1) Voyez le rapport de M. Delambre, page 36, alinéa trois. ) pp » Pas
xliij
INSTITUT DE FRANCE. '
Paris, 14 aoüt 1809.
Rapport de MM. LacnaNGE, LrcrwpaE et DzrawBnE, sur une traduction complète des quinze livres des Eléments, et des Données d' Euclide, par JH. PExRnARD.
LA «Classe a déjà donné son approbation à une traduction d'Éuclide, par M. Peyrard. A l'exemple de presque tous les éditeurs qui l'ont précédé , il avait omis les livres qui traitent des Quantités numériques, les trois derniers livres, et le livre des Données ; mais il avait annoncé dès-lors une traduction complète. Le désir de lui donner toute la perfec- tion possible lui a fait consulter tous les manuscrits de la bibliothèque royale. . . . . . ..
Dépositaire de ces précieux manuscrits, M. Peyrard les a comparés soigneusement avec l'édition grecque d'Oxford; il a noté en marge de l'imprimé toutes les variantes, les a tra- duites en latin; et c'est sur ce texte rectifié qu'il a composé sa version, qui est aussi littérale que l'a permis le génie des deux langues.
Il a fait principalement usage du n? 190, qu'il nous a remis pour que nous pussions examiner son travail, et vérifier toutes les variantes dont il a enrichi les marges de son exemplaire de l'édition d'Oxford. Nous avons fait cette vérification , €t nous avons reconnu partout la plus grande conformité avec le manuscrit.
Ces variantes , comme on peut s'y attendre, ne sont pas toutes de la même importance, et ne méritent pas toujours la préférence sur les lecons imprimées. Parmi ces variantes, il en est qui consistent en quelques mots omis dans les imprimés , dont les traducteurs avaient senti la nécessité, et que Grégori a fait entrer dans son texte, en les enfermant enue deux crochets; quelquefois c'est un présent au lieu d'un futur; ἔσται au lieu de ἐστὶν ; ou réciproquement ; le mot ἴσος au lieu de ὁ αὐτὸς, égal, pour le méme ; des expressions plus ou moins conformes au style ordinaire des géomètres, ou d'Euclide en particulier. Toutes ces variantes n'auraient de valeur qu'aux yeux des philologues et des érudits ; mais il en est de vraiment dignes de l'attention des géomètres, en ce qu'elles changent
- - , 5 x 5 en mieux le sens, ou qu'elles donnent un sens raisonnable à ce qui n'en présentait
aucun. Ce sont des superfluités élaguées, des lignes entières omises dans les imprimés , et qui sont ou absolument nécessaires à la démonstration, ou y portent au moins des développe-
sentent un
ments utiles. D'autres fois on y rencontre des lecons plus concises, et qui pré sens tout aussi clair; des transpositions qui rendent parfaitement intelligible ce qui par
ais- sait obscur ou peu exact. La définition 5° du VIe livre, qui se trouve dans toutes les
E
xliv
éditions grecques, est une simple note placée au bas du manuscrit, d’où elle avait été mal à propos portée dans le texte : Robert Simson a écrit six pages contre cette mauvaise et inutile définiuon , et elle n'est pas d'Euclide.
Le méme traducteur relève une bévue remarquable de tous les textes grecs imprimés; un changement de lettre dans la figure avait causé tout l'embarras. En rétablissant la lettre véritable ? au lieu de 4, on ne donne plus à Euclide le ridicule de paraître ignorer une vérité de la géométrie la plus élémentaire. Voyez Prop. 17, liv. XM.
La proposition 86 des Données avait fort inquiété Grégori qui, dans sa préface, en propose deux rédactions identiques, et à laquelle il voulait en ajouter une troisième, qui compléterait le systeme de la résolution des équations bi-quadratiques à la manière des anciens, Cette derniere conjecture n'est pas confirmée par le manuscrit, qui n'offre que l'une des deux premières rédactions. Grégori croyait le théorème singulierement altéré; son erreur venait de ce qu'il ne connaissait pas un lemme qui se trouve dans le manuscrit à la fin des Données , et qui doit précéder la proposition 86.
M. Peyrard dónne ce lemme qui, au reste, est une proposition bien simple et bien connue. Il s'agit de trouver la surface d'un parallélogramme obtus-angle; mais cette propo- sition renferme une construction nécessaire à la démonstration des propositions 86 et 87, qui disent que si deux lignes formant un angle donné comprénent un espace donné, et que le carré de l'une, augmenté ou diminué d'un espace donné, soit au carré de la seconde, en raison donnée, ces deux lignes seront connues.
D'après toutes ces considérations , nous pensons que la classe peut donner son approba- tion au travail de M. Peyrard, pour l’encourager encore à terminer l'entreprise qu'il poursuit avec une persévérance digne d'éloges, et qui nous fera mieux connaitre tous les mathématiciens grecs. Nous exprimerions le vœu de voir paraître une édition grecque du texte d'Euclide, purgée de toutes les fautes que les manuscrits ont fait rectifier , et enrichie de toutes les additions qu'ils ont fournies; mais cette édition serait dispendieuse et deman- derait beaucoup de temps : nous nous bornerons donc à souhaiter que M. Peyrard ajoute à sa traduction la liste de toutes les variantes qu'il a recueillies , et qui lui paraitront mériter quelque attention. Ainsi les géomètres pourront corriger les éditions anciennes , en atten-
D dant celle qui pourrait faire oublier toutes les précédentes.
Signé à la minute, LAGRANGE, LEGENDRE , DELAMBRE, rapporteur.
EUCLIDIS
ELEMENTOR U.M Π1 BobuB. PRIT MU S.
RSA AR, PRA
OPOI.
» e , »n’ α΄. XHMEION ἔστιν, où μέρος οὔθεν. p A ^ ^ , β΄. τραμμὴ δὲ. μῆκος ἀπλατές. , ^ \ , D 7. Τραμμῆς de πέρατα, σημεῖα. , » A ed » » δ΄, Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς γραμμ j ΗΝ Zi ἐφ᾿ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται. , , d ^ \ , €. Ἐπιφάνεια δὲ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος , LA μόνον ἔχει. Ν / M , / €. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα. γραμμαί. ͵ » LA [4 €) LA he y €. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἔστιν, ἥτις 4G ἴσου
e 35»»L.€ - , Ld ταῖς εῷ εαυτῆς εὐθείαις κῶτα!ις
DEFINITIONES.
1. Puncrum est, cujus pars nulla.
2. Linea autem , longitudo non lota. 5. Linee vero extrema, sunt puncta. 4. Recta linea est, qua ex æquo intcr sua
puncta ponitur.
5. Superficies autem est, quod longitudinem et latitudinem solum habet.
6. Superficiei vero extrema, sunt lineæ.
7. Plana superficies est, quæ ex æquo inter
suas reclas ponitur.
LE PREMIER LIVRE DES ELÉMENTS D'EUCLIDF.
DÉFINITION S.
1. Le point est ce dont la partie est nulle. 2. Une ligne est une longueur sans largeur.
- Les extrémités d'une ligne sont des points. . La ligne droite est celle qui est également placée entre ses points.
. Les extrémités d'une surface sont des lignes.
5 5. Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur. 6 7
. La surface plane est celle qui est également placée entre ses droites.
1
EY 1 T © 2 LE PREMIER LIVRE DES Ne ; , , 4. Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο ^ e P ^ , \ NR > 2 ri γραμμῶν ἁπτομενῶν αλλήηλων. καὶ μὴ ET εὐθείας , x 5 , ^ D [4 κειμένων πρὸς GAAWACG τῶν γραμμὼν κλίσιςς , à ε ΄ \ E , ' 0. οταν de ai περιέχουσαι My εἰρημενήν r φωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὡσιν εὐθύγραμμος κα- λεΐτωι ἡ yo: CA “. Oray δὲ εὐθεῖα or εὐθεῖαν σταθεῖσα τὼς 3 [254 / » E) X 25 Aue , $QsC ac γωνίας Fos ἀλλήλαις TTOIM , ὀρθὴ exa Teu D. - 5 \ « ἣν τῶν ἔσων PHP ἐστι" καὶ n ἐφεστηκυῖαι εὐθεῖα
, zT 3,44. 3: 7 κάθετος καλετοι €Q ἣν εφεστηξενς
, LJ 7 » ^ . 7 3 B 14. Αμέλεῖα γωνία ἐστὶν. ἡ μείζων ὀρθῆς. À € 4, 3 e^ (C. οξεῖα δὲ. ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς. LA > \ ei , 5 , 1y « Opec ἐστὶν. ὃ τινὸς ἐστι περός. , ^ | Ee \ e , »! e «δῆς Σχῆμά ἐστι, τὸ ὑπὸ τινος À τινῶν Opt : περιεχόμενον. , , 3 \ 5 > ἡ \ m 1e. KuxAog ἐστί σχῆμα ἐπίπεδον. ὑπὸ μιᾶς ; à x ἢ ἡραμμῆς περιεχόμενον. À καλεῖται περιφέρεια" \ d €. X mM 5 \ ^ , πρὸς iv, ἀφ᾽ ἑνὸς συμείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος , ^ ͵ 3 em \ κειμένων. πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι πρὸς
1 τὸν , + 5. ΣᾺ 2 τὴν τοῦ HUXAGU περιῷερειειν ^ ἐσαι ἀλλήλαις εἰσὶ»
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
9. Planus autem angulus est in plano duarum linearum. sese tangentium , et non in. directum positarum , alterius ad alteram inclinatio.
9. Quando autem continentes dictum an- gulum lineæ recte sunt, rectilineus appellatur angulus.
10. Quando autem recta in rectam insis- teus deinceps angulos æquales inter se facit , rectus uterque æqualium angulorum est; etin-
sistens recta perpendicularis vocatur in quam
insistit. 11. Obtusus angulus est, qui major recto. 12. Ácutus autem , qui recto minor.
15. Terminus est, quod alicujus estextremum.
14. Figura est, quod ab aliquo vel aliquibus terminis continetur.
15. Circulus est figura plana ab unà lineà contenta , quz vocatur circumferentia ; ad quam ab uno puncto eorum intra figuram positorum, omnes cadentes rectæ ad circuli circumferentiam
equales iuter se sunt.
$. Un angle plan est l'inclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans
un plan , et qui ne sont point placées dans la méme direction.
9. Lorsque les lignes, qui comprennent ledit angle, sont des droites, l'angle
se nomme rectiligne.
10. Lorsqu'une droite tombant sur une droite fait deux angles de suite égaux entre eux , chacun des angles égaux est droit; et la droite placée au-dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée.
11. L'angle obtus est celui qui est plus grand qu'un droit.
12. 1:
14.
L’angle aigu est celui qui est plus petit qu'un droit. On appelle limite ce qui est l'exirémité de quelque chose.
Une figure est ce qui est compris par une seule ou par plusiears limites.
15. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu'on nomme civrconférence , toutes les droites, menées à la circonférence d'un des points placés daus ceue figure, étant égales entre elles.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 3
, , M ^ , ^ D ic. K ντρον δὲ τοῦ κύκλου, τὸ σημεῖον . καλεῖται. (2 , M ^ , , “7 Be Ara uer poc δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν eubeïa M ^ , ΄ 3 , \ , Tic dia τοῦ κεντρου WypuiVH , καὶ περατουλενη iE A eir , \ , ε \ ^M em , tQ εκατέρῶ τὰ μέρ ὑπὸ τὴς TOU. κύκλου περι- / La \ / , M , φερείας" ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον. pe H , PS δέ , M , i. Ἡμικύυκλιίον de ἐστί τὸ "Tepiey 0pAey oy -Ὡ“ € 4 D » \ 27 3 CY, ὑπὸ Te τῆς ἢ διαμέτρου, καὶ τῆς ἀπο- e La € > » e 5 ru , 7 λαμεανομενῆςυπ αὐτῆς TOU κυκλου περιφερείας. , b , » M ^N , 18", τμῆμα κύκλου. ἐστὶ . τὸ περιεχομδενον ^ € , » / \ , σχῆμα“ ὑπό τε εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας, À À», e "n # μείζονος ἢ ελάσσογος͵ Ἡμικυπλίου 7, , , 70 , , » 8 \ € A] x. Σχήματα εὐθύγραμμα ἐστι“. τὰ υπὸ » ^ , εὐθειῶν περιεχόμενα. , , \ λε M ^ κα, TpizAeUpa uev, τῶ ὑπὸ τριῶν. 4 , M Moe M xG. Ἰετραπλευρα di, τὰ ὑπὸ τεσσέρων. , ^ \ X € \ ^ xy. Πολύπλευρα d$, τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ , 3 M , τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα. / "Ὁ" \ ^ p , ad". Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων. ἰσόπλευρον \ / , * \ \ ^ » » Μμὲν τρίγωνον ἐστε, TO τῶς " τρεῖς ἰσὰς ἔχον
πλευράς.
16. Centrum autem circuli, loc punctum vocatur.
17. Diameter vero circuli est recta quadam per centrum ducta, et terminata ex utráque parte a circuli circumferentià ; qua ct bifariam ‘secat circulum.
18. Semicirculus vero est contenta figara ab et diametro , et circumferentià circuh. ap- prehensà ab diametro.
19. Segmentum circuli est , contenta figura ab et rectà , et circuli circumfezentià , vel majore vel minore seinicirculo existente.
20. Figure recülineæ sunt, quz ab rectis continentur.
21. Trilateræ quidem, quz ab tribus.
22. Quadrilateræ autem, quz ab quatuor.
25. Multilateræ vero , qua ab pluribus quam quatuor rectis continentur.
24. Trilaterarum autem figurarum , æquila- terum quidem triangulum est quod tria aequalia
habet latera.
16. Ce point se nomme le centre du cercle.
17. Le diamètre du cercle est une droite menée par le centre, et terminée de
part et d'autre par la circonférence du cercle :
en deux parties égales.
le diamètre partage le cercle
18. Un demi-cercle est la figure comprise par le diamètre, et la portion de la circonférence , soutendue par le diamètre.
19. Un segment de cercle est la figure comprise par une droite et par la circonférence du cercle ; le demi-cercle étant plus grand ou plus petit que
le segment.
20. Les figures rectilignes sont celles qui sont terminées par des droites.
21. Les figures trilatères sont terminées par trois droites.
22. Les quadrilatéres , par quatre.
25. Les multilatères, par plus de quatre. 24. Parmi les figures trilatères , le triangle équilatéral est celle qui a ses trois
cótés égaux.
4 LE PREMIER LIVRE DES ELÉMENTS D'EUCLIDE.
, A ^ M \ , ^ » * κέ. Ἰσοσκελὲς di, τὸ τὰς δύο μόνεις ἴσας ἔχον , 7 AsUpac. , \ \ Ses ^ , El xc. Σκαληνὸν dé, τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ^ ἔχον “πλευράς. 1 ^ , xL. Evi: Te" , τῶν τριπλεύρων σχημάτων. E] b , ^ , , 5 \ 3! 3 \ ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν ἐστι , τὸ ἔχον ὀρθὴν , γωνίαν. , , à E 5 $ xi. Αμέλυγωώνιον δὲ, τὸ ἔχον ἀμέλεϊαν , γωνίαν, , , M M LU " > , Li χθ΄, Οξυγώνιον δὲ ,T0 Tac? τρεῖς ὀξείας €x 0y , γωνίας. , ^ À LA , ^ X. Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχήματων. τετρα- , 2 à , , ^ > \ γῶνον μέν ἐστιν. ὃ ἰσύπλευρόν τέ ἐστι xdi : ; ὑρθογών"ον. , ^, M a 5 , \ , Aa. Ἑτερόμηπες δὲ. ὃ. ὀρθογώνιον psv, οὐκ EA ES Y ἡσύπλευρον δὲ. non " à ἃ , \ AG. Poubos δὲ, ὃ ἰσύπλευρον μὲν, οὐκ cpôc- ; : γώνιον δὲ. M M N ^ 3 ͵ , Ay. Ρομέξοειδὲς δὲ. τὸ τὰς ἀπεναιτίον mAEUpeG Ν , » ΕΣ , E à ELA , ^ τε καὶ γωνίας ἰσᾶς αλλίλαις €x 0Y , 0 οὔτε IcO— , ΕΣ Li E , πλευρόν ἔστιν. οὔτε ὀρθογώνιον. , \ Δ \ ^ , λδ΄, Τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετραπλευρα Tpu-
, + στεζία καλείσθω,
25. Isosceles vero, quod duo solum æqualia habet latera.
26. Scalenum autem , quod tria inæqualia habet latera.
27. Insuper , trilaterarum figurarum rectan- gulum quidem triangulum est, quod habet rectum angulum.
28. Obtusangulum autem , quod habet obtu- sum angulum.
29. Acutangulum vero, quod tres aculos habet angulos.
50. Quadrilaterarum autem figurarum, qua- dratum quidem est, quod et æquilaterum est ci rectangulum.
51. Oblongum autem , quod rectangulum quidem , non vero æquilaterum.
52. Rhombus vero , quod æquilaterum qui- dem , non vero rectangulum.
55. Rhomboides autem , quod et opposita latera et angulos æqualia inter se habet, quod neque æquilaterum est, nec rectangulum.
54. Prater hic autem quadrilatera trapezia vocentur.
25. Le triangle isocèle, celle qui a seulement deux côtés égaux. 26. Le triangle scalène, celle qui a ses trois côtés inégaux. 27. De plus, parmi les figures trilatères, le triangle rectangle cst celle qui
a un angle droit.
28. Le triangle obtusangle, celle qui a un angle obtus.
29. Le triangle acutangle , celle qui a «es trois angles aigus. 20. Parmi les figures quadrilatères, le quarré est celle qui est équilatérale et
rectangulaire.
51. Le rectangle, celle qui est rectangulaire, et non équilatérale. 52. Le rhombe, celle qui est équilatérale, et non rectangulaire.
55. Le rhomboide, celle qui a ses côtés et ses angles opposés égaux entre eux, et qui n'est ni équilatérale ni rectangulaire. 54. Les autres quadrilaières, ceux-là exceptés, se nomment trapezes.
LE PREMIER LIVRE DES
m e , -
λέ, Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵ τινες ἐν τῷ
e > NS , » 13
αὐτῷ «πιπίδῳ οὖσαι. καὶ ἐκξαλλόμεναι cic? LA » « , \ , , \ idt
ἄπειρον ἐφ᾽ ἑκάτερα τὰ μέρη, ἐπὶ pudiTepa
συμπίπτουσιν ἀλλήλαις. AITHMATA.
, , , M 1 , SEIN ^ d. Ἡτήσθω. ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν D \ E hu σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. N 4 3 ^ ΕΣ ^, 0 7 \ C. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν ἐπὶ εὐθείας κατὰ \ \ , ^ πὸ συνεχὲς᾽ ἐκξάλλειν. , \ 39827 s , Fi ES y. Kai παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον < γράφεσθαι. , ^ , M 3 Y L » , , δ΄, Kai πάσας τὰς óphac γωνίας ἰσὰς ἀλλὴ- e AIG eivat. , M DLE , 3) 7 3 , ᾽ , &. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεά mic? ἐμπί- Ἀν... \ δὲ ΡΟΝ \ 3 AN, ΄ ͵ πτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας t E ^ PUT) ^ E 4 , \ duo ὀρθῶν ἐλάσσονας “τοιῇ 5 ἐκζαλλομένας τας , 3 L4 ^ , Ed , , , δύο εὐθείας e7 αἀπειρὸον συμπίπτειν &AAnAdIG. 3 *, à 7 Che € b Li EJ LU , , ἐφ᾽ ἃ μέρη εἰσὶν ai τῶν δύο ὀρθῶν ἰλάσσονες 1 yviaa 3.
c. Καὶ δύο εὐθείας χωρίον μὴ à περιέχειν, 55. Les paralléles sont des droites,
et étant prolongées à l'infini de part et ni de l'autre.
DEMA
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 5 55. Parallel sunt rect: , que in eodem plano existentes , et producta in infinitum ad utramque
partem , in neutram sibi coincidunt.
POSTULATA.
1. PosruLETUn, ab omni puncto ad omne punctum rectam lineam ducere.
2. Et finitam rectam in directum secundum continuum producere.
5. Et omni centro et intervallo circulum describere.
4. Et omnes angulos rectos zquales inter se esse.
5. Et si in duas rectas recta quzdam incidens , interiores et ad easdem partes angulos duobus rectis minores faciat, productas illas duas rectas in infimtum sibi coincidere ad quas partes surit duobus rectis minores anguli.
6. Et duas rectas spatium non continere,
qui, étant situées dans un méme pla
in,
d'autre, ne se rencontrent ni d’un côté
NDES.
1. Conduire une droite d’un point quelconque à un point quelconque. 2. Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie.
5. D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une
circonférence de cercle.
4. T'ous les angles droits sont égaux entre eux.
5. Si une droite , tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du méme cóté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencon- treront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.
6. Deux droites ne renferment point un espace.
6 LE PREMIER LIVRE DES KOINAI ENNOIAI.
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e. Ta τῷ αὐτῷ Ica, καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν (02,
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C. Καὶ ἐὰν dz0:€ ἴσα προστεθῇ. τὰ ὅλα 5 ὦ » ἐστιν ἴσα.
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7. Kai say ἀπὸ ἴσων 102 ἀφαιρεθῇ, τὰ κατα-
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DT TED EP / & Καὶ ἐᾶν ἀπὸ ἀνίσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ Alnrzu ἐστιν ἄνισα,
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c al LS μὴ e e
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ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. NOTIONES COMMUNES.
1. Quz cidem æqualia, etinter sesuntæqualia.
2. Et si æqualibus æqualia addantur, tota sunt aequalia.
5. Et si ab æqualibus æqualia auferantur, reliqua sunt æqualia.
4. Etsi inæqualibus æqualia addantur, tota sunt inzqualia.
5. Et si ab inæqualibus æqualia auferantur , reliqua sunt inzqualia.
6. Et quz ejusdem duplicia, æqualia inter se suut.
7. Et quz ejusdem dimidia , æqualia inter se suut.
8. Et qu» congruunt inter se, æqualia inter sc sunt.
9. Et totum parte majus est.
NOTIONS COMMUNES.
τ. Les grandeurs égales à une méme grandeur , sont égales entre elles. 2. Si à des grandeurs égales , on ajoute des grandeurs égales, les touts seront
egaux.
5. Si de grandeurs égales , on retranche des grandeurs égales, les restes seront
égaux.
4. Si à des grandeurs inégales , on ajoute des grandeurs égales , les touts seront
inégaux.
5. Si de grandeurs inégales, on retranche des grandeurs égales, les restes
seront inégaux.
6. Les grandeurs , qui sont doubles d'une méme grandeur, sont égales entre
clles.
7. Les grandeurs, qui sont les moitiés d'une méme grandeur, sont égales entre
elles.
.8 Les grandeurs, qui s'adaptent entre elles, sont égales entre elles.
9. Le tout est plus grand que la partie.
RS NNNM e o MU mem E NR IN IR NER DR D RR
LE PREMIER LIVRE DES
IIPOTAZXIZX Z.
Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης Tpi- γῶνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι.
EKOESIS '. Εστω 4 δοθεῖσα εὐθεῖα ^ πεπε- ρασμένη ἡ AB.
ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ?. Δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς AB εὐθείας πεπερασμένης * τρίγωνον ἰσόπλευρον συ- στήσασθαι.
ΚΑΤΑΣΚΕΥΎΗ . Κέντρῳ μὲν τῷ A, διαστήματι δὲ τῷ AB, κύκλος γεγράφθω ὃ ΒΓΔ’ καὶ πάλιν.
, \ ^ , ^ , κέντρῳ μὲν τῷ B, διαστήματι δὲ τῷ BA, κύκλος
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 7 PROPOSITIO I.
Su»rn datam rectam terminatam , triangu- lum æquilaterum constituere.
ExPosirio. Sit data recta terminata AB.
DETERmMINATIO. Oportet igitur super ΑΒ rectam terminatam triangulum æquilaterum constituere.
Coxsrrucrio. Centro quidem A, inter- vallo autem AB, circulus describatur BFA ; et rursus , centro quidem B , intervallo autem BA, circulus describatur ATE; et ab T puncto, in quo sese secant circuli, ad A , B puncta adjun-
gantur recta FASAPE:
, » \ Li ^ , M Ne χύκλου. ἴση ἐστὶν ἡ BT τῇ BA. Εδείχβη δὲ καὶ ἡ
ΒΕΜΟΝΘΎΠΑΤΙΟ. Et quoniam A punctum: centrum est BPA circuli, equalis est AT Ipsi AB; rursus, quoniam B punctum centrum est
ATE circuli , æqualis est BT ipsi BA. Ostensa
PROPOSITION PREMIERE.
Sur une droite donnée et finie, construire un triangle équilatéral.
Exrosirios. Soit AB une droite donnée et finie.
DérrnuiNAT1ION. ll faut construire sur la droite finie AB un triangle équilatéral.
CossrRucrioN. Du centre 4 et de l'intervalle AB, décrivons la circonférence ΒΓΔ (dem. 5); et de plus, du centre Β et de l'intervalleBA, décrivons la circonférence ATE ; et du point r, où les circonférences se coupent mutuellement, conduisons aux points A, B les droites ra , ΓΒ ( dem. 1).
DéwossrRATION. Car, puisque le point 4 est le centre du cercle Pra, la droite Ar est égale à la droite ΑΒ ( déf. 15); de plus, puisque le point B est le
8 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDT.
^ » e , X ^ TA τῇ AB ἴση" ἑκατέρα epa τῶν TA, TB τῇ AB > 0v ov mS UN ME ea EO Ny & hac ΤΣ ἐστὶν ἴση. Τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα. καὶ ἀλλήλοις Ἐν us ^ e » ^ 4 > ᾿Ξ ἐστὶν 7 ἴσα" καὶ ἡ ΤΑ apa τῇ TB ἴση ἐστίν" αἱ
eos " » 14 E τρεῖς ἄρα «i TA, AB, BT ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν,
ΣΥΜΠΈΡΑΣΜΑ À, Ισόπλευρον ἄρα ol τὸ ABT τρίγωνον. καὶ cuvic]a]2a19 ἱπὶ τῆς δοθείσης
εὐθείας -τεπερασμένης τῆς AB. Ovrep ἔδει ποιῆσαι. HPOTAZIZ β΄.
Πρὸς τῷ δοθέντι σημείῳ, τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην εὐθεῖαν θέσθαι.
Ἑστω τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ A , ἡ δὲ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ BT* dei δὴ πρὸς τῷ A σημείῳ, τῇ δοθείσῃ εὐθεῖα τῇ BT ἔσην εὐθεῖαν θέσθαι.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ Β
^ 3 D ε \ , » > 9 «αν σημκεῖον εὐθεῖα ἡ AB, καὶ συνεστάτω ἐπ᾿ αὐτῆς
est autem et A ipsi AB æqualis; utraque Igitur ipsarum TA , ΓΒ ipsi AB æqualis est. Que autem eidem æqualia, et inter se sunt æqualia; et PA igitur ips? ΓΒ est equalis; tres igitur TA, AB, BT æquales inter se sunt.
Conciusio. Æquilaterum igitur est ABT triangulum , et constitutum est super datam
rectam terminatam AB. Quod oportebat facere. PROPOSITIO 1I.
Ad datum punctum, date recte æqualem rectam ponere.
Sit quidem datum punctum A , data autem recta BT; oportet igitur ad A punctum, datae rccto Br aequalem rectam ponere,
Adjungatur enim ab A puncto ad B punctum
recta AB, et constituatur super eam triangulum
centre du cercle ΑΓΕ, la droite ΒΓ est égale à la droite ΒΑ ; mais on a démontré que la droite ra était égale a la droite AB ; donc chacune des droites rA, rB est égale à la droite ΑΒ; or, les grandeurs qui sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles (not. 1); donc la droite TA est égale à la droite TB ; donc les trois droites TA, AB, Br sont égales entre elles.
Coxcrusiox. Donc le triangle ΑΒΓ (def. 24) est équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie ΑΒ. Ce qu'il fallait faire,
PROPOSITION. II.
A un point donné, placer une droite égale à une droite donnée. Soit A le point donné, et Br la droite donnée; il faut au point 4 placer une droite égale à la droite donnée ΒΓ.
Menons du point 4 au point B la droite AB (dem, 1); sur cette droite construisons
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 9
τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΑΒ, καὶ ἐκξεξλήσθωσαν tz εὐθείας ταῖς AA, ΔΒ εὐθεῖα, αἱ ΑΕ. BZ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ B, διαστήματι δὲ τῷ BT, κύκλος γεγράφθω 5? THO* καὶ πάλιν, κέντρῳ τῷ Δ, καὶ διαστήματι ? τῷ ΔΗ, κύκλος γεγράφθω ὃ HKA,
æquilaterum AAB, et producantur in directum ipsis AA, AB recte AE, ΒΖ, et centro quidem B , intervallo vero BP, circulus descri- batur CHO; et rursus centro A, et intervallo
AH circulus describatur HKA.
Ἐπεὶ οὖν τὸ B σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ THO κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΗ. Πάλιν". ἐπεὶ τὸ Δ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΗΚΛ κύκλε. ἴση ἐστὶν ἡ AA τῇ AH, ὧν » AA τῇ ΔΒ ἴση ἐστί" λωπὴ ἄρα ἡ AA λοιπῇ τῇ BH ἐστὶν ἴση. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῇ BH ἴση" ἑκατέρα ἄρα τῶν AA, BT τῇ BH ἐστὶν ἴση. Τὰ δὲ τῷ ἀυτῷ ἴσα, καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα" καὶ ἡ AA ἄρα τῇ ΒΓ ἐστὶν ἴση.
Πρὸς ἄρα τῷ δοθέντι σημείῳ τῷ A, τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ BT ἴση εὐθεῖα κεῖται 4 AA.
*» ^ Οπερ ἔδει ποιῆσαι.
Quoniam igitur B punctum centrum est ΓΗ͂Θ circuli, equalis est ΒΓ ipsi EH. Rursus , quoniam A punctum centrum est HKA circuli , equalis est AA ipsi AH, quarum AA ipsi AB æqualis est; reliqua igitur AA relique BH est æqualis. Ostensa est autem et BP ipsi BH æqualis; utraque igitur ipsarum AA, BT ipsi BH est equalis. Quæ autem eidem æqualia, et inter se sunt æqualia ; et AA igitur Ipsi BT est æqualis.
Ad datum igitur punctum A, date recte BT equalis recta ponitur AA. Quod oportebat
facere.
le triangle équilatéral ^48 ( prop. 1); menons les droites AE, ΒΖ dans la direction de ^4, 4B; du centre B et de l'intervalle Br, décrivons le cercle ΓΗΘ (dem. 5); et de plus, du centre 4 et de l'intervalle AH, décrivons le cercle HKA.
Puisque le point B est le centre du cercle rHo , Br est égal à BH (déf. 15); de plus, puisque le point 4 est le centre du cercle B&^, la droite AA est égale à la droite AH; mais AA est égal à ΔΒ ; donc le reste AA est égal au reste BH (not. 5). Mais on a démontré que ΒΓ est égal à BH; donc chacune des droites AA, Br est égale à ΒΗ. Mais les grandeurs qui sont égales à une méme grandeur, sont égales entre elles ( not. 1. ); donc ΑΔ est égal à Br.
Donc, au point donné 4, on a placé une droite AA égale à la droite donnée £r. Ce qu'il faliait faire.
10 IPOTAXIX y.
, e ΕΣ ΩΣ ΕΣ M ^M H Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων. ἀπὸ τῆς μείζονος ^»
τῇ ἐλάσσονι ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν. Ἑστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ AB, T , ὧν μείζων ἔστω ἡ ΑΒ’ δεῖ δὴ ἀπὸ τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσον, τῇ T ἴσην εὐθεῖαν ἀφελεῖν. Κείσθω yap' πρὸς τῷ A σημείῳ τῇ T εὐθείᾳ ἴση » AA° καὶ κέντρῳ μὲν τῷ À, διασ]ήματι δὲ
τῷ AA, κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΕΖ.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLEMENTS D'EUCLIDE.
PROPOSITIO III.
Duobus datis rectis inzequalibus , a majore minori æqualem rectam auferre.
Sint datæ duæ recto inæquales AB, T, quarum major sit AB; oportet igitur a majore AB minori T æqualem rectam auferre.
Ponatur enim ad A punctum ipsi T recto equalis AA; et centro quidem A, intervallo
vero AA circulus describatur AEZ.
"dq εν Ὁ.
N15 \ \ » ^ 5 \ em Καὶ ἐπεὶ TO À σημεῖον κέντρον ἐστί τοῦ ΔῈΖ , > E \ € ^ E) \ Vrac ^ xUXA? , 0n ἐστίν ἡ AE τῇ AA* ἀλλὰ καὶ n T τῇ 3 X » , } ^ ^ AA ἐστὶν i04. ExaTépa ἄρα τῶν AE, T Ty AA ΕΣ \ E74 eth ^ € ^ 2 Ν » iCTiY σὴ" ὥστε κα! n AE Ti T ἐστιν 108. foy WO UULTUS, 5 Avo apa. δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων τῶν AB Ade y ALS, , A 2355.1 ἐν E «70 τῆς μείζονος τῆς ΑΒ τῇ ἐλάσσονι Ti T i02
aig cM yn » ἀφήρηται n AE, Οπερ éd voa,
PROPOSITION
Et quoniam À punctum centrum est AEZ circuli , æqualis est AE ipsi AA; sed et T ipsi AA est æqualis ; utraque igitur ipsarum AE, F ipsi AA estæqualis; quare et AE ipsi Γ est equalis.
Duabus igitur datis rectis inæqualibus AB, 7, a majore AB minori P «qualis ablata est AE.
Quod oportebat facere.
LI
Deux droites inégales étant données, retrancher de la plus grande une droite
égale à la plus petite.
Soient AB, r les deux droites inégales données, que AB soit la plus grande; il faut de la plus grande ΑΒ retrancher une droite égale à la plus petite r.
Au point A placons une droite 44 égale à r (prop. 2), et du centre A et de l'intervalle A^, décrivons le cercle AEz (dem. 5).
Puisque le point A est le centre du cercle AEz, AE est égal à ΑΔ; mais Tr est égal à 4^; donc chacune des droites AE, T, est égale à la droite ΑΔ; donc la
droite AE est égale à la droite r.
Donc les deux droites inégales ΑΒ, r, étant données, on a retranché de la plus grande AB une droite Ar égale à la plus petite r. Ce qu'il fallait faire.
LE PREMIER LIVRE DES
HE. IIPOTAZIX δὲς
\ , , \ , \ \
Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς ταὶς" δυσὶ
τὸ o0» » Le , e , \ \
πλευραῖς ἴσας ἔχῃ, EXATÉPAY ἑκατέρᾳ, καὶ τὴν LA D δ » E \ L3 y ^M »
γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσὴν ἔχῃ. τὴν ὑπὸ τῶν ἰσῶν 6 ^ LA ἂν \ , ^ ,
εὐθειῶν περιεχομένην" xai τὴν βάσιν Th βάσει
» Y ἐσὴν efe,
N * 1 , » καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἰσὸν LA N x ων , ἐσται. καὶ αἱ λοιπαὶ γωνία; ταὶς λοιπαὶς γωνίαις v LA € , ε , LEX vac c» σαι ἔσονται. εκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑῷ ἃς αἱ ἴσαι
\ € , πλευραὶ υποτείνουσιν.
E Ζ
Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ABT, ΔΕΖ, τὰς. δύο πλευρὰς τὰς AB, AT, ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταὶς AE, ΔΖ ἴσας ἔχοντα. ἑκατέραν ἑκατέραι, τὴν μὲν AB τῇ AE, τὴν δὲ AT τῇ AZ, καὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ BAT γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴσην" λέγω ὅτι καί βάσις ἡ BT βάσει τὴ EZ ἴση ἐστὶν, καὶ πὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ AEZ τριγώνῳ ἴσον ἔσται. καὶ αἱ
\ 1 DJ ^ VA » LA AGIT γωνία! ταις λοίπαις γωνίαις ἰσα! σονται.
PROPOSITION
ÉLÉMENTS D'EUCL!DE.
11 PROPOSITIO IV.
Si duo triangula duo latera duobus lateribus æqualia habeant, utrumque utrique, etangulum angulo zqualem habeant, ab æqualibus rectis contentum ; et basim basi «qualem habebunt, et triangulum triangulo æquale erit, et reliqui an- gul reliquis angulis æquales erunt, uterque
utrique, quos æqualia latera subtendunt.
A
Β r
Sist duo triangula ABT, ΔΕΖ, duo latera AB , AT duobus lateribus AE, AZ æqualia habentia, utrumque utrique, AB quidem ipsi AE, AT vero ipsi AZ, et angulum BAT angulo EAZ æqualem; dico et basim ΒΓ basi EZ æqualem esse, et ABT triangulum AEZ triangulo æquale fore, et reliquos angulos reliquis angulis
equales fore utrumque utrique, quos aequalia
I V.
Si deux triangles ont deux cótés égaux à deux cótés, chacun à chacun, et si les angles compris par les côtés égaux sont égaux, ces triangles auront leurs - bases égales, ils seront égaux, et les angles restans, soutendus par les côtés
o 2 o 2 Ὁ 2
égaux, seront égaux chacun à chacun.
Soient les deux triangles ΑΒΓ, AEZ; que ces deux triangles aient les deux côtés AB, AT égaux aux deux côtés AE, Az, chacun à chacun, le côté AB égal au côté AE, et le côté AT au côté Az, et qu'ils aient aussi l'angle Bar égal à l'angle ΕΔΖ; je dis que la base ΒΓ est égale à la base Ez, que le triangle ΑΒΓ sera égal au triangle ΔῈΖ, et que les angles restans, soutendus par les côtés égaux,
12 ε JUNE ; «iy d) Me 7 ᾿ς «κατερα EAATEOL, UP ἂς αἱ iod πλευραί ὑπο- τείνουσιν. ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ Th ὑπὸ ΔΕΖ, n δὲ ὑπὸ ATB τῇ ὑπὸ ΔΖΕ.
B Z
, \ ^ L , \ \ Ἐφαρμοζομένου yap τοῦ ΑΒΓ τρίγωνον ἐπὶ τὸ ; N , TUNE ΔΕΖ mTpiytyoy , καὶ τιθεμένου τοῦ μέν A σημείου mx \ # δ > , aX \ ἐπὶ τὸ À σημεῖον. τῆς δὲ AB εὐθείας ἐπὶ τὴν AE, » , \ \ m A SN \ CUN \ ἐφαρμόσει καὶ τὸ B σημεῖον" ἐπὶ TO E, dia τὸ Y 3 M ^ » , y ^ sony ejas τὴν AB τῇ ΔῈ" εΦαρμοσασὴς δὲ τῆς > \ \ > , x € 3 D » ΑΒ ἐπὶ τὴν ΔΕ. ἐφαρμόσει καὶ ἡ AT εὐθεῖα ἐπὶ N \ 3) E \ er nl τὴν AZ, dia To ἰσὴν εἶναι τὴν ὑπὸ BAT γῶών!αν ^ € \ e Ν M e > \ \ Ty ὑπὸ EAZ' ὠστε καὶ TO T one ἐπὶ τὸ Z m 3 a N M3 y , [3 \ σημεῖον ἐφαρμόσει , διὰ τὸ ἴσην πάλιν εἶναι τὴν ^ \ ^ \ \ 2 ^ \ >» AT Ti AZ. Αλλα μήν καὶ TO B ἐπὶ TO E eQup- , E , . ἘΝ, \ : Mot , ὥστε Bacic n ΒΓ ἐπι βάσιν τὴν EZ ἐφαρ- , \ ^ \ 3 Ν \ , , μύσει" ei γὰρ ToU μὲν B ἐπὶ τὸ E εφαρμέόσαντος, ^ Y > M \ € , 3 ἣν \ τοῦ δὲ T ἐπὶ τὸ L, ἡ BI βάσις ἐπὶ τὴν EZ > , , , 5 m ͵ , οὐκ ἐφαρμόσει. δύο εὐθεῖαι χωρίον περιέξουσιν.
ὁπερ ἐστὶν ᾿ ἀδύνατον. Εφαρμοσει ὥρα ἢ ΒΓ Basic
seront égaux chacun à chacun ; l'augle ΑΒΓ égal à l'angle ΔῈΖ, etl'angle ΑΒΓ égal à
l'angle ΔΖΕ.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
latera subtendunt , ΑΒΓ quidem ipsi AEZ, ΑΓΒ vero Ipsi ΔΖΕ.
A
B T
Congruente enim ABT triangulo AEZ trian- gulo, et posito quidem A puncto super 4 punctum, AB vero rectà super AE; congruet
E
et B punctum ipsi E, quia est æqualis AB ipsi AE; congruente autem AB ips! AE, con- gruet et AT recta ipsi AZ, quia equalis est BAT angulus ipsi ΕΔΖ; quare et T punctum Z puncto congruet, quia æqualis rursus est AT ipsi AZ. Sed quidem et B ipsi E congrucbat; quare basis ΒΓ basi EZ congruet; si enim quidem B ipsi E congruente , F vero ipsi Z , BF basis ipsi EZ non congruat , du: recte spatium continebunt, quod est impossibile. Con- gruet igitur BI basis ipsi EZ , et æqualis ei
erit; quare et totum ABT triangulum toti AEZ
*
Car le triangle ΑΒΓ étant appliqué sur le triangle £z, le point A étant posé
sur le point 4, et la droite AB sur la droite AE, le point 8 s'appliquera sur le point E, parce que AB est égal à AE ; mais AB étant appliqué sur ΔῈ, la droite ΑΓ s'appliquera sur ΔΖ, parce que l'angle Bar est égal à l'angle Ez; donc le point r s'appliquera sur le point z, parce que Ar est égal à Az ; mais le point 8 s'applique sur le point E; donc la base Br s'appliquera sur la base EZ; car si le point B s'appliquant sur le point E, etle point r sur le point z, la base Br ne s'ap- pliquait pas sur la base Ez, deux droites comprendraient un espace, ce qui est impossible (dem. 6); donc la base Br s'appliquera sur la base Ez , et lui sera
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 18
\ M 4 M e Nw \ ἐπὶ τὴν ΕΖ. καὶ ἴση αὐτῇ ἔσται" ὥστε καὶ ὅλον TO ͵ \ A Ἢ / » , ABT τρίγωνον ἐπὶ ὅλον τὸ AEZ τρίγωνον ἐφαρμόσει. . # , ^os \ € \ / DE καὶ ἴσον ἀαυτῷ ἔσται. καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἐπὶ A] ἣν 1 , ^, NA» » e τὰς λοιπὰς γωνίας ἐφαρμόσεσι. καὶ ἰσαι αὐταῖς LA € \ e M € € M € VE M ἐσονταϊ. ἢ μὲν ὑπὸ ABT τῇ ὑπὸ AEZ , ἢ δὲ ὑπὸ m € M ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. M ! , M δ \ m Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρᾶς aic Ν em x e , ε , N δυσὶ πλευραὴς ἴσας ἔχῃ. ἑκατέραν ἑκατέρᾳ. xai \ - , , A GER AD EN, τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ (Gay 9x9, τὴν ὑπὸ TOY ἰσὼων PATHS. y AUX re iens εὐθειῶν περιεχομένην" καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει » ei \ \ / ^ D » ἴσην eben, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον » \ € 3 / e ^ ἔσται. καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαὶς / 3, LA € , € , 9 τῷ γωνίαις ἴσαι ἔσονται. ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. ὑφ᾽ ἃς
€» VAR e LA ev αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. O περ ἐδὲι δεῖξαι. , IIPOTAZIZ €.
^ EI ^ , € \ ^ , Tay ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς Ti βασει , » ΕΣ , , N € ^ γωνίαι σαι ἀλλήλαις εἰσι" καὶ. POTEX ληθεισῶν ^ » , ^ € € M M , , » τῶν ἴσων εὐθειῶν. αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι sous
ἀλλήλαις ἔσονται.
triangulo congruet , et æquale ei erit, et reliqui anguli reliquis angulis congruent, et zquales eis erunt, ABI quidem ipsi AEZ , AT'B vero ipsi ΔΖΕ.
Si igitur. duo triangula duo latera duobus lateribus æqualia habeant, utrumque utrique, et angulum angulo æqualem habeant ab æqua- libus
æqualem habebunt, et triangulum triangulo
lateribus contentum ; et basim basi æquale erit, et reliqui anguli reliquis angulis æquales erunt , uterque utrique , quos æqualia
latera subtendunt. Quod oportebat ostendere. PROPOSITIO V.
Isoscelium triangulorum ad basim anguli equales inter se sunt; et productis æqua- libus rectis , sub lasim anguli equales inter se
erunt.
égale; donc le triangle entier ΑΒΓ s'appliquera sur le triangle entier AEZ , et lui sera égal; et les angles restans s'appliqueront sur les angles restans, et leur seront égaux , l'angle ΑΒΓ à l'angle AEz, et l'angle ΑΤΒ à l'angle AzE.
Donc, si deux triangles ont deux côtés égaux à deux côtés, chacun à chacun,
et si les angles compris par les côtés égaux sont égaux, ces triangles auront leurs
bases égales, ils seront égaux, et les angles restans, soutendus par les côtés
égaux, seront égaux chacun à chacun. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION: V.
Dans les triangles isoscèles, les angles sur la base sont égaux entre eux, et les côtés égaux étant prolongés, les angles sous la base seront aussi égaux
entre eux.
14 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Ἑστὼ τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ABT, sony ἔχον τὴν ΑΒ πλευρὰν τῇ ΑΓ πλευρᾷ, καὶ προσεκξε- ἐλήσθωσαν ἐπ εὐθείας ταῖς AB, ΑΓ εὐθεῖα; αἱ BA, ΓΕ" λέγω ὅτι ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΓΒ ἴση ἐστὶν, ἡ δὲ ὑπὸ TBA τῇ ὑπὸ ΒΓΕ.
Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΒΔ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἀφηρήσθω ἀπὸ τὴς μείζονος τῆς AE τῇ ἐλάσ- σον! τῇ ΑΖ ἴση ἡ AH, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ei ZT,HB
εὐθεῖα).
a d ε M ^ e M Επεὶ οὖν ion ἐστὶν ἡ μὲν AZ τῇ AH, ἡ δὲ AB - Wc \ ^ 78 AT, δύο δὴ αἱ ZA, AT δυσὶ ταῖς HA, » EI ε , € D \ 7 AB ἴσαι εἰσὶν. εκατερα ἐκατερῷᾷ 5 καὶ γωνίαν X , \ . ^ , 5» ε κοινήν περιέχουσιν τῆν υπδὸ ZAH* βασις epa n ^ , > X \ M 9 ZT βάσει τῇ HB ἴση ἐστὶν. καὶ TO AZT τρίγωνον ^ / » \ € \ To ΑΗΒ τριγώνῳ ἴσον ἔσται. καὶ αἱ λοιπαὶ ] Ü / e em , 3, 3, γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γῶνίαις ἰσαι ἐσονται.
c ,
ε , £5; d εν» Ae exe mTipe «κατερου υῷ dc a icc πλευρᾶι Um 0-
Sit triangulum isosceles ABT, æquale habens AB latus AT lateri , et producantur in direc- tum ipsis AB, ΑΓ recte BA, TE ; dico qui- dem ABT angulum ipsi ΑΓΒ æqualem esse, ΓΒΔ vero ipsi BTE. ;
Sumatur enim in BA quodlibet punctum Z , et auferatur à majore AE minori AZ æqualis
ipsa AH, et jungantur ZT, HB recta.
Quoniam igitar est quidem AZ ipsi AH, AB vero ipsi AT, dus igitur ZA, AT duabus HA , AB æquales sunt , utraque utrique , ct angulum communem continent ZAH ; basis igitur ZT basi HB æqualis est, et AZT triangulum ΑΗΒ triangulo æquale erit , et reliqui anguli reliquis angulis equales erunt , uterque utrique ,
quos aequalia latera subtendunt , ATZ quidem
Soit le triangle isoscéle ABr, ayant le cóté AB égal au cóté Ar; menons les droites B^, TE, dans la direction de A5, Ar (dem. 2); je dis que l'angle ΑΒΓ est
éga
re
égal à l'angle ΑΓΒ, et que l'angle rBA est aussi égal à l'angle ΒΓΕ.
Car prenons dans ΒΔ un point quelconque Z , et de la droite 4E, plus grande que Az, retranchons une droite AH égale à la plus petite Az , et joignons les
droites ZT, HB.
Puisque AZ est égal à AH, et AB à Ar , les deux droites ZA, Ar sont égales aux
deux droites HA, AB, chacuue à chacune; mais elles comprennent un angle commun ZAH ; donc (4) la base zr est égale à la base ΗΒ, le wiangle Azr sera égal au triangle AHB, et les angles restans, soutendus par les cótés égaux , seront
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 15
[i \ CHEN POR CUN € \ τείνουσιν. ἡ pev υπὸ ATZ Ty ὑπὸ ΑΒΗ- ἡ δὲ € \ vie \ 4 € ei ὑπὸ AZT τῇ ὑπὸ ΑΗΒ. Καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ AZ 0^1 ^ 5 \ » -Ὁ € Ll >» \ » Th AH εστιν ion, ὧν ἢ AB τῇ AT ἐστὶν 1401, » ε LIP E \ D / λοιπὴ ἄρα n ΒΖ λοιπῇ τῇ TH ἐστὶν ἴση. Ἐδείχθη ^ ^ / , N € Ν δὲ καὶ ἡ ZT τῇ ΗΒ ἴση" δύο δὴ αἱ ΒΖ. ZT δυσὶ SEN e Le / \ ταῖς TH, HB ἔσαι εἰσὶν. ἑκατέρα ἑκατέρᾳ» καὶ / CA THEN i: n eU Cy ΠΝ » N γῶνία n ὑπὸ BZT γωνίῳ τῇ ὑπὸ THB ion, καὶ , -“ \ € \ \ » , βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΒΓ’ καὶ τὸ ΒΖΓ ἄρα Tpi- M » \ € ἊΝ yovov τῷ THB τριγώνῳ ἰσὸν ἐστ! καὶ αἱ λοίπαι , n / » »y γωνίαι, ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται. € 2 e , C991 Da, 24 Ne ἑκατέρα exovrépet, υῷ ἂς αἱ i044 πλευραι Uxzo- , » » ? \ € \ € \ ^ € \ τείνουσιν" 104 ἄρω ec Tiv ἢ μὲν ὑπὸ ZBT Ty ὑπὸ ε wc M τε nm € \ \ Icy el ΗΓΒ. 4 δὲ ὑπὸ BIZ τῇ ὑπὸ TBH. Ἐπεὶ οὖν ὅλη «e NI e € € M , > / ἢ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ATZ γωνίᾳ ἐδείχθη » e € € \ ^ e M » M 404, ὧν ἡ ὑπὸ TBH Ty ὑπὸ BTZ i0" , λοιπῇ 3} € € M ^ ^" € \ 3 Ν » ἄρα ἢ ὑπὸ ΑΒΓ λοιπῇ Ty ὑπὸ ATB «στιν i70, / , \ € , ^ ͵ 2 , καὶ εἶσι πρὸς τῇ βάσει τῷ ABT τριγώνου" ἐδείχθη M Noe \ «€ \ 2 / € \ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΓ τῇ ὑπὸ ΗΓΒ ἴση. καὶ εἰσιν ὑπὸ
M ^ ^ X E ^ Ν Neo τὴν βάσιν" τῶν ἄρα ἰσοσκελῶν , καὶ τὰ εξῆς.
ipsi ΑΒΗ, AZT vero ipsi AHB. Et quoniam tota AZ toti AH est æqualis , quarum AB ipsi AT est equalis, reliqua igitur ΒΖ reliquæ TH est æqualis. Ostensa est autem et ZT ipsi HB æqualis ; dux igitur ΒΖ, ZT duabus ΓΗ, HB æquales sunt , utraque utrique , et angulus ΒΖΓ angulo ΓΗΒ zqualis , et basis eorum communis BP; et BZT igitur triangulum. ΓΗΒ triangulo æquale erit , et reliqui anguli reliquis angulis æquales erunt, uterque utrique, quos æqualia latera subtendunt ; æqualis igitur est quidem ΖΒΓ ipsi ΗΓΒ, BTZ vero ipsi TBH. Quoniam igitur totus ΑΒΗ angulus toti ATZ angulo os- tensus est equalis, quorum TBH ipst BTZ æqua- lis ; reliquus igitur ABT reliquo ΑΓΒ est zqualis , et est ad basim ABT trianguli ; ostensus est autem et ΖΒΓ ipsi ΗΓΒ æqualis, et sunt sub
basim ; isoscelium igitur triangulorum , etc.
égaux chacun à chacun ; l'angle Arz à l'angle ΑΒΗ, et l'angle Azr à l'angle AHB. Et puisque la droite entière Az est égale à la droite entière AH, et que AB est égal à AT, la restante ΒΖ sera égale à la restante TH (not. 5). Mais on a démontré que Zr est égal à ΗΒ; donc les deux droites ΒΖ, zr sont égales aux droites TH, HB, chacune à chacune ; mais l'angle Bzr est égal à l'angle ΓΗΒ, et la droite ΒΓ est leur base commune; donc le triangle ΒΖΓ sera égal au triangle ΓΗΒ, et les angles restans , soutendus par les côtés égaux , seront égaux chacun à chacun ; donc l'angle ΖΒΓ est égal à l'angle HrB, et l'angle Brz égal à l'angle rBH. Mais on a démontré que l'angle entier ABH est égal à l'angle entier Arz , et l'angle TBH est égal à l'angle Prz; donc l'angle restant ΑΒΓ est égal à l'angle restant ATB (not. 3), et ces angles sont sur la base ; mais on a démontré aussi que l'angle ΖΒΓ est égal à l'angle ΗΓΒ; et ces angles sont sous la base ; donc, etc.
16 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
HIPOTAXIEX c.
\ D c , 5 » , , Eav τριγώνου αἱ δύο γωνίαι icai ἀλλήλσις ἊΝ \ € e \ \ » / € , (UI, καὶ Gi UTO τας ἰσὰς γωνίας υποτείνασαι \ y » , LA πλευραὶ 1024 ἀλλήλαις ETOYT EL, / \ L4 3 ^ € \ Eve τρίγωνον τὸ ΑΒΓ. 400v eov τὴν ὑπὸ n * Y " , ej ^ ABT γωνίαν τῇ ὑπὸ ATB γωνίᾳ" λίγω ὅτι καὶ \ € ^ ^w » v πλευρὰ 4 AB πλευρᾷ τῇ AT ἐστι! i68. M sr > . * TAE = Ei yup avicoc ἐστιν n AB τῇ AT, μία * ἀυτῶν 45 > 4 , € \ » , μείζων ἐστίν. Ἑστω μείζων ἡ ΑΒ’ καὶ ἀφῃρήσθω 32 \ \ ἡ ^ ^4 , ^ y ab τὴς μείζονος τῆς AB τῇ ἐλᾶασσον, τῇ AT ion
# AB, καὶ ἐπεζεύχθω 1 AT.
PROPOSITIO VI.
Si trianguli duo anguli equales inter se sunt , et æquales angulos subtendentia latera æqualia inter se erunt.
Sit triangulum ABT æqualem habens ABT an- gulum ΑΓΒ angulo; dico et latus AB lateri AT esse æquale.
Si enim inæquale est AB ipsi AT, unum eorum majus est. Sit majus AB, et auferatur a majore AB minori AT equalis AB, et jun-
gatur AT,
A
A/ \
Fo
B
a LA 5» e ^ ^ \ €
Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ AT, κοινὴ δὲ n BT,
, \ D3 » LES δὺο δὴ αἱ AB, BT δυσὶ ταῖς AT, TB ἴσαι εἰσὶν,
ε , € , \ / € € \ 7 τπκατέερὰ ἐκατερε , καὶ γωνία n ὑπὸ ΔΒΓ γωνίᾳ ec ΕἸ x » , E € , ^ Til ὑπὸ ΑΓΒ ἐστὶν ἰση" βάσις ἄρα ἡ AT βάσει τῇ
AB ἴση ἐστὶν, καὶ τὸ ABT τρίγωνον τῷ ATB 3
\
Quoniam igitur æqualis est AB ipsi AT , com- munis autem BP, duæ igitur AB, Br duabus AT, ΓΒ æquales sunt, utraque utrique, et angulus ΔΒΓ angulo ΑΓΒ est æqualis; basis igilur AT basi AB æqualis est, et ABT trian-
PROPOSITION VI.
Si deux angles d'un triangle sont égaux entre eux, les côtés opposés à ces
angles égaux , seront aussi égaux entre eux. Soit le triangle ΑΒΓ, ayant l'angle ΑΒΓ égal à l'angle ΑΓΒ ; je dis que le côté ΑΒ
est égal au côté AT.
Car si le côté AB n’est pas égal au côté AT, l’un d’eux sera plus grand que l'autre. Soit 48 le plus grand ; retranchons du plus grand côté ΑΒ la droite ΔΒ égale au plus petit Ar (3), et joignons ar.
Puisque AB est égal à Ar, et que ΒΓ est commun, les deux côtés AB, Br sont
^r n STE: 3 ol. égaux aux deux côtés Ar, TB, chacun à chacun; mais l'angle ΔΒΓ est égal à l'angle ΑΓΒ; donc la base ar est égale à Ja base AB, et le triangle ΔΒΓ sera égal
— SH
LE PREMIER LIVRE DES
, » 3l \, 4 ^ 14 4 τριγώνῳ σὸν em TO y τὸ SAGTTOY τῷ μείζονι *,
»! LA 1 , > € e ὅσερ ἀποπον" οὐκ epa evicoc ἐστιν ἢ ΑΒ τῇ ΑΓ"
» LA \ 3] , M b ^ Lx epe. Eay epe τρέγῶνουγ καὶ τὰ ἑξῆς. ΠΡΌΤΑΣΙΣ 6C.
^ , ^ ^ , »" Ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας. δυσὶ ταῖς αὐταῖς 4 , , » € , € , εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα extorrepa, \ L4 \ / οὐ συσταθήσονται, «πρὸς ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ ΕΣ x \ *, x , M ΕΣ X , LA πὶ τὰ αὐτὰ μέρη, τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι
SS ΣΕ ἘΣΎ AR ταῖς ἐξ ἀρχῆς εὐθεία:ς.
Α
3 A \ * v ^ > 0€ » , Ej yap δυνατὸν. ei τῆς αὐτῆς εὐθείας
lad ^ Ὁ 3 D 3 ^
τῆς AB, duci ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ταῖς AT,
E , ? L4 € , ΓΒ ἀλλα; δύο εὐθεῖα, αἱ" AA, AB ἴσαι ἑκατέρα
e , , 3 » \ sf
εκατερῷ DUVETTATUTEY , «poc ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ , ^ \ , ^ M 3 A , M σημείῷ τῷ Te T καὶ À, ἐπὶ τὰ αὐτὰ μερὴ τὰ
\ , ^ , LA ἊΝ eu T, A, τὰ αὐτὰ περαταὰ ἔχουσαι τὰ À, B* ὥστε
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 17
gulum ATB triangulo 2quale ent, minus majori , quod est absurdum ; non igitur inæqualis est AB
ipsi AT ; ergo a qualis. Si igitur trianguli, etc. PROPOSITIO VII.
Super eádem rectà, duabus eisdem rectis alie duc recte æquales utraque utrique non constituentur, ad aliud et aliud punctum ad easdem partes, eosdem terminos habentes quos prima rectæ.
B
Si enim possibile , super eádem rectà AB duabus eisdem rectis AT, PB, alie due rect» AA, AB equales utraque utrique constituantur ad aliud et aliud punctum T et A, ad easdem partes , D, Δ, et eosdem terminos habentes A, B; ita ut
æqualis sit quidem TA ipsi AA, eumdem ter-
au triangle ArB, le plus petit au plus grand, ce qui est absurde; donc les droites AB, Br ne sout pas inégales; donc ΑΒ est égal à Br. Donc, etc.
PROPOSITION VII.
Sur une méme droite , et à deux points différens placés du même côté , on ne peut pas construire deux droites égales à deux autres droites, chacune à chacune, et ayant les mêmes extrémités que ces deux autres.
Car, si cela est possible, sur une méme droite A B, et à deux points différens r
et ^, placés du méme cóté, construisons les deux droites A^, AB égales à deux autres droites Ar , ΓΒ, chacune à chacune, etayant les mêmes extrémités A, B; de
3
18
» ^ M ^ es M , \ , ἐσὴν εἶναι! τὴν μὲν ΤΑ τῇ AA, τὸ αὐτὸ περᾶς
4 3: ἣν X \ Y \ NA ἔχουσαν αὐτῇ τὸ À, τὴν dé TB τῇ AB, τὸ αὐτὸ
, ᾽ν, 3 e X TA) , € Tépuüc SHOUTAY αὐτῇ TO B* καὶ ἐπεζεύχθω ἡ TA,
‘A ,
^ 3 s » \ e ^ » , \ ^
Ἐπεὶ ouv son ἐστὶν ἢ AT τῇ AA , 16h ἐστὶ καὶ
, cree \ EE ἘΝ, " 7 € \
γωνία ἢ ὑπὸ ATA τῇ ὑπὸ AAT* μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ
^ ΕἼ ΟΝ sn » €
AAT τῆς ὑπὸ ATB* a0AAQ ὥρα ἢ ὑπὸ ΤΔΒ
1 E ^ SER , 3 Ny 3 N
μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ATB, Παλὲν ἐπεὶ 10h ἐστιν € ^M 3) » \ \ € M
» TB τῇ AB, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ TAB
/ nm € , ,ὔ \ 3 ^ \ ^
yevic a ὑπὸ ATB. Εδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῳ
Σ er , * E) , , !
μείζων. ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα ἐπὶ καὶ
X € ^ τὰ ££ ile, &
IPOTAZXIX 4g.
\ , / Y "1 \ - E2v δύο πρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ D 2 | € , e , LA M πλευραῖς ἰσὰς ἐχῇ. εκατέραν exc Tépat, ἔχῃ δὲ x N [A ^ , 3) x M J ^ καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην" καὶ τὴν γωνίαν τῇ | prr o d ΝΑ or SS VoYIa Ion e£er, TA ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν
2 Tepic HOME: Hi.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
minum habens quem illa, punctum A , ΓΒ vero ipsi AB, eumdem terminum habens quem illa,
punctum B ; et jungatur ΓΔ.
r A
14)
B Quoniam igitur æqualis est AT ipsi AA, aequalis est et angulus ATA ipsi AAT ; major igitur AAT ipso ATB ; multo igitur ΓΔΒ major est ipso ATB. Rursus quoniam æqualis est TB ipsi AB, equalis est et angulus ΓΔΒ angulo ATB. Ostensus est autem ipso et multo major, quod est im-
possibile. Non igitur super, ctc.
PROPOSITIO ViII.
Si duo triangula duo latera duobus lateribus æqualia habeant, utrumque utrique, habeant autem et basim basi æqualem; et angulum an- gulo æqualem habebunt; ab æqualibus recüs
contentum.
manière que la droite TA soit égale à la droite 44, et ait la méme extrémité 4 que celle-ci, et que la droite ΓΒ soit égale à la droite A5, et aitla méme extrémité 8 que celle-ci; et joignons ra.
Puisque Ar est égal à Aa, l'angle Ar^ est égal à l'angle Aar (5); donc l'angle AAT est plus grand que l'angle ars ; donc l'angle rAB est beaucoup plus grand que l'angle ar». De plus , puisque ΓΒ est égal à 45 , l'angle rAB est égal à l'angle arb; mais on a démontré qu'il est beaucoup plus grand, ce quiest impossible. Donc, etc.
PROTPOSTTLION NETTE
Si deux triangles ont deux cótés égaux à deux cótés, chacun à chacun, et s'ils oni là base égale à la base, les augles compris par les côtés égaux seront égaux.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ABT, ΔΕΖ, τὰς δύο πλευρὼς τὰς AB, AT ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς AE, AZ ἴσας ἔχοντα, À ἑκατέραν ἑκατέρᾳ. τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕ, τὴν d AT τῇ AZ ἐχέτω δὲ καὶ βάσιν τὴν ΒΓ βάσει τῇ EZ ἔγην" λέγω ὅτι καὶ
SACS ΑΝ, / e € A 2 N03 γῶών!α n ὑπὸ BAT γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν tan.
Β
, \ " , , \ \ Ἐφαρμοζομένου yep τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπι TO ΄ N , ^ \ , ΔΕΖ τρίγωνον. καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Β σημείου > Net n Bh \ 3 Ν M ἐστὶ TO E σήμειον. τῆς δὲ ΒΓ εὐθείας ἐπὶ τὴν EZ;
3 , Ν \ - EAST \ X \ ἐφαρμόσει καὶ TO T σήμειον ἐπὶ TO L, dia τὸ
Ac, H 4 | Z
A PSE TPE
r9
Sint duo triangula ABT, ΔΕΖ, duo latera AB, AT duobus lateribus AE , AZ æqualia habentia utrumque utrique, AB quidem ipsi AE , AT yero ipsi AZ; habeat autem et basim ΒΓ basi EZ æqualem; dico et angulum BAT angulo EAZ
esse qualem.
Congruente enim ABT trianguloipsi AEZtrian- gulo, etposito quidem B puncto super E punctum, ΒΓ vero rectà super ΕΖ, congruet et P punctum
IpsiZ , quia æqualis est BT 1051 EZ ; congruente
igitur BT ipsi EZ, congruent et BA, T'A Ipsis EA, AZ. Si enim basis quidem ΒΓ basi EZ con-
ἴσην εἶναι τὴν BT τῇ EZ* ἐφαρμοσάσης δὴ τῆς BT ἐπὶ τὴν EZ, ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ BA, TA ἐπὶ gruat, BA , AT vero latera ipsis ΕΔ, AZ non ut EH 5 "HZ;
τὰς EA, AZ. Ei γὰρ βάσις μὲν ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν
4 € Ca τὴν EZ ἐφαρμόσει. αἱ δὲ BA, AT πλευραὶ ἐπὶ congruant, sed situm mutent
τὰς EA, AL οὐκ igapuóLousiv , ἀλλὰ παραλ- — consütuentur super cádem rectà duabus rectis λάξουσιν. oc αἱ EH, HZ, συσταθήσονται. ἐπὶ — ali duæ recte æquales, utraque utrique , τῆς αὐτὴς εὐθείας, duci ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ad aliud et aliud punctum , ad easdem partes , ἄλλα; δύο εὐθεῖαι ἴσαι. ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. πρὸς eosdem terminos habentes. Non constituuntur
Soient les deux triangles ABr , AEZ, ayant les deux côtés AB, Ar égaux aux deux côtés AE , AZ, chacun à chacun, le côté AB égal au côté AE, et le côté ar égal au côté AZ; qu'ils aient de plus la base ΒΓ égale à la base Ez ; je dis que l’angle BAr est égal à l'angle EAz.
Car le triangle ΑΒΓ étant appliqué sur le triangle AEZ , le point B étant placé sur le point E, et la droite Br sur la droite Ez, le point r s'appliquera sur le point z, parce que Br est égal à Ez ; la droite ΒΓ s'appliquant sur la droite Ez , les droites BA, TA s'appliqueront sur les droites EA, AZ; car si la base ΒΓ s'appliquant sur la base Ez, les cótés BA, Ar ne s'appliquaient pas sur les côtés AE, AZ, et prenaient une autre position, comme EH, HZ, on pourrait construire sur une
méme droite, et à deux points différens placés du mème côté, deux droites
20 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
J Ν A 3 \ \
ἄλλῳ καὶ ἄλλῳ σημείῳ. ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη. τὰ 3? Y , 3! 3 / , >
αὐτὰ πέρατα ἐχουσαι. OÙ συνίστανται δὲ" οὐκ
E , , ^ , DEN M
ap; ἐφαρμοζομένης τῆς ΒΓ βάσεως ἐπὶ τὴν ἘΖ , , 5 , ἧς 2
βάσιν. οὐκ εφαρμόοσουσι καὶ ai^ BA, AT πλευραὶ
9- ;N \ , 7] e \ ἐπι τας EN, AZ. EQapuocouciv ἄρα" ὥστε καὶ
quidem. Non igitur, congruente BP basi EZ basi, non congruent et BA , AT latera ipsis EA, AZ. Congruent igitur; quare et angulus BAT angulo EAZ congruet, et æqualis ei erit.
Si igitur duo, etc.
, € e \ - ^ 4 € \ γωνία ἢ ὑπὸ BAT ἐπὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ EAZ ἐφαρ- , \ y > à o» \ » , N μόσει y, καὶ Ion αὐτῇ éorai. Ἐὰν apa δύο. καὶ der Ta εξῆς.
HPOTAZIX ff. PROPOSITIO IX.
^ ev / 3 , / DU ut t B Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν. Datum angulum rectilineum bifariam secare.
Ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος. ἡ ὑπὸ Sit datus angulus rectilineus BAT ; oportet
e A > A 4 m m or. . nn - BAT: δὲῖ δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν, igitur ipsum bifariam secare.
B Z T
Εἰλήφθω yap ἐπὶ τῆς AB τυχὸν σημεῖον τὸ À, Sumatur enim in AB quodlibet punctum À,
καὶ ἀφιρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΤ τῇ ΑΔ ἴση 4 AE, καὶ εἰ auferatur ab ΑΓ ipsi AA æqualis AE, et jungatur AE, et constituatur super AE trian-
᾿πεζεύχθω ἡ AE, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς AE gulo æquilatero ΔΕΖ, et jungatur AZ;
! n ES , τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΕΖ.» xdi ἐπεζεύχθω
égales à deux autres droites , chacune à chacune , et ayant les mêmes extrémités que ces deux autres ; mais elles ne peuvent pas étre construites (7); donc la base ΒΓ s'appliquant sur la base Ez , les cótés BA, Ar ne peuvent pas ne point s'appliquer sur les cótés E^ , Az; donc ils s'appliqueront les uns sur les autres ; donc l'angie BAT s'applique sur l'angle EAz ; donc il lui est égal. Donc, etc.
PROPOSITION IX. Partager un angle rectiligne donné en deux parties égales. Soit BAT un angle rectiligue donné; il faut le partager en deux parties égales. Prenons dans la droite ΑΒ un point quelconque 4, retranchons de la droite Ar une droite AE égale à la droite A^, joignons AE, sur la droite AE, construisons
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. ot
ἡ AZ* λέγω ὅτι ἡ ὑπὸ BAT γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τὴς ΑΖ εὐθείας.
Ἐπεὶ yàp ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ AE, κοινὴ δὲ ἡ AZ, δύο δὴ αἱ AA, AZ δυσὶ ταῖς EA , ΑΖ ἴσαι εἰσὶν. ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ βώσις ἡ ΔΖ βάσει τῇ EZ ἴση ἐστί" γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ AAL γωνίᾳ τῇ ὑπὸ EAZ izu ἐστίν".
H dpa δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος. ἡ ὑπὸ BAT, δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας. Οπερ
» ^ ἔδει ποιῆσαι. IIPOTAEXIX 4. M e "n , / Ὁ Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν.
: À : ; : Esto ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη" n AB:
dei δὴ τὴν AB εὐθεῖαν πεπερασμένην δῆχα τεμεῖν.
Α
, 3} 5 3. ὦ / SU, Συνεστατω «π αὑτῆς Tpl)0ovov ἐσοσπλευρον
To ABI, καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ATB γωνία δίχα
dico BAT angulum bifariam secari ab ΑΖ rectà.
Quoniam enim æqualis est AA ipsi AE , com- munis autem AZ, due AA, AZ duabus EA, AZ æquales sunt , utraque utrique , et basis AZ basi EZ wqualis est; angulus igitur AAZ angulo EAZ æqualis est.
Datus igitur angulus rectilineus BAT bifariam
secatur ab AZ rectá. Quod obortebat facere.
PROPOSITIO X.
Datam rectam terminatam bifarlam secare. Sit data recta terminata AB; oportet igitur
AB rectam terminatam bifariam secare.
B
Constituatur super ipsá triangulum æquila-
terum ABD, et secetur ATB angulus bifariam
le triangle équilatéral AEZ ( 1), et joignons ΑΖ; je dis que l'angle BAT est partagé en deux parties égales par la droite Az.
Puisque ΑΔ est égal à AE, et que la droite Az est commune, les deux droites AA, AZ seront égales aux deux droites EA , AZ, chacune à chacune; mais la base AL est égale à la base Ez; donc l'angle AAZ est égal à l'angle EAZ (8).
Donc l'angle rectiligne donné BAT est partagé en deux parties égales par la droite Az; ce qu'il fallait faire.
PROPOSITION X.
Partager une droite donnée et finie en deux parties égales.
Soit donnée une droite finie AB; il faut partager la droite finie AB en deux parties égales.
Conswuisons sur cette droite un triangle équilatéral ΑΒΓ (1), et partageons
22 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
(s f , e € 9 "n , τῇ TA εὐθείᾳ" λέγω ὅτι à» AB εὐθεῖα diya
πετμήται κατὰ τὸ À σήμειονο
Α
à M ^ Y WS Ἐπεὶ ydp ἴση ἐστὶν ἡ AT τῇ TB, ποινὴ δὲ \ c (OUS ^ » 3 TA, δύο δὴ αἱ AT, TA δυσὶ ταῖς ΒΓ. TA iva: 1 VN X EST εἰσὶν. ἐκατέρα ἑκατέρᾳ 5 καὶ γωνία 1 ὑπὸ ATA e ^N ” EJ Δ 2 ΕΣ ἐξ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ BIA ion ἐστί "" βάσις epe a AA ^ E ΕΣ , 3 βάσει τῇ BA teu ἐστὶν). A T ; H pa δυθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη 4 AB δίχα \ A a τέτμηται κατὰ τὸ A. Οπερ ἔδει ποιῆσα!- , IPOTAZIX sa ^ ^ M 5 ^ , τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ. ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος Η E , \ / AIS ee. Y σημείου, πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμῆι | ἀγαγεῖν. : À. D3 2 (m € M dè d [^ Ἔστω » μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ AB, τὸ de δοθὲν ον π᾿ αὐτῆς τὸ τ’ δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ T σημείου CHJAEIOV ET αὐτῆς To I‘ des 0 «7 με \ 5 ^ ͵7 32 D ^ ; τῇ AB εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν
> & ἀγαάγεινς
ab TA recià; dico AB rectam bifariam secari in A puncto.
B Quoniam enim æqualis est AT ipsi PB, com- munis autem TA, due Ar, rA duabus Br, TA æquales sunt, utraque utrique , et angulus ATA angulo ΒΓΔ æqualis est; basis igitur AA basi BA æqualis est. Ergo data recta terminata AB bifariam se-
catur in puncto Δ. Quod oportebat facere. PROPOSITIO XI.
Datæ recte , a puncto in δὰ dato , ad rectos
angulos rectam lineam ducere.
Sit quidem data recta AB, datum vero punctum in δὰ D; oportet igitur a T puncto ipsi AB recte ad rectos angulos rectam lineam
ducere.
l'angle Arb en deux parties égales par la droite TA (9); Je dis que la droite ΑΒ est partagée en deux parties égales au point Δ.
Car puisque la droite Ar est égale à la droiterE, et que la droite ΓΔ est commune, les deux droites AT, TA sont égales aux deux droites Br, ΓΔ, chacune à chacune; mais l'angle Ar^ est égal à l'angle ΒΓΔ; donc la base 44 et égale à la base ΒΔ (4).
Donc la droite donnée et finie AB est partagée en deux parties égales au point Δ;
ce qu'il fallait faire.
PROPOSITION XI.
A une droite donnée, et à un point donné dans cette droite , mener une
ligne droite à angles droits.
Soit AB une
droite dounce , et r le point donné dans cette droite; il faut du
point r mener à la droite ΑΒ une ligne droite à angles droits.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 23
Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς AT τυχὸν σημεῖον τὸ À, Sumatur in AT quodlibet punctum Δ, et po-
καὶ κείσθω τῇ TA ἴση ἡ TE, καὶ συνεστάτω ἐπὶ — natur ipsi DA æqualis l'E, et constituatur super
m b ἐς NC» τῆς AE τρίγωνον ἰσέπλευρον τὸ LAE, καὶ ἐπ-
“el P ^» - Eg: 5 - A
ἐζεύχθω ἡ ZT* λέγω ὅτι τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ AB, ΖΓ; dico date recte AB a dato ἴῃ δὰ puncto - \ E , / m Y "toc δ 1 an
ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῇ δοθέντος σημείου τοῦ T, πρὸς P» ad rectos angulos rectam lineam ductam
ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἥκται ἡ LT. esse ZT.
F3
AUN ESCB
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ TA τῇ TE, κοινὴ δὲ Quoniam enim æqualis est DA ipsi TE, com- ἡ TZ, δύο δὴ ai AT, TZ δυσὶ ταῖς ET, TZ ἴσαι munis vero ΓΖ, duæ sane AT, ΓΖ duabus εἰσὶν. ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ βάσις ἡ AZ βάσει ET, FZiequales suntutraque utrique, et basis AZ τῇ LE ἴση ἐστί" γωγία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΙΖ γωνίᾳ τῇ basi ZE æqualis est ; angulus igitur ΔΙΖ angulo ὑπὸ ETZ ἴση ἐστὶ καί εἰσιν ἐφεξῆς. Οταν di
] ἈΝ Nd. r3 DUE iSo ey / εὐθεῖα ἐπὶ εὐθεῖαν σταθεῖσα τεὶς ἐφεξῆς γωνίας
ETZ æqualis est, et sunt deinceps. Quando au- lem recta in rectam insistens deinceps angulos ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων æquales inter se facit , rectus ulerque æqua- lium angulorum est; rectus igitur est uterque
ipsorum ATZ, ZT'F.
Go NE \ € ^ ^ e \ γωνιῶν ἐστιν '* ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ AZ; ΖΡΕΣ $
AE triangulo æquilatero ZAE, et jungatur -
Ta ἄρα δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ AB, ἀπὸ τοῦ πρὸς 5 n , /À e ^ , \ , αὐτῇ δοθέντος σημείου τοῦ T, πρὸς ὀρθάς γωνίας
3 ^ M5 2t 3) ^ εὐθεῖα γράμμη ἠκται n ZT. Οσερ edu ποιῆσα!-
Ergo dat: rect» AB ἃ dato in cà puncto T, ad rectos angulos recta linea ducta est TZ. Quod
oportebat facere.
Prenons dans la ligne droite Ar un point quelconque Δ, faisons rE égal à ΓΔ (3), construisons sur AE le triangle équilatéral ZAE, et joignons Zr ; je dis que la droite TZ est menée à angles droits à la droite ΑΒ du point r donné dans cette droite.
Car puisque la droite rA est égale à la droite TE, et que la droite rz est commune, les deux droites Ar, rz sont égales aux deux droites Er, rz, chacune à chacune ; mais la base Az est égale à la base ZE ; donc l'angle ΔΓΖ est égal à l'angle ἘΓΖ (3); mais ces deux angles sont de suite, et lorsqu'une droite placée sur ung droite fait les angles de suite égaux entre eux , chacun des angles égaux est droit (déf. 10) ; donc chacun des angles ΔΓΖ, ZTE est droit.
Donc la ligne droite zr a été menée à angles droits à la droite donnée 48 du point r donné dans cette droite.
"
24 LE PREMIER LIVRE DES IIPOTAZIX β΄.
. \ M AN x 4.1. ἢ ^ Ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον, ἀπὸ τοῦ , , ΟἹ La , 5 » ^ , δοθέντος σημείου. 0 μή ἐστιν ἐπ᾿ αὐτῆς, κάθετον ΠΣ AUS - εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. ε \ OFT ET e \ Ecr» 4 μὲν δυθεῖσα εὐθεῖα ἄπειρος ἡ AB, τὸ \ A" e ^ 2 » ΕΣ 3 rs δὲ δοθεν σημεῖον. ὃ μή ἔστιν ἐπὶ dure, τὸ T° τ τὴν ER τὰν ἘΠ τῇ E dvi du ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν AB, 5 À ^ , ; e ἃ EE » + ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦτ᾽. ὃ μή ἐστιν ἐπὶ
^ ^ , , e ^ 3 e αὐτῆς, πάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγείγεῖν. E L
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. PROPOSITIO XII.
Super datam rectam infinitam, a dato puncto, quod non est in eà , perpendicularem rectam lineam ducere.
Sit. quidem data recta infinita AB, datum vero punctum T , quod non est in eà; oportet igitur super datam rectam infinitam AB, a dato puncto T, quod non est in eà, perpendicularem
rectam lineam ducere.
EA. ἢ , , Ξ nr EjAn930 5 ap emi TL ETEPA RAPA Tuc AB εὐθείας A ^ \ \ , \ ^ τυχὸν σήμειον TO À, καὶ zivTpQ μὲν τῷ Y, , Van , , € διαστήματι δὲ τῷ TA, κύκλος γεγρόέφϑω o EZH, , € 3 "^ ! \ \ \ καὶ τετμήσθω n EH εὐθεῖα δίχα κατὰ TOO, καὶ > 5! ἜΑΡ ον RT ἐπεζεύχθωσαν ai TH, TO, IE εὐθεῖαι ^* λέγω L » Ν ^ ^ > ev s! b » \ GTI ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν AB, ἀπὸ ES , ͵ ^ 4 15 DET Γ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Τ. 0 μή ἐστιν ἐπὶ αὐτῆς.
, [3 c κάθετος ἥκται ἡ IG.
Sumatur enim ad alteram partem AB recte quodlibet punctum A , et centro quidem r, intervallo autem TA, circulus describatur ΕΖΗ, et secetur EH recta bifariam in ©, et jun- gantur FH, TO, TE rect»; dico super datam rectam
infinitam AB , a dato puncto T,
quod non est in eà , perpendicularem ductam esse ΓΘ.
PROPOSITION XII.
A une droite indéfinie et donnée, et d'un point donné qui n'est pas dans cette droite, mener une ligne droite perpendiculaire.
Soit ΑΒ une droite indéfinie et donnée , et r un point donné qui n'est pas dans cette droite ; il faut à cette droite indéfinie et donnée AB, mener du point donné r qui n'est pas dans cette droite , une ligne droite perpendiculaire.
Prenons de l’autre côté de la droite AB un point quelconque A , et du centrer et d'un intervalle rA, décrivons le cercle ΕΖΗ (dem.5), partageons la droite ΕΗ en deux parties égales au point 6 (10), et joignons TH, ΓΘ, TE; je dis qu'à la droite indébnie et donnée 45 , et du point donné r qui n'est pas dans cette droite, on a mené une perpendiculaire re.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 25
^ » » ^N e ^ ^ M Ἐπεί yap ἴση ἐστὶν ἡ HO τῇ OE , xoiyn δὲ € \ \ D »
ἡ OT , δύο δὴ αἱ OH , GT δυσὶ ταῖς EO , ΘΓ ἴσαι ^ e , e , εἰσὶν. ἑκατέρα ἑκατέρῳ 9 καὶ βάσις M TH βάσει b 2 = e DEN , τῇ ΤῈ ἐστὶν ἴση" “γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ TOH γωνίᾳ M € \ y » , ^ M τῇ ὑπὸ EOT ἐστὶν ἴση. καί εἰσιν ἐφεξῆς. Ovav δὲ SA ΟΥ 1739315... SA εν m. $5 a ͵ εὐθεῖα ἐπ᾽ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας
L4 Ψ LA ^ ΕΣ ^ e , ^ » ἐσᾶς aAANAdIC “ποι!ῇ , ὀρθὴ exa Tépa, τῶν LOU ^ {2 9 m » LU LA γωνιῶν ἐστιν" καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα καθετος
CON MOUSE καλέεται ep nv eQeouer.
M L3 LA » D » M Ez: τὴν δοθεῖσαν apa εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν AB, » À ^ , , ^ d 1 > » ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ. ὃ μή ἐστιν ἐπ᾿
αὐτῆς, κάθετος ἧκται ἡ ΓΘ. Orrep ἔδει ποιῆσαι. HPOTAZIZ sy.
Edv' εὐθεῖα ἐπὶ εὐθεῖαν σταθεῖσα γωνίας ποιῇ" arco) δύο ὀρθὰς, ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιήσει.
Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ ἐπὶ εὐθεῖαν τὴν ΤΔ στοιθεῖσα γωνίας ποιείτω, τὰς ὑπὸ TBA , ABA* λέγω ὅτ, αἱ ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ γωνίαι, ἤτοι" δύο
ὀρθαί εἰσιν, ἢ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι.
Quoniam enim æqualis est HO ipsi OE, communis autem OT , duæ utique OH , Or duabus EO , OT «quales sunt, utraque utrique , et basis ΓΗ basi FE est equalis; angulus igitur TOH angulo ΕΘΓ est æqualis, et sunt deinceps. Quando autem recta in rectam insistens, deinceps angulos quales inter se facit , rectus uterque æqualium angulorum est; et insistens recta perpendicularis appellatur in quam insistit.
Super datam igitur rectam infinitam AB a dato puncto T quod non est in cà, perpendicularis
ducta est ΓΘ. Quod oportebat facere.
PROPOSITIO XIII.
Si recta in rectam insistens angulos faciat , vel duos rectos , vel duobus rectis æquales faciet.
Recta enim quadam AB in rectam ΓΔ in- sistens angulos faciat ΓΒΑ, ABA; dico ΓΒΑ, ABA angulos, vel duos recios esse, vel duobus
rectis equales.
Car puisque la droite He est égale à la droite ΘῈ, et que la droite er est
commune, les deux droites ΘΓ, oH sont égales aux deux droites Ee, er, cha- cune à chacune ; mais la base TH est égale à la base ΤῈ (déf. 15); donc l'angle rea est égal à l'angle Eer (8); mais ces deux angles sont de suite, et lorsqu'une droite placée sur une droite fait les angles de suite égaux entre eux, chacun des angles égaux est droit, et la droite placée au dessus est dite perpendiculaire à celle sur laquelle elle est placée.
On à donc mené re perpendiculaire à la droite indéfinie 48, du point donné r placé hors de cette droite. Ce qu'il fallait faire.
PROPOSITION XIII.
Si une droite placée sur une droite fait des angles, clle fera ou deux angles droits, ou deux angles égaux à deux droits. Qu'une droite AB placée sur une droite ΓΔ fasse les angles TBA , ABA; je dis
que les angles rBA , ABA sont ou deux droits, ou égaux à deux droits. 4
36 "LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ὡ s) LICE EUe. (X S tero ἃ Ej μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ TBA τῇ ὑπὸ ABA , > \ ἀπὸ
\ a 3) ^ δύο ὀρθαί εἶσιν. Εἰ δὲ où, ἤχθω τοῦ Β ^ \ 3 \ € ex 5 σημείου τῇ TA εὐθείᾳ " πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΕ" αἱ aga «ε , -5 \ €, €. M ὑπὸ ΓΒΕ. EBA dUo ὀρθαί εἶσι. Καὶ ἐπεὶ n uz 0 TEE τ » 3 \ \ , δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΓΒΑ. ABE fon ἐστὶ, κοινὴ προσκείσθω € M \ \ ω ἡ ὑπὸ EBA* αἱ ἄρα ὑπὸ TBE, ΕΒΔ τρισὶ ταὶς F : ; EN ὑπὸ TBA, ABE, EBA ἴσαι cisit, Πάλιν. ἐπεὶ e 6€ v \ ex P eA » , \ à ὑπὸ ΔΒΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ ABE, EBA i71 ἐστὶ»
Δ
κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ABT* αἱ ἀρα᾽ ὑπὸ ABA, ΑΒΓ τρισὶ ταῖς ὑπὸ ABE , EBA , ABT ἴσαι εἰσίν. Ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ TBE, EBA τρισὶ ταῆς αὐταὶς ἴσαι" τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα. καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα" καὶ αἱ ὑπὸ ΤΒΕ. ΕΒΔ ἄρα ταῖς ὑπὸ ABA, ABT ἴσα; εἰσίν" ἀλλὰ αἱ ὑπὸ TBE, EBA dvo ὀρθαί εἶσι. καὶ αἱ ἱπὸ ABA, ABT ἄρα
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Ἐὰν ἄρα, καὶ τὰ εξῆς.
Si igitur quidem æqualis est ΓΒΑ ipsi ΑΒΔ, duo recti sunt. 81 vero non, ducatur a B puncto ΓΔ rectæ ad rectos ipsa BE; ergo TBE, ΕΒΔ duo recti sunt. Et quoniam TBE duobus FBA, ABE æqualis est, communis addatur EBA ; ergo ΓΒΕ, EBA tribus ΓΒΑ, ΑΒΕ, EBA quales sunt. Rursus, quoniam ABA duobus ABE , EBA æqualis est, communis addatur ABP ; ergo
A
ABA, ΑΒΓ tribus ABE, EBA, ABT æquales sunt. Ostensi sunt autem et ΓΒΕ, ΕΒΔ tribus eisdem equales; que autem eidem æqualia, et inter se sunt æqualia ; ergo et ΓΒΕ, EBA ipsis ABA, ΑΒΓ æquales sunt; sed ΓΒΕ, ΕΒΔ duo recti sunt; ergo et ABA , ΑΒΓ duobus rectis æquales
sunt. $1 igitur, etc.
Car si l'angle rBA est égal à l'angle ABA, ces deux angles sont droits ( déf. 10). Sinon, du point B conduisons BE à angles droits à r^ (11); les deux angles TBE, EBA seront droits; et puisque l'angle TBE est égal aux deux angles ΓΒΑ, ABE, si l'on ajoute l'angle commun ΕΒΔ, les angles TBE , ΕΒΔ seront égaux aux trois angles TBA, ABE, ΕΒΔ. De plus, puisque l'angle ΔΒΑ est égal aux deux angles ABE, EBA , si l’on ajoute l'angle commun ΑΒΓ, les angles ABA, ABT seront égaux aux trois angles ABE, EBA , ABr. Mais on a démontré que les angles TBE, EBA leur sont égaux ; et les grandeurs égales à une méme grandeur sont égales entre elles; donc les angles TBE, EBA sont égaux aux angles ABA , ΑΒΓ; mais les angles ΓΒΕ, EBA sont deux angles droits; donc les angles ABA, ΑΒΓ sont égaux à deux droits. Donc, etc.
LE PREMIER LIVRE DES
IPOTAZIZ ιδ΄,
Ἐὰν πρός τινι εὐθείᾳ. καὶ τῷ τοῖς αὐτῇ σημείῳ, δύο εὐθεῖαι, μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ is κείμεναι. τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς 1 ἴσας ποιῶσιν. ἐπὶ εὐθείας ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι.
Πρὸς ΣΙ τινι εὐθείᾳ τῇ ΑΒ. καὶ τῷ πρὸς αὐτὴ UE τῷ B, δύο εὐθεῖαι αἱ BT, BA, ad ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ᾿κείμεναι. τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ABT, ABA δυσὶ ὀρθαῖς V ἴσως ποιείτωταν" λέγω ὅτι vm. εὐθείας ἐστὶ τῇ ΓΒ 4 BA.
Εἰ γὰρ μή ἐστι τῇ ΒΓ ἐπ εὐθείας ἡ ΒΔ, ἔστω τῇ TB ἐπὶ εὐθείας ἡ BE.
Α
i uf geo T B
5 ^ εὐθεῖαν τὴν TBE 5737 € 3} ς Y tQeoTWMey 5 ei ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ. ABE yoviai δυσὶν
» 2103 M . ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν" εἰσὶ δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ABT, ΑΒΔ
^ B5 » € » , Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ AB ἐπὶ
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 27
PROPOSITIO XIV.
Si ad aliquam rectam , et ad punctum in eà, dux rect» , non ad easdem partes posite, deinceps angulos duobus rectis equales faciant, in directum erunt sibi 1psis recto.
Ad aliquam enim rectam AE, et ad punctum in eá B, dux rect» BD, BA, non ad easdem ABA
duobus rectis æquales faciant; dico in direc-
partes posite, deinceps angulos ABT,
tum esse ipsi ΓΒ ipsam BA. Si enim non est ipsi BT in directum BA, sif ipsi TB in directum BE.
Quoniam igitur recta AB super rectam TBE insistit, ABT , ABE anguli duobus rectis æqua-
les sunt; sunt autem οἱ ABT, ABA duobus
PROPOSITION XIV.
Si à une droite, et à
un point de cette droite, deux droites, non placées du
méme côté font les angles de suite égaux à deux droits, ces deux droites seront
dans la méme direction.
Qu'à une droite AB, et à un point B de cette droite, les deux droites Br, BA, non placées du méme cóté, fassent les angles de suite ΑΒΓ, ABA égaux à deux droits;
je dis que BA est dans la direction de ΓΒ.
Car si BA n'est point dans la direction de Pr, que BE soit dans la direction
de ΓΒ (dem. 2 ).
Puisque la droite AB est placée sur la droite rBE, les angles ΑΒΓ; égaux à deux droits (15); mais les angles ΑΒΓ;
ABE sont ABA sont égaux à deux droits ;
38 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ne » € E e \ ^ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι" αἱ ἄρα ὑπὸ TBA, ABE ταῖς 3, » M 3 ὑπὸ ΓΒΑ, ΑΒΔ ἴσαι εἰσί. Koi ἀφῃρήσθω ἡ ὑπὸ ^ x € Li \ ^ nm € XN TBA* Aoryü apa n ὑπὸ ABE λοιπῇ τῇ ὑπὸ ABA TWO ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι. ὃ ἐστὶ ἐστὶν ἴση. "€ ὧν τῇ μείζονι. ὅπερ ἐστὶν E " 3229 » ie ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα ἐπὶ εὐθείας ἐστὶν ἡ BE τῇ BT. - el > M M ^ Ομοίως δὴ δείξομεν. ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν τῆς , E ΕΣ ε es \ 3} BA* ἐπὶ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ TB τῇ ΒΔ. Ἐάν epa; \ Ne: ^ rai τὰ ἑξῆς.
ΠΡΟΤΑΣΙΣ 4.
A , » e , > , A Ἐὰν δὺο εὐθεῖαι τέμνωσιν AAA, τὰς κᾶτα,
M » , , , κορυφὴν γωνίας 17246 αλλήλαις ποιησουσι-
Β
E ; :
Δύο yap εὐθεῖαι αἱ AB, TA τεμνετῶσαν aA
DJ , el. » > ^ €
λήλας κατὰ τὸ E σημεῖον" λέγω OTI ON ἐστὶν À σῷ € M € À € \
μὲν ὑπὸ AET γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΒ; ἢ d& ὑπὸ ΤῈΒ
»Ἥ € ^ τῇ ὑπὸ AEA.
rectis æquales; ergo ΓΒΑ, ABE ipsis ΓΒΑ, ABA æquales sunt. Communis auferatur TEA ; reliquus igitur ABE reliquo ABA est æqualis , minor majori, quod est impossibile. Non igitur in directum, est BE ipsi BT. Similiter autem ostendemus neque esse aliam quamdam præter BA; in directum igitur est IB ipsi BA. Si igitur, etc.
PROPOSITIO XV.
Si duæ recta sese secent, ad verticem angulos
æquales inter se facient.
A
r
Duæ enim recte AB, ΓΔ sese secent in E puncto; dico æqualem esse quidem AET an- gulum ipsi AEB, TEB vero ipsi AEA.
donc les angles rBA, ABE sont égaux aux angles TBA , ABA. Retranchons l'angle commun TBA , l'angle restant ABE sera égal à l'angle restant ΑΒΔ, le plus petit au plus grand; ce qui est impossible. BE n'est donc pas dans la direction de ΒΓ. Nous démontrerons semblablement qu'il n'y en a point d'autre excepté ΒΔ; donc IB est dans la direction de ΒΔ. Donc, etc.
PROPOSITION XV.
Si deux droites se coupent mutuellement, elles font les angles au sommet égaux entre eux.
Que les droites AB, TA se coupent mutuellement au point E ; je dis que l'angle AET est égal à l'angle 488, et l'angle rEB égal à l'angle ΑΕΔ,
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΕ ἐπὶ εὐθεῖαν τὴν ΤΔ ἐφέστηκε. γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ TEA, AEA* αἱ ἄρα ὑπὸ TEA , ΑΕΔ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσί. τιάλιν. ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ AE ἐπὶ εὐθεῖαν τὴν ΑΒ ἐφέστηκε. γωνίας ποιοῦσα τὰς ὑπὸ AEA, AEB* αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΕΔ. AEB γωνία, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ TEA, AEA δυσὶν ópBaic ἴσαι" αἱ ἄρα ὑπὸ TEA, AEA ταῖς ὑπὸ AEA, AEB ἴσαι εἰσί. Κοινὴ ἀφηρήσθω ἡ ὑπὸ AEA, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΤΕΑ λοιπῇ τῇ ὑπὸ BEA ἴση ἐστίν. Ομοίως δὴ δειχθήσεται. ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ TEB , AEA ἴσαι εἰσίν, Ἐὰν ἄρα δύο, καὶ τὰ ἑξῆς ".
IIPOTAZIZ «6
, ^ e Lo
Παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν προσεκέλη-
/ 1 CE \ / € / -“ 3 \ \ θείσης". ἡ ἐκτὸς γωνία ἑκατέρας τῶν ἐντὸς καὶ 3 / ^ 2 / 2 / ἀπεναντίον γωνιῶν" μείζων ἐστίν.
\ \ , Ἔστω τρίγωνον τὸ ABT, καὶ προσεκζεξλήσθω
^ M € 3 \ , Li αὐτοῦ μία πλευρὰ ἡ BT ἐπὶ τὸ À' λέγω ὅτι
29
Quoniam enim recta AE in rectam ΓΔ in- sistit angulos faciens TEA , AEA; ipsi TEA , AEA anguli duobus rectis æquales sunt. Rursus , quoniam recta AE in rectam AB insistit , angulos faciens AEA, AEB; ipsi AEA, AES anguli duobus rectis æquales sunt. Ostensi sunt autem et ΓΕΑ, ΑΕΔ duobus rectis æquales ; ergo ΓΕΑ, ΑΕΔ ipsis ΑΕΔ, AEB æquales sunt, Cormmunis auferatur AEA , reliquus igitur TEA reliquo BEA æqualis est. Similiter autem os- tendemus ct ΓΕΒ, AEA esse equales. Si
igilur duo, etc.
PROPOSITIO XVI.
Omnis trianguli uno laterum producto , exte- rior angulus utroque interiorum et oppositorum angulorum major est.
Sit triangulum ABT, et producatur ipsius
unum latus ΒΓ ad A; dico exteriorem angulum
. Car puisque la droite AE est placée sur la droite rA, faisant les angles TEA, AEA , les angles TEA, ΑΕΔ sont égaux à deux droits. De plus, puisque la droite AE est placée sur la droite AB, faisant les angles AEA, AEB, les angles ΑΕΔ, AEB sont égaux à deux droits. Mais on ἃ démontré que les angles TEA, AEA sont égaux à deux droits; donc les angles TEA, ΑΕΔ sont égaux aux angles ΑΕΔ, ΔΕΒ, Retranchons l'angle commun ΑΕΔ; l'angle restant TEA sera égal à
l'angle restant BEA. On démontrera semblablement que les angles TEB, ara sont égaux. Donc, etc.
PROPOSITION XVI.
Ayant prolongé un côté d'un triangle quelconque , l'angle extérieur est plus grand que chacun des angles intétieurs et opposés.
Soit le triangle ΑΒΓ, prolongeons le cóte ΒΓ vers Δ; je dis que l'angle
30 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
e e. € & D , 3 ἐκτὸς γωνία. ἡ ὑπὸ ATA, μείζων ἐστὶν ἑκα-
, ^ , M ASE 2 , ^ € \ τερᾶς τῶν ἐντὸς καὶ ATEVAYTIOP , τῶν ὑπο ΓΒΑ, BAT γωνιῶν,
a ε ^ M Τετμήσθω ἡ AT δίχα κατὰ τὸ E, καὶ ἐπι- n e » , > > >
ζευχθεῖσα ἡ BE ἐκξεξλήσθω ἐπὶ εὐθείας" ἐπὶ τὸ Ζ,
\ lod 3, ε Ἄν» Ξ καὶ κείσθω τῇ BE 101 Ἡ EZ , καὶ ἐπεζεύχθω 2 ZI,
καὶ διήχθω ἡ AT ἐπὶ τὸ H,
|
o
ἄν , e iu e A Ἐπεὶ οὖν ic" ἐστὶν ἡ μὲν AE τῇ ET, ἢ δὲ BE ^ \ \ e πῇ EZ, δὺο δὴ ai AE, EB δυσὶ ταῖς TE, EZ x - \ € , € , ^ , € € \ 4041 εἰσιν, εκατερῶ ἐκατερᾷ 5 καὶ γωνία ἡ ὑπὸ e € \ ” Ld ^ ^ \ ΑΕΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ZET ἴση ἐστὶ. κατὰ κορυφὴν lé , » € , ^ 37 EJ \ γάρ᾽ βάσις ἀρὰ " AB βάσει τῇ ZT Ion ἐστὶ 9 Ν ^ ^ , , Ἂς » καὶ τὸ ABE τρί, ὠνὸν τῷ ZET τριγώνῳ ἐστιν ἐσῸν5 Ν e D ! 9 καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταὶς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι 3! X e , e , € 59 4 » \ εἰσὶν» EHATEPA exarépeh, UQ ἂς αἱ ima πλευραὶ ε / » 3) » Ἂς Eie \ nm € LY ὑποτείνουσιν" io dpa ἐστιν ἡ ὑπὸ BAE τῇ ὑπὸ «P 1? € € M f» € M ETZ. Μείζων δὲ ἐστιν ἡ ὑπὸ ETA τῆς υπὸ EIZ:
ATA majorem esse utroque interiorum et opposi- torum ΓΒΑ, BAT angulorum.
Secetur AT bifariam in E, et juncta BE producatur in directum ad Z, οἱ ponatur ipsi BE equalis EZ, et jungatur ZT, et producatur AT ad H.
Ζ
FU dp 7\
H
Quoniam igitar equalis est quidem AE ipsi ET, BE vero ipsi EZ, duæ AE, EB duabus ΓΕ, EZ æquales sunt, utraque utrique , ct an- gulus AEB angulo ZET æqualis est, ad verti- cem enim est; basis igitur AB basi ZT æqualis est, et ABE triangulum ZET triangulo æquale est, et reliqui anguli reliquis angulis æquales sunt, uterque utrique, quos æqualia latera subtendunt; æqualis igitur est ΒΑΕ ipsi ETZ. Major autem est ΕΓΔ ipso ETZ; major est
extérieur ATA est plus grand que chacun des angles intérieurs et opposés TBA, BAT.
Partageons la droite Ar en deux parties égales en E (10); et ayant joint la droite ΒΕ, prolongeons-la vers Z, faisons Ez égal à ΒΕ (5), joignons la droite zr, et prolongeons ΑΓ vers H.
Puisque AE est égal à Er , et BE égal à Ez, les deux droites AE, ΕΒ sont égales aux deux droites rE, EZ, chacune à chacune; mais l'angle ΑΕΒ est égal à l'angle z&r (15), puisqu'ils sont au sommet; donc la base A5 est égale à la base zr (4); le triangle ABE est égal au triangle ZEr, et les angles restans, soutendus par les côtés égaux, sont égaux chacun à chacun; donc l'angle BAE est égal à l'angle Erz (not. 9) ; mais l'angle Era est plus grand que l'angle ΕΓΖ; donc l'angle Ara est plus grand
LE PREMIER LIVRE DES
Ext LJ € M μείζων ἄρα à ὑπὸ ATA τῆς ὑπὸ ΒΑΕ, Ὁμοίως δὲ, ; ; SD τῆς BT τετμημένης δίχα, δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ. τουτέστιν ἡ ὑπὸ ATA, μείζων καὶ τῆς
€ M M 3, Ν EE ὑπὸ ABT, Παντὸς ἀρὰ. καὶ τὰ Eme, HPOTAZIZ 1e
Παντὸς τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἶσι. πάντῃ μεταλαμξανόμεναι.
Ἔστω τρίγωνον τὸ ABI* λέγω ὅτι τοῦ ABT τριγώνου αἱ δύο γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσι.
iyi G 1 vat πάντη μεταλαμ' AVOIAEV EL
, ^ € , N \ Ἐκξεξλήσθω yàp ἡ BT ἐπὶ τὸ A. ΄ - , gue: "n Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ABT ἐκτός ἐστι γωνία L2 X " , EY RE. \ b ELI u ἡ ὑπὸ ATA, μείζων ἐστὶ Tic ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον. AA \ CCE e τῆς ὑπὸ ABT. Ko προσκείσθω ἡ ὑπὸ ATB' αἱ
ἄρα ὑπὸ ATA, ATB τῶν ὑπὸ ABT , ΒΓΑ μείζονές
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 31
igitur ATA ipso ΒΑΕ. Similiter autem, ΒΓ sectá bifariam, ostendetur et BTH , hoc est ATA, major etipso ABI. Omnis igitur, etc.
PROPOSITIO XVII.
Omnis trianguli duo anguli duobus rectis minores sunt, omnifariam sumpti.
Sit triangulus ABT ; dico ΑΒΓ trianguli duos angulos duobus rectis minores esse, omnifariam
sumptos.
A A
B
Producatur enim BT ad A.
Et quoniam trianguli ABT exterior est an- gulus ATA, major est interiore et opposito ABT, Communis addatur ΑΓΒ: ergo ΑΓΔ, ΑΓΒ Ipsis ΑΒΓ, ΒΓΑ majores sunt. Sed ATA, ΑΓΒ duobus
que l'angle ΒΔΕ. Si on partage le côté Br en deux parties égales, on démontrera semblablement que l'angle BTH, c'est-à-dire Ara , est plus grand que l'angle ΑΒΓ.
Donc, etc.
PROPOSIEETON EX VE
Deux angles d'un triangle quelconque , de quelque manière qu'ils soient pris,
sont moindres que deux droits.
Soit le triangle ΑΒΓ ; je dis que deux angles du triangle ΑΒΓ, de quelque manière qu'ils soient pris, sont moindres que deux droits.
Prolongeons Br vers Δ ( dem. 2 ).
Puisque l'angle Ar^ du triangle ΑΒΓ est extérieur , il est plus grand que l'angle iutérieur et opposé ABr (16). A joutons l'angle commun AT, les angles ΑΓΔ, ATB seront
32 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
εἰσιν. AAX ai ὑπὸ ATA, ΑΓΒ δύο ὀρθαὶς ἴσαι — rectis æquales sunt; ergo ΑΒΓ, ETA duobus
εἰσίν" αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ. ΒΓΑ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές rectis minores sunt. demus et BAT, ΑΓΒ duobus rectis minores
Similiter autem osten-
5 £ M / Ἵ \ e \ εἰσιν. Ὁμοίως δὴ" δείξομεν . ὑτικαὶ αἱ ὑπὸ BAT,
FES MAROC 177 , y ε - E ΑΓΒ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἶσι , καὶ ἔτι αἱ ὑπὸ esse, ct adhuc ipsos TAB , ΑΒΓ. Omnis - M » \ ve ^ s im TAB, ΑΒΓ, Παντὸς dpa , καὶ τὰ ἑξῆς. igitur, ctc.
DO PAXIS. 4. PROPOSITION XVIII.
\ ς ion j MERE . 3 . Παντὸς τριγώνου n μείζων πλευρὰ τὴν μεί- Omnis trianguli majus latus majorem an-
gulum subtendit.
- j e ? ζονα γωνίαν ὑποτείνεις Sit enim triangulum ABT, majus habens AT
, x 2 3 Εστω γὰρ © τρίγωνον τὸ ΑΒΤ μείζονα ἐχοὸν τὴν
AT πλευρὰν τῆς AB* λέγω ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ἰαΐας ipso AB; dico et angulum ABT majorem
ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ. esse Ipso ΒΓΑ.
esse SANAT. ON pe D
Quoniam enim major est AT ipsá AB, po- natur ipsi AB æqualis AA , et jungatur BA.
Et quoniam trianguli BDA exterior est an-
Ἐπεί γάρ μείζων ἐστὶν à AT τῆς AB, κείσθω τῇ AB ἴση à AA, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ BA.
Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΒΓΔ ἐπτός ἐστι γωνία gulus AAB, major est interiore et opposito ΑΓΒ.
ἡ ὑπὸ ΑΔΒ, μείζων ἐστὶ τῆς ἐντὸς καὶ ἀπε- Æqualis autem ΑΔΒ ipsi ABA, quia et latus AB
eX Eb » ROTE SUN ^ vavviov, τῆς ὑπὸ ATB* ion dt ἡ ὑπὸ ΑΔΒ τῇ
plus grands que les angles ΑΒΓ, ΒΓΑ, Mais les angles ATA, ATB sont égaux à deux
droits (15); donc les angles ΑΒΓ, BrA sont moindres que deux droits. Nous démon-
trerons semblablement que les angles Bar, ATB, et les angles TAB, ΑΒΓ sont moindres d 8 , ; 5 ἢ
que deux droits. Donc, etc. PROPOSITION XVHII.
Dans tout triangle, un plus grand côté est apposé à un plus grand angle.
Soit le triangle ΑΒΓ, ayant le côté ΑΓ plus grand que le côté ΑΒ; je dis que l'angle ΑΒΓ est plus grand que l'angle ΒΓΑ.
Puisque Ar est plus grand que AB, faisons AA égal à AB (5), et joignons Ba.
Puisque AAB est un angle extérieur du triangle Bar, cet angle est plus grand que l'angle intérieur et opposé ar? (16); mais l'angle ΑΔΒ est égal àl'angle ABA (5), parce
LE PREMIER LIVRE DES ὑπὸ ABA, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ AB τῇ AA ἐστὶν ἴση" μείζων ἄρα καὶ ἡ πὸ ΑΒΔ τῆς ὑπὸ ATB' πολλῷ ἄρα À ὑπὸ ΑΒΓ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ATB.
\ " , à \ Neg Παντὸς ἄρα τριγώνου καὶ τὰ ἑξῆς. ΠΡΟΤΑΣῚΣ /f. \ , CASE í , ε Παντὸς τριγώνου ὑπὸ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει. Ἑστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΑΒΓ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΒΓΑ" λέγω ὅτι καὶ πλευρὰ
à AT πλευρᾶς τῆς AB μείζων ἐστίν.
Β
^ M » » τ Ν ε ^ À E; yap p y "ror 101 ἐστὶν ἡ AT τῇ AB, 4 , , » ^ > » re »
ἐλάσσων" ἴση μενοῦν οὐκ ἔστιν à AT Ti ΑΒ" ic A » [d Y n ES pO CLAN
γάρ ἂν nv καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ABT τῇ ὑπὸ ATB* > » ^ » A » , \ € ^
οὐκ ἔστι δὲ οὐκ ἄρα Jan ἐστὶν n AT τῇ AB. Ww M > , 3 ε ^ > ,
Οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ AT τῇ ΑΒ" ἐλασσων
\ 3.9 \ d Οὐ je AN ^ € TX γάρ «v ἥν καὶ γωνία n ὑπὸ ABT τῆς ὑπὸ ATB.
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 33 ipsi AA est æquale; major igitur et ABA ipso ΑΓΒ; multo igitur ABT major est ipso ΑΓΒ.
Omnis igitur trianguli, etc.
PROPOS TT. DO X PX,
Omnis trianguli majorem angulum majus latus subtendit.
Sit triangulum. ABT, majorem habens ΑΒΓ angulum ipso ΒΓΑ ; dico et latus AT latere
AB majus esse.
T
Si enim non ; vel «qualis est AT ipsi AB, vel minor; æqualis quidem non est AT ipsi AB, equalis enim. esset et angulus ABT ipsi ΑΓΒ. Non est autem ; non igitur æqualis est AT ipsi AB. Neque tamen minor est AT ipsà AB ; minor
enim esset et angulus ΑΒΓ ipso ΑΓΒ; non est
que le côté ΑΒ est égal au côté A^ ; donc l'angle ΑΒΔ est plus grand que l'angle ΑΓΒ ; donc l'angle ΑΒΓ est beaucoup plus grand que l'angle Arv. Donc, etc.
PROPOSITION XIX.
Dans tout triangle, un plus grand cóté soutend un plus grand angle.
Soit le triangle ΑΒΓ, ayant l'angle ΑΒΓ plus grand que l'angle BrA; je dis que le côté 4r est plus grand que le côté ΑΒ.
Car si cela n'est point, Ar est égal à AB, ou plus petit. Mais AT n’est pas égal à AB, car alors l'angle ΑΒΓ serait égal à l'angle ArB(5) ; mais il ne l'est pas; donc Ar n'est pas égal à Ab. Le côté Ar n'est pas plus petit que le côté AB, car alors l'angle ΑΒΓ serait plus petit que l'angle ΑΓΒ (18); mais il ne l'est pas; donc le
5
34 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
CET à
Ovx e
, \ 4 > 2 5 Εδείχθη δὲ ὅτ, οὐδὲ ἴση ἐστί" μείζων ἄρα ἐστὶν
βὰν ας el 3δν SES το τς A. στι δὲ" οὐκ ape ελάσσων ἐστὶν ἡ AT τῆς AB. ἡ AT τὴς AB. Παντὸς ἄρα, καὶ τὰ ἑξῆς. IIPOTAZIZ' x;
M , ? \ ^ Ld Παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς ONE ; /
μείζονές εἶσι. πάντῃ μεταλαμᾷανόμεναι. \ j EcTw yap Tpi) &wyoy τὸ ΑΒΓ" λέγω ὅτι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές € ^ εἰσι. zovTS peraAauavaperat , αἱ μὲν BA, ^ € ^ € M AT τῆς BT, αἱ δὲ AB, BT τῆς AT, αἱ δὲ BT, TA τῆς AB.
Β
, \ e 9. \ LS X Διήχθω yap " ΒΑ ἐπὶ τὸ Δ σήμειον. καὶ ^ 5) € SEE ^ € κείσθω τῇ TA ἴση ἡ AA, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ AT. \ La L4 > \ € ^ L'A » Ἐπεὶ οὖν ἰσὴ ἐστιν ἡ ΔΑ τῇ AT , 104 ἐστι καὶ
HS Ne S ME 1 / y e γωνία a ὑπὸ AAT τῇ ὑπὸ ATA * μείζων epa ἢ
z \ r
autem ; non igitur minor est AT ipsà AB. Os- tensum est autem neque æqualem esse ; major
igitur est AT ipsà AB. Omnis igitur , etc. PROPOSITIO XX.
Omnis trianguli duo latera reliquo majora sunt, omnifariam sumta.
Sit enim tringulum ABD; dico ABT trian- guli duo latera reliquo majora esse , omni- fariam sumfpta; ipsa quidem BA , AT ipso ΒΓ, ipsa vero AB, BT ipso AT, et ipsa ΒΡ, ΓΑ
ipso AB.
Producatur enim BA ad A punctum, et po- natur ipsi ΓᾺ qualis AA, et jungatur AT. Quoniam igitur æqualis est AA ipsi AT,
æqualis est et angulus AAT ipsi ATA, major
côté AT n'est pas plus petit que le côté ΑΒ. Mais on a démontré qu'il ne lui est pas
égal ; donc ar est plus grand que 48. Donc, etc.
PROPOSITION
Deux côtés d'un triangle quelconque , de quelque manière qu’ils soient pris,
sont plus grands que le cóté restant.
Soit le triangle ΑΒΓ; je dis que deux côtés du triangle ΑΒΓ, de quelque manière qu'ils soient pris , sont plus grands que le côté restant; les côtés BA, AT plus grands que Pr ; les côtés AB, ΒΓ plus grands que Ar, et les côtés Br, TA plus
grands que ΑΒ.
Prolongeons BA vers ^ , faisons ΑΔ égal à TA , et joignons AT. Puisque AA est égal à Ar , l'angle ΑΔΓ est égal à l'angle ΑΓΔ (5); donc l'angle ΒΓΔ
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 35
ὑπὸ ΒΓΔ τῆς ὑπὸ AAT* καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ATB, μείζονα ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῆς ὑπὸ BAT, ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει. ἡ ΔΒ ἄρα τῆς ΒΓ ἐστὶ μείζων. Ion δὲ ἡ AA τῇ AT ^* μείζονες ἄρα αἱ BA, AT τῆς BT. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ai μὲν AB, ΒΓ τῆς TA μείζονές εἰσιν" αἱ δὲ BT , TA τῆς AB.
Παντὸς ἄρα , καὶ τὰ ἑξῆς, ΠΡΟΤΑΣΙΣ κα.
\ , οὐδε ^ ^ ^ OV h4 Eay Tpiyowou ἐπὶ μιᾶς TOV TTASUpOY ἀπὸ τῶν , , 3 D 5 \ L3 La περάτων δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συσταθῶσιν, αἱ συστα- DJ D ^ ^ , A ^ θεῖσαι τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευρῶν ἐλάσ-- S y n N / , covec μὲν ἔσονται. μείζονα δὲ γωνίαν περιέξουσι. , ^ ^ 5 ^ ^ ^ e Tpryovou γάρ τοῦ ABT ἐπὶ μίας τῶν πλευρῶν ^ > \ -Ὁ , e , 3 ev τῆς BT, ἀπὸ τῶν περώτων τῶν B, T , δύο εὐθεῖαι » \ , ε T. el ἐντὸς συνεστατωσαν αἱ ΒΔ. ΔΙ ^€yo 071 αἱ BA, \ ^ ^ ^ ^ + AT 7Acupui ᾿ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνου δύο πλευ- ^ ^ D / " N por τῶν BA, AT ἐλάσσονες μέν εἶσι. μείζονα δὲ
, I. M € M ^ e \ γωνίαν περιέχουσι, τῆν ὑπὸ BAT τῆς u7ro BAT.
utique est BTA ipso AAT; et quoniam triangulum est ATB, majorem habens ΒΓΔ angulumipso BAT, majorem autem angulum majus latus subtendit ; AB igitur ipsà BT est major; equalis autem AA ipsi AT; majores igitur BA, AT ipsà ΒΓ. Similiter aulem ostendemus et ipsas quidem AB, ΒΓ ipsà TA majores esse; ipsas vero BD, l'A ipsà AB.
Omnis igitur, etc.
PROPOSITIO XXI.
Si trianguli super uno laterum a terminis duz recle intus constituantur , constructs reliquis trianguli duobus lateribus minores quidem erunt, majorem vero angulum continebunt.
Trianguli enim. ABP super uno laterum BF, à terminis B, T, duæ rect» intus. constituantur BA, AT; dico BA, AT latera reliquis trianguli duobus lateribus BA , AT minora quidem esse, majorem vero angulum continere , ipsum BAT ipso BAT.
est plus grand que l'angle ΑΔΓ (not. 9); donc , puisque dans le triangle Ar, l'angle
TA est plus grand que l'angle Bar , et qu'un plus grand côté soutend un plus grand angle (19), le côté ΔΒ est plus grand que le côté Br ; mais AA est égal à Ar; donc les côtés BA, Ar sont plus grands que ΒΓ. Nous démontrerons semblablement que les côtés AB , Br sont plus grands que TA, et les côtés Br, rA plus grands que AB. Donc, etc.
PROPOSITION XXI.
Si des extrémités d'un des côtés d'un triangle, on construit intérieurement deux droites, ces deux droites seront plus petites que les deux côtés restans du ujangle , mais elles comprendront un plus grand angle.
Des extrémités B, r du côté ΒΓ du triangle ABr, construisons intérieurement les deux droites BA, Ar; je dis que les droites BA, Ar sont plus petites que les deux côtés restants BA, Ar, et qu'elles comprennent un angle Bar plus grand que l'angle Bar.
36 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Διήχθω γὰρ à BA ἐπὶ τὸ E.
Καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι. τοῦ ΑΒΕ ἄρα τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ * αἱ AB, AE τῆς BE μείζονές εἰσι" κοινὴ προσκείσθω à ΒΓ’ αἱ ἄρα BA, AT τῶν BE, EF μείζονές εἶσι. Πάλιν. ἐπεὶ τοῦ TEA τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ αἱ TE, EA τῆς ΓΔ μείζονές εἶσι. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΔΒ’ αἱ TE, EB ἄρα τῶν TA, ΔΒ μείζονές εἶσιν. Αλλὰ τῶν BE, ET μείζονες ἐδείχθησαν αἱ ΒΑ. AT* πολλῷ ἄρα αἱ BA, AT τῶν BA, AT μείζονές εἰσι-
Β
, » \ \ , eu. \ ,
| Παλιν. ἐπεῖ παντὸς τριγώνου d εκτὸς γωνία
^ , A \ 3 , à” , ,
τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον μείζων ἐστί. rou TAE f , € M 7 e ε M ,
ἄρα τριγώνου ἡ ex voc γωνία Ἡ ὑπὸ BAT μείζων
3 ἊΝ ^ € M M ^ , 3 \ ^
ἐστί τῆς ὑπὸ TEA, Aia ταῦτα τοίνυν Ó? καὶ TOU , EI ^ , € € \ ,
ABE τρέγώνου ἡ ἐκτὸς yuviæ ἢ ὑπὸ TEB μείζων , \ lod e \ ^ e M "5
ἐστὶ τῆς ὑπὸ BAT. AAAZ τῆς ὑπὸ ΤῈΒ μείζων
φ' 6 M ^ f €. : € \ ,
ἐδείχθη ἡ ὑπὸ BAT* πολλῷ ἄρα ἡ ὑπὸ BAT μεί-
3 Ν ^4 € \ \ E \ A C ^ ζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ BAT. Ἐὰν epa, καὶ τὰ ἑξῆς.
Prolongeons BA vers E.
Producatur enim BA ad E.
Et quoniam omnis trianguli duo latera reliquo majora sunt, ABE trianguli duo latera AB, AE ipso BE majora sunt. Communis addatur ET ; ergo BA, ΑΓ ipsis BE, ET majores sunt. Rursus, quoniam TEA trianguli duo latera TE, EA ïipso TA majorasunt; communis addatur AB ; ergo lE, EB ipsis TA, AB majores sunt. Sed ipsis BE, ET majores ostense sunt BA, AT;
multo igitur BA, ΑΓ ipsis BA, AT majores sunt.
Rursus, quoniam omnis trianguli exterior angulus interiore et opposito major est, ΓΔΕ trianguli exterior angulus BAT major est ipso TEA. Propter cadem utique et ABE trianguli exterior angulus TEB major est ipso BAT. Sed ipso TEB major ostensus est BAT ; multo igitur
BAT major est ipso ΒΑΓ. Si igitur, etc.
Puisque deux cótés d'un triangle quelconque sont plus grands que le cóté res- tant (20), les deux côtés AB, AE du triangle ABE sont plus grands que le côté BE; donc si nous ajoutons la droite commune ΒΓ, les droites BA, ΑΓ seront plus grandes que ΒΕ; Er. De plus, puisque les deux côtés ΤΕ, EA du triangle TEA sont plus grands que ΓΔ, si nous ajoutons la droite commune a5, les droites TE, EB seront plus grandes que r^, AB; mais on a démontré que les droites BA, AT sont plus grandes que ΒΕ, Er ; donc les droites BA, Ar sont beaucoup plus grandes que ΒΔ, ΔΙ.
De plus, puisqu'un angle extérieur d'un triangle quelconque est plus grand qu'un des angles intérieurs et opposés (16), l'angle Bar, qui est un angle exté- rieur du triangle AEr , est plus grand que l'angle ΓΕΔ. Par la même raison l'angle TEB, qui est un angle extérieur du triangle ABE, est plus grand que l'angle Bar ; mais il a été démontré que l'angle Bar est plus grand que l'angle ΓΕΒ ; donc l'angle BAT est beaucoup plus grand que l'angle Bar. Donc, etc.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 37
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HPOTAZIZ #6. PWOPOSITIO. ΧΧ ΤΙΣΙ
Ἐκ τριῶν εὐθειῶν , αἵ εἶσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς Ex tribus rectis , qua sunt æquales tribus d'ileloasc eüDelaic τὸ τρίγωνον συστήσασθαι" δεῖ δὴ datis rectis , triangulum constituere; oportet πὰς δύο τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι, πάντη μ:τα- autem duas reliquà majores esse, omnifariam λαμβανομένας. διὰ τὸ καὶ παντὸς τριγώνου. sumptas, quia et omnis trianguli duo latera
τὰς δύο πλευρὰς τῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι. reliquo majora sunt, omnifariam surmpta.
πάντη μεταλαμξανομένας *.
Ἑστωσαν αἱ δοθεῖσαι τρεῖς εὐθεῖαι αἱ A, B,T, Sint datæ tres recte A, B, T', quarum due ὧν αἱ do τὴς λοιπῆς μείζονες ἔστωσαν. πάντῃ reliquá majores sint, omnifariam sumptz , ipsæ μεταλαμ(ανόμενει» αἱ μὲν A,B TücT , αἱ δὲ A,T quidem A, B ipsà T, 1pse vero À, T ipsá B, et τῆς B, καὶ ἔτι αἱ B,T τῆς A* dei dà ἐκ τῶν ἴσων denique ipsæ B, T ipsà A ; oportet igitur ex reclis
ESCAS BUT τρίγωνον συσχήσασθαι- ge qualibus ipsis A, B, T triangulum constituere.
A B r Li Ἐκκείσθω τις εὐθεῖα à AE , πεπερασμένη μὲν Exponatur aliqua recta AE , terminata quidem
κατὰ τὸ À, ἄπειρος δὲ κατὰ τὸ Ἐ" καὶ κείσθω τῇὸ ad Δ, infinita vero ad E; et ponatur ipsi quidem μὲν À ἴση 4 ΔΖ, τῇ δὲ Β ἴση ἡ ΖΗ, τῇ δὲ T ἴσι Α qualis AZ, ipsi vero B æqualis ΖΗ, et ipsi T
PROPOSITION .XXII.
Avec trois droites qui sont égalesà trois droites données , construire un triangle: il faut que deux de ces trois droites, de quelque manière qu'elles soient prises , soient plus grande que la troisième ; parce que deux côtés d'un triangle, de quelque manière qu'ils soient pris, sont plus grands que le troisième.
Soient données les trois droites A, B, r, dont deux, de quelque manière qu'elles soient prises, soient plus grandes que la troisième ; les droites A, B plus grandes que r; les droites A , r plus grandes que P, et enfin les droites B, r plus grandes que A ; il faut, avec trois droites égales aux droites A , B, r, construire un triangle.
Soit la droite AE, terminée en ^ , et indéfinie en E; faisons la droite az égale à la droite A (prop. 3), la droite za égale à la droite B, et la droite Ho égale à
38
ε E , \ e
3 HO* καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Z , διαστήματι δὲ τῷ ^ 5 e - \
ZA, κυκλος 9 ey pae 0 AKA* καὶ παλιν. κέντρῳ ^ ^ M n
piro τῷ H, διαστήματι δὲ 3 τῷ HO, κύκλος
εγράφθω ὁ KAO , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ KZ, K
γεγράφθω c » καὶ ἐπεζευχύωσαν αἱ KZ, ΚΗ"
T; e » ^ > re ^ 4 ^
2:0 OTI ἐκ τριῶν εὐθειῶν. τῶν ἴσων ταῖς À, B,
LA \ T, τρίγωνον συνέσταται * τὸ KZH.
T
ur PALOS: cd τὸ H σημεῖον πεντρον ἐστὶ TOU AKO κύκλους y AUS AME ica ἐστὶν ἡ HO τῇ ΗΚ’ ἀλλὰ ἡ HO τῇ T ἐστὶν m . ͵ ^ , No» Y \ ἴση" καὶ ἡ KH dpa τῇ T ἐστὶν ion. Ἐστι δὲ καὶ LU E] 3, 3 D € à LH τῇ B ἴση" αἱ Tpeis ἄρα evbeles αἱ KZ, ZH, -" Ν "^ 3 , ᾿ HK, τρισὶ ταῖς A, B, T σαι eicir. PME , ^ T r ἔνα Ex τριῶν ἄρα εὐθειῶν τῶν ΚΖ, ZH, HK, αἱ εἰσιν y ἘΣ τὸ Si T ἴσαι τρισὶ τοῖς δοθείσαις εὐθείαις ταῖς A, BT,
A , Ἂ τρίγωνον συνίσταται τὸ KH. Οπερ ἔδει ποιῆσαι,
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
æqualis HO ; et centro quidem Z, inter- vallo vero ZA, circulus describatur AKA; et rursus, centro quidem H M intervallo vero HO, circulus describatur ΚΑΘ, et jungantur KZ, KH ; dico ex tribus rectis , aequalibus ipsis A ,
B, T, iriangulun constitutum esse KZH,
Quoniam igitur Z punctum centrum est AKA circuli, æqualis est ZA ipsi ΖΚ ; sed ZA ipsi A est æqualis; et KZ igilur ipsi A est æqualis. Rursus, quoniam H punctum centrum est AKO circuli , æqualis est HO ipsi HK; sed HO ipsi Γ est aequalis; οἱ KH igitur ipsi T est equalis. Est autem et ZH ipsi B zqualis; tres igitur rect KZ, ZH, HK tribus A, B, T' equales sunt.
Ex tribus igitur rectis KZ, ZH, HK, qua sunt equales datis rectis A , B, T, triangulum cons-
titum est KZH. Quod oportebat facere.
la droite r; du centrez et de l'intervalle z^ décrivons le cercle AKA (dem. 5); et de plus du centre H et de l'intervalle Ho décrivons le cercle δκθ, et joignons KZ, KH; je dis que le triangle KZH cst construit avec trois droites égales aux droites A, B, T.
Car puisque le point z est le centre du cercle AKA , ZA est égal à zx (def. 15); mais ZA est égal à A; donc Kz égal à A. De plus, puisque le point H est le centre du cercle Axe, Ho est égal à HX ; mais HO est égal à r; donc ΚΗ est égal à r. Mais ΖΗ est égal à B; donc les trois droites KZ, ZH, HK sont égales aux trois droites A, B, T. MA
Donc le triangle KZH a été construit avec trois droites KZ, ZH, HK , qui sont égales aux trois droites données A, 5, r. Ce qu'il fallait faire.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 39
. IPOTAEXIZ zy.
Πρὸς τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ, καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ. τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγρόμμῳ ἴσην γω- νίαν εὐθύγραμμον συστήσασθαι.
Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ AB, τὸ δὲ πρὸς αὐτῇ σημεῖον τὸ A, n δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύ- γράμμος ἡ ὑπὸ ATE: δεῖ δὴ πρὸς πῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ. τῇ AB, καὶ τῷ πρὸς ἀυτὴ σημείῳ τῷ À, τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ ὑπὸ ΔΙῈ ἴσην
γωνίαν εὐθύγραμμον συστήσασθαι.
E
PROPOSITIO. XXIII.
Ad datam rectam, et ad punctum in cá, dato angulo rectilineo æqualem angulum recü- lineum constituere. 1
Sit quidem data recta AB , in δὰ vero
punctum À, et datus angulus rectilineus ATE ; oportet igitur ad datam rectam AB, et ad punctum in eà A, dato angulo rectilineo ATE
æqualem angulum rectilineum constituere.
Γ E
ANE Roe ; Ὁ , Εἰλήφθω ἐφ᾿ εκατεραᾶς τῶν ΓΔ. TE τυχοντὰ m V N o9 P € EE) σήημείω πὰ A, Ἐς καὶ ἐπεζεύχθω ἡ AE* καὶ ex Ld , ^ e 3 L4 \ Dd τριῶν εὐθειῶν. αἵ εἰσιν ται τρίσι ταῖς TA, AE; , ^ er » Δ᾽ PES τρίγωνον συνεστάτω τὸ ALH , στε σὴν εἰναι X M ^ \ M ^ N xy τὴν μὲν TA τῇ AL, τὴν δὲ IE τῇ AH, καὶ ἔτι Y x τὴν AE τῇ ZH.
H B
Sumantur in utráque ipsarum ΓΔ, l'E quzlibet puncta A, E, et jungatur AE ; et ex tribus rectis, quæ sunt æquales tribus ΓΔ, AE, ΓΕ, triangulum constituatur AZH , ita ut æqualis sit TA quidem ipsi AZ, ipsa vero TE ipsi AH , et denique AE ipsi ZH,
PROPOSITION XXIII.
A une droite donnée, et à un point de cette droite, construire un angle recti- ligne égal à un angle rectiligne donné.
Soient donnés la droite AB, et un point A dans cette droite ; que 4TE soit l'angle rectiligne donné; il faut à la droite donnée ΑΒ et au point A de cette droite, construire un angle rectiligne égal à l'angle rectiligne donné ΔΓΕ.
Soient pris , dans l'une et l'autre des droites ΓΔ, TE, deux points quelconques ^, E, joignons AE, et avec trois droites égales aux droites TA , AE, TE, construisons
le triangle ΑΖΗ ( 22), de manière que ra soit égal à Az, TE égal à AH, et ΔῈ égal à ZH.
4o LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Ἐπεὶ οὖν ' δύο ai AT , TE δυσὶ ταῖς ZA, AH ἴσαι sli, ἑκατέρα © edi καὶ βάσις ἡ AE Cases τῇ ΖΗ ἴση" γωνία ἄρα à ὑπὸ ATE γωνίᾳ τῇ ὑπὸ LAH ἐστὶν ἴση.
x
\ 4 ^ ^ Πρὸς ἄρα τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ AB, καὶ τῷ
; M ΕΣ ^ , ^ ^ a} , , 3 πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ A, τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυ-
, ^ € \ » > ^ γράμμῳ τῇ ὑπὸ ATE 161 oria εὐθύγραμμος
συνίσταται ἡ ὑπὸ ΖΑΗ. Οπερ ἔδει ποιῆσαι. IIPOTAZXIZX xd",
\ , , Y "m \ EU
Ἐὰν δύο mpra τὰς δύο Ke ταῖς δυσὶ ευραῖς ἴσας ἔχῃ. ἑκατέραν ἑκατέ ipa, τὴν δὲ s τῆς γωνίας μείζονα ἔχη τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων
HE: nv* καὶ τὴν Ca σιν τῆς βάσεως
, ' \ Ecrw duo τρίγωνα τὰ ABY, AEL, Tac δύο n ΔΕῚ VIN Δ ^ = πλευρὰς Tac ΑΒ. AT ταῖς δυσὶ ad ταῖς AE, ΔΖ ἴσας ἔχοντας © «πατε ἔραν EXATE po τὴν \ m \ μὴν AB τῇ AE, τὴν δὲ AT τὴ ΔΖ. ε M , e € ^ I ^ ” , v7 0 BAT γωνίας τῆς ὑπὸ EAZ μείζων στῶ" λέγ
γωνία δὲ ἡ
/
e Ν « LA ^ 4 5 ὅτι καὶ βάσις à BT βάσεως τῆς EL μείζων ἐστίν.
Quoniam igitur due AT, TE duabus ZA,
AH æquales sunt, utraque utrique , et basis AE basi ZH æqualis, angulus utique ATE angulo ZAH cest æqualis.
Ad datam igitur rectam AB , et ad punctum in eà A, dato angulo rectilineo ATE, æqualis angulus rectilineus constitutus est ZAH. Quod oportebat facere.
PROPOSITIO XXIV:
Si duo triangula duo latera duobus lateribus æqualia habeant , utrumque utrique, angulum autem angulo majorem habeant, qui ab æqua- libus lateribus continetur; et basim basi majorem habebunt.
Sint duo triangula ABT , ΔΕΖ, duo latera AB, AT duobus lateribus AE, AZ «qualia ha- bentia, utrumque utrique, AB quidem ipsi AE, AT vero ipsi AZ, et angulus BAT angulo ΕΔΖ major sit; dico et basim ΒΓ basi EZ majorem
esse.
Puisque les deux droites Ar, TE sont égales aux deux droites za, AH, chacune
à chacune, et que la base ΔῈ est égale à la base ΖΗ;
l'angle ΖΑΗ (8).
l'angle ArE sera égal à
Donc à la droite AB, et au point A de cette droite, on a construit l'angle rec- tiligne zAH égal à l'angle reculigne are. Ce qu'il fallait faire.
PROPOSITIONXXLDV
Si deux triangles ont deux cótés égaux, chacun à chacun, et la base de l'un plus grande que la base de l'autre, ils auront les m compris entre les cótés
égaux plus grands l'un que l'autre.
Soient les deux triangles ΑΒΓ, ΔΕΖ, ayant les deux côtés AB, AT égaux aux deux
côtés AE, AZ,
chacun à chacun, le côté AB égal au côté AE, et le côté Ar égal au
côté ΔΖ; que l'angle Bar soit plus grand que l'angle ΕΔΖ; je dis que la base Br est
plus grande que la base ΕΖ.
LE PREMIER LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
A , > "^ CEE ^ Ἐπεὶ yap μείζων ἐσ]ὶν ᾿ἡ ὑπὸ BAT γωνία τῆς e M H a \ ^ , ὑπὸ EAZ γωνίας. συνεστάτω πρὸς τῇ AE εὐθείᾳ, X b \ , ^ ^ e. € \ καὶ TO πρὸς eui? σημείῳ TQ A, τῇ ὑπὸ BAT 137 eN em Ἢ Ν / € , -“Ξ γωνίᾳ ἰσὴ n uzro ΔΗ " καὶ κείσθω οποτεράτῶν AT,
AZ ἴση à AH, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ EH, ZH.
Α
Β
Ld » \ LL \ e € M Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν n μὲν AB τῇ AE, 3 de AT Ν SIE e S Po τῇ AH, δύο δὴ αἱ BA, AT δυσὶ ταῖς EA, AH » . \ PIC AN ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα ἑκατέρᾳ y καὶ γωνία m ὑπὸ BAT σῶν, ELA = » , / , » c γωνίᾳ τῇ ὑπὸ EAH ion eoTi** βασις ἄρα » ΒΓ , [a » δ »Μ , > Ny » N € (άσει τῇ EH ἐστὶ" ἴση. Πάλιν. ἐπεὶ ἰσὴ ἐστὶν ἢ ^ » etre \ , ^-€ \ ΔΖ τῇ AH, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΖῊ γωνία τῇ ὑπὸ e » LE \ e € \ AHZ* μείζων ἄρα 3070 AZH, τῆς ὑπὸ EHZ, c os \ ce € M m € M πολλῳ ἄρα μείζων ἐστὶν à ὑπὸ EZH τῆς ὑπὸ EHZ* 2 \ ^s \ / » \ Καὶ ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστι τὸ ΕΖΗ μείζονα εἐχὸν τὴν ε ^ € \ € \ M \ 2*5 ὑπὸ EZH γωνίαν τῆς ὑπο EHZ* υπὸ δὲ τὴν μείζονα / € 19 We , / 3, Ν.1 γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει" μείζων ot pet καὶ LEA) D M € D 19 πλευρὰ ἡ EH τῆς ΕΖ. Ion δὲ ἡ EH τῇ BI* μείζων
" \ τῷ \ ῃ 2 ΝΥΝ Ὁ 5 5. ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῆς EZ. Ἐὰν ἀρα δύο, καὶ τὰ εξῆς.
, ,
41
Quoniam enim major est BAT angulus EAZ angulo, constituatur ad AE rectam, et ad punctum in eà A, ipsi BAT angulo ; qualis ΕΔΗ ; et ponatur alterutri ipsarum AT, AZ æqualis AH, et jun- gantur EH , ZH.
Δ
Quoniam igitur æqualis est AB quidem ipsi AE, AT ipsa vero ipsi AH, duæ utique BA, AT duabus EA, AH æquales sunt , utraque utrique, et angulus BAT angulo ΕΔΗ æqualis est; basis igitur BT basi EH est equalis. Rursus, quoniam aequalis est AZ ipsi AH, equalis est et AZH angulus lpsi AHZ ; major igitur AZH ipso EHZ; multo igitur major est ΕΖΗ ipso ΕΗΖ. Et quoniam trian- gulum est ΕΖΗ, majorem habens EZH angulum ipso ΕΗΖ ; majorem autem angulum majus latus subtendit ; majus igitur et latus EH ipso EZ. Æquale autem EH ipsi BD; majus igitur et BI ipso EZ. Si igitur duo, etc.
Car puisque l'angle ΒΑΓ est plus grand que l'angle ΕΔΖ, construisons sur la
droite AE, etau point A de cette droite, un angle EAH égal à l'angle Bar (25); faisons la droite AH égale à l’une ou à l'autre des droites Ar, Az (5), et joignons EH, ΖΗ.
Puisque AB est égal à AE, et Ar à ΔΗ, les deux droites BA, Ar sont égales aux deux droites E^ , AH, chacune à chacune ; mais l'angle Bar est égal à l'angle EAH ; donc la base Br est égale à la base EH (4). De plus, puisque az est égal à aH, l'angle AzH est égal àl'angle Anz (5); donc l'angle azH est plus grand que l'angle ΕΗΖ; donc l'angle EZH est beaucoup plus grand que l'angle ΕΗΖ ; et puisque ΕΖΗ est un triangle , ayant l'angle Ezu plus grand que l'angle EHZ, et qu'uu plus grand côté soutend un plus grand angle (19), le côté EH est plus grand que le côté rz; mais EH est égal à ΒΓ; donc le côté ΒΓ est plus grand que le côté Ez. Donc, etc.
6
4a LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IPOTAEXIEX ze,
\ , , \ UR M Ἐὰν dvo τρίγωνα τὰς δύο πλευρᾶς ταῖς δυσὶ ev L4 2. ε ^ € , M \\ 2 πλευραῖς σὸς txyw., exoaepay EXATEPA 9 τὴν δὲ Caci τῆς βάσιως μείζονα ἤχη "" καὶ τὴν γωνί 6 ἕως μείζονα 09 2* καὶ τὴν γωνίαν - ῃ ; " MORMCMS 1 à TAG γωνίας μείζονα t£ 3 TAY ὑπὸ τῶν 1GGY εὐθειῶν ἢ περιεχομενήν, , , \ Ἑστω δύο τρίγωνα τὰ ABT, ΔΕΖ. τὰς δύο B M M - πλεύρεῖς τας AB AT ταὶς δυσὶ πλευραῖς Tai p » e P e AE, AZ σας ἐχόντα. εκατεραν ἑκατέρᾳ. τὴν A ^ M μὲν AB τῇ AE, τὴν δὲ AT τῇ AZ: (σις δὲ ἡ BT ^ e L » e ζάσ:ως τῇς EZ μείζων ἔστω" λέγω CTI καὶ γωνία
δν | \ , ^ € % ^ , ΄ Ἵ ὑπὸ BAT γωνίας τῆς ὑπὸ EAZ μείζων ἐστιν
Α
jade
B
5 M à x 37 , X 2 ^ À 3 , ' Εἰ yap Mn, aT0) 102 ἐστὶν αὐτῇ. ἢ ἐλάσσων » ὅς » » eile 24 ἃ ἘΠ᾽ ἢ ITA μένουν οὑκ ἐστιν Ἡ ὑπὸ BAT * 75 υπὸ EAZ, 9 , » 5 \e , € , - σὴ yap av nv * καὶ ἡ βώσις ἡ BT βάσει τὴ EZ*
» >! \ E »! » > \ DETTES QUX εστι δὲ" ουκ epa ITA ἐστι γῶν 4 ὑπο
PROPOSITIO ΧΧΥ.
Si duo triangula duo latera duobus lateribus æqualia habeant, utrumque utrique, basim autem basi majorem habeant; et angulum angulo
majorem habebunt , qui ab aequalibus rectis
* continetur.
Sint duo triangula ABT, ΔΕΖ, duo latera AB, AT duobus lateribus AE, AZ æqualia habentia; utrumque ulrique, AB quidein ipsi AE, AT vero Ipsi AZ, basis autem BP basi EZ major sit;
dico ct angulum BAT angulo EAZ majorem esse.
>
E Z
Si enim non, vel æqualis est ei, vel minor; equalis autem. non est BAT ipsi ΕΔΖ, æqualis enim essel et basis BT basi EZ; non est autem ;
non igilur æqualis est angulus BAT ipsi ΕΔΖ.
PROPOSITTONUXEX V:
Si deux triangles ont deux cótés égaux , chacun à chacun, et la base de l'un plus grande que la base de l'autre, ils auront les angles compris entre les côtés
égaux plus grands l'un que l'autre.
Soient deux triangles ΑΒΓ, AEZ, ayant les deux côtés AB, AT égaux aux deux
côtés AE , AZ, chacun à chacun, le côté AB égal au côté AE, et le côté Ar égal au
^
plus grand que l'angle Eaz.
côté Az ; que la base ΒΓ soit plus grande que la base Ez ; je dis que l'angle ΒΑΓ est
e
Car si cela n'est point, il lui est égal, ou il est plus petit; mais l'angle BAT n'est pas égal à l'angle Eaz, car alors la base Br seroit égale à la base EZ (4) ; mais elle ne l'est point; donc l'angle BAT n'est pas égal à l'angle EAz. Mais l'angle Bar
LE PREMIER LIVRE DES
e € \ 5v A , , , Ν εε M BAT τῇ ὑπὸ ΕΔΖ. Οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν 9 ὑπὸ
e € M , [4 M ^ Ld N
BAT τῆς ὑπὸ EAZ 7, ἐλάσσων "yap cy av ὃ καὶ re € ^, e , f M 3 »
Caric n BT ἔάσεως τῆς EZ* οὐκ ἔστι δὲ" οὐκ ἀρῶ
» , 3 \ ee V / e M ελασσὼν ἐστὶν ἢ ὑπὸ BAT γωνία τῆς ὑπὸ EAZ.,
ς , NM ues 2€ 3 X ἐστιν ἢ U770
Ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδ᾽ ἴση" μείζων ἄρα
BAT ? τῆς ὑπὸ ΕΔΖ. Εὰν ἄρα δύ". καὶ τὰ ἑξῆς. HPOTAXEXIZ xg.
Y , , \ , , Dy * Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο γωνίας ταὶς δυσὶ f, JA »" € , € , ἊΝ , γωνίαις ἰσᾶς ty, επατερῶν EXATEPA, καὶ μίαν À \ re ^M» P ^ ^ \ TAcUQUy JUL πλευρᾷ ἴσην. ἤτοι ^ τὴν πρὸς ταῖς » , » A [3 € \ , “ 45246 γωνίαις. À τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν 5) Ll N M ^ X LU “σῶν γώνιων" καὶ τὰς λοπός «λευρᾶς ταῖς = NES dE e , ς , λοίπαιὶς πλευραὶς TAG εζει. EHATEPAY ἐκατερᾷ 5 à M ^ , ^ re , καὶ τὴν λοιπὴν γῶνίαν τὴ λοιπὴ γωνίᾳ. 1 , , ^ \ Ἔστω ὁ δὺο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ. ΔΕΖ , τὰς δύ , \ € M \ ^ € \ Vo γωνίας τὰς ὑπὸ ABT, ΒΓΑ δυσὶ ταῖς ὑπὸ 3) 1 € ^ ε [4 \ ΔΕΖ. ΕΖΔ ἴσας ἔχοντα. EXATEPAY EAATEPA , ity A € \ € € \ M MEE \ ^ pv υπὸ ABT τῇ ὑπὸ ΔΕΖ. "av δὲ ὑπὸ BTA Ti € \ , , \ \ , N " ὑπὸ ἘΖΔ' εχεέτω je καὶ μιαν πλευρὰν Mac
^» , \ \ eov πλευρᾳ isa" TPOTEPOY 5 “Τὴν σρος πταςς σαῖς
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 43 Neque tamen minor est BAT ipso ΕΔΖ, minor enim esset et basis ΒΓ basi EZ ; non est autem ; non igitur minor est BAT angulus ipso EAZ. Ostensum est autem neque æqualem esse; major igitur est
BAT ipso EAZ, Si igitur duo, etc.
PROPOSITIO XXVI.
Si duo triangula duos angulos duobus angulis equales habeant, utrumque utrique, et unum latus unilateri equale, vel quod est ad equales angulos, vel quod subtendit unum æqualium angulorum ; ct reliqua latera reliquis lateribus aequalia habebunt , utrumque utrique, et reli- quum angulum reliquo angulo.
Sint duo triangula ABT, ΔΕΖ, duos angulos ABL, ΒΓΑ duobus AEZ, ΕΖΔ æquales habentia , utrumque utrique, ABI quidem ipsi ΔΕΖ, ΒΓΑ vero Ipsi EZA, habeant autem et unum latus uni lateri æquale ; primum , quod est ad æquales
angulos , ipsum BT ipsi EZ; dico et reliqua latera
n'est pas plus petit que l'angle Eaz , car alors la base ΒΓ serait plus petite que la base EZ (24); mais-elle ne l'est point; donc l'angle Bar n'est pas plus petit que l'angle EAZ. Mais on a démontré qu'il ne lui est pas égal; donc l'angle Bar est plus grand que l'angle EAz. Donc, etc.
PROPOSILION/XXVI.
Si deux triangles ont deux angles égaux, chacun à chacun, et un côté égal à un côté, ou celui qui est adjacent aux angles égaux, ou celui qui est opposé à un des angles égaux , ils auront les autres cótés égaux, chacun à chacun, et l'angle restant égal à l'angle restant.
Soient les deux triangles ΑΒΓ, AEZ, ayant les deux angles APT, ΒΓΑ égaux aux deux angles ΔΕΖ, ΕΖΔ, chacun à chacun, l'angle ΑΒΓ égal à l'angle ΔῈΖ, et l'angle ΒΓΑ égal à l'angle Eza ; que ces deux triangles aient aussi un cóté égal à un côté, et d'abord celui qui est adjacent aux angles égaux, le côté Br égal au
44 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
γωνίαις τὴν BT τῇ EZ* λέγω ὅτι καὶ τὰς λοιπὰς πλευρὰς παὶς λοιπαῖς πλευραΐὶς ἴσας ἕξει. ἐκα-- τέραν ἑκατέρᾳ , τὴν μὲν ΑΒ τῇ ΔΕς τὴν δὲ AT τῇ AZ, καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ. τὴν ὑπὸ BAT τῇ ὑπὸ EAZ.
Εἰ γὰρ ἄνισός ἔστιν ἡ AB τῇ ΔΕ. μία αὐτῶν μείζων ἐστίν *, Ἐστω μείζων ἡ AB, καὶ κείσθω τῇ
AE ion ἡ BH καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ.
A
H/\
w € s» » ^ ε \ ^ ε A Ἐπεὶ οὖν ἰσὴ ἐστὶν 4 μὲν BH τῇ AE, à δὲ ΒΓ Và \ \ " Tj EZ, δύο δὴ αἱ BH, BT δυσὶ ταῖς AE , EZ ἴσαι y x e , e ΄ \ ! e eA εἰσιν. εκατερὰ exa ipa, καὶ γωνία n ὑπὸ HBT 7 nm € \ » » Ζ , | € Joviæ τῇ ὑπὸ AEZ ie" ἐστὶ" βάσις apa 4 HT , e » , ^ Ἂς M , ^ Baca τῇ AZ icu ec T) , καὶ τὸ HBT τρίγωνον τῷ , » 2 Ν \ \ , ΔΕΖ τριγώνῳ σον ἐστι 3 , καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι D: e , » LA € > à e» ταῖς λοιπαὶς γωνίαις ἴσαι ἔσονται 5, ὑφ᾽ ἃς αἱ ἴσαι τ \ € , » M e E ἐδ , Theupas ὑποτείνουσιν" Ion et pet ἡ ὑπὸ HTB ywvia € δ \ N Li € X ^ ε \ Th ὑπὸ ALE. AAAa ἡ ὑπὸ AZE τῇ ὑπὸ ΒΓΑ
€ , » e. € M » ^ € N ὑποόκεται 1°" καὶ n ὑπὸ BTH aa τῇ vao ΒΓΑ
reliquis lateribus æqualia habitura esse, utrumque utrique, AB quidem ipsi AE, AT vero ipsi AZ, et reliquum angulum reliquo angulo, BAT ipsi ΕΔΖ.
Si enim inæqualis est AB ipsi AE, una carum major est. Sit major AB, et ponatur ipsi AE
equalis BH, et jungatur HT.
E Ζ
Quoniam igitur æqualis est BH quidem ipsi AE, BT vero ipsi EZ, duæ utique BH, ΒΓ duabus AE , ΕΖ equales sunt , utraque utri- que, et angulus HBP angulo AEZ æqualis est; basis ifitur HT basi AZ equalis est , ct ΗΒΓ triangulum AEZ triangulo æquale est, et reliqui anguli reliquis angulis æquales erunt, quos aequalia latera subtendunt; æqualis igitur ΗΓΒ angulus ipsi ΔΖΕ. Sed ΔΖΕ ipsi ΒΓΑ po-
nitur equalis; igitur et ΒΓΗ͂ ipsi BT A equalis est,
cóté ΕΖ; Je dis qu'ils auront les autres cótés égaux aux autres cótés, chacun
à chacun, le côté AB égal au côté ΔῈ, le côté Ar égal au côté az, et l'angle
j A PS 2 27 sq Low τς a ; restant égal à l'angle restant, l'angle BAr égal à l'angle Eaz.
Car si le cóté AB n'est pas égal au cóté AE, l'un d'eux est plus grand que l’autre. Soit ΑΒ le plus grand ; faisons BH égal à AE (5), et joignons Hr.
Puisque BH est égal à AE, et ΒΓ égal à Ez, les deux côtés BH, ΒΓ sont égaux
aux deux côtés AE, EZ, chacun à chacun; mais l'angle HBr est égal à l'angle AEZ; donc la base Hr est égale à la base az (4); le triangle HBr est égal au triangle ΔΕΖ, et les angles restants, soutendus par les côtés égaux, seront égaux aux angles restants; donc l'angle ΗΓΒ est égal àl'angle 4ZE ; mais l'angle ΔΖΕ est supposé
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
M e 5 , ^ , e ?»n/ ἴση ἐστὶν. ἡ ἐλάσσων τῇ μείζονι. περ ἀδύνατον. f EJ ΄ ε - » » Οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν 4 AB τῇ AE* 564 apa. Ἐστιὶ M X e -“ 9, , M t \ ^ δὲ καὶ ἡ BI τῇ EZ $72, duo δὴ αἱ AB, BT δυσὶ CS » $5 € , € , \ ταῖς AE, EZ σα! εἰσὶν. exaTepa exeTepa, Καὶ ACER AN RSEN > LEONE , γωνία a ὑπὸ ABT γωνία Ta ὑπὸ AEZ ἐστιν ἴση ζάσες » € , - » , \ \ \ ape n AT Baca τὴ AL icu ἐστι. καὶ λοιπῇ γωνία «€ \ ^ ^ m € \ 72 , 2 76 BAT Til? λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ἘΔ2 ἴση ἐστίν. A M , LA € € \ A » Αλλαὰ δὴ παλιν. ἐστωσαν αἱ ὑπὸ τῶς ITA H Xie , » € V 3e ^ γωνίας πλευραὶ υποτείνουσαι ἴσα! , ὡς ἡ ΑΒ Til , ^. e \ b \ AE* λεγὼ Fa hu, OTI καὶ αἱ λοιπαὶ πλευρᾶι ταῖς m o» »! € \ ^ λοιπαῖς πλευραῖς 1024 ἐσονται. ἡ μμὲν AT τῇ AZ, CES] ^ Nx € \ , CIC ἡ di BT τῇ EZ, καὶ ἔτι ἡ λοιπὴ γωνία h ὑπὸ ^ ^ , e € \ 5, , , ΒΑΓ τῇ λοιπὴ γωνίᾳ 8 Ti ὑπὸ EAZ ien ἐστίν. E] ^ LA , 5 € $9 re , , ^ E: yep AVITOS ἐστιν 8 ΒΓ 7à EZ, μία αὐτῶν > / "t N ε μείζων ἐστίν. Ἐστω μείζων. εἰ δυνατὸν, ἡ ΒΤ τῆς SIE, ἢ 2 sise S EZL'^, καὶ κείσθω τῇ EL ion n ΒΘ. καὶ ἐπε- , ε ζεύχϑω ἡ ΔΘ. EL) Ny 3 Ν * M ^ € M Καὶ ἐπεὶ 10a ἐστὶν ἡ μὲν BO τῇ EZ, à δὲ AB e P. NN ER τῇ AE, duc δὴ ai AB, BO δυσὶ ταῖς AE, EZ i 3 3 3 » sax € , € , ^ , » σαι εἰσιν, ἐκάτερα EXATEPA, soa γωνίας “τᾶς
, ΄ » ε , = περιεχουσι" Basic pa ἡ ΑΘ Care τῇ ΔΖ ἴση
,
45 minor majori , quod impossibile. Non igitur inz- qualis est AB ipsi AE ; equalis igitur est. Estautem οἱ BP ipsi EZ æqualis, duæ utique AB, BP duabus AE, EZ equales sunt, utraque utrique, et an- gulus ΑΒΓ angulo ΔΕΖ est æqualis; basis igitur AT basi AZ «qualis est, et reliquus angulus BAT reliquo angulo EAZ æqualis est.
Sed et rursus , sint ipsa equales angulos latera subtendentia æqualia , ut AB ipsi AE; dico rursus et reliqua latera reliquis lateribus aequalia futura esse , AT quidem ipsi AZ, BT vero ipsi EZ, et adhuc reliquum angulum BAT reliquo angulo ΕΔΖ æqualem esse.
$1 enim inzqualis est BT ipsi EZ, una earum major est. Sit major, si possibile est, ΒΓ ipsä EZ , et ponatur ipsi EZ æqualis BO , et jun- gatur AO.
Et quoniam æqualis est BO quidem ipsi EZ, AB vero ipsi AE, du: ulique AB, BO duabus AE, EZ equales sunt, utraque utrique, et an-
gulos equales continent; basis igitur AO basi AZ
égal à l'angle £r4 ; donc l'angle BrH est égal à l'angle ΒΓΑ, le plus petit au plus
grand , ce qui est impossible ; donc les cótés AB , AE ne sent pas inégaux ; donc
ils sont égaux. Mais Br est égal à Ez ; donc les deux cótés 4B, Br sont égaux aux deux côtés ΔῈ, EZ, chacun à chacun ; mais l'angle ΑΒΓ est égal à l'angle Azz ; donc la base Ar est égale à la base Az (4), et l'angle restant Bar est égal à l'angle restant EAZ.
l us, ótés sés aux angles égaux soient égaux , óté Mais de plus, que les cótés oppo X angles égaux soient égaux , le cót AB égal au côté AE; je dis que les côtés restants seront égaux aux côtés restants, le côté Ar égal au côté az , et le côté Br égal au côté ΕΖ, et que l'angle restant BAT
Ὁ ? o yel est égal à l'angle restant ΕΔΖ.
Car si le cóté Br n'est pas égal au cóté zz , l'un d'eux est plus grand que l'autre; que ΒΓ soit plus grand que Ez , s'il est possible ; faisons ΒΘ égal à Ez ( 5) , et joi- gnons ΔΘ.
Puisque ΒΘ est égal à EZ , et AB égal à AE, les deux cótés ΑΒ, ΒΘ sont égaux aux deux cótés AE, EZ, chacun à chacun; mais ces cótés comprennent des angles égaux ; donc la base ΑΘ est égale à la base az (4); le triangle ΑΒΘ est égal au
Ν \ , lod , v ἐστὶ. καὶ τὸ ABO τρίγωνον τῷ AEZ τριγώνῳ (cov » \ \ € N / em D 7 ἐστὶ. καὶ αἱ ACTE γωνίαι ταῖς λοιπαὶς γωνίαις M » € > À e» Not 1904 ἔσονται UO ὡς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν" 5! 5! E \ PCR | RUE i7» epa ἐστιν n ὑπὸ BOA γωνία τῇ ὑπὸ EZA,
Nice Sus CIN AGIS \ y \ AAAz à ὑπὸ ELA τῇ ὑπὸ BTA ἐστὶν 164° καὶ ἢ € \ | € \ » \ » H \ , v7 o BOA ἄρα TA umo BTA ἐστίν ion Ü* τριγώνου
A ^ € δὴ τοῦ AGT ἡ
^ 5 ^ ἣν Ti £YTOS παι
3 \ / e € M 37) , \ εκτὸς γῶν!α Ἡ ὑπὸ BOA ion ἐστι
e re 77 p
NEUE ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ BIA,
3 , 5 L4 v , , e ^ αδύνατον. Ovx ἄρα ἄνισός ἐστιν à BT τῇ EZ, 7 » M N € ^ , p ἴση ἄρα, Ἐστι δὲ καὶ à AB τῇ AE ἴσηο" δύο δὴ αἱ Ν D » 9. N € , AB, BT δυσὶ ταῖς AE, EZ ἴσαι eI y ἐκατερα e ^ ^ , 5) , , 4 EXATEPA, καὶ γωνίας ἰσᾶς περιέχουσι" βάσις ἄρα ε , ^ *» 3 \ Ν b , ἡ AT Caves τῇ ΔΖ σὴ ἐστι 5 καὶ TO ABT τρίγωνον ^ , » \ \ 14 , e € X τῷ LEZ τρήγῶνῳ σὸν, καὶ λοιπὴ Ÿ γῶνία ἡ ὑπὸ AN ^ / Αἱ ἃ A » 1 SN esf BAT τῇ λοιπῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ EAZ ion 5. Ἐὰν ape
δύο. καὶ τὰ ἑξῆς, 2 ?
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
æqualis est, et triangulum ΑΒΘ triangulo AEZ æquale est, et reliqui anguli reliquis angulis æquales erunt , quos æqualia latera subtendunt ; aequalis igitur est B@A angulus ipsi ΕΖΔ. Sed EZA ipsi BTA est æqualis; et BOA igitur 1psiBTA est equalis; trianguli igitur AOT. exterior an- gulus BOA æqualis estinteriori et opposito BTA,
quod est impossibile. Non igitur inæqualis est
A
B Z
BT ipsi EZ; æqualis igitur. Est autem et AB ipsi AE æqualis ; duæ igitur AB, ΒΓ duabus AE, EZ equales sunt, utraque utrique, el angulos equales continent ; basis igitur AT basi AZ æqualis est, et triangulum ABT triangulo AEZ aequale, et reliquus angulus BAT reliquo angulo
EAZ æqualis. Si igitur duo, ctc.
wiangle ΔΕΖ, et les angles restants, opposés aux côtés égaux, seront égaux aux angles restants, chacun à chacun ; donc l'angle B@A est égal à l'angle Eza ; mais l'angle Eza est égal àl'angle ΒΓΑ ; donc l'angle B@A est égal à l'angle ΒΓΑ ; donc l'angle extérieur 504 du triangle Aer est égal à l'angle intérieur et opposé Bra; ce qui est impossible (16) ; donc les cótés Br, Ez ne sont pas inégaux ; donc ils sont égaux. Mais le côté AB est égal au côté AE ; donc les deux côtés AB, ΒΓ sont égaux aux deux côtés AE, EZ , chacun à chacun ; mais ces côtés comprennent des angles égaux ; donc la base ir est égale à la base az (4); le triangle ΑΒΓ est égal au triangle AEZ, et langle restant Bar égal à l'angle restant Eaz. Donc, etc.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 47
HPOTAZIXZ κζ΄.
Ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ. παράλ- ληλοι ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖάι.
Εἰς γὰρ δύο εὐθείας τὰς AB, ΓΔ εὐθεῖα ἐμ- πίπτουσα ἡ EZ, τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ REZ παράλληλός ἐστιν ἡ AB τῇ TA",
^ 1 e ELA ἴσας ἀλλήλαις ποιείτω" λέγω ὅτι
PROPOSITIO XXVII.
Si in duas rectas recta. incidens alternos an- gulos æquales inter se faciat, parallele. erunt inter se rectæ.
In duas enim rectas AB, TA recta incidens EZ, alternos angulos AEZ , ΕΖΔ «quales inter se
faciat; dico parallelam esse AB ipsi A,
E \ Sy » ,
Er yap un, ἐκξαλλόμεναι αἱ AB, TA συμ- ^ 5! DEN \ , $2355. \ πεσουνται. ἤτοι ἐπὶ Ta BA pépn, 9 ἐπὶ τὰ AT,
/ N , \ \ Ἐχξεβλήσθωσαν . καὶ συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τὰ ΒΔ # \ N pepn κατὰ τὸ H, , N ^ €05 \ , CONETEX Ὑριγώνου δὴ τοῦ EHZ ἡ ἐκτὸς γωνία ἢ ὑπὸ 5 5» \ m» \ NS Ἢ e EME AEZ icu ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπενάντίον τῇ ὑπὸ 2 e » \ , , »! € EZH ^, ὕπερ ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ ἄρα αἱ AB,
> , L2 , M TA ἐκζαλλόμεναι συμπέσουνται ἐπὶ τὰ ΒΔ
PROPOSITION
Si enim non, productæ AB, ΓΔ, convenient vel ad BA partes, vel ad AT; producantur, et
conveniant ad-BA partes in H.
Trianguli igitur EHZ exterior angulus AEZ æqualis est interiori el opposito EZH , quod est impossibile; non igitur AB, FA producta con-
venient ad BA partes. Similiter autem osten-
XXVII.
Si une droite tombant sur deux droites fait les angles alternes égaux enti'eux ,
ces deux droites seront parallèles.
Que la droite Ez tombant sur les deux droites AB, TA fasse les angles alternes ΔΕΖ. EZA égaux entr'eux; fe dis que la droite AB est parallèle à la droite ra.
Car si elle ne lui est pas parallèle, les droites AP,
TA étant prolongées se
rencontreront , ou du côté ΒΔ, ou du côté Ar. Qu'elles soient prolongées, et qu'elles se rencontrent du cóté BA , au point H.
L'angle extérieur AEZ ds triangle EHz est égal à l'angle intérieur et opposé EZH , ce qui est impossible (16); donc les droites AB, r^ prolongées du côté ΒΔ ne se rencontreront point. On démontrera de la méme manière qu'elles ne se ren-
48 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Y
, x , el 2 \ E pip. Ομοίως δὴ δειχθήσεται . ὅτι οὐδὲ ἐπὶ τὰ detur neque ad AT; quie autem in neutras ε M2? \ , ^ , - AT* αἱ δὲ ἐπὶ μηδέτερα τὰ μέρη συμπίπτουσαι, parles conveniunt, parallele sunt; parallela παράλληλοί εἰσι" παράλληλος ἀρα ἐστὶν ἡ ΑΒ igilur est AB ipsi TA. Si igitur in duas, etc.
E NE E , NO LIE EC me τῇ TA, Ἐὰν ἄρα εἰς δύο, καὶ τὰ ἑξῆς.
HPOTAZIZ xz. PROPOSITIO XXVIII.
Ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὴν Si in duas rectas recta incidens exteriorem an- ἐκτὸς γωνίαν τῇ ἐντὸς παὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπὶ — gulum interiori et opposito et ad easdem partes τὰ αὐτὰ μέρη ἴσην ποιῇ, ἢ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ &qualem faciat, vel interiores et ad easdem partes LI μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιῇ "" παράλ- duobus rectis equales faciat; parallele erunt ληλοῖ ἔσονται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι. inter se rectæ.
Eic y2p δύο εὐθείας τὰς AB, TA εὐθεῖα ἐν- In duas enim rectas AB, ΓΔ recta incidens
À
πίπτουσα à EL TAY ἐπτὸς γωνίαν Tiv ὑπὸ E EZ exteriorem angulum EHB interiori et oppo-
HB τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ^ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ HOA sito, angulo HOA æqualem faciat, vel inte-
A x / B
uS
' \ » \ - .
ἴσην ποιείτω. ñ τὰς ἐντὸς xs) ἐπὶ τὰ αὐτὰ riores et ad casdem partes 1psos ΒΗΘ, HOA » ἐσ:
z
b ; — duobus rectis equales; dico parallelam esse AB
zs
μέρη τὰς ὑπὸ BHO, HOA ducs
A250 CTI παράλληλός ἐστιν 4 AB τῇ TA. 1psi ΓᾺΔ.
ρϑαῖς
contrerout pas non plus du cóté Ar ; mais les droites qui ne se rencontrent d'aucun côté sont parallèles ( déf. 55); donc la droite A5 est parallèle à la droite ra.
Donc , etc.
PROPOSITION XXVILL
Si une droite tombant sur deux droites fait l'angle extérieur égal à l'angle intérieur, opposé, et placé du même côté, ou bien si elle fait les dices intérieurs et placés du méme côté égaux à deux droits, ces deux droites seront parallèles.
Que la droite Ez tombant sur les droites AB, ra fasse l'angle extérieur EHB égal à l'augle intérieur Hoa , opposé, et placé du méme cóté , ou bien les angles ΒΗΘ, ΗΘΔ intérieurs , et placés du méme côté, égaux à deux droits; je dis que la droite AB est parallele à la droite ra.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ EHB τῇ ὑπὸ HOA, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ EHB τῇ ὑπὸ AHO ἐστὶν ἴση. καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστὶν ἴση" καὶ εἰσιν ἐναλλάξ" παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AB τῇ TA.
Πάλιν, ἐπεὶ αἱ ὑπὸ BHO , ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶν. εἰσὶ δὲ καὶ ai ὑπὸ AHO , ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι" αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΗΘ. ΒΗΘ ταῖς ὑπὸ ΒΗΘ. ΗΘΔ ἴσαι εἰσί. Κοινὴ ἀφυρήσθω ἡ ὑπὸ BHO, Aci ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΗΘ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΗΘΔ ἐστὶν ἴση" καί εἶσιν ἐναλλάξ" παράλληλος ἄρα
, \ e ^ \ » » , ^ ^ ἐστὶν ἡ AB τῇ ΓΔ. Ἐὰν ἄρα εἰς δύο, καὶ τὰ ἑξῆς.
ΠΡΟΥΤΑΣΙΣ κθ΄.
" ^ ph 2 , H εἰς Tac παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖα ἐμπί- ; à \ , ; TTOUTE TAG τε ἐναλλὰξ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις D ^ M > ^ —^- 9 M \ *, ποιεῖς. καὶ τὴν ἐκτὸς τῇ EVTOC καὶ ἀπεναντίον. NL 3: ὅς \ SEEN , " H \ A > A À καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ Mépu icu y καὶ τὰς εὐτὸς παὶ » \ \ 3 \ , A > ^ »” ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη duci ὀρθαῖς ἴσας.
Εἰς γὰρ παραλλήλους £uÜciac τὰς AB , TA
΄
49
Quoniam enim zqualis est EHB ipsi ΗΘΔ, sed ΕΗΒ ipsi ΑΗΘ est zqualis , et ΑΗΘ igitur ipsi HOA est æqualis ; et sunt alterni ; parallela igitur est AB ipsi TA.
Rursus , quoniam anguli BHO , ΗΘΔ duobus rectis equales sunt, sunt autem anguliAHO, BHO duobus rectis equales; ergo ΑΗΘ, BHO ipsis BHO, HOA æquales sunt. Communis auferatur BHO ; reliquus igitur AHO reliquo HOÀ est æqualis ; et sunt alterni ; parallela igitur est AB
ipsi FA. Si igitur in duas , etc. PROPOSITIO XXIX.
' In parallelas rectas recta incidens, et alternos angulos equales inter se facit, et exteriorem inte- riori et opposito et ad easdem partes qualem , eL interiores et ad easdem partes duobus rectis z quales.
In parallelas enim rectas AB, ΓΔ rec!a incidat
εὐθεῖα ἐμπιπτέτω. ἡ EL' λέγω ὅτι τάς TV — EZ, dico eamalternos angulos ΑΗΘ, HOA zquales
Car puisque l'angle ERB est égal à l'angle ΗΘΔ; et que l'angle EHB est égal à l'angle ΑΗΘ (15), l'angle ΑΗΘ est égal à l'angle ΗΘΔ ; mais ces angles sont alternes ; donc la droite ΑΒ est parallèle à la droite rA (27).
De plus, puisque les angles ΒΗΘ, ΗΘΔ sont égaux à deux droits, et que les angles ΑΗΘ, BHO sont aussi égaux à deux droits (15), les angles ΑΗΘ; BHO seront égaux aux angles ΒΘΗ, ΗΘΔ. Retranchons l'angle commun ΒΗΘ ; l'angle restant ΑΗΘ sera égal à l'angle restant ΗΘΔ ; mais ces deux angles sont alternes ; donc la droite AB est parallèle à Ja droite ΓΔ. (27). Donc, etc.
PROPOSITION XXIX.
Une droite qui tombe sur deux droites parallèles, fait les angles alternes égaux entr'eux , l'angle extérieur, égal à l'angle intérieur opposé et placé du méme côté, et les angles intérieurs placés du méme côté, égaux à deux droits.
Que la droite Ez tombe sur les droites parallèles AB, r4; je dis que cette droite fait les angles alternes AH©, ΗΘΔ égaux entr'eux , l'angle extérieur EnB, égal à
7
5o , ι , \ € \ E ἐναλλὰξ γωνίας τας ὑπὸ ΑΗΘ. HOA ica;
- D > A / \ εν ^ σοι. καὶ τὴν ἐκτὸς γωνίαν τὴν ὑπὸ EHB τῇ 9 M \ » , ^ , \ \ > \ , H £YTOS καὶ ἀπεναντίον καὶ ἐπι τὰ αὑτὰ EPA” c
\ » Ν \ 3 \ SUCRE \ Th ὑπὸ HOA 16h, καὶ τὰς ἐντὸς καὶ ἐπί Ta
ἀντὰ μέρη τὰς ὑπὸ ΒΗΘ, ΗΘΔ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας.
: ARE πὸ: e o Es ydp &viecc ἔστιν n ὑπὸ ΑΗΘ τῇ uzc HOA, ; MM DM ; Di e μία αὐτῶν μείζων tvTiv. EST μείζων à ὑπὸ ^ \ » ^ , € € N ΑΗΘ τῆς ὑπὸ HOA*. Κοινὴ προσκείσθω ἢ uo € P e ἣ, ^ < ^ BHO* αἱ apa υπὸ AHO , BHO τῶν ὑπὸ BHO, e M HOA μείζονές εἰσιν. Αλλα᾽ αἱ ὑπὸ ΑΗΘ. BHO m u r ε f € ^ δυτὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν" ai ἀρα ὑπὸ BHO, , ΕῚ ^ 5 , , , € M ^ ΕῚ ΗΘΔ dVo ὀρϑῶν ἐλάσσονες εἶσιν. Αἱ δὲ ἀπ e E ^ , , E ἑλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν ἐκξζαλλόμεναι εἰς ἄπειρον , ^ , συμπίπτουσιν" αἱ apa ΑΒ. ΓΔ ἐκζαλλόμεναι εἰς
Μ ^ r7 3 / dt d ^ πτερὸν συμπεσουνται ου συμπίπτουσι t£, 01a
mM
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
facere , et exteriorem angulum EHB interiori et opposito et ad easdem partes HOA zqualem , et interiores ad easdem partes BHO, HOA duobus
rectis equales.
Si enim inæqualis est ΑΗΘ ipsi HOA , unus corum major est; sit major AHO ipso ΗΘΔ. Com- munis addatur BHO ; ergo AHO , BHO ipsis BHO, HOA majores sunt. Sed ΑΗΘ, BHO duobus rectis æquales sunt ; et igitur BHO , HOA duobus rectis minores sunt. Recte autem a minoribus quam duobus rectis productæ in infinitum con- currunt. Jpsæ igitur AB, TA productæ in infi- nitum concurrent; non autem concurrunt, quia
parallele ponuntur; non igitur inæqualis est ΑΗΘ 8
΄ 3 » net .ς ἢ alre σοὶ ᾿ τὸ παραλλήλους ἀντὰς ὑποκεῖσθαι" οὐκ ἄρα 1051 HOA; equalis igitur.
Ü ΕΣ e \ - € » ΕΣ » ἄνισός ἐστιν n ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ HOA" ion pat.
l'angle ΗΘΔ intérieur opposé et placé du méme côté, et les angles ΒΗΘ, ΗΘΔ intérieurs et placés du méme cóté, égaux à deux droits.
Car si l'angle AH© n'est pas égal à l'angle ΗΘΔ, l'un d'eux est plus grand. Que l'angle ΑΗΘ soit plus grand que ΗΘΔ. Ajoutons l'angle commun £46, les angles AHO , BHO seront plus grands que les angles ΒΗΘ, ΗΘΔ ; mais les angles ΑΗΘ, BHO sont égaux à deux droits (15); donc les angles ΒΗΘ; ΗΘΔ sont moindres que deux droits. Mais si deux droites sont prolongées à linfini du cóté oü les angles intérieurs sont plus petits que deux droits, ces droites se rencontrent (dem. 5); donc les droites ΑΒ, r^ prolongées à l'infini se rencontreront. Mais elles ne se rencontreront pas, puisqu'elles sont parallèles; donc les angles 4&6,
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 5:
Αλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῇ ὑπὸ ἘΠ ἐστὶν ἴση" καὶ ἡ ὑπὸ ἘΗΒ ἄρα Tij ὑπὸ ΗΘΔ ἐστὶν ἴση.
Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΒΗΘ’ αἱ ἄρα ὑπὸ EHB, BHO ταῖς ὑπὸ BHO, ΗΘΔ ἴσα, εἰσίν, Αλλὰ αἱ ὑπὸ EHB, ΒΗΘ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσί" καὶ αἱ ὑπὸ BHO, ΗΘΔ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι
> / 5! E \ = , \ \ ton εἰσίν. H apa eic τὰς παραλλήλους, καὶ τὰ eC uc. IDP OT Ax
Ai τῇ αὐτῇ εὐθείᾳ παράλληλοι καὶ ἀλλήλαις εἰσὶ παράλληλοι,
Eco ἑκατέρα τῶν AB, TA τῇ EZ παράλ- ληλος" λέγω ὅτι καὶ ἡ AB τῇ TA ἐστὶ παράλ- AñAoc.
Ἐμπιπτέτω γὰρ εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ HK,
I K
ΑΗΘ τῇ ὑπὸ HOZ. Πάλιν. ἐπεὶ εἰς τὰς map-
Sed AHO ipsi EHB est equalis; et EHB igitur ipsi HOA cst æqualis.
Communis addatur BHO ; ergo EHB, BHO ipsis ΒΗΘ, HOA æquales sunt. Sed ΕΗΒ, BHO duobus æquales sunt ; et ΒΗΘ, ΗΘΔ
lgitur duobus
rectis rectis æquales sunt. Ergo in
parallelas , etc.
PROPOSITIO XXX.
Quz eidem recte parallele sunt , et inter se
sunt parallela. Sit utraque ipsarum AB, ΓΔ ipsi EZ paral- lela ; dico et AB ipsi ΓΔ esse parallelam.
Incidat enim in ipsas recta HK.
à
Et quoniam in parallelas rectae AB , EZ recta incidit HK , equalis est ΑΗΘ ipsi HOZ. Rursus
quoniam in parallelas rectas EZ, ΓΔ recta in-
ΗΘΔ ne sont point inégaux ; donc ils sont égaux. Mais l'angle AHe est égal à l'angle EHB (15); donc l'angle EHB est égal à l'angle Rea.
Ajoutons l'angle commun ΒΗΘ, les angles EHB, BHO seront égaux aux angles BHO, ΗΘΔ; mais les angles EHB, BHO sont égaux à deux droits (15) ; donc les angles ΒΗΘ, ΗΘΔ sont égaux à deux droits. Donc, etc.
PROPOSITION XXX.
Les droites parallèles à une méme droite sont parallèles entr'elles. Que chacune des droites AB , ΓΔ soit parallèle à Ez ; je dis que AB est paralléleà rz. Que la droite HK tombe sur les droites AB, ra.
55
LE PREMIER LIVRE DES αλλήλους" εὐθείας τὰς EL, TA εὐθεῖα ἐμ- πέπτωκεν ἡ ΗΚ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ HOZ τῇ ὑπὸ HKA. ἘΕδείχθη δὲ καὶ 4 ὑπὸ AHK τῇ ὑπὸ ΗΘΖ ἴση. Καὶ ἡ ὑπὸ AHK ἄρα τῇ ὑπὸ ΗΚΔ ἐστὶν ἴση" καὶ εἶσιν ἐναλλ ἀξ. Παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ LA.
* "5 ^ ^ , \ \ con Ai ἄρα τῇ ἀυτῇ εὐθείᾳ". καὶ τὰ ἑξῆς. IIPOTAZIZ λαά.
^ , , ^ Διὰ τοῦ δοθέντος σημείου". τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ RE . Y. yy M. 3 L^ παραλλήλον cuJej&Y γραμμὴν ἀγσαγτινς ἊΜ \ = ς Ectw τὸ μὲν δοθὲν σημεῖον τὸ A , M δὲ As Mm τῆτες Ὁ C SE CUM i δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΒΓ’ dei d'a, διὰ τοῦ À σημείου, ^ , Li 35) ὦ M Th BT εὐθείᾳ παραλλῆλον εὐὐταν γραμμήν
ἀγαγεῖν.
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
cidit HK , æqualis est HOZ ipsi HKA. Ostensus est autem et AHK 1051 HOZ æqualis ; AHK igitur ipsi HKA est æqualis; et sunt alterni. Paral- lela igitur est AB ipsi TA. Quz igitur eidem recte , etc.
PROPOSITIO XXXI.
Per datum punctum , datæ recte parallclam rectam lineam ducere.
Sit quidem datum punctum A, data vero recta ΒΓ ; oportet igitur , per A punclum , ipsi
ΒΓ rectæ parallelam rectam lineam ducere.
‘
œ
A
Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς BT τυχὸν σημεῖον τὸ Δ,
ε hy \ ^ καὶ ἐπεζεύχθω n ΑΔ' καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΑ
Sumatur in BT quodlibet punctum A4, et jun- gatur AA ; et constituatur ad AA rectam , et ad
Puisque la droite HK tombe sur les droites parallèles AB, Ez, l'angle Ane est
égal à l'angle Hez (27). De plus, puisque la droite ΗΚ tombe sur les droites paral- leles Ez , r^, l'angle Hez est égal à l'angle HKA (28). Mais on a démontré que l'angle AHK est égal à l'angle ΗΘΖ ; donc l'angle AHK est égal à l'angle HKA ; mais ces angles sont alternes; donc AB est parallèle à ΓΔ (29). Donc, etc.
BROPOSITION XXXL
Par un point donné, condüire une ligne droite parallèle à une droite donnée.
Soit A le point donné, et Br la droite donnée ; il faut par le point 4 conduire une ligne droite paralléle à la droite ΒΓ.
Prenons sur Ja droite ΒΓ un point quelconque 4, et joignons 44 ; construisons
LE PREMIER L!VRE DES εὐθείᾳ. καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ À, τῇ ὑπὸ AAT γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ AAE* καὶ ἐκξεξλήσθω ἐπὶ εὐθείας τῆς EA εὐθεῖα ἡ AZ.
Καὶ ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας τὰς BT , EZ εὐθεῖα ἐμπίπτουσα" ἡ ΑΔ τὰς ἐναλλὰξ γωνίας τὰς ὑπὸ EAA , AAT ἴσας ἀλλήλ ec πεποίηκε Β παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ EZ τῇ BT.
Διὰ τοῦ δοθέντος ἄρα σημείου τοῦ À , τῇ δὸ- θείσῃ εὐθείᾳ τῇ ΒΓ παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ
ἧἥκται ἡ EAZ° ὕστερ ἔδει ποιῆσαι. HIPOTAXIZX λβ΄.
Παντὸς τριγώνου μιᾶς τῶν πλευρῶν mpocex- 7 CAMS \ / \ ὅν} 9 Y s (ληθείσης , ἡ ἐκτὸς γωνία duci ταῖς ἐντὸς καὶ
γ Ÿ. L4 ΕΣ , \ LR X € , ἀπεναντίον ἴση ἐστί" καὶ αἱ ει τὸς τοῦ Tpi vou E) Apa. s
τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Α
Β
EcTo τρίγωνον τὸ ΑΒΓ. καὶ προσεκζεξλήσθω
3 ^ , N € > \ \ , e ŒUTOU μία πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐπὶ TO A* 2&0 071
ELEMENTS D'EUCLIDE. 53 puncium in cà A , angulo AAT æqualis angulus
AAE , et producatur in directum ipsi EA recta AZ.
Et quoniam in duas rectas ΒΓ, EZ recta in- cidens AA alternos angulos EAA , AAT æquales
inter se facit, parallela est EZ ipsi BT.
Per datum igitur punctum A , datæ rectæ BT parallela recta linea ducta est EAZ. Quod opor- tebat facerc.
PROPOSITIO XXXII.
Omnis trianguli uno latere producto , ex- lerior angulus duobus interioribus et oppositis æqualis est; et interiores trianguli tres anguli
duobus rectis equales sunt,
E
n ^
Sit triangulus AB, et producatur ipsius
unum latus BT in A ; dico exteriorem angulum
sur la droite AA, et au point A de cette droite, l'angle AAE égal à l'angle Aar (55), et prolongeons la droite Az dans la direction de Ea. Puisque la droite AA, tombant sur les deux droites Br, EZ, fait les angles alternes EAA , AAT égaux entr'eux, la droite Ez est parallele à droite Br (27). Donc la ligne droite EAz a été menée, par le point donné A, parallèle à la droite
donnée Br; ce qu'il fallait faire.
PHROPOSLIPIONJXXSXUL
Ayant prolongé un cóté d'un triangle quelconque , l'angle extérieur est égal aux deux angles intérieurs et opposés ; et les trois angles intérieurs du triangle
sont égaux à deux droits.
Soit le triangle ΑΒΓ; et prolongeons le côté Br en A; je dis que l'angle exté-
54 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
a πᾷ τ Εν 3E S IEEE E *
ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ATA σὴ ἐστὶ ταῖς" δυσὶ τυ τὰ \ A 5 / MB ICA
ταῖς €eYTOGC καὶ ἀπεναντίον Tic ὑπὸ ΓΑΒ. ΑΒΓ’ NU Te sn "
καὶ αἱ ἐντὸς TOU TP
ὑπὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ. TAB δυσὶν ὀρθα Ἤχθω γὰρ. διὰ τοῦ T σημείου. τῇ ΑΒ εὐθείᾳ
, τριγώνου τρεῖ ἐς
ἐσ.
, παραλλ uñce à ΤῈ.
B
\
Καὶ zz πάράλληλο Ge ἐστιν à AB τῇ TE , καὶ εἰς ruri ἐμπίπτωκε ἐν ἡ AT, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι sur A /
αἱ ὑπὸ BAT , ATE ἴσαι ἀλλήλαις εἰσι. Πάλιν.
, ἘΣ τῇ e Ἂν vem
ἐπεὶ παράλληλος ἐστιν ἢ ΑΒ τῇ TE, καὶ εἰς
E N » , , ^ [3 e» \ ,
αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ BA* n ἐκτὸς γωνία
eve x » E \ nm \ M 5 , %
ἢ uzo ETA τσὴ ἐστί τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον Ti , y NETS \ € N
ὑπὸ ABI* pou δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ATE τῇ ὑπὸ BAT
ENDE
ἴση" cha ἄρα ἡ ὑπὸ ATA ἐκτὸς" γώνια i0 ἐστι ES
δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ταῖς ὑπὸ BAT ,
ABT. « x € M Kod Qu ἡ ὑπὸ AIB° ai cot ὑπὸ
ATA , ATB τρισὶ ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ. ΒΓΑ. ΓΑΒ i221
rieur ATA est égol aux angles intérieurs et opposés TAB,
ATA æqualem esse duobus interioribus et op- positis TAB, ABD, et interiores trianguli tres augulos ΑΒΓ, BTA , ΓΑΒ duabus rectis æquales esse.
Ducatur enim , per T punctum, ipsi AB recte
paralela FE.
a
r A
Et quoniam parallela est AB ipsi TE, et in
ipsas incidit. AT, alterni anguli BAT, ATE equales inter se sunt. Rursus , quoniam paral- lela est AB ipsi FE , ct in ipsas incidit recta BA, exterior angulus EPA æqualis est interiori et opposito ΑΒΓ. Ostensus autem est et ATE ipsi BAT æqualis ; totos igitur ATA exterior angulus equalis est duobus interioribus et oppositis BAT,
ABD.
Communis addatur ATB ; ergo ATA, ΑΓΒ tribus ABT , ΒΓΑ, TAB æquales sunt. Sed ATA,
ΑΒΓ; et que les trois
angles intéricurs ABT, ΒΓΑ; TAB sont égaux à deux droits.
Menons, par le point r ,
la droite TE parallèle à ΑΒ (31).
Puisque AB est parallèle à TE, et que AT tombe sur ces droites, les angles
alternes BAT, ATE sont égaux entr'eux (29). De plus, puisque la droite AB est parallèle à la droite TE, et que la droite BA tombe sur ces droites, l'angle exté- rieur ErA est égal à l'angle intérieur et opposé APr. Mais on a démontré que l'angle ArE est égal à l'angle Bar; donc l'angle extérieur ATA est égal aux deux angles intérieurs et opposés BAT, ABT.
ΑΓΒ seront égaux aux trois
Ajoutons l'angle commun ΑΤΒ ; les angles ΑΓΔ,
LE PREMIER LIVRE DES ELÉMENTS D'EUCLIDE. 55
L3 \ CJ ρου » εἰσίν. AAX αἱ ὑπὸ ATA, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι « y ^N εἰσί. καὶ αἱ ὑπὸ AIB, TEA, TAB ἄρα δυσὶν m 5, ΓῚ , \ ΕΝ 4 \ ὀρθαῖς ἴσαι εἰσί. Παντὸς ἄρα τριγῶνου , καὶ
\ cn τὰ £56. ΠΡΌΤΑΣΙΣ ^y.
Li M L4 M , > \ \ » M Ai τὰς ἰσας Te καὶ παραλλήλους ἐπι τὰ αὐτὰ , , , , D \ > » Hep ἐπιζευγνύουσαι εὐθεῖαι. καὶ αὐταὶ 49e , 2p τε καὶ παραλλήλοι εἰσιν. , \ / . Ἑστωσαν ἴσαι τε κα! παραλληλοι αὐ ABA, \ , , 32 \ , N \ , \ , καὶ ἐπιζευγνύτωσαν αὐτας ἐπί τὰ αὐτὰ μερή 3g.e ͵ E Se εὐθεῖαι αἱ AT, BA* λέγω ὅτι καὶ αἱ AT, ΒΔ
; \ ; Es ἴσαι τε" Καὶ παραλλήλοί εἰσενς
ATB duobus rectis æquales sunt ; et ΑΓΒ, ΓΒΑ, TAB igitur duobus rectis quales sunt. Omnis
igitur trianguli , etc.
PROPOSITIO XXXIII.
Quz et equales et parallelas ad easdem partes conjungunt recle, et ipse equales et parallelæ sunt.
Sint et equales et parallel: AB, TA, et con- jungant ipsas ad easdem partes rectc. AP, BA;
dico et AT, BA et equales ct parallelas essc.
b A [SCR í JAUNE I» 3S Î j Vip) Ny; / NA L—————-— A E
, M zt Ἐπεζεύχθω yap ^ n BT. NT» Ν , , » e ^ \ Κα, ἐπεὶ παράλληλος ἐστιν ἡ AB τῇ TA, καὶ , Qu UR ΄ ε ca» - n εἰς αυτὰς ἐμπεπτωκεν 1 BT, αἱ ἐναλλαξζ γωνίαι
ere A 14 3 ͵ NES, \ ai ὑπὸ ABT, ΒΓΔ ἴσα, ἀλλήλαις εἰσί. Καὶ ἐπεὶ
Jungatur enim* 2T. Et quoniam parallela est AB ipsi ΓΔ, et in ipsas incidit BD, alterni anguh ABT , ΒΓΔ
æquales inter se sunt, Et quoniam æqualis est AB
angles ΑΒΓ; ΒΓΑ, TAB. Mais les angles ΑΓΔ, ΑΓΒ sont égaux à deux droits (15) ; donc les angles ATE , TBA, TAB sont égaux à deux droits. Donc, etc.
PROOPOSWTPTIONUXEXEXLI.
- Les droites qui joignent , des mêmes côtés, des droites égales et parallèles, sont
elles-mémes égales et parallèles.
Soient AB, r^ deux droites égales et paralléles; que les droites Ar, BA les joi- gnent des mêmes côtés ; je dis que les droites Ar, BA sont égales et parallèles.
Joignons Er.
Puisque ΑΒ est parallèle à r^, et que ΒΓ tombe sur ces droites, les angles alternes ΑΒΓ; ΒΓΔ sont égaux entr'eux (29). De plus, puisque 45 est égale ἃ ΓΔ; et que
E 26 / ς ^ A \ © , \ ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ TA κοινὴ di ἡ BT, duo du N D 3) , \ ai AB, BI, δυσὶ ταῖς TA , BT ἔσαι εἰσί" καὶ , € e \ / … € \ 37 » 1 3 γωνία ἢ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ BTA icu eoviv', , 14 ε e es » \ » Ἂς \ Βασις ἄρα n AT βάσει τῇ ΒΔ ἐστὶν 108 , καὶ τὸ T " ^ , ” » \ \ ABT τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῷ (70V ἐστι , ite αἱ \ , ^ Ὁ ! v » λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοίπαις y LALIC ἴσας EGOY TAL,
ε D € ΄ DÉCRET n ν ε εκατερα εκατερᾷ 5 Up cg αἱ IT TAEUPELI UT C—
à
» * €. eX E ͵ ωε
TuvO0UCiy* σὴ ἀρὰ n ὑπὸ AÏB γωνία τῇ ὑπὸ E Nd \ ν᾽ , ^n f \
TBA. Kei ἐπεὶ εἰς δύο εὐθείας Tac AT, BA SAU. : \ ᾿ς ; εὐθεῖα ἐμπίπτουσα ἡ BT τὰς ἐναλλὰξ γωνίας EE » σον ; τας ὑπὸ AYB, TDBA* sac ἀλλήλαις πεποίηκεν"
Le » X ε ^ , N παράλληλος dpa ἐστὶν 4 AT τῇ BA. Edtixy 9a δὲ
3 ^ \ w € v M y -ς Ν Nez αὐτῇ καὶ ICH. ÀJ ἀρὰ τὰς ἰσᾶς.5 καὶ τὰ ἑξῆς. ΠΡΟΤΑΣΙΣ Ad".
e , Φ ? Tav τταραλληήλογραμμὼν χωρίων αι ἀπεναν- ͵ mn / \ , » 3 , > Tio πλευρᾶς τε καὶ γῶνίαι ἰσαΐ ἀλλήλαις εἰσ.
\ € , 2 \ di , καὶ ἡ διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ipsi l'A, communis autem ΒΓ ; due igitur AB, BP duabus TA, BP æquales sunt, et angulus ABT angulo ΒΓΔ æqualis. Basis igitur AT basi BA est equalis , et ΑΒΓ triangulum ΒΓΔ triangulo gulis æquales ernnt uterque utrique, quos æqualia
æquale est; et reliqui anguli reliquis an ; 1 5 Ϊ
latera subtendunt ; æqualis est igitur ΑΓΒ an-
T
gulus ipsi BA. Et quoniam in duas rectas AT, BA recta incidens BP, alternos angulos ATB, ΓΒΔ æquales inter se facit, parallela est AT 1psi BA. Ostensa est autem ipsi et equalis; quæ igitur æquales, ctc.
PROPOSITIO XXXIiY.
Parallelogrammorum spatiorum et opposita latera et anguli zequalia inter se sunt, et diameter
ea bifariam secat.
la droite Pr est commune, les deux droites ΑΒ, Br sont égales aux deux droites TA, ΒΓ; mais l'angle ABr est égal à l'angle Bra ; donc la base Ar est égale à la base B^, le triangle ABr est égal au triangle ΒΓΔ, et les angles restans, opposés à des côtés égaux, seront égaux , chacun à chacun (4) ; donc l'angle ΑΓΒ est égal à l'angle TBA. Mais la droite Br tombant sur les deux droites Ar, ΒΔ fait les angles alternes ΑΓΒ, ΓΒΔ égaux enutr'eux ; donc la droite Ar est parallèle à la droite BA (27). Mais on a démontré qu'elle lui est égale; donc, etc.
PROPOSITION XXXIV.
Les côtés et les angles opposés des parallélogrammes sont égaux ent'eux, et la diagonale les partage en deux parties égales.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 57 Ἑστω παραλληλόγραμμον χωρίον! τὸ ΑΓΔΒ. Sit parallelogrammum spatium ATAB, dia-
διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΒΓ’ λέγω ὅτι τοῦ ATAB — meter autem ipsius BD; dico' ATAB parallelo-
ἐν 13 7 d ] E ; 5 παραλληλογράμμου et ἀπεσνπίον πλευραι τε grammri opposita et latera ct angulos aequalia
xa) γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσὶ, καὶ ἡ BI διώ--ὀ inter se esse, et BT diametrum illud bifariam
μέτρος αὐτὸ δίχα τέμνει. secare. 8 A DOSE Ὁ LI ———— — Δ Γ
Ἐπεὶ yàp παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ TA, καὶ Quoniam enim parallela est AB ipsi TA, ct
εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ BT, αἱ ἐναλλὰξ ἴῃ ipsas incidit recta ΒΓ, alterni anguli ΑΒΓ, ΒΓΔ, æquales inter se sunt. Rursus, quoniam Πάλιν. ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΤ τῇ ΒΔ, parallela est AT ipsi BA, et in 1psas incidit ΒΓ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν ἢ BI, αἱ ἐναλλὰξ alterni anguli ΑΓΒ, ΓΒΔ æquales inter se sunt,
Duo igitur triangula sunt ΑΒΓ, BTA, duos an-
gulos ΑΒΓ, ΒΓΑ duobus angulis ΒΓΔ, ΓΒΔ
/ esr 5 E , P γωνία, αἱ ὑπὸ ABT, ΒΓΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί.
γωνίαι αἱ ὑπὸ ATB, ΓΒΔ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί. Δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΑΒΓ; ΒΓΔ τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ ABT, ΒΓΑ δὺσὶ ταῖς ὑπὸ ΒΓΔ, equales habentia, utrumque utrique , et unum ΤΒΔ ἴσας ἔχονται. ἑκατέραν ἱκατέρᾳ. καὶ μίαν latus uni lateri æquale, quod est ad æquales πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην. τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις — angulos, commune utrique Br; et reliqua igitur γωνίαις, κοινὴν αὐτῶν τὴν ΒΓ" καὶ τὰς λοιπὸς — reliquis lateribus æqualia habebunt, utrumque
ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς ἴσας ter, ἑκατέραν utrique , et reliquum angulum reliquo angulo ;
ἑκατέρᾳ, καὶ τὴν λοιπὴν γωνίαν τῇ λοιπῇ γωνίᾳ" — wquale igilur est AB quidem latus ipsi ΓΔ,
Soit le parallélogramme ΑΓΔΒ, et que ΒΓ soit sa diagonale; je dis que les côtés et les angles opposés du parallélogramme ArAB sont égaux entr'eux, et que la diagonale Br le partage en deux parties égales.
Car puisque AB est parallèle à ra, et que la droite Br tombe sur ces droites , les angles alternes ΑΒΓ, ΒΓΔ sont égaux entr'eux (29). De plus, puisque AT est parallèle à BA, et que ΒΓ tombe sur ces droites, les angles alternes ΑΓΒ, ΓΒΔ sont égaux entr'eux; donc les deux triangles ΑΒΓ, ΒΓΔ ont les deux angles ΑΒΓ. PTA égaux aux deux angles ΒΓΔ, ΓΒΔ, chacun à chacun, et un côté égal à un côté, savoir, le côté corumun ΒΓ, qui est adjacent aux angles égaux ; ils auront donc les autres côtés égaux aux autres côtés, chacun à chacun (26), et l'angle restant égal à l'angle restant ; donc le côté AB est égal au côté rA, le côté Ar égal au côté Ba, et l'angle
8
58 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
icu ἄρα ἡ μὲν ΑΒ πλευρὰ τῇ TA, ἡ δὲ AT τῇ BA, καὶ ἔτι ἴση ἐστὶν" ἡ ὑπὸ BAT γωνία τῇ ὑπὸ BAT. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν à μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΔ. ἡ δὲ ὑπὸ TBA τῇ ὑπὸ ΑΓΒ’ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ABA ὅλῃ τῇ ὑπὸ ATA ἐστὶν ἴση 1" ἐδείχϑη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ BAT τῇ ὑπὸ TAB ἔση"
Tov dpa παραλληλογράμμων χωρίων αἱ ἀπ- εναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
Β
AT vero ipsi BA, et adhuc equalis est BAT angulus ipsi BAT. Et quoniam zqualis est quidem ΑΒΓ angulus ipsi ΒΓΔ, et ΓΒΔ ipsi ΑΓΒ ; totus igitur ABA toti ATA est equalis; ostensus est aulem οἱ BAT ipsi TAB æqualis ;
Ergo parallelogrammorum spatiorum oppo-
sila et latera ct auguli æqualia inter se sunt.
A
——
A
Λέγω d&Ó ὅτι καὶ à διάμετρος αὐτὰ δίχα τέμνει. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ AB τῇ ΓΔ. κοινὴ δὲ à BT, δύο δὴ αἱ AB, BT δυσὶ ταῖς AT, TB ἴσαι εἰσὶν. ἑκατέρα ἑκατέρᾳ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ἐστί" καὶ βάσις ἄρα ἡ AT βάσει τῇ BA ἴση ἐστί" καὶ Τὸ ABT ἄρα τρί- γῶνον τῷ BAT τριγώνῳ ἴσον ἐστίν. E
H ἄρα ΒΓ διάμετρος δίχα τέμνει τὸ ATAB παραλληλόγραμμον. Οσπερ ἔδει δεῖξαι.
EL
Dico et diameirum ipsa bifariam secare. Quoniam enim æqualis est AB ipsi TA, com- munis autem BP, duz igitur AB, BT duabus AT, TB æquales sunt, utraque utrique, et angulus ΑΒΓ angulo ΒΓΔ æqualis est; et basis igitur AT ipsi BA æqualis est; ct igitur triangulum ABT iriangulo BAT æquale est;
Ergo ΒΓ diameter bifariam secat AT AB paral-
lelogrammum. Quod oportebat oslenderc.
BAT égal à l'angle Bar. Puisque l'angle ΑΒΓ est égal à l'angle ΒΓΔ, et l'angle ΓΒΔ égal à l'angle Ars, l'angle total ABA est égal à l'angle total Ara. Mais on a démontré que l'angle ΒΑΓ est égal à l'angle ras;
Donc les cótés et les angles opposés des parallélogrammes sont égaux entr'eux. |
Je dis de plus que la diagonale partage les parallélogrammes en deux parties égales. Car puisque ΑΒ est égal à r^, et que la droite Br est commune, les deux droites AB, BT sont égales aux droites Ar, ΓΒ, chacune à chacune ; mais l'angle ABTr,est égal à l'angle ΒΓΔ; donc la base ar est égale à la base ΒΔ (4), et le triangle ABr égal au triangle Bar.
Donc la diagonale Br partage le parallélogramme Ar48 en deux parties égales ; ce qu'il fallait démontrer.
"
LE PREMIER LIVRE DES ÉLEMENTS D'EUCLIDE. 59
ΠΡΟ AZIZ.-Ad
τὰ 7 παραλληλόγ βάμμα, τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὃ ὕντα καὶ ἐν ταὶς αὐταῖς παραλλήλοις, Li 2 ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
Ἑστω παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ. EBIZ
ES 3 e 5 E : E -“ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ovra! τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταὶς παραλλήλοις ταὶς AZ; ΒΓ; λέ) γῶ ὅτι
ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τῷ EBIZ?. Α Δ
Β p
Ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγρε αμμόν ἐστι τὸ ABTA, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ BIS. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ n ^ 3 [4 et ^ e ^ 5 ^ EZ τῇ BT ἐστὶν ἴση Á* ὥστε καὶ ἡ AA τῇ ἘΖεστιν 3) R \ ije ej » ε el - icu ?* καὶ κοινὴ 4 ΔῈ" ὅλη ἄρα » AE 0^2 τῇ ΔΖ , M dvo δὴ € \ n L4 SN. ε αἱ EA, ΑΒ δυσὶ ταῖς ΖΔ. AT fous εἰσὶν. etat
>» \ ” M y € ^ » ἐστὶν icu. Ἐστι δὲ καὶ » AB τῇ AT ἴση"
, e , \ , e € \ / "+ τερα ekaTepa, καὶ γωνία 4 ὑπὸ LAT ovid Ti
PROPOSITIO XXXv.
Parallelogramma , super eádem basi consti- tula et in eisdem parallelis , æqualia inter se sunt.
Sint parallelogramma ΑΒΓΔ, ἘΒΓΖ super cádem basi BT constituta ct in eisdem parallelis
AZ, ΒΓ; dico equale esse ΑΒΓΔ ipsi ΕΒΓΖ.
Quoniam enim parallelogrammum est ΑΒΓΔ, equalis est AA ipsi BT. Proptereadem , et EZ ipsi BT est equalis. Quare et AA ipsi EZ est equalis ; et communis AE; tola igitur AE toti AZ est equalis. Est autem et AB ipsi AT zqualis; duæ igitur EA, AB duabus ZA, AT æquales sunt
utraque utrique , et angulus ZAT angulo EAB
PROPOSITION XXXV.
Les palco amnes » contruits sur la méme base et entre les mémes paral-
léles , sont égaux entr'eux.
Que les parallélogrammes ΑΒΓΔ, EETZ soient construits sur la méme base ΒΓ, et entre les mémes paralléles Az, Br; je ns que le parallélogramme ΑΒΓΔ est
égal au parallélogramme EBrz.
Car puisque ΑΒΓΔ est un parallélogramme, ΑΔ est égal à ΒΓ (54) ; par la même raison, EZ est égale à Br; donc ΑΔ est égal à Ez; mais la droite AE est commune; donc la droite totale AE est égale à la droite totale AZ (ποῖ. 2); mais AB est égal
chacunc à chacune ;
à ΔΙ (54); donc les deux droites EA, AB sont égales aux deux droites ZA, AT, mais l'angle extérieur zar est égal à l'angle intérieur
60 ὑπὸ EAB ἐστὶν ἴση". ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός" βάσις ἄρα 5" EB βάσει τῇ LT ion ἐστὶ. καὶ τὸ EAB τρίγωνον τῷ ΔΙΖ Tps vt ἴσον ἔσται 7. Κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ AHE* λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΗΔ τραπέ- ζιον λοιπῷ τῷ EHTZ τραπεζίῳ ἐστὶν ἴσον 8, Κοινὸν προσκείσθω τὸ HBT τρίγωνον" ὅλον epa τὸ ABTA παραλληλόγραμμον ὅλῳ TQ ΕΒΙΖ παρ- αλληλογράμμῳ ἴσον ἐστί. Τὰ ἄρα παραλληλός-
γράμμα, καὶ τὰ ἑξῆς. IPOTAZIZ Ag.
Τὰ παραλληλόγραμμα, τὰ ἐπὶ τῶν' ἴσων βάσεων ὕ:τα καὶ ἐν ταὶς αὐταϊςπαραλλήλοις 5 ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
Eco παραλληλόγραμμα τὰ ΑΒΓΔ. ΕΖΗΘ ἐπὶ ἴσων βέσεων ὄντα ^ τῶν ET, ZH καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παρελλήλοις ταῖς AO, BH° λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλύγραμμον τῷ EZHO.
Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ ai BE, TO.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDF.
est equalis, exterior interiori ; basis igitur EB basi ZT zqualis est, et EAB triangulum ipsi ATZ triangulo æquale erit. Commune auferatur AHE; reliquum igitur ABHA trapezium reliquo EHTZ trapezio est æquale. Commune addatur ΗΒΓ triangulum ; totum igitur ΑΒΓΔ parallclogram- mum toli EBTZ-parallelogrammo quale est.
Ergo parallelogramma, etc.
PROPOSITION XXXVI.
Parallelogramma , super aequalibus basibus constituta ct in eisdem parallelis ,' æqualia inler se sunt.
Sint parallelogramma ΑΒΓΔ, EZHO super æqualibus basibus constituta Br, ZH , et in eisdem parallelis AO, BH; dico æquale esse ΑΒΓΔ perallelogrammum ipsi ΕΖΗΘ.
Jungantur enim BE, ΓΘ.
EAB (29); donc la base EB est égale à la base zr (4); donc le triangle EAB sera égal au triangle Arz. Retranchons la partie commune AHE; le trapèze restant ABHA sera égal au trapéze restant EHTZ (not. 5); ajoutons le triangle commun ΗΒΓ, le parallélogramme total ΑΒΓΔ sera égal au parallélogramme total EBrz. Donc, etc.
PROPOSITION.XXXVEL
Les parallélogrammes, construits sur des bases égales et entreles mémes paral- lèles, sont égaux entr'eux.
Que les parallélogrammes ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ soient construits sur des bases égales BT, ZH, et entre les mêmes parallèles A6 , BH ; je dis que le parallélogramme ΑΒΓΔ est égal au parallélogramme Ezuo.
Joignons BE, re.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
^ γι \ 2 5 \ € ^ 5 \ H [: Kai ἐπεὶ ion ἐστὶν ἡ ΒΤ Ty ZH, ἀλλα’ m ^ 9 N » NL p es 3 Ἂς ZH τῇ EO ἐστὶν 1ση" καὶ n BT ρα τῇ EO eoTiv y » M N , \ > 5 ^ ἴση. Eios δὲ καὶ παραλλήλοι καὶ ἐπιΐζευ) νυουσιν » \ € Nw X» X αὐτὰς αἱ BE, TO, αἱ d? τὰς ἴσας Te καὶ παραλ- , ^ N \ » \ , 5 ^ » ληλοὺυς ἐπι τὰ αὐτὰ ep ἐπιζευγνύουσαι IG τὲ \ , , Ν = 4 2 , καὶ παράλληλοί εἰσι" καὶ αἱ EB 3rO dpa ἴσαι TE
εἰσι καὶ παράλληλοι. Παραλληλόγραμμον ἄρα
Α Δ
3 ^ \ NUS EE » , ἐστὶ τὸ EBTO , καὶ ἔστιν (0v τῷ ABTA* βάσιν Ta M 2 \ 3 \ A \ M5 D yup αὐτῷ τὴν αὐτὴν eyes τὴν BD, sei ev ταὶς 3 , , » \ , , αὐταῖς παραλλήλοις ἐστιν αὐτῷ. τοῖς BT , ΑΘ. ^ \ 3 \ ^ \ δὴ ^ 3 ^ ^ Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ELHO τῷ αὐτῷ τῷ ΕΒΓΘ E] τ 37, er \ \ , ἐστιν 1c0y* ὥστε καὶ τὸ ΑΒΓΔ παροαλληλοόγραμ- re 3 M 3 s \ | … / por τῷ EZHO «civ. ἐσον᾽. Τα ape παραλλῆλο-
TAN ITO S; γράμμα. καὶ τὰ εξζῆς-
61
Et quoniam «qualis est BP ipsi ΖΗ, et ZH ipsi EO est æqualis; el ΒΓ igitur ipsi EO est æqualis. Sunt autem et parallele , et jun- gunt ipsas ipsae BE, LO, qua auteni a quales ct parallelas ad easdem partes conjungunt, - equales et parallele sunt; et EB, ΓΘ igitur ct æquales sunt et parallele. Parallelogrammum
^
E eo
H
igitur est ΕΒΓΘ, et est æquale ipsi ABTA; bosim enim eamdem habet BT quam ipsum, et in eisdem parallelis est BP, AO. Propter eadem , ct EZHO cidcm EBTO est zquale; quare et ΑΒΓΔ parallelogrammum ipsi ΕΖΗΘ est æquale. Ergo
parallelogramma , ctc.
Puisque ΒΓ est égal à ΖΗ, et ZH égal à ro, la droite 2r est égale à ΕΘ ; mais les droites ΒΕ, ΓΘ joignent ces droites qui sont parallèles, et les droites qui joignent des mémes cótés deux droites égales et paralléles, sont égales et paralléles (55); donc les droites EB, ro sont égales et parallèles; donc ἙΒΓΘ est un parallé- gal il a la méme base Br que lui, et il est construit entre les mêmes parallèles.
logramme, et ce parallélogramme est égal au parallélogramme ΑΒΓΔ (55); car Par Ja méme raison le parallélogramme ΕΖΗΘ est égal au parallélogramme EBTO ; donc le parallélogramme ΑΒΓΔ est égal au parallélogramme ΕΖΗΘ. Donc, etc.
62 7 HPOTÁZXIZ A. * P 19 ^ ^ > « , x Ta τρίγονα 5 τὰ ἐπι τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα A ^ 2 ^ , L4 à , καὶ tV ταῖς αὐταῖς FapaAANACIS , σὰ αλλη- 3 ἢ ÀOIS ἐστιν r , X E] ^ M > ^ Ἐστω τρίγωνει τὰ ABT, ABT ἐπὶ τῆς αὐτῆς - , Di I ^ N LU > "n βάσεως οντα 'TWc ΒΓ καὶ ev ταῖς αὐταῖς παρολ- , e ^ e » 5 Ν M λήλοις ταῖς AA, BT* λέγω OTI σὸν ἐστί τὸ ABT
; ^ ; τρίγωνον τῷ ABT τριγωνῷς
LE PREMIER LIVRE DES
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. PROPOSITIO XXXVII.
Triangula super cádem basi constituta et in
eisdem parallelis , æqualia inter se sunt.
Sint triangula ABE, ABT super eádemb basi cons- lituta BT et in eisdem parallelis AA, BD; dico
æquale esse ABT triangulum ΔΒΓ triangulo.
€ ^ , > \ \ Ἐκ(εξλήσθω ἡ AA «p ἑκάτερα Td Méph ei τὰ \ \ ^ ^ fa E, Z?, xai διὰ uiv τοῦ B τῇ TA παράλληλος >! ^ ^ ^c , ἤχθω ἡ BE, διὰ d$ τοῦ T τῇ BA παράλληλος Li € ἤχθω 4 TZ. , 1 L ^ Παραλληλόγραμμον ἄρα ἱστὶν ἑκάτερον τῶν *, LA 2 2 Y 17 ΕΣ ^ EBTA,ABIZ* καὶ εἶσιν ἴσα θεξπίτε γὰρ τῆς αυτὴς , , y ^ ^ ΄ς τ m > ^ βάσεως εἰσι 5 τῆς ΒΓ καὶ ev ταῖς αὐταῖς παραλ-
λήλοις ταῖς BT, EZ* καὶ ἔστι τοῦ μὲν EBTA παρ-
Producatur AA ex utráque parte in E, Z, ct per B quidem ipsi TA parallela ducatur BE, per P vero ipsi BA parallela ducatur ΓΖ.
Parallelogrammum igitur est utrumque ipso- rum EBFA, ΔΒΓΖ ; et qualia sunt , nam super eádem basi sunt ΒΓ et in eisdem parallelis ΒΓ,
EZ; et est ipsius EBTA quidem parallelogrammi
PROPOSITION XXXVIL
Les triangles, construits sur la méme base et entre les mêmes parallèles,
sont égaux.
Que les triangles Abr, ΔΒΓ soient sur la méme base Br et entre les mêmes paralléles A^, ΒΓ; je dis que le triangle ΑΒΓ est égal au triangle ΔΒΓ,
Prolongeons de part et d'autre la droite ΑΔ aux points E, Z, et par le point B conduisons BE parallèle à rA (51), et par le point T conduisons rz paral-
Jéle à ΒΔ.
Les figures EBrA, ABIZ sont des parallélogrammes , et ces parallélogrammes sont égaux (55); car ils sont sur la méme base Br, et entre les mémes parallèles ; mais le triangle ABr est la moitié du parallélogramme EBrA ; car
LE PREMIER LIVRE DES
, e \ , e \ αλληλογράμμου n^IcU τὸ ADT τρίγωνον» à yap D 94 , E \
AB diapuerpos αὐτὸ δίχα τέμνει" τοῦ δὲ ADTZ er M / €
παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ABT τρίγωνον 5 n M , > \ , , \ A ^ γὰρ AT διάμετρος αὐτὸ δίχα τέμνει" τοὶ δὲ τῶν » € / » > , , X » wv > \ ἰσὼν ἡμισὴ ἰσὼ αλλήλοις ἐστιν" ἰσὸν ἀρῶ ἐστι \ ^ 3 , Ns ot / To ABT τρίγωνον τῷ ABT Tpryovo. Ἰὼ ἀρὰ Tpi-
\ \ tn JOIE, καὶ τὰ «Luc. , HPOTAZSIZ Am.
^ 7 i» ^ -“ρ 5/ , y \s Ta Tpityd , τὰ ἐπὶ τῶν σῶν βάσεων ovra sai y e E ES ΄ » ΕΣ , E N I ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις» σα αλλήλοις εστενὶς \ 2 \ 35)
Ἐστω τρίγωνα Ta? ABT, ΔΕΖ ἐπὶ icov
1 D ^ NOM n 3 βάσεων ὄντα τῶν BT, EZ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς , » el » 5 \ παραλλήλοις ταῖς ΒΖ. AA° λεγῶ CTI σον ἐστὶ
à ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ Τρ! 6v T7 τρίγων à pr?ere.
H
5 D
Ἐκ(εξλησθω γὰρ ἡ AA iQ ἑκάτερα τὰ μέρη
ἐπὶ! τὰ Η, ©, καὶ διὰ μὲν τοῦ B τῇ TA
ÉLÉMENTS D'EUCLIDÉ. 63 dimidium ABT triangulum, nam AB diameter ipsum bifariam secat; est vero ipsius ABTZ pa- rallelogrammi dimidium ABT triangulum , nam AT diameter ipsum bifariam secat; æqualium autem dimidia æqualia inter se sunt; aequale igitur est ABT triangulum ipsi ABT triangulo. Ergo
triangula , etc.
PROPOSITIO. XXXVIII.
Triangula, super æqualibus basibus constituta et in eisdem parallelis , æqualia inter se sunt.
Sint triangula ΑΒΓ, ΔΕΖ super aequalibus basibus constituta BT, EZ et in eisdem parallelis ΒΖ, AA; dico æqnale esse ABT triangulum ipsi ΔΕΖ lriangulo.
Δ Θ
Z Producatur enim AA ex utráque parle in
H, ©, et per B quidem ipsi TA parallela
la diagonale AB le partage en deux parties égales; le triangle ΔΒΓ est la moitié du parallélogramme 4ABrz , car la diagonale ar la partage en deux parties égales (54); mais les moitiés des quantités égales sont égales ent'elles; donc Je triangle ABr est égal au triangle ABr. Donc, etc.
PROPOSITION XXXVIII.
Des triangles, construits sur des bases égales et entre les mêmes parallèles, sont égaux entr'eux.
Que les triangles ΑΒΓ, AEZ soient construits sur des bases égales ΒΓ, Ez et entre les mêmes parallèles Bz, Aa; je dis que le tria ngle ΑΒΓ est égal au triangle ΔΕΖ.
Prolongeons de part et d'autre la droite 44 aux points H, ©; par le
64 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
παράλληλος ἤχθω ἡ BH, διὰ δὲ τοῦ Z τῇ AE παράλληλος ἤχθω ἡ ZO.
H A
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν HBTA, AEZO' καὶ ἴσον τὸ HBTA τῷ ΔΕΖΘ, ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν BT , ΕΖ. καὶ ἐν παῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς BL, ΗΘ’ καὶ ἔστι τοῦ μὲν HBTA παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. ñ γὰρ ΑΒ διάμετρος αὐτὸ δίχα 5 τέμνει" τοῦ δὲ ΔῈΖΘ παραλληλογράμμου ἥμισυ τὸ LEA τρίγωνον. à γὰρ ΔΖ διάμετρος αὐτὸ δίχα 6 τέμνει. Τὰ δὲ τῶν ἴσων ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον
^ , M y / \ \ cn τῷ ΔΕΖ vpij evt. Ta. ἀρα τρίγωνα, καὶ τὰ EGHSe
ducatur BH, per Z vero ipsi AE parallela du-
catur ZO.
Δ Θ NEC ὑπ τῇ | / / T E Ζ
Parallelogrammum igitur est ntrumque ipso-
rum HBTA , ΔΕΖΘ ; ct æquale HBTA ipsi ΔΕΖΘ, in:equalibus enim et basibus sunt ΒΓ, EZ, ct in eisdem parallelis ΒΖ, HO ; et est autem ipsius HBTA parallelogrammi dimidium ABT triangulum , AB enim diameter ipsum bifariam secat; est vero ipsius ΔΕΖΘ parallelogrammi dimidium ZEA triangulum , nam AZ diameter ipsum bifariam secat. Æqualium autem dimidia æqualia inter se sunt; æquale igitur est ABD
triangulumipsi AEZtriangulo.Ergo triangula, ete.
point B conduisons la droite BH paralléle à la droite rA (52), et par le point z conduisons la droite zo parallèle à la droite AE.
Les figures HbrA, ΔΕΖΘ sont des parallélogrammes ; mais le parallélogramme HBTA est égal au parallélogramme ΔΕΖΘ (56) , car ils sont construits sur des bases égales ΒΓ, EZ et entre les mêmes parallèles ΒΖ, ΗΘ; mais le triangle ΑΒΓ est la moitié
du parallélogramme HBrA , car la diagonale AB le partage en deux parties égales (54); le triangle ΖΕΔ est la moitié du parallélogramme ΔΕΖΘ, car la diagonale Az le partage en deux parties égales, et les moitiés des quantités égales sont égales entr'elles; donc le triangle ΑΒΓ est égal au triangle ΔῈΖ. Donc, etc.
LE PREMIER LIVRE DES
HPOTAZIX λθ΄,
^ vy , Uv SEN ^ ^» ^ ΄ Ta ice τρίγωνα 5, τὰ ἐπὶ τῆς αὐυτὴς βάσεως Ν \3 XN b , A , y RE) το 3 e OrTa καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ epu, καὶ ev τῶις αὐταῖς ei, 3M, παραλλήλοις ἐστι ας
Ecro ἴσα τρίγωναλ τὰ ΑΒΓ. ABT, ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὕντα τῆς BT, καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη" λέγω oi καὶ ἔν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν. Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ AA° λέγω ὅτι παράλ-
᾿ ε E ληλός ἐστιν 4 AA 71 BT.
b
Εἰ yàp μὴ, ἤχθω διὰ τοῦ A σημείου τῇ BT εὐθεῖα παράλληλος ἡ AE, καὶ ἐπεζεύχθω i ET.
Icov pa? ἐστὶ τὸ ABT τρίγωνον τῷ ΕΒΓ Tpi- γώνῳ" ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστιν αὐτῷ τῆς ΒΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις τοῖς
ΒΓ. ΑΕῦ, Αλλὰ τὸ ABT τρίγωνον τῷ ΔΒΓ ἐστὶν
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 65 PROPOSITIO XXXIX.
Æqualia triangula, super eádem basi cons- lituta et ad easdem partes , et in eisdem paral- lelis sunt.
Sint æqualia triangula ABIT, ABL, super eàdem basi BT et ad easdem partes; dico et in eisdem parallelis esse. Jungatur enim AA; dico parallelam esse AA ipsi ΒΓ.
I
Si enim non, ducatur per A punctum ipsi BT reclæ parallela AE , et jungatur ET.
Æquale igitur est ABT triangulum ipsi EBT iriangulo ; saper eàádem enim basi est BT super quà ipsum BET, et in eisdem parallelis ΒΓ, AE;
sed ΑΒΓ triangulum ipsi ABT cst æquale ; ergo
PROPOSITION XXXIX.
Les triangles égaux, construits sur la même base et placés du même côté, sont
compris entre les mémes parallèles.
Que les deux triangles égaux ΑΒΓ, ΔΒΓ soient construits sur la même base zr, et placés du même côté; je dis que ces deux triangles sont compris entre les mêmes parallèles. Joignous 44; je dis que ΑΔ est parallèle à Br.
Car si cela n'est pas, par le point A conduisons AE parallèle à Br (51), et
joignons ET.
Le triangle ABr est égal au triangle EBr (57), puisque ces deux triangles sont
construits sur la base Br, et placés entre les mêmes parallèles Br, AE. Mais le triangle ΑΒΓ est égal au uiaugle ΔΒΓ; donc le triangle ΔΒΓ est égal au
9
; » y - 2 BS ἴσον" καὶ τὸ ΔΒΓ ἄρα τριγώνον τῷ EBT 1607 ἐστιν. as co? (eS? , er 32 » 8 "δὰ Ἢ 3 τὸ μεῖζον τῷ ἐλάσσον! , ὀπερέεστιν" LOUVATOV* οὐκ » « ? , € ^ / \ epa παράλληλός ἐστιν 4 AE τῇ BT. Ὁμοίως δὴ , εἰ A f \ Ll € δείξομεν. ὅτι οὐδὲ ἀλλὴ τις πλὴν τῆς AA° ἡ AA
» ^ * N , ^ 5 3 epa τῇ BEI ec71i Sra pa AP AOC. Ta apa 494,
N M eot καὶ τὰ tCuc.
HPOTAZIX 4.
\ , Ar N ^ I 39, , - » Ta isa τρίγωνα. τῷ ἐπτὶ τῶν EU βασεων óya, NS X τον A. 7 VE τς Ὁ καὶ ἐπὶ τα αὐτὰ Asp, καὶ εν ταῖς αὐταῖς πα-
, EN, ραλλήλοις e0TIV. y 4 Li \ , NM Ἑστω ἔσα Tpiywva τὰ ΑΒΓ. ATE, ἐπὶ ἰσὼν 2 VS ND JUL βάσεων ὄντα τῶν BT, TE καὶ ἐπὶ Ta aura juipnl*
«f et \ D > ^ , > , λέγω OTI και! εν τας αυταις παραλλήλοις EOTiVe
ὧν
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΔ’ λέγω ὅτι παράλληλός
> . H ἐστιν ἡ AA τῇ BE. >
Ei γὰρ μὴ, ἤχθω dia τοῦ A τῇ BE παράλ- AnAog 4 AZ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ EZ,
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE.
et ΔΒΓ triangulum ipsi EBT æquale est, majus minori, quod est impossible. Non igitur paral- lela est AE ipsi BT. Similiter autem ostendemus neque alian quampiam esse preter AB; AA
igilur Ipsi ΒΓ est parallela. Ergo aequalia , etc.
PROPOSITIO XL.
Æqualia triangula , super æqualibus basibus constituta οἱ ad easdem partes , et in eisdem pa- rallelis sunt.
Sint æqualia triangula ABT, ATE, super æqua- libus basibus constituta BT , ΓΒ et ad easdem parles : dico et in eisdem parallelis. esse; jungatur enim. AA; dico parallelam esse AA ipsi BE.
$i enim non, ducatur per A ipsi BE parallela ΑΖ, et jungatur EZ.
triangle EBr, le plus grand au plus petit, ce qui est impossible; donc AE n'est point parallèle à ΒΓ. Nous démontrerons semblablement qu'aucune autre droite, excepté 44, n'est parallèle à Br ; donc ΑΔ est parallèle à Br. Donc, etc.
PROPOSITION XL.
Les triangles égaux, construits sur des bases égales et du méme cóté, sont
entre les mêmes parallèles.
Que les triangles égaux ΑΒΓ, ATE soient construits sur les bases égales Br, ΤῈ et
,
placés du méme côté ; AA ; Je dis que ΑΔ est parallèle à BE.
je dis qu'ils sont entre les mémes parallèles. Joignons
Car si cela n’est pas, par le point A, conduisons 4Z parallèle à BE, et
joignons Ez.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Icoy ἄρα" ἐστὶ τὸ ABT τρίγωνον τῷ ΖΓΕ Tpi- γώνῳ" ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσ; τῶν ΒΓ. TE καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς BE, AZ. Αλλὰ τὸ ABT τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ATE Tpi-
N \ , 4t) » > ^ γώνῳθ'" καὶ τὸ ATE τρίγωνον ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ
Α
Β
,
SEL UM ES t, “ ZTE τριγώνῳ») τὸ μειίον τῷ ελασσον! , ὁπερ ἐστίν ἀδύνατον" οὐκ dpa παράλληλός ἐστινθ à ΑΖ τῇ BE. Ομοίως d'a δείξομεν ὅτι οὐδὲ ἀλλη τις πλὴν τῆς AA* ἡ AA ἄρα τῇ ΒΕ ἐστὶ παράλ--
ληλοςῖο, Τὰ ἄρα ἴσα. καὶ τὰ ἐξᾷς. Γ 2 ΠΡΟΤΑΣΙΣ μα.
\ a " , , E Ἐὰν παραλληλόγραμμον τριγώνῳ Baci τε £x ^ 39 \ \ 2 ^ , m ^ S T? αὐτήν. καὶ ey ταῖς αυταῖς παραλλήλοις "* ; SN \ , διπλάσιον ἐστὶ! τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ
, τριγώνου,
67
JEquale igitur est ABT triangulum ipsi ΖΓΕ iriangulo ; in æqualibus enim basibus sunt ΒΓ» TE et in eisdem parallelis BE, AZ. Sed ΑΒΓ triangulum æquale est ipsi ATE triangulo; et
ATE triangulum igitur æquale est ipsi ΖΓΕ trian-
Δ
E
gulo, majus minori, quod est impossibile; non igitur parallela est AZ ipsi BE. Similiter autem ostendemus neque aliam quampiam esse preter AA; AA igitur ipsi BE est parallela. Ergo aequalia , etc. PROPOSITIO XLI. Si parallelosrammum quam triangulum basim P 8 qu gu
habeat eamdem , et in eisdem parallelis sit,
duplum est parallelogrammum trianguli.
Le triangle ΑΒΓ est égal au triangle zrE (58) ; puisque ces deux triangles sont construits sur des bases égales Br, TE, et qu'ils sont entre les mêmes parallèles BE, 4z. Mais le triangle ΑΒΓ est égal au triangle 4rE; donc le triangle ATE est égal au triangle zrE, le plus grand au plus petit, ce qui est impossible ; donc ΑΖ n'est point paralléle à ΒΕ. Nous démontrerons semblablement qu'aucune
autre droite, excepté 44, n'est parallèle à BE ; donc Aa est parallèle à ΒΕ. Donc, etc.
PROPOSITION XLI.
Si un parallélogramme a la méme base qu'un triangle, et s'il est dans les mêmes parallèles, le parallélogramme est double du triangle.
68 LE PREMIER LIVRE DES
, M \ , ^ Παραλληλογρήμμον γὰρ τὸ ΑΒΓΔ Thiyovt τῷ
͵ “2 , \ > \ \ \ 3 EBT βάσιν τε ἐχέτω τὴν αὐτὴν τὴν BT, καὶ ἐν
P , ; 2 >! j
ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἔστω" ταῖς ΒΓ. AE*
, e , ^ 2 \ , λέγω Ovi διπλόσιόν ἴστε τὸ ΑΒΓΔ παραλλῆλό-
a ; γράμμον τοὺ EBT τριγώνου.
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΓ.
py X / 3 ^ πο Icoy δὴ ἐστι τὸ ABT τρίγωνον" τῷ EBT vpi- ^ 2 7᾽ X es 32 ^ ys , d 3 ^ γωνῳ" ἐπὶ Te γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως ἐστὶν αὐτῷ = \ > RTE A pM πῆς BI και εν ταῖς αὑταῖς παρελλήλοις ταις BT, M \ |: , Ἶ , AE. Αλλὰ τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον διπλά- : d 3 ^ € € M ^ la CI0Y ἐστί τοῦ ABT τριγώνου" ἡ yap AI διάμετρος SEA " , ej \ . αὐτὸ δίχα τέμνει" ὥστε τὸ ΑΒΓΔ παρελληλό-- Ν ^ , 5 \ , γρμμον καὶ τοῦ EBT τριγώνου ἐστὶ διπλάσιον.
Ἐὰν ἄρα παραλληλόγραμμον , καὶ τὰ ἑξῆς.
Su ELEMENTS D'EUCLIDIE. Parallelogrammum enim ΑΒΓΔ quam trian- gulum EBP basim habeat eamdem ΒΓ, ct in eisdem parallelis ΒΓ, AE sit: dico duplum esse
ΑΒΓΔ parallelogrammum EBT trianguli.
s Jungatur enin AT.
JEquale igiter est ABT triangulum ipsi ΕΒΓ trian- gulo; nam super cádem basi est Br super quà ipsum EBF , et in eisdem parallelis BP , AE. Sed ΑΒΓΔ parallelogrammum duplum est ipsius ΑΒΓ trianguli, nam AT diameter ipsum bifariam sccat; quare ΑΒΓΔ parallelogrammum et ipsius EBP trianguli est duplum. Si igitur parallelo-
graumum, etc.
Que le parallélogramme ΑΒΓΔ ait la méme base ΒΓ que le triangle E£r , et qu'il soit entre les mêmes parallèles ΒΓ, AE; je dis que le parallélogramme ΑΒΓΔ est
double du triangle EBr. Joignons Ar.
Le triangle ΑΒΓ est égal au triangle ἘΒῚ (57), puisqu'il est sur la même base ΒΓ
que lui et entre les mémes parallèles ΒΓ,
AE
Mais le parallélogramme ΑΒΓΔ est
" " , , double du triangle ΑΒΓ, car la diagonale AT partage ce parallélogramme en deux parties égales (54); donc le parallélogramme ΑΒΓΔ est double du triangle Er. Donc, etc.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
HPOTAZIZ μβ΄.
, EM : / To δοθέντι τργῶνῷ 1o0y παραλληλογράμμον σασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ συστησατῦα! ἐν τῇ COUeiTQ γῶν ευὐὐυγράμμῳ . \ \ VN ! M €e- nl EST TO μὲν δοῦεν τριγώνον τὸ ABI, 4 05 y > e CAN de δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος à? A* δεῖ δὴ τῷ ABT 7 2 ] τριγώνῳ ἴσον ret pa ANA oy peru ον συστήσασθαι
-
3 3 - / , ^, εν 104? τῇ Δ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
Α
b E
, € , \ \ \ Τετμήσθω ΒΓ δίχα xara r0 E, xc e7- , € Ν , N TU aevi 3^ / εζεύχθω ἡ AE, καὶ συνεστώτω πρὸς τῇ ET euJeict N D M 5 e , fs (e , L4 xai TQ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ E TA A γωνίῳ in s N \ \ nm es e n ἡ ὑπὸ TEZ, καὶ δια μὲν τοῦ Α τῇ ET παραλ- B € \ Y \ 7^ T7 , AnAoc ἤχθω ἡ AH, dia δὲ τοῦ T τῇ EZ παράλ- / e , E > \ AnAoc ἤχθω 14H" παραλληλογραμμον ἀρὰ ἐστι \ 70 ZETH. NE Ny 3 ἊΝ € 5» » \ Καὶ ἐπεὶ 102 «075v ἡ BE τῇ ET , 170v ἐστι xci
τὸ ABE τρίγωνόν τῷ AET τριγώνῳ" ἐπί τε γὰρ
69 PROPOSITIO XLII.
Dato triangulo æquale parallelogrammum constituere in dato angulo rectilineo.
Sit quidem datum triangulum ABF, datus vero angulus rectilineus A; oportet igitur ipsi ΑΒΓ triangulo æquale parallelogrammum constituere
in equali ipsi A angulo recülineo.
7 H d
L—
Secetur ΒΓ bifariam in E, et jungatur AE, et constituatur ad EF rectam et ad punctum in cà E ipsi A angulo equalis ΓΕΖ, ct per À quidem ipsi ET parallela ducatur AH, per T vero ipsi EZ parallela ducatur ΓΗ ; parallelogrammum
igitur est ΖΕΓΗ.
Et quoniam æqualis est BE 1psi ET, æquale est
et ABE triangulum ipsi AET triangulo; nam super
PROPOSITION XLII.
Construire, dans un angle rectiligne donné, un parallélogramme égal à un
triangle donné.
Soit ΑΒΓ le triangle donné, et ^ l'angle rectiligne donné; il faut construire un parallélogramme égal au triangle ΑΒΓ dans l'angle rectiligne a.
Coupons la droite ΒΓ en deux parties égales en E (10), joignons AE, sur la droite ET, etau point E de cette droite construisons un angle rEz égal à l'angle Δ (55), par le point A conduisons AH parallèle à Er (51), et par le point r conduisons ΤῊ parallèle à ΕΖ; la figure ΖΕΓΗ sera un parallélogramme.
Puisque BE est égal à Er, le triangle ABE est égal au triangle AEr (58), car
70 LE PREMIER LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
Jouy βάσεών εἰσι vv BE , ET καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΤ. AH* διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ABT τρίγωνον τοῦ AET τριγώνου. Ἐστι δὲ καὶ τὸ ΖΕΤΗ παραλληλόγραμμον διπλείσιον τοῦ
, ΄ ^ Ft \ E D! AET τριγώνου" βάσιν τε ysp αὐτῷ τὴ» αὐτὴν
sn , στιν αὐτῷ "repa? AnAoic*
EY X νόσος , ^ στ! τὸ LETH παραλληλόγραμμον. τῷ
; τὴν ὑπὸ TEZ γωνίαν Frans τῇ δοθείσῃ τῇ A.
Τῷ dpa δοθίντι τριγώνῳ τῷ ABT ἴσον παραλ- ληλόγραμμον συνέστεται" τὸ LETH, ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ LEZ, ὕτιςῦ ἐστὴν ἴση τῇ Δ. Οπερ ἔδει
στο σα.
aequalibus basibus BE, ET sunt, ct in eisdem parallelis ΒΡ, AH; duplum igitur est ΑΒΓ triangulum ipsius AET trianguli. Est autem et ZETH parallelogrammum duplum ipsius AET
trianguli; basim enim quain AET eamdern habet ,
7 H
et in eisdem est parallelis in quibus ipsum AET ; æquale igitur est ZETH parallelogrammum ipsi ΑΒΓ lriangulo, et habet ΓΕΖ angulum a qualem dato A.
Dato igitur triangulo ABT a; quale parallelo- grammum conslitatum est ΖΕΓΗ in angulo ΓΕΖ
qui est æqualis ipsi A. Quod oportebat facere.
ils sont sur des bases égales BE, Er, et entre les mêmes parallèles Er, AH; donc le triangle Abr est double du triangle AEr. Mais le parallélogramme ZErH est double du triangle 4Er (41) , car il a la méme base que lui, et il est dans les mêmes parallèles zilouc le parallélogramme ΖΕΓΗ est égal au triangle ABT (not. 6), et il a l'angle rzz égal à l'angle donné Δ.
Iv] Le Donc le parallélogramme ΖΕΓΗ a été construit égal au triangle ΑΒΓ dans un angle qui es égal à l'an onné A; ce qu'il fallait faire. gle qui est ΓΕΖ égal à l'angle d ^; ce qu'il fallait faire
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. τι
HPOTAZIX puy.
Παντὸς παραλληλογράμμου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώ- para ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
Ἐστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ. dique τρὸς δὲ αὐτοῦ ἡ AT , περὶ δὲ τὴν ΑΤ παραλλή- λόγραμμα μὲν ἔστω τὰ EO , ZH, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ BK, ΚΔ' λέγω $71 ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΚ παραπλήρωμα τῷ KA παραπλη-
ρώματι e.
PROPOSITIO XLIII.
Omnis parallelogrammi eorum circa diame- trum parallelogrammorum complementa æqualia inter se sunt.
Sit parallelogrammum ABTA, diameter autem ipsius AT, et circa AT parallelogramma quidem sint EO , ZH , ipsa vero dicta complementa BK , KA; dico æquale esse BK complementum ipsi KA complemento.
Ἐπεὶ ydp παραλληλόγραμμόν ἔστι τὸ ΑΒΓΔ. διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ AT, ἴσον iTi τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ATA τριγώνῳ, Πελιν. ἐπεὶ παραλ- ληλόγραμμόν ἐστι τὸ EKOA , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐστὶν à AK, ἴσον ἄρα! ἐστὶ τὶ AEK τρίγωνον τῷ
AOK τριγώνῳ. Διὰ saa TA δὴ καὶ τι KZ. τρίγωνον
PROPOSITION
Quoniam enim parallelogrammum est ΑΒΓΔ, diameter autem ipsius AT, æquale est ABT trian- gulum ipsi ATA triangulo. Rursus quoniam paral- lelogrammum est EKOA , diameter autem ipsius est AK, æqualcest AEK triangulum ipsi AOK trian-
gulo. Propter eadem et KZr triangulum ipsi KHT
XLIII.
Dans tout parallélogramme, les complémens des parallélogrammes, autour de
la diagonale, sont égaux entr'eux.
Soit le parallélogramme ΑΒΓΔ, que 2r soit sa diagonale, qu'autour de Ar soient
les parallélogrammes Eo, zu, et les parallélogrammes Ex, KA qu'on appelle com- pléments; je dis que le complément ΒΚ est égal au complément Ka.
Car puisque ABrA est un parallélogramme , et que AT est sa diagonale, le triangle ABr est égal au wiangle ΑΓΔ (54). De plus, puisque EKOA est un parallé- logramme, ct que AK est sa diagonale, le triangle AEK est égal au triangle 46x ; le wiangle Kzr est égal au triangle Kur, par la méme raison; donc puisque le
72 LE.PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
A
P s , niy \ s! \ [3 \ \ τῷ KET τριγώνῳ ἐστιν σὸν. Ἐπεὶ OUY TO μὲν
τὶ 2 NDS, A Un AEK τρίγῶνον τῷ AOK Tply@y® EOTIV 1009 , τὸ δὲ ^l SE = , \ ^ > \ KZY τῷ KHT, τὸ AER τρέγωνον μετὰ rou KHT ἐστὶν » ^ AI , \ - n ΄, ἐσὸν τῷ ΑΘΚ provo uera rou KZT τριγώνου" L4 M Sd M , e ^: ἐστι δὲ καὶ ἕλον τὸ ABT τρίγωνον ὁλῷ τῷ ΑΔΓ
c \ 5 \ - , ^ “λοιπὸν ἄρα τὸ BK παραπληρομα Acro
ἐσον
- , > » 9 \ Ὁ τῷ HA παραπληροματι eot icoy?. Παντὸς ape Ve
, \ \ παραλληλογρόμμου.. καὶ το ε
HPOTAZIEZ pd.
>
nr ^ , ! euUeidy , τῷ δοθέντι τρὲ-
Παρὰ τὴν δυθεῖτο
!
, Y x »
Qro TOY σπαροαλλῇ] £ D Î
soaumuor παραξαλεῖν. ἐν b r^i P >
P 38 tic tUZU VT I
dup. [i LI ^ ΕΣ e Li X A δ Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ AB, τὸ δὲ δεθεν \ TRE E ND τρίγωνον πὸ T , ἡ dé δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος € e ^ x ^ D ^h n M ἢ Δ' dei δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν AB, dT wg es MN τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ T ἴσον παραλληλόγραμμον πο ; capaCaAdr, ἐν ἴσῃ τῇ A γωνέᾳ. , LE" ^ 357 , Συνέστατῷ τῷ T τριγώνῳ σὸν παραλληλο-
γράμμον πὸ ΒΕΖΗ. ἐν Doria τῇ ὑπὸ EEH ,
n
e 3 3, 4 € N / ^ e 5 » 58 » "» €97T1Iy 40H Τὴ A* καὶ 461040) ὥστε ἐπ εὐσεας
est aequale. Quoniam igitur AEK quidem trian- gulum ipsi A6K iriangulo est æquale; KZT vero ipsi KHT , triangnlum AEK cum ipso KHF est æquale ipsi A@K triangulo cum KZP triangulo ; est autem et totum. ABT triangulum toli AAT e quale. Reliquum igitur BK complementum re- liquo HA complemento est æquale. Oinnis igitur
parallelogrammi, etc.
PROPOSITIO XLIV.
Ad datam rectam , dato triangulo æquale parallelogrammum | applicare in dato angulo rectilineo.
Sit quidem data recta AB , datum vero trian- gulum FP, et datus angulus rectilineus Δ; oportet igitur ad datam rectam AB, dato triangulo T æquale parallelogrammum applicare in æquali ipsi A angulo.
Constituatur ipsi P triangulo æquale parallelo- grammum BEZH, in angulo EBH qui est equalis, ipsi Δ; ct ponatur in directum BE ipsi BA, et
triangle AEK est égal au triangle 46K, et le triangle Kzr égal au triangle Kur, le
triangle AEK , avec le triangle KHr, est égal au triangle ΑΘΚ avec le triangle Kzr;
mais le triangle entier ΑΒΓ est égal au triangle entier ΑΔΓ; donc le complément restant BK est égal au complément restant HA (not; 5). Donc, etc.
PROPOSITION
XLIV.
À une droite donnée, et dans un angle rectiligne donné, appliquer un paral-
lclogramme égal à un triangle donné.
Que ΑΒ soit la droite donnée, r le triangle donné, et A l'angle rectiligne
donné; il faut sur la droite ΑΒ et dans un angle égalà ^, appliquer un parallé-
logramme égal au triangle donné r.
Dans un angle EBH égal à l'angle ^, construisons un parallélogramme BEZH égal au triangle r (42), placons la droite BE dans la direction de la droite ΒΑ, prolon-
LE PREMIER LIVRE DES
" M ^ , εἶναι τὴν BE τῇ BA' ,. xai δηήχθω à ZH ἐπὶ τὸ N \ ^ ε , ^ , © , καὶ διὰ τοῦ A o7roTépi τῶν ΒΗ. EZ παραλ- L4 € δι , e AuAoc ἤχθω ἡ AO, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ OB. Kai ΓΟ ΤῊΝ \ 3n mm 7i εἰς παραλλήλους ras ΑΘ. EZ εὐθεῖα &y- ΄ ete \ E ἔπεσεν" ἡ OL, «i ὑπὸ AOL, OZE apa γω- / \ > - ΣΉΝ STR esr eni vía; δυσὶν ὀρθαῖς εἰσὶν ἰσαι" αἱ apa ὑπο , ^ , , M BOH, HZE δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες εἰσίν" αἱ δὲ 3 \ , , *» , ? ^ , LA > ἀπὸ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν eic a7repov ἐκ- € LA > ζαλλόμεναι συμπίπτουσιν" αἱ OB , ZE apa ex- ^ la \ ζαλλόμεναι συμπεσοῦνται. ἙἘκ(εξλήσθωσαν καὶ , M \ ^ δὶ \ ^ συμπιπτέτωσαν κατα TO Ky, καὶ dit TOU K ^ , x σημείου ὁποτέρᾳ τῶν EA , ZO παραλλήλος ἤχθω € , € > ^ M ἡ KA, καὶ ἐκ(εξλήσθωσαν αἱ OA, HB ἐπὶ τὰ
A, M σήμεῖας
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 3 producatur ZH ad ©, et per A alterutri ipsarum BH, EZ parallela ducatur AO, et jungatur ΘΒ. Et quoniam in parallelas ΑΘ, EZ recta incidit OZ, ipsi AOZ, OZE anguli duobus rectis sunt equales; ergo BOH , HZE duobus rectis minores sunt; rectz autem a minoribus quam duobus rectis in infinitum producte concurrunt; ΘΒ, ZE igilur productæ concurrent. Producantur et concurrant in K , et per K punctum alterutri ip- sarum EA , ZO parallela ducatur KA, et produ- cantur ΘΑ; HB ad A, M puncta.
à
ἸΠαραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ OAKZ , διά-
CEA
perpoc δὲ αὐτοῦ ἡ OK, περὶ δὲ τὴν OK? πα- ραλληλόγραμμα μὲν τὰ AH, ME, Ta δὲ λεγό-
Mea. παραπληρώματα Tai AB 9 BZ° ἴσον ἄρα ἐστὶ
ΤΩ͂Ν
Parallelogrommum igitur est ΘΑΚΖ, diame- irum autem ipsius OK, et circa ΘΚ parallelo- gramma quidem AH, ME , ipsa vero dicta com-
plementa AB , BZ; æquale igitur est AB ipsi ΒΖ,
geons la droite ΖΗ vers ©, par le point A conduisons ΑΘ parallèle à l'une ou à l'autre des droites BH, Ez (51), et joignons ΘΒ. Puisque la droite ez tombe sur les parallèles ΑΘ, Ez, les angles ΑΘΖ, @ZE sont égaux à deux droits (29); donc les angles BH, HZE sont moindres que deux droits. Mais les droites prolongées à l'infini, du cóté où les angles intérieurs sont moindres que deux angles droits, se rencontrent (dém. 5); donc les droites ΘΒ, ΖΕ étant prolongées, se rencontreront; qu'elles soient prolongées (dém. 2), et qu'elles se rencon- irent en K; par le point K, conduisons KA parallèle à l'une ou à l'autre des droites EA, ze (51), et prolongeons les droites ΘΑ. HB vers les points A, M. La figure @AKZ est un parallélogramme, ΘΚ est sa diagonale, et autour de ΘΚ sont les parallélogrammes AH, ME, et les parallélogrammes AB, ΒΖ, qu'on
nomme compléments ; donc AB est égal à ΒΖ (45). Mais ΒΖ est égal au triangle 10
75 τὸ AB τῷ ΒΖ. AAAG7 τὸ ΒΖ τῷ T τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον" καὶ τὸ AB ἄρα TQT ἐστὶν ἴσον. Καὶ ἐπεὶ ἔτη ἐστὶν ἡ ὑπὸ HBE γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΜ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ HBE τῇ Δ ἐστὶν ica* καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ ἄραϑ τῇ Δ γωνίᾳ. ἐστὶν ἴση.
Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ. τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Τ ἴσον παραλληλόγραμμον παραξεξληται τὸ AB, ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΜ.
e" / ^ »! ^ À ἐστιν Ion Th À, OTep ἔδει ποιῆσαι.
A ,
IPOTAZIZ Ht
TS δοθέντι εὐθυγράμμῳ. ἴσον παραλληλό- SN ES. γράμμον συστήσασθαι. t» τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ
εὐθυγράμμῳ".
Ἑστω τὸ po δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ ΑΒΓΔ. ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ E* δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓΔ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον
M D "AME συστήσασθαι. ἐν τῇ δοθείση" γωνίᾳ, τῇ E.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Sed ΒΖ ipsi F triangulo est æquale ; et AB Igitur ipsi P est æquale. Et quoniam æqualis est HBE angulus ipsi ΑΒΜ, sed HBE ipsi A est æquale ; et ΑΒΜ igitur ipsi À angulo est æqualis.
Ad datam igitur rectam AB, dato triangulo T æquale parallelogrammum applicatum est AB, in angulo ΑΒΜ qui est æqulis ipsi Δ. Quod opor- tebat facere.
PROPOSITIO XLV.
Dato rectilineo , æquale parallelogrammum
constituere , in dato angulo rectilineo.
Sit quidem datum rectilineum ABT A, datus vero angulus rectilineus Εἰ ; oportet igitur 1psi ABTA recüilineo æquale parallelogrammum cons- tituerc , in dato angulo E.
*
r; donc AB est égal à r. Et puisque l'angle HBE est égal à l'angle ΑΒΜ ( 15), et que l'angle HBE est égal à l'angle 4, l'angle ΑΒΜ est égal à l'angle 4.
Donc à la droite donnée ΑΒ, et dans l'augle ΑΒΜ égal à δ, on applique le parallélogramme 48 égal au triangle donné r; ce qu'il fallait faire.
PROPOSITION XLV.
Construire, dans un angle rectiligne donné, un parallélogramme égal à une
figure rectilisne donnée.
. d “7. , , GE r . Soit ΑΒΓΔ la figure rectiligne donnée , et E l'angle rectiligne donné ; il faut , dans l'angle donné E, construire un parallélogramme égal à la figure rectiligne ΑΒΓΔ.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 75
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ AB, καὶ συνεστάτω τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ZO , ἐν τῇ ὑπὸ ΘΚΖ γωνίᾳ, à ἴση ἐστὶ! τῇ E* καὶ παρα(ε(λήσθω παρὰ τὴν OH εὐθεῖαν τῷ ALT πριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ HM, ἐν τῇ ὑπὸ ΗΘΜ γωνίᾳ. à ἐστιν ἴση τῇ E.
Καὶ ἐπεὶ à E γωνία ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ GKZ, ΗΘΜ ἐστὶν ἴση" καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΖ ἄρα" τῇ ὑπὸ ΗΘΜ ἐστὶν ἴσηῦ, Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΚΘΗ" αἱ ἄρα ὑπὸ 2ΖΚΘ. ΚΘΗ ταῖς ὑπὸ KOH , HOM ἴσαι εἰσίν. AAX ai ὑπὸ ZKO , KOH δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν" καὶ αἱ ὑπὸ ΚΘΗ, ΗΘΜ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Ylpóc δὴ τινι εὐθείᾳ τῇ ΗΘ, καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ ©, duc εὐθεῖαι αἱ OK, OM, μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι, τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν" ἐπὶ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΘΜ. Καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς KM, ZH εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ OH, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ MOH , OHZ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί. Κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ ΘΗΛ’ αἱ ἄρα ὑπὸ MOH, ΘΗΛ ταῖς ὑπὸ OHZ, ΘΗΛ ire εἰσίν. Αλλ αἱ ὑπὸ MOH , GHA dusir
Jungatur enim AB, et constituatur ipsi ABA triangulo æquale parallelogrammum Z6 , in OKZ angulo, qui æqualis est ipsi E; et applicetur ad OH rectam ipsi ΔΒΓ triangulo æquale parallelo- grammum ΗΜ, in HOM angulo , qui estaequalis ipsi E.
Et quoniam E angulus utrique ipsorum OKZ, HOM est qualis; et ΘΚΖ igitur 1051 HOM est æ- qualis. Communis addatur KOH; ergo ZKO, ΚΘΗ, ipsis KOH,HOM æquales sunt. SedZK6, ΚΘΗ duo- bus rectis æquales sunt ;et KOH, HOM igitur duo- bus rectis equales sunt. Adaliquam igitur rectam ΗΘ, etad punctum in eà Θ, duæ recte OK , ΘΜ, non ad easdem partes posit: , deinceps angulos duobus rectis æquales faciunt ; in directum igitur est KO ipsi OM. Et quoniam in parallelas KM, ZH recta incidit OH , alterni anguli. MOH , OHZ equales inter se sunt. Communis addatur OHA ; ergo MOH , ΘΗΛ ipsis OHZ, ΘΗΛ a quales sunt. Sed MeH , @HA duobus rectis æquales sunt ; et GHZ, ΘΗΔ igitur duobus rectis equales sunt ; in
directum igitur est ZH ipsi ΗΔ. Et quoniam KZ
Joignons AB, et construisons dans langle €kz (gal à l'angle E le pa- rallélogramme ze égal au triangle ΑΒΔ (42), et à la droite ΗΘ. appliquons dans l'angle HeM égal à l'angle E, le parallélogramme HM égal au trian- gle ΔΒΓ.
Puisque l'angle E est égal à chacun des angles ekz, ΗΘΜ, l'angle ekz est égal à l'angle ΗΘΜ ; ajoutons-leur l'angle commun ΚΘΗ ; les angles zxo , ΚΘΗ seront égaux aux angles ΚΘΗ, ΗΘΜ, Mais les angles ΖΚΘ. ΚΘΗ sont égaux ἃ deux droits (29); donc les angles K@H, ΗΘΜ sont égaux à deux droits. Donc les deux droites ΘΚ. @M, non placées du même côté, font avec la droite HO, et au point Θ de cette droite, deux angles de suite égaux à deux droits ; donc la droite ΚΘ est dans la direction de la droite ΘΜ (14). Et puisque la droite 6H tombe sur les parallèles KM, ΖΗ, les angles alternes Meu, ΘῊΖ sont égaux entr'eux (29). Ajoutons-leur l'angle commun ΘΗΛ; les angles M@H, ΘΗΛ seront égaux aux angles eHz, ΘΗΛ. Mais les angles MeH, @HA sont égaux à deux droits (»9); donc les angles GHz , @HA sont aussi égaux à deux
76 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶν" καὶ αἱ ὑπὸ OHZ, ΘΗΛ ἄρα δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν" ἐπὶ εὐθείας ἄρα ἐστὶν" ἡ LH τῇ HA. Καὶ ἐπεὶ ἡ ΚΖ τῇ OH ion τε καὶ παράλληλός ἐστιν, ἀλλὰ καὶ ἡ OH τῇ MA* καὶ ἡ KZ ἄρα τῇ MA ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν" καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ KM, ZA, καὶ αἱ KM, ZA ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν" παραλληλόγραμμον ἄρα ἰστὶ τὸ KZAM. Καὶ ἐπεὶ ἤτον ἐστὶ τὸ μὲν ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ZO παραλλη- λογράμμῳ. τὸ δὲ ABT τῷ HM* ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ εὐθύγραμμον ὅλῳ τῷ KLAM παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον 9.
Τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ ΑΒΓΔ ἴσον παραλληλόγραμμον συνίσταται τὸ KLAM , ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ZKM, ἥ ἐστιν ἴση τῇ. δοθείσῃ
τῇ E. Οπερ ἔδει ποιῆσαι. ΠΡΟΤΑΣΙΣ peg.
^ , 5» Απὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τετράγωνον aya γράψαι. Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα n AB* dei δὴ ἀπὸ τῆς
ΑΒ εὐθείας τετράγωνον ἀνα) paa.
ipsi OH æqualis et parallela est , sed OH ipsi MA; el KZ Igitur ips MA æqualis et parallela est; et jungunt ipsas recte KM, ZA, et KM, ZA æquales et parallele. sunt; parallelogrammum igitur est KZAM, Et quoniam aquale est quidem ΑΒΔ triangulum ipsi ZO parallelogrammo ; ABT vero ipsi HM; totum igitur ABTA rectilineum toti
KZAM parallelogrammo est æquale.
Ergo dato recülineo ABTA æquale parallelo- grammum constitutum est KZAM in angulo ZKM,
qui est equalis dato E. Quod oportebat facere.
PROPOSITIO XLVI.
Ex datà rectà quadratum describere.
Sit data recta AB; oportet igitur ex AB reclà
quadratum describere.
droits; donc la droite ΖΗ est dans la direction de la droite HA; mais ΚΖ est égal et parallèle à eH, et eH égale et parallèle à MA ; donc la droite ΚΖ est égale et parallèle à MA (not. 1 et 50) ; mais ces deux droites sont jointes par les droites KM, ZA, et les droites KM, ZA sont égales et parallèles (55); donc KZAM est un parallélogramme. Mais le triangle ΑΒΔ est égal au parallélogramme zo, et le triangle abr est égal au parallélogramme EM; donc la figure recti- ligne entière ΑΒΓΔ est égale au parallélogramme entier KZAM. Donc le parallélogramme KZAM a été construit égal à la figure rectiligne donnée ΑΒΓΔ, dans l'angle ZKM égal à l'angle donné E ; ce qu'il fallait faire. PROPOSITION XLYT
Décrire un quarré avec une droite donnée. Soit AB la droite donnée ; il faut décrire un quarré avec la droite ΑΒ.
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 77
Ἤχθω τῇ AB εὐθείᾳ. ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτὴ ση- μείου τοῦ A, πρὸς ὀρϑὰς ἡ AT* καὶ κείσθω τῇ AB ἴση ἡ AA* καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ σημείου τῇ AB παράλληλος ἤχθω ἡ AE* διὰ δὲ τοῦ B σημείου 7j ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ BE,
Α
, MN \ \ » Παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ’ ira L4 e X ^ € ^ at po. ἐστὶν ἡ μὲν AB τῇ AE, " δὲ AA τῇ BE. \ e ^ 3 / , Αλλὰ ἡ AB τῇ AA ἐστὶν ἔση" αἱ τέσσαρες / € » , Su) ἄρα αἱ BA, AA, AE, EB ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν" , 3, A 4 ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ παραλληλύγραμ- , NU A 9 "8 \ \ 5 μον. Λέγω δὲ ὅτι καὶ ὀρθογώνιον. Ἐπεὶ yep eie παρ- b ' : αλληήλους πὲς AB, AE εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ AA° αἱ » € \ \ D » ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ, ΑΔΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι \ M € € \ \ LA \ € εἰσίν. Ορθὴ δὲ ἡ ὑπὸ BAA* ὀρθὴ ἄρα καὶ n € ^ M , ὑπὸ ΑΔΕ. Τῶν δὲ παραλληλογράμμων χωρίων « » ͵ ͵ AY / » 3 αι ἀπεναντίον πλευραί τε καὶ γωνίαι σαι ἀλ- , 37. , \ »! N15€ , ^ ΕἸ λήλαις εἰσίν" ὑρθὴ ἀρα καὶ ἑκατέρα τῶν ἀπ-
MN CEA À ἐναντίον τῶν ὑπὸ ΑΒΕ, BEA γωνιῶν" ὀρθογώνιον
Ducaturipsi ABrectæ, a puncto in eà A, ad rectos ipsa AT ; et ponatur 1psi AB æqualis AA ; et per A qaidem punctum ipsi AB parallela ducatur AE;
per B vero punctum ipsi AA parallela ducatur BE.
Parallelogrammum igitur est AAEB; æqualis igitur est quidem AB ipsi AE, AA vero ipsi BE. Sed AB ipsi AA est equalis; quatuor igitur BA, AA, AE, EB quales inter se sunt ; æquilaterum igitur est AAEB parallelogrammum. Dico etiam et rectangulum. Quoniam enim in parallelas AB, AE recta incidit AA ; ergo ΒΑΔ, AAE anguli duobus rectis æquales sunt. Rectus autem est BAA; rectusigitur et AAE. Parallelogrammorum autem spatiorum opposita latera et anguli aequalia inter se sunt ; rectus igitur et uterque opposito- rum ABE , BEA angulorum'; rectangulum Igitur
est ΑΔΕΒ. Ostensum autem est ct equilaterum :
Du point ^, donné dans cette droite, conduisons AT perpendiculaire à AB (11); faisons 4A égal à AB (5); par le point ^ conduisons ΔῈ parallèle à ΑΒ (Su); et par le point B conduisons BE parallèle à 44.
La figure AAEB est un pallalélogramme ; donc ΔΒ est égal à AE, et AA égal
à BE. Mais AB est égal à 44; donc les quatre droites BA, AA, AE, EB sont égales entr'elles; donc le parallélogramme AAEB est équilatéral. Je dis aussi qu'il est rectangle. Car puisque la droite A4 tombe sur les parallèles AB, AE, les angles ΒΑΔ; AAE sont égaux à deux droits (29); mais l'angle ΒΑΔ est droit; donc l'angle AAE est droit aussi. Mais les côtés et angles opposés des parallélogrammes sont égaux entr'eux (54); donc chacun des angles opposés ABE, BEA est droit; donc le parallélogramme AAEB est rectangle; mais nous avons démonué qu'il est
ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ. Ἐδείχθῃ δὲ καὶ ἰσόπλευρον" ΄ » / \ ^T τετράγωνον ἄρα ἐστὶ, καὶ ἔστιν ἀπὸ τῆς AB
"θείας avayen vor. Ocrep ἔδει ποιῇ, εὐθείας ἀναγεγρυμμενον. περ 6081 ποιῆσαι.
ΠΡΟΤΑΣῚΣ μζ΄.
m » ^ , , \ » A! ^ Ev τοῖς ορθβογωνίοις τριγῶνοις5 TO ἀπὸ τῆς e , ^ , Ty ὀρθὴν γωνίαν υποτεινουσὴς πλευρεῖς TéTpci- Ls \
E » \ ^ M » M H γῶνον. ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ TOV τὴν ὀρθὴν γωνίαν
^ E , περιεχουσῶν πλευρῶν τετρα) er cie.
m
FA E
A A
, » , \ 2 \ L4 Ἑστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ABT, ὀρθήν ἔχον \ € Ἃ PET e ur» \ ^ τὴν ὑπὸ BAT γωνίαν!" λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς BT , » , à D: , \ EM = τετράγωνον ἰσὸν ETTH TOIS ἀπὸ τῶν BA, ΑΓ Te-
; τράγωνοις.
LE PREMIER LIVRE DES
ELEMENTS D'EUCLIDE. quadratum igitur est, et est ex AB rectà descrip-
tum. Quod oportebat facere.
PROPOSITIO XLVII.
In rectangulis triangulis , quadratum ex latere rcctum angulum subtendente æquale est quadra-
tis ex lateribus rectum angulum conünentibus.
Ε
Sit. triangulum. rectangulum ABD, rectum habens BAT angulum ; dico quadratum ex ΒΓ
æquale esse quadratis ex ipsis BA, AT.
équilatéral; donc le parallélogramme AAEB est un quarré, et il est décrit avec la
droite AB ; ce qu'il fallait faire.
PROPOSITION
XLVII.
Dans les triangles rectangles, le quarré du cóté opposé à l'angle droit est
égal aux quarrés des côtés qui comprennent l'angle droit. Soit ABT un triangle rectangle, que Bar soit l'angle droit; je dis que le quarré
du côté ΒΓ est égal aux quarrés des côtés BA, AT.
4g
LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 7$
^ M » \ \ ^ , Αναγεγράφθω γάρ ἀπὸ μεν τῆς ΒΓ τετράγωνον x \ Δ ^ \ \ τὸ BAET* ἀπὸ δὲ τῶν BA, AT τὰ HB, ΘΓ" καὶ \ ^ € , e , dia τοῦ A οποτέρᾳ τῶν BA, TE παράλληλος A e V2 , € ἤχθω ἡ AA° καὶ ἐπεζεύχθωσαν αι AS, ZT. NE, NY 22. P3 e , ^ € M Καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν exaTepa τῶν ὑπὸ BAT, ^ \ , E / 9 e \ BAH γωνιῶν" 7rpoc d'a Tivs εὐθείᾳ: Ti BA, καὶ ^ Y , ^ , ^ , , n € τῷ πρὸς αὐτῇ cupio τῷ À, δύο εὐθεῖαι αἱ Na \ \ 3 M , 7 M AT, AH, μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μερὴ κείμεναι. τὰς 3 Ee ! UV ΠῚ δ 2) ^ 3 , ἐφεζῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαὶς σᾶς ποιουσιν" ET 3 / » \ € ^ \ A 3 \ εὐθείας ἀρὰ ἐστὶν ἡ ΤΑ TA AH. Διὰ τὰ αὐτὰ M Vue ^- , N 23123 , ,ὔ NET \ δὴ καὶ ñ BA τῇ AO ἐστιν ἐπ εὐθείας. Καὶ ἐπεὶ » 3 Ν € ' M M^ € M > M ica ἐστὶν ἡ ὑπὸ ADT γωνία τῇ ὑπὸ ZBA, opfa \ e , ^ ve \ 7 yap ezerepe 5 κοινὴ προσκείσϑω ἡ ὑπὸ ΑΒΓ" oa 5», ec ed f € Y \ » ἄρα Ἢ ὑπὸ ABA ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστὶν icm. N5,13 Ny > ^ € A ^ « M Καὶ eei 102» ἐστὶν Ἡ μὲν AB τῇ BT, 9 δὲ ZB ^ , A e \ D d τῇ BA* δύο di? αἱ AB, AA δυσὶ ταῖς TB, ΒΖ 4 LEA € , € , eje \ ἴσαι εἰσὶν, ἐκάτερα ἐκαπτερᾷ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ / ^ € M » ^ , LA ε ΔΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ient Bacic àpa à ! 17 Roy Ν \ / AA βάσει τῇ ZI? ion, καὶ To ABA τρίγωνον 172 , 5 \ » \ oy 3 [2 \ τῷ LBT τριγώνῳ ἐστιν ἴσον. Καὶ to710 τοῦ μεν " \ " M eS ,ὔ ABA τρέγῶνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλλήηήλογραμ- , M À ΠΑ κ᾿ X 3 μον. Baci τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἐχουσι τὴν ΒΔ
\ 2 e , e , , D καὶ ev ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς
Describatur enim ex BP quidem quadratuin BAET ; ex Ipsis vero BA, AT ipsa HB, ΘΓ; et per A alterutri ipsarum BA, ΓΕ parallela ducatur AA; et jungantur AA, ZT,
Et quoniam rectus est uterque ipsorum BAT, BAH angulorum , ad aliquam igitur rectam BA, et ad punctum in δὰ A , duæ reci? AT, AH , non ad easdem partes posite, deinceps angulos duobus rectis equales faciunt ; in rectum igiturest TA ipsi AH. Propter cadem ct BA ipsi AO est in rectum. Et quoniam æqualis est ABT angulus ipsi ZBA , rectus enim uterque , communis addatur ADD; totus igitur ABA toti ΖΒΓ est equalis. Et quoniam equalis est quidem AB ipsi BT, ipsa vero ΖΒ ipsi BA; due utique AB, AA duabus ΓΒ, ΒΖ equales sunt, utraque utrique, et angulus ABA angulo ZBT cqualis; basis igitur AA basi ΖΡ æqualis, et ABA triangulum ipsi ZBr' triangulo est quale. Et est quidem ipsius ABA trianguli duplum ΒΛ parallelogrammum , basim enim eamdem habent BA et in eisdem sunt parallelis BA , AA ; Ipsius vero ΖΒΓ trianguli duplum BH quadratum, ct
enim rursus basim eamdem habent et in eisdem
Décrivons avec Br le quarré BAEr, et avec BA, ar les quarrés HB, AT; ect par le point A conduisons AA parallèle à l'une ou à l'autre des droites BA, IE; et joignons AA, zr.
Puisque chacun des angles BAT, BAH est droit, les deux ‘droites AT, AH, non placées du méme côté, font avec la droite BA au point A de cette droite, deux angles de suite égaux à deux droits; donc la droite rA est dans la direction de AH; la droite ΒΑ est dans la direction ΑΘ, par la méme raison. Et puisque l'angle ΔΒΓ est égal à l'angle ZBA, étant droits l'un οἱ l'autre, si nous leur ajoutons l'angle commun ΑΒΓ, l'angle entier ABA sera égal à l'angle entier ΖΒΓ (not. 4). Et puisque AB est égal à Br, et zB à ΒΑ, les deux droites AB, A4 sont égales aux deux droites ΓΒ, ΒΖ, chacune à chacune; ais l'angle ΔΒΑ est égal à l'angle ΖΒΓ; donc la base ΑΔ est égale à la base Zr, et le triangle ABA égal au triangle zer (4). Mais le parallélogramme ΒΛ est double du uiangle ABA (41), car ils ont la méme base ΒΔ et ils sont entre
A
80 LE PREMIER LIVRE DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE.
BA, AA: τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΗ τε- τράγωνον, βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν LB καὶ ἐν ταὶς αὐταὶς εἰσι παραλλήλοις ταὶς ZB, Hp! τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παρ-
αλληλύγραμμον τῷ HB τετραγώνῳ, Ομοίως
sunt parallelis ZB, ΗΓ ; æqualium autem dupla aequalia inter se sunt ; æquale igitur est et BA pa- rallelogrammum ipsi HB quadrato. Similiter au- tem juncüs AE , BK ostendetur et TA parallelo- grammum æquale ipsi OT quadrato. Totum igitur
ΒΔΕΓ quadratum duobus HB ; ΘΓ quadratis æ-
Δ A
Δ
di, ἐπιζευγνυμένων τῶν AE, BK, δειχθήσεται καὶ τὸ TA παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ OT τε- τραγώνῳ" ὅλον ἄρα τὸ BAET τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ. ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστί, Καὶ ἔστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγρωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγρα- Qv, τὰ δὲ HB, OT ἀπὸ τῶν BA, ΑΓ’ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνονϑδ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν BA, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις. Ἐν ἄρα
e » , Ν \ Len τοῖς ὀρθογωνίοις. καὶ τὰ εξῆς.
Ε
quale est, et est quidem BAET quadratum ex B descriptum , ipsa vero HB, OT ex BA , ΑΓ; ergo quadratum ex ΒΓ latere æquale est quadratis ex
BA, AT lateribus; ergo in rectangulis, etc.
les mêmes parallèles BA, 44; le quarré BH est double du triangle ΖΒΓ, car ils ont la méme base ΒΖ et ils sont entre les mêmes parallèles zB, Hr; et les grandeurs qui sont doubles de grandeurs égales, sont égales entr’elles ; donc le parallélograme BA est égal au quarré HE. Ayant joint AE, BK, nous démon- trerons semblablement que le parallélogramme r4 est égal au quarré er; donc le quarré entier BAET est égal aux deux quarrés HB, or. Mais le quarré Barr est décrit avec ΒΓ, et les quarrés HB, er sont décrits avec BA, Ar; donc le quarré du coté Br est égal aux quarrés des côtés BA, ar. Donc dans les trian-
gles , etc.
LE DEUXIEME ΠΡΟΤΑΣΙΣ μή.
Ἐὰν τριγώνου τὸ ἀπὸ μιᾶς τῶν πλευρῶν τετρά- γῶνον ἴσον ἦ τοῖς ἀπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνον δύο πλευρῶν τετραγώνοις" ἡ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ τριγώνον δύο πλευρῶν ὀρθή ἔστι.
Τριγώνου γὰρ τοῦ ABT τὸ ἀπὸ μιᾶς τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἔστω τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, AT πλευρῶν τετραγώνοις᾽ λέγω ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ BAT γωνία,
Ἦχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ À σημείου τῇ AT εὐθείᾳ" “πρὸς ὀρθὰς ἡ AA, χαὶ κείσθω τῇ BA ἴση ἡ AA, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΙ᾽.
Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ AB, ἴσον ἐστὶ χαὶ
' * al - , - E L] - τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ τετράγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετρα- γώνῳ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς AT τετρά--
LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 81
PROPOSITIO XLVIII.
Si trianguli ex uno laterum quadratum æquale est quadratis ex reliquis trianguli duobus late- ribus ; ccntentus angulus a reliquis trianguli
duobus lateribus rectus est.
Trianguli enim ADT ex uno BT latere quadra- tum æquale sit quadralis ex BA, AT lateribus ;
dico rectum esse BAT' angulum.
Ducatur enim ab A puncto ipsi AT rect ad rectos AA, et ponatur ipsi BA æqualis AA, et jun- gatur AT.
Et quoniam equalis est AA ipsi AB, æquale estetex AA quadratum ipsi ex AB quadrato. Com-
mune addatur ex AT quadratum ; ipsa igitur ex
PROPOSITION XLVIII.
Si le quarré d'un des côtés d'un triangle est égal aux quarrés des deux côtés restants de ce triangle, l'angle compris par les deux cótés restants est droit. Que le quarré du côté Br du triangle ΑΒΓ soit égal aux quarrés des côtés
BA, AT ; je dis que l'angle ΑΒΓ est droit.
Du point 4, conduisons la droite Aa perpendiculaire à ar (11), faisons ΑΔ
égal à BA, et joignons ar.
Car puisque 44 est égal à AB, le quarré de 44 est égal au quarré de 48, Ajoutons le quarré commun de ar ; les quarrés des droites 44, Ar seront égaux
82 LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
yoyo" τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν AA, AT τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν BA, AT τετραγώνοις. Αλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΔΑ, AT ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΙ᾽, ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἡ ὑπὸ AAT γωνία" τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν BÀ, AT ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ, ὑπόχειται ydp' τὸ ἄρα ἐπὸ τῆς AT τετρά- γωνον ἴσον ἐςὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετραγώνῳ ὥστε
AA, AT quadrata æqualia sunt ipsis ex BA, AT quadratis. Sed ipsis quidem ex AA , AT zquale est ipsum ex AT, rectus enim est AAT angulus ; ipsis vero ex BA, AT æquale est ipsum ex ΒΓ, ponitur enim ; ipsum igitur ex AT quadratum æquale est ipsi ex BP quadrato ; quare εἰ latus
AT ipsi BT est æquale ; et quoniam æqualis est
vai πλευρὰ ἡ AT τῇ ΒΓ écly ἴση" καὶ ἐπεὶ ἴση ἐςὶν ἡ AA τῇ ΑΒ, χοινὴ δὲ ἡ AT, δύο δὴ αἱ ΔΑ, AT δυσὶ ταῖς BA, AT ἴσαι εἰσὶ, not βάσις ἡ AT βάσει τῇ BU* ἴση" γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ BAT ? ἴση. Ορθὴ δὲ ἡ ὑπὸ AAT" ὀρθὴ ἄρα xxi ἡ ὑπὸ BAT. E2v ἄρα τριγώνον,
: ΝΣ χαὶ τὰ ἑξῆς.
aux quarrés des droites BA, AT. Mais le
T!
AA ipsi AB, communis autem AT, duz uti- que AA, AT duabus BA, AT æquales sunt, et basis AT basi ΒΓ est equalis; angulus igitur AAT angulo BAT est æqualis. Rectus autem AAT ; rectus igitur et BAT, Si igitur trianguli, etc.
quarré de Ar est égal aux quarrés des
droites ^4, Ar (47), car l'angle aar est droit, et le quarré de Br est supposé égal aux quarrés des droites BA, AT ; donc le quarré de ar est égal au quarré
de Br; donc le côté ar est égal au côté BT ; mais ΑΔ est égal à AB, et AT
cst commun ; donc les deux droites 44, AT sont égales aux deux droites BA,
Ar; mais la base ar est égale à la base Er; donc l'angle ΔΑΓ est égal à l'an- gle ΒΑΓ (8). Mais l'angle aar est droit; donc l'angle Bar est droit aussi.
Donc, etc.
FIN
DU PREMIER LIVREe
EUCLIDIS
ELEMENTORUM LIBER SECUNDUS.
SAR RS AR A AA SACO AL AZ AAA t
OPOI.
d. Πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον περι- ἔχεσθαι λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν.
β΄. Παντὸς δὲ παραλλυλογράμμου χωρίου τῶν περὶ τὴν διάμετρον αὐτοῦ παραλληλογράμμων ἕν᾿" ὁποιονοῦν σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασι γνώμων
χαλείσθω.
DÉFINITIONES.
1. Omne parallelogrammum rectangulum con- tineri dicitur sub duabus rectum angulum conti- nentibus rectis.
2. Omnis autem parallelogrammi spatii eorum circa diametrum ipsius parallelogrammorum unumquodque cum duobus complementis gno-
mon vocetur.
LE DEUXIÈME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
DÉFINITIONS.
1. Tour parallélogramme rectangle est dit contenu sous deux droites qui
comprenent un angle droit.
z. Que dans tout parallélogramme , l'un quelconque des parallélogrammes décrits autour de la diagonale avec les deux compléments soit appelé gnomon.
Il.
84 | LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IIPOTAZIX &.
Ev ὦσι δύο εὐθεῖαι, τμηθῇ δὲ ἡ ἑτέρα αὐτῶν εἰς ὅσα δηποτοῦν τμήματα᾽ τὸ περιεχόμενον ὀρθο- γώνιον ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ὑπὸ ᾿ τῆς ἀτμήτου χαὶ ἑχάστου τῶν τμημάτων περιεχο-- μένοις ὀρθογωνίοις.
Ἑστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ A , DT, καὶ τετμήσθω ñ ΒΓ ὡς ἔτυχε χατὰ τὰ Δ, E σημεῖα᾽ λέγω ὅπι τὸ ὑπὸ τῶν À, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν À, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογω- νίῳ, rai τῷ ὑπὸ τῶν À, ΔΕ; καὶ ἔτι ἡ τῷ ὑπὸ τῶν À , ET.
A B 1
Z
Hy8o yàp ἀπὸ τοῦ B τῇ ΒΓ πρὸς opfac ἡ ΒΖ, καὶ κείσθω τῇ À ἴση ἡ BH, xai διὰ μὲν 4 τοῦ Η τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ, διὰ δὲ τῶν A, E, P τῇ ΒΗ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ
AK , ΕΔ, TO.
PROPOSITIO I.
Si sint duæ reetæ, secta fuerit autem altera ipsarum in æqualia quotcumque segmenta ; con- tentum rectangulum sub duabus rectis æquale est et ipsis sub non sectá et unoquoque segmen— torum contentis rectangulis.
Sint duæ recte A, BD, et secta sit ΒΓ ut- cunque in Δ, E punclis; dico ipsum sub A, ΒΓ contentum rectangulum æquale esse et ipsi sub A, BA contento rectangulo , et ipsi sub A, AE, et etiam ipsi sub A, EF,
δι ἘΤ le K A
Ducatur enim a B ipsi ΒΓ ad rectos ΒΖ, et ponatur ipsi A æqualis BH, et per H quidem ipsi BP parallela ducatur HO ; per A, E, T vero ipsi BH parallele ducantur AK, EA , ΓΘ.
PROPOSITION PREMIERE.
Si l'on a deux droites, et si l'une d'elles est coupée en tant de parties qu'on voudra, le rectangle contenu sous ces deux droites est égal aux rec-
tangles contenus sous la droite qui n'a point été coupée, et sous chacun
des segments de l'autre.
Soient deux droites A, Br, et que ΒΓ soit coupé à velonté aux points A, E; je dis que le rectangle contenu sous 4, Br est égal au rectangle contenu sous
A, BA, au rectangle sous A, AE, et au rectangle sous A, ET.
Par le point B, conduisons la droite ΒΖ perpendiculaire à
Bp CIT. 1),
-
faisons BH égal à A, et par le point H conduisons He parallèle à Br (31. 1);
T
et par les points ^, E, Tr, conduisons les droites ak, EA, ΓΘ», parallèles à la
droite BH.
LE DEUXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 85
ἶσον δή ἐστι τὸ BO coi; ΒΚ, ΔΛ, EO. Koi ἔστι τὸ μὲν ΒΘ τὸ ὑπὸ τῶν À, BT, περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν " ΗΒ, ΒΓ, ἴση δὲ ἡ BH τῇ A° τὸ δὲ BK tà? ὑπό τῶν A, ΒΔ, περιέχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν ΗΒ, ΒΔ, ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ Α᾽ τὸ δὲ AA τὸ © ὑπὸ τῶν À, ΔΕ, ἴση yap X; ΔΚ, τοῦτ᾽ ἔστιν ἡ BH, τῇ Α΄ καὶ ἔτι ὁμοίως τὸ EO τὸ 8 ὑπὸ τῶν A, ET" τὸ cpu ὑπὸ τῶν À , ΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ Α, ΒΔ, καὶ τῷ ὑπὸ À, ΔΕ; καὶ ἔτι τῷ ὑπὸ A, ET. Ἐὰν ἄρα ὦσι, καὶ τὰ ἑξῆς.
ΠΡΌΤΑΣΕΣ β΄.
Ed» εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ ὡς ἔτυχε, τὰ" ὑπὸ τῆς ὅλης χαὶ ἑκατέρου τῶν τμημάτων περι- εχόμενα ὀρθογώνια ἴσα ^ ἐστὶ τῷ ἀπὸ τὴς ? ὅλης τετραγώνῳ.
Εὐθεῖα ydp ἡ AB τετμήσθω ὡς ἔτυχε χατὰ τὸ Y σημεῖον" λέγω ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν AB, DI περιε-- χόμενον ὀρθογώνιον, er τοῦ ὑπὸ τῶν ^ BA , AT περιεχομένον ὀρθογωνίου , ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ
τετραγώνῳ.
Æquale utique est BO ipsis BK, AA, ΕΘ; et est quidem BO ipsum sub A, ΒΓ, contine- tur enim sub BB, ΒΓ, æqualis autem BH ipsi A; BK vero ipsum sub A , BA, continelur enim sub HB, BA, equalis autem BH ipsi A; AA vero ipsum sub A, AE, æqualis enin. AK, hoc est BH, ipsi A; et etiam similiter EO ip- sum sub A, ET ; ergo ipsum sub A, ΒΓ æquale est ipsi sub A, BA, et ipsi sub ipsis A, AE,
et etiam ipsi sub A , ET. Si igitur sint , etc.
PROPOSITIO II.
Si recta linea secetur utcunque, ipsa sub totà et utroque segmentorum contenta rectangula
æqualia sunt ipsi ex totà quadrato.
Recta enim AB secetur utcunque in T puncto ; dico ipsum sub AB, ΒΓ contentum rectangu- lum, cum ipso sub BA, AT contento rectan-
gulo , æquale esse ipsi ex AB quadrato.
Le rectangle Be est égal aux rectangles BK, AA, EG. Mais ΒΘ est le rectan- gle sous A, Br, puisqu'il est contenu sous HB, Br, et que BH est égal à A ; ΒΚ est le rectangle sous A, BA, puisqu'il est contenu sous HB, BA, et que BH est égal à A; AA est le rectangle sous A , AE , puisque AK, c’est-à-dire BH, est égal à A; et semblablement, ΕΘ est le rectangle sous A, Er; donc le rectangle contenu sons A, ΒΓ est égal au rectangle sous A, BA, au rectangle sous A, AE, et encore au rectangle sous A, Er. Donc, etc.
PROPOSITION 1].
Si une ligne droite est coupée à volonté, les rectangles contenus sous la droite entière et sous l'un et l'autre segment, sont égaux au quarré de la droite entière.
Que la droite AB soit coupée à volonté en un point r; je dis que le rec- tangle contenu sous AB, Er, avec le rectangle contenu sous AB, ar, est égal au quarré de 2B.
86 LE DEUXIÈME LIVRE DES ELÉMENTS D'EUCLIDE.
Αναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς AB τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Γ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, BE
παράλληλος ἡ ΓΖ.
Describatur enim ex AB quadratum ΑΔΕΒ, et ducatur per T alterutri ipsarum AA, BE parallela ΓΖ.
A Γ Β Ze. 6 Δ Z E
ἴσον δέ c? τὸ AE τοῖς AZ, ΓΕ" καὶ ἔστι τὸ μὲν AE τὸ ἀπὸ τῆς AB τετράγωνον" τὸ δὲ ΑΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ, AT περιεχόμενον ὀρθογώνιον" περι- ἔχεται μὲν ydp ὑπὸ τῶν ΔΑ, AT, ἴση δὲ ἡ ΑΔ τῇ AB: τὸ δὲ ΓΕ τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ, ἴση γὰρ ἡ ΒΕ τῇ AB° τὸ dox ὑπὸ τῶν BA, AT μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ. Ev ἄρα εὐθεῖα, καὶ τὰ ἑξῆς.
ΠΡΟΤΑΣΙΣ γι.
Ezy εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ ὡς ἔτυχε", τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ ἑγὸς τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ τε ὑπὸ τῶν τμημάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ motio"
μένου τμήματος τετραγώνῳ.
Æquale utique est AE ipsis AZ, TE ; et est quidem AE ipsum ex AB quadratum , AZ vero ipsum sub BA, AT contentum rectan- gulum , conünetur etenim sub AA, ΑΓ, equalis autem AA ipsi AB; l'E vero ipsum sub AB, ΒΓ, æqualis enim BE ipsi AB ; ipsum igitur sub BA, AT, cum ipso sub AB, BD, æquale est ipsi ex AB quadrato. Si igitur recta , etc.
PROPOSITIO III.
Si recta linea secetur utcunque, ipsum eub totà et uno segmentorum contentum rectangu- lum æquale est et ipsi sub segmentis contento rectaugulo, etipsi ex predicto segmento qua drato.
Avec AB décrivons le quarré A4EB (46. 1), et par le point r conduisons rz parallèle à l'une ou à l'autre des droites AA , BE (51. 1).
Le quarré AE est égal aux rectangles AZ, TE; mais AE est le quarré de 42, AL est le rectangle contenu sous AB, AT, puisqu'il est contenu sous 44, AT, et que AA est égal à AB; et TE est le rectangle contenu sous AB, ΒΓ; puisque BE est égal à AB; donc le rectangle sous BA, ΑΓ, avec le rectangle sous AB, BT, est égal au quarré de 48. Donc, etc.
PROPOSITION III. Si une ligne droite est coupée à volonté , le rectangle contenu sous la droite entière et l'un des segments, est égal au rectangle contenu sous les segments et au quarré du segment premièrement dit.
LS
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'ÉUCLIDE.
Εὐθεῖα γὰρ ἡ AB τετμήσθω ὡς ἔτυχς κατὰ τὸ Γ᾽ λέγω ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὑρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν AT, ΓΒ περιε- χομένῳ ὀρθογωνίῳ, μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ^ ΒΓ τετρα- γώνου.
ἀναγεγράθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τὸ ΓΔΕΒ, καὶ διήχθω * ἡ EA ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΓΔ, ΒΕ παράλληλος ἤχθω ἡ AZ.
Α T
ἴσον δή ἐστι τὸ ΛΕ τοῖς AA, ΓΕ" καὶ ἔστι τὸ μὲν ΛΕ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ περιεχόμενον ὀρθογώνιον, περίεχεται μὲν γὰρ ὑπὸ τῶν AB, BE, ἴση δὲ » BE τῇ BI* τὸ δὲ ΑΔ τὸ * ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ, ἴση γὰρ ἡ AT τῇ ΓΒ᾿ τὸ δ᾽ AB τὸ ἐπὸ τῆς ΓΒ τετρά-- yovov' τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, BT περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν AT, ΓΒ περιξ-- χομένῳ ὀρθογωνίῳ, χατὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετρα-- γώνον. Εδν ἄρα εὐθεῖα, καὶ τὰ ἑξῆς.
87 Recta enim. ΑΒ secetur utcunque in T ; dico ipsum sub AB, ΒΓ contentum rectangulum æquale esse ipsi sub AT, TB contento rectan- gulo, cum ipso ex ΒΓ quadrato. -. Describatur enim ex ΓΒ quadratum T'AEB , et producatur EA in Z, et per A alterutri ipsa^ rum FA , BE parallela ducatür ΑΖ,
B
Æquale utique est AE ipsis AA, TE; ct est quidem AE ipsum sub AB, ΒΓ contentum rec- tangulum , continetur etenim sub AB, BE; æqualis autem. BE ipsi BT; AA vero ipsum sub AT, TB, æqualis enim AT ipsi TB; AB autem ex TB est quadratum ; ipsum igitur sub AD, BT contentum rectangulum aequale est ipsi sub AT, PB contento rectangulo, cum
ipso ex ΓΒ quadrato, Si igitur recta , etc.
Que la droite 4B soit coupée à volonté au point r; je dis que le rectan- gle contenu sous AB, BT est égal au rectangle contenu sous Ar, ΓΒ, avec le
quarré de Br.
Avec TB décrivons le quarré TAEB (46. 1), prolongeons EA en Ζ, et par le
point A conduisons AZ parallèle à l'une ou à l'autre des droites ra, BE (51. 1).
Le rectangle AE est égal aux rectangles AA, TE; mais AE est le rectangle contenu Sous AB, BT, puisqu'il est contenu sous AB, BE, et que BE est égal àB; AA est le rectangle sous Ar, TB, puisque Ar est égal à ΓΒ; et AB est le quarré de TB; donc le rectangle contenu sous AB, ΓΒ est égal au rectangle contenu sous AT, TB, avec le quarré de ΓΒ, Donc, etc.
88 LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ΠΡΟΤΑΣΙΣ δ΄. PROPOSITIO IV. Ecv tifex γραμμὴ τρυθῇ ὡς ἔτυχε, E Si recla linea secetur ulcunque, ipsum ex
E CITTA τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν 1otà quadratum æquale est et ipsis ex segmentis
τμημάτων τετραγώνοις» ΠΡ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν tune quadratis, et ipsi bis sub segmenlis contento
μάτων περιεχομένῳ ὀρθόγωνῳ. rectangulo. Εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ AB τετμήσθω ὡς ἔτυχε Recta enim linea ΑΒ secetur utcunque in D;
κατὰ τὸ Γ΄ λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον dico ipsum ex AB quadratum æquale esse et ipsis ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ τετραγώνοις ex ΑΓ, ΓΒ quadratis, et ipsi bis sub AP, TB xoi τῷ δὶς ὑπὸ τῶν AD, ΓΒ περιεχομένῳ ὀρθο-.- — contento rectangulo
γωνῳ.
δ τ RE
Αναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τεξράγωνον τὸ Describatur enim ex AB quadratum AAEB , ΑΔΕΒ, zzi ἐπεζεύχθω Y; BA, xot διὰ μὲν τοῦ I' εἴ jungatur BA, et per T quidem allerutri ip- ὁποτέρᾳ τῶν ΑΔ, EB παραλληλος ἤχθω ἡ ΓΗΖ, sarum ΑΔ, EB parallela ducatur ΓΗΖ, per H διὰ δὲ τοῦ H ὁποτέρᾳ τῶν AB, AE παράλληλος vero allerutri ipsarum AB , AE parallela ducas ἤχθω % OK. tur OK.
PROPOSITION IV.
Si la droite est coupée à volonté, le quarré de la droite entiére est égal aux quarrés des segments, et à deux fois le rectangle contenu sous les deux segments.
Que la droite AB soit coupée à volonté au point r; je dis que le quarré de AB est égal aux quarrés des segments AT, ΓΒ, et à deux fois le rectangle contenu sous AT, ΓΒ.
Avec AB décrivons le quarré AaEB (46. 1); joignons B^ ; par le point T con- duisons rHz parallèle à l'une ou à l'autre des droites Aa, EB (51. 1), et par le
*
point H conduisons ΘΚ parallèle à l'une ou à l’autre des droites 48, AE.
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 89
Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐςτιν ἡ TZ τῇ AA, καὶ
» > ^ 3 , € > \ ε € εἰς auTAc ἐμπεππῶώμεν A BA, ἡ ἐκτὸς yovia ἡ
CHEN »y > ' - 5 A Νὰ 9 , C
ὑπὸ THB 405 ἐστι, τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον TA
« nte \ ^ € M 3 x
ὑπὸ ΑΔΒ. AAN ἡ ὑπὸ ΑΔΒ τῇ ὑπὸ ABA *cTiv » M \ ^ € ^ . N 3)
ἴση. ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΑ τῇ ΑΔ ἐστὶν ἰση"
NS € € M 2} nn € M » \
καὶ ἡ ὑπὸ THB ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ HBT ἐστὶν
e e ^ ^ » \
ἴση" ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΓ πλευρᾷ τῇ ΤῊ εστιν D » € LV
ἴση, Αλλὰ ἡ μὲν TB τῇ HK ἐστὶν ἴση. ἡ δὲ TH
M ee » ^ CAR » SAP,
74 ΒΚ" xas » HK ἀρὰ τῇ KB eT7iv i22* Ισο-
s E , A ὦ. \
πλευρὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΚΒ. A:7o di ὅτι καὶ ^ ^ ^, 3 δ
ὀρθογώνιον. Ἐπεὶ yap παράλληλός ἐστιῆ n TH
D 5 2 , » 2 Ε
71 BK, καὶ εἰς αὐτὰς ἐνέπεσεν ἢ ΤΒΡ" αἱ apa
^ , D ^ 35 ^
ὑπὸ KBT, BH γωνία, δυσὶν ὀρθαῖς εἰσὶν ἴσαι V.
€ (ἐκ \ \ P € Li \ Ορθὴ δὲ ἡ ὑπὸ KBI* ὀρθὴ apa καὶ ἡ ὑπὸ BIH. # * ^
Qcre καὶ αἱ ἀπεναντίον. αἱ ὑπὸ THK, HKB E] eu , N \ ,
ὀρθαί εἰσιν" ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ THKB. Ἐδείχθη M NIAE , » , ^ Neu
4: xai ἰσοπλευρον" τετράγωνον ἀρα ἐστί , VaL ET TIY
- \ \ \ \ A ,
ἀπὸ τῆς TB. Ait τὰ αὐτὼ δὴ τὸ OZ τετρά- , » \ » » ^ ^ m 90»
gevov eG T1, καὶ ἐστιν ἅπὸ τῆς OH, TOUT ἐστιν
» S Ar ἊΝ , MET ἀπὸ" τὴς AT° τὰ apa OZ, ΓΚ τετράγωνα ἀπὸ
M / EN uU». S» > M \ ^ τῶν AT, TB εἰσί. Καὶ ἐπεὶ σον ἐστὶ τὸ AH τῷ -
» ^ \ € A ^ ” HE, καὶ ἔστι τὸ AH τὸ ὑπὸ τῶν AT, IB, ion
Et quoniam parallela est TZ ipsi AA, et in ipsas incidit BA, exterior angulus ΓΗΒ æqualis est interiori et opposite ΑΔΒ. Sed ΑΔΒ ipsi ΑΒΔ est æqualis, quoniam et latus BA ipsi AA est æquale ; et ΓΗΒ igitur angulus ipsi HBT est æqualis ; quare et latus BT lateri ΓΗ est æquale. Sed ΓΒ quidem ipsi HK est æqualis, ΓΗ vero ipsi ΒΚ; et HK igitur ipsi KB est æqualis; æqui- laterum igitur est THKB. Dico etiam et rectangu= lum. Quoniam enim parallella est ΓΗ 1psi BR, et in ipsas incidit DB; ipsi igitur KBD, BTH anguli duobus rectis sunt æquales. Rectus autem est ΚΒΓ; reclus igitur et BTH, Quare et oppositi THK, HKB recti sunt; rectangulum igitur est THKB. Ostensum aulem est et æquilaterum; quadratum igitur est, etest ex DB. Proptereadem utique eL OZ quadratum est, et est ex ΘΗ, hoc est ex AT; ipsa igitur OZ, ΓΚ quadrata ex AT, ΓΒ sunt. Et quoniam æquale est AH ipsi HE, et est AH ipsum sub AT, ΓΒ, «qualis enim
Puisque rz est parallèle à A^, et que BA tombe sur ces deux droites, l'angle extérieur THB est égal à l'angle intérieur et opposé 42B (29. 1). Mais l'angle ΑΔΒ est égal à l'angle ABA (5. 1), puisque le côté ΒΑ est égal au côté A4; donc l'angle rHB est égal à l'angie ΗΒΓ; donc le côté Br est égal au côté rH (6. 1); mais ΓΒ est égal à HK (54. 1), et rH égal à Ek; donc ΗΚ est égal à KB; donc le quadrilatère THKB est équilatéral. Je dis qu'il est rectangle. Car puisque rH est parallèle à BK, et que ΓΒ tombe sur ces deux droites, les angles KBr , BrH sont égaux à deux droits (29. 1). Mais l'angle Ker est droit (déf. 50. 1); donc l'angle BrH est droit. Donc les angles opposés THK, HKB sont droits aussi (34. 1); donc le quadrilatére ΓΗΚΒ est rectangle. Mais on a démontré qu’il est équilatéral ; donc ce quadrilatère est un quarré, et ce quarré est décrit avec ΓΒ. Par la méme raison ΘΖ est aussi un quarré , et ce quarré est décrit avec ΘΗ, c'est- à-dire avec A"; donc ΘΖ, ΓΚ sont des quarrés décrits avec AT, ΓΒ. Et puisque le
rectangle AH est égal au rectangle HE (45. 1 ) , et que le rectangle AH est com- 12
Uu»
90 LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
\ e ^ N \ v » 3 Ν ^ yap» HT τῇ IB' xa) τὸ HE epa σὸν ἐστὶ TO
ὑπὸ τῶν AT, TB* τὰ ἄρα AH, HE ἴσα iT) τῷ δὶς ὑπὸ τῶν AT, TB. EcT) δὲ καὶ τὰ OL, ΓΚ τετρά) ὠνα ἀπὸ τῶν ἈΠ TB: τὰ ἄρα τέσσαρα τὰ OZ, TK, AH, ΗΕ ἴσα ἐστ, τοῖς τε ἀπὸ τῶν
AT,TB τετραγώνοις καὶ τῷ dic ὑπὸ τῶν AT, TB
HT ipsi TB; et HE igitur «quale ipsi sub Al, TB; ipsa igitur AH, HE æqualia sunt ipsi bis sub Ar, ΓΒ. Sunt autem et OZ, ΓΚ quadrata ex AD, ΓΒ: ergo quatuor ΘΖ, FK, AH, HE æqualia sunt et ipsis ex AT, ΓΒ quadratis et ipsi bis sub AT, ΓΒ contento rectangulo. Sed
A
στεριεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Αλλά τὰ τέσσαρα OZ, TK, AH, HE ὅλον ἐστὶ τὸ ΛΔΕΒ, ὅ ἔστι τὸδ ἀπὸ 7i; ΑΒ τετράγωνον" τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΒ τετρά- γῶνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν AT, ΓΒ TeTpa- γώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν AT TB περιεχομένῳ
> , À 3} > D M ^ Ein ὀρθογωνίῳ. Ἐαν ἀρὰ εὐθεῖα. καὶ Ta :ξζῆς.
quatuor ΘΖ, ΓΚ, AH, HE tolum sunt ΑΔΕ, quod est ex AB quadratum; ergo ex AB qua- dratum æquale est et ipsis ex AT, ΓΒ quadratis etipsibis sub AT, TB contento rectangulo. Si
Igitur recta, etc.
pris sous les droites AT, TB, car HT est égal à TB, le rectangle HE est égal au rectangle sous AT, TB; donc les rectangles AH, HE sont égaux à deux fois le rectangle sous AT, TB. Mais les quarrés ΘΖ. TK sont décrits avec les droites ΑΓ. TB ; donc les quatre figures ΘΖ, TK , AH, HE sont égales aux quarrés des droites AT, TB et à deux fois le rectangle compris sous Ar, ΓΒ, Mais les quatre figures ΘΖ, ΓΚ, AH, HE sont la figure entière AAEB, qui est le quarré de A5; donc le quarré de ΑΒ est égal aux quarrés des droites Ar, rB, et à deux fois le rectangle compris sous
AT , TB. Donc, etc.
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. οἵ
KAI ΑΛΛΩΖ',
Λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τὴς AB τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν AT, TB τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν AT, TB περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
Ἐπὶ γάρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς. ἐπεὶ ἴση ἔστιν ἡ ΒΑ τῇ AA, ἴση ἐστι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΔ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ’ καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαΐς ἴσαι εἰσίν, τοῦ ΑΒΔ ἄρα τρι- γῶνου αἱ τρεῖς γωνίαι. αἱ ὑπὸ ΑΒΔ. ΑΔΒ. ΒΑΔ, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ορθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ. λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ ABA, ΑΔΒ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσί" καὶ εἰσὶν ἰσαι" ἐκατίρα ἄρα τῶν ὑπὸ ΑΒΔ, AAB ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς. Ορθὴ δὲ ἡ ὑπὸ BTH, ἴση ydp ἐστι τῇ ἐντὸς καὶ" ἀπεναντίον τῇ πρὸς τῷ A* λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ THB ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς" ἴση ἄρα ἃ ὑπὸ THB γωνία τῇ ὑπὸ TBH' ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΒΓ τῇ ΓΗ ἐστιν ἴση. AAN ἡ μὲν TB τῇ ΗΚ ἐστὶν ἴση. ἡ δὲ ΤῊ τῇ BK° ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ TK. Εχει δὲ καὶ ὀρθὴν τὴν ὑπὸ ΤΒΚ
5 \ \ NS M γωνίαν" τετράγωνον ἀρα ἐστὶ TOTK, καὶ ἔστιν
ET ALITER.
Dico ex AB quadratum æquale esse et ipsis ex AL, ΓΒ quadratis et ipsi bis sub ΑΓ, ΓΒ contento rectangulo.
Quoniam enim, in eàdem figurä, æqualis est BA ipsi AA, æqualis est et angulus ABA Ipsi ΑΔΒ; et quoniam omnis trianguli tres anguli duobus rectis equales sunt, ergo ABA trianguli tres anguli ABA , ΑΔΒ, ΒΑΔ duobus rectis æ- quales sunt. Rectus autem BAA; reliqui igitur ABA, ΑΔΒ uni recto æquales sunt; et sunt æquales ; uterque igitur ipsorum ΑΒΔ, ΑΔΒ di- midius est recti. Rectus est autem BTH , v qualis enim est interiori et opposito qui ad A ; reliquus igitur ΓΗΒ dimidius est recti; æqualis igitur est ΓΗΒ angulus ipsi TBH; et latus ΒΓ ipsi TH est æquale. Sed ΓΒ quidem ipsi HK est æ- qualis, TH vero ipsi BK; æquilaterum igitur est FK. Habet autem et rectum TBK angulum ;
quadratum igitur est TK, et est ex ΓΒ, Propter
ET AUTREMEN T.
Je dis que le quarré de ΑΒ est égal aux quarrés des droites Ar , TB et à deux fois
le rectangle compris sous AT, ΓΒ.
Car puisque, dans la méme figure, BA est égal à A4, l'angle ΑΒΔ est égal l'angle ΑΔΒ (5. 1); et puisque les trois angles de tout triangle sont égaux deux droits (52. 1), les trois angles ABA , ΑΔΒ. Baa du triangle ABA sont égaux
z^ EB og
deux droits. Mais l'angle ΒΑΔ est droit; donc les deux augles restants ΑΒΔ. ΑΔΒ sont égaux à un droit; et ils sont égaux ; donc chacun des angles ABA, ΑΔΒ est la moitié d'un droit. Mais l'angle BrH est droit, car il est égal à l'angle intérieur et opposé en A ; donc l'angle restant THB est la moitié d'un droit; donc l'angle ΓΗΒ est égal à ΤΒΗ ; donc le côté Br est égal au côté rH (54. 1 ). Mais ΓΒ est égal à HK , et rH égal à l'angle ΒΚ (54. 1); donc r& est équilatéral, Mais il a l'angle droit rb ; donc rk
92 LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
3 1 ^ v \ , M \ ^ ^ ἀπο τῆς IB. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ OZ τε- , $059 5 \ 3 No» 6 Moo A ^ Tpa toy ἐστι", καὶ ἐστὶν KGoV? τῷ ἀπὸ τῆς AT* \ > , > Nox » Ta ἀρα TK, OZ τετραγωνὰ ἐστι. καὶ ἔστιν ἴσα D Ψ \ ^ a Wer d NS» > \ \ τοις ἀπὸ τῶν AT , TB, Καὶ ἐπεὶ 100v es Ts To AH BJ \ xy M \ Li M ^ τῳ HE, καὶ ἐστι τὸ AH τὸ ὑπὸ τῶν AT, TB, “ ε NE \ ε ^ ι A E Y Q » tg ἐστι] γὰρ ἡ TH τῇ TB, καὶ τὸ EH ἀραὃ ἐσὸν L4 nm € \ \ ΚΝ, » , \ ἔστι TQ ὑπὺ τῶν AT , ΓΒ" τὰ ἄρα AH, HE isa ἐστὶ
τῷ dic ὑπὸ τῶν AT, TB. Ez; δὲ καὶ τὰ TK , ΘΖ
ἴσα τοῖς ἀπὸ τῶν AT,TB* τὰ ἀρα IK, 0Z, AH, HE ἴσα ἰστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΑΓ, TB καὶ τῷ dic ὑπὸ τῶν AT, IB. Αλλὰ τῶ ΓΚ, ΘΖ καὶ τὰ AH, HE ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΕ, ὃ ἐστιν ἀπὸ τῆς ΑΒ τε- “ράγωνον" τὸ dpa, ἀπὸ τῆς AB τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν AT, TB τετραγώνοις καὶ τῷ δὲς ὑπὸ τῶν AT, TB περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Θπερ
ἔδει δεῖξαι.
eadem utique et ΘΖ quadratum est, et est æ- quale ipsi ex AT ; ergo ΓΚ, OZ quadrata sunt , et sunl æqualia ipsis ex AT, ΓΒ. Et quoniam æquale est AH ipsi HE, et est AH ipsum sub AT, TB, æqualis est enim TH ipsi TB; et EH igitur quale est ipsi sub AT, TB; ergo AH , HE æqualia sunt ipsi bis sub AT, ΓΒ, Sunt autem et
ipsa ΓΚ, OZ æqualia ipsis ex AT , TB; ergo ΓΚ, OZ, AH, HE æqualia sunt et ipsis ex AT, ΓΒ et ipsi bis sub Ar, ΓΒ. Sed TK, OZ et AH, HE totum sunt AE, quod est ex AB quadratum; ergo ex AB quadratum æquale est et ipsis ex AT, TB quadratis et ipsi bis sub AT, ΓΒ con-
tento reclangulo. Quod oportebat ostendere.
est un quarré, et il est le quarré de ΓΒ. Par la méme raison , ΘΖ est un quarré , et il est égal à celui de Ar; donc IK , ez sont des quarrés , et ils sont égaux à ceux des droites Ar, ΓΒ, Et puisque AH est égal à HE (51. 1), et que AH est sous AT, TB, car TH est égal ἃ rb ; le rectangle EH est égal au rectangle sous AT, ΓΒ; donc les rectan- gles AH, HE sont égaux à deux fois le rectangle compris sous Ar, TB. Mais les quarrés TK, ΘΖ sont égaux aux quarrés des droites ΑΓ, TB; donc les figures ΓΚ. ez, AH, HE sont égales aux quarrés des droites Ar, ΓΒ, et à deux fois le rectangle compris sous AT, ΓΒ. Mais les figures TK, OZ , et AH, HE sont la figure entière AE, qui est le quarré de 45 , donc le quarré de AB est égal aux quarrés des droites AT, TB, et à deux fois le rectangle compris sous Ar , ΓΒ. Ce qu'il fallait démontrer.
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 95
IIOPIXZMA.
Ex δὴ τούτων φανερόν ἐστινϑ, ὅτι ἐν τοῆς τε- \ \ \ , τραγώνοις χωρίοις τὰ περὶ τὴν διάμετρον παρ-
αλληλόγραμμα τετράγωνά ἐστιν. IIPOTAZIZ €.
Er εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, τὸ ὑπὸ τῶν ἀνίσων τῆς ὅλης τμημάτων τεριεχό μένον ὀρθωγώνιον μετά τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνῳ.
Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω εἰς μὲν ἴσα
\ M Ἂν ΕἾΝ, e M κατὰ TOL, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ A* λέγω ὅτι τὸ
Α
— — --
COROLLARIUM.
Ex his utique evidens est, in quadratis spa- tiis, circa diametrum parallelogramma quadrato
esse.
PROPOSITIO Y.
Si recta linea secetur in æqualia et ine qua- lia, ipsum sub inzqualibus tolius segmentis con- tentum rectangulum cum ipso ex ipsà inter sec tiones quadrato æquale est ipsi ex dimidià qua-
drato. Recta enim aliqua AB secta sit in æqualia
quidem ad P, in inæqualia vero ad A; dico
T 4 B
A Ἴ
ὑπὸ τῶν AA, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ ipsum sub ΛΔ, AB contentum rectangulum
^ “ > \ my 2 f : ^g. PES του ἀπὸ 746 YA τετραγώνου ἴσον ἐστι τίὸ αἼΤὸ cum 1pso ex rA quadrato æquale esse ipsi ex
τῆς TB τετραγώνῳ. TB quadrato.
COROLLAIRE.
De là il est évident que, dans les quarrés, les parallélogrammes autour de la diagonale sont des quarrés.
PROPOSITION V.
Si une ligne droite est coupée en parties égales et en parties inégales, le rectangle sous les deux segments inégaux de la droite entière avec le quarré de la droite placée entre les sections , est égal au quarré de la moitié de la droite entière.
Car qu'une droite AB soit coupée en deux parties égales au point r , et en deux parties inégales au point 4, je dis que le rectangle compris sous A^, ΔΒ, avec le quarré de ra, est égal au quarré de ΓΒ.
o4 LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Αναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς TB τετράγωνον τὸ TEZB, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ’ καὶ did μὲν τοῦ Δ ὁποτέρᾳ τῶν TE, ΒΖ παράλληλος ἤχθο ἡ AH, διὰ δὲ τοῦ Θ ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ. ΕΖ παράλληλος ἤχθω ΚΜ, καὶ πάλιν διά τοῦ A ὑποτέρᾳ τῶν ΓΛ,
BM παράλληλος ἤχθω ἡ AK'. P 26
> »
\ \ / , M \ , M Καὶ ἐπεὶ ἰσὸν ἐστί 70 ΓΘ παραπλῆρωμα τῷ
͵ ^ ΘΖ capaz Anpotua i, HOIVOY προσκείσθω τὸ ΔΜ’
v M μὲ ^v » » 7 ὅλον epa Τὸ IM o^c τῷ ΔΖ «σὸν ἐστίν- Αλλὰ
A
K
τὸ TM τῷ AA ἴσον ἐστὶν. ἐπεὶ καὶ ἡ AT τῇ IB ἐστὶν ἴση" καὶ τὸ ΑΛ ἄρα τῷ ΔΖ ἴσον ἐστί. Κοινὸν προσκείσθω τὸ TO* ὅλον ἄρα τὸ AO τῷ NEO γνώμονιϑ ἴσον ἐστί. Αλλὰ τὸ μὲν! ΑΘ τὸ ὑπὸ τῶν AA, ΔΒ ἐστὶν, ἴση γὰρ 5? AO τῇ ABÓ* καὶ ὃ ΝΞΟ ἄρα γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ AA, AB. Κοινὸν προσκείσθω τὸ AH, ὅ ἐστιν ἰσὸν τῷ ἀπὸ TücTA* ὃ ἄρα ΝΞΟ γνώμων καὶ τὸ AH ἴσα ἐστὶ τῷ
e , 3 , \ -^ ὑπὸ τῶν AA, AB vrepiex opéré ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ
Describatur enim ex TB quadratum ΓΕΖΒ, et jungalur BE; et per Δ quidem alterutri ipsarum TE, ΒΖ parallela ducatur AH, per © vero alterutri ipsarum AB, EZ parallela du- catur KM, et rursus per À alterutri ipsarum ΓΛ, EM parallela ducatur AK.
Et quoniam æquale est T9 complementum ipsi OZ complemento , commune addatur AM;
tolum igitur PM toti AZ æquale est. Sed ΓΜ
ipsi ΑΔ æquale est, quia et AT ipsi ΓΒ est equalis; et AA Igitur ipsi AZ æquale est. Com- mune addatur ΓΘ ; totum igitur AO ipsi ΝΞΟ gno- moni æquale est. Sed ΑΘ quidem ipsum sub AA, AB est, æqualis enim ΔΘ ipsi AB ; et ΝΞΟ igitur gnomon æqualis est ipsi sub AA, AB. Commune addatur ΛΗ, quod est æquale ipsi ex l'A; ergo ΝΞΟ gnomon et AH æqualia sunt ipsi sub AA, AE
contento rectangulo et ipsi ex ΓΔ quadrato.
Avec la droite rb décrivons le quarré TEZB (46. 1), et joignons BE; par le point Δ conduisons ΔΗ parallèle à l'une ou à l’autre des droites TE, ΒΖ (51. 1): par le point 6 conduisons KM parrallèle à l'une ou à l'autre des droites AB, Ez ; et par le point A conduisons AK parallèle à l'une ou à l'autre des droites TA, BM.
Puisque le complément ΓΘ est égal au complément ΘΖ (45. 1), ajoutons le quarré commun AM, le rectangle entier TM sera égal au rectangle entier az. Mais TM est égal à A4 (56. 5), puisque la droite ar est égale à la droite r5; donc le rectangle 4^ est égal au rectangle ΔΖ ; ajoutons le rectangle commun ro, le rectangle entier ΑΘ sera égal au gnomon ΝΞΟ ; mais ΑΘ est le rectangle sous A^ , AB, puisque ΔΘ est égal à AB ; donc le gnomon NxO est égal au rectangle sous AA, AB. Ajoutons le quarré commun AH , qui est égal au quarré de ra (corol. 4. 2), le gnomon ΝΞΟ et le quarré AH seront égaux au rectangle sous AA, AB, et au quarré
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
» \ ^ M Ne , \ πὸ τὴς TA τετραγώνῳ. Αλλά o NEO γνώμων καὶ \ εἰ ᾽ \ \ 1 e» 3 EN T0 AH 020r ἐστὶ τὸ TEZB τετράγωνον» ὁ ἐστιν ἀπὸ e ΓΒ: NS 44 e \ m * LA PS τῆς τοαραυπὸ τῶν AA, ΔΒ περιεχόμενον op- Fr \ ROMANS ἘΠ , » ϑογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς 7 TA τετραγώνου σὸν 3 Ἂν ^- 9 \ ^ ͵7 \ LA » e ἔστι τῷ ἀπὸ τῆς TB τετραγώνῳ. Ἐὰν ἀρὰ εὐθεῖα, MUN, Vei καὶ τὰ ε ξῆς. IIPOTAZIX c. \ » D \ ^ , b Eav εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ δίχα. προστεθῇ ^ SEK , ONE IET E / Nue \ ^ € δὲ τὶς αὐτῇ εὐθεῆα ἐπ᾿ εὐθείας" τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης LJ , \ ^ , σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τῆς προσκειμένης repie- > ET NE Ὁ χόμενον ὀρθογώνιον μετά τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ; » SUP. UE d ors UM: ͵ τετραγώνου ἰσὸν ἐστὶ τῷ ἀπὸ τὴς συγκειμένής EU hl / ^ ^ \ € > \ tx τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμένης ὡς ἀπὸ UE , , μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ. , m , ε , , \ Εὐθεῖχ γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω δίχα κατὰ
à Y j Vua Que. τὸ T σημεῖον, προσκείσθω δὲ τις αὐτῇ εὐθεῖα
Α T
E VETE APT EE Fe \ - 7 εὐθείας ἡ BA. λέγω ὅτ; τὸ ὑπὸ τῶν AA, ΔΒ
, > ’ A ^ , V “Ὁ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ απὸ τῆς TB
^
95 Sed ΝΞΟ gnomon et AH totum sunt ΓΕΖΒ qua- dratum, quod est ex ΓΒ; ipsum igitur sub AA, AB contentum rectangulum cum ipso ex l'A quadrato æquale est ipsi ex ΓΒ quadrato.
Siigitur recta, etc.
PROPOSITIO VI.
Si recta linea secetur bifariam, adjiciatur autem aliqua ipsi recta in directum ; ipsum sub totà cum adjectá, et sub adjeclà contentum rectangulum cum ipso ex dunidià quadrato æquale est ipsi ex composità ex dimidià et ad-
jectà tanquam ex unà descripto quadrato.
Recta enim aliqua A8 secctur bifariam ad r
punctum , adjiciatur autem aliqua ipsi recta in
B A TA © H Z
directum BA ; dico ipsum sub AA, AB conten-
tum rectangulum cum ipso ex LlB quadrato æ-
/ , » 2 \ , ^ e , τετραάγωνου ἰσὸν ἐστὶ τῷ 270 τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.
quale esse ipsi ex A quadrato.
de ra. Mais le gnomon ΝΞΟ et AH sont le quarré entier rEZB , qui est décritavec rr; donc le rectangle compris sous A^, AB, avec le quarré de ra, est égal au quarié de re. Donc,
PROPOSITION VI
Si une ligne droite est coupée en deux parties égales, etsi on lui ajoute directe- ment une droite, le rectangle compris sous la droite entière avec la droite ajoutée, et sous la droite ajoutée, avec le quarré de la moitié de la droite entière, est égal au quarré décrit avec la droite composée de la moitié de la droite entière et de la droite ajoutée, comme avec une seule droite.
Qu'une ligne droite ΑΒ soit coupée en deux parties égales au point r ; qu'on lui ajoute directement une autre droite ΒΔ; Je dis que le rectangle compris sous 44, AB, avec le quarré de TH, est égal au quarré de ra.
-
96 LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Arayt)paqle γὰρ ἀπὸ τῆς TA τετράγωνον τὸ TEZA, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ AE, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β σημείου ὁποτέρᾳ τῶν TE, AL παράλληλος ἤχθω ἡ BH* διὰ δὲ τοῦ © σημείου ὁποτέρᾳ τῶν AA, EZ παράλληλος ὕχθω ἡ KM* καὶ ἔτι διὰ τοῦ Α ὑποτίρᾳ τῶν TA, ΔΜ παράλληλος ἤχθω ñ AK,
A D
E
\ € » 3 \ 2 δ ἀξ » 3 Ν Ἐπεὶ cuv i0W ἐστιν ἡ AT τῇ TB, σὸν ἐστι
i. 4 Lo L4 i καὶ τὸ AA τῷ TO. Αλλὰ τὸ TO dpa τῷ OZ L4 > , M \ 3 “ » \ ἐσὸν ἐστι" καὶ TO AA «pa τῷ OZ ἐστὶν (gov Á. Κοινὸν / \ et ej rs PES προσκείσθω τὸ ΓΜ’ ὅλον dpa τὸ AM τῷ ΝΞΟ / E y \ ' SANTE cr γνωμῶν! ἐστιν σὸν. Αλλα τὸ AM ἐστὶ TO ὑπὸ ^ » 2:5 € ^ St τῶν ΑΔ. AB , 171 γαρεστιν ἡ AM τῷ ΔΒ" καὶ 0
acad » , » » \ ec \ ^
ΝΞΟ ἀρὰ γνωμῶν 1006 ἐστί τῷ ὑπὸ TOV AA, AB tpisyopitya Gboyariat, ΠΕΣ bu τὸ περιεχομένῳ ορογωνίωΣ, Komnoyv προσκείσθω τ LJ 35) ^ 3 ^ ^ , \ ΛΗ. ἐστιν σὸν τῷ ἀπὸ τῆς TB τετραγώνῳ" TO
x SEE -“ / > lé ape ὑπὸ TOY AA, AB περιεχόμενον ὀρθογωῶνιον
\ ^ 9 X ^ , » » , ^ μετα τὸυ απὸ τῆς TB τετραγώνου σὸν ἐστί τῷ
Describatur enim ex ΓΔ quadratum TEZA, et jungatur AE, ct per B quidem punctum alte- rutri ipsarum ΓΕ, AZ parallela ducatu: BH; per © vero punctum alterutri ipsarum AA , EZ paral- lela ducatur KM; et adhuc per A alterutri lpsa- rum ΓΛ, AM parallela ducatur AK.
B Δ et x M © H Z
Quoniam igitur æquahs est AT ipsi ΓΒ, æ- quale est et AA ipsi TO. Sed ΓΘ ipsi ΘΖ æquale est; et AA igitur ipsi OZ est «quale. Commune addatur TM; totum igitur AM ipsi NZO gnomoni est æquale. Sed AM est ipsum sub AA, ΔΒ, æ- qualis enim est AM ipsi AB; et igitur NzO gno- mon æqualis est ipsi sub AA, AB contento rectan- gulo. Communeaddatur AH , quod est æqualeipsi ex ΓΒ quadrato; ipsum igitur sub AA , AB conten- tum rectangulum cum ex ΓΒ quadrato æquale est
ipsi ΝΞΟ gnomoni et ipsi AH. Sed NEO gno-
Avec la droite TA décrivons le quarré rEzA (46: 1); joignons AE; par le point b conduisons BH parallèle à l'une ou à l'autre des droites TE, AZ (31. 1); par
LI
le point ©, conduisons KM parallèle à l'une ou à l'autre des droites A4, ΕΖ, et enfin par le point A conduisons AK parallèle à l'une ou à l'autre des droites TA, AM.
Puisque Ar est égal à rB, le rectangle AA est égal au rectangle ro (36. 1). Mais le rectangle re est égal au rectangle ez (45. 1); donc le rectangle A4 est égal au rectancle ΘΖ; ajoutons le rectangle commun ΓΜ, le rectangle entier AM sera égal au gnomon Nxo. Mais AM est le rectangle sous A^, AB, car ΔΜ est égal à AB (4. 2); donc le gnomon ΝΞῸ est égal au rectangle compris sous Aa, AB. Ajoutons le quarré AH qui est égal au quarré de 15; le rectangle compris sous A4, AB avec le quarré de ΓΒ sera égal au gnomon ΝΞῸ et au quarré AB,
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 97
EO γνώμονι καὶ τᾷ AH. AAA o NEO γνώ- μων καὶ τὸ AH ὅλον ἐστὶ τὸ ΓΕΖΔ τετράγωνον, 6 ἐστιν ἀπὸ τῆς TA* τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΤΒ τετραγώνου ἴσον ἔστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ.
Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα, καὶ τὰ ἑξῆς. ΠΡΟΣ ASIE
EA Deje M 05 e LA \ > \ Av εὐὔεια γραμμή τμνῦῃ ὡς ETUYE, TO ἀπ P e \ M 9:219: QE XN A. , » τῆς ολῆς xdi TO ἀῷ ἐνὸς των THNMATUV, Ta , , » 2 \ ^ y CUyajAQoTepa, τετράγωνα , ITA ἐστί τῷ TE dic € \ ^ LA \ - , , ὑπὸ τῆς OANÇ καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος περι- , 3 , \ » \ ^ ^" x 0/4: ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ , , τμήματος τετραγῶνῳς Tu ; € , Εὐθεῖα γὰρ τις ἡ AB τετμήσθω ὡς ἔτυχε
M \ e p ei ^ κατὰ τὸ T σημεῖον" λέγω CTI Ta ἀπὸ τῶν AB,
mon et AH totum sunt ΓΕΖΔ quadratum , quod est ex TA; ergo sub AA, AB contentum rec- tangulum cum ex FB quadrato æquale est ipsi
ex ΓΔ quadrato. Si 1gitur recta , elc.
PROPOSITIO VII.
Si recta linea secetur utcunque , ipsa ex tot et ex uno segmentorum , simul sumpta quadrata æqualia sunt et ipsi bis sub totà et dicto segmento contento rectangulo , et ipsi ex reli-
quo segmento quadrato. :
Recta enim aliqua AB secta sit utcunque. in
T puncto; dico ex AB, Bl quadrata æqualia
» » » Ν ^ CY L2 BI τετραγωνώ 104 ἐστὶ τῷ Te δὶς ὑπὸ vv AB, BT περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ xai τῷ ἀπὸ τῆς TA ριεχομένῳ ορϑογωνίῳ καὶ τῷ ἅπὸ τὴς
, τετραγώνῳ.
esse et ipsi bis sub AB, ΒΓ conlento rectan=
gulo etipsi ex 'À quadrato.
Mais le gnomon N60, et le quarré AH sont le quarré entier TEZA , qui est le quarré de ra ; donc le rectangle compris sous A^, AB avec le quarré de rB est égal au
quarré de ra. Donc, etc.
PROPOSITION VII.
Si une ligne droite est coupée d'une manière quelconque , le quarré de la droite entière et le quarré de l'un des segments, pris ensemble, sont égaux à deux fois le rectangle compris sous la droite entière et ledit segment, et au quarré du
segment restant,
Qu'une droite AB soit coupée d'une maniére quelconque au point r ; je dis que les quarrés des droites AB, Br sont égaux à deux fois le rectangle compris
sous AB, ΒΓ, et au quarré de ra.
LA
19
98 LE DEUXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Αναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς AB τετράγωνον τὸ AAEB* καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
Ἐπεὶ οὖν! ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗ τῷ ΗΕ, κοινὸν προσκείσθῳ τὸ ΓΖ" ὅλον ἄρα τὸ AL ὅλῳ τῷ ΓΕ ἧτον ἐστίν3" τὰ ἄρα AL, ΓΕ διπλάσια ἐστι τοῦ AL. Αλλὰ τὰ AL, ΓΕ ὃ ΚΛΜ ἐστὶ γνώμων καὶ τὸ TL τετράγωνον" ὁ ΚΛΜ ἄρα γνώμων καὶ τὸ Ἐστι δὲ τοῦ ΑΖ δὲ-
EI ^05 - ΓΖ διπλάσιά ἐστι τοῦ AL. ; dn Etes » ἢ πλατσίον καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν AB, ΒΓ; 175 yep
Describatur enim ex AB quadratum ΑΔΕΒ; et construatur figura.
Quoniam sgitur æquale est AH ipsi HE , com- mune addatar ΓΖ; totum igitur AZ toti TE aequale est ; ergo AZ, FE dupla sunt ipsius AZ. Sed AZ, ΓΕ ipse ΚΛΜ sunt gnomon et ΓΖ quadratum; KAM igitur gnomon et ΓΖ dupla sunt Jpsius AZ. Est autem ipsius AZ duplum
εἰ ipsum bis sub AB, BD, æqualis enim ΒΖ
* ^ bi 4 , X \
ἡ ΒΖ τῇ ΒΓ o ἄρα ΚΛΜ γνώμων xai τὸ TZ Te- , ΕΣ ^ \ ^ ΄ ,
τραγῶνον icov ἐστὶ τῷ dis ὑπὸ τῶν AB, ΒΓ.
\ \ \ d > » ae Koircy προσκείσθω τὸ ON, ὁ ἐστιν ἀπὸ τῆς AT
ipsi ΒΓ; ergo KAM gnomon et TZ quadratum æqualia sunt ipsi bis sub AB, Br. Commune ad- datur ON, quod est ex AT quadratum ; ergo
τετράγωνον" ὃ ἄρα KAM γνώμων καὶ τὰ TZ, ΚΛΜ gnomon et ΓΖ, ON quadrata æqualia sunt
el ipsi bis sub AB, ΒΓ contento rectangulo et ipsi ex AT quadrato. Sed ΚΛΜ gnomon et ΓΖ, ON
ON τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε δὶς ὑπὸ τῶν AB, ΒΓ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγώνῳ. Αλλὰ ὁ ΚΛΜ γιώμων καὶ Ta IZ, πσυδάγαία totum sunt ΑΔΕΒ et ΓΖ, qua sunt ON τετράγωνα ὅλον ἐστὶ τὸ ΑΔΕΒ καὶ τὸ IZ, ex AB, ΒΓ quadrata; ergo ex AB, ΒΓ qua-
d ἐστιν aT τῶν ΑΒ - ΒΓ τετράγωνα" τὰ ἄρα AT drata aequalia sunt 1psi bis sub AB " BF con-
Avec AB décrivons le quarré AAEB ( 46. 1); et construisons la figure.
Puisque le rectangle AH est égal au rectangle HE (45. 1), ajoutons le quarré commun ΓΖ; le rectangle entier Az sera égal au rectangle entier TE; donc les rectangles 4z, TE sont doubles du rectangle Az. Mais les rectangles ΑΖ, TE sont le gnomon KAM et le quarré rz; donc le gnomon KAM et le quarré ΓΖ sont doubles du rectangle az. Mais deux fois le rectangle sous AB, Br est double du rectangle Az, car ΒΖ est égal à Br (cor. 4. 2); donc le gnomon ΚΛΜ et le quarré TZ sont égaux à deux fois le rectangle sous AB, Er. Ajoutons le quarré commun ΘΝ, qui est le quarré de Ar; le gnomon KAM et les quarrés TZ, ΘΝ seront égaux à deux fois le rectangle sous AB, BT, et au quarré de Ar. Mais le gnomon KAM et les quarrés TZ, ΘΝ sont les quarrés entiers AAEB, TZ, qui sont les
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 99
ne , d » \ L2 \ La \ ^ τῶν AB, BT τετραγωνα ἰσα ἐστὶ. τῷ" dic ὑπὸ τῶν , E ^ X A 3
AB, BT περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς
AT τετραγώνου. Ἐὰν ἄρα εὐθεῖα, καὶ τὰ ἑξῆς. ΠΡΟΤΆΣΙΣ ἡ.
Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμηθῇ ὡς ἔτυχε, τὸ τε- τράκις ὑπὸ τῆς ὕλης καὶ tic τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ 'λοιποῦ τμήματος τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς ὕλης καὶ τοῦ εἰρημένου τμήματος ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι τετραγώνῳ.
Εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ τετμήσθω ὡς ἔτυγε xaTA
\ DJ , L4 \ , ^ ΤΟΙ σημεῖον" λέγω ὅτι τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ 5
E
, , , , ^ 9 \ € BI περιεχομένον ὀρθογῶνιον, psTAa TOU απὸ τῆς
, AMEN AU δ ΑΓ τετραγώνους ἰσὸν ἐστι τῷ ἅπο πῆς AB ΒΓ oc
» ^ ^ M , , ἀπὸ μιᾶς ἀναγράφεντ, τετραγώνῳ.
tento rectangulo cum ex AT quadrato. Si igitur
recta , etc.
PROPOSITIO VIII.
Si recta linea secetur utcunque, quater sub totá et uno segmentorum contentum rectangu- lum cum ipso ex reliquo segmento quadrato æquale est ipsi ex ἰοϊὰ et dicto segmento tan-
quam ex unà descripto quadrato,
Recla enim aliqua AB secta sit utcunque in
T punclo ; dico et quater sub AB, ΒΓ conten-
B Δ
tum rectangulum cum ipso ex AT quadrato æquale esse ipsi ex ipsà AB, BP tanquam ex unà
descripto quadrato.
quarrés des droites AB, Br; donc les quarrés des droites AB, Br sont égaux à deux fois le rectangle compris sous ΑΒ, Br, et au quarré de ar. Donc, etc.
PROPOSITION VIII.
Si une droite est coupée d'une manière quelconque, quatre fois le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments, avec le quarré du segment restant , est égal au quarré décrit avec la droite entière et ledit segment, comme
avec une seule droite.
Qu'une droite ΑΒ soit coupée d'une maniére quelconque au point r : je dis que quatre fois le rectangle compris sous les droites AB, Br , avec le quarré de ar, est égal au quarré décrit ayec les droites AB, Br, comme avec une seule droite.
3r.
100 LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. Ἐχ(εξλησθω yap ἐπὶ εὐθείας τῇ AB εὐθεία à Producatur enim in directum ipsi AB recta BA, καὶ κείσθω ἴση Tj TB 4 ΒΔ", καὶ ἀναγε- ΒΔ, et ponatur æqualis ipsi B ipsa BA, et descri-
γράφθω ἀπὸ τῆς ΑΔ τετράγωνον τὸ AEZA, καὶ baturex AA quadratum AEZA , et construatur
καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα. dupla figura. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ BT τῇ ΒΔ, ἀλλὰ ἡ μὲν Quoniam igitur æqualis est BP ipsi BA, sed
TB τῇ HK ἐστὴν ἴση, ἡ δὲ BA τῇ ΚΝ, καὶ ἡ HK äpaÿ ΓΒ quidem ipsi HK est æqualis, et BA ipsi ΚΝ; τῇ ΚΝ ἐστὶν ἴση. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΠΡ τῇ et HK igitur ipsi ΚΝ est qualis. Propter eadem PO ἐστὴν ion, Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν 47ΤΒ 7j BA, utique et ΠΡ ipsi PO est equalis. Et quoniam ἡ δὲ HK τῇ KN* ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ" τὸ μένθτκ — squalis est ΓΒ quidem ipsi ΒΔ, et HK ipsi KN ;
E e A Z
τῷ BN, τὸ δὲ HP τῷ KO. Αλλὰ T6 TK τῶ DN æquale igitur est TK quidem ipsi EN, et HP ἐστὶν 10017 , παραπλ npouaTa γὰρ τοῦ ΤΟ παρ- ipsi KO. Sed FK ipsi PN est quale , complementa αλληλογράμμου" καὶ τὸ ΒΝ ἄρα τῷ ΗΡ ἴσον ἐστίνδϑε͵ — enim sunt ipsius l'O parallelogrammi ; et BN igi- τὰ τέσσαρα ἔρα τὰ ΤΚ. ΚΔ , HP, DN ἴσα turipsi HP æquale est; quatuor igitur ΓΚ, KA, ἀλλήλοις Tori τὰ τέσσαρα ἄρα τετραπλάσιά HP, PN æqualia inter se sunt; quatuor igilur ἐστι τοῦ TK. Πάλιν ἐπεὶ ion ve Tiv à IB τῇ BA, quadrupla sunt ipsius FK. Rursus, quoniam æqua- ἀλλὰ ἡ μὲν ΒΔ τῇ BK, τοῦτ᾽ ἔστι τῇ ΤῊ ἐτὴνϑ — lis est PB ipsi BA, sed BA quidem ipsi BK , hoc ἴση. ἡ δὲ TB τῇ HK, τοῦτ ἔστ, τῇ HII ἐστὶν — Est, lpsi ΤῊ uu TB vero ipsi HK, hoc est,
*
Conduisons la droite ΒΔ dans la direction de AB; faisons B^ égal à Br; décri_ vons avec 44 le quarré AEZ^ ( 46. 2), et constrüisons une double figure.
Puisque Br est égal à BA, que TB est égal à HK (54. 1), et BA égal à ΚΝ, la droite HK est égile à la droite ΚΝ. La droite HP est égale à la droite PO, par la méme raison. Et puisque ΓΒ es: égalà ΒΔ, et HK égal à Kx, le rectangle rk est égal au rectangle ΒΝ, et le rectangle HP égal au rectangle ΚΟ (56. 1). Mais le rectangle ΓΚ est égal au rectangle ΒΝ (45. 1), car ils sont les compléments du parallélogramme ro; donc le rectangle EN est égal au rectangle HP; donc les quatre rectangles TK, KA, HP, PN sont égaux entr'eux ; donc ces quatre rec- tangles sont le quadruple du rectangle rx. De plus, puisque ΓΒ est égal à Ba, et BA égal à BK, c’est-à-dire à TH (54. 1), et que TB est égal à HK , c'est-à-dire à ΗΠ, la
LE DEUXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
iza!9* γαὶ ἡ TH ἄρα τῇ ΗΠ ἴση ἐστίν"", Καὶ ἐπεὶ iru ᾿στὶν ἡ μὲν ΤῊ τῇ HIT, ἡ δὲ ΠΡ τῇ PO* ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ μὲν" AH τῷ ΜΠ. τὸ δὲ ΠΛ τῷ ΡΖ. AAAZ τὸ ΜΠ τῷ ΠΛ ἐστὶν ἴσον" παραπληρώματα γὰρ τοῦ MA παραλληλογράμμου" καὶ τὸ AH ἄρα τῷ ΡΖ zov ἐστίν" τὰ τέσσαρα ἄρα τὰ AH, MII,IIA, ῬΖίσα ἀλλήλοις ἐστιν" τὰ τέσσαρα ἄρα τοῦ ΔΗ τε- τραπλάσιά ἐστιν", Ἐδείχθη δὲ καὶ τὰ τέσσαρα τὰ TK, KA, HP, PN τοῦ TK τετραπλάσια" τὰ dpa ὀκτὼ à περιέχει τὸν ΣΤΥ γνώμονα τετραπλάσιά ἐστι τοῦ AK !Á. Καὶ ἐπεὶ τὸ AK τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΔ ἐττὶν, ἴση γὰρ' 5 4 ΚΒ τῇ BA° τὸ ἄρα τετράκις ὑπὸ τῶν ΑΒ. ΒΔ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ AK. Ἐδείχθη di τοῦ AK τετραπλάσιος καὶ 6 ΣΤΥ γνώμων" τὸ ἄρα πετράκις ὑπὸ τῶν AB, BA ἔσον ἐστὶ τῷ
^ , - Y , VV “» ΣΤΥ γνώμονι. Koivoy προσκείσθω TO XO,0 ἐστιν
10I ipsi HII est qualis; et FH igitur ipsi HII equalis est. Et quoniam zqualis est FH quidem ipsi HII, et IIP ipsi PO; æquale est et AH quidem ipsi ΜΠ, et IA ipsi ΡΖ. Sed ΜΠ ips HA est æquale , complementa enim sunt ipsius MA pa- rallelogrammi; et AH igitur ipsi ΡΖ æquale est; quatuor igilur AH, MIT, ΠΑ, ΡΖ æqualia inter se sunt; quatuor igitur ipsius AH quadru- pla sunt. Ostensa sunt autem et quatuor FK, KA, HP, PN ipsius ΓΚ quadrupla; ergo octo que continet ETY gnomon quadrupla sunt ipsius AK. Et quoniam AK ipsum sub AB, BA est, equalis enim est KB ipsi BA; ergo ipsum quatez sub AB , BA quadruplum est ipsius AK, Ostensus est autem ipsius AK quadruplus et
ΣΤῪ gnomon. Ipsum igitur quater sub AB , BA
ἴσον τῷ ἀπὸ τὴς AT τετραγώνῳ" τὸ ἄρα τετράκις æquale est ipsi ΣΤῪ gnomoni. Commune adda-
ὑπὸ τῶν AB, BA περιεχέμενον ὀρθογώνιον uera ur ΞΘ, quod æquale est ipsi ex AT" quadrato;
τοῦ ἀπὸ ric AT τετραγώνου ἴσον ἐστὶ TQ ΣΤΥ ipsum igitur quater sub AB, BA contentum LA )
pe rectangulum cum ex AT quadrato æquale est
^ M e. , ^ Lori καὶ τῷ ΞΘ. AAA o ΣΤΥ γνώμων καὶ τὸ ΞΘ ὅλον ἐστὶ τὸ AEZA τετράγωνον, ὅ ἐστιν — ipsi ΣΤῪ gnomoni ct ipsi £O. Sed ΣΤΎ gnomon
et ΞΘ totum sunt AEZA quadratum , quod est ex
» D RI
» ͵ UNA ἐς epa verparic ὑπὸ τῶν ΑΒ.
droite TH est égale à la droite uri, Et puisque rH est égal ἃ ΗΠ, et que ΠΡ est égal à ΡΟ, le rectangle ΑΗ est égal au rectangle ΜΠ et le rectangle IA égal au rectangle ΡΖ ( 56. 1). Mais le rectangle ΜΠ est égal au rectangle ΠᾺ (43. 1), car ils sont les compléments du parallélogramme M4 ; donc le rectangle AH est égal au rectangle ΡΖ ; donc les quatre rectangles AH, ΜΠ, HA, ΡΖ sont égaux entr'eux; donc ces quatre rectangles sont quadruples du rectangle AH. Mais on a démontré que les quatre quarrés TK, KA, HP, PN sont quadruples du quarré ΓΚ; donc les huit figures qui composent le goomon ΣΤΥ sont quadruples du rectangle ΑΚ. Mais le rec- tangle AK est sous AB, ΒΔ; car KB est égal à Ba (cor. 4. 2); donc quatre fois le rectangle sous AB, ΒΔ est quadruple du rectangle AK. Mais on a démontré que le gnomon ΣΤΥ est quadruple du rectangle ΑΚ; donc quatre fois le rectangle sous AB, ΒΔ est égal au gnomon ΣΤΥ. Ajoutons le quarré commun ΞΘ, qui est égal au quarré de ΑΓ ( cor. 4. 2); quatre fois le rectangle compris sous ΑΒ, ΒΔ, avec le quarré de ΑΓ sera égal au gnomon ΣΤΎ et au quarré ΞΘ. Mais le gnomon ΣΤῪ et le quarré xe sont le quarré entier AEZA, qui est décrit avec A^; donc quatre fois
102 ^ v3 D ^ ^ » » \ ^ ^
ΒΔ μετατουαπο τῆς} 7 AT σον ἐστὶ τω ἀπὸ τῆς"}8
, ἢ -
AA τετραγώνῳ. Ion de ἡ BA τῇ BI'9* τὸ apa.
τετράκις ὑπο τῶν AB, BT περιεχόμενον ἐρθογώ- UA rer , >
viov μετὰ TOU 270 Thç?9 AT τετραγώνου ἴσον ἐστὶ
es , \ ^ ^ ? Xy \ -» M ^ Ν
τῷ 070 τῆς AA, τοῦτ ἐστι τῷ απὸ τῆς AB καὶ
- , \ ^ 2 , , \
BT ὡς ἀπὸ piae ἀναγραφέντι τετραγώνῳ, Ἐαν
ἄρα εὐθεα. καὶ τὰ ἑξῆς: ΠΡΟΤΑΣΙΣ 6,
X 5 ^ M ^ 5 » No Eay εὐθεῖα γραμμὴ πμηθῇ εἰς ἴσα καὶ ἄνισα, Moe Mae Ug τὰ ἀπὸ τῶν ανίσων τῆς ὅλης τμημάτων τετρά- d , ^0» ^ 3 ' ^ e 7 γωνα dimhacit ἐστὶ τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας M —^ >» ι ^ \ ^ xai τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν τετραγώνου, SE : : Εὐθεῖα γάρ τις ἡ AB τετμήσθῳ εἰς μὲν ἴσα M \ » A^ X \ Y , σ κατὰ TO D, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ A* A650 CTI uc oue Ta ἀπὸ τῶν AA, AB τετραγωνα διπλάσια ἔστι ^ 5 b ^ Lu τῶν ἀπὸ τῶν AT, ΓΔ τετραγώνων. 2 » \ ^ ^ \ 3 \ € Hyfo γάρ ἀπὸ τοῦ T τῇ AB πρὸς ὀρθὰς ἡ TE,
n; Ἂν , , » Li , ^ NX? "αὶ κείσθω ἴση εκατερᾳ τῶν AT, TB, καὶ ἐπ-
LE DEUXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
AA; ipsum igitur quater sub AB, BA cum ipso ex AT æquale est ipsi ex AA quadrato. Æqualis autem est BA ipsi ΒΓ ; ergo quater sub AB, ΒΓ contentum rectangulum cum ipso ex AT quadrato aequale est ipsi ex AA quadrato , hoc est, ex ipsà AB et BUT tanquam ex unà descripto quadrato.
Si igitur recta , etc. PROPOSITIO TX.
Si recia linea secetur in qualia et inæqualia, ex inæqualibus totius segmentis quadrata dupla sunt et ipsius ex dimidià et ipsius ex ipsà inter sectiones quadrati.
Recta enim aliqua AB secta sit in æqualia quidem ad DL, in inaequalia vero ad A; dico ex ΑΔ, AB quadrata dupla esse ex AT, ΓΔ qua- dratorum.
Ducatur enim a T' ipsi AB ad rectos ΓΕ, et
ponatur æqualis utrique ipsarum AP, TB, et jun-
le rectangle sous AB, Ba avec le quarré de Br est égal au quarré de 44. Mais ΒΔ est égal à ΒΓ: donc quatre fois le rectangle compris sous AB, Br avec le quarré de AT est égal au quarré de 44, c'est-à-dire au quarré décrit avec AB et Br comme avec une seule droite. Donc ; etc,
PROPOSITION IX.
Si une ligne droite est coupée en parties égales et en parties inégales, les quarrés des segments inégaux de la droite entière sont doubles du quarré de la moitié de cette droite et du quarré de la droite placée entre les sections.
Que la droite AB soit coupée en parties égales en T, et en parties inégales en ^; je dis que les quarrés des droites A4, ΔΒ sont doubles des quarrés des droites Ar, ΓΔ.
Du point r conduisons TE perpendiculaire à ΑΒ (11. 1); faisons la droite ΒΓ égale à l'une et à l’autre des droites Ar, TB, et joignons AE, EB; par le point
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
€ H ^ nm 3 εζεύχθωσαν ai AE , EB, καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ τῇ ET Li M € \ ^ παράλληλος ἤχθω ἡ AZ, διὰ δὲ τοῦ 2 τῇ AB
ν ε , L € παράλληλος ἤχθω! ἡ ZH, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ AZ. No» No» » ^ e ^ ” » ^ Nue Καὶ eres ion ἐττν n AT τῇ ΓΕ. 10h ἐστι καὶ ἡ ε ' , —- € \ ^23 A3 y 7» ὑπὸ EAT γωνία τῇ ὑπὸ AET. Kai ἐπεὶ ὀρθὴ ἐστιν e M ^ M eie " πρὸς TQ T , λοιπαὶ ἄρα αἱ ὑπὸ EAT , ΑΕΓ μιᾷ 3 03 » » NOS. M 2 ET » > ld ορθῃ σαι εἰσιν. καὶ εἰσὶν ioa? * ἡμίσεια ἀρὰ ὀρθῆς
» e. , ^ ε 2 1 ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΕΑ, TAE. Διὰ τὰ ἀυτὰ
C s , I eee ex > δὴ καὶ ἐκατερα τῶν ὑπὸ TEB , EBT ἡμίσειά ἐστιν , ^ v 1 ere \ > Ce) \ \ ὀρθῆς" Can dpz n ὑπὸ AEB ὀρθή ἐστιν. Καὶ ἐπεὶ e \ 3 T? 15, 2» 1 ^ E \ ve \ ἢ vro HEZ ἡμίσεια ἐστιν ὀρθῆς, 0pôn δὲ ἡ ὑπὸ » , , -« 9» M Ν , \ ^ EHZ , «σὴ γὰρ ἐστι τῇ ἐντὸς και ἀπειάντιίον τῇ e? IN. Nox eT eo € ὑπὸ ΕΓΒ’ λοιπὴ apa n ὑπὸ ΕΖΗ ἡμίσειά ἐστιν SNO Sra ΑΥΤΟΝ τ τ δὰ . ὀρθῆς" ἴση epa ἐστὶν" ἡ ὑπὸ HEZ γωνία τῇ ὑπὸ “ \ ig v EZH* ὡστε καὶ πλευρά ἡ EH πλευρᾷ 754 HZ » \ ” , , M € À ^ , € / ἐστιν i02. Παλιν mes n πρός Τῷ B trie ἡμι-
L M Ἔα XS . cua ἐστιν ὀρθῆς, ὀρθὴ di ἡ ὑπὸ ZAB, icu
τοῦ gantur AE, EB, et per Δ quidern ipsi EU pa- rallela ducatur AZ, per Z vero ipsi AB parallela ducatur ZH , et jungatur AZ.
Et quoniam æqualis est AT ipsi ΓΕ, æqualis est et EATlangulus ipsi AET, Et quoniam rectus est ad r', reliquiigitur EAT, AET unirecto æqualessunt, et sunt equales ; dimidius igitur recti est uterque ipsorum ΓΕΑ, DAE. Propter eadem utique et
uterque ipsorum FEB, ΕΒΓ dimidius est recti ; tolus igilur AEB rectus est. Et quoniam HEZ dimidius est recli, rectus autem EHZ , æqualis enim est interiori et opposito ΕΓΒ; reliquus igitur EZH dimidius est recti; equalis igitur est HEZ angulus ipsi EZH; quare et latus EH lateri HZ est equale. Rursus quoniam ad B angulus dimidius est recti , rectus aulem ZAB,
æqualis enim est rursus interiori et opposito
^ conduisons az parallèle à Er (51. 1), et par le point Z conduisons ΖΗ parallèle
à AB, et Joignons ΑΖ,
Puisque Ar est égal à ΓΕ, l'angle EAT est égal à l'angle AEr (5. 1). Et puis-
que l'angle en r est droit, les angles restants EAT , AET sont égaux à un droit (52.1); mais ils sont égaux ; donc chacun des angles TEA, ΓΑΕ est la moitié d'un droit. Par la méme raison, chacun des angles ΓΕΒ, ΕΒΓ est la moitié d'un droit; donc l'angle entier AEB est droit. Et puisque l'angle HEZ est la moitié d'un droit, et que l'angle ΕΗΖ est droit, car il est égal à l'angle intérieur et opposé ΕΓΒ ( 29. 1), l'angle ΕΖΗ est la moitié d'un droit; donc l'angle HEZ est égal à l'aegle ἘΖΗ; donc le côté EH est égal au côté Ez (6. 1). De plus, puisque l'angle en 5 est la moitié d'un droit, et que l'angle za? est droit, car il est égal à l'angle intérieur
104
yap ἐστὶ πάλιν" τῇ ἐντὸς nai amuavrioy τῇ ὑπὸ ἘΓΒ’ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ Δ2Β ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς" ἴση ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β γωνία τῇ ὑπὸ AZB* ὦστε καὶ πλευρὰ ἡ ZA πλευρᾷ τῇ AB ἐστὶν ἴση. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AT τῇ TE, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ ἀπὸ τῆς) ΤῈ" τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν AT, ΤῈ τετράγωνα διπλάσια ἐστι ποῦ ἀπὸ TWO AT. Τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν AT, ΓΕ ἴσον
3 v \ , M ^ , » [m ^ e ἐστί τὸ ἀπὸ τῆς AE Terpaywyor, ops γὰρ m
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ΕΓΒ; reliquus igitur AZB dimidius est recti; æqualis igitur ad B angulus ipsi AZB; quare et latus ZA lateri AB est æquale, Et quoniain equalis est AT ipsi ΓΕ, æquale est et ipsum ex AP ipsiex E; ergo ex AT , ΓΕ quadrata dupla sunt ipsius ex AT. Ipsis autem ex ΑΓ, ΓΕ æquale est ex AE quadra'um, rectus enim est ATE angulus; ipsum igitur ex AE duplum est ip-
sius ex AT. Rursus quoniam æqualis est EH
\ » *, \ ^ , ᾿, ὑπὸ ATE γωνία" τὸ dpa ἀπὸ τῆς AE διπλασιόν Ξ À , , \ y 5» N.N ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆςϑ AT. Πάλιν ἐπεὶ son ἐστὶν ἡ EH ^ L4 » ^10 ^ Le \ D ^ \ ^ Th HZ ,100y ἐστι xdi τοαπο τῆς HE τῳ ATOTHS \ 4 5 V ^ L4 ^ ΗΖ" τὰ apa ἀπὸ τῶν EH, HZ τετράγωνα διπλά- ^ \ ^ , D | he à 1 cit $cT1 τοῦ ἀπὸ τῆς HZ τετραγώνου. Τοῖς δὲ ἀπὸ ὧν ΄ » , M \ > ^ ^ τῶν EH, HZ τετραγώνοις ἰσὸν ἐστι TO G0 τῆς , 1.1.6 À L4 > ^ ^ di Li LA EZ τετράγωνον To dpt ἀπὸ τῆς ΕΖ diTAacicy E] “Ὃ“ 9 t ^ \ ^ ΕΣ ^ ^ » e0T1 TOU ἀπὸ τῆς HZ. Αλλὰ τὸ ἀπο τῆς HZ σὸν \ 7 A ^ \ L'A ΕΣ 4 ^ , ἐστί τῳ ἀπὸ τῆς TA'?* τὸ apa απὸ τῆς ΕΖ διπλά-
"s Ier Ρ TN σιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς TA, Ἐστ' δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς
ipsi HZ, æquale est et ipsum ex HE ipsi ex HZ ; ergo ex ΕΗ, HZ quadrata dupla sunt Ipsius ex HZ quadrati. Ipsis autem ex EH, HZ quadratis equale estipsum ex EZ quadratum ; ergo ex EZ quadra- tum duplum est ipsius ex HZ quadrati. Sed æ- quale est ipsum ex HZ ipsi ex TA; ipsum igitur ex EZ duplum est ipsius ex ΓΔ, Est autem ipsum ex EA duplum ipsius ex AT; ergo ex AE, EZ qua- drata dupla sunt ex AT , ΓΔ quadratorum ; ipsis vero ex AE, EZ æquale est ex AZ quadratum ,
et opposé ΕΓΒ ( 29. 1 ), l'angle restant AzB est la moitié d'un droit; donc l'angle en B est égal à l'angle 4zB; donc le côté za est égal au côté δβ ( 6. 1). Et puisque ar est égal à TE, le quarré de Ar est égal au quarré de r£; donc les quarrés des droites Ar , TE sont doubles du quarré de ar. Mais le quarré de AE est égal aux quarrés des droites AT, TE (47, 1), car l'angle ATE est droit ; donc le quarré de AE est double du quarré de ar. De plus, puisque EH est égal à ΗΖ, le quarré de HE est égal au quarré de Hz; donc les quarrés des droites EH, Hz sont doubles du quarré de Hz. Mais le quarré de Ez est égal aux quarrés des droites EH, HZ (47- 1); donc le quarré de ΕΖ est double du quarré de ΗΖ. Mais ΗΖ est égal à rA (34. 1) ; doncle quarré de ΕΖ est double du quarré de ΓΔ. Mais le quarré de Ea est
LE DEUXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
^ 3 ^ M » > \ € EA διπλάσιον TOU ἀπὸ τῆς AT° τὰ ἀρὰ ἀπὸ τῶν , £T ^ * \ " AES. ἘΖ τετράγωνα διπλάσια ἐστὶ τῶν απὸ τῶν ΄ e M ΕΣ M ^ ELA AT, TA τετραγώνων. Τοῖς δὲ ao τῶν AE, EZ 100v > M MOSETNUIS e , > Y AED NOT ἐστι TO AO TAG, AZ τετραγῶνον , op9n yap ἐστιν" € À » e ^ ^ ἡ ὑπὸ AEZ γωνία. τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς ΑΖ τετραγῶνον , ^ b M M ? M δίπλόσιόν ἔστι τῶν ἀπὸ τῶν AT, ΓΔ. Τῷ δὲ απὸ ^ » A o» M m 2 4) M > M τῆς ΑΖ Ica, τὰ ἀπὸ τῶν AA, AZ, opon yap προς ἐν 3 M ^ , , TO Δ γωνία" Ta ape ἀπὸ τῶν ΑΔ. ΔΖ διπλάσια 3 ^ 27 , , ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν AT, ΓΔ τετραγώνων. 154 ἡ ΔΖ ^ » e LI ^ , , τῇ ΔΒ" τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν AA, ΔΒ Terpa evo, dz Aa- ^ \ ^ , M cid ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΓ, TA τετραγώνων. Ἐάν
» A" \ \ con ἄρα εὐθεῖα. καὶ τὰ εζῆς. ΠΡΟΤΑΣΙΣ ὦ.
\ A “' M M , L2 Ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμιηθῇ δίχα, πρρστεθῇ ^ 5 ^ 3 e , > > , \ 5 \ b e δὲ τις αὐτῇ εὐθεῖα ἐπὶ εὐθείας" τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης \ ἘΞ , Nau LEE , σὺν τῇ προσκειμένῃ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς προσκειμένης, M , . , NC] τὰ συναμφότερα πετράγωνα. δηυαπλάσια ἐστι ^ > M ^ € , Ἂν ^ 5 M ^ τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ TOU ἀπὸ τῆς συγκει- , » TOR. Dt. D \ ES , μένης ἐκ τε τῆς ἡμισείας καὶ τῆς προσκειμενῆς
e > M [od > , , ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀνάγραφεντος τετραγωνου!-
105 rectus enim est AEZ angulus; ergo AZ quadra- tum duplum est ipsorum ex AT, ΓΔ. Ipsi vero ex AZ æqualia sunt 1psa ex ΑΔ, ΔΖ, rectus enim est ad A angulus; ipsa igitur ex AA, AZ dupla sunt ex ΑΓ, ΓΔ quadratorum. JEqualis autem AZ ipsi AB; ergo ex AA, AB quadrata dupla sunt ex AT, ΓΔ quadratorum. Si igitur recta , etc.
PROPOSITIO X.
Si recta linea secetur bifariam , adjiciatur au- tem aliqua ipsi recta iu directum ; ipsa ex totà cum adjectà et ex adjectá, simul sumpta qua- drata , dupla sunt et ipsius ex dimid;à et ipsius ex composità ex dimidià et adjectà tanquam ex
uná descripti quadrati.
double du quarré de Ar; donc les quarrés des droites AE, EZ sont doubles des quarrés des droites Ar, rA. Mais le quarré de Az est égal aux quarrés des droites AE, EZ (47. 1), car l'angle AEz est droit; donc le quarré Az est double des quarrés des droites Ar, rA. Mais les quarrés des droites AA, AZ sont égaux au quarré de Az (47. 1), car l'angle en ^ est droit; donc les quarrés des droites ΑΔ, AL sont doubles des quarrés des droites Ar, ra. Mais Az est égal à ΔΒ;
donc les quarrés des droites 44, ΔΒ sont doubles des quarrés des droites ΑΓ, TA, Donc, etc.
PROPOSITION X.
Si une ligne droite est coupée en deux parties égales, et si on lui ajoute directement une droite, le quarré de la droite entière avec la droite ajoutée, et le quarré de la droite ajoutée, étant pris ensemble, sont doubles du quarré de la moitié de la droite entière, et du quarré décrit avec la droite composée de la moitié de la droite entière et de la droite ajoutée, comme avec une seule droite.
14
106
Εὐθεῖα γὰρ τις 5 AB τετμήσθω δίχα κατὰ T0 T, προσκείσθω δὲ τις αὐτῇ εὐθεῖα ὁπ εὐθείας ἡ ΒΔ’ λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῶν AA, ΔΒ τετράγωνα δηπλάσιώ ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν AT ΓΔ TtTp2? ὦνων.
Ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῇ ΑΒ πρὸς ὁρ- ϑὰς ἡ ΤΕ, καὶ κείσθω 172 ἑκωτέρᾳ τῶν AT , TB, καὶ ἐπεζεύγθωσαν αἱ EA, EB* καὶ διὰ uiv τοῦ E
τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω n EZ* διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ
TE πάλινξ παράλληλος ἤχθω ἡ ZA. Καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους εὐθείας τὰς ET, ZA εὐθεῖά iG ἐνέπε- σεν ἡ EZ , αἱ ὑπὸ TEZ , ΕΖΔ dpa δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν" αἱ ἄρα ὑπὸ LEB, ΕΖΔ δύο ὀρθῶν ἐλασσό- véc εἰσιν" αἱ ὃς ἀπὸ ἐλασσόνων à δύο ὀρθῶν ἐκ- ξαλλόμεναι συμπίπτουσιν" αἱ ἄρα EB, ZA ἐκ-
pi. , LEO \ , P βαλλοβέναι ἐστὶ τῷ BA μέρη συμπέσουνται. Ex-
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Recta enim aliqua AB secta sit bifariam in P,
adjiciatur autem aliqua ei recta in directum ΒΔ; dico ex AA, AB quadrata dupla esse ex ΑΓ, FA quadratorum.
Ducatur enim a P puncto ipsi AB ad rectos TE, et ponatur equalis utrique ipsorum AT, TB, et jungantur EA , EB ; et per E quidem ipsi AA parallela ducatur EZ; per A vero ipsi l'E
Z
rursus parallela ducatur ZA. Et quoniam in pa- rallelas rectas ET, ZA recta aliqua incidit EZ, anguli ΓΕΖ, ΕΖΔ igitur duobus rectis æquales sunt; ergo ZEB, EZA duobus rectis minores sunt. Recte autem a minoribus quam duobus rectis productæ conveniunt; ergo EB, ZA producta ad
partes BA convenient. Producantur, et conve
e , " . . ξεξλήσθωσαν. καὶ συμπεπτέτωσαν κατὰ τὸ H , — niant in H, et jungatur AH.
καὶ ἐπεζεύχθω ἡ AH.
Qu'une droite ΑΒ soit coupée en deux parties égales en r, et qu'on lui ajoute directement une droite ΒΔ; je dis que les quarrés des droites 44, ΔΒ sont doubles des quarrés des droites Ar, ra.
Du point r conduisons TE perpendiculaire à AB ( 1 1. 1); faisons cette droite égale à l'une ou à l'autre des droites Ar, rB; joignons EA, EB; par le point E conduisons Ez parallèle à AA; et par le point ^ conduisons ΖΔ parallèle à TE (3r. r). Puisque la droite Ez tombe sur les parallèles Er, z^, les angles ΓΕΖ, ΕΖΔ sont égaux à deux droits (29. 1); donc les angles ZEB, ΕΖΔ sont plus petits que deux droits. Mais deux droites prolongées se rencontrent du cóté où les angles sont plus petits que deux droits ( dém. 5 ); donc les droites EB, Ζὰ prolongées se rencontreront du cóté BA, Prolongeons ces droites; qu'elles se rencontrent au point H ; et joignons AH.
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
X \ , Ne ” DEN \
Καὶ ἐπεὶ ion ἐστὶν ἡ AT τῇ TE , 470 ἐστι καὶ
7 M Li , m € ^ \ ? 09 € " HJ
γωνία ἡ ὑπὸ AET τῇ ὑπὸ EAT , καὶ opom ἡ πρὸς
3! , € , ^ € ι
τὸ I* ἡμίσεια ἄρα ὀρϑῆς ἐστιν exaTépz τῶν ὑπὸ
M M » M \ RV TES , “
EAT, AET. Ava τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατερῶ τῶν eri e 23$
ὑπο TEB, EBT μέσεια ἐστιν
» x ε Li ^ Nu, \ , / » ba , ἐστὶν ἡ ὑπὸ AEB. Καὶ πεῖ ἡμίσεια opone ἐστιν
ὀρθῆς(- ὀρθὴ ἄρα
ἡ ὑπὸ EBT, ἡμίσεια dpa ὑρθῆς καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΗ. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ BAH ὀρθὴ, ἴση γάρ ἐστι τῇ ὑπὸ ΔΓΕ, ἐναλλὰξ γάρ" λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ AHB? τῇ ὑπὸ ABH ilv Peu, ὥστε καὶ πλευρὰ n BA πλευρὰ τῇ ΔῊ ἐστὶν ἴση. Πάλιν, ἐπεὶ ἡ ὑπὸ EHZ ἡμίσειά ἔστιν ὀρθῆς. ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Z, » , » 2 , ^ M m \ ἴση γάρ ἐστι τῇ ἀπεναντίον τῇ πρὸς τῷ Γ΄ λοιπή NEN AS NT EC ape ἡ ὑπὸ ZEH ἡμίσεια ἐστιν ὀρθῆς" ig ἀρὰ 4 ὑπὸ ἘΗΖ γωνία τῇ ὑπὸ LEH* ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ HZ πλευρᾷ τῇ LE ἐστὴν ἴση. Καὶ ἐπεὶ ion ἐστὶν ἡ ET τῇ ΤΑ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ET τετρά- γωνον τῷ ἀπὸ τῆς TA τετραγώνῳ" τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ET, ΤᾺ τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς TA τετραγώνου, Τοῖς d ἀπὸ τῶν ET, ΤᾺ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔῈ" τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς EA τετρά- γῶνον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς AT τετραγώ-
, , NAM; , \ e ^ L4 3 ' vou, Πάλιν. ἐπεὶ ἰσὴ ἐστὶν ἡ ZH τῇ ZE, 100V «071
107
Et quoniam æqualis est AT ipsi TE, equalis est et angulus AEP ipsi EAT'; atque rectus est ad P; dimidius igitur recti est uterque ipso- rum EAT, AET. Propter eadem utique et uterque Ipsorum l'EB, EBT dimidius est recti; rectus igiturest AEB, Et quoniam dimidius recti est EBT, dimidius igitur recti est ct ABH. Est autem et BAH rectus ; aequalis enim est ipsi ATE alterno. Reli- quus igitur AHB ipsi ABH est æqualis; quare et latus BA lateri AH est æquale. Rursus , quoniam EHZ dimidius est recti, rectus autem est qui ad Z, equalis enim est opposito qui ad T; reli- quus igitur ZEH dimidius est recti; æqualis igi- tur ΕΗΖ angulus ipsi ZEH ; quare et latus HZ lateri ZEest quale. Et quoniam aequalis est ET ipsi A, æquale est et ex ET quadratum ipsi ex l'A qua- drato. Ergo ex ΕΓ, A quadrata dupla sunt ex ΓᾺ quadrati. Ipsis autem ex ET, TA æquale estipsum ex AE ; ergo ex EA quadratum duplum est ipsius ex AT quadrati. Rursus, quoniam æqualis est ZH ipsi ZE , quale est et ipsum ex HZ ipsiex ΖΕ. Ipsa igitur ex ΗΖ, ZE dupla sunt ipsius ex EZ. Ipsis
autem ex HZ, ZE æquale est ipsum ex EH. Ipsum
Puisque Ar est égal à ΓΕ, l'angle AEr est égal à l'angle Ear (5. 1) ; mais l'angle en T est droit; donc chacun des angles EAT, ΑῈΓ est la moitié d'un droit (52. 17. Par la méme raison, chacun des angles ΓΕΒ, EBr est la moitié d'un droit, donc l'angle ΑΕΒ est droit. Et puisque l'angle EBr est la moitié d'un angle droit, l'angle ABH est la moitié d'un droit ( 15. 1 ). Mais l'angle BAH est droit (29. 1), car il est égal à l'angle alterne arE ; donc l'angle restant AHB est égal à l'angle ΔΒΗ ; donc le côté BA est égal au côté AH ( 6. 1). De plus, puisque l'angle ΕΗΖ est la moitié d'un droit, et que l'angle en 2 est droit, car il est égal à l'angle opposé en r (54. 1), l'angle restant zEH .est la moitié d'un droit; donc l'angle EHZ est égal à l'angle ZEH ; donc le côté Hz est égal au côté ZE (6. 1 ). Et puisque Er est égal à r4, le quarré de Er est égal au quarré de ΤΑ; donc les quarrés des droites Er, r4 sont doubles du quarré de r4. Mais le quarré de AE est égal aux quarrés des droites Er, TA (47. 1); donc le quarré de £a est double du quarré de ar. De
108 χαὶ τὸ ἀπὸ τῆς HZ7 τῷ ἀπὸ τῆς ZE9- τὰ ἔστι τοῦ ἀπὸ ΖῈ ἴσον τῆς EH di-
Irn δὲ EZ τῇ
E, - dub ἄρα ἀπὸ τῶν HZ, ZE. διπλάσια " ^ DIE RES > \ τῆς EZ. Toig δὲ ἀπὸ τῶν HZ, ἐστὶ Nur ^ \ ῃ st EN τὸ ὠπὸ τῆς EH9* co dpa ἀπὸ
LA ^ , ». \ ^ T AGGIóy ἔστι τοῦ ἀπὸ τῆς EZ.
\ ͵ φ À X " TÓ ἄρα απὸ τῆς EH τετράγωνον διπλά-- » » Ὁ ΡΞ ἵν \ \
y ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς TA. Ἐδείχθη dz καὶ τὸ > A ^i , EI ι me ιν “πὸ τῆς EA διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς AT* τοὶ ἄρα
A
2
2 , "NC Am τῶν AE, EH τετράγωνα διπλάσιά ἐστι τῶν
E
^ , . ^ ΕἾ ^ ^ ἀπὸ τῶν AT, TA τετραγώνων, Τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν Ν , > \ X os 4 Ὁ AE, EH τετραγωνοῖς ἰσὸν ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς AH , \ E \ E D ^05 τετραγῶνον" τὸ ὥρα ἀπὸ τῆς AH διπλάσιόν ἐστι E , \ ^ π' EL \ A » τῶν ἀπὸ τῶν AT, TA. Τῷ δὲ ἀπὸ τῆς AH ἴσα ' » \ ^ \ 3) ΕΣ à ^ ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν A^, ΔΗ’ τὰ dpa ἀπὸ τῶν £ , » ^ ΕΣ \ ASIA διπλάσια ἐστι τῶν απὸ τῶν AT, i € ^ \ » 3 \ ad TA 11, Ion δὲ ἡ AH τῇ ΔΒ" τὰ Zpz ἀπὸ τῶν AA, , y > ze SX e AB τετραγῶνα διπλάσια ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν AT,
^. \ T Ne een TA τετράγώνων, Ἐὰν apa. εὐθεῖα, καὶ τὰ εξῆς.
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. -
igitur ex EH duplum est ipsius ex EZ. Æqualis autem EZ ipsi l'A; ergo ex EH quadratum du- plum est ipsius ex PA. Demonstratum est au- lem et ipsum ex EA duplum ipsius ex AT; ergo ex AE, EH quadrata dupla sunt ex AT, TA quadratorum. [Ipsis autem ex AE, EH qua- dratis æquale est ex AH quadratum ; ipsum igi- tur ex AH duplum est ipsorum ex ΑΓ, TA. Ipsi autem ex AH æqualia sunt ipsa ex AA, ΔΗ; ipsa
Z
igilur ex AA, AH dupla sunt ipsorum ex AT, TA. Æqualis autem est AH ipsi AB; ergo ex AA, AB quadrata dupla sunt ex AT, TA quadratorum.
Si igitur recta , etc.
plus, puisque ZH est égal à ZE, le quarré de Hz est égal au quarré de ZE ; donc les quarrés des droites HZ, ZE sont doubles du quarré de Ez. Mais le quarré de EH est égal aux quarrés des droites ΗΖ, ZE (47. 1); donc le quarré de EH est double du quarré de r^. Mais on a démontré que le quarré de EA est double du quarré de ΑΓ; donc les quarrés des droites AE, EH sont doubles des quarrés des droites AT, T^. Mais le quarré de AH est égal aux quarrés des droites AE, EH (47. 1); donc le quarré AH est double des quarrés des droites AT ; r^. Mais les quarrés des droites A^ , AH sont égaux au quarré de AH (47. 1); donc les quarrés des droites 44, AH sont doubles des quarrés des droites Ar, ra ; mais la droite AH est égale à la droite ΔΒ; donc les quarrés des droites A^, ΔΒ sont doubles des quarrés des droites ΑΓ, ra.
Donc, etc.
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IIPOTAZIZ μά
Tav doücirav εὐθεῖαν τεμεῖν. ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὕλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχό- μένον ὀιθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.
Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ" δεῖ δὴ τὴν ΑΒ τεμεῖν. ὥστε τὲ ὑπὸ τῆς ὕλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχύμενον ὀρθογώνιον ἴσον
n » 2 \ LJ re , , εἰναι TO απὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.
100
PROPOSITIO XI.
*
Datam rectam secare , ita ut sub totà et altero segmenlorum contentum rectangulum æquale
sit ipsi ex reliquo segmento quadrato.
Sit data recta AB ; oportet igitur ipsam AB se- care , ita ut sub totá et altero segmentorum con- tentum rectangulum æquale sit ipsi ex reliquo
segmento quadrato.
IW ΟΖ, Bx A E
AUI b
Αναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς AB τετράγωνον τὸ Describatur enim ex AB quadratum ABAT,
ABAT , καὶ τετμήσθω ἡ AT δίχα κατὰ τὸ E elsecetur AT bifariam in E puacto, et jungalur σημεῖον, καὶ ὑπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διήχθω ἡ TA ΒΕ, et producatur TA in Z, ct ponatur ipsi BE æqualis EZ, et describatur ex AZ quadratum
ZO , et producatur HO ad K; dico AB sectam
\ Y ^ » [1 er ἐπὶ τὸ Ly, καὶ κείσθω τῇ BE 172 ἡ EZ , καὶ ava-
γεγράφθω ἀπὸ τῆς AL τετράγωνον τὸ ZO , καὶ
PROPOSITION XI.
Couper une droite donnée , defianière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments, soit égal au quarré du segment restant,
Soit ΑΒ la droite donnée; il faut couper AB de manière que le rectangle com- pris sous la droite entiére et l'un des segments , soit égal au quarré du segment restant.
Avec la droite AB décrivons le quarré ABar ( 46. 1 ); coupons Ar en deux parties égales au point E ( 10. 1) ; joignons BE, prolongeons ra vers z ; faisons Ez égal à BE (5. 1); décrivons avec Az le quarré ze; et prolongeons H® vers K ; je dis que la
Υ10 LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
διήχθω ἡ HO ἐπὶ τὸ K* λέγω 6711 AB τέτμηται esse in ©, ita ut sub AB, ΒΘ contentum rectan- e M36 1 ^ , ᾿ς . τῷ κατὰ τὸ O , ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν AB , BO τεριεχό--ὀ gulum æquale faciat ipsi ex ΑΘ quadrato. , / E" ^ V - evov ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν! τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ H ἢ Ὁ , τετραγῶνῳ. ^ \ 3 E ε ͵ n A H . Mm t . πεὶ ydp εὐθεῖα ἡ AT τέτμηται δίχα κατα Quoniam enim recta AT secatur bifariam in \ , V 3 ^ € iw € Li nd D . .ς 75 E, πρόσκειται dE αὐτῇ ἡ ΑΖ" τὸ apa uzO TOY — E, adjicitur autem ei ipsa AZ; ergo sub ΓΖ, ! > , M e , ι TZ, ZA περιεχομέενον ὀρθογ viov μετα τοῦ ἀπὸ ZA contentum rectangulum cum ex AE qua-
^ , » ^ » \ ^ - E τῆς AE τετραγώνου δον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς EL dralo æquale est ipsi ex EZ quadralo. Æqua-
τετραγώνῳ. Ion δὲ ἡ EZ τῇ EB° τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν lis autem EZ ipsi EB; ergo sub ΓΖ, ZA con- TZ ΖᾺ περιεχόμενον ὀρθογών ον μετὰ τοῦ ἀπὸ lenlum rectangulum. cum ex AE quadrato æ- τῆς AE τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς EB quale est ipsi ex EB quadrato. Sed ipsi ex EB τετραγώνῳ, Αλλὰ τῷ ἀπὸ τῆς" EB ἴσα ἐστὶ τὰ aequalia sunt ipsa ex BA, AE, rectus enim est ad A ἀπὸ τῶν ΒΑ, AE , ὀρθὴ γὰρ n πρὸς τῷ Α γωνία". — angulus;ipsumigitur sub ΓΖ, ZA cum ipso ex AE τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν IZ , ZA μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς AE — equale est ipsis ex BA, AE. Commune aufera- ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν BA, AE, Κοινὸν ἀφῃρήσθω — tur ipsum ex AE ; reliquum igitur sub TZ, ZA τὸ ἀπὸ τὴς AE* λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν TZ, ZA — contentum rectangulum æquale est ipsi ex AB περιεχόμενον ὀρθογώνιονΐ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ quadrato. Et est ipsum quidem sub ΓΖ, ZA ip-
, Nox \ ΄ « M m » - . - . πετραγῴνῳ. Καὶ ἐστι TO μὲν ὑπὸ τῶν ΓΖ, ZA sum ΖΚ, «qualis enim est AZ ipsi ΖΗ; ipsum
droite 4B est coupée en ©, de manière que le rectangle compris sous AB, ΒΘ est égal au quarré de ΑΘ.
Puisque la droite Ar est coupée en deus pares égales en E, que AZ lui est ajou- tée ; le rectangle compris sous les droites TZ , ZA avec le quarré de AE est égal au quarré de ΕΖ (6. 2). Mais ΕΖ est égal à ΕΒ; donc le rectangle compris sous IZ , ZA avec le quarré de AE, est égal au quarré de ΕΒ. Mais les quarrés des droites BA, AE sont égaux au quarré de EB (47: 1), car l'angle en A est droit ; donc le rec- tangle sous TZ , ZA avec le quarré de AE est égal aux quarrés des droites BA, AE. Retranchons le quarré commun de AE ; le rectangle restant compris sous TZ, ZA sera égal au quarré de AB. Mais le rectangle sous les droites TZ , za est le ES socle
LE DEUXIEME LIVRE DES ELÉMENTS D'EUCLIDE.
τὸ ZK, ἴση γὰρ ἡ AZ τῇ ZH* τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ τὸ AA* τὸ ἄρα ZK ἴσον ἰστὶ τῷ ΑΔ. Κοινὸν ἀφ- ηρήσθω τὸ AK* λοιπὸν ἄρα τὸ ZO τῷ ΘΔ ἴσον ἐστί. Καὶ ἕστι τὸ μὲν Z8 τὸ ἀπὸ τῶν ΑΘ’ τὸ δὲ ΘΔ τὸ ὑπὸ τῶν AB, BO'* τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν AB, BO περιεχὸ μένον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς" ΘΑ τετραγώνῳ.
H ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα n AB τέτμηται κατὰ τὸ O, ὡστε τὸ ὑπὸ τῶν AB, BO περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς OA τετραγώνῳ.
Οπερ ἔδει; ποιῆσαι. ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιβ΄.
m » ) , M , 4 Led Ev τοῖς ἀμξλυγωνίοις τριγώνοις τὸ απὸ τῆς M , ^ , * , ^ τὴν ἀμξλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τε- , e^ » \ ^ , \ ^ \ , e πράγωνον μεῖζον ἐστὶ τῶν ἀπὸ τῶν τὴν aja GAeiay / , “ γωνίαν περιεχουσὼν πλευρῶν τετραγώνων , τῷ , € \ ^ "> \ * 2) περιεχομένῳ dic ὑπὸ τε μιῶς τῶν περὶ τὴν αμ- - 3 à 3 ^ e ÉAciay γωνίαν iQ ἣν exCAunÜcirar! ἡ καθέτος , M ^ > , » \ CAN τῷ πίπτει. καὶ τῆς ἀπολαμξανομένης ἐκτὸς ὑπὸ τῆς
͵ Ἂς ^ 2 , , καθέτου πρὸς τῇ a ela γωνίᾳ.
EX
vero ex AB ipsum AA; ipsum igitur ΖΚ æquale est ipsi A4. Commune auferatur AK ; reliquum igitur ZO ipsi OA æquale est. Et est quidem ΖΘ ipsum ex AO ; ipsum vero OA ipsum sub AB, BO ; ipsum igitur sub AB, EO contentum rec-
tangulum æquale est ipsi ex ΘΑ quadrato.
Ergo data recta AB secta est in ©, ila ut ipsum sub AB, EO contentum rectangulum zquale fa-
ciatipsi ex ΘΑ quadrato. Quod oportebat facere.
PROPOSITIO XII.
In obtusangulis triangulis quadratum ex latere obtusum angulum subtendente majus est quam quadrata ex lateribus obtusum angulum conti- nentibus, contento bis sub uno ipsorum circa obtusum angulum in quod productum perpen- dicularis cadit, et assumptá extra a perpendi-
culari ad obtusum angulum. 4
ZK, parce que ΑΖ est égal à zH, et le quarré de AB est le quarré 44; donc le rectangle ΖΚ est égal au quarré A4. Retranchons le rectangle commun ΑΚ ; le quarré restant Ze sera égal au rectangle e^. Mais ze est le quarré de ΑΘ, et ΘΔ est le rectangle sous AB, ΒΘ; donc le rectangle compris sous ΑΒ, Bo est égal au quarré de ΘΑ.
Donc la droite ΑΒ est coupée en ©, de manière que le rectangle compris sous AB, BO est égal au quarré de ΘΑ ; ce qu'il fallait faire.
PROPOSITION XII.
Dans les triangles obtusangles , le quarré du côté qui soutend l'angle obtus est plus grand que les quarrés des côtés qui comprénent l'angle obtus, de deux fois le rectangle compris sous celui des cótés de l'angle obtus sur le prolongement du- quel tombe la perpendiculaire, et sous la droite prise extérieurement de la perpen- diculaire à l'angle obtus.
112 + Ἂν & , , : \ > € ^ Ἔστω ἀμξλυγωνιον Tpyj vov To ABT aueAeiay
1 + !' X 5» X ^
ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ B
e 3X \ e c , e σημεῖου ἐπὶ τὴν TA ἐκξληθεῖσαν κάθετος ἡ ΒΔ’ , ἃ ^ 3 M ^ , mr » A6yo ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς BT τετραγῶνον μεῖζόν εστι ^. n M , ^ A [4 \ τῶν ἀπὸ τῶν BA, AT τετραγωνωνῆ; τῷ dic ὑπὸ ^ ! /
τῶν TA, AA περιεχομένῳ ορθογωνίῳ.
\ ^ 20 es « , * à " À)
Ἐπεὶ yap εὐθεια n TA TéTUATE ὡς ετυχε κατα
DJ hi 3] > ^ D » , Ἂς e
τὸ À σημειον" τὸ dpa, TO τῆς TA σὸν ἐστί τοῖς
, ra , \ 3 ex ἀπὸ τῶν TA, ΑΔ τετραγώνοις καὶ τῷ dig ὑπὸ
LE DEUXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Sit obtusangulum triangulum ABT obtusum habens BAT angulum , et ducatur a B puncto ad TA productam perpendicularis BA; dico ex BP quadratum majus esse quam ex BA, ΑΓ quadrata, ipso bis sub TA, AA contento rec- tangulo.
Quoniam enim recta ΓΔ secatur utcunque in A puncto; ipsum igitur ex ΓᾺΔ aquale est3psis ex TA, AA qnadratis, et ipsi bis sub TA, AA contento
τῶν TA, AA περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ' τά apa ἀπὸ τῶν T4, ΔΒ Va ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΤΑ. AA, ΔΒ τετράγώνοις καὶ τῷ dic ὑπὸ τῶν TA, AA περίέεχο- μένῳ ὀρθογωνίῳ Αλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν TA, AB ἔσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς IB , ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ" Δ γωνία" τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν AA, AB ἴσον; τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ’ τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΤΒ τετράγωνον“ ἴσον
^ » M ^ , Ν LJ ἐστὶ τοῖςτε ἀπὸ τῶν TA, AB τετραγώνοις καί τῳ
reciangulo. Commune addatur ipsum ex AB; ipsa igitur ex TA, AB æqualia sunt ipsis ex A, AA , AB quadratis el ipsi bis sub TA , AA contento rectangulo. Sed ipsis quidem ex FA, AB æquale est ipsum ex LB, rectus enim est ad Δ angulus; ipsis vero cx AA, AB æquale est ipsum ex AB; ergo ex ΓΒ quadratum æquale est ipsis ex A , AE quadratis et ipsi bissub.T'A , AA contento rectan-
gulo; quare exIBquadratum quam ipsa exPA, AB
Soit le triangle obtusangle ΑΒΓ, ayant l'angle BAT obtus; du point B con- duisons BA perpendiculaire sur rA prolongé ; je dis que le quarré de Br est plus grand que les quarrés des eôtés BA, Ar, de deux fois le rectangle compris sous TA, AA,
Car puisque la droite T^ est coupée d'une manière quelconque au point 4, le quarré de ra est égal aux quarrés des droites TA, 44, et à deux fois le rectangle compris sous TA, A4( 4. 2). Ajoutons le quarré commun de ΔΒ; les quarrés de TA, AB seront égaux aux quarrés des droites TA, 44, AB, et à deux fois le rectangle compris sous r4, A4. Maisle quarréderB estégalaux quarrés des droites ΓΔ, AB (47.), car l'angle en 4 est droit, et le quarré de ΑΒ est égalaux quarrés des droites A , ΔΒ;
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
δὶς ὑπὸ τῶν TA, AA περιεχομένῳ ὁρθογ ὠνίῳ" ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς TB τετράγωνον τῶν ἀπὸ τῶν TA, AB τετραγώνων μεῖζόν ἐστι. τῷ δὶς ὑπὸ τῶν TA, ΑΔ περιεχομένῳ (glos, ovg, Ev ἄρα τοῖς ἀμθλυ) ωνίοις, καὶ τὰ ἑξῆς.
ΠΡΟΤΑΣΙΣ y.
TUA n , v» \ ^ \ Ey τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις τὸ απὸ τῆς τὴν 3 m e ^ R ὀξεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον Ww pv» ^ » \ M ^ » D , ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ὀξεῖαν γωνίαν περιε- ^ ^ , ^ , \ χουσὼν πλευρῶν τετραγώνων y τῷ περιεχόμεένῳ δὲς EX DJ - ᾽ DJ Dp υπὸ TE μιας τῶν περὶ τὴν ὀξεῖαν γωνίαν ἐφ᾽ nv € , / S b » ! ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομενῆς » \ € A ^ , \ DIE , , ἐντὸς ὑπὸ τῆς καθέτου προς τῇ ὀξείᾳ γωνίᾳ. 2 , L \ er CA Εστω ὀξυγώνιον τρίγωνον τὸ ABT cGeiav €y oy M M ^ ΤᾺ L4 , M M τὴν προς TQ B γωνίαν. καί ἤχθω ἀπὸ τοῦ! A ση-
Α
μείου ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ AA* λίγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς" AT τετράγωνον ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν TB, ΒΑ τετραγώνων, τῷ δὶς ὑπὸ τῶν TB, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
113
quadrata majus est, ipso bis sub TA, AA con-
tento rectangulo. In obtusangulis igitur, etc.
PROPOSITIO XI.
In acutangulis triangulis ex latere acutum an- gulum subtendente quadratum minus est quam quadrata ex lateribus acutum angulum continen- tibus contento bis sub uno ipsorum circa acu- tum angulum in quod perpendicularis cadit , et assumplà intus a perpendiculari ad acutum angulum.
Sit acutangulum triangulum ABP acuium
babens ad B angulum , et ducatur ab A puncto
r
ad Br perpendicularis AA; dico ex BP qua- dratum minus esse quam ex ΓΒ, BA qua-
drata , ipso bis sub ΓΒ, BA contento rectangulo,
donc le quarré de ΓΒ est égal aux quarrés des droites TA, AB, et à deux fois le rectangle compris sous TA, A4 ; donc le quarré de r5 est plus grand que les quarrés des droites TA, AB de deux fois le rectangle sous rA, A^. Donc, etc.
PROPOSITION XIII.
Dans les triangles acutangles , le quarré du côté qui soutend un angle aigu est plus petit que les quarrés des côtés qui comprennent cet angle aigu, de deux fois le rectangle compris sous le cóté de l'angle aigu sur lequel tombe la perpendicu- laire, et sous la droite prise intérieurement de la perpendiculaire à cet angle aigu.
Soit le triangle acutangle ΑΒΓ ayant l'angle aigu en B ; du point A conduisons sur la droite Br la perpendiculaire A^ ; je dis que le quarré de ar est plus petit que les quarrés des droites ΓΒ, AB, de deux fois le rectangle compris sous TB, BA.
7 15
114
Ἐπεὶ dp εὐθεῖα καὶ TB τέτμηται ὡς ἔτυχε κατὰ τὸ A' Td ἄρα ἀπὸ τῶν TB, ΒΔ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε Fic ὑπὸ τῶν TB, ΒΔ περιεχομένῳ ἐρ- ϑογωνίῳ καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΙ τετραγώνῳ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ 78€ ΔΑ τετράγωνον" τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν TB, BA, ΔΑ τετράγωνα ἴσα ἐστὶ τῷ τε
S δ᾽ S ^ 21 ὑπὸ τῶν TB, BA περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ xa)
ποῖς arc τῶν AA, AT τετραγῶνοις. Αλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν BA, AA ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς AB, cpÜu γὰρ ἡ πρὸς τῷ A γωνία" τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν AA, AT ἴσον ἐστι! τὸ ἀπὸ τῆς AT* τὰ dpa ἀπὸ τῶν ΓΒ. BA ἴσα ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ τῆς AT , καὶ τῷ δὶς ὑπὸ TÀV? TB, ΒΔ' ὥστε μόνον τὸδ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἔλαττόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν TB, ΒΑ τετραγώνων, τῷ δὲς ὑπὸ τῶν TB, ΒΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. Ἐν ἄρα
m » 1 ^ Are ^ τοῖς ὀξυγωνίοις. και Ta «Eie.
LE DEUXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D EUCLIDE.
Quoniam enim recta TB secta es utcunque in A; ergo ex ΓΒ, BA quadrata æqualia sunt et ipsi bis sub TB, BA contento rectangulo et ipsi ex 2T quadrato. Commune addatur ex AA quadratum ; ergo ex TB, BA, AA quadrata æqualia sunt et ipsi bis sub TB, BA contento rectangulo et ipsis ex AA, AT quadratis. Sed
ipsis quidem ex BA, AA æquale est ex AB, rectus enim est ad A angulus; ipsis vero ex ΑΔ, AT æquale est ipsum ex AT; ipsa igitur ex ΓΒ, BA æqualia sunt et ipsi ex AT, et ipsi bis sub TB, BA ; quare solum ex AT minus est quam ex TB, BA quadrata, ipso bis sub ΓΒ, EA contento rectangulo, Ergo in acutan- gulis , etc.
Car, puisque la droite ΓΒ est coupée d'une manière quelconque au point Δ, les quarrés des droites TB, B^ sont égaux à deux fois le rectangle compris sous TB, ΒΔ et au quarré de ar ( 7. 2 ). Ajoutons le quarré commun de ΔΑ ; les quarrés des droites TB , B^, AA seront égaux à deux fois le rectangle compris sous TB, ΒΔ, et aux quarrés des droites A^, Ar. Mais le quarré de AB est égal aux quarrés des droites BA, AA ( 47. 1), car l'angle en 4 est droit, et le quarré de ΑΓ est égal aux quarrés des droites Aa, Ar; donc les quarrés des droites ΓΒ, BA sont égaux au quarré de Ar et à deux fois le rectangle compris sous TB, ΒΔ; donc le seul quarré de ar est plus petit que les quarrés des droites ΓΒ, BA de deux fois le rectangle coinpris sous TB, BA. Donc, etc.
LE DEUXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IIPOTAZIX #d".
Τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον συ- στῆήσασθαι.
Ἔστω τὸ δοθὲν εὐθύγραμμον τὸ A* dei δὴ τῷ A εὐθυγραμμῳ ἴσον τετράγωνον συστήσασθαι.
Συνεστάτω ydp! τῷ A εὐθυγράμμῳ ἴσον παρ αλληλόγραμμον ὀρθογώνιον τὸ BA* εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν n BE τῇ EA, γεγονὸς ἄν εἴη To επιταχθέν. Συν-
ἔσταται γὰρ TQ A εὐθυγράμμῳ ἴσον τετράγωνον
τὸ BA* εἰ δὲ où, μία τῶν BE, EA μείζων ἐστίν. Ecro μείζων à BE, καὶ ἐκξεξλήσθω ἐπὶ τὸ L, καὶ κείσθω τῇ EA ἴση ἡ EZ, καὶ τετμήσθω ἡ ΒΖ δίχα κατὰ τὸ Η, καὶ κέντρῳ μὲν" τῷ Η, δια- στήματι δὲ ἑνὶ τῶν HB, ΗΖ ἡμικύκλιον γεγράφθω To BOZ, καὶ ἐκξεξλήσθω ἡ ΔΕ ἐπὶ τὸ ©, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ HO.
Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΒΖ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα πατὰ
^ Md" ^ wr 2 e M ^ τὸ H, εἰς δὲ ἅνισα κατὰ τὸ E* τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν BE,
115
PROPOSITIO XIV.
Dato rectilineo æquale quadratum eonsli- tuere.
Sit datum rectilineum A ; oportet igitur ipsi A rectilineo æquale quadratum consttuere.
Constituatur enim ipsi A rectilineo xquale parallelogrammum rectangulum BA. Si igitur æqualis est BE ipsi EA, factum erit proposi-
tum; constitutum est enim Jpsi À rectilineo
zquale quadratum BA; si au‘em non, una ip- sarum BE, EA major est. Sit major BE, εἴ producatur ad Z, et ponatur ipsi EA æqualis EZ, et secetur BZ bifariam in H, et centro quidem H , intervallo vero unà ipsarum HB, HZ semicirculus describatur BOZ, et produ- catur AE in ©, et jungatur ΗΘ,
Quoniam igitur ΒΖ secta est in æqualia qui-
dem in H, in inæqualia vero iu E; ergo sub
PROPOSITION XIV.
Construire un quarré égal à une figure rectiligne donnée. Soit A la figure rectiligne donnée; il faut construire un quarré égal à cette
figure rectiligne.
Construisons un parallélogramme rectangle ΒΔ égal à la figure rectiligne donnée
A (45. 1 ). Si BE était égal ἃ E^, on aurait fait ce qui était proposé; car le quarré BA aurait été construit égal à la figure rectiligne A. Si cela n'est point, l'un des côtés BE, EA est plus grand que l'autre. Que BE soit le plus grand , prolongeons-le vers Z, et faisons Ez égal à EA ( 5. 1) ; coupons BZ en deux parties égales au point H; du centre H et d'un intervalle égal à l'une des droites HB, ΗΖ, décrivons la demi-circonférence Bez ( dem. 5) ; prolongeons ΔῈ vers ©, et joignons He. Puisque ΒΖ est partagé en deux parties égales au point H, et en deux parties
116 EZ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς HE τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΖ τετραγώνῳ, Ion δὲ ἡ HZ τῇ ΗΘ’ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν BE, EZ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς HE ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΘ. Τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΘ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν OE , EH τετράγωνα" τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν BE, EZ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς3 HE ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν OE, EH,
à 4 , 4 4 , Κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς HE τετράγωνον" Ao1-
LE DEUXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
BE, EZ contentum rectangulum cum ex HE quadrato æquale est ipsi ex HZ quadrato. Æ- qualis autem HZ ipsi HO ; ipsum igiiur sub BE , EZ cum ipso ex HE æquale est ipsi ex HO. Ipsi autem ex HO æqualia sunt ex OE, EH qua- drata; ipsum igitur sub BE, EZ cum ipso ex HE æquale est ipsis ex OE, EH. Commune au- feratur ex HE quadratum ; reliquum igitur sub
σὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν BE , EZ περιεχέμενον ὀρθογώ- yiov ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΘ τετραγώνῳ, Αλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν BE, ΕΖ τὸ ὑπὸ τῶν BE , EA eeTivÀ, ἴση ydp ZE τῇ ΕΔ’ τὸ ἄρα ΒΔ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς OE τετραγώνῳ, Irov δὲ τὸ ΒΔ τῷ A εὐθυγράμμῳ" xal? τὸ A ἄρα εὐθυγραμμον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς EO ἀναγραφομένῳ τετραγώνῳ. τῷ dpa. δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ A ἴσον τετρά- γόνων συνίσταται; τὸ ἀπὸ τῆς EO ἀναγραφησό-
μενον. Οπερ ἔδει ποιῆσαι.
BE, EZ contentum rectangulum æquale est ipsi ex ΕΘ quadrato. Sed ipsum sub BE, EZ ipsum sub BE, EA est, æqualis enim est EZ ipsi EA; ergo BA parallelogrammum æquale est ipsi ex OE quadrato. JEquale autem est BA ipsi À rec- tilineo ; et A igitur rectilineum æquale est ipsi ex EO descripto quadrato.
Ergo dato rectilineo A æquale quadratum conslituitur ex EO descriptum. Quod oportebat
facere.
inégales au point E; le rectangle compris sous BE, Ez avec le quarré de HE, est égal au quarré de Hz (5. 2). Mais Hz est égal à ΗΘ; donc le rectangle compris sous BE, EZ avec le quarré de HE est égal au quarré de ΗΘ. Mais les quarrés des droites 6E , EH sont égaux au quarré de Ho, ( 47- 1) ; donc le rectangle compris sous ΒΕ, EZ avec le quarré de HE, est égal sux quarrés de droites @E, EH. Retran- chons le quarré commun de HE; le rectangle restant compris sous BE, Ez sera égal au quarré de Eo. Mais le rectangle eompris sous BE, Ez est le rectangle compris sous ΒΕ, E^, puisque la droite Ez est égale à la droite E^ ; donc le parallélogramme BA est égal au quarré de ΘῈ. Mais Ba est égal à la figure reculigne A; donc la figure rectiligne A est égale au quarré de Eo.
Donc le quarré décrit avec ΕΘ a été construit égal à la figure rectiligne donnée A ; ce qu'il fallait faire.
FIN DU DEUXIÈME LIYRE.
EUCLIDIS
ELEMENTORUM Πα TIU,.5.
RS
OPOI.
, , ^ L3 , y d, Ico; κύκλοι εἰσὶν, ὧν αἱ διάμετροι ἴσαι
δ᾽ ες ALT €» ^M , » 3 OI * 8 WY αἱ ex τῶν κεντρῶν ITA εἰσιν».
, , e , *, , “ β΄. Εὐθεῖα κύκλου ἐφάπτεσθαι λέγεται, ἥτις
Li δῆτα LU AY, ν᾽ , ! «ἁπτομεένὴ τοῦ κύκλου καὶ ἐκξζαλλομένη οὐ τέμνει
M , , τὸν κύκλον ἐπὶ jud crepat μερή".
, , , , , 2 y. Κύκλοι ἐφάπτεσθαι ἀλλήλων λέγονται. οἵ
e , , , , , , τινες ἁπτόμενοι ἀλλήλων οὐ τεμνουσιν ἀλλήλους. , , » 3 , L3 δ΄, Ἐν XUHAG ICOV ἀπεχεῖν ἀπὸ ποῦ κέντρου 3 m , LA , ^ M εὐθεῖαι λέγονται. ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ
a A 1 , , , 7 5 αὐτὰς κάθετοι ἀγόμεναι 1704 ὦτι.
DEFINITIONES.
1. Æquales circuli sunt, quorum diametri equales sunt; vel quorum qua ex centris æqua- les sunt.
2. Recta circulum tangere dicitur, quz tan- gens circulum et producta secat circulum in neutrà parte.
5. Circuli tangere sese dicuntur, qui sese tangentes non sese secant.
4. In circulo equaliter distare a centro rect dicuntur, quando ex centro ad ipsas perpendi-
culares ductæ æquales sunt.
LIVRE TROISIEME DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
DÉFINITIONS.
1. Les cercles égaux sont ceux dont les diamètres sont égaux , ou ceux dont les
droites menées des centres aux circonférences sont égales.
2. Une droite, qui touchant un cercle, et qui étant prolongée ne le coupe point,
est dite tangente à ce cercle.
5. Les cercles qui se touchent, mais qui ne se coupent point, sont dits tangents
entr'eux.
4. Dans un cercle, on dit que les droites sont également éloignées du centre, lorsque les perpendiculaires menées du centre sur ces droites sont égales.
118 , dust ὃ * , à ε ἐς Μεῖζον δὲ ἀπέχειν λέγεται, ἐφ᾽ ἣν à μείζων LA , κάθετος πίπτει. LA ^ [2 » Ν 4 , ^- €. Ἰμῆμα κύκλου ἐστὶ τὸ περιεχόμενον σχἣ- μα ὑπὲ τε εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας. * » € , C. Tunparos δὲ γωνία ἐστὶν ἡ περιεχομένη δι χὰ , \ , ὑπὸ τε εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας. , , ^ / , s e 3. N œ ἡ. Ev τμήματι δὲ γωνία ἐστὶν. ὅταν ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ τμήματος ληφθῇ τι σημεῖον καὶ » » LI ^ \ , ^M , ej [D » a7 αὐτοῦ ἐπὶ τὰ πέρατα τῆς εὐθείας ἅτις, ἐστὶ , ^ , ε D » ev Li βάσις ToU τμήματος ἑπεζευχθῶσιν εὐθεῖαι, ἡ r, , ε M - 9 ^ , ^ περιεχομένη γωνία ὑπὸ τῶν ἐπιζευχθεισῶν εὐθειῶν, Δ e , ^ » e θ΄. Οταν δὲ ai περιέχουσαι τὴν γωνίαν εὐθεῖαι , Li » à 5 , erohauGayeci τινα περιφέρειαν, ἐπ᾿ ἐκείνης λέ-- TM yerzi βεξηκέναι n γωνία. ^ », ^ σ \ LA Í. Τομεὺς δὲ κύκλου ἐστὶν. ὅταν πρὸς τῷ κέν-- “ [i 05 , 5 * LA Tpo τοῦ κύκλου συσταθῇ γωνίαϑ, τὸ περιεχό- ^ \ q ^ -“ μενον σχῆμα ὑπὸ τε τῶν τὴν γωνίαν περιεχουσῶν -“ ^ ^ € » » ^ εὐθειῶν καὶ τῆς ἀπολαμ(ανομένης UT αὐτῶν πε- ͵ ριφερείας. , , , » & \ [Δ "ὦ. Ομοια τμήματα κύκλου ἐστὶ τὰ δεχό- , » eu» Ὁ € , L4 ᾽ ΄ μενα γωνίας ITA ὃ εν οἷς αἱ γωνίαι σά! &AAN-
, λαις εἰσί.
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
5. Magis autem distare dicitur ea in quan: major perpendicularis incidit.
6. Segmentum circuli est contenta figura et ab rectá et circuli circumferentià.
7: Segmenti autem angulus est, qui conti- netur ab rectá et circuli circumferentiá.
8. In segmento autem angulus est, quando in circumferentià segmenti sumilur aliquod punctum, et ab ipso ad terminos reciz quz est basis segmenti conjunguntur rect? , contentus angulus ab junctis rectis.
9. Quando autem continentes angulum rectae assumunt aliquam creumferentiam, illi dici'ur insistere angulus.
10. Sector cirzuli est, quando ad centrum circuli positus est angulus, contenta figura et ab angulum continentibus rectis et assumptà
ab ipsis circumferentiá,
11. Similia segmenta circuli sunt, que ca- piunt equales angulos; vel in quibus anguli
æquales inter se sunt.
5. La droite sur laquelle tombe la plus grande perpeudiculaire est dite la plus
éloignée du centre.
6. Un segment de cercle est la figure comprise par une droite et par une cir-
conférence de cercle.
7. L'angle du segment est celui qui est compris par une droite et par une cir-
conférence de cercle.
8. L'angle daus le segment est l'angle compris par les droites menées d'un point pris dans la circonférence du segment aux extrémités de la droite qui est
la base du segment.
9- Mais lorsque les droites qui comprennent l'angle embrassent une portion de la circonférence, cet angle est dit appuyé à la circonférence.
10. Un secteur de cercle est une figure comprise entre deux rayons qui font un angle au centre et la portion de la circonférence qu'embrassent ces deux rayons.
11. Les segments des cercles sont semblables, lorsqu'ils recoivent des angle égaux ou lorsque les angles qu'ils contiennent sont égaux entr'eux.
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE.
IIPOTAZIX «.
Ὑοῦ δοθέγτος κύκλου τὸ κέντρον εὑρεῖν. Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος 0 ΑΒΓ" δεῖ δὴ τοῦ ABT , D κύκλου τὸ κέντρον εὐρεῖν. Ηχθω' τις εἰς αὐτὸν ὡς ἔτυχεν ἐὐθεῖα ἡ AB, Ν , ,ὔ \ ^ LJ vus ^ καὶ τετμύσθω δίχα κατὰ τὸ Δ σημεῖον. καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ AB πρὲς ὀρθὰς ἥχθω n TA, καὶ διήχϑω ἐπὶ τὸ E, καὶ τετμήσθω à ΤῈ δίχα κατὰ τὸ Z*
4 , , ^ λέγω ὅτι τὸ 2 κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ xUxAoU?,
110
PROPOSITIO 1.
Dati circuli centrum invenire.
Sit datus circulus ABT ; oportet igitur ABP circuli centrum invenire,
Ducatur aliqua in ipso u!cunque recta AB, et secetur bifariam in A puncto, et a A ipi AB ad rectos ducatur ΓΔ, et producatur in E, et secetur ΓΕ bifariam in 2; dico Z centrum esse ΑΒΓ circuli.
! a4
^ Μὴ γὰρ, dAX εἰ δυνατὸν ἔστω To H, καὶ
3 , « x3 NE. ἐπεζεύχθωσαν αἱ HA, HA, HB. Καὶ επεὶ 108 ἐστὶν ἡ AA τῇ AB, κοινὴ δὲ ἡ AH, δύο δὴ ai AA, AH δυσί ταῖς HA, AB ἴσαι εἰσὶν, ἑκατέρα
Non enim, sed si possibile sit H, εἰ jun- gantur HA, HA, HB, Et quoniam zqualis est AA ipsi AB, communis autem AH, duz uti-
que ΑΔ, AH duabus HA, AB æquales sunt,
ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ HA βάσει τῇ HB ἐστὶν ἴση, utraque utrique, et basis HA basi HB est æ-
ix κέντρου γὸρ τοῦ H5e γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ AAHywyiæ qualis, ex centro enim H ; angulus igitur AAH
PROPOSITION PREMIÈRE.
Trouver le centre d’un cercle donné.
Soit ΑΒΓ le cercle donné ; il faut trouver le centre du cercle ABr.
Conduisons dans le cercle une droite quelconque AB, partageons-la en deux parties égales au point à ( 10. 1); du point A conduisons ra perpendiculaire à AB (11. 1), prolongeons ΓΔ en E, et partageons TE en deux parties égales en Z; je dis que le point z est le centre du cercle ΑΒΓ.
Que 2 ne le soit pas, et que H le soit, si cela est possible. Joignons HA, HA, HB. Et puisque A^ est égal à 4B et que AH est commun, les deux droites ΑΔ, AH Sont égales aux deux droites HA, AB, chacune à chacune; mais la base HA est égale à la base HB; car ce sont deux rayons ( déf. 15. 1) ; donc l'angle AaH est égal à l'angle HaB (8. 1 ). Mais lorsqu'une droite tombant sur
120 τῇ ὑπὸ HAB ἴση ἐστίνθ, Οταν δὲ εὐθεῖα ἐπ᾽ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλή- λαις ποιῇ ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων7 γωνιῶν ἐστίν" ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ HAB. Ἐστὶ δὲ καὶ ἡ ὑπὸ LAB ὀρθή" ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ LAB τῇ ὑπὸ HAB, ñ ἐλώττων τῇ μείζονιδ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα To H κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ομοίως δὴ δείζομεν, ὅτι ρὐδὲ ἀλλό τι πλὴν τοῦ Ze
x]
L4 , LS , To Z dpa σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύ- » ^ xAoU9. Οπερ ἔδει ποιῆσαν, ?,
ΠΟΡΙΣΜΑ. ^ , \ er »\ , , € Ex δὴ τούτου φανερὸν, ὁτι ἐάν εν κύκλῳ eu-
f^ II » nt , bi ^ », M , θεῖα τις} εὐθεῖάν τινα δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ,
» \ , iy X, ^" or 12 ἐπι τῆς τεμνουσῆς ἐστι TO key Tpoy του HUXAOU ?,
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
angulo HAE æqualis est. Quando autem recta in rectam insistens deinceps angulos equales inter se facit, rectus uterque æqualium angulorum est; reclus Igitur est HAB. Est autem et ZAB rectus ; aequalis igitur est ZAB ipsi HAB , minor majori, quod est impossibile. Non igitur H centrum est ABT circuli. Similiter autem os-
tendemus, neque aliud quoddam prater Z.
Ergo Z puuctum est centrum ABT circuli. Quod oportebat facere.
COROLLARIUM.
Ex hoc utique evidens est, si in circulo recla quadam rectam quamdam bifariam et ad
xectos secet, in secante esse centrum circuli,
une droite fait avec elle les angles de suite égaux , chacun des angles égaux est droit ( déf. 10. 1 ) ; donc l'angle HAB est droit. Mais l'angle z4B est droit; donc l'angle z4B est égal à l'angle HAB; le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc le point H n'est point le centre du cercle ABr. On démon- trera semblablement que tout autre point, excepté Z, ne l'est pas.
Donc le point Z est le centre du cercle Abr. Ce qu’il fallait faire.
COROLLAIRE.
De là il est évident que si dans un cercle une droite en coupe une autre en deux parties égales , et à angles droits, le centre du cercle est dans la sécante.
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
HPOTAZIZ f.
^ , M ^ , ^ [4 Ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς περίφερείας ληφθῇ duo τυ- , m e » \ \ » τ = , XOVTE cujeid , n ἐπὶ τὰ αὐταὶ σήμεια ἐπιζευ- LA , D , \ DJ ^ , ?vupsvn εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου. , € ον ^ ^ Εστω κύκλος o ABT, καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας ΄ , , ^ M , αὐτοῦ εἰλήφθω δύο τυχόντα σημεῖα τὰ À, Β λέγω LA € 3 \ EX V » ^ ὅτι ἡ ἀπὸ TOU À ἐπὶ τὸ B ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα
» \ e ^ , £YTCG πεσείται TOU KHUHAOU,
τὴ γὰρ, AAA εἰ δυνατὸν, πιπτέτω ἐκτὸς ὡς M AEB, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου. καὶ ἔστω τὸ A, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ AA, AB, καὶ διήχθω ἡ ΔΖΕ.
Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AA τῇ AB, ἴση ἄρα nai γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΕ τῇ ὑπο ABE* καὶ ἐπεὶ τριγώ-
vou τοῦ AAE μία πλευρὰ προσεκξέξληται ἡ AEB,
121
PROPOSITIO 11.
$i in circuli circumferentià sumantur duo qualibet puncta, hzc puncta conjungens recta intra cadet circulum.
Sit circulus ΑΒΓ, et in circumferentiá ipsius sumantur duo quzlibet puncta A, B; dico ab
ipso A ad B conjunctam rectam intra cadere
circulum, B z^ E
Non enim, sed si possibile, cadat extra ut AEB, ct sumatur centrum ABT circuli, et sit A, el jungantur AA, AB, et ducatur AZE.
Et quoniam equalis est AA ipsi AB, æqua- lis igitur et angulus AAE ipsi ABE; et quoniam
trianguli. ΔΑῈ unum lates AES producitur,
PBROPOSVWELON|;IL
Si dans une circonférence de cercle, on prend deux points quelconques, la droite qui joindra ces deux points tombera dans le cercle.
Soit le cercle ABr; qu'on préne deux points quelconques 4, B, dans sa cir- conférence; je dis que la droite menée du point A au point B, tombera dans
le cercle.
Car que cela ne soit point, et qu'elle tombe en dehors, si c'est possible, comme AEZ ; prenons le centre du cercle ΑΒΓ (1. 5), qu'il seit ^, joignons 4A, ΔΒ, et
menons AZE,
Puisque AA est égal à AB, l'angle AAE est égal à l'angle ABE (5. rj; et puis- que l'on a prolongé un côté 4EB du triangle 44E, l'angle AEB est plus grand
16
122 μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ γωνία τῆς ὑπὸ AAE. ἴση δὲ ἡ ὑπὸ AAE τῇ ὑπὸ ABE* μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΕΒ τῆς ὑπὸ ΔΒΕ. Ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει" μείζων ἄρα ἡ AB τῆς ΔΕ. lon δὲ ἡ ΔΒ τῇ AZ' μείζων ἄρα ΔΖ
^2 * » , f 1 LA ^
τῆς AE, n ἐλάττων τῆς μείζονος, ὅπερ ἰστὶν
, , > LA € » ^ ^
ἀδύνατον, Οὐκ dpa ἡ ἀπὸ τοῦ A ἐπὶ τὸ B ἐπι- , » ^ » \ D ^
ζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται TOU κύκλου.
! Y '- e 3N > > Fe ^
Ομοίως da δείξομεν. ὅτ, οὐδὲ ἐπὶ αὐτῆς τῆς ͵ 5 » \ LA e ᾿ » ,
περιφερείας" ἐντὸς ἀρα πεσεῖται. Ἐάν dpa κύ- Ν ^ ^
κλου, καὶ τὰ iic,
"
IPOTAZIZ »,
H » ^ » s \ , 5, Eav ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου εὖὐ--
mr, \ ^ , \ CET Tiva μὴ dia 70U κέντρου δίχα τεμγῆ. καὶ
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
major igilur est AEB angulus ipso AAE. JE- qualis aulem. AAE ipsi ABE; major igitur est ΔΕΒ ipso ABE. Majorem autem angulum majus latus subtendit; major igitur est AB ipsá AE. Æqualis autem AB ipsi AZ; major igitur est AZ
ipsá AE, minor majore, quod est impossibilc. Non igitur ab A ad B conjuncta recta extra cadet circulum. Similiter utique ostendemus , neque in ipsam circumferentiam ; intus igitur
cadet. Si igitur circuli, etc.
PROPOSITIO III.
Si in circulo recta aliqua per centrum rec-
tam aliquam non per centrum bifariam secet,
que l'angle ΔΑῈ (16. 1). Mais l'angle AAE est égal à l'angle ABE; donc l'angle ΔῈΒ est plus grand que l'angle 4BE. Mais un plus grand côté soutend un plus grand angle (18. 1); donc ΔΒ est plus grand que AE. Mais AB est égal à 4z ; donc ΔΖ est plus grand que ^E, le plus petit que 16 plus grand, ce qui est impossible. Donc la droite menée du point A au point 5 ne tombe pas hors du cercle. Nous démontrerons semblablement qu'elle ne tombe pas dans la circonférence ; donc elle tombe en dedans du cercle. Donc, etc.
PROPOSITION III.
Si dans un cercle une droite menée par le centre conpe en deux par- ties égales une droite non menée par le centre, elle la coupera à angles
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'ÉUCLIDE.
\ 5, \ » ^ LA 4904 \ » M 3 πρὸς ὑρθὰς αὐτὴν τέμνει" καὶ ἐὰν πρὸς ὄρθας αὐ- M ^ N , 3 A , τὴν τέμνῃ. καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει. , e NS » ^ » DA Ἑστω κυκλος o ABT, καὶ ev αὐτῷ εὐθεῖα τις ^ ΄ ε > mr ^ A ^ διὰ τοῦ κέντρου ἡ TA εὐθεῖαν τινα μὴ διὰ τοῦ ^ N , \ 4 em κίντρου τὴν AB dye τεμνέτω κατα τὸ Ζ σημεῖον" , LA N M > À 3 Y ^ λέγω ὅτι καὶ πρὸς ὀῤβὲς αὐτὴν τέμνει. 5, ^ A 4 ^ ! \ Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ABT κύκλου, καὶ » ^ N29 , ἔστω τὸ E, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ EA, EB.
PT
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EY Ure
Nos N 29 , \ e ^ \ A € Καὶ ἐπεὶ Ισὴ ἐστὶν n ΑΖ τῇ ZB, κοινὴ δὲ ἡ ^ M \ L4 \ e ΖΕ, δύο δὰ δυσὶν ἴσαι εἰσὶ", καὶ βάσις ἡ EA , b ” , LÁ € € \ βάσει τῇ EB ion, γωνία dpa)" ὑπὸ AZE 9u- [4 nm € M » 2 , Ἂν "m vía, τῇ ὑπὸ EZB ion ἐστίν, Οταν δὲ εὐθεῖα ἐπ > e b ' , mv ͵ » , ^ εὐθεῖαν σταθεῖσα τας ἐφεξῆς γώνιας ἰσὰς ἃλλη- DJ » AT E , ^ » ^ Adi 7018, ὀρθὴ ÉHATEPA τῶν σῶν γωνμῶν ἐστίν" 3 θὴ E 5 \ € , ^ e \ 4 ὀρθὴ ἀρὰ -στιν ἐεκάτερα τῶν ὑπὸ ALE, BZE'. H » M ^ 4 5 \ \ TA apa διὰ ποῦ xerrpou οὐσαΐ τὴν AB μὴ διὰ ^ 2! 5 , \ \ » TOU κεντρου OUTAV δίχα τέμνουσα. καὶ πρὸς ορ-
M » \L6 , Pas αὐτήν 7 qure.
͵
125 et ad rectos ipsam secat; et si eam ad rectos secet , et bifariam ipsam secat.
Sit circulus ABT, et in ipso recta aliqua TA per centrum; rectam aliquam AB non per cen- irum bifariam secet in.Z puncto; dico quod et ad rectos ipsan secat.
Sumatur enim centrum ABT circuli, et sit
E, et junganlur EA , EB.
|
B
Et quoniam equalis est AZ ipsi ZB, commu- nis autem ZE, du: utique duabus æquales sunt , et basis EA basi EB æqualis; angulus igitur AZE angulo BZB æqualis est. Quando autem recta super rectam insistens deinceps angulos æ- quales inter se facit, rectus uterque æqualium angulorum est ; rectus igitur est ulerque ipsorum AZE, EZE. Ergo ΓΔ per centrum ducla ipsam AB non per centrum ductam bifariam secans , ct ad
rectos 1psam secat.
droits; et si elle la coupe à angles droits, elle la coupera en deux parties
égales.
Soit le cercle ΑΒΓ; que dans ce cercle, la droite r^ menée par le centre coupe en deux parties égales au point Z la droite AB non menée par le centre ; je
dis qu'elle la coupe à angles droits.
Prenons le centre du cercle ΑΒΓ (1. 5) ; qu'il soit E, et joignons EA, EB. Puisque ΑΖ est égal à zb, et que la droite ZE est commune, deux droites sont
égales à deux droites; mais la base EA est égale à la base EB; donc l'augle AZE est égal à l'ange EzB (8. 1). Mais lorsqu'une droite tombant sur une autre droite fait les angles de suite égaux entr'eux , chacun des angles égaux est droit ; donc chacun des angles AzE, BZE est droit. Donc la droite r^, menée par le centre, et qui coupe en deux parties égales la droite AB non menée par le centre, coupe aussi celte droite à angles droits. 16.
124 mn NP \ VAR Αλλά δὴ καὶ 7 ἡ TA τὴν AB πρὸς Cphas τεμ- e \ , » M , ^- 9 γέτω" λέγω ὅτι καὶ δίχα αὐτὴν τέμιει. TOUT » me pe * ἐστιν, OTI TN ἐστιν ἡ AZ τῇ ΒΖ. Tov yap συτῶων κατασκευασθέντων, εἶπε! 100 3 ἊΝ Li ^ » » \ \ ε ἐστὶν 19 EA τῇ EB, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ
ὑπὸ EAZ τῇ ὑπὸ EBZ. Erri δὲ καὶ ὀρθὴ
el. c. 3
o-
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Sed et ΓΔ ipsam AB ad rectos secet; dico et bifarium ipsam secare, hoc est, equalem essc AZ ipsi ZB.
Eisdem enim constructis, quoniam equalis est EA ipsi EB, æqualis est et angulus EAZ ipsi EEZ. Est autem et rectus AZE recto BZE æqua-
1:5:
ES IN N 17
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AZE ορθῇ τῷ ὑπὸ BZE ἴση" δύο dpaO τρίγωνα ἐστι τὼ EAZ, EZB τὰς δίο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντας καὶ pav πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην, κοινὴν αὐτῶν τὴν ΕΖ. ὑποτείνουσαν ὑπὸ pav τῶν ἴσων γωνιῶν" καὶ τὰς λοιπάς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει" ἴση
ἡ € ^ A » 3 , \e ^ apa zy AZ τῇ ZB. Ἐὰν apa ἐν “ύκλῳ, καὶ τὰ ἑξῆς.
lis; duo igitur triangula sunt EAZ, EZB duos angulos duobus angulis equales habentia, et unum latus uni lateri æquale, commune ipsis EZ, subtendens unum zqualium angulorum ; et reliqua igitur latera reliquis lateribus æqualia habebunt ; equalis igitur est AZ ipsi ΖΒ. Si igitur
in circulo, etc.
Mais que la droite r4 coupe la droite ΑΒ à angles droits; je dis qu'elle la coupe en deux parties égales, c'est-à-dire que ΑΖ est égal à 28.
Faisons la méme construction ; puisque EA est égal à ΕΒ, l'angle Eaz est égal a l'angle ΕΒΖ (5. 1). Mais l'angle droit AzE est égal à l'angle droit BzE; donc EAZ, EZB sont deux triangles qui ont deux angles égaux à deux angles, et un côté égal à un côté, c’est-à-dire leur côté commun Ez, qui soutend uu des angles égaux ; donc ces deux triangles auront les cótés restants égaux aux côtés restants (26. 1); donc ΑΖ est égal à z&. Donc, etc.
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 125
HPOTAZIZX d'. PROPOSITIO IV.
e " E , = 2 x “Ἢ Ἐὰν ἐν πύκλῳ δύο εὐθεῖα! τέμνωσιν ἀλλήλας, Si in circulo duæ recte sese secent, non per
μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι" οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας Cenlrum ductæ, non sese secabunt bifariam. δίχα. Ἔστω κύκλος ὃ ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι Sit circulus ABTA, et in ipso dux recte AT,
ai AT, BA τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ E CW- BA sese secent in E puncto, non per centrum
μεῖον! μὴ δία τοῦ κέντρου οὖσαι" λέγω ὅτι οὐ duclz; dico non eas sese secare bifariam.
τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα-
Ei γὰρ δυνατον. τεμνέτωσαν ἀλλήλας δίχα, Si enim possibile, sese secent bifariam , ita ut ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν AE τῇ ET, τὴν δὲ ΒΕῈ τῇ cqualis sit AE quidem ipsi ET, et BE ipsi EA ; ἘΔ’ καὶ εἰλήφθω τὸ κίντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. et sumatur centrum ΑΒΓΔ circuli, et sit Z, et καὶ ἔστω τὸ L, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ZE. jungatur ΖΕ.
Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ZE εὖ- Quoniam igitur recta aliqua ZE per cen- Ücidv τινα μὴ διὰ τοῦ χέντρου᾽ τὴν AT δίχα trum rectam aliquam AT non per centrum
, , D » \ » O τ, - τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τέμνε" ὀρθηὶ dpa — bifariam secat, et ad rectos ipsam secat;
x
PROPOSITION IV.
Si dans un cercle deux droites non menées par le centre se coupent, elles ne se coupent point en deux parties égales.
Soit le cercle ABrA, et que dans ce cercle les deux droites Ar, BA, non menées par le centre, se coupent au point E; je dis qu’elles ne se coupent point en deux parties égales.
Car si cela est possible , qu'elles se coupent en deux parties égales, de manière que AE soit égal à Er, et BE égal à EA; prenons le centre du cercle ΑΒΓΔ (1. 5), qu'il soit le point Z, et joignons ZE.
Puisque la droite zE, menée par le centre, coupe en deux parties égales la droite Ar non menée par le centre , elle la coupera à angles droits (5. 5);
126 » ee « , ^
ezTivÁ ἡ ὑπὸ ΖΕΑ. Πάλιν, ἐπεὶ εὐθεῖά τις V ZE » ^tf M \ RJ
εὐθεῖαν τινα τὴν BA un διὰ τοῦ κέντρου δίχα
, \ CI \ SUN , H A a 5 TefAV€l » καὶ προς ὀρθὰσ ἄνυτὴν τέμνει" ὀρθὴ apa?
ES
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
rectus igitur est ZEA. Ttursus , quoniam recta aliqua ZE rectam aliquam BA non per centrum ,
bifariam secat, et ad rectos ipsam secat; rectus
Δ
ΒΕΓ /
ZEE
Mon, Ve
e { \ M LS A \ e , 4 y
n umo ZEB. Ἐδείχθη δὲ καὶ à Um o LEA ópÜn* ἴση ape e e M ve \ RAR 0? , ^
» ὑπὸ LEA τῇ υπὸ ZEB, 19 ἐλάττων Ti μείζονι s » ἜΝ UM A «
περ :στὶνγαδύνατον, Οὐκ ἄρα ΦΙΑΤ. ΒΔ τίμνουσιν
ἀλλήλας δίχα. Ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ, καὶ τὰ ἑξῆς. IIPOTAZIZ «.
Ἐὰν δύο κύκλοι τέμνωσιν ἀλλήλους, οὐκ ἴσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κίντρο,
Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ΑΒΓ, ΓΔῊ τεμνέτωσαν ἀλ- λήλους κατὰ τὰ B, T σημεῖα" λέγω ὅτι οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον.
Ei γὰρ δυνατὸν, ἔστω τὸ E, καὶ ἐπεζεύχθω
ἡ ET, καὶ δίηχθω ἡ EZH ὡς ἔτυχε.
igitur est ZEB, Ostensus est autem et ZEA rec- tus; æqualis igitur ZEA ipsi ZEB, minor majori, quod est impossibile. Non igitur AT, BA sese
secant bifariam. Si igitur iu circulo, etc. PROPOSITIO V.
Si duo circuli sese secent, non erit ipsorum idem centrum,
Duo euim circuli ABD, ΓΔΗ sese secent in B, T punctis; dico non esse ipsorum idem cen- irum.
Si enim possibile, sit E, et jungatur ET, et
ducalur EZH utcunque.
donc l'angle ZEA est droit. De plus, puisque la droite zE coupe en deux par- ties égales la droite B^ non menee par le centre, elle la coupera à angles droits; donc langle zEB est droit. Mais on a démontré que l'angle zEa est droit; donc l'angle ZEA est égal à l'angle zEB, le plus petit au plas grand, ce qui est impossible. Donc les droites AT, BA ne se coupent point en deux parties égales, Donc, etc.
PROPOSITION V.
Si deux cercles se coupent, leur centre ne sera pas le méme.
Que les deux cercles ΑΒΓ, TAH se coupent aux deux points B, T; je dis que leur centre ne sera pas le méme.
Car si cela est possible, que leur centre soit le point E; joignons Er, et me- nons-EZH d'une manière quelconque.
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Καὶ ἐπεὶ τὸ E σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ABT κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ET τῇ ΕΖ. Πάλιν. ἐπεὶ τὸ E σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ TAH κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ TE τῇ ΕΗ. Εδείχθη δὲ ἡ ET xai! τῇ
, Ne » ^ , Ν » p
EZ ἴση" καὶ ἡ ZE ἄρα τῇ EH ἐστὶν iow, n" , ^ eh "3 ͵ ,
ελώσσων τῇ μείζονι, ὕπερ cori) aduvaror, Οὐκ
E fs D S ^
ἄρα τὸ E σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῶν ABI,TAH
κύκλων, Ἐὰν ἄρα δύο, καὶ τὰ ἑξῆς. IIPOTAZIX c.
Ey δύο κύκλοι ἰφάπτονται ἀλλήλων WTCC, οὐκ ἔσται αὐτῶν τὸ αὐτὸ κέντρον,
Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ABT, TAE ἐφαπτεσθωσαν᾽ ἀλλήλων κατὰ τὸ Τ σημεῖον" λέγω ὅτι οὐκ ἔσται"
», ^ ^ , M ! αὐτῶν το AUTO REVTpoY.
127
Et quoniam E punc!um centrum est ΑΒΓ circuli, æqualis est ET ipsi EZ. Rursus, quo- niam E punctum centrum est FAH circuli, æqua-
lis est TE ipsi EH. Ostensa est autem et ET
ipsi EZ equalis; et ZE igitur ipsi EH est æqua= lis, minor majori, quod est impossibile. Non igitur E punctum centrum est ABD, l'AH circu-
lorum. Si igitur duo, etc.
PROPOSITIO: VI.
Si duo circuli sese intra tangant, non erit ipsorum idem centrum,
Duo enim circuli ΑΒΓ, TAE sese tangant in T puncto; dico non esse ipsorum idem cen- irum,
Puisque le point E est le centre du cercle ΑΒΓ, la droite Er est égale à rz
(déf. 15. 1). De plus, puisque le point E est le centre du cercle rAH, la droite ΓΕ est égale à EH. Mais on a démontré que £r est égal à Ez ; donc ZE est égal à EH, la plus
petite à la plus grande, ce qui est impossible. Donc le point E n'est pas le centre des cercles ΑΒΓ, rAH. Donc, etc.
PROPOSITION. VI.
Si deux cercles se touchent intérieurement, leur centre n’est pas le même.
Que les deux cercles ΑΒΓ, ΓΔῈ se touchent au point r; je dis que leur centre n’est pas le même,
128
* M M LÀ \ x Ei γὰρ δυνατὸν, ἔστω τὸ L, καὶ ἐπεζεύχθω bd \ , € x» e ἡ ZT, xai διήχθω oc ἔτυχεν ἡ ZEB. ^ φ' ' "n , » x ^ Ἐπεὶ οὖν τὸ L σήμειον xeyTpov ἐστὶ τοῦ ABT , Y > \ e ^ ! > \ X κυκλου, ἰσὴ ἐστὶν » ZT τῇ ΒΖ. Πάλιν. ἐπεὶ τὸ
"T, > - , Z σήμειον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔῈ κύκλου 2 ἴση ἐστὶν
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Si enim possibile , sit Ζ, et jungatur ZT, et ducatur utcunque ZEB.
Quoniam igitur Z punctum centrum est ΑΒΓ circuli, equalis est ZT ipsi ΒΖ. Tarsus, quo-
niam Z punctum centrum est ΓΔῈ circnli, æ-
Dy,
NC ou
e
ZI τῇ ZE. Εδείχθη d xal n ZT τῇ ZB ἴση" καὶ ἡ
5
ΖῈ ἄρα τῇ LB ἐστὶν iow), ἡ ἐλάττων TA ἡ μείζονι,
“ > \ 3 , ? LA m ὅπερ e6T1YÓ. ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα τὸ L σημεῖον , , x ^ , M Li
κέντρον ἐστι TOY ABT, TAE χυκλῶν, Exy apa
δύο, καὶ τὰ ἑξῆς. ΠΡΘΤΑΣΕΣ 6. Ἐὰν κύκλου ἐπὶ τῆς διαμέτρου ληφθῇ τι ση-
ἧς ACA , Sue SPESE μεῖον ὃ μὴ ἐστι κέντρον TOU κύκλου. ἀπὸ δὲ TOU
D \ ^ , , e σημείου προς TOY κυκλον προσπιπτωσιν εὐθεῖα!
qualis est ZT ipsi ΖΕ. Ostensa est autem οἱ Zr ipsi ZB equalis; et ZE igitur Ipsi ZB est æqua- lis, minor majori, quod est impossibile. Non igitur Z punctum centrum est ΑΒΓ, ΓΔΕ circu-
lorum. Si igitur duo , etc. PROPOSITIO VIL/
Si in circuli diametro sumatur aliquod punc- tum quod non sit centrum circuli, ab ipso
autem puncto in circulum cadant recte quæ-
Car si cela est possible, que leur centre soit le point Z; joignons Zr, et menons
ZEB d'une maniére quelconque.
Puisque le point z est le centre du cercle ΑΒΓ, De plus, puisque le pointz est le centre du cercle raz, la droite zr est égale à
la droite zr est égale à ΒΖ. ZE.
Mais on a démontré que zr est égal à ZB; donc ZE est égal à zB, la plus petite à la plus grande, ce qui est impossible; donc le point z n'est point le centre des cer-
cles ΑΒΓ, TAE. Donc, etc.
PROPOSITION VII.
Si dans le diamètre d'un cercle on prend un point qui me soit pas le centre de ce cercle, et si de ce point on conduit des droites à la circon-
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
, ONT 4. uer \ \ τινες" μεγίστη μὲν ἔσται tQ ἧς TO κέντρον 5 zs Mox »v€y ἐλαχίστη δὲ ἡ λοιπή" τῶν δὲ ἄλλων, ἀεὶ ἡ ἔγ- b , ^ , ^ » a ‘ giov τῆς διά τοῦ κίντρου τῆς ἀπώτερον μείζων > , , M , 2 Y , ^ - » ^ , ἐστί" duo δὲ μόνον" ἴσαι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου -— ^ ^ ^ 2 € , ^ προσπεσοῦνται πρὸς τὸν κύκλον. τῷ εκατερᾷ τῆς 3 ͵ τλαχίστης , « + M , ^ EcTG κύκλος ὁ ΑΒΓΔ. δηάμετρος δὲ αὐτοῦ + « » ^ , , e ἴστω ἡ ΑΔ, καὶ ἐπὶ τῆς AA εἰλήφθω τι σημεῖον ^ ^ ον , ^ , τὸ L, 0 μὴ ἐστι H£FTPOY τοῦ κύκλου, κεντρον \ ^ , ^ M ^ Li δὲ τοῦ κύκλου ἔστω τὸ E, xal ἀπὸ τοῦ 2 πρὸς
\ " , , + τον ABTA κυπλον προσπιπτετωσαν εὐθεῖα! τινες
120 dam, maxima quidem erit in quà centrum , minima vero reliqua ; alarum autem, sem- per propinquior ei qua per centrum remo- tiore major est; duæque solum quales ab eodem puncto cadent in circulum, ex uträque parte minime.
Sit circulus ΑΒΓΔ, diameter autem ipsius sit ΑΔ, οἱ in ipsá AA sumatur aliquod punctum Z, quod non sit centrum circuli, centrum au- tem circuli sit E, et a Z in ΑΒΓΔ circulum
cadant recte quadam ZB, ΖΓ, ZH; dico ma-
αἱ ZB, ZT, ΖΗ" λέγω ὅτι μεγίστη μέν ἰστιν ἡ ZA, ἐλαχίστη δὲ ἡ 2Δ' τῶν δὲ ἄλλων, ἡ μὲν ZB τῆς ZT μείζων. ἡ δὲ ZT τῆς ZH. Ἐπεζεύχθωσαν γὸρ αἱ BE, TE, HE. Καὶ ἐπεὶ παντὸς τριγώνου αἱ δύο πλευραὶ τῆς
λοιπῆς μείζονες εἶσιν. αἱ EB, EZ dpa? τῆς ΒΖ μεί-
ximam quidem esse ZA, minimam vero ZA; aliarum autem, ZB quidem majorem ipsá ZT, et ZT ipsà ZH.
Jungantur enim BE, T'E, HE.
Et quoniam omnis trianguli duo latera reli-
quo majora sunt, ipse EB, EZ igitur ipsà ΒΖ
férence ; la plus grande sera celle dans laquelle est le centre, et la plus petite la droite restante ; quant aux autres droites, la droite qui est plus prés de celle qui passe par le centre est toujours plus grande que celle qui en est plus éloignée; et du méme point on ne peut mener à la circonférence que deux droites égales de l'un et l'autre cóté de la plus petite.
Soit le cercle ΑΒΓΔ, que ΑΔ soit son diamètre, prenons dans ΑΔ un point quelconque z qui ne soit pas le centre de ce cercle, que le centre du cercle soit le point E, du point Ζ menons à la circonférence ΑΒΓΔ les droites ZB, ZT, ΖΗ; je dis que ZA est la plus grande, et ZA la plus petite; et que parmi les autres, la droite zB est plus grande que zr, et la droite zr plus grande que ZH.
Joignons BE, TE, HE. Puisque deux cótés d'un triangle sont plus grands que le cóté restant
17
150 Cort; εἶσιν, Irn δὲ ἡ AE τῇ BE, αἱ ἄρα BE, EZ ἴσαι εἰσὶ τῇ ΑΖ" μείζων ἄρα ἡ AZ τῆς ΒΖ. Πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΓΕ, κοινὴ δεῖ ZE, δύο δὴ αἱ BE, EZ δυσὶ ταῖς TE, EZ ἴσαι εἰσίν. AAA καὶ γωνία ἡ ὑπὸ BEZ γωνίας τῆς ὑπὸ TEZ μείζων" βάσις ἄρα ἡ ΒΖ βάσεως τῆς TZ μείζων ἐστί, διὰ
\ , \ NL E ^ ᾽ z τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ TZ τῆς μείζων ἐστί",
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
majores sunt. Æqualis autem AE ipsi ΒΕ; ergo BE, EZ æquales sunt ipsi AZ ; major igitur est AZ ipsà ΒΖ. Rursus, quoniam æqualis est BE ipsi TE, communis aulem ZE, duæ utique BE, EZ duabus ΓΕ, EZ æquales sunt. Sed et an- gulus BEZ angulo ΓΕΖ major; basis igitur ΒΖ basi ΓΖ major est. Propter eadem utique et ΓΖ
ipsà HZ major est.
Πάλιν, ἐπεὶ αἱ HZ, ZE τῆς EH μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ EH τῇ ΕΔ’ αἱ ἄρα ΗΖ, ZE τῆς EA μεί- ζονές εἰσι. Κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ EZ' λοιπὴ ἄρα ἡ HZ λοιπῆς τῆς ZA μείζων ἐστί. Μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ZA, ἐλαχίστη δὲ n ZA* μείζων δὲ ἡ μὲν ZB τῆς ZT, n δὲ ZT τῆς ΖΗ.
, eX \ > μὴ -Ὁ , , ,
Λέγω ὅτι καὶ ἀπὸ ποῦ L σημείου δύο μόνον
» - A M , 15249 προσπεσουνται πρὸς τὸν ΑΒΓΔ κυκλον.
Rursus, quoniam ΗΖ, ΖΕ ipsá EH majores suni, æqualis autem. EH ipsi EA; ergo HZ ZE ipsá EA majores sunt. Communis auferatur EZ; reliqua igitur HZ reliquá ZA major est, Maxima quidem igitur ZA , minima vero ZA; major autem ZB quidem ipsà ZT, et ΖΓ ipsà ZH.
Dico et a Z puncto duas solum equales ca-
dere in ΑΒΓΔ circulum, ex utráque parte ip-
(21. 1), les droites EB , EZ sont plus grandes que la droite ΒΖ. Mais la droite AE est égale à la droite BE ; donc les droites BE, Ez sont égales à la droite 4z ; douc la droite Az est plus grande que la droite ΒΖ. De plus, puisque BE est égal à TE, et que la droite ZE est commune, les deux droites BE, Ez sont égales aux deux droites TE, Ez. Mais l'angle BEZ est plus grand que l'angle ΓΕΖ ; donc la base ΒΖ est plus grande que la base Tz ( 24. 1 ). Par la méme raison la droite Iz est plus grande que la droite uz.
De plus, puisque les droites Hz, ZE sont plus grandes que la droite EH, et que EH est égal à E^, les droites HZ, ZE sont plus grandes que E^. Retranchons la droite commune Ez; la droite restante ΗΖ sera plus grande que la droite restante Za, Donc la droite za est la plus grande, et la droite za la plus petite ; donc la droite zB est plus grande que la droite zr, et la droite zr plus grande que la droite ΖΗ.
Je dis que du point Z, on ne peut mener à la circonférence ΑΒΓΔ que deux
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ἐφ ἐκάτερᾳ πῆς ZA ἐλαχίστης, Συνεστάτω γὰρ πρὸς τῇ EL εὐθεῖα. καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ες- τῇ ὑπὸ HEZ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ LEO , καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ZO. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ HE 78 ΕΘ, xond d: ἡ EZ, δύο δὴ αἱ HE, ΕΖ δυσὶ ταῖς ΘΕ. EZ ἴται εἰσὶ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΗΕΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ OEZ ἴση" βάσις ἅρα ἡ ZH Bates τῇ ZO ἴση ἐστί.
T CDM P ^ \ Λέγω δὴ tri τῇ ZH ἀλλη ἴση οὐ προτπεσεῖται πρὸς
151 sius ZA minima, Constitualur enim ad EZ rec- tam, et ad punctum in eà E, ipsi ΗΕΖ an- gulo æqualis ZEO, et jungatur ZO. Quoniam igitur equalis est HE ipsi EO, communis au- tem EZ, duæ utique HE, EZ duabus OE, EZ equales sunt; et angulus ΗΕΖ angvlo @EZ æ- qualis; basis igitur ZH basi! ZO æqualis est.
Dico autem ipsi ZH aliam æqualem non cadere
τὸν κύκλον dro TOU L σημείου. Εἰ γὲρ δυνατὸν, in circulum ἃ Z puncto. Si enim possbile,
“ροσπιπτέτω à ΖΚ. Καὶ ἐπεὶ ἡ ZK τῇ ZH ἐστὶν | cadat ΖΚ. Et quonianr ΖΚ 1psi ZH est æqualis, ἴση, ἀλλὰ μὲν καὶ ἡ LO τῇ ZH^* καὶ ἡ ZK dpa sed quidem et ZO ipsi ΖΗ; et ZK igitur ipsi τῇ OZ ἐστὶν ἴσηϑ, ἡ ἐγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου OZ est mqualis, propinquior ei quz per cen- Tj'o ἀπώτερον ἴση, ὅπερ ἀδύνατον- trum remotiori equalis, quod impossibile. H καὶ οὕτως. Ἐπεζεύχθω ἡ EK. Καὶ ἐπεὶ ἴση Vel et hoc modo. Jungatur EK. Et quoniam ἐστὶν ἡ HE τῇ EK, κοινὴ δὲ ἡ EZ, καὶ βάσεις ἃ equalis est HE ipsi EK, communis autem EZ, ct ZH βάσει τῇ ZK ἴση" γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ HEZ γω- basis ZH basi ΖΚ æqualis ; angulus igitur ΗΕΖ via τῇ ὑπὸ KEZ ἴτη ἐστίν. AAX ἡ ὑπὸ HEZ!! angulo KEZ «qualis est. Sed HEZ ipsi ZEO τῇ ὑπὸ LEO ἰστὶν ἴση" καὶ ἡ ὑπὸ LEO ἄρα 7j est equalis; et ZEO igitur ipsi KEZ est æqua- ὑπὸ KEZ ἐστὶν ion, ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι, ὅπτερ lis, minor majori, quod est impossibile. Non 71? ἀδύνατον. Οὐκ dpa ἀπὸ τοῦ L σημείου — gitur a Z puncto alia aliqua cadet in circu- ἐτέρα TIG προσπεσεῖται πρὸς τὸν κύκλον ica τῇ — lum æqualis ipsi HZ; una igitur sola. Si igitur
, EU , ι L4 , M (2 27 - » HZ* μία ἄρα paovn, Edy ἀρὰ HUKAOU, καὶ τὰ elc. circuli, etc.
droites égales, de l'un et l'autre côté de la plus petite z^. Car sur la droite Ez et au point E de cette droite, faisons l'angle zEG égal à l'angle ΗΕΖ (25. 1), et joignons ze. Puisque la droite HE est égale à la droite ΕΘ, et que la droite ΕΖ est commune, les deux droites HE, ΕΖ sont égales aus deux droites ΘΕ, Ez ; mais l'angle ΗΕΖ est égal à l'angle ΘΕΖ ; donc la base ΖΗ est égale à la base zo (4. 1). Je dis que du point z on ne peut mener à la circonférence une autre droite égale à ZH. Car si cela est possible, menons ΖΚ. Puisque ZK est égal à ΖΗ, et zo égal à zu, la droite ΖΚ est égale à Ja droite eZ , une droite plus près de celle qui passe par le centre, égale à une droite qui en est plus éloignée, ce qui est impossible.
Ou de cette autre manière. Joignons ΕΚ. Et puisque HE est égal à EK, que la droite EZ est commune, et que la base ΖΗ est égale à la base ΖΚ, l'angle ΗΕΖ est égal à l'angle ΚΕΖ ( 8. 1). Mais l'angle ΗΕΖ est égal à l'angle ZE ; donc l'angle ZE est égal à l'angle KEz, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc du pointz, on ne peut pas mener à la circonférence une autre droite qui soit égale à ΗΖ; donc on n'en peut mener qu'une seule. Donc, etc.
T
132
ΠΡΌΤΑΣΙΣ #,
, ^w DJ » \ , M A Ἐὰν κύκλου ληφθὴ ci σημεῖον ἐκτὸς. ἀπὸ δὲ ^ / \ \ , ^ 3/0 ὑοῦ τοῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον diayÜGciv ευθεῖαΐ τ { \ , “ 4 € M \ τινες, ὧν μία μὲν διά τοῦ κέντρου, αἱ δὲ λοιπαὶ » ^ \ M , ὡς ἔτυχε" τῶν μὲν πρὸς τὴν κοίλην περιφέρειαν τς is 9A ye SE celu i στροσπειπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μὲν ἐστὶν n διά ne, , ^ ΜΝ 9 Xx e LJ re ToU κέντρου" τῶν δὲ ἄλλων, ati ἡ ἔγγιον τῆς ^ - ΕἸ f£ Ww c διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἔσται" τῶν \ ^ , δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν EU c , € \ ^ , θειῶν ἐλαχίστη μέν ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου ^v , ^ ^ ΕΣ ον εν καὶ τῆς διαμέτρου" τῶν δὲ ἄλλων, ἀεὶ ἡ ἔγγιον e ^ » [ἢ , τὶς ἐλαχίστης τῆς ἀπώτερὸν ἐστιν ἱλάττων. ΄ A , » , A ^ [A M Avo δὲ μόνον ἴσαι απὸ TOU σημείου προσπεσοῦν- \ \ { » » s , f. ΕΣ ται πρὸς τὸν κύκλον, tQ εκάτερᾳ τῆς ελα- χίστης. , e \ ^ *, , Ἑστω κύκλος 0 ABT, καὶ TOU ABT εἰλήφθω Ti em , \ A ^ 4 (6 , bh , σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ διήχθωσαν 3 e^ ^; * Ν δὲ « εὐθεῖα! τινες αἱ ΔΑ, AE, AZ, AT, στῶ δὲ ἡ
A! ^M , , LÀ ^ ^ à ^ AA dia τοῦ κεντρου" λεγὼ OTI τῶν μὲν προς THV
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
PROPOSITIO VIII
51 extra circulum sumatur aliquod punctum , ab ipso autem puncto ad circulum ducantur rect? quedam, quarum una per centrom, ree lique autem utcunque; ipsarum qu'dem ad con- cavam circumferentiam cadentium rectarum ma- xima quidem est qu: per centrum ; aliarum au- tem, semper propinquior ei quz per cenirum re- motliore major erit; ipsarum vero in convexam circumferentiam cadentium reclarum minima quidem est quæ inter et punctum et diame- trum ; aliarum autem , semper propinquior mi nime remotiore est minor. Duz autem solum equales a puncto cadent in circulum, ex uträ- que parte minimæ.
Sit circulus ABP, et extra ipsum ΑΒΓ suma- tur aliquod punctum A, et ab co ducantur recta quedam AA, AE, AZ, AT, sit autem AA per
centrum; dico earum quidem in AEZT conca-
PROPOSITION VIII
Si hors d'un cercle on prend un point quelconque , si de ce point on mene à ce cercle des droites, si une d'elles est menée par le centre, et les autres comme on voudra; parmi les droites menées à la circonférence concave, la plus grande est celle qui passe par le centre, et parmi les autres celle qui est plus prés de celle qui passe par le centre est toujours plus grande que celle qui s'en éloigne davantage; mais parmi les droites menées à la circonférence convexe, la plus petite est celle qui est entre le point pris hors du cercle et le diamètre, et parmi les autres celle qui est plus prés de la plus petite est toujours plus petite que celle qui s'en éloigne davantage; et du point pris hors du cercle, on ne peut mener à la circonférence de l'un et l'autre côté de la plus petite, que deux droites égales.
Soit le cercle ΑΒΓ, et hors du cercle ΑΒΓ, prenons un point quelconque 4; de ce point menons à ce cercle les droites 44, AE, Az, AT, et que 44 passe
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
AEZT ποίλην περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν μεγίστη μέν ἱστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου ἡ AA* ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων ἔσται, ἣ μὲν AE τῆς AZ, » δὲ AL τῆς ΔΙ" τῶν δὲ πρὸς τὴν OAKH κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν" ἐλαχίστη μὲν ἡ ΔΗ, n μεταξὺ τοῦ σημείου Δ καὶ τῆς διαμέτρου ΔΗ" ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς AH ἐλαχίστης ἐλάττων ἐστὶ τῆς ἀπώτερον, ἡ μὲν ΔΚ τῆς ΔΛ, ἡ δὲ AA τῆς AO',
155 vam circumferentiam cadentium rectarum ma- ximam quidem esse AA quæ per centrum ; semper autem propinquior ei quz per centrum . remoliore major erit, AE quidem ipsá AZ, et AZ ipsà AT; ipsarum autem in OAKH con- vexam circumferentiam cadentium rectarum , minima quidem AH, quz inter et punctum Δ el diametrum AH; semper autem propinquior ipsi AH minimae minor est remotiore, AK qui- dem ipsá AA, ct AA ipsá ΔΘ.
Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ABT κύκλου, καὶ ἔστω τὸ M* καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ME, MZ, ΜΙ, MK, MA, MO.
Kai ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AM τῇ EM, κοινὴ προσ- κείσθω ἡ MA* ἡ ἄρα ΑΔ ἴση ἐστὶ ταῖς EM, MA. Αἱ d?? EM, ΜΔ τῆς ΕΔ μεϊζονές εἶσι" καὶ ἡ ΑΔ
Sumatur enim centrum ABT circuli, et sit M; et jungantur ME, MZ, MT, MK, MA, MO.
Et quoniam æqualis est AM ipsi EM, com- munis addatur MA; ergo AA æqualis est ipsis EM, MA. Sed EM, MA ipsá EA majores sunt;
par le centre; je dis que de toutes les droites menées à la circonférence con- cave AEZr, la plus grande est la droite AA, menée par le centre, et que la droite qui est plus prés de celle qui passe par le centre sera toujours plus grande que celle qui s'en éloigne davantage , la droite AE plus grande que az , et la droite az plus grande que Ar; mais, parmi les droites menées à la circonférence con- vexe @AKH, la droite AH placée entre le point δ et le diamètre AH est la plus petite, et la droite placée plus près de la plus petite AH est toujours plus petite que celle qui s'en éloigne davantage; la droite AK plus petite que δὰ, et la
‘droite ^^ plus petite que la droite ΔΘ.
Prenons le centre du cercle ΑΒΓ (1. 5), qu'il soit le point M; et joignons
ME, ΜΖ; ΜΓ, MK, MA, ΜΘ.
Puisque la droite AM est égale à la droite EM, ajoutons la droite com- mune ΜΔ; la droite ΑΔ sera égale aux droites EM, Ma. Mais les droites EM,
154 ἄρα τῆς EA μείζων ἐστί, Πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ EM τῇ ZM, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΜΔ, αἱ ΕΜ, ΜΔ ἄρα ταῖς ZM, MA ice εἰσὶ, καὶ eia ἡ ὑπὸ EMA γωνίας τῆς ὑπὸ ZMA μείζων ἐστί, Βάσις ἄρα à EA βάσεως τῆς ZA μείζων ἐστίν. Ομοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ LA τῆς TA μείζων ἐστί" μεγίστη μὲν ἄρα ἡ ΔΑ, μείζων δὲ ἡ μὶν ΔῈ τῆς ΔΖ, ἡ δ: ΔΖ τῦς AT.
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
et AA igitur ipsá EA major est. Rursus , quo- niam æqualis est EM ipsi ZM, communis adda- tur MA; ergo EM, MA ipsis ZM, MA æquales sunt, et angulus EMA angulo ZMA major est. Basis igitur EA basi ZA major est. Similiter au- tem ostendemus, et ZA ipsá TA majorem esse ; maxima quidem igitur est AA, major vero AE ipsá AZ, et AZ ipsá AT.
Καὶ tre) αἱ MK, KA τῆς MA μείζονές εἶσιν, ἴση δὲ ἡ ΜΗ τῇ ΜΚ, λοιπὸ ἅρα ἡ ΚΔ λοιπῆς τῆς ΗΔ μείζων ἐστίν" ὥστε καὶ ἡ ΔΗ τῆς ΔΚ ἐλάσσων ἐστὶν. ἐλαχίστη ἄρα ἐστίς Καὶ vri τρι- »ώνου τοῦ MAA ἐπὶ μιᾶς τῶν πλευρῶν τῆς MA, δύο εὐθεῖαι ἐντὸς συνεστάθησαν. αἱ MK, KA epa τῶν MA, AA ἐλάττονές εἰσιν" ἴση di? ἡ ΜΚ τῇ
Voy 4 s T MA* λοιπὴ apa n AK λοιπῆς πῆς ΔΛ ἐλαττων
Et quoniam MK, KA ipsá MA majores sunt, æqualis autem MH ipsi MK, reliqua igitur KA reliquà HA major est; quare et AH ipsá AK minor est ; minima igitur est. Et quoniam trian- guli MAA super uno laterum MA, duz rectz intus consüiluuntur; MK, KA igitur ipsis MA, ΑΔ minores sunt; æqualis autem MK ipsi MA; re-
liqua igitur. AK reliquà AA minor est. Similiter
MA sont plus grandes que la droite E^ (20. 1); donc la droite 44 est plus grande que la droite E^. De plus, puisque la droite EM est égale à la droite ZM, ajoutons la droite commune ΜΔ, les droites EM, ΜΔ seront égales aux droites ZM, ΜΔ; mais l'angle EMa est plus grand que l'angle ΖΜΔ ; donc la base E^ est plus grande que la base ΖΔ (24. 1). Nous démontrerons semblablement que la droite za est plus grande que la droite ra ; donc la droite 44 est la plus grande, la droite ΔῈ plus grande que az, et la droite az plus grande que ar.
De plus, puisque les droites MK, KA sont plus grandes que la droite MA (20. 1), et que la droite MH est égale à la droite MK, la droite restante Ka est plus grande que la droite restante Ha; donc la droite ΔῊ est plus petite que la droite AK ; done elle est la plus petite. Et puisque sur un des côtés Mà du triangle MAA on a construit intérieurement deux droites, les droites MK, KA sont
plus petites que les droites MA, AA (21. 1); mais MK est égal à ΜΔ; donc la droite
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ΓΕ À 1 1 € ^ ἐστίν. Ομοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ AA τῆς , > 2 \ C4 e AO ἐλάττων ἐστίν" ἐλαχίστη μὲν ἄρα ἣ AH,
» ^ ε A m € \ bJ ἐλάττων δὲ ἡ μὲν AK τῆς AA, n δὲ AA τῆς ΔΘ, , e A ! 4 , M ^ ! Λέγω ὅτι καὶ δύο μόνον ἴσαι9 ἀπὸ τοῦ À σημείου fu δ \ , Bog, uela p προσπεσοῦνται7 πρὸς τὸν κύκλον. ἐφ᾽ ἐκάτερᾳ ^ , ^ bd > τῆς AH ἐλαχίστης. Συνεστάτω πρὸς τῇ MA eu- , ^ ^ b , DJ ^ j ^ e € ι θείᾳ, καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ TG M, τῇ ὑπὸ \ LÀ cie \ TE KMA γωνίᾳ £u γωνία ἡ ὑπὸ AMB, καὶ ἐπε- L ε S] ELA > Ne e ζεύχθω ἡ AB. Kal ἐπεὶ ἴση ἐστὶν n MK τῇ MB, MESURES N 5 \ D κοινὴ δὲ ἡ MA, δύο δὴ αἱ KM, MA dvci ταὶς » \ » ι , , BM, MA ἴσαι εἰσὶν, exa spa, eua spa, "αὶ γωνία € Te , vu € EN 7 , » à ὑπὸ KMA γωνίᾳ τῇ ὑπὸ BMA ἰσηϑ" βάσις ἄρα ἡ , ^: 3) , , V et ^ , D AK Bacci τῇ AB ἴση ἐστί. Λέγω da9oTI τῇ AK εὐθεῖα LA » » e ^ , &AWITA OU προσπεέσειται πρὸς τὸν ABT κύκλον ἀπὸ ^ , » \ ' , \ τοῦ Δ σημείου, Ei jap δυνατὸν, προσπιπτέτω, καὶ » e NC IG τῷ e NET ἔστω 4 AN. Ἐπεὶ οὖν ἡ AK τῇ ΔΝ ἐστὶν ἴση. ἀλλ᾽ ε ᾽ Ν " e B ^ " AK τῇ AB eoriy ἴση" καὶ ἡ AB apæ τῇ ΔΝ * » €. M ^ « , ^X) , ἐστιν 1210, n ἔγγιον τῆς AH ἐλαχίστῆς τῇ ἁπω- 3 \ » Y 3 , 2 , Tépoy ἐστὶν ἴση, ὅπερ aduvaroy εδείχθη. , € N » H καὶ ἄλλως. Ἐπεζεύχθω ἡ MN. Ἐπεὶ" ion
: 3 d \ AIRE ἐστὶν ἡ KM τῇ ΜΝ, κοινὴ dt ἡ MA, xal βάσις ἡ
155 autem ostendemus et AA ipsá ΔΘ minorem esse; minima quidem igitur est AH, minor vero AK ipsà AA, et AA ipsà AO.
Dico et duas solum equales a A puncto ca- dere in circulum, ex utráque parte ipsius AH minimæ. Constiluatur ad MA rectam, et ad punctum in eà M, ipsi KMA angulo æqualis angulus AMB, et jungatur AB. Et quoniam æqualis est MK ipsi MB, communis autem MA, duæ utique KM, MA duabus BM, MA æquales sunt, utraque utrique, et angulus KMA angulo BMA æqualis; basis igitur AK basi AB æqualis est. Dico autem Ipsi AK recta aliam æqualem non cadere in ABT circulum a Δ puncto. Si enim possibile, cadat, et siLAN. Quoniam igilur AK ipsi AN est equalis , sed AK 1psi AB est æ- qualis; et AB igitur ipsi AN est æqualis; pro- pinquior minimæ ipsius AH remot'ori est æqua- lis, quod impossibile ostensum est.
Vel et aliter. Jungatur MN. Quoniam æqualis
est KM ipsi MN, communis autem MA, et basis
restante AK est plus petite que Ia droite restante A4. Nous démontrerons sembla- blement que la droite AA est plus petite que la droite ΔΘ; donc la droite ΔῊ est la plus petite, et la droite AK est plus petite que la droite ^^, et la dioite aA plus petite que la droite ΔΘ.
Je dis aussi que du point ^, on ne peut mener au cercle que deux droites égales, de l'un et l’autre côté de la plus petite AH. Construisons sur la droite M4, et au point M de cette droite, un angle AMB égal à l'angle KMA (25. 1), et joignons AB. Puisque la droite MK est égale à MB, et que la droite ΜΔ est com- mune , les deux droites KM, ΜΔ sont égales aux deux droites BM, ΜΔ, chacune à chacune ; mais l'angle KMa est égal à l'angle BMa ; donc la base AK est égale à la base ΔΒ (4. 1). Je dis qu'on ne saurait mener du point ^ au cercle ΑΒΓ une autre droite égale à ^K. Qu'elle soit menée, s'il est possible, et qu'elle soit AN. Puisque AK est égal à AN, et AK égal à AB, la droite 48 est égale à AN: donc une droite plus près de la plus petite AH est égale à une droite qui s'en éloigne davantage, ce qui a été démontré impossible.
Ou autrement, Joignons MN. Puisque la droite KM est égale à MN, que la
156
AK βάσει τῇ AN ἴση" γωνία ἄρα ἡ ἀπὸ KMA γω- vía τῇ ὑπὸ NMA ἴσῃ ἐστίν. AAX ἡ ὑπὸ KMA τῇ ὑπὸ BMA ἐστὶν ἴση" καὶ 9 ὑπὸ BMA dpa" τῇ ὑπὸ NMA ἐστὶν 1on'*, ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι, ὅπερ ἔστιν ἀδύνατον. Οὐκ ἀρα πλείους ἢ δύο icai! πρὸς τὸν ΑΒΓ κύκλον ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐφ᾽ ἑκάτερᾳ τῆς AH ἐλαχίστης προσπεσοῦνται. Ἐὰν
ἄρα κύκλου, καὶ τὰ ἱξῆς. ΠΡΟΤΑΣΙΣ θ΄.
X , ^ ^n » \ - ^ A Ἐὰν κύκλου ληφθῆ Ti σημεῖον ἐντὸσ. ἀπὸ δὲ “ M \ , , , TOU σημείου πρὸς τὸν XUXAOV προσπιίπτωσι πλείους ^ » 2 e \ \ D , » ^ ἢ duo ἴσαι εὐθεῖα ', τὸ ληφθὲν σημεῖον κέντρον ἐστὶ e bre TOU XUXACU, , [i , \ M , ^ m \ Ecru #uxA06 o ABT, ἐντος dé αὐτοῦ σημειον TO
, ^ ^ \ Li , à, καὶ ἀπὸ τοῦ A πρὸς τὸν ABT κύκλον προσπιπτέ-
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
AK basi AN æqualis ; angulus igitur KMA angulo NMA æqualis est. Sed KMA ipsi BMA est æqua- lis; et BMA igitur ipsi NMA est æqualis, minor majori, quod est impossibile. Non igitur plures quam duæ æquales in ABT circulum a Δ puncto
ex utrâque parte ipsius AH minime cadent. Si igitur extra circulum , etc.
PROPOSITIO IX.
Si intra circulum sumatur aliquod punctum, ab eo autem puncto in cicculum cadant plures quam duæ æquales recte , sumptum punctum centrum est circuli,
Sit circulus ABT, intra aulem ipsum punc- tum Δ, et a Δ in ABT circulum cadant plures
à N^ » A ὦ ε rusay πλείους ἢ δύο 1621 eubsiæs, αἱ AA, AB, AT*
, e *- , » x ^ , λέγω ὅτι τὸ Aon Ael OV xeyTpoy ἐστι τοῦ ABT xuxAou.
quam duæ æquales recte, ipse AA, AB, Ar
dico A punctum centrum esse ABT circuli.
droite MA est commune et que la base AK est égale à la base AN, l'angle KMa est égal à l'angle ΝΜΔ (8. 1). Mais l'angle KMa est égal à l'angle ΒΜΔ ; donc l'angle ΒΜΔ est égal à l'angle NMA, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Done il est impossible de mener du point Δ au cercle ΑΒΓ, de l'un et l'autre côté de la plus petite AH , plus de deux droites égales. Donc, etc.
PROPOSITION IX.
Si dans un cercle, l'on prend un point quelconque, et si plus de deux droites menées de ce point à la circonférence sont égales entr’elles, le point qu'on aura pris sera le centre du cercle.
Soit le cercle ΑΒΓ, et le point intérieur ^, et que plus de deux droites 44, ΔΒ,
AT, menées du point 4 à la circonférence, soient égales entre elles, je dis que le point ^ est le centre du cercle ΑΒΓ
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
À \ , Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ AB, BT καὶ τετμήσθω- , M \ La 2» θ , cav δίχα κατὰ τὰ E, 2 σημεία. καὶ ἐπιζευχ εἰσαι \ \ e. αἱ EA, ZA διήχθωσαν ἐπί τὰ Κ.Η. A, Θσημεία. Gt € e b NOUS Ἐπεὶ οὖν ἐστὶν ἴση" ἡ AE τῇ EB, κοινὴ δὲ n , \ \ x EA* δύο δὴ ai AE, EA δυσὶ ταὶς BE, EA ἴσαι ε , S DU εἰσί" καὶ βάσις ἡ AA βάσει τῇ AB ἴση" γω- »ε A » > , vía ἄρα ἡ ὑπὸ AEA γωνίᾳ τῇ ὑπὸ BEA ἴση ἐστίν" Voy LP CN Ἂν ὀρτὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ὑπὸ AEA, BEA γωνιῶν" € f A , \ Ν ΕΊΣ 15 N ἢ HK Zpz τὴν AB τέμνει δῆχα καὶ πρὸς ὀρθὰς", Καὶ » ἈΝ DA » , , m , mr 4 ἐπεὶ, ἐὰν ἐν κύκλῳ τις εὐθεῖα εὐθεῖάν τινα δίχα \ , N ^ ^ τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνῃ. ἐπὶ τῆς τεμνούσης ᾽ ^ \ / ^ , D'UN ^ L4 :στ' TO κεντρον TOU κυκλου" ἐπί τῆς HK apa M ^ , M M , ' ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ABIÓ κύκλου, Διὰ vd αὐτὰ M ^ , ^ X , ^ δὴ καὶ ἐπὶ τῆς OA ἐστὶ τὸ xevTpov TOU ΑΒΓ κύ- mn \ \ / M L4 2 xA0U7. Καὶ οὐδὲν ἕτερον κοινὸν ἔχουσιν αἱ HK, OA Δ, 3) N ^ b » DJ , εὐθεῖαι. d τὸ Δ σημεῖον" τὸ Δ ἄρα σημεῖον κέν-- 2 \ ^ , ^ LA , TpoY ἐστί τοῦ ABT κύκλου, Ἐὰν apa, κυκλου. καὶ mos j τὰ εζῆς.
157
Jungantur enim AB, ΒΓ, et secentur bifa- riam in E, Z punctis, et junctæ EA, ZA produ- cantur ad K,H, A, © puncta.
Quoniam igitur equalis est AE ipsi EB, com munis autem EA; duæ utique AE, EA duabus BE, EA æquales sunt; el basis AA ipsi AB æqualis ; angulus igitur AEA angulo BEA equalis est; rectus igitur uterque ΑΕΔ, BEA angulorum ; HK igitur ipsam AB secat bifa- riam et ad rectos, Et quoniam, si in circulo aliqua recta rectam aliquam bifariam et ad rectos secet, in secante est centrum circuli; in HK igitur est centrumipsius ABT circuli. Propter eadem utique et in OA est centrum ipsius ABD circuli. Et nullum aliud commune habent ΗΚ, OA recte quam A punctum; À igilur punc- tum centrum est ABT circuli. Si igitur cir- culi, etc.
Joignons les droites AB, Br, coupons-les en deux parties égales aux points E, z
(10. 1), et ayant joint les droites ΕΔ, ZA, prolongeons-les vers les points K, H, A, ©.
Puisque AE est égal à EB, et que la droite E^ est commune, les deux droites AE, E^ sont égales aux deux droites BE, E^; mais la base AA est égale à la base AB; donc l'angle AE^ est égal à l'angle BEA (8. 1); donc chacun des angles AEA, BEA est droit; donc la droite HK coupe la droite AB en deux parties égales et à angles droits. Mais lorsque , dans un cercle, une droite coupe une autre droite en deux parties égales et à angles droits, le centre du cercle est dans la sécante (cor. 1. 5); donc le centre du cercle ΑΒΓ est dans HK. Par la méme raison, le centre du cercle ΑΒΓ est dans @A. Mais les droites HK, OA n'ont d'autre. point commun que le point ^; donc le point δ est le centre du cercle ΑΒΓ, Donc, etc.
158
AAAQZ,
, ^ , KuxA00 yap τοῦ ABT εἰλήφθω 71 σημεῖον ἐντὸς \ 9 \ δὲ " \ \ , TO À, απο de TOU Δ πρὸς τὸν ABT xvxAou προσ- , * p πιπτετωσαν πλείους ἢ δύο ἴσαι εὐθεῖαι. αἱ AA, ££ L4 \ \ e AB, AT* Atyo ὅτι τὸ ληφθὲν σημεῖον τὸ Δ κέντρον 2 ^ ^ ἐστὶ τοῦ ABT κύκλου,
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ALITER.
Intra enim circulum ABT sumatur aliquod punctum Δ, a A autem in ABT circulum cadant plures quam duæ æquales recta , inse AA, AB, AT; dico sumptum punctum A centrum esse ipsius ABT circuli.
| τ;
A
Μὴ ydp, ἀλλ᾽ εἰ δυνατὸν, ἔστω τὸ E, καὶ ἐπι- ζευυχθϑεῖσα ἡ ΔῈ διήχθω ἐπὶ τὰ Z, H σημεῖα, ἡ ZH dpaS διάμετρίς ἐστι τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ τῆς ZH διαμέτρου εἴληπταί T) σημεῖον τὸ A, ὃ μή ἔστι κέντρον ποῦ κύκλουθ, μεγίστη μὲν ἔσται ἡ AH, μείζων δὲ ἡ μὲν AT τῆς AB, ἡ δὲ AB τῆς AA. Αλλὰ καὶ ἴση. ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ ἄρα τὸ E κέντρον
9 \ ^ seri τοῦ ABT κύκλου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν. ὅτι
Β
Non enim, sed si possibile, sit E, et juncta AE producatur in Z, H puncta; ergo ZH diame- ter estipsius ABT circuli. Quoniam igitur circuli ΑΒΓ in ZH diametro sumptum est aliquod punctum A, quod non est centrum circuli, ma- xima quidem erit AH, major vero AT ipsà AB, et AB ipsá AA. Sed et zqualis, quod est impossibile ; non igitur E centrum est ipsius ABP
circuli. Similiter autem ostendemus, neque aliud
AUTREMEN T.
Dans le cercle ΑΒΓ soit pris un point quelconque Δ, et que plus de deux droites égales tombent du point 4 dans le cercle ΑΒΓ, les droites A4, ΔΒ, Ar ; je dis que le point Δ est le centre du cercle ΑΒΓ,
Qu'il ne le soit point, mais s'il est possible, que ce soit le point E; ayant joint ΔῈ, prolongeons cette droite vers les points Z, H; la droite ΖΗ sera le diamètre du cercle ΑΒΓ, Puisque l'on a pris dans le diamètre ZH du cercle ΑΒΓ un point Δ, qui n'est pas le centre de ce cercle, la droite 4H sera la plus grande, la droite AT plus grande que la droite ^8, et la droite AB plus grande que la droite ^A (7. 5). Mais elle lui est égale, ce qui est impossible, douc le
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D’EUCLIDE.
LA \ ^ M Ww DJ , οὐδὲ ἀλλό Ti πλὴν τοῦ Δ' TO Δ epa σήμείον κεν-
pov ἔστι τοῦ ABT κύκλουϑι IIPOTAZIZ é.
, M Κύκλος κύκλον οὐ τέμνει κατὰ πλείονα δη- "s , μεῖα ἢ duo, e , \ Ei γὰρ δυνατὸν, κύκλος 0 ABT κύκλον τὸν AEZ
em À , M χεμνέτω κατὰ πλείονα σημεῖα ÿ duo, τὰ B, H,
139
preter A; ergo À punctum centrum est ipsius ABT circuli.
PROPOSITIO X.
Circulus circulum non secat in pluribus pune- tis quam duobus. Si enim possibile, circulus ABT circulum
AEZ secet in pluribus punctis quam duobus, in
Z, ©, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΒΘ. BH δίχα τεμνέ- σθωσαν κατὰ τὰ K, A σημεῖα" καὶ ἀπὸ τῶν K, A ταῖς BO, BH πρὸς ἀρθὰς ἀχθεῖσαι αἱ KT, AM διήχθωσαν ἐπὶ τὰ A, E σημεῖα",
ipsis B, H, Z, ©, et junctæ BO, BH bifariam secentur in K, A punclis ; et ab ipsis K, A ipsis BO, BH ad rectos duct» KT; AM producantur in A , E puncta.
point E n'est pas le centre du cercle ΑΒΓ, Nous démontrerons semblablement qu'aucun autre point, excepté ^, ne peut l'étre; donc le point Δ est le centre
du cercle ABr,
PROPOSITION X.
Un cercle ne coupe pas un cercle en plus de deux points. Car si cela est possible, que le cercle ΑΒΓ coupe le cercle ΔῈΖ en plus de deux
points, aux points B, H, Z, 6; joignons les droites Be, BH; coupons-les en deux parties égales aux points K, A, et par les points K, A, ayant conduit les droites Kr, AM perpendiculaires à Bo, BH, prolongeons-les vers les points A, E.
18.
140 Ν 6 3 [i ^ Ἐπεὶ οὖν zv κύκλῳ TQ ABT εὐθεῖώ τις ἡ AT , nt \ 3 εὐθεῖαν τινα τὴν ΒΘ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμ- 3 3 Ν ^ LA » \ A , ^ ver^, ἐπὶ τῆς AT ἀρὰ ἐστὶ TO κέντρον τοῦ ΑΒΓ , , , , b ^ [ad κύκλου, Παλιν. ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τῷ αὐτῷ TQ ABT
> LA € , Dd D εὐθεῖα τις ἡ ΝΞ εὐθεῖαν τινα τὴν BH δίχα καὶ
LE TROISIÉME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Quoniam igitur in circulo ABT recta aliqua AT rectam aliquam. BO bifariam et ad rectos secat, in AT igitur est centrum ipsius ABF circuli. Rursus, quoniam in circulo eodem ABT recta aliqua NZ rectam aliquam BH bifariam et ad
ADD \ / LORS M p M , : CC v» προς ορθας TijAVes, ἐπὶ τῆς ΝΞ apa, τὸ κεντρον rectos secat, 1n NE igitur centrum est ipsius ΑΒΓ
ἐστὶ τοῦ ABI κύκλου, Εδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τὴς circuli. Ostensum autem ipsum esse et in AT, et
AT, καὶ mar οὐδὲν συμξάλλουσιν αἱ AT, ΝΞ in nullo puncto conveniunt AT, ΝΞ rectc inter
εὐθεῖαι ἀλλήλαις ἢ κατὰ τὸ O* τὸ O ἄρα on Se preterquam in O; ergo O punctum centrum μεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ABT κύκλου. Ομοίως δὴ — estipsius ABT circuli. Similiter autem ostende- δείξομεν, ὅτι καὶ τοῦ ΔῈΖ κύκλου κέντρον ἐστὶ
^ , » , , E , ^ To O* δὺο dpa, κυκλῶν τεμνόντων ἀλλήλους, τῶν
mus, et ipsius AEZ circuli centrum esse O; duo- rum igitur circulorum sese secantium ΑΒΓ, ΔΕΖ,
ABT, ΔΕΖ, τὸ αὐτό ἔστι κέντρον TO οὔ, ὅπερ idem erit centrum O, quod est impossibile.
3 ΕΚ , Y ἘΝ da 5 ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα κύκλος, καὶ τὰ ἱξῆς. — Non igitur circulus , etc,
Puisque dans le cercle ΑΒΓ, la droite AT coupe la droite Bo en deux parties égales et à angles droits, le centre du cercle ΑΒΓ est dans la droite ΑΓ (cor. 1. 5). De plus, puisque dans le méme cercle ABr la droite Nx coupe la droite BH en deux parties égales et à angles droits, le centre du cercle ΑΒΓ est dans la droite Nx. Mais on a démontré qu'il est dans la droite Ar, et les deux droites Ar, Nx ne se rencontrent qu'au point O ; donc le point © est le centre du cercle ΑΒΓ, Nous démontrerons semblablement que le point © est le centre du cercle AEz; donc le méme point O est le centre des deux
cercles ABT, AEZ, qui se coupent mutuellement, ce qui est impossible (5. 3 ).
Donc, etc.
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
AAAQS,
Κύκλος γὰρ πάλιν ὃ ABT κύκλον τὸν AEZ τεμνέτω κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο, τὰ B, H, 2, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου» τὸ K , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ KB, KH, KZ.
Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ AEZ εἰληπταί τι ση-
Ὧν \ NAN \ E μεῖον ἐντὸς. τὸ K, καὶ ἀπὸ τοῦ K πρὸς τὸν
141
ALITER.
Circulus enim rursus ABT circulum ΔΕΖ se- cet in pluribus punctis quam duobus , in ipsis B, H, Z, ct sumatur centrum ipsius ABT circuli, ipsum K, ct jungantur ΚΒ, KH, KZ.
Quoniam igitur intra circulum AEZ sumptum
est aliquod punctum K, et a K in AEZ circu-
ΔΕΖ κύκλον προσπεπτωώκασι πλείους ἢ dvo εὐὖ-- θεῖαι jeu, αἱ ΚΒ. KZ, KH* τὸ K ἄρα σημεῖον κέντρον ἐστὴ7 τοῦ AEZ κύκλου. Ἐστι δὲ καὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Κ' δύο ἄρα κύκλων τε- μνόντων ἀλλήλους τὸδ αὐτὸ κέντρον ἐστὶ τὸ Κι
LA » » , M ^ O7TEp ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα HUKACS y καὶ τὰ ἐξῆς.
lum incidunt plures quam duæ recte æquales , ipsæ KB, KZ, KH; ergo K punctum centrum est ipsius AEZ circuli. Est autem ct ipsius ABT circuli centrum ipsum K ; duorum igitur circulorum sese secantium idem centrum est K, quod im-
possibile. Non igitur circulus, etc.
AUTREMENT.
Car que le cercle ΑΒΓ coupe encore le cercle ΔῈΖ en plus de deux points; aux points B, Η, Z; prenons le centre K du cercle ΑΒΓ, et joignons KB, KH, ΚΖ.
Puisque dans le cercle AEZ, on a pris un point K, et que plus de deux droites égales KB, ΚΖ, KH tombent du point K dans le cercle AEz, le point K est le centre du cercle ΔῈΖ (9. 5). Mais le point K est le centre du cercle nr; donc le méme point K est le centre de deux cercles qui se coupent; ce qui
est impossible ( 5. 5).
142 IIPOTAZIX 44e
Εὰν δὺο κύκλοι ἐφάπτωνται ἀλλήλων ἐντὸς. καὶ λειφθῇ αὐτῶν τὰ κέντρα, ἢ ἐπὶ τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα καὶ ἐκξαλλομένη ἐπὶ τὴν συναφὴν πεσεῖται τῶν κύκλων.
Δύο γὰρ κύκλοι οἱ ABT, ΑΔῈ ἐφαπτέσθωσαν" ἀλλήλων ἐντὸς κατὰ τὸ À σημεῖον. καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ΑΒΓ κύκλου κέντρον τὸ Z, τοῦ δὲ ΑΔΕ τὸ H* λέγω ὅτ, ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ 2 ἐπι-
, » e 5 , M D Gus νυμένη εὐθεῖα ἐκξαλλομένη ἐπὶ τὸ Αἴ πεσεῖτα!.
ζι
Β
Μὴ γὰρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατὸν. πιπτέτω oci ΖΗΘ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ AZ, ΔΗ.
Επεὶ οὖν αἱ AH, HZ τῆς ZA Tour ἔστι τῆς 2Θ5, μείζονές εἶσι, κοινὴ ἀφῃρήσθω καὶ ΖΗ" λοιπὴ ἄρα » ΑΗ λοιπῆς τῆς HO μείζων ἐστὶν. lon δὲ ἡ AH τῇ AH' καὶ ἡ ΗΔ dpa τῆς ΗΘ μείζων ἐστὶν,
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
PROPOSITIO XI.
Si duo circuli sese contingant intus, et su- mantur eorum centra, centra eorum conjun- gens recta producta in contactum cadet circu- lorum.
Duo enim circuli ABT, AAE sese contingaut inlus in À puncto, et sumatur quidem ipsius ABP circuli centrum Z, ipsius autem AAE ipsum H; dico ab H ad Z conjungentem rectam productam
in A cadere.
p
Non enim, sed si possibile, cadat ut ZHO, et jungantur AZ, AH.
Quoniam igitur AH, HZ ipsà ZA, hoc est ipsá ZO majores sunt, communis auferatur ZH ; reliqua igitur AH reliquà HO major est, Æqua- lis autem AH ipsi AH; et HA igitur ipsà HO
PROPOSITION XI.
Si deux cercles se touchent intérieurement, et si on prend leurs centres, la droite qui joint leurs centres étant prolongée tombera au contact de ces cercles.
Que les deux cercles ΑΒΓ, AAE se touchent intérieurement au point A; pre- nons le centre z du cercle ΑΒΓ, et le centre H du cercle ΑΔΕ; je dis que la droite menée du point H au point Z, étant prolongée, tombera en 4.
Que cela ne soit point, mais s’il est possible, qu'elle tombe comme ΖΗΘ ; et
joignons AZ, AH.
Puisque les droites AH, Hz sont plus grandes que ZA (20.1), c'est-à-dire que Ze, retranchons la droite commune ΖΗ; la droite restante AH sera plus grande que la droite restante ΗΘ. Mais AH est égal à AH; donc Ha est plus grand que ΘΗ;
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ἡ ἐλάττων τῆς μείζονοσ, ὕπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ 2 ἐπὶ τὸ M ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκτὸς τῆς κατὰ τὸ À συναφὺς πεσεῖται" κατὰ τὸ À ἄρα ἐπὶ τῆς συναφῆς πέσειται7, Ἐὰν
äpa δύο κύκλοι. καὶ τὰ ἱξῆς. AAANZ,
' M , Αλλὰ δὴ πιπτέτω ὡς καὶ HZT, καὶ 6x2 0009 » (s NX ἐπὶ εὐθείας ἡ HZT ἐπὶ τὸ © σημεῖον. καὶ ἐπε- ζεύχθωσαν αἱ AH, AZ. Ἐπεὶ οὖν αἱ AH, HZ μείζους εἰσὶ τῆς AZ, 3 ^ * ^ e »! ^ ἀλλὰ ἡ ZA ion ἐστὶ τῇ ZI, τοῦτ ἔστι τῇ ZO, " » ^ κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ZH* λοιπὴ dpa ἡ AH λοιπῆς ^ ΄ v 9 y Ci ^ τῆς HO μείζων ἐστὶν. τοῦτ᾽ ἔστιν ἡ HA τῆς HO, ΘΝ 7) E 1 LÀ > \ > ἧς ἢ ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος. ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον, , À 0» NL. d - ^ \ , ^ Ὁμοίως. κἄν ἐκτὸς 1 τοῦ μικροῦ τὸ κέντρον τοῦ
^ À y μείζονος κύκλου, δείξομεν τὸ αὐτὸ ἀτοπονϑ,
145 major est, minor majore , quod est impossibile. Non igitur a Z ad H conjuncta recta extra con- tactum ad A cadet. Ergo in contactum ad A cadet. Si igitur duo circuli, etc.
ALITER.
Sed etiam cadat ut ΗΖΓ, et producatur in direclum ipsa ΗΓΖ ad © punctum, et jungan- lur AH , AZ.
Quoniam igitur AH , HZ majores sunt ipsà AZ, sed ZA æqualis est ipsi ZT, hoc est ipsi ZO, communis auferatur ZH; reliqua igitur AH re- liquà HO major est, hoc est HA ipsà HO, minor majore, quod est impossibile. Similiter, et si exlra parvum sit centrum majoris circuli, osten-
demus hoc idem absurdum.
le plus petit que le plus grand, ce qui est impossible. Donc la droite menée du point z au point H ne tombera pas hors du contact en 4; donc elle tombera dans le contact en 4. Donc, etc.
AUTREMEN TT.
Mais qu'elle tombe comme Hzr, prolongeons Hzr directement vers le point 9, et joignons AH, AZ.
Puisque les droites AH, ΗΖ sont plus grandes que AZ, et que z4 est égal à zr, c’est-à-dire à Ze, retranchons la droite commune ZH; la droite restante AH sera plus grande que la droite restante ΗΘ, c'est-à-dire, H^ plus grand que ΗΘ, le plus petit que le plus grand, ce qui est impossible. Si le centre du grand cercle était hors du petit cercle, nous démonirerions semblablement qu'il s'en. suivrait une absurdité.
144
HPOTAZIEZ 18.
\ , Li > , p Ἐὰν δύο κύκλοι ἐφάπτωνται! ἀλλήλων ἐκτῦς, € 9 A Y ῃ LENT 9. , DES ^ ἡ ἐπί τὰ κέντρα αὐτῶν ἐπιζευγμένη εὐθεῖα δια fe 3 ^ ΕἸ LA τῆς επαφῆς EAEUCET AI, ͵ N L c ba , [4 Avo yap κύκλοι οἱ ABT, AAE ἐφαπτέσθωσαν » , » ^ \ \ ^ > , αλλήλων EXTOS κατὰ TO À ChjAtIOV , xai εἰλήφθω S ; , \ ^ TCU μὲν ABT κύκλουϑ κεντρὸν. TO Z, TOU dt AAE ^ , e € > \ ^ \ \ To H* λεγώ ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Z ἐπὶ τὸ H ἐπιζευγνυ--
, > Di M “ \ \ » ^ » , μένη εὐθεῖα διὰ τῆς κατὰ TO À ἐπαφῆς ἐλεύσεται»
Μὴ γὰρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατὸν, ἐρχέσθω ὡς αἱ ZT, ΔΗ, καὶ ἐπιζεώχθωταν αἱ ZA, ΑΗ-
Ἐπεὶ οὖν τὸ L σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ABT κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ZT. Πάλιν, ἐπεὶ τὸ H σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ AAE κύκλου. ἴση
ἐστὶν ἡ AH τῇ HA. ἘΕδείχθη δὲ καὶ ἡ ZA τῇ ZT
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
PROPOSITIO XII.
Si duo circuli sese conlingant extra, centre ipsorum conjungens recta per contactum tran- sibit.
Duo enim circuli ABT, AAE sese contin- gant extra in A puncto, et sumatur quidem ipsius ΑΒΓ circuli centrum Z , ipsius vero AAE ipsum H; dico a Z ad H conjungentem rectam per contactum ad A trausire
Non enim, sed si possibile, eat ut ΖΓ, ΔΗ, e£ jungantur ZA , AH.
Quoniam igitur Z punctum centrum est ipsius ABT circuli, æqualis est ZA ipsi Zr. Rursus, quoniam H punctum centrum est ipsius AAE
circuli , æqualis est AH ipsi HA. Ostensa est
PROPOSITION XII.
Si deux cercles se touchent extérieurement, la droite qui joint leurs centres
passera par le contact.
Que les deux cercles ΑΒΓ, AaE se touchent extérieurement au point 4 ; prenons le centre Z du cercle ΑΒΓ, et le centre H du cercle ΑΔΕ; je dis que la droite menée du point Z au point H passera par le contact en A.
Car que cela ne soit point, mais, s'il est possible, qu'elle tombe comme
ZT, AH, et joignons ZA, AH.
Puisque le point z est le centre du cercle ΑΒΓ, la droite ZA est égale à zr. De plus, puisque le point H est le centre du cercle AAE, la droite AH est égale à ΗΔ, Mais on a démontré que za est égal à la droite zr; donc les droites z4
- LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
» Dr 3, 2t). ἴδη" αἱ ἄρα ZA, AH ταῖς ZT, AH ἴσαι εἰσιν" C2 e ε -“ ͵ > ͵ \ ὥστε ὅλη ἡ ZH τῶν ΖΑ. AH μείζων ἐστίν, AAA
, σ 3 , 5» Ν e ^ M καὶ ἐλάττων, ὅπερ ἀδύνατον. Οὐκ ἀρὰ ἡ uuo
“ D NUI , 36€ \ ^ τοῦ 2 ἐπὶ τὸ H ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα διὰ τῆς M M 3 ^ > , , , » ^-^ LA κατὰ τὸ À ἐπαφῆς οὐκ ἐλεύσεται" δὶ αὐτῆς apa.
4 P , , \ \ trn Ἐὰν ἄρα δύο κύκλοι, καὶ τὰ εξῆς- , HPOTAXIZE I. , , » 3 , ι , KuozAoc zUzAOU οὐκ ἐφαπτεται κατὰ πλείονα D e > À 2 3 ' > , 2 σημεῖα ἡ καθ «ν. dy Te ἐντὸς ἐφαπτῆται ἐὰν SA, TE €x 706.
M M , e ,
Εἰ yap δυνατὸν. κύκλος 0 ABAT #u#Acu TOU > , , , \ x EBZA ἰφαπτέσθω" πρότερον ἐντὸς κατὰ πλείονα
m à à M 6318/4 ñ € TX, By A.
145 est autem ZA ipsi ZT æqualis ; ipsæ igitur ZA , AH ipsis ΖΓ, AH æquales sunt; quare tota ZH ipsis ZA, AH major est. Sed et minor, quod impossibile. Non. igitur a Z ad H ducta recta per contactum ad A non transibit; per ipsum
igitur. Si igitur duo circuli , etc.
PROPOSITIO XIII.
Circulus circulum non contingit in pluribus punctis quam in uno, sive intus contingat, sive extra.
Si enim possibile, circulus ABAT circulum EBZA contingat primum intus in pluribus punctis
quam in uno, in B, A,
Καὶ εἰλήφθω τοῦ μὲν ABAT zUxACU κέντρον» τὸ H° τοῦ δὲ EBZA, 75 ©.
Et sumatur ipsius quidem ABA circuli cen-
irum H; ipsius autem EBZA, ipsum ©.
AH sont égales aux droites zr , ΔΗ; donc la droite entiére ΖΗ est plus grande que les droites ZA, ΑΗ. Mais au contraire, elle est plus petite ( 20. 1), ce qui est im- possible. Donc la droite menée du point z au point H ne peut pas ne pas passer par le contact en 4; donc elle y passe. Donc, etc.
PROPOSTELON XII
x : 3 : | E cercle ne touche point un cercle en plus d'un point, soit qu’il le touche intérieurement, ou extérieurement.
Car si cela est possible, que le cercle ABar touche d'abord iatérieurement le cercle EBZ^ en plus d'un point, aux points B, Δ.
Prenous le centre H du cercle ABar, et le centre © du cercle EBza.
τ
146
H dpa ἀπὸ τοῦ H ἐπὶ τὸ © ἐπιζευγνυμένη eo 6:2? ἐπὶ τὰ B , A πεσεῖται. Πιπτέτω ὡς ἡ ΒΗΘΔ. Καὶ ἐπεὶ τὸ H σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ADAT xUnAcU, ἴση ἐστὶν à BH τῇ HA* μείζων ἄρα n BH τῆς OA* πολλᾷ dpa μείζων ἡ BO τῆς ΘΔ, Πάλιν, ἱπεὶ τὸ Θ σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ EBZA κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ BO τῇ OA. Εδείχθη δὲ αὐτῆς καὶ πολλῷ μείζων, ὅπερέ ἀδύνατον" οὐκ ἄρα κύκλος κύκλου ἐφάπτεται €yTOG κατὰ
, D à πλειονὰ σημεια ἢ EVe
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Ipsa igitur ab H ducta recta ad © in puncta B, A cadet. Cadat ut BHOA. Et quoniam H punc- tum centrum est ipsius ABAT circuli , qualis est EH ipsi HA; major igitur BH ipsà O4; ergo multo major BO ipsà OA. Rursus, quoniam © punctum centrum est ipsius EBZA circuli , æqua- lis est BO ipsi OA. Ostensa est autem ipsà et multo major, quod impossibile; non igitur circulus circulum contingit intus in pluribus
punctis quam in uno,
Λέγω δὴ ὅτι cde ἐκτός, El γὰρ durarèr, κύ-- Ac 5 ATK κύκλου TOU) ABAT ἐφαπτέσθω ἐκτὸς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν, τὰ Ay T, καὶ ἐπε- ζεύχθω à AT.
πεὶ οὖν κύκλων τῶν ABAT , ATK εἴληπται ἐπὶ τῆς περιφερείας ἑκατέρου δύο τυχόντα σημεῖα T
ε : Li ^N » U 32 1 A, T, ἡ dgaS im) τὰ au747 σημεῖα ἐπιζευγνυμένη
Dico etiam neque extra. Si enim possibile , circulus ATK circulum ABAT contingat extra in pluribus punctis quam in uno, in A, P, et jungalur AT.
Quoniam igitur circulorum ABAT, ATK sumpta sunt in circumferentiis utriusque duo qualibet
puncta A, P, hac utique puncta conjungens recta
La droite menée du point H au point © passera par les points B, Δ (11.3), Qu'elle tombe comme ΒΗΘΔ, Puisque le point H estle centre du cercle ΑΒΔΓ, la droite BH est égale à Ha; donc BH est plus grand que ΘΔ ; donc ΒΘ est beaucoup plus grand que o5. De plus, puisque le point © est le centre du cercle ΕΒΖΔ, la droite ΒΘ est égale à 6. Mais on a démontré qu'elle est beaucoup plus grande, ce qui est impossible ; donc un cercle ne touche pas intérieurement un cercle en plus d'un point.
Je dis aussi qu'il ne le touche pas extérieurement en plus d'un point. Car, s'il est possible, que le cercle Ar& touche extérieurement le cercle ABar en plus d'un point, aux points A, T ; joignons AT.
Puisque dans la circonférence des cercles ABar, ATK, On a pris deux points quelconques ^, r, la droite qui joindra ces deux points tombera daus
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
εὐθεῖα ἐντὸς ἑκατέρου πεσεῖται. Αλλὰ τοῦ μὲν ABAT ἐντὸς ἔπεσε, τοῦ δὲ ATK ἐκτὸς, ὅπερ a T0- στον" οὐκ ὄρα 1UxA06 κύκλου ἐφάπτεται ἐκτὲς κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἐν. Edeiyôn δὲ, ὅτι οὐδὲ
» , 277 » \ 1 εντος, Κυκλος apa, καὶ τὰ ECG
147 intra utrumque cadet. Sed quidem intra ipsum ABAT cadit, extra vero ipsum ATK, quod ab- surdum. Non igitur circulus circulum coulingit extra in pluribus punctis quam in uno. Osteusum
est aulem neque intus, Circulus igitur, etc,
HPOTAZIZ sd", PROPOSITIO XIV.
Ev κύκλῳ αἱ ἴσαι eüÜeies ἴσον ἀπέχουσιν ἀπὸ In circulo equales rect» equaliter distant a
ἊΣ UE » , » red AP: s 1 1 τοῦ κέντρου. καὶ αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἀπὸ τοῦ κίν- Centro, εἴ qua equaliter distant a centro æqua- les inter se sunt.
Tpou fca ἀλλήλαις εἰσίν Sit circulus ABAT, et in eo equales recte sint
, ε Ν » * » » ESTo κυκλὸς 0 ABAT, καὶ ev αὐτῷ ira εὖὐ-
θεῖαι ἔστωσαν αἱ AB, ΓΔ’ λέγω ὅτι αἱ AB, TA! ΑΒ, ΓΔ; dico ipsas AB, ΓΔ æqualiter distare a
, s ui T, 3E AN or, 3 ἔσον ὠπεχόυσιν ἀπὸ TOU κεν Tpov. centro.
À L
ipsius ABAT circuli,
n
Sumatur enim centrum
Εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ABAT κύκλου, καὶ et 511 Ε, et ab E ad AB, ΓΔ perpendiculares du
f Y Y» 3 ^ » \ ^ , ἔστω TO E, καὶ ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τας AB, TA κάθετοι
ἤχθωσαν αἱ ΕΖ, EH, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ AE, TE, — cantur EZ, EH, et jungantur AE, ΓΕ.
l'un et l'autre cercle (2. 5). Mais elle tombe dans le cercle ABar, et hors du cercle Ark (déf. 5.3), ce qui est absurde ; donc un cercle ne touche pas extérieu- rement un cercle en plus d'un point. Mais on a démontré qu'il ne le touche pas intérieurement en plus d'un point. Donc, ctc.
PROPOSEFTTON^XIVY.
Dans un cercle les droites égales sont également éloignées da centre, et les droites également éloignées du centre sont égales entr'elles. Soit le cercle ABar, et que dans ce cercle les droites AB, ra soient égales ; je dis que les droites AB, ΓΔ sont également éloignées du centre. Prenons le centre du cercle ABar, qu'il soit le poiut E, du point E me- nons les droites Ez , EH perpendiculaires aux droites AB, T^, et joignons AE, TE. 19.
148 Δ , nt \ ^ 4 € Ἐπεὶ εὖν εὐθεῖα τις διὰ τοῦ κεντρου ἡ EZ ed A { ^ B \ eubeidy Tiva jun διὰ τοῦ κέντρου τὴν AB πρὸς 3 ^h LI , \ di Li ^ , » opc τέμνει, καὶ diva αὐτὴν Tiuvel. los ἄρα € 5 “ eo € ^ \ M ἡ. AZ τῇ BZ*' διπλῆ ^pa ἡ AB τῆς AZ. Διὰ τὰ 3 M Ν e ^ ? ^ "n A f αὐτὰ δὴ καὶ 4 TA τῆς TH ἐστὶ διπλῆ, καὶ ἔστιν LA t5 ^ » »! Ne ^ \ σή n AB τῇ ΓΔ 404 ape καὶ 9» AZ τῇ TH. Kai LÁ , \ ε = ν 5) \ \ X E Trek 1021 ἐστιν ἡ AE τῇ ET, 400 καὶ To ἀπὸ τῆς
ΑΕ τῷ ἀπὸ τῆς ET. Αλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς AE
ica τὰ ἀπὸ τῶν ΑΖ, ZE, ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Z γωνία' τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ET ira τὰ ἀπὸ τῶν EH, ΗΓ, ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Η γωνία" τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΖ, LE ἴσα oT) τοῖς ἀπὸ τῶν TH, HE, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς AL ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς TH, ἴση yap ἐστιν ἢ AZ τῇ TH° λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ZE λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς EH ἴσον ἐστὶν. ἴση dpa? ἡ ZE τῇ EH. Ev δὲ κύκλῳ ἴσον ἀπέχειν ἀπὸ τοῦ
» E D ^ LÀ » \ ^ , κέντρου εὐθεῖαι λέγονται. ὅταν αἱ ἀπὸ τοῦ κέν-
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Quoniam itaque recta aliqua. EZ per centrum rectam aliquam AB non per centrum ad rectos secat , et bifariam ipsam secat. /Equalis igitur AZ ipsi ΒΖ: dupla igitur AB ipsius AZ. Propter eadem utique et TA ipsius ΓΗ est dupla, et est equalis AB ipsi TA; «equalis igitur et AZ ipsi TH. Et quoniam æqualis est AE ipsi ET, æquale
et ipsum ex AE ipsi ex EL. Sed ipsi quidem
ex AE æqualia ipsa ex ΑΖ, ZE, rectus enim ad Z angulus; ipsi vero ex ET æqualia ipsa ex EH, HT, recius enim ad H angulus; ipsa igilur ex AZ, ZE æqualia sunt ipsis ex ΓΗ, HE, quorum ipsum ex AZ æquale est ipsi ex ΓΗ, equalis enim est AZ ipsi ΓΗ; reliquum igitur ipsum ex ΖΕ reliquo ex EH æquale est, æqualis igilur ZE ipsi EH. In circulo autem equaliter
distare a centro rect: dicuntur , quando a cen-
Puisque la droite Ez menée par le centre, coupe à angles droits la droite ΑΒ, non menée par le centre, elle la coupe en deux parties égales (5 5.). Donc az est égal à ΒΖ; donc ΑΒ est double de az. Par la méme raison ra est double de TH; mais AB est égal à r^; donc Az est égal à rH. Et puisque AE est égal à Er, le quarré de AE est égal au quarré de Er. Mais les quarrés des droites az, ZE sont égaux au quarré de AE (47. 1), car l'angle en z est droit; et les quarrés des droites EH , HT sont égaux au quarré de Er, car l'angle en H est droit ; donc les quarrés des droites Az, ZE sont égaux aux quarrés des droites TH, HE; mais le quarré de Az est égal au quarré de TH, car Az est égal à rH ; donc le quarré restant de ZE est égal au quarré restant de FH; donc ZE est égal à EH. Mais dans un cercle les droites sont dites également éloignées du centre, lorsque les per-
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 149
pou ἐπ’ αὐτὲς κάθετοι ἀγέμεναι ἴσαι ὦσιν" αἱ ἄρα AB, TA ἴσον ἀπέγουσιν ἀπὸ τοῦ κέιτρου.
Αλλὰ δὴ ai AB, ΓΔ εὐθεῖα, ἴσον ἀπεχέτωσαν ἀπὸ τοῦ κέντρου, τοῦτ᾽ ἔστιν, ἴση ἴστω ἡ EZ τῇ EH* λέγω ὅτι ἴση ἐστὶ καὶ ἡ AB τῇ TA.
Τῶν ydp αὐτῶν κατασκευασθέντων. ἑμοίως di δείξομεν, ὅτι διπλὴ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς AZ, ἡ δῈ TA τῆς IH* καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ AE τῇ TE, ἴσιν ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς AE τῷ ἀπὸ τῆς ΤΕ ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς AE ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῷν ΕΖ, ΖΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς TE ira τὰ àmo τῶν EH, HT, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν EL, ΖΑ Isa ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν EIDSOHT; ὧν τὸ ἀπὸ τῆς EZ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΗ ἐστὶν ἴσονϑ ^ ἴση γὰρ à EZ τῇ ΕΗ. λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς AL λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΤῊ ἴσον ἐστίν» ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ TH, καὶ ἔστι τῆς μὲν ΑΖ διπλῆ ἡ AB, τῆς δὲ ΤῊ διπλῆ ἡ TA* ἴση ἄρα à ΑΒ
\
τῇ TA. Ey κύκλῳ ape, καὶ τα ἑξῆς.
ἰγο. δὰ ipsas perpendiculares ductæ equales sunt; ergo AB, ΓΔ æqualiter distant a centro.
Scd demum equaliter AB, TA recte distent a centro, hoc est, æqualis sit EZ ipsi EH; dico æqualem esse et AB ipsi l'A.
Etenim iisdem constructis, similiter utique ostendemus duplam esse quidem AB ipsius AZ, et ΓΔ ipsius FH; et quoniam æqualis est AE ipsi TE, æquale est ipsum ex AE ipsi ex TE; sed ipsi quidem ex AE æqualia sunt ipsa ex EZ, ZA, ipsi vero ex l'E ipsa ex EH, HL; ipsa igitur ex EZ, ZA æqualia sunt Ipsis ex EH, ΗΓ, quorum ipsum ex EZ ipsi ex EH est æquale, equalis enim EZ ipsi EH; reliquum igitur cx AZ reliquo ex ΓΗ͂ est æquale; equalis igitur AZ ipsi ΓΗ, et est ipsius quidem AZ dupla AB, ipsius vero PH dupla TA. Æqualis igitur AB ips:
FA. In circulo igitur , etc.
pendiculaires menées du centre sur ces droites sont égales ( déf. 4 4. 5); donc les droites AB , TA sont également éloignées du centre.
Mais que les droites ΑΒ, ΓΔ soient également éloignées du centre, c'est-à-dire, que ZE soit égal à EH ; je dis que AB est égal à ra.
En effet, les mémes constructions étant faites, nous démontrerons semblablement
que AB est double de Az , et ra double de rr. Et puisque AE est égal à TE, le quarré de AE est égal au quarré de ΓΕ. Mais les quarrés des droites Ez, ZA sont égaux au quarré de AE (47.1), et les quarrés des droites EH, HT égaux au quarré de IE ; donc les quarrés des droites EZ, ZA sont égaux aux quarrés des droites EH, Hr; mais le quarré de Ez est égal au quarré de EH, car Ez est égal à EH; donc le quarré restant de az est égal au quarré restant de TH; donc ΑΖ est égal à rn; mais AB est double de la droite Az, et r double de ru;
donc AB est égal à ra. Donc, etc.
150
HPOTAZXIZ {έν
Ev κύκλῳ μεγίσ ἐν sort ἡ διάμετρος"
ὐκλῳ μεγίστη μὲν ἐστινὶ ἡ διωαμετρος
T de LA LA *- sg ^ , -Ὁ
τῶν ὃ: ἀλλῶν. del M €yyloV τοῦ ReYTpoU τῆς , r ͵ , , ἀπωτερον μείζων ἐστί.
, € ? ^ 5"
Ἐστω κυκλὸς ὁ ΑΒΓΔ, δίαμετρος δὲ αὐτοῦ
L e , M A rf L ^
εστῶ ἡ AA, κέντρον ds vo E, καὶ ἔγγιον μὲν τοῦ
d cg " c ar ue E κεντρῶυ ἔστω n BI?, «πῶτερον ds ἡ ΖΗ" λέγω
y , sie ve = ὁτι μεγίστη μὲν ἐστὶν ἡ AA, μείζων δὲ ἡ BT τῆς ΖΗ.
Ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ E? κέντρου ἐπὶ τὰς BT, ΖΗ κάθετοι αἱ EO , ΕΚ. Καὶ ἐπεὶ ἔγγιον μὲν τοῦ κέντρου ἐστὶν ἡ BT, ὡπώτερον δὲ ἡ ZH , μείζων ἄρα ἡ EK τῆς EO. Κείσϑω τῇ EO ἴση ἡ EA, καὶ διὰ τοῦ A τῇ EK πρὸς ὀρθὰς ἀχθεῖσα ἡ AM διήχθω ἐπὶ τὸ Ν,, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ EM, EN, EZ, EH,
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
PROPOSITIO XV.
In circulo masima quidem est diameter ; aliarum. vero, semper propinquior centro re- moliore major est.
Sit circulus. ΑΒΓΔ, diameter autem ipsius sit AA , centrum vero E, et propinquior quidem ipsi E centro sit BP, remotior vero ZH ; dico
maximam esse AA, majorem vero ΒΓ ipsá ZH.
Ducantur enim ab E centro ad BP, ZH per- pendiculares EO, EK. Et quoniam propinquior quidem centro est BD, remotior vero ZH, ma- jorigitur EK ipsà EO. Ponatur ipsi EO æqua- lis EA, et per A ipsi EK ad rectos ducta AM producatur ad N , et jungantur EM, EN, EZ, EH.
PROPOSITION XY,
Dans un cercle le diamètre est la plus grande de toutes les droites , et parmi les autres, celle qui est plus prés du centre est plus grande que celle qui en est plus éloignée.
Soit le cercle ΑΒΓΔ; que ΑΔ en soit le diamètre, et E le centre, et que ΒΓ soit plus près du centre que ΖΗ; je dis que la droite A^ est la plus grande, et que Br est plus grand que ΖΗ.
Menons du centre E les droites Eo, EK perpendiculaires aux droites Br, ΖΗ, Et puisque ΒΓ est plus prés du centre que ZH, la droite EK est plus grande que ΕΘ (déf. 5. 5). Faisons la droite E^ égale à Eo, par le point ^ menons la droite AM perpendiculaire à EK, prolongeous-]a vers w, et joignons EM, EN, EZ, EH.
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ EO τῇ EA, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΜΝ. Πάλιν, ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν AE τῇ EM, ἡ δὲ EA τῇ EN, ἡ ἄρα ΕΔ ταῖς ME, EN ἴση ἐστὶν. Αλλ αἱ ΜΕ, EN τῆς ΜΝ μείζονές εἶσι, καὶ ἡ ΑΔ dpaÁ τῆς MN μείζων ἐστίν. Ion δὲ ἡ MN τῇ BT, à AA dpa τῆς ΒΓ μείζων ἐστί. Καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ME, EN δυσὶ ταῖς ΖΕ. EH ἴσαι εἰσὶ. καὶ γωνία ἡ ὑπὶ MEN, γωνίας τῆς ὑπὸ LEH μείζων". βάσις ἄρα ἡ ΜΝ βάσεως τῆς ZH μείζων ἐστίν. AXAd à ΜΝ τῇ ΒΓ ἐδείχθη ἴση, καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΖΗ μείζων ἐστίν. Μεγίστη μὲνθ ἄρα ñ AA διάμετρος, μείζων de ἡ BT τῆς ΖΗ. Er κύ-
κλῳ ἄρα, καὶ τὰ i£ iic. IIPOTAZIZ ug.
^ , " m ^ ^ , N , 3 H τῇ διαμέτρῳ "TOU κύπλου πρὸς ἐρθας ἀπ " , , , \ n CST. \ 5 ἄκρας ἀγομένη ἐκτὸς πεσεῖται τεῦ κύκλου" καὶ εἰς ^ ^ , ^ 3 4 X ^ τὸν μεταξὺ τύπον τῆς τε εὐθείας καὶ τῆς περιφε- , e! A. , ^ 1 ν ε D ρείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται"" καὶ ἡ μὲν = € , , € , ͵ 3 , a ^) τοῦ ἡμικυκλίου γωνία ἁπάτης γωνίας ἐξείας" εὐ-
^ » ! 2 ^N A fy, , θυγράμμεου μείζων ἐστίν" ἡ δὲ λοιπὴ ἐλάττων.
151
Et quoniam æqualis est EO ipsi EA, æqualis est el ΒΓ ipsi MN. Rursus, quoniam æqualis est quidem AE ipsi EM, et EA ipsi EN , ergo EA ipsis ME, EN «qualis est. Sed ME, EN ipsà MN majores sunt, et AA ipsà MN major est. Æqualis autem MN ipsi BT, ergo AA ipsà BT major est. Et quoniam duæ ME, EN duabus ZE, EH æqueles sunt, et angulus MEN angulo ZEH major; basis igilur MN basi ZH major est. Sed MN ipsi BT ostensa est æqualis, et ΒΓ ipsáZH major est. Maxima quidem igitur AA diameter,
major vero BP ipsà ZH. In circulo igitur, etc.
PROPOSITIO XVI.
Recta diametro circuli ad rectos ab extremi- tate ducta extra cadet circulum ; et in locum inter et rectam et circumferentiam altera recta non cadet; el quidem semicirculi angulus quo- vis angulo acuto rectilineo major est ; reliquus
vero minor.
Puisque EO est égal à EA, la droite Br est égale à MN (14. 5). De plus,
puisque AE est égal à EM, et EA égal à EN, la droite E^ est égale aux droites ME , EN. Mais les droites ME, EN sont plus grandes que MN; donc aa est plus grand que MN. Mais MN est égal à Br: donc ΑΔ est plus grand que zr. Et puisque les deux droites ME, EN sont égales aux deux droites zE, EH, et que l'angle MEN est plus grand que l'angle ZEH, la base MN est plus grande que la base ΖΗ (24. 1). Mais on a démontré que MN est égal à Br; donc Br est plus grand que za. Donc le diamètre 44 est la plus grande de toutes les droites 3 et ΒΓ est plus grand que ΖΗ, Donc, etc.
PROTPOSITTON'"XVL
Une perpendiculaire au diamètre d'un cercle et menée de l'une de ses extrémités, tombe hors de ce cercle; dans l'espace compris entre cette perpendiculaire et la circonférence, on ne peut pas mener une autre droite, et l'angle du demi- cercle est plus grand, et l'angle restant est plus petit qu'aucun angle reciligne aigu.
152
, € Ν , M \ Ἔστω xzuzAoc o ΑΒΓ περὶ xevTpov TO Δ καὶ , À ^ e € > \ ^ ^ διάμετρον τὴν AB* Ast CTI ἢ ἀπὸ TOU À τῇ AB \ » \ > > LA » ^ » N D σρος ὀρθας ἀπ aipzg ἀγομενὴ ἐκτὸς πέσεται E TOU πυκλους ' M E] \ , 5 A e Μὴ γὰρ, ἀλλ᾽ εἰ δυνατὸν. πιπτέτω ἐντὸς» ὡς
4 AT, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ AT,
» M »y 3 ^ e Ν δον Ἐπεὶ ion ἐστιν Ἡ ΔΑ τῇ AT, καὶ γῶνία » ὑπὸ ^ ε X E ΕΣ 7, 3 , NL OE AAT γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ATA ion ἐστίν", Opa δὲ ἡ ε \ » \ ν᾽ V te ε D ΄ ὑπὸ AAT, ὀρθὴ ἀρᾷ καὶ n ὑπὸ ATA* Tpryovou “ὦ, € , ͵ «Λ ε M δὴ τοῦ ATA αἱ δύο γωνίαι œit ὑπὸ AAT, ATA Ν 5 ^ L4 3x . 3 Ν ΕΣ , δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶν, ὅπερ ἐστὶν αδύνατον͵ € , ^ M e ^ \ 3 ' Οὐκ ἡ ἀπὸ τοῦ σημείου. τῇ ΒΑ προς cpüac ; rs s ἐν ART ) ι ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κύκλου, Ομοίως δὴ Σ᾿ el AM ME 1 ^ , » \ δείξομεν. ὅτι cud' ἐπὶ τῆς περιφερείας" ἐκτὸς ἄρα σιιπτετω. ὡς ἢ AE. à da? e 2? \ ; " e , , ^ As di" CTI εἰς τὸν μετάζυ TOTTOY , τῆς T€ à w— ͵ er ; AE εὐθείας καὶ τῆς TOA περιφερείας, ἐτέρα eu-
—— θεῖα οὐ παρεμηεσείταις
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Sit circulus ABT circa centrum Δ οἱ diame- tram AB; dico ipsam ab A ad AB ad rectos ab
extremitate ductam extra cadere circulum.
Non enim, sed si possibile, cadat intus, ut AT, et jungatur AT.
Quoniam æqualis est A A ipsi AT, et angulas AAT angulo ATA æqualis est. Rectius autein AAT, rectus igitur et ATA; trianguli utique ATA duo anguli AAT, ATA duobus rectis æ- quales sunt, quod est impossibile. Non igitur ab A puncto , ipsi BA ad rectos ducta intra ca- det circulnm. Similiter utique ostendemus , ne- que in cirenmferentiam ; extra igitur cadet , ut AE.
Dico ctiam in locum inter AE rectam et TOA
circumferentiam alleram rectam non cadere.
Soit le cercle ΑΒΓ ayant pour centre le point A, et pour diamètre la droite ΑΒ ; je dis que la perpendiculaire menée du point A à la droite AB, tombe hors du cercle. Car que cela ne soit point, mais s'il est possible, qu'elle tombe en-dedans
] l >
comme AT, et joignons AT.
Puisque 44 est égal à ar, l'angle 44r est égal à l'angle ara (5. 1);
máis
langle ΔΑΓ est droit; donc l'angle ΑΓΔ est droit aussi; donc les angles aar, ATA du triangle ar^ sont égaux à deux angles droits, ce qui est impossible (17. 12; donc la perpendiculaire menée du point 4 au diamètre 4B, ne tombe point dans le cercle. Nous démontrerons semblablement qu'elle ne tombe point dans la circonféreuce ; donc elle tombe en-dehors comme AE.
?
Je dis encore qu'aucune droite ne peut tomber dans l'espace qui est entre la droite AE et la circonference roa,
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
, ε € x Ei γὰρ δυνατὸν. vrapezimaso ὡς ἡ ZA, καὶ ^ 3 ^ , ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἐπὶ τὴν ΖΑ καθετος e 9" AH. 3 , ere \ ERA A Καὶ ἐπεὶ ορθη͵ ἐστιν ἡ ὑπὸ AHA , ἐλάττων δ: * ^ € € \ , » € L5 ὀρθῆς ἡ ὑπὸ AAH. μείζων ἄρα n ΑΔ τῆς AH. e c » € ^ Icn δὲ n ΑΔ Th AO* μείζων ἄρα 1 AO τῆς AH, e$ ^ ^ , er > M ny ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος. ὅπερ ἐστίν ἀδύνατον. » , ^ \ ^ 3 / Οὐκ ἄρα εἰς τὸν μεταξὺ τόπον. τῆς Te εὐθείας m^ OS τὶ καὶ τῆς περιφερείας. ἐτερα εὐθεῖα παρεμπεσεῖται- d € \ AEG / , Λέγω ὅτι καὶ ἡ μὲν τοῦ ἡμικυκλίου γωνίώ. e , / Ὁ TN SRE A περιεχομενὴ ὑπό τε τῆς BA εὐθείας καὶ τῆς e , 7 Ν 3 ΓΘΑ περιφερείας. ἁπάσης γωνίας ὀξείας εὐθυ-- ^ / > / e M \ e. 2pg uou μείζων ἰστίν" ἡ δὲ λοιπὴ. n7 περιεχο- , € ^ , M ^ pon ὑπό τε τῆς TOA περιφερείας καὶ τῆς AE € , , 2.5 à > , εὐθείας, ἁπάσης γωνίας οξείας ευθυγράμμου 5 » ἐλάττων ἐστίν. Εἰ \ > Y - 1. , à ail | 2p ἐστὶ τὶς γωνία EUOV}PAULOG , μείζων \ ἘΞ D et y ^ »ὴ 7 \ piv τῆς περιεχομενῆς ὑπὸ Te τῆς BA εὐθείας καὶ ^ , 3 ^ ^ , τῆς TOA περιφερείας» ἐλάττων δὲ τῆς περιεέχομε- € , D f X ^ E vas ὑπὸ Te τῆς TOÀ περιφερείας καὶ τῆς AE eu- , » \ , c θείας. eic τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε [ΘᾺ περιφε- - > aS P ρεία: καὶ τῆς AE εὐθείας εὐθεϊαὃ παρεμπεσειται.
e ; , \ - ΄ e ἥτις ποιήσει μείζονα μὲν τῆς περεχομενῆς ὑπὸ τε
155
Si enim possibile, cadat ut ZA, et ducatur
a puncto A ad ZA perpendicularis AH.
Et quoniam rectus est AHA, minor autem recto ipse AAH; major igitur AA ipsà AH. Æqualis autem AA ipsi AO; major igitur AO ipsà AH, minor majore , quod est impossibile. Non igitur in locum inter rectam et circumferentiam altera recta cadet.
Dico et quidem semicirculi angulum , com- prehensum et a ΒΑ rectà et TOA circumfe- rentiá, quovis angulo acuto rectilineo majorem esse ; reliquum vero comprehensum et a FOA circumferentià et AE rectà, quovis angulo acuto
rectilineo minorem esse.
Si enim est aliquis angulus rectilineus , major quidem comprehenso et a BA rectà et l'OA cir- cumferentià, minor vero comprehenso et a TOA circumferentià et AE rectà, in locum inter et TOA circumferentiam et AE rectam recta cadet, quæ faciet angulum a rectis comprehen-
sum, majorem quidem comprehenso eta BA reclà
Car si cela est possible, qu'elle tombe comme ΖΑ, et du point ^ menons 4H
perpendiculaire à za.
Ι
Puisque l'angle AHA est droit, et que l'angle aAH est plus petit qu'un droit,
la droite A^ est plus grande que ΔΗ. Mais A4 est égal à 46; donc 40 est plus grand que aH, le plus petit que le plus grand, ce qui est impossible. Donc une droite ne peut pas tomber dans l'espace qui est entre la droite AE et la circonférence.
Je dis enfin, que l'angle du demi-cercle compris par la droite ΒΑ et la circon- férence ro4 est plus grand que tout angle rectiligne aigu, et que l'angle restant compris par la circonférence roA et la droite AE est plus petit que tout angle rectiligne aigu.
Car s'il y a un angle rectiligne plus grand que l'angle compris par la droite BA et par la circonférence 764, et un angle plus petit que l'angle compris par la circonférence roa et la droite AE, dans l'espace compris entre la circonfé- rence rOA et la droite AE, il y aura une droite qui fera un angle plus graud
20
154 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
«τῆς BA εὐθείας καὶ τῆς TOA περιφερείας ὑπὸ sj- et FOA circumferentiá, minorem vero com- θεῖων περιεχομένην. ἐλάττονα δὲ τῆς περιεχομέ- prehenso et TOA circumferentià et AE rectá. vas ὑπό Te τῆς ΤΘΑ περιφερείας καὶ τῆς AE εὖ- Non cadit autem ; non igitur comprehenso an- θείας. OU παρεμπίπτει dE οὐκ ἄρα τῆς περιεχο- gulo et a BA reclà et OA circumferentià erit μίνης γωνίας ὑπό τε τῆς BA εὐθείας καὶ τῆς TOA major acutus a rectis comprehensus, neque περιφερείας ἔσται μείζων ὀξεῖα ὑπὸ εὐθειῶν περιε- quidem minor comprehenso et a ΓΘΑ circum- mou, οὐδὲ μὲν ἐλάττων τὴς περιεχομέτης ferentià et AE rectà. Quod oportebat ostendere. ὑπό τε τῆς TOA περιφερείας καὶ τῆς AE εὐθείας.
Οπερ ἔδει δεῖξαι,",
» E IIOPIXZMA, COROLLARIUM. Ex δὴ τούτου φανερὸν, ὅτι ἡ τῇ διαμέτρῳ Ex hoc utique manifestum est rectam diame-
τοῦ κύκλου πρὸς ἐρθὰς a dzpac ἀγομένη — iro circuli ad rectos ab extremitate ductam con- ἐφάπτεται τοῦ κύκλου" καὶ ὅτι εὐθεῖα κύκλου — tingere circulum ; et rectam circulum in unico καθ᾿ ἕν μόνον ἐφάπτεται σημεῖον. Ἐπεὶ dimep — contingere puncto. Quoniam et recta in duobus καὶ ἡ κατὰ dvo αὐτῷ συμξαλλουσα ἐντὸς αὐτοῦ — Msi occurens intra ipsum cadere ostensa est.
32 , σίπτουσα ed Du! ,
ue l'angle compris par la droite PA et la circonférence roa, ‘et un angle q 8 Dp , 85 plus petit que l'angle compris par la circonférence rea et la droite AE. Mais il n'y en a point; donc il n'y a point d'angle aigu, compris par les droites, plus grand que l'angle compris par la droite ΒΑ et la circonférence roa, ni d'angle lus petit que l'angle compris par la circonférence roa et la droite AE. Ce qu'il Πα ] 8 pus fallait démontrer.
COROLLAIRE.
De là il est évident que la droite perpendiculaire au diamètre, et menée d'une de ses extrémités, touche la circonférence, et que cette droite ne la touche qu'en un seul point. Puisqu'il a été démontré que la droite qui rencontre un cercle en deux points entre dans ce cercle (2. 5).
2
LE TROISIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
IIPOTAZXIX 18.
Απὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ δοθέντος κύκλου ἐφαπτομένην εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
Ἔστω τὸ μὴν δοθὲν σημεῖον τὸ A, 6 δὲ δοθεὶς κύκλος ὁ ΒΓΔ’ δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ A σημείου τοῦ ΒΓΔ κύκλου ἐφαπτομένην εὐθείαν γραμμὴν ἀγα--
yi.
155
PROPOSITIO XVII.
A dato puncto rectam lineam ducere, que circulum datum contingat.
Sit datum quidem punctum A, datus vero circulus BTA; oportet igitur ab A puncto rec-
tam lineam ducere, qua ΒΓΔ circulum con-
tingat.
» , V , D , M Εἰλήφθω γὰρ τὸ! κέντρον τοῦ κύκλου τὸ E, 2 , ^ ^ ^ καὶ ἐπεζεύχθω ἡ AE, καὶ κέντρῳ pu To E , M ^ , , € διαστύματι δὲ τῷ EA κύκλος γεγρσφγθω 0 AZH, » TEL A \ ^ M \ \ 3 ε καὶ 4710 τοῦ Δ τῇ EA πρὸς ὀρθὰσ ἤχθω ἡ AZ, N25 n ε " e $9. X - καὶ ἐπεζευχθωσαν αἱ EZ, AB* λέγω CTI ἀπὸτου ^ , S A σημείου τοῦ BTA κύκλου ἐφαπτομένη ἥκται « ἡ AB. \ \ \ pi 3 ' - Ἐπεὶ yap To E κέντρον ἐστι τῶν ΒΓΔ. ΑΖΗ
, EU 14 > [i ^ ^ e ^ κυκλων. Ici ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν EA τῇ EZ, ἢ δὲ
Sumatur enim centrum circuli E ; et jungatur AE, et centro quidem E, intervallo vero EA circulus describatur AZH, et a A ipsi EA ad rectos ducatur AZ, et jungantur EZ, AB; dico quod ab A puncto ipsum ΒΓΔ circulum contin- gens ducta est ipsa AB.
Quoniam enim E centrum est ΒΓΔ, ΑΖΗ cir-
culorum , æqualis igitur est quidem EA ipsi EZ ,
PROPOSITION ΧΥ
D'un point donné , mener une ligne droite qui touche un cercle donné. Soit 4 le point donné, et ΒΓΔ le cercle donné; il faut mener du point 4 une
ligne droite qui touche le cercle ΒΓΔ
Prenons le centre E de ce cercle, joignons AE, du centre E et de l'intervalle EA, décrivons le cercle ΑΖΗ (dém. 5); par le point 4 menons ΔΖ perpendiculaire à EA, et Joignons EZ, AB; je dis que la droite ΑΒ, menée du point A, touche le
cercle ΒΓΔ.
Car puisque le point E est le centre des cercles ΒΓΔ, ΑΖΗ, la droite EA est
20.
156 S \ ES "S EA τῇ EB* δύο δὴ αἱ AE, EB duci ταῖς ZE, EA L4 9. Nx \ , ^ , LI 2 ἐσαᾶι εἰσὶ, καὶ γωνίαν κοινὴν περιέχουσι. "TV M mn ^ 1 € , ^ » πρὸς τῷ E* facic ἄρα » AL Races τῇ ΑΒ ion 3 Ν Ν \ e , » ἐστι" καὶ τὸ EAZ τρί) ὠνὸν τῷ EBA τριγώνῳ σον > & e \ / D P ἐστί. καὶ αἱ ÀGITAI γωνίαι ταις ACITAIG 0- / 5) »! e € A Kap. (ὦ \ 3 \ γνιαις. 100 ἄρα n ὑπὸ EAZ τῇ ὑπὸ EBA". Ορθὴ
M € e x » ἊΝ » e € A d: ἡ ὑπὸ EAZ, ὀρθὴ ἀρα καὶ καὶ ὑπὸ EBA. Kai
? \ e > ^ , € \ , ἐστὶν n EB ex τοῦ κεντρου" ἢ às τῇ διαμέτρῳ ^ ERES \ 3 ' » 59 » ? , TOU κύκλου προς cphae az ἄκρας ayopeun
» , ^ ^ ^ 1 3 ΄ εφαπτεται τοῦ XUXACU. ἡ AB apa eQaz Teva es 5 70U ΒΓΑῚ zuxzAcU. \ = y , [3 , ^ A7 O0'T0U ape δοθέντος" σημείου τοῦ Α τοῦ δὸ- , , D 3 ΄ > DJ θέντος κύκλου τοῦ BTA ἐφαπτομένη εὐθεῖα γραμ-
\ € >! - pa EXT ἢ ΑΒ. Οπερ dei 7 019024.
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
et EA ipsi EB; duse utique AE, EB duabus ΖΕ, EA «quales sunt, et angulum communem comprehendunt ad E; basis igitur AZ basi AB equalis est; et ΕΔΖ triangulum EBA triangulo æquale est, ct reliqui anguli reliquis angulis ; æqualis igitur EAZ ipsi EBA,. Rectus autem
EAZ, rectus igitur et EBA ; et est EB ex cen-
tro ; diametro autem circuli ad rectos ab extre- mitate ducta contingit circulum ; AB igitur con-
üngit BPA circulum.
À dato igitur puncto A datum circulum ΒΓΔ conlingens rccta linea dncta est AB. Quod
oportebat facere.
égale à EZ, et E^ égal à EB; donc les deux droites AE, EB sont égales aux deux droites ZE, E^; mais ces droites comprèuent un angle commun en E; donc la base az est égale à la base ΑΒ, le triangle ΕΔΖ égal au triangle EBA , et les angles restants égaux aux angles restants (4. 1); donc l'angle Eaz est égal à l'angle EBA. Mais l'angle ΕΔΖ est droit; donc l'angle EBa est droit aussi. Mais la droite EB est menée par le centre, et la perpendiculaire au diamètre du cerle, et menée de l'une des extrémités du diamètre touche le cercle (16. 5); donc la droite AB touche le cercle Bra.
Donc la ligne droite BA, menée par le point donné a, touche le cercle ΒΓΔ, Ce qu'il fallait faire,
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 157
IPOTAZIE we
\ ! , , 2 Ὁ 3 N ^ Ἐὰν κύκλου ἰφάπτηταί τις εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ ^ , VEN Y > \ > θῇ jb D TOU κεντρου ἐπὶ τὴν a Quy ἐπιζευχθῇ τις εὐθεῖα. € 3 ΄ | CHEN \ > ἡ ἐπιζευχθεῖσα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτο- , pivuv!, , \ - > ARE TA KuxAoU yap τοῦ ABT ἐφαπτεσθω" Tic εὐθεῖα € \ \ D NU getan Y n AE κατὰ TO T σήμείον. καὶ εἰλήφθω τὸ xevTpov + , y \ > M ^ 3 ^ \ ToU ABT κύκλου τὸ L, καὶ ἀπὸ TOU L ἐπι TO T , e , ei € ^ ΕΣ Ν πεζεύχθω ἡ 21" Ayo ὅτι ἡ ZT κάθετος ἐστὶν \ ^ 74i τὰν AE.
E t >» €
PROPOSITIO XVIII.
Si circulum contingat aliqua recta, a centro aulem ad contactum ducatur aliqua rec!a, con-
jungens perpendicularis erit ad contingentem.
Circulum enim ABT contingat aliqua recta AE in T puncto, et sumatur centrum ABT cir- culi Z, et a Z ad T conjungatur ZT ; dico ZT
perpendicularem esse ad AE.
ἘΝ
NE
\ \ , Li LI 3 Ν M Ej γὰρ μὴ. ἤχθω ἀπὸ τοῦ 2 ἐπὶ τὴν AE ε κάθετος ἡ ΖΗ. La ce ' , 3 M \ DJ Ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ZHT γωνία ὀρθὴ ἐστὶν, ὀξεῖα » > X € e \ € \ \ \ «px ἐστιν 4 ὑπὸ ZTH* ὑπὸ δὲ τὴν μείζονα γω- , € / M e , 1 5! € νίαν n μείζων πλευρὰ ὑποτείνει. μείζων ἀρα ἢ : À Lie 3 ; : ἢ LT τῆς ZH. Ion δὲ ἡ ZT τῇ ZB' μείζων ἄρα
καὶ ZB τῆς ZH, ἡ ἐλάττων τῆς μείζονος. ὕπερ
δ, Ε
Η
Si enim non, ducatur ἃ Z ad AE perpendi- cularis ZH.
Quoniam igitur ZHT angulus est rectus, acutus Igitur est ΖΓΗ ; majorem autem angulum majus latus subtendit, major igitur ΖΓ 1psà ZH. Æqualis autem ZT ipsi ZB; inajor igitur et ZB
ipsà ZH, minor majore, quod est impossibile. I ) ?
PROPOSITION XVIII.
Si une droite touche un cercle, etsi du centre on méne une droite au point de contact, cette droite sera perpendiculaire à la tangente.
Que la droite AE touche le cercle ΑΒΓ au point T; prenons le centre z du cercle ΑΒΓ, et du point Ζ au point T menons Zr; je dis que la droite zr est
perpendiculaire à ΔΕ.
Car si elle ne l'est pas, du point z menons ΖΗ perpendiculaire à ΔῈ (12. 1). Puisque langle zHr est droit, l'angle zrH est aigu (17. 1); mais ua plus
e
grand cóté soutend un plus grand angle (19. 1); donc zr est plus grand que
ZH. Mais zr est égal à zb; donc la droite 28 est plus grande que la droite ΖΗ,
158 ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ dpa n ZH καθετός ἐστὶν ἐπὶ τὴν AE. ομοίως da δείξομεν, ὅτι οὐδ΄ ἄλλη τις πλὴν τῆς ZI* ἡ ZT ἄρα κύθετός ἐστὶν ἐπὶ τὴν
ΔΕ, Ἐὰν ἄρα κύκλου, καὶ τὰ ἑξῆς. HPOTAZIX 14
^ , , , > D 3 M A Ἐὰν κύκλου ἐφαπτήῆται! τις εὐθεῖα. ἀπὸ δὲ “ > ^ ^ 3 , \ > θὰ I ? ^ τῆς ἀφῆς τῇ ἐφαπτομένῃ πρὸς opÜac! εὐθεῖα ^ M LS ΠῚ > \ ^ 3 0s E μὲ \ , γράμμη axUn , ἐπὶ τῆς ἀχϑειίσής eo TAI τὸ κέν- » 7pov TOU XUXACU. , \ ^ e , 3 ^ € KuxAou yap του ABT ἁπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ \ \ DJ \ \ ^ ^ AE κατὰ TO T σημεῖον, καὶ ἀπὸ τοῦ Y τῇ AE M 3 4 € , e 1 \ ^ πρὸς ὀρθὰς. ἤχθω ἡ ΓΑ" λέγω oTi ἐπὶ τῆς AT
3 N \ f; ^M , . t0 T4 T0 Rev Tpoy του κυκλοῦς
: Y ἢ x εἰ δυνατὸν. ἴστω τὸ Z, καὶ
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Non igitur ZH perpendicularis est ad AE. Simi- liter utique ostendemus neque aliam quampiam preter ipsam ZI; ergo ΖΓ perpendicularis est
ad AE. Si igitur circulum, etc. PROPOSITIO XIX.
Si circulum contingat aliqua recta, a con- tactu aulem contingenti ad rectos recta linea
ducatur , in ductà erit centrum circuli.
Circulum enim ABT contingat aliqua recta AE in puncto, etaT ipsi AE ad rectos ducatur l'A;
dico in AT esse centrum circuli.
PN Ϊ j 8 r4 — E
Non enim, sed si possibile, sit Z, et jun-
Ὁ 1 galur ΓΖ.
la plus petite que la plus grande, ce qui est impossible; donc ΖΗ n'est pas une perpendiculaire à 4E. Nous démontrerons semblablement qu'il n'y en a point d'autre, excepté Zr ; donc zr est perpendiculaire à ΔΕ, Donc, etc.
PROPOSITION XIX.
Si une droite touche un cercle, et si du point de contact on mène une ligne droite perpendiculaire à la tangente, le centre du cercle sera dans la droite qui aura été menée.
Car qu'une droite ΔῈ touche le cercle ΑΒΓ au point r, et du point Γ menons TA perpendiculaire à ΔῈ; je dis que le centre du cercle est dans ar.
Car que cela ne soit point, mais s'il est possible, que le centre soit Z, et Joignons TZ,
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Ἐπεὶ οὖν" κύκλου τοῦ ABT ἐφάπτεταί τις εὐθεῖα ἡ ΔΕ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἀφὴν ᾿πέζευκται ἢ, ΖΓ. ZE ἄρα κάθετός στιν ἐπὶ τὴν ΔῈ" ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ZIE. Ecri δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ATE ὀρθὴ" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ZTE τῇ ὑπὸ ATE, ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ἄρα τὸ L κέντρον ὑστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδ᾽ ἀλλό 7i πλὴν ἐπὶ τῆς AT. Ἐὰν ἄρα κύκλου, καὶ τὰ
ἑξῆς. IIPOTAZIS ἂς
, e \ , Ἐν κύκλῳ, n πρὸς τῷ κέντρῳ γωνία διπλα- , , \ m \ , LA ^ σιῶν ἐστι τῆς πρὸς τῇ περιφερείᾳ. oTov τὴν EDS , uc Ps αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν ἐχωτιν αἱ γωνίαι. , « M Ld , Ἑστω κύκλος 0 ABT, καὶ πρὸς μὲν τῷ κέν- » ^ "n x €. €. Ns Y M ^ "7p? αὐτοῦ γωνία eo TO ἡ ὑπὸ BET; πρὸς δε τῇ / € t \ y^ ^ \ E à περιφερείᾳ, ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἐχέτωσων δὲ τὴν αὐτὴν , , A , e 7 περιφερείαν βάσιν τὴν ΒΓ" λεγώ 071i διπλατίων
3 \ (ET à M , ^ € 4 εστιν ἡ ὑπὸ BET γωνία τῆς ὑπὸ BAT,
150
Quoniam igitur circulum ABT contingit aliqua recta AE, a centro autem ad contactum ducta est ZT, ZT ergo perpendicularis est ad AE; rectus igitur est ΖΓΕ. Est autem et ATE rectus; equalis igitur est ΖΓΕ ipsi ATE, minor majori, quod est impossibile. Non igitur Z centrum est ABT circuli. Similiter utique ostendemus , neque aliud aliquod esse preterquam in ipsá AT. Si
igitur circulum , etc.
PROPOSITIO XX.
In circulo, ad centrum angulus duplus est ipsius ad circumferentiam , quando eamdem circumferentiam pro basi habent anguli.
Sit circulus ΑΒΓ, et ad centrum quidem ejus angulus sit BEP, ad circumferentiam vero ipsi BAT, habeant autem eamdem circumfe- rentiam pro basi BP; dico duplum esse BET
angulum ipsius BAT.
Puisque la droite AE touche le cercle ΑΒΓ, et que zr a été mené du centre au point de contact, la droite zr est perpendiculaire à AE (18. 5); donc l'angle zrE est droit. Mais l'angle ArE est droit aussi; donc l'angle ΖΓΕ est égal à l'angle ATE, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc le point z n'est pas le centre du cercle ΑΒΓ. Nous démontrerons semblablement qu'aucun autre point ne
peut l'être, à moins qu'il ne soit dans ar. Donc, etc.
PROPOSITION XX.
Dans un cercle, l'angle au centre est double de l'angle à la circonférence, quand ces angles ont pour base le méme arc.
Soit le cercle ΑΒΓ, que l'angle ΒΕΓ soit au centre de ce cercle, que l'angle BAT soit à la circonférence, et que ces angles aient pour base le méme arc ΒΓ; je dis que l'angle ΒΕΓ est double de l'angle Bar.
160 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. Ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ AE διήχθω cmi τὸ Z.
Juncta enim AE producatur ad Ζ. \ n E € e ^ » Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ EA τῇ EB, ἰση! καὶ γω-
Quoniam igitur æqualis est EA ipsi EB, ὅ- qualis et angulus EAB ipsi EBA ; anguli igitur EAB, EBA ipsius EAB dupli sunt. Æqualis au- tem BEZ ipsis EAB, EBA ; et BEZ igitur ipsius
via à vr! EAB τῇ ὑπὸ EBA* αἱ ἄρα ὑπὸ EAB, EBA γωνίαι τῆς ὑπὸ EAB διπλάσιαί εἶσιν, Ion δὲ ἡ ὑπὸ BEL ταῖς ὑπὸ EAB, EBA* καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΖ dpa τῆς ὑπὸ EAB ἐστὶ διπλῇ. Διὰ τὰ aura EAB est duplus. Propter eadem utique et ΖΕΓ δὴ xai n ὑπὲ LET τῆς ὑπὸ EAT ἐστὶ δηπλῇ" ipsius EAT est duplus ; tolus igitur BEP totius
can ὥρα à ὑπὸ ΒΕΓ ὅλης τῆς ὑπὸ BAT ἐστὶ dirai. BAT est duplus.
KexAucÜo δὴ πάλιν, καὶ ἕστω ἑτέρα γωνία
ἡ ὑπὸ BAT, καὶ ἐπεζευχθεῖσα ἡ ΔῈ ἐκξεέλησθω ἐπὶ τὸ H. Ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι διπλῇ ἐστὶν 3 ὑπὸ HET γωνία τῆς ὑπὸ HAT, Qv ἡ ὑπὸ HEB διπλῆ ἐστι τῆς ὑπὸ HAB: λοιπὴ ἄρα ἡ ᾽ \
ὑπὸ BET διπλὴ ἐστὶ τῆς ὑπὸ BAT. Ev κύκλῳ
Inclinetur autem rursus, et sit alter angulus BAT, et juncta AE producatur ad H. Similiter ulique ostendemus duplum esse HET angulum ipsius HAT, quorum HEB duplus est ipsius HAB;
reliquus igitur BET duplus est ipsius BAT. In circulo igitur, etc.
L4 * \ re «pa, καὶ τὰ ἑξῆς.
Joignons la droite AE, et prolongeons-la vers z.
Puisque EA est égal à EB, l'angle EAB est égal à l'angle EBA (5. 1); donc les angles EAB, EBA sont doubles de l'angle EAB. Mais l'angle BEZ est égal aux angles EAB, EBA (52. 1); donc l'angle BEz est double de l'angle EAB. L'angle ZEr est double de l'angle EAr par la méme raison; donc l'angle entier BEr est double de l'angle entier Bar.
Que l'angle Bar change de position, et qu'il soit un autre angle Bar; ayant joint la droite 4E , prolongeons-la vers H. Nous démontrerons semblablement que l'angle HET est double de l'angle Bar ; mais l'angle HEB est double de l'angle nas; donc l'angle restant BEr est double de l'angle restant Bar. Donc, etc.
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 161
IUPOUDATIS Les PROPOSITIO XXI.
Ev κύκλῳ αἱ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι γωνίαι In circulo in eodem segmento anguli æqua- les inter se sunt. Sit circulus ΑΒΓΔ, et in eodem segmento
BAEA anguli sint BAA, BEA; dico ΒΑΔ, BEA
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
ET κύκλος 0 ΑΒΓΔ, καὶ ἐν τῷ αὐτῷ! τμήματι τῷ ΒΑΕΔ γωνίαι ἔστωσαν αἱ Urc BAA, BEA* λέγω ὅτι αἱ ὑπὸ ΒΑΔ. ΒΕΔ γωνία; ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. — angulos equales inter se esse.
Εἰλήφθω yap τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου τὸ κέντρον. Sumatur enim ABTA circuli centrum, et sit καὶ ἔστω τὸ L , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΔ. Z, et jungantur BZ, ZA.
Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ BZA γωνία πρὸς τῷ κέν- Et quoniam quidem BZA angulus ad cen- Tpa ἐστὶν. ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΔ πρὸς τῇ περιφερείᾳ , irum est , ipse vero ΒΑΔ ad circumferentiam, καὶ ἔχουσι TV αὐτὴν περιφέρειαν βάσιν, Tv et habent eamdem circumferentiam BrA pro ΓΔ’ ἡ ἄρα ὅσσ ἜΖΑ γωνία διπλασίων ἐστὶ τῆς — basi; erg oBZA angulus duplus est Ipsius ΒΑΔ.
ὑπὸ ΒΑΔ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἡ ὑπὸ BZA καὶ τῆς Propter eadem utique ΒΖΔ et ipsius BEA est ὑπὸ BEA ἐστὶ διπλασίων" ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ duplus; equalis igitur ΒΑΔ ipsi BEA. In circulo
e TEX / " ny 5p ὑπὸ BEA. Ἐν κύκλῳ ἄρα, καὶ τὰ ἑξῆς. igitur , etc.
PROPOSITION'XXI
Dans un cercle, les angles placés dans le méme segment sont égaux entr’eux.
Soit le cercle ΑΒΓΔ, et que les angles ΒΑΔ, BEA soient dans le même segment BAEA ; je dis que les angles BAA , BEA sont égaux entr'eux.
Car prenons le centre du cercle ΑΒΓΔ (1. 5), qu'il soit z, et joignons ΒΖ, za.
Puisque langle BzA est au centre, que l'angle ΒΑΔ est à la circonfé- rence, et que ces deux angles ont pour base le méme arc Bra, l'angle ΒΖΔ est double de l'angle ΒΑΔ (20. 5). L'angle Bza est double de l'angle ΒΕΔ, par la méme raison; donc l'angle ΒΑΔ est égal à l'angle BEA (not. 7). Donc, etc.
2I
162 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
HPOTAZIZ 48.
^ 3 L2 , , € s Tov sy τοῖς kUxAOIG τετραπλεύρων αἱ orevaty- , / ^ 5 t 5» 5 ἡ τίον γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. " , Li S LS , ESTw κύκλος 0 ΑΒΓΔ, καὶ ἐν αὐτῷ τετρα- J \ " , eJ » / πλευρὸν ἔστω τὸ ΑΒΓΔ’ λέγω ὅτι αἱ ἀπεναντίον TR ; SR NES Yd «αὐτοῦ γωνίαι duci ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν.
Ἐπεζεύχθωσαν αἱ AT, BA,
PROPOSITIO XXIL
In circulis quadrilaterorum oppositi anguli duobus rectis æquales sunt.
Sit. circulus ΑΒΓΔ, et in ipso quadrilaterum sit ΑΒΓΔ; dico oppositos ipsius angulos duo- bus rectis æquales esse.
Jungantur AT, BA.
Ἐπεὶ oov! παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσὶν, τοῦ ΑΒΓ ἔρα τριγώνου" αἱ τρεῖς γωνίαι αἱ ὑπὸ TAB, ΑΒΓ. ΒΓΑ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Ισὴ δὲ ἡ μὲν ὑπὸ TAB τῇ ὑπὸ BAT, ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἶσι τῷ BAT, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΤΒ τῇ ὑπὸ ΑΔΒ, ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσι τῷ AATB* ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ AAT ταῖς ὑπὸ BAT , ΑΓΒ ἴση ἐστί.
M €- € X X € À Kon προσκείσθω ἡ ὑπὸ ABT* αἱ dpa ὑπὸ ABT,
Quoniam igitur omnis trianguli tres anguli duobus rectis æquales sunt, ipsius ΑΒΓ trianguli tres anguli TAB, ΑΒΓ, ΒΓΑ duobus rectis equales sunt. Æqualis autem quidem ΓΔΒ ipsi ΒΑΓ, ete- nim in codem sunt segmento BAAT , et ΑΓΒ ipsi ΑΔΒ, elenim in codem sunt segmento AATB. Totus igitur ΑΔΓ ipsis BAT, ΑΓΒ æqualis est. Communis addatur ABT; ergo ΑΒΓ, BAT , ΑΓΒ
PROPOSITION XXII
Les angles opposés des quadrilatères inscrits dans des cercles sont égaux à
deux droits.
Soit le cercle ΑΒΓΔ, et que le quadrilatère ΑΒΓΔ lui soit inscrit; je dis que les angles opposés de ce quadrilatére sont égaux à deux droits.
Joignons AT, ΒΔ.
à : : : Re : Puisque les trois angles de tout triangle sont égaux à deux droits (52. 1), les trois angles TAB, ΑΒΓ, ΒΓΑ du triangle ΑΒΓ sont égaux à deux droits. Mais
, , Σ , l'angle raB est égal à l'angle Bar (21. BAAr; et l'angle ArB est égal à l'angle AAIB; donc l'angle entier Aar est égal
5),car ils sont dans le méme segment ΑΔΒ, car ils sont dans le méme segment aux angles Bar, ΑΓΒ. Ajoutons l'angle
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
e veda s E du
BAT, ATB ταῖς ὑπὸ ΑΒΓ. AAT ἴσαι εἰσίν. AAA
ἐμ ΝΣ \ τ moy 3
αἱ ὑπὸ ΑΒΓ. BAT, ΑΓΒ δυσὶν ορθαῖς 4024 εἰσί" e \ ΕΣ m 35)
καὶ αἱ ὑπὸ ΑΒΓ. ΑΔΓ ὅρα" δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι
\ ef * e € ^
εἰσίν. Ομοίως δὴ δείξομεν. ὅτι καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΔ,
j Van ur n ΡΘΕ κὰν
ΔΙΒ γωρίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἐσαι εἰσὶ. Ἰὼν ἀρὰ ἐν
τοῖς κύκλοις, καὶ Ta ἑξῆς. ΠΡΟΤΑΣΙΣ y.
M LJ > ^ 3 , , , ,
Ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τμήματα κύκλων
« / DR À > , ) RELIMMA \ 3 \
ὁμοία καὶ ἄνισα οὐ συσταθήσεται' ἐπὶ τὰ αὑτὰ
͵
μερη.
5 ^ ^ » M ^ , Ld , , ^
E; yap duraTór, vci τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς
, , , e Nox
AB dvo τμήματα κυκλῶν ομοια καὶ VITE συν --
\ M » \ , \ \
ἐστάτω ἐπὶ τὰ αὐτὰ μερὴ τὰ ΑΓΒ. ΑΔΒ, καὶ
διήχθω à ATA , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ TB, AB,
163 ipsis ABT, AAT æauales sunt. Sed ΑΒΓ, BAT, ΑΓΒ duobus rectis equales sunt; et ABD, ΑΔΓ igitur duobus rectis æquales sunt. Similiter uti- que ostendemus , et ΒΑΔ, ATB angulos duobus
rectis esse. In circulis igitur, etc.
PROPOSITIO XXIII.
Super eâdem rectà duo segmenta circulorum similia et inæqualia non constituentur ex câdem parte.
Si enim possibile, ad eamdem rectam AB duo segmenta circulorum similia et inæqualia conslituantur ex eâdem parte ΑΓΒ, AAB, ct ducatur ATA , et jungantur FB, AB.
A
v qd , , ^ , ^ Ἐπεὶ οὖν ὁμοιὸν ἐστι τὸ ATB τμήμα τῷ ΑΔΒ
" ei NY , ’ , \ \ τμήματι, ομοια δὲ τρήματα κυκλῶν ἐστιτὰ de-
Quoniam igitur simile est ΑΓΒ segmentum
ipsi ΑΔΒ segmento, similia autem. segmenta
commun ΑΒΓ; les angles ΑΒΓ, BAT, ΑΓΒ seront égaux aux angles ΑΒΓ, Aar. Mais les angles ΑΒΓ, BAT, ΑΓΒ sont égaux à deux droits; donc les angles ΑΒΓ, AAT sont égaux à deux angles droits. Nous démontrerons semblablement que les angles BAA, ATB sont aussi égaux à deux droits. Donc, etc.
PROPOSITION XXILT.
Sur une même droite, on ne peut pas décrire du même côté deux segments de cercles semblables et inégaux.
Car si cela est possible , décrivons du même côté , sur la méme droite ΑΒ les deux segments de cercles Arb, ΑΔΒ semblables et inégaux ; menons ATA, et joignons IB, AB.
Puisque le segment ΑΓΒ est semblable au segment A55 , et que les segments
164. LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
, 5 5, » L \ € e \ xeu γωνίας icac* ἰσὴ ἄρα ἐστιν ἢ υπὸ ATB , ^ € \ e , ^ ^ 3 \ e juri Τῇ νυπὸ ΑΔΒ. 5» εκτὸς TQ) VTOC, ὑπερ
E X LUN vA > » SEX ^N > À > ῃ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ apa ἐπι τῆς αυτῆς εὐθείας.
καὶ τὰ ἑξῆς. HPOTAZIEZ xd".
N25 Ny 3 ru LA , , Ta ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων M 3 , » , 100 ἀλλήλοις EUTIV. i23 E TNCS Ecrecay ydp ἐπὶ ἰσὼν εὐθειῶν τῆς AB, TA
E PT X E , ὅμοια τμήματα κύκλων τὰ AEB, TZA* λέγω
e s \ , ^ , τι ἴσον ἐστὶ τὸ AEB τμήμαχ τῷ TZA τμὴ-
ματι-
circulorum sunt qua capiunt angulos æquales ; equalis igitur est ΑΓΒ angulus ipsi AAB, exte- rior interiori, quod est impossibile. Non igitur
super càdem reciá, etc.
PROPOSITIO XXIV.
Super æqualibus reclis similie segmenta cir- culorum æqualia inter se sunt. Sint enim super æqualibus rectis AB, TA
similia segmenta circulorum ipsa ΑΕΒ, TZA;
A
dico æquale esse AEB segmentum ipsi ΓΖΔ seg-
mento.
de cercles semblables sont ceux qui recoivent des angles égaux (déf. 11. 5 ), l'angle ArB est égal à l'angle AaP , l'angle intérieur à l'angle extérieur ; ce qui
est impossible ( 16. 1 ). Donc, etc.
PROPOSITION XXIV.
Sur des droites égales , les segments de cercles semblables sont égaux
enir'eux.
Que sur les droites égales AB, rA soient décrits les segments de cercles semblables AEB; 124 ; je dis que le segment AEB est égal au segment ΓΖΔ.
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ AEB τμήματος Vm τὸ IZA , καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν A σημείου ἐπὶ q) T, τῆς δὲ ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν TA, ἐφαρμό- ca καὶ τὸ B σημεῖον ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον. διὰ τὸ ἤσην εἶναι τὴν ΑΒ τῇ ΓΔ’ τῆς δὲ ΑΒ ἐπὶ τὴν TA ἐφαρμοσάσης", ἐφαρμόσει καὶ τὸ AEB τμῆμα ἐπὶ τὸ TZA. Ei γὰρ ἡ AB εὐθεῖα ἐπὶ τὴν TA ἐφαρ- μόσει. τὸ δὲ AEB τμῆμα ἐπὶ τὸ TZA μὴ ἐφαρ- μόσει, ἤτοι ἱντὸς αὐτοῦ πεσεῖται. ἢ ἐκτὸς. ἢ παραλλάξει ὡς τὸ ΤΘΗΔ, καὶ κύκλος κύκλον τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο, τὰ T, H, δ᾽, ὕπερ ἐστὶν ἀδύνατο:. Οὐκ ἄρα ἐφορμοζομέ- νης τῆς ΑΒ εὐθείας ἐπὶ τὴν YA οὐκ ἐφαρμόσει καὶ τὸ AEB τμῆμα ἐπὶ τὸ TZA* ἐφαρμόσει àpa, καὶ ἴσον αὐτῷ ἔσται. Ta ἄρα ἐπὶ τῶν ἴσων εὖ-
A εξ. θειῶν. καὶ τὰ εξῆς. , IIPOTAZXIZ κες
Κύκλου τμήματος δοθέντος. προσαναγράψει
M , L 4 , > ^ TOY κυκλον οὐπέρ ἐστὶ τμήμας
τοῦ
Congruente enim AEB segmento ipsi ΓΖΔ, οὐ posito quidem A puncto super D, rectá vero AB super rA, congruet et B punctum ipsi A puncto, propterea quod æqualis est AB ipsi TA; ipsà autem AB ipsi TA congruente, con- gruet et AEB segmentum ipsi ΓΖΔ. Si enim AB recla ipsi FA congruat, segmentum autem AEB ipsi TZA non congruat, vel intra ipsum cadet, vcl extra , vel situm mutabit ut 'OHA , et circulus circulum secabit in pluribus punctis quam duobus, in punctis D, H, A, quod est impossibile. Non igitur congruente AB rectà ipsi TA non congruet et AEB segmentum ipsi ΓΖΔ. Congruet igitur , et equale ipsi cerit. Ergo
super qualibus, etc.
PROPOSITIO XXV.
Circuli segmento dato, describere circulum
cujus est segmentum,
Car le segment AEB étant appliqué sur le segment ΓΖΔ, le point A étant posé
sur le point r , et la droite ΑΒ sur la droite ra, le point B tombera sur le point A , parce que la droite AB est égale àla droite TA ; mais la droite AB coincidant avec la droite rA, le segment AEB coincidera avec le segment ΓΖΔ. Car si la droite AB coincidant avec la droite rA, le segment ΑΕΒ ne coincidait pas avec le segment TZA, ou il tomberait en dedans, ou en dehors, ou bien prenant une position comme ΓΘΗΔ , un cercle couperait un cercle en plus de deux points , aux pointsr, H,4, ce quiest impossible ( 10. 5). Donc la droite 48. coincidant avec la droite TA , le segment ABA ne peut pas ne pas coincider avec le segment ΓΖΔ: donc il coincinde avec lui, et lui est par conséquent égal. Donc, etc.
PROPOSITION XXV.
Un segment de cercle étant donné , décrire le cerclé dont il est le seg- ment.
r E
166 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
\ n e: , \ m " : Ec τὸ δοθὲν τμῆμα κύκλου. τὸ ΑΒΓ’ δεὶ Sit. datum circuli segmentum ABT; oportct \ / \ ^ [NO > \ e 3 : da! προσαναγράψαι τὸν κυκλὸν οὔπερ ἐστί TO igilur describere circulum, cujus est ABT seg- x 5 ABT τμῆμα. mentum. , 8 δ ε AT ἊΣ \ \ \ S ΞΡ : DX . Τετμήσθω 2p ἢ χὰ κατὰ TO À, καὶ €cetur enim. AT bifariam in A, οἱ ducatur
E \ ἃ, / ^ ER SEG Ipsi ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῇ AT πρὸς ὀρθάς ἡ à À puucto ipsi AT ad rectos AB, et junga ν i | d | ARES p sen / "n E AB, καὶ ἐπεζεύχθω 4» AD' n ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ur AB. Ergo ABA angulus Ipso ΒΑΔ vcl ma- "AP ὡς EIN >! / 2 MEIN À 7 À T 1 1 apa? τῆς ὑπὸ ΒΑΔ imo μείζων ἐστὶν, ἢ ἴση. ἃ — Jor est, vel æqualis, vel minor.
xui, eAaTTÜV.
Ecru πρότερον μείζων. καὶ συνεστέτω πρὸς τῇ Sit primum major, et constituatur ad BA BA εὐθείᾳ, καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ A, τῇ rectam, et ad punctum in eà A, ipsi ABA an- ὑπὸ ABA γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ BAE, καὶ διήχθω 5» —gulocqualis ipse ΒΑΕ, et producatur ΔΒ ad Ε, AB ἐπὶ τὸ E^, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ET. Ἐπεὶ cóy — etjungatur ET. Et quoniam igitur æqualis est ABE ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ABE γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΕ. ἴση — angulus ipsi BAE, æqualis utique est et BE recta ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ BE εὐθεῖα εὐθείᾳί τῇ EA. Καὶ ἐπεὶ — recte EA. Et quoniam equalis est AA ipsi AT, ἴση ἐστὶν à ΑΔ Ti AT, xo1y3 d$ à AE . δύο δὴ αἱ communis autem ΔῈ, duæ utique AA, AE dua- AA, AE δυσὶ ταῖς TA, AE ἴσαι εἰσὶν. ἑκατέρα bus ΓΔ, AE æquales sunt, utraque utrique, et ἑκατέρᾳ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ AME γωνίᾳ τῇ ὑπὸ angulus AAE angulo TAE est æqualis; rectus ΓΔΕ ἐστὶν ἴση", ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα" Basic ρα enim uterque; basis igitur AE basi ΓΕ est æqua-
Soit ΑΒΓ le segment de cercle donné ; il faut décrire le cercle dont ΑΒΓ est le segment.
Coupons la droite Ar en deux parties égales au point ^ (10. 1), du point ^ menons AB perpendiculaire à Ar, et joignons AB (11.1); l'angle ABA sera ou plus grand que l'angle ΒΑΔ, ou il lui sera égal, ou il sera plus petit.
Qu'il soit d'abord plus grand ; sur la droite donnée BA , et au point A de cette droite faisons l'angle B4E égal à l'angle ΑΒΔ ( 25. 1) ; prolongeons ΔΒ vers E , et joignons Er. Puisque l'angle ABE est égal à l'angle BAE , la droite BE est égale à la droite EA (6. 1). Et puisque AA est égalàar, et que la droite ΔῈ est commune, les deux droites A^, AE sont égales aux deux droites TA, AE, chacune à cha- cune ; mais l'angle ΑΔῈ est égal à l'augle raE , car ils sont droits l'un et l’autre
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ñ AE βάσε; τῇ ΤῈ ἐστὶν ion]. Αλλὰ ἡ AE τῇ EB ἐδείχθη ἴση" καὶ ἡ BE dpa τῇ ΤῈ ἐστὶν ἴση" ai τρεῖς ἄρα ai AE, EB, ET ἴσα; ἀλλέλαις εἰσίν" ὁ ἄρα κέντρῳ τῷδ E; διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν AE, EB, ET, κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων. καὶ ἔσται προσαναγεγράμ.- μένος κύκλοςϑ, Κύκλου ἄρα τμήματος δοθέντος.
, € , N ^v € N προσαναγέγραπται ὁ κύκλος. Καὶ δῆλον oc τὸ ΑΒΓ τμῆμα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου, διὰ To, τὸ E κέντρον ἐκτὸς αὐτοῦ ο τυγχάνειν.
Ομοίως καὶ ἐὰν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση 41! τῇ ὑπὸ ΒΑΔ, τῆς ΑΔ ἴσης γινομένης ἑκατέρᾳ τῶν BA, AT, αἱ τρεῖς ἄρα αἱ AA, AB, AT ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται. καὶ ἔσται τὸ Δ κέντρον τοῦ προσαναπεπληρωμένου κύκλου, καὶ δηλαδὴ ἔσται τὸ ΑΒΓ ἡμικύκλιον.
Ἐὰν δὲ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ ἐλάττων ἢ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ, καὶ συστησόμεθα πρὸς τῇ ΒΑ εὐθείᾳ. καὶ τῷ πρὸς αὐτὴ σημείῳ τῷ A'? , τῇ ὑπὸ ΑΒΔ γωνίαν ἴσην. ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τμήματος πεσεῖται! τὸ κέντρον ἐπὶ τῆς AB ὡς τὸ E? , καὶ ἔσται δηλαδὴ τὸ ALT
em ͵7 € , TIAM Lot μείζον ἡμιπκυκλίους
167 lis. Sed AE ipsi EB ostensa est equalis; et BE igitur ipsi FE est equalis; tres igitur AE, EB, Er æquales inter se sunt ; ergo centro E, intervallo autem. unà ipsarum AE, EB, Er circulus descriptus transibit et per reliqua puncta, et erit descriptus circulus. Circuli igitur segmento dato, descriptus est circulus. Et manifestum est ABD. segmentum minus esse semicirculo, propterca quod E centrum extra ipsum cadit.
Similiter et si angulas ΑΒΔ æqualis sit ipsi ΒΑΔ, ipsá AA æquali factà alteruiri ipsarum BA, AT , tres igitur AA, AB, AT equales inter se erunt, et eritautem A centrum completi circuli,
et cerit utique ABT semicirculus.
Si autem ABA minor sit ipso ΒΑΔ, et si consiituamus ad BA rectam , et ad punctum in ed A, ipsi ABA angulum æqualem, intra ΑΒΓ scgmentum cadet centrum in AB, uL E, et crit
utique ABT scgmentum majus semicirculo.
donc la base AE est égale à la base ΤῈ (4. 1). Mais AE a été démontré égal à EB ; donc BE est égal à ΤῈ ; donc les trois droites AE , EB , Er sont égales entre elles; donc le cercle décrit du cente E et d'un intervalle égal à une des droites AE, EB, ET , passera par les autres points, et le cercle sera décrit. Donc un segment de cercle ayant été donné, on a décrit le cercle dont il est le segment (9. 5). Il est évident que le segment ΑΒΓ est plus petit qu’un demi- cercle; car le centre E tombe hors du segment.
Semblablement , si l'angle ΑΒΔ cst égal àl'angle ΒΑΔ, la droite AA étant égale à chacune des droites BA , Ar, les trois droites AA , ΔΒ » AT seront égales entre elles; donc le point Δ sera le centre du cercle entier (9. 5), et le segment ABT sera évidemment un demi-cercle.
Mais si l'angle ABA est plus petit que l'angle ΒΑΔ, et si sur la droite BA, et au point 4 de cette droite, nous faisons l'angle BAE égal à l'angle ΑΒΔ, le centre tombera en dedans du segment ΑΒΓ dans la droite AB, comme en ESL er ]e
segment sera évidemment plus grand qu'un demi-cercle.
168 LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ΚΣ L4 € ^ θέ ,
Κυκλου epe τρήματος ὀούεντος y προσαναγε- € , 4 , , \ ^ A
γράπταιο HUKAOG , οὗπερ ἐστί τὸ τμημαὶῆ, Οπερ
TTL PIPER
,
IIPOTAZIZX #1,
Ἤν τ ΛΈ Ev τοῖς ἴσοις κύκλοις. αἱ ἴσα! γωνίαι ἐπὶ ἴσων Td id — περιφερειῶν βεξήκασιν, ἐάντε πρὸς τοὶς κέντροις LC . ' e , 5 ^ D eas πρὸς ταῖς περιφερείαις ὧσι Belarus. \ » , ε Ἑστωσαν γαρὶ ἴσο: κύκλοι οἱ ABT, ΔΕΖ καὶ
3 > m \ \ DJ , , , εν ŒUTOIS, πρὸς μὲν τοῖς πέντροις ἴσαι γωνία!
x
ὕστωσαν. αἱ ὑπὸ BHI, EOZ, πρὸς δὲ ταῖς περιφερείαις αἱ ὑπὸ BAT, EAZ: λέγω ὅτι ἴση ἐστὶν à BKT περιφέρεια τῇ EAZ περιφερεῖς. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἰ ΒΓ, EZ.
Circuli igitur segmento dato, descriptus est circulus cujus est segmentum. Quod opertebat
faccre.
PROPOSITIO XXVI.
In qualibus circulis, æquales anguli æqua- libus circumferentiis insistunt, sive ad centra, sive ad circumferentias sint insistentes.
Sint enim equales circuli. ΑΒΓ, ΔΕΖ, et
in ipsis quidem ad centra zquales anguli
sint BHT, ΕΘΖ, et ad circumferentias ipsi BAT, EAZ; dico æqualem esse BKT circum- ferentiam ipsi EAZ circumferentiæ.
Junganlur enim BD, EZ.
Donc un segment de cercle ayant été donné, on a décrit le cercle dont i]
est le segment ; ce qu'il fallait faire.
PROPOSITION XXVI.
Dans des cercles égaux, les angles égaux s'appuient sur des arcs égaux, soit qu'ils soient placés aux centres, ou bien aux circonférences.
Soient les cercles égaux ΑΒΓ, AEZ, que les angles égaux ΒΗΓ, Eez soient aux centres , et que les augles égaux BAT , ΕΔΖ soient aux circonférences ; je dis que
l'arc ΒΚΓ est égal à l'arc EAz. Joignons Br , Ez.
LE TTOISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ ΑΒΓ. AEZ κύκλοι. ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐκ τῶν κέντρων" duo δὴ αἱ BH, Hr δυσὶν ταῖς EO , OZ ἴσαι εἰσί3»" καὶ γωνία ἡ πρὸς τῷ H γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ © ἴση ἐστί" βάσις ἄρα ἡ BT βάσει τῇ ΕΖ ἐστὶν iru). Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία τῇ πρίςτῷ À , ὅμοιον ἄρα ἐστὶ 70 BAT τμῆμα τῷ ΕΔΖ τμέματι. καὶ ἐστὶν ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν τῶν BT , EZ* τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ἴσον ἄρα τὸ BAT τμῆμα τῷ EAZ τμήματι7. Ἐστὶ δὲ καὶ ὅλος 0 ΑΒΓ κύκλος ὅλῳ τῷ ΔΕΖ κύκλῳ ἴσος. λοιπὸν ἄρα ΒΚΓ τμῆμα λοιπῷ ἘΔΖ ἴσον" d ἄρα ΒΚΓ περιφέρεια ἐστιν dou τῇ EAZ
ΡΥ ΒΟ. EET - » \ SABER περιφερείας, Ezy epa τοις IOOIS , X24 τὰ eG.
HPOTAZIE z£.
e 3 , e^ ^ LA ^ Ev τοῖς ἰσοῖς HUXAGIS αἱ ἐπὶ σῶν περιφερείων "ἐς es , M » , LAC » \ βεξηκυῖαι ῶνίαι σαι ἀλλήλαις εἰσὶν. ἐὰν τε “ρος 5
"n \ m 4 τοῖς κέντροις, ἐν TE πρὸς ταῖς περιφερείαις ὧσι
βεξηκυΐαι.
169
Et quoniam «quales sunt ABT, ΔΕΖ circuli, equales sunt ipsæ ex centris; duæ igitur BH, HP duabus EO, OZ æquales sunt; et angulus ad H angulo ad © æqualis est; basis igitur ΒΓ basi EZ est æqualis. Et quoniam æqualis est ad A angulus ipsi ad A, simile igitur est BAT segmentum ipsi EAZ segmento, et sunt super equales rectas BT', EZ ; 1088 aulem super equales rectas similia segmenta circulorum æ- qualia inter se sunt; æquale igitur BAT seg- mentum ipsi EAZ segmento. Est autcm ct lotus ABT circulus toti. AZZ circulo equalis ; reliquum igitur BKT segmentum reliquo EAZ æquale ; ergo BKT circumferentia æqualis est
EAZ circumferentiæ. Si igitur in æqualibus, etc.
PROPOSITIO XXVIE
In æquahbus circulis ipsi æqualibus circum- ferentis insistentes anguli æquales inter se sunt, sive ad centra, sive ad circumferentias sint in-
sistentes.
Puisque les cercles ABr, AEZ sont égaux, leurs rayons sont égaux ; donc les deux droites BH, Er sont égales aux deux droites Ee , ΘΖ ; mais l'angle en H est égal à l'angle en e; donc la base Br est égale à la base Ez (4. 1). Mais l'angle en 4 est égal à l'angle en 4 ; donc le segment BAT est semblable au segment EAZ (déf 11. 5) ; mais ils sont placés sur les droites égales Br, Ez ,et les segments de cercles semblables, qui sont placés sur des droites égales, sont égaux entr'eux (24. 5); donc le segment ΒΑΓ est égal au segment EAz. Mais le cercle entier ABT est égal au cercle entier ΔῈΖ; donc le segment restant ΒΚΓ est égal au segment restant EAZ ; donc l'arc Bkr est égal à l'arc EAz. Donc, etc.
PROPOSITION
XXVII
Daus les cercles égaux, les angles qui comprénent des arcs égaux sont égaux entr’eux , soit qu'ils soient aux centres, ou aux circonférences.
22
170 LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
E» yap ἴσοις κύκλοις τοῖς ABT, ΔΕΖ, ἐπὶ! ἴσων περιφερειῶν τῶν ΒΓ. EZ, πρὸς μὲν τοῖς H, © κέντροις γωνίαι βεξηκέτωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, ΕΘΖ. “πρὸς δὲ
, [7] ε \ εν : 1 9 2154. ἃ EAZ* λέγω τι ἢ μὲν ὑπὸ ΒΗΓ γωνία τῇ ὑπὸ
τὰ , CIEN τας περιφερείαις ei ὑπὸ BAT P E
ἘΘΖ ἐστὶν ion, à δὲ ὑπὸ BAT τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστὶν
ITA”,
In æqualibus enim circulis ΑΒΓ, ΔΕΖ, aequalibus circumferentiis BP, EZ, ad H, © quidem centra anguli insistant ΒΗΓ, ΕΘΖ, ad circumferentias vero ipsi BAT, ΕΔΖ; dico ΒΗΓ quidem angulum ipsi EGZ esse æqualem , ip-
sum vero BAT ipsi EAZ.
5 \ 59 , ^ € e Ei yap &viccc ἐστὶν à ὑπὸ BHI τῇ ὑπὸ EOZ " , » ^ z 17 » " r , € € \ pia αὐτῶν μείζων ἐσται 4, Ἑστω μείζων " ὑπὸ \ , M ^ \ Ld ΒΗΓ. καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ BH εὐθείᾳ , καὶ τῷ A , ^ , ^ ^ ε \ , προς αὐτῇ σημείῳ TO H, τῇ ὑπὸ EOZ γωνίᾳ x ever iN "TE "TE Ἰσὴ ἢ ὑπὸ BHK° αὐ δὲ ἴσαι γώνιαι ἐπὶ ἐσὼν 776— ^ , e A ^ , piQspsiov βεξήκασιν > ταν πρὸς τοῖς κέντροις G » E] € , ^ eciv* 102 ἄρα » BK περιφέρεια τῇ EZ περιφε- , Me z "κὸν \ « pea. AAA m EZ τῇ BT coTiy i28 , παὶ ἡ BK ΕΝ M 3 Ν » € 3 , «pet τῇ BT ἐστὶν 495, ἢ ἐλάττων τῇ μείζονι. LA H \ > , E f > € ὅσπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ apa ἄνισός ἐστιν à e \ , n € À » J Ni? \ v70 BHT γωνία τῇ ὑπὸ EOZ* i21 ἄρα, Καὶ ἐστὶ τῆς
Ἷ
Si enim inæqualis sit BHT ipsi ΕΘΖ, unus ipsorum major erit. Sit major ΒΗΓ, et consti- tuatur ad BH rectam , et ad punctum in eà H, ipsi ΕΘΖ angulo æqualis ipse BHK ; æquales autem anguli æqualibus circumferentiis insis- tunt, quando ad centra sunt; æqualis igitur BK circumferentia ipsi EZ circumferentiæ. Sed EZ ipsi BT æqualis est, et BK igitur ipsi ΒΓ est æqualis, minor majori, quod est impossi- bile. Non igitur inzqualis est ΒΗΓ angulus ipsi
EOZ; «qualis igitur. Et est ipsius quidem BHT
Que dans les cercles égaux ΑΒΓ, AEZ, les angles BHT , Eez placés aux centres H, ©, et les angles Bar, ΕΔΖ placés aux arcs ΒΑΓ, ΕΔΖ comprenent les arcs égaux Br, ΕΖ; je dis que l'angle Bur est égal à l'angle ΕΘΖ, et l'angle Par égal à l'angle Eaz.
Carsi lesangles ΒΗΓ, ἘΘΖ sont inégaux, l'un d'eux sera le plus grand. Que l'angle ΒῊΓ soit le plus grand ; sur la droite BH, et au point H de cette droite, faisons l'angle bHK égal à l'angle EGz (25. 1). Puisque les angles égaux comprènent des arcs égaux , lorsqu'ils sont aux centres (26. 5) , l'arc EK est égal à l'arc Ez. Mais l'arc Ez est égal à l'arc ΒΓ; donc l'arc ΒΚ est égal à l'arc ΒΓ, le plus petit au plus grand, ce qui est impossible. Donc les angles ΒΗΓ, ΕΘΖ ne sont pas inégaux ; donc ils sont
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
^ ἘΠ: € , € A ^ ^ à € M piv ὑπὸ BHT ἡμίσεια poc τῷ À, τῆς δὴ ὑπὸ
ΑΔΑΡ CES - NE S EOZ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ A* 15h ἄρα καὶ ἡ πρὸς M
^ LA re d m M τῷ Α γωνία τῇ πρὸς τῷ Δ. Ἐν ἄρα τοῖς BOIS;
\ \ € hd καὶ τὰ ἑξῆς.
IIPOTAZXIX x4.
m » , C'Y. * D » Ev τοῖς (601€ κύκλοις αἱ ἴσαι εὐθεῖαι Ioue me— ; 3r Í E ' 1 -“ / ριφερείας ἀφαιροῦσι. τὴν μὲν μείζονα τῇ μείζονι, ER Dur HE τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ SÀATTOYL, TM , NN Ἑστωσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ABT, ΔΕΖ: καὶ ἐν , E] cT x A aÿroïc! ἴσαι εὐθεῖαι ἐστωσαν αἱ AB, AE, τάς
μὲν ATB, ΔΖΕ περιφερείας μείζονας ἀφαιροῦ-- T) IN:
A ui o
σαι, τὰς d? AHB, AGE ἐλάττονες" λέγω ὅτι ἡ μὲν ATB μείζων περιφέρεια ica ἐστὶ τῇ ΔΖΕ μείζονι περιφερείᾳ. ἡ δὲ ΑΗΒ ἐλάττων περιφέ- pea τῇ AGE ἐλάττον,",
171 dimidius ipse ad A, ipsius vero ΕΘΖ dimidius ipse ad A ; æqualis igitur et ad A angulus ipsi ad A. In æqualibus igitur, etc.
PROPOSITIO XXVIII.
In zqualibus circulis quales rectæ æquales circumferentias auferunt, majorem quidem ma- jori, minorem vero minori.
Sint equales circuli ΑΒΓ, ΔΕΖ, et in ipsis equales recte sint AB, AE, ipsas quidem ΑΓΒ, AZE circumferentias majores auferentes, ipsas
Z A À yop eS Y
ἘΣ "uide
vero AHB, AOE minores; dico ipsam quidem ΑΓΒ majorem circumferentiam æqualem esse ipsi AZE majori circumferentiæ, ipsam vero
AHB minorem ip i AOE minori.
égaux. Mais l'angle en A est la moitié de l'angle ΒΗΓ, et l'angle en 4 la moitié de l'angle ΕΘΖ (20. 5) ; donc l'angle en 4 est égal à l'angle en 4. Donc , etc.
PROPOSLBELIONZIXXYTLIE
Dans des cercles égaux, les droites égales soutendent des arcs égaux, le plus grand étant égal au plus grand, et le plus petit égal au plus petit.
Soient les cercles égaux ΑΒΓ, AFZ, et que dans ces cercles, les droites égales AB, AE soutendent les plus grands arcs ATB, AZE, et les plus petits arcs AHB , AOE; je dis que le plus grand arc ΑΓΒ est} égal au plus grand arc ΔΖΕ; et que le plus petit arc ΑΗΒ est égal au plus petit arc AGE.
172 LE TROISIÈME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
ΕΠ \ \ 2 ^ " Y 5" E Εἰλήφθω yap τὰ κέντρα τῶν zükAGy , τὰ Sumantur enim centra circulorum, K, A, δὲ : ; . 5 | Β K 35A καὶ ἐπεζεύχϑωσαν αἱ BK, KB, AA, jungantur BK, KB, AA, AE. AE. "M E XM , 55 E SA EY c Et « 1 2 » Kai ἐπεὶ 1601 κύκλοι εἰσὶν. σα! εἰσι καὶ αἱ quonim æquales circuli sunt, æquales ,
ἐκ τῶν κέντρων" δύο δὴ αἱ AK, ΚΒ δυσὶ ταῖς sunt et ipse ex centris; due igitur AK, KB " d , : ; - R , . AA, AE ἔσαι εἰσὶ. καὶ βάσις ἡ AB Rares τῇ duabus AA, AE «quales sunt, et basis AB basi
5 BU te - , m LE. δ E Hoc = s AE ἴση" γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ AKB γωνίᾳ Tj ὑπὸ ΔΕ equalis; angulus igitur AKB ipsi AAE æqua-
©
AÁE ἴση ἐστίν. Αἱ δὲ ἴται γωνίαι ἐπὶ ἴσων 7e lis est. Æquales autem anguli æqualibus cir- ριφερειῶν βεξήπασιν. ὅταν πρὸς τοῖς κέντροις cumferentiis insistunt , quando ad centra sunt ; ὦσιν" ἴση ἄρα ἡ AHB περιφέρεια τῇ ΔΘῈ περιφε- equalis igitur AHB circumferentia ipsi ΔΘῈ cir- pra). Ecrs δὲ nai ὅλος 6 ABT κύκλος ὅλῳ τῷ — cumferentim. Est autem et totus ABT circulus AEZ κύκλῳ ἔσος" καὶ! λοιπὴ ἄρα ἡ ATB περ'- loti ΔΕΖ circulo æqualis ; reliqua igitur et ATB φέρεια λοιπῇ τῇ ΔΖΕ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν. Ἐν circumferentia relique AZE circumferentie z-
ἄρα τοῖς ἴσοις, καὶ τὰ ἑξῆς. qualis est. In æqualibus igitur, etc.
Prenons les centres K, Δ de ces cercles (1. 5), et joignons AK, KB , AA, AE.
Puisque ces cercles sont égaux, leurs rayons sont égaux ; donc les deux droites AK, KB sont égales aux deux droites AA, AE ; mais la base ΑΒ est égale à la base AE ; donc l'angle AKB est égal à l'angle ΔΛῈ (8. 1). Mais des angles égaux comprénent des arcs égaux, quand ils sont aux centres (26. 5); donc Parc AHB est égal à larc AeE. Mais la circonférence entière ABT est égale à la circonférence entière AEZ ; donc l'arc restant ArB est égal à l'arc restant 4ZE, Donc, etc.
LE TROISIEME LIVRE DES ELÉMENTS D'EUCLIDE.
IIPOTAZIE x.
Ev τοῖς ἔσοις κύχλοις ὑπὸ! τὰς ἴσας περιφε- plac ἴσαι εὐθεῖαι ὑποτείνουσιν,
Ἑστωσαν ἴσοι κύκλοι ci ABI, ΔΕΖ; καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι περιφέρειαι ἀπειλήφθωσαν αἱ BHT, ΕΘΖ; καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ. EZ εὐθεῖα," λέγω ὅτι ἴση ἐστὶν à ΒΓ εὐθεῖα" τῇ EZ.
Εἰλήφθω γὰρ τὰ κέντρα TOY κύκλων. καὶ ἔστω" τὰ K, À, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ BK, KT, BA ;:AZ,
B n H
hi \ € La ^ Καὶ ἐπεὶ ien ἐστὶν ἡ BAT περιφέρμα τῇ EOZ , » 2 ^N \ / en \ - περιφέρεια.) ion ἐστὶ καὶ γῶνίώ » ὑπὸ BKT τῇ « ^ N29. No wp SIN L3 + ὑπὸ EAZ, Καὶ 74 3001 εἰσὶν οἱ ADT. ΔΕΖ κυ- 2 E * ^ , , \ XÀOL, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐκ τῶν παντρων" δύο δὴ ε ^ e y ^ ^ αἱ BK, KT duci ταῖς ΕΛ. AZ ἴσαι εἰσὶ, παὶ γω- 2 " 2 , » € , ^ viec Icac περιεχουσι" βασὶς apa n BT. βάσει τῇ
5» 3 , 3 € 5 N \4Z7n EZ ica se Tiv, Ev pa τοῖς $9016 ; καὶ τὰ nc.
173
PROPOSITIO XXIX.
In æqualibus circulis zqua!es circumferentias x quales rectæ subtendunt.
Sint æquales circuli ABD, ΔΕΖ, et in ipsis «quales circumferentiæ sumantur ΒΗΓ, ΕΘΖ, et jungantur BI, EZ recte; dico æqualem esse BT rectam ipsi ΕΖ.
Sumantur enim centra circulorum , et sint K, A, et jungantur BK, ΚΓ, EA, AZ.
Et quoniam æqualis est ΒΗΓ circumferentia ipsi ΕΘΖ circumferentiæ, equalis est et angu- lus BKTP ipsi EAZ. Et quoniam æquales sunt ABT, AEZ circuli , equales sunt et ipsæ ex cen- tris; duæ igitur BK, ΚΓ duabus EA, AZ equales sunt , et angulos æquales continent; basis igitur
ΒΓ basi EZ «qualis est. In æqualibus igitur, etc.
PROPOSITION XXIX.
Dans des cercles égaux, les arcs égaux sont soutendus par des droites égales, Soient les cercles égaux ΔΒΓ, AEZ ; dans ces cercles prenons les arcs égaux BHT, EOZ, et joignons les droites Br, Ez; je dis que la droite Br est égale à
la droite Ez.
Prenons les centres de ces cercles , qu’ils soient X , A, et joignons ΒΚ, ΚΓ, EA, AZ. Puisqne l'arc ΒΗΓ est égal à l'arc ἘΘΖ, l'angle br est égal à l'angle FAz (27.
5). Mais les cercles ΑΒΓ, AEZ sont égaux ;
donc leurs rayons seront égaux;
donc les deux droites BK, ΚΓ sont égales aux deux droites EA, AZ; mais ces droites comprènent des angles égaux ; donc la base ΒΓ est égale à la base Ez
(4 1). Donc , etc.
f
174 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE;
, IIPOTASIZ A, POPOSITIO XXX. TS δοθεῦσαν περιφέρειαν δίχα τεμεῖντ, Datam circonferentiam bifariam secare. Ezra ἡ δοθεῖσα mpi ἔρεια à ΑΔΒ" δεῖ δὴ τὴν Sit data circumferentia ΑΔΒ; oportet igitur ΑΔΒ zrepigé pes 2 ν δέχ, a τεμεῖν, AAB circumferentiam bifariam secare. Ἐπεζεύχθω » AB, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ Jungatur AB, et secetur bifariam in Det
à - - τὸ T, καὶ ἀπὸ TOU T σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς a T puncto ipsi AB recte ad rectos ducatur ὀρθὰς ἤχθω ἡ TA, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ AA, AB. ΓΒ, et jungantur AA, AB,
A r B
\
Εν ε , : : 5 T^ Καὶ ἐπεὶ ira ἐστὶν ἡ AT τῇ TB, κοινὴ δὲ à Et quoniam æqualis est AT ipsi FB, com-
ΓΔ’ δύο δὴ αἱ AT, TA δυσὶ ταῖς ΒΓ. TA ras munis autem TA; duæ igilur AT, TA duabus
d M ACE D Ei
isi, Καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ATA γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΔ ΒΓ,ΓΔᾺΔ equales sunt. Et angulus ATA angulo
ε " ER : UE 174 9 ὀρθη γὰρ "za TE ρα" βάεις ἄρα" ἡ ΑΔ βάσει ΒΓΔ zqualis, rectus enim uterque ; basis igitur
τῇ AB ion ἐστίν. Αἱ δὲ iras εὐθεῖαι ἴσας περι- ΑΔ basi AB æqualis est. Æquales autem rectæ
φερείας ἀφαιροῦσι. τὴν ἫΝ μείζονα τῇ peilors, — wquales circumferentias auferunt, majorem qui-
τὴν δὲ ἐλάττονα τῇ ἐλάττονι!" καὶ ἔστιν ἑκατέρα em majori, minorem vero minori; et est utra- H
τῶν ΑΔ. AB περιφε s εἰῶν ἐλάττων ἡμικυκλίου" | que ipsarum AA, AB circumferentiarum minor
m ἄρ 4$ AA περιφέ ipa τῇ ΔΒ περιφερεία, semicirculo ; equalis igitur AA circumferentia
ipsi ΔΒ circumferentiæ.
PROPOSITION, XXX.
Couper un arc donné en deux parties égales.
Soit ΑΔΒ l'arc doané ; il faut couper l'arc ΑΔΒ en deux parties égales.
Joignons la droite AB, et coupons-la en deux parties égales enr(ro. 1); du point T menons TA perpendiculaire à la droite AB (11. 3) , et joignons AA , AB.
Puisque Ar est égal à rb , et que la droite r^ est commune, les deux droites Ar, FA sont égales aux deux droites Br, ra. Mais l'angle Ar^ est égal à l'angle ΒΓΔ; car ils sont droits l'un et l’autre ; donc la base A^ est égale à la base ΔΒ (4. 1). Mais des droites égales soutendent des arcs égaux, le plus grand étant égal au plus grand, et le plus petit égal au plus petit (28. 5), et l'un et l'autre des arcs 44, AB est plus petit que la demi-circonférence ; donc
l'arc ΑΔ est égal à l'arc 48.
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
H dpa δοθεῖσα περιφέρεια δίχα τέτμηται
κατὰ τὸ Δ σημεῖονί, Οπερ ἔδει ποιῆσαι. IIPOTAZIZ λά.
» ε à » - € , , ? ba Ev κυπλῳ. ἡ μὲν ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνα ορθη mb: ; ΣΤῊΝ XU AA ἐστιν" à δὲ tv τῷ μείζονι τμήματι ἐλάττων ὀρθῆς fv , , "Ὁ 5 ^ N ἡ δὲ ἐν τῷ ἐλάττονι τμήματι μείζων ὀρθῆς. Καὶ € \ 1 , k y Ε £T: ἡ μὲν τοῦ μείζονος τμήματος γωνία μείζων > Ν ΕΣ M € x ^- 5 , , :J ἐστὶν ὀρθῆς" 3 δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία 3 , ΕῚ ^ ἐλάττων ὀρθῆς". , € », δὲ 5» “΄ Ἑστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ. δηάμετρος δὲ αὐτοῦ
Ψ , A N ND , ἔστω 4 BI, κέντρον δὲ τὸ E , καὶ ἐπεζεύχθωσαν
RI 155 Ergo data circumferentia bifariam secta est
in A puncto. Quod oportebat facere.
PROPOSTTYO('XXX
In circulo , ipse quidem in semicircelo angu- lus rectus est; ipse vero in majore segmento minor recto; ipse autem in minore segmento major recto. Et insuper ipse quidem majoris segmenti augulus major est recto ; ipse vero mi- noris segment angulus minor recto.
Sit circulus ΑΒΓΔ, diameter autem ipsius sit
BI, centrum vero E, et jungantur BA, AT,
A
ai BA, AT, AN, AT. Λέγω ὅτι ἡ μὲν ἐν τῷ BAT
, , e € A 3 252: € M ἡμικυκλίῳ yovia 4 ὑπὸ BAT? ὀρθή ἔστιν" ἡ δὲ
AA, AT; dico ipsum quidem in BAT semicirz
culo angulum BAT rectum esse ; ipsum autem in
Donc larc donné a été coupé en deux parties égales au point 4. Ce qu'il
fallait faire.
PROPOSITION
XXXI.
Dans un cercle, l'angle placé dans le demi-cercle est droit ; l'angle placé
dans un segment plus
grand est plus petit qu'un droit ; l'angle placé dans
un segment plus petit est plus grand qu'un droit; l'angle du plus grand seg-
ment est plus grand qu'un droit, et l'angle du plus petit segment est plus
petit qu'un droit.
Soit le cercle ΑΒΓΔ, dont le diamètre est Br et le centre le point E ; joignons BÀ, AT, AA , AT ; je dis que l'angle Bar placé dans le demi-cercle Bar est droit ;
176 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDF.
ἐν τῷ ABT μείζονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γω- εἶα. ἡ ὑπὸ ABT, ἐλάττων ὀρθῆς" s δὲ ἐν τῷ AAT ἐλάττονι τοῦ ἡμικυκλίου τμήματι γωνία à ὑπὸ AATÁ μείζων ἐστὶν ὑρθῆς, Ἐπεζεύχθω ἡ AE καὶ δηήχθῶ ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ 2. Καὶ ἐπεὶ 102 ἐστὶν 4 BE τῇ EA , ἴση ἐστὶ καὶ γωνία à ὑπὸ ABE τῇ ὑπὸ ΒΔΕ. Πάλιν. ἐπεὶ ἴση
Ric
i Re ἐᾷ RUNE \ e à ἐστιν 4 TE TW EA , 104 ἐστι καὶ ἡ ὑπὸ ATE τῇ ὑπὸ
ABT majore semicirculo segmento angulum ABT minorem recto; ipsum vero in AAT minorem semicircalo segmento angulum AAT majorem csse recto.
Jungatur AE , ct producatur BA ad Z.
Et quoniam æqualis est BE ipsi EA, æqualis est ct angulus ABE , ipsi BAE. Rursus, quoniam æqualis est PE ipsi £A , æqualis est et ATE ipsi
" s! ἘΣ \ ἧς D: wq ΓΑΕ’ Can epa ᾧ ὑπὸ BAT δυσὶ ταῖς ὑπὸ ABI, » > / A Ἄνα, € \ \ ^ ATB ἴση ἐστίν. Ἐστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ LAT ἐκτὸς TOU , x n e \ ABT τριγώνου duci ταὶς ὑπὸ ΑΒΓ. AIB γωνίαις E 7; PR ars EM enean CRE ἐσ" σὴ epe, καὶ ἡ ὑπὸ BAT γωνία Th ὑπὸ ZAT, 3 ^» € , ε | > M ὀρθὴ ἀρα ἑκατέρα" ὃ ἀρα ἐν τῷ BAT ἡμικυκλίῳ / eem , $55 γωνία n ὑπὸ BAT cpôn ἐστι. CUN S \ ^ 2 V4 , Καὶ ἐπεὶ του ABT τριγώνου δύο γωνίαι αἱ
« ^ ^ > M , M ὑπὸ ABT, BAT δύο ὀρθῶν ἐλάττονές εἶσιν. ὀρθὴ
TAE; ἰοίτι5 igitur BAT duobus ABT, ATB æqua- lis est. Est autem et ipse ZAT, extra ΑΒΓ triangu- lum, duobus ABT , ATB angulis æqualis; equalis igitur et BAT angulus ipsi ZAT; recus igitur uterque ; ipse Igitur in BAT semicirculo angulus BAT rectus est.
Et quoniam ABT trianguli duo anguli ΑΒΓ,
BAT duobus rectis minores sunt, rectus autem
que l'angle ΑΒΓ placé dans le segment ΑΒΓ plus grand que le demi-cercle ΑΒΓ est plus petit qu'un droit, et que l'angle ^ar placé dans le segment Aar plus petit que le demi-cercle, est plus grand qu'un droit.
Joignons AE, et prolongeons BA vers Ζ.
Puisque PE est égal à EA, l'angle APE est égal à l'angle BaE (^. 1). De plus, puisque ΓΕ est égal à EA , l'angle ATE est égal à l'angle rAE ; donc l'angle entier BAT est égal aux deux angles ΑΒΓ, ΑΓΒ. Mais l'angle zar placé hors du triangle ABT est égal aux deux angles ΑΒΓ, ArB (52. 1); donc l'angle Bar est égal à l'angle zar; donc chacun de ces anglesest droit (déf. 10. 1) ; donc l'angle Bar, placé daus le demi-cercle Bar, est droit.
Puisque les deux augles ABr, Bar du triangle ΑΒΓ sont plus petits que deux
LE TROISIÈME LIVRE DES ELÉMENTS D'EUCLIDE. 177
OM CHEN Drei 5 > ων 9 e ERN δὲ ἡ ὑπὸ BATÓ* ἐλάττων ἄρα ὀρθῆς ἔστιν ἡ ὑπὸ 3 \ » ^ τ "n ^ ABT γωνία. καὶ ἔστιν ἐν τῷ ABI μείζονι του ε ñ , ἡμικυκλίου τμήματις Ni ἂν ΠΝ, , " , , ΕΣ M Καὶ ἐπεὶ ἐν κυκπλῷ TETPAT AEUPOY ἐστὶ TO ΑΒΓΔ. m Ns e , SRM, , «ων de εν τοῖς HUXACIG TEÉTRATAEUPOY ai CTTEY V— , / ^N xA ar evliaf € \ τίον γωνίαι δυσὶν ρίας ἐστι εἰσὶν" δὲ pa ὑπὸ ^ * ^5 ^ 3, 7 ABT, AAT δυσὶν ὀρθε:ῆς ἴσα: eiri.
CNN E , » ^ \ € oer iN Ugo ABT ἐλαττῶν ὀρθῆς" λοιπῇ ἄρα 4 ὑπὸ AST
\ f € Καὶ ἐστιν ἢ
4 , 3 ^ , à" LA > ^ ,ῶώνία μείζων ὀρθῆς ἐστὶ 5 καὶ ἐστιν ἐν τῷ 3 ,ὔ et , , - AAT ἐλάττον, τοῦ ἡμμικυκλεου τρρηροτε,ς , 8 ed \ © A Le M , Ayo Ori καὶ ἃ μὲν τοῦ μείζονος τμῦμα- , e DE SE 2 τος γῶνίοι y ἡ περιεχομεν UTTO TEY τῆς ABT σε- / N -" » / Α 3 Ν 3 ^ ριφερείας καὶ Tuc AT εὐθείας. μείζων ETTIV ὀρύῆς" € A LE ? , , € ἡ δὲ τοῦ ἐλάττονος τμήματος γωνία. d περί: , e LA 14 e [ἡ ἣν ^ χομενη ὑπὸ qe'O τῆς AAT περιφερείας zai "vac 25 7. 3 , 3 Ν δ" - ! E AT εὐθείας. ἐλάττων ἐστὶν ὀρθὴ c. Καὶ ἔστιν etü— / J \ N CAE 7e ^ ^ cat τοθεν φανερόν. Ἐπεὶ γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν BA, AT εὖ- θ - , »,δι')ὰν yis > s € νυ εἰῶν περιεχομενη ὀρθὴ yovicl! ἐστιν. ἢ opa € M e / \ ^ 4 / ὑπὸ τῆς ABT περιφερείας καὶ τῆς AT eubelæs , , SN ἀπά, Δι ; EN περιεχομένη μείζων ἐστὶν ópodc. Ll4A v, voe. d
€ M L1 > ΩΣ 3 ^5» € + € M ^ ὑπὸ τῶν AT, AZ εὐθειῶν opu £g TIV* d ἀρὰ ὑπὸ τῆς
BAT ; minor igilur recto est ABT angulus , et in
ΑΒΓ segmento semicirculo majore.
Et quoniam in circulo quadrilatum est ABTA, in circulis autem quadrilatorum oppositi duo- bus rectis æquales sunt ; ipsi igitur ΑΒΓ, AAT duobus rectis æquales sunt. Et est ΑΒΓ mincr recto ; reliquus igitur AAT angulus major recto est, et est in AAT segmento se- micirculo minore.
Dico eutezi et majoris quidem segmenti sngulum comprehensum et ab ΑΒΓ circum- ferentià et AT rectà, majorem esse recto; minoris vero segmenti angulum comprehensum et ab ΑΔΙ' circumferentià et AT rectà, mino- rem esse recto. Et est hoc manifestum. Quo- niam euim ipse ἃ BA, AT rectis comprehensus rectus angulus est, ergo ab AET circumferen- πὰ ct AT rectá comprehensus major est recto. Rursus, quoniam ipse ab AT, AZ rectis com-
prehensus rectus est, ergo a TA rectà , et ATA
TA εὐθείας καὶ τῆς AYA περεφερείοις περτεχομκένη 15 circumferentià comprehensus minor est recto. LA
à cp
ἐλάττων ἐστὴν ὀρθῆς. Ev κύκλῳ dpa, καὶ τὰ ἑξῆς, ἴῃ circulo igitur, etc. droits (17. 1), et que l'angle par est droit, l'angle ABr est plus petit qu'un droit, et cet angle est dans le segment ΑΒΓ plus grand que le demi-cercle.
Puisque le quadrilatere ΑΒΓΔ est dans un cercle, et que les angles opposés des quadrilatères inscrits dans des cercles sont égaux à deux droits (22. 5), les angles ABT, AAT sont égaux à deux droits. Mais l'angle ABr est plus petit qu'un droit ; donc l'angle restant Aar est plus grand qu'un droit, et cetangle est dans le segment AAr plus petit que le demi-cercle.
Je dis aussi que l'angle du plus grand segment, compris par l'arc ABT et la droite Ar , est plus grand qu'un droit, et que l'angle du plus petit segment, compris par l'arc Aar et la droite Ar, est plus petit qu'un droit, ce qui est évident; car puisque l'angle compris par les droites BA , Ar est droit, l'angle compris par l'arc. ΑΒΓ et la droite ar est plus grand qu'un droit. De plus, puisque l'angle compris par les droites Ar , Az est droit, l'angle com- pris par la droite rA et l'arc Ara est plus petit qu'un droit. Donc , etc.
23
178 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
AAA €QZ.
z , , Le 3 \ n \ - M HS ἀπόδειξις τοῦ ὀρθὴν eivai τὴν ὑπὸ Ÿ MA EIE NEN T€ Y
BAT. Ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ὑπὸ AET τῆς ὑπὸ ΒΑΕ. >” ^ N D: 3 \ \ 2 / μὰ \ M ITA yap δυσὶ ταῖς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον" ἐστὶ δὲ Ἀν s x ^ ^ € x e» € \ καὶ d ὑπὸ AEB διπλῆ τῆς ὑπὸ EAT* αἱ ἄρα ὑπὸ / , ^ € \ \ ΑΕΒ. ΑΕΓ dimAagioyés εἶσι τῆς ὑπὸ BAT. Αλλὰ
εν Ν > e Y » 3 αἱ ὑπὸ ΑΕΒ. ΑΕΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν" ἡ ἄρα
ὑπὸ BAT ὀρθῃ ἐστιν. Οπερ ἔδει δεῖξαι.
ALITER.
Demonstratur rectum esse BAT. Quoniam duplus est AET ipsius BAE, æqualis enim duo- bus interioribus ct oppositis; est autem et AEB duplus ipsius EAT ; ipsi igitur AEB, AET dupli sunt ipsius BAT. Sed ipsi AEB, AET duobus rectis equales sunt; ergo BAT rectus est. Quod
oportebat ostendere.
IIOPIXZMA.
\ / \ v JAN « , , Ex δὴ TOUTOU φανερὸν 5 CTI εαἂν n μια γωνία
, D à » Lu 2 , € σριγώνου ταῖς δυσὶν ion ἢ. ὀρθὴ ἐστιν ἡ γωνία"
COROLLARIUM.
Ex hoc utique manifestum , si unus angulus
trianguli duobus æqualis sit, rectum esse angu-
AUTREMEN T.
On démontre autrement que l'angle Bar estdroit. En effet, puisque l'angle «Er est double de l'angle BAE , car il est égal aux deux angles intérieurs et oppo- sés (52. 1), et quel'angle AEB est double de l'angle Far, les angles AEB , ΔῈΓ , sont doubles de l'angle Bar. Mais les angles AEB, AET, sont égaux à deux droits (15. 1); donc l'angle Bar est droit. Ce qu'il fallait démontrer.
COROLL AIR E.
De là il est évident que si un des angles d'un triangle est égal aux deux autres, cet angle est droit, parce que son angle extérieur est égal à ces
mE
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
\ \ \ N , , 3 ^ > CRE διὰ TO καὶ τῶν «κεινῆς €x voc ταις αὐταῖς I08V
a χω 72 δ΄ E 1 D εἶναι. Οταν δὲ ἐφεξῆς ἴσαι ὦσιν. ὀρθαί εἰσιν" A.
IIPOTAZIZ λβ΄.
M , 5 , , ^ , M M b Ἐὰν κυκλου ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα , «T0 δὲ τῆς » ^ SET \ , ^ , DJ , ἀφῆς eic! τὸν κύκλον διαχθῇὴ τις εὐθεῖα τέμνουσα M , 4 e \ e» τὸν κύκλον. ὥς ποιεῖ γωνίας πρὸς τῇ ἐφαπτο- , » E mo rs E ES " ββένῃ icd σονται ταῖς ἐν τοις ἐναλλὰξ του κυ- κλου τμήμασι γωνίαις. 7 \ ^ , , s KuxAou γάρ ToU ΑΒΓΔ ἐφαπτέσθω τὶς εὐθεῖα
ε \ \ e X- 13 X ^ 4 EZ κατὰ τὸ B σημεῖον. καὶ ἀπὸ τοῦ B σημείου
179 lum, propterea quod et ejus angulus exterior iisdem est æqualis. Quando autem ipsi deinceps
sunt asquales , recti sunt.
PROPOSITIO XXXII.
Si circulum contingat aliqua recta , a con- tactu autem in circulum ducatur aliqua recta ducta secaus circulum , quos facit angulos ad contingentem ipsi æquales erunt angulis in al- ternis circuli segmentis.
Circulum enim ABTA contingat aliqua recta
EZ in B puncto, οἱ a B puncto ducatur aliqua
, E \ , διήχθω ctc εὐθεῖα cic? τὸν ABTA κύκλον τέμ- 3j CN € , er a m Your αὐτὸν n BA* Aeyo OTI ἃς TOt γωνίας ε \ ^ », , » LA ἢ BA μετὰ τῆς EZ ἐφαπτομένης ἰσα! ἐσονται
D , ev > \ , ^ , ταῖς tV τοῖς ἐναλλὰξ τμημασι TOU κυκλου γω-
recta BA in ΑΒΓΔ circulum secans ipsum; dico quos facit angulos BA cum EZ contingente eos aequales esse angulis in alternis segmentis
circuli , hoc est ZBA quidem angulum z-
mémes angles, et que quand deux angles de suite sont égaux, ils sont droits
(déf. 10. 1).
PROPOSITION XXXII.
Si une droite touche un cercle, et si du point de contact on mène une droite qui coupe ce cercle, les angles que cette droite fait avec la tangente seront égaux aux angles placés dans les segments alternes du cercle.
Qu'une droite Ez touche le cercle AbrA au point B, et du point B menons une droite BA qui coupe le cercle ΑΒΓΔ; je dis que les angles que fait BA avec la tangente EZ sont égaux aux angles placés dans les segments alternes du cercle ;
ΤΏ, LE TROISI
LE ÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
a μὲν ὑπὸ LBA γωνία ἴση
ἐστὶ τῇ tV τῷ ΒΑΔ τμήματι συνιστὰ viri 30-
viæ, ἡ δὲ ὑπὸ ABE gore ἴση 667) τῇ “ἐν τῷ ΔΙΒ SHE συνισταμέ! " 70 via,
Ho γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ
BA , καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΒΔ ἘΕΙΘΗΣ ίας τυχὸν
σημεῖον τὸ I, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ AA, ATy
IB.
qualem esse angulo in BAA segmento consti- iuto, ABE vero ansulum æqualem esse in ΑΓΒ
segmento constituto,
Ducatur enim a B ipsi EZ ad rectos BA, et sumatur in BA circumiereulià quodlibet punc-
tum T, et jungantur AA, AT, ΓΒ,
Καὶ ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΒΓΔ ἐφάπτεται τις εὐθεῖα EL κατὰ τὸ B, ἀπὸ δὲ τῆς ^ ἀφῆς ἥπται τῇ ἐφ απ μὴ πρὸς ὀρθὰς ἡ BA, ἐπὶ τῆς ΒΑ dp? τὸ κί ἔντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔ πύκλου, H BA τοῦ ABTA
> € , 5 E 1 > ὑπὸ ΑΔΒ ΤΣ ev ἡμικυκλίῳ CUTE ὀρθή ἐστι"
, C »! ἄρα διάμετρός ξ ἐστ. πυκλουθ" y pa Nox - C NN CET TEA 21 Rosa ἀραὶ αἱ U70 BAA, ABA uu cpon sous εἰσιν, \ € € \ 3 ^h" € (4 e \ Ἐστὶ δὲ xai à ὑπὸ ΑΒΖ oct a ἄρα υπὸ ΑΒΖ AAC x8 os , ἴση ἐστὶ ταῖς ὑπὸ ΒΑΔ. ABA. Korn ἀφῃρήσθω
e t ^ \ e € ^ ἢ E » Ν 3 vo ΑΒΔ' Aura ἄρα ἡ ὑπὸ ABZ ywyia i02 ἐστι
Et quoniam circulum ABT contingit aliqua recta EZ in B, a contactu autem ducta est tan- genti ad recias BA, in BA igitur centrum est ΑΒΓΔ circuli. FA igitur diameter est ΑΒΓΔ circuli; ergo 448 angulus in semicirculo cons- ABA
Utulus rectus est; reliqui igitur ΒΑΔ,
uni recto æquales sunt. Est autem et ΑΒΖ rec- tus; ergo 432 æqualis est ipsis ΒΑΔ, ABA, Communis auferatur ABA ; reliquus igitur ABZ angulus
equalis est angulo BAA in alterno
c'est-à-dire, que l'angle zB^ est égal à l'angle placé dans le segment ΒΑΔ.» et que langle ABE est égal à l'angle placé dans le segment arx.
D'un point 8 menons la droite 34 perpendiculaire ἃ EZ (11. 1), et dans l'arc BA, prenons un point quelconque Fr, et joignons ΑΔ, AT, ΓΒ.
Puisque la droite Ez touche le cercle ΑΒΓΔ au point B, et que la droite ΒΑ, menée du point de contact B, est perpendiculaire à la tangente Ez, le centre du cercle ΑΒΓΔ est dans la droite BA (19. 5). Donc BA est le diamètre du cercle ΑΒΓΔ; donc l'angle ΑΔΒ, placé dans le demi-cercle, est droit (51. 5). Donc les angles restants ΒΑΔ, ABA sont égaux à un droit. Mais l'angle ΑΒΖ est droit; donc l'angle ΑΒΖ est égal aux angles ΒΑΔ, ΑΒΔ (not. 10). Re- tranchons l'angle commun ΑΒΔ; l'angle restant ABz sera égal à l'angle ΒΑΔ
LE TROISIÈME LIVRE DES
7i ἐν τῷ ἐναλλὰξ em τοῦ κύκλου γωνίᾳ. πῇ ὑπὸ ΒΑΔ. Καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ. αἱ ἀπεναντίον αὐτοῦ γωνίαι du- civ ὀρθας ἴσαι εἰσίν. Εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ABZ, ΔΒΕ uris ὀρθαῖς i σαι 7* αἱ ἄρα ὑπὸ ABZ, ABE à ὃ ΒΑΔ. BIA:
τῇ ὑπὸ ABZ :δείχθη ἴση" λοιπὴ ie ἡ ὑπὸ ABE
ταὶς ὑπ ἤσαι εἰσὶν à ὧν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ἐν τῷ ἐναλ λὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΔΙΒ. τῇ ὑπὸ ATB γωνίᾳ. ἐστὶν ἴση. Ἐὰν ἄρα κύκλου .
καὶ τὰ ἐξῇ δῷ
ΠΡΟΎΑΣΙΣ', λγ΄.
Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας γράψαι τμῆμα κύ- κλου. δεχόμενον γωνίαν ἴσὴν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ AB, ἡ «4$ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ T° δεῖ δὰ ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐὐείας τῆς ΑΒ γράψαι ταὶ μα νυ: κλου. δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ πρὸς τῷ τ᾽, H δὲ πρὸς
"e LC ΤῊ TARN I2 Y à 3 Casta Τῷ Τ γωνία" τοι 0 5e44 6UTIV , ἢ 0pod, yg cju SA uia.
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IGI segmento circuli. Et quoniam in circulo qua- drilaterum est ΑΒΓΔ, opposiü ejus anguli duo- bus rectis aequales sunt. Sunt autem etipsi ABZ, ABE duobus rectis quales; ipsi igitur ABZ, ABE ipsis ΒΑΔ, ΒΓΔ æquales sunt, quorum BAA ipsi ABZ ostensus est æqualis; reliquus igitur ABE angulo ATB in alterno circuli segmento
ATB æqualis est. Si igitur circulum , ctc.
PROPOSITIO XXXIII.
Super datà rectà describere segmentum cir- culi, capiens angulum æqualem dato angulo rectülineo.
Sit data recta AB, datus autem angulus rec- Liineus ad D; oportet igitur super datà rectà
^m
ΑΒ describere segmentum circuli, capiens an-
gulum aequalem ipsi ad r. Ipse autem ad r
angulus vel est acutus, vel rectus, vel obtusus.
placé dans le segment alterne du cercle. Et puisque le quadrilatère ABrA est
inscrit dans le cercle, ses angles opposés sont
égaux à deux droits (22.
5).
Mais les angles ABZ, ABE sont égaux à deux croits ; donc les angles ABZ, ABE
sont égaux aux fue ΒΑΔ, est égal à l'angle A2z ;
ΒΓΔ Q5 5. 1); mais on a démontré que [25e BAA donc l'angle restant ARE est égal à l'angle ΑΓΒ placé
dans le segmeut alterne du cercle 21b; donc, etc.
PROPOS
PY RON
XXXIII.
Sur une droite donnée , décrire un segment de cercle, qui recoize un angle
égal à un angle rectiligne donné 8 18 8 .
Soit AB la droite donnée et r l'angle rectiligne donné ; il faut sur la droite donnée AB décrire un segment de cercle qui recoive un angle égal à l'angle donné r.
L'angle r est aigu,
ou droit, ou obtus.
182 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
E5Tw TP DOTE por ὀξεῖα. ὡς" ἐ ἐπὶ vp #d- \
Ta^ pa Qc, unl συνεστάτω Tr πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ καὶ
7G À σημείω τῇ πρὸς 70 T γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ" “τω E , A. (uere ΑΙ \5 » ^ TE e ἐστὶ καὶ à ὑπὸ ΒΑΔ, Καὶ ἤχθω Ti AA ;
^ A 3 \ € πὸ τοῦ Α σημείου πρὸς ὀρθὰς ἡ AE, καὶ τε-
, à A \ » τμὴ du ἡ AB δίχα κατὰ τὸ Ly καὶ ἤχθω ἀπὸ
M , A e V5 τοῦ 2 σημείου τῇ AB προς ορϑὰς η ZH , καὶ ἐπε- τῇ ZB,
ε SA E Nov E \ . " ζιύχϑω à HB. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ÿ AZ
er "m S κοινὴ δὲ ἡ LH, duo d'u ai AZ, ZH δυσὶ ταὶς
Ὡ
M ^ e \ , LA e yj a9 τῇ πὸ BZH ἴση" βάσις he " AH βάσει τὶ > 2
ἢ HB ira ἐστίν. O ἄρα κέντρῳ pir TOÀ H, E
R
x ματι δὲ τῷ HA, κύκλος »papps νος ἥξει # ε
7 διὰ τοῦ B. Teyga obo , καὶ ἕστω 6 ABE, κα
Ψ , e +, \ a , 3, LE ^
ἐπεζεύχθω ΒΕ. Ἐπεὶ οὖν ἀπ ἀκρᾶς τῆς AE \ , A , \
AA U, ἀπὸ TCU À, τῇ AE.7poc ὀρθας ἐστὶν
Sit primum acutus, ut in primà figurà, et cons- lituatur ad AB rectam et ad punctum in À, ipsi ad T angulo æqualis ipse ΒΑΔ; acutus igitur est et BAA. Ducatur ipsi AA ab A puncto ad rectos ipsa AE, et secctur AB bifariam in Z, et ducatur a Z puncto ipsi AB ad rectos ipsa ZH, et jungatur HB. Et quoniam æqualis est
AZ ipsi ZB, communis autem ΖΗ, dua ulique
AZ, £H duabus ZB, ZH æquales sunt, οἵ ane gulus ΑΖΗ ipsi angulo BZH equalis; basis igitur AH basi HB æqualis est. Ergo centro quidem H, intervallo vero HA, circulus descriptus transibit et per B. Describatur, ct sit ABE, et jungatur BE. Quoniam igitur ab extremitate A ipsius AE diametri ipsi AE ad rectos est AA, ipsa utique AA contingit circulum. Quoniam
igitur circulum ABE tangit aliqua recta AA, et a
Premièrement qu'il soit aigu, comme dans la première figure ; sur la droite
AB et au point A construisons un angle 544 égal à l'angler (25. 1) ; l'angle ΒΑΔ sera aigu. Du point A menons AE perpeudiculaire à ΑΔ (11. 1) ; coupons AB
en deux parties
laire à AB, et joignons HB.
commune , les deux droites az, ZH sont égales aux deux droites ΖΒ, AZH est égalàl'angle BzH ; donc la base AH est égale à la base
mais l'angle
\ HB (4. 1J. le point ΑΔ menée
égales. en Z (10. 1), Puisque Az est égal à zB, et que la droite ΖΗ est
Donc le cercle décrit du centre 8. Qu'il soit décrit, et qu'il soit ΑΒΕ, de l'extrémité 4 du diamètre AE est perpendiculaire a AE, la droite
et du point Ζ menons ZH pendicu- ZH ;
H, et de l'intervalle HA passera par et joignons EB. Puisque la droite
ΑΔ touchera le cercle (16. 5). Puisque la droite 44 touche le cercle ABE,
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
*
G LJ 3 / ἢ 3 e ποὖν κύκλου τοῦ ABE ἐφάπτεται! τις εὐθεῖα n S EUN ES \ \ 3: Wes, , P AA, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ TO À ἄφης εἰς To , ^ n , m c SR € ^ ABE κύκλον διῆηταί τις εὐθεῖα n AB* ἡ ἀρα ὑπὸ » e > m5 M , ΔΑΒ γωνία 174 ἐστὶ τῇ εν τῷ ἐναλλὰξ κύκλουϑ E dep s DONC HIT τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ AEB. AAA ἡ ὑπὸ ΔΑΒ ^ \ m 3 \ LA Na e M m 3} τῇ πρὸς τῷ Τ ἐστὶν Ion* καὶ ἡ πρὸς ΤΩ T ἀρὰ 7 à > Ἂς ΔΩ € \ \ - / γωνία ien ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. Emi τῆς δοθείσης » E * , 2 ἄρα εὐθείας τῆς ΑΒ τμῆμα κύκλου γέγραπται N / \ € \ ” e To AEB , δεχόμενον γωνίαν τήν ὑπὸ AEB σὴν TA HUNE PPM δοθείσῃ τῇ πρὸς τῷ T. \ Nos € M \ ! » Αλλὰ δὴ ὀρθὴ ἔστω ἡ πρὸς τῷ T° καὶ δέον ἔστω ͵ 33S ΩΣ ͵ 4 ; παλιν ἐστὶ τῆς AB γράψαι τρῆμα κύκλου de 1 ͵7 » ra \ ^ À 2087 , II χόμενον γῶν!αν ἰσὴν τῇ zpoz τῷ T Cpôn γωνίᾳ". M , - ^ ^ 3 “Ὁ 7 Συνεστάτω γὰρ Fa τῇ πρὸς τῷ T ὀρθῇ 202 eet Me 3d τε τες ; ia " uvzTo BAA , ὡς EYES ἐπὶ τῆς δευτέρας κατοῶ- - Ἂς , |] e Am nt b \ p \ γράφης , καὶ τετμησνω ἡ AB ὀΐχο κατα TO Z, καὶ ΄ \ ^ ny , d ^ κέντρῳ μεν τῷ Z5 oso THAM TE £ OFOTEPEO τῶν , TEL. , ZA, LB, xuxAoc γεγραφύω 0 ΑΕΒ. Εφαπτεται M EU TRES \ X. 3.- AN ἄρα ἡ ΑΔ εὐθεῖα τοῦ ΑΒΕ: κύκλου, dia τὸ ὀρθὲν "n ^ M ^. , ἋΣ oy 2 ^ e ^ εἰναι τὴν πρὸς TO À γωνίαν, Καὶ Ion ἐστον ἡ μὲν ε \ 9 Avo. , E 3 / A ὑπὸ ΒΑΔ γωνία τῇ ἐν To AEB τμήματι. ὀρθὴ M Ν SN ES € 7] Ων \ TEE yep καὶ αὐτῆ ἐν npUuxzuxAiQ 0904. ÁAAG καὶ ἢ
>
. ^ en A ^ 35, 113 ENS PUR > υπὸ ΒΑΔ τῇ πρίς τῷ Tic ἐστὶ . Καὶ "n cv
183 contactu ad A in ABE circulum ducta est aliqua AB, angulus utique AAB æqualis est angulo AEB in alterno circuli segmento. Sed AAB ipsi ad Tr est equalis; et ad T igitur angulus æqualis est ipsi AEB. Super datà igitur rectà AB seg- mentum circuli descriptum est AEB, capiens
angulum AEB «qualem dato ad r.
Sed et rectus sit ipse ad T' ; et oporteat rur- sus super AB describere segmentum circuli , capiens angulum æqualem ipsi ad T' recto an- gulo. Constituatur enim rursus ipsi ad T' recto angulus equalis BAA, ut se habet in secundá figurá , et secetur AB bifariam in Z , et cen- tro quidem Z, intervallo vero alterutrá ipsa- rum AZ, ZB, circulus describatur AEB ; con- tingitigitur AA recta ABE circulum, propterea quod rectus est ad A angulus. Et æqualis est quidem BAA angulus ipsi in AEB segmento , rectus enim et ipse est in semicirculo con-
sistens. Sed ΒΑΔ ipsi ad T qualis est ; et ipse
et que du point de contacten 4 on a méné une droite AB dans le cercle ABE, langle ΔΑΒ est égal à l’angie AEB placé dans le segment alterne du cercle (52. 5). Mais l'angle 448 est égal à l'angler; donc l'angle r est égal à l'angle AEB. Donc sur la droite donnée AB, on a décrit un segment de cercle AEB qui recoit un augle AEB égal à l'ange donné r.
Mais que l'angle r soit droit, et qu'il faille encore décrire sur la droite AB un segment de cercle qui recoive un angle égal à l'angle droit r. Cons- truisons un angle ΒΑΔ égal à l'angle droit r (25. 1), comme dans la seconde figure ; coupons AB en deux parties égales en z (10. 1); du centre z , et d'un intervalle égal à l'une ou à l’autre des droites ZA, z2 , décrivons le cercle AE8. La droite AA sera tangente au cercle ΑΒῈ (16. 5), parce que l'angle est droit en 4. Mais langle ΒΑΔ est égal à l'angle qui est placé dans le segment AE , car cet angle est droit, puisqu'il est placé dans un demi-cercle (5:. 5). Mais l'angle 544 est égal à l'angle r ; donc l'angle placé dans le segment est égal à l'angle r ,
184 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
M » E "5 2 \ M \ ^ ^
τῷ ΑΕΒ τμήματι ἀρὰ 105 ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Τ᾽"
» , 3 \ ^ es ^
γεγράπται pa πᾶλιν ἐπὶ τῆς AB τμῆμα uu-
M , , 5 ^ ^
κλου τὸ AEB, δεχόμενον γωνίαν ἴσην TA πρὸς
τῷ T.
N X e M ^ 3 ν᾽
Αλλὰ δὴ à πρὸς τῷ T ap eia ἔστω, καὶ
/ ἘΞ, ΕΣ ΝΣ d ἣν NI
συνεστάτω αὐτῇ 403 πρὸς τῇ ΑΒ εὐθεῖᾳ καὶ τῷ , ex e x La 1 3 \ ^
A σημείῳ 4 ὑπὸ ΒΑΔ, ὡς ἔχει ἐπεὶ τῆς τρίτης
^ \ ^ Ν 3 A\ Hi e καταγραφῆς.» καὶ Τῇ ΑΔ προς ορθάς ἤχθω #
in AEB segmento igilur æqualis est ipsi ad T. Descriptum est igitur rursus super AB segmen- tum circuli AEB , capiens angulum aequalem ipsi ad r.
Sed etiam. ad r obtusus sit » €t consti- tuatur ipsi æqualis ad AB rectam οἱ ad A punc- ium ipse ΒΑΔ, ut se habet in tertiá figurà , et
ipsi AA ad rectos ducatur AE » Οὗ secetur rur-
NM NU E b E e NK "B^ Im d | N Ἦν e
\ , 1 c , AE, καὶ τετμησίω πάλιν 4 AB δίχα κατὰ τὸ
Z; καὶ τῇ AB πρὸς ὀρθὰς ὄχθω ἡ ΖΗ. καὶ ἐπε- ζεύχθω à HB. Καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν à ΑΖ τῇ ZB, καὶ ποινὴ ἡ ZH, δύο δὴ αἱ ΑΖ. ΖΗ δυσὶ ταῖς ΒΖ. ZH ἴσαι εἰσὶ, καὶ γωνία 1!) ὑπὸ ΑΖΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ἴση" βάσις ἄρᾳ ἡ ΑΗ βάσει τῇ BH ἔση ἐστίν. O ἄρα κέντρῳ μὲν τῷ H, διαστήματι δὲ τῷ HA, κύκλος γραφόμενος
ἥξει καὶ διὰ Ü ἐσθω ὡς 0 AEB!Ó, Καὶ ζ | dit τοὺ B. Ἐρχέσθω ὡς ὁ AEB'0, Καὶ
sus AB bifariam in Z , ct ipsi AB ad rectos du- catur ZH , et jungatur HB. Et quoniam rursus æqualis est AZ ipsi ZB , et communis ZH , duæ utique AZ , ΖΗ duabus ΒΖ, ZH æquales sunt, et angulus ΑΖΗ angulo BZH æqualis ; basis igi- iur AH basi BH æqualis est. Ergo centro qui- dem H , intervallo vero HA , circulus descrip- ius transibit el per B. Transcat ut AEB. Et Quo-
niam ipsi AB diametro ab extremitate ad rec-
donc on a décrit sur la droite AB un segment de cercle AEB qui recoit un angle égal à l'angle droit r.
Mais enfin que l'angle r soit obtus. Sur la droite AB et au point A cons- truisons un angle 54^ égal à l'angle r (25. 1), et menons AE perpendiculaire à ΑΔ (11. 1) ; coupons ja droite 48 en deux parties égales en Z (10. 1); menons ZH perpendiculaire à ΑΒ (11. 1), et joignons HB. Puisque 47 est égal à zB, et queladroite ZH est commune , les deux droites Az , ZH sont égales aux deux droites ΒΖ, Zi ; mais langle ΑΖΗ est égal à l'angle Bzu; donc la base AH est égale à la base BH (4. 1). Donc le cercle décrit du point H et de l'intervalle HA passera par le point B. Qu'il y passe comme AEB , puisqu'on a mené de l'extrémité du
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 185 ἐπεὶ τῇ AE διαμέτρῳ am ἄκρας πρὸς ὀρθὰς tos ducta est AA, ipsa AA igilur contingit AEB era? ἡ AA, » AA dpa ἐφάπτεται τοῦ AEB circulum. Et a contactu ad A ducta est AB; κύκλου. Καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ A ἐπαφῆς din- Crgo ΒΑΔ angulus equalis est angulo consti- ὑπαὶ ἢ AB: ἄρα ὑπὸ ΒΑΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇοὀ iuto in alterno circuli segmento AOB. Sed ΒΑΔ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι τῷ ΑΘΒ
΄ , M € e A P , M συνισταμένη "yGYiG. AAA ἡ ὑπὸ ΒΑΔ Soyia TU
angulus ipsi ad P equalis est. Et ipse in AGB igitur segmento angulus æqualis est ipsi ad r. Ergo super datam rectam AB descriptum est
lum æ-
^ , X €» ^ Y Ax p
πρὸς τῷ T ἴση ἐστί" καὶ ἡ ἐν TG ΑΘΒ apa Tuil-
\ \ ^ 5 la : d ὸ Pu
ματι γωνία ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ T. Ev) τῆς segmentum circuli A@B, capiens angu 3 , , ! D H e
dpa δοθείσης εὐθείας" τῆς AB γεγράπτοι τμῆμα
, , » ^ \ κύκλου τὸ AOB, δεχόμενον γωνίαν ἰσὴν τῇ πρὸς
qualem ipsi ad T. Quod oportebat facere.
^v 5 4 τῷ T. Οπερ ἔδει ποιῆσαι.
HPOTAZIZ Ad". PR OOPOSITIO XXXIV.
Ἀπὸ τοῦ δοθέντος κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν. de- A dato circulo segmentum auferre , capiens χόμενον γωνίαν icuv τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὖθυ- angulum æqualem dato angulo rectilineo. γράμμῳ.
Ἔστω ὃ δοθεὶς κύκλος ὃ ABT, ἡ δὲ δοθεῖσα Sit datus circulus ABT , datus vero angulus
γωνία εὐθύγραμμος ἡ πρὸς τῷ A* dei δὴ ἀπὸ τοῦ — rectilineus ad A ; oportetigitur ab ABT circulo ABT κύκλου τμῆμα ἀφελεῖν. δεχόμενον γωνίαν — segmentum auferre, capiens angulum æqua-
LÀ b e M e a Es ἴσην τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ A1, — lem dato angulo rectilineo ad A.
diamètre AE, la droite 44 perpendiculaire à ce diamètre , la droite Aa touchera le cercle AEB (16. 5). Et puisque la droite AB a été menée du point de contact 4, langle ΒΑΔ est égal à l'angle placé dans le segment alterne ΑΘΒ du cercle. Mais l'angle Baa est égal à l'angle r ; donc l'angle placé dans le segment AGB est égal à l'angle r. Donc on a décrit sur la droite donnée ΑΒ un seg- ment de cercle 495, qui reçoit un angle égal à l'angle r. Ce qu'il fallait faire.
PROPOSITION X XXIV.
D'un cercle donné, retrancher un segment, qui reçoive un angle égal à un angle rectiligne donné.
Soit ΑΒΓ le cercle donné, et 4 l'angle rectiligne donné ; il faut du cercle ΑΒΓ retrancher un segment, qui reçoive un angle égal à l'angle rectiligne
donné 4.
24
186 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
^ , 3 , € Ἡχθω τοῦ ABT κύπλου3 ἐφαπτομένη n EZ κατὰ n Xx , \ D πὸ Β σημεῖον.» καὶ συνεστάπω πρὸς τῇ EZ εὐθείᾳ \ Ὁ \ JE , ^ -“ \ ^ καὶ τῷ πρὸς αὑτῇ σημείῳ TO B τῇ πρὸς τῷ Δ TUN es γῶν 101 n ὑπὸ ZET. \ Es , ^ 3 , , > Eyes οὖν xuxAcu Tou ΑΒΓ ἐφάπτεται τις &U-
€
n. N 3- X e \ Y -“ θα s EZ, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ B ἐπαφῆς
E] e - ἃ. ἃ Ax / , \ ὦ 3 ^ διῆκπαι d ΒΓ" 4 ὑπὸ ZBi apa ἴση ἰστὶ Τῇ ἐν τῷ
E Hr τ
à , BAT ἐναλλὰξ τμήματι συνισταμένη γωνίᾳ. Αλλ᾽ AC NA ^ \ ^ E Nay x 6.9 N 3» 070 ZBT τῇ πρὸς τῷ À EUTIV 4cn* καὶ n ey τῷ 3) , D , \ ^ ^ BAT epa τμήματι ἰσὴ ἐστὶ Ti πρὸς τῷ Δ γω- 159 yim. \ ^ , 4 , ^ ATO TOU δοθέντος ἄρα κύκλου τοῦ ΑΒΓ τμήμα , M LU DJ ἀφύρηται τὸ BAT, δεχόμενον γωνίαν ἴσὴν τῇ δὸ- e , e \ ^ θεῖσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ πρὸς τῷ À, Οπερ x ^ ἔδει ποιῆσαι.
Ducatur ipsum ABT circulum contingens EZ ad B punctum, et constituatur ad EZ rectam et ad punctum iu eà B ipsi ad A angulo æqua- lis ΖΒΓ,
Quoniam igitur circulum ΑΒΓ contingit ali- qua recta EZ , et a contactu ad B ducta est Br ;
ipse ΖΒΓ igitur æqualis est angulo constituto
in BAT alterno segmento. Sed ZBT ipsi ad A equalis est; et ipse in BAT igitur segmento æ-
qualis est ipsi ad Δ angulo.
A dato igitur circulo ABT segmentum abla- ium est BAT , capiens angulum æqualem ipsi dato angulo rectilineo ad A. Quod oportebat
facere.
Menons une droite Ez qui touche le cercle ΑΒΓ au point B (17. 5), et sur la droite Ez, et au point 5 de cette droite, faisons l'angle zer égal à l'angle
A (»5. 1).
Puisque la droite Ez touche le cercle ΑΒΓ, et que la droite Br a été menée du point de contact B , l'angle ΖΒΓ est égal à l'angle placé dans le segment
alterne BAr du cercle (52.
5). Mais l'angle ΖΒΓ est égal à l'angle 4 ; donc
l'angle placé dans le segment ΒΑΓ est égal à l'angle Δ.
Donc du
cercle donné ABr on a retranché un segment BAT, qui recoit
un angle égal à l'angle rectiligne donné 4. Ce qu'il fallait faire.
LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
HPOTAZIX X.
\ , , ,. , m , » , Ἐὰν ἐν κύκλῳ duo εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας. ^ e \ ^ D ^ , , τὸ ὑπὸ τῶν πῆς μιᾶς τμημάτων περιεχόμενον 3 , » 3 Ν ve \ c rs e , ὀρθογώνιον ἰσὸν ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν τῆς ETÉPAS TUH- , , L4 , μάτων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. M ^ ^ , 5 D e Ev yap τῷ κύκλῳ τῷ ΑΒΓΔ δύο εὐθεῖαι αἱ , , \ \
AT, BA τεμνετωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ E ση- veni eq τειν “τ P , z μείον" λεγωῦτι To U7r0 Y AE , ET περιεχόμενον
, , 72 > \ LCA ^ ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕ, EB σπε-
ριεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
Εἰ μὲν οὖν αἱ AT , BA διὰ τοῦ κέντρου εἰσὶν. ὥστε τὸ Ε κέντρον εἶναι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου" Qay epar ὅτι. ἴσων οὐσῶν τῶν AE, ET, AE, EB, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν AE , ET περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ
€ M ^ ^ > , Umo τῶν AE, EB περιεχύμενῳ ορθογωνίῳ.
187
PROPOSITIO ΧΧΧΥ.
Si in circulo. duæ recte sese secent, ipsum sub unius segmentis contentum rectangulum aequale est ipsi sub alterius segmentis contento rectangulo.
In circulo enim. ΑΒΓΔ duæ rectæ AT, BA sese secent in E puncto ; dico ipsum sub AE, ET contentnm rectangulum æquale esse ipsi
sub AE, EB contento rectangulo.
Si igitur ipsæ quidem AT, BA per centrum sunt, ila ut E centrum sit ipsius ΑΒΓΔ circuli ; mani- festum est az qualibus existentibus AE, ET, 4E, EB, et ipsum sub AE, ET contentum rectangulum
æquale esse ipsi sub AE , EB contento rectangulo. *
PROPOSITION XXXV.
Si dans un cercle, deux droites se coupent mutuellement, le rectangle compris sous les segments de l'une est égal au rectangle compris sous les seg-
meuts de l'autre.
Que dans le cercle ΑΒΓΔ les deux droites Ar, ΒΔ se coupent mutuellement au point E; je dis que le rectangle compris sous AE, Er est égal au rec-
tangle compris sous AE , EB.
Si les droites Ar , B^ passent par le centre, de manière que le pointE soit
le centre du cercle ΑΒΓΔ, il est évident que les droites AE, ET, AE , EB étant égales , le rectangle compris sous AE, Er est égal au rectangle compris sous AE , EB.
188 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Μὴ" ἔστωταν δὴ ai AT, AB dia τοῦ κέντρου. καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου , καὶ ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ L ἐπὶ τὰς AT, AB εὖ- θείας κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΖΗ. ZO, καὶ ἐπεζεύ- χθωσαν αἱ ZB, ZT , ΖΕ.
Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα Tic διὰ ποῦ κέντρου 2 ZH εὐθεάν τινα μὴ dia τοῦ κέντρου τὴν AT πρὸς
3 \ , x , 3 ^ , ^ » ὀρθὰς τέμνει. καὶ δίχα αὐτὴν τέμνει," ἰσὴ
ἄρα ἡ AH τῇ HT. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ AT τέτμη- ται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ H, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ To E, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν AE, ET περιεχόμενον ὁρ- θογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς HE τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς HT. Προσκείσθω κοινὸν πὸ ἀπὸ τῆς HL' τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν AE, ET μετὰ τῶν ἀπὸ" τῶν LH, HE ἴσονθ ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν TH, HZ. Αλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν EH, ΗΖ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς
πὰ δ AR ZE, τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν TH, HZ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ
Non sint autem AT, AB per centrum , et sumatur centrum ipsius ABTA circuli , et sit Z, eta Z ad AT , AB rectas perpendiculares du- cantur ΖΗ, ΖΘ, et jungantur ΖΒ, ΖΓ, ZE.
Et quoniam recta aliqua ΖΗ per centrum rec- tam aliquam AT non per centrum ad rectos
secat, et bifariam ipsam secat; æqualis igitur
AH ipsi HT.
Quoniam igitur AT secta est in aequalia quidem in H , in inzqualia vero in E, ipsum utique sub AE, ET contentum rectan- gulum cum ipso ex HE quadrato «quale est ipsi ex HT. Commune addatur ipsum ex HZ; ip- sum igitur sub AE, ET cum ipsis ex ZH , HE a quale est ipsis ex TH, HZ. Sed ipsis quidem ex EH, HZ est æquale ipsum ex ZE, ipsis vero
ex ΓΗ, HZ æquale estipsi ex ZT ; ipsum igitur
Mais que les droites AT, ΔΒ ne passent pas par le centre; prenons le centre du cercle ΑΒΓΔ (1. 5), quil soit le point z ; du point z menons les droites ZH , ZO perpendiculaires à AT, AB (12. 1), et joignons ZB , ZT, ZE.
Puisque la droite ΖΗ menée par le centre coupe à angles droits la non menée par le centre, elle la coupe AH est égal à Hr. Puisque ar est coupé deux parties inégales en E , le rectangle de HE, est égal au quarré de nr (5. 2).
droite AT 5) ; donc en deux parties égales en H, et en
en deux parties égales (5.
compris sous AE , ET, avec le quarré Ajoutons le quarré commun de ΗΖ ;
le rectangle sous AE, Er, avec les quarrés des droites ZH, HE sera égal aux quarrés des droites rH , Hz. Mais le quarré de ZE est égal aux quarrés des droites EH , HZ (47. 1), et le quarré de zr égal aux quarrés des droites rH,
LE TROISIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
4 e M ^ M ^-^ 3 \ τῆς ZI* τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν AE, ET μετά τοῦ ἀπὸ , 3 Ν -“ 2 \ M A e ^ τῆς ZE ἴσον ἐστὶ TQ ἀπὸ τῆς ZT. In δὲ ἡ ZT τῇ M ce \ 99 A ^ ZB* τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν AE, ET era τοῦ aa τῆς EZ L4 ἊΣ x \ SA \ X ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ZB. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ^ M € 9 \ ^ x τὸ ὑπὸ τῶν AE, EB μετὰ ToU ἀπο τῆς LE σὸν ^ \ ^ , τ, - N M ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς LB. Ἐδείχθη δὲ ὁτι7 καὶ τὸ CELA ^ \ CONTE ^ See af , \ ὑπὸ τῶν AE, ET μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ZE ἰσὸν ἐστι ^ ^ ^ M EU € Y ^ : M τῷ ἀπὸ τῆς ZB' τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν AE, ET μετὰ ^ ^ 3, > \ ^ € A ^ τοῦ ἀπὸ τῆς LE ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔῈΝ ΕΒ M —- 9 M ^ \ > cb > M pera ToU απὸ τῆς ΖΕ" Koivov ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ
; τῆς LE* λοιπὸν de τὸ ὑπὸ τῶν AE , ET πε ἐρεχομες Boys vicy ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν AE, EB 7e
.
atc
ομένῳ ὀρθογωνΐ de. Ἐὰν ἄρα ἐν κύκλῳ, καὶπ evi ὁρῦ07 ep
M
IPOTAZIZ 2g. ὃ
M det ^ τ 2 A \ Ἐὰν κύκλου ληφθῇ i σήμεῖον ἐκτὸς) καὶ 3173 3 ^ \ \ , , , «7 αὐτοῦ πρὸς TOY XKUZAOV προσπίπτωσι δύο nv xe \ 2 δὲ σῷ , \ , εὐθεῖαι. καὶ ἡ μὲν αὐτῶν τέμνῃ τὸν κύκλον, Ce Or? Ne LT LS ἡ δὲ ἐφάπτηται" ἔσται τὸ ὑπὸ CANÇ τῆς τεμν
, oU- S £^ σης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμᾷξανομέ ενῆς μεταζυ
Hz; donc le rectangle sous AE
» ET, avec le quarré de ZE,
189 sub AE, ET cum ipso ex ΖΕ, æquale cst ipsi Zr. Æqualis autem ZT ipsi ΖΒ, ipsum igitur sub AE, ET cum ipso ex EZ æquale est ipsi ex ZB. Propter eadem utique et ipsum sub AE , EB cum ipso ex ZE æquale est ipsi ex ZB, Os- tensum est autem ct ipsum sub AE ET cum ipso ex ZE æquale esse ipsi ex ZB; ipsum igi- tur sub AE, ET cum ipso ex ZE æquale est ipsi sub AE, EB cum ipso ex ZE. Commune au- feratur ipsum ex ΖΕ ; reliquum igitur sub AE, ET contentum rectangulum æquale est ipsi sub AE, EB contento rectangulo. Si igitur in circulo , etc.
PISO P'OSITIO XXXy!
Si extra circulum sumatur aliquod punctum , et ab eo in circulum cadant duæ rectæ , et una quidem earum secet circulum, altera vero con- üngat; erit ipsum sub totà sccante et ipsáà ex-
terius sumptà inter et punctum et convexam
est égal au quarré
de zr. Mais zr est égal à zB ; donc le rectangle sous AE, Er, avec le
quarré de EZ, est égal au quarré de zB. Par la méme raison, le rectangle sous AE, EB , avec le quarré de ΖΕ, est égal au quarré de z5. Mais on a dé- montré que le rectangle sous AE, ET , avec A quarré de ΖΕ, est égal au quarré de zB; donc le rectangle sous AE, Er, avec le quarré de ZE est égal au rectangle sous ΔῈ, EB, avec le quarré de ZE. Retranchons le quarré commun de ZE; le rectangle restant compris sous AE
> ET sera égal au rectangle com- pris sous AE, ΕΒ. Donc , etc.
PROPOSITION XXXVI.
Si l'on prend un point quelconque hors du cercle, et si de ce point on mène deux droites dont l'une coupe le cercle, et dont l’autre lui soit tan- gente, le rectangle compris sous la sécante entière et la droite prise exté-
190 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
^ D \ M / τοῦτε cupasiou καὶ τῆς πυρτῆς vripiQepesae σπτε- , 3 , I ” e 9 ^ ^ 3 Pre 64e ov ὀρθογώνιον σὸν τῷ απὸ τῆς ἐφαπτο- , , μένης τετραγῶνῳ- - \ EJ , , , \ Κύκλου yap τοῦ ABT εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς A Ν 3 \ ^ \ \ , τὸ Δ, καὶ ἀπὸ TOU À σρὸς τὸν ABT κυπλον zz pos , , 2 ^. e \ € \ πιπτέτωσαν do εὐθεῖαι αἱ ATA, AB° καὶ a μὲν , \ / ew ; / ATA τεμνέτω TOY ΑΒΓ χύκλον. n δὲ AB ἐφαπτέ- , et \ € \ ^ σθω" λέγω ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν AA, AT περιεχόμενον 2 M ^ 7 \ ^ ,
Δ... » ; ϑογῶνιον σὸν ἐστὲ τῷ ἀπὸ τῆς ΔῈ τ
[ E \ H ἄρα ATA? ἤτοι δια
, \ ^ , \ st * Esro 7 τερον διὰ του κπεύτρους καὶ εἐστῶ TO
e ; , v ld , n AT δίχα τετμήται κατὰ τὸ Ly, πρόσκειται
\ 3 ^ € A ELA € A ^ p δὲ αὐτῇ ἡ TA* τὸ dpæ ὑπὸ τῶν ΑΔ. AI?
circumferentiam contentum rectangulum a quale
ipsi ex contingente quadrato.
Extra circulum ABT sumatur aliquod punc-
tum A, eta Δ ad ABT circulum cadant dum
recte ATA , AB , et ipsa quidem ATA secet ΑΒΓ
circulum , ipsa vero AB contingat ; dico ipsum sub AA, AT contentum rectangulum æquale esse ipsi ex AB quadrato. Ipsa igitur ATA vel
per centrum est, vel non.
Sit primum per centrum, et sit Z centrum ipsius ABT circuli , et jungatur ZB ; rectus igi- tur est ZBA. Et quoniam recta AT bifariam secta estin Z, adjicitur vero ipsi ipsa TA; ipsum igi.
tur sub AA, AT cum ipso ex ΖΓ æquale est ipsi
στὶ τῷ ἀπὸ cx ΖΔ. Æqualis autem ΖΤ' ipsi ZB ; ipsum igi-
M ἀφ .3 \ 22 » ^ μετὰ TOU ἀπὸ τῆς ZT σὸν τῆς ZA,
B 4 Ira δὲ ZT τῇ ZB* τὸ dpa ὑπὸ τῶν AA, AT uera — tursub AA, AT cum ipso ex ZB æquale est ipsi
rieurement entre ce point et la circonférence convexe est égal au quarré de la tangente.
Hors du cercle 45r, prenons un point quelconque Δ, et de ce point me- nonsles deux droites 4rA, ΔΒ; que la droite ΔΓᾺ coupe le cercle ΑΒΓ, et que la droite 45 lui soit tangente; je dis que le rectangle compris sous 44, ar est égal au quarré de 45, soit que la droite ATA passe par le centre, où non.
Qu'clle passe premièrement par le centre du cercle, et que z soit le centre du cercle ABT, joignons Z5 ; l'angle zB^ sera droit (18. 5). Et puisque la droite AT est coupée en deux parties égales au point Z, et que la droite ra lui est ajoutée, le rectangle sous 44, ar, avec le quarré de Zr, est égal au quarré de z4 (6. 2). Mais la droite zr est égale à la droite zB; donc le rectangle
Ü
ἢ LE TROISIEME LIVRE DES c^ M D > \ CNE ZE" ^ ru ToU ἀπὸ τὴς LB icov ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ZA. TO D 4 3 N \, , b m δὲ ἀπὸ τῆς LA ioa ἐστὶ ταὶ ἀπὸ τῶν ZB, BA, ^ ε \ [4 \ [4 \ ^ ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ LBA?' τὸ ἀρα ὑπὸ τῶν A^, AT CARRE TAN FA » DEAN CNRC AU ^ μετὰ TOU ἀπὸ τῆς LB σὸν 607) τοῖς ἀπὸ τῶν M 3 , X > \ ^ ZB, BA. Κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ απὸ τῆς 28" λοι- » Are \ ev » , \ ^ 3 \ πὸν ἄρα τὸουπὸ τῶν ΑΔ, AT σὸν ἐστί τῷ ἀπὸ ^ , 3 πῆς AB ἐφαπτομενῆς. \ Ne \ NA Moo, D AAAd δὴ ἡ ATA μὴ ἔστω δια τοῦ πεντρου TOU N N \ ABT κύκλου. καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον TO E, καὶ ^ M , 3, ε N ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὴν AT κάθετος ἤχθω n EZ, καὶ 32 * , € ? M y 3 N € ἐπεζεύχθωσαν αἱ EB, ET, EA* ὀρθή ἄρα ἐστὶν ἡ GS A Δ N hr!’ \ ^ , ὑπὸ EZA. Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα τις dia τοῦ κεντρου ε D \ M ^4 , \ x ἡ EZ εὐθεῖάν τινα μὴ δια τοῦ xevvpou τὴν AT Y > \ , \ 4 3 \ n e A πρὸς ὀρθὰς τέμνει. καὶ δίχα αὐτὴν τεμεῖ" n AZ 3 ^ ) N L9 \ 3 Di € , dra τῇ ZT ἐστὶν ἴση. Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα à AT τέτμη-
6 m
— - | Le ES à Ὁ RI R E a, e
/ \ M DJ Tui δίχα κατα τὸ L σημεῖον ec te SUE dn Me ROUES \ s αὐτῇ ἡ TA° τὸ ὅρα ὑπὸ τῶν AA, AT μετὰ τοῦ N D / > \ CEE ^ " 2, ^ ἀπὸ τῆς ZT ἴσον ἐστὶ τῷ απὸ τῆς ZA. Koivoy / Ww D \ "us \ ε \ ^ προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς LE* τὸ “pa ὑπὸ τῶν AA, \ ^ 3 \ m » Qo? \ E AT μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν IZ, ZE σον’ ἐστί τοῖς
ἀπὸ τῶν AL, LE. Αλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν TL, ZE
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 191 ex ZA. Ipsi vero ex ZA æqualia sunt ipsa exZB , BA , rectus enim ipse ZBA ; ipsum igitur sub AA, AT cum ipso ex ZB æquale est ipsis ex ΖΒ, BA, Commune auferatur ipsum ex ZB ; reliquum igi- tur sub AA, AT æquale est ipsi ex AB contin- gente.
Sed et ATA non sit per centrum ipsius ΑΒΓ circuli , et sumatur centrum E , et ex Ead AT perpendicularis ducatur EZ, ct jungantur EB, ET, EA; rectus igilur est ΕΖΔ, Et quoniam recta aliqua EZ per centrum rectam aliquam AT non per centrum ad rectos secat, οἱ bifa- riam ipsam secabit; AZ igitur ipsi ZT est æqua- lis. Et quoniam recta AT secatur bifariam in Z puncto, adjicilur vero ipsi ipsa ΓΔ; ipsum igitur sub AA, AT cum ipso ZT «quale est ipsi ex Z^. Commune addatur ex ZE; ipsum igitur sub AA, AT cum ipsis ex TZ , ZE æquale est ipsis ex AZ , ΖΕ, Sed ipsis ex TZ, ZE æquale
est ipsum ex ET , rectus enim EZT angulus ; ip-
sous AA, AT, avec le quarré de ZB, est égal au quarré de ΖΔ. Mais les quarrés des droites ZB, BA sont égaux au quarré de ZA (47. 1), car l'angle zBA est droit; donc le rectangle sous ΑΔ, ar, avec le quarré de zB, est égal aux quarrés des droites ZB, BA. Retranchons le quarré commun de zs, le rec- tangle restant sous A^, AT sera égal au quarré de la tangente 48.
Mais que la droite ArA ne passe pas par le centre du cercle ΑΒΓ; prenons le centre E, et du point E menons EZ perpendiculaire à Ar (12. 1), et joignons EB, ET, ἘΔ; l'angle ΕΖΔ sera droit. Et puisque la droite Ez menée par le centre coupe à angles droits Ja droite 4r non menée par le centre, la droite Ez coupe la droite AT en deux parties égales (5. 5) ; donc la droite Az est égale à la droite zr. Ft puisque la droite Ar est coupée en deux parties égales au point z, et que la droite rA lui est ajoutée, le rectangle sous les droites A^, ar, avec le quarré de zr, est égal au quarré de za (6. 2). Ajoutons le quarré commun de ZE; le rectangle sous:A4, AT, avec les quarrés des droites TZ, ZE, sera égal aux quarrés des droites AZ, ΖΕ. Mais le quarré de Er est égal aux quarrés de rz , zE (47. 1), car l'angle Ezr
192 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
5 NÉS AIS Sing vie ΤῊ εὖ CAL Ἢ ἐσὸν τὸ απὸ τῆς ET , ρθη γὰρ ἡ ὑπὸ EZT γωνία" ^ ἃ, (50. ἢ ^ » > \ METUS ^ τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΔΖ. ΖΕ {σὸν ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς
Q \ 14 € \ e \ Le \ ^ EA9* τὸ ape υπὸ τῶν AA, AT Mera του ἀπὸ τῆς » > \ CES ^ arce ^ ET σὸν ἐστὶ τῷ απὸ τῆς EA. Ion δὲ ἡ ἘΓ TA EB*
\ C; € \ ^ \ mn 2 \ e τὸ ἀρὰ ὑπὸ τῶν ΑΔ. AT μετὰ TOU ἀπὸ τῆς EB
Y ^ 1 E \ \ ^ ” σον ἐστὶ TQ ἀπὸ τῆς EA. TG dé ἀπὸ τῆς EA ἰσὰ Ν , ^ ^ >» f Ν \ € € ^ 97i τὰ ἀπὸ τῶν EB , BA, cpJa 2p n ὑπὸ ἘΒᾺ # € M \ RD A γωνία" τῷ ἀρα ὑπὸ τῶν AA, AT μετὰ τοῦ «πὸ ^ ? A e 5 x - \ τῆς EB ἴσον ἐστὶ Tois ἀπὸ τῶν EB, BA, xosvor ^ , M 5 M m M 3! Y € ^ ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ED* λοιπὸν cpz τὸ ὑπὸ = " » \ » 0X e " Ny τῶν AA, AT σὸν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς AB. Ἐὰν ἀρὰ
XUXAQU , καὶ τὰ εζῆςε HnPOTAZzIX oL ^ Li AN [ad 3, ^ ? \ δὲ Ἐὰν κυκλοὺυ AnQU TI σήμειον EXTOS, C70 Ót
- \ \ Ea ἢ v του σημείου πρὸς TOY κυκλοῦν TPROTTIT TOC! δύο
nn" UN COP » 0^ , An e TU εὐθεῖαι. καὶ ἡ μεν αυτῶν "TES TOY XUXAOY, "0o€
αν
sis autera ex AZ, ZE æquale est ipsum ex EA. Ipsum igitur sub AA, AT cum Ipso ex ET æ- quale est ipsi ex EA. Æqualis autem. Er ipsi EB ; ipsum igitur AA, AT cum Ipso ex EB ὦ-
quale est ipsi ex EA. Ipsi auteia ex EA æqua-
B A
E
lia sunt ipsa ex EB, BA , rectus enim EBA an- gulus ; ipsun igitur sub AA, AT cum ipso ex EB æquale est ipsis ex EB , BA. Cominune ai- feratur ipsum ex EB ; reliquum igitur sub AA, AT æquale est ipsi ex AB. Si igitur extra cir-
culum , etc.
PROPOSITIO XXXVII.
Si extra circulum sumatur aliquod punctum , cx puncto autem in circulum cadant duæ recte,
et una quidein earum secet circulum altera, vero
est droit, et le quarré de Ea est égal aux quarrés des droites az, ZE; donc le rectangle sous ΑΔ, AT, avec le quarré de Er, est égal au quarré de ἘΔ. Mais Er est égal à EB; donc le rectangle sous A4, AT, avec le quarré de EB est égal au quarré de Es. Mais les quarrés des droites EB, ΒΔ sont égaux au quarré de ἘΔ (47. 1), car l'angle EBA est droit; donc le rectangle sous ΑΔ, ar, avec le quarré EB , est égal aux quarrés des droites EB, ΒΔ. Retranchons le quarré commun de EB, le rectangle restant sous A^, AT sera égal au quarré de 48. Donc, etc.
PROPOSITION XXXV IL.
Si l'on prend un point quelconque hors d'un cercle, et si de ce point on mène deux droites dont l'une coupe ce cercle, et dont l'angle tombe sur
LE TROISIÈME LIVRE DES
y NULS ER »Νν d ^ ,
προσπίπτῃ. Ju δὲ τὸ ὑπὸ τῆς OANc τῆς! τεμνου-
Ν ^ > \ 5» » , À Z^
σης καὶ τῆς ἐκτὸς ἀπολαμανομενὴς μεταξυ / \ - ^ / 9,
τοῦ τε σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας 100v
^ EJ \ ^ , e , τῷ απὸ τῆς προτπιπτουσῆς" ἢ προσπίπτουσα
um VA? ἐφόψοται του κυκλου.
A
ΔΙᾺ τεμυέτω τὸν κύκλον». ἡ δὲ AB προσπιπτέτω, ἔστω δὲ τὸ ὑπὸ τῶν AA, AT? ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς AB* λέγω ὅτι ἡ ΔΒ ἐφάπτεται τοῦ ΑΒΓ κύκλου.
Ηχθω γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτομένη ἡ AE, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ ΑΒΓ κύκλου. καὶ ἔστω τὸ Z5, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ LE, ZB, ZA' ἡ ἄρα ὑπὸ ΖΕΔ ὀρθή ἐστι.
Καὶ ἐπεὶ ἡ ΔῈ ἐφάπτεται τοῦ ABT κύκλου.
τέμνει δὲ à ATA* τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν AA, AT ἴσον
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
in eum cadat , sit autem ipsum sub totà secante
103
et ipsà exterius sumptà inter et punctum et con- vesam circumferentiam æquale ipsi ex incidente;
incidens continget circulum.
Extra circulum ABT sumatur aliquod punc, tum A, et ex A in ABT circulum incidant duæ
recte ATA, AB, et ipsa quidem ΔΙᾺ secet
circulum , ipsa vero AB in eum incidat, sit aujem ipsum sub AA, AT æquale ipsi ex AB; dico ipsam AB contingere ΑΒΓ circulum.
Ducatur enim ipsum ABT contingens ipsa AE, et sumatur centrum circuli ABL, et sit Z,et jungantur ΖΕ, ZB, ZA; ipse igitur ΖΕΔ reclus est.
Et quoniam AE contingit ABT circulum , se-
cat autem ipsa ΔΙᾺ ; ipsum igitur. sub AA, Ar
ce cercle, et si le rectangle sous la sécante entière et la droite prise extá- rieurement entre ce point et la circonférence convexe est égal au quarré de la droite qui tombe sur ce cercle, la droite qui tombe sur le cercle sera tan- geute à ce cercle.
Hors du cercle ABr prenons un point quelconque ^ , et menons de ce point les deux droites arA, ΔΒ, que la droite ArA coupe le cercle, et que la droite AB tombe sur le cercle; que le rectangle sous 44, ar soit égal au quarré de AB; 16 dis que la droite AB est tangente au cercle ΑΒΓ.
Menons la droite AE tangente au cercle ΑΒΓ (17. 5), prenons le centre du cercle ABr (1. 5) , qu'il soit z ; joignons ZE, ZB, Za ; l'angle zEa sera droit (18. 5).
Puisque AE touche le cercle ΑΒΓ, et que ΔΙᾺ le coupe, le rectangle sous AA ,
29
194 LE TROISIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς AE. Hy dé xai τὸ ὑπὸ τῶν AA, AT ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς AB' τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΕ ἴσον ἐστὶν" τῷ ἀπὸ τῆς AB' ica ὄρα ἡ AE τῇ AB. Ἐστι δὲ καὶ ἡ ZE τῇ ZB ἴση. δύο δὴ αἱ AE, EZ δυσὶ ταῖς AB, ΒΖ ἴσαι «ici, καὶ βάσις
^M eL / 3! eue ^ f. / αὐτῶν κοινὴ ἡ ZA, Tovix apz ἡ ὑπὸ AEZ γωνίᾳ
aequale est ipsi ex AE. Erat autem et ipsum sub AA, AT æquale ipsi ex AB ; ipsum igitur ex AE æquale est ipsi ex AB; æqualis izitur. AE ipsi AB. Est autem et ZE ipsi ZB :qualis , duæ igitur AE , EZ duabus AB , ΒΖ equales sunt ,
ct basis ipsarum communis ZA ; angulus igitur
€x E -— VS cede X » M τῇ ὑπὸ ABL ἐστὶν ἴση. Ορθὴ δὲ ἡ ὑπὸ AEZ* ὀρθὴ ! \ MEE e , ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ABZ. Καὶ ἔστιν ἡ ΒΖ ἐκξαλλο- « ^ ^ , ^ , μένη διάμετρος, ἡ δὲ τὴ διαμέτρῳ τοῦ κυκλου E Mae j dA S πρὸς ὀρθὰς ἀπ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται καὶ A n ξ NS ED / Toy κυκλου" n AB apa ἐφάπτεται Tou ΑΒΓ κυ- , A , » \ , , \ xAou. Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται xay TO κέντρον ἐπὶ
^ , \ 5! , Ν \ een τῆς AT τυγχάνῃ. Eay ἄρα zURAOU, καὶ τὰ eC uc.
AEZ angulo ABZ est æqualis. Rectus
AEZ ; rectus Igitur et ABZ. Et est ΒΖ producta
autem
diameter, ipsa vero diametro circuli ab extre- mitate ducta contingit et circulum ; ipsa AB igitur contingit. ABT circulum. Similiter autem ostendemus , et si centrum in AT sit, Si igitur
extra circulum , etc.
AT est égal au quarré de δὲ (56. 5). Mais le rectangle sous Aa, AT est égal au quarré de ΔΒ; donc le quarré de ΔῈ est égal au quarré de ΔΒ; donc AE est égal à A5. Mais ZE est égal à zB ; donc les deux droites AE, Ez sont égales aux deux droites A2 , Bz ; mais la baseza est commune ; donc l'angle ΔῈΖ est égal ἃ l'angle ABz (8. 1)- Mais l'angle ΔῈΖ est droit; donc l'angle ABZ est droit aussi. Mais la droite ΒΖ prolongée est un diametre, et une droite perpendiculaire au diamètre etmence d'une de ses extrémités est tangente aucercle (16. 5). Donc la droite ΔΒ est tangente au cercle ΑΒΓ. La démonstration serait la méme si le centre était dans ar. Donc, etc.
FIN DU TROISIÈME LIVRE.
EUCLIDIS
ELEMENTORUM LI Bou À PT US.
(^A A HLAALAL 7A AL AAA
OPOI. DEFINITIONES. - sn! ^ , SX m . N où D A:
a. Σχῆμα εὐθύγραμμον εἰς σχῆμα εὐθύγραμ- 1. Figura recülinea in figurá rectilineà in«- μον ἐγγράφεσθαι λέγεται, ὅταν ἑκάστη τῶν τοῦ Cribi dicitur , quando unusquisque inscriptæ 3 , , s €i) Ὁ "p anenlor 1 3 IDsi ἐγγραφομένου σχήματος γωνιῶν ἑκάστης πλευ-. figuræ angulorum unumquodque latus ipsius
a5 ^ a» , el J A = Pire 4 c E pic τοῦ εἰς ὃ ἐγγράφεται ar TWTAL. in quà inscribitur contingit. t VUE : M ΙΕ ΤῈ 3
B. Σχῆμα ὃς ὁμοίως περὶ σχῆμα Trepi pz 2. Figura autem similiter circa figuram cir- φεσθα, λέγεται. OTay ἑκάστη πλευρὰ τοῦ πε- Cumscribi dicitur , quando unumquodque latus
, € ἢ - \ 4 4 dcs ee prypeespsvou «καστῆς γωνίας TOU περι [] περι- circumscriptee unumquemque angulum 1psius γράφεται ἅπτηται, circa quam circumscribitur contingit.
LIVRE QUATRIEME DES ELÉMENTS D'EUCLIDE.
DÉFINITIONS.
1. Une figure rectiligne est dite inscrite dans une figure rectiligne , lorsque chacun des angles de la figure inscrite touche chaque côté de celle dans laquelle elle est inscrite.
2. Semblablement une figure est dite circonscrite à une figure, lorsque chaque cóté de la figure circonscrite touche chaque angle de la figure à laquelle elle est circonscrite.
196 LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
DR της OA. > y. Σχῆμα di εὐθὺ) ρβάμμον εἰς πῦπλον ἐγγρα-- za E f, y “5 φεσθαι λέγέται. ταν EXATTA γωνία τοῦ εγγρα- , “ - Kv ἢ ; φομίνου ATTATAI τῆς τοῦ KURAOU περιφερείας, , m X. T^ KCN TA δ᾽, Σχῆμα δὲ εὐθύγραμμον περὶ κύκλον πε- / , e zr ' ^ p γράφεσθαι λεγεται. OTAY EHAOCTN πλευρὰ TOU , > e e Per περιγραφομενου ἐφαπτήται τῆς TOU κύκλου πε- » ς ‘ 2 pigspeiac. ἘΣ ἢ No» = δι ἢ οὖ > , € Κύκλος δὲ εἰς σχῆμα ομοίως λέγεται ἐγγρα- φεσθαι. ὅτα" ἡ τοῦ κύκλου περιφερεια exaoTMc Um ^ à ; πλευρᾶς TCU εἰς ὃ ἐγγράφεται ἅπτηται. ,/ , ) \ à ; / c. Κύκλος δὲ περὶ σχῆμα περιγράφεσθαι λε- “ e AMI , m y*T44, ὁταν ἡ TOU XUXACU περιφερεία EXACTHE / ^ Nets $ e γωνίας TOU περὶ 0 περιγράφεται acr TIC. 5 ^ , x ©. Εὐθεῖα εἰς κύκλον ἐναρμόζεσθαι λέγεται.
» “ \ , am νον τοὺς S F ᾿ OTAY τὰ πέρατα αὐτῆς ἐπὶ τὴς περιφερείας ἡ "m
του XUXACU,
IIPOTAZIEZ.«.
. \ , "E κ᾿ n E / Y Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ. μὴ / 3, lod re , , »
μείζονι ουσῃ τῆς τοῦ κυπλου διαμέτρου, σὴν
^ E / εὐθεῖαν «γναρμόοσα!-
5. Figura vero rectilinea in circulo inscribi dicitur, quando unusquisque angulus circum- scriplæ contingit circuli circumferentiam.
4. Figura autem recülinea circá circulum cir- cumscribl dicitur, quando unumquodque latus
circumscripte contingit circuli circumferentiam.
5. Circulus vero in figurà similiter. dicitur inscribi , quando circuli circumferentia unum- quodque latus ipsius in quá inscribitur contingit.
6. Circulus autem circa figuram circumscribi dicitur, quando circuli circumferentia unum- quemque angulum ipsius circa quam circum- scribitur contingit.
7. Recta in circulo aptari dicitur , quaudo
termin ejus in circumferentià sunt circuli.
PROPOSITIO 1
In dato circulo datz rect: , non majori exis-
tenti circuli diametro , qualem rectam aptare.
5. Une figure rectiligne est dite inscrite dans un cercle, lorsque chaque angle de la figure inscrite touche la circonférence de ce cercle.
4. Une figure rectiligne est dite circonscrite à un cercle, lorsque chaque côté de la figure circonscrite touche la circonférence de ce cercle.
5. Semblablement un cercle est dit inscrit dans une figure rectiligne, lors- que la circonférence du cercle touche chaque côté de la figure dans laquelle
il est inscrit.
6. Un cercle est dit circonscrit à une figure, lorsque la circonférence du cercle touche chaque angle de la figure à laquelle il est circonscrit.
7. Une droite est dite adaptée dans un cercle, lorsque ses extrémités sont
dans la circonférence de ce cercle.
PROPOSITION PREMIERE.
Dans un cercle donné, adapter une droite égale à une droite donnée, qui
n'est pas plus grande que le diamètre.
LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 197
. , € τι RYE IS » Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ABT , ἡ δὲ δοθεῖσα eu- em ^ ΤΣ ^ L2 , , 5 . θεῖα μὴ μείζων τὴς τοῦ κύκλου διαμέτρου à Δ D \ 3 M , ^ 3 / 5», à dvi δὴ eic τὸν ABT κύκλον Th À εὐθείᾳ ica EU- D 3 , θεῖαν ἐνοαρμόσαι. ^ un oJ «ε » Ἤχθω τοῦ ABT κύκλου διάμετρος ἡ BT. Ei \ œ L4 3 Ν ε ^ \ ^ » μὲν οὖν son ἐστὶν Ἡ ΒΓ τῇ A, γεγονὸς ἂν em Ax , 2 , \ 5 M , τὸ ἐπιταχθέν. ἐνήρμοσται γάρ εἰς τὸν ABT κυ- ^ 3 E € 5 A 73 3 \ κλὸν τῇ À εὐθείᾳ ἴση ἡ BT. Ei dv! μείζων ἐστιν
ε m D ^ » - \ , ἡ BT τῆς A, κείσθω τῇ Δ i69 ἢ. TE, καὶ κεγ-
Ἴρῳ μὲν" τῷ T, διαστήματι δὲ τῷ TE κύκλος γεγράφθω ὁ AEZ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΤΑ.
Ἐπεὶ οὖν τὸ T. σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ AEZ κύ- “ou, icu ἐστὶν ἡ ΤΑ τῇ ΤΕ. Αλλὰ τῇ Δ ἡ ΤΕΊ ἐστὶν ἴση" καὶ ἡ Δ ἄρα τῇ ΤΑ ἐστὶν ἴση.
Εἰς ἄρα τὸν δυθέντα κύκλον τὸν ABT , τῇ δὸ- θείσῃ εὐθείᾳ τῇ AD, dou ἐνήρμοσται ἡ TA. Οπερ
LÀ ^ ἔδει ποιῆσαι.
Sit datus circulus ΑΒΓ, data autem recta A non major circuli diametro ; oportet igitur in ABT circulo ipsi A recte zqualem rectam aptare.
Ducatur ABT circuli diameter ΒΓ. Si qui- dem igitur æqualis est BT ipsi Δ, faclum crit propositum. Aptata cst enim in ABT circulo ipsi A recte equalis BT. Si vero major est ΒΓ ipsá
A, ponatur ipsi À «qualis TE, et centro
quidem T , intervallo vero TE, circulus descri- batur AEZ, et juagatur ΓΑ.
Quoniam igitur P punctum centrum est ipsius AEZ circuli , æqualis est PA ipsi FE. Sed ipsi Δ ipsa 'Eest qualis; et A igitur ipsi A esta qualis.
In dato igitur circulo ABT , date rectæ A, æqualis aptata est TA, Quod oportebat facere.
Soit ΑΒΓ le cercle donné, et ^ la droite donnée, qui n'est pas plus grande que le diamètre de ce cercle; il faut dans le cercle ABr adapter une droite égale à la droite Δ.
Menons le diamètre Br du cercle ΑΒΓ. Si la droite Br est égale à la droite A, on aura fait ce qui était proposé. Car on aura adapté dans le cercle ΑΒΓ, une droite Br égale à la droite 4. Mais si la droite Br est plus grande que la droite ^, faisons TE égal à A (5. 1), du centre r et de l'intervalle TE décrivons le cercle AEZ, et joignons ra.
Puisque le point r est le centre du cercle AEz, la droite r4 est égale à la droite TE; mais A est égal à TE; donc Δ est égalàra.
Donc dans le cercle donné ΑΒΓ on a adapté une droite rA égale à la droite donnée δ. Ce qu'il fallait faire.
198 LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ILDOIUAS β΄.
\ , ; ^ , , Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τῷ δοθέντι τριγώνῳ , / L "A icoywVI 0 τρίγωνον ἐγγράψαι. " \ , e " . Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος 0 ABT, τὸ d: δοθ:ν X m ES \ PO. τρίγωνον τὸ AEZ' def du εἰς τὸν ABT κύκλον
τ : tr τῷ AEZ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγράψαι.
Ἤχθω τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφαπτομένη " HO κατὰ τὸ À , καὶ συνεστάτω πρὺς! τῇ ΑΘ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α τῇ ὑπὸ ΔῈΖ οωνία on ἡ ὑπὸ OAT* πάλιν, πρὸς" τῇ HÀ
A \ ^ \ » ὦ / ^ m€ € X εὐθείᾳ καὶ TO πρὸς αὐτῇ σήμει τῷ Α TA UT 0
PROPOSITIO II.
In dato circulo dato üriangulo æquiangulum triangulum inscribere.
Sit datus circulus ABT , datum vero trian- gulum AEZ; oportet igitur in. ABT circulo 1051 ΔΕΖ triangulo æquiangulum triangulum. inscri-
bere.
Ducatur ABT circulum conüngens ipsa HO in A , et constituatur ad AO rectam et ad punc- tum in eà À ipsi AEZ angulo æqualis ipse @AT ; rursus, ad HA rectam et ad punctum in cà A
ipsi ZAE æqualis HAB , et jungatur BT.
LAE? ἴση ἡ ὑπὸ HAB, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ BT.
PILOPOSLLION-YI
Dans un cercle donné , inscrire un triangle qui soit équiangle avec un triangle donné.
Soit ΑΒΓ le cercle donné, et Azz le triangle donné ; il faut dans le cercle ΑΒΓ inscrire un triangle qui soit équiangle avec le triangle donné ΔΕΖ.
Menons la droite no, de manière qu'elle touche le cercle ΑΒΓ en un point A, et sur la droite ΑΘ, et au point A de cette droite faisons langle ear égal à langle AEZ (25. 1). De plus sur la droite HA, et au point A de cette droite faisons l'angle HAB égal à l'angle zaE , et joignons Br.
LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 199
E ὧ 37 / ; Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ΑΒΓ εφαπτεταῖὶ TIC €U—
e E, N ^ M \ > ^ E]
θεῖα ἡ OA, καὶ ἀπὸ τῆς κατὰ τὸ Α ἐπαφῆς εἰς b , ^ - ^ B ^ € » ES AN
τὸν κύκλον διῆκται εὐθεῖα ἡ ΑΤΊ" m ἄρα ὑπὸ
, d E 3 NES à
OAT ἴση ἐστὶ Tj ἐν τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου
τμήματι γωνίᾳ. τῇ ὑπὸ ABI. AAA ἡ ὑπὸ ΘΑΓ “ὦ CR > SE WHEN NC
Ti ὑπὸ ΔΕΖ eo TW )72* καὶ 4 ὑπὸ ΑΒΓ «pa γω- :
_ E E \ \ LT \ via τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστὶν ἴση. Διὰ τὰ αὐτὰ dV καὶ ee M m € M > \ L/4 N ^ Pi ἢ ὑπὸ ATB τῇ ὑπὸ LAE ἐστιν 100 , καὶ λοιπῇ ἄρα
^ ^ € \ 3 Ἂν L4 E ἡ ὑπὸ BAT λοιπῇ τῇ ὑπὸ EZA ἐστιν ᾿7η" ἰσο- \ ^ γώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τρι- , 3 , Y PA & γῶώνῳ 5 καὶ εγγεγράπται εἰς τὸν ΑΒΓ κύκλον", > Eve ^ , Εἰς τὸν δοθέντα ἄρα κώκλον τῷ δοθέντι τρι- , , μ᾿ , 3 , » γῶνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον ἐγγέγραπται. Οπερ ἔδει
ποιῆσαι.
ΠΡΟΤΑΣΙΣ >.
LA
Περὶ τὸν δοθέντα κύκλον TQ δοθέντ; τριγώνῳ
ἰσογώνιον Tp GYGY mpi; pa Ve.
Quoniam igitur ΑΒΓ circulum contingit ali qua recta OA , a contactu autem ad A in cir- culo ducta est recta AT , ipse utique GAT zqua. hs est ipsi in alterno circuli segmento angulo ABT. Sed ipse @AT ipsi AEZ est æqualis; et ABT igitur angulus ipsi AEZ est æqualis. Prop- ler eadem utique et ipse ΑΓΒ ipsi ZAE est æ- qualis , et reliquus igitur BAT reliquo ΕΖΔ est æqualis. /Equiangulum igitur est AD triangu- lumipsi ΔΕΖ triangulo, et inscriptum estin ABD circulo.
In dato igitur circulo dato triangulo æquian- gulum triangulum descriptum cst. Quod opor-
tebat facere.
PRO.POSITIO III.
Circa datum circulum dato triangulo æqui-
angulum triangulum circumscribere.
Puisque la droite ΘΑ touche le cercle ΑΒΓ, et que la droite AT a été menée dans le cercle du point de contact 4 , l'angle ear est égal à l'angle ΑΒΓ placé dans le segment alterne du cercle (52. 5). Mais l'angle oar est égal à l'angle ΔΕΖ ; donc l'angle ΑΒΓ est égal à l'angle ΔΕΖ. Par la méme raison l'angle ΑΓΒ est égal
à l'angle zaE ; donc l'angle restant BAT est égal à l'angle restant Eza (52. 1) ; donc le triangle ΑΒΓ est équiangle avec le triangle ΔΕΖ, et il est inscrit dans le
cercle ABT (déf. 5. 4).
Donc dans le cercle donné, on a inscrit un uiangle équiangle avec un triangle
donné. Ce qu'il fallait faire.
ἘΠ ΘΕ ΟΣ ΟΝ ILL.
Aun cercle donné, circonscrire un triangle équian
donné.
gle avec un wiangle,
200 LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Ἔστω ὃ δοθεὶς κύκλος 6 ABT , τὸ δὲ δοῦεν τρί- γῶνον τὸ ΔΕΖ: δεῖ δὴ περὶ τὸν ABT κύκλον τῷ
; ] ; AEZ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περι γράψαι.
^ , e are y. \ , Ny À Ἐκζξεξλήσθω ἡ EZ ἐφ ἐπατερα τὰ μερὴ κατα τὰ - \ , ^ Tx , H, © σημεῖα. καὶ εἰλήφθω τοῦ ABT κύκλου κέ - \ \ ^ € » ΕΣ ^ e - Tpov τὸ K, καὶ διήχθω ὡς ἔτυχεν εὐθεῖα ἡ KB,
Ν , M ὦ" rss LE \ ^ \ xdi συνεστάτω πρὸς τῇ KB εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς
αὐτῇ σημείῳ τῷ K τῇ μὲν ὑπὸ AEH γωνίφ: ica ἡ ὑπὸ ΒΚΑ »-τῇ δὲ ὑπὸ ALO ἴση ἡ ὑπὸ BKI, καὶ διὰ τῶν A, B, T σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτό- μεναι τοῦ ΑΒΓ κύκλου αἱ AAM, MBN , NIA. Καὶ ἐπεὶ ἐφάπτονται τοῦ ΑΒΓ κύκλου αἱ AM, MN, NA κατὰ τὰ À, B,T σημεῖα. καὶ ἐπι-
! J dart PO ζευγνύμενα! εἰσιν αἱ KA, KB, ΚΓ’ cpfai aga
Ν D , "A
εἰσὶν αἱ πρὸς τοῖς A, B, T σήμειοις γωνίαι!. Ka ^ , € M ,
ἐπεὶ τοῦ AMBK τετραπλεύρου αἱ τεσαρες GUY
Sit datus circulus ABT , datum autem trian- gulum ΔΕΖ ; oportet igitar circa ABT circulum ipsi AEZ triangulo zquiangulum triangulum cir- cumscribere.
Producatur EZ ex utráque parte ad H, © puncta, et sumatur ABT circuli centrum K , ct ducatur utcunque recta K3, et constituatur
ad KB rectam εἴ ad punctum in eà K ipsi qui-
dem AEH angulo æqualis BKA , ipsi vero AZO æqualis BKT , et per A, B, T puncta ducan- tur tangentes ipsum ΑΒΓ circulum ipse. AAM, MEN, NIA.
Et quoniam contingunt ABT circulum ipsx AM, MN, NAinÁ, B,TIpuncts, etjunctæ sunt KA, KB, KT ; recli utique sunt ipsi ad A , B, T puncta anguli. Et quoniam AMBK quadrilateri quatuor
anguli quatuor rectis equales sunt , quandoqui-
Soit ΑΒΓ le cercle donné , et ΔῈΖ le triangle donné ; il faut au cercle ΑΒΓ cir-
conscrire un triangle équiangle avec le triangle AEz.
Prolougeons la droite Ez de part et d'autre vers les points H, o (dem.2) , pre-
nons le centre K du cercle ΑΒΓ (1. 5) , menons d’une manière quelconque la droite ΚΒ, faisons sur la droite KB, et au point K de cette droite, un angle BKA égal à l'angle az , et l'angle ΒΚΓ égal à l'angle aze (25. 1), par les points A, P, T menons les droites A4M , MBN, NIA tangentes au cercle ABT (17.3).
Puisque les droites AM, MN, NA touchent le cercle ABT aux points A, B, ΓΤ, et que l'on a joint KA, KB, Kr, les angles aux points A, B, T se- | ront droits (18. 5). Et puisque les quatre angles du quadrilatère AMBK sont
LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 01
, 3. DS » S RN 3 \ r \ » , τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσαι eicir, ἐπεὶ δήπερ καὶ εἰς δύο , DÀ X * \ ” > Ν ε τρίγωνα δχαιρεῖται τὸ AMBK, καὶ εἴσιν ὀρθαὶ αἱ ^ M € e 3 ὑπὸ MAK, KBM yovian* λοιπαὶ ἀραὶ ai ὑπὸ - e , \ M AKB , ΑΜΒ duoiy ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. Εἰσὶ δὲ EN \ e 4 £d 73) «i ὑπὸ AEH, ΔΕΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι" αἱ ἄρα e M ^ € M »* ὑπὸ AKB, ΑΜΒ τάς ὑπὸ AEH, ΔΕΖ icai
NN 7 € € \ ^ e M 3 \ 5, εἰσὶν. ὧν ἡ ὑπὸ AKB τῇ ὑπὸ AEH εστὶν ἰση"
\ και
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστὶν ἴση. Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ANM τῇ ὑπὸ AZE ἐστὶν ἴση" καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ MAN λοιπῇΐ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἐστὶν ἴση. Ισογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΜΝ τρίγωνον τῷ AEZ τριγώνῳ. καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ΑΒΓ κύκλον.
Περὶ τὸν δοθέντα ἄρα κύκλον τῷ δοθέντι Tpi- γώνῳ ἰσογώνιον τρίγωνον περιγέγραπται. Οπερ
L4 ^ ἔδει ποιῆσαι.
égaux à quatre angles droits (52. 1),
dem etin duo triangula dividitur AMBK, et sunt rect. MAK, KBM anguli; reliqui. igitur AKB, ΑΜΒ duobus rectis æquales sunt ; sunt autem et AEH , ΔΕΖ duobus rectis æquales ; ipsi igitur AKB , ΑΜΒ ipsis AEH , AEZ equales sunt , quorum AKB ipsi AEH. est æqualis; reliquus igitur ΑΜΒ reliquo AEZ est «qualis. Similiter utique ostendetur et ipsum ANM ipsi AZE esse æqualem ; et reliquus igitur MAN reliquo EAZ est equalis. Æquiangulum igitur est AMN trian- gulum ipsi AEZ triangulo, et circumscribitur
circum ΑΒΓ circulum. Circa datum igitur circulum dato triangulo
æquiangulum triangulum circumscriptum est,
Quod oportebat facerc.
car le quadrilatère AMEK peut . se di-
viser en deux triangles; mais parmi les angles de ce quadrilatère, les angles MAK, KBM sont droits; donc les angles restants AKB, ΑΜΒ sont égaux à deux droits. Mais les angles AEH, AEZ sont égaux à deux droits (15. τ); donc les angles AKB, ΑΜΒ sont égaux aux angles AEH, ΔῈΖ ; mais l'angle Ax est égal à l'angle AEH ; donc l'angle restant AMB est égal à l'angle restant ΔΕΖ. Nous démontrerons semblablement que l'angle ANM est égal à l'angle ΔΖΕ ; donc l'angle restant MAN est égal à l'angle restant ΕΔΖ (52. 1). Donc le triangle AMN est équiangle avec le iriangle AEZ, et il est circonscrit au cercle
ΑΒΓ (déf. 4. 4).
Donc un triangle équiangle avec un triangle donné a été circonscrit à un
cercle donné. Ce quil fallait faire. q
26
200 LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IIPOTAZIZX d4*.
Εἰς τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
Ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ’ de δῇ εἰς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον κύκλον ἐγγράψαι.
Ὑετμήσθωσαν αἱ ὑπὸ ABT, ΑΓΒ γωνία, δίχα ταὶς BA, TA εὐθείαις. καὶ συμξζαλλέτωσαν ἀλ- λήλαις χατὰ τὸ Δ σημεῖον. καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὰς AB, BT, TA εὐθείας κάθετοι αἱ ΔῈ. A7 ΔΗ,
PROPOSTTIO LY.
In dato triangulo circulum inscribere,
Sit datum triangulum. ATB ; oportet igitur in ABT triangulo circulum inscribere,
Secentur ABT, ΑΓΒ anguli bifariam ab ipsis BA, ΓΔ rectis, et conveniant inter se in Δ puncto , et ducantur a A ad AB, BP TA rectas perpendiculares AE , AZ , AH.
Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ABA γωνία τῇ ὑπὸ ABT', ἐστὶ δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ BZA ich 5 δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ EBA , ZBA , τὰς δύο γωνίας ταῖς: δυσὶ γωνίαις ἴσας Vy ovra , καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην, τὴν" ὑποτείνουσαν
« \ 1 e » e ^ 2 D ^ ὑπὸ μίαν τῶν ἐσὼν γωνιῶν. κοινὴν αὐτῶν τὴν BA,
Et quoniam æqualis est ABA angulus ipsi ABT', est autem et rectus BEA recto BZA qualis ; duo igitur triangula sunt ΕΒΔ, ZBA, duos an- gulos duobus angulis æquales habentia, et unum latus uni lateri æquale , sustendens unum æqua-
lium angulorum, commune iis ipsum ΒΔ. Et
ΡΒΟΡΟΘΙΤΊΙΟΝ ΥΥ.
Inscrire un cercle dans un triangle donné.
Soit APT le triangle donné ; il faut dans le triangle ABr inscrire un cercle.
Partageons en deux parties égales les angles ΑΒΓ, ArB par les droites ΒΔ, TA; que ces droites se rencontrent au point A, et du point ^ menons aux droites AB, Br, TA les perpendiculaires AE, AZ, AH (12. 1).
Puisque l'angle ΑΒΔ est égal à l'angle ΔΒΓ, et que l'angle droit BEA est égal à l'angle droit BzA, les deux triangles EBA , ZBA ont deux angles égaux à
5
deux angles, et un cóté égal à un côté, le côté commun BA qui soutend un des
LE QUATRIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 203
καὶ τὰς λοιπες ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευ- paie ἴσας ἕξουσιν" ἴση ἄρα ἡ ΔῈ τῇ ΔΖ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ AH τῇ AL ἐστὶν ἴση. Αἱ τρεῖς ἄρα εὐθείαι αἱ AE, AL, ΔΗ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν!" ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ A, καὶ" δηαστήματι ἑνὶ τῶν AE, AZ, AH κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων, καὶ ἐφάψεται, τῶν AB,
3 ^ , nm M ΒΓ. TA εὐθειῶν. διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς
D , , » \ D τοῖς E, Z, H σήμειοις γωνίας. ἘΠ yap τέμει
ἈΠ Li € ^ , ^ , \ αὐτὰς. ECTAI M TN διαμέτρῳ TOU XUXAOU πρὸς , \ DFE 5, , , , \ , ^ ὀρθὰς AT ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πίπτουσα τοῦ
r C4 » > n 3 » τ" δ κύκλου. OTép ἄτοπον ἐδείχθηθ" οὐκ ἄρα 07 κεν-
, CAS ^ "pe ^, διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν NE, AZ, AH γρα-
΄ , \ ᾽ , Qouevoc κύκλος τέμνει τὰς AB, BT, TA εὐθείας" E , Xy 3 CE ev, Nx , 3 ἐφάψεται ἄρα αὐτῶν καὶ ἐσται κύκλος ἐγγεγραμ-
, \ , y € μένος eic) τὸ ABT τρίγωνον, Ἐγγεγράφθω ὡς ΖΕΗ9.
-3 X N \ , Εἰς ἄρα τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κυκλος
5»
e y τ ἐγγέγραπται o!? ἘΖΗ. Οπερ ἔδει ποιῆσαι.
reliqua igitur latera reliquis lateribus &qualia habebunt ; æqualis igitur AE ipsi AZ. Propter eadem utique et AH ipsi AZ est aequalis. Tres igitur recte AE, AZ, AH equales inter se sunt; ergo centro À , et intervallo unà ipsarum AE, ΔΖ, AH circulus descriptus transibit et per reliqua puncta, et continget AB, BI, l'A rectas, propterea quod recti sunt ad E, Z, H puncta anguli. Si enim secet ipsas , erit ipsa diametro circuli ad rectos ab extremitate ducta intra ipsum cadens circulum , quod absurdum ostensum est ; non igitur centro À , intervallo autem. unà ipsarum ΔΕ, ΔΖ, AH descriptus circulus secat AB, ΒΓ, TA rectas; contingit igitur ipsas , et erit cir- culus descriptus in ABT triangulo. Inscribatur ut ZHE-
In dato igitur. triangulo. ABT circulus ins-
criptus est ΕΖΗ. Quod oportebat facere.
angles égaux; ils ont donc les côtés restants égaux aux côtés restants (26. 1) ; donc AE est égal à az. Par la méme raison AH est égal à az. Donc les trois droites AE, ΔΖ, AH sont égales entr'elles; donc le cercle décrit du point Δ et d'un intervalle égal à une des droites AE, Az, AH passera par les autres points, et touchera les droites AB, Br, rA , les angles étant droits en E, z, n. Car si le cercle coupait ces droites, une perpendiculaire au diamètre d'un cercle et menée d'une de ses extrémités tomberait dans ce cercle, ce qui a été démontré absurde (16. 5); donc le cercle décrit du point ^ et d'un inter- valle égal à une des droites ΔῈ, Az, AH ne coupera point les droites AB, ΒΓ, TA ; donc elle les touchera, et ce cercle sera inscrit dans letriangle ABr(déf. 5. 4). Qu'il soit inscrit comme ZHE.
Donc dans le triangle donné ΑΒΓ, on a inscrit le cercle ΕΖΗ. Ce qu'il fallait fairc.
204 LE QUATRIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IIPO'TASGISJe
X , , Περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κυπλον epis pda. Ἑστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ABT* δὲῖ δὴ περὶ
τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ κύκλον Trepi) pato.
€ he / \ Τετμήσθωσαν αἱ AB, AT εὐθεῖαι" δίχα xaTa
n 4 2 \ ^ m
τὰ Δ , E cupid , καὶ 470 τῶν Δ. E σημείων ταῖς
\ \ »! €
AB, AT πρὸς ὀρθὰς ἤχθωταν αἱ ΔΖ, ZE‘ συμπε- ^ LA \ ^ £ »» Ν σοῦντται δὲ ἤτοι ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου 7 À ἐπὶ
E Sn UST RN E Tac ΒΓ εὐθείας. ἢ ἐκτὸς τῆς BI.
PROPOSITLO-Y.
Circa datum triangulum circulum circum- scribere.
Sit. datum. triangulum. ABT; oportet. igitur circa datum triangulum ABT circulum cir- cumscribere.
Secentur AB, AT recte bifariam in A, E punctis , eLab ipsis A, E punctisipsis AB, AT ad rectos ducantur AZ, ZE. Convenient autem vel
intra ABP triangulum , vel in BP rectà , vel
exlra ΒΓ.
f », ' , \ N Συμπιπτέτωσαν οὐν ἐντὸς πρότερον κατὰ τὸ ΡΟΝ
2. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ZB, ZT, ZA. Καὶ ἐπεὶ ^ \ \ " A \
ἴση ἐστὶν à AA τῇ BA, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθάς
ἡ ΔΖ’ βάσις ἄρα ἡ AL βάσει τῇ ZB ἐστὶν iom.
Conveniant igitur intus primum in Z , et jun- gaulur ZB , ZT , ZA. Et quoniam æqualis est AA ipsi ΒΔ, communis autem et ad rectos ipsa
AZ; basis igitur AZ ipsi ZB est equalis. Simi-
PROPOSITION.
Circonscrire un cercle à un triangle donné.
Soit ΑΒΓ le triangle donné ; il faut au triangle donné ΑΒΓ circonscrire un cercle. Coupons les droites AB, Ar en deux parties égales aux points Δ, E (10. 1), et des points A, E menons aux droites AB, AT les perpendiculaires ΔΖ, ZE (11. 1); ces perpendiculaires se rencontreront ou dans le triangle ABr , ou dans la droite
er, ou hors de Ja droite Br.
Premièrement que ces perpendiculaires se rencontrent dans le triangle, au point Ζ ; joignons Z2 , zr, ZA. Puisque A est égal à ΒΔ, et que la perpendiculaire
AZ est commune et à angles droits, la base Az est égale à la base 28 (4. 1). Nous
LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 205
e X € ^ 5 \
Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἡ TZ τῇ AL ἐστιν
» ^ SP ΣᾺΣ Δ (δὴ H e
ἴση. ὥστε καὶ ἡ ZB 71 LT ἐστιν! σὴ" αἱ τρεῖς > 3 »!
ἄρα αἱ ΖΑ. ZB, ZT ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. O ἀρὰ
[o \ € v e
κέντρῳ τῷ 2. διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ZA, ZB,
, 2 LE \ δ EA cs
ZT κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν
E] , € , z \
σημείων , καὶ ἔσται περιγεγραμμένος 0 κύκλος περὶ
τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. Περιγραφέσθω" ὡς ὁ ABT.
Αλλὰ δὴ αἱ AL, EL συμπιπτέτωσαν ἐπὶ τῆς BT εὐθείας κατὰ τὸ Ζ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ AZ. Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτ, τὸ Z σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ περὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον περιγραφομένου κύκλου.
Αλλὰ δὴ αἱ AL, EL συμπιπτέτωσαν ἐκτὸς τοῦ ABT τριγώνου. κατὰ τὸ L πάλιν, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς. καὶ ἐπεζεύχθωσαν LATIS BZ- ΓΖ: Καὶ ἐπεὶ πάλιν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ AB, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΔΖ" βάσις ἄρα » AL βάσει τῇ ZB ἐστὶν ion. Ὁμοίως δὴ duËo- μὲν ὅτι καὶ ἡ ZT τῇ ΖΑ ἐστὶν ion, ὥστε καὶ d ZB τῇ ZT ἐστὶνδ ἔση" ὁ ἄρα πάλιν] κέντρῳ τῷ
Z, διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ΖΑ. ZB, ZT κύκλος
Lier utique ostendemus et ipsam TZ ipsi AZ esse æqualem, quare et ZB ips! ΖΓ est æqua- lis; tres igitur ZA, ZB, ZT zquales inter se sunt. Ergo centro Z , intervallo autem unà ip- Sarum ZA, ZB, ZT circulus descriptus transi- bit et per reliqua puncta, et erit circumscrip- tus circulus circa ABT triangulum. Circum- scribatur ut ΑΒΓ.
Sed et AZ, EZ conveniant in BT rectà in Z,ut se habet in secundà figurà, et jungatur AZ. Similiter utique ostendemus Z punctum centrum esse ipsius circa ABT triangulum cir- cumscripü circuli.
Sed et AZ ,' EZ conveniant extra ABT trian- gulum , in Z rursus , ut se habet in tertià figurá, et jungantur AZ, BZ, TZ. Et quoniam rursus equalis est AA ipsi AB , communis autem οἱ ad rectos ipsa AZ; basis igitur AZ ipsiZB est equalis. Similiter utique ostendemus et Zr Ipsi ZA esse æqualem , quare et ZB ipsi ZT est «qualis; ergo rursus centro Z , intervallo autem unä ipsarum
ZA , ZB, ZI circulus descriptus transibit et per
démontrerons semblablement que rz est égal à Az ; donc Z5 est égal à zr ; donc les trois droites z^, zB, zr sont égales entr'elles. Donc si du centre z , et d'un intervalle égal à une des droites ZA, ZB, zr, on décrit un cercle, ce cercle passera par les autres points, et ce cercle sera circonscrit au triangle ΑΒΓ (déf. 6. 4). Qu'il soit circonscrit comme ΑΒΓ,
Mais que les droites Az, Ez se rencontrent dans la droite Br, au point Z,comme dans la seconde figure; joignons az. Nous démontrerons sembla- blement que le point z est le centre du cercle circonscrit au triangle ΑΒΓ,
Mais enfin, que les droites Az, EZ se rencontrent hors du triangle ΑΒΓ, au point Z, comme dans la troisième figure , et joignons AZ, Bz , TZ. Puisque ΑΔ est encore égal à AB, et que la perpendiculaire az est commune et à angles droits : la base Az est égale à la base zB (4. 1). Nous démontrerons semblablement que Zr est égal à ZA ; donc ZB est égal à zr ; donc encore si du centre z , et d'un intervalle égal à une des droites ZA, ZB, zr, on décrit un
cercle, ce
206 LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
zz Tu " ᾿ γραφόμενος ἥξει καὶ δια τῶν λοιπῶν σημείων, \ »! , ^ \ 1 καὶ ἐσται περιγραφοόμενος περὶ τὸ ABT Tpiyuwvcr. Καὶ γεγράφθω ὡς ABI, \ \ # H , Περὶ τὸ δοθὲν ἄρα τρίγωνον κύκλος περιγέγρα-
πται. Οπερ ἔδει ποιῆσαι. ΠΟΡῚΣΜΑ.
Ν ^ LA er M , À ^M , Καὶ φανερὸν CTI, DTE μὲν εἴτὸς (TOU TpI cU
PUT € € N σίπτει TO κέντρον τοὺ κυκλοῦ. 31 ὑπὸ BAT γ)ω-
reliqua puncta, et erit circumscriptus circa
ABT lriangulum. Et describatur ut ΑΒΓ.
Circa datum igitur triangulum «irculus cir-
cumscriptus est. Quod oportebat facere.
COROLLARIUM.
Et manifestum est, quando quidem intra trian-
ulum cadit centrum circuli , ipsum BAT angu-
Cn
, r ^ € | yid , ἐν μείζονι τμήματι τοῦ ἡμικυκλίου τυγχα- Sr AN ART NES νουσα-. ἐλάττων ἐστιν ὀρθῆς" ὅτε δὲ ἐπὶ τῆς ΒΓ ; ^ c en )
εὐθείας τὸ κεντρον TT, 5» ὑπὸ BAT ovid 9 € ͵ , , ἦ ? LA \ \ εν ἡμιπυκλίῳ τυγχάνουσα ὀρθή ἐστιν" ὅτε δὲ τὸ
^ 1m > \ , / e κέντρον τοῦ κύκλου EXTOS τριγώνου πίπτεϑθ. n
; RI / ὑπὸ BAT, ἐν ἐλάττονι τμήματι T0010 ἡμικυκλίου
lum, in segmento majore quam semicirculo exis= lentem, minorem esse recto; quando autem in BP rectam centrum cadit , ipsum BAT angulum , in semicirculo existentem , rectum esse; quando vero centrum circuli extra. triangulum cadit ,
ipsum BAT, in segmento minore quani semicir-
cercle passera par les points restants, et il sera circonscrit au triangle Apr.
Qu'il soit circouserit comme ΑΒΓ.
Donc un cercl a été circonscrit dans un triangle donné. Ce qu'il fallait
faire.
CGCOROLBAIBRE.
Il est évident que si le centre du cercle tombe dans le triangle, l'angle ΒΑΓ compris dans un segment plus grand qu'un demi-cercle, est plus petit qu'un angle droit; que si le centre du cercle tombe dans la droite Er, l'angle ΒΑΓ compris dans un demi-cercle, est droit; que si enfin le centre du cercle tombe hors du triangle Bar, l'angle BAT compris dans un segment plus petit qu'un demi-
LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
, H , ἊΝ 3 05 \ 7 τυγχάνουσα. μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. Qeve καὶ ὅταν » , > - , € La , > Y ἐλάττων ὀρθῆς τυγχάνῃ ἡ διδομένη γωνία» evroc
^ ^ eu M
τοῦ τριγώνου συμπεσοῦνται" αἱ AZ, EZ* ὅταν δὲ
^ e £ A 3 ^ 3 \ -“
ὀρθὴ ἐπὶ τῆς ΒΓ’ ὅταν δὲ μείζων ὀρθῆς. εντὸς τῆς BI!2,
NPOTASIS NS: Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι.
Ἔστω 6 δυθεῖς κύκλος à ABTA* δεῖ δὴ εἰς τὸν! ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον ἐγγράψαι,
207 culo, majorem esse recto. Quare et quando minor recto est datus angulus , intra triangulum conve- nient AZ, EZ ; quando autem rectus , in Bj: quando vero major recto , extra BT,
PROPOSITIO VI.
In dato circulo quadratum inscribere. Sit datus circulus ABTA ; oportet igilur in
ΑΒΓΔ circulo quadratum inscribere.
Ἡχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο" δὴάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ AT BA* καὶ ἐπεζεύχθω- ai AB, BT, TA, AA.
Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ BE τῇ ΕΔ. κέντρον dp τὸ E, κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ἐρθὰς y. EA* βάσις dpa,
* ^ » A3 ^ * \ ñ AB βάσει τῇ AA ἴση ἐστί, Aid) τὰ αὑτὰ
Ducantur ipsius ΑΒΓΔ circuli due diametri AT, BA ad rectos inter se, et jungantur AB, ΒΓ, TA, AA.
Et quoniam zqualis est BE Ipsi EA , centrum enim E , communis autem et ad rectos ipsa ΕΑ; basis igitur AB basi AA equalis. est. Propter
cercle, est plus grand qu'un angle droit. C’est pourquoi si l'angle donné est plus petit qu'un droit, les droites AZ, EZ se rencontreront dans le triangle; s'il est droit, elles se rencontreront dans Zr, et s'il est plus grand qu'un droit, elles se rencontreront hors de la droite ΒΓ.
PROPOSITION. VI.
Inscrire un quarré dans un cercle donné,
Soit ΑΒΓΔ le cercle donné; il faut inscrire un quarré dans le cercle ΑΒΓΔ.
Menons les diamètres Ar, BA du cercle ΑΒΓΔ perpendiculaires l'un à l'autre (11. 1), et joignons AB, BT, TA, AA.
Puisque BE est égal à EA , car le point E est le centre, et que la droite ΓΑ est commune et à angles droits, la base AB est égaleàla base ΑΔ (4. 1).
208 LE QUATRIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
M TUN re ; - E ͵ Ξ δὴ καὶ εκατερα τῶν BT , TA εἐκατερᾷ τῶν BA, i
eadem utique et utraque ipsarum ΒΓ, ΓΔ utri-
que ipsarum BA , AA «qualis est ; æquilaterum
ΓΝ ὦ LA > \ Y στιν" ἰσοπλευρὸν ἀρὰ ἐστι τὸ ΑΒΓΔ
τετράπλευρον. Δέγω δὴ ὅτι καὶ ὀρθογώνιεν. Ἐπεὶ igitur est ΑΒΓΔ quadrilaterum. Dico autem et
>
" nn , ^ , 1 1 m “ἀρ ἡ BA εὐθεῖα διώμετρές ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κυ- rectangulum. Quoniam enim BA recta diame- 7 P 1 P
“hou, ἡμικύκλιον ἄρα iT) τὸ ΒΑΔ’ ὀρθὴ ex ter estipsius ΑΒΓΔ circuli , semicirculum igi- ἡ ὑπὸ ΒΑΔ qaría i. Διὰ τὰ αὐτὰ du καὶ ἑκάστη ur est BAA ; rectus igilur BAA angulus. Prop-
τῶν ὑπὸ ABT, ΒΓΔ, TAA ἐρθὴ ἔστιν" ὀρθυγώ- — tereade; utique et unusquisque ipsorum ABT,
A "i τῷ Δ
γον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράπλευρον. Edu on ΒΓΔ, TAA rectus est ; rectangulum igitur est
} a) ἰσόπλευρον" τετράγωνον dta Ἰστί. Καὶ ΑΒΓΔ quadrilaterum. Ostensum est autem et
ἔγραπται εἰς τὸν δοθέντα ΑΒΓΔ κύκλον". - æquilaterum ; quadratum igitur est. Et inscrip- tum est in dato ΑΒΓΔ circulo. Εἰς ἄρα δοθένταθ κύκλον τὸν ΑΒΓΔ τετράγω- In dato igitur circulo ABPA quadratum in$-
γον ἐγγέγραπται τὸ ΑΒΓΔ. Ὅπερ ἔδει ποιῆται. criptum est ΑΒΓΔ. Quod oportebat facere.
Par la méme raison, chacune des droites Br, ra est égale à chacune des droites BA, A^; donc le quadrilatére ΑΒΓΔ est équilatéral. Je dis aussi qu'il est rectangle. Car puisque la droite Bà est un diamètre du cercle ΑΒΓΔ, la figure ΒΑΔ est un demi-cercle. Donc langle BAA est droit (51. 1). Par la méme raison, chacun des angles ABT, BTA , TAA est droit aussi ; donc le qua- drilatere ΑΒΓΔ est rectangle. Mais on a démontré qu'il est équilatéral; donc ce quadrilatère est un quarré. Et ce quarré est inscrit dans le cercle ΑΒΓΔ.
Donc on a inscrit le quarré ΑΒΓΔ dans le cercle donné ΑΒΓΔ. Ce qu'il fal- lait faire.
D
LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 209
IIPlOTA-XTe€s0. PROPOSITIO VII.
Περὶ mov ϑοθέναδι, χύκλον τετράγωνον περι- Circa datum circulum quadratum circum-
γράψαι. T
Ἔστω δοθεὶς κύκλος 6! ABTA* δεῖ δὴ" περὶ τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον περιγράψαι.
Ἡχθωσαν τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ AT, BA, καὶ διὰ τῶν A,B,T, Δ σημείων ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι τοῦ
ΑΒΓΔ κύκλου αἱ ΖΗ, ΗΘ, ΘΚ, KZ.
scribere. Sit datus circulus ΑΒΓΔ; oportet igitur circa ΑΒΓΔ circulum quadratum circumscribere. Ducantur ΑΒΓΔ circuli due diametri AT, BAVad#rectos inter. ses vet. per. Ἂν B5 1... Δ puncta ducantur contingentes ΑΒΓΔ circulum Ipse ZH, HO, OK, KZ.
H A Z ΠΥ | B | ad EA ὃ Θ I K
Ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται ἡ LH. τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου. Quoniam igitur contingit ZH ipsum ΑΒΓΔ
ἀπὸ δὲ τοῦ E κέντρου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ A ἔπα- Circulum , ab E autem centro ad contactum Qv ἐπεζεύκται ἡ EA* αἱ dpa πρὸς τῷ A γωνίαι À ducitur EA ; ipsi igitur ad A anguli recti ὀρθαί εἶσι. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ" αἱ πρὸς τοῖς sunt. Propter cadem utique et ad B, ', A puncta B, T, A σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσι. Καὶ ἐπεὶ anguli recti sunt. Et quoniam rectus est AEB
€ 3 2 \ N cp ἐστιν ἡ ὑπὸ AEB γωνία, ἔστι δὲ ὀρθὴ καὶ angulus, est autem rectus et EBH ; parallela
PROPOSICT-T OI V3
Circonscrire un quarré à un cercle donné.
Soit ΑΒΓΔ le cercle donné ; il faut circonscrire un quarré au cercle ΑΒΓΔ.
Menons dans le cercle ΑΒΓΔ, les deux diamètres 4r, BA perpendiculaires l'un à l’autre, et par les points ^, B, T, A menons les droites ZH, Ho, ΘΚ, KZ tangentes au cercle ΑΒΓΔ (17. 5).
Puisque la droite ΖΗ est tangente au cercle ΑΒΓΔ, et que la droite EA a été menée du centre E au point de contact A , les angles sont droits en A (38. 5). Par la méme rasion, les angles sont droits aux points B, T , A. Et puisque l'angle AEB est droit, et que l'angle EBH est droit aussi, la droite H6 est paral-
27
210 LE
ἡ ὑπὸ EEH' παράλληλος dpa ἐστὶν ἡ HO τῇ AT. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ AT τῇ ΖΚ ἐστὶ παρ- ἀλληλοςΐ, Ὥστε καὶ ἡ HO τῇ ZK ἐστὶ παράλλη- λοςῦ, Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΗΖ. ΘΚ τῇ ΒΕΔ ἐστὶ ape} An À 0€. Παραλληλό- γράμμα ἐστὶ τὰ HK, HT, AK, ZB, BK* 164 äpa ἐστὶν ἡ μὲν HZ τῇ OK, à δὲ ΗΘ τῇ ΖΚ. Καὶ ἐπεὶ ion ἐστὶν ἡ AT τῇ BA, ἀλλὰ καὶ ἡ
μὲν AT ἑκατέρᾳ τῶν HO, ZK7, ἡ δὲ EA ἑκα-
Η
rr m
τέρᾳ τῶν HZ, OK ἐστὶν ἴση" καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν HO , ΖΚ ἑκατέρᾳ τῶν HZ, ΘΚ ἐστὶν ἴσηϑ, Ισόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ τετράπλευρον. Λέγω δὴϑ ὅτι καὶ ἐρθογώνιον. Ἐπεὶ γὰρ παραλλη- λόγραμμόν ἐστὶ τὸ HBEA , καὶ ἐστὶν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ AEB* ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΒ. Ομοίως δὴ δείξο-
“ ^N € M e 7 H 3 / μὲν 071 καὶ αἱ πρὸς τοῖς ©, K, Z γωνίαι ὀρθαί εἰ-
A, Ζ N
QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
igitur est HO ipsi AT. Propter eadem utique et AT ipsi ZK est parallela; quare et HO ipsi ZK est parallela. Similiter utique. ostendemus et utramque ipsarum ΗΖ, OK ipsi BEA esse paral- lelam. Parallelograma igitur sunt HK , HT , AK, ZB, BK; «qualis igitur est HZ quidem ipsi ΘΚ, ipsa vero ΗΘ Ipsi ΖΚ. Et quoniam æqualis est AT ipsi BA, sed et ipsa quidem AT utrique ipsa-
rum H9, ZK, ipsa vero EA utrique Ipsarum
{A /
HZ, OK est æqualis ; et uterque igitur ipsarum HO, ΖΚ utrique ipsarum HZ, OK est æqualis. Æquilaterum igitur est ZHOK quadrilaterum. Dico et rectangulum. Quoniam enim paralle- logrammum est HBEA , εἰ est rectus AEB ; rec- tus igitur et ΑΗΒ. Similiter utique ostendemus
et ipsos ad O, K , Z angulos rectos esse ; rec-
σιν" ὀρθογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ τετράπλευρον 10, tangulum Igitur est ZHOK quadrilaterum. Os-
léle à la droite Ar (28. 1). Par la méme raison, la droite AT est parallèle à la droite zx. Donc ΗΘ est parallèle à zr. Nous démontrerons semblablement que l'une et l’autre des droites Hz, ΘΚ est parallèle à Ja droite BEA. Donc les fi- gures HK, ΗΓ, AK, ZB, BK sont des parallélogrammes ; donc Hz est égal à ΘΚ (54. 1), et ΗΘ égal à ΖΚ ; et puisque AT est égal à BA, que ΑΓ est égal à lune et à l'autre des droites Ho, zK, et que Ba est égal à l'une et à l'autre des droites Hz, ek, les droites ΗΘ, ΖΚ sont égales aux droites ΗΖ, ex. Donc le quadrilatère ΖΗΘΚ est équilatéral. Je dis aussi qu'il est rectangle, car puisque HBEA est un parallélogramme , et-que l'angle 4EB est droit, l'angle AHB est droit aussi (54. 1). Nous démontrerons semblablement que les angles sont droits en ©, K, Z; donc le quadrilatère ΖΗΘΚ est rectangle; mais on
LE QUA
Ed: ix62 δὲ καὶ ic Ec ra io τὸν ΑΒΓΔ xUzAGr. Περὶ τὸ το
v δοθέντα ἄρα κύκλον din ἔγονον πε-
^
ριγέγραπται. Οπερ ἔδει ποιῆσι
^
IIPOTAXIZX 4.
Εἰς τὸ δοθὲν τετράγωνον κύελον ἐγγράψαι. Ἔστω τὸ δοθὲν τετρώγωνον τὸ ABIA* dvi δὴ Δ τε
εἰς τὸ ΑΒΓΔ
'"RIÉME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
2E
tensum est autem et æquilaterum ; quadratum igitur est, Et circumscri iptum est circa ABTA cir- culum.
Circa datum igitur circulum quadratum cir-
cumscriptum est. Quod oportebat facere.
PROPOSITIO VIII.
In dato quadrato circulum inscribere. Sit datum quadratum ABIA; oportet igitur
in ΑΒΓΔ quadrato circulum inscribere.
4 , € , ^ , ^ Τετμήσθω ἑκατέρα τῶν AB, AA, δίχα κατὰ
2 e N 1 \ “ e , M τὰ L,E σημεῖα. καὶ dia μὲν τοῦ E οποτερῷ τῶν " "EA o AMENS -
AB, TA παράλληλος ἤχθω ἡ EO ; dia δὲ τοῦ Z
ἑποτέρᾳ τῶν AA, ΒΓ ἘΔ ἤχθω ἡ ZK*
παραλληλό) ρᾶμμον ἄρα ἐστὶν ἕχαστον τῶν AK Ξ
a démontré qu'il est équilatéral ; circonscrit au cercle ΑΒΓΔ.
On a donc circonscrit un quarré à un cercle donné.
PROPOSITION
Secetur utraque. ipsarum AB, AA bifariam inE, Z punctis, et per E quidem alterutri ip- sarum AB, FA parallela ducatur ΕΘ ; per Z vero alterutri ipsarum AA , BT parallela ducatur ΖΚ ;
parallelogramum igitur est unumquodque ipso-
donc ce quadrilatère est un quarré, et il est
Ce qu'il fallait faire.
VILI.
Inscrire un cercle dans un quarré donné.
Soit ΑΒΓΔ le quarré donné; il faut incrire un cercle dans le quarré Coupons en deux parties égales l’une et l’autre des droites AB, ΑΔ
ABIA. aux
points z, E (10. 1), et par le point E menons Ee parallèle à l'une ou à l'autre
des droites AB,
ralléle à l'une ou à l’autre des droites ΑΔ, ΒΓ;
TA (51. 1), et par le point Z menons aussi la droite ΖΚ pa-
donc chacune des figures AK,
212
NNI. no KB, AO, OA, AH, HT, BH, HA, καὶ αἱ απε- / 3 - Ν ^ 5, » II - X yayrioy αὐτῶν v; AeUpai δηλονότι ἴσαι eici!. Καὶ 32 Ny , \ ε ^ A N ? \ re \ ἐπεὶ 160 ἐστιν à AN τῇ AB, καὶ ἐστὶ τῆς μὲν ; e ; A S e y e AA ἡμίσεια à AE, τῆς δὲ AB ἡμίσεια ἢ AZ, pi \ se M er \ € 2 n ἴση ἄρα καὶ ἡ AE τῇ AZ* στε καὶ αἱ ἀπεναντίον 2, 5» P » » Ne - / \ ἴσαι εἰσίν". qo apa καὶ ἡ ZH τῇ HE. Ομοίως δὴ
; a ye ; - ἢ , δείξομεν oTi καὶ exaTept τῶν HO, HK exaepa
mM > N » € , 1 : Toy ZH, HE ἐστιν 1911. Ai τέσσαρες &pa ai HE,
HZ, HO, HK ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν". O ἄρα κέν-
Α
Tpo μὲν TO H, διαστήματι δε ἑνὶ τῶν HE, HZ, ΗΘ. ΗΚ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων" καὶ ἐφάψεται τῶν AB, ΒΓ. ΓΔ» ΔΑ εὐθειῶν. διὰ πὸ ὀρθὰς dra τὰς πρὸς τοῖς E, Z, ©, Καὶ γωνίας" εἰ γὰρ τεμεῖ ὃ κύκλος τὰς AB, BT, ITA, AA, ἡ τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπὶ ἄκρας ἀγομένη ἐντὸς πεσεῖται
- A > » € τοῦ XUXACU , ὅπερ ἄτοπον ἐδειίχθηΐ, Οὐκ apa o
» LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
rum AK, KB, AO 7 OAPLTAH, HIS, BH, HA, et opposita ipsorum latera utique æqualia sunt. Et quoniam æqualis est AA ipsi AB, et est ip- sius quidem AA dimidia AE , ipsius vero AE dimidia AZ, :qualis igitur et AE ipsi AZ ; quare eLopposita æqualia sunt, æqualis igitur et ZH ipsi HE. Similiter utique ostendemus et utramque ip- sarum HO, HK utrique ipsarum ZH, HE esse æqua-
lem. Quatuor igitur HE, HZ , HO, HK æquales
A
K
T
inter sesunt. Ipse igitur centro quidem H , inter- vallo vero unà ipsarum HE , HZ, ΗΘ, HK cir- culus descriptus transibit et per reliqua puncta ; et continget AB, BT, TA, AA rectas , prop- terea quod recti sunt ad E, Z , ©, K anguli; si enim secat circulus ipsas AB, ΒΓ, TA, AA, ipsa diametro circuli ad rectos ab extremitate ducta
intra cadet circulum , quod absurdum osten-
KB, AO, ΘΔ, AH, HT, BH, HA est un parallélogramme, et leurs côtés opposés sont égaux (54. 1). Et puisque ΑΔ est égal à ΑΒ, que AE est la moitié de AA, et AZ la moitié de AB, la droite AE est égale à Az; donc les côtés op- posés sont égaux ; donc ΖΗ est égal à HE. Nous démontrerons semblablement que l'une et l'autre des droites ΗΘ, HK est égale à l'une et à l’autre des droites ZH, HF. Donc les quatre droites HE, Hz, ΗΘ, HK sont égales entr’elles. Donc le cercle décrit du centre H, et d’un intervalle égal à une des droites HE, HZ, HO, HK passera par les autres points, et sera tangent aux droites AB, BT, TA, AA, parce que les angles sont droits en E, Z, ©, K ; car si ce cercle coupait les droites AB, Br, TA, AA, la perpendiculaire au diamètre du cercle, et menée de l’une de ses extrémités tomberait dans le cercle; ce qui a été démontré absurde (16. 3). Donc le cercle décrit du centre H, et
LÉ QUATRIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 213
κέντρῳ piv? τῷ Η, διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν HE, HZ,
HO, ΗΚ κύκλος γραφόμενος τέμνει τὰς ΑΒ. BT, , 3. ὦ »!
TA, AA εὐθείας. Ἐφάψεται, ἄρα αὐτῶν καὶ ἔσται
ἐγγεγραμμένος εἰς τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον.
Εἰς ἄρα τὸ δοθὲνθ τετράγωνον κύκλος ἐγγε-
paca, Οπερ ἔδει ποιῆσαι.
ΠΡΟΤΑΣΙΣ δ΄.
, Περὶ τὸ δοθὲν τετράγωνον κύκλον περιγρά-
Ya.
Ecro τὸ «δοθὲν τετράγωνον τὸ ABTA: d δὴ περὶ τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον κύκλον περι- 4 γράψαι.
sum est. Non igitur centro quidem H, intervallo vero unà ipsarum HE, HZ, HO, HK circulus descriptus secat AB , BT , TA, AA rectas. Con- ünget igitur ipsas et erit inscriptus in ΑΒΓΔ quadrato.
In dato igitur quadrato circulus inscriptus est.
Quod oportebat facere.
PROPOSITIO IX.
Circa datum quadratum circulum circums- cribere.
Sit datum quadratum ABTA ; oportet igitur circa ABPA quadratum circulum circumscri- bere.
AS A
Ἐπεζευχθεῖσαι γὰρ αἱ AT, BA τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατα τὸ E.
Junctæ enim AT, BA, sese secent in E,
d'un intervalle égal à des droites HE, Hz, ΗΘ, HK ne coupe point les droites
AB, ΒΓ, TA, AA. Donc il sera tangent à ces droites, et il sera inscrit dans
le quarré AsrA (déf. 5. 4).
Donc on a inscrit un cercle dans un quarré donné. Ce qu'il fallait faire.
PROPOSITION
I X.
Circonscrire un cercle à un quarré donné.
Soit ABrA le quarré donné ; il faut circonscrire un cercle au quarré ΑΒΓΔ. Joignons Ar, BA, et que ces droites se coupent au point E.
s 5 ν 5) E ^ ε Fe $ Kai ἐπεὶ ion ἐστὶν ἡ ΔΑ τῇ AB, xou ὃς ἡ ᾿ * , »! ε ^ "n 3, AT, duo δὴ αἱ AA, AT δυσὶ ταῖς BA, AT ἔσαι > À \ ] e , “ » , εἰσὶ, καὶ βάσις n AT βάσει τῇ DT ἴση" γωνία
3 5, 3 , e € X mn € \ D ἄρα ica ἐστίν ἡ ὑπὸ AAT γωνίᾳ τῇ ὑπὸ BAT?*
214. LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Et quoniam zqualis est AA Ipsi AB, commu- nis autem AT , duæ utique AA , AT duabus BA , AT equales sunt, et basis AT basi Br equalis ; angulus igitur æqualis est AAT ipsi BAT ; ipse
TH. 9 ; Gu MN oti ἢ ἄρα ὑπὸ ΔΑΒ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς igilur ΔΑΒ angulus bifariam sectus estab AT. e \
"n \n’'# e ride 07 Qu. npe τσ E e AT. Ομοέως δὴ δείξομεν OTI καὶ εἰοιστη τῶν ὑπὸ Similiter ulique ostendemus etunumquemque ip*
, 5 Decide NM ABT, ΒΓΔ. TAA δίχα τέτμηται ὑπὸ τῶν AT, | SOrum ABD, ΒΓΔ, ΓΔΑ bifariam sectum essc ab
, LE" - Ν » » , X. M e ^ . . - ΔΒ εὐθειῶν. Καὶ ἐπεὶ on ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ yo- AT , AB rectis. Et qnoniam equalis est ΔΑΒ an-
vía τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. καὶ ἐστί τὴς μεν ὑπὸ ΔΑΒ gulus 1051 ABI, et est 1psius quidem AAB di-
A
2
BS
ἡμίσεια ἡ ὑπὸ EAD, τῆς δὲ ὑπὸ ADT ἡμίσεια — midius ipse EAB, ct ipsius ABT dimidius ipse
4 ὑπὸ EBA* zai ἡ ὑπὸ EAB dta τῇ ὑπὸ EBA EBA; et EAB igilur ipsi EBA est equalis. Quare
ἐσὴν ἴση" ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ EA πλευρᾷ τῇ EB et latus EA lateri EB. est æquale, Similiter uti- is
ἐστὶν ἴση. Ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι κα πατέρα que ostendemus, ct utramque EA , EB recta-
τῶν EA , EB εὐθειῶν ἑκατέρᾳ τῶν ET, EA Jon rum utrique ipsarum ET , EA æqualem esse ; qua- EB, ET, EA E
» ἜΣ ΞῪΝ / ἢ LS S ἔστι ἀλλήλαις εἰσίν. O &pa κερτρῳ τῷ E, καὶ
ἐστίν. Αἱ τέσσαρες ἄρα ai BA iuor igitur EA , EB, ΕΓ, EA æquales inter se
sunt. Ipse igitur centro E, et intervallo unà ipsa-
rum EA , EB, ET, EA circulus descriptus tran-
ET, EA κυκλος
Puisque AA est égal à ΑΒ, et que la doite 4r est commune, les deux droites AA , AT, sont égales aux deux droites BA; AT; mais la base ar est égale à la base Br; donc l'angle ΔΑΓ est égal à l'angle BAT (8. 1); donc l'angle ΔΑΒ est coupé en deux parties égales par la droite Ar. Nous démontrerons semblable- ment que chacun des angles ΑΒΓ, ΒΓΔ, TAA est coupé en deux parties égales par les droites Ar, AB. Et puisque l'angle ΔΑΒ est égal à l'angle ΑΒΓ, que l'angle EAB est la moitié de l'angle ΔΑΒ, et l'angle EBA la moitié de l'angle ΑΒΓ, l'angle EAB est égal à l'angle EBA ; donc le côté EA est égal au côté EB (6. 1). Nous démontrerons semblablement que l’une et l'autre des droites £r, EB est égale à l'une et à l'autre des droites Er, ΕΔ; donc les quatre droites EA, ΕΒ, EL, EA sont égales eutr’elles, Donc le cercle décrit du centre E, et d'un in- tervalle égal à une des droites EA, EB, IT, EA passera par les autres points,
LE QUATRIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 215
, i N N m D / γραφομενος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων. À 3 , \ \ S καὶ ἐστοι! πτεριγράμμενος πέρι τὸ ΑΒΓΔ aude γώνον, Περχγεγράφθω ὡς o ΑΒΓΔ. » , ^ , Περὶ τὸ δοθὲν ἀραὶ τετραγῶνον κυκλος vrepiyz-
y e γράπται. Οπερ £d ποιῆσαι.
IIPOTAZIX 4
, EU e Ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι. εχὸν ἐκα- - -“ m / τέραν τῶν πρὸς Th βάσει γωνιῶν διαπλασίονα πῆς λοιπῆς. / he ε \ 200 \ Ἐκκείσθω vic εὐθεῖα ἡ AB, καὶ τετμήσθω κατὰ
Ὁ LA Axe \ “ , T0 T σημεῖον.» ὥστε TO Uzr0 τῶν AB, BT vrepiexo-
B
sibit et per réliqua puncta , et erit circumscrip- tus circa. ΑΒΓΔ quadratum. Circumscribatur ut ΑΒΓΔ,
Circa datum igitur quadratum circulus cir-
cumscriptus est. Quod oportebat facere.
PROPOSITIO X.
Isosceles triangulum constituere, habens utruin- que ipsorum ad basim angulorum duplum re- liqui.
Exponatur aliqua recta AB, et secetur in P
puncto, ita ut ipsum sub AB , BT contentum
23
LJ , LA ^5 m 5 \ em μένον ὀρθογώνιον ἐσὸν eivæs τῷ απὸ τοῦ TA τε- ^ \ , (s \ , em τραγωνῳ" καὶ κέντρῳ τῷ À, καὶ διαστήματι τῷ
ΑΒ' κύκλος γεγράφθω ὁ ΒΔΕ, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς τὸν
οι ἢ ΑΒΓΔ.
sera circonscrit au quarré
ABTA,
rectangulum æquale sit ipsi ex TA quadrato; et centro A, et intervallo AB circulus descri-
batur BAE, et aptetur in BAE circulo ipsi AT
Qu'il soit circonscrit
comme
Donc on a circonscrit un cercle à un quarré donné. Ce qu'il fallait faire.
PROPOSITION X.
‘Construire un triangle isocèle, qui ait chacun des angles de la base double
de l'angle restant. o
Soit une droite AB ; que cette droite soit coupée en un point r , de manière que le rectangle compris sous AB, ΒΓ soit égal au quarré de ra (11. 2)5 du centre A et de l'intervalle AB décrivons le cercle BAE (dém. 5) ; dans le cercle
216 LE QUATRIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. ΒΔΕ κύκλον τῇ AT εὐθείᾳ. μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς reclæ, non majori existenti ipsà EAT circuli dia- τοῦ BAE κύκλου διαμέτρου . ἴση εὐθεῖα ἡ BA* metro, æqualis recta BA ; et jungantur AA , ΓΔ,
NES 4 € « ΄ e ΤΩΣ . . E καὶ ἐπεζεύχθωσαν ai AA, TA , xai περιγεγράφθω ct circumscribatur circa ΑΓΔ triangulum circu-
περὶ τὸ ΑΤΔ τρίγωνον κύκλος 6 ATA. Dor
Kal ème) To Om) y AB, BT Peoy-icr) TG Et quoniam ipsum sub AB, BT quale est
ἀπὸ τῆς AT, ἴση δὲ ἡ AT τῇ BA* τὸ dpa ὑπὸ quadrato ex AT, equalis autem AT ipsi BA ;
“Ὁ ΑΒ UE Mere τῷ Bs ATRIAL ipsum igitur sub AB, BT æquale est ipsi ex BA. ὸ
, - 5» ^ B E 1 ^ 1 ; / > " κύκλου τοῦ ATA εἴληπταί Ti σημιεῖον ἐκτὸς τὸ Et quoniam extra circulum ATA sumptum est
B, καὶ ἀπὸ τοῦ B πρὸς τὸν ΑΓΔ κύκλον προσ- aliquod punctum B , et a B in ΑΓΔ circulum ca-
πεπτώκασι δύο εὐθεῖχι αἱ BA, BA, καὶ ἡ μὲν — dunt duæ rectæ BA, BA, et altera quidem ip- αὐτῶν τέμνει. ἡ δὲ προσπίπτει, καὶ ἐστὶ τὸ sarum secat, altera vero incidit ; et est ipsum sub ὑπὸ τῶν AB, BT ivov TQ ἀπὸ τῆς BA' ἡ BA AB, ΒΓ æquale ipsi ex BA; ipsa BA igitur con- ἄρα ἐφάπτεται τοῦ ATA. Καὶ ἐπεὶ ἐφάπτεται lingit ATA . Et quoniam contingit quidem μὲν ἡ BA), ἀπὸ δὲ τῆς κατὰ τὸ A ἐπαφῆς διῆκται — psa BA, a contactu vero ad A ducta est AT ; ipse ἡ ΔΙ᾽ ἡ dpa ὑπὸ BAT γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ igitur BAT angulus æqualis est ipsi in alterno cir-
5 v , , n mi E IN ΟΕ : ec ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ Culi segmento angulo ATA. Quoniam igitur æ-
BAE adaptons une droite ΒΔ égale à la droite Ar , qui n'est pas plus grande que le diamètre du cercle BAE (1. 4); joignons A^ , TA , et circouscrivons le cercle ΑΓΔ au triangle ATA (5. 4).
Puisque le rectangle sous AB, Br est égal au quarré AT, et que AT est égal à BA, le rectangle sous AB, Br: est égal au quarré de Ba. Et puisque le point Ba été pris hors du cercle Ar^, que les droites BA, BA vout du point B au cercle ArA , que l'une d'elles le coupe, et que l'autre ne le coupe point, et que le rectangle sous ΑΒ, Er est égal aus quarré de E^, la droite BA est tangente au cercle Ar^ (57. 5). Donc, puisque la droite BA est tangente, et que la droite ar a été menée du point de contact 4, l'angle Bar est égal à
LE QUATRIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 217
qualis est BAT ipsi AAT, communis addatur AA, Totus igitur ΒΔΑ æqualis est duobus ΓΔΑ, AAT.
y o» H a AAT. Ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ BAT τῇ ὑπὸ \ / CAGE e » € AAT, κοινὴ προσκείσθω ἡ ὑπὸ TAA* ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ἴση ἐστὶ δυσὶ ταῖς ὑπὸ TAA, AAT. Sed ipsis TAA , AAT æqualis est exterior BTA ; \ ole elle V j » \ AAAa ταῖς ὑπὸ TAA, AAT ἴση ἐστὶν ἡ ἐκτὸς ἡ € Δ » ES \ ὑπὸ ΒΓΔ' ἡ ἄρα ὑπὸ ΒΔΑ ἴση! ἐστὶ τῇ ὑπο Ε, M ^ ^ \ y ΒΓΔ. AAX ἡ ὑπὸ ΒΔΑ τῇ ὑπὸ TBA ἐστὶν ἴση, > Ν ^ 5) {4 ἐπεὶ καὶ πλευρὰ # AA τῇ AB ἐστὴν ἴση" ὥστε καὶ oe: Mo € \ 5» NATL e b ν᾽, # υπὸ ABA τῇ ὑπὸ BTA ἐστὶν 473. Al τρεῖς ἄρα € αἱ ὑπὸ ΒΔΑ. ΔΒΑ, ΒΓΔ ἴσα, ἀλλήλαις εἰσί. SIUS Te ᾿ Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΔΒΓ γωνία Ti ὑπὸ ΒΓΔ.
ipse igitur ΒΔΑ æqualis est ipsi ΒΓΔ. Sed ΒΔΑ ipsi ΓΒΔ est «qualis , quoniam et latus AA ips AB est quale; quare et ABA ipsi ΒΓΔ est equa lis. Tres igitur BAA , ABA , ΒΓΔ equales inter se sunt. Et quoniam æqualis est ABP angulus ips. ΒΓΔ, æquale est et latus BA lateri. AT. Sed BA ipsi PA ponitur æqualis ; et AT igitur ipsi l'A est equalis ; quare et angulus TAA angulo AAT est equalis ; ipsi igitur TAA , AAT ipsius AAT sunt dupli. Æqualis autem et ΒΓΔ ipsis TAA ,'AAT ; et ΒΓΔ igitur ipsius AAT est duplus. Æqualis
ἴση ἐστὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΔ πλευρᾷ τῇ AT. AAX 9» BA τῇ TA ὑπόκειται ἴση" καὶ ἡ AT ἄρα τῇ ΓΔ ἐστὶν ἴση" ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ TAA γωνίᾳ" τῇ ὑπὸ AAT ἐστὶν ἴση" αἱ ἄρα ὑπὸ TAA , AAT Tic ὑπὸ AAT εἰσὶ dymAacicucÓ. lon δὲ καὶ m ὑπὸ ΒΓΔ ταῖς υπὸ ΓΔΑ, AAT* καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἄρα Tic ὑπὸ AAT ἐστὶ διπλῆδ, Ion δὲ ἡ ὑπὸ duplus. ΒΓΔ ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΔΑ, ABA* καὶ ἑκατέρα
ἄρα τῶν ὑπὸ ΒΔΑ. ΔΒΑ τῆς ὑπὸ ΒΑΔ ἐστὶ δηπλῆ.
autem et ΒΓΔ utrique ipsorum BAA , ABA ; et uterque igitur ipsorum BAA , ΔΒΑ ipsius ΒΑΔ est
Ισοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συνίσταται τὸ ΑΔΒ. Isosceles igitur triangulum constitutum est A AE habens utrumque ipsorum ad AB basim angu-
ἔχον ἑκατέραν TOY πρὸς τῇ ΔΒ βάσει γωνιῶν δὲ- lorum duplum reliqui. Quod oportebat facere.
^ ^ LA ^ πλασίονα τῆς λοιπῆς. Οσερ ἔδει ποιῆσαι.
l'angle ^ar placé dans le segment alterne du cercle (52. 5). Puisque l'angle BAT est égal à l'angle aar, ajoutons l'angle commun raa, l'angle entier ΒΔΑ sera égal aux deux angles ΓΔΑ, ΔΑΓ, Mais l'angle extérieur BrA est égal aux angles TAA, ΔΑΓ (32. 1); donc l'angle ΒΔΑ est égal à l'angle Bra. Mais l'angle ΒΔΑ est égal à l'angle ΓΒΔ (5. 1), puisque le côté AA est égal au côté AB; donc l'angle ABA est égalàl'angle Bra. Donc les trois angles ΒΔΑ, ABA, BTA sont égaux entr'eux. Et puisque l'angle ΔΒΓ est égal à l'angle ΒΓΔ, le côté ΒΔ est égal au côté ar (6. 1). Mais le côté BA est supposé égal au côté TA; donc le côté Ar est égal au côté ra ; donc l'angle raa est égal à l'angle AAT (5. 1); donc les angles ΓΔΑ, aar sont doubles de l'angle ^ar. Mais l'angle ΒΓΔ est égal aux angles TAA, AAr (52. 1); donc l'angle Bra est double de l'angle AAT. Mais l'angle ΒΓΔ est égal à chacun des angles ΒΔΑ, 48A; donc chacun des angles ΒΔΑ, ABA est double de l'angle Baa.
Donc on a construit un triangle isocéle ΑΔΒ, ayant chacun des angles de la base ΒΔ double de l'angle restant. Ce qu'il fallait faire.
28
418 LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
HPOTAZSIS ud,
Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν NE , » f ^ τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι. [3 e δὴ \ Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος 0 ABTAE* dej δὴ eic τὸν , L , A3 ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσο-
γών!ον ἐγγρέψαι ut
, \ ^ Ἐκκείσθω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΖΗΘ. Jiz2a- # x € , ^ \ m σιίονα €yov ἐκαάτερᾶν TO πρὸς τοῖς H, © yw- ^ ^ ^ - , L \ νιῶν" τῆς πρὸς τῷ LL, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὸν , Led ABTAE xuxAov τῷ ΖΗΘ τριγώνῳ ἰσογώνιον τρί- \ LA ^ M \ ^ , γῶνον τὸ ATA, ὠστε τῇ μὲν πρὸς τῷ Ζ γωνίᾳ 24 Ld x e \ € , M ^ \ ἐσὴν εἰναι τὴν ὑπὸ TAA , exarrepay δὲ τῶν pos DJ y € , ^ € M τοῖς H, © σὴν exaTepæ τῶν ὑπὸ ATA, TAA*
Me , * ^ € \ b € \ καὶ εκώτερὰ ἀρὰ τῶν ὑπὸ ATA, TAA τῆς ὑπὸ
PROPOSITTONXT.
In dato circulo pentagonum æquilaterumque et æquiangulum inscribere.
Sit datus circulus ABTAE ; oportet igitur in ABTAE circulo pentagonum æquilaterumque et æquiangulum inscribere.
Ζ
Exponatur triangulum isosceles ΖΗΘ, duplum habens utrumque ipsorum ad H , O angulorum ipsius ad Z, et inscribatur in ΑΒΓΔῈ circulo, ipsi ΖΗΘ triangulo æquiangulum triangulum ATA, ita ut ipsi quidem Z angulo æqualis sit ipse TAA , uterque vero ipsorum ad H, © æqua- lis utrique ipsorum ATA, T'AA ; et uterque igitur
ipsorum ΑΓΔ, TAA ipsius ΓᾺΔ est duplus. Sece-
PROPOS LLDION XE
Dans un cercle donné, inscrire un pentagone équilatéral et équiangle.
Soit ΑΒΓΔῈ le cercle donné; il faut inscrire dans le cercle ABrAE un pentagone équilatéral et. équiangle.
Soit posé le triangle isocèle ΖΗΘ, ayant chacun des angles en H, © double de l'angle z (10. 4); inscrivons dans le cercle ΑΒΓΔῈ le triangle ΑΓΔ équiangle avec le triangle ΖΗΘ (2. 4), de manière que l'angle ΓΑΔ soit égal à l'angle z , et que chacun des angles H, © soit égal à chacun des angles ΑΓΔ, ΓΔΑ; chacun des angles ΑΓΔ; TAA sera double de l'angle ΓΑΔ. Coupons chacun des angles ΑΓΔ
LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. | 219
ΓΑΔ ἐστὶ διπλῆ. Τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ATA, TAA δίχα ὑπὸ ἑκατέρας" τῶν TE, ΔΒ εὖ- θειῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ AB, ΒΓ, AE, EA.
Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα TOv ὗπο ATA, TAA γωνιῶν διπλασίον ἐστὶ τῆς ὑπὸ TAA, καὶ τετμημέναι εἰσὶ δίχα ὑπὸ τῶν TE, ΔΒ εὐθειῶν" αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ AAT, ATE, ETA, TAB, ΒΔΑ ἴσα; ἀλλήλαις εἰσίν. Αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεξήκασιν" αἱ πέντε ἄρα περιφέρειαι αἱ AB, BT, TA , AE, ΕΑ ἔσαι ἀλλήλαις εἰσίν, Ὑπὸ δὲ τὰς ἴσας περιφερείας ἴσαι εὐθεῖαι ὑπο- τείνουσιν" αἱ πέντε ἄρα εὐθεῖαι ai AB, BT, TA, AE, EA ἔσται ἀλλήλαις εἰσίν" ἰσόπλευρον pat ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἰσογώ- viov. Ἐπεὶ γὰρ 1 ΑΒ περιφέρεια τῇ ΔῈ περιφερείᾳ ἐστὶν ἰσηῦ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΒΓΔ’ ὅλη ἄρα ἡ ABTA περιφέρεια ὅλῃ τῇ EATB περιφερείᾳ ἐστὶν ἴσηϑ, Καὶ βέζξηκεν ἐπὶ p τῆς ABT A περιφερείας γωνία à υπὸ AEA, ἐπὶ δὲ τῆς EATB περιφερείας γωνία ἡ ὑπὸ BAE' καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ pa γωνία τῇ ὑπὸ AEA ἐστὶν ἴσηδ, Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ
e , ^ € \ € € exacTu τῶν ὑπὸ ABT, BIA, IAE γώνεων exa-
tur autem uterque ipsorum ATA, ΓΔΑ bifariam ab utráque ipsarum FE , AB rectarum , et jun- gantur AB, ΒΓ, AE, EA.
Quoniam igitur uterque ipsorum ATA, TAA augulorum duplus est ipsius ΓΑΔ; et secti sunt bifariam à TE , AB rectis ; quinque igitur anguli AAT, ATE, ΕΓΔ, ΓΔΒ, ΒΔΑ equales inter se sunt. Æquales autem anguli aequalibus circumfe- rentiis insistunt ; quinque igitur circumferentia: AB, ΒΓ, TA, AE, EA æquales interse sunt. /iqua- les autem circumferentias æquales rectæ subten- dunt; quinque igitur rect» ΑΒ, ΒΡ, l'A, AE, EA æquales inter se sunt ; æquilaterum igitur est ΑΒΓΔΕ pentagonum.Dico et æquiangulum. Quo- niam enim AB circumferentia ipsi AE circumfe- rentiæ est equalis , communis addatur ΒΓΔ ; tota igitur ΑΒΓΔ circumferentia toti EATB circumfe- rentiæ est equalis. Et insistit ipsi quidem ΑΒΓΔ circumferentiz angulus AEA, ipsi vero EATB cir- cumferentiæ angulus BAE , et BAE igitur angulus ipsi AEA est æqualis. Propter eadem utique et
unusquisque ipsorum ΑΒΓ, BTA, l'AE angulo-
TAA en deux parties égales par les droites TE, ΔΒ (9. 1), et joiguons AB, ET, AE, EA.
Puisque chacun des angles Ar^, raA est double de l'angle r4a , et que ces angles sont coupés en deux parties égales par les droites TE, 4B, les cinq angles AAT, ATE, ETA, TAB, ΒΔΑ sont égaux entr'eux. Mais les angles égaux sont appuyés sur des arcs égaux (26. 5) ; donc les cinq arcs AB, BF , TA , AE, EA sont égaux entr'eux. Mais les arcs égaux sont soutendus par des droites égales (29. 5); donc les cinq droites AB, ET, TA, AE, EA sont égales entr'elles ; donc le pentagone ABraE est équilatéral. Je dis aussi qu'il est équiangle. Car puisque l'arc 4B est égal à l'arc AE, ajoutons l'arc commun ΒΓΔ; l'arc entier ΑΒΓΔ &era égal à l'arc entier EAFB. Mais l'angle AE^ est ‘appuyé sur l'arc. ABTA , et l'angle BAE sur l'arc EATB ; donc l'angle BAE est égal à l'angle AE^ (27. 5). Par la méme raison, chacun des angles Abr, ΒΓΔ, TAE est égal à chacun des angles ΒΑΕ,
5320 LE QUATRIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
^ € 3 \ » 5 , τέρᾳ τῶν ὑπὸ ΒΑΕ. ΑΕΔ εστὶν ἐση" ἰσογῶνμον » , / M \ dpa ἐστὶ τὸ ABTAE πεντάγωνον. Ἐδείχθη δὲ xai M ICO AeUpov* E ΠῚ \ , , , 3 Εἰς ἄρα τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ice ’ δ». 2 5 , "ἦν πλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται. Οπερ ἐδὲι
ποιῆσαι. HPOTAXIZ jf.
, ΕΣ ,
Περὶ τὸν δοθέντα κύκλον πεντάγωνον ἰσοπλευ- , ὌΝ , , pov τε καὶ ἰσογῶνιον περιγράψαι.
€ ^ ^ \ Ἔστω ὃ δοθεὶς κύκλος 0 ΑΒΓΔΕ’ dei δὴ περὶ , 9 . , \ τὸν ΑΒΓΔΕ κύκλον πεντάγωνον ἰσοπλευρὸν τε καὶ
» , , 10 GYEOV περιγράψαι.
rum utrique ipsorum BAE , AEA est equalis ; æ- quiangulum igitur est ABTAE pentagonum. Os- tensum est autem et æquilaterum ;
In dato igitur, circulo pentagonum æquilate-
rumque et zquiangulum inscriptum est. Quod oportebat facere,
PROPOSITIO XII.
Circa datum circulum pentagonum æquilate- rumque et æquiangulum circumscribere.
Sit datus circulus ABPAE ; oportet igitur circa ΑΒΓΔΕ circulum pentagonum æquilaterumque
et æquiangulum circumscribere.
^ , , ^ Νενοήσθω τοῦ ἐγγεγραμμένου πενταγώνου τῶν
^ e M el 5» γωνιῶν cnptiæ, τά A, B, T, A, E, ὥστε Ioa
εἶναι τὰς AB, BT, TA, AE, EA περιφερείας"
Intelligantur inscripti pentangoni angulorum
puncta A, B, D, A, E, ita ut equales sint AB, Br , TA, AE, EA circumferentiæ ; et per A,
AEA ; donc le pentagone ABTAE est équiangle. Mais il a été démontré qu'il est
équilatéral ;
Donc dans un cercle donné , on a inscrit un pentagone équilatéral et équiangle,
Ce qu'il fallait faire.
PROPOSITION ΧΙ].
Circonscrire à un cercle donné un pentagone équilatéral et équiangle.
Soit ABrAE le cercle donné; il faut au cercle ABrAE circonscrire un pen-
tagone équilatéral et équiangle.
Concevons que A, B, T, A, E soient les sommets des angles du pentagone inscrit (11. 4), de manière que les arcs AB, ΒΓ; TA, AE, EA soient égaux ;
LE QUATRIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. oor
καὶ διὰ τῶν A, B, T , A, E ἤχθωσαν τοῦ κύ- κλου ἐφαπτόμεναι αἱ HO, OK, KA, AM, ΜΗ" καὶ εἰλήφθω τοῦ ABTAE κύκλου κέντρον τὸ Z, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ZB, ZK, ZT, ZA, ZA. Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν KA εὐθεῖα ἐφάπτετα, ποῦ ΑΒΓΔΕ κύκλου κατὰ TÀT , ἀπὸ δὲ τοῦ Z κέντρου ἐπὶ τὴν κατὰ τὸ Y ἐπεφὴν ἐπέζευκται; ἡ ZI* ἡ Zi dpa. κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὴν KA* ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν! ἑκατέρα τῶν πρὸς τῷ T γωνιῶν. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ αἱ πρὸς τοῖς B, Δ σημείοις γωνίαι ὀρθαί εἰσι. Καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ZIK γω- vía, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ZK ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ZT, IK. Aid τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ZB, ΒΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς 2Κ5" ὥστε τὰ" ἀπὸ τῶν ZT, TK τοῖς ἀπὸ τῶν LB, ΒΚ ἐστὶν ἴσα. ὧν τὸ ἀπὸ τῆς LT τῷ ἀπὸ τῆς ZB ἐστὶν ἰσον" λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς IK λοιπῷ! τῷ ἀπὸ τῆς BK ἐστὶν ἴσον. ion ἄρα καὶ TK τῇ BK). Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν # ZB τῇ ZT, καὶ κοινὴ ἡ ZK y δύο δὴ αἱ ΒΖ. ZK δυσὶ ταῖς TZ, ZK ἴσαι εἰσὶ, καὶ βάσις 1 BK βάσει τῇ TK ἐστὶν ἴση" γωνία ἄρα
H \ OEM / CONDOS As » # μὲν ὑπὸ BZK γωνίᾳ τῇ ὑπὸ KZT ἐστὶν 103, ἡ
B,T, A, E ducantur circulum contingentes HO, OK, KA, AM, MH ; et sumatur ΑΒΓΔΕ circuli centrum Z , et jungantur ZB, ΖΚ, Zr ZA, ZA.
b
Et quoniam recta quidem KA contingit ΑΒΓΔΕ circulum in T , ab ipso vero Z centro in contactum ad T ducta est Zr ; ergo ZT' per- pendicularis est ad KA rectus igitur est uterque ipsorum ad T angulorum. Propter eadem uti- que et ipsi ad B, A puncta anguli recti sunt. Et quoniam rectus est ZTK angulus , ipsum igi- tur ex ΖΚ æquale est ipsis ex ΖΓ, ΓΚ. Propter eadem utique et ipsis ex ZB, BK æquale est ip- sum ex ΖΚ; quare ipsa ex ZT , ΓΚ ipsis ex ZB , BK æqualia sunt , quorum ipsum ex Zr ipsi ZB est quale; reliquum igitur ex ΓΚ reliquo ex BK est æquale ; equalis igitur ΓΚ Ipsi BK. Et quoniam æqualis est ΖΒ ipsi ΖΓ, ct communis ZK , due utique ΒΖ, ΖΚ duabus ΓΖ ; ZK c quales sunt, et basis BK basi ΓΚ est æqualis ; angulus igitur quidem BZK angulo KZP est equalis ,
ipse vero BKZ ipsi ZKT est equalis ; duplus igi-
par les points A, B, T, 4, E, menons au cercle les tangentes HO, ΘΚ, KA ? ? AM, MH (17. 5); prenons le centre Z du cercle ΑΒΓΔΕ, et joignons zB, zx,
ZT, ZA, ZA.
Puisque la droite KA touche le cercle ΑΒΓΔῈ au point r, ZT est menée du centre Z au point de contact r,
et que la droite la droite zr est perpen-
diculaire à KA (18. 5); donc chacun des angles en r est droit. Chacun des
angles aux points B, A est droit, par la méme raison.
Et puisque l'angle zr«
est droit, le quarré de la droite ΖΚ est égal aux quarrés des droites zr TK *,
(47. 1). Le quarré de la droite zx est égal aux quarrés des droites ZB, BK
> par
, la même raison ; donc les quarrés des droites zr, TK sont égaux aux quarrés des
droites ZB, BK; mais le quarré de zr est ég tant de ΓΚ est égal au quarré restant de ΒΚ; donc rk est égal à pk. E est égal à zr, et que la droite ΖΚ est commune , les deux droite
al au quarré de ΖΒ; donc le quarré res- D puisque zB S BZ , ΖΚ sont égales
aux deux droites TZ, ZK ; mais la base BK est égale à la base TK; donc l'angle ΒΖΚ
LE QUATRI
ε e 7s πον. o di ὑπὸ BKZ Til ὑπὸ ΖΚΙ ἐστὶν ἴση
EME LIVRE
* διπλῆ ἄρα ἡ μὲν ὑ ὑπὸ BZI τῆς ὑπὸ KZT, 4 δὲ ὑπὸ ΒΚΓ τῆς ὑπὸ LKT. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ TZA
τῆς TZA ἐστὶ διπλῇ. ἡ δὲ ὑπὸ TAA τῆς ὑπὸ
TAZ. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ περι ρει τῇ TA
cu ἐστὶ καὶ Que ἡ ὑπὸ ΒΖΓ τῇ ὑπὸ ΤΖΔ. Καὶ ε \
=
ἐστὶν à μὲν ὑπὸ BZT τῆς ὑπὸ KZT dizi , ἡ di ὑπὸ ALT διπλὴ) τῆς ὑπὸ AZi* icm ἄρα καὶ à
ε
ὑπὸ KZT τῇ ὑπὸ AZI* ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὲ ZTK
\ “ , \ , 3 ^ »ὠνία τῇ ὑπὸ ΖΤΛ ions. Avo δὴ 7pij t2. ca 19 \ " e M , , ^ fs ^ , τὰ ZKT, ZAT τὰς duo γωνίας ταῖς duci γωνίαις
5 E E , € 7. 10 \ , *
ἰσας ἐἔχοῦτα examepay euarrepa 9 καὶ μίαν TAEU- \ — », M LS \ τὸ <
ai pna 04 σὴν. ποινὴν αὐτῶν τὴν ZU, καὶ
τὲς À6 πὰς V TS eUpc ὃς ταῖς λοιπαῖς TAG ευραῖς
ἴσας PAT καὶ th? λοιπὴν γωνίαν τῇ λύρα d 2t-
y * i08
ἄτα ἡ μὲν KT εὐθεῖα τῇ TA, à ἡ δὲ
L EN Uri ZKT γωνία τῇ ὑπὸ LAT. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν
DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
lur ipse quidem BZT ipsius KZr, ipse vero BKT ipsius ZKT, Propter eadem utique et ipse quidem TZAipsius ZA est duplus, ipse vero TAA ipsius T'AZ. Et quoniam æqualis est BF circumferentia ipsi ΓΔ, æqualis est et angulus BZF ipsi ΓΖΔ. Et est ipse quidem ΒΖΓ ipsius KZ duplus, Ipse vero AZT duplus ipsius AZT ; æqualis igitur et KZT ipsi AZT ; estautem et ZFK angulus ipsiZT A æqualis.
Duo utique triangula sunt ZKT , ZAT duos an-
gulos duobus angulis æquales habentia utrum- que utrique , et unum latus uni lateri æquale, commune ipsis ipsum ZF, et reliqua igitur latera reliquis lateribus æqualia habebunt, οἱ reliquum angulum reliquo angulo; æqualis igitur ipsa quidem KT recta ipsi TA, ipse vero ZKT angu- lus ipsi ZAT. Et quoniam æqualis est KT. ipsi TA, dupla igitur KA ipsius KT. Propter eadem
est égal à l'angle Kzr, et l'angle B&z à l'angle zxr (8. 1); donc l'angle zr est double de l'angle xzr, et l'angle Bxr double de laugle ΖΚΓ. raison, l'angle ZrA est double de l'angle rz4, et l'angle rAA double de l'angle TAZ. Et puisque l'arc Br est égal à l'arc rA, l'angle Bzr est égal à l'angle ΓΖΔ (27. Kzr, et langle azr double de l'angle azr; mais l'angle zrK est égal
lar la méme
5). Mais l'angle Bzr est double de l'angle donc l'angle Kzr est égal à l'angle Azr; à l'angle zr^; donc les triangles Z&r, ZAT ont deux angles égaux à deux angles, chacun à chacun, et un côté égal à un côté, le côté zr, qui leur est commun; donc ces deux triangles ont les côtés restants égaux aux .côtés restants, et langle restant égal à l'angle restant (26. 1); dons la droite Kr est égale à
la droite rA, et l’angle zkr est égal à l'angle zar. Mais ΚΓ est égal à rA; donc
LE QUATRIEME LIVRE DES ἡ KT τῇ ΓΛ, διπλῆ ἀρὰ » KA τῆς KT. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ δειχθήσεται. καὶ ἡ ΘΚ τῆς BK διπλῆ, Καὶ ἐστὶν ἡ BK τῇ KT ἴση1"" καὶ ΘΚ ἄρα τῇ KA ἐστὶν ἴση. Ομοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑκάστη τῶν OH, HM, MA ἑκατέρᾳ τῶν ΘΚ, KA ἴση" ἰσό- πλευρὸν ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΚΛΜ πεντάγωνον. Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἰσογώνιον. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ZKT γωνία τῇ ὑπὸ LAT, καὶ ἐδείχθη τῆς μὲν ὑπὸ ZKT διπλὴ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ, τῆς δὲ ὑπὸ ZAT διπλὴ ἡ ὑπὸ KAM* καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΛ ἄρα τῇ ὑπὸ ΚΛΜ ἐστὶν jos. Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἑχώστη τῶν ὑπὸ KOH, OHM, HMA ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ OKA , ΚΛΜ ἔση" αἱ πέντε ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ HOK, ΘΚΛ, ΚΛΜ, AMH, ΜΗΘ ἴσων ἀλλήλαις εἰσίν. Ἰσωγώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ HOKAM πεντάγωνον, Ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον. καὶ περιγέγραπται περὶ τὸν ABT AE κύκλον. Οσερ ἔδει
ποιῆσαι.
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 293 utique óstendetur, et OK ipsius BK dupla. Et est BK ipsi KP æqualis ; et OK igitur ipsi KA est equalis. Similiter utique ostendetur et una- quæque ipsarum OH , HM , MA utrique ipsarum OK, KA æqualis ; æquilaterum igitur est HOKAM pentagonum. Dico autem et æquiangulum. Quo- niam enim æqualis est ZKT angulus ipsi ZAT, et ostensus est ipsius quidem ZKT duplus ipse KA , ipsius vero ZAT duplus ipse KAM ; et OKA igitur ipsi ΚΛΜ est æqualis. Similiter uti- que ostendetur et unusquisque ipsorum ΚΘΗ, OHM , HMA utrique ipsorum €KA , ΚΛΜ æqua- lis ; quinque igitur anguli ΗΘΚ, ΘΚΛ, ΚΛΜ, AMH , MHO æquales inter se sunt. Æquiangu- lum igitur est HOKAM pentagonum. Ostensum est autem et æquilaterum , et circumscriptum est circa ABPAE circulum, Quod oportebat fa- cere.
KA est double de xr. On démontrera de la méme manière que ΘΚ est double de ΒΚ. Mais BK est égal à kr; donc ΘΚ est égal à ka. On démon- trera semblablement que chacune des droites 6H, HM, MA est égale à l'une et à l'autre des droites ΘΚ, KA; donc le pentagone HeKAM est équila- téral. Je dis aussi qu'il est équiangle; car puisque l'angle zxr est égal à l'angle ZAT, et qu'on a démontré que l'angle ex^ est double de l'angle zxr, et l'angle KAM double de l'angle zar, l'angle ΘΚΛ est égal à l'angle KAM. On démontrera semblablement que chacun des angles ΚΘΗ, @HM, HMA est égal à l'un et à l’autre des angles ΘΚΛ, ΚΛΜ; donc les cinq angles ΗΘΚ, ΘΚΛ, ΚΛΜ, AMH, MHO sont égaux entr'eux. Donc le pentagone HGKAM est équiangle. Mais nous avons démontré qu’il est équilatéral, et il est circonscrit au cercle ΑΒΓΔΕ, Ce qu'il fallait faire.
224 LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
, IPOTAZIZ y. PROPOSITIO XIII. , N M y e» \ . y , *
Εἰς τὸ δοθὲν πεντάγωνον. 0 ἐστὶν ἰσόπλευρέν T3 In dato pentagono , quod est æquilaterumque καὶ ἰσογώνιον, κύκλον ἐγγράψαι. ct æquiangulum , circulum inscribere.
Ἔστω τὸ δοθὲν πεντείγωνον, ἰσόπλευρόν! τε καὶ Sit datum. pentagonum æquilaterumque et ἰσογώνιον, τὸ ABTAE* δεῖ δὴ εἰς τὸ ABTAE πεν- æquiangulum ABTAE ; oportetigitur in ΑΒΓΔΕ πτάγωνον κύπλον ἐγγράψαι. peutagono circulum inscribere.
A mne | M EN |/ E
[PA
A ut. Lg Σ K A
τετμήσθω yop ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ. TAE Secetur enim uterque ipsorum ΒΓΔ, ΓΔΕ an-
γωνιῶν dixa ὑπο" exa Tepac τῶν IZ, ΔΖ εὐθειῶν" gulorum bifariam ab utráque ipsarum ΓΖ, AZ
rectarum ; et a Z puncto, in quo "conveniunt inter se ΓΖ, AZ rectz , ducantur ZB, ZA, ZE
καὶ ἀπὸ TOU L σημείου, #46 ὁ συμξάλλουσιν ἀλ- λήλαις αἱ TZ, ΔΖ εὐθεῖαι. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ZB, ZA, ZE εὐθεῖαι, Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ BT τῇ TA, — recte. Et quoniam æqualis est BT ipsi TA, com- κοινὴ δὲ n TZ , δύο δὴ ai BT , TZ δυσὶ ταῖς AT, TZ munis autem TZ, duæ utique BT , ΓΖ duabus ἴσαι εἰσὶ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὺλῖζ AT, TZ æquales sunt, et angulus BTZ angulo ΔΓΖ jon toi): Basic ἄρα ἡ ΒΖ τῇ βάσει AL ἐστὶν ἴση, — wqualis est ; basis igitur ΒΖ basi AZ est equalis ,
καὶ τὸ BZT τρίγωνον τῷ AZT τριγώνῳ ἐστὶ ἴσονί, εἰ BZT triangulum ipsi AZT triangulo est æquale,
PROPOSITION, XITI.
Dans un pentagone équilatéral et équiangle donné, inscrire un cercle.
Soit Abr:r le pentagone équilatéral et équiangle donné; il faut inscrire un cercle dans le pentagone ΑΒΓΔΕ.
Coupons chacun des angles ΒΓΔ; TAE en deux parties égales par les droites IZ, AZ (9. 1); et du point Z où les deux droites TZ, AZ se rencontrent, menons les droites ZB, ZA, ZE. Et puisque Br est égal à TA, et que la droite rz est commune, les deux droites Br, ΓΖ sont égales aux deux droites ΔΙ, TZ; mais l'angle Brz est égal à l'angle ΔΓΖ; donc la base ΒΖ est égale à la base az (4. 1), et le triangle Bzr est égal au triangle arz, et les angles restants
LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 255
\ € \ / DJ m / » παὶ αἱ λοίπαι γωνίαι ταῖς AOC γωνίαις TL a 5 ΡΒ ipd eov e / = ἐσονται". υῷ ἂς αἱ ἴσαι πλεύραι! ὑποτείνουσιν
/ e ie. NN / rore: κ NES \
icu ape ἡ ὑπὸ TBZ γωνία τῇ ὑπὸ FAZ. Καὶ eres , CORN 2 TE CHE MAT Mode διπλὴ ἐστιν ἡ ὑπὸ TAE τῆς ὑπὸ TAZÓ, ἴση δὲ ἡ
\ che CIC TE € A Foe ON
μὲν ὑπὸ TAE τῇ ὑπὸ ABT, n δὲ TAZ τῇ ὑπὸ εν Εἰ \ LA L2 € \ 3 \
IBZ, καὶ ἢ ὑπὸ TBA ἀρὰ τῆς υπὸ TBZ ἐστὶ δὲ--
^ » ῃ CCE) "n οὖν CERE
TAN ica ἀρὰ ἡ ὑπὸ ΑΒΖ γωνίω τῇ ὑπὸ ΖΒΓ"
εν At - / ] , CAN -
ἡ ἀρὰ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία, δίχα, τέτμηται ὑπὸ τῆς > M / e NEC
ΒΖ εὐθείας. Ομοίως dà δειχθήσεται ovi xai exa-
, ^ e M , ^ € M τέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΕ. ΑΕΔ d\ya τέτμηται ὑπὸ ΕΣ \
et reliqui anguli reliquis angulis æquales erunt, quos æqualia latera subiendunt; æqualis igi- tur TBZ angulus ipsi TAZ. Et quoniam duplus est TAE ipsius ΓΔΖ, æqualis autem ipse qui- dem LAE ipsi ABL, ipse vero ΓΔΖ ipsi ΓΒΖ, et ΓΒΑ igitur ipsius ΓΒΖ est duplus ; æqualis igitur ΑΒΖ angulus ipsi ΖΒΓ. Ergo ΑΒΓ angu- lus bifariam secatur à ΒΖ rectà. Similiter uti- que ostendetur et utrumque ipsorum EAE , AEA bifariam secari ab utráque ipsarum ZA, ZE
rectarum. Ducantur autem à Z puncto ad AB,
ἑκατέροις τῶν ZA, LE εὐθειῶν. Ηχθωσαν δὴ ἀπὸ ποῦ 2 σημείου ἐπὶ τὲς AB, BT, TA, AE, EA ΒΓ, TA, AE, EA rectas perpendiculares ZH, εὐθείας κάθετοι αἱ ZH, ZO, ΖΚ, ZA, ZM. Kai
> NC MI , \ € e \ / ^ € \ ἐπεὶ IGN ἐστίν ἢ ὑπὸ GTZ γωνία τῇ ὑπὸ KTZ,
29, ΖΚ, ΖΔ, ZM. Et quoniam equalis est OrZ angulus ipsi KIZ , est autem ct rectus ZOP
NES i eas po ἡ ὑπὸ LOT (5047 τῇ ὑπὸ ZKT recto ZKT æqualis, duo utique triangula sunt
» , \ / » NS = A 1: 1 1
icu, δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ LOT, ZKT τὰς Ζ9Γ, ZKT duos angulos duobus angulis æqua- f te N » " d ξ . D 1
δύο γωνίας vulc) δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα, καὶ les habentia , et unum latus uni lateri æquale, , \ ^ mM Y \ » T sor
μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην. κοινὴν αὐτῶν Commune ipsorum ZT, subtendens unum æ-
CES CET M 1 ^ . "eli joitur ZT ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν" καὶ Qualium angulorum j et reliqua igitur latera
τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαὴὶς πλευραῖς reliquis lateribus æqualia habebunt; æqualis ἴσας vat ἴση dpa. ἡ ZO κάθετος τῇ ZK καθέτῳ. igitur. ZO perpendicularis ipsi ΖΚ perpendicu- Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται Ey CHE TOPIC εξ AES νειν : lari. Similiter utique ostendetur et unamquam- ZM , ZH ἑκατέρᾳ τῶν LO, ZK ἴση ἰστίν" αἱ πέιτε UE ipsarum ZA, ZM, ZH , utrique ipsarum ZO,
égaux aux angles restants, ceux qui soutendent des côtés égaux (4. 1); donc l'angle: rBz est égal à l'angle raz. Et puisque l'angle rar est double de langle raz, que TAE est égal à l'angle ΑΒΓ, et que raz est égal à rez, l'angle rBA est double de l'angle r8z; donc langle ΑΒΖ est égal à l'angle ΖΒΓ; donc l'angle ABr est coupé en deux parties égales par la droite ΒΖ. Nous dé- montrerons semblablement que chacun des angles BAE, AEA est coupé en deux parties égales par les droites ZA, ΖΕ. Du point Z menons sur les droites ΑΒ, ΒΓ, TA, AE, EA les perpendiculaires ΖΗ, zo, ΖΚ, ZA, ZM. Puisque l'angle erz est égal à l'angle krz, et que l'angle droit zer est égal à l'angle droit zxr, les deux triangles zer, ZKT auront deux angles égaux à deux angles, et un cóté égal à un cóté, le cóté commun zr qui soutend un des angles égaux; ils auront donc les côtés restants égaux aux côtés restants (26. 1); donc la perpendiculaire zo est égale à la perpendiculaire ΖΚ. On démontrera sembla- blement que chacune des droites ZA, ΖΜ, zH est égale à l'une et à l'autre
29
226 LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ἄρα εὐθεῖαι αἱ ZH , ZO , ZK, ZA, ZM ἴσαι ἀλ- λήλαις εἰσίν. O ἄρα κέντρῳ τῷ 2, διαστήματι δὲ ἑνὶ τῶν ZH, ZO, ZK, ZA, ZM κύκλος γρα- , e \ \ D ^ / \ φΦομενὸς ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων. καὶ ἐφάψεται τῶν AB, BT, TA, AE, EA. εὐθειῶν. \ \ 2 X "B A Dr dia τὸ ὀρθὰς eva Tac πρὸς Τοὺς HS OK, ἃς M σημείοις γωνίας. Εἰ γὰρ οὐκ ἐφάψεται αὐτῶν, > M D > 3 , ^ e , ἀλλὰ TAE) AUTAS, συμξήσεται τὴν τῇ διαμή τρῷ
^ , MRC \ 31 3; fj E , E \ που κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπ ἄκρας ἀγομένην EVTCS
ΖΚ æqualem esse; quinque igitur recte ZH, ZO, ZK, ZA, ΖΜ æquales inter se sunt. Ergo centro Z , intervallo vero unà ipsarum ZH , ΖΘ, ΖΚ, ZA, ZM circulus descriptus transibit et per reliqua puncta , et continget AB, ΒΓ, TA, AE, EA rectas ; propterea quod recti sünt ad H,O,K, A, M puncta anguli. $i enim non contingit ipsas , sed secat ipsas , eveniet ut ipsa
diamelro circuli ad rectos ab extremitate ducta
πίπτειν τοῦ κύκλου. ὕπερ ἄτοπον ἐδείχθη. Οὐκ dpa © κέντρῳ τῷ 2. διαστήματι δὲ eri τῶν ZH , ZO, ΖΚ. ZA, ZM εὐθειῶν γραφόμενος κύκλοςϑ τεμεῖ τὰς AB, BT, TA, AE, EA εὐθείας. Εφα- dera) ἄρα αὐτῶν. Τεγράφθω ὡς ὁ HOKAM.
, 3) \ M , LJ LS d Εἰς apa τὸ d'oûey πεντάγωνον. ὃ ἐστιν ico-
, \ , , > y πλευρὸν TE καὶ ἰσογώνιον > κύκλος ἐγγέγραπται,
Οπερ ἔδει ποιῆσαι.
intra cadat circulum , quod absurdum osten- sum est. Non igitur centro Z , intervallo vero unà ipsarum ZH , ZO , ZK , ZA, ZM rectarum descriptus circulus secabit ipsas AB, ΒΓ, TA, AE , EA rectas ; continget igitur ipsas. Des- cribatur ut HOKAM,
In dato igitur pentagono , quod est æquila- terumque et æquiangulum , circulus inscriptus
est. Quod oportebat facere.
des droites ze, ΖΚ; donc les cinq droites ZH, Zo, ΖΚ, ZA, ZM sont égales entr'elles. Donc le cercle décrit du centre z, et d'un intervalle égal à une des
droites ZH, ZO, ZK, ZA, ZM, passera par les autres points, et touchera les
droites AB, ΒΓ, TA, AE, EA, parce que les angles sont droits en H, ©, K,
^, M. Car s'il ne les touchait pas, et s'il les coupait, la perpendiculaire menée d'une de ses extrémités au diamètre, tomberait dans le cercle; ce qui a été démontré absurde (16. 5); donc le cercle décrit du centre z, et d'un intervalle égal à une des droites ΖΗ, ΖΘ, ΖΚ, Z^, ΖΜ, ne coupera point les droites AB, ΒΓ, TA, AE, EA; donc il les touchera. Décrivons le cercle H@KAM.
Donc on a inscrit un cercle dans un pentangone équilatéral et équiangle donné.
Ce qu'il fallait faire.
LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 227
HPOTASIS 3,45.
AN ^ L 4 » ἘἢῚ n Περὶ τὸ δοθὲν πεντάγωνον. ὃ ἐστιν ἰσόπλευρόν
VE , , , τε καὶ IGO'yCVIOV , κυκλον περιγράψαι.
\ \ , € E \ , Ecre τὸ δοθὲν πεντάγωνον. o! ἐστὶν ἰσόπλευ- , , \ D \ \ ^ ράν τε καὶ ἰσογώνιον. τὸ ABTAE* dvi δὴ περὶ τὸ
ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλον περιγράψαι.
Τετμήσθω δὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓΔ, TAE γω- νιῶν δίχα ὑπὸ ἑκατέρας τῶν TZ, ZA, καὶ ἀπὸ τοῦ L σημείου. καθ ὃ συμξάλλουσιν ai? εὐθεῖαι, ἐπὶ Ta B, A, E σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ZB, ZA, ΖΕ. Ομοίως δὴ τὸ πρὸς τούτου δειχθή- σεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὑπὸ ΓΒΑ. ΒΑΕ, ΑΕΔ γωνιῶν δίχα τέτμηται ὑπὸ ἑκάστης τῶν ZB , AZ,
>» re N 9 Ny » V € € M 7 EZ εὐθειῶν, Καὶ ἐπεὶ ἴσῃ ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΓΔ γωνία
PROPOSITIO XIV.
Circa datum. pentagonum , quod est æquila- terumque et zquiangulum , circulum. circam- scribere,
Sit. datum pentagonum , quod est æquilate- rumque et æquiangulum ΑΒΓΔΕ ; oportet igi- tur circa. ΑΒΓΔῈ pentagonum circulum cir-
cumscribere,
Secetur quidem uterque ipsorum BT'A, T'AE angulorum bifariam ab utrâque ipsarum ΓΖ, ZA, eta Z puncto, in quo conveniunt recte, ad B, A, E puncta ducantur rect» ZB, ZA, ΖΕ. Similiter utique. ut antea ostendetur et unumquemque ipsorum ΓΒΑ, BAE, ΑΕΔ an- gulorum bifariam secari ab unáquaque ipsarum
ZB, AZ, EZ rectarum. Et quoniam æqualis est
PROPOSITION XIV.
Circonscrire un cercle à un pentagone équilatéral et équiangle donné. Soit ABraE le pentagone équilatéral et équiangle donné ; il faut au pentagone
ABTAE circonscrire un cercle.
Coupons en deux parties égales chacun des angles ΒΓΔ, TAE par les droites
IZ, ZA (9. 1), et du point Z où ces droites se rencontrent, menons aux points B, A, E les droites ZB, zA, zE. Nous démontrerons, comme aupara- vant, que chacun des angles rBA, BAE, AEA est coupé en deux parties égales par les droites ZB, Az, Ez. Et puisque l'angle Bra est égal à l'angle rar, et
238 LE QUATRIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
€ € \ LA ^ M € ^ € τῇ 070 IAE, καὶ ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ BIA ἡμί- : c'e \ ^ M ue \ € / εε ^ cua d ὑπὸ LIA, τῆς δὲ ὑπὸ TAE ἡμίσεια ἡ ὑπο \ € € \ bi n € \ 3 M » TAZ, καὶ n ὑπὸ ZTA dpa τῇ ὑπὸ LAT ἐστὶν io2* τὸ M € ^ ^ 2 5 5», ὥστε καὶ πλευρά ἡ ZT πλευρᾳ τῇ LA ἐστιν σὴ. \ , "I N € , ^ Ομοίως δὴ δειχθήσεται ὁτι καὶ ἑκάστη τῶν ZB, € , ^ ΕΣ \ » , ZA, ZE εκατερᾳ τῶν ZT, ZA eov σή" αἱ πέντε / 3 D * » 5 4 ἄρα εὐθεῖαι αἱ ZA, ZB, ZT, ZA, ΖΕ soa ἀλλή-
/ l / nm \ 2 3 Auc εἰσίν. O ἄρα κέντρῳ τῷ Ly καὶ διαστήματι SN ^ , , $91 τῶν ΖΑ. ZB, ZT, ZA, ZE κυκλος γραφομε- dx ^ ^ M ^ ͵ \ y γος ἥξει καὶ διὰ τῶν λοιπῶν σημείων. καὶ ἔσται , [4 , \ 37 Ἂ περιγραφομενος V. Περιγεγράφθω. καὶ στῶ 0 ΑΒΓΔΕ. N » A x , e Ileps apa. τὸ δοθὲν" πεντάγωνον. ὃ ἐστιν ἰσό- ; T , , πλευρὸν τε καὶ ἰσογώνιον. κύκλος περ! έγραπται.
Orrep ἔδει ποιῆσαι.
ΒΓΔ angulus ipsi ΓΔΕ, et est ipsius quidem ΒΓΔ dimidius ipse ZPA , ipsius vero TAE di- midius T'AZ , οἱ ZPA igitur ipsi ZAT est equalis ; quare et latus ZT lateri ZA est æquale. Similiter utique ostendetur et unamquamque ipsarum ZB, ZA , ZE ulrique ipsarum ZT, ZA esse æqua-
lem ; quinque igitur recie ZA , ZB, ZT, ZA, ΖΕ
æquales inter se sunt, Ipse igitur centro Z et in- tervallo unà ipsarum ZA , ZB , ZT , ZA, ZE cir- culus descriptus transibit et per reliqua puncta, et erit circumscriptus. Circumscribatur , et sit ΑΒΓΔΕ.
Circa datum igitur pentagonum , quod est i quilaterumque et æquiangulum, circulus cir-
cumscriptus est. Quod oportebat facere.
que l'angle zr est la moitié de l'angle ΒΓΔ, et l'angle raz la moitié de l'angle TAE, l'angle zrA est égal à l'angle zar; donc le côté zr est égal au côté za (6. 1). On démontrera semblablement que chacune des droites zB, ZA, ZE est égale à chacune des droites zr, z^; donc les cinq droites ZA, ZB, ZT, ZA, ZE sont égales entr’elles. Donc le cercle décrit du point z et d'un intervalle égal à une des droites ZA, ZB, ZT, z^, ZE passera par les autres points, et sera circonscrit, Qu'il soit circonscrit , et qu'il soit ΑΒΓΔΕ.
Donc un cercle a été circonscrit à un pentagone équilatéral et équiangle donné. Ce qu'il fallait faire.
LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 229
IIPOTAZIZ. i.
Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον ἐξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
Ἔστω ὃ δοθεὶς κύκλος 6 ABIAEZ* δεῖ δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔΕΖ κύκλον ἐξάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ
- ^ 5 , Ἰσογῶνμον ἐγγράψαι.
PROPOSITIO XV.
In dato circulo hexagonum æquilaterumque et æquiangulum inscribere.
Sit datus circulus ΑΒΓΔΕΖ ; oportet igitur in ΑΒΓΔΕΖ circulo hexagonum æquilaterumque
et æquiangulum inscribere.
Hy» τοῦ ΑΒΓΔΕΖ κύκλου διάμετρος ἡ AA, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ H, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ 5, διαστήματι δὲ τῷ AH κύκλος γεγράφθω ὁ EHTO, καὶ ἐπιζευχθεῖσα, αἱ EH, IH διήχθωσαν ἐπὶ τὰ B, L σημεῖα. καὶ ἐπε- ζεύχθωσαν αἱ ΑΒ. BT, TA, AE, EZ, ΖΑ’ λέγω ὅτι τὸ ABTAEZ ἐξάγωνον ἰσόπλευρόν τε ἐστὶ καὶ ἰσογώνιον.
Ἐπεὶ γὰρ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓΔΕΖ
, ΕΣ 3 \ € ^ , 3 ἊΝ \ XUXAOU, i04 ἐστὶν ἡ HE τῇ HA. Παλιν. ἐπεὶ To
PROPOSITION
Ducatur ΑΒΓΔΕΖ circuli diameter AA, et sumatur centrum circuli H , et centro qui- dem A, intervallo vero AH circulus descri- batur EHTO , et junctæ EH, TH producantur ad B, Z puncta, et jungantur AB, ΒΓ, TA, AE, EZ, ZA ; dico ΑΒΓΔΕΖ hexagonum æqui-
laterumque esse et æquiangulum.
Quoniam enim H punctum centrum est ΑΒΓΔΕΖ circuli , equalis est HE ipsi HA, Rur-
>,
Inscrire dans un cercle donné un hexagone équilatéral et équiangle.
Soit ABrAEZ le cercle donné; il faut dans ce cercle inscrire un hexagone
équilatéral et équiangle.
Menons le diamètre 44 du cercle ΑΒΓΔΕΖ, prenons le centre H de ce cercle, : du centre A, et de l'intervalle ΔῊ décrivons le cercle Exre(dém. 5), joiguons les droites EH, rH, prolongeons-les vers les points B, Z, et joignons AB, zr, TA, AE, EZ, ΖΑ; je dis que l'hexagone ΑΒΓΔΕΖ est équilatéral et équiangle.
Puisque le point H est le centre du cercle ABratz, la droite HE est égale à
230 LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
e , 3 \ -" » À σήμειον κιντρον $074 τοῦ EHTO κύκλου, i74 > À © P. »c E > ἐστὶν ἢ. ΔῈ τῇ AH. AAA Y HE τῇ HA ἐδείχθη ion, \ e y ἮΝ » 5 καὶ n HE ape τῇ ἘΔ 154 ἐστίν" ἰσόπλευρον ἄρα 3 \ \ / D ^ ἐστι τὸ EHA τρίγωνον. καὶ αἱ τρεῖς ἄρα αὐτοῦ , e € M » yoviai αἱ υπὸ EHA, HAE, AEH ἴσαι ἀλλήλαις x N 2 ͵ ^M » P. ^ € \ εἰσιν. ἐπειδήπερ τῶν ἰσοσπέλων τριγώνων αἱ προς ^ , , L4 2 , [i τῇ βασει γωνία! ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί. Καί εἶσιν ἘΣΘ S " , / NS Lies ds €i τρεῖς TOU τριγώνου γωνία! δυσὶν ὀρθαῖς icat*
ς " € \ - , , n^ ^ 4 ἀρὰ ὑπὸ EHA γωνία τρίτον ἐστὶ duo ὀρθῶν.
sus, quoniam 4 punctum centrum est EHTO circuli, æqualis est AE ipsi AH. Sed HE ipsi HA ostensa est æqualis, HE igitur ipsi EA æ- qualis est ; æquilaterum igitur est EHA trian- gulum , et tres igitur ipsius anguli EHA , HAE, AEH æquales inter se sunt, quiaisoscelium trian- gulorum ad basim anguli æquales inter se sunt.
Et sunt tres trianguli anguli duobus rectis æ-
ἡ quales ; ipse igitur EHA angulus tertia pars
, À |^ No. 2€ \ / Ομοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ AHT τρίτον ΘΝ NS n NE DM Aon ME δύο ὀρθῶν, Καὶ ἐπεὶ n IH εὐθεῖα ἐπὶ τὴν EB DJ \ 3 ^ , b e M σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ EHT , THB \ 2 ^ » ^ \ \ LA € ε x δυσὶν ὀρθαῖς ἐσᾶς ποίει. καὶ λοιπὴ GO ἢ UTTO , 3. x NAS AT) HINC THB τρίτον ἐστι δύο ὀρϑῶν" αι ἄρα ὑπὸ EHA, / Y LE 395 e \ AHT, THB γωνίαι σαι aAA. atte εἰσίν" ὥστε καὶ αἱ \ ἢ e ER OE κατὰ κορυφὴν αὐταῖς αἱ ὑπὸ ΒΗΛ. AHZ, ZHE
, \ nee ME càs » 4041.90] ταῖς ὑπὸ EHA , AHT , THB' αἱ ἐξ apa
est duorum rectorum. Similiter utique ostende- tur et AHT tertia pars duorum rectorum. Et quo- niam ΓΗ recta super EB insistens deinceps an- gulos EHP , ΓΗΒ duobus rectis æquales facit , et reliquus igitur ΓΗΒ tertia pars est duorum reciorum ; ipsi igitur EHA , AHT, ΓΗΒ anguli æquales inter se sunt; quare ct ad verti-
cem ipsi BHA , AHZ, ZHE æquales sunt ip-
γω!ίαι αἱ ὑπὸ EHA, ΔΗΓ, ΓΠΒ. BHA, AHZ, sis EHA , AHT , ΓῊΒ ; sex igitur anguli EHA , Ha. De plus, puisque le point 4 est le centre du cercle EHro, la droite AE est égale à AH. Mais on a démontré que HE est égal à HA; donc HE est égal à ΕΔ; donc le triangle EHA est équilatéral; donc les trois angles EHA , HAE, AEH sont égaux entr'eux, puisque daus les triangles isocéles , les angles à la base sont égaux entr'eux (5. 1). Mais les trois angles d'un triangle sont égaux à deux droits (52. 1); donc l'angle EHA est le tiers de deux droits. Nous démontrerons semblablement que aHr est le tiers de deux droits. Mais la droite TH tombant sur la droite EB fait les angles de suite EHr, THB égaux à deux droits (15. 1); donc l'angle restant rHB est le tiers de deux droits; donc les angles EHa, AHT, THB sont égaux eutr'eux; mais les angles BHA, AHZ, ZHE sont égaux aux angles EHA, AHr, THB, parce que ces angles sont opposés par le sommet (15. 1), donc les six angles ἘΠῚ, AHT, THB, BHA
LE QUATRIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 231
ZHE ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. Αἱ δὲ ἴσαι γωνίαι ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν βεξήκασιν" αἱ ἐξ ἄρα περιφέρειαι ai AB, BT, TA, AE, EZ, ZA ἴσαι, ἀλλήλαις εἰσίν. Ὑπὸ δὲ τὰς idac περιφερείας ai? ἴσαι εὐ- θεῖαι ὑποτείνουσιν" αἱ LE ἄρα εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλή-- Mc εἰσίν" ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕΖ e£a- γωνον" λέγω δὴ ὅτι καὶ ἰσογώνιον. Ἐπεὶ γὰρ i02 ἐστὶν ἡ ΖΑ περιφέρεια τῇ ἘΔ περιφερείᾳ, κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΒΓΔ περιφέρεια" ὅλη ἄρα ἡ LABTA? ὅλῃ τῇ ἘΔΙΒΑΊ ier ἴση. καὶ βέξηκε ἐπὶ μὲν τῆς ZABTA περιφερείας ἡ ὑπὸ LEA γωνία. ἐπὶ δὲ τῆς EATBA περιφερείας" à ὑπὸ AZE γωνία" ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ AZE γωνία τῇ ὑπὸ LEA. Ομοίως δὴθ δειχθήσεται ὅτι καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι τοῦ ABTAEZ ἑξαγώνου κατὰ μίαν ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ τῶν ὑπὸ AZE, ΖΕΔ γωνιῶν" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ 7 τὸ ABTAEZ εξάγωνον. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευ- por y καὶ ἐγγέγραπται εἰς τὸν ABTAEZ κύκλον.
^ , , € , Εἰς dpa τῶν δοθέντα κύκλον ἐξαάγωνον ἰσό-- , ἊΝ 9 , 5 , EY ἣν πλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγέγραπται, Οπερ ἐδεὶ
σοιῆσαι.
ΔΗΓ, ΓΗΒ, HA , AHZ , ZHE «quales inter se sunt. Æquales autem anguli æqualibus circum- ferentis insistunt ; sex igitur circumferentia AB,BT , lA,AE,EZ , ZA mquales inter se sunt. JEquales autem. circumferentias quales rectæ subtendunt; sex igitur recte æquales inter se sunt ; æquilaterum igitur est ΑΒΓΔΕΖ hexago- num ; dico etiam οἱ æquiangulum. Quoniam enim æqualis est ZA circumferentia ipsi EA cir- cumferentiæ , communis addatur ΑΒΓΔ circum- ferentia ; tota igitur ZABTA toti EATBA est æqua- lis, et insistit quidem ipsi ZABTA circumferen- üæ ipse ΖΕΔ angulus, ipsi vero EATBA circum- ferenti: ipse AZE angulus, Æqualis lgitur AZE angulus ipsi ZEA. Similiter utique ostendetur et reliquos angulos ipsius ABTAEZ hexagoni secun- dum unum æquales esse alterutri ipsorum AZE, ZEA angulorum. Æquiangulum igitur est ΑΒΓΔΕΖ hexagonum. Ostensum est autem ct æquilate- rum , et inscriptum est in ΑΒΓΔΕΖ circulo.
In dato igitur circulo hexagonum æquilate- rumque et æquiangulum inscriptum est. Quod
oportebat facere.
AHZ , ZHE sont égaux entr'eux. Mais des angles égaux s'appuient sur des arcs égaux (26. 5); donc les six arcs AB, BT, TA, AE, EZ, ZA sont égaux entr'eux.
Mais des arcs égaux sont soutendus par des droites égales (29. 5); donc ces six
droites sont égales entr'elles ; donc l'hexagone ABTAEZ est équilatéral. Je dis quil est équiangle. Car puisque l'arc ZA est égal à l'arc ἘΔ, ajoutons l'arc commun ΑΒΓΔ, l'arc entier ZABrA sera égal à l'arc entier EArbA. Mais l'angle ZEA s'appuie sur l'arc zABrA , et l'angle AZE s'appuie sur làrc EarBA; donc l'angle AZE est égal à l'angle zEA (27. 5). On démontrera semblablement que les angles restants de l'hexagone ABrAEZ sont égaux un à un à l'un et à l'autre des angles AzE, ΖῈΔ; donc lhexagone ABrAEZ est équiangle. Mais on
a démontré qu'il est équilatéral, et il est inscrit dans le cercle ΑΒΓΔΕΖ. Donc on a inscrit un hexagone équilatéral et équiangle dans le cercle donné.
Ce qu'il fallait faire.
232 LE QUATRIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IIOPIZMA.
, A e e ^ € , «
Ex TOUTOU φανερὸν CTI ἡ τοῦ εξαγώνου πλευρα τς ἐν ri Mr AME 10) ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ XeVTpOU "TOU HUHAOU,
N. 29-1 ^ ^
Καὶ cav διὰ τῶν A, B, T, ^, E, Z ca-
, Q » , ^ , 3 , 7 μείωνδ εφαπτομενας τοῦ κύκλου ἀγαγομέν. πε-
, Ν \ 22 dia . EAE
ρ'γραφήσεται περὶ TOV κύκλον εξάγωνον ἰσόπλευ-
^
, \ D > ’ [?" e καὶ ἰσογώνιον , ἀκολούθως ποις ἐπὶ τοὶ , > , BONG IN Y X ^ E , TIEV'T cy ty oU εἰρήμενοις. Κα, ἐτίὶ ótX τῶν C/20:0@V Li 3 Ν ^ , » , * \ n ΓΝ τοις ἐπι του πειταγῶώνου CIPAJAEVOIS εἰς TO ὁοῦεν Er "E , , » \ , £220 0V0y zUEAOY pp doper τε καὶ περέγραστος-
με»5.
,
JIPODATXIX x6
" , ; , Εἰς τὸν δοθέντα κύκλον πεντεπαι δεκαγωνον PA , Mr τε. σόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι. ε \ ΄ ε oes -- 5 \ Ecrw 0 δοθεὶς κύπλος 6 ABTA* dvi δὴ εἰς τὸν , ) ; , ΑΒΓΔ κύκλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε
N7 s , > , 1 καὶ ἰσογώνιον ἐγγράψαι.
COROLLARIUM.
Ex hoc manifestum hexagoni latus æquale esse Ipsi ex circuli centro.
Ets? per À, B, DA ADDED puncla con- üngentes circulum. ducamus , circumscribetur circa circulum hexagonum æquilaterumque et æquiangulum, congruenter eis de pentagono dictis. Et etiam. congruenter eis de pentagono
8 8 dictis , in dato hexagono circulum inscribemus-
que et circumscribemus.
PROPOS I RTIO XVI
In dato circulo quindecagonum æquilaterum- que et æquiangulum inscribere.
Sit datus circulus ΑΒΓΔ; oportet igitur in ΑΒΓΔ circulo quindecagonum æquilaterumque
ct æquiangulum inscribere.
COROLLAIRE.
De là il est évident que le côté de l'hexagone est égal au rayon du cercle. Semblablementsi par les points A, B, ^, T,E , Z nous menons des tangentes au cercle, on circonscrira à ce cercle un hexagone équilatéral et équiangle , confor- mément à ce qui a été dit pour le pentagone. C'est aussi conformément ἃ ce qui a été dit pour le pentagone, que nous inscrirons, et que nous cir-
conscrirons un cercle à un hexagone donné.
PROPOSITION XVI.
Inscrire dans un cercle donné un quindécagone équilatéral et équiangle. Soit ΑΒΓΔ le cercle donné; il faut dans ce cercle inscrire un quindécagone
équilatéral et équiangle.
LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 233
Ἐγγεγράφθω! εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τριγώνου
^ > \ > , μὲν ἰσοπλεύρου τοῦ eic αὐτὸν ἐγγραφομένου
Inscribatur in ΑΒΓΔ circulo trianguli quidem
æquilateri in ipso inscripti latus AT , pentagoni
πλευρὰ ἡ AT, πενταγώνου δὲ ἰσοπλεύρου ἡ AB* — vero cquilateri ipsum AB; qualium igitur est
οἵων ἄρα ἐστὶν 0 ΑΒΓΔ κύκλος ἴσων τμημάτων ΑΒΓΔ circulus æqualium segmentorum quinde- δεκαπέντε, τοιούτων ἡ μὲν ΑΒΓ περιφέρεια τρί- cim, talium ABT quidem circumferentia tertia Toy οὗσα τοῦ κύκλου ἔσται πέντε. ἡ δὲ AB me — pars existens circuli erit quinque ; AB vero cir- ριφέρεια ᾿ πεμπτὸν οὖσα TOU κύκλου 4 ἔσται cumferentia " quinta existens circuli, erit trium ;
τριῶν" λοιπὴ dpa à BT τῶν ἴσων δύο. Τετμήσθω — reliqua igitur BT æqualium duarum. Secetur
εἴ
ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ E, ἑκατέρα ἄρα τῶν BE, ΒΓ bifariam in E , utraque igitur ipsarum BE, ET περιφερειῶν πεντεκαιδέκατον ἔσται" τοῦ ΑΒΓΔ ET circumferentiarum quintadecima erit ΑΒΓΔ κύκλου. Ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξαντες τὰς BE, ET εὖ- — circuli. Si igitur jungentes ipsas BE, ET rectas , θείας", ἴσας αὐτοῖς κατὰ τὸ συνεχὲς εὐθείας — equales ipsis in continuum rectas aplemus in ἐναρμόσωμεν εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον, ἔσται εἰ ΑΒΓΔ circulo , erit in ipso inscriptum quindeca- αὐτὸν ἐγγεγραμμένον πεντεκαιδέγωνον ἰσότελευρόν — gonum æquilaterumque et æquiangulum. Quod
\ X n ἊΣ " τε καὶ ἰσογώνιον. Οπερ ἔδε, ποιῆσαι. oportebat facere.
Inscrivons dans le cercle ΑΒΓΔ le côté ar d'un triangle équilatéral inscrit, et le côté AB d'un pentagone équilatéral. Puisque la circonférence entière ΑΒΓΔ doit être partagée en quinze parties égales, l'arc ΑΒΓ qui est la troisième partie de la circonférence, en contiendra cinq, et l'arc ΑΒ qui est le cinquième de la circonférence , en contiendra trois; donc l'arc restant Br en contiendra deux. Partageons l'arc restant Br en deux parües égales au point E (50. 5), chacun des arcs BE, Er sera la quinzième partie de la circonférence du cercle ΑΒΓΔ, Donc, si ayant joint les droites BE, Er, nous adaptons dans le cercle ABTA , à la suite les unes des autres, des droites égales à ces droites (1. 4), on aura inscrit dans ce cercle un quindécagone équilatéral et équiangle. Ce qu'il fallait faire.
3o
334. LE QUATRIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
, ^ m.» A - , γν \ Ομοίως δὲ τοῖς ἐπὶ TOU πενταγώνου, ἐὰν διὰ
^ ᾿ , > , ^ τῶν κατὰ κύκλου διαιρέσεων ἐφαπτομένεις. τοῦ 2 , , N \ ,
κύκλου ἀγάγωμεν. περιγρεφήσεται περὶ τὸν κύ-
, , ; Ν
κλον πεντεκαιδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσο--
, À M ^ € x e 3 Ν ^
γώνιον. Evi de διὰ τῶν ὁμοίων τοῖς ἐπὶ τοῦ
, 5 , ^, Ν 5 \ Ay b:
πενταγώνου eipnjutvoich, καὶ εἰς τὸ δοθὲν πεντεκαι- L 4 9-w , M5 , 5
δεκάγωνον. ὃ ἐστιν ἰσύπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον",
κύκλον ἐγγράψομέν τε καὶ περιγράψομεν,
Congruenter autem eis quz de pentagono, si per circuli. divisiones | contingentes. circulum ducamus , circumscribetur circa circulum quin- decagonum zquilaterumque et æquiangulum. Et insuper congruenter eis de pentagono dic- lis , eL in dato quindecagono circulum inscri-
bemus et circumscribemus.
Conformément à ce qui a été dit pour le pentagone, si par les points de
divisions d'un cercle, on mène des tangentes à ce cercle, on circonscrira o ,
à
ce cercle un quindécagone équilatéral et équiangle. De plus, conformément à ce qui a été dit pour les démonstrations du pentagone, nous inscrirons et nous circonscrirons une circonférence de cercle à un quindécagone équila-
téral et équiangle donné.
FIN DU QUATRIÈME
LIVRE.
E UCGLIDIS
EL EM-E'"N TO RU M
LI B»E-R cQ XD IAN. T US.
I I TT
OPOI.
DEFINITIONES. z. Μέρος ἐστὶ μέγεθος μιγέθους, τὸ ἔλασσον 1. Pars est magnitudo magnitudinis , minor UT “ PERO ^ του μείζονος. ovay καταμετρῇ τὸ μεῖζον.
majoris, quando mensurat majoren. M \ D ^ 5. β΄. πολλαπλάσιον δὲ τὸ μεῖζον τοῦ ἐλάσσο-
2. Mulüplex autem major minoris, quando Yd \ EI kA b A . 3T νος, OTAY καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος. mensuratur a minore. : A ae A S à lt γ΄. Λόγος ἐστὶ δύο μεγεθῶν ὁμογενῶν ἡ κατὰ 5. Ratio est duorum magnitudinum homoge- 5 M LA \ , THAIAOTATA προς ἀλληλα ποία σκεσιςῖς
nearum secundum quantitatem inter se qua- dam habitudo.
LIVRE CINQUIEME DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
DÉFINITIONS.
1. Une grandeur est partie d'une grandeur, la plus petite de la plus grande, quand la plus petite mesure la plus grande.
l
>
z 2.
2. Une grandeur plus grande est multiple d'une grandeur plus petite, quand plus grande est mesurée par la plus petite.
Une raison, est certaine manière d’être de deux σα entr’elles , suivant la quantité.
grandeurs homogènes
236 LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
, M € RJ , ^, δ΄. Αναλογία δὲ. ἡ τῶν λόγων ταυτότης", , | \ f , ΄ €. Λόγον ἔχειν πρὸς ἄλληλα μεγέθη λέγεται. a , " > , € & δύναται πολλαπλασιαζόμενα αλλήλων ὑπερ- χειν. , OB Tae / , LS c. Ev τῷ αὐτῳ λόγῳ μεγέθη AsvyeTa εἰναι. - M Ν “ à ^ πρῶτον πρὸς δεύτερον καὶ τρίτον πρὸς τέταρ- LA \ ^ , X , TOV, ὁτὰν τὰ TOU πρώτου καὶ τρίτου ἰσάκις ἣν fv IN , \ πολλαπλάσια. τῶν τοῦ δευτέρου καὶ τετάρτου ^c E . ἰσάκις πολλαπλασίων 5 καθ ὁποιονοῦν πολλαπλα- € , € , ^oc ε , oU σιασμον. €x T ép OV ἐπάτερου ἡ ἄμα ὑπέρ ym, ἡ ἅμα , icu oc , , , , 2 ἴσα 9», 4 dz ελλείπη ληφθέντα κατύλληλαν, \ a \ 3 ' 4 , D ζ΄. Ta δὲ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον peyebni, DM ἀνάλογον καλείσθω. , RTE ; \ ἡ. Οταν d$ τῶν ἐσαπιὶς πολλαπλάσιων. TO \ ^ , , € , ^ ^ μεν TOU πρώτου πολλαπλάσιον UTEPEY HN τοῦ "TOU , 7 M üu re , δευτέρου πολλαπλασίου., TO δὲ τοῦ τρίτου πολ- ; NE , MES ; AamAacioy μὴ υὑπερεχὴ TCU TCU τετάρτου πολ-
M ,
; A s ue λαπλασίου" τό τε τὸ πρῶτον πρὸς τὸ δεύτερον LA ἥπερ τὸ τρίτον
, 59 , μείζονα λογον ἐχεῖν λεγέται. πρὸς τὸ τέταρτον.
\ el / 5 g. Αναλογία δὲ ἐν τρισὶν opoic ἐλαχίστην
, , EOTIW'e
4. Proportio autem , rationum identitas.
5. Rationem habere inter se magnitudines
dicuntur, quz possunt multiplicatæ sese supe- rare.
6. In eàdem ratione magnitudines dicuntur esse, prima ad secundam et tertia ad quartam, quando prime et terlie aque multiplices , secunde ct quarte æque multiplices, juxta quamvis multiplicationem , utraque utramque vel una superant, vel una æquales sunt, vel
una deficiunt comparatz inter se,
7. Jpsæ autem eamdem rationem habentes
magnitudines proportionales vocentur.
8. Quando vero æque multiplicium , primæ quidem multiplex superat secunde muliipli- cem, terüie vero multiplex non superat quartæ multiplicem , tunc. prima ad secundam majo- rem rationem habere dicitur, quam tertia ad
quartam.
9. Proportio autem in tribus terminis minima
est.
4. Une proportion est une identité de raisons.
5. Des grandeurs sont dites avoir une raison entr'elles, lorsque ces gran- deurs, étant multipliées , peuvent se surpasser mutuellement.
6. Des grandeurs sont dites être en méme raison, la première à la seconde, et la troisième à la quatrième, lorsque des équimulüples quelconques de la pre- miére et de la troisième, et d'autres équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième sont tels, que les premiers équimultiples surpassent, chacun à chacun, les seconds équimultiples, ou leur sont égaux à la fois, ou plus petits à la fois.
7. Les grandeurs qui ont la méme raison sont dites proportionelles.
8. Lorsque, parmi ces équimulüples, un multiple de la première surpasse un multiple de la seconde, et qu'un multiple de la troisieme ne surpasse pas ua multiple de Ja quatrième, on dit alors que la première a avec la seconde une plus grande raison que la troisième avec la quatrième.
9. Une proportion a au moins trois termes.
LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 237
, 3 , 5 À ^ í. Oray δὲ τρία μεγέθη ἀνάλογον ἢ. τὸ πρῶ- \ x 4 , , EJ , TOY πρὸς τὸ τρίτον διπλασίονα λόγον ἐχεῖν λε- » \ M , VETAI , ἥπερ πρὸς τὸ δεύτερον. , \ , 3 , 5 A a. Οταν δὲ τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον 4, τὸ ^ M ΔΩ͂ , ! , πρῶτον προς τὸθ τεταρτον τριπλασίονα λογὸν À , E ^ M Ars A ES ἐχεῖν λέγεται HTEP πρὸς τὸ δεύτερον" καὶ ad € D € /, Cl E < , , £ , En ὁμοίως ὡς7 ἂν ἢ ἀναλογία UTAH. , , , PLA \ \ « , 18. Ομολογα μεγέθη λέγεταιδ ,74 μὲν ἡγου- ARD \ AT ue pere τοῖς ἡγουμένοις. τὰ di ἑπομενὰ τοῖς ἐπο- μξνοις. δ Ὅν , , N.N ^ € , iy. Ἑναλλαξ λογος ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμε- M M e , ^ - € , YOU πρὸς πὸ ἡγουμένον , καὶ TCU ἐπομένου προς Ae τὸ ἐπομενον-
, , ͵ JUR ME Mt ; 1d. Ανάπαλιν λόγος ἐστὶ λῆψις τοῦ επομε-
»
H e , \ \ κ« ΄ ε ε νοῦ t6 ἡγουμενου προς TO ἡγουμένον ὡς επο-
20835) zb ad : Σ i£. Σύνθεσις λόγου ἐστὶ λῆψις τοῦ ἡγουμέ- * ^ € , « j| 395 Y \ 3 \ M you μετα του εἐπομενοῦ ως €r06 σρος ŒUTQ TO e , emu Cperoy, La M , \ RJ ε “ς΄. Διάερεσις δὲθ λόγου ἐστὶ λῆψις τῆς ὑπερ- o ese , Ve , me 2 \ οχῆς, à ὑπερέχει TO ἡγούμενον τοῦ ἑπομένου, πρὸς
> \ Ae , αὐτὸ TO e7TCJAEYOV,
10. Si autem tres magnitudines proportio- nales sint, prima ad tertiam duplam rationem habere dicitur, ejus quam ad secundam.
11. $1 quatuor magnitudines proportionales sint , prima ad quartam triplam rationem habere dicitur ejus quam ad secundam ; et semper dein- ceps similiter quamdiu proportio exstiterit.
12. Homologæ magnitudines dicuntur , ante- cedentes quidem antecedentibus , consequentes vero consequentibus,
15. Alterna ratio est sumplio antecedentis ad antecedentem , et consequentis ad conse- quentcm.
14. Inversa ratio est sumptio consequentis at antecedentis , ad antecedentem ut ad conse- quentem.
15. Compositio rationis est sumptio antece- dentis cum consequente tanquam unius ad ipsam consequentem.
16. Divisio rationis est sumptio excessüs, quo superat antecedens consequentem, adipsam con- scquentem.
10. Lorsque trois grandeurs sont proportionnelles, la premiére est dite avoir avec la troisième une raison double de celle qu'elle a avec la seconde.
11. Lorsque quatre grandeurs sont proportionnelles, la premiére est dite avoir avec la quatrieme une raison triple de celle qu'elle a avec la seconde, et ainsi de suite, tant que la proportion subsiste.
12. Les antécédents sont dits des grandeurs homologues aux antécédents; et les conséquents, des grandeurs homologues aux conséquents.
15. La raison est alterne, quand on comp:re l'antécédent à l'antécédent,
et le conséquent au conséquent.
14. La raison est inverse, quand on compare le conséquent comme antécé-
dent à l'antécédent comme conséquent.
15. Il y a composition de raison, quand on compare au conséquent l'an-
técédent avec le conséquent.
16. Il y a division de raison, quand on compare au conséquent l’excès de
l'autécédent sur le conséquent.
238 v ^ ^ > \ ^ ^ € “ζ΄, Αναστροφῇ λόγου ἐστι λῆψις του ἡγου- ! \ M € \ e ot / Y € , μένου πρὸς τὴν ὑπεροχὴν.» ἡ ὑπερέχει τὸ Wyou— ε ͵ μενον τοῦ ἐπομέετου. , pA t , Ν , » I. Διΐσου λογὺς ἐστι, πλειόνων GVTOY. μέγε- ^ Ns, , C9 Y \ ^ \ , ÜQy καὶ ἄλλων αὐτοῖς ἴσων τὸ πλῆθος. σὺν δύο , b ^ ^ , ef 3 ε Ae Cav opérer καὶ ἐν TO αὐτῷ ÀCYO, ὅταν Y ὡς » v D , \ .“ \ Ny εν τοῖς TTpe T O46 [A42) εθεσι τὸ πρῶτον πρὸς TO ἐσχα- μὲ , ΩΣ , ^^ \ ^ τὸν. οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσι τὸ πρῶτον \ \ ὦ Xy ^ Ἂν Ν᾽ πρὸς τὸ £0 ya TOV. H &AAecc. Aic τῶν «ρῶν ἘΕΣ ὩΟ ὃν μέσων καὶ υὑπεξαιρεσιν τῶν μέσων. ; , ; οὐ νῷ yc ιθ΄, Τεταγμένη ἀναλογία ἐστὶν. ὅταν ἢ ὡς ε , ^ e , [7] e n \ ἡγουμενον πρὸς ETFOJLEVOY OUTUWS Ἠγούμενον πρὸς \ € , r4 Δ \ «€ e # \ E REND τὸ &TOJANOV , ἢ δὲ καὶ ὡς TOULON πρὸς ἀλλο τί LA € £ \ 3 , ουτῶς €7TCJAWVOY -τρὸς ἀλλό Ti! I, , , N , , , \ ei x. Terape? svn dé ἀναλογία ἐστὶν. ὅταν. - καὶ 05 NS y , M y 12 τριῶν ὄντῶν μεγεθῶν καὶ GAAGY αὐτοῖς I00y'" \ Ὁ ; . ets A ; τὸ πλῆθος. γίνεται. ὡς μὲν ἐν τοῖς πρώτοις μ:- , € , M e * er 5 ^ 9sBeciv ἡγούμενον πρὸς ἐπομένον , CUTWE εν τοῖς , , € , M e , e δευτέροις μεγέθεσιν ἡγουμενον πρὸς «πομενον" ὡς
, - , 6 € X 9 , ὅς ἐν τοῖς πρωτοῖς μεγέθεσιν evropusvoy πρὸς ἄλλο
LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
17. Conversio rationis est sumplio antecc- deritis ad excessum, quo superat antecedens con- sequentem.
18. Ex «qualitate ratio est, pluribus existen- übus magnitudinibus et aliis ipsis qualibus numero, binis sumptis et in cádem ratione , quaudo est ut in primis magniludinibus prima ad mltimam, ita in secundis magnitudinibus prima ad ulümam. Vel aliter. Sumplio extre- marum per substractionem mediarum.
19. Ordinata proportio est, quando estut an lecedens ad consequentem ita antecedens ad cousequentem ; est autem consequens ad aliam
quampiam , ila consequens ad aliam quampiam.
20. Perturbata autem proportio est, quando tribus existentibus magnitudinibus ct aliis ipsis æqualibus numero, fit, ut quidem in primis mag- nitudinibus antecedens ad consequentem , ita in secundis magnitudinibus antecedens ad conse-
quentem ; ul vero in primis magniiudinibus 5 8
17. ll y a conversion de raison, quand on compare lantécédent à l'excès
de l'antécédent sur le conséquent.
17. ll y a raison par égalité, lorsqu'ayant plusieurs grandeurs, et d'autres grandeurs égales en nombre aux premières, et que ces grandeurs étant prises deux à deux, eten méme raison , la première grandeur des premières est à la dernière, comme la première grandeur des secondes està la dernière; ou bien, lors- que l'on compare les grandeurs extrèmes, les moyennes étant retranchées.
19. La proportion est ordonnée, lorsque l'antécédent est au conséquent comme l'antécédent est au conséquent, et que le conséquent est à un autre conséquent quelconque , comme le conséquent est à un autre conséquent quelconque.
20. La proportion est troublée, lorsqu'ayant trois grandeurs et d'autres grandeurs égales en nombre aux premières, il arrive que dans les premières
$ graudeurs l'antécédent est au conséquent, comme daus les secondes gran- «
deurs lantécédent est au conséquent, et que dans les premières gran-
LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 580
e ^ ; ; SpA TI, οὕτως ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν" ἀλλο TI
πρὸς ἡγούμενον. IIPOTAZIZ à;
En ὁ Dr μεγέθη ὑποσωνοῦν μεγεθῶν! ἴσων ἀνῇ σποσαουν μεγ ε0 ὁποσωνουν μεγεθῶν N RJ e € , , , τὸ πλῆθος. ἐκαστον ἐκάστου ἰσάκις πολλαπλα- « 7 , 3 i ^ ^ PE σιον" ὁὑσαπλάσιόν ἔστιν ἕν τῶν μεγεθῶν ev0c, το-
1 \ \ ^ 4 GaUTATAGGIA ἔσται καὶ TOL MAYTA τῶν πάντων.
Ἔστω οποσαοῦν μεγέθη τὰ ΑΒ. TA ὑποσωνοῦν μεγεθῶν τῶν E, Z ἴσων τὸ πλῆθος. ἕκαστον ἑκάσ- του ἰσάκις πολλαπλάσιον" λέγω ὕτι ὁσαπλάσιόν ἰστι τὸ ΑΒ τοῦ E , τοσαυτειπλάσια ἔσται καὶ τὰ AB, ΓΔ: τῶν. Ε: Z.
N
M 5» , , Ν᾽ , \ Ἐπεὶ yap ἰσάκις ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΑΒ
^ Ν \ ^ (2 sl E] N E "T τοῦ E, καὶ T0 TA τοῦ L* Co ἀρὰ ἐστιν ev τῷ
consequens ad aliam quampiam , ita in secundis
magnuitudinibas alia quæpiam ad antecedente m.
PROPOSITIO:TI.
Si sint quotcunque magnitudines quotcupque magnitudinum æqualium multitudine , singulæ singularum æque multiplices , quam multiplex est una magnitudinum unius , tam multiplices erunt et omnes omnium.
Sint quotcunque magnitudines AB, ΓΔ quot cunque magnitudinum E, Z æqualium mulütu- dine, singulæ singularum æque multiplices ; dico quam multiplex est AB ipsius E , tam multipli-
ces esse ct ΑΒ, ΓΔ ipsarum E , Z.
Quoniam enim æqueest multiplex ABipsius E
ac FAjpsius Z; quot igitur suntin. AB magni-
deurs le conséquent est à une grandeur quelconque, comme dans les secondes grandeurs une grandeur quelconque est à un antécédent.
PROPOSITION PREMIÈRE.
Si l'on a tant de grandeurs que l’on voudra, égales en nombre à d'autres grandeurs, chacune des premières étant le même équimultiple de chacune des secondes, une des premières grandeurs sera le même multiple d'une des secondes que la somme des premières l’est de la somme des secondes.
Soient AB, TA (245), tant de grandeurs qu'on voudra égales en nombre à d'autres grandeurs E, Z, chacune étant le même multiple de chacune; je dis que AB est le méme multiple de E, que la somme de AB et de ra l'est de Ja somme de E et de z.
3133 ^ » , . Puisque AB est multiple de E, que ΓΔ l'est de z, il y aura dans AB autant
2,00 LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. AB μεγέθη" ἴσα τῷ E, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ TA — tudines equales ipsi E, tot sunt οἱ in TA æqua- ἴσα τῶ 1. Διηρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ Emme lesipsiZ. Dividatur AB quidem in magnitudines
,
210a ἴσα τὰ AH, HB, τὸ δὲ TA εἰς τὰ τῷ L AH, ΗΒ æqualesipsi E , ipsa vero ΓΔ in ipsas ἴσα τὰ TO , ΘΔ’ ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος T&v ΓΘ, OA equales ipsi Z ; erit utique qualis mul- AH, HB τῷ πλήθει τῶν TO, ΘΔ". Καὶ ἐπεὶ σὺν — titudo ipsarum AH, HB multitudini ipsarum ΓΘ, ἐστὶ To μὲν AH τῷ E, τὸ δὲ TO τῷ Z* ἴσα dpa ΘΔ. Et quoniam æqualis est AH quidem ipsi E,
καὶ τὰ AH, TO τοῖς E, Z. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ipsa vero ΓΘ 1psi Z ; equalis igitur et AH , ΓΘ
A _H B EL
Ἐ Θ Δ 7
το
ἴσον ἐστὶ τὸ HB τῷ E, καὶ τὸ ΘᾺ τῷ Z* ἴσα 0515 E, Z; propter eadem utique æqualis est HB ἄρα καὶ τὰ HB, OA τοῖς E, 25. ὅσα apa ἐστὶν ipsiE, et OA ipsi Z ; æquales igitur et ΗΒ, ΘΔ ἐν τῷ AB ἴσα τῷ E, τοσαῦτα καὶ ἐν τοῖς AB, lpsisE, Z; quotigitur sunt in AB æquales ipsi TA ἴσα τοῖς E, Z* ὁσαπλάσιον ἄρα 2ori τὸ AB E,tot sunt et in ΑΒ, ΓΔ æquales ipsis E, Z; τοῦ E, τοσαυταπλάσια ἔσται καὶ τὰ AB, ΓΔ — quam muluüplex igiturest AB ipsius E, tam mulli- τῶν E, Z. Ἐὰν dpa ἢ ὁποσαοῦν, καὶ τὰ ἑξῆς. plices erunt et AB , TA ipsarum E , Z. Si igitur
quotcunque etc.
de grandeurs égales à E, qu'il y a de grandeurs égales à z. Partageons AB en grandeurs égales à E, et que ces grandeurs soient AH, HB; partageons aussi rA en grandeurs égales à Z, et que ces grandeurs soient ΓΘ, ΘΔ. Le nombre des parties re, ΘΔ sera égal au nombre des parties AH, ΗΒ. Mais AH est égal à E, et ro égal à z; donc la somme de ΔΗ et de re sera égale à la somme de E et de z. Par la méme raison, HB est égal à E, et ΘΔ à z; donc la somme de HB et de Θὰ est égale à la somme de E et de z. 1] y a donc dans ΑΒ autant de grandeurs égales à E, quil y a dans la somme de ΑΒ et de ra de grandeurs égales à la somme de E et de z. Donc ΑΒ est le méme multiple de E que la
somme de AB et ΓΔ l'est de la somme de E et de 2. Donc, etc.
,
LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 241
T
IIPOTAXIZ f. PROPOSFETTO T
M ES , Β d à 5 - E 3 Ἐὰν πρῶτον δευτέρου ἰσώπις ἡ πολλαπλάσιον Si prima secunde æque sit multiplex ac tertia
καὶ τρίτον τετάρτου z ἢ δὲ καὶ πέμπτον δευτέρου quartz , sit autem et quinta secunda æque mul- ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τετάρτου" xai liplex ac sexta quarte ; et simul sumptæ prima συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον δευτέρου ἰσάκις εἰ quinta secunde æque erunt multiplices ac ἔσται πολλαπλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἕκτον Te- — lertia et sexta quartz. τάρτου.
Πρῶτον γὰρ τὸ ΑΒ δευτέρου τοῦ T ἰσάκις ἔστω Prima enim AB secunda F æque sit multiplex
πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΔῈ τετάρτου τοῦ ac lertia AE quarte Ζ, sit autem et quinta BH
Acus ia Rana. BA, <* Ἡ
Das
A E Mar. 0 " ;
Z, tore δὲ καὶ πεμπτον τὸ BH δευτέρου τοῦ secunde P eque multiplex ac sexta ΕΘ quarta
, \d \ , . 1c o 1 E . . ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἕκτον τὸ EO τέεταρτοῦ Ζ; dico et simul sumptas primam et quintam
x À / . ï qu TOU 2" λέγω ὅτι καὶ συντεθὲν πρῶτον καὶ πέμπτον ΑΗ secunde T zque fore multiplices ac ter- τὸ AH δευτέρου τοῦ T ἰσάκις ἔσται πολλαπλά- liam etsextam ΔΘ ipsius Z.
gioy καὶ τρίτον καὶ ἕκτον τὸ ΔΘ τετάρτου TOU Z. ΒΗ ΘΙ ΟΝ ΠῚ
Sila première est le méme multiple de la seconde que la troisième l'est de la quatrième, et si la cinquième est le méme multiple de la seconde que la sixième l'est de la quatrième, la somme de la première et de la cinquième sera le même multiple de la seconde que la somme de la troisième et de la sixième l'est de la quatrième.
Que la première ΑΒ soit le méme multiple de la seconde r que la troisième AE l'est de la quatrième z, et que la cinquième BH soit le même multiple de la seconde r que la sixième Eo l'est de la quatrième z ; je dis que la somme de la première et de la cinquième AH sera le méme multiple de la seconde r que la somme de la troisième et de la sixiéme ΔΘ l'est de la quatrième Z.
JI
ok LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
^ M , Y Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ AD - \ \ ^ eX y 3 Ν > ^ τοῦ Γ καὶ τὸ AE τοῦ Z° 004 ἀρὰ ἐστὶν ἐν τῷ AB , 35 e ^ N 3 lod » μεγεθη! ica T0 T, τοσαυτα καὶ εν τῷ ΔῈ σα ^ ^ \ > M ^ Nd ^ ^ > ^ τῷ L. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ ΒΗ / L2 l2 PS m L4 ^ ej ira TO T, τοσαῦτα xdi ev τῷ EO σὰ τῷ Z* 00d
: ej ^ E ^ ^ \ apa ἐστὶν ἐν ὅλω τῷ ΑΗ ica τῷ T , τοσαυτα καὶ
Quoniam enim æque est multiplex AB ipsius T ac AE ipsius Z ; quot igitur sunt in AB mag- nitudines «quales ipsi P, tot et in AE æquales ipsi Z. Propter eadem utique et quot sunt in BH equales ipsi P, tot etin EO æquales ipsi Z ; quot
igitur sunt in totà AH «quales ipsi P, tot et in
ἐν ὅλῳ τῷ AO ἴσα τῷ 2" ὁσαπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ AH T60 T, τοσαυταπλάσιον ἴσται καὶ τὸ ΔΘ τοῦ Z* καὶ συντεθὲν ἄρα" πρῶτον καὶ πέμ- στον τὸ AH δευτέρου τοῦ T ἰσάκις ἔσται πολλα- πλάσιον καὶ τρίτον καὶ ἐκτὸον τὸ ΔΘ τετάρτου
nd 3 e ^ ALS ^ τοῦ 2. Ἐὰν ἄρα FPOTOY, καὶ τὰ ἑξῆς.
ἰοϊὰ AO equales ipsi Z; quam multiplex igitur est AH ipsius P, tam multiplex erit el AO 1psius Z; et simul sumptæ igitur prima et quinta AH secundz T æque erunt multiplices ac tertia et
sexta AO quarte Z. Si igitur prima , etc.
Puisque AB est le même multiple de r que ΔῈ l'est de z, il y a dans ΑΒ autant de grandeurs égales à r qu'il y a dans AE de grandeurs égales à z. Par la méme raison , il y a dans BH autant de grandeurs égales à r qu'il y a dans ro de grandeurs égales à z. Il y a donc dans la grandeur entière AH autant de grandeurs égales à r qu'il y a dans la grandeur entière ΔΘ de grandeurs égales à z. Donc AH est le même multiple de r que ΔΘ lest de z ; donc ja somme de la première et de la cinquième AH sera le méme multiple de la seconde r que la somme de la troisième et de la sixième Ae l'est de la quatrième z. Donc, etc.
LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 243
IPOTAZXIZ y PROPOSITIO III.
γ΄. τ Lb e , - - . . Ἑὰν πρῶτον δευτέρου ἰσώκις ἢ πολλαπλάσιον Si prima secunde æque sit muliüplex ac ter-
καὶ τρίτον τετάρτου. ληφθῇ δὲ ἰσάκις moAAa- ia quarte, sumantur autem eque multiplices
d \ Da -“ H . πλάσια τοῦ πρώτου καὶ τρίτου" καὶ διείσου τῶν — prime et terliæ ; et ex æquo sumplarum utra- f , ΓΤ RE. c 4 LUN, »y Je - . . ληφθέντων εκάτερον εκατέρου ἰσάκις ἔσται πολ- Que utriusque eque erit mulüplex , altera qui-
4 N ^ \ M ^ λαπλάσιον, τὸ μὲν τοῦ δευτέρου, τὸ δὲ τοῦ τε- dem secunde, altera vero quartz. τάρτου.
Πρῶτον γὰρ τὸ A δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἔστω Prima enim A secundæ B æque sit multiplex
\ , ^ . οἱ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον TO T TéTapTOU τοῦ ac lerlia I quarte 4A,etsumanturipsarum A, T
N > ^ - la L - . . A, καὶ εἰλήφθω τῶν A,T ἰσάκις πολλαπλάσια æque multiplices EZ , HO; dico æque esse mul-
TÀ EZ, ΗΘ’ λέγω ὅτι ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλά- üplicem EZ ipsius B ac HO ipsius A.
\ ^ Ν M ^ cioy! τὸ EZ τοῦ B καὶ τὸ HO τοῦ A.
Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ EZ Quoniam enim æque est multiplex EZ ipsius ^ \ e ῃ , N25 ne Lec ES ; S. :
τοῦ A καὶ τὸ HO τοῦ T° 604 apa ἐστὶν ev TQ Α ac HO ipsius T ; quot 1gitur sunt in EZ æqua-
EZ ἴσα TQ A, τοσαῦτα" καὶ ἐν TQ HO ἴσα les ipsi A, tot et in HO æquales ipsi T. Di-
τῷ Y. Διηρήσθω τὸ n EZ εἰς τὰ τῷ A μεγέθη — vidatur EZ quidem in magnitudines ipsi A æqua-
PROPOSITIONYLFEIL
Si la première est le méme multiple de la seconde que la troisième l'est de la quatrième , et si l'on prend des équimultiples de la première et de la troisième, le multiple de la première sera, par égalité, le méme multiple de la seconde que le multiple de la troisième l'est de la quatrième.
Que la première A soit le méme multiple de la seconde Β que la troisième r lest de la quatrième ^; prenons les équimultiples Ez, ΗΘ de A et de r; je dis que EZ est le méme multiple de 8 que Ho l'est de a.
Puisque EZ est le méme multiple de A que He l'est de r, il y a dans zz autant de grandeurs égales à A qu'il y a dans ΗΘ de grandeurs égales à r. Di-
244 LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ἴσα τὰ EK, KZ, τὸ δὲ HO dic τὰ τῷ T ἴσα τὰ HA, ΔΘ’ ἔσται dn! ἴσον τὸ πλῆθος τῶν EK , ΚΖ τῷ πλήθει τῶν HA, AO. Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ À τοῦ B καὶ τὸ I τοῦ Δ' ἴσον δὲ τὸ μὲν EK τῷ A, τὸ δὲ HA τῷ Τ᾽ ic kic ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ EK τοῦ B καὶ To HA τοῦ Δ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἰσώκις ἐστὶ πολ-
λαπλάσιον τὸ ΚΖ τοῦ DB καὶ τὸ AO τοῦ Δ.
Ἐπεὶ οὖν πρῶτον τὸ ἘΚ δευτέρου τοῦ B ἰσάπις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τρίτον τὸ ΗΛ τετάρτου τοῦ A* ἐστὶ δὲ καὶ πέμπτον τὸ ΚΖ δευτέρου τοῦ B ἰσάκις πολλαπλάσιον καὶ ἐκτον τὸ AQ τετάρ- Toy τοῦ A* καὶ συντεθὲν ἄρα πρῶτον καὶ πέμπτον
^ , ^ , 3 \ , T0 EZ δευτέρου τοῦ Β ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον
les ΕΚ, KZ, ipsa vero HO in magnitudines ipsi Γ' equales HA, AO ; eritutique equalis multitudo ipsarum EK; KZ multitudini ipsarum HA, ΛΘ. Et quoniam æque est multiplex A ipsius Bac P ipsius A; æqualis autem BK quidem ipsi A, ipsa vero HA ipsi D; æque igitur est multiplex EK ipsius B ac HA ipsius A, Propter eadem utique æque est mul-
tiplex KZ ipsius B ac AO ipsius Δ. Quoniam
igitur prima EK secundz B æque est multiplex ac lerlia HA quartz À ; est autem et quinta KZ se- cundæ B æque multiplex ac sexta AO quartz A ; et simul sumptæ igitur prima et quinta EZ se- cunde B æque sunt multiplices ac tertia et
sexta HO quartz A. Si igitur prima, etc.
Ν N eu \ , ^ zai τρίτον καὶ exTOV τὸ HO τετάρτου TOU À.
\ 5! ^ \ s Ex Εαν σρα σπρρῶτον 5 και τὰ ECC.
visons EZ en grandeurs égales à A, et que ces grandeurs soient ἘΚ, KZ; divisons ΗΘ en grandeurs égales à r, et que ces grandeurs soient HA, 40. Le nombre des parties EK, ΚΖ sera égal au nombre des parties HA, 46. Et puisque A est le méme multiple de Β que r l'est de ^, que EK est égal à 4, et HA égal à Tr, la grandeur EK est le méme multiple de 5 que HA l'est de 5. Par la méme raison, KZ est le méme multiple de B que ΔΘ l'est de 4. Et puisque la première EK estle même mulüple de la seconde 5 que la troi- sième HA l'est de la quatrième ^, et que la cinquième vz est le méme mul- tiple de la seconde B que la sixième ΔΘ l'est de la quatrième δ, la somme de la première et de la cinquième, qui est EZ, sera le méme multiple de la seconde B, que la somme de la troisième et de la sixième, qui est Eo, l'est de la quatrième Δ (2. 5). Donc, etc.
LE CINQUIEME LIVRE DES
IIPOTAZIX δ.
M m \ , ^ cJ) \ » Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἐχὴ M , \ M / λόγον καὶ τρίτον πρὸς τεταρτον" καὶ τὰ icaxic ^ f N , \ πολλαπλάσια TOU τε πρώτου καὶ τρίτου πρὸς \ 7 LI , \ τὰ ἰσάκις πολλαπλάσια TOU δευτέρου καὶ Te- , 3^ € ^ \ M TCpTOU , καθ᾽ ὁποιονοῦν πολλαπλασιίασμον. τὸν ΕΣ \ el , , , αὐτὸν ἕξει, λόγον ληφθέντα κατάλληλα. ^ \ \ \ , \ \ ? Ipeorov yap τὸ A προς δεύτερον τὸ B TOY av—
x » , , N M M , \ TOY ἐχέτω λόγον και τρίτον “0. 1} προς τέταρτον
> [Im |A
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τὸ A, καὶ εἰλήφθω τῶν μὲν A, T. ἰσώκις πολλα- πλάσια τὰ E, L, τῶν δὲ B, Δ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ H, O* λέγω ὅτι ἐστὶν! ὡς τὸ E πρὸς τὸ H 3 οὕτως τὸ Z πρὸς τὸ ©. Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν E , Z ἰσάκις πολλαπλά- σία τὰ K, A, τῶν δὲ H, © ἄλλα ἃ ἔτυχεν"
’ ^ ἰσίκις πολλαπλάσια τὰ M, N.
PROPOSITION
ELÉMENTS D'EUCLIDE.
245
PROOPOSITIO 1vY.
Si prima ad secundam eamdem habeat ratio- nem quam lerlia ad quartam; et oque multi- plices primæque et tertiæ ad eque multiplices secunde et quartz, juxta quamvis mulüplicatio- nem , eamdem habebunt ralionem intcr se com- parata.
Prima enim A ad secundam B eamdein habeat
rationem quam terua T ad quartam A , et su-
Δ Θ
Ν
mantir ipsarum quidem A , T æque multiplices E,Z, ipsarum vero B, A aliæ utcunque eque multiplices H , © ; dico esse ut E ad H, ita Z ad 9.
Sumantur enim ipsarum quidem E , Z eque multiplices K, A , ipsarum vero H, © alie ut-
cunque mulüplices M, N.
I V.
Si la première a avec la seconde la même raison que la troisième avec
la quatrième, des équimultiples quelconques de la première et de la troisième
comparés à des équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième,
auront entre eux la même raison.
Car que la première A ait avec la seconde Β la même raison que r avec Δ, pre- nons deséquimultiples quelconques E , z de A et de r, et d'autres équimultiples quelconques H , © de Bet de 4 ; je dis que E est à H comme Ζ est à e.
Prenons des équimultiples quelconques K , Δ de E et dez, et d'autres équi- multiples quelconques M, N de H et de o.
246 LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
n ἢ EX Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ piv E ^ M ^ Ν 9) L του À; τὸ δὲ L τοῦτ΄. καὶ εἰλήπται TOY E, Ζ , S » f » > \ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Κα. A* ἰσάκις apa ἐστί M ^ M ^ M πολλαπλάσιον τὸ K TOU À καὶ τὸ A TOU T. Διὰ ^ , M re τὰ αὐτὰ δὴ ἰσώκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ M τοῦ x. M ^ M 47 € * \ B καὶ T0 N τοῦ A. Καὶ ἐπεὶ «στιν OC TO À "pic ^ \ M ». ^ πὸ Β οὕτως τὸ T πρὸς τὸ As, καὶ εἰλήπται τῶν
, \ ^6 μὲν A,T ἰσάκις πολλαπλάσια Td K, A, τῶν
Et quoniam æque est multiplex E quidem ipsius A , Ipsa vero Z ipsius T , et sump'z suntipsarum E, Z eque multiplices K, A ; eque igitur est multiplex K ipsius À ac A ipsius P. Propter ea- dem utique æque est mulüplex M ipsius B ac N ipsius À. Et quoniam est ut A ad B ita T ad Δ, εἰ sumpt sunt ipsarum quidem A,T æque
mulüplices K, A , ipsarum veroB , A alie utcuu-
^ x A » INE pr A
ds B, Δ ἄλλα d ἐτύχεν ICULAIG πολλαπλάσια τὰ 7 2: y C^ Am D M TE es :
M, Ν᾽ εἰ apa ὑπερέχει τὸ Κα voU M, ὑπέρεχε; ^ \ ^ Ἂν »» ; » ed A 22k de
καὶ TO À τοῦ N° καὶ εἰ σὸν. ἐσον" καὶ el ελατ-
PESE s \ ' : —
TOY, taaTror. Καὶ ἐστὶ τὰ μὲν K, A TOY E, Z , e ^ ^ ^ =
ἰσάκις πολλαπλάσια", ra de M, N' τῶν H, © , ELA »
ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια" ἐστιν ἀρᾷ ^ ei ἣν E \ \
ὡς To E πρὸς τὸ H, οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ O. Ἐαν
t à Here epe, πρῶτον» καὶ TE :5uc.
que mque multiplices M, N ; si igitur superat K ipsam M, superat et À ipsam N ; et si xqualis , equalis; et si minor , minor. Et sunt K, A qui- dem ipsarum E, Z æque multiplices , ipsæ vero M , N ipsarum H , € alie utcunque multiplices ; est igitur ut E ad H, ita Z ad ©. Si igitur
prima, ctc.
Puisque E est le méme. multiple de 4 que z l'est de r, et que l'on a pris des équimultiples K, Δ de E et de z, la grandeur K est le méme multiple de A que A l'est de r (5. 5). Par la méme raison, M est le méme multiple de » que N l'est de à. Et puisque A està B comme est à Δ, que l'on a pris des équimultiples quelconques K , Δ de A et de στ, et d’autres équimultiples quel- conques M, N de B et de A, siK surpasse M, A surpasse N ; si K est égal à M, A est égal à N , et si K est plus petit que M, A est plus petit que N (déf, 5. x). Mais K , Asont des équimultiples quelconques de E et dez, et M, N d'autres équimultiples quelconques de H et de 6; donc E est à H comme z est à o ( déf. 6. 5). Donc , etc.
LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 247
IIOPIXMA.
Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη. ovid, εἰ ὑπερέχει! τὸ Κὶ τοῦ Μ. ὑπερέχει καὶ τὸ A τοῦ N° καὶ εἰ ἴσον. ἴσον" καὶ εἰ ἔλασσον. ἔλασσον" δηλονότι καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Μτοῦκ.- ὑπερέρεχει καὶ To N τοῦ A* καὶ
, , E Ν Y εἰ ἴσον. ἴσον" καὶ εἰ ἐλασσον. ἐλασσον" καὶ διὰ
\ M \ M ^ r M a Cia τὸ © pos τὸ Z. Ex δὴ τοῦτου φανερὸν. OTI edv , , , EX SE CIS?) 94207 τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον p, καὶ ἀνάπαλιν aa
λογον ἔσται. ΠΡΟΤΑΣΙΣ ἐ-
, » , 5 ,
Ἐὰν μέγεθος μεγέθους ἰσάκις ἡ πολλαπλά-
e 3 \ > ^4 4 \ \ \
σιον , ὑπερ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρεθεντος" καὶ τὸ λοιπὸν ^ € 5 » ^ ε
τοῦ λοιποῦ ἰσώκις ἔσται πολλαπλάσιον. ὁσα-
, , , \ €d c- € πλάσιον ἐστι TO ὁλον τοὺ CAOU.
COROLLARIUM.
Quoniam igitur ostensum est, si superat K ip- sam M , superare ct A ipsam N ; et si æqualis, æqualem ; et si minor, minorem ; manifestum est eL si M superat K , superare et N ipsam À ; et siæqualis, &qualem ; et si minor, minorem; et propter hoc erit et ut H est ad E , ita O ad Z. Ex hoc utique manifestum est, si quatuor magni- tudines proportionales sunt , et inyersione pro-
portionales fore.
PROPOSITION:
Si magnitudo magnitudinis æque sit multi- plex ac ablata ablatæ, et reliqua reliquæ æque
ert mulüplex ac multiplex est tota totius.
'
COROLLAIR E.
Puisqu'il a été démontré que si K surpasse M, A surpasse N ; que si K est égal à M, A est égal à N, et que si K est plus petit que M, A est plus petit que N, ilest évident que si M surpasse K, N surpasse A; que si M est égal à K, N est égal à A, et que si M est plus petit que K, N est plus petit que A ; par conséquent H est à E comme © est à z. De là il est évident que si
q q quatre grandeurs sont proportionnelles , elles seront encore proportionnelles par inversion.
PROPOSTEIONLEVE
Si une grandeur est le même multiple d’une grandeur que la grandeur re- tranchée l’est de la grandeur retranchée , le reste sera le même multiple du reste que le tout l'est du tout.
2k Μέγεθος γὰρ τὸ AB μεγέθους τοῦ TA ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσιον. ὅπερ ἀφαιρεθὲν τὸ AE ἀφαι- ρεϑέντος τοῦ TZ* λέγω ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ ΕΒ λοιποῦ τοῦ ZA ἰσάκις ἔσται πολλαπλάσιον. ὁσαπλάσιόν ἐστιν ὅλον τὸ ΑΒ ὅλου τοῦ TA. ταπλάσιον γάρ ἐστι τὸ AE τοῦ TZ, τοσαυ- ταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ EB τοῦ TH.
\
>» > Ων \ Καὶ ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ AE
-“ Ν \ ^ - , 5» , ^ - TOU TZ! καὶ τὸ EB τοῦ ΗΓ’ ἰσάκις ρα ἐστι πολ- , M ^M Ν ^ ^ λαπλαάσιον τὸ AE τοῦ TZ καὶ τὸ AB τοὺ HZ*
à ^ , , n E κεῖται δὲ ἰσάκις πολλαπλασιον τὸ AE τοῦ ΓΖ
\ b ^ , » > \ , #ai τὸ AB τοῦ ΓΔ’ ἰσάκις apa ἐστι στολλαπλα-
ἢ = , M 3; y \
ciov τὸ AB exaTspou τῶν HZ, TA* £06» ape T? » - WED , \ eA
HZ τῷ YA. κόϊνον ἀφῃρήσθω To ΓΖ) λώσπον apa
e FR umo ἘΝ ΤΡ
τὸ HI λοίπῳ τῷ AL ἴσον ἐστί. Καὶ ἐπεὶ ἰσαπις
> , \ ER '
ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ AE τοῦ IZ καὶ τὸ EB
^ , M ^ \ , , El 3 \
Tou HT, ἴσον δὲ τῷ HT 70 AZ* ἰσάκις ἀρὰ ἐστι
\ E AN
σππολλαπλάσιον τὸ AE τοῦ TZ καὶ τὸ EB ToU ZA.
, ἢ \ ἊΣ
Ισάκις di ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ AE τοῦ
\ . , ͵ MN c" TZ καὶ τὸ AB τοῦ ΓΔ’ ἰσαπις ἄρα eTTI πολλα-
(8 LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Magnitudo enim AB magnitudinis ΓΔ æque sit multiplex ac ablata AE ablatæ TZ; dico et reliquam EB relique ZA æque fore multipli-
cem ac multiplex est tota AB totius ΓΔ.
Quam multiplex enim est AE ipsius FZ , tam multiplex fiat et EB ipsius TH.
Et quoniam eque multiplex est AE ipsius TZ ac EB ipsius HP ; æque igitur cst multiplex AE ipsius TZ ac AB Jpsius HZ ; ponitur au- tem æque multiplex AE ipsius TZ ac AB ipsius
ΓΔ; æque igitur est multiples AB utriusque
N D
ipsarum HZ, FA; æqualis igitur HZ ipsi PA. Com- munis auferatur ΓΖ ; reliquaigitur HT relique AZ est æqualis. Et quoniam æque est multiplex AE ipsius ΓΖ ac EB ipsius HT, æqualis autein ipsi HT ipsa AZ; æque igitur est muluplex AE ipsius TZ ac EB ipsius ZA. Æque autem ponitur multiplex AE ipsius ΓΖ ac AB ip-
sius TA ; æque igilur est mulüplex EB ipsius
Que la grandeur AB soit le méme multiple de la grandeur r^ que la gran-
deur retranchée AE l'est de la grandeur retranchée Iz ;
je dis que la grandeur
restante EB. sera le méme multiple de la grandeur restante ΖΔ que la graudeur
euticre ΑΒ l'est de la grandeur entière TA. Que ΔῈ soit le méme multiple de TZ que EB l'est de TH. Puisque AE est le méme mulüple de rz que EB lest de Hr, AE est le même
muliple de rz que AB l'est de ΗΖ (1. 5). Mais l'on a supposé que AE est le
méme multiple
de rz que AB l'est de rA; donc AB est le mème multiple de
HZ et de TA ; donc Hz est égal à ra. Retrauchons la partie commune ΓΖ ; le este Az. Et puisque AE est le méme multiple de rz
reste HT sera égal au reste o
que EB l'est de Hr, et que ZA est égal à Hr, AE est le méme mulüple de rz
que EB
lest de ZA. Mais on a supposé que AE est le méme multiple de rz
͵
LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 249
, * ^ à" A ^ πλάσιον τὸ EB τοῦ ZA καὶ τὸ AB τοῦ IA* καὶ M (à X LA » λοιπὸν dpa, τὸ EB λοιποῦ 700 ΖΔ ἰσάκις oral?
, € , , 2 e M πολλαπλάσιον. οσαπλασιον ἐστιν CAO τὸ AB
ὅλου τοῦ TA. Ἐὰν ἄρα μέγεθος, καὶ τὰ ἑξῆς. ΠΡΟΤΑΣΙΣ ς΄.
A] , , , , La Ἐὰν δύο μεγέθη δύο μεγεθῶν ἰσάκις n πολ-
, ^ » , , ^ 39 ^ Aa Anci, καὶ ἀφαιρεθέντα τίνα τῶν αὐτῶν ᾿σά- [2 , Ν \ A > ^ "IG ἡ πολλαπλάσια" καὶ τὰ λοιπὰ τοῖς αὐτοὶς
x » 5, Ἂν à *, , > ^ ,
"TOL ἰσὰ ἐστιν. ἢ ἰσάκις αὐτῶν πολλαπλάσιας , ^4 , A , ^ ^ Avo γὰρ με} £n τὰ AB > TA δύο μεγεθῶν τῶν
* x , \ , E, Z ἰσάκις ἔστω πολλαπλάσια. καὶ αφαιρε-
con X cs Homo eb K T ©
; " ; 2 3 θέντα τὰ AH, TO τῶν αὐτῶν τῶν E, Z ἰσάκις
x a , , LÀ Ν \ \ E στω πολλαπλατια" λέγω 0'TI καὶ λοιπὰ τὰ HB,
La x 5) 3 \ à , 5 ^ OA τοῖς E, Z ἤτοι ἴσα ἐστὶν. ἢ ἰσακὶς αὐτῶν
, , σολλαπλασία.
ZA ac AB ipsius ΓΔ; et reliqua igitur EB reli- que ZA æque crit mulüplex ac multiplex est
lota AB totius TA. Si igitur magnitudo, etc.
PROPOSITIO VI.
Si du» magnitudines duarum magnitudinum eque sint mulüplices, et ablatæ qusdam earum- dem æque sint multiplices; et relique iisdem vel æquales sunt, vel eque earum multiplices.
Dus enim magnitudines AB, ΓΔ duarum
magnitudinum E, Z æque sint mulüplices, et
ablate AH, TO earumdem E, Z æque sint multiplices ; dico et reliquas HB, OA ipsis E, Z
vel equales esse, vel æque earum multi plices.
que AB l'est de r^; donc EB est le méme multiple de z4 que ΑΒ l'est de r4; donc la grandeur restante EB sera le même multiple de la grandeur restante za que la grandeur entière ΑΒ l'est de la grandeur entière ra. Donc, etc.
PROPOSITION
ME
Si deux grandeurs sont des équimultiples de deux grandeurs, et si certaines
D
grandeurs retranchées sont des équimultiples des dernières, les grandeurs res-
tantes seront égales à ces dernières , ou des équimultiples de ces dernières. Que les deux grandeurs AB, r^ soient des.équimultiples des deux grandeurs
o
E, Z, et que les grandeurs retranchées AH, re soient des équimulüples de E
Ὁ
et de Z; je dis que les grandeurs restantes HB , ΘΔ sont égales aux grandeurs
E, Z, ou des équimultiples de ces grandeurs.
32
250 LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
, \ ^ LA , EzT0 γὰρ πρότερον τὸ EB τῷ E Ισὸν" λέγω “ \ ^ | , f A ^ ὅτι καὶ τὸ ΘΔ τῷ Ζ' ἴσον ἐστί, Κείσθω γὰρ τῷ 2 ἴσον τὸ TK. \ x , \ ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ AH ^ \ \ ^ » M \ A τοῦ E καὶ TOTO τοῦ Ζ. ἴσον δὲ τὸ μὲν HB τῷ M M " ^ 5 , 3 3 \ , E, τὸ δὲ KT TQ Z° ἰσάκις epa ἐστί πολλαπλα- \ - \ VER , cioy τὸ AB τοῦ E καὶ τὸ KO τοῦ Z. Ισάκις
S " ix \ e: \ δὲ ὑπόκειται πολλαπλάσιον τὸ AB τοῦ E > και
τὸ TA τοῦ L' ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον πὸ ΚΘ τοῦ Z, καὶ τὸ TA τοῦ Ζ. Ἐπεὶ οὖν ἐκά- τερον τῆς KO, TA τοῦ 2 ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλά- σιον" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ KO τῷ ΓΔ. Κοινὸν ἀφη- ρήσθω τὸ TO* λοιπὸν ἄρα τὸ KT λοιπῷ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν. Αλλὰ τῷ L τὸ KI? ἐστὶν ἴσον" καὶ τὸ OA dpa τῷ Ζ ἴσον ἐστίνί, Ὥστε «i? τὸ HB τῷ E ἴσον ἐστὶ, καὶ τὸ ΘΔ ἴσον ἔστα! τῷ Z.
Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι κἂν πολλαπλάσιον À τὸ ΗΒ τοῦ E, τοσαυταπλάσιον ἔσται καὶ τὸ ΘΔ
^ 5 Ju, , \ co τοῦ 2. Ἐὰν ἄρα δύο μεγέθη. καὶ τὰ ἑξῆς,
Sit enim primum HB ipsi E æqualis; dico et OA ipsi Z æqualem esse. Ponatur eniia ipsi Z equalis ΓΚ.
Et quoniam æque est multiplex AH ipsius E ac ΓΘ Ipsius Z, æqualis autem. HB quidem ipsi E, ipsa vero ΚΓ ipsi Z; æque igitur est mul- üplex AB ipsius E ac KO ipsius Z. Æque aulem ponitur multiples AB ipsius E ac A ip-
sius Z ; æqueigitur est multiplex ΚΘ ipsius Z ac DA ipsius Z. Et quoniam utraque ipsarum KO, ΓΔ ipsius Z æque est multiplex; æqualis igitur est KO ipsi TA. Communis auferatur TO; reliqua igitur KT relique OA æqualis est. Sed ipsi Z ipsa Kr. est equalis; et ΘΔ igitur ipsi Z æqualis est. Quare si ΗΒ ipsi E æqualis est, et OA æqualis erit ipsi Z.
Similiter utique ostendemus ct si multiplex est HB ipsius E, multiplicem fore et magniludi-
nem ΘΔ ipsius Z. Si igitur duæ, etc.
Premièrement , que HB soit égal à E; je dis que ΘΔ est égal à z. Faisons TK égal à z.
Puisque AH est le méme multiple de E que ro l'est dez , que ΗΒ est égal à E, et KT égal à Z, AB est le méme multiple de E que xe l'est dez (5. 5). Mais on a supposé que AB est le méme multiple de E que ra l’est dez ; donc ΚΘ est le méme multiple dez que ra l'est de z. Et puisque les grandeurs ΚΘ, ΓΔ sont chacune le méme multiple de z , ΚΘ est égal à ra. Retranchons la partie commune rO ; la grandeur restante ΚΓ sera égale à la grandeur restante ΘΔ. Mais ΚΓ est égal à z; donc ΘΔ est égal à z ; donc si HB est égal à E, ΘΔ sera égal à z.
Nous démontrerons semblablement, que si ΗΒ est un multiplede E, la grandeur O^ sera le méme multiple de z. Donc, etc.
LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. »5:
HPOTAzIX © PROPOSITIO VII.
{ # \ á \ 8. ἊΝ \ 93 £N L4 , D. Τὰ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον» Æquales ad eamdem eamdem habent ra- \ M FE \ \ y - - καὶ τὸ αὐτὸ πρὸς τὰ ἰσα. lionem , et cadem ad æquales. » L v f , a Ἔστω ἴσα μιγέθη τὰ A, B, ἄλλο dé Ti ὃ
L4 ΄ \ , er εἰς τῇ ^N εἐτυχε μέγεθος T0 ὃς λέγω οτι εκατερον τῶν A;
Sint equales magnitudines 4, B , alia autem quzlibet magnitudo T; dico utramque ipsarum \ \ Y 3 xy / Ne A \ A re » ral B πρὸς τὸ T τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, καὶ τὸ T πρὸς À, B ad P habere eamdem rationem, et T ad
ἑχάτερον τῶν A, B. utramque ipsarum A, B. , » M À , Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν A, Β ἰσάκις πολλα-
, \ ^ A "2 d xy « πλάσια τὰ Δ. E, τοῦ de T ἀλλο 0 ἐτυχε πολ- 5 2 p d
Sumantur enim ipsarum A, B quidem æque multplices Δ, E, ipsius vero T alia utcunque
λαπλάσιον τὸ Ζ. mulüiplex Z.
A Zum B E T Ζ
Quoniam igitur eque est mulüplex Δ ipsius
æ , ΡΟΣ \ ^ Ἐπεὶ οὖν ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ Δ τοῦ A ac E ipsius B, æqualis autem À Ipsi B;æ-
\ e » M N ^ 3) ΕΣ A καὶ τὸ E τοῦ B, ἴσον δὲ τὸ A τῷ B° ἴσον ὥρα
καὶ τὸ Δ τῷ E. Αλλο δὲ ὃ ἔτυχε τὸ Z τοῦ T qualis igitur οἱ Δ ipsi E. Alia vero Z ipsius T
σολλασλάσιον3. εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Δ τοῦ Z, utcunque mulüplex; si igitur superat A ipsam
ε , \ -“ > , - . 1 alis UTepiy tt καὶ τὸ E τοῦ L' καὶ εἰ ἴσον, ἴσον | Z, superat el E 1psam Z; οἱ si æqualis, æqua-
PROPOSITION VF.
Des grandeurs égales ont la même raison avec une même grandeur, et une méme grandeur a la méme raison avec des grandeurs égales. Soient les grandeurs égales A, B, etr une autre grandeur quelconque ; je dis que chacune des grandeurs A, Β ala méme raison avec T , et que T a la même raison avec chacune des grandeurs A , 5.
Prenons des équimultiples quelconques ^, E de 4 et de 5, et un autre mul-
tiple quelconque Ζ de r.
Puisque ^ est le méme multiple de A que E l'est de 5, et que 4 est égal à B, A est égal à E. Mais Z est un autre multiple quelconque de r ; donc, si ^ surpasse Z , E surpasse z ; si Δ est égal à Z , E est égal à Z ; et si A cst plus petit
202 c aan 3 Nox \ \ καὶ εἰ ἔλαττον. ἔλαττον, Καὶ ἐστι τὰ μὲν À, ^ , X M € E τῶν A , B σάκις πολλαπλάσια. τὸ δὲ 2 τοῦ à » ἃ ον EU ^ » 3, T ἀλλο ὃ ἔτυχε πολλαπλάσιον ἔστιν" ἐστιν ἀρῶ e \ \ [uU \ \ \ ως τὸ À πρὸς TO T, ουτως TO b πρὸς τὸ ID , MAR d \ \ \ € , ^ Λέγω δὴ" ὅτι καὶ TO T πρὸς ἑκάτερον τῶν A;
\ \ 9 , B τὸν αὐτὸν ἔχει! λόγονς
-
|
- , ε " 6 Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων. ὁμοίως dw? e », 2 \ \ rs » , δείξομεν ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ A τῷ E* ἄλλο δὲ τι \ » 9) L 4 \ Ὁ e / \ TO L' εἰ ἀρὰ ὑπερέχει! τὸ 2 του À, U7Tspexel TO "^ M e \ ἊΨ L4 \ 3 » Z7 καὶ τοῦ E* καὶ εἰ 4G0y , σον" καὶ εἰ ἐλαττον» \ 2 \ \ \ D , ἴλαττον. Καὶ ἐστὶ τὸ μὲν 2 τοῦ T πολλαπλάσιον» M \ ^ 3! 4 ox 3 , τὰ δὲ A, E τῶν A, B ἀλλα d ετύχεν ἰσάκις D »! Li € \ \ A πολλαπλασια" ἐστιν ἀρὰ WE TO Τ προς τὸ A; e \ N N \ y » \ \ QUTWE TO Y πρὸς TO B. Τὰ Ta dpa, καὶ TX
FAT
LE CINQUIÈME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
lis; et si minor, minor. Et sunt quidem A, E ipsarum À, B eque multiplices, ipsa vero Z ipsius P alia utcunque multiplex est; est igitur ut A ad P, ita B ad T.
Dico autem et T ad utramque ipsarum À,
B camdem habere rationem.
LR ———— ---- . A———————
Iisdem enim constructs, similiter utique os- tendemus æqualem esse Δ Ipsi E; alia. vero quidam Z; si igitur superat Z ipsam Δ, su- perat Z et ipsam E; οἱ si equalis, æqualis ; et si minor, minor. Et est Z quidem ipsius T mul- tiplex ; ipse autem A, E ipsarum A, B aliz ut- cunque æque multiplices; est igitur ut T ad A ,ita T ad B. Æquales igitur, etc.
que Z , E est plus petit que 2. Mais ^ , E sont des équimultiples quelcgnques de A et de B, et z est un autre multiple quelconque de r; donc 4 est à r
comme Β est à r (déf. 6. 5).
Je dis aussi que r a la méme raison avec chacune des grandeurs 4, 5. La méme construction étant faite, nous démontrerons semblablement que Δ
est égal à E; mais Z estun autre multiple quelconque ; donc si z surpasse ^, z sur- passeE ; 512 est égalàA,Z est égal à E, et si z est plus petit que r , z est plus petit que E. Mais Z est un multiple de r , et A, E sont d'autres équimultiples quelconques de A et de B; donc r està A comme r est à B (déf, 6. 5). Donc, etc.
LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 253
IIPOTAZIZX i.
- B à nd ^ D \ \ ? M τῶν ἀνίσων μεγεθῶν. τὸ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ , , » » b »! ἀτπ \ \ μείζονα Aoyov ἔχε! ἡπὲρ τὸ εἐλᾶττουν" καὶ τὸ Ny / L » y αὐτὸ πρὸς τὸ ἔλαττον μείζονα λογὸν €xel ἥπερ M \ ων πρὸς τὸ μεῖζον. 3) , \ \ 9 m Ἔστω ἄνισα μεγέθη τὰ AB, T, καὶ στῶ μει- » LI \ , L4 Cov τὸ AB!, ἄλλο δὲ ὃ ἐτυχε τὸ A* Atyt CTI , ͵ ἢ 5! bi τὸ AB πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔχει a7ep To T M \ \ \ 15 7j πρὸς τὸ Δ. καὶ TO À πρὸς τὸ T μείζονα λογοὸν 5! » \ Ἃ exe ἥπερ πρὸς τὸ AB.
-
D
Ἐπεὶ ydp μείζόν ἐστι τὸ AB ToÛT , κείσθω τῷ T ἴσον τὸ BE, τὸ δὴ ἔλασσον τῶν AE , ΕΒ πολ- λαπλασιαζόμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον. Eoo πρότερον τὸ AE ἔλαττον τοῦ EB y καὶ πεπολλα-
, M » e πλασιάσθω τὸ AE, καὶ ἔστω; αὐτοῦ πολλαπλάσιον
ῬΆΟΡΟΒΙΤΙΟ ΥἹΠἝΠΙΙ.
Inæqualium magnitudinum, major ad camdem majorem rationem habet quam minor; et ea- dem ad minorem majorem rationcm. babet quam ad majorem.
Sint inzquales magnitudines AP, T, et sit major AB, alia vero utcunque A; dico AB ad A majorem rationem habere quam Ted A, ct
A ad P majorem rationem habere quam ad ΑΒ,
Quoniam enim major est AB ipsà P, pona- tur ipsi P equalis BE, minor utique ipsarum AE, EB mulliplicata, erit aliquando ipsá A major. Sit primum AE minor ipsàEB, et multiplice-
tur AE, et sit ipsius mulüplex ZH major
PROPOSITION , VIII.
Deux grandeurs étant inégales, la plus grande a avec une méme σ o o
g grandeur
une plus grande raison que la plus petite, et une méme grandeur a avec la
lus peute une plus grande raison qu'avec la plus grande.
P pinos q pius s
Soient les grandeurs inégales AB, r; que AB soit la plus grande , et que Δ soit une autre grandeur quelconque ; je dis que AB a avec ^ une plus grande raison quer avec Δ; et que Δ a avec r une plus grande raison qu'avec AB.
Car puisque AB est plus grand que r, faisons BE égal à r; la plus petite des grandeurs AE , EB étant multipliée, deviendra enfin plus grande que a (déf. 5. 5). Que AE soit d'abord plus petit que Eb; mulüplions AE, que son multiple
UIEV 7 S EILTFWV 254 LE CINQUIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. A à cp * ^ \ € , , , ' LA EE! l5 * - τὸ LH μεῖζον ὃν τοῦ ἃ. καὶ ὁσαπλάσιον ἐστὶ τὸ l1psá À, et quam multiplex est ZH ipsius AE, ΖΗ ToU ΑΒ. τοσαυταπλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν lam multiplex fiat et HO quidem ipsius EB, δ: Ur TP Eu oA cd RN ETE: ee HO τοῦ EB, τὸ δὲ K τοῦ T° καὶ εἰλήφθω τοῦ ipsa vero K ipsius D; et sumatur ipsius A A διπλάσιον μὲν TO A, τριπλάσιον δὲ τὸ M, dupla quidem ipsa A, tripla vero M, et \ εν» εν ^ e 7-2 ^ " - ^ . s καὶ ἑξῆς ἑνὶ πλεῖον ἕως οὖ" τὸ λαμξανόμενον deinceps unà major quoad sumpta multiplex ἈΠ E , ἊΣ ^ MN ide fat ipsius A ri , Ϊ σολλαπλασίον piv γενῆται "TOU A πρώτως ot quicem a 1psius , prunum VELO major ^ ἂν x ͵ ^ . - ^ . . μξῖζον σ΄οὺυ K. Εἰλήφθω, καὶ ξστω TO N τετραπλά- 10) 8ἃ K. Sumatur , et sit N quadrupla quidem
n A , IS MS E UC A rer " ne C σιν μὲν T:U À, πρώτως de μείζον τοῦ K. ipsius À, primum vero major ipsà K,
A ETS B σύν ὦ H e 2 K " de A
M —
N
Ἐπεὶ οὖν To K TCU N πρώτως ἐστὶν ἔλαττον, Quoniam igitur K ipsà N primum est minor, dA ère dpsa K igitur ipsà M non est minor, Et quoniam
τὸ K ἀρα τοῦ M οὐκ ἔστιν ἔλαττον. Καὶ ἐπεὶ
ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ AE καὶ æque est multiplex ZH ipsius AE ac HO ip- τὸ HO τοῦ EB, ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον sius EB, æque igitur est multiplex ZH ipsius TÀ LH ποῦ AE καὶ πὸ ZO ποῦ AB. ἰσάκις dé - AE ac ZO ipsius AB. JEque autem est multiplex ZH ipsius AE ac K ipsius D; sque igitur est
ἐστι πολλαπλάσιον τὸ ΖΗ τοῦ AE καὶ TO K TOU multiplex ZO ipsius AB ac K ipsius P; ipse ΖΘ,
ἢ PORK DENT , \ T. Iecxic ἀρὰ ἐστὶ πολλαπλασίον TO ZO τοῦ AB,
καὶ τὸ K τοῦ T° τὰ ZO, K ἄρα τῶν AB, T ἰσάκις — K igilur ipsarum AB, T aque sunt multiplices.
ἐστὶ πολλαπλάσια. Πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολ- — lursus, quoniam æque est multiplex HO ipsius
ZH soit plus grand que ^, et que Eo soit le méme multiple de EB, et Κὶ le méme multiple de r, que ΖΗ l'est de ^F. Prenons la grandeur A double de A , la grandeur M triple de a , et ainsi de suite, une fois de plus, jusqu'à ce que le multiple de 4 deviène pour la premiere fois plus grand que K. Prenons ce multiple ; que N , quadruple de 4, soit plus grand que &, pour la première fois.
Puisque K est pour la première fois plus petit que N, la grandeur K n'est pas plus petite que M. Mais ΖΗ est le même multiple de AE que Ho l'est de EB; donc zu est le méme multiple de AE que zo l'est de AB(r. 5). Mais ΖΗ est le méme multiple de AE que K l'est de r; donc ΖΘ est le même multiple de ΑΒ que Κ l'est de r ; donc ze , K sont des équimultiples de AB et de r. De plus, puis-
LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 255
- Ν \ mM » 3 λαπλάσιον τὸ HO τοῦ EB καὶ τὸ K TOU T , ἴσον δὲ \ ^ » \ re λ \ τὸ EB τῷ T° icov ἄρα καὶ τὸ K τῷ HO. To de ^ >! 5») ^m 5) M K τοῦ M οὐκ ἔστιν ἔλαττον" οὐδ᾽ ἄρα To HO hd x PR 3 . Do d M \h ^ τοῦ M ἔλαττόν ἐστι. Μεῖζον δὲ τοὶ ZH τοῦ A* - of! ὅλον ἄρα τὸ 29 συναμφοτέρων τῶν Δ. Μ μεῖζόν , M ^ > ^N ἐστιν. AAA συναμφότερα τὰ À, M To N στιν LA 3 , a L3 , , 3, σα" ἐπειδήπερ τὸ M τοῦ Δ τριπλάσιον ἐστι» , \ \ ^ 3 \ , συναμφότερα δὲ τὰ Δ. Μ τοῦ Δ ἐστὶ τετραπλα- 3 A! ^ S \ L3 , = ci, ἐστὶ δὲ καὶ TON τοῦ Δ τετραπλάσιον" GUV- - E 3 \ \ ἀμφότερα ἄρα τὰ M, Δ τῷ N ἴσα ἐστὶν. Αλλὰ ^ D 3 PR A] 1 D τὸ LO τῶν ^, M μεῖζον ἐστίνδ"τὸ ZO ἄρα τοῦ N ᾿ ^ > ε ^ CENT ὑπερέχει. τὸ δὲ Κ τοῦ Ν οὐχ υπερέχει. Καὶ ἐστι \ ‘ ^ a 5 , , Ta μὲν LO , K τῶν AB, T ἰσάκις πολλαπλάσια. ^ ^ LEE , \ τὸ δὲ N τοῦ Δ ἄλλο ὃ ἔτυχε πολλαπλάσιον" τὸ » \ \ / , "y » x AB apa πρὸς τὸ À μείζονα Aoyov eye "nep To \ \ T πρὸς To À. δ Ὁ \ \ \ \ Λέγω δὴ ὅτι καὶ τὸ Δ πρὸς To T μείζονα , » 3! \ \ \ AoyoV ἔχει , ἥπερ TO À πρὸς τὸ AB. E = , . Tov ydp αὐτῶν κατασκευασθέντων. ὁμοίως e \ X -Ὁ ε , i δείξομεν. ὅτι τὸ μὲν N τοῦ Κα ὑπερέχει 5 τὸ δὲ + , ε , Ny \ \ ^ N τοῦ ZOÓ οὐχ ὑπερέχει. Καὶ ἔστι τὸ μὲν Ν τοῦ , M N S »! Δ πολλαπλάσιον. τὰ d: ZO , Κα τῶν AB,T ἄλλα à» See , \ » \ & ἐτυχεν ICARIS πολλαπλασια" TO Δ ἀρὰ πρὸς τὸ
T μείζονα λόγον ἔχει. ἤπερ τὸ Δ πρὸς τὸ AB.
que HO est le méme muliple de ἘΒ que x l'est der Ho est égal à Κ᾿ Mais K n'est pas plus petit que M; que M. Mais ZH est plus grand que 4 ; donc la grandeur entiè que a eL M pris ensemble. Mais ^, M pris ensemble sont € triple de ^, que ^, M pris ensemble sont quadruples de ^ de 4, les grandeurs M, Δ prises ensemble sont égale
grand que 4, sont des équimuliiples de 48
Je dis de plus que 4 a une plus
surpasse K, et que N ne surpasse pas ze. Mais N est un
sont d'autres équimulüples quelconques de 48 et de plus grande raison avec r que A avec ΑΒ (def. 8. 5) 5).
29, K
M; donc ZO surpasse N. Mais & ne Surpasse pas N,
et de T, et N est un autre multiple que de 4 ; donc 48 a une plus grande raison avec Δ,
EB ac K ipsius D, æqualis autem EB ipsius DI; iquals igitur et K ipsi HO. Ipsa vero K ipsá M non est minor; non igitur HO ipsáà M minor est. Major autem ZH ipsà A; tota igitur ΖΘ utrisque. simul A, M major est. Sed utraeque simul A, M ipsi N sunt zquales , quandoqui- dem M ipsius A est iripla , utraque autem simul A, M ipsius À sunt quadruple , est vero et N ipsius À quadrupla, utreque simul igilar M, A ipsi N æquales sunt. Scd ΖΘ ipsis Δ, M major cst; ZO igitur ipsam M superat. K vero ipsam N non superat. Et sunt ipsæ qui- demZ® , K ipsarum AB, Tæque multiplices, ipsa vero N ipsius À alia uicunque multiplex ; AB igi-
tur ad À majorem rationem habet quam T ad A.
Dico autem et Δ ad r majorem rationem habere, quam Δ ad ΑΒ.
Iisdem. enim constructis , similiter ostende- mus, N quidem ipsam K superare, N vero ip- sam ZO non superare. Et est N quidem Ipsius A multiplex , et ipse ZO, K ipsarum AB, T alie utcunque æque multiplices; A igitur ad n majorem rationem habet quam A ad AB,
€t que EB est égal à τ, donc He n'est pas plus petit re Zo est plus grande gaux à N, puisque M est » Εἴ que N est quadruple S à N. Mais zo est plus et ZO, K
Iconque que T avec a (déf. 8. 5».
; grande raison avec r que Δ avec AB. Ayant fait la méme construction , nous dé
montrerons semblablement que N multiple de δ, et T ; donc 4 ἃ une
256 LE CINQUIÈME L
Αλλὰ da τὸ AE τοῦ EB μεῖζον ἔστω" τὸ dj ἔλαττον τὸ ΕΒ πολλαπλάσια αζέμενον ἔσται ποτὲ τοῦ Δ μεῖζον. Πεπολλαπλασιάσθω. καὶ ἔστω τὸ ΗΘ πολλαπλάσιον μὲν τοῦ ΕΒ. μεῖζον δὲ τοῦ A° καὶ ὁσαπλάσιόν ἐστι τὸ ΗΘ τοῦ ΕΒ. τοσαυτα-- πλάσιον γεγονέτω καὶ τὸ μὲν ΖΗ τοῦ AE, τὸ δὲ K τοῦ Γ. Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι τὰ ZO , K τῶν
,
, = "ἢ AB, T ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια. Καὶ εἰλήφθω
ἘΠ 4 PCR La \ x "NN
ομοίως ΤΟΝ πολλαπλάσιον μὲν τοῦ À, πρωτῶς Α Ε Β
Δ A
M
N
ond τοῦ LH* ὥστε παλιν τὸ LH τοῦ M μὰ / - μ τὸ HO τοῦ Δ’ ὅλον
ἔλατσον εἰναιδι μεῖζον δὲ
ἄρα τὸ LO τῶν A, M τουτέστι TOU N ὑπερέ ἔχεις τὸ δὲ Κὶ τοῦ Ν οὐχ ὑπερέχει 2 ἐπειδήπερ καὶ τὸ ZH μεῖζον ὃν τοῦ HO , τουτέστι τὸ K, TOU N οὐ" ὑπερέχει. Καὶ ὡσαύτως κατακολουθοῦντες ἐπάνω Ub ania τὴν ἀπόδειξιν. Toy ἄρα
C Li AVIS 9 καὶ τὰ εζῆς.
IVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Sed et AEipsà EB major sit ; minor EB utique multiplicata, erit aliquando ipsà A major. Multi- plicetur , etsit HO multiplex quidem ipsius EB, major vero ipsá A; et quam multiplex est HO ipsius EB, tam multiplex fiat et ZH quidem ipsius AE, ipsa vero K ipsiusT. Similiter utique ostendemus ipsas ZO, K ipsarum AB, T eque esse multiplices. Etsumatur similiter N multiplex
quidem ipsius À, primum vero major lpsá ZH;
quare rursus ZH ipsà M non minor erit, major autem HO ipsä A; tota Igitur ZO ipsas A, M, hoc est N superat, K vero ipsam N non su- perat, quandoquidem et ZH quz major est ipsà HO , hoc est ipsà K,ipsam N non superat. Et similiter subsequentes superiora absolvemus de-
monstralionem. Ergo inæqualium, etc.
Mais que AE soit plus grand que EB ; la pius petite grandeur EE étant multipliée deviendra enfin plus grande que Δ (déf. 5. 5). Qu'elle soit multipliée, et que
HO soit un multiple de EB plus grand que 4, multiple de AE, et K de T, que He lest de EB.
et que ZH soit le méme Nous démontrerons
semblablement que ze, K sont des équimultiples de ΑΒ et der. Prenons sem- blablement un multiple N de 4 qui soit plus grand pour la premiere fois que
ZH; ZH ne sera pas plus petit que M. Mais Ho est plus grand que ^; M pris ensemble, c'est-à-dire N. Mais K
la grandeur entière zo surpasse 4,
donc
ne surpasse pas N , parce que ZH étant plus grand que H® , c'est-à-dire que K, ne
surpasse pas N. Et conformément a ce qui a
la démonstration. Donc, etc.
été dit auparavant, nous achèverons
LE CINQUIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 257 HPOTAZIZ 6. PROPOSITIO IX:
TZ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχοντα λόγον, Quz ad eamdem eamdem habent rationem , ἴσα ἀλλήλοις ἐστί" καὶ πρὺς ἃ τὸ αὐτὸ τὸν au equales inter se sunt ; et ad quas eadem eam- τὸν ἔχει λόγον. ἐκεῖνα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν. dem habet rationem , ille æquales inter se sunt.
Ἐχέτω γὰρ ἑκάτερον τῶν A, B πρὸς ro IT τὸν Habeat enim utraque ipsarum A , B ad T eam- αὐτὸν λόγον" λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ À τῷ Β. dem rationem ; dico æqualem esse A ipsi B.
» M M À , ^ M a . e
Ei yap jun, οὐκ ἂν ἑκάτερον τῶν À, B πρὸς Si enim non, non utraque ipsarum À , Bad OPTED ee εἶχε λόγον" ἔχει δέ" ἴσον ἄρα T eamdem haberet rationem , liabet autem ; æ- ἐστὶ τὸ À τῷ Β. qualis igitur est A ipsi B.
A B Τ Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ T πρὸς ἑκάτερον τῶν A; Habeat autem rursus T ad utramque A , E
Β τὸν αὐτὸν λόγον" λέγω ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ A τῷ B. Camdem rationem ; dico æqualem esse A 'ipsi B. - \ $ \ M € , ^ - » - Εἰ γὰρ pi, οὐκ ἂν τὸ T πρὸς εἐκάτερον τῶν Si enim non, non T ad utramque 1psarum À , \ AN LJ 4 Lr " 4 A, B τὸν αὐτὸν εἶχε λόγον" ἔχει δὲ" ἴσον ἄρα — B camdem haberet rationem ; habet autem ; æ- , Ν Y nt » \ \ SAN \ \ ES ' b à se ἐστὶ τὸ Α τῷ B. Τὰ ἀρα πρὸς τὸ αὐτὸ, καὶ τὸ Qualisigitur est A ipsi B. Qua igitur ad cam-
eo Li
εξῆς. dem , etc.
PROPOSITIONULX.
Les grandeurs qui ont une méme raison avec une méme grandeur sont égales entr'elles , et les grandeurs avec lesquelles une méme grandeur a une même raison sont aussi égales entr’elles.
Que chacune des grandeurs 4. cst égal à 5.
Car, si cela n'était point, chacune des grandeurs A, B n'aurait pas avec r la méme raison (8. 5) ; mais elle l'a; donc 4 est égal à 8.
Que r ait la méme raison avec chacune des grandeurs A, b; je dis que 4
> ait avec T la méme raison; je dis que 4
est égal à B. Car , si cela n'était point, la grandeur T n'aurait pas la méme raison avec chacune des grandeurs A , B (8. 5). Mais elle l'a; donc A est égal à &. Donc, etc.
33
258 LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ΠΡΌΤΑΣΙΣ ἧς
Toy πρὸς τὸ αὐτὸ λόγον ἐχόντων. τὸ τὸν! μείζονα λόγον ἔχον, ἐκεῖνο μεῖζόν ἐστι. Πρὸς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει. ἐκεῖνο ἔλαττόν ἔστιν.
Ἐχέτω γὰρ To À πρὸς τὸ Τ μείζονα λόγον. ἥπερ τὸ B πρὶς τὸ ΤῸ λέγω CT) μεῖζόν ἐστι τὸ
Α τοῦ Β.
\ \ E 35) 5 ^ \ Ed à
Ej γὰρ μὴ, "Tt ἴσον ἐστὶ τὸ À τῷ B, à
5, \ [2 > y \ E NE
ἔλασσον, Icoy μὲν οὖν cux ἐστι T0 À τῷ B , exa- » ^ \ \ \ 3 N ^
τερον ydp ἀν τῶν A, B πρὸς Τὸ T τὸν αὐτὸν εἶχε
» J \ > » » SEX \ ^
λόγον. Οὐκ ἔχει di, οὐκ dpa ἰσὸν ἐστὶ τὸ À τῷ 2 pi \ LÀ , > \ ^M X
B. Οὐδὲ μὴν ἔλασσόν ἔστι τὸ À τοῦ B, To A
\ » \ \ \ 3 £ F , a 3! gap av πρὸς TO I τὸν ἐλασσόγα εἶχε λόγον" nep
PROPOSITIO X.
Ipsarum ad eamdem rationem habentium, quz majorem rationem babet , illa major est; ad quam autem eadem majorem rationem habet , ila minor est.
Habeat enim A ad T majorem rationem , quam
B ad T ; dico majorem esse À ipsà B.
Si enim non , vel æqualis est A lpsiB, vcl
minor. Æqualis autem. non est A ipsi B, utra-
que enim ipsarum A , B ad T eamdem haberet rationem. Non habet vero ; non igitur æqua- lis est A ipsi B. Neque tamen minor est A ipsà B,
nam À ad P minorem haberet rationem quam
PhROPOSITION X.
Des grandeurs ayant une raison avec une méme grandeur, celle qui a une pius granuc 1a:2v.« 1. plus grande , et celle avec laquelle cette méme grandeur
a une plus grande raison est là pius pua
Que A ait avec T une plus grande raison que Β avec r ; JE dis que A cat plus
grand que B.
Car, si cela n'est pas, ^ est égal à B, ou plus petit. A n'est pas égal à 5,
car chacune des grandeurs A, B aurait la méme raison avec r (7.5). Mais chacune de ces grandeurs n'a pas la méme raison avec r; donc A n'est pas égal à B. A n'est pas cependant plus petit que 5; car A aurait avec r une plus petite raison que B avec Γ (8. 5). Mais A n'a pas avec T une plus petite raison que
LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 259
& 3. 1 ^ , DA , Τὸ B πρὸς τὸ T. Οὐκ ἔχει δὲ. οὐκ dpa ἔλασσόν \ ^N / VID UN C REIN / ἐστι τὸ A TCU B. Εδείχθη δὲ ὅτι" οὐδὲ ἴσον. μείζον M 5 . ^ ἄρα ἐστὶ τὸ À τοῦ B. M ’ X M \ , 4 Ἐχέτω δὴ πάλιν τὸ Τὶ πρὸς τὸ B μείζονα λόγον C4 ^ \ \ , er » , 5 \ Wzep vo T πρὸς TO Á* Aeyo oTi ἐλασσὸν ἐστί TO B τοῦ A. , S A L4 » ? M I ^ \ Es yap jai, NTOI ἰσὸν ἐστιν. ἢ μεῖζον. Ισὸν pev Le AT \ d \ S ^ MEC) ουν οὐκ ἐστι TOB rw A, TO T dp av πρὸς exa. \ DAS CA ΄ 9. “ἸΝ M T&pov τῶν À , B τὸν αὐτὸν eye λόγον. OUx eye δὲ, » ” , X \ “ > M M ων»; οὐκ dpa ἴσον ἐστὶ τὸ À τῷ B. Οὐ δὲ μὴν μεῖζόν , \ \ \ À \ \ 3 , ἐστι τὸ B τοῦ A, T6 T yap ἂν πρὸς τὸ Βελασ- , hn 5», \ A 3 » M Cora, λογον eye ἡπερ πρὸς TO À. Οὐκ eyes δὲς > »" npPr ] ^ / Ner οὐκ dpa μεῖζόν ἐστι τὸ B τοῦ A. Ἐδείχθη δὲ ὅτι EC 3j ! , ^ ' ^ ^ 4 οὐδὲ ἴσον. ἔλασσον ἀρα ἐστὶ τὸ B τοῦ A. Τῶν apa
^ D 247 \ \ en πρὸς TO AUTO, καὶ τὰ εζῆς.
B ad r. Non habet autem , non igitur minor est A ipsà B. Ostensa autem est neque æqualis , major igitur est A ipsà B.
Habeat autem rursus Γ ad B majorem ratio-
nem quam T ad A ; dico minorem esse B ipsá A.
Si enim non, vel æqualis est, vel major. Æqualis quidem non est B ipsi A, nam T' ad utram- que ipsarum A , B eamdem haberet rationem. Non habet vero, non igitur æqualis est A ipsi B. Non autem tamen major est E ipsá À , nam T ad B minorem rationem haberet quam ad A. Non habet vero , non igitur major est Bipsá A. Ostensa autem est neque æqualis, minor igitur
est B ipsà A. Ipsarum igitur ad camdem , etc.
B avec T; donc A n'est pas plus petit que ?. Mais on a démontré qu'il ne lui est pas égal ; donc A est plus grand que 8.
De plus, que r ait avec B une raison plus grande que T avec A; je dis que B est plus petit que A.
Car, si cela n'est pas, il lui est égal, ou ilest plus grand. Mais la grandeur Β n'est pas égaleà A; car alors la grandeur r aurait la méme raison avec chacune des grandeurs 4, B (7. 5). Mais elle ne l'a pas; donc A n'est pas égal à b. La grandeur B n'est pas cependant plus grande que A; car alors r aurait avec B une raison plus petite qu'avec A (8. 5). Mais r n'a pas avec B une raison plus petite qu'avec A; donc B n'est pas plus grand que 4. Mais on a démon- té quil ne luiest pas égal ; donc B est plus petit que 4. Donc, etc.
260 HPOTAZIZ d.
Oi τῷ αὐτῷ λόγοι οἱ αὐτοὶ. καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί.
Ἑστωσαν ydp ὡς μὲν τὸ À πρὸς τὸ B οὕτως" τὸ T πρὸς τὸ A, ὡς δὲ τὸ T πρὸς τὸ Δ οὕτως τὸ E “πρὸς τὸ L' λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ À πρὸς τὸ Β οὕτως TO E πρὸς τὸ 2.
Εἰλήφθω γὲρ τῶν uv! A, T , E ἰσάκις πολ- λαπλάσια TX H, O, Κι τῶν B, A, Z ἄλλα à
ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ A, M, N.
H a o A T BOO Δ ^ A M
\ , e ' x x e x Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ À πρὸς τὸ B οὕτως τὸ ] ' Ὁ 9), ^ ES δὲ ἡ »n πρὸς 70 À , και εἰλήπται τῶν jé? AST ἰσοπκις ' Hs \ » a πολλαπλάσια τὰ H, ©, τῶν δὲ B, ^ ἀλλα «a > , ' 5 L4 ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ À, M°°ei apa
: 5 ἢ - « / Nos ^ ὑπέερέχε! TO H Tou À, υπέρεχε καὶ τὸ Θ του M*
LE CINQUIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
PROPOSTIO XI.
Eidem rationes exdem , et inter se sunt eæ- dem.
Sint enim ut A quidem ad BitaradA,utr veroad A, ita Ead Z ; dico esse ut A ad B ita E ad Z.
Sumantur enim ipsarum A , T , E quidem æ- que multiplices H, ©, K , ipsarum vero B,A,
Z alie utcunque æque multüplices À, M, N.
N
Et quoniam est ut A ad B ita T ad A , et sump- tæ sunt ipsarum quidem À, T æque mulliplices H,®, ipsarum vero B , A aliæ utcunque mul- üplices A, M; si igilur H superat ipsam A , su- .
perat et © ipsam M ; et si equalis, æqualis ; et
PROPOSITION: XI.
Les raisons qui sont les mémes avec une méme raison sont égales entr'elles.
Que 4 soit à B comme T est à A, et que T soit à A comme E est à Z ; je
dis que A est à B comme E est à Z.
Prenons des équimulüples quelconques H, ©, K des grandeurs 4, r, E, et d'autres équimultiples quelconques ^, M, N des grandeurs B, A, z.
Puisque A est à B comme T est à A, et qu'on a pris des équimultiples quel- conques H, © de A et de τ; et d'autres équimultiples quelconques Δ, M de B et de ^; si H surpasse A, © surpasse M; si H est égal à A, © est égal à M;
LE CINQUIEME LIVRE DES
7 Á Ν E] ^34 = καὶ εἰ ἴσον. icoyÁ* καὶ εἰ ἔλαττον. ἐλαττονῦ, > ] . . VAL " ἢ Πάλιν. ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ T πρὸς τὸ Δ οὕτως 7 5 ' A uM. ^ SLE E πρὸς τὸ Z , καὶ εἴληπται τῶν puy T , E ἰσά- , % ^ x x» κις πολλαπλάσια Ta O, Ks, τῶν δὲ Δ. Z ἀλλα à 3 , M E & ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ M, N* εἰ ἀρὰ « , % e , v H ru ὑπερέχει τὸ © τοῦ M, ὑπερέχει καὶ τὸ K τοῦ N° M SUV. 3, ^ s»: sl καὶ εἰ BOY, σὸν" Ha εἰ ἐλασσον , ἐλᾶσσον. 3 € , M ^ € \ Αλλα εἰ ὑπερέχει τὸ © τοῦ M, ὑπερέχει καὶ * ^ 35, , \ » s τὸ H τοῦ A* καὶ εἰ ἴσον. ἴσον" καὶ εἰ ἔἐλατ- L4 el Ν » pe , M m TOY, ἐλαττον" ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει TO H ToU A» ε , \ v. “ Np M > \ ὑπερέχει καὶ TO Κ Tou N° καὶ εἰ 100V, σὺν" zai P » A x x 2 εἰ ἔλαττον. ἔλαττον. Καὶ ἔστι τὰ μέν H, K ^ 3 , Y a τῶν A, E ἰσάκις πολλαπλάσια. Ta δὲ A, N ^ ν΄ doy > , τῶν B, Z ἀλλα ἃ eTUysV ἰσακις στολλαπλάσια" EU E e 4 Y , “ ' ' ἐστιν ἄρα ὡς TO Α πρὸς TO B ουὐτῶς To E προς
' εν LJ > ^ M V aS nv, τὸ L. Oi ἀρὰ τῷ αὐτῷ, καὶ τὰ Zac.
T
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 9261 si minor , minor. Rursus , quoniam est ut T ad Aita E ad Z , et sumptæ ipsarum quidem T , E æque multiplices © , K, ipsarum vero À , Z alie utcunque eque multiplices M, N ; si igitur su- perat © ipsam M, superat et K ipsam N ; etsi equalis , æqualis ; et si minor, minor. Sed si su- perat © ipsam M, superat et H ipsam A 5 et si æqualis , equalis; et si minor, minor ; quare et si superat H ipsam A , superat et K ipsam N ; et si equalis , qualis ; et si minor, minor. Et sunt H , K quidem ipsarum A , E eque multiplices , ipse vero À, N ipsarum B , Z alice utcunque multiplices ; est igitur ut A ad B ita E ad Z.
Ergo eidem , etc.
et si H est plus petit que A, o est plus petit que M (déf. 6. 5). De plus, puisque T est à ^ comme E est à Z, et qu'on a pris des équimulüples quel- conques ©, K de T et de E, et d'autres équimultiples quelconques M, N de Δ et de Z; si © surpasse M, K surpasse N; si © est égal à M, K est égal à N, etsi © est plus petit que M, K est plus petit que N. Mais si © surpasse M, H surpasse A; si © est égal à M, H est égal à A, et si © est plus petit que M, H est plus petit que ^; donc, si H surpasse A, K surpasse N; si H est égal à A, K est égal à Nj et si H est plus petit que A, K est plus petit que N. Mais H, K sont des équimultiples quelconques de A et de E, et A, N d'autres équi- multiples quelconques de Β et de z; donc A est à B comme E est à z (déf, 6. zn
Donc, etc.
362 LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
HPOTAZIZ ιβ΄.
Eds 5 ὁποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον" ἔσται ὡς £v τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕν τῶν ἑπομένων , οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.
Ecrwcar ἱποσαοῦν μεγέθη ἀνάλογον. τὰ À, B,T, A, E, Z, ὡς τὸ À πρὸς τὸ B οὕτως τὸ T πρὸς τὸ Δ καὶ τὸ E πρὸς τὸ L' λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ Α πρὸς τὸ B οὕτως τὰ A, T, E πρὸς τὰ BOSE.
Εἰλήφθω γὰρ τῶν; ἔν A,T,E ἰσάκις πολλα- πλάσια τὰ H , O, K, τῶν δὲ B, Δ. Z ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ A, M,N.
Καὶ ἐπεί ἔστιν ὡς τὸ À πρὸς τὸ Β οὕτως τὸτ
\ \ \ es ποὶς τὸ Δ καὶ τὸ Ε πρὸς τὸ L, καὶ εἰλήπται
PROPOSITION
PROPOSITIO XII.
Si sint quotcunque magnitudines proportio-
nales, erit ut una antccedentium ad unam consequentium , ita omnes antecedentes ad om- nes consequentes.
Sint quotcunque magnitudines proportiona- les A, B, , A,EZ,Z, utAad Bita T ad A, et E ad Z; dico esse ut 4 ad B ila A , P, Καὶ
ad ipsas B, A , Z.
Sumantur enim ipsarum quidem A , P, E eque multiplices H , € , K , ipsarum vero B, A, Z ali: utcunque æque multiplices A, M, N.
Et quoniam est A ad B ita Tr ad Aet Ead Z, et sumptæ sunl ipsarum quidem 4 , T, E æque
€
XII.
Si tant de grandeurs qu'on voudra sont proportionnelles , un des antécédents
sera à un des conséquents comme la soinme des antécédents est à la somme
des conséquents.
Soient A, B, T, Δ, E, Z tant de grandeurs proportionnelles qu'on voudra ; que A soit à B comme T està Δ et comme E est à Ζ; je dis que A est à B comme la somme des antécédents A, T, E est à la somme des grandeurs 5,
A, Ze
Prenons des équimulüples quelconques H, ©, K des grandeurs 4, r, E, et d'autres équimultiples quelconques Δ, M, N des grandeurs B, 4, z. Puisque A est à B comme T est à ^, et comme E est à Z; que l'on a pris
LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 263
^ \ τῶν μὲν A, T, Ε icdxic πολλαπλάσια Ta H, ^M M LÀ à » , ©,K, τῶν δὲ B) A, Z ἀλλα ἃ ἐτυχεν ἰσάκις ^ - "» < , \ πολλαπλάσια τὰ À, M, N° εἶ epa ὑπερέχει! τὸ Lo - \ ^" ἊΝ M H τοῦ A, ὑπερέχει καὶ τὸ © τοῦ M, καὶ τὸ K ^ ^ LEZ » % »» » TOU N° καὶ εἰ σον y 1G0yV* καὶ εἰ ἐλάσσον , ελασσον. ^ € \ ^ < , Ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει To H του À, υπερέχε ^ La \ L/2 καὶ τὰ Hj ©, K τῶν A, M, N'° καὶ εἰ ἴσον. LÀ DE L4 3 \ \ σα" καὶ εἰ ἔλασσον. cAaacoya?, Καί ἐστι TO μὲν H ^ M ^ \ e 575 Ὁ καὶ τα H, ©, K ToU À καὶ τῶν A, T, E jca- Ἂ "5 « ^ xig πολλαπλάσια" ἐπειδήπερ àv? ἢ ὑποσαοῦν , « (e BJ 327 ^ ^ μεγέθη ὑποσωνοῦν μεγεθῶν ἴσων τὸ πλῆθος. e Gus 35:17 , Ah aue €3 LOT OV EXLOTOU ἰσάκις πολλαπλάσια]. oca Ad-
A en a ^ ew; MEN , C10V €0' T1 εν τῶν μεγεθῶν £y06 5 TOCAUTATACLTIL
mulüplices H , O, K , ipsarum vero B, A,Z alie utcunque æque multiplices A, M, N ; si igilur H superatipsam 4A , superat et © ipsam M, et K ipsam N ; et siæqualis, æqualis; et si minor, minor, Quare et si superat H ipsam A , superant et H, ©, Kipsas A, M, N; et siæqualis, ze quales; et si minor, minores. Et est H quidem eLH , O , K ipsius À et ipsarum A, T, E aque multiplices ; quoniam $i sint quotcunque mag- nitudines quotcunque magnitudinum æqualium multitudine , singulz singularum æque multipli- ces, quam multiplex estuna magnitudinum unius,
tam multiplices erunt et omnes omnium. Prop-
ἔσται καὶ τὰ πάντα τῶν πάντων. Διὰ τὰ αὐτὰ — ler eadem utique et A et A, M , N ipsius B et ip- sarum B , À , Z eque sunt mulüplices ; est igitur ut A ad B, ita A, T, E ad B, A, Z. Si igitur
sint quotcunque , etc.
δὴ καὶ τὸ À καὶτὰ A, M, N TOU B καὶ τῶν B, E » 3, ^, L ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια" ἴστιν ἄρα ὡς N X N tj 45 X N TO À πρός TO B, οὕτως τὰ" A,T,E πρὸς τὰ B,
c # sue nm \ Veg A , Z. Ἐὰν epa ἢ OTOTAOUY 5 και τὰ ἑξῆς.
des équimultiples quelconques H , 6, & des grandeurs A, r, E, et d'autres équimul- tiples quelconques Δ, M, N des grandeurs B, Δ, Z; si H surpasse Δ, © sur- passe M, et K surpasse N; si H est égal à Δ, © est égal à M, et K égal à N; et si H est plus petit que A, © est plus petit que N, ei K plus petit que N (déf. 6. 5). Donc, si H surpasse A, la somme des grandeurs H, ©, K surpasse la somme des grandeurs A, M, N; si H est égal à ^, la somme des grandeurs H, ©, K est égale à la somme des grandeurs 4, M, N; et si H est plus petit que A, la somme des grandeurs H, 6, K est plus petite que la somme des grandeurs A, M, N. Mais la grandeur H et la somme des gran- deurs H, ©, K sont des équimultiples de la grandeur A etdes grandeurs A, T, E, parce que si tant de grandeurs qu'on voudra sont les mêmes multiples d'autres grandeurs égales en nombre, chacune de chacune, la somme des premiéres grandeurs est le méme multiple de la somme des secondes, qu'une de ces grandeurs l'est d'une de ces grandeurs (1. 5). Par la méme raison, la grandeur 4 et la somme des grandeurs ^, M, N sont des équimultiples de la grandeur Β et de la somme des grandeurs B, Δ, z; donc A est à B comme Ja somme des grandeurs A, T, E est à la somme des grandeurs 5, ^, z (déf. 6. 5). Donc, etc.
26, LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
, DE
IIPOTAZIZ
^ i ^ \ , * Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λό- Ν 72 \ , , \ \ γον καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον. τρίτον δὲ πρὸς , m , B 3! , \ τέταρτον μείζονα λόγον ἔχῃ περὶ πέμπτον πρὸς " . T \ , /5 , ἔκτον" καὶ πρῶτον πρὸς δεύτερον μείζονα λόγον
qx # a , . ἡ ἐξει aep 7e ov προς e€zTÓV.
^ N°12 X \ \ , * ^ Πρῶτον μεν" γὰρ TO Α πρὸς δεύτερον To B τον » \ 5 , , \ , M \ , αὐτὸν ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον TO L "(06 τεταρ-
τὸν τὸ A, τρίτον δὲ τὸ Τ πρὸς τέταρτον τὸ ἃ
Μ Η A * ἣ B A N K
v , 5 Lo M , , x \ μείζονα λόγον ἐχέτω ümepl TéumToy τὸ E προς ej ^ ΄ e ^ \ b. ἕκτον TO L' λέγω OTI καὶ πρῶτον TO À πρὸς \ , b 3 , δεύτερον To B μείζονα λόγον HT ἥπερ πεμπτον \ \ er A 5 To E πρὸς euToy To Z^. D ' n 14 , Eu Ἐπεὶ ydp To T πρὸς vo ἃ μείζονα λόγον eyes
3! . " \ . ν᾿ AL Ἶ H ἥπερ τὸ E πρὸς τὸ 25" ἔστι τινὰ τῶν μὲν T, E
PROPOSTE
PROPOSITIO XIII.
Si prima ad secundam eamdem habeat ratio- nem quam tertia ad quartam ; tértia autem ad quartam majorem rationem habeat quam quinta ad sextam ; et prima ad secundam majorem ra- tionern liabebit quam quinta. ad sextam.
Prima quidem enim A ad secundam B eam- dem habeat rationem quamtertia T ad quartam A,
teria vero T ad quartam Δ majorem rationem
habeat quam quinta E ad sextam Z ; dico et pri- mam À ad secundam B majorem rationem habi-
turam esse quam quiniam E ad sextam Z.
Quoniam enim P ad A majorem rationem
habet quam E ad Z, sunt quidam ipsarum
ION XIII.
Si la première a la méme raison avec la seconde que la troisième avec la quatrième, et si la troisième a avec la quatrième une raison plus grande que la cinquième avec la sixième, la première aura avec la seconde une raison
plus grande que la cinquième avec la sixième.
Que la première A ait avec la seconde B la méme raison que la troisième r avec la quatrième à, et que la troisième T ait avec la quatrième 4 une raison plus grande que la cinquième E avec la sixième Z ; je dis que la première 4
o
aura avec la seconde B uae raison plus grande que la cinquième E avec la
sixième Z.
Puisque T a avec 4 une raison plus grande que E avec z, parmi des équi-
LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 265
A Ε à à Eb: , ἱσώκις πολλαπλάσια. τῶν δὲ A, Z ἄλλα ἃ quidem T , E æque multiplices, ipsarum vero
-
2» Y \ 5 . - - ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια" καὶ τὸ μὲν τοῦ À, Z alie utcunque æque mulüplices ; et ip-
T πολλαπλάσιον τοῦ τοῦ Δ πολλαπλασίου 5118 quidem T multiplex ipsius A multiplicem ὑπερέχει, τὸ δὲ ποῦ E πολλαπλάσιον τοῦ — superat, ipsius vero E multiplex ipsius Z multi- τοῦ 2 πολλαπλατσίου οὐχ ὑπερέχει. Εἰλήφθω, —plicem non superat. Sumantur, οἱ sint ipsarum καὶ ἔστω τῶν μὲν T, E ἰσάκις πολλαπλάσια — quidem T , E eque multiplices H , © ; ipsarum τὰ H, O, τῶν δὲ ^, Z ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσά- vero A, Z alie utcunque eque multiplices K, A ;
Xie πολλαπλάσια τὰ K, À, ὥστε τὸ μὲν H Ita ut H quidem ipsam K superet, ipsa vero © τοῦ K ὑπερέχειν, τὸ δὲ O τοῦ A μὴ ὑπερέχειν"
NUS ^ \ > M L2 καὶ οσαπλάσιον μὲν ἐστι TO H τοῦ T , τοσαυτα-
Ipsam A non superet; et quam multiplex quidem est H ipsius , tam multiplex sit et M ipsius A ;
πλάσιον ἔστω καὶ τὸ M τοῦ Α' ὁσαπλάσιον δὲ — quam vero multiplex K ipsius À, tam multiplex
\ ^ El \ A ᾿ τ Le τὸ Καὶ τοῦ A, τοσαυταπλάσιον ἔστω καὶ TO N Sitet N ipsius B.
τοῦ B.
Kai ἐπεί ἐστιν Oc To À πρὸς τὸ B οὕτως TÔT Et quoniam est ut A ad B ita T ad Δ, et sumptæ πρὸς τὸ A, καὶ εἴληπται τῶν μὲν A, T ἰσάκις — Suntipsarum quidem A, T æque multiplices M, πόλλαπλάσια τὰ M, H , τῶν δὲ Β. AZAAmdiru- Ἢ, ipsarum vero B, A alie utcunque aeque χεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ N, Κ' εἰ ἄρα ὑπερ- malüplices N , K ; si igitur superat M ipsam N , ἔχει τὸ M 700 N, ὑπερέχει καὶ τὸ H τοῦ Κ' superat et H ipsam K ; et si equalis , æqualis ; καὶ ei ἴσον, ἴσον" καὶ ei ἔλασσον. ἔλασσον. Yrep- et si minor , minor, Superat autem H ipsam Κ,
έχει δὲ τὸ H τοῦ K, ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ M superatigilur et M ipsam N. Ipsa vero © ipsam ^ M ^ . EA
τοῦ N. Τὸ δὲ O τοῦ A οὐχ ὑπερέχει" καὶ ἔστι
σὰ μὲν M, © τῶν A, E ἰσώκις πολλαπλά- Α, Eque mulüplices , ipse vero N, A ipsarum
cu, τὰ d$ N, A τῶν B, 2 ἄλλα à ἔτυχεν Β; Z alie utcunque æque multiplices ; ergo A
A non superat; et sunt M , O quidem ipsarum
multiples quelconques de ret de E, et parmi d'autres équimultiples quelconques de δ et de Z, un multiple de r surpasse un multiple de 4, et un multiple de E ne surpasse pas un multiple de z (déf. 8. 5). Prenons ces équimul- tiples , et que H, © soient des équimultiples de r et de E, et que x, Δ soient d’autres équimultiples quelconques de A et de z, de manière que Η surpasse K, et que © ne surpasse pas Δ; et que M soit le méme multiple de 4 que H l’est de r, et que N soit le méme multiple de 5 que K l'est de Δ.
Puisque 4 està B commer esta A, et qu'on a pris des équimultiples quelconques M,Hdeaetder, et d'autres équimultiples quelconques N , K de B et de Δ ; si M surpasse N, H surpasse K; si M est égal à N , H est égal ἃ K ; et si M est plus petit que N, H est plus petit que K (déf. 6. 5). Mais H surpasse K ; donc M surpasse N. Mais © ne surpasse pas A; et M, © sont des équimultiples quel-
conques de A et de E; et N, A sont d'autres équimultiples quelconques de 5 34
466 LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
« ^ \ y \ 3 , ἰσάκις πολλαπλάσια" TO epa A πρὸς TO B μεῖ- / 5 \ εὖ \ \ » ζονα λόγον ἔχει ἥπερ τὸ E πρὸς τὸ Ζ. Ἐὰν apa ^ \ EL) ^ πρῶτον. καὶ τὰ εξῆς. , HPOTAZXIZ sd", A ^ \ , \ BL 3! , Eav πρῶτον πρὸς δεύτερον TOY αὐτὸν ἐχὴ λο- ^ , \ \ f gov καὶ τρίτον πρὸς τέταρτον, τὸ de πρῶτον ^ , , bd A, M , ^ » TU τρίτου μείζον ἢ" καὶ TO δεύτερον TOY τε- E! » 5 35] *» 5, τάρτου μείζον ἐσται" καὶ ἴσον. 1G0Y* κἀν ἐλάσδον. P4 ελασσὸν ^ M k \ \ 5 Πρῶτον γὰρ τὸ A πρὸς δεύτερον τὸ B τὸν au
\ 3 , , M A \ » TOY ἐχέτω λόγον καὶ τρίτον TO T πρὸς τέταρτον
“|Ὰ,»
ad B majorem rationem habet quam E ad Z. Si igitur prima , etc.
PROPOSITIO XIV.
Si prima ad secundam eamdem habeat ratio- nem quam tertia ad quart?m , prima vero tertià major sil, et secunda tertià major erit ; et si æ-
qualis, æqualis ; et si minor, minor.
Prima enim A ad secundam Β eamdem habeat
raüonem quam terlia T ad quartam A, major
D
^ t !J 4 , e \ τὸ Δ, μεῖζον δὲ ἔστω τὸ A τοῦ T° λέγω ὅτι καὶ \ ^ 3 τὸ B τοῦ Δ μείζόν στιν. \ n 5» M ^ ῃ \ à Ἐπεὶ γὰρ μεῖζόν ἐστι τὸ A τοῦ T', ἄλλο δὲ ὃ
ἴσυχε μέγεθος" τὸ Β' τὸ A dpa πρὸς τὸ B μείζονα
autem sit A ipsà D; dico et B ipsá À majorem esse. Quoniam enim major est A ipsá T, alia autem
utcunqve magnitudo B; ergo A ad B majorem
et de Z; donc A a avec B une raison plus grande que E avec Z (déf. 8. 5). Donc, etc.
PROPOSITION; XIV:
Si la première a avec la seconde la même raison que la troisième avec la qnatriéme , et si la première est plus grande que la troisième , la seconde sera plus grande que la quatrième ; si la première est égale à la troisième, la seconde sera égale à la quatrième, et si la première est plus petite que la troisième, la seconde sera plus petite que la quatrième.
Que la première 4 ait avec la seconde B la méme raison que la troisième r avec la quatrième ^ , et que A soit plus grand que r; je dis que B est plus grand que Δ.
Puisque 4 est plus grand que r , et que Β est une autre grandeur quelconque,
LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 567
λόγον ἔχει ἧπερ TOT πρὸς τὸ B. Ὡς dé TO À “πρὸς rationem habet quam T ad B. Ut autem A ad B, ita
To B, οὕτως τὸ I 005 τὸ A' καὶ To Y ἄρα T ad A; ei P igitur ad À majorem rationem habet
, 1
Tp τὸ Τ πρὸς τὸ
πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον ἔλ quam T ad B. Ad quam autem eadem majo- Ja filie i EE v py - » » ὦ B. Προς ὃ δὲ τὸ αὐτὸ μιεἴζονα λόγον Eye’, ἐκεῖνο
ἔλαττόν ἐστιν" ἔλαττον Rp τὸ Δ τοῦ Β' ὥστε iurA ipsà B; quare major est B ipsà A.
rem rationem habet , illa minor est; minor igi-
«Ὁ
μεῖζόν ἐστὶ τὸ B τοῦ A.
Ομοίως δὴ δεϊζξομεν ὅτι κἂν ἴσον ÿ τὸ À τῷ Similiter utique ostendemus et si æqualis sit
A ipsi P, æquelem fore et B ipsi A; et si
A
, ᾿ ^ N I, ἴσον ἔσται καὶ τὸ B τῷ A* κἄν ἔλασσον τὸ A τοῦτ΄. ἔλασσον ἔστα!, καὶ τὸ B τοῦ A. minor sit A ipsá D, minorem fore et B ipsà Δ,
΄ε
3 Xy ^ \ ν. e£ se z Ἐὰν ἀρὰ πρῶτον. xai τὰ εζῆς. Si igitur prima, etc.
ΠΡΌΤΑΣΙΣ i. PROPOSITIO XV.
TZ μέρη τοῖς ὡσαύτως πολλαπλασίοις τὸν Partes inter se comparate eamdem habent rationem quam æque multiplices.
αὐτὸν ἔχει λόγον. ληφθέντα κατάλληλα. Sit enim æque multiplex AB ipsius T ac
Ecro yap ἰσάκις πολλαπλάσιον τὸ AB τοῦ
Α Η Θ Β Ido Δ Κ A E
Z
AE ipsius Z; dico esse ut T ad Z ita AB ad AE.
^N * ^v , LÀ » A € * Y T καὶ TO AE τοῦ Z* λέεγὼ oTI ἐστίν ὡς 70 T προς
τὸ L οὕτως τὸ AB πρὸς τὸ ΔΕ.
A a avec B une plus grande raison que Tr avec 8 (8. 5). Mais A est à B comme T esta Δ; donc r a avec ^ une plus grande raison que r avec B (15. 5). Mais la grandeur avec Jaquelle une méme grandeur a la plus grande raison est la plus petite (10. 5) ; donc 4 est plus petit que B, et par conséquent B plus grand que 4.
Nous démontrerons semblablement que si A est égal ἃ Γ΄, B sera égal à ^, et que si A est plus petit quer , B sera plus petit que Δ. Donc, etc.
PROPOS ITIQ/N,.XyYV.
Les parties comparées entr'elles ont la méme raison que leurs équimultiples. Que AB soit le méme multiple de r que ΔῈ l'est de z ; je dis quer est à z comme AB est à AE,
268 LE CINQUIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
Ἐπεὶ yp ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ AB ποῦ T καὶ τὸ AE τοῦ 2" ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μεγίθη ἴσα τῷ T, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔῈ ἴσα τῷ Z. Διῃρήσθω τὸ μὲν ΑΒ εἰς τὰ τῷ T μεγέθη! ἴσα, τὰ AH, HO, OB, τὸ δὲ AE εἰς τὰ τῷ L ἴσα. τὰ AK, KA, AE* ἔσται, δὴ ἴσον πὸ πλῆθος τῶν AH, HO, OB τῷ πληθε, τῶν AK , KA , AE. Καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὼ AH, ΗΘ. ΘΒ ἀλλήλοις. ἔστι δὲ καὶ τὰ AK , ΚΔ. AE ἴσα ἀλλή-
Η
Ν» [n |»
λοις ἔστιν ἄρα ὡς τὸ AH πρὸς τὸ ΔΚ οὕτως τὸ ΗΘ πρὸς τὸ KA, καὶ τὸ OB πρὸς τὸ AE* ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἕν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἁπαιτατὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα" ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΔΚ οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς τὸ AE. Ισὸν δὲ τὸ μὲν AH τῷ T, τὸ δὲ ΔΚ τῷ Z° ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Τ πρὸς τὸ Ζ οὕτως τὸ ΑΒ πρὸς
γ} , \ Nt τὸ AE. Τα ἀρὰ MEph, καὶ τὰ ἑξῆς.
Quoniam enim æque est multiplex AB ips'us T ac AE ipsius Z ; quot igitur sunt in AB mag- nitudines æquales ipsiT , tot sunt et in AE æ- quales ipsi Z. Dividatur AB quidem in magni- tudines ipsi T equales AH, HO , ΘΒ, ipsa vero AE in AK, KA, AE ipsi Z æquales ; erit utique equalis multitudo ipsarum AH , HO, OB mul- litudini ipsarum AK , KA , AE. Et quoniam æ- quales sunt AH , HO , OB inter se , sunt autem
eo B
et AK , KA, AE æquales inter se ; est igitur ut AH ad AK ita HO ad ΚΛ, et OB ad AE ; erit igi- tur et ut una antecedentium ad unam conse- quenüum , ita omnes antecedentes ad omnes consequentes ; est igitur ut AH ad AK ita AB ad AE, /Equalis autem AH quidem ipsi T , ipsa vero AK ipsi Z ; est igitur ut ad Z ita AB ad AE. Ergo partes , etc.
Puisque AB est le méme multiple de r que ΔῈ l'est de z, il y a dans AB autant de grandeurs égales à r qu'il y a dans ΔῈ de grandeurs égales à z. Divisons ΑΒ en parties égales à T, et que ces parties soient AH, ΗΘ, ΘΒ ; divisons aussi AE en parties égales à Z, et que ces parties soient AK, KA, AE. Le nombre des parties AH, ΗΘ, ΘΒ sera égal au nombre des parties AK, KA, AE. Et puisque les parties AH, HO, ΘΒ sont égales ent'elles, et que les parties AK , KA, AE sont aussi égales entr'elles, AH est à AK comme ΗΘ est à KA, et comme ΘΒ est à AE (7. 5); donc un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents (12. 5); donc AH est à δκ comme ΑΒ està AE. Mais AH est égal à r, et Ak égal à z ; donc r està z comme AB est à AE, Donc , etc.
LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 569
ΠΡΌ ΤΑΣ ΣΙ σα : 2 , "5 N5 M Ἐὰν τέσσαρα μεγέθη ἀνάλογον 9, καὶ ἐναλλὰξ 3 , 3) αἀναλογον ἐσται. , , L \ Ecvo τέσσαρα, μεγέθη ἀνάλογον. τὰ A, B, ε \ ej \ \ \ T, A, 0c To À πρὸς τὸ B ουτὼς τὸ T πρὸς τὸ ti , > ^ € \ A* λέγω ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογ or eG TiV' , ὡς TO
A πρὸς τὸ T οὕτως τὸ B “πρὸς τὸ A.
*
Ὁ" \ , Εἰλήφθω dp τῶν μὲν Α.Β ἰσάκις πολλαπλάσια M ^ M δὶ Ἄν αἱ E] , Ta E, Z, τῶν dé T , Δ ἀλλώ & tTUXSV ἰσάκις M πολλαπλάσια τὰ H, ©. » \ , M ^ Καὶ ἐπεὶ ἰσώκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ E τοῦ ^ ^ \ M , D € ^ A καὶ τὸ L τοῦ B, τὰ δὲ μέρη τοῖς ὡσαύτως \ DOS 5! , , πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ληφθέντα , PAR] » ε \ \ A e χαταλληλα," ἐστιν ἄρα ὡς TO À πρὸς τὸ B ου-
τως T6 E πρὸς τὸ Ζ. Qc δὲ τὸ A πρὸς τὸ Β
PROPOSIIPITO/'XVIL
Si quatuor magnitudines proportionales sint et alterne proportionales erunt.
Sint quatuor magnitudines proportionales A , B, l, A, ut A ad B ita T ad A; dico et al- terne proportionales esse, ut À ad T ita Bad A.
Sumantur enim ipsarum quidem À , B æque mulüplices E, Z, ipsarum vero TL, A aliæ ut- cunque æque multüplices H, ©.
Et quoniam zque est mulüplex E Ipsius À ac Z ipsius B; partes autem inter se compa- rate eamdem habent rationem , quam earum eque multplices ; est igitur ut A ad B ita E ad Z. Ut autem A ad B itaT ad A; et ut igitur
PROPOSTETLON XVI
Si quatre grandeurs sont proportionnelles, elles seront proportionnelles par
permutation.
Soient les quatre grandeurs proportionnelles A, 8B, r, ^, c'est-à-dire que A Soit à B comme T està ^; je dis que ces grandeurs sont proportionnelles par permutation , c'est-à-dire que A està T comme B est à a.
Prenons des équimultiples quelconques E, z de 4 et de 5, et d'autres équi- multiples quelconques H, Θ de r et de Δ.
Puisque E est le méme multiple de 4 que z l'est de 5, et que les parties comparées ent'elles ont la méme raison que leurs équimultiples (15. 5), la grandeur A est à B comme E est à Z. Mais A est à B comme T est à A; donc
270 LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
D] ἢ \ . \ € »! D ' ouruc TO T πρὸς TO A* καὶ ὡς ape vo T πρὸς e \ x \ , > \ \ τὸ A οὕτως τ E πρὸς τὸ Ζ. Παλιν» ἐπεὶ Τα H, ^ ^ 2 Ν , s! 4 ε
OQ TOv T, Δ ἰσάκις ἐστὶ TTOAARTTAG IO ἐστι" epa, ὡς M bl A N A ποτα \ \ m M
To T pos To A CUTUS τὸ Ἡ πρὸς τὸ O. Qcoz7oT
\ \ e \ ET \ TONS x M
πρὸς TO Δ οὕτως TO E πρὸς τὸ Z° Kei c; ἀρῶ τὸ
^ \ e \ X Y M M
E πρὸς TO Z ουτῶς 70 H πρὸς τὸ ©. Εὰν δ:
Tic ü ς «D LÀ FA ᾿ δὲ CUT -οῦ τέσσαρα μεγεθη ἀνάλογον 4, τὸ δὲ πρωτὸν ^.
,
^ Ed NE: , ^ , τρέτου μεῖζον γ καὶ TO δεύτερον του τετάρτου
»
iov & * κἂν ἴσον, ἴσον" μεῖζον ἔσται!" κἀν ἐσὸν.
» Ὁ e , va E ε 2 A: cor, Es ἄρα vu τὸ E τοῦ H, ὑπερέχει καὶ
ox. PA ROV ἐλᾶσσον5 «λασ-
\ ^ S03» pie ud M. .
To Z ποῦ Q* zai εἰ σον. 100y* καὶ ed EAQGTTOY , * ^ ^ rs » ,
ἔλαττον. Kai ἔστι τὰ μὲν E, L τῶν A, B ira-
M N - "a
zig HONETAATIE , TU δὲ H, © τῶν ΓΤ. Δ ἄλλα
» a 3) P4 e \
ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπιλοσια" ἐστιν epa ὡς τὸ \ X 2 \ \ \ \ M ,
À πρὸς To T οὕτως To B πρὸς τὸ M Εαν apa Téo-
N M ee Capa, Hal τὰ εζῆς-
Ll ad À iia E ad Z. Rursus, quoniam H, ©
ipsarum FL, À æque sunt multiplices ; est igitur ut l' ad A iia H ad ©. Ut autem P? ad A ita E ad Z; ct αἱ igiiur E ^d Z ita H ad ©. Si
1051
autem quatuor m^gnitudines proportionales sint,
"oj Ξ
prima autem terüà major sit, et vero secunda pem doses npe ye TS 1 quartà major erit; et si equalis, equalis; et
si minor, minor. Si igitur superat E ipsam H ,
superat et Z ipsam ©; et si æqualis, æqualis ; ct si minor, minor. Et sunt ipsæ quidem E,Z ipsarum À, B æque multiplices , ipse vero H, © ipsarum T', Δ alie utcunque æque multipli- ces; est igitur ut À ad T iia B ad A. Si igitur
quatuor, clc.
T est ἃ Δ comme £ està 2 (1r. 5). De plus, puisque H, @ sont des équi- multiples de r et de ^; T est à ^ comme H est à ©. Mais T est à ^ comme
E està Z; donc E est à Z
comme H est ἃ
\
@ (11. 5). Mais si quatre gran-
dexrs sont proportionnelles , ei si la première est plus grande que la troisième ,
la seconde sera plus grande que la quatrième ;
si la première est égale à la
troisième , la seconde est égale à la quatrième, et si la premiere est plus peüte que la troisième , la seconde est plus petite que la quatrième (14. 5). Donc si E surpasse H , Zsurpasse © ; si E est égal à H, z est égal à o ; et si E est plus petit que H, Z est plus petit que ©. Mais E, Z sont des équimul- tiples quelconques de 4 et de B, et H, © sont d’autres équimultiples quel- conques der et de A; donc 4 est àr comme B est à δ (déf. 6. 5). Donc, etc.
LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 271
WP OTASTS ML
Σ j More 20 y 2 on ἜΣ za) dizi- ἙἘσν συγκείμενα μεγεθη eyaMonmoy ἢ - καὶ , Cou ia Cu ρεθέντα ἀνάλογον ἔσται. vc δυγκείμενα μεγέθη ἀνάλογον τὰ ΔΒ Ecve δυγκείμενα μεγεθη ayaAcy 15. \ \ e \ BE, IA. AZ, ὡς 70 AB πρὸς τὸ BE οὐτῶς τὸ ej , > Ld TA πρὸς τὸ ΔΖ" λέγω ὅτι καὶ δηαιρεθέντα ἀνα-- 5» ε \ \ \ e \ Aoyby ἔσται! ὡς τὸ ΔΕ πρὸς τὸ EB ουτῶς τὸ IZ
πρὸς τὸ 2Δ.
Η
A ἘΞ d LA A
Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν AE, EB, ΓΖ, ΖΔ ἰσώκις πολλαπλάσια τὰ HO, OX, AM, MN* τῶν δὲ EB, ΖΔ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια. τὰ KE, NH.
Καὶ ἐπεὶ Dear? ἰστὶ πολλαπλάσιον τὸ ΗΘ ποῦ AE καὶ τὸ OK τοῦ EB* iraxiç ἄρα ἐστὶ
πολλαπλάσιον τὸ HO τοῦ ΔΕ καὶ τὸ HK τοῦ AB.
PROPOSITION
PROPOSITIO.XYIL Si composite magnitudines proporüonales sint, et divisæ proportionales erunt.
[al
Sint composite magnitudines proportionales AB, BE, TA, AZ, ut AB ad BE ita ΓΔ ad AZ; dico et divisas proportionales fore , ut AE ad EB ita TZ ad ZA.
Sumantur enim ipsarum quidem AE, EB, TZ, ZA æque multiplices HO, OK, AM, MN; ip- sarum vero EB , ZA «lie ntcunque æque multi- plices KZ, XII.
Et quonim æque est mulürlex HO ip- sius AE ac OK ipsius EB; æque igitur est
multiplex HO ipsius AE ac HK ipsius AB.
XY II.
Si des grandeurs étant composées sont proportionnelles, ces grandeurs étant
y
divisées seront encore proportionneïles.
Que les grandeurs composées 45, BE, TA, AZ soient proportionnelles, c'est- à-dire que ΑΒ soit à BE comme TA est à AZ; je dis que ces grandeurs étant
divisées seront encore proportionnelles, c'est-à-dire que AE sera
TZ est à ZA.
4
a EB comme
Prenons des équimultiples quelconques He , ΘΚ, AM, MN des grandeurs AE, EB, TZ, ZA, et d'autres équimulüples quelconques Kx, ΝΠ de EB et de za. Puisque Ho est le méme multiple de AE que ΘΚ l'est de ΕΒ, Ho est le méme multiple de AE que HK l'est de ΑΒ (1. 5). Mais Ho est le méme multiple de
272 LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
τσάπις δὲ ἐστὶ! πολλειπλάσιον τὸ HG τοῦ AE χα
τὸ AM TCU TZ* ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ HK τοῦ ΑΒ καὶ τὸ ΛΜ τοῦ IZ?, Πάλιν, ἐπεὶ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ AM τοῦ ΓΖ καὶ τὸ ΜΝ τοῦ ZA' ἰσάκις ἄρα ἐστὶ πολλαπλάσιον τὸ AM τοῦ TZ καὶ τὸ AN τοῦ TA. Ἰσάώκις δὲ ἣν πολλαπλε-- σιον τὸ AM τοῦ ΓΖ καὶ τὸ HK τοῦ AB* jou: ἄρα ἐστὶ πολλαπλόσιον τὸ HK τοῦ AB καὶ τ AN τοῦ TA* τὰ ΗΚ, AN ἄρα τῶν AB, TA ἰσά-
L \ , ΄ », EUST | , > \ i46 ἐστί πολλαπλασία, IIa Av y ἐπεὶ ἰσάκις ἐστι
Η
A EB
r LA A
πολλαπλάσιον τὸ OK τοῦ EB καὶ τὸ MN τοῦ ZA, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΚΞ τοῦ EB ἰσάκις πολλα- πλόσιον καὶ τὸ NII του LA* καὶ συντεθὲν τὸ OX ποῦ ἘΒ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον καὶ τὸ ΜΠ ToU LA. Καὶ ἐπεί ἔστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ BE οὕτως τὸ ΤΔ πρὸς τὸ AL, καὶ εἴληπται τῶν pv AB, TA ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ HK , AN, τῶν
di EB, ZA ἄλλα ἃ ἔτυχεν" ἰσάκις πολλαπλά-
Æque autem est mulüplex ΗΘ ipsius AE ac AM ipsius ΓΖ; eque igitur est multiples HK ipsius AB ac AM ipsius ΓΖ. Rursus > quoniana æque est multiplex ΔΜ ipsius ΓΖ ac MN ipsius ZA; cque igitur est multiplex AM Ipsius TZ ac AN ipsius ΓΔ, Æque autem erat mul- tiplex AM ipsius ΓΖ ac HK ipsius AB; eque igitur est multiplex HK ipsius AB ac AN ipsius TA; ipse HK, AN igitur ipsarum AB, ΓΔ
æque sunt multiplices. Rursus, quoniam æque
est multiplex OK ipsius EP ac MN ipsius ZA; est autem ct KE ipsius EB æque multi- plex ac ΝΠ ipsius ZA ; et composita OZ ipsius EB æque est multiplex ac MIT ipsius ZA. Et quoniam esi ut AB ad BE ita TA ad AZ, et sumpt sunt ipsarum quidem AB, rA eque multiplices HK, AN, ipsarum vero EB ,
ZA alie utcunque aque multiplices Qz, ΜΠ;
AE que AM l'est de rz ; donc HK est le méme multiple de AB que AM l'est de rz. De plus, puisque AM est le mème multiple de rz que MN l'est de Z^, AM est le méme multiple de rz que AN l’est de ra. Mais AM est le méme
multiple de rz que HK l'est de ΑΒ; donc ΗΚ est le méme multiple de AB que
AN l'est de ra; donc HK, AN sont des équimultiples de AB et de ra. De plus, puisque ex est le méme multiple de EB que MN l'est de za, et que ΚΞ est le méme multiple de EB que ΝΠ lest de za, la grandeur composée ex est le méme multiple de EB que Mn l'est de za (2. 5). Et est à AZ; que HK, AN sont des équi- multiples quelconques de ΑΒ ei de rA, et que ex et ΜΠ sont d’autres équimultiples quelconques de EB et de za; si BK surpasse Ox, AN sur-
uisque AB est à BE comme TA puisq
LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 273
C NE . , \ ^ NE 4 cim τὰ OZ, ΜΗ’ εἰ ἀρὰ ὑπερέχει τὸ HK τοῦ 51 igitur superat HK ipsam Oz, superat et
e , N \ ^ ^ T4 . - . Ὁ. e. OZ, ὑπερέχει! xui τὸ AN τοῦ MII* zai ei ἴσον, AN ipsam MII; et si equalis , equalis ; et si
Ν » » LA , - - B ἴσον" καὶ εἰ ἔλαττον. ἔλαττον. Ὑπερεχέτο δὴ minor, minor. Superet autem HK ipsam Oz, et communi ablatà OK , superat igitur et HO
^ \ ^ 3 , p τὸ HK τοῦ OX,.xai κοινοῦ ἀφαιρεθέντος του ipsam ΚΞ. Sed si superat ΗΚ ipsam OE, superat
€ D 3 \ \ DEEE 3 OK, ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ. AAX εἰ € , \ ΞΕ ^ t ε ^ E M ὑπερέχει τὸ HK τοῦ OZ, ὑπερέχει καὶ τὸ AN
τοῦ ΜΠ" ὑπερέχει ἄρα καὶ τὸ AN τοῦ ΜΗ, καὶ ToAM ipsam NII; quare si superat HO ipsam ΚΞ,
superat et AM ipsam ΝΠ. Similiter utique
ct AN ipsam ΜΠ: superat igitur et AN ipsam MIT; et communi MN ablatà , superat et AM
κοινοῦ WCG TCU MN Dori χει καὶ
τοῦ NII* ὥστε € περέχει τὸ ΗΘ τοῦ ΚΞ. ὑπερ- ἔχει καὶ τὸ AM τοῦ ΝΠ. Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι κἂν ἴσον ἢ τὸ HO τῷ KE, ἴσον ἔσται καὶ τὸ ΔΜ τῷ ΝΠ’ κᾷἀνέλαττον, ἔλαττον. Καὶ ἔστι ταί μὲν ΗΘ. AM τῶν AE, TZ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ KZ, NII τῶν EB, ΖΔ ἄλλα ἃ ἔτυχεν ica-
\
uie πολλαπλάσια" ἔστιν ἄρα ὡς τὸ AE προς τὸ
EB οὕτως τὸ TZ “πρὸς τὸ ZA, Ἐὰν ἄρα συγκείμενα.
ostendemus et si æqualis sit HO ipsi ΚΞ, æqualem fore et AM ipsi NI; et si minor, minorem. Et sunt HO, 4M quidem ipsarum AE, ΓΖ eque mulüiplices, ipse vero KZ, ΝΠ ipsarum EB, ZA alie utcunque æque multipli- ces; est igitur ut AE ad EB ita TZ ad ZA. Si
igitur composite , etc.
hj καὶ τὰ ἑξῆς,
passe ΜΠ; si HK est égal à oz, AN est égal ἃ ΜΠ, et si HK est plus petit que 6x , AN est plus petit que Mn (déf. 6. 5). Que HK surpasse ez ; ayant retranché la partie commune ΘΚ, ΗΘ surpassera encore Kx. Mais si HK surpasse 6x , AN surpassera ΜΠ. Donc AN surpasse MIL; retranchons la partie commune MN ; la grandeur AM surpassera ΝΠ. Donc, si He surpasse ΚΞ, AM
surpassera NII, Nous démontrerons semblablement que si ΗΘ est égal à ΚΞ, AM
sera égal à ΝΠ, et que si ΗΘ est plus petit que ΚΞ, AM sera plus petit que Nr.
Mais H© , AM sont des équimultiples quelconques de AE et de rz, et ΚΞ et Nr d’autres équimultiples quelconques de EB et de Z4 ; donc AE est à EB comme
IZ est à ΖΔ (def. 6. 5). Donc, etc.
274 LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IIPOTAZIZ 1.
\ D B ἊΣ Ἐὰν δγῃρημένα μεγέθη ἀνάλογον à, καὶ συντε- , 3
θέντα ἀνάλογον ἔσται.
EST διηρημένα μεγέθη ἀνάλογον, τὰ AE, EB, TZ, ZA, ὡς τὸ AE πρὸς τὸ EB οὕτως τὸ TZ
À i , e \ LU 5 , πρὸς TO ZA* λέγω ὅτι καὶ συντεθεντῶ ἀνάλογον 5) ej A ET , ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ οὕτως To ΤᾺ πρὸς To ZA,
E] ^ LEE \ al \ el E; γὰρ un ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ ουτῶς » \ X Ei € \ \ \ To TA πρὸς τὸ Ζ2Δ' eo rdi ὡς τὸ AB πρὸς τὸ ΒΕ 1 M E M , , ^ EI οὕτως To TA, Toi πρὸς ἐλεισσὸν TI τοῦ AZ," X D πρὸς μεῖζον. , \ 3) M \ Ἑστω POTEpOY πρὸς ἐλασσὸν τὸ ΔΗ, Καὶ € \ M X e \ ἐπεί ἔστιν ὡς τὸ AB πρὸς τὸ BE οὕτως τὸ TA ^ , , , πρὸς τὸ ΔΗ, συγκείμενα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν"
“ \ 2 > 0; »! 3! 3! 07€ καὶ δγαιρεθέντα ἀναλογον ἐστα!" €07TIV «pe
PROPOSITIO XVIII.
Si divise magnitudines proportionales sint , el composite proportionales erunt.
Sint divise magnitudines proportionales AE, EB, CZ, ZA, ut AE ad EB ita. TZ ad ZA; dico et compositas proportionales fore, ut AB ad BE ila ΓΔ ad ZA.
2H Δ Si enim non est ut AB ad BE ita TA ad ZA;
eritut AB ad BE ita TA, vel ad minorem ipsà
AZ, vcl ad majorem.
Sit primum ad minorem ΔΗ. Et quoniam est ut AB ad BE ita ΓΔ ad AH, compositæ magni- tudines proportionales sunt ; quare et divisæ
proporüonales erunt; cst igitur ut AE ad EB
PROPOSITION. XVIII
Si des grandeurs étant divisées sont proportionnelles , ces grandeurs étant composées seront encore proportionnelles.
Que les grandeurs AE , EB, TZ, ZA, étant divisées , soient proportionnelles, c’est-à-dire que AE soit à EB comme IZ est à ZA; je dis que ces grandeurs étant composées seront encore proportionnelles, c'est-à-dire que AB sera à BE
comme TA est à ZA.
Car, si AB n'est pas à BE comme TA està ZA, AB sera à BE comme TA està
une grandeur plus petite que ΔΖ ou à une grandeur plus grande.
Que AB soit premièrement à BE comme rA est à une grandeur plus petite que ZA , savoir à AH. Puisque AB est à BE comme TA est à AH, ces grandeurs étant composées seront proportionnelles ; donc ces grandeurs étant divisées seront
LE CINQUIÉME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 275 ita TH ad HA, Ponitur autem et ut AE ad EB
ei A AES ὡς τὸ AE πρὸς τὸ EB , οὐτως τὸ ΤῊ πρὸς τὸ ΗΔ. ita TZ ad ΖΔ: et αἱ igitur TH ad HA ita TZ
€ ^ \ \ e \ Ὑπόκειται d καὶ Qc τὸ AE πρὸς τὸ EB ουτῶως To » ^ M \ TZ πρὸς τὸ LA* καὶ ὡς ἄρα τὸ ΤῊ πρὸς τὸ HA e \ \ \ 7 δὲ A m Jj \ OUTWG TO IZ πρὸὺς TO ZA, Μεῖζον d£ TO πρῶτον TO ^ m " ns » \ 3 , TH του τρίτου του TZ* μεῖζον apa καὶ τὸ δευ--
^ , LI Y Ν "Tépoy τὸ ΗΔ τοῦ τετάρτου TOU ZA, Αλλὰ καὶ
ad ZA. Major autem prima TH tertià TZ ; major igitur et secunda HA quarià ZA. Sed, et minor, quod est impossibile; non igilur est ut AB ad BE ita TA ad minorem ipsà ZA. Si- daaTrer, ὅπερ ΣΟΥ T OP ΟΝ ἄρα ἐστὶν ὡς — militer utique ostendemus neque ad majorem; qi AP πρὸς τὸ BE οὕτως NOTA πρὸς ἔλασσον ad ipsam igitur. Si igitur divisæ, ctc. TOU ΖΔ. Ομοίως δὴ δείξομεν. ὅτι οὐδὲ πρὸς
μεῖζον" πρὸς αὐτὸ ἄρα. Ἐὰν ἄρα διῃρημένα, καὶ
τὰ ἑξῆς. HPOTASIS κ΄. PROPOSITIO XIX.
Ἐὰν 3 ὡς ὅλον πρὸς ὅλον οὕτως ἀφαιρεθὲν πρὸς Si sit ut tota ad totam ita ablata ad abla- ἀφαιρεθὲν. καὶ τὸ λοιπὸν πρὸς τὸ λοιπὸν ἔσται lam, et reliqua ad reliquam erit ut tota ad totam.
Li » ' d ὡς λον πρὸς λον. Sit enim ut tota AB ad totam ΓΔ ita ablata
C UR. \ \ uw À EcTo 5 ap ὡς oAcy T0 AB vrpocoAoy To TA οὕτως
encore proportionnelles (17. 5). Donc AE est à EB comme ΤῊ est à ΗΔ. Mais on a supposé que AE est à EB comme IZ est à ZA ; donc TH est à HA comme ΓΖ est à ZA (11. 5). Mais la première rH est plus grande que la troisième rz ; donc la seconde ΗΔ est plus grande que la quatrième za (14. 5). Mais elle est plus petite, ce qui est impossible ; donc AB n'est pas à BE comme TA est à une grandeur plus petite que ZA. Nous démontrerons semblablement que AB n’est pas à BE comme TA està une grandeur plus grande que ΖΔ; donc AB està BE, comme ΓΔ est a ZA. Donc, etc.
PROPOSITION, XIX.
Si une grandeur entière est à une autre grandeur entière comme la gran- deur retranchée de la première est à la grandeur retranchée de la seconde, la grandeur restante sera à la grandeur restante comme la première grandeur
S entière est à la seconde grandeur entière.
Que la grandeur entière 4B soit à la grandeur entière ra comme la grandeur
46 LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
\ 9 \ \ NR ἀφαιρεθὲν τὸ AE πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ TZ* λέγω Ν N \ \ A \ ὅτι καὶ λοιπὸν τὸ EB πρὸς λοπον τὸ ΖΔ ἔσται “ \ à \ ὡς OAOY τὸ AB πρὸς ολον To TA. X M 3 € ^ \ A I ei Ἐπεὶ yap ἐστὶν ὡς TO AB zpoc T0 FA ουτῶς \ \ À \ 2 \E € \ \ \ 76 AE vpóc To TZ* καὶ εναλλαξ ὡς τὸ BÀ πρὸς τὸ 1 \ ^ \ N 7» \ / AE οὕτως τὸ AT πρὸς τὸ TZ. Καὶ ἐπεὶ συγκει-
TANT \ ; μένα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστι. καὶ διαιρεθέντα
AE ad ablatam ΓΖ; dico et reliquam EB ad
reliquam ZA fore ut tota AB ad totam ΓΔ.
Quoniam enim est ut AB ad TA ita AE ad TZ; et alterne ut BA ad AE ita. AT ad ΓΖ. Et quoniam
composite magnitudines
proportionales sunt, οἱ divise proportionales
(ee)
ἀνάλογον ἔσται" ὡς ἄρα" τὸ ΒΕ πρὸς τὸ EA οὔ- τως τὸ ΔΖ πρὸς τὸ ZT, καὶ ἐναλλαξ', ὡς τὸ ΒΕ πρὸς T0 AZ οὕτως τὸ ΕΑ πρὸς τὸ ZT. Qc δὲ τὸ ΔῈ πρὸς 70 TZ οὕτως ὑπόπειται ὅλον τὸ AB πρὲς ὅλον τὸ ΤΔ' καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἘΒ πρὸς λοιπὸν ΔΖ ἔσται ὡς ὅλον τὸ AB πρὸς ὅλον τὸ TA.
^ P Ld \ 1 Hin Ἐὰν apa ἢ. καὶ Τὰ ἐξῆς-
crunt; ut igitur BE ad EA ita AZ ad ZT ; et alterne, ut BE ad AZ ita EA ad Zr. Ut au- tem AE ad ΓΖ ita posita est tota AB ad totam TA; et reliqua igitur EB ad reliquam AZ erit ut tota AB ad totam ΓΔ. Si igitur sit, etc.
retranchée AE est à la grandeur retranchée rz ; je dis que la grandeur restante EB sera à la grandeur restante ZA comme la grandeur entière AB est à la gran- deur entière TA.
Car puisque la grandeur entière AB est à la grandeur entière T^ comme AE est à TZ, par permutation, BA està AE comme Ar est à TZ (16. 5). Et puisque les grandeurs composées sont proportionnelles , les grandeurs divisées seront encore proportionnelles (17. 5); donc BE est à EA comme 47 est à zr ; donc, par permutauon , BE est à AZ comme EA est à Zr. Mais, par supposition , AE est à rz comme la grandeur entière AB est à la grandeur entière TA; donc la gran- deur restante EB sera à la grandeur restante Az comme la grandeur entière AB est à la grandeur entière ra (11. 5). Donc, etc.
LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 577
IIOPIXMA.
\ * ἊΝ \ M \ e 3 Καὶ ἐπεὶ ὡς το. AB πρὸς τὸ IA οὐτῶς τὸ X M 3 X e x M AE poc vo TZ* καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ AB προς \ e AS \ « , X 10 AE οὕτως TO ΓΔ πρὸς τὸ ΓΖ" συγκειμενὰ epa 2 355 3 , > 1 UN e \ μεγέθη ἀνάλογόν ἐὄτιν. Ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ AB M M e M \ ^ hy 1 πρὸς τὸ EB οὕτως 70 ΔΙ πρὸς τὸ ZA, και ἔστιν 5 zb ^ \ , \ er 3v X e ya Tpe vai. Ex δὴ τούτου φανερὸν. ὁτι ea a 7 {0 , , icu NS , " συγκείμενα μεγεθη ἀνάλογον ἢ. καὶ ἀναστρέψαντι
5 , f 32, A4 ἀνάλογον ἔσται. Οπερ ἔδει δεῖξαι.
IIPOTAZIZ x.
\ Δ᾽ , 2 ν Κ᾽ 5 , 59) \ Ἐὰν ἡ τρία MeysÜn , καὶ ἄλλα αὐτοῖς 10d TO t P4 5
nm , , 5» M 3 ^ πλῆθος. σύνδυο λαμ(ανόμενα καὶ; ἐν τῷ αὐτῷ ͵΄ 4 Ἂς τ " nm © λόγω. diicou δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ἡ" \ \ , ^ cd L^ . ipe "el NE 90 2 καὶ τὸ τέταρτον TOU SR TOU μεῖζον ἔσται" καὶ ἐὰν
» » RACINE Mr 5! σὸν. σον" XI eoy ἐλασσον , ἐλασσον-
“ὦ COROLLARIUM.
Et quoniam est ut AB ad TA ita AE ad TZ; et alterne ut AB ad AE ita ΓΔ ad TZ; compositis igitur magnitudines proportionales sunt. Ostensum autem est ut AB ad EB ita AT ad ΖΔ, et est per conversionem, Ex hoc uti- que manifestum est si composiiæ magnitudines proporüonales sint, et per conversionem pre-
porüonales fore. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XX.
Si sint tres magnitudines, et alie ipsis æquales multitudine, binæ sumptæ et in eádem ratione, ex æquo autem prima tertià major sit ; et quarta sextà major erit; et si æqualis, æ-
qualis; et si minor, minor.
GOBOLTLATBRP.
Puisque AB est à TA comme AE est à TZ, par permutation (16. 5), AB est à AE comme TA est à I2; donc ces grandeurs étant composées sont propor- tionnelles. Mais on a démontré que AB est à EB comme AT est à ZA; ce qui est par conversion. De là il est évident que si des grandeurs composées sont pro- portionnelles , elles seront encore proportionnelles par conversion. Ce qu'il fallait démonirer.
ΡΟ ΘΝ Ἀν
Si l'on a trois grandeurs et d'autres grandeurs égales en nombre aux pré- miéres, ces grandeurs, étant prises deux à deux, et en méme raison; si, par égalité , la première est plus grande que la troisième , la quatrième sera plus grande que la sixième ; si la première est égale à la troisième, Ja qua- trième sera égale à la sixième ; et si la première est plus petite que la troi- sième, la quatrième sera plus petite que la sixième.
378 LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
, X Ν 3 \ Ἔστω τρία μεγέθη τὰ A, B, T, καὶ ἀλλὰ e M em ^ # \ αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ Δ, E, Z, σύνδυο TUNE E > PL λέ € \ X X λαμξεανομενα ἐν τῷ αὐτῷ A030, ὡς μὲν TO \ \ e \ \ X € ^ \ πρὸς TO B οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ἐς Ὡς δὲ To B e A \ X EA A πρὸς τὸ T οὕτως τὸ E πρὸς τὸ Z, déicou δὲ S » \ -Ὁ , er \ \ μεῖζον ἔστω τὸ Α τοῦ Τ' λέγω ὅτι καὶ τὸ Δ — mt^ os À o» » A os. τοῦ 2 μεῖζον ἔσται" κἂν ἴσον, σὸν" καν EAGTTOY,
# &AGTTO le
*4
m \ A x. , Ἐπεὶ yàp μεῖζόν ἐστι τὸ A τοῦ T, ἀλλο δὲ n \ ^ ^ ^w VEN an TAM qiÁ τὸ B, τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ aûTo μείζονα Pi P4 MA M »! ES \ λόγον eyes ἥπερ τὸ ἐλαττον" TO À ἀρὰ πρὸς TO ; !
eus ἧπερ τὸ Τ᾽ πρὸς τὸ B. Αλλὰ
[es] 4. o R EO e M e ΟῚ ,
Ὡς μὲν TO À "pis T; B οὕτως" τὸ Δ πρὸς τὸ E ὡς δὲ τὸ T πρὸς τὸῦ B ἀνάπαλιν οὕτως τὸ Ζ πρὸς τὸ E* καὶ τὸ À apa πρὸς τὸ Ε μείζονα λό- γὸν ἔχει ἤπερ τὸ Ζ πρὸς τὸ E. Τῶν δὲ πρὸς τὸ
, am , , y αὐτὸ λό) oy ἐχόντων . Τὸ Τὸν μείζονα λόγον εχὸν
Sint tres magnitudines A, B, T, et aliæ ip- sis equales multitudine À, E, Z, binz sumptæ in eádem ratione, ut quidem A ad B ita A ad E, ut vero B ad I' iia E ad Z, ex æquo au- tem major sit A ipsá T'; dico et Δ ipsà Z ma- jorem fore; et si æqualis, æqualem; et si
minor, minorem.
mg
N
Quoniam enim major est A ipsà T, alia autem quaedam B, et major vero ad eamdem majorem rationem habet qnam minor; ipsa igitur A ad B majorem rationem habet quam T' ad E. Sed ut A quidem ad B ita A ad E, ut vero r ad B per inversionem ita Z ad E; et A igitur ad E majorem habet rationem quam Z ad E. Ipsarum autem ad eamdem rationem habentium,
majorem ralionem habens major est; major
Soient A, B,T trois grandeurs, €t ^, E, Z d'autres grandeurs égales en nombre aux premières, ces grandeurs étant prises deux à deux, et en méme raison , c’est-à-dire que A soit à B comme A est à E, ct que B soit à T comme
E està Z ; que, par
égalité, A soit plus grand que r ; je dis que Δ sera aussi
plus grand que 2; que si A est égalà r, Δ sera égal à Z, et que si A est plus petit que r, A sera plus petit que 7.
Puisque la grandeur A est plus grande que la grandeur T , et que B est une autre grandeur quelconque, la plus grande grandeur aura avec celle-ci une
plus grande raison que la plus petite (8. 5); donc A aavec B une raison plus
S
grande que T avec P. Mais A est à 8 comme A està E, et, par inversion, T
est à Β comme Z està E; donc ^ a avec E une plus grande raison que avec
E. Mais, parmi les grande
HS qui ont une raison avec une même grandeur,
celle-là est la plus grande qui à une plus grande raison (ro. 5); donc A est plus grand que z. Nous démontrerons semblablement que si A est égalà r,
LE CINQUIEME LIVRE DES μεῖζόν ἐστι7" μεῖζον ἄρα τὸ Δ τοῦ Z. Ομοίως δὴ δείξομεν. ὅτι κἀν ἴσον ἢ τὸ A τῷ T, ἴσον ὄσται καὶ τὸ A τῶ L' κἂν ἔλαττον. ἔλαττον, Ἐὰν
E ^6 \ \re ^ epa ἡ 5 καὶ Ta ἑξῆς. ΠΡΟΤΑΣῚΣ κά,
NULS": SAME! 3 ^ oy \ Ἐὰν à τρία μεγέθη. καὶ ἄλλα αὐτοῖς ica, TO j E , δ ἘΠ ἢ Ν ΤΡ ^ ^» v πλῆθος σύνδυο λομξανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ , y \ , 53 e NE ; λόγῳ. ἢ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία , ^x \ \ LU ^ / n χὰ A \ διῖσου δὲ τὸ πρῶτον τοῦ τρίτου μεῖζον ἢ" καὶ τὸ ^ mn 4 269 3, FD À ” TÉTaproy τοῦ ἕκτου μεῖζον ἔσται" κἀν ἴσον 5 35, ΩΝ 3) » σον" QV εἐλάσσον , ἐλᾶάσσον-. , , \ \ 1 Ecro τρία μεγέθη τὰ A, B, Y, καὶ ἀλλα
- / ^ ^ ^ , - αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος τὰ A, E, Z σύνδυο λαμΞ
, NU ^ 5 ^ , pi Y (ανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ. ἔστω d TéTA- , 3. ὦ € / e M \ \ ράγμενη αὐτῶν ἢ ἀναλογία. ὡς μὲν TO À πρὸς
er \ \ M e ^ \ M M τὺ BoUrUc To E πρὸς τὸ L, ὡς δὲ τὸ Β πρὸς τὸ
A sera égal à Z, et que si A est plus Donc, etc.
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 570 igitur est A ipsà Z. Similiter ostendemus, οἱ si À æqualis sit ipsi T, æqualem fore οἱ A ipsi
Z2; et si minor, minorem, Si igitur sint, etc.
PROPOSITIO XXI.
Si sint tres magnitudines, cl aliæ ipsis æ- quales multitudine, binæ sumptæ et in eádem raüone, sit autem perturbata earum proportio, ex cquo autem prima tertià major sit, et quarta scxtà major erit; et si æqualis, zqualis; et si minor, minor.
Sint tres magnitudines A, B, T', et aliæ ipsis
æquales mulütudine A, E, Z, binc sumptz et
Δ E
Z
in eádem ratione , sit autem perturbata earum proportio, ut A quidem ad Β ita E ad Z,
ut vero B ad T' ita A ad E, ex æquo autem
petit que T , A sera plus petit que z.
PROPOSITION XXI.
Si lon a trois grandeurs, et d'autres grandeurs égales en nombre aux pre- miéres, ces grandeurs étant prises deux à deux, et en même raison, si leur proportion est troublée, ct si par égalité la première est plus grande que la troisième, la quatrième sera plus grande que la sixième ; et si la première est
égale à la troisième, la quatrième sera
égale à la sixième; et si la première
est plus petite que la troisième, la quatrième sera plus petite que la sixième.
Soient les trois grandeurs A , B, r,
et d'autres grandeurs ^, E, z égales
aux premiéres, ces grandeurs étant prises deux à deux, et en méme raison; que leur raison soit troublée, c'est-à-dire que A soit à B comme E est à z,
380 LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
T οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Es διίσου δὲ τὸ A τοῦ
I: pile à ἔστω" Arp ὅτι καὶ τὸ Δ τοῦ L μεῖζον ἔσται" κἂν ἴσον, κἀν ἴσον" κἂν ἔλαττον, ἔλαττον.
Ἐπεὶ γῇ petto ἔστι τὸ A τοῦ T, ἄλλο δὲ τι τὸ B* τὸ À ἐμ ds TÓ B pat. ova. λόγον ἔχει πὴ πὸ Τ' πρὸς πὸ 2. AAX ὡς μὲν TÀ SU.
τὸ B οὕτως τὸ E πρὸς τὸ L, ὡς δὲ τὸ Τ πρὸς
\ \ ^ A T6 Be ᾿ς To E πρὸς vo Δ' καὶ T0 E (à ! “ \ ἄρα cf χει. ἥπερ τὸ E 3 / , P τὸν UT μείζονα λόγον »
M τοῦ A° Z. Ὁμοίως δὰ
vig » Shaun ὅς ὅτι XY ἴσον
5 , \ P 5 τρια , 224 τὰ £526.
A ipsà T major sil; dico et A ipsá Z majorem fore; ct si equalis, æqualerm ; et si minor, minorem.
Quoniam enim major est A ipsá P, alia vero quedam B; ergo A ad B majorem rationem habet quam P ad B. Sed ut A quidem ad 8 ila E ad Z, ut vero P ad B per inversionem ita
[er]
E ad AS
habet quam E ad A. Ad quam aulem eadem
ct E igitur ad Z majorem rationem
majorem rationem habet , illa minor est; minor ig Similiter uüque ostendemus et si «qualis sit A
itur est Z ipsà A; major est igitur A ipsá Z.
ipsi T, æqualem fore et A ipsi Z ; ct si ininor,
minorem. Si igitur tres, etc.
que B soit à T comme Δ est à E, et que par égalité A soit plus grand que r ;
je dis que ^ sera plus grand que z; que si A est égalar,
A sera égal à z,
et que si A est plus petit que T, A sera plus petit que z. Puisque A est plus grand que r, et que B est une autre grandeur, A aura avec B une plus grande raison que T avec Β (8. 5). Mais A est à B comme
o E est à Z,
et par inversion, T està B comme E est à ^; donc E a avec Ζ
une PUER ice raison que E avec Δ. Mais la grandeur avec ΠΈΡΙ une même grandeur a une raison plus grande est la plus petite (10, 5) ; donc z est plus perit
que Δι; A est égal à T, plus petit que z. Donc, etc.
donc A est plus grand que Z. Nous démontrerons semblablement que si ^ sera égal à z , et que si A est plus peut que r,
A Sera
LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 28:
TIPOTASIS zf.
Rae , s ox » CURE A Ἐὰν à ὁποσαοῦν μεγεθη. καὶ ἄλλα AUTOS 172 M ^ ^ , NT. ^ 5 σῷ τὸ πλῆθος σύνδυο λαμξανόμενα καὶ ἐν τῷ αὐτῷ ΄ MUN : T Ὑ e , * λόγῳ" καὶ διίσου ἐν TG αὐτῷ λόγῳ soT44. ε re ^n N x ἐν Ec0 ὁποσαοῦν μεγέθη τὰ A, B, T, καὶ ἀλλα 3 e 3) \ ^ A! , αὐτοῖς ira τὸ πλῆθος τὰ A, E, Z, σύνδυο Aayt= , > = ΚΑ νὴ c \ Y \ (ανόμενα ev τῷ αὐτῷ A0yQ, ὡς μὲν TO À πρὸς \ ei \ \ \ e M \ A TO B οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ E, oc δὲ 70 B πρὸς A e \ \ \ , e \ To Y ouTec To E πρὸς TO 2" Aeyt 071 καὶ διΐσου , ^ 2 ^ , “ € M M A LA t» TO αὐτῷ A0yQ ἐσται, ὡς TO À πρὸς TO T ου-
. à τως TO Δ πρὸς τὸ Z?,
»
, A! A , Εἰλήφθω γὰρ τῶν μὲν A, À ἰσάκις πολλα- ΄ e ^ M 4 à xy πλάσια τὰ H, O , τῶν δὲ B, E ἄλλα ἃ ἔτυχεν , , \ Na ^ ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ K, A, καὶ εἐτὶ τῶν Τ 9
» A ox » , , M Z ἀλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ M, N.
PROPOSITION
PROPOSITIO XXII.
Si sint quotcunque magnitudines , et aliæ ip- sis equales multitudine, binz sumpta et in eá- dem ratione ; et ex equo in eádem ratione erunt.
Sint quotcunque magnitudines A, B,T, et alieipsis equales multitudine A, E, Z, bin» sumpta in eádem ratione , ut A quidem ad B ita A ad E, ut B vero ad T ita E ad Z ; dico et ex equo in eádem ratione fore, ut A ad Γ ita A ad Z.
Sumantur enim ipsarum quidem A , A eque multiplices H, ©, ipsarum vero B , E aliæ utcun- que eque multiplices K, A, et insuper ipsarum LI, Z alie utcunque eque mulüplices M, N.
XXII.
Si l'on a tant de grandeurs que l'on voudra, et d’autres grandeurs égales en nombre aux premiéres, etsi ces grandeurs, prises deux à deux , ont la méme
raison, elles auront la méme raison par égalité.
Soient A, B, r tant de grandeurs que l'on voudra, et Δ, E, Z d'autres grandeurs égales en nombre aux premières ; que ces grandeurs, prises deux à deux, aient la même raison, c'est-à-dire que A soit à B comme Δ est à E, et que B soit à T comme E est à Z; je dis que ces grandeurs auront la méme raison par égalité, c'est-à-dire que A sera à T comme Δ est à z.
Prenons des équimultiples quelconques H, 6. de 4 et de ^; prenons d'autres équimultiples quelconques K, Δ de B et de E, et enfin d’autres équimulüples
quelconques M, N de r et de z.
36
282 LE CINQUIÈME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
PERS TEA 15 ^ € M = * M e \ ^ Καὶ «πε; ἐστὶν ὡς πο À 7h96 τὸ B ovTwc τὸ À
COTES
(RE \ ^ E > ἡ πρὸς τὸ E , καὶ ἴλην τῶι τῶν p? À, Δ ἰσάκις
, ^ ^ M 37 e£ “πολλαπλασι τὰ MH, ©, τῶ; ὃς B, Eau : su , " , \ x 5° -; " χεν ἰσάκες 'πολλαπλάσια Ta M, À° iTi) uet ὡς \ \ Nero Y \ \ s \ 70 H πρὸς τὸ K ouruwc To © πρὸς τὸ À, Arc Ta
\ X N * Y M M e \ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς τὸ Καὶ πρὸς τὸ M ουτῶς τὸ À
πρὸς τὸ N. Ἐπεὶ οὖν τρία μεγέθη ἐστὶ τὰ 1, XL, M, καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος C. À, 7X σύνδυο λαμβανόμενα καὶ ἐν T7 αὐτῷ ne" Sven ἄρα εἰ ὑπερέχει τὸ Τὶ viU ἢ
© 762 N εἰ σον, ἢν"
σον, Καὶ πὰ pi I
3 -—— st A Z'. EÉ&y ape ἢ
conques H, @ de A et de a, et d’autres équimuiiples quelco
x
et de E; H est à K - ame
rest M comme A est 5 : grandeurs 0, 2; N € prises der. à deuz,
surpas:2 Ν᾿; riE est égal à M, © est
^ est à E, que Vona pris des
^ A - 4
égales en nombre aux
ont la méme raisen; si, per égalité
Et quoniam est ut A ad B ila A ad E, et sumpt sunt ipsorum quidem A , A eque multiplices i, 29, ipsarum vero B, E alim ut- cwuüque eque multiplices K , A 5 est igitur ἃ. Ἢ 43 Kita ad A. Propter eadem uüque et ut K
ad Τὰ ia À ad N, Et quoniam tres magnitudi-
H a
K |
N
Θ — ᾿ςτ.ὠἠ τἋ τ a ^
ἘΞ. Ν
nessunt H , K , M , et aliæ ipsis quales mul- ünlDe9,4,Nbime sumpte ct in eâdem ra- tione: ex mquo igitur si superat H ipsam M, cumezct et © ipsam N ; et si equalis, æqualis ; et si minor, minor. Et sunt H , 9 quidem ipsarum A, A eque multiplices, ipse vero M, N ipsarum D, Z alie utcunque eque mulüplices ; cst isitee ut A ad Γ iia A ad Z. Si igitur quot-
cuu.ue, elc.
^
TEN 11] T équimultiples quel onques ΚΞ, A de B
(4. 5). Par la méme raison, K est à
^ Donc, puisque l'on a trois grandeurs H , K , i^, et d’autres
premieres, et que ces grandeurs, H surpasse M, ©
1 pius petit que M,
7 δὲ ἃ N, etsi H est
est plus petit que N (20. 5). Mais H , © sont des équimultiples quelconques
€6 A etde A , et M, N
d'autres équimultiples quelconques de r et de z; donc
A est à T comme A est à z (déf. 6. 5). Donc, etc.
LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 383
Mw , 4 VIe B FORT \ Ἐὰν ἡ τρία μεγεθῦη-. καὶ ἀλλὰ αὐτοῖς ἰσὰ TO 4 2 E , 2 , E ex ler , 52ü0oc, σύνδυο λαμξανόμενα ἐν τῷ αὑτῷ λόγῳ. 5 a ΄ 5». κα & ἢ δὲ Terapeyueyn αὐτῶν à ἂν » -M » ^^ , E ἐν TO αὐτῷ AoyQ σταῖς , ^n H — CRE EcTo τρία μεγέθη τὼ A, B, T, αὶ dA
3 m osx 4 ^ ΄ - ^ , αὐτοῖς SG TO πλῆθος, σύνδυο λαμξανομενα
E y x , αὐτῷ λόγῳ TÀ A, E, Z, ἔστω δὲ τεταραγμένη > ^ CO , € M \ jS \ er αὐτῶν ἡ ἀναλογία, ὡς μὲν TO À πρὸς τὸ B OUTOC \ \ ^ \ ' ed IN To E πρὸς τὸ 2 3 ὡς δὲ τὸ Β πρὸς To Y οὕτως τὸ \ A , LÀ 3 ^ € M M 4 Δ πρὸς To E* λέγω OTI ἐστιν ὡς TO À πρὸς vo TP Y a M οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ Ζ. , ^ \ , , Εἰλήφθω τῶν Bev À, B, A ἰσάκις πολλαπλε-
M F7 ^ ue M LA ^ cit τά H, ©, X, τῶν dé T, E, Z ἀλλὰ ἃ
LA , , V ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ À, M, N.
PROPOSITIO XXI1IT.
Si sint tres maguitudines , et aliæ ipsis æqua- les multitudine , binz sumpt in eádem ratione , sit autern perterbata carum proportio; et ex equo in eidem raücre erent.
Sint tres magnitudines A , B, Γ΄, et alimip-
sis equales multitudine , Ling sumpta in eádem.
H
LE MEN. Ache
K —À M CE PR
NRA mener
ratione A, Ξ, 2, sit autem perturbata earum proporüo , ut À quidem ad B ita E ad Z, ut B vero ad Γ ita A ad E ; dico*esse ut A ad F ita A ad Z.
Sumantur ipsarum quidem A, B, A mque multiplices H , 9, K , ipsarum vero ΓΤ, E, Zaliæ
ulcunque eque mulüplices A, M, N.
PILOIPOSITTON XXII
Si l'on a trois grandeurs, e! d’autres grandeurs égales en nombre aux pre- miéres; si ces zrandeurs, prises deux à deux, ont la même raison, et si
leur proportion est troublée , ces grandeurs auront la méme raison par égalité. Soient les trois grandeurs A, B, r, et d’autres grandeurs Δ, E, Z égales ea nombre aux premières ; que ces grandeurs, prises deux à deux, aient la
Are LAS TS
méme raison, ei que
proportion soit troublée , c’est-à-dire que A soit
à B comme E està Z, et que B soit à T comme Δ est à E; je dis que A est
à T comme A est à Z.
Prenons des équimultiples quelconques H, 6, K des grandeurs A, B, 4, et d'autres équimultiples quelconques A, M, N des grandeurs r, E, z.
284 LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ν 2 X 3 , Κα; e£) 10: EJ ι \ 7 e c , τῶν À, B, Ta δὲ Mépa τοῖς ὠσξφύτως πολλα- , 1 3. «ἢ L4 , Xy LÁ M \ πλασίοις TOY αὐτὸν ἐχες AOyoV* ἐστιν ἄρα ὡς TO
2$ 107) πολλαπλάσια Ta H, ©
LI " \ \ a 4 L
A “πρὸς τὸ B οὕτως τὸ H πρῦὺς τὸ Θ. Aia Ta ᾿ y ᾿ E 1
αὐτὰ δὴ καὶ ὡς T0 E πρὸς τὸ 2 οὕτως τὸ Μ
N ! ε M \ A el πρὸς 70 N° καὶ ἔστιν ὡς TO À πρὸς τὸ B οὔτι
ως \ M \ € » A À 4 ro E πρὸς TO L' καὶ ὡς ἀρῶ 76 H πρὸς τὸ O ε \ \ NIS 1 2 € 1 οὕτως τὸ Μ πρὸς τὸ N. Καὶ ἐπεὶ ἐστὶν ὡς τὸ B
\ e Y 4 \ > 12 πρὸς To lI ουτως To Δ πρὸς TO E, καὶ ενγαλλαξζ
᾿
^ L y f Y À Xx
ὡς τὸ B πρὸς τὸ Δ οὕτως τὸ T πρὸς τὸ E. Καὶ ^ P à 5, | ,
ἐπεὶ Ta O,K τῶν B, Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλά-
m E , Al cit τὰ di μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν A Uu
3 ι » , E Y € À αὐτὸν Eyes λόγον" ÉCTIV ἀρὰ ὡς TO B πρὸς τὸ \ , 3 e \ \ \ 4 οὕτως ro © πρὸς To K* σλλ ὡς τὸ B "poc τὸ
e N XY \ \ e E A \ À ουὐτῶς To T πρὸς τὸ E* καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς
7 \ M \ , 3 M \ 70 Καὶ οὕτως v0 T πρὸς TO E. Παλιν. ἐπεὶ τὰ À,
^ » , ΕΣ X LA 37 M τῶν T, E ἰσάκις ἐστί πολλαπλατια" ἐστιν
Et quoniam æque sunt multiplices H , © ip- sarum A , 7, partes yero eamdem habent ratio- nem quam carum æque multiplices; est igitur ut A sd B ita H ad ©. Propter eadem utique ut E adZ ita M ad N ; et est ut A ad B ita E ad Z; et ut igitur H ad © ita M ad N. Et quo- niam est ut B ad T ita Δ ad E , et alterne ut B ad A ita T ad E. Et quoniam O , K ipsarum
B, Acque sunt multiplices ; parles autem eom-
dem habent rationem quam zque multiplices ; est igitur ut B ad A ita O ad K; sed ut B ad Aita Tad E; et ut igitur © ad K ita T ad E. Rursus quoniam A, M ipsarum T , E eque sont multiplices ; est igilur ut T ad E ita A ad M. Sed ut F ad E ita © ad K; et ut igitur © ad K ita À ad M, et alterne ut © ad A ita K ad M. Ostensum autem est et ut H ad © ita
\
ἄρα ὡς τὸ T πρὸς τὸ E οὕτως τὸ À πρὺς To M. Mad N; et quoniam tres magnitudines sunt
Puisque H, © sont des équimultiples de 4 et de 5, et que les parties ont la méme raison aue leurs équimultiples (15. 5); ^ est à B comme H est à e. Par la méme raison , E est à Z comme M est à N; mais A est à B comme E està Z; donc Hest à © comme M est à N (11. 5), Et puisque B est à r comme Δ està E, B est à à par permutalion, comme T est à E. Et puisque ©, K sont des équimultiples de 5 et de Δ, et que les parties ont la méme raison que est à ^ comme © est à K, Mais B est à A comme T està E ; donc e 68ὶ ἃ Κ comme r est à E. De plus, puisque A, M sont des équimul- tiples de r ἃ E comme o
leurs équimultiples, 2
et de E, r est à E comme A est à M. Mais T est à est à K ; donc e est à K comme Δ est à M, et par permutation , © est à A
LE CINQUIEME LIVRE DES Αλλ ὡς τὸ πρὸς τὸ E οὕτως τὸΘ πρὸς τὸ Κ' καὶ ὡς dpa ro © πρὸς τὸ K οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ Μ 3 καὶ ἐναλλὰξ ὡς 70 © πρὸς 70 À οὕτως τὸ K “πρὸς τὸ M. Ἐδείχθη δὴ καὶ ὡς τὸ Ἡ πρὸς Ti ©
1 \ \ NETS οὕτως τὸ M ρος. vo lM*
ἐπεὶ οὖν This μεγέθα ἐστὶ, τὰ Η, O, Δ; καὶ ἄλλα αὐτοῖς ἴσα τὸ πλῆθος, τάκ. M, Ν, σύνδυο λαμιξανόμενα ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ. καὶ ἔστιν αὐτῶν τεταραγμένη ἡ
te 7 ε , \ ^ ἀναλογία" δυῖσου doa εἰ ὑπερέχει τὸ H τοῦ À,
,
LEMENTS D'EUCLIDE.
ta 285 , 9, A, et alie ipsis equales multitudine, ipsæ
ἢ ñ £y PI H K,M, N, bine sumptæ in eádem ratione , et est earum. perturbata proportio ; ex æquo igitur si superat H ipsam A , superat et K ipsam N ; ct si equalis , «qualis 3 et si minor , minor. Et sunt H, X quidem ipsarum A , A æque multipli- ccs, ipsæ vero A, N ipsarnm T, Z; est igitur ut À ad T' ita Δ ad Z. Si igitur sint tres, etc.
ὑπερέχει καὶ τὸ K τοῦ N° καὶ εἰ ἴσον, ἴσον" καὶ εἰ ἔλαττον. ἔλαττον, Καὶ ἔστι τὰ μὲν H, K τῶν A, Δ ἰσάκις πολλαπλάσια, τὰ δὲ À, N τῶν T, Z* ἔστιν ὅρα ὡς τὸ À πρὸς τὸ T οὕτος τὸ Δ πρὸς τὸ 2. Ἐὰν ἄρα ἢ τρία, καὶ τὰ ἑξῆς. #d".
HPOTAZEIE PROPOSITIO XXIV.
^ ELA τὸ A Ἐὰν πρῶτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔχῃ λό- Si prima ad secundam eamdem habeat ra-
\
s! M Q B jov καὶ τρίτον πρὸς πέταρτον, typ! δὲ üonem quam tertia ad quartam ; habeat autem
M DEUX , NN ^ .
πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὑτὸν λῦγον καὶ et quinta ad. secundam eamdem rationem quam \ \ ^ . .
τὸν πρὸς τέταρτον" xai συντεθὲν πρῶτον sexta ad quartam ; et simul sumptæ prima ct
\ ΠῚ \ Φ ἀν ν τ , 1 1 πέμπτον πρὸς δεύτερον τὸν αὐτὸν ἔξει λόγον καὶ — quinta ad secundam eamdem rationem habebunt
τρίτον καὶ ἕκτον πρὸς τέταρτον, quam tertia οἱ sexta ad quartam.
comme K est à M. Mais on a démontré que H est à © comme M est à N ; donc, puisque l'on a trois grandeurs H, o , A, et d’autres grandeurs X , M, N égales en nombre aux premiéres; que ces grandeurs, prises deux à deux, ont la méme raison, et que leur proportion est troublée ; si, par égalité, H surpasse A, X surpasse N; si H est égal à ^, K est égal à N ; et si H est plus petit que A, K est plus petit que N (21. 5). Mais H,K sont des équimultiples de A et
de ^, et A, N des équimultiples de r et de Z; donc 4 est à T comme Δ est à z (déf. 6. 5). Donc, etc.
PROPOSITION. XXV;
Si la première a avec la seconde la méme raison que la troisième avec la qua- trième, et si la cinquième a avec la seconde la méme raison jue la sixiéme avec la quatrième, la somme de la première et de Ja cinquième aura la même raison avec la seconde que la somme de la troisième et de la sixième avec la quatrième.
- - 386 LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. πρῶτ τὸν μὲν" γὸ 2p To AE is Arr TO Y rev Prima quidem enim AB ad secundam Γ eamdem αὖτον ἐχέτω λόγον καὶ ΤΠ τὸ AE πρὸς τ ruse habeat rationem quam terlia AZ ad quartain Z ; £ BH πρὸς habeat vero εἰ cuinta BH ad secundam T
cy Nov 1 SHTOY TO camdem raüonem qua risexia EC od quariam Z ;
τὸν τὸ ze vua δὲ καὶ πέμπτ
δεύτε er TO T τὸν αὐτὸν λόγον κα
apis τέταρτον τὸ L' λέγω ὅτι ταὶ συντεθὲν" dico et simul sumptas ue et quintam AH
^
N K A τ "Ἢ . - τὸν παὶ TEMOTTON TC AH 5 "mp2 ὃς di: 7T por Tí T TÓV au secundam Lo ecmüem habituras csse rationem
$^ Nd Fs
αὐτὸν ἕξει λόγον καὶ τρίτον Has ἐκτὸν τὸ ΔΘ — quam terüa et βοχία ΔΘ ad quartam Z. ^ , \ ,
πρὸς τέταρτον τὸ Le
A E H T Sem. =: E e Z eee — bx Fr» " e \ M \ e D . ᾿ . P E γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΒΗ πρὸς τὸ T οὕτως τὸ Quoniam enim est ut EH ad Σ' ita EO ad 5; -
Heap ς τὸ L' ἀνάπαλιν ἄρα ὦ ς τὸ πρὸς T0BH perinversionemigiturut ^ad BH ita Z ad ΕΘ. Et οὕτως τὸ L πρὸς τὸ EO. Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ quoniam est ut AB ad f' ita AE ad Z , ut autem AB πρὸς τὸτ οὕτως τὸ AE πρὸς τὸ L, ὡς δὲ τὸ T ad ΒΗ ia 2 ad ΕΘ; ex zquo igitur est ut T πρὸς τὸ ΒΗ οὕτως τὸ Z πρὸς τὸ EC" dies ΑἹ ad 5H iia AZ ad EG. Et quoniam Tom ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ BH οὕτως τὸ ΔῈ magnitudines proporüonales sunt, εἰ compo= mpès TI EO, Ka) ἐπεὶ διῃρημένα μεγέθη ἀνάλογόν Silæ proporüonales cerunt; ut igitur AH ad BH
ἐστι. ua) συντεθέντα ἀνάλογον ἔσται" ἔστιν ἄξα ia 49 ad ΘΕ. Est autera et ut ΒΗ ad T' ita ΕΘ
= ) à VAT A € Ere τον + τ E QziTO AH 7 Frs Té BH οὕτω £70 AS πρὸς τὸ OE, au 2; CX cquo igitur estut Ail ad Σ' ita AG a à po ᾿ Ἐστὶ δὲ za) ὡς τὸ BE πρὸς τὸ Τ οὕτως τ᾽ EO πρὸς ad Ζ. Si igitur. prima, etc. - ^ e τὸ zd c τὸ AH ποὺς τὸ Y οὕτως ' P Su 2 cet Pm e nd T0 AO zp«c Ἐὰν ew TROT, καὶ τῷ ἐζῆς.
Que la premiers A2ait avec la seconde r la méme raison que la troisième AE a avez la quatrième Z, et que la cinquième BH ait avec la seconde r la méme raison qu? la sixième £9 avec la quatrième Ζ ; je dis que la somme de la première et de Inemgneme AH aura avec la seconde r la méme raison que la somme de la troisième ei de la sixième 40 a avec la qum 75
Puisque BH esi? T comme EO coi ἃ Z, par inversion, T est à BH comine Z est à EO (cor. 4. 5). Mais AP est à T comme AE està Z , et T est à BH comme Z esti EO; donc, par égalité, AB est à BH comme AE estu Ba (22. 5); done, puisque ces grandeurs éiant divisées sont proportionnelles, ces ao étant composées seront proportionnelles (18. 5) ; donc AH est à BH comme 49
est à ΘΕ. Mais BH est à T comme Eo est à Z; donc , par égalité, AH est à r comme ΔΘ est à z (22. 5). Donc, etc.
LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 387
IPOTAZIZ xt.
N , M 9 ΤῸ Lo ' , Ἐὰν τέσσαρα, pena αλογον HE) TO μεγιστοῦ
NAN REZ 1 , Ἢ ε j^ 12 καὶ TO sÀd wig TOY! δύο τῶν Aor y μείζονα ἐστιν,
, D 3 rs x Ecru τέσσαρα μεγίθη ἀνάλογον» τῶ AB, TA, f 2 € M \ \ 4 M M E, Z, ὡς vo AB πρὸς τὸ ΓΔ ouTws 70 E πρὸς A E X , M 3 [o x , L4 τὸ L, ἔστω δὲ μέγέστον μεν2 αὐτῶν τὸ AB, eAc- δ x , e \ Ll χιστον δὲ τὸ L* λέγω ὅτι τὰ AB, Z τῶν TA, E , v P μείζονά ἐστι.
PROPOSITIO XXV.
Si quatuor magnitudines proportionales sint , maxima et minima duabus reliquis majores sunt. Sint quatuor magnitudines proportionales AB, TA, E,Z, ut AB ad ΓΔ ita E ad Z; sit autem maxima quidem ipsarum AB , minima veroZ ;
dico ΑΒ, Z ipsis FA, E majores esse.
XRRTNAS LUMINE Lid: r 9 A Z
Κείσθω γὰρ τῷ μὲν E ἴσον τὸ AH, τῷ δὲ Z ἴσον τὸ TO.
Ἐπεὶ οὖν" ἐστιν ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ TA οὕτως τὸ E πρὸς τὸ Z, ἴσον δὲ τὸ μὲν E τῷ AH, τὸ δὲ Z τῷ rei: ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ “πρὸς τὸ ΤΔ οὕτως τὸ AH πρὸς τὸ ΤΘ, Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ὅλον τὸ
ΑΒ πρὸς ὅλον τὸ ΓΔ οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ΑΗ πρὸς
PROPOSIT
Ponatur enim ipsi quidem E æqualis AH , ipsi vero Z æqualis ΓΘ,
Quoniam igitur est ut AB ad ΓΔ ita Ead Z , æqualis autem ipsa quidem E ipsi AH, ipsa vero Z ipsi ΓΘ» est igitur ut AB ad TA ila AH ad ΓΘ. Et quoniam esi ut tota AB ad totam
TA ita ablata AH ad ablatam ΓΘ ; et reliqua
ION XXV.
Si quatre grandeurs sont proportionnelles , la plus graude et la plus petite
sont plus grandes que les
ceux autres.
Que les quatre grandeurs 4B, TA , E, Z soient proportionnelles, c'est-à-dire que AB soit ^ T^ comme E estàZ ; que AB soit la plus grande, etz la plus petite; je dis que les grandeurs AB, z sont plus grandes que les grandeurs
TA, E.
Faisons AH égal ἃ Ε, et ro égal à z.
Puisque AB està TA comme E est à Z , et que AH est égal à £, et ro égal
*
à Z, AB est à TA comme AH est à à
TO , et puisque la grandeur entière AB est a grandeur entière TA comme Ja grandeur retranchée AH est à la grandeur
288 LE CINQUIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. ἀφαιρεθὲν qü IO* καὶ λδισπὸν epa πὸ HB πρὸς igilur HB ad reliquam 94A erit ut tota AB ad λοιπὸν τὸ ΘΔ ἔσται ὡς ὅλον τὸ AB πρὸς ὅλον iolam ΓΔ, Major autem AB ipsá ΓΔ; ma- τό TA, Μεῖζον δὲ τὸ ΑΒ τοῦ TA* μεῖζον ἀρα καὶ To HB τοῦ ΘΔ. Καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν AH
^ \ e \ l'A » TG E, τὸ δὲ TO τῷ Z* τὰ ipa AH, Z ἴσα ἐστὶ
jor igitur et HE ipsá O^. Et quoniam æqualis est AH. quidem ipsi E, ΓΘ vero ipsi Z; ipse igitur AH, Z equales sunt ipsis TO, E. Et quo- τοῖς TO, E. Καὶ ἐπεὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, uiam si inæqualibus æqualia addantur, tota A H B
EL 9 A E
; τὰ ὅλα ἄνισα ἐστίν" ἐὰν ἄρα τῶν HB, ΘΔ aví- intqualia sunt ; si igitur ipsis HB , OA inqua
libus existentibus ,
5! \ i -€ ΜΠ n6 .
cor ὄντων. καὶ μείζονος τοῦ HB, τῷ pi HB
lad \ A ^ M
προστεθῇ τὰ AH, Z, τῷ δὲ OA προστεθῇ τὰ - Le À \ AT ἌΡΑ ^
TO, E, συναγεται Ta AB, Z ptor τῶν TA,
ES , Soy tET E. Ἐὰν ἀρὰ τεστάρα-: καὶ TZ ἑξῆς.
et majore ipsà HB, ipsi quidem HB addantur AH, Z, ipsi vero ΘᾺ addantur TO , E, fient AB, Z majores ipsis
TA , E. Si igitur quatuor , εἰς.
retranchée re , la grandeur restante ΗΒ sera à la grandeur restante ΘΔ comme la grandeur entière AB est à la grandeur entière ΓΔ (19. 5). Mais AB est plus grand que r^ ; donc HB est plus grand que ΘΔ. Mais AH est égal à E, et re àz; donc les grandeurs AH, Z sont égales aux grandeurs r2, E. Mais si on ajoute des grandeurs égales à des grandeurs inégales , les grandeurs entières sont inégales ; donc, puisque les grandeurs HB, 6^ sont inégales, et que HB est la plus grande, si l'on ajoute à HB les grandeurs AH, Z, et à ΘΔ les grandeurs ro, E, les grandeurs A2, Z seront plus grandes que les grandeurs rA, E.
Donc, etc.
FIN DU CINQUIÈME LIVRE.
EUCLIDIS
ELEMENTORUM ΤΠ ΟΣ ΤΠ 8,
ES AAA ZAR LARA ARA RR PRA
OPOI,
, , sn? ῬΑ E a. Opoit σχήματα εὐθύγραμμα ἐστιν. Oca , , » » M / X M τὰς τε γωνίας i026 εχεῖ κατὰ [AILV, καὶ τας \ \ » , \ , , περι τας 16.6 γωνίας πλευρᾶς αἀνσλογον. , , \ , n d β΄. Αντιπεπονθότα δὲ σχήματα ἐστιν. οτῶν € -Ὁ , € , , ^ € , exami po TOV σχήματων ἡγουμεῖοί τε καὶ €70-
, m pror Ao coy! ὦσιν.
DEFINITIONES.
1. Similes figure rectilineæ sunt, quæ et angulos æquales habent singulos singulis, et circa equales angulos latera proportionalia.
2. Reciprocæ autem figure sunt, quando in utráque figurarum antecedentesque et con-
sequentes rationum sunt,
LIVRE SIXIEME DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
DÉFINITIONS.
1. Les figures rectilignes semblables sont celles qui ont les angles égaux chacun à chacun, et dont les côtés autour des angles égaux sont propor-
tionnels.
2. Les figures sont réciproques, lorsque les antécédents et les conséquents
des raisons se trouvent dans l’une
et l'autre figure.
37
200 ’ Sr ; he =
7 + Aupov καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι
, ei & ἃ t4 € \ \ ^y
λέγεται, OTay ἢ ὡς ἡ" 6A πρὸς τὸ μεῖζον
, e M D \ My τμήμα οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἐλασσον,
, » Ἂς , , € LJ \ ^v du YAoc ἐστὶ TTÀVTOC σχήματος ἢ ἀπὸ τῆς
^ er τἰΝ ' , , > , 3 κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀγομένης , HPOTAZIX uw.
Té τρίγωνα καὶ τὰ παραλληλύ) pauua , τὰ ὑπὸ τὸ αὐτὶ ὕψος ὄντα. πρὸς ἀλληλά ἔστιν ὡς ai Rares.
Ecro πρέγωνα μὲν τὰ ΑΒΓ. ATA, παραλλη- λύγραμμα δὲ τὰ ET, TZ, ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντα. τὴν ἀπὸ τοῦ À ἐπὶ τὴν ΒΔ κάθετον ἀγο- μένην" λέγω ὅτ, ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τὴν TA βάσιν οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ATA τρίγωνον. καὶ τὸ ἘΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ TZ παραλληλόγραμμον,
Ἐκ(ξεξλήσθω γὼρ ἡ BA iQ ἑκάτερα τὰ Uípn,
5 \ j^ e \ ’ ^ \ ἐπὶ Ta ©, A σημεῖα. καὶ κείσθωσαν τῇ μὲν ΒΓ
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
5. Secundum cextremam et mediam ratio- nem recta secta esse dicitur, quando est ut
tola ad majus segmentum ita majus ad minus.
4. Alütudo est omnis figure a vertice ad
basim perpendicularis ducta.
PROPOSLLPIO-
Triangula et parallelogramma , sub eádem
altitudine existentia, inler se sunt ut bases.
Sint triangula quidem ABT, ATA, paralle- logramma vero ET, TZ, sub eádem altitudine existentia , ipsà ab A ad BA perpendiculari ductá; dico esse ut BP basis ad ΓΔ basim ita ABT triangulum ad ΑΓΔ triangulum, et ET
parallelogrammum ad TZ parallelogrammum.
Producatur enim BA ex utráque parte ad
O, A puncta, οἱ ponantur ipsi quidem BT basi
5. Une droite est dite coupée en extréme et moyenne raison, lorsque la droite entière est au plus grand segment comme le plus grand segment est
au plus petit.
o
4. La hauteur d'une figure est la perpendiculaire menée du sommet sur
la base.
PROPOSITION PREMIERE.
Les triangles et les parallélogrammes qui ont la méme hauteur sont entr'eux
comme leurs bases.
Soient les triangles ΑΒΓ, ΑΓΔ, et les parallélogrammes Er , Tz , ayant la méme hauteur, savoir, la perpendiculaire menée du point 4 sur ΒΔ; je dis que Ja base Br est à la base r^ comme le triangle ΑΒΓ est au triangle Ar^, et comme le parallélogramme Er est au parallélogramme rz.
Prolongeons la droite ΒΔ de part et d'autre vers les points 6, ^; prenons tant
\
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 501:
βάσει ἴσαι ἑσαιδηπτοτοῦν" αἱ BH, HO, τῇ δὲ æquales quotcunque. BH, HO, ipsi vero TA
TA βάσει ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν αἱ AK, KA, καὶ basi æquales quotcunque AK, KA , et jungan-
ἐπεζεύχθωσαν αἱ AH, AO, AK, AA. tur AH, AO, AK, AA.
Καὶ ἐπεὶ ἴσα: εἰσὶν αἱ IB, BH, HO ἀλλή- Et quoniam zquales sunt ipse ΓΒ, BH, HO Aic, ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ AOH, AHB, ABT τρί- inter se, æquales sunt et AOH , ΑΗΒ, ABT trian- γωνα ἀλλήλοις" ὑσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΙ — gula inter se; quam multiplex igitur est OT basis βάσις τῆς BT βάσεως, τοσαυταπλέσιόν ἐστι καὶ ipsius BT basis, tam multiplex est et AOT trian-
τὸ AOT τρίγωνον τοῦ ABT τριγώνου. Διὰ và — gulum ipsius ΑΒΓ trianguli. Propter eadem uti-
αὐτὰ δὴ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ TA βάσις τῆς TA que quam mulüplex est TA basis ipsius ΓΔ βάσεως. τοσαυταπλάσιόν ἐστι καὶ τὸ AAT τρί- basis, tam multiplex est et AAT triangulum γῶνον τοῦ ATA τριγώνου" καὶ εἰ ἴση ἐστὶν OT — ipsius ΑΓΔ trianguli; et si equalis est OT basis βάσις τῇ TA βάσει, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ AOT τρίγωνον — ipsi DA basi, æquale est et AOT triangulum τῷ AAT τριγώνῳ" καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ OT βάσις τῆς — ipsi AAT triangulo j et si superat, OT basis ip- ΙΛβάσεως, ὑπερέχει καὶ τὸ AOT τρίγωνον τοῦ Sam TA basim , superat et AOT triangulum
AAT τριγώνου" καὶ εἰ ἔλασσων. ἔλασσον. Τεσσά-ὀ ipsum AAT triangulum; et si minor, minus.
pov δὴ ὄντων μεγεθῶν, δύο μὲν βάσεων τῶν ΒΓ, Quatuor igitur existentibus magnitudinibus ,
de droites qu’on voudra ΒΗ, Ho , égales chacune à la base ΒΓ, et tant de droites qu'on voudra AK , KA, égales chacune à la base ΓΔ ; joignons AH, ΑΘ, AK, AA.
Puisque les droites TB, BH, ΗΘ sont égales entr'elles, les triangles 40H, AHB, ABI sont égaux ent'eux ( 58. 1); donc le triangle Aer est le méme multiple du triangle ΑΒΓ que la base er l'est de la base ΒΓ. Par la méme raison , le triangle AAT est le méme multiple du triangle Ara que la base TA l'est de la base ra. Donc si la base er est égale à la basera, le triangle Aer est égal au triangle ΑΛΓ; si la base er surpasse la base ra, le triangle Aer surpasse le triangle AAT (58. 1); etsi la base er est plus petite que la base rA , le triangle Aer est plus petit que le triangle AAT. Ayant donc quatre
292 TA, δύο δὲ τρίγώνων τῶν ABT, ATA, εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν ΒΓ βάσεως καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἧτε OT βάσις καὶ τὸ ΑΘΓ τρί- γωνον' τῆς de TA βάσεως καὶ τοῦ ATA τριγώνου ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια, ἥτε TA βά- σις καὶ τὸ AAT τρίγωνον" καὶ δέδεικται ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ OT βάσις τῆς TA βάσεως. ὑπερέχει
M , ^ Lu \ 5 καὶ τὸ AOT τρίγωνον τοῦ AAT τριγωνου" καὶ εἰ
O7 B Lr
» 5; \ 5» 5) » 3 x » 4104, 170V* καὶ εἰ ἐλάττων. ἐλαττον"" ἐστιν ἀρὰ € , Y M e ὡς n BT βάσις πρὸς τὴν TA βάσιν οὕτως τὸ ABT M \ Tpiyævoy προς τὸ ATA τρίγωνον. 3 N ^ M , Καὶ ἐπεὶ τοῦ μὲν ABT τριγώνου διπλάσιόν » / AW ἐστι τὸ ET παραλληλόγραμμον. τοῦ δὲ ATA , ^ 5 * τριγώνου διπλάσιον ἐστι τὸ ZT παραλληλόγραμ- \ ^ , "m € , / μον. τὰ δὲ Mépn τοῖς ὡσαυτῶως πολλαπλασίοις
» » , » » e τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἔστιν dpa ὡς τὸ ABT
Ὁ
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
duabus quidem basibus BT, TA, duobus vero triangulis ABT, ATA , sumpta sunt que mul- tiplicia basis quidem Br et ΑΒΓ trianguli , ipsa OT basis et AOT triangulum ; basis vero ΓΔ et trianguli ATA alia utcunque eque multplicia , ipsaque TA basis et AAT triangulum. Et osten- sum est si superat OT basis ipsam ΓΛ basim, supe-
rare et AOT triangulum ipsum AAT triangulum ;
A Z
A K A
et si zqualis , æquale; et si minor, minus; est igitur ut BP basis ad PA basim ita ΑΒΓ triangulum ad ATA triangulum.
Et quoniam trianguli ABD quidem duplum est ET parallelogrammum, ipsius vero ATA trianguli duplum est Zr parallelogrammum , partes autem camdem habent rationem. quam earum aque
multiplices; est igitur ut ABT triangulum ad
erandeurs, les deux bases Br, ΓΔ; et les deux triangles ABT, ATA, on a pris
des équimultiples quelconques de la base Br, et du triangle ΑΒΓ, savoir, la base er et le triangle Aer; on a pris aussi d'autres équimultiples quelconques de la base TA et du triangle ΑΓΔ, savoir, la base r^ et le triangle Aar; et l'on a demontré que si la base or surpasse la base r^ , le triangle Aer surpasse le triangle AAT ; que si la base er est égale à la base rA, le triangle Aor est égal au triangle AAT, et que si la base er est plus petite que la base rA, le triangle Aer est plus petit que le triangle ΑΔΓ; donc la base Br est à la base ΓΔ comme le uiaugle ΑΒΓ est au triangle Ara (déf. 6. 5).
Puisque le parallélogramme Er est double du triangle ΑΒΓ, que le parallé- logramme zr est double aussi du triangle Ara (prop. 41. 1), et que les parties
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
τρίγωνον πρὸς τὸ ATA τρίγωνον οὕτως τὸ ET παρ- αλληλόγραμμον πρὸς τὸ ZT παραλληλόγραμμον. Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη. ὡς ἡ μὲν! ΒΓ βάσις πρὸς τὴν TA οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΓΔ τρίγω- voy? , ὡς δὲ τὸ ABT τρίγωνον πρὸς τὸ ATA τρί-
6 οὕτως πὸ ἘΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ
γῶνον ZT παραλληλόγραμμον" καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΓ βάσις πρὸς τῆν Δ βάσιν οὕτως τὸν ET παραλληλόγραμ- μον “πρὸς τὸ ZT παραλληλόγραμμον, Ta dpa
τρίγωνα, καὶ τὰ ἑξῆς. IIPOTAZIZ β΄.
E \ , \ , - A LU ΕΣ 05
ἂν τριγώνου Trapa. μίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ ΕἸ - 3 , e^ M ^ LA
τις eUbeia!, ἀνάλογον τεμει τὰς TOU τριγῶνου
, AST € ^ , Ν > ,
πλευράς" καὶ ἐᾶν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραιὶ aya- ^ € > wN \ ' 5 2
λογον τμηθῶσιν. y ez) τας τομαᾶς ἐπιζευγμιένη » ES \ \ 1 ^ ,
εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπὴν ἔσται τοῦ τριγώνου
; πλευρανῇς
509 ATA triangulum ita ET parallelogrammum ad ZT parallelogrammum. Quoniam igitur oslen- sum est, ut basis quidem BT ad TA basim ita ABT triangulum ad ATA triangulum ; ut autem ABT triangulum ad ΑΓΔ triangulum ita ED pa- rallelogrammum ad Zr parallelogrammum ; et ut igitur BP basis ad TA basim ita Er paral- lelogrammum ad ZT parallelogrammum. Ergo
triangula, etc.
PROPOSITIO II.
Si trianguli juxta unum laterum ducatur quæ- dam recta , illa proportionaliter secabit trianguli latera; et si trianguli latera proportionaliter secta fuerint, ipsa sectiones conjungens recta
juxta. reliquum erit trianguli latus.
ont entr'elles la méme raison que leurs équimulüples (prop. 15. 5). , le triangle ABT est au triangle ATA comme le parallélogramme Er est au parallélogramme zr. Puisqu'on a démontré que la base Br est à la base r^ comme le triangle ABT est au triangle ATA, et puisque le triangle ABT est au triangle ΑΓΔ comme le parallélogramme Er est au parallélogramme zr, la base Br est à la base rA comme le parallélogramme Er est au parallélogramme zr (11. 5),
Donc, etc.
PROPOSITION
Si l'on mène une droite parallèle à un des côtés d'un
11.
uiangle , cette
droite coupera proportionnellement les côtés de ce triangle ; et si les côtés
d'un triangle sont coupés proportionnellement , la droite qui joindra les sec- tions sera parallèle au côté restant du triangle.
291 Τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ παράλληλος μιᾷ τῶν πλευρῶν τῇ ΒΓ ἤχθω ἡ ΔΕ" λέγω ὅτι ἐστὴν ὡς à ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ οὔτως ἡ ΤῈ πρὸς τὴν EA. Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ BE, ΓΔ. Icov δὴ" ἐστὶ τὸ BAE τρίγωνον τῷ TAE τριγώνῳ, ἐπὶ ydp τῆς αὐτῆς βάσεώς ἐστι τῆς
ΔΕ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς AE,
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Trianguli enim ΑΒΓ parallela uni laterum BT ducatur AE; dico esse ut BA ad AA ita TE ad EA.
Jungantur enim BE, TA.
Æquale utique est BAE triangulum ipsi TAE triangulo , in eádem enim basi sunt AE et
intra easdem parallelas AE, Br. Aliud autem
BI. AAAo δέ τι τὸ ΑΔῈ τρίγωνον" τὰ δὲ ira quoddam AAE triangulum ; æqualia vero ad
3 y - > A » JS » n 1 101 πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἐστὶν ἄρα idem eamdem habent rationem ; est igitur ut
ΒΔΕ triangulum ad AAE triangulum, ita TAE iriangulum ad AAE triangulum. Sed ut ΒΔΕ
ὡς τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔῈ pi) ot or où τῶς τὸ TAE τρίγωνον πρὸς τὸ AAE Tpiywver. AAX ὡς μὲν τὸ ΒΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ AAE oÿ=- quidem triangulum. ad AAE ita BA ad AA ; !
roc ἡ ΒΔ πρὸς LOTES UNS yup τὸ αὐτὸ ὕψος nam cum sub cádem altitudine sint, sub ipsà
» , E , E : : ^ =
ὄντα, τὴν ἀπὸ τοῦ E ἐπὶ τὴν AB κάθετον ἀγο- ab E ad AB perpendiculari ductä, inter se sunt ut bases. Propter eadem utique ut ΓΔΕ triangulum ad AAE ita TE ad EA ; et ut igitur
BA ad AA ita TE ad EA.
, \ 3 , , € € , 1 Li var, πρὸς αλλήλα εἰσὲν ὡς αἱ βάσεις. Δία τὰ » i AA E \ , \ \ T avra δὴ" ῶς τὸ TAE τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΔΕ d τ \ \ Ce ty E n ουὐτῶς n TE πρὸς τὴν EA* καὶ ὡς epa 4 BA πρὸς
n el c à \ Y Ti" ΔΑ ουτῶς ἡ TE πρὸς τὴν EA.
Menons ΔῈ parallèle à un des côtés Br du triangle ΑΒΓ; je dis que ΒΔ est à ΔΑ comme IE est à EA.
Joignons BE , r^.
Le triangle ΒΔῈ sera égal au triangle r^E (37. 1) , parce qu'ils ont la méme base AE, et qu'ils sont compris entre les mêmes paralléles AE, Br. Mais AAE est un autre triangle; et des grandeurs égales ont la méme raison avec une méme grandeur (7. 5); donc le triangle BAE est au triangle ΑΔῈ comme le triangle TAE est au triangle ΑΔΕ. Mais le triangle BAE est au triangle ΑΔῈ comme ΒΔ est à ΔΑ; car ces deux triangles, qui ont la méme hauteur , savoir, la perpendiculaire menée du point E sur la droite AB, sont entr'eux comme leurs bases (1. 6). Par la méme raison le triangle ΓΔῈ est au triangle ΑΔῈ comme TE est à FA; donc BA està AA comme ΤῈ est à Ea (11. 5).
LE SIXIEME LIVRE DES Anna δὴ ai ποῦ ABT τριγώνου πλευραὶ αἱ AB, AT ἀνάλογον τετμήσθωσαν κατὰ T& Δ. E
σημεῖα. ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ οὔτως ἡ ΤῈ πρὸς
ÉLÉM
iNTS D'EUCLIDE. 295
Sed et ABT trianguli latera AB, AT propor- tionaliter secta sint in A, E puncus , ut BA ad ΔΑ ita TE ad EA , ct jungatur AE ; dico paral-
τὴν EA, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ’ λέγω ὅτ; map- lelem esse AE ipsi BT.
^ e Ὁ
ἀλληλός ἔστιν ἡ AE 7" ΒΤ.
lisdem enim construclis, quoniam est ut BA
ad AA ita TE ad EA , scd ut BA quidem ad AA
T&v γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων. ἔπεί ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὲς τὴν ΔΑ οὕτως ἡ ΤῈ πρὸς πὴν EA, ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΑ οὕτως τὸ ΒΔΕ Ita DAE iriangulum ad AAE triangulum , ut ΓΕ
τρίγωνον πρὸς τὸ AAE τρί ὠνονθ. ὡς δὲ ΤῈ πρὲς vero ad EA ita TAE triangulum ad AAE triangu-
Tiv EA οὕτως τὸ TAE τρίγωνον προς τὸ AAE τρί- lum; et ut3gitur BAE triangulum ad AAE trian- jüvov?* καὶ ὡς ἄρα T0. BAE τρίγωνον πρὸς τὸ gulum ita ΓΔῈ triangulum ad AAE triangulum. ΑΔΕ cpi, avoy? οὕτως τὸ TAE τρίγωνον πρὸς τὸ — Utrumque igitur BAE, TAE triangulorum ad ΑΔΕ Tpiywroy9. Ἑκατέρον ἄρα τῶν ΒΔΕ. TAE AAE triangulum eamdem habet rationem. Æ- τριγώνων πρὸς 70 ΑΔῈ τρίγωνον τὸν αὐτὸν — quale igitur est BAE triangulum ipsi ΓΔΕ trian- ἔχει λόγον, Icov ἄρα ἐστὶ τὸ BAE τρίγωνον τῷ gulo; et sunt super cádem basi AE. Æqualia au- TAE τριγώνῳ" καὶ εἴσιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως tem triangula ct super eádem basi constituta τῆς ΔΕ. τε δὲ ἴσα τρίγωνα καὶϊι ἐπὶ τῆς ΞΩΞ et inlra easdem parallelas sunt, Parallela igitur τῆς βάσεως ὄντα. καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλή-- est AE ipsi ΒΓ. Si igitur trianguli , etc. λοις ἐστί. Παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ AE τῇ BI,
" y , \ tg Ἐὰν apa TpiytyoU , καὶ τὰ ἑξῆς.
Mais que les côtés AB, AT du triangle ΑΒΓ soient coupés proportionnelle- ment aux points A, E, c'est-à-dire que BA soit à AA comme ΤῈ est à EA , et joignons ΔῈ ; je dis que ΔῈ est parallèle à ΒΓ.
Faisons la méme consiruction. Puisque BA est à AA comme TE est à EA, que BA està AA comme le triangle BAE est au triangle AaE (1. 6), et que ΤῈ est à EA comme le triangle TAE est au triangle ΑΔΕ, le triangle BAE est au triangle ΑΔῈ comme Je triangle TAE est au triangle AAE (11. 5). Donc chacun des triangles BAE , TAE a la méme raison avec le triangle ΑΔΕ. Donc le triangle ΒΔΕ est égal au triangle TAE (9. 5); et ils sont sur la méme base ΔῈ, Mais les triangles égaux et construits sur la méme base sont entre les mémes paralléles (59. 1). Donc ΔῈ est parallèle à Br. Donc, etc.
296 ΠΡΌΤΑΣΙΣ. ».
i ) 225 ἜΝ ruve Ἐὰν τριγώνου γωνία δίχα τμηθῇ. » de τεμνουσα ^ , , m , M ^ , \ DES ὡς τὴν yeovizy εὐθεῖα τε Ya καὶ τὴν βασιν. τα TAG , , \ 3 \ LE 4 , m βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἐξζει λόγον ταῖς DJ ^ , Di NS E \ E I λοιπαῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς" καὶ ἐὰν τὰ τῆς , ^ ^ 3 M » , ^ βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχῃ λόγον ταῖς λοι- e ^ , D € , \ ^ - παῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς. n! ἀπὸ τῆς κορυφῆς ma. ; ἐπὶ τὴν τομὴν ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα δίχα τέμνει \ , , τὴν TOU τριγώνου γωνίαν. : x UN M. Εστω τρί) νὸν τὸ ABT , καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ EDS 2 ; BAT γωνία δίχα ὑπὸ τῆς AA εὐθείας" λέγω , e ^ AM e Ee ^ ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ BA πρὸς τὴν ΔΙ οὑτῶς ἢ BA προς
say AT.
: = , .
Ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ T τῇ AA παραλλήλος ἡ τ ΡΞ ε UT 31 \
TE, καὶ διαχϑεῖσα ἡ BA συμπιπτέτω αὐτῇ κατὰ
T0: Ἐς
PROPOSITION
LE SIXIEME LIVRE DES
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
PROPOSITIO III.
Si trianguli angulus bifariam secetur, secans autem angulum recta secet et basim j basis seg- menta eamdem habebunt rationem quam reli- qua trianguli latera ; et si basis segmenta cam- dem habeant rationem quam reliqua trianguli latera, ipsa a vertice ad sectionem ducta recta
bifariam secat trianguli angulum. Sit triangulum ABT , et secetur BAT angulus
bifariam ab ipsá AA rectà; dico esse ut BA ad AT ita BA ad AT.
Ducatur enim per T ips? AA perallela TE ,
el producta BA conveniat cum ipsà in Ἑ.
III.
Si un angle d'un triangle est partagé en deux parties égales, et si la droite qui partage cet angle coupe la base, les segments de la base auront la méme raison que les cótés restants de ce triangle; et si les segments de la base ont la méme raison que les autres côtés du triangle , la droite menée du sommet
à la section , partagera l'angle de ce triangle en deux parties égales.
Soit le triangle Abr, que l'angle BAT soit partagé en deux parties égales par la droite 4^; je dis que BA est à AT comme BA est à ar. |
Par le point T menons TE parallèle à δὰ (51. 1), et que BA prolongé ren-
contre TE au point E.
x" LE SIX NEED \ » , \ > Καὶ ἐπεὶ eic RC Ue τας AA, ET sU- θεῖα ἐνέπεσεν" à AT, ἡ a ὑπὸ ΑΤῈ yo: dan ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ TAA. Αλλ᾽ ἡ ὑπὸ ΓΑΔ τῇ ὑπὸ ε , € i 14 ^. ΒΑΔ ὑπόκειται ἴση" καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἀρὰ τῇ «fj , ε » \ 5» , ὑπὸ ATE ἐστὶν ἴση. Πάλιν. ἐπεὶ εἰς παραλλη- ε € τὰς AA, ET εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΒΑΕ. 4 \ i
HAS LN s τῇ ἐντὸς τῇ
λους ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἴση ἐστ ὑπὸ AET. Edi Un δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ATE τῇ ὑπὸ ΒΑΔ icu, καὶ ἡ ὑπὸ ATE ἄρα γωνίαί τῇ ὑπὸ AET ἐστὶν ἴση" ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ AE πλευρᾷ τῇ AT ἐστὶν ἴση. Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ BTE παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ET ἥκται ἡ AA° ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν AT οὕτως 4 ΒΑ “πρὸς τὴν ΑΕ, Ion δὲ 4 AE τῇ AI* ὡς dpa? ñ BA πρὸς τὴν AT οὕτως ἡ BA πρὸς τὴν AT.
Αλλὰ δὴ ἔστω ὡς" ἡ ΒΔ πρὸς τὴν AT οὕτως ἡ BA πρὸς τὴν AT, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ AA* λέγω ὅτι δίχα τέτμηται; ἡ ὑπὸ BAT γωνία ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας.
Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντον. ἐπεὶ ἐστὶν ὡς ἡ η ΒΔ πρὸς τὴν AT οὕτως ἡ 4 BA πρὸς τὴν ARS
Ν NOTE € \ M “ 4€ ἄλλα καὶ ὡς à BA πρὸς τὴν AT ουτῶς ἐστὶν ἡ
Puisque la droite Ar tombe sur les parallèles A^, Er, l'angle ΓᾺΔ (29. 1). Mais l'angle ΓᾺΔ est supposé égal à
IEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
297 Et quoniam in parallelas AA, ET recta incidit AT; ergo ATE angulus æqualis est ipsi ΓΑΔ. Sed TAA ipsi ΒΑΔ ponitur equalis; et ΒΑΔ igitur ipsi ATE est equalis. Rursus quoniam in parallelas AA, ET recta incidit BAE , exterior angulus ΒΑΔ æqualis est interiori AET. Ostensus aulem est εἰ ATE ipsi ΒΑΔ æqualis; et ATE igitur angulus ipsi AET est aequalis; quare et latus AE lateri AT est æquale. Et quoniam trianguli BTE juxta unum laterum ET ducta est ipsa AA ; proportionaliter igitur est ut. BA ad AT iia BA ad AE. Æqualis autem est AE ipsi AT; ut igitur BA ad AT ita BA ad AT.
Sed et sit ut BA ad AT ita BA ad AT; et jungatur A4; dico bifariam sectum esse BAT
angulam ab AA rectà.
Iisdem enim construclis , quoniam est ut BÀ ad AT ila BA ad AT, sed et ut BA ad AT ita
est BA ad AE; trianguli enim ΒΓῈ justa unum
langle ArE est égal à l'angle ΒΑΔ; donc l'angle
ΒΑΔ est égal à l'angle Arr. De plus , puisque la droite ΒΑΕ tombe sur les parallèles AA , ET, l'angle extérieur ΒΑΔ est égal à l'angle intérieur AET (29. 1). Mais on a démontré que l'angle ArE est égal à l'angle B44 ; donc Vangle ATE est égal à l'angle AEr; donc le côté AE sera égal au côté ar (6. 1). Et puisqu'on a méné la droite AA parallèle à un des côtés Er du triangle BrE, la droite BA est à ar comme BA cst à AE (2. 6). Mais AE est égal à 4r; donc Ba est à AT comme BA est à AT (7. 5).
Mais que BA soit à AT comme BA est à AT ; BAT est partagé en deux parties égales par la droits AA.
; joignons 44 ; je dis que l'angle
Faisons la méme construction. Puisque BA est à AT comme BA est à AT, ct que BA est à AT comme BA est à AE (2. 6), car la droite AA est parallèle à un
38
293
\ : ; \ = \
BA πρὸς τὴν AE* τρίγωνου γὰρ τοῦ BTE παρὰ
^ ^ ^ [cd Q € \
pia TOV σπλευρῶν τὴν ET Aura n AA° καὶ
Ἶ S \ E . Y
ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς 2 Jj € ^ e \
τὴν ΑΕ’ iva apa ἡ AT τῇ AE, ὥστε καὶ γῶ-
€ \ ͵ -“ e \ > \ M vie ἡ ὑπὸ ΑΕΓ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ATE ἐστὶν ion.
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
laterum ET ducta est ipsa AA ; et ul igilur BA ad ΑΓ ita BA ad AE; æqualis igitur AT ipsi AE ; quare et angulus AET angulo ATE est equalis, Sed AET quidem exteriori BAA æqua-
lis, ipse vero et ATE alterno ΓᾺΔ cst equalis ;
A7 |
PAS
B A jb AAX ἡ μὲν ὑπὸ AET τῇ ἐκτὸς τῇ ὑπὸ ΒΑΔ 172, δἰ ΒΑΔ igitur ipsi ΓᾺΔ est æqualis. Ipse BAT ἡ δὲ za) ἡ ὑπὸ ATE τῇ ἐναλλὰξ τῇ ὑπὸ ΤᾺΔ igitur angulus bifariam sectus est ab AA rectà. ἐστὶν ἴσηϑ' καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ ἄρα τῇ ὑπὸ TAA Si igitur trianguli , etc. E 51 B €. X ! , ἐστὶν ἴση. H ἄρα υπὸ BAT γωνία δίχα ο τετμῆ-
*« ^ ^ 5 , 4 3 , \ Tat ὑπὸ τῆς ΑΔ εὐθείας. Ecy epa Tp YOU , και
uM 74 tCUu6. ΠΡΟΤΆΑΣΙΣ 00)
^ 9: , , , , , 5» ε Tov ἰσθγωνίων τριγῶνων ιαλογὸν εἰσὶν αἱ
Ν ^N M » , \ € πλευρα! αἱ περὶ τὰς ἰσαῖς γωνίας. καὶ ὁμόλογοι
CC \ ovy , € / " αἱ ὑπὸ τὰς 746 γωνιᾶς υποτειίνουσαι πλευραί",
PR'OPOSITIQ/IY. JEquiangulorum triangulorum proportionalia sunt latera circa æquales angulos; et homo-
loga equales angulos subtendunt latera.
des côtés Er du triangle ΒΓΕ, la droite BA est à AT comme BA est à ΔῈ ; donc AT est égal à AE (9. 5); donc l'angle Arr est égal à l'angle ΑΤῈ (5. 1). Mais l'angle AEr est égal à l'angle extérieur ΒΑΔ (29. 1) , et l'angle Ar£ égal à l'angle alterne ΓΑΔ; donc l'angle ΒΑΔ est égal àl'angle ra^ ; donc l'angle Bar est partagé en deux parties égales par la droite A. Donc , etc.
PROPOSITION IV. Dans les triangles équiangles, les côtés autour des angles égaux sont
proportionnels ; et les côtés qui soutendent les angles[égaux, sont homo- logues.
LE SIXIÈME LIVRE DES ELÉMENTS D'EUCLIDE.
ΕΣ , \ ἘστωΣ ἰσογώνια τρίγωνα τὰ ABT, ATE, » sf \ NX A WO A / TENE ut eN ἐσὴν ἔχοντα τὴν μὲν ὑπὸ BAT γωνίαν τῇ ὑπὸ N MS «x τῷ € N Ny M TAE, τὴν δὲ ὑπὸ ATB Ti ὑπὸ AET , καὶ ἐτὶ τὴν € N m€ € \ el ^ ὑπὸ ABT τῇ ὑπὸ ATE?* λέγω ὅτι τῶν ABT, ATE , > » , » € ^ e. \ M πριγώνων ἀνάλογον εἰσιν αἱ πλεύραι αἱ πέρι τὰς 3 "n \ € , ep EX \ »” σας γωνίας. καὶ ομολογοι αἱ U7TO τὰς ITAG γω-
4 € / Ζῇ γίας ὑποτείνουσαι πλευραὶ t
b
*, , LJ , e =
Κείσθω γὰρ ew εὐθείας ἡ ET τῇ ΤΕ. Καὶ 3 € N τὰ , » nv "
ἐπεὶ αἱ ὑπὸ ABI , ΑΓΒ γωνίαι duo ὀρθῶν ἐλάσ-
, M ς E -^ \
σονές €101V , ἴση δὲ ἡ ὑπὸ AIB τῇ ὑπὸ AET, αἱ 5! AR E] - , 2 ᾽
ἄρα ὑπὸ ABT, ΔῈΓ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν"
αἱ BA, EA ἄρα ἐκ(αλλόμεναι συμπεσοῦνται.
, Ὁ ,
Ἐχ(είλήσθωσαν., καὶ συμπιπτετώσαν κατὸ τὸ Z. \ 2 Ny , \ CE M mn €
Kai ἐπεὶ ion ἐστὶν ἡ ὑπὸ ATE γωνία τῇ ὑπτὸῦ
"d , X» - \ e ^ ΄
ΑΒΓ. παραλλήλος ἄρα ἐστὶν 4 ΒΖ τῇ YA. Πά-
ΓῚ \ » 3 \ € La \ ^ € \
Juv, ere) TN ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ AET,
, , , € ^ P
παραλλήλος ἐστὶν ἡ AT τῇ ΖΕ’ παραλληλο- L4 3 ^ ὶ 4 LA € 1
γρᾶμμον ἀρὰ ἐστί TO ZATA* ἴση ἀρὰ ἡ μὲν ZA
200
Sint æquiangula triangula ABP , ATE, æqua- lem habentia BAT quidem angulum ipsi TAE, ipsum vero ΑΓΒ ipsi AET , et praterea ipsum ΑΒΓ ipsi ATE; dico ABD, ATE triangulorum proporüienalia esse latera circa æquales angu- los; et homologa equales angulos subtendere
latera.
I E
Ponatur enim in directum ipsa ΒΓ ipsi l'E. Et quoniam ABD, ΑΓΒ anguli duobus rectis minores sunt, æqualis autem. ΑΓΒ ipsi AET , ipsi igitur ABD, AET duobus rectis minores sunt; ipse BA, EA igitur products conve- nient. Producantur, et conveniant in Ζ.
Et quoniam æqualis est ATE angulus ipsi ABT, parallela igitur est ΒΖ ipsi FA. Rursus, quoniam æqualis est ΑΓΒ ipsi AET, parallela est AT ipsi ZE; parallelogrammum igitur est
ZATA; æqualis igitur ZA quidein ipsi AT, ipsa
Soient les triangles équiangles ABT, ATE, ayant l'angle ΒΑΓ égal à l'angle TAE, l'angle ArB égal à l'angle ΔῈΓ, et l'angle ΑΒΓ égal à l'angle ATE ; je dis que dans les triangles ΑΒΓ, ΔΙῈ, les côtés autour des angles égaux sont pro- portionnels , et que les cótés qui soutendent les angles égaux sont homologues.
Placons la droite 2r dans la direction de ΤΕ. Et puisque les angles ΑΒΓ, ΑΓΒ sont plus petits que deux droits (17. 1), et que l'angle ΑΓΒ est égal à l'angle AET , les angles ΑΒΓ, AEr sont plus petits que deux droits ; donc les droites BA, EA, étant prolongées, se rencontreront (not. com. 11); qu'elles soient prolongées , et qu'elles se rencontrent en Z.
Et puisque l'angle ArE est égal à l'angle ΑΒΓ, la droite ΒΖ est paralléle à la droite r^ (28. 1). De plus, puisque l'angle ATB est égal à l'angle arr, a droite Ar est parallèle à ZE ; donc la figure est un parallélo- la droite Ar est parallel ΖΕ; κα la fig LATA est parallél
300 LESIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
τῇ AT, ἡ δὲ AT τῇ ZA. Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ZBE 7 pi μίαν τῶν πλευρῶνϑ τὴν ZE ἧκται à AT, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν AL οὕτως W ΒΓ πρὸς 71v TE. Ion δὲ ἡ AZ τῇ TA* ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς τὴν TA οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν TES καὶ ἐναλλὰξ ὡς ἡ AB πρὸς τήν ΒΓ οὕτως ἡ AT πρὸς τὴν TE. Πάλιν. ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΤΔ τῇ
» 9 ε € À \ el + BZ; ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν TE ουτῶς ἢ ZA
vero AT ipsi ZA. Et quoniam trianguli ZBE juxta. unum laterum. ZE ducta est AT, est igilur ut BA ad AZ ita BT ad ΓΕ. Æqualis autein AZ ipsi TA; ut igilur BA ad TA ita ΒΓ ad TE, et alierne ut AB ad ΒΓ ita AT ad ΓΕ. Rursus , quoniam parallela est FA ipsi ΒΖ, cst igilur ut ΒΓ ad ΓΕ ita ZA ad AE. Æqualis au-
tem ZA ipsi AP; ut igitur ΒΓ ad ΓΕ ita AT ad
πρὸς τὴν AE. Ion δὲ ἡ ZA τὴ AT* ὡς ἄρα ἡ BT πρὸς τὴν ΤῈ οὗτως ἡ AT πρὸς τὴν EA , ἐναλλὰξ ἄραϑ ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν TA οὕτως ἡ TE πρὸς τὴν EA. Καὶ i8? ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ AB πρὸς τὴν ΒΓ οὕτως à AT πρὸς τὴν ΤΕ. ὡς δὲ ἡ BT πρὸς τὴν ΤΑ οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς πὴν EA* καὶ} δυῖσου dpa ec BA pos τὴν AT οὕτως ἡ TA πρὸς τὴν AE. Τῶν
» H ! \ \ En epo Ισογών!ῶν , καὶ τὰ εζῆς-
EA, alterne igilur ut BT ad M'A ita TE ad EA. Et quoniam ostensum est, ut AB quidem ad BP ita AT ad ΓΕ; ut vcro ΒΓ ad TA ita TE ad EA; et ex æquo igitur ut BA ad AT ita ΓΔ ad AE. Æquiangulorum igitur; etc.
gramme ; donc ZA cst égal à ar, et AT égal à 2Δ (54. 1). Et puis- qu'un des côtés Ar du triangle ZBE, est parallèle au côté ZE, BA est
*
à AZ comme Br est à TE (2. 6). Mais AZ est égal à T^; donc BA est à
TA comme ΒΓ est ἃ ΓΕ (7. 5), et, par permutation (16. 5), AB est à br comme AT està ΤῈ (16. 5). De plus, puisque ra est parallèle à ΒΖ, br est à TE comme za est ἃ AE. Mais ZA est égal à Ar; donc Br est à TE comme AT est à EA, et, par permutation, BI est à TA comme ΤῈ est à ΕΔ. Et puisqu'on a démontré que AB est à ΒΓ comme AT est à TE, et que Br est à TA comme TE est à EA, BA sera à AT comme TA est à AE (22. 5). Donc, etc.
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLEÉ
HPOTAZIZ *. Ear δύο τρίγωνα ras πλευρᾶς ἀνέλογ ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα" καὶ ἴσας t ; tal Ei Tis " 3 γωνίας. Up ἃς αἱ ὁμολῦγοι πλεῦραὶ γνουσιτ. Esra δύο Mens ra ABT, AEZ τὰς πλεῦρας ἀνάλογον ἔχοντας ὡς μὲν τὸν AB πρὸς 7àr ΒΓ οὕτως τὸν AE πρὸ ὡς τὴν EZ, ὡς δὲ ray ΒΓ π
74r ΤᾺ οὕτως τὴν EZ πρῦὺς τὴν LA , καὶ ἔτι ὡς
ENTS D'EUCBIDE. Sor
PROPOSITIO'Y.
Si duotrianzula latera proportionalia habeant , zquiangula eront triangula; et æquales ha- bebunt angulos, dunt.
Sint duo triangula ABT, AEZ latera pro-
quos homologa latera subten-
portioralia kabenta, itia AE ad EZ,
ut AB quidem ad ΒΓ ut ΒΓ vero ad FA ita ΕΖ ad ZA; et adbuc ut BA ad ΑΓ ita EA ad AZ ;
* A x A , BA πρὸς 747 AT οὕτως τὴν ἘΔ πρὸς τὴν AZ* λέγω = > 1 , M ; ὅτι ἰσογώνιον ἐστι τὸ ABT τρίγωνον τῷ AEZ Tpi- LI Ἂν — JE , = * > ^ Ld ?, γώτω. καὶ ἴσας ἕξουςι τὰς γωνίας. UD ἄς Cu λε Β ^ CE 4 τω λόγοι πλευραὶ ὑποτείνουσι, τῶν μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ε ^ LI a e h.l - T ι ^ 3 ὑπὸ AEZ, 72» δὲ ὑπὸ BIA τῇ ὑπὸ EZA, καὶ ἔτε
τὸν ὑπό BAT τῇ ὑπὸ EAZ.
dico zquiangulum esse ABT triangulum ipsi ΔῈΖ triangulo, et zquales illa habitura esse angulos , quos homologa latera subtendunt, ipsum qui- dem ABT ipsi ΔΕΖ, ipsum vero BTA ipsi EZA;
et insuper ipsum BAT ipsi EAZ.
PROPOSITION V.
Si deux triangles ont leurs côtés proportionnels, ils seront équiangles, et ils auront les angles soutendus par les cótés homologues égaux entr'eux. Soient deux triangles ABT, AEZ, ayant les côtés proportionnels, que 48 soit
à ΒΓ comme AE est à EZ, que BT soit à TA comme EZ est à ZA, et que BA soit à AT comme ἘΔ est à ΔΖ; je dis que les triangles ΑΒΓ, ΔῈΖ sont équiangles, et que les angles soutendus par les côtés homologues serout égaux, l'angle
ABr égal à l'angle AEz, l'angle BrA reel à l'angle Eza, et enfin l'angle ΒΑΓ égal à l'angle Eaz.
805 ἘΞ , \ \ ^ e. 9n 7 ^ e aUye7TATU yp πρὸς Th EZ eue, καὶ τοῖς 4 >? à ͵ ^ OU EE REY
7rpoc αὐτῇ σήμειίοις τοις E, Z, τὴ jus ὑπὸ ABT
D 2 3 !
ν᾿ el Sei y € γωνίᾳ icu ἡ ὑπὸ ZEH, τῇ δὲ ὑπὸ BIA ica m εἰ δ
: VisM 1 ELU ES VERUS v0 EZH° λοιπή epa ἢ προς τῷ Δ λοιπῇ πρὸς τῷ 32 A Ld H eei 10. , TES Ὑϑδι = Issyovior ἀρὰ ἐστὶ τὸ ABT τρίγωνον τῷ EHZ^* Ads i e ; > à τῶν dpt ΑΒΓ. EHZ Tpryovey araAo), ὅν εἶσιν αἱ m E
E s c NU / = E T ASUpai, ei "epi τὰς 4090.6 γῶν μος. καὶ ἰβολογοι αἱ
D
e X \ v 7 NC , L4 VT Ó τας σας γωνίας πλευραὶ ὑποτείνουσαι" ἐστιν “ ε e \ ' el 2 € \ \ ἄρα ὡς n ΑΒ πρὸς τὴν BI ovToc" n HE πρὸς viv 3 ε ε M Y ei ε , EZ. AAA ὡς n AB mpos τὴν ΒΓ ουτῶς υὑποκεῖ- ε M \ NA, ε » e M Tas n AE πρὸς τὴν EZ* xai! ὡς ἄρα n AE πρὸς M ei , N M € , 3. τὴν EL οὐτῶς ἡ HE πρὸς τὴν EZ* ἑκάτερα apa ^ ^ \ \ , \ » ΄ τῶν NE, ΗΕ πρὸς τῆν EZ τὸν αυτὸν eyes λογον" HS UC AC E Y uude ORIS ion apa ἐστὶν ἡ AE τῇ HE. Ait τὰ αὐτὰ Of δὰ » ES » \ [2 » E \ καὶ ἡ AL τῇ HL εστὶν 104, Ἐπεὶ οὖν 103 eoTiy
ἡ AE τῇ EH, κοινὴ δὲ m EZ, δύο δὴ αἱ AE,
Construisons sur EZ et aux points
l'angle EzH égal à langle Bra (28. 7351
restant H (52. 1). Les triangles ΑΒΓ, ΕΗΖ seront équ
cótés autour des augles égaux sont proportionnels ,
les angles égaux sont homologues (4. 6); donc AB tre à ΒΓ comme AE est à EZ; donc AE est à EZ
EZ, Mais AB est supposé e
comme HE est à Ez (11. 5); donc chacune
raison avec EZ; donc ΔῈ est égal à HE (9. 5). | ie AE est égal à EH, et que la droite EZ est
par la méme raison. Donc, puisq:
LE SIXIEME LIVRE DES
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
enim ad EZ ad
puncta in eà E, Z, ipsi quidem ABT angulo
Constituatur rectam , et equalis ZEH , ipsi vero æqualis BTA ipse EZH ; reliquus igitur ad A reliquo ad H est æ- qualis.
Æquiangulum igitur est ABP triangulum ipsi EHZ; ipsorum igitur ABT, EHZ triangulorum
preporüonalia sunt latera, circum æquales an-
A A 920 { f ΖΞ τ LIIS 2 05 i & OX H
gulos, et homologa 2 quales angulos latera sub- tendunt; est igilur ut AB ad ΒΓ ita HE ad EZ. Sed ut AB ad ΒΓ ita ponitur AE ad EZ; et ut igitur AE ad EZ ita HE ad EZ; utraque igitur ipsarum AE, HE ad EZ eamdem habet rationem ; æqualis igitur est AE ipsi HE. Propter eadem ulique et AZ ipsi HZ equalis est. Et quoniam equalis est AE ipsi EH, communis autem
EZ; due uique AE, EZ duabus HE, EZ
E, Z l'angle ZEH égal à langle ΑΒΓ et angle restant A sera égal à l'angle
iangles ; donc dans les triangles ΑΒΓ, EHZ, les
et les cótés qui soutendent est à ΒΓ comme HE est à
des droites AE, HE a la méme La droite Az est égale à Hz,
LE SIXIEME LIVRE DES
EZ δυσὶ ταῖς HE, EZ ἴσαι εἰσὶ. καὶ βάσις ἡ ZA βάτει τῇ LH ἐστὶν ἴση5" γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔῈΖ γωνία τῇ ὑπὸ HEZ ἐστὶν ion. Καὶ τὸ AEZ pus γῶνον τῷ ΗΕΖ τριγώνῳ ἴσον. καὶ αἱ oid γωνίαι ταῖς λοιποῖς γωνίαις ἴσαι, ὑφ᾽ cc : ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν" ἔση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ HZE, ἡ δὲ ὑπὸ EAZ τῇ ὑπὸ EHZ. Καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν ὑπὸ ZEA τὴ ὑπὸ LEH ἐστὶν ἴση. ἀλλ᾽ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ τῇ ὑπὸ ABT ἐστὴν ἴσηθ" καὶ ἡ ὑπὸ ABT ἄρα γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ ἐστὶν ἴση. Aid τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ piv? ὑπὸ ABT τῇ ὑπὸ ΔΖΕ ἐστὶν ἴση. καὶ ἔτι ἡ πρὸς τῷ A πρὸς τῷ Δϑ" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ABT τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Ἐὰν ἄρα
δύο, καὶ τὰ ἑξῆς. IIPOTAXIX c.
; a US
Ἐὰν δύο τρί toyzt μίαν γωνίαν μιᾷ γωνίᾳ ἴσην
» / H 4 1,67
ἔχη. περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρᾶς avi ΗῚ LA À , z \ »
Aoyo»r* ἰσογώνια ἔσται τὰ τρίγωνα , sci σας
xz \ 1 €, 19 509 εἰ se ΄ NS \
ζει τὰς γωνίας) UQ ἂς οἱ ομολογοι πλευραὶ
ποτείνουσιν.
commune , les deux droites ΔῈ, Ez sont égales aux deux droites HE, EZ; la base ZA est égale à la base ΖΗ; donc l'angle AEz est égal à ]' (8. 1); donc le triangle ΔῈΖ est égal au triangle HEZ, et les autres angle soutendent des côtés égaux sont égaux; donc P HZE, et l'angle E4Z égal à l'angle ΕΗΖ, Et puisque ZEA est égal à et que l'angle HEZ est égal à l'angle ΑΒΓ, l'angle Par la méme raison, l'angle ATB est égal à l'angle AzE
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 3o3 æquales sunt, et basis ZA basi ZH est «qualis; angulus igitur AEZ angulo HEZ est equalis. Et AEZ triangulum ipsi HEZ triangulo «quale , ct reliqui. anguli reliquis angulis zquales , quos æqualia latera subtendunt ; æqualis igitur est et AZE quidem angulus ipsi HZE, ipse vero ΕΔΖ ipsi ΕΗΖ. Et quoniam ipse quidem ΖΕΔ ipsi ZEH est æqualis, sed ΗΕΖ lpsi ΑΒΓ est æqua- lis, et ABT igitur angulus ipsi AEZ est equalis. Propter eadem ulique ipse quidem ΑΒΓ ipsi ΔΖΕ est æqualis, et insuper ipse ad A ipsi ad Δ; æquiaugulum igitur est ΑΒΓ iriangulum
ipsi AEZ triangulo, Si igitur duo, etc.
PROPOSITIO VI.
$1 duo triangula unum angulum uni angulo æqualem habeant, circa equales autem angu- los latera proportionalia ; æquiangula erunt triangula, et æquales habebunt angulos,
quos homologa latera subtendunt.
mais
angle ΗΕΖ
8 que
angle AzE est égal à l'angle mr
à l'angle ΖΕΗ,
ABT est égal à l'angle ΔΕΖ,
LA,
et l'angle en A égal
à l'angle en ^; donc les triangles ΑΒΓ, ΔῈΖ sont équiangles. Donc, etc.
PR OBOSITION V
Si deux triangles ont un angle égal à un angles égaux sont proportionnels, ces deux
angle, et si les côtés autour des triangles seront équiangles, et les
angles soutendus par des côtés homologues seront égaux.
d CIN TRI JDT 304 LE SIXIEME LIVRE DES , , M - , , Ἔστω δύο τρέγωνὰ τῷ ΑΒΓ. AEZ, μιὰν γωνίαν \ ^. e € \ LA # σὴν υπὸ BAT μιᾷ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ Sony ἔχοντα, \ M MY , \ \ 5, , περὶ δὲ τὰ ἴσας γωνίας τὰς πλευρᾶς ἀνάλογον. ε { \ \ e \ \ ὡς τὴν BA πρὸς τὴν AT οὕτῶς τὴν ἘΔ πρὸς 4 , e , , M τὴν AZ* λέγω ὅτι ἰσογώνιόν ἐστὶ τὸ ABT τρί- T , » qo \ A 20voy τῷ AEZ τριγῶνῳ καὶ ἴσην ἕξει τὴν μὲν T * V EE. 3X EZ, τῇν δὲ ὑπὸ ATB
(e lie 7! ὑπὸ
ὑπὸ ABT Soyiay
e 4 -- 7Ὲ 7" ὑπὸ AZE.
τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς À, Z, n - \ εε μὲν τῶν ὑπὸ BAT, ΕΔΖ ica! a ὑπὸ ZAH,
δὲ ὑπὸ AIB ἔτη ἡ ὑπὸ AZH.
D D
^ E € Aor ἀρὰ on
» , DB , Li , \ \ πρὸς τῷ H ien ἐστίν" Ἰσογῶνιον ἄρα ἐστί τὸ ABT
^ , πρὸς τῷ B γωνία" λοιπῇ τῇ
^ , * 4 x , A: τρίγωνον 70 ΔΗΖ τριγώνῷ" αναλογὸν ἀρὰ ἐστιν e e \ A! ὡς ἡ BA πρὸς τὴν AT οὕτως ἡ HA προς τὴν AZ. \ e; le n \ e Ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς ἡ BA πρὸς τὴν AT cUTwS
ἡ EA πρὸς τὴν ΔΖ" καὶ ὡς ἄρα ἡ ἘΔ πρὶς τὴν
DT PRIT NM 1 ELEMENTS D'EUCLIDE. Sint duo triangula ABT, ΔΕΖ, u
it di ang ; ΔΕΖ, unum angu- lun BAT uni angulo ΕΔΖ equalem habentia , circa equales autem angulos latera propor- tionalia, ut BA ad AT ita EA ad AZ; dico mquangulum esse ABT triangulum ipsi AEZ triangulo, et equalem habiturum esse ΑΒΓ quidem
angulum ipsi ΔΕΖ, ipsum vero ΑΓΒ lpsi AZE.
Constituatur enim ad AZ quidem rectam , et ad puncta in ipsà A, Z , alterutri ipsorum quidem BAT, EAZ æqualis angulus ZAH , ipsi vero ΑΓΒ æqualis ipse AZH.
Reliquus igitur ad B angulus reliquo ad H equalis est; equiangulum igitur est ABT trian- AHZ triaogulo; proportionaliter BA ad AT ita HA ad AZ. Ponitur autem. et ut BA ad. AT ita EA ad AZ; et ut igitur EA ad AZ ita HA ad ΔΖ;
gulum ipsi
igitur est ut
Soient les deux triangles ΑΒΓ, AEZ, ayant l'angle BAT égal à l'angle EAz, et
les côtés autour des angles égaux proportionnels, de manière que BA soit à AT comme EA est à AZ; je dis que les triangles ABT, AEZ sont équiangles, et que l'angle Abr est égal à l'angle 4Ez, et l'angle ArB égal à l'angle azt.
Sur la droite Az, et aux points ^, Z de cette droite, construisons l'angle 2ΔΗ égal à l'un ou à l'autre des angles BAT, Eaz, et l'angle azH égal à l'angle AIB (23. 1r).
L'angle restant en B sera égal à l'angle restant en 4 (52. 1); donc les triangles ABT, AHZ sont équiaugles; donc BA est à AT comme Ha est à az (4. 6). Mais on suppose que BA est à AT comme Ea est à AZ; donc Ea est à AZ comme Ha
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 305
AZ οὕτως ἡ HA πρὸς Ty AZ*' ien dpa ^u EA τῇ AH, καὶ κοινὴ ἡ AZ* δύο δὴ αἱ EA, AZ δυσὶ ταῖς HA, AZ ἴσαι εἰσὶ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΔΖ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ HAZ ἴση" βάσις ἄρα ἡ EZ βάσει τῇ ZH ἐστὶν ἴση. καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ AHZ τριγώνῳ ἴσον ἐστὶ, καὶ αἱ λοιπαὶ γω- vía) ταὶς λοιπαὶς γωνίαις ἴσαι ἔσονται! ὑφ᾽ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν" ἴση ἄρα ἐστὶν ἢ μὲν ὑπὸ AZH τῇ ὑπὸ ΔΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ AHZ τῇ ὑπὸ AEZ). AAX ἡ ὑπὸ AZH τῇ ὑπὸ AIB ἐστὶν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ATB ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΖῈ ἐστὶν ἴση. Ὑπόκειται δὲ καὶ ἡ ὑπὸ BAT τῇ ὑπὸ ΕΔΖ ἴση. καὶ λοιπῇ ἄρα ἡ πρὸς τῷ Β λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Ε ἴση ἐστίν" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρί- γῶωνον τῷ ΔῈΖ τριγώνῳ, Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα,
\ \ tex καὶ Ta ἑξῆς.
æqualis igitur EA ipsi AH, et communis AZ; duæ igitur EA, AZ duabus HA, AZ æquales sunt, et angulus EAZ angulo HAZ æqualis ; basis igitur EZ basi ZH est æqualis, et AEZ triangulum ipsi AHZ triangulo æquale est, οἱ reliqui anguli reliquis angulis equales erunt, quos æqualia latera subtendunt ; equalis igitur est AZH quidem ipsi AZE, ipse vero AHZ ipsi ΔΕΖ. Sed ipse AZH ipsi ΑΓΒ est æqualis, ct ATB igitur Ipsi AZE est æqualis. Ponitur autem ct BAT ipsi ΕΔΖ «qualis; et reliquus igitur ad B reliquo ad E æqualis est; æquiangulum igitur est ABT. triangulum ipsi AEZ triangulo.
Si igitur duo triangula, etc.
est à ΔΖ (11. 5); donc E^ est égal à ΔῊ (9. 5); mais az est commun; donc les deux droites ΕΔ, az sont égales aux deux droites HA, Az; mais l'angle EAZ est égal à l'angle HAz; donc la base Ez est égale à la base ΖΗ (4. 1); donc le triangle ΔῈΖ est égal au triangle AHz, et les autres angles seront égaux aux autres angles, savoir, ceux. qui sont soutendus par des cótés égaux ; donc langle AZH est égal à l'angle 4ZE; et langle AHz égal à l'angle AEz. Mais l'angle AzH est égal à l'angle Arb; donc l'angle ATB est égal à AzE. Mais l'angle BAT est supposé égal à l'angle Eaz ; donc l'angle restant en B est égal à l'angle restant en E (52. 1); donc les triangles ΑΒΓ, AEZ sont équiangles. Donc, etc.
306 IPOTASIE ©
Sp dU PAPY ATP 9 TU ; [« 10i Ecy duo τρίγωνα μιᾶν γωνίαν pie Y@VIL ἰσὴν 1 \ i \ X ^ , ' H ἔχ". περι de Tac! ἀλλας γωνίας τὰς πλευρᾶς 5 ^ M ^ e , e 53) ἀνάλογον ; τῶν δὲ λοιπῶν εκάτεραν ἅμα TOI 32 , 3 v.» , ΕΣ ^ 5 , 3 ἐλάσσονα. ἢ JAN ἐλάσσονα ὀρθῆς" Ἰσογῶνα εἐσται \ , Ny Te \ / EUN ni τὰ τρίγωνα. καὶ ἰσὰς 2681 τὰς γωνίας; περὶ ας
, ré , , e 7 ἀνάλογον εἰσὶν αι πλευραὶ!»
Ἑστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ, μίαν γω-
ΕΣ » Y € A ^ víay μίᾳ γωνίᾳ ἴσην ἔχοντα. τῆν ὑπὸ BAT τῇ
ὑπὸ EAZ , περὶ δὲ ἄλλας γωνίας τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ. τὰς πλευρὰς ἀνάλογον". ὡς τῆν ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ οὕτως τὴν ΔῈ πρὸς τὴν EZ, τῶν δὲ λοι- πῶν τῶν πρὸς τοῖς T, Z πρότερον ἑκατέραν ἅμα
ἐλάσσονα ὀρθῆς" λέγω ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
PROPOSITIO VII.
Si duo triangula unum. angulum uni angulo æqualem habeant, circa alios autem angulos latera proportionalia, reliquorum vero utrum- que simul vel minorem, vel non minorem recto ; æquiangula erunt triangula , et equales habebunt angulos , circa quos proportionalia sunt latera.
Sint duo triangula ABT, ΔΕΖ, unum angu-
lum uni angulo æqualem habentia , ipsum BAT
A A H : B r Ζ
E
ips EAZ , circa alios autem angulos ABT, AEZ, latera proportionalia, ut AB ad ΒΓ ita AE ad EZ, reliquorum vero ad T, Z pri- mum utrumque simul minorem recto; dico
æquiangulum esse ABI iriangulum ipsi AEZ
PROPOSITION Ὑ1}
Si deux triangles ont un angle égal à un angle, si les côtés autour des autres angles sont proportionnels , et si l'un et l’autre des angles restants sont en méme temps ou plus petits ou non plus petits qu'un droit, les triangles
seront équiangles, et les angles compris par les côtés proportionnels seront égaux. ,
Soient les deux triangles ΑΒΓ, AEZ, ayant un angle égal à un angle, savoir, l'angle BAT égal à l'angle EAz, et les côtés autour des autres angles ABT, AEZ proportionnels entr'eux, de manière que AB soit à BT comme AE est à EZ, et
que chacun des autres angles enr, z soit d'abord plus petit qu'un angle droit;
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Pa v à ͵ ΧΡ PES IG RUIN τρίγωνον τῷ AEZ τριγώνῳ 5 καὶ ἴση ἔσται ἢ ὑπὸ ABT γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, καὶ λοιπῆ" δηλονότι ἡ “πρὸς τῷ T λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Z ion
Ej γὰρ ἄνισός éorir ἡ ὑπὸ ABT γωνία Th ὑπὸ AEZ, μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. Est μείζων ἡ ὑπὸ ΑΒΓ’ καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ AB εὐθείᾳ, iei πῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῶ B, Tj ὑπὸ ΔῈΖ γον ς ica ἡ ὑπὸ ABH.
Καὶ ἐπεὶ ἔση ἐστὶν ἡ μὲν A γωνία Th Ay " δὲ ὑπὸ ΑΒΗ γωνία" τῇ ὑπὸ ΔΕΖ, λοιπὴ dps à ὑπὸ AHB λοιπῇ τῇ ὑπὸ AZE ἐστὶν ἴση" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ABH τρίγωνον τῷ ΔῈΖ τριγώνῳ" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ AB πρὸς τὴν ΒΗ οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν EZ. Qc δὲ ἡ ΔῈ πρὸς τὴν ΕΖ ὑπόκειται οὕ- coc ἡ AB πρὸς τὴν BI* καὶ ὡς ἄρα ἡ AB πρὸς τὴν ΒΓ οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ“, à AB Bpæ'mpos ἑκατέραν τῶν BT, BH τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ BT τῇ BHÓ* ὥστε καὶ γωνία n πρὸς TO T γωνίᾳ τῇ ὑπὸ BHT ἰστὶν P917. Ἑλώττων jv ὀρθῆς ὑπόκειται ἡ πρὸς τῷδ T° ἐλάττων ipit ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ΒΗΓ. ὥστε n ἐφιξῆς αὐτῇ qoia, ἡ ὑπὸ AHB μείζων ἐστὶν ὀρθῆς, Καὶ ἐδείχθη
7 [d - M LONE A € 1 ^ Xy 15% οὔσα τὴ πρὸς τῷ Ζ. καὶ Ἢ πρὸς τῷ Z ἀρῶ
je dis que les triangles ΑΒΓ, ΔῈΖ sont
307 triangulo ; et qualem fore ABP. angulum. ipsi ΔΕΖ, et reliquum videlicet ad P reliquo ad Z se qualem.
Si enim inæqualis est ABI 'angulus ipsi ΔΕΖ, uuus-ipsorum major est. Sit major ABD; et constituatur ad AB rectam. et ad. punctum. in €à-B ; ipsi AEZ angulo zqualis ipsc ABH.
Et: quoniam equalis est À quidem angulus ipsi Δ, ipse vero ΑΒΗ angulus ipsi ΔΕΖ, re- liquus igitur AHB reliquo AZE est æqualis ; æquiangulum igitur est ΑΒΗ triangulum ipsi ΔΕΖ triangulo ; est igitur ut AB ad BH ita AE ad EZ. Ut autem AE ad EZ ponitur ita AB ad Br; ctutigitur AB ad ET ita AB ad BH, ipsa ligitur AB ad utramque ipsarum BT, BH eam- dem habet rationem ; æqualis igitur est BT ipsi BH; quare ct angulus ad T angulo BHT est equalis. Minor autem. recto ponitur ipse ad T; minor igitur est recto. ipse BHT, quare ipse ei deinceps engulus AHB major est recto. Et ostensus est æqualis esse ipsi ad Z, et ipse
ad Z igitur major est recto. Ponitur aütem
équiangles, que l'angle ABr est égal à
l'angle AEz, et l'angle restant en r égal à l'angle restant en z. Car si l'angle Abr n'est pas égal à l'angle AEZ, l'un des deux sera plus
grand. Que l'angle ABr soit le plus grand; et construisons sur la droite AB et au point B de cette droite, l'angle ABH égal à l'angle ΔῈΖ (25. r).
Et puisque l'angle 4 est égal à l'angle ^, et l'angle ABH égal à l'angle ΔῈΖ langle restant AHB est égal à l'angle restant AzE (52. 1); donc les triangles ΑΒΗ; AEZ sont équiangles; donc AB est à BH comme ΔῈ est à ΕΖ (4. 6). Mais AE est supposé étre à Ez comme AB est à ΒΓ (11. 5); donc AB est à Br comme AB est à BH; donc la droite AB a la méme raison avec chacune des droites ΒΓ, BH; donc Pr est égal à ΒΗ; donc l'angle en r est égal à l'angle ΒΗΓ (5. 1). Mais l'angle en r est supposé plus petit qu'un droit; donc l'angle ΒῊΓ est plus petit qu’un droit; donc l'angle de suite ΑΗΒ est plus grand qu'un droit (15. 1). Mais on a démontré qu'il est égal à l'angle z; donc l'angle z est plus grand qu’un
308 μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. Ὑπόκειται δὲ ἐλάσσων ὀρθῆς, 3 Y AP PEN à περ ἀτοπον" οὐκ ἀρὰ ἀνισὸς ἐστιν ἢ ὑπὸ ABT γωνία τῇ ὑπὸ AEL, icu dpa. Ἐστι δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ A ἴση τῇ πρὸς τῷ A, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ πρὸς TT Ain τῇ πρὸς τῷ Z ἴση ἐστίν" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ. Αλλὰ δὴ πάλιν ὑποκείσθω ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς T, Z μὴ ἐλάσσων ὀρθῆς" λέγω πάλιν oTi καὶ οὕτως ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ
ΔΕΖ τριγώνῳ.
Β
^ ' > t Lu 7] Tày» γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων. ὁμοίως / LÀ » > \ € ^ e A δείξομεν CTI Ion ἐστὶν n BT τῇ BH* ὥστε καὶ , € M ^ nm € x ” 2 [A 5 γωνία ἡ πρὸς Τῷ T τῇ ὑπὸ BHT c2 ἐστιν, Οὐκ 3 (4 ΔΕ 3 ^ LÀ \ b 3, > , Li ἐλάττων δὲ ἐρθῆς ἡ πρὸς τῷ Γ. οὐκ ἐλαττῶν ἀρὰ ΕΠ DE ͵ 1 “ ὀρθῆς οὐδὲ ἡ ὑπὸ ΒΗΓ. Τριγώνου du! τοῦ ΒΗΓ 9. ^ > s ὃ , , αἱ δύο γωνία, δύο ὀρθῶν οὐκ εἰσὶν ἐλάττονες. e , LS E ' ΕἸ » D » 1 OTEp ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ ἄρα πάλιν ἄνισος ἐστιν
ἡ ὑπὸ ABI γωνία τῇ ὑπο ΔΕΖ; ich ἄρα, Ἐστι
Α | r
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
minor recto , quod absurdum ; non igitur inz- qualis est ABT angulus ipsi AEZ, æqualis igi- tur. Est autem et ipse ad.A equalis ei ad A, ct reliquus igitur ad T. reliquo ad Z a qualis est; æquiangulum igitur est ABD Uiangulum ipsi AEZ triangulo.
Sed et rursus ponatur uterque ipsorum ad LT, Z non minor recto; dico rursus et sic æquiangulum esse ABI triangulum ipsi AEZ triangulo.
A E Z lisdem enim consiructis, similiter ostende- mus æqualem esse BP ipsi BH; quare et an- gulus ad P ipsi ΒΗΓ aequalis est. Non minor aulem recto ad T; non minor igitur recto neque ipse ΒΗΓ. Triangul igitur ΒΗΓ duo anguli duobus rectis non sunt minores, quod
est impossibile ; non igitur rursus inæqualis
est ABT angulus 3psi ΔΕΖ; æqualis igitur.
droit. Mais on a supposé qu'il était plus petit qu'un droit, ce qui est absurde ; donc les angles ABr, AEZ ne sont pas inégaux ; donc ils sont égaux. Mais l'angle en A est égal à l'angle en ^; donc l'angle restant en T est égal à l'angle restant en Z; donc les triangles ABT, AEZ sont équiangles.
Mais que chacun des angles r, z ne soit pas plus petit qu'un droit; je dis encore que les triangles ABr, AEZ sont équiangles.
Ayant fait la méme construction, nous démontrerons semblablement que ΒΓ est égal à BH; donc l'angle en r est égal à l'angle ΒΗΓ, Mais l'angle Τ n'est pas plus petit qu'un droit; donc l'angle ΒΗΓ n'est pas plus petit qu'un. droit. Donc deux angles du triangle ΒΗΓ ne sont pas plus petits que deux droits, ce qui est impossible (17. 1), donc les angles ABT, AEZ ne sont pas encore
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
D y ^ m \ \ δὲ καὶ ἡ πρὸς TQ A τῇ πρὸς τῷ Δ i9", λοιπὴ x € ' D -“ ne H re » > / ἄρα Ἡ πρὸς τῷ T λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ Z Ion ἐστιν"
L4 ' , ^ ἰσογώνιον epa ἰστὶ τὸ ABT τρίγωνον τῷ ΔῈΖ Tps-
vos ; Noc tgAS γώνῳ, Ἐὰν ἄρα duo τρίγωνα. καὶ τα εξῆς.
HPOTAZIZ m.
', 5 9, b 1 , 5 * ^ 3 65 2 E Ἐὰν εν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ aro τῆς opone γῶ 7 , \ V [4 , 5 ^ * ' LU νίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἀχθῇ" T& πρὸς τῇ , / e 2213! Ν (^ el L > , καθέτῳ τρίγωνα ὁμοία ἐστί TQ) TE ὅλῳ καὶ aAA ^01€,. ) > , , DOT NE
Ἔστω τρίγωνον ὀρθογῶνμον τὸ ΑΒΓ. ὀρθὴν txov
H ' y 3n ^ SUN τὴν ὑπὸ BAT γωνίαν. καὶ ἤχθω ἀπὸ TOU À ἐπὶ
Α
Δ
τὴν BT κάθετος ἡ AA* λέγω ὅτι ὅμοιόν ἐστιν ἑκά- τερον τῶν ABA , AAT τριγώνων ὅλῳ τῷ ΑΒΓ καὶ ἔτι ἀλλήλοις.
309 Est autem et ipse ad A ipsi ad A equalis, re- liquus igitur ad P reliquo ad Z equalis. est; æquiangulum igitur est ΑΒΓ triangulum ipsi
ΔΕΖ triangulo. Si igitur duo triangula, etc.
PROPOSITIO VIII.
Si in rectangulo triangulo ab recto angulo ad basim perpendicularis ducatur; ipsa ad per- pendicularem triangula similia sunt ct toti et inter se,
Sit triangulum rectangulum ABT, rectum habens BAT ongulum , et ducatur ab A ad Br
r
perpendicularis AA; dico simile esse utrum-
que ipsorum ABA', AAT triangulorum toti ABT et insuper, inler se.
inégaux ; donc ils sont égaux. Mais l'angle en A est égal à l'angle en ^; donc l'angle restant en r est égal à l'angle restant en z (52. 1); donc les triangles
ABT, AEZ sont équiangles. Donc, etc.
PROPOSITION VIII.
Si dans un triangle rectangle on mène une perpendiculaire de l'angle droit sur la base, les triangles adjacents à la perpendiculaire sont semblables au
triangle entier et semblables entr'eux.
Soit le triangle rectangle ΑΒΓ, ayant l'angledroit ΒΑΓ ; du point A menons sur la base m la perpendiculaire 4a ; je dis que les triangles ΑΒΔ, AAr sont semblables au triangle entier ABI et semblables entr’eux.
310 b! Y ra M, » \ € τι fl fe € xL Ἐπεὶ yap. πη ἐστὶν à voro BAT γωνιαὶ Ti ucro , ' ^ e J \ ' ^ δύ ΑΔΒ, ὀρθὴ yep ἑκάτερα. καὶ xor τῶν δυο τρι- - Ν ^ ε M ^ X γώνων roUTs ABT καὶ τοῦ ABA à πρὸς τῷ B* λοιπή » Α ^ e vy οὖν 3 \ vy dpa ἡ ὑπὸ ATB λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΒΑΔ ἐστὶν 15° D , \ \ / - ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ABT τρίγωνον τῷ ABA 3} € € € 7 \ τριγώνῳ. Ἐστὴν apa ὡς ἡ ΒΓ ὑποτείνουσα τὴν \ ^ \ \ e , ὀρθὴν του ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὴν BA υποτείνου- \ E , el 2- N σαν τὴν ὀρθὴν TOU ΑΡΔ τριγώνου OUTWE ŒUTi
€ \ \ e / rs 3 AB ὑποτείνουσα τὴν πρὸς τῷ Y γωνίαν TOU
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Quoniam enim æqualis est BAT angulus ipsi AAB, reclus enim ulerque, et communis duo- bus triangulis et ΑΒΓ et ABA 1pse ad B ; reliquus igitur ATB reliquo BAA est equalis ; æquian- gulum igiiur est ADP triangulum ipsi ABA iriangulo. Esi igiiur ut DP subiendens rectum ipsius ABT ivianguli ad BA subtendentem an- gulum rectum ipsius ABA trianguli , ita eadem
AB subtendens ipsum ad F augulum )psius
A b A
Nov
ABT τριγώνου πρὸς τὴν BA ὑποτείνουσαν τὴν ἴσην — ABT trianguli ad BA subtendentem angulum
τῇ πρὸς τῷ Γ΄. τὴν ὑπὸ ΒΑΔ τοῦ ABA τριγώ- æqualem ipsi ad P, ipsum ΒΑΔ ipsius ABA
νου" καὶ ἔτι καὶ AT πρὸς τὴν ΑΔ ὑποτείνουσαν — Wianguli; et ctiam. AT ad AA subtendentem
ipsum ad B angulum, communem duobus
τὴν πρὸς τῷ B γωνίαν. κοινὴν τῶν δύο τριγώνων" τὸ ABT ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ iroyévioy Wiangulis ; ipsum ABT igitur triangulum ipsi Tí i671, καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσὰς γωνίας πλευρὰς ΑΒΔ triangulo οἱ æquiangulum est, et ipsa circa ἀνάλογον ἔχει" GA0EOY ἄρα ἐστὶ" τὸ ΑΒΓ τρίγω- — wquales angulos latera proportionalia habet ;
voy τῷ ABA τριγώνῳ. Ομοίως δὴ δείξομεν . ὅτε. sumile igitur est ΑΒΓ triangulum ipsi ABA trian-
Car puisque l'angle Bar est égal à l'angle ΑΔΒ, étant droits l'un et l'autre, et que l'angle en 5 est commun aux deux triangles Abr, ABA, l'angle restant ArB est égal à l'angle restant ΒΑΔ (52. 1); donc les deux triangles ΑΒΓ, ABA sont équiangles. Donc le cóté Br qui soutend l'augle droit du triangle ABr, est au côté BA qui soutend l'angle droit du triangle ΑΒΔ, comme le côté AB qui sou- tend l'angle en r du triangle ΑΒΓ, est au côté BA qui soutend un angle égal à l'angle r, c'est-à-dire l'angle 844 du triangle ΑΒΔ, et comme le côté ar est au cóté AA qui soutend l'angle B, commun aux deux wiangles; donc les triangles ABT, ABA sont équiangles, et ils ont les côtés autour des angles égaux proportionnels (4. 6); donc le triangle ABr est semblable au triangle ABA (déf. r. 6). Nous démontrerons semblablement que le triangle AAT est
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
LU e > καὶ τῷ AAT τριγώνῳ ὅμοιον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρί- € , 3 ^ γωνονΐ" εκάτερον ἀρὰ τῶν ABA, ΑΔΓ τριγώνων
e , 2 y ^ , 5 ὅμοιόν ἐστιν ὅλῳ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ".
Λέγω du, ὅτι καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια τὰ ABA, AAT τρίγωνα. ͵
Ἐπεὶ γὸρ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ ἐστὶν ἴση. ἄλλα μὴν καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ T ἐδείχθη ion, καὶ λοιπὴ ἄρα à πρὸς τῷ B λοιπῇ τῇ ὑπὸ AAT ἐστὶν ἴση" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΑΔΓ τριγώνῳ. Ἐστιν ἄρα ὡς 4 BA τοῦ ΑΒΔ τριγώνου. ὑποτείνουσα, τὴν ὕπο ΒΑΔ. πρὸς τὴν ΔΑ τοῦ ΑΔΓ τριγώνου. ὑποτει-- 6
\ \ ne > "v1: 22 iN youcay τὴν πρὸς τῷ T γωνίαν, ἴσην Ty υπὸ ΒΑΔ,
ε
: ^ , e / οὕτως αὐτὴ # ΑΔ τοῦ ABA τριγώνου , υποτεῖ- M \ Ὁ V \ € γουσα τὴν πρὸς τῷ B yevie y πρὸς τὴν AT vzro- \ era ^ , » τείνουσαν τὴν ὑπὸ AAT τοῦ AAT τριγώνου. ἴσην ^ M L3 Vu € € , M TW πρὸς τῷ B* καὶ €T) ἢ ΒΑ υποτείνουσω τῆν 5» \ \ ES \ \ € / ὀρθὴν τὴν ὑπὸ ΑΔΒ. πρὸς Τὴν AT υποτείνουσαν ΝΡ etus nd xy E NBN τὴν ὀρθὴν τήν ὑπὸ AAT/* ὁμοιον ὥρα ἐστι τὸ ABA ! ^ / , \ "ἡ 3 3 / τρίγωνον τῷ AAT τρίγωνῳ. Ear apa, ey ὀρθογωνίῳ 5
NODIS καὶ τὰ ezuc.
311 gulo. Similiter utique ostendemus et ipsi AAT triangulo simile esse ABT triangulum ; utrum- que igitur ipsorum ΑΒΔ, AAT triangulorum simile est toti ABT triangulo.
Dico etiam et inter se esse similia ABA, AAT triangula.
Quoniam enim rectus BAA recto AAT est equalis, sed quidem et ipse ΒΑΔ ipsi ad T ostensus est equalis, et reliquus igitur ad B reliquo AAT est equalis; æquiangulum igitur est ABA triangulum ipsi AAT triangulo. Est lgitur ut BA ipsius ABA trianguli, subtendens ipsum ΒΑΔ, ad AA ipsius AAT trianguli , subtendentem ipsum ad T angulum, #æqualem ipsi ΒΑΔ, ita cadem AA ipsius ABA trianguli , subtendeus ipsum ad B angulum, ad Ar sub- lendentem AAT angulum ipsius AAT trianguli, aequalem ipsi ad B, ct etiam BA subtendens rectum ΑΔΒ, ad AT subtendentem rectum AAT; simile igitur est ABA triangulum ipsi
AAT triangulo. Si igitur in reclangulo, etc.
semblable au triangle ΑΒΓ; donc chacun des triangles ABA, Aar est semblable
au triangle entier ΑΒΓ,
Je dis aussi que les triangles ABA, Aar sont semblables entr'eux.
Car puisque l'angle. droit 544 est égal à l'angle droit ΑΔΓ, et qu'on a démontré que l'angle ΒΑΔ est égal à l'angle en r, l'angle restant en Β est égal à l'angle restant AAT (52. 1); donc les deux triangles ABA, AAT sont équiangles. Donc le côté BA du triangle ABA, qui soutend l'angle ΒΑΔ, est au côté 44 du triangle ΑΔΓ, qui soutend l'angle r, égal à l'angle ΒΑΔ, comme le côté 44 du triangle 484, qui soutend l'angle en 5, est au côté ar, qui soutend l'angle aar du triangle AAT, égal à l'angle en 5; et comme le côté BA, qui soutend l'angle droit ΑΔΒ, est au côté AT qui soutend l'angle droit A4r (4. 6); donc le triangle ABA est sem- blable au triangle Aar (déf. 1. 6). Donc, etc.
812
ΠΟΡῚΣΜΑ,
\ , \ e 1 ιν "
Ex d'u τούτου φανερὸν, τι ev ev ὀρθογωνίῳ τρι-
, » X ^ » ^ , > \ Δ , 182 γώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν βάσιν κάθε-
, E DES ^ ^ -“ ͵ y
τὸς ἀχθῇ. ἡ ἀχθεῖσα τῶν τῆς βάσεως τμημάτων , 3 , , > 8. \ ^ g , " > \ μέση ἀνάλογόν ἐστιν" καὶ ἔτι τῆς βάσεως καὶ
εν» ε M ^ , € X ^^ , ἑνὸς ὁποτερουοῦν τῶν τμημάτων ἡ πρὸς TQ τμή-
\ ^ » , , 2 ματι πλευρὰ μεσὴ ἀνσλογὸν ἐστιν, IIPOTAZIZ 6.
n X ; τὸ πρισταχθὲν μέρος
ὧν » xe e m RÀ 5 Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα à ΑΒ' dei δὴ τῆς AB ν ΒΟ RUE τὸ προσταχθεν μερὸς ἀφελεῖν, ἢ NN USD : ;
πιτετάχθω δὴ τὸ τρίτον" καὶ; διήχθω τὶς
^ » \ ^ € ͵ Ψ εὐθεῖα ἀπὸ τοῦ À ἡ AT, γωνίαν περιέχουσα ^ ^ N » -" M μέτα τῆς ΑΒ τυχουσᾶν" και εἰληφθω τυχὸν
m , ^ ^ \ N P eig LL ^ σημείον ἐπὶ "Uc AT TO À, καὶ κεισηωσαν TW
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
COROLLARIUM.
Ex hoc utique evidens est, si in rectangulo triangulo a recto angulo ad basim perpendicu- laris ducta fuerit , ductam inter basis segmenta mediam proportionalem esse; et etiam inter basim et unum utriuslibet segmentorum , ipsum
ad segmentum latus , medium proportionale esse.
PROPOSITIO IX.
Ab datà rectà imperatam partem auferre.
Sit data recta AB ; oportet igitur ab ipsá AB imperatam partem auferre.
Imperetur et tertia ; et ducatur quzdam recta AT ab A, quemlibet angulum continens cum ipsà AB; et sumatur quodlibet punctum Δ in
AT, et ponantur ipsi AA æquales AE, Er;
COROLLAIRE.
De là, il est évident que, dans un triangle rectangle, la perpendiculaire menée de l'angle droit sur la base, est moyenne proportionnelle entre les segments de la base, et que chaque cóté de l'angle droit est moyen propor- tionnel entre la base et le segment contigu.
PROPOSITION. IX.
D'une droite donnée retrancher la partie demandée. Soit AB la droite donnée; il faut de la droite ΑΒ retrancher la partie de-
mandée.
Soit demandé le tiers; du point A menons une droite quelconque AT qui fasse un angle quelconque avec la droite 4B; prenons dans Ar un point quel-
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
AA ἔσαι αἱ AE, EI* καὶ ἐπεζεύχθω ἡ BI, καὶ
ΓΥΝῊ ; Eur à διὰ τοῦ Δ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ΔΖ".
313
et jungatur ΒΓ, et per A parallela huic du-
catur AZ.
Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ABT παρὰ μίαν 7 πλευρῶν τὴν ΒΓ ἦκται ἡ ZA* ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΤΔ πρὸς τὴν AA οὕτως ἡ BL πρὸς τὴν ΖΑ. Διπλῇ δὲ ἡ TA τῆς AA° διπλῆ ἄρα καὶ 4 ΒΖ τῆς ΖΑ" τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΑ τῆς ΑΖ.
Tác ἄρα δοθείσης εὐθείας τῆς AB τὸ ἐπι- ταχθὲν τρίτον μέρος ἀφήρηται τὸ ΑΖ, Οπερ ἔδει
TOTAL. IPOTAZIX /.
Tar δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄτμητον τῇ δοθείσῃϊ
, ε / ES τετ AMA ομοίῶς TELE e
Et quoniam trianguli ABT juxta unum la- terum BT ducta est ipsa ZA; proportionaliter igitur est ut ΓΔ ad AA ita ΒΖ ad ZA. Dupla autem ΓΔ ipsius AA ; dupla igitur ct ΒΖ ipsius ZA; tripla igitur BA ipsius AZ.
Ab ipsà igitur datà rectà AB imperata tertia pars ablata est ipsa AZ. Quod oportebat fa-
cere.
PROPOSITIO X.
Datam rectam insectam date secto similiter
Secare.
conque Δ, et faisons les droites AE, Er égales à A^ (5. 1); joignons ΒΓ; er par le point ^ menons ΔΖ parallèle à ΓΒ (31. 1).
Puisqu'on a mené za parallele à un des côtés ΒΓ du triangle ABr, la droite TA est à AA comme ΒΖ est à ZA (2. 6). Mais ra est double de 44; donc ΒΖ est double de z4; donc BA est triple de az.
On a donc retranché de la droite donnée ΑΒ la troisième partie demandée
AZ, Ce qu’il fallait faire.
PROPOSITION X.
Partager une droite donnée, qui n'est point partagée de la méme maniere
qu'une droite donnée est partagée.
50
314 LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος 4 AB, ἡ δὲ τετμημένη 4 AT?, κατὰ τὰ Δ. E σημεῖα, καὶ κείσθωσαν ὥστε DUR τυχοῦσαν περιέχειν 5 καὶ ἐπεζεύχθω ἢ ἢ ΓΒ. καὶ διὰ τῶν A, E Ti BT παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ AZ, EH, dià δὲ τοῦ A τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ AOK.
Sit data quidem recta insecta AB, ipsa vero secta AT in A, E punclis, et ponantur ita ut angulum quemlibet contineant , et jungatur PB, et per A, E ipsi BT parallele ducantur AZ, EH, per A autem ipsi AB parallela dacatur AOK.
JN,
i
Παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν ZO, ΘΒ’ icu ἄρα ἡ μὲν AO τῇ ZH, ἡ δὲ OK τῇ HB. Καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ AKT παρὰ μίαν τῶν “πλευρῶν τὴν KT εὐθεῖα ἧκται ἡ ΘΕ’ ἀνά- λογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΤῈ πρὸς τὴν ἘΔ οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν OA. Ion δὲ ἡ μὲν KO τῇ BH, ἡ δὲ ΘΔ τῇ HZ' ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΤῈ πρὸς τὴν EA οὕτως à BH πρὸς τὴν HZ. Πάλιν. ἐπεὶ τριγώ- vou τοῦ AHE παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν EH ἥκται ἡ LAS ἀνάλογ ον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ EA πρὸς
τὴν AA οὕτως ἡ HZ πρὸς τὴν ZA, Ἐδείχθη δὲ καὶ
PA
Parallelogrammum igitur est utrumque ip- sorum ZO, OB; AO ipsi ZH,
equalis igitur ipsa quidem ipsa vero OK ipsi HB. Εἰ quo- niam trianguli AKT juxta unum laterum KT est OE; proportionaliter igitur est ut l'E ad EA ita ΚΘ ad OA. Æqualis au- lem ipsa quidem KO ipsi BH,
recta ducta
ipsa vero ΘΔ ipsi HZ; est igitur ut ΓΕ ad EA ita BH ad HZ. Rursus , quoniam trianguli AHE juxta unum laterum EH ducta est ZA; propertionaliter igitur est ut EA ad AA ita HZ ad ZA. Dc-
Soit ΑΒ la droite donnée qui n'est point partagée, et Ar une droite partagée
aux points 4,
que ces droites soient placées de manière qu’elles com-
prénent un angle quelconque; joignons Br, et par les points ^, E, menons
les droites Az, parallèle à AB.
EH parallèles à Br (51. 1), et par le point ^ menons A6K
Les figures zo, ΘΒ seront des parallélogrammes ; donc ΔΘ est égal à ZH, et
ΘΚ égal à HB (54. 1). Et puisqu'on a mené droite TE est à E^ comme KO est à Mais ΚΘ est égal à ΒΗ,
des côtés Kr du triangle AKr, la
ΘΔ (2. 6).
la droite ΘῈ parallèle à un
et ΘΔ est égal à Hz; donc ΤῈ
est à EA comme BH est à Hz. De plus, puisqu'on a mené la droite ΖΔ
parallèle à un des côtés EH du triangle AHE,
la droite EA est à AA comme
LE SIXIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 3145 | ὡς d TE πρὸς τὴν ἘΔ οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν HZ* monstratum autem est et ut TE ad ΕΔ ita ΒΗ ad HZ; est igitur ut TE quidem ad EA ita
ἐστὶν ἄρα ὡς μὲν ἡ TE πρὸς τὴν EA οὕτως ἡ BH BH ad HZ, ui vero EA ad ΔΑ ita ΗΖ ad ΖΑ.
πρὸς τὴν HZ, ὡς δὲ ἡ EA “πρὸς τὴν ΔΑ οὕτως ἡ HZ πρὸς τὴν ZA.
H ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἄτμητος ἡ AB τῇ de- Data igitur recta insecta AB datæ recte
θείσῃ εὐθείᾳ τετμημένῃ τῇ AT ἑμοίως τέτμηται. Sectæ AT similiter secta est. Quod oportebat » c Mcer Οπερ édes ποιῆσαι» facere.
IIPOTAZIZ μά. PROPOSTIO XI.
», ^ ^ JM c 1 J À 3 PES Ado δοθεισῶν εὐθειῶν, τρίτην ἀνάλογον προ- Duabus datis rectis, tertiam proportionalem invenire.
ξευρεῖν, Sint date AB, AT, et ponantur ita ut an-
D Ν LA Ἑστωσαν αἱ δοθεῖσαι ai! AB, AT, καὶ κείσθω-
gulum quemlibet contineant; oportet igitur
^ , m ^ M "m σαν γωγίαν περιέχουτα! τυχοῦσαν" dvi δὴ τῶν ipsis AB, AT tertiam proporüionalem invenire.
AB, AT τρίτην ἀνάλογον προσευρεῖν".
^
HZ est à ZA. Mais on a démontré que TE est à EA comme ΒΗ est à Hz; donc IE est à EA comme BH est à HZ, €t EA est à AA comme HZ est à ZA.
Donc la droite donnée AB, qui n'est pas partagée , a été partagée de la méme manière que la droite donnée Ar. Ce qu'il fallait faire.
PROBOSIIION XI.
Deux droites étant données, trouver une troisième proportionnelle.
Soient AB, Ar les deux droites données; posons-les de manière qu'elles comprènent un angle quelconque; il faut trouver une troisième proportion-
nelle aux droites AB, Ar.
^
e , \ \ € A 5 ἣν \ Ex CAuo eai yap αἱ AB, AT ἐπὶ τὰ ^, - S , e Y € \ E σημεῖα. xei κείσθω τῇ AT i7» ἡ BA, καὶ var ε N X Ev μ “- ἐπεζεύχθω ἡ BI, καὶ dit τοῦ Δ παραλλήλος
ΞΟ E ε αὐτῇ ἤχθω ἡ AE,
Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΔΕ, παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΔῈ ἧκτα, ἢ BT, ἀνάλογόν ἔστιν ὡς 1 AB πρὸς τὴν ΒΔ οὕτως à AT πρὸς τὴν TE. Ica δὲ ἡ ΒΔ τῇ AT, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ AB πρὺς τὴν ΑΙ οὕτως ἡ AT πρὸς τὴν ΤῈ,
Δύο ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν AB, AT, τρίτη ἀνάλογον αὐταῖς προσεύρεται ἡ TE. Οπερ ἔδει
σπτογῆσα!-
SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Producantur enim AB, AT ad A, E puncta,
et ponatur ipsi AT æqualis BA, el jungatur
Ὁ
ΒΓ; et per Δ parallela huic ducatur AE.
Quoniam igitur trianguli AAE, juxta unum laterum AE ducta est ΒΓ, proportionaliter est ut AB ad BA ita AT ad TE. Æqualis autem BA ipsi AT, est igitur ut AB ad ΑΓ ita AT ad ΓΕ.
Duabus igitur datis rectis AB, AT, tertia proportional inyenta est TE. Quod oportebat facere.
Prolongeons les droites AB, Ar vers les points Δ, E; faisons BA égal à Ar; joignons Br, et par le point A menons ΔῈ parallèle à Br (51. 1).
Puisque la droite Br est parallèle à un des côtés ΔῈ du triangle A4E, la droite AB est à BA comme AT est à TE (2. 6). Mais BA est égal à ar; donc
AB est à AT comme AT est à TE.
Donc les deux droites AB, AT étant données, on a trouvé une troisième proportionnelle TE, Ce qu'il fallait faire.
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 31
HPOTAZIZX 148.
“Ὁ 3 ^ Jm , , Τριῶν δοθεισῶν εὐθειῶν, τετάρτην ἀνάλογον προσευρεῖν. Ἑστωσαν αἱ δοθεῖσα! τρεῖς εὐθεῖαι αἱ A, B, T* δεῖ δὴ τῶν A, B, T! τετάρτην ἀνάλογον προσευ-
pem.
Ἐκκείσθωσαν δύο εὐθεῖαι. αἱ AE, AZ, γωνίαν περιέχουσαι τυχοῦσαν" τὴν ὑπὸ EAZ* καὶ κείσθω τὴ μὲν À ἴση 4 AH, τῇ δὲ B ἴση ἡ HE, καὶ ἔτι τῇ T ἴση ἡ ΔΘ’ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς HO, παράλληλος αὐτῇ ἤχθω διὰ τοῦ E ἡ EZ.
Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΔῈΖ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν" τὴν EL ἧκται ἡ ΗΘ. ἔστιν ἄρα ὡς ΔΗ πρὸς τὴν HE, οὕτως à ΔΘ πρὸς τὴν ΘΖ. Ion δὲ ἡ μὲν AH τὴ A, ἡ dé HE τῇ B, 5n δὲ ΔΘ τῇ Te ἔστιν ἄρα ὡς ἡ A πρὸς τὴν B οὕτως ἡ T “πρὸς τὴν ΘΖ.
7 PROPOSITIO XII.
Tribus datis rectis, quartam proportionalem invenire.
Sint datæ tres rectæ A , B, T; oportet igitur ipsis A, B, T quartam proportionalem inve- nire.
Exponantur due recte AE, AZ, angulum continentes quemlibet EAZ; οἱ ponatur ipsi quidem A æqualis AH, ipsi vero B equalis HE, et insuper ipsi T zqualis 49; et junctà HO, parallela illi ducatur per E ipsa EZ.
Et quoniam trianguli AEZ juxta unum late- rum EZ ducta est ΗΘ, est igitur ut AH ad HE ita AO ad OZ. Æqualis autem AH quidem ipsi A, ipsa vero HE ipsi B, ipsa autem AO ipsi T; est igitur ut A ad B ita T ad ez.
PROPOSITIONS XIE
Trois droites étant données, trouver une quatrième proportionnelle, Soient A, B, r les trois droites données; il faut trouver une quatrième
proportionnelle aux droites A, B, r.
Soient les deux droites AE, Az, comprenant un angle quelconque raz; faisons la droite AH égale à A, la droite HE égale à B, et la droite 4@ égale àr; et ayant joint Ho, par le point E menons Ez parallèle à ΗΘ.
Puisque la droite no est parallèle à un des côtés Ez du triangle ΔῈΖ, la droite AH est à HE comme ΔΘ est à oz (2. 6). Mais ΔῊ est égal à 4, la droite HE égale à B, et la droite 4o égale à r; donc A est à B comme r
est à oz.
- 319
Τριῶν ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν A, B, T, τετάρτη ἀνάλογον προσεύρεται à ΘΖ. Οπερ ἴδει
TOITS HPOTAZXIZ 5.
* à TED Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν, μέσην aveAoyor προσ- supeir. ^ , h 0 e Ἑστωσαν ai δοθεῖσαι duo εὐθεῖαι. αὐ ΑΒ. ΒΓ’
δεῖ δὴ τῶν ΑΒ. ΒΓ μέσην ἀνάλογον τρροσευρειν.
LE SiXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCL!DE.
Tribus igitur datis rectis A, B, Γ, quarta proportionalis inventa est ΘΖ, Quod oportebat
facerc.
PROPOSITIO XIII.
Duabus datis rectis, mediam proportionas lem invenire. . Ert τ ᾿ oa Sint dat: duo rectæ AB, BD; oportet igitur ipsis AB, BP mediam proportionalem inyenire.
A
/ δ δ np 7 Ν , ἢ 3 4 ἡ τς Κείσθωσαν ἐπὶ εὐθείας. καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς
ε ^ 3 Ÿ ἡ ἢ , J AES AT ἡμικύκλιον τὸ AAT, καὶ ἤχθω ἀπὸ του B ^" \ 2 ' € B \ 2 . σημείου τῇ AT εὐθείᾳ πρὸς opBac ἡ BA, καὶ ἐπε-
ζεύχθωσαν αἱ ΑΔ. AT. \ 9 Ἂς > € 7 » , 3 b e δ \ Καὶ ἐπεὶ ἐν ἡμικυκλίῳ γώνία ἐστιν ἢ ὑπὸ E UNIS \ 3 M.
AAT , ὀρθή ἐστιν. Καὶ ἐπεὶ ἐν ὀρθογωνίῳ Tpi-
\ .
, as 31m MR SE 22085 ove τῷ AAT απὸ τῆς ορῦης γωνίας ἐπι "Ti
Ponantur in directum, et describatur super ipsá AT semicirculus AAT, et ducatur a B puncto ipsi AT recte ad rectos BA, et jun- gantur AA, AT.
Et quoniam in semicirculo angulus est AAT , rectus est. Et quoniam in rectangulo
triangulo AAT a recto angulo ad basim per-
Donc trois droites A, B, T étant données, on a trouvé une quatrième pro-
portionnelle ez. Ce qu’il fallait faire.
PROPOSITION
XIII.
Deux droites étant données, trouver une moyenne proportionnelle.
Soient AB, ΒΓ les deux droites donné
portionnelle entre AB, Br.
es; il faut wóuver une moyenne pro-
Placons ces droites dans la méme direction, et sur la droite AT décrivons le demi-cercle aar ; du point B menons BA perpendiculaire à Ar, et joignons
BA} AT COST)
Puisque l'angle Aar est dans un demi-cercle, cet angle est droit (51. 5). Et puisque dans le triangle rectangle ΑΔΓ ou a mené de l'angle droit la droite
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
5: »! ^ ^
βάσιν κάθετος Haras ἡΔΒ᾽ ἡ AB dpa τῶν τῆς
2 AE Dos
βάσεως τμημάτων τῶν AB, BT μέση ἀνάλογον
EJ ἐστιν. LE * e m , Ado ἄρα δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν AB, BT , μέση
ε e ^ ἀνάλογον προσεύρεται n ΒΔ. Οπερ £d ποιῆσαι,
/ HPOTAXEXIX ;4j'. ^ Ny / ? Τῶν ἴσων Te καὶ ἰσογωνίων παραλληλογραμ- , . € \ € \ t μων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ» dà περὶ τὰς 3, μὰ th ἴσας ywviss" καὶ ὧν ἰσογωνίων παραλληλοόγραμ- ‘ , € ^N € \ \ μων". ἀντιπεπόνθοσιν αἱ πλευραὶ c περὶ τὰς 37 , » , Ν > m σας Vois, ἰσὰ ἐστιν ἐκείν.
» Nb , 2 ajo Ἔστω iow τε καὶ igoycyim παραλληλογραμη
pa τὰ AB, BT, ἴσας ἔχοντα τὰς πρὸς τῷ B
s ἃ γωνίας. καὶ κείσθωσαν ἐπ᾿ εὐθείας αἱ AB, BE,
Jig pendicularis ducta est AB; ipsa ΔΒ igitur inter basis segmenta AB, ΒΓ media propor- lionalis est.
Duabus igitur datis rectis AB, Bl, media proportionalis iuventa est BA, Quod oportebat facere.
PROPOSITIO XIV.
Æqualiumque et æquiangulorum parallelo- grammorum reciproca sunt latcra , circa æqua- les angulos; et quorum æquiangulorum paral- lelogrammorum reciproca sunt latera circa æ- quales angulos, æqualia sunt 1lla.
Sint æqualiaque et ewquiangula parallelo-
gramma AB, BL, equales habentia ipsos ad B angulos, et ponantur in directum AB, BE,
AB perpendiculaire à la base, la droite AB est moyenne proportionnelle entre les segments AB, Br de la base (cor. 8. 6).
Donc les deux droites AB, Br étant données, on a trouvé une moyenne proportionnelle ΒΔ. Ce qu'il fallait faire.
PROPOSITION XIV.
Deux parallélogrammes étant égaux et équiangles, les cótés autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels; et les parallélogrammes équiangles dont les côtés autour des angles égaux sont réciproquement propor-
üonnels, sont égaux entr'eux.
Soient AB, Br deux parallélogrammes égaux et équiangles, ayant deux angles
320 LE SIXIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE i due ἄρα εἰσὶ καὶ αἱ LB, ΒΗ" λέγω ὅτι in directum igitur sunt οἱ ZB, BH; dico ip-
3 , € A € hy Hé - τῶν ΑΒ. ΒΓ ἀντιπεπόνθασιν αἱ FREUPAI, αἱ περὲ SOTUM AB, BT reciproca esse latera circa æqua-
πὰς ἴσας γωνίας. τουτέστιν ὅτι ἐστὶν ὡς à AB les angulos, hoc est esse ut AB ad BE ita HB πρὸς τὰν ΒΕ οὕτως ἡ HB πρὸς τὴν ΒΖ. ad BZ. , M Q δ , - . Συμπεπληρώσθω gap τὸ ZE παραλληλόγραμ- Compleatur enim ΖΕ parallelogranmum. por. Z A EM τὸ A T H 3 +» \ Ν À ἢ Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον Ei quoniam æquale est AB parallelogram-
τῷ BT παραλληλο) ἄμμῳ. ἄλλο δέ τι τὸ ZE* mum ipsi BT parallelegrammo, aliud autem ἐστὶν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ LE οὕτως τὸ ΒΓ quoddam ΖΕ; est igitur ut AB ad ΖΕ ita ΒΓ πρὸς τὸ LE. Αλλ ὡς μὲν τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΖΕ ad ΖΕ. Sed ut AB quidem ad ZE ita AB ad BE, ut vero ΒΓ ad ZE ita HB ad BZ; et ut
οὕτως 4 AB πρὸς τὴν BE, ὡς δὲ τὸ ΒΓ πρὸς τὸ igitur ΔΒ ad BE ita ΗΒ ad ΒΖ, Ipsorum AB,
\ \ 1 e ZE οὕτως ἡ HB πρὸς τὴν BZ* καὶ ὡς ἄρα ἡ AB πρὸς τὴν ΒΕ οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν ΒΖ. Τῶν AB, ΒΓ igitur parallelogrammorum reciproca sunt M 3 , "m T c Br dpa παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ ἰἸαΐοτα, circa æquales angulos. {τ ἢ y πλευραὶ. αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, AAA& δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ αἱ Sed ct reciproca sint latera circa. æquales
\ 39 , Mov € Li ^ c . Ξ περὶ τὰς ἴσας γωνίας, καὶ" ἔστω ὡς ἡ ΔΒ πρὸς angulos, et sit ut AB ad BE ita ΗΒ ad ΒΖ; dico
égaux en B, placons BE dans la direction de ΔΒ, la droite EH sera dans la direction de zB (14. 1); je dis que les côtés des parallélogrammes 48, ΒΓ autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels, c'est-à-dire que AB est à BE comme HB est à B7.
Achevons le parallélogramme ZE.
Puisque le parallélogramme AB est égal au parallélogramme Br, et que ZE est un autre parallélogramme, AB est à ZE comme ΒΓ est à ZE (7. 5). Mais AB est à ZE comme AB est à BE (1. 6); et Br est à ZE comme HB est à ΒΖ; donc ΔΒ est à BE comme HB est ἃ ΒΖ (11. 5); donc les côtés des parallelo- grammes AB, Br autour des angles égaux sont réciproquement propor- tionnels. j
Mais que les cótés adjacents aux angles égaux soient réciproquement pro-
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. . 351 τὴν BE οὕτως ἡ HB πρὸς τὴν BZ* λέγω ὅτι ἴσον æquale esse AB parallelogrammum ipsi ΒΓ pa- ἐστὶ τὸ AB παραλληλόγραμμον τῷ BT παραλλη- — rallelogrammo. λογράμμῳ.
Ἐπεὶ γάρ ἔστιν ὡς ἡ AB πρὸς τὴν ΒΕ οὕτως » HB πρὸς τὴν ΒΖ. ἀλλ ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΕ οὕτως τὸ ΑΒ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΕ παραλληλόγραμμον. ὡς δὲ ἡ HB πρὸς τὴν ΒΖ οὕτως τὸ ΒΓ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ZE
Quoniam enim est ut AB ad BE ita ΗΒ ad BZ, sed ut AB quidem ad BE ita AB paralle- logrammum ad ZE parallelogrammum , ut HB vero ad BZ ita BP parallelogrammum ad ZE pa- rallelogrammum ; et ut igitur AB ad ZE ita
παραλληλόγραμμονθ" καὶ ὡς ἄρα τὸ AB πρὸς τὸ ΒΓ ad ZE; æquale igitur est AB parallelo-
z » ^ - - LE οὕτως τὸ BT πρὸς τὸ ZE' ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ grammum ipsi BT parallelogrammo. Ergo æ-
ΑΒ παραλληλόγραμμον τῷ ΒΓ παραλληλο- — qualium, etc.
, ^ 4 L4 \ ESL γράμμῳ. Τῶν ape ἰσων, καὶ τὰ ἑξῆς.
IPOTAEXIZ x. PROPOSITIO Xy.
SS E yd gensis A S NS : 3 Τῶν ἴσων καὶ μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν Æqualium et unum uni æqualem habentium
τριγώνων ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ, αἱ cepi angulum triangulorum reciproca sunt latera , B [2 n ^» 315 τὰς ἴσας γωνίας" καὶ ὧν. μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων
, , x > , 8 € Ν γῶώνιαν τριγωνῶν > AVTITETOVUATIV αἱ 7 Aeupai ,
circa equales angulos; et quorum, unum uni
æqualem habentium angulum triangulorum , - , » > NOR es J =
ai περὶ τὰς ἴσας γωνίας, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα, reciproca sunt latera circa æquales angulos,
æqualia sunt illa.
porüonnels, c'est-à-dire que ΔΒ soit à BE comme HB est à ΒΖ; je dis que le parallélogramme 48 est égal au parallélogramme Pr.
Puisque AB est à BE comme HB est à ΒΖ, que ΔΒ est à BE comme le pa- rallélogramme AB est au parallélogramme ZE (τ. 6), et que HB est à ΒΖ comme le parallélogramme Br est au parallélogramme ZE, AB est à ZE comme Br est à ZE (11. 5); donc le parallélogramme 48 est égal au parallélogramme
BT (9. 5). Donc, etc. PROPOSITTON XV.
Si deux uiangles égaux ont un angle égal à un angle, les côtés autour des angles égaux sont réciproquement proportionnels; et si deux triangles ont un angle égal à un angle, et si les côtés autour de ces angles égaux sont
A1
réciproquement proportionnels, ces deux triangles sont égaux.
5355
Ἔστω ἴσα τρίγω'α τὰ ABT, AAE, μίαν μιᾷ Sony ἔχοντα γωνίαν τὴν ὑπὸ BAT τῇ ὑπὸ AAE' λέγω ὅτι τῶν ΑΒΓ. AAE τριγώνων ἀντιπεπόνθα- σιν αἱ πλευραὶ, ai? περὶ τὰς ἴσας γωνίας. τουτ- ἐστιν ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΤΑ πρὸς τὴν ΑΔ οὕτως n EA πρὸς τὴν AB.
Κείσϑω γὰρ ὥστε ἐπ᾿ εὐθείας εἶναι τὴν TA τῇ AA° ἐπὶ εὐθείας dpa ἐστὶ καὶ ἡ EA τῇ ΑΒ. Καὶ
ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ.
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Sint zqualia triangula ABT, AAE, unum uni æqualem habentia angulum BAT ipsi AAE; dico ΑΒΓ, AAE triangulorum reciproca esse latera, circa equales angulos, hoc est esse ut TA ad AA ita EA ad AB.
Ponantur enim ita ut in directum sit TA ipsi AA; in directum igitur est et EA Ipsi AB. Et jungatur BA.
A
Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ABT Tpijufor τῷ ΑΔΕ τριγώνῳ, ἄλλο-δὲ τὸ ABA* ἔστιν ἄρα ὡς τὸ TAB τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον οὕτως τὸ ΑΔΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον", Αλλ ὡς μὲν πὸ TAB πρὸς τὸ ΒΑΔ οὕτως à TA πρὸς τὴν AA, ὡς δὲ τὸ EAAÁ πρὸς τὸ ΒΑΔ οὕτως ἡ EA πρὸς τὴν AB* καὶ ὡς ἄρα ἡ TA πρὸς τὴν ΑΔ οὕτως à EA πρὸς τὴν AB' τῶν ABT, ΑΔΕ ἄρα τριγώνων" ἀντι-
, € x € \ » # , πεπόνθασιν αἱ πλευραὶ. αἱ περὶ τὰς IT γωνίας.
Et quoniam æquale est ABT triangulum ipsi AAE triangulo, aliud autem ABA ; est igitur ut TAB triangulum ad ΒΑΔ triangulum ita ΑΔΕ triangulum ad ΒΑΔ triangulum. Sed ut ΓΑΒ qui- dem ad BAA ita TA ad AA, ut EAA vero ad BAA ita EA ad AB; et ut igitur ΓᾺ ad AA ita EA ad AB; ipsorum ABL, AAE igitur triangulorum
reciproca sunt latera circa equales angulos.
. . , 4 Fr * Soient les triangles égaux ΑΒΓ, AAE, ayant un angle égal à un angle, l'angle ΒΑΓ égal à l'angle A4E; je dis que les côtés des triangles ABT, AAE, qui sont autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels, c'est-à-dire que rA
est à AA comme EA est à AB.
Placons ces triangles de manière que r4 soit dans la direction de 44; la droite EA sera dans la direction de AB (14. 1). Joignons Ba.
Puisque le triangle ABr est égal au triangle 44E, et que ΑΒΔ est un autre triangle, le triangle ΓΑΒ est au triangle B44 comme le triangle ΑΔῈ est au triangle ΒΑΔ (7. 5). Mais le triangle TAB est au triangle ΒΑΔ comme rA est à AA (1. 6), et le triangle EAA est au triangle ΒΑΔ comme EA est à ΑΒ; donc TA est à ΑΔ comme EA est à AB (11. 5); donc les cótés des triangles ΑΒΓ, AAE, qui sont
autour des angies égaux, sont réciproquement proportionnels.
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 353
uu ἢ : Nes ; : : 2 Αλλα δὴ ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραι τῶν Sed utique reciproca sint latera Ipsorum
ΑΒΓ; AAE τριγώνων, καὶ ἔστω ὡς ἡ TA πρὸς τὴν ΑΒΓ, AAE triangulorum, ct sit ut l'A ad AA ita
AA οὕτως ἡ EA πρὸς τὴν ΑΒ’ λέγω ὅτ; ἴσον ἐστὶ EA ad AB; dico :equale esse ABT triangulum τὸ ABT τρίγωνον τῷ AAE τριγώνῳ.
Ἐπιζευχθείσης γὰρ πάλιν τῆς BA, ἐπεί ἐστιν Junctà enim rursus BA, quoniam est ut lA ὡς à TA πρὸς τὴν ΑΔ οὕτως ἡ EA πρὸς τὴν AB, ad AA ita EA ad AB, sed ut l'A quidem ad AA
ipsi AAE triangulo.
ἀλλ᾽ ὡς μὲν ἡ ΤΑ πρὸς τὴν ΑΔ οὕτως τὸ ABT ita ABT triangulum ad BAA triangulum, ut EA τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ τρίγωνον. ὡς δὲ ἡ EA πρὸς — veroad AB ita ΕΑΔ iriangulum ad ΒΑΔ trian- τὴν AB οὕτως τὸ EAA τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ gulum; ut igitur ABT triangulum ad ΒΑΔ ita τρίγωνον" ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΑΔ ΕΑΔ triangulum ad ΒΑΔ: utrumque igitur ip- οὕτως τὸ EAA τρίγωνον πρὸς τὸ BAA* ἑκάτερον — sorum ABT, ΑΔΕ ad ΒΑΔ eamdem habet ra- ἄρα τῶν ΑΒΓ. ΑΔΕ πρὸς τὸ ΒΑΔ τὸν αὐτὸν ἔχει lionem ; aequale igitur est ΑΒΓ triangulum ipsi λόγον" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ABT τρίγωνον τῷ EAA ΕΑΔ triangulo. JEqualium igitur, eic.
΄ wo» » Ν A ἐφ ςω τρίγωνῷ, "Tov ἀρὰ 120v , καὶ τὰ εζξῆς.
IIPOTAZIX I. PROPOSITIO XVI.
\ , h A 5 AP eSCN Si . ^ Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσι. τὸ ὑπὸ 1 quatuor recte proporüonales sint, sub
M 3} le 2 A 3/ > \ ^ : - τῶν ακρῶὼν περιεχόμενον ὀρθογώνιον σὸν ἐστὶ TQ CXlremis. contentum rectangulum æquale est
D La 3 À s ^ LE - ὑπὸ τῶν μέσων ποριεχομένῳ ὀρθογωνίῳ" κἄν! ipsi sub mediis contento rectangulo; et si sub
Mais que les cótés des triangles ΑΒΓ, AAE soient réciproquement propor- tionnels, c'est-à-dire que TA soit à A4 comme EA est à ΑΒ ; je dis que le triangle ABT est égal au triangle AAE.
Joignons encore BA. Puisque TA est à AA comme EA est à ΑΒ, que TA est
à AA comme le triangle ABr est au triangle ΒΑΔ (1. 6), et que EA est à AB comme le triangle EAA est au triangle ΒΑΔ, le triangle ABT est au triangle ΒΑΔ comme le triangle EAA est au triangle ΒΑΔ ( 11. 5) ; donc chacun des triangles ABT, AAE a la même raison avec le triangle ΒΑΔ; donc le triangle ΑΒΓ est égal
au triangle EA^ (9. 5). Donc, etc. PROPOS IT MON XVI.
Si quatre droites sont proportionnelles, le rectangle compris sous les deux extrémes est égal au rectangle compris sous les moyennes; et si le
354 \ € \ ^ »! , 3 , » τὸ ὑπὸ τῶν ἀρῶν περιεχόμενον epos VIOV 1G0V
f e € \ rs , , , ἡ τῷ ὑπὸ τῶν μέσων. περιεχομένῳ ὁρθο) trips αἱ » D > a s! τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνώλογον ἔσονται. € FN TO Ἑστωσαν αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ. D € e \ \ e € M TA, E,Z?* oc n AB πρὸς τὴν TA ουτῶς à E πρὸς \ , e LM M ^ . , στὴν Z* λέγω OTI τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ. Ζ περιεχόμενον 3 b ΄ " > \ δῷ € A OE Ed ορθογῶνιον σὸν ἐστί τῷ ὑπὸ τῶν TA, E περιεχο-
, 2 b , μένῳ ορθογωνίῳ.
Α B
Ἡχθωσαν ydp) ἀπὸ τῆς A,T σημείων ταῖς AB, TA εὐθείαις πρὸς ὀρθὰς αἱ AH, TO, καὶ κείσθω τῇ μὲν Z ἴση ἡ AH, τῇ δὲ E ἴση ATO , καὶ συμ-
πεπληρώσθωσαν τὰ ΒΗ. ΔΘ παραλληλόγραμμα.
Καὶ ἐπεί ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΤΔ οὕτως A E πρὸς τὴν L, ἴση δὲ à μὲν E τῇ TO , ἡ δὲ Z τῇ ΑΗ’ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ AB πρὸς τὴν ΤΔ οὕτως ἡ TO πρὸς τὴν AH* τῶν BH, ΔΘ ἄρα παρ-
αλληλογράμμωνΐ ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ,
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
extremis contentum rectangulum. æquale est ipsi sub extremis contento rectangulo, quatuor rect: proportionales erunt.
Sint quatuor rectæ proportionales AB, DÀ, E, Z, ut AB ad l'A ita E ad Z; dico sub AB, Z contentum rectangulum zquale esse ipsi sub
ΓΔ, E contento rectangulo.
z !
ANENZ
Ducantur enim ab ipsis A , T punclis ipsis AB, TA rectis ad rectos ipse AH, TO, et ponatur ipsi quidem Z æqualis AH, ipsi vero E equalis ΓΘ, et compleantur BH, AO paral- lelogramma.
Et quoniam est ut AB ad TA ita E ad Z, æqualis autem. E quidem ipsi TO, ipsa vero Z ipsi AH ; est igitur ut AB ad ΓΔ ita TO ad AH; ipsorum BH, AO igitur parallelogrammo-
rum reciproca sunt latera, circa «quales an- I ,
rectangle compris sous les extrémes et égal au rectangle compris sous les moyennes, ces quatre droites sont proportionnelles.
Soient AB, TA, E, Z quatre droites proportionnelles, de manière que AB soit à TA comme E est à Z; je dis que le rectangle compris sous AB, Z est égal
au rectangle compris sous TA, F.
Des points A, r, etsur les droites AB, T^, menons les perpendiculaires AH, TO (11. 1); faisons AH égal à Z, et ro égal à E; et achevons les parallélo-
grammes BH, ΔΘ.
Puisque AB est à T^ comme E est à Z, et que E est égal à ro, et z égal à AH, AB est à TA comme ΓΘ est à AH (7. 5); donc les côtés des parallélo- grammes BH, AO, placés autour des angles égaux , sont réciproquement propor-
AT LE SIXIEME LIVRE DES 3 » Ms , ais περὶ τὰς ἴσας γωνίας. Ov δὲ ἰσογωνίων παρ- - e SU Ue αλληλογράμμων ἀντιπενπόνθασιν ei πλευρα!5 αἱ » 7 » 3 \ 3 ^ » 3) περὶ τὰς ἴσας γωνίας. ἴσα ἐστὶν ἐπεῖνα" ἴσον ἀρὰ ἐστὶ τὸ ΒΗ παραλληλόγραμμον τῷ AO παραλλη- ΄ 5» \ \ M CE, x ^ λογρώμμῳ. Καὶ ἔστι τὸ μὲν BH τὸ ὑπὸ τῶν AB , , ' € ^ N A Y COS -“ Z, ἴση γὰρ ἡ AH τῇ Z' τὸ δὲ AO τὸ ὑπὸ τῶν 5 e ^ G \ 3) ε M n TA, E, ion ydp ἡ TO τῇ ἘΠ᾽ τὸ ἄρα υπὸ τῶν 2 3 ᾿ 5 » \ cue AB, Z περιεχόμενον ὀρθογώντον σὸν ἐστι Τῷ ὑπὸ ^v > , τῶν TA, E περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. M δὴ Ἂς ORI, eA > À " ^ AAA« δὴ τὸ ὑπὸ AB, Z vrepieopaevoy ὀρθογῶ- mot \ ^ , νιον ἴσον ἔστω TQ ὑπὸ TOY] TA, É περιεχομένῳ 2 #, , eX € , , Di 5 , ὀρθγωνίῳ" λέγω OTI αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον » e € \ \ 4 « \ tcoyra4 , ὡς n AB πρὸς τὴν ΓΔ oUTw6 a E: προς
τὴν Z.
o-
Τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων. ἐπεὶ T ὑπὸ τῶν AB, Ζ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν T^, E, καὶ ἐστὶ τὸ μὲν ὑπὸ τῶν AB, Z τὸ BH, ἴση ydp ἐστὶν ἡ AH τῇ 28" τὸ δὲ ὑπὸ τῶν TA, E τὸ ΔΘ. ἴση ydp ἡ TO τῇ E* τὸ ἄρα BH ἴσον ἐστὶ τῷ A09* καὶ ἔστιν" ἰσογώνια. Τῶν δὲ ἴσων καὶ ἰσο- γωνίων παραλληλογράμμων ἀντιπεπόνθασιν αἱ
\ \ \ L4 / » » g AeUpa , αἱ περὶ τὰς ἰσὰς γωνίας" ἐστιν ἀρὰ
, , ELEMENTS D'EUCLIDE. 325 gulos. Quorum autem æquiangulorum parallelo- grammorum reciproca sunt latera circa æquales angulos, æqualia sunt illa; æquale igitur est BH parallelogrammum ipsi ΔΘ parallelogrammo. Et est BH quidem sub AB, Z, æqualis enim AH Ipsi Z; ipsum vero AO ipsum sub TA, E, equalis enim ΓΘ ipsi E; ipsum igitur sub AB, Z contentum rectangulum æquale est ipsi sub TA, E contento rectangulo.
Sed utique ipsum sub AB, Z contentum rectangulum æquale sit ipsi sub ΓΔ, E con- Lento rectangulo ; dico quatuor rectas propor-
üonales fore, ut AB ad ΓΔ ita E ad Z.
lisdem enim constructis , quoniam ipsum sub AB, Z æquale est ipsi sub DA, E, et est ipsum quidem sub AB,'-Z ipsum BH, equalis enim AH ipsi Z; ipsum vero sub TA, E ip- sum AO, æqualis enim ΓΘ ipsi E; ipsum igi- tur BH æquale est ipsi A9 ; et sunt. æquian- gula. Æqualium autem et æquiangulorum pa-
rallelogrammorum reciproca sunt latera, circa
tionnels. Mais lorsque les cótés des parallélogrammes équiangles, placés autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels, ces parallélo- grammes sont égaux (14. 6); donc le parallélograme BH est égal au parallé- logramme ΔΘ. Mais le parallélogramme BH est sous AB, Z, car AH est égal à 2; et le parallélogramme ΔΘ est sous TA, E, car ΓΘ est égal à E; donc le rectangle compris sous AB, Z est égal au rectangle compris sous ra, E.
Mais que le rectangle compris sous AB, Z soit égal au rectangle compris sous
les droites r^, E; je dis que ces quatre droites sont proportionnelles, c'est- à-dire que AB est à T^ comme E est à z.
Faisons la méme construction. Puisque le rectangle sous AB, z est égal au rectangle sous rA, E, que le rectangle BH est sous AB, Z, car AH est égal ἃ z, et que le rectangle ΔΘ est sous TA, E, car TO est égal à E; donc BH est égal à 46; et ils sont équiangles. Mais les cótés des parallélogrammes égaux et équiangles , placés autour des angles sont égaux , sont réciproquement propor-
390 LESIX ὡς ἡ AB πρὸς τὴν TA οὕτως ἡ TO πρὸς τὴν AH* ἴση δὲ ἡ μὲν TO τῇ E, ἡ δὲ AH τῇ Z* ἔστιν ἄρα
e e X e € M \ ec n AB προς τὴν TA οὕτως 4 E πρὸς τὴν Z. Ἐὰν
X
"Mr poor! epa Te704gt6 , sa τὰ εζῆς- ID POTAZEBZ.
Nut M ^
Ἐὰν Tpeic εὖ ὑθεῖχι ἀνάλογον ὦσι. τὸ ὑπὸ τῶν
, SS ἄκρων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ » τῆς μέσης τετραγώνῳ" xar! τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων , m 5 Re , περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον à τῷ ἀπὸ τῆς μέσης ἀπο ITA » τετραγώνῳ. αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ἔσονται. σον ον :
Ἑστωσαν τρεῖς εὐθεῖαι avahoyey αἱ A, B, T, ὡς ἡ A πρῦς τὴν B οὕτως u B πρὸς τὴν T° Aet " δ: ἢ : ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν À, T περιεχόμενον ὀρθογώνιον
MEE ! ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπο2 τῆς B τετραγωνῷ.
Κείσθω τῇ B ion n ^.
, e e X \ LA L
Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ΠΑ πρὸς τὴν B οὑτῶς n Β πρὸς τὴν T, ἴση δὲ ἡ B τῇ A* ἔστιν due ὡς ε A \ 3 ^ B δὲ 9» À πρὸς τὴν Β οὕτως" ἡ A7 πρὸς τὴ T. ἂν δὲ
, es > 7 S hd x. τέσσαρες εὐθεῖαι ἀναάλογ ΟΥ (901 τὸ ὑπὸ τῶν αὐρῶν
tionnels (τά. 6);
KIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
æquales angulos; est igiiur ut AB ad ΓΔ ita TO ad AH.
ipsa vero AH ipsi Z; est igitur ut AB ad TA
JEqualis autem ΓΘ quidem ipsi E,
ila E ad Z. Si igitur quatuor, etc.
PROPOSITIO XVII.
Si tres rect: proportionales sint, sub ex- iremis contentum rectangulum æquale est ipsi ex medià quadrato; et si sub extremis con- tentum rectangulum æquale sit ipsi ex medià quadrato, tres rectæ proportionales erunt.
Sint tres rectæ proporüonales A, B, D, ut A ad B ita B ad T; dico sub A, T contentum rectangulum æquale esse ipsi ex B quadrato.
Ponatur ipsi B æqualis A.
Et quoniain est ut A ad B ita Bad T , equalis autem B ipsi A; est igitur ut A ad B ita A ad Γ. Si autem quatuor recte proportionales sint,
sub extremis contentum rectangulum æquale
donc AB est à T^ comme re est à AH; mais TO est égal à
E, ει AH à Zj donc AB est à T^ comme E està Z. Donc, etc.
PROPOSITION XVII.
Si trois droites sont proportionnelies, le rectangle compris sous les extrémes est égal au quarré de la moyenne; et si le rectangle compris sous les extrémes est adl au quarré de la moyenne, ces trois droites seront proportionnelles.
Soient A, B, T trois droites proportionnelles , de manière que A soit à B
comme B est à T; quarré de B. Faisons ^ égal à B.
Puisque 4 est à B comme B est à T,
je dis que le rectangle compris sous 4,
T est égal au
et que B égal à ^, A està Β comme Δ
est à r. Mais si quatre droites sont proportionnelles, le διε ει compris sous
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
^ 2 , » 3 X ^ € M la περιεχόμενον ὀρθογώνιον icov ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν , UE, € ^ ev
μέσων περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ" τὸ ἄρα ὑπὸ τὼν
» > \ € € i ^ \ NL set ΟΝ A, T σὸν ἐστί τῷ ὑπὸ τῶν B, Δ. AAAa TO ὑπὸ
^ \ 32 M 3 N 7 » à € ^ τῶν B, Δ τὸ ἀπὸ τῆς B ecviv, ion yap n B τῇ
MN oxy e \ ^ , , A* τὸ ἄρα ὑπὸ TOY À, T περιεχόμενον ὀρθογώ-- M "Ei" 9. \ ^ , yiov ἴσον ἐστὶ TQ ἀπὸ τῆς B τετραγώνῳ. ^ \ A (4 ^ ^ 5 » ^ 3 M Αλλὰ δὴ τὸ ὑπὸ τῶν À, T ἴσον ἔστω T( απὸ ^ , e E] \ * € \ \ μὲ τῆς B° λέγω τι ἐστὶν ὡς n À πρὸς MY B οὕτως
5» Β πρὸς τὴν T.
»»
327 est ipsi sub mediis contento rectangulo ; ip- sum igitur sub A, T æquale est ipsi sub B, A. Sed ipsum sub B, A ipsum ex B est, æ- qualis enim B ipsi A; ipsum igitur sub A, Tr contentum rectangulum quale est ipsi ex B quadrato.
Sed et ipsum sub A, r æquale sit ipsi ex B; dico esse ut A ad B ita B ad r.
"d [D |c
^ ^: , , NI M Tov γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων. ἐπε! TO * \ ^ » » \ D ΕΣ \ D » \ ὑπὸ τῶν À, T Ic0y ἐστὶ TQ ἀπὸ τῆς By ἀλλὰ M 7» \ ^ Xv re ^ ^ > \ 5 5 \ TO ἀπὸ τῆς B τὸ ὑπὸ τῶν B, À ἐστιν". "σὴ γὰρ ^ M » € \ ^ » 3 \ "^ 2B TH A* τὸ dpa ὑπὸ τῶν À, T σὸν ἐστί τῷ ε \ Ἁ M M € \ B X» » [d nd ὑπο B, A. Ἐὰν dà τὸ ὑπὸ τῶν axpey σῶν ἢ τῶ ε \ ^m , € , 5 D 3 , , ὑπὸ τῶν μέσων. di τεσσᾶρες εὐθεῖαι αναλογὸν » E P € € \ \ eu € εἰσινφεστιν ἀρὰ ὡς n À πρὸς τὴν B οὕτως n Δ EY M ver) ^ e » € À πρὸς τῆν T. Ion δὲ ἡ B τῇ Δ' ὡς dpa n Α πρὸς
^ ei \ » e \ τὴν B οὕτως ἡ B πρὸς τὴν T. Ἐὰν ἄρα Tpec, καὶ
xe
Iisdem enim constractis , quoniam ipsum sub A, P æquale est ipsi ex B, sed ipsum ex B ipsum sub B, A est, equalis enim B ipsi ^j; ipsum igitur sub A, T zquale est ipsi sub B, A. Siautem ipsum sub extremis æquale est ipsi sub mediis , quatuor rectæ proportionales sunt; est igitur ut A ad B ita A ad T. Æqualis au- tem B ipsi A; ut igitur À ad B ita B ad r. Si igitur tres, etc.
Ta t ic.
les extrêmes est égal au rectangle compris sous les moyennes (16. 6); donc le rectangle sous A, r est égal au rectangle sous B, sous B, A est égal au quarré de B, car B est égal à 4; donc le rectangle compris sous A, T est égal au quarré de 8.
Mais que le léctiale sous 4, T soit égal au quarré de B; je dis que A est à B comme B est à T.
A. Mais le rectangle
Faisons la méme construction. Puisque le rectangle sous A, r est égal au quarré de 5, et que le quarré de B est le rectangle sous B, A, car B est égal à ^, le recule sous A, T est égal au rectangle sous les PEN B, A. Mais si ls rectangle compris sous les extrêmes est égal au rectangle compris sous les moyennes, les quatre droites sont proportionnelles (16. 6); donc A est à B comme 4 est à T. Mais B est égal à Δ; donc A està B comme 8 est à r. Donc, etc.
328 LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IIPOTAEXIZX #4 PROPOSITIO XVIII.
Απὸ τῆς δοθείσης εὐθείας τῷ δοθέντι «00u- Ex datà rectà ipsi dato rectilineo simileque γράμμῳ ὅμοιόν τε καὶ ὑμοίως κείμενον εὐθύγραμι- et similiter positum rectilineum describere. μὸν ἀναγράψαι.
Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ AB, τὸ δὲ δοθὲν Sit data quidem recta AB, datum autem
, , M D X X ^ ? 7 ys Ὁ ὦ - * εὐθύγραμμον τὸ ΤΕ" δὲ; δὴ ἀπὸ τῆς ΑΒ εὐθείας rectilineum TE; oportet igitur ex ΑΒ reclà ipsi
M B , j 2 \e , , nl ΠΝ AAA : 70 TE εὐθυγράμμῳ CJAOIOV τε παὶ ὁμοίως κείῤκενον ΓΕ rectilineo simileque ct similiter positum
εὐθύγραμμον ἀναγράψα!. rectilineum describere. 7 E
E τς H ens
| |
- 2 | A b l A Ἐπεζεύχθω à NL, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΒ Jungatur AZ, et constituatur ad AB rectam
εὐθείᾳ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς A, B εἰ ad puncta in eà A, B ipsi quidem ad r τῇ μὲν πρὸς τῷ T γωνία ἔτη ἡ ὑπὸ HAB', τῇ angulo æqualis ipsi sub HAB, ipsi vero sub δὲ ὑπὸ TAL ἴση" ἡ ὑπὸ ABH* λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΤΔΖ æqualis ipse sub ABH; reliquus %gitur ΓΖΔ λοιπῇ" τῇ ὑπὸ ΑΗΒ ieviv ἴση" ἰσογώνιον ἄρα. 50} ΓΖΔ reliquo sub ΑΗΒ est æqualis ; æquiangu- ἐστὶ τὸ ΖΓΔ τρίγωνον τῷ HAB τριγώνῳ ἀνά- — lum igitur est ΖΓΔ triangulum ipsi HAB trian-
λογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ZA πρὸς τὴν HB οὕτως ἡ gulo; proportionaliter igitur est ut ZA ad HB ita
PROPOSITION. XVILT
Sur une droite donnée, décrire une figure rectiligne semblable à une figure rectiligne, et semblablement placée.
Soit AB la droite donnée, et TE la figure rectiligne donnée; il faut sur la droite AB décrire une figure rectiligne semblable à la figure rectiligne TE, et semblablement placée.
Joignons AZ, et sur la droite AB et aux points A, B de cette droite, faisons l'angle HAB ^eal] à l'angle en r, et l'angle ΑΒΗ égal à l'angle ΓΔΖ (25. 1); l'angle restant ΓΖΔ sera égal à l'angle restant AHB (52. 1); donc les triangles zr4, HAB sont équiangles ; donc za est à HB comme Zr est à HA, et comme
LE SIXIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE. 329 ZT πρὸς τὴν HA καὶ ἡ TA πρὸς τὴν ΑΒ. Πάλιν, ΖΓ. ad HA et ΓΔ ad ΑΒ. Rursus, constituatur ad BH rectam οἱ ad puncta in cà B, H ipsi
, M Ὁ > / \ e \ συνεστῶτω πρὸς τῇ BH εὐθείᾳ καὶ τοῖς προς quidem AZE angulo. æqualis BHO , ipsi vero
^ m L3 M € \ αὐτῇ σημείοις Toi BH τῇ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ γω- » € c ε D \ 5 . . A vie, ἴση ἡ ὑπὸ ΒΗΘ. τῇ δὲ ὑπὸ ZAE ἴση ἡ ὑπο ΖΔΕ equalis ΗΒΘ: reliquus igitur ad E reliquo HBO* λοιπῇ ἄρα ἡ πρὸς τῷ λοιπῇ τῇ πρὸς τῷ ad © est æqualis; æquiangulum igitur est ZAE triangulum ipsi HBO triangulo ; proportionaliter
© ἐστὶν ἴση" ἐσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΔΕ τρίγωνον igitur est ut AZ ad HB iia ZE ad HO, et EA
TO HBO τριγώνῳ" ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΔΖ “πρὸς Tiv HB οὕτως 2» ZE πρὸς πὴν HO, καὶ ἡ ad ΘΒ. Ostensum est autem et ut ZA ad ΗΒ EA πρὸς τὴν OB. Ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ZA πρὸς τὴν HB οὕτως À Té ZT πρὸς τὴν HA καὶ ἡ TA
etita ZT ad HA et ΓΔ ad AB; et ut igitur ZT ad AH ita ct ΓΔ ad ΑΒ οἱ ΖΕ ad. HO , et adhuc
πρὸς τὴν AB* καὶ ὡς ἄρα Zr πρὸς τὴν AH cü- ἘΔ ad OB. Et quoniam zqualis est ipse qui-
TO06 à τε TA πρὸς τὴν ΑΒ καὶ ἡ ΖΕ πρὸς τὴν dem ΓΖΔ angulus ipsi AHB, ipse vero ΔΖΕ HO, καὶ ἔτι ἡ ἘΔ πρὸς τὴν ΘΒ. Καὶ ἐπεὶ ἴση . ipsi BHO; totus igitur ZE toti AHO est æ- ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ TZA γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗΒ, n δὲ — qualis. Propter cadem utique et l'AE ipsi ΑΒΘ ὑπὸ ΔΖΕ τῇ ὑπὸ BHO* ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΤΖΕ ὁλῃ τῇ ὑπὸ AHO ἐστὶν ἴση. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ TAE τῇ ὑπὸ ΑΒΘ ἐστὶν ἴση. ἔστι δὲ καὶ ἡ
E τῷ ἦν b » »" ε Y \ μεν πρὸς τῷ T τῇ πρὸς Τῷ À i0, ἢ δὲ πρὸς
est æqualis, est autem et ipse quidem ad T ipsi ad A equalis, ipse vero ad E ipsi ad ©; æquiangulum igitur est AO 1051 lE, et circa equales angulos cum ipso latera proportionalia T® E 74 πρὸς τῷ Θ' ἰδογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ habet; simile igitur est AO rectilincum ipsi τῷ TE, zai τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας αὐτῷ TE reclilineo.
πλευρὰς aye A onov ἔχει" ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘ
εὐθύγραμμον τῷ ΤῈ εὐθυγράμμῳ.
ΤᾺ est ἃ AB (4. 6). De plus, construisons sur la droite BH, et aux points B, H de ceue droite, l'angle ΒΗΘ égal à l'angle 4ZE, et l'angle ΗΒΘ égal à l'angle ΖΔῈ ; l'angle restant en E sera égal à l'angle restant en 6; donc les triangles ΖΔΕ, HBG sont équiangles ; donc AZ est à HB comme ZE est à H©, et comme EA est à ΘΒ (4. 6). Mais on a démontré que ZA est à HB comme ZT est à HA, et comme ΓΔ est à AB; donc Zr est à AH comme TA est à AB, comme ZE est à Ho, et comme EA est à ΘΒ (11. 5). Mais l'angle rza est égal à l'angle AH, et l'angle AzE égal à l'angle ΒΗΘ; donc l'angle entier rzE est égal à langle entier ΑΗΘ. Par la même raison, l'angle TAE est égal à l'angle ΑΒΘ, l'angle en r égal à l'angle en A, et l'angle en E égal à l'angle en 6; donc les figures ΑΘ, TE sont équiangles, et elles ont les côtés autour des angles égaux proportionnels entr'eux; donc les deux figures ΑΘ, TE sont sembla-
bles (déf. 1. 6). 42
330 LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Ἔν " Ἔν " MR
Απὸ τῆς éch:usuc ἔρμα εὐθείας τῆς ΑΒ τῷ do-
Br δον tite TE Con Sora RUN UT
ivi εὐξυγρέμμῳ YE Cpoioy τε καὶ Cole κεί-- | ris sé
3 , E " \ μένον εὐθυγραμμον ἀναγεγράπται τὸ AO. Οπερ 25.
y ἔδει 70ingai,.
,
HPOTAZXIX 44,
\ # , \ 5! , 1 Ta ὁμοῖα τρίγωνα πρὸς ἀλλήλα e? διπλασίονι ἜΝ, > \ ^ [i , ^ λογῷ ἐστὶ τῶν ὁμολογῶν πλευρῶν, [ 5 , \ » EcTo ὁμοία τρίγωνα τῷ ABD, AEZ, 454
L4 \ \ ^ / ^ \ ^ tyovrd τὴν πρὸς TQ! B γωνίαν τῇ πρὸς τῷ E,
Β H
* M \ ^ ^ Ἵ M M ὡς δὲ τὴν AB σρὸς τὴν BT ouTwc TW ΔΕ πρὸς \ E cer s \ -
τήν EZ, ὥστε Ομολογὸν εἰναι! τὴν BT τῇ EZ* A e E , Ε ZN \ MM ὁ λέγω oTi τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔῈΖ 7pi-
, , 5, », € \ γῶνον διπλασίονα λόγον ἔχει u:p ἢ ΒΓ πρὸς
τὴν EZ.
A datà igitur rectà AB dato rectilineo TE simiieque et similiter positum rechilineum
descriplum est AO. Quod oportebat facere.
PROPOSITIO XIX.
Similia triangula inter se in duplà ratione sunt homologorum laterum. Sint similia triangula ΑΒΓ, ΔΕΖ, æqualem
habentia ipsum ad B angulum ipsi ad E, ut
autem AB ad ΒΓ ita ΔΕ ad EZ, ita ut homo- logum sit BD ipsi EZ; dico ABT triangulum ad ΔΕΖ triangulum duplam rationem habere ejus quam ΒΓ ad EZ.
Donc, sur la droite donnée ΑΒ, on a décrit la figure rectiligne ΑΘ semblable
à la figure rectiligne donnée r£, et semblabiement placée. Ce qu'il fallait faire, PROPOSITICN XIX.
Les triangles semblables sont entr'eux en raison double des cótes homo- logues.
Soient les triangles semblables ΑΒΓ, AEz , ayant l'angle en B égal à l'angle en E, et que AB soit à ΒΓ comme AE est à EZ, de manière que le côté Br soit l'ho- mologue du côté Ez; je dis que le triangle ΑΒΓ a avec le triangle AEZ une raison double de celle que ΒΓ a avec Ez.
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
à / Jp e
EiA:QUo yàp τῶν BT, EZ TpiTn avaAoyov ἡ ej Δ᾽ A 4 a x CG
BH, στε εἶναι ὡς τὴν BT πρὸς τὴν EZ ουτῶς
\ \ ἌΣ , ε τὴν ΕΖ πρὸς vuv BH* και ἐπεζεύχθω ἡ HA.
5 € Li ι σ
Ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τῆν ET ουτῶς
€ 1 1 3 \# ox E N e ε
4» ΔῈ πρὸς τὴν EZ* εναλλαζ ἀρὰ ἐστὶν ὡς ἢ
g c \ ἢ 5
ΑΒ πρὸς τὴν AE ουτῶς ἢ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. Αλλ
el 5» Ν [4 Y À
ὡς ἡ ΒΓ “πρὸς τὴν EZ οὕτως ἐστὶν ἡ EZ πρὸς τὴν EL ε \ 1 « e
ΒΗ: καὶ ὡς ἄρα ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ οὕτως "» EZ - » , 3
πρὸς Tiv! ΒΗ" τῶν ΑΒΗ. ΔΕΖ apa, τριγώνων" eyTi- M e M 3 » 7,
πεπόνθασιν αἱ πλευραί , eu περι τὰς ἰσὰς γωνίας,
Ων δὲ > 7) [3 \ € N M »
ἀντιπεπόνθασιν αἱ TAEUPAI, di περὶ τὰς ἴσας
, ^y 3 La P 3 μίαν pA (guy ἐχόντων γωνίαν τριγῶνων" 5
»ωνίας. ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΗ τρίγωνον τῷ ΔῈΖ τριγώνῳ. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς n Br πρὸς τὴν EZ οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴν BH* ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν. ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται! ἥπερ πρὸς πὴν δευτέραν" ἡ ΒΓ ἄρα πρὸς τὴν BH διπλα- σίονα λέγον ἔχει ἥπερ à BT πρὲς τὴν ΕΖ. Oc δὲ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΒΗ οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ
» / M Y ABH τρί) ὠνον" καὶ τὸ ΑΒΓ ἀρὰ πρίγωγον πρὸς τὸ
331
Sumatur enim ipsis ΒΓ, EZ tertia propor- üonalis BH, ita ut sit ut ΒΓ ad EZ ita EZ ad BH; et jungatur HA.
Et quoniam est ut AB ad ΒΓ ita AE ad EZ; alterne igilur est ut AB ad AE ita BT ad EZ. Sed ut ΒΓ ad EZ ita est. EZ ad BH ; et ut igitur AB ad AE ita EZ ad BH; ipsorum igitur ABH, AEZ triengulorum reciproca sunt latera circa æquales angulos. Quorum autem. unum uni æqualem habentium angulum triangulorum , re- ciproca sunt latera circa æquales angulos, æqualia sunt illa; æquale igitur est ABH trian- gulum ipsi AEZ triangulo. Et quoniam est ut BT ad EZ ita EZ ad BH; si autem tres rectæ proportionales sint, prima ad tertiam duplam rationem habere dicitur ejus quam ad secun- dam; ΒΓ igitur ad BH duplam rationem habet ejus quam ΒΓ ad EZ. Ut autem ET ed BH ita ΑΒΓ triangulum ad ΑΒΗ triangulum; οἱ ABT igitur triangulum. ad ABH duplam rationem habet ejus quam ΒΓ ad EZ, /Equale autem ΑΒΗ
Prenons une troisième proportionnelle BH aux droites ΒΓ, Ez, de manière que ΒΓ soit ὃ EZ comme EZ est à EH; et joignons HA ( 11. 6).
Puisque 42 est à Br comme ΔῈ est à EZ, par permutation, AB est à ΔῈ comme ΒΓ est à ΕΖ (16. 6). Mais ΒΓ est à EZ comme EZ est à BH; donc AB est à AE comme zz est à BH (11. 5); donc les côtés des triangles ABH, ΔΕΖ, autour des angle: égaux, sont réciproquement proportionnels. Mais deux trian- gles sont égaux catr'eux lorsqu'ils ont un angle égal à un angle, et les côtés autour des angles égaux, réciproquement . proportionnels (15. 6); donc le triangle ΑΒΗ est égal au triaugle AEz. Et puisque Pr est à EZ comme Ez est à BH, et que lorsque trois droites sont proportionnelles, la premiére est dite avoir avec la troisième une raison double de celle que la première a avec la seconde (10. 5), la droite Br a avec la droite BH une raison double de celle que ΒΓ ἃ avec EZ. Mais Br est à BH comme le triangle ΑΒΓ est au triangle ΑΒΗ
(déf. 1. 6); donc le triangle ΑΒΓ a avec le triangle ABH une raison double
332 LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE
ABH δυπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ 5 ΒΓ πρὸς πὴν EZ. leoy δὲ τὸ ABH τρήγωνον τῷ AEZ τριγώνῳϑ᾽ καὶ τὸ APT ἄτα τρίγωνον πρὸς τὸ AEZ τρίγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν EZ.
\ ἡ eq s veo Ta apa 0M SI, αὶ Τὰ £56.
ον Ae TS ET, Ex δὴ τούτου φανερίν. ovi εανῇ τρεῖς εὐθείαι , , Es sl € e , al \ 1 ἀνάλογον ὥσιν ,GTIY ας ἡ FROTH PIS τὴν τρίτην E \ \ ΄ " f \ 1 οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης τρίγωνον" πρὸς τὸ 5 M ^ , L4 AS , 3 , eo Thés δευτέρας ομοιον καὶ DAI αναγραφο- « « \ \ μένον" ἐπείπερ ἰδείχθη.. ec ἢ TB πρὸς τὴν BH e X , À LI / CUTwS τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΗ τρίγωνον 5»
τουτέστι τὸ AEZOS
E. triangulum ipsi AEZ triangulo; et ABT igiiur triangulum ad ΔΕΖ triangulum duplam ratio- nem habet ejus quam ΒΓ ad EZ. Ergo simi- lia, etc.
HS
COROLLARIUM.
Ex hoc utique manifestum est, si tres rectæ proportionales sint, esse ut prima ad tertiam ita ipsum ex primà triangulum ad ipsum ex secundà simile et similiter descriptum; quia ostensum est, ut TB ad BH ita ABT triangu- lum ad ABH triangulum , hoc est AEZ.
de celle que Br a avec Ez. Mais le triangle ABH est égal au triars's AEZ; donc le triangle ΑΒΓ a avec le triangle AEZ une raison double de celle que Br a avec EZ (7. 5). Donc, etc.
COROLLAIR E.
De là il est évident que si trois droites sont proportionneïles, la première est à la troisième comme le triangle décrit sur la première est au triangle sem- blable décrit semblablement sur la seconde ; puisqu'il a été démontré que ΓΒ est à BH comme le triangle ΑΒΓ est est au triangle ΑΒΗ, c'est-à-dire ΔΕΖ,
LE SIXIÈME LIVRE DES
IPOTAZIX x.
Δ: 5 , i » “ J ταϊομοια πολυγῶνα εἰς Te 04010. πτριγῶνα διαι- ce WP Ney \ NC Sucre e pedi καὶ εἰς ITA τὸ πλῆθος καὶ ὁμολογα τοῖς M A La ὅλοις" καὶ τὸ πολύγωνον πρὸς To! πολύγωνον δὲ- , v L4 z Le , ^ πλασίονα λογὸν ἐχέι 172 À ομολογος πλευρὰ M € , , πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν. e , M > EcTw ὁμοια πολυγῶνα τὰ ΑΒΓΔΕ, ZHOKA, LA € b , ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ AB τῇ ΖΗ" λέγω
er À oT) TA
ΑΒΓΔΕ. ΖΗΘΚΛ πολύγωνα εἴς τε ὅμοια Tpi- γωνα διαιρεῖται καὶ εἰς ἴσα τὸ πλῆθος καὶ ὁμό- 254 τοῖς ὅλοις, καὶ τὸ ABTAE πολύγωνον πρὸς τὸ ZHOKA πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ à AB πρὸς τὴν ZH.
Ἐπεζεύχθωσαν αἱ BE, ET, HA, AG.
ENTS D'EUCEIDE. 333
PROPOSITIO XX.
Similia polygona in similia triangula divi- duntur, et in aequalia mulütudine et homo- loga totis ; et polygonum ad polygonum duplam rationem babet ejus quam homologum latus ad homologum latus.
Sint similia polygona ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ, ho- mologum vero sit AB ipsi ΖΗ; dico ΑΒΓΔΕ,
:
ZHOKA polygona et in similia triangula dividi et in zqualia multitudine et homologa totis, et ABTAE polygonum ad ZHOKA polygonum
duplam rationem habere ejus quam AB ad ZH.
Jungantur BE, ET, HA, ΛΘ.
PR OSPIO ST TT ON XX
Les polygones semblables peuvent être divisés en triangles semblables, égaux en nombre, et homologues aux SE ; et ie polygone a avec le
ponds une raison double de celle qu'un có
homologue.
ὁ homologue a avec un côté
Soient les polygones semblables ABTAE, zHGKA4; etc que ΑΒ soit l'homolozue de
ΖΗ; je dis que les polygones ΑΒΓΔΕ,
ΖΗΘΚΛ peuvent être divisés en triangles
semblables, égaux en nombre, et TN aux polygones, et que le po- lygone ABTAE a avec le polygone ΖΗΘΚΛ une raison double de celle que ΑΒ
a avec ZH. Juignons BE, ET, HA, A6.
334 LE SIXIÈME LIVRE
ANT AC Sl ἐδ γωνία τῇ ὑπὸ HZA* καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΒΑ 7j
“ « \ SES ; : οὕτως ἡ ZH πρὸς LA. Ἐπεὶ οὖν duo τρίγωνα
»
ἐστι τὰ ABE, ZHA μίαν γωνίαν pad γωνίᾳ tour El M A \ 5», ’. \ \ εἐχοντὰ 5 περί δὲ τὰς ἰσας γωνίας τάς πλευρᾶς
a »
, 2 \ ^ ,ὔ ἀνάλογον" ἰσογώνιον apæ ἐστί τὸ ΑΒΕ τρίγωνον , 5
τῷ ΖΗΛ τριγώνῳ. ὥστε καὶ 0J4010V* IGN GPA ἐστιν
\ , PLACES - Yi veu ἃ ὑπὸ ABE γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΛ. Eos ὃς καὶ eu
ἡ ὑπὸ ADI ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΗΘ ien, διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν πολυγώνων" λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ EBT γωνία λοιπῇ" τῇ ὑπὸ ΛΗΘ ἐστὶν icu. Καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒΕ. ΖΗΛ 7p? ὡ- "OV , ἐστὶν ὡς ἡ EB πρὸς ΒΑ οὕτως ἡ AH πρὸς HZ,
SES eve : z . λυγώνων. ἐστὶν ὡς ἡ AB πρὸς BT ουτὼῶς ἡ ZH
3 \ 1 \ \ Vue / ^ αλλα μὴν καὶ διὰ τὴν OJADICTITA TOY 770—
πρὸς HO* δεΐσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ EB πρὸς ΒΓ
ei € \ \ X * 5», ουτως n AH πρὸς HO, Καὶ περι ταῖς ἰσὰς 0—-
ELEMENTS D'EUCLIDE.
Et quoniam simile est ΑΒΓΔΕ polygonum
ipsi ZHOKA polygono, æqualis est BAE an-
gulus
ipsi HZA ; et est ut BA ad AE ila ZH ad ZA. Et quoniam duo triangula. sunt ABE, ΖΗΛ unum angulum uni angulo æqua- lem habentia, cirza æquales autem angulos latera proportionalia; æquiangulum igitur est ABE triangulum ipsi ΖΗΛ triangulo, quare et
simile; æqualis igitur est ABE angulus ipsi
ΖΗΛ, Est autem ct totus ABT toli ΖΗΘ œqua- lis, propter similitudinem polygonorum; rc- liquus igitur EBP angulus reliquo AHO est æqualis. Et quoniam propter similitudinem ipsorum ABE, ZHA triangulorum , est ut EB ad BA ita AH ad. HZ, sed utique et propter si- militudinem polygonorum, est ut AB ad BL, ita ZH ad HO ; ex æquo igitur est ut EB ad ΒΓ ita AH ad HO, et circa æquales angulos EBD,
Puisque le polygone ΑΒΓΔῈ est semblable au polygone ΖΗΘΚΛ, l'angle
BAE est égal à l'angle HZA; et BA est à AE comme ZH est à ZA.
Mais
les deux triangles ABE, ΖΗΛ ont unangle égal à un angle, et les cótés autour des angles égaux proportionnels; donc les uiangles ABE, ΖΗΛ sont équiangles (6. 6), et par conséquent semblables (4. 6); donc l'angle ABE est égal à l'angle zu. Mais l'angle entier ΑΒΓ est égal à l'angle entier ΖΗΘ, à'cause de la similitude des polygones; donc l'angle restant EBr est égal à l'angle res- tant AHO. Mais à cause de la similitude des triangles ABE, ZHA, EB est à BA comme AH est à HZ, et à cause de la similitude des polygones, AP est à ΒΓ comme ZH est à ΗΘ; donc, par égalité, EB est à Br comme AH est à Ho (22. 5);
LE SIX
\ NOM AA , yia c τὰς ὑπὸ EBT, AHO αἱ πλευραὶ αναλογοὸν 3) 3 \ { Ld εἰσιν3" ἰσογώνιον epa, ἐστὶ τὸ EBT τρίγῶνον τῷ e NO. » \ ΛΗΘ τριγώνῳ, ὥστε καὶ ὁμοιοῦ ert τὸ EBT τρι- “Ὁ X M M 3 Ν δ γώνον To AHO τριγώνωϊ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ il ^ ^ M ETA τρίγωνον TET ἐστι τῷ ΛΘΚ Tpry0vo* τὰ LA ei , ^ » ἄρα ὁμοία πολυγωνα τὰ ABTAE , ΖΗΘΚΛ εἰς τε LA , δὶ ^ ΘΝ ΣΕ » N πλῆθο ὁμοία τρίγωνα ὀμήρηται καὶ εἰς CG TO 7 Se , ei NE , rm t€ , Aty€ OTI X2 C[40A07y0. τοῖς ὁλοῖς, τουτέστιν 5 e , Lcd \ \ € , ὥστε ἀνάλογον εἶναι τὰ τρίγωνα. καὶ WyoUpera, \ Δ \ > ^ M > mM μὲν εἶναι τὰ ABE, ΕΒΓ. ΕΓΔ. ezrouera δὲ αὐτῶν M » Noe 4 τὰ ΖΗΛ. ΛΗΘ. ΛΘΚ. καὶ oTi τὸ ABTAE σο- , λύγωνον epe τὸ LHOKA πολύγωνον διπλασίονα M \ \ e , λόγον ἔχει ἥπερ ὁμόλογος oodd πρὸς τὴν (μο- A \ λόγον πλευρὰν. τουτέστιν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ZH, P \ Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ AT, ZO. NY ^N ^ ^ € , ^ a Καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ομοιότητα τῶν πολυγώνων 4 CECHEN c δ᾽ Ἃ x ἴση ἐστιν ἡ ὑπὸ ABT γωνία Ty ὑπὸ ZHO, καὶ NS € « M e ε M ἐστὶν ὡς ἡ AB προς ΒΓ ουτῶς ἡ ZH προς HO* ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ABT τρίγωνον τῷ ΖΗΘ τρι- , » », 3 \ € \ € \ / 5 D γῶνῳ" ic) ἀρῶ ἐστιν ἡ μὲν ὑπὸ BAT γωνίαν τῇ CS le CCE) X ANS \ ὑπὸ HZO, ἡ δὲ ὑπὸ BETA τῇ ὑπὸ HOZ. Kai ἐπεὶ
ε
" en MERE τος αὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ BAM γωνία τῇ ὑπὸ HZN,
donc les côtés autour des angles égaux ἘΒΓ,
XIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D’
EL CI 1108.
ΛΗΘ latera proporlionalia sunt; æquiangulum igitur est EBP triangulum ipsi AHO triangulo, quare οἱ simile adhuc EBT triangnlum ipsi ΛΗΘ triangulo. Propter eadem utique et ἘΓΔ triangulum simile est ipsi AGK triangulo ; ergo sunilia polygona ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ et in similia triangula dividuntur et in æqualia multitudine.
Dico et homologa totis, hoc est, ut pro- portionalia sint triangula, et antecedentia qui- dem sint ABE, ΕΒΓ, ΕΓΔ, consequentia vero eorum ipsa ΖΗΛ, ΛΗΘ, ΛΘΚ, ct ΑΒΓΔΕ po- lygonum ad ΖΗΘΚΛ polygonum duplam ratio- nem habere ejus quam homologum latus ad homologum latus, hoc est , AB ad ZH.
Jungantur enim AT, Zo.
Et quoniam propter similitudinem. polygo- norum equalis est ABP angulus ipsi ΖΗΘ, et est ut AB ad BP ita ZH ad HO ; æquiangulum est ABP triangulum 1051 ΖΗΘ triangulo ; æqualis igitur est quidem BAT angulus ipsi HZo, ipse vero ΒΓΑ ipsi HOZ. Et quoniam æqualis est BAM
augulus ipsi HZN , ostensum autem est el ΑΒΜ
ΛΗΘ sort proporuonnels ; donc
les triangles EBr, ΛΗ͂Θ sont équiangles (6. 6); donc le triangle EBr est sem-
blable au triangle ΛΗΘ. Le triangle ErA est
semblable au triangle A6x, par la
méme raison (4. 6); donc les polygones semblables ΑΒΤΔῈ, ZHOKA sont divisés en triangles semblables et égaux en nombre. Je dis de plus que ces triangles sont homologues aux polygones, c'est-à-
dire que ces triangles sont proportionnels, que les antécédents sont ABE, ΕΓΔ, et que leurs conséquents sont ΖΗΛ, ΛΗΘ,
EBT,
ΛΘΚ; et que de plus le pur
lygone ABraE a avec le polygone ΖΗΘΚΛ une raison double de celle qu'un côté a avec un côté, c’est-à-dire de celle que ΑΒ a avec zH.
Joignons AT, ze.
Puisquà cause de la similitude des polygones, l'angle Apr est égal à l'angle
ΖΗΘ, et que AB est à BT comme ZH est à Ho,
les triangles ΑΒΓ, ΖΗΘ sont
équiangles (6. 6); donc l'angle Bar est égal à l'angle uze , et Vase BIA (gal à l'angle H@Z. Et puisque l'angle BAM est égal à l'angle HzN, et quil a été
4260
230 ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ
No Εν £X Ε - - € ^ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΜΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ZNH
LE SIXIEME
LIVRE DES
τῇ ὑπὸ ZHN ἴσῃ" ira ἐστίν)" ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΜ τρίγωνον τῷ ZHN τριγώνῳ, Ομοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ τὸ BMT τρίγωνον ἰσογώνιον ἐστὶ τῷ HNO τρι- ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν, ὡς μὲν ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς NH, MT οὕτως d HN πρὸς NO* ὥστε καὶ διΐσου. ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΙ οὕτως ἡ ΖΝ πρὸς NO. AAA
γώνῳ" ὡς δὲ ἡ ΒΜ πρὸς
Δ
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ipsi ZHN æqualis; et reliquus igitur ΑΜΒ reli- quo ZNH æqualis est; æquiangulum igitur est ABM triangulum ipsi ZEN iriangulo. Similiter
Mr osten dcus ct EMT triangulum jaune
ter igitur est ut AM ἈΚ αν ad MB ita ΖΝ ad NH, ut vero BM ad Mr ita HN ad ΝΘ; quare et ex equo ut AM ad MT ita ΖΝ ad NO. Sed ut AM ad Mr ita ΑΒΜ triangulum ad
XA 2.
p
VON
AM S ωνον πρὸς MET ,
\ - 4 \ πρὸς MT ourws τὸ ABM τρί- EMT,
e (La fe tc μεν à
AME πρὸς
καὶ τὸ πρὸς ἄλληλα 22d εἰσιν ὡς αἱ fx σεις" καὶ ὡς ἄραϑ ἕν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕν τῶν ἑπομένων οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπομένα" ὡς ἄρα τὸ ΑΜΒ τρί, t OV πρὸς τὸ ΒΜΓ οὕτως τὸ ΑΒΕ πρὸς 70 TBE. AÀX ὡς τὸ ΑΜΒ πρὸς τὸ ΒΜΓ οὕτως ἡ ΑΜ΄ πρὸς ΜΓ’ καὶ ὡς ἄρα
Loi X , \ A ἡ AM προς ΜΓ οὕτως τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ
DA Al
MBT, et AME ad EM,
bases; et ut igitur unum antecedentium ad
inter se cnim sunt uk
unum consequeniium ita omnia antecedentia ad omnia consequentia. Ut igitur AMB trian- gulum ad BMT iia ABE ad TBE. Sed ut AMB ad BMT ila AM ad MT; et ut igitur AM ad MT ita ABE triangulum ad EBF triangulum. Propter eadem utique et ut ZN ad NO ita
ΖΗΛ triangulum ad HAO triangulum. Et est
démontré que l'angle ABM est égal à l'angle ZHN, l'angle restant ΑΜΒ est égal à l'angle restant ZNH (53. 1); donc les deux uri. angles ABM , ZHN sont équiangles. Nous démontrerons semblablement que les deux triangles BMr, HN© sont équiangles ; donc AM està MB comme ΖΝ est à NH, et DM est à MT comme EN est à Ne (4. 6); donc, par égalité, AM est à Mr comme ΖΝ est à Ne (22. 5). Mais AM est à Mr comme le tfiangle AEM est au triangle.MBr, et ccmme le triangle AME est au triangle EMT, car ils sont entr'eux comme leurs bases (1. 6),
un des antécédents est à uu des conséquents comme tous les antécédents 5); donc le triangle ΑΜΒ est au triangle ΒΜΓ Mais AMB est à BMT comme AM
sont à tous les conséquents (12. comme le triangle ABE est au triangle TRE. est à Mr; donc AM est à Mr comme le uiangle ABE est au triangle EBr (11. 5).
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 337
EBT τρίγωνον. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΖΝ πρὸς ΝΘ οὕτως τὸ ΖΗΛ ph QUVOV πρὸς T0!? HAO τρίγωνον. Καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΑΜ πρὸς ΜΓ οὕτως Ü ZN πρὸς ΝΘ’ καὶ ὡς dpz τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΕΓ τρίγωνον οὕτως τὸ ΖΗΛ τρίγωνον πρὸς τὸ HOA τρίγωνον. καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον οὕτως τὸ ΒΕΓ τρίγωνον πρὸς τὸ HAO τρίγωνοντἷς Ομοίως δὴ δείξομεν. ἐπιζευχϑεισῶν τῶν BA, HK, ὅτι καὶ ὡς τὸ ΒΕΓ τρίγ ὥνον πρὸς τὸ HAO τρίγωνον οὕτως τὸ ETA τρίγωνον 12 πρὸς τὸ AOK τρίγωνον. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ ΑΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ZHA τρί- γωνον 13 οὕτως 76 ΕΒΓ πρὸς τὸ ΛΗΘ. καὶ ἔτι ΕΓΔ πρὸς τὸ ΛΘΚ’ καὶ ὡς ἄρα ἕν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕν τῶν ἑπομένων οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα" ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ABE Tpi- qty oy πρὸς τὸ ZHA τρέγωνον οὕτως τὸ ΑΒΓΔΕ πολύγωνον πρὸς τὸ LHOKA πολύγωνον, Αλλὰ
αἱ ΑΜ ad MT ita ZN ad ΝΘ; et ut igitur ABE triangulum ad BET triangulum ita ΖΗΛ triangulum ad HOA triangulum, ct alterne ut ABE triangulum ad ΖΗΛ triangulum ita BET. triangulum ad HAO triangulum, Similiter uti- que ostendemus , junctis BA, HK, ct ut BET triangulum ad HAO triangulum ita ETA trian- gulum ad AOK triangulum. Et quoniam est ut ABE iriangulum ad ΖΗΛ ita EBT ad ΛΗΘ, ct insuper ΕΓΔ ad ΛΘΚ; et ut igitur unum antecedentium ad unum consequentium ita orimnia antecedentia ad omnia consequentia ; est igitur ut ABE triangulum ad ΖΗΛ trian- gulum ita ΑΒΓΔΕ polygonum ad ZHOKA po- lygonum. Sed ABE triangulum ad ZHA trian-
gulum duplam rationem. habet ejus quam ΑΒ
\ / N \ / To ABE 7 Ὲ au ΒΕ OT NH QE AULA Mi LU δι homelogum latus ad ZH bhomologum latus ;
, ^ » EU € e πλασίονα λόγον ἔχει #7Tep 1 AB ὁμόλογος πλευρὰ sies - - - n - Similia enim triangula in duyplà ratione sunt
M M , πρὸς τὴν ZH ὁμόλογον πλευράν" τὰ γὲρ ὅμοια 1 : / , AC / homologorum laterum ; et ΑΒΓΔῈ igitur po- τρίγωνα ἐν διπλοσίον! λόγῳ ἐστὶ TOY ὁμολόγων 9 ] 4 2 i ^ \ \ , 2 I πλευρῶν" καὶ τὸ ABTAE dpa πολύγωνον πρὸς lygonum ad ΖΗΘΚΛ polygonum duplam ra
Par la méme raison, ΖΝ est à No comme le triangle ZHA est au triangle ΗΛΘ. Mais AM est à Mr comme ΖΝ est à ΝΘ; donc le triangle ABE est au triangle PEr comme le triangie ΖΗΛ est au triangle H@A (11. 5), et par per- mutation, le triangle ABE est au triangle ZHA comme le triangle BET est au triangle HAe (16. 5). Nous démontrerons semblablement, aprés avoir joint ΒΔ, HK, que le triangle BET est au triangle HA® comme le triangle Era est au triangle Aex. Et puisque le triangle ABE est au triangle ZHA comme Er est à ΛΗΘ, et comme Era est à AGK, un des antécédents est à un des conséquents comme tous les antécédents sont à tous les conséquents (12. 5); donc le triangle ABE est au triangle ZHA comme le polygone ABrAE est au polygone ΖΗΘΚΛ. Mais le triangle ABE a avec le triangle ZHA une raison double de celle que le côté homologue AB a avec le cóté homologue zH; car les triangles semblables sont en raison double des côtés homologues ; donc le polygone ΑΒΓΔῈ a avec lc
43
338 LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
τὸ ΖΗΘΚΛ πολύγωνον διπλασίονα λόγον ἔχει ἧπερ ἡ AB ἑμόλογες πλευρὰ “πρὶς τὴν ZH cac
" Nox LH Ν ve Aoyoy πλευράν, To ἀρὰ ὁμοία. καὶ τὰ εξῆς.
Α
rre Moe X E& A
a
IIOPIXZMA «,
, ^ R \ 2 ^ ^ € ? ,
Ὡσαύτως δὴ" καὶ ἐπὶ τῶν ὁμοίων TeTpa7rAeU-
, e > , , 3 \
por duxDuceras , ὅτι ἐν διπλασίονι λόγῳ ἐστὶ
L3 ^ , M NU \ n
τῶν ὁμολόγων πλευρῶν, Ἐδείχθη δὲ καὶ ἐπὶ τῶν , e *16 θό Nd jh ,
τριγώνων" ὥστε καὶ! καθόλου τὰ ὁμοιω εὐθυ-- ^ \ 3) ᾽ ,
γράμμα σχήματα πρὸς ἀλληλα cy διπλασίονι , 5 \ re € , ^ |
λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν. Omep idu
dia.
I
tionem habet ejus quam AB homologum la- ius ad ZH
homologum latus. Ergo simi-.
lia , etc.
p, d A
K © COROLLARIUM. I.
Similiter utique et in similibus quadrilateris ostendetur, ea in duplà ratione esse homo- logorum laterum. Ostensum autem est-et in iriangulis ; quare et universe similes rectilineæ figuræ inter se in duplá ratione sunt homolo-
gorum laterum. Quod oportebat ostendere.
polygone ZH@KA une raison double de celle que le côté homologue ΑΒ a avec le côté homologue ΖΗ. Donc, etc.
COROLLAIRE I.
On démontrera de la méme maniére que les quadrilatéres sont en raison double des côtés homologues ; mais cela a été démontré pour ies triangles semblables (cor. 19. 6); donc généralement les figures rectilignes semblables sont entr'elles en raison double des côtés homologues. Ce qu’il fallait démontrer.
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 339
HOPISMA f.
^ , , , Καὶ ἐὰν τῶν AB, ΖΗ τρίτην ἀνάλογον λάζω- ec t Y SU ! , μὲν τὴν Ξ. ἡ AB πρὸς τὴν X διπλασίονα λόγον € \ a ' bj \ ἔχει ἥπερ ἡ AB πρὸς τὴν ZH. Eyes δὲ καὶ τὸ \ M \ \ , πολύγωνον προς τὸ πολύγωνον. καὶ τὸ τετρα- M ι , * , πλευρὸν πρὸς τὸ τετράπλευρον διπλασίονα λόγον Y ee My. 1 \ CT LA ἅπερ 1 ομολογος πλευρώ πρὸς τῆν ὁμόλογον πλευ- \ ε \ \ E " \ pzv!9, τοὐτέστιν ἡ AB πρὸς τὴν ZH* ἐδείχθη δὲ ^ ἂν ei ' , τοῦτο καὶ ἐπὶ τῶν τριγώνων" ὥστε καὶ πκαθό-- M LA 21 e ε e , , AoU Quyspoy , OTI &4V τρεῖς εὐθεῖαι aya A oyoy 5 € , M Y , el ὦσιν. ἔσται ὡς ἡ πρωτή πρὸς τὴν τρίτην οὕτως M > \ ^ , ΔΝ \ Ar 9 \ LA δ τὸ ἀπὸ τῆς πρωτῆς εἰδὸς πρὸς τὸ απὸ τῆς du
, Này Ve 7 » , "poc, TO ὁμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον.
ΑΛΛΩΣ,
Δείξομεν δὴ καὶ ἑτέρως προχειρότερον ὁμόλογα
\ , τα Τρ! cya.
COROLLAIRE
COROLLARIUM 11.
Et si ipsis AB, ZH tertiam proportionalem Z sumamus , AB ad Z duplam rationem habet cjus quam. AB ad ZH. Habet autem et polygonum ad polygonum , et quadrilaterum ad quadrilate- rum duplam rationem ejus quam homologum latus ad homologum latus, hoc est AB ad ZH; ostensum est ^utem hoc et in triangulis; quare ct universe manifestum est, si tres rect? proporlionales sint, ut prima ad tertiam ila futuram esse ipsam a primé figuram ad ip-
sam a secundi , similem et similiter descriptam.
ALITER.
Ostendemus utique ct aliter expeditius ho-
mologa triangula.
11.
Si nous prenons une troisième proportionnelle X aux droites ΑΒ, ΖΗ, la
droite AB aura avec x une raison double de celle que ΑΒ a avec ZH{(déf. ro. 5). Mais le polygone a avec le polygone, et le quadrilatère avec” le quadrilatère une raison double de celle qu'un côté homologue a avec un côté homologue, c’est-à-dire, de celle que AB a avec ZH; et cela a été démontré pour les triangles; il est donc généralement évident que si trois droites sont propor- tionnelles, la première est à la troisième comme Ja figure décrite sur la première est à la figure semblable et décrite semblablement sur la seconde.
AUTREMENT.
Nous démontrerons autrement et plus briévement que les triangles sont homologues.
340
Ἐκκείσίωσαν γὰρ πάλιν τὰ ΑΒΓΔΕ. ΖΗΘΚΛ
πολύγωνα. καὶ ἐπεζεύχθωσαν ai BE, ET, HA,
, 7 » \ € Y ͵ ^ \
ΛΘ’ λέγω CTI ἐστὶν ὡς TC ABE τρίγωνον πρὸς τὸ
ZHA οὕτως τὸ ἘΒΙ πρὸς τὸ ΛΗΘ καὶ τὸ TAE πρὶς τὸ ΘΚΛ.
Ἐπεὶ γὰρ ὑμοιόν στ’ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ
, 4 3) , M ^
ΖΗΛ τριγωνῷ» τὸ ABE ἀρῶ τρίγωνον πρὸς τὸ
ZHA διπλασίονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ BE πρὸς τὴν
\ \ ni NAN D \ HA, διὰ τὰ αὑτὰ δὴ καὶ τὸ BET τρίγωνον πρὸς
S Ws
A
A D — τὸ HAO τρίγωνον δυπλασίοναι λόγον ἔχει ἥπερ ἡ BE πρὲς τὴν ΗΛ’ ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ABE τρίγωνον πρὸς τὸ ΖΗΛ τρίγωνον"Ὁ οὕτως τὸ EBT πρὸς τὸ ΛΗΘ. Πάλιν, ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ EBT τρίγωνον τῷ ΛΗΘ τρ'γώνῳ" τὸ EBT dpa πρὸς τὸ ΛΗΘ δὺ- πλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ñ ΤῈ εὐθεῖα πρὸς τὴν OA. Διὰ τὰ αὐτὰ δὲ καὶ τὸ ETA τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΘΚ τρίγωνον διπλασίονα λύγον ἔχει ἧπερ ἡ
\ Μ ! € \ TE πρὸς τὴν ΘΛ’ ἔστιν ἄρα -ὡς τὸ EBT τρίγωνον
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Exponantur enim rursus ΑΒΓΔΕ, ΖΗΘΚΛ polygona, et jungantur BE, EF, HA, AO ; dico esse ut. ABE triangulum ad ΖΗΛ ita ΕΒΓ ad ΛΗΘ et TAE ad GKA.
Quoniam enim simile est ABE triangulum ipsi ZHA triangulo, ABE igitur triangulum ad ZHA duplam ralionem habet ejus quam BE ad ΗΛ, Propter eadem utique el BET iriangulum ad ΗΛΘ
2 €; : DEAR :
triangulum duplam rationem habet ejus quam BE ad HA; est igitur ut ABE triangulum ad ΖΗΛ iriangulum ila EBT ad ΛΗΘ. Rursus, quoniam simile est EBT triangulum ipsi AHO trian- gulo; EBT igitar ad AHO duplam rationem habet ejus quam TE recta ad ΘΑ, Propter eodem utique et ETA triangulum ad AOK triangulum duplam rationem habet ejus quam ΓῈ ad OA; est igitur ut EBT triangulum ad AHO ita EFA ad
Soient les polygones ABTAE, ZHOKA, et joignons BE, ET, HA, ΛΘ; je dis que le triangle ABE est au triangle ZHA comme EBT est à AHO, et comme TAE
est à OKA,
Puisque les triangles ABE, ZHA sont semblables, le triangle ABE a avec le
triangle ZHA une raison double de celle que BE a avec HA (19. 6). Par la méme raison, le triangle BET a avec le triangle H4@ une raison double de celle que BE a avec HA; donc le triangle ABE est au triangle ZHA comme le triangle EBT est au triangle AH© (11. 5). De plus, puisque le triangle Eër est semblable au triangle AH© , le triangle ἘΒΓ a avec le triangle AH© une raison double de celle que la droite TE a avec eA ( 19. 6). Par la méme raison, le triangle Era
a avec le triangle ΛΘΚ une raison double de celle que TE a avec ΘᾺ ; donc le
LE SIXIEME LIVRE DES ELÉMENTS D'EUCLIDE.
πρὸς τὸ ΛΗΘ οὕτως τὸ ETA πρὸς τὸ ΛΘΚ. Ἐδεί- χθη δὲ καὶ ὡς τὸ EBT πρὸς τὸ ΛΗΘ οὕτως τὸ ΑΒΕ πρὸς τὸ LHA* ze ὡς ἄρα τὸ ΑΒΕ πρὸς σὸ ZHA οὕτως πὸ ΒΕΓ πρὸς τὸ HAO καὶ τὸ ΕΓΔ πρὸς τὸ AOK?', Οπερ eds δεῖξαι.
ΠΡΟΤΑΣῚΣ κα.
\ ^ 3 4 LA N33 , T4 τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὑμοια. Ho αΛλύλοις 3 Ν e ἐστιν ὁμοία. \ € , " > , Ecro yap ἐκάτερον τῶν À, B εὐθυγράμμων ^ e , L4 \ \ ^ > \ τῷ T ομοιον" λέγω OTI kd) TO À τῷ D «στιν
e ὁμοίου,
N ^ e , » I ^ bd > , , Eze γαρ ὑμοιὸν ἐστι τὸ Α τῷ T , ἰσογῶνμον
> \ > m Ν \ \ \ » 4 τε ἐστὶν αὐτῷ. καὶ τὰς περὶ τὰς CAS γωνίας
^ E] » , Nd la πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει. Πάλιν.» ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι
341 ΛΘΚ, Ostensum est autem et ut. EBP ad AHO ita ABE ad ZHA ; et ut igitur ABE ad ZHA ita BET ad HAO et ETÀ ad ΛΘΚ. Quod oportebat ostendere.
PROPOSITIO XXI.
Ipsa eidem rectilinco similia, et inter se snnt similia.
Sit enim utrumque ipsorum À, E reclili- neorum ipsi T simile; dico ct A ipsi B essc
sunile.
Quoniam enim est simile A ipsi P, et æquiangulum est ipsi, et circa equales an-
gulos latera proportionalia habet. Rursus , quo-
triangle EBr est à AHO comme Era est à ΛΘΚ ( 11. 5). Mais on a démontré que
EBT est à ΛΗΘ comme ABE cst à ΖΗΛ; donc ABE est à
"
ΖΗΛ comme BET est à
HAO, et comme ΕΓΔ està AGK. Ce qu'il fallait démontrer.
PROPOSITION XXI.
Les figures rectilignes semblables à une méme figure sont semblables
entr’elles.
Que chacune des figures rectilignes A, B soit semblable à la figure r; je dis que la figure A est semblable à la figure 8.
Car, puisque la figure 4 est semblable à la figure r, ces deux figures sont équiangles , et elles ont les côtés autour des angles égaux proportionnels (déf. 1.6).
342 \ ^ 5 , , , \ ἂν ^ x * τὸ B TG T, ἰσογώνιον Te ἐστιν αὐτῷ. καὶ τὰς ^ \ » p M , , » περὶ τὰς ICS γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον ἔχει"
3 , L4 ^ ^ EJ , , txaTepov apa τῶν À, B τῷ T ἰσογώνιον τε ἐστὶ
A \ \ i] L4 , M , , καὶ τὰς THp) τὰς i86 γωνίας πλευρᾶς ya A0 0y x p , , ^ \ ^ Lu
$xu^. Opoior ὄρα ἐστὶ τὸ À τὼ B. Orvrtp ἔδει
δεῖξαι,
ΠΡΟΤΑΣΙΣ xf.
ὃ τ T PEU E Ne UE Ἐὰν τεστώρες εὐθεῖαι ἀνάλογον O71 , καὶ τὰ T
mn Aft “ , RIEN: ; αὐτῶν εὐθύγραμμα, ὁμοία τε καὶ ὁμοίως ανα- ^ 3 , er » \ ? 3 3 γτγραμμενα. ἀνάλογον ἐσται" καν τὰ ἀπ uu-
,
^ » ej XE ͵ ᾽ τὰν εὐθύγραμμα ομοια TE καὶ ομμοιίὼς ἀνᾶγε-
H ΄ ^ La εν Ν y ΜΝ e vns γραμμένο ἀνάλογον ñ > καὶ αὐτῶι! αἱ εὐϑεισαι
2 1 LA ayA070y ETOYT 2.
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
niam simile est B ipsi D, et æquiangulum est ipsl, et circa equales angulos latera propor-
üonalia habet; utrumque igitur Ipsorum À,
B ipsi P et æquiangulum est et circa equales angulos latera proportionalia habet. Simile igi-
tur est A ipsi B. Quod oportebat ostendere.
PROPOSITIO XXII
Si quatuor recte proportionales sint, et ab ipsis rectilinea , similiaque et similiter descripta, proportionalia erunt; et si ab ipsis rectilinea similiaque et similiter descripta proportionalia
sint , ct ipsæ recto proporlionales crunt,
De plus, puisque la figure B est semblable à la figure r, ces deux figures
sont équiangles, et elles ont les côtés autour des angles égaux proportionnels; donc chacune des figures A, B est équiangle avec la figure r, et elles ont les côtés autour des angles égaux proportionnels. Donc la figure A est sem- blable à la figure 8. Ce qu'il fallait démontrer.
PROPOSITION XXII.
Si quatre droites sont proportionnelles, les figures rectilignes semblables et semblablement construites sur ces droites, seront proportionnelles; et si des figures rectiligaes semblables et semblablement construites sur ces droites sont proportionnelles , ces mémes droites seront proportionnelles.
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 343
Ecrucay τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ ΑΒ. DAS BZSHO, ὡς n AB πρὸς Tiv TA οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴν HO, καὶ ἀναγεγράφθωσαν ἀπὸ μὲν τῶν AB, TA ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύ- ἡράμμα Tà ΚΑΒ, ATA, ἀπὸ δὲ τῶν EZ, HO ὅμοιο τε καὶ ὅμοιως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ MZ, ΝΘ" λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς To ATA οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ.
A B
M
E
^ , 04 72 es
Εἰλήφθω yap τῶν μὲν AB, TA τρίτη ἀνάλογον ἡ
- Ν , € NE ,
Ξ΄. τῶν δὲ EL, HO τρίτη ἀνάλογ oy ἢ Ο. Και ἐπεὶ 3 € \ € \ e e
ἐστιν ὡς μὲν a! AB πρὸς τὴν TA οὕτως ἡ EZ
\ \ C ^ \ NAN n c πρὸς τὴν ΗΘ. ὡς δὲ ΤΔ πρὸς τὴν E ουτῶς ἢ L * ^, e Y
ΗΘ πρὸς τὴν O* diiecu apa ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς
τὴν X οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴν Ο. AAX ὡς μὲν ἡ ΑΒ
— —À x
Sint quatuor recte proportionales AB, TA, EZ, HO, ut AB ad ΓΔ ita EZ ad HO, et describantur ab ipsis quidem AB, TA similiz- que et similiter posita rectilinea ΚΑΒ, ATA, ab ipsis vero EZ, ΗΘ similaque ct similiter posita rectilinea MZ, NO; dico csse ut ΚΑΒ ad ATA ita MZ ad NO.
Sumatur enim ipsis quidem AB, TA tertia proportionalis Z , ipsis vero ΕΖ, HO tertia pro- portionalis O. Et quoniam est ut AB quidem ad TA ita EZ ad HO, ut ΓΔ vero ad Z ita ita EZ ad O. Sed ut AB quidem ad 5 ita ΚΑΒ ad
HO ad O; ex æquo igitur est ut AB ad Z
Soient AB, TA, EZ, HO quatre droites proportionnelles, de manière que ΑΒ
soit ἃ TA comme EZ est à Ho ; soient décrites sur les droites AB, rA les figures rectilignes semblables et semblablement placées ΚΑΒ, ΛΓΔ, et sur les droites EZ, HO, les figures semblables et semblablement placées Mz, ΝΘ; je dis que ΚΑΒ est à ATA comme MZ est à ΝΘ.
Prenons une troisième proportionnelle x aux droites AB, TA, et une troi- sième proportionnelle © aux droites Ez, HO (11. 6). Puisque AB est à ra comme EZ est à HO, ‘et que TA est à Xx AB est à &
comme He est à O, par égalité,
comme EZ est à O (22. 5). Mais AB est à Æ comme ΚΑΒ est
344 LE SIXIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
πρὸς τὴν X οὕτως T0? ΚΑΒ πρὸς τὸ ATA, ὡς δ — ATA, ut EZ vero ad O ita ΜΖ ad NO; et ut 4 EZ πρὸς τὴν Ο οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ" καὶ Igitur ΚΑΒ ad ΛΓΔ ita MZ ad ΝΘ.
ὡς ἄρα τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ATA οὕτως τὸ MZ πρὸς
τὸ ΝΘ. Anna δὴ ἔστω ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ATA οὔτως Sed ct sit ut ΚΑΒ ad ATA ita MZ ad NO;
τὸ ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ’ λέγο ὅτι ἐστὶ καὶ! ὡς ἡ — dico esse et ut AB ad TA ita EZ ad Ho. AB πρὸς τὴν TA οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴν HO.
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Si enim non est ut AB ad l'A ita EZ ad ΗΘ, sit ut AB ad ΓΔ ita EZad ΠΡ, et describatur
LI
Ei γὰρ μή ἔστιν ὡς n AB πρὸς τὴν TA οὕτως EZ πρὸς τὴν ΗΘ, ἔστω" ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν TA οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴν ΠΡ, καὶ ἀναγεγράφθω απὸ à ΠΡ alterutri ipsorum MZ, NO simileque et πῆς ΠΡ ὁποτέρῳ τῶν MZ, NO Guoicy τε καὶ — similiter positum recülineum XP. ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον τὸ XP.
Ἐπεὶ οὖν ἔστ᾽» ὡς à AB πρὸς Tür ΓΔ οὕτως ἡ Et quoniam est ut AB ad ΓΔ ita EZ ad HP,
\ A X ^ , » M Li . - . . B EZ πρὸς τήν ΠΡ, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν εἰ descripta sunt ab ipsis quidem AB, ΓΔ, si-
u “ , \e 2 , NS τῶν ΑΒ. ΓΔ ὁμοία τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΚΑΒ,
L A Ml ^ L. , e ALIA, ἀπὸ δὲ τῶν EZ, ΠΡ ὁμοιά τε καὶ ὁμοίως
miliaque et similiter posita ΚΑΒ, ΛΓΔ, ab ipsis vero EZ, IIP, similiaque et similiter posita
à ATA (cor. 2. prop. 20. 6), et EZ est à O comme MZ est à NO; donc ΚΑΒ
est à ATA comme MZ est à ΝΘ ( r1. 5).
Mais que ΚΑΒ soit à ATA comme Mz est à ΝΘ; Je dis que AB est à T^ comme EZ est à He.
Car si AE n'est pas à T^ comme EZ est à HO, que AB soit à T^ comme EZ est à ΠΡ (12. 6), et sur ΠΡ décrivons la figure rectiligne ΠΡ de manière qu'elle soit semblable à chacune des figures Mz, ΝΘ, et semblablement placée (18. 6).
Puisque AB est à TA comme EZ est à ΠΡ, que les figures ΚΑΒ, ATA décrites sur AB, TA sont semblables et semblablement placées, et que les figures
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 345 MZ, EP; est igitur ut ΚΑΒ ad AT ita MZ
“είμενα Tè MZ; XP' ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς ad EP. Ponitur autem ct ut ΚΑΒ ad ATA ita
τὸ ATA οὕτως τὸ MZ “πρὸς τὸ EP. Ὑπόκειται δὲ καὶ ὡς τὸ ΚΑΒ πρὸς τὸ ATA οὕτως τὸ ΜΖ πρὸς ΜΖ ad NO; et ut igitur MZ ad EP ita MZ ad τὸ ΝΘ" καὶ ὡς ἄρα τὸ ΜΖ πρὸς To ΣΡ οὕτως τὸ MZ “πρὸς τὸ ΝΘ" τὸ ΜΖ ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν NO, XP7 τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΝΘ τῷ XP. Ec: δὲ αὐτῷ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον" ἴση ἄρα "ὃ ΗΘ τῇ ΠΡ, Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς 3j AB πρὸς τὴν ΓΔ οὕτως ἡ EZ πρὸς τὴν TD ἴση δὲ d ΠΡ τῇ HO: ἔστιν ἄρα ὡς ἡ AB πρὸς τὴν
TA οὕτως ἡ EZ πρὸς τήν ΗΘ. Ἐὰν ἄρα τέσσαρες,
NO; ergo MZ ad utrumque ipsorum NO, ΣΡ eamdem habet rationem; æquale igitur est NO ipsi EP. Est autem ipsi simile et similiter po- situm ; «qualis igitur H9 ipsi ΠΡ. Et quoniam est ut AB ad ΓΔ ita EZ ad ΠΡ, æqualis autem HP ipsi HO; est igitur ut AB ad ΓΔ ita EZ ad
HO. Si igitur qualuor, etc.
To To ces παὶ τὰ ENG AHM M A. LEMM A.
\ x A / œ E UN 5 ; a jon Os: δὲ, ἐὸν εὐθύγραμμα ἴσα ἢ καὶ ὅμοια. αἱ Si autem rectilinca æqualia sint ct similia,
δμόλογο; αὐτῶν πλευραὶ ἴσα, ἀλλήλαις εἰσὶ, X homologa ipsorum latera æqualia inter sc esse, sic ostendemus. Sint æqualia et similia rectilinea NO , ΣΡ,
et sit ut OH ad HN ita PII ad ΠΣ; dico æqua-
δείξομεν οὕτως. e ΠῚ Ecro ἴσα καὶ ὁμοία εὐθύ) ράβμμα τα NO, EP, Ny € € ' “ el ε Qj «cl ἐστ ὡς ἡ ΘΗ προς Τὴν HN ouTwc ἘΠ πρὸς
\ RE PERTE * Sn τιίν IIX* λέγω 071 ἴση ἐστὶν d PII Ti OH. lem esse PII ipsi OH.
MZ, ΣΡ décrites sur les droites Ez, HP sont semblables et semblament placées, la figure ΚΑΒ est à la figure Ar^. comme MZ est à ΣΡ, Mais on a supposé que ΚΑΒ est à ATA comme ΜΖ est ἃ ΝΘ; donc ΜΖ est à ΣΡ comme ΜΖ est à ΝΘ; donc la figure MZ a la méme raison avec chacune des figures No, ΣΡ (11. 5); donc la figure Ne est égale à la figure ΣΡ (9. 5). Mais elle lui est sem- blable, et elle est semblablement placée; donc He est égal à ΠΡ (lem. suiv.). Et puisque AB est à TA comme Ez est à ΠΡ; et que HP est égal à Ho, AB est
à TA comme EZ est à Ho (7. 5). Donc, etc. LEMM E.
Si des figures rectilignes sont égales et semblables, nous démontrerons de cette manière que leurs côtés homologues sont égaux entr'eux. Que les figures rectilignes No, ΣΡ soient égales et semblables, et que ΗΘ soit à HN comme PII est à ΠΣ; je dis que PII est égal à ΘΗ, 4
346 LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ao VIGOR EG, [e αὐτῶν μείζων ἐστί Si enim i le 1 Ϊ Εἰ yap ἄνισοί εἰσι. μία αὐτῶν μείζων ἐστίν. inæquales sint , una ipsarum
Ἔστω μείζων ἡ ΡΠ τῆς OH. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ major est. Sit major PII ipsà ΘΗ. Et quo- PII πρὸς τὴν ΤΣ οὕτως ἡ OH πρὸς τὴν HN, niam est ut PII δᾶ ΠΣ ita OH ad HN, ct καὶ ξναλλὸξ ὡς ἡ PII πρὸς τὴν ΘΗ οὕτως 4 ΠΣ alterne ut TII ad @H ita ΠΣ ad HN. Major πρὸς τὴν HN. Μείζων δὲ ἡ ΠΡ τῆς ΘΗ" μείζων — autem IP ipsá OH ; major igitur et ΠΣ ipsá
K ^ ÁN À 71 TR | cu js N E ΖΗ © I p
re mM e A 5 - epz καὶ ἢ ΠΣ τῆς HN* ὥστε καὶ τὸ ΡΣ μεῖζόν HN; quare et PE majus est ipso ON ; sed et
E
E
1071 τοῦ ΘΝ’ ἀλλὰ 27} ἴσον. ὅπερ ἀδύνατον" — wquale, quod est impossibile; non igitur inæ- E
"AN ΕἸ Tu ; ne d Ee οὐκ dpa, ἄνισός ἔστιν ἡ ΠΡ τῆς HO, ἴση ἄρα, qualis est IIP ipsi HO , æqualis igitur. Quod
Οπερ ἔδει δεῖξαι. oportebat ostendere. IIPOTAZIEZ xy. PROPOSITIO XXIII. TZ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα JEquiangula parallclogramma inter se ratios λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐς τῶν πλευρῶν, nem habent compositam ex lateribus.
Car si ces droites sont inégales, une d'elles est pluc grande. Que ΡΠ soit plus grand que eH. Puisque PH est à ΠΣ comme GH est à HN, par permu- tation, PII est à @H comme ΠΣ est à HN (16. 5). Mais iP est plus grand que ΘΗ; donc nz est plus grand que HN; donc la figure ΡΣ est plus grande que la figure ΘΝ (20. 6); mais elle lui est égale, ce qui est impossible; done les droites TP, He ne sont pas inégales; donc elles sont égales. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XXIIL
Les parallélogrammes équiangles ont entr'eux une raison composée des cótés.
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
5, , FU x
Ἑστω ἰσογωνιώ παραλληλογρέμμα τὰ AT,
» ^ € M 7 Ὁ € Y
TZ, ἴσην ἔχοντα viv ὑπὸ ΒΓΔ γωνίαν τῇ ὑπὸ , « \ - À
ETH* λέγω oTi τὸ AT παρολληλόη ρβάμμον προς \ , , P \ 7 τὸ TZ παραλληλογραμμον λόγον exer τὸν συγκεῖ--
E ^ -" ^ à y € \ μένον ἐκ τῶν πλευρῶν, τοῦ Te ον yer ἡ BT πρὸς
347
Sint æquiangula parallelogramma AT, TZ, æqualem habentia BPA angulum ipsi ETH; dico AT parallelogrammum ad ΓΖ parallelogrammum raüonem habere compositam ex lateribus, ex
cà quam habet BP ad FH et ex eà quam habet
τὴν ΤῊ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἢ ΔΙ πρὸς τὴν TE', AT ad ΓΕ. AIMO DES EN | D B Drm A ET K AGE Es Mr ITR MERE E Z
Κείσθω dp ὥστε ἐπ᾿ εὐθείας εἶναι τὴν BT τῇ Ponantur enim ita ut in directum sit EP
TH° ἐπὶ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ à AT τῇ TE' καὶ ipsi TH; in directum igitur est ct AT ipsi συμπεπληρώσθω τὸ AH παραλληλόγραμμον, καὶ TE; et compleatur AH parallelogrammum , et ἐκκείσθω τις εὐθεῖα d K, καὶ γεγονέτω ὡς μὲν ἡ — exponatur quzdam recta K, et fiat ut ΒΓ qui- dem ad FH ita K ad A, ut AT vero ad ΓΒ ita À ad M.
Rationes igitur et ipsius K ad A et ipsius
ΒΓ πρὸς πὴν TH οὕτως ἡ K πρὸς τὴν AS ὡς δὲ 4 AT πρὸς τὴν ΤῈ οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν M.
Οἱ ἄρα λόγοι τῆς τε Καὶ πρὸς τὴν Δ καὶ τῆς Δ A ad M eedem sunt quae rationes laterum,
M M e 3 » 5 4 em , m πρὸς τὴν M oi αυτοι εἰτί τοῖς λογοῖς τῶν TAEU— | et ipsius BT ad TH et ipsius AT ad TE. Sed
ρῶν, τῆς τε BT πρὸς τὴν ΤῊ καὶ τῆς AT πρὸς τὴν TE. Αλλ᾽ ὁ τῆς K πρὸς τὴν M λόγος σύγκειθαι tk e — ipsius K ad M ratio componitur et ex ratione
τοῦ τῆς K πρὸς τὴν A λόγου καὶ τοῦ τῆς A πρὸς ipsius K ad A et ex ratione ipsius A ad M;
Soient les parallélogrammes équiangles Ar, rz, ayant l'angle ΒΓΔ égal à l'angle ErH;: je dis que le parallélogramme ar a avec le parallélogramme rz une raison composée des cótés, c'est-à-dire de celle que Br a avec rH, et de celle que ar a avec TE.
Plaçons ces parallélogrammes de manière que la droite Br soit dans la di- rection de la droite rH; la droite Ar sera dans la direction de ΓΕ (14. 1). Achevons le parallélogramme AH; prenons une droite quelconque K ; faisons en sorte que Br soit à TH comme K est à A, et que AT soit à TE comme A està M ( 12. 6).
Les raisons de K à A et de A à M seront les mêmes que les raisons des côtés, c’est-à-dire que celle de Br à rH et que celle de δὲ à TE. Mais la raison de K à M est composée de celle de K à 4, et de celle de 4 à
C 348 \ à [] ᾿ \ \ , >! \ τὴν M^* αστε καὶ n K προς τὴν M Acyoy ἐχεῖ τὸν “κείμενον ἐπ τῶν πλευρῶν. Καὶ ἐπεί à E συγκείμενον ἐκ τῶν πλεύρῶν. Καὶ ἐπεὶ ἐστιν ὡς
ε \ M ej ^ , 5 BT πρὸς τὴν TH οὕτῶς τὸ AT ποραλληλύγραμ- X \ νον 13 > € € \ \ μὸν πρὸς τὸ ΓΘ αλλ oc ἢ ΒΓ πρὸς τὴν IH et e X M \ \ ii y * ΤᾺ \ \ ουτῶς à K πρὸς vuv A* καὶ ὡς ape a Καὶ πρὸς τὴν μὲ τ \ A E , E] A οὕτως τὸ AT πρὸς τὸ TO. Παλιν. ἐπεί ἐστιν e e ‘ H el \ ως ἡ AT πρὸς τὴν TE ουτως τὸ TO παραλληλό-
γράμμον πρὸς τὸ TZ' ἀλλ ὡς 2" AT πρὸς τὴν TE
Dan Te
B
ΝΠ ---
οὕτως A πρὸς τὴν M* καὶ ὡς dpa. 4^ πρὸς τὴν M οὕτως τὸ TO παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΤΖ παραλληλόγραμμον. Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη. ὡς μὲν ἡ K πρὸς τὴν A οὕτως τὸ AT παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΤΘ παραλληλόγραμμον , ὡς δὲ n A πρὸς τὴν Μ οὕτως τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ TZ παραλληλό) ρέμμονϑ" διίσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ K πρὸς τὴν Μοὕτως τὸ AT παραλληλόγραμμον πρὸς
τὸ ΤΖ παραλληλόγραμμονΐ, H δὲ Κ πρὸς τὴν Μ
“ἂν j'en A Eu.
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
quare οἱ K ad M rationem habet compositam ex lateribus. Et quoniam est ut ΒΓ ad TH ita AT parallelogrammum ad ΓΘ ; sed ut ΒΓ ad ΓΗ ila K ad A; et ut igitur K ad A ita AT ad ΓΘ. Rursus, quoniam est ut AT ad FE ita TO parallelogrammum ad rZ; sed ut Ar ad TE ila A ad M; ct ut igitur À ad M ita TO
parallelogrammum ad rZ parallelogrammum.
Δ Θ
E
Quoniam igitur ostensum est ut K quidem ad A ita AT parallelogrammum ad TO paral- lelogrammum , ut A vero ad M ita TO pa- rallelogrammum ad ΓΖ parallelogrammum ; ex equo igitur est ut K ad M ita AT paralle- logrammum ad ΓΖ parallelogrammum. At vero K ad M rationem habet compositam ex
lateribus; ct AT igitur ad TZ ralionem ha-
M; donc la droite K a avec la droite M une raison composée des côtés. Et puisque Br est à TH comme le parallélogramme 2r est au parallélo- gramme ΓΘ (1. 6), et que BT est à TH comme K est à A, K est à ^ comme le parallélogramme Ar est au parallélogramme re (11. 5). De plus, puisque AT est à TE comme le parallélogramme ro est au parallélogramme TZ, et que AT est à TE comme A està M (1. 6), ^ est à M comme le parallélogramme TO est au parallélogramme rz (τι. 5). Mais on a démontré que K est à A comme le parallélogramme Ar est au parallélogramme ro, et A est à M comme le parallélogramme ro est au parallélogramme 12; donc, par égalité, K est à M comme le parallélogramme Ar est au parallélogramme rz (22. 5). Mais la
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. | 349
^ ld N \
λόγον ἔχει τὴν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν" καὶ τὸ 3, , Uu , E A , 3 ὃ
ΑΤ ἄρα πρὸς το TZ λόγον εχέι τὸν συγκειμενὸν ἐκ
» ^ \ »# » , \ \ con τῶν πλευρῶν. Ta dpt ἰσογώνια.» καὶ TA ἑξῆς.
ΠΡΌΤΑΣΙΣ, ἐκδὺς
Παντὸς παραλληλογράμμου τὼ περὶ τὴν dia- μετρον παραλληλόγραμμα ὅμοιά ἐστι τῷ τέ ὅλῳ καὶ ἀλλήλοις.
στῶ παραλληλόγρομμον τὸ ΑΒΓΔ, διέμε- pcc δὲ αὐτοῦ" ñ AT, περὶ δὲ τὴν AT παραλλη- λό) ραμμα ἔστω τὰ EH , OK* λέγω ὕει equa τῶν EH, OK παραλληλογράμμων ὁμοιον ἐστιν ὅλῳ τῷ ΑΒΓΔ καὶ ἀλλήλοις.
bet compositam ex lateribus. Ergo æquian-
gula, etc.
PROPOSITIO XXIV.
Omnis parallelogrammi circa diametrum pa-
ralelogramma similia sunt et toli et inter sc.
Sit parallelogrammum ABTA, diameter au- tem ejus ipsa AT, circa AT autem parallelo- gramma sint EH, €K ; dico utrumque ipsorum EH, OK parallelogrammorum simile esse toti ABTA et inter sc.
\ \ , \ 4 m Ἐπεὶ γὰρ τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ pay τῶν
^ A "o LOMA; Li πλευρῶν viv ΒΓ qeu ἡ EZ, ἀνάλογόν ἐστιν ὡς
qd
Quoniam enim. trianguli ABT juxta unum
laterum BP ducta est EZ , proporüonaliter est
droite K a avec la droite M une raison composée des cótés; donc le parallélo-
o
Donc, etc.
gramme Ar a avec le parallélogramme rz une raison composée des cótés.
PROPOSITION XXIV.
Dans tout parallélogramme , les parallélogrammes autour de la diagonale sont semblables au parallélogramme entier et semblables entr'eux. Soit le parallélogramme ΑΒΓΔ, que Ar soit sa diagonale, qu'autour de la
diagonale Ar|soient les parallélogrammes EH, ΘΚ; je dis que les parallélogrammes EH, GK sont semblables au parallélogramme entier ΑΒΓΔ, et semblables entr’eux. Puisqu’on a mené Ez parallèle à un des côtés ΒΓ du triangle ΑΒΓ, la droite
ἡ BE πρὸς τὴν EA οὕτως à IZ πρὸς τὴν LÀ. ut BE ad EA ita TZ ad ΖΑ. Rursus, quoniam Πάλιν. ἱπεὶ τριγώνου τοῦ ATA παρὰ μίαν τῶν — trianguli APA juxta unum laterum ΓΔ ducta πλευρῶν3 τὴν TA ἥκται ἡ ΖΗ, ἀνάλογον dpa? est ΖΗ, proporlionaliter igitur est ut TZ ad ἐστὶν ὡς TZ πρὸς τὴν LÀ οὕτως ἡ AH “πρὸς τὴν ΖΑ ita AH ad HA. Sed ut ΓΖ ad ZA ita os- HA. AAX ὡς 4 IZ πρὸς πὴν ZA οὕτως ἐδείχθη ^ tensa est et BE ad EA; et ut igitur BE ad EA καὶ ἡ BE πρὸς τὴν EA° καὶ ὡς ὄρα ἡ BE πρὸς ita AH ad HA, et per compositionem, ut BA
τι- ad AE ita AA ad AH, et alterne ut BA ad ΑΔ ita EA ad AH; ipsorum igitur ΑΒΓΔ, EH
\ e Ho \ à E τὴν EA οὕτως ἢ AH πρὸς τὴν HA, ξαὶ συν
1? tóe τὴν AH, καὶ ἐναλλὲξ ὡς d BA πρὸς parallelogrammorum proportionelia sunt latera
br zm *
τὴν ΑΔ οὕτως ἡ EA πρὸς τὴν AH° τῶν d circa communem angulum BAA. Et quoniam
DE 1 ΑΒΓΔ. EH? παραλληλογράμμων ἀνεῖλον ὅν εἶσιν Ῥατγα]]εἶα est HZ ipsi AT, æqualis est ipse qui-
αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὴν κοιὴν γωνίαν τὴν dem AHZ angulus ipsi AAT, ipse vero HZA ὑπὸ ΒΑΔ. Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗΖ — dps? ATA, et communis duobus triangulis AAT, .
- , \ € , ^ DAMES ED . - s τῇ AT, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ AHZ γωνία τῇ ΔΑΗΖ ipse AAT angulus; æquiangulum igitur d εἰς Rite À \ MUR iJ pue - - ὑπὸ AAT, à δὲ ὑπὸ HZA Tii ὑπὸ ATAS, καὶ est AAT triangulum 1psi AHZ triangulo. Propter A ^ r , ^ € e X . " . - zona τῶν duo TpiyGVOV τῶν AAT, AHZ 8 υπὸ eadem utique et ΑΓΒ triangulum æquiangu-
, Ν , f E EN \ , < icr τ P oi AAT γωνία" i07 0710y ἄρα ἐστὶ τὸ AAT τρίγωνον lum est ipsi AZE triangulo ; et tolum 1gitur
LÉ , A ri ^ \ * ^ A aù 1 εἴ ral Hu τῷ AHZ τριγώνῳ, Aic τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ATB ΑΒΓΔ parallelogrammum ipsi EH parallelo-
BE est ἃ EA comme ΓΖ est à ZA (2. 6). De plus, puisqu'on a mené ZH parallèle
à un des côtés rA du triangle ΑΓΔ, la droite TZ est à ZA comme AH est à Ha. Mais on a démontré que IZ est à ZA comme BE est à EA; donc BE est à EA comme AH est à HA ( 11. 5); et par composition, BA est ἃ AE comme AA est à AH(18. 5), et par permutation, BA est à AA comme EA est à AH (16. 5); donc les côtés des parallélogrammes ΑΒΓΔ, EH autour de l'angle commun ΒΑΔ sont proportionnels. Et puisque HZ est parallèle à ar, l'angle AHZ est égal à langle Aar (29. 1), et l'angle HZA égal à l'angle Ara; mais l'angle aar est commun aux deux triangles Aar, AHZ; donc les triangles Aar, AHZ sont équi-
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS
τρίγωνον ἰσογώνιόν ἐστι τῷ ALE τριγώνῳ" καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ EH παραλληλογράμμῳ ἰσογώνιόν ἐστινθ" ἀνάλογον ἄρα ἐστὲν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν AT οὕτως 1 AH πρὸς τὴν HZ. Qc δὲ ἡ AT πρὸς τῆν ΤᾺ οὕτως 4j HZ πρὸς τὴν ΖΑ. ὡς d$ ἡ AT πρὸς τὴν ΤΒ οὕτως ἡ. AZ “πρὸς τὴν LES καὶ ἔτι ὡς ἫΝ ΤΒ πρὸς τὴν ΒΑ
>
οὕτως ἡ ZE mpi τὴν EA* καὶ ἐπεὶ ὌΠ ὡς
μὲν ἡ ἡ AT πρὸς τὴν ΤΑ οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ZA, ὡς δὲ ἡ ΑΤ “πρὸς τὴν ΤΒ οὕτως ἡ AZ πρὸς σὴν ZE* διΐσου à! epa ἐστὶν ὡς ἡ ΔΙ πρὸς ris ΒΓ οὔτως ἡ HZ πρὸς τὴν ΖΕ" τῶν ἄρα ΑΒΓΔ; EH παρ- αλληλογράμμων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας" ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔ παρ- αλληλόγραμμον τῷ ΕΗ παραλληλογράμμῳ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ zal! τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμον καὶ τῷ ΘΚ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστιν" ἑκώ- τερον ἄρα τῶν EH, OK Edd ic Por τῷ ΑΒΓΔ Faq AME LDE ὅμοιόν € ἐστι. Τὰ δὲ τῷ αὐτῷ εὐθυγράμμῳ ὅμοια καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ὅμοια" καὶ τὸ EH ἄρα παραλληλόγραμμον τῷ Κ παραλληλογράμμῳ ὅμοιόν ἐστι, Παντὸς dpa,
\ ILL ze τὰ £285.
D'E UCLIDE 354
g'ammo zquiangulum est ; proportionaliter igi tur est ut ΑΔ :ad AT ita AH ad, HZ. Ut autem AT ad LA ita ΗΖ ad ZA, ut AT vero ad PB ita AZ ad ΖΕ, et insuper ut ΓΒ ad BA ita ΖΕ ad EA ; et quoniam ostensum est ut AT quidem ad LA ita HZ ad ZA, ut AT yero ad TB ita AZ ad ΖΕ ; ex equo igitur est ut AP ad ΒΓ ita HZ ad ΖΕ. lpsorum igitur ΑΒΓΔ, EH parallelogram- morum proportionalia sunt latera circa æquales angulos; simile igitur est ΑΒΓΔ parallelogram- mum ipsi EH parellelogramino. Propter eadem utique et ΑΒΓΔ parallelogrammum et ipsi ΘΚ parallelogrammo simile est; utrumque igitur ipsorum EH, OK parallelogrammorum ipsi ΑΒΓΔ perallelogrammo simile est. Ipsa autem eidem rectilineo similia, et inter se sunt si- milia; et EH igitur parallelogrammum ipsi OK
parallelogrammo simile est. Omnis igitur, etc.
angles. Les triangles ATB, AZE sont équiangles, par la méme raison; donc le
parallélogramme entier ABrA, et le parallélogramme EH sont équiangles ; :
donc
AA est à AT comme AH est à HZ (4. 6). Mais AT est à TA comme Hz est à ZA, et AT est à TB comme AZ est à ZE, de plus, TB est à BA comme ZE est à EA, et l'on a démontré que Ar est à ΤΆ comme Hz est à ΖΑ, et que AT OUT comme AZ est à ZE; donc, par égalité, AT est à ET comme ΗΖ est à ZE (22. 5); donc les cótés des parato sra niihcs ΑΒΓΔ; EH, autour des angles égaux, sont pro- portionnels ; donc le par: slielsararihie ΑΒΓΔ est semblable au parallélosramme EH (déf. τ. 6). Le parallélogtatiis ΑΒΓΔ est semblable au parallélogramme ex, par la méme raison; donc chacun des parallélogrammes EH, ΘΚ est BUE au'parallélogramme ΑΒΓΔ. Mais les figures qui sont semblables chacune à une mème figure, sont semblables entr’elles (21. 6); donc le parallélogramme ru est semblable au parallélogramme ex. Donc, etc.
352 LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
fIPOTAZIZX ἕξ. PROPOSITIO- -XXY;
γᾷ 2 2 ἧς d ATE 3 τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ὅμοιον, καὶ ἄλλῳ τῷ Dato rectilineo simile, ct alteri dato æquale
δοθέντι ἴσον τὸ αὐτὸ συστήσασθεις idem constituere.
Dy \ \ nt T emt : . ee " Ἔστω τὸ μὲν δοθὲν εὐθύγραμμον. ᾧ δεῖ ὅμοιον Sit datum quidem rectilincum cvi oportet
, E Φ n ας» Y Te LE . E εἶ συστήσασθαι, τὸ ABL, © δὲ dvi! ἴσον, τὸ A. de; — simile constituere , ipsum ABT, cui vero oportet ᾿ ζ΄ ej ^ Ν , ^ 3 LH LEM . n " aes μὲν ABT Queer, τῷ δὲ Δ ἴσον τὸ αὐτὸ æquale ipsum A; oportet igilur ipsi quidem 0 ABT simile, ipsi yero Δ æquale idem consti-
tucre.
ü QA ja
- lu E A
Applicetur enim ad ipsam quidem BT ipsi
(à \ \ \ M ^ παραξεξλήσθω Vip Tape μὲν τὴν BT τῷ ABT ΑΒΓ triangulo æquale parallelogrammum BE,
" » s , \ e τριγώνῳ 490v παραλλελογραμμον τὸ BE, Tapa δὲ τὴν ΤῈ τῷ Δ ἴσον παραλληλόγραμμον ro IM ad ipsam vero ΓΕ ipsi A zquale parallelo- grammum ΓΜ in angulo ZTE, qui est æqualis
^- M «p 3, - € Ν y jovia τῇ ὑπὸ ΖΤῈ 4 ἐστιν ἰσὴ τῇ ὑπὸ TBA° ipsi FBA; in directum lgilur est ΒΓ quidem
> € , €
cz εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῇ ΤΖ, ἡ d$ AE PROPOSITION XXV.
Construire une figure rectiligne semblable à une figure rectiligne donnée et égale à une autre figure rectiligue donnée.
Soit ΑΒΓ la figure rectiligne donnée, à laquelle il faut construire une figure semblable, et A la figure rectiligae à laquelle il faut la faire égale; il faut construire une figure qui soit semblable à la figure ΑΒΓ et égale à la figure a.
Construisons sur PT un parallélogramme BE qui soit égal au triangle ΑΒΓ (44 et 45. 1), et sur TE et dans l'angle zrE qui est égal à l'angle ΓΒΔ, construisons un parallélogramme rM qui soit égal à la figure A; la droite ΒΓ sera dans la direction de rz, et AE dans la direction de EM (14. 1). Prenons
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDF.
τῇ EM. Kei εἰλήφθω τῶν BT , TZ μέση ἀνάλογον ἡ HO, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς HO τῷ ABT
Li Nue / \ ὅμοιόν τεῦ καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΚΗΘ.
^ , e e \ Uu La ε Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς n ΒΓ πρὸς τὴν HO ουτῶὼς ἡ
f n e » ΄ ΗΘ πρὸς τὴν TZ , ἐὰν δὲ τρεῖς εὐθεῖα: ἀνάλογον
353 ipsi ΓΖ, ipsa vero AE ipsi EM. Et sumatur inter ipsas BP, TZ media proportionalis ΗΘ, et describatur ex HO ipsi ABT simileque et si- militer positum ipsum ΚΗΘ,
Et quoniam est ut BT ad HO ita HO ad TZ,
si autem tres rectæ proportionales sint, est ut
ὦσιν. ἔστιν" ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην οὕτως — primaad tertiam ita ipsa ex primá figura adipsam
τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δὲυ- ex secundà, similem et similiter descriptam ; est igitur ut BT ad ΓΖ ita ABT triangulum ad
τέρας, τὸ ὅμοιον καὶ ἱμοίως ἀναγραφόμενον" ἔστιν ΚΗΘ triangulum. Sed et ut Br ad rZ ita BE
ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τήν TZ οἵτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον “πρὸς τὸ ΚΗΘ τρίγωνονή, Αλλὰ καὶ ὡς à BT πρὸς τὰν TZ οὕτως τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ EZ παραλληλόγραμμον" καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρί-
parallelogrammum ad EZ parallelogrammum ; et ut igitur ABT triangulum ad ΚΗΘ iriangu- lum ita BE parallelogrammum ad EZ parallelo-
γῶνον πρὸς τὸ ΚΗΘ τρίγωνον οὕτως τὸ ΒΕ παρ- grammum; alterne igitar ut ΑΒΓ triangulum
ἀλληλό) ράμμον πρὸς τὸ EZ παραλληλόγραμμον" ἐναλλὰξ ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ BE παραλληλόγραμμον οὕτως τὸ ΚΗΘ τρίγωνον πρὸς τὸ EZ παραλληλόγραμμον. Ico δὲ τὸ ABT τρί-
^ 5 , a L4 NÜSEN quavov τῷ BE παραλληλογραμῳ" ἰσὸν ἄρα καὶ TO
ad ΒΕ parallelogrammum ita ΚΗΘ triangulum ad EZ parallelogrammum, Æquale autem ΑΒΓ triangulum ipsi BE parallelogrammo ; æquale igiiur et ΚΗΘ triangulum ipsi EZ parallelo- grammo. Sed EZ parallelogrammum ipsi A est ΚΗΘ τρίγωνον τῷ EZ παραλληλογράμμῳ. Αλλὰ quale; οἱ ΚΗ͂Θ igilur ipsi À est æquale. Est
^ > » N E e DNE PRÉ ΟΣ OS τὸ EZ παραλληλόγραμμον τῷ Δ ἐστὶν ἴσον" καὶ — autem ΚΗΘ οἱ ipsi ABT simile ; ipsi igitur dato
une moyenne propo:tionuelle uo entre les droites Br, rz (15. 6), et sur HO construisons une figure ΚΗΘ semblable à la figure Abr et semblablement placée ( 18. 6).
Puisque ΒΓ est à HG comme ue est à TZ, et puisque, lorsque trois droites sont proportionnelles, la première est à la troisième comme la figure cons- truite sur la première est à la figure semblable construite sur la seconde, et semblablement placée (cor. 2. prop. 20. 6), la droite Br est à la droite rz comme le triangle ΑΒΓ est au triangle ΚΗΘ. Mais Br est à rZ comme le paral- lélogramme BE est au parallélogramme Ez (1. 6); donc le triangle ΑΒΓ est au triangle KH® comme le parallélogramme BE est au parallélograinme ΕΖ; donc, par permutation, le triangle Abr est au parallélogramme BE comme le triangle ΚΗΘ est au parallélogramme EZ(16. 5). Mais le triangle ΑΒΓ est égal au parailélo- gramme BE; donc le triangle &H6 est égal au parallélogramme Ez. Mais le pa- rallélogramme Ez est égal à la figure ^; donc le triangle ΚΗΘ est égal à la figure δ.
45
25 354 » ^ Ny y Ν Yr τὸ ΚΗΘ ἄρα τῷ Δ ἐστὶν ἴσον. Ἐστι δὲ τὸ ΚΗΘ Ν ^ ej 3 , 3 , καὶ τῷ ΑΒΓ ὅμοιον" τῷ ἄρα δοθέντι εὐθυγράμμῳ ^ el y ^ Y , ^ 5 » τῷ ABT ὅμοιον. καὶ ἄλλῳ τῷ δοθέντι τῷ A? ἔσον
, / = E -“ τὸ αὐτὸ συνίσταται τὸ ΚΗΘ. Οπερ ἔδει roca. , IIPOTAZIX zc.
Ἐὰν ἀπὸ παραλληλογράμμου παραλληλό) peu EUN e ἢ μὸν ἀφαιρεθῇ. ὅμοιόν τε τῷ ὅλῳ καὶ ὁμοίως 5, , ^ \ κείμενον. κοινὴν γωνίαν ἔχόν αὐτῷ" περὶ τὴν , X ? , 32 LA αὐτὴν διάμετρόν ἐστι τῷ ὅλῳ, \ ES Απὸ παραλληλογράμμου yàp! τοῦ ΑΒΓΔ παρ- , \ ' αλληλόγραμμον ἀφηρήσθω" τὸ AEZH , ὅμοιον
“Ἢ VÉ "4 , ^
τῷ ΑΒΓΔ xai ομοίως κείμενον. κοινὴν γωνίαν 5, “ M €: , e M » ἔχον αὐτῷ τήν ὑπὸ AAB* λεγὼ OTI περὶ τὴν αυ-
τὴν διάμετρόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ AEZH.
LE SIXIEME LIVRE DES
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
rectilinco ABT simile, et alteri dato A æquale idem constitutum est ΚΗΘ, Quod oportebat
facere.
PROPOSITIO XXVI.
Si a parallelogrammo parallelogrammum au- feratur , et simile toti et similiter positum , com- munem angulum habens cum ipso ;' circa eam- dem diametrum est circa quam totum.
A parallelogrammo «enim ΑΒΓΔ parallelo-
grammum auferatur AEZH, simile ipsi ΑΒΓΔ
^
Γ
et similiter positum, communem angulum ha- bens AAB cum ipso; dico circa eamdem diame-
irum esse ΑΒΓΔ circa quam ipsum AEZH.
Mais le triangle ΚΗΘ est semblable au triangle ΑΒΓ; on a donc construit la fi-
gure KHo'semblableà la figure rectiligne donnée ΑΒΓ, et égale à une autre figure donnée Δ. Ce qu'il fallait faire.
PROPOSITION XXVI.
Si d'un parallélogramme on retranche un parallélogramme , semblable au pa- rallélogramme entier, et semblablement placé, et ayant avec lui un angle com- mun, ces parallélogrammes seront autour de la méme diagonale.
Que du parallélogramme ΑΒΓΔ on retranche le parallélogramme AEZH, sem- blable au parallélogramme ΑΒΓΔ et semblablement placé, et ayant avec lui l'angle commun ΔΑΒ; je dis que le parallélogramme ΑΒΓΔ est autour de la même diagonale que le parallélogramme AEzH.
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
,
Μὴ γὰρ, ἀλλ εἰ δυνατὸν, ἔστω αὐτοῦ ἡ δ)ά-- À , E μέτρος ἡ AOT y καὶ ἐκέληθεῖσα ἡ HZ διήχθω ἐπὶ » τ ^ e , ^
τὸ O3, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ © ὁποτέρᾳ τῶν AA , BT παράλληλος ἡ OK.
N [d \ A LA A , , , \
Ἐπεὶ οὖν περὶ τὴν αὐτηνί διάμετρόν ἐστι τὸ
ABTA τῷ KH, ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ KH?
355 Non enim, sed si possibile , sit ipsius diameter AOT , et ejecta HZ producatur ad ©, et ducatur per © alterutri ipsarum AA, Br parallela ΘΚ,
Quoriam igitur circa eamdem diametrura
est ipsum ΑΒΓΔ circa quam ipsum KH, si-
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ οὕτως ἡ HA mile est ΑΒΓΔ ipsi KH; est igitur nt AA ad
' \ = " \ \ A € ΄, πρὸς τὴν ΑΚ, Ez: δὲ καὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα
τῶν ΑΒΓΔ. ΕΗ, καὶθ ὡς ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ οὔ--
AB ita HA ad AK. Est autem et propter simi- litudinem ipsorum ΑΒΓΔ, EH, οἱ αἱ AA ad AB τῶς ἡ HÀ πρὸς τὴν AE* καὶ ὡς ἄρα ἡ HA “πρὸς ita ΗΑ ad AE; ct ut igitur ΗΑ ad AK ita HA ad τὴν AK οὕτως ἡ HA “πρὸς τὴν AE* à HA dpa? πρὸς ἑκατέραν τῶν AK, AE τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον" ἔση ἄρα ἐστὶν ἡ AE τῇ AK ἡ ἐλάττων τῇ μείζονι.
“ 3 \ 3 , > ΕΣ , 8 » LS \ AN o7Tep ἐστιν ἀδύνατον" ουκ epa oux" ἐστι περι ΤῊΥ
AE ; ipsa HA igitur ad utramque ipsarum AK, AE eamdem habet rationem ; æqualis igitur est AE ipsi AK, minor majori, quod est impossi- bile; non igitur non est circa eamdem diame- ond διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ τῷ KH* περὶ τὴν αὐ- — irum ipsum ΑΒΓΔ circa quam ipsum KH; circa τὴν ἄρα ἐστὶ διάμετρον τὸ ΑΒΓΔ παραλληλό- — camdem igitur est diametrum ipsum ΑΒΓΔ γράμμον τῷ AEZH παραλληλογράμμῳ. Ἐὰν ἄρα
Ve ἀπὸ παραλληλογράμμου, καὶ τὰ ἑξῆς.
parallelogrammum quam AEZH parallelograra-
mum. Si igitur a parallelogrammo, etc.
Que cela ne soit point, mais, si cela est possible, que aer soit sa diagonale; prolongeons Hz vers 6, et par le point 6 menons ΘΚ parallèle à l'une ou à l’autre des droites A^, ΒΓ.
Puisque les parallélogrammes ΑΒΓΔ, KH sont autour de la méme diagonale, le parallélogramme ΑΒΓΔ est semblable au parallélogramme ΚΗ (24. 6); donc AA est à AB comme HA est à AK (déf. r. 6). Mais à cause de la similitude des parallélogrammes ΑΒΓΔ, EH, la droite AA est à AB comme HA est à AE; donc HA est à AK comme HA est à AE (11. 5); donc HA a la méme raison avec chacune des droites AK, AE; donc AE est égal à AK (9. 5), le plus petit au plus grand, ce qui est impossible; donc les parallélogrammes ΑΒΓΔ, KH ne peuvent point ne pas étre autour de la méme diagonale; donc les pa- rallélogrammes ΑΒΓΔ, AEZH sont autour de la méme diagonale. Donc, etc.
356
IPOTAZXIZ x.
Πάντων τῶν παρὰ τὴν αὐτὰν εὐθεῖαν παρα- ζαλλομένων παραλληλογράμμων, καὶ ἐλλειπτόν- τῶν εἴδεσι παραλληλογράμμοις. ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως κειμένοις τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας ἀναγρα- φομένῳ. μέγιστόν ἐστ, τὸ ἀπὸ τῆς ἡμισείας παραζαλλόμενον παραλληλόγραμμον, ὅμοιον ὃν τῷ ἐλλείμματι.
Ἔστω εὐθεῖα ἡ AB, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ T, καὶ παραξεξλήσθω παρὰ τὴν αὐτὴν! ΑΒ
εὐθεῖαν τὸ ΑΔ παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον εἴδει
A
παραλληλογράμμῳ τῷ TE, ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως
, RES EFT / E Ὡ χεμενὼ TC) στὸ τῆς AJAITEILE ἀναγραφέντι τῆς
, ; ^ AC. ss , ες AB?, τουτέστι τῆς YB* λέγω ὁτί πάντων τῶν
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
PROPOSITIO XXYII.
Omnium ad eamdem rectam apphicatorum parallelogrammorum et deficientium figuris parallelogrammis , similibusque et similiter positis ipsi ex dimidià descripto, maximum est ipsum ad dimidiam applicatum parallelo-
grammum , simile existens defectui.
Sit recta AB, et secetur bifariam in T, et applicetur ad eamdem AB rectam ipsum ΑΔ
parallelogrammum | deficiens figurà parallelo-
grammà TE, similique et similiter posità ei cx dimidià AB descriptæ , hoc est ex ipsà TB; dico
omnium ad, AB applicatorum parallelogram-
PROPOSITION XXY II.
De tous les parallélogrammes qui sont appliqués à une méme droite, et qui sont défaillants de parallélogrammes semblables au parallélogramme décrit sur la moitié de cette droite, et semblablement placés, le plus grand est celui qui est appliqué à la moitié de cette droite, et qui est semblable à son défaut. j
Soit la droite AB; que cettre droite soit coupée en deux parties égales au point r, et qu'à la droite ΑΒ soit appliqué le parallélogramme 44, défaillant du parallélogramme r£, semblable à celui qui est déctrit sur la moitié de la droite AB, c'est-à-dire sur r2, et semblablement placé; je dis que de tous les parallélo-
LE SIXIÈME LIVRE DES
παρὰ τὴν AB παραξαλλομένων παραλληλογρομα- μων. καὶ ἐλλειπόντων εἴδεσι παραλληλογρώμ- puc ὁμοίοις τε καὶ ὁμοίως πειμένοις τῷ TE, μέγιστόν ἐστι τὸ AA, Παραξεξλήσθω γὰρ παρὰ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν τὸ AL παραλληλέγραμμον, ἐλ- λεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ τῷ KO, ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ ΤΕ" λέγω ὅτι μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΔ τοῦ ΑΖ.
Ἐπεὶ γὰρ ὅμοιόν ἐστι τὸ TE παραλληλόγραμ- μον τῷ ΚΘ παραλληλογράμμῳ S περὶ τὴν αὐτὴν εἰσι; διάμετρον. Ἡχθὼ αὐτῶν διάμετρος ἡ ΔΒ. καὶ καταγεγρόφθω τὸ σχῆμα,
Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ TZ τῷ ZE, κοινὸν προσ- ὅλῳ τῷ ΚΕ
3 \ 35) X M ^ 3 N > 3 N ἐστιν 100Y. AAAa τὸ IO τῷ ΤῊ $0710y 100y , ἐπεὶ
Ἵ » Yo κείσθω τὸ KOÁ* ὅλον ἄρα 70 TO
καὶ 4 AT τῇ IB ἔση ἐστίν"" καὶ τὸ HT ἄρα τῷ EK ἐστὶν ἔσονδ, Κοινὸν προσκείσθω τὸ TZ* ὅλον ἄρα τὸ AL τῷ ΛΜΝ γνώμονί ἔστιν ἴσον" ὥστε τὸ TE παραλληλόγραμμον, τουτέστι, τὸ AA, τοῦ ΑΖ παραλληλογράμμου μεῖζόν ἐστιν.
Du
ELEMENTS D'EUCLIDE. 507 morum, et deficientium figuris parallelogram- mis similibusque et similiter positis ipsi TE, maximum esse AA. Applicetur enim ad AB rectam ipsum AZ parallelogrammum , deficiens figurà parallelograrnmmà ΚΘ, similique et simi- liter posilà ipsi FE; dico majus csse AA ipso AZ.
Quoniam simile enim est TE parallelogram- mum ipsi KO parallelogrammo , circa eamdem sunt diametrum. Ducatur corum diameter AB , det escribatur figura.
Quoniam igitur æquale est ΓΖ ipsi ZE, com- mune addatur KO; totum igitur TO toti KE est æquale. Sed ΓΘ ipsi TH est æquale, quo- niam et ipsa AT ipsi TB æqualis est; ct ΗΓ igilur ipsi EK est æquale. Commune addatur IZ; totum igitur AZ ipsi AMN gnomoni est æquale; quare et TE parallelogrammum , hoc
est AA, ipso AZ parallelogrammo majus cst.
grammes qui sont appliqués à la droite AB, et qui sont défaillants de parallélo- grammes semblables au parallélogramme TE, et semblablement placés, le plus grand est le parallélogramme 44, Car appliquons à la droite ΑΒ le paral- lélogramme Az, défaillant du parallélogramme Ko semblable au parallélo- gramme TE, et semblablement placé ; je dis que le parallélogramme 44 est plus grand que le parallélogramme ΑΖ.
Car puisque le parallélogramme TE est semblable au parallélogramme xo, ces deux parallélogrammes sont placés autour de la méme diagonale (26. 6). Menons leur diagonale A5, et décrivons la figure.
Puisque le parallélogramme rz est égal au paraliélogramme ZE (45. 1), ajoutons le parallélogramme commun xe; le parallélogramme entier re sera égal au parallélogramme entier ΚΕ. Mais ro est égal à ΤῊ (56. 1), parce que la droite AT est égale à la droite rb ; donc Hr est égal à Ἐκ, Ajoutons le pa- rallélogramme commun rz, le parallélogramme entier ΑΖ sera égal au gnomon AMN ; donc le parallélogramme ΓΕ, c’est-à-dire le parallélogramme Aa, est plus. grand que le parallélogramme Az (50. 1).
358 LE SIXIEM E LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Ἔστω γὰρ πάλιν ἡ AB τμηθεῖσα δίχα κατά τὸ D, καὶ παραξληθὲν τὸ AA ἐλλεῖπον cider τῷ TM, καὶ παραξεθλήσθω πάλιν παρὰ τὴν AB τὸ AE παραλληλόγραμμον ἐλλεῖπον τῷ AZ, ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς AB, τῷ ΓΜ’ λέγω ὅτι μεῖζον ἐστι τὸ ἀπὸ Tig?
ε a \ à ^ ἡμισείας παραξληθὲν τὸ AA τοῦ AE.
Θ E H
Ee:
To ET ; E Ἐπεὶ γὰρ ὁμιο!ὸν ἐστὶ τὸ ΔΖ TO TM, περὶ τὴν $5. x 9 , 3! 3 , H αὐτήν εἶσι διώμετρον" ἔστω αὐτῶν δηιάμετρος ἢ X LA M ^ EB, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. 2 NO 92 X M SM \ ^ 3 REA. Καὶ ἐπεὶ σὸν ἐστί τὸ AZ τῷ AO, ere ual e οὖ ͵ Y ct ἡ ZH τῇ HO* μεῖζον ἄρα τὸ AZ τοῦ KE. Ισὸν δὲ \ ΩΝ D 1 Ἂν M ^ rx τὸ AL TQ AA* μεῖζον ἄρα καὶ τὸ AA τοῦ EK, X , \ e L4 ^ ef Κοινὸν προσκείσθω" τὸ KA* cAoy ἄρα TO ΑΛ ὅλου
RJ οἷ; » , 1 Ν ' ez TCU AE μεῖζον ἐστιν. Πάντων apa καὶ τὰ ez,
Sit enim rursus ΑΒ secta bifariam in D ef applicatum ipsum AA, deficiens figurä TM, et applicetur rursus ad AB ipsum AE paralle- logrammum , deficiens ipso AZ, similique et similiter posito ipsi TM ex dimidià AB; dico majus esse ipsum ad dimidiam applicatum AA ipso AE.
Z
3 L \ | UNS AUR r B
Quoniam enim simile est AZ ipsi TM, circa eamdem sunt diametrum ; sit eorum diame- ler EB, et describatur figura.
Et quoniam æquale est AZ ipsi AO, quo- niam et ipsa ZH ipsi HO; majus igitur AZ ipso KE. Æquale autem AZ ipsi AA; majus igitur et AA ipso EK. Commune addatur KA ; - totum igitur AA toto AE majus est. Omnium igitur, etc.
Coupons de nouveau la droite ΑΒ en deux parties égales au point r, et appliquons à cette droite le parallélogramme 44, défaillant du parallélogramme IM, et de plus appliquons à la droite AB le parallélogramme AE défaillant du parallélogramme az, semblable au parallélogramme décrit sur la moitié de AB, et semblablement placé; je dis que le parallélogramme AA qui est appliqué à la moitié de cette droite est plus grand que le parallélogramme At.
Car, puisque les parallélogrammes Az, rM sont semblables, ces deux paral- lélogrammes sont autour de la méme diagonale (26. 6); soit EB leur diago- nale, et décrivous la figure.
Puisque ΔΖ est égal à Ao (56. 1), car ZH est égal à Ho , Az est plus grand que KE. Mais Az est égal à δὰ ( 45. 1); donc AA est plus grand que EK. Ajou- tons le parallélogramme commun Ks; le parallélogramme entier 44 sera plus grand que le parallélogramme entier AE. Donc, etc.
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE, 359
HPOTAZIZ #1. PROPOSITIO XXVILE
Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυ- Ad datam rectam dato rectilineo æquale pa- γράμμῳ ἜΝ παραλληλόγραμμον παραξαλεῖν , rallelogrammum — applicare , deficiens figurá f , , € n ^ A SERE CU Pt . ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ , ὁμοίῳ, τῷ parallelogrammá — simili ipsi deto ; oportet δοθέντι" dvi δὴ τὸ διδόμενον εὐθύγραμμον , utique datum rectilineum cui oportet æquale
24-7 z z
^ ^ ^ e 5 \ - Ae - : se ᾧ δεῖ ἴσον παραξαλεῖν. pà μεῖζον εἶναι τοῦ ἀπὸ applicare, non majus esse ipso ad dimidiam τῆς ἡμισείας παραξαλλομένου y ὁμοίων ὄντῶν τῶν — applicato , similibus existentibus defectibus
Ll \ ^ € , ^ ^s e = = 2 : » . - ἐλλειμάτων τοῦ τε ἀπὸ τῆς ἡμισείας καὶ τοῦ ᾧ et ipso ad dimidiam et ipso cui oportet
δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν". simile deficere. Ἔστω à μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα n° AB, τὸ δὲ δοθὲν Sit data quidem recta AB, datum vero T [9] Η OZ A M
A
εὐθύγραμμον, ᾧ δεῖ ἴσον παρὰ τὴν AB παραξα- — rectilineum , cui oportet æquale ad AB appli-
4
Adv, TOT, μὴ μεῖζον ὃν τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας Care, non majus existens eo ad dimidiam PROPOSITION XXVIII.
A une droite donnée appliquer un parallélogramme qui soit égal à une fi- gure rectiligne donnée, et qui soit défaillant d'un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné : il faut que la figure rectiligne donnée ne soit pas plus grande que le parallélogramme appliqué à la moitié de la droite donnée; le défaut du parallélogramme appliqué à la moitié de cette droite
et le défaut de celui qui doit être défaillant d'un parallélogramme semblable étant semblables entr'eux.
Soit ΑΒ la droite donnée, et r la figure rectiligne à laquelle doit étre égal le parallélogramme qu'il faut appliquer à la droite AB; que la figure recti-
360 παραξαλλομένου. ὁμοίων ὄντων τῶν ἐλλειμμά-: των", à δὲ δεῖ ὅμοιον ἐλλείπειν τὸ Δ' δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι εὐθυ-- γράμμῳ τῶτ ἴσον παραλληλόγραμμον παραζα- Air, ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ. ὁμοίῳ
y τς 8y7I τῷ À,
, « 4 ' ^ \ Τετμήσθω à AB δίχα κατὰ τὸ E σημεῖον. καὶ
^ , 3 A ^ ^ LA € , ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς EB τῷ A ὅμοιον καὶ ὁμοίως
͵ \ \ , Y
πείμενον τὸ EBZH , καὶ συμπεπληρώσθω To AH , A] ^ A » , ^ σπαραλληλογραμμον" TO δὴ AH Toi ἰσὸν ἐστὶ ^ À D 3 ^ \ \ e A τῷ T, ἢ μεῖζον αὐτοῦ, διὰ Toy oprouovl.
\ La » 2 \ \ lod \ À E; μὲν οὖν ἰσὸν ἐστὶ τὸ AH τῷ T , γέγονος ἂν
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
applicato, similibus existentibus defectibus , ipsum autem À cui oportet simile deficere ; oporlet igitur ad datam rectam AB dato rec- tilinco T æquale parallelogrammum applicare,
: A Sici ME deficiens figurà parallelogrammá, simili existente
ipsi A.
Secelar AB bifariam in £ puncto, et describatur ex ipsà EB ipsi A simile et simi- liter positum. EBZH, ct compleatur AH paral- lelogrammum ; AH utique vel æquale est ipsi D, vel majus ipso, ob determinationem. Et
si quidem zquale est AH ipsi LT, factum erit
εἴη τὸ ἐπιταχθέν" παραξέξληται γὰρ παρὰ τὴν — propositum; applicatum erit enim ad datam
ἐν εὐθεῖαν τὴν AB τῷ δοθέντι εὐθυγρέμμῳ — rectam AB dato recülineo F æquale parallelo-
T TP σον παραλληλόγρεμμον τὸ AH, ἐλλεῖσσον grammum AH, dificiens figurà parallelogrammä f
ligne ne soit pas plus grande que le parallélogramme appliqué à la moitié de ΑΒ, les défauts étant semblables, et soit A le parallélogramme auquel le défaut doit être semblable; il faut à la droite donnée ΑΒ appliquer un parallélo- gramme qui soit égal à la figure rectiligne donnée r, et qui soit défaillant d'un parallélogramme semblable au parallélogramme Δ.
Coupons la droite AB en deux parties égales au point E (10. 1); décrivons le parr!téicsramme EBzH sembl-ble au parallélogramme 4, et sembla- blement placé (18. 6), et terminezs le parailélogramme AB; le parallélogramme AH sera égal à la figure r, ou plus gra »! , d’après ce qui a été dit. Si Ie. parallélo- gramme AH est égal à la «gurer, on aur-. fait ce qui était proposé ; car on aura appliqué à la droite 48 vn parallélogramme AH semblable à la figure rectiligne
Sur EB
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENYS D'EUCLIDE. 36:
εἶδει παραλληλογράμμῳ τῷ EL ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ. Εἰ δὲ où, μεῖζόν ἐστ; τὸ ΘῈ τοῦ T. Ισὸν δὲ τὸ OE τῷ ΗΒ’ μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ΗΒ τοῦ T. Q δὴ μεῖζόν ἐστι τὸ HB τοῦ T, ταύτῃ τῇ ὑπεροχῇ ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστώτῳ τὸ KAMN. Ἀλλὰ τὸ Δ τῷ HB ἐστὶν ὅμοιον" καὶ τὸ KM ἄρα τῷ ΗΒ ἐστὴν ὅμοιον. Ἑστω οὖν" ὁμόλογος à μὲν ΚΛ τῇ HE, ἡ δὲ AM τῇ HZ. Καὶ ἐπεὶ ἔσον ἐστὶ τὸ ΗΒ τοῖς T , KM, μεῖζον ἄρα ἐστὶ τὸ HB τοῦ ΚΜ’ μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ à μὲν HE τῆς AK, ὅ δὲ HZ τῆς AM. Κείσθω πῇ μὲνδ KA ica ἡ HZ, τῇ δὲ AM ἴσα ἡ HO, καὶ
συμπεπληρώσθω τὸ ΞΗ͂ΟΠ παραλληλόγραμμον"
4 »
LA bd * : ἐσὸν ὥρα καὶ ὁμοιόν ἔστι τῷ ΚΜ τὸ HII, Αλλά \ ^ \ t ^ τὸ KM τῷ ΗΒ ὅμοιόν torse καὶ τὸ HII ἄρα τῷ er , f , HB ὅμοιόν ἐστι» “περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν 3 4 ^ i ER ^» ΤᾺ , & ἐστὶ 50 HII τῷ HB. Ecru αὐτῶν διώμετρος ὃ M ^ HIIB , καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
N o fun ἘΠ » à ^ Σ e \ Ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ BH τοῖς T KM, ὧν τὸ
EZ simili existenti ipsi A. Si autem non, majus est OE ipso LI. Æquale autem ΘῈ ipsi HB; majus igitur et HB ipso T. Quo utique majus est HB ipso Tl, ei excessul æquale, ipsi autem A simile et similiter positum idem constitua- tur KAMN. Sed A ipsi HB est simile; et KM igitur ipsi HB est simile. Sit igitur homologa quidem KA ipsi HE, ipsa vero AM ipsi HZ. Et quoniam æquale est HB ipsis T , KM, majus igitur est HB ipso KM; major igitur est et ipsa quidem HE ipsà AK, ipsa vero HZ ipsà AM. Ponatur ipsi quidem KA æqualis HE, ipsi vero AM æqualis HO, et compleatur ZHOII paralle- logrammum ; æquale igitur et simile est ipsi KM ipsum HH. Sed KM ipsi HB simile est; et ΕΠ igitur ipsi HB simile est; circa camdem igitur diametrum est HII circa quam HB. Sit eorum diameter HIIB, et describatur figura.
Et quoniam æquale est BH ipsis T, KM,
donnée r, et défaillant d'un parallélogramme ἘΖ semblable au parallélogramme Δ. Mais si cela n'est point, ΘῈ est plus grand que r. Mais ΘῈ est égal à HB ; donc HB est plus grand que r. Construisons le parallélogramme KAMN égal à l'excès du parallélograrame ΗΒ sur la figure r, et semblable au parallélogramme a, et semblablement placé (25. 6). Mais le parallélogramme 4 est semblable au parallélogramme ΗΒ; donc le parallélogramme KM est semblable au parallé- logramme ΗΒ. Que la droite KA soit lhomologue de la droite HE, et la droite AM l'homologue de la droite Hz. Puisque le parallélogramme HB est égal aux deux figures r, KM, le parallélogramme H5 est plus grand que le parallélogramme xM; donc HE est plus grand que AK, et HZ plus grand que AM (20. 6). Faisons HX égal à KA, et HO égal à AM (5. 1), et ache- vons le parallélogramme xHom (51. r); le parallélogramme HII sera égal et semblable au parallélogramme KM (24. 6). Mais le parallélogramme KM est semblable au parallélegramme HB; donc le parallélogramme Hn est semblable au parallélogramme HB (21. 6); donc les parallélogrammes HII, HB sont autour dela méme diagonale (26. 6). Soit ἨΠΒ leur diagonale, et décrivons la figurc.
Puisque le parallélogramme BH est égal aux deux figures T, KM, et que
46
M
362
HII τῷ KM ἐστὶν ἴσον" λοιπὸς ἄρα ὃ ὙΦΧ γνώ- por λοιπῷ τῷ Τ ἴσος ἐστί, Καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΟΡ τῷ EX, κοινὸν προσκείσθω τὸ IIB* ὅλον ἄρα τὸ ΟΒ ὅλῳ τῷ ΞΒ ἴσον ἐστίν. Αλλὰ τὸ ΞΒ τῷ ΤῈ ἐστὶν ἴσον. ἐπεὶ καὶ or ἡ AE dir τῇ EB ἐστὶν ἴση" καὶ τὸ TE ἄρα τῷ OB ἐστὶν ἔσον. Κοινὸν προσχείσθω τὸ ΞΣ" ὅλον ἄρα τ τὸ ΤΣ ὅλῳ τῷ ὙΦΧ γνώμον; ἐστὶν ἴσονθ, Αλλὰ ὁ ὙΦΧ γνώμων
b , 357 \ Di em 3 Ν To T ἐδείχϑη ἰσος" καὶ AIT ἀρὰ τῷ V ἐστιν ἴσον.
Α
Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν AB τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ T ἴσον παραλληλόγραμ- μὸν παραξέξληται τὸ ΣΤ, ἐλλεῖπον εἴδει παραλλη- drops 70 IIB ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ. ἐπειδήπερ
*
τὸ ΠΒ τῷ HII TT ἐστιν. O7:p ἔδει ποιῆσαι
LE SIXIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
quorum HII ipsi KM est æquale; reliquus igitur ὙΦΧ gnomon reliquo T est æqualis. Et quoniam. æquale est OP ipsi £E, commune apponatur IIB; totum igitur OB toti zB æquale st. Sed zB ipsi TE est æquale, quoniam et latus AE lateri EB est æquale; et TE igitur ipsi OB est æquale. Commune apponatur ΞΣ ; lotum igitur TZ toti Y®X gnomoni est uid Sed ὙΦΧ gnomon ipsi T ostensus est equalis 5 et AT igitur ipsi P est zquale.
Ad datam igitur rectam AB dato rectilineo
T æquale parallelogrammum applicatum est ET,
dificiens figurá parallelogrammä ΠΒ simili
existenti ipsi A, quandoquidem ΠΕ ipsi HII
simile est. Quod oportebat facere.
HII est égal à KM, le gnomon restant ὙΦΧ est égal à la figure restante r. Et
puisque OP est égal à xz
TE est égal à OR.
(45. 1), ajoutons le parallélogramme r2; le parallélogramme entier OB sera égal au parallélogramme entier EB est égal à TE (56. 1), parce que le côté AE est égal au Ajoutons le parallélogramme commun zz;
commun ZEB. Mais côté EB; donc le parallélo-
gramme entier TE sera égal au gnomon uu rex. Mais on a démontré que
[i gnomon ΥΦΧ est égal à r; donc AH est é On a donc appliqué à la droite ΑΒ un alain zT, égal à rectiligne donnée r, et défaillant d'un parallélogramme rib οἰ ds
égal à r. la figure l^; puis-
que ΠΒ est semblable à nr. Ce qu'il fallait faire.
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
HPOTAZIZ «θ΄.
Ilupz τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυ- γράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παρα(ξαλεῖν. ὑπερβάλλον εἴδε; παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι.
Ἔστω à μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ AB, πὸ δὲ δοθὲν εὐθύγραμμον. ᾧ dvi ἴσον παρὰ τὴν AB TapaCa- Adr, τὸ T, © δὲ dei ὅμοιον ὑπερξαλεῖν , τὸ Δ᾽ δεῖ δὴ παρὰ τὴν AB εὐθεῖαν τῷ Τ εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραζξαλεῖν, ὑπερξάλ-
35, , € LJ Aer εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τω À.
Ve Ses
LA e , \ Τετμήσθω ἡ AB δίχα κατὰ τὸ E, καὶ ἀναγε-
=.
; EN NE NP γράφθω ἀπὸ τῆς EB τῷ À ὁμοῖον zai) ὁμοίως πε
M&voy παραλληλόγραμμον τὸ ΒΖ, καὶ συναμῷο-
PROPOSITION
363
PROPOSITIO XXIX. Ad datam rectam dato rectilinco æquale pa- rallelogrammum applicare, excedens figurà pa-
rallelogrammá simili data.
Sit data quidem recta AB, datum vero rec- tilineum T, cui oportet æquale ad AB applicare, A autem cui oportet simile applicare ; oportet igitur ad AB rectam ipsi P recülineo æquale parallelogrammum applicare , excedens figurá
parallelogrammá simili ipsi A. K o | : | \ V ἐν « ὶ H Secetur AB bifariam in E, et describatur
ex EB ipsi Δ simile et similiter positum paralle-
logrammum BZ, et utrisque simul quidem ΒΖ,
XXIX.
Appliquer à une droite donnée, un parallélogramme qui soit égal à une fi- gure rectiligne donnée, et qui soit excédent d'un parallélogramme semblable
à un parallélogramme donné.
Soit ΑΒ la droite donnée, à laquelle il faut appliquer un parallélogramme qui soit égal à une figure rectiligne donnée r, et qui soit excédent d'un pa- rallélosramme semblable à un parallélogramme ^; il faut à la droite AB appliquer un parallélogramme qui soit égal à la figure rectiligne r, et qui soit excédent d'un parallélogramme semblable au parallélogramme Δ.
Coupons AB en deux parties égales au point E (9. 1), sur la droite EB dé- crivons le 'parallélogramme ΒΖ semblable au parallélogramme Δ et semblable-
364 LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
τέροις μὲν τοῖς BL, T ἴσον, τῷ δὲ Δ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ αὐτὸ συνεστάτω τὸ HO* cur kr ἐστὶ τὸ HO τῷ EA'. Ομόλογος δὲ ἔστω à μὲν KO τῇ ZA, ἡ δὲ ΚΗ τᾷ. ZE. Καὶ ἐπεὶ μεῖζόν € ἔστι τὸ ΗΘ τοῦ ZB, μείζων ἃ apa ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΚΘ τῆς ZA, # δὲ ΚΗ τῆς ZE. Ἐκξε- (λήσθωσαν αἱ ZA, ZE, καὶ τῇ μὲν KO len ἔστω
ἡ LAM, τῇ δὲ ΚΗ ἴση ἡ ZEN, καὶ συμπεπλη-
λφ
IU cerco.
posso τὸ ΜΝ" τὸ MN epa τῷ HO σὸν Té STI «ὦ \ M ^ 32 Ν e καὶ ὁμοιοῦν. AAA% τὸ HO τῷ EA ἐστιν OpAcioy* ' ^ Le \ A! καὶ τὸ MN ἄρα 70? EA ὅμοιόν ἐστι" περὶ τὴν φᾷ. ol ὌΝ y 9 ' ἊΣ αὐτὴν ἀρα διάμετρόν ἐστι τὸ EA τῷ MN. Ἤχθω FRA ve n ; - 2z.: NIS m. /20 \ αὐτῶν ἡ διάμετρος à LE, καὶ καταγεγράφθω TO
σχῆμα.
T æquale, ipsivero A simile et similiter posi- tum idem constituatur HO; simile igitur est HO ipsi EA. Homologa autem sit KO quidem ipsi ZA, ipsa vero KH ipsi ZE. Et quoniam majus est HO ipso ZB, major igilur est et ipsa quidem KO ipsà ZA, ipsa vero KH ipsà ΖΕ, Producantur ipse ZA, ΖΕ, et ipsi quidem ΚΘ equalis sit ZAM , ipsi vero KH «qualis ZEN
en uuo sa qe)
H
ct compleatur MN; ipsum MN igitur ipsi HO æqueleque est et simile. Sed HO ipsi EA est simile; et MN igitur ipsi EA simile est ; circa camdem igitur diametrum est ipsum EA circa quan MN. Ducatur eorum diameter ZE, et describatur figura.
Ἐπεὶ oy) ἴσον ἐστὶ τὸ HO τοῆς EA, T, ἀλλὰ Et quoniam æquale est HO ipsis ΕΔ, T ;
ment placé (18. 6), et consiruisons le parallélogramme Ho égal aux deux figures EA, r, et semblable au parallélogramme 4, et semblablement placé (25. 6); le parallélogramme He sera semblable au parallélogramme E^. Que Ke soit l'homolosue de z^, et ΚΗ l'homologue de ZE. Puisque He est plus grand que zB, la droite ΚΘ est plus grande que za, et la droite ΚΗ plus grande que ZE. Prolongeons ZA, ZE, que ZAM soit égal à Ko, et ZEN égal à KH (5. 1), et achevons le parallélogramme MN. Le parallélogramme MN sera égal et semblable au parallélogramme ΗΘ, Mais le parallélogramme HO est feniblable au parallélogramme E4;; donc le parallélogramme MN est semblable au parallélogramme EA (21. 6); donc les deux parallélogrammes EA, MN sont autour de la méme diagonale (26. 6). Menons leur diagonale zz, et décrivons la figure.
Puisque le parallélogramme Ho est égal aux figures EA, r, et que
LE SIXIEME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
τὸ HO τῷ MN ἴσον ἐστί" καὶ τὸ MN ἄρα τοῖς EA, T ἴσον ἐστί. Κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ EA* λοιπὸς ἄρα ὃ ΧΦ γνώμων τῷ T ἐστὶν ἴσοςΐ, Καὶ ἐπεὶ jca ἐστὶν ἡ AE τῇ ΕΒ, ἴσον ἰστὶ καὶ τὸ ΑΝ τῷ NB, τουτέστι τῷ ΛΟ. Κοινὸν προσκείσθω τὸ ἘΞ" ὅλον ἄρα τὸ AX ivo» ἐστὶ τῷ ΦΧΨ γνώμωνι. Αλλὰ 0 ΦΧΨ γνώμων τὸ T ἴσος ἐστί" καὶ τὸ ΑΞ
>! ^ » 3 , &pa TQ Y σὸν ἐστιν.
Παρὰ τὴν δοθεῖσαν ὄρα εὐθεῖαν τὴν AB τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ τῷ Y ἔτον παραλληλόγραμ- μὸν παραζέζλητα; τὸ AH , ὑπερξάλλον εἶδε, παραλληλογράμμῳ τῷ ΠΟ ὁμοίῳ ὄντι τῷ Δ. ἐπεὶ καὶ τῷ ΕΛ ἐστὶν ὅμοιον τὸ ΟΠ΄, Οπερ ἔδει
ποιῆσαι.
365
sed HO ipsi MN æquale est; ct MN igitur ipsis EA, T æquale est. Commune auferatur EA; reliquus igitur ὙΧΦ gnomon ipsi P est æqualis. Et quoniam æqualis est AE ipsi EB, aequale est et AN ipsi NB, hoc est ipsi AO. Commune apponatur EE; totum igitur AZ æ- quale est ipsi ?X* gnomoni. Sed ex* gno- mon ipsi D æqualis est; ct AE igitur ipsi T æquale est.
Ad datam igitur rectam AB dato rectilineo T æquale parallelogrammum applicatum est AZ, excedens figurà parallelogrammá HO si- mili existenti ipsi A, quoniam et ipsi EA est simile ΟΠ, Quod oportebat facere.
HO est égal à MN, le parallélosramme MN est égal aux figures EA, r. Re- tranchons le paraliélogramme | cciamun FA; !e gncsaon restant *X6 sera égal à r. Et puisque AE est égal à EB, le paraliélogramme AN est égal au paral- lélogramme ΝΒ (56. 1), c’est-à-dire au parallélogramme 40 (45. 1). Ajoutons le parallélozramme commun Ez, le parallélogramme entier Ax sera égal au gnomon entier 9?x*. Mais le gnomon ex? est égal à r; donc le parallélo- gramme AZ est égal à r.
On a donc appliqué à la droite donnée ΑΒ un parallélosramme ΑΞ qui est égal à la figure rectiligne donnée Tr, et qui est excédent d'un parallé- logramme rio semblable au parallélogramme Δ, parce le parallélogramme EA est semblable au parallélogramme on. Ce qu'il fallait faire.
366 HPOTAZIZ X.
τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμεῖν.
Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη n Pda τὴν AB τεμεῖν.
, \ 3 \ ^ , Αναγεγράφθω yap! ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγῶνον
nn 1 \ , mE" εὐθεῖαν axpov καὶ μέσον 00V f
, A \ L2 τὸ ΒΓ. καὶ παραζεξλήσϑω παρὰ 71v AT τῷ BT i; JA ον τὸ TA y ὑπερβάλλον eid ἶσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΔ. UrrepsdAAOV eol
ς
À 4 ^ T τὸ AA ὁμοίῳ τῷ BT.
- , δὲ , \ Te , » τετράγωνον δὲ ἐστι TO ΒΙ τετράγωνον ape 5 x \ \ AEN MN NY 5 \ ἐστὶ καὶ τὸ AA, Καὶ ἐπεὶ 150v εστὶ τὸ ΒΓ τῷ
ec / ' Rm s TA, xoioy ἀφῃρήσθω To ΤῈ" λοιπὸν apa τὸ ΒΖ
LJ “ 3 δ Ἂν A > \s , λοιπῷ τῷ ΑΔεστιν 100. Eo T1 δὲ AUTO καὶ ἰσογω--
^ A 3 - νιον" τῶν BZ, AA epa ἀντιπεπόνθασιν αἱ πλευραὶ
PROPOSIT
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
PROPOSITIO XXX.
Datam rectam terminatam secundum extre- mam et mediam rationem secare.
Sit data recta terminata AB; oportet igitur AB rectam secundum extremam et mediam ralicnem secare.
Describatur enim ex AB quadratum BT, et applicetur ad AT ipsi BT æquale parallelo- grammum TA, excedens figurà AA simili ipsi Br.
Quadratum aulem est 8D; quadratam igitur est et AA. Et quoniam æquale est BT ipsi ΓΔ, commuue auferatur FE; reliquum igitur ΒΖ reliquo AA est æquale. Est autem ei et æ-
quiangulum ; ipsorum ΒΖ, ΑΔ igitur reciproca
ION XXX.
Couper une droite finie et donnée en moyenne et extrême raison. y
Soit donnée la droite finie 45; et extréme raison.
il faut couper la droite AB en moyenne
Sur la droite ΑΒ construisons le quarré Br (46. 1), et à la droite Ar appli- quons un parallélogramme ra, qui soit égal au quarré ΒΓ, et qui soit excédent d'un parallélogramme 44 semblable à Br (29. 6). |
Puisque Er est un quarré, AA cst un quarré. Et puisque PT est égal
à T^, retranchons la partie commune ΤῈ
; le reste Bz sera égal au reste A4. Mais
ces deux figures sont équiangles ; donc les côtés des parallélogrammes ἘΖ, 44,
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ZE πρὸς τὴν ἘΔ οὕτως ἡ AE πρὸς τὴν EB. lon δὲ ἡ μὲν LE τῇ ΑΓ. τουτέστι τε ΑΒ". ἡ δὲ EA τῇ AE* ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν AE οὕτως ἡ AE πρὸς τὴν EB. Μείζων δὲ ἡ AB τῆς AE* μείζων dta καὶ ἡ AE τῆς EB.
H ἄρα ΑΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέ- σμηται κατὰ τὸ E, καὶ T0? μεῖζον αὐτῆς τμῆμά
3 \ » e ἐστι τὸ AE, Omtp £d ποιῆσαι.
ΑΛΛΩΣ.
Ἑστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ" def δὴ τὴν AB
3! \ , , e ἄκρον καὶ μέσον λόγον "TeJ421V.
\ e M N Τετμήσθω γὰρ ἡ AB κατὰ τὸ T , ὦστε τὸ ὑπὸ m 4 3 ἈΠ SEX m τῶν AB, BT ἴσον εἰναι τὸ ἀπὸ τῆς AT τετραγώνῳ. ^ œ Ace M ^ ” LU Ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν AB, BT ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ
^ » »! e € . ej τῆς ΤΑ" ἔστιν ἄρα ὡς ἢ ΑΒ pos τὴν AT οὕτως a
367 sunt latera circa æquales angulos ; est igitur ut ZE ad EA ita AE ad EB. Æqualis autem ipsa quidem ZE ipsi AP, hoc est ipsi AB, ipsa vero EA ipsi AE; cst igilur ut BA ad AE ita AE ad EB. Major autem AB lpsá AE; major igitur et AE ipsà EB.
lpsa igitur AB recta secundum extremam et mediam rationem secta est in E, et majus ejus
segmentum est AE. Quod oportebat facere,
ALITER.
Sit data recta AB; oportet igitur AB secun-
dum extremam et mediam rationem secare.
Secetur enim AB in T, ita ut ipsum sub AB, ΒΓ æquale sit ipsi ex ipsà AT quadrato. Et quoniam ipsum sub AB, ΒΓ æquale est ipsi ex TA; est igitur ut AB ad AT iia AT ad ΓΒ;
autour des angles égaux, sont réciproquement proportionnels (14. 6) ; donc ZE est à E^ comme AE est à EB. Mais ZE est égal à Ar (54. 1), c’est-à-dire à AB, et EA est égal à AE; donc BA est à AE comme AE est à EB. Mais AB est plus grand que AE; donc AE est plus grand que ἘΒ.
Donc la droite ΑΒ a été coupée au point E en moyenne et extrême raison, et AE est son plus grand segment. Ce qu'il fallait faire.
AUTREMEN T.
Soit AB la droite donnée; il faut couper AB en moyenne et extrême raison.
Coupons AB au point r, de maniére que le rectangle sous AB, Br soit égal au quarré de ΑΓ (11. 2).
Puisque le rectangle sous AB, nr est égal au quarré de TA, ΑΒ est à AT
AT πρὸς τὴν TB. H ἄρα AB ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ T. Οπερ ἔδει πτοιῆσαι.
ΠΡΟΤΆΣΙΣ λα,
m 5 v , EPIO. A ^ ^ Ev τοῖς ὀρθογωνίο:ς Tpiyovole , τὸ ἀπὸ τῆς τὴν , \ , ^ ^ » ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινοέσης πλευρᾶς εἶδος ἴσον yp, 0 m 32 M es \ ^ ἐστὶ TOic ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχου- ^ D ἴδ ^ € 4 T M t6 , σῶν πλευρῶν εἰδέσι. τοῖς Opzcioig Te! καὶ ἑκ«οέως » ἀναγραφομένοις, , », ^ , \ A , A \ EcTo τρίγωνον crhryovity τὸ ABT, ὀρθήν
#4 M εν er δ 2 A M ἔχον τὴν ὑπὸ BAT γωνΐαν" λέγω ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς
À
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ipsa igitur AB secundum extremam et mediam
rationem secla est in F, Quod oportebat facere.
PROPOSITIO XXXI.
In rectangulis triangulis, figura ex latere rectangulum angulum subtendente æqualis est figuris ex lateribus rectum angulum subten-
denübus , similibusque et similiter descriptis,
Sit triangulum rectangulum ABD, rectum habens BAT angulum; dico figuram ex Br
d cu ME c
^" ou ᾽ A ’ « 4 BT εἶδος ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν BA, AT εἴδεσι, e € LA « τοῖς ὁμοίοις τεῦ καὶ ὁμοίως ἀναγραξομένοις,
Hao κάθετος à AA.
æqualem esse figuris ex BA, AP, similibusque et similiter descriptis.
Ducatur perpendicularis AA.
comme AT est à rP (17, 6); donc la droite AB a été coupée en moyenne et extrême raison au point r (déf. 5. 6). Ce qu'il fallait faire,
PROPOSITION XXXI.
Dans les triangles rectangles, la figure construite sur le côté qui soutend l'angle droit, est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les côtés qui comprènent l'angle droit.
Soit le triang!a rectangle ΑΒΓ, ayant l'angle droit Bar; je dis que la figure construite sur Br est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les cótés BA, ar.
Menons la perpendiculaire 44.
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
a , , , Ὁ 390 N Ἐπεὶ οὖν ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ τῷ ABT , ἀπὸ ^ \ \ , ET "n 5 \ \ 2 τῆς πρὸς TO À ὀρθῆς γωνίας ἐπὶ τὴν ΒΓ βάσιν ᾿ 5 c Cars - x - Y κάθετος ἤκται 4 AA* τὰ ABA, AAT apa? πρὸς Ὁ , ei » LU er ^ τῇ καθέτῳ τρίγωνα, ὅμοιά ἐστι τῷ τε ὅλῳ τῷ » Nd , , \ ABT καὶ ἀλλήλο:ς. Καὶ ἐπεὶ ὁμοιόν ἐστι TO ΑΒΓ "v 4 3 € € ῃ M el Tw ΑΒΔ, ἔστιν apa ὡς ἡ ΤΒ πρὸς τὴν BA ovTtc € \ \ LENT IS \ e ur Sr " AB πρὸς τὴν BA. Καὶ ἐπεὶ τρεῖς εὐθεῖαι ava- , » 5 ( €f A M A 7 λογον εἰσιν. ἐστιν ὡς 13 πρώτὴ πρὸς τῆν Τρι τὴν e UY p. t ^ , L2 \ N59: τὸν ^ οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέ ) ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον" ευτέρας;, TO OJAOIOY καὶ ὁμοίως γραφομε ELA € \ \ LA \ ? \ ^ ὡς epa ἡ TB πρὸς τὴν ΒΔ οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς TB ^ \ \ \ ^ HEC? ne , εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς BA, τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως \ \ > \ \ \ € € ἀναγραφόμενον. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ ΒΓ \ ^ e A79 ^ m La δ \ πρὸς τὴν TA ouTwc τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ eidoc "pce τὸ M ^ LA \ € Li S \ ἀπὸ τῆς ΤΑΙ ὥστε καὶ ὡς » ΒΓ πρὸς τὰς BA, μι M 3 M ^ ^H \ A UNE \ ^ AT οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς BT εἰδὸς πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν \ Ne / > ε BA, AT, τὰ ὁμοῖα καὶ ὁμοίως ἀναγραφομεναι. Ini € Di M UE A \ , \ ^ δὲ à BT ταῖς BA, AT' ἔσον ἄρα καὶ TO ἀπὸ τῆς
ΒΓ εἶδος τοῖς ἀπὸ τῶν BA, AT εἴδεσι, τοῖς ὁμοίοις
369
Et quoniam in recto triangulo ABT, ab ipso ad A recto angulo super BP basim perpendi- cularis ducta est AA; ipsa ABA, AAT igitur ad perpendicularem triangula similia sunt et toti ΑΒΓ et inter se. Et quoniam simile est ABT ipsi ABA, est igitur ut ΓΒ ad BA ita AB ad BA. Et quoniam tres recte proportionales sunt, est ut prima ad terliam ita ipsa ex primà figurá ad ipsam ex secundá , similem et similiter descriptam; ut igitur ΓΒ ad BA ita ex ipsà FB figura ad ipsam ex BA, similem et similiter descriptam. Propter cadem utique et ut BT ad ΓΔ ita ex ipsà ΒΓ figura, ad ipsam ex ΓΑ; quare et ut BI ad ipsas BA, AT ita cx ipsà ΒΓ figura ad ipsas ex BA, AT, similes et similiter descriptas. /Equalis autem BT ipsis BA, AP; æquale igitur et ex ipsà ΒΓ figura ipsis ex BA, AT figuris, similibusque et similiter descriptis. Érgo in rectangulis , etc.
Di m \ τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις. Ἐν ἀρὰ τοῖς; καὶ
ego» τὰ εζῆςς
Puisque dans le triangle rectangle ΑΒΓ, on a mené de l'angle droit A sur la base BT la perpendiculaire A^, les triangles ΑΒΔ, ΑΔΓ, autour de la perpendiculaire, sont semblables au triangle entier Aër, et semblables entr'eux (8. 6). Et puisque le triangle ABr est semblable au triangle ABA, TB est à BA comme AB est à BA. Mais lorsque trois droites sont proportionnelles, la première est à la troi- sième comme la figure construite sur la première est à la figure semblable, et semblablement construite sur la seconde (2. cor. 20. 6); donc TB est à Ba comme la figure construite sur rb est à la figure semblable, et semblablement construite sur BA. Par la même raison, Br est. à T^ comme la figure cons- truite sur Br est à la figure construite sur TA; donc BT est à ΒΔ, AT comme la figure Br est aux figures semblables, et semblablement décrites sur BA , Ar (24. 5). Mais la droite ΒΓ est égale aux droites B^, ar; donc la figure construite sur Br est égale aux figures semblables, et semblablement décrites sur BA, Ar
Donc, etc.
47
370
AAAQZ.
> , , Ἐπεὶ τὰ ὅμοια σχήματα ἐν διπλασίονι; λόγῳ , NA ^ e , ^ \ 3 \ ^ ἐστὶ" τῶν ομολύγων πλευρων9 τὸ ἀπὸ τῆς BT n 5 “, 7 H ἄρα εἶδοςῦ πρός τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ εἶδος διπλασίονα » > , \ 3 \ λόγον ἔχει ἤπερ à ΓΒ πρὸς τὴν BA, Ἐχε! δὲ καὶ var M ^ , \ A 3 M e τὸ ἀπὸ τῆς BT τετραγῶνον πρὸς TO ἀπὸ τῆς ΒΑ , , , Li ε \ \ TETPAY VOV διπλασίονα λόγον ἥπερ à TB πρὸς Τὴν 3) \ ^5 \ N93 A ΒΑ" καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς TB εἶδος πρὸς TO ἀπὸ
τῆς BA εἶδος7 οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς TB τετράγωνον
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ALITER.
Quoniam similes figure in duplà raüone sunt homologorum lalerum , ipsa ex BT igi- tur figura ad ipsam ex BA figuram duplam rationem habet ejus quam TB ad BA. Habet autem et ex BT quadratum ad ipsum ex BA qua- dratum duplam rationem cjus quam ΓΒ ad BA; ct ut igitur ex BT figura ad ipsam ex BA figuram
ita ex TB quadratum ad ipsum ex BA quadratum.
\ \ 9 ^ LA M ^ , ANM “ρὸς τὸ ἀπὸ τῆς BA τετράγωνον, Διὰ τὰ αὐτὰ dà ^ "a \ ^ καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς BT εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΤΑ ^ e" \ ^ J, A] NU X ^ εἶδος οὕτως τὸ τῆς BT τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς LÀ e NECS EN ^ 5 TA τετράγωνον" ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς BT εἶδος \ ^ / eu X ^ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν BA, AT «ida οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς
ΒΓ τετράγωνον πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν BA, AT τετράγωνα,
Propter eadem utique et ut ex ΒΓ figura ad ipsam ex TA figuram ita ex BP quadratum ad ipsum ex ΓᾺ quadratum ; quare et ut ex BT figura ad ipsas ex BA , AT figuras iia ex ΒΓ qua- dratum ad ipsa ex BA, AT quadrata. Æquale auicm ex BI quadratum ipsis ex BA, AT qua-
AUTREMENT.
Puisque les figures semblables sont entr'elles en raison double des cótés homologues (23. 6), la figure construite sur Br a avec la figure construite sur BA une raison double de celle que ΓΒ a avec ΒΑ. Mais le quarré de ΒΓ a avec le quarré de BA une raison double de celle que rB a avec BA (1. cor. 20. 6); donc la figure construite sur r8 est à celle qui est construite sur BA comme le quarré de r8 est au quarré de BA ( 11. 5). Par la méme raison, la figure construite sur Br est à la figure construite sur TA comme le quarré de Br est au quarré de r4; donc la figure construite sur Br est aux figures construiles sur BA, AT comme le quarré de ΒΓ est aux quarrés des droites ΒΑ;
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 37: Ico» di τὸ ἀπὸ τῆς BT τετράγωνον τοῖς ἀπὸ τῶν dratis ; equalis igitur et ex ΒΓ figura ipsis BA , AT τετραγώνοις" ἴσον ἄρα καὶ πὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ex BA, ΑΓ figuris , similibusque et similiter εἶδος τοῖς ἀπὸ τῶν BA, AT εἴδεσι, oic? ὁμοίοις — descriptis. Quod oportebat ostendere.
τε καὶ ὁμοίως ἀναγραφομένοις. Οπερέδει δεῖξαιϑ,
HPOTAZIZ λβ΄. PROPOSITIO XXXII.
Ἐὰν δύο τρίγωνα συντεθῇ xara. μίαν γωνίαν, Si duo triangula componantur secundum τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶ πλευραῖς ἀνάλογον unum angulum, duo latera duobus lateribus ἔχοντα. ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ proportionalia habentia, ita ut homologa eorum παραλλήλους εἶναι" αἱ λοιπαὶ τῶν τριγώνων — latera et parallela sint; reliqua triangulorum πλευραὶ ἐπ᾽ εὐθείας ἔσονται. latera in directum erunt.
Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ABT, ATE, τὰς δύο Siut duo triangula ABT, ATE, duo latera
B r E
πλευρὰς τὰς BA, AT ταῖς δυσὶ πλευραῖς ταῖς ΒΑ, AT duobus lateribus TA, AE proportio-
TA, AE ἀνάλογον ἔχοντα, ὡς μὲν τὴν AB πρὸς malia habentia, ut AB quidem ad AT ita Ar
AT (24. 5). Mais le quarré de ΒΓ est égal aux quarrés des droites BA, ΑΓ (47- 1); donc la figure construite sur Br est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les droites BA, ar. Ce qu'il fallait démontrer.
PROPOSITION XXXII.
Si deux triangles, ayant deux côtés proportionnels à deux côtés, se touchent par un angle, de manière que leurs côtés homologues soient parallèles, les côtés restants des triangles seront dans la méme direction.
Soient les deux triangles ΑΒΓ, ATE, ayant les deux côtés BA, AT propor- tionnels aux deux côtés r^, ΔῈ, de manière que AP soit à ΑΓ comme ar
372 viv AT οὕτως τὴν AT πρὸς τὴν AE, παράλληλον δὲ τὴν μὲν AB τῇ AT, τὴν δὲ AT τῇ AE* λέγω ὅτι ἐπὶ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ TE.
Ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ AT, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ AT, καὶ ai! ἐν-- αλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ BAT, ATA ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ TAE τῇ ὑπὸ ATA
/ ej e € \ nm € M 3 ^ ᾽στὶν ἴση" ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ BAT τῇ ὑπὸ IAE ἐστὶν
A V \ \
ion. Καὶ ἱπεὶ δύο τρίγωνά ἐστι τὰ" ABT, ATE μίαν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Α μιᾷ γωνίᾳ τῇ πρὸς τῷ δ ἴσην ἔχοντα, περὶ δὲ τὰς ἴσας γωνίας τὰς πλευρὰς ἀνάλογον. ὡς τὴν ΒΑ πρὸς τὴν AT oU- τως τὴν TA πρὸς τὴν AE* ᾿σογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ATE τριγώνῳ" ion ἄρα à ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ATE. Ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ATA τῇ ὑπὸ BAT ἴση" ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ATE δυσὶ
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ad AE, parallela vero AB quidem ipsi AT, ipsa vero AT ipsi AE ; dico in directum esse ipsam ΒΓ ipsi ΓΕ.
Quoniam enim parallela est AB ipsi AT, et in ipsas incidit recta AT, et alterni anguli BAT, ATA equales inter se sunt. Propter ca- dem utique et AE ipsi ΑΓΔ est equalis; quare et BAT ipsi TAE est equalis. Et quoniam duo
triangula sunt. ΑΒΓ, ATE unum angulum ad A uni angulo ad A æqualem habentia, circa æquales autem. angulos latera proportionalia , ut BA ad AT ita TA ad AE; æquiangulum igitur est ΑΒΓ triangulum ipsi ATE triangulo ; æqualis igitur ABT angulus ipsi ATE. Ostensus autem est et ATA ipsi BAT æqualis; totus igitur ATE duobus ΑΒΓ, BAT æqualis est, Communis
est à AE; et que AB soit parallèle à Ar, et AT parallèle à ΔῈ; je dis que ΒΓ est dans la direction de TE.
Puisque AB est parallèle à Ar, et que Ar tombe sur ces deux droites, les angles alternes BAT, ATA sont égaux entr’eux (29. 1.). Par la méme raison, l'angle rAE est égal à l'angle Ar^; donc l'angle Bar est égal à l'angle rar. Et puisque les deux triangles ABT, ATE ont un angle en A égal à un angle en Δ, et que les côtés qui comprènent ces angles égaux sont proportionnels, c’est-à-dire que BA està Ar comme rA est à AE, les triangles ΑΒΓ, ATE sont équiangles (6. 6); donc l'angle ΑΒΓ est égal à l'angle Arr. Mais on a démontré que Vangle ΑΓΔ est égal à l'angle Bar; donc l'angle entier ΑΓῈ est égal aux deux
LE SIXIEME LIVRE DES
ταῖς ὑπὸ ABT , BAT ἴση ἐστί. Kom προσκείσθω ἡ ὑπὸ ATB* αἱ ἄρα ὑπὸ ATE, ΑΓΒ ταῖς ὑπὸ BAT, ΑΒΓ. ΑΓΒ ἴσαι εἰσίν, AAN αἱ ὑπὸ BAT, ABT, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἔσεαι εἰσί)» καὶ αἱ ὑπὸ ATE, ATB ἄρα d'uciv ὀρθαῖς ἴσαι εἰσί, Πρὸς δὴ τινι εὐ- θείᾳ τῇ AT, καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ T , δύο εὐθεῖαι αἱ BT , TE, μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμε- ναι. τὰς ἐφεξῆς γωνίας τὰς ὑπὸ ATE, ΑΓΒ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν" ἐπ᾽ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ
τῇ ΤΕ. Ἐὰν ἄρα δύο, καὶ τὰ ἑξῆς. ΠΡΟΤΑΣΙΣ λγ΄.
moy , € , Y 93778 ,
Ἐν τοῖς 16016 κύκλοῖς eti γωνίαι τὸν eU TOV λόγον LA DJ , CENT: D 2 » ἢ ἔχουσι ταῖς περιφερείαις EP ὧν βεξήκασιν. ἐάν τε
Ν ^ A .! N "^ / πρὸς τοῖς κέντροις , ἐἂν τε πρὸς ταῖς περιφερείαις 5 e 5! M \ € - el \ ὦσι βεξηκυΐϊαι" ἔτι δὲ καὶ oi τομεῖὶς. ἅτε πρὸς
e , τοὶς κέντροις συνιστάμενοι.
Ἑστώσαν ἴσοι κύκλοι οἱ ΑΒΓ. ΔΕΖ, καὶ πρὸς
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 353
opponatur ΑΓΒ ; ipsi igitur ATE, ATBipsisBAT, ΑΒΓ, ΑΓΒ æquales sunt. Sed ipsi BAT, ABT, ATE duobus rectis quales sunt; et ipsi ATE, ΑΓΒ igitur duobus rectis æquales sunt, Ad quamdam utique rectam AT, et ad punctum in cà T, duc recto ΒΓ, TE, non ad easdem partes posite , ipsos deinceps angulos ATE, ΑΓΒ duobus rects æquales faciunt; in directum
igitur est ΒΓ ipsi TE. Si igitur duo, etc.
PROPOSITIO XXXIII.
In æqualibus circulis anguli eamdem ratio- nem habent quam circumferentiz in quas insis- tunt, sive ad centra, sive ad circumferentias sint insistentes; adhuc eliam et sectores quippe ad centra constituti.
Sint quales circuli ΑΒΓ, ΔΕΖ, et ad centra
angles ΑΒΓ, Bar. Ajoutons l'angle commun ArB; les angles ATE, AID seront fgaux aux angles BAT, ΑΒΓ, ΑΓΒ. Mais les angles BAT, ΑΒΓ, ΑΓΒ sont égaux à deux angles droits (52. 1); donc les angles ATE, ΑΓΒ sont égaux à deux angles droits. Donc avec une droite quelconque ar, et au point r de cette droite, les deux droites ΒΓ, ΤῈ, placées de différents cótés, font les angles de suite ATE, ΑΓΒ égaux à deux angles droits; donc la droite ΒΓ est dans la direction de rE (14. 1). Donc, etc.
PROPOSITION XXXIII.
Dans les cercles égaux, les angles ont la méme raison que les arcs qu'ils comprénent, soit que les angles soient placés aux centres ou bien aux cir- conférences; il en est de méme des secteurs qui sont construits aux centres.
Soient les cercles égaux ΑΒΓ, ΔΕΖ; que les angles ΒΗΓ, ΕΘΖ soient placés à
374 LESIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
μὲν τοῖς κέντροις αὐτῶν τοῖς H, O γωνίαι ἔστωσαν αἱ ὑπὸ ΒΗΓ. ΕΘΖ, πρὸς δὲ ταῖς πε- ριφερείαις αἱ ὑπὸ BAT, EAZ* λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ἘΖ περιφέρειαν οὕτως ἥτε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία “πρὸς τὴν ὑπὸ E@Z, καὶ 4 ὑπὸ BAT πρὸς τὴν ὑπὸ EAZ* καὶ ἔτι ὃ
: j ΗΒΓ τομιὺς πρὸς τὸν OEZ τομέα",
Κείσϑωσαν γὰρ τῇ μὲν ΒΓ περιφερείᾳ. ἴσαι κατὰ τὸ ἑξῆς ὁσαιδηποτοῦν" αἱ TK, KA, τῇ δὲ EZ περιφερείᾳ ἴσαι ὁσαιδηποτοῦν! αἱ ZM, MN , καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ HK, HA, OM, ON.
Ἐπεὶ οὖν ἴσαι εἰσὶν αἱ BT, TK, KA περιφέ- pues ἀλλήλαις, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΗΓ, THK, KHA γωνία, ἀλλήλαις" ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν ἡ BA περιφέρεια τῇ ΒΓ, τοσαυταπλασίων
* me X Me EV " ^ ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΗΓ. Διὰ τὰ
quidem ipsorum H, © anguli sint BHT, ΕΘΖ, ad circumferentias vero ipsi BAT, ΕΔΖ; dico esse ut BT circumferentia ad EZ circumferen- tiam ita ΒΗΓ angulum ad EOZ, ct ipsum BAT ad ΕΔΖ; et adhuc ΗΒΓ sectorem ad @EZ sec- lorem.
4"
DE
AV
E Z
Ponantur enim ipsi BT quidem circumfe- rentie æquales deinceps quotcumque TK , KA, ipsi vero EZ circumferentie æquales quotcum- que ZM, MN, et jungantur HK, HA, OM, ON.
Et quoniam igitur æquales sunt BP , TK, KA circumfereniiz inter se, æquales sunt et ΒΗΓ, THK, KHA anguli inter se. Quam multiplex igitur est BA circumferentia ipsius BT, tam multiplex et estEHA angulus ipsius ΒΗΓ. Propter
leurs centres H, ©, et que les angles BAT, Eaz soient placés à leurs circonfé- rences; je dis que l'arc Br est à l'arc EZ comme l'angle ΒΗΓ est à l'angle Eez, comme l'angle ΒΑΓ est à l'angle EAZ, et comme le secteur ΗΒΓ est au secteur
OEZ.
Faisons tant d'arcs de suite TK, KA, qu'on voudra égaux chacun à l'arc zr, et tant d'arcs qu'on voudra ZM, MN, égaux chacun à larc Ez, et joiguons
HK, HA, ΘΜ; ON.
Puisque les arcs ΒΓ, TK, KA sont égaux entr'eux, les angles BHT, THKK, KHA sont aussi égaux entr'eux (27. 5); donc l'angle ΒΗΛ est le méme multiple de ΒΗΓ, que l'arc BA l'est de l'arc Br. Par la même raison, l'angle EGN est
LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 375
αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν W EN περιφέ- pea τῆς EL, τοσαυπλασίων ἐστὶ καὶ à ὑπὸ EON γωνία τῆς ὑπὸ ἘΘΖ. Εἰ dpa? ἴση ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῇ EN περιφερείᾳ» ἴση ἐστὶ καὶ γω- νία ἡ ὑπὸ ΒΗΛ τῇ ὑπὸ ΕΘΝ’ καὶ εἰ μείζων ἐστὶν ἡ ΒΛ περιφέρεια τῆς ἘΝ περιφερείας, μείζων ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ EON γωνίαςδ" καὶ εἰ ἐλάσσων. ἐλάσσων" τεσ- σάρων δὲ ὄντων μεγεθῶν. δύο μὲν περεφερειῶν τῶν BT, EZ, δύο δὲ γωνιῶν τῶν ὑπὸ ΒΗΓ, EOZ, εἴληπται τῆς μὲν ΒΓ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ΒΗΓ γωνίας ἰσάκις πολλαπλασίων. ἣ τε ΒΛ περιφέρεια καὶ 8 ὑπὸ ΒΗΛ γωνία. τῆς δὲ EZ περιφερείας καὶ τῆς ὑπὸ ἘΘΖ γωνίας , À τε EN περιφέρεια καὶ ἡ ὑπὸ EON γωνία" καὶ δὲ- δεικται ὅτι εἰ ὑπερέχει à BA περιφέρεια τῆς ΕΝ περιφερείας. ὑπερέχει καὶ 4 ὑπὸ ΒΗΛ γωνία τῆς ὑπὸ EON* καὶ εἰ ἴση. ἴση" καὶ εἰ ἐλάσσων. ἐλάσσων" ἔστιν dpa ὡς ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν EZ οὕτως ἡ ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ EOZ. AAX ὡς ἡ ὑπὸ ΒῊΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΘΖ οὕτως ἡ ὑπὸ BAT πρὸς τὴν ὑπὸ EAL, διπλα-
eadem utique et quam multiplex est EN cir- cumferentia ipsius EZ, tam multiplez est et EON angulus ipsius ΕΘΖ, Si igitur æqualis est BA circumferentia ipsi EN circumferentiz , equalis est et angulus ΒΗΛ ipsi EON ; et si major est BA circumferentia lpsà EN cir- cumferenlià , major est et ΒΗΛ angulus ipso EON angulo; et si minor, minor ; quatuor igitur existentibus magnitudinibus., duabus quidem circumferentiis BP, EZ, duobus vero angulis ΒΗΓ, EOZ, sumpta sunt ipsius quidem BT circumferentie , et ipsius BHT anguli aeque multiplicia, et BA circumferentia et BHA an- gulus, ipsius vero EZ circumferentiæ οἵ ipsius EOZ anguli, et EN circumferentia et EON an- gulus ; et ostensum est si superat BA circum- ferentia ipsam EN circumferentiam , superare ct ΒΗΛ angulum ipsum EON; et si æqualis, æqualem; ct si minor, minorem; est igitur ut BT circumferenüa ad ipsam EZ ita ΒΗΓ an- gulus ad ipsum ΕΘΖ. Sed ut BHT angulus ad
ipsum ΕΘΖ ita ipse BAT ad ipsum ΕΔΖ; duplus
le méme multiple de Eez, que larc EN l'est de l'arc Ez. Donc si l'arc ΒΛ est égal à l'arc EN, l'angle ΒΗΛ est égal à l'angle EON (27. 5); si l'arc BA est plus grand que l'angle EN, l'angle ΒΗΛ est plus grand que l'angle ΕΘΝ ; et si l'arc BA est plus petit que larc EN, l'angle BHA est plus petit que l'angle ΕΘΝ. Ayant donc quatre grandeurs, deux arcs BT, EZ, et deux angles ΒΗΓ, EHZ, on a pris des équimultiples de l'arc ΒΓ et de l'angle ΒΗΓ, savoir, l'arc BA et l'angle BHA; on a pris aussi des équimulüples de l'arc Ez et de langle ΕΘΖ, savoir, l'arc EN et l'angle ἘΘΝ ; et l'on a démontré que si l'arc BA surpasse l'arc EN, l'angle ΒΗΛ surpasse l'angle EON; que si l'arc BA est égal à l'arc EN, l'angle BHA est égal à l'angle EoN; que l'arc BA est plus petit que l'arc EN, langle BHA est plus petit que l'angle ΕΘΝ ; donc l'arc Br est à Parc EZ comme l'angle BHT est à l'angle ΕΘΖ (déf. 6. 5). Mais l'angle Bar est ἃ l'angle ΕΘΖ comme l'angle ΒΑΓ est à l'angle ἘΔ2 (15. 5), car ils sont
376 ciov7 Jap ἑκατέρα ἑκατέρας" καὶ ὡς ἄρα ἡ Br περιφέρεια πρὸς τὴν ἘΖ περιφέρειαν οὕτως ἥτε ὑπὸ ΒΗΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸϑ ΕΘΖ, καὶ ἡ
«ἃ ^ \ LEX! ὑπὸ BAT πρὸς τὴν ὑπὸ ΕΔΖ,
» mM v , ε , \ » Ἐν ἀρὰ τοῖς 17616 κύκλοις αἱ γῶνια! TOV CU
a s! , ^ , Qu fet τὸν ἐχουσι λογὸν ταῖς περιφερείαις ep ὧν βε-
, 37 E ξηκασιν" εαᾶν σε προς
, >» \ Í € ΚΕΥΤρΟΙς 5 εαᾶν TE προς
7 ὃς τὸ E. * ES 3 DJ σταῖς περιφερείαις ὦσι βεξηκυῖκι. Οπερ ἔδει δεῖς ξαι. AEN. Nice , : \ Acyo OTI καὶ ὡς ἢ BT σπερίφερεία πρὸς τὴν ΕΖ περιφερειαν οὕτως o ΗΒΓ τόμευς πρὸς τὸν ΘΕΖ τομέα. , \ ΄ \ Ω Ἐπεζεύχθωσαν γὰρ ai ΒΓ. TK, καὶ ληφθέν- > _\ ^ : “Ὁ D. τῶν ἐπὶ τῶν ΒΓ. TK περιφερειῶν τῶν E, Ο ; , N σημείων. ἐπεζεύχϑωταν καὶ αἱ BE, XT, TO, OK. EE) M , ε Ἂς ^ A Kai ἐπεὶ δύο αἱ BH, HT δμσὶ ταῖς TH, HK,
LESIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
enim uterque utriusque ; et ut igitur BT cir- cumferentia ad EZ circumferentiam ita οἱ ΒΗΓ augulus ad ipsum ΕΘΖ, et ipse BAT ad psum EAZ.
A N Θ I M | A E z In æqualibus igitur circulis anguli eamdem habent rationem quam circumferentiæ in quas insistunt; sive ad centra, sive ad circum- ferentias sint insistentes. Quod oportebat os- tendere.
Dico et ut BT circumferentia ad EZ circum-
ferentiam ita ΗΒΓ sectorem ad @EZ sectorem. Jungantur enim BD, PK, et sumptis in ΒΓ, TK circumferentiis punctis Z , Ὁ, jungantur et
BE, ἘΠῚ, TO, OK.
Et quoniam duo BH, ΗΓ duabus TH, HK
doubles les uns des autres (2 0. 5); donc l'arc Br est à l'arc zz comme l'angle ΒΗΓ est à l'angle ἘΘΖ, et comme l'angle ΒΑΓ est à l'angle Eaz.
Donc, dans des cercles égaux, les angles sont proportionnels aux arcs, soit que ces angles soient placés aux centres ou bien aux circonférences. Ce
qu'il fallait démontrer.
Je dis de plus que l'arc Br est à l'arc EZ comme le secteur HBT est au
secteur OEZ.
Joignons Br, TK, et ayant pris sur les arcs Br, ΓΚ, les points Ξ, O, joiguons
ΒΞ; SES ΤΟ; Ok.
Puisque les deux droites BH, Hr sont égales aux deux droites TH, HX,
LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
LA 5 _\ \ , » , \ ἴσαι εἰσὶ, καὶ γωνίας ἵτας περιέχουσι. καὶ ε ^ ΕΣ x 7 » » vo A βάσις ἡ BT τῇ IK ἐστὶν ἴση" ἴσον apa ἐστὶ n ^ ; , \ καὶ τὸ ΒΗΓ τρίγωνον τῷ HIK τριγώνῳ. Καὶ Ny > € ^ re ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ BT περιφέρεια τῇ TK περιφε- 3 ^e , \ ] , pra, καὶ ἡ λοιπὴ ἡ εἰς τὸν ὅλον κύκλον πε- ΄ » , \ es ^ ^ Ἢ \ LA ριφίρεια ion ἐστὶ τῇ λοιπῇ πῇ εἰς τὸν OAOy
, ej \ , € e ^ pee κύκλον περιφερείᾳ * ὥττε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ BET!
τῇ ὑπὸ TOK ἐστὶν ἴση" ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ZT τμῆμα τῷ ΤΟΚ τμήματι" καί εἶσιν ἐπὶ ἴσων εὐθειῶν τῶν BT, TK. Τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων εὖὐ- θειῶν ὅμοια τμήματα κύκλων ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν" ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ BET τμῆμα τῷ TOK τμήματι. Ἔστι δὲ καὶ τὸ ΒΗΓ τρίγωνον τῷ
HIK τριγώνῳ ἴσον" καὶ ὅλος ἄρα 6 ΗΒΓ τομεὺς
377 «quales sunt, et angulos æquales comprehen- dunt, et basis BP ipsi ΓΚ est æqualis; æquale igitur est et ΒΗΓ triangulum ipsi HTK trian- gulo. Et quoniam æqualis est BT circumfe- rentia ipsi TK circumferentie , et reliqua totius circuli circumferentia æqualis est reli-
que tolius circuli circumferentie ; quare et
angulus Bzr angulo FOK est iqualis ; simile igitur est BET segmentum ipsi l'OK segmento; et sunt super æquales rectas BP, ΓΚ, Sed super æquales rectas similia segmenta circu- lorum æqualia inter se sunt ; æquale igitur est BZT segmentum ipsi TOK segmento. Est autem ct ΒΗΓ triangulum ipsi HTK.triangulo æquale ;
et qu'elles comprènent des angles égaux, la base Br est égale à la base IK; donc le uiangle ΒΗΓ est égal au triangle HrTK (4. 1). Mais l'arc Br est égal à larc rk; donc le reste de la circonférence du cercle entier est égal au reste de la circonférence du cercle entier (ax. 3) ;} donc l'angle BET est égal à l'angle rox (27. 5); donc le segment ΒΞῚ est semblable au segment TOK (déf. 11. 5), et ces deux segments sont sur les droites égales Br, rk, Mais les segmeuts de cercles semblables placés sur des droites égales, sont égaux entr'eux (24. 5); donc le segment Bzr est égal au segment rok. Mais le triangle BHr est égal au triangle THK; donc le secteur entier ΗΒΓ est égal
48
378 LE SIXIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ὕλῳ τῷ HIK TOM ἴσος ἐστί. Διὰ τὰ αὐτὰ el tolus igitur HET sector toti HTK sectori ᾿δὴ καὶ ὁ HKA roues ἑκατέρῳ τῶν HKT, ΗΓΒ æqualis est. Propter eadem utique et HKA "deog ἐστίν" οἱ τρεῖς ἄρα τομεῖς οἱ HBT, HIK, Seclor utrique ipsorum HKT, ΗΓΒ æqualis est; HKA Jeu ἀλλήλοις εἰσί. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ires igilur sectores HBP, HTK, HKA æquales za) ἡ @EZ, OZM, OMN τομεῖς ἴσοι ἀλλή- inter se sunt. Propter eadem tique et @EZ, λοις cioiv\2+ ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὴν ἡ BA we ΘΖΜ, ΘΜΝ seclores æquales inter se sunt ;
ριφέρεια τῆς ET περιφερείας. τοσαυταπλασίων Quam multiplex igitur est BA circumferentia
ἐστὶ καὶ ὁ HBA τομεὺς τοῦ HBT τομέως. Διὰ ἰρβῖα8 ΒΓ circumferentiz , tam multiplex est et πὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁσαπλασίων ἐστὶν ἡ EN πε- HBA seclor ipsius ΗΒΓ sectoris. Propter eadem ριΦέρεια τῆς ἘΖ περιφερείας, ποσαυταπλασίων | utique et quam multiplex est EN circumferentia ἐστὶ καὶ 6 OEN τομεὺς τοῦ OEZ τομέως. E; ipsius EZ circumferentie , tam multiplex est ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ BA περιφέρεια τῇ EN περι-Ἢ et OEN sector ipsius OEZ sectoris; si igitur φερείᾳ" ἡ. ἴσος ἐστὶ καὶ ὃ HBA τομεὺς τῷ æqualis est BA circumferentia ipsi EN cir-
OEN Top καὶ εἰ ὑπερέχει ἡ ΒΛ περιφέρεια cumferentie , æqualis est et HBA sector ipsi
au secteur entier THK (ax. 2). Par la méme raison, le secteur HKA est égal à lun et l'autre des secteurs Ekr, HrB; donc les trois secteurs HET, HIK, HKA sont égaux entr'eux. Les secteurs @EZ, ©ZM, ©MN sont égaux entr'eux, par la même raison; donc le secteur HBA est le même multiple du secteur ΗΒΓ que l'arc BA l'est de l'arc Br: Par la méme raison, le secteur @EN est le méme mul- üple du secteur ΘῈΖ que l'arc EN l'est de l'arc Ez. Donc si l'arc $4 est égal à l'arc EN, le secteur HbA est égal au secteur GEN ; si l'arc BA surpasse l'arc ) i ,
LE SIXIEME LIVRE DES
τῆς EN περιφερείας. ὑπερέχει καὶ ὃ HBA τομεὺς τοῦ OEN τομέως" καὶ εἰ ἐλλείπει. ἐλλείπει", Τεσ- σάρων δὴ ὄντων μεγεθῶν. δύο μὲν τῶν BY, EL περιφερειῶν, duo δὲ τῶν HBT, OEZ το- μίων. εἴληπται ἰσάκις πολλαπλάσια τῆς μὲν ΒΓ περιφερείας καὶ τοῦ HBT τομέως, ἥτε BA περιφέρεια καὶ ὃ HBA τομεὺς, τῆς δὲ EZ περιφερείας καὶ τοῦ OEZ τομέως ἰσάκις 70A- λαπλάσια., ἥτε EN περιφέρεια καὶ 0 OEN το- μεύς. καὶ δέδεικται ὅτι εἰ ὑπερέχει ἡ BA περιφέρεια τῆς EN περιφερείας, ὑπερέχει! καὶ 6 HBA τομεὺς τοῦ @EN τομέως" καὶ εἰ IT, τος" καὶ εἰ ἰλλείπει. ἐλλείπει" ἔστιν ἄρα ὡς » ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ἘΖ οὕτως ὃ ΗΒΓ το- Meus πρὸς τὸν ΘῈΖ τομέα.
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 379 OEN sectori ; et si superat BA circumfe- rentia ipsam EN circumferentiam, superat eli HBA sector ipsum OEN sectorem ; et si deficit, deficit. Quatuor igitur existentibus magnitu- dinibus, duobus quidem Br, EZ circumferen- tüs, duobus vero ΗΒΓ, OEZ sectoribus , sumpta sunt eque mulüplicia ipsius DT qui- dem circumferentiæ et ipsius HBT sectoris, ipsa et BA circumferentia et HBA sector , ipsius vero EZ circumferentiz et ipsius OEZ sectoris sque multiplicia, ipsa et EN circumferentia et ipse OEN sector. Et ostensum est si supe- rat BA circumferentia ipsam EN circumferen- tiam, superare et HBA sectorem ipsum OEN sectorem; et si æqualis, equalem; et si dificit, dificere; est igitur ut BP circumferentia ad EZ
ita HBI sector ad OEZ sectorem.
EN, le secteur HBA surpasse le secteur eEN, et si l'arc. BA est plus petit que l'arc EN, le secteur HBA est plus petit que le secteur @EN. Ayant donc quatre grandeurs, les deux arcs Br, Ez, et les deux secteurs Her, @Ez, on a pris des équimulüples de l'arc Br et du secteur HBT, savoir, l'arc BA et le secteur HBA; on a pris aussi des équimultiples de l'arc Ez et du secteur OEZ, savoir, l'arc EN et le secteur @EN. Et on a démontré que si l'arc BA surpasse l'arc EN, le secteur HBA surpasse le secteur @EN, que si larc BA est égal à l'arc EN, le secteur HBA est égal au secteur GEN, et que si l'arc BA est plus petit que larc EN, le secteur HBA est plus petit que le secteur @EN; donc l'arc ΒΓ. est à l'arc EZ comme le secteur HBr est
au secteur oEz (déf. 6. 5).
380 LE SIXIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IIOPIXZMA, COROLLARIUM. Καὶ δῆλον ὅτι καὶ Oc ὃ τομεὺς πρὸς τὸν To- Et manifestum est et ut sector ad sectorem ita μέα οὕτως καὶ ἡ γωνία πρὸς τὴν γωνίαν, ct angulnm ad angulum.
COROLLAIRE.
I] est évident que le secteur est au secteur comme l'angle est à l'angle (xu b
FIN DU SIXIÉME LIVRE»
EUCLIDIS
ELEMENTORUM LIBER SEPTIMUS.
EEE EE ES C
OPOI. DEFINITIONES. d. Movas ἐστι. καθ᾽ ἣν à ἕκαστον τῶν ὑντῶν 1. Unitas est secundum quam unumquodque ἕν λέγεται. existentium unum dicitur. β΄. Αριθμὸς di, τὸ tx μονάδων συγκείμενον 2. Numerus autem , ex unitatibus composita στλῆθος. multitudo. γ΄. Μέρος ἐστὶν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ. ὁ ἐλάσσων 5. Pars est numerus uumeri , minor majoris , ποῦ μείζονος, ὅταν καταμετρῇ τὸν μείζονα. quando metitur majorem.
LIVRE SEPTIEME
DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
DÉFINITION S.
1. L'unité est ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une. 2. Un nombre est un assemblage composé d'unités. 5. Un nombre est une partie d'un nombre, le plus petit du plus grand,
; 5 lorsque le plus petit mesure le plus graud.
382 δ΄, Μέρη δὲ, ὅταν μὴ καταμετρῇ. ἐ. Πολλαπλάσιος δὲ. ὃ μείζων τοῦ ἐλώττο-- vog , ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος. ς΄. Aprioc δὲ ἀριθμός ἐστιν ὁ diy, διαιρού-- μένος. C. περισσὸς d$ , ὁ μὴ διγαιρούμενος δίχα" ἢ 0? μονάδι διαφέρων ἀρτίου ἀριθμοῦ.
εν
΄ 5] 5 \ e 4. Αρτιάκις ἄρτιος ἀριθμὸς ἐστιν. ὁ ὑπὸ 5 , ^ τ 14 ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος #aTa ἄρτιον ἀρι8- μόν. , - θ΄. Αρτιάκις δὲ περισσὸς ἀριθμός3 ἐστιν, ὃ ὑπὸ ὠρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ περισσὸν : ἀριθμόν. , ͵ 4 7 pts € Y re Περίσσακις δὲ αρτιὸς ἐστιν. 0 ὑπὸ περισ- σοῦ ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν, , , ^ \ ΕΣ , » A € i2, Περισσάκις de περισσὸς ἀριθμὸς ἐστιν", ὁ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρούμενος zara περισσὸν ἀριθμόν, , ^ ; : ,β΄. Ππρῷτως ἀριθμός ἐστιν, ὁ μονάδι μόνῃ
μετρουμενος.
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
4. Partes autem, quando non metitur.
5. Multiplex autem, major minoris , quando mensuratur a minorc.
6. Par autem numerus est ipse bifariam di- visus.
7. Impar vero, ipse non divisus bifariam ; vel ipse unitate differens a pari numero.
8. Pariter par numerus est, ipse a pari nu»
Iuncro mensuratus per parem numerum,
9. Pariter autem impar numerus est, ipse a pari numero mensuratus per imparem nume- rum.
10. Impariter vero par est, ipse ab impari numcro mensuralus per parem numerum.
11. Impariter vero impar numerus est, ipse ab impari numero mensuratus per imparem numerum,
12. Primus nunrerus est, ipse ab unitate
solà mensuratus.
4. Un nombre est parties d'un nombre, quand il ne le mesure pas.
5. Un nombre est multiple d'un nombre, le plus grand du plus petit, quand
il est mesuré par le plus petit.
6. Le nombre pair est celui qui peut se partager en deux parties egales.
7. Le nombre impair est celui qui ne peut pas se partager en deux parties égales, ou bien celui qui diffère d'une unité du nombre pair.
8. Le nombre pairement pair est celui qui est mesuré par un nombre pair
multiplié par un nombre pair.
9. Le nombre pairement impair est celui qui est mesuré par un pair multiplié par un nombre impair.
10. Le nombre impairement pair est celui qui est mésuré par un impair, multiplié par un nombre pair.
11. Le nombre impairement impair est celui qui est mesuré par un impair multiplié par un nombre impair.
nombre
nombre
nombre
15. Le nombre premier est celui qui est mesuré par l'unité seule.
LE SEPTIEME LIVRE DES ry. Πρῶτοι δὲδ πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν. οἱ μονάδι μόνῃ μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ.
ιδ΄, Σύνθετος ἀριθμός ἐστιν. ὁ ἀριθμῷ τιν; μετρούμενος.
i6, Σύνθετοι δὲ πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν. οἱ ἀριθμῷ τινι μετρούμενοι; κοινῷ μέτρῳ.
I6. Ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλαπλασιάζειν λέγε- ται, ὅταν ὅσαι εἰσὶν ἐν αὐτῷ μονάδες τοσαυ- τάκιςϑ συντεθῇ ὃ πολλαπλατσιαζόμενος. καὶ γέ- vara τις.
iQ. οταν δὲ δύο ἀριθμοὶ σπολλοπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα. ὃ γενόμενος ἐπίπεδος καλεῖται" πλευραὶ δὲ αὐτοῦ. οἱ “πολλαπλατιά- σαντες ἀλλήλους ἀριθμοί.
“ἦς, Οταν δὲ τρεῖς ἀριθμιοὶ πολλαπλασιάσαν- τες ἀλλήλους ποιῶσί TIVA 9 6 γενόμενος στερεὸς καλεῖταιϑ' πλευραὶ δὲ αὐτοῦ. οἱ πολλαπλασιά-
σαντες ἀλλήλους ἀριθμοί,
. 15. Les nombres premiers entr'eux
commune mesure.
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 383 15. Primi autem inter se numeri sut, ipsi ab unitate solà mensurati communi mensurá. .14. Compositus numerus est, ipse a numero aliquo mensuratus. 15. Compositi vero inter se numer! sunt , ipsi a numero aliquo mensurati communi mensuràá. 16. Numerus numerum multiplicare dici- tur, quando quot sunt in eo unitates tolies
additur multiplicatus , et gignitur aliquis.
17. Quando autem duo numeri sese multi- plicantes fecerint aliquem , factus planus ap- pellatur; latera vero ipsius, multiplicantes sese numeri.
18. Quando autem tres numeri sese multi- plicantes fecerint aliquem , factus solidus ap- pellatur; latera vero ipsius, multiplicantes
sese numeri.
sont ceux qui ont l'unité seule pour
14. Le nombre composé est celui qui est mesuré par quelque nombre.
15. Les nombres composés entr'eux sont ceux qui ont quelque nombre
pour commune niesure.
16. Un nombre est dit multiplier un nombre, lorsque le multiplié est ajouté
autaüt de fois qu'il y a d'unités dans celui qui le multiplie, et qu'un nombre
est produit.
17. Lorsque deux nombres se multipliant font un nombre, celui qui est
produit se nomme plan; et les nombres qui se multiplient, se nomment les
cótés de ce produit.
18. Lorsque trois nombres se mulüpliant entr'eux. font un nombre, celui qui est produit est appelé solide; et les nombres qui se multiplient, se
nomment les cótés du produit.
384 , ^ ? , 5» € 5 , » 19. Τετράγωνος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἰσάκις ἴσος. » *10 e \ , 5 b ^ , : ἢ 519 ὑπὸ δύο ἀριθμῶν περιεχόμενος, ἢ Ly. Je 7 » 12 A εἰ εἰν κ΄. KuGos δὲ ὁ ἰσάκις ἴσος ἰσάκις, ἢ ὁ ὑπὸ
piv ἀριθμῶν ἴσων] περιεχόμενος.
, EET E - A ys κά. Αριθμοὶ avæAoyov εἰσιν, ὅταν ὁ πρῶτος τ ; di, " ; M τοῦ δευτέρου καὶ ὁ τρίτος TOU τετάρτου ἰσάκις n , ^ A ? M , *» \ 5 \ 3 πολλαπλάσιος) ἡ τὸ αὐτὸ μέρος, ἃ τὰ αυτὰ μέρη ὦσιν. "m / A ἈΝ, 15 fes κβ΄, Ὅμοιοι ἐπίπεδοι καὶ στερεοὶ ἀριθμοί εἰσιν, cs AGE J \ - , οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευρᾶς. UON > nt Ey. TsAuos ἀριθμὸς
, D »” Mpeg? 4066 YA
HPOTAEXIEX «.
, - , E , , Δυὸ ἀριϑμῶν ἀνίσων ἐπε μένων , ἀνθυφαιου-
; τ, uw. No μένου δὲ ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ TOU μείζονος ,
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
19. Quadratus numerus est ipse æqualiter aequalis, vel ipse sub duobus æqualibus nu- meris contentus,
20. Cubus autem , ipse æqualiter æqualis equaliter; vel ipse sub tribus numeris æqua- libus contentus.
21. Numeri proportionales sunt, quando pri- mus secundi et terlius quarli æque est multi-
plex, vel eadem pars, vel eedem partes sunt.
22. Similes plani et solidi numeri sunt,
ipsi proportionalia habentes latera. 25. Perfectus numerus est; ipse suis ipsius
parübus æqualis existens, .
LDROPOSITPIO- f.
Duobus numeris inæqualibus expositis , de-
tracto autem semper minore de majore , si
19. Le nombre quarré est celui qui est également égal, ou celui qui est
contenu sous deux nombres égaux.
20. Le nombre cube est celui qui est également égal également, ou bien
celui qui est contenu sous wois nombres égaux.
21. Des nombres sont proportionnels, lorsque le premier est le mème
multiple du second que le troisième l'est du quatrième, ou lorsque le pre-
mier est la méme parüe ou les mémes parties du second que le troisième l'est
du quatrième.
22. Les nombres plans et solides semblables sont ceux qui ont leurs cótés
proportionnels.
25. Le nombre parfait est celui qui est égal à ses parties.
PROPOSITION PREMIERE.
. , E , L , E Y Le Deux nombres inégaux étant proposés, le plus petit étant toujours retranciie
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
, , m M M ἐὰν! ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρη τὸν πρὸς ε nm «© e ES , € 59 » -“ ἑαυτοῦ τως οὗ ληφθῇ μονάς" οἱ εξ ἀρχῆς
\ bh \ 2 , » ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται. , \ D »? ^ Ll , Δύο γὰρ ἀνίσων" ἀριθμῶν τῶν AB, ΓΔ ἀνθυ-- , SEX rc» , > \ ^ 17 φαιρουμένου aei TOU ἐλάσσονος ἀπὸ TOU μείζονος, £ \ ὃ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρείτω τὸν πρὸς ε Fe. c 7 m , ^ e ἑαυτοῦ ἕως oU ληφθῇ μονάς" λέγω oTt οἱ AB, ^ \ 23 πὸ Cr, \ , a TA vpevor πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ. TOUTECTIV , OTI
τοὺς AB, TA μονὰς μόνη μετρεῖν.
Ei γὰρ μὴ εἰσὶν oí AB, TA πρῶτοι πρὸς ἀλ- λήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός. Μετρείτω, καὶ ἔστω ὃ E, καὶ ὁ μὲν TA τὸν ΑΒ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν LAS 6 δὲ ZA τὸν AT μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν HT, ὁ δὲ HT, τὸν ZA μετρῶν λειπέτω μονάδα τὴν OA.
Ἐπεὶ οὖν ὁ E σὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ TA τὸν
ΖΒ μετρεῖ" καὶ à E ἄρα τὸν ZB μετρεῖ. Μετρεῖ
385 relictus nunquam metiatur ipsum pre se ipso quoad assumpta fuerit unitas; a principio nu- meri primi inter se erunt. Duobus enim inzqualibus numeris AB, ΓΔ detracto semper minore de majore, re- lictus nunquam metiatur eum pre se ipso quoad assumpta fuerit unitas; dico ipsos AB, l'A primos inter se esse, hoc est, Ipsos AB,
ΓΔ unitate.solà mensurari.
$1 enim non sunt ΑΒ, ΓΔ primi inter se, metietur aliquis ipsos: numerus. Metiatur, et sit E, et TA quidem ipsum AB metiens re- linquat se ipso minorem ZA, ipse vero ZA ipsum ATP metiens relinquat se ipso minorem HD, ipse HT autem ipsum ZA metiens relin- quat unialem. ΘΑ.
Quoniam et E ipsum ΓΔ metitur, ipse autem
TA ipsum ZB metitur ; et Ipse igitur E ipsum 2B
du plus grand, si le reste ne mesure celui qui est avant lui que lorsque l’on
Ὁ
a pris l'unité, les nombres proposés seront premiers enti'eux. Soient les deux nombres inégaux AB, TA; que le plus petit étant toujours retranché du plus grand, le nombre restant ne mesure celui qui est avant
8 lui que lorsque l'on a pris l'unité ;
Je dis que les nombres AB, ΓΔ sont
premiers entr'eux , c'est-à-dire que l'unité seule les mesure.
Car si les nombres AB, rA ne sont pas premiers entr'eux, quelque nombre les mesurera. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit E; que ra mesurant AB laisse ZA plus petit que lui-méme; que ZA mesurant ar laisse HT plus petit que lui-même; et qu'enfin Hr mesurant ZA laisse l'unité ΘΑ.
Puisque E mesure rA, et que T^ mesure ZB, le nombre E mesure zr. Mais
49
386 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
di καὶ ὅλον τὸν ΑΒ’ καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΖ perpiouh, O δὲ AZ τὸν AH μετρεῖ" καὶ ὁ E ἄρα τὸν AH μετρήσει. Μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΓΔ" καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΤΗ μετρήσειδ, Ο δὲ ΤΗ τὸν
LO μετρεῖ" καὶ 6 E dpa τὸν ZO μετρήσει, Με-
^ ej \ L4 M τρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΖΑ" καὶ λοιπὴν dpa τὴν , , » αὐ ΕΣ e > \ ΑΘ μονάδα μετρήσει 5 ἀριθμὸς (y, ὅπερ ἐστιν , ^ ἀδύνατον" οὐκ ἄρα τοὺς AB, TA ἀριθμοὺς με- ΄ , € »! ^ \ τρήσει τις ἀριθμάς" 0) AB, ΓΔ apa πρῶτο πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. Οπερ ἔδει δεῖξαι.
TIPOTASISE β΄.
^ , , , Avo ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτῶν πρὸς ἀλλυ-
\ , » ^ \ Le € D λους. TO μεγιστον αὐτῶν κοινὸν βέτρον EUPEINe
metitur. Metitur autem et tolum. AB; et reli- quum igitur AZ metietur, Îpse autem AZ ip- sum AH metitur ; et E igitur ipsum ΔῊ metietur. Metitur autem et totum TA; et reliquum igitur
TH metietur, Ipse autem TH ipsum ΖΘ metitur;
et E Igitur ipsuri ZO mcüelur. Metitur autem et totum ZA; et reliquam igitur AO unitatem melietur, numerus existens , quod est impossi- bile; non igitur AB, ΓΔ numeros metietur aliquis numerus; ipsi AB, ΓΔ igitur primi
inter se sunt, Quod oportebat ostendere.
PROPOSITIO II.
Duobus numeris datis non primis inter se, maximam eorum communem immensuram in- venire.
il mesure AB tout entier; donc il mesurera le reste Az. Mais Az mesure ΔΗ; donc E mesurera AH. Mais il mesure TA tout entier; donc il mesurera le reste TH. Mais TH mesure Ze; donc E mesurera Zo. Mais il mesure ZA tout entier; donc un nombre mesurera l'unité restante A9, ce qui est impos- sible (déf. 5. 7). Donc, aucun nombre ne mesurera les nombres AB, TA. Donc les nombres AB, rA sont premiers entr'eux. Ce qu'il fallait démontrer.
PROPOSITION: 1].
Deux nombres non premiers entr'eux étant donnés, trouver leur plus grande commune mesure.
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 387
Ἑστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι Sint dati duo numeri non primi inter se πρὸς ἀλλήλους. οἱ AB, TA, καὶ ἔστω ἐλάσσω ΑΒ, ΓΔ, et sit minor FA; oportet igitur ip- 6 TA'* dei δὴ τῶν AB, ΓΔ τὸ μέγιστον κοινὸν — sorum AB, ΓΔ maximam communem mensu-
e ^ B E μέτρον EUPEW ram invenire.
^ v
Ei μὲν οὖν ὃ TA τὸν AB μετρεῖ, μετρεῖ δὲ Si ΓΔ quidem ipsum AB metitur, metitur καὶ ἑαυτὸν" ὃ TA ἄρα τῶν AB, TA? κοινὸν μέ- — Vero etseipsum; ipse l'A igitur ipsorum AB,
τρόν ἐστι. Καὶ φανερὸν ὅτι καὶ μέγιστον, οὐδὲ TA communis mensura est. Et manifestum est
γὰρ μείζων τοῦ ΓΔ τὸν ΓΔ μετρήσει. et maximam; nullus enim major ipso ΓΔ ip-
sum TA metietur.
Εἰ δὲ οὐ μετρεῖ ὃ ΓΔ τὸν AB, τῶν AB, ΓΔ Si autem. non metitur ΓΔ ipsum AB, ip-
ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάττονος ἀπὸ τοῦ sorum AB, ΓΔ detracto semper minore de
μείζονος. ληφθύσιταί τις ἀριθμὸς, ὃς μετρήσει — majore , relinquetur aliquis numerus, qui me-
τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, Μονὲς μὲν ap οὐ ληφθήσεται. — tetur eum pre se ipso. Unitas quidem non
Εἰ δὲ μὴ, ἔσονται οἱ AB, TA πρῶτοι πρὸς ἀλλή- enim relinquetur. Si autem non, erunt AB,
a e , L4 Li ts ς $ . λους, ὅπερ οὐχ ὑπόκειται" ληφθήσεται ἄρα ris l'À primi inter se, quod non ponitur; relin-
Soient donnés les deux nombres AB, TA non premiers entr'eux, et que ΓΔ soit le plus petit; il faut trouver la plus grande commune mesure des nombres AB, TA.
Si ra mesure AB, le nombre ΓΔ sera une commune mesure des nombres TA, AB, parce que ΓΔ se mesure lui-méme ; et il est évident qu'il en sera la plus grande, car aucun nombre plus grand que rA ne peut mesurer ra.
Mais si TA ne mesure pas AB, et si on retranche toujours le plus petit des nombres AB, ΓΔ du plus grand, il restera quelque nombre qui mesurera celui qui est avant lui. On n'aura pas l'unité pour reste; car si cela était, les nombres ΑΒ, TA seraient premiers entr'eux, ce qui n'est pas supposé;
388 LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
> 4 a 2 \ \ «€ UN Ue &piÜuóc, tc μετρέσει τὸν πρὸ eaurou. Καὶ ὁ μὲν ΤΔ τὸν ΑΒ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν EA , σὸν ZT,
TZ τὸν AE μετρεῖ, ὁ δὲ AE τὸν AZ μετρεῖ" καὶ
δὲ EA τὸν AT μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ
O^ C^ S5 «v2
/ Gu ε TZ τὸν EA pepeimo. Ἐπεὶ οὖν ὁ
ó IZ ἄρα τὸν ΔΖ μετρήσει. Μετρεῖ δὲ καὶ ἑαυ- qóv* καὶ ὅλον ἄρα τὸν TA μετρήσει. O δὲ TA τὸν BE μετριῖ" καὶ 6 TZ ἄρα τὸν BE μετρεῖ.
e \ \ NM 0d 3 A MeTpes δὲ καὶ Toy EA*' καὶ ὅλον ἄρα τον BA
quetar igitur aliquis numerus , qui metielur eam pre se ipso. Et ipse quidem FA ipsum AB metiens relinquat se 1050. minorem EA, ipse vero EA ipsum AT metiens relinquat sc ipso minorem ZT , ipse aulem TZ ipsum EA | meliatar. Et quoniam ΓΖ ipsum AE meti- lur, ipse autem AE ipsum AZ melitur; et TZ igitur ipsum AZ metietur. Metitur autem et
se ipsum; et totum igilur TA metetur. lpse
μετρήσει. Μετρεῖ d? καὶ τὸν TA* € TZ dpa 700; AB, TA μετρεῖ" ὃ TZ ἄρα τῶν AB, TA κοινὸν μέτρον ἐστί, Λέγω δὴ ὅτι καὶ μέ- γίστον, Ei yop μὴ ἔστιν ὁ TZ τῶν AB, TA μέγιστον κοινὸν μέτρον. μετρήσει τις τοὺς AB, ΓΔ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὧν τοῦ ΤΖ. Με- τρείτω. καὶ ἔστω 6 H. Καὶ ἐπεὶ © H τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὃ di TA τὸν ΒΕ μετρεῖ" καὶ o H
s , ^ NU A dou τὸν BE μετρήσει", Merge δὲ καὶ ὅλον. TOY LI
autem FA ipsum BE metilurs el TZ igitur. ip- sum BE mclilur. Metitur autem. et ipsum EA ; ct totum igitur BA metietur. Metitur autem et ipsum TA; ipse ΓΖ igitur ipsos AB, TA metitur; ΓΖ igitur ipsorum AB, TA communis men- sura est, Dico ulique ct maximam, Si enim non est ΓΖ ipsorum AB, ΓΔ maxima com- munis mensura, metielur aliquis AB, TA nu-
meros numerus major existens ipso ΓΖ. Me-
il restera donc quelque nombre qui mesurera celui qui est avant lui. Que TA mesurant AB laisse Ea plus petit que lui-même; que E4 mesurant AT laisse zr plus petit que lui-méme; et enfin que TZ mesure EA. Puisque IZ mesure AE, et que AE mesure AZ, le nombre ΤΖ mesurera ΔΖ, Mais il se mesure lui-même ; donc il mesurera TA tout entier. Mais TA mesure BE; donc IZ
mesure BF. Mais il mesure EA;
done il mesurera BA tout entier. Mais il
mesure TA; donc TZ mesure AB et T^; donc rZ est une commune mesure des nombres AB, ΓΔ. Je dis qu'il en est la plus grande. Car si TZ n'est pas la plus grande commune mesure des nombres AB, rA, quelque nombre plus grand que TZ mesurera les nombres AB, TA. Qu'un nombre plus grand les mesure, et que ce soit E. Puisque H mesure TA, et que TA mesure BE, le nombre H mesurera BE, Mais il mesure EA tout entier; donc il mesurera le reste
LE SEPTIÈME LIVRE DES
\ 2, N , λ
ΒΑ’ καὶ λοιπὸν «pe τὸν AE μετρήσει, O δὲ ES Ne 4 \
AE τὸν AZ μετρεῖ" καὶ © H- ἄρα Toy AZ με-
n \ \
Tp. Μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΙ" καὶ λοιπὸν
3 M , « ͵ \ 3 ,
ἀρὰ τὸν TZ μετρηῆσει. 0 μείζων TOY εἐλασσονα , € , 4 N
ὅπερ ezTiv ἀδύνατον" οὐκ ἄρα τοὺς AB, TA
» \ » , , n EY ^
ἀριθμοὺς ἀριϑμός τις μετρήσει! ; μείζων ὧν τοῦ
ε » € , y Re C) \
TZ° © TZ dpa τῶν ΑΒ. TA μεγιστον €0 74) V0IVOV
μέτρον, Οπερ. ἔδει δεῖξαι.
IIOPIXMA,
\ , \ ej 51 » \ ,
Ex δὴ τούτου φανερὸν. ὅτι ἐὰν ἀριθμὸς duo : à A À ἀριθμοὺς μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν
, f [A4eTpov perpica.
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 389 tatur, et sit Η. Et quoniam H ipsum TA me- titur , ipse.vero ΓΔ ipsum BE metitur; et ipse H igitur ipsum BE metietur. Metitur autem et totum BA; et reliquum igitur ipsum AE metietür, Ipse autem AE ipsum AZ metitur; et H igitur ipsum AZ metitur. Metitur autem et totum AT; et reliquum igitur TZ metietur, major minorem , quod est impossibile ; non igitur AB, l'A numeros numerus aliquis metictur , major existens ipso TZ; ipse ΓΖ igitur ipso- rum AB, ΓΔ maxima est communis mensura.
Quod oportebat ostendere.
COROLLARIUM.
Ex hoc utique manifestum est, si numerus duos numeros metiatur, et maximam eorum
communem mensuram mensurum esse.
At. Mais AE mesure Az; donc H mesure Az. Mais il mesure AT tout entier; douc il mesurera le reste ΓΖ, le plus grand le plus petit, ce qui est impos- sible; donc quelque nombre plus grand que rz ne mesurera pas les nombres AB, IA; donc TZ est la plus grande commune mesure des nombres ΑΒ, ra.
Ce qu'il fallait démontrer.
COROLLAIRE.
ll suit évidemment de là, que si un nombre en mesure deux autres, il mesure aussi leur plus grande commune mesure.
390 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
,
ΠΡΌΤΑΣΙΣ >.
Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων “πρὸς ἀλ- λήλους, τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον €u- pj.
Errosay οἱ δοθέντες τρεῖς ἀριθμοὶ μὴ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, οἱ A, B, T° dei δὴ τῶν A, B,
' , M , e Lu T TO μέγιστον κοινὸν μέτρον eUpelr.
PROPOSITIO III.
"Tribus numeris datis non primis inter se, maximam eorum communem mensuram inve- nire.
Sint dati tres numeri non primi inter se A , B, l; oportet igitur ipsorum A, 3, l maxi-
mam communem mensuram invenire.
ir]
m [D qn
, \ pe S Εἰλήφθω yap dvo τῶν A, B τὸ μέγιστον κοι-
LI
, e e VN A A ^ voy μέτρον o Δ' ὁ δὴ Δ τὸν T το; μετρεῖ»
Le
οὐ μετρεῖ. Μετρείτω πρότερον » μετρεῖ δὲ κα
τοὺς A, B* ὃ Δ ἄρα τοὺς A, B, T μετρεῖ" M ^ ᾽ D ,
A ἄρα τῶν A, B, T κοινὸν μέτρον ἐστι. Aty0
Os
w M , » \ \ 4 e ^
OTI καὶ μέγιστον. Ἐ yap μή ἐστιν 0 Δ τῶν À, \ , , M
B, T μέγιστον κοινὸν μετρον'. μετρήσει τοὺς À,
B, Γ ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὧν τοῦ Δ. Με-
Sumatur enim duorum A, 8 maxima com- munis mensura À; ipse utique À ipsum T vel metitur, vel non metitur. Metiatur primum , metitur autem et ipsos A, B; ipse A igitur ipsos A, B, P metitur; ipse A igitur ipsorum A, B, T communis mensura est. Dico et maxi- mam. Si enim non est Δ ipsorum A, B,
Γ maxima communis mensura, metietur A,
PROPOSITION: III.
Trois nombres non premiers entr'eux étant donnés, trouver leur plus grande commune mesure.
Soient donnés les trois nombres 4, B, T non premiers ent'eux; il faut trouver leur plus grande commune mesure.
Prenons la plus grande commune mesure Δ des deux nombres 4, B; le nombre A mesure, ou ne mesure pas le nombre r. Premièrement, qu'il le mesure; mais il mesure aussi lesnombres 4, B; donc il mesure les nombres 4, B,I; donc A est une commune mesure des nombres A, B, T. Je dis qu'il en est la plus grande. Car si à n'est pas la plus grande commune mesure des nombres A, B, T, un nombre plus grand que ^ mesurera les nombres 4, 5, r.
LE SEPTIEME LIVRE DES mper , καὶ ἔστω ὃ E. Ἐπεὶ οὖν ὁ E τοὺς A, B3 T μετρεῖ» καὶ τοὺς A, B ἄρα μετρήσει". καὶ τὸ τῶν A, B μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. τὸ δὲ τῶν A, B μέγιστον κοινὸν μέτρον ἐστὶν ὁ A° 6 E
5 , ἐλασσονα ,
4 \ - * n \ cpæ τὸν. À MéTpéi, 0 μείζων τον e 5 N 32 ^ > » \ ὁπέερ ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ dpæ τους ἐριθμοὺς ἀριθμὸ Tpil ἰζων τοῦ
A, B, T ἀριὕμους αριῦμος μετρήσει μείζων ^ , LA 3 M δ᾽. 6 Δ ἄρα τῶν À, B, T μέγιστον ἐστι κοινὸν
μέτρον.
Μὴ μετρείτω δὲ à Δ τὸν T° λέγω πρῶτον. ὅτι οἱ Δ: Τ οὐκ εἰσὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, Ἐπεὶ γὰρ oj A, B, T οὐκ εἰσὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. με- τρήσει τὶς αὐτοὺς ἀριθμός" ὁ δὲ τοὺς A, BT με-
»
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 39:
B,T numeros numerus major existens ipso Δ, Metiatur, et sit E. Et quoniam E ipsos A, B, I metitur, et ipsos A, B igitur metielur, et ipsorum igitur A, B maximam communem mensuram melietur. Ipsorum autem A, B maxima communis mensura est A; ipse igitur E ipsum A metitur, major minorem , quod est impossibile; non igitur ipsos A, B, T numeros numerus aliquis metietur major ipso À; ipse A igitur ipsorum A , B, Γ maxima est communis mensura.
Non metiatur autem. Δ ipsum Γ ; dico pri- mum numeros A, Τ' non esse primos inter se. Quoniam enim A, B, T non sunt primi inter
se, metietur aliquis cos numerus; qui autem
Iz]
ri
>
KE
“ 4 \ \ ^ τρῶν. καὶ τοὺς Ἄν»: B μετρήσει. καὶ τὸ τῶν À, B D \ , M , Pe, δὲ μέγιστον κοινὸν μέτρον τὸ Δ μετρήσει. Μέτρει δὲ
καὶ τὸν T° τοὺς A, T ἄρα ἀριθμός τις μέτρη-
ipsos A, B, T' metitur, et ipsos A, B metielur, etipsorum A, B maximam mensuram À metietur.
Metitur autem. et ipsum TL; ipsos A, T igitur
Qu'un nombre plus grand les mesure, et que ce soit E. Puisque E mesure les nombres A, B, r, il mesurera les nombres A, B, et par conséquent leur plus grande commune mesure (cor. 2. 7). Mais Δ est la plus grande commune mesure des nombres A, B; donc E mesure ^, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible; donc un nombre plus grand que 4 ne mesurera pas les nom- bres A, B, Tr; donc A est la plus grande commune mesure des nombres 4, B, r.
Que ^ ne mesure pas T; je dis premièrement que les nombres Δ, r ne sont pas premiers entr'eux. Car puisque les nombres A, B, T ne sont pas premiers entr'eux, quelque nombre les mesurera, et celui qui mesure les nombres 4, 5, r, mesurera les nombres A, B, et mesurera aussi leur plus grande commune mesure A (cor. 2. 7). Mais il mesure aussi r; donc quelque nombre mesurera
392 LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
σει" οἱ A,T ἄρα οὐκ εἰσὶ πρῶτο; πρὸς ἀλλή- λους. Εἰλήφθω οὖν αὐτῶν τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον, ὃ E. Καὶ ἐπεὶ o E τὸν Δ μετρεῖ, ὃ δὲ Δ τοὺς A, B μετρεῖ" καὶ δ E ἄρα τοὺς A, Β μετρεῖ. Μετρεῖ δὲ καὶ τὸν I* ὃ E ἄρα τοὺς A, B, T μετρεῖ" 0 E ἄρα τῶν A, B, T κοινόν ἐστι μέτρον. Λέγω dut ὅτ, καὶ μέγιστον. Ei
γὰρ μὴ ἔστιν ὃ E τῶν A, B, T τὸ μέγιστον
>
numerus aliquis metietur; ipsi A, Γ igitur non sunt primi inter se. Sumatur igitur eorum maxima communis mensura E. Et quoniam E ipsum À metitur, ipse autem À ipsos A, B melitur ; et E igitur ipsos A, B, metitur. Me- ütur autem et ipsum T'; ipse E igitur ipsos A, B, Τ' melitur; ipse E igitur ipsorum A, B, T
communis est mensura. Dico autem et maximam.
œ
m jb qu
N
M , , Ν * HOIVOY μετροῦν) μεέτρησει Tic Tous À , B, T , \ 3 \ / »* ^ , ἀριθμοὺς ἀριθμὸς μείζων ὧν τοῦ E. Merpeivo ,
x κ΄ € a NUS ε \ καὶ ἔστω ὃ Z. Καὶ ἐπεὶ ὁ Z τοὺς A, B, T nm ^ \ e \ M ^ μετρεῖ. καὶ τοὺς À , B μετρει. καὶ TO τῶν Α.8 »! 5 , \ , , ^ d ἀρὰ μεγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει. To d: ^ £ ^ , ? \ € e τῶν À, B μέγιστον κοινὸν μετρον ἐστιν ὁ Δ' ὁ
LÀ X b ΩΝ ᾿ ΩΣ \ +
2 dpa τὸν Δ μετρεῖ. Μετρεῖ δὲ καὶ τὸν T° ὁ # \ ns \ M ^ y Z apa Tous A, T μετρεῖ" καὶ τὸ τῶν À, T epe,
^ \ m μέγιστον κοινὸν μέτρον μετρήσει, Τὸ δὲ τῶν T ,
81 enim non est E ipsorum A, b, T maxima communis mensura, metietur aliquis ipsos A, B, Cl numeros numerus major existens 1pso E; metiatur, et sit Z. Et quoniam Z ipsos A, B, Γ metitur, et ipsos A , B metitur, et ipsorum A , B igitur maximam communem mensuram me- tietur. Ipsorum autem À, B maxima communis mensura est À; ipse Z igitur ipsum À melitur,
Metitur autem et ipsum T ; ipseZ igitur ipsos Δ, Γ'
les nombres ^, r; donc Δ, Tr ne sont pas premiers entr'eux. Prenons leur plus grande commune mesure E. Puisque E mesure ^, et que A mesure les nombres A, B, le nombre E mesure A et 8. Mais il mesure r; donc E mesure les nombres A, B, T; donc E est une commune mesure des nombres 4, B , r. Je dis qu'il en est la plus grande. Car si E n'est pas la plus grande commune mesure des nombres A, B, r, un nombre plus grand que E mesurera les nombres A, P, r. Qu'il les mesure, et que ce soit 2. Puisque Z mesure les nombres 4 , E, r, il mesure A et B, et il mesurera par conséquent leur plus grande commune mesure. Mais A est la plus grande commune mesure des nombres A , 5; donc Z mesure ^. Mais il mesure aussi r; donc z mesure A et r; donc il mesure la plus grande commune mesure des nombres Δ, r. Mais E est la plus grande
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
΄ \ ^ , \ € ε » A μέγιστον κοινὸν μετρον ἐστιν o. E* o Z apæ \ - < n \ » 2 ej τὸν E μετρεῖ, ὁ μείζων τὸν ἐλάσσονα, ὅπερ > \ »n’ > / r E , ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ ἄρα ποὺς À, B, T ἀριθμός , » E € 14 ^ τις μετρήσει μείζων v τοῦ E* 6 E ἄρα τῶν À,
, , > M , B, T μεγιστὸν ἐστιν κοινὸν μέτρον.
- y > - , \ , \ Τριῶν ἄρα ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους, εὕρηται τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον,
E ^ "n Orrep ἐδὲι ποιῆσαι.
IIOPIXMA.
ἐν , \ “ SIN » Al » Ex δὴ τούτων φανερὸν. ὅτι ἐάν ἀριθμὸς ἀριθ- \ e , ^ \ ,ὔ , ^ M μοὺς τρεῖς μετρῇ. καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει. à , \ ^ 3 -“ Τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον καὶ πλειόνων ἀριθμῶν
, \ N , ey, δοθέντων, το μέγιστον κοινὸν MeTpov εὑρήσομενδ,
commune mesure des nombres T, Δ;
393 metitur ; et ipsorum A , T igitur maximam com- munem mensuram metitur. Ipsorum autem DL, A maxima communis mensura est E; ipse Z igitur ipsum E metitur, major minorem , quod est Impossibile; non igitur ipsos A, B, T numerus aliquis metietur major existens ipso E; ipse E igitur ipsorum A, B, I' maxima est communis mensura.
Tribus igitur numeris datis non primis inter se, inventa est maxima communis mensura.
Quod oportebat facere.
COROLLARIUM.
Ex his utique manifestum est, si numerus numeros ires meltiatur , et maximam eorum communem mensuram mensurum esse.
Eodem modo et pluribus numeris datis, ma-
ximam communem mensuram inveniemus.
donc Z mesure E, le plus grand le
plus peut, ce qui est impossible; donc un nombre plus grand que E ne mesurera pas les nombres A, B, r; donc E est la plus grande commune
mesure des nombres A, B, r.
Donc, tois nombres non premiers entr'eux étant donnés, on a trouvé leur plus grande commune mesure. Ce qu'il fallait faire.
COROLLAIRE.
ΤΙ suit évidemment de là que si un nombre en mesure trois autres, il me-
surera aussi leur plus grande commune mesure. Plusieurs nombres étant donnés, on trouvera de la méme maniére leur plus
grande commune mesure.
Cr ©
394
^ 3 Li \ 3 ^ 9.9 , ^ Tac ἀριϑμὸς παντὸς ἀριθμοῦ, ο «λασσῶν του 19% DA “ > \ ^ , μείζονος, ATCI μέρος ἐστιν ἢ μερὴ- ? N L Nox Ἑστωσαν δύο ἀριθμοὶ. 0) A, BT, καὶ ἐστω , € , L4 « ^ 3) , ἐλάσσων ὃ ΒΓ" λέγω CTI ὁ BT τοῦ À ἥτοι μέρος
, Ἂς À , ἐστὶν à Jef.
p *
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
PROPOSITIO Iv.
Omnis numerus omnis numeri, minor ma- joris , vel pars est vel partes. Sint duo numeri A , BT, et sit minor ΒΓ ;
dico BP ipsius A vel parlem esse vel partes.
ei
Οἱ A, BT! γὰρ dro) πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν, ἢ oU. Ἑστωσαν πρώτερον οἱ A, BI? πρῶ- τοι πρὸς ἀλλήλους, διαιρεθέντος δὴ τοῦ ΒΓ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας. ἔσται ἑκάστη μονὰς τῶν ἐν τῷ DT μέρος τὶ τοῦ A* ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ BT τοῦ A.
Μὴ ἔστωσαν δὴ oi A, BI? πρῶτοι πρὸς ἀλλή- λους" ὁ δὴ BT τὸν A ἤτοι μετρεῖ. ἢ οὐ μετρεῖ, Εἰ μὲν οὖν ὁ ΒΓ τὸν A μετρεῖ. μέρος ἐστὶν ὁ BT 700 À.
PROPOSITION
Ipsi A, BT enim vel primi inter se sunt, vel non; sint primum ἃ, BT primi interse, et diviso ΒΓ in unitates quz in l1pso , erit quæque unitas earum qui in BT pars aliqua ipsius A ; quare
partes est ΒΓ ipsius A.
Non sint autem A, ΒΓ primi inter se ; ipse utique ΒΓ ipsum A vel metitur, vel non meti- tur. Si autem. BT ipsum A metilur, pars est BT ipsius A.
I V.
Tout nombre est ou une partie ou plusieurs parties de tout autre nombre, le
plus petit du plus grand.
Soient deux nombres A, Br, et que ΒΓ soit le plus petit; je dis que ΒΓ est ou une partie ou plusieurs parties de A.
Car les nombres A, ΒΓ sont premiers entr'eux, ou non; qu'ils soient d'abord premiers ent'eus; ayant divisé le nombre Br en ses unités, chacune des unités de Br sera quelque partie de A (déf. x et 2. 7); dome Br sera plusieurs
parties de A.
Que les nombres A, Br ne soient pas premiers entr'eux; le nombre ΒΓ mesure A ou ne le mesure pas. Si Br mesure A, le nombre Br est une
partie de 4.
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 395
Εἰ di οὐ. Εἰλήφθω τῶν A, BT μέγιστον κοι- νὸν μέτρον ὃ Δ. καὶ διῃρήσθω ὃ BT εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους, τοὺς BE, EZ, ZT. Καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν
A μετρεῖ, μίρος ἐστὶν ὁ Δ τοῦ A. Imo δὴ ἕκαστῳ
tri
D
- X ow s N τῶν BE, EZ, ZTÁ* xai ἕκαστος aput τῶν BE,
^ “ , » ^ Lj EZ, ZT του A μέρος ἐστίν" ὥστε pp ἐστιν 0
BT τοῦ A. Απας ἄρα ἀριθμὺς, καὶ τὰ εξῆς.
HPOTASIS &
V \ ? \ ? ^ , a \ [4 Ἐὰν ἀριθμὲς ἀριθμοῦ μέρος d, καὶ ἕτερος € ?, \ \ , \ ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος" καὶ συναμφότερος συν- , A EREN , LE e QM d ^ αμφοτέρου τὸ αὑτὸ μέρος ἔσται, ὕπερ ὃ εἰς τοῦ ἑνός.
Αριθμὸς γὰρ δΑ ἀριθμοῦ! τοῦ ΒΤ μέρος ἔστω,
Si autem non. Sumatur ipsorum A , ΒΓ maxima communis mensura A , et dividatur ΒΓ in numeros ipsi À æquales BE, EZ, Zr. Et quo-
niam À ipsum À melitur, pars est A ipsius A.
In
Æqualis igitur unicuique ipsorum BE, EZ, Zr ; et unusquisque Igitur ipsorum BE, ΕΖ, ΖΓ ipsius A pars est ; quare partes est BP ipsius À. Omnie
igitur numerus , etc.
PR OO,OSIJTLO:Y.
Si numerus numeri pars est , et alter alterius cadem pars; et uterque simul utriusque simul
cadem pars erit , que unus unius.
Numerus enim À numeri BT pars sit, οἵ alter
S'il ne le mesure pas, prenons la plus grande commune mesure Δ des nombres A, ΒΓ (2. 7), et partageons ΒΓ en parties BE, EZ, ZT égales à Δ. Puisque
^ mesure A, le nombre A est une partie de A. Mais 4 est égal à chacune des parties BE, Ez, Zr; donc chacune des parties BE, EZ, ZT est une partie de 4; donc Br est plusieurs parties de A. Donc, etc.
PROPOSITION Y.
Si un nombre est une partie d'un nombre, et si un autre nombre est la méme partie d'un autre nombre, leur somme sera aussi !a méme partie de
leur somme , qu'un seul l'est d'un seul.
Que le nombre A soit une partie du nombre Br, et qu'un autre nombre
396 LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
xU € e ^ B \ $3 -Nx , καὶ vepot 0 A evépou τοῦ EZ τὸ αὐτὸ μερὸς» ^ , “ \ ^ ὑπερ δΑ τοῦ ΒΓ" λέγω ὅτι καὶ συναμφότερος , ^ X > \ ' ὁ Α.Δ συναμφοτέρου τοῦ BT ΕΖ τὸ auTo μέρος Ν eq € e ἐστὶν ὑπέρ À τοῦ BT. Ν ^ a ^ >» \ € ^ X LA ^ Ἐπεὶ yap 6 μέρος ἐστίν 0 À ToU ΒΓ. τὸ αὐτὸ \ ^ e 3) MAX 3 μέρος ἐστὶ καὶ ὃ A τοῦ EZ* 6001 ἀρὰ εἰσὶν ἐν ^ * » ^ ^ / » 325 7t ΒΓ ἀριθμοὶ)" 1704 τῷ À, τοσρυτοι εἰσὶ καὶ ἐν 1 ] e 5j ^ , € \ τῷ EZ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ. Διηρήσθω o per BT
εἰς τοὺς τῷ À ἴσους τοὺς BH, HI* ὃ δὲ EZ
>
D |
m
εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς EO, OZ: ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ. ΗΓ τῷ πλήθει τῶν EO , ΘΖ. Καὶ ἐπεὶ ἴσος ἐστὶν ὃ μὲν ΒΗ τῷ A, o δὲ EO τῷ δ' καὶ οἱ BH, EO ἄρα τοῖς A, Δ ἴσοι. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ HT τῷ A ἴσος ἐστὶν. ὃ δὲ ΘΖ τῷ A* καὶ οἱ HT, ΘΖ dpa τοῖς A, Δ ἴσοι siciy)* ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ A, τοσοῦτοί εἶσι καὶ ἐν τοῖς BT, EZ ἴσοι τοῖς A, Δ' ὁσαπλασίων ἄρα ἐστὶν 0 ΒΓ Toi A, το-
, > \ \ , E ξσαυταπλασίων ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ BT , EZ
Φ
A alterius EZ eadem pars, quie ipse A ipsius BT ; dico et utrumque simul A, A utriusque simul
ΒΡ, ΕΖ eamdem partem esse quz ipse A ipsius BT.
Quoniam enim qua pars est A ipsius ΒΓ, eadem pars est et A ipsius EZ; quot igilur sunt in BP numeri æquales ipsi A, tot sunt οἱ in EZ numeri æquales ipsi A. Dividatur BT qui-
dem in numeros ipsi À equales BH, HD; ipse
vero EZ in numeros ipsi À æquales ΕΘ, ΘΖ; erit utique æqualis multitudo ipsorum 8H, HT mul- titudiniipsorum EO , ΘΖ. Et quoniam equalis est BH quidem ipsi A, ipse vero EO ipsi A; et BH, EO igitur Ipsis A , A æquales. Propter cadem utique et HT ipsi A qualis est, ipse autem OZ ipsi À ; et HT , OZ igilur ipsis A, A æquales sunt ; quot igilur sunt in BP numeri æquales ipsi A , tot sunt et in ipsis BD, EZ æquales ipsis A, Δ;
quam multiplex igitur est ΒΓ 1psius À , tam mul-
A soit la méme partie d'un autre nombre Ez, que A l'est de ΒΓ; je dis que la somme de 4 et de à est la mème partie de la somme de ΒΓ et de Ez, que ἃ l'est de ΒΓ:
Car puisque A est la méme partie de Br, que 4 l’est de ΕΖ, il y aura dans ΒΓ autant de nombres égaux à A, qu'il y a dans Ez de nombres égaux ^ A, Partageons ΒΓ en nombres BH, HT égaux à A, et EZ en nombres ΕΘ, OZ égaux à ^, la quantité des nombres BH, Hr sera égale à la quantité des nombres ΕΘ, ΘΖ. Mais BH est égal à A, et Eo égal à ^; donc la somme de 8H et de ΕΘ est égale à la somme de A et de ^. Par la méme raison, Hr est égal à A, et ez égal à ^; donc la somme de Hr et de ΘΖ est égale à la somme de 4 et de ^; il y a donc daus ΒΓ autant de nombres égaux à A, qu'il y a dans Br, Ez de
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 397
Ξ xis ; xài Wege
συναμφοτέρου του À, Δ' o apa μερὸς ἐστιν ὁ ^ , , Ν ,
A τοῦ BT, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστι καὶ συναμφότε-
pos 6 A, Δ συναμφοτέρου τοῦ BT , ΕΖ. Οπερ tds
δεῖξαι, ΠΡΟΤΑΣΙΣ ς΄.
Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ἢ". καὶ ἕτερος ἐτέ- pov τὰ αὐτὰ μέρη ἢ" καὶ συναμφότερος συναμ- φοτέρου τὰ αὑτὰ μέρη ἔσται. ἅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός,
Αριθμὸς γὰρ ὁ AB ἀριθμοῦ τοῦ T μέρη ἔστω, zai ἕτερος 6 AE ἑτέρου τοῦ 2 τὰ αὐτὰ μέρη ἅπερ ὁ AB τοῦ I* λέγω ὅτι καὶ συναμφότερος ὃ ΑΒ. ΔΕ συναμφοτέρου ToÙ T,Z τὰ αὐτὰ μέρη
“ ε S ᾽στὶν. ἀπερ o AB τοῦ Τ'
"M o» "m
üplex est et uterque simul BP, EZ utriusque simul A, A; quz igilur pars cst A ipsius BP , eadem pars estet uterque simul A , A utrius-
que simul ΒΓ, EZ. Quod oportebat ostendere;
PROPOSITIO VI.
Si numerus numeri partes est, et alter alte- rius eædem partes est; etuterque simul utriusque
simul eædem partes erit quz unus unius.
Numerus enim AB numeri T partes sit, et alter AE alterius Z eædem partes quz AB ip- sius Γ ; dico et utrumque simul AB , AE utrius- que simul. , Z easdem partes esse, que AB ipsius P.
MN [D ©
Ὁ M 3 ' Ἐπεὶ γὰρ à μέρη ἐστὶν ὁ AB τοῦ T τὰ αὐτὸ
, , ^ NIA D ei » 3 ^ , Μέρη sci? καὶ 0 AE τοῦ Z* 074 ἀρὰ «στιν ἐν
Quoniam enim quz partes est AB ipsius T
eædem partes est et AE ipsius Z ; quot igitur
nombres égaux aux nombres 4, ^; donc ΒΓ est le méme multiple de 4, que la somme de ΒΓ et de ΕΖ l'est de la somme de 4 et de ^; donc A est la même partie de ΒΓ que la somme de A et de ^, l'est de la somme de zr et de ΕΖ. Ce qu'il fallait démontrer.
PROPOSITION VI.
Si un nombre est plusieurs parties d'un nombre, et si un autre nombre est les mêmes parties d'un autre nombre, leur somme sera les mêmes parties de leur somme, qu'un seul l'est d'un seul. |
Que le nombre ΑΒ soit plusieurs parties du nombre r, et qu'un autre nombre AE soit les mêmes parties d’un autre nombre z, que ΑΒ l'est de r; je dis que la somme de AB et de ΔῈ est les mêmes parties de la somme de r et dez que 48 l'est de r.
398 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
τῷ AB μέρη τοῦ T , τοσαῦτά ἐστι καὶ ἐν τῷ ΔῈ
μέρη τοῦ 2. Διηρήσθω ὃ μὲν AB εἰς Ta τοῦ T , € A E ^.
μέρη τὰ AH, HB, 6 δὲ AE εἰς τὰ τοῦ Ζ μέρη
τὰ AO, OE.
Ecres δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν AH, HB τῷ
^ -“ d. qae) \ 4 , > x e σλῆθει τῶν AO, OE. Καὶ ἐπεὶ ὃ μερὸς ἐστιν ὁ ^ \ P4 ' , Ν \ € ES ὡ
AH τοὺ T, τὸ &UTO μέρος ἐστι καὶ ὁ ΔΘ ToU Ζ
D E , 3 Ν e ^s N ὃ ἄρα μέρος ἐστιν ὁ AH τοὺ T, τὸ
$ 13 , auTO? μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ AH, AO συναμφοτέρου
- N57 ὅν ΔῊ τ \ à / 3. ἃ TeÙ T, Z. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ 0 μέρος ἐστὶν
e e ^ € € , 3 A 6 HB τοῦ T, καὶ ὃ OE τοῦ Z° 0 apa, μέρος ἐστὶ εἶ e τὸ HB τοῦ TÁ καὶ συναμφότερος ὁ HB , OE συν- , ^ d D , , \ € ἀμφοτέρου ToU T, Z* & ἀρὰ μέρη ἐστιν 0 ΑΒ
* - ; : ποῦ T , τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ
, ^ ol AB, AE συναμφοτέρου τοῦ YT, Z. Οπερ ἔδει δεῖξαι.
sunt in AB partes ipsius l', tot sunt et in AE partes ipsius Z. Dividatur AB quidem in Ipsius T parles AH, HB, ipse vero AE in ipsius Z par- tes ΔΘ, OE.
Erit utique zqualis multitudo ipsorum AM, HB multitudini ipsorum ΔΘ, OE. Et quoniam qui pars est AH ipsius T, eadem pars est et AO ipsius Z; quæ igitur pars est AH ipsius T, eadem pars est et uterque simul AH , AO utrius- que simul P , Z. Propter eadem utique et qua pars est HB ipsius P, et ipse OE ipsius Z ; ipse igitur pars est HB Ipsius T et uterque simul HB, OE ulriusque simul P, Z ; quz igitur partes est AB Ipsius P, ez: dem partes est et uterque simul AB, AE utriusque simul l , Ζ, Quod oportebat os- tendere.
Puisque ΑΒ est les mémes parties de r que AE l'est de z, il y a dans ΑΒ autant de parties de r, qu'il y a dans ΔῈ de parties de z. Partageons AB en parties de r, et que ces parties solent AH, Hb; partageons aussi AE en parties
dez, et que ces parties solent ΔΘ, OE.
Le nombre des parties AH, HB sera égal au nombre des parties ΔΘ, ΘΕ, Et puisque AH est la méme partie de r, que ΔΘ l'est de z, AH est la même partie de r, que la somme de AH et de 46 l'est de la somme de r et de z (5. 7). Par la méme raison, HB est la méme partie de r, que ΘῈ l'est de z; donc HB est la méme partie de r, que la somme de ΗΒ et de ΘῈ l'est de la somme de r et de z; donc la somme de AB et de AE est les mêmes parties de la somme de r et de z, que ΑΒ l'est de r. Ce qu'il fallait démontrer.
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 399
HPOTASIZ GC
\ 5 M * 1 ^ , nG e 5 Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ἢ. περ aQaupe- ^ ^ ^ \ θεὶς ἀφαιρεθέντος" καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ To SUN D 31 e ed Mcd αὐτὸ μέρος ἐσται , 0πὲρ 0 DOG τοῦ 0A0U, \ e M € 3 m ^ , 0 Αριθμὸς yap ὃ AB ἀριθμοῦ ToU TA μέρος 3} q 3 Ν ε E] , ^ EST, οπερ ἀφαιρεθεὶς o AE ἀφαιρεθέντος του TZ: λέγω ὅτι καὶ 0 λριπὸς ὃ EB λοιποῦ τοῦ ZA e e '] « e và αὐτὸ μέρος ἐστὶν, ὕπερ ὁ ὕλος ὁ AB ὕλου
ποῦ TA.
m -
^ " \ O γὰρ μέρος ἐστὶν ὁ AE τοῦ TZ, τὸ αὐτὸ 7 > »! ε ^ NS» \ 4 , μέρος ἔστω καὶ 5 ΕΒ τοῦ ΤΗ. Καὶ ἐπεὶ ὃ μέρος 3 \ . "Ὁ \ , M , > \ Ν ε ἐστὶν 0 AE Tou TZ, τὸ αὐτὸ μέρος Ἔστι καὶ 0 ^ ^ 3] , 3 \ 4 L3 EB τοῦ TH* ὃ ἀρὰ μέρος ἐστὶν ὁ AE Tou IZ, \ \ , > ἣν \ * ^ à M τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ AB τοῦ HZ, ὃ δὲ \ € m \ 5 M , € , μέρος ἐστὶν ὁ AE τοῦ TZ, τὸ αὐτὸ μέρος ὑπό-
XC Ye ^ ΟῚ "1 , \ \ κωται καὶ 0 AB τοῦ TA* ὃ ἀρὰ μέρος ἐστὶ καὶ
PROPOSITrIO VIE
Si numerus numeri pars est, quam ablatus ablati ; et reliquus reliqui. eadem pars erit, qua totus tolius.
Numerus enim AB numeri TA pars sil, quæ ablatus AE ablati TZ; dico et reliquum EB re- liqui ZA eamdem partem esse, qux totus AB totius l'A.
N p
Que enim pars est AE ipsius ΓΖ, eadem pars sit et. EB ipsius TH. Et quoniam qua pars est AE ipsius TZ, cadem pars est EB ipsius TH ; qui igitur pars est AE ipsius TZ , cadem pars est ct AB ipsius ΗΖ: qui aulem pars est AE ipsius ΓΖ, eadem pars ponitur et
AB ipsius TA ; qua igitur pars est et AB Ipsius
PROPOSITION VII.
. ^ . , ^ Si un nombre est la méme partie d'un nombre, que le nombre retranché l'est du nombre retranché, le nombre restant sera la méme partie du nombre
restant, que le tout l'est du tout.
Que le nombre ΑΒ soit la méme partie du nombre TA, que le nombre retranché AE l'est du nombre retranché rz ; je dis que le nombre restant ΕΒ est la méme partie du nombre restant ΖΔ, que le nombre entier ΑΒ l'est du
nombre entier TA.
Que EB soit la méme partie de rH, que AE l'est de rz. Puisque AE est la méme partie de Tz, que EB l’est de rH; le nombre AE est la méme partie de TZ , que ΑΒ l'est de uz (5. 7); mais on a supposé que AE est la méme
partie de TZ, que AB l'est de r^; donc AB est la méme partie de HZ,
que
400
6 AB τοῦ ΗΖ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ AB τοῦ TA? © AB dpa ἑκατέρου TÜv HZ, TA τὸ αὐτὸ μέρος ἐστίν" ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ HZ τῷ TA. Κοινὸς ἀφῃρήσθω ὃ TZ* λοιπὸς ἄρα ὁ HT λοιπῷ τῷ ΖΔ ἐστὶν ἴσος5, Καὶ ἐπεὶ ὃ, μέρος ἐστὶν 0 AE τοῦ IZ, τὸ αὐτὸ μόρος ἐστὶ καὶ ὁ EB τοῦ HT, ἴσος
δὲ ὃ
T d » , E N e ^ HT τῷ ΖΔ" ὁ ara μέρος ἐστιν ὁ ΑΕ του k |
\
3m 7 , NEC " IZ, τὸ αὐτὸ ni ἐστὶ καὶ o0 EB ToU ZA.
\ à N € ^ M 2 " Αλλα 0 | μέρος ἐστὶν ὁ AE τοῦ TZ, τὸ αὐτὸ
- c3 M εὐνῆς ἔρος ἐστὶ καὶ ὁ AB ToU ΓΔ’ ὁ ἀρα μεέρὸς ἐστὶν
ἝἜ
- ^ 3 αὐ LA , x ee ^ 6 EB τοῦ ZA, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ AB τοῦ TAG+ καὶ λοιπὸς ἄρα ó EB λοιποῦ τοῦ ZA τὸ ., φΦ ed e. et ^ αὐτὸ μέρος ἐστὶν περ ὑλος 0 AB oAcU του TA.
περ ἔδει δεῖξαι.
AB lest de r^; donc AB est la méme partie égal à ra. Retranchons la partie commune ΓΖ ;
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
HZ, cadem pars est et AB ipsius l'A; ipse AB igitur utriusque ipsorum HZ , TA eadem pars est; equalis igitur est HZ ipsi ΓΔ, Communis aufe- ratur TZ; reliquus igitur HT reliquo ZA cst equalis. Et quoniam quæ pars est AE lpsius TZ, eadem pars est et EB ipsius HT , a qualis autera
HU ipsi ZA; qua igitur pars est AE ipsius
ΓΖ, eadem pars est et EB ipsius ZA. Sed que pars est AE ipsius TZ, eadem pars est et AB ipsius TA; quz igitur pars est EB ipsius ZA, eadem pars est et AB ipsius TA ; ct reliquus igitur EB reliqui ZA eadem pars est qua totus AB tolius TA. Quod oportebat ostendere,
de Hz et de TA; donc Hz est la partie restante HT sera
égale à la partie restante Z2. Mais AE est la méme partie de Iz, que EZ lest de Hr, et Hr est égal a ZA; donc AE est la méme partie de IZ, que rB l'est de za. Mais AE ést la même partie de rz, que 48 l'est ἘΠ TA ; donc EB est la méme partie de 28, que AB l'est de r^; donc le nombre restant EB est la méme partie du nombre restant ZA, que le nombre entier AB lest du nombre entier ra. Ce quil fallait démontrer.
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE 4oi
IIPOTAXIX m.
\ » Ν 3 = , y ^w , Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη à, περ ἀφαιρε- θεὶς ἀφαιρεθέντος" καὶ 0 λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὰ DAE PES y PC € d n 4 «ud μερὴ ESTAI, dép 0 OXoc τοῦ ὁλου. Αριθμός γὰρ ὁ AB ἀριθμοῦ τοῦ TA μέρη ἔστω, ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ὁ AE ἀφαιρεθέντος τοῦ ΓΖ᾽ λέγω ὅτι καὶ λοιπὸς" ὃ EB λοιποῦ τοῦ LA τὰ
» \ ^ » \ d e e 4 ^ AUTE μέρη ἐστίν, evrep 6A0c 0 AB oAou του T A.
A r
PROPOSITIO VIII.
Si numerus numeri partes est, quz ablatus ablati; et reliquus. reliqui eedem partes erit , quz totus totius.
Numerus enim AB numeri ΓΔ partes sit, qua ablatus AE ablati ΓΖ; dico et reliquum EB reliqui ZA easdem partes esse, qua totus AB totius ΓΔ.
E215 0:13 E MER
Κείσθω γὰρ τῷ AB ἴσος ὁ HO' ἃ ἄρα μέρη ἐστὶν 0 HO τοῦ ΓΔ, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ AE τοῦ TZ. Διεῃρήσθω o μὲν HO εἰς τὰ τοῦ ΓΔ μέρη τὰ HK, KO, ὁ δὲ AE εἰς τὸ τοῦ ΓΖ μέρη τὰ AA, ΛΕ" ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΗΚ. KO τῷ πλήθει τῶν AA, AE. Καὶ ἐπεὶ 0 μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ AA τοῦ ΓΖ" μείζων δὲ ὃ ΓΔ τοῦ TZ* μείζων ἄρα καὶ 0 HK τοῦ AA. Κείσθω τῷ AA ἴσος 0 HM* ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΗΚ τοῦ ΓΔ,
Ponatur enim ipsi AB æqualis HO ; qux igilur parles est HO ipsius TA, eædem partes est et AE ipsius ΓΖ. Dividatur HO quidem in ipsius ΓΔ partes HK, KO, ipse vero AE in ipsius ΓΖ partes AA, AE; erit igitur æqualis multitudo HK , KO ipsi multitudini AA, AE. Et quoniam quæ pars est HK ipsius TA, ea- dem pars est et AA ipsius TZ; major autem
TA ipso ΓΖ ; mijor igitur et HK 1pso AA. Po-
PROPOSIFION VILI.
Si un nombre est les mémes parties d’un nombre, que le nombre re- tranché l'est du nombre retranché , le nombre restant sera aussi les mêmes parties du nombre restant, que le tout l'est du tout.
Que le nombre AB soit les mêmes parties du nombre ra, que le nombre retranché AE l'est du nombre retranché rz; je dis que le nombre restant EB est les mêmes parties du nombre restant ZA, que le tout ΑΒ l'est du tout ra.
Faisons ΗΘ égal à Ab; le nombre Ho sera les mémes parties de TA, que AE l'est de rz. Divisons He en parties de ΓΔ, et que ces parties soient HK, ΚΘ; divisons AE en parties de TZ, et que ces parties soient AA, AE; le nombre des parties HK, KO sera égal au nombre des parties AA, AE. Et puisque HK est la méme partie de ra, que AA l'est de Iz, et que ra est plus grand que τὰ, HK est plus grand que AA. Faisons HM égal à AA; HK sera la méme partie
δ
402 |
πὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ΗΜ τοῦ ΓΖ" καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ZA, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ὅπερ ὅλος ὃ HK ὅλου τοῦ TA. Πάλιν. ἐπεὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ TA, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὃ AE τοῦ TZ, μείζων δὲ ὁ TA τοῦ TZ* μεί- ζων dpa καὶ ὁ KO τοῦ ΛΕ. Κείσθω τῷ AE ἴσος 6 KN° ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ ΚΘ τοῦ TA , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ") καὶ ὃ ΚΝ τοῦ ΤΖ" καὶ λοιπὸς ἄρα
^ ^ M 3 V , 3 ^ er € NO λοιποῦ τοῦ ZA TO αὐτὸ μέρος «στίν. ὅπερ
^
-
H M K
ὅλος ὃ KO ὅλου τοῦ TA. Ἐδείχθη δὲ καὶ ὁ λοιπὸς ὁ ΜΚ λοιποῦ τοῦ ZA τὸ αὐτὸ μέρος ὧν ὅπερ 6Ao ὃ ΚΗ ὕλου τοῦ ΔΙ᾽" καὶ συναμφότερος ἄρα 6 MK, NO τοῦ ΔΖ τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶν ἅπερ ὅλος ὃ OH ὅλου τοῦ AT. Ισὸς δὴ συναμφότερος μὲν ὁ MK, ΝΘ τῷ EB, ó δὲ OH τῷ BA‘ καὶ λοιπὸς ἄρα ὃ EB λοιποῦ τοῦ ZA τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶν ἅπερ ὅλος 6 ΑΒ ὅλου τοῦ ΓΔ. Οπερ ἔδει
δεῖξαι.
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
naturipsi AA æqualisipse HM ; quz igitur pars est HK ipsius TA, eadem pars est et HM ipsiug TZ; et reliquus igitur MK rcliqui ZA eadem pars est quie totus HK totius TA. Rursus , quo- niam quz pars est KO ipsius TA , eadem pars est et AE ipsius TZ, major autem ΓΔ ipso TZ ; major igitur et KO ipso AE. Ponatur ipsi AE æqualis ipse ΚΝ ; que igitur pars est KO ip- sius FA, eadem pars est et ΚΝ ipsius TZ ; ct re-
N 6
liquus igitur NO reliqui ZA eadem pars est, quie totus KO totius ΓΔ, Ostensum autem est et reiquum MK reliqui ZA eamdem partem esse que totus KH totius AD; et uterque si- mul igitur MK, NO ipsius AZ eædem partes est qua totus OH tolius AT. Æqualis autem uterque simul MK, NO quidem ipsi EB, ipse vero OH ipsi BA; ct reliquus igitur EB reli- qui ZA eædem partes est quæ totus AB totius TA. Quod oportebat ostendere.
de T^, que HM l'est de rz; donc le reste MK est la méme partie du reste z^, que le tout Hx l'est du tout rs. De plus, puisque ΚΘ est la méme partie de TA, que AE l’est de Tz, et que ra est plus grand que rz, ΚΘ est plus grand que AE. Faisons KN égal à AE; ΚΘ sera la méme partie de ra, que ΚΝ l'est de rz; donc le reste No est la méme partie du reste za, que le tout Ko l'est du tout r^. Mais on a démontré que le reste MK est la méme partie du reste Z^, que le tout KH l’est du tout ar; donc la somme de ΜΚ et de No, est les mêmes parties de 47, que le tout eH l'est du tout ar. Mais la somme de MK et de No est égale à EB, et eH égal à BA; donc le reste ΕΒ est les mêmes parties du reste ΖΔ, que le tout AB l'est du tout ra. Ce qu'il fallait démontrer.
LE SEPTIEME LIVRE DES
uPOoOTArxirz ὃ:
[3 LJ ^ » ^ , icd Av ICE, Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ἡ". καὶ ETEPOG ετε- \ S LN , BY ἘΠῚ M 4 , , M pou τὸ avo μερος v'* καὶ ἐναλλὰξ 0 μέρος ἐστιν À e ^ ^ ΦΕ 1 ἢ μέρη o πρῶτος τοῦ τρίτου, τὸ αὐτὸ μέρος L4 À ^ » \ ' \ sé , ^ ἐσται À τὰ αὐτὸ JAEPH καὶ o δεύτερος τοῦ τε- τάρτου. M \ e > m ^ * " Αριθμὸς γὰρ ὁ A ἀριθμοῦ τοῦ BT μέρος ἔστω, SAC ε € P - M » M y καὶ ἐτερὸς 0 Δ erepou τοῦ EZ, TO αὐτὸ μέρος L4 m , € ^ o7rep 6 A τοῦ BI ἐλάσσων δὲ ἔστω 0 A τοῦ e ^a , A?* λέγω ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ὃ μέρος ἐστὶν Ô A ^ » Ld \ > \ , » \ ^ « τοῦ À ἢ μέρη. τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ 0 ΒΓ
^ À ToU EZ ἡ ppt.
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Ezra "yap 0 μέρος ἐστιν o. À τοῦ BT, TO αὐτὸ
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μέρος ἐστὶ καὶ" ὃ Δ τοῦ ΕΖ" ὅσοι ἄρα εἰσὶν ἐν
re ET > [^ OCA ^ A ^ 7? TET NE 53. LE] &pi κοι 41004 τῷ À, τοσοῦτοι εἰσ! καὶ ἐν
PROPOSITION
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 403
PROPOSITIO IX.
Si numerus numeri pars est, et alter alte- rius eadem pars est; et alterne quæ pars est, vel partes primus tertii, eadem pars erit vel
eidem partes et secundus quarli.
Numerus enim A numeri BT pars sit, et alter A alterius EZ eadem pars quam A ipsius ΒΓ, minor autem sit A ipso Δ; dico et al- terne qua pars est A Ipsius Δ vel partes , eam- dem partem esse et BT ipsius EZ vel partes.
Quoniam enim qux pars est A ipsius BT, eadem pars est et A ipsius EZ; quot igitur sunt in BT numeri zquales ipsi A, tot sunt
IX.
Si un nombre est une partie d'un nombre, et si un autre nombre est ]a méme partie d'um autre nombre, le premier est, par permutation, la méme partie ou les mêmes parties du troisième, que le second l'est du quatrième.
Que le nombre A soit une partie du nombre Br, et qu'un autre nombre Δ soit la méme partie d'un autre nombre Ez, que A l'est de Br, et que A soit plus petit que ^; je dis que, par permutation, A est la méme partie ou les mémes parties de δ, que ΒΓ l'est de Ez.
Puisque A est la méme partie de Br, que A l'est de Ez, il y a dans Br gutant de nombres égaux à A, qu'il y a dans ΕΖ de nombres égaux
4o
9, ^ ^ ε \ 5» \ τῷ EL ἴσοι τῷ A. Διῃρήσθω o μὲν BT εἰς τοὺς τῶ A ἴσους τοὺς BH, HT, 0 δὲ EZ εἰς τοὺς
, d 3 X \ πῷ Δ ἴσους τοὺς EO, @Z* ἴσον ἔσται δὴ τὸ
πλῆθος τῶν BH, HT τῷ πλήθει τῶν EO , ΘΖ.
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
et in EZ æquales ipsi A. Dividatur BT qui- dem in ipsos ipsi A æquales BH, HT, ipse vero EZ in ipsos ipsi A equales ΕΘ, OZ ; æ- qualis erit utique multitudo ipsorum BH, Hr multitudini ipsorum EO, ΘΖ.
A
B H r A
E Θ ET:
καὶ ἐπεὶ ἴσοι εἰσὶν οἱ BH, HT ἀριθμοὶ ἀλλή- λοις, εἰσὶ δὲ καὶ οἱ EO, ΘΖ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλ- λήλοις, καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν BH, HT πῶ πλῆθει τῶν EO, OZ' ὃ dpa μέρος ἐστὶν ὁ BH τοῦ EO ἢ μέρη. τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ HT τοῦ OZ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη" ὥστε καὶ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ BH τοῦ EO ἢ μέρη. τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ συναμφότερος ὁ ΒΓ συναμφοτέ- pou τοῦ EZ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη" ἴσος δὴΐ ὁ μὲν BH τῷ A, ὃ δὲ ΕΘ τῷ Δ' ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν 6A τοῦ Ad μέρη. τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ o ΒΓ
4, 3 D τοῦ EZ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη, Οπερ ἔδει δεῖξα:.
Et quoniam zquales sunt BH , HP numeri inter se, sunt autem et EO , OZ numeri æ- quales inter se, et est æqualis multitudo ipso- rum BH, HP multitudini ipsorum EO, OZ; qua igitur pars est BH ipsius EO vel partes, eadem pars est et HT ipsius OZ vel eædem partes; quare et quz pars est BH ipsius EO vel partes, eadem pars est et uterque simul BP, utriusque simul EZ vel eædem partes; æqua- lis utique BH quidem ipsi A, ipse vero EO ipsi A; quæ igitur pars est et A ipsius A velpartes , eadem pars est et ΒΓ ipsius EZ vcl
eædem partes. Quod oportebat ostendere.
à Δ. Partageons BT en parties égales à A, et que ces parties soient BH, HT; partageons aussi EZ en parties égales à ^, et que ces parties soient Eo, 67; le nombre des parties BH, HT sera égal au nombre des parties ΕΘ, ΘΖ.
Puisque les nombres BH, HT sont égaux entr'eux, que les nombres re, ez sont aussi égaux entr'eux, et que la quantité des nombres BH, HT est égale à la quantité des nombres ΕΘ, ΘΖ; le nombre BH est la méme partie ou les mémes parties de Eo, que Hr l'est de ©z; donc BH est la méme partie ou les mêmes parties de Eo, que la somme ΒΓ l'est de la somme Ez (5 et 6. 7). Mais BH est égal à A, et ΕΘ égal à Δ; donc A est la méme partie ou les mémes parties de à, que ΒΓ l'est de rz. Ce qu'il fallait démontrer.
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
HPOTAZIEZX /.
^ , \ 5 “ , ^5 Sg e Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ. μέρη n, καὶ ἕτερος eve- M 2 M , ANE) x 4 LA 2 \ € pou τὰ αὐτὰ μέρη" καὶ ἐναλλὰξ à μέρη ἐστὶν ὃ Lo ^ ^ , \ , M , » πρῶτος τοῦ τρίτου ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται \c , ^ / À \ 3 λὲ 2 καὶ 6 δεύτερος τοῦ τετάρτου ἢ τὸ αὐτοὶ μέρος. \ e E ^ n D »! Αριθμὸς γὰρ ὁ AB ἀριθμοῦ τοῦ T μέρη ἔστω, N € , e ε , ^ M , \ nai ἑτέρος ὃ AE ἑτέρου τοῦ 2 τὰ αὐτὰ μέρη, ! ^ , ἔστω δὲ ὁ AB τοῦ AE ἐλάσσων"" λέγω καὶ ἐναλ- M E! , 5 \ e ^ ^ ^, EY λὰξ & μερῆ ἐστιν 0 AB τοῦ ΔῈ ἡ μέρος. Ta
3 M , , \ us ^ Ἂ ἃ , 13 , αὐτὰ Mipu ἐστι καὶ o T TOU Z ἡ TO αὐτοῦ μέρος.
A4o5 PROPOSITIO X.
Si numerus numeri partes est , et alter alte- rius ezdem partes ; et alterne qua partes est primus terti vel pars , eedem partes erit et secundus quarti vel eadem pars.
Numerus enim AB numeri P parles sit, et alter AE alterius Z eædem partes , sit autem AB ipso AE minor; dico et alterne qux partes est AB ipsius AE vel pars, easdem partes esse et
P ipsius Z vel eamdem parlem.
Ἐπεὶ γὰρ ἃ μέρη ἐστὶν ὁ AB τοῦ T , τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ AE τοῦ Z° ὅσα ἄρα ἐστὶν ἐν τῷ ΑΒ μέρη τοῦ T, τοσαῦτα καὶ ἐν τῷ ΔῈ μέρη τοῦ 2. Διηρήσθω o μὲν AB εἰς τὼ τοῦ T μέρη Ta AH, HB, ὃ δὲ AE εἰς τὰ τοῦ 2 μέρη τὼ AO, ΘΕ’ ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν AH,
Quoniam enim qua partes est AB ipsius T, eædem partes est et AE ipsius Z; quot igitur sunt in AB partes ipsius P, tot sunt et in AE partes ipsius Z. Dividatur AB quidem in par- tes AH, HB ipsius T, ipse vero AE in partes AO , OE ipsiusZ; erit ulique æqualis mulli-
PROPOSITION X.
Si un nombre est les mêmes parties d'un nombre, qu'un autre l'est d’un autre, le premier sera aussi, par permutation, les mémes parties ou la méme partie du troisième, que le second l'est du quatrième.
Que le nombre AB soit les mémes parties du nombre r , qu'un autre nombre
AE l'est d'un autre nombre z, et que AB soit plus petit que AE; je dis que, par permutation , AB est les mêmes parties ou la méme partie de AE, quer l'est de z.
Puisque AB est les mémes parties de r, que AE lest de z, il y a dans ΑΒ autant de parties de r, qu'il y a dans ΔῈ de parties de z. Divisons AB en parties de r, et que ces parties soient AH, HB; divisons aussi AE en parties de z, et que ces parties soient ^6, ΘῈ; le nombre des parties AH, HB sera égal
4o6 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
^ , ^ x..3 \ à , HB τῷ πλήθε, τῶν AO, OE. Kai ἐπεὶ 0 μέρος \ * ^f 1 9 2X 39 M \ € ἐστὶν ὁ AH τοῦ! T , τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ ^ ᾽ M ἁ , > à" M ^ AO τοῦ 2, καὶ ἐναλλὰξ ὁ μέρος ἐστίν ο AH του » , À 9 \ , ^ L QE ^ AO à μερῆ; TO αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὃ T τοῦ Z À ^ » ι , ^ M 3 M M \ à , ἢ τὰ αὐτὰ μέρη. Aid τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ μέρος € sh À , \ LET , ἐστὶν o HB τοῦ" OE 4 pépns, τὸ auTO μέρος » ^ Xue ^ À ἣ , ι , el Ν ἐστὶ καὶ o0 T τοῦ Z ἃ τὰ αὐτὰ μερη" ὥστε καὶ
4 » Ἂς € M» À , M ὃ μέρος ἐστὶν ὁ AH τοῦ AO ἢ μέρη, τὸ αὐτὸ
᾿ς δ ^ * \ 9 X , ει ^N μέρος ἐστὶ καὶ ὁ HB τοῦ OE à τὰ αὐτὰ μέρη" καὶ : e 4 Tr ι ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὁ AH τοῦ ΔΘ ἢ μέρη» TO ΝΕ ^ » \ 3) SA αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ o AB τοῦ AE n τὰ αὐτὰ » ^ , L \ € ^ » ,
pipnôe ἀλλ᾽ ὃ μέρος ἐστὶν ὁ AH τοῦ AO μέρη» » "m * D ^ \ » \ cà αὐτὸ μέρας ἐδείχθη) καὶ o T τοῦ 2 à τὰ αὐτὰ ñ
» \ e ^ μέρη. καὶ ἃ apa? μέρη ἐστὶν 0 AB τοῦ ΔῈ ἡ , 4 , ^ LA » \ ΄ e ^ LI \ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἐστὶ καὶ ὁ T τοῦ 1 ἢ τὸ
αὐτὸ μέρος. Οπερ ἔδει δεῖξαι.
tudo ipsarum AH, HB multitudini ipsarum 40 , OE. Et quoniam quz pars est AH ipsius T, eadem pars est οἱ AO ipsius Z , et alterne quæ pars est AH ipsius 40 vel partes , eadem pars est et T ipsius Z vel eædem partes, Propter eadem utique et qui pars est HB ipsius OE vel partes, eadem pars est et T' ipsius Z vel
eadem partes; quare €t quae pars est AH ip-
tr
sius AO vel partes , eadem pars est et ΗΒ ipsius ΘῈ vel eedem partes ; et quz igitur pars est AH ipsius AO vel partes, eadem pars est et AB ipsius AE vel eedem partes ; sed que pars est AH ipsius AO vel partes , eadem pars ostensa est et T'ipsius Z vel eidem partes, et qui igitur parles est AB ipsius AE vel pars, ezdem par- tes est et T ipsius Z vel eadem pars. Quod
oportebat ostendere.
au nombre des parties ΔΘ, ΘΕ. Et puisque AH est la méme partie de T, que 4e l'est de Z; par permutation , AH est la méme partie ou les mémes parties de 46, que r l'est de z (9. 7). Par la méme raison, HB est la méme partie ou les mêmes parties de ΘῈ, que T l'est de z; donc AH est la méme partie ou 168 mémes parties de ΔΘ, que HB l'est de ΘῈ (5 et 6. 7); donc AH est la méme partie ou les mêmes parties de 46, que AB l'est de AE; mais on a démontré que AH est la méme partie ou les mêmes parties de 46, que r l'est de z; donc AB est les mémes parties ou la méme partie de a£, que r l'est de z. Ce qu'il fallait démontrer.
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 407
HPOTAEXIZ .4.
Edy ἢ ὡς ὅλος πρὸς ὅλον οὕτως ἀφαιρεθεὶς πρὸς ἀφαιρεθένθα" καὶ ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν λοιπὸν »! αἰ ἐν Now εσται ὡς ὁλος πρὸς λον.
y : = : 7
EcT0 ὡς ὅλος ὃ AB πρὸς ὅλον τὸν ΤΔ οὕτως 3 \ e. \ 32 , A La ἀφαιρεθεὶς ὃ AE πρὸς ἀφαιρεθέντα τὸν TZ* λέγω
ε
€i ^ \ M \ EJ \ ὅτι καὶ λοιπὸς 0 EB πρὸς λοιίσσον τὸν ΖΔ ἐστιν
\
ὡς ὅλος ὃ ΔΒ προς ὅλον τὸν TA,
Ἐπεὶ γάρ ἔστιν ὡς 6 ΑΒ πρὸς τὸν ΓΔ οὕτως 6 AE πρὸς τὸν TZ* ὃ ἄρα μέρος ἐστὶν ὃ ΑΒ τοῦ TA i μέρη. τὰ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ὁ AE τοῦ ΤΖ ἢ τὰ αὐτὰ μέρη" καὶ λοιπὸς ἄρα ὁ ἘΒ λοιποῦ ToU ZA τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη. ἅπερ ΑΒ. τοῦ ΤΔ' ἔστιν ἄρα ὡς EB πρὸς τὸν ZA οὕτως ὁ AB πρὸς τὸν TA. Οπερ ἔδει δεῖξαι.
PROPOSITIO ΧΙ.
Si est ut totus ad totum ita ablatus ad abla- tum; et reliquus ad reliquum erit ut totus ad lotum.
Sit ut totus AB ad totum ΓΔ AE ad ablatum TZ; dico ct reliquum EB ad
ita ablatus
reliquum ZA esse ut totus AB ad totum ΓΔ.
Quoniam enim est ut AB ad l'A ita AE ad TZ; quz igitur pars est AB ipsius ΓΔ vel par- tes , eadem pars est et AE ipsius ΓΖ vel ez- dem partes; et reliquus igitur EB reliqui ZA cadem pars est vel partes, quæ AB ipsius TA ; est igitur ut EB ad ZA ita AB ad rA. Quod oportebat ostendere.
PROPOSITION XI.
Si le tout est au tout comme le nombre retranché est au nombre retranché, le nombre restant sera aussi au nombre restant comme le tout est au tout.
Que le tout AB soit au tout ΓΔ comme le nombre retranché AE est au nombre rewanché rz; je dis que le nombre restant EB est au nombre restant ZA comme le tout AB est au tout TA.
Car, puisque AB est à TA comme AE est à ΓΖ, AB est la méme partie ou les mémes parties de TA que AE l'est de ΓΖ; donc le reste EB est la méme partie ou les mêmes parties du reste ΖΔ que AB l'est de ra (7 et 8. 7); donc ΕΒ est à ZA comme AB est à ΓΔ. (déf. 20. 7). Ce qu'il fallait démontrer.
408 LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
HPOTAZIZX 18.
ιν ε ^ , Ν ui # Eay ὠσὶν ovrocorouv ἀριθμοὶ ἀναλογον" ἐσται ε c ^ € , \ a M € , ὡς eic τῶν ἡγουμένων πρὸς EVE τῶν ἐπομένων 5 ef “ ee , \ e ^ οὕτως ἁπαιτες οἱ ἡγουμενοι πρὸς ἁπανταῖς TOUS € , $7 0UJAsVOUC. € ^ , b » , ε Ἑστωσαν οποσοίουν ἀριθμοὶ ἀνάλογον 04 À, € € \ \ 4“ « M B, T, A, ec o À πρὸς τὸν B οὕτως o T πρὸς \ , el 5 \ e € Y \ “ Toy Δ' λέγὼ OTI ἐστὶν ὡς © À πρὸς τὸν B ουτως
oi A, T πρὸς τοὺς B , A.
᾽ e ε \ \ “ - Ἐπϑὶ γάρ ἐστιν ὡς 0 À πρὸς τὸν B ουτῶς o T 4 y , , \ € ^ À , πρὸς τὸν A* ὃ apa μέρος ἐστὶν © À τοῦ B à μερῇ» \ Sí 5" , \ Are ^ À » HEP & τὸ αὐτὸ μέρος ἐστί καὶ 0 T τοῦ Δ ἡ μέρη" καὶ . , L4 e , ^ συναμφότερος epa o A,T curautoTepou τοῦ B,A \ , \ , 3 ^N À \ > \ , “ Id A τὸ αὐτὸ μερὸς ἐστὶν Y τὰ auTO μερῆ.» ATP o ^ » » ε [j ^ M «v : € TOU B" ἐστιν apa w6 0 A πρὸς TOY B ouTws 0) À,
T πρὸς τοὺς B, Δ. Οπερ ἔδει δεῖξαι.
PROPOSITID XII.
Si sunt quotcunque numeri. proportionales , erit ut unus antecedentium ad unum conse- quentium , ia omnes antecedentes ad omnes consequentes. L
Sint quotcunque numeri proportionales A , Β. Γ, Δ, ut A ad B ita T ad A; dico esse ul A ad B ila ipsos A , Γ ad ipsos B, A.
Quoniam enim est ut À ad 8 ita f ad A; quæ igitur pars est A ipsius B vel partes , cadem pars est et T ipsius Δ vel partes ; et uter- que simul igitur À , Tl utriusque simul B, A ca- dem pars est vel eedem partes , quz A ipsius B; est Igitur ut A ad B ita ipsi A, T' ad ip- sos B, A. Quod oportebat ostendere.
IPROPOSLTION-'"XLL
Si tant de nombres qu'on voudra sont proportionnels, un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents.
Soient A, B, T, Δ tant de nombres proportionnels qu'on voudra; que 4 soit à B comme T està A; je dis que A està B comme la somme desnombres 4, r est à la somme des nombres b, à.
Car, puisque A est à B comme T est à Δ, A est la méme partie ou les mémes parties de B, que r l'est de ^ (déf. 20. 7); donc 4 est est la méme partie ou les mêmes parties de b que T l'est de δ; donc la somme des nombres A,T est la méme partie ou les mêmes parties de la somme des nombres B, 4, que A l'est de 5 (5 et 6. 7); donc A est à B comme la somme des nombres A, T est à la somme des nombres 5, ἃ (déf. 20. 7). Ce qu'il fallait démontrer.
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 409
IIPOTAZIZ fy.
M , , | AT , *ó N 5 Ἐὰν τετσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον δι" καὶ! evaX- \ » » λὰξ ἀνάλογον ἔσονται. , \ 3 , ε Ἑστωσαν τεῦσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον 01 A, B, « ε A \ Ἵ € \ N Το Δι ας ὁ. À πρὸς τὸν Β οὕτως oT πρὸς TOV A* , ῳ \ 2 \ 312 3), LL e = λέγω OTI καὶ ἐναλλοξ ἀνάλογον ecoy TO , 05 0 À
M \ el * ^ ' 7p0c τὸν T οὗτως 08 προς τὸν A.
ΤΕΣ
ἀπ,
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M " » € c A \ KA € Ἐπεὶ γὰρ ἐότιν ὡς 0 À πρὸς τὸν B οὕτως o T \ \ a] f » \ € ^ » πρὸς τὸν Δ' ὃ ἀρα μέρος ἐστὶν © A τοῦ B à , ^ 3 M ^ 3 \ NE ^ » , μέρη. τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ 0 T TOU Δ ἡ τὰ A , \ PA a , ? \ € ^ αὐτὰ pue pn. ἐναλλὰξ ἄρα ὁ μερὸς ἐστιν ΟΑ τοῦ A , > Ὁ 5 M NV e ^ ^ T 3» μέρη. τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ 0 B τοῦ Δ ἡ Y 3 M ^ sl » € € \ \ τὰ αὐταὶ μέρη" ἐστιν ἄρα ὡς 0 À πρὸς τὸν T e € \ \ LA yo οὕτως 0 B πρὸς τὸν A. Οπερ ἔδει δεῖξαι.
PROPOSITION
PROPOSITIO XIII.
Si quatuor numeri proportionales sunt; οἵ alterne proportionales erunt.
Sint quatuor numeri proportionales A , E, LT, A, ut À ad B ita I'ad A; dico et alterne
proportionales fore , ut A ad FP ita B'ad A.
Quoniam enim estut A ad 2 ita T ad Δ; quis igitur pars est A ipsius B vel partes , eadem pars est et P ipsius À vel ezdem partes ; alterne igitur qui pars est A ipsius T vel partes , eadem pars est eL B ipsius ^ vel eædem partes ; est igitur ut A ad T ita B ad A. Quod oportebat osten-
dere.
XIII
Si quatre nombres sont proportionnels ; ils seront encore proportionnels par
permutation.
Soient 4, B, T, Δ quatre nombres proportionnels, et que A soit à B comme Y est à ^; je dis qu'ils seront encore proportionnels, par permutation , c'est-à-
dire que A est à T comme B est à A.
Car, puisque A est à B comme T est à A; A est la méme partie ou les mêmes parties de B, que r l'est de δ (déf. 20. 7); donc, par permutation, A est la méme ou les mémes parties de r, que Β l'est de Δ (9 et 10. 7); donc A est à F comme B est à A(déf. 20. 7 ). Ce qu'il fallait démontrer.
52
410 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IUDOITA SISSE. \ 7" [4 ^ 3 X \ oM 2 D Ἐὰν σιν οποσοιουν ἀριῃμοὶ, και αλλοι αὐτοῖς 5» \ ^ , , \ b ἴσοι TO πλῆθος σύνδυο λαμέανόμενοι καὶ ἐν τῷ > ^ δ Ν ^ > ^ 3 ^ , » αὐτῷ A0yQ* καὶ diiccu ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἐσοντα!. \ e ^ 2 \ € Ἑστωσαν γαρ' οποόσοιίουν ἀριθμοὶ 0). A, B5 T, N 5] D i4 1 D , καὶ ἀλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμξα- , \ 3 ^ , ^ € € γόμενοι xdi? ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ. οἱ ^, E, Z, ὡς \ € r \ “ c \ \ € \ BP © À πρὸς τὸν B ουτωςὁ Δ πρὸς τὸν E, ὡς ὃς € \ Ν el e Y A] , el o B πρὸς τὸν T οὕτως ΟΕ πρὸς τὸν 2" Aey0 οτι \ T E \ ei c \ \ er € καὶ διίσου ἐστὶν Qc 0 À πρὸς τὸν T ouTwc 0 Δ
--
Li M προς TOV Ze
>
PROPOSITIO XIV.
Si sunt quotcunque numeri, et alii ipsis æ- quales multitudine bini sumpti et in eàdem ratione ; et ex æquo in eàdem ratione erunt.
Sint enim. quotcunque numeri A, B,T , et alii ipsis equales multitudine bini sumpti et in cádem ratione A, E, Z,ut A quidem ad. B ita A ad E, ut B vero ad Γ ita E ad Z; dico et ex equo esse ut A ad T ita Δ ad Z.
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\ \ ε € Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς 0 À πρὸς τὸν B οὕτως ὁ Δ \ M 3 * 3} > \ € € Li X προς Toy E* ἐναλλὰξ ape ἐστίν ὡς 0 À πρὸς τὸν ej € , > 1 9 e A οὕτως ὃ B πρὸς τὸν E. Πάλιν. ἐπεί ἐστιν ὡς
ὁ B πρὸς τὸν T οὕτως δῈ πρὸς τον 2" ἐναλλὰξ
Quoniam enim est ut A ad B ita Δ ad E; alterne igitur est ut A ad A itaB ad E. Rursus , quoniam est ut B ad T ita E ad Z; alterne igi- tur est ut B ad E ita[F ad Z. Ut autem 8 ad
PROPOSITION XIV.
Si l'on a tant de nombres qu'on voudra , et d'autres nombres égaux en quantité aux premiers, et si ces nombres étant pris deux à deux sont en méme raison, ils seront aussi en méme raison par égalité.
Soient A, B, T tant de nombres qu'on voudra, et d'autres nombres ^, E, Z égaux en quantité à ceux-ci, que ces nombres soient pris deux à deux et en méme raison, c’est-à-dire que A soit à B comme Δ est à E, et que B soit à T comme E est à Z; je dis que, par égalité, A est à T comme Δ est a 2.
Car, puisque A est à B comme Δ est à E, par permulation, A est à A comme
Β est à E (13. 7). De plus, puisque B est à Tr comme E est à Z; par permu-
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ἄρα ἐστὶν ὡς o B πρὸς τὸν E οὕτως O Τ πρὸς τὸν Z. Os δὲ 6 B πρὸς τὸν E οὕτως 0 A πρὸς τὸν A* καὶ ὡς ἄρα ó A πρὸς τὸν Δ οὕτως GT πρὸς τὸν Z* ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς 0 A πρὸς τὸν T οὕτως ὁ ἃ
πρὸς τὸν Z. Οπερ ἔδει δεῖξαι. ΠΡΌΤΑΣΙΣ 46,
M M , , ^ » , À
Ἐὰν μονὰς ἀριθμιόν Tiva μετρῇ. ἰσάκις δὲ
e 3 V 3 \ > iy ^ \
ἕτερος ἀριθμὸς ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν μετρῇ" καὶ 2 Ves » , € 1 \ , , Ν
εναλλαξ ITAHIG ἡ μονὰς τὸν τρίτον ἀριθμὸν Mué-
, Noct , , τρήσει καιο δεύτερος τεταάρτονς-
Μονὼς γὰρ »A ἀριθμόν τινα τὸν ΒΓ μετρείτω,
, , [mi i 3 \ € Y. 4 » ἰσάκις δὲ ἕτερος ἀριθμος ὃ Δ ἀλλον τινὰ ap10-
EIN
A or Β
ἘΠ Κ
M ^ » μὸν τὸν EZ μετρείτω" λέγω ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις À A μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ δ' ΒΓ τὸν ΕΖ.
Ἔ
A11 E ita A ad A; et ut igitur A ad Δ ita T ad Z; alterne igitur est ut A ad T ita A ad Z.
Quod oportebat ostendere.
PROPOSITIO XV.
Si unitas numerum aliquem metitur, æqua- liter autem. alter numerus alium aliquem nu- merum metitur; et alterne æqualiter unitas tertium numerum metietur ac secundus quar- tum.
Unitas enim A numerum aliquem BT me-
tiatur, equaliter autem aller numerus Δ alium
Hon
Ac
aliquem numerum EZ metiatur; dico et al- terne æqualiter À unitatem ipsum À numerum
meliri ac BF ipsum EZ.
tation, B est à E comme T est à 2. Mais B est à E comme A està Δὲ donc
A est
à est à Z. Ce qu'il fallait démontrer.
A comme r est à Z; donc, par permutation, A està T Commen
PROPO!SITION XY,
Si l'unité mesure un nombre autant de fois qu'un autre nombre mesure un autre nombre; par permutation , l'unité mesurera autant de fois le troi- sième nombre que le second mesure le quatrième.
Que l'unité A mesure un nombre Br autant de fois qu'un autre nombre 4 mesure un autré nombre EZ; je dis que, par permutaüon , l'unité A mesure le nombre Δ autant de fois que Br mesure Ez.
5
41 2
Ἐπεὶ γὰρ ἰσάκις n A μονὰς τὸν ΒΓ ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ Δ τὸν EL' ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ BT μονάδες τοσοῦτοί εἶσι καὶ ἐν τῷ EL ἀριθμοὶ ἴσοι τῷ Δ. Διηρήσϑω ὃ μὲν ΒΓ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας τὰς BH, ΗΘ, OT, ὁ δὲ ΕΖ εἰς τοὺς τῷ A ἴσους, τοὺς EK , KA, AZ* ἔσται δὲ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν ΒΗ. HO, OT τῷ πλήθει τῶν EK, KA, AZ. Kai ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ BH, HO, OT
E »8 ΑΝ A^ S - μονάδες ἀλλήλαις, εἰσὶ de^ καὶ οἱ ἘΚ, KA, AZ
DIRMI
E κ
ἀριθμοὶ ἴσο! ἀλλπλοις. καὶ ἔστιν ἴσον τὸ πλῆθος τῶν BH, HO, ΘΓ μονάδων τῷ πλήθει; τῶν EK, KA , AZ ἀριθμῶν" ἔσται" ἄρα ὡς ἡ ΒΗ μονὰς πρὸς τὸν EK ἀριθμὸν οὕτως ñ HO μονὰς πρὸς τὸν KA ἀριθμὸν. καὶ ἡ ΘΓ μονὰς πρὸς τὸν AZ ἀριθμόν. Ἑσται dpa καὶ ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὺς ἕνα τῶν ἑπομένων οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγού- μένοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους" ἐστὶν ἄρα ὡς
ἢ \ \ ἢ \ . \ » BH povec πρὸς Toy EK ἀριθμὸν οὕτως 0 ΒΙπρὸς
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Quoniam enim æqualiter A unitas ipsum ΒΓ numcrum meltür ac À ipsum EZ; quot igitur sunt in BP unitates tot sunt et in EZ numeri æquales ipsi Δ. Dividatur BP quidem in ipsas in eo unitates BH, HO, ΘΓ, ipse vero EZ in ipsos ipsi À æquales ΕΚ, KA , AZ ; crit igitur aequalis mulütudo ipsorum BH, HO, OT multitudini ipsorum EK , KA, AZ. Et quo-
niam æquales sunt BH , HO , OT unitates inter
ME
A Ζ
se , sunt aulem et EK, KA, AZ numeri æ- quales inter se, et est æqualis multitudo ip- sarum. BH, HO, ΘΓ unitatum multitudini ipsorum EK, KA, AZ numerorum ; erit igitur ul BH unitas ad EK numerum ita HO unilas ad KA numerum, ct OT unitas ad AZ nume- rum. Erit igitur et ut unus antecedentium ad unura consequenüum ita omnes anteceden-
tes ad omnes consequentes ; est igitur ut BH
Puisque l'unité A mesure le nombre Br autant de fois que A mesure EZ, il y aura dans Br autant d'unités, qu'il y a dans EZ de nombres égaux à Δ. Partageons BT en ses unités BH, HO, OT, et partageons EZ en nombres égaux
à A, et que ces nombres soient EK,
KA, AZ; la quantité des unités BH,
HO, er sera égale à la quantité des nombres EK, KA, Az. Puisque les unités BH, HO, ΘΓ sont égales entr'elles, que les nombres EK, KA, AZ sont égaux entr'eux, et que la quantité des unités BH, Ho, er.est égale à la quantité des nombres EK, KA, AZ, l'unité BH sera au nombre EK comme l'unité ΗΘ est au nombre KA, et comme l'unité er est au nombre Az. Donc un antécédent sera à son conséquent comme la somme des antécédents est à la somme des conséquents (12. 7); donc l'unité BH est au nombre EK comme ΒΓ est
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 413
πὸν EZ. len di à BH μονὰς τῇ A μονάδι. ὃ δὲ EK ἀριθμὸς τῷ Δ ἀριθμῷ" ἔστιν ἄρα ὡς ἡ A
: : ; COM μονὰς πρὸς τὸν Δ ἀριθμὸν οὕτως 0 BT πρὸς τὸν
3 À , YA e EZ* ἰσάπις ἄρα 4A μονὰς Toy Δ ἀριθμον" μέετρει
καὶ ὁ ΒΓ τὸν EZ. Οπερ ἔδει δεῖξαι.
IIPOTAZXIZ co. x , Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάντες ἀλλήλους τ ἢ € > DRE Sr ποιῶσι τινας" οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ICI ἀλλη- λοις ἔσονται. Ν Ne e \ Ecrocav δύο ἀριϑμοὶ oi A, Β. καὶ o μεν À
à À / \ ͵ € \ Tiv B πολλαπλασιάσας TOY Y ποιείτω. ὁ δὲ B
m
-
unitas ad EK. numerum ita ΒΓ ad EZ. Æqualis aulem BH unitas jpsi A unitati, ipse vero EK numerus ipsi À numero; estigitur ut A unitas ad À numerum ita ET-ad EZ; æqualiter igitur A unilas psum À numerum metitur ac ΒΓ ipsum
EZ. Quod oportebat ostendere.
PROPOSITIO XVI.
Si duo numeri multiplicantes sese faciunt
aliquos ; facti ex ipsis æquales inter se erunt.
Sint duo numer A , B, et A quidem ip-
sum Β multiplicans ipsum T' faciat , ipse vero 8
>
, τὸν À πολλαπλασιάσως τὸν ἃ ποιείτω" λέγω
el V SAN € ὅτι ἴσος ἐστὶν 0 T τῷ ^.
ipsum A multiplicans ipsum Δ faciat; dico æ-
qualem esse T ipsi A.
à Ez. Mais lunité BH est égale à l'unité 4, et le nombre EK au nombre 4; donc l'unité A est au nombre Δ comme ΒΓ est à EZ; donc lunité A mesure le nombre Δ autant de fois que Br mesure EZ (déf. 20. 7). Ce qu'il fallait démontrer.
PHROPOSUTION XYI.
Si deux nombres se multipliant l'un et l'autre en produisent d’autres; les- nombres produits seront égaux entr'eux.
Soient les deux nombres 4, B; que A multipliant B produise r, et que Β multipliant A produise 4; je dis que r est égal à a.
fih M e A , 1 Ἐπεὶ γάρ o À τὸν B πολλαπλασίασας τὸν T , € » N ^ \ \ 3 ν πεποίηκεν" o B ἄρα Toy T μέτρει κατὰ τὰς ἐν τῷ , ev λ Ἄν V A 2 A μονάδας, Merpei δὲ καὶ ΜῈ μονάς Toy À ἀριθ- M I \ \ 3 3 ^ , 3 , 3 € μὸν! κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας" ἰσάκις apa a E M Y > à ^ ἣν € K μόνας TOV A ἀριθμὸν Μέτρει καὶ ὁ B Toy I* 3 \ 3, , , € \ , , \ ἐναλλὰξ apa ἰσώκις ἡ E μονὰς τὸν B ἀριθμὸν " e \ ve : E \ μέτρει καὶ ὁ À τὸν T..IiæAwv, ἐπεὶ ὁ B τὸν A
σπολλαπλασιασὰς τὸν Δ πεπομήκεν" O À apa τὸν
t
>
les]
M
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Quoniam enim A ipsum B multiplicans ip- sum T fecit; B igitur ipsum T metitur per ipsas in À unitates. Melitur autem et E uni- tas ipsum À numerum per ipsas in eo unitates ; equaliter igitur E unitas ipsum A numerum metitur ac B ipsum Γ ; alterne igitur æqualiter E unitas ipsum B numerum metitur ac A ipsum
rT. Rursus, quoniam B ipsum A multiplicans
D
- TUS. ; MURS Δ μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Β μονάδας. Μετρεῖ δὲ ν ε ι M » » > ro , καὶ ἡ E μονὰς τὸν B κατὰ τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας" Li » \ t ? A ^ \ ἰσάκις ἄρα 3 E μονὰς τὸν B ἀριθμὸν Μέτρει καὶ Li ι , ue \ \ > b \ 0 À τὸν À. Isaxie δὲ n E μονάς Toy B ἀρϑμον D 5" , 9) ε € , μετρει καὶ δ A τὸν T* ἰσάκις ἀρὰ ὁ À εκάτερον D" e^ » »» > \ € ^ τῶν ΤΆ A μετρεῖ" ἐσὸς epa eoviy o T 70 A.
Op ἔδει δεῖξαι.
ipsum A fecit; ipse A igitur ipsum À meti- tur per ipsas in B unilates. Metitur autem et E unilas ipsum B per ipsas in 60 unitates ; æ- qualiter igitur E unitas ipsum B numerum mie- litur ac A ipsum A. Æqualiter autem E unitas ipsum B numerum melitur ac À ipsum Γ, Æ- qualitef igitur À utrumque ipsorum T , À me- titur; æqualis igitur est P ipsi A. Quod opor-
lebat ostendere.
Car, puisque A mulüpliant Β a produit r; B mesurer par les unités qui sont
en A (déf. 15. 7). Mais l'unité E mesure le nombre A par les unités qu'il con- tient; donc l'unité E mesure le nombre A autant de fois que 8 mesure r; donc, par permutation , l'unité E mesure le nombre B autant de fois que A mesurer (15. 7). De plus, puisque P multipliant A a produit ^, A mesure A par les unités qui sont en P. Mais J'unité E mesure le nombre B par les unités qu'il con- tient; donc l'unité E mesure le nombre B autant de fois que A mesure 4. Mais lunité E mesure le nombre B autant de fois que A mesure r; donc A mesure également r et Δ; donc r est égal à a. Ce qu'il fallait démontrer.
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 415
II P. O'r:A'S PzhuC.
Bav ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσας ποιῇ τινας" οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι ᾿λόγον πολλαπλασιασθεῖσιν.
Αριθμὸς γὰρ o A δύο ἀριθμοὺς τοὺς B, T σολλαπλασιάσας τοὺς ASE ποιείτω" λέγω ὅτι
5 ε [3 \ el € M ἐστὶν ὡς o B πρὸς τὸν T οὕτως ὃ Δ προς τὰν E.
ἘΠ ἘΝ
"
D
PROPOSITIO XVII.
Si numerus duos numeros multiplicans fa- cit aliquos , facü éx ipsis eamdem rationem habebunt quam multiplicati.
Numerus enim A duos numeros P, P mul- tiplicans ipsos Δ, E faciat; dice esse ut B ad T ita A ad E.
tri
\ N N , \ ETes yap 0 A τὸν B πολλαπλασιάσας τὸν Δ » M e M \ > πεποίηκεν" ὃ B ἄρα τὸν Δ μετρεῖ κατὰ τας ἐν ^ , ^ \ LA \ \ τῷ A μονάδας, Merpeï de καὶ n Z μονὰς τὸν A τὰ \ \ \ , > κᾧ £d Dsl, y ἀριθμὸν κατῶ τας ἐν αὐτῷ μοναδας" ἰσάκις ἀρὰ € M \ ΝΣ m NT ' » Z μονᾶς TOV À ἀριθμιὸν μετρεῖ καὶ o B τὸν A* 4 14 e e IN \ \ * ἔστιν ἄρα ec ἡ Z μονὰς πρὸς τὸν À ἀριθμὸν"
e ε \ A \ \ 3 \ \ VAE bi ouroc o B προς τὸν A. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὡς ἡ
Quoniam enim A ipsum B multiplicans ipsum A fecit; B igitur ipsum Δ melitur per ipsas in A unitates. Metitur autem et Z unitas ipsum A numerum per ipsas in eo unitates ; equaliter igitur Z unitas ipsum A numerum metitur ac B ipsum A; est igitur ut Z unitas
ad A numerum ita B ad A. Propter eadem uti- ,
PROPOSITION XVII.
Si un nombre multipliant deux nombres en produit d'autres; les nombres produits auront la même raison que les nombres multipliés.
Que le nombre A multipliant les nombres B, r produise les nombres A ,QEj je dis que B est à r comme Δ est à E.
Car, puisque 4 multipliant B a produit ^; B mesure ^ par les unités qui sont en A (déf. 15. 7). Mais l'unité z mesure le nombre A par les unités quil contient ; donc l'unité z mesure le nombre A autant de fois que B mesure ^; donc l'unité Z est au nombre A comme B est à a. Par la méme raison,
416 ΜῈ SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
\ \ 3 , A LA « \
2 μονὰς πρὸς τὸν Α ἀριθμὸν οὕτως à T πρὸς \ Ny € LA € \ \ E ε
τὸν E* και ὡς ἄρα 0 B πρὸς τον A οὕτως ὁ T
πρὸς τὸν E^ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ὃ Β πρὸς ej ΓῚ \ E 3
τὸν Τ οὕτως ὃ Δ πρὸς τὸν E. Οπερ ἔδει
δεῖξαι,
HPOTAZXIZ m.
\ V , NS. , ᾿ς ,
Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιά--:
LX! € , ^£ » ^v \
σαντες πτοίωσι TIVAS* 0, γενόμενοι εξ αὐτῶν καὶ >. X E \ , DJ ,
&UTOV t0 0UTI "TOV! λύγον τος πολλαπλασιάσασι-
, M ΕΣ \ « ^ , \ Δύο yep ἀριθμοὶ οἱ A, B ἀριθμόν τινα τὸν
que et ut Z unitas ad A numerum itla T ad E; et ut igitur B ad A ita T ad E;alterne igitur est ut B ad T ita A ad E. Quod oportebat os-
tendere.
PROPOSITIO XVIII.
Si duo numeri numerüm aliquem. multipli- cantes faciunt aliquos ; facli ex ipsis et eam- dem habebunt rationem. quam multiplicantes.
Duo enim numeri A, B numerum aliquem P
|
T πολλαπλασίασαντες τοὺς À, E ποιείτωσαν"
el > ^ € \ A ei ε λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς δΑ πρὸς τίν B ουὐτῶς ὁ ἃ
πρὸς τὸν Ε-
multiplicantes ipsos A, E faciant ; dico esse
ut A ad B ita À ad E.
l'unité Z est au nombre A comme T est à E; donc B est à ^ comme r est à E; donc, par permutation, B est à T comme Δ est à E (15. 7). Ce qu'il
fallait démontrer.
PROPOSITION..XVIII.
Si deux nombres multipliant un'autre nombre en produisent d’autres ; les nonibres produits auront Ja même raison que les multiplicateurs.
Que les deux nombres 4, B multipliant un nombre r produisent Δ, E;
je dis que A est à B comme Δ est à F.
LE SEPTIÈME LIVRE DES
Ν M € \ , ^ Ἐπεὶ γάρ © À Toy T πολλαπλαάσιασας τὸν Δ , NAS » M , “πεποίηκε καὶ 0 T ἀρὰ τὸν À πολλαπλασιάσας \ , \ \ 3 \ ^ NUE. \ τὸν Δ πεποίηκε. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ o T τὸν \ , \ B πολλαπλασιάσας Toy E πεποίηκεν" ἀριθμὸς \ € , \ ^ , δὴ o T δύο ἀριθμοὺς τοὺς À, B πολλαπλασιάσας \ » L4 e ε Y τοὺς À, E πεποίηκεν" ἔστιν ἄρα ὡς 0 À πρὸς \ ei € \ \ »! D: τὸν B οὕτως ὃ A πρὸς τὸν E. Οπερ td δεῖξαι, ΠΡΟΤΆΣΙΣ. 6. Ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦ 0 € ἂν τεσσᾶρες cpiUJAo] αἀναλογον GGIV , 0 €x Lo , \ ^ , , b y του πρώτου καὶ τετάρτου γινόμενος ἀριθμὸς ἴσος » - 3 ^ , \ 1 , ἐσται τῷ εἰ τοὺ δευτέρου καὶ τρίτου γινομένῳ > 4 PS SX € ^ , \ , I ἀριθμῷ" καὶ ἐᾶν o ἐκ τοῦ πρωτου καὶ τετάρτου Ξ Ἢ : > b No, s m ^ δὲ / BEN γινόμενος ἀριῦμος 1506 ἡ τῷ ἐκ TOU δευτέρου καὶ ε , > NI x τρίτου, οἱ τεσσᾶρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔσονται.
; Ἑστωσαν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον oi A, By
i"
[ 1]
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 417
Quoniam enim A ipsum Γ multiplicans ipsum Δ fecit ; et P igitur ipsum À multiplicans ipsum A fecit. Propter eadem utique et T ipsum B multiplicans ipsum E fecit; numerus utique T duos numeros A, B multiplicans 1psos A, E fecit ; est igitur ut A ad B ita Δ ad E. Quod oportebat
ostendere. PROPOSITIO XIX.
Si quatuor numeri proportionales sunt, ipse ex primo et quarto factus numerus æqualis erit ipsi ex secundo et tertio facto numero ; et si ipse ex primo et quarto factus numerus æqua- lis est ipsi ex secundo et tertio , quatuor numeri proportionales erunt.
Sint quatuor numeri proporlionales A, B,
|
=
T,A, ©6060 A πρὸς τὸν B οὕτως 0 T πρὸς τὸν
NEC A \ , M A, καὶ ὁ μὲν À τὸν Δ πολλαπλασίιασας τὸν E
T, A, ut A ad B ita T ad A, et A quidem
ipsum A mulüplicans ipsum E faciat, ipse vero B
Puisque A mulipliant r produit Δ, r multipliant A produit δ (16. 7 ). Par la
méme raison r multipliant B produit E
; donc T multipliant les deux nombres
A,B produit les nombres ^, E ; donc A est à Β, comme A est à E(17. 7). Ce
qu'il fallait démonter.
PROPOSITION
Si quatre nombres sont proportionnels ,
ΧΙΧ.
le nombre produit parle premier et par
le quatrième sera égal au nombre produit par le second et par le troisième ; et si
le nombre produit par le premier et par le quatrième est égal au nombre produit
par le second et par le troisième, les quatre nombres seront proportionnels. Soient les quatre nombres proportionnels A,B, r, A; que A soit à B comme r
53
h18 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
7T F ? à:
, ‘ el LA E] N € ^ ποιείτω" Ag CTI i006 ἐστίν 0 E τῷ Z.
^ M B τὸν T πολλαπλασιάσας τὸν L
>
ipsum T muliiplicans faciat ipsum Z ; dico æqua-
lem esse E ipsi Z.
, ^ L 05 dp Ατὸν πολλαπλασιάσας τὸν H ποιείτω, [d \ * ^ ^ Ἐπεὶ οὖν 0 A Toy T πολλαπλασιάσας τὸν H πε- \ \ " \ ποίηκε. TOV δὲ Δ πολλαπλασιάσας τὸν E πε- A \ € , 3 \ \ “τοίη κεν" ἀριθμὸς da δὰ dvo ἀριθμοὺς TousT, Δ / » πολγαπλασιάσας τοὺς H , E πεποιηκεν" ἐστιν E ec € ^ ^ er € \ \ E epa ὡς o TL πρὸς TOY Δούυτος o H πρὸς τὸν E. e e ^ M e € ^ \ AAN og 0T πρὸς TOV Δ οὕτως 6 À πρὸς τὸν B* » 3 \ \ LA € \ \ xdi ὡς dpa" 6 A πρὸς TOY B ouTwc 0 H πρὸς τὸν E. , M Πάλιν. ἐπεὶ 0 À Tv T πολλαπλασιάσας τὸν H 3 \ \ \ € \ πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ o B τὸν T πολλαπλα- M * , \ 3 Ν € σιάσας τὸν L πεποίηκε" duo δὴ ἀριθμοὶ ci A, B , \ ἀριθμόν τινα τὸν T πολλαπλασιάσαντες TOUS " " ε ε A Fe HZ πεποιήκασιν" ἐστιν ἄρα ὡς ΟΑ πρὸς τον e € A \ ^ \ \ € € A B οὕτως ὁ H πρὸς τὸν Z. Αλλα μὴν καὶ ὡς 0 e € ᾿ { \ € 3 πρὸς Ty B οὕτως © H πρὸς TOY E* καὶ ὡς ape € \ M [ € M \ 7. € 3] o H προς TOY E οὕτως o H πρὸς τὸν Z* 0 H et pa c ^ fh M 3 M ! , πρὸς ἑκάτερον τῶν! E, L τὸν αὐτὸν ἔχει λογον"
3) 5 2 ^ € re 170$ dpa ἐστιν ὁ E τῷ Z.
Ipse enim A ipsum T multiplicans ipsum H faciat. Et quoniam A ipsum T multiplicans ipsum H fecit, ipsum vero A multiplicans ipsum E fecit ; numerus ulique A duos numeros l', A multi- plicans ipsos H , E fecit ; est igitur ut P ad A ita H ad E. Sed ut T ad Δ ita A ad B ; et ut igitur A ad B ita H ad E. Rursus, quoniam A ipsum T multiplicans ipsum H fecit, sed et B ipsum T multiplicans ipsum Z fecit ; duo utique numeri A, B numerum aliquem T multiplicantes ipsos H , Z fecerunt ; est igitur ut A ad B ita H adZ,. Sed et ut A ad B ita H ad E ; et ut igitur H ad E ita H ad Z ; 1pse H igitur ad utrumque ipsorum E, Z eamdem habet rationem ; equalis igitur est E ipsi Z.
està ^; que A mulüpliant ^ produise E, et que Β multipliant r produise z; je
dis que E est égal à Z.
Que A multipliant r produise H. Puisque Α multipliant r produit H, et que A mulüpliant ^ produit E, le nombre ^ multipliant les deux nombres r , ^ pro-
duit H, E; donc T est à ^ comme H est à E (17. 7 ). Mais T est à ^ comme 4A est
à B; donc A est à Β comme H est à E. De plus, puisque A multipliant r produit H, et que B multipliant T produit z; les deux nombres A, B multipliant un nom- bre r produisent H, Z (18. 7). Donc A est à B comme H est à Ζ. Mais A est à B comme H est à E ; donc H est E comme H est Z ; donc H a la méme raison avec chacun des nombres E, z ; donc E est égal à z.
LE SEPTIEME LIVRE DES
i \ ͵ , ε 55 ΄ e > \ Ἑστω δὰ πάλιν ἴσος 0 E τῷ Z° λέγω ὅτι ἐστὶν M e AN ^ e € \ M ©$5 9 À πρὸς TOY B ourwcoT πρὸς τὸν À. ^ M , ^ , >» AE Toy yup αὐτῶν κατασκευασθέντων. ἐπεί 0 À Al s LA \ τοὺς T, À πολλαπλασίασας Tous H , E 7e- 7 X “ e \ \ LA € ποιήκεν" ἐστὶν ἄρα ὡς oT πρὸς τον Δουτῶς oH \ B Ape - Ej P4 eoe πρὸς τὸν E. Ἰσὸς δὲ ὁ E τῷ Z' ἔστιν ape ὡς ΟΗ \ \ e \ \ » ε \ πρὸς Toy E ouTwc 6H πρὸς τὸν Z. AAA Gc μὲν € \ M C7 e M M Arme o H πρὸς τὸν E οὕτως o Y πρὸς τὸν A* καὶ ὡς E € \ 1 er e \ \ ^ ἄρα o T πρὸς τὸν Δ οὕτως 0 Η πρὸς τὸν Z. Ὡς δὲ e Y \ ed e M ' NX UE oH πρὸς τὸν L οὕτως © A πρὸς TOY B* zai ὡς Mw ε A! ^ e" e \ \ epa o A πρὸς τὸν B ουτως ὁ T πρὸς τὸν A, O7:p da δεῖξαι.
IIPO' EAXIX x5
M mo CE [4 etie. ^ Eay τρεῖς ἀριϑμοὶ ἀνάλογον ὦσιν . 0 UTO τῶν xw » 3 ^ € 5 A ^ , ΟῚ DR | Nr) € 33 ἄπρων ἴσος εστὶ τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου" ἐῶν δὲ ὁ ὑπὸ - 5, » S ne AUN ^ , c ^ τῶν ἀκρῶν L70V ἡ τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου , οἱ τρεῖς ΕΣ \ 2 , LA ^ αριϑμοὶ ἀναλογον £coV TOM. v > NS tA , Ἑστωσαν τρεῖς αριθμοὶ ἀνάλογον oi A , B, T, ε ε A \ d e 4 ΝΣ 4 @6 0 À πρὸς τὸν B ουτως o B πρὸς τον T° λεγῶ
kd Roy ^ 3, » ^ - 9 M ^ 071 ὁ ἐκ τῶν À, T £606 ἐστί τῷ ἀπὸ τοῦ P.
x TE T pou τοῖν one - ELLMENTS D'EUCLIDE. 419 X: Sit autem rursus æqualis E ipsi Z5 dico esse
ut À ad B ita T ad A.
lisdem enim constructis, quoniam A ipsos T, Amulüplicans ipsos H , E fecit; estigitur ut l' ad A ita H ad E. Æqualis autem E ipsi Z; est igitur ut H ad E ita H ad Z. Sed ut H qui- dem ad E ita T ad A; et ut igitur T ad A ita H ad Z. Ut autem H ad Z ita A ad B; et ut igitur A ad B ita Γ ad A. Quod oportebat os-
tendere.
PROPOSITIO XX.
Si tres numeri proportionales sunt , ipse ex extremis equalis est ipsi ex medio ; si autem ipse ex extremis æqualis est ipsi ex medio , tres numeri proportionales erunt.
Sint tres numeri proportionales A, B, T, ut Α ad B ita B ad T; dico ipsum ex A , T æqua-
lem esse ipsi ex B.
De plus, que E soit égal à 2; je dis que A està B comme r est à Δ.
Faisons la méme construction. Puisque A multipliant les nombres Tr, ^ produit H,E, le nombre r est à ^ comme H est à E. Mais E est égal à z ; donc H està E comme H est à z. Mais H està E comme r està Δ (18. 7); donc T està ^ comme H est à Z. Mais H est à Z comme A est à B; donc A est à Β commer est à a. Ce qu'il
fallait démontrer. PARE OIPAOSCDRRSDONS X XS
Si trois nombres sont proportionnels , le produit des extrémes est égal au quarré du moyen; et si le produit des extrémes est égal au quarré du moyen, les trois nombres seront proportionnels.
Soient A, b, Γ trois nombres proportionnels ; que A soit à B comme B està r; je dis que le produit des nombres 4, r est égal au quarré de 8.
450 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
\ ^ E e P "] € * Κείσθω γὰρ TQ B ἴσος ὁ Δ' ἔστιν ἄρα ὡς ὁ A \ M LA e \ \ €: o3 32 ^ πρὸς τὸν B οὐτὼς ὁ Δ πρός τὸν T° o apa ex τῶν , 5 ^ —- 9 ^ LL) ^ A, T ἴσος ἐστὶ TO ἐκ τῶν B, Δ. O δὲ ἐκ τῶν L4 ? X --΄ 2 \ ^ 5) \ € Le B, A icoc ἐστι τῷ απὸ TCU B* ἰσὸς yap o B τῷ
€ » , M » , M ^4 9 X ^ A* o apa ἐκ τῶν À, T 1006 ἐστί τῷ ἀπὸ τοῦ Β.
»
Ponatur enim ipsi B equalis A; est igitur ut Aad B ita A ad T; ipseigiturex A, P zqualis est ipsi ex B, A. Ipse autem ex B, A æqualis est Ipsi ex B ; æqualis enim B ipsi Δ ; ipse igitur
ex A , T equalis est ipsi ex B.
[zs]
D
-
\\ € 7 re » ! ^ E M Αλλὰ δὴ ὃ ἐκ τῶν A, T ἴσος ἔστω τῷ ἀπὸ ^ , el , N ε ε ᾿ \ el ε τοῦ B* λέγω 071 ἐστιν ὡς 0 À πρὸς τὸν B ouTos 0 1 \ B πρὸς TOY T. N \ £5 ^ » , X ^- 9 \ ^ Ἐπεὶ ap o ex τῶν A , T 1606 ἐστὶ τῷ απὸ TOU M 5) ^ e 18 ^ B,6 δὲ ἀπὸ τοῦ B icoc τῷ ὑπο" τῶν B, A* E 3 ε € A Li e 4 \ Y ἔστιν ἄρα ὡς 0 À πρὸς τὸν B ουτῶς ὁ Δ πρὸς τὸν & € ^ 5) E e € \ \ T. Iccc d$ 0 B τῷ Δ᾽ ἐστιν dpa ὡς 0 À πρὸς τὸν
B οὕτως ὁ B πρὸς τὸν T, Ozep ἔδει δεῖξαι.
Sed et ipse ex A, Γ equalis sit ipsi ex 8; dico esse ut A ad B ita B ad r.
Quoniam enim ipse ex A , T æqualis est ipsi ex B, ipse autem ex B æqualis ipsi ex B, A; est igitur ut A ad B ita Δ ad r. /Equalis autem B ipsi À ; est igitur ut A ad B ita B ad T. Quod oportebat ostendere,
Que Δ soit égal à b; A sera à B comme A est à r ; donc le produit des nombres A,T est égal au produit des nombres 5, ^ ( 19. 7 ). Mais le produit des nombres Β, est égal au quarré de B ; parce que B est égal à A ; donc le produit des nombres A, Γ est égal au quarré de B.
Mais que le produit des nombres A, r soit égal au. quarré de B; je dis que Α est à B comme B est à T.
Car puisque le produit des nombres A, T est égal au quarré de 5 , et que le quarré de B est égal au produit des nombres 8, ^; le nombre 4 est à 5 comme ^ està T (19.7). Mais B est égal à δ; donc A est à B comme B est à r. Ce qu'il fallait démontrer.
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IIPOTAZXIX κα.
, , , \ ^ 3 5 M ^, οἱ ἐλαχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λογον 5 , ? n Lo * M 2 N ^ εχόντῶν αὐτοῖς μετρουσι TOUS τὸν αὑτὸν λόγον 9 315 , el / A L Noe εἐχοντας ἰσάκις. 0 TE μείζων τὸν μείζονα. καὶ o , , \ > , ἐλάττων τὸν ἐλαττονα. NAT) , 3 \ ro \ SUN Ecrwray yap ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτον , τ c , 4 λόγον ἐχόντων τοῖς A, B, oj TA , EZ* λέγω ὅτι
, M D Ne \ ἰσάκις ὃ TA τὸν À μετρεῖ καὶ © EZ τὸν B.
^ 3 A , \ O TA γὰρ τοῦ A οὐκ ἔστι μέρη. Ei γὰρ dura- \ x Nast y ^ M 3 N , τὸν. ἐστῶ" καὶ 0 EZ apa ToU B τὰ αὐτὰ pipa ej ^ eq 3] m ἐστὶν ἅπερ ὃ TA τοῦ A* ὅσα ἀρὰ ἐστὶν ἐν τῷ TA , ru ^ ) A2 Le 1 , pn ToU A, τοσαυτὰ ἐστι καὶ ἐν τῳ EZ μερὴ ^ € A \ ^ , τοῦ B. Διηρήσθω ὁ μὲν TA εἰς τὰ τοῦ A μέρη e \ , M ^ ^ τὰ TH, HA, 6 δὲ EZ εἰς τὰ τοῦ B μέρη τὰ EO , Ly. 3 \\ > \ ^ ^ re OZ* ἔσται δὴ ἴσον τὸ πλῆθος τῶν TH , HA Τῷ R6 ^ > » € πλήθει τῶν EO , OZ. Καὶ ἐπεὶ ἴσοι οἱ TH , HA
421 PROPOSITIO XXI.
Minimi numeri ipsorum eamdem rationem habentium cum ipsis metiuntur æqualiter eos eamdem rationem habentes, et major majorem, et minor minorem.
Sint enim minimi numeri l'A, EZ ipsorum eamdem rationem habentium cum A, B ; dico
equaliter A ipsum À metiri ac EZ ipsum E,
Ipse TA enim ipsius A non est partes. Si enim possibile, sit; et EZ igitur Ipsius B eedem partes est quæ ΓΔ ipsius A ; quot igitur sunt in DA parles ipsius A , tot sunt et in EZ partes ipsius B. Dividatur FA quidem in ipsas |psius A partes TH , HA, ipse vero EZ in ipsas ipsius B partes ΕΘ, OZ; erit utique equalis multitudo
ipsarum ΓΗ͂, HA multitudini ipsarum EO, ΘΖ.
PROPOSITION, XXI.
Les plus petits nombres de ceux qui ont la méme raison avec eux mesurent également ceux qui ont la méme raison avec eux , le plus grand le plus grand , et le plus petit le plus petit.
Que ΓΔ, EZ soient les plus petits nombres de ceux qui ont la méme raison avec A, B; je dis que rA mesure A autant de fois que EZ mesure B.
Le nombre ΓΔ n'est pas plusieurs parties de A; car, que cela soit, s'il est possible; Ez sera les mêmes parties de B que ΓΔ l'est de A (déf. 20. 7). Il y aura donc dans TA autant de parties de A qu'il y dans Ez de parties de 8. Partageons TA en parties de A, et que ces parties soient TH, HA; et ΕΖ en parties de B, et que ces parties soient t6, ΘΖ. Le nombre des parties TH, ΗΔ sera égal au nombre
422 M TOL dE SON \ B eS \ εἰσὶν ἀλλήλοις. εἰσὶ δὲ καὶ οἱ EO , OZ ἀριθμοὶ , I * " ^ H
1761 ἀλλήλοις", xai έστιν ἰσὸν πλῆθος τῶν TH, ΗΔ
A j 4 : UN E i
τῷ πλήθει τῶν EO , OZ* ἔστιν ἄρα ὡς ὁ TH πρὸς \ er € \ x d 4 *
τὸν EO οὕτως ὁ HA πρὸς τὸν OZ* ἔσται ἄρα καὶ € fet ^ ε ^ Y e ^ € ,
ὡς eic τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων
τ z ec " Ve oq . OUTHS απτάντες Ob ἥγουμέενοι προς auoyrac τοὺς
Α Β I H E
9.
f f e [3 \ \
ἑπομένους" ἔστιν ἄρα ὡς ὃ TH πρὸς τὸν EO
el X * H » e
οὕτως 6 ΓΔ πρὸς τὸν EZ° δ. TH, EO epa τοῖς * "DE AUS "
TA, EZ ἐν τῷ αὐτῷ λογῷ εἰσὶν . ἐλάττονες ὁντες
αὐτῶν. ὅπερ ἀδυνεπον" ὑπόκεινται yap οἱ TA,
"AM" LE , X y ;
EZ ἐλάχιστοι τῶν τὸν AUTOY λογον €y “τῶν ŒU—
E οὐδ eg fes SMS de ee M
τοῖς οὐκ ἄρα [Asp ἐστιν ὁ TA ToU A μέρος ἀρὰ E I ^ \ , X , 5 ^ : e €
καὶ 0 EZ ToU B τὸ αὐτοὶ μέρος ἐστιν omep o TA
^ ! € M D NU »
τοῦ A* ἰσάκις ἄρα 0 TA Toy À μετρεῖ καὶ o EZ
3i Tm τὸν B. Οπερ ἔδει δεῖξαι.
LE SEPTIEME LIVRE DE
S ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Et quoniam æquales ΓΗ", HA sunt inter sc, sunt autem et ΕΘ, OZ numeri inter se equales , et est æqualis multitudo ipsarum TH , HA mul- titudini ipsarum EO , OZ; est igitur ut ΓΗ ad EO ita HA ad ΘΖ; erit igitur et ut unus antece-
dentium ad unum consequentium , ita omnes
Δ
antecedentes ad omnes consequentes ; est igitur ut FH ad EO ita TA ad EZ ; ipsi TH, EO igitur cum ipsis ΓΔ, EZ in eádem ratione sunt , minores existentes Ipsis , quod est impossibile ; ponuntur enim l'A, EZ minimi ipsorum eamdem rationem habentium cum ipsis; non igitur partes est ΓΔ ipsius A ; pars igilur ; et EZ ipsius B eadem pars est qua ΓΔ ipsius À ; equaliter igitur TA
ipsum A metitur ac EZ ipsum B. Quod oporte-
bat ostendere.
des parties ΕΘ, ΘΖ ; et puisque les parties TH, HA sont égales entr'elles , que les parties ΕΘ, ΘΖ sont aussi égales entr'elles, et que le nombre des parties TH, HA est égal au nombre des parties Eo, ΘΖ ; la partie TH est à la partie Eo comme Ha est à ΘΖ; donc un des antécédents sera à un des conséquents comme la somme de tous les antécédents est à la somme de tous les conséquents (12. 7); donc rH est à EO comme ΓᾺΔ est à Ez ; donc les nombres TH , EO sont en méme raison que les nombres T^, EZ qui sont plus petits que ces derniers, ce qui est impossible; car on a supposé que ra, Ez sont les plus petits nombres de ceux qui ont la méme raison avec eux ; donc rA n'est pas plusieurs partics de 4. Donc il en est une partie ; mais EZ est la méme partie de B que rA l'est de A; donc rA mesure A autant de fois que Ez mesure B. Ce qu'il fallait
démontrer.
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 458
IIPOTAZIEX xf'!.
EIL Y XE M NET , ey Ἐάν ὡσι τρεῖς ἀριθμοὶ. καὶ ἀλλο! αὐτοῖς ἴσοι \ ES " $ " MO 2 > ^ τὸ πλῆθος σύνδυο λαμ(ανόμενοι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ AO Ὁ δὲ Ξ , ; , ^ € ΕΣ A ἊΝ 14 Ἐ \ 00, ἢ δὲ τεταραγμένη αὐτῶν ἡ ἀναλογία" καὶ E D a 3- à / » diiccU ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσονται. e 3 θ N € \ Ἑστωσαν pers ἀριῦμοι! , οἱ A, By Το καὶ 14 3 D ΕΣ \ D € 4 , ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι TO πλήθως οἱ Δ. E, Z, σύνδυο , AJ ^ 5 ^ , 1 Aag avouer ot καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ" , ἔστω \ 7) 5 ^ « ^, / € \ € de τεταραγμένη αὐτῶν n ayaAOyie , ὡς μέν 0 À i \ e € \ \ LI ^ ΕΣ πρὸς τὸν B οὕτως 0 E πρὸς τὸν Z3 06 δὲ 08 \ \ e € ^ M LA e X πρὸς τὸν T ouTwc 0 À πρὸς τὸν E* λέγω OTI καὶ ^ 5 sy € € \ \ el € \ δέίσου ἐστὶν ὥς 0 À πρὸς τὸν T ouTos 0 À πρὸς
M Toy L.
DI | >
PROPOSITIO XXII.
Si sunt tres numeri , et alii ipsis æquales mul- ütudine bini sumpti et in eâdem ratione , sit aulem perturbata eorum proportio ; et ex æquo in eádem ratione erunt,
Sint tres numeri A , B, Γ΄, et alii Δ, E, Z, ipsis equales multitudine bini sumpti et in eàdem ratione , sit autem perturbata eorum proportio , ut A quidem ad B ita E ad Z, ut B vero ad r ita À ad E; dico et ex æquo esse ut À ad P ita A ad Z.
[es]
N
Ν , *, ε * N \ e e Ἐπεὶ γὰρ ἐστιν ὡς 0 À πρὸς τὸν B cuTOc 0 E \ \ * y 3 ^ » 3 \ - 9 πρὸς τὸν Z° o ἄρα ἐκ τῶν À, L ἰσὸς ἐστι τῷ &X. ^ € e \ M τῶν B , E, Πάλιν 5 ἐπεί ἐστιν ὡς ὃ B πρὸς τον T
5 : RE ME UE ee y οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν E* 6 ἄρα ex τῶν T Δ 1606
Quoniam enim est ut A ad B ita E ad Z; ipse igitur ex A , Z æqualis est ipsi ex B , E. Rursus , quoniam ut B ad T ita A ad E; ipse
igitur ex D, À æqualis est ipsi ex B, E. Os-
PROPOSITION XXII.
Si l'on a trois nombres et autant d'autres nombres , si ces nombres pris deux à deux sont en méme raison, et si leur proportion est troublée, ces nombres
seront en méme raison par égalité.
Soient A,B,T trois nombres, et autant d'autres nombres ^4, E,7; que ces
nombres pris deux à deux soient en méme raison , et que leur proportion soit troublée ; c'est-à-dire que A soit à B comme E està Z , et que B soit à T comme A est à E; Je dis que par égalité A està r comme Δ est à Z.
Car puisque A est à Β comme E està Z , le produit des nombres Α, 2 est égal au produit des nombres B,E (19.7). De plus, puisque B est à r comme ^ est à E ; le produit des nombres r , Δ est égal au produit des nombres 5, E. Mais
424, LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
LT EM y A Ne | ^ ἐστὶ τῷ ἐξ τῶν Β. E. Εδείχθη δὲ καὶ ὃ ἐκ τῶν A, PL Ve ob PA ;
2 ἴσος τῷ ἐκ τῶν B, E' καὶ 0 ἐκ τῶν A , Z apa , ^ ^ »! »! δ e D \ ἴσος τῷ ἐκ τῶν T y A* ἐστιν ἄρα ὡς o À προς TOY
T οὕτως © Δ πρὸς τὸν Z. Οπερ ἔδει δεῖξαι.
, IIPOTAZIZ xy. ^ \ » , 5 M» Ν Οἱ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ ἐλαχιστοὶ Ν ΩΣ ^ 5 \ LA 5 , 3 ^ εἰσὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, m A , , 5 \ e Ἑστωσαν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ οἱ , L7 " /05 "t Y A, B* λέγω ὅτι οἱ. B ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν
, M , > , > ^ αυτον λόγον ἐχόντων AUTOIG,
[Es
tensus est autem et ipse A, Z æqualis ipsi ex B, E; et ipse ex A, Z igitur æqualis ipsi ex T, A; estigitur ut A ad T ita A ad Z. Quod opor-
tebat ostendere.
PROPOSITIO XXIII.
Primi inter se numeri minimi sunt eoruni camdem rationem habentium cum ipsis.
Sint primi inter se numeri À , B ; dico ipsos A, B minimos esse eorum eamdem ralionem
habentium cum ipsis.
ve
E
D
F
M X f , m , , Εἰ yap μὴϊ. ἔσονταί τινες τῶν À, B ἐλάσ- : MSN ES te - covec? ἀριθμοὶ ev τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς À, B.
Ecrwray οἱ T , A.
$i enim non , erunt aliqui ipsis A, B minores numeri in eádem ralione existentes cum ipsis A, B. Sint P, A.
on a démontré que le produit des nombres A, Z est égal au produit des nombres 8,E; donc le produit des nombres 4,7 est égal au produit des nombres r, ^; donc A est à r comme Δ est à Z( 19. 7). Ce qu'il fallait démontrer.
PROPOSITION XXIII.
Les nombres premiers entr'eux sont les plus petits de ceux qui ont la méme
raison avec eux.
Que 4, B soient des nombres premiers ent'eux ; je dis que les dab A,B éont les plus petits de ceux qui ont la méme raison avec eux.
Car s'ils ne le sont pas, il y aura des nombres plus petits que A, B qui auront la méme raison avec A, P. Que ce soient T, A.
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 425
2.\ icu e» , > \ ns \ » ^ Ἐπεὶ οὖν οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν , , ^ \ \ 32V 2 λογον ἐχόντων μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λογον 3} ἈΠῸ P ei "m \ elt À Nt εχοντας ἰσάκις. 0 τέ μείζων τὸν paesi Gave y καὶ ὁ \ , eq ε , ἐλάττων τὸν ἐλάττονα. τουτέστιν. τε ἡγούμενος A € , NES , \ € , 5 , τονηγουμενον, κα! 0 €TOJAGVOG τὸν CT OJAGVOY* σαῖς D: DC A , M ἄρα 0T τὸν A μετρεῖ καὶ o Δ τὸν B. Ὅσακις δὴ ΓΕ e RÀ , » 3 oT τὸν A μετρεῖ. occum μονάδες eC TQUA ἐν ru, \ 3, \ m \ MPs. τῷ Ἐ" καὶ ὃ Δ epa τὸν B μετρεῖ xeu τὰς εν
^ 6.9, \ € \ e M τῷ E μονάδας. Καὶ «πε o Y τὸν ἃ epe κατὰ
^ NM e » M e adc ἐν τῷ E μονάδας" καὶ ὃ E ἄρα τὸν À μετρεῖ
M \ ^ \ \ 3 X \ \ κατὰ τὰς ἐν TQ T μονάδας, Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ € \ e \ ^ > ^ Ty QU c E τὸν B [aevpes κατὰ τὰς ey TQ Δ μοναδας" o
» ^ e , v M E «pa Tous A, B μετρεῖ. πρώτους ovrTeG πρὸς 3 , ei 3 Ν ^»n > L4 LA ἀλλήλους. ὁπερ ἐστιν ἀδύνατον" οὐκ ἄρα ἐσονται Ὁ Ee dA , TU EN. TD -“ LS TIVes τῶν À , B ἐλάσσονες «ριθμοὶ εν τῷ αὐτῷ e € » H LA y λόγῳ ὄντες τοῖς A, B* oi A, B pet ἐλαχίστοι E] ^ \ FETA , > 3 m εἰσὶ τῶν TOV GOTOV λογον ἐχόντων αὐτοῖς. OT EP ἔδει δεῖξαι.
Et quoniam minimi numeri corum eamdem rationem habentium metiuntur æqualiter ipsos eamdem rationem habentes, οἱ major majorem, et minor minorem, hoc est, et antecedens ante- cedentem , et consequens consequentem ; æqua- liter igitur T ipsum A metilur ac Δ ipsum B. Quoties autem T' ipsum A metitur, tot unitates sint in E; et A igitur ipsum B metitur per unitates quæ in E. Et quoniam T' ipsum A me- litur per unitates quæ in E; et E igitur ipsum A melitur per unitates qua in T. Propter eadem ulique ct E ipsum B metitur per unitates qua in À ; ipse E igitur ipsos A, B metitur , primos existentes inter se, quod est impossibile ; non igitur erunt aliqui ipsis A, B minores numeri in eádem ratione existentes cum ipsis A, B; ipsi A; B igitur minimi sunt corum camdem ralio- nem habentium cum ipsis. Quod oportebat os-
tendere.
Puisque les plus petits nombres de ceux qui ont la méme raison avec eux mesurent également ceux qui ont la méme raison (21.7), le plus grand le plus grand , et le plus petit le plus petit, c'est-à-dire, l'antécédent l'antécédent, et le conséquent le conséqueut ; le nombre r mesurera le nombre 4 autant de fois que Δ mesurera B. Qu'il y ait dans E autant d'unités que r mesure de fois A; le nombre A mesurera B par les unités qui sont en E. Mais r mesure A par les unités qui sont en E ; donc le nombre E mesure A par les unités qui sont en r. Par la méme raison , E mesure B par les unités qui sont en A; donc E mesure les nombres A , B qui sont premiers entr'eux , ce qui est impossible; donc il n'y a point de nombres plus petits que A , B qui ayent la méme raison avec les nombres A, B; donc les nombres A, B sont les plus petits de ceux qui ont la méme raison avec eux. Ce qu'il fallait démontrer.
426 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
, HPOTAZSIZ xd", 32 , 3 B" D M , \ Oi ἐλάχιστο; ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον 5 , > La) e \ 3 F εχόντων αὐτοῖς πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίνο > , 3 \ ^ ^ 3 X EcTooay ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τὼν TOY αὐτὸν , ΕΣ > D € , L4 λόγον ἐχόντων αὐτοῖς οἱ A, B* λέγω ὅτι oi A , B ^ 4 ES , » 7 σρῶτοι πρὸς &AMIAGUEG εἰσίν. \ ^ \ ᾽ , Ei ydp μή εἰσι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ AB, , , ^ 3 , , \ μέτρησει τις αὐτοὺς ἀριθμός. Μετρείτω; καὶ E e vie , \ € M e £770 0 T. Karocasic μὲν © T τὸν À μέετρε;, το- ^ , 3! 3 ^ ε , ie σαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ À, ὁσάκις δὲ 0T
X (e es , » > ^ τὸν B μετρεῖ. τοσαῦται μονάδες ἐστωσαῖν ἐν τῷ E.
»
PROPOSITIO'UXXIV.
Minimi numeri eorum eamdem rationem habentium cum ipsis , primi inter se sunt.
Sint minimi numeri eorum eamdem ratio nem habentium cum ipsis A, B; dico A, B primos inter se esse.
Si enim non sunt primi inter se A, B, metietur aliquis ipsos numerus. Metiatur, et sit P. Et quo- ties T quidem ipsum A melitur, tot unitates sint in A , quoties vero T' ipsum B metitur, tot uni-
tales sint in E.
Ὁ
-
Ξ Γ
Καὶ ἐπεὶ ὃ T τὸν A μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Δ μονάδας" o T dpa τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν À πεποίηκε. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ 0 T τὸν E πολ- λαπλασιάσας τὸν B πεποίηκεν" ἀριθμὸς δὴ ὁ T δύο ἀριθμοὺς τοὺς Δ, E πολλαπλασιάσας τοὺς
Et quoniam P ipsum A metitur per unitates que in À ; ipse T' igitur ipsum À multiplicans ipsum A fecit. Propter eadem utique et T ipsum E multiplicaus ipsum B fecit; numerus igitur T
duos numeros A, E mulüiplicans ipsos A, B
PROPOSITION XXIV.
Les plus petits nombres de ceux qui ont la méme raison avec eux , sont
premiers entr'eux.
Que ^, 8 soient les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec eux; je dis que les nombres 4, 8 sont premiers entr'eux.
Car si les nombres A, B. ne sont pas premiers enu"eux , quelque nombre les mesurera. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit r. Qu'il y ait dans Δ autant d'unités que r mesure de fois A , et qu'il y ait dans E autant d'unités que
r mesure de fois P.
Puisque r mesure A par les unités qui sont dans A, le nombre r multipliant ^ produira A. Par la méme raison, r multipliant E produit B ; donc le nombre r multipliant les deux nombres ^, E produira 4, 5; donc A est à E comme A est
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 427
2 4 € e \ \ A, B πεποίηκεν" ἔστιν ἄρα ὡς ὃ Δ πρὸς τὸν E μὲ M Y 1 e οὕτως δ À πρὸς τὸν B* οἱ A, E ἄρα τοῖς A, B EJ ^ , ^ , > \ 3 , LA 2 -“ €y τῷ αὐτῷ λογῷ εἰσὶν. ἐλάσσονες οντες αὐτῶν . e > by > n/ > sl ^ 3 περ ἐστιν ἀδύνατον" οὐκ ἀρὰ Tous A, B ἀριθ-- ^ 2 , ΄ , € EA D μους ἀριθμός τις μετρησει" 0) À, B apa πρῶτος ^ > , LA D? πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, Οπερ ἔδε, δεῖξαι.
ΠΡΟΤΑΣΙΣ xí.
Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, e ^ e » ^ ὁ τὸν ἕνα αὐτῶν μετρῶν ἀριθμὸς πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος ἔσται. , , Ν Lo \ , , Ἑστωσαν dvo ἀριθμοὶ FPUTOI πρὸς ἀλλήλους oi A, B, τὸν δὲ A μετρείτω τις ἀριθμὸς ὃ T° LA ^ » , λέγω ὅτι καὶ οἱ B, T πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
>
fecit; estigitur ut A ad E ita A ad B; ipsi A, E igitur cum ipsis À , B in eádem ratione sunt , minores existentes ipsis , quod est impossibile ; non igitur ipsos À, B numeros numerus aliquis metietur; ipsi À, B Igitur primi inter se sunt.
Quod oportebat ostendere.
PROPOSITIO XXV.
Si duo numeri primi inter se sunt, nu- merus unum eorum meliens ad reliquum pri- mus erit.
Sint duo numeri primi inter se A , B, ipsum autem A meliatur aliquis numerus Pl; dico et
ipsos B , T primos inter se esse.
to
1
D
Ei yàp μή εἰσιν οἱ B, T πρῶτοι πρὸς ἀλλή- λους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμὸς, Μετρείτω.
" ε NUI re ι δι ΔΝ καὶ ἔστω ὁ Δ. Καὶ ἐπεὶ 0 Δ τὸν T μετρεῖ. ὁ δὲ
Si enim non sint B, T primi inter se , metic- tur aliquis ipsos numerus. Metiatur , et sit A,
Et quoniam A ipsum TP metitur, ipse autem TI
à Β (17. 7); donc les nombres 4, E ont la méme raison que les nombres 4, 5, qui sont plus petits qu'eux , ce qui est impossible; donc quelque nombre ne mesurera pas les nombres 4, B; donc A, B sont premiers enu'eux. Ce qu'il fallait démontrer.
PROPOSITION XXY.
Si deux nombres sont premiers entr'eux , le nombre qui mesure l'un d'eux sera premier avec l’autre.
Que les deux nombres A, Β soient premiers entr'eux ; et que quelque nombre r mesure A ; je dis que B, T sont premiers entr'eux.
Car que B, T ne soient pas premiers enu'eux , quelque nombre les mesurera ; que quelque nombre les mesure, et que ce soit A, Puisque à mesurer , et que
428 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
€ RJ 9
\ ^ ^ M m T τὸν A ppt καὶ ὁ A opa τὸν À μέτρε:-
περ ἐστὶν ἀδύ-
; y acc
πρώτους CYTAS πρὸς ἀλλήλους. ὁπ
γατον" οὐκ ἄρα Tous A , B ἀριθμοὺς ἀριθμός τις « ^ 4 5 ^
μετρήσει" δ, D: 8 ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους
TS d » d
εἰσίν. Οπερ ἴδει δεῖξαι.
ΠΡΟΤΑΣΙΣ "ς΄.
32 495 anui er re RU e Ear duo ἀριθμοι πρὸς τίνα ἀριῦμον πρῶτοι D Ne zi 3 πρῶ , \ \ 8... κα OI , καί 0 εξ αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν αὐτὸν ^ LA πρῶτος ἐστα!. \ 3 Ν * , ? 1 Avo γὰρ ἀριθμοὶ οἱ A, B πρὸς viva, ἀριθμὸν \ B y Sot à n TOY T πρῶτοι ἐστωσαν , καὶ 0 À τὸν B πολλα- N , , eh € mharidouc τὸν Δ ποιείτω" λέχω OTI οἱ T, Δ - \ >. 3j πρώτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν».
p La!
ipsum A metitur ; et A igitur ipsum À metitur. Metitur autem et ipsum B ; ipse A igitur ipsos A , B metitur, primos existentes inter se, quod est impossibile; non igitur ipsos A, B numeros numerus aliquis metietur ; ipsi P, B igitur primi
inter se sunt. Quod oportebat ostenderc.
PROPOSITIO XXVI.
Si duo numeri ad aliquem. numerum primi sunt, οἱ ipse ex ipsis factus ad eum primus erit.
Duo enim numeri À, B ad aliquem numerum T primi sint , et A ipsum B multiplicans ipsum
A faciat; dico Γ΄, ^ primos inter se esse.
N [th
Ei γὰρ μή εἶσιν οἱ T , À πρῶτοι πρὸς ἀλλή- λους. μετρήσει τις τοὺς T, A? ἀριθμός, Με-
» Ἂς Ν ε - τρείτω, καὶ ἔστω δ E. Καὶ ἐπεὶ οἱ T , A πρῶτοι
Si enim non sint T, A primi inter se, metietur aliquis ipsos T, A numerus. Metiatur, et sil E.
Et quoniam P, A primi inter se sunt , ipsum
r mesure A, le nombre ^ mesurera 4. Mais il mesure B ; donc Δ mesure 4, B qui sont premiers entr'eux , ce qui est impossible (déf. 12. 7) ; donc quelque nombre ne mesurera pas A, b; donc T, B sont premiers entr'eux. Ce qu'il fallait démontrer.
PRQOQPOSUPION XXYL
Si deux nombres sont premiers avec quelque nombre , le produit de ces deux nombres sera un nombre premier avec ce nombre.
Que les deux nombres A, B soient deux nombres premiers avec quelque nombrer, et que A multipliant B fasse ^ ; je dis que T, Δ sont premiers entr'eux.
Car si T, A ne sont pas premiers entr'eux , quelque nombre mesurera Tr , A. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit E. Puisquer, 4 sont premiers entr'eux ,
Y C LE SEPTIEME LIVRE DES Y 3 ΄ ^ \ Δ D , M πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ. τὸν δὲ T μετρεῖ τις ἀριθμὸς € »! ^ bl 2 , 937 0 E' o] E, A ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. , M € A Di ^ , Οσάκις δὲ 0 E τὸν Δ μῆτρε! 5 τοσαυταιὶ μονάδες LÀ 32 ^ Ne » \ D M ἐστωσαν €y TQ L* καὶ 0 Z ἀρὰ τὸν Δ μετρεῖ κατὰ x ri» L3 , € y \
Tac ἐν τῷ E μονάδας" 0 E ape Tov Z πολλαπλῶ- , M A \ \ e M σιάσας TOV Δ πεποίηκεν. AAAd μὴν καὶ € A τὸν
, \ y " B πολλαπλασιάσας TOV Δ πεποίηκεν" ἴσος apz 3 «ὦ ^ ^» M M dise. € στὶν 0 ἐκ τῶν E,Z τῷ ἐκ τῶν A, B. Ἐὰν δὲ ὃ e b ^ a € € A Ld , e ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος A τῷ ὑπὸ τῶν μέσων , 0, , > NACL LA 3 7 E » Li € τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον εἰσὶν" ἐστὴν ἀρὰ ὡς 0 \ e € M \ € M E πρὸς τὸν A οὕτως ὃ B πρὸς τὸν Z. Οἱ δὲ A, E f Lj MN ^ \ , , € ét πρῶτοι. 04 δὲ πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι 5). 0) δὲ SP > \ ^ \ 3; 5X , DE, ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν TOY AUTO. λογον € 0V TOY m ^ ^ M \ , » αὐτοὶς μέτρουσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας 9. (4 eu 1 A 1 N^ er , ἰσώπις. 0 τε μείζων τὸν μείζωνα.. καὶ ὃ ἐλάσσων 1 , , e £ € \ τὸν ἐλάσσονα. TOUTES TI, ὃ Te ἡγούμενος TOY ε + AN (ΡΒ. , \ LI , Li ἡγουμέενον5 καὶ ὁ $cOp4voc τὸν e7r0jAevOy* o E ἄρα τὸν B μετρεῖ. Μετρεῖ δὲ καὶ τὸν T° 6 E. ἄρα \ e , » \ 2: , ποῦς B, T μετρεῖ πρώτους ὄντας πρὸς æAANAOUS, N , 2 3) ^ , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. Οὐκ ὅρα τοὺς T, Δ ἀρι8- Ÿ > ^ , / € 39 “, μους ἀριθμός τις μετρήσει" 0, T , Δ ἀρὰ πρῶτοι
πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, Οπερ ἔδει, δεῖξαι.
ELEMENTS D'EUCLIDE: 429 autem T mcüiur aliquis numerus E; Ipsi E, A igitur primi inter se sunt. Quoties autem E ipsum A metitur, tot unitates sintin Z; et Z igitur ipsum A melitur per unitates qui in E; ipse E igitur ipsum Z multiplicans ipsum A fecit. Sed et A ipsum B multiplicans ipsum A fecit; æqualis igi- tur estipse ex E, Z ipsi ex A , B. Si autem Ipse ex extremis æqualis est ipsi ex mediis, quatuor numeri proportionales sunt; est igitur ut E ad À ita B ad Z. Ipsi autem A , E primi, ipsi vero primi et minimi , minimi autem numeri ipsorum eamdem rationem habentium cum ipsis metiun- tur æqualiter ipsos eamdem rationem habentes , et major majorem, et minor minorem , hoc est, et antecedens antecedentem , et consequens consequentem ; ipse E igitur ipsum B metitur. Metitur autem et ipsum T'; ipse E igitur lpsos B, Τ' meüitur primos existentes inter se, quod est impossibile. Non igituripsos T, A numeros numerus aliquis melietur; ipsi D, A igitur primi
inter se sunt. Quod oportebat ostendere.
et qu'un nombre E mesure r, les nombres E , A seront premiers entr'eux ( 25. 7). Qu'il y ait dans Z autant d'unités que E mesure de fois A ; le nombre z mesurera A par les unités qui sont dans E ; donc E multipliant z produira 4. Mais A mulüpliant B produit ^ ; donc le produit de E par Z est égal au produit de A par B. Mais lorsque le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, les quatre nombres sont proportionnels ( 19. 7) ; donc E est à ^ comme B est à z. Mais les nombres 4, E sont premiers entr'eux ; etles nombres premiers entr'eux sont les plus petits de ceux qui ont la méme raison avec eux (25. 7) , et les nombres qui sont les plus petits de ceux qui ont la méme raison avec eux, mesurent également ceux qui ont Ja méme raison ( 21. 7 ), le plus grand le plus grand , et le plus petit le plus petit, c'est-à-dire l'antécédent l'antécédent , et le conséquent le conséquent; donc E mesure B ; mesure les nombres P , T qui sont premiers entr’eux , ce qui est impossible. Donc quelque nombre ne mesurera pas T, ^; donc T, A sont premiers enu'eux. Ce qu’il fallait démontrer.
mais il mesure r ; donc.
430 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
HPOTAZXIZ #2.
Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους GI, 6 ἐκ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος ἔσται.
Ἑστωσαν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους οἱ A, B, καὶ 6 A ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν T ποιείτω" λέγω ὅτι oi T , B πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους
Tf
$121.
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l
^ ” e \ 5 Ν ε Κείσθω γὰρ τῷ A ἴσος ὃ A. Kai! ἐπεί od A, Β - i , Ἂς » NA e ^ ὃ σρωτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν 9 ἐσὸς δέος τῳ Δ » M \ LE xb καὶ οἱ A,B ἄρα grpe Tot πρὸς ἀλλήλους εἰσιν" ε » ^ M ^ ^ , , ἑκάτερος ἄρα τῶν ^, À πρὸς τὸν Β πρῶτος ἐστι" x.€: 53 ^ DA , À A \ B καὶ 0 ἐξ τῶν À, À dpa γενόμενος πρὸς To’ * E , ; TpoTcc ἔστα:. [9] δὲ ἐκ τῶν À . À γενόμενος ap19-
, EL ^ M > , μός ἐστιν ὃ T* οἷ T , B ἄρα πρῶτο; πρὸς αλλήη-
^
PROPOSITIO XXVII.
Si duo numeri primi inter se sunt , ipse ex
uno Ipsorum factus ad reliquum primus erit.
Sint duo numeri primi inter se A, B, et A se ipsum multiplicans ipsum T faciat ; dico I, B
primos inter se esse,
Ponatur enim ipsi À æqualis A. Et quoniam A, B primi inter se sunt , æqualis autem A ipsi A; et A, B igitur priui inter se sunt; uterque igitur ipsorum A, A ad B primus est; et ipse ex A, A igitur factus ad ipsum B primus erit. Ipse aulem ex À, A factus numerus est I; ipsi P,
B igilur primi inler se suut. Quod oportebat
λους εἰσίν. Οπερ idu δεῖξαι. ostendere.
PROPOSITION XXVII.
Si deux nombres sont premiers entr'eux , le quarré de l'un d'eux est premier avec l'autre.
+
Que les deux nombres 4, B soient premiers entr'eux , et que A multiplié par lui-même produise r; je dis que T, Β sont premiers entr'eux.
Que Δ soit égal à 4. Puisque A, B sont premiers entr'eux , et que A est égal à Δ, les nombres ^ , Β sont premiers entr'eux ; donc chacun des nombres 4 , A est premier avec £ ; donc le produit de 4 par A sera premier avec B ( 26. 7 ). Mais le produit de 4 par 4 est r ; donc les nombres r,B sont premiers enu'eux. Ce qu'il fallait démontrer.
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IIPOTAZIZ zi.
Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς δύο ἀριθμοὺς. ἀμφότε- pos πρὸς ἑκάτερον. πρῶτοι ὦσι" καὶ οἱ ἐξ αὐτῶν γενόμενοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται.
Δύο yp ἀριθμοὶ οἱ A , B πρὸς δύο ἀριθμοὺς ποὺς T, A, ἀμφότερο; πρὸς ἑκάτερον, πρῶτοι ἔστωσαν. καὶ ὃ μὲν Α τὸν Β πολλαπλασιάσας τὸν E ποιείτω. 0 δὲ T τὸν Δ πολλαπλασιάσας τὸν 2 ποιείτω" λέγω ὅτ, οἱ E, 2 πρῶτο; πρὸς ἀλλήλους εἰσίν.
>
I: |
431
PROPOSITIO XXVIII.
Si duo numeri ad duos numeros , uterque ad utrumque, primi sunt; et ipsi ex ipsis facti primi inter se erunt,
Duo enim numeri A, B ad duos numcros T, A, uterque ad utrumque , primi sint , et À quidem ipsum B multiplicans ipsum E faciat ipse vero T ipsum A multiplicans ipsum Z faciat ;
dico E , Z primos inter se esse.
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up
1 ᾿ ^ NC PAN Ἐπεὶ yap ἑκάτερος τῶν À , B pog TOv T L2 ‘ ΕΣ MMC Lot) ^ e , πρῶτός ἐστι. καὶ ὁ ἐκ TOY Α΄. B apa γενόμενος τὰ E] M» Ὁ πρὸς τὸν Τ πρῶτος ἔσται. © δὲ ἐκ τῶν A, B ε E ^ ^ γενόμενός ἐστιν ὃ E* οἱ E, T ἄρα πρῶτοι πρὸς , *, χί ^ , ' M a eec ἀλλήλους εἰσί, Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἷ» Ἐπ Ὁ ^ * , e , L4 ^ πρῶτο; πρὸς ἀλλήλους εἰσίν" ἑκάτερος ἄρα τῶν
3 N € » ^ T, A πρὸς τὸν E πρῶτός ἐστι" καὶ ὁ ἐκ τῶν
Quoniam enim uterque ipsorum A , B ad T primus est, etipse ex A , B igitur factus ad Γ' primus erit, Ipse autem ex A, B factus est Es Jpsb Ej T igitur primi inter se sunt. Propter eadem utique E , A primi inter se sunt; uter- que igitur ipsorum T', A ad E primus est; et
ipse ex P, A igitur factus ad E primus erit,
PROPOSITION XXVIII.
Si deux nombres sont premiers avec deux autres, lun et l'autre avec l'un et l'autre , leurs produits seront premiers entr'eux. Que les deux nombres 4, B soient premiers avec les deux nombres r,4 , l'un
et l'autre avec l'un et l'autre ; que A multipliant B produiseE, et que r multipliant A produise z ; je dis que les nombres E,z sont premiers entr'eux.
Puisque chacun des nombres A, 5 est premier avec r, le produit de A par B sera premier avec r (26.7). Mais le produit de A par B est E; donc les nombres E,T sont premiers entr'eux. Par la méme raison E, A sont premiers entr'eux ; donc chacun des nombres r, A est premier avec E ; donc le produit de r par δ
*
432 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Ἐὰν δύο ἐριθβμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσι. A € , € \ ^^ καὶ πολλαπλασιάσας SHATEPGS eaUTOV ποιῇ TI- I € , 3.8» LN ^ A 3e. 7 va! , 0) γενόμενο! εξ αὐτῶν πρῶτοι πρὸς AU 1 À E 3 ^ ^ , AcUc ἔσονται" πᾷν οἱ ἐξ ἀργῆς TOUS γενομένους , ^ _! ^ ^M πολλαπλασιίασαντες TTOLUGS τινας. HAMEIVOI πρω- \ > ^. E ΔῈ δι Ν \ τοι πρὸς ἀλλήλους ἐσονται" καὶ Cel περὶ τοὺς ἄπρους τοῦτο συμξαΐνει. Esroray ἀριθμοὶ dvo? πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους
\
€ € € \ , A 08 A, B, καὶ 0 À εαὐτὸν πολλοσπλασιασας TOY
A
, \ ^ * "DM T ποιείτω. τὸν d$ T πολλαπλασιίσας τὸν E
hA
e à € \ s E με ποιείτω". ὃ δὲ B εαὐυτὸν μὲν" σπιλλαπλασιασα M
\ ^ - , τὸν Δ ποιείτω. τὸν δὲ À πολλαπλασιίᾶσας TOV Z
Ipse autem ex T, Δ factus est Z ; ipsi E, Ζ igitur primi inter se sunt. Quod oportebat os-
tendere.
PROPOSITIO XXIX.
Si duo numeri primi inter se sint, ct multiplicans uterque se ipsum faciat aliquos , facti ex ipsis primi inter se erunt; et si ipsia principio factos multiplicantes faciant aliquos , et illi primi inter se erunt; et scmper circa
extremos hoc continget.
Sint duo numeri A , 8 primi inter se, et A
se ipsum mulüplicans ipsum FP faciat , ipsum
autem P multiplicans ipsum E faciat, ipse autem B quidem se ipsum multiplicans ipsum A faciat , ipsum vero A multiplicans ipsum Z faciat; dico
οἱ ipsos P , E et ipsos A, Z primos inter se esse.
*
sera premier avec E (26. 7). Mais le produit de r par ^ est z ; donc les nombres E, Z sont premiers entr'eux. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XXIX.
Si deux nombres sont premiers entr'eux , et si ces nombres étant multipliés par eux-mémes font des nombres, les produits de ces nombres seront premiers entr'eux ; et si les nombres proposés multipliant les produits font d’autres nom- bres, ces derniers seront aussi premiers entr'eux , et il en sera toujours ainsi pour les derniers nombres qui auront été produits.
Que les deux nombres A , Β soient premiers entr’eux , que A étant multiplié par lui-même fasse T, que A multipliantr fasse E, que B étant multiplié par lui-même fasse ^, que Β multipliant A fasse z ; je dis que T, E et ^, Z sont premiers entr'eux.
x
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 433
Ἐπεὶ “ἢ; οἱ A,B πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ.
καὶ 0 À εαυτὸν πολλαπλασιώσας τὸν T πεποίη- κεν" ci T , B ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσί, Ἐπεὶ οὖνί οἱ T , B πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ, καὶ 0 B ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεέποίη- κεν. οἱ T, A ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσί. Πάλιν. ἐπεὶ οἷ A, B πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ. καὶ 6 B ἑαυτὸν πολλαπλασιάσας τὸν Δ πεποίηκεν" οἷ A, Δ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν" ἐπεὶ οὖν δύο ἀριθμοὶ oí A, T. πρὸς δύο ἀριθμοὺς τοὺς B, Δ ἀμφότεραι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοί εἶσι" καὶ ὃ ἔκ τῶν A, T ἄρα γενόμενος πρὸς τὸν ἐκ τῶν B, A πρῶτός ἐστι. Καὶ ἔστιν ὁ μὲν ἐκ τῶν Α.Τ GE, ὃ δὲ ἐκ τῶν Β. Δ ὃ Ζ᾽ o E, Z ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. Οπερ ἔδει δεῖξαι,
IIPOTAZXIZX X.
^ , 3 Ν ^ M 9 Le Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους (61 , Ν , \ e > n ^ καὶ συγοιμφότερος πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν πρῶτος X» \ » \ , e Y ἐσται" καὶ ἐὰν συναμφότερος πρὸς ἕνα τινὰ > Co c5 a Seo s \ ES αὐτῶν πρῶτος ἢ. καὶ οἱ ἐξ ἀρχὴς ἀριθμοὶ πρῶτοι M , , ΕΣ πρὸς ἀλλήλους ἐσονται-
Quoniam enim A, B primi inter se sunt, ct A se ipsum multiplicans ipsum FP fecit; ipsi , B igitur primi inter se sunt. Et quoniam Γ΄, B primi inter se sunt, et B se ipsum multiplicans ipsum Δ fccit, ipsi , A igitur primi inter se sunt. Rursus , quoniam A, B primi inter se sunt , et B se ipsum multiplicans ipsum A fecit ; ipsi A, A igitur primi inler se sunt ; et quoniam duo numeri A , T ad duos numeros B , Δ uterque ad utrumque primi sunt; et ipse ex ipsis A, T igitur factus ad ipsum ex ipsis B, A primus est. Et est ipse quidem ex A, T ipse E, ipse vero ex B, A ipse Z; ipsi E, Z igitur primi inter sc sunt, Quod oportebat ostendere.
PROPOSITIO XXX.
Si duo numeri primi inler se sunt , et uterque simul ad utrumque eorum primus erit; et si uterque simul ad unum aliquem eorum primus est, et ipsi a principio numeri primi inter se
erunt.
Puisque les nombres A, B sont premiers entr'eux, et que A étant multiplié par lui-même fait r , les nombresr, Β sont premiers enu'eux (27. 7 ); et puisque r, B sont premiers entr'eux, et que B multiplié par lui-même fait 4, les nombres r,A sont premiers entr'eux. De plus, puisque A, B sont premiers entr'eux , et que 8 multiplié par lui-même a fait ^, les nombres 4, ^ sont premiers entr'eux. Mais les deux nombres A, r sont premiers avec les deux nombres B,4, et l'autre avec l'un et l’autre ; donc le produit de A par r est premier avec le produit de Β par Δ (28. 7.) Mais le produit de A par r est E, et le produit de B par 4 est z. Donc les nombres E , z sont premiers enu'eux. Ce qu’il fallait démontrer.
l'un
PROPOSITION XXX.
Si deux nombres sont premiers enti'eux , leur somme sera un nombre premier avec chacun d'eux ; et si leur somme est un nombre premier avec chacun d'eux,
les deux nombres proposés seront premiers enu"'eux. AT 09
434
Συγκείσθωσαν γὰρ δύο ἀριθμοὶ πρῶτο; πρὸς ἀλλήλους. οἱ AB, BI* λέγω ὅτι καὶ συναμφό-- «poc ὃ AT πρὸς ἑκάτερον τῶν! AB, ΒΓ πρῶτός ἐστιν.
A^ Δ
1
Ei γὰρ pui εἶσιν οἱ TA, AB πρῶτοι πρὸς ἀλ- Padoue, μετρήσει τις τοὺς TA, AB? ἀριθμός. Μετρείτω, καὶ ἔστω ὃ A. Ἐπεὶ οὖν 0 Δ τοὺς ΤᾺ. AB μιτρεῦ" καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΒΓ μετρήσει. Μετρεῖ δὲ καὶ τὸν BA* ὁ Δ ἄρα τοὺς ΑΒ. ΒΓ μετρεῖ, πρῶτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ ἀρα τοὺς TA , AB ἀριθμοὺς ἀριθμός Tic μετρήσει" o TA , ΑΒ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ οἱ AT , TB πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἸσίνθ" ὃ TA ἄρα πρὸς ἑκάτερον τῶν AB , ΒΓ πρῶτός ἐστι.
Ἑότωσαν δὴ πάλιν οἱ TA, ΑΒ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους," λέγω ὅτι καὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίνο
Ei γὲρ μή εἶσι πρῶτοι οἱ AB, ΒΓ πρὸς ἀλ- λήλους. μετρήσει τις τοὺς AB, BI? ἀριθμός,
ν ε
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
Componantur duo numeri primi inter se AB, ΒΓ ; dico et utrumque simul AT ad utrumque
eorum AB, ΒΓ primum esse.
Si enim non sint TA , AB primi inter se, meüetur aliquis ipsos FA, AB numerus. Melia- tur, οἱ sit A. Et quoniam A ipsos TA, AB meti- lur; et reliquum igitur BP mctielur. Metitur auiem et ipsum BA ; ipse A igitur ipsos AB, BP metitur, primos existentes inter se, quod est impossibile; non igitur PA, AB numeros nume- rus aliquis melietur ; ipsi TA, AB igitur primi inter se sunt. Propter cadem utique et AT, TB primi inter se sunt; ipse TA igitur ad utrumque ipsorum AB, BP primus est.
Sint et TA, ΑΒ primi inler se; dico et AB, Br
primos inter se esse.
Si enim non sint primi AB, BT inter se, me-
tielur aliquis ipsos AB, Br numerus. Metiatur,
Μετρείτω, καὶ ἔστω ὃ Δ. Καὶ ἐπεὶ ὁ Δ ἑκάτερον ct sit A, Et quoniam À utrumque eorum AB,
Ajoutons les deux nombres premiers enu'eux 4B, £r; je dis que leur somme AT est un nombre premier avec chacun des nombres AB, Br.
Car si les nombres TA , AB ne sont pas premiers entr'eux, quelque nombre mesu- rera TA, AB. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit ^. Puisque ^ mesure TA, AB, il mesurera le reste Br; mais il mesure BA; donc A mesure ΑΒ, Br qui sont deux nombres premiers entr'eux, ce qui est impossible ; donc quelque nombre ne mesurera pas les nombres TA , ^B ; donc TA, AB sont premiers entr'eux. Par la méme raison AT, ΓΒ sont premiers entr'eux ; donc le nombre ΤᾺ est premier avec chacun des nombres AB , Br.
De plus, quera, AB soient premiers entr'eux ; je dis que ΑΒ, Br sont pre- miers entr'eux. |
Car si AB, BT ne sont pas premiers entr’eux, quelque nombre les mesurera. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit Δ. Puisque ^ mesure cbacun
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 435
τῶν AB, BT μετρεῖ" καὶ ὅλον dpa τὸν TA με- τρήσει. Merpei δὲ καὶ τὸν AB* δ ^ ἄρα τοὺς TA, AB Harpe, πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλήλους H ὅστερ ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ ἄρα τοὺς AB , BT ἀριθμοὺς ἀριθμός τις μετρήσει" οἱ ΑΒ. ΒΓ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, Op ἔδει δεῖξαι.
,
HPOTAZIZ Ad . Amat πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα ἀριθμὸν, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτός ἐστιν. Ecro πρῶτος ἀριθμὸς ὁ A, καὶ τὸν B μὴ με- τρείτω" λέγω ὅτι οἱ By A πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους
35:7 EITIVe
>
BT metitur; et totam igitur l'A metietur. Metitur autem et ipsuni AB; ipse A igitur ipsos l'A, AB melitur, primos existentes inter se, quod. est impossibile; non igitur ipsos AB, BI numeros numerus aliquis metietur ; ipsi AB, ΒΓ igitur
primi inter se sunt. Quod oportebat ostendere. PROPOSITPOJXXOGE
Omnis primus numerus ad omnem numerum, quem non metitur, primus est. Sit primus numerus À, et ipsum B non me-
tatur; dico B, A primos inter se essc.
ux
+4
\ ^ \ 3 ,
E] γὰρ μή εἶσιν οἱ B , A πρῶτοι πρὸς ἀλλή- » \ 3 , ,
λους , μετρήσει τις AUTOUS ἀριθμός. Μετρείτω ,
e NU vec] \ D € M
καὶ ἔστω ὃ ΤΊ, Καὶ ἐπεὶ 6 T τὸν B μέετρει, ὁ de A D 3j ^ > st e »
Toy B οὐ μετρεῖ" oT apa τῷ Α οὐκέστιν 0 αὐτός.
ε L2 \ \ 3 Καὶ ἐπεὶ oT τοὺς B , A μετρεῖ" καὶ τὸν A ἄρα
Si enim non sint B, A primi inter se , metietur aliquis eos numerus. Metiatur, et sit T. Et quo- niam T' ipsum B metitur, ipse autem A ipsum B non metitur; ipse C igitur cum ipso À non
est idem. Et quoniam T ipsos B, A metitur ;
des nombres AB, ΒΓ, il mesurera leur somme r4. Mais il mesure AB; donc ^ me- sure TA , AB, qui sont premiers entr'eux, ce qui est impossible ; donc quelque nombre ne mesurera pas les nombres ΑΒ, Br ; donc AB, Er sont premiers entr'eux. Ce qu'il fallait démontrer.
PROPOSITION XXXI.
Tout nombre premier est premier avec tout nombre qu'il ne mesure pas.
Soit le nombre premier A, et que A ne mesure pas B; je dis que 8, A sont premiers entr'eux.
Car si B, A ne sont pas premiers ent'eux , quelque nombre les mesurera. Que quelque nombre les mesure, et que ce soit r. Puisque T mesure B, et que A ne mesure pas B, le nombre r n'est pas le méme nombre que 4. Et puisque T
436 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
e ^ P X À 3 re € ^ s e μέτρει πρῶτον OVTA 5 μὴ QV αὐτῷ ὁ αὐτὸς. περ » \ ^n » Di \ , ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ ἀρὰ τοὺς B, A μετρήσει τις 3 , € 5 e ι ΕΣ ἀριθμός" cs A, B apa πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους
εἰσίν, Οπερ ἔδει δεῖξαι.
IPOTAZXIZX ΔΕ,
\ p \ , Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους Ὁ ἢ M M » » , ^ re ποιῶσι! τινα. τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρὴ ^ , , Nd ^ > 2 ^ τις πρωτος ἀριθμός καὶ era, τῶν εξ ἀρχῆς με- , τρήσει. , 3 , \ € £ Δυὸ γὰρ ἀριθμοὶ 064 A, B πολλαπλασιίάσαντες 5 , à] ^ y ἀλλήλους τὸν T ποιείτωσαν. τὸν δὲ T. μετρείτω ^ > \ € y. Ll * e e τις πρῶτος ἀριθμὸς 0 Δ' λέγω OTI 0 Δ eva τῶν
A, B μετρεῖς
>
Ὁ
et ipsum A igitur metitur primum existentem , non existens cum ipso idem , quod est impossi- bile ; non igitur ipsos B, A metietur aliquis nu- merus; ipsi A, B igitur primi inter se sunt. Quod oportebat ostendere.
PROPOSITIO XXXII.
$1 duo numeri sese multiplicantes faciant ali- quem , cum vero factum ex ipsis metiatur aliquis primus numerus; et unum eorum qul a prin- cipio metietur.
Duo enim numeri A, B sese multiplicantes ipsum T faciant, ipsum autem T metiatur aliquis primus numerus À; dico Δ unum eorum À, B metiri."
|
mi
\ » « Τὸν γὰρ A μὴ μετρείτω , καὶ ἔστι πρῶτος ὃ A* « »! ^ \ > , - X €) A, Δ aga TP@OTOI πρὸς ἀλλήλους εἰσὶ" καὶ
\ D ^ , 2) ὁσάκις 0 Δ τὸν T. μετρεῖ. τοσαῦται μονάδες ἐσ-
Ipsum enim A non mceliatur, et est primus Δ; Ipsi À, A igitur primi inter se sunt. Et quoties A
ipsum T metitur, tot unitates sint in E. Et
mesure B, A, il mesure A qui est un nombre premier, quoique T ne soit pas le méme que A, ce qui est impossible; donc quelque nombre ne mesurera pas B, A; donc A, B sont premiers enu'eux. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION
XXXII.
Si deux nombres se multipliant l'un l'autre font un nombre, et si quelque nombre premier mesure leur produit, il mesurera un des nombres proposés.
Car que les deux nombres 4,B se multipliant l’un l'autre fassent r, et que quelque nombre premier A mesurer; je dis que A mesure un des nombres A, B.
Qu'il ne mesure pas A ; puisque Δ est un nombre premier , les nombres 4, Δ
seront premiers entr'eux (51. 7). Qu'il y
ait autant d'unités dans E que ^ mesure
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 437
, ^ Ν G € \ D \ τωσαν ἐν τῷ E. Ἐπεὶ οὖν 0 À voy T μετρε, κατὰ \ ^ / € 3) ι τὰς ἐν TOE μονάδας ,9 A epa, TOY E πολλαπλα- \ / \ \ ne \ σιάσας τὸν T πεποίηκεν. Αλλὰ μὴν καὶ 0 À τὸν ΄ à ͵ » » B πολλαπλασιάσάς τὸν T πεποίηκεν" ἰσὸς dpa 3 « m (e d LA »y ἐστὶν ὃ ex τῶν A , E τῷ ἐκ τῶν A , B* ἔστιν ἀρὰ € A \ eJ € \ N € ni ως δΔ πρὸς τὸν Αοὐυτῶς 0 B πρὸς τὸν E. Οἱ δὲ ^ Y ^ KL: , € à, À FP&TOI, oi de πρῶτοι καὶ ἐλάχιστοι» Oh VE , em \ \ SAN , δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λογον 5 3 LA 4 \ / \ "«ovrac ICARIS , 0, T€ μείζων TOV μείζονα καὶ $T , “ CRE? ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα. τουτέστιν © τε ἡγού- M LA , ec ’ M € , μένος τὸν ἡγουμέενον καὶ ὃ «πόμενος τὸν ἐπόμενον" € ν᾽) LH ^ / M ^ d 0 A apa τὸν B μετρεῖ. Ὁμοίως δὴ δείξομεν OTI NES AA € 9 \ \ \ , xdi eay o A? vov B μή μετρῇ". τὸν À μετρήσει"
ὁ Δ ἄρα ἕνα τῶν À, B μετρεῖ, Οπερ ἔδει δεῖξαι.
ΠΡΟΤΑΣΙΣ y.
, 3 \ ε \ 5 \ Απας σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. Ἔστω σύνθετος ἀριθμὸς 0 A* λέγω ὅτι 0 A ὑπὸ
πρώτου τινὸς ἐριθμοῦ μετρεῖται.
quoniam À ipsum T melitur per ipsas qua in E unitates , ipse À igitur ipsum E mulliplicans ipsum T fecit. Sed quidem et A ipsum B multi- plicans ipsum T fecit; equalis igitur est ipse ex A,E,ipsiex A, B; est igilur ut À ad A ita B ad E. Ipsi autem A, A primi , ipsi vero primi et minimi , ipsi autem minimi metiuntur æqua- liter ipsos eamdem rationem habentes , et major majorem , et minor minorem , hoc est et ante- cedens antecendentem , et consequens conse- quentem ; ipse A igitur ipsum B melitur. Simi- liter utique ostendemus et si A ipsum B.non metitur , ipsum À mensurum esse; ipse A igitur unum eorum À, B metitur. Quod oportebat os-
tendere.
PROPOSITIO XXXIII.
Omnis compositus numerus a primo aliquo numero mensuratur. Sit compositus numerus A; dico ipsum A
a primo aliquo numero mensurari.
de fois r. Puisque A mesure r par les unités qui sont en E, le nombre 4 multipliant E fera r. Mais A multipliant 5 fait r; donc le produit de 4 par E est égal au produit de A par B ; donc Δ està A comme B est à E (19. 7 ). Mais ^, A sont des nombres premiers , et les nombres premiers sont les plus petits ( 25. 7), etles plus petits nombres mesurent également ceux qui ont avec eux la méme raison, le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit, c’est-à-dire l’antécédent l'antécédent, et le conséquent le conséquent (21.7); donc A mesure 2. Nous démontrerons de la même manière que si A ne mesure pas B,il mesurera A ; donc ^ mesure un des nombres Δ, &. Ce qu'il fallait démontrer.
PROPOSITION XXXIII.
Tout nombre composé est mesuré par quelque nombre premier.
Que A soit un nombre composé ; je dis que A est mesuré par quelque
premier.
nombre
438 LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
\
\ , 52 © E ' : s : 2 πεὶ γὰρ σύνθετός ἐστιν ὃ AS peTpaca τίς Quoniain enun compositus est À, metelur
LI
αὐτὸν ἀριθμός. Μετρείτω. καὶ ἔστω © B. Καὶ εἰ — aliquis ipsum numerus. Metiatur , et sit B. Et si μὲν πρῶτός ἐστιν 6 B, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπι- — quidem primus est B , factum erit propositam. ταχθένι" εἰ δὲ σύνθετος. μετρήσει τις αὐτὸν Sivero compositus , metietur aliquis eum nume- ἀριθμός. Μετρείτω. καὶ ἔστω 0 T. Καὶ ἐπεὶ δ — rus. Metiatur , οἱ sit F. Et quoniam Γ' ipsum τὸν B μετρεῖ, ὃ δὲ B τὸν A μετρεῖ" καὶ ὁ T ἄρα — B metitur, ipse autem B ipsum A metitar ; et r
^ es x E] \ ^ , 2 ε PES A E . . * τὸν À erp. Καὶ εἰ μὲν πρῶτος ἐστιν ὁ T, igitur ipsum À meütur. Et si quidem primus
Ct \ \ E ^ . » E - L - γιγῦνος ἂν en τὸ weziTOvyÜuT* dà δὲ σύνθετος estr, factum crit propositum ; si vero compo-
& Ε \ , \ - ς NP ris m TOY ἀρίθμος. TorctuTue δὴ Situs , melietur aliquis ipsum numerus. Tali
S à P 1 ἊΣ à Ὡς
ἢ eec ληφθήσεταί τις qe utique factà consideratione , relinquetur aliquis AME à À ἃ : . . : ἀριθμὸς, ὃς μετρήσει τὸν πρὸ ἑαυτοῦ. ὃς καὶ primus numerus, qui meticlur eum qui præ se τὸν At ἐτρήσε i, Εἰ γὰρ οὐ Aag θήσεται. μὲ tc ipso , et qui ipsum À metietur. Si enim non cour Toy A ἀριθμὸν ἄπειροι ἀριθμοὶ , ὧν 6? relinquitur, melieutur ipsum À numerum infi- e , > , , \ LA 2 Ν t . - έτερος του ἑτέρου ἐλάσσων ἐστὶν , Op ἐστὶν — niti numeri quorum alter altero minor est , quod ?nf 9; 19 ^ , n >! ^ . . « . Β . . ἀδύνατον ἐν ἀριθμοῖς" ληφθησεταί vic dpa mpo- est impossible in numeris. Relinquetur aliquis 3 LP κ À , N M € ^ e »! v» H B E * B τος αριθμοὸςΐ > CS μετρήσει τὸν πρὸ £4UTOU , ὁς igitur primus qui metietur eum qui pra sc 1pso ;
Ν \ , ” \ " εν A s - - aj. xdi τὸν À μετρῆσει. Απας apa, καὶ τὰ eLuc. et qui ipsum À metictur. Omnis igitur, etc.
Puisque A est un nombre composé , quelque nombre le mesurera (déf. 15.7). Que quelque nombre le mesure , et que ce soit B. Si B est un nombre premier, on aura ce qui est proposé ; et si B est un nombre composé, quelque nombre le mésurera. Que quelque nombre le mesure, et que ce soit r. Puisque T mesure B, et que B mesure A, Je nombre r mesurera A; et si T est un nombre premier, on aura ce qui est proposé. Sir est composé, quelque nombre le mesurera; d’après une telle considération , il restera quelque nombre premier qui me- surera le nombre qui est avant lui, et le nombre A. Car s'il ne restait pas de nombre premier, il y aurait une infinité de nombres qui mesureraient A, et qui seraient plus petits les uns que les autres, ce qui ne peut pas arriver dans les nombres ( déf. 2. 7 ). 1l restera donc quelque nombre premier qui mesurera le précédent, et le nombre 4. Donc, etc.
LE SEPTIÈME LIVRE DES
HPOTASIS Ad".
\ 9) ^ ἘῸΡ 3 ^ € M Απας ἀριϑμὸς ATOI πρῶτος ἐστιν. ἢ ὑπὸ , \ > ^ ^ πρώτου τινος ἀριθμοῦ βέετρεταις ε , e € | ( n UA Ecru ἀριθμὸς 0 À* λεγω 0T10 À ἤἢτοι πρῶτος Ae \ , \ > ^ m ἐστιν». 4 UTC TROT OU TIV0G αρ:θμοῦ μετρεῖται \ 5 - 7 € x » 35 Ei μεν ουν πρῶτος ἐστιν ΟΑ > γέγονος ἂν Ξε \ 9 I E δὲ , θ pas TO ἐπίταχθεν STE € GUVUE'TOC , μετρησει τις
αὐτὸν πρῶτος ἀριθμός. Απας ἄρα. καὶ τὰ ἑξῆς. IIPOTAZIZ X.
Api v δοθέντων ὁποσωνοῦν ; εὑρεῖν τοὺς ἐλα- χίστους τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
Ἑστωσαν οἱ δοθέντες ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ. οἷ A, B, I' Àj δὴ εὑρεῖν τοῦς ἐλαχίστους τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς Δ. B, T.
Οἱ AS B;Er ydp ἦτοι πρῶτο; πρὸς ἀλλήλους
^ El E \ 6 ^ ^ εἰσὶν. ἢ οὔ, Ei μὲν οὖν oi A, B,T πρῶτο! πρὸς
ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 439
PROPOSITIO XXXIV.
Omnis numerus vel primus est, vel a primo aliquo numero mensuratur.
Sit numerus A ; dico A vel primum esse , vel a primo aliquo mensurari.
Si quidem igitur primus est A, factum eritpro- positum. Si vero compositus, metietur aliquis
eum primus numerus. Omnuis igitur , etc. PROPOSITIO XXX V.
Numeris datis quotcumque, invenire mini- mos eorum eamdem ralionem habentium cum eis.
Sint dati quotcumque numeri A, B, LT; opor-, tet igitur invenire minimos corum camdem ralionem habentium cum ipsis A, B, T.
Ips A, B, T enim vel primt inter se sunt,
vel non. Si quidem igitur A, B, T primi inter
PROPOSITION XXXIV.
T'out nombre est premier, ou il est mesuré par quelque nombre premier. Soit le nombre A ; je dis que A est un nombre premier, ou qu'il est mesuré
par quelque nombre premier.
Si A est un nombre premier, on aura ce qui est proposé ; s'il est composé, A Y L3 quelque nombre premier le mesurera (55. 7). Donc, etc.
PROPOSITION XXXV.
Tant de nombres qu'on voudra étant donnés , trouver les plus petits de ceux
qui ont la méme raison avec eux.
Soient A, b , T tant de nombres donnés qu'on voudra ; il faut trouver les plus
petits de ceux qui ont la méme raison avec A , B, r.
Les nombres A, B, T sont ou premiers entr'eux , ou ne le sont pas. S'il sont
44o LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
΄ à 3 , ΓΑ » lod x LR QAAMAGUC εἰσὶν. ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν
al "ed λόγον ἐχόντων GUTOIC.
se sunt , minimi sunt eorum eamdem ralionem
habentium cum ipsis.
À DIL-——————— LEA
E 2 H
e K A M_
NN J , \ , Ej δὲ οὔ" εἰλήφθω τῶν A, B, T TO μέγιστον ^ , € N € , € LÀ ^ κοινοῦ μέτρον O Δ. καὶ ὁσάκις 0 À ἐκᾶστον TV e ^ , E >
A, B, T μετρεῖ; τοσαυτῶ! μονάδες ἔστωσαν «y!
€ , re L'URL E ^ ἐπάστῳ τῶν E, Z, H* καὶ éxas706 ἀρῶ TOY E, e ^ Di M M > H ἐκαστον τῶν À, B, T juerpes κατα τὰς ev
> Ἶ ; ἢ - τῷ Δ μονάδας" οἱ E,Z, Η ἀρὰ τοῦς A, B,T
e y as ἰσάπις μιτρουσιν" οἱ Ἐ57γ Z,H apa τοῖς AS BST > €
» \ , » δ τὰ DE “ À E; yap pan εἰσιν οἱ E, Z,H ἐλάχιστοι τῶν Τὸν EJ , 3; 7 e E / αὐτὸν λόγον ἐχόντων" τοῖς A , B, T , ἔσονταί 5 EE , , E XI S ^ τινες" τῶν E, Z, H eAaccovec ἀριθμοὶ εν τῷ 3 ^ 3 e Li αὐτῷ λόγῳ ὄντες τοῖς À, B, T. Εστωσαν οἱ ©, ν , » ε \ ; LIE,
K, A* ἰσάκις ἄρα o0 © Toy À μετρεὶ καὶ εκατερὸς ^ € ^ , à € M των K, À ἑκάτερον τῶν B, T. Οσάκις δὲ 0 O τὸν
D ^ ^ 2 >» Ll A piper, τοσαυται μονάδες ἐστῶσαν εν τῷ M*
ε " ^ € air "S καὶ ἐπάτερος ἄρα τῶν K, A exaTspoy τῶν B, T
Si autem non; sumatur ipsorum A, B, T masima communis mensura Δ, ct quoties A unumquemque corum À,B,T metitur, tot unitates sint in unoquoque eorum E, Z,H ; ct unusquisque igitur E, Z, H unumquemque eo- rum A, B, T melitur per unitates que in À; ipsi E, Z, H igitur ipsos A, B, Γ΄ equaliter me liuntur; 1051 E,Z , H igitur cum ipsis A, B, Γ in eádem ratione sunt. Dico utique et minimos. Si enin non sunt E, Z, H minimi eorum eam- dem rationem habentium cum ipsis A, B,T, erunt aliqui ipsis E, Z, H minores numeri in edem ratione existentes cum ipsis A , B, T. Sint O, K, A ; æqualiter igitur © ipsum À me- litur ac uterque eorum K, À utrumque eorum
B,T. Quoties autem © ipsum A melitur, tot
unitates sinl in M; et uterque igitur corum K, A
premiers enu'eux, ils seront les plus petits de ceux qui ont la méme raison avec eux (25. 7).
S'ils ne le sont pas, prenons la plus grande commune mesure A des nombres 4, Β,Τ (5. 7); et qu'il y ait dans chacun des nombres E , Z, H autant d'unités que Δ mesure de fois chacun des nombres A, B , r. Chacun des nombres E,Z , H mesurera chacun des nombres A, B, T par les unités qui sont dans ^; donc les nombres E , z, H mesurent également les nombres A , B, r ; donc les nombres E, Z, H sont en méme raison que les nombres A, B, r ( 18. 7 ). Je dis de plus qu'ils sont les plus petits. Car si E,Z,H ne sont pas les plus petits de ceux qui ont avec A, B, T la méme raison , il y aura quelques nombres plus petits que E, Z, H qui auront la méme raison avec A , b, T; que ce soient 8, K, Δ; le nombre © mesurera A autant de fois que chacun des nombres K, Δ mesure chacun des nombres B,r (21. 7). Qu'il y ait dans
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ M μονάδας. Καὶ ἐπεὶ 0 © τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ M μονάδας" καὶ ὃ Μ ἄρα τὸν Α μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ Θ μονάδας. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὃ M ἑκάτερον τῶν B,T μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν éxaTépe τῶν K, Δ μονάδας" ὁ M dpa τοὺς A , B, T μετρεῖ, Καὶ ἐπεὶ 6 © τὸν A μετρεῖ κατὰ τὰς ἐν τῷ M μονάδας" 6 © ἄρα τὸν M πολλαπλατιάσας τὸν À πεποίηκε. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ 6 E τὸν A πολλαπλασιάσας τὸν À πεποίηκεν" ἴσος ἄρα ἐστὶν ὃ ἐκ τῶν E , Δ τῷ ἐκ τῶν O , Μ' ἔστιν ἄρα ὡς δῈ πρὸς τὸν Θ οὕτως ὃ M πρὸς τὸν Δ. Μείζων δὲ ὃ E τοῦ Θ᾽ μείζων ἄρα καὶ 6 M TOU Δ, καὶ μετρεῖ τοὺς A, B, T, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. ὑπόκειται yap GA T&y A,B,T τὸ μέγιστον κοινὸν μέτρον" οὐκ ἄρα ἔσονταί τινες τῶν E, Z, H ἐλάσσονες ἀριθμοὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντες ποῖς A, B, I* οἱ E, Z, MH ἄρα ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς A, D, T. Οπερ ἔδει δεῖξαι,
M utrumque eorum B , T metitur per unitates quie in M, Et quoniam 9 ipsum A metitur per uni- tates quz in M; et M igitur ipsum À metitur per unitates quæ in ©. Propter eadem utique et M utrumque eorun B, T metitur per unitates quae in ipsis K, Δ: ipse M igitur ipsos A, B, T meütur; et quoniam © ipsum A metitur per unitates quæ in M ; ipse O igitur ipsum M mul- tiplicans ipsum A fecit. Propter eadem utique et E ipsum À multiplicans ipsum A fecit ; equalis igitur est ipse ex E, A ipsi ex O, M ; estigitur ut E ad O ita M ad A. Major autem E ipso © ; major igitur et M ipso Δ, et metitur ipsos A, B, T, quod est impossibile ; ponitur enim A corum A , B, T maxima communis mensura ; non igitur erunt aliqui ipsis E, Z, H minores numeri in eádem ratione in quà A, B, D; ipsi E,Z, H igitur minimi sunt corum eamdem ralionem ha- bentium cum ipsis A, B, T. Quod oportebat
ostendere.
M autant d'unités que © mesure de fois A; chacun des nombres K,A mesurera chacun des nombres B,r par les unités qui sont en M. Et puisque 6 mesure A par les unités qui sont en M, le nombre M mesurera A par les unités qui sont en ©. Par la méme raison , M mesurera chacun des nombres B , r par les unités qui sont dans chacun des nombres K, ^; donc M mesure A, 8, r. Mais © me- sure A par les unités qui sont en M; donc o multiplani M fait 4. Par la méme raison, E multipliant 4 fait A; donc le produit de E par 4 est égal au produit de e par M; donc E est à © comme M est à A (19. 7 ). Mais E est plus grand que © ; donc M est plus grand que ^ , et M mesure A, B, T , ce qui est impossible; car on a supposé que Δ est la plus grande commune mesure des nombres A , 5,T ; donc il n'y a pas de nombres plus petits que E,Z, H qui ayent la méme raison que A, E, T ; donc E, Z, H sont les plus petits nombres qui ayent la méme raison avec A, B, T. Ce qu'il fallait démontrer.
56
442 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
HIPOTAZXIXEX 2g
xu EI θ ^ δ LE À e e à 2, &vo epi Ly CU£r'TOYV 9 sUpeiy CV «Λα στον
v
μετροῦσιν ἀριθμόν.
Ἑστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ οἱ A , Bt δεῖ
δὴ εὑρεῖν ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν.
-j [»
PROPOSITIO XEXXYI. Duobus numeris datis, invenire quem mini- mum metiantur numerum. Sint dati duo numeri A, B ; oportet igitur in-
venire quem minimum metianlur numerum.
B
Οἱ A, B γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν, ἢ où. Ἑστωσαν πρότερον οἱ A, B πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, καὶ ὃ A! τὸν B πολλαπλασιάσας τὸν T ποιείτω" καὶ © B ἄρα τὸν Α πολλαπλασιάσας τὸν T πεποίηκεν" οἱ A, B ἄρα τὸν T. μετροῦσι, Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἐλώνιστον. Ei γὰρ μὴ , μετρή- σουσί τινα ἀριθμὸν οἱ A, B ἐλάσσονα ὄντα τοῦ T. Μετρεέτωσαν τὸν A. Καὶ ὁσάκις © A τὸν Δ μετρεῖ, τοσαῦται μονάδες ἔστωτᾶν ἐν "τῷ E ὁσώκις δὲ ὁ B τὸν Δ μετρεῖ. τοσαῦται μονάδες ἔστωσαν ἐν
^ « ^ FU A , \ τῷ L' ὁ μὲν À ἀρὰ Toy E πολλαπλασιάσας TOV
Ipsi A, B enim vel primi inter se sunt, vel non. Sint primum A4, B primi inter se, et A ipsum B multiplicans ipsum T'faciat; et B igitur ipsum A mulüplicans ipsum T fecit; ipsi A, Β igitur ipsum T metiuntur. Dico utique et mi- nimum. Si enim non; melientur aliquem numerum ipsi À, B minorem existentem 1pso T, Metiantur A. Et quoties A ipsum A metitur , tot unitates sint in E ; quoties autem B ipsum A me- ütur, tot unitates sint in Z ; ipse quidem A
igitur ipsum E multiplicans ipsum A fecit, ipse
PROPOSITION XXXVI.
Deux nombres étant donnés, trouver le plus petit qu'ils mesurent.
Soient A,? les deux nombres donnés ; il faut trouver le plus peut qu'ils mesurent.
Car les nombres A, B sont premicrs ent'eux, ou ne le sont pas. Que les nombres A, B soient d'abord premiers entr'eux , et que A multiplient B produiseT; le nombre 8 multipliant A produira r (16. 7) ; donc les nombres A, 8 mesure- ront F ; je dis quer est le plus petit. Car si cela n'est pas; les nombres 4,8 mesureront quelque nombre plus petit que i. Qu'ils mesurent 4. Qu'il y ait dans E autant d'unités que A mesure de fois A ; et qu'il y ait dans Z autant d'unités que B mesure de fois ^; donc A mulüupliant E produira ^ , et Β multipliant z pro-
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 443
A πεποίηκεν, ὃ δὲ B τὸν Z πολλαπλασιάσας τὸν — vero B ipsum Z multiplicans ipsum A fecit; equalis igitur est ipse ex A, E ipsi ex B, Z ; est
, » E] 3 x €4492 ^ A Ld A πεποίηκεν" σὸς ἄρα ἐστὶν 0 ἐκ τῶν À, E τῷ igitur ut A ad B ita Z ad E. Ipsi autem A , B
ἐκ τῶν B y Z* ἔστιν ἄρα ὥς δὰ πρὸς τὸν Β οὕτως ὁ 2 πρὸς τὸν E. Οἱ δὲ A, B πρῶτοι, οἱ δὲ πρῶτο, — primi, ipsi vero primi et minimi , minimi autem καὶ ἐλάχιστοι! οἱ δὲ ἐλάχιστοι μετροῦσι τοὺς — metiuntur æqualiter ipsos eamdem rationem ha- τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις, 0 τε μείζων τὸν bentes , et major majorem, et minor minorem ; μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλώσσονα" ὃ B ἄρα τὸν — ipse B igitur ipsum E mctitur, ut consequens
E μετρεῖ. ὡς ἑπόμενος ἑπόμενον. Καὶ ἐπεὶ 0 A consequentem. Et quoniam A ipsos B , E multi- TOUC B, E πολλαπλασιάσας τοὺςΤ΄. A πεποίηκεν" plicans ipsos D, A fecit ; est igitur ut B ad E ἔστιν ἄρα ὡς δ Β πρὸς τον E οὕτως ὁ Τ' πρὸς τὸν Δ'Ὺ ital δὰ A; metitur autem B ipsum E ; metitur μετρεῖ δὲ ὃ Β τὸν E* μετρεῖ Gpe καὶ ὃ T τὸν Δ, — lgitur et T ipsum A, major minorem , quod est ὃ μείζων πὸν ἐλάσσονες 3 ὅπερ ἐστὶν ἀδύνετο;" οὐκ impossibile ; non igitur A3 B metiuntur aliquem dpa oi A, B μετρήσουσί" τινα ap:uoy ἐλάσσονα — numerum minorem existentem ipso T , quoniam
ὄντα τοῦτ΄. ὅταν oi A, E πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους A, B primi inter se sunt ; ipse T' igitur minimus
done à T ἄρα ἐλάχιστος ὧν ὑπὸ τῶν A, B exisiens ab ipsis A, B mensuratur. μετρεῖται.
» M re $3». si rmi 1 Ma ὄστωσαν δὴ oi A, B πρῶτοι πρὸς ἀλλή- Non sint autem A, E primi inter se, ct suman-
λους. καὶ εἰλήφτωσαν ἐλάχιστοι ἀρμθμεὶ τῶν τὸν iuriniuimi numeri Ζ, E eorum eamdem rationem habentium quam ipsi A,B; æqualis igitur est
αὐτὸν λόγον ἐχόντων τοῖς À, By οἱ Z, E* ἴσος ex A , E ipsi ex B, Z. Et A ipsum E multiplicans
* E Nl" o ^ - — Ν ἀρὰ ἐστὶν o ἐκ τῶν À, E τῷ tx TOY B, Ζ. Καὶ
0 A τὸν E πολλαπλασιάσας τὸν T στομείτω" καὶ ipsum D faciat; et B igitur ipsum Z multiplicans
6B ἄρα τὸν L πολλαπλασιάσας Tor Y πεποίηκεν" ipsum F fecit. Ipsi A, B igitur ipsum T metiun-
duira Δ; donc le produit de A par E est égal au produit de B par z ; donc 4 est à.B comme Z està E ( 19. 7). Mais les nombres A, B sont premiers entr'eux ; les nombres premiers sont les plus petits (25. 7 ), et les plus petits mesurent éga- lement ceux qui ont une même raison, le plus grand le plus grand , et le plus petit le plus petit (2:. 7); donc le nombre B mesure E , c'esi-à-dire le conséquent le conséquent. Mais 4 multipliant B, E a fait T, A; donc B est à E comme Tr est à A( 18. 7) ; mais 2 mesure E ; donc r mesure 4, le plus grand le plus peut, ce qui est impossible; donc les nombres 4, B ne mesureront pas quelque nombre plus petit que T, puisque A, B sont premiers entt'eux ; donc r est le plus petit nombre qui soit mesuré par A, 8.
Que les nombres 4, B ne soient pas premiers entr'eux. Prenons les plus petits nombres de ceux qui ont la même raison avec A4, & (55.7), et que ces nombres soient Z,E; le produit de A par E sera égal au produit de 5 par z (19.7). Que 4 multi- pliant E fasse r ; donc 5 mulüpliantz fera r ; donc 4, Β mesurent r; je dis quer est le
444 LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ob A, B ἄρα τὸν T μετροῦσι, Λέγω δὴ ὅτι καὶ ἐλάχιστον. El γὰρ μὴ. μετρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ A , B, ἐλάσσονα ὄντα τοῦ T. Μετρείτωσαν τὸν A. Καὶ ὁσάκις μὲν © A τὸν Δ μετρεῖ. τοσαῦται
, y Ξ WO T \ © \ μονάδες ἔστωσαν ἐν τῷ H, ὁσάκις δὲ ὃ B τὸν Δ
tur. Dico utique et minimum. $i enim non, melientur aliquem numerum ipsi A, B, minorem existentem Ipso T. Metiantur ipsum Δ. Et quo- lies A quidem ipsum A metitur, tot unitates
siut in H , quoties vero B ipsum A metitur, tet
ἢ ^ D 5! 5» E e μετρεῖ, τοσαῦτα: μονάδες cO TUA ἐν τῷ ©* ὁ ^ DA \ & , μεν À ἀρὰ TOv H πολλαπλασιάσας τὸν À πέποίη--
ex \ , \ κεν. ὃ δὲ B τὸν Θ πολλαπλασιάσας τὸν À πε- , » MJ 3 \ e» ^ M2 ^ ποιηκεν" 1706 ἀρὰ ec iy o ex τῶν A, H τῷ ἐκ τῶν M X [i ε \ \ vq ε B, O* ἐστιν dpa ὡς ὁ À πρὸς τὸν B οὕτως o © \ M M LI \ “ ε \ “πρὸς τὸν Ἡ. Oc dt oA πρὸς τὸν B οὕτως Z πρὸς M , E € € K i" e € M Toy E° αλλ Qc 0 A πρὸς τὸν BovrecoQ πρὸς M Z \ e LA € \ hj e € Toy H'* καὶ ὡς apa oZ πρὸς τὸν E ouTws o © \ \ € \ 9 , “πρὸς Toy H. Οἱ δὲ 2. Ἑ ἐλάχιστοι. οἱ ὃς ἐλά- [o2 ^ \ 3 \ , 3 χιστοι μετρουσι τοὺς τὸν αὑτὸν λόγον ἐχοῦτας , , e , ^ yl Q4 €6.3 , M ἰσάκις. 0 TE μείζων τον μείζονα καὶ 0 «ἐλάσσων τὸν L3 E X n LE se \ ἐλάσσονα" δ E ἀρὰ τὸν H μετρε!. Και ἐπείο À τοὺς , ^ Λ 3, Ἐ. Η πολλαπλασιασᾶς τοὺς T, Δ πεποιήκεν" ἐστιν
ἄρα ὡς 0E πρὸς τὸν H οὕτως eT πρὸς τὸν A,
Θ
unitates sint in ©; ipse quidem À igitur ip- sum H mulliplicans ipsum A fecit, ipse vero B ipsum © mullüiplicans ipsum A fecit; æqua- lis est ipse ex A,H ipsi ex B, 9; est igitur ut À ad B ita 9 ad H. Ut autem A ad B ita Zad E; sed ut A ad B ita O ad H; ct ut igitur Z ad E ia © ad H. Ipsi autem Z, E minimi, ipsi vero minimi metiuntur æqualiter ipsos eam- dem rationem habentes, et major majorem , et minor minorem ; ipse E igitur ipsum H mettur, Et quoniam A ipsos E, H multiplicans ipsos D, A fecit; cst igitur ut E ad Ἢ ita T
ad A. Ipse autem E ipsum H melütur; et P
plus petit. Car s'il ne l’est pas, les nombres A, Β mesureront quelque nombre plus petit que r. Qu'ils mesurent 4, et qu'il y ait dans H autant d'unités, que A mesure de fois ^, et dans e autant d'unités que B mesure de fois ^. Le nombre A multipliant H fera ^, et B multipliant © fera ^ ; donc le produit de 4 par Η est égal au produit de B par 6; donc A est à 5 comme © està H (19. 7). Mais A està B comme Z està E; et A est à B comme o està H ; donc z està E comme ® est à H. Maisz, E sont les plus petits nombres, et les plus petits nombres mesurent également ceux qui ont la méme raison , le plus grand le plus grand, et le plus petit le plus petit (21. 7); donc E mesure H. Mais A multi- pliant E, H fait T, ^ ; donc E està H comme r est à A (17. 7 ). Mais E mesure H;
LE SEPTIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 445
\ Y ^ I E] ' Cot Ὁ δὲ E τὸν H μετρεῖ" καὶ 0T apa, τὸν Δ μετρεῖ. 0 7; A 3 , d > \ 3 , > μείζων τὸν ἐλάσσονα , ὅπερ ἐστὶν ἀδύνωτον" οὐκ 7 3 \ 3 ἄρα oi A, B μετρώσουσί vivo ἀριθμὸν ἐλάσσονα ^ € 3, 3 , A] € M ^ τοῦ T* o T ἄρα ἐλάχιστος ὧν ὑπὸ τῶν À, B με- E 3! ες τρεῖται, Οπερ ἔδει δεῖξαι. -' " HPOTAZIX AL. \ , , \ 3 , ^ NS 2€ Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν rive μετρῶσι , καὶ ὃ » EE) , ^ , A 3 \ ἐλάχιστος ὑπ αὐτῶν μετρούμενος TOY αὐτὸν με- τρήσει. , ^ , \ , \ Avo yap ἀριθμοὶ οἷ A, B ἀριθμόν τινὰ τὸν TA , M , el Ν μετρείτωσαν. ἐλάχιστον δὲ τὸν Ἐ" λέγω ὅτι καὶ
δῈ τὸν ΓΔ μετρεῖν
Ei γὰρ οὐ μετρεῖ ὁ E τὸν TA , δ E τὸν ΖΔ με- τρῶν λπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν TZ. Καὶ ἐπεὶ οἱ A, B τὸν E μετροῦσιν. ὃ δὲ E τὸν AZ μετρεῖ" καὶ οἱ A, B ἄρα τὸν ΔΖ μετροῦσι', Μετροῦσι δὲ
igitur ipsum À melütur , major minorem , quod est impossibile; non igitur A, B metientur ali- quem numerum minorem ipso T ; ipsc TP igitur minimus existens ab A, B mensuratur. Quod
oportebat ostendere. PROPOSITIO XXXVII.
Si duo numeri numerum aliquem metiantur , et minimus ab illis mensuratus eumdem men- surabit.
Duo enim numeri A, B numerum aliquem TA meliantur , minimum autem ipsum E ; dico et E
ipsum l'A metri.
Si énim non metitur E ipsum TA, E meliens ZA relinquat se ipso minorem ΓΖ. Et quoniam A, Bipsum E metiuntur , ipse autem E ipsum AZ metitur; et A, B igitur ipsum AZ metiun-
donc T mesure Δί déf. 20.7), le plus grand le plus petit, ce qui est impossible ; donc les nombres A, 5 ne mesurent pas quelque nombre plus petit que r; donc r est le plus petit nombre qui soit mesuré par A, B. Ce qu'il fallait démontrer.
PROPOSITION XXXVII.
Si deux nombres mesurent quelque nombre, le plus petit qu'ils mesurent me- surera ce méme nombre.
Que les deux nombres A, 8 mesurent quelque nombre r^ , et que E soit le plus petit nombre qu'ils mesurent ; je dis que E mesure ra.
Car si E ne mesure pas T^, que E mesurant ΖΔ laisse ΓΖ plus petit que lui- méme. Puisque les nombres 4, b mesurent E, que E mesure Az , les nombres
446 LE SEPTIÈME LIVRE DES ELEMENTS D'EUCLIDE.
J 3 Ν A » \ καὶ ὅλον τὸν TA° καὶ ACITTOY ἄρα τὸν TZ μετρή- » , p -“, e ΕΣ \ 2 , σουσιν. ἐλάσσονα ὄντα τοῦ E , ὑπερ ἐστὶν aduva- , E , € N ce of τον" οὐκ ἄρα οὐ μετρεῖ ὁ E τὸν ΓΔ. μετρεῖ ἄρα. ‘4 cé O7:p ἔδει δεῖξαι,
UHPOTAZXIX s.
^M L re , e " d , LA Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων.» εὑρεῖν ὃν ἐλάχιστον d > , μετροῦσιν ἀριθμόν. οὐ Ὁ A, B;
Ἑστωσαὰν οἱ δοθέντες ἀρεθμι δὴ εὑρεῖν ὃν ἐλάχιστον μετρήσουσ!ν᾽ ἀριθμόν,
Te δεῖ
tar. Metiuntur autem et totum TA ; et reliquum igitur ΓΖ metientur, minorem existentem ipso E, quod est impossibile; non igitur non metitur E ip-
sumTA, metiturigitar.Quod oportebatostendere, PROPOSITIO XXXV IIT.
Tribus numeris datis , invenire quem mini- mum moeücntur numerum. Sint dati aumeri A, 8 , l'; oportet igitur inye-
nire quem minimum melieniur numerum.
L r 24 E
Εἰλήφθω γὰρ ὑπὸ δύο τῶν A, B ἐλάχιστος μετρούμενος ὃ Δ. Ο du? T τὸν A ἤτοι μετρεῖ, à οὐ μετρεῖ. Μετρείτω πρότερον, Μετροῦσι δὲ καὶ oi A, B τὸν A* οἱ A, B, T ἄρα τὸν Δ μετρή- σουσιβ, Λέγω ὅτ; καὶ ἐλάχιστον, El yop μὴ. με- τρήσουσί τινα ἀριθμὸν οἱ A , B, T, ἐλάσσονα ὄντα τοῦ Δ. Μετρείτωσαν τὸν E. Ἐπεὶ οὐνί οἱ A,
᾿ "n
A] \ e 3. ] B,T τὸν E μετρουσ!5 vui οὐ À; B epa Toy E
Sumetur enim a duobus A , 8 minimus men- suratus ipso A. Ipse utique T ipsum A vel meti- tur, vel noa melitur. Mctiatur primum. Metiug- tur auteri et A , 2 ipsum A; ipsi A, B , P'igitur ipsum A metientur. Dico et minimum. Si enim Ron, melientur aliqu2ra numerum ipsi 4, B, T, minorem existentem ipso A. Metiantur ipsum E.
Et quoniam A, B, T ipsum E metiuntur, ct A, B
A, Β mesureront AZ; mais ils mesureat TA tout entier; donc ils mesureront le reste TZ plus petit que E, ce qui est impossible; donc E ne peut pas ne point mesurer ΓΔ; donc il le mesure. Ce qu’il fallait démontrer.
PROPOSITION XXXVII.
Trois nombres étant donnés, trouver le plus petit qu'ils mesurent. Soient A, B,r les nombres donnés ; il faut trouver le plus petit nombre qu'ils
mesurent.
Prenons le plus petit nombre ^ mesuré par les deux nombres 4, B (56. 7). Le A
nombrer mesurera
, une le mesurera pas. Premièrement qu'il le mesure. Puisque
les nombres 4,B mesurent ^ , les nombres A, B, T mesureront Δ. Je dis aussi que ^ est le plus petit. Car s'il ne l'est pas, les nombres A, B,T mesureront quelque nombre plus petit que A. Qu'ils mesurent E. Puisque les nombres A, B,T me-
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 447
^ AE τ 3 ex X -“ μετροῦσι" καὶ ὃ ἐλάχιστος Cp ὑπὸ τῶν A, B , A 5 , - 7 Le. δὲ e \ μετρούμενος τὸν E? μετρήσει, Ἐλάχεστος δὲ ὑπὸ m : TRES DURS τῶν A , B μετρούμενός ἐστιν ὁ Δ' ὁ Δ ἄρα τὸν E mn € 1 Y RECETA EIL EE 5 20V μετρεῖ, ὃ μείζων τὸν ἐλάσσονοι , ὅπερ ἐστὶν adv- » , n 3 νατον" οὐκ ἄρα οἱ A , E, T μετρήσουσίθ τινα ap:0- 3! L2 ε 4 3 , μὸν ἐλώσσονα ὄντα τοῦ A^ οἱ A, B, T ἀρα ἐλα- À , - χιστον τὸν Δ μετρήσουσι7, , * \ + , | μετρείτω δὴ πάλιν ὃ T τὸν Δ. καὶ 6i- » pep 3 , , » λήφθω ὑπὸ τῶν T, A ἐλάχέστος μετρούμενος ἀρι8- 26 € À ἘΞ ^ e pc, 0 E. Ἐπεὶ οὖν οἱ A , B τὸν Δ μετροῦσιν. 0
e x M "δ δὲ Δ τὸν E μετρεῖ" καὶ οἱ A, B ἄρα τὸν E μετρή-
zie.
igitur ipsum E metiuntur; et minimus igitur abA, B mensuratus ipsum E metietur. Minimus autem ab A, B mensuratus est ^; ipse Δ igitur ipsum E melitur, major minorem, qnod est impossi- bile; non igitur A, B, P metientur aliquem numerum minorem existentem ipso A; ipsi A, B, l'igitur minimum À metiuntur.
Non metiatur autem rursus T ipsum A , et su- matura lI, A minimus mensuratus numerus E, Et quoniam A , B ipsum A metiuntur , ipse autem
A ipsum E metitur; et A, B igitur ipsum E me-
N
eouci9, Μετρεῖ δὲ καὶ ὁ TO* καὶ οἱ A, B, T ἄρα τὸν E μετρήσουσι ©, Λέγω δὴ "1 ὅτι καὶ ἐλάχιστον, Εἰ γὰρ μά. μετρήσουσί τινὰ οἱ A, B, T, ἐλάσσονα ὄντα τοῦ E. Μετρείτωσαν τὸν Z. Καὶ ἐπεὶ οἱ A, B,T τὸν Z μετροῦσι" καὶ ci A, B ἄρα τὸν Z με-
ps —— MBPS ue ns τρουσι" καὶ ὃ ἐλάχιστος ἄρα ὑπὸ τῶν À, B με-
tentur. Metitur autem ctipse'; et A, B, Pigitur ipsum E metientur. Dico et minimum. Si enim non, metientur aliquem ipsi A, B, T , minorem existentem ipso E. Metiantur Z, Et quoniam A , B, l'ipsum Z metiuntur; et A , B igitur ipsum Z
metiuntur; et minimus igitur ab A, B mensu- 2 o 2
surent E, les nombres A,B mosureront E, et le plus petit nombre mesuré par A, B mesurera E( 57. 7). Mais le plus petit nombre mesuré par A, B est ^ ; donc a mesure E , le plus grand le plus peiit , ce qui est impossible ; donc les nombres A,B, T ne mesurent pas un nombre plus petit que Δ; donc ^ est le plus petit nombre mesuré par les nombres 4,5, r.
Que r ne mesure pas Δ. Prenons le plus petit nombre E mesuré parr, 4 (56. 7). Puisque A, B mesurent ^, et que A mesure E, les nombres A, Β inesureront E. Mais r mesure E ; donc ies nombres 4, B, T mesureront E. Je dis que Ε est le plus petit. Car s'il ne l'est pas, les nombres 4,5, r mesureront quelque nombre plus petit que E. Qu'ils inesurent z. Puisque les nombres A, B, Γ mesurent z , les nombres 4,2 mesureront z, et le plus petit nombre mesuré par AB me-
448 LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
jus ὃν L μετρήσει. Ἐλάχιστος δὲ ὑπὸ τῶ πτρούμενος τὸν L μετρήσει. XISTOS d$ υπὸ τῶν , 5 e ε E ^ ACUB μετρούμενός ἐστιν 0 Δ'ὸ Δ epe τὸν Z D e x. € A € 3) μετρεῖ, Μετρεῖ δὲ καὶ o T τὸν Z* ci A, T ἄρα 12
“ NT Sul. LA 3) ε M ^ τὸν Z μέετρουσιν" καὶ 0 ἐλάχιστος ἄρα“ υπὸ τῶν
A,T μετρούμενος τὸν Z μετρήσει", O δὲ ἐλά-
€ A ^ , , » e . χιστὸς ὑπὸ τῶν À, T μετρουμέενος ἐστιν o E* © E » ! m^ e , τ » , eu ἄρα τὸν L μετρεῖ, ὁ μείζων τον ἐλάσσονα. ὅπερ > \ > , , / , ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ ἄρα οὗ A , B, T μετρή- ᾿ - TA " Lr e σουσί" 1 τινὰ ἀριθμὸν ἐλάσσονα ὄντα τοῦ E* 0 E ῃ , EY e x ἊΣ e ἄρα ἐλάχιστος ὧν ὑπὸ τῶν A , B, T μετρεῖτα!.
Οπερ ἔδει δεῖξαι. ΠΡΟΤΑΣῚΣ AU,
A3» Ne 27 3 ^ e ε Eay ἀριθμὸς ὑπο τινὸς ἀριθμοῦ ετρειται s ©
, , de M ^ μετρούμενος ὁμώνυμον μέρος eel τῷ μετρουντι-.
ratus ipsum Z metietur. Minimus autem ab A, B mensuratus est A ; ipse A igitur ipsum Z melitur. Metitur autem. et T ipsum Z ; ipsi A, T igitur ipsum Z meliuntur; et minimus igitur a A, T
mensuralus ipsum Z meticlur. Ipse autem mini-
mus a A, P mensuratus est E ; E igitur ipsum Z metitur , major minorem , quod est impossibile; non igitur A, B, T metientur aliquem numerum minorem existentem ipso E; ipse E igitur mini- mus existens ab A, B, P mensuratur, Quod opor- tchat ostendere.
PROPOSITIO XXXIX.
Si numerus ab aliquo numero mensuratur , mensuratus denominatam partem habebit a me-
tiente.
surera Z. Mais le plus petit mesuré par A, B est ^ ; donc Δ mesure Z. Mais T mesure Z; donc ^,T mesurent Z. Donc le plus petit nombre mesuré par Δ,Τ' mesurera Z (57. 7). Mais le plus petit nombre mesuré par ^, T est E; donc E
mesure Z, le plus grand le plus petit, ce qui est impossible. Donc les nombres A, B,T ne mesureront pas quelque nombre plus petit que E; donc E est le plus petit nombre qui soit mesuré par A, B, T. Ce qu'il fallait démontrer.
PROPOSITION XXXIX.
Si un nombre est mesuré par quelque nombre, le nombre mesuré aura une partie dénommée par le nombre qui le mesure.
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 449
Αριθμὸς γὰρ © A ὑπό τινος ἀριθμοῦ ποῦ B ;
? TEE p ΣΕ ΑΙ ΟΣ D Le μέετρε: [2] £20 QTI ὁ ἃ OLOVUMOY μέρος Dé
Numerus enim A ab aliquo numero 8 mensu-
retur; dico A denominatam partem habere ab
ipso B.
7Q B, A B d A.
, ^ € \ D ^ Οσακις γὰρ o B τὸν À μετρεῖ. τόσαυται μο- , » > ^ Ἄν At le \ vadxc ἔστωσαν ἐν τῷ Y* καὶ ἐπεὶ o0 B τὸν A με- ΟΣ \ M 3 ^ , sux Ἄν C. Tpti κατὰ τὰς ἐν Τῷ T μονάδας. μετρεῖ δὲ καὶ ἢ \ > \ ^ ^ > , ^ , Δ μονὰς τὸν T ἀριθμὸν LATE TAG ἐν αὐτῷ μονω- , sf € ι \ > \ -“ δας" ἰσάκις ἄρα ἢ Δ μονὰς τὸν T ἀριθμὸν μετρεῖ ig x4 * , € \ καὶ 0 B Toy A° ἐναλλὰξ «pz ἰσάπις d À μονὰς A > \ D CECI \ à » , τὸν B ἀριθμὸν μετρεῖ καὶ ὁ T τὸν A* ὃ ἄρα μέρος 3 ε À ^ ^ \ DEUX , ἐστὶν ἡ Δ μονὰς τοῦ B ἀριθμοῦ, τὸ αὐτὸ μερος € m M \ e > re ἐστὶ καὶ 0 T τοῦ A. H δὲ Δ μονὰς τοῦ B ἀριθμοῦ , 3 Ne. , put Ne E ts μέρος ἐστιν ὁμώνυμον αὐτῷ" καὶ o T ape ToU À , 3 ^ € , ^ e € LA μέρος ἐστιν ὁμώνυμον τῷ B* ὥστε 0 À μέρος E] \ ΩΣ Μ᾽ | ^ 5» ἔχει τὸν T ὁμώνυμον ὄντα τῷ B, Οπερ ἔδει δεῖξαι.
Quoties enim B ipsum A metitur , tot unitates sint in T; et quoniam B ipsum A metitur per unitates quæ in Ll', metitur autem et A unitas ipsum P numerum per unitates qua in ipso ; equaliter igitur A unitas ipsum T numerum me- ütur ac B ipsum A ; alterne igitur æqualiter A unitas ipsum B numerum metitur ac T ipsum A; qua igitur pars est A unitas ipsius B numeri , eadem pars est et T ipsius A. Ipsa autem A uni- tas ipsius B numeri pars est denominata ab eo; et Γ igitur ipsius A pars est denominata ab ipso B; quare A partem habet T denominatam ab ipso B. Quod oportebat ostendere.
Que le nombre A soit mesuré par le nombre P; je dis que A a une partie
dénommée par 8.
Qu'il y ait dans T autant d'unités que B mesure de fois 4. Puisque B mesure A par les unités qui sont en r, et que l'unité ^ mesure r par les unités qui sont en lui, l'unité A mesurera T autant de fois que B mesure A; donc, par permu- tation , l'unité ^ mesurera B autant de fois que r mesure 4 (15. 7); donc r est la méme partie de A que l'unité ^ l'est de B. Mais l'unité 4 est une partie de B dénommée par lui; donc r est une partie de A dénommée par 5 ; donc ἃ a une partie r dénommée par B, Ce qu'il fallait démontrer.
45o LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
IIPOTAZIZ We
\ » θ \ ? » 5 e - e | , Ἐὰν ἀριθμὸς μέρος y ὑτιοῦν., ὑπὸ ὁμωνύμου LA Ψ ^ , ἀριθμοῦ μετρηθήσεται τῷ μέρει. \ \ ε , EI H " \ Αριθμὸς γὰρ © A μέρος ἐχέτω ὁτιοῦν τὲν B, Nd ear B Lips ert y I: I LÀ ε καὶ TQ B μέρει ὁμώνυμος Ἐστωΐ ὁ T° λέγω CTI ὃ
I τὸν À μετρεῖ.
»
PROPOSITIO XL.
Si numerus partem habeat quamcumque ,
mensurabitur a denominato a parte numero.
Numerus enim A partem habeat quamcumque B, ct a B parie denominatus sit; dico Γ ipsum
A metiri.
FACIES.
F
^ M « e , 39 ^ \e , Eze) yup o0 B ToU À μερὸς ἐστι xai ὁμώνυμον ^ > A AXE M ^ , . ,ὔ 70 T, ἔστι δὲ καὶ ἡ Δ μονὰς τοῦ T pos ομὼ- 5» L2 a , X4 2 3 \ € \ ^ T YUHLOY αὐτῷ" ὁ μέρος apa? ἐστὶν ἡ À μονὰς TOU , ^ \ 3 ' , 3 \ Ne ^ v2 ΜΗ ἀριθμοῦ τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ o B τοῦ À*icaxic 5», E ^ \ > \ e ue X ἄρα n ^ μονας mov T ἀριθμὸν μέτρει καὶ o B τὸν E , € \ \ 3 M A* ἐναλλὰξ ἄρα ἰσάκις n Δ μονᾶς τὸν B ἀριθμὸν x S € L4 M e pepe καὶ 0T τὸν A* O T ἄρα τὸν À Aer per, Ogrep EU ^ des δεῖξαι.
Quoniam enim B ipsius A pars est et denomi- nata ab ipso T , est autem A uuitas ipsius T pars denominata ab eo ; qu: igitur pars est A unitas ipsius P numeri eadem pars est et B ipsius A; equaliter igitur A unitas ipsum P numerum me- litur ac B ipsum A; alterne igitur æqualiter A unitas ipsum B numerum metitur ac P ipsum A ; ipse P igitur ipsum À melitur. Quod oportebat
ostendere.
PROPOSITION XE.
Si un nombre a une partie quelconque, ce nombre sera mesuré par le nombre dénommé par cette partie.
Que le nombre A ait une partie quelconque B, et que le nombre r soit dé- nommé par B; je dis que Tr mesure A.
Puisque B est une partie de A dénommée par r, et que l'unité ^ est une partie de r dénommée par lui, l'unité ^ est la méme partie du nombre r que 2 l'est de A; donc l'unité ^ mesure le nombre r autant de fois que B mesure A; donc par permutation l'unité ^ mesure le nombre 2 autant de fois que T mesure A (15. 7); donc r mesure 4. Ce qu'il fallait démontrer.
LE SEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 45i
HPOTAZIZ pz. PROPOSITIO XLI.
Αριθμὸν εὑρεῖν. ὃς ἐλάχιστος Ov ἵξει τὰ do- Numerum invenire , qui minimus existens, θέντα μέρη. habeat datas partes.
Ἔστω τὰ δοθέντα μέρη τὰ A, B, I* δεῖ δὴ Sint datz partes A, B, Γ΄; oportet igitur nu- ἀριθμὸν εὑρεῖν » ὃς ἐλάχιστος ὧν ἕξει τὰ δοθέντα — merum invenire, qui minimus existens habeat μέρη Ta A, B, ΤΊ, datas partes A , B, T.
A PLI B git T Z
H
©
Ἑστώσαν τοῖς A,B, T μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀρι9- Sint ab ipsis A, B, P partibus denominati nu-
μοὶ». οἷ AE, Z, καὶ εἰλήφθω o? ὑπὸ τῶν A, meri, A, E, Z, et sumatur ab ipsis A, E, Z mi-
E, Z ἐλάχιστος μετρούμενος ἀριθμὸς ὁ H* 6H nimus mensuratus numerus H ; ipse H igitur de- pa ὁμώνυμα μέρη ἔχει τοῖς A,E, Z. Τοῖς δὲ Δ. nominatas partes habet ab ipsis A , E, Z. Ab ipsis autem Δ, E, 2 denominat partes sunt A, B , T.
E, Z ὁμώνυμα μέρη ἐστὶ τὰ A, B, Γ' 6 H ἄρα Ipse H igitur habet A , B, T partes. Dico et mi-
ἔχει τὰ A, B, T μέρη. Λέγω δὴ ὅτι ἐλάχιστος
ὧν. Εἰ ydp μὴ. ἔστω τὶς τοῦ M ἐλάσσων ἀριθ- nimum esse. Si enim non , sit aliquis Θ ipso H
minor numerus qui habeat A , B, T partes. Quo-
μὸς ὃς s£u Ta A, B,T μέρη. ὃ e^, Ἐπεὶ ὁ © niam © habet A,B,T partes; ipse © igitur a
ἔχει τὰ A, B,T μέρη" ὃ © ἄρα ὑπὸ ὁμωνύμων PROPOSITION XLI.
Trouver un nombre, qui étant le plus petit, ait des parties données.
Soient A , b, r les parties données ; il faut trouver un nombre, qui étant le plus petit, ait les parties données A, B , r.
Que les nombres 4, E, Z soient dénommés par les parties A, B, Γ΄; prenons le plus petit nombre H qui est mesuré par A, E, Z (58. 7); le nombre H aura des parties dénommées par ^, E, Z (59. 7). Mais les parties dénommées pir ^, E, Z sont A, B, r; donc Ha les parties A, B, T. Je dis que Η estle plus peut. Car si cela n'est pas , soit un nombre © plus petit que H qui ait les parties A, B, r. Puisque Θ a les parties A, B, r, le nombre © sera mesuré par les nombres dénommés par les parties A , 5, r (4o. 7). Mais les nombres dénommés
453 LESEPTIEME LIVRE DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE.
ἀριθμῶν μιτρηθήσεται τοῖς A, B,T μέρεσι. Τοῖς denominatis numeris ab A, B, Τ' partibus men- δὲ A,B, T μέρεσιν ὁμώνυμοι ἀριθμοί εἰσιν οἱ Δ. surabitur. Ab ipsis autem A , B, T partibus de- E,Z60 ἄρα ὑπὸ τῶν ^, E, 2 μετρεῖται, καὶ nominati numeri sunt A, E,Z ; ipse © igitur ab ἔστιν ἐλάσσων τοῦ Ἡ, ὕπερ ἐστὶν ἀδύνατον" οὐκ — ipsis A, E, Z mensuratur, el est minor ipso H , ἄρα ἔσται τὶς τοῦ Ἡ ἐλάσσων ἀριθμὸς. ὃς ἐξει — quod est impossibile ; non igitur erit aliquis ipso τὰ A, B, T μέρη. Οπερ ἔδει δεῖξαι, Ἢ minor numerus , qui habeat A, B,T' partes.
Quod oportebat ostendere.
par les parties 4, B, T sont ^, E,Z ; donc © plus petit que E sera mesuré par
A, E,Z, ce qui est impossible ; il n'y a donc pas quelque nombre plus peut ue H qui ait les parties A, B, T. Ce qu’il fallait démontrer.
q 1 I » B;
FIN DU SEPTIÈME LIVRE,
COLLATIO
CODICIS 190 BIBLIOTHEC/E
IMPERIALIS, CUM EDITIONE OXONIE,
CUI ADJUNGUNTUR
LECTIONES VARIANTES ALIORUM CODICUM EJUSDEM BIBLIOTHECÆ, QUECUMQUE NON PARVI
SUNT MOMENTI.
Litterà & antecedente designatar codex 190; litterà D , editio Oxoniæ ; litterà c, codex 1035; litterà ὦ, codex 2466; litterà e , codex 2344; litierà f, codex 2345; litterà δ. codex 2342 ; litterà Δ, codex 2546; litterà Æ, codex 2481; litterà Z, codex 2531;
Er
litterà πὲ, codex 2547; litterá n, codex 2343 (*).
RS A TT
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER PRIMUS.
DEFINITIONES.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 100. EDITIO OXONI «x.
ΟΝ (τ) elpsuvdyuy τς Lens eût tuldemaan. 1:6 deest. 5;d, ef; hk, bmzn. “ (2) ἑκατέρα τῶν ἴσων quevióv Id. a, d, m. . . + ἔστιν ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν" ἐστι" bes fu hs esum: γέ (3) πρὸς τὴν τοῦ κύκλου πε- Id. a, d, eh, k,l, m. desunt. b, f, n. ριφέρειαν | MOTS... iso eM Os a dre, 15734 fL, ts | deest... Chimie...) .: Ida; d,Ce,h;me., αὐτῆς τῆς b, Μὲ ΠΟ ον ν᾿ το 2s. . Ida, de fk,lmin. deest... (7) D μείζονος ἢ ἐλάσσονος Ζ7α. a , (i €, /7 k ᾽ desunt. NB ἡμικυκλίου. nr ms;nn. zx (S)XiuaTaeÜUypauuz . . dd.a,d,m.. . . εὐθύγραμμα σχήματά 5, e, f, h, ks DS: τὰς (9
) Initium. codicis 1058 deest usque ad propositionem octavam secundi libri elementorum ,
et initium codicis 2542 usque ad propositionem wigesimam secundam primi libri.
454 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER PRIMUS.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 100. EDITIO OXONIE.
a (g)rde . . - . . . « Id.a,d,e f, h, k,ljm,n. deest. b.
xc (10) ἀνίσους Id.a, d, e, f, h,k,lom. ἀνίσας b , n.
κῷ {τὴ τὸ τς e ect pu dE ἀν τς τ τος πὲ ἢ; δ᾽ ἡ» ἢ κθ' (12) τὰς + . 5. d.a,d,,f,h,k,lm,n. deest. 5.
A8) ie. e. e. JHd.a,d,ef,h k.lm,n. &v ὦ:
POSTULAT A.
,
€ (1) ἐπὶ εὐθείας xarà τὸ συν. Îd. a, d. . . . . κατὰ τὸσυνεχὲςεπ εὐθείας D, e, 272 Vo uu
δ΄, Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας Id. a, d, e, f, ἢ, k, deest. à.
ἴσας ἀλλήλαις itat. JT
&, Kai ἐὰν εἰς δύο εὐθείας «ó- 74. a,d,e,f,h,k, Gecst. b.
θεῖα τις ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς PINS ΤῈΣ καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας Nota. Verbum τὰς prime lineæ, quod adest
δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ. ἐκ- in codice 190, deest in omnibus aliis codicibus. ζαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ᾽ Ultimum verbum γωνίαι adest in omnibus codi- ἄπειρον συμπίπτειν ἀλλήλαις. Cibus; in codice 100 , verbum αὐταὶ vicem verbi ἐφ᾽ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ép- γωνίαι implet.
θῶν ἐλάσσονες γωνίαι.
ς΄. Καὶ δύο εὐθείας μὴ περιέχει, [1],«“.α,.6, h, k. . . deest. δ, d, f, hl m,m.
Hoc postulatum in codice e exaratur eàdem manu in postulas, et alienà in not. com.; in codice f alienà in postulaus, et eàdem in not. com.; in codicibus h, k in post. et in com. not. eàdem manu exaratur.
NOTIONES COMMUNES.
Ü.(1) oue oe. ex ON MERI. Gone) tete DETTE . deest. « + + + + . + Hd.a,d,f, hh, kl mn. if. καὶ πᾶσαι αἱ ὀρθαὶ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί, D. τ, deesb, de Me τς Ὁ Mia Da des T ers ἴω id. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα hk, 1,mT; Π. ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν
5 Sn. ; ἐλασσονᾶς TOIN , ἐκξαλλόμεναι
, iB.
D mi . . . .
© Du OCR οἱ
1.
ΟἹ h
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER PRIMUS.
EDITIO PARISIENSIS,
deest, 8-18 o TRIS
ἘΞ θεσ Care er δ ire Sum Ma EUdei 33. e dites Προσδχορισμὸς. . + - πεπερασμένης + + + Κατασκευή. ^. . . €
> \ e77el
2 f Αποδείξις, Καὶ ἐπε ἐσ 6275109 Lea le ls fete
Σύμπερασμα.- D RC
συνίσταται OPES OU DE MEC
3 7/ ^ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ τῇ ET ς ο :- ἴδ ταν δὲ le; lee
^ X , τῷ Δ. καὶ διαστήματι
Πάλιν 3 e cre. C». ee
A yp e » We "» ὁ e +
ταῖς cle ΠΣ, τ τὸ
CHyASIOV τ ν Ὁ ἢ
SUN EU ws. c δ᾽ vi.
0
PROPOSITIO
PROPOSITIO
CODEX 190.
AE AN MES.
PROPFOSITIO,T
Ida dre.
455 EDITIO OXONIÆ.
t , - 4 ^ 3 Θ᾿ y αἱ δύο αὗται εὐθεῖαι ἐπ᾿ ἄπειρον “ > f. $37» ἃ συμπέσουνται ἀλλήλαις. τῷ ἃ , 9X € ^ , 3 ^" μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ορθῶν 3 , , ἐλάσσονες γων!α!. b. v A ΩΝ , , ^ LA 1G. Καὶ δύο εὐθεῖαι χωρίον οὐ πε-
ριέχουσιν. ὦ, d,, f, h, k, 1, m,n.
deest. 5, f, h , k, lm, τι.
dde εν. Δ SUMUS. deest: Id.ay desi τς deest; b JJ; hab ums. γε μα: eheu eis deest
Jd. Ide ds ΘΙ ΜΗ: Kl. Su iut a Mio. ὩΣΕΟΙΣ eine, si vo REINE
qo d'en es
deest. 0b, f, h, k,m, m. Eve oy b,f,h,k,m,n. ἐστὶν ἴση"
deest. ΟΣ f, ΕΣ m'y ΠΕ
, συνέσταται
I I.
τῇ BT εὐθείᾳ
deest. μὲν τῷ À, διαστήματι δὲ
Ν , Κα; 74AIy ,
III.
deest.
I V.
deest. Ὁ ον e. ls Ce Tic go: ERN deest: TAN ENS deest
56 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER PRIMUS.
I C1
PROPOSITTO-SYE
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 1600. EDITIO OXONI E.
AB πλευρᾷ τῇ AT « + . e Jd. 3&0. ec» Δ WrASUDE Τὴ AB
AB τῇ AT, μία + « + + + Fd. 4. 454. 7. AT τῇ ἊΒ ἐπεβεε
CY l9 "M
ABI τρίγωνον τῷ ATB « + « Id, , . . + . . + ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ATB
ἘΣ
y n LE, / τὸ Ἑλᾶσσον τῷ μείζονι "D Ju 55 we ds τῷ ἐλάσσονι τὸ μείζον
PROPOSITIO VII.
Ie αἱ e e e e . . . . . deest. . . * . . . αἱ D TOM ae + ete lobes ῶς ae es Cat A VB παῖς AC ἀρχῆς εὐθείαις" 5. Καὶ αἱ ΒΓ, ΒΔ ἐκξεέλη σθωσαν Desunt iu omnibus codicibus et in omnibus im εὐθείας ἐπὶ τὰ E, 2. editionibus. PROPOS LETTONIE 1. τὰς δ' ὁ. ὁ vex. cu ὦ. Ὁ deest. δον «219 Ne e τὰς Sab D oser acu uum CES tue Veamos δ PROPOSITIO IX. τί Sep Ver ege 9p se os. 7070 unie org eme deest. 2e ica ἐστίν. Ὄ 0994 078 Jue cre ὦ dd: e' w- e "e Ver Te ὁ ἐστὶ: ἴσης ῬΒΟΡΟΘΙΤΙΟ ΣΧ, 1. εὐθεῖαν πεπεραμένην . + PASS NE τ Meet BO MIRI es à Ru MEUS A. ua s ues ἐστὶν pci. πη erro: ann orale πο. ἐστὶν 151 PROPOSITIO XI. 1. ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν" dde... ..../— ἰστὶν ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν"
> e \ 5 \ SG 2 D 2. εὐθεῖα γραμμὴ ΚΤ + . ὁ Id. mo os Je. el-9 τόσ ὦ γραμμὴ AT εὐθεῖα
PROPOSITIO XII.
1. εὐθεῖα" Wa ers . τ, Ὁ Id. . . e $2 ὁ ++ deest. di τ τὸν D std ds DER deest.
C3 D
e ^ Μ ^ > 3 € , ^ » ^ . ἑκατέρᾳ τῶν ITU γῶώνιῶν στην" Id. i xe fair etie οὐ ἐστὶν εκατερα τῶν σῶν "ytYIOYV*
EUCLIDIS
EDITIO PARISIENSIS.
Y. Ἐὰν are 4 € -» δ ὁ € OSTIO e v Me ΚΡ Δ, js m E /
ὥς εὐθέος, ὦ Ὡς νὼ à à ΡΣ ΕΣ ot à 5. ἄρα . . LA LJ . . * Φ 6. Ἐὰν . . . L2 L2 . . *. deest.
1. προσεκβληθείσης» + + -
ΟΣ Ὁ
5.
Le
με E
I. 2.
» ΕΣ ? , ἐπ᾿ εὐθεῖς . * ὦ s
γὰρ . ele 10! Je Ὁ LI
desubteb de v s s ΔΑ τῇ ΑΓ’ ee es, πλευραὶ wi enar du Lo te
πλευραὶ . ei Φ1.ὦϑ τον ἴ
A / ταυτὰ TOIUV . .
ELEMENTORUM LIBER PRIMUS. 457
PROPOSITIO XIII.
CODEX 100. EDITIO OXONIEÆ.
ὃ Ta tos τοῦς ἧς Ως ἂν
Laos! o E DR Pede Ἢ
s. dis seme e s cm Cest LUI: Tee s ree ici feuis
.. 71ὥπκπ τιν à » + © pa γωνίαν ai ας τος τὸς τς ἂν
PROPOSETES HOPISM
deest. a, h,Z, k, n. Ex δὴ τούτου φανερὸν . ὅτι καὶ
In codicibus d, e,f ὅσαι δήποτ᾽ οὖν εὐθεῖαι τέμνωσιν
hoccorollarium exa- ἀλλήλας. τὰς erpóc τῇ τομῇ ratum estin margine γωνίας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας vel inter lineas. σοιήσουσι, D, Me
PROPOSITIO XVI.
Sd. MEN ue V ese. FEGABUHONC s at cfe VENUS ES aea des Us oA ES ue l'déeste
PROPOSITIO XVIII.
HB. di $254 sa deest
PROPOSITIO XX.
. desunt . ..... ἀλλ ἡ ὑπὸ ETA γωνία τῆς ὑπὸ ATA μεΐζων ἐστὶ" ἂν Ade Url. CAS ΔΒ AB AL.
PROPBOSITIO XXI
. Id. . . * . . . . deest. . deest; . $-. v uw πλευραὶ
UGS νὼ vjele τὰ αὐτῷ ape
58
458 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER PRIMUS.
PROPOSITIO XXII.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 190. EDITIO OXONIE. Ie tU ate S7 us w^ vw vd HEESEIS PE LL 2. διὰ τὸ καὶ παντὸς τριγώνου Iu € 3x va desunt τὰς δύο πλευρὰς πῆς λοιπῆς μείζονας εἶναι, πάντῃ μετα- λαμ(ανομένας. ὅ, καὶ πάλιν. κέντρῳ μὲν τῷ Η9 πάλιν» κέντρῳ μὲν τῷ H , Καὶ πάλιν» κέντρῳ μὲν τῷ τ διαστήματι δὲ καὶ διαστήματι διαστύματι δὲ Le συνέσταται + . on + on Jd. . . 44V o. 4. δυγέστηκε
5. οὖν 9 + ὁ ὁ 9 + + ἃ Ὁ Id. e tw - - s» $9 € γὰρ
PROPOSITIO XXIIL
1, δύο + + + ὦ Id. 9 ὁ- 10, 9 * e e αἱ δύο
PROPOSITIO XXIV.
, A \ , ε A \ M , ^ A- e € SN €. I. γωνία δὲ ἡ ὑπὸ BAT γωνίας ᾧ δὲ πρὸς τῷ Α γωνίᾳ τῆς γωνία δὲ ἡ ὑπὸ BAT γωνίας ὑπὸ
EE de γ ee ; τῆς ὑπὸ EAZ πρὸς τῷ Δ γωνίας ἘΔΖ > \ 3 \ 2. ἐστιν . δ΄ + ὁ + ὁ * * deest. e * 9 9 9 * ἐστιν - ἘΠΕ SONS NE Ὁ. αὐτὸ + ^. + . + + £$ n ŒUT® e + + + + + αὐτῇ
CPC CA ον; ER D CE CP UT 0 EIS b. ἡ ὑπὸ AZH γωνία . + + + “Id. . .. + + . + γωνία ἡ ὑπὸ AZH γωνίᾳ
6. καὶ ee ὦ le De Jeu 9 4 Id. €* +, v ὦ $9 ὦ . 6€ deest.
PROPOSITIO XXV.
ANAL M arte tae OLI CO οἱ... τς ες ταῖς
DATE βασι, «v à tisane ALU qe νι ee TE DI de
Bo χη Ce τοὺ es s EEBESES At se eni
ἌΣ 7: MS τὸς προ, craie ses: EET. TON
6. γωνία à ὑπὸ BAT . οἷο. HAS 3e SO H ὑπὸ BAT γωνία
7. οὐδὲ μὴν ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ dd. . , . . ««.. ἀλλ᾽ οὐδὲ μὴν ἐλάσσων, BAT τῆς ὑπὸ ΕΔΖ.
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER PRIMUS. A59
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 100. EDITIO ΟΧΟΝῚ Σ.
8, ἂν ἣν gt ile 3 1.41.) Πα το Id. alle, € "€ Γ΄. 9 ἐφ à
9. BAT δ. σοῦ Δικ δ δὴ dre le Id. € "€ ὁ e $9.9 € BAT γωνία
PIVOPOSITPIO"UXXYVE
Te ταῖς; ho aqu ue ΝΣ ἀστὴν deese ies JR 3
5.5 dro Me US VIA aus ds Wo. apis o o ds 0 Ve ἤτον EGmONM NUI. JEN. NE NE UR Ἑστωσαν ἐστίν. e nn er Le we ie Id. $ Ne τῷ 40 .«ῷΦ so! ts ἔσται.
TAUX »y £071» e e + t$? 5$ 9 Id. ele se re 1e te eCTE 5
ORI PD τ us ΤΣ 7 iir dr e RENS LAE S52 va Aon yard. ey. e 71: o. le o. λοιπὴ
5. 5. 6. ἔσονται. e e e . . e . Id. " . e s . . n ἔσονται 5 ἑκατέρα ὁκατέρα, 7. 0e SNC EADEM eue ue se De EM
1
" Su S5 c = R 3 ο- -
ν ΓΝ
O. Erro μείζων © Id. . . . . . . . Ecro εἰ δυνατὸν μείζων καὶ ΒΥ. BT τῆς EZ , ZI CCOPTOE Sue eter ὦ Ἐν es CR ἔσονται. ἑκατέρα ἑκατέρᾳ τι τὰ ΒΑ 944. 9 8 ss Gus o Midi s de ov ὥς ΠΕΣ BIA ΘΝ 15. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΘΑ ἄρα τῇ ὑπὸ hcec verba in margine concordat cum edit. Paris. ΒΓΑ ἐστὴν ἴση" alienà manu exarata
sunt.
l4. ἴσον: καὶ λοιπὴ . © oo Jd. + 4. 4. + + ἴσον ἐστὶ. xa) à λοιπὴ
37 9. ^» 15, 10e τὰ ὦ Φ n. + + n n Id. Sel τ δι 14} ay τ᾿ τῷ 174 ἐστίν.
PROPOSITIO.XXVII.
I, T^. . e 9 el er, 9... . . Id. . ee « es . * TA εὐθείᾳ. » , \ 6.9 \ ts 1 1 22 , N FAT S \ Ss
2. [σῇ EOTI T EVTOG καὶ o TIeyay- Ge . * Φ . d ^^ c AIN COTI Τῆς EVTOG Καὶ ATEVAY—
ASE SUR :
τίον τῇ ὑπὸ EZH , τίον γωνίοις τῆς ὑπὸ ELH* ἀλλὰ
PROPOSITIGOA4XXY.ILE
I. ro" ei Site) [6 re Ἢ elt. deest. eb e v 7 9 19 Ὁ ποιῇ"
E] , 2v ΟΡ ΤΕΟΡ ὅν, edel Le ὁ τ diis. UE τς im dnos I! etate TROP d.
ΕΙΣ 3 R ce. μι R- = us
460
1. 2.
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER PRIMUS.
PRAOPOSITIO.XEXIX
EDITIO PARISIENSIS. νιν X69! 19 /
AI 74 τὰ αὐτὰ Papi .
ΤΕ ea, Ne is er ce tele SR \ CE ΄
καὶ eu. τὰ ŒAUTA Mp .
ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῆς ὑπὸ HOA,
CODEX 100.
. desunt. . deest. .
. Gdesunt. X cuf ti Mesas
e + + 9 €
EDITIO OXON1Z.
N 5 Ν V > \ , καὶ ἐπὶ τὸ αὐτὰ μέρη τε
X 3 \ * , \ , καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη RS ; ἡ ὑπὸ ΑΗΘ. Καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν
ἡ ὑπὸ ΑΗΘ τῆς ὑπὸ HOA.
Ἀλλὰ. Qu ὦ
᾿Αλλὰ καὶ
BIS “Ὁ κὸν e wu PAL addis V osi Eh PhOPOSILITIOIXS AX
Tec tes αἰ fedi d ROI deese «eem TNT EAE
εὐθείας + + + + + + + δυύοεὐθείας . . + ., .— εὐθείας
ai ἄρα, καὶ τὰ ἑξῆς . . . conclusio deest . . conclusio adest,
PROPOSIEIIO XXAEL σημείου. e... m + + φημείου, ὃ μὴ ἐστὶν ἐπὶ σημείου. αὐτῆς.
MATÉTTOUUGE 4. + e + + à À .. 4... «+ ἐῤπεσοῦσα. PROPOSITIO XXXIL
quic S («c£ AU «δῖ. 9 rer aie ca iR TERIE
ἐκτὸς . . Ὁ ἃ: Le . . deest. . . ἃ es + ἐκτὸς PROTPDSITIO :XXXTIT.
PE av Rows έν dst m à s-.79 ls SECEBI.
o HIR CERRO. COURS τιν er τ 7
ἜΜ ue ee ES CEE QUSS LU SEC ἐστίν"
τὰς ὑπὸ ΑΙΒ. ΤΒΔ ὁ. +" deest..." «^. . eo. o τας ur ATB, IBA PROPOSITIO XXXIY.
SM - Sce wo eU. idis. 92 ras eU LPOBLE
πλευρὰν ἘΝ το ete πλευρὰν Ti
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER PRIMUS. 461
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 190. EDITIO OXONIZ,
yeuxererblene:orlv 20. sente Île t€ e € ns ^desunt.
. δὲ . . . . . e . . . deest. . LI . e . . δὲ
ἐξ Fa) 2 NOT 5» ΓΟ e WE c 5 4. ὅλῃ T ὑπὸ ATA ἐστὶν idMo « Id. 9 e € € ele, 0A τῇ ὑπὸ ATA ic ἐστίν, » N , ε ^ D » 4 \ » E] 6. ἴση τστί" καὶ βάσις ἄρα à AT ἴση" καὶ βάσις ἡ AT τῇ ion ἐστί" καὶ βάσις aoa v AT
LI 3 » 7 ^ 35) E] βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστί" ΒΔ ἴση. βάσει τῇ BA ἴση ἐστί.
PROPOSITIO XXXV.
! E ὄντα Θου ὁ ὃ w"9 € deest. e “e *. ‘ve ‘vie oyre
I. Ὧν BBIZ.. ὁ. 9€ 5$ €... JEBIZ παραλληλογράμμῳ. EBTZ. 5. ἴση ἐστὶν ἡ AA πῇ BTE CU. Id..." , 55% τῇ BT don ἐστὶν Κ΄ ΑΔ, 4. GTV (CH. à + + + + ee Trés ie sms sr οἷος ἴση ἐστίν. ᾿ς τἜσ ΣΤ ν σῆς («50 te le e Ὁ Id. οὐ οἱ er si), . doit cavi. D. OTRO. € £04 «t5 396 tu us o uu. andan icri, τι PUTES ὃς DENS e +. + + + Id. ee ἐστί.
, \ 2 3 5 GTWICO. e. à us o o AO. 4 + + + + + + Mor $e.
co -3 e
PROPOSITIO XXXVI.
I. τῶν . δ᾽ δ' ὦ a $6 9 deest. 8. *,9- 85. 10" "ras, Ὁ τῶν 2% i τὰ e e e δ © δ᾽ ὃ, Ὁ deest. $1» 14. se le ὁ ὄντο . ἀλλὰ 9e" $9.9 18» ἢ Id. e «οὖ οἷ 5*7 9 + + ἀλλὰ καὶ
TE 69.9.0) καὶ, δ᾽ ὦ ὁ ὁ deest? 5 e ek e τε
σι Ἐ- O1
3. NN ͵ » Si e &OTIV ICOY» à © e 9» o + + d. a." δὶ f» le σὸν €G'Tlo
PROPOSITIO XXXVII. I. ὄντα * wee" ww δον δ, «e. deest. v c6 entré, € ovre 2. ES Z 30.9597 Le le m ὦ Id. δι ev 9 ὁ pH v, 7s E, Z σημεῖα 3 ὥς εἰσιν σῶν, ον τς. ce et uS RO OR ΤΕΥ, Igor πὸ EBDA τῷ; d 4. εἰσι mue |» . 9 9 5 e τὸ Id. e 9» 27 ὁ δ᾽ 9 ὁ ἔστι ;
PROPOSITIO XXXVIII.
5 , » , I. εἐστινς e. Us, . δ'ὺν τὸ, le Ye iP Le Id. ὃ ἴῳ "e te ville EITIVe
2e Td e "e ye- w' ea 1€.9 Td. 4.9. 6. € * se deest.
462 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER PRIMUS.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 100. EDITIO OXONI £F.
ὄντα " 4; e". €. 9. $. deest. 9 * s € .e κα ὄντα
3 \ LI 3 \ ET 0e e e * + + « 9 ? HOTEL + + + + + ὃ ὁ £71
απο χα MEER MR SON LUE TERI MENS πὸ
C) C1 A. 01
αὐτο déve. « x» « e. "de. 2*5. dye UT
PROPOSITIO XXXIX.
I. παὶ $ er 4. el nee 9 ve yg. ἂν wow. e du τῶ ὁ deest. 2. ica Tpiymre . ς . + + . Jd. e. 4 τρίγωνα ἴσα S. μέρη" à ἢ o» e m a. UMPAUTAE ΒΓ 2v v oy AED
Astier uiuos Tua vorne dis 4,516 7e OM. rU EE EcL CE cA eo D. TÉ BTS ÁE.. 4 40.» 4. HOOBI« 4 4 a ws e τ BE. AR. Te τρίγωνον .« eoe + eon IR Sn 2 EE n
Da MON Me en user τὴς à dde. ce ὦ ἢ eee CCG
PROPOSITIO XL.
Ie τῶν PE ε. . e + + + deest. ον δ EE * v9 τῶν
Ὁ Ν᾽ \ Y 3 M , Qi "Ob . 9 e € © ὦ $^ s JU uie. ca e kai ἐπὶ τὰ αὐτὰ JAEPH , nM ; ; » Oe 10 Τρ! ΟΥ̓ + + + e ὁ a Id. here ^6 —» τρίγωνα 10a.
à \ LI 3 X » "Ti 1 , \ \ 3 M , 4- παι ἐπὶ τῷ αὐτὰ μερὴ 44 5e Q665L, τὸ «€ ὦ te. ς HAITI τὰ αὐτὰ μερη"
3 A , E
5. «ρα s ww ele ὦ ἡ τῶ ὃ δὴ & à ὁ 9 919-39 ὁ apa
o
τριγώνῳ" © + + « «e 2... Ceest. . . 4. v. σριγώνῳ"
τρίγωνον + + + e + + on (Best. τὸς τὴν hus τρίγωνον
TI vete Pa à Va EN Ὁ νει το 1 ev Gee St:
᾽ » τιν " w (ὦ . + + ee c5 Id. e * 9 + e . £7 ἐστιν
m4 (O CD =]
ὧν ἐστὶ παράλληλος. α ὄν τὸν Md. 4. 2s. παράλληλός ἐστι,
4 PROPOSITIO XLI.
ἘΣ POT XM S vere) ede vence MEETS V τὰ s eS ἔσται
EQ ΠῈ 2. 4129) 5 ὶ «115 $T s deest. . ST + Gite τε
ὅ, παραλλήλοις ἔστω . , « Jd. +, 0... 4 ἔστω παραλλήλοις Ji Τρ γωγον te à eua wp 10 sivo v s. def
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER PRIMUS. 463
à PROPOSITIO
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 1900.
1, γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ" «᾿ς o de ee + , í
D n RE ξ R e ke «m - Le] To Ὡς ἘΞ "P& Le] nn CA E *. S v .
10 3. Ms). ς le Mets e deests 4 vt
/
" T7piytevov eoe a, 497218» ᾧ Id, sc. Le. .e' Us
, συνεστατα! + 84.655707 je. Φ Id. Ὁ Ρ ἴο * ὃ
Cc τς. ΟΥ
DC προς eue, à de Ce ee DR
PhROPOSITIO
1, παραλληλόγραμμόν sont. τὸ Idees 5 EKOA , διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐστιν ἡ AK, ἴσον ἄρα ἐστὶ
E ΤΡ Οὐ 8 SRE δον" dis s τ us. is
3. λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΚ παραπλή- Id, LT GL edle veis 127 ponia. λοιπῷ τῷ ΗΔ παραπλή-
ρώματι ἐστίν 170v. PROPOSITIO
I. ὥστε 9, X924 197. * e e s Fg. e ue. ere DE mar elle de πὶ die de ren 6 δἰ ὭΞ ΠΟ 75: AOZ. | OZE ἄρα, . $ « dde. s à Τοῖς 4. ΠΤ ἢ ΡΥ ΡΝ HUE Aet s etam da χω cy NOM {10}. ces δὸν S ΘΑ ΟΜ Ὁ Ve SS AMORES NS vue e set See S M 8
e Ap uo. w 2 «Jew. δ e Id, ον Θ᾽. sis
PROPOSITIO
Y« *uyiq eUDU)PZMMG. à. Lee. Vds e eue ee 2. μὲν sIMetlotierte l'etellte 14 ES Es Τὸ ἡ , Ds, FA δΟ ΘΕ ΣῊ Ie Le le Lee ὦ Mdr de à ἡ σὴ ἐστὲ eue: μον οἰκο μοί LPS 21 S V YEN
5. ὑπὸ ΘΚΖ ἄρα . ΓΦ Υ fe" te Id, 0
XLII.
EDITIO OXONII. . « εὐθυγράμμῳ γωνίᾳ. . + εὐθύγραμμος γωνία Δ" 5 wol ἔσῃ zu deest. + + συνεστάθη
el 5 []
XLIII.
. . — 70 EKOA παραλληλόγραμμόν ἔστι.
, NES ASIE » διάμετρος δὲ αὐτοῦ y AK, ἰσὸν ἐστὶ
sx deesh νὰ
^ vy ^ , €. λοιπῷ ape, τῷ ΚΔ παραπληρωματι
eine a ; ἰσὸν ἐστί τὸ EK παραπλήρωμα-
as ὥσπερ . o ἐμπέπτωκεν
Lu , ἢ e + — 46421 εἰσὶν"
. + deest. 4." deest. + + ἀλλὰ καὶ . . ) deest.
XL V.
e. εὐθυγράμμῳ γωνίᾳ.
«5s deest: s
M ed 172
PULS ἐστιν 109
. + ἄρα ὑπὸ OKZ
464 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER PRIMUS.
EDITIO PARISIENSIS, CODEX 190. EDITIO OXONIZX.
5 ^ ΜΗ PA ” , ͵ ὃ, tenis τὸς te 0 AU. WS τ ΡΠ
^f e "m 20,7 Te £UUTIG wu ee Les de £UUg/46 + + à. + + e £UUz12t
, \ ? Ν 4 3 \ 8. ἐστὶ δ es are et SNS ἐστὶ καὶ ^ + € c e. ἐστὶν
EN 7. "DUNT 9. £071V I£00l/ à © © ‘à o. + Ὁ 0e 9 6 ‘ee + o o ὁ σον εστις lO. TA * * e e ν᾿ . Ld e Zd. . . * . . . . deest.
PROPOSITIO XLVI. PANNE ets το xc. ds τ τς MARS dai PRLOPOSITIO XLVII
Xs juieyt... v cv καὶ X NI OS SENDER S 98. Sola t TOBESB
De UU... v RS da diee + yg A x uc deest.
5. καὶ ἐπεὶ ion ἐστὶν n iv ΔΒ τῇ Jdo . . 4. + . . 4 καὶ ἐπεὶ duo, BLT,4 δὲ ZB τῇ BA‘ δύο δὴ à
EL δ΄, 6 2. 79 + + ἃ ΟΝ S e ce € ἴση ἐστίν" "mo TERRENT ^T PRESS LS CU
TU NAE BA C ETT CLS 8 peut à da TE
. εἰσι παραλλήλοις de 70, ιν πο τὴ οι}... παραλλήλοις εἰσὶ
. τετράγωνον ,,....... de ......... τετράγωνον BE
NN O Ctr
PIPOPOSITIO: XLVIIL
, 5» \ 3 \ 9 ^ τ. εὐθείᾳ πρὸς ὀρθάς . « + à de . à + + + + + πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα
» ^N L4 DONC DECRE Mec Id. € δ [δ 4. .΄. ὁ. Le εστιν icu*
27 "3 De disce emn ISP χω du. eu 999 € E. SCT σῆς
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SECUNDUS. 465
LIBER SECUNDUS.
D E/ELN-ITIQWN'ES.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX I9O. EDITIO OXONLIZE.
A] ἐν παραλληλογρώμμον
D
p) παραλληλογροόμιμμον Wo. NE se i aT
PROPOSIELO "CT
+ + “ὐπὸ TE Ds EUNDO ew ve. (elle pes da IGN SO et UOTE 5. $TP|. v uve been deest Me MS VE de 2, Mere
ἌΟΡ τ Sua. ess Boat. eps PRIE ΠΡΟΣ rese PAS rre tra ie iS Y CICESTE
M ^ A ΔΩ ΜΈ TO M ^ A Te τὸ sis) © le ele sie 70 wa. € aie te te TO > M ^ n 9. TO δ᾽ e^ 4; Ke arise v te) de TD else: (wet. (sl TO
PROEQOSLIILO-—LIL
\ 4 \ Ro A. elle, uet δ΄ (es vise de το δ ὦ ("m «P. το
» , , 2. περιεχόμενα ὀρθογώνια ἴσα περιεχόμενον ὀρθογώνιον περιεχόμενα ὀρθ)ογώνια ἴσα
ἴσον J PDA ΕΗ EDT CD zs env Men. SS ST Fe EEE deep EA eL LR US τῶν 5
COUTE. RR o Me rom Rdeesbe Wis et τ νῶν, terr)
PROPOSITIO III.
à y " A . Tubs ὡς ἔγύχε. “τὸ TUI dave ds s vu M mettuxe munis ας ss omuia ΡΟΣ 5 SR UTC MENOS e De s LT REN cU CEZO D De e Ue aS NO Sae TRI
ET
2
5
ΟΡ eui on ef ede MEM Lo LENIN SD EE MIT le ὌΧΘΟΝ, ess 5e verto Re oua Oed Isi SE νον τος dette
A66 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SECUNDUS.
PROPOSETIO LY.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 100. EDITIO OXONIE. IX TU MS eo... ol tov Oeste b tes. τ τὸν ᾿ς Τὰν EE ne ἀλλὰ καὶ ἡ
5. ὠλλὰ ἡ μὲν P
5. καὶ εἷς αὐτὰς ἐπέπεσεν ἡ IB: , — verba in margine re- καὶ εἷς αὐτὰς ἐπέπεσεν ἡ ΓΒ" centi manu exarata.
το σᾶ. ορ έν. ΤῊ πον Gi εἰσιν
ἀπὸ .€. ds. tn RUBBSUP 2 oum wi απὸ
4
5
TDI SEES. INTE deesps (3 5. τ > τῶν 7. τεσσάρα 2- eor fv τ τ Ὁ Jg UU E deest. 8
E NEN nr Cl Une τὸ Ac d; T UE ES
ILec altera demonstratio exarata est in chartà paginæ contiguä.
lv «di ἀλλῶξι este ee Ide τ ἘΣ δ δὲς: Ἑτέρα δεῖξιςς
2. ἐντὸς xà) + + + . + + + Qesunt. . ἐντὸς καὶ
. . . B
σι ποτ CEU E P TELE
y Re nt JR ace p MEcdcosts
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4e καὶ s. 5 , » , o. CDS EO E eo deest; os ns EL eer > \ »” Id EU » LE CET SC. is 2 tie Has 19$ 202 10 2 σοί TETTE » 5» \ : » "f. dem ἐσπὲ Nat je) ei à os dido! PNR Uia 8
ἀρῶ M ve 6094 ej e ἀδδδῖς us ocu fep e apa
, Q OUR. QUE ΤΑ ΓΝ:
9: ἐστιν exe dues ater. cest me: 2 do Ceo)
PROPOSITIO V.
1. ἤχθω ΚΜ, καὶ πάλιν διὰ τοῦ dd. ... . . .. 0 ἤχθω πάλιν ἡ ΚΛΜ, καὶ πάλιν A ὑποτέρᾳ τῶν TA, BM πα- διὰ τοῦ A ὁποτέρᾳ τῶν TA, ράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ. ΒΜ παράλληλος ἤχθω ἡ AK.
D. ἐστὶν I vou wo. + ue do 6, 4 ON us ἰσὴ ἐστί
B. NEQUABMOYL. S. sm ue ey le ed τ τς Δ χα A 4. μὲν e % ‘+ e 9? + ὁ δ-ο deest. o9: $9 $$; t$ 9 μὲν
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SECUNDUS. 467
4 EDITIO PARISIENSIS, CODEX 190. EDITIO OXONIZ. ΡΨ UD NS MARONIS Rl eri p 2p? OL AB. $2 suecaclafemawe o Ad A uu c Aes ABS τὸ δὲ ZA, AA ἐσ NEO γνώμων" 7. πῆ e πο τὴν MN πῶ ap e asse ghe ἡ déest.
PROPOS LTDO V.
I. ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι . Hec verba manu TE- ὡς ἀπὸ μιᾶς ἀναγραφέντι centi inter lineas exarata sunl.
B EERIN ga Mots "e. emu rice dilectae dave GO.
Jer NE bd e EN 7 CRT
deest. , . . . : . — ὀρθογωνίῳ.
. . . . E .
Ὁ
. ὀρθογωνίῳ. .
PROPOSITIO"VIT.
4 3 Ns \ De LEE OU S de true de Lee VAS. ve ile lene xov WAP Um » zm, , END Del ΟΡ. EUTAV5U iud et ws Lise de A OO ane eur ἐστιν σον" m ^ ^ Del TF. le etre, melti er "wi ahis ΟΕ ΩΝ τῷ τε
PROPOSILEPTOTYVIELN.
Rmo boU- oa. euer si avis t Des ce eu! v Rae Oeest. IWOLAIB BA, 4. en v Edo, τοῖς ou) es ΠΎΠ ΤΒ ἴση ἡ BA , i dde. idu dors ane - Τα θδϑι: μον νυ
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468 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SECUNDUS.
EDITIO PARISIENSIS.
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Icn δὲ ἡ ΒΔ τῇ BI*
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CODEX
100.
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EDITIO OXONIZ. τοῦ ΑΚ ἐστί. γὰρ καὶ τῆς
desunt.
PROBOSIIITO WX.
. desunt.
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, , ἀναγραφέντος τετραγώνου.
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deest.
PROPOSITIO. X.
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$8.2 he L'e ss. ke 13. le^ f. arie is Mis
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concordat cum edit. Paris.
deest.
S
ἐστὶν
τῶν.
ὀρθῆς ἐστιν,
AHB ἡμίσειά ἐστιν ὀρθῆς"
ὑπὸ AHB
D ἄρα
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SECUNDUS.
EDITIO PARISIENSIS. A. 3) 3 ^ € ^ » 6. ἴση ἐστὶν ἡ ET τῇ TA, ἐσὸν
ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ET VE HZ e "e. en e Ὁ GUESS wl AM n DENS OQ; EH Ses dr € τυ ge Fei ks
PREUCOPUOSITIO*
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: , opos VIOY. (5 e cei teile erts
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CODEX
190.
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PROPOSITIO
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deest. . deest. . desunt.
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. . . ^ ε . . ete . . . . ON SC) er Ὁ .
469 EDITIO OXONIE.
concordat cum edit. Paris.
ΔΖ τετρα) (Voy ΖΕ τετραγώνῳ" ΕΗ τετράγωνον" ΑΗ τετράγωνα.
, TA τετραγώνων.
XI.
εἶναι
concordat cum edit. Paris.
τῆς
ὀρθογώντον
Καὶ ἔστι τὸ μὲν ΘΔ τὸ ἀπὸ τῶν AB, BO, ion ydp à AB τῇ ΒΔ’ τὸ δὲ ZO τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ.
NODI
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γωνίαν.
e ; περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ. T.
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deest.
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470
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EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SECUNDUS.
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PARISIENSIS.
. . * . . . . . LI . . . . * . . . . . . τ . . .
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CODEX 190. 2. deest. 993 0- τς Ae tleests ds xac
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PRO POSITPFO
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EDITIO OXONIZX.
3 Ν n £074 > \ . £674 H TÜV . deest.
XIV.
. deest.
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τ τῆς HE ἴσα . τὸ ΒΔ ἐστὶν» . deest.
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER TERTIUS.
LIBER TERTIUS.
D'EETNITPJONES.
EDITIO PARISIENSIS. & (1) det elaitete eu. e oie β΄. (2) ἐπὶ μηδέτερα pp. (Gard πο πε ΤῊ (4) TE lee ee de
“( (5) τοῦ κύκλου συσταθῇ.
SCHO ΩΝ, ere τὸς τὸς τὸν Ta US DU AURAOUS MAC ΠΟῪΣ ES. CET 9 5. linea 12 paginæ 119 δύο ἧς eUriVUoN D QR US. s D ΤΟ γος δι, φῆ το τὸ ἧς Θὲ Icüleri. v2 9. d.
M TOY ete 21e w.r-ruw ©
7. m mM
8. ἐλάττων Ti μείζονι.
9. XUXA0U. . «e + o. ot Ὁ
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e LA ^ O. ὁπερ ἔδει ποιῆσαι. + ο
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12. κύκλους we" ἸΟῪ ΟὟ οἵ 6
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Te AU TL Iso ION NOTIS ; ;
2.. δυὸ τυχόντα .-. le +
Ge AZE. ex^ ve "eiie cere
CODEX
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100.
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PROPOSITIO:. I.
x Nr es . . deest. du Jd. ὦ
UN REOS de ve . deest. . - uil. τὸς Ὡς sfüeest. ὦ TUNER 23 ideests Ὁ . desunt. COROLL
mo ddisu.
. κύκλου. Οσερ
gat.
PROPOSITIO
. deest. ANUS! x Τα ᾿ς
4. linea 10 pagine 122 πε- 4d. .
σεται
EDITIO OXONIEX. εἰσὶν ἴσαι.
deest.
deest.
πις
2 ^ ^ , ΩΣ αὐτοῦ τοῦ κύκλου σταθῇ
; Διήχθω. ; κυκλου. , M δύο δὲ 34-319) JEN 109 ἐστιν , τοῦ H. > x » ἐστιν 101. y 150Y / ^» , μείζων Ti SAGTTOVI , κυκλους
Οπερ ἔδει ποιῆσαι.
ARIUM.
ἔδει ποιῆ-
τις εὐθεῖα
, XURAQU,
LI
αὐτὰ τυχόντα δύο AL ἐπὶ τὸ E. deest.
471
472^ EUCLIDIS ELÉMENTORUM LIBER "TERTIUS.
PROPOSITIO ΠῚ.
EDITIO PARISIENSIS. linea 1 paginze 125 τέμνει" ὁ linea 2 paginze 125 réure. . Y. o4 2 aditu 2. εἰσὶ. ὁ 6, δ᾽ οὖ ted uitia S. γωνία, dpt à à, eda τ 4. ὀρθὴ ἑκατέρα πῶν ἰσῶν γωνιῶν
ἐστίν" ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα
τῶν ὑπὸ AZE, ΒΖΕ. "oU NCC dos PExUTUP We vd elis Ton e EE
. ἡ EA e". δ᾽ eve .δ'. ΦΔ' ὁ
5 6 Te καὶ o c9. ἃ ὁ de * ἃ ἴδ, ὁ 8 9
» . epa + c! + + ὦ + +
CODEX
Id... deest. .
deest. . ΟΣ
deest. . deest. . Jada Ὁ ἃ deest. .
190.
8 + E] . + . e. * . * . ΄ . LED * *
PROPOSITIO
A
le σήμειον. . ο΄. € 9 9 9... ΄
2. πέντρου . "e €-—e9 + -e
w o2: Je τέμνει 40. 0 e + © on o
1.79 ΠΡ στ᾿ e οὔδει οἷς
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C1 L
De .ο ἔστιν ej τὰ" ed sl ὧν τῶν ἔν ὦ
D 12 PAR χὰ. «- IUE
PROPOSITIO
LATE JP REM Jd. ' o9
EDITIO OXONIZE.
τεμεῖ"
Tit.
δὴ
5 X £ICÍe
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Ν , 4 ovid
> CRE e , mn v ὀρθὴ ἐστιν εκατερᾶ τῶν 60V. "yt
^ « , »! M Cedo νέων" εκοτερα epe τῶν ὑπὸ
AZE , BZE ὀρθή ἐστιν.
deest.
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\ και
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deest.
, » , 42: τρῦν γεν ὴν
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deest.
deest.
PROPROSITIO: VI.
PF EAE 11 tVTUL A Va albe e ced e D
, ^ . ἐφαπτέσθωσαν . . 2...
D
deest. .
e ἡ τῇ ἀπτεσθωσαν
5 A) £y7C€ , ;
ἐφαπτέσθωσαν
11. ΗΕΖ
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER TERTIUS.
EDITIO PARISIENSIS,
» SONDE ONE NE SUR A N I HE + e. 5 a^: idi. ὃ ete) s EJ \ 3) e ἐστιν 10A wee) bel re ORCH
> A εστιν *3)e'"e δὲ 414 ein ὁ
PROPOSITIO
M ^ πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν
ΌΤΙ, εὐθείαί τινες" , HLOVOY IN Le, l'aller οὐ τος.» EB; EZ apa 9. 97:91 sem re Le \ δὲ . ^ Cae . . ele 3 r2 ETTIe ἂν ἃ 41.» δ τῶν 9 5; 5$ » DICTI ST Melle elle 7 ὁ 5/932 N ET ; VOTOS. (9 se oe iq ed n Ne ^ μὲν καὶ n LO τῇ ΖΗ’. + .- , \ » Qe ἐστὶν ICH e + + 0 + τοι DUNS CN ISO SM p Be
ἄγ τῶν I2. €0:1V. τῷ (ὦ) δὴ δον 1167) δ᾽ ων
CODEX 100. JTE NRA des nel
ΤΩ APE CNRS MS
cedo cusa Ὁ
ΤΩ ΣΝ MN AT RERUM dde ys escort Giada T (deester cus oi entm debo tva. ἡ tione! js M. eee Nes ΠΕ os dote. s doloe, etie H3 AR Te Id.
473
EDITIO OXONLE.
» \ στιν
S καὶ » , \ ICH ἐστιν
deest.
VII.
7 3 ^ \ προσπίπτωσιν εὐθεῖα! τινες πρὸ.
\ , TOY κυκλον"
, 9. e μόνον εὐθεῖαι 9 ἄρα EB, EZ M δε deest. LA 3 e ice εὐθεῖαι » 5 Ν ie ἐστὶν. € ^ 5 - , ἡ ZO τῇ ZH i70 ἐστι"
» S CEN. 1059 ἐστιν.
DG EN ES TOO ENONCE
JOB TONER RR TORRE ΗΕΖ γωνία
dol ae rats SEMI e ΠΟΘΙ: PROPOSITIO VIII.
^ , ^ em I. Ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον , \ 3 3 δ ^ ! M ἐκτὸς, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς \ , ^ > h © 1 τὸν κύκλον διαχθῶτιν εὐθεϊαί Γ / W I COLO τινες, ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέν- ε M \ € E xpou , αἱ δὲ λοιπαὶ ὡς ἔτυχε" LJ \ \ \ L
τῶν μὲν πρὸς τὴν κοίλην vrepi- , ^ > ^ φέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν , , 3 « \| Ὁ μεγίστη μέν ἐστιν ἡ διὰ τοῦ , ^ ^ » SAN € HEYTPOU* τῶν dé ἀλλων. dei ἡ » ^ V , e^ ἔγγιον τῆς διὰ κέντρου τὴς E , , » ^ \ ἀπάτερον μείζων ἔσται" τῶν δὲ
“πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν
\ ^ Edy κύκλου λυφθὴ TI σε-
e , \ 2 Y \ ^ μεῖον ἐκτὸς, ἀπὸ δὲ τοῦ ; À σημείου πρὸς τὸν κύ- ^ > b xAov διωαχθῶσιν εὐθεῖαί 7" , \ \ τινες, ὧν μία μὲν did ^ A τοῦ κέντρου. αἱ δὲ λοι- N € » ^ \ Tai ὡς ἔτυχε" τῶν μὲν ^ M ,ὔ προς τὴν κοίλην σερι- φέρειαν προσπιπτουσῶν » ^ 7. , εὐθειῶν μεγίστη μέν : OU MU ἐστιν ἡ διὰ τοῦ κέντρου,
» Li ἐλαχίστη δὲ ἡ μεταξὺ
Ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκ-
\ » M \ ^ / \ τὸς, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου πρὸς \ ; ς tS τὸν κύκλον διαχθῶσιν εὐθεῖαί e , M \ ^ , τινες, ὧν μία μὲν διὰ τοῦ κέν- N N ε 39, Tpou, αἱ δὲ λοιπαὶ ὡς ἐτυχε" ^ V \ S 7 τῶν μὲν πρὸς τὴν κοίλην περι- ; A sedet φέρειαν προσπιπτουσῶν εὐθειῶν ͵ \ . ^ ^ , μεγίστη μὲν ἡ διὰ τοῦ κέντρου" ^ NET 2N€yy ev TOY δὲ ἄλλων. ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς M ^ , ^ , , διὰ τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον , E 07 M 1 \ μείζων ἔσται" τῶν de πρὸς τὴν : ; κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπ-
60
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4 L
7^ EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER TERTIUS.
EDITIO PARISIENSIS. n: UOORSAME S προσπιπτουσῶν ευὔξίων ελα- , LE, € EA ^ XICTH μὲν ἐστιν ἡ μεταξζυ TOU
, \ ^ , κεἰου καὶ τῆς διαμέετρου"
€ y
m e ” 3X ^ τῶν δὲ ἄλλων. dei ἢ ἔγγιον τῆς 5 ͵ es 2 , P 5 ἐλαχίστης τῆς ἁπωτερὸν ἐστιν 5 , , M LA LJ4 \ ἐλάττων. Δύο δὲ μόνον σα! T0
- " 1 του σημείου προσπεσουνται πρὸς
\ ͵ > tue y z τὸν κύκλον tQ εκατερᾷ "Uc
3 4 «λαχίστης,
MN τ NS Ἑστω xuzA^oc 0 ABT, xai Tou ABT
, , \ D , M b εἰλήφθω τί σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ.
^,
a We S, καὶ ὁπ αὐτοῦ dinyborar εὐθεῖαί τινες αἱ AÀ ; AE, AZ, AT, ET ν ε XN ^ , ἔστω δὲ ἡ AA διὰ τοῦ κέντρου" ^ eo. ^ \ M X yo 0TI τῶν μὲν πρὸς τὴν y ; AEZT xciAmv περιφερείαν vrpeo- NER ; ; σιπτουσὼν εὐθειῶν μεγίστη μὲν ^ € X e , e ἰστιν ἡ dt τοῦ κέντρου ἡ ΔΑ" 3X X N € 1 D ^ ^ ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς dud τοῦ 215 5497 » κέντρου τῆς ἀπῶτερον μείζων s ε M ^ € ^ ἔσται. ἢ μὲν AE τῆς AZ, n dé c hz M À Y AL τῆς ΔΙ’ τῶν δὲ πρὸς τὴν ΄ ^ , OAKH zupruY vrepiQeperaw προσ-
OU TREE ; c πτουσῶν εὐθειῶν" ἐλαχίστη
CODEX 100. P. ; ὌΝ τοῦ τε σημείου. καὶ τῆς Y , 1 διαμέτρου προσπίπ- ^ A ! τουσα" τῶν δὲ ἄλλων. > \ € y BJ ^ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τὴς διὰ € NER τοῦ κέντρου τῆς ἀπῶ- 15 4 , D Tépoy μείζων ἐστί" τῶν x \ \ \ δὲ πρὸς τὴν HUPTHY ; περιφέρειαν προσσιπ- : ελα-
πουσῶν εὐθειῶν
, X 2 , € xicTW μὲν. ἐστι" ἢ AES ^ μέταξυ TOU τε σήμειου Seu. , À καὶ τῆς διαμέτρου" τῶν sr. 3 wey de ἄλλων. ἀεὶ ἡ ἔγγιον AES / X ἢ πηςελαχίστης THE ATFL- EE >. ? Tépoy ἐστιν ἐλάττων. , M , » 3 Δύο δὲ μόνον σα! eU- ^ 5 \ ^ # θεῖαι ἀποτοῦ σημείου ^ M προσπέσουντα, πρὸς \ , $» 3 Veste TOY XUXAOV, €Q εκα-
^ 2 , τερὰ τῆς £2ecyio TUE.
EcTt κύκλος 6 ΑΒΓ, καὶ
T τοῦ AET εἰλήφθω Ti ση- e ? Ν \ X μέειον exTOG TO À , καὶ A ET ἀπ αὐτοῦ δι χθωσαν ; ; ε εὐθεῖαί τινες αἱ AA, »} ^ ΔΕ. AZ, AT, ἔστω δὲ ε \ e ,
ἢ ΔΑ διὰ τοῦ κεντρου" TR d E ! λέγω OTI τῶν μέν προς
^ / τὴν AEZT κοίλην περί- φέρειαν προσπιπτουσῶν TS y "ΕΣ εὐθειῶν μεγίστη μὲν εσ- SM Mur τιν 4 διὰ TOU κέντρου - - , A ἢ ΔΑ’ ἐλαχίστη δὲ n TE : Ἐν μὲν ἡ AH, ἡ μεταξὺ
^ / \ a TOU σήμειοῦ καὶ τῆς
EDITIO OXONIÆ.
RET EC , τουσῶν εὐθειῶν ἐλαχίστη μέν , e E ξὺ ^ à , ἐστιν ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου
Nom ῃ C + καὶ τῆς διαμέτρου" TOV δὲ ἀλ- re > A6 y © ñ λῶν. del ἢ εγγίον τῆς €Aayig-
ἊΝ d e 2 τῆς τῆς ἀπώτερόν ἐστιν ἐλάτ-. A ^ , ^ ” τῶν. Δύο δὲ μόνον εὐθεῖχι ἴσαι ^ 5 \ ^ , προσπεσοῦνται ἀπὸ τοῦ σημείου Ν X , 3-9. 5 , πρὸς τὸν κύκλον. ἰῷ τκάτερα
τῆς ἐλαχίστης.
Ἔστω πύκλος 0 ΑΒΓ. καὶ τοῦ ΑΒΓ
2 NE \ εἰλήφθω Ti σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ. \ 3 E > ^M , > καὶ am αὐτοῦ διήχθωσαν «u- D $ \ , ε θεαί τινες πρὸς πὸν κύκλον αἱ LA A! € AA, AE, AZ, AT, ἔστω δὲ ἡ Y ^ , , εἰ ΔΑ δια τοῦ κέντρου" λέγω ὅτι X ^ \ \ μὲν τῶν πρὸς τὴν AEZT κοίλην : A WS περιφέρειαν προσπιπτουσῶν eU- “ὦν / ^ 5 Ld θειῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ dud ^ , € 3 \ un ET | τοῦ κέντρου ἡ ΔΑ’ ac δὲ ἡ ἐγ- ^ X ^s , ΩΣ jiov τῆς διὰ τοῦ κέντρου τῆς 3 4, , 53) ε \ ἀπώτερον μείζων ἔσται. ἡ μὲν - o € y = AE τῆς AL,» dé AZ τῆς AT* à τ \ \ \ τῶν δὲ πρὸς τὸν ΘΛΚΗ͂ κυρτὴν
, ^ 3 περίφερειαν posui TOUGGV £U-
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER TERTIUS. 435
EDITIO PARISIENSIS,
μὲν ἡ AH, ἡ μεταξὺ τοῦ cu- ͵ Ste ,
μείου Δ καὶ τῆς διαμέτρου AH*
TEN, A Cr" ^
ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς AH ἐλαχίσ-
3 , , N ^ » ^
TAG EAUTTOY £01) τὴς ἀπτωτερον,
€ \ ^ e N
ἡ μὲν AK τῆς AA, ἡ δὲ AA
τῇς ΔΘ.
AT duae ifa ido pr προσκείσθω, . 0. ere, ai MK, KA &pa . . . + σῆλθε, MENT m UNI ne Jon NEEDED e TUM TrpoczecoUPTRLE , + eo. e
» ΟΣ τῶν elle tte le tiat te
\ . δὴ Bera) jet ya] 74 76, tre tre
TO LED THIS vis be ETE DTA DEA Ne MU ASE ire 12. ἐστὶν ἴση" ΠΟ δ, er ts ΤΟΣ ENT Moos rw e Lees io ve VAS OSCAR EO S
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PROPOS
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ἐσεῖι δεθε δ} QUU. VS SU » SAT
102) δ δε δον, I Vn ETUR . > \ ”
ἐστιν IGA ei jen) δ᾽ ὦ, fire ᾽ν
Θὰ ὁ e ΟΝ e erm LIS
, , ^ 4 ΟῚ \ τέμνει δίχα καὶ πρὸς opüzc. .
; XUXAOU, ΡΟ S C
CODEX 100.
διαμέτρου ä AB: μείζων δὲ à μὲν AE τῆς ΔΖ. ἡ δὲ AZ τῆς AI* τῶν δὲ πρὸς τὴν OAKH κυρτὴν περιφέρειαν προσπιπ- Tous εὐθειῶν" ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς AH ἐλαχίσ-
3 , 3 ^ e τῆς ἐλάττων ἐστὶ τῆς
ἀπώτερον ,g μὲν ΔΚ τῆς AA , καὶ δὲ AA τῇς
ΔΘ. Te I ἀρ AE LUS le ΓΝ Ter ets IS Vo cM A RH πὰ ες τ AT SEE Τὰ παρ τι ἢ TELE Va PRESSE
dd. Ses nue δ τον
Tou 8. oa M Te
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GN er TAPER Ja n ys En L'E à Vd e Aiit vc WE dw a due dos
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EDITIO OXONIE.
€
AUS SIN θεῶν ἐλαχίστη μὲν ἡ AH, ἢ £A ἣν / SE μέταξυ TOU σημείου À καὶ τῆς ; aA ENT Feria διαμέτρου AH* ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον ον 5 / 2 , » \ TAG AH ἐλαχιστηςελάττων ἐστὶ ^ » , € M "o τὴς ἀπώτερον , ἡ μὲν ΔΚ τῆς
AA, à δὲ AA τῆς ΔΘ.
od. αλλ ci
δὲ αἱ MK , KA, αἱ ἄρα MK , KA
e > » ων ἐστιν ITA
3! )A ry ἴσαι εὐθεῖαι
συμπεσοῦνται
- M > Καὶ ἐπεὶ 5» 3 , σή ἐστιν" 5»,
ἄρα deest.
εὐθεῖαι
I X.
5 ^ v
εὐθεῖαι ἴσαι. ΕἸ m L4
euÜeT2u ἴσαι,
3» 5 \
ἴση ἐστὶν
57 » ^
ἴση ἐστὶ
δὲ , ἃ 4 ^ ^ ᾿ 02 ix τέμνουσα , καὶ πρὸς ὀρθὸς
τέμνει. ΑΒΓ deest.
476 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER TERTIUS
A LINE KR. ΄
EDITIO PARISIENSIS, CODEX 100. EDITIO OXONIEÆ.
A pomi METER EE CERRO
\ a ἘΠ 5 ; " d ES ; M IP 9. τὸ A, ὁ μὴ ἐστι xeyTpoY τοῦ dd. ENS sur το MNTEEPOE XeYTpOY TOU κύκλου
P. XUXEACU , τὸ A, : ἢ αἱ : m τὸ, MUXAOUL v L2 2A Ns ra re κυκλου. O7:p ἔδει δεῖξαι. XUXACU,
PROPOSITIO X
I. Κύκλος κύκλον οὐ τέμνει AT doli τς νος We zy "s Κύκλος οὐ τέμνει κύκλον
2. σηη χθυῶσαν ἐπὶ τὰ A, Ἐν το Ed τος e ἐπὶ T4 AE διήχθωσαν
3. καὶ πρὸς ἐρθὰς τέμνει. . . Id. .. .. . . τέμνει καὶ πρὸς ôplae,
4. ἀλλήλαιξ à à à 4... deest. + 2. : δ, ἀλλήλοις
De δύο dpa, κύκλων τεμνόντων a^- deest. . . . . . . concordat cum edit. Paris, λήλους. τῶν ΑΒΓ. ΔΕΖ: τὸ
, )/» ? δὶ αὐτὸ ἐστι κεντρὸν τὸ 9
EY. Ξ NA
[ON ODD EE TESORO IS gie S ἴσαι εὐθεῖαι. ECT UE
. κέντρον (ei s- we. δ΄ οἱ Ὁ Id. es “δ ww le τὸ ἐστι HEVTEOY
7 De GAANAOUC es à ς΄ ὦ ἐφ vts ἀλλήλων ΡΝ ἀλλήλους
PROPOSITIO, XL
τ᾿ δὶ εὐ πες dee 106 MTS NIEBSU:
2. ἐφαπτέθωσαν . + «0.00 Hd. .. . .. . Ὁ ἀπστέθωσαν , \ , AURA OU) M. ἐν lee A2UXA0Ü τὸ... τ «e ὁ κυκλου
\ ^ OE DR PN UP E dd. 4 2 vou TO σίμειον M » ^ ε e e. * ^ e; τ Ὁ Ta) us TS LES τῆς ZO , 16 yap n ΖΑ τῇ ZO A , M 3] ἀπὸ κέντρου γὰρ ἄμφω
LOW. πος 2 Rent
. τῆς ZO ,
ΟΕ το νὰν ἐς \ » 5 Ν ^ E] 3 39 \ E 7. κατὰ τὸ À ἄρα ἐπὶ τῆς συνα- ΘΒ ΟΣ eT αὑτὴν apa.
φὴς πεσεῖται.
8. ἐκξεθλήσθω + + + + + Jd. ......0.Ο προσεκξεξλήσθω
ἄτοπον. Οπερ ἔδει δεῖξαι, ἄτοπον,
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER TERTIUS. A27
DPILOROSITAIO XII.
EDITIO PARISIENSIS. Tc E Pt S erue deest cos visu (ledsb A/R
I PATULAE PERS TE
- , δου λον SMS ES LE TA eee
EDITIO OXONIZÆ, aT TUTO εὐθεῖα
πυκλου
PRORPOSITTTO XLLI
> ; > SAN 1. ἐφαπαπτηῆται ἐᾶν τε ἐκτὸς. .
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PROPOSITIO
HARAS APA: en τ Ὁ CER ao Uva ds 2. ἡ T'es mette (we | e δ 6. 5 e Id, 5.0. +, € + "9 ὦ ^ DOR \ Ὁ ra -“ 3 M ^ D
9. λοπῷ τῷ ἀπὸ τῆς EH icovy τῷ απὸ τῆς EH 60v
3 ^ y E ᾿ς £77 W , i99 epa παι Id. sie ΤΥ ΣΟ Δ: Id. . . . . . . .
, 3 ^ ^ » \ ^ ἰσον ἐστὶ TQ ἀπὸ τῆς TH.
2 \ 35 L4 ἐστιν 408 d pot 3 Ν MONET Se lee te ele [ice , \ » De ἐστ» ἐσον In “NS. à De τον “, ^ > A » 6. Aor τῷ ἀπὸ IH ἔσὸν
> , ἐστιν"
35 "CU e ἐάν τε ἐκτὸς ἐφάπτηται. um , ἀἁπτέσθω rcd εὐθεῖα e ? ^ ὅπερ ἐστὶν =
1)
deest.
Se MÀ auo
XIV.
deest. deest. concordat cum edit. Paris.
3» \ M ἐστι καὶ LA 35 M 460y ἐστι» ,
concordat cum edit. Paris.
PROPOSITTO* XX.
désirs ue τῆς AA διαμέτρου 4,0, d. PRE ES SIN ne Edi s f. v bim. 4. ἀρὰ |. . 4 s. 2 9] 9deest. af o, hy E, bm. EP ele
31 EN 1. εστιν ell ste 5.6... δ, Te, “Ὁ le
2. τοῦ Ε κέντρου Nat Ten S
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Id.a,c,d,e, gh; Kk, 0, m.
eerivb,c,d, e, f, g, h, b, 1, m.
τοῦ E κέντρου
deest.
ap b, c, d, e, h.
μείζων ἐστί" b, c, d , e f, g, h, k, 1, m.
deest. à, f.
478 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER TERTIUS.
PROPOSITIO XVI.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 190. EDITIO OXONIE. I. παρεμπεσεῖται" à + . € + 14... 0 . 4. περεμπεδεῖται" / £O! τ 9.5, ἢ 2. δ νέος site « ὁ de + JO. V e. s, v τὴν — bGEiete yoyias | ? < \ 5 "WEN 5. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ AAT γωνίᾳ Id. . . . . . - . — ien ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΔΑΙ que
4e
mn € * E] 5 LA 71 ὑπὸ ATA {64 «cT Iv.
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yoviei αἱ
HR en tete (ie / ^£
γωνίας ὀξείας . +
(malle τ τς etae
εὐθεῖα παρεμπεσεῖται.
Οσερ ἔδει δεῖξαι. "E
IO. τούτου . . . 5o
Ir. ἐδείχθης à à + +
I. 2.
DV ἢ ἀστὴν: "DUMONT CDS ETE ἡ ὑπὸ EAZ τῇ ὑπὸ EBA. ΒΠΑ τς
. ,/ εφαπτομενῆν à eon > ,
ἐφαπτέσθω .. + «
HAE + + e + + + +
ὀρθὰς . + + + + + τῇ AE πρὸς ὀρθὰς + .
y OUY . + e + + ὁ 9
TN INE: via τῇ ὑπὸ ATA.
M [a e V, € oo! syovou δὴ τοῦ ATA αἱ δὺο Id. . + . . . . . αἱ ἄρα
MN dog SL deest
>, , eoe dd... ST NM δες γῶν δς ere Id. "dep e (8; en ἐπὶ νῷ ἡ . dJMd. 2... 4 4. παρεμπεσεῖται εὐθεῖαι.
., . .deest. . . + + . . concordat cum edit. Paris.
COROLLARIUM.
m TOUTOU 4. + e + + e πουτῶν
o. ἐδείχθη, Οπερ ἔδει δεῖξαι. ἐδείχθη.
PBBOQPOSIITLO XYlLL
.:ε Id. ve + + + 9 © + deest.
he AÉCSt UN, vv ee τὴν «+ Jdd.......« τῇ ὑπὸ EAZ à ὑπὸ EBA
we is. 4 wx. wu πὸ MICCSDS PROPOSITIO XVIII.
sun Wu. τούτο à. quts. OURTOMEMIE TQ r5 PERPCPDEUMES 7017
Ἐν cds Lew xv τ MOSS PROPOSITIO XIX.
ew do. à à ox ὀρθὰς solae one Ar. IE NEC “πρὸς ὀρθὰς τῇ AE .. deest. we." a. 1.47165 V οὖν
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER TERTIUS. 479
PROPOSITO XX.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 100. EDITIO OXONIÆ. » ; L ^ \ / CK CAN EC Y
I. ἴση καὶ γωνία ἡ ὑπὸ EAB Ti Toc tola E παὶ γῶώνία n ὑπὸ EAB τῇ ὑπὸ EBA ὑπὸ EBA* ἴση ἐστίν"
ΡΠ ΠΣ ρος ΡΟ ΚΓ 7 PIuiQ«BJON ST ETO XXI.
τσ πο een ao MAÉ Ono 1. ul Us de «deest;
PROPOS PEROU
1 o ΠΟ st she T votes ous te LOTO LE le IR TRE n 2. dpa τριγώνου RAR d i.a LME A ddeést. Suam pr PS ue eue κα ido! Sd estie ybi iideeste
,
P'BROOPOSII'RO. XXI.
A7 , I. CUCTAUNCETAI . + à + n Id. w" je ler ele) tede συσταθήσονται
ΘῊΡ SHE TT. Ne X. Ve
TOUT τον eue le use Ad: 5:65 dcr fon E. celoty* D. Ks D. P, Τὰς 2. τῆς δὲ AB ἐπὶ τὴν ΓΔ ἐφαρ- ΤΩΒΟΣ Δ 31 deese ἐφαρμοσάσης δὲ τῆς ΑΒ εὐθείας μοσάσης, - ἐπὶ τὴν TA D, €3d57e T1; gy i, k, an, ne
4 32 * 3 ^ n » > \ , e 5. ἥτοι ἐντὸς αὐτοῦ πεσεῖται. ἢ Id.a. . . .. . . ἀλλὰ παραλλάξει ὡς τὸ TOHA.
> N À , € \ 2 A E ;
ERTOG , n παραλλάξει ως το Κύκλος δὲ κύκλον οὐ τέμνει \ " D , M , ^ À ’
TOHA καὶ κύκλος HUKAOY TtJA- XATA πλείονα σημεῖα ἢ δύο" ^ 3 M \ ^ Li D
ve κατὰ αλλῶ καὶ Teva 0 TOHA τὸν
ΓΖΔ κατὰ D, ὍΣ de A AT I ἀ, 1270715
P ILO BOSSI I;UOUXX V.
1.5dw NOR ues che dede 2 δὲ τοῦ ABE τμήμωτος ς δὴ
, » EJ , Υἱοὶ eee νος s ee cua yepx parie MAL AB, ἐπὶ τὸ ἘΠ eee ee QU Ads eee e ea der EZ) TDI EVA ΑΒ
"nope A RNA Suse ΠΣ τ deeste
480 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER TERTIUS.
EDITIO PARISIENSIS. 2 Ν L4 EUTIV 08 © + e + + ὃ on
VTL T NECEM
5. 6. > ^ » To ἐστιν IG. 4.0. eon on on 8. τῷ ee + t$ + + + Τὸ , Ὁ. κύκλος, ee eoe + on n due P ἐμὴν IO. ἐκτὸς AUTOU see. eo © ADN ἐδ εν REZ > 1I. καὶ ἐᾶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία i00 à \ 2 ^ , À 12. πρὸς αὐτῇ σημείῳ TO À, ὁ L- d € A τόν 05 το Εν 1.
er ν - 14. οὑπερ ἐστι τὸ τμῆμα. .
PROPOSIT
\ I. yup $4 « 5755. + 5|
\ \ ^ , » 2. "poc μεν τοις κέντροις σα! / » q0Vid ETTUOTAV ,
» / £I0I* ὦ ας . . CRC . . .
2 / ἐστι role. + 79 .
3 So M. ἐστιν ICH. 0 e + + + ot 9
2 , tOTmiV*- (e. ete ὁ Ds) ὁ ὁ
, τμήματι. + 0 mot + os
© 1 Qo» cUm ΟἹ
A » z ^ - λοιπὸν ἄρα ΒΚΤ τμῆμα λοιπῷ
EAZ ἴσον" ἡ ἄρα BKT περιφέρειά
TOME ͵ ἐστιν ἰσὴ τῇ EAZ περιφερείᾳ.
CODEX 100.
Id.
JS Ta 7 [PES Jd «X Jod Jd. . Id Id. :, deest.
Tu. τ: d. ς
deest. deest. qa deest. deest. deest.
EDITIO OXONIÆ.
3) 5 \ . σὴ εστὶν. 3 καὶ βάσις TUN . ἴση &CTIV \ TO . deest. B nb» 4 - αὑτοῦ εκτὸς
. κἀν ἢ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση
. TO À σημείῳ
. deest.
. concordat cum edit. Paris.
X X V I.
. deest. » 5» D LA , ELA . tv αὐτοῖς TI γῶώνίαι ἐστωσαν. \ Α D , πρὸς μὲν τοῖς κέντροις s. E εἰσὶ" 3 / . es Ti* “ν᾿, . i71 6871, . εἰσίν, . τμήματι \ 3 ^ ^ + Aorroy ape, BKT τμῆμα λοίπῳ ΕΔΖ 5) t oy ^ 106y* n ape BKT περιφέρεια τὴ
EAZ περιφέρειᾳ ἐστὶν ion
PBOTPQSITIO- XXYbL
, 2. γωνιὰ :..::-ςς... c 7 H M ὃ. ἐστιν IUe . + + + + on n » \ 3} , \ € ε X 4. E; γὰρ αἀνισὸς ἐστιν ἢ ὑπὸ mE / AP ΒΗΓ τῇ umo EOZ, Mia eure
24 » μείζων εσται-
Id.a,c,d,e,f,g, vain b,k
h,4; m.
Id. ας. Id. αι, ἦν i 5 s, C deest. 0,0, d, e, f; gy d, Lom,
Id, a.
LI
.
. deest. ὁ, c; d, e, f, g, h, Kl, m.
\ 5 € € N 35, . Ei μὲν οὖν à ὑπὸ ΒΗΓ ἴση ἐστὶ “ \ e τῇ ὑπὸ EOZ, φανέρον ὅτι καὶ E ES »y ἡ ὑπὸ BAT τῇ πὸ EAZ 16h » / » τὰ , / > ἐστίν" Εἰ dé οὐ μία. αὐτῶν LU * μείζων ETTIVe b, €, d, NEP δ, 1, kh, l,. m.
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER TER TIUS. 481
BROPOSLLDPRO XVIII.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 100. EDITIO OXONIÆ. X5 "UTC v. esfera DN SIS RENITOIGNRURAOIGU ον Nus eh RUTOSS 23. τῇ AGE ἐλάττονι. . à + + τῇ AOEe + « + + . + ἔσῃ τῇ ΔΘΕ ἐλάττον!- 2. ΑΗΒ περιφέρεια τῇ AGE 7é- AHB περιφέρεια τῇ ΔΘΕ. περιφέρεια AHB τῇ AGE περιφε- ριφερείᾳ. ρείᾳ. UP Tr MM SCA Δ lat AIGLE XXE DS D OCULI
PROPOSITIO XXIX. DOUTE il en S C Wdeestels Pr fers CORO Ἂς 3005/4 τὲ τοῖο ΘΟ, verbum manu «oua aliená inter lineas exaratum est. DER orme Nails arre ΤΙΝ ΜΝ ecu deest
ἢ: ἼΩΝ. dudo cs esie eMe YR eis e mese ce, doge uUa PROPOSITIO XXX.
Ie τεμεῖν. $ Meroe vu qo: lee Id. C ΡΥ ru ὅν} τέμνειν. reru Ἐν Ne as Lee Mo: τ ιν 5, TOMUS De: Pusicapaiates ele ete dde Sir ele + + +, RE βάσις
A. xarà T0 À cuuey . + . + 1d... + . deest. PROPOSITIO XXXI.
S ETLMUWIE Ne to lee ee NEAR. us à. Geest AE MORE ER VOCE Jd eie eie το, ἐστὶν opes SOMEUCONBAE τ λιν τρῶς Adae... + « deesb RAD TAN ER Ale RME e à ele te - ὦν E oun LETT eee te Reno ltese (eoste veo en; καὶ GR BAD NES SE ACIE conie; el erret ΒΑΓ γῶν δ" 7. γωνία μείζων ὀρθῆς ἐστὶ, καὶ 74... .....«.. 00. μείζων ἐστὶν ὀρθῆς. καὶ ἴστιν ww ἐστὶν ἐν τῷ ΑΔΓ τῷ DUPLO ee Tere SNO ees EO QE eire. le este ee ATA US 61
EDITIO PARISIENSIS.
9: TEST 4$ letter ἀφ΄. 992716 IO, τε. - . . . '" 9 * . PC CL OI ie Re 12. περιεχομένη ee ‘el RG. sos d ce E
, , ^ e" Ex dw τούτου φανερὸν, CTI A € , m cay ἡ μία γωνία τριγώνου ταῖς \ » μὲ 2 | A à € , δυσὶν ien 9, ὀρθή στιν ἡ γωνία" \ M ^ M , , » \ did τὸ καὶ τὴν ἐκεί ἧς sxTÜC ^ ΕΣ ^ » a
παῖς αὐταῖς (σὴν εἰνά!ς Orav
" - Li δὲ ἐφεξῆς ἴσαι aer , ἐρϑαί εἰσιν.
CODEX 100. Id. sen. e. € ὃ Id. ἔν ἴω, a. Con. à δοθὲν ce Td: * * * . .
ΔΤ ΤΎΤ ESK lo Te
EU CLIDIS ELEMENTORUM
LIBER TERTIUS.
EDITIO OXONIÆ.
deest. deest. γωνία
deest.
deest.
COROLLARIUM.
Id. .
hoc collorarium eà- dem manu in mar- gine exaratum est.
M Uu \ bd t Ex δὰ τουτου Qarepov, GTI eay , ε “ ͵ No» τριγώνου Y) μία γωνία δυσὶν ἴση "y L , » ^ \ \ M 5», opu ἐστι" διὰ τὸ καὶ τὴν » , » ^ D , e » ἐκείνης ἐφεξῆς ταῖς αὐταὶς ἴσην
^
4 . εν R£ / εἰναι. Οταν δὲ αἱ ἐφεξῆς γονία:
» S » , » ἴσαι ὦσιν. ὀρθαί εἶσιν.
PROPOSITIO XXXII.
Te εἰς πιο tn ΠΟ che Ὁ
D. εἰ το DEP τ:
5. γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΒΑΔ τμήματι συνισταμένῃ γωνίᾳ , 4 δὲ ὑπὸ ABE γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ἐν τῷ ΔΙΒ τμήματι συνισ- ταμένῃ γωνίᾳ.
ἡ. ἀπὸ δὲ τῆς .. «ὦ ὁ
5,
6. H BA ἄρα δηάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
7. Εἴσι δὲ καὶ αἱ umo ABL, ABE
Li epe 4: ὦ + 9 s 4 Loire
δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα!"
Id. τὰς χάος Id. :. - r5 E Jd. . . dd τς
Id.
L ^ «Ti 37-28 ἐπὶ LA , M "€ o» ^ , 10» ἐστί τῇ εν τῷ ΔΑΒ Tuas: ; ; Ne συνεσταμένῃ γωνίᾳ. ἡ δὲ ὑπὸ » 2 bj LEA € EBA 16h ἐστι τῇ ἐν τῷ ATB
τμήματι. em 1 , i ^ \ ^ σημεῖον 5 καὶ απο τῆς κατα TO B deest.
deest.
deest.
PROPOSITIO XXXIII.
Ye. TO Yo e ἐς, ee «δος 2e δὲ πρὸς τῷ T γωνίᾳ e + +.
τῷ T γωνία.
γὰρ πρὸς 79 Γ
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER TERTIUS. 493
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 100. EDITIO OXONIÆ,
DOM Us. eL ET Aa s eS tad τ τῶ
λον ἀπ ΗΠ
DI ab leue odes ΚΟ ΘΕΡΙ NS s ratos οἷς Καὶ
ON sap dM MD ergo i or x. QUOS.
7. Ἐπεὶ οὖν κύκλου τοῦ ABE . . Id. . + 4 «ἐν .. Kal rd τοῦ ABE κύκλου
ΘΟ ΕΣ M τ ue tan el ΑΛ ΤῊΣ ΠΟΣΌΝ ἰδὲ, νον νος, πες ἐπὶ -
9. τῷ ἐναλλὰξ τοῦ κύκλου, . ἐναλλάξ τοῦ κύκλου, . τῷ ἐναλλὸξ
O03: TOLLIT πο Ud. NVAelS s mexuweiero
Τα δ ον τας (ML PIOS js s EL Ls ua C deests
12. ἴση ἐστὶν d μὲν ὅσοι BAN. Ju. ρος «l9 es ἐστὶν d μὲν ὑπὸ ΒΑΔ τῇ ἐν τῷ γωνία τῇ ἐν τῷ ΑΕΒ τμημάτί, ΑΕΒ τμήματι ἴση,
15. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς TG T. 14... . 4. 5... ἡ ὑπὸ ΒΑΔ τῇ πρὸς τῷ T ἰστὶν ἴση ἐστί. ἴσῃ.
14. Kai ἐν τῷ ΔῈΒ τμήματε Id. , . . . . . . deest. epa ion ἐστὶ τῇ πρὸς TG Γ
35g rie Qi eos o v CUu δ cdd κε χων. Test:
16. ἐρχέσθωως o AEB. . . « Jd. . , . . . . . oiyeodw ὡς ΑΕΒ.
5 » \ 5 DOS NATAIE Se Te Tu 19.1. Te. ὦ ECTS à o" i 9-9 ἥκται
21. apa δοθείσης ones du. ses à €... ἐν, δοθείσης ἀρὰ
PROPOSITIO XXXIV.
1. δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ τῇ Id... . 4 . . e πρὸς τὸ Δ γωνίᾳ. πρὸς τῷ Δ. AQU rie ace dec en TINI! 6687». ὁ... ὁ... « Ci
5. ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς To A γωνίας Id. + 00 Ὁ .ν «ι΄, γῶγία ion ἐστὶ πῇ πρὸς τῷ Δ. PROPOSITIO XXXV.
marbebel is. aV ae iie fo- τ MOOD iei Ee Miri eo. δῶν"
Μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ AT, B. — Jd. . . . . . . . Ecrucay δὴ αἱ AT, AB μὴ
χὐκλοῦ Ss e. e fre. © NT CARS. RT SU εἰ ΘΘΘΕΙ-
LITT SAGE BRI CER ΥΩ lie eee cite pont, TUE
προσκείσθω κοινὸν . . . . Id. + 4... + + κοινὸν προσκείσθω
ἐδέχθη OT)... - © eet, - + « +. Concordat cum edit. Paris, Gr.
M DE SD =
48, ^ EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER TERTIUS.
PROPOSITIO XXXVI.
EDITIO PARASIENSIS. ; , , 1. περιεχόμενον ὀρθογώνιον . . L 4 “ 2. à opa ATA .. + s leute frs SI ARAS ADS a ren a NEL Ὁ Ν᾿ σι τὶ 5 ΝΜ 4e τῷ δὲ ἀπὸ τῆς L i22 i010 τὰ L \ * « ^ 5. ὀρθὴ γὰρἡ ὑπὸ ZBA* . . . ΟΣ GAL, eee. eer ms DONS Ne où ie os "n , \ ^ 8. Αλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν TZ, ΖΕ , (OE τὰ ^ > \ Ly ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ET, ὀρθὴ ap ΄ « ^ 4 DJ M 5 * 3» ὑπὸ EZT γωνία' τοῖς δὲ ἀπὸ ^ y, » ^ A 5 \ τῶν EZ, ZE ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ
τῆς ἘΔ’
CODEX
deest. qos AAT , Y [2/50 deest. Jd. . 7/7 NS Fui
EDITIO OXONIEE.
concordat cum edit. Paris.
ñ ATA
A4, AT
ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ZA τοῖς
concordat cum edit. Paris.
deest.
ἴσα
Toic δὲ ἀπὸ τῶν AZ, ZE ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ, ὀρθὴ γὰρ » ὑπὸ EZA' τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΓΖ,
LA , οἷ L $ , ^ ZE σὸν ec TI To ἀπὸ τῆς ΓΕ"
PROPOSITIO XXXVII
sa, I EDO T rs ue AR OP Ci et cn 8. τὸ κέντρον τοῦ ABT κύκλου, καὶ ἔστω τὸ L,
4. Hr δὲ καὶ .« ......... Ὁ LOT MEC Er linea 10 pagina 194.
O. xal ToU κύκλου" id ΔΒ dpa
5" , φφαπτεται
dd. AAT . Id. . Id. . Id. . d.t.
deest. AA, AT
ι , - ; To Z κέντρον ToU ABT kuxAou,
« M ὑποκειταὶ δὲ
deest.
deest.
85
do
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER QUARTUS. LIBER QUARTUS.
DEFINITIONES.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 190. EDITIO OXONI £, B (ἰὴ δὲν hole. ROSE MSN eee ^p. δὲ . d. (2) τοῦ περιγροφομένσυ φάπ- dd. . . 4 . . + s τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας τοῦ τῆται τῆς τοῦ κύκλου περιφε- περιγραφομένου ἐφάπτητοι- ρείας. & (5) εἰς σχῆμα ὁμοίως + « . αι SENS 8 7. ores ὁμοίως CRU
ἌΝ ento abe a. eere mun MAE MU
«vo κοϊσθῶι Uo v po. ων 70 s ow v À ee καὶ σθῳ
RÉEL NS eR V δ Ἠ A. et a e deest, sat ve a MARE
da GRE à ἀν aras s OW Rs s ee ts let ec ἡ AVTEB
Dy 40d. e e cm vom wo Peu uo 5. εὐθείᾳ, μὴ pito οὔσῃ τῆς τοῦ
κύκλου διαμέτρου PROPOSITIO II.
ἐπ προς «ue ere stade 70... «V. à ee pee M
2: fa Af s POS «e. τ Le NEM de, eorom ce pog, d
ΚΙ ΣΕ eie ge19 εν dec ertepeanbd. vov uoo s ΔΙΑ ΖΔΈ, Tai
4. 8 ΘΑ, καὶ ἀπὸ τῆς xara ro A Id. . . . . . 4. à OAH, 226 δὲ τῆς aqüs διῆκται ἐπαφῆς εἰς τὸν κύκλον διῆκτοι τις ἡ AI* εὐθεῖα ἡ AT*
5, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ABT deest. . . . . . + concordat cum edit. Paris. τρίγωνον τῷ ΔΕΖ τριγώνῳ, xai
ἐγγέγραπται εἰς τὸν ΑΒ κύκλον, PROPOSITIO III.
» , 1. (EZ:Q ἑκατέρα τὰ μέρη κατὰ Id. . . . .. . + ἐφ᾿ ἑκατέρα Ta μέρη ἡ EZ ἐπὶ ^ A > \ ^ 2. C44 s Xl οἱ v e o + vs Ide + + ee 0 euo, A0 db TOÜK xéyrpou ig) τα A, B,
Y σημεῖα
486 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER QUARTUS. EDITIO PARISIENSIS, CODEX 100, EDITIO OXONIE. 5. καὶ εἴσιν ὀρθαὶ di ὑπο MARS Le + + + ete. + τετρίπλευρον ὧν αἱ ὑπὸ KAM, KBM γωνίαι" KBM γωνίαι δύο ἐρθαί εἰσιν"
ἢ. λώσῃ ον e à 4» ov deest. eo e s AUR PROPOSITIO IV.
ΤΟΥΔΕΓΕ ἐς ποι πὶ Lf ἀρ σας ΓΒΔ, δίχα CP τέμνηται ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, D TA da 7345 603 do jare o 4e de 3-373 2 BEBSE Ural MEC S γα EUR A taps deest. 4e Αἱ τρεῖς ἄρα εὐθεία, αἱ AE, Id. .. . . . . . deest. AL, AH ioca) ἀλλήλαις εἰσίν" Di Oub i. o. e Nd ER S IM 6: dux, lu a COS l2 uua. US "Oo «Rs qu NON. s aces HORS +00 x NES GI APP MS λα... 9. Ἐγγεγράφθω ὡς ZEH, . .. 1d. . .. - + . . deest. ks: v πω qe s. IDE UV OR T SEE
PROPOSITIO V,
pcs τς 9o. τος ὁ iw s ow 47,4: ss CHEBSE
3j. Οὐ ME TOE GRUTIDUP s... v Se] ide un us aret i πρότερον ἐντὸς
B. SUR MD. vos d dove lao a 5 i saos? CIN nie
(pe ἐστον οὐδ etu 0 v με Md D vua s ur deest
5. Περιγραφέσθω. . . . . . Id... «Ὁ... Καὶ πιριγραγέσθω
OS acte τι dd. «ςτὸν deest.
7. πάλης see + e ς deos s v 49 vs πάλιν
8. Καὶ γεγράφθω ὡς 6 ABT. . . deest. . . . . . . x concordat cum. edit. Paris.
COROLLARIUM,
1 , e , , *» 4 9. εὐθείας τὸ πέντρον πίπτει, ἡ Id. . , . . .«... ἐν ἡμικυκλίῳ τυγχάνουσα, ὀρθὴ
E à " ὑπὸ BAT γωνία ἐν ἡμιηυκλίῳ ἐσται" ὅταν δὲ ἐκτὸς τῆς ΒΓ , e 15 “ ᾿ ^N! \ , , τυγχάνουσα ὀρθή ἐστιν" ἥ τε δὲ εὐθείας τὸ κέντρον πίπτῃ, ὦ, , , A] κέντρον τοῦ κύκλου ἐκτὸς Tpi- ον d,e,f,g h, ἀρ ἢ, παν τὰν
, ψώνου πίπτει.
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER QUARTUS. 497
EDITIO PARISIENSIS. CODEX
10. ToU w. ἰδ sente II. συμπεσοῦνται . .
R2. ΣῊ BL, M Use
τ
Ij ΤΟΥΣ 0t ee ἴδ᾽ de c'e Lj
Sed Uow eU SM rase Ce A
TN LIENS RE Iul i
, hs VIG Y tete Ὁ e
5. δοθέντα ΑΒΓΔ κύκλον
6. ape δοθέντα .,
1. δοθεὶς κύκλος 0 ,
Ss ostro e
SATIN elite
4. ἐστὶ παράλληλος, .
b, Ὥστε xai 9 HO τῇ παράλληλος.
OUR) MEET
7.Z2K* . 4 . +. *
8. καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν
ZK ἱκατέρᾳ τῶν ΗΖ. OK :
ἴση. Oud css. sg 10. τετράπλευρον . .
>»
Lo -Fi0le δ ἂς. οὖν ὐδ tte » > À
2, Ti EITIV ; eie » su’
3, EITIe ὁ e + e e
4 ἐδείχθη ὁ e +. + +
. » Id. . . . . ὁ πεσοῦνται,
190.
Ἧι ; - τῆς ΒΓ. Οπερέδει ποιῆσαι.
PIvOTOSTILLTO y
ROME [re PLE 75 ONCE LC eee 4: 05 ΑΒΓΔ κύκλον
. . Jd. . . .
PROPOSITIO VII.
Pv Ot ταις d dde MS Du Uus i tors en dt te
ZK-07) Jd. eee
ten Tdi vers . . Id, . . ΓΣ HO, deest. . .
Au Le ETC SR see :
PROPOSITIO
site ARCS - 0e $ LOS 2v B MIdeesb 02 is p MORE
EDITIO OXONIÆ. deest. συμπεσοῦνται
τῆς BT.
deest.
deest.
Κατὰ
deest.
concordat cum edit. Paris,
δοθέντα ἄρα
6 δοθεὶς κύκλος δὲ
deest. παράλληλός ἔστινε
deest.
deest. ΖΚ ἐστὶν ἴση"
concordat cum edit, Paris,
deest. concordat cum edit. Paris.
VIII.
ve . 9 “60 . .
317
£ICl,
LÀ » 4024 εἰσιν, 3,
EITIVe
deest.
488
EDITIO PARISIENSIS.
ex
Dio ere set cie Dette ἄρα τὸ δοθέν, REP
PN BOH iw τὰν y c ele ἂς ETE
I; , x Y » V δοὺς 2. γωνία ἀρὰ (σή ἐστίν ἡ ὑπὸ AAT
\ - ν᾿ \ γωνίᾳ Τῇ ὑπὸ BAI*
I. καὶ κέντρῳ τῶ À, καὶ dix στήματι τῷ ΔΒ
A TON. vus à REESE S DS Καὶ ἐπεὶ ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΔ. . ἡ dpa ὑπὸ ΒΔΑ ἴση » + + - JUPES s T oua. εἴσι διπλασίους. «à 2. « LIUM CETTE
^ * ^ ΕΣ ^ “- . τῆς ὑπὸ ΔΑΓ ἐστὶ διπλῆο .
I. Ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ" dvi δὴ εἰς τὸν ABTAE κύκλον πεντάγωνον ἰσύπλευρὸν τε καὶ
» , , , 4G 0'yGY LOV ἐγγράψαι
2. τῷ πρὸς τοῖς Η, © γωνιῶν, Jj. ἑκατέρας 9$. « ww € $*$ e *
ΔΕ BA QU. e δι ς δ ον 5 ^N »
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EOTIV σῆς à . + . + δ ὃ » ,
€ ἀραγωνία, . + e + + on on
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CODEX
190.
PROPOSPTDIO LX.
PROPOSITIO X.
dd; τὸς.
ALTER CE TOC A TARN
dul ETE (deest; mer. fs ΤΙΣ, eR
PROPOSITIO
Teese Ns
λοιπῶν + + + + n y ^ τὰ EC ἘΡι τ FE, AE, ΕΑ. . . dit ee Τὰς wu vu Τα MED EE Fd. vocum
NT
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER QUARTUS.
EDITIO OXO»*1: deest. ^M f τὸ δοθὲν ipu L \ ” ETTIV 10N° X " e t Ρ ἡ ape γωνία ἢ ὑπὸ AAT Sora
POR Re Τῇ ὑπὸ BAT ἐστιν i72*
\ EA , à xivTpQ μὲν τῷ À, διαστήματι dé TG AB τῶν ERE , e E71 οὖν ἐφάπτεται à BA, AUR «€ X LA » καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ apa ion deest. διπλασίους cicir, \ καὶ
m? ^ * \ διπλὴ ἐστὶ τῆς ὑπὸ AAT,
concordat cum edit. Paris.
concordat cum edit. Paris. deest.
AE, EA
ἴση ἐστὶ.
ἴση ἐστί.
γωνία dpa.
» > " i0 €CTI e
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER QUARTUS. 489
PROPOSITIO XII.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 100. EDITIO OXONIZÆ. Y venpM LUE v EMIL IE Ss ow s etw sc. deest.
2. ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ZK* . Jd. . . . . . «4. τὸ ἀπὸ τῆς ZK ἴσον"
Sv Ὥστ το o RAT TE Urea d τὰ ἀρὰ
d. AUS. 2 ds Nate v scie AOI
D; ΤΚ τὴ BK. Ὡς τὴς cese de cuo mus momo KU. IE.
6
. ἐστὶν ἴση" γωνία dpa ἡ μὲν ὑπὸ ἴση" γωνία ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ COncordat cum edit. Paris.
7
^ \ 3 c € ^ ΕΣ ΒΖΚ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ KZT ἐστὶν BZK τῇ ὑπὸ KZT ἐστὶν. € e M ^ € \ v ^ ^ ἴση. n dX ὑπὸ BKZ τῇ ὑπὸ ZKT ἴση ἡ δὲ ὑπὸ BKZ τῇ 3 Ν 3, Ld \ ἐστιν ἐση" vzo ZKT*
Wo διπλῆ oue ς ὦ εἰν πε γῆ δδθῖς ᾿ς οὖς e WA 1 dm An 8. ἔστι δὲ καὶ n ὑπὸ ZIK γωνία Id, . . . . . . . deest. τῇ ὑπὸ ZTA ἴση. Ὁ GG T EB ROS QOO ACER, RE RR DNE UU 10. ἑκατέραν ἑκατέρᾳ. eiie. (e "ἃ desunt. . ὌΝ + + concordat cum edit. Paris. II. Καὶ ἐστὶν à BK τῇ KT ἴση" Id, . . . . . . . Καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ἴση à BK τὴ T, καὶ ἔστι διπλῆ ἡ μὲν AA τῆς
KT, 1» δὲ ΘΚ τῆς BK*
PROPOSITIO XIII.
E. 827MUD à» οἷ. « .. Jd. + +. .. . . δ στ ἰσόπλευρον
SUO Dit ele μα De jee see 6 UD
SOT T et MENT IS ER ce le cle ἰστὶ"
Ὁ ἐσ BORN le Mets tel lent des ce ὦ ὁ ὩΣ 1er
RE CT GC TIENS S C VOLE Le FRS RTE
6. διπλῆ ἔστιν ἡ ὕπὸ TAE τῆς dd. . . . .. . « ἔστιν ἡ ὑπὸ TAE τῆς ὑπὸ TAZ ὑπὸ TAZ, διπλὴ,
"Ue op me TU usu COST à! 6. «0 ὀρθῇ
B. ER ΣΤῊΝ δ μος ΚΟΘΟΒΙΝ c ὦ, ἄν Ὁ, Tui
De RUE τον ες do lets res n SS deests
PROPOSITIO XIV.
Je ὁ cwûde, ἰδ tie s iod o no) 5, “Ὁ Id. . Ὡ 9, δὲ οὐ us re. ὅπερ 2e αἱ e. ef oN Tem Tor o" tu, κοὐ ο 9 Id. 9. 9 '€«758/, €. 9. 6 deest. 63
490
8.
I. 2.
5. 4. 5.
6.
EDITIO PARISIENSIS.
à ; καὶ διαστήμᾳτι . .
περιγεγραμμένος » + e
aca τὸ δοθὲν :
jcn e0TÍY* «“« + ες δος ALTES τς à ΖΦ ΛΑΕΡΑΤ αν τ x τς ἘΔΙΒΆ Σ 2 7$ 5 περιφερείας e. à ne lr à à Neil
L s ἐστ . + + 9 + + »
\ A \ ^ Καὶ ἐὰν διὰ τῶν A, B, T,
E, Z σημείων
\ ; τε καὶ περιγράψομεν. .
Ἐγγεγράφθω . + .. ἔστα! . + + 9 ee + εὐθείας.» e se eh.
1 εἰρημένοις, e + + + +
A,
CoDFX dd. x 10, x 3 140. 0 -
PROPOSITIO XV.
Id.
Id. dd. IA. 7122: Id. 7Τας ἃ
.
190.
.
*
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER QUARTUS.
EDITIO OXONIX. διαστήματι δὲ περιγεγραμμένος περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον. ὁ ἔστιν ἰσόπλευρον καὶ 16050V10y,
τὶ δοθὲν ἄρα
ἐστὶν dcn? deest.
LABIA περιφερεία EATBA περιφερείᾳ deest.
δὲ
deest.
COROLLARIU M.
, γν ι
πενταγώνου ἐὰν dix " "M
τῶν κατὰ κύκλου διαι-
ρίσέων
e , ^ ^ , * ^v O ὁμοίως δὲ τοῖς ἐπὶ τοῦ
Oz:p jum. + .
concordat cum edit. Paris.
concordat cum edit. Paris,
PROPOSITIO XVI.
714... Id. deest. δείξεων
e] Y LI Ν 6 ἰστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσο- deest.
, ῶνμον.
deest.
Op ἔδει ποιῆσαι.
Γεγράφθω
UN
ἐστὶ
εὐθείας. E
εἰρημένοις
concordat cum edit. Paris.
deest.
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER QUINTUS. 491
LIBER QUINTUS.
DEFINITIONES.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 190. EDITIO OXONIX. 7. (1) πρὸς ἄλληλα... . . . deest. . . . . . . concordat cum edit. Paris. δ΄, (2) ἀναλογία δὲ, ἡ τῶν λόγω Id.a.c. . . . . . hæcdefinitio, quæ est octava ταυτότης. in edit. Oxoniæ, ita se habet: Αναλογία δὲ ἐστιν καὶ τῶν ὁμοιότης. D. ς΄. (5) ὑπερέχῃ, À ἅμα ἴσα d, ἃ Id. . . . .. . . ἕλλείπῃ, ἢ ἅμα ira 9, ἢ ἅμα ἅμα ἐλλείπῃ ὑπερέχῃ ζ΄. (4) λόγον μεγέθη, . . .. Id... .. . ....— μεγέθη λόγον, ὃς (0) λα χέστα si 32. Jd... ἀν ἐλαχίστοις tO) TO EE Re deos deest ME NL Toad (idoles eee is te len dibsu e δ e la vl. tPXAMOF, ὡς 10. (8) λένε τα Qe ve Ore Egon ee oral ead , ax (QUO Us tuy sitat sae. -deestes DG CURES i8. (10) αὐτοῖς σῶν ᾽ς e τυ αν Fdo 073 59 ΤΥ Δ, Foy αὐτοιξ 10, (1 1) Τεταγμένη ἄναλογία w- deéest-ae © v. 5. concordat cum edit. Paris. ὦ. τὶν. ὅταν ἢ ὡς ἡλούμενον πρὸς ἑπόμενον οὕτως ἡλούμενον πρὺς Ne , Φ \ NU UE € , τὸ ἑπόμενον. ἢ δε καὶ ὡς ἑπό- RAT 4 “ eim μενον πρὸς ἀλλο TI OUTOCG ἐπο- ^ LA μένον πρὸς ἀλλο TI, ΚΣ Aurore σὸν VV di s qd v vu. our αὐτοῖς
(15) μετέθεσιν . . . . . deest. . . . . . . concordat cum edit. Paris,
PROPOSITIO.k
le μεγέθων οἷ (ἴον ἸΦρ αν δὲ 6, ὁ Id. vire "à [4e Vent el, e deest.
2. ἐστὶν iv τῷ AB μεγέθη . .«. Id. .* . , . . ν΄ μεγίθη ἐστὶν ἐν τῶ AB
5. ΑΗ, ΗΒ τῷ πλήθει τῶν ΓΘ, ΘΔ. Id. . , . , , . . TO, @A τῷ πλήθει AH, ΗΒ 62.
492 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER QUINTUS.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 190. EDITIO OXONJÆ.
3. ἴσα dpa καὶ τὰ AH\, TO τοῖς ἴσον dpa To AH τῷ E, concordat cum edit. Paris.
E,Z. Διὰ 7d αὐτὰ d'A ἴσον ἐστὶ καὶ τὰ AH, TO τοῖς his tantum exceptis : in τὸ HB τῷ E, xai τὸ ΘΔ τῷ Z* E, Z. Au2 τὰ αὐτὰ δὴ edit. Paris. legitur ἔσον ἐστὶ, ἴσα ἄρα καὶ τὲ ΗΒ, ΘΔ τοῖς ἴσον ἐστὶ T6 HB τῷ E , in edit. vero Oxoniae legi- E.Z* καὶ τὰ ΗΒ.ΘΔ τοῖς E,Z* lur ἐστὶν ἴσον.
PROPOSITIO II.
. deest. . . . . . ὦ μεγέθη
apo. “Ὁ 4. da Mus vc. seo. S wis aes Re. τ πόνοις ded δῶ τὸ
PROPOSITIO III.
d. ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσιον... ὀσαπλάσιον » SEC concordat cum edit. Paris.
" \ DATITAUTL Ce ἀπ τς τὸ 7 (^1 EE EIER ποσυῦτα δὴ Ld M
SEI es, UT
, nag oes: 4. δὴ . = . . . . . . . Id. . . . . . . . δὲ
» \ e LI \ € \ M \ LI \ 1. €0TIV oc To E TPOSTOH,, + Id, ἃ, τῷ ἃ. AM αὶ tut ὡς ΤΟ E πρὸς τὸ H ἐστιν, » \ » 2. ἀλλὰ ÉTUYE «ne + à à οὐ 714... 4 s. «à + + Geest. ” A» ^ » LAE] \ € , , [4 ss Ν 3. ἔλλαττων. Καὶ ἐστὶ. a τὲ ἔλαττον, Καὶ ἐπεὶ ὑπερε-ς ἐλάττους Καὶ ἐστὲ LI ^ ἣν ^ χει 70 K Tc0 M, has To ^ »» A TOU N , καὶ εἰ ἴσον, 5», ^ » ᾽ , σον, καὶ εἰ ἐλαττονς
ἔλαττον, Καὶ ἔστι COROLLARIUM. i 40 4. p. US TT deest. , . . . . . ὅτι
PROPOSITIO V.
I. καὶ τὸ EB τοῦ ΗΓ’ ἰσάκις dp dd... deesb
ξστὶ πολλαπλάσιον τὸ AE τοῦ
3 hy 2. ἔσται αὐ. .Δ΄ e np à » Id. 9 + * + » + Φ eTi
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER QUINTUS. 495
PROPOSITIO VI.
EDITIO PARISIENSIS.
^ » ΄ 1. TO 2 σὺν . + + + = on ὁ ^ e HU = .. e. + e © $ + ἰδ
2 τὸ n De FO ZT IRD τος e dee ds » 1 DNI EAT 0 ele Δ tee
SE eo 3 ἴδ em re ee Le Me.) ©
Fe Thon δὼ v e 9 e ὁ
CODEX 190. σου TO Zt NUN deestens "e tut. WO EON Wat seo VT IA LE EN eue à
EDITIO OXON1Æ.
concordat cum edit. Paris.
Id. ΄ v? À LI . E . ὅτε PROPOSIT/IOSWII.
Jul, * MX ^ MEM auto deest."
14: 9,5. 9229 deest.
P Des eee
. τοῦ T πολλαπλάσιον" + . . De
SUO 0117 τ eme ἰὸς κ᾿ αἱ νος ^
DN site eee de
3 4 5 Ode nee Se οἷ ἢ y ὃ
\ εἰ ΣΟ οἱ a € €. δὲ € ἃ » (ὦ
PUCES a. eee RU c 2
deest. s». ἢ «s [πα PNE E n deest. "S tV οἷς I. a EL δὺς: Pas. wc usw S Πόρισμα. Ex δὴ τούτου φανερὸν ὅτι ἐὰν μεγέθη τινὰ ἀνάλογον 9, καὶ ἀναπάλιν ἀνάλογον ἔσ-
ται. Οπερ ἴδει δὲ ξαι-
concordat cum edit. Paris.
deest.
δὴ
deest.
deest.
deest in omnibus aliis codi- cibus.
PROPOSITIO VII.
FVNADO ee + ee de ee
\ " 2 "Καὶ EOTE . + + + + + »
e 3. 0U role, € we "ec'wt*"e "e . Ὁ \ 4. FO ete, je Ὁ © + + 9 959 , N E 5. ἐπειδήπερ τὸ M τοῦ Δ τριπλά- ΄ » ^ M ^ cióv ἐστι, συναμφότερα δὲ τὰ M , Δ, Μ τοῦ A ἐστὶ τετραπλασια,, ἐστὶ δὲ καὶ τὸ Ν τοῦ Δ τετρα- πλάσιον" συναμφότερα ἄρα τὰ M, Δ τῷ Ν ἴσα ἐστίν. Αλλὰ τὸ ^ D , ZO τῶν ^, Myr ἐστίν" \ ^ ^ 0, τὸ δ᾽ Ν τοῦζθ. .. , ,
710: * + + + + $9 + Id. eu. Ὁ e 6. ne
Id. * LI . » e * LI fd. os QE TEARS Id. L . LJ e ΕΣ .4 .
AB ToU T
e r - ι , LI M
t6 Τοῦ TO γινύμενον μεῖζον ἔσται τοῦ A, Καὶ ἔσται
L4
αν
deest.
desunt,
τοῦ d. 20
404
EDITIO PARISIENSIS.
7. τοῦ EB μεῖζον ἔστω"
y * 8. μὴ ἔλασσον eivai , .
e , PL ὠδαυτῶς . + + «.
10. ἐκεῖνα ἴσα ἀλλήλοις
e
Te 29
.
EUCLIDI3 ELEMENTORUM LIBER QUINTUS.
PROPOSITHO..1X.
CODEX Ad. im dO. v on ADI: PRAE EE
» m L4 . ἐκεῖνα Fc, »
100.
EDITIO OXONIX. ^ Y - μεῖζων ἐστω του EB* NN ουκ ἐστιν ἐλασσον, ε΄, οσαυτως
, D » » , uekeiya, ἰσὰ ἀλλήλοις
PROPOSITIO X.
. deest. . . .
, LI , . ἐλάσσονα εἶχε λόγον «
, deest . ..
PROPOSITIO
δ λόγῳ ots - deest . . . . Id, . 9 e. *
\ LL MIELE
\ [4 "4 “ , TOV ἐλάσσονι εἶχε λογον LÀ ΟἿ à + + + + |
, A0y00 τ. + « + n
\ M + + + + + c5 [7T ἀπ » eon , L ἄλλα ἃ ετυχεν ἰσάκις πολλῳ-
, \ πλάσι τὰ À, M"
» L4 σὸν. σον. ὁ
ΝΜ LA + ἔλαττον. ÉAUTTOV, . ὁ
D IE da y. ἃ
Ta H, O, K, τῶν A, M, N°
» ν 3965 μὲ σα" καὶ εἰ ἐλασσον. ἐλασσονγα-ς
! πολλαπλασιὰα.
P TU . . €
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NT EP e + + 5$ D
HW o. e. 9 5
TQ...
, ^ i9 \ πέμπτον TO E πρὸς éxTOV τὸ
LÀ , \ » " 4TOV €OTiY , 100y* ς
>» > , δ ἐλλείπει. ελλείσεις
. 74. e [& «e e
*
M TOV
NS ΄ + τον ἐλατσοια ληγον ΕἰΧῈΡ
e τι
XI.
λόγ 04
xis
deest.
ἵσακις πολλαπλάσια à ἔτυχε τὰ A,M*
concordat cum edit. Paris.
concordat cum edit. Paris.
deest.
PROPOSI'TTIO;Xll.
FOVe
. d. LEE LE
TiH,©,K τῶν A, M, N°
» \ 5 LA ἐσον" καὶ εἰ «λασσον. ἐλασ-
= πολλαπλάσ;ον, 9 9 ὦ
\ . 7055.5. + 7 5
concordat cum edit. Paris. concordat cum edit. Paris.
ἐὰν concordat cum edit. Paris.
\ TC
PROPOSITIO XIII.
MERS: RAC: elle de UA ΟΣ
Ze τὸ Επρὸς τὸζΖ.
ἥπερ
ἧπερ
deest.
ἥπερ
concordat cum edit. Paris.
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER QUIN' TUS. 495
EDITIO PARISIENSIS. CODFX 100. EDITIO OXONI X. 6. τὸ T πρὸς τὸ Δ μείζονα λόγον deest. . . . . + + concordat cum edit. Paris. LÀ ΕΣ \ \ \ xu ἥπερ ΤΟ E πρὸς τὸ Z* = Li r ^ L 7" τοῦ τοῦ Δ πολλαπλασίου ὑπερ- ἜΣ πο Ἄγ, ee 08 ὑπερήχεί τοῦ Δ πολλαπλασίου. Xt ,
8. μὴ . . . . . . ᾿ . . Id. . . . ie . L] . οὐχ,
PROPOSITi1O XIV.
1. μεῖζον eri TO A TOO T, à . Jd... + . ον TÀ A vod I μεῖζον ἐστιν , 2e lassesdgens deest « 12-214 Ὁ με έθος Stan ina τῆς Nds qu s. v. ‘Jesse
PROPOSITIO XV.
το ποῦ NET Ne ce Us deest? cts) 2. * = peus
PROPOSITIO XVI
I. ἀνάλογον ἐστὶν. ἐστὶν . + + 7. + e ἀνάλογον ἴσται, 2. ληφθέντα κατάλληλα , . . deest. . . . . + . |) concordat cum edit. Paris. δ ἐν ον οὐ εν τοῖο, D ean eo Rd. s voor MORIA “ἐν
sarl Masse. Ido s vo oqo δι S ‘ar PROPOSITIO XVII.
Ta er ver fo^ s oett ΣΝ ΟΠ ἃ. τὸ HK τοῦ AB καὶ τὸ AM τὸ AM τοῦ IZ καὶ τὸ concordat cum edit. Paris. τοῦ TZ. HK τοῦ AB.
3. ἀλλα ἃ ἔτυχεν . . . + .. deest. . . . + + + 3 €oncordat cum edit. Paris. 4. τὰ elite c tero! €w; ^ vll en e Id, εν τ ἡλίων ὃ A's δὲ τὰ
PROPOSITIO XVIII.
"T τὸ . . * + ο L] Bi. SUN Id. wr 08 Cut ἃ . . e deest.
PROPOSLITLIO XIX.
1. τὸ ΑΒ πρὸς TOTA . - , + Jd... . . . à « ὅλον τὸ AB πρὸς ὅλον τὸ TA De. ἄρά ee us ls ions ero ΠΟΘΈΒΟΝ 97 SM Δ, AU LL at
3, τναλλὰξ See rat de Id, e "Ue tv δέν &AAGË ἄρα ἐστὶν
E Φ
4900 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER QUINTUS.
COROLLARIUM.
EDITIO PARISIENSI S. CODEX 19o. 4. Καὶ ἐπεὶ ὡς τὸ AB πρὸς ToTA concordat cum edit. οὕτως τὸ AE πρὸς τὸ TZ* καὶ Oxoniae. ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ AE οὕτως τὸ ΤΔ πρὸς τὸ TZ* συγ- κείμενα ἄρα μεγέθη ἀνελογόν ἔστιν, Ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ΑΒ “πρὸς τὸ EB οὕτως τὸ AT πρὸς
\ ^ y , 30 ZA, καὶ τστιν ἀναστρέψαντι.
EDITIO OXONIA.
Kal ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς τὸ ΑΒ πρὺς τὸ TA οὕτως τὸ EB πρὸς τὸ 2Δ' καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΕ οὕτως τὸ ΓΔ πρὸς τὸ ΔΖ" συγκείμενα ἄρα μεγέθη ἀνάλογόν ἐστιν. Ἐδείχθη δὲ ὡς τὸ ΑΒ πρὸν τὸ AE οὕτως τὸ ΤΔ πρὸς τὸ TZ, καὶ ἔστιν avt
στρέψαντι.
PROPOSITIO XX.
Irish ac EM EE EE 51 CUL Male sde de sels de 2e DOW) AK. à με αν so Data αὶ ὦ à ere Lion T ad va Ed s. e cos ue BLUWEÜR ov ὦ atlas + re MAROC τος 0. 6. δέ τὸτ πρὸς τὴβξ . . . . dÈT πρὸς B . ... ἡ. τὸ τὸν μείζονα λύγον ἔχον, τὸ μείζονα λόγον ἔχον,
deest. I κἂν » καν ὃ ἔτυχε οὕτως concordat cum edit. Paris.
M X / , Ἂ » τὸ τὸν μείζονα λόγον ἔχον ἐκείνο
PROPOSITIO XXI.
1. uen . « + © + + + + μεγίθη ἀνάλογον . o. - 2. teTi δ᾽ δ ὦ ὁ .€ w* eo ὁ χὰ. * € ^ + 9? o e$ 5. ἧ τὸ τῷτ΄, ἴσον ἔσται καὶτὸ Jd... . . ...
Δ τῷ L°
μεγέθη deest. ἴσον" δηλονότι κἀν ἴσον à τὸ À τῷ
3) Ν ^ , ^ T, 170y ἔσται καὶ τὸ À τῷ 2.
PRUPOSITIO ΧΧΙΙ.
Ie καὶ € a. Δ. € δ᾽ ὁ € w- Le Id. e + + 9» + ὦ e 2 € \ A \ | 2. ío7d!, ὡς TO À πρὸς τὸ Y στῶ! o © + e + + + \ \ \ οὕτως τὸ Δ πρὸς τὸ L. osx \ 5. TO Le Kai ἐνάλλαξ ἄρα ἐστὶν ὡς \ ἢ τὸ À πρὸς τὸ Δ οὕτως
76 T πρὸ τὸ Lo
deest. concordat cum edit, Paris.
deest.
I.
PROPOSITIO SU S03 HORUM ΣΟΥ ORAE ἔχει. - P EYED ΧΟ AT GONG Yo. SE CUT Pe D uA ΓΝ EE GG TTC ASTE CAI MR COP ΖΝ ec 1. δύδιυ- ΠΣ s τὰ δύο. 2. μὲν. ἀπ cepas bom SRE 9i AU ον a eos NM odes. ἡ. τὸμενΕ τῷ AH, τὸ δὲ τῷ TO' Id... 5. ἀν σι Roriv: 0 NN e Jd... E μενον ὁ ME er τ ΒΕ 7 ς
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER QUINTUS.
hen 497
PROPOSITIO XXIII.
EDITIO PARISIENSIS.
καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ οὕτως τό Τ πρὸς τὸ E. Καὶ ἐπεὶ τὰ O,K τῶν B, Δ ἰσάκις ἐστὶ πολλαωλάσιω" τὰ δὲ μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον᾽ ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Β πρὸς τὸ Δ οὕτως τὸ Θ πρὸς τὸ K' dAA' ὡς τὸ B πρὸς τὸ Δ οὕτως τὸτ πρὸς τὸ E καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ οὕτως To T æpès τὸ E. Πάλιν. ἐπεὶ Ta À, M τῶν T, E ἰσάκις ἐστὶ πολλαπλάσια" ἔστιν ἄρα ὡς τὸ T πρὸς τὸ E οὕτως τὸ Λ πρὸς τὸ M. AAN ὡς τὸ πρὸς τὸ Ε οὕτως T0 0 πρὸς τὸ K' καὶ ὡς ἄρα τὸ Θ πρὸς τὸ Κ οὕτως τὸ Λπρὸς τὸΜ, καὶ ἐναλλὰξ ὡς τὸ Θ πρὸς τὸ A
et x ^ \ ουτῶς τὸ Καὶ πρὸς τὸ Μ.
PROPOSITIO
CODEX 190.
dd 6 dics:
EDITIO OXONIÆ.
καὶ εἴλησται TOV B 3A ἰσάκις πολ- λαωλασία τὰ Θ, Κ, τῶνδὲ T, E ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις “πολλα- “λάσια τὸ A, M' ἔττιν ἄρα ὡς To © πρὸς T0 À οὕτως τὸ Καρὸς τὸ Μ, ὦ.
XXIV.
D deest. τὸ πρῶτον
ὡς dpa
XXV
.
deest.
οὖν
τῷ μὲν E τὸ AH, τῷ δὲ Z τὸ TX ἐστὶν ἄνισα"
deest.
198
e y.
D
1.
. ὁσαιδηποτοῦν. . + à + + +
» » Y o - 40H , σον καὶ εἰ €AmTTUY ,
: τρίγωνον, JU ROME Qe y. rs aon ud auf
VUEDPyatlope uS "oe τὺ.
EUCLIDIS
ELEMENTORUM LIBER SEXTUS.
LIBER SEXTUS.
DEFINITIONES.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX
190.
{1 λυ PIA TR RCM roue e Quer deest 2:1. τὸς (3) deest.
Euclide nullum ha- bet usum, in mar- gine tantum exa-
rata est.
PROPOSITIO LI
» ^ » \ e \ ^ \
ὄντα τὴν ἀπὸ TOU Α ἐπὶ τὴν BA τὸ AT... + « » , τὰ , n
κάθετον ἀγομένην
deest . ..
» » \ ». σον, LT0V* καὶ εἰ ἔλλατ-
ἔλαττον" τον. ἔλαττον" ECT PRENNE LEP Une se eee * Τριγωνοῦ., + sue ho ΤΟΣ p CE CT τρίγωνον Ὡρὸς τὸ ATA τρίγωνον Id... . . ..... E παραλληλόγραμμον. e$ ws dd Ves atf s PROPOSITIO ΤΙ. LUI TIONS εν τ ἢ τ Σ Id. ΤΣ : 4 . πλευράν. "M ΟΣ οἶς τυ ss τ ἧς PECES CAO A pez TA τέο td n : πριγῶνον. OESTE SS deest... 2 $ $5 2e FEAT esso e PT NEUE
τρίγωνον - 4 ls. d: EURE ἡ [7 cM ee L
EDITIO OXONIE.
ὅροι Ξ
?"
hzc definitio , qua in Λόγος ἐκ λόγων συγκείσθαι λέγεται;
e € Mw y ,
OTAY αἱ τῶν λόγων πηλικότητες
3 P \ m
ἐφ᾽ ἑαυτὰς πολλαπλασιασθεῖ- bd ,
σαι, πριῶσι τινεῖς. Q1, D, C, d,
e, f, g, ^h, kb, l, m, m.
concordat cum edit. Paris.
concordat cum edit.Paris. concordat cum edit. Paris.
ἡ μὲν
deest.
πρὸς τὸ ATA deest.
εὐθεῖα παράλληλος
πλευρὰν παράλληλος. y
epe
τρίγωνον
δὴ
deest.
deest.
deest.
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEXTUS.
EDITIO PARISIENSIS.
9. τρίγωνον. SR USUS es
10. gpiyüvOy.- à à à à e ee FIO AS MAE ANI Eres oh ὁ Ἐν ἘΠ ΣΟ s le utes e [S] eve SMS s 2v is scie : by 2 3. ἐνέωεσεν te LA f. ἄρα γωνία etd ST € y 5. ὡς Api. . + + + + ς : δι ctae. ἐπε οἷς delete ἧς 7- Orio, Ed dn s 2 eo re 8. jura : 9. ἴση, à δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ATE τῇ
\ \ 5» Ν 35, >: ἐναλλὰξ τῇ ὑπὸ ΓΑΔ ἐστὶν ἴση
ΤΌ; γῶν θυ δον τ ρον lee
, I. πλευραί «+ + + nt nt De ἜΣΤΩ «els teo ie. ἐπ δ [δι je Lr 4 \ e \ , ^ e Ν 2. μὲν ὑπὸ BAT γωνίαν τῇ ὑπὸ ^ € v TAE, τὴν δὲ ὑπὸ ATB τῇ ὑπὸ » \ \ ^ AET, καὶ ἔτε τὴν ὑπὸ ΑΒΓ τῇ ὑωὸ ATE πλευραί. + + + + + + n + € \ UT OR Po lleliel el, δ. leltie me ie pieqierte L3 \ ὍΣΣΟΝ eue edis e. τ
Di CPAM Poe uer arro ester οὐ διεὶς ce
τῶν πλευρῶν SOR bue er eye. Loto
9: ἔα λοι dM e les alter er sis \ * Ν 3 LA [4 M €
10. Kai ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ. .
I D. 10 OO egre nel ΠΝ τις LATE
CODEX
PROPOSITIO IV.
deest . . Td3*.
1d. ὃ
Tate
deest . .
ec on
190.
DTP TECLAS Uer)
desunt. . 1.
4 καὶ ἐναλλὰξ .
\o Kai ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς ἡ μὲν
Id.
499 EDITIO OXONIÆ.
deest. deest. deest.
deest.
deest.
ἐμπέπτωκεν
deest.
ἔστιν ἄρα
deest.
deest.
ἥται παράλληλος
ἐστὶν ἴσῃ, ἴσῃ δὲ καὶ ὑπὸ ATE τῇ ἐναλλὰξ τῇ ὑπὸ TAA"
deest.
πλευραί
Ἐστωσαν
ὑπὸ ABT γωνίαν τῇ ὑπὸ ATE, τὴν δὲ ὑπὸ ATE τῇ ὑπὸ AET , καὶ
ΕΣ \ \ € = ἔτι τὴν ὑπὸ BAT τῇ ὑπὸ TAE:
πλευραί.
περὶ
περὶ
ἄρα
concordat cum edit. Paris. concordat cum edit. Paris. Ἐπεὶ οὖν ἐδείχθη ὡς μὲν ἡ deest.
5oo
1.
EU CLIDIS
EDITIO PARISIENSIS.
linea 4 pagine 302, πρὸς τῷ Δ λοιπῇ πρὸς τῷ H
ΕΗ ἐς ον οἰ ως
3. οὕτως . . . . . .
I ucH EN. qu ATTIVI RSRCO ES TOR ER. 6. ἐστὶν ἴση". eem eT UE ESOS 7. μὲν : toe duree τῆς δ. Δ Vc carre iiia si in E ET 1. "ga. DUCI LER Ir EIE 2. γωνία. ΠΣ ΠΣ . SENI Tp π΄
(E 0 27 pt 5. ὑπὸ AHZ τῇ Um) ΔΕΖ.
3, 4.
5.
\ PAG ὦ, ὦ Iw cana delle αὶ ἂν i ^ ^ ^ τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ, τὰς πλευ- \ » , pas e voAoyor , DII eee ὑπόκειται οὕτως + à à à + « \ 3, € ἣν καὶ ὡς apu ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ
οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν bH,
+ D EUTIVR a ele De = De ete ae
\ ^ ε πρὸς τῷ T γωνίᾳ τῇ ὑπὸ BHT
ΠΟ ς λα = Lie DO DRE
$ Ψ,, , , IO. ἐσ) νον CTI. - e nn
11.
NEC ES ER LU
PROPOSITIO v.
CODEX I9O.
VI.
PROPOSITIO. VIL
deest. 2. 215 Ἄν D PI ur
deest. . ...... pio NOE αὐ M deest; 4.
ΤΩ csl Ne e 1 RE RER IT νι TRS dd: RP RC LORS NE qdoc MT M
ELEMENTORUM LIBER SEXTUS.
EDITIO OXONIÆ. \ ^ ^ t M dæo BAT 201m) τῇ ὑπὸ EHZ
EAZ τριγώνῳ" οὕτως
deest.
ἐστὶν
ἐστὶν 105 , deest.
> NX A ἐστιν IGN"
γωνία 10h
deest.
3 \ y
ἐστιν 10H"
" ε ͵ ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ,
πρὸς τῷ H τῇ πρὸς τῷ E.
τὰς
τὰς πλευρὰς ἀνάλογον, τὰς ὑπὸ ΑΒΓ, ΔΕΖ,
γωνία
οὕτως ὑπόκειται
concordat cum edit. Paris.
deest. ΝΗ TEES,
ὑπὸ τῷ BHI γωνία τῇ ὑπὸ BTH
; τὸ
m Ν
ὀρθῆς καὶ » ' , ' ἐστιν ΤἸσογῶών!ον
δὲ
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEXTUS.
PROPOSITIO
EDITIO PARISIENSIS.
1. γωνία. “πὶ Doyen 2. τῇ πρὸς τῷ T, 3 ΠῚ \ : CETTE ποτ ΑΕ f ^ , LÀ , 3 4. τῷ AAT τριγώνῳ οὁμόοιὸν ἐστι
τὸ ΑΒΓ τρίγωνον"
4 4 re , 5. ὅμοιόν ἔστιν ὅλῳ τῷ ABT cpí- ; yov. . 6. γωνίαν,
€ , M 5» Ν Ν ε \
7. ὑποτείνουσα τὴν ὀρθὴν τὴν ὑπὸ Ν € z
ΑΔΒ, πρὸς τὴν AT ὑποτείνουσαν
N 3 N \ E τὴν ὀρθὴν τὴν ὑπὸ AAT
8. ἐστιν"
1. χαὶ - - AIC , ^» ε 2. αὐτῇ ἤχθω n AZ.
Χο δοθείσῃ δ κι ὁ Tee. ES PE ἸΔῈ, --
ΕΙΣ
2. πρϑσευρεῖν.
2. αὐτῇ.
Y. B.
m 2. TUy0U74V.
3. τῶν πλευρῶν.
CODEX 100.
deest. deest. deest. Jd.
Iu.
Id -
M Y e , 7rgoc 3 AT υποτείνουσαις
M 35 \ τας ὀρθας"
COROLLARIUM.
Οπερ ἔδει i...
PROPOSITIO Ix.
deest. Id.
PROPOSITIO X.
17 ME a Id. a,6,d..
PROPOSITIO , XL
14e eUpsiv. . . .
Jd.
PROPOSITIO XII.
Jd. deest. deest.
ILE
501
EDITIO OXONIE.
γωνία
concordat cum edit. Paris,
ἐστὶ
τὸ AAT τριγῶνον ὅμοιόν ἔστι -τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ
ὅλῳ τῷ ΑΒΙ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν.
γωνίαν,
concordat cum edit, Paris.
ἐστιν"
καὶ ἤχθω τῇ BT ἡ AZ.
δοθείσῃ εὐθείᾳ δεῖ δὴ τὴν AB ἄτμητον τῇ AT τετ- μημένῃ ἑμοίως τεμεῖν. Ecro τετμημένη ἡ AT ὦ.
δύο εὐθεῖαι αἱ προσευρεῖν.
αὐτῷ
T εὐθειῶν concordat cum edit. Paris. concordat cum edit. Paris.
502 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEXTUS.
EDITIO PARISIENSIS.
1. ἰσογωνίων. . n
2. ἰσογωνίων παραλληλογράμμων;
2. τε καὶ ἰσογωνια.
4. AB, ΒΓ ἄρα.
D. ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας. καὶ
6. παραλληλόγραμμον᾽
I. τριγώνων». + + + nn
ΝΥΝ
3. σπριγῶνον.
4. EAA. . .
5. ἄρα τριγώνων.
1. κἀν eue tex No κεν εν
2. ai τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ AB, TA, E, Z:
3. yap. .
A. dpa παραλληλογράμμων
ACTE
6. ἴση γὰρ ἡ TO τῇ E:
7- τῶν
8. ἐστὶν ἡ ΑΗ τῇ Z:
9 ἴση γὰρ à TO τῇ E' τὸ ἄρα BH ἴσον ἐστὶ τῷ AQ"
Nov 10. καὶ ἔστιν.
PROPOSITIO XIV.
CODEX IO,
Id. Id.
Jd. Jd.
deest τ. ᾿ς:
Id. PROPOSITIO XV.
Id. n deest. .. Jd. Zo. Jd.
PROPOSITIO XVI.
hr Id .
deest.
Id:
deest.
ἴση γὰρ ἡ E Th TO'
Ta: Id. deest.
ld.
PROPOSITIO XVII.
qux ΧΕ Zu RENE
EDITIO OXONIÆ.
μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν
παραλληλογράμμων μίαν μιᾷ ἴσην ἐχόντων γωνίαν,
deest .
ἄρα AB, BT
concordat cum edit. Paris.
deest.
deest.
αἱ
deest.
EAA τριγώνον
, LA τριγώνων ἀρὰ
καὶ εἰ
τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ AB, TA, E, Ζ ἀνάλογον.
γὰρ
παραλληλογράμμων ἄρα
αἱ
«εριεχόμενον ὀρθογώνιον, ἴσῃ γὰρ ἡ TO τῇ E*
deest.
τῇ Z à AH:
concordat cum edit, Paris.
€igiv
NS zb εἰ
» \ - r4 ἀπ τὴς μεσῆς
2
DUI
ETE
TAEZS . ὁ τὴν
T CM om
EET OY
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEXTUS.
EDITIO PARISIENSIS.
\ > NN D 3 N TO πο τῆς B EOTIV, « . ε΄,
X ve \ ^ \ τὸ ὕπο TOV B, Δ ἐστίν, + + . .
» e . σὴ 1 076 HAB, . . . σῇ. CARE DONDE. IS ID ITO λοιπῇ. ACTAE τ σον ps auTO. . 210^ tai ὦ ἴω δ [Ὁ "Tak VA CAECIS dU Ira ^
Di ^
apa πριγωνῶν. + + + + ^
τριγώνων.
3» ,
ἔχειν λέγεται. © s
τριγώνῳ" οὐ ἰν,, 6.4
S £0 wx» 915 1. 5 sie
τρίγωνον. . nen
Lo dap Rr MESE Id... Aem o... deest εἴσιν" HUNC NS 4d. ἔτι τὸ EBT τριγώνον τῷ AHO Îd. τριγώνῳ.
γῶν Ὁ seb s Id. TE ἐστὶ ἴση ἐστίν". Id. THAN ΕΝ Id.
$19: ὧν ele! δ᾽ ὁ
Ἦἀδὴ, ἰορλ 6 διὰ δ - “Ὁ
CODEX 100.
Ue Tu deest TAN
ee! a a he Dia) e de
EDITIO OXONI.F. οὕτως "o5 Ν e 5 M »/ 70 dm0 τῆς Β ἐστιν σὸν.
mne. o. 5 ^ τῷ ἀπὸ τῶν B, Δ
PROPOSITIO XVIII.
14.
2 dii
deest Id.
ἡ ὑπὸ HAB ἴση ; deest. λοιπῇ deest.
PROPOSITIO, XIX.
ve "eidocs
ee ὃ
e Me lei re o en iw
\ TO
τριγώνων ἄρα deest.
503
concordat cum edit. Paris.
deest.
à ny
concordat cum edit. Paris. concordat cum edit. Paris,
deest. λοιπῇ
deest. deest.
deest.
concordat cum edit. Paris.
ἐστὶν dw deest.
504 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEXTUS.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 190. EDITIO OXONIZÆ. Le TE . deest. ΠΑ LR M detente τὸ II. πριγωγον ON AIN PP Teste DIE DU REPE e yf ERE . . deest. 19: τρίγωνον Ἐπ τε ἀπ τον ΤΩΣ ER SU deest. Y4. τρί γῶνον α τὸ «οτος 7α e cse E S'ONléESt:
τοῦ c EN es Ce iv NERIS δὴ ΤΌΣ m Td, ΡΣ. Vm . deest. L9. πλεύρων ice CORSA ee πλευρῶν, Οπερ ἔδει δεῖξαι. concordat cum edit. Paris.
9) καὶ . lee 23 SUMI EE ποτὰ ose Seite καὶ
10 πλευρὰν, "rre Id. i deest. AUS TER:
20. Πρ] γῶρου. . à» « + ee εν ΝΣ tees sis deest.
21. deest... ......... deest........ xal ὡς dpa ἕν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕν τῶν ἑπομένων οὕτως ἅπαντα Td ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα, καὶ Ta λοιπὰ ὡς ἐν τῇ προτέρᾳ δείξει. Nota. In demonstratione propositionis XX, codicibus a,c, articulus τὸν non ponitur ante litteras figuram designantes , ante quas poni solet.
PROPOSITIO- XXL I. opoip dort - à + se + + à Jd... 44-55 = ÉeriróMolor à: depsios am scs deest: Aux: auis ὥστε καὶ τὸ A TQ D ἰσογωνιόν τε ἐστὶ καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γω-
, ^ » ‘ ” vriac πλευρᾶς ἀνάλογον ἔχει
PROPOSITIO XX.
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEXTUS.
EDITIO PARISIENSIS.
ec M DEA... a el irs diis ete bj
Jis, K^ an eise ὦ des ee IRIS
E , M RU € ε M
D. Εἰ yap pun ἐστιν ὡς n AB πρ΄ς Toy ΓΔ οὕτως ΕΖ πρὸς τὴν HO, ” ἐεστω
O. καὶ ὡς ἄρα τὸ MZ πρὸς T0 ΣΡ οὕτως τό ΜΖ πρὸς τὸ ΝΘ’
7e ΣΡ . . . . . *. . . ο
8 ἡ . . . . . . . . . .
œ e" 9. ἢ καὶ o[A012 «^ δ' Φ'’ὦ0(ζ,ὼδ' v ὁ 4
CODEX
Id.
H
190.
{τ
02 EDITIO OXONI/;.
deest. deest. Γεγονέτω 724p
deest.
ἊΝ καὶ ΣΡ
, Na. ne ἐστιν ἡ
AM 5 καὶ ομοίὰ à
PROPOSITIO XXIII.
Y. τοῦ τε ὃν ἔχει ἡ BT πρὸς τὴν TH καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ AT πρὲς τὴν TE. 2. τὴν M λογος σύγκειται ἔκ TE τοῦ τῆς K πρὸς τὴν A* λόγου καὶ
τοῦ τῆς À πρὸς τὴν M*
deest.
\ ^ E M Acyoc συγκεται ἐκ Te
τοῦ τῆς K πρὸς A* λόγου
\ ^. ^ και TOU πῆς À πρὸς M*
5. παραλληλόγραμμον" sc Adele Si δῶν had 4e παραλληλόγραμμον. + + . Jake S se
PROPOSITIO τι Ταῦ 0 Vie. a.u e ὦ ς e ACTOR QU 2. τῶν πλευρῶν PARC ΑΝ ME MS deest. CLA δ Dep dr de he Le uam qm. à MED. re ue eis DOCE de ARE Te aide. Dao τερον I Re ee eie ww diete e ARTS, GTP ΔῊ ERIS TP PEN LAMB etre 7e τῶν ἄρα ΑΒΓΔ, EH . cj cat Idi... 8. AHZ γωνία τῇ ὑπὸ AAT, ἡ δὲ ΑΖΗ γωνία τῇ ὑπὸ
ὑπὸ HZA τῇ ὑπὸ ATA,
Q. ἄρα τὸ ΑΒΓΔ παραλληλόγραμ- ἄρα deest, et reliquum concordat cum edit.
μὸν TG EH παραλληλύγραμμῳ
> ΣᾺ. Ἰσογῴνιον ἐστιν"
Paris.
concordat cum edit. Paria.
concordat cum edit. Paris.
concordat cum edit. Paris. deest.
XXIV.
ATA,
αὐτῷ
concordat cum edit. Paris. concordat cum edit. Paris. deest.
συντείεντι ἄρα
concordat cum edit. Paris. τῶν ΑΒΓΔ. EH ἄρα
concordat cum edit. Paris,
dp τὸ ΑΒΓΔ παραλληλύγραμμον ἰσογώνιόν ἐστὶ τῷ ΕΗ παραλλη-
λογράμμῳ" 64
506
EUCLIDIS ELEMENTOAUM
LIBER SEXTUS.
EDITIO OXONI. decst. Ν και
concordat cum edit. Paris.
XXV.
deest. deest. ἔστιν
deest.
deest.
XXVI.
γὰρ παραλληλιγρόμμου
ἀφαιρησθω
αὐτῶν ἡ διάμετρις AOT, b, 0, d, 6,58 6, LL mm
deest. 5,
concordat cum cdit. Paris. deest.
Za
deest.
deest.
coucordat cum edit. Paris, concordat cum edit. Paris. concordat cum edit, Paris. ἐστὶν ἴση"
ἴσον ἐστὶ.
TTE καὶ
τὴν
" ἐστῷ
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 190. 0. ἢ PE Jus p lie dela $3 D ur o E 12. παραλληλογράμμῳ séduit "eese στ τοῦ
PROPOSITIO Io 0H: ποὺ, 9005. 5 ES [d2 UE De Tf 4 à à € v + + * ὁ. ὦ Id. = 0 Le Gi den. «ue x A ve τουδὶ: ME Me TplygvtY. à à à + 0 + 0 Τὰ: d ; UNE NITET Ecce M
PROPOSITIO 1. παραλληλογράμμου γὰρ P ZU CES Ξὶ- ἀφηρήσθω vy UE SU SU ΟΝ S 0. 5. αὐτοῦ ἡ διάμετρος ἡ AOT, καὶ dd. a. . . , .
ἐκύληθεῖσα ἡ ΗΖ διήχθω ἐπὶ τοθ, ἀ. DUTY. ὦ ὦ σὸς ας deesto- s 9 5. ὅμοιόν ἔστι τὸ ΑΒΓΔ τῷ ΚΗ, deest. + + . ὁ δι. dba € x o ERES SR. EE 9. dpà à à + oo Ve» 1 BORD rogos SOR. à + de Set CU οροὺ τὴ PROPOSITIO XXVII.
lY. MUT! © ὁ * + e +. Idi. WU EM 2. ἀναγραφέντι τῆς AB, « © τῆς AB ἀναγραφέντ᾽ 5. παραλληλογράμμοις δ᾿, erii. deest. : ..... 4e προσκείσθω qÜED* 6 «en 9702B 16 «0 b. ἴση ἐστίν" . + © + + + + Id. itu B. iW etu à «τς. τὰ idee uie VIS 7e acute de IIS Nes a B. τῆς 0 de ee scie δι ποι υ Te ee 9 Τῶν SAN
προςκείσθω e NO ἃ κὺ
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEXTUS.
PROPOSITIO XXVIII.
EDITIO PARISIENSIS.
ε / Lo ool . 4 4 e 2 € ele CS ι À n 2. τῶν &(AÀeiApuaTOY TOU τὲ απὸ -»"Ἥ t , Ὁ ^7 e τῆς ἡμισείας καὶ TOU ᾧ di OJ&040V > ἐλλείπειν» » , , * 3. ἡμισείας παραξαλλομένου, ο- , L4 ^ > , βοίων οντων τῶν ἐλλειμμάτων. 1 ^ » 4 , ^ ^ 4. τὸ δὴ AH ἤτοι ἴσον ἐστὶ τῷ T, À ^ , ^ (| \ ἢ μεῖζον αὐτοῦ, διὰ τὸν propuore , Ν 4. £UTIV à + + + + + + + + 5 9: NOV Le le) le s 9,9 \ ^ Οὐ με UT e Ves ^ M 7. τῳ KM TO HI. , . . . .
, \ » 9. EOTIY I7OY. © + + e e + +
PROPOSITIO
I. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘ τῷ ΕΛ.
2. TÓ 9" Ὃν ΟἽ τ '€ €9*$ . l9
5. οὖν ele Le 18 Lier qai. der 1e » ^ »
4e. ἐστὶν ἰσὸξ. e e + + + + ὁ
^ Noo N 5. τῷ EA ἐστὶν ὅμοιον τὸ ΟΠ
CODEX
190.
᾽ LA e , AB αταγραφομενοῦ ὁμοίου 5e TO ἐλλειμμάτι,
desuntà in à ΠΣ
ΕΒ δι ud aru deest. "hs ts etos T8-AK-pÀy Qo. o. Jue aor ati etos
desunt.» 60s vs fd, 35.4965 . débits. τς 10e dat a acto ue
EDITIO OXONI/E. Li / La 9JA010 CYT;
m LE Al hd τοῦ τε ἐλλείλματος TOU ἀπὸ τὴς € r \ AUS n € , ἡμισείας καὶ TOU ᾧ dei ομοίων
> , ελλείσειν παραλληλογράμμου
concordat cum edit. Paris. concordat cum edit. Paris.
» \ ἐστιν aq ουν utes μὲν τὴ A HD ^ To ΞΟ τῷ KM.
» » / σὸν ECTIVe
XXIX.
concordat cum edit. Paris. τὸ
οὖν
ἶσος ἐστὶ,
' 3 NS od - τὸ EA ἐστὶν ὁμοιον τῷ ΟΠ.
PROPOSITIO XXX.
I. γὰρ . 9^ "δ΄. γδς 1e) ὧν τον ἠῶ Ἅ. ΑΤ. τουτίστι τε AB y ee
\ SAT se Vallee Ve one CR
As ABUSE ehe Se te
deest. Veiis aie AB, e L] . . Φ .
γὰρ concordat cum edit. Paris. deest.
AB εὐθεῖαν
PROPOSITIO XXXI.
TONER US
deest. deest.
64.
508 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEXTUS.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 100. EDITIO OXONIÆ. T MENT E JACI à ns So CE ME "ac τ ΠΝ ke 4c ae le Met Te* tat Tet ὦ ὁ Id. 2,7 8 S Mel le) Ce a deest. A EIUPER 4 RL EE ET ER Ty EMIT ist
6. ἄρα ANT D CR LU (USSR s RU cS εἶδος ἄρα εἶδος Ὁ. δ). δ i © + +). Id. * 3€ νῷ ve 9 ©: ce deest. M'TOIE q: € c τοῦ» ὦ "Pape ys deest. 25h06: ler (7626
9. O7: ἴδεν δεῖξαι. à © «ὁ deest. e V κα psa deest
Hæc altera demonstratio in infimà paginá codicis 190 exarata est, vocabulis contractis,
PROPOSITIO XXXII,
. Suéraf axis dis um oe Les ui BESEE ELS ΤΣ το Στ ἀδόβι:
ε I. oe. + * +
\ 2e "T4 ὃ sels * 9 €
5. αλλὰ αἱ ὑπὸ BAT, AIT, ΑΓΒ deest. . . - + , τὲ concordat cum edit. Paris. ἢ
Sei E δυσὶν ὀρθαῖς ἰσαι εἰσι"
PROPOSITIO XXXIII.
pon δὲ καὶ οἱ τομεῖς, ὦτε πρὸς heec verbainterlineas concordat cum edit. Paris. ᾿ τοῖς κέντροις τυνιστύμενοι!» exarata sunt manu aliená, et secunda pars demonstratio- nis , quæ ad secto- res attinet, nec- noncorollarium,in margine manu alie- nà exarata sunt, vo- cabulis contractis. 2, καὶ ἔτι ὁ HET τομεὺς πρὸς τὸν desunt... + Ὁ concordat cum edit. Paris, @EZ τομέα. . 8. κατὰ τὸ ἱξῆς ὁσαιδηποτοῦν. Id. .΄....... «ὁ ὁσαιδηποτοῦν κατὰ τὸ ἱξῆς 4. ἴσαι Ioa WEN. . x Ὁ)" M eu πον ον πρὸ ὁσαιδηποτοῦν ἴσαι 5
? E ἄρα δ π΄ + ἃ, wo ie t Ὁ Jd. e ** ^. "9 ^. "ὁ cv Kai εἰ
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEXTUS.
EDITIO PARiSIENSIS.
, aviert 6. γωνίας w* ss" ape ὁ "+ ane
"Je CITATION = Vale EOS € ἢ
O. UMS" IO Ne due Ms pe qe. DS »» hy
9. $0TÀR e. δ ὁ. $9 ὁ γ᾽ 9$
, , ᾽ ΕἸ Y ^
10. κύκλον περεφέρεα (00 ἐστὶ τῇ
e , ^ "x LA λοιπῇ τῇ εἰς τὸν OÀOV KUMAOV
YI. BED ΟΣ οὐ το εν τ θα
12. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ @EZ, ΘΖΜ,. €MN τομεῖς ἴσοι ἀλλή- λοις εἰσίν"
ἐστὶν 4 AA περι-
φέρεια 73 EN περιφερείᾳ,
epi el καὶ ὃ HBA τομεὺς
τοῦ OEN τομέως" καὶ εἰ ἐλλεί-
σειν ἐλλείπεν
CODEX deest. . . διπλασία cj deest. . . Jd. Id. . . LJ desunt... dd «τως desunt. ..
190.
503 EDITIO OXONIÆ. γωνίας
concordat cum edit. Paris.
ὑπὸ
deest.
ABT κύκλον περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ λοιπὴ τῇ εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον περιφερείᾳ"
ΓΞΤ γωνῖα
concordat cum edit. Paris.
2
καὶ εἰ ἴση ἰστὶν ἡ BA περιφέρεια Tj EN, iSt ; concordat cum edit. Paris.
J10
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEPTIMUS.
LIBER SEPTIMUS.
DEFINITIONES.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 190.
|, CREER eei Hé on at. à dd. τοις ὃς
Id. a, e,.e;
d. (1) av us Lec δ' ἴδ 9 ὃ C. (2) ὃ . . . . . . . . . D. (B) dulase uis VPE
Í, (4) Περισσάκις δὲ ἄρτιός ἐστιν,
H8,
ὁ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρού- hs 1m;
μένος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν"
Id, vr nre ie md , / Es τες σαν 5 ὅριον well ΟΕ RAT ΟῚ lots: tee déest. 1, Lo. T's ar ete
sa, (3) ἀριθμός ἐστιν, . « P. DEDI Sw τας ci τὸς iem ewr-.. ule V ida
(8) τοσαυτάκις + « . « ὁ n. (9) HENTAI v v. + re e M {τ} δι i se son. 5
x (11) ἀριθμῶν ἴσων... . . PROPOSITIO L
I. Δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἱκκειμένων, Id, . . 4...
ἀνθυφαιρουμένου δὲ aci τοῦξλάς-
govos ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐὰν
2. ἀνίσων e * c$Í + + + 9 deest. . Ac lw). ‘er je
De MELDE e + Κα αἱ ei 2e ΣΝ,
ἀ. μετρήσει. «ὁ
5. μετρήσει. dd. M ς s al e. e
LOYER ὧν τὸ τον
6. μετρήσει. . + 989 . £7 ΟῚ
EDITIO) OXONIÆ.
4 ἫΥ 0 à ο
deest. deest. ὦ, d.
9 ^ , X ἐστὶν ἐριθμὺς, deest.
LA »
ὅσαι ἴσαι ποσάκις καλεῖται"
(+
ο
3, , ^ ^ 10(0V ἀρ μῶν
V dv » b ^ 3» 7 53 , Ezv δυο ἀριθμῶν ανίτως ἐκκειμένων » , ἜΡΙΝ ^ 3 , ἀνθυφαιρουμένου ἀτὶ τοῦ ἱπάσ- , M ^ / σονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, >! εἰνίσων μετρῇ. ΄ e μετρήσει o E. βετρησει o E,
μετρήσει.
PROPOSFTIO.I
desunt. x. ws Jo. Cac ERE emere AAT . . . . . . .
I. καὶ ἔστω ἐλάσσων υΤΔ' « à
το σ᾿
5. linea secunda et tertia pa- ginæ 389 μετρεῖν
concordat cum edit. Paris. TA, AB
μετρήσει.
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEPTIMUS.
5*1
COROLLARIU M.
EDITIO PARISIENSIS.
4. μετρήτει ete” el e [eher
I. μέγιστον κοινὸν μέτρον, .. Tdi s 2. μετρήσει, sj. Velle] Nes .ὁ} 0 dd v 5. μετρήσει μεῖζων τοῦ A° , . Id... A dnos di ren 100 OBSS RC PUR SE SERO à TOR Gta RU e eoe lus Aden d ue Te GENOA. e e vo v e oi V OM CES...
COROL
r. Hoc corollarium deest in codice a.
T. ORASBE je er ele. wis 2. πρώτερον o A, ΒΓ . + « DEMO A BD. (2 6s e Le qecye qve 4. à ἑκάστῳ τῶν BE; EZ, ZI*
, ^ I. ἀριθμοῦ eredi Jarre 'e (00.15. εἰσὶν ev τῷ BT ἀριθμοὶ SRM
. καὶ oi BH, EO ἄρα A, Δ. Διὰ
C13 +
^ , ' ΝΒ 1 ^ » τὰ αὐτὰ δὴ xai 0 HT τῷ A 1506 ^ « ^ Ν ἐστὶν, ὃ δὲ OL τῷ A* καὶ οἱ HT,
Di » , , ΘΖ dpa τοῖς À, À 1001 εἰσιν"
dis. $00) ST et ete ooo Le TIN
CODEX
EDITIO OXONIÆ,
μετρήσει.Οπερ idu δεῖξαι μετρήτει.
PROPOSITIO III.
PROPOSITIO
Id. Jd. Id. Id.
PROPOSITIO
deest.
Id. Id.
Id.
κοινὲν μέγιστον μέτρον, μετρήσας , \ LI ^ τις μετρήσει μεϊζων ὡς Tou Δ" δὴ deest. μετρεῖ concordat cum cedit. Paris.
oi A, BT πρώτερον desunt.
desunt.
δὲ ὁ Δ ἑκατέρᾳ τῶν BE, ΒΖ,
concordat cum edit. Paris,
ἀριθμοὶ εἰσὶν ἐν τῷ ΒΓ
ὁ BH dpa καὶ ΕΘ τοῖς A, Δ ἴσοι εἰσὶ, Καὶ διὰ ταῦτα ὁ HT τῷ À ἴσος ἐστὶ, καὶ 0 ΘΖ τῷ A* καὶ οἱ HT, ΘΖ ἄρα τοῖς A, Δ ἴσο; εἰσίν"
^
79
δι EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEPTIMUS.
PROPOSITYO VE
EDITIO PARISIENSIS. CODEX Lo déesse ΟΝ SN TZ ets 5. GTA deo decus. be τ αἰδοῖ τ: do το, jade τὸ ce DES à 4. καὶ ὁ GE τοῦ Z° ὃ ἀρὰ μέρρις Id , . .
ΕΣ N ^ ^ ἐστὶ To HB του"
PROPOSITIO VII.
urs ἐν deesbos À,
LE |
TA TO αὐτὸ pos ἐστίν" rata sunt. 5. dev ἴσος. e * * + ὃ Jd. v e “ὁ 4. ἐστὶ + 9 *9 e» $9 + + deest. e c7 5. TÓ e. s * + . €.» + 9 68 Wels . + + 6. ὁ ἀρὰ μέρος ἐστὶν EB τοῦ ZA, desunt... V , ^ , , \ \ € TO αὐτὸ μερῦς .£0 T] καὶ ὁ ΑΒ
τοῦ TA*
190.
AB ἄρα ἑκατέρου τῶν HZ, hac verba aliená ma- nu in margine exa-
EDITIO OXONIZ. deest. ΕἸ ἧς ἐστι » LI ' ŒUTO TO
D \ » 4 , » Π του FT To auTo βεροςεστι
e
0
concordat cum edit. Paris.
» » ^ ἵσος «CTI. Lj Ν
ἐστὶ
τοῦ
concordat cum edit. Paris.
PROPOSITIO VIII.
1. τῷ AE 1906 «ὁ e + + $9 ?$ Jd. * €. *
2. ἐστὶ οὐ δ΄ Ὁ e Φ 6 + * 9€ Id. á + c5
PROPOSITIO IX.
YR r4 ἀν Loterie 2. λάσσων δὲ ἔστω 0 À τοῦ A* . desunt... S. καὶ cvs sl wese Vis p35 9 CCR: « BOUE ET o NU JE
PROPOSITIO X,
ἧς rom er ecd rU Ὁ EUN QNO fs 2. ἴστω δὲ ὃ AB τοῦ ΔῈ ἐλάσσων" desunt. ..
Φ
L]
ἴσος τῷ AE
deest.
deest. concordat cum edit. Paris. καὶ
δὲ
desunt. cancordat cum edit. Paris.
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEPTIMUS. 515
EDITIO PARISIENSIS. , CODEX 100. EDITIO OXONIÆ. NEUE D DOR CC MET ME corset deest:
ΟΝ OR S RODEO STE ceri πῶ
(TOU SEL TR EPS LEONE ENS efe eor ον το ela ep RC
. καὶ ὃ ἄρα μέρος CTI To ATIS S aem ee τς desunt.
Oo σι -- [ei
τοῦ AO ἢ μέρη. τὸ αὐτὸ μέρος
ἐστὶ καὶ 6 ΑΒ τοῦ AE ἢ Ta
αὐτὰ μέρη" "s adu cR er αν ARE D Tus ὙΠ ἡ γῶν 8. an EUN X. NIS Krebs d a ΠΤ ΠΘΕΒΙ:
PROPOSITIO XIII.
Moe P M ERU e JS ME Un PROPOSITIO XIV.
«940 X ous Menate lens deest hubs RI yarn 2o xai tw omes με τον deest 5 qual VUE)
PROPOSITIO' Xy.
qe CASUM. a teer Sos e Mais s ton S MECS D
om viera o c NP RC Ie NS cT
HE yt Pals der dr D 77 AE ET ES LE +777
.dpÜny e. e m + nt s deest. . . . . . + apr
. ἦα μονὰς τὸν Δ ἀριθμὸν. . 8A TCU A . . . . . concordat cum edit. Paris.
eue
PROPOS IE TO XVI. "ia 100 eee lee le 7 (7 o Nu so et deest. PROPOSITO /SXVWIE
tEouci λόγον . .« + + + Tel. e PL αν, ον go VR AOYyON $5,0061
2. ἀριθμὸν + + . + + + + deest. . . . . . . apbpor
D. καὶ ὡς ἄρα ὃ Β πρὸς τὸν Δ ο- desunt... . . . . concordat cum edit. Paris. τως ἣ T πρὸς τὶν E*
65
514 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEPTIMUS.
PHOPOSITPIOOXVHL
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 190. EDITIO OXONI X.
ee I. τὸν αὐτὸν ἔχουσι . . . , JO ptm Δ ΣΝ καὶ αὐτὸν ἐξουσι
PUOPOSITPIO XIX.
E , | ἢ ; ^ I. TOU πρώτου καὶ τετάρτου... πρώτου καὶ TÉTAPTOU . TOU πρώτου καὶ δευτέρου > » ε e A Ἂ. αἀλλδιςι CR D NI TR Re MU o pa scd ὥσπερ LC Rc PET dpa
Aor». x MEET RE»
PROPOSITIO XX.
Hic propositio in margine codicis 190 eâdem manu exarata est, vocabulis
l. contractis. *
Oe ἐν dés + ES TEE RO idw ci ae zay δὲ - « ^ > A ὧν ULOV. ον Uv Mens se 7 Ὁ d. te ΟΣ; CT euro
3] , PU AecEG0yTRE. UU. v ἐπὶ e e ς εἰσ e ie we S vem Ἐσοίπαϊ
UNS NN ἢ, ὑπὸ. . I ἰῷ: ἰὴ LES κι ιν ERST ESSET.
PHOPOSPLPIO Χ ΧΙ:
ss. + dd........ ξχοντας αὐτοῖς
χ ἐχούσας τς ἃ Id. .. . . . . .« οἷ TH, HA ἔσοι ἀλλήλοις or,
2. ἴσοι οἱ TH, HA εἰσὶν ἀλλήλοις,
ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις, «. Ὁ JA AEST ἀλλήλοις ἴσοι,
τ J
CENTS RON. 4 UNE UIT Dc (rr E τὸ
BHRQPOSLPUDOSXSXIL
1. Hæc propositio in margine codicis 190 alienà manu exarata est, vocabulis
contractis.
2. πλῆθος οἱ Δ. Ε, Z, σύνδυολαμ- Id. . . . . . . ./— πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι καὶ ἐν
" A2 ms ^ , ^ 3 ὦ , ε ζανόμενοι καὶ ἐν τῷ αὑτῷ λόγῳ, τῷ αὐτῳ λογῷ. I A,E.Z
PROPOSITIO XXIIL
Id. . . . . . . . εἰσιν οἱ B,B ἐλάχιστοι τῶν τὸν , \ , 3 , > D αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς.
τιν P; EE TS PROTECTED E RET
ÉUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEPTIMUS. 515
PROPOSITIO XXVI. EDITIO PARISIENSIS. CODEX 190. EDITIO OXONIÆ. I. πρῶτοι ἔστωσαν, » . . - Id. ἔστωσαν πρῶτοι. . τοὺς iare ES Τα S SU à αὐτοὺς δὴν AL oia n eue et LENA REED PCIE: δὲ
ΠΝ ΜΑΣ a PE
Bep
PROPOSITIO XXVII.
1. καὶ i 2) E it Le CUBO: a vos MN ERU
PROPOSITIO XXVIII.
I; 'mpoc τὸν τἰ πρῶτος ἔσται a7 d. ddl VQ un am πρῶτός ἐστι πρὸς τὸν T.
Soo mt ibi wp S CE. sns re e s ς o
PROPOSITIO XXIX
DIVERS NDS EE a net ΣΡ ΜΝ UT VUS
I.
2» GPO UO mien + etienne Fe Ds 0 ov seal OU Reno
LL ς ἢ: τον ct AU MOTO Lisci tis cfe e NE ES Te
4. οὖν ΟΥ̓ νῶν 294 02. .ϑ 00δ.ν tous Ve are Me TL EE te outre ἄρα PROPOSITIO XXX.
ἜΝ ΡΣ ον ον
24 TOU SETA ADI. ie πνοὰς ον ΟΝ ces test NMMADMOUE B. Am τὰ αὐτὸ δὴ zd) Ob AY, dO. « . 4. 2s desunt. TB πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν" ἤν πρῶτοι ρὸς ἀλλήλουξ! ᾿ς ἴσης ie Sem τ τς πρὸς ἀλλήλους πρῶτοι 5. oi AB, ΒΓ πρὸς ἀλλήλους. . Id. . . . . . . . πρὸς ἀλλύλους οἱ AB, BT, ΝΞ ΔΝ Το ΝΣ
PROPOSITIO XXXI.
Nx € ΔΝ ε » y Το I S0 mOo Du auc TNT Eve Id. cA ΤῊΝ Vu e t xab tc7TO © T° ὃ Τάρα οὐκ εστο
μονάς.
516 EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEPTIMUS.
PROPOSITIO.XXXII
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 190. EDITIO OXONI!E.
I, ἀλλήλους . . . . + Τα συ. deest. D DA à «4 4 «75 .. deéests ^ «.. .. 94
PROPOSITIO XXXIII.
\ P , \ 2 D ^ À » \ , I. yeyovoc aV εἴη TO ἐπιταχθέν" Id. $ 84:9 ἢ Le ὦ δῆλον αν εἰ TO ξητούμενον
\ » \ À » \ i^ 2. y*yovoc ay ein το ἐπιταχθέν" Jd. 0! + + δ᾽. es ὁ δῆλον e εἴην το ζωτούμενον,
δ στιν v deo ue acr MENOS προ EE 4. πρῶτος ἀριθμὸς... ....». Id. . . . « + . . desunt. ASTA LIBE SR. * , , D ε , deest. deest. 2, c, d, es Ἔστω σύνθετος ἀριθμὸς 06 Α" λέγω g,h,n. ὅτι ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ
μετρεῖται. \ ι , "e - Ἐπεὶ yup σύνθετός «στιν 6 A, με- , ει» - UN πρηθήσεται ὑπὸ ἀριθμοῦ, Kai 1 322. ^ ΄ ἐστω SALYICTOG Τῶν μετρουντῶν [4 , LA e ^ , αὐτὸν ἡ Β' λέγω ὅτι 0 B πρῶτος ἐστιν.
Α
r SN NU ΠΡ: ἢ Εἰ γὰρ μὴ, σύνθετός ἐστι" μετρη- , E εν» ^ θήσεται ἄρα ὑπὸ ἀριθμοῦ τινος. , Ν ! ε Μετρείσθω. καὶ ἔστω ὃ T ὃ με- ^ , ΄ e » ^w >» , τρῶν auvor* 0 T ἀρὰ τοῦ B ελασ- » / L ὦ Ὧν; o6 ! \ cav ἐστί. Καὶ -πτεὶ o Τ ἄρα τὸν B > \ \ [| μετρεῖ. ἀλλὰ καὶ ὃ B τὸν À με- m SE 14 , τρεῖ" καὶ o T ἀρὰ TOY A μετρεῖ, ͵ à m > ἐλάσσων ὧν τοῦ B, ἐλαχίστου 4 ^ , ej ὄντος τῶν μετρούντων Α, ὅπερ » , M € , ἄτοπον" οὐκ àpæ ὁ B σύνθετος » 1-5 e » ἀριθμός ἰστι" πρῶτος ἄρα. Οπερ μὲ e ἔδει δεῖξαι. b , h ? 7.
EUCLIDIS ELEMENTORUM LIBER SEPTIMUS. 517
PROPOSITIO XXXIV.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 100. EDITIO OXONIZ;.
\ À 4 , ^ » 53) / I. γεγονὸς ἂν in τὸ ἐπιταχθέν. 714. . . . . . . δῆλον ἂν εἴη τὸ ζητούμενον.
PROPOSITIO ,XXXV.
>
I. ἐν τ MRROM 10 6601 ee deest. si ΦῊ δ e e c εν Dep TON ὁ e een e tea I Male De etu τς ἐγ χουν τον QRU TOT
STI ce uw el eee Um deest e es se tL ΤΣ ΕΣ PROPOSITIO XXXVII.
S DET ΒΡ τα ον a s, UMP S nee LR AUS 6 2. MATPHZOUG S S in eire sre ero LES v ce m oium e co. METPOUTI 5. ὅταν oi A, B πρῶτοι πρὸς ἀλ- hec verba inter li- | concordat cum edit. Paris. λήλους ὦσιν" neas alienà manu exarata sunt. 4. 4AX Gc 0 A mpicvovBovroc Id. . . . . . . . desunt.
0 © πρὸς τὸν H* PROPOSITIO XXXVII.
Te At7000075 «Ὁ Ὁ τὶ τι γεν Cete LAS LIRE PES μετρήσουσι.
PROPOSITIO XXXVIII.
I. μετρήσουσιν τ Ne ὦ- TRAME EE MEL rpoUcIy
ἘΠ di pesa er. dsl, δὲ
το ΔΒ ΚΤ ἄρα τὸν Δ μετρῇ - deest. τον nos oí ἄρα A,B,T Tív ἃ μετροῦσι» σούυδσις
4e CNET MCE PERTE deest 1 MEAS en οὖν
D: UTOPNE Me ER NE TR Te EG ue A ἘΠ ὦ GI TONIE
Θ᾽. μερησουσί αν o icq CS ΠΡ RS πὰ cun
ἡ. Ἰμεπρύσοῦ σις bn ele feles i oie COUV) HAT poUTse
8. puempnaoUsi NN RENE NE op ET BDU dE.
DIE E OE 070 © ΠῚ CORRE OI ELEC
LO. μεηρησουσιοιν v. e ones [d 2 E. LS ἀεγροῦσε.
518 EUCLIDIS ELEMEN TORUM LIBER SEPTIMUS.
EDITIO PARISIENSIS. CODEX 190. EDITIO OXONJZE. ἘΠ 45. 2 e E δ J^ Ἀπὸ Ν᾿ deest. ν᾽ εν, 7 5 Y “ &. ENS DF 12. καὶ ὁἐλαχιστος ἄρα. .. fd. . . à . . . . ὥστε καὶ ὁ ἐλάχιστος rm , ΄ ^ 15. τὸν Z μετρήσει. - . . . dd... ... .. μετρήσει τὸν. : 2 lá. Merpucousi .. D . .-^ Jddi ...:. .-. μετροῦσι
PROPBRPOSITPO XE.
Vo 0 EU E TETTE ἴστω ἀριθμὸς
3. μερος ἀρὰ. ὦ ONES qj. à D ER ἄρα μέρος
PROPOSITIO XLI.
1. Td di ivra μέρη τὰ A , B, ΓΤ. 74 A, B, Tp... τὰ δοθεντα μέρη Ta A , B,T. I Dr ee ee + + Ales te 00 ἀριθμοὶ
2 BANC v ses A E M ESdegsta T e E EEG Á.0Hdpgt. a « Ὁ ss © « Id. . . , ... . — tmdobro Hom) τῶν A, ES 2 με-
τρεῖται, δ Ἢ D. ἔστω τὶς τοῦ Η ἐλάσσων ἀριθ- Tu p M E 6H ἐλάχιστος ὧν ἔχει τὰ Α. Β.Γ μὸς ὃς ἕξει τὰ A, B, T μέρη. μέρη, ἔσται τοῦ H ἐλάσσων ἀριθ- ὃ Θ. μὸς ὃς ἕξει τὰ A, B, T pa.
: EvcT0.0 ©.
FINIS TOMI PRIMI.
a ————— MPG HÀ
ERRA T A.
Signo * indicantur correctiones in textu faciendæ ; quæ autem hoc signo carent,
nullius fere sunt momenti.
Littera ὦ indicat lineas ab infimà paginà esse computandas.
Cüm in me editione litteræ circa figuras incisas sint mobiles, non mirandum est si qua in aliquot figuris operis impressi deesse potuerit.
Pagina linea
xij et xiij*, 7, 1908, lege 1807. FN D ENTIER lege TIC. Xi a6: vorab, lege γωνίαι», *, 155; pa, lege yai. 8*, 35 ἐστὶν »lege i ἐστὶν. * 5, ἴσῃ n lege ἴση ἰστίν. 8, 5,0. «0a, lege εὐθείᾳ.
10, littera B deest in figurá. 14, bb. περιέχουσιν, leg: περιέχουσι. 4,0. ἐστὶν. lege ἐστὶ.
20%, | 4D; quidem, lege autem.
20, 1,0. wiangulo æquilatero, 7. iangulum æquilate- rum.
21) 8, ñ, lege ἡ.
21, I, b. GE EURE lege TETE- ρασμένην".
25 ὦ» triangulo æquilatero , leg. triangulum æqui- later 'um.
25, I, ἐπεί. lege eel.
32 ἀ, ID δύο. lege δυσὶ.
46 χ᾽) το» ἴσηνο. lege ἴση.
62, 5, ὦ. καί εἰσιν. lege καὶ deir.
66, 4» preter AB; AA, lege ΑΔ: A^.
71, 35 5: ἐστὶν ñ, lege : ἐστιν d.
72*, 15 b. ὥστε, lege à TE,
ga NT aes τῇ BA! ; lege τῇ BA.
78*, — littera © deest in figur.
79*, 16 αἱ AB, AA, lege AB , BA.
* 15, utique AB, AA, lege 4B, BA. * 11, droites AB, AA, lege
AB. BA.
Pagina — linea 84*, 5, 87, b. 88* ba
100*
I01E,: 115
162, 23
107*, 95
111*X, 105
115, 7»
II9*, 295p 0s
* 55.5. x 3 Abe
119* et 120* ,
oL. 125%,
- ΝΜ 5h
126*,
EI
DA
152%,
σι Ἢ od δὰ
165, 179; IOLS 195%
" wow v» Y
ν
«Ἐπ HE = O1 οὐ © Οὺ ΟἹ
€ © .Ἐ- * ν
in æqualia, lege in. τὸ δ᾽. lege-ro δὲ. m 3 ; lese ὀρθογωνίῳ. littera M deest i in figurá. gnomonon quadrupla ; ‘ges gnomon quadru- pla. de, lege δὲ, igitur AHE , AHB. ποιεῖν. lege FOIE Te point,/eg. d'aucun côté. ταῖς HA, AB, lege ταῖς ΔΒ. HA.
lege igitur
duabus HA, , lege duabus AB, UM droites HA, ΔΒ lege
droites ^B, ΗΔ.
in figurà in loch litte- ræ A ponatur B et in locum literæ B po- natur A.
littera B deest i in figurà.
τεμνεῖ" ὀρθὴ ἃ ἄρα, lege τί A- νει» ὀρθὴ ἄρα.
τέμνεϊ. ὀρθὴ ἄρα", lege τέμ- Verde ὀρθὴ ἄρα.
lege ἐστὶν,
γωνία. lege γωνίᾳ.
ἐπε ip, lege ἐπειδήπερ.
ἄρα » lege à pe
tros, lege : ἐκτὸς,
lege εἰσὶ.
xpo à lege τοῦ κύκλου,
littera B deest in figurà.
El ἐστὶν.
εἰσὶν.
linea : Pagina linea
, δὲ 3 lege δὲ τς : δὲ 1, lege di. 359 > 7» δ «τῶν. lege 2 ὄντων. ὃ, ὁμοίως S lege ὁ ὁμοίως" à 582 , I,0. semblable, lege. égal. 6,0. ».leges. 885, 5,0. πιῶταρ, lege mare 4, ὦ. ducitur, lege ducta est 25 4 ipse bifariam divisus, 7,0. τῶ, lege TÓY. ‘ lege qui bifariam di- 45 95 lege ἃ, viditur;etsimili modo 4, b. τὸ. lege τῷ. emendentur defini- 5 " CE περιγραφόμενος. lege περι- ST 7e 15 ; vo- γεγραμμένος. cabulo qui in locum littera ^ deestin figurà. vocabuli /pse posito, Da μιγέθους. lege μεγέθους. indicativo autem in Ὡς b. σκέσις, lege σχέσις. 588* TE locum participii. 8, surpassent , cures 589*; x P à μετρήσει", lege Bopren, chacun, lege surpas- 416%) LIST μετρεῖ. lege perpe d. sent. inis αὐτὸν ἔχουσι τὸν. lege τὸν 5,0. divisio, ἰ6ρὸ divisio au- | 425* un Wo um tem. Ho 7» ππλῆθως, lege πλήθος. 1, quilya,Zegequil y a | 47 Qr ME lege ἐπιταχθέν. dans ra. DANG. - col. 1. loai oras, leg. 1,0. multiplices, Jege æque | 478* τῇ ee : multiplices. ἦδοχ᾽ : ; : v εὐθεῖαι 3 l εὐθεῖα. 9» sunt, lege sint. : » ὅ. Col. ὅ. οὐ μία, αὐτῶν, leg. 4» δὲ τὸ, lege dde 484* » ὦ μία αὐτῶν. 4, τῷδ, lege τῷ A. pec Ru Ries s leg. τῶν Az. 4, ad Δ. lege ad A. í hoe odes 2 «Μετέθεσιν, ; lege με- 2, restant ^, Jege resta E LUE 15 inter. lene ep, 492 , 17, call I. ἀλλὰ ἔτυχεν. lege 5,b. τῶν AB, lege τῶν AB. * 8 μᾶλα ἃ STORE 5,6. ipsarum AB, lege ipsa- τον το δα . ἔλλαττων. lege E rum AB. 494* T dei 3,b. AB, Br autour, Jege AB, á , . propositio IX, Zegepro- . BT autour. 497*, 6 EN VIII. 1,6. ἡ ΑΗ, lege # AH. x , nor E τὸ À. I, b. AH ad, lege ad AH. 498* 7 ? Se Er 5 lege τὸ A. 1,0. comme AH,/.comme4AH. | 499* ᾿ 9 ; E^ 5. τριῶσι, leg. ποιῶσι. 8, 1 , lege 5. Herd 0,0. col. 5. ΑΓΕ, lege ΑΓΒ. 105 ἀπὸ. lege aa ἢ à p I. A, leg. A 8. », lege s. 5o2* e jn 5. EAZ, lege ΗΕΖ. 4,0. τῷ KH, lege τῷ EH. e MN M col. 1. AB, lege ΑΒ. 4 ; b. ipsum KH, 1 ipsum p U que 15 col. 5. ομμοίων , J; 520107. 2, 5. KH ne peuvent, lege EH * ? col. ISA; lege KA. II; col. 5. A, lege KA.
ne peuvent.
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